Ordinary differential equation
கணிதத்தில், ஒரு சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடு (ODE) என்பது ஒரு சுயாதீன மாறியை மட்டுமே சார்ந்த ஒரு வேறுபாடு சமன்பாடு (DE) ஆகும். மற்ற DE ஐப் போலவே, அதன் அறியப்படாத (கள்) ஒன்று (அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட) செயல்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளது மற்றும் அந்த செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களை உள்ளடக்கியது. "சாதாரண" என்ற சொல் பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகளுக்கு மாறாக பயன்படுத்தப்படுகிறது, இது ஒரு சுயாதீன மாறியைப் பொறுத்தவரை இருக்கலாம். வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் ஒரு நேரியல் வேறுபட்ட சமன்பாடு என்பது அறியப்படாத செயல்பாடு மற்றும் அதன் வழித்தோன்றல்களில் ஒரு நேரியல் பல்லுறுப்புக்கோவையால் வரையறுக்கப்படும் ஒரு வேறுபட்ட சமன்பாடாகும், இது,., என்ற வடிவத்தின் சமன்பாடாகும் மற்றும் நேரியல் இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லாத தன்னிச்சையான வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாடுகளாகும், மேலும் அவை மாறியின் அறியப்படாத செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சியான வழித்தோன்றல்களாகும். சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடுகளில், நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடுகள் பல காரணங்களுக்காக முக்கிய பங்கு வகிக்கின்றன. இயற்பியல் மற்றும் பயன்பாட்டு கணிதத்தில் எதிர்கொள்ளும் பெரும்பாலான அடிப்படை மற்றும் சிறப்பு செயல்பாடுகள் நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் தீர்வுகளாகும் (ஹோலனோமிக் செயல்பாட்டைப் பார்க்கவும்). இயற்பியல் நிகழ்வுகள் நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளுடன் மாதிரியாக இருக்கும்போது, அவை பொதுவாக ஒரு எளிதான தீர்வுக்கான நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடுகளால் தோராயமாக மதிப்பிடப்படுகின்றன. வெளிப்படையாக தீர்க்கக்கூடிய சில நேரியல் அல்லாத ODE கள் பொதுவாக சமன்பாட்டை சமமான நேரியல் ODE ஆக மாற்றுவதன் மூலம் தீர்க்கப்படுகின்றன (எடுத்துக்காட்டாக, ரிச்சாட்டி சமன்பாட்டைப் பார்க்கவும்). சில ODE களை அறியப்பட்ட செயல்பாடுகள் மற்றும் ஒருங்கிணைப்புகளின் அடிப்படையில் வெளிப்படையாக தீர்க்க முடியும். அது சாத்தியமில்லாதபோது, தீர்வுகளின் டெய்லர் தொடரைக் கணக்கிடுவதற்கான சமன்பாடு பயனுள்ளதாக இருக்கும். பயன்பாட்டு சிக்கல்களுக்கு, சாதாரண வேறுபட்ட சமன்பாடுகளுக்கான எண் முறைகள் தீர்வின் தோராயத்தை வழங்க முடியும். பின்னணி சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடுகள் (ODE) கணிதம் மற்றும் சமூக மற்றும் இயற்கை அறிவியலின் பல சூழல்களில் எழுகின்றன. மாற்றத்தின் கணித விளக்கங்கள் வேறுபாடுகள் மற்றும் வழித்தோன்றல்களைப் பயன்படுத்துகின்றன. பல்வேறு வேறுபாடுகள், வழித்தோன்றல்கள் மற்றும் செயல்பாடுகள் சமன்பாடுகள் மூலம் தொடர்புபடுத்தப்படுகின்றன, அதாவது ஒரு வேறுபட்ட சமன்பாடு என்பது மாறும் நிகழ்வுகள், பரிணாமம் மற்றும் மாறுபாட்டை விவரிக்கும் ஒரு விளைவாகும். பெரும்பாலும், அளவுகள் மற்ற அளவுகளின் மாற்ற விகிதம் (எடுத்துக்காட்டாக, நேரத்தைப் பொறுத்து இடப்பெயர்ச்சியின் வழித்தோன்றல்கள்) அல்லது அளவுகளின் சாய்வுகள் என வரையறுக்கப்படுகின்றன, இதனால் அவை வேறுபட்ட சமன்பாடுகளுக்குள் நுழைகின்றன. குறிப்பிட்ட கணிதத் துறைகளில் வடிவியல் மற்றும் பகுப்பாய்வு