Christopher Deninger
கிறிஸ்டோபர் டெனிங்கர் (பிறப்பு 8 ஏப்ரல் 1958) மன்ஸ்டர் பல்கலைக்கழகத்தில் ஒரு ஜெர்மன் கணிதவியலாளர் ஆவார். டெனிங்கரின் ஆராய்ச்சி எல்-செயல்பாடுகளுக்கான பயன்பாடுகள் உட்பட எண்கணித வடிவவியலில் கவனம் செலுத்துகிறது. கர்ட் மேயரின் மேற்பார்வையின் கீழ் 1982 ஆம் ஆண்டில் கொலோன் பல்கலைக்கழகத்தில் தொழில்முறை டெனிங்கர் முனைவர் பட்டம் பெற்றார். 1992 ஆம் ஆண்டில் அவர் மைக்கேல் ராபோபோர்ட், பீட்டர் ஷ்னைடர் மற்றும் தாமஸ் ஜிங்க் ஆகியோருடன் காட்ஃபிரைட் வில்ஹெல்ம் லீப்னிஸ் பரிசைப் பகிர்ந்து கொண்டார். 1998இல் பெர்லினில் நடைபெற்ற சர்வதேச கணிதவியலாளர்களின் மாநாட்டில் முழுமையான பேச்சாளராக இருந்தார். 2012 ஆம் ஆண்டில் அவர் அமெரிக்க கணித சங்கத்தின் உறுப்பினரானார். கணித வேலை ஆர்ட்டின்-வெர்டியர் டூயலிட்டி 1984 மற்றும் 1987 க்கு இடையில் தொடர்ச்சியான ஆவணங்களில், டெனிங்கர் ஆர்ட்டின்-வெர்டியர் டூயலிட்டியின் நீட்டிப்புகளை ஆய்வு செய்தார். பரந்தளவில் கூறுவதானால், ஆர்ட்டின்-வெர்டியர் டூயலிட்டி, கிளாஸ் ஃபீல்ட் கோட்பாட்டின் விளைவாகும், இது பாயின்கேர் டூயலிட்டியின் எண்கணித அனலாக் ஆகும், இது ஒரு சிறிய பன்மடங்கு மீது ஷீஃப் கோஹோமோலஜிக்கான டூயலிட்டி ஆகும். இந்த இணையாக, ஒரு எண் புலத்தில் உள்ள முழு எண்களின் (ஸ்பெக்ட்ரம்) வளையம் 3-மடங்குக்கு ஒத்திருக்கிறது. மசூரின் பணியைத் தொடர்ந்து, டெனிங்கர் (1984) ஆர்ட்டின்-வெர்டியர் இரட்டைத்தன்மையை செயல்பாட்டுத் துறைகளுக்கு விரிவுபடுத்தினார். டெனிங்கர் பின்னர் இந்த முடிவுகளை பல்வேறு திசைகளில் விரிவுபடுத்தினார், அதாவது முறுக்கப்படாத உறைகள் (1986), எண்கணித மேற்பரப்புகள் (1987), அதே போல் உயர் பரிமாண உள்ளூர் புலங்கள் (விங்பெர்க்குடன், 1986). பிற்கால ஆவணங்களில் கருதப்பட்ட ப்ளோச்சின் உந்துதல் வளாகங்களின் தோற்றம் பல எழுத்தாளர்களின் படைப்புகளை பாதித்தது, இதில் ப்ளோச்சின் வளாகங்கள் உயர் பரிமாணத் திட்டங்களுக்கு மேல் இரட்டைமயமாக்கல் வளாகங்களாக அடையாளம் காணப்பட்டன. எல்-செயல்பாடுகளின் சிறப்பு மதிப்புகள் டெனிங்கரின் ஆவணங்களின் மற்றொரு குழு எல்-செயல்பாடுகள் மற்றும் அவற்றின் சிறப்பு மதிப்புகளை ஆய்வு செய்கிறது. எல்-செயல்பாட்டின் ஒரு உன்னதமான எடுத்துக்காட்டு ரீமன் ஜீட்டா செயல்பாடு ζ (கள்) ஆகும், இதற்காக ζ (2) = π2/6 போன்ற சூத்திரங்கள் யூலர் முதல் அறியப்படுகின்றன. ஒரு மைல்கல் ஆய்வறிக்கையில், எல்-செயல்பாடுகளின் சிறப்பு மதிப்புகளை