Donaldson–Thomas theory
கணிதத்தில், குறிப்பாக இயற்கணித வடிவவியலில், டொனால்ட்சன்-தாமஸ் கோட்பாடு என்பது டொனால்ட்சன்-தாமஸ் மாறுபாடுகளின் கோட்பாடாகும். ஒரு கலாபி-யூ மூன்று மடங்கு மீது உறைகளின் ஒரு சிறிய மாடுலி இடத்தைப் பொறுத்தவரை, அதன் டொனால்ட்சன்-தாமஸ் மாறாதது அதன் புள்ளிகளின் மெய்நிகர் எண், அதாவது, மெய்நிகர் அடிப்படை வகுப்பிற்கு எதிராக கோஹோமோலஜி வகுப்பு 1 இன் ஒருங்கிணைந்ததாகும். டொனால்ட்சன்-தாமஸ் மாறிலி என்பது கேசான் மாறிலியின் ஹோலோமார்பிக் அனலாக் ஆகும். மாறாதவை அறிமுகப்படுத்தப்பட்டன. டொனால்ட்சன்-தாமஸ் மாறிலிகள் இயற்கணித மூன்று மடிப்புகளின் குரோமோவ்-விட்டன் மாறிலிகளுடன் நெருங்கிய தொடர்புகளைக் கொண்டுள்ளன, மேலும் ராகுல் பாந்தரிபாண்டே மற்றும் தாமஸ் காரணமாக நிலையான ஜோடிகள் கோட்பாடு உள்ளது. டொனால்ட்சன்-தாமஸ் கோட்பாடு சரம் மற்றும் கேஜ் கோட்பாட்டில் ஏற்படும் சில பிபிஎஸ் நிலைகளால் இயற்பியல் ரீதியாக உந்தப்படுகிறது. மாறிலிகள் ஆய்வு செய்யப்படும் மாடுலி இடைவெளிகளின் பெறப்பட்ட வகையின் நிலைத்தன்மை நிலையைப் பொறுத்தது என்பதே இதற்குக் காரணம். அடிப்படையில், இந்த நிலைத்தன்மை நிலைமைகள் கண்ணாடி சமச்சீர்மையில் கருதப்படுவது போல் காலாபி-யூ பன்மடங்கு கால்லரின் மாடுலி இடத்தில் உள்ள புள்ளிகளுடன் ஒத்திருக்கின்றன, இதன் விளைவாக வரும் துணைப்பிரிவு தொடர்புடைய எஸ். சி. எஃப். டி. க்கான பிபிஎஸ் நிலைகளின் வகையாகும். வரையறை மற்றும் எடுத்துக்காட்டுகள் குரோமோவ்-விட்டன் மாறிலிகளின் அடிப்படை யோசனை ரீமன் மேற்பரப்புகளிலிருந்து ஒரு மென்மையான இலக்கை நோக்கிய சூடோஹோலோமார்பிக் வரைபடங்களைப் படிப்பதன் மூலம் ஒரு இடத்தின் வடிவவியலை ஆராய்வதாகும். அத்தகைய அனைத்து வரைபடங்களின் மாடுலி அடுக்கு ஒரு மெய்நிகர் அடிப்படை வகுப்பை ஒப்புக்கொள்கிறது, மேலும் இந்த அடுக்கில் உள்ள குறுக்குவெட்டு கோட்பாடு பெரும்பாலும் கணக்கீட்டு தகவல்களைக் கொண்டிருக்கக்கூடிய எண் மாறிலிகளை வழங்குகிறது. இதே போன்ற உணர்வில், டொனால்ட்சன்-தாமஸ் கோட்பாட்டின் அணுகுமுறை ஒரு இயற்கணிதத்தில் வளைவுகளை அவற்றின் சமன்பாடுகளால் மூன்று மடங்கு படிப்பதாகும். இன்னும் துல்லியமாக, ஒரு இடத்தில் சிறந்த உறைகளைப் படிப்பதன் மூலம். இந்த மாடுலி இடமும் ஒரு மெய்நிகர் அடிப்படை வகுப்பை ஏற்றுக்கொள்கிறது மற்றும் கணக்கிடும் சில எண் மாறிலிகளை வழங்குகிறது. குரோமோவ்-விட்டன் கோட்பாட்டில், வரைபடங்கள் டொமைன் வளைவின் பல உறைகள் மற்றும் சரிந்த கூறுகளாக இருக்க அனுமதிக்கப்படுகின்றன, டொனால்ட்சன்-தாமஸ் கோட்பாடு உறைகளில் உள்ள நில்போட்டன்ட் தகவல்களை அனுமதிக்கிறது, இருப்பினும், இவை முழு எண் மதிப்புள்ள மாறிலிகள். தேவேஷ் மௌலிக், ஆண்ட்ரே ஒகௌன்கோவ், நிகிதா நெக்ராசோவ் மற்றும் ராகுல் பாந்தாரிபாண்டே ஆகியோரின் ஆழமான அனுமானங்கள், இயற்கணித மூன்று மடிப்புகளின் குரோமோவ்-விட்டன் மற்றும் டொனால்ட்சன்-தாமஸ் கோட்பாடுகள் உண்மையில் சமமானவை என்பதை பெருகிய முறையில் நிரூபித்துள்ளன. இன்னும் திட்டவட்டமாக, அவற்றின் உருவாக்கும் செயல்பாடுகள் பொருத்தமான மாறிகளின் மாற்றத்திற்குப் பிறகு சமமாக இருக்கும். காலாபி-யூ மூன்று