Hardy field
கணிதத்தில், ஹார்டி புலம் என்பது வேறுபாட்டின் கீழ் மூடப்பட்டிருக்கும் முடிவிலியில் உண்மையான மதிப்புள்ள செயல்பாடுகளின் கிருமிகளைக் கொண்ட ஒரு புலமாகும். அவை ஆங்கில கணிதவியலாளர் ஜி. எச். ஹார்டியின் பெயரால் அழைக்கப்படுகின்றன. வரையறை ஆரம்பத்தில் குறைந்தபட்சம், ஹார்டி புலங்கள் முடிவிலியில் உண்மையான செயல்பாடுகளின் கிருமிகளின் அடிப்படையில் வரையறுக்கப்பட்டன. குறிப்பாக அனைத்து பெரிய உண்மையான எண்களுக்கும் வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாடுகளின் தொகுப்பு H ஐ நாம் கருதுகிறோம், அதாவது செயல்பாடுகள் f என்பது உண்மையான எண்கள் R க்கு (u, ≤) வரைபடம், f ஐப் பொறுத்து சில உண்மையான எண் u க்கு. இங்கே மற்றும் மீதமுள்ள கட்டுரையில் ஒரு செயல்பாடு போதுமான அளவு பெரிய x க்கான பண்பைக் கொண்டிருந்தால் "இறுதியில்" ஒரு பண்பு உள்ளது என்று நாம் கூறுகிறோம், எனவே எடுத்துக்காட்டாக, H இல் உள்ள ஒரு செயல்பாடு f என்பது இறுதியில் பூஜ்ஜியமாகும், அதாவது சில உண்மையான எண் U இருந்தால் f (x) = 0 அனைத்து x ≤ U க்கும். f − g இறுதியில் பூஜ்ஜியமாக இருந்தால் மட்டுமே f என்பது g க்கு சமம் என்று சொல்வதன் மூலம் H இல் ஒரு சமநிலை உறவை உருவாக்க முடியும். இந்த உறவின் சமநிலை வகுப்புகள் முடிவிலியில் கிருமிகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. வழக்கமான கூட்டல் மற்றும் செயல்பாடுகளின் பெருக்கத்தின் கீழ் H ஒரு புலத்தை உருவாக்கினால், தூண்டப்பட்ட கூட்டல் மற்றும் பெருக்க செயல்பாடுகளின் கீழ் இந்த சமநிலை உறவை H மாடுலோ செய்யும். மேலும், H இல் உள்ள ஒவ்வொரு செயல்பாடும் இறுதியில் வேறுபடுத்தக்கூடியதாகவும், H இல் உள்ள எந்தவொரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலும் H இல் இருந்தால், H மாடுலோ மேலே உள்ள சமநிலை உறவு ஒரு ஹார்டி புலம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. எனவே ஒரு ஹார்டி புலத்தின் கூறுகள் சமநிலை வகுப்புகள் மற்றும் குறிக்கப்பட வேண்டும், சொல்லுங்கள், [f] ν என்பது இறுதியில் பிரதிநிதித்துவ செயல்பாடு f க்கு சமமான செயல்பாடுகளின் வகுப்பைக் குறிக்கிறது. இருப்பினும், நடைமுறையில் கூறுகள் பொதுவாக பிரதிநிதிகளால் மட்டுமே குறிக்கப்படுகின்றன, எனவே [f] ν க்கு பதிலாக ஒருவர் f ஐ எழுதுவார். எடுத்துக்காட்டுகள் F என்பது R இன் துணைப்புலமாக இருந்தால், F இன் கூறுகளை நிலையான செயல்பாடுகளாகக் கருதுவதன் மூலம் அதை ஒரு ஹார்டி புலமாக கருதலாம், அதாவது F இல் உள்ள எண் α ஐ R முதல் α வரை ஒவ்வொரு x ஐ வரைபடமாக்கும் நிலையான செயல்பாடு fα ஆகக் கருதுவதன் மூலம். இது F என்பதால் ஒரு புலம், மேலும் இந்த புலத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலும் 0 என்பதால் இது F இல் இருக்க வேண்டும், இது ஒரு ஹார்டி புலம். ஒரு ஹார்டி புலத்தின் குறைவான அற்பமான எடுத்துக்காட்டு R இல் உள்ள விகிதமுறு செயல்பாடுகளின் புலமாகும், இது R (x) ஐக் குறிக்கிறது. இது P (x)/Q (x) வடிவத்தின் செயல்பாடுகளின் தொகுப்பாகும், இதில் P மற்றும் Q ஆகியவை உண்மையான குணகங்களைக் கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவைகள் ஆகும். இயற்கணிதத்தின் அடிப்படை தேற்றத்தின் மூலம் பல்லுறுப்புக்கோவை Q ஆனது இறுதியாக பல பூஜ்ஜியங்களை மட்டுமே கொண்டிருக்க முடியும் என்பதால், அத்தகைய விகிதமுறு செயல்பாடு அனைத்து போதுமான பெரிய x க்கும் வரையறுக்கப்படும், குறிப்பாக