Determination of equilibrium constants
வேதியியல் சமநிலையை அளவிடுவதற்காக சமநிலை மாறிலிகள் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன. ஒரு சமநிலை மாறிலி ஒரு செறிவு விகிதமாக வெளிப்படுத்தப்படும்போது, செயல்பாட்டு அளவு நிலையானது என்பதை இது குறிக்கிறது. இந்த அனுமானம் செல்லுபடியாகும் என்றால், சமநிலை மாறிலிகள் ஒப்பீட்டளவில் அதிக அயனி வலிமை கொண்ட ஊடகத்தில் தீர்மானிக்கப்பட வேண்டும். இது சாத்தியமில்லாத இடங்களில், சாத்தியமான செயல்பாட்டு மாறுபாட்டைக் கருத்தில் கொள்ள வேண்டும். மேலே உள்ள சமநிலை வெளிப்பாடு செறிவுகளின் செயல்பாடு [A], [B] போன்றவை. சமநிலையில் உள்ள இரசாயன இனங்கள். இந்த செறிவுகளில் ஏதேனும் ஒன்றை அளவிட முடிந்தால் சமநிலை மாறிலி மதிப்பை தீர்மானிக்க முடியும். பொதுவான செயல்முறை என்னவென்றால், எதிர்வினைகளின் அறியப்பட்ட பகுப்பாய்வு செறிவுகளுடன் தொடர்ச்சியான தீர்வுகளுக்கு கேள்விக்குரிய செறிவு அளவிடப்படுகிறது. பொதுவாக, டைட்டரேஷன் பாத்திரத்தில் ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட எதிர்வினைகளுடனும், பியூரேட்டில் ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட எதிர்வினைகளுடனும் ஒரு டைட்டரேஷன் செய்யப்படுகிறது. ஆரம்பத்தில் எதிர்வினை நாளத்திலும் பியூரேட்டிலும் உள்ள எதிர்வினைகளின் பகுப்பாய்வு செறிவுகளை அறிந்தால், அனைத்து பகுப்பாய்வு செறிவுகளும் டைட்ரண்டின் தொகுதி (அல்லது நிறை) சேர்க்கப்பட்ட செயல்பாடாக பெறப்படலாம். சமநிலை அமைப்பின் வேதியியல் மாதிரியுடன் சோதனைத் தரவை சிறப்பாகப் பொருத்துவதன் மூலம் சமநிலை மாறிலிகள் பெறப்படலாம். சோதனை முறைகள் நான்கு முக்கிய சோதனை முறைகள் உள்ளன. பொதுவாக பயன்படுத்தப்படாத முறைகளுக்கு, ரோசோட்டி மற்றும் ரோசோட்டியைப் பார்க்கவும். அனைத்து சந்தர்ப்பங்களிலும் போட்டி முறையைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் வரம்பை நீட்டிக்க முடியும். இந்த முறையின் பயன்பாட்டிற்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு பலேடியம் (II) சயனைடில் காணப்படுகிறது. ஆற்றல் அளவீடுகள் ஒரு இனத்தின் இலவச செறிவு [A] அல்லது செயல்பாடு {A} கண்ணாடி மின்முனை போன்ற அயனி தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட மின்முனை மூலம் அளவிடப்படுகிறது. செயல்பாட்டு தரங்களைப் பயன்படுத்தி மின்முனை அளவீடு செய்யப்பட்டால், நெர்ன்ஸ்ட் சமன்பாடு நிலையான மின்முனை ஆற்றல் இருக்கும் வடிவத்தில் பொருந்தும் என்று கருதப்படுகிறது. அறியப்பட்ட pH இன் இடையக கரைசல்கள் அளவுத்திருத்தத்திற்கு பயன்படுத்தப்படும்போது மீட்டர் வாசிப்பு ஒரு pH ஆக இருக்கும். 298 K இல், 1 pH அலகு தோராயமாக 59 mV க்கு சமம். அறியப்பட்ட செறிவு கொண்ட தீர்வுகளுடன் மின்முனை அளவீடு செய்யப்படும்போது, ஒரு வலுவான அமில-வலுவான காரத் தட்டச்சு மூலம், எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு மாற்றியமைக்கப்பட்ட நெர்ன்ஸ்ட் சமன்பாடு கருதப்படுகிறது. ஒரு அனுபவ சாய்வு காரணி எங்கே. அறியப்பட்ட ஹைட்ரஜன் அயனி செறிவு ஒரு கரைசல் போராக்ஸ் எதிராக ஒரு வலுவான அமிலத்தை தரப்படுத்துவதன் மூலம் தயாரிக்கப்படலாம். நிலையான கொதிக்கும் ஹைட்ரோகுளோரிக் அமிலம் ஹைட்ரஜன் அயனி செறிவுக்கான முதன்மை தரமாகவும் பயன்படுத்தப்படலாம். வரம்பு மற்றும் வரம்புகள் மிகவும் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படும் மின்முனை கண்ணாடி மின்முனை ஆகும், இது ஹைட்ரஜன் அயனிக்கு தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டதாகும். இது அனைத்து அமில-கார சமநிலைக்கும் ஏற்றது. சுமார் 2 மற்றும் 11 க்கு இடையிலான மதிப்புகளை ஒரு கண்ணாடி மின்முனையைப் பயன்படுத்தி பொட்டென்ஷியோமெட்ரிக் டைட்டரேஷன் மூலம் நேரடியாக அளவிட முடியும். ஸ்திரத்தன்மை நிலையான மதிப்புகளின் இந்த மகத்தான வரம்பு (ca. மின்முனையின் மடக்கை