Rule of marteloio
மார்டிலோயோவின் விதி என்பது திசைகாட்டி திசை, தூரம் மற்றும் டோலெட்டா டி மார்டிலோயோ எனப்படும் எளிய முக்கோணவியல் அட்டவணையைப் பயன்படுத்தும் வழிசெலுத்தல் கணக்கீட்டின் இடைக்கால நுட்பமாகும். டோலெட்டா மற்றும் அடிப்படை எண்கணிதத்தின் உதவியுடன் முக்கோணங்களைத் தீர்ப்பதன் மூலம் இரண்டு வெவ்வேறு வழிசெலுத்தல் படிப்புகளுக்கு இடையிலான பயணத்தை எவ்வாறு திட்டமிடுவது என்று இந்த விதி கடற்படையினருக்குக் கூறியது. எண்களைக் கையாளுவதில் சங்கடமாக இருப்பவர்கள் காட்சி டோண்டோ இ குவாட்ரோவை (வட்டம் மற்றும் சதுரம்) நாடலாம் மற்றும் வகுப்பான்கள் மூலம் தங்கள் பதிலை அடையலாம். வானியல் வழிசெலுத்தல் வளர்ச்சிக்கு முன்பு, 14 மற்றும் 15 ஆம் நூற்றாண்டுகளில் மத்திய தரைக்கடல் கடற்பயணிகளால் மார்டிலோயோவின் விதி பொதுவாக பயன்படுத்தப்பட்டது. சொற்பிறப்பியல் சொற்பிறப்பியல் வெனிஸ் மொழியிலிருந்து வருகிறது. தனது 1436 அட்லஸில், வெனிஸ் கேப்டனும் வரைபடக் கலைஞருமான ஆண்ட்ரியா பியான்கோ எண்களின் அட்டவணையை அறிமுகப்படுத்தினார், அதை அவர் டோலெட்டா டி மார்ட்லியோ ("மார்ட்லியோவின் அட்டவணை") என்றும், அதை ராக்சான் டி மார்ட்லியோ ("மார்ட்லியோவின் காரணம்") என்றும் அழைத்தார். மார்டிலோயோவின் பொருள் நிச்சயமற்றது. மிகவும் பரவலாக ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட கருதுகோள், முதலில் ஏ. இ. நோர்டென்ஸ்கீல்ட், மார்டிலோயோ "சுத்தி" (வெனிஸ் மொழியில் "மார்டெலோ") உடன் தொடர்புடையது, இது காலப்போக்கைக் குறிக்க கப்பலின் மணியைத் தாக்கப் பயன்படுத்தப்பட்ட சிறிய சுத்தியலைக் குறிக்கிறது. - ஓயோ பின்னொட்டு மார்ட்லியோ என்பது சுத்தியலையோ அல்லது சுத்தியலையோ அல்ல, மாறாக ஒவ்வொரு நான்கு மணி நேரத்திற்கும் கடிகாரத்தை மாற்றுவதிலிருந்து "சுத்தியல், டின், ராக்கெட்" ஆகியவற்றைக் குறிக்கும் நோக்கில் "சுத்தியல்" என்பதைக் குறிக்கிறது என்று பரிந்துரைக்கப்படுகிறது. கடிகாரத்தை மாற்றும் போது டெக்கில் பல கைகள் இருந்ததால், கப்பலின் விமானி தாங்கி மாற்றத்தை (தேவைப்பட்டால்) உத்தரவிட இது ஒரு உகந்த தருணமாக இருக்கும். மாற்றுக் கருதுகோள்கள் (ஏறத்தாழ ஏற்றுக்கொள்ளப்படாதவை) என்னவென்றால், "மார்டிலோயோ" என்பது மாரி லோகியோ ("கடலின் ஆட்சி" என்று பொருள்படும்), அல்லது மாரே டெலா ("கடல் நெட்வொர்க்" என்று பொருள்படும்) என்பதிலிருந்து ஒரு சிதைவு, அல்லது இது கிரேக்க ஹோமர்டோலோஜியம் ("துணைத் துண்டு" என்று பொருள்படும்), அல்லது கிரேக்க இமேரோலோஜியம் ("தினசரி கணக்கீடு" என்று பொருள்படும்) அல்லது அது வடக்கு பிரெஞ்சு மெட்டலோட்டிலிருந்து வந்திருக்கலாம், இது பிரெட்டன் மார்டோலோட் ("மாலுமிகள்" என்று பொருள்படும்) என்பதிலிருந்து வருகிறது. "மார்டிலோயோவின் விதி" இடைக்காலத்தில் ஐரோப்பிய வழிசெலுத்தலில் பயன்படுத்தப்பட்டது, குறிப்பாக 14 மற்றும் 16 ஆம் நூற்றாண்டுகளுக்கு இடையில் மத்தியதரைக் கடலில், இது பழைய வேர்களைக் கொண்டிருக்கலாம். புவியியல் ஆயத்தங்களின் வருகைக்கும் ஐரோப்பாவில் வான வழிசெலுத்தல் வளர்ச்சிக்கும் முன்பு இது "திசைகாட்டி மற்றும் விளக்கப்படம்" மூலம் வழிசெலுத்தலின் ஒருங்கிணைந்த பகுதியாக இருந்தது. இடைக்கால வழிசெலுத்தல் திசை மற்றும் தூரம் ஆகிய இரண்டு அளவுருக்களை நம்பியிருந்தது. கப்பலில், திசை கடற்படையின் திசைகாட்டி மூலம் தீர்மானிக்கப்பட்டது (இது சுமார் 1300 இல் வெளிப்பட்டது). (அதாவது, தூரம் = வேகம் × நேரம்), நேரம் அரை மணி நேர கண்ணாடியால் அளவிடப்பட்டது, மற்றும் வேக அளவீடுகள் ஒரு சிப் பதிவின் ஒரு வடிவத்தால் எடுக்கப்பட்டன (14 மற்றும் 15 ஆம் நூற்றாண்டுகளில் பயன்படுத்தப்பட்ட பழமையான முறை, ஒரு மரத் துண்டு அல்லது மிதவையை கப்பலின் மீது மிதக்க வைப்பதை உள்ளடக்கியது; கப்பல் குழுவினர் கப்பலின் நீளத்தைக் கடந்து சிப் மிதக்க எடுத்த நேரத்தைக் குறிக்க ஒரு தாள மந்திரத்தில் ஈடுபட்டனர்). திசைகாட்டி திசை மற்றும் புள்ளி A மற்றும் புள்ளி B க்கு இடையிலான தூரத்தை அறிந்து கொள்ள வேண்டிய ஒரு பாடத்திட்டத்தை திட்டமிடுவது. ஒருவருக்கொருவர் துறைமுகங்கள் எங்கு உள்ளன என்பது பற்றிய அறிவு கடற்பயணிகளால் கடலில் நீண்ட அனுபவத்தின் மூலம் பெறப்பட்டது. இந்தத் தகவல் சில நேரங்களில் போர்ட்டோலோனோ (இத்தாலிய மொழியில் "போர்ட் புக்", கிரேக்க பெரிப்ளஸ், போர்த்துகீசிய ரோட்டிரோ மற்றும் ஆங்கில ரட்டருக்கு சமமானது) என்று அழைக்கப்படும் ஒரு விமானியின் கையேட்டில் சேகரிக்கப்பட்டு எழுதப்பட்டது. இந்த கையேடுகள் போர்டோலன் விளக்கப்படங்கள் எனப்படும் கடல் வரைபடங்களின் ஒரு வகுப்பை உருவாக்க பயன்படுத்தப்பட்டன. 13 ஆம் நூற்றாண்டின் பிற்பகுதியில் ஜெனோவாவில் போர்டோலன் விளக்கப்படங்கள் தயாரிக்கத் தொடங்கின, விரைவில் வெனிஸ் மற்றும் மஜோர்காவிற்கும் பரவியது. போர்ட்டோலன் விளக்கப்படங்கள் தீர்க்கரேகை மற்றும் அட்சரேகை கோடுகளால் கட்டப்படவில்லை, மாறாக திசைகாட்டி வளைவு கோடுகளின் வலையால் கட்டப்பட்டன, இது கடற்படையினருக்கு இடங்களுக்கிடையேயான தூரம் மற்றும் திசை பற்றிய ஒரு யோசனையை மட்டுமே அளித்தது. ஒரு கையேடு அல்லது போர்ட்டோலன் விளக்கப்படத்தின் மூலம், ஒரு நேவிகேட்டர் உடனடியாகக் காண முடிந்தது, எடுத்துக்காட்டாக, பீசா ஜெனோவாவின் தென்கிழக்கே 85 மைல் தொலைவில் (பாரம்பரிய திசைகாட்டி ரோஜா பெயரிடுதலில் "சிரோக்கோ") உள்ளது, எனவே ஜெனோவாவிலிருந்து பீசாவுக்கு புறப்பட்ட ஒரு கப்பல் அந்த தூரத்திற்கு அந்த தாங்கி வைத்திருப்பதை வெறுமனே பராமரிக்கும். இருப்பினும், பெரும்பாலான பாய்மரப் பாதைகள் அவ்வளவு சுத்தமாக இல்லை. மஜோர்காவிலிருந்து நேபிள்ஸுக்கு பயணம் செய்ய விரும்பும் ஒரு கடற்படை வீரர், பிந்தையது சுமார் 600 மைல் தொலைவில் கிழக்கு ("லெவண்டே") என்று சொல்ல முடியும்-ஆனால் சார்டினியா தீவு வழியில் உள்ளது, எனவே கப்பலின் தாங்கி பாதையில் மாற்றப்பட வேண்டும். இந்த சகாப்தத்தில் புவியியல் ஆயத்தொலைவுகள் இல்லாததால் இதைச் செய்வதை விடச் சொல்வது எளிது. கடலில் கப்பலின் சரியான நிலையை தீர்மானிக்க ஒரே வழி கடந்த கால தாங்கி மற்றும் பயணித்த தூரத்தின் மூலம் கணக்கிடுவதாகும். தீவுகள் ஒரு கணிக்கக்கூடிய தடையாக இருந்தன-சார்டினியாவைத் தவிர்ப்பது என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட தூரத்திற்கு தென்கிழக்கே பயணம் செய்வதாகும், பின்னர் மீதமுள்ளவர்களுக்கு வடகிழக்கு ("கிரேக்கோ") க்கு மாறும். பொருத்தமான காற்றால் கப்பல் அதன் விரும்பிய பாதையில் இருந்து வீசப்பட்டதா அல்லது தாக்கும் பணியில் ஈடுபட வேண்டியிருந்தால், மீண்டும் மீண்டும் தாங்கி மாற்றுவது மிகவும் சிக்கலானது. அது எப்படி அதன் நோக்கமான போக்கை நோக்கி திரும்புகிறது? இங்குதான் மார்டிலோயோவின் ஆட்சி வந்தது. டிராவர்ஸ் சிக்கல் மார்டிலோயோவின் விதி கடலில் மாறிவரும் தாங்கி பிரச்சினையை நிவர்த்தி செய்தது. மேலும் குறிப்பாக, ஒரு வழிசெலுத்துபவர் ஒரு வழிசெலுத்தல் போக்கில் இருந்து மற்றொரு வழிசெலுத்தலுக்கு பயணிக்க இது உதவியது. உதாரணமாக, ஒரு கப்பல் கோர்சிகாவிலிருந்து ஜெனோவாவுக்குச் செல்ல வேண்டும் என்று வைத்துக்கொள்வோம், இது சுமார் 130 மைல் தூரம் நேரான வடக்கே ("டிராமோன்டானா") செல்லும் ஒரு போக்கு. ஆனால் காற்று ஒத்துழைக்கவில்லை, மேலும் கப்பல் சுமார் 70 மைல் தூரம் வடமேற்கே ("மாஸ்ட்ரோ") பயணிக்க வேண்டிய கட்டாயம் ஏற்பட்டது. அது எப்படி அதன் அசல் பாதைக்குத் திரும்புகிறது? வடகிழக்கில் ("கிரேக்கோ") அதன் தாக்கத்தை மீண்டும் அமைப்பது போதுமான