Higher local field
கணிதத்தில், ஒரு உயர் (-பரிமாண) உள்ளூர் புலம் ஒரு முழுமையான தனித்துவமான மதிப்பீட்டு புலத்திற்கு ஒரு முக்கியமான எடுத்துக்காட்டு. இத்தகைய புலங்கள் சில நேரங்களில் பல பரிமாண உள்ளூர் புலங்கள் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன. வழக்கமான உள்ளூர் புலங்களில் (பொதுவாக எண் புலங்களின் நிறைவு அல்லது இயற்கணித வளைவுகளின் உள்ளூர் வளையங்களின் ஈவு புலங்கள்) புலங்களின் உள்ளூர் அளவுருவின் தேர்வுடன் தொடர்புடைய ஒரு தனித்துவமான சர்ஜெக்டிவ் தனித்துவமான மதிப்பீடு (தரவரிசை 1) உள்ளது, அவை உண்மையான எண்கள் மற்றும் சிக்கலான எண்கள் போன்ற ஆர்க்கிமீடியன் உள்ளூர் புலங்களாக இல்லாவிட்டால். இதேபோல், கிட்டத்தட்ட அனைத்து n-பரிமாண உள்ளூர் புலங்களிலும் தரவரிசை n இன் தனித்துவமான மதிப்பீடு உள்ளது, இது புலத்தின் n உள்ளூர் அளவுருக்களின் தேர்வுடன் தொடர்புடையது. ஒரு பரிமாண உள்ளூர் புலங்களுக்கு மாறாக, உயர் உள்ளூர் புலங்கள் எஞ்சிய புலங்களின் வரிசையைக் கொண்டுள்ளன. ஒருவர் கணக்கில் எடுத்துக் கொள்ள விரும்பும் எத்தனை எஞ்சிய புலங்கள் தகவல்களைப் பொறுத்து, உயர் உள்ளூர் புலங்களில் வெவ்வேறு ஒருங்கிணைந்த கட்டமைப்புகள் உள்ளன. வடிவியல் ரீதியாக, உயர் உள்ளூர் புலங்கள் உள்ளூர்மயமாக்கல் செயல்முறை மற்றும் உயர் பரிமாண திட்டங்களின் உள்ளூர் வளையங்களை நிறைவு செய்வதன் மூலம் தோன்றும். உயர் உள்ளூர் புலங்கள் உயர் பரிமாண எண் கோட்பாட்டின் ஒரு முக்கிய பகுதியாகும், இது உள்ளூர் பரிசீலனைகளுக்கு பொருத்தமான பொருட்களின் தொகுப்பை உருவாக்குகிறது. வரையறை ஃபைனைட் புலங்கள் பரிமாணம் 0 ஐக் கொண்டுள்ளன மற்றும் வரையறுக்கப்பட்ட ரெசிடு புலத்துடன் முழுமையான தனித்துவமான மதிப்பீட்டு புலங்கள் பரிமாணம் ஒன்றைக் கொண்டுள்ளன (ஆர் அல்லது சி போன்ற ஆர்க்கிமீடியன் லோக்கல் புலங்கள் பரிமாணம் 1 ஐக் கொண்டிருப்பதை வரையறுப்பது இயற்கையானது), பின்னர் ஒரு முழுமையான தனித்துவமான மதிப்பீட்டு புலம் அதன் ரெசிடு புலம் பரிமாணம் n − 1 ஐக் கொண்டிருந்தால் பரிமாணம் n ஐக் கொண்டுள்ளது என்று கூறுகிறோம். உயர்ந்த உள்ளூர் புலங்கள் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட பரிமாணங்களைக் கொண்டவை, அதே நேரத்தில் ஒரு பரிமாண உள்ளூர் புலங்கள் பாரம்பரிய உள்ளூர் புலங்களாகும். ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண உயர் உள்ளூர் புலத்தின் எஞ்சிய புலத்தை 'முதல்' எஞ்சிய புலம் என்று அழைக்கிறோம், அதன் எஞ்சிய புலம் பின்னர் இரண்டாவது எஞ்சிய புலமாகும், மேலும் நாம் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட புலத்தை அடையும் வரை வடிவம் தொடர்கிறது. எடுத்துக்காட்டுகள் இரு பரிமாண உள்ளூர் புலங்கள் பின்வரும் வகுப்புகளாகப் பிரிக்கப்பட்டுள்ளனஃ நேர்மறை பண்பு புலங்கள், அவை ஒரு பரிமாண உள்ளூர் புலத்தின் மீது மாறி t இல் முறையான சக்தி தொடர்கள், அதாவது. Fq ((u)) ((t)). பண்பு பூஜ்ஜியத்தின் சமச்சீரமை புலங்கள், அவை பண்பு பூஜ்ஜியத்தின் ஒரு பரிமாண உள்ளூர் புலம் F