எதிர்வினை காரணமாக 100 முதல் 1011 வரை சாத்தியமாகும். நெர்ன்ஸ்ட் சமன்பாடு மிகக் குறைந்த அல்லது மிக உயர்ந்த pH இல் உடைவதால் வரம்புகள் எழுகின்றன. கணக்கிடப்பட்ட சமநிலை மாறிலிகள் சார்ந்த அளவீடுகளைப் பெற ஒரு கண்ணாடி மின்முனை பயன்படுத்தப்படும்போது, கணக்கிடப்பட்ட அளவுருக்களின் துல்லியம் மின்முனையில் உள்ள திரவ சந்திப்பு ஆற்றல்களின் மாறுபாடு போன்ற இரண்டாம் நிலை விளைவுகளால் வரையறுக்கப்படுகிறது. நடைமுறையில் ± 0.001 ஐ விட சிறந்த பதிவு β க்கான துல்லியத்தைப் பெறுவது கிட்டத்தட்ட சாத்தியமற்றது. ஸ்பெக்ட்ரோஃபோட்டோமெட்ரிக் அளவீடுகள் உறிஞ்சுதல் பீர்-லம்பர்ட் விதி பொருந்தும் என்று கருதப்படுகிறது. ஒளியியல் பாதை நீளம் எங்கே, அலகு பாதை நீளத்தில் ஒரு மோலார் உறிஞ்சுதல் மற்றும் ஒரு செறிவு ஆகும். ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட இனங்கள் உறிஞ்சுதலுக்கு பங்களிக்கக்கூடும். கொள்கையளவில் உறிஞ்சுதல் ஒரு அலைநீளத்தில் மட்டுமே அளவிடப்படலாம், ஆனால் இன்றைய நடைமுறையில் முழுமையான நிறமாலையை பதிவு செய்வது பொதுவானது. வரம்பு மற்றும் வரம்புகள் பொதுவாக 4 இன் மேல் வரம்பு மேற்கோள் காட்டப்படுகிறது, இது அளவீடுகளின் துல்லியத்துடன் தொடர்புடையது, ஆனால் இது விளைவு எவ்வளவு தீவிரமானது என்பதையும் சார்ந்துள்ளது. பங்களிக்கும் இனங்களின் நிறமாலை ஒருவருக்கொருவர் ஃப்ளோரசன்ஸ் (ஒளிரும்) தீவிரத்திலிருந்து தெளிவாக வேறுபட்டிருக்க வேண்டும் சிதறிய ஒளி தீவிரம் என்பது இனங்களின் செறிவுகளின் நேரியல் செயல்பாடு என்று கருதப்படுகிறது. விகிதாசார மாறிலி எங்கே. வரம்பு மற்றும் வரம்புகள் மாறிலியின் அளவு ஒரு இனத்திற்கு மோலார் அழிவு குணகம், ε இன் மதிப்பை விட அதிகமாக இருக்கலாம். இது அவ்வாறு இருக்கும்போது, அந்த இனத்திற்கான கண்டறிதல் வரம்பு குறைவாக இருக்கும். அதிக கரைசல் செறிவுகளில், சிதறிய கதிர்வீச்சின் சுய-உறிஞ்சுதல் காரணமாக செறிவைப் பொறுத்தவரை ஃப்ளோரசன்ஸ் தீவிரம் நேரியல் அல்லாததாக மாறுகிறது. என்எம்ஆர் வேதியியல் மாற்ற அளவீடுகள் வேதியியல் பரிமாற்றம் என்எம்ஆர் நேர அளவில் விரைவானதாக கருதப்படுகிறது. ஒரு தனிப்பட்ட இரசாயன மாற்றம் என்பது பங்களிப்பு இனங்களில் கருக்களின் மாற்றங்களின் மச்ச-பின்னம்-எடையுள்ள சராசரி ஆகும். எடுத்துக்காட்டுஃ சிட்ரிக் அமிலத்தில் உள்ள ஹைட்ராக்சில் குழுவின் பி. கே. ஏ 13 சி வேதியியல் மாற்ற தரவுகளிலிருந்து 14,4 ஆக தீர்மானிக்கப்பட்டுள்ளது. இந்த தீர்மானத்திற்கு பொட்டென்ஷியோமெட்ரி அல்லது புற ஊதா-புலப்படும் ஸ்பெக்ட்ரோஸ்கோபி பயன்படுத்தப்பட முடியாது. வேதியியல் மாற்ற அளவீடுகளின் வரம்பு மற்றும் வரம்புகள் வரையறுக்கப்பட்ட துல்லியம் சுமார் 4 இன் மேல் வரம்பை வைக்கிறது. டயமக்னடிக் அமைப்புகளுக்கு மட்டுப்படுத்தப்பட்டுள்ளது. 1H2O இல் உள்ள சேர்மங்களின் கரைசல்களுடன் 1H NMR ஐப் பயன்படுத்த முடியாது. கலோரிமெட்ரிக் அளவீடுகள் 1:1 இணைப்புகளின் ஒரே நேரத்தில் அளவீடு ஐசோதெர்மல் டைட்டரேஷன் கலோரிமெட்ரியைப் பயன்படுத்தி வழக்கமாக மேற்கொள்ளப்படுகிறது. மிகவும் சிக்கலான அமைப்புகளுக்கான விரிவாக்கம் பொருத்தமான மென்பொருள் கிடைப்பதன் மூலம் மட்டுப்படுத்தப்பட்டுள்ளது. வரம்பு மற்றும் வரம்புகள் போதுமான சான்றுகள் தற்போது கிடைக்கவில்லை. போட்டி முறை ஒரு நிலைத்தன்மை மாறிலி மதிப்பு ஒரு நேரடி முறையால் தீர்மானிக்க முடியாத அளவுக்கு அதிகமாக இருக்கும்போது போட்டி முறை பயன்படுத்தப்படலாம். உலோக அயனிகளுடன் EDTA இன் வளாகங்களின் நிலைத்தன்மை மாறிலிகளை தீர்மானிப்பதில் இது முதன்முதலில் ஸ்வார்ஸென்பாக் என்பவரால் பயன்படுத்தப்பட்டது. எளிமைக்காக, மற்றொரு வினையூக்கி B உடன் ஒரு வினையூக்கி A இன் பைனரி காம்ப்ளக்ஸ், AB இன் நிலைத்தன்மை மாறிலியின் தீர்மானத்தை கருத்தில் கொள்ளுங்கள், அங்கு [X] கொடுக்கப்பட்ட கலவையின் கரைசலில் ஒரு இனத்தின் X இன் செறிவு, சமநிலையில் குறிக்கிறது. ஒரு