Coherent states in mathematical physics
ஒத்திசைவான நிலைகள் ஒரு இயற்பியல் சூழலில் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டுள்ளன, முதலில் குவாண்டம் இயக்கவியலில் அரை-கிளாசிக்கல் நிலைகளாகவும், பின்னர் குவாண்டம் ஒளியியலின் முதுகெலும்பாகவும் அவை ஒத்திசைவான நிலைகள் என்ற கட்டுரையில் விவரிக்கப்பட்டுள்ளன (மேலும் காண்க). இருப்பினும், அவை பல்வேறு வகையான பொதுமைப்படுத்தல்களை உருவாக்கியுள்ளன, இது கணித இயற்பியலில் மிகப்பெரிய அளவிலான இலக்கியங்களுக்கு வழிவகுத்துள்ளது. இந்தக் கட்டுரையில், இந்த வரிசையில் ஆராய்ச்சியின் முக்கிய திசைகளை நாங்கள் வரைகிறோம். மேலும் விவரங்களுக்கு, தற்போதுள்ள பல ஆய்வுகளை நாங்கள் குறிப்பிடுகிறோம். ஒரு பொதுவான வரையறை ஒரு சிக்கலான, பிரிக்கக்கூடிய ஹில்பர்ட் இடமாக இருக்கட்டும், உள்ளூரில் கச்சிதமான இடம் மற்றும் ஒரு அளவீடு. ஒவ்வொன்றிற்கும், ஒரு திசையனைக் குறிக்கவும். இந்த திசையன்களின் தொகுப்பு பின்வரும் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம்ஃ வரைபடம் பலவீனமாக தொடர்ச்சியானது, அதாவது, ஒவ்வொரு திசையனுக்கும், செயல்பாடு தொடர்ச்சியானது (இடவியலில்). அடையாளத்தின் தீர்மானம் ஹில்பர்ட் இடத்தில் பலவீனமான அர்த்தத்தில் உள்ளது, அதாவது, எந்த இரண்டு திசையன்களுக்கும், பின்வரும் சமத்துவம் உள்ளதுஃ மேலே உள்ள இரண்டு பண்புகளை திருப்திப்படுத்தும் திசையன்களின் தொகுப்பு பொதுவான ஒத்திசைவான நிலைகளின் குடும்பம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. நியதி அல்லது நிலையான ஒத்திசைவு நிலைகளின் (சி. சி. எஸ்) முந்தைய வரையறையை (ஒத்திசைவு நிலை என்ற கட்டுரையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது) மீட்டெடுப்பதற்காக, சிக்கலான தளத்தை எடுத்துக்கொள்வது போதுமானது மற்றும் சில நேரங்களில் அடையாள நிலையின் தீர்மானம் ஒரு பலவீனமான நிபந்தனையால் மாற்றப்படுகிறது, திசையன்கள் வெறுமனே மொத்த தொகுப்பை உருவாக்குகின்றன மற்றும் செயல்பாடுகள், மூலம் ஓடுகிறது, ஒரு இனப்பெருக்கம் கர்னல் ஹில்பர்ட் இடத்தை உருவாக்குகிறது. இரண்டு நிகழ்வுகளிலும் நோக்கம் ஒரு தன்னிச்சையான திசையன் இந்த திசையன்களின் நேரியல் (ஒருங்கிணைந்த) கலவையாக வெளிப்படுத்தப்படுவதை உறுதி செய்வதாகும். உண்மையில், அடையாளத்தின் தீர்மானம் உடனடியாக எங்கு என்பதைக் குறிக்கிறது. இந்த திசையன்கள் சதுர ஒருங்கிணைப்பு, தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகள் மற்றும் இனப்பெருக்கம் செய்யும் பண்புகளை திருப்திப்படுத்துகின்றன, இங்கு இனப்பெருக்கம் செய்யும் கர்னல் உள்ளது, இது பின்வரும் பண்புகளை திருப்திப்படுத்துகிறது சில எடுத்துக்காட்டுகள் மேலே கொடுக்கப்பட்ட