André–Oort conjecture
கணிதத்தில், ஆண்ட்ரே-ஓர்ட் அனுமானம் என்பது டயோஃபாண்டைன் வடிவவியலில் உள்ள ஒரு சிக்கலாகும், இது எண் கோட்பாட்டின் ஒரு கிளையாகும், இது மானின்-மம்ஃபோர்ட் அனுமானத்தின் அபெலியன் அல்லாத ஒப்புமையாகக் காணலாம், இது இப்போது ஒரு தேற்றமாகும் (பல வழிகளில் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது). இந்த அனுமானம் ஷிமுரா வகைகளில் உள்ள சிறப்பு புள்ளிகளின் தொகுப்புகளின் சரிஸ்கி மூடலின் ஒரு குணாதிசயத்துடன் தொடர்புடையது. இந்த அனுமானத்தின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு 1989 இல் யவ்ஸ் ஆண்ட்ரேவால் கூறப்பட்டது, மேலும் ஒரு பொதுவான அறிக்கை (ஷிமுரா வகையின் வகைக்கு ஒரு கட்டுப்பாட்டுடன் இருந்தாலும்) 1995 இல் ஃபிரான்ஸ் ஊர்ட் என்பவரால் அனுமானிக்கப்பட்டது. நவீன பதிப்பு இந்த இரண்டு அனுமானங்களின் இயற்கையான பொதுமைப்படுத்தலாகும். இந்த அனுமானம் அதன் நவீன வடிவத்தில் பின்வருமாறு உள்ளது. ஒரு ஷிமுரா வகையின் சிறப்பு புள்ளிகளின் தொகுப்பின் ஜரிஸ்கி மூடலின் பகுக்கமுடியாத ஒவ்வொரு கூறுகளும் ஒரு சிறப்பு துணை வகையாகும். ஆண்ட்ரேயின் அனுமானத்தின் முதல் பதிப்பு ஒரு பரிமாண பகுக்கமுடியாத கூறுகளுக்கு மட்டுமே இருந்தது, அதே நேரத்தில் ஊர்ட் முதன்மையாக துருவப்படுத்தப்பட்ட அபெலியன் பரிமாண வகைகளின் மாடுலி இடத்தில் தன்னிச்சையான பரிமாணத்தின் பகுக்கமுடியாத கூறுகளுக்கு இது உண்மையாக இருக்க வேண்டும் என்று முன்மொழிந்தார். பகுதி முடிவுகள் பென் மூனென், யவ்ஸ் ஆண்ட்ரே, ஆண்ட்ரே யாஃபேவ், பாஸ் எடிக்ஷோவன், லாரண்ட் க்ளோசல், புருனோ க்ளிங்லர் மற்றும் இம்மானுவேல் உல்மோ ஆகியோரால் முழு யூகத்தை நோக்கி பல்வேறு முடிவுகள் நிறுவப்பட்டுள்ளன. இந்த முடிவுகளில் சில பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ரீமன் கருதுகோள் (ஜி. ஆர். எச்) உண்மையாக இருப்பதற்கு நிபந்தனை விதிக்கப்பட்டன. உண்மையில், GRH இன் கீழ் முழு அனுமானத்தின் ஆதாரம் புருனோ க்ளிங்லர், இம்மானுவேல் உல்மோ மற்றும் ஆண்ட்ரி யாஃபேவ் ஆகியோரால் 2014 ஆம் ஆண்டில் கணிதத்தின் அன்னல்ஸில் வெளியிடப்பட்டது. 2006 ஆம் ஆண்டில், உம்பர்டோ ஜானியர் மற்றும் ஜொனாதன் பிலா ஆகியோர் ஓ-குறைந்தபட்ச வடிவியல் மற்றும் ஆழ்நிலை எண் கோட்பாட்டின் நுட்பங்களைப் பயன்படுத்தி மானின்-மம்ஃபோர்ட்-ஆண்ட்ரே-ஓர்ட் வகை சிக்கல்களுக்கு ஒரு அணுகுமுறையை உருவாக்கினர். 2009 ஆம் ஆண்டில், ஜொனாதன் பிலா மாடுலர் வளைவுகளின் தன்னிச்சையான தயாரிப்புகளுக்கு ஆண்ட்ரே-ஓர்ட் யூகத்தை நிபந்தனையின்றி நிரூபித்தார், இதன் விளைவாக அவருக்கு 2011 களிமண் ஆராய்ச்சி விருது கிடைத்தது. புருனோ க்ளிங்லர், இம்மானுவேல் உல்மோ மற்றும் ஆண்ட்ரி யாஃபேவ் ஆகியோர் 2014 ஆம் ஆண்டில், பொது பிலா-ஜானியர் அணுகுமுறைக்கு தேவையான செயல்பாட்டு மிகை விளைவை நிரூபித்தனர், மேலும் இம்மானுவேல் உல்மோ அதிலிருந்து மூலோபாயத்தில் தூண்டல் படிநிலைக்கு தேவையான தொழில்நுட்ப முடிவைக் கண்டறிந்துள்ளார். மீதமுள்ள தொழில்நுட்ப மூலப்பொருள் சிறப்பு புள்ளிகளின் கலோயிஸ் டிகிரிக்கு கீழே வரம்பில் சிக்கல் இருந்தது. சீகல் மாடுலர் வகையைப் பொறுத்தவரை, இந்த வரம்பை ஜேக்கப் சிமெர்மன் 2015 ஆம் ஆண்டில் சராசரி கோல்மேஸ் அனுமானம் மற்றும் மாஸர்-வுஸ்ட்ஹோல்ட்ஸ் ஐசோஜெனி மதிப்பீடுகளிலிருந்து கண்டறிந்தார். சராசரி கொல்மேஸ் அனுமானம் ஜின்யி யுவான் மற்றும் ஷௌ-வு ஜாங் ஆகியோரால் நிரூபிக்கப்பட்டது, மேலும் ஆண்ட்ரியாட்டா, கோரன், ஹோவர்ட் மற்றும் மடபுசி-பெரா ஆகியோரால் சுயாதீனமாக நிரூபிக்கப்பட்டது. 