தசைநார் சி தேர்ந்தெடுக்கப்படுகிறது, இது ஏ உடன் பலவீனமான வளாகத்தை உருவாக்குகிறது ஸ்திரத்தன்மை மாறிலி, கேஏசி, ஒரு நேரடி முறையால் தீர்மானிக்கப்படும் அளவுக்கு சிறியது. எடுத்துக்காட்டாக, EDTA காம்ப்ளக்ஸ் விஷயத்தில் A என்பது ஒரு உலோக அயனி மற்றும் C என்பது டைஎதிலெனெட்ரியமைன் போன்ற பாலியமைனாக இருக்கலாம். நிலைத்தன்மை மாறிலி, போட்டி எதிர்வினைக்கு K ஐ வெளிப்படுத்தலாம், இது போட்டி எதிர்வினைக்கு K என்பது நிலைத்தன்மை மாறிலி என்பதைப் பின்பற்றுகிறது. எனவே, நிலைத்தன்மை மாறிலியின் மதிப்பு K மற்றும் சோதனை ரீதியாக தீர்மானிக்கப்பட்ட மதிப்புகளிலிருந்து பெறப்படலாம். கணக்கீட்டு முறைகள் சேகரிக்கப்பட்ட சோதனைத் தரவு தரவு புள்ளிகளின் தொகுப்பைக் கொண்டுள்ளது என்று கருதப்படுகிறது. ஒவ்வொரு தரவு புள்ளியிலும், எதிர்வினைகளின் பகுப்பாய்வு செறிவுகள் போன்றவை. அளவிடப்பட்ட அளவுடன் அறியப்படுகின்றன, இது இந்த பகுப்பாய்வு செறிவுகளில் ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்டவற்றைப் பொறுத்தது. ஒரு பொதுவான கணக்கீட்டு செயல்முறை நான்கு முக்கிய கூறுகளைக் கொண்டுள்ளதுஃ சமநிலையின் ஒரு இரசாயன மாதிரியின் வரையறை ஒவ்வொரு கரைசலிலும் உள்ள அனைத்து இரசாயன இனங்களின் செறிவுகளின் கணக்கீடு சமநிலை மாறிலிகளின் சுத்திகரிப்பு மாதிரி தேர்வு ஒரு புரவலன்-விருந்தினர் இனங்கள் போன்ற 1:1 வளாகத்தை உருவாக்குவதற்கான சமநிலை மாறிலியின் மதிப்பு, ஒரு பிரத்யேக விரிதாள் பயன்பாட்டைக் கொண்டு கணக்கிடப்படலாம், பிண்ட்ஃபிட்ஃ இந்த விஷயத்தில் படி 2 ஐ மீண்டும் மீண்டும் செய்யாத செயல்முறையுடன் செய்யலாம் மற்றும் முன் திட்டமிடப்பட்ட வழக்கமான தீர்வியை படி 3 க்கு பயன்படுத்தலாம். இரசாயன மாதிரி இரசாயன மாதிரியில் கரைசலில் இருக்கும் இரசாயன இனங்களின் தொகுப்பு உள்ளது, எதிர்வினை கலவையில் சேர்க்கப்படும் எதிர்வினைகள் மற்றும் அவற்றிலிருந்து உருவாகும் சிக்கலான இனங்கள் இரண்டும் உள்ளன. எதிர்வினைகளை A, B ஆல் குறிக்கும் வகையில், ஒவ்வொரு சிக்கலான இனமும் அவற்றை உருவாக்கும் எதிர்வினைகளின் குறிப்பிட்ட கலவையை தொடர்புபடுத்தும் ஸ்டோச்சியோமெட்ரிக் குணகங்களால் குறிப்பிடப்படுகின்றன. {\mathit p A} + \mathit q B \cdot <=> A _ \mathit {p} B _ \mathit {q} \cdot: பொது-நோக்க கணினி நிரல்களைப் பயன்படுத்தும் போது, மேலே காட்டப்பட்டுள்ளபடி, ஒட்டுமொத்த இணைப்பு மாறிலிகளைப் பயன்படுத்துவது வழக்கம். இது போன்ற பொதுவான வெளிப்பாடுகளில் மின் கட்டணங்கள் காட்டப்படுவதில்லை, மேலும் குறியீட்டின் எளிமைக்காக குறிப்பிட்ட வெளிப்பாடுகளிலிருந்து பெரும்பாலும் தவிர்க்கப்படுகின்றன. உண்மையில், மின் கட்டணங்கள் சமநிலை செயல்முறைகளில் எந்த தாக்கத்தையும் ஏற்படுத்தாது, மற்றபடி அனைத்து அமைப்புகளிலும் ஒட்டுமொத்த மின் நடுநிலைமை தேவைப்படுகிறது. நீரிய கரைசல்களுடன் புரோட்டான் (ஹைட்ரோனியம் அயனி) மற்றும் ஹைட்ராக்சைடு அயனியின் செறிவுகள் நீரின் சுய-பிரிவினையால் கட்டுப்படுத்தப்படுகின்றன. H2O <=> H + + OH-: நீர்த்த கரைசல்களுடன் நீரின் செறிவு நிலையானதாகக் கருதப்படுகிறது, எனவே சமநிலை வெளிப்பாடு நீரின் அயனி தயாரிப்பு வடிவத்தில் எழுதப்படுகிறது. H + மற்றும் OH− ஆகிய இரண்டும் எதிர்வினைகளாக கருதப்பட வேண்டியிருக்கும் போது, அவற்றில் ஒன்று மற்றொன்றின் செறிவிலிருந்து அதன் செறிவு பெறப்பட வேண்டும் என்பதைக் குறிப்பிடுவதன் மூலம் மாதிரியிலிருந்து அகற்றப்படுகிறது. பொதுவாக ஹைட்ராக்சைடு அயனியின் செறிவு பின்வருமாறு வழங்கப்படுகிறது இந்த விஷயத்தில் ஹைட்ராக்சைடு உருவாவதற்கான சமநிலை மாறிலி புரோட்டனைப் பொறுத்தவரை-1 மற்றும் பிற எதிர்வினைகளுக்கு பூஜ்ஜியத்தை கொண்டுள்ளது. இது நீரிய கரைசலில் உள்ள அனைத்து புரோட்டோனேஷன் சமநிலைக்கும், குறிப்பாக நீராற்பகுப்பு மாறிலிகளுக்கும் முக்கியமான தாக்கங்களைக் கொண்டுள்ளது. செறிவுகள் மிகக் குறைவாகக் கருதப்படும் அந்த