பொதுவான கட்டமைப்பின் எடுத்துக்காட்டுகளாக, பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படும் சில வகையான ஒத்திசைவான நிலைகளை இந்த பிரிவில் வழங்குகிறோம். நேரியல் அல்லாத ஒத்திசைவான நிலைகள் சி. சி. எஸ்ஸின் ஒரு பெரிய வகை பொதுமைப்படுத்தல்கள் அவற்றின் பகுப்பாய்வு கட்டமைப்பை எளிமையாக மாற்றுவதன் மூலம் பெறப்படுகின்றன. நேர்மறை எண்களின் () எல்லையற்ற வரிசையாக இருக்கட்டும். மரபு தொகுப்பின் மூலம் வரையறுக்கவும். சிசிஎஸ் விவரிக்கப்பட்ட அதே ஃபாக் இடத்தில், இப்போது தொடர்புடைய சிதைந்த அல்லது நேரியல் அல்லாத ஒத்திசைவான நிலைகளை விரிவாக்கத்தால் வரையறுக்கிறோம் இயல்பாக்குதல் காரணி தேர்ந்தெடுக்கப்படுகிறது. இந்த பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ஒத்திசைவான நிலைகள் ஃபாக் இடத்தில் மிகைப்படுத்தப்பட்டவை மற்றும் ஆரம் கொண்ட சிக்கலான தளத்தில் ஒரு திறந்த வட்டு என்ற அடையாளத்தின் தீர்மானத்தை திருப்திப்படுத்துகின்றன, தொடரின் ஒருங்கிணைப்பின் ஆரம் (சிசிஎஸ் விஷயத்தில்,). இந்த அளவீடு பொதுவாக (for) வடிவத்தில் உள்ளது, இது தருணம் நிபந்தனையுடன் தொடர்புடையது. மீண்டும், ஃபாக் இடத்தில் ஒரு தன்னிச்சையான திசையனுக்கு, செயல்பாடு வடிவத்தில் உள்ளது, களத்தில் ஒரு பகுப்பாய்வு செயல்பாடு எங்கே என்பதைக் காண்கிறோம். இந்த ஒத்திசைவான நிலைகளுடன் தொடர்புடைய இனப்பெருக்கம் செய்யும் கர்னல் பாருட்-கிரார்டெல்லோ ஒத்திசைவான நிலைகள் ஆகும். சி. சி. எஸ் வழக்குடன் ஒப்பிடுகையில், திசையன்கள் மற்றும் அதன் அருகிலுள்ள ஆபரேட்டர் மீது அதன் செயல்பாட்டின் மூலம் ஒரு பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட அனிஹிலேஷன் ஆபரேட்டரை வரையறுக்க முடியும். அளவுகளின் சரியான மதிப்புகளைப் பொறுத்து, இந்த இரண்டு ஆபரேட்டர்களும், அடையாளம் மற்றும் அவற்றின் அனைத்து கம்யூட்டேட்டர்களுடனும் சேர்ந்து, பல்வேறு வகையான சிதைந்த குவாண்டம் ஆல்ஜிப்ராக்கள் உட்பட பரந்த அளவிலான ஆல்ஜிப்ராக்களை உருவாக்க முடியும். இந்த பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ஒத்திசைவான நிலைகளுக்கு பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படும் 'நேரியல் அல்லாத' என்ற சொல், குவாண்டம் ஒளியியலில் இருந்து மீண்டும் வருகிறது, அங்கு கதிர்வீச்சு புலத்திற்கும் அணுக்களுக்கும் இடையிலான தொடர்புகளைப் படிப்பதில் பல நிலைகளின் குடும்பங்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, அங்கு தொடர்புகளின் வலிமை கதிர்வீச்சின் அதிர்வெண்ணைப் பொறுத்தது. நிச்சயமாக, இந்த ஒத்திசைவான நிலைகள் பொதுவாக சி. சி. எஸ்ஸின் குழு கோட்பாட்டு அல்லது குறைந்தபட்ச நிச்சயமற்ற பண்புகளைக் கொண்டிருக்காது (மேலும் பொதுவானவை இருக்கலாம்). ஆபரேட்டர்கள் மற்றும் மேலே வரையறுக்கப்பட்ட பொதுவான வகை லேடர் ஆபரேட்டர்கள் என்றும் அழைக்கப்படுகிறார்கள். இத்தகைய இயக்கிகள் லை ஆல்ஜிப்ராக்களின் பிரதிநிதித்துவங்களின் ஜெனரேட்டர்களாகத் தோன்றும்போது, ஐஜென்வெக்டர்கள் பொதுவாக பாருட்-கிரார்டெல்லோ ஒத்திசைவான நிலைகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. ஃபாக் இடத்தில் உள்ள சூ (1,1) இன் லை இயற்கணிதத்தின் பிரதிநிதித்துவங்களிலிருந்து ஒரு பொதுவான எடுத்துக்காட்டு பெறப்படுகிறது. Gazeau-Klauder ஒத்திசைவான நிலைகள் நேரியல் அல்லாத ஒத்திசைவான நிலைகளின் மேற்கண்ட வெளிப்பாட்டின் பகுப்பாய்வு அல்லாத நீட்டிப்பு பெரும்பாலும் தூய புள்ளி நிறமாலையைக் கொண்ட இயற்பியல் ஹாமில்டோனியர்களுடன் தொடர்புடைய பொதுவான ஒத்திசைவான நிலைகளை வரையறுக்க பயன்படுத்தப்படுகிறது. கேசோ-கிளாடர் ஒத்திசைவான நிலைகள் என்று அழைக்கப்படும் இந்த ஒத்திசைவான நிலைகள், செயல்-கோண மாறிகளால் பெயரிடப்பட்டுள்ளன. நமக்கு இயற்பியல் ஹாமில்டோனியன் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம், அதாவது, இது ஆற்றல் ஐகென் மதிப்புகள் மற்றும் ஐகென் வெக்டர்களைக் கொண்டுள்ளது, இது ஹில்பர்ட் இடைவெளி நிலைகளுக்கு ஒரு ஆர்த்தோனார்மல் அடிப்படையை உருவாக்குகிறது என்று நாம் கருதுகிறோம். பரிமாணமற்ற அளவுகளின் வரிசையை அறிமுகப்படுத்துவதன் மூலம் ஐகென் மதிப்புகளை இவ்வாறு எழுதுவோம்ஃ பின்னர், அனைவருக்கும் மற்றும், கேஸியோ-கிளாடர் ஒத்திசைவான நிலைகள் வரையறுக்கப்படுகின்றன, அங்கு மீண்டும் ஒரு இயல்பாக்குதல் காரணி, இது மட்டுமே சார்ந்துள்ளது. இந்த ஒத்திசைவான நிலைகள் தற்காலிக ஸ்திரத்தன்மை நிபந்தனையையும் செயல் அடையாளத்தையும் திருப்திப்படுத்துகின்றன, இந்த பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ஒத்திசைவான நிலைகள் ஒரு முழுமையான தொகுப்பை உருவாக்கும் அதே வேளையில், அடையாளத்தின் தீர்மானம் பொதுவாக மேலே உள்ளபடி ஒரு ஒருங்கிணைந்த உறவால் வழங்கப்படவில்லை, மாறாக போஹரின் அர்த்தத்தில் ஒரு ஒருங்கிணைப்பால் வழங்கப்படுகிறது, இது கிட்டத்தட்ட காலமுறை செயல்பாடுகளின் கோட்பாட்டில் பயன்படுத்தப்படுகிறது. அலி மற்றும் பாகரெல்லோ காட்டியபடி, உண்மையில் கேசியோ-கிளாடர் சிஎஸ் கட்டுமானம் திசையன் சிஎஸ் மற்றும் சீரழிந்த ஸ்பெக்ட்ராவுடன் ஹாமில்டோனியர்களுக்கு நீட்டிக்கப்படலாம். வெப்ப கர்னல் ஒத்திசைவான நிலைகள் மற்றொரு வகை ஒத்திசைவான நிலை எழுகிறது, அதன் உள்ளமைவு இடம் ஒரு சிறிய லை குழுவின் குழு பன்மடங்கு ஆகும் கே. ஹால் ஒத்திசைவான நிலைகளை அறிமுகப்படுத்தினார், இதில் யூக்ளிடியன் இடத்தில் வழக்கமான காஸியன் K இல் உள்ள வெப்ப கர்னலால் மாற்றப்படுகிறது. இந்த