இயக்கவியல் ஆகியவை அடங்கும். இயற்பியல் மற்றும் வானியல் (வானியல் இயக்கவியல்), வானிலை (வானிலை மாதிரியாக்கம்), வேதியியல் (எதிர்வினை விகிதங்கள்), உயிரியல் (தொற்று நோய்கள், மரபணு மாறுபாடு), சூழலியல் மற்றும் மக்கள் தொகை மாதிரியாக்கம் (மக்கள்தொகை போட்டி), பொருளாதாரம் (பங்கு போக்குகள், வட்டி விகிதங்கள் மற்றும் சந்தை சமநிலை விலை மாற்றங்கள்) ஆகியவை அறிவியல் துறைகளில் அடங்கும். நியூட்டன், லீப்னிஸ், பெர்னௌலி குடும்பம், ரிச்சாட்டி, கிளெய்ராட், டி 'அலெம்பெர்ட் மற்றும் யூலர் உள்ளிட்ட பல கணிதவியலாளர்கள் வேறுபட்ட சமன்பாடுகளை ஆய்வு செய்து இந்தத் துறையில் பங்களித்துள்ளனர். ஒரு எளிய உதாரணம் நியூட்டனின் இரண்டாவது இயக்க விதி-F விசையின் கீழ் ஒரு பொருளின் இடப்பெயர்ச்சி x மற்றும் நேரம் t க்கு இடையிலான உறவு, வேறுபாடு சமன்பாட்டால் வழங்கப்படுகிறது, இது நிலையான நிறை m கொண்ட ஒரு துகள் இயக்கத்தை கட்டுப்படுத்துகிறது. பொதுவாக, F என்பது நேரம் t இல் துகள் x (t) நிலையின் செயல்பாடு ஆகும். அறியப்படாத செயல்பாடு x (t) வேறுபாடு சமன்பாட்டின் இருபுறமும் தோன்றுகிறது, மேலும் இது F (x (t) குறியீட்டில் குறிக்கப்படுகிறது. பின்வருவனவற்றில், y என்பது சுயாதீன மாறி x இன் அறியப்படாத செயல்பாட்டைக் குறிக்கும் ஒரு சார்பு மாறி. வேறுபடுத்தலுக்கான குறியீடு ஆசிரியரைப் பொறுத்து மாறுபடும், மேலும் கையில் உள்ள பணிக்கு எந்த குறியீடு மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும். இந்த சூழலில், லீப்னிஸின் குறியீடு வேறுபாடு மற்றும் ஒருங்கிணைப்புக்கு மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும், அதேசமயம் லாக்ராஞ்சின் குறியீடு உயர்-வரிசை வழித்தோன்றல்களை சுருக்கமாக பிரதிநிதித்துவப்படுத்த மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும், மேலும் நியூட்டனின் குறியீடு பெரும்பாலும் இயற்பியலில் குறைந்த வரிசையின் வழித்தோன்றல்களைக் குறிக்கப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. பொதுவான வரையறை கொடுக்கப்பட்ட F, x, y இன் செயல்பாடு மற்றும் y இன் வழித்தோன்றல்கள். பின்னர் ஒரு வடிவத்தின் சமன்பாடு n வரிசையின் வெளிப்படையான சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. மேலும் பொதுவாக, n வரிசையின் ஒரு உள்ளார்ந்த சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடு பின்வரும் வடிவத்தை எடுக்கிறதுஃ மேலும் வகைப்பாடுகள் உள்ளனஃ ODE களின் அமைப்பு பல இணைந்த வேறுபாடு சமன்பாடுகள் சமன்பாடுகளின் அமைப்பை உருவாக்குகின்றன. y என்பது ஒரு திசையன், அதன் உறுப்புகள் செயல்பாடுகளாக இருந்தால்; y (x) = [y1 (x), y2 (x),., ym (x)], மற்றும் F என்பது y மற்றும் அதன் வழித்தோன்றல்களின் திசையன் மதிப்புள்ள செயல்பாடு என்றால், n வரிசை மற்றும் பரிமாணம் m இன் சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் வெளிப்படையான அமைப்பு. நெடுவரிசை திசையன் வடிவத்தில்ஃ இவை நேரியல் அல்ல. மறைமுகமான அனலாக் பின்வருமாறுஃ இங்கு 0 = (0,0,., 0) என்பது பூஜ்ஜிய திசையன். மேட்ரிக்ஸ் வடிவத்தில் வடிவத்தின் ஒரு அமைப்புக்கு, சில ஆதாரங்கள் இதை ஒரு மறைமுக ODE [அமைப்பு] என்று அழைப்பதற்காக ஜாகோபியன் மேட்ரிக்ஸ் ஒற்றை அல்லாததாக இருக்க வேண்டும்; இந்த ஜாகோபியன் ஒற்றை அல்லாத நிலையை திருப்திப்படுத்தும் ஒரு மறைமுக ODE அமைப்பு ஒரு வெளிப்படையான ODE அமைப்பாக மாற்றப்படலாம். அதே ஆதாரங்களில், ஒரு ஒற்றை ஜாகோபியன் கொண்ட மறைமுக ODE அமைப்புகள் வேறுபட்ட இயற்கணித சமன்பாடுகள் (DAE கள்) என்று அழைக்கப்படுகின்றன. இந்த வேறுபாடு வெறுமனே