Book embedding
வரைபடக் கோட்பாட்டில், ஒரு புத்தக உட்பொதிப்பு என்பது ஒரு புத்தகத்தில் உட்பொதிப்பதற்கு ஒரு வரைபடத்தின் பிளானர் உட்பொதிப்பின் பொதுமைப்படுத்தலாகும், அரை விமானங்களின் தொகுப்பு அனைத்தும் அவற்றின் எல்லைக்கு ஒத்த கோட்டைக் கொண்டுள்ளன. வழக்கமாக, வரைபடத்தின் செங்குத்துகள் இந்த எல்லைக் கோட்டில் இருக்க வேண்டும், இது முதுகெலும்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் விளிம்புகள் ஒரு அரை தளத்திற்குள் இருக்க வேண்டும். ஒரு வரைபடத்தின் புத்தக தடிமன் என்பது வரைபடத்தின் எந்தவொரு புத்தக உட்பொதிப்புக்கும் அரை விமானங்களின் மிகச்சிறிய எண்ணிக்கையாகும். புத்தக தடிமன் பேஜென் எண், ஸ்டேக் எண் அல்லது நிலையான வெளிப்புற தடிமன் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. பக்க அகலம் மற்றும் புத்தகக் கடக்கும் எண் உள்ளிட்ட பல வரைபட மாறிலிகளை வரையறுக்க புத்தக உட்பொதிப்புகள் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளன. செங்குத்துகளைக் கொண்ட ஒவ்வொரு வரைபடமும் அதிகபட்சமாக புத்தகத் தடிமனைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் இந்த சூத்திரம் முழுமையான வரைபடங்களுக்கான சரியான புத்தகத் தடிமனைக் கொடுக்கிறது. புத்தக தடிமன் கொண்ட வரைபடங்கள் வெளிப்புற பிளானர் வரைபடங்கள் ஆகும். அதிகபட்சம் இரண்டு புத்தக தடிமன் கொண்ட வரைபடங்கள் சப்ஹாமில்டோனியன் வரைபடங்கள் ஆகும், அவை எப்போதும் பிளானராக இருக்கும்; மேலும் பொதுவாக, ஒவ்வொரு பிளானர் வரைபடமும் அதிகபட்சம் நான்கு புத்தக தடிமன் கொண்டவை. அனைத்து சிறிய-மூடிய வரைபடக் குடும்பங்களும், குறிப்பாக வரம்புக்குட்பட்ட மூன்று அகலம் அல்லது வரம்புக்குட்பட்ட இனங்களைக் கொண்ட வரைபடங்களும் வரம்புக்குட்பட்ட புத்தக தடிமனைக் கொண்டுள்ளன. கொடுக்கப்பட்ட வரைபடத்தின் சரியான புத்தக தடிமனை தீர்மானிப்பது NP-கடினம், புத்தகத்தின் முதுகெலும்புடன் ஒரு நிலையான உச்சியை வரிசைப்படுத்தி அல்லது அறியாமல். உட்பொதிப்பின் முதுகெலும்புடன் செங்குத்துகளின் நிலையான வரிசை கொடுக்கப்பட்ட ஒரு வரைபடத்தின் உட்பொதிக்கப்பட்ட மூன்று பக்க புத்தகத்தின் இருப்பைச் சோதிப்பது, அறியப்படாத கணக்கீட்டு சிக்கலைக் கொண்டுள்ளதுஃ இது பல்லுறுப்புக்கோவை நேரத்தில் தீர்க்கக்கூடியது அல்லது NP-கடினமானது என்று அறியப்படவில்லை. புத்தக உட்பொதிப்புகளைப் படிப்பதற்கான அசல் உந்துதல்களில் ஒன்று வி. எல். எஸ். ஐ வடிவமைப்பில் பயன்பாடுகளை உள்ளடக்கியது, இதில் ஒரு புத்தக உட்பொதிப்பின் செங்குத்துகள் ஒரு சுற்றுவட்டத்தின் கூறுகளைக் குறிக்கின்றன மற்றும் கம்பிகள் அவற்றுக்கிடையேயான இணைப்புகளைக் குறிக்கின்றன. புத்தக உட்பொதிப்பு வரைபட வரைபடத்திலும் பயன்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளது, அங்கு வரைபடங்களுக்கான இரண்டு நிலையான காட்சிப்படுத்தல் பாணிகள், வளைவு வரைபடங்கள் மற்றும் வட்ட தளவமைப்புகள், புத்தக உட்பொதிப்புகளைப் பயன்படுத்தி கட்டமைக்கப்படலாம். போக்குவரத்துத் திட்டமிடலில், போக்குவரத்து ஒளியில் சந்திக்கும் மற்றும் தொடர்பு கொள்ளும் கால் மற்றும் வாகன போக்குவரத்தின் வெவ்வேறு ஆதாரங்கள் மற்றும் இடங்களை கணித ரீதியாக ஒரு வரைபடத்தின் செங்குத்துகளாக வடிவமைக்க முடியும், வெவ்வேறு மூல-இலக்கு ஜோடிகளை இணைக்கும் விளிம்புகளுடன். இந்த வரைபடத்தின் ஒரு புத்தக உட்பொதிப்பை ஒரு அட்டவணையை வடிவமைக்கப் பயன்படுத்தலாம், இது அனைத்து போக்குவரத்தையும் முடிந்தவரை சில சமிக்ஞை கட்டங்களுடன் குறுக்குவெட்டு வழியாக நகர அனுமதிக்கிறது. ஆர்என்ஏவின் மடிப்பு அமைப்பு சம்பந்தப்பட்ட உயிர் தகவலியல் சிக்கல்களில், ஒற்றை பக்க புத்தக உட்பொதிப்புகள் நியூக்ளிக் அமில இரண்டாம் நிலை கட்டமைப்பின் பாரம்பரிய வடிவங்களைக் குறிக்கின்றன, மேலும் இரண்டு பக்க புத்தக உட்பொதிப்புகள் சூடோக்னாட்டுகளைக் குறிக்கின்றன. புத்தக உட்பொதிப்புகளின் பிற பயன்பாடுகளில் சுருக்க இயற்கணிதம் மற்றும் முடிச்சு கோட்பாடு ஆகியவை அடங்கும். ஒரு புத்தகத்தின் கருத்து, ஒரு இடவியல் இடமாக, 1960 களில் சி. ஏ. பெர்சிங்கர் மற்றும் கெயில் அட்னியோசன் ஆகியோரால் வரையறுக்கப்பட்டது. இந்தப் பணியின் ஒரு பகுதியாக, புத்தகங்களில் வரைபடங்களை உட்பொதிப்பது குறித்து அட்னியோசன் ஏற்கனவே பரிசீலித்தார். அவர் படித்த உட்பொதிப்புகள் வரைபடங்களை வேறு எந்த இடத்திலும் உட்பொதிப்பது போன்ற அதே வரையறையைப் பயன்படுத்தினஃ செங்குத்துகள் தனித்துவமான புள்ளிகளால் குறிக்கப்படுகின்றன, விளிம்புகள் வளைவுகளால் குறிக்கப்படுகின்றன, மேலும் இரண்டு விளிம்புகள் வெட்டுவதற்கான ஒரே வழி அவை ஒரு பொதுவான இறுதிப் புள்ளியில் சந்திப்பதாகும். 