ஒத்திசைவான நிலைகள் அடையாளத்தின் தீர்மானத்தைக் கொண்டுள்ளன, இது சிக்கலான தன்மைக்கு மேல் ஒரு செகல்-பார்க்மேன் இடத்திற்கு வழிவகுக்கிறது. ஹாலின் முடிவுகள் ஸ்டென்செல் மூலம் கோளங்கள் உட்பட சிறிய சமச்சீர் இடங்களுக்கு நீட்டிக்கப்பட்டன. வெப்ப கர்னல் ஒத்திசைவான நிலைகள், இந்த விஷயத்தில், தீமான் மற்றும் அவரது ஒத்துழைப்பாளர்களால் குவாண்டம் ஈர்ப்பு கோட்பாட்டில் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளன. கட்டுமானத்தில் இரண்டு வெவ்வேறு லை குழுக்கள் இருந்தாலும், வெப்ப கர்னல் ஒத்திசைவான நிலைகள் பெரெலோமோவ் வகையைச் சேர்ந்தவை அல்ல. குழு-கோட்பாட்டு அணுகுமுறை கில்மோர் மற்றும் பெரெலோமோவ், சுயாதீனமாக, ஒத்திசைவான நிலைகளின் கட்டுமானம் சில நேரங்களில் ஒரு குழு கோட்பாட்டு சிக்கலாகக் கருதப்படலாம் என்பதை உணர்ந்தனர். இதைப் பார்க்க, சி. சி. எஸ் விஷயத்தில் சிறிது நேரம் திரும்பிச் செல்வோம். அங்கு, உண்மையில், இடப்பெயர்ச்சி ஆபரேட்டர் என்பது ஹைசன்பெர்க் குழுவின் (வேய்ல்-ஹைசன்பெர்க் குழு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) ஒரு தனிமத்தின் ஃபாக் இடத்தில் உள்ள பிரதிநிதியைத் தவிர வேறில்லை, அதன் லை இயற்கணிதம் மற்றும் ஆல் உருவாக்கப்படுகிறது. இருப்பினும், சி. சி. எஸ் உடன் செல்வதற்கு முன், முதலில் பொதுவான வழக்கை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். உள்ளூரில் கச்சிதமான குழுவாக இருக்கட்டும், மேலும் இது ஹில்பர்ட் இடத்தில் யூனிட்டரி ஆபரேட்டர்களால் தொடர்ச்சியான, பகுக்கமுடியாத பிரதிநிதித்துவத்தைக் கொண்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். ஒருங்கிணைப்பு ஒன்றிணைக்கும் பூஜ்ஜியமற்ற திசையன் இருந்தால் இந்த பிரதிநிதித்துவம் சதுர ஒருங்கிணைப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது. இங்கே இடது மாறாத ஹார் அளவீடு உள்ளது. ஒரு திசையன் ஏற்றுக்கொள்ளத்தக்கது என்று கூறப்படுகிறது, மேலும் அத்தகைய ஒரு திசையனின் இருப்பு அத்தகைய திசையன்களின் முழு அடர்த்தியான தொகுப்பின் இருப்பை உறுதிப்படுத்துகிறது என்பதைக் காட்டலாம். மேலும், குழு ஒற்றை வடிவமாக இருந்தால், அதாவது, இடது மற்றும் வலது மாறாத அளவீடுகள் ஒத்துப்போனால், ஒரு ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய திசையனின் இருப்பு ஒவ்வொரு திசையனும் ஏற்றுக்கொள்ளத்தக்கது என்பதைக் குறிக்கிறது. ஒரு சதுர ஒருங்கிணைந்த பிரதிநிதித்துவம் மற்றும் ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய திசையன் கொடுக்கப்பட்டால், திசையன்களை வரையறுப்போம் இந்த திசையன்கள் ஹைசன்பெர்க் குழுவின் பிரதிநிதித்துவத்தின் அடிப்படையில் எழுதப்பட்ட நியதி ஒத்திசைவான