Generalized geography
கணக்கீட்டு சிக்கலான கோட்பாட்டில், பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட புவியியல் என்பது நன்கு அறியப்பட்ட பி. எஸ். பி. ஏ. சி. இ-முழுமையான சிக்கலாகும். புவியியல் என்பது குழந்தைகளுக்கான விளையாட்டாகும், இதில் வீரர்கள் உலகின் எந்தப் பகுதியிலிருந்தும் நகரங்களுக்கு பெயரிடுகிறார்கள். தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட ஒவ்வொரு நகரமும் முந்தைய நகரத்தின் பெயரை முடித்த அதே எழுத்துடன் தொடங்க வேண்டும். மறுபரிசீலனை அனுமதிக்கப்படவில்லை. விளையாட்டு ஒரு தன்னிச்சையான தொடக்க நகரத்துடன் தொடங்கி, ஒரு வீரர் தோல்வியடையும் போது முடிவடைகிறது, ஏனெனில் அவர் அல்லது அவள் தொடர முடியாது. வரைபட மாதிரி விளையாட்டைக் காட்சிப்படுத்த, ஒரு இயக்கப்படும் வரைபடத்தை உருவாக்க முடியும், அதன் முனைகள் உலகின் ஒவ்வொரு நகரங்களிலும் உள்ளன. நகர லேபிளிங் N2 நகர லேபிளிங் முனை N1 இன் பெயரை முடிக்கும் எழுத்துடன் தொடங்கினால் மட்டுமே முனை N1 இலிருந்து முனை N2 க்கு ஒரு அம்பு சேர்க்கப்படும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், விளையாட்டு விதிகளின்படி முதல் அம்பு இரண்டாவது அம்புக்குறிக்கு வழிவகுக்கும் என்றால், ஒரு நகரத்திலிருந்து மற்றொரு நகரத்திற்கு ஒரு அம்பை வரைகிறோம். இயக்கப்பட்ட வரைபடத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு மாற்று விளிம்பும் ஒவ்வொரு வீரருக்கும் ஒத்திருக்கிறது (இரண்டு வீரர்கள் விளையாட்டுக்கு). பாதையை நீட்டிக்க முடியாத முதல் வீரர் இழக்கிறார். விளையாட்டின் ஒரு எடுத்துக்காட்டு (மிச்சிகனில் உள்ள சில நகரங்களைக் கொண்டுள்ளது) கீழே உள்ள படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது. ஒரு பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட புவியியல் (ஜிஜி) விளையாட்டில், நகரப் பெயர்களின் வரைபடத்தை ஒரு தன்னிச்சையான இயக்க வரைபடத்துடன் மாற்றுகிறோம். பின்வரும் வரைபடம் ஒரு பொதுவான புவியியல் விளையாட்டின் எடுத்துக்காட்டு ஆகும். விளையாட்டை விளையாடுவது பி 1 ஐ முதலில் நகரும் வீரராகவும், பி 2 ஐ இரண்டாவது நகரும் வீரராகவும் வரையறுக்கிறோம், மேலும் முனைகளுக்கு என் 1 முதல் என். என். வரை பெயரிடுங்கள். மேலே உள்ள படத்தில், P1 பின்வருமாறு ஒரு வெற்றி மூலோபாயத்தைக் கொண்டுள்ளதுஃ N1 புள்ளிகள் N2 மற்றும் N3 முனைகளுக்கு மட்டுமே. எனவே P1 இன் முதல் நகர்வு இந்த இரண்டு தேர்வுகளில் ஒன்றாக இருக்க வேண்டும். P1 N2 ஐத் தேர்ந்தெடுக்கிறது (P1 N3 ஐத் தேர்ந்தெடுத்தால், P2 N9 ஐத் தேர்ந்தெடுக்கும், ஏனெனில் அது ஒரே வழி மற்றும் P1 இழக்கும்). அடுத்த பி 2 என் 4 ஐத் தேர்ந்தெடுக்கிறது, ஏனெனில் இது மட்டுமே மீதமுள்ள தேர்வு. P1 இப்போது N5 ஐத் தேர்ந்தெடுக்கிறது மற்றும் P2 பின்னர் N3 அல்லது N7 ஐத் தேர்ந்தெடுக்கிறது. பி 2 இன் விருப்பத்தைப் பொருட்படுத்தாமல், பி 1 என் 9 ஐத் தேர்ந்தெடுக்கிறது மற்றும் பி 