Ehresmann connection
வேறுபட்ட வடிவவியலில், ஒரு எஹ்ரெஸ்மேன் இணைப்பு (இந்த கருத்தை முதன்முதலில் முறைப்படுத்திய பிரெஞ்சு கணிதவியலாளர் சார்லஸ் எஹ்ரெஸ்மேனுக்குப் பிறகு) ஒரு இணைப்பு என்ற கருத்தின் ஒரு பதிப்பாகும், இது எந்த மென்மையான நார் மூட்டையிலும் அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கிறது. குறிப்பாக, இது அடிப்படை ஃபைபர் மூட்டையின் சாத்தியமான திசையன் மூட்டை கட்டமைப்பை நம்பவில்லை, இருப்பினும், நேரியல் இணைப்புகள் ஒரு சிறப்பு நிகழ்வாக பார்க்கப்படலாம். எஹ்ரெஸ்மேன் இணைப்புகளின் மற்றொரு முக்கியமான சிறப்பு வழக்கு முதன்மை மூட்டைகளில் உள்ள முக்கிய இணைப்புகள் ஆகும், அவை முதன்மை லை குழு நடவடிக்கையில் சமமாக இருக்க வேண்டும். வேறுபட்ட வடிவவியலில் ஒரு கோவேறியன்ட் வழித்தோன்றல் என்பது ஒரு நேரியல் வேறுபட்ட ஆபரேட்டர் ஆகும், இது ஒரு திசையன் மூட்டையின் ஒரு பிரிவின் திசை வழித்தோன்றலை ஒரு கோவேறியன்ட் முறையில் எடுத்துக்கொள்கிறது. இது ஒரு திசையனின் திசையில் ஒரு மூட்டையின் இணையான பிரிவின் கருத்தை உருவாக்க அனுமதிக்கிறதுஃ ஒரு பிரிவு s ஒரு திசையன் X உடன் இணையாக உள்ளது. எனவே ஒரு கோவேரியன்ட் வழித்தோன்றல் குறைந்தது இரண்டு விஷயங்களை வழங்குகிறதுஃ ஒரு வேறுபட்ட ஆபரேட்டர், மற்றும் ஒவ்வொரு திசையிலும் இணையாக இருப்பது என்றால் என்ன என்பதற்கான கருத்து. ஒரு எஹ்ரெஸ்மேன் இணைப்பு வேறுபட்ட இயக்கியை முற்றிலுமாக குறைத்து, ஒவ்வொரு திசையிலும் இணையான பிரிவுகளின் அடிப்படையில் ஒரு இணைப்பை தன்னியக்கமாக வரையறுக்கிறது. குறிப்பாக, ஒரு எஹ்ரெஸ்மேன் இணைப்பு ஒவ்வொரு தொடுகோட்டு இடத்தின் திசையன் துணை இடத்தையும் ஃபைபர் மூட்டையின் மொத்த இடத்துடன் தனிமைப்படுத்துகிறது, இது கிடைமட்ட இடைவெளி என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு பிரிவு s பின்னர் கிடைமட்ட இடத்தில் இருந்தால் X திசையில் கிடைமட்டமாக (அதாவது இணையாக) இருக்கும். இங்கே நாம் s ஐ அடிப்படை M இலிருந்து ஃபைபர் மூட்டை E வரை ஒரு செயல்பாடாக கருதுகிறோம், எனவே அது தொடுகோடு திசையன்களின் முன்னோக்கி தள்ளப்படுகிறது. கிடைமட்ட இடைவெளிகள் ஒன்றாக ஒரு திசையன் துணைக்குழுவை உருவாக்குகின்றன. இது வெறும் திசையன் மூட்டைகளை விட மிகவும் பரந்த அளவிலான கட்டமைப்புகளில் வரையறுக்கப்படுவதன் உடனடி நன்மையைக் கொண்டுள்ளது. குறிப்பாக, இது ஒரு பொதுவான