Busemann function
வடிவியல் இடவியலில், ஹடாமார்ட் இடைவெளிகள் மற்றும் குறிப்பாக ஹடாமார்ட் பன்மடங்கு ஆகியவற்றில் புவியியலின் பெரிய அளவிலான வடிவவியலைப் படிக்க புசெமான் செயல்பாடுகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன (வெறுமனே நேர்மறை அல்லாத வளைவின் முழுமையான ரீமானியன் பன்மடங்கு இணைக்கப்பட்டுள்ளன). அவற்றை அறிமுகப்படுத்திய ஹெர்பர்ட் புஸ்மேனின் பெயரால் அவை பெயரிடப்பட்டுள்ளன; அவர் தனது 1955 புத்தகமான "புவியியலின் வடிவியல்" என்ற புத்தகத்தில் இந்த தலைப்பைப் பற்றி விரிவான விளக்கத்தை வழங்கினார். வரையறை மற்றும் அடிப்படை பண்புகள் ஒரு மெட்ரிக் இடமாக இருக்கட்டும். புவியியல் கதிர் என்பது அதன் நீளத்தில் எல்லா இடங்களிலும் தூரத்தைக் குறைக்கும் ஒரு பாதையாகும். அதாவது, அனைவருக்கும், சமமாக, ஒரு கதிர் என்பது "நியதி கதிர்" (யூக்ளிடியன் மெட்ரிக் பொருத்தப்பட்ட தொகுப்பு) இலிருந்து மெட்ரிக் ஸ்பேஸ் X க்குள் ஒரு ஐசோமெட்ரி ஆகும். எனவே, t மிகப் பெரியதாக இருக்கும்போது, தூரம் தோராயமாக சமமாக இருக்கும். ஒரு கதிர் γ கொடுக்கப்பட்டால், அதன் புஸ்மேன் செயல்பாடு எப்போதும் நன்கு வரையறுக்கப்படுகிறதுஃ உண்மையில் மேலே உள்ள வலது புறம், காம்பாக்டாவில் இடது புறத்திற்கு புள்ளி திசையில் செல்கிறது, ஏனெனில் மேலே வரம்புக்குட்பட்டது மற்றும் அதிகரிக்கவில்லை, ஏனெனில், இது முக்கோண சமத்துவமின்மையிலிருந்து உடனடியாக இருந்தால், அது ஒரே சீராக தொடர்ச்சியானது. மேலும் குறிப்பாக, மேலே உள்ள மதிப்பீடு புஸ்மேன் செயல்பாடுகள் மாறிலி 1 உடன் லிப்ஸ்கிட்ஸ் செயல்பாடுகள் என்பதைக் காட்டுகிறது. டினியின் தேற்றத்தின் படி, செயல்பாடுகள் சுருக்கமான தொகுப்புகளில் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும், ஏனெனில் t முடிவிலிக்கு முனைகிறது. எடுத்துக்காட்டுஃ பாயின்கேர் வட்டு பாயின்கேர் மெட்ரிக் கொண்ட சிக்கலான தளத்தில் அலகு வட்டு இருக்கட்டும் பின்னர், மற்றும், புஸ்மேன் செயல்பாடு வலது புறத்தில் உள்ள அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள சொல் அலகு வட்டுக்கான பாய்சான் கர்னல் மற்றும் ரேடியல் ஜியோடெசிக் உடன் ஒத்திருக்கும் இடத்தில் வழங்கப்படுகிறது. மோபியஸ் உருமாற்றங்களின் கீழ் மெட்ரிக் மாறாதது என்பதால் கணக்கீட்டைக் குறைக்கலாம்; புவியியல் மூலம் 1-அளவுரு துணைக்குழு இருக்கும் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது, மேலே உள்ள சூத்திரம் மோபியஸ் மாறுபாட்டால் புஸ்மேன் செயல்பாட்டை முழுமையாக தீர்மானிக்கிறது. ஒரு ஹடாமார்ட் இடத்தில், எந்த இரண்டு புள்ளிகளும் ஒரு தனித்துவமான புவியியல் பிரிவால் இணைக்கப்படும் இடத்தில், செயல்பாடு குவிந்தது, அதாவது. புவியியல் பிரிவுகளில் குவிந்தது. வெளிப்படையாக இதன் பொருள் என்னவென்றால், விகிதத்தில் வகுக்கும் புள்ளி என்றால், பின்னர். நிலையான செயல்பாடு குவிந்தது, எனவே அதன் மொழிபெயர்ப்புகளும் அவ்வாறே உள்ளன; குறிப்பாக, ஒரு ஜியோடெசிக் கதிர் இருந்தால், அது குவிந்ததாகும். புஸ்மேன் செயல்பாடு புள்ளி வாரியான வரம்பாக இருப்பதால், புஸ்மேன் செயல்பாடுகள் ஹடாமார்ட் இடைவெளிகளில் குவிந்திருக்கும். ஒரு ஹடாமார்ட் இடத்தில், செயல்பாடுகள் எந்த வரம்புக்குட்பட்ட துணைக்குழுவிலும் ஒரே மாதிரியாக ஒன்றிணைகின்றன. விடுங்கள். ஆர்க்லெங்த் மூலம் அளவுருவாக இருப்பதால், ஹடாமார்ட் இடைவெளிகளுக்கான அலெக்ஸாண்ட்ரோவின் முதல் ஒப்பீட்டு தேற்றம் செயல்பாடு குவிந்ததாக இருப்பதைக் குறிக்கிறது. எனவே, t ஐ ν ஆக விடுவதால், அது பின்வருமாறு, எனவே ஒருங்கிணைப்பு எல்லைக்குட்பட்ட செட்களில் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும். மேலே உள்ள சமத்துவமின்மை (அதன் ஆதாரத்துடன்) ஜியோடெசிக் பிரிவுகளுக்கும் பொருந்தும் என்பதை நினைவில் கொள்கஃ ஒரு ஜியோடெசிக் பிரிவு ஆர்க்லெங்த் மூலம் தொடங்கி அளவுருவாக இருந்தால், அடுத்தது ஒரு ஹடாமார்ட் இடத்தில் உள்ள புள்ளிகள் என்று வைத்துக்கொள்வோம், மேலும் ஜியோடெசிக் மூலம் மற்றும் எங்கே இருக்கட்டும். இந்த புவியியல் மூடிய பந்தின் எல்லையை புள்ளியில் வெட்டுகிறது. எனவே, அத்தகைய ஒரு புள்ளி உள்ளது என்றால். இந்த நிபந்தனை புஸ்மேன் செயல்பாடுகளுக்கு தொடர்கிறது. புசெமன் செயல்பாடுகளுக்கான பண்பு மற்றும் ஆதாரம் ஒரு ஹடாமார்ட் இடத்தின் மூடிய குவிந்த துணைக்குழுக்களில் ஒரு அடிப்படை தேற்றத்தை நம்பியுள்ளது, இது ஒரு ஹில்பர்ட் இடத்தில் ஆர்த்தோகனல் திட்டத்தைப் பொதுமைப்படுத்துகிறதுஃ ஒரு ஹடாமார்ட் இடத்தில் ஒரு மூடிய குவிந்த அமைப்பாக இருந்தால், பின்னர் ஒவ்வொரு புள்ளியும் ஒரு தனித்துவமான நெருக்கமான புள்ளியைக் கொண்டுள்ளது மற்றும்; மேலும், உள்ளதற்கு, யூக்ளிடியன் ஒப்பீட்டு முக்கோணத்தில் உள்ள கோணம் அதிகமாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்கும் பண்பால் தனித்துவமாக தீர்மானிக்கப்படுகிறது. ஒரு ஹடாமார்ட் இடத்தில் ஒரு புஸ்மேன் செயல்பாடு இருந்தால், பின்னர், கொடுக்கப்பட்ட மற்றும், அத்தகைய ஒரு தனித்துவமான புள்ளி உள்ளது. நிலையான புள்ளியைப் பொறுத்தவரை, அந்த புள்ளி மூடிய குவிந்த புள்ளிகளின் தொகுப்புக்கு மிக நெருக்கமான புள்ளியாகும், எனவே அது தொடர்ந்து சார்ந்துள்ளது. உள்ளே நெருங்கிய புள்ளியாக இருக்கட்டும். தனித்துவமான புள்ளி எங்கே குறைக்கப்படுகிறது என்பதன் மூலம் பின்னர் குறைக்கப்படுகிறது. லிப்ஸ்கிட்ஸ் நிபந்தனையால். இந்தக் கூற்றை நிரூபிக்க, அதை நிரூபிக்க போதுமானது, அதாவது. . மறுபுறம், எந்தவொரு மூடிய பந்து செயல்பாடுகளிலும் சீரான வரம்பு உள்ளது. ஆன், இவை புள்ளிகளால் குறைக்கப்படுகின்றன. எனவே இன்ஃபைமம் ஆஃப் ஆன் மற்றும் முனைகிறது. இவ்வாறு மற்றும் நோக்கி சாய்வது. உடன் மிக நெருக்கமான புள்ளியாக இருக்கட்டும். விடுங்கள். பின்னர், மற்றும், லிப்ஸ்கிட்ஸ் நிபந்தனையின் படி,. குறிப்பாக முனைப்பாக உள்ளது. தேவைப்பட்டால் ஒரு தொடர்ச்சிக்குச் செல்வது மற்றும் இரண்டும் அதிகரித்து வருகின்றன (க்கு) என்று கருதலாம். குவிந்த உகப்பாக்கலுக்கான சமத்துவமின்மை அதை குறிக்கிறது. எனவே அது ஒரு காச்சி வரிசை. அதன் வரம்பு என்றால், பின்னர் மற்றும். தனித்துவத்தால் அது அதைப் பின்பற்றுகிறது, எனவே, தேவைக்கேற்ப. சீரான வரம்புகள். மேலே உள்ள வாதம் பொதுவாக நிரூபிக்கிறது என்னவென்றால், முடிவிலிக்கு முனைகிறது மற்றும் செயல்பாடுகள் வரம்புக்குட்பட்ட செட்களில் ஒரே மாதிரியாக முனைகின்றன என்றால், பின்னர் குவிந்த, லிப்ஸிட்ச்ஸ் மாறிலி 1 உடன் லிப்ஸிட்ச்ஸ் மற்றும், கொடுக்கப்பட்டுள்ளது மற்றும், அத்தகைய ஒரு தனித்துவமான புள்ளி உள்ளது. மறுபுறம் வரிசை வரம்புக்குட்பட்டதாக இருந்தால், சொற்கள் அனைத்தும் சில மூடிய பந்தில் உள்ளன, அங்கு சீரான ஒருங்கிணைப்பு என்பது ஒரு காச்சி வரிசை