Λ-ring
இயற்கணிதத்தில், ஒரு λ-வளையம் அல்லது லாம்ப்டா வளையம் என்பது திசையன் இடைவெளிகளின் வெளிப்புற சக்திகளைப் போல செயல்படும் சில செயல்பாடுகளைக் கொண்ட ஒரு பரிமாற்ற வளையம் ஆகும். கே-கோட்பாட்டில் கருதப்படும் பல வளையங்கள் இயற்கையான λ-வளைய கட்டமைப்பைக் கொண்டுள்ளன. λ-வளையங்கள் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் வளையத்தில் சமச்சீர் செயல்பாடுகளின் செயல்பாட்டைப் படிப்பதற்கும், பல பாரம்பரிய முடிவுகளை மீட்டெடுப்பதற்கும் விரிவுபடுத்துவதற்கும் ஒரு சக்திவாய்ந்த சம்பிரதாயத்தை வழங்குகின்றன. λ-வளையங்கள் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டன. λ-வளையங்களைப் பற்றி மேலும் அறிய, மற்றும் என்பதைப் பார்க்கவும். உந்துதல் V மற்றும் W ஒரு k புலத்தின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண திசையன் இடைவெளிகள் என்றால், நாம் நேரடி கூட்டுத்தொகை V ≤ W, டென்சர் தயாரிப்பு V ≤ W, மற்றும் V இன் n-வது வெளிப்புற சக்தி, λn (V) ஐ உருவாக்க முடியும். இவை அனைத்தும் மீண்டும் k க்கு மேல் வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண திசையன் இடைவெளிகள். ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட குழுவின் k-நேரியல் பிரதிநிதித்துவங்களுடன் பணிபுரியும் போது, சில இடவியல் இடைவெளியில் திசையன் மூட்டைகளுடன் பணிபுரியும் போது, மேலும் பொதுவான சூழ்நிலைகளில் நேரடி தொகை, டென்சர் தயாரிப்பு மற்றும் வெளிப்புற சக்தி ஆகியவற்றின் அதே மூன்று செயல்பாடுகளும் கிடைக்கின்றன. λ-வளையங்கள் இந்த மூன்று செயல்பாடுகளின் பொதுவான இயற்கணித பண்புகளை சுருக்க வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளன, அங்கு நேரடி கூட்டுத்தொகை செயல்பாட்டைப் பொறுத்தவரை முறையான தலைகீழ்களையும் அனுமதிக்கிறோம். (இந்த முறையான தலைகீழ்கள் கிரோதெண்டிக் குழுக்களிலும் தோன்றும், அதனால்தான் பெரும்பாலான λ-வளையங்களின் அடிப்படை சேர்க்கை குழுக்கள் கிரோதெண்டிக் குழுக்களாகும்.) வளையத்தில் உள்ள கூட்டல் நேரடி தொகைக்கு ஒத்திருக்கிறது, வளையத்தில் உள்ள பெருக்கம் டென்சர் பெருக்கல் மற்றும் வெளிப்புற சக்திகளுக்கு λ-செயல்பாடுகள் ஒத்திருக்கிறது. எடுத்துக்காட்டாக, ஐசோமார்பிசம் அனைத்து λ-வளையங்களிலும் செல்லுபடியாகும் சூத்திரத்துடன் ஒத்திருக்கிறது, மேலும் ஐசோமார்பிசம் அனைத்து λ-வளையங்களிலும் செல்லுபடியாகும் சூத்திரத்துடன் ஒத்திருக்கிறது. ஒத்த ஆனால் (மிகவும்) மிகவும் சிக்கலான சூத்திரங்கள் உயர் வரிசை λ-இயக்கிகளை நிர்வகிக்கின்றன. ஒரு மென்மையான திட்டத்தின் மீது திசையன் மூட்டைகளின் குறுகிய துல்லியமான வரிசை நம்மிடம் இருந்தால், உள்நாட்டில், போதுமான சிறிய திறந்த சுற்றுப்புறத்திற்கு நம்மிடம் ஐசோமார்பிசம் உள்ளது