இனங்களை மாதிரியிலிருந்து தவிர்ப்பது மிகவும் பொதுவானது. எடுத்துக்காட்டாக, எதிர்வினைகள் மற்றும்/அல்லது வளாகங்கள் மற்றும் நிலையான அயனி வலிமையை பராமரிக்கப் பயன்படுத்தப்படும் எலக்ட்ரோலைட் அல்லது நிலையான pH ஐ பராமரிக்கப் பயன்படுத்தப்படும் இடையகத்திற்கு இடையே எந்த தொடர்பும் இல்லை என்று பொதுவாக கருதப்படுகிறது. இந்த அனுமானங்கள் நியாயப்படுத்தப்படலாம் அல்லது நியாயப்படுத்தப்படாமலும் இருக்கலாம். மேலும், வேறு எந்த சிக்கலான இனங்களும் இல்லை என்று மறைமுகமாக கருதப்படுகிறது. சிக்கல்கள் தவறாக புறக்கணிக்கப்படும்போது கணக்கீடுகளில் ஒரு முறையான பிழை அறிமுகப்படுத்தப்படுகிறது. சமநிலை மாறிலி மதிப்புகள் பொதுவாக தரவு ஆதாரங்களைக் குறிப்பதன் மூலம் ஆரம்பத்தில் மதிப்பிடப்படுகின்றன. ஸ்பெசியேஷன் கணக்கீடுகள் ஒரு ஸ்பெசியேஷன் கணக்கீடு என்பது ஒரு சமநிலை அமைப்பில் உள்ள அனைத்து இனங்களின் செறிவுகளும் கணக்கிடப்படுகின்றன, பகுப்பாய்வு செறிவுகள், டிஏ, டிபி போன்றவற்றை அறிந்துகொள்வது. எதிர்வினைகள் ஏ, பி போன்றவை. இதன் பொருள் இலவச செறிவுகள் [A], [B] போன்றவற்றுக்கான வெகுஜன சமநிலையின் நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளின் தொகுப்பைத் தீர்ப்பது. pH (அல்லது அதற்கு சமமான எ. எம். எஃப், ஈ) அளவிடப்படும்போது, ஹைட்ரஜன் அயனிகளின் இலவச செறிவு, [H], அளவிடப்பட்ட மதிப்பிலிருந்து பெறப்படுகிறது அல்லது மற்ற எதிர்வினைகளின் இலவச செறிவுகள் மட்டுமே கணக்கிடப்படுகின்றன. சிக்கல்களின் செறிவுகள் இரசாயன மாதிரி வழியாக இலவச செறிவுகளிலிருந்து பெறப்படுகின்றன. சில எழுத்தாளர்கள் அடையாள (அலகு) மாறிலிகளை அறிவிப்பதன் மூலம் தொகைகளில் இலவச எதிர்வினை சொற்களைச் சேர்க்கின்றனர், இதற்காக ஸ்டோச்சியோமெட்ரிக் குணகங்கள் சம்பந்தப்பட்ட எதிர்வினைக்கு 1 ஆகவும், மற்ற அனைத்து எதிர்வினைகளுக்கும் பூஜ்ஜியமாகவும் உள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக, 2 வினையூக்கிகளுடன், வெகுஜன-சமநிலை சமன்பாடுகள் எளிமையான வடிவத்தை எடுத்துக்கொள்கின்றன. இந்த முறையில், ஃப்ரீ ரியாக்டண்டுகள் உட்பட அனைத்து இரசாயன இனங்களும், ஸ்டோச்சியோமெட்ரிக் குணகங்களால் குறிப்பிடப்பட்ட எதிர்வினைகளின் கலவையிலிருந்து உருவாக்கப்பட்ட அதே வழியில் நடத்தப்படுகின்றன. ஒரு டைட்டரேஷன் அமைப்பில் ஒவ்வொரு டைட்டரேஷன் புள்ளியிலும் எதிர்வினைகளின் பகுப்பாய்வு செறிவுகள் ஆரம்ப நிபந்தனைகள், பியூரேட் செறிவுகள் மற்றும் தொகுதிகளிலிருந்து பெறப்படுகின்றன. R0 என்பது டைட்டரேஷன் பாத்திரத்தில் R இன் ஆரம்ப அளவு, ஆரம்ப தொகுதி, [R] என்பது பியூரேட்டில் உள்ள R இன் செறிவு மற்றும் சேர்க்கப்பட்ட தொகுதி ஆகியவற்றின் மூலம் th டைட்டரேஷன் புள்ளியில் ஒரு எதிர்வினை R இன் பகுப்பாய்வு (மொத்த) செறிவு வழங்கப்படுகிறது. பியூரேட்டில் இல்லாத ஒரு எதிர்வினையின் பியூரேட் செறிவு பூஜ்ஜியமாக கருதப்படுகிறது. பொதுவாக, இந்த நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது ஒரு வலிமையான சவாலை முன்வைக்கிறது, ஏனெனில் இலவச செறிவுகள் மாறுபடலாம். ஆரம்பத்தில், இலவச செறிவுகளுக்கான மதிப்புகள் மதிப்பிடப்பட வேண்டும். பின்னர், இந்த மதிப்புகள் பொதுவாக நியூட்டன்-ராப்சன் மறு செய்கைகள் மூலம் சுத்திகரிக்கப்படுகின்றன. இலவச செறிவுகளின் மடக்கை இலவச செறிவுகளை விட சுத்திகரிக்கப்படலாம். இலவச செறிவுகளின் மடக்கைச் செம்மைப்படுத்துவது இலவச செறிவுகளில் தானாகவே எதிர்மறை அல்லாத கட்டுப்பாட்டை விதிப்பதன் கூடுதல் நன்மையைக் கொண்டுள்ளது. இலவச எதிர்வினை செறிவுகள் கணக்கிடப்பட்டவுடன், வளாகங்களின் செறிவுகள் அவற்றிலிருந்தும் சமநிலை மாறிலிகளிலிருந்தும் பெறப்படுகின்றன. சமநிலை நிலையான சுத்திகரிப்பு செயல்பாட்டில் இலவச எதிர்வினை செறிவுகள் மறைமுகமான அளவுருக்களாக கருதப்படலாம் என்பதை நினைவில் கொள்க. அந்த