Zero to the power of zero
பூஜ்ஜியத்தின் சக்திக்கு பூஜ்ஜியம் என்பது ஒரு கணித வெளிப்பாடாகும், இது சூழலைப் பொறுத்து 1 என வரையறுக்கப்படுகிறது அல்லது வரையறுக்கப்படாமல் விடப்படுகிறது. இயற்கணிதம் மற்றும் ஒருங்கிணைப்பில், ஒன்று பொதுவாக வரையறுக்கிறது. கணித பகுப்பாய்வில், வெளிப்பாடு சில நேரங்களில் வரையறுக்கப்படாமல் விடப்படுகிறது. கணினி நிரலாக்க மொழிகள் மற்றும் மென்பொருள்களும் இந்த வெளிப்பாட்டைக் கையாள வெவ்வேறு வழிகளைக் கொண்டுள்ளன. இயற்கையான-எண் அடுக்குகளை உள்ளடக்கிய பல பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படும் சூத்திரங்கள் என வரையறுக்கப்பட வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, பின்வரும் மூன்று விளக்கங்கள் நேர்மறை முழு எண்களுக்கு செய்வது போலவே அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும்ஃ ஒரு வெற்று பெருக்கல் என்ற விளக்கம் அதற்கு மதிப்பை ஒதுக்குகிறது. இதன் ஒருங்கிணைந்த விளக்கம் ஒரு-உறுப்பு தொகுப்பிலிருந்து உறுப்புகளின் 0-டப்பிள்களின் எண்ணிக்கை ஆகும்; சரியாக ஒரு 0-டப்பிள் உள்ளது. செட்-கோட்பாட்டு விளக்கம் என்பது வெற்று தொகுப்பிலிருந்து ஒரு-உறுப்பு தொகுப்புக்கு செயல்பாடுகளின் எண்ணிக்கை; அத்தகைய ஒரு செயல்பாடு சரியாக உள்ளது, அதாவது வெற்று செயல்பாடு. இந்த மூவரும் கொடுப்பதில் நிபுணத்துவம் பெற்றவர்கள். பல்லுறுப்புக்கோவைகள் மற்றும் சக்தி தொடர் பல்லுறுப்புக்கோவைகளை மதிப்பிடும் போது, என வரையறுப்பது வசதியானது. ஒரு (உண்மையான) பல்லுறுப்புக்கோவை என்பது வடிவத்தின் வெளிப்பாடாகும், அங்கு ஒரு நிச்சயமற்றது, மற்றும் குணகங்கள் உண்மையான எண்கள். பல்லுறுப்புக்கோவைகள் கால அடிப்படையில் சேர்க்கப்பட்டு, விநியோக விதி மற்றும் அடுக்குகளுக்கான வழக்கமான விதிகளைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் பெருக்கப்படுகின்றன. இந்த செயல்பாடுகளுடன், பல்லுறுப்புக்கோவைகள் ஒரு வளையத்தை உருவாக்குகின்றன. பெருக்கல் அடையாளம் பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும்; அதாவது, எந்த பல்லுறுப்புக்கோவை நேரமும் நியாயமானது. மேலும், பல்லுறுப்புக்கோவைகளை ஒரு உண்மையான எண்ணுக்கு சிறப்புப்படுத்துவதன் மூலம் மதிப்பீடு செய்யலாம். இன்னும் துல்லியமாக, கொடுக்கப்பட்ட எந்தவொரு உண்மையான எண்ணுக்கும், ஒரு தனித்துவமான ஒற்றை-இயற்கணிதம் ஹோமோமார்பிசம் உள்ளது. ஏனெனில் அது ஒன்றுபட்டது. அதாவது, 0 உட்பட ஒவ்வொரு உண்மையான எண்ணுக்கும். எந்தவொரு வளையத்தாலும் மாற்றப்படும் அதே வாதம் பொருந்தும். பல பல்லுறுப்புக்கோவை அடையாளங்களுக்கு வரையறை அவசியம். எடுத்துக்காட்டாக, பைனாமியல் தேற்றம் என்றால் மட்டுமே பொருந்தும். இதேபோல், பவர் சீரிஸின் வளையங்கள் அனைத்து நிபுணத்துவங்களுக்கும் 1 என வரையறுக்கப்பட வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, போன்ற அடையாளங்கள் மற்றும் இருந்தால் மட்டுமே வைத்திருங்கள். பல்லுறுப்புக்கோவை