விவேகமானதாகத் தெரிகிறது, ஆனால் அது எவ்வளவு காலம் அந்த தாக்கத்தின் மீது பயணிக்க வேண்டும்? கப்பல் அதன் பழைய பாதையை அடைந்து மீண்டும் வடக்கே திரும்ப வேண்டும் என்று ஒரு நேவிகேட்டருக்கு எப்படித் தெரியும்? பழைய போக்கை மிகைப்படுத்துவதையோ அடிக்கோடிட்டுக் காட்டுவதையோ தவிர்ப்பது எப்படி? இது ஒரு முக்கோணத்தைத் தீர்ப்பதற்கான கணிதப் பிரச்சினை. தவறான பாதையில் கப்பல் எவ்வளவு நேரம் பயணித்தது என்று ஒரு நேவிகேட்டருக்குத் தெரிந்தால், அதன் தற்போதைய தூரத்தை அதன் விரும்பிய போக்கில் இருந்து கணக்கிடலாம், மேலும் அது அதன் பழைய போக்கை மீட்டெடுக்கும் வரை புதிய தாங்கி மீது எவ்வளவு நேரம் பயணம் செய்ய வேண்டும் என்பதை மதிப்பிடலாம். கோர்சிகா-டு-ஜெனோவா எடுத்துக்காட்டில், ஒரு புறம் கொடுக்கப்பட்ட (உண்மையான NW போக்கில் AC = 70 மைல்கள்), A இல் 45° கோணம் (உண்மையான போக்கில் NW க்கும் விரும்பிய போக்கில் N க்கும் இடையிலான வேறுபாட்டின் கோணம்) மற்றும் C இல் 90° மற்றொரு கோணம் (உண்மையான போக்கில் NW க்கும் திரும்பும் போக்கில் NE க்கும் இடையிலான வேறுபாட்டின் கோணம்) கொண்ட ஒரு மறைமுக முக்கோண ACD உள்ளது. வடகிழக்கு திரும்பும் பாதையில் ஒருவர் எவ்வளவு தூரம் பயணிக்க வேண்டும் (பக்க சி. டி. யின் நீளம், ரிடோர்னோ என்று அழைக்கப்படுவது) மற்றும் ஒருவர் நேராக வெளியேறும் நேரத்தில் ஒருவர் விரும்பிய பாதையில் எவ்வளவு தூரம் முன்னேறியுள்ளார் (ஹைபோடெனஸ் ஏ. டி. யின் நீளம், அல்லது மொத்த அவான்சோ என்று அழைக்கப்படுகிறது) என்பதைக் கண்டுபிடிப்பதே நேவிகேட்டருக்கு சவால். இது ஒரு பக்கம் (70) மற்றும் இரண்டு கோணங்கள் (45° மற்றும் 90°) கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு பக்கங்களுக்குத் தீர்க்கும் அடிப்படை முக்கோணவியல் ஆகும். சைன் விதியைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் இது விரைவாக செய்யப்படுகிறதுஃ ரிடோர்னோ = 70 மைல்கள் மற்றும் மொத்த அவான்சோ = 98.99 மைல்கள். இதன் பொருள் என்னவென்றால், கப்பல் அதன் தற்போதைய நிலையில் (சி) இருந்து வடகிழக்கைத் தாங்கினால், அது வடகிழக்கு தாங்கி மீது 70 மைல் பயணத்திற்குப் பிறகு அதன் அசல் நோக்கம் கொண்ட போக்கை அடையும். அது அதன் சந்திப்பு புள்ளியை (டி) அடையும் நேரத்தில், அது அதன் அசல் நோக்கம் கொண்ட பாதையின் 98.99 மைல்களை உள்ளடக்கியிருக்கும். அங்கு அது அதன் தாங்கி N ஐ நேராக்கி, மீதமுள்ள 30 மைல்கள் அல்லது ஜெனோவா வரை பயணம் செய்யலாம். துரதிர்ஷ்டவசமாக, 14 மற்றும் 15 ஆம் நூற்றாண்டுகளின் அடிப்படை கல்வி நிலைகளைக் கொண்ட இடைக்கால மாலுமிகள், சைன்ஸ் சட்டத்தை அறிந்திருக்கவோ அல்லது அதை எளிதில் கையாளவோ வாய்ப்பில்லை. இதன் விளைவாக, இடைக்கால கடற்பயணிகளுக்கு எளிமையான மற்றும் அணுகக்கூடிய கணக்கீட்டு முறை தேவைப்பட்டது. ரூல்ஸ் ரமோன் லுல்லின் "மிலியாரியா" மஜோர்காவின் அறிஞர்-மதகுருவான ரமோன் லல்ல், வழிசெலுத்தலின் குறுக்குவெட்டு சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான ஒரு விதியைக் குறிப்பிட்ட முதல் எழுத்தாளர் ஆவார். தனது ஆர்பர் சயின்டியா (1295) இல், வடிவியல் பற்றிய கேள்விகளின் பிரிவில், லுல் எழுதுகிறார்ஃ ஒரு கப்பல் உண்மையில் E இல் பயணிக்கிறது, ஆனால் எஸ். இ. இல் பயணிக்க விரும்புகிறது, அது ஏற்கனவே அதன் தென்கிழக்கு நோக்கத்தின் தூரத்தை எவ்வளவு நன்றாக உருவாக்கியுள்ளது என்பதைக் கண்டுபிடிக்க முடியும்-இத்தாலியர்கள் "அவான்சார்" என்று அழைத்ததை, ஆனால் லுல் "மிலியாரியா இன் மாரி" என்று அழைக்கிறார். எப்படி என்பதை லுல் சரியாக விளக்கவில்லை, ஆனால் ஒரு "கருவியை" மட்டுமே குறிக்கிறது, அநேகமாக ஒருவித முக்கோணவியல் அட்டவணை. இரண்டு பாதைகளுக்கும் இடையிலான கோணத்தின் கொசைன் மூலம் தவறான போக்கில் உண்மையில் பயணித்த தூரத்தை பெருக்குவதன் மூலம் கடற்படையினர் விரும்பிய போக்கில் மிலியேரியாவைக் கணக்கிட முடியும் என்பதை லுல் குறிக்கிறது. மாரி மொழியில் மில்லியாரியா = பயணம் செய்யப்பட்ட தூரம் × காஸ் (θ) இங்கு θ என்பது இரண்டு பாதைகளுக்கும் இடையிலான வேறுபாட்டின் கோணமாகும். லல்லின் உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி, தென்கிழக்கே பயணிக்க விரும்பிய ஒரு கப்பல் ("எக்ஸலோச்" என்பது "சிரோக்கோ" என்பதற்கான கட்டலான் ஆகும்) ஆனால் அதற்கு பதிலாக கிழக்கே பயணிக்க வேண்டிய கட்டாயம் ஏற்பட்டது ("லெவன்ட்"), பின்னர் வேறுபாட்டின் கோணம் θ = 45° ஆகும். தவறான பாதையில் 100 மைல்களுக்குப் பிறகு, விரும்பிய பாதையில் உள்ள மிலியாரியா 100 × cos 45° = 70.71 ஆகும். தவறான பாதையில் பாய்மரத்தை 200 மைல்களுக்கு இரட்டிப்பாக்குவது 141.42 மைல்களுக்கு (= 200 cos 45°) விரும்பிய பாதையில் மிலியாரியாவை இரட்டிப்பாக்கும். (வரைபட ரீதியாக, மாரி மொழியில் லல்லின் மிலியாரியா ஒரு வலது கோண முக்கோணத்தை உருவாக்குவதன் மூலம் அளவிடப்படுகிறது, இது உண்மையான போக்கில் பயணித்த தூரத்திலிருந்து விரும்பிய போக்கை நோக்கி ஒரு தண்டு இயக்கி, 90 டிகிரி கோணத்தில் சந்திக்கிறது). லால் தனது ஆர்ஸ் மேக்னா ஜெனரலிஸ் எட் அல்டிமா (கி. பி. 1305 இல் எழுதப்பட்டது) இல் இன்னும் கொஞ்சம் வெளிப்படையாக உள்ளார். தனது உதாரணத்தை மாற்றியமைத்து, ஒரு கப்பல் உண்மையில் தென்கிழக்கே பயணிக்கிறது, ஆனால் கிழக்கே பயணிக்க விரும்புகிறது, தென்கிழக்கு தாழ்வாரத்தில் ஒவ்வொரு நான்கு மைல்களுக்கும், அது கிழக்கு நோக்கிய பாதையில் "மூன்று மைல் (உண்மையில் 2.83 மைல்) பெறுகிறது" என்று லுல் குறிப்பிடுகிறார். எனவே, தற்போதைய போக்கில் பயணிக்கும் ஒவ்வொரு 100 மைல்களுக்கும் கப்பல் அதன் நோக்கம் கொண்ட போக்கை "25 மைல்கள்" (உண்மையில் 29 மைல்கள்) இழக்கிறது என்று லுல் குறிப்பிடுகிறார். அவரது பத்திகளில், ரமோன் லுல் இந்த விதியை பரிந்துரைக்கவில்லை என்பதைக் கவனியுங்கள், ஆனால் அதை அறிக்கையிடுகிறார், இந்த விதி ஏற்கனவே சமகால மாலுமிகளால் நடைமுறையில் அறியப்பட்டு பயன்படுத்தப்பட்டது என்பதை வலியுறுத்துகிறது. இது ஒருவேளை ஆச்சரியப்படுவதற்கில்லை-முக்கோணவியல் கிறிஸ்தவ ஐரோப்பாவில் அதன் ஆரம்ப கட்டத்தில் மட்டுமே இருந்தபோதிலும், சைன் மற்றும் கொசைன் அட்டவணைகள் ஏற்கனவே அரபு கணிதத்தில் அறியப்பட்டன. 1230 வரை முஸ்லீம் ஆட்சியின் கீழ் இருந்த மஜோர்கா இராச்சியம், லல்லின் காலத்தில் ஒரு பன்முக கலாச்சார மையமாக இருந்தது, வளர்ந்து வரும் யூத சமூகங்களுடன், அவர்களில் பலர் கணிதம் மற்றும் வானியலில் ஈடுபட்டிருந்தனர், மேலும் அவர்களின் கடற்பயணிகள் மத்தியதரைக் கடல் முழுவதும் விரிவான தொடர்பைக் கொண்டிருந்தனர். மேஜர்கன் கடற்பயணிகள் ஒருவித முக்கோணவியல் அட்டவணையை கையில் வைத்திருந்தனர் என்பது சாத்தியமற்றது அல்ல. ஆயினும்கூட, 1295 ஆம் ஆண்டில் ரமோன் லல்லால் குறிப்பிடப்பட்ட இந்த அட்டவணையின் சரியான உள்ளடக்கம் மற்றும் தளவமைப்பு நிச்சயமற்றது. ஆண்ட்ரியா பியான்கோவின் "டோலெட்டா" லல்லுக்குப் பிறகு ஒரு நூற்றாண்டுக்கும் மேலாக ஒரு கடற்படையின் முக்கோணவியல் அட்டவணையைப் பற்றிய முதல் பார்வையைப் பெறுகிறோம். தனது 1436 போர்ட்டோலன் அட்லஸின் முதல் ஃபோலியோவில், வெனிஸ் கேப்டன் ஆண்ட்ரியா பியான்கோ ராக்சான் டி மார்ட்லியோவை விளக்குகிறார், பயணத்தை எவ்வாறு கணக்கிடுவது மற்றும் போக்கை மீட்டெடுப்பது. அவர் ஒரு எளிய முக்கோணவியல் அட்டவணையை வைக்கிறார், அவர் டோலெட்டா டி மார்டிலோயோ என்று அழைக்கிறார், மேலும் கடற்படையினர் மேசையை நினைவகத்திற்கு ஒப்படைக்க பரிந்துரைக்கிறார். டோலெட்டா டி மார்டிலோயோ பின்வருமாறு