MUSCL scheme
பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் ஆய்வில், எம். யு. எஸ். சி. எல் திட்டம் என்பது ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட தொகுதி முறையாகும், இது கொடுக்கப்பட்ட அமைப்புக்கு மிகவும் துல்லியமான எண் தீர்வுகளை வழங்க முடியும், தீர்வுகள் அதிர்ச்சிகள், இடைநிறுத்தங்கள் அல்லது பெரிய சாய்வுகளை வெளிப்படுத்தும் சந்தர்ப்பங்களில் கூட. எம். யு. எஸ். சி. எல் என்பது மோனோடோனிக் அப்ஸ்ட்ரீம்-மையப்படுத்தப்பட்ட பாதுகாப்புச் சட்டங்களுக்கான திட்டத்தைக் குறிக்கிறது (வான் லீர், 1979), மேலும் இந்த சொல் பிராம் வான் லீர் (வான் லீர், 1979) என்பவரால் ஒரு அடிப்படை ஆய்வறிக்கையில் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. இந்த ஆய்வறிக்கையில் அவர் முதல் உயர்-வரிசை, மொத்த மாறுபாடு குறைப்பு (டி. வி. டி) திட்டத்தை உருவாக்கினார், அங்கு அவர் இரண்டாவது வரிசை இடஞ்சார்ந்த துல்லியத்தைப் பெற்றார். முந்தைய கால கட்டத்திலிருந்து பெறப்பட்ட செல்-சராசரி நிலைகளிலிருந்து பெறப்பட்ட புனரமைக்கப்பட்ட நிலைகளால் கோடுனோவின் திட்டத்தின் துண்டுப்பிரதியாக நிலையான தோராயத்தை மாற்றுவதே யோசனை. ஒவ்வொரு செல்லுக்கும், சாய்வு வரையறுக்கப்பட்ட, மறுசீரமைக்கப்பட்ட இடது மற்றும் வலது நிலைகள் பெறப்படுகின்றன மற்றும் செல் எல்லைகளில் (விளிம்புகள்) ஃப்ளக்ஸ்களைக் கணக்கிட பயன்படுத்தப்படுகின்றன. இந்த ஃப்ளக்ஸ்கள், ஒரு ரீமன் தீர்வுக்கான உள்ளீடாகப் பயன்படுத்தப்படலாம், அதைத் தொடர்ந்து தீர்வுகள் சராசரியாக இருக்கும் மற்றும் சரியான நேரத்தில் தீர்வை மேம்படுத்த பயன்படுத்தப்படுகின்றன. மாற்றாக, ஃப்ளக்ஸ்களை ரீமன்-தீர்வு-இல்லாத திட்டங்களில் பயன்படுத்தலாம், அவை அடிப்படையில் ருஸனோவ் போன்ற திட்டங்களாகும். நேரியல் மறுசீரமைப்பு பின்வரும் எளிய முதல்-வரிசை, அளவிடுதல், 1டி அமைப்பைக் கருத்தில் கொண்டு எம். யு. எஸ். சி. எல் திட்டத்தின் அடிப்படைகளை நாம் பரிசீலிப்போம், இது நேர்மறை திசையில் ஒரு அலை பரவுவதாகக் கருதப்படுகிறது, இது ஒரு நிலை மாறியைக் குறிக்கிறது மற்றும் ஒரு ஃப்ளக்ஸ் மாறியைக் குறிக்கிறது. கோடுனோவின் அடிப்படை திட்டம் ஒவ்வொரு உயிரணுவிற்கும் துண்டுப்பிரதியாக நிலையான தோராயங்களைப் பயன்படுத்துகிறது, மேலும் செல் மையங்களுடன் குறியிடப்பட்ட மேலே உள்ள சிக்கலின் முதல்-வரிசை மேல்நோக்கிய திசைதிருப்பலுக்கு வழிவகுக்கிறது. ஒரு அரை-தனித்துவமான திட்டத்தை பின்வருமாறு வரையறுக்கலாம், இந்த அடிப்படை திட்டத்தால் அதிர்ச்சிகள் அல்லது கூர்மையான இடைநிறுத்தங்களைக் கையாள