சொற்களில் ஒன்றல்ல; டி. ஏ. இ. க்கள் அடிப்படையில் வேறுபட்ட பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன, மேலும் பொதுவாக (ஒற்றை அல்லாத) ஓ. டி. இ அமைப்புகளை விட தீர்ப்பதில் அதிக ஈடுபாடு கொண்டுள்ளன. கூடுதல் வழித்தோன்றல்களுக்கு, ஹெஸியன் மேட்ரிக்ஸ் மற்றும் பலவும் இந்த திட்டத்தின் படி ஒற்றை அல்லாதவை என்று கருதப்படுகின்றன, இருப்பினும் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட வரிசையின் எந்தவொரு ODE யும் முதல் வரிசையின் ODE களின் அமைப்பாக மீண்டும் எழுதப்படலாம் (மற்றும் பொதுவாக), இது இந்த வகைபிரித்தல் அனைத்து வரிசைகளிலும் விரிவானதாக இருக்க போதுமான ஜாகோபியன் ஒருமைப்பாட்டு அளவுகோலாக அமைகிறது. ODE களின் அமைப்பின் நடத்தையை ஒரு கட்ட உருவப்படத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் காட்சிப்படுத்தலாம். ஒரு வேறுபட்ட சமன்பாட்டைக் கொடுத்தால், ஒரு செயல்பாடு, I ஒரு இடைவெளி, இது ஒரு தீர்வு அல்லது F க்கான ஒருங்கிணைந்த வளைவு என்று அழைக்கப்படுகிறது, u என்பது I இல் n-மடங்கு வேறுபடுத்தக்கூடியதாக இருந்தால், மற்றும் இரண்டு தீர்வுகளைக் கொடுத்தால், u என்பது v இன் நீட்டிப்பு என்றும், நீட்டிப்பு இல்லாத ஒரு தீர்வு அதிகபட்ச தீர்வு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. அனைத்து R இல் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு தீர்வு உலகளாவிய தீர்வு என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு n-வது வரிசை சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு என்பது ஒருங்கிணைப்பின் n தன்னிச்சையான சுயாதீன மாறிலிகளைக் கொண்ட ஒரு தீர்வாகும். ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு பொதுவான தீர்விலிருந்து மாறிலிகளை குறிப்பிட்ட மதிப்புகளுக்கு அமைப்பதன் மூலம் பெறப்படுகிறது, பெரும்பாலும் தொகுப்பு 'ஆரம்ப நிபந்தனைகள் அல்லது எல்லை நிபந்தனைகளை' பூர்த்தி செய்ய தேர்ந்தெடுக்கப்படுகிறது. ஒரு ஒற்றைத் தீர்வு என்பது பொதுவான தீர்வில் உள்ள தன்னிச்சையான மாறிலிகளுக்கு திட்டவட்டமான மதிப்புகளை ஒதுக்குவதன் மூலம் பெற முடியாத ஒரு தீர்வாகும். நேரியல் ODE இன் சூழலில், சொற்களஞ்சிய குறிப்பிட்ட தீர்வு ODE இன் எந்தவொரு தீர்வையும் குறிக்கலாம் (ஆரம்ப நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்ய வேண்டிய அவசியமில்லை), பின்னர் இது ஒரே மாதிரியான தீர்வுடன் (ஒரே மாதிரியான ODE இன் பொதுவான தீர்வு) சேர்க்கப்படுகிறது, இது அசல் ODE இன் பொதுவான தீர்வை உருவாக்குகிறது. இந்தக் கட்டுரையில் யூகிக்கும் முறை பிரிவில் பயன்படுத்தப்படும் சொல் இது, மேலும் தீர்மானிக்கப்படாத குணகங்களின் முறை மற்றும் அளவுருக்களின் மாறுபாட்டைப் பற்றி விவாதிக்கும்போது இது அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படுகிறது. வரையறுக்கப்பட்ட காலத்தின் தீர்வுகள் நேரியல் அல்லாத தன்னாட்சி ODE களுக்கு சில நிபந்தனைகளின் கீழ் வரையறுக்கப்பட்ட காலத்தின் தீர்வுகளை உருவாக்க முடியும், அதாவது இங்கே அதன் சொந்த இயக்கவியலில் இருந்து, அமைப்பு ஒரு இறுதி நேரத்தில் பூஜ்ஜிய மதிப்பை எட்டும் மற்றும் அதன் பிறகு எப்போதும் பூஜ்ஜியத்தில் இருக்கும். இந்த வரையறுக்கப்பட்ட-கால தீர்வுகள் முழு உண்மையான வரியிலும் பகுப்பாய்வு செயல்பாடுகளாக இருக்க முடியாது, மேலும் அவை முடிவடையும் நேரத்தில் லிப்ஸ்கிட்ஸ் அல்லாத செயல்பாடுகளாக இருப்பதால், அவை லிப்ஸ்கிட்ஸ் வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் தீர்வுகளின் தனித்துவ தேற்றத்தில் சேர்க்கப்படவில்லை. எடுத்துக்காட்டாக, சமன்பாடுஃ வரையறுக்கப்பட்ட காலத் தீர்வை ஒப்புக்கொள்கிறதுஃ கோட்பாடுகள் ஒற்றைத் தீர்வுகள் சாதாரண மற்றும் பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் ஒற்றைத் தீர்வுகளின் கோட்பாடு லீப்னிஸின் காலத்திலிருந்தே ஆராய்ச்சிக்கு உட்பட்டது, ஆனால் பத்தொன்பதாம் நூற்றாண்டின் நடுப்பகுதியில் இருந்து மட்டுமே இது சிறப்பு கவனத்தைப் பெற்றுள்ளது. இந்த விஷயத்தில் ஒரு மதிப்புமிக்க ஆனால் அதிகம் அறியப்படாத படைப்பு ஹௌடைன் (1854) ஆகும். டார்போக்ஸ் (1873 முதல்) இந்தக் கோட்பாட்டில் ஒரு தலைவராக இருந்தார், மேலும் இந்த தீர்வுகளின் வடிவியல் விளக்கத்தில் அவர் பல்வேறு எழுத்தாளர்களால், குறிப்பாக காசோராட்டி மற்றும் கெய்லி ஆகியோரால் உருவாக்கப்பட்ட ஒரு துறையைத் திறந்தார். பிந்தையது (1872) 1900 ஆம் ஆண்டில் ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட முதல் வரிசையின் வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் ஒருமை தீர்வுகளின் கோட்பாட்டிற்கு காரணமாகும். நாற்கரங்களுக்குக் குறைப்பு வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைக் கையாள்வதில் பழமையான முயற்சி நாற்கரங்களுக்குக் குறைப்பைக் கருத்தில் கொண்டிருந்தது. பதினெட்டாம் நூற்றாண்டின் இயற்கணிதவியலாளர்கள் n வது டிகிரியின் பொதுவான சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான ஒரு முறையைக் கண்டுபிடிப்பார்கள் என்ற நம்பிக்கை இருந்ததால், எந்தவொரு வேறுபட்ட சமன்பாட்டையும் ஒருங்கிணைப்பதற்கான ஒரு பொதுவான முறையைக் கண்டுபிடிப்பது ஆய்வாளர்களின் நம்பிக்கையாக இருந்தது. இருப்பினும், காஸ் (1799) சிக்கலான வேறுபாடு சமன்பாடுகளுக்கு சிக்கலான எண்கள் தேவை என்பதைக் காட்டினார். எனவே, ஆய்வாளர்கள் செயல்பாடுகளைப் பற்றிய ஆய்வை மாற்றத் தொடங்கினர், இதனால் ஒரு புதிய மற்றும் வளமான புலம் திறக்கப்பட்டது. இந்தக் கருத்தின் முக்கியத்துவத்தை முதன்முதலில் பாராட்டியவர் காச்சி ஆவார். அதன்பிறகு, அறியப்பட்ட செயல்பாடுகள் அல்லது அவற்றின் ஒருங்கிணைப்புகளின் மூலம் ஒரு தீர்வு சாத்தியமா என்பது உண்மையான கேள்வி அல்ல, ஆனால் கொடுக்கப்பட்ட வேறுபாடு சமன்பாடு சுயாதீன மாறி அல்லது மாறிகளின் செயல்பாட்டின் வரையறைக்கு போதுமானதா, அப்படியானால், சிறப்பியல்பு பண்புகள் என்ன. ஃபுச்சியன் கோட்பாடு ஃபுச்சின் இரண்டு நினைவுக் குறிப்புகள் ஒரு புதுமையான அணுகுமுறையை ஊக்குவித்தன, பின்னர் தாம் மற்றும் ஃப்ரோபீனியஸ் ஆகியோரால் விரிவுபடுத்தப்பட்டன. 1869 ஆம் ஆண்டு தொடங்கி கோலெட் ஒரு முக்கிய பங்களிப்பாளராக இருந்தார். ஒரு நேரியல் அல்லாத அமைப்பை ஒருங்கிணைப்பதற்கான அவரது முறை 1868 ஆம் ஆண்டில் பெர்ட்ராண்டுக்கு தெரிவிக்கப்பட்டது. கிளெப்ஷ் (1873) தனது அபெலியன் ஒருங்கிணைப்புக் கோட்பாட்டில் உள்ள கோட்பாட்டிற்கு இணையாக கோட்பாட்டைத் தாக்கினார். பகுத்தறிவு மாற்றத்தின் கீழ் மாறாமல் இருக்கும் அடிப்படை வளைவின் பண்புகளின்படி பிந்தையதை வகைப்படுத்த முடியும் என்பதால், f = 0 தொடர்புடைய மேற்பரப்புகளின் மாறாத பண்புகளின்படி வேறுபட்ட சமன்பாடுகளால் வரையறுக்கப்பட்ட ஆழ்நிலை செயல்பாடுகளை பகுத்தறிவு ஒன்றுக்கு ஒன்று மாற்றங்களின் கீழ் வகைப்படுத்த கிளெப்ஷ் முன்மொழிந்தார். 