Orthogonal polynomials
கணிதத்தில், ஒரு ஆர்த்தோகனல் பல்லுறுப்புக்கோவை வரிசை என்பது பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் குடும்பமாகும், அதாவது வரிசையில் உள்ள எந்த இரண்டு வெவ்வேறு பல்லுறுப்புக்கோவைகளும் சில உள் பெருக்கலின் கீழ் ஒருவருக்கொருவர் ஆர்த்தோகனல் ஆகும். மிகவும் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படும் ஆர்த்தோகனல் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் பாரம்பரிய ஆர்த்தோகனல் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் ஆகும், இதில் ஹெர்மைட் பல்லுறுப்புக்கோவைகள், லாகூர் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் மற்றும் ஜாகோபி பல்லுறுப்புக்கோவைகள் உள்ளன. ஜாகோபி பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் மிக முக்கியமான வகுப்பை கெஜென்பாவர் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் உருவாக்குகின்றன; அவை செபிஷேவ் பல்லுறுப்புக்கோவைகளையும், லெஜெண்டர் பல்லுறுப்புக்கோவைகளையும் சிறப்பு நிகழ்வுகளாக உள்ளடக்குகின்றன. ஆர்த்தோகனல் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் புலம் 19 ஆம் நூற்றாண்டின் பிற்பகுதியில் பி. எல். செபிஷேவ் நடத்திய தொடர்ச்சியான பின்னங்களின் ஆய்விலிருந்து உருவானது மற்றும் ஏ. ஏ. மார்கோவ் மற்றும் டி. ஜே. ஸ்டீல்ட்ஜெஸ். அவை பல்வேறு துறைகளில் தோன்றுகின்றனஃ எண் பகுப்பாய்வு (நாற்கர விதிகள்), நிகழ்தகவுக் கோட்பாடு, பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாடு (லை குழுக்கள், குவாண்டம் குழுக்கள் மற்றும் தொடர்புடைய பொருட்களின்), கணக்கீட்டு ஒருங்கிணைப்பு, இயற்கணித ஒருங்கிணைப்பு, கணித இயற்பியல் (சீரற்ற மேட்ரிக்ஸின் கோட்பாடு, ஒருங்கிணைந்த அமைப்புகள் போன்றவை). ), மற்றும் எண் கோட்பாடு. ஆர்த்தோகனல் பல்லுறுப்புக்கோவைகளில் பணியாற்றிய சில கணிதவியலாளர்களில் கபோர் ஸ்சேகோ, செர்ஜி பெர்ன்ஸ்டைன், நௌம் அகியேசர், ஆர்தர் எர்டெலி, யாகோவ் ஜெரோனிமஸ், வொல்ஃப்காங் ஹான், தியோடர் சியோ சிஹாரா, மௌரத் இஸ்மாயில், வலீத் அல்-சலாம், ரிச்சர்ட் அஸ்கி மற்றும் ரெஹுவல் லோபாட்டோ ஆகியோர் அடங்குவர். ஒரு உண்மையான அளவீட்டிற்கான 1-மாறுபடும் நிகழ்வுக்கான வரையறை உண்மையான எண்களில் ஏதேனும் குறைக்கப்படாத செயல்பாட்டைக் கருத்தில் கொண்டு, f செயல்பாட்டின் லெபெஸ்கூ-ஸ்டீல்ட்ஜெஸ் ஒருங்கிணைப்பை நாம் வரையறுக்கலாம். இந்த ஒருங்கிணைப்பு அனைத்து பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கும் வரையறுக்கப்பட்டிருந்தால், f மற்றும் g என்ற பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் ஜோடிகளில் ஒரு உள் விளைபொருளை வரையறுக்கலாம். இது வழக்கமான வழியில் ஆர்த்தோகொனாலிட்டி பற்றிய ஒரு கருத்தைத் தூண்டுகிறது, அதாவது இரண்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகள் அவற்றின் உள் பெருக்கல் பூஜ்ஜியமாக இருந்தால் ஆர்த்தோகனல் ஆகும். பின்னர் ஆர்த்தோகனல் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் வரிசை உறவுகளால் வரையறுக்கப்படுகிறது வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், இந்த வரிசை 1, x, x2, மோனாமியல்களின் வரிசையிலிருந்து பெறப்படுகிறது. இந்த உள் பெருக்கல் தொடர்பாக கிராம்-ஷ்மிட் செயல்முறையால். வழக்கமாக வரிசை இயல்பானதாக இருக்க வேண்டும், இருப்பினும், பிற இயல்பாக்கல்கள் சில