Ex-tangential quadrilateral
யூக்ளிடிய வடிவவியலில், ஒரு எக்ஸ்-டான்ஜென்ஷியல் நாற்கரமானது ஒரு குவிந்த நாற்கரமாகும், அங்கு நான்கு பக்கங்களின் நீட்டிப்புகளும் நாற்கரத்திற்கு வெளியே ஒரு வட்டத்திற்கு தொடுகோடு இருக்கும். இது ஒரு ஸ்கிரிப்டிபிள் நாற்கரமாகவும் அழைக்கப்படுகிறது. இந்த வட்டம் அதன் வெளி வட்டமாகவும், அதன் ஆரம் வெளிப்புறமாகவும், அதன் மையம் வெளிப்புறமாகவும் (படத்தில்) அழைக்கப்படுகிறது. மையப்பகுதி ஆறு கோண இரு பிரிவுகளின் குறுக்குவெட்டில் அமைந்துள்ளது. இவை இரண்டு எதிர் உச்சி கோணங்களில் உள்ள உள் கோண இரு பிரிவுகள், மற்ற இரண்டு உச்சி கோணங்களில் வெளிப்புற கோண இரு பிரிவுகள் (துணை கோண இரு பிரிவுகள்) மற்றும் எதிர் பக்கங்களின் நீட்டிப்புகள் சந்திக்கும் கோணங்களில் உருவாகும் வெளிப்புற கோண இரு பிரிவுகள் (வலதுபுறத்தில் உள்ள உருவத்தைப் பார்க்கவும், இந்த ஆறில் நான்கு புள்ளிகள் கொண்ட கோடு பிரிவுகள்). எக்ஸ்-டான்ஜென்ஷியல் நாற்கரமானது டான்ஜென்ஷியல் நாற்கரத்துடன் நெருக்கமாக தொடர்புடையது (இங்கு நான்கு பக்கங்களும் ஒரு வட்டத்திற்கு டான்ஜென்ட் ஆகும்). ஒரு வெளி வட்டத்திற்கான மற்றொரு பெயர் ஒரு குறிக்கப்பட்ட வட்டம், ஆனால் அந்த பெயர் ஒரு குவிந்த நாற்கரத்தின் ஒரு பக்கத்திற்கு ஒரு வட்டம் தொடுகோடு மற்றும் அருகிலுள்ள இரண்டு பக்கங்களின் நீட்டிப்புகளுக்கும் பயன்படுத்தப்படுகிறது. அந்த சூழலில் அனைத்து குவிந்த நாற்கரங்களும் நான்கு குறிக்கப்பட்ட வட்டங்களைக் கொண்டுள்ளன, ஆனால் அவை அதிகபட்சமாக ஒரு வெளி வட்டத்தைக் கொண்டிருக்கலாம். சிறப்பு நிகழ்வுகள் காத்தாடிகள் எக்ஸ்-டான்ஜென்ஷியல் நாற்கரங்களுக்கு எடுத்துக்காட்டுகள். இணையான அலைவரிசைகள் (சதுரங்கள், ரோம்பி மற்றும் செவ்வகங்களை உள்ளடக்கியது) எல்லையற்ற வெளிப்புறத்துடன் கூடிய எக்ஸ்-டான்ஜென்ஷியல் நாற்கரங்களாகக் கருதப்படலாம், ஏனெனில் அவை அடுத்த பகுதியில் உள்ள குணாதிசயங்களை பூர்த்தி செய்கின்றன, ஆனால் வெளி வட்டமானது எதிர் பக்கங்களின் இரண்டு ஜோடி நீட்டிப்புகளுக்கும் தொடுகோடாக இருக்க முடியாது (அவை இணையாக இருப்பதால்). பக்க நீளங்கள் எண்கணித முன்னேற்றத்தை உருவாக்கும் கன்வெக்ஸ் நாற்கரங்கள் எப்போதும் எக்ஸ்-டான்ஜென்ஷியல் ஆகும், ஏனெனில் அவை அருகிலுள்ள பக்க நீளங்களுக்கு கீழே உள்ள குணாதிசயத்தை பூர்த்தி செய்கின்றன. பண்புகள் ஒரு குவிந்த நாற்கரமானது ஆறு ஒருங்கிணைந்த கோணங்கள் இரு பிரிவுகள் இருந்தால் மட்டுமே எக்ஸ்-டான்ஜென்ஷியல் ஆகும். இவை இரண்டு எதிர் உச்சி கோணங்களில் உள்ள உள் கோண இரு பிரிவுகள், மற்ற இரண்டு உச்சி கோணங்களில் வெளிப்புற கோண இரு