ஒரு தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டை வரையறுக்க, ஒருவர் வரையறுக்க வேண்டும். கால்குலஸில், பவர் விதி என்றால் மட்டுமே செல்லுபடியாகும். இயற்கணித செயல்பாடுகளை உள்ளடக்கிய தொடர்ச்சியான அடுக்குகள் வரம்புகள் பெரும்பாலும் துணை வெளிப்பாடுகளை அவற்றின் வரம்புகளால் மாற்றுவதன் மூலம் மதிப்பீடு செய்யப்படலாம்; இதன் விளைவாக வெளிப்பாடு அசல் வரம்பை தீர்மானிக்கவில்லை என்றால், வெளிப்பாடு ஒரு நிச்சயமற்ற வடிவம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. வெளிப்பாடு ஒரு நிச்சயமற்ற வடிவமாகும்ஃ உண்மையான மதிப்புள்ள செயல்பாடுகள் மற்றும் நெருங்குதல் (ஒரு உண்மையான எண்ணை அணுகும்போது அல்லது) உடன், வரம்பு எந்த எதிர்மறை அல்லாத உண்மையான எண்ணாக இருக்கலாம் அல்லது, அல்லது அது வேறுபடலாம், மற்றும் பொறுத்து. எடுத்துக்காட்டாக, கீழே உள்ள ஒவ்வொரு வரம்பும் (ஒரு பக்க வரம்பு) கொண்ட ஒரு செயல்பாட்டை உள்ளடக்கியது, ஆனால் அவற்றின் மதிப்புகள் வேறுபட்டவைஃ எனவே, இரண்டு மாறிகள் கொண்ட செயல்பாடு, தொகுப்பில் தொடர்ச்சியாக இருந்தாலும், ஒரு தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டிற்கு நீட்டிக்க முடியாது, ஒருவர் வரையறுக்க எப்படி தேர்வு செய்தாலும் சரி. மறுபுறம், ஒரு எண்ணின் திறந்த சுற்றுப்புறத்தில் பகுப்பாய்வு செயல்பாடுகள் இருந்தால், எந்த பக்கத்திலிருந்தும் நேர்மறையாக அணுகும்போது. செயல்பாட்டின் வரம்புக்குட்பட்ட நடத்தையைப் படிப்பதன் மூலம் இதையும் மேலும் பொதுவான முடிவுகளையும் பெறலாம். சிக்கலான அடுக்குகளில், ஒரு கிளையைத் தேர்ந்தெடுத்து வரையறுப்பதன் மூலம் பூஜ்ஜியமற்ற செயல்பாட்டை வரையறுக்கலாம். இது வரையறுக்கப்படவில்லை, ஏனெனில் வரையறுக்கப்பட்ட எந்த கிளையும் இல்லை, ஒரு சுற்றுப்புறத்தில் ஒருபுறம் இருக்கட்டும். வரலாறு ஒரு மதிப்பாக 1752 ஆம் ஆண்டில், ஆய்லர் இன் இன்ட்ரோடெக்ட்டியோ இன் அனாலிசின் இன்ஃபினிட்டோரம் அதை எழுதி வெளிப்படையாக குறிப்பிட்டுள்ளார். ஆய்லரின் புத்தகமான இன்ஸ்டிடியூஷன்ஸ் கால்குலி டிஃபரென்ஷியலிஸின் 1787 பதிப்பில் மாஸ்செரோனிக்குக் கூறப்பட்ட ஒரு சிறுகுறிப்பு "நியாயப்படுத்தல்" மற்றும் மற்றொரு தொடர்புடைய நியாயப்படுத்தலை வழங்கியது. 1830 களில், லிப்ரி இந்தக் கூற்றை நியாயப்படுத்த முயற்சிக்கும் பல வாதங்களை வெளியிட்டார், இருப்பினும் அவை நம்பத்தகுந்தவை அல்ல, அந்த நேரத்தில் கடுமையான தரநிலைகளால் கூட. ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட வடிவமாக யூலர், அமைக்கும் போது, இதன் விளைவாக செயல்பாட்டின் மதிப்புகள் ஒரு "பெரிய தாவலை" எடுக்கும் என்று குறிப்பிட்டுள்ளார், for, to, to for. 1814 ஆம் ஆண்டில், ஃபாஃப் ஒரு கசக்கி தேற்றம் வாதத்தைப் பயன்படுத்தி அதை நிரூபித்தார். மறுபுறம், 1821 ஆம் ஆண்டில் காச்சி, நேர்மறை எண்கள் மற்றும் அணுகுமுறையின் வரம்பு சில நிலையான உறவால் கட்டுப்படுத்தப்பட்டாலும், அதற்கு