L-semi-inner product
கணிதத்தில், அரை-இன்னர்-தயாரிப்பு பற்றி இரண்டு வெவ்வேறு கருத்துக்கள் உள்ளன. முதல் மற்றும் மிகவும் பொதுவானது, ஒரு உள் தயாரிப்பு, இது கண்டிப்பாக நேர்மறையாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை. இந்த கட்டுரை இரண்டாவது, எல்-செமி-இன்னர் தயாரிப்பு அல்லது லூமர் என்ற பொருளில் அரை-இன்னர் தயாரிப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது, இது இணை சமச்சீர் இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லாத ஒரு உள் தயாரிப்பு ஆகும். செயல்பாட்டு பகுப்பாய்வில் பானாச் இடைவெளிகளுக்கு ஹில்பர்ட் விண்வெளி வகை வாதங்களை விரிவுபடுத்தும் நோக்கத்திற்காக இது குண்டர் லூமர் என்பவரால் வடிவமைக்கப்பட்டது. அடிப்படை பண்புகள் பின்னர் கில்ஸ் என்பவரால் ஆராயப்பட்டன. வரையறை இங்கே வழங்கப்பட்ட வரையறை நிலையான செயல்பாட்டு பகுப்பாய்வு பாடப்புத்தகங்களில் உள்ள "அரை-நுண்ணிய தயாரிப்பு" என்பதிலிருந்து வேறுபட்டது என்பதை நாம் மீண்டும் குறிப்பிடுகிறோம், அங்கு ஒரு "அரை-நுண்ணிய தயாரிப்பு" என்பது கண்டிப்பாக நேர்மறையாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை என்பதைத் தவிர உள் தயாரிப்புகளின் அனைத்து பண்புகளையும் (இணை சமச்சீர் உட்பட) திருப்திப்படுத்துகிறது. ஒரு அரை-இன்னர்-தயாரிப்பு, எல்-அரை-இன்னர் தயாரிப்பு, அல்லது சிக்கலான எண்களின் புலத்தின் மீது ஒரு நேரியல் திசையன் இடத்திற்கான லூமர் என்ற பொருளில் ஒரு அரை-இன்னர் தயாரிப்பு என்பது பொதுவாக குறிக்கப்படும் ஒரு செயல்பாடாகும், அதாவது அனைத்து எதிர்மறை-வரையறைக்கும்ஃ 1 வது வாதத்தில் நேரியல், பொருள்ஃ 1 வது வாதத்தில் சேர்க்கைஃ 1 வது வாதத்தில் ஒரே மாதிரியான தன்மைஃ 2 வது வாதத்தில் இணைந்த ஒரே மாதிரியான தன்மைஃ காச்சி-ஸ்வார்ஸ் சமத்துவமின்மைஃ உள் தயாரிப்புகளிலிருந்து வேறுபாடு ஒரு அரை-இன்னர்-தயாரிப்பு உட்புற தயாரிப்புகளிலிருந்து வேறுபட்டது, ஏனெனில் இது பொதுவாக இணைந்த சமச்சீர் அல்ல, அதாவது பொதுவாக. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், அரை-இன்னர்-தயாரிப்புகள் பொதுவாக அதன் இரண்டாவது மாறியைப் பற்றி நேரியல் அல்லாதவை என்று சொல்வதற்கு இது சமம். நெறிமுறை இடங்களுக்கான அரை-இன்னர்-தயாரிப்புகள் ஒரு நேரியல் திசையன் இடத்திற்கான அரை-இன்னர்-தயாரிப்பு என்றால், ஒரு நெறிமுறையை வரையறுக்கிறது. மாறாக, நெறிமுறையுடன் ஒரு நெறிமுறைப்படுத்தப்பட்ட திசையன் இடமாக இருந்தால், அதில் எப்போதும் ஒரு (தனித்துவமானதாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை) அரை-இன்னர்-தயாரிப்பு உள்ளது, இது நெறிமுறையுடன் ஒத்துப்போகிறது என்ற பொருளில் எடுத்துக்காட்டுகள் யூக்ளிடியன் இடம் நெறிமுறை () உடன் நிலையான அரை-இன்னர்-தயாரிப்பைக் கொண்டுள்ளதுஃ பொதுவாக, ஒரு அளவீட்டு இடத்தில் ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடுகளின் இடம் நெறிமுறையுடன் நிலையான அரை-இன்னர்-தயாரிப்பைக் கொண்டுள்ளதுஃ பயன்பாடுகள் லூமர் யோசனையைத் தொடர்ந்து, பானாச் இடைவெளிகளில் வரையறுக்கப்பட்ட நேரியல் இயக்கிகளைப் படிக்க அரை-இன்னர்-தயாரிப்புகள் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்பட்டன. 2007 ஆம் ஆண்டில், டெர் மற்றும் லீ பானாச் இடங்களில் பெரிய விளிம்பு வகைப்பாட்டை உருவாக்க அரை-இன்னர்-தயாரிப்புகளைப் பயன்படுத்தினர். சமீபத்தில், இயந்திர கற்றலுக்கான கர்னல் பானாச் இடங்களை இனப்பெருக்கம் செய்வதற்கான கருத்தை நிறுவுவதில் அரை-இன்னர்-தயாரிப்புகள் முக்கிய கருவியாகப் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளன. பானாச் இடங்களுக்கான பிரேம்களின் கோட்பாடு, ரைஸ் தளங்களை நிறுவ அரை-இன்னர்-தயாரிப்புகளையும் பயன்படுத்தலாம். மேலும் காண்க குறிப்புகள் செயல்பாட்டு பகுப்பாய்வு