Geometric analysis
வடிவியல் பகுப்பாய்வு என்பது ஒரு கணித ஒழுக்கமாகும், இதில் வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் கருவிகள், குறிப்பாக நீள்வட்ட பகுதி வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் (பி. டி. இ), வேறுபட்ட வடிவியல் மற்றும் வேறுபட்ட இடவியல் ஆகியவற்றில் புதிய முடிவுகளை நிறுவ பயன்படுத்தப்படுகின்றன. நேரியல் நீள்வட்ட PDE களின் பயன்பாடு குறைந்தபட்சம் ஹோட்ஜ் கோட்பாட்டிற்கு முந்தைய காலத்தைச் சேர்ந்தது. மிக சமீபத்தில், இது பெரும்பாலும் யூக்ளிடியன் இடத்தின் சப்மேனிஃபோல்ட்ஸ், ரீமானியன் பன்மடங்கு மற்றும் சிம்ப்ளெக்டிக் பன்மடங்கு போன்ற இடைவெளிகளின் வடிவியல் மற்றும் இடவியல் பண்புகளைப் படிக்க நேரியல் அல்லாத பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்துவதைக் குறிக்கிறது. இந்த அணுகுமுறை குறைந்தபட்ச மேற்பரப்புகளில் திபோர் ராடோ மற்றும் ஜெஸ்ஸி டக்ளஸ், யூக்ளிடியன் இடத்தில் ரீமானியன் பன்மடங்கு ஐசோமெட்ரிக் உட்பொதிப்புகள் குறித்து ஜான் ஃபோர்ப்ஸ் நாஷ் ஜூனியர், மின்காவ்ஸ்கி சிக்கல் மற்றும் வெயில் சிக்கல் குறித்து லூயிஸ் நிரன்பெர்க் மற்றும் குவிந்த ஹைப்பர்சர்ஃபேஸ்கள் குறித்து அலெக்ஸாண்டர் டானிலோவிச் அலெக்ஸாண்ட்ரோவ் மற்றும் அலெக்ஸி போகோரெலோவ் ஆகியோரின் பணிக்கு முந்தையது. 1980 களில் கரேன் உஹ்லென்பெக், கிளிஃபோர்ட் டூப்ஸ், ஷிங்-துங் யாவ், ரிச்சர்ட் ஷோன் மற்றும் ரிச்சர்ட் ஹாமில்டன் ஆகியோரின் அடிப்படை பங்களிப்புகள் வடிவியல் பகுப்பாய்வின் குறிப்பாக உற்சாகமான மற்றும் உற்பத்தி சகாப்தத்தைத் தொடங்கின, அது இன்றும் தொடர்கிறது. ஒரு புகழ்பெற்ற சாதனை கிரிகோரி பெரல்மேனின் பாயின்கேர் யூகத்திற்கு தீர்வாக இருந்தது, இது ரிச்சர்ட் ஹாமில்டனால் தொடங்கப்பட்டு பெரும்பாலும் மேற்கொள்ளப்பட்ட ஒரு திட்டத்தை நிறைவு செய்தது. வடிவியல் பகுப்பாய்வின் நோக்கம் பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் ஆய்வில் வடிவியல் முறைகளின் பயன்பாடு (இது "வடிவியல் PDE" என்றும் அழைக்கப்படும் போது) மற்றும் வடிவவியலுக்கு பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் கோட்பாட்டின் பயன்பாடு ஆகிய இரண்டையும் உள்ளடக்கியது. இது வளைவுகள் மற்றும் மேற்பரப்புகள் அல்லது வளைந்த எல்லைகளைக் கொண்ட களங்கள் சம்பந்தப்பட்ட சிக்கல்களை உள்ளடக்கியது, ஆனால் தன்னிச்சையான பரிமாணத்தில் ரீமானியன் பன்மடங்கு பற்றிய ஆய்வையும் உள்ளடக்கியது. மாறுபாடுகளின் கால்குலஸ் சில நேரங்களில் வடிவியல் பகுப்பாய்வின் ஒரு பகுதியாகக் கருதப்படுகிறது, ஏனெனில் மாறுபாட்டுக் கொள்கைகளிலிருந்து எழும் வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் வலுவான வடிவியல் உள்ளடக்கத்தைக் கொண்டுள்ளன. வடிவியல் பகுப்பாய்வு உலகளாவிய பகுப்பாய்வையும் உள்ளடக்கியது, இது பன்மடங்கு வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் ஆய்வு மற்றும் வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் மற்றும் இடவியல் ஆகியவற்றுக்கு இடையிலான உறவைப் பற்றியது. வடிவியல் பகுப்பாய்விற்குள் உள்ள முக்கிய தலைப்புகளின் ஒரு பகுதி பட்டியல் பின்வருமாறுஃ கேஜ் கோட்பாடு ஹார்மோனிக் வரைபடங்கள் காலர்-ஐன்ஸ்டீன் அளவீடுகள் சராசரி வளைவு ஓட்டம் குறைந்தபட்ச சப்மேனிஃபோல்ட்ஸ் நேர்மறை ஆற்றல் கோட்பாடுகள் சூடோஹோலோமார்பிக் வளைவுகள் ரிச்சி ஓட்டம் யமபே சிக்கல் யாங்-மில்ஸ் சமன்பாடுகள் குறிப்புகள் மேலும் வாசிப்பு மாறுபாடுகளின் கணக்கீடு வேறுபட்ட சமன்பாடுகள்