Mathematics: The Loss of Certainty
கணிதம்-உறுதியின் இழப்பு என்பது பல நூற்றாண்டுகளாக கணித கலாச்சாரங்களுக்குள் வளர்ந்து வரும் முன்னோக்குகள் குறித்து மோரிஸ் க்ளைன் எழுதிய ஒரு புத்தகமாகும். கணிதத்தில் புதிய முடிவுகள் காலங்காலமாக கணிதவியலாளர்களுக்கு எவ்வாறு ஆச்சரியங்களை அளித்துள்ளன என்பதற்கான வரலாற்றை இந்த புத்தகம் ஆராய்கிறது. யூக்ளிடியன் அல்லாத வடிவவியலின் கண்டுபிடிப்பால் 19 ஆம் நூற்றாண்டின் கணிதவியலாளர்கள் எவ்வாறு ஆச்சரியப்பட்டனர் மற்றும் கோடலின் முழுமையற்ற தேற்றம் பல தர்க்கவாதிகளை எப்படி ஏமாற்றியது என்பது எடுத்துக்காட்டுகளில் அடங்கும். நியூட்டன் மற்றும் லீப்னிஸ் போன்ற சில மிக முக்கியமான கணிதவியலாளர்களின் கடவுளுடனான நெருங்கிய உறவை க்ளைன் மேலும் விவாதிக்கிறார். நியூட்டனின் மத நலன்கள்தான் அவரது கணித மற்றும் அறிவியல் பணியின் உண்மையான உந்துதல் என்று அவர் நம்புகிறார். டிசம்பர் 10,1692 அன்று ரெவரெண்ட் ரிச்சர்ட் பென்ட்லிக்கு எழுதிய கடிதத்தில் இருந்து நியூட்டனை அவர் மேற்கோள் காட்டுகிறார்ஃ நமது அமைப்பைப் பற்றி எனது கட்டுரையை நான் எழுதியபோது இயற்கை தத்துவத்தின் கணிதக் கோட்பாடுகள், ஒரு தெய்வத்தை நம்புவதற்காக மனிதர்களைக் கருத்தில் கொள்வதில் வேலை செய்யக்கூடிய அத்தகைய கொள்கைகளில் எனக்கு ஒரு கண் இருந்தது, மேலும் விஞ்ஞானிகள் மேற்கொள்ள வேண்டிய கடமையாக இருந்த ஒரு மத பணியாக லீப்னிஸ் அறிவியலைக் கருதினார் என்று நம்புவதை விட வேறு எதுவும் எனக்கு மகிழ்ச்சியளிக்க முடியாது. 1699 அல்லது 1700 ஆம் ஆண்டின் தேதி குறிப்பிடப்படாத கடிதத்திலிருந்து லீப்னிஸை க்ளைன் மேற்கோள் காட்டுகிறார்ஃ முழு மனிதகுலத்தின் முக்கிய குறிக்கோள் கடவுளின் அதிசயங்களின் அறிவும் வளர்ச்சியும் இருக்க வேண்டும் என்று எனக்குத் தோன்றுகிறது, மேலும் கடவுள் அவருக்கு globe.Kline பேரரசைக் கொடுத்ததற்கு இதுவே காரணம் என்றும், உலகளவில் ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய, தர்க்கரீதியாக வலுவான கணித அமைப்பை நிறுவுவதற்கான முயற்சியும் தோல்வியடைந்துள்ளது என்றும் வாதிடுகிறார். இன்று பெரும்பாலான கணிதவியலாளர்கள் பயன்பாடுகளில் வேலை செய்வதில்லை என்று அவர் நம்புகிறார். அதற்கு பதிலாக அவர்கள் தொடர்ந்து அதிகரித்து வரும் வேகத்தில் தூய கணிதத்தில் புதிய முடிவுகளைத் தொடர்ந்து உருவாக்குகிறார்கள். விமர்சனம் இந்த புத்தகத்தின் விமர்சனங்களில், பல வல்லுநர்கள், ஆசிரியரின் கண்ணோட்டத்திற்கு அஞ்சலி செலுத்தி, பக்கச்சார்பான உணர்ச்சி, நேர்மையின்மை மற்றும் திறமையின்மை ஆகியவற்றைக் குற்றம் சாட்டுகின்றனர். குறிப்பாக, அமெரிக்க கணித