Epsilon number
கணிதத்தில், எப்சிலான் எண்கள் என்பது எல்லையற்ற எண்களின் தொகுப்பாகும், அவற்றின் வரையறுக்கும் பண்பு என்னவென்றால் அவை ஒரு அதிவேக வரைபடத்தின் நிலையான புள்ளிகள். இதன் விளைவாக, தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட அதிவேக வரைபடம் மற்றும் கூட்டல் மற்றும் பெருக்கம் போன்ற "பலவீனமான" செயல்பாடுகளின் வரையறுக்கப்பட்ட தொடர் பயன்பாடுகள் மூலம் அவற்றை 0 இலிருந்து அடைய முடியாது. அசல் எப்சிலான் எண்கள் ஜார்ஜ் கான்டரால் வரிசை எண்கணிதத்தின் சூழலில் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டன; அவை வரிசை எண்கள் ε ஆகும், அவை ω மிகச்சிறிய எல்லையற்ற வரிசை சமன்பாட்டை பூர்த்தி செய்கின்றன. அத்தகைய குறைந்தபட்ச வரிசை ε0 (எப்சிலான் நாட் அல்லது எப்சிலான் பூஜ்ஜியம் என்று உச்சரிக்கப்படுகிறது), இது சிறிய வரம்பு வரிசைமுறைகளின் வரிசையிலிருந்து வரம்பற்ற மறுசுழற்சி மூலம் பெறப்பட்ட "வரம்பு" என்று கருதப்படலாம்ஃ உச்சநிலை செயல்பாடு எங்கே, இது வரிசைமுறைகளின் வான் நியூமன் பிரதிநிதித்துவத்தின் விஷயத்தில் செட் யூனியனுக்கு சமம். அதிவேக வரைபடத்தின் பெரிய வரிசை நிலையான புள்ளிகள் வரிசை சந்தாக்களால் குறியிடப்படுகின்றன, இதன் விளைவாக. வரிசை ε0 இன்னும் கணக்கிடக்கூடியது, எந்தவொரு எப்சிலான் எண்ணும் கணக்கிடக்கூடியது (கணக்கிட முடியாத வரிசை மற்றும் கணக்கிட முடியாத எப்சிலான் எண்கள் உள்ளன, அவற்றின் குறியீடு கணக்கிட முடியாத வரிசை). மிகச்சிறிய எப்சிலான் எண் ε0 பல தூண்டல் சான்றுகளில் தோன்றுகிறது, ஏனெனில் பல நோக்கங்களுக்காக, எல்லையற்ற தூண்டல் ε0 வரை மட்டுமே தேவைப்படுகிறது (ஜென்ட்சனின் நிலைத்தன்மை ஆதாரம் மற்றும் குட்ஸ்டீனின் தேற்றத்தின் ஆதாரம் போல). பீனோ எண்கணிதத்தின் நிலைத்தன்மையை நிரூபிக்க ஜென்ட்சென் பயன்படுத்திய கோடலின் இரண்டாவது முழுமையற்ற தேற்றத்துடன், பீனோ எண்கணிதத்தால் இந்த வரிசையின் நன்கு அடித்தளத்தை நிரூபிக்க முடியாது என்பதைக் காட்டுகிறது (இது உண்மையில் இந்த பண்புடன் மிகக் குறைந்த வரிசை, எனவே, ஆதார-கோட்பாட்டு வரிசை பகுப்பாய்வில், பீனோ எண்கணிதக் கோட்பாட்டின் வலிமையின் அளவீடாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது). வெப்லன் செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தி பல பெரிய எப்சிலான் எண்களை வரையறுக்க முடியும். ஜான் ஹார்டன் கான்வே மற்றும் டொனால்ட் க்னுத் ஆகியோரால் சர்ரியல் எண் அமைப்பில் மிகவும் பொதுவான வகை எப்சிலான் எண்கள் அடையாளம் காணப்பட்டுள்ளன, இதில் அனைத்து