2019-2020 இல், கால் பினியாமினி, ஹாரி ஷ்மிட் மற்றும் ஆண்ட்ரி யாஃபேவ், டோரி மற்றும் அபெலியன் வகைகளில் உள்ள முறுக்கு புள்ளிகள் மற்றும் கால் பினியாமினியின் புள்ளி எண்ணும் முடிவுகள் குறித்து ஹாரி ஷ்மிட்டின் முந்தைய படைப்புகள் மற்றும் யோசனைகளை அடிப்படையாகக் கொண்டு, சிறப்பு புள்ளிகளின் உயரங்களின் வரம்புகள் குறித்து ஒரு அனுமானத்தை வகுத்துள்ளனர் மற்றும் முழு ஆண்ட்ரே-ஓர்ட் அனுமானத்தின் ஆதாரத்திற்குத் தேவையான சிறப்பு புள்ளிகளின் கலோயிஸ் டிகிரிகளுக்கான வரம்புகளை அதன் செல்லுபடியாகும் தன்மையிலிருந்து கண்டறிந்துள்ளனர். செப்டம்பர் 2021 இல், ஜொனாதன் பிலா, அனந்த் சங்கர் மற்றும் ஜேக்கப் சிமெர்மன் ஆகியோர் ஒரு கட்டுரையில் (ஹெலீன் எஸ்னால்ட் மற்றும் மைக்கேல் க்ரோசெனிக் எழுதிய ஒரு பிற்சேர்க்கை இடம்பெற்றது) பினியாமினி-ஷ்மிட்-யாஃபேவ் உயர அனுமானத்தின் ஆதாரத்தைக் கூறினர், இதனால் பிலா-ஜானியர் மூலோபாயத்தைப் பயன்படுத்தி ஆண்ட்ரே-ஓர்ட் அனுமானத்தின் ஆதாரத்தை நிறைவு செய்தனர். கோல்மேன்-ஓர்ட் அனுமானம் இரண்டு வடிவங்களைக் கொண்ட ஒரு தொடர்புடைய அனுமானம், ஆண்ட்ரே-ஓர்ட் அனுமானம் கருதப்பட்டால் அதற்கு சமமானது, கோல்மேன்-ஓர்ட் அனுமானம் ஆகும். ராபர்ட் கோல்மேன், போதுமான அளவு பெரிய ஜி-க்கு, ஜாகோபியன் வகை ஜே (சி) என்பது சிஎம்-வகையின் அபெலியன் வகையாகும், இது போன்ற ஜி இனத்தின் பல மென்மையான ப்ரொஜெக்டிவ் வளைவுகள் சி மட்டுமே உள்ளன என்று ஊகித்தார். டோரெல்லி வரைபடத்தின் உருவப்படத்தை அடர்த்தியான திறந்த துணைக்குழுவில் வெட்டுவதற்கு போதுமான அளவு பெரிய g அளவு> 0 என்ற சிறப்பு துணை மாறுபாட்டைக் கொண்டிருக்கவில்லை என்று ஓர்ட் பின்னர் ஊகித்தார். பொதுமைப்படுத்தல்கள் மானின்-மம்ஃபோர்ட் மற்றும் ஆண்ட்ரே-ஓர்ட் அனுமானங்களை பல திசைகளில் பொதுமைப்படுத்தலாம், எடுத்துக்காட்டாக புள்ளிகளின் பண்புகளை 'சிறப்பு' என்று தளர்த்துவதன் மூலம் (அதற்கு பதிலாக 'சாத்தியமற்ற இடம்' என்று அழைக்கப்படுவதைக் கருத்தில் கொண்டு) அல்லது பொதுவான சுற்றுப்புற வகைகளைப் பார்ப்பதன் மூலம்ஃ அபெலியன் அல்லது அரை-அபெலியன் திட்டங்கள், கலப்பு ஷிமுரா வகைகள் போன்றவை. இந்த வகை சிக்கல்கள் ரிச்சர்ட் பிங்க் மற்றும் போரிஸ் சில்பர் ஆகியோரால் முன்மொழியப்பட்டதால் இந்த பொதுமைப்படுத்தல்கள் பேச்சுவழக்கில் சில்பர்-பிங்க் அனுமானங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. இந்த கேள்விகளில் பெரும்பாலானவை திறந்தவை மற்றும் தற்போதைய செயலில் உள்ள ஆராய்ச்சிக்கு உட்பட்டவை. மேலும் காண்க Zilber-Pink அனுமானங்கள் குறிப்புகள் மேலும் வாசிப்பு டயோஃபாண்டைன் வடிவியல் அனுமானங்கள்