II25,1
கணிதத்தில், II25,1 என்பது சமமான 26 பரிமாண லோரெண்ட்சியன் ஒற்றையாட்சி ஆகும். இது பல அசாதாரண பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது, இது கான்வேயின் கண்டுபிடிப்பிலிருந்து எழுகிறது, இது ஒரு நெறிமுறை பூஜ்ஜிய வேய்ல் திசையனைக் கொண்டுள்ளது. குறிப்பாக இது லீச் லட்டிஸ் λ உடன் நெருக்கமாக தொடர்புடையது, மேலும் கான்வே குழு Co1 அதன் தானியங்கி குழுவில் முதலிடத்தில் உள்ளது. கட்டுமானம் a1b1 + ஆல் கொடுக்கப்பட்ட (a1,., am + n) மற்றும் (b1,., bm + n) இன் உள் பெருக்கலுடன் m + n பரிமாண திசையன் இடைவெளி Rm + n க்கு Rm, n ஐ எழுதுங்கள். லட்டிஸ் II25,1 என்பது R25,1 இல் உள்ள அனைத்து திசையன்களாலும் (a1,., a26) வழங்கப்படுகிறது, அதாவது அனைத்து எஐகளும் முழு எண்கள் அல்லது அவை அனைத்தும் முழு எண்கள் கூட்டல் 1/2 ஆகும், மேலும் அவற்றின் கூட்டுத்தொகை சமமாக இருக்கும். பிரதிபலிப்புக் குழு II25,1 என்பது ஐசோமார்பிக் ஆகும், இங்குஃ λ என்பது லீச் லட்டிஸ், H என்பது 2 பரிமாண லாரெண்ட்சியன் லட்டிஸ் ஆகும், இது 2 நெறிமுறை 0 திசையன்கள் z மற்றும் உள் பெருக்கல்-1 உடன் உருவாக்கப்படுகிறது, மேலும் இரண்டு கூட்டுத்தொகைகளும் ஆர்த்தோகனல் ஆகும். எனவே II25,1 இன் திசையன்களை (λ, m, n) = λ + mz + nw உடன் λ மற்றும் m, n முழு எண்களில் எழுதலாம், அங்கு (λ, m, n) நெறிமுறை λ2-2mn ஐக் கொண்டுள்ளது. ஐசோமார்பிசத்தை வெளிப்படையாகக் கொடுக்க, மற்றும், இதனால் உருவாக்கப்படும் சப்ஸ்பேஸ் மற்றும் 2 பரிமாண லாரெண்ட்சியன் லட்டிஸ் ஆகும். பின்னர் ஐசோமார்பிக் மற்றும் λ இன் வரையறைகளில் ஒன்றை நாம் மீட்டெடுக்கிறோம். கான்வே, உள் பெருக்கல்-1 உடன் w = (0,0,1) கொண்ட வேர்கள் (நெறிமுறை 2 திசையன்கள்) பிரதிபலிப்பு குழுவின் எளிய வேர்கள் என்பதைக் காட்டியது. இவை லீச் லட்டிஸில் உள்ள λ க்கான திசையன்கள் (λ, 1, λ 2/2-1) ஆகும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், எளிய வேர்களை லீச் லட்டிஸின் புள்ளிகளுடன் அடையாளம் காணலாம், மேலும் இது எளிய வேர்களின் தொகுப்பிலிருந்து லீச் லட்டிஸ் வரை ஒரு ஐசோமெட்ரி ஆகும். பிரதிபலிப்புக் குழு என்பது 25 பரிமாண ஹைபர்போலிக் இடத்தில் செயல்படும் ஒரு ஹைபர்போலிக் பிரதிபலிப்புக் குழுவாகும். பிரதிபலிப்புக் குழுவின் அடிப்படை களம் பின்வருமாறு 1+23 + 284 செங்குத்தான சுற்றுப்பாதைகளைக் கொண்டுள்ளதுஃ முடிவிலியில் ஒரு உச்சி 0 வேய்ல் திசையனுடன் தொடர்புடையது. முடிவிலியில் செங்குத்துகளின் 23 சுற்றுப்பாதைகள் அடிப்படை களத்தின் வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான முகங்களை சந்திக்கின்றன. இந்த செங்குத்துகள் லீச் லட்டிஸின் ஆழமான துளைகளுடன் ஒத்திருக்கின்றன, மேலும் லீச் லட்டிஸ் தவிர 23 நீமியர் லட்டிஸ்களுடன் தொடர்புடைய 23 சுற்றுப்பாதைகள் உள்ளன. இந்த செங்குத்துகளில் ஒன்றைச் சந்திக்கும் எளிய வேர்கள் தரவரிசை 24 இன் அஃபைன் டைன்கின் வரைபடத்தை உருவாக்குகின்றன. ஹைபர்போலிக் இடத்தில் செங்குத்துகளின் 284 சுற்றுப்பாதைகள். இவை லீச் லட்டிஸின் ஆழமற்ற துளைகளின் 284 சுற்றுப்பாதைகளுடன் ஒத்திருக்கின்றன. இந்த செங்குத்துகளில் ஏதேனும் ஒன்றைச் சந்திக்கும் எளிய வேர்கள் 25 வது தரவரிசையின் கோள டைன்கின் வரைபடத்தை உருவாக்குகின்றன. தானியங்கி உருவகக் குழு II25,1 இன் தானியங்கி உருவகக் குழுவை (II25,1) பின்வருமாறு விவரித்தது. முதலாவதாக, ஆட்டோமொபைல் (II25,1) என்பது நேரத்தின் திசையைப் பாதுகாக்கும் தானியங்கி உருமாற்றங்களின் குறியீடு 2 துணைக்குழு ஆட்டோமொபைல் (II25,1) ஆல்-1 ஆல் உருவாக்கப்பட்ட வரிசை 2 இன் தொகுப்பின் பெருக்கமாகும். குழு ஆட்ட + (II25,1) அதன் பிரதிபலிப்புகளால் உருவாக்கப்படும் ஒரு சாதாரண துணைக்குழு ரெஃப் உள்ளது, அதன் எளிய வேர்கள் லீச் லட்டிஸ் திசையன்களுடன் ஒத்திருக்கின்றன. குழு ஆட்ட + (II25,1)/ரெஃப் லீச் லட்டிஸின் அஃபைன் ஆட்டோமார்ஃபிஸம்களின் குழுவிற்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும், எனவே λ = Z24 க்கு ஐசோமார்பிக் மொழிபெயர்ப்புகளின் சாதாரண துணைக்குழுவைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் ஈவு லீச் லட்டிஸின் அனைத்து ஆட்டோமார்ஃபிஸம்களின் குழுவிற்கும் ஐசோமார்பிக் ஆகும், இது கான்வே குழு Co1 இன் இரட்டை மறைப்பாகும், இது ஒரு அவ்வப்போது எளிய குழுவாகும். திசையன்கள் II25,1 இன் பூஜ்ஜியமற்ற ஒவ்வொரு திசையனையும் ஒரு பழமையான திசையனின் நேர்மறை முழு எண்ணாக தனித்துவமாக எழுதலாம், எனவே அனைத்து திசையன்களையும் வகைப்படுத்த இது பழமையான திசையன்களை வகைப்படுத்த போதுமானது. நேர்மறை நெறிமுறை திசையன்கள் ஒரே நெறிமுறை கொண்ட எந்த இரண்டு நேர்மறை நெறிமுறை பழமையான திசையன்கள் தானியங்கி உருவம் குழுவின் கீழ் இணைக்கப்படுகின்றன. நார்ம் பூஜ்ஜிய திசையன்கள் 24 நீமியர் லட்டிஸ்களுடன் தொடர்புடைய பழமையான நார்ம் 0 திசையன்களின் 24 சுற்றுப்பாதைகள் உள்ளன. தொடர்பாடல் பின்வருமாறு கொடுக்கப்பட்டுள்ளதுஃ z ஒரு நெறிமுறை 0 திசையன் என்றால், பின்னர் லட்டிஸ் z/z ஒரு 24 பரிமாண சமமான ஒற்றை லட்டிஸ் ஆகும், எனவே இது நீமியர் லட்டிஸ்களில் ஒன்றாகும். II25,1 இன் பிரதிபலிப்புக் குழுவின் விதிமுறை 0 வேய்ல் திசையனுடன் தொடர்புடைய நீமியர் லட்டிஸ் லீச் லட்டிஸ் ஆகும். நார்ம்-2 திசையன்கள் நார்ம்-2 இன் திசையன்களின் 121 சுற்றுப்பாதைகள் உள்ளன, இது தீர்மானிப்பவர் 2 இன் 25 பரிமாண சம லட்டிஸ்கள் எல் இன் 121 ஐசோமார்பிசம் வகுப்புகளுடன் தொடர்புடையது. இந்த தொடர்புகளில், லட்டிஸ் எல் என்பது திசையன் வி. நார்ம்-4 திசையன்களின் ஆர்த்தோகனல் நிரப்பு சமச்சீரமை ஆகும். நார்ம்-4 திசையன்களின் 665 சுற்றுப்பாதைகள் உள்ளன, இது 25-பரிமாண ஒற்றையாட்சி வகுப்புகளின் 665 சமச்சீரமை வகுப்புகளுடன் தொடர்புடையது. இந்த தொடர்புகளில், லட்டிஸ் எல் இன் ஈவன் திசையன்களின் குறியீடு 2 சப்ளாட்டிஸ் திசையன் வி இன் ஆர்த்தோகனல் நிரப்பு சமச்சீரமை ஆகும். பிற திசையன்கள் n = 3,4,5 க்கு நார்ம்-2n இன் திசையன்களின் ஒத்த ஆனால் பெருகிய முறையில் சிக்கலான விளக்கங்கள் உள்ளன, மேலும் அத்தகைய திசையன்களின் சுற்றுப்பாதைகளின் எண்ணிக்கை மிகவும் வேகமாக அதிகரிக்கிறது. குறிப்புகள் கான்வே, ஜே. எச்.; ஸ்லோன், என். ஜே. ஏ. (1999). கோள பொதிகள், ஜன்னல்கள் மற்றும் குழுக்கள். (3வது பதிப்பு.) இ. பன்னாய், ஆர். இ. போர்செர்ட்ஸ், ஜான் லீச், சைமன் பி. நார்டன், ஏ. எம். ஓட்லிஸ்கோ, ரிச்சர்ட் ஏ. பார்க்கர், எல். குயின் மற்றும் பி. பி. வெங்கோவ். கிரண்ட்லெஹ்ரென் டெர் மேத்தமேடிஸ்சென் விஸ்ஸென்ஷாஃப்டன், 290. நியூயார்க்ஃ ஸ்பிரிங்கர்-வெர்லாக். . நாற்கர வடிவங்கள் லாட்டிஸ் புள்ளிகள் இடஞ்சார்ந்த குழுக்கள் மூன்ஷைன் கோட்பாடு ஜான் ஹார்டன் கான்வே