Baire set
கணிதத்தில், மேலும் குறிப்பாக அளவீட்டுக் கோட்பாட்டில், பைர் தொகுப்புகள் ஒரு இடவியல் இடத்தின் σ-இயற்கணிதத்தை உருவாக்குகின்றன, இது போரெல் தொகுப்புகளின் சில நோயியல் பண்புகளைத் தவிர்க்கிறது. பெய்ர் தொகுப்புகளின் பல சமத்துவமற்ற வரையறைகள் உள்ளன, ஆனால் மிகவும் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படும், உள்ளூரில் கச்சிதமான ஹவுஸ்டோர்ஃப் இடத்தின் பெய்ர் தொகுப்புகள் மிகச்சிறிய σ-இயற்கணிதத்தை உருவாக்குகின்றன, அதாவது அனைத்து கச்சிதமாக ஆதரிக்கப்படும் தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளும் அளவிடக்கூடியவை. எனவே, இந்த σ-இயற்கணிதத்தில் வரையறுக்கப்பட்ட அளவீடுகள், பேயர் அளவீடுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, அவை உள்ளூரில் கச்சிதமான ஹவுஸ்டோர்ஃப் இடைவெளிகளில் ஒருங்கிணைப்பதற்கான வசதியான கட்டமைப்பாகும். குறிப்பாக, அத்தகைய இடத்தில் எந்தவொரு கச்சிதமாக ஆதரிக்கப்படும் தொடர்ச்சியான செயல்பாடும் எந்தவொரு வரையறுக்கப்பட்ட பேயர் அளவீட்டையும் பொறுத்து ஒருங்கிணைக்கப்படுகிறது. ஒவ்வொரு பேயர் செட்டும் ஒரு போரெல் செட் ஆகும். இதற்கு நேர்மாறாக பல இடங்களிலும் உள்ளது, ஆனால் அனைத்திலும் இல்லை. பெய்ர் செட்டுகள் இடவியலுக்கு ஒரு கணக்கிடக்கூடிய அடித்தளம் இல்லாமல் இடைவெளிகளில் போரெல் செட்டுகளின் சில நோயியல் பண்புகளைத் தவிர்க்கிறது. நடைமுறையில், பேயர் செட்களில் பேயர் அளவீடுகளின் பயன்பாடு பெரும்பாலும் போரெல் செட்களில் வழக்கமான போரெல் அளவீடுகளைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் மாற்றப்படலாம். பேயர் செட்கள் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டன, மேலும், அவை பேயர் செயல்பாடுகளின் பெயரால் பெயரிடப்பட்டன, அவை ரெனே-லூயிஸ் பேயரின் பெயரால் பெயரிடப்பட்டன. அடிப்படை வரையறைகள் உள்ளூரில் கச்சிதமான ஹவுஸ்டோர்ஃப் இடைவெளிகளில் பெய்ர் தொகுப்புகளுக்கு குறைந்தது மூன்று சமத்துவமற்ற வரையறைகள் உள்ளன, மேலும் பொது இடவியல் இடைவெளிகளுக்கு இன்னும் அதிகமான வரையறைகள் உள்ளன, இருப்பினும் இந்த வரையறைகள் அனைத்தும் உள்ளூரில் கச்சிதமான σ-காம்பாக்ட் ஹவுஸ்டோர்ஃப் இடைவெளிகளுக்கு சமமானவை. மேலும், சில எழுத்தாளர்கள் பெய்ர் செட்டுகள் வரையறுக்கப்பட்ட இடவியல் இடத்தில் கட்டுப்பாடுகளைச் சேர்க்கின்றனர், மேலும் கச்சிதமான ஹவுஸ்டோர்ஃப் அல்லது உள்ளூரில் கச்சிதமான ஹவுஸ்டோர்ஃப் அல்லது σ-காம்பாக்ட் இடைவெளிகளில் மட்டுமே பெய்ர் செட்டுகளை வரையறுக்கிறார்கள். முதல் வரையறை குனிஹிகோ கொடைரா சில இடவியல் இடைவெளிகளின் பைர் தொகுப்புகள் என்று நாம் அழைப்பதை வரையறுத்தார் (அவர் அவற்றை குழப்பமாக "போரெல் தொகுப்புகள்" என்று அழைத்தாலும்) அவற்றின் சிறப்பியல்பு செயல்பாடு ஒரு பைர் செயல்பாடாகும் (அனைத்து தொடர்ச்சியான உண்மையான மதிப்புள்ள செயல்பாடுகளையும் கொண்ட செயல்பாடுகளின் மிகச்சிறிய வகுப்பு மற்றும் வரிசைகளின் புள்ளி வாரியான வரம்புகளின் கீழ் மூடப்பட்டது). ஒரு சமமான வரையறையை வழங்குகிறது மற்றும் ஒரு இடவியல் இடத்தின் பைர் தொகுப்புகளை