Concentration inequality
நிகழ்தகவுக் கோட்பாட்டில், செறிவு ஏற்றத்தாழ்வுகள் ஒரு சீரற்ற மாறி சில மதிப்பிலிருந்து (பொதுவாக, அதன் எதிர்பார்க்கப்பட்ட மதிப்பு) எவ்வாறு விலகுகிறது என்பதற்கான வரம்புகளை வழங்குகின்றன. அதிக எண்ணிக்கையிலான பாரம்பரிய நிகழ்தகவுக் கோட்பாட்டின் விதி, சுயாதீனமான சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டுத்தொகை, மிகவும் லேசான நிலைமைகளின் கீழ், பெரிய நிகழ்தகவுடன் அவற்றின் எதிர்பார்ப்புக்கு நெருக்கமாக இருப்பதாகக் கூறுகிறது. இத்தகைய தொகைகள் அவற்றின் சராசரியைச் சுற்றி குவிந்துள்ள சீரற்ற மாறிகளின் மிக அடிப்படையான எடுத்துக்காட்டுகளாகும். இத்தகைய நடத்தை சுயாதீனமான சீரற்ற மாறிகளின் பிற செயல்பாடுகளால் பகிரப்படுகிறது என்பதை சமீபத்திய முடிவுகள் காட்டுகின்றன. செறிவு ஏற்றத்தாழ்வுகளை பயன்படுத்த சீரற்ற மாறியைப் பற்றிய எவ்வளவு தகவல்கள் தேவை என்பதைப் பொறுத்து அவற்றை வரிசைப்படுத்தலாம். மார்கோவின் சமத்துவமின்மை எதிர்மறை அல்லாத (கிட்டத்தட்ட நிச்சயமாக) ஒரு சீரற்ற மாறியாக இருக்கட்டும். பின்னர், ஒவ்வொரு மாறிலிக்கும், மார்கோவின் சமத்துவமின்மைக்கான பின்வரும் நீட்டிப்பைக் கவனியுங்கள்ஃ கண்டிப்பாக அதிகரித்து வரும் மற்றும் எதிர்மறை அல்லாத செயல்பாடாக இருந்தால், செபிஷேவின் சமத்துவமின்மைக்கு சீரற்ற மாறி குறித்த பின்வரும் தகவல்கள் தேவைப்படுகின்றனஃ எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. மாறுபாடு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. பின்னர், ஒவ்வொரு மாறிலிக்கும், அல்லது அதற்கு சமமான, நிலையான விலகல் எங்கே? செபிஷேவின் சமத்துவமின்மையை சீரற்ற மாறிக்கு பயன்படுத்தப்படும் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட மார்கோவின் சமத்துவமின்மையின் ஒரு சிறப்பு நிகழ்வாகக் காணலாம். வைசோசான்ஸ்கிஜ்-பெட்டுனின் சமத்துவமின்மை எக்ஸ் ஒரு சீரற்ற மாறியாக இருக்கட்டும், இது ஒற்றை மாதிரி விநியோகம், சராசரி μ மற்றும் வரையறுக்கப்பட்ட, பூஜ்ஜியமற்ற மாறுபாடு σ2. பின்னர், எதற்கும் (ஒப்பீட்டளவில் அடிப்படை ஆதாரத்திற்கு பார்க்கவும் எ. கா. ). ஒருதலைப்பட்ச வைசோசான்ஸ்கிஜ்-பெட்டுனின் சமத்துவமின்மை ஒரு ஒற்றைப்படை சீரற்ற மாறி மற்றும், ஒருதலைப்பட்ச வைசோசான்ஸ்கிஜ்-பெட்டுனின் சமத்துவமின்மை பின்வருமாறு உள்ளதுஃ பாலே-ஜைக்மண்ட் சமத்துவமின்மை கான்டெல்லியின் சமத்துவமின்மை காஸ் சமத்துவமின்மை செர்னோஃப் வரம்புகள் பொதுவான செர்னோஃப் வரம்பிற்கு கணத்தை உருவாக்கும் செயல்பாடு தேவைப்படுகிறது, இது எப்போதும் உள்ளது, ஆனால் எல்லையற்றதாக இருக்கலாம். மார்கோவின் சமத்துவமின்மையிலிருந்து, ஒவ்வொருவருக்கும்ஃ மற்றும் ஒவ்வொருவருக்கும்ஃ வெவ்வேறு விநியோகங்களுக்கும் அளவுருவின் வெவ்வேறு மதிப்புகளுக்கும் பல்வேறு செர்னாஃப் வரம்புகள் உள்ளன. அதிக செறிவு ஏற்றத்தாழ்வுகளின் தொகுப்பைப் பார்க்கவும். சுயாதீன வரம்புக்குட்பட்ட மாறிகளின் கூட்டுத்தொகையின் வரம்புகள் சுயாதீனமான