Nichols algebra
இயற்கணிதத்தில், ஒரு சடை திசையன் இடத்தின் நிக்கோல்ஸ் இயற்கணிதம் (சடை பெரும்பாலும் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட குழுவால் தூண்டப்படுகிறது) ஒரு சடை ஹோப்ஃப் இயற்கணிதம் ஆகும், இது கணிதவியலாளர் வாரன் நிக்கோல்ஸ் என்பவரால் குறிக்கப்பட்டு பெயரிடப்பட்டுள்ளது. இது ஒரு குவாண்டம் குழுக்கள் மற்றும் அவற்றின் நன்கு அறியப்பட்ட வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண துண்டுகள் போன்ற ஒரு கூர்மையான ஹோப்ஃப் இயற்கணிதத்தின் குவாண்டம் போரெல் பகுதியின் பாத்திரத்தை வகிக்கிறது. ராட்ஃபோர்ட் இரு உற்பத்தியைப் பயன்படுத்தி அத்தகைய புதிய குவாண்டம் குழுக்களை எழுத நிக்கோல்ஸ் ஆல்ஜிப்ராக்களை உடனடியாகப் பயன்படுத்தலாம். அத்தகைய அனைத்து நிக்கோல்ஸ் ஆல்ஜிப்ராக்கள் மற்றும் அதனுடன் தொடர்புடைய அனைத்து குவாண்டம் குழுக்களின் வகைப்பாடும் (பயன்பாட்டைப் பார்க்கவும்) வேகமாக முன்னேறி வருகிறது, இருப்பினும் இன்னும் நிறைய திறந்திருக்கும்ஃ ஒரு அபெலியன் குழுவின் வழக்கு 2005 இல் தீர்க்கப்பட்டது, இல்லையெனில் இந்த நிகழ்வு மிகவும் அரிதாகத் தெரிகிறது, ஒரு சில அறியப்பட்ட மற்றும் சக்திவாய்ந்த மறுப்பு அளவுகோல்கள் நிறுவப்பட்டுள்ளன (கீழே காண்க). வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண நிக்கோல்ஸ் ஆல்ஜிப்ராக்களின் பட்டியலையும் பார்க்கவும். வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாணக் கோட்பாடு வேர் அமைப்புகள் மற்றும் டைன்கின் வரைபடங்களின் கோட்பாட்டால் பெரிதும் நிர்வகிக்கப்படுகிறது, இது அரை எளிய லை ஆல்ஜிப்ராக்களைப் போலவே குறிப்பிடத்தக்க வகையில் ஒத்திருக்கிறது. ஹெக்கன்பெர்கரின் சொற்பொழிவில் ஒரு விரிவான அறிமுகம் காணப்படுகிறது. வரையறை எட்டர்-டிரின்ஃபீல்ட் பிரிவில் ஒரு எட்டர்-டிரின்ஃபீல்ட் தொகுதி V ஐக் கவனியுங்கள். இது குறிப்பாக ஒரு சடை திசையன், சடை மோனாய்டல் வகையைப் பார்க்கவும். ஒரு எட்டர்-ட்ரின்ஃபீல்ட் தொகுதியின் டென்சர் இயற்கணிதம் எப்போதும் ஒரு பின்னப்பட்ட ஹோப்ஃப் இயற்கணிதம் ஆகும். நிக்கோல்ஸ் இயற்கணிதத்தை பல சமமான குணாதிசயங்களால் தனித்துவமாக வரையறுக்க முடியும், அவற்றில் சில ஹோப்ஃப் இயற்கணித கட்டமைப்பில் கவனம் செலுத்துகின்றன, மேலும் சில மிகவும் ஒருங்கிணைந்தவை. பொருட்படுத்தாமல், நிக்கோல்ஸ் இயற்கணிதத்தை வெளிப்படையாக தீர்மானிப்பது (அது வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாணமா என்பதை தீர்மானிப்பது கூட) மிகவும் கடினமாக இருக்கலாம் மற்றும் பல உறுதியான நிகழ்வுகளில் திறந்திருக்கும் (கீழே காண்க). வரையறை I: ஒருங்கிணைந்த சூத்திரம் ஒரு சடை திசையன் இடமாக இருக்கட்டும், அதாவது இடமாற்றம் செயல்படும் எந்த இடத்திலும் சடை குழுவின் செயல்பாடு உள்ளது. சமச்சீர் குழுவில் ஒரு ஹோமோமார்பிசம் உள்ளது என்பது தெளிவாகத் தெரிகிறது, ஆனால் இது ஒரு பிரிவை அங்கீகரிக்கவில்லை, மேலும் பொதுவாக செய்யப்படும் செயல்பாடும் இதைக் காரணியாக்குவதில்லை. இருப்பினும், எந்தவொரு குறைக்கப்பட்ட வெளிப்பாட்டின் மூலமும் இடமாற்றத்திற்கும் தன்னிச்சையான கூறுகளுக்கும் இடமாற்றத்தை அனுப்பும் ஒரு தொகுப்பு-கோட்பாட்டுப் பிரிவைக் கவனியுங்கள். இது ஒரு குரூப் ஹோமோமார்பிசம் அல்ல, ஆனால் மாட்சுமோட்டோவின் தேற்றம் (குரூப் தியரி) குறைக்கப்பட்ட