இடையிலான எந்தவொரு மதிப்பையும் ஏற்றவாறு தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம் ஏன் செய்ய முடியும் என்பதை விளக்கினார். ஒரு குறிப்பிட்ட கட்டுப்பாடு இல்லாமல் முழு இரண்டு மாறிகள் கொண்ட செயல்பாட்டின் வரம்பு "நிச்சயமற்றது" என்று அவர் கருதினார். இந்த நியாயப்படுத்தலுடன், அவர் நிச்சயமற்ற வடிவங்களின் அட்டவணையில் உள்ளதைப் போன்ற வெளிப்பாடுகளுடன் பட்டியலிட்டார். காச்சியின் படைப்புகளைப் பற்றி வெளிப்படையாகத் தெரியாமல், 1834 ஆம் ஆண்டில் மோபியஸ், ஃபாஃப்பின் வாதத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டு, ஒரு எண்ணை நெருங்கும் போதெல்லாம் (அநேகமாக அதிலிருந்து நேர்மறையாக கருதப்படுகிறது) என்று தவறாக கூறினார். மோபியஸ் வழக்கைக் குறைத்தார், ஆனால் பின்னர் ஒவ்வொன்றும் மற்றும் சில தொடர்ச்சியான செயல்பாடு மறைந்துவிடாத மற்றும் சில எதிர்மறை அல்லாத முழு எண்ணுக்கான வடிவத்தில் வெளிப்படுத்தப்படலாம் என்று கருதி தவறு செய்தார், இது பகுப்பாய்வு செயல்பாடுகளுக்கு உண்மை, ஆனால் பொதுவாக இல்லை. ஒரு அநாமதேய வர்ணனையாளர் நியாயமற்ற நடவடிக்கையை சுட்டிக்காட்டினார்; பின்னர் அவரது பெயரை வெறுமனே "எஸ்" என்று கையெழுத்திட்ட மற்றொரு வர்ணனையாளர் வெளிப்படையான எதிர் உதாரணங்களை வழங்கினார் மற்றும் "பல வேறுபட்ட மதிப்புகளைக் கொண்டிருக்கலாம்" என்று எழுதுவதன் மூலம் நிலைமையை வெளிப்படுத்தினார். சில எழுத்தாளர்கள் தற்போதைய சூழ்நிலையை வரையறுக்கிறார்கள், ஏனெனில் இது பல தேற்ற அறிக்கைகளை எளிதாக்குகிறது. பென்சனின் (1999) கூற்றுப்படி, "வரையறுக்க வேண்டுமா என்பது வசதியை அடிப்படையாகக் கொண்டது, சரியானது அல்ல. வரையறுப்பதில் இருந்து நாம் விலகினால், சில கூற்றுக்கள் தேவையில்லாமல் சங்கடமாக மாறும். . வரையறையைப் பயன்படுத்துவது ஒருமித்த கருத்து, வரையறையைத் தவிர்க்கும் பாடப்புத்தகங்கள் இருந்தாலும் ". க்னுத் (1992) "இருக்க வேண்டும்" என்று இன்னும் வலுவாக வாதிடுகிறார்; அவர் சமமாக இருக்க வேண்டிய மதிப்புக்கும், வரையறுக்கப்பட்ட வடிவத்திற்கும் (எங்கு ஒரு வரம்புக்கான சுருக்கம்) இடையே ஒரு வேறுபாட்டை வரைகிறார், இது ஒரு நிச்சயமற்ற வடிவமாகும்ஃ "காச்சி மற்றும் லிப்ரி இருவரும் சரியாக இருந்தனர், ஆனால் லிப்ரியும் அவரது பாதுகாவலர்களும் உண்மை ஏன் தங்கள் பக்கத்தில் இருந்தது என்பதைப் புரிந்து கொள்ளவில்லை". மற்ற எழுத்தாளர்கள் வரையறுக்கப்படாமல் விட்டுவிடுகிறார்கள், ஏனெனில் இது ஒரு நிச்சயமற்ற வடிவம்ஃ குறிக்கவில்லை. 