விவரிக்கும் தொலைநோக்கு அனுமானங்களின் தொகுப்பை முன்மொழிந்தது, அதாவது, முழு எண்களில் எல்-செயல்பாடுகளின் மதிப்புகள். மிகவும் தோராயமான சொற்களில், பெய்லின்சனின் அனுமானங்கள், க்யூ மீது ஒரு மென்மையான ப்ரொஜெக்டிவ் இயற்கணித வகை எக்ஸ் க்கு, எக்ஸ் இன் ஊக்கமளிக்கும் கோஹோமோலஜி எக்ஸ் இன் டெலிக்னே கோஹோமோலஜியுடன் நெருக்கமாக தொடர்புடையதாக இருக்க வேண்டும் என்று வலியுறுத்துகிறது. கூடுதலாக, பெய்லின்சனின் அனுமானத்தின்படி, இந்த இரண்டு ஒத்திசைவு கோட்பாடுகளுக்கும் இடையிலான உறவு, முழு எண்களில் உள்ள துருவ வரிசைகள் மற்றும் L (hn (X), s) இன் மதிப்புகள் ஆகியவற்றை விளக்க வேண்டும். ப்ளோச் மற்றும் பெய்லின்சன் இந்த அனுமானத்தின் அத்தியாவசிய பகுதிகளை h1 (X) க்கு நிரூபித்தனர், இதில் X என்பது சிக்கலான பெருக்கம் மற்றும் s = 2 கொண்ட நீள்வட்ட வளைவு. 1988 ஆம் ஆண்டில், டெனிங்கர் & விங்பெர்க் அந்த முடிவை விளக்கினார். 1989 மற்றும் 1990 ஆம் ஆண்டுகளில், டெனிங்கர் இந்த முடிவை ஷிமுராவால் கருதப்பட்ட சில நீள்வட்ட வளைவுகளுக்கு விரிவுபடுத்தினார். டெனிங்கர் & நார்ட் (1995) பெய்லின்சனின் அனுமானத்தின் முக்கிய மூலப்பொருளான உயர இணைப்பை ஒரு குறிப்பிட்ட வகை நோக்கங்களில் எக்ஸ்ட்ரா குழுக்களின் இயற்கையான இணைப்பாக வெளிப்படுத்தினார். 1995 ஆம் ஆண்டில், டெனிங்கர் டெலிக்னே கோஹோமோலஜியில் மாஸ்ஸி தயாரிப்புகளை ஆய்வு செய்தார் மற்றும் அதிலிருந்து s = 3 இல் ஒரு நீள்வட்ட வளைவின் L-செயல்பாட்டிற்கான சிறப்பு மதிப்புக்கான ஒரு சூத்திரத்தை ஊகித்தார், இது பின்னர் உறுதிப்படுத்தப்பட்டது 2018 ஆம் ஆண்டு நிலவரப்படி, பெய்லின்சனின் அனுமானம் இன்னும் பரவலாக உள்ளது, மேலும் பெய்லின்சனின் அனுமானம் வெற்றிகரமாக தாக்கப்பட்ட சில சந்தர்ப்பங்களில் டெனிங்கரின் பங்களிப்புகள் உள்ளன (தலைப்பு குறித்த ஆய்வுகளில் டெனிங்கர் & ஷோல் (1991) அடங்கும்). ஒழுங்குபடுத்தப்பட்ட தீர்மானிப்புக்கள் வழியாக எல்-செயல்பாடுகள் ரீமன் ζ-செயல்பாடு ஒவ்வொரு பகா எண் p க்கும் ஆய்லர் காரணிகளின் பெருக்கலைப் பயன்படுத்தி வரையறுக்கப்படுகிறது. ζ (களுக்கு) ஒரு செயல்பாட்டு சமன்பாட்டைப் பெற, காமா செயல்பாட்டை உள்ளடக்கிய கூடுதல் சொல்லுடன் அவற்றைப் பெருக்க வேண்டும்ஃ மேலும் பொதுவான எல்-செயல்பாடுகள் ஆய்லர் தயாரிப்புகளால் வரையறுக்கப்படுகின்றன, இதில் ஒவ்வொரு வரையறுக்கப்பட்ட இடத்திலும், ஃப்ரோபீனியஸ் எண்டோமார்பிசத்தின் தீர்மானிப்பவர் சில வகை X/Q இன் எல்-அடிக் கோஹோமோலஜியில் செயல்படுகிறார், அதே