Linear group
கணிதத்தில், ஒரு மேட்ரிக்ஸ் குழு என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட புலம் K மீது தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸ்களைக் கொண்ட ஒரு குழு G ஆகும், மேட்ரிக்ஸ் பெருக்கத்தின் செயல்பாட்டுடன். ஒரு நேரியல் குழு என்பது ஒரு மேட்ரிக்ஸ் குழுவிற்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும் (அதாவது, K க்கு மேல் ஒரு விசுவாசமான, வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண பிரதிநிதித்துவத்தை ஏற்றுக்கொள்வது). எந்தவொரு வரையறுக்கப்பட்ட குழுவும் நேரியல், ஏனென்றால் கெய்லியின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி வரிசைமாற்ற மேட்ரிக்ஸ்கள் மூலம் அதை உணர முடியும். எல்லையற்ற குழுக்களில், நேரியல் குழுக்கள் ஒரு சுவாரஸ்யமான மற்றும் கையாளக்கூடிய வகுப்பை உருவாக்குகின்றன. நேரியல் அல்லாத குழுக்களின் எடுத்துக்காட்டுகளில் "மிகப் பெரிய" குழுக்கள் அடங்கும் (எடுத்துக்காட்டாக, எல்லையற்ற தொகுப்பின் வரிசைமாற்றங்களின் குழு), அல்லது சில நோயியல் நடத்தைகளை வெளிப்படுத்துகின்றன (எடுத்துக்காட்டாக, இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட எல்லையற்ற முறுக்கு குழுக்கள்). வரையறை மற்றும் அடிப்படை எடுத்துக்காட்டுகள் ஒரு குழு G ஒரு புலம் K, ஒரு முழு எண் d மற்றும் G இலிருந்து பொதுவான நேரியல் குழு GLd (K) க்கு ஒரு ஊசி ஒத்த உருவகம் இருந்தால் ஒரு குழு G நேரியல் என்று கூறப்படுகிறது (பரிமாணத்தின் நம்பகமான நேரியல் பிரதிநிதித்துவம்): தேவைப்பட்டால் G என்பது K க்கு மேல் டிகிரி d இன் நேரியல் என்று கூறி புலம் மற்றும் பரிமாணத்தைக் குறிப்பிடலாம். அடிப்படை நிகழ்வுகள் ஒரு நேரியல் குழுவின் துணைக்குழுக்களாக வரையறுக்கப்படும் குழுக்கள், எடுத்துக்காட்டாகஃ குழு GLn (K) தானே; சிறப்பு நேரியல் குழு SLn (K) (தீர்மானிப்பவர் 1 உடன் மேட்ரிக்ஸ்களின் துணைக்குழு); தலைகீழ் மேல் (அல்லது கீழ்) முக்கோண மேட்ரிக்ஸ்களின் குழு gi என்பது GLn (K) இல் உள்ள உறுப்புகளின் தொகுப்பாக இருந்தால் பொய் குழுக்களைப் பற்றிய ஆய்வில், சிக்கலான எண்களின் துறையில் உண்மையுடன் குறிப்பிடக்கூடிய பொய் குழுக்களுக்கு கவனத்தை கட்டுப்படுத்துவது சில நேரங்களில் கற்பித்தல் ரீதியாக வசதியானது. (சில எழுத்தாளர்கள் குழுவை ஜி. எல். என் (சி) இன் மூடிய துணைக்குழுவாக பிரதிநிதித்துவப்படுத்த வேண்டும் என்று கோருகின்றனர். இந்த அணுகுமுறையைப் பின்பற்றும் புத்தகங்களில் ஹால் (2015) மற்றும் ரோஸ்மேன் (2002) ஆகியவை அடங்கும். கிளாசிக்கல் குழுக்கள் மற்றும் தொடர்புடைய எடுத்துக்காட்டுகள் கிளாசிக்கல் குழுக்கள் என்று அழைக்கப்படுபவை மேலே உள்ள 1 மற்றும் 2 எடுத்துக்காட்டுகளை பொதுமைப்படுத்துகின்றன. அவை நேரியல் இயற்கணிதக் குழுக்களாக எழுகின்றன, அதாவது, வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான சமன்பாடுகளால் வரையறுக்கப்பட்ட GLn இன் துணைக்குழுக்களாக அவை எழுகின்றன. அடிப்படை எடுத்துக்காட்டுகள் ஆர்த்தோகனல், யூனிட்டரி மற்றும் சிம்ப்லெக்டிக் குழுக்கள், ஆனால் பிரிவு