1970 களின் முற்பகுதியில், பால் சி. கைனென் மற்றும் எல். டெய்லர் ஒல்மேன் ஆகியோர் மிகவும் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட உட்பொதிப்பு வகையை உருவாக்கினர், இது பெரும்பாலான அடுத்தடுத்த ஆராய்ச்சிகளில் பயன்படுத்தப்பட்டது. அவற்றின் சூத்திரத்தில், வரைபடத்தின் செங்குத்துகள் புத்தகத்தின் முதுகெலும்புடன் வைக்கப்பட வேண்டும், மேலும் ஒவ்வொரு விளிம்பும் ஒரே பக்கத்தில் இருக்க வேண்டும். புத்தக உட்பொதிப்புகளின் பிற்கால வளர்ச்சியில் முக்கியமான மைல்கற்கள் 1980 களின் பிற்பகுதியில் மிஹாலி யன்னகாகிஸ் அளித்த சான்றுகள், பிளானர் வரைபடங்கள் அதிகபட்சம் நான்கு புத்தக தடிமன் கொண்டவை, மற்றும் 1990 களின் பிற்பகுதியில் புத்தக உட்பொதிப்புகளுக்கும் உயிர் தகவலியலுக்கும் இடையிலான நெருங்கிய தொடர்புகளின் கண்டுபிடிப்பு ஆகியவை அடங்கும். வரையறைகள் ஒரு புத்தகம் என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட வகையான இடவியல் இடமாகும், இது அரை விமானங்களின் விசிறி என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. இது புத்தகத்தின் முதுகெலும்பு அல்லது பின்புறம் என்று அழைக்கப்படும் ஒரு ஒற்றை வரியைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட அரை தளங்களின் தொகுப்புடன், புத்தகத்தின் பக்கங்கள் அல்லது இலைகள் என்று அழைக்கப்படுகிறது, ஒவ்வொன்றும் அதன் எல்லையாக முதுகெலும்பைக் கொண்டுள்ளன. வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான பக்கங்களைக் கொண்ட புத்தகங்களை முப்பரிமாண இடத்தில் உட்பொதிக்க முடியும், எடுத்துக்காட்டாக, கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பின்-அச்சாகத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலமும், பக்கங்களை அரை தளங்களாகத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலமும்-தளத்தைப் பொறுத்தவரை டைஹெட்ரல் கோணம் ஒரு முழு எண் பெருக்கமாகும். ஒரு புத்தகத்தின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட வரைபடத்தின் ஒரு புத்தக வரைபடம் என்பது அதன் ஒவ்வொரு முனையும் முதுகெலும்பில் ஒரு புள்ளியாக வரையப்படும் வகையில் வரையப்படுகிறது, மேலும் அதன் ஒவ்வொரு விளிம்பும் அதன் ஒரு பக்கத்திற்குள் இருக்கும் வளைவாக வரையப்படுகிறது. ஒரு பக்க புத்தக குறுக்குவெட்டு எண் என்பது ஒரு பக்க புத்தக வரைபடத்தில் குறுக்குவெட்டுகளின் குறைந்தபட்ச எண்ணிக்கையாகும். ஒரு புத்தகத்தில் உட்பொதிப்பது என்பது ஒரு புத்தக வரைபடமாகும், இது ஒரு வரைபடத்தை உட்பொதிக்கிறது. அதாவது, இது ஒரு புத்தக வரைபடமாகும், அதில் எந்த விளிம்பையும் கடக்கவில்லை. ஒவ்வொரு வரையறுக்கப்பட்ட வரைபடத்திலும் போதுமான எண்ணிக்கையிலான பக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு புத்தகத்தில் உட்பொதிக்கப்பட்ட ஒரு புத்தகம் உள்ளது. உதாரணமாக, வரைபடத்தின் ஒவ்வொரு விளிம்பையும் அதன் சொந்த தனி பக்கத்தில் உட்பொதிப்பது எப்போதும் சாத்தியமாகும். புத்தகத்தின் தடிமன், பேஜென் எண் அல்லது அடுக்கு எண் என்பது ஒரு புத்தகத்தை உட்பொதிக்க தேவையான குறைந்தபட்ச பக்கங்களின் எண்ணிக்கையாகும். ஒரு புத்தக உட்பொதிப்பின் தரத்தை அளவிடும் மற்றொரு அளவுரு, அதன் பக்கங்களின் எண்ணிக்கைக்கு அப்பால், அதன் பக்க அகலம் ஆகும். இது வெட்டு அகலத்திற்கு ஒத்ததாக வரையறுக்கப்படுகிறது, இது ஒரு பக்கத்திற்குள் முதுகெலும்புக்கு செங்குத்தாக ஒரு கதிர் கடக்கக்கூடிய அதிகபட்ச விளிம்புகள் ஆகும். சமமாக (ஒவ்வொரு விளிம்பும் ஒரு மோனோடோனிக் வளைவாக வரையப்பட்ட புத்தக உட்பொதிப்புகளுக்கு), இது ஒரு பக்கத்திற்குள் விளிம்புகளின் துணைக்குழுவின் அதிகபட்ச அளவாகும், அதாவது முதுகெலும்பில் வரையறுக்கப்பட்ட இடைவெளிகள் விளிம்புகளின் ஜோடி இறுதிப் புள்ளிகளால் ஒருவருக்கொருவர் வெட்டுகின்றன. புத்தகத்தின் ஒரு பக்கத்திற்குள் மட்டுமே விளிம்புகள் இருக்க அனுமதிக்கப்படுவது இந்த வரையறைகளுக்கு முக்கியமானது. அட்னியோசன் ஏற்கனவே கவனித்தபடி, புத்தகத்தின் முதுகெலும்பு முழுவதும் விளிம்புகள் ஒரு பக்கத்திலிருந்து இன்னொரு பக்கத்திற்குச் செல்லக்கூடும் என்றால், ஒவ்வொரு வரைபடமும் மூன்று பக்க புத்தகத்தில் உட்பொதிக்கப்படலாம். முதுகெலும்பு குறுக்குவெட்டுகள் அனுமதிக்கப்படும் அத்தகைய மூன்று பக்க இடவியல் புத்தக உட்பொதிப்புக்கு, ஒவ்வொரு வரைபடமும் ஒரு விளிம்பிற்கு அதிகபட்சமாக ஒரு மடக்கை எண்ணிக்கையிலான முதுகெலும்பு குறுக்குவெட்டுகளுடன் உட்பொதிக்கப்படலாம், மேலும் சில வரைபடங்களுக்கு இந்த பல முதுகெலும்பு குறுக்குவெட்டுகள் தேவைப்படுகின்றன. குறிப்பிட்ட வரைபடங்கள் முதல் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி, முழுமையான வரைபடத்தின் புத்தக தடிமன் மூன்றுஃ ஒரு பிளானர் அல்லாத வரைபடமாக அதன் புத்தக தடிமன் இரண்டுக்கும் அதிகமாக உள்ளது, ஆனால் மூன்று பக்கங்களுடன் உட்பொதிக்கப்பட்ட ஒரு புத்தகம் உள்ளது. மேலும் பொதுவாக, செங்குத்துகளுடன் கூடிய ஒவ்வொரு முழுமையான வரைபடத்தின் புத்தக தடிமன் சரியாக இருக்கும். இந்த முடிவு எந்த-வெர்டெக்ஸ் வரைபடத்தின் அதிகபட்ச புத்தக தடிமன் மீது ஒரு மேல் வரம்பை வழங்குகிறது. முழுமையான வரைபடத்தின் இரண்டு பக்க குறுக்குவெட்டு எண் இந்த வரைபடத்தின் கட்டுப்பாடற்ற குறுக்குவெட்டு எண் என்னவாக இருக்க வேண்டும் என்பது குறித்து அந்தோனி ஹில்லின் இன்னும் நிரூபிக்கப்படாத யூகத்துடன் பொருந்துகிறது. அதாவது, ஹில்லின் அனுமானம் சரியாக இருந்தால், குறுக்குவெட்டுகளின் எண்ணிக்கையைக் குறைக்கும் இந்த வரைபடத்தின் வரைபடம் இரண்டு பக்க வரைபடமாகும். முழுமையான இருதரப்பு வரைபடத்தின் புத்தக தடிமன் அதிகபட்சமாக உள்ளது. இந்த புத்தக தடிமன் கொண்ட ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்க, இரு பகிர்வின் சிறிய பக்கத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு உச்சிக்கும், ஒருவர் அந்த உச்சியுடன் ஏற்படும் விளிம்புகளை