Q-Gaussian distribution
q-காஸியன் என்பது பொருத்தமான கட்டுப்பாடுகளின் கீழ் சாலிஸ் என்ட்ரோபியின் அதிகபட்சமயமாக்கலில் இருந்து எழும் நிகழ்தகவு விநியோகம் ஆகும். இது ஒரு சாலிஸ் விநியோகத்திற்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு. சாலிஸ் என்ட்ரோபி என்பது நிலையான போல்ட்ஸ்மேன்-கிப்ஸ் என்ட்ரோபி அல்லது ஷானன் என்ட்ரோபியின் பொதுமைப்படுத்தல் போலவே க்யூ-காஸியன் என்பது காஸியனின் பொதுமைப்படுத்தலாகும். இயல்பான விநியோகம் q → 1 ஆக மீட்கப்படுகிறது. புள்ளிவிவர இயக்கவியல், புவியியல், உடற்கூறியல், வானியல், பொருளாதாரம், நிதி மற்றும் இயந்திர கற்றல் ஆகிய துறைகளில் உள்ள சிக்கல்களுக்கு க்யூ-காஸியன் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது. 1 <q <3 க்கான காஸியனுடன் ஒப்பிடுகையில் இந்த விநியோகம் பெரும்பாலும் அதன் கனமான வால்களுக்கு விரும்பப்படுகிறது. q-காஸியன் விநியோகத்திற்கு ஒரு வரம்புக்குட்பட்ட சீரற்ற மாறியின் PDF ஆகும். இது உயிரியல் மற்றும் பிற களங்களில் வெளிப்புற சீரற்ற தன்மையின் விளைவை மாதிரியாக்குவதற்கு காஸியன் விநியோகத்தை விட q-காஸியன் விநியோகத்தை மிகவும் பொருத்தமானதாக ஆக்குகிறது. கிளாசிக்கல் சென்ட்ரல் லிமிட் தேற்றத்தின் ஒரு பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட q-அனலாக் 2008 இல் முன்மொழியப்பட்டது, இதில் சுதந்திரக் கட்டுப்பாடு அதாவது டி. மாறிகள் q அளவுருவால் வரையறுக்கப்பட்ட அளவிற்கு தளர்த்தப்படுகின்றன, சுதந்திரம் q → 1 ஆக மீட்கப்படுகிறது. இருப்பினும், அத்தகைய தேற்றத்திற்கான ஆதாரம் இன்னும் இல்லை. கனமான வால் பகுதிகளில், q மற்றும் சுதந்திரத்தின் அளவுகளுக்கு இடையில் நேரடி வரைபடத்துடன் மாணவர் டி-விநியோகத்திற்கு சமமாக விநியோகம் உள்ளது. எனவே இந்த விநியோகங்களில் ஒன்றைப் பயன்படுத்தும் ஒரு பயிற்சியாளர் ஒரே விநியோகத்தை இரண்டு வெவ்வேறு வழிகளில் அளவிட முடியும். அமைப்பு விரிவானதாக இல்லாவிட்டால் அல்லது சிறிய மாதிரிகள் அளவுகளுடன் இணைப்பு இல்லாவிட்டால் q-காஸியன் வடிவத்தின் தேர்வு ஏற்படலாம். வகைப்பாடு நிகழ்தகவு அடர்த்தி செயல்பாடு நிலையான q-காஸியன் நிகழ்தகவு அடர்த்தி செயல்பாட்டைக் கொண்டுள்ளது, அங்கு q-எக்ஸ்பொனென்ஷியல் மற்றும் இயல்பாக்குதல் காரணி கொடுக்கப்பட்டுள்ளது குறிப்பு q-காஸியன் விநியோகத்திற்கு ஒரு வரம்புக்குட்பட்ட சீரற்ற மாறியின் PDF ஆகும். ஒட்டுமொத்த அடர்த்தி செயல்பாடு ஒட்டுமொத்த அடர்த்தி செயல்பாட்டிற்கு ஹைப்பர்ஜியோமெட்ரிக் செயல்பாடு எங்கே. ஹைப்பர்ஜியோமெட்ரிக் செயல்பாடு வரையறுக்கப்பட்டாலும் x வரம்பற்றது என்பதால், ப்ஃபாஃப் மாற்றத்தைப் பயன்படுத்தலாம். ஏனெனில், என்ட்ரோபி இயல்பான விநியோகம் என்பது முதல் கணம் மற்றும் இரண்டாவது கணத்தின் நிலையான மதிப்புகளுக்கான அதிகபட்ச தகவல் என்ட்ரோபி விநியோகத்தைப் போலவே (இயல்பாக்குதல் நிபந்தனையுடன் தொடர்புடைய நிலையான பூஜ்ஜிய கணத்துடன்), q-காஸியன் விநியோகம் என்பது இந்த மூன்று கணங்களின் நிலையான மதிப்புகளுக்கான அதிகபட்ச சாலிஸ் என்ட்ரோபி விநியோகமாகும். தொடர்புடைய விநியோகங்கள் மாணவர் டி-விநியோகம் இது ஒரு சுவாரஸ்யமான மாற்று வடிவமான என்ட்ரோபி மூலம் நியாயப்படுத்தப்படலாம் என்றாலும், புள்ளிவிவர ரீதியாக இது சிறிய மாதிரி புள்ளிவிவரங்களை விவரிக்க 1908 ஆம் ஆண்டில் டபிள்யூ. கோசெட் அறிமுகப்படுத்திய மாணவர் டி-விநியோகத்தின் அளவிடப்பட்ட மறுசீரமைப்பாகும். கோசெட்டின் அசல் விளக்கக்காட்சியில் சுதந்திர அளவுருவின் அளவுகள் ν