வெளிப்பாட்டின் தேர்விலிருந்து சுயாதீனமாக எந்தவொரு செயல்பாடும் நன்கு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது என்று நமக்குச் சொல்கிறது. இறுதியாக நிக்கோல்ஸ் இயற்கணிதம் பின்னர் இந்த வரையறை பின்னர் (ஆனால் சுயாதீனமாக) வொரோனோவிச்ஸால் வழங்கப்பட்டது. இது இயற்கணித சான்றுகளில் அரிதாகவே பயனுள்ளதாக இருப்பதில் குறைபாட்டைக் கொண்டுள்ளது, ஆனால் இது அதன் சொந்த உரிமையில் ஒரு உள்ளுணர்வைக் குறிக்கிறது, மேலும் இது ஒரு ஹோப்ஃப் இயற்கணிதத்தின் குறியீட்டிலிருந்து மிகவும் வெளிப்படையாகவும் சுயாதீனமாகவும் இருப்பதன் போதனை நன்மையைக் கொண்டுள்ளது. வரையறை II: பரிந்துரைக்கப்பட்ட தொடக்கங்கள் நிக்கோல்ஸ் இயற்கணிதம் என்பது கொடுக்கப்பட்டவற்றால் உருவாக்கப்பட்ட பின்னப்பட்ட பிரிவில் உள்ள தனித்துவமான ஹோப்ஃப் இயற்கணிதம் ஆகும், அவை மட்டுமே பழமையான கூறுகள். இது நிக்கோல்ஸ் காரணமாக அசல் வரையறையாகும், மேலும் இது ஹோப்ஃப் ஆல்ஜிப்ராக்களின் வகைப்பாட்டில் ஒரு அடிப்படை கருத்தாக நிக்கோல்ஸ் இயற்கணிதத்தின் பங்கை மிகவும் வெளிப்படையாக ஆக்குகிறது. வரையறை III: உலகளாவிய அளவு. பின்வரும் பண்புகளுடன் ஒரு பெரிய இலட்சியம் உள்ளதுஃ (இது தானியங்கி) நிக்கோல்ஸ் இயற்கணிதம் வரையறை IV: நோண்டெஜெனரேட் பெயரிங் தனித்துவமான ஹோப்ஃப் இணைத்தல் ஒரு நோண்டெஜெனரேட் ஹோப்ஃப் இணைப்புக்கு காரணியாக்குகிறது மற்றும் இந்த உண்மை நிக்கோல்ஸ் இயற்கண்பா தனித்துவமாக வகைப்படுத்துகிறது. இந்த கோட்பாட்டளவில் மிகவும் பயனுள்ள தன்மை லுஸ்டிக் காரணமாகும். வரையறை V: வளைவு வழித்தோன்றல்கள் இது முந்தைய வரையறையின் ஓரளவு வெளிப்படையான வடிவமாகும்ஃ ஒரே மாதிரியான அடிப்படையைத் தேர்ந்தெடுங்கள் (அதாவது. கோஆக்ஷன்/கிராஜுவேஷன்) டென்சர் இயற்கணிதத்தின் உலகளாவிய பண்பைப் பயன்படுத்தி, வளைந்த வழித்தோன்றல்களை வரையறுக்கலாம்ஃ பின்னர் நிக்கோல்ஸ் இயற்கணிதம் என்பது மிகப்பெரிய ஒரே மாதிரியான இலட்சியத்தின் ஈவு ஆகும், இது எந்த மாறிலிகளையும் கொண்டிருக்கவில்லை மற்றும் அனைத்து வழித்தோன்றல்களின் கீழும் மாறாதது. தோராயமாக பேசுகையில், ஒருவர் அனைத்து வளைவு-வழித்தோன்றல்களின் கர்னலில் உள்ள உறுப்புகளைப் பார்த்து அவற்றைப் பிரிக்கலாம்; பின்னர் இப்போது அனைத்து வளைவு-வழித்தோன்றல்களின் கர்னலில் உள்ள அனைத்து உறுப்புகளையும் மீண்டும் பார்த்து அவற்றைப் பிரிக்கவும். எடுத்துக்காட்டுகள் வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண நிக்கோல்ஸ் ஆல்ஜிப்ராக்களின் எடுத்துக்காட்டுகளை நாங்கள் வழங்குகிறோம். சிறப்பியல்பு p க்கு மேல், இந்த விளைவு ஏற்கனவே சடை அல்லாத சூழ்நிலையில் தோன்றலாம், அதாவது p-கட்டுப்படுத்தப்பட்ட லை ஆல்ஜிப்ராக்களின் துண்டிக்கப்பட்ட உலகளாவிய உறைகள். பண்பு பூஜ்ஜியத்தில் மற்றும் ஒரு அபெலியன் குழுவிலிருந்து வரும் ஒரு பின்னலுடன், இது இதேபோன்ற அடிக்கடி நிகழும் நிகழ்வாகத் தெரிகிறது (இருப்பினும் அதிக ஈடுபாடு இருந்தாலும், வகைப்பாட்டைப் பார்க்கவும்). மறுபுறம் ஜி நோன்பேலியனைப் பொறுத்தவரை, மிகக் குறைவான எடுத்துக்காட்டுகள் மட்டுமே இதுவரை அறியப்பட்டுள்ளன, மேலும் சக்திவாய்ந்த மறுப்பு அளவுகோல்கள் பல குழுக்களை விலக்குகின்றன (வகைப்பாட்டைப் பார்க்கவும்). 