முடியாது, ஏனெனில் அவை பூசப்படுகின்றன. இந்த விளைவின் ஒரு எடுத்துக்காட்டு எதிர் வரைபடத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது, இது வலதுபுறத்தில் பரவும் ஒரு படி அலை கொண்ட 1D அட்வெக்டிவ் சமன்பாட்டை விளக்குகிறது. உருவகப்படுத்துதல் 200 செல்களின் கண்ணி மூலம் மேற்கொள்ளப்பட்டது மற்றும் 4 வது வரிசை ரஞ்ச்-குட்டா நேர ஒருங்கிணைப்பாளரை (ஆர். கே. 4) பயன்படுத்தியது. இடைநிறுத்தங்களின் உயர் தெளிவுத்திறனை வழங்க, கோடுனோவின் திட்டத்தை ஒவ்வொரு கலத்தின் துண்டுகளாக்கப்பட்ட நேரியல் தோராயங்களைப் பயன்படுத்த நீட்டிக்க முடியும், இதன் விளைவாக இரண்டாவது வரிசையில் துல்லியமான மைய வேறுபாடு திட்டம் உருவாகிறது. எனவே, செல் விளிம்புகளில் உள்ள ஃப்ளக்ஸ்களை மதிப்பிடுவது பின்வரும் அரை-தனித்துவமான திட்டத்தை பெறுகிறது, அங்கு செல் விளிம்பு மாறிகளின் துண்டு வாரியான தோராயமான மதிப்புகள் உள்ளன, அதாவது, மேலே உள்ள இரண்டாவது வரிசை திட்டம் மென்மையான தீர்வுகளுக்கு அதிக துல்லியத்தை வழங்கினாலும், இது மொத்த மாறுபாடு குறைப்பு (டி. வி. டி) திட்டம் அல்ல, மேலும் இடைநிறுத்தங்கள் அல்லது அதிர்ச்சிகள் இருக்கும் கரைசலில் போலியான அலைவுகளை அறிமுகப்படுத்துகிறது. இந்த விளைவின் ஒரு எடுத்துக்காட்டு எதிர் வரைபடத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது, இது ஒரு 1D அட்வெக்டிவ் சமன்பாட்டை விளக்குகிறது, ஒரு படி அலை வலதுபுறம் பரவுகிறது. கோடுனோவின் தேற்றம் காரணமாக இந்த துல்லிய இழப்பு எதிர்பார்க்கப்படுகிறது. உருவகப்படுத்துதல் 200 செல்களின் கண்ணி மூலம் மேற்கொள்ளப்பட்டது மற்றும் நேர ஒருங்கிணைப்புக்கு ஆர். கே 4 ஐப் பயன்படுத்தியது. எம். யு. எஸ். சி. எல் அடிப்படையிலான எண் திட்டங்கள் சாய்வு வரையறுக்கப்பட்ட இடது மற்றும் வலது எக்ஸ்ட்ராபோலேட்டட் நிலைகளைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் ஒவ்வொரு செல்லுக்கும் ஒரு நேரியல் துண்டுப்பிரதியாக தோராயத்தைப் பயன்படுத்துவதற்கான யோசனையை விரிவுபடுத்துகின்றன. இது பின்வரும் உயர் தெளிவுத்திறன், டிவிடி டிஸ்க்ரிடைசேஷன் திட்டத்திற்கு வழிவகுக்கிறது, இது, மாற்றாக, மிகவும் சுருக்கமான வடிவத்தில் எழுதப்படலாம், எண் ஃப்ளக்ஸ்கள் தொடர்ச்சியான ஃப்ளக்ஸ் செயல்பாட்டிற்கு முதல் மற்றும் இரண்டாவது வரிசை தோராயங்களின் நேரியல் அல்லாத கலவையுடன் ஒத்திருக்கின்றன. குறியீடுகள் மற்றும் திட்ட சார்பு செயல்பாடுகளைக் குறிக்கின்றன (வரையறுக்கப்பட்ட எக்ஸ்ட்ராபோலேட்டட் செல் எட்ஜ் மாறிகளின்), அதாவது, கீழ்நோக்கிய சரிவுகளைப் பயன்படுத்துதல்ஃ மற்றும் செயல்பாடு