மிகச்சிறிய σ-இயற்கணிதத்தின் கூறுகளாக வரையறுக்கிறது, அதாவது அனைத்து தொடர்ச்சியான உண்மையான மதிப்புள்ள செயல்பாடுகளும் அளவிடக்கூடியவை. உள்ளூரில் கச்சிதமான σ-காம்பாக்ட் ஹவுஸ்டோர்ஃப் இடங்களுக்கு இது பின்வரும் வரையறைகளுக்கு சமம், ஆனால் பொதுவாக வரையறைகள் சமமானவை அல்ல. இதற்கு நேர்மாறாக, பேயர் செயல்பாடுகள் துல்லியமாக பெயர் அளவிடக்கூடிய உண்மையான மதிப்புள்ள செயல்பாடுகளாகும். மெட்ரிக் இடைவெளிகளைப் பொறுத்தவரை, பேயர் செட்டுகள் போரெல் செட்களுடன் ஒத்துப்போகின்றன. இரண்டாவது வரையறை உள்ளூரில் கச்சிதமான ஹவுஸ்டோர்ஃப் இடத்தின் பைர் தொகுப்புகளை கச்சிதமான Gδ தொகுப்புகளால் உருவாக்கப்படும் σ-வளையத்தின் கூறுகளாக வரையறுத்தது. இந்த வரையறை இனி அதிகம் பயன்படுத்தப்படுவதில்லை, ஏனெனில் σ-வளையங்கள் ஓரளவு ஃபேஷனுக்கு வெளியே உள்ளன. இடைவெளி σ-சுருக்கமாக இருக்கும்போது, இந்த வரையறை அடுத்த வரையறைக்கு சமம். மூடிய Gδ செட்களைக் காட்டிலும் சிறிய Gδ செட்களுடன் வேலை செய்வதற்கான ஒரு காரணம் என்னவென்றால், பேயர் அளவீடுகள் தானாகவே வழக்கமானவை. மூன்றாவது வரையறை மூன்றாவது மற்றும் மிகவும் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படும் வரையறை ஹால்மோஸின் வரையறையைப் போன்றது, இதனால் பெய்ர் செட்டுகள் ஒரு σ-வளையத்தை விட σ-இயற்கணிதத்தை உருவாக்குகின்றன. அனைத்து சிறிய Gδ தொகுப்புகளையும் கொண்ட மிகச்சிறிய σ-இயற்கணிதத்தின் உறுப்பினராக இருந்தால், உள்ளூரில் கச்சிதமான ஹவுஸ்டோர்ஃப் இடவியல் இடத்தின் துணைக்குழு பைர் தொகுப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், பைர் தொகுப்புகளின் σ-இயற்கணிதம் என்பது அனைத்து சிறிய Gδ தொகுப்புகளாலும் உருவாக்கப்படும் σ-இயற்கணிதம் ஆகும். மாற்றாக, பைர் செட்டுகள் மிகச்சிறிய σ-இயற்கணிதத்தை உருவாக்குகின்றன, அதாவது சிறிய ஆதரவின் அனைத்து தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளும் அளவிடக்கூடியவை (குறைந்தபட்சம் உள்ளூரில் கச்சிதமான ஹவுஸ்டோர்ஃப் இடைவெளிகளில்; பொது இடவியல் இடைவெளிகளில் இந்த இரண்டு நிபந்தனைகளும் சமமாக இருக்க வேண்டியதில்லை). σ-காம்பாக்ட் இடங்களுக்கு இது ஹால்மோஸின் வரையறைக்கு சமம். σ-சுருக்கமாக இல்லாத இடைவெளிகளுக்கு இந்த வரையறையின் கீழ் பைர் செட்டுகள் ஹால்மோஸின் வரையறையின் கீழ் அவற்றின் நிரப்புகளுடன் உள்ளன. இருப்பினும், இந்த விஷயத்தில் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட பேயர் அளவீடு வழக்கமானதாக இருக்க வேண்டும் என்பது இனி உண்மையல்லஃ எடுத்துக்காட்டாக, பெய்ர் நிகழ்தகவு அளவீடு ஒரு கணக்கிட முடியாத தனித்துவமான இடத்தின் ஒவ்வொரு கணக்கிடக்கூடிய துணைக்குழுவிற்கும் 0 ஐ ஒதுக்குகிறது மற்றும் ஒவ்வொரு இணை கணக்கிடக்கூடிய துணைக்குழுவிற்கும் 1 ஐ அளவிடுகிறது. எடுத்துக்காட்டுகள் பைர் தொகுப்புகளின் வெவ்வேறு வரையறைகள் சமமானவை அல்ல. σ-சுருக்கமாக இல்லாத உள்ளூரில் கச்சிதமான ஹவுஸ்டோர்ஃப் இடவியல் இடைவெளிகளுக்கு மேலே உள்ள மூன்று வரையறைகளும் சமமாக இருக்க வேண்டியதில்லை. ஒரு தனித்துவமான