நேரங்களில் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. முற்றிலும் தொடர்ச்சியான வழக்கு சில நேரங்களில் உண்மையான கோட்டில் சில இடைவெளியில் ஆதரவுடன் ஒரு எதிர்மறை அல்லாத செயல்பாடு எங்குள்ளது (எங்கே மற்றும் அனுமதிக்கப்படுகிறது). அத்தகைய ஒரு எடை செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. இருப்பினும், ஆர்த்தோகனல் பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கு பல எடுத்துக்காட்டுகள் உள்ளன, அங்கு அளவீட்டில் பூஜ்ஜியமற்ற அளவீட்டுடன் புள்ளிகள் உள்ளன, அங்கு செயல்பாடு தொடர்ச்சியற்றது, எனவே மேலே உள்ள எடை செயல்பாட்டால் கொடுக்க முடியாது. ஆர்த்தோகனல் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் எடுத்துக்காட்டுகள் மிகவும் பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படும் ஆர்த்தோகனல் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் ஒரு உண்மையான இடைவெளியில் ஆதரவுடன் ஒரு அளவிற்கான ஆர்த்தோகனல் ஆகும். இதில் பின்வருவன அடங்கும்ஃ பாரம்பரிய ஆர்த்தோகனல் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் (ஜாகோபி பல்லுறுப்புக்கோவைகள், லாகூர் பல்லுறுப்புக்கோவைகள், ஹெர்மைட் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் மற்றும் அவற்றின் சிறப்பு நிகழ்வுகள் கெஜென்பாவர் பல்லுறுப்புக்கோவைகள், செபிஷேவ் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் மற்றும் லெஜெண்டர் பல்லுறுப்புக்கோவைகள்). வில்சன் பல்லுறுப்புக்கோவைகள், இது ஜாகோபி பல்லுறுப்புக்கோவைகளை பொதுமைப்படுத்துகிறது. அவை பல ஆர்த்தோகனல் பல்லுறுப்புக்கோவைகளை சிறப்பு நிகழ்வுகளாக உள்ளடக்கியது, அதாவது மீக்ஸ்னர்-போலாக்செக் பல்லுறுப்புக்கோவைகள், தொடர்ச்சியான ஹான் பல்லுறுப்புக்கோவைகள், தொடர்ச்சியான இரட்டை ஹான் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் மற்றும் அஸ்கி திட்டத்தால் விவரிக்கப்படும் பாரம்பரிய பல்லுறுப்புக்கோவைகள் அஸ்கி-வில்சன் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் வில்சன் பல்லுறுப்புக்கோவைகளில் கூடுதல் அளவுரு q ஐ அறிமுகப்படுத்துகின்றன. தனித்துவமான ஆர்த்தோகனல் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் சில தனித்துவமான அளவீடுகளைப் பொறுத்தவரை ஆர்த்தோகனல் ஆகும். சில நேரங்களில் அளவீட்டுக்கு வரையறுக்கப்பட்ட ஆதரவு உள்ளது, இந்த விஷயத்தில் ஆர்த்தோகனல் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் குடும்பம் எல்லையற்ற வரிசையை விட வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. ராக்கா பல்லுறுப்புக்கோவைகள் தனித்துவமான ஆர்த்தோகனல் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் எடுத்துக்காட்டுகளாகும், மேலும் ஹான் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் மற்றும் இரட்டை ஹான் பல்லுறுப்புக்கோவைகளை சிறப்பு நிகழ்வுகளாக உள்ளடக்குகின்றன, இவை சிறப்பு நிகழ்வுகளாக மீக்ஸ்னர் பல்லுறுப்புக்கோவைகள், கிராட்சௌக் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் மற்றும் சார்லியர் பல்லுறுப்புக்கோவைகளை உள்ளடக்குகின்றன. மீக்ஸ்னர் அனைத்து ஆர்த்தோகனல் ஷெஃபர் வரிசைகளையும் வகைப்படுத்தினார்ஃ ஹெர்மைட், லாகூர், சார்லியர், மீக்ஸ்னர் மற்றும் மீக்ஸ்னர்-போலாக்செக் மட்டுமே உள்ளனர். ஒருவிதத்தில் கிராவ்ட்சௌக்கும் இந்த