நிலைகளின் ஒப்புமைகள் (இருப்பினும், கீழே உள்ள கில்மோர்-பெரெலோமோவ் சிஎஸ் பற்றிய பகுதியைப் பார்க்கவும்). அடுத்து, அடையாளத்தின் தீர்மானம் தொடர்கிறது என்பதைக் காட்டலாம். எனவே, திசையன்கள் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ஒத்திசைவான நிலைகளின் குடும்பத்தை உருவாக்குகின்றன. அனைத்து திசையன்களுக்கான செயல்பாடுகளும் அளவீடு மற்றும் அத்தகைய செயல்பாடுகளின் தொகுப்பைப் பொறுத்தவரை சதுர ஒருங்கிணைந்தவை, அவை உண்மையில் இடவியலில் தொடர்ச்சியாக உள்ளன, இது ஒரு மூடிய துணை இடத்தை உருவாக்குகிறது. மேலும், மேப்பிங் என்பது ஒரு லீனியர் ஐசோமெட்ரி மற்றும் இந்த ஐசோமெட்ரியின் கீழ் பிரதிநிதித்துவம் இடது வழக்கமான பிரதிநிதித்துவத்தின் துணை பிரதிநிதித்துவத்திற்கு வரைபடமாக்கப்படுகிறது. ஒரு எடுத்துக்காட்டுஃ அலைவரிசைகள் மேற்கண்ட கட்டமைப்பின் ஒரு பொதுவான எடுத்துக்காட்டு கோட்டின் அஃபைன் குழுவால் வழங்கப்படுகிறது,. இது வகையின் அனைத்து 2 × 2 மேட்ரிக்ஸின் குழுவாகும், மேலும் இது உண்மையான எண்களாகும். கொடுக்கப்பட்ட நடவடிக்கையுடன் நாமும் எழுதுவோம். இந்த குழு யூனிமோடுலர் அல்லாதது, இடது மாறாத அளவீடு (வலது மாறாத அளவீடு) மூலம் வழங்கப்படுகிறது. அஃபைன் குழு ஹில்பர்ட் இடத்தில் ஒரு யூனிட்டரி பகுக்கமுடியாத பிரதிநிதித்துவத்தைக் கொண்டுள்ளது. இதில் உள்ள திசையன்கள் உண்மையான மாறியின் அளவிடக்கூடிய செயல்பாடுகளாகும், மேலும் இந்த பிரதிநிதித்துவத்தின் (யூனிட்டரி) ஆபரேட்டர்கள் அவற்றின் மீது இவ்வாறு செயல்படுகிறார்கள் அதன் ஃபோரியர் உருமாற்றம் (ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய) நிபந்தனையை திருப்திப்படுத்தும் வகையில் ஒரு செயல்பாடாக இருந்தால், அது ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய திசையன் என்று காட்டப்படலாம், அதாவது, மேலே கோடிட்டுக் காட்டப்பட்ட பொதுவான கட்டமைப்பைப் பின்பற்றி, திசையன்கள் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ஒத்திசைவான நிலைகளின் குடும்பத்தை வரையறுக்கின்றன, மேலும் ஒருவர் அடையாளத்தின் தீர்மானத்தைக் கொண்டிருக்கிறார். சமிக்ஞை பகுப்பாய்வு இலக்கியத்தில், மேலே உள்ள ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய நிலையை திருப்திப்படுத்தும் ஒரு திசையன் தாய் அலைவரிசை என்றும், பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ஒத்திசைவான நிலைகள் அலைவரிசை என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன. சமிக்ஞைகள் பின்னர் திசையன்களுடன் அடையாளம் காணப்படுகின்றன, மேலும் செயல்பாடு சமிக்ஞையின் தொடர்ச்சியான அலைவரிசை மாற்றம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த கருத்தை இரண்டு