2 க்கு மீதமுள்ள தேர்வுகள் இல்லை மற்றும் விளையாட்டை இழக்கிறது. கணக்கீட்டு சிக்கலானது ஒரு பொதுவான புவியியல் விளையாட்டில் எந்த வீரருக்கு வெற்றி மூலோபாயம் உள்ளது என்பதை தீர்மானிப்பதில் உள்ள சிக்கல் பி. எஸ். பி. ஏ. சி. இ-முழுமையானது. பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட புவியியல் பி. எஸ். பி. ஏ. சி. இ. யில் உள்ளது. ஜி. ஜி = {75ஜி, பி. ஐ. எல். ஏ. | முனை b} இல் தொடங்கி வரைபடத்தில் விளையாடப்படும் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட புவியியல் விளையாட்டுக்கான வெற்றி மூலோபாயத்தை பி1 கொண்டிருக்கட்டும்; ஜி. ஜி. பி. எஸ். பி. ஏ. சி. இ என்பதைக் காட்ட, எந்த வீரருக்கு வெற்றி மூலோபாயம் உள்ளது என்பதை தீர்மானிக்கும் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை-இட மறுநிகழ்வு வழிமுறையை நாங்கள் வழங்குகிறோம். GG இன் ஒரு எடுத்துக்காட்டு கொடுக்கப்பட்டால், G என்பது ஒரு இயக்கப்பட்ட வரைபடம் மற்றும் nstart என்பது நியமிக்கப்பட்ட தொடக்க முனை, வழிமுறை M பின்வருமாறு தொடர்கிறதுஃ M இல் (75G, nstart ஆஹாத): முனை nstart இன் அவுட் டிகிரியை அளவிடுகிறது. இந்த டிகிரி 0 ஆக இருந்தால், திரும்பவும், ஏனெனில் பிளேயர் ஒன்னுக்கு நகர்வுகள் எதுவும் இல்லை. nstart இலிருந்து ஒரு விளிம்பில் அடையக்கூடிய அனைத்து முனைகளின் பட்டியலையும் உருவாக்கவும்ஃ n1, n2,., ni. nstart மற்றும் அதனுடன் இணைக்கப்பட்ட அனைத்து விளிம்புகளையும் G இலிருந்து அகற்றி G1 ஐ உருவாக்கவும். n1,., ni பட்டியலில் உள்ள ஒவ்வொரு முனை nj க்கும், M ஐ அழைக்கவும். இந்த அழைப்புகள் அனைத்தும் திரும்ப ஏற்றுக்கொண்டால், பி 1 எந்த முடிவை எடுத்தாலும், பி 2 வெற்றி பெற ஒரு மூலோபாயத்தைக் கொண்டுள்ளது, எனவே திரும்ப நிராகரிக்கவும். இல்லையெனில் (அழைப்புகளில் ஒன்று திரும்ப நிராகரிக்கப்பட்டால்) பி 1 க்கு ஒரு தேர்வு உள்ளது, இது பி 2 க்கான எந்தவொரு வெற்றிகரமான உத்திகளையும் மறுக்கும், எனவே திரும்ப ஏற்றுக்கொள்ளுங்கள். வழிமுறை M தெளிவாக GG ஐ தீர்மானிக்கிறது. இது பி. எஸ். பி. ஏ. சி. இ இல் உள்ளது, ஏனெனில் பயன்படுத்தப்படும் ஒரே வெளிப்படையான பல்லுறுப்புக்கோவை பணியிடமானது மறுசுழற்சி அடுக்கில் உள்ளது. மறுசுழற்சி அடுக்கால் நுகரப்படும் இடம் பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும், ஏனெனில் ஒவ்வொரு நிலை மறுசுழற்சியும் அடுக்குக்கு ஒரு ஒற்றை முனையைச் சேர்க்கிறது, மேலும் அதிகபட்சமாக n நிலைகளில் உள்ளன, அங்கு n என்பது G இல் உள்ள முனைகளின் எண்ணிக்கை. இது அடிப்படையில் ஒரு ஆழ-முதல் தேடலுக்கு சமம். பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட புவியியல் பி. எஸ். பி. ஏ. சி. இ-கடினமானது டேவிட் லிச்சென்ஸ்டைன் மற்றும் மைக்கேல் சிப்சர் ஆகியோரின் காரணமாக பின்வரும் சான்றுகள் உள்ளன. GG இன் PSPACE-கடினத்தன்மையை நிறுவ, பல்லுறுப்புக்கோவை நேரத்தில் (P) FORMULA-GAME சிக்கலை (இது