Coxeter notation
வடிவவியலில், காக்செட்டர் குறியீடு (காக்செட்டர் சின்னம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) என்பது சமச்சீர் குழுக்களை வகைப்படுத்தும் ஒரு அமைப்பாகும், இது காக்செட்டர்-டைன்கின் வரைபடத்தின் கட்டமைப்பை வெளிப்படுத்தும் அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள குறியீட்டில் ஒரு காக்செட்டர் குழுவின் அடிப்படை பிரதிபலிப்புகளுக்கு இடையிலான கோணங்களை விவரிக்கிறது, சில துணைக்குழுக்களைக் குறிக்க மாற்றிகளுடன். இந்த குறியீடு எச். எஸ். எம். காக்செட்டரின் பெயரால் அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் இது நார்மன் ஜான்சனால் இன்னும் விரிவாக வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. காக்செட்டர் குழுக்களுக்கு, தூய பிரதிபலிப்புகளால் வரையறுக்கப்படுகிறது, அடைப்புக்குறிப்பு குறியீட்டிற்கும் காக்செட்டர்-டைன்கின் வரைபடத்திற்கும் இடையே நேரடி தொடர்பு உள்ளது. அடைப்புக்குறி குறியீட்டில் உள்ள எண்கள் காக்செட்டர் வரைபடத்தின் கிளைகளில் கண்ணாடி பிரதிபலிப்பு வரிசைகளைக் குறிக்கின்றன. இது அதே எளிமைப்படுத்தலைப் பயன்படுத்துகிறது, ஆர்த்தோகனல் கண்ணாடிகளுக்கு இடையில் 2s ஐ அடக்குகிறது. காக்செட்டர் குறியீடு நேரியல் வரைபடத்திற்கான வரிசையில் உள்ள கிளைகளின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்க அடுக்குகளுடன் எளிமைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது. எனவே ஒரு குழு [3n−1] ஆல் குறிக்கப்படுகிறது, இது n−1 வரிசை-3 கிளைகளால் இணைக்கப்பட்ட n முனைகளைக் குறிக்கிறது. எடுத்துக்காட்டு A2 = [3,3] = [32] அல்லது [31,1] வரைபடங்களைக் குறிக்கிறது அல்லது. காக்செட்டர் ஆரம்பத்தில் எண்களின் செங்குத்து நிலைப்பாட்டுடன் பிளவுபடுத்தும் வரைபடங்களைக் குறித்தார், ஆனால் பின்னர் [., 3p, q] அல்லது [3p, q, r] போன்ற ஒரு அடுக்கு குறியீட்டுடன் சுருக்கமாக, [31,1,1] அல்லது [3,31,1] = அல்லது D4 ஆகத் தொடங்குகிறது. A3 = [3,3,3,3] = [34,0,0] = [34,0] = [33,1] = [32,2], போன்ற பூஜ்ஜியங்களை ஒரு குடும்பத்திற்கு பொருத்தமான சிறப்பு நிகழ்வுகளாக காக்செட்டர் அனுமதித்தார். சுழற்சி வரைபடங்களால் உருவாக்கப்பட்ட காக்செட்டர் குழுக்கள் அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள அடைப்புக்குறிகளால் குறிப்பிடப்படுகின்றன, முக்கோணக் குழுவிற்கு (p q r) [(p, q, r)] = போன்றவை. கிளை வரிசைகள் சமமாக இருந்தால், அவை காக்செட்டர் வரைபடத்தைக் குறிக்கும் [(3,3,3,3)] = [3 [4] போன்ற அடைப்புக்குறிக்குள் சுழற்சியின் நீளமாக ஒரு அடுக்காக வகைப்படுத்தப்படலாம். இதை [3, (3,3,3)] அல்லது [3,3 [3]] என்று குறிப்பிடலாம். மிகவும் சிக்கலான சுழல் வரைபடங்களையும் கவனமாக வெளிப்படுத்தலாம். பாராகாம்பாக்ட் காக்செட்டர் குழுவை காக்செட்டர் குறியீடு [(3,3, (3), 3,3)] மூலம் பிரதிநிதித்துவப்படுத்தலாம், இரண்டு அருகிலுள்ள [(3,3,3)] சுழல்களைக் காட்டும் நெஸ்டட்/ஒன்றுடன் ஒன்று அடைப்புக்குறிகளுடன், மேலும் காக்செட்டர் வரைபடத்தின் ரோம்பிக் சமச்சீர்மையைக் குறிக்கும் வகையில் மிகவும் சுருக்கமாக [3 [] × []] என குறிப்பிடப்படுகிறது. பாராகாம்பாக்ட் முழுமையான வரைபட வரைபடம் அல்லது, அதன் வழக்கமான டெட்ராஹெட்ரான் காக்சிட்டர் வரைபடத்தின் சமச்சீராக சூப்பர்ஸ்கிரிப்ட் [3,3] உடன் [3,3] என குறிப்பிடப்படுகிறது. அஃபைன் மற்றும் ஹைபர்போலிக் குழுக்களுக்கு, சந்தா ஒவ்வொரு சந்தர்ப்பத்திலும் முனைகளின் எண்ணிக்கையை விட ஒன்று குறைவாக உள்ளது, ஏனெனில் இந்த குழுக்கள் ஒவ்வொன்றும் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட குழுவின் வரைபடத்தில் ஒரு முனையைச் சேர்ப்பதன் மூலம் பெறப்பட்டன. இணைக்கப்படாத குழுக்கள் காக்செட்டர் வரைபடம் வழக்கமாக வரிசை-2 கிளைகளை அவிழ்த்து விடுகிறது, ஆனால் அடைப்புக்குறி குறியீட்டில் துணை வரைபடங்களை இணைக்க ஒரு வெளிப்படையான 2 அடங்கும். எனவே காக்செட்டர் வரைபடம் = A2 × A2 = 2A2 ஐ [3] × [3] = [3] 2 = [3,2,3] ஆல் குறிப்பிடலாம். சில நேரங்களில் வெளிப்படையான 2-கிளைகள் 2 லேபிளுடன் அல்லது இடைவெளியுடன் ஒரு வரியுடன் சேர்க்கப்படலாம்ஃ அல்லது, [3,2,3] போன்ற ஒத்த விளக்கக்காட்சியாக. தரவரிசை மற்றும் பரிமாணம் காக்செட்டர் புள்ளி குழு தரவரிசை முனைகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமம், இது பரிமாணத்திற்கும் சமம். ஒரு ஒற்றை கண்ணாடி 1 பரிமாணத்தில் உள்ளது, [], அதே நேரத்தில் 2 பரிமாணங்களில் [1], அல்லது [] × [] +. 1 என்பது ஒரு இடம் வைத்திருப்பவர், உண்மையான கிளை வரிசை அல்ல, ஆனால் ஒரு ஆர்த்தோகனல் செயலற்ற கண்ணாடியின் குறிப்பான். குறியீடு [n, 1], ஒரு தரவரிசை 3 குழுவைக் குறிக்கிறது, [n] × [] + அல்லது. இதேபோல், [1,1] என்பது [] × [] + × [] + அல்லது வரிசை 2 மற்றும் [1,1] + என்பது [] + × [] + × [] + அல்லது, வரிசை 1! துணைக்குழுக்கள் காக்செட்டரின் குறியீடு அடைப்புக்குறிக்கு வெளியே ஒரு + மேல்நிலை இயக்கியைச் சேர்ப்பதன் மூலம் சுழற்சி/மொழிபெயர்ப்பு சமச்சீர்மையைக் குறிக்கிறது, [X] + இது குழுவின் [X] வரிசையை பாதியாகக் குறைக்கிறது, இதனால் ஒரு குறியீட்டு 2 துணைக்குழு. இந்த இயக்குபவர் சம எண்ணிக்கையிலான இயக்கிகளைப் பயன்படுத்த வேண்டும், பிரதிபலிப்புகளை சுழற்சிகளுடன் (அல்லது மொழிபெயர்ப்புகளுடன்) மாற்ற வேண்டும். ஒரு காக்செட்டர் குழுவிற்கு பயன்படுத்தப்படும்போது, இது ஒரு நேரடி துணைக்குழு என்று அழைக்கப்படுகிறது, ஏனெனில் எஞ்சியிருப்பது பிரதிபலிப்பு சமச்சீர் இல்லாத நேரடி ஐசோமீட்டரிகள் மட்டுமே. + இயக்கிகள் [X, Y +] அல்லது [X, (Y, Z) +] போன்ற அடைப்புக்குறிக்குள் பயன்படுத்தப்படலாம், மேலும் பிரதிபலிப்பு மற்றும் பிரதிபலிப்பு அல்லாத ஜெனரேட்டர்கள் இரண்டையும் உள்ளடக்கிய "அரை மறைமுக" துணைக்குழுக்களை உருவாக்குகிறது. அரை மறைமுக துணைக்குழுக்கள் காக்செட்டர் குழு துணைக்குழுக்களுக்கு மட்டுமே பொருந்தும், அவை அருகிலுள்ள வரிசை கிளைகளைக் கொண்டுள்ளன. ஒரு காக்செட்டர் குழுவிற்குள் உள்ள அடைப்புக்குறிகளின் கூறுகள் ஒரு + சூப்பர்ஸ்கிரிப்ட் ஆபரேட்டரைக் கொடுக்கலாம், இது அருகிலுள்ள வரிசைப்படுத்தப்பட்ட கிளைகளை அரை வரிசையாகப் பிரிப்பதன் விளைவைக் கொண்டுள்ளது, எனவே பொதுவாக இரட்டை எண்களுடன் மட்டுமே பயன்படுத்தப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, [4,3 +] மற்றும் [4, (3,3) +] (). அருகிலுள்ள ஒற்றைப்படை கிளையுடன் பயன்படுத்தப்பட்டால், அது