பரிமாணங்களுக்கு நீட்டிக்க முடியும், குழு விமானத்தின் ஒத்த குழு என்று அழைக்கப்படுகிறது, இது விமான மொழிபெயர்ப்புகள், சுழற்சிகள் மற்றும் உலகளாவிய விரிவடைதல்கள் ஆகியவற்றைக் கொண்டுள்ளது. இதன் விளைவாக வரும் 2டி அலைவரிசைகள் மற்றும் அவற்றின் சில பொதுமைப்படுத்தல்கள் படச் செயலாக்கத்தில் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. கில்மோர்-பெரெலோமோவ் ஒத்திசைவான நிலைகள் மேலே விவரிக்கப்பட்ட குழு பிரதிநிதித்துவங்களைப் பயன்படுத்தி ஒத்திசைவான நிலைகளை உருவாக்குவது போதாது. ஏற்கனவே இது சி. சி. எஸ்ஸை வழங்க முடியாது, ஏனெனில் இவை ஹைசன்பெர்க் குழுவின் கூறுகளால் குறியிடப்படவில்லை, மாறாக அதன் மையத்தால் பிந்தையவற்றின் ஈவு புள்ளிகளால், அந்த ஈவு துல்லியமாக உள்ளது. முக்கிய அவதானிப்பு என்னவென்றால், ஹைசன்பெர்க் குழுவின் மையம் வெற்றிட திசையனை ஒரு கட்டம் வரை மாறாமல் விட்டுவிடுகிறது. இந்த யோசனையை பொதுமைப்படுத்தி, கில்மோர் மற்றும் பெரெலோமோவ் ஆகியோர் உள்ளூரில் ஒரு சிறிய குழுவையும், ஹில்பர்ட் இடத்தில் ஒரு யூனிட்டரி பகுக்கமுடியாத பிரதிநிதித்துவத்தையும் கருதுகின்றனர், இது சதுர ஒருங்கிணைப்பு அல்ல. அலகு நெறிமுறையின் ஒரு திசையனை சரிசெய்து, ஒரு கட்டம் வரை மாறாத அனைத்து உறுப்புகளையும் கொண்ட துணைக்குழுவால் குறிக்கவும், அதாவது, உண்மையான மதிப்புள்ள செயல்பாடு எங்கே. இடது கோஸெட் இடைவெளி மற்றும் ஒரு தன்னிச்சையான உறுப்பு இருக்கட்டும். ஒரு கோஸெட் பிரதிநிதியைத் தேர்ந்தெடுப்பது, ஒவ்வொரு கோஸெட்டுக்கும், திசையன்களை வரையறுக்கிறோம் கோஸெட் பிரதிநிதியின் குறிப்பிட்ட தேர்வில் இந்த திசையன்களின் சார்பு ஒரு கட்டத்தின் மூலம் மட்டுமே. உண்மையில், அதற்கு பதிலாக, அதே கொசெட்டுக்கு வேறு ஒரு பிரதிநிதியை நாங்கள் எடுத்துக் கொண்டால், சிலருக்கு, எங்களிடம் இருக்கும். எனவே, குவாண்டம் இயந்திர ரீதியாக, இரண்டும் ஒரே இயற்பியல் நிலையைக் குறிக்கின்றன, குறிப்பாக, ப்ரொஜெக்ஷன் ஆபரேட்டர் கோஸெட்டை மட்டுமே சார்ந்துள்ளது. இந்த வழியில் வரையறுக்கப்பட்ட திசையன்கள் கில்மோர்-பெரெலோமோவ் ஒத்திசைவான நிலைகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. இது பகுக்கமுடியாதது என்று கருதப்படுவதால், இந்த திசையன்கள் அனைத்தின் தொகுப்பும் அடர்த்தியாக உள்ளது. பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ஒத்திசைவான நிலைகளின் இந்த வரையறையில், அடையாளத்தின் தீர்மானம் எதுவும் முன்வைக்கப்படவில்லை. இருப்பினும், இயற்கையான செயல்பாட்டின் கீழ் ஒரு மாறாத அளவைக் கொண்டிருந்தால், முறையான ஆபரேட்டர் வரையறுக்கப்பட்டிருந்தால், அது அவசியமாக அடையாளத்தின் பெருக்கமாகும், மேலும் அடையாளத்தின் தீர்மானம் மீண்டும் மீட்டெடுக்கப்படுகிறது. கில்மோர்-பெரெலோமோவ் ஒத்திசைவான