சூழலில், செயல்முறையின் அனைத்து நிலைகளிலும் வெகுஜன சமநிலையின் நிபந்தனைகளைப் பயன்படுத்த கட்டாயப்படுத்துவதன் மூலம் இலவச செறிவுகளின் மதிப்புகள் கட்டுப்படுத்தப்படுகின்றன. சமநிலை நிலையான சுத்திகரிப்பு சுத்திகரிப்பு செயல்முறையின் நோக்கம் சோதனைத் தரவுகளுக்கு சிறந்த பொருத்தத்தைக் கொடுக்கும் சமநிலை நிலையான மதிப்புகளைக் கண்டுபிடிப்பதாகும். இது பொதுவாக ஒரு புறநிலை செயல்பாட்டைக் குறைப்பதன் மூலம், நேரியல் அல்லாத குறைந்தபட்ச சதுரங்களின் முறை மூலம் அடையப்படுகிறது. முதலில் எஞ்சியவை இவ்வாறு வரையறுக்கப்படுகின்றன பின்னர் மிகவும் பொதுவான புறநிலை செயல்பாடு எடைகளின் மேட்ரிக்ஸ் மூலம் வழங்கப்படுகிறது,, வெறுமனே, அவதானிப்புகளின் மாறுபாடு-கோவேரியன்ஸ் மேட்ரிக்ஸின் தலைகீழாக இருக்க வேண்டும். இது தெரிந்திருப்பது அரிது. இருப்பினும், அது இருக்கும்போது, U இன் எதிர்பார்ப்பு மதிப்பு ஒன்று, அதாவது தரவு சோதனை பிழையில் பொருத்தப்பட்டுள்ளது. பெரும்பாலும் மூலைவிட்ட கூறுகள் மட்டுமே அறியப்படுகின்றன, இந்த விஷயத்தில் புறநிலை செயல்பாடு எப்போது என்பதை எளிதாக்குகிறது. அலகு எடைகள்,, பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, ஆனால், அந்த விஷயத்தில், எதிர்பார்ப்பு மதிப்பு சோதனை பிழைகளின் மூல சராசரி சதுரமாகும். காஸ்-நியூட்டன் முறையைப் பயன்படுத்தி மினிமைசேஷன் செய்யப்படலாம். முதலாவதாக, ஒரு ஆரம்ப அளவுரு தொகுப்பைப் பற்றிய முதல்-வரிசை டெய்லர் தொடர் விரிவாக்கமாக தோராயமாக மதிப்பிடுவதன் மூலம் புறநிலை செயல்பாடு நேரியல் செய்யப்படுகிறது. குறைவானது போன்ற தொடர்புடைய ஆரம்ப அளவுருக்களில் அதிகரிப்புகள் சேர்க்கப்படுகின்றன. குறைந்தபட்சம் ஜாகோபியன் மேட்ரிக்ஸின் கூறுகளுடன் தொடர்புடைய வழித்தோன்றல்கள், சுத்திகரிப்பின் th அளவுருவாக இருக்கும் போது, பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம். ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட சமநிலை மாறிலிகள் சுத்திகரிப்பின் அளவுருக்களாக இருக்கலாம். இருப்பினும், அளவிடப்பட்ட அளவுகள் (மேலே காண்க) சமநிலை மாறிலிகளின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தப்படுவதில்லை, ஆனால் இனங்களின் செறிவுகளின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன, அவை இந்த அளவுருக்களின் உள்ளார்ந்த செயல்பாடுகளாகும். எனவே, ஜாகோபியன் கூறுகள் மறைமுகமான வேறுபாட்டைப் பயன்படுத்தி பெறப்பட வேண்டும். குறைந்தபட்ச நிபந்தனைகளிலிருந்து பெறப்பட்ட இயல்பான சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதன் மூலம் அளவுரு அதிகரிப்புகள் கணக்கிடப்படுகின்றன. ஒரு மறு செய்கை எண் இருக்கும் அளவுருக்களில் அதிகரிப்புகள் மீண்டும் மீண்டும் சேர்க்கப்படுகின்றன. இனங்களின் செறிவுகள் மற்றும் மதிப்புகள் ஒவ்வொரு தரவு புள்ளியிலும் மறுபரிசீலனை செய்யப்படுகின்றன. குறிப்பிடத்தக்க குறைப்பு அடையப்படாத வரை, அதாவது ஒரு ஒருங்கிணைப்பு அளவுகோல் திருப்தி அடையும் வரை மறு செய்கைகள் தொடரும். இருப்பினும், புதுப்பிக்கப்பட்ட அளவுருக்கள் புறநிலை செயல்பாட்டைக் குறைக்கவில்லை என்றால், அதாவது, வேறுபாடு ஏற்பட்டால், அதிகரிப்பு கணக்கீடு மாற்றியமைக்கப்பட வேண்டும். எளிமையான மாற்றம், கணக்கிடப்பட்ட அதிகரிப்பின் ஒரு பின்னத்தைப் பயன்படுத்துவதாகும், இது ஷிப்ட்-கட்டிங் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த வழக்கில், ஷிப்ட் திசையனின் திசை,, மாறாமல் உள்ளது. மறுபுறம், மிகவும் சக்திவாய்ந்த லெவென்பெர்க்-மார்க்வார்ட் வழிமுறையுடன், ஷிப்ட் வெக்டர் செங்குத்தான இறங்கு திசையை நோக்கி சுழற்றப்படுகிறது, இயல்பான சமன்பாடுகளை மாற்றியமைப்பதன் மூலம், மார்க்வார்ட் அளவுரு எங்கே மற்றும் ஒரு அடையாள அணி. வேறுபாடுகளைக் கையாள்வதற்கான பிற முறைகள் முன்மொழியப்பட்டுள்ளன. என்எம்ஆர் மற்றும் ஸ்பெக்ட்ரோஃபோட்டோமெட்ரிக் தரவுகளில் ஒரு குறிப்பிட்ட சிக்கல் எழுகிறது. பிந்தையதைப் பொறுத்தவரை, கவனிக்கப்பட்ட அளவு உறிஞ்சுதல், மற்றும் பீர்-லாம்பர்ட் சட்டத்தை இவ்வாறு எழுதலாம் செறிவுகள், சி, அறியப்படுகின்றன என்று கருதி, உறிஞ்சுதல், கொடுக்கப்பட்ட அலைநீளம் மற்றும் பாதை நீளத்தில், மோலார் உறிஞ்சுதலின் ஒரு நேரியல் செயல்பாடு,. 