Kepler's equation
சுற்றுப்பாதை இயக்கவியலில், கெப்லரின் சமன்பாடு ஒரு பொருளின் சுற்றுப்பாதையின் பல்வேறு வடிவியல் பண்புகளை ஒரு மைய சக்திக்கு உட்படுத்துகிறது. இது 1609 ஆம் ஆண்டில் ஜோஹன்னஸ் கெப்லரால் அவரது அஸ்ட்ரோனோமியா நோவாவின் அத்தியாயம் 60 இல் பெறப்பட்டது, மேலும் அவரது எபிடோம் ஆஃப் கோப்பர்நிக்கன் அஸ்ட்ரோனமி (1621) என்ற புத்தகத்தில் கெப்லர் சமன்பாட்டிற்கு ஒரு மறு செய்கை தீர்வை முன்மொழிந்தார். எவ்வாறாயினும், இந்த சமன்பாடும் அதன் தீர்வும் முதன்முதலில் 9 ஆம் நூற்றாண்டின் ஹபாஷ் அல்-ஹசிப் அல்-மர்வாஸியின் பாரலாக்ஸ் பிரச்சினைகள் தொடர்பான படைப்புகளில் தோன்றியது. இந்த சமன்பாடு இயற்பியல் மற்றும் கணிதம் ஆகிய இரண்டின் வரலாற்றிலும், குறிப்பாக பாரம்பரிய வான இயக்கவியலில் முக்கிய பங்கு வகித்துள்ளது. கெப்லரின் சமன்பாடு என்பது சராசரி ஒழுங்கின்மை, விசித்திரமான ஒழுங்கின்மை மற்றும் விசித்திரத்தன்மை ஆகும். கெப்லேரியன் சுற்றுப்பாதையில் நகரும் ஒரு புள்ளியின் நிலையை கணக்கிட 'விசித்திரமான ஒழுங்கின்மை' பயனுள்ளதாக இருக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, உடல் செவ்வகங்களில் பெரிஸ்ட்ரானைக் கடந்து சென்றால், எந்த நேரத்திலும் உடலின் நிலையை அறிய, நீங்கள் முதலில் நேரத்திலிருந்து சராசரி ஒழுங்கின்மையையும், சூத்திரத்தின் மூலம் சராசரி இயக்கத்தையும் கணக்கிடுகிறீர்கள், பின்னர் பெற மேலே உள்ள கெப்ளர் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும், பின்னர் ஒருங்கிணைப்புகளைப் பெறவும்ஃ அரை-பெரிய அச்சு, அரை-சிறிய அச்சு எங்கே. கெப்லரின் சமன்பாடு ஒரு ஆழ்நிலை சமன்பாடாகும், ஏனெனில் சைன் ஒரு ஆழ்நிலை செயல்பாடு, அதாவது அதை இயற்கணித ரீதியாக தீர்க்க முடியாது. மதிப்பீடு செய்ய பொதுவாக எண் பகுப்பாய்வு மற்றும் தொடர் விரிவாக்கங்கள் தேவைப்படுகின்றன. மாற்று வடிவங்கள் கெப்லரின் சமன்பாட்டில் பல வடிவங்கள் உள்ளன. ஒவ்வொரு வடிவமும் ஒரு குறிப்பிட்ட வகை சுற்றுப்பாதையுடன் தொடர்புடையது. நிலையான கெப்ளர் சமன்பாடு நீள்வட்ட சுற்றுப்பாதைகளுக்கு () பயன்படுத்தப்படுகிறது. ஹைபர்போலிக் கெப்ளர் சமன்பாடு ஹைபர்போலிக் பாதைகளுக்கு () பயன்படுத்தப்படுகிறது. ரேடியல் கெப்ளர் சமன்பாடு லீனியர் (ரேடியல்) பாதைகளுக்கு பயன்படுத்தப்படுகிறது. பார்கரின் சமன்பாடு பரவளையப் பாதைகளுக்கு () பயன்படுத்தப்படுகிறது. எப்போது, சுற்றுப்பாதை வட்டமானது. அதிகரித்தால் வட்டம் நீள்வட்டமாக மாறுகிறது. மூன்று சாத்தியக்கூறுகள் இருக்கும்போதுஃ ஒரு பரவளையப் பாதை, ஈர்ப்பு மையத்திலிருந்து வெளிப்படும் எல்லையற்ற கதிருடன் உள்ளே அல்லது வெளியே செல்லும் ஒரு பாதை, அல்லது ஈர்ப்பு மையத்திலிருந்து ஒரு கோடு பிரிவில் முன்னும் பின்னுமாகச் செல்லும் ஒரு பாதை. 