மாதாந்திரத்தில் ரேமண்ட் ஜி. அயூப் எழுதுகிறார்ஃ பல நூற்றாண்டுகளாக, யூக்ளிடிய வடிவியல் ஒரு நல்ல விண்வெளி மாதிரியாகத் தோன்றியது. முடிவுகள் வானியல் மற்றும் வழிசெலுத்தலில் திறம்பட பயன்படுத்தப்பட்டன மற்றும் இன்னும் உள்ளன. இது சம்பிரதாயவாதத்தின் நெருக்கமான ஆய்வுக்கு உட்படுத்தப்பட்டபோது, அது பலவீனங்களைக் கொண்டிருப்பது கண்டறியப்பட்டது, மேலும் இந்த முறை, சம்பிரதாயவாதத்தின் நெருக்கமான ஆய்வே யூக்ளிடியன் அல்லாத வடிவவியலின் கண்டுபிடிப்புக்கு (சிலர் கண்டுபிடிப்பு என்று கூறுவார்கள்) வழிவகுத்தது என்பதைக் கவனிப்பது சுவாரஸ்யமானது. (பல ஆண்டுகளுக்குப் பிறகு திருப்திகரமான யூக்ளிடியன் மாதிரி உருவாக்கப்பட்டது.) க்ளைனின் வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், இந்த கண்டுபிடிப்பு ஏன் ஒரு "தோல்வியாக" இருந்தது என்பதை இந்த எழுத்தாளர் புரிந்து கொள்ளத் தவறிவிட்டார். மாறாக, இது ஒரு மாபெரும் வெற்றி அல்லவா? பேராசிரியர் க்ளைன் தனது வாசகர்களுடன் நேர்மையாக நடந்து கொள்ளவில்லை. அவர் ஒரு கற்றறிந்த மனிதர் மற்றும் சுருக்கமாக உருவாக்கப்பட்ட பல கணிதக் கருத்துக்கள் நிஜ உலகில் குறிப்பிடத்தக்க பயன்பாட்டைக் கண்டறிந்துள்ளன என்பதை நன்கு அறிவார். கணிதத்தின் மிகவும் வெறித்தனமான எதிரிகளால் கூட ஒப்புக் கொள்ளப்பட்ட இந்த உண்மையை அவர் புறக்கணிக்கத் தேர்வு செய்கிறார். ஏற்றுக்கொள்ள முடியாத ஒரு கோட்பாட்டை ஆதரிப்பதற்காக அவர் இதைச் செய்கிறார். லூயிஸ் XIV க்கு அரசவை கிண்டல் செய்பவரின் கதை நினைவூட்டப்படுகிறதுஃ லூயிஸ் XIV ஒரு கவிதையை எழுதி, கிண்டல் செய்பவரிடம் அவரது கருத்தைக் கேட்டார். "உங்கள் மாட்சிமை எதையும் செய்ய வல்லது. உங்கள் மாட்சிமை நாயை எழுதத் தொடங்கியுள்ளது, உங்கள் மாட்சிமை வெற்றி பெற்றுள்ளது "என்று கூறினார். சமநிலையில், துரதிர்ஷ்டவசமாக, இந்த புத்தகத்தைப் பற்றி சொல்ல வேண்டும். கணித மதிப்பாய்வுகளில் ஜான் கோர்கோரன்ஃ புத்தகத்தின் ஒட்டுமொத்த நோக்கம் கணிதத்தின் தத்துவமாக ஒரு மனோதத்துவ நடைமுறைவாதத்தை முன்னேற்றுவதாகும், இது "பயன்பாட்டு கணிதத்தை" உயர்த்துகிறது மற்றும் "தூய கணிதம்" மற்றும் அடித்தள ஆய்வுகள் இரண்டையும் இழிவுபடுத்துகிறது. அதன் ஆய்வறிக்கை இருபதாம் நூற்றாண்டின் தர்க்கவாதிகளின் ஆழமான அடித்தள சாதனைகளைப் பற்றி ஓரளவு கணிக்கப்பட்டிருந்தாலும், அடிப்படை தத்துவம் பத்தொன்பதாம் நூற்றாண்டில் செல்வாக்கு செலுத்திய பல்வேறு தத்துவங்களின் நெருங்கிய உறவினர் ஆகும். மேலும், மேலே பட்டியலிடப்பட்ட கருத்துக்களிலிருந்து காணக்கூடியது போல, இருபதாம் நூற்றாண்டின் தர்க்கத்தைப் பற்றிய ஆசிரியரின் புரிதல் நம்பகமானது அல்ல. அதன்படி ஹில்பர்ட், கோடல், சர்ச், போர்பாகி