மாதிரி அளவு தொடர்பான ஒரு நேர்மறை முழு எண்ணாக கட்டுப்படுத்தப்பட்டது, ஆனால் கோஸெட்டின் அடர்த்தி செயல்பாடு ν இன் அனைத்து உண்மையான மதிப்புகளுக்கும் செல்லுபடியாகும் என்பதை உடனடியாகக் காணலாம். அளவிடப்பட்ட மறுசீரமைப்பு ν உடன் தொடர்புடைய மாற்று அளவுருக்கள் q மற்றும் β ஐ அறிமுகப்படுத்துகிறது. ஒரு மாணவரின் டி-டிஸ்ட்ரிபியூஷன் உடன் ν டிகிரி ஆஃப் ஃப்ரீடம் கொடுக்கப்பட்டால், அதற்கு சமமான q-காஸியன் தலைகீழாக இருக்கும் போது, செயல்பாடு வெறுமனே மாணவரின் டி-டிஸ்ட்ரிபியூஷனின் அளவிடப்பட்ட பதிப்பாகும். இந்த விநியோகம் என்பது எதிர்மறை மற்றும் அல்லது முழு எண் அல்லாத சுதந்திர அளவுகளுக்கு மாணவர் டி-விநியோகத்தின் பொதுமைப்படுத்தல் என்று சில நேரங்களில் வாதிடப்படுகிறது. இருப்பினும், மாணவரின் டி-டிஸ்ட்ரிபியூஷன் கோட்பாடு அனைத்து உண்மையான சுதந்திர அளவுகளுக்கும் அற்பமாக விரிவடைகிறது, அங்கு விநியோகத்தின் ஆதரவு இப்போது ν <0 விஷயத்தில் எல்லையற்றதை விட கச்சிதமாக உள்ளது. மூன்று அளவுரு பதிப்பு பூஜ்ஜியத்தை மையமாகக் கொண்ட பல விநியோகங்களைப் போலவே, q-காஸியன் ஒரு இருப்பிட அளவுருவை சேர்க்க அற்பமாக நீட்டிக்கப்படலாம். அடர்த்தி பின்னர் சீரற்ற விலகல்களை உருவாக்குவதன் மூலம் வரையறுக்கப்படுகிறது பெட்டி-முல்லர் உருமாற்றம் q-காஸியன்களிலிருந்து சீரற்ற மாதிரியை அனுமதிக்க பொதுமைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது. நிலையான பாக்ஸ்-முல்லர் நுட்பம் பின்வரும் வடிவத்தின் சமன்பாடுகளிலிருந்து சுயாதீனமான பொதுவாக விநியோகிக்கப்பட்ட மாறிகளின் ஜோடிகளை உருவாக்குகிறது. பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட பாக்ஸ்-முல்லர் நுட்பம் சுயாதீனமாக இல்லாத ஜோடி q-காஸியன் விலகல்களை உருவாக்க முடியும். நடைமுறையில், ஒரே மாதிரியாக விநியோகிக்கப்பட்ட ஒரு ஜோடி மாறிகளிலிருந்து ஒரே ஒரு விலகல் மட்டுமே உருவாக்கப்படும். பின்வரும் சூத்திரம் குறிப்பிட்ட அளவுரு q உடன் ஒரு q-காஸியனிலிருந்து விலகல்களை உருவாக்கும், மேலும் q-மடக்கை எங்கே மற்றும் இந்த விலகல்களை பயன்பாடுகள் இயற்பியல் மூலம் ஒரு தன்னிச்சையான q-காஸியனிலிருந்து விலகல்களை உருவாக்க மாற்றலாம். q-காஸியன் பரவல் இரண்டு சக்திகளுக்கு உட்பட்ட ஒரு வெகுஜனத்தின் ஒரு பரிமாண இயக்கத்தின் நிலையின் அறிகுறியற்ற நிகழ்தகவு அடர்த்தி செயல்பாடாகவும் பெறப்படுகிறதுஃ வகையின் ஒரு தீர்மானகரமான விசை (எல்லையற்ற சாத்தியமான கிணற்றை தீர்மானிப்பது) மற்றும் ஒரு சீரற்ற வெள்ளை சத்தம் விசை, அங்கு ஒரு வெள்ளை சத்தம். சமீபத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி, மிகைப்படுத்தப்பட்ட/சிறிய வெகுஜன தோராயத்தில் மேற்கூறிய ஒருங்கிணைப்பு தோல்வியடைகிறது என்பதை நினைவில் கொள்க. நியூயார்க் பங்குச் சந்தை, நாஸ்டாக் மற்றும் பிற இடங்களில் நிதி நிதி வருவாய் விநியோகங்கள் கியூ-காஸியன்கள் என்று விளக்கப்பட்டுள்ளன. மேலும் காண்க கான்ஸ்டான்டினோ சாலிஸ் சாலிஸ் புள்ளிவிவரங்கள் சாலிஸ் என்ட்ரோபி சாலிஸ் விநியோகம் q-எக்ஸ்போனென்ஷியல் விநியோகம் Q-காஸியன் செயல்முறை குறிப்புகள் மேலும் வாசிப்பு ஜூனிபர், ஜே. (2007), முழு வேலைவாய்ப்பு மற்றும் சமபங்கு மையம், நியூகேஸில் பல்கலைக்கழகம், ஆஸ்திரேலியா வெளிப்புற இணைப்புகள் சாலிஸ் புள்ளியியல், விரிவான அல்லாத அமைப்புகளுக்கான புள்ளிவிவர இயக்கவியல் மற்றும் நீண்ட தூர தொடர்புகள் புள்ளியியல் இயக்கவியல் தொடர்ச்சியான விநியோகங்கள் வரம்பற்ற மாறுபாடுகளுடன் நிகழ்தகவு விநியோகங்கள்