Nonholonomic system
இயற்பியல் மற்றும் கணிதத்தில் ஒரு ஒத்திசைவற்ற அமைப்பு என்பது ஒரு இயற்பியல் அமைப்பாகும், அதன் நிலை அதை அடைய எடுக்கப்பட்ட பாதையைப் பொறுத்தது. அத்தகைய அமைப்பு வேறுபட்ட கட்டுப்பாடுகள் மற்றும் நேரியல் அல்லாத கட்டுப்பாடுகளுக்கு உட்பட்ட அளவுருக்களின் தொகுப்பால் விவரிக்கப்படுகிறது, அதாவது அமைப்பு அதன் அளவுரு இடத்தில் ஒரு பாதையில் உருவாகும்போது (அளவுருக்கள் தொடர்ந்து மதிப்புகளில் மாறுபடும்) ஆனால் இறுதியாக பாதையின் தொடக்கத்தில் அளவுரு மதிப்புகளின் அசல் தொகுப்பிற்குத் திரும்பும் போது, அமைப்பு அதன் அசல் நிலைக்குத் திரும்பாமல் இருக்கலாம். முழுமையற்ற இயக்கவியல் என்பது நியூட்டனின் இயக்கவியலின் தன்னாட்சி பிரிவாகும். மேலும் துல்லியமாக, ஒரு ஒத்திசைவற்ற அமைப்பு, ஒரு ஒத்திசைவற்ற அமைப்பு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது, இதில் ஆளும் அளவுருக்களின் தொடர்ச்சியான மூடிய சுற்று உள்ளது, இதன் மூலம் அமைப்பு எந்த மாநிலத்திலிருந்தும் வேறு எந்த மாநிலத்திற்கும் மாற்றப்படலாம். அமைப்பின் இறுதி நிலை அளவுரு இடைவெளி வழியாக அதன் பாதையின் இடைநிலை மதிப்புகளைப் பொறுத்தது என்பதால், அமைப்பை ஒரு பழமைவாத சாத்தியமான செயல்பாட்டால் பிரதிநிதித்துவப்படுத்த முடியாது, எடுத்துக்காட்டாக, ஈர்ப்பு விசையின் தலைகீழ் சதுர விதி. இது ஒரு முழுமையான அமைப்புக்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டுஃ அமைப்பில் உள்ள பாதை ஒருங்கிணைப்புகள் அமைப்பின் ஆரம்ப மற்றும் இறுதி நிலைகளை (ஆற்றலில் உள்ள நிலைகள்) மட்டுமே சார்ந்துள்ளது, இது அந்த நிலைகளுக்கு இடையிலான மாற்றத்தின் பாதையிலிருந்து முற்றிலும் சுயாதீனமாக உள்ளது. எனவே இந்த அமைப்பு ஒருங்கிணைக்கக்கூடியது என்று கூறப்படுகிறது, அதே நேரத்தில் ஒத்திசைவற்ற அமைப்பு ஒருங்கிணைக்க முடியாதது என்று கூறப்படுகிறது. ஒரு பாதை ஒருங்கிணைப்பு ஒரு ஒத்திசைவற்ற அமைப்பில் கணக்கிடப்படும்போது, மதிப்பு ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய மதிப்புகளின் சில வரம்பிற்குள் ஒரு விலகலைக் குறிக்கிறது, மேலும் இந்த விலகல் பரிசீலனையில் உள்ள குறிப்பிட்ட பாதையால் உருவாக்கப்பட்ட ஒரு ஒத்திசைவற்றது என்று கூறப்படுகிறது. இந்த சொல் 1894 ஆம் ஆண்டில் ஹென்ரிச் ஹெர்ட்ஸ் என்பவரால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. அன்ஹோலோனமிக் அமைப்புகளின் பொதுவான தன்மை மறைமுகமாக சார்ந்துள்ள அளவுருக்கள் ஆகும். மறைமுக சார்புநிலையை அகற்ற முடிந்தால், எடுத்துக்காட்டாக, இடத்தின் பரிமாணத்தை உயர்த்துவதன் மூலம், குறைந்தபட்சம் ஒரு கூடுதல் அளவுருவைச் சேர்ப்பதன் மூலம், அமைப்பு உண்மையிலேயே முழுமையற்றது அல்ல, ஆனால் குறைந்த பரிமாண இடத்தால் வெறுமனே முழுமையடையாத மாதிரியாக உள்ளது. இதற்கு நேர்மாறாக, அமைப்பை உள்ளார்ந்த சுயாதீன ஆயத்தொகுதிகளால் (அளவுருக்கள்) பிரதிநிதித்துவப்படுத்த முடியாவிட்டால், அது உண்மையில் ஒரு