என்பதைக் குறிக்கிறது, எனவே சிலவற்றுடன் இணைகிறது. எனவே ஒரே வடிவத்தின் செயல்பாட்டிற்கு ஒரே மாதிரியாக முனைகிறது. அதே வாதம், அதே மூன்று நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்யும் செயல்பாடுகளின் வகை (குவிந்த, லிப்ஸ்கிட்ஸ் மற்றும் மூடிய பந்துகளில் மினிமாவைக் கொண்டிருப்பது) எல்லைக்குட்பட்ட செட்களில் சீரான வரம்புகளை எடுத்துக்கொள்வதன் கீழ் மூடப்பட்டுள்ளது என்பதையும் காட்டுகிறது. கருத்து தெரிவிக்கவும். ஒரு ஹடாமார்ட் இடத்தின் ஹடாமார்ட் துணைக்குழுவின் எந்த மூடிய குவிந்த துணைக்குழுவும் ஒரு ஹடாமார்ட் இடமாக இருப்பதால், ஒரு ஹடாமார்ட் இடத்தில் உள்ள எந்த மூடிய பந்தும் ஒரு ஹடாமார்ட் இடமாகும் என்பதை நினைவில் கொள்க. குறிப்பாக, ஒவ்வொரு புவியியல் பிரிவும் முழு அல்லது அரை-எல்லையற்ற இடைவெளியில் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு புவியியலில் இருப்பது அவசியமில்லை. ஹில்பர்ட் இடத்தின் மூடிய அலகு பந்து ஒரு தெளிவான உதாரணத்தை அளிக்கிறது, இது சரியான மெட்ரிக் இடம் அல்ல. ஒரு குவிந்த செயல்பாடு என்றால், மாறிலி 1 உடன் லிப்ஸிட்ச் மற்றும் எல்லையில் ஒரு தனித்துவமான புள்ளியில் ஆரம் மையமாகக் கொண்ட எந்தவொரு மூடிய பந்திலும் அதன் குறைந்தபட்சத்தை கருதுகிறது, பின்னர் ஒவ்வொன்றிற்கும் ஒரு தனித்துவமான ஜியோடெசிக் கதிர் உள்ளது, மேலும் ஒவ்வொரு மூடிய குவிந்த செட்டையும் வெட்டுகிறது. குறிப்பாக இது ஒவ்வொரு புஸ்மேன் செயல்பாட்டிற்கும் பொருந்தும். மூன்றாவது நிபந்தனை மூடிய குவிந்த புள்ளிகளின் தொகுப்பில் மிக நெருக்கமான புள்ளியைக் குறிக்கிறது. ஜியோடெசிக் இணைப்பாக இருக்கட்டும். பின்னர் ஒரு குவிந்த லிப்ஸ்கிட்ஸ் செயல்பாடு லிப்ஸ்கிட்ஸ் மாறிலி 1 உடன் திருப்திகரமாக மற்றும் மற்றும் உள்ளது. எனவே எல்லா இடங்களிலும் மறைந்துவிடும், ஏனெனில் என்றால் மற்றும். எனவே. தனித்துவத்தால் அது பின்தொடர்கிறது, இது மிக நெருக்கமான புள்ளியாகும், மேலும் இது தனித்துவமான புள்ளியைக் குறைக்கிறது. தனித்துவம் என்பது இந்த புவியியல் பிரிவுகள் தன்னிச்சையாக ஒத்துப்போகின்றன என்பதைக் குறிக்கிறது, எனவே இது கூறப்பட்ட பண்புடன் ஒரு புவியியல் கதிர் வரை நீண்டுள்ளது. அப்படியானால், தொடங்கும் ஜியோடெசிக் கதிர் திருப்தி அளிக்கிறது. அதிலிருந்து தொடங்கும் மற்றொரு கதிர் இருந்தால். முதல் கூற்றை நிரூபிக்க, இது போதுமான அளவு பெரியதா என்பதை சரிபார்க்க போதுமானது. அவ்வாறான நிலையில், மூடிய குவிந்த தொகுப்பின் மற்றும் அதன் மீதான கணிப்புகள் ஆகும். எனவே, எனவே. இரண்டாவது கூற்று தொடர்கிறது, ஏனெனில் அது குவிந்த மற்றும் வரம்புக்குட்பட்டது, எனவே, அது மறைந்துவிட்டால், எல்லா இடங்களிலும் மறைந்துவிட வேண்டும். இது ஒரு தொடர்ச்சியான குவிந்த செயல்பாடு என்று வைத்துக்கொள்வோம், மேலும் ஒவ்வொன்றிற்கும் ஒரு தனித்துவமான ஜியோடெசிக் கதிர் உள்ளது, அது ஒவ்வொரு மூடிய குவிந்த செட்டையும் வெட்டுகிறது, இதனால்; பின்னர் ஒரு புஸ்மேன் செயல்பாடு. இது ஒரு நிலையான செயல்பாடு. மூடிய குவிந்த புள்ளிகளின் தொகுப்பாக இருக்கட்டும். ஒவ்வொரு புள்ளிக்கும் ஒரு ஹடாமார்ட் இடைவெளி இருப்பதால், அதற்கு ஒரு தனித்துவமான நெருக்கமான புள்ளி உள்ளது. இது தொடர்ந்து சார்ந்துள்ளது மற்றும் வெளியே இருந்தால், பின்னர் ஹைப்பர்சர்ஃபேஸ்-இன் எல்லை மீது உள்ளது மற்றும் குவிந்த உகப்பாக்கத்தின் சமத்துவமின்மையை திருப்திப்படுத்துகிறது. ஜியோடெசிக் கதிர் தொடங்கி இருக்கட்டும். சரிசெய்யவும். ஜியோடெசிக் கதிர் தொடங்கி இருக்கட்டும். புஸ்மேன் அடிப்படை புள்ளியுடன் செயல்படட்டும். குறிப்பாக. அதைக் காட்ட இது போதுமானது. இப்போது அதனுடன் எடுத்துக் கொள்ளுங்கள், அதனுடன் தொடர்புடைய ஜியோடெசிக் கதிர் தொடங்கும். மறுபுறம், ஏதேனும் நான்கு புள்ளிகளுக்கு,, ஒரு ஹடாமார்ட் இடத்தில், ரெஷெட்ன்யக்கின் பின்வரும் நாற்கர சமத்துவமின்மை பின்வருமாறு கருதுகிறதுஃ அமைத்தல்,,, அது பின்வருமாறு எனவே. அதேபோல். எனவே உள்ளடக்கிய மட்ட மேற்பரப்பில். இப்போது மற்றும் உள்ளே, ஜியோடெசிக் கதிர் தொடங்கட்டும். பின்னர் மற்றும். மேலும், வரம்புகளால்,. இந்த முடிவை அனைத்து நிலை மேற்பரப்புகளுக்கும் கொண்டு செல்ல ஓட்டத்தைப் பயன்படுத்தலாம். பொதுவாக, என்றால், அதை எடுத்து அமைக்கவும். பிறகு, எங்கே. ஆனால் பின்னர், அதனால். எனவே, தேவைக்கேற்ப. இதேபோல், அவ்வாறு எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். விடுங்கள். பிறகு, அப்படித்தான். எனவே, தேவைக்கேற்ப. இறுதியாக, ஒரே புசெமன் செயல்பாட்டை மாறிலி வரை வரையறுக்க இரண்டு புவியியியலுக்கு தேவையான மற்றும் போதுமான நிபந்தனைகள் உள்ளனஃ ஒரு ஹடாமார்ட் இடத்தில், இரண்டு புவியியல் கதிர்களின் புசெமன் செயல்பாடுகள் மற்றும் ஒரு மாறிலி இருந்தால் மட்டுமே வேறுபடுகின்றன. முதலில் புஸ்மேன் செயல்பாடுகளைக் கொண்ட இரண்டு புவியியல் கதிர்கள் ஒரு மாறிலியால் வேறுபடுகின்றன என்று வைத்துக்கொள்வோம். புவியியல் கோட்பாட்டில் ஒன்றின் வாதத்தை ஒரு மாறிலி மூலம் மாற்றினால், சொல்லுங்கள் என்று கருதலாம். மூடிய குவிந்த அமைப்பாக இருக்கட்டும். பின்னர் மற்றும் இதேபோல். பின்னர், புள்ளிகள் மற்றும் மிக நெருக்கமான புள்ளிகளைக் கொண்டிருங்கள், எனவே. எனவே. இப்போது என்று வைத்துக்கொள்வோம். அதனுடன் தொடர்புடைய ஜியோடெசிக் கதிர் தொடங்கும். பிறகு. எனவே. இரண்டும் தொடங்குவதால், அது அதைப் பின்பற்றுகிறது. முந்தைய முடிவால் மற்றும் ஒரு மாறிலியால் வேறுபடுகிறது; எனவே மற்றும் ஒரு மாறிலியால் வேறுபடுகிறது. சுருக்கமாக, மேற்கண்ட முடிவுகள் ஒரு ஹடாமார்ட் இடத்தில் புஸ்மேன் செயல்பாடுகளின் பின்வரும் தன்மையைக் கொடுக்கின்றனஃ தியோரேம். ஒரு ஹடாமார்ட் இடத்தில், ஒரு சார்பின் கீழ் பின்வரும் நிபந்தனைகள் சமமானவைஃ இது ஒரு புஸ்மேன் சார்பாகும். ஒரு குவிந்த செயல்பாடு, மாறிலியுடன் லிப்ஸிட்ச் மற்றும் எல்லையில் ஒரு தனித்துவமான புள்ளியில் ஆரம் மையமாகக் கொண்ட எந்த மூடிய பந்திலும் அதன் குறைந்தபட்சத்தை கருதுகிறது. இது ஒரு தொடர்ச்சியான குவிந்த செயல்பாடாகும், மேலும் ஒவ்வொன்றிற்கும் ஒரு தனித்துவமான ஜியோடெசிக் கதிர் உள்ளது, மேலும், எதற்கும், கதிர் ஒவ்வொரு மூடிய குவிந்த செட்டையும் வெட்டுகிறது. ஒரு ஹடாமார்ட் இடத்தின் எல்லைப்படுத்தல் முந்தைய பிரிவில், ஒரு ஹடாமார்ட் இடமாக இருந்தால், அது ஒரு நிலையான புள்ளியாக இருந்தால், புஸ்மேன் செயல்பாடுகளின் இடத்தின் ஒன்றிணைப்பு மறைந்துவிடும் மற்றும் வரம்புக்குட்பட்ட செட்களில் சீரான வரம்புகளை எடுத்துக்கொள்வதன் கீழ் செயல்பாடுகளின் இடம் மூடப்படும் என்று காட்டப்பட்டது. இந்த முடிவை எல்லை நிர்ணயம் என்ற கருத்தாக்கத்தில் முறைப்படுத்தலாம். இந்த இடவியலில், புள்ளிகள் ஒரு புவியியல் கதிருக்கு முனைகின்றன, மேலும் ஒவ்வொரு