Integral of the secant function
கால்குலஸில், செகண்ட் செயல்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்பை பல்வேறு முறைகளைப் பயன்படுத்தி மதிப்பீடு செய்யலாம், மேலும் ஆன்டிடெரிவேட்டிவ்-ஐ வெளிப்படுத்த பல வழிகள் உள்ளன, இவை அனைத்தும் முக்கோணவியல் அடையாளங்கள் மூலம் சமமானவை என்று காட்டப்படலாம், இந்த சூத்திரம் பல்வேறு முக்கோணவியல் ஒருங்கிணைப்புகளை மதிப்பிடுவதற்கு பயனுள்ளதாக இருக்கும். குறிப்பாக, இது செகண்ட் க்யூப்டின் ஒருங்கிணைப்பை மதிப்பீடு செய்ய பயன்படுத்தப்படலாம், இது சிறப்பு வாய்ந்ததாகத் தோன்றினாலும், பயன்பாடுகளில் அடிக்கடி வருகிறது. தொடங்கும் செகண்ட் செயல்பாட்டின் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பு தலைகீழ் குடர்மேனியன் செயல்பாடாகும், எண் பயன்பாடுகளுக்கு, மேற்கூறிய வெளிப்பாடுகள் அனைத்தும் சில வாதங்களுக்கு முக்கியத்துவத்தை இழக்கின்றன. இன்வெர்ஸ் ஹைபர்போலிக் சைன் அடிப்படையில் ஒரு மாற்று வெளிப்பாடு உண்மையான வாதங்களுக்கு எண்ணியல் ரீதியாக நன்கு நடத்தப்படுகிறது செகண்ட் செயல்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்பு வரலாற்று ரீதியாக ஒருங்கிணைந்த கால்குலஸின் பெரும்பாலான வளர்ச்சிக்கு முன்பு, அதன் வகையின் முதல் ஒருங்கிணைப்புகளில் ஒன்றாகும். இது முக்கியமானது, ஏனெனில் இது மெர்கேட்டர் ப்ரொஜெக்ஷனின் செங்குத்து ஒருங்கிணைப்பாகும், இது நிலையான திசைகாட்டி தாங்கி கொண்ட கடல் வழிசெலுத்தலுக்கு பயன்படுத்தப்படுகிறது. வெவ்வேறு எதிர்ப்பொருள்கள் சமமான முக்கோணவியல் வடிவங்கள் என்பதற்கான சான்று செகண்டின் ஒருங்கிணைப்புக்கான மூன்று பொதுவான வெளிப்பாடுகள் சமமானவை, ஏனெனில் ஆதாரம்ஃ மூன்று வடிவங்களில் ஒவ்வொன்றிற்கும் தொடுகோடு அரை-கோண மாற்றீட்டை நாம் தனித்தனியாகப் பயன்படுத்தலாம், மேலும் அவற்றை ஒரே வெளிப்பாட்டிற்கு சமமாகக் காட்டலாம் இந்த மாற்றீட்டின் கீழ் மற்றும் முதல், இரண்டாவது, மூன்றாவது, தொடுகோடு கூட்டல் அடையாளத்தைப் பயன்படுத்தி எனவே மூன்று வெளிப்பாடுகளும் ஒரே அளவை விவரிக்கின்றன. மெர்கேட்டர் ப்ரொஜெக்ஷன் ஆர்டினேட்டிற்கான வழக்கமான தீர்வு முழுமையான மதிப்பு அறிகுறிகள் இல்லாமல் எழுதப்படலாம், ஏனெனில் அட்சரேகை மற்றும் ஹைபர்போலிக் வடிவங்களுக்கு இடையில் உள்ளது, எனவே, வரலாறு செகண்ட் செயல்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்பு "பதினேழாம் நூற்றாண்டின் நடுப்பகுதியில் உள்ள சிறந்த திறந்த சிக்கல்களில்" ஒன்றாகும், இது 1668 இல் ஜேம்ஸ் கிரிகோரியால் தீர்க்கப்பட்டது. கடல்சார் அட்டவணைகள் தொடர்பான ஒரு சிக்கலுக்கு அவர் தனது முடிவைப் பயன்படுத்தினார். 