அமைக்கப்பட்டுள்ளதுஃ டோலெட்டாவில் உள்ள எண்களை நவீன சூத்திரங்களால் தோராயமாக மதிப்பிடலாம்ஃ அலர்கர் = அவன்சார் = ரிடோர்னோ = அவன்சோ டி ரிடோர்னோ = இங்கு q = கால் காற்றின் எண்ணிக்கை (காற்றின் எண்ணிக்கையில் வெளிப்படுத்தப்படும் வேறுபாட்டின் கோணம்). (எண்கள் காலாண்டு காற்றின் வழக்கமான வரையறையான 11.25 ° ஐ விட, 11.15 ° இடைவெளியில் அமைக்கப்பட்ட காலாண்டு காற்றுகளுடன் செயல்படுகின்றன என்பதைக் கவனியுங்கள்). டோலெட்டா என்பது பல நெடுவரிசைகளைக் கொண்ட ஒரு எளிய அட்டவணையாகும். முதல் நெடுவரிசையில் உண்மையான மற்றும் விரும்பிய படிப்புகளுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டின் கோணம் உள்ளது, இது கால்-காற்று எண்ணிக்கையால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. அந்த வேறுபாடு தீர்மானிக்கப்பட்டவுடன், இரண்டாவது நெடுவரிசை அலார்கருக்கு ("அகலப்படுத்துதல்", கப்பல் விரும்பிய போக்கில் இருந்து தற்போதைய தூரம்) கொடுக்கிறது, அதே நேரத்தில் மூன்றாவது நெடுவரிசை அவன்சாருக்கு ("முன்கூட்டியே", விரும்பிய போக்கில் எவ்வளவு தூரம் ஏற்கனவே தற்போதைய தாங்கி மீது பயணம் செய்வதன் மூலம் மூடப்பட்டுள்ளது-இது ரமோன் லுல்லின் மிலியாரியா டி மாரிக்கு சமம்) கூறுகிறது. அலர்கர் மற்றும் அவன்சார் எண்கள் தற்போதைய போக்கில் 100 மைல் பயணம் செய்ய பியான்கோவின் மேஜையில் காட்டப்பட்டுள்ளன. எடுத்துக்காட்டுஃ ஏ புள்ளியில் இருந்து பி புள்ளி வரை கிழக்கே ("லெவண்டே") செல்லும் ஒரு கப்பல் என்று வைத்துக்கொள்வோம். ஆனால் காற்று அதை தென்கிழக்கு-கிழக்கு திசையில் பயணிக்க கட்டாயப்படுத்தியது என்று வைத்துக்கொள்வோம் (SEbE, "குவார்டோ டி சிரோக்கோ வெர்சோ லெவண்டே"). தென்கிழக்கு-மூலம்-கிழக்கு என்பது கிழக்கிலிருந்து மூன்றில் ஒரு பங்கு காற்று (அல்லது 33.75 °) தொலைவில் உள்ளது (ஒரு 32-புள்ளி திசைகாட்டி, கிழக்கிலிருந்து கால்-காற்று வரிசையில், 1 கால் கிழக்கு-மூலம்-தெற்கு, 2 கால் கிழக்கு-தென்கிழக்கு, 3 கால் தென்கிழக்கு-மூலம்-கிழக்கு). அதாவது நேவிகேட்டர் டோலெட்டாவில் உள்ள மூன்றாவது வரிசையான q = 3 ஐ அணுக வேண்டும். கப்பல் SE-by-E தாங்கி மீது 100 மைல்கள் பயணித்தது என்று வைத்துக்கொள்வோம். விரும்பிய கிழக்கு நோக்கிய போக்கில் இருந்து தனது தூரத்தை சரிபார்க்க, கடற்படை வீரர் அலார்கர் நெடுவரிசையில் உள்ள தொடர்புடைய பதிவைப் படிப்பார், உடனடியாக அவர் விரும்பிய போக்கில் இருந்து 55 மைல் தொலைவில் இருப்பதைக் காண்பார். தற்போதைய SEbE போக்கில் 100 மைல்கள் பயணித்த அவர், விரும்பிய E போக்கில் 83 மைல்கள் பயணித்துள்ளார் என்று அவான்சார் நெடுவரிசை அவருக்குத் தெரிவிக்கிறது. அடுத்த கட்டமாக, விரும்பிய படிக்கு எப்படி திரும்புவது என்பதைத் தீர்மானிப்பதாகும். உதாரணத்தைத் தொடர்ந்து, விரும்பிய கிழக்கு நோக்கிய போக்கைத் திரும்பப் பெற, நமது கடற்படை வீரர் கப்பலின் தாங்கி வடகிழக்கு திசையில் மறுபரிசீலனை செய்ய வேண்டும். ஆனால் பல்வேறு வடகிழக்கு கோணங்கள் உள்ளன-NbE, NNE, NE, ENE போன்றவை. அவர் ஒரு கூர்மையான கோணத்தில் திரும்பினால் (எ. கா. வடக்கில் இருந்து கிழக்கே), அவர் மிகவும் மென்மையான சாய்வை விட வேகமாக விரும்பிய பாதைக்குத் திரும்புவார் (எ. கா. கிழக்கில் வடக்கில்). அவர் எந்த கோணத்தைத் தேர்ந்தெடுத்தாலும், தனது பழைய போக்கை அடைய அந்த தாங்கி மீது எவ்வளவு நேரம் பயணம் செய்ய வேண்டும் என்பதை அவர் துல்லியமாக யூகிக்க வேண்டும். அவர் மிக நீண்ட தூரம் பயணம் செய்தால், அவர் அதை மிஞ்சும் அபாயம் உள்ளது. திரும்பும் போக்கைக் கணக்கிடுவது டோலெட்டாவின் கடைசி மூன்று நெடுவரிசைகளுக்கானது. நான்காவது நெடுவரிசையில், திரும்பும் கோணங்கள் விரும்பிய பாடநெறி தாங்கி இருந்து காலாண்டுகளாக வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன (தற்போதைய பாடநெறி தாங்கி அல்ல). எங்கள் உதாரணத்தில், கடற்படை வீரர் கிழக்கே செல்ல விரும்பினார், ஆனால் தென்கிழக்கே-கிழக்கே 100 மைல் தூரம் பயணம் செய்து வருகிறார். காற்றைக் கருத்தில் கொண்டு, கிழக்கு-வடகிழக்கு (ENE, "கிரேக்கோ-லெவாண்டே") கப்பலை மறுசீரமைப்பதன் மூலம் அசல் போக்கைத் திரும்புவது சிறந்தது என்று அவர் முடிவு செய்கிறார். ENE என்பது விரும்பிய தாங்கி, கிழக்கிற்கு மேலே இரண்டு கால் காற்று, எனவே இப்போது அவர் அட்டவணையின் நான்காவது நெடுவரிசையில் இரண்டாவது வரிசையை ("காலாண்டுகள் = 2") பார்க்கிறார். ஐந்தாவது நெடுவரிசை ரிடோர்னோ ஆகும், அசல் போக்கை மீட்டெடுக்க அவர் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட திரும்பும் கோணத்தில் பயணிக்க வேண்டிய தூரம். அவர் ENE தாங்கி (q = 2) மூலம் திரும்பத் தேர்ந்தெடுத்துள்ளதால், அவர் ரிடோர்னோ நெடுவரிசையின் இரண்டாவது வரிசையைப் படிக்க வேண்டும், இது 26 என்ற எண்ணைக் காட்டுகிறது. இது அவர் விலகிய ஒவ்வொரு 10 மைல்களுக்கும் ENE தாங்கி மீது பயணிக்க வேண்டிய தேவையான மைல்களின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கிறது. நினைவில் கொள்ளுங்கள், அவரது அலர்கர் (விரும்பிய போக்கில் இருந்து தூரம்) 55 மைல் ஆகும். எனவே அவர் விரும்பிய பாதைக்குத் திரும்புவதற்கு அவர் 5,5 × 26 = 143 மைல்கள் ENE இல் பயணிக்க வேண்டும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், அவர் தனது ENE தாங்கி 143 மைல்கள் வைத்திருக்க வேண்டும்; அந்த தூரம் பயணித்தவுடன், அவர் தனது கப்பலை கிழக்கே நேராக்க வேண்டும், மேலும் அவர் விரும்பிய பாதையில் சரியாக திரும்புவார். ஆறாவது மற்றும் இறுதி நெடுவரிசை (அவான்சோ டி ரிடோர்னோ) தனது திரும்பும் பயணத்தின் மூலம் அவர் விரும்பிய போக்கின் நீளத்தை அளிக்கிறது. இது ஒரு 10 மைல் அலார்கரின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. அவரது அலார்கர் 55 ஆகவும், அவரது திரும்பும் கோணம் ENE ஆகவும் இருந்தது (எனவே q = 2), அதாவது அவரது அவான்சோ டி ரிடோர்னோ 5.5 × 24 = 132 ஆகும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், எல்லாம் சரியாக நடந்தால், எங்கள் கடற்படை வீரர் தனது ENE தாங்கி 143 மைல்கள் (ரிடோர்னோ) வைத்திருந்தால், அந்த திரும்பும் போது, அவர் தனது கிழக்கு நோக்கிய பாதையில் (அவான்சோ டி ரிடோர்னோ) கூடுதலாக 132 மைல்கள் பயணித்திருப்பார். இறுதியாக, அவரது முழு சாகசத்தின் மூலம் கிழக்கு நோக்கிய தாங்கி மொத்த தூரத்தை (மொத்த அவான்சோ) கணக்கிட, அவர் விலகலின் போது அவான்சார் (83 மைல்) மற்றும் அவான்சோ டி ரிடோர்னோ (132 மைல்) ஆகியவற்றைச் சேர்க்க வேண்டும். இவ்வாறு ஒட்டுமொத்தமாக, அவர் விரும்பிய பாதையில் 83 + 132 = 215 மைல்களைக் கடந்துள்ளார். வரைபடத்தில் தொடக்க புள்ளியில் (ஏ) இருந்து அந்த தூரத்தை அளவிடுவதன் மூலம், கடற்படை வீரர் தனது சரியான தற்போதைய நிலையை கண்டுபிடிக்க முடியும். இது டோலெட்டா டி மார்ட்லியோவின் எளிய பயன்பாடாகும். இது, வேரில், ஒரு முக்கோணவியல் அட்டவணை. இருப்பினும், இது சைன்ஸ் விதியைப் போல ஒரே நேரத்தில் குறுக்குவெட்டு சிக்கலைச் சமாளிக்காது, மாறாக சிக்கலை இரண்டு வலது கோண முக்கோணங்களாகப் பிரிக்கிறது, அவை அடுத்தடுத்து தீர்க்கப்படுகின்றன. நவீன முக்கோணவியல் அலார்கரைக் கணக்கிடும் படிநிலையை அகற்றி, ரிடோர்னோவை நேரடியாகக் கணக்கிடும்-ஆனால் அதற்கு, ஒருவர் ஒரு முழு சைன் அட்டவணையுடன் ஆயுதம் ஏந்த வேண்டும். டோலெட்டா என்பது ஒரு எளிய அட்டவணையாகும், இது ஆலோசிக்கவும் கணக்கீடுகளைச் செய்யவும் எளிதானது, மேலும் நேவிகேட்டர்களால் மனப்பாடம் செய்ய போதுமான