Kulkarni–Nomizu product
வேறுபட்ட வடிவவியலின் கணிதத் துறையில், குல்கர்னி-நோமிசு தயாரிப்பு (ரவீந்திர ஸ்ரீபாத் குல்கர்னி மற்றும் கட்சுமி நோமிசு ஆகியோரின் பெயரால் அழைக்கப்படுகிறது) இரண்டு-டென்சர்களுக்கு வரையறுக்கப்படுகிறது, இதன் விளைவாக ஒரு-டென்சரைக் கொடுக்கிறது. வரையறை h மற்றும் k சமச்சீர்-இழுவிசைகள் என்றால், பெருக்கல் பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறதுஃ இதில் Xj என்பது தொடுகோட்டு திசையன்கள் மற்றும் மேட்ரிக்ஸ் தீர்மானிப்பதாகும். இரண்டாவது வெளிப்பாட்டிலிருந்து இது தெளிவாக உள்ளது என்பதைக் கவனியுங்கள். தொடுகோட்டு இடத்தின் அடிப்படையைப் பொறுத்தவரை, இது மொத்த சமச்சீர் எதிர்ப்பு சின்னத்தைக் குறிக்கும் சிறிய வடிவத்தை எடுக்கிறது. குல்கர்னி-நோமிசு பெருக்கல் என்பது தரப்படுத்தப்பட்ட இயற்கணிதத்தில் உள்ள பெருக்கலின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு, இதில் எளிய கூறுகளில், (சமச்சீர் பெருக்கல் குறிக்கிறது). ஒரு ஜோடி சமச்சீர் இழுவிசைகளின் குல்கர்னி-நோமிசு பெருக்கல் ரீமன் இழுவிசையின் இயற்கணித சமச்சீர்மைகளைக் கொண்டுள்ளது. உதாரணமாக, விண்வெளி வடிவங்களில் (அதாவது. நிலையான பிரிவு வளைவின் இடைவெளிகள்) மற்றும் இரு பரிமாண மென்மையான ரீமானியன் பன்மடங்கு, ரீமான் வளைவு டென்சர் அளவீட்டின் குல்கர்னி-நோமிசு பெருக்கத்தின் அடிப்படையில் ஒரு எளிய வெளிப்பாட்டைக் கொண்டுள்ளது; அதாவது, நாம்-வளைவு டென்சர் மற்றும் ரீமான் வளைவு டென்சர் மூலம் குறித்தால், அளவிடுதல் வளைவு எங்கே மற்றும் ரிச்சி டென்சர், இது கூறுகளில் படிக்கிறது. மேலே உள்ள வரையறையைப் பயன்படுத்தி குல்கர்னி-நோமிசு தயாரிப்பை விரிவுபடுத்துவதன் மூலம், ஒருவர் பெறுகிறார் இது ரீமன் வளைவு டென்சர் குறித்த கட்டுரையில் கூறப்பட்டுள்ள அதே வெளிப்பாடாகும். இந்த காரணத்திற்காக, ரிச்சி வளைவு (அல்லது அதற்கு பதிலாக, ஷவுட்டன் டென்சர்) மற்றும் வெயில் டென்சர் ஒவ்வொன்றும் ஒரு ரீமானியன் பன்மடங்கு வளைவுக்கு செய்யும் பங்களிப்பை வெளிப்படுத்த இது பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. இந்த ரிச்சி சிதைவு என்று அழைக்கப்படுவது வேறுபட்ட வடிவவியலில் பயனுள்ளதாக இருக்கும். ஒரு மெட்ரிக் டென்சர் g இருக்கும்போது, g இன் குல்கர்னி-நோமிசு பெருக்கல் அதனுடன் 2-வடிவங்களின் இடத்தின் அடையாள எண்டோமார்பிசம் ஆகும், ω2 (M), எண்டோமார்பிசம் வளையத்தின் முடிவை (மெட்ரிக் பயன்படுத்தி) டென்சர் பெருக்கல் ω2 (M) ω2 (M) உடன். ரீமன் டென்சர் g என்பது மெட்ரிக் டென்சர் வடிவத்தைக் கொண்டிருந்தால் மட்டுமே ஒரு ரீமனியன் பன்மடங்கு நிலையான பிரிவு வளைவு k ஐக் கொண்டுள்ளது. குறிப்புகள் குறிப்புகள். வேறுபட்ட வடிவியல் இழுவிசைகள்