தங்கள் சொந்த பக்கத்தில் வைக்கலாம். இந்த பிணைப்பு எப்போதும் இறுக்கமாக இருக்காது; உதாரணமாக, புத்தக தடிமன் மூன்று, நான்கு அல்ல. இருப்பினும், வரைபடத்தின் இரு பக்கங்களும் மிகவும் சமநிலையற்றதாக இருக்கும்போது, புத்தகத்தின் தடிமன் சரியாக இருக்கும். டூரான் வரைபடத்தைப் பொறுத்தவரை (ஒரு சுயாதீன தொகுப்புக்கு சுயாதீன செங்குத்துகளின் தொகுப்புகளிலிருந்து உருவாக்கப்பட்ட ஒரு முழுமையான பலதரப்பட்ட வரைபடம், வெவ்வேறு சுயாதீன தொகுப்புகளிலிருந்து ஒவ்வொரு இரண்டு செங்குத்துகளுக்கும் இடையில் ஒரு விளிம்புடன்) புத்தக தடிமன் இடையில் சாண்ட்விச் செய்யப்படுகிறது மற்றும் ஒற்றைப்படை இருக்கும்போது மேல் வரம்பை மேம்படுத்தலாம் பைனரி டி ப்ரூயின் வரைபடங்கள், ஷஃபிள்-எக்ஸ்சேஞ்ச் வரைபடங்கள் மற்றும் கனசதுரத்துடன் இணைக்கப்பட்ட சுழற்சிகளின் புத்தக தடிமன் (இந்த வரைபடங்கள் பிளானராக இல்லாத அளவுக்கு பெரியதாக இருக்கும்போது) சரியாக மூன்று ஆகும். பிளானாரிட்டி மற்றும் அவுடர்பிளானாரிட்டி பண்புகள் கொடுக்கப்பட்ட வரைபடத்தின் புத்தக தடிமன் ஒரு வெளிப்புற பிளானர் வரைபடமாக இருந்தால் மட்டுமே அதிகபட்சம் ஒன்று. வெளிப்புற பிளானர் வரைபடம் என்பது ஒரு பிளானர் உட்பொதிப்பைக் கொண்ட ஒரு வரைபடமாகும், இதில் அனைத்து செங்குத்துகளும் உட்பொதிப்பின் வெளிப்புற முகத்தைச் சேர்ந்தவை. அத்தகைய வரைபடத்திற்கு, செங்குத்துகளை முதுகெலும்புடன் வெளிப்புற முகப்பில் தோன்றும் அதே வரிசையில் வைப்பது கொடுக்கப்பட்ட வரைபடத்தின் ஒரு பக்க புத்தக உட்பொதிப்பை வழங்குகிறது. (வரைபடத்தின் ஒரு உச்சரிப்பு புள்ளி வெளிப்புற முகத்தைச் சுற்றியுள்ள செங்குத்துகளின் சுழற்சி வரிசையில் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட முறை தோன்றும், ஆனால் அந்த பிரதிகளில் ஒன்று மட்டுமே புத்தக உட்பொதிப்பில் சேர்க்கப்பட வேண்டும்.) மாறாக, ஒரு பக்க புத்தக உட்பொதிப்பு தானாகவே ஒரு வெளிப்புற பிளானர் உட்பொதிப்பாகும். ஏனெனில், ஒரு வரைபடம் ஒரு பக்கத்தில் உட்பொதிக்கப்பட்டிருந்தால், அதன் பக்கத்தை ஒரு முழுமையான தளத்திற்கு நீட்டிக்க மற்றொரு அரை தளம் முதுகெலும்புடன் இணைக்கப்பட்டிருந்தால், உட்பொதிப்பின் வெளிப்புற முகம் முழு சேர்க்கப்பட்ட அரை தளத்தையும் உள்ளடக்கியது, மேலும் அனைத்து செங்குத்துகளும் இந்த வெளிப்புற முகத்தின் மீது உள்ளன. ஒவ்வொரு இரண்டு பக்க புத்தக உட்பொதிப்பும் ஒரு பிளானர் உட்பொதிப்பின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு, ஏனென்றால் ஒரு புத்தகத்தின் இரண்டு பக்கங்களின் ஒன்றிணைப்பு என்பது முழு தளத்திற்கும் சமமான இடமாகும். எனவே, புத்தக தடிமன் இரண்டு கொண்ட ஒவ்வொரு வரைபடமும் தானாகவே ஒரு சமதள வரைபடமாகும். இன்னும் துல்லியமாக, ஹாமில்டோனியன் சுழற்சியைக் கொண்ட ஒரு பிளானர் வரைபடத்தின் துணை வரைபடமாக இருந்தால் மட்டுமே ஒரு வரைபடத்தின் புத்தக தடிமன் அதிகபட்சம் இரண்டு ஆகும். ஒரு வரைபடத்திற்கு இரண்டு பக்க உட்பொதிப்பு வழங்கப்பட்டால், முதுகெலும்பு மற்றும் முதல் மற்றும் கடைசி முதுகெலும்பு செங்குத்துகளுக்கு இடையில் ஏற்கனவே அருகிலுள்ள இரண்டு தொடர்ச்சியான செங்குத்துகளுக்கு இடையில் (எந்தப் பக்கத்திலும்) கூடுதல் விளிம்புகளைச் சேர்ப்பதன் மூலம் அதை ஒரு பிளானர் ஹாமில்டோனியன் வரைபடத்திற்கு அதிகரிக்க முடியும். கோல்ட்னர்-ஹாரரி வரைபடம் புத்தக தடிமன் இரண்டு இல்லாத ஒரு பிளானர் வரைபடத்திற்கு ஒரு உதாரணத்தை வழங்குகிறதுஃ இது ஒரு அதிகபட்ச பிளானர் வரைபடம், எனவே பிளானாரிட்டியைப் பாதுகாக்கும் போது அதற்கு எந்த விளிம்புகளையும் சேர்க்க முடியாது, மேலும் இது ஹாமில்டோனியன் சுழற்சியைக் கொண்டிருக்கவில்லை. ஹாமில்டோனியன் சுழற்சிகளின் இந்த வகைப்பாட்டின் காரணமாக, இரண்டு பக்க புத்தக உட்பொதிப்புகளைக் கொண்ட வரைபடங்கள் சப்ஹாமில்டோனியன் வரைபடங்கள் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன. அதிகபட்ச டிகிரி அதிகபட்சம் நான்கு இருக்கும் அனைத்து பிளானர் வரைபடங்களும் அதிகபட்சம் இரண்டு புத்தக தடிமன் கொண்டவை. பிளானர் 3 மரங்கள் அதிகபட்சம் மூன்று புத்தக தடிமன் கொண்டவை. மேலும் பொதுவாக, அனைத்து பிளானர் வரைபடங்களும் புத்தக தடிமன் நான்கைக் கொண்டுள்ளன. புத்தகத்தின் தடிமன் சரியாக நான்கு இருக்கும் சில சமதள வரைபடங்கள் இருப்பதாக 1986 ஆம் ஆண்டில் மிஹாலி யன்னகாகிஸ் கூறினார். இருப்பினும், இந்த கூற்றின் விரிவான ஆதாரம், அடுத்தடுத்த பத்திரிகை காகிதத்தில் அறிவிக்கப்பட்டது, 2020 வரை அறியப்படவில்லை, அப்போது பெக்கோஸ் மற்றும் பலர். எந்தவொரு புத்தக உட்பொதிப்பிலும் நான்கு பக்கங்கள் தேவைப்படும் மூன்று அகலம் 4 கொண்ட பிளானர் வரைபடங்களை வழங்கியது. உட்பிரிவுகளின் கீழ் நடத்தை ஒரு வரைபடத்தின் ஒவ்வொரு விளிம்பையும் இரண்டு விளிம்புகளாகப் பிரிப்பதன் மூலம், ஒவ்வொரு விளிம்பிலும் புதிய செங்குத்துகளைச் சேர்ப்பதன் மூலம், சில நேரங்களில் அதன் புத்தக தடிமன் அதிகரிக்கலாம். உதாரணமாக, வைர வரைபடத்தில் புத்தக தடிமன் ஒன்று உள்ளது (இது வெளிப்புற பிளானர்) ஆனால் அதன் உட்பிரிவில் புத்தக தடிமன் இரண்டு உள்ளது (இது பிளானர் மற்றும் சப்ஹாமில்டோனியன் ஆனால் வெளிப்புற பிளானர் அல்ல). இருப்பினும், இந்த உட்பிரிவு செயல்முறை சில நேரங்களில் உட்பிரிவு வரைபடத்தின் புத்தக தடிமனை