1 க்கு மேல் ஒரு சிறிய அதிகரிப்பு 180 டிகிரிக்கு கீழ் ஒரு திருப்பும் கோணத்துடன் ஒரு ஹைபர்போலிக் சுற்றுப்பாதையில் விளைகிறது. மேலும் அதிகரிப்புகள் திருப்பும் கோணத்தைக் குறைக்கின்றன, மேலும் முடிவிலிக்குச் செல்லும்போது, சுற்றுப்பாதை எல்லையற்ற நீளத்தின் நேர் கோடு ஆகிறது. ஹைபர்போலிக் கெப்ளர் சமன்பாடு ஹைபர்போலிக் கெப்ளர் சமன்பாடுஃ ஹைபர்போலிக் விசித்திரமான ஒழுங்கின்மை எங்கே. இந்த சமன்பாடு நீள்வட்ட சமன்பாட்டின் வலது புறத்தின் −1 மடங்கின் வர்க்கமூலமாக M ஐ மறுவரையறை செய்வதன் மூலம் பெறப்படுகிறதுஃ (இதில் இப்போது கற்பனையானது) பின்னர் இதை மாற்றுகிறது. ரேடியல் கெப்ளர் சமன்பாடு ரேடியல் கெப்ளர் சமன்பாடுஃ இது நேரத்திற்கு விகிதாசாரமாகும் மற்றும் கதிர் வழியாக ஈர்ப்பு மையத்திலிருந்து தூரத்திற்கு விகிதாசாரமாகும். இந்த சமன்பாடு கெப்லரின் சமன்பாட்டை 1/2 ஆல் பெருக்கி 1: என அமைப்பதன் மூலம் பெறப்படுகிறது, பின்னர் மாற்று தலைகீழ் சிக்கலை உருவாக்குவது கொடுக்கப்பட்ட மதிப்புக்கு கணக்கிடுவது நேரடியானது. இருப்பினும், எப்போது கொடுக்கப்படுகிறது என்பதைத் தீர்ப்பது கணிசமாக மிகவும் சவாலானது. மூடிய வடிவ தீர்வு இல்லை. கெப்லரின் சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுக்கு லாக்ரேஞ்ச் தலைகீழ் முறையைப் பயன்படுத்தி ஒருவர் எல்லையற்ற தொடர் வெளிப்பாட்டை எழுதலாம், ஆனால் தொடர் மற்றும் அனைத்து சேர்க்கைகளுக்கும் ஒன்றிணைக்காது (கீழே காண்க). கெப்லரின் சமன்பாட்டின் தீர்க்கக்கூடிய தன்மை குறித்த குழப்பம் நான்கு நூற்றாண்டுகளாக இலக்கியத்தில் நீடித்து வருகிறது. கெப்லர் ஒரு பொதுவான தீர்வைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான சாத்தியக்கூறுகள் குறித்து சந்தேகத்தை வெளிப்படுத்தினார்ஃ பெசல் செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி ஃபோரியர் தொடர் விரிவாக்கம் (அதைப் பொறுத்தவரை) இது ஒரு காப்டைன் தொடர். தலைகீழ் கெப்ளர் சமன்பாடு தலைகீழ் கெப்ளர் சமன்பாடு என்பது அனைத்து உண்மையான மதிப்புகளுக்கும் கெப்ளரின் சமன்பாட்டின் தீர்வாகும்ஃ இந்த விளைச்சலை மதிப்பீடு செய்தல்ஃ இந்த தொடர்களை கணிதத்தில் தலைகீழ் தொடர் செயல்பாட்டின் மூலம் மீண்டும் உருவாக்க