என்பது ஒரு வரம்பு செயல்பாடாகும், இது தீர்வு டிவிடி என்பதை உறுதிப்படுத்த துண்டுப்பிரதியாக தோராயங்களின் சாய்வைக் கட்டுப்படுத்துகிறது, இதன் மூலம் தொடர்ச்சியற்ற அல்லது அதிர்ச்சிகளைச் சுற்றி ஏற்படும் போலியான அலைவுகளைத் தவிர்க்கிறது-ஃப்ளக்ஸ் வரம்பு பிரிவைப் பார்க்கவும். வரம்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் மற்றும் ஒற்றுமைக்கு சமம். எனவே, ஒரு டி. வி. டி டிஸ்க்ரீடைசேஷனின் துல்லியம் உள்ளூர் உச்சத்தில் முதல் வரிசைக்கு குறைகிறது, ஆனால் களத்தின் மென்மையான பகுதிகளை விட இரண்டாவது வரிசைக்கு முனைகிறது. வழிமுறை செயல்படுத்த நேராக முன்னோக்கி உள்ளது. குர்கனோவ் மற்றும் டாட்மோர் திட்டம் (கீழே காண்க) போன்ற பொருத்தமான திட்டம் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டவுடன், தீர்வு நிலையான எண் ஒருங்கிணைப்பு நுட்பங்களைப் பயன்படுத்தி தொடரலாம். குர்கனோவ் மற்றும் டாட்மோர் மத்திய திட்டம் குர்கனோவ் மற்றும் டாட்மோர் (கேடி) மத்திய திட்டத்திற்கு ஒரு முன்னோடி, (குர்கனோவ் மற்றும் டாட்மோர், 2000), நெஸ்யாஹு மற்றும் டாட்மோர் (என். டி.) ஒரு தடுமாற்றமான மைய திட்டம், (நெஸ்யாஹு மற்றும் டாட்மோர், 1990). இது எம்யூஎஸ்சிஎல் மறுசீரமைப்பைப் பயன்படுத்தும் ரீமன்-தீர்வு இல்லாத, இரண்டாவது வரிசை, உயர் தெளிவுத்திறன் திட்டமாகும். இது ஒரு முழுமையான தனித்துவமான முறையாகும், இது செயல்படுத்த நேராக முன்னோக்கி உள்ளது மற்றும் அளவிடுதல் மற்றும் திசையன் சிக்கல்களில் பயன்படுத்தப்படலாம், மேலும் உயர் வரிசை புனரமைப்புகளுடன் கூடுதலாக ஒரு ருசானோவ் ஃப்ளக்ஸ் (உள்ளூர் லக்ஸ்-ஃப்ரைட்ரிக்ஸ் ஃப்ளக்ஸ் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) என்று பார்க்க முடியும். உயர்-சாய்வு நிகழ்வுகளை வெளிப்படுத்தும் PDE இன் விவரிக்கும் அமைப்புகளுக்கான தீர்வுகளைப் பெறும்போது, இந்த வழிமுறை ரீமன் வகை தீர்வுகளுடன் ஒப்பிடக்கூடிய செயல்திறனுடன் மைய வேறுபாடுகளை அடிப்படையாகக் கொண்டது. கே. டி திட்டம் என். டி திட்டத்தை விரிவுபடுத்துகிறது மற்றும் அசல் என். டி திட்டத்தை விட சிறிய அளவிலான எண் பாகுத்தன்மையைக் கொண்டுள்ளது. இது ஒரு முழுமையான தனித்துவமான அல்லது அரை-தனித்துவமான திட்டமாக செயல்படுத்தப்படலாம் என்ற கூடுதல் நன்மையையும் கொண்டுள்ளது. இங்கே நாம் அரை-தனித்துவமான திட்டத்தை கருத்தில் கொள்கிறோம். கணக்கீடு கீழே காட்டப்பட்டுள்ளதுஃ உள்ளூர் பரப்புதல் வேகம், இந்த சி. எஃப். எல் தொடர்பான வேகங்களுக்கு அப்பால் உள்ள நிறமாலை ஆரத்தைக் குறிக்கும் வகையில் கொடுக்கப்பட்ட