அளவு கச்சிதமானது (பியான்கோ பரிந்துரைப்பது போல). மூன்றின் விதி டோலெட்டா டி மார்டிலோயோ நல்ல சுற்று எண்களுக்கு வெளிப்படுத்தப்படுகிறது, 100 மற்றும் 10. ஆனால், நடைமுறையில், ஒரு கப்பல் வழக்கமாக திரும்ப முயற்சிக்கும் முன் 100 மைல்கள் பயணம் செய்யாது, ஆனால் வேறு சில தூரம், 65 மைல்கள் என்று சொல்லுங்கள். இதைக் கணக்கிடுவது விகிதங்களைத் தீர்ப்பதற்கான ஒரு எளிய சிக்கலாகும். எடுத்துக்காட்டாக, கப்பல் தென்கிழக்கு-கிழக்கு திசையில் 65 மைல் தூரம் பயணித்திருந்தால், கிழக்கு நோக்கிய பாதையில் இருந்து அலார்கரைக் கணக்கிடுவது பின்வருவனவற்றைத் தீர்க்கும் விஷயமாகும்ஃ இங்கு 55 என்பது 100 மைல்களுக்கு அலார்கர் ஆகும் (இரண்டாவது நெடுவரிசையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளபடி). இது எளிய "மூன்று விதி" மூலம் எளிதில் செய்யப்படுகிறது, இது குறுக்கு பெருக்கத்தின் ஒரு முறையாகும், இது மூன்று எண்களைப் பயன்படுத்தி நான்காவது எண்ணை தொடர்ச்சியான பெருக்கம் மற்றும் வகுத்தல் மூலம் தீர்க்கிறதுஃ எனவே, E ஆல் SE இல் 65 மைல்கள் பயணம் செய்வது அலார்கர் = = 35.75 மைல்களைக் குறிக்கிறது. அவான்சார் போன்றவை. ஒத்த முறையில் கண்டுபிடிக்க முடியும். "மூன்றின் விதி" ஏற்கனவே 14 ஆம் நூற்றாண்டில் அறியப்பட்டிருந்தாலும், பெருக்கம் மற்றும் பிரிவை செயல்படுத்துவதில் உள்ள திறமை பெரும்பாலும் கல்வியறிவற்ற சமூகத்திலிருந்து பெறப்பட்ட இடைக்கால மாலுமிகளுக்கு மழுப்பலாக இருக்கலாம். இருப்பினும், அது அணுக முடியாததாக இல்லை. ஆண்ட்ரியா பியான்கோ வலியுறுத்தியபடி, கடற்பயணிகள் "நன்றாக பெருக்குவது மற்றும் நன்கு பிரிப்பது எப்படி என்பதை அறிந்திருக்க வேண்டும்" ("சேவர் பென் மோல்டிப்லிச்சர் இ பென் பார்டிர்") இங்குதான் வர்த்தகம் மற்றும் வழிசெலுத்தலின் முக்கியமான இடைமுகத்தை நாம் காண்கிறோம். வர்த்தகத்தின் கணிதம்-அரபு எண்கள், பெருக்கம், பிரிவு, பின்னங்கள், பொருட்களின் கொள்முதல் மற்றும் விற்பனையை கணக்கிட தேவையான கருவிகள் மற்றும் பிற வணிக பரிவர்த்தனைகள்-அடிப்படையில் வழிசெலுத்தலின் கணிதத்தைப் போலவே இருந்தது. 13 ஆம் நூற்றாண்டில் வடக்கு இத்தாலியின் வணிக மையங்களில் வணிகர்களின் மகன்களுக்கு பயிற்சி அளிப்பதற்காக அமைக்கப்பட்ட அபாகஸ் பள்ளிகளில் இந்த வகையான கணிதம் கற்பிக்கப்பட்டது, அதே வகுப்பில் இத்தாலிய நேவிகேட்டர்கள் ஈர்க்கப்பட்டனர். வரலாற்றாசிரியர் ஈ. ஜி. ஆர். டெய்லர் குறிப்பிடுகிறார், "மாலுமிகள் தங்கள் அன்றாட வேலையில் கணிதத்தைப் பயன்படுத்திய முதல் தொழில்முறை குழு" வட்டமும் சதுரமும் எண்களைக் கையாளும் உயர் கலையால் தொந்தரவு செய்பவர்களுக்கு, ஒரு மாற்று இருந்தது. இது "வட்டம் மற்றும் சதுரம்" (டோண்டோ இ குவாட்ரோ) என்று அழைக்கப்படும் காட்சி சாதனமாகும், இது ஆண்ட்ரியா பியான்கோ தனது 1436 அட்லஸில் வழங்கியது. வட்டமானது ஒரு 32-காற்று திசைகாட்டி ரோஜா (அல்லது ரம்ப்-கோடுகளின் சேகரிப்பு) ஆகும். இந்த வட்டம் 8 × 8 சதுர கட்டத்துடன் பொறிக்கப்பட்டுள்ளது. மையத்தில் உள்ள திசைகாட்டி ரோஜாவை கவனிக்க முடியாது-உண்மையில், வட்டத்தையே புறக்கணிக்க முடியும், ஏனெனில் இது கட்டத்தின் குறுக்கே இயங்கும் கதிர்களின் கட்டுமானத்தைத் தவிர வேறு எந்த நோக்கமும் இல்லை. ஆர்வத்தின் ரோஜா சதுர கட்டத்தின் மேல் இடது மூலையில் உள்ளது. அந்த மூலையில் இருந்து, தொடர்ச்சியான திசைகாட்டி வளைவு கோடுகள் வெளிவருகின்றன. அவரது அசல் 1436 டோண்டோ இ குவாட்ரோவில், பியான்கோ பதினாறு வெளிப்படும் கதிர்களைக் கொண்டுள்ளது-அதாவது, பியான்கோ அரை-கால் காற்று அல்லது எட்டாவது காற்று (ஒடாவா) ஆகியவற்றை உள்ளடக்கியது, இதனால் வெளிப்படும் கதிர்கள் 5.625 டிகிரி இடைவெளியில் இருக்கும். வட்டம் மற்றும் சதுரத்தின் பிற கட்டமைப்புகள், எ. கா. கார்னாரோ அட்லஸ், கால்-காற்று தூரங்களில் (11.25 டிகிரி) வெளிப்படும் எட்டு கதிர்களை மட்டுமே பயன்படுத்துகிறது. பார்வைக்கு, இந்த கதிர்கள் 32-காற்று திசைகாட்டி ரோஜாவின் கீழ் வலது காலாண்டில் பிரதிபலிக்கின்றனஃ கிழக்கு (0q), E ஆல் S (1q), ESE (2q), SE ஆல் E (3q), SE (4q), SE ஆல் S (5q), SSE (6q), S ஆல் E (7q) மற்றும் தெற்கு (8q). கட்டத்திற்கு மேலே ஒரு தொலைதூர பட்டை அளவுகோல் உள்ளது, இது துணை அலகுகளுடன் இணைக்கப்பட்டுள்ளது. அளவுகோலில் இரண்டு செட் எண்கள் உள்ளன, ஒன்று ஒவ்வொரு கிரிட் சதுரத்தையும் 20 மைல்கள் அளவிடுவதற்கும், மற்றொன்று ஒவ்வொரு கிரிட் சதுரத்தையும் 100 மைல்கள் அளவிடுவதற்கும் (வரைபடத்தைப் பார்க்கவும்). மேல் பட்டை ஒரு சதுர அளவுகோலுக்கு 20 மீ ஆகும், ஒவ்வொரு கருப்பு புள்ளியும் ஒரு மைலைக் குறிக்கிறது. கீழே உள்ள பட்டை 100 மீ-சதுர அளவுகோலாகும், அங்கு ஒரு அலகு சதுரத்தின் நீளம் இரண்டு சமமான 50 மீ துணை சதுரங்களாக பிரிக்கப்படுகிறது, மேலும் புள்ளிகள் மற்றும் சிவப்பு கோடுகளின் தொகுப்பு அதை மேலும் 10 மைல் நீளங்களாக உடைக்கிறது. எனவே ஒருவர் எந்த அளவை தேர்வு செய்கிறார் என்பதைப் பொறுத்து, முழு கட்டத்தின் பக்கத்தின் நீளத்தையும் (எட்டு சதுரங்கள்) 160 மைல்கள் வரை (ஒரு சதுரத்திற்கு 20 மீ அளவைப் பயன்படுத்தி) அல்லது 800 மைல்கள் வரை (ஒரு சதுரத்திற்கு 100 மீ அளவைப் பயன்படுத்தி) அளவிட முடியும். எண்களைக் கையாள்வதை விட காட்சி அளவீட்டின் மூலம் அலார்கர் மற்றும் அவான்சாரைக் கணக்கிட ஒரு நேவிகேட்டர் எவ்வாறு கட்டத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும் என்பதை பிரிப்பான்களுடன் கூடிய கெரூப் பரிந்துரைக்கிறது. எடுத்துக்காட்டுஃ கப்பல் விரும்பிய போக்கை விட இரண்டு கால்-காற்று வேகத்தில் 120 மைல் தூரம் பயணித்துள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம் (எ. கா. விரும்பிய பாதை கிழக்கே இருக்கும்போது ESE இல் பயணம் செய்தார்). பிரிப்பான்கள் மற்றும் 20 மீட்டர் அளவுகோலைப் பயன்படுத்தி, நேவிகேட்டர் தனது பிரிப்பான்கள் மூலம் 120 மைல்களை அளவிட முடியும். பின்னர் மேல் இடது மூலையில் (ஏ) ஒரு முனையை அமைத்து, அவர் ஈஎஸ்இ கதிர் வழியாக பிரிப்பான்களை வைக்கிறார் (= கிழக்கு கதிருக்கு கீழே இரண்டு கால் காற்று, அல்லது கட்டத்தின் கிடைமட்ட மேல்) மற்றும் இடத்தைக் குறிக்கிறார் (வரைபடத்தில் புள்ளி பி). பின்னர் ஒரு நேரான விளிம்பு ஆட்சியாளரைப் பயன்படுத்தி கிழக்கு கதிர் வரை ஒரு கோட்டை வரைந்து, அதனுடன் தொடர்புடைய புள்ளி சி ஐக் குறிக்கிறது. வலது கோண முக்கோண ஏபிசி உருவாக்கப்பட்டது என்பதை உடனடியாகப் பார்ப்பது எளிது. கிமு நீளம் அலார்கர் (விரும்பிய போக்கில் இருந்து தூரம்), இது 46 மைல்கள் என அளவிடப்படலாம் (இது இரண்டு கிரிட் சதுரங்கள் மற்றும் ஒரு பிட், அதாவது 20 மீ + 20 மீ மற்றும் ஒரு சிறிய பிட் என பார்வைக்குக் காணலாம், இது 6 மீ என மதிப்பிடப்படலாம் வகுப்பான்கள் மற்றும் 20 மீ பார் அளவைப் பயன்படுத்தி). ஏசி நீளம் என்பது அவான்சார் (தூரம் நன்றாக உள்ளது), இது 111 மைல்கள்-பார்வைக்கு, ஐந்து கிரிட் சதுரங்கள் மற்றும் ஒரு பிட், அல்லது (20 × 5) + 11, வகுத்திகளால் அளவிடப்பட்டு மீண்டும் அளவிடப்படுகிறது. இவ்வாறு தான் "வட்டம் மற்றும் சதுரம்" எண்களை பெருக்குதல் மற்றும் வகுத்தல் அல்லது மூன்றின் விதி மூலம் கையாளுகிறது. நேவிகேட்டர் அளவீட்டின் மூலம் மட்டுமே அவான்சார் மற்றும் அலார்கரை பார்வைக்கு மதிப்பிட முடியும். முக்கோணத்தை வகுப்பான்கள் மற்றும் அளவுகோல்களால் தீர்ப்பதே ஒரே நோக்கமாக இருப்பதால், எந்தவொரு நோக்கம் கொண்ட தாங்கி மற்றும் விலகலுக்கும் இந்த