Dense submodule
சுருக்க இயற்கணிதத்தில், குறிப்பாக தொகுதிக் கோட்பாட்டில், ஒரு தொகுதியின் அடர்த்தியான துணை தொகுதியானது ஒரு அத்தியாவசிய துணை தொகுதியின் கருத்தை செம்மைப்படுத்துவதாகும். N என்பது M இன் அடர்த்தியான துணை தொகுதியாக இருந்தால், மாற்றாக "N′M என்பது ஒரு பகுத்தறிவு நீட்டிப்பு" என்று கூறலாம். அடர்த்தியான துணை தொகுதிகள் பரிமாற்றமற்ற வளையக் கோட்பாட்டில் மேற்கோள்களின் வளையங்களுடன் இணைக்கப்பட்டுள்ளன. இங்கே தோன்றும் பெரும்பாலான முடிவுகள் முதலில் நிறுவப்பட்டன, மற்றும். இந்த சொற்களஞ்சியம் பொது இடவியலில் அடர்த்தியான துணைக்குழு என்ற கருத்திலிருந்து வேறுபட்டது என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். ஒரு அடர்த்தியான துணை தொகுதியை வரையறுக்க எந்த இடவியல் தேவையில்லை, மேலும் ஒரு அடர்த்தியான துணை தொகுதி இடவியல் கொண்ட ஒரு தொகுதியில் இடவியல் ரீதியாக அடர்த்தியாக இருக்கலாம் அல்லது இல்லாமலும் இருக்கலாம். வரையறை இந்த கட்டுரை மற்றும் இல் தோன்றும் விளக்கத்தை மாற்றியமைக்கிறது. R ஒரு வளையமாகவும், M ஒரு வலதுபுற R தொகுதியாகவும் இருக்கட்டும், இதில் N துணை தொகுதி இருக்கும். M இன் ஒரு உறுப்பு y க்கு, y−1 என்ற வெளிப்பாடு முறையானது என்பதை வரையறுக்கவும், ஏனெனில் தொகுதி-உறுப்பு y தலைகீழாக இருப்பதைப் பற்றி பேசுவது அர்த்தமற்றது, ஆனால் குறியீடு y−1N என்று பரிந்துரைக்க உதவுகிறது. தொகுப்பு y−1N எப்போதும் R இன் சரியான இலட்சியமாகும். M இன் ஒரு துணை தொகுதி N ஒரு அடர்த்தியான துணை தொகுதி என்று கூறப்படுகிறது, M இல் உள்ள அனைத்து x மற்றும் y க்கும் x § 0 உடன், R இல் ஒரு r இருந்தால், அதாவது xr § {0} மற்றும் yr N இல் இருக்கும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட குறியீட்டைப் பயன்படுத்தி, தொகுப்பு இந்த விஷயத்தில் தெளிவாக, ஒவ்வொரு அடர்த்தியான துணை தொகுதியும் ஒரு அத்தியாவசிய துணை தொகுதியாகும். M ஒரு நான்சீங்குலர் தொகுதியாக இருந்தால், M இல் N அடர்த்தியாக இருந்தால், அது M இல் அத்தியாவசியமாக இருந்தால் மட்டுமே. ஒரு வளையம் ஒரு வலது நான்சீங்குலர் வளையமாக இருந்தால், அதன் அத்தியாவசிய சரியான இலட்சியங்கள் அனைத்தும் அடர்த்தியான சரியான இலட்சியங்களாக இருந்தால் மட்டுமே. N மற்றும் N 'ஆகியவை M இன் அடர்த்தியான துணை தொகுதிகளாக இருந்தால், அதேபோல் N θ N' ஆகும். N அடர்த்தியாகவும், N-K-M அடர்த்தியாகவும் இருந்தால், K அடர்த்தியாகவும் இருக்கும். R இல் B ஒரு அடர்த்தியான வலது இலட்சியமாக இருந்தால், R இல் உள்ள