McShane integral
ஒருங்கிணைப்புக் கோட்பாடு என்று அழைக்கப்படும் கணிதத்தின் கிளையில், எட்வர்ட் ஜே. மெக்சேன் உருவாக்கிய மெக்சேன் ஒருங்கிணைப்பு, ஹென்ஸ்டாக்-குர்ஸ்வெயில் ஒருங்கிணைப்பின் மாற்றமாகும். மெக்சேன் ஒருங்கிணைப்பு லெபெஸ்கூ ஒருங்கிணைப்புக்கு சமமானது. வரையறை இலவச குறிச்சொல் பகிர்வு உண்மையான கோட்டின் மூடிய இடைவெளியைக் கருத்தில் கொண்டு, ஒரு இலவச குறிச்சொல் பகிர்வு எங்கே மற்றும் ஒவ்வொரு குறிச்சொல்லையும் தொகுக்கிறது. குறிச்சொற்கள் உட்பிரிவுகளுக்கு வெளியே இருக்க அனுமதிக்கப்படுவதால் தான் பகிர்வு இலவசமாக அழைக்கப்படுகிறது. ஹென்ஸ்டாக்-குர்ஸ்வெயில் ஒருங்கிணைப்பு மற்றும் மெக்சேன் ஒருங்கிணைப்பு ஆகியவற்றின் வரையறைகளுக்கு இடையிலான ஒரே வித்தியாசம் இதுதான். ஒரு செயல்பாடு மற்றும் ஒரு இலவச குறிக்கப்பட்ட பகிர்வுக்கு, கேஜ் வரையறுக்கவும் இந்த சூழலில் ஒரு நேர்மறை செயல்பாடு ஒரு கேஜ் என்று அழைக்கப்படுகிறது. அனைத்து உள்ளுணர்வுகளுக்கும், கேஜ் துணை இடைவெளிகளின் அகலங்களைக் கட்டுப்படுத்தினால், ஒரு இலவச குறியிடப்பட்ட பகிர்வு-நன்றாக இருக்கும் என்று நாங்கள் கூறுகிறோம். ஹென்ஸ்டாக்-குர்ஸ்வீல் ஒருங்கிணைப்பைப் போலவே, இது ரீமன் ஒருங்கிணைப்பால் வழங்கப்படாத நெகிழ்வுத்தன்மையை (குறிப்பாக சிக்கலான புள்ளிகளுக்கு அருகில்) வழங்குகிறது. மெக்சேன் ஒருங்கிணைந்த மதிப்பு என்பது மெக்சேன் ஒருங்கிணைந்த மதிப்பாகும், எடுத்துக்காட்டுகள், மெக்சேன் வரையறையின்படி ஒரு செயல்பாடு ஒருங்கிணைக்கக்கூடியதாக இருந்தால், ஹென்ஸ்டாக்-குர்ஸ்வெயில் ஒருங்கிணைந்ததாகவும் இருக்கும். இரண்டு ஒருங்கிணைப்புகளும் அதன் தனித்துவத்தைப் பொறுத்தவரை ஒத்துப்போகின்றன. மேற்கண்ட வரையறையை விளக்குவதற்காக பின்வரும் எடுத்துக்காட்டுகளில் விவரிக்கப்பட்டுள்ள செயல்பாடுகளின் மெக்சேன் ஒருங்கிணைப்பை பகுப்பாய்வு செய்கிறோம், அவை ஏற்கனவே ஹென்ஸ்டாக்-குர்ஸ்வெயில் ஒருங்கிணைந்தவை என்று அழைக்கப்படுகின்றன (இந்த விக்கிப்பீடியாவின் தளத்தின் பத்தி 3 ஐப் பார்க்கவும் "ஹென்ஸ்டாக்-குர்ஸ்வெயில் ஒருங்கிணைந்தவை"). எடுத்துக்காட்டு 1 நன்கு அறியப்பட்டிருந்தால், இந்த செயல்பாடு ரீமன் ஒருங்கிணைந்ததாகவும், நிருபர் ஒருங்கிணைந்ததாகவும் இருக்கும், இது மெக்சேன் ஒருங்கிணைந்ததாகவும், அதன் ஒருங்கிணைந்த அதே மதிப்பைக் கொண்டதாகவும் இருக்கும் என்பதைக் காண்பிப்போம். அந்த நோக்கத்திற்காக, கொடுக்கப்பட்டதற்கு, எந்த இலவச குறிக்கப்பட்ட பகிர்வையும், for, for, மற்றும், எங்கே