முறையைப் பயன்படுத்தலாம். எ. கா. எங்கள் முதல் கோர்சிகா-டு-ஜெனோவா உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி, அங்கு நோக்கம் தாங்கி வடக்கே இருந்தது, ஆனால் கப்பல் உண்மையில் வடமேற்கே பயணித்தது, நேவிகேட்டர் 70 மைல் நீளத்தில் பிரிப்பான்களை அமைத்து நான்காவது காலாண்டு காற்றில் வைப்பார் (= டோண்டோ இ குவாட்ரோவில் எஸ்இ கதிர், ஏனெனில் என். டபிள்யூ வடக்கிலிருந்து நான்கு கால் காற்று தொலைவில் உள்ளது). அவர் அலார்கர் மற்றும் அவான்சாரை அதே வழியில் கணக்கிடுவார்-கட்டத்தின் கிடைமட்ட மேற்புறத்திற்கு ஒரு கோட்டை வரையவும், சதுரங்களை அளவிடவும். டோண்டோ இ குவாட்ரோ சாதனம் அரபு சைன் குவாட்ரண்டுடன் (ரூபுல் முஜயாப்) மிகவும் ஒத்திருக்கிறது, மூலையில் உள்ள கதிர்கள் சரிசெய்யக்கூடிய பிளம்ப் கோட்டின் பங்கைப் பிரதிபலிக்கின்றன. பிற பயன்பாடுகள் டோலெட்டா டி மார்டிலோயோ (மற்றும் அதன் காட்சி எதிர், டோண்டோ இ குவாட்ரோ) ஒரு நோக்கம் கொண்ட பாடத்திட்டத்தை மீட்டெடுப்பதற்கான வெளிப்படையான பணிக்காக வடிவமைக்கப்பட்டிருந்தாலும், அவை பல வழிகளில் பயன்படுத்தப்படலாம், பல வகை வழிசெலுத்தல் சிக்கல்களுக்கு, எ. கா. பல தாங்கும் மாற்றங்கள் போன்றவற்றுடன் ஒரு பாடத்திட்டத்தைத் திட்டமிடுதல். முக்கோணம் மார்டிலோயோவின் விதியின் சுவாரஸ்யமான பயன்பாடுகளில் ஒன்று முக்கோணத்திற்கானது, எ. கா. கடற்கரை அடையாளத்திலிருந்து கப்பலின் தூரத்தை தீர்மானித்தல். (ரோட்ஸின் வெனிஸ் நேவிகேட்டர் மைக்கேலின் குறிப்பேடில் முயற்சிக்கப்பட்ட இறுதி பயிற்சி இதுவாகும், அதை நாம் இங்கே பிரதிபலிக்கிறோம்.) எடுத்துக்காட்டுஃ என். டபிள்யூ ("மேஸ்ட்ரோ") என்ற கப்பலில் பயணம் செய்யும் ஒரு கப்பல் ஒரு மாலை மேற்கில் ("பொன்டே") ஒரு மைல்கல்லைக் கண்டறிந்தது என்று வைத்துக்கொள்வோம், ஆனால் தூரம் தெரியவில்லை. கப்பல் ஒரே இரவில் என். டபிள்யூ பாதையில் தொடர்ந்து பயணிக்கிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம், மறுநாள் காலை, 40 மைல்கள் கழித்து, மைல்கல் இப்போது அதன் தற்போதைய நிலையில் மேற்கு-தென்மேற்கில் (டபிள்யூ. எஸ். டபிள்யூ, "பொனெண்டே-லிபெசியோ") இருப்பதை அது கவனிக்கிறது. கப்பலில் இருந்து மைல்கல்லின் தூரத்தைக் கண்டுபிடிப்பது மார்ட்லியோவின் விதியின் பயன்பாடு மட்டுமே. சிக்கலைத் தீர்க்க, மாலை நிலையில் (வரைபடத்தில் ஏ) தொடங்கி, கப்பலுக்கும் மைல்கல்லுக்கும் (நீளம் ஏபி) இடையிலான தூரத்தை விரும்பிய போக்காகக் கருதுங்கள், கப்பலின் உண்மையான பாதை (என். டபிள்யூ) ஒரு விலகலாக கருதுங்கள். காலையில் (சி) கப்பலின் நிலையிலிருந்து மைல்கல்லின் தூரத்தைக் கண்டுபிடிப்பது கிமு தூரத்தை கணக்கிடப்பட்ட ரிடோர்னோவாகக் கருதும் விஷயமாகும். ரிடோர்னோவைக் கணக்கிடுவதற்கு அலார்கரை நாம் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும் என்பதால், இது இரண்டு படி செயல்முறையாகும். முதலில், NW என்பது W க்கு மேலே நான்கு கால் காற்று என்பதைக் கவனியுங்கள், எனவே டோலெட்டாவைப் பார்க்கும்போது, q = 4 வரிசையில், அலார்கர் NW போக்கில் ஒவ்வொரு 100 மைல்களுக்கும் 71 மைல் ஆகும். ஆனால் கப்பல் ஒரே இரவில் 40 மைல்கள் மட்டுமே பயணித்தது, எனவே நாம் 71/100 = x/40 என்ற விகிதத்தை தீர்க்க வேண்டும், இது மூன்று விதிகளின் விதியின்படி x = அலார்கர் = 28,4 மைல்கள். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஏ முதல் சி வரை 40 மைல் தூரத்தில் ஒரே இரவில் என். டபிள்யூ பயணம் செய்வதன் மூலம், கப்பல் இப்போது அதன் "விரும்பிய" மேற்கு நோக்கிய போக்கில் இருந்து 28,4 மைல் தொலைவில் உள்ளது. இப்போது ரிடோர்னோவுக்கு. குறிப்பிடப்பட்டபடி, கப்பலின் காலை நிலை (சி) இன் மைல்கல் WSW ஆகும். எனவே மைல்கல்லுக்கு "திரும்ப", கப்பல் அதன் தற்போதைய என். டபிள்யூ தாங்கி இருந்து ஒரு டபிள்யூ. எஸ். டபிள்யூ தாங்கி மாற்ற வேண்டும்-அதாவது, என். டபிள்யூ கீழே 6 கால் காற்று. இருப்பினும், டோலெட்டா "விரும்பிய" திசையின் அடிப்படையில் கால் காற்றைக் குறிப்பிடுகிறது (இந்த விஷயத்தில், மேற்கு), மற்றும் டபிள்யூ. எஸ். டபிள்யூ மேற்கிற்கு கீழே இரண்டு கால் காற்று, எனவே நாம் q = 2 வரிசையைப் பார்க்க வேண்டும். இதன் பொருள் ரிடோர்னோ ஒவ்வொரு 10 மைல் அலார்கருக்கும் 26 மைல் ஆகும். அலார்கர் 28.4 ஆக இருப்பதால், ரிடோர்னோ 26 × 2.84 = 73.84 ஆகும். அங்கு தான் நாமும் இருக்கிறோம். இந்த மைல்கல் கப்பலின் காலை நிலையில் இருந்து 73.84 மைல் தொலைவில் உள்ளது. (கதையை முடிக்க, அந்த மைல்கல் முந்தைய மாலை எவ்வளவு தூரம் என்பதைக் கண்டுபிடிக்க விரும்பலாம் (அதாவது. புள்ளி A முதல் மைல்கல் B வரை). அது வெறுமனே ரிடோர்னோவில் அவான்சார் மற்றும் அவான்சோவைச் சேர்க்கும் விஷயமாகும். விரைவான கணக்கீடுகள் அவான்சார் (40 மைல்களுக்கு @q = 4) 28,4 மைல்கள் (= 71 × 40/100) மற்றும் அவான்சோ டி ரிடோர்னோ (28,4 மைல்களுக்கு @q = 2), 2.84 × 24 = 68.16 என்று காட்டுகின்றன. எனவே மொத்த அவன்சோ = 28.4 + 68.16 = 96.56 மைல்கள். அது முந்தைய மாலை மைல்கல்லுக்கும் கப்பலுக்கும் இடையிலான தூரம்). இடங்களைக் கண்டறிதல் மார்ட்லியோவின் விதியை அவான்சார் இலக்காகக் கொண்டு பயன்படுத்தலாம், எ. கா. கேப் வெர்டேவுக்கு மேற்கே 370 லீக்குகளில் 1494 ஒப்பந்தத்தில் சட்டப்பூர்வமாக அமைக்கப்பட்ட தீர்க்கரேகையான டோர்டெசில்லாஸ் கோட்டைக் கண்டுபிடிக்கும் நோக்கத்துடன் ஒரு கப்பல் புறப்படுகிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம். கப்பல் கேப் வெர்டேவிலிருந்து புறப்பட்டு, அதைக் கண்டுபிடிப்பதற்காக தொடர்ந்து மேற்கு தாழ்வாரத்தில் பயணம் செய்ய வேண்டியதில்லை. மாறாக, அது மிகவும் வசதியான தாங்கி (எ. கா. எஸ். டபிள்யூ), மற்றும் மேற்கை ஒரு "நோக்கம் கொண்ட" போக்காகக் கருதுங்கள். எனவே மார்டிலோயோ விதியைப் பயன்படுத்தி, "விரும்பிய" மேற்கு போக்கில் உள்ள அவான்சார் 370 லீக்குகளை அடையும் வரை அது பயணிக்க முடியும். உண்மையில், இது கேப் வெர்டேவிலிருந்து கூட புறப்பட வேண்டியதில்லை, ஆனால் செவில்லே என்று சொல்லப்படும் மற்றொரு இடத்திலிருந்து புறப்பட்டு, கேப் வெர்டேயின் அறியப்பட்ட தூரத்தையும் தாங்கலையும் பயன்படுத்தலாம் (அதாவது. செவில்லே) மற்றும் மார்டிலோயோவின் விதி அது இறுதியாக டோர்டெசில்லாஸ் மெரிடியனை எட்டியபோது கணக்கிட வேண்டும். இதற்கு ஓரிரு படிகள் தேவை. கேப் வெர்டே (வரைபடத்தில் பி) செவில்லுக்கு தென்மேற்கே 400 லீக்குகள் (வரைபடத்தில் ஏ) என்று வைத்துக்கொள்வோம், ஆனால் கப்பல் செவில்லில் இருந்து நேராக மேற்கே சென்று திறந்த கடலில் உள்ள டோர்டெசில்லாஸ் மெரிடியனை அடைய விரும்புகிறது. அது எவ்வளவு தூரம் பயணிக்க வேண்டும்? மார்டிலோயோவின் விதியின் மூலம் இதைத் தீர்ப்பதற்கான வழி, பிரச்சினையை தலைகீழாக முன்வைப்பதாகும்ஃ மேற்கை விரும்பிய தாங்கி மற்றும் எஸ். டபிள்யூ. ஐ உண்மையான போக்காகக் கருதுங்கள். எஸ். டபிள்யூ என்பது டபிள்யூ-க்கு கீழே உள்ள நான்கு கால் காற்று, எனவே டோலிட்டாவைப் பார்க்கும்போது q = 4, ஒவ்வொரு 100 மைல்களுக்கும் அவான்சார் 71 ஆகும். எனவே ஒரு கப்பல் கேப் வெர்டேவுக்கு "உண்மையான" எஸ். டபிள்யூ போக்கில் 400 லீக்குகளில் பயணித்தால், அது "விரும்பிய" மேற்கு நோக்கிய போக்கில் 284 லீக்குகளின் (= 71 × 4) அவன்சாரை அடையும். நிச்சயமாக, கப்பல் உண்மையில் கேப் வெர்டேவுக்கு எஸ். டபிள்யூ பயணம் செய்யவில்லை, ஆனால் திறந்த கடலுக்குள் W பயணம் செய்கிறது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், கப்பல் செவில்லில் இருந்து