நார் மூட்டையில் நன்கு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. மேலும், கோவேரியன்ட் வழித்தோன்றலின் பல அம்சங்கள் இன்னும் உள்ளனஃ இணையான போக்குவரத்து, வளைவு மற்றும் ஹோலனோமி. இணைப்பின் காணாமல் போன மூலப்பொருள், நேரியல் தவிர, கோவேரியன்ஸ் ஆகும். கிளாசிக்கல் கோவேரியன்ட் வழித்தோன்றல்களுடன், கோவேரியன்ஸ் என்பது வழித்தோன்றலின் ஒரு பிந்தைய அம்சமாகும். அவற்றின் கட்டுமானத்தில் ஒருவர் கிறிஸ்டோஃபெல் சின்னங்களின் உருமாற்றச் சட்டத்தை குறிப்பிடுகிறார்-இது கோவேரியன்ட் அல்ல-இதன் விளைவாக வழித்தோன்றலின் பொதுவான கோவேரியன்ஸ் பின்பற்றப்படுகிறது. ஒரு எஹ்ரெஸ்மேன் இணைப்பைப் பொறுத்தவரை, ஃபைபர் மூட்டையின் இழைகளில் செயல்படும் ஒரு லை குழுவை அறிமுகப்படுத்துவதன் மூலம் ஆரம்பத்தில் இருந்தே ஒரு பொதுவான கோவேரியன்ஸ் கொள்கையை திணிக்க முடியும். பொருத்தமான நிபந்தனை என்னவென்றால், கிடைமட்ட இடைவெளிகள் ஒரு குறிப்பிட்ட அர்த்தத்தில், குழு நடவடிக்கையைப் பொறுத்தவரை சமமாக இருக்க வேண்டும். ஒரு எஹ்ரெஸ்மேன் இணைப்புக்கான இறுதி தொடுதல் என்னவென்றால், இது ஒரு வேறுபட்ட வடிவமாக குறிப்பிடப்படலாம், இது ஒரு இணைப்பு படிவத்தைப் போலவே இருக்கும். குழு இழைகள் மீது செயல்பட்டால் மற்றும் இணைப்பு சமமாக இருந்தால், வடிவமும் சமமாக இருக்கும். மேலும், இணைப்பு படிவம் வளைவை ஒரு வளைவு வடிவமாகவும் வரையறுக்க அனுமதிக்கிறது. முறையான வரையறை ஒரு மென்மையான நார் மூட்டையாக இருக்கட்டும். E இன் "இழைகளுக்கு தொடுகோடு" என்ற திசையன்களைக் கொண்ட செங்குத்து மூட்டை இருக்கட்டும், அதாவது. V இன் நார் ஆகும். (நிச்சயமாக, இந்த சமச்சீரற்ற தன்மை ஒரு ஃபைபர் மூட்டையின் வரையறையிலிருந்து வருகிறது, இது "ஒரே ஒரு திட்டத்தைக் கொண்டுள்ளது", அதே நேரத்தில் ஒரு தயாரிப்பு இரண்டு இருக்கும்.) கிடைமட்ட உட்பகுதிகள் வழியாக வரையறை E இல் உள்ள எஹ்ரெஸ்மேன் இணைப்பு என்பது ஒரு மென்மையான உட்பண்டில் H ஆகும், இது இணைப்பின் கிடைமட்ட மூட்டை என்று அழைக்கப்படுகிறது, இது V க்கு நிரப்பு, இது ஒரு நேரடி தொகை சிதைவை வரையறுக்கிறது. மேலும் விரிவாக, கிடைமட்ட மூட்டை பின்வரும் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது. ஒவ்வொரு புள்ளிக்கும், e இல் E க்கு தொடுகோட்டு இடத்தின் ஒரு திசையன் துணைப்பகுதி, e இல் இணைப்பின் கிடைமட்ட துணைப்பகுதி என்று அழைக்கப்படுகிறது. e ஐ சீராக சார்ந்துள்ளது. ஒவ்வொன்றிற்கும்,. TeE இல் உள்ள எந்த தொடுகோட்டு திசையனும் (எந்த e ωE க்கும்) ஒரு