Continuous geometry
கணிதத்தில், தொடர்ச்சியான வடிவியல் என்பது அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட சிக்கலான ப்ரொஜெக்டிவ் வடிவவியலின் அனலாக் ஆகும், அங்கு ஒரு துணை இடத்தின் பரிமாணம் ஒரு தனித்துவமான தொகுப்பில் இருப்பதற்குப் பதிலாக, அது அலகு இடைவெளியின் ஒரு உறுப்பாக இருக்கலாம். தொடர்ச்சியான பரிமாண வரம்புகளை எடுக்கும் பரிமாண செயல்பாட்டைக் கொண்ட வான் நியூமன் ஆல்ஜிப்ராக்களைக் கண்டுபிடித்ததன் மூலம் வான் நியூமன் உந்துதல் பெற்றார், மேலும் ப்ரொஜெக்டிவ் ஸ்பேஸைத் தவிர தொடர்ச்சியான வடிவவியலின் முதல் எடுத்துக்காட்டு ஹைப்பர்ஃபைனைட் வகை II காரணியின் கணிப்புகள் ஆகும். வரையறை மெங்கர் மற்றும் பிர்காஃப் ஆகியோர் ப்ரொஜெக்டிவ் ஸ்பேஸின் லீனியர் சப்ஸ்பேஸ்களின் லட்டிஸின் அடிப்படையில் ப்ரொஜெக்டிவ் வடிவவியலுக்கான கோட்பாடுகளை வழங்கினர். தொடர்ச்சியான வடிவவியலுக்கான வான் நியூமனின் கோட்பாடுகள் இந்த கோட்பாடுகளின் பலவீனமான வடிவமாகும். ஒரு தொடர்ச்சியான வடிவியல் என்பது பின்வரும் பண்புகளைக் கொண்ட ஒரு லட்டீஸ் எல் ஆகும் எல் மாடுலர் ஆகும். எல் முடிந்தது. லட்டிஸ் செயல்பாடுகள், ஒரு குறிப்பிட்ட தொடர்ச்சித் தன்மையை திருப்திப்படுத்துகின்றன, அங்கு A என்பது ஒரு இயக்கப்பட்ட தொகுப்பாகும், அப்படியானால், அதே நிபந்தனை மற்றும் தலைகீழாக மாறும். எல் இல் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் ஒரு நிரப்பு உள்ளது (தனித்துவமானது அல்ல). ஒரு உறுப்பு a இன் நிரப்பு என்பது ஒரு உறுப்பு b ஆகும், இதில் 0 மற்றும் 1 ஆகியவை L இன் குறைந்தபட்ச மற்றும் அதிகபட்ச உறுப்புகள் ஆகும். L பகுக்கமுடியாததுஃ இதன் பொருள் தனித்துவமான நிரப்பு கொண்ட உறுப்புகள் மட்டுமே 0 மற்றும் 1 ஆகும். வரையறுக்கப்பட்ட வகை II வான் நியூமன் இயற்கணிதத்தின் கணிப்புகள் அலகு இடைவெளியில் மதிப்புகளை எடுக்கும் பரிமாணங்களுடன் தொடர்ச்சியான வடிவவியலை உருவாக்குகின்றன. எந்தவொரு ஆர்த்தோகம்ப்ளிமெண்டட் முழுமையான மாடுலர் லட்டிஸ் ஒரு தொடர்ச்சியான வடிவியல் என்பதைக் காட்டியது. V என்பது ஒரு புலம் (அல்லது பிரிவு வளையம்) F மீது ஒரு திசையன் இடைவெளி என்றால், V இன் துணை இடங்களின் PG (V) லட்டிஸிலிருந்து அந்த பரிமாணங்களின் பரிமாணங்களை 2 ஆல் பெருக்கும் துணை இடங்களின் லட்டிஸுக்கு ஒரு இயற்கை வரைபடம் உள்ளது. எனவே நாம் ஒரு நேரடி வரம்பை எடுக்கலாம் இது 0 