Sum and Product Puzzle
ஒரு தீர்வுக்கு போதுமான தகவல்கள் இல்லாததால் இம்பாசிபிள் புதிர் என்றும் அழைக்கப்படும் கூட்டுத்தொகை மற்றும் தயாரிப்பு புதிர் ஒரு தர்க்க புதிர் ஆகும். இது முதன்முதலில் 1969 ஆம் ஆண்டில் ஹான்ஸ் பிராய்டென்டால் என்பவரால் வெளியிடப்பட்டது, மேலும் இம்பாசிபிள் புதிர் என்ற பெயரை மார்ட்டின் கார்ட்னர் உருவாக்கினார். புதிர் எளிதில் தீர்க்கப்படவில்லை என்றாலும் தீர்க்கக்கூடியது. இதே போன்ற பல புதிர்கள் உள்ளன. புதிர் X மற்றும் Y ஆகியவை 1 ஐ விட பெரிய இரண்டு வெவ்வேறு முழு எண்கள். இவற்றின் தொகை 100க்கு மேல் இருக்காது. S மற்றும் P இரண்டு கணிதவியலாளர்கள் (இதன் விளைவாக சரியான தர்க்கவியலாளர்கள்); S க்கு X + Y கூட்டுத்தொகை தெரியும் மற்றும் P க்கு X × Y பெருக்கல் தெரியும். இந்த பத்தியில் உள்ள அனைத்து தகவல்களையும் எஸ் மற்றும் பி இருவரும் அறிவார்கள். பின்வரும் உரையாடலில், பங்கேற்பாளர்கள் இருவரும் எப்போதும் உண்மையைச் சொல்கிறார்கள்ஃ "P க்கு X மற்றும் Y தெரியாது" என்று S கூறுகிறார். "இப்போது எனக்கு எக்ஸ் மற்றும் ஒய் தெரியும்" என்று பி கூறுகிறார். "இப்போது எனக்கு எக்ஸ் மற்றும் ஒய் தெரியும்" என்று எஸ் கூறுகிறார். X மற்றும் Y என்றால் என்ன? விளக்கங்கள் கருத்துக்கள் மற்றும் முன்னோக்குகள் தெளிவுபடுத்தப்பட்டவுடன் சிக்கல் எளிதில் தீர்க்கப்படுகிறது. இதில் எஸ், பி, ஓ என மூன்று தரப்பினர் ஈடுபட்டுள்ளனர். S க்கு X + Y கூட்டுத்தொகை தெரியும், P க்கு X·Y பெருக்கல் தெரியும், பார்வையாளர் O க்கு அசல் சிக்கல் அறிக்கையைத் தவிர வேறு எதுவும் தெரியாது. மூன்று தரப்பினரும் ஒரே தகவலை வைத்திருக்கிறார்கள், ஆனால் அதை வித்தியாசமாக விளக்குகிறார்கள். பின்னர் அது தகவல் விளையாட்டாக மாறுகிறது. ஒரு எண்ணை A = B + C a 2-பிளவு என்ற இரண்டு சொற்களாக பிரிப்பதை அழைப்போம். கோல்ட்பாக்கின் அனுமானம் அல்லது அத்தகைய 2-பிரிவின் B·C தயாரிப்பு தனித்துவமாக இருக்க வேண்டும் என்ற உண்மை போன்ற எந்தவொரு மேம்பட்ட அறிவும் தேவையில்லை (அதாவது. பெருக்கும்போது அதே முடிவைக் கொடுக்கும் வேறு இரண்டு எண்கள் இல்லை). ஆனால் கோல்ட்பாக்கின் அனுமானத்துடன், X மற்றும் Y ஐ அவற்றின் பெருக்கல் அரை பகா எண்ணாக இருந்தால் P உடனடியாக அறிந்துவிடும் என்ற உண்மையுடன், x + y கூட்டுத்தொகையை சமமாக இருக்க முடியாது என்று யூகிக்க முடியும், ஏனெனில் ஒவ்வொரு இரட்டை எண்ணையும் இரண்டு பகா எண்களின் கூட்டுத்தொகையாக எழுதலாம். அந்த இரண்டு எண்களின் பெருக்கல் பின்னர் அரை முதன்மையானதாக இருக்கும். பின்வரும் படிகள் தீர்வைக் கொடுக்கின்றனஃ எஸ் (சூ), பி (பீட்) மற்றும் ஓ (ஓட்டோ) ஆகியவை வரம்பில் உள்ள தொகைகளின் 2-பிரிவுகளிலிருந்து உருவாக்கக்கூடிய அனைத்து தயாரிப்புகளின் அட்டவணைகளையும் உருவாக்குகின்றன, அதாவது. 