கிடைமட்ட மற்றும் செங்குத்து கூறுகளின் கூட்டுத்தொகையாகும், இதனால் TeE = He + Ve. மிகவும் அதிநவீன சொற்களில், இந்த பண்புகளை திருப்திப்படுத்தும் கிடைமட்ட இடைவெளிகளின் அத்தகைய பணி ஜெட் மூட்டை J1E → E இன் மென்மையான பிரிவுடன் துல்லியமாக ஒத்திருக்கிறது. ஒரு இணைப்பு வடிவத்தின் மூலம் வரையறை சமமாக, H உடன் செங்குத்து மூட்டை V இல் திட்டமாக இருக்கட்டும் (இதனால் H = கெர்). இது மேலே உள்ள நேரடியான கூட்டுத்தொகை டி. இ. யை கிடைமட்ட மற்றும் செங்குத்து பகுதிகளாக சிதைப்பதன் மூலம் தீர்மானிக்கப்படுகிறது, மேலும் இது சில நேரங்களில் எஹ்ரெஸ்மேன் இணைப்பின் இணைப்பு வடிவம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. இவ்வாறு பின்வரும் பண்புகளுடன் (பொதுவாக கணிப்புகளின்) ஒரு திசையன் மூட்டை ஒத்தமைவு ஆகும்ஃ 2 =; என்பது V = IM இல் உள்ள அடையாளமாகும். இதற்கு நேர்மாறாக, இந்த இரண்டு பண்புகளையும் பூர்த்தி செய்யும் டி. இ. யின் திசையன் மூட்டை எண்டோமார்பிசம் என்றால், எச் = கெர் என்பது எஹ்ரெஸ்மேன் இணைப்பின் கிடைமட்ட துணைக்குழுவாகும். இறுதியாக, ஒவ்வொரு தொடுகோட்டு இடத்தின் நேரியல் வரைபடமாக இருப்பதால், E இல் ஒரு TE-மதிப்புள்ள 1-வடிவமாகவும் கருதப்படலாம். இது வரவிருக்கும் பிரிவுகளில் ஒரு பயனுள்ள முன்னோக்காக இருக்கும். கிடைமட்ட லிஃப்ட் வழியாக இணையான போக்குவரத்து ஒரு எஹ்ரெஸ்மேன் இணைப்பு அடிப்படை பன்மடங்கு M இலிருந்து வளைவுகளை ஃபைபர் மூட்டை E இன் மொத்த இடத்திற்குள் உயர்த்துவதற்கான ஒரு முறையையும் பரிந்துரைக்கிறது, இதனால் வளைவுக்கான தொடுகோடுகள் கிடைமட்டமாக இருக்கும். இந்த கிடைமட்ட லிஃப்ட்கள் இணைப்பு சம்பிரதாயத்தின் பிற பதிப்புகளுக்கான இணையான போக்குவரத்தின் நேரடி ஒப்புமை ஆகும். குறிப்பாக, x = γ (0) என்ற புள்ளியின் வழியாக M இல் γ (t) ஒரு மென்மையான வளைவு என்று வைத்துக்கொள்வோம். x க்கு மேல் உள்ள இழையில் e ω Ex ஒரு புள்ளியாக இருக்கட்டும். γ முதல் e வரையிலான லிப்ட் என்பது மொத்த இடைவெளி E இல் உள்ள ஒரு வளைவாகும், மேலும், வளைவின் ஒவ்வொரு தொடுகோடும் TE இன் கிடைமட்ட துணைக்குழுவில் இருந்தால் ஒரு லிப்ட் கிடைமட்டமாக இருக்கும்ஃ இது π க்கு பயன்படுத்தப்படும் தரவரிசை-பூஜ்யம் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி காட்டப்படலாம் மற்றும் ஒவ்வொரு திசையன் X ω TxM ஒரு திசையனுக்கு ஒரு தனித்துவமான கிடைமட்ட லிப்ட் உள்ளது. குறிப்பாக, γ க்கு தொடுகோட்டு