1-பரிமாண உதாரணங்கள் முதல் எடுத்துக்காட்டாக, குழு ஹோப்ஃப் இயற்கணிதத்தின் H = k [Z/2Z] மீது 1-பரிமாண எட்டர்-ட்ரின்ஃபீல்ட் தொகுதியைக் கருத்தில் கொள்ளுங்கள், சுழற்சி குழு பெருக்கமாகக் குறிக்கப்படுகிறது (இயற்கணிதத்தில் வழக்கம் போல்) மற்றும் சில g ஆல் உருவாக்கப்படுகிறது. Z/2Z-பட்டப்படிப்பு) ஆன்ஃ H-நடவடிக்கையாக எடுத்துக் கொள்ளுங்கள் (ரெஸ்ப். Z/2Z-செயல்) மீதுஃ இவ்வாறு பின்னல் உள்ளது பின்னர், அடையாளத் தேர்வைப் பொறுத்து, நிக்கோல்ஸ் ஆல்ஜிப்ராக்கள்ஃ முதல் எதிர்பார்த்தபடி (பின்னல் அல்லாத வழக்கு) என்பதைக் கவனியுங்கள், அதே நேரத்தில் இரண்டாவது அது வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாணமாக இருக்கும் அளவிற்கு துண்டிக்கப்பட்டுள்ளது! இதேபோல், k இல் சில q ஆல் செயல்படும் g உடன் ஒரு உயர் சுழற்சி குழுவின் மீது Vq என்பது நிக்கோல்ஸ் அல்ஜிப்ராவைக் கொண்டுள்ளது, q §1 என்பது ஒற்றுமையின் பழமையான n-வது மூலமாகும், இல்லையெனில். (ஒரு இயற்பியல் கண்ணோட்டத்தில், வி + ஒரு போசானுடன் ஒத்திருக்கிறது, அதே நேரத்தில் வி-பாலி விலக்கு கொள்கையால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட ஒரு ஃபெர்மியனைக் குறிக்கிறது; சடைப் பரிமாற்றிகளைக் கருத்தில் கொள்ளும்போது மீண்டும் நிகழும் ஒரு ஒப்புமை, இந்த சந்தர்ப்பங்களில் (எதிர்) பரிமாற்றிகளாக இருப்பதால், சூப்பர்சிமெட்ரியையும் ஒரு குவாண்டம் குழு மற்றும் விவாதமாகப் பார்க்கவும்) ஜி அபெலியன் மீது உயர் தரவரிசை எடுத்துக்காட்டுகள்ஃ சடைப் பரிமாற்றிகள் அடுத்த எடுத்துக்காட்டுகள் இரண்டு அடிப்படை கூறுகளின் தொடர்புகளைக் காட்டுகின்றனஃ ஹோப்ஃப் இயற்கணிதத்துடன் எச் = கே [இசட்/2 இசட் × இசட்/2 இசட்] குழுவில் இரு பரிமாண எட்டர்-டிரின்ஃபெல்ட் தொகுதி V0,1 = கேஎக்ஸ்ஐக் கருத்தில் கொள்ளுங்கள். வி01 இல் எச்-கோஆக்ஷன்/கிராஜுவேஷன் ஆகவும், எச்-ஆக்சன் ஆகவும் எடுத்துக் கொள்ளுங்கள் (ரெஸ்ப். Z/2Z-செயல்) V0,1 இல்ஃ "+" உடன் V0 க்கு (சமச்சீர்) மற்றும் "-" உடன் V1 க்கு (சமச்சீரற்றது) இவ்வாறு பின்னல் உள்ளது பின்னர், அடையாளத் தேர்வைப் பொறுத்து, நிக்கோல்ஸ் ஆல்ஜிப்ராக்கள் பரிமாணம் 4 மற்றும் 8 ஆகும் (அவை கீழே உள்ள வகைப்பாட்டில் தோன்றும்): அங்கு ஒருவர் அரை எளிய லை ஆல்ஜிப்ராக்களுடன் குறிப்பிடத்தக்க ஒற்றுமையைக் காணலாம்ஃ முதல் வழக்கில், பின்னப்பட்ட கம்யூட்டேட்டர் [x, y] (இங்கேஃ ஆன்டிகம்யூட்டேட்டர்) பூஜ்ஜியமாகும், இரண்டாவது வழக்கில், ரூட் சரம் நீளமானது [x, [x, y]] = 0 ஆகும். எனவே இவை இரண்டும் டைன்கின் வரைபடங்கள் மற்றும் A2 ஐச் சேர்ந்தவை. டைன்கின் வரைபடங்களான B2, G2 ஆகியவற்றுடன் தொடர்புடைய இன்னும் நீளமான வேர் சரங்கள் V2, V3 உடன் எடுத்துக்காட்டுகளை உருவாக்குகிறது (ஆனால் உயர்ந்தவை எதுவும் இல்லை). லை ஆல்ஜிப்ராக்களின் உலகளாவிய உறை, குவாண்டம் குழுக்கள் நிக்கோல்ஸ் ஆல்ஜிப்ராக்கள் குவாண்டம் குழுக்களின் போரெல் பகுதியாக இருப்பதற்கும் அவற்றின் பொதுமைப்படுத்தல்களுக்கும் மிகவும் பிரபலமானவை. இன்னும் துல்லியமாக ஒரு அபெலியன் குழுவின் மீது மூலைவிட்டமான எட்டர்-ட்ரின்ஃபெல்ட் தொகுதியாக இருக்கட்டும், அங்கு அரை எளிய (வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண) லை இயற்கணிதத்தின் கொலை வடிவம் உள்ளது, பின்னர் நிக்கோல்ஸ் இயற்கணிதம் லுஸ்டிக்கின் சிறிய