5 முதல் 100 வரை (X> 1 மற்றும் Y> X க்கு நாம் 5 இல் தொடங்க வேண்டும்). எடுத்துக்காட்டாக, 11 ஐ 2 + 9,3 + 8,4 + 7 மற்றும் 5 + 6 ஆக பிரிக்கலாம். அந்தந்த தயாரிப்புகள் 18,24,28 மற்றும் 30 ஆகும், மேலும் வீரர்கள் தங்கள் அட்டவணையில் இந்த தயாரிப்புகள் ஒவ்வொன்றிற்கும் அருகில் ஒரு டிக் மார்க்கை வைக்கிறார்கள் (அட்டவணை 1). அவை முடிந்ததும், சில எண்களுக்கு டிக் மதிப்பெண்கள் இல்லை, சிலவற்றுக்கு ஒன்று உள்ளது, சிலவற்றுக்கு ஒன்றுக்கு மேற்பட்டவை உள்ளன. சூ இப்போது தனது தொகை மற்றும் அதன் அனைத்து 2-பிளவுகளையும் பார்க்கிறார். அனைத்து 2-பிளவுகளும் தனித்துவமற்ற தயாரிப்புகளைக் கொண்டிருப்பதை அவள் காண்கிறாள், அதாவது. வேறு ஒரு காரணியாக்கம் உள்ளது, இது வேறு சில சாத்தியமான தொகையின் 2-பிளவு ஆகும். படி 1 இல் உள்ள அட்டவணையில் இருந்து அவள் இதைப் பார்க்கிறாள், அங்கு அவளுடைய அனைத்து தயாரிப்புகளும் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட டிக் மார்க்கைக் கொண்டுள்ளன. இந்த உண்மையின் காரணமாக, பீட் தயாரிப்பைப் பார்ப்பதன் மூலம் எக்ஸ் மற்றும் ஒய் காரணிகளை தனித்துவமாக தீர்மானிக்க முடியாது என்பதை அவள் உணர்கிறாள் (இதற்கு குறைந்தபட்சம் ஒரு கேண்டிடேட் தயாரிப்புகளில் ஒரு டிக் மார்க்கை மட்டுமே கொண்டிருக்க வேண்டும்). எனவே அவள் "P ஆல் X மற்றும் Y ஐ அறிய முடியாது" என்று கூச்சலிடுகிறாள். பீட் மற்றும் ஓட்டோ இதைக் கேட்கும்போது, சூவின் தொகையுடன் தொடர்புடைய தயாரிப்புகள் எதுவும் தனித்துவமானவை அல்ல என்ற தகவலைப் பெறுகிறார்கள். சாத்தியமான தொகைகளை படிப்பதன் மூலம், ஒவ்வொன்றாக, சூ, பீட் மற்றும் ஓட்டோ இப்போது, ஒவ்வொருவரும் தனித்தனியாக, தகுதியான அனைத்து தொகைகளின் பட்டியலையும் உருவாக்கலாம் (அட்டவணை 2). அட்டவணையில் அந்த தொகைகள் உள்ளன, அவற்றின் 2-பிளவுகள் அனைத்தும் தனித்துவமற்ற தயாரிப்புகளைக் கொண்டுள்ளன, அதாவது. அட்டவணை 1 இல் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட டிக் மார்க்கைக் கொண்டிருங்கள். சூ, பீட் மற்றும் ஓட்டோ ஆகியோர் வேட்பாளர் தொகைகளின் அட்டவணையை உருவாக்கியுள்ளனர் (சூ ஏற்கனவே தனது தொகையை அறிந்திருக்கிறார், ஆனால் பீட்டின் சிந்தனையை கண்டுபிடிக்க