பிரிவின் மீதும் புள்ளியை எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம் பெறப்பட்ட வரிசையை தன்னிச்சையாக பெரியதாக இருந்தால் மட்டுமே தொடங்கும். ஒரு மெட்ரிக் இடைவெளி என்றால், குரோமோவின் எல்லையை பின்வருமாறு வரையறுக்கலாம். ஒரு புள்ளியை சரிசெய்து விடுங்கள். லிப்ஸ்கிட்ஸ் தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளின் இடமாக இருக்கட்டும், அதாவது. அவற்றுக்கு சில நிலையானவை. எல்லைக்குட்பட்ட செட்களில் சீரான ஒருங்கிணைப்பின் இடவியல், செமினார்ம்களால் இடத்தை இடப்பெயர்ச்சி செய்யலாம். செமினார்ம்கள் லிப்ஸ்கிட்ஸ் நிபந்தனைகளால் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளன. இது தொடர்ச்சியான வரம்புக்குட்பட்ட செயல்பாடுகளின் பானாச் இடைவெளிகளின் நேரடி பெருக்கலுக்குள் இயற்கையான வரைபடத்தால் தூண்டப்பட்ட இடவியல் ஆகும். இது மெட்ரிக் மூலம் வழங்கப்படுகிறது. செயல்பாட்டிற்கு அனுப்புவதன் மூலம் இடம் உட்பொதிக்கப்பட்டுள்ளது. உள்ளே மூடுவதாக இருக்கட்டும். பின்னர் அளவிடக்கூடியது, ஏனெனில், மற்றும் ஒரு திறந்த துணைக்குழுவாக உள்ளது; மேலும் அடிப்படை புள்ளியின் வெவ்வேறு தேர்வுகளிலிருந்து எழும் போர்டிபிகேஷன்கள் இயற்கையாகவே ஹோமியோமார்பிக் ஆகும். விடுங்கள். பிறகு படுத்துக் கொள்கிறார். இது பூஜ்ஜியமற்றது மற்றும் இல் மட்டுமே மறைந்துவிடும். எனவே இது பூஜ்ஜிய தொகுப்புடன் தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டிற்கு விரிவடைகிறது. அதைத் தொடர்ந்து தேவைக்கேற்ப மூடப்படுகிறது. அடிப்படை புள்ளியில் இருந்து சுயாதீனமாக இருப்பதை சரிபார்க்க, அது ஒரு தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டிற்கு விரிவடைகிறது என்பதைக் காட்ட போதுமானது. ஆனால், எனவே, உள்ளே,. எனவே மற்றும் சுருக்கங்களுக்கு இடையிலான தொடர்பு அனுப்புவதன் மூலம் வழங்கப்படுகிறது. ஒரு ஹடாமார்ட் இடைவெளி எப்போது, க்ரோமோவின் சிறந்த எல்லையை புஸ்மேன் செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி புவியியல் கதிர்களின் "அறிகுறியற்ற வரம்புகள்" என்று வெளிப்படையாக உணர முடியும். உள்ளே செல்வது ஒரு வரம்பற்ற வரிசையாக இருந்தால், பின்னர் மறைந்துவிடும், குவிந்திருக்கும், லிப்ஸிட்ச் நிலையான லிப்ஸிட்ச் மற்றும் எந்த மூடிய பந்திலும் குறைந்தபட்சம் இருக்கும். எனவே ஒரு தனித்துவமான ஜியோடெசிக் கதிருடன் தொடர்புடைய புஸ்மேன் செயல்பாடு தொடங்குகிறது. மறுபுறம், வரம்புக்குட்பட்ட செட்களில் ஒரே மாதிரியாக இருக்க முனைகிறது, மேலும் ஒவ்வொரு பிரிவின் மீதும் புள்ளியை எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம் பெறப்பட்ட வரிசையை தன்னிச்சையாக பெரியதாக இருந்தால் மட்டுமே. ஏனென்றால், விஷயமாக இருக்கட்டும். முதலில் அது ஒரே மாதிரியாக இயங்குகிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம். பிறகு,. இது ஒரு குவிந்த செயல்பாடு. இது குறைந்து கொண்டே வருகிறது, எனவே அதிகரித்து வருகிறது. எனவே இது அதிகபட்சமாக அதிகரிக்கப்படுகிறது. எனவே ஒவ்வொன்றிற்கும், 0 ஐ நோக்கி செல்கிறது. விடுங்கள், மற்றும். பின்னர் பெரியது அருகில் உள்ளது. எனவே யூக்ளிடிய ஒப்பீட்டு முக்கோணம் பெரிய முக்கோணத்துடன் நெருக்கமாக உள்ளது. எனவே கோணம் சிறியது. எனவே அதே தூரத்தில் உள்ள புள்ளி அருகில் உள்ளது. எனவே, புவியியல் முக்கோணங்களுக்கான முதல் ஒப்பீட்டு தேற்றத்தின் படி, சிறியது. இதற்கு நேர்மாறாக நிலையான மற்றும் போதுமான அளவு பெரியது 0 ஆக இருக்கும் என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் மேலே உள்ளவற்றிலிருந்து திருப்தி அடைகிறது, எனவே எந்தவொரு வரம்புக்குட்பட்ட தொகுப்பிலும் போதுமான அளவு பெரியதற்கு ஒரே மாதிரியாக நெருக்கமாக இருப்பதைக் காட்டுகிறது. ஒரு நிலையான பந்துக்கு, அதை சரிசெய்யவும். இந்த கூற்று பின்னர் ஒரு ஹடாமார்ட் இடத்தில் புவியியல் பிரிவுகளுக்கான சமத்துவமின்மையின் உடனடி விளைவாகும், ஏனெனில் எனவே, அது போதுமான அளவு பெரியதாக இருந்தால், புஸ்மேன் ஒரு ஹடாமார்ட் பன்மடங்கு மீது செயல்படுகிறார் என்று வைத்துக்கொள்வோம், அவை ஒரு ஹடாமார்ட் பன்மடங்கு புள்ளிகள் மற்றும் அதனுடன் புவியியல் ரீதியாக இருக்கட்டும். இந்த புவியியல் மூடிய பந்தின் எல்லையை இரண்டு புள்ளிகளில் வெட்டுகிறது. எனவே, அத்தகைய புள்ளிகள் இருந்தால். தொடர்ச்சியின் மூலம் புஸ்மேன் செயல்பாடுகளுக்கு இந்த நிபந்தனை தொடர்கிறதுஃ ஒரு ஹடாமார்ட் பன்மடங்கு மீது ஒரு புஸ்மேன் செயல்பாடு இருந்தால், பின்னர், மற்றும், தனித்துவமான புள்ளிகள் உள்ளன, அத்தகைய மற்றும். நிலையான, புள்ளிகள் மற்றும் தொடர்ந்து சார்ந்துள்ளது. மற்றும் நோக்கிச் செல்லும் ஒரு வரிசையை எடுத்துக் கொண்டால், புள்ளிகள் உள்ளன, மேலும் அவை போதுமான அளவிற்கு இந்த நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்கின்றன. தேவைப்பட்டால் ஒரு பின்தொடர்தலுக்குச் செல்வது, அதை அனுமானிக்கலாம் மற்றும் செய்ய முனைகிறது. தொடர்ச்சியின் மூலம் இந்த புள்ளிகள் நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்கின்றன. தனித்துவத்தை நிரூபிக்க, சுருக்கத்தால் அதன் அதிகபட்சம் மற்றும் குறைந்தபட்சம் என்று கருதுகிறது என்பதை நினைவில் கொள்க. லிப்ஸ்கிட்ஸ் நிபந்தனை அதன் மதிப்புகள் அதிகபட்சமாக வேறுபடுகின்றன என்பதைக் காட்டுகிறது. எனவே குறைக்கப்பட்டு அதிகபட்சமாக அதிகரிக்கப்படுகிறது. மறுபுறம், மற்றும் மற்றும் புள்ளிகள் மற்றும் இந்த தூரத்தை அதிகரிப்பதில் தனித்துவமான புள்ளிகள். லிப்ஸ்கிட்ஸ் நிபந்தனை உடனடியாக குறிக்கிறது மற்றும் அதிகபட்சம் மற்றும் குறைப்பதில் தனித்துவமான புள்ளிகளாக இருக்க வேண்டும். இப்போது அது முனைகிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் தொடர்புடைய புள்ளிகள் மற்றும் ஒரு மூடிய பந்தில் கிடக்கின்றன, எனவே ஒருங்கிணைந்த தொடர்ச்சிகளை ஒப்புக்கொள்ளுங்கள். ஆனால் தனித்துவம் மற்றும் அத்தகைய எந்தவொரு பின்தொடர்தல்களும் முனைப்பாக இருக்க வேண்டும், எனவே அது முனைப்பாக இருக்க வேண்டும் மற்றும், தொடர்ச்சியை நிறுவ வேண்டும். மேற்கண்ட முடிவு பொதுவாக ஒரு ஹடாமார்ட் இடத்தில் உள்ளது. ஒரு ஹடாமார்ட் பன்மடங்கு மீது ஒரு புஸ்மேன் செயல்பாடு இருந்தால், அது அனைத்திற்கும் தொடர்ந்து வேறுபடுத்தக்கூடியது. முந்தைய பண்புகளிலிருந்து, ஒவ்வொன்றிற்கும் ஒரு தனித்துவமான ஜியோடெசிக் γ (t) உள்ளது, இது ஆர்க்லெங்த் மூலம் அளவுருவாக உள்ளது. இது வெட்டப்படும் பண்பைக் கொண்டுள்ளதுஃ முந்தைய குறியீட்டில் மற்றும். அலகு திசையனால் வரையறுக்கப்பட்ட திசையன் புலம் தொடர்ச்சியானது, ஏனெனில் இது ஒரு தொடர்ச்சியான செயல்பாடு மற்றும் கார்டன்-ஹடாமார்ட் தேற்றத்தால் அனுப்பப்படும் வரைபடம் ஒரு டிப்ஃபியோமார்பிசம் ஆகும். ஆர்க்லெங்த் மூலம் மற்றொரு