போன்ற வரிசைகளாக சிதைக்க முடியும் என்றால், இந்த வழியில், நம்மிடம் ரீமன் தொகை மற்றும் அதன் விளைவாக உள்ளது எனவே ஒரு இலவச குறிக்கப்பட்ட-சிறந்த பகிர்வு என்றால், ஒவ்வொன்றிற்கும், மற்றும், ஒவ்வொன்றிற்கும் நம்மிடம் உள்ளது. அந்த இடைவெளிகள் ஒவ்வொன்றும் மீதமுள்ள அனைத்தின் உட்புறத்தையும் ஒன்றுடன் ஒன்று இணைக்காததால், நாம் மெக்சேன் ஒருங்கிணைந்த மற்றும் அடுத்த உதாரணம் ரீமன் மற்றும் மெக்சேன் ஒருங்கிணைப்புகளுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டின் இருப்பை நிரூபிக்கிறது. எடுத்துக்காட்டு 2 நன்கு அறியப்பட்ட டிரிக்லெட்டின் செயல்பாட்டைக் கொடுங்கள், இதன் மூலம் ஒருவர் ரீமன் ஒருங்கிணைந்தவர் அல்ல என்று தெரியும். மேக்ஷேன் அர்த்தத்தில் ஒருங்கிணைக்கக்கூடியது மற்றும் அதன் ஒருங்கிணைப்பு பூஜ்ஜியம் என்பதைக் காண்பிப்போம். இடைவெளியின் அனைத்து விகிதமுறு எண்களின் தொகுப்பால் குறிக்கப்படும், எதற்கும் பின்வரும் அளவீட்டை உருவாக்குவோம் எந்தவொரு-ஃபைன் ஃப்ரீ டேக் செய்யப்பட்ட பகிர்வுக்கும் அதன் ரீமன் கூட்டுத்தொகையைக் கருத்தில் கொள்ளுங்கள். பகுத்தறிவற்றதாக இருக்கும் போதெல்லாம், பகுத்தறிவற்றதாக இருக்கும் ஜோடிகளை உருவாக்கும் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட ஜோடிகளின் வரிசையில் நாம் விலக்கலாம். மீதமுள்ளவை வகையின் தொடர்ச்சிகளாகும், அந்த இடைவெளிகள் ஒவ்வொன்றும் மீதமுள்ளவற்றின் உட்புறத்தை ஒன்றுடன் ஒன்று இணைக்காததால், இந்த வரிசைகளில் ஒவ்வொன்றும் ரீமன் கூட்டுத்தொகையில் வகையின் துணைக்குழுக்களுக்கு வழிவகுக்கிறது. எனவே, இது டிரிக்லெட்டின் செயல்பாடு மெக்சேன் ஒருங்கிணைந்ததாகவும், வழித்தோன்றல்களுடனான உறவு என்றும் நிரூபிக்கிறது ஒரு இடைவெளியில் வரையறுக்கப்பட்ட உண்மையான செயல்பாடுகளுக்கு, ஹென்ஸ்டாக்-குர்ஸ்வெயில் மற்றும் மெக்சேன் ஒருங்கிணைப்புகள் இரண்டும் கீழே குறிப்பிடப்பட்டுள்ள அடிப்படை பண்புகளை பூர்த்தி செய்கின்றன, இதன் மூலம் அந்த இன்டெக்ரல்களில் ஏதேனும் ஒன்றின் மதிப்பை நாம் தெளிவற்ற முறையில் குறிக்கிறோம். ஒருங்கிணைந்ததாக இருந்தால், அதன் ஒவ்வொரு துணை இடைவெளியிலும் ஒருங்கிணைக்க முடியும். ஒருங்கிணைந்தால் மற்றும் பின்னர் ஒருங்கிணைந்தால் மற்றும். தொடர்ச்சியானதாக இருந்தால், அது ஒருங்கிணைக்கப்படுகிறது. மோனோடோனஸ் ஆன் என்றால் ஒருங்கிணைந்ததாக இருக்கும். ஒரு வேறுபடுத்தக்கூடிய மற்றும் கண்டிப்பாக சலிப்பான செயல்பாடாக இருக்கட்டும். பின்னர் ஒருங்கிணைக்கப்பட்டால் மட்டுமே