1 செமீ பாதை நீளத்துடன், மேட்ரிக்ஸ் குறியீட்டில் அறியப்படாத மோலார் உறிஞ்சுதல்களைக் கணக்கிட இரண்டு அணுகுமுறைகள் உள்ளன (1) மதிப்புகள் மினிமைசேஷனின் அளவுருக்களாகக் கருதப்படுகின்றன, மேலும் ஜாகோபியன் அந்த அடிப்படையில் கட்டமைக்கப்பட்டுள்ளது. இருப்பினும், மதிப்புகள் சுத்திகரிப்பின் ஒவ்வொரு கட்டத்திலும் நேரியல் குறைந்தபட்ச-சதுரங்களால் கணக்கிடப்படுகின்றனஃ சமநிலை மாறிலிகளின் சுத்திகரிக்கப்பட்ட மதிப்புகளைப் பயன்படுத்தி இனப்பெருக்கம் பெறுகின்றன. மேட்ரிக்ஸ் ஒரு போலி-தலைகீழ் ஒரு எடுத்துக்காட்டு. மோலார் உறிஞ்சுதல் மற்றும் சமநிலை மாறிலிகள் ஆகிய இரண்டிற்கும் அளவுரு அதிகரிப்புகளை இயல்பான சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதன் மூலம் கணக்கிட முடியும் வகையில் போலி-தலைகீழ் எவ்வாறு வேறுபடுத்தப்படலாம் என்பதை கோலப் மற்றும் பெரேரா காட்டினர். (2) பீர்-லாம்பர்ட் விதி இவ்வாறு எழுதப்படுகிறதுஃ அனைத்து "வண்ண" இனங்களின் அறியப்படாத மோலார் உறிஞ்சுதல்கள் ஒரு நேரத்தில் ஒரு அலைநீளம், நேரியல் குறைந்தபட்ச சதுரங்களின் மறு செய்கை அல்லாத முறையைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் காணப்படுகின்றன. ஒவ்வொரு சுத்திகரிப்பு சுழற்சிக்கும் ஒரு முறை கணக்கீடுகள் செய்யப்படுகின்றன, மேட்ரிக்ஸில் உள்ள இனங்களின் செறிவு மதிப்புகளைக் கணக்கிட அந்த சுத்திகரிப்பு சுழற்சியில் பெறப்படும் நிலைத்தன்மை நிலையான மதிப்புகளைப் பயன்படுத்துகின்றன. அளவுரு பிழைகள் மற்றும் தொடர்பு குறிக்கோள் செயல்பாட்டின் குறைந்தபட்சத்திற்கு நெருக்கமான பகுதியில், அமைப்பு ஒரு நேரியல் குறைந்தபட்ச-சதுர அமைப்புக்கு தோராயமாக உள்ளது, எனவே, அளவுரு மதிப்புகள் (தோராயமாக) கவனிக்கப்பட்ட தரவு மதிப்புகளின் நேரியல் சேர்க்கைகள் மற்றும் அளவுருக்களில் உள்ள பிழைகள், நேரியல் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி அவதானிப்புகளிலிருந்து பிழை பரப்புவதன் மூலம் பெறப்படலாம். அவதானிப்புகளுக்கான மாறுபாடு-கோவேரியன்ஸ் மேட்ரிக்ஸ் மற்றும் அளவுருக்களின் மூலம் குறிக்கப்படட்டும். பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில் அவதானிப்புகளில் உள்ள பிழைகள் தொடர்பில்லாதவை, எனவே அது மூலைவிட்டமானது. அப்படியானால், ஒவ்வொரு எடையும் தொடர்புடைய அவதானிப்பின் மாறுபாட்டின் பரஸ்பரமாக இருக்க வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு பொட்டென்ஷியோமெட்ரிக் டைட்டேஷனில், ஒரு டைட்டேஷன் புள்ளியில் உள்ள எடை, மின்முனை ஆற்றல் அல்லது pH இல் உள்ள பிழை எங்கே என்பதைக் கொண்டு கொடுக்கப்படலாம், இது டைட்டேஷன் வளைவின் சாய்வு மற்றும் சேர்க்கப்பட்ட அளவின் பிழை. அலகு எடைகள் பயன்படுத்தப்படும்போது (,) சோதனை பிழைகள் தொடர்பற்றவை மற்றும் அனைத்தும் சமமானவைஃ, இது அலகு எடையைக் கவனிப்பதன் மாறுபாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் இது ஒரு அடையாள மேட்ரிக்ஸ் ஆகும். இந்த வழக்கில் புறநிலை செயல்பாட்டின் குறைந்தபட்ச மதிப்பு எங்கே மற்றும் முறையே தரவு மற்றும் அளவுருக்களின் எண்ணிக்கை மூலம் தோராயமாக மதிப்பிடப்படுகிறது. அனைத்து சந்தர்ப்பங்களிலும், அளவுருவின் மாறுபாடு மற்றும் அளவுருக்களுக்கு இடையிலான கோவேரியன்ஸ் மூலம் வழங்கப்படுகிறது மற்றும் இதன் மூலம் வழங்கப்படுகிறது. நிலையான விலகல் என்பது மாறுபாட்டின் வர்க்கமூலமாகும். இந்த பிழை மதிப்பீடுகள் அளவீடுகளில் சீரற்ற பிழைகளை மட்டுமே பிரதிபலிக்கின்றன. அளவுருக்களில் உண்மையான நிச்சயமற்ற தன்மை முறையான பிழைகள் இருப்பதால் பெரியது-இது