1870 முதல், சோஃபஸ் லையின் பணி வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் கோட்பாட்டை ஒரு சிறந்த அடித்தளத்தில் வைத்தது. பழைய கணிதவியலாளர்களின் ஒருங்கிணைப்புக் கோட்பாடுகள், லை குழுக்களைப் பயன்படுத்தி, ஒரு பொதுவான மூலத்தைக் குறிக்க முடியும் என்பதையும், அதே எண்ணற்ற மாற்றங்களை ஒப்புக்கொள்ளும் சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடுகள் ஒப்பிடக்கூடிய ஒருங்கிணைப்பு சிக்கல்களை முன்வைக்கின்றன என்பதையும் அவர் காட்டினார். தொடர்பின் மாற்றங்கள் பற்றியும் அவர் வலியுறுத்தினார். லையின் வகைக்கெழு சமன்பாடுகளின் குழு கோட்பாடு சான்றளிக்கப்பட்டுள்ளது, அதாவதுஃ (1) வகைக்கெழு சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கு அறியப்பட்ட பல தற்காலிக முறைகளை இது ஒருங்கிணைக்கிறது, மற்றும் (2) தீர்வுகளைக் கண்டறிய சக்திவாய்ந்த புதிய வழிகளை வழங்குகிறது. இந்தக் கோட்பாடு சாதாரண மற்றும் பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகள் இரண்டிற்கும் பயன்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளது. ஒரு பொதுத் தீர்வு அணுகுமுறை வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் சமச்சீர் பண்பைப் பயன்படுத்துகிறது, தீர்வுகளுக்கான தீர்வுகளின் தொடர்ச்சியான எல்லையற்ற உருமாற்றங்கள் (பொய் கோட்பாடு). தொடர்ச்சியான குழு கோட்பாடு, லை ஆல்ஜிப்ராக்கள் மற்றும் வேறுபட்ட வடிவியல் ஆகியவை ஒருங்கிணைந்த சமன்பாடுகளை உருவாக்குவதற்கான நேரியல் மற்றும் நேரியல் அல்லாத (பகுதி) வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் கட்டமைப்பைப் புரிந்துகொள்வதற்கும், அதன் லக்ஸ் ஜோடிகள், மறுநிகழ்வு ஆபரேட்டர்கள், பாக்லண்ட் உருமாற்றம் மற்றும் இறுதியாக டி. இ. க்கு சரியான பகுப்பாய்வு தீர்வுகளைக் கண்டறிவதற்கும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. கணிதம், இயற்பியல், பொறியியல் மற்றும் பிற துறைகளில் எழும் வேறுபட்ட சமன்பாடுகளுக்கு சமச்சீர் முறைகள் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளன. ஸ்டர்ம்-லியோவில்லே கோட்பாடு என்பது ஒரு சிறப்பு வகை இரண்டாவது வரிசை நேரியல் சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாட்டின் கோட்பாடாகும். அவற்றின் தீர்வுகள் இரண்டாவது வரிசை ஒரே மாதிரியான நேரியல் சமன்பாடுகள் மூலம் வரையறுக்கப்பட்ட நேரியல் இயக்கிகளின் ஐகென் மதிப்புகள் மற்றும் தொடர்புடைய ஐகென் செயல்பாடுகளை அடிப்படையாகக் கொண்டவை. இந்த சிக்கல்கள் ஸ்டர்ம்-லியோவில்லே சிக்கல்கள் (எஸ். எல். பி) என அடையாளம் காணப்பட்டு ஜே. சி. எஃப் பெயரிடப்பட்டுள்ளன. 1800 களின் நடுப்பகுதியில் அவற்றைப் படித்த ஸ்டர்ம் மற்றும் ஜே. லியோவில்லே. எஸ்எல்பிக்கள் எண்ணற்ற ஐகென் மதிப்புகளைக் கொண்டுள்ளன, அதனுடன் தொடர்புடைய ஐகென் செயல்பாடுகள் ஒரு முழுமையான, ஆர்த்தோகனல் தொகுப்பை உருவாக்குகின்றன, இது ஆர்த்தோகனல் விரிவாக்கங்களை சாத்தியமாக்குகிறது. பயன்பாட்டு கணிதம், இயற்பியல் மற்றும் பொறியியல் ஆகியவற்றில் இது ஒரு முக்கிய யோசனையாகும். சில பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் பகுப்பாய்விலும் எஸ்எல்பிக்கள் பயனுள்ளதாக இருக்கும். தீர்வுகளின் இருப்பு மற்றும் தனித்துவம் உள்ளூரில் மற்றும் உலகளவில் ODE களை உள்ளடக்கிய ஆரம்ப மதிப்பு சிக்கல்களுக்கான தீர்வுகளின் இருப்பு மற்றும் தனித்துவத்தை நிறுவும் பல கோட்பாடுகள் உள்ளன. இரண்டு முக்கிய கோட்பாடுகள் {| கிளாஸ் = "விக்கிட்டபிள்" |-! தேற்றம்! அனுமானம்! முடிவு |-|Peano இருப்பு தேற்றம் | |F தொடர்ச்சியான | |local இருப்பு மட்டுமே |-|Picard-Lindelöf தேற்றம் | |F Lipschitz தொடர்ச்சியான | |local இருப்பு மற்றும் தனித்துவம் |-|} அவற்றின் அடிப்படை வடிவத்தில் இந்த இரண்டு கோட்பாடுகளும் உள்ளூர் முடிவுகளுக்கு மட்டுமே உத்தரவாதம் அளிக்கின்றன, இருப்பினும் பிந்தையது உலகளாவிய முடிவைக் கொடுக்க