குவாண்டம் குழுவின் நேர்மறையான பகுதியாகும் சூப்பர்-லை ஆல்ஜிப்ராக்களை உள்ளடக்கியது ஹெக்கன்பெர்கர்ஸ் பட்டியலில் லை ஆல்ஜிப்ராக்களை விட மூலைவிட்ட நிக்கோல்ஸ் ஆல்ஜிப்ராக்கள் உள்ளன, மேலும் ரூட் சிஸ்டம் கோட்பாடு முறையானது, ஆனால் மிகவும் சிக்கலானது (கீழே காண்க). குறிப்பாக சூப்பர்-லை-ஆல்ஜிப்ராக்கள் (கீழே உள்ள எடுத்துக்காட்டு) மற்றும் ஒரு குறிப்பிட்ட வரையறுக்கப்பட்ட பண்புகளில் மட்டுமே தோன்றும் சில லை ஆல்ஜிப்ராக்கள் மற்றும் சூப்பர்-லை-ஆல்ஜிப்ராக்களின் வகைப்பாடுகளும் இதில் உள்ளன. இவ்வாறு நிக்கோல்ஸ் இயற்கணிதக் கோட்பாடு மற்றும் வேர் அமைப்புக் கோட்பாடு இந்த கருத்துக்களுக்கு ஒரு ஒருங்கிணைந்த கட்டமைப்பை வழங்குகிறது. k = C க்கு மேல் ஒரு சில வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண நிக்கோல்ஸ் ஆல்ஜிப்ராக்கள் மட்டுமே இதுவரை அறியப்பட்டுள்ளன. இந்த விஷயத்தில் ஒவ்வொரு பகுக்கமுடியாத எட்டர்-ட்ரின்ஃபீல்ட் தொகுதியும் குழுவின் இணைவு வகுப்பிற்கு ஒத்திருக்கிறது என்று அறியப்படுகிறது (g இன் மையப்படுத்தியின் பகுக்கமுடியாத பிரதிநிதித்துவத்துடன்). ஒரு தன்னிச்சையான எட்டர்-ட்ரின்ஃபீல்ட் தொகுதி என்பது அத்தகையவற்றின் நேரடி கூட்டுத்தொகையாகும், கூட்டுத்தொகைகளின் எண்ணிக்கை தரவரிசை என்று அழைக்கப்படுகிறது; ஒவ்வொரு கூட்டுத்தொகையும் டைன்கின் வரைபடத்தில் உள்ள அனோடுடன் ஒத்திருக்கிறது (கீழே காண்க). மேலே உள்ள அபெலியன் குழுக்களுக்கு, பகுக்கமுடியாத கூட்டுத்தொகைகள் 1 பரிமாணம் கொண்டவை, எனவே தரவரிசையும் பரிமாணமும் ஒத்துப்போகின்றன என்பதை நினைவில் கொள்க. காக்செட்டர் குழுவில் உள்ள பிரதிபலிப்புகளின் இணை வகுப்பு (எஸ்) உடன் தொடர்புடைய நிக்கோல்ஸ் இயற்கணிதம் குறிப்பிட்ட எடுத்துக்காட்டுகளில் அடங்கும், அவை ஃபோமின் கிரிலோவ் ஆல்ஜிப்ராக்களுடன் தொடர்புடையவை. இந்த நிக்கோல்ஸ் ஆல்ஜிப்ராக்கள் வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாணம் கொண்டவை என்று அறியப்படுகிறது, ஆனால் ஏற்கனவே வழக்கு 2000 முதல் திறந்திருக்கும். மற்றொரு வகை எடுத்துக்காட்டுகளை அபெலியன் வழக்கிலிருந்து வரைபட தானியங்கி உருவகங்கள் மூலம் மடிப்பதன் மூலம் கட்டமைக்க முடியும். நமது அறிவின் அளவிற்கு வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண நிக்கோல்ஸ் ஆல்ஜிப்ராக்களின் பட்டியலுக்கு இங்கே பார்க்கவும். வேர் அமைப்பு ஒரு மிகவும் குறிப்பிடத்தக்க அம்சம் என்னவென்றால், ஒவ்வொரு நிக்கோல்ஸ் இயற்கணிதத்திற்கும் (போதுமான வரையறுக்கப்பட்ட நிலைமைகளின் கீழ்) வேர்களின் தொகுப்புடன் ஒரு பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட வேர் அமைப்பு உள்ளது, இது நிக்கோல்ஸ் இயற்கணிதத்தை கட்டுப்படுத்துகிறது. இது மூலைவிட்ட நிக்கோல்ஸ் ஆல்ஜிப்ராக்களில் பைகாராக்டரின் அடிப்படையில் மற்றும் பொது அரை எளிய நிக்கோல்ஸ் ஆல்ஜிப்ராக்களில் கண்டுபிடிக்கப்பட்டுள்ளது. லை ஆல்ஜிப்ராக்களிலிருந்து அறியப்பட்ட சாதாரண படிகவியல் வேர் அமைப்புகளுக்கு மாறாக, ஒரே பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட வேர் அமைப்பு பல வேறுபட்ட வேய்ல் அறைகளைக் கொண்டிருக்கலாம், இது நேர்மறை வேர்கள் மற்றும் எளிய நேர்மறை வேர்களின் தொகுப்புகளின் சமமற்ற தேர்வுகளுடன் தொடர்புடையது, வெவ்வேறு