மற்றும் 1 க்கு இடையில் உள்ள அனைத்து டயாடிக் விகிதங்களையும் மதிப்பிடும் ஒரு பரிமாண செயல்பாட்டைக் கொண்டுள்ளது. அதன் நிறைவு என்பது ஒவ்வொரு பரிமாணத்தின் கூறுகளைக் கொண்ட தொடர்ச்சியான வடிவியல் ஆகும். இந்த வடிவியல் கட்டப்பட்டது, மேலும் இது எஃப் பரிமாணத்தின் மீது தொடர்ச்சியான வடிவியல் என்று அழைக்கப்படுகிறது இந்த பிரிவு சில முடிவுகளை சுருக்கமாகக் கூறுகிறது. இந்த முடிவுகள் வான் நியூமன் ஆல்ஜிப்ராக்களில் கணிப்புகள் குறித்த வான் நியூமனின் பணியைப் போலவே உள்ளன, மேலும் அவை உந்துதல் பெற்றன. L இன் a மற்றும் b என்ற இரண்டு கூறுகள் ஒரு பொதுவான நிரப்பு இருந்தால் அவை முன்னோக்கு என்று அழைக்கப்படுகின்றன. இது எல் இல் ஒரு சமநிலை உறவு; இது இடைநிலை என்பதற்கான ஆதாரம் மிகவும் கடினம். சமன்பாட்டு வகுப்புகள் ஏ, பி, எல் ஆகியவை A இல் சில a மற்றும் B இல் b இருந்தால் அவற்றின் மொத்த வரிசையைக் கொண்டுள்ளன. (இது A இல் உள்ள a மற்றும் B இல் உள்ள b அனைத்திற்கும் பொருந்தாது.) L இலிருந்து அலகு இடைவெளி வரையிலான பரிமாணச் செயல்பாடு D பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது. சமன்பாடு வகுப்புகள் A மற்றும் B இல் a மற்றும் b உறுப்புகள் இருந்தால், அவற்றின் கூட்டுத்தொகை சமன்பாடு வகுப்பாக வரையறுக்கப்படுகிறது. இல்லையெனில் தொகை வரையறுக்கப்படவில்லை. ஒரு நேர்மறை முழு எண் n க்கு, இந்த தொகை வரையறுக்கப்பட்டால், பெருக்கல் nA என்பது A இன் n பிரதிகளின் கூட்டுத்தொகையாக வரையறுக்கப்படுகிறது. சமன்பாடு வகுப்புகள் A மற்றும் B க்கு A அல்ல {0} உடன் முழு எண் தனித்துவமான முழு எண்ணாக வரையறுக்கப்படுகிறது. சமன்பாடு வகுப்புகள் A மற்றும் B க்கு A இல்லை {0} உடன் உண்மையான எண் வரம்பாக வரையறுக்கப்படுகிறது, ஏனெனில் C ஒரு குறைந்தபட்ச வரிசையின் மூலம் இயங்குகிறதுஃ இதன் பொருள் C குறைந்தபட்ச பூஜ்ஜியமற்ற உறுப்பைக் கொண்டுள்ளது, அல்லது பூஜ்ஜியமற்ற உறுப்புகளின் எல்லையற்ற வரிசை ஒவ்வொன்றும் முந்தையவற்றில் பாதியாக இருக்கும். டி (ஏ) வரையறுக்கப்படுகிறது, அங்கு {ஏ} மற்றும் {1} ஆகியவை a மற்றும் 1 ஐக் கொண்ட சமநிலை வகுப்புகள். D இன் உருவம் முழு அலகு இடைவெளியாகவோ அல்லது சில நேர்மறை முழு எண் n க்கான எண்களின் தொகுப்பாகவோ இருக்கலாம். L இன் இரண்டு உறுப்புகள் D இன் கீழ் ஒரே உருவத்தைக் கொண்டுள்ளன, அவை முன்னோக்காக இருந்தால் மட்டுமே, எனவே இது