Q இன் மிகப்பெரிய உண்மையான மூலத்தை விட பெரிய அனைத்து x க்கும். விகிதமுறு செயல்பாடுகளைச் சேர்ப்பதும் பெருக்குவதும் அதிக விகிதமுறு செயல்பாடுகளைத் தருகிறது, மேலும் விகிதமுறு விதி விகிதமுறு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் மீண்டும் ஒரு விகிதமுறு செயல்பாடு என்பதைக் காட்டுகிறது, எனவே R (x) ஒரு ஹார்டி புலத்தை உருவாக்குகிறது. மற்றொரு உதாரணம் நிலையான எண்கணித செயல்பாடுகள், அடுக்குகள் மற்றும் மடக்கைப் பயன்படுத்தி வெளிப்படுத்தக்கூடிய செயல்பாடுகளின் புலம், மேலும் அவை வடிவத்தின் சில இடைவெளியில் நன்கு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளன. இத்தகைய செயல்பாடுகள் சில நேரங்களில் ஹார்டி எல்-செயல்பாடுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. மிகப் பெரிய ஹார்டி புலங்கள் (அவை ஹார்டி எல்-செயல்பாடுகளை ஒரு துணை புலமாக கொண்டுள்ளன) டிரான்ஸிரீஸைப் பயன்படுத்தி வரையறுக்கப்படலாம். பண்புகள் ஒரு ஹார்டி புலத்தின் ஒவ்வொரு உறுப்பும் இறுதியில் கண்டிப்பாக நேர்மறை, கண்டிப்பாக எதிர்மறை அல்லது பூஜ்ஜியமாக இருக்கும். இது ஒரு ஹார்டி புலத்தில் உள்ள உறுப்புகள் இறுதியில் வேறுபடுத்தக்கூடியவை, எனவே தொடர்ச்சியானவை மற்றும் இறுதியில் ஒரு பெருக்க தலைகீழ் அல்லது பூஜ்ஜியத்தைக் கொண்டுள்ளன என்ற உண்மைகளிலிருந்து மிகவும் உடனடியாகப் பின்தொடர்கிறது. இதன் பொருள் சைன் மற்றும் கொசைன் செயல்பாடுகள் போன்ற காலமுறை செயல்பாடுகள் ஹார்டி புலங்களில் இருக்க முடியாது. காலமுறை செயல்பாடுகளைத் தவிர்ப்பது என்பது ஒரு ஹார்டி புலத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் முடிவிலியில் (எல்லையற்றதாக இருக்கலாம்) வரம்பு உள்ளது, எனவே f என்பது H இன் ஒரு உறுப்பு என்றால், R ≤ {− ≤, + ≤} இல் உள்ளது. இதன் பொருள் என்னவென்றால், g − f இறுதியில் கண்டிப்பாக நேர்மறையாக இருந்தால் f <g என்று சொல்வதன் மூலம் H மீது ஒரு வரிசையை வைக்கலாம். இது f இன் வரம்பு g இன் வரம்பை விட குறைவாக இருந்தால் f <g என்று குறிப்பிடுவதற்கு சமமானதல்ல என்பதை நினைவில் கொள்க. எடுத்துக்காட்டாக, f (x) = x என்ற அடையாளச் சார்பின் கிருமிகளையும், g (x) = ex என்ற அதிவேகச் சார்பையும் கருத்தில் கொண்டால், அனைத்து x க்கும் g (x) − f (x)> 0 என்பதால் நமக்கு அந்த g> f உள்ளது. ஆனால் அவை இரண்டும் முடிவிலிக்கு முனைகின்றன. இந்த அர்த்தத்தில் வரம்பற்ற செயல்பாடுகள் அனைத்தும் எவ்வளவு விரைவாக முடிவிலிக்கு வேறுபடுகின்றன என்பதை வரிசைப்படுத்தல் நமக்குக் கூறுகிறது. வரையறுக்கப்பட்ட வரம்புகள் கூட சமமாக இருந்தால் போதாதுஃ f (x) = 1/x மற்றும் g (x) = 0 ஐக் கருத்தில் கொள்ளுங்கள். மாதிரி கோட்பாட்டில் ஹார்டி புலங்களின் நவீன கோட்பாடு உண்மையான செயல்பாடுகளுக்கு மட்டுப்படுத்தப்படவில்லை, ஆனால் உண்மையான மூடிய புலங்களை விரிவுபடுத்தும் சில கட்டமைப்புகளில் வரையறுக்கப்பட்டவை. உண்மையில், R என்பது ஒரு புலத்தின் o-குறைந்தபட்ச விரிவாக்கமாக இருந்தால், R இல் உள்ள அனைத்து போதுமான பெரிய உறுப்புகளுக்கும் வரையறுக்கப்பட்ட வரையறுக்க முடியாத செயல்பாடுகளின் தொகுப்பு H (R) என்று குறிக்கப்படும் ஒரு ஹார்டி புலத்தை உருவாக்குகிறது. உண்மையான அமைப்பில் உள்ள ஹார்டி புலங்களின் பண்புகள் இன்னும் இந்த பொதுவான அமைப்பில் உள்ளன. குறிப்புகள் அறிகுறியற்ற பகுப்பாய்வு மாதிரி கோட்பாடு களம் (கணிதம்) இயற்கணித கட்டமைப்புகள்