கணிசமாகக் குறைக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, முழுமையான வரைபடத்தின் புத்தகத் தடிமன் அதன் செங்குத்துகளின் எண்ணிக்கைக்கு விகிதாசாரமாக இருக்கும், ஆனால் அதன் ஒவ்வொரு விளிம்பையும் இரண்டு முனை பாதையாகப் பிரிப்பது ஒரு உட்பிரிவை உருவாக்குகிறது, அதன் புத்தகத் தடிமன் மிகவும் சிறியது, மட்டுமே. இது போன்ற உதாரணங்கள் இருந்தபோதிலும், ஒரு உட்பிரிவின் புத்தக தடிமன் அசல் வரைபடத்தை விட மிகவும் சிறியதாக இருக்க முடியாது என்று அனுமானிக்கப்பட்டது. குறிப்பாக, ஒவ்வொரு வரைபடத்திற்கும், ஒவ்வொரு விளிம்பையும் இரண்டு முனை பாதையால் மாற்றுவதன் மூலம் உருவாக்கப்பட்ட வரைபடத்திற்கும், புத்தகத்தின் தடிமன் என்றால், புத்தகத்தின் தடிமன் அதிகபட்சமாக இருக்கும் என்று ஒரு செயல்பாடு இருப்பதாக அவர்கள் யூகித்தனர். அவற்றின் அனுமானம் பொய்யானதுஃ நட்சத்திரங்கள் மற்றும் முக்கோண சாய்வுகளின் கார்ட்டீசியன் தயாரிப்புகளால் உருவாக்கப்பட்ட வரைபடங்கள் வரம்பற்ற புத்தக தடிமன் கொண்டவை, ஆனால் அவற்றின் விளிம்புகளை ஆறு முனை பாதைகளாக பிரிப்பது அவற்றின் புத்தக தடிமன் மூன்றாகக் குறைக்கிறது. புத்தகத் தடிமன் என்பது தடிமன், கொடுக்கப்பட்ட வரைபடத்தின் விளிம்புகளை மறைக்க தேவையான சமதள வரைபடங்களின் எண்ணிக்கை ஆகியவற்றுடன் தொடர்புடையது. ஒரு வரைபடத்தை விமானத்தில் வரைய முடிந்தால் அதன் தடிமன் இருக்கும், மேலும் அதன் விளிம்புகள் வண்ணங்களால் வண்ணமயமாக இருக்கும், இதனால் ஒருவருக்கொருவர் ஒரே நிறத்தின் விளிம்புகள் கடக்காது. இதேபோல், ஒரு வரைபடம் ஒரு அரை தளத்தில் வரைய முடிந்தால் புத்தக தடிமன் உள்ளது, அதன் செங்குத்துகள் அரை தளத்தின் எல்லையில் உள்ளன, அதன் விளிம்புகள் ஒரே நிறத்தின் இரண்டு விளிம்புகளுக்கு இடையில் கடக்காமல் வண்ணங்களால் வண்ணமயமாக உள்ளன. புத்தக தடிமனின் இந்த சூத்திரத்தில், விளிம்புகளின் நிறங்கள் புத்தக உட்பொதிப்பின் பக்கங்களுடன் ஒத்திருக்கின்றன. இருப்பினும், தடிமன் மற்றும் புத்தக தடிமன் ஒருவருக்கொருவர் மிகவும் வித்தியாசமாக இருக்கலாம்ஃ தடிமன் இரண்டு இருந்தபோதிலும், வரம்பற்ற புத்தக தடிமன் கொண்ட வரைபடங்கள் (முழுமையான வரைபடங்களின் உட்பிரிவுகள்) உள்ளன. மூன்று அகலம் கொண்ட வரைபடங்கள் அதிகபட்சமாக புத்தக தடிமனைக் கொண்டுள்ளன, மேலும் இந்த வரம்பு இறுக்கமாக உள்ளது. விளிம்புகள் கொண்ட வரைபடங்கள் புத்தக தடிமன் கொண்டவை, மற்றும் இனத்தின் வரைபடங்கள் புத்தக தடிமன் கொண்டவை. மேலும் பொதுவாக, ஒவ்வொரு சிறிய-மூடிய வரைபடக் குடும்பமும் புத்தகத் தடிமன் வரம்புக்குட்பட்டது. மறுபுறம், 1-பிளானர் வரைபடங்கள், மைனர்களின் கீழ் மூடப்படாதவை, புத்தக தடிமன் வரம்புக்குட்பட்டவை, ஆனால் சில 1-பிளானர் வரைபடங்கள் குறைந்தபட்சம் நான்கு புத்தக தடிமன் கொண்டவை. வரையறுக்கப்பட்ட புத்தக தடிமன் கொண்ட ஒரு வரைபடத்தின் ஒவ்வொரு ஆழமற்ற சிறியதும் ஒரு சிறிய வரைபடமாகும், அதன் விளிம்புகள் மற்றும் செங்குத்துகளின் விகிதம் ஒரு மாறிலியால் வரையறுக்கப்படுகிறது, இது சிறிய ஆழம் மற்றும் புத்தக தடிமன் ஆகியவற்றை மட்டுமே சார்ந்துள்ளது. அதாவது, சொற்களஞ்சியத்தில், வரம்புக்குட்பட்ட புத்தக தடிமனின் வரைபடங்கள் வரம்புக்குட்பட்ட விரிவாக்கத்தைக் கொண்டுள்ளன. இருப்பினும், வரம்புக்குட்பட்ட விரிவாக்கத்தைக் காட்டிலும் மிகவும் வலுவான தேவையாக இருக்கும் வரம்புக்குட்பட்ட டிகிரி வரைபடங்கள் கூட வரம்பற்ற புத்தக தடிமனைக் கொண்டிருக்கலாம். புத்தக தடிமன் இரண்டின் வரைபடங்கள் சமதள வரைபடங்கள் என்பதால், அவை சமதள பிரிப்பான் தேற்றத்திற்குக் கீழ்ப்படிகின்றனஃ அவை பிரிப்பான்களைக் கொண்டுள்ளன, செங்குத்துகளின் துணைக்குழுக்கள் அவற்றின் அகற்றல் வரைபடத்தை துண்டுகளாகப் பிரிக்கிறது, ஒவ்வொன்றும் அதிகபட்ச செங்குத்துகளுடன், பிரிப்பானில் செங்குத்துகள் மட்டுமே உள்ளன. இங்கே, வரைபடத்தில் உள்ள செங்குத்துகளின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கிறது. இருப்பினும், சப்-லீனியர் அளவு பிரிப்பான்கள் இல்லாத புத்தக தடிமன் மூன்றின் வரைபடங்கள் உள்ளன. ஒரு புத்தக உட்பொதிப்பின் ஒரு பக்கத்திற்குள் உள்ள விளிம்புகள் ஒரு அடுக்கு தரவு கட்டமைப்பைப் போல சில வழிகளில் செயல்படுகின்றன. ஒரு அடுக்கில் தள்ளுதல் மற்றும் பாப் செயல்பாடுகளின் தன்னிச்சையான வரிசையைக் கருத்தில் கொண்டு, அடுக்கின் செயல்பாடுகள் வரைபடத்தின் செங்குத்துகளுடன் ஒத்திருக்கும் ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்குவதன் மூலம் இதை முறைப்படுத்தலாம், இது ஒரு புத்தக உட்பொதிப்பின் முதுகெலும்பு வழியாக வரிசை வரிசையில் வைக்கப்படுகிறது. பின்னர், அடுக்கிலிருந்து ஒரு பொருளைத் திறக்கும் ஒவ்வொரு பாப் செயல்பாட்டிலிருந்தும், முந்தைய தள்ளும் செயல்பாட்டிற்கு ஒருவர் ஒரு விளிம்பை வரைந்தால், இதன் விளைவாக வரும் வரைபடம் தானாகவே ஒரு பக்க உட்பொதிப்பைக் கொண்டிருக்கும். இந்த காரணத்திற்காக, ஒரு வரைபடத்தின் பக்க எண் அதன் அடுக்கு எண் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. அதே வழியில், ஒரு வரிசை தரவு கட்டமைப்பின் என்க்யூ மற்றும் டெக்யூ செயல்பாடுகளின் தன்னிச்சையான வரிசையை ஒருவர் கருத்தில் கொள்ளலாம், மேலும் இந்த செயல்பாடுகளை அதன் செங்குத்துகளாகக் கொண்ட ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்கலாம், இது ஒரு