Free boundary problem
கணிதத்தில், ஒரு இலவச எல்லை சிக்கல் (FB சிக்கல்) என்பது அறியப்படாத செயல்பாடு மற்றும் அறியப்படாத களம் ஆகிய இரண்டிற்கும் தீர்க்கப்பட வேண்டிய ஒரு பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடு ஆகும். பிரச்சினையின் தொடக்கத்தில் அறியப்படாத எல்லையின் பிரிவு சுதந்திர எல்லை ஆகும். எஃப். பி. க்கள் பல்வேறு கணித மாதிரிகளில் எழுகின்றன, அவை இயற்பியல் முதல் பொருளாதார, நிதி மற்றும் உயிரியல் நிகழ்வுகள் வரையிலான பயன்பாடுகளை உள்ளடக்கியது, அங்கு ஊடகத்தின் கூடுதல் விளைவு உள்ளது. இந்த விளைவு பொதுவாக ஊடகத்தின் தரமான மாற்றமாகும், எனவே ஒரு கட்ட மாற்றத்தின் தோற்றம்ஃ தண்ணீருக்கு பனி, படிகத்திற்கு திரவம், விற்பனைக்கு வாங்குதல் (சொத்துக்கள்), செயலில் இருந்து செயலற்றது (உயிரியல்), நீலத்திலிருந்து சிவப்பு (வண்ண விளையாட்டுகள்), ஒழுங்கற்றது ஒழுங்கமைக்கப்பட்ட (சுய ஒழுங்கமைக்கும் விமர்சனம்). அத்தகைய முக்கியமான ஒரு சுவாரஸ்யமான அம்சம் சாண்ட்பைல் டைனமிக் (அல்லது இன்டெர்னல் டி. எல். ஏ) என்று அழைக்கப்படுகிறது. பனிக்கட்டி உருகுவது மிகவும் பாரம்பரியமான எடுத்துக்காட்டுஃ பனிக்கட்டியின் ஒரு தொகுதியைக் கொடுத்தால், அதன் வெப்பநிலையை தீர்மானிக்க பொருத்தமான ஆரம்ப மற்றும் எல்லை நிலைமைகள் கொடுக்கப்பட்ட வெப்ப சமன்பாட்டை ஒருவர் தீர்க்க முடியும். ஆனால், எந்தவொரு பிராந்தியத்திலும் வெப்பநிலை பனியின் உருகும் புள்ளியை விட அதிகமாக இருந்தால், இந்த களம் அதற்கு பதிலாக திரவ நீரால் ஆக்கிரமிக்கப்படும். பனி/திரவ இடைமுகத்திலிருந்து உருவாகும் எல்லை PDE இன் கரைசலால் மாறும் வகையில் கட்டுப்படுத்தப்படுகிறது. இரண்டு கட்ட ஸ்டீபன் சிக்கல்கள் பனி உருகுவது என்பது வெப்பநிலை புலத்திற்கு ஒரு ஸ்டீபன் சிக்கலாகும், இது பின்வருமாறு வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது. இரண்டு கட்டங்களைக் கொண்ட ஒரு பிராந்தியத்தை ஆக்கிரமித்துள்ள ஒரு ஊடகத்தைக் கவனியுங்கள், கட்டம் 1 இது எப்போது உள்ளது மற்றும் கட்டம் 2 இது எப்போது உள்ளது. இரண்டு கட்டங்களும் வெப்ப வேறுபாடுகளைக் கொண்டிருக்கட்டும். எடுத்துக்காட்டாக, நீரின் வெப்பப் பரவல் வினாடிக்கு 1.4 × 10−7 மீ2 ஆகும், அதே நேரத்தில் பனியின் பரவல் வினாடிக்கு 1.335 × 10−6 மீ2 ஆகும். ஒரு கட்டத்தை மட்டுமே கொண்ட பகுதிகளில், வெப்பநிலை வெப்ப சமன்பாட்டால் தீர்மானிக்கப்படுகிறதுஃ பிராந்தியத்தில், அதே நேரத்தில் பிராந்தியத்தில், இது (அறியப்பட்ட) எல்லையில் பொருத்தமான நிலைமைகளுக்கு உட்பட்டது; வெப்பத்தின் ஆதாரங்கள் அல்லது மூழ்குவதைக் குறிக்கிறது. அந்த நேரத்தில் மேற்பரப்பாக இருக்கட்டும்; இந்த மேற்பரப்பு இரண்டு கட்டங்களுக்கு இடையிலான இடைமுகமாகும். அலகு வெளிப்புற இயல்பான திசையனை இரண்டாவது (திட) கட்டத்திற்கு குறிக்கலாம். ஸ்டீபன் நிபந்தனை திசையில் இலவச மேற்பரப்பின் வேகத்தை நிர்வகிக்கும் ஒரு சமன்பாட்டைக் கொடுப்பதன் மூலம் மேற்பரப்பின் பரிணாமத்தை தீர்மானிக்கிறது, குறிப்பாக உருகுவதற்கான மறைந்த வெப்பம் எங்கே. பிராந்தியத்திலிருந்து அணுகும்போது சாய்வின் வரம்பைக் குறிக்கிறோம், மேலும் பிராந்தியத்திலிருந்து அணுகும்போது சாய்வின் வரம்பைக் குறிக்கிறோம். இந்த சிக்கலில், முழு பிராந்தியத்தையும் நாம் முன்பே அறிவோம், ஆனால் அந்த நேரத்தில் பனி-திரவ இடைமுகத்தை மட்டுமே அறிவோம். ஸ்டீபன் சிக்கலைத் தீர்க்க நாம் ஒவ்வொரு பிராந்தியத்திலும் வெப்ப சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது மட்டுமல்லாமல், இலவச எல்லையையும் கண்காணிக்க வேண்டும். ஒரு கட்ட ஸ்டீபன் சிக்கல் ஒன்று அல்லது பூஜ்ஜியமாக இருப்பதற்கு ஒத்திருக்கிறது; இது இரண்டு கட்ட சிக்கலின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு. அதிக சிக்கலான திசையில் நாம் தன்னிச்சையான எண்ணிக்கையிலான கட்டங்களைக் கொண்ட சிக்கல்களையும் கருத்தில் கொள்ளலாம். தடைச் சிக்கல்கள் மற்றொரு பிரபலமான சுதந்திர-எல்லை சிக்கல் தடைச் சிக்கலாகும், இது கிளாசிக்கல் பாய்சான் சமன்பாட்டுடன் நெருங்கிய தொடர்புகளைக் கொண்டுள்ளது. வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் தீர்வுகள் ஒரு மாறுபட்ட கொள்கையை பூர்த்தி செய்கின்றன, அதாவது அவை எல்லையில் உள்ள மதிப்பை எடுக்கும் அனைத்து செயல்பாடுகளுக்கும் செயல்பாட்டைக் குறைக்கின்றன. தடை சிக்கலில், நாம் ஒரு கூடுதல் தடையை விதிக்கிறோம்ஃ கொடுக்கப்பட்ட சில செயல்பாடுகளுக்கு, செயல்பாட்டு விஷயத்தை நிபந்தனைக்கு குறைக்கிறோம். தற்செயல் தொகுப்பு சி ஐ எந்த பிராந்தியமாக வரையறுக்கவும். மேலும், தற்செயல் அல்லாத தொகுப்பை சமமாக இல்லாத பகுதி என்றும், சுதந்திர எல்லையை இரண்டிற்கும் இடையிலான இடைமுகமாகவும் வரையறுக்கவும். பின்னர் எல்லையில் உள்ள இலவச எல்லை சிக்கலை திருப்திப்படுத்துகிறது, மேலும் அனைத்து செயல்பாடுகளின் தொகுப்பும் குவிந்ததாக இருப்பதை நினைவில் கொள்க. பாய்சான் சிக்கல் ஒரு நேரியல் துணைப்பகுதி செயல்பாடுகளின் மீது ஒரு இருபடி செயல்பாட்டைக் குறைப்பதற்கு ஒத்திருக்கும் போது, இலவச எல்லை சிக்கல் ஒரு குவிந்த தொகுப்பின் மீது குறைப்பதற்கு ஒத்திருக்கிறது. மாறுபட்ட சமத்துவமின்மைகளுடன் தொடர்பு பல சுதந்திர எல்லைப் பிரச்சினைகள் பகுப்பாய்வின் பொருட்டு மாறுபட்ட சமத்துவமின்மைகளாக லாபகரமாக பார்க்கப்படலாம். இந்த புள்ளியை விளக்க, நாம் முதலில் ஒரு குவிந்த தொகுப்பின் மீது உண்மையான மாறிகளின் செயல்பாட்டைக் குறைப்பதற்குத் திரும்புகிறோம்; மினிமைசர் நிபந்தனையால் வகைப்படுத்தப்படுகிறது. ஹில்பர்ட் இடத்தின் குவிந்த துணைக்குழுவில் ஒரு வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாட்டைக் குறைப்பதற்கும் இதே யோசனை பொருந்தும், அங்கு சாய்வு இப்போது ஒரு மாறுபட்ட வழித்தோன்றலாக விளக்கப்படுகிறது. இந்த யோசனையை உறுதிப்படுத்த, தடையாக உள்ள சிக்கலுக்கு இதைப் பயன்படுத்துகிறோம், இதை இவ்வாறு எழுதலாம் இந்த சூத்திரம் ஒரு பலவீனமான தீர்வின் வரையறையை அனுமதிக்கிறதுஃ கடைசி சமன்பாட்டில் பகுதிகளால் ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்துவது இந்த வரையறைக்கு நீள்வட்ட எல்லை மதிப்பு சிக்கல்களின் பலவீனமான சூத்திரத்தைப் போலவே ஒரு வழித்தோன்றல் மட்டுமே தேவைப்படுகிறது. நீள்வட்ட பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் கோட்பாட்டில், சில செயல்பாட்டு பகுப்பாய்வு வாதங்களைப் பயன்படுத்தி நியாயமான எளிதாக ஒரு வேறுபாடு சமன்பாட்டின் பலவீனமான தீர்வு இருப்பதை ஒருவர் நிரூபிக்கிறார். இருப்பினும், வெளிப்படுத்தப்படும் பலவீனமான தீர்வு ஒருவர் விரும்புவதை விட குறைவான வழித்தோன்றல்களைக் கொண்ட செயல்பாடுகளின் இடத்தில் உள்ளது; எடுத்துக்காட்டாக, பாய்சான் சிக்கலுக்கு, ஒரு பலவீனமான தீர்வு உள்ளது என்று நாம் எளிதாக வலியுறுத்தலாம், ஆனால் அது இரண்டாவது வழித்தோன்றல்களைக் கொண்டிருக்காது. பலவீனமான தீர்வு உண்மையில் போதுமான அளவு வழக்கமானதாக இருப்பதை நிரூபிக்க சில கால்குலஸ் மதிப்பீடுகளைப் பயன்படுத்துகிறது. இலவச எல்லை சிக்கல்களுக்கு, இந்த பணி இரண்டு காரணங்களுக்காக மிகவும் வலிமையானது. ஒன்று, தீர்வுகள் பெரும்பாலும் இலவச எல்லைக்கு அப்பால் தொடர்ச்சியற்ற வழித்தோன்றல்களை வெளிப்படுத்துகின்றன, அதே நேரத்தில் அவை அதிலிருந்து விலகி எந்த சுற்றுப்புறத்திலும் பகுப்பாய்வு செய்யப்படலாம். இரண்டாவதாக, சுதந்திர எல்லையின் ஒழுங்குமுறையையும் ஒருவர் நிரூபிக்க வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, ஸ்டீபன் சிக்கலைப் பொறுத்தவரை, இலவச எல்லை என்பது ஒரு மேற்பரப்பு. தொடர்புடைய சிக்கல்கள் முற்றிலும் கல்விக் கண்ணோட்டத்தில் இலவச எல்லைகள் பொதுவாக மிகைப்படுத்தப்பட்ட சிக்கல்கள் என்று குறிப்பிடப்படும் ஒரு பெரிய வகை சிக்கல்களைச் சேர்ந்தவை, அல்லது டேவிட் கிண்டர்லெஹ்ரர் மற்றும் கைடோ ஸ்டாம்பாச்சியா ஆகியோர் தங்கள் புத்தகத்தில் உரையாற்றியபடிஃ காச்சி தரவுகளுடன் பொருந்துவதற்கான சிக்கல். குறிப்பிடக்கூடிய பிற தொடர்புடைய எஃப். பி. பி பாம்பீயூ சிக்கல், ஷிஃபரின் அனுமானங்கள். கீழே உள்ள வெளிப்புற இணைப்புகளைப் பார்க்கவும். இதே போன்ற சிக்கல்களை மாதிரியாக்க பயன்படுத்தப்படும் மற்றொரு அணுகுமுறை பேஸ்-ஃபீல்ட் மாதிரியாகும். குறிப்புகள் PDE இல் பொருந்தும் சிக்கல், பாம்பேயு சிக்கல், ஷிஃப்பரின் அனுமானம், பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகள் எல்லை மதிப்பு சிக்கல்கள்