1599 ஆம் ஆண்டில், எட்வர்ட் ரைட் ஒருங்கிணைப்பை எண் முறைகள் மூலம் மதிப்பீடு செய்தார்-இன்று நாம் ரீமன் கூட்டுத்தொகை என்று அழைப்போம். அவர் வரைபடத்தின் நோக்கங்களுக்காக தீர்வை விரும்பினார்-குறிப்பாக ஒரு துல்லியமான மெர்கேட்டர் திட்டத்தை உருவாக்குவதற்காக. 1640 களில், வழிசெலுத்தல், கணக்கெடுப்பு மற்றும் பிற கணித தலைப்புகளின் ஆசிரியரான ஹென்றி பாண்ட், ரைட்டின் எண்ணியல் ரீதியாக கணக்கிடப்பட்ட செகண்டின் ஒருங்கிணைந்த மதிப்புகளின் அட்டவணையை தொடுகோட்டு செயல்பாட்டின் மடக்கை அட்டவணையுடன் ஒப்பிட்டார், இதன் விளைவாக இந்த அனுமானம் பரவலாக அறியப்பட்டது என்று அனுமானித்தார், மேலும் 1665 ஆம் ஆண்டில் ஐசக் நியூட்டன் அதை அறிந்திருந்தார். மதிப்பீடுகள் ஒரு நிலையான மாற்றீடு மூலம் (கிரிகோரியின் அணுகுமுறை) பல்வேறு குறிப்புகளில் வழங்கப்பட்ட செகண்ட் ஒருங்கிணைப்பை மதிப்பிடுவதற்கான ஒரு நிலையான முறை எண் மற்றும் வகுப்பினை பெருக்கி பின்னர் மாற்றீட்டைப் பயன்படுத்துவதை உள்ளடக்கியது. இந்த மாற்றீட்டை செகண்ட் மற்றும் டான்ஜென்ட் ஆகியவற்றின் வழித்தோன்றல்களிலிருந்து பெறலாம், அவை ஒரு பொதுவான காரணியாக செகண்ட் கொண்டுள்ளன. அவற்றைச் சேர்ப்பதில் தொடங்கி கூட்டுத்தொகையின் வழித்தோன்றல் இவ்வாறு பெருக்கப்படும் தொகைக்கு சமம். இது எண் மற்றும் வகுப்பினால் பெருக்கி பின்வரும் மாற்றுகளைச் செய்ய உதவுகிறதுஃ ஒருங்கிணைப்பு பின்வருமாறு மதிப்பிடப்படுகிறதுஃ இது ஜேம்ஸ் கிரிகோரியால் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட சூத்திரமாகும். பகுதி பின்னங்கள் மற்றும் ஒரு மாற்றீடு (பாரோவின் அணுகுமுறை) மூலம் கிரிகோரி 1668 ஆம் ஆண்டில் தனது எக்ஸர்சிடேஷன்ஸ் ஜியோமெட்ரிக்கில் இந்த யூகத்தை நிரூபித்த போதிலும், நவீன வாசகர்களுக்கு புரிந்துகொள்வது கிட்டத்தட்ட சாத்தியமற்ற ஒரு வடிவத்தில் ஆதாரம் வழங்கப்பட்டது; ஐசக் பாரோ, 1670 ஆம் ஆண்டின் லெக்ஷன்ஸ் ஜியோமெட்ரிக்கில், முதல் "புரிந்துகொள்ளக்கூடிய" ஆதாரத்தை வழங்கினார், இருப்பினும் அது கூட "அன்றைய வடிவியல் முட்டாள்தனத்தில் இணைக்கப்பட்டது". முடிவுக்கான பாரோவின் ஆதாரம் ஒருங்கிணைப்பில் பகுதி பின்னங்களின் ஆரம்பகால பயன்பாடாகும். நவீன குறியீட்டிற்கு ஏற்ப மாற்றியமைக்கப்பட்ட பாரோவின் ஆதாரம் பின்வருமாறு தொடங்கியதுஃ மாற்றீடு,, எதிர்பார்க்கப்பட்டபடி ஒருங்கிணைப்பை குறைக்கிறது. முழுமையான மதிப்பை எடுத்துக்கொள்வது அவசியமில்லை, ஏனெனில் தொடுகோடு அரை-கோண மாற்றீடு தரநிலையின் மூலம் உண்மையான மதிப்புகளுக்கு எப்போதும் எதிர்மறையாக இருக்காது, எனவே தொடுகோடு அரை-கோண மாற்றீட்டின் கீழ் எனவே