நேரத்தில் எல்லையற்ற இடத்திற்கான ஆய்லர் காரணி, செர்ரின் கூற்றுப்படி, எக்ஸ்/கியூ உடன் இணைக்கப்பட்ட ஹாட்ஜ் கட்டமைப்புகளைப் பொறுத்து காமா செயல்பாடுகளின் தயாரிப்புகள். எடுத்துக்காட்டாக, ரீமன் ஜீட்டா-செயல்பாட்டின் ஆய்லர் காரணிகளுக்கு இந்த சீரான விளக்கம் பின்வருமாறுஃ இங்கே p என்பது ஒரு பகா எண் அல்லது முடிவிலி, இது முறையே ஆர்க்கிமிடியன் அல்லாத ஆய்லர் காரணிகள் மற்றும் ஆர்க்கிமிடியன் ஆய்லர் காரணியுடன் தொடர்புடையது, மேலும் Rp என்பது ஒரு பகா எண்ணுக்கு R/log (p) Z இல் வரையறுக்கப்பட்ட உண்மையான மதிப்புள்ள ஃபோரியர் தொடரின் இடைவெளி, மற்றும் R ≤ = R [exp (−2y)]. இறுதியாக, அத்தகைய செயல்பாடுகளை மாற்றுவதன் மூலம் கொடுக்கப்பட்ட R-செயலின் வழித்தோன்றல் ஆகும். டெனிங்கர் (1994) ε-காரணிகளுக்கான இதேபோன்ற ஒருங்கிணைப்பு அணுகுமுறையையும் வெளிப்படுத்தினார் (இது s மற்றும் 1−s இல் முடிக்கப்பட்ட L-செயல்பாடுகளுக்கு இடையிலான விகிதத்தை வெளிப்படுத்துகிறது). எண்கணித தளம் இந்த முடிவுகள் ஸ்பெக் Z இன் சுருக்கத்துடன் தொடர்புடைய ஒரு "எண்கணித தளம்" Y இன் இருப்பு குறித்து ஒரு நிரலை முன்மொழிய டெனிங்கர் வழிவகுத்தது. மற்ற பண்புகளில், இந்த தளம் R இன் செயல்பாட்டைக் கொண்டிருக்கும், மேலும் ஒவ்வொரு பகா எண் p நீள பதிவு (p) இன் R-செயலின் மூடிய சுற்றுப்பாதையுடன் ஒத்திருக்கும். மேலும், பகுப்பாய்வு எண் கோட்பாட்டில் உள்ள சூத்திரங்களுக்கும், ஃபோலியேட்டட் ஸ்பேஸ்களில் உள்ள இயக்கவியலுக்கும் இடையிலான ஒப்புமைகள் டெனிங்கர் இந்த தளத்தில் ஒரு ஃபோலியேஷன் இருப்பதை ஊகிக்க வழிவகுத்தன. மேலும், இந்த தளம் ஒரு எல்லையற்ற பரிமாண ஒத்திசைவு கோட்பாட்டைக் கொண்டிருக்க வேண்டும், அதாவது ஒரு நோக்கம் M இன் L-செயல்பாடு இங்கே M ஆல் வழங்கப்படுகிறது, அதாவது பெய்லின்சனின் அனுமானத்தில் நிகழும் நோக்கங்கள் hn (X), மற்றும் F (M) நோக்கம் M உடன் இணைக்கப்பட்ட Y இல் உள்ள உறையாக கருதப்படுகிறது. இந்த திட்டத்தின் படி, ஹோட்ஜ் கோட்பாட்டில் குறுக்குவெட்டு இணைப்பின் நேர்மறைக்கு இணையான பண்புகளின் விளைவாக ரீமன் கருதுகோள் இருக்கும். இந்த தளத்தில் உள்ள லெஃப்ஷெட்ஸ் சுவடு சூத்திரத்தின் ஒரு பதிப்பு, இந்த அனுமான அமைப்பின் ஒரு பகுதியாக இருக்கும், இது டெனிங்கர் (1993) மூலம் வேறு வழிகளில் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. 