1 ஐத் தவிர வேறு எந்த எழுத்தாளர்களும் ஒரு குறிப்பிட்ட மதிப்பை ஒதுக்குவதாகத் தெரியவில்லை. பெரும்பாலான மிதக்கும்-புள்ளி நூலகங்களின் வடிவமைப்பில் IEEE மிதக்கும்-புள்ளி தரநிலை IEEE 754-2008 மிதக்கும்-புள்ளி தரநிலை பயன்படுத்தப்படுகிறது. ஒரு சக்தியைக் கணக்கிடுவதற்கு பல செயல்பாடுகளை இது பரிந்துரைக்கிறதுஃ பான் (அதன் எக்ஸ்போனன்ட் ஒரு முழு எண்) கருதுகிறது; பார்க்கவும். பாவ் (அதன் நோக்கம் ஒரு என்ஏஎன் அல்லாத முடிவை திருப்பித் தருவதாகும், எக்ஸ்போனன்ட் ஒரு முழு எண்ணாக இருக்கும்போது, பாவ் போன்றது) கருதுகிறது. தீர்மானிக்கப்படாத வடிவத்தின் காரணமாக பவார் NaN (ஒரு எண் அல்ல) என்று கருதுகிறது; பார்க்கவும். பாவ் மாறுபாடு C99 இன் பாவ் செயல்பாட்டால் ஈர்க்கப்பட்டுள்ளது, முக்கியமாக பொருந்தக்கூடிய தன்மைக்காக. இது பெரும்பாலும் ஒற்றை சக்தி செயல்பாட்டைக் கொண்ட மொழிகளுக்கு பயனுள்ளதாக இருக்கும். பவர் செயல்பாடுகளின் முரண்பட்ட பயன்பாடு மற்றும் வெவ்வேறு கண்ணோட்டங்கள் (மேலே குறிப்பிட்டுள்ளபடி) காரணமாக பவன் மற்றும் பவ்ர் வகைகள் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டுள்ளன. நிரலாக்க மொழிகள் சி மற்றும் சி + + தரநிலைகள் இதன் முடிவைக் குறிப்பிடவில்லை (ஒரு களப் பிழை ஏற்படலாம்). ஆனால் C ஐப் பொறுத்தவரை, C99 இன் படி, நெறிமுறை இணைப்பு F ஆதரிக்கப்பட்டால், உண்மையான மிதக்கும்-புள்ளி வகைகளுக்கான முடிவு இருக்க வேண்டும், ஏனெனில் NaN ஐ விட இந்த மதிப்பு மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும் குறிப்பிடத்தக்க பயன்பாடுகள் உள்ளன (எடுத்துக்காட்டாக, தனித்துவமான அடுக்குகளுடன்); தகவல் இணைப்பு G ஆதரிக்கப்பட்டாலும் கூட, சிக்கலான வகைகளின் முடிவு குறிப்பிடப்படவில்லை. ஜாவா தரநிலை,. NET கட்டமைப்பு முறை System.Math.Pow, ஜூலியா மற்றும் பைதான் ஆகியவையும் கருதப்படுகின்றன. சில மொழிகள் அவற்றின் எக்ஸ்போனென்டியேஷன் செயல்பாடு சி கணித நூலகத்தின் பாவ் செயல்பாட்டுடன் ஒத்திருப்பதாக ஆவணப்படுத்துகின்றன; இது லுவா மற்றும் பெர்லின் * * ஆபரேட்டரின் விஷயமாகும் (இதில் 0 * * 0 இன் முடிவு மேடையை சார்ந்துள்ளது என்று வெளிப்படையாகக் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது). கணித மற்றும் அறிவியல் மென்பொருள் ஏபிஎல், ஆர், ஸ்டேட்டா, சேஜ்மேத், மேட்லேப், மேக்மா, ஜிஏபி, சிங்குலர், பாரி/ஜிபி மற்றும் குனு ஆக்டேவ் ஆகியவை மதிப்பீடு செய்கின்றன. கணிதம் மற்றும் மாக்சிமா ஆகியவை எந்த தடையும் வைக்கப்படாவிட்டாலும் எளிமைப்படுத்துகின்றன; இருப்பினும், நேரடியாக உள்ளிடப்பட்டால், அது ஒரு பிழை அல்லது நிச்சயமற்றதாக கருதப்படுகிறது. சேஜ்மேத் எளிமைப்படுத்தவில்லை. மேப்பிள், மேத்தமேடிகா மற்றும் PARI/GP ஆகியவை முழு எண் மற்றும் மிதக்கும்-புள்ளி மதிப்புகளை மேலும் வேறுபடுத்துகின்றனஃ அதிர்வுறு முழு எண் வகையின் பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், அவை அடித்தளத்தின் வகையின் a ஐத் திருப்புகின்றன; பூஜ்ஜிய மதிப்பின் மிதக்கும்-புள்ளி அதிர்வுடன் கூடிய அதிர்வு வரையறுக்கப்படாத, தீர்மானிக்கப்படாத அல்லது பிழையாகக் கருதப்படுகிறது. 0/0 குறிப்புகள் வெளிப்புற இணைப்புகள் sci.math அடிக்கடி கேட்கப்படும் கேள்விகள்ஃ அது என்ன? (பூஜ்ஜியம் பூஜ்ஜிய சக்திக்கு) என்ன சமம்? கணினி எண்கணித பிழைகள் 0 (எண்) மென்பொருள் முரண்பாடுகள் 1 (எண்)