குறியீடு 2 இன் துணைக்குழுவை உருவாக்காது, மாறாக [5,1 +] = [5/2] போன்ற ஒன்றுடன் ஒன்று அடிப்படை களங்களை உருவாக்குகிறது, இது ஒரு பென்டகிராம் போன்ற இரட்டிப்பாக மூடப்பட்ட பலகோணங்களை வரையறுக்க முடியும், {5/2}, மற்றும் [5,3 +] ஸ்வார்ஸ் முக்கோணம் [5/2,3], அடர்த்தி 2 உடன் தொடர்புடையது. அண்டை + உறுப்புகள் இல்லாத குழுக்களை வளைய முனைகளில் காணலாம் காக்செட்டர்-டைன்கின் வரைபடம் சீரான பாலிடோப்புகளுக்கானது மற்றும் தேன்கூடு + உறுப்புகளைச் சுற்றியுள்ள துளை முனைகளுடன் தொடர்புடையது, மாற்று முனைகள் அகற்றப்பட்ட வெற்று வட்டங்கள். எனவே ஸ்னப் கியூப், சமச்சீர் [4,3] + () ஐக் கொண்டுள்ளது, மேலும் ஸ்னப் டெட்ராஹெட்ரான், சமச்சீர் [4,3 +] () ஐக் கொண்டுள்ளது, மேலும் ஒரு டெமிக்யூப், h {4,3} = {3,3} (அல்லது =) சமச்சீர் [1 +, 4,3] = [3,3] (அல்லது = =) ஐக் கொண்டுள்ளது. குறிப்புஃ பிரிட்டோஹெட்ரல் சமச்சீர்மையை, தெளிவுக்கான இடைவெளிகளுடன் வரைபடத்தைப் பிரித்து, காக்செட்டர் குழுவிலிருந்து ஜெனரேட்டர்கள் {0,1,2} மூலம் பிரிட்டோஹெட்ரல் ஜெனரேட்டர்கள் {0,12}, ஒரு பிரதிபலிப்பு மற்றும் 3 மடங்கு சுழற்சியை உருவாக்குகிறது என்று எழுதலாம். மேலும் சிரல் நாற்கர சமச்சீர்மையை அல்லது, [1 +, 4,3 +] = [3,3] +, ஜெனரேட்டர்கள் {12,0120} உடன் எழுதலாம். பாதி துணைக்குழுக்கள் மற்றும் நீட்டிக்கப்பட்ட குழுக்கள் ஜான்சன் + ஆபரேட்டரை ஒரு பிளேஸ்ஹோல்டர் 1 + முனைகளுடன் வேலை செய்ய நீட்டிக்கிறார், இது கண்ணாடிகளை நீக்குகிறது, அடிப்படை களத்தின் அளவை இரட்டிப்பாக்குகிறது மற்றும் குழு வரிசையை பாதியாக வெட்டுகிறது. பொதுவாக இந்த செயல்பாடு சம-வரிசை கிளைகளால் சூழப்பட்ட தனிப்பட்ட கண்ணாடிகளுக்கு மட்டுமே பொருந்தும். 1 ஒரு கண்ணாடியைக் குறிக்கிறது, எனவே [2p] ஐ [2p, 1], [1,2p], அல்லது [1,2p, 1], வரைபடத்தைப் போலவோ அல்லது ஒரு வரிசை-2p டைஹெட்ரல் கோணத்தால் தொடர்புடைய 2 கண்ணாடிகளுடன் பார்க்க முடியும். கண்ணாடியை அகற்றுவதன் விளைவு இணைக்கும் முனைகளை நகலெடுப்பது ஆகும், அவை காக்செட்டர் வரைபடங்களில் காணப்படுகின்றனஃ =, அல்லது அடைப்புக்குறிப்பு குறியீட்டில்ஃ [1 +, 2p, 1] = [1, p, 1] = [p]. இந்த கண்ணாடிகள் ஒவ்வொன்றையும் அகற்றலாம், எனவே h [2p] = [1 +, 2p, 1] = [1,2p, 1 +] = [p], ஒரு பிரதிபலிப்பு துணைக்குழு குறியீடு 2. முனைக்கு மேலே ஒரு + சின்னத்தைச் சேர்ப்பதன் மூலம் இதை ஒரு காக்செட்டர் வரைபடத்தில் காட்டலாம்ஃ = =. இரண்டு கண்ணாடிகளும் அகற்றப்பட்டால், ஒரு கால் துணைக்குழு உருவாக்கப்படுகிறது, கிளை வரிசை பாதி வரிசையின் ஒரு கைரேஷன் புள்ளியாக மாறுகிறதுஃ q [2p] = [1 +, 2p, 1 +] = [p] +, குறியீடு 4 இன் சுழற்சி துணைக்குழு. = = = = =. எடுத்துக்காட்டாக, (p = 2 உடன்): [4,1 +] = [1 +, 4] = [2] = [] × [], வரிசை 4. [1 +, 4,1 +] = [2] +, வரிசை 2. பாதிக்கு நேர்மாறாக இரட்டிப்பாகும், இது ஒரு கண்ணாடியைச் சேர்க்கிறது, ஒரு அடிப்படை களத்தை இரண்டாகப் பிரிக்கிறது மற்றும் குழு வரிசையை இரட்டிப்பாக்குகிறது. = [2p] அரைக்கும் செயல்பாடுகள் உயர் தரவரிசைக் குழுக்களுக்குப் பொருந்தும், அதாவது நாற்கர சமச்சீர் என்பது எண்முகக் குழுவின் அரைக் குழுவாகும்ஃ h [4,3] = [1 +, 4,3] = [3,3], 4-கிளையில் உள்ள பாதி கண்ணாடிகளை அகற்றும். கண்ணாடியை அகற்றுவதன் விளைவு அனைத்து இணைக்கும் முனைகளையும் நகலெடுப்பது ஆகும், அவை காக்செட்டர் வரைபடங்களில் காணப்படுகின்றனஃ =, h [2p, 3] = [1 +, 2p, 3] = [(p, 3,3)]. முனைகள் குறியிடப்பட்டால், அரை துணைக்குழுக்களை புதிய கண்ணாடிகளுடன் கலவைகளாக பெயரிடலாம். எடுத்துக்காட்டாக, ஜெனரேட்டர்கள் {0,1} துணைக்குழு =, ஜெனரேட்டர்கள் {1,010} ஐக் கொண்டுள்ளன, அங்கு கண்ணாடி 0 அகற்றப்பட்டு, கண்ணாடி 0 முழுவதும் பிரதிபலிக்கும் கண்ணாடி 1 இன் நகலால் மாற்றப்படுகிறது. மேலும் கொடுக்கப்பட்டால், ஜெனரேட்டர்கள் {0,1,2}, இது அரை குழு =, ஜெனரேட்டர்கள் {1,2,010} ஐக் கொண்டுள்ளது. ஒரு கண்ணாடியைச் சேர்ப்பதன் மூலம் இரட்டிப்பாக்குவது பாதி செயல்பாட்டை மாற்றியமைப்பதற்கும் பொருந்தும்ஃ = [4,3], அல்லது பொதுவாக = [2p, q]. ரேடிக்கல் துணைக்குழுக்கள் ஜான்சன் "ரேடிக்கல்" துணைக்குழுக்களுக்கு ஒரு நட்சத்திரம் அல்லது ஸ்டார் * ஆபரேட்டரைச் சேர்த்தார், இது + ஆபரேட்டரைப் போலவே செயல்படுகிறது, ஆனால் சுழற்சி சமச்சீர்மையை நீக்குகிறது. ரேடிக்கல் துணைக்குழுவின் குறியீடு என்பது அகற்றப்பட்ட தனிமத்தின் வரிசையாகும். உதாரணமாக, [4,3 *] [2,2]. நீக்கப்பட்ட [3] துணைக்குழு வரிசை 6 ஆகும், எனவே [2,2] என்பது [4,3] இன் குறியீட்டு 6 துணைக்குழுவாகும். தீவிர துணைக்குழுக்கள் ஒரு நீட்டிக்கப்பட்ட சமச்சீர் செயல்பாட்டிற்கு தலைகீழ் செயல்பாட்டைக் குறிக்கின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, [4,3 *] [2,2], மற்றும் தலைகீழாக [2,2] [3 [2,2]] [4,3] என நீட்டிக்கப்படலாம். துணைக்குழுக்களை ஒரு காக்செட்டர் வரைபடமாக வெளிப்படுத்தலாம்ஃ அல்லது. அகற்றப்பட்ட முனை (கண்ணாடி) அருகிலுள்ள கண்ணாடி மெய்நிகர் கண்ணாடிகளை உண்மையான கண்ணாடிகளாக மாற்றுகிறது. [4,3] இல் ஜெனரேட்டர்கள் {0,1,2}, [4,3 +], குறியீட்டு 2 இல் ஜெனரேட்டர்கள் {0,12} இருந்தால்; [1 +, 4,3] [3,3], குறியீட்டு 2 இல் ஜெனரேட்டர்கள் {010,1,2} உள்ளன; அதே நேரத்தில் தீவிர துணைக்குழு [4,3 *] [2,2], குறியீட்டு 6 இல் ஜெனரேட்டர்கள் {01210,2, (012) 3} உள்ளன; இறுதியாக [1 +, 4,3 *], குறியீட்டு 12 இல் ஜெனரேட்டர்கள் {0 (12) 20, (012) 201} உள்ளன. முக்கோண துணைக்குழுக்கள் ஒரு முக்கோண துணைக்குழு ஒரு குறியீட்டு 3 துணைக்குழு ஆகும். ஜான்சன் ஒரு முக்கோண துணைக்குழுவை ஆபரேட்டர், குறியீடு 3 உடன் வரையறுக்கிறார். தரவரிசை 2 காக்செட்டர் குழுக்களுக்கு, [3], ட்ரையோனிக் துணைக்குழு, [3] என்பது [], ஒற்றை கண்ணாடி. மேலும் [3p] க்கு, முக்கோண துணைக்குழு [3p] [p] ஆகும். கொடுக்கப்பட்ட, ஜெனரேட்டர்கள் {0,1} உடன், 3 டிரையோனிக் துணைக்குழுக்களைக் கொண்டுள்ளது. அகற்றப்பட வேண்டிய கண்ணாடி ஜெனரேட்டருக்கு அடுத்ததாக உள்ள சின்னத்தை வைப்பதன் மூலமோ அல்லது இரண்டிற்கும் ஒரு கிளையில் வைப்பதன் மூலமோ அவற்றை வேறுபடுத்தலாம்ஃ [3p, 1] = =, =, மற்றும் [3p] = = ஜெனரேட்டர்களுடன் {0,10101}, {01010,1}, அல்லது {101,010}. நாற்கர சமச்சீரின் முக்கோண துணைக்குழுக்கள்ஃ [3,3] [2 +, 4], வழக்கமான நாற்கர மற்றும் நாற்கர டிஸ்பீனாய்டின் சமச்சீர் தொடர்பானது. தரவரிசை 3 காக்செட்டர் குழுக்களுக்கு, [p, 