புலம் புல்பேக் மூட்டை γ * E இன் மொத்த இடத்தில் ஒரு கிடைமட்ட திசையன் புலத்தை உருவாக்குகிறது. பிகார்ட்-லிண்டெலோஃப் தேற்றத்தின் படி, இந்த திசையன் புலம் ஒருங்கிணைக்கப்படுகிறது. எனவே, x = γ (0) க்கு மேல் உள்ள எந்த வளைவு γ மற்றும் புள்ளி e க்கும், சிறிய நேரத்திற்கு γ வழியாக e இன் தனித்துவமான கிடைமட்ட லிப்ட் உள்ளது. பொது எஹ்ரெஸ்மேன் இணைப்புகளுக்கு, கிடைமட்ட லிப்ட் பாதையை சார்ந்துள்ளது என்பதை நினைவில் கொள்க. M இல் உள்ள இரண்டு மென்மையான வளைவுகள், γ1 (0) = γ2 (0) = x0 இல் ஒத்துப்போய், மற்றொரு புள்ளி x1 ωM இல் வெட்டும்போது, அதே e ωπ−1 (x0) வழியாக E க்கு கிடைமட்டமாக உயர்த்தப்படும்போது, அவை பொதுவாக π−1 (x1) இன் வெவ்வேறு புள்ளிகளைக் கடந்து செல்லும். நார் மூட்டைகளின் வேறுபட்ட வடிவவியலுக்கு இது முக்கியமான விளைவுகளை ஏற்படுத்துகிறதுஃ H இன் பிரிவுகளின் இடைவெளி E இல் உள்ள திசையன் புலங்களின் இடத்தின் லை துணை இயற்கணிதம் அல்ல, ஏனெனில் இது (பொதுவாக) திசையன் புலங்களின் லை அடைப்புக்குறிக்கு கீழ் மூடப்படவில்லை. லை அடைப்புக்குறியின் கீழ் மூடலின் இந்த தோல்வி வளைவால் அளவிடப்படுகிறது. பண்புகள் வளைவு ஒரு எஹ்ரெஸ்மேன் இணைப்பாக இருக்கட்டும். பின்னர் வளைவு கொடுக்கப்படுகிறது, அங்கு [-,-] என்பது ஃப்ரோலிச்சர்-நிஜேன்ஹுயிஸ் அடைப்புக்குறியைக் குறிக்கிறது. எனவே R ω2 (E, TE) என்பது E இல் உள்ள இரண்டு வடிவமாகும், இது TE இல் உள்ள மதிப்புகளால் வரையறுக்கப்படுகிறது, அல்லது, வேறு சொற்களில், X = XH + XV என்பது முறையே H மற்றும் V கூறுகளாக நேரடி கூட்டுத்தொகை சிதைவைக் குறிக்கிறது. வளைவுக்கான இந்த கடைசி வெளிப்பாட்டிலிருந்து, கிடைமட்ட சப் பண்டில் ஃப்ரோபீனியஸ் ஒருங்கிணைந்ததாக இருந்தால் மட்டுமே அது ஒரே மாதிரியாக மறைந்துவிடும். எனவே வளைவு என்பது ஃபைபர் மூட்டை E → M இன் குறுக்கு பிரிவுகளை வழங்குவதற்கு கிடைமட்ட சப் பண்டிலுக்கான ஒருங்கிணைப்பு நிபந்தனையாகும். ஒரு எஹ்ரெஸ்மேன் இணைப்பின் வளைவு பியான்சி அடையாளத்தின் ஒரு பதிப்பை திருப்திப்படுத்துகிறதுஃ அங்கு மீண்டும் [-,-] என்பது ஃப்ரோலிசர்-நிஜேன்ஹுயிஸ் அடைப்புக்குறிக்கு ஆகும். ஒரு எஹ்ரெஸ்மேன் இணைப்பு வளைவுகள் உள்ளூரில் தனித்துவமான கிடைமட்ட லிஃப்ட்களைக் கொண்டிருக்க அனுமதிக்கிறது. ஒரு முழுமையான எஹ்ரெஸ்மேன் இணைப்புக்கு, ஒரு வளைவை அதன் முழு களத்திலும் கிடைமட்டமாக உயர்த்தலாம். இணைப்பின் முழுமையான தட்டையான