சீரற்ற மாறிகளாக இருக்கட்டும், அதாவது அனைத்திற்கும் i: கிட்டத்தட்ட நிச்சயமாக. அவற்றின் கூட்டுத்தொகை, அதன் எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு மற்றும் அதன் மாறுபாடு என்று வைத்துக்கொள்வோம்ஃ கூட்டுத்தொகைக்கும் அதன் எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்புக்கும் இடையிலான வேறுபாட்டை பிணைப்பது பெரும்பாலும் சுவாரஸ்யமானது. பல ஏற்றத்தாழ்வுகள் பயன்படுத்தப்படலாம். 1. ஹோஃப்டிங்கின் சமத்துவமின்மை இவ்வாறு கூறுகிறதுஃ 2. சீரற்ற மாறி ஒரு மார்டிங்கேலின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு, மற்றும். எனவே, அசுமாவின் சமத்துவமின்மையின் பொதுவான வடிவத்தையும் பயன்படுத்தலாம், மேலும் இது இதேபோன்ற வரம்பை அளிக்கிறதுஃ இது ஹோஃப்டிங்கின் பொதுமைப்படுத்தலாகும், ஏனெனில் இது மற்ற வகையான மார்டிங்கேல்களையும், சூப்பர்மார்டிங்கேல்களையும், சப்மார்டிங்கேல்களையும் கையாள முடியும். ஃபேன் மற்றும் பலரைப் பார்க்கவும். (2015). அசுமாவின் சமத்துவமின்மையின் எளிய வடிவம் பயன்படுத்தப்பட்டால், எல்லையில் உள்ள அடுக்கு 4 என்ற காரணியால் மோசமாக இருக்கும் என்பதை நினைவில் கொள்க. 3. கூட்டுத்தொகைச் செயல்பாடு,, என்பது n மாறிகளின் செயல்பாட்டின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு. இந்த செயல்பாடு ஒரு வரம்புக்குட்பட்ட வழியில் மாறுகிறதுஃ மாறி i மாற்றப்பட்டால், f இன் மதிப்பு அதிகபட்சமாக மாறுகிறது. எனவே, மெக்டியார்மிட்டின் சமத்துவமின்மையையும் பயன்படுத்தலாம், மேலும் இது இதேபோன்ற வரம்பை அளிக்கிறதுஃ இது ஹோஃப்டிங்கின் வேறுபட்ட பொதுமைப்படுத்தலாகும், ஏனெனில் இது ஒரு வரம்புக்குட்பட்ட வழியில் மாறும் வரை கூட்டுத்தொகை செயல்பாட்டைத் தவிர மற்ற செயல்பாடுகளைக் கையாள முடியும். 4. பென்னட்டின் சமத்துவமின்மை ஹோஃப்டிங்ஸை விட சில முன்னேற்றங்களை வழங்குகிறது, கூட்டுத்தொகைகளின் மாறுபாடுகள் அவற்றின் கிட்டத்தட்ட உறுதியான வரம்புகளுடன் ஒப்பிடும்போது சிறியதாக இருக்கும். பெர்ன்ஸ்டைனின் சமத்துவமின்மைகளில் முதலாவது இவ்வாறு கூறுகிறதுஃ இது ஹோஃப்டிங்கின் பொதுமைப்படுத்தலாகும், ஏனெனில் இது சீரற்ற மாறிகளை கிட்டத்தட்ட உறுதியான பிணைப்புடன் மட்டுமல்லாமல் கிட்டத்தட்ட உறுதியான பிணைப்பு மற்றும் மாறுபாடு பிணைப்புடன் கையாள முடியும். 6. சுயாதீன மாறிகளின் கூட்டுத்தொகையின் விஷயத்தில் செர்னாஃப் எல்லைகள் குறிப்பாக எளிய வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக, மாறிகள் திருப்தி அளிக்கின்றன என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் நமக்கு குறைந்த வால் சமத்துவமின்மை உள்ளதுஃ திருப்தி அடைந்தால், நமக்கு மேல் வால் சமத்துவமின்மை உள்ளதுஃ அதாவது, செர்னோஃப் சமத்துவமின்மையின் ஒரு பொதுவான பதிப்பு 7 ஆகும். இதே போன்ற வரம்புகளை பின்வருவனவற்றில் காணலாம்ஃ ராடெமாச்சர் எஃப்ரான்-ஸ்டீன் சமத்துவமின்மை கூட்டுத்தொகையில் எஃப்ரான்-ஸ்டீன் சமத்துவமின்மை (அல்லது செல்வாக்கு சமத்துவமின்மை, அல்லது மாறுபாட்டில் பிணைக்கப்பட்ட எம்ஜி) ஒரு பொதுவான செயல்பாட்டின் மாறுபாட்டை கட்டுப்படுத்துகிறது. அவை சுயாதீனமானவை மற்றும் அனைவருக்கும் ஒரே மாதிரியான விநியோகத்தைக் கொண்டுள்ளன என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் ஒரு ஆதாரத்தைக் காணலாம் எ. கா.,. பிரெட்டக்னோல்-ஹூபர்-கரோல் சமத்துவமின்மை பிரெட்டக்னோல்-ஹூபர்-கரோல் சமத்துவமின்மை பன்முகமாக விநியோகிக்கப்பட்ட சீரற்ற மாறிகளின் திசையனுக்கும் எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்புகளின் திசையனுக்கும் இடையிலான வேறுபாட்டைக் கட்டுப்படுத்துகிறது. ஒரு எளிய சான்று (பின் இணைப்பு பிரிவு) இல் தோன்றும். ஒரு சீரற்ற திசையன் அளவுருக்களுடன் பன்முகமாக விநியோகிக்கப்பட்டு திருப்தி அடைந்தால், இந்த சமத்துவமின்மை மொத்த மாறுபாடு தூரத்தை பிணைக்கப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. மேசன் மற்றும் வான் ஸ்வெட் சமத்துவமின்மை மல்டினாமியல் சீரற்ற திசையன்களுக்கான மேசன் மற்றும் வான் ஸ்வெட் சமத்துவமின்மை கிளாசிக்கல் சி-ஸ்கொயர் புள்ளிவிவரத்தின் சிறிய மாற்றத்தைப் பற்றியது. சீரற்ற திசையன் அளவுருக்களுடன் பன்முகமாக விநியோகிக்கப்படட்டும், பின்னர் ஒவ்வொருவருக்கும் மற்றும் அனைவருக்கும் திருப்திகரமான மற்றும் நம்மிடம் உள்ள ட்வோரெட்ஸ்கி-கீஃபர்-வோல்ஃபோவிட்ஸ் சமத்துவமின்மை போன்ற மாறிலிகள் உள்ளன. ஒரு இயற்கை எண்ணைப் பொறுத்தவரை, உண்மையான மதிப்புள்ள சுயாதீனமான மற்றும் ஒட்டுமொத்த விநியோகச் செயல்பாடு F (·) உடன் ஒரே மாதிரியாக விநியோகிக்கப்பட்ட சீரற்ற மாறிகளாக இருக்கட்டும். எனவே ஒரு ஒற்றை சீரற்ற மாறி சிறியதாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு, மற்றும் அதை விட சிறியதாக இருக்கும் சீரற்ற மாறிகளின் சராசரி எண்ணிக்கை. பின்னர் செறிவு எதிர்ப்பு ஏற்றத்தாழ்வுகள் செறிவு எதிர்ப்பு ஏற்றத்தாழ்வுகள், மறுபுறம், ஒரு சீரற்ற மாறி ஒரு அளவைச் சுற்றி எவ்வளவு கவனம் செலுத்த முடியும் என்பதற்கான மேல் வரம்பை வழங்குகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, ஹைபர்க்யூபின் பெரும்பாலான திசைகளுக்கு, பின்வருபவை உண்மை என்று சில உள்ளன என்பதை ராவ் மற்றும் யெஹுதாயோஃப் காட்டுகிறார்கள்ஃ பெரிய அளவிலான ஒரு துணைக்குழுவிலிருந்து ஒரே மாதிரியாக வரையப்படுகிறது. இத்தகைய ஏற்றத்தாழ்வுகள் தகவல்தொடர்பு சிக்கல் (எ. கா., இடைவெளி ஹாமிங் சிக்கலின் சான்றுகளில்) மற்றும் வரைபடக் கோட்பாடு உள்ளிட்ட பல துறைகளில் முக்கியத்துவம் வாய்ந்தவை. சுயாதீனமான ராடெமாச்சர் சீரற்ற மாறிகளின் எடையுள்ள தொகைகளுக்கான ஒரு சுவாரஸ்யமான செறிவு எதிர்ப்பு சமத்துவமின்மையை பாலே-ஜைக்மண்ட் மற்றும் கின்ட்சைன் ஏற்றத்தாழ்வுகளைப் பயன்படுத்தி பெறலாம். மேற்கோள்கள் வெளிப்புற இணைப்புகள் கார்த்திக் ஸ்ரீதரன், "செறிவு சமத்துவமின்மைக்கு ஒரு மென்மையான அறிமுகம்"-கார்னெல் பல்கலைக்கழகம் நிகழ்தகவு சமத்துவமின்மை