3], ஒரு முக்கோண துணைக்குழு [p, 3] [p/2, p], அல்லது = உள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, வரையறுக்கப்பட்ட குழு [4,3], மற்றும் யூக்ளிடியன் குழு [6,3], மற்றும் ஹைபர்போலிக் குழு [8,3] [4,8]. ஒற்றைப்படை-வரிசை அருகிலுள்ள கிளை, p, குழு வரிசையை குறைக்காது, ஆனால் ஒன்றுடன் ஒன்று அடிப்படை களங்களை உருவாக்கும். அடர்த்தி அதிகரிக்கும் போது குழு வரிசை அப்படியே இருக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, வழக்கமான பாலிஹெட்ரா ஐகோசாஹெட்ரானின் ஐகோசாஹெட்ரல் சமச்சீர், [5,3], [5/2,5] ஆகிறது, இது 2 வழக்கமான நட்சத்திர பாலிஹெட்ராவின் சமச்சீர். இது ஹைபர்போலிக் சாய்வுகள் {p, 3}, மற்றும் நட்சத்திர ஹைபர்போலிக் சாய்வுகள் {p/2, p} தரவரிசை 4 க்கு, [q, 2p, 3] = [2p, ((p, q, q))], =. எடுத்துக்காட்டாக, [3,4,3] = [4,3,3], அல்லது =, [3,4,3] இல் உள்ள ஜெனரேட்டர்கள் [0,1,2,3} ட்ரையோனிக் துணைக்குழுவுடன் [4,3,3] ஜெனரேட்டர்கள் {0,1,2,32123}. ஹைபர்போலிக் குழுக்களுக்கு, [3,6,3] = [6,3 [3], மற்றும் [4,4,3] = [4,4,4]. நாற்கர சமச்சீரின் முக்கோண துணைக்குழுக்கள்] ஜான்சன் [3,3] இன் இரண்டு குறிப்பிட்ட முக்கோண துணைக்குழுக்களை அடையாளம் கண்டார், முதலில் ஒரு குறியீட்டு 3 துணைக்குழு [3,3] [2 +, 4], [3,3] (= =) ஜெனரேட்டர்கள் {0,1,2} உடன். அதன் ஜெனரேட்டர்கள் {02,1} இன் நினைவூட்டலாக இதை [(3,3,2)] () என்றும் எழுதலாம். இந்த சமச்சீர் குறைப்பு என்பது வழக்கமான நாற்கரத்திற்கும் நாற்கர டிஸ்பீனாய்டுக்கும் இடையிலான உறவாகும், இது இரண்டு எதிர் விளிம்புகளுக்கு செங்குத்தாக ஒரு நாற்கரத்தின் நீட்சியைக் குறிக்கிறது. இரண்டாவதாக, அவர் ஒரு தொடர்புடைய குறியீடு 6 துணைக்குழு [3,3] Δ அல்லது [(3,3,2]] + (), குறியீடு 3 ஐ [3,3] + [2,2] + இலிருந்து, ஜெனரேட்டர்கள் {02,1021} உடன், [3,3] மற்றும் அதன் ஜெனரேட்டர்கள் {0,1,2} இலிருந்து அடையாளம் காட்டுகிறார். இந்த துணைக்குழுக்கள் பெரிய காக்செட்டர் குழுக்களிலும் பொருந்தும், [3,3] துணைக்குழுக்களுடன் அண்டை கிளைகள் அனைத்தும் சம வரிசையில் உள்ளன.] எடுத்துக்காட்டாக, [(3,3) +, 4], [(3,3)], 4], மற்றும் [(3,3), 4] ஆகியவை முறையே [3,3,4], குறியீடு 2,3 மற்றும் 6 இன் துணைக்குழுக்களாகும். [(3,3)], 4], [8,2 +, 8], வரிசை 128 இன் ஜெனரேட்டர்கள், [3,3,4] ஜெனரேட்டர்கள் {0,1,2,3} இலிருந்து பெறப்பட்டவை. மேலும் [(3,3) α, 4] α, வரிசை 64, ஜெனரேட்டர்கள் {02,1021,3} ஐக் கொண்டுள்ளது. மேலும், [3], 4,3] [(3,3), 4]. மேலும் தொடர்புடைய [31,1,1] = [3,3,4,1 +] முக்கோண துணைக்குழுக்களைக் கொண்டுள்ளதுஃ [31,1,1] ′ = [(3,3) ′, 4,1 +], வரிசை 64, மற்றும் 1 = [31,1,1] ′ = [(3,3) ′, 4,1 +] ′ [[4,2 +, 4]] +, வரிசை 32. ஒரு மைய தலைகீழ், வரிசை 2, பரிமாணத்தால் செயல்பாட்டில் வேறுபட்டது. குழு [] n = [2n−1] என்பது n-பரிமாண இடைவெளியில் உள்ள n ஆர்த்தோகனல் கண்ணாடிகளை அல்லது உயர் பரிமாண இடைவெளியின் n-பிளாட் துணை இடத்தை குறிக்கிறது. குழுவின் கண்ணாடிகள் [2n−1] எண்ணப்படுகின்றன. ஒரு தலைகீழ் விஷயத்தில் கண்ணாடிகளின் வரிசை ஒரு பொருட்டல்ல. ஒரு மைய தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸ், மூலைவிட்டத்தில் எதிர்மறையுடன் கூடிய அடையாள மேட்ரிக்ஸ் ஆகும். அந்த அடிப்படையிலிருந்து, மைய தலைகீழ் அனைத்து ஆர்த்தோகனல் கண்ணாடிகளின் பெருக்கலாக ஒரு ஜெனரேட்டரைக் கொண்டுள்ளது. காக்செட்டர் குறியீட்டில் இந்த தலைகீழ் குழு ஒவ்வொரு 2 கிளைகளிலும் ஒரு மாற்று + ஐச் சேர்ப்பதன் மூலம் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. மாற்று சமச்சீர் காக்செட்டர் வரைபட முனைகளில் திறந்த முனைகளாக குறிக்கப்படுகிறது. பிரதிபலிப்பு ஜெனரேட்டர்களின் சங்கிலியைக் காண்பிப்பதற்காக கண்ணாடிகள், திறந்த முனைகள் மற்றும் பகிரப்பட்ட இரட்டை திறந்த முனைகளின் நேரியல் வரிசையை வரையறுக்கும் வெளிப்படையான 2 கிளைகளுடன் ஒரு காக்செட்டர்-டைன்கின் வரைபடத்தைக் குறிக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, [2 +, 2] மற்றும் [2,2 +] ஆகியவை [2,2] இன் குறியீடு 2 இன் துணைக்குழுக்களாகும், மேலும் அவை முறையே ஜெனரேட்டர்கள் {01,2} மற்றும் {0,12} உடன் (அல்லது) மற்றும் (அல்லது) என குறிப்பிடப்படுகின்றன. அவற்றின் பொதுவான துணைக்குழு குறியீடு 4 என்பது [2 +, 2 +] ஆகும், மேலும் இது (அல்லது) ஆல் குறிக்கப்படுகிறது, இரட்டை-திறந்த இரண்டு மாற்றங்களில் பகிரப்பட்ட முனையைக் குறிக்கிறது, மேலும் ஒற்றை சுழற்சி பிரதிபலிப்பு ஜெனரேட்டர் {012}. சுழற்சிகள் மற்றும் சுழற்சி பிரதிபலிப்புகள் சுழற்சிகள் மற்றும் சுழற்சி பிரதிபலிப்புகள் ஒரு பிரிஸ்மாடிக் குழுவின் அனைத்து பிரதிபலிப்புகளின் ஒற்றை ஒற்றை-ஜெனரேட்டர் பெருக்கத்தால் உருவாக்கப்படுகின்றன, [2p] × [2q] ×. இங்கு gcd (p, q,.) = 1, அவை n = 2pq வரிசையின் சுருக்க சுழற்சி குழு Zn க்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும். 4 பரிமாண இரட்டை சுழற்சிகள், [2p +, 2 +, 2q +] (gcd (p, q) = 1 உடன்), ஒரு மையக் குழுவை உள்ளடக்கியது, மேலும் கான்வேயால் ± [Cp × Cq], வரிசை 2pq என வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன. காக்செட்டர் வரைபடத்திலிருந்து, ஜெனரேட்டர்கள் {0,1,2,3}, [2p +, 2 +, 2q +] க்கு {0123,0132} என இரண்டு ஜெனரேட்டர்கள் தேவைப்படுகின்றன. கான்வே வெளிப்படுத்திய அரை குழுக்கள், [2p +, 2 +, 2q +] +, அல்லது சுழற்சி வரைபடம், [(2p +, 2 +, 2q +, 2 +)], [Cp × Cq], வரிசை pq, ஒரு ஜெனரேட்டருடன், {0123} போன்றது. ஒரு பொதுவான காரணி f இருந்தால், இரட்டை சுழற்சியை [2pf +, 2 +, 2qf +] (gcd (p, q) = 1 உடன்), ஜெனரேட்டர்கள் {0123,0132}, வரிசை 2pqf என எழுதலாம். எடுத்துக்காட்டாக, p = q = 1, f = 2, [4 +, 2 +, 4 +] என்பது வரிசை 4 ஆகும். மேலும் [2pf +, 2 +, 2qf +] +, ஜெனரேட்டர் {0123}, ஆர்டர் pqf ஆகும். எடுத்துக்காட்டாக, [4 +, 2 +, 4 +] + என்பது வரிசை 2, ஒரு மைய தலைகீழ். பொதுவாக ஒரு n-சுழற்சி குழுவில், [2p1 +, 2,2p2 +, 2,., pn +] அனைத்து கண்ணாடிகளின் பெருக்கலாக gcd (p1,., pn)> 1 என்றால் n ஜெனரேட்டர்கள் வரை தேவைப்படலாம், பின்னர் தொடர்ச்சியான ஜோடிகளை மாற்றலாம். அரை குழு, [2p1 +, 2,2p2 +, 2,., pn +] + ஜெனரேட்டர்கள் வர்க்கத்தைக் கொண்டுள்ளது. n-சுழல் பிரதிபலிப்புகள் ஒத்தவை. ஒற்றைப்படை-வரிசை கிளை கூறுகளைக் கொண்ட எளிய குழுக்கள் வரிசை 2 இன் ஒற்றை சுழற்சி/மொழிபெயர்ப்பு துணைக்குழுவை மட்டுமே கொண்டுள்ளன, இது கம்யூட்டேட்டர் துணைக்குழுவாகும், எடுத்துக்காட்டுகள் [3,3] +, [3,5] +, [3,3,3] +, [3,3,5] +. சம-வரிசை கிளைகளைக் கொண்ட மற்ற காக்செட்டர் குழுக்களுக்கு, கம்யூட்டேட்டர் துணைக்குழுவில் குறியீடு 2 சி உள்ளது, இதில் சி என்பது அனைத்து சம-வரிசை கிளைகளும் அகற்றப்படும்போது துண்டிக்கப்பட்ட துணை வரைபடங்களின் எண்ணிக்கை. எடுத்துக்காட்டாக, 4s அகற்றப்படும்போது காக்செட்டர் வரைபடத்தில் மூன்று சுயாதீன முனைகளைக் கொண்டுள்ளது, எனவே அதன் கம்யூட்டேட்டர் துணைக்குழு குறியீடு 23 ஆகும், மேலும் மூன்று + ஆபரேட்டர்களுடன் வெவ்வேறு பிரதிநிதித்துவங்களைக் கொண்டிருக்கலாம்ஃ [4 +, 4 +] +, [1 +, 4,1 +, 4,1 +], [1 +, 4,4,1 +] +, அல்லது [(4 +, 4 +, 2 +)]. [4,4] + 3 போன்ற குழு அடுக்குகளாக + c உடன் ஒரு பொதுவான குறியீட்டைப் பயன்படுத்தலாம். எடுத்துக்காட்டு துணைக்குழுக்கள் தரவரிசை 2 எடுத்துக்காட்டு துணைக்குழுக்கள் சம-வரிசைகளைக் கொண்ட டைஹெட்ரல் சமச்சீர் குழுக்கள் பல துணைக்குழுக்களைக் கொண்டுள்ளன. இந்த எடுத்துக்காட்டு சிவப்பு மற்றும் பச்சை நிறத்தில் [4] இரண்டு ஜெனரேட்டர் கண்ணாடிகளைக் காட்டுகிறது, மேலும் அனைத்து துணைக்குழுக்களையும் பாதி, தரவரிசை-குறைப்பு மற்றும் அவற்றின் நேரடி துணைக்குழுக்கள் மூலம் பார்க்கிறது. குழு [4], இரண்டு கண்ணாடி ஜெனரேட்டர்கள் 0 மற்றும் 1 ஐக் கொண்டுள்ளது. ஒவ்வொன்றும் மற்றொன்றின் குறுக்கே பிரதிபலிப்பதன் மூலம் 101 மற்றும் 010 என்ற இரண்டு மெய்நிகர் கண்ணாடிகளை உருவாக்குகின்றன. தரவரிசை 3 யூக்ளிடியன் எடுத்துக்காட்டு துணைக்குழுக்கள் [4,4] குழுவில் 15 சிறிய குறியீட்டு துணைக்குழுக்கள் உள்ளன. இந்த அட்டவணை அவை அனைத்தையும் காட்டுகிறது, தூய பிரதிபலிப்பு குழுக்களுக்கான மஞ்சள் அடிப்படை களத்துடன், சுழற்சி களங்களை உருவாக்க ஜோடியாக இருக்கும் வெள்ளை மற்றும் நீல களங்களை மாற்றுகிறது. சியான், சிவப்பு மற்றும் பச்சை கண்ணாடி கோடுகள் காக்செட்டர் வரைபடத்தில் உள்ள அதே வண்ண முனைகளுடன் ஒத்திருக்கின்றன. துணைக்குழு ஜெனரேட்டர்களை காக்செட்டர் வரைபடத்தின் 3 முனைகளுடன் தொடர்புடைய அடிப்படை களத்தின் அசல் 3 கண்ணாடிகளின் தயாரிப்புகளாக வெளிப்படுத்தலாம். இரண்டு குறுக்குவெட்டு பிரதிபலிப்பு கோடுகளின் பெருக்கல் {012}, {12}, அல்லது {02} போன்ற சுழற்சியை உருவாக்குகிறது. ஒரு கண்ணாடியை அகற்றுவது அருகிலுள்ள கண்ணாடிகளின் இரண்டு பிரதிகளை ஏற்படுத்துகிறது, அகற்றப்பட்ட கண்ணாடியின் குறுக்கே, {010}, மற்றும் {212} போன்றவை. தொடரில் இரண்டு சுழற்சிகள் சுழற்சி வரிசையை பாதியாக வெட்டுகின்றன, அதாவது {0101} அல்லது {(01) 2}, {1212} அல்லது {(02) 2}. மூன்று கண்ணாடிகளின் பெருக்கல் {012} அல்லது {120} போன்ற ஒரு பிரதிபலிப்பை உருவாக்குகிறது. ஹைபர்போலிக் எடுத்துக்காட்டு துணைக்குழுக்கள் ஹைபர்போலிக் தளத்தில் [6,4] போன்ற சம வரிசை கூறுகளைக் கொண்ட அனைத்து முக்கோணக் குழுக்களிலும் 15 சிறிய துணைக்குழுக்களின் ஒரே தொகுப்பு உள்ளதுஃ பரவளைய துணைக்குழுக்கள் ஒரு காக்செட்டர் குழுவின் ஒரு பரவளைய துணைக்குழுவை காக்செட்டர் வரைபடத்துடன் குறிப்பிடப்படும் ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட ஜெனரேட்டர் கண்ணாடிகளை அகற்றுவதன் மூலம் அடையாளம் காணலாம். எடுத்துக்காட்டாக, எண்முகக் குழுவில் பரவளைய துணைக்குழுக்கள் உள்ளன,,,,,. அடைப்புக்குறிப்பு குறியீட்டில் [4,3] பரவளைய துணைக்குழுக்கள் [4], [2], [3] மற்றும் ஒற்றை கண்ணாடி [] உள்ளன. துணைக்குழுவின் வரிசை அறியப்படுகிறது, மேலும் எப்போதும் ஒரு முழு எண் வகுத்தி குழு வரிசை அல்லது குறியீடு. பரவளைய துணைக்குழுக்களை x முனைகளுடன் எழுதலாம், அதாவது இரண்டாவது கண்ணாடியை அகற்றுவதன் மூலம் = [4,3] துணைக்குழுஃ அல்லது = = [4,1 ×, 3] = [2]. பெட்ரி துணைக்குழு ஒரு பகுக்கமுடியாத காக்சிட்டர் குழுவின் பெட்ரி துணைக்குழுவை அனைத்து ஜெனரேட்டர்களின் தயாரிப்புகளாலும் உருவாக்க முடியும். இது ஒரு வழக்கமான பாலிடோப்பின் வளைந்த வழக்கமான பெட்ரி பலகோணத்தில் காணப்படுகிறது. புதிய குழுவின் வரிசை அசல் காக்செட்டர் குழுவின் காக்செட்டர் எண் என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு காக்செட்டர் குழுவின் காக்செட்டர் எண் 2m/n ஆகும், இதில் n என்பது தரவரிசை மற்றும் m என்பது பிரதிபலிப்புகளின் எண்ணிக்கை. ஒரு பெட்ரி துணைக்குழுவை ஒரு மேல் எழுத்துடன் எழுதலாம். எடுத்துக்காட்டாக, [3,3] என்பது ஒரு சுழற்சி பிரதிபலிப்பால் உருவாக்கப்படும் ஒரு நாற்கரக் குழுவின், சுழற்சி குழு வரிசை 4 இன் பெட்ரி துணைக்குழுவாகும். ஒரு தரவரிசை 4 காக்செட்டர் குழுவில் இரட்டை சுழற்சி ஜெனரேட்டர் இருக்கும், [4,3,3] என்பது வரிசை 8 ஆகும். நீட்டிக்கப்பட்ட சமச்சீர் காக்செட்டரின் குறியீட்டில் இரட்டை சதுர அடைப்புக்குறி குறியீடு அடங்கும், இது காக்செட்டர் வரைபடத்திற்குள் தானியங்கி சமச்சீர்மையை வெளிப்படுத்துகிறது. ஜான்சன் கோண-பிராக்கெட் <[X]> மூலம் மாற்று இரட்டிப்பைச் சேர்த்தார். ஜான்சன் ஒரு முன்னொட்டு சமச்சீர் மாற்றியை [Y [X]] சேர்த்தார், இதில் Y என்பது [X] இன் காக்செட்டர் வரைபடத்தின் சமச்சீர் அல்லது [X] இன் அடிப்படை களத்தின் சமச்சீர் ஆகியவற்றைக் குறிக்க முடியும். எடுத்துக்காட்டாக, 3D இல் இந்த சமமான செவ்வகம் மற்றும் ரோம்பிக் வடிவியல் வரைபடங்கள்ஃ மற்றும், முதல் சதுர அடைப்புகளுடன் இரட்டிப்பாகிறது, அல்லது இரண்டு முறை [2 [3 [4]] ஆக இரட்டிப்பாகிறது, [2] உடன், வரிசை 4 உயர் சமச்சீர். இரண்டாவதை வேறுபடுத்த, கோண அடைப்புக்குறிகள் இரட்டிப்பாக பயன்படுத்தப்படுகின்றன, <[3 [4]]> மற்றும் இரண்டு முறை இரட்டிப்பாகும் <2 [3 [4]]>, மேலும் வேறுபட்ட [2], வரிசை 4 சமச்சீருடன். இறுதியாக, அனைத்து 4 முனைகளும் சமமாக இருக்கும் ஒரு முழு சமச்சீர்மையை [4 [3 [4]], வரிசை 8, [4] சதுரத்தின் சமச்சீர்மையுடன் குறிப்பிடலாம். ஆனால் டெட்ராகோனல் டிஸ்பீனாய்டு அடிப்படை களத்தைக் கருத்தில் கொள்வதன் மூலம் சதுர வரைபடத்தின் [4] நீட்டிக்கப்பட்ட சமச்சீர்மையை இன்னும் வெளிப்படையாக [(2 +, 4) [3 [4]] அல்லது [2 +, 4 [3 [4]] என்று குறிக்க முடியும். மேலும் சமச்சீர் சுழற்சி மற்றும் கிளைகள் மற்றும் வரைபடங்களில் உள்ளது. ஒரு வழக்கமான n-கோனின் வரிசை 2n சமச்சீர்மையைக் கொண்டுள்ளது, {n}, மற்றும் [n [3 [n]] ஆல் குறிக்கப்படுகிறது. மேலும் அவை முறையே [3 [31,1,1] = [3,4,3] மற்றும் [3 [32,2,2]] ஆல் குறிக்கப்படுகின்றன, அதே நேரத்தில் [(3,3) [31,1,1,1] = [3,3,4,3], வழக்கமான டெட்ராஹெட்ரானின் வரிசை 24 சமச்சீர் கொண்ட வரைபடத்துடன், {3,3}. பாராகாம்பாக்ட் ஹைபர்போலிக் குழு = [31,1,1,1,1], ஒரு 5-செல், {3,3,3} இன் சமச்சீர்மையைக் கொண்டுள்ளது, எனவே இது [(3,3,3) [31,1,1,1,1] = [3,4,3,3,3] ஆல் குறிக்கப்படுகிறது. ஒரு நட்சத்திரம் * மேல் எழுத்து திறம்பட ஒரு தலைகீழ் செயல்பாடாகும், இது ஒற்றைப்படை-வரிசைப்படுத்தப்பட்ட கண்ணாடிகளின் இணைப்பை அகற்றும் தீவிர துணைக்குழுக்களை உருவாக்குகிறது. எடுத்துக்காட்டுகள்ஃ ஜெனரேட்டர்களைப் பார்க்கும்போது, இரட்டை சமச்சீர் ஒரு புதிய ஆபரேட்டரைச் சேர்ப்பதாகக் கருதப்படுகிறது, இது காக்செட்டர் வரைபடத்தில் சமச்சீர் நிலைகளை வரைபடமாக்குகிறது, இதனால் சில அசல் ஜெனரேட்டர்கள் தேவையற்றவை. 