சமநிலை வகுப்புகளிலிருந்து அலகு இடைவெளியின் துணைக்குழுவிற்கு ஒரு ஊசி கொடுக்கிறது. பரிமாணச் சார்பான டி-யின் பண்புகள் பின்வருமாறுஃ அப்படியானால் டி (அ) b + டி (அ) b = டி (அ) + டி (பி) என்றால், மற்றும் ஒருங்கிணைப்புக் கோட்பாடு இருந்தால் மட்டுமே, திட்ட வடிவவியலில், வெப்லன்-யங் கோட்பாடு குறைந்தபட்சம் 3 பரிமாணம் கொண்ட ஒரு திட்ட வடிவியல் ஒரு பிரிவு வளையத்தின் மீது ஒரு திசையன் இடத்தின் திட்ட வடிவவியலுக்கு ஐசோமார்பிக் என்று கூறுகிறது. ப்ரொஜெக்டிவ் வடிவவியலில் உள்ள துணை இடைவெளிகள் ஒரு பிரிவு வளையத்தின் மீது ஒரு மேட்ரிக்ஸ் இயற்கணிதத்தின் முதன்மை வலது இலட்சியங்களுடன் ஒத்திருக்கின்றன என்று இதை மீண்டும் கூறலாம். நியூமன் இதை தொடர்ச்சியான வடிவவியல்களாகவும், மேலும் பொதுவாக நிரம்பிய மாடுலர் லட்டிஸ்களாகவும் பின்வருமாறு பொதுமைப்படுத்தினார். அவரது தேற்றம் ஒரு நிரம்பிய மாடுலர் லட்டிஸ் எல் குறைந்தது 4 வரிசையைக் கொண்டிருந்தால், எல் இன் கூறுகள் ஒரு வான் நியூமன் வழக்கமான வளையத்தின் முதன்மை வலது இலட்சியங்களுடன் ஒத்திருக்கின்றன என்று கூறுகிறது. மேலும் துல்லியமாக, லட்டிஸுக்கு n வரிசை இருந்தால், வான் நியூமன் வழக்கமான வளையத்தை மற்றொரு வான் நியூமன் வழக்கமான வளையம் R ஐ விட n ஆல் n மேட்ரிக்ஸ் வளையம் Mn (R) ஆக எடுத்துக் கொள்ளலாம். ஒரு லட்டிஸின் வரிசை தனித்துவமாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை; எடுத்துக்காட்டாக, எந்த லட்டிஸுக்கும் வரிசை 1 உள்ளது. குறைந்தது 4 சுயாதீன புள்ளிகளின் தொகுப்பைக் கொண்டிருந்தால் மட்டுமே, ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் ஸ்பேஸ் குறைந்தபட்சம் 3 பரிமாணத்தைக் கொண்டிருப்பதால், வெப்லன்-யங் தேற்றத்தில் பரிமாணம் குறைந்தது 3 என்ற நிபந்தனைக்கு இணங்க வேண்டும். மாறாக, ஒரு வான் நியூமன் வழக்கமான வளையத்தின் முதன்மை வலது இலட்சியங்கள் ஒரு நிரம்பிய மட்டு ஜாலகத்தை உருவாக்குகின்றன. R என்பது ஒரு வான் நியூமன் வழக்கமான வளையம் மற்றும் L என்பது அதன் முதன்மை வலது இலட்சியங்களின் லட்டிஸ் என்று வைத்துக்கொள்வோம், இதனால் L என்பது ஒரு நிரம்பிய மாடுலர் லட்டிஸ் ஆகும். R ஒரு பகுக்கமுடியாத முழுமையான தரவரிசை வளையமாக இருந்தால் மட்டுமே L ஒரு தொடர்ச்சியான வடிவியல் என்று நியூமன் காட்டினார். குறிப்புகள் திட்ட வடிவியல் வான் நியூமன் ஆல்ஜிபிராஸ் லாட்டிஸ் கோட்பாடு