கார்டன் மேட்ரிக்ஸ்கள் மற்றும் வெவ்வேறு டைன்கின் வரைபடங்களைக் கொண்டுள்ளது. வெவ்வேறு வேய்ல் அறைகள் உண்மையில் வேய்ல்-சமமானவை என்று அழைக்கப்படும் வெவ்வேறு ஐசோமார்பிக் அல்லாத நிக்கோல்ஸ் ஆல்ஜிப்ராக்களுடன் ஒத்திருக்கின்றன. இங்கே அனைத்து போரெல் பகுதிகளும் ஐசோமார்பிக் என்ற உண்மையைப் பொறுத்தவரை குவாண்டம் குழுக்கள் மிகவும் சிறப்பு வாய்ந்தவை; இருப்பினும் இந்த விஷயத்தில் கூட லுஸ்டிக்கின் பிரதிபலிப்பு ஆபரேட்டர் மீண்டும் ஒரு ஹோப்ஃப் இயற்கணிதம் ஐசோமார்பிசம் அல்ல! வேய்ல் குரூபாய்டு மற்றும் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட வேர்கள் அமைப்பின் வரையறை முறையான அடிப்படையுடன் தரவரிசை எங்கே என்று பார்ப்போம். நாம் முதலில் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட கார்டன் வரைபடங்களைப் பற்றி பின்வருமாறு விவாதிக்கலாம்ஃ ஒரு பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட கார்டன் மேட்ரிக்ஸ் என்பது ஒரு ஒருங்கிணைந்த மேட்ரிக்ஸ் ஆகும், இது போன்ற கார்டன் வரைபடம் என்பது ஒரு கார்டன் மேட்ரிக்ஸின் தொகுப்பாகும், இது பொருள்கள்/அறைகளின் தொகுப்பால் அளவிடப்படுகிறது, (பொருள் மாற்றம்) மார்ஃபிஸத்துடன் சேர்ந்து வரைபடங்களை வரையறுக்கவும் (லை அல்ஜீப்ரா இலக்கியம் டிரான்ஸ்போஸ் மரபையும் கொண்டுள்ளது என்பதைக் கவனியுங்கள், எ. கா. ஹம்ப்ரேயின் புத்தகத்தில்) வேய்ல் குழுமம் என்பது பொருள்கள் மற்றும் உருவகங்களுடன் முறைப்படி உருவாக்கப்படும் குழுக்களால் உருவாக்கப்படும் வகையாகும் உண்மையான வேர்களின் தொகுப்பு வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்பாகும், பின்னர் ஒரு வகை வேர் அமைப்பு என்பது கிரிஸ்டலோகிராஃபிக் ஹைப்பர்பிளேன் ஏற்பாடுகளுக்கு வரையறுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டுடன் ஒரு தொகுப்பாகும். இவை இயல்பான திசையன்களின் தோற்றம் மற்றும் தேர்வுகள் மூலம் ஹைப்பர்பிளேன்களின் தொகுப்பாகும், அதாவது இயல்பான திசையன்களுடன் ஹைப்பர்பிளேன்களால் சூழப்பட்ட ஒவ்வொரு எளிய அறைக்கும் மற்ற அனைத்து தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட இயல்பான திசையன்களும் ஒருங்கிணைந்த நேரியல் கலவையாக வெளிப்படுத்தப்படலாம். அனைத்து வரையறுக்கப்பட்ட படிகவியல் ஹைப்பர்பிளேன் ஏற்பாடுகளின் தொகுப்பிலும் (எனவே வரையறுக்கப்பட்ட வேய்ல் குழுமங்கள் அல்லது வரையறுக்கப்பட்ட பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட வேர் அமைப்புகள்) வகைப்படுத்தப்பட்டுள்ளன. பிரதிபலிப்பு ஏற்பாடுகளைத் தவிர மேலும் ஒரு எல்லையற்ற குடும்பம் உள்ளது மற்றும் மொத்தம் 74 விதிவிலக்குகள் உள்ளன. தரவரிசை 3 இன் எடுத்துக்காட்டு (ஒரு சூப்பர் லை இயற்கணிதம்) சிறிய படிகவியல் ஹைப்பர்பிளேன் ஏற்பாடு, வேய்ல் குழுமம், பொதுவான வேர் அமைப்பு, இது சாதாரண லை வகையைச் சேர்ந்தது அல்ல, பின்வருமாறு. இது ஒரு மூலைவிட்ட நிக்கோல்ஸ் இயற்கணிதத்திற்கு, ஒரு சூப்பர் லை இயற்கணிதத்திற்கு கூட தோன்றுகிறது. ஹைப்பர்பிளேன் ஏற்பாட்டை ஒரு கியூபோக்டாஹெட்ரான் (ஒரு பிளாட்டோனிக் திட) இலிருந்து உருவாக்க முடியும்ஃ இது வேர்களைக் கொண்டுள்ளது (ரெஸ்ப். ஹைப்பர்பிளேன்கள், சமபக்க முக்கோண ரெஸ்பை கட்டுப்படுத்தும் படங்களில். சதுரங்களில் உள்ள மூலைவிட்டங்கள், சூப்பர் லை இயற்கணிதத்தில் ஒற்றைப்படை