2010 ஆம் ஆண்டில், இயற்கணித சுழற்சிகளின் குறுக்குவெட்டுக் கோட்பாட்டைப் பற்றிய பெய்லின்சன் மற்றும் ப்ளோச்சின் பாரம்பரிய அனுமானங்கள் அவரது திட்டத்தின் மேலும் விளைவுகளாக இருக்கும் என்பதை டெனிங்கர் நிரூபித்தார். இந்த திட்டத்தை டெனிங்கர் 1992 இல் ஐரோப்பிய கணிதவியலாளர்களின் காங்கிரஸிலும், 1998 இல் சர்வதேச கணிதவியலாளர்களின் காங்கிரஸிலும் தனது உரைகளில் ஆய்வு செய்தார். 2002 ஆம் ஆண்டில், டெனிங்கர் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட புலத்தின் மீது ஒரு நீள்வட்ட வளைவுக்கு ஒத்த ஒரு இலை இடத்தைக் கட்டினார், மேலும் Fp மீது ஒரு மென்மையான சரியான வகையின் ஹாஸ்-வெயில் ஜீட்டா-செயல்பாட்டை இடவியல் ஹோக்ச்சைல்ட் ஹோமாலஜியை உள்ளடக்கிய ஒழுங்குபடுத்தப்பட்ட தீர்மானிப்பாளர்களைப் பயன்படுத்தி வெளிப்படுத்த முடியும் என்பதைக் காட்டினார். கூடுதலாக, முடிச்சுகள் மற்றும் பகா எண்களுக்கு இடையிலான ஒப்புமை எண்கணித இடவியலில் பலனளிக்கும் வகையில் ஆய்வு செய்யப்பட்டுள்ளது. இருப்பினும், 2018 ஆம் ஆண்டு நிலவரப்படி, ஸ்பெக் இசட் உடன் தொடர்புடைய ஒரு இலை இடத்தின் கட்டுமானம் மழுப்பலாகவே உள்ளது. p-adic வளைவுகளில் திசையன் மூட்டைகள் அன்னெட் வெர்னருடன் கூட்டுத் தாள்களின் ஒரு தொடர் p-adic வளைவுகளில் திசையன் மூட்டைகளை ஆராய்கிறது. இந்த ஆய்வை ஊக்குவிக்கும் ஒரு பாரம்பரிய முடிவு நரசிம்மன்-சேஷாத்ரி தேற்றம் ஆகும், இது சிம்ப்சன் கடிதத்தின் மூலக்கல்லாகும். ஒரு சிறிய ரீமன் மேற்பரப்பு X இல் ஒரு திசையன் மூட்டை அடிப்படை குழு π1 (X) இன் ஒற்றையாட்சி பிரதிநிதித்துவத்திலிருந்து எழுந்தால் அது நிலையானது என்று அது வலியுறுத்துகிறது. டெனிங்கர் & வெர்னர் (2005) இல் அதன் ஒரு p-adic ஒப்புமையை நிறுவினார்ஃ Cp மீது ஒரு மென்மையான திட்டவட்டமான இயற்கணித வளைவுக்கு, அடிப்படை மாற்றத்தால் பெறப்பட்டது, அவர்கள் சில திசையன் மூட்டைகளில் இழைகள் மீது ஈட்டேல் அடிப்படை குழு π1 (X) இன் ஒரு செயலை உருவாக்கினர், இதில் டிகிரி 0 மற்றும் வலுவான அரைப்பகுதி குறைப்பு ஆகியவை அடங்கும். 2005 ஆம் ஆண்டின் மற்றொரு ஆய்வறிக்கையில், வளைவு X இன் அடிப்படை குழுவின் விளைவாக வரும் பிரதிநிதித்துவங்களை X இன் ஜாகோபியன் வகையின் டேட் தொகுதியின் பிரதிநிதித்துவங்களுடன் தொடர்புபடுத்தினர். 2007 மற்றும் 2010 ஆம் ஆண்டுகளில் அவர்கள் இந்த வேலையைத் தொடர்ந்தனர், அத்தகைய திசையன் மூட்டைகள் ஒரு தனக்கியன் வகையை உருவாக்குகின்றன, இது ஒரு குறிப்பிட்ட குழுவின் பிரதிநிதித்துவங்களின் வகையாக இந்த வகை திசையன் மூட்டைகளை அடையாளம் காண்பதற்கு சமம். பல கூட்டு ஆவணங்களில், டெனிங்கர் மற்றும் வில்ஹெல்ம் சிங்கோஃப் ஆகியோர் n-பரிமாண ஹைசன்பெர்க் குழு H இன் மேற்கோள்களை முழு எண் மதிப்புள்ள மேட்ரிக்ஸ்களைக் கொண்ட நிலையான லட்டிஸ் மூலம் ஆய்வு செய்தனர், X = H/ஜாதம், பல்வேறு கண்ணோட்டங்களில். 