பிரிவுகள் மற்றும் எதிர் பக்கங்களின் நீட்டிப்புகள் சந்திக்கும் கோணங்களில் உருவாகும் வெளிப்புற கோண இரு பிரிவுகள் ஆகும். கணக்கீட்டின் நோக்கத்திற்காக, மிகவும் பயனுள்ள தன்மை என்னவென்றால், அடுத்தடுத்த பக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு குவிந்த நாற்கரமானது இரண்டு அருகிலுள்ள பக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை மற்ற இரண்டு பக்கங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருந்தால் மட்டுமே எக்ஸ்-டான்ஜென்ஷியல் ஆகும். இது இரண்டு வெவ்வேறு வழிகளில் சாத்தியமாகும்ஃ அல்லது இது 1846 இல் ஜாகோப் ஸ்டெய்னரால் நிரூபிக்கப்பட்டது. முதல் வழக்கில், வெளி வட்டமானது மிகப்பெரிய செங்குத்துகளுக்கு வெளியே உள்ளது அல்லது, இரண்டாவது வழக்கில் அது மிகப்பெரிய செங்குத்துகளுக்கு வெளியே உள்ளது அல்லது, நாற்கரத்தின் பக்கங்கள் பக்கங்களைப் பற்றிய இந்த குணாதிசயங்களை இணைப்பதற்கான ஒரு வழி என்னவென்றால், எதிர் பக்கங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடுகளின் முழுமையான மதிப்புகள் இரண்டு ஜோடி எதிர் பக்கங்களுக்கு சமமாக இருக்கும், இந்த சமன்பாடுகள் டான்ஜென்ஷியல் நாற்கரங்களுக்கான பிடோட் தேற்றத்துடன் நெருக்கமாக தொடர்புடையவை, அங்கு எதிர் பக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை இரண்டு ஜோடி எதிர் பக்கங்களுக்கு சமமாக இருக்கும். 1841 ஆம் ஆண்டில் அகஸ்டஸ் டி மோர்கனால் நீண்ட காலத்திற்கு முன்பே நிரூபிக்கப்பட்டிருந்தாலும், ஒரு குவிந்த நாற்கரத்தில் எதிர் பக்கங்கள் வெட்டுகின்றன மற்றும், பின்னர் வலதுபுறத்தில் உள்ள உட்குறிப்பு எல். எம். உர்குஹார்ட் (1902-1966) பெயரிடப்பட்டது. டேனியல் பெடோ இதை யூக்ளிடிய வடிவவியலில் மிகவும் அடிப்படை தேற்றம் என்று பெயரிட்டார், ஏனெனில் இது நேர் கோடுகள் மற்றும் தூரங்களை மட்டுமே சார்ந்துள்ளது. உண்மையில் ஒரு சமநிலை உள்ளது என்பதை மோவாஃபாக் ஹஜ்ஜா நிரூபித்தார், இது வலதுபுற சமத்துவத்தை மற்றொரு அவசியமான மற்றும் ஒரு நாற்கரத்திற்கு முன்னாள் தொடுவானதாக இருக்க போதுமான நிபந்தனையாக ஆக்குகிறது. ஒரு தொடுகோட்டு நாற்கரத்துடன் ஒப்பீடு தொடுகோட்டு நாற்கரங்களின் (அட்டவணையில் உள்ள இடது நெடுவரிசை) சில மெட்ரிக் குணாதிசயங்கள் கீழே உள்ள அட்டவணையில் காணக்கூடியபடி, முன்னாள் தொடுகோட்டு நாற்கரங்களுக்கு (அட்டவணையில் உள்ள நடுத்தர மற்றும் வலது நெடுவரிசை) மிகவும் ஒத்த சகாக்களைக் கொண்டுள்ளன. எனவே, கீழே உள்ள ஐந்து தேவையான மற்றும் போதுமான நிபந்தனைகளில் ஏதேனும் ஒன்று பூர்த்தி செய்யப்பட்டால் மட்டுமே, ஒரு குவிந்த நாற்கரமானது