Double centralizer theorem
வளையக் கோட்பாடு எனப்படும் சுருக்க இயற்கணிதத்தின் கிளையில், இரட்டை மையப்படுத்தல் தேற்றம் பல ஒத்த முடிவுகளில் ஏதேனும் ஒன்றைக் குறிக்கலாம். இந்த முடிவுகள் இந்த கட்டுரையில் சி. ஆர் (எஸ்) என்று குறிக்கப்படும் ஒரு வளையம் ஆர் இன் துணை வளையம் எஸ் இன் மையப்படுத்தலைப் பற்றியது. எப்போதுமே சிஆர் (சிஆர் (எஸ்)) எஸ்-ஐக் கொண்டுள்ளது, மேலும் இரட்டை மையப்படுத்தல் தேற்றம் ஆர் மற்றும் எஸ் மீது நிபந்தனைகளை வழங்குகிறது, இது சிஆர் (சிஆர் (எஸ்)) எஸ்-க்கு சமம் என்று உத்தரவாதம் அளிக்கிறது. உந்துதல் தேற்றத்தின் அறிக்கைகள் சப் ரிங் எஸ் இன் மையப்படுத்தல் தெளிவாக சிஆர் (சிஆர் (எஸ்)) எஸ்-ஆல் வழங்கப்படுகிறது, ஆனால் இரண்டு செட்களும் சமம் என்று ஒருவர் எப்போதும் சொல்ல முடியாது. இரட்டை மையப்படுத்தல் கோட்பாடுகள் சமத்துவம் நிகழ்கிறது என்று ஒருவர் முடிவு செய்யக்கூடிய நிபந்தனைகளை வழங்குகின்றன. மற்றொரு சிறப்பு வட்டி வழக்கு உள்ளது. M ஒரு வலது R தொகுதியாக இருக்கட்டும் மற்றும் M க்கு இயற்கையான இடது E-தொகுதி கட்டமைப்பைக் கொடுங்கள், அங்கு E என்பது முடிவு (M), அபெலியன் குழு M இன் எண்டோமார்பிசம்களின் வளையம். mr (x) = xr ஆல் கொடுக்கப்பட்ட ஒவ்வொரு வரைபடமும் mr என்பது M இன் சேர்க்கை எண்டோமார்பிசத்தை உருவாக்குகிறது, அதாவது E இன் ஒரு உறுப்பு. வரைபடம் r → mr என்பது வளையம் E க்குள் R இன் வளைய ஹோமோமார்பிசம் ஆகும், மேலும் E க்குள் R இன் படத்தை RM ஆல் குறிக்கிறது. இந்த நியம வரைபடத்தின் கர்னல் அனிஹிலேட்டர் ஆன் (எம்ஆர்) என்பதை சரிபார்க்கலாம். எனவே, வளையங்களுக்கான ஐசோமார்பிசம் தேற்றத்தின் படி, ஆர்எம் என்பது ஆர்/ஆன் (எம்ஆர்) என்ற ஈவு வளையத்திற்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும். M ஒரு விசுவாசமான தொகுதியாக இருக்கும்போது, R மற்றும் RM ஐசோமார்பிக் வளையங்கள் என்பது தெளிவாகிறது. எனவே இப்போது E என்பது RM ஐ ஒரு துணை வளையமாக கொண்ட ஒரு வளையமாகும், மேலும் CE (RM) உருவாகலாம். வரையறையின்படி, எம் இன் ஆர் தொகுதி எண்டோமார்பிசங்களின் வளையமான சிஇ (ஆர்எம்) = எண்ட் (எம்ஆர்) என்பதை ஒருவர் சரிபார்க்கலாம். எனவே சிஇ (சிஇ (ஆர்எம்)) = ஆர்எம் என்று ஏற்பட்டால், இது சிஇ (எண்ட் (எம்ஆர்)) = ஆர்எம் என்று சொல்வதற்கு சமம். மைய எளிய ஆல்ஜிப்ராக்கள் ஒருவேளை மிகவும் பொதுவான பதிப்பு மைய எளிய ஆல்ஜிப்ராக்களுக்கான பதிப்பாகும், இது பின்வருவனவற்றில் தோன்றுகிறதுஃ தேற்றம் A என்பது ஒரு புலத்தின் மீது ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண மைய எளிய அல்ஜிப்ரா மற்றும் B என்பது A இன் எளிய துணை அல்ஜிப்ரா என்றால், CA (CA (B)) = B, மேலும் பரிமாணங்கள் ஆர்டினியன் வளையங்களை திருப்தி செய்கின்றன ஆர்டினியன் வளையங்களுக்கான பின்வரும் பொதுவான பதிப்பு (இதில் வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண ஆல்ஜிப்ராக்கள் அடங்கும்) இதில் தோன்றுகிறது. ஒரு எளிய ஆர் தொகுதி யுஆர் கொடுக்கப்பட்டால், RU