இப்போது, கிரோதெண்டிக் குழுவில் (இது உண்மையில் ஒரு வளையமாகும்), இந்த உள்ளூர் சமன்பாட்டை உலகளவில் இலவசமாகப் பெறுகிறோம், வரையறுக்கும் சமநிலை உறவுகளிலிருந்து. எனவே ஒரு λ-வளையத்தில் அடிப்படை உறவை நிரூபிக்கும் வகையில், வரையறை A λ-வளையம் என்பது செயல்பாடுகளுடன் சேர்ந்து ஒரு பரிமாற்ற வளையம் R ஆகும், ஒவ்வொரு எதிர்மறை அல்லாத முழு எண் n க்கும் R → R. இந்த செயல்பாடுகள் R இல் உள்ள அனைத்து x, y மற்றும் அனைத்து n க்கும் செல்லுபடியாகும் பின்வரும் பண்புகளைக் கொண்டிருக்க வேண்டும், m ≤ 0: λ0 (x) = 1 λ1 (x) = x λn (1) = 0 என்றால் n ≤ 2 λn (x + y) = σi + j = n λi (x) λj (y) λn (xy) = Pn (λ1 (x),. இந்த பல்லுறுப்புக்கோவைகளை பின்வருமாறு வரையறுக்கலாம். x1,., xmn மாறிகளில் உள்ள அடிப்படை சமச்சீர் பல்லுறுப்புக்கோவைகளாக e1,., emn இருக்கட்டும். பின்னர் Pn, m என்பது முழு எண் குணகங்களைக் கொண்ட nm மாறிகளில் உள்ள தனித்துவமான பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும், அதாவது Pn, m (e1,., emn) என்பது வெளிப்பாட்டில் உள்ள tn இன் குணகம் ஆகும் (அத்தகைய பல்லுறுப்புக்கோவை உள்ளது, ஏனெனில் வெளிப்பாடு xi இல் சமச்சீர் மற்றும் அடிப்படை சமச்சீர் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் அனைத்து சமச்சீர் பல்லுறுப்புக்கோவைகளையும் உருவாக்குகின்றன.) இப்போது, x1,., xn மற்றும் f1,., fn ஆகிய மாறிகளில் உள்ள அடிப்படை சமச்சீர் பல்லுறுப்புக்கோவைகளாக e1,., en இருக்கட்டும், Y1,., Yn மாறிகளில் உள்ள அடிப்படை சமச்சீர் பல்லுறுப்புக்கோவைகளாக இருக்கட்டும். பின்னர் Pn என்பது முழு எண் குணகங்களைக் கொண்ட 2n மாறிகளில் உள்ள தனித்துவமான பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும், இது வெளிப்பாடு மாறுபாடுகளில் tn இன் குணகம் ஆகும் மேலே வரையறுக்கப்பட்ட λ-வளையங்கள் சில ஆசிரியர்களால் "சிறப்பு λ-வளையங்கள்" என்று அழைக்கப்படுகின்றன, அவர்கள் λn (1), λn (xy) மற்றும் λm (λn (x)) இல் உள்ள நிபந்தனைகள் கைவிடப்படும் ஒரு பொதுவான கருத்துக்கு "λ-வளையம்" என்ற வார்த்தையைப் பயன்படுத்துகிறார்கள். எடுத்துக்காட்டுகள் முழு எண்களின் வளையம் Z, இருமக் குணகங்களை செயல்பாடுகளாகக் கொண்டு (எதிர்மறை x க்கும் வரையறுக்கப்படுகிறது) ஒரு λ-வளையம் ஆகும். உண்மையில், இது Z இல் உள்ள ஒரே λ-அமைப்பு ஆகும். இந்த எடுத்துக்காட்டு மேலே உள்ள உந்துதல் பிரிவில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ள வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண திசையன் இடைவெளிகளின் வழக்குடன் நெருக்கமாக தொடர்புடையது, ஒவ்வொரு திசையன் இடத்தையும் அதன் பரிமாணத்துடன் அடையாளம் கண்டு அதை நினைவில் கொள்கிறது. மேலும் பொதுவாக, எந்த இரும வளையமும் ஒரு λ-வளையமாக மாறும், λ-செயல்பாடுகளை