செகண்ட் செயல்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்பு முன்பு போலவே இருக்கும். தரமற்றது 2013 இல் வெளியிடப்பட்ட இந்த குறிப்பிட்ட ஒருங்கிணைப்பின் விஷயத்தில் எளிமையான தொடுகோட்டு அரை-கோண மாற்றீட்டின் ஓரளவு தரமற்ற பதிப்பைப் பயன்படுத்துவதன் மூலமும் ஒருங்கிணைப்பைப் பெறலாம், இது பின்வருமாறுஃ மாற்றீடுஃ இரண்டு தொடர்ச்சியான மாற்றீடுகளால் ஒருங்கிணைப்பை கையாளுவதன் மூலமும் இரண்டு முறை மாற்றுவதன் மூலமும் ஒருங்கிணைப்பைத் தீர்க்க முடியும். வரையறை மற்றும் அடையாளத்தைப் பயன்படுத்தி, ஒருங்கிணைப்பை மாற்றாக மீண்டும் எழுதலாம், ஒருங்கிணைப்பைக் குறைக்கலாம் குறைக்கப்பட்ட ஒருங்கிணைப்பை மாற்றுவதன் மூலம் மதிப்பீடு செய்யலாம், பின்னர் அடையாளத்தைப் பயன்படுத்தலாம். ஒருங்கிணைப்பு இப்போது ஒரு எளிய ஒருங்கிணைப்பாகக் குறைக்கப்பட்டுள்ளது, மேலும் பின்-மாற்றீடு என்பது ஒருங்கிணைப்பின் ஹைபர்போலிக் வடிவங்களில் ஒன்றாகும். கொசெகண்ட், ஹைபர்போலிக் செகண்ட் மற்றும் ஹைபர்போலிக் கொசெகண்ட் செயல்பாடுகளை ஒருங்கிணைக்க இதேபோன்ற உத்தியைப் பயன்படுத்தலாம். மற்ற ஹைபர்போலிக் வடிவங்கள் மற்ற இரண்டு ஹைபர்போலிக் வடிவங்களை நேரடியாகக் கண்டறிவதும் சாத்தியமாகும், மீண்டும் ஒரு வசதியான சொல்லால் பெருக்கி வகுப்பதன் மூலம்ஃ இங்கு பதிலீடு செய்வது, ஒரு நிலையான ஒருங்கிணைப்புக்கு குறைகிறதுஃ அடையாளம் செயல்பாடு எங்கே. அதேபோல்ஃ மாற்றீடு,, ஒரு நிலையான ஒருங்கிணைப்புக்கு குறைகிறதுஃ சிக்கலான அதிவேக வடிவத்தைப் பயன்படுத்துதல் மாற்றீட்டின் கீழ் எனவே ஒருங்கிணைப்பை பின்வருமாறு தீர்க்க முடியும்ஃ ஒருங்கிணைப்பின் மாறிலி எதுவாகவும் இருக்கலாம் என்பதால், கூடுதல் மாறிலி சொல்லை அதில் உறிஞ்சலாம். இறுதியாக, தீட்டா உண்மையான மதிப்புடையதாக இருந்தால், சமன்பாட்டை அதன் மிகவும் பழக்கமான வடிவத்தில் பெறுவதற்காக இதை முழுமையான மதிப்பு அடைப்புக்குறிகளுடன் குறிக்கலாம்ஃ குடர்மேனியன் மற்றும் லம்பேர்டியன் ஹைபர்போலிக் செகண்ட் செயல்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்பு குடர்மேனியன் செயல்பாட்டை வரையறுக்கிறதுஃ செகண்ட் செயல்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்பு குடர்மேனியன் செயல்பாட்டின் தலைகீழ் லம்பேர்டியன் செயல்பாட்டை வரையறுக்கிறதுஃ இந்த செயல்பாடுகள் வரைபட கணிப்புகளின் கோட்பாட்டில் எதிர்கொள்ளப்படுகின்றனஃ தீர்க்கரேகை மற்றும் அட்சரேகை கொண்ட கோளத்தில் ஒரு புள்ளியின் மெர்கேட்டர் திட்டத்தையும் இவ்வாறு எழுதலாம்ஃ செகண்ட் க்யூப்ட் குறிப்புகளின் ஒருங்கிணைப்பையும் பார்க்கவும் ஒருங்கிணைந்த கால்குலஸ்