பட்டியலில் இருக்க வேண்டும், ஆனால் அவை ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட வரிசை. இந்த ஆறு குடும்பங்கள் NEF-QVF களுடன் ஒத்திருக்கின்றன மற்றும் சில லெவி செயல்முறைகளுக்கான மார்ட்டிங்கேல் பல்லுறுப்புக்கோவைகளாகும். சீவ் செய்யப்பட்ட ஆர்த்தோகனல் பல்லுறுப்புக்கோவைகள், சீவ் செய்யப்பட்ட அல்ட்ராசெஃபெரிகல் பல்லுறுப்புக்கோவைகள், சீவ் செய்யப்பட்ட ஜாகோபி பல்லுறுப்புக்கோவைகள் மற்றும் சீவ் செய்யப்பட்ட போலாக்செக் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் போன்றவை மாற்றியமைக்கப்பட்ட மறுநிகழ்வு உறவுகளைக் கொண்டுள்ளன. சிக்கலான தளத்தில் உள்ள சில வளைவுகளுக்கு ஆர்த்தோகனல் பல்லுறுப்புக்கோவைகளையும் கருத்தில் கொள்ளலாம். மிக முக்கியமான வழக்கு (உண்மையான இடைவெளிகளைத் தவிர) வளைவு அலகு வட்டமாக இருக்கும்போது, ரோஜர்ஸ்-ஸ்சேகோ பல்லுறுப்புக்கோவைகள் போன்ற அலகு வட்டத்தில் ஆர்த்தோகனல் பல்லுறுப்புக்கோவைகளை வழங்குகிறது. முக்கோணங்கள் அல்லது வட்டுகள் போன்ற தளப் பகுதிகளில் ஆர்த்தோகனல் கொண்ட ஆர்த்தோகனல் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் சில குடும்பங்கள் உள்ளன. அவை சில நேரங்களில் ஜாகோபி பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் அடிப்படையில் எழுதப்படலாம். எடுத்துக்காட்டாக, ஜெர்னிக்கே பல்லுறுப்புக்கோவைகள் அலகு வட்டில் ஆர்த்தோகனல் ஆகும். ஹெர்மைட் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் வெவ்வேறு வரிசைகளுக்கு இடையிலான ஆர்த்தோகோனாலிட்டியின் நன்மை பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட அதிர்வெண் பிரிவு மல்டிபிளெக்சிங் (ஜி. எஃப். டி. எம்) கட்டமைப்பிற்கு பயன்படுத்தப்படுகிறது. நேர-அதிர்வெண் ஜாலகத்தின் ஒவ்வொரு கட்டத்திலும் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட சின்னங்களை எடுத்துச் செல்ல முடியும். உண்மையான கோட்டில் எதிர்மறை அல்லாத அளவீட்டால் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு மாறியின் ஆர்த்தோகனல் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் பண்புகள் பின்வரும் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன. தருணங்களுடனான உறவு ஆர்த்தோகனல் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் Pn ஐ பின்வரும் தருணங்களின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தலாம்ஃ இங்கு மாறிலிகள் cn தன்னிச்சையானவை (Pn இன் இயல்பாக்கலைப் பொறுத்தது). இது கிராம்-ஷ்மிட் செயல்முறையை மோனாமியல்களுக்கு பயன்படுத்துவதிலிருந்து நேரடியாக வருகிறது, ஒவ்வொரு பல்லுறுப்புக்கோவையும் முந்தையவற்றைப் பொறுத்தவரை ஆர்த்தோகனலாக இருக்க வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, பரிந்துரைக்கப்பட்டவற்றுடன் ஆர்த்தோகோனாலிட்டி வடிவத்தைக் கொண்டிருக்க வேண்டும், இது முன்பு கொடுக்கப்பட்ட வெளிப்பாட்டுடன் தீர்மானிப்பவருடன் ஒத்துப்போகிறது. மறுநிகழ்வு உறவு Pn பல்லுறுப்புக்கோவைகள் ஒரு வடிவத்தின் மறுநிகழ்வு உறவை பூர்த்தி செய்கின்றன, அங்கு ஒரு வடிவம் 0 அல்ல. இதற்கு நேர்மாறும் உண்மை; ஃபேவர்டின் தேற்றத்தைப் பார்க்கவும். கிறிஸ்டோஃபெல்-டார்பௌக்ஸ் சூத்திரம் பூஜ்ஜியம் அளவீட்டு dα ஒரு இடைவெளியில் ஆதரிக்கப்பட்டால் [a, b], Pn இன் அனைத்து பூஜ்ஜியங்களும் [a, b] இல் உள்ளன. மேலும், பூஜ்ஜியங்கள் பின்வரும் இன்டர்லேசிங் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளனஃ m <n என்றால், Pm இன் எந்த இரண்டு பூஜ்ஜியங்களுக்கும் இடையில் Pn இன் பூஜ்ஜியம் உள்ளது. பூஜ்ஜியங்களின் நிலைமின்னியல் விளக்கங்களை கொடுக்கலாம். ஒருங்கிணைந்த விளக்கம் 1980 களில் இருந்து, எக்ஸ். ஜி. வியன்னோட், ஜே. லேபெல், ஒய். என். யே, டி. ஃபோட்டா மற்றும் பிறரின் படைப்புகளுடன், அனைத்து பாரம்பரிய ஆர்த்தோகனல் பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கும் ஒருங்கிணைந்த விளக்கங்கள் காணப்பட்டன. பிற வகையான ஆர்த்தோகனல் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் மல்டிவேரியேட் ஆர்த்தோகனல் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் மெக்டொனால்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகள் ஒரு அஃபைன் ரூட் அமைப்பின் தேர்வைப் பொறுத்து பல மாறிகளில் ஆர்த்தோகனல் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் ஆகும். அவை ஜாக் பல்லுறுப்புக்கோவைகள், ஹால்-லிட்டில்வுட் பல்லுறுப்புக்கோவைகள், ஹெக்மேன்-ஆப்டம் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் மற்றும் கூர்ன்விந்தர் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் உள்ளிட்ட பல மாறுபடும் ஆர்த்தோகனல் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் பல குடும்பங்களை சிறப்பு நிகழ்வுகளாக உள்ளடக்கியது. அஸ்கி-வில்சன் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் என்பது தரவரிசை 1 இன் ஒரு குறிப்பிட்ட குறைக்கப்படாத வேர் அமைப்பிற்கான மெக்டொனால்ட் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் சிறப்பு வழக்கு ஆகும். பல ஆர்த்தோகனல் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் பல ஆர்த்தோகனல் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் ஒரு மாறியில் உள்ள பல்லுறுப்புக்கோவைகள், அவை வரையறுக்கப்பட்ட அளவீடுகளின் குடும்பத்தைப் பொறுத்தவரை ஆர்த்தோகனல் ஆகும். சோபோலேவ் ஆர்த்தோகனல் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் இவை சோபோலேவ் உள் விளைபொருளைப் பொறுத்தவரை ஆர்த்தோகனல் பல்லுறுப்புக்கோவைகள், அதாவது. வழித்தோன்றல்களுடன் ஒரு உள் தயாரிப்பு. வழித்தோன்றல்களைச் சேர்ப்பது பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கு பெரிய விளைவுகளை ஏற்படுத்துகிறது, பொதுவாக அவை பாரம்பரிய ஆர்த்தோகனல் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் சில நல்ல அம்சங்களைப் பகிர்ந்து கொள்ளாது. மேட்ரிக்ஸ்கள் கொண்ட ஆர்த்தோகனல் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் மேட்ரிக்ஸ்கள் கொண்ட ஆர்த்தோகனல் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் மேட்ரிக்ஸ்கள் கொண்ட குணகங்களைக் கொண்டுள்ளன அல்லது தீர்மானிக்கப்படாதது ஒரு மேட்ரிக்ஸ் ஆகும். மேலும் பார்க்கவும் அப்பல் வரிசை ஹைப்பர்ஜியோமெட்ரிக் ஆர்த்தோகனல் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் கீ திட்டம் ஃபேவர்டின் தேற்றம் இருமியல் வகையின் பல்லுறுப்புக்கோவை வரிசைகள் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ஃபோரியர் தொடர் இரண்டாம் நிலை அளவீட்டு ஷெஃபர் வரிசை ஸ்டர்ம்-லியோவில்லே கோட்பாடு மூளை கால்குலஸ் பிளான்செரல்-ரோட்டாக் அறிகுறியற்ற குறிப்புகள் சி. சான், ஏ. மிரோனோவ், ஏ. மொரோசோவ், ஏ. ஸ்லெப்ட்சோவ்,. சான்றுகளைக் கொண்ட கட்டுரைகள்