ஓவர் செல்களின் ஜாகோபியனின் ஐகென் மதிப்பின் அதிகபட்ச முழுமையான மதிப்பாக இருந்தால், எந்த சிறப்பியல்பு தகவலும் தேவையில்லை. மேற்கண்ட ஃப்ளக்ஸ் கணக்கீடு பெரும்பாலும் லக்ஸ்-ஃப்ரைட்ரிக்ஸ் ஃப்ளக்ஸ் என்று அழைக்கப்படுகிறது (இருப்பினும் அத்தகைய ஃப்ளக்ஸ் வெளிப்பாடு லக்ஸ், 1954 இல் இல்லை, மாறாக ருசானோவ், 1961 இல் தோன்றுகிறது என்பது குறிப்பிடத்தக்கது). உயர் தெளிவுத்திறன் திட்டத்தைப் பயன்படுத்துவதன் செயல்திறனுக்கான ஒரு எடுத்துக்காட்டு எதிர் வரைபடத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது, இது 1 டி அட்வெக்டிவ் சமன்பாட்டை விளக்குகிறது, ஒரு படி அலை வலதுபுறம் பரவுகிறது. சூப்பர்பெய் லிமிட்டருடன் குர்கனோவ் மற்றும் டாட்மோர் மையத் திட்டத்தைப் பயன்படுத்தி 200 செல்கள் கொண்ட கண்ணி மீது உருவகப்படுத்துதல் மேற்கொள்ளப்பட்டது மற்றும் நேர ஒருங்கிணைப்புக்கு ஆர். கே-4 ஐப் பயன்படுத்தியது. மேலே காட்டப்பட்டுள்ள முதல்-வரிசை மேல் காற்று மற்றும் இரண்டாவது-வரிசை மைய வேறுபாடு முடிவுகளுக்கு எதிராக இந்த உருவகப்படுத்துதல் முடிவு மிகவும் நன்றாக வேறுபடுகிறது. சமன்பாடுகளின் தொகுப்புகளுக்கு பயன்படுத்தும்போது இந்த திட்டம் நல்ல முடிவுகளை வழங்குகிறது-யூலர் சமன்பாடுகளுக்கு பயன்படுத்தப்படும் இந்த திட்டத்திற்கான கீழே உள்ள முடிவுகளைப் பார்க்கவும். இருப்பினும், பொருத்தமான வரம்பைத் தேர்ந்தெடுப்பதில் கவனமாக இருக்க வேண்டும், ஏனெனில், எடுத்துக்காட்டாக, சூப்பர்பீ வரம்பு சில மென்மையான அலைகளுக்கு நம்பத்தகாத கூர்மையை ஏற்படுத்தும். இந்தத் திட்டம் இருந்தால், அவை பரவுதல் விதிமுறைகளை உடனடியாக சேர்க்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, மேலே உள்ள 1டி அளவிடுதல் சிக்கல் ஒரு பரவல் சொல்லை சேர்க்க நீட்டிக்கப்பட்டால், குர்கனோவ் மற்றும் டாட்மோர் பின்வரும் மைய வேறுபாடு தோராயத்தை முன்மொழிகிறார்கள், அங்கு, வழிமுறை (முழு மற்றும் அரை-தனித்த பதிப்புகள்) மற்றும் அதன் வழித்தோன்றல் பற்றிய முழு விவரங்கள் அசல் காகிதத்தில் (குர்கனோவ் மற்றும் டாட்மோர், 2000), பல 1டி மற்றும் 2டி எடுத்துக்காட்டுகளுடன் காணலாம். நெஸ்யாஹு மற்றும் டாட்மோர் (1990) எழுதிய முந்தைய தொடர்புடைய கட்டுரையிலும் கூடுதல் தகவல்கள் கிடைக்கின்றன. குறிப்புஃ இந்த திட்டம் முதலில் குர்கனோவ் மற்றும் டாட்மோர் ஆகியோரால் நேரியல் எக்ஸ்ட்ராபோலேஷனை அடிப்படையாகக் கொண்ட 2 வது வரிசை திட்டமாக வழங்கப்பட்டது. ஒரு பிந்தைய காகிதம் (குர்கனோவ் மற்றும் லெவி, 2000) இது மூன்றாம் வரிசை திட்டத்தின் அடிப்படையையும் உருவாக்க முடியும் என்பதை