வேண்டும்). அட்டவணை 2 இல் உள்ள புதிய தகவல்களைக் கருத்தில் கொண்டு, பீட் மீண்டும் தனது தயாரிப்பைப் பார்க்கிறார். ஆரம்பத்தில் இருந்தே தொகைகளாக கருதப்பட்ட 5 முதல் 100 வரையிலான அனைத்து எண்களுடன் ஒப்பிடும்போது, ஒன்றைத் தவிர அவரது உற்பத்தியின் சாத்தியமான அனைத்து 2-பிளவுகளின் தொகைகளும் அட்டவணை 2 இலிருந்து மறைந்துவிட்டன. எஞ்சியிருப்பது X மற்றும் Y என்ற இரண்டு மறைக்கப்பட்ட எண்களின் கூட்டுத்தொகையாக இருக்க வேண்டும், அதன் பெருக்கல் X·Y அவருக்குத் தெரியும். கூட்டுத்தொகை மற்றும் பெருக்கல் ஆகியவற்றிலிருந்து, தனிப்பட்ட எண்களை அறிவது எளிது, எனவே அவர் சூவிடம் "இப்போது எனக்கு எக்ஸ் மற்றும் ஒய் தெரியும்" என்று கூறுகிறார். பீட் இப்போது செய்து ஆட்டத்திலிருந்து வெளியேறுகிறார். சூ மற்றும் ஓட்டோ அட்டவணை 1 ஐ மறுபரிசீலனை செய்கிறார்கள், இந்த முறை அசல் அட்டவணை 1 இல் உள்ளபடி 5 முதல் 100 வரம்பில் உள்ள அனைத்து எண்களிலிருந்தும் அட்டவணை 2 இல் உள்ள தொகைகளிலிருந்து 2-பிளவுகளின் தயாரிப்புகளை மட்டுமே எண்ணுகிறார்கள். இந்த புதுப்பிக்கப்பட்ட அட்டவணை அட்டவணை 1B என்று அழைக்கப்படுகிறது. சூ தனது தொகையின் 2-பிளவுகளின் அனைத்து தயாரிப்புகளையும் பார்த்து, அவற்றில் ஒன்று மட்டுமே அட்டவணை 1B இல் சரியாக ஒரு முறை தோன்றுவதைக் காண்கிறார். இது பீட் வைத்திருக்கும் தயாரிப்பாக இருக்க வேண்டும், மேலும் பீட் செய்ததைப் போலவே இரண்டு எண்களையும் அவற்றின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் விளைபொருளிலிருந்து எளிதில் ஊகிக்க முடியும். எனவே, அவள் ஓட்டோவிடம் (பீட் ஏற்கனவே போய்விட்டார்) "இப்போது எனக்கு எக்ஸ் மற்றும் ஒய் தெரியும்" என்று சொல்கிறாள். சூவும் இப்போது செய்து ஆட்டத்திலிருந்து வெளியேறுகிறார், ஓட்டோ மட்டுமே எஞ்சியுள்ளார். படி 4 இல் உள்ள தகவல்களிலிருந்து, ஓட்டோ அட்டவணை 2 இல் உள்ள அனைத்து தொகைகளையும் ஸ்கேன் செய்கிறார், அவற்றில் ஒன்று மட்டுமே அட்டவணை 1B இல் ஒரு ஒற்றை 2-பிளவு குறிப்பைக் கொண்டுள்ளது. விரும்பியவர் ஒரு டிக் மார்க்கை மட்டுமே கொண்டிருக்க முடியும், அல்லது சூ X மற்றும் Y ஐ உறுதியாக அறிந்திருக்க முடியாது. இறுதியாக, ஓட்டோ விரும்பிய தொகைக்கு வருகிறார், இது இந்த பண்புகளைக் கொண்ட ஒரே ஒன்றாகும், இது அசல் சிக்கலை ஒரு தனித்துவமான தீர்வுடன் தீர்க்க உதவுகிறது. ஓட்டோவின் பணியும் இப்போது முடிந்துவிட்டது. தீர்வு X மற்றும் Y ஐ 4 மற்றும் 13 ஆகக் கொண்டுள்ளது, P க்கு ஆரம்பத்தில் பெருக்கல் 52 என்றும் S க்கு