ஜியோடெசிக் அளவுருவாக இருக்கட்டும். பிறகு. உண்மையில், அப்படி இருக்கட்டும். பின்னர் இதைப் பயன்படுத்துவது மற்றும், இது பின்வருமாறு வெளிப்புற சொற்கள் 0 ஆக முனைகின்றன, எனவே நடுத்தர காலத்திற்கு உரிமை கோரப்பட்ட அதே வரம்பு உள்ளது. இதே போன்ற ஒரு வாதமும் பொருந்தும். வெளிப்புற சொற்களின் கூற்று ஆர்க்லெங்த்க்கான முதல் மாறுபாடு சூத்திரத்திலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது, ஆனால் பின்வருமாறு நேரடியாகக் கணக்கிடப்படலாம். மற்றும், இரண்டும் அலகு திசையன்கள். பின்னர் தொடுகோட்டு திசையன்களுக்கும், அலகு பந்தில் ஒரே சீரான எல்லையுடன். மற்றும் விடுங்கள். பின்னர் இங்குள்ள வலது புறம் 0 க்கு முனைகிறது, ஏனெனில் அதே முறை மற்ற சொற்களுக்கு வேலை செய்கிறது. எனவே இது திசையன் புலத்திற்கு இரட்டை கொண்ட ஒரு செயல்பாடு, எனவே. எனவே திசையன் புலம் இதற்கு சாய்வு திசையன் புலமாகும். எந்தவொரு புள்ளியின் வழியாகவும் புவியியல் என்பது ஓட்டத்திற்கான ஓட்டக் கோடுகளாகும், எனவே இது சாய்வு ஓட்டமாகும். தியோரேம். ஒரு ஹடாமார்ட் பன்மடங்கு ஒரு தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டில் பின்வரும் நிபந்தனைகள் சமமானவைஃ இது ஒரு புஸ்மேன் செயல்பாடு. ஒரு குவிந்த, மாறிலி 1 உடன் லிப்ஸிட்ச் செயல்பாடு, மற்றும் ஒவ்வொன்றிற்கும் அத்தகைய தூரத்தில் புள்ளிகள் உள்ளன. இது ஒரு குவிந்த செயல்பாடு. (1) என்பது (2) ஐ குறிக்கிறது என்பது ஏற்கனவே நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. மேலே உள்ள வாதங்கள் (2) என்பது (3) ஐ குறிக்கிறது என்பதை முடாடிஸ் முடாண்டி காட்டுகின்றன. எனவே (3) என்பது (1) ஐ குறிக்கிறது என்பதை இது காட்டுகிறது. சரிசெய்யவும். சாய்வு ஓட்டமாக இருக்கட்டும். இது அதைப் பின்பற்றுகிறது, மேலும் இது ஆர்க்லெங்த் மூலம் அளவுருக்கள் மூலம் ஒரு ஜியோடெசிக் ஆகும். உண்மையில், என்றால், அப்படியானால். புஸ்மேன் அடிப்படை புள்ளியுடன் செயல்படட்டும். குறிப்பாக. (1) ஐ நிரூபிக்க, அதைக் காட்ட இது போதுமானது. மூடிய குவிந்த புள்ளிகளின் தொகுப்பாக இருக்கட்டும். ஒவ்வொரு புள்ளிக்கும் ஒரு ஹடாமார்ட் இடைவெளி இருப்பதால், அதற்கு ஒரு தனித்துவமான நெருக்கமான புள்ளி உள்ளது. இது தொடர்ந்து சார்ந்துள்ளது மற்றும் வெளியே இருந்தால், பின்னர் ஹைப்பர்சர்ஃபேஸ் மீது உள்ளது-எல்லை-மற்றும் ஜியோடெசிக் இருந்து ஆர்த்தோகனல் உள்ளது. இந்த விஷயத்தில் ஜியோடெசிக் நியாயமானது. உண்மையில், சாய்வு ஓட்டம் மற்றும் நிபந்தனைகள் என்பது ஓட்டக் கோடுகள் ஆர்க்லெங்த் மூலம் அளவிடப்படும் ஜியோடெசிக்ஸ் மற்றும் ஆர்த்தோகோனலின் நிலை வளைவுகளை வெட்டுகின்றன என்பதைக் குறிக்கிறது. மறுபுறம், எந்தவொரு நான்கு புள்ளிகளுக்கும், ஒரு ஹடாமார்ட் இடத்தில், ரெஷெட்ன்யக்கின் பின்வரும் நாற்கர சமத்துவமின்மை பின்வருமாறுஃ அமைத்தல்,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, இந்த முடிவை அனைத்து நிலை மேற்பரப்புகளுக்கும் கொண்டு செல்ல ஓட்டத்தைப் பயன்படுத்தலாம். பொதுவாக அதை எடுத்து அமைக்கவும். பிறகு, எங்கே. ஆனால் பின்னர், அதனால். எனவே, தேவைக்கேற்ப. இரண்டு புஸ்மேன் செயல்பாடுகள் மற்றும் தொடர்புடைய புவியியல் கதிர்கள் திருப்தி அடைந்தால் மட்டுமே ஒரு மாறிலியால் வேறுபடுகின்றன என்ற உண்மையைப் பயன்படுத்தி இந்த வாதத்தை சுருக்கலாம் என்பதை நினைவில் கொள்க. உண்மையில், ஓட்டத்தால் வரையறுக்கப்பட்ட அனைத்து புவியியல்களும் பிந்தைய நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்கின்றன, எனவே மாறிலிகளால் வேறுபடுகின்றன. இந்த புவியியல் ஏதேனும் வழித்தோன்றல் 1 உடன் நேரியல் என்பதால், இந்த புஸ்மேன் செயல்பாடுகளிலிருந்து மாறிலிகளால் வேறுபட வேண்டும். சரியான ஹடாமார்ட் இடத்தின் சுருக்கமானது புஸ்மேன் செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தும் ஹடாமார்ட் பன்மடங்கு சுருக்கத்தை வரையறுத்தது. அவற்றின் கட்டுமானம், இது பொதுவாக சரியான வரை நீட்டிக்கப்படலாம் (அதாவது. உள்ளூரில் கச்சிதமான) ஹடாமார்ட் இடைவெளிகள், குரோமோவ் வரையறுத்த ஒரு சுருக்கத்தின் வெளிப்படையான வடிவியல் உணர்வை வழங்குகிறது-ஒரு "சிறந்த எல்லை" சேர்ப்பதன் மூலம்-சரியான மெட்ரிக் இடைவெளிகளின் பொதுவான வகுப்பிற்கு, ஒவ்வொரு மூடிய பந்தும் கச்சிதமாக இருக்கும். எந்தவொரு காச்சி வரிசையும் ஒரு மூடிய பந்தில் இருப்பதால், எந்தவொரு சரியான மெட்ரிக் இடமும் தானாகவே நிறைவடைகிறது என்பதை நினைவில் கொள்க. இலட்சிய எல்லை என்பது ஒரு மெட்ரிக் இடத்திற்கான இலட்சிய எல்லையின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு. ஹடாமார்ட் இடைவெளிகளின் விஷயத்தில், இது இடத்தின் எல்லைப் பகுதியில் புஸ்மேன் செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி விவரிக்கப்பட்ட எந்தவொரு நிலையான புள்ளியிலிருந்தும் வெளிப்படும் புவியியல் கதிர்களின் இடத்துடன் உடன்படுகிறது. முறையான மெட்ரிக் இடைவெளி என்றால், குரோமோவின் சுருக்கத்தை பின்வருமாறு வரையறுக்கலாம். ஒரு புள்ளியை சரிசெய்து விடுங்கள். லிப்ஸ்கிட்ஸ் தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளின் இடமாக இருக்கட்டும், அதாவது. அவற்றுக்கு சில நிலையானவை. காம்பாக்டாவில் சீரான ஒருங்கிணைப்பின் இடவியல், செமினார்ம்களால் இடத்தை இடப்பெயர்ச்சி செய்யலாம். இது C (X) இன் இயற்கையான வரைபடத்தால் பானாச் இடைவெளிகளின் நேரடி பெருக்கலுக்குள் தூண்டப்பட்ட இடவியல் ஆகும். இது மெட்ரிக் மூலம் வழங்கப்படுகிறது. செயல்பாட்டிற்கு அனுப்புவதன் மூலம் இடம் உட்பொதிக்கப்பட்டுள்ளது. உள்ளே மூடுவதாக இருக்கட்டும். பின்னர் சுருக்கமானது (அளவிடக்கூடியது) மற்றும் ஒரு திறந்த துணைக்குழுவாக உள்ளது; மேலும் அடிப்படை புள்ளியின் வெவ்வேறு தேர்வுகளிலிருந்து எழும் சுருக்கங்கள் இயற்கையாகவே ஹோமியோமார்பிக் ஆகும். ஆர்செலா-அஸ்கோலி தேற்றத்திலிருந்து சுருக்கமானது பின்பற்றப்படுகிறது, ஏனெனில் இதில் உள்ள படம் சமமாக உள்ளது மற்றும் நெறிமுறையில் ஒரே மாதிரியாக உள்ளது. உள்ளே செல்வதில் ஒரு வரிசையாக இருக்கட்டும். பின்னர் இறுதியாக பல சொற்கள் அனைத்தும் சுருக்கமாக இருப்பதால் வெளியே இருக்க வேண்டும், இதனால் எந்தவொரு தொடர்ச்சியும் ஒரு புள்ளியில் ஒன்றிணைக்கும்; எனவே வரிசை வரம்பற்றதாக இருக்க வேண்டும். விடுங்கள். பிறகு படுத்துக் கொள்கிறார். இது பூஜ்ஜியமற்றது மற்றும் இல் மட்டுமே மறைந்துவிடும். எனவே இது பூஜ்ஜிய தொகுப்புடன் தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டிற்கு விரிவடைகிறது. அதைத் தொடர்ந்து தேவைக்கேற்ப மூடப்படுகிறது. சுருக்கமானது அடிப்படை புள்ளியில் இருந்து சுயாதீனமாக உள்ளதா என்பதைச் சரிபார்க்க, அது ஒரு தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டிற்கு நீண்டுள்ளது என்பதைக் காட்ட