PSPACE-கடினமாக அறியப்படுகிறது) GG ஆகக் குறைக்கலாம். சுருக்கமாக, ஃபார்முலா-கேம் சிக்கலின் ஒரு எடுத்துக்காட்டு ஒரு அளவிடப்பட்ட பூலியன் சூத்திரத்தைக் கொண்டுள்ளது φ = HE x1 β x2 HE x3. இந்த விளையாட்டை பா மற்றும் பே என்ற இரண்டு வீரர்கள் விளையாடுகிறார்கள், அவர்கள் அடுத்தடுத்த xi க்கான மதிப்புகளைத் தேர்வு செய்கிறார்கள். si என்ற சூத்திரம் உண்மையாக முடிந்தால் பே விளையாட்டை வெல்வார், மேலும் si பொய்யாக முடிந்தால் பா வெற்றி பெறுகிறார். ± என்ற சூத்திரம் இணை இயல்பான வடிவத்தில் இருப்பதாக கருதப்படுகிறது. இந்த ஆதாரத்தில், அளவீட்டு பட்டியல் எளிமைக்காக இருத்தலியல் தகுதி, HE உடன் தொடங்கி முடிவடைகிறது என்று கருதுகிறோம். எந்த வெளிப்பாட்டையும் இந்த வடிவத்திற்கு மாற்றலாம் என்பதை நினைவில் கொள்க, si இல் தோன்றாத போலி மாறிகளைச் சேர்ப்பதன் மூலம். மேலே காட்டப்பட்டுள்ளதைப் போல ஒரு வரைபடம் G ஐ உருவாக்குவதன் மூலம், ஃபார்முலா-கேமின் எந்தவொரு நிகழ்வையும் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட புவியியலின் ஒரு நிகழ்வாகக் குறைக்க முடியும் என்பதைக் காண்பிப்போம், அங்கு P1 க்கான உகந்த மூலோபாயம் PE க்கு சமம், மற்றும் P2 க்கான உகந்த மூலோபாயம் PA க்கு சமம். முனைகளின் இடது செங்குத்து சங்கிலி ஃபார்முலா-விளையாட்டில் உள்ள மாறிகளுக்கான மதிப்புகளைத் தேர்ந்தெடுக்கும் நடைமுறையைப் பிரதிபலிக்கும் வகையில் வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது. ஒவ்வொரு வைர கட்டமைப்பும் ஒரு அளவிடப்பட்ட மாறிக்கு ஒத்திருக்கிறது. ஒவ்வொரு கிளை முனையிலும் வீரர்கள் மாறி மாறி பாதைகளை தீர்மானிக்கிறார்கள். முதல் அளவீட்டாளர் இருத்தலியல் என்று நாம் கருதியதால், பி 1 முதலில் செல்கிறது, x1 உண்மையாக இருந்தால் இடது முனையையும், x1 தவறாக இருந்தால் வலது முனையையும் தேர்ந்தெடுக்கிறது. ஒவ்வொரு வீரரும் பின்னர் கட்டாய திருப்பங்களை எடுக்க வேண்டும், பின்னர் பி 2 x 2 க்கு ஒரு மதிப்பைத் தேர்ந்தெடுக்கிறது. இந்த மாற்று பணிகள் இடது பக்கத்திற்கு கீழே தொடர்கின்றன. இரு வீரர்களும் அனைத்து வைரங்களையும் கடந்து சென்ற பிறகு, அது மீண்டும் பி 1 இன் முறை, ஏனென்றால் கடைசி அளவீட்டாளர் இருத்தலியல் என்று நாங்கள் கருதினோம். வரைபடத்தின் வலது பக்கத்திற்கான பாதையைப் பின்பற்றுவதைத் தவிர பி 1 க்கு வேறு வழியில்லை. பின்னர் ஒரு நகர்வு செய்ய பி 2 இன் முறை. விளையாட்டு வரைபடத்தின் வலது பக்கத்திற்கு வரும்போது, அது சூத்திர விளையாட்டில் விளையாட்டின் முடிவைப் போன்றது. சூத்திர விளையாட்டில், si உண்மையாக இருந்தால் பே வெற்றி பெறுகிறது, அதே நேரத்தில் si தவறாக இருந்தால் பா வெற்றி பெறுகிறது என்பதை நினைவில் கொள்க. பே வெற்றி பெற்றால் மட்டுமே பி1 வெற்றி பெறுகிறது என்றும், பா வெற்றி பெற்றால் மட்டுமே பி2 வெற்றி பெறுகிறது என்றும் வரைபடத்தின் வலது பக்கம் உத்தரவாதம் அளிக்கிறது. பா வெற்றி பெறும்போது பி 2 எப்போதும் வெற்றி பெறுகிறது