சர்ரியல்களும் அடிப்படை ω எக்ஸ்பொனென்ஷியல் வரைபடம் x → ωx இன் நிலையான புள்ளிகளாக உள்ளன. வரையறுக்கப்பட்ட காமா எண்கள் (கூட்டாக ஒருங்கிணைக்க முடியாத வரிசைமுறையைப் பார்க்கவும்) எண்களாக γ> 0 ஆக இருக்க வேண்டும், அதாவது α + γ = γ போது α <γ, மற்றும் டெல்டா எண்கள் (பெருக்க ரீதியாக ஒருங்கிணைக்க முடியாத வரிசைமுறைகளைப் பார்க்கவும்) δ> 1 ஆக இருக்க வேண்டும், அதாவது αδ = δ போது 0 <α <δ, மற்றும் எப்சிலான் எண்கள் ε> 2 ஆக இருக்க வேண்டும், அதாவது αε = ε போது 1 <α <ε. அவரது காமா எண்கள் ωβ வடிவத்திலும், அவரது டெல்டா எண்கள் ωωβ வடிவத்திலும் உள்ளன. வரிசை ε எண்கள் அடிப்படை α உடன் வரிசை அடுக்கின் நிலையான வரையறைஃ உடனடி முன்னோடியைக் கொண்டிருக்கும்போது. , எப்போது வேண்டுமானாலும் ஒரு வரம்பு வரிசை. இந்த வரையறையிலிருந்து, எந்தவொரு நிலையான வரிசைக்கும், வரைபடம் ஒரு இயல்பான செயல்பாடாகும், எனவே இது இயல்பான செயல்பாடுகளுக்கு நிலையான-புள்ளி லெம்மாவால் தன்னிச்சையாக பெரிய நிலையான புள்ளிகளைக் கொண்டுள்ளது. எப்போது, இந்த நிலையான புள்ளிகள் துல்லியமாக வரிசை எப்சிலான் எண்கள். உடனடி முன்னோடி இருக்கும் போது. , எப்போது வேண்டுமானாலும் ஒரு வரம்பு வரிசை. ஏனெனில் ஒரே மேல்நிலை கொண்ட வேறுபட்ட வரிசை,, 0 இலிருந்து தொடங்கி அதற்கு பதிலாக அடிப்படை ε0 உடன் அடுக்கி வைப்பதன் மூலம் பெறப்படுகிறதுஃ பொதுவாக, உடனடி முன்னோடியைக் கொண்ட எந்த வரிசை மூலமும் குறியிடப்பட்ட எப்சிலான் எண்ணை இதேபோல் கட்டமைக்க முடியும். குறிப்பாக, குறியீடு β ஒரு வரம்பு வரிசைப்படுத்தலாக இருந்தாலும் இல்லாவிட்டாலும், இது அடிப்படை ω அடுக்குக்கு மட்டுமல்ல, அனைத்து வரிசைகளுக்கும் அடிப்படை δ அடுக்குக்கும் ஒரு நிலையான புள்ளியாகும். எப்சிலான் எண்கள் வரிசை எண்களின் வரம்பற்ற துணைப்பிரிவு என்பதால், அவை வரிசை எண்களைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகின்றன. எந்தவொரு வரிசை எண்ணுக்கும், குறைந்தபட்ச எப்சிலான் எண் (அதிவேக வரைபடத்தின் நிலையான புள்ளி) ஏற்கனவே தொகுப்பில் இல்லை. இது மறுசுழற்சி செய்யப்பட்ட அடுக்கைப் பயன்படுத்தி ஆக்கபூர்வமான வரையறையின் கட்டமைப்பற்ற சமமானதாகத் தோன்றலாம்; ஆனால் இரண்டு வரையறைகளும் வரம்பு வரிசைமுறைகளால் குறியிடப்பட்ட படிகளில் சமமாக கட்டமைக்கப்படாதவை, அவை ஒரு அதிவேகத் தொடரின் மேலாதிக்கத்தை எடுத்துக்கொள்வதை விட உயர் வரிசையின் வரம்பற்ற மறுசுழற்சியைக் குறிக்கின்றன. எப்சிலான் எண்களைப் பற்றிய பின்வரும் உண்மைகள் நிரூபிக்க நேரடியானவைஃ இது ஒரு பெரிய