போதுமானது. ஆனால், எனவே, உள்ளே,. எனவே மற்றும் சுருக்கங்களுக்கு இடையிலான தொடர்பு அனுப்புவதன் மூலம் வழங்கப்படுகிறது. ஒரு ஹடாமார்ட் பன்மடங்கு (அல்லது பொதுவாக ஒரு சரியான ஹடாமார்ட் இடைவெளி) என்றால், புஸ்மேன் செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் குரோமோவின் சிறந்த எல்லையை புவியியலின் "அறிகுறியற்ற வரம்புகள்" என்று வெளிப்படையாக உணர முடியும். ஒரு அடிப்படை புள்ளியை சரிசெய்யும்போது, ஆர்க்லெங்த் மூலம் அளவிடப்படும் ஒரு தனித்துவமான ஜியோடெசிக் அளவுரு உள்ளது மற்றும் இது கொடுக்கப்பட்ட அலகு திசையன் ஆகும். தொடர்புடைய புஸ்மேன் செயல்பாடு என்றால், பின்னர் உள்ளது மற்றும் அலகு-கோளத்தின் ஒரு ஹோமியோமார்பிசத்தைத் தூண்டுகிறது, அனுப்புகிறது. பாயின்கேர் வட்டு, கே. ஏ. டி (-1) மற்றும் ஹைபர்போலிக் இடைவெளிகள் மோர்ஸ்-மோஸ்டோ லெம்மா ஆகியவற்றில் உள்ள குவாசிஜியோடெடிக்ஸ் பாயின்கேர் வட்டு, கே. ஏ. டி (-1) மற்றும் ஹைபர்போலிக் இடைவெளிகள் போன்ற எதிர்மறை வளைவு இடைவெளிகளின் விஷயத்தில், அவற்றின் குரோமோவ் எல்லையில் ஒரு மெட்ரிக் அமைப்பு உள்ளது. இந்த அமைப்பு குவாசிஜியோடெசிக் கதிர்களுக்கு ஜியோடெசிக் கதிர்களைக் கொண்டு செல்லும் குவாசி-ஐசோமீட்டரிகளின் குழுவால் பாதுகாக்கப்படுகிறது. குவாசிகியோடசிக்ஸ் முதன்முதலில் எதிர்மறையாக வளைந்த மேற்பரப்புகளுக்காக-குறிப்பாக ஹைபர்போலிக் மேல் அரை தளம் மற்றும் அலகு வட்டு-மோர்ஸால் ஆய்வு செய்யப்பட்டது மற்றும் தனித்தனி குழுக்களின் கடினத்தன்மை குறித்த அவரது பணிக்காக மோஸ்டோவால் எதிர்மறையாக வளைந்த சமச்சீர் இடைவெளிகளுக்கு பொதுமைப்படுத்தப்பட்டது. இதன் அடிப்படை விளைவு புவியியலின் ஸ்திரத்தன்மை குறித்த மோர்ஸ்-மாஸ்டோ லெம்மா ஆகும். வரையறையின்படி, ஒரு இடைவெளியில் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு குவாசிஜியோடெசிக் γ என்பது ஒரு மெட்ரிக் இடைவெளியில் ஒரு வரைபடமாகும், இது தொடர்ச்சியானதாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை, இதற்காக மாறிலிகள் உள்ளன மற்றும் அனைவருக்கும் மற்றும் பின்வரும் முடிவு அடிப்படையில் மார்ஸ்டன் மோர்ஸ் (1924) காரணமாகும். புவியியலின் ஸ்திரத்தன்மை குறித்த மோர்ஸ் கருத்துரு. ஹைபர்போலிக் வட்டில் ஒரு மாறிலி உள்ளது மற்றும் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் வரையறுக்கப்பட்ட எந்த குவாசிகியோடெசிக் பிரிவும் ஜியோடெசிக் பிரிவின் ஹவுஸ்டோர்ஃப் தூரத்திற்குள் இருக்கும். பாயின்கேர் வட்டுக்கான பாரம்பரிய சான்று பாயின்கேர் அலகு வட்டு அல்லது மேல் அரை விமானத்திற்கான மோர்ஸ் லெம்மாவின் பாரம்பரிய சான்று புவியியல் பிரிவில் ஆர்த்தோகனல் திட்டத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் மிகவும் நேரடியாக முன்னேறுகிறது. வலுவான "சூடோ-ஜியோடெசிக்" நிபந்தனையை திருப்திப்படுத்துகிறது என்று கருதலாம்ஃ ஒரு தொடர்ச்சியான துண்டு வடிவ ஜியோடெசிக் வளைவு மூலம் மாற்றப்படலாம், அதே இறுதிப் புள்ளிகள் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட ஹவுஸ்டோர்ஃப் தூரத்தில் குறைவாக உள்ளனஃ இடைவெளியை சமமான நீளம் கொண்ட துணை இடைவெளிகளாக வரையறுத்து, துணை இடைவெளிகளின் இறுதிப் புள்ளிகளின் கீழ் உள்ள படங்களுக்கு இடையில் ஜியோடெசிக்ஸை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். துண்டு துண்டாக ஜியோடெசிக் என்பதால், லிப்ஸிட்ச் நிலையான, எங்கு தொடர்கிறது. இடைவேளைகளின் இறுதிப் புள்ளிகளில் கீழ் எல்லை தானாகவே இருக்கும். கட்டுமானத்தின் மூலம் மற்ற மதிப்புகள் இவற்றிலிருந்து வேறுபடுகின்றன, அவை ஒரே சீரான வரம்பைப் பொறுத்து மட்டுமே வேறுபடுகின்றன மற்றும் கீழ் வரம்பு சமத்துவமின்மை இந்த சீரான வரம்பை இரண்டு மடங்கு சேர்ப்பதன் மூலம் ε ஐ அதிகரிப்பதன் மூலம் வைத்திருக்கிறது. ஒரு புவியியல் கோட்டின் அண்டைப்பகுதிக்கு வெளியே அமைந்துள்ள ஒரு துண்டு மென்மையான வளைவு பிரிவு மற்றும் புவியியல் கோட்டின் மீது ஆர்த்தோகனல் திட்டமாக இருந்தால்ஃ மேல் பாதி தளத்தில் ஒரு ஐசோமெட்ரியைப் பயன்படுத்துவது, புவியியல் கோடு என்பது நேர்மறை கற்பனை அச்சு என்று கருதப்படலாம், இந்த விஷயத்தில் அதன் மீது ஆர்த்தோகனல் திட்டம் மற்றும் மூலம் வழங்கப்படுகிறது. எனவே கருதுகோள் குறிக்கிறது, எனவே புவியியல் பிரிவின் அண்டைப்புறத்திற்குள் இருக்கும் ஒரு மாறிலி மட்டுமே உள்ளது. ஜியோடெசிக் பிரிவைக் கொண்ட ஜியோடெசிக் கோடு இருக்கட்டும். பின்னர் ஒரு மாறிலி மட்டுமே உள்ளது மற்றும் அது போன்ற-அண்டை நாடு ஒரு அண்டை நாட்டிற்குள் உள்ளது. உண்மையில், எதற்கும்,-நெய்பர்ஹுட் மூடப்படுவதற்கு வெளியே இருக்கும் துணைக்குழு திறந்திருக்கும், எனவே திறந்த இடைவெளிகளின் எண்ணக்கூடிய ஒன்றிணைப்பு. பின்னர் இடது புறம் குறைவாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருப்பதால், ஒவ்வொரு புள்ளியும் குறைவாகவோ அல்லது சமமாகவோ உள்ளது. கூற்றைக் கண்டறிய,-நெய்பர்ஹுட் மூடப்படுவதற்கு வெளியே இருக்கும் துணைக்குழு திறந்திருக்கும் என்பதைக் கவனியுங்கள், எனவே அல்லது இரண்டில் ஒன்றிலிருந்து தூரத்தில் உள்ள இடைவெளிகளின் ஒன்றிணைப்பு மற்றும் இரண்டும். எனவே கூற்று அதை விட அதிகமாக எடுத்துக்கொள்வதைத் தொடர்ந்து வருகிறது. புவியியல் பிரிவு ஒரு-அண்டை வீட்டுக்குள் இருக்கும் வகையில் மட்டுமே ஒரு மாறிலி உள்ளது. ஒவ்வொரு புள்ளியும் ஒரு தூரத்திற்குள் உள்ளது. இவ்வாறு ஆர்த்தோகனல் ப்ரொஜெக்ஷன் ஒவ்வொரு புள்ளியையும் மூடிய குவிந்த தொகுப்பில் ஒரு புள்ளியின் மீது குறைவான தூரத்தில் கொண்டு செல்கிறது. தொடர்ச்சியான மற்றும் இணைக்கப்பட்டிருப்பதால், படம் அதன் இறுதிப் புள்ளிகளைக் கொண்டிருப்பதால் வரைபடத்தில் இருக்க வேண்டும். ஆனால் பின்னர் ஒவ்வொரு புள்ளியும் ஒரு புள்ளியின் தூரத்திற்குள் உள்ளது. மோர்ஸ் லெம்மாவை சிஏடி (-1) இடைவெளிகளுக்கு பொதுமைப்படுத்துவது பெரும்பாலும் மோர்ஸ்-மோஸ்டோ லெம்மா என்று குறிப்பிடப்படுகிறது, மேலும் கிளாசிக்கல் ஆதாரத்தின் நேரடியான பொதுமைப்படுத்தல் மூலம் நிரூபிக்க முடியும். குரோமோவ் காரணமாக ஹைபர்போலிக் மெட்ரிக் இடைவெளிகளின் பொதுவான வகைக்கும் ஒரு பொதுமைப்படுத்தல் உள்ளது. பாயின்கேர் அலகு வட்டுக்கு குரோமோவின் ஆதாரம் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளது; ஹைபர்போலிக் மெட்ரிக் இடைவெளிகளின் பண்புகள் ஆதாரத்தின் போக்கில் உருவாக்கப்படுகின்றன, இதனால் இது கேட் (-1) அல்லது ஹைபர்போலிக் மெட்ரிக் இடைவெளிகளுக்கு முடாடிஸ் முடண்டியைப் பயன்படுத்துகிறது. இது ஒரு பெரிய அளவிலான நிகழ்வு என்பதால், ஏற்றத்தாழ்வுகளை திருப்திப்படுத்தும் எந்தவொரு வட்டு வரைபடமும் ஜியோடெசிக் பிரிவின் ஹவுஸ்டோர்ஃப் தூரத்திற்குள் உள்ளதா என்பதை சரிபார்க்க போதுமானது. எனவே, அதை மொழிபெயர்த்தால் பொதுத்தன்மையை