Tight span
மெட்ரிக் வடிவவியலில், மெட்ரிக் உறை அல்லது ஒரு மெட்ரிக் இடைவெளி M இன் இறுக்கமான இடைவெளி என்பது M ஐ உட்பொதிக்கக்கூடிய ஒரு உட்செலுத்தும் மெட்ரிக் இடைவெளி ஆகும். ஒரு வகையில் இது எம் புள்ளிகளுக்கு இடையில் உள்ள அனைத்து புள்ளிகளையும் கொண்டுள்ளது, இது யூக்ளிடியன் இடத்தில் அமைக்கப்பட்ட ஒரு புள்ளியின் குவிந்த மேலோட்டத்திற்கு ஒத்ததாகும். இறுக்கமான இடைவெளி சில நேரங்களில் உட்செலுத்தும் உறை அல்லது எம் இன் ஹைபர்கன்வெக்ஸ் ஹல் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது, இது உட்செலுத்தும் ஹல் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது, ஆனால் இயற்கணிதத்தில் ஒரு தொகுதியின் உட்செலுத்தும் ஹல் உடன் குழப்பமடையக்கூடாது, இது மெட்ரிக் இடைவெளிகளைக் காட்டிலும் ஆர்-தொகுதிகளின் வகையுடன் தொடர்புடைய ஒத்த விளக்கத்தைக் கொண்டுள்ளது. இறுக்கமான இடைவெளி முதன்முதலில் விவரிக்கப்பட்டது, மேலும் இது 1960 களில் ஹோல்ஸ்டின்ஸ்கியால் ஆய்வு செய்யப்பட்டு பயன்படுத்தப்பட்டது. இது பின்னர் சுயாதீனமாக மீண்டும் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது மற்றும் இந்த வரலாற்றைப் பார்க்கவும். இறுக்கமான இடைவெளி டி-கோட்பாட்டின் மைய கட்டுமானங்களில் ஒன்றாகும். வரையறை ஒரு மெட்ரிக் இடத்தின் இறுக்கமான இடைவெளியை பின்வருமாறு வரையறுக்கலாம். (X, d) ஒரு மெட்ரிக் இடமாக இருக்கட்டும், மேலும் T (X) என்பது X இல் உள்ள உச்ச செயல்பாடுகளின் தொகுப்பாக இருக்கட்டும், அங்கு X இல் ஒரு உச்ச செயல்பாட்டை X முதல் R வரை f என்ற செயல்பாட்டைக் குறிக்கச் சொல்கிறோம், அதாவது எந்த x க்கும், x இல் y, x இல் d (x, y) ≤ f (x) + f (y), மற்றும் X இல் உள்ள ஒவ்வொரு x க்கும், f (x) = sum {d (x, y)-f (y): x இல் y. குறிப்பாக (மேலே உள்ள பண்பு 1 இல் x = y ஐ எடுத்துக்கொள்வது) அனைத்து x க்கும் f (x) ≤ 0 ஆகும். மேலே உள்ள முதல் தேவையை விளக்கும் ஒரு வழி என்னவென்றால், f என்பது சில புதிய புள்ளிகளிலிருந்து X இல் உள்ள புள்ளிகளுக்கு சாத்தியமான தூரங்களின் தொகுப்பை வரையறுக்கிறது, இது முக்கோண சமத்துவமின்மையை (X, d) இல் உள்ள தூரங்களுடன் பூர்த்தி செய்ய வேண்டும். முக்கோண சமத்துவமின்மையை மீறாமல் இந்த தூரங்களில் எதையும் குறைக்க முடியாது என்று இரண்டாவது தேவை கூறுகிறது. (X, d) இன் இறுக்கமான இடைவெளி மெட்ரிக் இடைவெளி (T (X), δ) ஆகும், இது நெறிமுறையால் தூண்டப்பட்ட மெட்ரிக்க்கு ஒத்ததாகும். (d வரம்புக்குட்பட்டதாக இருந்தால், δ என்பது நெறிமுறையால் தூண்டப்பட்ட