3டி விண்வெளி குழுக்கள் மற்றும் 4டி புள்ளி குழுக்களுக்கு, காக்செட்டர் ஒரு குறியீட்டு இரண்டு துணைக்குழுக்களை வரையறுக்கிறார், இது இரட்டை ஜெனரேட்டரால் [X] அசல் ஜெனரேட்டர்களின் பெருக்கல் என்று அவர் வரையறுக்கிறார். இது + ஐ ஒத்திருக்கிறது, இது சிரல் துணைக்குழுவாகும். எனவே எடுத்துக்காட்டாக, 3டி இடக் குழுக்கள் + (I432,211) மற்றும் (Pmn, 223) ஆகியவை (இம், 229) இன் தனித்துவமான துணைக்குழுக்களாகும். ஒரு பரிமாணத்தில், இருதரப்பு குழு [] ஒரு ஒற்றை கண்ணாடி சமச்சீர், சுருக்க டிஹ் 1 அல்லது இசட் 2, சமச்சீர் வரிசை 2 ஐக் குறிக்கிறது. இது ஒரு ஒற்றை முனை கொண்ட காக்செட்டர்-டைன்கின் வரைபடமாக குறிப்பிடப்படுகிறது. அடையாளக் குழு என்பது நேரடி துணைக்குழு [] +, Z1, சமச்சீர் வரிசை 1 ஆகும். + சூப்பர்ஸ்கிரிப்ட் என்பது மாற்று கண்ணாடி பிரதிபலிப்புகள் புறக்கணிக்கப்படுவதைக் குறிக்கிறது, இது இந்த எளிய வழக்கில் அடையாளக் குழுவை விட்டுச்செல்கிறது. காக்செட்டர் ஒரு ஒற்றை திறந்த முனையைப் பயன்படுத்தி ஒரு மாற்றீட்டைக் குறிக்கிறார். இரண்டு குழுக்களை வரிசைப்படுத்துங்கள் இரண்டு பரிமாணங்களில், செவ்வகக் குழு [2], சுருக்க D22 அல்லது D4, ஒரு நேரடி பெருக்கல் [] × [] ஆகவும் குறிப்பிடப்படலாம், இரண்டு இருதரப்பு குழுக்களின் பெருக்கல் என்பதால், இரண்டு ஆர்த்தோகனல் கண்ணாடிகளைக் குறிக்கிறது, காக்செட்டர் வரைபடத்துடன், வரிசை 4 உடன். 2 இன் [2] என்பது காக்செட்டர் வரைபடத்தில் உள்ள ஆர்த்தோகனல் துணை வரைபடங்களின் நேரியல்மயமாக்கலில் இருந்து வருகிறது, வெளிப்படையான கிளை வரிசை 2 ஐப் போலவே. ரோம்பிக் குழு, [2] + (அல்லது), செவ்வகக் குழுவின் பாதி, புள்ளி பிரதிபலிப்பு சமச்சீர், Z2, வரிசை 2. காக்செட்டர் குறியீடு குறைந்த தரவரிசை குழுக்களுக்கு 1 இடத்தை வைத்திருப்பவரை அனுமதிக்கிறது, எனவே [1] என்பது [] க்கு சமம், மேலும் [1 +] அல்லது [1] + என்பது [] + மற்றும் காக்செட்டர் வரைபடத்திற்கு சமம். முழு p-கோனல் குழு [p], சுருக்க டைஹெட்ரல் குழு D2p, (p> 2 க்கு நோன்பேலியன்), 2p வரிசையில், காக்செட்டர் வரைபடத்தால் குறிக்கப்படும் கோணம் π/p இல் இரண்டு கண்ணாடிகளால் உருவாக்கப்படுகிறது. p-மண்டல துணைக்குழு [p] +, சுழற்சி குழு Zp, p வரிசையின், π/p சுழற்சி கோணத்தால் உருவாக்கப்படுகிறது. காக்செட்டர் குறியீடு அடிப்படை களத்தில் ஒரு இருதரப்பு கண்ணாடியைச் சேர்ப்பதன் மூலம் சமச்சீரின் தானியங்கி இரட்டிப்பைக் குறிக்க இரட்டை-பிரேக்கிங்கைப் பயன்படுத்துகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, [[p]] [p] க்கு இருபுறக் கண்ணாடியைச் சேர்க்கிறது, மேலும் இது [2p] க்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும். வரம்பில், ஒரு பரிமாணத்திற்குச் செல்லும்போது, கோணம் பூஜ்ஜியத்திற்குச் செல்லும்போது முழு அபிரோகனல் குழு பெறப்படுகிறது, எனவே [φ], சுருக்கமாக எல்லையற்ற டைஹெட்ரல் குழு D φ, இரண்டு இணையான கண்ணாடிகளைக் குறிக்கிறது மற்றும் ஒரு காக்செட்டர் வரைபடத்தைக் கொண்டுள்ளது. அபீரோகனல் குழு [≤] +, சுருக்கமாக எல்லையற்ற சுழற்சி குழு Z ≤, முழு எண்களின் சேர்க்கைக் குழுவிற்கு ஐசோமார்பிக், பூஜ்ஜியமற்ற ஒற்றை மொழிபெயர்ப்பால் உருவாக்கப்படுகிறது. ஹைபர்போலிக் தளத்தில், ஒரு முழு சூடோகோனல் குழு [iπ/λ], மற்றும் சூடோகோனல் துணைக்குழு [iπ/λ] +, உள்ளது. இந்த குழுக்கள் வழக்கமான எல்லையற்ற பக்க பலகோணங்களில் உள்ளன, அவற்றின் விளிம்பு நீளம் λ ஆகும். கண்ணாடிகள் அனைத்தும் ஒரே கோட்டில் ஆர்த்தோகனல் ஆகும். தரவரிசை மூன்று குழுக்கள் 3 பரிமாணங்களில் உள்ள புள்ளி குழுக்களை தரவரிசை 3 காக்செட்டர் குழுக்களுடன் தொடர்புடைய அடைப்புக்குறிப்பு குறியீட்டில் வெளிப்படுத்தலாம்ஃ மூன்று பரிமாணங்களில், முழு ஆர்த்தோராம்பிக் குழு அல்லது ஆர்த்தோரெக்டுலர் [2,2], சுருக்கமாக Z23, வரிசை 8, மூன்று ஆர்த்தோகனல் கண்ணாடிகளைக் குறிக்கிறது, (காக்செட்டர் வரைபடத்தால் மூன்று தனித்தனி புள்ளிகளாகவும் குறிப்பிடப்படுகிறது). இதை ஒரு நேரடி பெருக்கல் [] × [] × [] ஆகவும் குறிப்பிடலாம், ஆனால் [2,2] வெளிப்பாடு துணைக்குழுக்களை வரையறுக்க அனுமதிக்கிறதுஃ முதலில் ஒரு "அரை மறைமுக" துணைக்குழு உள்ளது, ஆர்த்தோராம்பிக் குழு, [2,2 +] (அல்லது), சுருக்கமாக Z2 × Z2, வரிசை 4 இன். அடைப்புக்குறிக்குள் + சூப்பர்ஸ்கிரிப்ட் கொடுக்கப்படும்போது, அருகிலுள்ள கண்ணாடிகளிலிருந்து மட்டுமே உருவாக்கப்படும் பிரதிபலிப்புகள் (காக்செட்டர் வரைபடத்தால் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளபடி) மாறி மாறி வருகின்றன. பொதுவாக, + முனைக்கு அருகிலுள்ள கிளை ஆர்டர்கள் சமமாக இருக்க வேண்டும். இந்த வழக்கில் [2,2 +] மற்றும் [2 +, 2] வடிவியல் ரீதியாக வேறுபட்ட இரண்டு ஐசோமார்பிக் துணைக்குழுக்களைக் குறிக்கின்றன. மற்ற துணைக்குழுக்கள் பாராஹோம்பிக் குழு [2,2] + (அல்லது), மேலும் வரிசை 4, இறுதியாக வரிசை 2 இன் மையக் குழு [2 +, 2 +] (அல்லது) ஆகும். அடுத்து முழு ஆர்த்தோ-பி-கோனல் குழு உள்ளது, [2, p] (), சுருக்கமாக Z2 × D2p, வரிசை 4p, ஒரு டைஹெட்ரல் கோணத்தில் இரண்டு கண்ணாடிகளைக் குறிக்கிறது π/p, மற்றும் இரண்டும் மூன்றாவது கண்ணாடியின் ஆர்த்தோகனல் ஆகும். இது காக்செட்டர் வரைபடத்தால் குறிப்பிடப்படுகிறது. நேரடி துணைக்குழு பாரா-பி-கோனல் குழு என்று அழைக்கப்படுகிறது, [2, பி] + (அல்லது), சுருக்கமாக டி 2 பி, 2 பி வரிசையில், மற்றொரு துணைக்குழு [2, பி +] () சுருக்கமாக Z2 × Zp, மேலும் 2 பி வரிசையில் உள்ளது. முழு கைரோ-பி-கோனல் குழு, [2 +, 2p] (அல்லது), சுருக்கமாக D4p, 4p வரிசையில். கைரோ-பி-கோனல் குழு, [2 +, 2p +] (அல்லது), சுருக்கமாக Z2p, வரிசை 2p இன் [2 +, 2p] மற்றும் [2,2p +] ஆகிய இரண்டின் துணைக்குழுவாகும். பாலிஹெட்ரல் குழுக்கள் பிளாட்டோனிக் திடப்பொருட்களின் சமச்சீர்மையை அடிப்படையாகக் கொண்டவைஃ டெட்ராஹெட்ரான், எண்மெட்ரான், கியூப், ஐகோசாஹெட்ரான் மற்றும் டோடெகாஹெட்ரான், ஷ்லாஃப்லி சின்னங்களுடன் முறையே {3,3}, {3,4}, {4,3}, {3,5}, மற்றும் {5,3}. இவற்றுக்கான காக்செட்டர் குழுக்கள் பின்வருமாறுஃ [3,3] (), [3,4] (), [3,5] () முழு நாற்கர சமச்சீர், எண்முக சமச்சீர் மற்றும் 24,48 மற்றும் 120 வரிசைகளுடன் கூடிய ஐகோசாஹெட்ரல் சமச்சீர் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. இந்த அனைத்து சமச்சீர்மைகளிலும், 12,24 மற்றும் 60 வரிசைகளின் சுழற்சி நாற்கர [3,3] + (), எண்மர [3,4] + () மற்றும் ஐகோசாஹெட்ரல் [3,5] + () குழுக்களை உருவாக்கும் மாற்று பிரதிபலிப்புகளை அகற்றலாம். எண்முகக் குழு சுழற்சி மற்றும் பிரதிபலிப்பு சமச்சீர் கலவையுடன், வரிசை 12 இன் பிரிட்டோஹெட்ரல் சமச்சீர் குழு, [3 +, 4] (அல்லது) என்று அழைக்கப்படும் ஒரு தனித்துவமான குறியீட்டு 2 துணைக்குழுவையும் கொண்டுள்ளது. பிரிட்டோஹெட்ரல் சமச்சீர் என்பது ஐகோசாஹெட்ரல் சமச்சீரின் குறியீட்டு 5 துணைக்குழுவாகும்ஃ-->, 0, {010}, மற்றும் 3 மடங்கு சுழற்சி {12} முழுவதும் மெய்நிகர் கண்ணாடி 1 உடன். நாற்கரக் குழு, [3,3] (), ஒரு இரட்டை (வண்ண முனைகளால் குறிப்பிடப்படலாம்), முதல் மற்றும் கடைசி கண்ணாடிகளை ஒருவருக்கொருவர் வரைபடமாக்குகிறது, மேலும் இது [3,4] (அல்லது) குழுவை உருவாக்குகிறது. துணைக்குழு [3,4,1 +] (அல்லது) என்பது [3,3] மற்றும் [3 +, 4,1 +] (அல்லது) என்பது [3,3] + ஆகும். யூக்ளிடியன் தளத்தில் 3 கண்ணாடிகளால் உருவாக்கப்படும் 3 அடிப்படை பிரதிபலிப்பு குழுக்கள் உள்ளன, அவை காக்செட்டர் வரைபடங்களால் குறிப்பிடப்படுகின்றன, மேலும் அவை காக்செட்டர் குறியீட்டை [4,4], [6,3], மற்றும் [(3,3,3)] என வழங்கப்படுகின்றன. கடைசி குழுவின் அடைப்புக்குறிகள் வரைபட சுழற்சியைக் குறிக்கின்றன, மேலும் ஒரு சுருக்கெழுத்து குறியீட்டைக் கொண்டுள்ளன [3]. [4,4] குழுவின் இரட்டிப்பாகும் போது, அசல் கண்ணாடிகளின் தொகுப்பிலிருந்து π/4 சுழற்றப்பட்ட அதே சமச்சீர் உருவாக்கப்பட்டது. சுழற்சி சமச்சீரின் நேரடி துணைக்குழுக்கள்ஃ [4,4] +, [6,3] +, மற்றும் [(3,3,3)] +. [4 +, 4] மற்றும் [6,3 +] ஆகியவை அரை மறைமுக துணைக்குழுக்கள் ஆகும். காக்செட்டர் குறியீட்டில் (சுற்றுப்பாதை குறியீடு) கொடுக்கப்பட்டுள்ளது, சில குறைந்த குறியீட்டு இணைப்பு துணைக்குழுக்கள் பின்வருமாறுஃ தரவரிசை நான்கு குழுக்கள் புள்ளி குழுக்கள் தரவரிசை நான்கு குழுக்கள் 4 பரிமாண புள்ளி குழுக்களை வரையறுக்கின்றனஃ துணைக்குழுக்கள் விண்வெளி குழுக்கள் வரிசை குழுக்கள் தரவரிசை நான்கு குழுக்கள் 3 பரிமாண கோடு குழுக்களையும் வரையறுக்கின்றனஃ டூயோபிரிஸ்மாடிக் குழு தரவரிசை நான்கு குழுக்கள் 4 பரிமாண டூயோபிரிஸ்மாடிக் குழுக்களை வரையறுக்கின்றன. p மற்றும் q முடிவிலிக்குச் செல்லும்போது வரம்பில், அவை 2 பரிமாணங்கள் மற்றும் வால்பேப்பர் குழுக்களாக சீரழிகின்றன. வால்பேப்பர் குழுக்கள் தரவரிசை நான்கு குழுக்கள் சில இரு பரிமாண வால்பேப்பர் குழுக்களையும் வரையறுக்கின்றன, அவை நான்கு பரிமாண டூயோபிரிஸம் குழுக்களின் வழக்குகளைக் கட்டுப்படுத்துகின்றனஃ [φ, 2, φ], (* 2222) இன் துணைக்குழுக்களை அதன் குறியீடு 16 கம்யூட்டேட்டர் துணைக்குழுவிற்கு வெளிப்படுத்தலாம்ஃ சிக்கலான பிரதிபலிப்புகள் காக்செட்டர் குறியீடு சிக்கலான இடத்திற்கு நீட்டிக்கப்பட்டுள்ளது, சிஎன் அங்கு முனைகள் 2 அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட காலத்தின் ஒற்றையாட்சி பிரதிபலிப்புகளாகும். முனைகள் ஒரு குறியீட்டால் பெயரிடப்படுகின்றன, அவை அடக்கப்பட்டால் சாதாரண உண்மையான பிரதிபலிப்புக்கு 2 என்று கருதப்படுகிறது. சிக்கலான பிரதிபலிப்பு குழுக்கள் காக்செட்டர் குழுக்களை விட ஷெப்பர்ட் குழுக்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, மேலும் அவை சிக்கலான பாலிடோப்புகளை உருவாக்க பயன்படுத்தப்படலாம். ஒரு தரவரிசை 1 ஷெப்பர்ட் குழுவில், வரிசை p, p [], [] p அல்லது] p [என குறிப்பிடப்படுகிறது. இது ஒரு ஒற்றை ஜெனரேட்டரைக் கொண்டுள்ளது, இது சிக்கலான தளத்தில் 2π/p ரேடியன் சுழற்சியைக் குறிக்கிறதுஃ காக்செட்டர் தரவரிசை 2 சிக்கலான குழுவை எழுதுகிறார், p [q] r என்பது காக்செட்டர் வரைபடத்தைக் குறிக்கிறது. p மற்றும் r இரண்டும் 2 ஆக இருந்தால் மட்டுமே அடக்கப்பட வேண்டும், இது உண்மையான வழக்கு [q]. தரவரிசை 2 குழு p [q] r இன் வரிசை. சிக்கலான பலகோணங்களை உருவாக்கும் தரவரிசை 2 தீர்வுகள் பின்வருமாறுஃ p [4] 2 (p என்பது 2,3,4,.), 3 [3] 3 [6] 2,3 [4] 3,4 [3] 4,3 [8] 2,3 [5] 3,5 [3] 5,3 [10] 2,5 [6] 2, மற்றும் 5 [4] 3 காக்செட்டர் வரைபடங்களுடன்,,,,,,,,,,,,,. எல்லையற்ற குழுக்கள் 3 [12] 2,4 [8] 2,6 [6] 2,3 [6] 3,6 [4] 3,4 [4] 4, மற்றும் 6 [3] 6 அல்லது,,,,,,. குறியீடு 2 துணைக்குழுக்கள் ஒரு உண்மையான பிரதிபலிப்பை அகற்றுவதன் மூலம் உள்ளனஃ p [2q] 2 → p [q] p. மேலும் குறியீடு r துணைக்குழுக்கள் 4 கிளைகளுக்கு உள்ளனஃ p [4] r → p [r] p. எல்லையற்ற குடும்பத்திற்கு p [4] 2, எந்த p = 2,3,4, க்கு, இரண்டு துணைக்குழுக்கள் உள்ளனஃ p [4] 2 → [p], குறியீடு p, அதே நேரத்தில் மற்றும் p [4] 2 → p [] × p [], குறியீடு 2. சமச்சீர் ஜெனரேட்டர்களாக பிரதிபலிப்பு மேட்ரிக்ஸுடன் கணக்கீடு ஒரு காக்செட்டர் குழு, காக்செட்டர் வரைபடத்தால் குறிக்கப்படுகிறது, கிளை வரிசைகளுக்கு காக்செட்டர் குறியீடு [p, q] வழங்கப்படுகிறது. காக்செட்டர் வரைபடத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு முனையும் ஒரு கண்ணாடியைக் குறிக்கிறது, வழக்கமாக ρi (மற்றும் மேட்ரிக்ஸ் Ri) என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த குழுவின் ஜெனரேட்டர்கள் [p, q] பிரதிபலிப்புகள்ஃ ρ0, ρ1, மற்றும் ρ2. சுழற்சி துணை சமச்சீர் பிரதிபலிப்புகளின் பெருக்கங்களாக வழங்கப்படுகிறதுஃ வழக்கமாக, σ0,1 (மற்றும் மேட்ரிக்ஸ் S0,1) = ρ0ρ1 என்பது கோணம் π/p இன் சுழற்சியைக் குறிக்கிறது, மேலும் σ1,2 = ρ1ρ2 என்பது கோணம் π/q இன் சுழற்சியாகும், மேலும் σ0,2 = ρ0ρ2 என்பது கோணத்தின் சுழற்சியைக் குறிக்கிறது. [p, q] +, என்பது இரண்டு சுழற்சி ஜெனரேட்டர்களால் குறிக்கப்படும் ஒரு குறியீட்டு 2 துணைக்குழுவாகும், ஒவ்வொன்றும் இரண்டு