பள்ளியின் உறுப்பினர்கள் மற்றும் அடித்தளங்கள் குறித்த பணிகளில் உள்ள பிற தலைவர்கள் கணிதக் கருத்துக்கள் மற்றும் பண்புகள் சில புறநிலை அர்த்தத்தில் உள்ளன என்பதையும் அவை மனித மனங்களால் பிடிக்கப்படலாம் என்பதையும் உறுதிப்படுத்துகிறார்கள் என்பது ஆச்சரியமாக இருக்கிறது (பக்கம் 322,323). இப்போது குறிப்பிடப்பட்ட கணிதவியலாளர்களின் பிளாட்டோனிஸ்டிக் யதார்த்தவாதத்திற்கு எதிரான அவரது ஒரே வாதம் (மனித) பிழைக்கும் (கணித) பொய்யுக்கும் (ப. 324) இடையிலான வேறுபாட்டை அவர் செய்யத் தவறியதை அடிப்படையாகக் கொண்டது. அறிவைப் பெறுவதற்கு தவறற்றவராக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை என்பதை ஆசிரியர் உணர்ந்ததாகத் தெரியவில்லை, மேலும் உறுதியை இழப்பது என்பது உண்மையை இழப்பதற்கு சமமானதல்ல என்பதையும் அவர் அங்கீகரிக்கவில்லை. ஆசிரியரின் வாதத்தின் தத்துவ மற்றும் அடித்தள அம்சங்கள் கணித வரலாற்றின் விரிவான ஆய்வு மற்றும் விளக்கமாக பிணைக்கப்பட்டுள்ளன. வலுவான வரலாற்று படைப்புகளால் இந்த வாதம் ஓரளவு மீட்கப்படும் என்று ஒருவர் நம்பலாம், ஆனால் இது அவ்வாறு இல்லை. எழுத்தாளரின் கண்ணோட்டத்திற்கு மிக முக்கியமான இரண்டு காலகட்டங்களும் முரண்பாடாக விளக்கப்பட்டுள்ளன. (அ) பாரம்பரிய கிரேக்க கணிதத்தின் வளர்ச்சியில் அனுபவமும் அவதானிப்பும் முக்கிய பங்கு வகித்தன என்ற வெளிப்படையான உண்மையை சில பத்திகளில் ஆசிரியர் ஒப்புக்கொள்கிறார். 9, 18, 24, 167). ஆனால் மற்ற பத்திகளில், கிளாசிக்கல் கிரேக்க கணிதவியலாளர்கள் அனுபவத்தையும் அவதானிப்பையும் அவமதித்ததாகவும், "சுய-தெளிவான உண்மைகள்" (pp. 17, 20, 21, 22, 29, 95, 307). (ஆ) சில பத்திகளில் பத்தொன்பதாம் நூற்றாண்டின் தொடக்கத்தை கணிதத்தின் திடத்தன்மை மீது பரவலான நம்பிக்கையின் காலம் என்று ஆசிரியர் சித்தரிக்கிறார். 6, 68, 78, 103, 173), ஆனால் மற்ற பத்திகளில் அவர் இந்தக் காலகட்டத்தை அறிவுசார் கொந்தளிப்பின் காலம் என்று விவரிக்கிறார், இதில் கணிதவியலாளர்கள் தங்கள் அறிவியலின் அடிப்படையைப் பற்றி கடுமையான சந்தேகங்களை எழுப்பினர் (ப. 152, 153, 170, 308). முக்கிய வாதத்தை சீர்குலைக்கும் மற்றும் புத்தகத்தால் வழங்கப்பட்ட பல ஒலி மற்றும் கவர்ச்சிகரமான அவதானிப்புகள் மற்றும் நுண்ணறிவுகளிலிருந்து கவனத்தை திசை திருப்பும் தத்துவ, அடித்தள மற்றும் வரலாற்று குறைபாடுகளுக்கு மட்டுமே ஒருவர் வருந்த முடியும். ஆமி தஹன் இன் ரெவ்யூ டி ஹிஸ்டோயிர் டெஸ் சயின்சஸ்ஃ குவாண்ட் ஆக்ஸ் டெர்னியர்ஸ் அத்தியாயங்கள் சர் லெஸ் கிராண்டெஸ் டெண்டன்ஸ் டெஸ் மேத்தமேட்டிக்ஸ் சமகாலத்தவர்கள், இல்ஸ் சோன்ட் ஃபிரான்செமென்ட் டிசெவன்ட்ஸ், அஸெஸ் மேலோட்டமானவை. சமகால