பொருத்தமான உச்சிக்கு வெளியே (நெடுவரிசையைப் பொறுத்து) ஒரு உள் வட்டத்தை அல்லது வெளி வட்டத்தைக் கொண்டுள்ளது. இந்த அட்டவணையில் உள்ள குறியீடுகள் பின்வருமாறுஃ ஒரு குவிந்த நாற்கரத்தில், மூலைவிட்டங்கள் வெட்டுகின்றன. முக்கோணங்களில் சுற்றளவு உள்ளன; பக்கங்களிலிருந்து உயரங்கள், அதே நான்கு முக்கோணங்களில் முறையே; செங்குத்துகளிலிருந்து தூரங்கள் முறையே உள்ளன; கோணங்கள் முறையே உள்ளன; மற்றும் வட்டங்களில் உள்ள ஆரங்கள் முறையே பக்கங்களுக்கு வெளிப்புறமாக தொடுகோடு மற்றும் ஒவ்வொரு பக்கத்திற்கும் அருகிலுள்ள இரண்டு பக்கங்களின் நீட்டிப்புகள். பரப்பளவு பக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு எக்ஸ்-டான்ஜென்ஷியல் நாற்கரமானது பரப்பளவைக் கொண்டுள்ளது இது ஒரு டான்ஜென்ஷியல் நாற்கரத்தின் பரப்பளவுக்கான அதே சூத்திரம் என்பதையும், இது பிரெட்ஷ்னைடரின் சூத்திரத்திலிருந்து அதே வழியில் பெறப்படுகிறது என்பதையும் நினைவில் கொள்க. தொடர்ச்சியான பக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு எக்ஸ்-டான்ஜென்ஷியல் நாற்கரத்திற்கான வெளிப்புறம் நாற்கரத்தின் பரப்பளவு எங்கே என்பதன் மூலம் வழங்கப்படுகிறது. கொடுக்கப்பட்ட பக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு எக்ஸ்-டான்ஜென்ஷியல் நாற்கரத்திற்கு, நாற்கரமும் சுழற்சியாக இருக்கும்போது வெளிப்புறம் அதிகபட்சமாக இருக்கும் (எனவே ஒரு எக்ஸ்-இரு மைய நாற்கரமாகும்). அனைத்து இணையான வரைபடங்களும் ஏன் எல்லையற்ற வெளிப்புறத்தை கொண்டுள்ளன என்பதை இந்த சூத்திரங்கள் விளக்குகின்றன. எக்ஸ்-பைசென்ட்ரிக் நாற்கரமானது ஒரு எக்ஸ்-டான்ஜென்ஷியல் நாற்கரமும் ஒரு சுற்றளவு வட்டத்தைக் கொண்டிருந்தால், அது எக்ஸ்-பைசென்ட்ரிக் நாற்கரமானது என்று அழைக்கப்படுகிறது. பின்னர், இது இரண்டு எதிர் துணை கோணங்களைக் கொண்டிருப்பதால், அதன் பரப்பளவு ஒரு இரு மைய நாற்கரத்திற்கு சமமாக உள்ளது. சுற்றளவு மையத்திற்கும் வெளிப்புறத்திற்கும் இடையிலான தூரம் என்றால், சுற்றளவு மற்றும் வெளிப்புறம் முறையே எங்கே. இது இரு மைய நாற்கரத்திற்கான ஃபுஸின் தேற்றத்தின் அதே சமன்பாடாகும். ஆனால் தீர்க்கும் போது, இரு மையத்துடன் ஒப்பிடும்போது முன்னாள் இரு மைய நாற்கரத்திற்கான இருதரப்பு சமன்பாட்டின் மற்ற மூலத்தை நாம் தேர்வு செய்ய வேண்டும். எனவே, எக்ஸ்-பைசென்டிரிக்கு நம்மிடம் உள்ளது இந்த சூத்திரத்திலிருந்து இது பின்வருமாறு பின்பற்றுகிறது, அதாவது சுற்றளவு மற்றும் வெளி வட்டமானது ஒருபோதும் ஒன்றையொன்று வெட்ட முடியாது. மேலும் காண்கஃ முழுமையான நாற்கர சுழற்சி நாற்கர குறிப்புகள் நாற்கரங்களின் வகைகள்