முடியும். தலைகீழ் தொடர் [தொடர் [எம்-சின் [எம்], {எம், 0,10}] தலைகீழ் தொடர் [தொடர் [எம்-இ சின் [எம்], {எம், 0,10}]] இந்த செயல்பாடுகள் எளிய மக்லாரின் தொடர் ஆகும். திவ்யமான செயல்பாடுகளின் இத்தகைய டெய்லர் தொடர் பிரதிநிதித்துவங்கள் அந்த செயல்பாடுகளின் வரையறைகளாக கருதப்படுகின்றன. எனவே, இந்த தீர்வு தலைகீழ் கெப்ளர் சமன்பாட்டின் முறையான வரையறையாகும். இருப்பினும், கொடுக்கப்பட்ட பூஜ்ஜியமற்ற ஒரு முழு செயல்பாடு அல்ல. உண்மையில், பூஜ்ஜியத்திற்கு மிக அருகில் இருக்கும் பூஜ்ஜியம் இந்த இரண்டு புள்ளிகளிலும் இருக்கும்போது (தலைகீழ் கோஷ் நேர்மறையாக எடுத்துக் கொள்ளப்படும் போது), முடிவற்ற சிக்கலான எண்களின் தொகுப்பில் வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியத்திற்குச் செல்கிறது, மேலும் இந்த மதிப்புகளில் முடிவிலிக்குச் செல்கிறது. இதன் பொருள் என்னவென்றால், மக்லாரின் தொடரின் ஒருங்கிணைப்பின் ஆரம் மற்றும் இதை விட பெரிய மதிப்புகளுக்கு தொடர் ஒன்றிணைக்காது. இந்தத் தொடரை ஹைபர்போலிக் வழக்குக்கும் பயன்படுத்தலாம், இந்த விஷயத்தில் ஒருங்கிணைப்பின் ஆரம் எப்போது இணைகிறது என்பதற்கான தொடர். இந்த தீர்வு ஒரு குறிப்பிட்ட கணித அர்த்தத்தில் எளிமையானது என்றாலும், பெரும்பாலான பயன்பாடுகளுக்கு மற்ற தீர்வுகள் விரும்பத்தக்கவை. மாற்றாக, கெப்லரின் சமன்பாட்டை எண்ணியல் ரீதியாக தீர்க்க முடியும். இதற்கு தீர்வு 1968 இல் கார்ல் ஸ்டம்ப்ஃப் என்பவரால் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது, ஆனால் அதன் முக்கியத்துவம் அங்கீகரிக்கப்படவில்லை. ஒருவர் ஒரு மக்லாரின் தொடரையும் எழுதலாம். இந்த தொடர் லாப்லேஸ் வரம்பை விட பெரியதாக இருக்கும்போது (சுமார் 0.66) ஒன்றிணைக்காது, அதன் மதிப்பைப் பொருட்படுத்தாமல் (பல மடங்கு இல்லையென்றால்), ஆனால் லாப்லேஸ் வரம்பை விட குறைவாக இருந்தால் அது அனைவருக்கும் ஒன்றிணைக்கிறது. தொடரில் உள்ள குணகங்கள், முதல் (இது வெறுமனே) தவிர, காலத்துடன் ஒரு குறிப்பிட்ட வழியில் சார்ந்துள்ளது. தலைகீழ் ரேடியல் கெப்ளர் சமன்பாடு () ஐ பின்வருமாறு எழுதலாம்ஃ இந்த விளைச்சலை மதிப்பிடுவதுஃ கணிதத்தைப் பயன்படுத்தி இந்த முடிவைப் பெறுவதற்குஃ தலைகீழ் தொடர் [தொடர் [ஆர்க்சின் [ஸ்கொர்ட் [டி]]-ஸ்கொர்ட் [(1-டி) டி], {டி, 0,15}] நியூட்டனின் தலைகீழ் சிக்கலின் எண் தோராயமானது பெரும்பாலான பயன்பாடுகளுக்கு, செயல்பாட்டின் மூலத்தைக் கண்டுபிடிப்பதன் மூலம் தலைகீழ் சிக்கலை