கூட்டுத்தொகை 17 என்றும் தெரியும். ஆரம்பத்தில் P க்கு தீர்வு தெரியாது, ஏனெனில் 52 = 4 × 13 = 2 × 26 மற்றும் P க்கு தீர்வு தெரியாது என்று S க்குத் தெரியும், ஏனெனில் கட்டுப்பாடுகளுக்குள் 17 க்கு சாத்தியமான அனைத்து தொகைகளும் இதேபோன்ற தெளிவற்ற தயாரிப்புகளை உருவாக்குகின்றன. எவ்வாறாயினும், தயாரிப்பு கொடுக்கப்பட்ட பல சாத்தியமான தீர்வுகள் உள்ளன என்று S நம்புகிறது என்று P அறிந்தவுடன், P 2 x 26 ஐ நிராகரிக்க முடியும், ஏனெனில் அந்த விஷயத்தில் தொகை 28 ஆகும். S க்கு 28 என்று கூறப்பட்டிருந்தால், P க்கு மதிப்புகள் தெரியாது என்று அவளால் உறுதியாகக் கூற முடியாது, ஏனெனில் ஒரு சாத்தியமான ஜோடி 5 மற்றும் 23 ஆக இருக்கும், மேலும் P க்கு மொத்தம் 5 x 23 என்று கூறப்பட்டிருந்தால், அந்த இரண்டு எண்களும் மட்டுமே சாத்தியமான தீர்வு. எனவே P க்கு இப்போது எண்கள் 4 மற்றும் 13 என்று தெரியும், மேலும் S க்கு எண்கள் தெரியும் என்று கூறுகிறார். இதிலிருந்து, S இப்போது கூட்டுத்தொகையின் அடிப்படையில் சாத்தியமான ஜோடிகளை அறிந்திருக்கிறார் (அதாவது. 2+15,3+14,4+13,5+12,6+11,7+10,8 + 9) ஒன்றில் மட்டுமே 4 + 13 என்ற பதிலைக் கண்டுபிடிக்க P ஐ அனுமதிக்கும் ஒரு தயாரிப்பு உள்ளது. S ஆல் அதை தீர்மானிக்க முடிந்தது என்ற உண்மையின் அடிப்படையில் ஒரே சாத்தியமான தீர்வை வாசகர் கண்டுபிடிக்க முடியும். உதாரணமாக, எஸ் 97 (48 + 49) என்றும் பி 2352 (48 * 49) என்றும் கூறப்பட்டிருந்தால், பி மட்டுமே சாத்தியமான தீர்வை கண்டுபிடிக்க முடியும், ஆனால் எஸ் இல்லை, ஏனெனில் 44 & 53 இன்னும் தர்க்கரீதியாக சாத்தியமான மாற்றாக இருக்கும். பிற தீர்வுகள் சிக்கலை பொதுமைப்படுத்தலாம். பிணைக்கப்பட்ட X + Y ≤ 100 வேண்டுமென்றே தேர்ந்தெடுக்கப்படுகிறது. X + Y இன் வரம்பு மாற்றப்பட்டால், தீர்வுகளின் எண்ணிக்கை மாறக்கூடும். X + Y <62 க்கு, எந்த தீர்வும் இல்லை. X = 4, Y = 13 என்ற தீர்வு எல்லைக்குள் பொருந்துவதால் இது முதலில் எதிர் உள்ளுணர்வாகத் தோன்றலாம். ஆனால் இந்த எல்லைகளுக்கு இடையிலான எண்களைக் கூட்டும் காரணிகளைக் கொண்ட தயாரிப்புகளை விலக்குவதன் மூலம், அனைத்து தீர்வுகள் அல்லாதவற்றையும் காரணிப்படுத்த பல வழிகள் இல்லை, இது பிரச்சினைக்கு எந்த தீர்வையும் தராத தகவல்களுக்கு வழிவகுக்கிறது. எடுத்துக்காட்டாக, X = 2, Y = 62, X + Y = 64, X·Y = 124 எனக் கருதப்படாவிட்டால், 124 இன் ஒரு பெருக்கல் மட்டுமே உள்ளது, அதாவது. 