Obstacle problem
இடையூறு சிக்கல் என்பது மாறுபட்ட ஏற்றத்தாழ்வுகள் மற்றும் சுதந்திர எல்லை சிக்கல்கள் பற்றிய கணித ஆய்வில் ஒரு உன்னதமான ஊக்கமளிக்கும் எடுத்துக்காட்டு. சிக்கல் என்னவென்றால், ஒரு மீள் சவ்வின் சமநிலை நிலையை கண்டுபிடிப்பதாகும், அதன் எல்லை நிலையாக உள்ளது, மேலும் இது கொடுக்கப்பட்ட தடையை விட அதிகமாக உள்ளது. இது குறைந்தபட்ச மேற்பரப்புகள் மற்றும் சாத்தியமான கோட்பாட்டில் ஒரு தொகுப்பின் திறன் பற்றிய ஆய்வுடன் ஆழமாக தொடர்புடையது. நுண்ணிய ஊடகங்களில் திரவ வடிகட்டுதல், கட்டுப்படுத்தப்பட்ட வெப்பம், எலாஸ்டோ-பிளாஸ்டிசிட்டி, உகந்த கட்டுப்பாடு மற்றும் நிதி கணிதம் பற்றிய ஆய்வு ஆகியவை பயன்பாடுகளில் அடங்கும். சிக்கலின் கணித சூத்திரம் டிரிக்லெட் ஆற்றல் செயல்பாட்டின் மினிமைசர்களைத் தேடுவதாகும், சில களங்களில் செயல்பாடுகள் சவ்வின் செங்குத்து இடப்பெயர்ச்சியைக் குறிக்கின்றன. சவ்வின் நிலையான எல்லையுடன் தொடர்புடைய டிரிக்லெட் எல்லை நிபந்தனைகளை திருப்திப்படுத்துவதோடு மட்டுமல்லாமல், செயல்பாடுகள் கூடுதலாக கொடுக்கப்பட்ட சில தடை செயல்பாட்டை விட அதிகமாக இருக்க வேண்டும். தீர்வு ஒரு பகுதியாக உடைகிறது, அங்கு தீர்வு தடை செயல்பாட்டிற்கு சமமாக இருக்கும், இது தொடர்பு தொகுப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் தீர்வு தடைக்கு மேலே இருக்கும் பகுதி. இரண்டு பிராந்தியங்களுக்கும் இடையிலான இடைமுகம் சுதந்திர எல்லை ஆகும். பொதுவாக, தீர்வு தொடர்ச்சியானது மற்றும் லிப்ஸ்கிட்ஸ் தொடர்ச்சியான முதல் வழித்தோன்றல்களைக் கொண்டுள்ளது, ஆனால் தீர்வு பொதுவாக இலவச எல்லைக்கு அப்பால் இரண்டாவது வழித்தோன்றல்களில் தொடர்ச்சியற்றது. சில ஒற்றை புள்ளிகளைத் தவிர, இலவச எல்லை ஒரு ஹோல்டர் தொடர்ச்சியான மேற்பரப்பாக வகைப்படுத்தப்படுகிறது, அவை மென்மையான பன்மடங்கு மீது வாழ்கின்றன. வரலாற்றுக் குறிப்பு ஊக்கமளிக்கும் சிக்கல்கள் ஒரு தடைக்கு மேலே ஒரு சவ்வின் வடிவம் ஒரு களத்தில் ஒரு சோப் படலம் எடுத்த வடிவத்தை ஒருவர் கருத்தில் கொள்ளும்போது தடை சிக்கல் எழுகிறது, அதன் எல்லை நிலை சரிசெய்யப்பட்டுள்ளது (பீடபூமியின் சிக்கலைப் பார்க்கவும்), சவ்வு களத்தின் உட்புறத்திலும் சில தடைகளுக்கு மேலே இருக்க வேண்டும் என்ற கூடுதல் தடையுடன். இந்த விஷயத்தில், குறைக்கப்பட வேண்டிய ஆற்றல் செயல்பாடு மேற்பரப்பு பகுதி ஒருங்கிணைப்பாகும், அல்லது சிறிய இடையூறுகள் ஏற்பட்டால், அதன் டெய்லர் தொடரின் அடிப்படையில் ஆற்றல் செயல்பாட்டை விரிவுபடுத்துவதன் மூலமும், முதல் காலத்தை மட்டுமே எடுத்துக்கொள்வதன் மூலமும் இந்த சிக்கலை நேரியல்ப்படுத்தலாம், இந்த விஷயத்தில் குறைக்க வேண்டிய ஆற்றல் நிலையான டிரிக்லெட் ஆற்றல் உகந்த நிறுத்தமாகும். செயல்முறை பிரவுனியன் இயக்கமாக இருக்கும் எளிய வழக்கில், மற்றும் டொமைனில் இருந்து வெளியேறும் போது செயல்முறை நிறுத்தப்பட வேண்டிய கட்டாயத்தில் உள்ளது, உகந்த நிறுத்த மூலோபாயம் பின்பற்றப்பட்டால், செயல்முறையைத் தொடங்கி, பணம் செலுத்துவதற்கான எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பாக தடை சிக்கலின் தீர்வை