மற்றும் E = முடிவு (U) உட்பட மேலே உள்ள உந்துதல் பிரிவிலிருந்து குறியீட்டைக் கடன் வாங்குவோம். கூடுதலாக, ஆர்-ஹோமோமார்பிசம்களைக் கொண்ட ஈ இன் துணை வளையத்திற்கு டி = எண்ட் (யுஆர்) என்று எழுதுவோம். ஷூர்ஸ் லெம்மாவின் படி, டி என்பது ஒரு பிரிவு வளையம். தேற்றம் R ஒரு எளிய வலது தொகுதி UR உடன் ஒரு சரியான ஆர்டினியன் வளையமாக இருக்கட்டும், மேலும் முந்தைய பத்தியில் உள்ளதைப் போல RU, D மற்றும் E கொடுக்கப்படட்டும். பிறகு. குறிப்புகள் இந்த பதிப்பில், வளையங்கள் ஜேகப்சன் அடர்த்தி தேற்றத்தை நிரூபிக்கும் நோக்கத்துடன் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகின்றன. மைய எளிய இயற்கணித பதிப்பிற்கு மாறாக, ஒரு குறிப்பிட்ட துணை வளையத்திற்கு சென்ட்ரலைசர் பண்பு உள்ளது என்று மட்டுமே இது முடிவு செய்கிறது என்பதைக் கவனியுங்கள். ஆல்ஜிப்ராக்கள் பொதுவாக பரிமாற்ற வளையங்களில் வரையறுக்கப்படுவதால், மேலே உள்ள அனைத்து தொடர்புடைய வளையங்களும் பரிமாற்றமற்றதாக இருக்கலாம், ஆல்ஜிப்ராக்கள் சம்பந்தப்பட்டிருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை என்பது தெளிவாகிறது. U கூடுதலாக ஒரு விசுவாசமான தொகுதியாக இருந்தால், R ஒரு வலது பழமையான வளையமாக இருந்தால், RU என்பது R க்கு வளைய ஐசோமார்பிக் ஆகும். பல்லுறுப்புக்கோவை அடையாள வளையங்களில், பல்லுறுப்புக்கோவை அடையாள வளையங்களுக்கு ஒரு பதிப்பு வழங்கப்படுகிறது. ஒரு வளையத்தின் மையத்தைக் குறிக்க Z (R) என்ற குறியீடு பயன்படுத்தப்படும். R என்பது ஒரு எளிய பல்லுறுப்புக்கோவை அடையாள வளையமாகவும், A என்பது R இன் எளிய Z (R) துணை இயற்கணிதமாகவும் இருந்தால், CR (CR (A)) = A. குறிப்புகள் இந்த பதிப்பை மைய எளிய இயற்கணித பதிப்பு மற்றும் ஆர்டினியன் வளைய பதிப்பு ஆகியவற்றுக்கு இடையேயானதாக கருதலாம். ஏனென்றால், எளிய பல்லுறுப்புக்கோவை அடையாள வளையங்கள் ஆர்டினியன் ஆகும், ஆனால் ஆர்டினியன் பதிப்பைப் போலல்லாமல், முடிவு இன்னும் ஆர். வான் நியூமன் ஆல்ஜிப்ராஸின் அனைத்து மைய எளிய துணை வளையங்களையும் குறிக்கிறது வான் நியூமன் பைக்கோம்யூட்டன்ட் தேற்றம் ஒரு ஹில்பர்ட் ஸ்பேஸ் எச் இல் வரம்புக்குட்பட்ட ஆபரேட்டர்கள் பி (எச்) இன் இயற்கணிதத்தின் *-துணை இயற்கணிதம் ஏ ஒரு வான் நியூமன் இயற்கணிதம் (அதாவது. ஏ = சிபி (எச்) சிபி (எச்) (ஏ) என்றால் மட்டுமே பலவீனமாக மூடப்படுகிறது). இரட்டை மையப்படுத்தல் பண்பு ஒரு தொகுதி எம் இரட்டை மையப்படுத்தல் பண்பு அல்லது சிஇ (சிஇ (ஆர்எம்)) = ஆர்எம் என்றால் ஒரு சீரான தொகுதி என்று கூறப்படுகிறது, இதில் ஈ = முடிவு (எம்) மற்றும் ஆர்எம் ஆகியவை உந்துதல் பிரிவில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. இந்த சொற்களில், இரட்டை மையப்படுத்தல் தேற்றத்தின் ஆர்டினியன் வளைய பதிப்பு, வலது ஆர்டினியன் வளையங்களுக்கான எளிய வலது தொகுதிகள் சமநிலையான தொகுதிகள் என்று கூறுகிறது. குறிப்புகள் குறிப்புகள் வளையக் கோட்பாட்டில் 1994 அசல் தேற்றங்களின் மறுபதிப்பு