பக்கத்தின் முதுகெலும்பு வரிசையில் வைக்கப்பட்டு, ஒவ்வொரு என்க்யூ செயல்பாட்டிற்கும் இடையே ஒரு விளிம்புடன் தொடர்புடைய டெக்யூ. பின்னர், இந்த வரைபடத்தில், ஒவ்வொரு இரண்டு விளிம்புகளும் முதுகெலும்பில் வேறுபட்ட இடைவெளிகளைக் கடக்கும் அல்லது மறைக்கும். ஒப்புமையின் மூலம், ஆராய்ச்சியாளர்கள் ஒரு வரைபடத்தின் வரிசையை உட்பொதிப்பதை ஒரு இடவியல் புத்தகத்தில் உட்பொதிப்பதாக வரையறுத்துள்ளனர், அதாவது ஒவ்வொரு உச்சியும் முதுகெலும்பில் உள்ளது, ஒவ்வொரு விளிம்பும் ஒரு பக்கத்தில் உள்ளது, மேலும் ஒரே பக்கத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு இரண்டு விளிம்புகளும் குறுக்கு அல்லது மறைக்கின்றன. ஒரு வரைபடத்தின் வரிசை உட்பொதிப்புக்குத் தேவையான குறைந்தபட்ச பக்கங்களின் எண்ணிக்கை அதன் வரிசை எண் என்று அழைக்கப்படுகிறது. கணக்கீட்டு சிக்கலானது ஒரு வரைபடத்தின் புத்தக தடிமன் கண்டுபிடிப்பது NP-கடினமானது. அதிகபட்ச பிளானர் வரைபடங்களில் ஹாமில்டோனியன் சுழற்சிகளைக் கண்டுபிடிப்பது NP-முழுமையானது என்பதிலிருந்து இது பின்பற்றப்படுகிறது. ஒரு அதிகபட்ச பிளானர் வரைபடத்தில், ஒரு ஹாமில்டோனியன் சுழற்சி இருந்தால் மட்டுமே புத்தக தடிமன் இரண்டு ஆகும். எனவே, கொடுக்கப்பட்ட அதிகபட்ச பிளானர் வரைபடத்தின் புத்தக தடிமன் இரண்டு என்பதை சோதிக்கவும் NP-முழுமையானது. ஒரு உட்பொதிப்பின் முதுகெலும்பு வழியாக ஒரு வரைபடத்தின் செங்குத்துகளின் வரிசை சரிசெய்யப்பட்டால், இரண்டு பக்க உட்பொதிப்பை (அது இருந்தால்) நேரியல் நேரத்தில் காணலாம், கொடுக்கப்பட்ட வரைபடத்தை அவற்றின் முதுகெலும்பு வரிசையில் செங்குத்துகளை இணைக்கும் சுழற்சியுடன் அதிகரிப்பதன் மூலம் உருவாக்கப்பட்ட வரைபடத்திற்கான சமதள சோதனையின் ஒரு எடுத்துக்காட்டு. ஒரு நிலையான முதுகெலும்பு வரிசையுடன் மூன்று பக்க உட்பொதிப்புகளைக் கண்டுபிடிப்பது பல்லுறுப்புக்கோவை நேரத்திலும் செய்யப்படலாம் என்று அவர் கூறினார், இருப்பினும் இந்த முடிவைப் பற்றிய அவரது எழுத்து பல விவரங்களைத் தவிர்க்கிறது. இருப்பினும், நான்கு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட பக்கங்கள் தேவைப்படும் வரைபடங்களுக்கு, குறைந்தபட்ச சாத்தியமான எண்ணிக்கையிலான பக்கங்களுடன் உட்பொதிப்பதைக் கண்டுபிடிப்பதில் உள்ள சிக்கல் NP-கடினமாக உள்ளது, இது வட்ட வரைபடங்களை வண்ணமயமாக்குவதற்கான NP-கடினமான சிக்கலுக்கு சமமானது, இது ஒரு வட்டத்தின் வளையங்களின் குறுக்குவெட்டு வரைபடங்கள். அதன் செங்குத்துகளுக்கு ஒரு நிலையான முதுகெலும்பு வரிசையுடன் ஒரு வரைபடத்தைப் பொறுத்தவரை, இந்த செங்குத்துகளை ஒரு வட்டத்தைச் சுற்றி அதே வரிசையில் வரைந்து, கோடு பிரிவுகளின் விளிம்புகளை வரைந்து பிரதிநிதித்துவப்படுத்தும் வளையங்களின் தொகுப்பை உருவாக்குகிறது. பின்னர் ஒருவர் இந்த வரைபடத்தின் வளையங்களை செங்குத்துகளாகக் கொண்ட ஒரு வட்ட வரைபடத்தை உருவாக்கலாம் மற்றும் ஜோடி வளையங்களை விளிம்புகளாகக் கடக்கலாம். வட்ட வரைபடத்தின் நிறம் என்பது ஒரு பக்கத்தைக் கடக்காமல் வரையக்கூடிய துணைக்குழுக்களாக அதன் விளிம்புகளைப் பிரிப்பதைக் குறிக்கிறது. எனவே, ஒரு உகந்த வண்ணம் ஒரு உகந்த புத்தக உட்பொதிப்புக்கு சமம். நான்கு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட வண்ணங்களைக் கொண்ட வட்ட வரைபட நிறம் NP-கடினமானது என்பதால், எந்தவொரு வட்ட வரைபடத்தையும் சில புத்தக உட்பொதிப்பு சிக்கலிலிருந்து இந்த வழியில் உருவாக்க முடியும் என்பதால், உகந்த புத்தக உட்பொதிப்பும் NP-கடினமானது என்பதைப் பின்பற்றுகிறது. இரண்டு பக்க புத்தக வரைபடத்தின் முதுகெலும்பு மீது ஒரு நிலையான உச்சியை வரிசைப்படுத்துவதற்கு, இந்த எண் பூஜ்ஜியமற்றதாக இருக்கும்போது குறுக்குவெட்டுகளின் எண்ணிக்கையைக் குறைப்பதும் NP-கடினம். முதுகெலும்பு வரிசை அறியப்படவில்லை, ஆனால் விளிம்புகளை இரண்டு பக்கங்களாகப் பிரித்தால், எஸ். பி. கியூ. ஆர் மரங்களை அடிப்படையாகக் கொண்ட ஒரு வழிமுறை மூலம் நேரியல் நேரத்தில் 2 பக்க உட்பொதிப்பை (அது இருந்தால்) கண்டுபிடிக்க முடியும். இருப்பினும், முதுகெலும்பு வரிசைப்படுத்தல் அல்லது விளிம்பு பகிர்வு எதுவும் அறியப்படாதபோது 2 பக்க உட்பொதிப்பைக் கண்டுபிடிப்பது NP-முழுமையானது. ஒரு வரைபடத்தின் புத்தகக் குறுக்குவெட்டு எண்ணைக் கண்டுபிடிப்பதும் NP-கடினமானது, ஏனெனில் 2 பக்கக் குறுக்குவெட்டு எண் பூஜ்ஜியமா என்பதைச் சோதிக்கும் சிறப்பு வழக்கின் NP-முழுமை. வரம்புக்குட்பட்ட விரிவாக்கத்தின் விளைவாக, வரம்புக்குட்பட்ட அளவு கொண்ட ஒரு வடிவ வரைபடம் ஒரு பெரிய வரைபடத்தின் துணை வரைபடமாக இருக்கிறதா என்பதைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான துணை வரைபட ஐசோமார்பிசம் சிக்கல், பெரிய வரைபடம் புத்தக தடிமனை வரம்புக்குட்பட்டிருக்கும் போது நேரியல் நேரத்தில் தீர்க்கப்படலாம். வடிவ வரைபடம் பெரிய வரைபடத்தின் தூண்டப்பட்ட துணை வரைபடமா அல்லது பெரிய வரைபடத்திற்கு ஒரு வரைபட காப்பமைவியம் உள்ளதா என்பதைக் கண்டறிவதற்கும் இது பொருந்தும். அதே காரணத்திற்காக, வரையறுக்கப்பட்ட புத்தக தடிமன் கொண்ட ஒரு வரைபடம் முதல் வரிசை தர்க்கத்தின் கொடுக்கப்பட்ட சூத்திரத்திற்குக் கீழ்ப்படிகிறதா என்பதைச் சோதிக்கும் சிக்கல் நிலையான-அளவுரு டிராக்டபிள் ஆகும். உகந்த புத்தக