Singular submodule
வளையக் கோட்பாடு மற்றும் தொகுதிக் கோட்பாடு என்று அழைக்கப்படும் சுருக்க இயற்கணிதத்தின் கிளைகளில், ஒவ்வொரு வலது (ரெஸ்ப். இடது) ஆர்-தொகுதி எம் ஒரு ஒற்றை துணை தொகுதியைக் கொண்டுள்ளது, இது உறுப்புகளைக் கொண்டுள்ளது, அதன் அழிப்பான்கள் அத்தியாவசியமானவை (ரெஸ்ப். இடது) ஐடியல்கள் ஆர். செட் குறியீட்டில் இது பொதுவாக குறிக்கப்படுகிறது. பொது வளையங்களைப் பொறுத்தவரை, இது பெரும்பாலும் களங்களுக்கு வரையறுக்கப்படும் முறுக்கு துணை தொகுதி முறைகளின் (எம்) ஒரு நல்ல பொதுமைப்படுத்தலாகும். R ஒரு பரிமாற்ற களமாக இருந்தால்,. R என்பது ஏதேனும் வளையமாக இருந்தால், R ஐ ஒரு வலது தொகுதியாகக் கருத்தில் கொண்டு வரையறுக்கப்படுகிறது, மேலும் இந்த விஷயத்தில் R இன் வலது ஒற்றை இலட்சியம் என்று அழைக்கப்படும் R இன் இரு பக்க இலட்சியம் ஆகும். அது சாத்தியமே. வரையறைகள் ஒற்றை துணை தொகுதிகள் மற்றும் ஒற்றை இலட்சியங்களைப் படிக்கும்போது பயன்படுத்தப்படும் பல வரையறைகள் இங்கே உள்ளன. பின்வருவனவற்றில், எம் ஒரு ஆர்-தொகுதிஃ எம் ஒரு ஒற்றை தொகுதி என்று அழைக்கப்படுகிறது. M ஒரு நான்சீங்குலர் தொகுதி என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஆர் என்றால் வலது நான்சீங்குலர் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இடது ஒற்றை அல்லாத வளையம் இதேபோல் வரையறுக்கப்படுகிறது, இடது ஒற்றை இலட்சியத்தைப் பயன்படுத்துகிறது, மேலும் ஒரு வளையம் வலது-ஆனால்-இடது அல்ல-ஒற்றை அல்லாததாக இருப்பது முற்றிலும் சாத்தியமாகும். ஒற்றுமை கொண்ட வளையங்களில் எப்போதும் அப்படித்தான் இருக்கும், எனவே "வலது ஒருமை வளையம்" பொதுவாக ஒருமை தொகுதிகள் போலவே வரையறுக்கப்படுவதில்லை. சில எழுத்தாளர்கள் "ஒருமை வளையத்தை" "பூஜ்ஜியமற்ற ஒருமை இலட்சியத்தைக் கொண்டுள்ளது" என்று பொருள்படும் வகையில் பயன்படுத்தியுள்ளனர், இருப்பினும் இந்த பயன்பாடு தொகுதிகளுக்கான பெயர்ச்சொற்களின் பயன்பாட்டுடன் ஒத்துப்போகவில்லை. பண்புகள் ஒற்றை துணை தொகுதியின் சில பொதுவான பண்புகள் பின்வருமாறுஃ இங்கு M இன் சொக்கி குறிக்கிறது. f என்பது M முதல் N வரையிலான R-தொகுதிகளின் ஒரே மாதிரியாக இருந்தால், பின்னர். N என்பது M இன் துணை தொகுதியாக இருந்தால், பின்னர். "ஒருமை" மற்றும் "ஒருமை அல்லாத" பண்புகள் மோரிட்டா மாறாத பண்புகளாகும். ஒரு வளையத்தின் ஒற்றை இலட்சியங்கள் வளையத்தின் மைய நில்போட்டன்ட் கூறுகளைக் கொண்டுள்ளன. இதன் விளைவாக, ஒரு பரிமாற்ற வளையத்தின் ஒருமை இலட்சியம் வளையத்தின் நில்ராடிக்கலைக் கொண்டுள்ளது. முறுக்கு