ரெஸ்ப். கூட வேர்கள்). இது பல்வேறு வகையான வேய்ல் அறைகளைக் (சமபக்க முக்கோணங்கள் ரெஸ்ப்) கொண்டுள்ளது. வலது முக்கோணங்கள்) வெவ்வேறு கார்டன் மேட்ரிக்ஸ்களுடன், இதில் எளிய வேர்களின் அடிப்படையில் வேர்கள் பின்வருமாறுஃ படத்தில் வெள்ளை அறை, எ. கா. அடிப்படையுடன். தெளிவாக, இந்த வகை அறையின் டைன்கின் வரைபடம் ஒரு எளிய-செதுக்கப்பட்ட முக்கோணம், பிரதிபலிப்பு ஆன் இரண்டாவது வகை அறைக்கு நம்மைக் கொண்டுவருகிறது படத்தில் சாம்பல் அறை, எ. கா. அடிப்படையுடன். இந்த வகை அறையின் டைன்கின் வரைபடம் வெறும் (ஆனால் இன்னும் ஒரு வேர்). இந்த வேர் அமைப்பு எல்லையற்ற தொடரின் மிகச்சிறிய உறுப்பினர் ஆகும். படங்கள் எங்கிருந்து வந்தன, உதாரணமும் விரிவாக விவாதிக்கப்படுகிறது. வகைப்பாடு (விவரங்கள்) அபெலியன் குழுக்களுக்கு மேல் k = C இல் உள்ள அபெலியன் குழுக்களுக்கு மேல் வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாணம் கொண்ட நிக்கோல்ஸ் ஆல்ஜிப்ராக்கள், எண்கணித வேர் அமைப்புகள் மற்றும் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட டைன்கின் வரைபடங்களை வகைப்படுத்துவதன் மூலம் 2004-2005 ஆண்டுகளில் இஸ்ட்வான் ஹெக்கன்பெர்கர் வகைப்படுத்தினார், அங்கு ஏற்கனவே கார்செங்கோ அவை மறுசுழற்சி செய்யப்பட்ட (சடை) கம்யூட்டேட்டர்களின் பாயின்கேர்-பிர்கோஃப்-விட் அடிப்படையைக் கொண்டுள்ளன என்பதை நிரூபித்திருந்தார். ஒருவருக்குத் தேவையான ஒரே தகவல் சடை மேட்ரிக்ஸ் ஆகும், இது இந்த அமைப்பில் மூலைவிட்டமாக உள்ளது (மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்க்கவும்) பெரும்பாலும் கிளாசிக்கல் கார்டன்-வழக்குகள் மட்டுமே தோன்றினாலும், ஒரு முக்கோணம் போன்ற சிறிய பகா எண்களுக்கு பல கவர்ச்சியான வரைபடங்கள் சாத்தியமாகும். இதுவும் சரியான காரணம், இந்த கவர்ச்சியான வழக்குகள் ஒரு வழக்கமான குழுவிற்கு பதிலாக ஒரு வெயில்-குழுவைக் கொண்டுள்ளன. நிக்கோல்ஸ் இயற்கணிதத்தின் ஜெனரேட்டர்கள் மற்றும் உறவுகள் வேர் அமைப்பிலிருந்து உடனடியாக கிடைக்காது. மாறாக, ஒருவர் லினாண்ட் சொற்களால் கடினமான வேலையைச் செய்ய வேண்டும். இது முற்றிலும் எதிர்மறை அளவுகோல்களில் செய்யப்பட்டுள்ளதுஃ குறிப்பாக பகுக்கமுடியாத V க்கு துணை தொகுதிகள் எதுவும் இல்லை; இருப்பினும், இரண்டு கூறுகளின் பின்னலை மட்டுமே பிரதிபலிக்கும் சப்ராக் பற்றிய மிகவும் சுருக்கமான கருத்தை ஒருவர் பயன்படுத்தலாம். பல ஆவணங்களில், நிக்கோலஸ் ஆண்ட்ருஸ்கீவிட்ச் மற்றும் பலர். (ஒருங்கிணைக்க முடியாத) நிக்கோல்ஸ் ஆல்ஜிப்ராக்களைக் கொண்டிருப்பதில் இருந்து குழுக்களைத் தவிர்த்து எதிர்மறை அளவுகோல்களை வழங்கியது. அவற்றின் நுட்பங்களை தோராயமாக சுருக்கமாகக் கூறலாம் (மேலும் விவரங்கள்! ): இந்த அன்சாட்ஸ் சில நேரங்களில் வலுவான நிபந்தனைகளை வைக்கிறது, குறிப்பாக எந்த ஜி-தரப்படுத்தப்பட்ட உறுப்பு x ஐ தன்னுடன் பிணைப்பதில் (எ. கா. மேலே உள்ள முதல் எடுத்துக்காட்டு q §1) ஐக் காட்டுகிறது. மையப்படுத்தியில் g மையமாக இருப்பதால், இது ஷுர் லெம்மாவின் விளைவாக ஒரு அளவிடுதலால் பகுக்கமுடியாத பிரதிநிதித்துவத்தில் செயல்படுகிறது என்பதை நினைவில் கொள்க; எனவே இந்த சுய பிரேடிங் ரெஸ்ப். 