கணிதவியல் பகுப்பாய்வு, கட்டமைப்பு அறிவியல், கணிதவியல் மற்றும் இயற்பியல், முதலியன. ETC இல் ஸ்காட் வெய்ன்ஸ்டீன்ஃ பொது சொற்பொருள்களின் ஒரு விமர்சனம்ஃ பேராசிரியர் க்ளைனின் புத்தகம் ஒரு கவர்ச்சிகரமான விஷயத்தின் உயிரோட்டமான விவரம். இருப்பினும், அதன் முடிவுகள் மிகைப்படுத்தப்பட்டவை மற்றும் பல சந்தர்ப்பங்களில் நியாயமற்றவை. இருபதாம் நூற்றாண்டின் அடித்தள ஆராய்ச்சியிலிருந்து கற்றுக்கொள்ள வேண்டிய பாடம் கணிதம் ஒரு வருந்தத்தக்க நிலையில் உள்ளது என்பதல்ல, மாறாக கணிதத்தைப் பற்றிய ஆழமான தத்துவ சிக்கல்களை கணிதத்தால் தீர்க்க முடியாவிட்டாலும், எந்த அளவிற்கு ஒளிரச் செய்யலாம் என்பதுதான். கோடலின் கோட்பாடுகள் உண்மையில் கணிதத்தில் நாம் தெரிந்து கொள்ளக்கூடியவற்றுக்கு வரம்புகள் இருக்கலாம் என்று கூறுகின்றன, ஆனால் அவை கணித சிந்தனையின் மூலம் மனித பகுத்தறிவு எந்த பெரிய உயரங்களை அடைய முடியும் என்பதையும் அவை நிரூபிக்கின்றன. இயன் ஸ்டீவர்ட் கணிதத்தில் கல்வி ஆய்வுகளில்ஃ இந்த புத்தகம் இந்த எழுத்தாளரிடமிருந்து நாம் எதிர்பார்க்கும் பாரம்பரியத்தில் உறுதியாக உள்ளது; மேலும் இது குறித்த எனது எதிர்வினை அதன் முன்னோடிகளுக்கான எனது எதிர்வினையைப் போன்றதுஃ இதில் முக்கால்வாசி சிறந்தது என்றும், மற்ற கால் பகுதி மூர்க்கத்தனமான முட்டாள்தனமானது என்றும் நான் நினைக்கிறேன்; காரணம் மோரிஸ் க்ளைன் இன்றைய கணிதத்தைப் பற்றி உண்மையில் புரிந்து கொள்ளவில்லை, இருப்பினும் அவருக்கு நேற்றையதைப் பற்றி பொறாமைக்குரிய புரிதல் உள்ளது. மோரிஸ் க்ளைன் இருபதாம் நூற்றாண்டின் கணிதத்தின் உச்சக்கட்ட சாதனையை கோடல் தேற்றம் என்று கருதுவதாக வேறு இடங்களில் கூறியுள்ளார். நான் உடன்படவில்லைஃ ஜிடெல் தேற்றம், ஆச்சரியமாகவும் ஆழமாகவும் இருந்தாலும், உண்மையான கணித வளர்ச்சியின் பிரதான நீரோட்டத்தில் சிறிய தாக்கத்தை ஏற்படுத்தியது. இது உண்மையில் அதே வகையான பல கோட்பாடுகளைத் தவிர புதிய மற்றும் சக்திவாய்ந்த எதற்கும் வழிவகுக்கவில்லை. கணிதவியலாளர்கள் தாங்கள் என்ன செய்கிறோம் என்பதைப் பற்றி எப்படி சிந்திக்கிறார்கள் என்பதை இது பாதித்தது; ஆனால் அவர்கள் உண்மையில் என்ன செய்தார்கள் என்பதில் அதன் தாக்கம் பூஜ்ஜியத்திற்கு அருகில் உள்ளது. இதை இடவியலின் எழுச்சியுடன் ஒப்பிடுகஃ பயன்பாட்டு அறிவியலை பெரும்பாலும் புறக்கணித்து கணிதவியலாளர்களின் ஐம்பது ஆண்டுகால வெளிப்படையான உள்முக முயற்சிகள்; மெருகூட்டப்பட்ட மற்றும் முழுமையாக்கப்பட்ட மற்றும் மகத்தான மற்றும் இன்னும் பெரும்பாலும் உணரப்படாத சக்தியின் நுட்பத்தின் தொகுப்பாக வளர்ந்தது; கடந்த தசாப்தத்திற்குள் பயன்பாட்டு