ஒருங்கிணைக்க முடியும். அத்தகைய சந்தர்ப்பத்தில். ஒருங்கிணைக்கக்கூடியதாக இருந்தால், ஒவ்வொன்றிற்கும் ஒருங்கிணைக்க முடியும். ஒருங்கிணைக்கப்பட்டு இருக்கட்டும். பின்னர்ஃ மற்றும் மீது ஒருங்கிணைக்கப்படுகிறது. எம். மேற்கூறிய ஒருங்கிணைப்புகளைப் பொறுத்தவரை, இந்த பண்புகளின் சான்றுகள் ஒரே மாதிரியானவை, நிருபர் வரையறைகளின் வேறுபாடுகளுக்கு உள்ளார்ந்த சிறிய மாறுபாடுகளைத் தவிர (வாஷேக் ஃபெஃபர் [செக். 6. 1]). இந்த வழியில் இரண்டு ஒருங்கிணைப்புகளுக்கும் இடையே ஒரு குறிப்பிட்ட இணக்கம் காணப்படுகிறது. இருப்பினும், முழுமையான ஒருங்கிணைப்பு மற்றும் ஒருங்கிணைந்த வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களின் ஒருங்கிணைப்பு போன்ற பிற பண்புகள் பகுப்பாய்வு செய்யப்படும்போது ஒரு புலப்பட முடியாத முறிவு ஏற்படுகிறது. இந்த விஷயத்தில் பின்வரும் கோட்பாடுகள் உள்ளன (பார்க்க [Prop.2.2.3 e Th. 6. 1. 2). தேற்றம் 1 (மெக்சேன் ஒருங்கிணைப்பின் முழுமையான ஒருங்கிணைப்பில்) மெக்சேன் ஒருங்கிணைக்கக்கூடியதாக இருந்தால், மெக்சேன் மற்றும் ஒருங்கிணைந்ததாகவும் இருக்கும். தேற்றம் 2 (ஹென்ஸ்டாக்-குர்ஸ்வீல் ஒருங்கிணைப்பின் அடிப்படை தேற்றம்) மீது வேறுபடுத்தக்கூடியதாக இருந்தால், ஹென்ஸ்டாக்-குர்ஸ்வீல் மற்றும் மீது ஒருங்கிணைக்கப்படுகிறது. இந்த கோட்பாடுகளை விளக்கும் பொருட்டு, எடுத்துக்காட்டு 2.4.12 இன் அடிப்படையில் பின்வரும் உதாரணத்தை பகுப்பாய்வு செய்கிறோம். எடுத்துக்காட்டு 3 செயல்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்வோம்ஃ எந்தவொரு விஷயத்திலும் வெளிப்படையாக வேறுபடுத்தக்கூடியது மற்றும் வேறுபடுத்தக்கூடியது, அதே போல், இல், முதல். மேலும் செயல்பாடு தொடர்ச்சியாக இருப்பதால், தேற்றம் 2 ஆல், செயல்பாடு ஹென்ஸ்டாக்-குர்ஸ்வெயில் பின்னர் 6 மற்றும் 7 பண்புகளால் ஒருங்கிணைக்கப்படுகிறது, இது செயல்பாட்டிற்கு பொருந்தும், ஆனால் குறிப்பிடப்பட்ட ஒருங்கிணைப்புகள் எதற்கும் செயல்பாடு ஒருங்கிணைக்கப்படவில்லை. உண்மையில், இல்லையெனில், அத்தகைய ஒருங்கிணைப்புகளில் ஏதேனும் ஒன்றைக் குறிக்கும் வகையில், எந்தவொரு நேர்மறை முழு எண்ணுக்கும் நாம் அவசியம் இருக்க வேண்டும். பின்னர் மாறியின் மாற்றத்தின் மூலம், பண்பு 5 ஐ கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம் நாம் பெற வேண்டும்ஃ ஒரு தன்னிச்சையான நேர்மறை முழு எண்ணைப் போலவே, நாம் ஒரு முரண்பாட்டைப் பெறுகிறோம். இந்த உதாரணத்திலிருந்து