வகைப்படுத்தலாம். நிறுத்தும் அளவுகோல் என்னவென்றால், தொடர்பு தொகுப்பை அடைந்தவுடன் ஒருவர் நிறுத்த வேண்டும். முறையான அறிக்கை பின்வரும் தரவு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம்ஃ மென்மையான எல்லையுடன் ஒரு திறந்த வரம்புக்குட்பட்ட களம் Rn ஒரு மென்மையான செயல்பாடு ஷ்ணுவில் (எல்லை) ஒரு மென்மையான செயல்பாடு இது போன்ற அனைத்திலும் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது <, அதாவது. (அதன் சுவடு) எல்லைக்கு கட்டுப்பாடு குறைவாக உள்ளது. பின்னர் சதுர ஒருங்கிணைந்த பலவீனமான முதல் வழித்தோன்றல்களுடன் சதுர ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடுகளின் சோபோலேவ் இடத்தின் மூடிய குவிந்த துணைக்குழுவாக இருக்கும் தொகுப்பைக் கவனியுங்கள், இது தடையை விட மேலே இருக்கும் விரும்பிய எல்லை நிலைமைகளுடன் துல்லியமாக அந்த செயல்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளது. இடையூறு சிக்கலுக்கான தீர்வு, தொடர்புடைய அனைத்து செயல்பாடுகளுக்கும் ஆற்றல் ஒருங்கிணைப்பைக் குறைக்கும் செயல்பாடாகும்; அத்தகைய மினிமைசரின் இருப்பு ஹில்பர்ட் விண்வெளி கோட்பாட்டின் கருத்தாய்வுகளால் உறுதிப்படுத்தப்படுகிறது. மாற்று சூத்திரங்கள் மாறுபாடு சமத்துவமின்மை ஹில்பர்ட் இடைவெளிகளில் மாறுபாடு சமத்துவமின்மை கோட்பாட்டில் தடையாக உள்ள சிக்கலை ஒரு நிலையான சிக்கலாக மறுசீரமைக்கலாம். பொருத்தமான செயல்பாடுகளின் தொகுப்பில் ஆற்றல் மினிமைசரைத் தேடுவது என்பது எங்கே என்று தேடுவதற்கு சமம். , என்றார்கள். γ: Rn × Rn → R என்பது வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண உண்மையான திசையன் இடைவெளி Rn இல் உள்ள சாதாரண அளவிடுதல் தயாரிப்பு ஆகும். இது ஹில்பர்ட் இடைவெளிகளின் மாறுபட்ட ஏற்றத்தாழ்வுகளுக்கான மிகவும் பொதுவான வடிவத்தின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு, அதன் தீர்வுகள் ஒட்டுமொத்த இடத்தின் சில மூடிய குவிந்த துணைக்குழுவில் செயல்பாடுகளாகும், அதாவது கட்டாய, உண்மையான மதிப்புள்ள, வரம்புக்குட்பட்ட இருதரப்பு வடிவங்கள் மற்றும் வரம்புக்குட்பட்ட நேரியல் செயல்பாடுகள். குறைந்த சூப்பர் ஹார்மோனிக் செயல்பாடு ஒரு மாறுபட்ட வாதம், தொடர்பு தொகுப்பிலிருந்து விலகி, தடை சிக்கலுக்கான தீர்வு ஹார்மோனிக் என்பதைக் காட்டுகிறது. நேர்மறையான மாறுபாடுகளுக்கு தன்னைக் கட்டுப்படுத்திக் கொள்ளும் இதேபோன்ற வாதம், தொடர்பு தொகுப்பில் தீர்வு சூப்பர் ஹார்மோனிக் என்பதைக் காட்டுகிறது. ஒன்றாக, இரண்டு வாதங்களும் தீர்வு ஒரு சூப்பர் ஹார்மோனிக் செயல்பாடு என்பதைக் குறிக்கிறது. உண்மையில், அதிகபட்ச கொள்கையின் பயன்பாடு பின்னர் தடை சிக்கலுக்கான தீர்வு ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய செயல்பாடுகளின் தொகுப்பில் மிகக் குறைந்த சூப்பர்ஹார்மோனிக் செயல்பாடு என்பதைக் காட்டுகிறது. ஒழுங்குமுறை பண்புகள் உகந்த ஒழுங்குமுறை தடைகள் சிக்கலுக்கான தீர்வு ஒழுங்குமுறை அல்லது வரையறுக்கப்பட்ட இரண்டாவது வழித்தோன்றல்களைக் கொண்டுள்ளது, தடைகள் இந்த பண்புகளைக் கொண்டிருக்கும்போது. இன்னும் துல்லியமாக, தீர்வின் தொடர்ச்சியின் மாடுலஸ் மற்றும் அதன் வழித்தோன்றலுக்கான