உட்பொதிப்புகளைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான ஒரு அமைப்பை விவரிக்கவும், சிக்கலை பூலியன் திருப்திகரமான சிக்கலின் ஒரு எடுத்துக்காட்டாக மாற்றுவதன் மூலமும், அதன் விளைவாக வரும் சிக்கலுக்கு ஒரு SAT தீர்வைப் பயன்படுத்துவதன் மூலமும். சுமார் 20 நிமிடங்களில் 400-வெர்டெக்ஸ் அதிகபட்ச பிளானர் வரைபடங்களுக்கு உகந்த உட்பொதிப்பைக் கண்டறியும் திறன் அவர்களின் அமைப்புக்கு இருப்பதாக அவர்கள் கூறுகின்றனர். பயன்பாடுகள் தவறு-சகிப்புத்தன்மை கொண்ட பன்முகச் செயலாக்கம் மேற்கோள் காட்டப்பட்ட புத்தக உட்பொதிப்பைப் படிப்பதற்கான முக்கிய உந்துதல்களில் ஒன்று, வி. எல். எஸ். ஐ வடிவமைப்பில் ஒரு பயன்பாட்டை உள்ளடக்கியது, தவறு-சகிப்புத்தன்மை கொண்ட பன்முகச் செயலிகளின் அமைப்புக்கு. இந்த ஆசிரியர்களால் உருவாக்கப்பட்ட டையோஜென்ஸ் அமைப்பில், ஒரு பன்முக செயலி அமைப்பின் CPU கள் ஒரு புத்தகத்தின் முதுகெலும்பை ஒத்த ஒரு தர்க்கரீதியான வரிசையாக அமைக்கப்பட்டுள்ளன (இருப்பினும் இந்த வரிசை இந்த அமைப்பின் இயற்பியல் அமைப்பில் ஒரு கோட்டில் வைக்கப்பட வேண்டிய அவசியமில்லை). இந்த செயலிகளை இணைக்கும் தொடர்பாடல் இணைப்புகள் "மூட்டைகளாக" தொகுக்கப்படுகின்றன, அவை ஒரு புத்தகத்தின் பக்கங்களுடன் ஒத்திருக்கின்றன மற்றும் அடுக்குகளைப் போல செயல்படுகின்றனஃ ஒரு புதிய தொடர்பாடல் இணைப்பின் தொடக்கத்தில் செயலிகளில் ஒன்றை இணைப்பது முந்தைய இணைப்புகள் அனைத்தையும் மூட்டையில் மேல்நோக்கி தள்ளுகிறது, மேலும் மற்றொரு செயலியை ஒரு தொடர்பாடல் இணைப்பின் முடிவில் இணைப்பது அதை மூட்டையின் அடிப்பகுதியில் உள்ள ஒன்றுடன் இணைக்கிறது மற்றும் மற்ற அனைத்தையும் கீழே தள்ளுகிறது. இந்த அடுக்கு நடத்தை காரணமாக, ஒரு ஒற்றை மூட்டை ஒரு புத்தக உட்பொதிப்பில் ஒரு பக்கத்தின் விளிம்புகளை உருவாக்கும் தகவல்தொடர்பு இணைப்புகளின் தொகுப்பைக் கையாள முடியும். இந்த வழியில் இணைப்புகளை ஒழுங்கமைப்பதன் மூலம், நெட்வொர்க்கை செயல்படுத்த போதுமான பிழையற்ற செயலிகள் இருக்கும் வரை, எந்த செயலிகள் தவறாகிவிட்டன என்பதைப் பொருட்படுத்தாமல், பல்வேறு வகையான நெட்வொர்க் இடவியல் முறைகளை செயல்படுத்த முடியும். இந்த அமைப்பால் செயல்படுத்தக்கூடிய நெட்வொர்க் இடவியல் சரியாக புத்தக தடிமன் அதிகபட்சமாக கிடைக்கப்பெற்ற மூட்டைகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமமாக இருக்கும். ஒரு சுற்றுவட்டத்தின் அடுக்குகளில் வி. எல். எஸ். ஐ கூறுகளை இணைக்கும் கம்பிகளை வைக்க புத்தக உட்பொதிப்பை மாதிரியாகப் பயன்படுத்தலாம். அடுக்குகளை வரிசைப்படுத்துதல் அடுக்குகளைப் பயன்படுத்தி வரிசைமாற்றங்களை வரிசைப்படுத்துவதன் மூலம் மேற்கோள் காட்டப்பட்ட மற்றொரு பயன்பாடு. இன் ஒரு செல்வாக்குமிக்க முடிவு, உள்வரும் கூறுகளை ஒரு அடுக்கில் தள்ளுவதன் மூலம் ஒரு தரவு ஸ்ட்ரீமை செயலாக்கும் ஒரு அமைப்பு, பின்னர், சரியான முறையில் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட நேரங்களில், அடுக்கிலிருந்து ஒரு வெளியீட்டு ஸ்ட்ரீமுக்கு அவற்றைத் தேர்ந்தெடுப்பது, அதன் ஆரம்ப வரிசை விவரிக்கப்பட்டால் மட்டுமே தரவை வரிசைப்படுத்த முடியும் என்பதைக் காட்டுகிறது. அப்போதிருந்து, அடுக்குகள் மற்றும் வரிசைகளின் பொதுவான அமைப்புகளால் தரவு ஸ்ட்ரீம்களை வரிசைப்படுத்துவதில் ஒத்த சிக்கல்கள் குறித்து நிறைய வேலை செய்யப்பட்டுள்ளது. கருத்தில் கொள்ளப்பட்ட அமைப்பில், உள்ளீட்டு தரவு ஸ்ட்ரீமின் ஒவ்வொரு உறுப்பும் பல அடுக்குகளில் ஒன்றில் தள்ளப்பட வேண்டும். பின்னர், அனைத்து தரவுகளும் இந்த வழியில் தள்ளப்பட்டவுடன், உருப்படிகள் இந்த அடுக்குகளிலிருந்து (பொருத்தமான வரிசையில்) ஒரு வெளியீட்டு ஸ்ட்ரீமுக்கு பாப் செய்யப்படுகின்றன. சுங் மற்றும் பலர். கவனிக்கவும், வரிசைமாற்றத்திலிருந்து பெறப்பட்ட ஒரு குறிப்பிட்ட வரைபடம், முதுகெலும்புடன் ஒரு குறிப்பிட்ட நிலையான வரிசையில் செங்குத்துகளுடன் உட்பொதிக்கப்பட்ட ஒரு புத்தகத்தைக் கொண்டிருந்தால் மற்றும் அடுக்குகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமமான பல பக்கங்களுடன் இருந்தால் மட்டுமே கொடுக்கப்பட்ட வரிசைமாற்றத்தை இந்த அமைப்பால் வரிசைப்படுத்த முடியும். போக்குவரத்துக் கட்டுப்பாடு விவரிக்கப்பட்டுள்ளபடி, கட்டுப்படுத்தப்பட்ட குறுக்குவெட்டில் போக்குவரத்து சமிக்ஞையின் கட்டங்களை விவரிக்க ஒரு புத்தக உட்பொதிப்பு பயன்படுத்தப்படலாம். ஒரு குறுக்குவெட்டில், போக்குவரத்தின் உள்வரும் மற்றும் வெளியேறும் பாதைகள் (பாதசாரி குறுக்கு நடைபாதைகள் மற்றும் சைக்கிள் பாதைகள் மற்றும் மோட்டார் வாகனங்களுக்கான பாதைகள் உட்பட) ஒரு வரைபடத்தின் செங்குத்துகளாக குறிப்பிடப்படலாம், அவை சந்திப்பைச் சுற்றி கடிகார திசையில் பதிக்கப்பட்ட ஒரு புத்தகத்தின் முதுகெலும்பில் வைக்கப்படுகின்றன. உள்வரும் பாதையிலிருந்து வெளிச்செல்லும் பாதைக்குச் செல்ல போக்குவரத்தால் எடுக்கப்பட்ட குறுக்குவெட்டு வழியாக செல்லும் பாதைகள் திசைதிருப்பப்படாத வரைபடத்தின் விளிம்புகளாகக் குறிப்பிடப்படலாம். உதாரணமாக, இந்த வரைபடம் உள்வரும் போக்குவரத்தின் வெளிச்செல்லும் பாதைக்கு ஒரு விளிம்பைக் கொண்டிருக்கலாம், அவை இரண்டும் சாலையின் ஒரே பிரிவைச் சேர்ந்தவை, சந்திப்பில் யு-திருப்பங்கள் அனுமதிக்கப்பட்டால் மட்டுமே, அந்த பிரிவிலிருந்து அந்த பிரிவுக்கு