எண் என்றாலும், இன்னும் கணக்கிடக்கூடியது, கணக்கிடக்கூடிய ஆர்டினல்களின் எண்ணக்கூடிய சங்கமமாக இருப்பதால்; உண்மையில், கணக்கிடக்கூடியதாக இருந்தால் மட்டுமே கணக்கிடக்கூடியது. எப்ஸிலான் எண்களின் எந்தவொரு காலியாக இல்லாத தொகுப்பின் ஒன்றிணைப்பு (அல்லது மேல்நிலை) ஒரு எப்ஸிலான் எண்; எனவே எடுத்துக்காட்டாக ஒரு எப்ஸிலான் எண். எனவே, வரைபடம் ஒரு சாதாரண செயல்பாடாகும். எந்தவொரு கணக்கிட முடியாத கார்டினலின் ஆரம்ப வரிசை ஒரு எப்சிலான் எண் ஆகும். வேரூன்றிய மரங்களால் ε0 இன் பிரதிநிதித்துவம் எந்த எப்சிலான் எண் ε கேன்டர் இயல்பான வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது, அதாவது கேன்டர் இயல்பான வடிவம் எப்சிலான் எண்களுக்கு மிகவும் பயனுள்ளதாக இல்லை. இருப்பினும், ε0 க்கும் குறைவான வரிசைமுறைகளை அவற்றின் கேன்டர் இயல்பான வடிவங்களால் பயனுள்ளதாக விவரிக்க முடியும், இது பின்வருமாறு அனைத்து வரையறுக்கப்பட்ட வேரூன்றிய மரங்களின் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட தொகுப்பாக ε0 இன் பிரதிநிதித்துவத்திற்கு வழிவகுக்கிறது. எந்தவொரு வரிசைக்கும் கேன்டர் இயல்பான வடிவம் உள்ளது, அங்கு k ஒரு இயற்கையான எண் மற்றும் தனித்துவமாக தீர்மானிக்கப்படும் வரிசை எண்கள். ஒவ்வொரு ஆர்டினல்களும் இதே போன்ற கேன்டர் இயல்பான வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளன. ஒரு புதிய வேரைக் குறிக்கும் மரங்களின் வேர்களை இணைப்பதன் மூலம் α ஐக் குறிக்கும் வரையறுக்கப்பட்ட வேரூன்றிய மரத்தைப் பெறுகிறோம். (இதன் விளைவாக 0 என்ற எண் ஒரு மூலத்தால் குறிக்கப்படுகிறது, அதே நேரத்தில் எண் ஒரு வேர் மற்றும் ஒரு இலை கொண்ட ஒரு மரத்தால் குறிக்கப்படுகிறது.) வரையறுக்கப்பட்ட வேரூன்றிய மரங்களின் தொகுப்பில் ஒரு வரிசை மீண்டும் மீண்டும் வரையறுக்கப்படுகிறதுஃ முதலில் மூலத்துடன் இணைந்த துணை மரங்களை குறைந்து வரும் வரிசையில் வரிசைப்படுத்துகிறோம், பின்னர் இந்த வரிசைப்படுத்தப்பட்ட துணை மரங்களின் வரிசைகளில் அகரவரிசை வரிசையைப் பயன்படுத்துகிறோம். இந்த வழியில் அனைத்து வரையறுக்கப்பட்ட வேரூன்றிய மரங்களின் தொகுப்பும் நன்கு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட தொகுப்பாக மாறுகிறது, இது ε0 க்கு வரிசை-ஐசோமார்பிக் ஆகும். இந்த பிரதிநிதித்துவம் ஹைட்ரா தேற்றத்தின் ஆதாரத்துடன் தொடர்புடையது, இது ஒரு வரைபட-கோட்பாட்டு விளையாட்டாக வரிசைமுறைகளின் வரிசைகளைக் குறைப்பதைக் குறிக்கிறது. வெப்லன் படிநிலை "எப்சிலான் வரைபடத்தின்" நிலையான புள்ளிகள் ஒரு இயல்பான செயல்பாட்டை