நிலைகள் குவாண்டம் குழுக்களுக்கு பொதுமைப்படுத்தப்பட்டுள்ளன, ஆனால் இதற்காக நாம் இலக்கியத்தைப் பார்க்கிறோம். மேலும் பொதுமைப்படுத்தல்ஃ கொசெட் இடைவெளிகளில் ஒத்திசைவான நிலைகள் பெரலோமோவ் கட்டுமானம் எந்தவொரு உள்ளூரில் கச்சிதமான குழுவிற்கும் ஒத்திசைவான நிலைகளை வரையறுக்க பயன்படுத்தப்படலாம். மறுபுறம், குறிப்பாக கில்மோர்-பெரெலோமோவ் கட்டுமானம் தோல்வியுற்றால், குழு பிரதிநிதித்துவங்களைப் பயன்படுத்தி பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ஒத்திசைவான நிலைகளின் பிற கட்டமைப்புகள் உள்ளன, அவை குழுவின் ஒரே மாதிரியான இடங்களுக்கு சதுர ஒருங்கிணைப்பு என்ற கருத்தை பொதுமைப்படுத்துகின்றன. சுருக்கமாக, இந்த அணுகுமுறையில் ஒருவர் ஒரு யூனிட்டரி பகுக்கமுடியாத பிரதிநிதித்துவத்துடன் தொடங்குகிறார் மற்றும் ஒரு திசையன், ஒரு துணைக்குழு மற்றும் ஒரு பிரிவைக் கண்டுபிடிக்க முயற்சிக்கிறார், அங்கு, ஒரு வரம்புக்குட்பட்ட, நேர்மறை ஆபரேட்டர், வரம்புக்குட்பட்ட தலைகீழ் மற்றும் ஒரு அரை மாறுபட்ட அளவீடு ஆகும். செயல்பாட்டின் கீழ் ஒரு கட்டம் வரை மாறாதது என்று கருதப்படுவதில்லை, மேலும் தெளிவாக, அடையாளத்தின் பெருக்கம் எப்போது என்பது சிறந்த சூழ்நிலை. ஓரளவு தொழில்நுட்ப ரீதியாக இருந்தாலும், இந்த பொதுவான கட்டுமானம் இந்த வகையின் அரை-நேரடி தயாரிப்பு குழுக்களுக்கு மகத்தான பன்முகத்தன்மையைக் கொண்டுள்ளது, அங்கு ஒரு மூடிய துணைக்குழு உள்ளது. எனவே, முந்தைய வரையறையின் அர்த்தத்தில் சதுர ஒருங்கிணைந்த பிரதிநிதித்துவங்களைக் கொண்டிராத போயின்கேர் குழு அல்லது யூக்ளிடியன் குழு போன்ற பல இயற்பியல் முக்கியத்துவம் வாய்ந்த குழுக்களுக்கு இது பயனுள்ளதாக இருக்கும். குறிப்பாக, ஆபரேட்டரை வரையறுக்கும் ஒருங்கிணைந்த நிபந்தனை எந்தவொரு திசையனையும் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ஒத்திசைவு நிலைகளின் அடிப்படையில் எழுத முடியும் என்பதை உறுதி செய்கிறது, அதாவது இது எந்த வகையான ஒத்திசைவு நிலைகளின் முதன்மை நோக்கமாகும். ஒத்திசைவான நிலைகள்ஃ ஒரு அளவீட்டு தொகுப்பின் அளவீட்டிற்கான ஒரு பேய்சியன் கட்டுமானம் நாம் இப்போது நிலையான சூழ்நிலையிலிருந்து விலகி, ஒத்திசைவான நிலைகளை உருவாக்குவதற்கான ஒரு பொதுவான முறையை முன்வைக்கிறோம், இந்த பொருட்களின் கட்டமைப்பைப் பற்றிய சில அவதானிப்புகளிலிருந்து தொடங்கி, சில சுய-இணைப்பு ஆபரேட்டரின் ஐகென்ஸ்டேட்களின் சூப்பர்போசிஷன்களாக, நிலையான சி. எஸ். க்கான ஹார்மோனிக் ஆஸிலேட்டர் ஹாமில்டோனியன் போலவே. குவாண்டம் இயக்கவியலின் சாராம்சம் என்னவென்றால், இந்த சூப்பர்போசிஷன் ஒரு நிகழ்தகவு