Direct stiffness method
கட்டமைப்பு பகுப்பாய்வின் முறைகளில் ஒன்றாக, மேட்ரிக்ஸ் விறைப்பு முறை என்றும் அழைக்கப்படும் நேரடி விறைப்பு முறை, நிலையான தீர்மானிக்கப்படாத வகை உட்பட சிக்கலான கட்டமைப்புகளின் கணினி-தானியங்கி பகுப்பாய்விற்கு குறிப்பாக பொருத்தமானது. இது ஒரு மேட்ரிக்ஸ் முறையாகும், இது உறுப்பினர்களின் விறைப்பு உறவுகளை உறுப்பினர் சக்திகள் மற்றும் கட்டமைப்புகளில் இடப்பெயர்வுகளை கணக்கிடுவதற்கு பயன்படுத்துகிறது. நேரடி விறைப்பு முறை என்பது வரையறுக்கப்பட்ட உறுப்பு முறையின் (FEM) மிகவும் பொதுவான செயல்படுத்தலாகும். முறையைப் பயன்படுத்துவதில், அமைப்பு முனைகளில் ஒன்றோடொன்று இணைக்கப்பட்ட எளிய, இலட்சியப்படுத்தப்பட்ட கூறுகளின் தொகுப்பாக வடிவமைக்கப்பட வேண்டும். இந்த உறுப்புகளின் பொருள் விறைப்பு பண்புகள் பின்னர், மேட்ரிக்ஸ் கணிதத்தின் மூலம், ஒரு ஒற்றை மேட்ரிக்ஸ் சமன்பாடாக தொகுக்கப்படுகின்றன, இது முழு இலட்சியப்படுத்தப்பட்ட கட்டமைப்பின் நடத்தையையும் நிர்வகிக்கிறது. இந்த சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதன் மூலம் கட்டமைப்பின் அறியப்படாத இடப்பெயர்வுகள் மற்றும் சக்திகளை தீர்மானிக்க முடியும். நேரடி விறைப்பு முறை பெரும்பாலான வணிக மற்றும் இலவச மூல வரையறுக்கப்பட்ட உறுப்பு மென்பொருளுக்கான அடிப்படையை உருவாக்குகிறது. நேரடி விறைப்பு முறை விண்வெளித் துறையில் உருவானது. சிக்கலான விமான கட்டமைப்புகளை பகுப்பாய்வு செய்வதற்கான பல்வேறு அணுகுமுறைகளை ஆராய்ச்சியாளர்கள் ஆராய்ந்தனர். இவற்றில் நெகிழ்ச்சி கோட்பாடு, கட்டமைப்பு இயக்கவியலில் ஆற்றல் கொள்கைகள், நெகிழ்வுத்தன்மை முறை மற்றும் அணி விறைப்பு முறை ஆகியவை அடங்கும். இந்த முறைகளின் பகுப்பாய்வின் மூலம் தான் நேரடி விறைப்பு முறை கணினி செயல்படுத்தலுக்கு மிகவும் பொருத்தமான ஒரு திறமையான முறையாக உருவெடுத்தது. 1934 மற்றும் 1938 க்கு இடையில் ஏ. ஆர். காலர் மற்றும் டபிள்யூ. ஜே. டங்கன் ஆகியோர் இன்று பயன்படுத்தப்படும் மேட்ரிக்ஸ் அமைப்புகளுக்கான பிரதிநிதித்துவம் மற்றும் சொற்களுடன் முதல் ஆவணங்களை வெளியிட்டனர். ஏரோஇலாஸ்டிக் ஆராய்ச்சி இரண்டாம் உலகப் போர் முழுவதும் தொடர்ந்தது, ஆனால் 1938 முதல் 1947 வரை வெளியீட்டு கட்டுப்பாடுகள் இந்த படைப்பைக் கண்டுபிடிப்பதை கடினமாக்குகின்றன. மேட்ரிக்ஸ் கட்டமைப்பு பகுப்பாய்வில் இரண்டாவது பெரிய திருப்புமுனை 1954 மற்றும் 1955 ஆம் ஆண்டுகளில் ஏற்பட்டது, அப்போது பேராசிரியர் ஜான் எச். ஆர்கிரிஸ் ஒரு கட்டமைப்பின் அடிப்படை கூறுகளை சமன்பாடுகளின் அமைப்பாக இணைக்கும் கருத்தை முறைப்படுத்தினார். இறுதியாக, நவம்பர் 6,1959 அன்று, போயிங்கின் ஸ்ட்ரக்சரல் டைனமிக்ஸ் யூனிட்டின் தலைவரான