மெட்ரிக் மூலம் தூண்டப்படும் சப்ஸ்பேஸ் மெட்ரிக் ஆகும். d வரம்புக்குட்பட்டதாக இல்லாவிட்டால், X இல் உள்ள ஒவ்வொரு உச்ச செயல்பாடும் வரம்பற்றது, எனவே பொருட்படுத்தாமல், T (X) இல் உள்ள எந்த f, g க்கும், வேறுபாடு, அதாவது வரம்புக்குட்பட்டது என்பது உண்மையாக இருக்கும். உச்ச செயல்பாடுகளின் சமமான வரையறைகள் X முதல் R வரையிலான ஒரு செயல்பாட்டிற்கு, இரண்டாவது தேவையின் பின்வரும் பதிப்புகள் சமமானவைஃ X இல் உள்ள ஒவ்வொரு x க்கும், f (x) = sup {d (x, y)-f (y): x இல் y. மேற்கூறிய முதல் தேவையைப் பொறுத்தவரை f என்பது புள்ளி வாரியாக குறைந்தபட்சம், அதாவது, X முதல் R வரையிலான எந்தவொரு செயல்பாட்டிற்கும் g என்பது d (x, y) ≤ g (x) + g (y) அனைத்து x க்கும், x இல் y, g ≤ f புள்ளி வாரியாக இருந்தால், பின்னர் f = g. அடிப்படை பண்புகள் மற்றும் எடுத்துக்காட்டுகள் X இல் உள்ள அனைத்து x க்கும், X இல் உள்ள ஒவ்வொரு x க்கும், உச்சநிலை. (சான்றுஃ சமச்சீர் மற்றும் முக்கோண சமத்துவமின்மையைப் பயன்படுத்தவும்.) X வரையறுக்கப்பட்டதாக இருந்தால், முதல் தேவையை பூர்த்தி செய்யும் X முதல் R வரையிலான எந்தவொரு செயல்பாட்டிற்கும், இரண்டாவது தேவை X இல் உள்ள ஒவ்வொரு x க்கும், x இல் y உள்ளது, அதாவது f (x) + f (y) = d (x, y). (அப்படியானால், இரண்டு நிபந்தனைகளும் உண்மை. பின்னர் மேலாதிக்கம் அடையப்பட்டால், முதல் தேவை சமநிலையைக் குறிக்கிறது). |X | = 2 என்று சொல்லுங்கள், மேலும் X = {a, b} என்று தனித்துவமான a, b ஐத் தேர்ந்தெடுக்கவும். பின்னர் {{(a, 1), (b, 0)}, {(a, 0), (b, 1)}} இன் குவிந்த மேலோடு ஆகும். [ஒரு படத்தைச் சேர்க்கவும். தலைப்புஃ X = {0,1} என்றால், {(0,1), (1,0)} இன் குவிந்த மேலோடு ஆகும்.] X இல் உள்ள ஒவ்வொரு தீவிர செயல்பாடும் f என்பது கட்டேடோவ் ஆகும்ஃ f முதல் தேவையை பூர்த்தி செய்கிறது மற்றும் அல்லது அதற்கு சமமாக, f முதல் தேவையை பூர்த்தி செய்கிறது மற்றும் (1-லிப்ஸிட்ச் ஆகும்), அல்லது அதற்கு சமமாக, f முதல் தேவையை பூர்த்தி செய்கிறது மற்றும் T (X) C (X). (லிப்ஸ்கிட்ஸ் செயல்பாடுகள் தொடர்ச்சியானவை.) டி (எக்ஸ்) சமமாக உள்ளது. (X இல் உள்ள ஒவ்வொரு உச்ச செயல்பாட்டிலிருந்தும் 1-லிப்ஸிட்ச் ஆகும்; cf. Equicontinuity#Examples.) X இல் உள்ள ஒவ்வொரு கேட்டெடோவ் செயல்பாடும் உச்சநிலை அல்ல. எடுத்துக்காட்டாக, a, b தனித்துவமாக இருக்கட்டும், X = {a, b} ஆக இருக்கட்டும், d = ([x  ஒத்த y]) x ஆக இருக்கட்டும், X இல் y என்பது X இல் தனித்த மெட்ரிக் ஆக இருக்கட்டும், மேலும் f = {(a, 1), (b, 2)} ஆக இருக்கட்டும். பின்னர் f