இழக்காமல் அனுமானிக்கப்படலாம், பின்னர், (முழு எண் பகுதி) எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம், இதன் விளைவாக வரையறுக்கப்படலாம். மற்றும் மற்றும் படங்களுக்கிடையேயான ஹவுஸ்டோர்ஃப் தூரம் மற்றும் ஆகியவற்றைப் பொறுத்து ஒரு மாறிலியால் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. இப்போது ஒரு புவியியல் முக்கோணத்தின் உட்புற வட்டம் எங்கு விட்டம் குறைவாக உள்ளது என்பதை விட குறைவாக உள்ளது; உண்மையில் அது சமமாக இருக்கும் ஒரு இலட்சிய முக்கோணத்தால் கண்டிப்பாக அதிகரிக்கப்படுகிறது. குறிப்பாக, உள் வட்டமானது முக்கோணத்தை உடைப்பதால் முக்கோணத்தை மூன்று ஐசோசிலஸ் முக்கோணங்களாக உடைக்கிறது, அசல் முக்கோணத்தின் உச்சிக்கு எதிரே உள்ள மூன்றாவது பக்கம் அதை விட குறைவான நீளத்தைக் கொண்டுள்ளது, இது ஒரு புவியியல் முக்கோணத்தின் ஒவ்வொரு பக்கமும் மற்ற இரு பக்கங்களின் அண்டைப்புறத்தில் உள்ளது என்பதைப் பின்பற்றுகிறது. ஒரு எளிய தூண்டல் வாதம், செங்குத்துகளைக் கொண்ட ஒரு புவியியல் பலகோணம் மற்ற பக்கங்களின் சுற்றுப்புறத்திற்குள் ஒவ்வொரு பக்கத்தையும் கொண்டுள்ளது என்பதைக் காட்டுகிறது (அத்தகைய பலகோணம் இரண்டு புவியியல் பலகோணங்களை ஒரு பொதுவான பக்கத்தில் பக்கங்களுடன் இணைப்பதன் மூலம் உருவாக்கப்படுகிறது). எனவே, அதே மதிப்பீடு பக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு பலகோணத்திற்கு பொருந்தும். ஒரு மூடிய பந்துக்கான மிகப்பெரிய ஆரம் அதன் உட்புறத்தில் இல்லை என்பதை மையமாகக் கொண்டுள்ளது. இது பூஜ்ஜியமற்ற தொடர்ச்சியான செயல்பாடாகும், எனவே இந்த பிரிவின் ஒரு கட்டத்தில் அதன் அதிகபட்சத்தை அடைகிறது. பின்னர் எதற்கும் உருவத்தின் அண்டை வீட்டுக்குள் உள்ளது. எனவே சுயாதீனத்திற்கான மேல் வரியைக் கண்டறிவது போதுமானது. முன் மற்றும் பின் பிரிவைத் தேர்ந்தெடுக்கவும் (அல்லது அதிலிருந்து குறைவான தூரத்திற்குள் இருந்தால் ஒரு இறுதிப் புள்ளி). பின்னர், உடன் உள்ளன. எனவே, அதனால். முக்கோண சமத்துவமின்மையால் அனைத்து புள்ளிகளும் பிரிவுகளில் உள்ளன மற்றும் அவற்றிலிருந்து தொலைவில் உள்ளன. எனவே தொடங்கும் மற்றும் முடிவடையும் புள்ளிகளின் வரையறுக்கப்பட்ட வரிசை உள்ளது, முதலில் பிரிவில் படுத்து, பின்னர் புள்ளிகள் வழியாக முன்னேறி, பிரிவை எடுப்பதற்கு முன். அடுத்தடுத்த புள்ளிகள் அதை விட அதிகமான தூரத்தால் பிரிக்கப்படுகின்றன, மேலும் இந்த நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்ய புவியியல் பிரிவுகளில் அடுத்தடுத்த புள்ளிகளையும் தேர்வு செய்யலாம். அத்தகைய வரிசையில் குறைந்தபட்ச புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை திருப்தி அளிக்கிறது. இந்த புள்ளிகள் ஒரு புவியியல் பலகோணத்தை உருவாக்குகின்றன, அவை ஒரு பக்கமாக உள்ளன. எடுத்துக் கொள்ளுங்கள், இதனால்-நெய்பர்ஹுட் பலகோணத்தின் மற்ற அனைத்து பக்கங்களையும் கொண்டிருக்காது. எனவே, மேலே உள்ள முடிவிலிருந்து, அது பின்பற்றப்படுகிறது. எனவே இந்த சமத்துவமின்மை கூறப்பட்டபடி, சுயாதீனமாக, ஒரே மாதிரியாக வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது என்பதைக் குறிக்கிறது. அனைத்து புள்ளிகளும் அதற்குள் இருந்தால், முடிவு பின்வருமாறு. இல்லையெனில் அதிகபட்ச துணைக்குழுக்களில் வராத புள்ளிகள். எனவே உள்ள புள்ளிகள் ஒரு தூரத்திற்குள் நிரப்புடன் ஒரு புள்ளியைக் கொண்டுள்ளன. ஆனால் அதன் நிரப்பு, மற்றும் உடன் ஒரு வேறுபட்ட ஒன்றிணைப்பு. இணைப்பு என்பது பிரிவில் ஒரு புள்ளி இருப்பதைக் குறிக்கிறது, இது புள்ளிகளின் தூரத்திற்குள் மற்றும் மற்றும் உடன் உள்ளது. ஆனால் பின்னர், எனவே. எனவே குறைவான தூரத்திற்குள் உள்ள புள்ளிகள். ஒரு ஹடாமார்ட் இடத்தில் இரண்டு ஜியோடெசிக் பிரிவுகள் மற்றும் இடைநிலை புள்ளிகள் இருந்தால், அவற்றை விகிதத்தில் வகுத்தால், அது ஒரு குவெக்ஸ் செயல்பாடு என்பதை நினைவில் கொள்க. குறிப்பாக அதே புள்ளியில் தொடங்கி அலகு வேகத்தின் புவியியல் பிரிவுகள் வரையறுக்கப்பட்டால், குறிப்பாக இது பின்வருவனவற்றைக் குறிக்கிறதுஃ ஒரு சிஏடி (-1) இடத்தில், எந்த அரை-புவியியல் கதிரும் ஒரு புவியியல் கதிரின் வரம்புக்குட்பட்ட ஹவுஸ்டோர்ஃப் தூரத்திற்குள் இருக்கும் வகையில் மட்டுமே ஒரு மாறிலி உள்ளது. இதே போன்ற முடிவு குவாஸ்ஜியோடெசிக் மற்றும் ஜியோடெசிக் கோடுகளுக்கும் பொருந்தும். ஒரு ஜியோடெசிக் என்றால் நிலையான மற்றும், பிரிவின் அலகு வேக ஜியோடெசிக் ஆக இருக்கட்டும். மேலே உள்ள மதிப்பீடு நிலையான மற்றும் போதுமான அளவு பெரியதற்கு, சீரான மெட்ரிக் கொண்ட ஒரு காச்சி வரிசை என்பதைக் காட்டுகிறது. இவ்வாறு காம்பாக்டாவில் ஒரே மாதிரியாக ஒரு ஜியோடெசிக் கதிருக்குச் செல்கிறது, ஹவுஸ்டோர்ஃப் இடையே உள்ள தூரங்கள் மற்றும் பிரிவுகளுக்கு இடையிலான வரம்பு வரம்புக்குட்பட்ட ஜியோடெசிக்-க்கும் பொருந்தும். ஜியோடெசிக் பிரிவுடன் தொடர்புடையது என்று எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம் குவாசியோடெசிக் கோடுகளுக்கான வலியுறுத்தல் பின்பற்றப்படுகிறது. எஃப்ரெமோவிச்-திகோமிரோவா தேற்றம் கேட் (-1) இடைவெளிகளைப் பற்றி விவாதிப்பதற்கு முன்பு, இந்த பிரிவு அலகு வட்டுக்கான எஃப்ரெமோவிச்-திகோமிரோவா தேற்றத்தை போயின்கரே மெட்ரிக் மூலம் விவரிக்கும். யூக்ளிடியன் அளவீட்டுடன் அலகு வட்டின் அரை-மோபியஸ் ஹோமியோமார்பிசம்களுக்கு அரை-ஐசோமீட்டரிகள் நீட்டிக்கப்படுகின்றன என்று அது வலியுறுத்துகிறது. இந்த தேற்றம் கேட் (-1) இடைவெளிகளின் பொதுவான கோட்பாட்டிற்கான முன்மாதிரியை உருவாக்குகிறது. அவற்றின் அசல் தேற்றம் சற்று குறைவான பொதுவான மற்றும் குறைவான துல்லியமான வடிவத்தில் நிரூபிக்கப்பட்டது மற்றும் போயின்கேர் மெட்ரிக்க்கான அலகு வட்டின் இரு-லிப்ஸிட்ச் ஹோமியோமார்பிசங்களுக்கு பயன்படுத்தப்பட்டது; முன்னதாக, மரணத்திற்குப் பிந்தைய ஆய்வறிக்கையில், ஜப்பானிய கணிதவியலாளர் அகிரா மோரி டெய்க்முல்லர் கோட்பாட்டிற்குள் ஒரு தொடர்புடைய முடிவை நிரூபித்தார், வட்டின் ஒவ்வொரு குவாசிகோஃபார்மல் ஹோமியோமார்பிசமும் ஹோல்டர் தொடர்ச்சியானது என்று உறுதியளித்தார், எனவே அலகு வட்டத்தின் ஹோமியோமார்பிசத்திற்கு தொடர்ந்து விரிவடைகிறது (இந்த நீட்டிப்பு அரை-மோபியஸ் என்று அறியப்படுகிறது). பாயின்கேர் அலகு வட்டு அல்லது பொதுவாக ஒரு சிஏடி (-1) இடைவெளி என்றால், குவாசிஜியோடெசிக்ஸின் ஸ்திரத்தன்மை குறித்த மோர்ஸ் லெம்மா, ஒவ்வொரு குவாசி-ஐசோமெட்ரியும் தனித்துவமாக எல்லை வரை நீண்டுள்ளது என்பதைக் குறிக்கிறது. வரையறையின்படி, இரண்டு சுய வரைபடங்கள் அரை சமமானவை என்றால், எனவே தொடர்புடைய புள்ளிகள் ஒருவருக்கொருவர் ஒரே சீரான எல்லைக்குட்பட்ட தூரத்தில் இருக்கும். ஒரு குவாசி-ஐசோமெட்ரி என்பது ஒரு சுய வரைபடமாகும், இது