என்பதை முதலில் நாம் காட்டுகிறோம். பா வெற்றி பெற்றால், si பொய்யானது. si பொய்யானால், திருப்தியற்ற உட்பிரிவு உள்ளது. பி2 வெற்றி பெற திருப்தியற்ற ஒரு பிரிவைத் தேர்ந்தெடுக்கும். பின்னர் பி 1 இன் முறை வரும்போது அவர் பி 2 ஆல் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட அந்த பிரிவில் ஒரு சொல்லர்த்தத்தை தேர்வு செய்ய வேண்டும். உட்பிரிவில் உள்ள அனைத்து எழுத்துக்களும் தவறானவை என்பதால், அவை இடது செங்குத்து சங்கிலியில் முன்பு பார்வையிடப்பட்ட முனைகளுடன் இணைக்கப்படுவதில்லை. இது இடது சங்கிலியின் வைரத்தில் உள்ள தொடர்புடைய முனையுடன் இணைப்பைப் பின்தொடர்ந்து அதைத் தேர்ந்தெடுக்க P2 ஐ அனுமதிக்கிறது. இருப்பினும், P1 இப்போது எந்த அருகிலுள்ள முனைகளையும் இழப்புகளையும் தேர்ந்தெடுக்க முடியவில்லை. பே வெற்றி பெறும்போது பி1 எப்போதும் வெற்றி பெறுகிறது என்பதை இப்போது நாம் காட்டுகிறோம். பே வெற்றி பெற்றால், si என்பது உண்மை. si உண்மை என்றால், வரைபடத்தின் வலது பக்கத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு உட்பிரிவும் ஒரு உண்மையான சொல்லைக் கொண்டுள்ளது. P2 எந்த உட்பிரிவையும் தேர்வு செய்யலாம். பின்னர் பி 1 உண்மை என்ற சொல்லைத் தேர்ந்தெடுக்கிறது. இது உண்மை என்பதால், இடது செங்குத்து முனையில் அதன் அருகிலுள்ள முனை ஏற்கனவே தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டுள்ளது, எனவே P2 க்கு செய்ய மற்றும் இழக்க எந்த நகர்வுகளும் இல்லை. பிளானர் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட புவியியல் என்பது பி. எஸ். பி. ஏ. சி. இ-முழுமையான பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட புவியியல் பி. எஸ். பி. ஏ. சி. இ-முழுமையானது, பிளானர் வரைபடங்களில் விளையாடும்போது கூட. பின்வரும் ஆதாரம் 3 இன் தேற்றத்திலிருந்து வருகிறது. பிளானர் ஜிஜி என்பது ஜிஜியின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு, மற்றும் ஜிஜி பி. எஸ். பி. ஏ. சி. இ இல் இருப்பதால், பிளானர் ஜிஜி பி. எஸ். பி. ஏ. சி. இ இல் உள்ளது. பிளானர் ஜிஜி பி. எஸ். பி. ஏ. சி. இ-கடினமானது என்பதைக் காட்ட இது உள்ளது. ஒரு தன்னிச்சையான வரைபடத்தை ஒரு பிளானர் வரைபடமாக எவ்வாறு மாற்றுவது என்பதைக் காண்பிப்பதன் மூலம் இதை நிரூபிக்க முடியும், அதாவது இந்த வரைபடத்தில் விளையாடப்படும் ஜி. ஜி விளையாட்டு அசல் வரைபடத்தில் உள்ள அதே முடிவைக் கொண்டிருக்கும். அதைச் செய்ய, அசல் வரைபடத்தின் அனைத்து விளிம்புகளையும் அகற்றுவது மட்டுமே அவசியம். ஒரு புள்ளியில் மூன்று விளிம்புகள் வெட்டப்படாத வகையில் வரைபடத்தை வரைகிறோம், மேலும் ஒரே விளையாட்டில் எந்த ஜோடி குறுக்கு விளிம்புகளையும் பயன்படுத்த முடியாது. இது பொதுவாக சாத்தியமில்லை, ஆனால் ஒரு ஃபார்முலா-கேம் நிகழ்விலிருந்து கட்டப்பட்ட வரைபடத்திற்கு எப்போதும் சாத்தியமாகும்; எடுத்துக்காட்டாக, குறுக்குவெட்டுகளில் ஈடுபடும் உட்பிரிவு செங்குத்துகளிலிருந்து