ஒத்திசைவற்ற அமைப்பு. சில எழுத்தாளர்கள் அமைப்பின் உள் மற்றும் வெளிப்புற நிலைகள் என்று அழைக்கப்படுபவற்றுக்கு இடையே ஒரு வேறுபாட்டை உருவாக்குவதன் மூலம் இதை அதிகம் செய்கிறார்கள், ஆனால் உண்மையில், அனைத்து அளவுருக்களும் அமைப்பை வகைப்படுத்த அவசியம், அவை "உள்" அல்லது "வெளிப்புற" செயல்முறைகளின் பிரதிநிதிகளாக இருந்தாலும், எனவே வேறுபாடு உண்மையில் செயற்கை. இருப்பினும், பாதுகாப்புக் கொள்கைகளுக்குக் கீழ்ப்படும் இயற்பியல் அமைப்புகளுக்கும், பின்பற்றாத அமைப்புகளுக்கும் இடையே மிகவும் உண்மையான மற்றும் சமரசமற்ற வேறுபாடு உள்ளது. ஒரு கோளத்தில் இணையான போக்குவரத்தைப் பொறுத்தவரை, வேறுபாடு தெளிவாக உள்ளதுஃ ஒரு ரீமானியன் பன்மடங்கு யூக்ளிடியன் இடத்திலிருந்து அடிப்படையில் வேறுபட்ட ஒரு மெட்ரிக் உள்ளது. ஒரு கோளத்தில் இணையான போக்குவரத்துக்கு, உள்ளார்ந்த சார்பு என்பது யூக்ளிடியன் அல்லாத அளவீட்டிற்கு உள்ளார்ந்ததாகும். ஒரு கோளத்தின் மேற்பரப்பு இரு பரிமாண இடைவெளி ஆகும். பரிமாணத்தை உயர்த்துவதன் மூலம், அளவீட்டின் தன்மையை நாம் இன்னும் தெளிவாகக் காணலாம், ஆனால் இது இன்னும் அடிப்படையில் ஒரு இரு பரிமாண இடமாகும், இது ரீமானியன் அளவீட்டால் சார்பு நிலையில் மீட்டெடுக்க முடியாத அளவுருக்களுடன் இணைக்கப்பட்டுள்ளது. இதற்கு நேர்மாறாக, ஒரு எக்ஸ்-ஒய் பிளாட்டரை ஒரு முழுமையான அமைப்புக்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டாக ஒருவர் கருதலாம், அங்கு அமைப்பின் இயந்திர கூறுகளின் நிலை பிளாட்டர் பேனாவின் எந்தவொரு நிலைக்காகவும் ஒற்றை நிலையான உள்ளமைவைக் கொண்டிருக்கும். பேனா 0,0 மற்றும் 3,3 நிலைகளுக்கு இடையில் இடமாற்றம் செய்யப்பட்டால், x-அச்சில் 3 அலகுகளையும் பின்னர் y-அச்சில் 3 அலகுகளையும் அதிகரிப்பதன் மூலம், முதலில் Y-அச்சில் நிலையை அதிகரிப்பதன் மூலம் அல்லது 3,3 என்ற இறுதி நிலையை விளைவிக்கும் நிலை மாற்றங்களின் வேறு எந்த வரிசையையும் இயக்குவதன் மூலம் இடமாற்றம் நிகழ்கிறதா என்பதைப் பொருட்படுத்தாமல் பொறிமுறையின் கியர்கள் அதே இறுதி நிலைகளைக் கொண்டிருக்கும். பிளாட்டர்-பென் அதன் புதிய நிலைக்கு வருவதற்கு எடுக்கும் பாதையைப் பொருட்படுத்தாமல் இயந்திரத்தின் இறுதி நிலை ஒரே மாதிரியாக இருப்பதால், இறுதி முடிவு பாதையை சார்ந்தது அல்ல என்று கூறலாம். நாம் ஒரு ஆமை பிளாட்டரை மாற்றினால், பேனாவை 0,0 இலிருந்து 3,3 ஆக நகர்த்தும் செயல்முறை இரண்டு நிலைகளுக்கு இடையில் செல்ல எடுக்கப்பட்ட பாதையைப் பொறுத்து ரோபோவின் பொறிமுறையின் கியர்களை வெவ்வேறு நிலைகளில் முடிக்கும். அத்தகைய அமைப்பு ஏன் முழுமையானது என்பதற்கான கணித விளக்கத்திற்கு இந்த ஒத்த கேண்ட்ரி கிரேன் உதாரணத்தைப் பார்க்கவும். 1871 ஆம் ஆண்டில் என். எம். ஃபெரர்ஸ் முதன்முதலில் இயக்கத்தின் சமன்பாடுகளை ஒத்திசைவற்ற கட்டுப்பாடுகளுடன் விரிவுபடுத்த பரிந்துரைத்தார். பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட வேகங்களின் அடிப்படையில் கார்ட்டீசியன் வேகங்களுக்கான வெளிப்பாடுகளை அவர் அறிமுகப்படுத்தினார். 