வரையறையின்படி அளவிட முடியாது. அவதானிப்புகள் தொடர்பில்லாதவையாக இருந்தாலும், அளவுருக்கள் எப்போதும் தொடர்புபடுத்தப்படுகின்றன என்பதை நினைவில் கொள்க. பெறப்பட்ட மாறிலிகள் ஒட்டுமொத்த மாறிலிகள் சுத்திகரிக்கப்படும்போது, அவற்றிலிருந்து படிப்படியான மாறிலிகளைப் பெறுவது பெரும்பாலும் பயனுள்ளதாக இருக்கும். பொதுவான செயல்முறை என்னவென்றால், சம்பந்தப்பட்ட அனைத்து மாறிலிகளுக்கும் வரையறுக்கும் வெளிப்பாடுகளை எழுதி, பின்னர் செறிவுகளை சமன் செய்வது. எடுத்துக்காட்டாக, சிட்ரிக் அமிலம் போன்ற ட்ரைபாசிக் அமிலமான LH3 இலிருந்து ஒரு புரோட்டனை அகற்றுவதற்கு pKa ஐப் பெற ஒருவர் விரும்புகிறார் என்று வைத்துக்கொள்வோம். LH3 ஐ உருவாக்குவதற்கான படிப்படியான சங்க மாறிலி LH3 இன் செறிவுகளுக்கான வெளிப்பாடுகளை மாற்றுவதன் மூலம் வழங்கப்படுகிறது, மேலும் இந்த சமன்பாட்டில் அதன் மதிப்பு pK மற்றும் log β க்கான தலைகீழ் எண்ணை குறிப்பு மூலம் கொடுக்கப்படுவதால். படிப்படியான மாறிலியில் பிழையைக் கணக்கிடும்போது, ஒட்டுமொத்த மாறிலிகள் ஒன்றோடொன்று தொடர்புடையவை என்ற உண்மை கணக்கிடப்பட வேண்டும். பிழை பரப்புதல் மற்றும் மாதிரி தேர்வு மூலம் ஒரு சுத்திகரிப்பு முடிந்ததும், தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட மாதிரி ஏற்றுக்கொள்ளத்தக்கதா என்பதை சரிபார்க்க முடிவுகளை சரிபார்க்க வேண்டும். பொதுவாக, சோதனை பிழைகளுக்குள் தரவு பொருத்தப்படும்போது ஒரு மாதிரி ஏற்றுக்கொள்ளப்படுகிறது, ஆனால் தீர்ப்பை வழங்க பயன்படுத்த ஒற்றை அளவுகோல் இல்லை. பின்வருவனவற்றைக் கருத்தில் கொள்ள வேண்டும். புறநிலை செயல்பாடு சோதனை பிழையின் மதிப்பீடுகளிலிருந்து எடைகள் சரியாக பெறப்படும்போது, அதன் எதிர்பார்ப்பு மதிப்பு 1 ஆகும். எனவே சோதனை பிழைகளை மதிப்பிடுவதும் அவர்களிடமிருந்து சில நியாயமான எடைகளைப் பெறுவதும் மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும், ஏனெனில் இது பொருத்தத்தின் நன்மையின் முழுமையான குறிகாட்டியாகும். அலகு எடைகள் பயன்படுத்தப்படும்போது, அனைத்து அவதானிப்புகளும் ஒரே மாறுபாட்டைக் கொண்டுள்ளன என்பதைக் குறிக்கிறது. அந்த மாறுபாட்டிற்கு சமமாக இருக்கும் என்று எதிர்பார்க்கப்படுகிறது. அளவுரு பிழைகள் நிலைத்தன்மை மாறிலிகளில் உள்ள பிழைகள் தோராயமாக சோதனை பிழையுடன் ஒத்திருக்க வேண்டும் என்று ஒருவர் விரும்புவார். எடுத்துக்காட்டாக, pH டைட்டரேஷன் தரவுகளுடன், pH 2 தசம இடங்களில் அளவிடப்பட்டால், பிழைகள் 0.01 ஐ விட அதிகமாக இருக்கக்கூடாது. தற்போதுள்ள உயிரினங்களின் தன்மை முன்கூட்டியே அறியப்படாத ஆய்வுப் பணிகளில், பல்வேறு இரசாயன மாதிரிகள் சோதிக்கப்பட்டு ஒப்பிடப்படலாம். ஒரு சமநிலை மாறிலியின் சிறந்த மதிப்பீட்டில் நிச்சயமற்ற தன்மைகள் ஓரளவு அல்லது கணிசமாக பெரியதாக இருக்கும் மாதிரிகள் இருக்கும், குறிப்பாக ஒப்பீட்டளவில் சிறிய இனங்களின் உருவாக்கத்தை நிர்வகிக்கும் அந்த மாறிலிகளுடன், ஆனால் எவ்வளவு பெரியது என்பது பற்றிய முடிவு ஏற்றுக்கொள்ளத்தக்கதாக இருக்கும். ஒரு மாதிரியில் ஒப்பீட்டளவில் நிச்சயமற்ற சமநிலையை சேர்ப்பதா இல்லையா என்பதற்கான முடிவு செயல்முறை மற்றும் பொதுவாக போட்டியிடும் மாதிரிகளின் ஒப்பீட்டிற்காக, குறிக்கோள் செய்யப்படலாம் மற்றும் ஹாமில்டனால் கோடிட்டுக் காட்டப்பட்டுள்ளது. எஞ்சியவற்றின் விநியோகம் அமைப்பில் குறைந்தபட்சம் ஒரு நேரியல் ஒன்றுக்கு தோராயமாக மதிப்பிடப்படலாம், அலகு எடைகளின் விஷயத்தில் எஞ்சியவை அவதானிப்புகளுடன் தொடர்புடையவை சமச்சீர், தனித்துவமான அணி புள்ளிவிவர இலக்கியத்தில் தொப்பி அணி என்று அழைக்கப்படுகிறது. எனவே, மற்றும் ஒரு அடையாள அணி எங்கே மற்றும் மற்றும் முறையே எஞ்சிய மற்றும் அவதானிப்புகளின் மாறுபாடு-சக மாறுபாடு மேட்ரிக்ஸ்கள். அவதானிப்புகள் தொடர்பற்றதாக இருந்தாலும், எஞ்சியவை எப்போதும் ஒன்றோடொன்று தொடர்புடையவை என்பதை இது