Representation up to homotopy
ஹோமோடாபி வரை ஒரு பிரதிநிதித்துவம் பல அர்த்தங்களைக் கொண்டுள்ளது. கட்டுப்படுத்தப்பட்ட ஹாமில்டோனியன் அமைப்புகளின் 'இயற்பியல்' சூழலில் ஆரம்பகாலங்களில் ஒன்று தோன்றியது. இன்றியமையாத யோசனை என்னவென்றால், ஒரு பிரதிநிதித்துவத்தின் மீது பிரதிநிதித்துவம் இல்லாததை உயர்த்துவது, ஒரு பிரதிநிதித்துவத்தின் தீர்மானத்தின் மீது வலுவான ஹோமோடாபி வரை. வேறுபட்ட வடிவவியலில் ஒரு கருத்தாக, இது லை ஆல்ஜிப்ராவை லை ஆல்ஜ்பிராய்டுகள் மற்றும் அற்பமான திசையன் மூட்டைகளுக்கு பிரதிநிதித்துவப்படுத்தும் கருத்தை பொதுமைப்படுத்துகிறது. எனவே, இது அபாத் மற்றும் கிரெய்னிக் ஆகியோரால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. ஒரு உந்துதலாக ஒரு வழக்கமான லை ஆல்ஜிப்ராய்டு (A, ρ, [.,]) ஐக் கருத்தில் கொள்ளுங்கள். (நங்கூரம் ρ நிலையான தரவரிசையைக் கொண்டுள்ளது என்று வழக்கமான பொருள்) அங்கு நாம் முறையே g (A) = கெர் ρ மற்றும் ν (A) = TM/IM ρ இல் இரண்டு இயற்கையான A-இணைப்புகளைக் கொண்டுள்ளோம்ஃ லை ஆல்ஜிப்ராய்டு A இன் சிதைவுக் கோட்பாட்டில் ஒரு நீண்ட துல்லியமான வரிசை உள்ளது இது சிதைவுகளுக்கான சரியான ஒத்திசைவு (இங்கே Hdef என குறிக்கப்படுகிறது) இரண்டு தொகுதிகள் g (A) மற்றும் ν (A) இன் நேரடி கூட்டுத்தொகையிலிருந்து வருகிறது என்பதைக் குறிக்கிறது, மேலும் இது அட்ஜாயிண்ட் பிரதிநிதித்துவம் என்று அழைக்கப்பட வேண்டும். இருப்பினும், ρ நிலையான தரவரிசை இல்லாத பொதுவான வழக்கில், g (A) மற்றும் ν (A) பிரதிநிதித்துவங்களை எளிதில் வரையறுக்க முடியாது என்பதை நினைவில் கொள்க. அதற்கு பதிலாக நாம் 2-கால சிக்கலான A → TM மற்றும் அதன் பிரதிநிதித்துவத்தை கருத்தில் கொள்ள வேண்டும். இது இங்கே விளக்கப்பட்ட கருத்துக்கு வழிவகுக்கிறது. வரையறை விடுங்கள் (A, ρ, [.,]) ஒரு மென்மையான பன்மடங்கு M மீது ஒரு லை ஆல்ஜிபிராய்டாக இருங்கள், ω (A) அதன் லை ஆல்ஜிபிராய்டு காம்ப்ளக்ஸைக் குறிக்கட்டும். மேலும் E என்பது M க்கு மேல் ஒரு Z-தரப்படுத்தப்பட்ட திசையன் மூட்டையாக இருக்கட்டும் மற்றும் ω (A, E) = ω (A) ω (E) என்பது E இல் உள்ள மதிப்புகளுடன் அதன் Z-தரப்படுத்தப்பட்ட A-சங்கிலிகளாக இருக்கட்டும். D2 = 0. ஹோமோடோபி ஆபரேட்டர்கள் மேலே அறிமுகப்படுத்தப்பட்டபடி ஹோமோடோபி வரையிலான ஒரு பிரதிநிதித்துவம் பின்வரும் தரவுகளுக்கு சமம் ஒரு டிகிரி 1 ஆபரேட்டர் 0 க்கு வர்க்கங்கள், E இல் இணக்கமான ஒரு A-இணைப்பு, ஒரு முடிவு (E)-மதிப்புள்ள A-2-வடிவம் ω2 மொத்த டிகிரி 1, அதாவது வளைவு நிறைவடைகிறது