Mittag-Leffler polynomials
கணிதத்தில், மிட்டாக்-லெஃப்லர் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் என்பது gn (x) அல்லது Mn (x) என்ற பல்லுறுப்புக்கோவைகள் ஆகும். Mn (x) என்பது b = 0, c =-1 இல் உள்ள மீக்ஸ்னர் பல்லுறுப்புக்கோவை Mn (x; b, c) இன் ஒரு சிறப்பு வழக்கு ஆகும். வரையறை மற்றும் செயல்பாடுகளை உருவாக்கும் எடுத்துக்காட்டுகள் மிட்டாக்-லெஃப்லர் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் முறையே உருவாக்கும் செயல்பாடுகளால் வரையறுக்கப்படுகின்றன, மேலும் அவை இருவேறு உருவாக்கும் செயல்பாட்டையும் கொண்டுள்ளன எடுத்துக்காட்டுகள் முதல் சில பல்லுறுப்புக்கோவைகள் பின்வரும் அட்டவணையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. எண்களின் குணகங்களை OEIS இல் காணலாம், இருப்பினும் எந்த குறிப்புகளும் இல்லை, மேலும் அதன் குணகங்களும் OEIS இல் உள்ளன. {| வகுப்பு = "விக்கி செய்யக்கூடியது"! ! gn (x)! ! Mn (x) |-| 0 | | | | | |-| 1 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | கூடவே. தெளிவான சூத்திரங்கள் வெளிப்படையான சூத்திரங்கள் (கடைசி ஒன்று உடனடியாக காட்டுகிறது, ஒரு வகையான பிரதிபலிப்பு சூத்திரம்), மற்றும், இது வீழ்ச்சியடையும் காரணியைக் குறிக்கும் இடமாகவும் எழுதப்படலாம். காஸியன் ஹைப்பர்ஜியோமெட்ரிக் செயல்பாட்டைப் பொறுத்தவரை, நம்மிடம் பிரதிபலிப்பு சூத்திரம் உள்ளது மேலே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, நம்மிடம் பிரதிபலிப்பு சூத்திரம் உள்ளது. மறுநிகழ்வு சூத்திரங்கள் பல்லுறுப்புக்கோவைகளை மறுநிகழ்வாக வரையறுக்கலாம், மற்றும் தொடங்கி. மற்றொரு மறுசுழற்சி சூத்திரம், இது முந்தைய சமமானவற்றிலிருந்து ஒற்றைப்படை ஒன்றை உருவாக்குகிறது மற்றும் நேர்மாறாக, மீண்டும் தொடங்குகிறது. இதைப் பொறுத்தவரை, நம்மிடம் பல வேறுபட்ட மறுநிகழ்வு சூத்திரங்கள் உள்ளனஃ மறுநிகழ்வு சூத்திரம் (3) ஐப் பொறுத்தவரை, பல்லுறுப்புக்கோவை என்பது வேறுபாடு சமன்பாட்டின் தனித்துவமான பல்லுறுப்புக்கோவை தீர்வாகும், இதனால் இயல்பாக்கப்படுகிறது. மேலும் (2) மற்றும் (3) ஒருவருக்கொருவர் இரட்டை என்பதைக் கவனியுங்கள், ஏனெனில், நாம் ஒரு அடையாளத்திற்கு பிரதிபலிப்பு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம், பின்னர் மாற்றலாம் மற்றும் மற்றொன்றைப் பெறலாம். (இவை பல்லுறுப்புக்கோவைகள் என்பதால், செல்லுபடியாகும் தன்மை இயற்கையிலிருந்து அனைத்து உண்மையான மதிப்புகளுக்கும் விரிவடைகிறது. ஆரம்ப மதிப்புகளின் அட்டவணை (இந்த மதிப்புகள் OEIS இல் "n-பரிமாண குறுக்கு பாலிட்டோப்புகளுக்கான புள்ளிவிவர எண்கள்" என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன) மறுசுழற்சி சூத்திரத்தை (1) விளக்கலாம், இது ஒவ்வொரு உள்ளீடும் மூன்று அண்டை உள்ளீடுகளின் கூட்டுத்தொகை என்று பொருள்படும்ஃ அதன் இடது, இடது மேலே மற்றும் மேலே, எ. கா. . இது முக்கிய மூலைவிட்டத்தைப் பொறுத்தவரை பிரதிபலிப்பு சூத்திரத்தையும் விளக்குகிறது, எ. கா. . {| வகுப்பு = "விக்கி செய்யக்கூடியது"! ! ! 1!! 2! ! 3! ! 4! ! 5! ! 6 பேர்! ! 7ம் தேதி! ! 8ம் தேதி! ! 9ம் தேதி! ! 