Automorphic L-function
கணிதத்தில், ஒரு தானியங்கி எல்-செயல்பாடு என்பது ஒரு சிக்கலான மாறி s இன் செயல்பாடு L (s, π, r) ஆகும், இது ஒரு உலகளாவிய புலத்தின் மீது ஒரு குறைப்புக் குழுவின் G இன் தானியங்கி பிரதிநிதித்துவத்துடன் தொடர்புடையது மற்றும் லாங்லேண்ட்ஸ் இரட்டைக் குழுவின் வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண சிக்கலான பிரதிநிதித்துவம் ஜி இன் எல்ஜி, டிரிச்லெட் எழுத்தின் டிரிச்லெட் எல்-தொடரை பொதுமைப்படுத்துகிறது மற்றும் ஒரு மாடுலர் வடிவத்தின் மெலின் உருமாற்றம். அவர்களால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. மேலும் தானியங்கி எல்-செயல்பாடுகள் பற்றிய ஆய்வுகளை வழங்கினார். பண்புகள் தானியங்கி செயல்பாடுகள் பின்வரும் பண்புகளைக் கொண்டிருக்க வேண்டும் (இவை சில சந்தர்ப்பங்களில் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளன, ஆனால் மற்ற சந்தர்ப்பங்களில் இன்னும் அனுமானமாக உள்ளன). எல்-செயல்பாடு உள்ளூர் செயல்பாடுகளின் இடங்களுக்கு மேல் ஒரு தயாரிப்பாக இருக்க வேண்டும். இங்கே தானியங்கி பிரதிநிதித்துவம் என்பது உள்ளூர் குழுக்களின் பிரதிநிதித்துவங்களின் டென்சர் தயாரிப்பு ஆகும். எல்-செயல்பாடு அனைத்து சிக்கல்களின் மெரோமார்பிக் செயல்பாடாக ஒரு பகுப்பாய்வு தொடர்ச்சியைக் கொண்டிருக்கும் என்று எதிர்பார்க்கப்படுகிறது, மேலும் காரணி கிட்டத்தட்ட அனைத்தும் 1 ஆக இருக்கும் "உள்ளூர் மாறிலிகளின்" பெருக்கமாக இருக்கும் ஒரு செயல்பாட்டு சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்தும். பொது நேரியல் குழுக்கள், டேட்டின் ஆய்வறிக்கையில் உள்ள முறையின் பொதுமைப்படுத்தலைப் பயன்படுத்தி, நிலையான பிரதிநிதித்துவம் (நிலையான எல்-செயல்பாடுகள் என்று அழைக்கப்படுபவை) மற்றும் சரிபார்க்கப்பட்ட பகுப்பாய்வு தொடர்ச்சி மற்றும் செயல்பாட்டு சமன்பாடு ஆகியவற்றைக் கொண்ட பொது நேரியல் குழுக்களுக்கான தானியங்கி எல்-செயல்பாடுகளை உருவாக்கின. ஜிஎல் (எம்) மற்றும் ஜிஎல் (என்) ஆகியவற்றின் பிரதிநிதித்துவங்களின் ராங்கின்-செல்பெர்க் தயாரிப்புகள் லாங்லேண்ட்ஸ் திட்டத்தில் எங்கும் உள்ளன. இதன் விளைவாக வரும் ராங்கின்-செல்பெர்க் எல்-செயல்பாடுகள் பல பகுப்பாய்வு பண்புகளை பூர்த்தி செய்கின்றன, அவற்றின் செயல்பாட்டு சமன்பாடு முதலில் லாங்லேண்ட்ஸ்-ஷாஹிதி முறை மூலம் நிரூபிக்கப்படுகிறது. பொதுவாக, லாங்லேண்ட்ஸ் செயல்பாட்டு அனுமானங்கள் ஒரு இணைக்கப்பட்ட குறைப்புக் குழுவின் தானியங்கி எல்-செயல்பாடுகள் பொதுவான நேரியல் குழுக்களின் தானியங்கி எல்-செயல்பாடுகளின் தயாரிப்புகளுக்கு சமம் என்பதைக் குறிக்கின்றன. லாங்லேண்ட்ஸ் செயல்பாட்டின் ஒரு ஆதாரம் தானியங்கி எல்-செயல்பாடுகளின் பகுப்பாய்வு பண்புகளைப் பற்றிய முழுமையான புரிதலுக்கு வழிவகுக்கும். குறிப்புகள் தானியங்கி வடிவங்கள் ஜீட்டா மற்றும் எல்-செயல்பாடுகள் லாங்லேண்ட்ஸ் நிரல்