உருவாக்குகின்றன, அதன் நிலையான புள்ளிகள் ஒரு இயல்பான செயல்பாட்டை உருவாக்குகின்றன; இது வெப்லன் படிநிலை என்று அழைக்கப்படுகிறது (அடிப்படை φ0 (α) = ωα உடன் வெப்லன் செயல்பாடுகள்). வெப்லன் படிநிலையின் குறியீட்டில், எப்சிலான் வரைபடம் φ1 ஆகும், மேலும் அதன் நிலையான புள்ளிகள் φ2 ஆல் கணக்கிடப்படுகின்றன. இந்த நரம்பில் தொடர்ந்து, படிப்படியாக பெரிய வரிசை α க்கான வரைபடங்களை φα வரையறுக்க முடியும் (இதில், டிரான்ஸ்ஃபைனைட் ரிகர்சனின் இந்த அரிய வடிவத்தால், வரம்பு வரிசை), படிப்படியாக பெரிய குறைந்தபட்ச நிலையான புள்ளிகள் φα + 1 (0). இந்த செயல்முறையின் மூலம் 0 இலிருந்து அடைய முடியாத குறைந்தபட்ச வரிசை-i. e., குறைந்தபட்ச வரிசை α இதற்கு φα (0) = α, அல்லது அதற்கு சமமாக வரைபடத்தின் முதல் நிலையான புள்ளி-ஃபெஃபெர்மன்-ஷுட்டே வரிசை γ0 ஆகும். அத்தகைய வரிசைமுறை இருப்பதை நிரூபிக்கக்கூடிய ஒரு தொகுப்புக் கோட்பாட்டில், ஒருவரிடம் ஒரு வரைபடம் உள்ளது, இது நிலையான புள்ளிகளை கணக்கிடுகிறது. இன். இவை அனைத்தும் இன்னும் எப்சிலான் எண்கள், ஏனெனில் அவை ஒவ்வொரு β ≤ γ0 க்கும் φβ இன் படத்தில் உள்ளன, இதில் எப்சிலான் எண்களைக் கணக்கிடும் வரைபடம் φ1 உட்பட. சர்ரியல் எண்கள் மற்றும் விளையாட்டுகளில், சர்ரியல் எண்கள் பற்றிய உன்னதமான விளக்கமான ஜான் ஹார்டன் கான்வே, ஆர்டினல்கள் முதல் சர்ரியல்கள் வரை இயற்கையான நீட்டிப்புகளைக் கொண்ட கருத்துக்களின் பல எடுத்துக்காட்டுகளை வழங்கினார். அத்தகைய ஒரு செயல்பாடு-வரைபடம்; இந்த வரைபடம் இயற்கையாகவே அனைத்து சர்ரியல் எண்களையும் அதன் களத்தில் சேர்க்க பொதுமைப்படுத்துகிறது, இது சர்ரியல் எண்களுக்கான கேன்டர் இயல்பான வடிவத்தின் இயற்கையான பொதுமைப்படுத்தலை வழங்குகிறது. இந்த விரிவாக்கப்பட்ட வரைபடத்தின் எந்தவொரு நிலையான புள்ளியும் ஒரு எப்சிலான் எண்ணாக கருதுவது இயற்கையானது, அது கண்டிப்பாக ஒரு வரிசை எண்ணாக இருந்தாலும் இல்லாவிட்டாலும். அசல் அல்லாத எப்சிலான் எண்களின் சில எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் ஒவ்வொரு சர்ரியல் எண் n க்கும் வரையறுக்க ஒரு இயற்கையான வழி உள்ளது, மேலும் வரைபடம் வரிசையில் பாதுகாக்கப்படுகிறது. கான்வே "பகுக்கமுடியாத" சர்ரியல் எண்களின் ஒரு பரந்த வகுப்பை வரையறுக்கிறார், அதில் எப்சிலான் எண்கள் குறிப்பாக ஆர்வமுள்ள துணைப்பிரிவாக உள்ளன. மேலும் காண்கஃ வரிசை எண்கணித பெரிய கணக்கிடக்கூடிய வரிசை குறிப்புகள் ஜே. எச். கான்வே, எண்கள் மற்றும் விளையாட்டுகளில் (1976) சாதாரண எண்களின் அகாடமிக் பிரஸ் பிரிவு XIV.20