மீது முறையான சக்தி தொடர் F ((t)) ஆகும். கலப்பு-பண்பு புலங்கள், அவை வகை F {{t}} புலங்களின் வரையறுக்கப்பட்ட நீட்டிப்புகள், F என்பது பண்பு பூஜ்ஜியத்தின் ஒரு பரிமாண உள்ளூர் புலமாகும். இந்த புலம் முறையான சக்தி தொடர்களின் தொகுப்பாக வரையறுக்கப்படுகிறது, இரு திசைகளிலும் எல்லையற்றது, F இலிருந்து குணகங்களுடன், குணகங்களின் மதிப்பீட்டின் குறைந்தபட்சம் ஒரு முழு எண்ணாக இருக்கும், மேலும் குணகங்களின் மதிப்பீடு பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் வகையில் அவற்றின் குறியீடு கழித்தல் முடிவிலிக்குச் செல்கிறது. ஆர்க்கிமிடியன் இரு பரிமாண உள்ளூர் புலங்கள், அவை உண்மையான எண்கள் ஆர் அல்லது சிக்கலான எண்கள் சி மீது முறையான சக்தி தொடர்கள். கட்டமைப்புகள் உயர் உள்ளூர் புலங்கள் பல்வேறு சூழல்களில் தோன்றும். ஒரு வடிவியல் உதாரணம் பின்வருமாறு. பண்புக்கூறு p இன் வரையறுக்கப்பட்ட புலத்தின் மீது ஒரு மேற்பரப்பு கொடுக்கப்பட்டால், மேற்பரப்பில் ஒரு வளைவு மற்றும் வளைவின் மீது ஒரு புள்ளி, புள்ளியில் உள்ள உள்ளூர் வளையத்தை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். பின்னர், இந்த வளையத்தை முடித்து, அதை வளைவில் உள்ளூர்மயமாக்கி, அதன் விளைவாக வரும் வளையத்தை முடிக்கவும். இறுதியாக, ஈவு புலத்தை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். இதன் விளைவாக ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட புலத்தின் மீது இரு பரிமாண உள்ளூர் புலம் உள்ளது. பரிமாற்ற இயற்கணிதத்தைப் பயன்படுத்தி ஒரு கட்டுமானமும் உள்ளது, இது ஒழுங்கற்ற வளையங்களுக்கு தொழில்நுட்பமாக மாறுகிறது. தொடக்க புள்ளி ஒரு நொய்தேரியன், வழக்கமான, n-பரிமாண வளையம் மற்றும் அவற்றின் தொடர்புடைய ஈவு வளையம் வழக்கமானதாக இருக்கும் வகையில் பகா இலட்சியங்களின் முழு கொடி ஆகும். ஒரு n-பரிமாண உள்ளூர் புலத்தை அடையும் வரை மேலே உள்ளபடி தொடர்ச்சியான நிறைவு மற்றும் உள்ளூர்மயமாக்கல்கள் நடைபெறுகின்றன. உயர் உள்ளூர் புலங்களில் உள்ள இடவியல் ஒரு பரிமாண உள்ளூர் புலங்கள் பொதுவாக மதிப்பீட்டு இடவியலில் கருதப்படுகின்றன, இதில் திறந்த தொகுப்புகளை வரையறுக்க தனித்துவமான மதிப்பீடு பயன்படுத்தப்படுகிறது. இது உயர் பரிமாண உள்ளூர் புலங்களுக்கு போதுமானதாக இருக்காது, ஏனெனில் ஒருவர் எச்ச மட்டத்திலும் இடவியலை கணக்கில் எடுத்துக் கொள்ள வேண்டும். உயர் உள்ளூர் புலங்களுக்கு பொருத்தமான இடவியல் (தனித்துவமாக வரையறுக்கப்படவில்லை) வழங்கப்படலாம், இது இந்த சிக்கலை நிவர்த்தி செய்கிறது. இத்தகைய இடவியல் என்பது n> 1 எனில், தரவரிசை n இன் தனித்துவமான மதிப்பீடுகளுடன் தொடர்புடைய இடவியல் அல்ல. பரிமாணம் இரண்டு மற்றும் அதற்கு மேல் புலத்தின் சேர்க்கைக் குழு ஒரு இடவியல் குழுவாக மாறுகிறது, இது உள்ளூரில் கச்சிதமாக இல்லை மற்றும் இடவியலின் அடிப்படை கணக்கிட முடியாதது. மிகவும் ஆச்சரியமான விஷயம் என்னவென்றால், பெருக்கம் தொடர்ச்சியானது அல்ல; இருப்பினும், இது தொடர்ச்சியாக தொடர்ச்சியானது, இது