Quantum pendulum
வேதியியலில் தடுக்கப்பட்ட உள் சுழற்சிகள், சிதறல் அணுக்களின் குவாண்டம் அம்சங்கள் மற்றும் ஏராளமான பிற குவாண்டம் நிகழ்வுகளைப் புரிந்துகொள்வதில் குவாண்டம் ஊசல் அடிப்படையானது. சிறிய கோண தோராயத்திற்கு உட்படாத ஒரு ஊசல் ஒரு உள்ளார்ந்த நேரியல் அல்லாத தன்மையைக் கொண்டிருந்தாலும், அளவிடப்பட்ட அமைப்பிற்கான ஷ்ரோடிங்கர் சமன்பாட்டை ஒப்பீட்டளவில் எளிதாக தீர்க்க முடியும். ஷ்ரோடிங்கர் சமன்பாடு கிளாசிக்கல் இயக்கவியலில் இருந்து லாக்ராஞ்சியன் இயக்கவியலைப் பயன்படுத்தி, இந்த அமைப்புக்கு ஒரு ஹாமில்டோனியனை உருவாக்க முடியும். ஒரு எளிய ஊசல் ஒரு பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ஒருங்கிணைப்பு (கோண இடப்பெயர்ச்சி) மற்றும் இரண்டு கட்டுப்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளது (சரத்தின் நீளம் மற்றும் இயக்க தளம்). அமைப்பின் இயக்க மற்றும் சாத்தியமான ஆற்றல்களைக் கண்டறியலாம் இது ஹாமில்டோனியனில் விளைகிறது அமைப்புக்கு நேரத்தை சார்ந்த ஷ்ரோடிங்கர் சமன்பாடு ஆற்றல் நிலைகள் மற்றும் அதனுடன் தொடர்புடைய ஐகென்ஸ்டேட்களைக் கண்டறிய நேரம்-சுயாதீனமான ஷ்ரோடிங்கர் சமன்பாட்டை ஒருவர் தீர்க்க வேண்டும். சுயாதீன மாறியை பின்வருமாறு மாற்றுவதன் மூலம் இது சிறப்பாக நிறைவேற்றப்படுகிறதுஃ இது வெறுமனே மத்தேயுவின் வேறுபாடு சமன்பாடாகும், அதன் தீர்வுகள் மத்தேயுவின் செயல்பாடுகளாகும். குணாதிசய மதிப்புகள் என்று அழைக்கப்படும் எண்ணற்ற பல சிறப்பு மதிப்புகளுக்கு, மாத்யூ சமன்பாடு காலத்துடன் காலமுறையான தீர்வுகளை ஏற்றுக்கொள்கிறது. மத்தேயு கொசைன், சைன் செயல்பாடுகளின் சிறப்பியல்பு மதிப்புகள் முறையே எழுதப்படுகின்றன, இது ஒரு இயற்கை எண். மத்தேயு கொசைன் மற்றும் சைன் செயல்பாடுகளின் குறிப்பிட்ட கால சிறப்பு நிகழ்வுகள் பெரும்பாலும் முறையே எழுதப்படுகின்றன, இருப்பினும் அவை பாரம்பரியமாக வேறுபட்ட இயல்பாக்கம் கொடுக்கப்படுகின்றன (அதாவது, அவற்றின் நெறிமுறை சமம்). குவாண்டம் ஊசல் உள்ள எல்லை நிபந்தனைகள் கொடுக்கப்பட்டவற்றுக்கு பின்வருவனவற்றைக் குறிக்கின்றனஃ அமைப்பின் ஆற்றல்கள், முறையே சம/ஒற்றைப்படை தீர்வுகளுக்கு, மத்தேயு சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதன் மூலம் காணப்படும் சிறப்பியல்பு மதிப்புகளின் அடிப்படையில் அளவிடப்படுகின்றன. பயனுள்ள சாத்தியமான ஆழத்தை ஒரு ஆழமான ஆற்றல் ஒரு சுயாதீனமான ஆற்றலில் ஒரு துகள் இயக்கவியலை வழங்குகிறது என்று வரையறுக்கலாம். இதற்கு மாறாக, ஆழமற்ற ஆற்றலில், ப்ளோச் அலைகள், அதே போல் குவாண்டம் சுரங்கப்பாதை அமைத்தல் ஆகியவை முக்கியத்துவம் பெறுகின்றன. பொதுவான தீர்வு a மற்றும் q இன் கொடுக்கப்பட்ட மதிப்புக்கான மேற்கண்ட வேறுபாடு சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு நேரியல் சுயாதீனமான மத்தேயு கொசைன்கள் மற்றும் மத்தேயு சைன்களின் தொகுப்பாகும், அவை முறையே சம மற்றும் ஒற்றைப்படை தீர்வுகளாகும். பொதுவாக, மத்தேயு செயல்பாடுகள் அபெரியோடிக் ஆகும்; இருப்பினும், இதன் சிறப்பியல்பு மதிப்புகளுக்கு, மத்தேயு கொசைன் மற்றும் சைன் ஒரு காலத்துடன் காலமுறை ஆகின்றன. ஐஜென்ஸ்டேட்கள் q இன் நேர்மறை மதிப்புகளுக்கு, பின்வருவன உண்மை ஆகும்ஃ இதற்கு முதல் சில காலமுறை மத்தேயு கொசைன் செயல்பாடுகள் இங்கே உள்ளன. உதாரணமாக, (பச்சை) ஒரு கொசைன் செயல்பாட்டை ஒத்திருக்கிறது, ஆனால் தட்டையான மலைகள் மற்றும் ஆழமற்ற பள்ளத்தாக்குகளுடன். மேலும் காண்க குவாண்டம் ஹார்மோனிக் ஊசலாட்ட நூலியல் முஹம்மது அயூப், அணு ஒளியியல் குவாண்டம் பெண்டுலம், 2011, இஸ்லாமாபாத், பாகிஸ்தான்., குவாண்டம் மாதிரிகள் பெண்டுலம்கள்