நிரூபிக்கிறது. பரவளைய மறுசீரமைப்பு (3 வது வரிசை) ஐப் பயன்படுத்தி அவற்றின் திட்டத்திற்கு ஒரு 1 டி அட்வெக்டிவ் எடுத்துக்காட்டு மற்றும் ஆய்லர் சமன்பாடு எடுத்துக்காட்டு, கீழே உள்ள பரவளைய புனரமைப்பு மற்றும் ஆய்லர் சமன்பாடு பிரிவுகளில் காட்டப்பட்டுள்ளன. பீஸ்வைஸ் பரவளைய புனரமைப்பு லீனியர்-எக்ஸ்ட்ராபோலேஷன் யோசனையை உயர் வரிசை புனரமைப்புக்கு நீட்டிக்க முடியும், மேலும் ஒரு எடுத்துக்காட்டு எதிர் வரைபடத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது. இருப்பினும், இந்த விஷயத்தில் இடது மற்றும் வலது நிலைகள் இரண்டாவது வரிசை, மேல் காற்று சார்பு, வேறுபாடு சமன்பாட்டின் இடைக்கணிப்பு மூலம் மதிப்பிடப்படுகின்றன. இது ஒரு பரவளைய மறுசீரமைப்பு திட்டத்திற்கு வழிவகுக்கிறது, இது விண்வெளியில் மூன்றாம் வரிசை துல்லியமானது. கெர்மானியின் (கெர்மானி, மற்றும் பலர், 2003) அணுகுமுறையைப் பின்பற்றி, மூன்றாம் வரிசை மேல்நோக்கிய பக்கச்சார்பான திட்டத்தை முன்வைக்கிறோம், அங்கு சின்னங்கள் மற்றும் மீண்டும் திட்ட சார்பு செயல்பாடுகளை (வரையறுக்கப்பட்ட புனரமைக்கப்பட்ட செல் விளிம்பு மாறிகளின்) பிரதிநிதித்துவப்படுத்துகின்றன. ஆனால் இந்த விஷயத்தில் அவை பரவளைய ரீதியாக புனரமைக்கப்பட்ட நிலைகளை அடிப்படையாகக் கொண்டவை, அதாவது, மற்றும் எங்கே = 1/3 மற்றும், மற்றும் வரம்பு செயல்பாடு மேலே உள்ளதைப் போன்றது. பரவளைய மறுசீரமைப்பு செயல்படுத்த நேரடியான முன்னோக்கி உள்ளது மற்றும் மேலே காட்டப்பட்டுள்ள நேரியல் எக்ஸ்ட்ராபோலேஷனுக்கு பதிலாக குர்கனோவ் மற்றும் டாட்மோர் திட்டத்துடன் பயன்படுத்தப்படலாம். இது கே. டி திட்டத்தின் இடஞ்சார்ந்த தீர்வை 3 வது வரிசைக்கு உயர்த்தும் விளைவைக் கொண்டுள்ளது. யூலர் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும்போது இது சிறப்பாக செயல்படுகிறது, கீழே காண்க. இடஞ்சார்ந்த வரிசையில் இந்த அதிகரிப்பு மென்மையான தீர்வுகளுக்கான 2 வது வரிசை திட்டங்களை விட சில நன்மைகளைக் கொண்டுள்ளது, இருப்பினும், அதிர்ச்சிகளுக்கு இது மிகவும் சிதறுகிறது-நேரியல் எக்ஸ்ட்ராபோலேஷன் மற்றும் சூப்பர்பீ லிமிட்டருடன் கே. டி வழிமுறையைப் பயன்படுத்தி பெறப்பட்ட மேலே உள்ள தீர்வுடன் எதிர் வரைபடத்தை ஒப்பிடுக. இந்த உருவகப்படுத்துதல் அதே கே. டி வழிமுறையைப் பயன்படுத்தி 200 செல்களின் கண்ணி மீது மேற்கொள்ளப்பட்டது, ஆனால் பரவளைய மறுசீரமைப்புடன். நேர ஒருங்கிணைப்பு ஆர். கே-4 ஆல் செய்யப்பட்டது, மேலும் வான் அல்படா லிமிட்டரின் மாற்று வடிவம், போலி அலைவுகளைத் தவிர்க்க பயன்படுத்தப்பட்டது. எடுத்துக்காட்டுஃ 