மேற்கே பயணிக்கும்போது, அது மேற்கத்திய தாழ்வாரத்தில் 284 லீக்குகளில் பயணிக்க வேண்டும் என்பது தெரியும், அது குறிக்கப்பட்ட கேப் வெர்டே மெரிடியனை (வரைபடத்தில் புள்ளி சி) அடைவதற்கு முன்பு, பின்னர் 370 லீக்குகளை டார்டெசில்லாஸ் வரிசைக்கு மட்டுமே எண்ணத் தொடங்க வேண்டும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், இது டோர்டெசில்லாஸ் கோட்டை (வரைபடத்தில் புள்ளி டி) அடைய செவில்லுக்கு மேற்கே மொத்தம் 284 + 370 = 654 லீக்குகளில் பயணிக்க வேண்டும். இந்த குறிப்பிட்ட உதாரணம் மார்டிலோயோவின் விதியின் நெகிழ்வுத்தன்மையைக் காட்டுகிறது என்றாலும், இது அதன் முக்கிய குறைபாடுகளில் ஒன்றையும் காட்டுகிறதுஃ இதன் விளைவாக பூமியின் வளைவை முற்றிலும் புறக்கணிக்கிறது, அதாவது. தீர்க்கரேகை மெரிடியன் கோடுகள் வட துருவத்தில் ஒன்றிணைகின்றன, இதனால் அதிக அட்சரேகைகளில் குறுகியவை. மார்டிலோயோ குறிப்பிடுவதற்கு மாறாக, கேப் வெர்டேவுக்கு மேற்கே உள்ள 370 லீக்குகள் செவில்லுக்கு மேற்கே உள்ள 654 லீக்குகளின் அதே தீர்க்கரேகையில் இல்லை. செவில்லே கேப் வெர்டேவுக்கு வடக்கே இருப்பதால், மெரிடியன்கள் கேப் வெர்டேவின் அட்சரேகையை விட செவில்லேவின் அட்சரேகையில் ஒன்றாக நெருக்கமாக உள்ளன. செவில்லுக்கு மேற்கே பயணிக்கும் ஒரு கப்பல், உண்மையில், 654 லீக்குகள் (புள்ளி டி) பயணிப்பதற்கு முன்பே உண்மையான டோர்டெசில்லாஸ் மெரிடியனை (வரைபடத்தில் புள்ளி டி) அடையும். மார்டிலோயோவின் விதி, உலகின் மேற்பரப்பு தட்டையாக இருப்பதைப் போல, ஒரு விளக்கப்படத்தில் விமான முக்கோணங்களை வரைவதன் மூலம் மாலுமிகள் பாதைகளை திட்டமிடுகிறார்கள். மத்தியதரைக் கடலின் சுருக்கமான அட்சரேகைகளில் மட்டுப்படுத்தப்பட்ட பாய்மரப் பயணத்திற்கு இது போதுமான நடைமுறையானதாக இருந்தாலும், இது ஒரு பெரிய அளவில் மிகவும் தவறானது. 15 மற்றும் 16 ஆம் நூற்றாண்டுகளின் பிற்பகுதியில், கடல்சார் வானவியலின் முன்னேற்றம் மற்றும் அட்சரேகை இணைகளின் அறிமுகம் ஆகியவை கடற்பயணிகள் கடலில் தங்கள் நிலையை வான அளவீடுகள் மூலம் தீர்மானிக்க அனுமதித்தன, பயணித்த தூரத்தின் மதிப்பீட்டை நம்பியிருப்பதை விட. அட்லாண்டிக் பெருங்கடலில் பயணம் செய்த போர்த்துகீசிய கடற்பயணிகளால் பயன்படுத்தப்பட்ட "ரெஜிமென்ட் ஆஃப் தி லீக்ஸ்" (ரெஜிமென்டோ தாஸ் லெகுவாஸ்) மார்டிலோயோவின் ஆட்சியின் வாரிசாக இருந்தது. அல்லது, வில்லியம் பார்ன் (1571) அறிமுகப்படுத்திய வார்த்தையைப் பயன்படுத்த, "பட்டம் உயர்த்த அல்லது போடுவதற்கான விதி", இது "லீக்குகளின் அட்டவணை" அல்லது "துருவத்தை உயர்த்துவதற்கான விதி" என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. இது முதன்முதலில் போர்த்துகீசிய வழிசெலுத்தல் கையேட்டில் ரெஜிமென்டோ டோ அஸ்ட்ரோலாபியோ இ டோ குவாட்ராண்டே (லிஸ்பனில் கி. பி. 1509 இல் வெளியிடப்பட்டது, ஆனால் கி. பி. 1480 இல் எழுதப்பட்டது) மார்ட்டின் கோர்டெஸ் டி அல்பாகர் தனது 1551 ப்ரெவ் காம்பெண்டியோ லா எஸ்ஃபெரா ஒய் டெல் ஆர்டே டி நேவகரில் பிரபலப்படுத்தினார். "ரெஜிமென்ட் ஆஃப் தி லீக்ஸ்" மார்டிலோயோவின் விதியிலிருந்து மிகவும் வேறுபட்டதல்ல. லீக்குகளின் ரெஜிமென்ட் எப்போதும் மேற்கு-கிழக்கு தாங்கி "நோக்கம் கொண்ட போக்கு" என்று கருதுகிறது மற்றும் நடவடிக்கைகள் அதிலிருந்து விலகல்களை அமைக்கின்றன. மேலும் குறிப்பாக, லீக் அட்டவணை அலார்கரின் ஒரு நிலையான மதிப்பைக் கருதுகிறது-1 அட்சரேகை டிகிரியில் அமைக்கப்பட்டுள்ளது (அல்லது, நேர அளவீடுகளில், 17,5 (போர்த்துகீசிய) லீக்குகள் அல்லது அதற்கு சமமான 70 (இத்தாலிய) மைல்கள்). இது பின்னர் படகோட்டுதல் திசையின் ஒவ்வொரு வெவ்வேறு காலாண்டு காற்றுக்கும் (எப்போதும் வடக்கு-தெற்கு அச்சிலிருந்து தொலைவில் உள்ள பகுதிகளாக குறிப்பிடப்படுகிறது, விரும்பிய போக்கில் இருந்து விலகி அல்ல), ரில்வர் மற்றும் அஃபாஸ்டர் ஆகியவற்றை வழங்குகிறது. ரிலிவர் என்பது ஒரு கப்பல் முன் நிர்ணயிக்கப்பட்ட 1 டிகிரி அட்சரேகையை (தொடக்க இணையிலிருந்து அலார்கரின் 17,5 லீக்குகள்) மறைக்க ஒரு கப்பல் பயணம் செய்ய வேண்டிய உண்மையான போக்கில் உள்ள லீக்குகளின் எண்ணிக்கை ஆகும். அஃபாஸ்டர் என்பது மேற்கு-கிழக்கு தாங்கி மீது தொடர்புடைய அவான்சார் மட்டுமே. எடுத்துக்காட்டுஃ ஒரு கப்பல் கிழக்கு-தென்கிழக்கு (ESE) தாங்கி மீது புறப்படுகிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம். அதாவது தெற்கிற்கு மேலே ஆறு கால் காற்று (நினைவில் கொள்ளுங்கள்ஃ மார்ட்லியோவைப் போலல்லாமல், லீக்குகளின் ரெஜிமென்ட் எப்போதும் வடக்கு-தெற்கு தீர்க்கரேகையிலிருந்து கால் காற்று தூரத்தை அளவிடுகிறது). லீக் அட்டவணையின் எந்த படைப்பிரிவையும் பார்ப்பது (எ. கா. மார்ட்டின் கோர்டெஸ் டி அல்பாகர், 1551), q = 6 க்கு, அட்டவணை 45 லீக்குகளாகவும், அஃபாஸ்டர் 42 லீக்குகளாகவும் உள்ளது. இதன் பொருள் என்னவென்றால், ESE தாங்கி மீது பயணிக்கும் ஒரு கப்பல் ஒரு டிகிரி அட்சரேகையை (கிழக்கு தாங்கி இருந்து 17,5 லீக் அலார்கர், மார்டிலோயோ மொழியைப் பயன்படுத்த) மறைக்க 45.73 லீக்குகளில் பயணிக்க வேண்டும், மேலும் அதனுடன் தொடர்புடைய அஃபாஸ்டர் (மார்டிலோயோ சொற்களில் அவான்சார்) 42.25 லீக்குகளாக இருக்கும். அதற்கு பதிலாக, கப்பல் ஒரு எஸ். இ. தாங்கி மீது புறப்பட்டிருந்தால், அதாவது தெற்கே நான்கு கால் காற்று, q = 4 இல் உள்ள லீக் அட்டவணையின் ரெஜிமென்ட்டின் தொடர்புடைய மதிப்புகள் ரில்வர் = 24 மற்றும் அஃபாஸ்டர் = 17 ஆகும். எஸ்இ தாங்கி 1 டிகிரி அலார்கரை வேகமாக அடைகிறது என்பதைக் கவனியுங்கள் (அதாவது. ESE தாங்கி விட சிறிய ரில்வர்), மற்றும் குறைவான அஃபாஸ்டர் (N-S மெரிடியனுக்கு நெருக்கமாக) இருக்கும். கணித ரீதியாக, ரிலிவர் = 17.5/cos θ அஃபாஸ்டர் = 17.5 × டான் θ இங்கு θ = 11.25 × வட-தெற்கு அச்சிலிருந்து தொலைவில் உள்ள காலாண்டுகளின் எண்ணிக்கை-காற்று. சொற்களில் வேறுபாடு இருந்தபோதிலும், குறிப்பாக அட்சரேகை டிகிரிகளின் பயன்பாடு, மார்டிலோயோவின் விதி மற்றும் லீக்குகளின் ரெஜிமென்ட் மிகவும் ஒத்தவை-அவை இரண்டும் ஒரு விமான விளக்கப்படத்தில் முக்கோணங்களைத் தீர்ப்பது பற்றியவை. மார்டிலோயோவை விட ரெஜிமென்ட்டின் நன்மை அட்டவணையில் அட்சரேகை இணைகளை அறிமுகப்படுத்துவதாகும், இதனால் வானியல் கண்காணிப்பு மூலம் நிலையை சரிபார்க்க முடியும் (நாற்கர, ஆஸ்ட்ரோலேப் போன்றவை வழியாக). ), மற்றும் தூரம் மற்றும் திசை பற்றிய மாலுமியின் மதிப்பீடுகளை முழுமையாக நம்ப வேண்டியதில்லை. படைப்பிரிவுடன், புவியியல் ஆயத்தொகுதிகள் வழிசெலுத்தலுக்கு வழிகாட்ட பயன்படுத்தப்படலாம். உதாரணமாக, டோடேசில்லாஸ் கோட்டிற்கான தேடல் (கேப் வெர்டேவுக்கு மேற்கே உள்ள மெரிடியன் 370 லீக்குகள்) ஒரு துல்லியமான அட்சரேகையைக் குறிப்பிடுவதன் மூலம் மிகவும் எளிமைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது. உதாரணமாக, இரண்டு கப்பல்கள் கேப் வெர்டேவிலிருந்து (17°N) புறப்படுகின்றன என்று வைத்துக்கொள்வோம், ஒன்று மேற்கில் வடக்கு தாங்கினால் (WbN, அதாவது மேற்கில் இருந்து கால் பகுதி மேலே, அல்லது வடக்கு அச்சில் இருந்து q = 7), மற்றொன்று மேற்கு-வடமேற்கு தாங்கினால் (WNW, மேற்கில் இருந்து இரண்டு பங்கு மேலே, அல்லது வடக்கு அச்சில் இருந்து q = 6). லீக்குகளின் ரெஜிமென்ட்டைப் பயன்படுத்தி, அவர்கள் டோர்டெசில்லாஸ் மெரிடியனைக் கடக்கும் போது துல்லியமான அட்சரேகைகளைக் கணக்கிட முடியும்-வெறுமனே 370 லீக்குகளை மேற்கே வெவ்வேறு தாங்கு