Hermite's problem
ஹெர்மைட்டின் சிக்கல் 1848 ஆம் ஆண்டில் சார்லஸ் ஹெர்மைட் முன்வைத்த கணிதத்தில் ஒரு திறந்த சிக்கலாகும். உண்மையான எண்களை இயற்கையான எண்களின் வரிசைகளாக வெளிப்படுத்த ஒரு வழியை அவர் கேட்டார், அதாவது அசல் எண் ஒரு கன விகிதமற்றதாக இருக்கும்போது வரிசை இறுதியில் துல்லியமாக குறிப்பிட்ட கால இடைவெளியில் இருக்கும். உந்துதல் உண்மையான எண்களை எழுதுவதற்கான ஒரு நிலையான வழி அவற்றின் தசம பிரதிநிதித்துவத்தால் ஆகும், அதாவதுஃ a0 ஒரு முழு எண், x இன் முழு எண் பகுதி மற்றும் a1, a2, a3.0 மற்றும் 9 க்கு இடையிலான முழு எண்கள். உண்மையான எண் x என்பது ஒரு விகிதமுறு எண், அதன் தசம விரிவாக்கம் இறுதியில் குறிப்பிட்ட கால இடைவெளியில் இருந்தால் மட்டுமே, அதாவது இயற்கை எண்கள் N மற்றும் p இருந்தால், ஒவ்வொரு n ≤ N க்கும் இது ஒரு + p = an ஆகும். எண்களை வெளிப்படுத்துவதற்கான மற்றொரு வழி, அவற்றை தொடர்ச்சியான பின்னங்களாக எழுதுவதாகும், இதில்ஃ a0 ஒரு முழு எண் மற்றும் a1, a2, a3. இயற்கையான எண்கள். இந்த பிரதிநிதித்துவத்திலிருந்து நாம் x ஐ மீட்டெடுக்க முடியும், ஏனெனில் x ஒரு விகிதமுறு எண் என்றால், வரிசை (அ) இறுதியாக பல சொற்களுக்குப் பிறகு முடிவடைகிறது. மறுபுறம், யூலர் பகுத்தறிவற்ற எண்களை தொடர்ச்சியான பின்னங்களாக வெளிப்படுத்த எல்லையற்ற வரிசை தேவை என்பதை நிரூபித்தார். மேலும், x ஒரு இருபடி பகுத்தறிவற்றதாக இருந்தால் மட்டுமே, இந்த வரிசை இறுதியில் காலமுறை (மீண்டும், எனவே ஒவ்வொரு n ≤ N க்கும் நமக்கு ஒரு + p = an இருக்கும் வகையில் N மற்றும் p இயற்கையான எண்கள் உள்ளன). ஹெர்மைட்டின் கேள்வி விகிதமுறு எண்கள் படி 1 இன் பல்லுறுப்புக்கோவையை திருப்திப்படுத்தும் இயற்கணித எண்கள், அதே நேரத்தில் இருபடி பகுத்தறிவற்றவை படி 2 இன் பல்லுறுப்புக்கோவையை திருப்திப்படுத்தும் இயற்கணித எண்கள். இந்த இரண்டு எண்களின் தொகுப்புகளுக்கும், ஒவ்வொரு வரிசையும் ஒரு தனித்துவமான உண்மையான எண்ணைக் கொடுக்கும் பண்புடன் இயற்கையான எண்களின் (அ) வரிசையை உருவாக்க ஒரு வழி உள்ளது, மேலும் இந்த உண்மையான எண் வரிசை இறுதியில் குறிப்பிட்ட கால இடைவெளியில் இருந்தால் மட்டுமே தொடர்புடைய தொகுப்பிற்கு சொந்தமானது. 1848 ஆம் ஆண்டில், சார்லஸ் ஹெர்மைட் கார்ல் குஸ்டாவ் ஜேக்கப் ஜாகோபிக்கு ஒரு கடிதத்தை எழுதினார், இந்த சூழ்நிலையை பொதுமைப்படுத்த முடியுமா என்று கேட்டார், அதாவது ஒவ்வொரு உண்மையான எண் x க்கும் இயற்கையான எண்களின் வரிசையை ஒதுக்க முடியுமா, அதாவது x ஒரு கன பகுத்தறிவற்றதாக இருக்கும்போது வரிசை இறுதியில் துல்லியமாக குறிப்பிட்ட கால இடைவெளியில் இருக்கும், அதாவது டிகிரி 3 இன் இயற்கணித எண்? அல்லது, பொதுவாக, ஒவ்வொரு இயல் எண் dக்கும், ஒவ்வொரு இயல் எண் x க்கும் இயல் எண்களின் வரிசையை ஒதுக்க ஒரு வழி இருக்கிறதா, அது x என்பது டிகிரி d இன் இயற்கணிதமாக இருக்கும்போது எடுக்க முடியுமா? ஹெர்மைட்டின் சிக்கலைத் தீர்க்க முயற்சிக்கும் அணுகுமுறைகள் பெரும்பாலும் பன்முக தொடர்ச்சியான பின்னங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. ஜாகோபியே ஒரு ஆரம்ப உதாரணத்தைக் கொண்டு வந்தார், ஒவ்வொரு ஜோடி உண்மையான எண்களுக்கும் (x, y) தொடர்புடைய ஒரு வரிசையைக் கண்டுபிடித்தார், இது தொடர்ச்சியான பின்னங்களின் உயர் பரிமாண அனலாக்காக செயல்பட்டது. x மற்றும் y இரண்டும் ஒரு கன எண் புலத்தைச் சேர்ந்தவை என்றால் மட்டுமே (x, y) உடன் இணைக்கப்பட்ட வரிசை இறுதியில் குறிப்பிட்ட கால இடைவெளியில் இருக்கும் என்று அவர் நம்பினார், ஆனால் அவ்வாறு செய்ய முடியவில்லை மற்றும் இந்த வழக்கு தீர்க்கப்படவில்லையா. 