எம். ஜே. டர்னர், கணினி செயல்படுத்தலுக்கான ஒரு திறமையான மாதிரியாக நேரடி விறைப்பு முறையை கோடிட்டுக் காட்டும் ஒரு கட்டுரையை வெளியிட்டார். உறுப்பினர் விறைப்பு உறவுகள் ஒரு பொதுவான உறுப்பினர் விறைப்பு உறவு பின்வரும் பொதுவான வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளதுஃ இதில் m = உறுப்பினர் எண் m. = உறுப்பினரின் சிறப்பியல்பு சக்திகளின் திசையன், அவை அறியப்படாத உள் சக்திகள். = உறுப்பினர் விறைப்பு அணி இது சிதைவுகளுக்கு எதிரான உறுப்பினரின் எதிர்ப்பை வகைப்படுத்துகிறது. = உறுப்பினரின் பண்பு இடப்பெயர்வுகள் அல்லது சிதைவுகளின் திசையன். = வெளிப்புற விளைவுகளால் ஏற்படும் உறுப்பினரின் சிறப்பியல்பு சக்திகளின் திசையன் (அறியப்பட்ட சக்திகள் மற்றும் வெப்பநிலை மாற்றங்கள் போன்றவை) உறுப்பினருக்கு பயன்படுத்தப்படுகிறது. முழுமையான இடப்பெயர்வுகளை விட உறுப்பினர் சிதைவுகள் என்றால், அவை சுயாதீனமான உறுப்பினர் சக்திகள், அத்தகைய சந்தர்ப்பத்தில் (1) நெகிழ்வுத்தன்மை முறையில் பயன்படுத்தப்படும் உறுப்பினர் நெகிழ்வுத்தன்மை அணி என்று அழைக்கப்படுவதை வழங்க தலைகீழாக மாற்றப்படலாம். அமைப்பு விறைப்பு உறவு முனைகள் எனப்படும் புள்ளிகளில் ஒன்றோடொன்று இணைக்கப்பட்ட பல உறுப்பினர்களைக் கொண்ட ஒரு அமைப்புக்கு, Eq போன்ற உறுப்பினர்களின் விறைப்பு உறவுகள். (1) பின்வரும் அவதானிப்புகளைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் ஒருங்கிணைக்க முடியும்ஃ உறுப்பினர்களிடையே பொருந்தக்கூடிய தன்மையை உறுதி செய்வதற்காக உறுப்பினர் சிதைவுகளை கணினி நோடல் இடப்பெயர்வுகளின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தலாம். இது r முதன்மை அறியப்படாதவையாக இருக்கும் என்பதைக் குறிக்கிறது. உறுப்பு விசைகள் நோடுகளை நோடல் விசைகள் R இன் கீழ் சமநிலையில் வைத்திருக்க உதவுகின்றன. இது (1) இன் வலது புறம் முழு அமைப்பிற்கும் பின்வரும் நோடல் சமநிலை சமன்பாடுகளின் வலது புறத்தில் ஒருங்கிணைக்கப்படும் என்பதைக் குறிக்கிறதுஃ எங்கே = நோடல் விசைகளின் திசையன், அமைப்பின் நோடுகளுக்கு பயன்படுத்தப்படும் வெளிப்புற விசைகளைக் குறிக்கிறது. = சிஸ்டம் ஸ்டிஃப்னஸ் மேட்ரிக்ஸ், இது உறுப்பினர்களின் ஸ்டிஃப்னஸ் மேட்ரிக்ஸ்களை இணைப்பதன் மூலம் நிறுவப்படுகிறது. = தன்னிச்சையான நோடல் விசைகளுக்கு உட்பட்டு அமைப்பின் சாத்தியமான அனைத்து சிதைந்த உள்ளமைவுகளையும் வரையறுக்கக்கூடிய அமைப்பின் நோடல் இடப்பெயர்வுகளின் திசையன் R = சமமான நோடல் விசைகளின் திசையன், இது ஏற்கனவே முந்தைய நோடல் விசை திசையன் R இல் சேர்க்கப்பட்டுள்ள நோடல் விசைகளைத் தவிர மற்ற அனைத்து வெளிப்புற விளைவுகளையும் குறிக்கிறது. தீர்வு R மற்றும் r திசையன்கள் ஒரே அளவைக் கொண்டிருப்பதால் அமைப்பு