10 |-! 1 | பாணி = "உரை-சீரமைப்புஃ வலது"; |1 | | பாணி = "உரை-சீரமைப்புஃ வலது"; |1 | | பாணி = "உரை-சீரமைப்புஃ வலது"; |1 | | பாணி = "உரை-சீரமைப்புஃ வலது"; |1 | | பாணி = "உரை-சீரமைப்புஃ வலது"; |1 | | பாணி = "உரை-சீரமைப்புஃ வலது"; |1 | | பாணி = "உரை-சீரமைப்புஃ வலது"; |1 | | பாணி = "உரை-சீரமைப்புஃ வலது"; |1 | | பாணி = "உரை-சீரமைப்புஃ வலது" 2 | பாணி = "உரை-சீரமைப்புஃ வலது"; |2 | | பாணி = "உரை-சீரமைப்புஃ வலது"; |4 | | பாணி = "உரை-சீரமைப்புஃ வலது"; |6 | | பாணி = "உரை-சீரமைப்புஃ வலது"; |8 | | பாணி = "உரை-சீரமைப்புஃ வலது"; |10 | | பாணி = "உரை-சீரமைப்புஃ வலது"; |12 | | பாணி = "உரை-சீரமைப்புஃ வலது"; |14 | | பாணி = "உரை-சீரமைப்புஃ வலது"; |16 | | பாணி = "உரை-சீரமைப்புஃ வலது"; |18 | பாணி = "உரை-சீரமைப்புஃ வலது" 3 | பாணி = "உரை-சீரமைப்புஃ வலது"; |3 | | பாணி = "உரை-சீரமைப்புஃ வலது"; |9 | | பாணி = "உரை-சீரமைப்புஃ வலது"; |19 | | பாணி = "உரை-சீரமைப்புஃ வலது"; |3 3 | | பாணி = "உரை-சீரமைப்புஃ வலது"; |51 | | பாணி = "உரை-சீரமைப்புஃ வலது"; |73 | பாணி = "உரை-சீரமைப்புஃ வலது"; |9 9 | | பாணி = "உரை-சீரமைப்புஃ வலது"; |129 | | பாணி = "உரை-சீரமைப்புஃ வலது"; | | பாணி = " 4 | பாணி = "உரை-சீரமைப்புஃ வலது;" |4 | | பாணி = "உரை-சீரமைப்புஃ வலது;" |16 | | பாணி = "உரை-சீரமைப்புஃ வலது;" |4 4 | | பாணி = "உரை-சீரமைப்புஃ வலது;" |96 | | பாணி = "உரை-சீரமைப்புஃ வலது;" |180 | | பாணி = "உரை-சீரமைப்புஃ வலது;" |304 | பாணி = "உரை-சீரமைப்புஃ வலது;" |476 | | பாணி = "உரை-சீரமைப்புஃ வலது;" 5 | பாணி = "உரை-சீரமைப்புஃ சரி;" |5 | | பாணி = "உரை-சீரமைப்புஃ சரி;" |25 | | பாணி = "உரை-சீரமைப்புஃ சரி;" |85 | | பாணி = "உரை-சீரமைப்புஃ சரி;" |225 | | பாணி = "உரை-சீரமைப்புஃ சரி;" |5 01 | | பாணி = "உரை-சீரமைப்புஃ சரி;" |985 | | பாணி = "உரை-சீரமைப்புஃ சரி;" | | பாணி = "உரை-சீரமைப்புஃ சரி;" | | பாணி = "உரை-சீரமைப்புஃ சரி;" | | பாணி = "உரை-சீரமைப்புஃ சரி;" 6 | பாணி = "உரை-சீரமைப்புஃ வலது"; |6 | | பாணி = "உரை-சீரமைப்புஃ வலது"; |36 | | பாணி = "உரை-சீரமைப்புஃ வலது"; |146 | | பாணி = "உரை-சீரமைப்புஃ வலது"; |456 | | பாணி = "உரை-சீரமைப்புஃ வலது"; |1182 | | பாணி = "உரை-சீரமைப்புஃ வலது"; | | பாணி = "உரை-சீரமைப்புஃ வலது"; | | | பாணி = "உரை-சீரமைப்புஃ வலது"; | | | பாணி = "உரை-சீரமைப்புஃ வலது"; | | | பாணி = "உரை-சீரமைப்புஃ வலது"; | | | பாணி = "உரை-சீரமைப்புஃ வலது" | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | ஒவ்வொன்றும் ஒரு இரட்டை அல்லது ஒற்றைப்படை பல்லுறுப்புக்கோவை என்பதால், கற்பனை வாதங்கள் அவற்றின் குணகங்களுக்கு மாறி மாறி அறிகுறிகளை உருவாக்குகின்றன. மேலும், வேறுபட்ட சமநிலையைக் கொண்டிருந்தால், ஒருங்கிணைப்பு அற்பமாக மறைந்துவிடும்). பைனாமியல் அடையாளம் பைனாமியல் வகையின் ஷெஃபர் வரிசையாக இருப்பதால், மிட்டாக்-லெஃப்ளர் பல்லுறுப்புக்கோவைகளும் பைனாமியல் அடையாளத்தை திருப்திப்படுத்துகின்றன. ஒருங்கிணைந்த பிரதிநிதித்துவங்கள் ஒரு ஹைப்பர்ஜியோமெட்ரிக் செயல்பாடாக