1877 ஆம் ஆண்டில், ஈ. ரூத் லாக்ரேஞ்ச் பெருக்கிகளுடன் சமன்பாடுகளை எழுதினார். கடினமான உடல்களின் நேரியல் அல்லாத முழுமையான கட்டுப்பாடுகளுக்கான அவரது புத்தகத்தின் மூன்றாவது பதிப்பில், அவர் பெருக்கிகளுடன் வடிவத்தை அறிமுகப்படுத்தினார், இது இப்போது பெருக்கிகளுடன் இரண்டாவது வகையான லாக்ரேஞ்ச் சமன்பாடுகள் என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஹோலோனமிக் மற்றும் நோன்ஹோலோனமிக் அமைப்புகள் என்ற சொற்கள் ஹென்ரிச் ஹெர்ட்ஸ் என்பவரால் 1894 இல் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டன. 1897 ஆம் ஆண்டில், எஸ். ஏ. சாப்லிகின் முதன்முதலில் லாக்ரேஞ்ச் பெருக்கிகள் இல்லாமல் இயக்கத்தின் சமன்பாடுகளை உருவாக்க பரிந்துரைத்தார். சில நேரியல் கட்டுப்பாடுகளின் கீழ், இயக்கத்தின் சமன்பாடுகளின் இடது புறத்தில் லாக்ரேஞ்ச்-ஆபரேட்டர் வகையின் கூடுதல் சொற்களின் குழுவை அவர் அறிமுகப்படுத்தினார். மீதமுள்ள கூடுதல் சொற்கள் அமைப்பின் ஒத்திசைவற்ற தன்மையை வகைப்படுத்துகின்றன, மேலும் கொடுக்கப்பட்ட கட்டுப்பாடுகள் ஒருங்கிணைக்கப்படும்போது அவை பூஜ்ஜியமாக மாறும். 1901 ஆம் ஆண்டில் பி. V.Voronets சுழற்சி அல்லாத முழுமையான ஒருங்கிணைப்புகள் மற்றும் நிலையற்ற கட்டுப்பாடுகளின் நிகழ்வுகளுக்கு சாப்லிஜினின் பணியை பொதுமைப்படுத்தினார். கட்டுப்பாடுகள் கொடுக்கப்பட்ட குறிப்பு சட்டகத்தைப் பொறுத்து நிலைகளைக் கொண்ட துகள்களின் அமைப்பைக் கவனியுங்கள். கிளாசிக்கல் மெக்கானிக்ஸில், வெளிப்படுத்த முடியாத எந்தவொரு தடையும் ஒரு ஹோலனாமிக் அல்லாத தடையாக உள்ளது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒரு ஒத்திசைவற்ற கட்டுப்பாடு ஒருங்கிணைக்க முடியாதது மற்றும் ஃபாஃபியன் வடிவத்தில்ஃ ஆயங்களின் எண்ணிக்கை. இது கட்டுப்பாடு சமன்பாடுகளின் எண்ணிக்கை. அவை ஆயத்தொகுதிகள். அவை குணகங்கள். மேற்கண்ட வடிவம் ஒத்திசைவற்றதாக இருக்க, இடது புறம் மொத்த வேறுபாடாக இருக்கவோ அல்லது ஒன்றாக மாற்றவோ முடியாது, ஒருவேளை ஒரு ஒருங்கிணைப்பு காரணி மூலம். மெய்நிகர் இடப்பெயர்வுகளுக்கு மட்டுமே, கட்டுப்பாட்டின் வேறுபட்ட வடிவம் அனைத்து ஒத்திசைவற்ற கட்டுப்பாடுகளும் இந்த வடிவத்தை எடுக்க வேண்டிய அவசியமில்லை, உண்மையில் இது அதிக வழித்தோன்றல்கள் அல்லது ஏற்றத்தாழ்வுகளை உள்ளடக்கியிருக்கலாம். சமத்துவமின்மை கட்டுப்பாட்டுக்கு ஒரு உன்னதமான எடுத்துக்காட்டு ஒரு கோளத்தின் மேற்பரப்பில் வைக்கப்பட்டுள்ள ஒரு துகள், ஆனால் அதிலிருந்து விழ அனுமதிக்கப்படுகிறதுஃ இது கோளத்தின் மையத்திலிருந்து துகள் இருக்கும் தூரம். இது கோளத்தின் ஆரம். எடுத்துக்காட்டுகள் உருளும் சக்கரம் ஒரு சக்கரம் (சில நேரங்களில் ஒரு ஒற்றை சக்கரம் அல்லது உருளும் நாணயமாக காட்சிப்படுத்தப்படுகிறது) என்பது ஒரு புனிதமற்ற அமைப்பு ஆகும். ஒரு குறிப்பிட்ட இடத்தில் (தரையில்) நிறுத்தப்பட்டுள்ள