தொடர்ச்சியின் மாடுலஸ் ஆகியவை தடையாக இருப்பவற்றுடன் தொடர்புடையவை. தடையில் தொடர்ச்சியின் மாடுலஸ் இருந்தால், அதாவது, தீர்வு தொடர்ச்சியின் மாடுலஸைக் கொண்டுள்ளது, அங்கு மாறிலி களத்தை மட்டுமே சார்ந்துள்ளது, தடையை அல்ல. தடையின் முதல் வழித்தோன்றல் தொடர்ச்சியின் மாடுலஸைக் கொண்டிருந்தால், தீர்வின் முதல் வழித்தோன்றல் தொடர்ச்சியின் மாடுலஸைக் கொண்டுள்ளது, அங்கு மாறிலி மீண்டும் களத்தை மட்டுமே சார்ந்துள்ளது. நிலை மேற்பரப்புகள் மற்றும் இலவச எல்லை ஒரு சீரழிவு நிலைக்கு உட்பட்டு, தீர்வு மற்றும் தடைக்கு இடையிலான வேறுபாட்டின் நிலை தொகுப்புகள், அவை மேற்பரப்புகள். தீர்வு தடையை சந்திக்கும் தொகுப்பின் எல்லையான இலவச எல்லை, ஒற்றை புள்ளிகளின் தொகுப்பைத் தவிர, அவை தனிமைப்படுத்தப்பட்டவை அல்லது உள்ளூரில் பன்மடங்கு உள்ளன. பொதுமைப்படுத்தல்கள் இடையூறு சிக்கலின் கோட்பாடு மற்ற வேறுபாடு வடிவங்களுக்கு ஒரே மாதிரியான நீள்வட்ட இயக்கிகள் மற்றும் அவற்றுடன் தொடர்புடைய ஆற்றல் செயல்பாடுகளுக்கு நீட்டிக்கப்பட்டுள்ளது. நீள்வட்ட இயக்கிகளை சீரழிக்கவும் இது பொதுமைப்படுத்தப்படலாம். இரட்டைத் தடைச் சிக்கல், செயல்பாடு ஒரு தடைச் செயல்பாட்டிற்கு மேலேயும் மற்றொரு தடைச் செயல்பாட்டிற்குக் கீழேயும் இருக்க வேண்டிய கட்டாயத்தில் உள்ளது. சிக்னோரினி சிக்கல் என்பது தடை சிக்கலின் ஒரு மாறுபாடு ஆகும், அங்கு ஆற்றல் செயல்பாடு ஒரு கட்டுப்பாட்டிற்கு உட்பட்டு குறைக்கப்படுகிறது, இது ஒரு குறைந்த பரிமாணத்தின் மேற்பரப்பில் மட்டுமே வாழ்கிறது, இதில் எல்லை தடை சிக்கல் அடங்கும், இதில் கட்டுப்பாடு களத்தின் எல்லையில் இயங்குகிறது. இடையூறு பிரச்சினையின் பரவளைய, நேரத்தை சார்ந்த நிகழ்வுகள் மற்றும் அதன் மாறுபாடுகளும் ஆய்வுக்கு உட்படுத்தப்படுகின்றன. மேலும் காண்க குறைந்தபட்ச மேற்பரப்பு மாறுபாடு சமத்துவமின்மை சிக்னோரினி சிக்கல் குறிப்புகள் வரலாற்று குறிப்புகள். "லியோனிடா டோனெல்லி மற்றும் பீசா கணிதப் பள்ளி" என்பது பீசாவில் டோனெல்லி செய்த பணி மற்றும் பள்ளியின் வளர்ச்சியில் அவரது செல்வாக்கு பற்றிய ஒரு கணக்கெடுப்பாகும், இது மவ்ரோ பிகோன் மற்றும் லியோனிடா டோனெல்லி ஆகியோரின் பிறந்த நூற்றாண்டு கொண்டாட்டத்தின் போது சர்வதேச மாநாட்டில் வழங்கப்பட்டது (மே 6-9,1985 அன்று ரோமில் நடைபெற்றது). ஆசிரியர் அவரது மாணவர்களில் ஒருவராக இருந்தார், அவரது மரணத்திற்குப் பிறகு, பீசா பல்கலைக்கழகத்தில் கணித பகுப்பாய்வு தலைவராக இருந்தார், அறிவியல் பீடத்தின் டீன் ஆனார், பின்னர் ரெக்டர் ஆனார்ஃ அவர் பல்கலைக்கழகத்தின் வளர்ச்சியில் வலுவான நேர்மறையான தாக்கத்தை ஏற்படுத்தினார். குறிப்புகள். விரிவுரைகளின் தொகுப்பு, "பல துல்லியமான விவரங்கள் இல்லாமல், நிகழ்தகவின் அடிப்படை கோட்பாடு, சீரற்ற வேறுபாடு சமன்பாடுகள் மற்றும் சில பயன்பாடுகள்" குறித்து ஆய்வு செய்வதைக் குறிப்பிடுகிறது. . . வெளிப்புற இணைப்புகள், 1998 இல் ஸ்கூலா நார்மல் சூப்பரியோரில் எழுத்தாளரால் வழங்கப்பட்டது. பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகள் மாறுபாடுகளின் கணக்கீடு