Conjugate points
வேறுபட்ட வடிவவியலில், இணை புள்ளிகள் அல்லது மைய புள்ளிகள், தோராயமாக, புவியியலின் 1-அளவுரு குடும்பத்தால் கிட்டத்தட்ட இணைக்கப்படக்கூடிய புள்ளிகள் ஆகும். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு கோளத்தில், வட துருவமும் தென் துருவமும் எந்த தீர்க்கரேகையாலும் இணைக்கப்பட்டுள்ளன. மற்றொரு கண்ணோட்டம் என்னவென்றால், புவியியல் எப்போது நீளத்தைக் குறைக்கத் தவறிவிடுகிறது என்பதை இணை புள்ளிகள் தெரிவிக்கின்றன. அனைத்து புவியியல்களும் உள்ளூரில் நீளத்தைக் குறைக்கின்றன, ஆனால் உலகளவில் இல்லை. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு கோளத்தில், வட துருவத்தின் வழியாகச் செல்லும் எந்தவொரு புவியியல் பகுதியும் தென் துருவத்தை அடைய நீட்டிக்கப்படலாம், எனவே துருவங்களை இணைக்கும் எந்தவொரு புவியியல் பகுதியும் (தனித்துவமாக) உலகளாவிய நீளத்தைக் குறைக்காது. நிலையான 2-கோளத்தில் உள்ள எந்த ஜோடி ஆன்டிபோடல் புள்ளிகளும் இணை புள்ளிகள் என்பதை இது நமக்குச் சொல்கிறது. வரையறை p மற்றும் q ஒரு ரீமானியன் பன்மடங்கு புள்ளிகள் என்று வைத்துக்கொள்வோம், மேலும் p மற்றும் q ஐ இணைக்கும் ஒரு புவியியல் ஆகும். p மற்றும் q இல் மறைந்துவிடும் பூஜ்ஜியமற்ற ஜாகோபி புலம் இருந்தால், p மற்றும் q ஆகியவை இணை புள்ளிகளாகும். எந்தவொரு ஜாகோபி புலத்தையும் புவியியல் மாறுபாட்டின் வழித்தோன்றலாக எழுதலாம் என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள் (ஜாகோபி புலங்கள் குறித்த கட்டுரையைப் பார்க்கவும்). எனவே, p மற்றும் q ஆகியவை இணைக்கப்பட்டிருந்தால், p இல் தொடங்கி கிட்டத்தட்ட q இல் முடிவடையும் புவியியலின் குடும்பத்தை ஒருவர் உருவாக்க முடியும். குறிப்பாக, புவியியலின் குடும்பம் என்றால், அதன் வழித்தோன்றல் s இல் ஜாகோபி புலம் J ஐ உருவாக்குகிறது, பின்னர் மாறுபாட்டின் இறுதி புள்ளி, அதாவது, s இல் முதல் வரிசை வரை மட்டுமே புள்ளி q ஆகும். எனவே, இரண்டு புள்ளிகள் இணைந்திருந்தால், அவற்றை இணைக்கும் இரண்டு தனித்துவமான புவியியியல் இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை. எடுத்துக்காட்டுகள் கோளத்தில், ஆன்டிபோடல் புள்ளிகள் இணைந்தவை. உண்மையான ஒருங்கிணைப்பு இடத்தில், இணை புள்ளிகள் எதுவும் இல்லை. நேர்மறை அல்லாத பிரிவு வளைவுடன் ரீமானியன் பன்மடங்கு மீது, இணை புள்ளிகள் எதுவும் இல்லை. மேலும் காண்க கட் லோகஸ் ஜாகோபி புலம் குறிப்புகள் ரீமானியன் வடிவியல்