என்பது கட்டேடோவ், ஆனால் தீவிரமானது அல்ல. (இது கிட்டத்தட்ட உடனடியாக f என்பது கட்டேடோவ். இந்த பிரிவின் மூன்றாவது புல்லட்டில் உள்ள சொத்தை அது தோல்வியுற்றதால் f தீவிரமானது அல்ல.) d வரம்புக்குட்பட்டதாக இருந்தால், T (X) இல் உள்ள ஒவ்வொரு f-ம் வரம்புக்குட்பட்டதாக இருக்கும். உண்மையில், T (X) இல் உள்ள ஒவ்வொரு f க்கும், (குறிப்பு) (மேலே உள்ள பிரிவில் உள்ள மூன்றாவது சமமான பண்பிலிருந்து பின்தொடர்கிறது. டி வரம்பற்றதாக இருந்தால், டி (எக்ஸ்) இல் உள்ள ஒவ்வொரு எஃப் வரம்பற்றது. (முதல் தேவையிலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது.) புள்ளி வாரியான வரம்புகளின் கீழ் மூடப்பட்டுள்ளது. (X, d) சுருக்கமாக இருந்தால், (T (X), δ) சுருக்கமாக இருக்கும். (ஆதாரம்ஃ தீவிர-மதிப்பு தேற்றம் d, ஒரு செயல்பாடாக தொடர்ச்சியாக இருப்பது வரம்புக்குட்பட்டது என்பதைக் குறிக்கிறது, எனவே (முந்தைய புல்லட்டைப் பார்க்கவும்) C (X) இன் வரம்புக்குட்பட்ட துணைக்குழுவாகும். டி (எக்ஸ்) சமமாக இருப்பதை நாங்கள் காட்டியுள்ளோம், எனவே ஆர்செலா-அஸ்கோலி தேற்றம் டி (எக்ஸ்) ஒப்பீட்டளவில் கச்சிதமானது என்பதைக் குறிக்கிறது. இருப்பினும், முந்தைய புல்லட் டி (எக்ஸ்) நெறிமுறையின் கீழ் மூடப்பட்டிருப்பதைக் குறிக்கிறது, ஏனெனில் ஒருங்கிணைப்பு என்பது புள்ளி வாரியாக ஒருங்கிணைப்பைக் குறிக்கிறது. எனவே டி (எக்ஸ்) கச்சிதமானது.) முதல் தேவையை பூர்த்தி செய்யும் X முதல் R வரையிலான எந்த செயல்பாட்டிற்கும், T (X) இல் f உள்ளது, அதாவது f ≤ g புள்ளி வாரியாக உள்ளது. X இல் உள்ள எந்தவொரு உச்ச செயல்பாட்டிற்கும், T (X) இல் உள்ள எந்த f, g க்கும், வேறுபாடு, அதாவது, வரம்புக்குட்பட்டது. (மேலே உள்ள புல்லட்டைப் பயன்படுத்துங்கள்.) குரடோவ்ஸ்கி வரைபடம் ஒரு ஐசோமெட்ரி ஆகும். (எக்ஸ் = ஐஎல் ஆக இருக்கும்போது, முடிவு வெளிப்படையானது. X ஷ்ணூ ஷ்ணூ ஷ்ணூ இருக்கும்போது, தலைகீழ் முக்கோண சமத்துவமின்மை விளைவைக் குறிக்கிறது.) டி (எக்ஸ்) இல் எஃப் ஆக இருக்கட்டும். X இல் உள்ள எந்த a க்கும், f (a) = 0 என்றால், f = e (a). (X இல் உள்ள ஒவ்வொரு x க்கும் நம்மிடம் f இன் குறைந்தபட்சம் (மேலே உள்ள பிரிவில் இரண்டாவது சமமான தன்மை) உள்ளது மற்றும் அது பின்வரும் முதல் தேவையை பூர்த்தி செய்கிறது) (T (X), δ) ஹைபர்போலிக் என்றால் மட்டுமே (X, d) ஹைபர்போலிக் ஆகும். ஹைபர்கன்வெக்ஸிட்டி பண்புகள் (டி (எக்ஸ்), δ) மற்றும் இரண்டும் ஹைபர்கன்வெக்ஸ் ஆகும். ஹைபர்கன்வெக்ஸ் அல்லாத எந்தவொரு Y க்கும். ("(டி (எக்ஸ்), δ) என்பது (எக்ஸ், டி) இன் ஹைபர்கன்வெக்ஸ் ஹல் ஆகும். மற்றும் உடன் ஒரு ஹைபர்கன்வெக்ஸ் மெட்ரிக் இடமாக இருக்கட்டும். அனைத்து I உடன் ஹைபர்கன்வெக்ஸ் இல்லையென்றால், மற்றும் (T (X), δ) ஐசோமெட்ரிக் ஆகும். ("(X, d) இன் ஒவ்வொரு ஹைபர்கன்வெக்ஸ் மேலோட்டமும் (T (X, δ) உடன் ஐசோமெட்ரிக் ஆகும்".) எடுத்துக்காட்டுகள் |X | = 3, X = {a, b, c} என்று தனித்துவமான a, b, c ஐத் தேர்ந்தெடுக்கவும், i = d (a, b), j = d (a, c), k = d (b, c) ஆக இருக்கட்டும். பின்னர் எங்கே [ஒரு படத்தைச் சேர்க்கவும். தலைப்புஃ எக்ஸ் = {0,1,2} என்றால், டி (எக்ஸ்) = கான்வ {(,,), (,,)} யு கான்வ {(,,), (,,)} யு கான்வ {(,,), (,,)} Y எழுத்தைப் போல வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது. (சி. எஃப்.) இந்த உருவம் விமானத்தில் 16 புள்ளிகளின் X தொகுப்பைக் காட்டுகிறது; இந்த புள்ளிகளிலிருந்து ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட மெட்ரிக் இடத்தை உருவாக்க, மன்ஹாட்டன் தூரத்தை (தூரம்) பயன்படுத்துகிறோம். படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள நீலப் பகுதி ஆர்த்தோகனல் குவிந்த மேலோடு ஆகும், இது z புள்ளிகளின் தொகுப்பாகும், அதாவது z உச்சியாக உள்ள நான்கு மூடிய நாற்கரங்களில் ஒவ்வொன்றும் X புள்ளியைக் கொண்டுள்ளன. அத்தகைய எந்த புள்ளியும் இறுக்கமான இடைவெளியின் ஒரு புள்ளிக்கு ஒத்திருக்கிறதுஃ ஒரு புள்ளி z உடன் தொடர்புடைய f (x) சார்பு f (x) = d (z, x) ஆகும். இந்த வடிவத்தின் செயல்பாடு மன்ஹாட்டன்-மெட்ரிக் தளத்தில் உள்ள எந்த z க்கும் இறுக்கமான இடைவெளியின் பண்பு 1 ஐ மன்ஹாட்டன் மெட்ரிக் முக்கோண சமத்துவமின்மையால் திருப்திப்படுத்துகிறது. இறுக்கமான இடைவெளியின் பண்பு 2 ஐக் காட்ட, X இல் சில புள்ளி x ஐக் கவனியுங்கள்; x இல் y ஐக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், அதாவது f (x) + f (y) = d (x, y). ஆனால் x என்பது z ஐ உச்சியாகக் கொண்ட நான்கு நாற்கரங்களில் ஒன்றில் இருந்தால், y ஐ எதிர் நாற்கரத்தில் உள்ள எந்த புள்ளியாகவும் எடுத்துக் கொள்ளலாம், எனவே பண்பு 2 ஐயும் திருப்திப்படுத்துகிறது. மாறாக, இறுக்கமான இடைவெளியின் ஒவ்வொரு புள்ளியும் இந்த புள்ளிகளின் ஆர்த்தோகனல் குவிந்த மேலோட்டத்தில் உள்ள ஒரு புள்ளிக்கு இந்த வழியில் ஒத்திருக்கிறது என்பதைக் காட்டலாம். இருப்பினும், அதிக பரிமாணங்களில் மன்ஹாட்டன் மெட்ரிக் கொண்ட புள்ளி தொகுப்புகளுக்கும், துண்டிக்கப்பட்ட ஆர்த்தோகனல் மேலோட்டங்களுடன் பிளானர் புள்ளி தொகுப்புகளுக்கும், இறுக்கமான இடைவெளி ஆர்த்தோகனல் குவிந்த