தொடர்ச்சியானதாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை, இது பொருத்தமான அடையாள வரைபடங்களுக்கு அரை-தலைகீழ் மற்றும் பொருத்தமான அடையாள வரைபடங்களுக்கு அரை-சமமானதாக இருக்கும், மேலும் அனைத்து உள்ள மற்றும் இரண்டு வரைபடங்களுக்கும் மாறிலிகள் மற்றும் மாறிலிகள் உள்ளன, குவாசி-இன்வெர்ஸ் அரை-சமன்பாடு வரை தனித்துவமானது என்பதை நினைவில் கொள்க; அந்த சமமான வரையறை வெவ்வேறு வலது மற்றும் இடது-சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி கொடுக்கப்படலாம், ஆனால் அவை அரை-சமன்பாடாக இருக்க வேண்டும்; அரை-சமன்பாடு வரையிலான கலவையின் கீழ் அரை-சமன்பாடுகள் மூடப்பட்டுள்ளன, இது அரை-சமன்பாடு வகுப்புகளை மட்டுமே சார்ந்துள்ளது; மேலும், மாடுலோ அரை-சமன்பாடு, அரை-சமன்பாடு, ஒரு புள்ளியை சரிசெய்தால், ஒரு ஜியோடெசிக் கதிர் கொடுக்கப்பட்டால், ஒரு அரை-ஐசோமெட்ரியின் கீழ் உள்ள படம் ஒரு அரை-ஜியோடெசிக் கதிர் ஆகும். மோர்ஸ்-மோஸ்டோ லெம்மாவால் இது ஒரு தனித்துவமான ஜியோடெசிக் கதிரின் வரம்புக்குட்பட்ட தூரத்திற்குள் தொடங்குகிறது. இது அரை-சமநிலை வகுப்பில் இருந்து சுயாதீனமாக, எல்லையில் ஒரு வரைபடத்தை வரையறுக்கிறது. இவ்வாறு சுய வரைபடங்களின் குழுவில் அரை-ஐசோமீட்டரிகளின் குழுவில் ஒரு ஒத்த உருவகம் உள்ளது. அது தொடர்ச்சியானது என்பதைச் சரிபார்க்க, ஒரு தூரத்திற்குள் ஒரே மாதிரியாக நெருக்கமாக இருக்கும் ஜியோடெசிக் கதிர்கள் என்றால், பின்னர் ஒரு தூரத்திற்குள் இருக்கும், அதனால் அது ஒரு தூரத்திற்குள் இருக்கும்; எனவே ஒரு சிறிய இடைவெளியில், மற்றும் குவிந்த மூலம் தூரத்திற்குள் இருக்கும். கேட் (-1) இடைவெளிகளில், தொடர்ச்சியின் ஒரு சிறந்த பதிப்பு, இயற்கையான மெட்ரிக் வகுப்பைப் பொறுத்தவரை ஒரு அரை-மோபியஸ் வரைபடம் என்று வலியுறுத்துகிறது, யூக்ளிடியன் மெட்ரிக் அலகு வட்டத்தில் பொதுமைப்படுத்தப்படும் "காட்சி அளவீடுகள்" மற்றும் மோபியஸ் குழுவின் கீழ் அதன் உருமாற்றங்கள். இந்த காட்சி அளவீடுகளை புஸ்மேன் செயல்பாடுகளின் அடிப்படையில் வரையறுக்கலாம். யூனிட் டிஸ்க்கைப் பொறுத்தவரை, ஹோமோமார்பிசம் வட்டத்தின் குவாசி-மோபியஸ் ஹோமியோமார்பிசங்களின் குழுவில் வட்டத்தின் குவாசி-ஐசோமெட்ரி குழுவிலிருந்து குவாசி-மோபியஸ் குழுவிற்குள் ஹோமோமார்பிசம் சர்ஜெக்டிவ் என்பதை இது பின்பற்றுகிறது. மறுபுறம், ஹோமோமார்பிசம் ஊசி என்று நிரூபிப்பது நேரடியானது. அது யூனிட் டிஸ்க்கின் அரை-ஐசோமெட்ரி என்று வைத்துக்கொள்வோம், அது அடையாளமாகும். அனுமானமும் மோர்ஸ் லெம்மாவும் ஒரு புவியியல் கோடு என்றால், அதன் அண்டைப்புறத்தில் உள்ளது என்பதைக் குறிக்கிறது. இப்போது இரண்டாவது ஜியோடெசிக் கோட்டை எடுத்து, ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில் ஆர்த்தோகனலாக வெட்டுகிறது. பின்னர்-நெய்பர்ஹுட்ஸ் ஆஃப் அண்ட் குறுக்குவெட்டில் உள்ளது. மோபியஸ் உருமாற்றத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், அலகு வட்டின் தோற்றத்தில் இருப்பதாகவும், புவியியல் உண்மையான மற்றும் கற்பனையான அச்சுகள் என்றும் கருதலாம். குவிந்த நிலையில், இந்த அச்சுகளின்-அண்டைப்புறங்கள் தோற்றத்தின்-அண்டைப்புறத்தில் வெட்டுகின்றனஃ இரு அண்டைப்புறங்களிலும் இருந்தால்,-மற்றும்-அச்சுகளின் ஆர்த்தோகனல் கணிப்புகளாக இருக்கட்டும்; பின்னர்-அச்சில் கணிப்புகளை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள், எனவே. எனவே, அது கூறப்பட்டபடி அடையாளத்திற்கு அரை சமமானதாகும். குறுக்கு விகிதம் மற்றும் வெட்டப்படாத புவியியல் கோடுகளுக்கு இடையிலான தூரம் அலகு வட்டம் அல்லது உண்மையான அச்சில் இரண்டு தனித்துவமான புள்ளிகள் கொடுக்கப்பட்டால், அவற்றுடன் ஒரு தனித்துவமான ஹைபர்போலிக் புவியியல் இணைகிறது. இது வட்டத்தால் (அல்லது நேர் கோடு) வழங்கப்படுகிறது, இது அலகு வட்டம் அலகு வட்டம் அல்லது உண்மையான அச்சை அந்த இரண்டு புள்ளிகளிலும் செங்குத்தாக வெட்டுகிறது. நீட்டிக்கப்பட்ட சிக்கலான தளத்தில் நான்கு தனித்துவமான புள்ளிகள் கொடுக்கப்பட்டால், அவற்றின் குறுக்கு விகிதம் வரையறுக்கப்படுகிறது ஒரு சிக்கலான மோபியஸ் மாற்றமாக இருந்தால், அது குறுக்கு விகிதத்தை மாறாமல் விட்டுவிடுகிறதுஃ மோபியஸ் குழு மூன்று புள்ளிகளின் மீது வெறுமனே இடைநிலை ரீதியாக செயல்படுவதால், குறுக்கு விகிதத்தை மாற்றாக ஒரு மோபியஸ் மாற்றத்திற்கு சிக்கலான எண்ணாக விவரிக்க முடியும். ஏனெனில், மற்றும் அனைத்தும் குறுக்கு விகிதத்தை வரையறுக்கும் எண்ணில் தோன்றும்,, மற்றும், வரிசைமாற்றங்களின் கீழ் குறுக்கு விகிதத்தின் நடத்தையைப் புரிந்துகொள்ள, சரிசெய்யும் வரிசைமாற்றங்களைக் கருத்தில் கொள்வது போதுமானது, எனவே வரிசைமாற்றம் மட்டுமே, மற்றும். மற்றும் க்கு அனுப்பும் மோபியஸ் உருமாற்றங்களால் உருவாக்கப்பட்ட வரிசை 6 இன் அன்ஹார்மோனிக் குழுவின் படி குறுக்கு விகிதம் மாறுகிறது. மற்ற மூன்று உருமாற்றங்கள் அனுப்பப்படுகின்றன, க்கு மற்றும் க்கு. இப்போது அந்த வரிசையில் அலகு வட்டம் அல்லது உண்மையான அச்சில் புள்ளிகளாக இருக்கட்டும். பின்னர் புவியியல் மற்றும் வெட்டப்படாதவை மற்றும் இந்த புவியியல் இடையேயான தூரம் நன்கு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளதுஃ இந்த இரண்டு புவியியல் கோடுகளையும் ஆர்த்தோகனலாக வெட்டும் ஒரு தனித்துவமான புவியியல் கோடு உள்ளது, மேலும் தூரம் அவற்றுக்கிடையேயான புவியியல் பிரிவின் நீளத்தால் வழங்கப்படுகிறது. உண்மையான மோபியஸ் உருமாற்றங்களின் கீழ் இது வெளிப்படையாக மாறாதது. குறுக்கு விகிதம் மற்றும் புவியியல் இடையேயான தூரத்தை ஒப்பிட, மோபியஸ் மாறுபாடு கணக்கீட்டை ஒரு சமச்சீர் உள்ளமைவுக்கு குறைக்க அனுமதிக்கிறது. ஏனெனில், எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். பிறகு எங்கே. மறுபுறம், புவியியல் மற்றும் ஆரம் மற்றும் மேல் பாதி தளத்தில் அரை வட்டங்கள் உள்ளன. அவற்றை ஆர்த்தோகொனலாக வெட்டும் ஜியோடெசிக் நேர்மறை கற்பனை அச்சாகும், எனவே அவற்றுக்கிடையேயான தூரம் மற்றும், இடையே உள்ள ஹைபர்போலிக் தூரமாகும். அப்படியானால், ஒரு மாறிலி இருக்கும் வகையில், என்றால், பின்னர் மேலேயும் கீழேயும் வரம்புக்குட்பட்டது. இருந்தால் மற்றும் இருந்தால் மட்டுமே அலகு வட்டத்தைச் சுற்றி வரிசையில் இருப்பதை நினைவில் கொள்க. குறுக்கு விகிதத்தின் மிகவும் பொதுவான மற்றும் துல்லியமான வடிவியல் விளக்கத்தை ஒரு புவியியல் கோட்டில் உள்ள சிறந்த புள்ளிகளின் கணிப்புகளைப் பயன்படுத்தி கொடுக்க முடியும்; இது வட்டத்தில் உள்ள புள்ளிகளின் வரிசையைப் பொறுத்தது அல்ல, எனவே புவியியல் கோடுகள் வெட்டுகின்றனவா இல்லையா என்பதைப் பொறுத்தது அல்ல. புவியியல் கோடு மற்றும் அதற்கு செங்குத்தாக உள்ள அடி என்றால், பின்னர். மோபியஸ் உருமாற்றங்களின் கீழ் இரு பக்கங்களும் மாறாதவை