நீட்டிக்கப்படலாம், எடுத்துக்காட்டாக, க்ரோன்வாலின் சமத்துவமின்மையின் நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்பட்டால். மேலும், மேலே உள்ள லிப்ஸ்கிட்ஸ் போன்ற தனித்துவக் கோட்பாடுகள் டி. ஏ. இ அமைப்புகளுக்கு பொருந்தாது, அவை அவற்றின் (நேரியல் அல்லாத) இயற்கணிதப் பகுதியிலிருந்து மட்டுமே உருவாகும் பல தீர்வுகளைக் கொண்டிருக்கலாம். உள்ளூர் இருப்பு மற்றும் தனித்துவ தேற்றம் எளிமைப்படுத்தப்பட்டது தேற்றத்தை பின்வருமாறு வெறுமனே கூறலாம். சமன்பாடு மற்றும் ஆரம்ப மதிப்பு சிக்கலுக்குஃ x-y சமதளத்தில் ஒரு மூடிய செவ்வகத்தில் F மற்றும் ஷ்ணல் F/ஷ்ணல் y தொடர்ச்சியாக இருந்தால், அங்கு a மற்றும் b உண்மையானவை (குறியீடாகஃ) மற்றும் கார்ட்டீசியன் பெருக்கத்தைக் குறிக்கின்றன, சதுர அடைப்புகள் மூடிய இடைவெளிகளைக் குறிக்கின்றன, பின்னர் மேலே உள்ள சமன்பாடு மற்றும் ஆரம்ப மதிப்பு சிக்கலுக்கான தீர்வைக் காணக்கூடிய சில இடங்களுக்கு ஒரு இடைவெளி உள்ளது. அதாவது, ஒரு தீர்வு உள்ளது மற்றும் அது தனித்துவமானது. F நேரியல் இருக்க எந்த கட்டுப்பாடும் இல்லை என்பதால், இது F (x, y) வடிவத்தை எடுக்கும் நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளுக்கு பொருந்தும், மேலும் இது சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளுக்கும் பயன்படுத்தப்படலாம். உலகளாவிய தனித்துவம் மற்றும் தீர்வின் அதிகபட்ச களம் பிகார்ட்-லிண்டெலோஃப் தேற்றத்தின் கருதுகோள்கள் திருப்தி அடையும் போது, உள்ளூர் இருப்பு மற்றும் தனித்துவத்தை உலகளாவிய முடிவுக்கு நீட்டிக்க முடியும். மேலும் துல்லியமாகஃ ஒவ்வொரு ஆரம்ப நிபந்தனைக்கும் (x0, y0) ஒரு தனித்துவமான அதிகபட்ச (ஒருவேளை எல்லையற்ற) திறந்த இடைவெளி உள்ளது, அதாவது இந்த ஆரம்ப நிபந்தனையை திருப்திப்படுத்தும் எந்தவொரு தீர்வும் இந்த ஆரம்ப நிபந்தனையை களத்துடன் திருப்திப்படுத்தும் தீர்வின் கட்டுப்பாட்டாகும். அந்த விஷயத்தில், வரையறுக்கப்பட்ட நேரத்தில் சரியாக இரண்டு சாத்தியக்கூறுகள் வெடிப்பு உள்ளனஃ வரையறையின் களத்தை விட்டு விடுகிறதுஃ இங்கு ω என்பது F வரையறுக்கப்பட்ட திறந்த தொகுப்பாகும், மேலும் இது அதன் எல்லையாகும். தீர்வின் அதிகபட்ச களம் எப்போதும் ஒரு இடைவெளி (தனித்துவத்தைக் கொண்டிருக்க) (x0, y0) இன் குறிப்பிட்ட தேர்வைப் பொறுத்து சிறியதாக இருக்கலாம் என்பதை நினைவில் கொள்க. உதாரணம். இதன் பொருள் F (x, y) = y2, இது C1 மற்றும் எனவே உள்ளூரில் லிப்ஸிட்ச் தொடர்ச்சியானது, இது பிகார்ட்-லிண்டெலோஃப் தேற்றத்தை திருப்திப்படுத்துகிறது. அத்தகைய எளிய அமைப்பில் கூட, தீர்வின் அதிகபட்ச களம் அனைத்தும் இருக்க முடியாது, ஏனெனில் தீர்வு அதிகபட்ச களத்தைக் கொண்டுள்ளதுஃ அதிகபட்ச இடைவெளி ஆரம்ப நிபந்தனைகளைப் பொறுத்தது என்பதை இது தெளிவாகக் காட்டுகிறது. y இன் களத்தை ஒரு இடைவெளியாக எடுத்துக் கொள்ள முடியும், ஆனால் இது ஒரு இடைவெளி இல்லாத ஒரு களத்திற்கு வழிவகுக்கும், இதனால் ஆரம்ப நிபந்தனைக்கு எதிரான பக்கம் ஆரம்ப நிபந்தனையிலிருந்து துண்டிக்கப்படும், எனவே அது தனித்துவமாக தீர்மானிக்கப்படாது. அதிகபட்ச களம் என்பது மேலே உள்ள தேற்றத்தின் படி இரண்டு சாத்தியமான நிகழ்வுகளில் ஒன்றாகும் என்பதால் அல்ல. வரிசையைக் குறைத்தல் சமன்பாட்டின் வரிசையைக் குறைக்க முடிந்தால் வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது பொதுவாக எளிதானது. ஒரு முதல்-வரிசை அமைப்புக்கு குறைப்பு வரிசை n இன் எந்தவொரு வெளிப்படையான வேறுபாடு சமன்பாடும், i = 1,2,., n க்கான அறியப்படாத செயல்பாடுகளின் புதிய குடும்பத்தை வரையறுப்பதன் மூலம் n