அறிவியலின் ஒவ்வொரு துறையிலும் முக்கியமானதுஃ பொறியியல், இயற்பியல், வேதியியல், எண் பகுப்பாய்வு. இந்த நூற்றாண்டின் தலைசிறந்த சாதனை என்று இடவியல் மிகவும் உரிமை கோருகிறது. ஆனால் மோரிஸ் க்ளைன் உள்நோக்கத்தை மட்டுமே பார்க்க முடியும். ஒரு கணிதப் பிரச்சினைக்கு திருப்திகரமான தீர்வைப் பெற, அதன் விளைவாக வரும் கோட்பாட்டைப் பயன்படுத்த ஒருவர் நம்பும் சிக்கலைக் காட்டிலும், கணிதத்தின் செறிவூட்டப்பட்ட சிந்தனை தேவைப்படலாம் என்று அவருக்குத் தெரியவில்லை. ஆனால் நான் ஒரு ஆப்பிள் மரத்தை வெட்ட விரும்பினால், என் அரக்கு மிகவும் அப்பட்டமாக இருந்தால், அந்த மரத்தைப் பற்றிய எந்த சிந்தனையும் அதை கூர்மையாக்காது. நல்ல கணிதமும் உண்டு, கெட்ட கணிதமும் உண்டு. அறிவியலில் முற்றிலும் ஆர்வம் இல்லாத கணிதவியலாளர்கள் உள்ளனர், அவர்கள் அறிவியல் இன்றியமையாததாகக் கருதும் கருவிகளை உருவாக்கி வருகின்றனர். விஞ்ஞானத்தில் ஆர்வமுள்ள கணிதவியலாளர்கள் உள்ளனர், மேலும் அங்கு குறிப்பிட்ட பயன்பாட்டிற்கான கருவிகளை உருவாக்குகிறார்கள், அவர்களின் வேலை செப்பெலின் அல்லது மின்னணு வால்வு போல வழக்கற்றுப் போகும். கண்டுபிடிப்பிலிருந்து பயன்பாட்டிற்கான பாதை தவறான முடிவுகளின் முயல்-போர் ஆகும்ஃ கணிதம் அதன் சொந்த நலனுக்காக, விஷயங்களின் திட்டத்தில் அதன் இடத்தைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் தொடரும். எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, இயற்பியல் அறியாத இடவியலாளரை தனிமைப்படுத்துவது இடவியல் அறியாத இயற்பியலாளரை விட மோசமானது அல்ல. இன்றைய அறிவியலுக்கு அதன் தனிநபர்களிடமிருந்து நிபுணத்துவம் தேவைப்படுகிறதுஃ ஒட்டுமொத்த விஞ்ஞானிகளின் கூட்டு நடவடிக்கையே இணைப்புகள் போலியானவை. மோரிஸ் க்ளைன் மட்டுமே இந்த செயல்முறையின் தன்மை குறித்து சில குறிப்புகளைக் காட்டினால், நான் அவரது வாதங்களை இன்னும் தீவிரமாக எடுத்துக்கொள்வேன். ஆனால் கணிதம் வீழ்ச்சியடைந்துவிட்டது என்ற அவரது கூற்று அறியாமையை அடிப்படையாகக் கொண்டது, மேலும் அவரது வாதங்கள் இன்றைய கணிதத்தின் அற்புதமான, பிரகாசமான வீரியத்துடன் ஒப்பிடுகையில் கசப்பானவை. நானும் அறிவியல் சிக்கல்களின் முக்கியத்துவத்தை கணிதவியலாளர்களால் வெளிப்படையாக அங்கீகரிக்கப்படுவதைக் காண விரும்புகிறேன்; ஆனால் இந்த வெளிப்படையான தனிமையில் கூட அவர்கள் அற்புதமான வேலையைச் செய்கிறார்கள் என்ற உண்மையை தவறவிடுவது போர் தொடங்குவதற்கு முன்பே தோல்வியடைவதாகும். நூலியல் மோரிஸ் க்ளைன், கணிதம்ஃ உறுதியின் இழப்பு, ஆக்ஸ்போர்டு யுனிவர்சிட்டி பிரஸ், 1980 குறிப்புகள் கணித வரலாறு பற்றிய மேலும் வாசிப்பு புத்தகங்கள்