2015 ஆம் ஆண்டில், முதல் முறையாக, எந்தவொரு கன விகிதமுறு விகிதமுறு விகிதமுறு விகிதமுறு விகிதமுறு விகிதமுறு விகிதமுறு விகிதமுறு விகிதமுறு விகிதமுறு விகிதமுறு விகிதமுறு விகிதமுறு விகிதமுறு விகிதமுறு விகிதமுறு விகிதமுறு விகிதமுறு விகிதமுறு விகிதமுறு விகிதமுறு விகிதமுறு விகிதமுறு விகிதமுறு விகிதமுறு விகிதமுறு விகிதமுறு விகிதமுறு விகிதமுறு விகிதமுறு விகிதமுறு விகிதமுறு விகிதமுறு விகிதமுறு விகிதமுறு விகிதமுறு விகிதமுறு விகிதமுறு விகிதமுறு விகிதமுறு விகிதமுறு விகிதமுறு விகிதமுறு விகிதமுறு விகிதமுறு விகிதமுறு விகிதமுறு விகிதமுறு விகிதமுறு விகிதமுறு விகிதமுறு விகிதமுறு விகிதமுறு விகிதமுறு விகிதமுறு விகிதமுறு விகிதமுறு விகிதமுறு விகிதமுறு விகிதமுறு விகிதமுறு விகிதமுறு விகிதமுறு விகிதமுறு விகித இருப்பினும், காலமுறை பிரதிநிதித்துவம் அனைத்து உண்மையான எண்களிலும் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு வழிமுறையிலிருந்து பெறப்படவில்லை, மேலும் இது கன பகுத்தறிவற்ற குறைந்தபட்ச பல்லுறுப்புக்கோவை பற்றிய அறிவிலிருந்து மட்டுமே பெறப்படுகிறது. தொடர்ச்சியான பின்னங்களை பொதுமைப்படுத்துவதற்குப் பதிலாக, சிக்கலுக்கான மற்றொரு அணுகுமுறை மின்காவ்ஸ்கியின் கேள்விக் குறி செயல்பாட்டை பொதுமைப்படுத்துவதாகும். இந்த செயல்பாடு? : [0,1] → [0,1] மேலும் இருபடி பகுத்தறிவற்ற எண்களைத் தேர்ந்தெடுக்கிறது? (x) என்பது x என்பது விகிதமுறு அல்லது இருபடி விகிதமுறு எண்ணாக இருந்தால் மட்டுமே விகிதமுறு எண்ணாகும், மேலும் x என்பது விகிதமுறு எண்ணாக இருந்தால் மட்டுமே விகிதமுறு எண்ணாக இருக்கும். (x) ஒரு டயாடிக் விகிதமுறு, எனவே x ஒரு இருபடி பகுத்தறிவற்ற துல்லியமாக எப்போது? (x) என்பது டயாடிக் அல்லாத விகிதமுறு எண். அலகு சதுரம் [0,1] × [0,1] அல்லது இரு பரிமாண சிம்ப்ளக்ஸ் ஆகியவற்றிற்கு இந்த செயல்பாட்டின் பல்வேறு பொதுமைப்படுத்தல்கள் செய்யப்பட்டுள்ளன, இருப்பினும் ஹெர்மைட்டின் சிக்கலை எதுவும் இன்னும் தீர்க்கவில்லை. 2021 ஆம் ஆண்டில் கியூபிக் திசையன்களின் காலமுறை பிரதிநிதியைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான இரண்டு கழித்தல் வழிமுறைகள் ஒலெக் கார்பென்கோவ் என்பவரால் முன்மொழியப்பட்டன. முதல் (அல்காரிதம்) முற்றிலும் உண்மையான வழக்குக்கு மட்டுமே வேலை செய்கிறது. வழிமுறைக்கான உள்ளீடு கன திசையன்களின் மூன்று மடங்கு ஆகும். ஒரு கன வெக்டர் என்பது ஒரு டிகிரி 3 நீட்டிப்பை உருவாக்கும் எந்த திசையனும் ஆகும். இந்த விஷயத்தில் அல்காரிதத்தின் வெளியீடு குறிப்பிட்ட கால இடைவெளியில் இருந்தால் மட்டுமே கியூபிக் திசையன்கள் இணைக்கப்படுகின்றன. இரண்டாவது (எச்ஏபிடி வழிமுறை) அனைத்து நிகழ்வுகளுக்கும் (சிக்கலான கன திசையன்கள் உட்பட) மற்றும் அனைத்து பரிமாணங்களுக்கும் வேலை செய்யும் என்று கருதப்படுகிறது. குறிப்புகள் தொடர்ச்சியான பின்னங்கள் இயற்கணித எண் கோட்பாடு எண் கோட்பாட்டில் தீர்க்கப்படாத சிக்கல்கள்