முடிவு (E)-மதிப்புள்ள A-p-வடிவங்கள் ωp மொத்த டிகிரி 1 இது ஹோமோடோபி உறவுகளை பூர்த்தி செய்கிறது. ஒரே லை ஆல்ஜிப்ராய்டு A இன் ஹோமோடோபி (E, DE) மற்றும் (F, DF) வரையிலான பிரதிநிதித்துவங்களுக்கிடையேயான ஒரு ஹோமோமார்பிசம் என்பது ஒரு டிகிரி 0 வரைபடமாகும், இது வேறுபாடுகளுடன் பயணிக்கிறது, அதாவது. ஒரு ஐசோமார்பிசம் இப்போது ஒரு தலைகீழ் ஹோமோமார்பிசம். ஹோமோடோபி வரையிலான பிரதிநிதித்துவங்களின் சமநிலை வகுப்புகளின் வகையை ரெப் ≤ ஐ ஹோமோமார்பிசங்களின் சமநிலை வகுப்புகளுடன் குறிக்கிறோம். மேலே உள்ள டி-யின் சிதைவின் அர்த்தத்தில் ஒரு கோசெயின் வரைபடம், ஒரு இணைப்பு ρ, மற்றும் அதிக ஹோமோடோபிகள், நாம் φ ஐ φ0 + φ1 +. உடன் சிதைக்கலாம், பின்னர் பொருந்தக்கூடிய நிலை படிக்கிறது எடுத்துக்காட்டுகள் லை ஆல்ஜ்பிராய்டுகளின் வழக்கமான பிரதிநிதித்துவங்கள் அல்லது இன்னும் குறிப்பாக லை ஆல்ஜிப்ராக்கள், அதாவது. தொகுதிகள். மற்றொரு எடுத்துக்காட்டு ஒரு p-வடிவம் ωp உடன் E = M × R [0] ωR [p] மற்றும் ஆபரேட்டர் D = ρ + ωp மூலம் வழங்கப்படுகிறது, இதில் ρ என்பது அற்பமான மூட்டை M × R இல் உள்ள தட்டையான இணைப்பாகும். ஹோமோடாபி வரை ஒரு பிரதிநிதித்துவத்தை டி = ஷ்ணல் + உரு + ω2 + ஆகக் கொடுக்கப்பட்டால், இணைப்பின் மூலம் ஹோமோடாபி வரை ஒரு புதிய பிரதிநிதித்துவத்தை நாம் உருவாக்கலாம், அதாவது. D "'= ஷ்ணுவ − r + ω2 − ω3 + −. இணை பிரதிநிதித்துவம் ஒரு லை ஆல்ஜிப்ராய்டு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது (A, ρ, [.,]) மேலும், கலப்பு வளைவை நாம் அறிமுகப்படுத்தலாம் இந்த வளைவு இணைப்புடன் லை அடைப்புக்குறியின் பொருந்தக்கூடிய தன்மையை அளவிடுகிறது மற்றும் டிஎம் உடன் இணைந்து லை ஆல்ஜ்பிராய்டுகளின் பொருத்தமான ஜோடியை உருவாக்கும் ஏ இன் இரண்டு நிபந்தனைகளில் ஒன்றாகும். முதல் அவதானிப்பு என்னவென்றால், நங்கூரம் வரைபடம் ρ ஆல் அலங்கரிக்கப்பட்ட இந்த சொல், அதன்படி, இரண்டு இணைப்புகளின் வளைவை வெளிப்படுத்துகிறது. இரண்டாவதாக, ஹோமோடாபி வரை ஒரு பிரதிநிதித்துவத்துடன் மூன்று பொருட்களையும் நாம் பொருத்தலாம்ஃ மற்றொரு அவதானிப்பு என்னவென்றால், ஹோமோடாபி வரை ஏற்படும் பிரதிநிதித்துவம் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட இணைப்பிலிருந்து சுயாதீனமாக உள்ளது, ஏனெனில் அடிப்படையில் இரண்டு A-இணைப்புகளுக்கு இடையிலான வேறுபாடு ஒரு (A−1-வடிவம் இறுதியில் (E ") உள்ள மதிப்புகளுடன். குறிப்புகள் லை ஆல்ஜிப்ராக்களின் பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாடு வேறுபட்ட வடிவியல்