1-டிம் சப்-யெட்டர்-ட்ரின்ஃபீல்ட் தொகுதி/சடை வெக்டர்ஸ்பேஸ்/1-டிம் சப்ராக் மூலைவிட்டமாக உள்ளது இது பொதுவாக g ஐ விலக்க பயன்படுத்தப்படுகிறது. எ. கா. ஒற்றைப்படை வரிசையில் இருப்பது மற்றும்/அல்லது உயர் பரிமாணத்தின் χ: g உண்மையானதாக இருந்தால் (அதாவது. அதன் தலைகீழுடன் இணைக்கப்பட்டால்) பின்னர் q =-1 (குறிப்பாக g சம வரிசையில் இருக்க வேண்டும்) g அரை-யதார்த்தமாக இருந்தால் (அதாவது. சில j-th சக்தியுடன் இணைக்கப்பட்டுள்ளது) பின்னர் மேலே உள்ளபடி q =-1 அல்லது மற்றும் பிரதிநிதித்துவம் χ என்பது q = ζ3 உடன் ஒரு பரிமாணமாகும், இது ஒற்றுமையின் ஒரு பழமையான 3 வது வேர் (குறிப்பாக g இன் வரிசை 3 ஆல் வகுக்கப்படுகிறது) மாறாக g ஒரு ஊடுருவல் மற்றும் சில மையப்படுத்தப்பட்ட h = tgt என்றால், பின்னர் செயல்படும் h இன் ஐகென் மதிப்புகள் (மேட்ரிக்ஸாக பார்க்கப்படுகிறது) வலுவாக கட்டுப்படுத்தப்படுகின்றன. நபிலியன் அல்லாத குழுக்களின் மீது வேர் அமைப்புகள் ஒரு வேர் அமைப்பு இருப்பது நபிலியன் அல்லாத விஷயத்தில் பின்வரும் மிகவும் வலுவான தாக்கங்களை உடனடியாகக் குறிக்கிறதுஃ தரவரிசை 2 நிக்கோல்ஸ் ஆல்ஜிப்ராக்களுக்கு உடனடி விளைவுகள் குறிக்கப்படுகின்றன, அவை g, h டிஸ்கம்யூட்டிங்; பின்னர்ஃ உறுப்புகளின் சடை செய்யப்பட்ட கம்யூட்டேட்டர்கள் [x, y] அனைத்தும் பூஜ்ஜியமாக இல்லை. பின்னப்பட்ட கம்யூட்டேட்டர்களின் இடம் ஒரு பகுக்கமுடியாத துணை-யெட்டர்-ட்ரின்ஃபீல்ட் தொகுதியை உருவாக்குகிறது (அதாவது. லை அல்ஜிப்ரா வழக்கில் உள்ளதைப் போல வேர் தனித்துவமானது) அவை "பயணத்திற்கு நெருக்கமாக உள்ளன" இது தோராயமாக, நபேலியன் அல்லாத குழுக்களில் வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண நிக்கோல்ஸ் ஆல்ஜிப்ராக்கள் மிகக் குறைந்த தரவரிசையில் (இருந்தால்) இருக்க வேண்டும் அல்லது குழு நெருக்கமாக இருக்க வேண்டும் என்பதைக் குறிக்கிறது. எதிர்மறை அளவுகோல்கள்ஃ அபெலியன் அல்லாத துணை அடுக்குகள் (வகை டி) அபெலியன் குழுக்களை விட நிக்கோல்ஸ் ஆல்ஜிப்ராக்களுக்கான ஹெக்கன்பெர்கரின் கட்டமைப்பு வகைப்பாட்டை அபெலியன் துணை அடுக்குகள் பயன்படுத்துவதால் (மேலே காண்க) ஒருவர் அபெலியன் அல்லாத துணை அடுக்குகளையும் கருத்தில் கொள்ளலாம். அத்தகைய ஒரு சப்ராக் பல துண்டுகளாக சிதைந்தால் (இப்போது இணைப்பதற்கு குறைவான உறுப்பு இருப்பதால்), வேர் அமைப்புகளில் மேலே உள்ள முடிவுகள் பொருந்தும். இது மிகவும் வெற்றிகரமாக இருக்கும் ஒரு குறிப்பிட்ட வழக்கு வகை டி, அதாவது. r க்கு, s உருவாக்கப்படும் துணைக்குழுவில் இணைக்கப்படவில்லை, இந்த விஷயத்தில் துணைக்குழுவின் நிக்கோல்ஸ் இயற்கணிதம் எல்லையற்ற பரிமாணமானது, அதேபோல் முழு நிக்கோல்ஸ் இயற்கணிதம் வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண நிக்கோல்ஸ் ஆல்ஜிப்ராக்களை ஏற்றுக்கொள்ளாத அறியப்பட்ட குழுக்கள் மேலே உள்ள இரண்டு எதிர்மறை நுட்பங்களும் (ஒருங்கிணைக்க முடியாத) வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண நிக்கோல்ஸ் ஆல்ஜிப்ராக்களை நிராகரிக்க மிகவும் பயனுள்ளதாக உள்ளனஃ சமச்சீர் குழுக்களுக்கான மாற்று குழுக்களுக்கு சில லை வகைகளின் குறுகிய பட்டியலைத் தவிர (ஆதாரங்கள், முழுமையான பட்டியல்?) சாத்தியக்கூறுகளின் குறுகிய பட்டியலைத் தவிர அனைத்து இடைநிலைக் குழுக்களும் (ரெஸ்ப். ஏ. டி. எல். ஏ. எஸ் குறியீட்டில் உள்ள கான்ஜுகேசி வகுப்புகள்) அவை அனைத்தும் உண்மையானவை