முதல்-வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் அமைப்பாக எழுதப்படலாம். முதல்-வரிசை இணைந்த வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் n-பரிமாண அமைப்பு பின்னர் திசையன் குறியீட்டில் மிகவும் கச்சிதமாக இருக்கும்ஃ இங்கு சரியான தீர்வுகளின் சுருக்கம் சில வேறுபாடு சமன்பாடுகள் துல்லியமான மற்றும் மூடிய வடிவத்தில் எழுதக்கூடிய தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளன. பல முக்கியமான வகுப்புகள் இங்கு வழங்கப்படுகின்றன. கீழேயுள்ள அட்டவணையில்,,,, மற்றும், ஏதேனும் ஒருங்கிணைக்கக்கூடிய செயல்பாடுகள் உள்ளன, மற்றும் உண்மையான கொடுக்கப்பட்ட மாறிலிகள்; தன்னிச்சையான மாறிலிகள் (பொதுவாக சிக்கலானவை). வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் அவற்றின் சமமான மற்றும் மாற்று வடிவங்களில் உள்ளன, அவை ஒருங்கிணைப்பு மூலம் தீர்வுக்கு வழிவகுக்கின்றன. ஒருங்கிணைந்த தீர்வுகளில், λ மற்றும் ε ஆகியவை ஒருங்கிணைப்பின் போலி மாறிகள் (கூட்டுத்தொகையில் உள்ள குறியீடுகளின் தொடர்ச்சியான ஒப்புமைகள்), மேலும் குறியீடு என்பது, பின்னர் ஒருங்கிணைப்பு மாற்றீட்டிற்குப் பிறகு, மாறிலிகளைச் சேர்க்காமல் (வெளிப்படையாகக் கூறப்பட்டுள்ளது) ஒருங்கிணைப்பதைக் குறிக்கிறது. பொதுவான முதல் வரிசை சமன்பாடுகள் n வது வரிசை சமன்பாடுகளுக்கு நேரியல் பொது இரண்டாவது வரிசை சமன்பாடுகள் யூகிக்கும் முறை ஒரு ODE ஐத் தீர்ப்பதற்கான மற்ற அனைத்து முறைகளும் தோல்வியடையும் போது, அல்லது ஒரு DE க்கான தீர்வு எப்படி இருக்கும் என்பது பற்றி நமக்கு சில உள்ளுணர்வு இருக்கும் சந்தர்ப்பங்களில், சில நேரங்களில் தீர்வை யூகிப்பதன் மூலமும் அதை சரிபார்ப்பதன் மூலமும் ஒரு DE ஐத் தீர்க்க முடியும். இந்த முறையைப் பயன்படுத்த, வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கான தீர்வை நாம் வெறுமனே யூகிக்கிறோம், பின்னர் சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்தினால் சரிபார்க்க தீர்வை வேறுபட்ட சமன்பாட்டில் செருகுகிறோம். அவ்வாறு செய்தால், DE க்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு உள்ளது, இல்லையெனில் நாம் மீண்டும் தொடங்கி மற்றொரு யூகத்தை முயற்சிக்கிறோம். உதாரணமாக, ஒரு DE க்கான தீர்வு வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது என்று நாம் யூகிக்க முடியும்ஃ ஏனெனில் இது மிகவும் பொதுவான தீர்வாகும், இது உடல் ரீதியாக சைனூசாய்டல் வழியில் செயல்படுகிறது. ஒரே மாதிரியாக இல்லாத முதல் வரிசை ODE இன் விஷயத்தில், நாம் முதலில் DE இன் ஒரே மாதிரியான பகுதிக்கு ஒரு DE தீர்வை கண்டுபிடிக்க வேண்டும், இல்லையெனில் சிறப்பியல்பு சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது, பின்னர் முழு ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டிற்கும் ஒரு தீர்வைக் கண்டறிய வேண்டும். இறுதியாக, ODE க்கான மொத்த தீர்வைப் பெற இந்த இரண்டு தீர்வுகளையும் ஒன்றாகச் சேர்க்கிறோம், அதாவதுஃ திறந்த மூல கணினி இயற்கணித அமைப்பான மாக்ஸிமாவைத் தீர்ப்பதற்கான ODE க்கான மென்பொருள். COPASI, ODEகளின் ஒருங்கிணைப்பு மற்றும் பகுப்பாய்வுக்கான ஒரு இலவச (கலை உரிமம் 2) மென்பொருள் தொகுப்பு. MATLAB, ஒரு தொழில்நுட்ப கணினி பயன்பாடு (மேட்ரிக்ஸ் ஆய்வகம்) குனு ஆக்டேவ், ஒரு உயர் நிலை மொழி, முதன்மையாக எண் கணக்கீடுகளுக்கான நோக்கம் கொண்டது. சைலாப், எண் கணக்கீட்டிற்கான ஒரு திறந்த மூல பயன்பாடு. மேப்பிள், குறியீட்டு கணக்கீடுகளுக்கான ஒரு தனியுரிம பயன்பாடு. கணிதம், முதன்மையாக குறியீட்டு கணக்கீடுகளுக்கான ஒரு தனியுரிம பயன்பாடு. சிம்பாய், ஓ. டி. இ. க்களை ஜூலியா (நிரலாக்க மொழி) குறியீடாக தீர்க்கக்கூடிய ஒரு பைதான் தொகுப்பு, இது முதன்மையாக எண் கணக்கீடுகளுக்கான உயர் மட்ட மொழியாகும். சேஜ்மேத், கணிதத்தின் பல கிளைகளில் பரவியுள்ள பரந்த அளவிலான திறன்களுடன் பைதான் போன்ற தொடரமைப்பைப் பயன்படுத்தும் ஒரு திறந்த மூல பயன்பாடு. ஸ்கைப், ODE ஒருங்கிணைப்பு தொகுதியை உள்ளடக்கிய ஒரு பைதான் தொகுப்பு. 