பிரதிபலிப்புகளின் பெருக்கங்கள்ஃ σ0,1, σ1,2, மற்றும் முறையே π/p மற்றும் π/q கோணங்களின் சுழற்சிகளைக் குறிக்கிறது. ஒரு ஈவன் கிளையுடன், [p +, 2q], அல்லது, குறியீடு 2 இன் மற்றொரு துணைக்குழு ஆகும், இது சுழற்சி ஜெனரேட்டர் σ0,1 மற்றும் பிரதிபலிப்பு ρ2 ஆல் குறிக்கப்படுகிறது. சமமான கிளைகளுடன், [2p +, 2q +], என்பது இரண்டு ஜெனரேட்டர்களைக் கொண்ட குறியீடு 4 இன் துணைக்குழுவாகும், இது மூன்று பிரதிபலிப்பு மேட்ரிக்ஸ்களின் பெருக்கலாக கட்டமைக்கப்பட்டுள்ளதுஃ வழக்கமாகஃ ± 0,1,2 மற்றும் ± 1,2,0, இவை சுழற்சி பிரதிபலிப்புகள், பிரதிபலிப்பு மற்றும் சுழற்சி அல்லது பிரதிபலிப்பைக் குறிக்கின்றன. அஃபைன் காக்செட்டர் குழுக்களைப் பொறுத்தவரை, அல்லது, ஒரு கண்ணாடி, பொதுவாக கடைசி, தோற்றத்திலிருந்து மொழிபெயர்க்கப்பட்டுள்ளது. ஒரு மொழிபெயர்ப்பு ஜெனரேட்டர் τ0,1 (மற்றும் மேட்ரிக்ஸ் T0,1) அஃபைன் பிரதிபலிப்பு உட்பட இரண்டு (அல்லது சம எண்ணிக்கையிலான) பிரதிபலிப்புகளின் பெருக்கலாக கட்டமைக்கப்பட்டுள்ளது. ஒரு பிரதிபலிப்பு (பிரதிபலிப்பு மற்றும் ஒரு மொழிபெயர்ப்பு) என்பது குறியீடு 4 துணைக்குழுவைப் போல ஒற்றைப்படை எண்ணிக்கையிலான பிரதிபலிப்புகளின் பெருக்கலாக இருக்கலாம்ஃ [4 +, 4 +] =. மற்றொரு கலப்பு ஜெனரேட்டர், வழக்கமாக ζ (மற்றும் மேட்ரிக்ஸ் Z), தலைகீழ் குறிக்கிறது, அதன் தலைகீழ் ஒரு புள்ளியை வரைபடமாக்குகிறது. [4,3] மற்றும் [5,3] க்கு, ζ = (ρ0ρ1ρ2) h/2, இங்கு h என்பது முறையே 6 மற்றும் 10 ஆகும், ஒவ்வொரு குடும்பத்திற்கும் காக்செட்டர் எண். 3டி காக்செட்டர் குழுவிற்கு [p, q] (), இந்த துணைக்குழு ஒரு சுழற்சி பிரதிபலிப்பு [2 +, h +] ஆகும். காக்செட்டர் குழுக்கள் அவற்றின் தரவரிசையால் வகைப்படுத்தப்படுகின்றன, இது அதன் காக்செட்டர்-டைன்கின் வரைபடத்தில் உள்ள முனைகளின் எண்ணிக்கையாகும். குழுக்களின் கட்டமைப்பும் அவற்றின் சுருக்க குழு வகைகளுடன் கொடுக்கப்பட்டுள்ளதுஃ இந்த கட்டுரையில், சுருக்க டைஹெட்ரல் குழுக்கள் டிஹ்னாகவும், சுழற்சி குழுக்கள் Zn ஆல் குறிக்கப்படுகின்றன, டிஹ் 1 = Z2 உடன். எடுத்துக்காட்டாக, 2D இல், காக்செட்டர் குழு [p] () இரண்டு பிரதிபலிப்பு மேட்ரிக்ஸ்கள் R0 மற்றும் R1 ஆல் குறிக்கப்படுகிறது, சுழற்சி சமச்சீர் [p] + () மேட்ரிக்ஸ் S0,1 இன் சுழற்சி ஜெனரேட்டரால் குறிக்கப்படுகிறது. தரவரிசை 3 வரையறுக்கப்பட்ட தரவரிசை 3 காக்செட்டர் குழுக்கள் [1, p], [2, p], [3,3], [3,4], மற்றும் [3,5] ஆகும். ஒரு தளத்தின் வழியாக ஒரு புள்ளியைப் பிரதிபலிக்க (இது தோற்றத்தின் வழியாகச் செல்கிறது), ஒருவர் பயன்படுத்தலாம், அங்கு 3 × 3 அடையாள அணி மற்றும் தளத்தின் திசையன் இயல்புக்கான முப்பரிமாண அலகு திசையன் ஆகும். L2 விதிமுறை மற்றும் ஒற்றுமை என்றால், உருமாற்ற மேட்ரிக்ஸை பின்வருமாறு வெளிப்படுத்தலாம்ஃ [p, 2] குறைக்கப்படக்கூடிய 3 பரிமாண வரையறுக்கப்பட்ட பிரதிபலிப்புக் குழு டைஹெட்ரல் சமச்சீர், [p, 2], வரிசை 4p,. பிரதிபலிப்பு ஜெனரேட்டர்கள் மேட்ரிக்ஸ்கள் R0, R1, R2 ஆகும். R02 = R12 = R22 = (R0 × R1) 3 = (R1 × R2) 3 = (R0 × R2) 2 = அடையாளம். [p, 2] + () 3 சுழற்சிகளில் 2 ஆல் உருவாக்கப்படுகிறதுஃ S0,1, S1,2, மற்றும் S0,2. ஒரு வரிசை p சுழற்சி பிரதிபலிப்பு V 0,1,2 ஆல் உருவாக்கப்படுகிறது, இது அனைத்து 3 பிரதிபலிப்புகளின் பெருக்கமாகும். [3] எளிமையான பகுக்கமுடியாத முப்பரிமாண வரையறுக்கப்பட்ட பிரதிபலிப்புக் குழு நாற்கர சமச்சீர், [3,3], வரிசை 24, ஆகும். ஒரு D3 = A3 கட்டமைப்பிலிருந்து வரும் பிரதிபலிப்பு ஜெனரேட்டர்கள், மேட்ரிக்ஸ்கள் R0, R1, R2 ஆகும். R02 = R12 = R22 = (R0 × R1) 3 = (R1 × R2) 3 = (R0 × R2) 2 = அடையாளம். [3,3] + () என்பது S0,1, S1,2, மற்றும் S0,2 ஆகிய 3 சுழற்சிகளில் 2 ஆல் உருவாக்கப்படுகிறது. ஒரு முக்கோண துணைக்குழு, [2 +, 4], வரிசை 8 க்கு ஐசோமார்பிக், S0,2 மற்றும் R1 ஆல் உருவாக்கப்படுகிறது. ஒரு வரிசை 4 சுழற்சி பிரதிபலிப்பு V 0,1,2 ஆல் உருவாக்கப்படுகிறது, இது அனைத்து 3 பிரதிபலிப்புகளின் பெருக்கமாகும். [4,3] மற்றொரு பகுக்கமுடியாத முப்பரிமாண வரையறுக்கப்பட்ட பிரதிபலிப்புக் குழு எண்முக சமச்சீர், [4,3], வரிசை 48, ஆகும். பிரதிபலிப்பு ஜெனரேட்டர்கள் மேட்ரிக்ஸ்கள் R0, R1, R2 ஆகும். R02 = R12 = R22 = (R0 × R1) 4 = (R1 × R2) 3 = (R0 × R2) 2 = அடையாளம். சிரல் எண்முக சமச்சீர், [4,3] +, () 3 சுழற்சிகளில் 2 ஆல் உருவாக்கப்படுகிறதுஃ S0,1, S1,2, மற்றும் S0,2. பிரிட்டோஹெட்ரல் சமச்சீர் [4,3 +], () பிரதிபலிப்பு R0 மற்றும் சுழற்சி S1,2 மூலம் உருவாக்கப்படுகிறது. 6 மடங்கு சுழற்சி பிரதிபலிப்பு V 0,1,2 ஆல் உருவாக்கப்படுகிறது, இது அனைத்து 3 பிரதிபலிப்புகளின் பெருக்கமாகும். [5,3] ஒரு இறுதி பகுக்கமுடியாத 3 பரிமாண வரையறுக்கப்பட்ட பிரதிபலிப்புக் குழு ஐகோசாஹெட்ரல் சமச்சீர், [5,3], வரிசை 120, ஆகும். பிரதிபலிப்பு ஜெனரேட்டர்கள் மேட்ரிக்ஸ்கள் R0, R1, R2 ஆகும். R02 = R12 = R22 = (R0 × R1) 5 = (R1 × R2) 3 = (R0 × R2) 2 = அடையாளம். [5,3] + () 3 சுழற்சிகளில் 2 ஆல் உருவாக்கப்படுகிறதுஃ S0,1, S1,2, மற்றும் S0,2. 10 மடங்கு சுழற்சி பிரதிபலிப்பு V 0,1,2 ஆல் உருவாக்கப்படுகிறது, இது அனைத்து 3 பிரதிபலிப்புகளின் பெருக்கமாகும். தரவரிசை 4 4 பரிமாணங்களில் 4 பகுக்கமுடியாத காக்செட்டர் குழுக்கள் உள்ளனஃ [3,3,3], [4,3,3], [31,1,1], [3,4,4], [5,3,3], அத்துடன் டூயோபிரிஸ்மாடிக் குழுக்களின் எல்லையற்ற குடும்பம் [p, 2, q]. [p, 2, q] இரட்டைக் குழு, [p, 2, q], 4pq வரிசையைக் கொண்டுள்ளது. [[p, 2, p]] டூயோபிரிஸ்மாடிக் குழு இரண்டு தளங்களுக்கு இடையில் 2 மடங்கு சுழற்சியுடன், 8p2 க்கு வரிசையில் இரட்டிப்பாகும். [3,3,3] ஹைபர்டெட்ராஹெட்ரல் சமச்சீர், [3,3,3], வரிசை 120,5 பரிமாணங்களில் 4 கண்ணாடிகளுடன் பிரதிநிதித்துவப்படுத்த எளிதானது, [4,3,3,3] இன் துணைக்குழுவாக. [[3,3,3] நீட்டிக்கப்பட்ட குழு [[3,3,3]], வரிசை 240,2-மடங்கு சுழற்சி அணி T ஆல் இரட்டிப்பாகிறது, இங்கே ஒருங்கிணைப்பு வரிசை மற்றும் அடையாளத்தை மாற்றியமைக்கிறதுஃ 3 ஜெனரேட்டர்கள் உள்ளன {T, R0, R1}. T என்பது சுய-பரஸ்பர R3 = TR0T, மற்றும் R2 = TR1T என்பதால். ஒரு பகுக்கமுடியாத 4 பரிமாண வரையறுக்கப்பட்ட பிரதிபலிப்புக் குழு ஹைபராக்டாஹெட்ரல் குழு (அல்லது ஹெக்ஸாடெகாச்சோரிக் குழு (16-செல்லுக்கு), B4 = [4,3,3], வரிசை 384, ஆகும். பிரதிபலிப்பு ஜெனரேட்டர்கள் மேட்ரிக்ஸ்கள் R0, R1, R2, R3 ஆகும். R02 = R12 = R22 = R32 = (R0 × R1) 4 = (R1 × R2) 3 = (R2 × R3) 3 = (R0 × R2) 2 = (R1 × R3) 2 = (R0 × R3) 2 = அடையாளம். சிரல் ஹைபராக்டாஹெட்ரல் சமச்சீர், [4,3,3] +, () 6 சுழற்சிகளில் 3 ஆல் உருவாக்கப்படுகிறதுஃ S0,1, S1,2, S2,3, S0,2, S1,3, மற்றும் S0,3. ஹைப்பர்பைரிட்டோஹெட்ரல் சமச்சீர் [4, (3,3) +], () பிரதிபலிப்பு R0 மற்றும் சுழற்சிகள் S1,2 மற்றும் S2,3 ஆகியவற்றால் உருவாக்கப்படுகிறது. 