Belinfante–Rosenfeld stress–energy tensor
கணித இயற்பியலில், பெலின்ஃபான்டே-ரோசன்ஃபீல்ட் டென்சர் என்பது ஆற்றல்-வேக டென்சரின் மாற்றமாகும், இது நியதி ஆற்றல்-வேக டென்சர் மற்றும் சுழல் மின்னோட்டத்திலிருந்து சமச்சீராக இருந்தாலும் இன்னும் பாதுகாக்கப்படும் வகையில் கட்டப்பட்டுள்ளது. ஒரு கிளாசிக்கல் அல்லது குவாண்டம் லோக்கல் ஃபீல்ட் கோட்பாட்டில், லோரென்ட்ஸ் உருமாற்றங்களின் ஜெனரேட்டரை ஒரு லோக்கல் மின்னோட்டத்தின் ஒருங்கிணைந்ததாக எழுதலாம். கோண உந்தத்தின் உள்ளூர் பாதுகாப்புக்கு சுழற்சி-மின்னோட்டத்தின் ஒரு ஆதாரம் ஒரு சமச்சீர் அல்லாத நியதி ஆற்றல்-உந்த இழுவிசையைக் குறிக்கிறது. பெலின்ஃபான்டே-ரோசன்ஃபீல்ட் டென்சர் என்பது ஆற்றல் வேக டென்சரின் மாற்றமாகும், இது நியதி ஆற்றல் வேக டென்சர் மற்றும் சுழல் மின்னோட்டத்திலிருந்து கட்டமைக்கப்பட்டுள்ளது, இது சமச்சீராக இருந்தாலும் இன்னும் பாதுகாக்கப்படுகிறது. பகுதிகளின் ஒருங்கிணைப்பு பெலின்ஃபான்டே டென்சரின் இயற்பியல் விளக்கம் என்னவென்றால், இது உள்ளார்ந்த கோண உந்தத்தின் சாய்வுகளுடன் தொடர்புடைய "பிணைக்கப்பட்ட உந்தத்தை" உள்ளடக்கியது என்பதைக் காட்டுகிறது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், சேர்க்கப்பட்ட சொல் காந்தமயமாக்கல் அடர்த்தியுடன் தொடர்புடைய "பிணைக்கப்பட்ட மின்னோட்டத்தின்" ஒப்புமை ஆகும். சமச்சீர் மற்றும் இன்னும் பாதுகாக்கப்பட வேண்டிய சுழற்சி-மின்னோட்ட கூறுகளின் வினோதமான கலவை முற்றிலும் தற்காலிகமாகத் தோன்றுகிறது, ஆனால் மாற்றியமைக்கப்பட்ட டென்சர் துல்லியமாக சமச்சீர் ஹில்பர்ட் ஆற்றல்-வேக டென்சர் என்று ரோசன்ஃபெல்ட் மற்றும் பெலின்ஃபான்டே ஆகியோரால் காட்டப்பட்டது, இது பொது சார்பியலில் ஈர்ப்பு மூலமாக செயல்படுகிறது. காந்தப்புலத்தின் ஆதாரமாக செயல்படும் பிணைக்கப்பட்ட மற்றும் இலவச நீரோட்டங்களின் கூட்டுத்தொகையைப் போலவே, பிணைக்கப்பட்ட மற்றும் இலவச ஆற்றல்-உந்தத்தின் கூட்டுத்தொகையே ஈர்ப்பு விசையின் ஆதாரமாக செயல்படுகிறது. பெலின்ஃபான்டே-ரோசன்பீல்ட் மற்றும் ஹில்பர்ட் ஆற்றல்-உந்துவிசை இழுவிசை ஹில்பர்ட் ஆற்றல்-உந்துவிசை இழுவிசை அளவீட்டைப் பொறுத்து செயல்பாட்டின் மாறுபாட்டால் வரையறுக்கப்படுகிறது அல்லது அதற்கு சமமாக (இரண்டாவது சமன்பாட்டில் கழித்தல் அடையாளம் எழுகிறது, ஏனெனில்) மின்காவ்ஸ்கி-ஆர்த்தோனார்மல் வைர்பீனை வேறுபடுத்துவதன் மூலம் ஒரு ஆற்றல்-உந்துவிசை இழுவிசை வரையறுக்கப்படலாம். வைர்பீன் மாறுபாட்டுடன் சமச்சீராக இருப்பதற்கு உடனடியாக வெளிப்படையான காரணம் இல்லை. இருப்பினும், ஒரு எல்லையற்ற லோக்கல் லோரெண்ட்ஸ் மாற்றத்தின் கீழ் செயல்பாட்டு