எந்த y க்கும் y − 1B ஆகும். எடுத்துக்காட்டுகள் R இன் மையத்தில் x ஒரு பூஜ்ஜியமற்றதாக இருந்தால், xR என்பது R இன் அடர்த்தியான வலது இலட்சியமாகும். I என்பது R இன் இரு பக்க இலட்சியமாக இருந்தால், I இன் இடது அனிஹிலேட்டர் பூஜ்ஜியமாக இருந்தால் மட்டுமே, அதாவது,. குறிப்பாக பரிமாற்ற வளையங்களில், அடர்த்தியான இலட்சியங்கள் துல்லியமாக விசுவாசமான தொகுதிகளாக இருக்கும் இலட்சியங்களாகும். ஒவ்வொரு வலது ஆர் தொகுதி எம் ஒரு அதிகபட்ச அத்தியாவசிய நீட்டிப்பு E (M) ஐக் கொண்டுள்ளது, இது அதன் உட்செலுத்தும் மேலோடு ஆகும். அதிகபட்ச அடர்த்தியான நீட்டிப்பைப் பயன்படுத்தி ஒத்த கட்டுமானம் ஈ (எம்) இன் துணை தொகுதியான பகுத்தறிவு ஹல் (எம்) இல் விளைகிறது. ஒரு தொகுதிக்கு முறையான பகுத்தறிவு நீட்டிப்பு இல்லாதபோது, எனவே ′ (M) = M, தொகுதி பகுத்தறிவுடன் முழுமையானது என்று கூறப்படுகிறது. R சரியான ஒற்றை அல்லாததாக இருந்தால், நிச்சயமாக ′ (M) = E (M). உட்செலுத்தும் மேலோட்டத்திற்குள் பகுத்தறிவு மேலோட்டம் எளிதில் அடையாளம் காணப்படுகிறது. S = எண்ட்ஆர் (E (M)) என்பது ஊசி மேல்புறத்தின் எண்டோமார்பிசம் வளையமாக இருக்கட்டும். M இல் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் S இல் உள்ள அனைத்து வரைபடங்களாலும் x பூஜ்ஜியத்திற்கு அனுப்பப்பட்டால் மட்டுமே உட்செலுத்தும் மேலோட்டத்தின் ஒரு உறுப்பு x விகிதமுறு மேலோட்டத்தில் இருக்கும். குறியீடுகளில், பொதுவாக, M இல் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் S இல் வரைபடங்கள் இருக்கலாம், ஆனால் M இல் இல்லாத சில x க்கு பூஜ்ஜியமற்றவை, அத்தகைய x விகிதமுறு மேலோட்டத்தில் இருக்காது. மேற்கோள்களின் அதிகபட்ச வலது வளையம் R இன் அடர்த்தியான வலது இலட்சியங்கள் தொடர்பாக மேற்கோள்களின் அதிகபட்ச வலது வளையத்தை இரண்டு வழிகளில் விவரிக்க முடியும். ஒரு முறையில், (R) ஒரு குறிப்பிட்ட எண்டோமார்பிசம் வளையத்திற்கு தொகுதி ஐசோமார்பிக் என்று காட்டப்படுகிறது, மேலும் வளைய அமைப்பு இந்த ஐசோமார்பிசத்தின் குறுக்கே ஒரு வளைய அமைப்புடன், மேற்கோள்களின் அதிகபட்ச வலது வளையத்துடன் ஊடுருவி எடுக்கப்படுகிறது. இரண்டாவது முறையில், மேற்கோள்களின் அதிகபட்ச வலது வளையம் ஆர் இன் அடர்த்தியான வலது இலட்சியங்களிலிருந்து ஆர் இன் சமன்பாட்டு வகுப்புகளின் தொகுப்புடன் அடையாளம் காணப்படுகிறது. சமன்பாடு உறவு ஆர் இன் அடர்த்தியான வலது இலட்சியத்தில் உடன்பட்டால் இரண்டு செயல்பாடுகள் சமமானவை என்று கூறுகிறது. குறிப்புகள் தொகுதி கோட்பாடு வளையக் கோட்பாடு