அல்லது ஜே = 3-குவாசிரியல்ஃ. ஃபிஷர் குழுவிற்கு வகுப்புகள். குழந்தை அசுரன் குழு பி-க்கு வகுப்புகள். அசுரன் குழு எம்-க்கு வகுப்புகள் பொதுவாக அதிக அளவு கான்ஜுகேசி வகுப்புகள் ஏ. இ வகை டி ("போதுமான பரிமாற்றமல்ல"), மற்றவை போதுமான அபெலியன் துணை அடுக்குகளைக் கொண்டுள்ளன, மேலும் அவற்றின் பரிசீலனையால் விலக்கப்படலாம். பல வழக்குகள் கையால் செய்யப்பட வேண்டும். திறந்த வழக்குகள் மிகச் சிறிய மையப்படுத்திகள் (பொதுவாக சுழற்சி) மற்றும் பிரதிநிதித்துவங்கள் χ (பொதுவாக 1 பரிமாண அடையாள பிரதிநிதித்துவம்) ஆகியவற்றைக் கொண்டுள்ளன என்பதை நினைவில் கொள்க. குறிப்பிடத்தக்க விதிவிலக்குகள் வரிசை 16,32 இன் இணை வகுப்புகள் 2048 ரெஸ்ப் வரிசையின் பி-குழுக்களை மையமாகக் கொண்டுள்ளன. 128 மற்றும் தற்போது χ மீது எந்த கட்டுப்பாடுகளும் இல்லை. பயன்பாடுகள் நிக்கோல்ஸ் இயற்கணிதம் நிக்கோலஸ் ஆண்ட்ருஸ்குவிட்ச் மற்றும் ஹான்ஸ்-ஜூர்கன் ஷ்னைடர் ஆகியோரால் வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண-முனை கொண்ட ஹோப்ஃப் ஆல்ஜிப்ராக்களின் (சிறிய பகா எண்கள் இல்லாமல்) வகைப்பாட்டில் குவாண்டம் போரெல் பகுதியாக தோன்றுகிறது, குறிப்பாக குவாண்டம் குழுக்கள். எடுத்துக்காட்டாக, ஒற்றுமையின் மூலமான q க்கான அவற்றின் நன்கு அறியப்பட்ட துண்டுகள் ஒரு சாதாரண அரை எளிய லை இயற்கணிதத்தைப் போலவே E இன் (போரெல் பகுதி), இரட்டை F இன் மற்றும் K இன் (கார்டன் இயற்கணிதம்) ஆக சிதைகின்றனஃ இங்கே, கிளாசிக்கல் கோட்பாட்டில் V என்பது பரிமாணத்தின் திசையன் n (தரவரிசை) E இன் மூலம் பரவியுள்ளது, மேலும் σ (கோசைல்ஸ் திருப்பம் என்று அழைக்கப்படுகிறது) E மற்றும் F இன் இடையே அற்பமான இணைப்பை உருவாக்குகிறது. கிளாசிக்கல் கோட்பாட்டிற்கு மாறாக, இரண்டுக்கும் மேற்பட்ட இணைக்கப்பட்ட கூறுகள் தோன்றலாம் என்பதை நினைவில் கொள்க. சிட்டியைப் பார்க்கவும். உள்ளூர் ". A3 வகையின் 4 பகுதிகளைக் கொண்ட ஒரு கவர்ச்சியான உதாரணத்திற்கு. இந்த வகைப்பாடு தோராயமாக கொடுக்கப்பட்ட கற்பனையான உதாரணத்தை (கோரடிக்கல்-) குழு மற்றும் (இணைக்கப்பட்ட-) பகுதியின் ராட்ஃபோர்ட் இரு விளைபொருளாக குறைக்கிறது, இது நிக்கோல்ஸ் இயற்கணிதத்தைக் கொண்டுள்ளது, அதனுடன் தொடர்புடைய "தரப்படுத்தப்பட்ட பொருளை" (அனைத்து இணைப்புகளையும் கொல்வது) எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம். மேலே உள்ள வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண நிக்கோல்ஸ் ஆல்ஜிப்ராக்களின் வகைப்பாட்டின் அறிவுடன், இணைக்கப்பட்ட பகுதியில் (டிகிரி 1 இல் உருவாக்கம்) தோன்றும் கூடுதல் கூறுகள் எதுவும் இல்லை என்பதை ஆசிரியர்கள் நிரூபிக்கிறார்கள், இறுதியாக பொதுவான டைன்கின் வரைபடங்களில் சாத்தியமான அனைத்து லிஃப்டிங்ஸ்களையும் "புள்ளியிடப்பட்ட கோடுகள்" என்று விவரிக்கிறார்கள். சமீபத்தில், இந்த கடிதப் பரிமாற்றம் வேய்ல் குழுவுடன் 1:1 கடிதப் பரிமாற்றத்தில் இருக்கும் சில கோயிடியல் சபால்ஜெப்ராக்கள் என்று அழைக்கப்படுவதை அடையாளம் காண பெரிதும் விரிவுபடுத்தப்பட்டுள்ளது, இது முன்பு "எண் தற்செயல் நிகழ்வு" என்று ஊகிக்கப்பட்டு சில சந்தர்ப்பங்களில் கையால் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. குறிப்புகள் ஹோப்ஃப் ஆல்ஜிப்ராக்கள் குவாண்டம் குழுக்கள்