அனைத்து நியாயமான எண்கணித நோக்கங்களுக்கும் போதுமானது. இடவியல் கருத்தாய்வுகளை மிகவும் முறையானவற்றால் மாற்றுவதற்கு மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்பட்ட இண்ட்-ப்ரோ அணுகுமுறைகளும் உள்ளன. உயர் உள்ளூர் புலங்களில் அளவீடு, ஒருங்கிணைப்பு மற்றும் ஒத்திசைவான பகுப்பாய்வு இரு பரிமாண உள்ளூர் புலங்களில் மொழிபெயர்ப்பு மாறாத அளவீடு இல்லை. அதற்கு பதிலாக, களத்தில் இரு பரிமாண தனித்துவமான மதிப்பீடுகள் தொடர்பாக மூடிய பந்துகளால் உருவாக்கப்படும் செட்டுகளின் வளையத்தில் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு இறுதியான சேர்க்கை மொழிபெயர்ப்பு மாறாத அளவீடு உள்ளது, மேலும் உண்மையானவற்றை விட முறையான சக்தி தொடர் ஆர் (எக்ஸ்) இல் மதிப்புகளை எடுத்துக்கொள்கிறது. இந்த அளவீடு ஒரு குறிப்பிட்ட சுத்திகரிக்கப்பட்ட அர்த்தத்தில் எண்ணற்ற சேர்க்கை ஆகும். இது உயர்ந்த உள்ளூர் வயல்களில் அதிக ஹார் அளவீடு என்று கருதப்படலாம். ஒவ்வொரு உயர் உள்ளூர் புலத்தின் சேர்க்கைக் குழுவும் சட்டப்பூர்வமாக சுய-இரட்டை அல்ல, மேலும் பொருத்தமான செயல்பாடுகளின் இடங்களில் உயர் ஃபோரியர் உருமாற்றத்தை வரையறுக்க முடியும். இது அதிக ஹார்மோனிக் பகுப்பாய்விற்கு வழிவகுக்கிறது. உயர் உள்ளூர் வகுப்பு புலக் கோட்பாடு பரிமாணம் ஒன்றில் உள்ளூர் வகுப்பு புலக் கோட்பாடு உயர் பரிமாணங்களில் அதன் ஒப்புமைகளைக் கொண்டுள்ளது. பெருக்கக் குழுவிற்கு பொருத்தமான மாற்றீடு n வது மில்னர் கே-குழுவாக மாறுகிறது, அங்கு n என்பது புலத்தின் பரிமாணமாகும், இது புலத்தின் மீது அதிகபட்ச அபெலியன் நீட்டிப்பின் கலோயிஸ் குழுவிற்கு ஒரு பரஸ்பர வரைபடத்தின் களமாக தோன்றுகிறது. ஒவ்வொரு நேர்மறை முழு எண்ணாலும் வகுக்கக்கூடிய உறுப்புகளின் துணைக்குழுவால் n வது மில்னர் கே-குழுவின் ஈவு விகிதத்துடன் வேலை செய்வது இன்னும் சிறந்தது. ஃபெசென்கோ தேற்றத்தின் காரணமாக, இந்த மேற்கோளை பொருத்தமான உயர் பரிமாண இடவியல் கொண்ட கே-குழுவின் அதிகபட்ச பிரிக்கப்பட்ட இடவியல் மேற்கோள் என்றும் கருதலாம். n வது மில்னர் கே-குழுவின் இந்த ஈவு விகிதத்திலிருந்து உயர் உள்ளூர் புலத்தின் அதிகபட்ச அபெலியன் விரிவாக்கத்தின் கலோயிஸ் குழுவிற்கு உயர் உள்ளூர் பரஸ்பர ஒத்த உருவவியல் ஒரு பரிமாண உள்ளூர் வகுப்பு புலக் கோட்பாட்டைப் போலவே பல அம்சங்களைக் கொண்டுள்ளது. உயர் உள்ளூர் வகுப்பு புலக் கோட்பாடு எஞ்சிய புலம் மட்டத்தில் வகுப்பு புலக் கோட்பாட்டுடன் இணக்கமானது, மில்னார் கே-கோட்பாட்டின் எல்லை வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி புலம் மற்றும் எஞ்சிய புலத்தின் மட்டத்தில் பரஸ்பர வரைபடத்தை உள்ளடக்கிய ஒரு பரிமாற்ற வரைபடத்தை உருவாக்குகிறது. பொது உயர் உள்ளூர் வகுப்பு களக் கோட்பாட்டை கசுயா கட்டோ மற்றும் இவான் ஃபெசென்கோ ஆகியோர் உருவாக்கினர். நேர்மறை பண்புகளில் உயர் உள்ளூர் வகுப்பு களக் கோட்பாடு அலெக்ஸி பார்ஷினால் முன்மொழியப்பட்டது. குறிப்புகள் புலம் (கணிதம்) இயற்கணித எண் கோட்பாடு ஒத்திசைவு பகுப்பாய்வு