Dirac–Kähler equation
கோட்பாட்டு இயற்பியலில், டிராக்-காலர் சமன்பாடு, இவானென்கோ-லாண்டாவ்-காலர் சமன்பாடு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது, இது டிராக் சமன்பாட்டின் வடிவியல் அனலாக் ஆகும், இது லாப்லேஸ்-டி ராம் ஆபரேட்டரைப் பயன்படுத்தி எந்த போலி-ரீமானியன் பன்மடங்கு வரையறுக்கப்படலாம். நான்கு பரிமாண தட்டையான இடநேரத்தில், இது லோரெண்ட்ஸ் உருமாற்றங்களின் கீழ் ஒருவருக்கொருவர் மாறும் டைராக் சமன்பாட்டின் நான்கு பிரதிகளுக்கு சமம், இருப்பினும் இது வளைந்த இடநேரத்தில் இனி உண்மையல்ல. வடிவியல் அமைப்பு சமன்பாட்டிற்கு ஒரு இயற்கையான பகுப்பாய்வை வழங்குகிறது, இது லட்டிஸ் புலம் கோட்பாட்டில் தடுமாற்றமான ஃபெர்மியன் சம்பிரதாயத்திற்கு சமம், இது டைராக்-கோஹ்லர் ஃபெர்மியன்களை தடுமாற்றமான ஃபெர்மியன்களின் முறையான தொடர்ச்சியான வரம்பாக ஆக்குகிறது. இந்த சமன்பாடு 1928 இல் டிமிட்ரி இவானென்கோ மற்றும் லெவ் லாண்டாவ் ஆகியோரால் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது, பின்னர் 1962 இல் எரிக் காலர் என்பவரால் மீண்டும் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது. கணித கண்ணோட்டம் நான்கு பரிமாண யூக்ளிடியன் விண்வெளி நேரத்தில் வேறுபட்ட வடிவங்களின் பொதுவான புலங்கள் குறியிடப்பட்ட பதினாறு அடிப்படை வடிவங்களின் நேரியல் கலவையாக எழுதப்படுகின்றன, இது குறியீடுகளின் பதினாறு வரிசை சேர்க்கைகளுக்கு மேல் இயங்குகிறது. ஒவ்வொரு குறியீடும் ஒன்று முதல் நான்கு வரை இயங்குகிறது. இங்கே சமச்சீரற்ற டென்சர் புலங்கள் உள்ளன, அதே நேரத்தில் தொடர்புடைய வேறுபட்ட வடிவ அடிப்படைக் கூறுகள் ஹோட்ஜ் ஸ்டார் ஆபரேட்டரைப் பயன்படுத்தி, வெளிப்புற வழித்தோன்றல் குறியீட்டு வேறுபாடு மூலம் தொடர்புடையது. இவை லாப்லேஸ்-டி ராம் ஆபரேட்டரை உருவாக்குகின்றன, இது லாப்லேசியன் ஆபரேட்டரின் வர்க்கமூலமாக பார்க்கப்படுகிறது. டிராக்-காலர் சமன்பாடு இது டிராக் இயக்கியின் பண்பு என்பதைக் குறிப்பிடுவதன் மூலம் உந்தப்படுகிறது, இந்த சமன்பாடு வழக்கமான டிராக் சமன்பாட்டுடன் நெருக்கமாக தொடர்புடையது, இது வேறுபட்ட வடிவங்களின் வெளிப்புற இயற்கணிதத்திற்கும் கிளிஃபோர்ட் இயற்கணிதத்திற்கும் இடையிலான நெருங்கிய உறவிலிருந்து வெளிப்படும் ஒரு இணைப்பு, இதில் டிராக் சுழல்கள் பகுக்கமுடியாத பிரதிநிதித்துவங்கள். அடிப்படை கூறுகள் கிளிஃபோர்ட் இயற்கணிதத்தை திருப்திப்படுத்த, அடிப்படை கூறுகளின் அடிப்படையில் செயல்படும் ஒரு