செயல்பாடு மாறாததாக இருக்க வேண்டும், எனவே பூஜ்ஜியமாக இருக்க வேண்டும். ஒரு தன்னிச்சையான நிலை-சார்ந்த வளைவு சமச்சீர் மேட்ரிக்ஸைப் போலவே, உள்ளூர் லோரென்ட்ஸ் மற்றும் சுழற்சி மாறுபாடு ஆகிய இரண்டும் தேவைப்படுவதையும் அதைக் குறிக்கிறது என்பதையும் நாம் காண்கிறோம். அது சமச்சீர் என்பதை நாம் அறிந்தவுடன், அதைக் காண்பிப்பது எளிது, எனவே வைர்பீன்-மாறுபாடு ஆற்றல்-வேக டென்சர் மெட்ரிக்-மாறுபாடு ஹில்பர்ட் டென்சருக்கு சமம். நொய்தர் கனோனிக்கல் எனர்ஜி மொமெண்டம் டென்சரின் பெலின்ஃபான்டே-ரோசன்ஃபீல்ட் மாற்றத்தின் தோற்றத்தை இப்போது நாம் புரிந்து கொள்ள முடியும். மெட்ரிக் இணக்கமான மற்றும் முறிவு இல்லாத நிபந்தனையின் மூலம் தீர்மானிக்கப்படும் சுழல் இணைப்பு எங்கே என்று நடவடிக்கை எடுக்கவும். சுழல் மின்னோட்டம் பின்னர் செங்குத்து பட்டியின் மாறுபாட்டால் வரையறுக்கப்படுகிறது, இது மாறுபாட்டின் போது நிலையாக வைத்திருப்பதைக் குறிக்கிறது. "நியதி" நோய்தர் ஆற்றல் உந்தம் டென்சர் என்பது சுழற்சி இணைப்பை நாம் நிலைநிறுத்தும் மாறுபாட்டிலிருந்து எழும் பகுதியாகும்ஃ பின்னர், ஒரு முறுக்கு-இல்லாத மற்றும் மெட்ரிக்-இணக்கமான இணைப்புக்கு, சுழற்சி-இணைப்பு மாறுபாட்டைப் பயன்படுத்தி குறியீட்டைப் பயன்படுத்துகிறோம், மேலும் பகுதிகளால் ஒருங்கிணைக்கப்பட்ட பிறகு, நாம் அதைக் காண்கிறோம். ஒரு எடுத்துக்காட்டாக, டைராக் புலத்திற்கான கிளாசிக்கல் லாக்ராஞ்சியனைக் கவனியுங்கள் இங்கே ஸ்பினார் கோவேரியன்ட் டெரிவேட்டிவ்கள் நாம் பெறுகிறோம் எனவே இயக்கத்தின் சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்தினால் எந்த பங்களிப்பும் இல்லை, அதாவது. நாங்கள் ஷெல்லில் இருக்கிறோம். இப்போது வேறுபட்டவை மற்றும் இல்லையெனில் பூஜ்ஜியமாக இருந்தால். இதன் விளைவாக முற்றிலும் சமச்சீரற்றது. இப்போது, இந்த முடிவையும், மீண்டும் இயக்கத்தின் சமன்பாடுகளையும் பயன்படுத்தி, இவ்வாறு பெலின்ஃபான்டே-ரோசன்ஃபீல்ட் டென்சர் டைராக் புலத்திற்கான பெலின்ஃபான்டே-ரோசன்ஃபீல்ட் டென்சராக மாறுகிறது, எனவே சமச்சீர் செய்யப்பட்ட நியதி ஆற்றல்-வேக டென்சராகக் கருதப்படுகிறது. வெய்ன்பெர்க்கின் வரையறை ஸ்டீவன் வெய்ன்பெர்க் பெலின்ஃபான்டே டென்சரை வரையறுத்தார், அங்கு லக்ராஞ்சியன் அடர்த்தி உள்ளது, செட் {ேடிபிஐ} என்பது லக்ராஞ்சியனில் தோன்றும் புலங்கள், பெலின்ஃபான்டே அல்லாத ஆற்றல் வேக டென்சர் வரையறுக்கப்படுகிறது மற்றும் ஒரே மாதிரியான லோரென்ட்ஸ் குழுவின் இயற்கணிதத்தை திருப்திப்படுத்தும் மேட்ரிக்ஸின் தொகுப்பாகும். பொது சார்பியலில் குறிப்புகள் இழுவிசைகள்