1984 ஆம் ஆண்டில், அவர்கள் X இன் e-மாறுபாட்டை ζ (−n) அடிப்படையில் கணக்கிட்டனர், இது தன்னிச்சையாக பெரிய வரிசையின் கோளங்களின் நிலையான ஒரே மாதிரியான குழுக்களில் உறுப்புகளின் கட்டமைப்பிற்கு வழிவகுக்கிறது. 1988 ஆம் ஆண்டில், அவர்கள் நில்போட்டன்ட் லை ஆல்ஜிப்ராக்களின் கோஹோமோலஜியின் பரிமாணம் குறித்த மதிப்பீடுகளை வழங்க பகுப்பாய்வு எண் கோட்பாட்டின் முறைகளைப் பயன்படுத்தினர். ஹாட்ஜ் கோட்பாட்டின் பாரம்பரிய உண்மை என்னவென்றால், ஒரு காலர் பன்மடங்கு மீது எந்தவொரு கோஹோமோலஜி வகுப்பும் ஒரு தனித்துவமான ஹார்மோனிக் ரீமானியன் ஃபோலியேஷன்களால் பொதுமைப்படுத்தப்பட்டதாக ஒப்புக்கொள்கிறது. டெனிங்கர் & சிங்கோஃப் (2001) மேலே உள்ள ஸ்பேஸ் எக்ஸ் இல் உள்ள இலைகள், சற்றே பலவீனமான நிலைமைகளை மட்டுமே பூர்த்தி செய்கின்றன, அத்தகைய ஹோட்ஜ் கோட்பாட்டு பண்புகளை ஒப்புக்கொள்ளவில்லை என்பதைக் காட்டுகிறது. 2001 ஆம் ஆண்டின் மற்றொரு கூட்டு ஆய்வறிக்கையில், அவர்கள் ஒரு இயக்கவியல் லெஃப்ஷெட்ஸ் சுவடு சூத்திரத்தை நிறுவினர்ஃ இது ஒரு இயக்கியின் தடயத்தை ஹார்மோனிக் வடிவங்களில் மூடிய சுற்றுப்பாதைகளில் தோன்றும் உள்ளூர் தடயங்களுடன் தொடர்புபடுத்துகிறது (ஆர்-செயலுடன் சில இலைகளுள்ள இடங்களில்). இந்த முடிவு மேலே குறிப்பிடப்பட்ட டெனிங்கரின் நிரலின் உறுதிப்படுத்தலாக செயல்படுகிறது, இது பகுப்பாய்வு பக்கத்தில் இந்த நிரலால் செய்யப்பட்ட ஒரு கணிப்பை சரிபார்க்கிறது, அதாவது, ஃபோலியேட்டட் ஸ்பேஸ்களில் இயக்கவியல் பற்றியது. என்ட்ரோபி மற்றும் மஹ்லர் அளவீடுகள் டெனிங்கரின் ஆவணங்களின் மற்றொரு குழு ஒரு தனித்துவமான குழுவாக இருக்கும் இடத்தை சுற்றி வருகிறது, f என்பது அதன் குழு வளையத்தின் ஒரு உறுப்பு, மற்றும் தொப்பி பொண்ட்ரியாகின் இரட்டை குறிக்கிறது. மேலும், சில பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் மஹ்லர் அளவீடுகள் சில எல்-செயல்பாடுகளின் சிறப்பு மதிப்புகளின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தக்கூடியவை என்று அறியப்பட்டது. 