1டி ஆய்லர் சமன்பாடுகள் எளிமைக்காக 1டி வழக்கை வெப்பப் பரிமாற்றம் இல்லாமல் மற்றும் உடல் விசை இல்லாமல் கருதுகிறோம். எனவே, பாதுகாப்பு திசையன் வடிவத்தில், பொது ஆய்லர் சமன்பாடுகள் எங்கே, எங்கே நிலைகளின் திசையன் மற்றும் பாய்வுகளின் திசையன் என்று குறைகின்றன. மேலே உள்ள சமன்பாடுகள் நிறை, வேகம் மற்றும் ஆற்றல் ஆகியவற்றின் பாதுகாப்பைக் குறிக்கின்றன. இவ்வாறு மூன்று சமன்பாடுகள் மற்றும் நான்கு அறியப்படாதவை உள்ளன, (அடர்த்தி) (திரவ வேகம்), (அழுத்தம்) மற்றும் (மொத்த ஆற்றல்). மொத்த ஆற்றல் வழங்கப்படுகிறது, இது குறிப்பிட்ட உள் ஆற்றலைக் குறிக்கிறது. அமைப்பை மூடுவதற்கு ஒரு நிலை சமன்பாடு தேவைப்படுகிறது. நமது நோக்கத்திற்கு பொருத்தமான ஒன்று, திரவத்திற்கான குறிப்பிட்ட வெப்பங்களின் விகிதத்திற்கு சமம். எளிய 1டி எடுத்துக்காட்டில் மேலே காட்டப்பட்டுள்ளபடி, ஒவ்வொரு நிலை மாறிக்கும் இடது மற்றும் வலது புறத்தோற்ற நிலைகளைப் பெறுவதன் மூலம் இப்போது நாம் தொடரலாம். எனவே, அடர்த்திக்கு நாம் எங்கே பெறுகிறோம் இதேபோல், உந்தம் மற்றும் மொத்த ஆற்றல். வேகம், வேகத்திலிருந்து கணக்கிடப்படுகிறது, மற்றும் அழுத்தம், நிலை சமன்பாட்டிலிருந்து கணக்கிடப்படுகிறது. வரையறுக்கப்பட்ட எக்ஸ்ட்ராபோலேட்டட் நிலைகளைப் பெற்ற பிறகு, இந்த மதிப்புகளைப் பயன்படுத்தி எட்ஜ் ஃப்ளக்ஸ்களை உருவாக்கத் தொடங்குகிறோம். எட்ஜ் ஃப்ளக்ஸ் தெரிந்தவுடன், நாம் இப்போது அரை-தனித்துவமான திட்டத்தை உருவாக்க முடியும், அதாவது, தீர்வு இப்போது நிலையான எண் நுட்பங்களைப் பயன்படுத்தி ஒருங்கிணைப்பதன் மூலம் தொடரலாம். மேற்கூறியவை எம். யு. எஸ். சி. எல் திட்டத்தின் அடிப்படை யோசனையை விளக்குகின்றன. இருப்பினும், யூலர் சமன்பாடுகளுக்கு ஒரு நடைமுறை தீர்வுக்கு, செயல்பாட்டை வரையறுக்க பொருத்தமான திட்டத்தையும் (மேலே உள்ள கே. டி திட்டம் போன்றவை) தேர்வு செய்ய வேண்டும். எதிர் வரைபடம் மேலே உள்ள உயர் தெளிவுத்திறன் கொண்ட குர்கனோவ் மற்றும் டாட்மோர் சென்ட்ரல் ஸ்கீம் (கே. டி) ஐ லீனியர் எக்ஸ்ட்ராபோலேஷன் மற்றும் ஆஸ்ப்ரே லிமிட்டருடன் பயன்படுத்தி ஜி. ஏ. சோட்டின் அதிர்ச்சி குழாய் சிக்கலுக்கு (சோட், 1978) 2 வது வரிசை தீர்வை காட்டுகிறது. ஆய்லர் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான எம். யு. எஸ். சி. எல் அணுகுமுறையின் செயல்திறனை இது தெளிவாகக் காட்டுகிறது. மேட் லேப் குறியீட்டைப் (வெஸ்லிங், 2001) பயன்படுத்தி 200 செல்களின் கண்ணி மீது உருவகப்படுத்துதல் மேற்கொள்ளப்பட்டது, இது கே. டி அல்காரிதம் மற்றும் ஆஸ்ப்ரே லிமிட்டரைப் பயன்படுத்தத் தழுவியது. நேர