மிதிவண்டியின் சக்கரத்தைக் கவனியுங்கள். ஆரம்பத்தில் பணவீக்க வால்வு சக்கரத்தில் ஒரு குறிப்பிட்ட நிலையில் உள்ளது. சைக்கிள் சுற்றிச் சென்று, பின்னர் அதே இடத்தில் நிறுத்தப்பட்டால், வால்வு கிட்டத்தட்ட நிச்சயமாக முன்பு இருந்த அதே நிலையில் இருக்காது. அதன் புதிய நிலை எடுக்கப்பட்ட பாதையைப் பொறுத்தது. சக்கரம் முழுமையானதாக இருந்தால், சக்கரம் எப்போதும் பூமியில் அதே இடத்திற்கு திரும்பும் வரை வால்வு தண்டு எப்போதும் அதே நிலையில் முடிவடையும். இருப்பினும், இது அப்படி இல்லை என்பது தெளிவாகிறது, எனவே இந்த அமைப்பு ஒத்திசைவற்றது. கணித விளக்கம் சக்கரத்தை கணித ரீதியாக கட்டுப்பாடு சமன்பாடுகளின் அமைப்பைக் கொண்டு மாதிரியாக்க முடியும், பின்னர் அந்த அமைப்பு ஒத்திசைவற்றது என்பதை நிரூபிக்க முடியும். முதலில், உள்ளமைவு இடத்தை வரையறுக்கிறோம். சக்கரம் அதன் நிலையை மூன்று வழிகளில் மாற்றலாம்ஃ அதன் அச்சில் வெவ்வேறு சுழற்சியைக் கொண்டிருப்பது, வெவ்வேறு திசைமாற்றி கோணத்தைக் கொண்டிருப்பது மற்றும் வேறு இடத்தில் இருப்பது. அச்சில் பற்றிய சுழற்சி,-அச்சுடன் தொடர்புடைய திசைமாற்றி கோணம் என்று நாம் கூறலாம், மேலும் இடஞ்சார்ந்த நிலையை வரையறுக்கலாம். எனவே, உள்ளமைவு இடம் பின்வருமாறுஃ நாம் இப்போது இந்த மாறிகளை ஒருவருக்கொருவர் தொடர்புபடுத்த வேண்டும். சக்கரம் அதன் சுழற்சியை மாற்றும்போது, அது அதன் நிலையை மாற்றுவதை நாம் கவனிக்கிறோம். சுழற்சி மற்றும் நிலையை குறிக்கும் வேகங்களில் மாற்றம் இருக்க வேண்டும், கோண திசைவேகம் மற்றும் திசைமாற்றி கோணத்தை நேரியல் வேகங்களுடன் தொடர்புபடுத்த முயற்சிக்கிறோம், பொருத்தமான சொற்களின் எளிய நேர-வழித்தோன்றல்களை எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம்ஃ திசையில் உள்ள திசைவேகம் கோண திசைவேகம் மடங்கு ஆரம் மடங்கு திசைமாற்றி கோணத்தின் கொசைன், மற்றும் திசைவேகம் ஒத்திருக்கிறது. இப்போது சமன்பாட்டை ஃபாஃபியன் வடிவமாக மாற்ற சில இயற்கணித கையாளுதல்களைச் செய்கிறோம், எனவே இது முழுமையானதா என்பதைச் சோதிக்க முடியும், இதில் தொடங்கிஃ பின்னர், மாறிகளை அவற்றின் குணகங்களிலிருந்து பிரிப்போம் (சமன்பாட்டின் இடது பக்கம், மேலே இருந்து பெறப்பட்டது). நாம் அனைத்து சொற்களையும் பெருக்க முடியும் என்பதையும் நாம் உணர்கிறோம், எனவே நாம் வேறுபாடுகளை மட்டுமே பெறுகிறோம் (சமன்பாட்டின் வலது பக்கம்): சமன்பாட்டின் வலது பக்கம் இப்போது ஃபாஃபியன் வடிவத்தில் உள்ளதுஃ நாம் இப்போது முழுமையான கட்டுப்பாடுகளுக்கான உலகளாவிய சோதனையைப் பயன்படுத்துகிறோம். இந்த அமைப்பு முழுமையானதாக இருந்தால், நாம் எட்டு சோதனைகள் வரை செய்ய வேண்டியிருக்கும். இருப்பினும், முதல் சோதனையில் இந்த அமைப்பு ஒத்திசைவற்றது என்பதை நிரூபிக்க நம்மால் முடிந்தவரை முயற்சிக்க கணித உள்ளுணர்வைப் பயன்படுத்தலாம். சோதனைச் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொண்டால்ஃ ஏதேனும் சொற்கள், அல்லது பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், சோதனைச் சமன்பாட்டின் அந்த பகுதி தீர்க்க அற்பமானதாகவும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாகவும் இருக்கும் என்பதை நாம் காணலாம். எனவே, முதல் சோதனை சமன்பாடு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லாத வாய்ப்பை அதிகரிக்க முடிந்தவரை பூஜ்ஜியமற்ற பல சொற்களைக் கொண்டிருப்பது பெரும்பாலும் சிறந்த நடைமுறையாகும். எனவே, நாம் பின்வருவனவற்றைத் தேர்வு செய்கிறோம்ஃ நமது சோதனைச் சமன்பாட்டிற்கு மாற்றாகஃ மற்றும் எளிமைப்படுத்துவதுஃ விவரிக்கப்பட்டுள்ளபடி, இந்த அமைப்பு முழுமையற்றது என்பதை நாம் எளிதாகக் காணலாம், ஏனெனில் இது எப்போதும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்காது. கூடுதல் முடிவுகள் இந்த அமைப்பு ஒத்திசைவற்றது என்பதற்கான எங்கள் ஆதாரத்தை நாங்கள் முடித்துவிட்டோம், ஆனால் எங்கள் சோதனை சமன்பாடு அமைப்பு, மேலும் கட்டுப்படுத்தப்பட்டால், முழுமையானதாக இருக்க முடியுமா என்பது பற்றிய சில நுண்ணறிவுகளை எங்களுக்கு வழங்கியது. பல முறை சோதனை சமன்பாடுகள் அமைப்பை தீவிரமாக மாற்றாமல் அமைப்பை ஒருபோதும் முழுமையானதாக கட்டுப்படுத்த முடியாது என்பதைக் குறிக்கும் ஒரு முடிவைத் தரும், ஆனால் நமது முடிவில் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக, இரண்டு வெவ்வேறு வழிகளில் இருக்க முடியும் என்பதைக் காணலாம்ஃ, சக்கரத்தின் ஆரம், பூஜ்ஜியமாக இருக்கலாம். நடைமுறையில் இந்த அமைப்பு அதன் அனைத்து அளவிலான சுதந்திரத்தையும் இழக்கும் என்பதால் இது உதவாது. பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக அமைப்பதன் மூலம் பூஜ்ஜியமாக இருக்கலாம். சக்கரம் திரும்ப அனுமதிக்கப்படாவிட்டால், எல்லா நேரங்களிலும் ஒரு நேர் கோட்டில் மட்டுமே நகர வேண்டியிருந்தால், அது ஒரு முழுமையான அமைப்பாக இருக்கும் என்பதை இது குறிக்கிறது. எவ்வாறாயினும், நாம் இன்னும் கருத்தில் கொள்ளாத ஒரு விஷயம் என்னவென்றால், ஒரு அமைப்பிற்கான இதுபோன்ற அனைத்து மாற்றங்களையும் கண்டறிய, ஒருவர் எட்டு சோதனை சமன்பாடுகளையும் (ஒவ்வொரு கட்டுப்பாடு சமன்பாட்டிலிருந்தும் நான்கு) செய்ய வேண்டும் மற்றும் முடிந்தால், அமைப்பை முழுமையானதாக மாற்ற அனைத்து தேவைகளையும் சேகரிக்க அனைத்து தோல்விகளையும் சேகரிக்க வேண்டும். இந்த அமைப்பில், ஏழு கூடுதல் சோதனை சமன்பாடுகளில், ஒரு கூடுதல் வழக்கு தன்னை முன்வைக்கிறதுஃ இருப்பினும், சமன்பாடுகளைச் சேர்ப்பது மற்றும் முடிவுகளால் வகுப்பது போன்ற இது அதிக சிரமத்தை ஏற்படுத்தாதுஃ இது சில எளிய இயற்கணித கையாளுதலுடன் ஆகிறதுஃ இது தீர்வைக் கொண்டுள்ளது (இருந்து). "[வால்வு தண்டின்] புதிய நிலை எடுக்கப்பட்ட பாதையைப் பொறுத்தது" என்று மேலே கூறப்பட்ட இடத்தில் சாதாரண மனிதனின் விளக்கத்தைப் பார்க்கவும். சக்கரம் முழுமையானதாக இருந்தால், சக்கரம் எப்போதும் பூமியில் அதே இடத்திற்கு திரும்பும் வரை வால்வு