யு-திருப்பத்தைக் குறிக்கின்றன. இந்த விளிம்புகளின் கொடுக்கப்பட்ட துணைக்குழுவிற்கு, துணைக்குழுவில் எந்த ஜோடி விளிம்புகளும் இல்லை என்றால் மட்டுமே, ஒருவருக்கொருவர் குறுக்கீடு இல்லாமல் பயணிக்கக்கூடிய பாதைகளின் தொகுப்பைக் குறிக்கிறது. எனவே, இந்த வரைபடத்தின் உட்பொதிக்கப்பட்ட ஒரு புத்தகம் பாதைகளை குறுக்கிடாத துணைக்குழுக்களாக பிரிப்பதை விவரிக்கிறது, மேலும் இந்த வரைபடத்தின் புத்தக தடிமன் (முதுகெலும்பில் அதன் நிலையான உட்பொதிப்புடன்) ஒரு சமிக்ஞை அட்டவணைக்குத் தேவையான குறைந்தபட்ச தனித்துவமான கட்டங்களின் எண்ணிக்கையை வழங்குகிறது. நெட்வொர்க் தரவின் காட்சிப்படுத்தலில் வரைபட வரைதல் புத்தக உட்பொதிப்பும் அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படுகிறது. வரைபட வரைபடத்தில் உள்ள இரண்டு நிலையான தளவமைப்புகள், வளைவு வரைபடங்கள் மற்றும் வட்ட தளவமைப்புகள், புத்தக உட்பொதிப்புகளாகக் கருதப்படலாம், மேலும் தொகுக்கப்பட்ட தளவமைப்புகள், ஒரே நேரத்தில் உட்பொதிப்புகள் மற்றும் முப்பரிமாண வரைபட வரைபடங்களின் கட்டுமானத்திலும் புத்தக உட்பொதிப்பு பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது. ஒரு வளைவு வரைபடம் அல்லது நேரியல் உட்பொதிப்பு ஒரு வரைபடத்தின் செங்குத்துகளை ஒரு கோட்டில் வைக்கிறது, மேலும் வரைபடத்தின் விளிம்புகளை இந்த கோட்டின் மேலே அல்லது கீழே அரை வட்டங்களாக இழுக்கிறது, சில நேரங்களில் கோட்டின் பிரிவுகளில் விளிம்புகளை வரைய அனுமதிக்கிறது. இந்த வரைதல் பாணி ஒரு பக்கத்துடன் (அனைத்து அரை வட்டங்களும் வரிக்கு மேலே இருந்தால்) அல்லது இரண்டு பக்கங்களுடன் (கோட்டின் இரு பக்கங்களும் பயன்படுத்தப்பட்டால்) உட்பொதிக்கப்பட்ட ஒரு புத்தகத்துடன் ஒத்திருக்கிறது, மேலும் இது முதலில் வரைபடங்களின் குறுக்கு எண்களைப் படிப்பதற்கான ஒரு வழியாக அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. இரண்டு பக்க புத்தக உட்பொதிப்புகள் இல்லாத பிளானர் வரைபடங்களும் இதேபோல் வரையப்படலாம், அவற்றின் விளிம்புகளை கோட்டின் மேலேயும் கீழேயும் பல அரை வட்டங்களால் குறிக்க அனுமதிப்பதன் மூலம். அத்தகைய வரைபடம் வழக்கமான வரையறையின்படி உட்பொதிக்கப்பட்ட ஒரு புத்தகம் அல்ல, ஆனால் இது ஒரு இடவியல் புத்தக உட்பொதிப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒவ்வொரு பிளானர் வரைபடத்திற்கும், ஒவ்வொரு விளிம்பும் ஒரு முறை முதுகெலும்பைக் கடக்கும் அத்தகைய உட்பொதிப்பைக் கண்டறிவது எப்போதும் சாத்தியமாகும். மற்றொரு வரைதல் பாணியில், வட்ட வடிவமைப்பு, ஒரு வரைபடத்தின் செங்குத்துகள் ஒரு வட்டத்தில் வைக்கப்பட்டு, விளிம்புகள் வட்டத்திற்கு உள்ளேயும் வெளியேயும் வரையப்படுகின்றன. மீண்டும், வட்டத்திற்குள் விளிம்புகளை வைப்பது (எடுத்துக்காட்டாக நேர் கோடு பிரிவுகள்) ஒரு பக்க புத்தக வரைபடத்துடன் ஒத்திருக்கிறது, அதே நேரத்தில் வட்டத்திற்கு உள்ளேயும் வெளியேயும் ஒரு இடம் இரண்டு பக்க புத்தக வரைபடத்துடன் ஒத்திருக்கிறது. இரண்டு பாணிகளின் ஒரு பக்க வரைபடங்களுக்கும், வரைபடத்தின் காட்சி ஒழுங்கீனத்தை குறைப்பதற்கான ஒரு வழியாக குறுக்குவெட்டுகளின் எண்ணிக்கையை சிறியதாக வைத்திருப்பது முக்கியம். குறுக்குவெட்டுகளின் எண்ணிக்கையைக் குறைப்பது NP-முழுமையானது, ஆனால் செங்குத்துகளின் எண்ணிக்கை எங்குள்ளது என்பதற்கான தோராய விகிதத்துடன் தோராயமாக மதிப்பிடப்படலாம். ஒரு பக்கம் அல்லது இரண்டு பக்க குறுக்குவெட்டு எண்ணைக் குறைப்பது என்பது கொடுக்கப்பட்ட வரைபடத்தின் சுழற்சி எண்ணால் அல்லது குறுக்குவெட்டு எண் மற்றும் வரைபடத்தின் மூன்று அகலத்தின் கலவையால் அளவிடப்படும் போது நிலையான-அளவுரு பாதை. குறுக்குவெட்டு சிக்கலைக் குறைப்பதற்கான ஹூரிஸ்டிக் முறைகளும் வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளன, எடுத்துக்காட்டாக. கவனமாக உச்சியில் செருகும் வரிசையில் மற்றும் உள்ளூர் உகப்பாக்கத்தில். பக்கங்களில் விளிம்புகளை ஒரு நிலையான பகிர்வுடன் இரண்டு பக்க புத்தக உட்பொதிப்புகளை கிளஸ்டர் பிளானாரிட்டியின் ஒரு வடிவமாக விளக்கலாம், இதில் கொடுக்கப்பட்ட வரைபடத்தை வரைபடத்தின் சில பகுதிகள் (விளிம்புகளின் இரண்டு துணைக்குழுக்கள்) அவற்றின் கிளஸ்டரிங்கை பிரதிபலிக்கும் வகையில் வரைபடத்தில் வைக்கப்படும் வகையில் வரையப்பட வேண்டும். வரைபடங்களின் ஒரே நேரத்தில் உட்பொதிப்புகளைக் கண்டறிய இரண்டு பக்க புத்தக உட்பொதிப்பும் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது, இதில் இரண்டு வரைபடங்கள் ஒரே உச்சியில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன, மேலும் இரண்டு வரைபடங்களும் நேரான விளிம்புகளுடன் திட்டவட்டமாக வரையப்பட்ட செங்குத்துகளுக்கு ஒரு இடத்தைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். முப்பரிமாண வரைபடங்களை உருவாக்க இரண்டுக்கும் மேற்பட்ட பக்கங்களைக் கொண்ட புத்தக உட்பொதிப்புகளும் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளன. குறிப்பாக, குறைந்த அளவிலான முப்பரிமாண கட்டத்திற்குள் வரைபடங்களை உட்பொதிப்பதற்கான ஒரு முறையின் ஒரு பகுதியாக, ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் ஒவ்வொரு உச்சியின் அளவையும் குறைவாக வைத்திருக்கும் புத்தக உட்பொதிப்புகளுக்கான கட்டுமானத்தைப் பயன்படுத்தினார். ஆர்என்ஏ மடிப்பு ஆர்என்ஏ மூலக்கூறுகள் அவற்றின் கட்டமைப்பை உருவாக்க எவ்வாறு மடிக்கின்றன என்பதைப் பற்றிய ஆய்வில், நியூக்ளிக் அமில இரண்டாம் நிலை கட்டமைப்பின் நிலையான வடிவத்தை ஒரு கோட்டின் வழியாக வரையப்பட்ட தளங்களின் சங்கிலி (ஆர்என்ஏ வரிசை) என்று வரைபடமாக விவரிக்கலாம், கட்டமைப்பின் அடித்தளங்களை விவரிக்கும் கோட்டின் மேலே உள்ள வளைவுகளின் தொகுப்புடன். அதாவது, இந்த கட்டமைப்புகள் உண்மையில் ஒரு சிக்கலான முப்பரிமாண வடிவத்தைக் கொண்டிருந்தாலும், அவற்றின் இணைப்பை (இரண்டாம் நிலை அமைப்பு இருக்கும்போது) மிகவும் சுருக்கமான அமைப்பு, ஒரு பக்க புத்தக உட்பொதிப்பு மூலம் விவரிக்க முடியும். இருப்பினும், அனைத்து ஆர்என்ஏ மடிப்புகளும் இந்த எளிய வழியில் செயல்படுவதில்லை. இரண்டு பக்க புத்தக உட்பொதிப்பின் வடிவத்தை எடுக்கும் சில ஆர்என்ஏ சூடோக்னாட்டுகளுக்கு "இரு-இரண்டாம் நிலை அமைப்பு" என்று அழைக்கப்படுவதை முன்மொழிந்துள்ளனர்ஃ ஆர்என்ஏ வரிசை மீண்டும் ஒரு கோட்டில் வரையப்படுகிறது, ஆனால் அடித்தளங்கள் இந்த கோட்டின் மேலேயும் கீழேயும் வளைவுகளாக வரையப்படுகின்றன. இரு-இரண்டாம் நிலை கட்டமைப்பை உருவாக்க, ஒரு வரைபடம் அதிகபட்சமாக மூன்று டிகிரிகளைக் கொண்டிருக்க வேண்டும்ஃ ஒவ்வொரு அடித்தளமும் வரைபடத்தின் ஒரு வளைவில் மட்டுமே பங்கேற்க முடியும், மேலும் அடிப்படை வரிசையில் அதன் அண்டை நாடுகளுடனான இரண்டு இணைப்புகளும் உள்ளன. இந்த சூத்திரத்தின் நன்மைகள் என்னவென்றால், இது உண்மையில் விண்வெளியில் முடிச்சு கட்டப்பட்ட கட்டமைப்புகளை விலக்குகிறது, மேலும் இது மிகவும் அறியப்பட்ட ஆர்என்ஏ சூடோக்னாட்டுகளுடன் பொருந்துகிறது. இந்த பயன்பாட்டிற்கு முதுகெலும்பு வரிசைப்படுத்தல் முன்கூட்டியே அறியப்பட்டிருப்பதால், கொடுக்கப்பட்ட அடித்தள இணைப்புக்கான இரு-இரண்டாம் நிலை அமைப்பு இருப்பதற்கான சோதனை நேரடியானது. இரண்டு பக்கங்களுக்கும் இணக்கமான முறையில் விளிம்புகளை ஒதுக்கும் சிக்கலை 2-திருப்தியளிப்பதற்கான ஒரு நிகழ்வாகவோ அல்லது வட்ட வரைபடத்தின் இருதரப்பு தன்மையை சோதிக்கும் ஒரு சிக்கலாகவோ வடிவமைக்கலாம், அதன் செங்குத்துகள் அடித்தளமாக இருக்கும் மற்றும் அதன் விளிம்புகள் அடித்தளங்களுக்கு இடையிலான குறுக்குவெட்டுகளை விவரிக்கின்றன. உள்ளீட்டின் வரைபடம் (தளங்களை அவற்றின் வரிசை வரிசையில் ஒரு சுழற்சியில் இணைப்பதன் மூலமும், கொடுக்கப்பட்ட அடித்தளங்களை விளிம்புகளாகச் சேர்ப்பதன் மூலமும் உருவாக்கப்பட்ட வரைபடம்) ஒரு சமதள வரைபடமாக இருந்தால் மட்டுமே, மாற்றாகவும் மேலும் திறமையாகவும், ஒரு இரு-இரண்டாம் நிலை அமைப்பு இருக்கும். இந்த குணாதிசயமாக்கல் இரு இரண்டாம் நிலை கட்டமைப்புகளை நேரியல் நேரத்தில் பிளானாரிட்டி சோதனையின் ஒரு நிகழ்வாக அங்கீகரிக்க அனுமதிக்கிறது. ஆர்என்ஏ இரண்டாம் நிலை கட்டமைப்பின் ஒப்பீட்டில் சில சிக்கல்களின் என். பி-கடினத்தன்மைக்கான ஆதாரத்தின் ஒரு பகுதியாக இரண்டாம் நிலை கட்டமைப்புகளுக்கும் புத்தக உட்பொதிப்புகளுக்கும் இடையிலான தொடர்பைப் பயன்படுத்தினார். ஒரு ஆர்என்ஏ அமைப்பு இரு-இரண்டாம் நிலை என்பதை விட மூன்றாம் நிலை என்றால் (அதாவது, அதன் வரைபடத்தில் இரண்டு பக்கங்களுக்கு மேல் தேவைப்பட்டால்), பக்க எண்ணை தீர்மானிப்பது மீண்டும் என். பி-கடினமானது. கணக்கீட்டு சிக்கலான கோட்பாடு இயக்கப்பட்ட வரைபடங்களில் அடையக்கூடிய சிக்கலின் கணக்கீட்டு சிக்கலான கோட்பாட்டைப் படிக்க புத்தக உட்பொதிப்பைப் பயன்படுத்தியது. அவர்கள் கவனித்தபடி, இரண்டு பக்க இயக்கிய வரைபடங்களுக்கான அணுகல் தெளிவான மடக்கை இடைவெளியில் தீர்க்கப்படலாம் (மடக்கை இடைவெளி சிக்கலுக்கான அனலாக், சந்தேகத்திற்கு இடமில்லாத பல்லுறுப்புக்கோவை-நேர சிக்கல்களின் யுபி வகுப்பின்). இருப்பினும், மூன்று பக்க இயக்கப்பட்ட வரைபடங்களுக்கான அணுகலுக்கு நிர்ணயிக்கப்படாத மடக்கை இடத்தின் முழு சக்தியும் தேவைப்படுகிறது. எனவே, புத்தக உட்பொதிப்புகள் இந்த இரண்டு சிக்கலான வகுப்புகளுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டுடன் நெருக்கமாக இணைக்கப்பட்டுள்ளதாகத் தெரிகிறது. நிலையான பக்க எண்ணைக் கொண்ட விரிவாக்க வரைபடங்களின் இருப்பு, ஒரு-நாடா அல்லாத தீர்மானகரமான டூரிங் இயந்திரங்களால் இரண்டு-நாடா அல்லாத தீர்மானகரமான டூரிங் இயந்திரங்களின் துணை-நேர உருவகப்படுத்துதல் இல்லை என்பதை நிரூபிப்பதற்கான முக்கிய படியாகும். கணிதத்தின் பிற பகுதிகள் சுருக்க இயற்கணிதத்தில் புத்தக தடிமன் பயன்பாடுகளைப் படிக்கின்றன, ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட உள்ளூர் வளையத்தின் பூஜ்ஜிய வகுத்திகளிலிருந்து வரையறுக்கப்பட்ட வரைபடங்களைப் பயன்படுத்தி ஒவ்வொரு பூஜ்ஜிய வகுத்தலுக்கும் ஒரு உச்சியையும், பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் ஒவ்வொரு ஜோடி மதிப்புகளுக்கும் ஒரு விளிம்பையும் உருவாக்குகின்றன. பல காகித வரிசையில், டின்னிகோவ் முடிச்சுகள் மற்றும் இணைப்புகளின் இடவியல் புத்தக உட்பொதிப்புகளை ஆய்வு செய்துள்ளார், இந்த உட்பொதிப்புகளை குறியீடுகளின் ஒருங்கிணைந்த வரிசையால் விவரிக்க முடியும் என்பதையும், இரண்டு இணைப்புகளின் இடவியல் சமநிலையை உட்பொதிப்புகளில் உள்ள உள்ளூர் மாற்றங்களின் வரிசையால் நிரூபிக்க முடியும் என்பதையும் காட்டுகிறது. குறிப்புகள் இடவியல் வரைபடக் கோட்பாடு