Hopfian object
வகைக் கோட்பாடு என்று அழைக்கப்படும் கணிதத்தின் கிளையில், ஒரு ஹாப்ஃபியன் பொருள் என்பது ஒரு பொருள் A ஆகும், அதாவது A மீது A இன் எந்த எபிமார்பிசமும் ஒரு தானியங்கி உருவமாக இருக்க வேண்டும். இரட்டைக் கருத்து ஒரு கோஃபியன் பொருள், இது ஒரு பொருள் B ஆகும், இது B முதல் B வரை ஒவ்வொரு மோனோமார்பிசமும் ஒரு தானியங்கி உருவமாக இருக்க வேண்டும். இரண்டு நிபந்தனைகளும் குழுக்கள், வளையங்கள், தொகுதிகள் மற்றும் இடவியல் இடைவெளிகள் ஆகிய பிரிவுகளில் ஆய்வு செய்யப்பட்டுள்ளன. "ஹோப்ஃபியன்" மற்றும் "கோப்ஃபியன்" என்ற சொற்கள் 1960 களில் இருந்து எழுந்துள்ளன, மேலும் அவை ஹெய்ன்ஸ் ஹோப் மற்றும் மேற்பரப்புகளின் அடிப்படை குழுக்கள் குறித்த அவரது படைப்புகளில் ஹோப்ஃபியன் குழுவின் கருத்தை அவர் பயன்படுத்தியதை நினைவுகூரும் வகையில் கூறப்படுகின்றன. பண்புகள் இரண்டு நிபந்தனைகளும் அவற்றின் பிரிவில் வரையறுக்கப்பட்ட நிபந்தனைகளின் வகைகளாக பார்க்கப்படலாம். எடுத்துக்காட்டாக, ஜெர்மெலோ-ஃப்ரான்கெல் தொகுப்புக் கோட்பாட்டை விருப்பத்தின் கோட்பாட்டுடன் கருதி, தொகுப்புகளின் பிரிவில் செயல்படுகிறது, ஹோப்ஃபியன் மற்றும் கோப்ஃபியன் பொருள்கள் துல்லியமாக வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்புகளாகும். இதிலிருந்து அனைத்து வரையறுக்கப்பட்ட குழுக்கள், வரையறுக்கப்பட்ட தொகுதிகள் மற்றும் வரையறுக்கப்பட்ட வளையங்கள் ஆகியவை அவற்றின் வகைகளில் ஹாப்ஃபியன் மற்றும் கோஃபியன் என்பதைக் காண்பது எளிது. ஹோப்ஃபியன் பொருள்கள் மற்றும் கோப்ஃபியன் பொருள்கள் ப்ரொஜெக்டிவ் பொருள்கள் மற்றும் உட்செலுத்தும் பொருட்களுடன் ஒரு அடிப்படை தொடர்புகளைக் கொண்டுள்ளன. இரண்டு முடிவுகள் பின்வருமாறுஃ ஒரு உட்செலுத்தும் ஹோப்ஃபியன் பொருள் கோப்ஃபியன் ஆகும். ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் கோஃபியன் பொருள் ஹோஃபியன் ஆகும். முதல் கூற்றுக்கான ஆதாரம் சுருக்கமாக உள்ளதுஃ A ஒரு உட்செலுத்தும் ஹாப்ஃபியன் பொருளாக இருக்கட்டும், மேலும் f என்பது A முதல் A வரை ஒரு உட்செலுத்தும் உருவகமாக இருக்கட்டும். உட்செலுத்துதலின் மூலம், அடையாள வரைபடத்தின் மூலம் f காரணிகள் A மீது IA ஐ உருவாக்குகின்றன, இது gf = IA போன்ற ஒரு உருவகப்படுத்துதலை அளிக்கிறது. இதன் விளைவாக, g என்பது ஒரு சர்ஜெக்டிவ் மார்ஃபிசம், எனவே ஒரு ஆட்டோமார்ஃபிசம், பின்னர் f என்பது g க்கு தலைகீழ் ஆட்டோமார்ஃபிசம் ஆகும். ஹோப்ஃபியன் மற்றும் கோப்ஃபியன் குழுக்கள் ஹோப்ஃபியன் மற்றும் கோப்ஃபியன் தொகுதிகள் இங்கே தொகுதிகளின் பிரிவில் பல அடிப்படை முடிவுகள் உள்ளன. ஆர்ஆர் ஒரு தொகுதியாக ஹோப்ஃபியன் அல்லது கோப்ஃபியன் என்பது ஆர் ஒரு வளையமாக ஹோப்ஃபியன் அல்லது கோப்ஃபியன் என்பதிலிருந்து வேறுபட்டது என்பதை நினைவில் கொள்வது முக்கியம். ஒரு நொய்தேரியன் தொகுதி ஹாப்ஃபியன் மற்றும் ஒரு ஆர்டினியன் தொகுதி கோஃபியன் ஆகும். ஆர் ஒரு நேரடியான வரையறுக்கப்பட்ட