தன்மை கிடைமட்ட இடைவெளிகளின் ஃப்ரோபீனியஸ் ஒருங்கிணைப்புக்கு உள்ளூரில் ஒத்திருக்கிறது. மறுபுறம், மறைந்து போகாத வளைவு என்பது இணைப்பின் முழுமையான இருப்பைக் குறிக்கிறது. சிறப்பு நிகழ்வுகள் முதன்மை மூட்டைகள் மற்றும் முதன்மை இணைப்புகள் E என்பது M க்கு மேல் ஒரு மென்மையான முதன்மை G-மூட்டை என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் E இல் ஒரு எஹ்ரெஸ்மேன் இணைப்பு H என்பது E இல் G செயலைப் பொறுத்தவரை மாறாததாக இருந்தால் அது ஒரு முதன்மை (எஹ்ரெஸ்மேன்) இணைப்பாகக் கூறப்படுகிறது, அதாவது எந்த e ω E மற்றும் g ω G க்கும்; இங்கே e இல் G இன் சரியான செயலின் வேறுபாட்டைக் குறிக்கிறது. G இன் ஒரு அளவுரு துணைக்குழுக்கள் E இல் செங்குத்தாக செயல்படுகின்றன. இந்த செயலின் வேறுபாடு குழு G இன் லை இயற்கணிதத்துடன் துணை இடத்தை அடையாளம் காண அனுமதிக்கிறது, வரைபடத்தால் சொல்லுங்கள். எஹ்ரெஸ்மேன் இணைப்பின் இணைப்பு வடிவம் பின்னர் ω (X) = ι (X) ஆல் வரையறுக்கப்பட்ட g இல் உள்ள மதிப்புகளுடன் E இல் 1-வடிவ ω ஆகக் கருதப்படலாம். இவ்வாறு மறுபரிசீலனை செய்யப்படுகிறது, இணைப்பு வடிவம் ω பின்வரும் இரண்டு பண்புகளை திருப்திப்படுத்துகிறதுஃ இது G செயலின் கீழ் சமமாக மாறுகிறதுஃ அனைத்து h ωG க்கும், Rh * என்பது சரியான செயலின் கீழ் புல்பேக் மற்றும் Ad என்பது அதன் லை இயற்கணிதத்தில் G இன் அருகிலுள்ள பிரதிநிதித்துவமாகும். இது லை இயற்கணிதத்தின் தொடர்புடைய கூறுகளுடன் செங்குத்து திசையன் புலங்களை வரைபடமாக்குகிறதுஃ ω (X) = ι (X) அனைத்து X ωV க்கும். மாறாக, ஒரு முதன்மை மூட்டையில் அத்தகைய ஜி-மதிப்புள்ள 1-வடிவம் மேற்கூறிய பண்புகளை திருப்திப்படுத்தும் கிடைமட்ட விநியோகத்தை உருவாக்குகிறது என்பதைக் காட்டலாம். ஒரு லோக்கல் ட்ரிவியலைசேஷன் கொடுக்கப்பட்டால், ஒருவர் ω ஐ கிடைமட்ட திசையன் புலங்களுக்கு குறைக்கலாம் (இந்த ட்ரிவியலைசேஷனில்). இது புல்பேக் வழியாக M இல் 1-வடிவ ω 'ஐ வரையறுக்கிறது. படிவம் ω முழுமையாக ω ஐ தீர்மானிக்கிறது, ஆனால் அது அற்பமான தேர்வைப் பொறுத்தது. (இந்த வடிவம் பெரும்பாலும் இணைப்பு வடிவம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் வெறுமனே ω ஆல் குறிக்கப்படுகிறது. திசையன் மூட்டைகள் மற்றும் கோவேரியன்ட் வழித்தோன்றல்கள் E என்பது M க்கு மேல் ஒரு மென்மையான திசையன் மூட்டை என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் E இல் ஒரு எஹ்ரெஸ்மேன் இணைப்பு