மடிப்புகளைப் பொறுத்தவரை, டொனால்ட்சன்-தாமஸ் மாறிலிகள் மாடுலி இடத்தில் எடையுள்ள ஆய்லர் பண்பு என வடிவமைக்கப்படலாம். இந்த மாறிலிகள், ஊக்கமளிக்கும் ஹால் இயற்கணிதம் மற்றும் குவாண்டம் டோரஸில் உள்ள செயல்பாடுகளின் வளையம் ஆகியவற்றுக்கு இடையே சமீபத்திய தொடர்புகளும் உள்ளன. குவிண்டிக் மூன்று மடங்கு கோடுகளின் மாடுலி இடைவெளி 2875 புள்ளிகளின் தனித்துவமான தொகுப்பாகும். புள்ளிகளின் மெய்நிகர் எண்ணிக்கை என்பது புள்ளிகளின் உண்மையான எண்ணிக்கை, எனவே இந்த மாடுலி இடத்தின் டொனால்ட்சன்-தாமஸ் மாறாதது முழு எண் 2875 ஆகும். இதேபோல், குயின்டிக்கில் உள்ள கூம்புகளின் மாடுலி இடத்தின் டொனால்ட்சன்-தாமஸ் மாறாதது 609250 ஆகும். ஒரு கலாபி-யூ மூன்று மடங்கு மற்றும் ஒரு நிலையான ஒத்திசைவு வகுப்பிற்கு செர்ன் எழுத்துடன் ஒத்திசைவான உறைகளின் தொடர்புடைய மாடுலி அடுக்கு உள்ளது. பொதுவாக, இது எல்லையற்ற வகையின் பிரிக்கப்படாத ஆர்ட்டின் அடுக்காகும், அதன் மீது எண் மாறிலிகளை வரையறுப்பது கடினம். அதற்கு பதிலாக, அத்தகைய ஒத்திசைவான உறைகளை அளவுருவாக மாற்றும் திறந்த அடி மூலக்கூறுகள் உள்ளன, அவை அவற்றின் மீது திணிக்கப்பட்ட ஸ்திரத்தன்மை நிபந்தனையைக் கொண்டுள்ளன, அதாவது. - நிலையான உறைகள். இந்த மாடுலி அடுக்குகள் வரையறுக்கப்பட்ட வகையிலிருந்து பிரிக்கப்படுவது போன்ற மிகச் சிறந்த பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன. ஒரே தொழில்நுட்ப சிரமம் என்னவென்றால், ஒரு நிலையான உறையின் சிதைவுகளின் தடைகள் இருப்பதால் அவை மோசமான ஒற்றுமைகளைக் கொண்டிருக்கலாம். குறிப்பாக இப்போது காலாபி-யூ என்பதால், செர்ரே டூயலிட்டி என்பது பரிமாணம் 0 இன் சரியான தடைக் கோட்பாட்டைக் குறிக்கிறது. குறிப்பாக, இது ஒத்த நிலையில் தொடர்புடைய மெய்நிகர் அடிப்படை வகுப்பைக் குறிக்கிறது. டிடி மாறிலியை நாம் வரையறுக்கலாம், இது நிலைத்தன்மை நிலை மற்றும் கோஹோமோலஜி வகுப்பைப் பொறுத்தது. ஒரு மென்மையான குடும்பத்திற்கு மேலே வரையறுக்கப்பட்ட மாறாதது மாறாது என்பதை தாமஸ் நிரூபித்தார். ஆரம்பத்தில் ஆராய்ச்சியாளர்கள் கீசெக்கர் நிலைத்தன்மை நிலையைத் தேர்ந்தெடுத்தனர், ஆனால் சமீபத்திய ஆண்டுகளில் பிற டிடி-மாறுபாடுகள் மற்ற நிலைத்தன்மை நிலைமைகளின் அடிப்படையில் ஆய்வு செய்யப்பட்டுள்ளன, இது சுவர்-கடக்கும் சூத்திரங்களுக்கு வழிவகுக்கிறது. உண்மைகள் மாடுலி இடைவெளி M இன் டொனால்ட்சன்-தாமஸ் மாறாதது M இன் எடையுள்ள ஆய்லர் பண்புக்கு சமம். எடை செயல்பாடு M இல் உள்ள ஒவ்வொரு புள்ளியுடனும் ஒரு ஹைப்பர்பிளேன் ஒருமைப்பாட்டின் மில்னர் எண்ணின் ஒப்புமையுடன் தொடர்புடையது. சீவ்களின் மாடுலி இடைவெளிகளுக்கு பதிலாக பொதுமைப்படுத்தல்கள், பெறப்பட்ட வகை பொருட்களின் மாடுலி இடைவெளிகளைக் கருத்தில் கொள்கின்றன. இது பண்டாரிபாண்டே-தாமஸ் மாறிலிகளை வழங்குகிறது, அவை காலாபி-யோவின் நிலையான ஜோடிகளை 3 மடங்கு கணக்கிடுகின்றன. முழு எண் மதிப்புள்ள மாறுபாடுகளுக்கு பதிலாக, ஒருவர் ஊக்கமளிக்கும் மாறுபாடுகளைக் கருதுகிறார். மேலும் காண்க எண் வடிவியல் குரோமோவ்-விட்டன் மாறாத ஹில்பர்ட் திட்டம் குவாண்டம் கோஹோமோலஜி குறிப்புகள் இயற்கணித வடிவியல் சரம் கோட்பாடு