உருளைகளில் குறிக்கப்படும் அஃபாஸ்டரால் பிரிக்கவும். Wbn கப்பல் 21°21 'N அட்சரேகையை அடையும் போது மெரிடியனை அடையும், அதே நேரத்தில் Wnw கப்பல் 29°N அட்சரேகையை அடையும் போது அதை அடையும். எனவே மணிநேர கண்ணாடி மற்றும் வேக அளவீடுகளுடன் லீக்குகளை எண்ணுவதை விட, கப்பல்கள் தாங்கி பராமரிக்க முடியும், மேலும் அவற்றின் அட்சரேகையை மதிப்பிடுவதற்கு அவ்வப்போது வானியல் அவதானிப்புகளை எடுக்கலாம். "டிராவர்ஸ் பாய்மரப் பயணம்" தொடர்பானது டோலெட்டா டி மார்டிலோயோ மிகவும் நவீன வழிசெலுத்தலில் பயன்படுத்தப்படும் நவீன "டிராவர்ஸ் அட்டவணைக்கு" மூதாதையர் ஆகும். நவீன பெயரிடுதலில், டிராவர்ஸ் என்பது "ஒரு கப்பல் பல தொடர்ச்சியான திசைகளில் பயணிக்கும்போது உருவாக்கப்பட்ட வளைந்த பாதை" மற்றும் டிராவர்ஸைத் தீர்ப்பது என்பது "இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட போக்கு மற்றும் தூரங்களுக்கு ஒரே இடத்திற்கு ஒரு கப்பலைக் கொண்டுவரும் ஒரு போக்கு மற்றும் தூரத்தைக் கண்டுபிடிக்கும் முறையாகும்". மார்டிலோயோ மொழியில், "பயணத்தைத் தீர்க்கும்போது", கொடுக்கப்பட்ட அறியப்பட்ட தகவல்கள் "உண்மையான போக்கு" மற்றும் "ரிடோர்னோ" ஆகும், அதே நேரத்தில் அறியப்படாதவை "நோக்கம் தாங்கி" மற்றும் "மொத்த அவான்சோ" ஆகும். டிராவர்ஸ் அட்டவணைகள் ஒவ்வொரு வளைந்த பாடநெறி பிரிவுகளுக்கும் மூன்று மதிப்புகளைப் பயன்படுத்துகின்றன-தூரம் (டிஸ்ட். ), அட்சரேகை வேறுபாடு (D.Lat, N-S அச்சில் இயக்கம்) மற்றும் புறப்பாடு (டெப்., E-W அச்சில் இயக்கம்), பிந்தைய இரண்டும் சூத்திரங்களால் கணக்கிடப்படுகின்றனஃ அட்சரேகை வேறுபாடு = தூரம் × cos θ புறப்பாடு = தூரம் × sin θ இதில் θ என்பது N-S அச்சில் இருந்து போக்கின் கோண வேறுபாடு θ இன் மதிப்புகள் 45° க்கும் குறைவாக இருந்தால்; இருப்பினும், கோணம் 45° ஐத் தாண்டியிருந்தால், θ என்பது E-W அச்சில் இருந்து வேறுபாட்டின் கோணமாக வெளிப்படுத்தப்படுகிறது, மேலும் சூத்திரங்கள் புரட்டப்படுகின்றன, அதாவது. அட்சரேகை வேறுபாடு சூத்திரம் புறப்பாடு ஆகிறது, மற்றும் புறப்பாடு சூத்திரம் அட்சரேகை வேறுபாடு ஆகும்). அல்லது, இன்னும் எளிமையாக, θ ஐ அருகிலுள்ள முதன்மை காற்றிலிருந்து (N, S, E, W) வேறுபட்ட கோணமாக கணக்கிடுங்கள், சூத்திரங்களை இயக்கி, பின்னர் பெரிய எண்ணை பொருத்தமான நெடுவரிசையில் (D.Lat) வைக்கவும். அல்லது டெப்.). ஒவ்வொரு பாடநெறி பிரிவுக்கும், வழிசெலுத்துபவர் தொடர்புடைய மூவரையும் (மாவட்டம், D.Lat, டெப்.) செருகுகிறார். மேலும் ஆரம்பத்தில் இருந்து இறுதிப் புள்ளி வரை குறிக்கப்பட்ட தாங்கி மற்றும் அந்த தாங்கி மீது நல்ல தூரத்தை கணக்கிட முடியும். பின்னர் அவர் சேர்க்கை மற்றும் கழித்தல் மூலம், அட்சரேகை மற்றும் புறப்பாட்டின் அனைத்து வேறுபாடுகளையும் இணைத்து, அட்சரேகை மற்றும் புறப்பாட்டின் ஒட்டுமொத்த வேறுபாட்டைப் பெறுகிறார், மேலும் அதை ஒட்டுமொத்த தாங்கி மற்றும் தூரத்திற்கு மாற்றுகிறார். ரமோன் லுல்லின் பரிந்துரைக்கப்பட்ட 1295 கருத்துக்கள் ஒருபுறம் இருக்க, மார்ட்லியோவைப் பற்றிய ஆரம்பகால குறிப்பு 1390 ஆம் ஆண்டு தேதியிட்டது, ஜெனோவாவின் ஒரு குறிப்பிட்ட ஒபெர்டோ ஃபோக்லியெட்டோவின் தாயின் தோட்டத்தின் சரக்குகளில், ஒரு உள்ளீட்டில் யுனம் martelogium.item கார்டா யுனா ப்ரோ நேவ்காண்டோ என்று எழுதப்பட்டுள்ளது. முதல் தெளிவான தோற்றமும் விளக்கமும் வெனிஸ் கேப்டன் ஆண்ட்ரியா பியான்கோவின் 1436 அட்லஸ் ஆகும். மார்டிலோயோவின் ஆட்சியைப் பற்றிய பிற ஆரம்பகால கையெழுத்துப் பிரதிகள் கண்டுபிடிக்கப்பட்டுள்ளன, அவற்றில் பின்வருவன அடங்கும்ஃ 1428க்குப் பிந்தைய 15 ஆம் நூற்றாண்டின் அநாமதேய வெனிஸ் கோடெக்ஸ், ஒரு காலத்தில் டாக் மார்கோ ஃபோஸ்காரினியின் தொகுப்பின் ஒரு பகுதியாக இருந்தது, இப்போது இழந்துவிட்டது. தி லிபர் ஆஃப் வெனிஸ் மரைனர் மைக்கேல் ஆஃப் ரோட்ஸ் (c. 1434-36) (திருமதி. தனியார் சேகரிப்பில்) அன்கோனாவின் கிரேசியோசோ பெனின்காஸாவின் அட்ரியாடிக் போர்ட்டோலோ, தொகுக்கப்பட்ட 1435-45 (திருமதி. இத்தாலியின் அன்கோனாவில் உள்ள பிப்லியோடெகா கம்யூனலே லூசியானோ பெனின்காஸாவில்). பியட்ரோ டி வெர்சி எழுதிய வெனிஸ் போர்ட்டோலோனோ கையெழுத்துப் பிரதி அல்கியூன் ராக்ஸியன் டி மரினேரி, கி. பி. 1444 (Ms.It.IV. 170 இத்தாலியின் வெனிஸில் உள்ள பிப்லியோடெகா நாஜியோனேல் மார்சியானாவில்) மோடோனின் ஜோர்சி டிராம்பெட்டா என்று அழைக்கப்படும் வெனிஸ் கடற்படை டிரம்பெட்டரின் லிப்ரோ, c. 1444-49 (இங்கிலாந்தின் லண்டனில் உள்ள பிரிட்டிஷ் நூலகத்தில் காட்டன் எம். எஸ். டைட்டஸ் A.XXVI) ஆர்ட் வெனிசியானா டெல் நேவிகேர் என்று அழைக்கப்படும் அநாமதேய வெனிஸ் கையெழுத்துப் பிரதி, c. 1444-45 (இத்தாலியின் படுவாவில் உள்ள பிப்லியோடெகா டெல் மியூசியோ சிவிகோ டி படோவாவில் திருமதி C.M.17). இங்கிலாந்தின் கிரீன்விச்சில் உள்ள தேசிய கடல்சார் அருங்காட்சியகத்தில் உள்ள ராகியோனி பழங்கால ஸ்பெட்டாண்டி டால் 'ஆர்ட்டே டெல் மாரே எட் ஃபேப்ரிகே டி வாஸ்ஸெல்லி (திருமதி. என். வி. டி 19). கார்னாரோ அட்லஸ், முந்தைய கையெழுத்துப் பிரதியின் கி. பி. 1489 நகல், (லண்டனில் உள்ள பிரிட்டிஷ் நூலகத்தில் Ms.Egerton 73) 15 ஆம் நூற்றாண்டின் அநாமதேய வெனிஸ் போர்ட்டோலோனோ (திருமதி 3345 * (Fosc.307) ஆஸ்திரியாவின் வியன்னாவில் உள்ள ஓஸ்டெரிச்சிஷ் நேஷனல் பிப்லியோதெக் (ஓஎன்பி) இல்) குறிப்புகள் வெளிப்புற வளங்கள் அல்டான்டே பியான்கோ, 1436 இல் Internetculturale.it; உயர் தெளிவுத்திறன் Geoweb.sbn.venezia.it. மெக்கீ, டி. மற்றும் பலர். (2003 முதல்) மைக்கேல் ஆஃப் ரோட்ஸ்ஃ ஒரு இடைக்கால மாலுமியும் அவரது கையெழுத்துப் பிரதி வலைத்தளமும் (ஜூலை 20,2011 இல் அணுகப்பட்டது). (முதலில் எம். ஐ. டி. யில் அறிவியல் மற்றும் தொழில்நுட்ப வரலாற்றுக்கான டிப்னர் நிறுவனத்தால் நடத்தப்பட்டது, இப்போது இத்தாலியின் புளோரன்ஸ் நகரில் உள்ள மியூசியோ கலிலியோ நிறுவனம் மற்றும் அறிவியல் வரலாற்றுக்கான அருங்காட்சியகம் ஆகியவற்றால் நடத்தப்படுகிறது) குறிப்புகள் அக்ஸெல், ஏ. டி. (2001) தி ரிட்டில் ஆஃப் தி காம்பஸ்ஃ உலகத்தை மாற்றிய கண்டுபிடிப்பு நியூயார்க்ஃ ஹார்கோர்ட். ஆல்பர்டிஸ், ஈ. ஏ. (1893) லெ கன்ஸ்ட்ரூஸியோனி நவலே இ எல் 'ஆர்ட்டே டெல்லா நேவிகேசியோன் அல் டெம்போ டி கிறிஸ்டோபோரோ கொழும்பு, பாட் IV, தொகுதி. 1 ஆஃப் ராக்கோல்டா டி டாக்குமெண்டி இ ஸ்டடி பப்ளிக் டல்லா ரீயல் கமிஷன் கொலம்பியானா பெல் குவார்ட்டோ சென்டெனாரியோ டெல்லா ஸ்கோபர்டா டெல் அமெரிக்கா. ரோம்ஃ மினிஸ்ட்ரோ டெல்லா பப்ளிக்கா இஸ்ட்ரூஸியோன். ஆல்புகெர்க், எல். டி. (1970) "ஒரு நேவ்காசோ அஸ்ட்ரோனோமிகா", இல் ஏ. கோர்டெசோ, ஆசிரியர், 1969-70, ஹிஸ்டோரியா டா கார்டோகிராஃபியா போர்டுகுவேசா, தொகுதி. 2. லிஸ்பன்ஃ ஜுன்டா டி இன்வெஸ்டிகாசோஸ் டோ அல்ட்ராமார், ப. (1975 இல் மறுபதிப்பு செய்யப்பட்டபடி, எஸ்டுடோஸ் டி ஹிஸ்டோரியா, தொகுதி. 3. கோயம்பிராஃ யு. சி. பிப்லியோடெகா ஜெரல் ஆன்லைன்) ஆல்புகெர்க், லூயிஸ் டி (1973) "ஓ ட்ராடாடோ டி டோர்டெசிலாஸ் இ டிஃபிகல்டேட்ஸ் டெக்னிகாஸ் டா சுவா அப்லிகாசோ ரிகோரோசா" இல் எல் ட்ராடாடோ டி டோர்டெசிலாஸ் ஒய் சு ப்ரோய்சியன், தொகுதி. 1, pp. 119-366. (1974 இல் மறுபதிப்பு செய்யப்பட்டபடி, எஸ்டுடோஸ் டி ஹிஸ்டோரியா, தொகுதி. 2. கோயம்பிராஃ யுசி பிப்லியோடெகா ஜெரல். பிபி. 