15 இலக்க துல்லியத்துடன் செயல்பாடுகளைக் கணக்கிடுவதற்காக MATLAB இல் எழுதப்பட்ட ஒரு திறந்த மூல தொகுப்பான செப்ஃபுன். குனு ஆர், முதன்மையாக புள்ளிவிவரங்களுக்காக வடிவமைக்கப்பட்ட ஒரு திறந்த மூல கணக்கீட்டு சூழல், இதில் ODE தீர்ப்பதற்கான தொகுப்புகள் அடங்கும். மேலும் காண்க எல்லை மதிப்பு சிக்கல் வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள் வேறுபட்ட சமன்பாடுகளுக்கு பயன்படுத்தப்படும் லாப்லேஸ் உருமாற்றம் இயக்கவியல் அமைப்புகள் மற்றும் வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் பட்டியல் மேட்ரிக்ஸ் வேறுபட்ட சமன்பாடு தீர்மானிக்கப்படாத குணகங்களின் முறை தொடர்ச்சியான உறவு குறிப்புகள் குறிப்புகள். பொல்யனின், ஏ. டி. மற்றும் வி. எஃப். ஜைட்சேவ், சாதாரண வேறுபட்ட சமன்பாடுகளுக்கான சரியான தீர்வுகளின் கையேடு (2 வது பதிப்பு), சாப்மேன் & ஹால்/சி. ஆர். சி பிரஸ், போகா ரேட்டன், 2003. நூலியல் டபிள்யூ. ஜான்சன், சாதாரண மற்றும் பகுதி வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் குறித்த ஒரு ஆய்வுக் கட்டுரை, ஜான் வில்லி அண்ட் சன்ஸ், 1913, மிச்சிகன் பல்கலைக்கழக வரலாற்று கணித சேகரிப்பில் விடோல்ட் ஹூரெவிக்ஸ், சாதாரண வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் குறித்த விரிவுரைகள், டோவர் வெளியீடுகள்,. ஏ. டி. பொல்யனின், வி. எஃப். ஜைட்சேவ், மற்றும் ஏ. மவுசியாக்ஸ், முதல் வரிசை பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் கையேடு, டெய்லர் & பிரான்சிஸ், லண்டன், 2002. டி. ஸ்விலிங்கர், வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் கையேடு (3 வது பதிப்பு), அகாடமிக் பிரஸ், பாஸ்டன், 1997. வெளிப்புற இணைப்புகள் ஈக்யூ வேர்ல்ட்ஃ கணித சமன்பாடுகளின் உலகம், அவற்றின் தீர்வுகளுடன் சாதாரண வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் பட்டியலைக் கொண்டுள்ளது. ஆன்லைன் குறிப்புகள்/வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் பால் டாக்கின்ஸ், லாமர் பல்கலைக்கழகம். வேறுபட்ட சமன்பாடுகள், எஸ். ஓ. எஸ். கணிதம். தெற்கு புளோரிடா பல்கலைக்கழகத்தின் ஹோலிஸ்டிக் நியூமெரிக்கல் மெத்தட்ஸ் இன்ஸ்டிடியூட்டில் இருந்து வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் பகுப்பாய்வு தீர்வு குறித்த ஒரு ப்ரைமர். ஜெரால்ட் டெஸ்சல் எழுதிய சாதாரண வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் மற்றும் டைனமிகல் சிஸ்டம்ஸ் விரிவுரை குறிப்புகள். வேறுபட்ட கேள்விகள் பற்றிய குறிப்புகள்ஃ பொறியாளர்களுக்கான வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் UIUC இன் ஜிரி லெபல் எழுதிய வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் குறித்த அறிமுக பாடப்புத்தகம். ஸ்கிலேப் பயன்படுத்தி ODE களுடன் மாடலிங் ஓபனீயரிங் குழுவால் ஸ்கிலேப் நிலையான நிரலாக்க மொழியைப் பயன்படுத்தி ODE ஆல் விவரிக்கப்பட்ட ஒரு இயற்பியல் அமைப்பை எவ்வாறு மாடல் செய்வது என்பது பற்றிய பயிற்சி. ஒரு சாதாரண வேறுபட்ட சமன்பாட்டை Wolfram|Alpha வேறுபட்ட கால்குலஸ் வேறுபட்ட சமன்பாடுகளில் தீர்ப்பது