ஒருங்கிணைப்பு 4 வது வரிசை எஸ். எச். கே (ஆர். கே-4 க்கு சமமான செயல்திறன்) ஒருங்கிணைப்பாளரால் செய்யப்பட்டது. பின்வரும் ஆரம்ப நிபந்தனைகள் (எஸ். ஐ அலகுகள்) பயன்படுத்தப்பட்டனஃ அழுத்தம் இடது = 100000 [பா]; அழுத்தம் வலது = 10000 [பா]; அடர்த்தி இடது = 1 [கிலோ/மீ3]; அடர்த்தி வலது = 0.125 [கிலோ/மீ3]; நீளம் = 20 [மீ]; திசைவேகம் இடது = 0 [மீ/வி]; திசைவேகம் வலது = 0 [மீ/வி]; காலம் = 0.01 [வி]; லாம்ப்டா = 0.001069 (α/αx). எதிர் வரைபடம் மேலே உள்ள உயர் தெளிவுத்திறன் கொண்ட குர்கனோவ் மற்றும் டாட்மோர் சென்ட்ரல் ஸ்கீம் (கே. டி) ஐப் பயன்படுத்தி ஜி ஏ சோட்டின் அதிர்ச்சி குழாய் சிக்கலுக்கு (சோட், 1978) 3 வது வரிசை தீர்வை காட்டுகிறது, ஆனால் பரவளைய புனரமைப்பு மற்றும் வான் அல்படா லிமிட்டருடன். ஆய்லர் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான எம். யு. எஸ். சி. எல் அணுகுமுறையின் செயல்திறனை இது மீண்டும் விளக்குகிறது. மேட்லேப் குறியீட்டைப் (வெஸ்லிங், 2001) பயன்படுத்தி 200 செல்களின் கண்ணி மீது உருவகப்படுத்துதல் மேற்கொள்ளப்பட்டது, இது பரவளைய எக்ஸ்ட்ராபோலேஷன் மற்றும் வான் அல்படா லிமிட்டருடன் கே. டி வழிமுறையைப் பயன்படுத்தத் தழுவியது. வான் அல்படா லிமிட்டரின் மாற்று வடிவம், போலி அலைவுகளைத் தவிர்க்க பயன்படுத்தப்பட்டது. நேர ஒருங்கிணைப்பு 4 வது வரிசை எஸ். எச். கே ஒருங்கிணைப்பாளரால் செய்யப்பட்டது. அதே ஆரம்ப நிபந்தனைகள் பயன்படுத்தப்பட்டன. ஆய்லர் சமன்பாடுகளை நல்ல துல்லியத்துடன் தீர்க்கும் பல்வேறு உயர் தெளிவுத்திறன் திட்டங்கள் உருவாக்கப்பட்டுள்ளன. அத்தகைய திட்டங்களுக்கு எடுத்துக்காட்டுகள், ஓஷர் திட்டம் மற்றும் லியோ-ஸ்டீஃபென் ஏ. யூ. எஸ். எம் (அட்வெக்ஷன் அப்ஸ்ட்ரீம் பிரிப்பு முறை) திட்டம் ஆகும். இவை மற்றும் பிற முறைகள் பற்றிய கூடுதல் தகவல்களை கீழே உள்ள குறிப்புகளில் காணலாம். குர்கனோவ் மற்றும் டாட்மோர் மத்திய திட்டத்தின் திறந்த மூல அமலாக்கத்தை கீழே உள்ள வெளிப்புற இணைப்புகளில் காணலாம். மேலும் காண்க ஃபைனைட் வால்யூம் முறை ஃப்ளக்ஸ் லிமிட்டர் கோடுனோவின் தேற்றம் கோடுகளின் உயர் தெளிவுத்திறன் திட்டம் கோடுகளின் முறை செர்ஜி கே. கோடுனோவ் மொத்த மாறுபாட்டைக் குறைக்கும் சோட் அதிர்ச்சி குழாய் குறிப்புகள் கெர்மானி, எம். ஜே., கெர்பர், ஏ. ஜி., மற்றும் ஸ்டாக்கி, ஜே. எம். (2003), ரோஸ் திட்டத்தை பயன்படுத்தி வெப்ப இயக்கவியல் அடிப்படையிலான ஈரப்பதம் கணிப்பு, ஈரானிய ஏரோஸ்பேஸ் சொசைட்டியின் 4 வது மாநாடு, அமீர் கபீர் தொழில்நுட்ப பல்கலைக்கழகம், தெஹ்ரான், ஈரான், ஜனவரி 