புதிய கிளிஃபோர்ட் தயாரிப்பை அறிமுகப்படுத்த வேண்டும் இந்த தயாரிப்பைப் பயன்படுத்தி, வேறுபட்ட வடிவ அடிப்படையிலான கூறுகளின் அடிப்படையில் லாப்லேஸ்-டி ராம் ஆபரேட்டரின் செயல்பாடு இவ்வாறு எழுதப்பட்டுள்ளது டைராக் சமன்பாட்டைப் பெற, அடிப்படையின் மாற்றம் செய்யப்பட வேண்டும், அங்கு புதிய அடிப்படையை டைராக் மேட்ரிக்ஸைப் பயன்படுத்தி வரையறுக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸில் தொகுக்க முடியும். ஏனென்றால், இந்த அடிப்படையில் கிளிஃபோர்ட் தயாரிப்பு குறியிடப்பட்ட நெடுவரிசை கூறுகளை மட்டுமே கலக்கிறது. இந்த அடிப்படையில் வேறுபட்ட வடிவத்தை எழுதுவது டைராக்-காலர் சமன்பாட்டை டைராக் சமன்பாட்டின் நான்கு தொகுப்புகளாக மாற்றுகிறது. அபெலியன் வழக்கில், அபெலியன் அல்லாத வழக்கில் கூடுதல் வண்ண குறியீடுகள் உள்ளன. டைராக்-காலர் ஃபெர்மியோன் வண்ணக் குறியீடுகளையும் எடுக்கிறது, இது உள்ளூர் வண்ண இடைவெளிகளின் திசையன் மூட்டையுடன் வேறுபட்ட வடிவங்களின் அதியா-காலர் மூட்டையின் விட்னி உற்பத்தியின் குறுக்கு பிரிவுகளுடன் முறையாக ஒத்திருக்கிறது. டிரேக்-காலர் சமன்பாட்டை வெளிப்புற இயற்கணிதத்திற்கும் எளிமையான வளாகங்களுக்கும் இடையிலான தொடர்பைப் பயன்படுத்தி வேறுபடுத்துவதற்கு ஒரு இயற்கையான வழி உள்ளது. நான்கு பரிமாண இடைவெளியில் ஒரு லட்டிஸ் ஒரு எளிமையான வளாகமாகக் கருதப்படலாம், அதன் சிம்ப்ளக்ஸ் ஒரு அடிப்படை புள்ளி மற்றும் ஒரு நோக்குநிலையுடன்-பரிமாண ஹைபர்க்யூப்களின் அடிப்படையைப் பயன்படுத்தி கட்டமைக்கப்படுகிறது. பின்னர் ஒரு எச்-சங்கிலி ஒரு முறையான நேரியல் கலவையாகும் எச்-சங்கிலிகள் எச்-சங்கிலியின் எல்லையை உருவாக்கும் (எச்-1)-சிம்ப்ளக்ஸ் என வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு எல்லை ஆபரேட்டரை அனுமதிக்கின்றன. ஒரு கோபான்டரி ஆபரேட்டரை இதேபோல் ஒரு (எச் + 1)-சங்கிலியை வழங்க வரையறுக்கலாம். சங்கிலிகளின் இரட்டை இடைவெளி-சங்கிலிகளைக் கொண்டுள்ளது, அவை உண்மையான எண்களுடன் அவற்றை வரைபடமாக்கும் எச்-சங்கிலிகளில் செயல்படும் நேரியல் செயல்பாடுகளாகும். வெளிப்புற இயற்கணிதம் மற்றும் எளிமையான வளாகங்களுக்கு இடையிலான தொடர்புகளின் கீழ், வேறுபட்ட வடிவங்கள் இணை சங்கிலிகளுக்கு சமமானவை, அதே நேரத்தில் வெளிப்புற வழித்தோன்றல் மற்றும் குறியீட்டு வேறுபாடு முறையே இரட்டை எல்லை மற்றும் இரட்டை இணை கோபுரியுடன் ஒத்திருக்கின்றன. எனவே, டைராக்-காலர் சமன்பாடு