காட்டுகிறது. வலதுபுறத்தில் உள்ள வரைபடம் Ni (Gly) +, Ni (Gly) 2 மற்றும் (இங்கு GlyH = கிளைசின்) ஆகியவற்றின் நிலைத்தன்மை மாறிலிகளின் சுத்திகரிப்பின் விளைவைக் காட்டுகிறது. கவனிக்கப்பட்ட மதிப்புகள் ஒரு நீல வைரங்களைக் காட்டுகின்றன, மேலும் மொத்த நிக்கல் சதவீதத்தில் இனங்களின் செறிவுகள் மிகைப்படுத்தப்படுகின்றன. எஞ்சியவை கீழ் பெட்டியில் காட்டப்பட்டுள்ளன. எஞ்சியவை எதிர்பார்த்தபடி சீரற்ற முறையில் விநியோகிக்கப்படுவதில்லை. இது திரவ சந்தி ஆற்றல்களின் மாறுபாடு மற்றும் கண்ணாடி/திரவ இடைமுகங்களில் பிற விளைவுகளால் ஏற்படுகிறது. சமநிலை நிறுவப்படும் விகிதத்துடன் ஒப்பிடும்போது அந்த விளைவுகள் மிகவும் மெதுவாக உள்ளன. இயற்பியல் கட்டுப்பாடுகள் சில இயற்பியல் கட்டுப்பாடுகள் பொதுவாக கணக்கீடுகளில் இணைக்கப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, ஃப்ரீ ரியாக்டண்டுகள் மற்றும் இனங்களின் அனைத்து செறிவுகளும் நேர்மறை மதிப்புகளைக் கொண்டிருக்க வேண்டும் மற்றும் அசோசியேஷன் மாறிலிகள் நேர்மறை மதிப்புகளைக் கொண்டிருக்க வேண்டும். ஸ்பெக்ட்ரோஃபோட்டோமெட்ரிக் தரவுகளுடன் கணக்கிடப்பட்ட மோலார் உறிஞ்சுதல் (அல்லது உமிழ்வு) மதிப்புகள் அனைத்தும் நேர்மறையாக இருக்க வேண்டும். பெரும்பாலான கணினி நிரல்கள் கணக்கீடுகளில் இந்த தடையை விதிக்கவில்லை. உலோக-லிகாண்ட் வளாகங்களின் நிலைத்தன்மை மாறிலிகளை தீர்மானிக்கும் போது, உலோகம் இல்லாத தீர்வுகளிலிருந்து பெறப்பட்ட தரவைப் பயன்படுத்தி தீர்மானிக்கப்பட்ட மதிப்புகளில் லிகாண்ட் புரோட்டோனேஷன் மாறிலிகளை சரிசெய்வது பொதுவான நடைமுறையாகும். உலோக அயனிகளின் நீராற்பகுப்பு மாறிலிகள் பொதுவாக ஈந்தணைவற்ற கரைசல்களைப் பயன்படுத்தி பெறப்பட்ட மதிப்புகளில் சரிசெய்யப்படுகின்றன. முக்கோணச் சிக்கல்களுக்கான நிலைத்தன்மை மாறிலிகளைத் தீர்மானிக்கும் போது, MpAqBr என்பது தொடர்புடைய பைனரி வளாகங்களான Mp′Aq′ மற்றும் Mp′Bq′ க்கான மதிப்புகளை தனித்தனி சோதனைகளில் தீர்மானிக்கப்பட்ட மதிப்புகளில் சரிசெய்வது பொதுவான நடைமுறையாகும். இத்தகைய கட்டுப்பாடுகளின் பயன்பாடு தீர்மானிக்கப்பட வேண்டிய அளவுருக்களின் எண்ணிக்கையைக் குறைக்கிறது, ஆனால் சுத்திகரிக்கப்பட்ட நிலைத்தன்மை நிலையான மதிப்புகளில் கணக்கிடப்பட்ட பிழைகள் குறைத்து மதிப்பிடப்படலாம். மாதிரி ஏற்றுக்கொள்ளப்படாவிட்டால், சோதனைத் தரவுகளுக்கு மிகவும் பொருத்தமான ஒன்றைக் கண்டறிய பல்வேறு வகையான பிற மாதிரிகள் பரிசோதிக்கப்பட வேண்டும். முக்கிய சிரமம் சிறிய இனங்கள் என்று அழைக்கப்படுகிறது. அளவிடப்பட்ட அளவில் விளைவு சோதனை அளவீட்டில் பிழையின் மட்டத்தில் அல்லது அதற்குக் கீழே இருக்கும் அளவுக்கு செறிவு மிகவும் குறைவாக இருக்கும் இனங்கள் இவை. ஒரு சிறிய இனத்திற்கான மாறிலி இனங்களின் செறிவை அதிகரிக்க எந்த வழியும் இல்லையா என்பதை தீர்மானிக்க இயலாது. . செயல்பாடுகள் சில எளிய அமைப்புகள் விரிதாள் கணக்கீடுகளுக்கு ஏற்றவை. சமநிலை நிலையான கணக்கீட்டிற்கான ஏராளமான பொது நோக்க கணினி நிரல்கள் வெளியிடப்பட்டுள்ளன. நூலியல் ஒன்றைப் பார்க்கவும். மிகவும் அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படும் நிரல்கள்ஃ பொடென்டியோமெட்ரிக் தரவுஃ ஹைப்பர்குவாட், பெஸ்ட் பிஎஸ்இக்யூயுஏடி, ரியாக்ட்லேப் பிஎச் ப்ரோ ஸ்பெக்ட்ரோஃபோட்டோமெட்ரிக் தரவுஃ ஹைப்ஸ்பெக், ஸ்குவாட், ஸ்பெக்ஃபிட், ரியாக்ட்லேப் ஈக்விலிபிரியா என்எம்ஆர் தரவு ஹைப்என்எம்ஆர், ஈக்யூஎன்எம்ஆர் கலோரிமெட்ரிக் தரவு ஹைப்எச். அஃபினிமீட்டர் வணிக ஐசோதெர்மல் டைட்டரேஷன் கலோரிமீட்டர்கள் பொதுவாக மென்பொருளுடன் வழங்கப்படுகின்றன, இதன் மூலம் 1:1 அடக்டை உருவாக்குவதற்கான சமநிலை மாறிலி மற்றும் நிலையான உருவாக்கம் என்தால்பி பெறப்படலாம். மிகவும் சிக்கலான சமநிலையைக் கையாள்வதற்கான சில மென்பொருள்களும் வழங்கப்படலாம். குறிப்புகள் சமநிலை வேதியியல் பகுப்பாய்வு வேதியியல்