H என்பது ஒரு நேரியல் (எஹ்ரெஸ்மேன்) இணைப்பு என்று கூறப்படுகிறது. E ஒரு திசையன் மூட்டை என்பதால், அதன் செங்குத்து மூட்டை V என்பது π * E க்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும். எனவே s என்பது E இன் ஒரு பிரிவாக இருந்தால், (ds): TM → s * V = s * π * E = E. இது ஒரு திசையன் மூட்டை உருவகம், எனவே இது திசையன் மூட்டை ஹோம் (டிஎம், இ) இன் ஒரு பகுதியால் வழங்கப்படுகிறது. எஹ்ரெஸ்மேன் இணைப்பு நேரியல் என்பது லீப்னிஸ் விதியின் ஒவ்வொரு செயல்பாட்டிற்கும் சரிபார்க்கிறது என்பதைக் குறிக்கிறது, அதாவது. இதற்கு நேர்மாறாக, ஒரு திசையன் மூட்டையில் உள்ள ஒரு கோவேரியன்ட் வழித்தோன்றல், ஒரு நேரியல் எஹ்ரெஸ்மேன் இணைப்பை வரையறுப்பதன் மூலம் வரையறுக்கிறது, அவர், x = π (e) உடன் e ω E க்கு, dsx (TxM) படமாக இருக்க வேண்டும், அங்கு s என்பது s (x) = e உடன் E இன் ஒரு பகுதியாகும் மற்றும் அனைத்து X ω TxM க்கும் ωXs = 0 ஆகும். (வரலாற்று காரணங்களுக்காக) இணைப்புகளுக்கு நேரியல் என்ற சொல் பயன்படுத்தப்படும்போது, சில நேரங்களில் பயன்படுத்தப்படுகிறது (அஃபைன் என்ற சொல் போல-அஃபைன் இணைப்பைப் பார்க்கவும்) தொடுகோடு மூட்டை அல்லது சட்டக மூட்டையில் வரையறுக்கப்பட்ட இணைப்புகளைக் குறிக்க. ஒரு ஃபைபர் மூட்டையில் ஒரு எஹ்ரெஸ்மேன் இணைப்பு (ஒரு கட்டமைப்பு குழுவுடன் வழங்கப்படுகிறது) சில நேரங்களில் தொடர்புடைய மூட்டையில் எஹ்ரெஸ்மேன் இணைப்பை உருவாக்குகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு திசையன் மூட்டை E இல் உள்ள ஒரு (நேரியல்) இணைப்பு, மேலே உள்ளபடி E இன் இணையான தன்மையைக் கொடுக்க நினைத்தால், E இன் PE பிரேம்களின் தொடர்புடைய மூட்டை மீது ஒரு இணைப்பைத் தூண்டுகிறது. மாறாக, PE இல் உள்ள ஒரு இணைப்பு E இல் ஒரு (நேரியல்) இணைப்பை உருவாக்குகிறது, PE இல் உள்ள இணைப்பு பிரேம்களில் உள்ள பொதுவான நேரியல் குழுவின் செயல்பாட்டைப் பொறுத்தவரை சமமாக இருக்கும் (இதனால் ஒரு முக்கிய இணைப்பு). ஒரு எஹ்ரெஸ்மேன் இணைப்பு ஒரு இயற்கையான வழியில், தொடர்புடைய மூட்டையில் ஒரு இணைப்பைத் தூண்டுவது எப்போதும் சாத்தியமில்லை. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு திசையன் மூட்டையின் பிரேம்களின் மூட்டையில் ஒரு சமச்சீரற்ற எஹ்ரெஸ்மேன் இணைப்பு திசையன் மூட்டையில் ஒரு இணைப்பைத் தூண்டாமல் போகலாம். E என்பது P இன் தொடர்புடைய மூட்டை என்று வைத்துக்கொள்வோம், இதனால் E = P × GF. E இல் உள்ள ஒரு G-இணைப்பு ஒரு எஹ்ரெஸ்மேன் இணைப்பாகும், அதாவது இணையான போக்குவரத்து வரைபடம் τ: Fx → Fx′ இழைகளின் G-மாற்றத்தால் வழங்கப்படுகிறது (M இல் உள்ள x மற்றும் x′ புள்ளிகளுக்கு அருகில் ஒரு வளைவால் இணைக்கப்பட்டுள்ளது). P இல் ஒரு முதன்மை இணைப்பைக் கொடுத்தால், புல்பேக் வழியாக தொடர்புடைய ஃபைபர் மூட்டை E = P × GF இல் ஒரு G-இணைப்பைப் பெறுகிறார். இதற்கு நேர்மாறாக, E இல் ஒரு G-இணைப்பு கொடுக்கப்பட்டால், தொடர்புடைய முதன்மை மூட்டை P இல் உள்ள முதன்மை இணைப்பை மீட்டெடுக்க முடியும். இந்த முதன்மை இணைப்பை மீட்டெடுக்க, வழக்கமான ஃபைபர் F இல் ஒரு சட்டகத்தின் கருத்தை ஒருவர் அறிமுகப்படுத்துகிறார். G என்பது F இல் திறம்பட செயல்படும் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண லை குழு என்பதால், F க்குள் புள்ளிகளின் (y1,., ym) வரையறுக்கப்பட்ட உள்ளமைவு இருக்க வேண்டும், அதாவது G-சுற்றுப்பாதை R = {(gy1,, உடற்பயிற்சி கூடம்) | g ω G} என்பது G இன் முதன்மை ஒரே மாதிரியான இடமாகும். F இல் G-செயலுக்கான ஒரு சட்டகத்தின் கருத்தை ஒரு பொதுமைப்படுத்தலை வழங்குவதாக R ஐ ஒருவர் நினைக்கலாம். E இல் கிடைமட்ட இடைவெளிகளின் விநியோகம் இந்த தயாரிப்பு மூட்டையில் இடைவெளிகளின் விநியோகத்தைத் தூண்டுகிறது. இணைப்புடன் தொடர்புடைய இணையான போக்குவரத்து வரைபடங்கள் ஜி-வரைபடங்கள் என்பதால், அவை துணைவெளி ஈ (ஆர்) ஐப் பாதுகாக்கின்றன, எனவே ஜி-இணைப்பு ஈ (ஆர்) இல் ஒரு முக்கிய ஜி-இணைப்புக்கு இறங்குகிறது. சுருக்கமாக, தொடர்புடைய ஃபைபர் மூட்டைகளுடன் முதன்மை இணைப்புகளின் வம்சாவளிகளுக்கும், தொடர்புடைய ஃபைபர் மூட்டைகளில் ஜி-இணைப்புகளுக்கும் இடையே ஒருவருக்கொருவர் தொடர்பு (சமநிலை வரை) உள்ளது. இந்த காரணத்திற்காக, ஒரு கட்டமைப்பு குழு ஜி கொண்ட ஃபைபர் மூட்டைகளின் பிரிவில், முதன்மை இணைப்பு தொடர்புடைய மூட்டைகளில் ஜி-இணைப்புகளுக்கான அனைத்து தொடர்புடைய தகவல்களையும் கொண்டுள்ளது. எனவே, தொடர்புடைய மூட்டைகளில் இணைப்புகளைக் கருத்தில் கொள்ள ஒரு முக்கிய காரணம் இல்லாவிட்டால் (எடுத்துக்காட்டாக, கார்டன் இணைப்புகளின் விஷயத்தில் உள்ளது போல) ஒருவர் வழக்கமாக முதன்மை இணைப்புடன் நேரடியாக வேலை செய்கிறார். குறிப்புகள் மேலும் வாசிப்பு ரௌல் பாட் (1970) "ஒருங்கிணைப்புக்கான இடவியல் தடை", புரோக். சிம்ப். தூய கணிதம்., 16 'ஆமேர். கணிதம். சொ., பிராவிடன்ஸ், ஆர். ஐ. இணைப்பு (கணிதம்)