இரும குணகங்களாக வரையறுத்தால், λn (x) = (). இந்த λ-வளையங்களில், அனைத்து ஆடம்ஸ் செயல்பாடுகளும் அடையாளமாகும். ஒரு இடவியல் இடைவெளி X இன் K-கோட்பாடு K (X) ஒரு λ-வளையமாகும், இதில் ஒரு திசையன் மூட்டையின் வெளிப்புற சக்திகளை எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம் லாம்ப்டா செயல்பாடுகள் தூண்டப்படுகின்றன. ஒரு குழு G மற்றும் ஒரு அடிப்படை புலம் k கொடுக்கப்பட்டால், பிரதிநிதித்துவ வளையம் R (G) ஒரு λ-வளையம்; G குழுவின் k-நேரியல் பிரதிநிதித்துவங்களின் வெளிப்புற சக்திகளால் λ-செயல்பாடுகள் தூண்டப்படுகின்றன. சமச்சீர் செயல்பாடுகளின் வளையம் λZ ஒரு λ-வளையம் ஆகும். முழு எண் குணகங்களில் λ-செயல்பாடுகள் மேலே உள்ளபடி இருமக் குணகங்களால் வரையறுக்கப்படுகின்றன, மேலும் e1, e2,. அடிப்படை சமச்சீர் செயல்பாடுகளைக் குறிக்கிறது என்றால், நாம் λn (e1) = en ஐ அமைக்கிறோம். λ-செயல்பாடுகளுக்கான கோட்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி, மற்றும் ek செயல்பாடுகள் இயற்கணித ரீதியாக சுயாதீனமானவை மற்றும் வளையத்தை உருவாக்குகின்றன என்ற உண்மை, இந்த வரையறையை ஒரு தனித்துவமான பாணியில் நீட்டிக்க முடியும், இதனால் λZ ஐ λ-வளையமாக மாற்ற முடியும். உண்மையில், இது ஒரு ஜெனரேட்டரில் இலவச λ-வளையம், ஜெனரேட்டர் e1 ஆகும். (). மேலும் பண்புகள் மற்றும் வரையறைகள் ஒவ்வொரு λ-வளையமும் பண்பு 0 ஐக் கொண்டுள்ளது மற்றும் λ-வளைய Z ஐ λ-சபரிங்காகக் கொண்டுள்ளது. பரிமாற்ற இயற்கணிதத்தின் பல கருத்துக்கள் λ-வளையங்களுக்கு நீட்டிக்கப்படலாம். எடுத்துக்காட்டாக, λ-வளையங்கள் R மற்றும் S க்கு இடையிலான ஒரு λ-சமச்சீரமை என்பது ஒரு வளைய சமச்சீரமை f: R → S ஆகும், அதாவது R இல் உள்ள அனைத்து x மற்றும் அனைத்து n ≤ 0 க்கும் f (λn (x)) = λn (f (x)) ஆகும். λ-வளைய R இல் உள்ள ஒரு λ-இலட்சியம் என்பது R இல் உள்ள ஒரு இலட்சியம் I ஆகும், அதாவது R இல் உள்ள அனைத்து x க்கும் மற்றும் அனைத்து n ≤ 1 க்கும் λn (x) εI ஆகும். x என்பது ஒரு λ-வளையத்தின் ஒரு உறுப்பு மற்றும் m என்பது அனைத்து n> m க்கும் λm (x)  ஒத்த 0 மற்றும் λn (x) = 0 போன்ற எதிர்மறை அல்லாத முழு எண்ணாக இருந்தால், நாம் மங்கலான (x) = m ஐ எழுதி உறுப்பை x வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாணம் என்று அழைக்கிறோம். அனைத்து உறுப்புகளும் வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாணமாக இருக்க வேண்டியதில்லை. நம்மிடம் மங்கலானது (x + y) ≤ மங்கலானது (x) + மங்கலானது (y) மற்றும் உறுப்புகளின் பெருக்கல். செர்ன் வகுப்பு சமச்சீர் செயல்பாடு கே-கோட்பாடு ஆடம்ஸ் செயல்பாட்டு பிளெதிஸ்டிக் எக்ஸ்பொனென்ஷியல் குறிப்புகள் எக்ஸ்போ 0 மற்றும் ரிங் கோட்பாட்டின் வி கே-கோட்பாட்டைப் பார்க்கவும்.