விறைப்பு அணி K சதுரமாகும். கூடுதலாக, இது சமச்சீர் என்பதால் சமச்சீர் ஆகும். ஆதரவுகளின் கட்டுப்பாடுகள் (2) இல் கணக்கிடப்பட்டவுடன், நோடல் இடப்பெயர்வுகள் நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பதன் மூலம் காணப்படுகின்றன (2), குறியீடாகஃ அதைத் தொடர்ந்து, உறுப்பினர்களின் சிறப்பியல்பு சக்திகளை Eq இலிருந்து காணலாம். (1) பொருந்தக்கூடிய தன்மையைக் கருத்தில் கொண்டு r இலிருந்து எங்கே காணலாம். நேரடி விறைப்பு முறை Eq இருப்பது பொதுவானது. (1) ஒரு வடிவத்தில், முறையே, உறுப்பினர்-முனை இடப்பெயர்வுகள் மற்றும் சக்திகள் r மற்றும் R உடன் திசையில் பொருந்துகின்றன, அத்தகைய சந்தர்ப்பத்தில், உறுப்பினர்களின் மேட்ரிக்ஸ்களின் நேரடி கூட்டுத்தொகை மூலம் பெறப்படலாம் மற்றும். இந்த முறை பின்னர் நேரடி விறைப்பு முறை என்று அழைக்கப்படுகிறது. மேட்ரிக்ஸ் விறைப்பு முறையின் நன்மைகள் மற்றும் தீமைகள் நெகிழ்வுத்தன்மை முறை கட்டுரையில் ஒப்பிடப்பட்டு விவாதிக்கப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டு முறிவு நேரடி விறைப்பு முறையைப் பயன்படுத்தும் போது முதல் படி கட்டமைப்பை உருவாக்கும் தனிப்பட்ட கூறுகளை அடையாளம் காண்பதாகும். உறுப்புகள் அடையாளம் காணப்பட்டவுடன், வெவ்வேறு கூறுகளை ஒன்றாக இணைக்கும் புள்ளிகளான முனைகளில் கட்டமைப்பு துண்டிக்கப்படுகிறது. உறுப்பினர் விறைப்பு சமன்பாடுகளை உருவாக்க ஒவ்வொரு உறுப்பும் தனித்தனியாக பகுப்பாய்வு செய்யப்படுகிறது. விசைகள் மற்றும் இடப்பெயர்வுகள் உறுப்பு விறைப்பு மேட்ரிக்ஸ் மூலம் தொடர்புடையவை, இது உறுப்பின் வடிவியல் மற்றும் பண்புகளைப் பொறுத்தது. ஒரு டிரஸ் உறுப்பு சுருக்கம் அல்லது பதற்றத்தில் மட்டுமே சக்திகளை அனுப்ப முடியும். இதன் பொருள் என்னவென்றால், இரண்டு பரிமாணங்களில், ஒவ்வொரு முனையிலும் இரண்டு டிகிரி ஆஃப் ஃப்ரீடம் (டிஓஎஃப்) உள்ளதுஃ கிடைமட்ட மற்றும் செங்குத்து இடப்பெயர்ச்சி. இதன் விளைவாக வரும் சமன்பாடு நான்கு மூலம் நான்கு விறைப்பு மேட்ரிக்ஸைக் கொண்டுள்ளது. ஒரு பிரேம் உறுப்பு சுருக்கம் மற்றும் பதற்றத்திற்கு கூடுதலாக வளைக்கும் தருணங்களைத் தாங்கும் திறன் கொண்டது. இது மூன்று டிகிரி சுதந்திரத்தை விளைவிக்கிறதுஃ கிடைமட்ட இடப்பெயர்ச்சி, செங்குத்து இடப்பெயர்ச்சி மற்றும் விமானத்தில் சுழற்சி. இந்த வழக்கில் விறைப்பு அணி ஆறு மூலம் ஆறு ஆகும். தட்டுகள் மற்றும் குண்டுகள் போன்ற பிற கூறுகளும் நேரடி விறைப்பு முறையில் இணைக்கப்படலாம் மற்றும் ஒத்த சமன்பாடுகளை உருவாக்க வேண்டும். தனிப்பட்ட உறுப்பு விறைப்பு உறவுகள் உருவாக்கப்பட்டவுடன் அவை அசல் கட்டமைப்பில் கூடியிருக்க வேண்டும். இந்த செயல்முறையின் முதல் படி, தனிப்பட்ட கூறுகளுக்கான விறைப்பு உறவுகளை முழு கட்டமைப்பிற்கான உலகளாவிய அமைப்பாக மாற்றுவதாகும். ஒரு டிரஸ் உறுப்பைப் பொறுத்தவரை, விறைப்பு முறையின் உலகளாவிய வடிவம் உலகளாவிய ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பைப் பொறுத்தவரை உறுப்பின் கோணத்தைப் பொறுத்தது (இந்த அமைப்பு பொதுவாக பாரம்பரிய கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பாகும்). (β கோணத்தில் ஒரு டிரஸ் உறுப்புக்கு) சமமாக, டிரஸ் உறுப்பின் திசை கொசைன்கள் எங்கே மற்றும் அவை (அதாவது, அவை உறுப்பினருடன் சீரமைக்கப்பட்ட ஒரு அலகு திசையனின் கூறுகள்). இந்த வடிவம் இந்த சூத்திரத்தில் வெளிப்படையான வடிவத்தை வெறுமனே விரிவுபடுத்துவதன் மூலம் 3-டி விண்வெளி டிரஸ்களுக்கு உறுப்பு விறைப்புத்தன்மையை எவ்வாறு பொதுமைப்படுத்துவது என்பதை வெளிப்படுத்துகிறது. உலகளாவிய ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் உறுப்பு விறைப்பு மேட்ரிக்ஸை உருவாக்கிய பிறகு, அவை ஒற்றை "மாஸ்டர்" அல்லது "உலகளாவிய" விறைப்பு மேட்ரிக்ஸில் இணைக்கப்பட வேண்டும். இந்த மேட்ரிக்ஸ்களை ஒன்றாக இணைக்கும்போது இரண்டு விதிகள் பின்பற்றப்பட வேண்டும்ஃ இடப்பெயர்வுகளின் பொருந்தக்கூடிய தன்மை மற்றும் ஒவ்வொரு முனையிலும் விசை சமநிலை. இந்த விதிகள் உறுப்பு நோடல் இடப்பெயர்வுகளை உலகளாவிய நோடல் இடப்பெயர்வுகளுடன் தொடர்புபடுத்துவதன் மூலம் நிலைநிறுத்தப்படுகின்றன. உலகளாவிய இடப்பெயர்ச்சி மற்றும் விசை திசையன்கள் ஒவ்வொன்றும் கட்டமைப்பில் உள்ள ஒவ்வொரு டிகிரி சுதந்திரத்திற்கும் ஒரு நுழைவைக் கொண்டுள்ளன. உறுப்பு விறைப்பு மேட்ரிக்ஸ்கள் ஒவ்வொரு மேட்ரிக்ஸையும் உலகளாவிய இடப்பெயர்ச்சி மற்றும் சுமை திசையன்களுடன் இணக்கமாக அதிகரிப்பதன் மூலம் அல்லது விரிவுபடுத்துவதன் மூலம் இணைக்கப்படுகின்றன. (மேற்கண்ட கட்டமைப்பின் உறுப்பு (1) க்கு) இறுதியாக, தனிப்பட்ட விரிவாக்கப்பட்ட உறுப்பு மேட்ரிக்ஸ்களை ஒன்றாகச் சேர்ப்பதன் மூலம் உலகளாவிய விறைப்பு மேட்ரிக்ஸ் கட்டமைக்கப்படுகிறது. உலகளாவிய விறைப்பு அணி, இடப்பெயர்ச்சி திசையன் மற்றும் விசை திசையன் கட்டப்பட்டவுடன், அமைப்பை ஒற்றை அணி சமன்பாடாக வெளிப்படுத்தலாம். கட்டமைப்பில் உள்ள ஒவ்வொரு அளவிலான சுதந்திரத்திற்கும், இடப்பெயர்ச்சி அல்லது விசை அறியப்படுகிறது. ஒவ்வொரு டிகிரி சுதந்திரத்திற்கும் அறியப்பட்ட மதிப்பைச் செருகிய பிறகு, மாஸ்டர் விறைப்பு சமன்பாடு முழுமையானது மற்றும் மதிப்பீடு செய்ய தயாராக உள்ளது. ஒரு மேட்ரிக்ஸ் சமன்பாட்டை மதிப்பிடுவதற்கு பல்வேறு முறைகள் உள்ளன, ஆனால் அவை சோல்ஸ்கி சிதைவு மற்றும் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளின் முரட்டுத்தனமான விசை மதிப்பீடு ஆகியவற்றுடன் மட்டுப்படுத்தப்படவில்லை. ஒரு