ஆல்ஜிப்ராக்களைப் பயன்படுத்தி மேலும் கட்டமைக்க முடியும் (எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு குவாட்டர்னியன் இயற்கணிதத்தின் அலகு குழு ஒரு கிளாசிக்கல் குழுவாகும்). இந்த குழுக்களுடன் தொடர்புடைய திட்டக் குழுக்களும் நேரியல் கொண்டவை என்பதைக் கவனியுங்கள், இருப்பினும் குறைவான வெளிப்படையானவை. எடுத்துக்காட்டாக, குழு பி. எஸ். எல் 2 (ஆர்) என்பது 2 × 2 மேட்ரிக்ஸ்களின் குழு அல்ல, ஆனால் இது 3 × 3 மேட்ரிக்ஸ்களாக (இணை பிரதிநிதித்துவம்) ஒரு விசுவாசமான பிரதிநிதித்துவத்தைக் கொண்டுள்ளது, இது பொதுவான வழக்கில் பயன்படுத்தப்படலாம். பல லை குழுக்கள் நேரியல், ஆனால் அவை அனைத்தும் அல்ல. SL2 (R) இன் உலகளாவிய உறை நேரியல் அல்ல, பல தீர்க்கக்கூடிய குழுக்களைப் போலவே, எடுத்துக்காட்டாக ஒரு மைய சுழற்சி துணைக்குழுவால் ஹைசன்பெர்க் குழுவின் ஈவு. கிளாசிக்கல் லை குழுக்களின் தனித்துவமான துணைக்குழுக்களும் (எடுத்துக்காட்டாக லட்டிஸ்கள் அல்லது மெல்லிய குழுக்கள்) சுவாரஸ்யமான நேரியல் குழுக்களுக்கு எடுத்துக்காட்டுகளாகும். வரையறுக்கப்பட்ட குழுக்கள் வரிசை n இன் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட குழு G என்பது எந்தவொரு புலம் K க்கும் மேல் அதிகபட்சம் n இல் டிகிரியின் நேரியல் ஆகும். இந்த அறிக்கை சில நேரங்களில் கெய்லியின் தேற்றம் என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் குழு வளையமான K [G] இல் G இன் செயல் இடது (அல்லது வலது) பெருக்கத்தால் நேரியல் மற்றும் நம்பகமானது என்ற உண்மையின் விளைவாகும். லை வகையின் வரையறுக்கப்பட்ட குழுக்கள் (வரையறுக்கப்பட்ட புலங்களின் மீது பாரம்பரிய குழுக்கள்) வரையறுக்கப்பட்ட எளிய குழுக்களின் ஒரு முக்கியமான குடும்பமாகும், ஏனெனில் அவை வரையறுக்கப்பட்ட எளிய குழுக்களின் வகைப்பாட்டில் பெரும்பாலான இடங்களை எடுத்துக்கொள்கின்றன. மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டு 4 ஒரு தனித்துவமான வகுப்பை வரையறுக்க மிகவும் பொதுவானது என்றாலும் (இது அனைத்து நேரியல் குழுக்களையும் உள்ளடக்கியது), ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட குறியீட்டு தொகுப்பு I க்கு கட்டுப்படுத்துகிறது, அதாவது, இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட குழுக்களுக்கு பல சுவாரஸ்யமான எடுத்துக்காட்டுகளை உருவாக்க அனுமதிக்கிறது. எடுத்துக்காட்டாகஃ பிங்-பாங் லெம்மாவை நேரியல் குழுக்களின் பல எடுத்துக்காட்டுகளை உருவாக்க பயன்படுத்தலாம், அவை இலவச குழுக்கள் (எடுத்துக்காட்டாக உருவாக்கப்பட்ட குழு இலவசம்). எண்கணிதக் குழுக்கள் இறுதியாக உருவாக்கப்படுவதாக அறியப்படுகிறது. மறுபுறம், கொடுக்கப்பட்ட எண்கணிதக் குழுவிற்கான வெளிப்படையான ஜெனரேட்டர்களின் தொகுப்பைக் கண்டுபிடிப்பது கடினமான சிக்கலாகும். பின்னல் குழுக்கள் (இறுதியாக வழங்கப்பட்ட குழுவாக வரையறுக்கப்படுகின்றன) வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண சிக்கலான திசையன் இடத்தில் விசுவாசமான நேரியல் பிரதிநிதித்துவத்தைக் கொண்டுள்ளன, அங்கு ஜெனரேட்டர்கள் வெளிப்படையான மேட்ரிக்ஸ்களால் செயல்படுகின்றன. வடிவவியலில் இருந்து