தண்டு எப்போதும் அதே நிலையில் முடிவடையும். இருப்பினும், இது அப்படி இல்லை என்பது தெளிவாகிறது, எனவே இந்த அமைப்பு புனிதமற்றது ". இருப்பினும், சக்கரம் ஒரு சரியான நேர் கோடு மற்றும் பின்புறத்தில் மட்டுமே உருண்டு செல்ல அனுமதிக்கப்பட்டால், வால்வு தண்டு அதே நிலையில் முடிவடையும் என்பதைக் கற்பனை செய்வது எளிது! உண்மையில், கொடுக்கப்பட்ட கோணத்திற்கு இணையாக நகர்வது நிஜ உலகில் உண்மையில் தேவையில்லை, ஏனெனில் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பின் நோக்குநிலை தன்னிச்சையானது. கொடுக்கப்பட்ட குறிப்புடன் தொடர்புடைய எந்த நிலையான கோணத்திலும் சக்கரம் ஒரு நேர் கோட்டில் மட்டுமே நகர்ந்தால் அமைப்பு முழுமையானதாக மாறும். இவ்வாறு, அசல் அமைப்பு புனிதமற்றது என்பதை நாங்கள் நிரூபித்ததோடு மட்டுமல்லாமல், அதை முழுமையானதாக மாற்றுவதற்கு அமைப்பில் சேர்க்கக்கூடிய ஒரு கட்டுப்பாடையும் எங்களால் கண்டுபிடிக்க முடிந்தது. இருப்பினும், கார்ட்டீசியன் கட்டத்தைப் போலவே, அமைப்பை முழுமையானதாக மாற்றுவதற்கான கட்டுப்பாடு குறித்து கணித ரீதியாக சிறப்பு வாய்ந்த ஒன்று உள்ளது. இரண்டு சமன்பாடுகளையும் இணைத்து நீக்குவதன் மூலம், அந்த இரண்டு ஆயத்தொகுதிகளில் ஒன்று முற்றிலும் தேவையற்றது என்பதை நாம் காண்கிறோம். திசைமாற்றி கோணம் ஒரு மாறிலி என்பதை நாம் ஏற்கனவே அறிவோம், எனவே இங்குள்ள முழுமையான அமைப்பு ஒரு உள்ளமைவு இடத்தை மட்டுமே கொண்டிருக்க வேண்டும். இங்கே விவாதிக்கப்பட்டபடி, உள்ளமைவு இடத்தில் இரண்டு அல்லது அதற்கும் குறைவான மாறிகள் இருந்தால், ஃபாஃபியன் கட்டுப்பாட்டால் மாதிரியாக இருக்கக்கூடிய ஒரு அமைப்பு முழுமையானதாக இருக்க வேண்டும். நமது அசல் அமைப்பை இரண்டு டிகிரி சுதந்திரம் மட்டுமே கொண்டதாக கட்டுப்படுத்துவதன் மூலம், இரண்டு மாறிகள் மட்டுமே விவரிக்கப்பட வேண்டும், மேலும் அதை ஃபாஃபியன் வடிவத்தில் விவரிக்க முடியும் என்று வைத்துக் கொள்வதன் மூலம் (இந்த எடுத்துக்காட்டில் இது ஏற்கனவே உண்மை என்று நமக்குத் தெரியும்), அது முழுமையானது என்று நாம் உறுதியாக நம்புகிறோம். உருளும் கோளம் இந்த உதாரணம் மேலே கருதப்பட்ட 'உருளும் சக்கரம்' சிக்கலின் நீட்டிப்பாகும். ஒரு முப்பரிமாண ஆர்த்தோகனல் கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு சட்டகத்தைக் கவனியுங்கள், எடுத்துக்காட்டாக, தோற்றத்திற்காக குறிக்கப்பட்ட ஒரு புள்ளியைக் கொண்ட ஒரு நிலை அட்டவணை மேல், மற்றும் x மற்றும் y அச்சுகள் பென்சில் கோடுகளுடன் அமைக்கப்பட்டுள்ளன. அலகு ஆரம் கொண்ட ஒரு கோளத்தை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள், எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு பிங்-பாங் பந்து, மற்றும் ஒரு புள்ளி B ஐ நீல நிறத்தில் குறிக்கவும். இந்த புள்ளிக்கு இணையாக கோளத்தின் விட்டம் உள்ளது, மேலும் கோளத்தின் மையத்தில் அமைந்துள்ள இந்த விட்டத்திற்கு செங்குத்தான தளம் புள்ளி B உடன் தொடர்புடைய