1997 ஆம் ஆண்டில், மஹ்லர் அளவின் வரையறையில் உள்ள ஒருங்கிணைப்பு டிலிக்னே கோஹோமோலஜியின் அடிப்படையில் இயற்கையான விளக்கத்தைக் கொண்டுள்ளது என்பதை டெனிங்கர் கவனித்தார். பெய்லின்சன் அனுமானத்தின் அறியப்பட்ட நிகழ்வுகளைப் பயன்படுத்தி, m (f) என்பது பெய்லின்சன் கட்டுப்பாட்டாளரின் கீழ் உள்ள சின்னம் {f, t1,., tn} இன் உருவம் என்று அவர் அனுமானித்தார், அங்கு வகை என்பது பூஜ்ஜிய தொகுப்பின் n-பரிமாண டோரஸில் நிரப்பு ஆகும். இது மஹ்லர் அளவீடுகளுக்கான மேற்கூறிய சூத்திரங்களுக்கான கருத்தியல் விளக்கத்திற்கு வழிவகுத்தது. பின்னர் 2009 ஆம் ஆண்டில் டெனிங்கர் இந்த யோசனைகளை பி-அடிக் உலகிற்கு எடுத்துச் சென்றார், பெய்லின்சன் ரெகுலேட்டர் வரைபடத்தை டிலிக்னே கோஹோமோலஜிக்கு ஒரு ரெகுலேட்டர் வரைபடத்தால் சின்டாமிக் கோஹோமோலஜிக்கு மாற்றுவதன் மூலம், மற்றும் மடக்கை ஒரு பி-அடிக் மடக்கை மூலம் என்ட்ரோபி வரையறையில் தோன்றும். 2006 மற்றும் 2007 ஆம் ஆண்டுகளில், டெனிங்கர் மற்றும் கிளாஸ் ஷ்மிட் ஆகியோர் என்ட்ரோபி மற்றும் மஹ்லர் அளவீடுகளுக்கு இடையிலான இணையை அபெலியன் குழுக்களுக்கு அப்பால் தள்ளினர், அதாவது எஞ்சிய வரையறுக்கப்பட்ட, எண்ணக்கூடிய தனித்துவமான இணக்கமான குழுக்கள். Xf இன் L1-வினையூக்க இயற்கணிதத்தில் f தலைகீழாக இருந்தால் மட்டுமே Xf இல் உள்ள γ-செயல் விரிவானது என்பதை அவர்கள் காட்டினர். மேலும், வான் நியூமன் இயற்கணிதத்தில் உள்ள ஃபுக்லெட்-காடிசன் தீர்மானிப்பவரின் மடக்கை (இது Zn க்கான மஹ்லர் அளவீட்டை மாற்றுகிறது) மேற்கூறிய செயலின் என்ட்ரோபியுடன் உடன்படுகிறது. விட் திசையன்கள் ஜோச்சிம் குன்ட்ஸ் மற்றும் டெனிங்கர் ஆகியோர் விட் திசையன்களில் இணைந்து பணியாற்றினர். 2014 ஆம் ஆண்டில் இரண்டு ஆவணங்களில், மோனாய்டு இயற்கணிதம் ZR இன் முடிவின் அடிப்படையில் விட் திசையன்களின் வளையத்தை வழங்குவதன் மூலம் அவர்கள் கோட்பாட்டை எளிமைப்படுத்தினர். இந்த அணுகுமுறை விட் திசையன்களின் கூட்டலின் பாரம்பரிய வரையறையில் பயன்படுத்தப்படும் உலகளாவிய பல்லுறுப்புக்கோவைகளைத் தவிர்க்கிறது. தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட நூலியல் ஆர்ட்டின்-வெர்டியர் டூயலிட்டி எல்-செயல்பாடுகள் மற்றும் பெய்லின்சனின் அனுமானம் பி-அடிக் வெக்டர் மூட்டைகள் ஹைசன்பெர்க் குழு, லை ஆல்ஜிப்ராக்கள் மற்றும் ஃபோலியேஷன்கள் என்ட்ரோபி விட் திசையன்கள் குறிப்புகள் வெளிப்புற இணைப்புகள் மன்ஸ்டர் பல்கலைக்கழகத்தில் வலைத்தளம் 1958 பிறப்புகள் 20 ஆம் நூற்றாண்டின் ஜெர்மன் கணிதவியலாளர்கள் அமெரிக்க கணித சங்கத்தின் மன்ஸ்டர் பல்கலைக்கழகத்தின் கல்வி ஊழியர்கள் 21 ஆம் நூற்றாண்டின் ஜெர்மன் கணிதவியலாளர்கள்