எடுத்துக்காட்டுகள் சில சந்தர்ப்பங்களில் ஒரு பன்மடங்கு அடிப்படை குழு ஒரு வடிவியல் கட்டமைப்பிலிருந்து வரும் பிரதிநிதித்துவங்களைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் நேரியல் என்று காட்டப்படலாம். எடுத்துக்காட்டாக, குறைந்தபட்சம் 2 பேரினத்தின் அனைத்து மூடிய மேற்பரப்புகளும் ஹைபர்போலிக் ரீமன் மேற்பரப்புகளாகும். சீரானமயமாக்கல் தேற்றத்தின் மூலம் இது ஹைபர்போலிக் தளத்தின் ஐசோமெட்ரி குழுவில் அதன் அடிப்படை குழுவின் பிரதிநிதித்துவத்திற்கு வழிவகுக்கிறது, இது பி. எஸ். எல் 2 (ஆர்) க்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும், மேலும் இது அடிப்படை குழுவை ஒரு ஃபுச்சியன் குழுவாக உணர்கிறது. இந்த கட்டமைப்பின் ஒரு பொதுமைப்படுத்தல் ஒரு பன்மடங்கு மீது ஒரு (ஜி, எக்ஸ்)-அமைப்பு என்ற கருத்தால் வழங்கப்படுகிறது. மற்றொரு உதாரணம் சீஃபெர்ட் பன்மடங்கு அடிப்படை குழு ஆகும். மறுபுறம், 3-மேனிஃபோல்டுகளின் அனைத்து அடிப்படை குழுக்களும் நேரியல் கொண்டவையா என்பது தெரியவில்லை. நேரியல் குழுக்கள் ஒரு பரந்த வகை எடுத்துக்காட்டுகள் என்றாலும், அனைத்து எல்லையற்ற குழுக்களிலும் அவை பல குறிப்பிடத்தக்க பண்புகளால் வேறுபடுகின்றன. இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட நேரியல் குழுக்கள் பின்வரும் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளனஃ அவை எஞ்சிய வரையறுக்கப்பட்டவை; பர்ன்சைடின் தேற்றம் வரையறுக்கப்பட்ட அடுக்குகளின் குழு, இது 0 என்ற பண்பு புலத்தின் மீது நேரியல் வரையறுக்கப்பட்டதாக இருக்க வேண்டும்; ஷூர் கோட்பாடுஃ ஒரு சுழல் நேரியல் குழு உள்ளூரில் வரையறுக்கப்பட்டதாகும். குறிப்பாக, அது இறுதியாக உருவாக்கப்பட்டால் அது வரையறுக்கப்பட்டதாகும். செல்பெர்க்கின் லெம்மாஃ இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட எந்த நேரியல் குழுவும் வரையறுக்கப்பட்ட குறியீட்டின் முறிவு இல்லாத துணைக்குழுவைக் கொண்டுள்ளது. டிட்ஸ் மாற்று ஒரு நேரியல் குழு ஒன்று அபெலியன் அல்லாத இலவச குழுவைக் கொண்டுள்ளது அல்லது கிட்டத்தட்ட தீர்க்கக்கூடியது (அதாவது, வரையறுக்கப்பட்ட குறியீட்டின் தீர்க்கக்கூடிய குழுவைக் கொண்டுள்ளது) என்று கூறுகிறது. இது மேலும் பல விளைவுகளைக் கொண்டுள்ளது, எடுத்துக்காட்டாகஃ இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட நேரியல் குழுவின் டெஹ்ன் செயல்பாடு பல்லுறுப்புக்கோவை அல்லது அதிவேகமாக மட்டுமே இருக்க முடியும்; ஒரு இணக்கமான நேரியல் குழு கிட்டத்தட்ட தீர்க்கக்கூடியது, குறிப்பாக அடிப்படை இணக்கமானது; வான் நியூமன் அனுமானம் நேரியல் குழுக்களுக்கு உண்மை. நேரியல் அல்லாத குழுக்களின் எடுத்துக்காட்டுகள் நேரியல் அல்லாத குழுக்களின் எல்லையற்ற உருவாக்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகளை வழங்குவது கடினம் அல்லஃ எடுத்துக்காட்டாக எல்லையற்ற அபெலியன் குழு (Z/2Z) N x (Z/3Z) N நேரியல் ஆக இருக்க முடியாது. எல்லையற்ற தொகுப்பில் உள்ள சமச்சீர் குழு இந்த குழுவைக் கொண்டிருப்பதால் அது நேரியல் அல்ல. இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகளைக் கண்டுபிடிப்பது