Euler–Rodrigues formula
கணிதம் மற்றும் இயக்கவியலில், ஆய்லர்-ரோட்ரிக்ஸ் சூத்திரம் ஒரு திசையனின் சுழற்சியை மூன்று பரிமாணங்களில் விவரிக்கிறது. இது ரோட்ரிக்ஸ் சுழற்சி சூத்திரத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது, ஆனால் வேறுபட்ட அளவுருவைப் பயன்படுத்துகிறது. லியோன்ஹார்ட் யூலர் காரணமாக சுழற்சி நான்கு யூலர் அளவுருக்களால் விவரிக்கப்படுகிறது. ரோட்ரிக்ஸ் சூத்திரம் (ஒலிண்டே ரோட்ரிக்ஸ் பெயரிடப்பட்டது), சுழற்றப்பட்ட புள்ளியின் நிலையை கணக்கிடும் ஒரு முறை, விமான சிமுலேட்டர்கள் மற்றும் கணினி விளையாட்டுகள் போன்ற சில மென்பொருள் பயன்பாடுகளில் பயன்படுத்தப்படுகிறது. வரையறை தோற்றத்தைப் பற்றிய ஒரு சுழற்சி நான்கு உண்மையான எண்களால் குறிக்கப்படுகிறது, அதாவது சுழற்சி பயன்படுத்தப்படும்போது, நிலையில் உள்ள ஒரு புள்ளி அதன் புதிய நிலைக்கு சுழல்கிறது திசையன் உருவாக்கம் அளவுரு அளவீட்டு அளவுரு மற்றும் திசையன் அளவுரு என்று அழைக்கப்படலாம். நிலையான திசையன் குறியீட்டில், ரோட்ரிக்ஸ் சுழற்சி சூத்திரம் சுருக்கமான வடிவமான சமச்சீர் அளவுருக்களை எடுத்து அதே சுழற்சியை விவரிக்கிறது. இந்த சமச்சீர் தவிர, நான்கு அளவுருக்களின் ஒவ்வொரு தொகுப்பும் முப்பரிமாண இடத்தில் ஒரு தனித்துவமான சுழற்சியை விவரிக்கிறது. சுழற்சிகளின் கலவை இரண்டு சுழற்சிகளின் கலவை ஒரு சுழற்சி ஆகும். இரண்டு சுழற்சிகளின் ஆய்லர் அளவுருக்களாக இருக்கட்டும். கலவை சுழற்சிக்கான அளவுருக்கள் (சுழற்சி 1 க்குப் பிறகு சுழற்சி 2) பின்வருமாறுஃ அதைச் சரிபார்க்க கடினமாக இருந்தாலும், நேரடியானது. (இது அடிப்படையில் யூலரின் நான்கு சதுர அடையாளமாகும், இது ரோட்ரிக்ஸாலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது.) சுழற்சி கோணம் மற்றும் சுழற்சி அச்சு மூன்று பரிமாணங்களில் எந்த மைய சுழற்சியும் அதன் சுழற்சி அச்சு (ஒரு அலகு திசையனால் குறிக்கப்படுகிறது) மற்றும் சுழற்சி கோணத்தால் தனித்துவமாக தீர்மானிக்கப்படுகிறது. இந்த சுழற்சிக்கான ஆய்லர் அளவுருக்கள் பின்வருமாறு கணக்கிடப்படுகின்றனஃ 360 டிகிரி முழு சுழற்சியால் அதிகரிக்கப்பட்டால், சைன் மற்றும் கொசைனின் வாதங்கள் 180 டிகிரி மட்டுமே அதிகரிக்கும் என்பதை நினைவில் கொள்க. இதன் விளைவாக வரும் அளவுருக்கள் அசல் மதிப்புகளுக்கு நேர்மாறாக உள்ளன, அவை ஒரே சுழற்சியைக் குறிக்கின்றன. குறிப்பாக, அடையாள மாற்றம் (பூஜ்ய சுழற்சி,) அளவுரு மதிப்புகளுக்கு ஒத்திருக்கிறது. எந்த அச்சிலும் 180 டிகிரி சுழற்சிகள் விளைகின்றன. யூலர் அளவுருக்கள் ஒரு குவாட்டர்னியனின் குணகங்களாகக் கருதப்படலாம்; அளவிடுதல் அளவுரு உண்மையான பகுதியாகும், திசையன் அளவுருக்கள் கற்பனையான பகுதிகளாகும். எனவே நம்மிடம் குவாட்டர்னியன் உள்ளது, இது அலகு நீளத்தின் (அல்லது வெர்சர்) குவாட்டர்னியன் ஆகும், ஏனெனில் மிக முக்கியமாக, சுழற்சிகளின் கலவைக்கான மேலே உள்ள சமன்பாடுகள் துல்லியமாக குவாட்டர்னியன்களின் பெருக்கத்திற்கான சமன்பாடுகளாகும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், பெருக்கத்துடன் கூடிய அலகு குவாட்டர்னியன்களின் குழு, எதிர்மறை அடையாளமான மாடுலோ, கலவையுடன் சுழற்சிகளின் குழுவிற்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும். சிக்கலான மேட்ரிக்ஸ்களில் முப்பரிமாண சுழற்சிகளைக் குறிக்க லை குழு எஸ்யூ (2) ஐப் பயன்படுத்தலாம். ஒரு சுழற்சியுடன் தொடர்புடைய எஸ்யூ (2)-மேட்ரிக்ஸ், அதன் ஆய்லர் அளவுருக்களின் அடிப்படையில், மாற்றாக, இதை பாலி சுழல் மேட்ரிக்ஸ்கள் இருக்கும் கூட்டுத்தொகையாக எழுதலாம். எனவே, யூலர் அளவுருக்கள் என்பது சுழல் குழு (3) இன் ஒரு உறுப்புடன் தொடர்புடைய ஒரு எஸ்யூ (2) மேட்ரிக்ஸில் உள்ள உண்மையான மற்றும் கற்பனையான ஆயத்தொலைவுகள் ஆகும், இது இரட்டை கவர் மேப்பிங் மூலம் ஆர்த்தோகனல் குழு எஸ்ஓ (3) இல் ஒரு சுழற்சிக்கு வரைபடமாக்குகிறது. இது லை குழுவின் தனித்துவமான முப்பரிமாண பகுக்கமுடியாத பிரதிநிதித்துவமாக உணர்கிறது எஸ்யூ (2) ≈ ஸ்பின் (3). மேலும் காண்கஃ மூன்று பரிமாணங்களில் சுழற்சி முறைமைகள் குவாட்டர்னியன்கள் மற்றும் இடஞ்சார்ந்த சுழற்சி வெர்சர் சுழற்சிகள் மூன்று பரிமாணங்களில் SO (4) 3D சுழற்சி குழு குறிப்புகள் மூன்று பரிமாணங்களில் சுழற்சி யூக்ளிடியன் சமச்சீர் லியோன்ஹார்ட் ஆய்லர்