துணை தொகுதியின் ஒரு பொதுவான பண்பு என்னவென்றால், இது ஒருமை துணை தொகுதிக்கு பொருந்தும் என்று அவசியமில்லை. இருப்பினும், R ஒரு வலது ஒற்றை அல்லாத வளையமாக இருந்தால், பின்னர். N என்பது M இன் அத்தியாவசிய துணை தொகுதியாக இருந்தால் (இரண்டும் சரியான தொகுதிகள்) பின்னர் M/N ஒருமை. எம் ஒரு இலவச தொகுதி என்றால், அல்லது ஆர் சரியான நான்சீங்குலர் என்றால், எதிர் உண்மை. ஒரு அரை எளிய தொகுதி ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் தொகுதியாக இருந்தால் மட்டுமே அது ஒற்றை அல்ல. R ஒரு வலது சுய-உட்செலுத்தும் வளையமாக இருந்தால், J (R) என்பது R இன் ஜேகோப்சன் ரேடிக்கல் ஆகும். எடுத்துக்காட்டுகள் வலது நான்சீங்குலர் வளையங்கள் மிகவும் பரந்த வகுப்பாகும், இதில் குறைக்கப்பட்ட வளையங்கள், வலது (அரை) பரம்பரை வளையங்கள், வான் நியூமன் வழக்கமான வளையங்கள், களங்கள், அரை எளிய வளையங்கள், பேர் வளையங்கள் மற்றும் வலது ரிக்கார்ட் வளையங்கள் அடங்கும். பரிமாற்ற வளையங்களைப் பொறுத்தவரை, நான்சீங்குலர் என்பது குறைக்கப்பட்ட வளையத்திற்கு சமம். முக்கியமான கோட்பாடுகள் ஜான்சனின் தேற்றம் (ஆர். இ. ஜான்சன் காரணமாக) பல முக்கியமான சமன்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளது. எந்தவொரு வளையத்திற்கும் R, பின்வருவன சமமானவைஃ R என்பது சரியான ஒற்றை அல்லாதது. உட்செலுத்தும் ஹல் ஈ (ஆர்ஆர்) ஒரு நான்சீங்குலர் வலது ஆர்-தொகுதி ஆகும். எண்டோமார்பிசம் வளையம் ஒரு அரைப்பகுதி வளையம் (அதாவது,). மேற்கோள்களின் அதிகபட்ச வலது வளையம் வான் நியூமன் வழக்கமானதாகும். வலது நான்ச்சிங்குலாரிட்டி சரியான சுய ஊசி வளையங்களுடனும் வலுவான தொடர்புகளைக் கொண்டுள்ளது. கோட்பாடுஃ R ஒரு வலது சுய உட்செலுத்தும் வளையமாக இருந்தால், R இல் பின்வரும் நிபந்தனைகள் சமமானவைஃ வலது நான்சிங்குலர், வான் நியூமன் வழக்கமான, வலது அரை பரம்பரை, வலது ரிக்கார்ட், பேயர், அரை பாகுபாடு. அதிகபட்ச வலது வளையங்கள் ஒரு குறிப்பிட்ட கட்டமைப்பைக் கொண்ட வளையங்களின் வகுப்பை வகைப்படுத்த காகிதம் நான்சீங்குலர் தொகுதிகளைப் பயன்படுத்தியது. கோட்பாடுஃ R ஒரு வளையமாக இருந்தால், R ஒரு ஒற்றை அல்லாத, விசுவாசமான, சீரான தொகுதியைக் கொண்டிருந்தால் மட்டுமே அது ஒரு வலது முழு நேரியல் வளையமாகும். மேலும், R வரையறுக்கப்பட்ட சீரான பரிமாணத்துடன் ஒரு ஒற்றை அல்லாத, விசுவாசமான தொகுதியைக் கொண்டிருந்தால் மட்டுமே முழு நேரியல் வளையங்களின் வரையறுக்கப்பட்ட நேரடி தயாரிப்பு ஆகும். பாடநூல்கள் முதன்மை ஆதாரங்கள் தொகுதி கோட்பாடு வளையக் கோட்பாடு