மேலோட்டத்திலிருந்து வேறுபடுகிறது. X வரையறுக்கப்பட்டதாக இருக்கும்போது இறுக்கமான இடைவெளியின் பரிமாணம் மேலே உள்ள வரையறை n () புள்ளிகளின் தொகுப்பின் இறுக்கமான இடைவெளி T (X) ஐ RX இல் உட்பொதிக்கிறது, இது பரிமாணம் n இன் உண்மையான திசையன் இடைவெளி. மறுபுறம், T (X) இன் பரிமாணத்தை ஒரு பாலிஹெட்ரல் காம்ப்ளக்ஸ் என்று நாம் கருதினால், மெட்ரிக் மீது பொருத்தமான பொதுவான நிலை அனுமானத்துடன், இந்த வரையறை n/3 மற்றும் n/2 க்கு இடையிலான பரிமாணத்துடன் ஒரு இடைவெளிக்கு வழிவகுக்கிறது என்பதைக் காட்டுகிறது. மாற்று வரையறைகள் அதன் உட்பகுதியை இலக்காகக் கொண்ட ஒரு மெட்ரிக் இடத்தின் கருத்தை அடிப்படையாகக் கொண்ட ஒரு மாற்று வரையறை விவரிக்கப்பட்டது, அவர் பானாச் இடங்களின் பிரிவில் ஒரு பானாச் இடத்தின் உட்செலுத்தும் உறை, இறுக்கமான இடைவெளியுடன் (நேரியல் கட்டமைப்பை மறந்த பிறகு) ஒத்துப்போகிறது என்பதை நிரூபித்தார். இந்த தேற்றம் சில சிக்கல்களை தன்னிச்சையான பானாச் இடைவெளிகள் முதல் சி (எக்ஸ்) வடிவத்தின் பானாச் இடைவெளிகள் வரை குறைக்க அனுமதிக்கிறது, அங்கு எக்ஸ் ஒரு சிறிய இடைவெளி. ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட மெட்ரிக் இடத்தின் இறுக்கமான இடைவெளிக்கு ஒரு மாற்று வரையறையை வழங்க முயற்சித்தது, ஒவ்வொரு புள்ளியிலிருந்தும் விண்வெளியில் ஒருவருக்கொருவர் புள்ளிக்கு உள்ள தூரங்களின் திசையன்களின் வெப்பமண்டல குவிந்த மேலோட்டம். இருப்பினும், அதே ஆண்டின் பிற்பகுதியில் அவர்கள் ஒரு எர்ராட்டத்தில் ஒப்புக்கொண்டனர், வெப்பமண்டல குவிந்த மேலோடு எப்போதும் இறுக்கமான இடைவெளியைக் கொண்டிருந்தாலும், அது அதனுடன் ஒத்துப்போகாது. உயிரியல் தரவுகளிலிருந்து பரிணாம மரங்களை மறுசீரமைப்பதில் இறுக்கமான இடைவெளியின் பயன்பாடுகளை பயன்பாடுகள் விவரிக்கின்றன. இறுக்கமான இடைவெளி கே-சர்வர் சிக்கலுக்கான பல ஆன்லைன் வழிமுறைகளில் ஒரு பாத்திரத்தை வகிக்கிறது. ஆறு புள்ளிகள் வரை மெட்ரிக் இடைவெளிகளை வகைப்படுத்த இறுக்கமான இடைவெளியைப் பயன்படுத்துகிறது. வெட்டு அளவீடுகளை மிகவும் பொதுவான வரையறுக்கப்பட்ட மெட்ரிக் இடைவெளிகளில் பொதி செய்வது பற்றிய முடிவுகளை நிரூபிக்க இறுக்கமான இடைவெளியைப் பயன்படுத்துகிறது. குரடோவ்ஸ்கி உட்பொதிப்பையும் பார்க்கவும், இது குரடோவ்ஸ்கி வரைபடம் ஊசி மெட்ரிக் இடம் குறிப்புகள் குறிப்புகளைப் போலவே வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு பானாச் இடத்தில் எந்த மெட்ரிக் இடத்தையும் உட்பொதிக்கிறது. . . . . . . . . . வெளி இணைப்புகள். அளவீட்டு வடிவியல்