எளிமையான வளாகங்களில் இவ்வாறு எழுதப்பட்டுள்ளது இதன் விளைவாக வேறுபடுத்தப்பட்ட டைராக்-காலர் ஃபெர்மியன் லட்டிஸ் புலக் கோட்பாட்டில் காணப்படும் தடுமாற்றமான ஃபெர்மியனுக்கு சமம், இது ஒரு வெளிப்படையான அடிப்படை மாற்றத்தால் வெளிப்படையாகக் காணலாம். இந்த சமநிலை தொடர்ச்சியான டைராக்-காலர் ஃபெர்மியன் என்பது ஃபெர்மியன் தடுமாறிய ஃபெர்மியன்களின் முறையான தொடர்ச்சியான வரம்பு என்பதைக் காட்டுகிறது. டைராக் சமன்பாட்டுடன் தொடர்பு முன்பு விவரிக்கப்பட்டபடி, தட்டையான இடநேரத்தில் டைராக்-காலர் சமன்பாடு டைராக் சமன்பாட்டின் நான்கு பிரதிகளுக்கு சமம், இது சமச்சீரற்ற இழுவிசை புலங்களுக்கான சமன்பாடுகளின் தொகுப்பாக இருந்தாலும். அரை முழு எண் சுழல் புலங்களை விவரிக்கும் முழு எண் சுழல் இழுவிசை புலங்களின் திறன், லோரெண்ட்ஸ் உருமாற்றங்கள் உள் டைராக்-கோஹ்லர் சமச்சீருடன் பரிமாற்றப்படுவதில்லை என்ற உண்மையால் விளக்கப்படுகிறது, இந்த சமச்சீரின் அளவுருக்கள் அளவீடுகளை விட இழுவிசைகளாக உள்ளன. இதன் பொருள் என்னவென்றால், லோரென்ட்ஸ் உருமாற்றங்கள் வெவ்வேறு சுழற்சிகளை ஒன்றாக கலக்கின்றன, மேலும் டிராக் ஃபெர்மியன்கள் கிளிஃபோர்ட் இயற்கணிதத்தின் அரை முழு எண் சுழற்சி பிரதிநிதித்துவங்களை கண்டிப்பாக பேசுவதில்லை. அதற்கு பதிலாக அவை வேறுபட்ட வடிவங்களின் ஒத்திசைவான மேல்நிலைக்கு ஒத்திருக்கின்றன. உயர் பரிமாணங்களில், குறிப்பாக பரிமாண மேற்பரப்புகளில், டிராக்-காலர் சமன்பாடு டிராக் சமன்பாடுகளுக்கு சமம். வளைந்த இடநேரத்தில், டைராக்-காலர் சமன்பாடு இனி நான்கு டைராக் சமன்பாடுகளாக சிதைவடையாது. மாறாக இது டிராக் ஆபரேட்டர் லாப்லேஸ் ஆபரேட்டரின் வர்க்கமூலமாக இருந்தால் பெறப்பட்ட மாற்றியமைக்கப்பட்ட டிராக் சமன்பாடாகும், இது வளைந்த விண்வெளி நேரத்தில் டிராக் சமன்பாட்டால் பகிர்ந்து கொள்ளப்படாத ஒரு பண்பு. இது லோரெண்ட்ஸ் மாறுபாட்டின் இழப்பில் வருகிறது, இருப்பினும் இந்த விளைவுகள் பிளாங்க் வெகுஜனத்தின் சக்திகளால் ஒடுக்கப்படுகின்றன. நேர்மறை வளைவுடன் பன்மடங்கு பூஜ்ஜிய முறைகளைக் கொண்டிருக்காத டைராக் சமன்பாட்டைப் போலல்லாமல், சில பெட்டி எண்கள் மறைந்துவிடும் போதெல்லாம் அதன் பூஜ்ஜிய முறைகள் எப்போதும் இருக்கும் என்று உத்தரவாதம் அளிக்கப்படுவதிலும் சமன்பாடு வேறுபடுகிறது. மேலும் காண்க ஃபெர்மியன் இரட்டிப்பு லாட்டிஸ் கியூசிடி குறிப்புகள் கோட்பாட்டு இயற்பியல் டிராக் சமன்பாடு லாட்டிஸ் புலக் கோட்பாடு லெவ் லாண்டாவ்