4·31, மொத்தமாக 35 கிடைக்கும். உற்பத்தியின் காரணிகளை P அறிய முடியாது என்று S அறிவிக்கும் போது 35 நீக்கப்படுகிறது, இது 64 இன் கூட்டுத்தொகை அனுமதிக்கப்பட்டிருந்தால் இருந்திருக்காது. மறுபுறம், வரம்பு X + Y ≤ 1685 அல்லது அதற்கு மேல் இருக்கும்போது, இரண்டாவது தீர்வு X = 4, Y = 61 தோன்றும். எனவே, அதன்பிறகு, இனி ஒரு தனித்துவமான தீர்வு இல்லை என்ற பொருளில் சிக்கலை தீர்க்க முடியாது. இதேபோல், X + Y ≤ 1970 அல்லது அதற்கு மேல் இருந்தால் மூன்றாவது தீர்வு தோன்றும் (X = 16, Y = 73). இந்த மூன்று தீர்வுகளும் ஒரு பகா எண்ணைக் கொண்டுள்ளன. பகா எண் இல்லாத முதல் தீர்வு X + Y ≤ 2522 அல்லது அதற்கு மேல் X = 16 = 2·2·2 மற்றும் Y = 111 = 3·37 மதிப்புகளுடன் தோன்றும் நான்காவது தீர்வாகும். Y> X> 1 என்ற நிபந்தனை Y> X> 2 ஆக மாற்றப்பட்டால், 124 <t <5045 க்கு X + Y ≤ t வரம்புகளுக்கு ஒரு தனித்துவமான தீர்வு உள்ளது, அதன் பிறகு பல தீர்வுகள் உள்ளன. 124 மற்றும் அதற்குக் கீழே, தீர்வுகள் எதுவும் இல்லை. ஒரு தீர்வுக்கான வரம்பு உயர்ந்துள்ளது என்பதில் ஆச்சரியமில்லை. உள்ளுணர்வாக, பிரைம் எண் 2 இனி X காரணியாக இல்லாதபோது சிக்கல் இடம் "ஸ்பார்ஸர்" ஆனது, கொடுக்கப்பட்ட தொகை A இலிருந்து X·Y குறைவான சாத்தியமான தயாரிப்புகளை உருவாக்குகிறது. பல தீர்வுகள் இருக்கும்போது, அதாவது, அதிக t க்கு, சில தீர்வுகள் Y> X> 1 உடன் அசல் சிக்கலுக்கானவற்றுடன் ஒத்துப்போகின்றன, எடுத்துக்காட்டாக X = 16, Y = 163. சில வரம்பு t க்கு X + Y ≤ t என்ற நிபந்தனை X·Y ≤ u க்கு மாற்றப்பட்டால், சிக்கல் தோற்றத்தை மாற்றுகிறது. குறைவான கணக்கீடுகள் தேவைப்படுவதால் தீர்ப்பது எளிதாகிறது. இரண்டு காரணிகளின் மிகப்பெரிய பெருக்கலின் அடிப்படையில் தொடர்புடைய t க்கு u க்கு ஒரு நியாயமான மதிப்பு u = t·t/4 ஆக இருக்கலாம், அதன் கூட்டுத்தொகை t என்பது (t/2)· (t/2) ஆகும். இப்போது சிக்கல் 47 <t <60,71 <t <80,107 <t <128, மற்றும் 131 <t <144 வரம்புகளில் ஒரு தனித்துவமான தீர்வைக் கொண்டுள்ளது மற்றும் அந்த வரம்பிற்குக் கீழே எந்த தீர்வும் இல்லை. மாற்று சூத்திரத்திற்கான முடிவுகள் அசல் சூத்திரத்துடன் ஒத்துப்போவதில்லை, தீர்வுகளின் எண்ணிக்கையிலோ அல்லது உள்ளடக்கத்திலோ அல்ல. செரிலின் பிறந்தநாள் குறிப்புகள் வெளிப்புற இணைப்புகள் டோர்ஸ்டன் சில்க் எழுதிய சாத்தியமற்ற சிக்கல் இரண்டு கணிதவியலாளர்கள் கணித மன்றம் மற்றும் தயாரிப்பு சிக்கல் பற்றிய சிக்கல் கணிதப்பணி கோடி மாதிரி சரிபார்ப்பு தொகை மற்றும் தயாரிப்பு தர்க்க புதிர்கள் பற்றிய சிக்கல்