பிரதிநிதித்துவத்தின் அடிப்படையில், ஒருங்கிணைப்புகளை நேரடியாக பிரதிநிதித்துவப்படுத்த பல வழிகள் உள்ளன, அவற்றில் சில சிக்கலானவற்றுக்கு கூட செல்லுபடியாகும், எ. கா. . ஒருங்கிணைந்த குடும்பங்களின் மூடிய வடிவங்கள் ஜீட்டா மதிப்புகளின் அடிப்படையில் மூடிய வடிவ வெளிப்பாடுகளைக் கொண்ட ஒருங்கிணைப்புகளின் பல குடும்பங்கள் உள்ளன, அங்கு மிட்டாக்-லெஃப்லர் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் குணகங்கள் குணகங்களாக நிகழ்கின்றன. அந்த ஒருங்கிணைப்புகள் அனைத்தையும் ஒரு காரணி அல்லது ஒரு வடிவத்தில் எழுதலாம், மேலும் மிட்டாக்-லெஃப்லர் பல்லுறுப்புக்கோவையின் அளவு மாறுபடும். அந்த ஒருங்கிணைப்புகளை உருவாக்குவதற்கான ஒரு வழி, பகுதிகளால் ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தி மிட்டாக்-லெஃப்லர் பல்லுறுப்புக்கோவைகளைப் போலவே தொடர்புடைய மறுசுழற்சி சூத்திரங்களைப் பெறுவதாகும். 1. எடுத்துக்காட்டாக, இந்த ஒருங்கிணைப்புகள் அம்ப்ரல் குறியீட்டில் மூடிய வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளன, அதாவது பல்லுறுப்புக்கோவையை விரிவுபடுத்திய பிறகு, ஒவ்வொரு சக்தியும் ஜீட்டா மதிப்பால் மாற்றப்பட வேண்டும். எ. கா. நம்மிடமிருந்து பெறப்படுகிறது. 2. அம்ப்ரல் குறியீட்டில், விரிவாக்கப்பட்ட பிறகு, டிரிக்லெட் எட்டா செயல்பாட்டால் மாற்றப்பட வேண்டும், அவை மூடிய வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளன. 3. பின்வருபவை மற்றும், மற்றும் தொடர்ச்சியால் நிறைவு செய்வதற்கான அதே அம்ப்ரல் குறியீட்டைக் கொண்டுள்ளன. இதற்கு, இது ஒருங்கிணைப்புகள் 4 க்கு ஒரு மூடிய வடிவத்தையும் தருகிறது என்பதை நினைவில் கொள்க. ஏனெனில், வரையறுக்கவும். சமமாக இருந்தால், நாம் வரையறுத்தால், நம்மிடம் அம்ப்ரல் குறியீடு உள்ளது, அதாவது. இதற்கு பதிலாக, ஒற்றைப்படை ஜீட்டா மதிப்புகள் (ஒற்றைப்படை) மட்டுமே இங்கே நிகழ்கின்றன என்பதை நினைவில் கொள்க (வகுப்புகள் சம ஜீட்டா மதிப்புகளாக வார்ப்பிக்கப்படாவிட்டால்), எ. கா. 5. ஒற்றைப்படை என்றால், அதே ஒருங்கிணைப்பு மதிப்பீடு செய்ய மிகவும் ஈடுபடும், ஆரம்ப ஒன்று உட்பட. ஆயினும்கூட, நாம் சமமாக வரையறுத்தால், வடிவம் நிலைத்திருக்கும் என்று மாறிவிடும். பின்னர் குடையின் குறியீட்டில் பின்வரும் மூடிய வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது, அதற்கு பதிலாகஃ, எ. கா. யூலரின் பிரதிபலிப்பு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்திய பிறகு எடுக்கப்பட்ட ரீமானின் செயல்பாட்டு சமன்பாட்டின் மடக்கை வழித்தோன்றலின் அடிப்படையில், இந்த வெளிப்பாடுகளை அடிப்படையில் எழுதலாம், எ. கா. 6. ஏனெனில், அதே ஒருங்கிணைப்பு வேறுபடுகிறது, ஏனெனில் ஒருங்கிணைப்பு போல் செயல்படுகிறது. ஆனால் தொடர்புடைய டிகிரி வேறுபாடுகளுடன் அத்தகைய இரண்டு ஒருங்கிணைப்புகளின் வேறுபாடு நன்கு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது மற்றும் மிகவும் ஒத்த வடிவங்களை வெளிப்படுத்துகிறது, எ. கா. . இரண்டாம் வகை ஸ்டிர்லிங் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் பெர்னௌலி பல்லுறுப்புக்கோவைகளையும் பார்க்கவும்.