27-29. குர்கனோவ், அலெக்சாண்டர் மற்றும் ஈடன் டாட்மோர் (2000), நேரியல் அல்லாத பாதுகாப்பு சட்டங்கள் மற்றும் கன்வெக்ஷன்-டிஃப்யூஷன் சமன்பாடுகளுக்கான புதிய உயர் தெளிவுத்திறன் கொண்ட மத்திய திட்டங்கள், ஜே. கம்ப்யூட். இயற்பியல்., 160,241-282. குர்கனோவ், அலெக்சாண்டர் மற்றும் டோரோன் லெவி (2000), பாதுகாப்பு சட்டங்கள் மற்றும் கன்வெக்ஷன்-டிஃப்யூஷன் சமன்பாடுகளுக்கான மூன்றாம்-ஆர்டர் செமிடிஸ்கிரீட் மத்திய திட்டம், சியாம் ஜே. அறிவியல். கம்ப்யூட்., 22,1461-1488. லக்ஸ், பி. டி. (1954). நேரியல் அல்லாத ஹைபர்போலிக் சமன்பாடுகளின் பலவீனமான தீர்வுகள் மற்றும் அவற்றின் எண் கணக்கீடு, காம். தூய ஆப்பிள். கணிதம், VII, pp 159-193. லெவெக், ஆர். ஜே. (2002). ஹைபர்போலிக் சிக்கல்களுக்கான வரையறுக்கப்பட்ட தொகுதி முறைகள், கேம்பிரிட்ஜ் யுனிவர்சிட்டி பிரஸ். வான் லீர், பி. (1979), டுவர்ட்ஸ் தி அல்டிமேட் கன்சர்வேடிவ் டிஃபெரென்ஸ் ஸ்கீம், வி. கோடூனோவின் முறையின் இரண்டாவது வரிசை தொடர்ச்சி, ஜே. காம். இயற்பியல்., 32,101-136. நெஸ்யாஹு, எச். மற்றும் ஈ. டாட்மோர் (1990), ஹைபர்போலிக் பாதுகாப்பு சட்டங்களுக்கான அலைவரிசை அல்லாத மைய வேறுபாடு, ஜே. கம்ப்யூட். இயற்பியல்., 87,408-463. . ருஸனோவ், வி. வி. (1961). தடைகள் கொண்ட மறைமுகமற்ற அதிர்ச்சி அலைகளின் குறுக்குவெட்டைக் கணக்கிடுதல், ஜே. கம்ப்யூட். கணிதம். இயற்பியல். சோவியத் ஒன்றியம், 1, pp 267-279. சோட், ஜி. ஏ. (1978), ஒரு உருமாறும் உருளை அதிர்ச்சியின் எண் ஆய்வு. ஜே. திரவ மெக்கானிக்ஸ், 83,785-794. டோரோ, ஈ. எஃப். (1999), ரீமன் சால்வர்ஸ் அண்ட் நியூமெரிக்கல் மெத்தட்ஸ் ஃபார் ஃப்ளூயிட் டைனமிக்ஸ், ஸ்பிரிங்கர்-வெர்லாக். வெஸ்லிங், பீட்டர் (2001), கணக்கீட்டு திரவ இயக்கவியலின் கோட்பாடுகள், ஸ்பிரிங்கர்-வெர்லாக். ஹிர்ஷ், சி. (1990), உள் மற்றும் வெளிப்புற ஓட்டங்களின் எண் கணக்கீடு, தொகுதி 2, வில்லி. லேனி, கல்பர்ட் பி. (1998), கம்ப்யூடேஷனல் கேஸ் டைனமிக்ஸ், கேம்பிரிட்ஜ் யுனிவர்சிட்டி பிரஸ். டன்னேஹில், ஜான் சி., மற்றும் பலர். (1997), கம்ப்யூடேஷனல் ஃப்ளூயிட் மெக்கானிக்ஸ் அண்ட் ஹீட் டிரான்ஸ்பர், 2 வது பதிப்பு, டெய்லர் அண்ட் பிரான்சிஸ். வெளிப்புற இணைப்புகள் GEES-குர்கனோவ் மற்றும் டாட்மோர் மையத் திட்டத்தைப் பயன்படுத்தி ஆய்லர் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் திறந்த மூலக் குறியீடு, ஃபோர்ட்ரானில் எழுதப்பட்டுள்ளது (ஆசிரியர்ஃ ஆர்னோ மேயர்ஹோஃபர்) திரவ இயக்கவியல் எண் வேறுபாடு சமன்பாடுகள் கணக்கீட்டு திரவ இயக்கவியல்