எண்ணியல் ரீதியாகக் கணக்கிட முடியும்ஃ இது நியூட்டனின் முறையின் மூலம் மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்படலாம்ஃ இந்த கணக்கீட்டில் ரேடியன்களின் அலகுகளில் உள்ளன மற்றும் உள்ளன என்பதைக் கவனியுங்கள். விரும்பிய துல்லியம் கிடைக்கும் வரை இந்த மறு செய்கை மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்படுகிறது (எ. கா. <விரும்பிய துல்லியம்). பெரும்பாலான நீள்வட்ட சுற்றுப்பாதைகளுக்கு ஒரு ஆரம்ப மதிப்பு போதுமானது. உடன் சுற்றுப்பாதைகளுக்கு, ஒரு ஆரம்ப மதிப்பைப் பயன்படுத்தலாம். பல படைப்புகள் துல்லியமாக உருவாக்கப்பட்டன (ஆனால் மிகவும் சிக்கலானவை) யூகங்களைத் தொடங்குகின்றன. ஒரே மாதிரியாக 1 ஆக இருந்தால், நியூட்டனின் முறையின் வகுப்பில் உள்ள வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியத்திற்கு அருகில் வரலாம், இது நியூட்டன்-ராப்சன், செகண்ட் அல்லது ரெகுலா ஃபால்சி போன்ற வழித்தோன்றல் அடிப்படையிலான முறைகளை எண்ணியல் ரீதியாக நிலையற்றதாக ஆக்குகிறது. அவ்வாறான நிலையில், பைசெக்ஷன் முறை உத்தரவாதமான ஒருங்கிணைப்பை வழங்கும், குறிப்பாக ஒரு சிறிய ஆரம்ப இடைவெளியில் தீர்வை வரையறுக்க முடியும் என்பதால். நவீன கணினிகளில், 17 முதல் 18 மறு செய்கைகளில் 4 அல்லது 5 இலக்க துல்லியத்தை அடைய முடியும். கெப்லரின் சமன்பாட்டின் ஹைபர்போலிக் வடிவத்திற்கும் இதேபோன்ற அணுகுமுறையைப் பயன்படுத்தலாம். ஒரு பரவளையப் பாதையின் விஷயத்தில், பார்கரின் சமன்பாடு பயன்படுத்தப்படுகிறது. நிலையான-புள்ளி மறு செய்கை ஒரு தொடர்புடைய முறை அதைக் குறிப்பிடுவதன் மூலம் தொடங்குகிறது. வலதுபுறத்தில் உள்ள வெளிப்பாட்டை வலதுபுறத்தில் மீண்டும் மீண்டும் மாற்றுவது மதிப்பீட்டிற்கான எளிய நிலையான-புள்ளி மறு செய்கை வழிமுறையை வழங்குகிறது. இந்த முறை கெப்லரின் 1621 தீர்வுக்கு ஒத்ததாகும். செயல்பாடு E (e, M, n) E = M k = 1 முதல் n E = M + e * sin E க்கு அடுத்த k திரும்பும் E மறு செய்கைகளின் எண்ணிக்கை, இன் மதிப்பைப் பொறுத்தது. ஹைபர்போலிக் வடிவமும் இதேபோல் உள்ளது. இந்த முறை நியூட்டனின் முறை தீர்வுடன் தொடர்புடையது, அதில் சிறிய அளவுகளில் முதல் வரிசையில் மற்றும்,. கெப்லரின் கிரக இயக்க விதிகளையும் பார்க்கவும் கெப்லர் சிக்கல் பொது சார்பியலில் கெப்லர் சிக்கல் ரேடியல் பாதை குறிப்புகள் வெளிப்புற இணைப்புகள் கெப்லரின் சமன்பாடு வொல்ஃப்ராம் கணித உலகத்தில் இயற்பியலின் பெயரிடப்பட்ட சமன்பாடுகள் ஜோஹன்னஸ் கெப்லர் சுற்றுப்பாதைகள்