8 மடங்கு இரட்டை சுழற்சி W 0,1,2,3 ஆல் உருவாக்கப்படுகிறது, இது அனைத்து 4 பிரதிபலிப்புகளின் பெருக்கமாகும். [4,3,3] இன் அரை குழு [3,31,1], வரிசை 192 ஆகும். இது [4,3,3] குழுவுடன் 3 ஜெனரேட்டர்களைப் பகிர்ந்து கொள்கிறது, ஆனால் அருகிலுள்ள ஜெனரேட்டரின் இரண்டு நகல்களைக் கொண்டுள்ளது, ஒன்று அகற்றப்பட்ட கண்ணாடியின் குறுக்கே பிரதிபலிக்கிறது. [3,4,3] ஒரு பகுக்கமுடியாத 4 பரிமாண வரையறுக்கப்பட்ட பிரதிபலிப்புக் குழு ஐகோசிடெட்ராகோரிக் குழு (24-செல்லுக்கு), F4 = [3,4,3], வரிசை 1152, ஆகும். பிரதிபலிப்பு ஜெனரேட்டர்கள் மேட்ரிக்ஸ்கள் R0, R1, R2, R3 ஆகும். R02 = R12 = R22 = R32 = (R0 × R1) 3 = (R1 × R2) 4 = (R2 × R3) 3 = (R0 × R2) 2 = (R1 × R3) 2 = (R0 × R3) 2 = அடையாளம். சிரல் ஐகோசிடெட்ராகோரிக் சமச்சீர், [3,4,3] +, () 6 சுழற்சிகளில் 3 ஆல் உருவாக்கப்படுகிறதுஃ S0,1, S1,2, S2,3, S0,2, S1,3, மற்றும் S0,3. அயனிக் குறைக்கப்பட்ட [3,4,3 +] குழு, () பிரதிபலிப்பு R0 மற்றும் சுழற்சிகள் S1,2 மற்றும் S2,3 ஆகியவற்றால் உருவாக்கப்படுகிறது. 12 மடங்கு இரட்டை சுழற்சி W 0,1,2,3 ஆல் உருவாக்கப்படுகிறது, இது அனைத்து 4 பிரதிபலிப்புகளின் பெருக்கமாகும். [[3,4,3] குழு [[3,4,3]] 2 மடங்கு சுழற்சி, டி, இரட்டிப்பு வரிசையில் 2304 வரை [3,4,3] நீட்டிக்கிறது. [5,3,3] ஹைப்பர்-ஐகோசாஹெட்ரல் சமச்சீர், [5,3,3], வரிசை 14400,. பிரதிபலிப்பு ஜெனரேட்டர்கள் மேட்ரிக்ஸ்கள் R0, R1, R2, R3 ஆகும். R02 = R12 = R22 = R32 = (R0 × R1) 5 = (R1 × R2) 3 = (R2 × R3) 3 = (R0 × R2) 2 = (R0 × R3) 2 = (R1 × R3) 2 = அடையாளம். [5,3,3] + () 3 சுழற்சிகளால் உருவாக்கப்படுகிறதுஃ S0,1 = R0 × R1, S1,2 = R1 × R2, S2,3 = R2 × R3, போன்றவை. தரவரிசை 8 [34,2,1] E8 காக்செட்டர் குழு, [34,2,1], 8 கண்ணாடி முனைகளைக் கொண்டுள்ளது, வரிசை 696729,600 (192x10!). E7 மற்றும் E6, [33,2,1], மற்றும் [32,2,1], முறையே முதல் கண்ணாடியை அல்லது முதல் இரண்டு கண்ணாடிகளை புறக்கணிப்பதன் மூலம் கட்டமைக்கப்படலாம். அஃபைன் தரவரிசை 2 அஃபைன் மேட்ரிக்ஸ்கள் கூடுதல் வரிசை மற்றும் நெடுவரிசையைச் சேர்ப்பதன் மூலம் குறிப்பிடப்படுகின்றன, கடைசி வரிசை கடைசி நுழைவு 1 ஐத் தவிர பூஜ்ஜியமாக உள்ளது. கடைசி நெடுவரிசை ஒரு மொழிபெயர்ப்பு திசையனைக் குறிக்கிறது. அஃபைன் குழுவை x = 0 மற்றும் x = 1 என்ற இரண்டு பிரதிபலிப்பு மேட்ரிக்ஸ்களால் கொடுக்கலாம். அஃபைன் தரவரிசை 3 [4,4] அஃபைன் குழு [4,4],, (p4m), மூன்று பிரதிபலிப்பு மேட்ரிக்ஸ்கள், x அச்சு முழுவதும் பிரதிபலிப்புகள் (y = 0), ஒரு மூலைவிட்டம் (x = y), மற்றும் கோடு முழுவதும் அஃபைன் பிரதிபலிப்பு (x = 1) மூலம் கொடுக்கப்படலாம். [4,4] + () (p4) என்பது S0,1 S1,2, மற்றும் S0,2 ஆகியவற்றால் உருவாக்கப்படுகிறது. [4 +, 4 +] () (pgg) 2 மடங்கு சுழற்சி S0,2 மற்றும் கிளைடு பிரதிபலிப்பு (பிரதிபலிப்பு) V 0,1,2 மூலம் உருவாக்கப்படுகிறது. [4 +, 4] () (p4g) S0,1 மற்றும் R3 ஆல் உருவாக்கப்படுகிறது. குழு [(4,4,2 +)] () (cmm), 2 மடங்கு சுழற்சி S1,3 மற்றும் பிரதிபலிப்பு R2 ஆல் உருவாக்கப்படுகிறது. [3,6] அஃபைன் குழு [3,6],, (p6m), மூன்று பிரதிபலிப்பு மேட்ரிக்ஸ்களால் கொடுக்கப்படலாம், x அச்சு (y = 0), கோடு y = (√3/2) x, மற்றும் செங்குத்து கோடு x = 1 முழுவதும் பிரதிபலிப்புகள். [3 [3] அஃபைன் குழுவை [3 [3] ஒரு அரை குழுவாக உருவாக்க முடியும். R2 என்பது R '2 = R2 × R1 × R2 ஆல் மாற்றப்படுகிறது, இது ஹைப்பர்பிளேனால் வழங்கப்படுகிறதுஃ y + (√3/2) x = 2. அடிப்படை களம் என்பது விளிம்பு நீளம் 2 கொண்ட ஒரு சமபக்க முக்கோணமாகும். அஃபைன் தரவரிசை 4 [4,3,4] அஃபைன் குழு [4,3,4] (), நான்கு பிரதிபலிப்பு மேட்ரிக்ஸ்களால் கொடுக்கப்படலாம். கண்ணாடி R0 ஐ z = 0 தளத்தில் வைக்கலாம். கண்ணாடி R1 ஐ y = z தளத்தில் வைக்கலாம். கண்ணாடி R2 ஐ x = y தளத்தில் வைக்கலாம். கண்ணாடி R3 ஐ x = 1 தளத்தில் வைக்கலாம். [4,3,4] + () என்பது S0,1, S1,2, மற்றும் S2,3 ஆகியவற்றால் உருவாக்கப்படுகிறது. [[4,3,4]] நீட்டிக்கப்பட்ட குழு [[4,3,4]] குழு வரிசையை இரட்டிப்பாக்குகிறது, 2 மடங்கு சுழற்சி அணி T உடன் சேர்க்கிறது, புள்ளிகள் (1,1/2,0) மற்றும் (1/2,1 2,1/2) மூலம் ஒரு நிலையான அச்சுடன். ஜெனரேட்டர்கள் {R0, R1, T} ஆகும். R2 = T × R1 × T மற்றும் R3 = T × R0 × T. [4,31,1] குழுவை [4,3,4 இலிருந்து], [4,3,4,1 +] ஐக் கணக்கிடுவதன் மூலம், R '3 = R3 × R2 × R3 ஆக, புதிய R' 3 உடன் R3 முழுவதும் R2 இன் படமாக உருவாக்க முடியும். முதல் மற்றும் கடைசி கண்ணாடிகளான [1 +, 4,3,4,1 +], R '1 = R0 × R1 × R0 மற்றும் R' 3 = R3 × R2 × R3 ஆகியவற்றை அகற்றுவதன் மூலம் குழுவை [3 [4] உருவாக்க முடியும். குறிப்புகள் குறிப்புகள் எச். எஸ். எம். காக்செட்டர்ஃ கெலிடோஸ்கோப்ஸ்ஃ எச். எஸ். எம் இன் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட எழுத்துக்கள். ஆர்தர் ஷெர்க், பீட்டர் மெக்முல்லன், அந்தோனி சி. தாம்சன், ஆசியா ஐவிக் வெயிஸ், வில்லி-இன்டர்சைன்ஸ் பப்ளிகேஷன், 1995, (காகிதம் 22) (காகிதம் 23) (காகிதம் 24) நார்மன் ஜான்சன் சீருடை பாலிடோப்ஸ், கையெழுத்துப் பிரதி (1991) என். டபிள்யூ. ஜான்சன்ஃ சீரான பாலிடோப்புகள் மற்றும் தேன்கூடுகளின் கோட்பாடு, பி. எச். டி. (1966) நார்மன் டபிள்யூ ஜான்சன் மற்றும் ஆசியா ஐவிக் வெயிஸ் குவாட்ரடிக் இன்டெஜர்ஸ் மற்றும் காக்செட்டர் குழுக்கள் PDF கேன். ஜே. கணிதம். தொகுதி. 51 (6), 1999 pp. 1307-1336 N. W. ஜான்சன்ஃ வடிவவியல்கள் மற்றும் உருமாற்றங்கள், (2018) PDF ஜான் எச். கான்வே மற்றும் டெரெக் ஏ. ஸ்மித், ஆன் குவாட்டர்னியன்ஸ் அண்ட் ஆக்டோனியன்ஸ், 2003, தி சிம்மெட்ரீஸ் ஆஃப் திங்ஸ் 2008, ஜான் எச். கான்வே, ஹெய்டி பர்கியல், சைம் குட்மேன்-ஸ்ட்ராஸ், Ch.22 35 பிரைம் ஸ்பேஸ் குழுக்கள், ch.25 184 கலப்பு விண்வெளி குழுக்கள், ch.26 ஹையர் ஸ்டில், 4D புள்ளி குழுக்கள் சிம்மெட்ரி குரூப் கோட்பாடு