இடவியல் இடம் உள்ளூரில் கச்சிதமான மற்றும் ஹவுஸ்டோர்ஃப் ஆகும். ஒரு தனித்துவமான இடத்தில் வரையறுக்கப்பட்ட எந்தவொரு செயல்பாடும் தொடர்ச்சியானது, எனவே, முதல் வரையறையின்படி, ஒரு தனித்துவமான இடத்தின் அனைத்து துணைக்குழுக்களும் பேயர் ஆகும். இருப்பினும், ஒரு தனித்த இடத்தின் கச்சிதமான உட்பகுதிகள் துல்லியமாக வரையறுக்கப்பட்ட உட்பகுதிகள் என்பதால், இரண்டாவது வரையறையின்படி, பேயர் செட்டுகள் துல்லியமாக மிகவும் கணக்கிடக்கூடிய செட்களாகும், அதே நேரத்தில் மூன்றாவது வரையறையின்படி பேயர் செட்கள் மிகவும் கணக்கிடக்கூடிய செட்கள் மற்றும் அவற்றின் நிரப்புகளாகும். எனவே, மூன்று வரையறைகளும் எண்ணற்ற தனித்துவமான இடத்தில் சமமாக இல்லை. ஹவுஸ்டோர்ஃப் அல்லாத இடங்களுக்கு தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளின் அடிப்படையில் பைர் செட்டுகளின் வரையறைகள் Gδ கச்சிதமான செட்டுகளை உள்ளடக்கிய வரையறைகளுக்கு சமமாக இருக்க வேண்டியதில்லை. எடுத்துக்காட்டாக, X என்பது எல்லையற்ற கணக்கிடக்கூடிய தொகுப்பாக இருந்தால், அதன் மூடிய தொகுப்புகள் வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்புகள் மற்றும் முழு இடமாக இருந்தால், X இல் உள்ள தொடர்ச்சியான உண்மையான செயல்பாடுகள் மட்டுமே நிலையானவை, ஆனால் X இன் அனைத்து துணைக்குழுக்களும் கச்சிதமான மூடிய Gδ தொகுப்புகளால் உருவாக்கப்பட்ட σ-இயற்கணிதத்தில் உள்ளன. ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட புள்ளிகளைக் கொண்ட எண்ணற்ற பல கச்சிதமான ஹவுஸ்டோர்ஃப் இடைவெளிகளின் கார்ட்டீசியன் தயாரிப்பில், ஒரு புள்ளி ஒருபோதும் ஒரு பேயர் தொகுப்பாக இருக்காது, அது மூடப்பட்டிருந்தாலும், எனவே ஒரு போரெல் தொகுப்பாகும். பெய்ர் செட் பண்புகள் யூக்ளிடியன் இடங்களில் உள்ள போரெல் செட்களுடன் ஒத்துப்போகின்றன. ஒவ்வொரு கச்சிதமான ஹவுஸ்டோர்ஃப் இடத்திற்கும், ஒவ்வொரு வரையறுக்கப்பட்ட பைர் அளவும் (அதாவது, அனைத்து பைர் தொகுப்புகளின் σ-இயற்கணிதத்தின் ஒரு அளவீடு) வழக்கமானதாகும். ஒவ்வொரு கச்சிதமான ஹவுஸ்டோர்ஃப் இடத்திற்கும், ஒவ்வொரு வரையறுக்கப்பட்ட பேயர் அளவும் ஒரு வழக்கமான போரெல் அளவீட்டிற்கு ஒரு தனித்துவமான நீட்டிப்பைக் கொண்டுள்ளது. கொல்மோகோரோவ் விரிவாக்க தேற்றம், வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண நிகழ்தகவு விநியோகங்களின் ஒவ்வொரு நிலையான தொகுப்பும் செயல்பாடுகளின் இடத்தில் ஒரு பைர் அளவீட்டுக்கு வழிவகுக்கிறது என்று கூறுகிறது. சுருக்கத்தை (கொடுக்கப்பட்ட இடத்தின், எனவே செயல்பாட்டு இடத்தின்) கருதினால், ஒருவர் அதை ஒரு வழக்கமான போரெல் அளவீட்டிற்கு நீட்டிக்கலாம். முடிந்த பிறகு ஒருவர் நிலையானதாக இல்லாத ஒரு நிகழ்தகவு இடத்தைப் பெறுகிறார். குறிப்புகள் குறிப்புகள் குறிப்பாக பிரிவைப் பார்க்கவும். 51 "போரெல் செட் மற்றும் பேயர் செட்". . குறிப்பாக Sect ஐப் பார்க்கவும். 7. 1 "பைர் மற்றும் போரெல் σ-ஆல்ஜிப்ராக்கள் மற்றும் நடவடிக்கைகளின் ஒழுங்குமுறை" மற்றும் பிரிவு. 7. 3 "வழக்கமான நீட்டிப்பு". பொது இடவியல் அளவீட்டுக் கோட்பாடு