என்பதால்,, மற்றும் என்ற விஷயத்தில் இதைச் சரிபார்க்க போதுமானது. இந்த வழக்கில் புவியியல் கோடு நேர்மறை கற்பனை அச்சு, வலது கை பக்கம் சமம், மற்றும். எனவே இடது கை பக்கம் சமம். சிறந்த முக்கோணங்களின் உள் வட்டங்கள் மற்றும் தொடும் புள்ளிகளும் அவையே என்பதைக் கவனியுங்கள். கோட்பாட்டின் சான்று வட்டத்தின் ஒரு ஹோமியோமார்பிசம் குவாசிசிம்மெட்ரிக் ஆகும், இது போன்ற மாறிலிகள் இருந்தால் அது குவாசி-மோபியஸ் குறுக்கு விகிதத்தைக் குறிக்கும் வகையில் மாறிலிகள் உள்ளன. தலைகீழ் மற்றும் கலவையின் செயல்பாடுகளின் கீழ் குவாசிசிம்மெட்ரிக் மற்றும் குவாசி-மோபியஸ் ஹோமியோமார்பிசம்கள் மூடப்படுவது உடனடி. குவாசிசிம்மெட்ரிக் என்றால், அது குவாசி-மோபியஸ் ஆகும், உடன் மற்றும்ஃ இது முதல் சமத்துவமின்மையை மற்றும் பெருக்குவதன் மூலம் பின்பற்றுகிறது. இதற்கு நேர்மாறாக, எந்தவொரு அரை-மோபியஸ் ஹோமியோமார்பிசமும் குவாசிசிம்மெட்ரிக் ஆகும். இதைப் பார்க்க, முதலில் (எனவே) ஹோல்டர் தொடர்ச்சியானது என்பதைச் சரிபார்க்கலாம். ஒற்றுமையின் கனசதுர வேர்களின் தொகுப்பாக இருக்கட்டும், எனவே உள்ளே இருந்தால், பின்னர். ஒரு ஹோல்டர் மதிப்பீட்டை நிரூபிக்க, அது ஒரே மாதிரியாக சிறியது என்று கருதலாம். பின்னர் இரண்டும் மற்றும் ஒரு நிலையான தூரத்தை விட அதிகமாக உள்ளன, எனவே மதிப்பீடு அரை-மோபியஸ் சமத்துவமின்மையைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் பின்பற்றப்படுகிறது. அது குவாசிசிமெட்ரிக் என்பதை சரிபார்க்க, ஒரே மாதிரியான சிறிய, மூன்று முறை விஷயத்தில் ஒரு சீரான மேல் வரியைக் கண்டறிவது போதுமானது. இந்த விஷயத்தில், மற்றும் இலிருந்து 1 ஐ விட அதிகமான தூரத்தில் ஒரு புள்ளி உள்ளது. அரை-மோபியஸ் சமத்துவமின்மையைப் பயன்படுத்துவது, மற்றும் தேவையான மேல் வரம்பை விளைவிக்கிறது. சுருக்கமாகஃ வட்டத்தின் ஒரு ஹோமியோமார்பிசம் குவாசிசிம்மெட்ரிக் என்றால் மட்டுமே குவாசி-மோபியஸ் ஆகும். இந்த வழக்கில் அது மற்றும் அதன் தலைகீழ் ஹோல்டர் தொடர்ச்சியானவை. குவாசி-மோபியஸ் ஹோமோமார்பிசம்கள் கலவையின் கீழ் ஒரு குழுவை உருவாக்குகின்றன. தேற்றத்தை நிரூபிக்க, அலகு வட்டத்தில் தனித்துவமான புள்ளிகளுக்கு மாறிலிகள் இருந்தால் (மற்றும் தலைகீழ்) தொடர்ச்சியானவை என்று ஏற்கனவே சரிபார்க்கப்பட்டுள்ளது என்பதை நிரூபிக்க போதுமானது. இசையமைத்தல், எனவே, தேவைப்பட்டால் சிக்கலான இணைப்புடன், வட்டத்தின் நோக்குநிலையைப் பாதுகாக்கிறது என்று மேலும் கருதலாம். இந்த விஷயத்தில், வட்டத்தில் வரிசையில் இருந்தால், கீழும் படங்கள் உள்ளன; எனவே இரண்டும் உண்மையானவை மற்றும் ஒன்றுக்கு மேற்பட்டவை. இந்த விஷயத்தில் இதை நிரூபிக்க, அதைக் காட்ட போதுமானது. முந்தைய பகுதியிலிருந்து இது போதும். இது பின்வருவது என்னவென்றால், கீழ் மற்றும் கீழ் உள்ள படங்கள் மற்றும் அதன் அண்டைப்புறங்களுக்குள் உள்ளன; குறைந்தபட்ச தூரத்தை அரை-ஐசோமெட்ரி மாறிலிகளைப் பயன்படுத்தி மதிப்பிட முடியும், இது புள்ளிகள் மற்றும் உணர்தலுக்கு பயன்படுத்தப்படுகிறது. சரிசெய்தல் மற்றும் தேவைப்பட்டால், மேலே உள்ள சமத்துவமின்மை இதற்கும் பொருந்தும். மாற்றுவது, மற்றும் கீழே உள்ள அவற்றின் படங்களால், இது அலகு வட்டத்தில் இருந்தால், மற்றும் வரிசையில் உள்ளது என்பதைப் பின்பற்றுகிறது. எனவே நாற்கரத்தின் மூன்று சுழற்சிகளுக்கு அதே ஏற்றத்தாழ்வுகள் செல்லுபடியாகும். மற்றும் மாற்றப்பட்டால், குறுக்கு விகிதங்கள் அவற்றின் தலைகீழ்களுக்கு அனுப்பப்படுகின்றன, எனவே 0 மற்றும் 1 க்கு இடையில் இருக்கும்; இதேபோல் இருந்தால் மற்றும் மாற்றப்படுகின்றன. இரண்டு ஜோடிகளும் மாற்றப்பட்டால், குறுக்கு விகிதம் மாறாமல் இருக்கும். எனவே இந்த விஷயத்தில் ஏற்றத்தாழ்வுகளும் செல்லுபடியாகும். இறுதியாக மற்றும் ஒன்றோடொன்று மாற்றப்பட்டால், குறுக்கு விகிதம் 0 முதல் 1 வரை மாறுகிறது, இது 0 முதல் 1 வரை இருக்கும். எனவே மீண்டும் அதே ஏற்றத்தாழ்வுகள் செல்லுபடியாகும். இந்த மாற்றங்களைப் பயன்படுத்தி சமத்துவமின்மைகள், மற்றும், மற்றும் அதன் தலைகீழ் அரை-மோபியஸ் ஹோமியோமார்பிசம்களின் சாத்தியமான அனைத்து வரிசைமாற்றங்களுக்கும் செல்லுபடியாகும் என்பதைச் சரிபார்க்க எளிதானது. புஸ்மேன் செயல்பாடுகள் மற்றும் கேட் (-1) இடங்களுக்கான காட்சி அளவீடுகள் புஸ்மேன் செயல்பாடுகளை கேட் (-1) இடங்களின் வகுப்பில் சிறப்பு காட்சி அளவீடுகளை தீர்மானிக்க பயன்படுத்தலாம். இவை முழுமையான புவியியல் மெட்ரிக் இடைவெளிகள், இதில் ஒரு புவியியல் முக்கோணத்தின் எல்லையில் உள்ள புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரங்கள் ஹைபர்போலிக் மேல் அரை தளத்தில் உள்ள ஒப்பீட்டு முக்கோணத்தை விட குறைவாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்கும் அல்லது பாயின்கேர் மெட்ரிக் உடன் அலகு வட்டு சமமாக இருக்கும். யூனிட் டிஸ்க்கைப் பொறுத்தவரை, கார்டல் மெட்ரிக் புஸ்மேன் செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி நேரடியாக மீட்டெடுக்கப்படலாம், மேலும் வட்டுக்கான சிறப்புக் கோட்பாடு எந்தவொரு சரியான சிஏடி (-1) இடத்திற்கும் முற்றிலும் பொதுமைப்படுத்தப்படுகிறது. ஹைபர்போலிக் மேல் பாதி தளம் ஒரு கேட் (0) இடமாகும், ஏனெனில் ஒரு ஹைபர்போலிக் ஜியோடெசிக் முக்கோணத்தின் நீளங்கள் யூக்ளிடியன் ஒப்பீட்டு முக்கோணத்தில் உள்ள நீளங்களை விட குறைவாக உள்ளனஃ குறிப்பாக ஒரு கேட் (-1) இடைவெளி ஒரு கேட் (0) இடமாகும், எனவே புஸ்மேன் செயல்பாடுகள் மற்றும் குரோமோவ் எல்லை கோட்பாடு பொருந்தும். ஹைபர்போலிக் வட்டு கோட்பாட்டிலிருந்து, ஒரு கேட் (-1) இடத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு ஜியோடெசிக் கதிரும் ஒரு ஜியோடெசிக் கோடு வரை நீண்டுள்ளது மற்றும் எல்லையின் இரண்டு புள்ளிகளைக் கொடுத்தால், இந்த புள்ளிகளை வரம்புகளாகக் கொண்ட ஒரு தனித்துவமான ஜியோடெசிக் உள்ளது. இந்தக் கோட்பாடு எந்தவொரு கேட் () இடத்திற்கும் சமமாகப் பொருந்தும், ஏனெனில் இவை கேட் (-1) இடத்தில் மெட்ரிக் அளவிடுவதன் மூலம் எழுகின்றன. ஹைபர்போலிக் அலகு வட்டில் அரை-ஐசோமீட்டரிகள் ஒரு செயல்பாட்டு வழியில் எல்லையின் அரை-மோபியஸ் ஹோமியோமார்பிசம்களைத் தூண்டுகின்றன. குரோமோவ் ஹைபர்போலிக் இடைவெளிகள் பற்றிய ஒரு பொதுவான கோட்பாடு உள்ளது, இதேபோன்ற அறிக்கை உள்ளது, ஆனால் எல்லையின் ஹோமியோமார்பிசங்களில் குறைவான துல்லியமான கட்டுப்பாட்டுடன். எடுத்துக்காட்டுஃ ஊடுருவல் கோட்பாட்டில் பாயின்கேர் வட்டு பயன்பாடுகள் மிக சமீபத்தில் புசெமன் செயல்பாடுகள் முதல்-பாதை ஊடுருவல் மற்றும் இயக்கப்பட்ட கடைசி-பாதை ஊடுருவல் மாதிரிகளில் அறிகுறியற்ற பண்புகளை ஆய்வு செய்ய நிகழ்தகவு நிபுணர்களால் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளன. குறிப்புகள் குறிப்புகள், பின் இணைப்பு. வடிவியல்