அமைப்பு சரியாக கட்டுப்படுத்தப்படாவிட்டால், ஒரு சக்தியைப் பயன்படுத்துவது அதை கடுமையாக நகர்த்தும் மற்றும் கூடுதல் ஆதரவு நிபந்தனைகள் சேர்க்கப்பட வேண்டும். இந்த பிரிவில் விவரிக்கப்பட்டுள்ள முறை நேரடி விறைப்பு முறையின் கண்ணோட்டமாக உள்ளது. செயல்முறை பற்றிய கூடுதல் விவரங்களுக்கும், செயல்பாட்டில் உள்ளார்ந்த பொருள் பண்புகள் பற்றிய அனுமானங்களுக்கும் கூடுதல் ஆதாரங்களைக் கலந்தாலோசிக்க வேண்டும். பயன்பாடுகள் அதிக எண்ணிக்கையிலான கூறுகளைக் கொண்ட சிக்கலான கட்டமைப்புகளை மதிப்பீடு செய்ய கணினி மென்பொருளில் திறம்படவும் எளிதாகவும் செயல்படுத்த நேரடி விறைப்பு முறை குறிப்பாக உருவாக்கப்பட்டது. இன்று, கிடைக்கக்கூடிய கிட்டத்தட்ட ஒவ்வொரு வரையறுக்கப்பட்ட உறுப்பு தீர்வும் நேரடி விறைப்பு முறையை அடிப்படையாகக் கொண்டது. ஒவ்வொரு நிரலும் ஒரே செயல்முறையைப் பயன்படுத்துகையில், கணக்கீட்டு நேரத்தைக் குறைக்கவும், தேவையான நினைவகத்தைக் குறைக்கவும் பல நெறிப்படுத்தப்பட்டுள்ளன. இதை அடைவதற்காக, குறுக்குவழிகள் உருவாக்கப்பட்டுள்ளன. நேரடி விறைப்பு முறையைப் பயன்படுத்துவதற்கான மிகப்பெரிய பகுதிகளில் ஒன்று கட்டமைப்பு பகுப்பாய்வு துறையாகும், அங்கு இந்த முறை மாடலிங் மென்பொருளில் இணைக்கப்பட்டுள்ளது. மென்பொருள் பயனர்களை ஒரு கட்டமைப்பை மாதிரியாக்க அனுமதிக்கிறது, மேலும் உறுப்புகளின் பொருள் பண்புகளை பயனர் வரையறுத்த பிறகு, நிரல் தானாகவே உறுப்பு மற்றும் உலகளாவிய விறைப்பு உறவுகளை உருவாக்குகிறது. பல்வேறு ஏற்றுதல் நிபந்தனைகள் பயன்படுத்தப்படும்போது, மென்பொருள் கட்டமைப்பை மதிப்பீடு செய்து பயனருக்கான விலகல்களை உருவாக்குகிறது. கட்டமைப்பு இயக்கவியலில் வரையறுக்கப்பட்ட உறுப்பு முறை கட்டமைப்பு பகுப்பாய்வு நெகிழ்வுத்தன்மை முறை வரையறுக்கப்பட்ட உறுப்பு மென்பொருள் தொகுப்புகளின் பட்டியல் வெளிப்புற இணைப்புகள் 1-டி ஸ்பிரிங் சிஸ்டம் மேட்ரிக்ஸ் கட்டமைப்பு பகுப்பாய்வு அனிமேஷன்களுக்கு நேரடி விறைப்பு முறையின் பயன்பாடு விறைப்பு பகுப்பாய்வு உருவகப்படுத்துதல்கள் குறிப்புகள் ஃபெலிப்பா, கார்லோஸ் ஏ. ஃபைனைட் எலிமெண்ட் முறையின் அறிமுகம். 2001 இலையுதிர் காலம். கொலராடோ பல்கலைக்கழகம். 18 செப்டம்பர் 2005 ராபின்சன், ஜான். பொறியாளருக்கான கட்டமைப்பு மேட்ரிக்ஸ் பகுப்பாய்வு. நியூயார்க்ஃ ஜான் வில்லி & சன்ஸ், 1966 ரூபின்ஸ்டீன், மோஷே எஃப். மேட்ரிக்ஸ் கட்டமைப்புகளின் கணினி பகுப்பாய்வு. நியூ ஜெர்சிஃ ப்ரெண்டிஸ்-ஹால், 1966 மெக்குயர், டபிள்யூ., கல்லாகர், ஆர். எச்., மற்றும் சீமியன், ஆர். டி. மேட்ரிக்ஸ் கட்டமைப்பு பகுப்பாய்வு, 2 வது பதிப்பு. நியூயார்க்ஃ ஜான் வில்லி & சன்ஸ், 2000. கட்டமைப்பு பகுப்பாய்வு எண் வேறுபாடு சமன்பாடுகள்