221p56 ப்ரூசிங், ஏ. (1881) "லா டோலெட்டா டி மார்டெலோஜோ அண்ட் டை லாக்ஸோட்ரோமிஷ்சென் கார்டன்", ஜீட்ச்சிரிஃப்ட் ஃபர் விஸ்ஸென்ஷாஃப்ட்லிச் புவியியல், தொகுதி. II, Pt. 1 (ப. 129-33), Pt. 2 (pp. 180-95). ப்ரம்மேலன், ஜி. (2010) டி. ஜார்டின் மற்றும் ஏ. ஷெல்-கெல்லாஷ் ஆகியோரில் "கிளியர் செய்லிங் வித் ட்ரிகோனோமெட்ரி", ஆசிரியர்கள், கணித நேர காப்ஸ்யூல்கள்ஃ கணித வகுப்பறைக்கான வரலாற்று தொகுதிகள். அமெரிக்காவின் கணித சங்கம். காம்ப்பெல், டி. (1987) "பதின்மூன்றாம் நூற்றாண்டின் பிற்பகுதியில் இருந்து 1500 வரை போர்டோலன் தரவரிசைகள்", ஜே. பி. ஹார்லி மற்றும் டி. உட்வார்ட், ஆசிரியர்கள், கார்ட்டோகிராஃபியின் வரலாறு, தொகுதி. 1-வரலாற்றுக்கு முந்தைய, பண்டைய மற்றும் இடைக்கால ஐரோப்பா மற்றும் மத்திய தரைக்கடலில் வரைபடம். சிகாகோஃ சிகாகோ பல்கலைக்கழகம் பிரஸ், பக். 371-63 ஆன்லைன் (PDF) கார்டெசோ, ஏ. (1969) போர்த்துகீசிய வரைபடத்தின் வரலாறு. கோயம்பிராஃ ஜுன்டா டி இன்வெஸ்டிகாசோஸ் டு அல்ட்ராமார் கோட்டர், சி. எச். (1978) "ஆரம்பகால அட்டவணை, வரைகலை மற்றும் கருவி, விமானப் பயணத்தின் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள்", ரெவிஸ்டா டா யுனிவர்சிடேட் டி கோயம்ப்ரா, தொகுதி. 26, பக். 3-20 டி 'அவேசாக், எம். ஏ. பி. மார்க்விஸ் (1874) அபெர்சஸ் வரலாறுகள் சர் லா ரோஸ் டெஸ் வென்ட்ஸ்ஃ லெட்ரே எ மான்சியர் ஹென்றி நார்டூசி. ரோம்ஃ சிவெல்லி ஆன்லைன் டெசிமோனி, சி. (1888) "லெ கார்டே நாட்டிச் இத்தாலியன் டெல் மெடியோ ஈவோ, ஒரு முன்மொழிவு டி யுன் லிப்ரோ டெல் புரோஃப். ஃபிஷர்", அட்டி டெல்லா சொசைட்டா லிகூர் டி ஸ்டோரியா பாட்ரியா, தொகுதி. 19, pp. 225-66. டிஃபி, பெய்லி டபிள்யூ, மற்றும் ஜார்ஜ் டி. வினியஸ் (1977) போர்த்துகீசியப் பேரரசின் அடித்தளங்கள், 1415-1580 மினியாபோலிஸ், எம்என்ஃ மினசோட்டா பிரஸ் பல்கலைக்கழகம். எட்ஸன், ஈ. (2007) உலக வரைபடம், 1300-1492: பாரம்பரியம் மற்றும் மாற்றத்தின் நிலைத்தன்மை. பால்டிமோர், எம். டி.: ஜான்ஸ் ஹாப்கின்ஸ் பல்கலைக்கழக பிரஸ். ஃபார்மலோனி, விசென்சியோ (1783) சாகியோ சுல்லா நோடிகா ஆன்டிகா டி வெனிசியானி, கான் யுனா இல்லஸ்ட்ராஜியோன் டி அல்கியூன் கார்ட்டே இட்ரோகிராஃபிச் ஆன்டிச் டெல்லா பிப்லியோடெகா டி எஸ். மார்கோ, செ டிமோன்ஸ்ட்ரானோ எல் ஐசோலே ஆன்டில் ப்ரைமா டெல்லா ஸ்கோபர்டா டி கிறிஸ்டோபோரோ கொலம்போ. வெனிஸ். ஆன்லைன் ஜெல்சிச், ஈ. (1892) "ஐ ப்ரைமி பாஸி டெல்லா சியென்ஸா நோடிகா", ரிவிஸ்டா மாரிட்டிமா, தொகுதி. 25, பக். 71-102 கெல்லி, ஜே. இ. (2000) இடைக்காலத்தின் பிற்பகுதியில் அனலாக் மற்றும் டிஜிட்டல் வழிசெலுத்தல், மெல்ரோஸ் பார்க், பா.: சம் டைம் பப்ளிஷர்ஸ் கெல்லி, ஜே. இ. (1995) "போர்டோலன் விளக்கப்படங்களின் தோற்றம் மற்றும் பயன்பாடு குறித்த கண்ணோட்டங்கள்", கார்டோகிராஃபிகா, தொகுதி. 32 (3), pp. 1-16. ஆன்லைன் கிரெட்ச்மர், கே. (1909) டை இத்தாலினிஷென் போர்ட்டோலன் டெஸ் மிட்டெலால்டர்ஸ்ஃ ஐன் பெய்ட்ராக் ஜுர் கெஸ்சிச்டே டெர் கார்டோகிராஃபி அண்ட் நாட்டிக். பேர்லின்ஃ மிட்லர் அண்ட் சோன் லாங், பி. ஐ., டி. மெக்கீ மற்றும் ஏ. எம். ஸ்டால், ஆசிரியர்கள், (2009) தி புக் ஆஃப் மைக்கேல் ஆஃப் ரோட்ஸ்ஃ பதினைந்தாம் நூற்றாண்டின் கையெழுத்துப் பிரதி. 3 தொகுதிகள், கேம்பிரிட்ஜ், மாஸ்ஃ எம். ஐ. டி. அழுத்தவும். மாசியரோ, எஃப். (1984) "லா ராக்சன் டி மார்டிலோயோ", ஸ்டடி வெனிசியானி, தொகுதி. 8, pp. 393-412. மெரிஃபீல்ட், ஜே. (1883) வழிசெலுத்தல் பற்றிய ஆய்வுக் கட்டுரை. லண்டன்ஃ ஸ்பாடிஸ்வூட். ஆன்லைன் மொரெல்லி, ஜாகோபோ (1810) லெட்டரா ராரிசிமா டி கிறிஸ்டோபோரோ கொழும்பு. பாஸானோஃ ஸ்டாம்பேரியா ரெமோண்டினியானா ஆன்லைன் நோர்டென்ஸ்கீல்ட், அடால்ஃப் எரிக் (1897) பெரிப்ளஸ்ஃ விளக்கப்படங்கள் மற்றும் படகோட்டுதல் திசைகளின் ஆரம்பகால வரலாறு குறித்த ஒரு கட்டுரை, டிர. பிரான்சிஸ் ஏ. பாதர், ஸ்டாக்ஹோம்ஃ நோர்ஸ்டெட். பாரி, ஜே. எச். (1974) தி டிஸ்கவரி ஆஃப் தி சீ, 1984 பதிப்பு, பெர்க்லிஃ கலிபோர்னியா பல்கலைக்கழகம் பிரஸ். ஆன்லைன் ரமோன் லால் (1305) ஆர்ஸ் மேக்னா ஜெனரலிஸ் அட் அல்டிமா, 1517 பதிப்பு, ஆன்லைன், குறிப்பாக. பகுதி 10, "டி நேவிகேஷன்", ஃபோ. 93, p.213 ரமோன் லுல் (1295) L 'arbre de ciència, 1635 லத்தீன் பதிப்புஃ ஆர்பர் சயின்ட்டி வெனரபிலிஸ் எட் செலிட்டிவ்ஸ் இல்லுமினாட்டி பேட்ரிஸ் ராவ்ம்வண்டி ல்வ்லி மையோரியென்சிஸ் லியோன்ஸ்ஃ பில்லெஹோட். ஆன்லைன் ரேண்டில்ஸ், டபிள்யூ. ஜி. எல். "(1998) பதினைந்தாம் நூற்றாண்டில் போர்ச்சுகலில் கடல்சார் வானியல் உருவாக்கம்", ஜர்னல் ஆஃப் நேவிகேஷன், தொகுதி. 51, pp. 46-57. ரோஸ்ஸி, எஃப். (2009) லாங்கின் தொகுதி 2 க்கு "அறிமுகம்", மெக்கீ மற்றும் ஸ்டால், ஆசிரியர்கள், மைக்கேல் ஆஃப் ரோட்ஸ் புத்தகம். (ஆன்லைன்) ரூஜ், எஸ். (1900) "டெர் பெரிப்ளஸ் நார்டன்ஸ்கீல்ட்ஸ்", டாய்ச் புவியியல் பிளாட்டர் தொகுதி. 23, இல்லை. 4, பக். 161-228 செஸ்ஜின், எஃப். (2007) இஸ்லாத்தில் கணித புவியியல் மற்றும் வரைபடம் மற்றும் மேற்கில் அவற்றின் தொடர்ச்சி. அரபு-இஸ்லாமிய அறிவியல் வரலாறு நிறுவனம் டெய்லர், ஈ. ஜி. ஆர். (1950) "ஃபைவ் செஞ்சுரீஸ் ஆஃப் டெட் ரெக்கோனிங்", ஜர்னல் ஆஃப் நேவிகேஷன், தொகுதி. 3, pp. 280-85. டெய்லர், ஈ. ஜி. ஆர். (1956) தி ஹேவன்-ஃபைண்டிங் ஆர்ட்ஃ ஒடிசியஸிலிருந்து கேப்டன் குக் வரை வழிசெலுத்தலின் வரலாறு, 1971 பதிப்பு, லண்டன்ஃ ஹோலிஸ் அண்ட் கார்ட்டர். டெய்லர், ஈ. ஜி. ஆர். (1960) "கணிதமும் பதின்மூன்றாம் நூற்றாண்டில் வழிசெலுத்துபவரும்", ஜர்னல் ஆஃப் நேவிகேஷன், தொகுதி. 13, pp. 1-12. டோல்டோ, கியூசெப்பே (1782) "லெட்டா அ சுவா எசெலென்ஸா இல். சிக். கே. வி. வெனிசியாவில் நானி மன்னர், அவரது குடும்பத்தினர், அவரது குடும்பத்தினர், அவரது குடும்பத்தினர், அவரது குடும்பத்தினர், அவரது குடும்பத்தினர், அவரது குடும்பத்தினர், அவரது குடும்பத்தினர், அவரது குடும்பத்தினர், அவரது குடும்பத்தினர், அவரது குடும்பத்தினர், அவரது குடும்பத்தினர், அவரது குடும்பத்தினர், அவரது குடும்பத்தினர், அவரது குடும்பத்தினர், அவரது குடும்பத்தினர், அவரது குடும்பத்தினர், அவரது குடும்பத்தினர், அவரது குடும்பத்தினர், அவரது குடும்பத்தினர், அவரது குடும்பத்தினர், அவரது குடும்பத்தினர், அவரது குடும்பத்தினர், அவரது குடும்பத்தினர், அவரது குடும்பத்தினர், அவரது குடும்பத்தினர், அவரது குடும்பத்தினர், அவரது குடும்பத்தினர், அவரது குடும்பத்தினர், அவரது குடும்பத்தினர், அவரது குடும்பத்தினர், அவரது குடும்பத்தினர், அவரது குடும்பத்தினர், அவரது குடும்பத்தினர், அவரது குடும்பத்தினர், அவரது குடும்பத்தினர், அவரது குடும்பத்தினர், அவரது குடும்பத்தினர், அவரது குடும்பத்தினர், அவரது குடும்பத்தினர், அவரது குடும்பத்தினர், அவரது குடும்பத்தினர், அவரது குடும்பத்தினர், அவரது குடும்பத்தினர், அவரது குடும்பத்தினர், அவரது குடும்பத்தினர், அவரது குடும்பத்தினர், அவரது குடும்பத்தினர், அவரது குடும்பத்தினர் பிபி. 40-61 வெர்னெட், ஜே. (2008) "தி சயின்டிபிக் வேர்ல்ட் ஆஃப் தி கிரவுன் ஆஃப் அராகன் அண்டர் ஜேம்ஸ் I" இல் ரமோன் லுல் மற்றும் இஸ்லாம், உரையாடலின் தொடக்கம். பார்சிலோனாஃ IEMed., pp. 99-114. வாட்டர்ஸ், டி. டபிள்யூ. (1988) "பார்டோலோமியோ டயஸின் பயணத்துடன் தொடர்புடைய XVIth நூற்றாண்டின் சில வழிசெலுத்தல் மற்றும் ஹைட்ரோகிராஃபிக் சிக்கல்களின் பிரதிபலிப்புகள்", ரெவிஸ்டா டா யுனிவர்சிடேட் டி கோயம்ப்ரா, தொகுதி. 34, பக். 275 347. அச்சிடப்படாத முக்கோணவியல் வழிசெலுத்தல் வரைபடம் இடைக்கால ஐரோப்பிய கணிதம்