நுட்பமானது மற்றும் பொதுவாக மேலே பட்டியலிடப்பட்ட பண்புகளில் ஒன்றைப் பயன்படுத்த வேண்டும். எந்தவொரு வரையறுக்கப்பட்ட நேரியல் குழுவும் எஞ்சிய வரையறுக்கப்பட்டதாக இருப்பதால், அது எளிமையாகவும் எல்லையற்றதாகவும் இருக்க முடியாது. எனவே இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட எல்லையற்ற எளிய குழுக்கள், எடுத்துக்காட்டாக தாம்சனின் குழு F, மற்றும் அதிகபட்ச சரியான இயல்பான துணைக்குழுவால் ஹிக்மேனின் குழுவின் ஈவு, நேரியல் அல்ல. மேலே குறிப்பிடப்பட்ட டிட்ஸ் மாற்றீட்டின் விளைவாக, கிரிகோர்சூக்கின் குழு போன்ற இடைநிலை வளர்ச்சியின் குழுக்கள் நேரியல் அல்ல. மீண்டும் டிட்ஸ் மாற்றீட்டால், மேலே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, வான் நியூமன் அனுமானத்திற்கு அனைத்து எதிர் எடுத்துக்காட்டுகளும் நேரியல் அல்ல. இதில் தாம்சனின் குழு எஃப் மற்றும் டார்ஸ்கி அசுரன் குழுக்கள் அடங்கும். பர்ன்சைடின் தேற்றத்தின் படி, டார்ஸ்கி அசுரன் குழுக்கள் போன்ற எல்லையற்ற, இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட சுழல் குழுக்கள் நேரியல் இருக்க முடியாது. லை குழுக்கள் Sp (n, 1) இல் லட்டிஸ்களின் மேற்கோள்களாக பெறப்பட்ட நேரியல் அல்லாத ஹைபர்போலிக் குழுக்களுக்கு எடுத்துக்காட்டுகள் உள்ளன. இலவச குழுவின் வெளிப்புற தானியங்கி குழு அவுட் (Fn) குறைந்தது n 4 க்கு நேரியல் அல்ல என்று அறியப்படுகிறது. பின்னல் குழுக்களின் விஷயத்தில் மாறாக,> 1 இனத்தின் மேற்பரப்பின் மேப்பிங் கிளாஸ் குழு நேரியல் ரீதியானதா என்பது ஒரு திறந்த கேள்வி. பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாடு ஒரு குழு நேரியல் என்று நிறுவப்பட்டவுடன், அதற்கு "உகந்த" விசுவாசமான நேரியல் பிரதிநிதித்துவங்களைக் கண்டறிய முயற்சிப்பது சுவாரஸ்யமானது, எடுத்துக்காட்டாக மிகக் குறைந்த பரிமாணம், அல்லது அதன் அனைத்து நேரியல் பிரதிநிதித்துவங்களையும் (விசுவாசமற்றவை உட்பட) வகைப்படுத்த முயற்சிப்பது கூட. இந்த கேள்விகள் பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாட்டின் பொருள். இந்தக் கோட்பாட்டின் முக்கிய பகுதிகள் பின்வருமாறுஃ வரையறுக்கப்பட்ட குழுக்களின் பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாடு; பொய் குழுக்களின் பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாடு மற்றும் பொதுவாக நேரியல் இயற்கணிதக் குழுக்கள். எல்லையற்ற இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட குழுக்களின் பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாடு பொதுவாக மர்மமானது; இந்த விஷயத்தில் ஆர்வமுள்ள பொருள் குழுவின் எழுத்து வகைகள் ஆகும், அவை மிகச் சில சந்தர்ப்பங்களில் மட்டுமே நன்கு புரிந்து கொள்ளப்படுகின்றன, எடுத்துக்காட்டாக இலவச குழுக்கள், மேற்பரப்பு குழுக்கள் மற்றும் பொதுவாக லை குழுக்களில் உள்ள லட்டிஸ்கள் (எடுத்துக்காட்டாக மார்குலிஸின் மிகைப்படுத்தப்பட்ட தேற்றம் மற்றும் பிற கடினத்தன்மை முடிவுகள் மூலம்). குறிப்புகள் குறிப்புகள். . எல்லையற்ற குழு கோட்பாடு அளவீடுகள்