சுவையைக் கொண்டுள்ளது. உண்மையில், நியதி ஒத்திசைவான நிலைகளின் நிகழ்தகவு அமைப்பு அவற்றின் கட்டுமானத்திற்கு அடித்தளமாக இருக்கும் இரண்டு நிகழ்தகவு விநியோகங்களை உள்ளடக்கியது என்பதை நாம் கவனிக்கிறோம். ஒரு வகையான இரட்டைத்தன்மையில், குவாண்டம் அமைப்பு ஒரு ஒத்திசைவான நிலையில் இருக்கும்போது கிளர்ச்சிகளைக் கண்டறிவதற்கான நிகழ்தகவை ஒரு பாய்சான் விநியோகம் தீர்மானிக்கிறது, மேலும் சிக்கலான அளவுருக்களின் தொகுப்பில் ஒரு காமா விநியோகம், ரேடியல் மாறியின் சதுரத்தின் வரம்பில் மிகவும் துல்லியமாக உள்ளது. பொதுமைப்படுத்தல் அந்த இரட்டைத்தன்மை திட்டத்தை பின்பற்றுகிறது. ஒரு அளவீடு மற்றும் அதனுடன் தொடர்புடைய சிக்கலான மதிப்புள்ள செயல்பாடுகளின் ஹில்பர்ட் இடத்துடன் பொருத்தப்பட்ட அளவுருக்களின் தொகுப்பாக இருக்கட்டும், இதைப் பொறுத்தவரை சதுர ஒருங்கிணைப்பு. ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட அல்லது எண்ணக்கூடிய ஆர்த்தோனார்மல் தொகுப்பில் தேர்வு செய்வோம்ஃ எல்லையற்ற எண்ணிக்கையின் விஷயத்தில், இந்த தொகுப்பு (முக்கியமான) ஃபைனிடனஸ் நிபந்தனைக்குக் கீழ்ப்படிய வேண்டும்ஃ இன் கூறுகளுடன் ஒன்றுக்கு ஒன்று தொடர்புகொள்வதில் ஆர்த்தோனார்மல் அடிப்படையுடன் பிரிக்கக்கூடிய சிக்கலான ஹில்பர்ட் இடமாக இருக்கட்டும். மேலே உள்ள இரண்டு நிபந்தனைகளும் இயல்பாக்கப்பட்ட ஒத்திசைவான நிலைகளின் குடும்பம் என்பதைக் குறிக்கின்றன, அவை அடையாளத்தைத் தீர்ப்பதன் மூலம் வரையறுக்கப்படுகின்றனஃ அத்தகைய உறவு பின்வரும் ஆபரேட்டருக்கு பொருத்தமான நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்யும் ஒரு செயல்பாட்டுடன் தொடர்புபடுத்துவதன் மூலம் அளவுருக்களின் தொகுப்பின் ஒத்திசைவான நிலை அல்லது சட்ட அளவீட்டைச் செயல்படுத்த அனுமதிக்கிறதுஃ ஆபரேட்டர் உண்மையான மதிப்புடையவராக இருந்தால் சமச்சீர், மற்றும் அது உண்மையான மற்றும் அரை வரம்புடையவராக இருந்தால் சுய-இணைப்பாக (இருபடி வடிவமாக) இருக்கும். அசல் என்பது ஒரு மேல் சின்னமாகும், பொதுவாக தனித்துவமற்றது, ஆபரேட்டருக்கு. கீழ் சின்னம் என்று அழைக்கப்படுபவை, லேசான செயல்பாட்டு பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன என்று வரையறுக்கப்பட்டால், அசல் தொகுப்புக்கு வழங்கப்பட்ட மேலும் இடவியல் பண்புகளின்படி துல்லியமாக செய்ய வேண்டும் என்றால் இது குடும்பத்தைப் பொறுத்தவரை ஒரு கிளாசிக்கல் கவனிக்கத்தக்கது என்று அழைக்கப்படும். குவாண்டம் நிலைகளின் இடத்தின் இந்த கட்டமைப்பின் கடைசி புள்ளி அதன் புள்ளிவிவர அம்சங்களைப் பற்றியது. இரண்டு நிகழ்தகவு விநியோகங்களுக்கு இடையே உண்மையில் ஒரு தொடர்பு உள்ளதுஃ மேலும் காண்க ஒத்திசைவான நிலைகள் லீப் அனுமானம் குறிப்புகள் கணித இயற்பியல்