பின்வரும் பொருத்தமான விளைவுகளை நாம் முடிவுக்குக் கொண்டுவர முடிகிறதுஃ I) ஹென்ஸ்டாக்-குர்ஸ்வெயில் ஒருங்கிணைப்புக்கு தேற்றம் 1 இனி உண்மையல்ல, ஏனெனில் இது ஹென்ஸ்டாக்-குர்ஸ்வெயில் ஒருங்கிணைப்பானது மற்றும் இல்லை. II) தேற்றம் 2 மெக்சேன் ஒருங்கிணைப்புக்கு பொருந்தாது. இல்லையெனில் மெக்சேன் ஒருங்கிணைக்கப்பட வேண்டும், அதே போல் தேற்றம் 1 ஆல், இது அபத்தமானது. III), இந்த வழியில், மெக்சேன் ஒருங்கிணைக்க முடியாத ஹென்ஸ்டாக்-குர்ஸ்வெயில் ஒருங்கிணைந்த செயல்பாட்டிற்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு. அதாவது, மெக்சேன் ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடுகளின் வகுப்பு ஹென்ஸ்டாக்-குர்ஸ்வெயில் ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடுகளின் கடுமையான துணைப்பிரிவாகும். லெபெஸ்கூ ஒருங்கிணைப்புடன் உறவு மெக்சேன் ஒருங்கிணைப்பின் மிகவும் ஆச்சரியமான முடிவு பின்வரும் தேற்றத்தில் கூறப்பட்டுள்ளது, இது ஏற்கனவே அறிமுகத்தில் அறிவிக்கப்பட்டுள்ளது. தேற்றம் 3 விடுங்கள். பின்னர் மெக்சேன் ஒருங்கிணைப்பானது லெபெஸ்க்யூ ஒருங்கிணைப்பானது. நிருபர் ஒருங்கிணைப்புகள் ஒத்துப்போகின்றன. இந்த உண்மை மெக்சேன் ஒருங்கிணைப்புடன் ரீமன் கூட்டுத்தொகையைச் சுற்றியுள்ள ஒருங்கிணைப்புக் கோட்பாட்டின் ஒரு வகையான ஒருங்கிணைப்பை உருவாக்குகிறது என்ற முடிவுக்கு வர உதவுகிறது, இது எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, அந்தக் கோட்பாட்டின் தோற்றத்தை உருவாக்குகிறது. அத்தகைய தேற்றத்தின் உடனடி ஆதாரம் இதுவரை அறியப்படவில்லை. வாஷேக் ஃபெஃபர் [Ch. 4] லெபெஸ்கூ ஒருங்கிணைப்பின் ஏற்கனவே அறியப்பட்ட பண்புகளுடன் தொடர்புடைய அளவீட்டுக் கோட்பாடு உட்பட மெக்சேன் ஒருங்கிணைப்புக் கோட்பாட்டின் வளர்ச்சியின் மூலம் இது கூறப்படுகிறது. மேலும் ரஸ்ஸல் கார்டனின் புத்தகத்திற்கு, இந்த விஷயத்தில் ராபர்ட் மெக்லியோட் [Ch. 8], [ச. 10] மற்றும் டக்ளஸ் கர்ட்ஸ் மற்றும் சார்லஸ் ஸ்வார்ட்ஸ். மெக்சேன் ஒருங்கிணைப்பின் மற்றொரு கண்ணோட்டம் என்னவென்றால், ஃப்ரிகிஸ் ரீஸ் மற்றும் பேலா ஸ்ஸின் படிப்புகளுக்கு மாற்றாக, அளவீட்டுக் கோட்பாட்டைப் பயன்படுத்தாமல் லெபெஸ்கூ ஒருங்கிணைப்பின் புதிய சூத்திரமாக இதைப் பார்க்க முடியும். நாகி [Ch.II] அல்லது செர்ஜ் லாங் [Ch. X, §4 பின் இணைப்பு] (மேலும் காண்க). மேலும் காண்க ஹென்ஸ்டாக்-குர்ஸ்வெயில் ஒருங்கிணைந்த குறிப்புகள் கணித ஒருங்கிணைப்பின் வரையறைகள்