பூமத்திய ரேகை எனப்படும் ஒரு பெரிய வட்டத்தை வரையறுக்கிறது. இந்த பூமத்திய ரேகை மீது, மற்றொரு புள்ளி R ஐத் தேர்ந்தெடுத்து அதை சிவப்பு நிறத்தில் குறிக்கவும். கோளத்தை z = 0 தளத்தின் மீது நிலைநிறுத்தவும், இதனால் B புள்ளி தோற்றத்துடன் ஒத்துப்போகிறது, C என்பது x = 0, y = 0, z = 1, மற்றும் R என்பது x = 1, y = 0, மற்றும் z = 1, அதாவது. R நேர்மறை x அச்சின் திசையில் நீண்டுள்ளது. இது கோளத்தின் ஆரம்ப அல்லது குறிப்பு நோக்குநிலை ஆகும். கோளம் இப்போது z = 0 தளத்தில் எந்த தொடர்ச்சியான மூடிய பாதையிலும் உருட்டப்படலாம், வெறுமனே இணைக்கப்பட்ட பாதை அல்ல, அது நழுவவோ அல்லது திருப்பவோ செய்யாத வகையில், C x = 0, y = 0, z = 1 க்குத் திரும்பும். பொதுவாக, புள்ளி B இனி தோற்றத்துடன் ஒத்துப்போகாது, மேலும் புள்ளி R இனி நேர்மறை x அச்சில் நீட்டிக்கப்படாது. உண்மையில், பொருத்தமான பாதையைத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம், கோளம் x = 0, y = 0, z = 1 இல் அமைந்துள்ள C உடன் கோளத்தின் ஆரம்ப நோக்குநிலையிலிருந்து கோளத்தின் எந்தவொரு சாத்தியமான நோக்குநிலையிலும் மறுபரிசீலனை செய்யப்படலாம். எனவே இந்த அமைப்பு ஒத்திசைவற்றது. அன்ஹோலோனமியை இரு மடங்கு தனித்துவமான குவாட்டர்னியன் (q மற்றும் −q) மூலம் பிரதிநிதித்துவப்படுத்தலாம், இது கோளத்தைக் குறிக்கும் புள்ளிகளுக்கு பயன்படுத்தப்படும்போது, புள்ளிகள் B மற்றும் R ஐ அவற்றின் புதிய நிலைகளுக்கு கொண்டு செல்கிறது. ஃபூக்கோல்ட் ஊசல் ஒரு முழுமையற்ற அமைப்பின் கூடுதல் எடுத்துக்காட்டு ஃபூக்கோல்ட் ஊசல் ஆகும். உள்ளூர் ஒருங்கிணைப்பு சட்டகத்தில் ஊசல் பாதையின் தொடக்கத்தில் புவியியல் வடக்கைப் பொறுத்தவரை ஒரு குறிப்பிட்ட நோக்குநிலையுடன் செங்குத்து தளத்தில் ஊசலாடுகிறது. இந்த அமைப்பின் மறைமுகமான பாதை ஊசல் அமைந்துள்ள பூமியில் அட்சரேகையின் கோடு ஆகும். பூமியின் சட்டகத்தில் ஊசல் நிலையாக இருந்தாலும், அது சூரியனைக் குறிக்கும் ஒரு சட்டகத்தில் நகர்கிறது மற்றும் பூமியின் சுழற்சி விகிதத்துடன் ஒத்திசைவாக சுழல்கிறது, இதனால் ஊசல் தளத்தின் ஒரே வெளிப்படையான இயக்கம் பூமியின் சுழற்சியால் ஏற்படுகிறது. இந்த பிந்தைய சட்டகம் ஒரு மந்தமான குறிப்பு சட்டமாக கருதப்படுகிறது, இருப்பினும் இதுவும் மிகவும் நுட்பமான வழிகளில் மந்தமற்றது. பூமியின் சட்டகம் நிலைத்தன்மை இல்லாதது என்று நன்கு அறியப்பட்டிருக்கிறது, இது மையவிலக்கு விசைகள் மற்றும் கோரியோலிஸ் விசைகளின் வெளிப்படையான இருப்பு மூலம் உணரப்படுகிறது. அட்சரேகைக் கோட்டில் உள்ள இயக்கம் காலப்போக்கில் அளவிடப்படுகிறது, மேலும் ஃபூகால்ட் ஊசல் அலைவு தளம் நேரம் செல்லச் செல்ல உள்ளூர் செங்குத்து அச்சில் சுழல்வதாகத் தெரிகிறது. ஆரம்ப நோக்குநிலையைப் பொறுத்து ஒரு நேரத்தில் t இல் இந்த தளத்தின் சுழற்சி கோணம் அமைப்பின் அன்ஹோலோனமி ஆகும். அட்சரேகையின் முழுமையான சுற்றுவட்டத்தால் தூண்டப்படும் அன்ஹோலோனோமி அந்த