வளையமாக இருந்தால் மட்டுமே ஆர்ஆர் தொகுதி ஹாப்பியன் ஆகும். சமச்சீராக, இவை இரண்டும் ஆர்ஆர் தொகுதி ஹாப்பியன் என்பதற்கு சமமானவை. மேற்கூறியவற்றுக்கு மாறாக, ஆர்ஆர் அல்லது ஆர்ஆர் தொகுதிகள் கோஃபியனாக இருக்கலாம் அல்லது எந்த கலவையிலும் இருக்காது. ஒரு பக்கத்தில் ஒரு மோதிர கோஃபியனின் எடுத்துக்காட்டு கொடுக்கப்பட்டது, ஆனால் மறுபுறம் இல்லை. இருப்பினும், இந்த இரண்டு தொகுதிகளில் ஏதேனும் ஒன்று கோஃபியன் என்றால், ஆர் இருபுறமும் ஹோஃபியன் ஆகும் (ஆர் ஒரு இடது அல்லது வலது தொகுதியாக திட்டவட்டமாக இருப்பதால்) மற்றும் நேரடியாக வரையறுக்கப்படுகிறது. ஹோப்ஃபியன் மற்றும் கோப்ஃபியன் வளையங்கள் வளையங்களின் பிரிவில் உள்ள நிலைமை தொகுதிகளின் வகையிலிருந்து மிகவும் வேறுபட்டது. ஒற்றுமையுடன் வளையங்களின் பிரிவில் உள்ள உருவகங்கள் அடையாளத்தைப் பாதுகாக்க வேண்டும், அதாவது 1 முதல் 1 வரை அனுப்ப வேண்டும். ஆர் இலட்சியங்களில் ஏறும் சங்கிலி நிபந்தனையை திருப்திப்படுத்தினால், ஆர் ஹாப்ஃபியன் ஆகும். இது நொய்தேரியன் தொகுதிகளுக்கான உண்மையுடன் ஒப்புமை மூலம் நிரூபிக்கப்படலாம். எவ்வாறாயினும், "கோஃபியன்" க்கான எதிர் யோசனை இல்லை, ஏனெனில் f என்பது R இலிருந்து R ஐப் பாதுகாக்கும் ஒரு வளைய ஹோமோமார்பிசம் மற்றும் f இன் படம் R அல்ல என்றால், படம் நிச்சயமாக R இன் இலட்சியம் அல்ல. எந்தவொரு எளிய வளையமும் ஹாப்ஃபியன் ஆகும், ஏனெனில் எந்தவொரு எண்டோமார்பிசத்தின் கர்னல் ஒரு சீர்மமாகும், இது ஒரு எளிய வளையத்தில் பூஜ்ஜியமாக இருக்க வேண்டும். இதற்கு மாறாக, இல், ஒரு மது அல்லாத புலத்தின் எடுத்துக்காட்டு கொடுக்கப்பட்டது. எண்ணக்கூடிய பரிமாண திசையன் இடத்தின் முழு நேரியல் வளையம் எண்ட்டி (வி) என்பது ஒரு ஹாப்ஃபியன் வளையமாகும், இது ஒரு தொகுதியாக ஹாப்ஃபியன் அல்ல, ஏனெனில் இது மூன்று இலட்சியங்களை மட்டுமே கொண்டுள்ளது, ஆனால் அது நேரடியாக வரையறுக்கப்படவில்லை. காகிதம் ஒரு கோஃபியன் வளையத்தின் உதாரணத்தையும் வழங்குகிறது, இது ஒரு தொகுதியாக கோஃபியன் அல்ல. மேலும், ஒரு பூலியன் வளையம் R மற்றும் அதனுடன் தொடர்புடைய ஸ்டோன் ஸ்பேஸ் X க்கு, வளையம் R என்பது வளையங்களின் பிரிவில் ஹாப்பியன் என்றும், X என்பது இடவியல் இடைவெளிகளின் பிரிவில் கோஃப்பியன் ஆக இருந்தால் மட்டுமே, மற்றும் R என்பது ஒரு வளையமாக கோஃப்பியன் என்றும் காட்டப்படுகிறது. ஹோப்ஃபியன் மற்றும் கோப்ஃபியன் இடவியல் இடைவெளிகள், சிறிய பன்மடங்கு பற்றிய தொடர்ச்சியான முடிவுகள் சேர்க்கப்பட்டுள்ளன. முதலாவதாக, ஹாப்ஃபியனாக இருக்கும் ஒரே சிறிய பன்மடங்கு வரையறுக்கப்பட்ட தனித்துவமான இடைவெளிகள் ஆகும். இரண்டாவதாக, எல்லை இல்லாத கச்சிதமான பன்மடங்கு எப்போதும் கோஃபியன் ஆகும். கடைசியாக, காலியாக இல்லாத எல்லையுடன் கூடிய கச்சிதமான பன்மடங்கு கோஃபியன் அல்ல. குறிப்புகள் வெளிப்புற இணைப்புகள் ஹோப்ஃபியன் குழு கோ-ஹோப்ஃபியன் குழு வகை கோட்பாடு குழு கோட்பாடு தொகுதி கோட்பாடு வளைய கோட்பாடு