அட்சரேகையின் வட்டத்தால் உட்படுத்தப்பட்ட திட கோணத்திற்கு விகிதாசாரமாகும். பாதை அட்சரேகை வட்டங்களுக்கு கட்டுப்படுத்தப்பட வேண்டியதில்லை. எடுத்துக்காட்டாக, ஊசல் ஒரு விமானத்தில் பொருத்தப்படலாம். அன்ஹோலோனோமி இன்னும் பாதையால் உட்படுத்தப்பட்ட திட கோணத்திற்கு விகிதாசாரமாக உள்ளது, இது இப்போது மிகவும் ஒழுங்கற்றதாக இருக்கலாம். ஃபூகால்ட் ஊசல் இணையான போக்குவரத்துக்கு ஒரு இயற்பியல் எடுத்துக்காட்டு. ஒளியியல் இழையில் நேரியல் துருவப்படுத்தப்பட்ட ஒளி ஒளியியல் இழையின் நீளத்தை எடுத்து, மூன்று மீட்டர் என்று சொல்லுங்கள், அதை முற்றிலும் நேர் கோட்டில் வைக்கவும். செங்குத்தாக துருவப்படுத்தப்பட்ட கற்றை ஒரு முனையில் அறிமுகப்படுத்தப்படும்போது, அது மறுமுனையிலிருந்து வெளிப்படுகிறது, இன்னும் செங்குத்து திசையில் துருவப்படுத்தப்படுகிறது. செங்குத்து துருவமுனைப்பின் நோக்குநிலையுடன் தொடர்புடைய ஒரு கோடுடன் இழையின் மேற்புறத்தைக் குறிக்கவும். இப்போது, இழையை ஒரு உருளைக்கு பத்து சென்டிமீட்டர் விட்டத்தைச் சுற்றி இறுக்கமாக சுருட்டவும். இழையின் பாதை இப்போது ஒரு ஹெலிக்ஸை விவரிக்கிறது, இது வட்டத்தைப் போலவே நிலையான வளைவைக் கொண்டுள்ளது. ஹெலிக்ஸ் நிலையான சுழற்சியைக் கொண்டிருப்பதற்கான சுவாரஸ்யமான பண்பையும் கொண்டுள்ளது. இதன் விளைவாக இழையின் மையக் கோடு ஹெலிக்ஸ் வழியாக முன்னேறும்போது இழையின் அச்சில் இழையின் படிப்படியான சுழற்சி ஆகும். அதற்கேற்ப, பட்டையும் ஹெலிக்ஸின் அச்சில் சுழல்கிறது. நேரியல் துருவமுனைக்கப்பட்ட ஒளி மீண்டும் ஒரு முனையில் அறிமுகப்படுத்தப்படும்போது, துருவமுனைப்பின் நோக்குநிலை பட்டையுடன் சீரமைக்கப்படும் போது, அது பொதுவாக, பட்டையுடன் சீரமைக்கப்பட்ட நேரியல் துருவமுனைக்கப்பட்ட ஒளியாக வெளிப்படும், ஆனால் பட்டைக்கு சில நிலையான கோணத்தில், இழையின் நீளம் மற்றும் ஹெலிக்ஸின் சுருதி மற்றும் ஆரம் ஆகியவற்றைப் பொறுத்தது. இந்த அமைப்பு ஒத்திசைவற்றது, ஏனென்றால் நாம் ஃபைபரை இரண்டாவது ஹெலிக்ஸில் எளிதில் சுருட்டி, முனைகளை சீரமைத்து, ஒளியை அதன் தோற்ற இடத்திற்குத் திருப்பலாம். எனவே இழையின் ஒவ்வொரு சுற்றிலும் துருவமுனைப்பு கோணத்தின் விலகல் மூலம் அன்ஹோலோனமி குறிப்பிடப்படுகிறது. அளவுருக்களை பொருத்தமான முறையில் சரிசெய்வதன் மூலம், சாத்தியமான எந்த கோண நிலையையும் உருவாக்க முடியும் என்பது தெளிவாகிறது. ரோபாட்டிக்ஸ் ரோபாட்டிக்ஸில், மொபைல் ரோபோக்களுக்கான இயக்க திட்டமிடல் மற்றும் பின்னூட்ட நேரியல் ஆகியவற்றின் நோக்கத்தில் நன்ஹோலோனமிக் குறிப்பாக ஆய்வு செய்யப்பட்டுள்ளது. மேலும் காண்கஃ முழுமையான கட்டுப்பாடு சைக்கிள் மற்றும் மோட்டார் சைக்கிள் இயக்கவியல் விழும் பூனை சிக்கல் கோரியாச்சேவ்-சாப்லைஜின் மேல் இணையான பார்க்கிங் சிக்கல் ஃபாஃபியன் கட்டுப்பாடு உட்வாடியா-கலாபா சமன்பாடு லை குழு ஒருங்கிணைப்பாளர் குறிப்புகள் இயற்கணித இடவியல் வேறுபட்ட வடிவியல் வேறுபட்ட இடவியல் இயக்கவியல் அமைப்புகள்