விளிம்புகளை மட்டுமே நாம் கொண்டிருக்கலாம். இப்போது நாம் ஒவ்வொரு குறுக்குவெட்டையும் இந்த கட்டமைப்புடன் மாற்றுகிறோம்ஃ இதன் விளைவாக ஒரு பிளானர் வரைபடம் உள்ளது, மேலும் அதே வீரர் அசல் வரைபடத்தில் உள்ளதைப் போல ஒரு வெற்றியை கட்டாயப்படுத்த முடியும்ஃ மாற்றப்பட்ட விளையாட்டில் ஒரு வீரர் V இலிருந்து "மேலே" செல்ல விரும்பினால், இரு வீரர்களும் தொடர்ந்து "மேலே" W க்கு செல்ல வேண்டும் அல்லது உடனடியாக இழக்க வேண்டும். எனவே மாற்றப்பட்ட விளையாட்டில் V இலிருந்து "மேலே" நகர்வது அசல் விளையாட்டில் V → W நகர்வை உருவகப்படுத்துகிறது. V → W ஒரு வெற்றிகரமான நகர்வாக இருந்தால், மாற்றப்பட்ட விளையாட்டில் V இலிருந்து "மேலே" செல்வதும் ஒரு வெற்றிகரமான நகர்வாகும், மேலும் நேர்மாறாகவும். எனவே, மாற்றப்பட்ட வரைபடத்தில் விளையாடப்படும் ஜிஜி விளையாட்டு அசல் வரைபடத்தில் உள்ள அதே முடிவைக் கொண்டிருக்கும். இந்த மாற்றம் அசல் வரைபடத்தில் உள்ள விளிம்பு குறுக்குவெட்டுகளின் எண்ணிக்கைக்கு ஒரு நிலையான பெருக்கமாக இருக்கும் நேரத்தை எடுக்கும், எனவே இது பல்லுறுப்புக்கோவை நேரத்தை எடுக்கும். எனவே பிளானர் ஜி. ஜி. பி. எஸ். பி. ஏ. சி. இ-முழுமையானது. அதிகபட்சம் 3 டிகிரி கொண்ட பிளானர் இருதரப்பு வரைபடம் பிளானர் இருதரப்பு வரைபடங்களில் அதிகபட்சம் 3 டிகிரி கொண்ட பிளானர் இருதரப்பு வரைபடம் இன்னும் பி. எஸ். பி. ஏ. சி. இ-முழுமையானது, 3 க்கும் அதிகமான டிகிரி செங்குத்துகளை அதிகபட்சம் 3 டிகிரி கொண்ட செங்குத்துகளின் சங்கிலியுடன் மாற்றுவதன் மூலம். சான்று உள்ளே உள்ளது. பின்வரும் கட்டமைப்பைப் பயன்படுத்துகிறதுஃ ஒரு வீரர் இந்த கட்டுமானத்திற்கான ஏதேனும் நுழைவாயில்களைப் பயன்படுத்தினால், மற்ற வீரர் எந்த வெளியேற்றம் பயன்படுத்தப்படும் என்பதைத் தேர்வு செய்கிறார். மேலும் கட்டுமானத்தை ஒரு முறை மட்டுமே கடக்க முடியும், ஏனெனில் மைய முனை எப்போதும் பார்வையிடப்படுகிறது. எனவே இந்த கட்டுமானம் அசல் உச்சிக்கு சமம். எட்ஜ் புவியியல் ஜி. ஜி. யின் ஒரு மாறுபாடு எட்ஜ் புவியியல் என்று அழைக்கப்படுகிறது, அங்கு ஒவ்வொரு நகர்வுக்குப் பிறகும், வீரர் கடந்து சென்ற விளிம்பு அழிக்கப்படுகிறது. இது அசல் ஜி. ஜி. க்கு மாறாக உள்ளது, அங்கு ஒவ்வொரு நகர்வுக்குப் பிறகும், வீரர் இருந்த உச்சி அழிக்கப்படுகிறது. இந்தக் கண்ணோட்டத்தில், அசல் ஜி. ஜி. யை வெர்டெக்ஸ் புவியியல் என்று அழைக்கலாம். விளிம்பு புவியியல் பி. எஸ். பி. ஏ. சி. இ-முழுமையானது. உச்சி புவியியலுக்குப் பயன்படுத்தப்பட்ட அதே கட்டமைப்பை இது பயன்படுத்தியது என்பதை நிரூபிக்க முடியும். திசைதிருப்பப்படாத புவியியல் திசைதிருப்பப்படாத வரைபடத்தில் புவியியல் விளையாட்டை விளையாடுவதையும் ஒருவர் பரிசீலிக்கலாம் (அதாவது, விளிம்புகளை இரு திசைகளிலும் பயணிக்க முடியும்). ஃப்ரான்கெல், ஷெய்னர்மேன் மற்றும் உல்மேன் ஆகியோர் திசைதிருப்பப்படாத உச்சி புவியியலை பல்லுறுப்புக்கோவை நேரத்தில் தீர்க்க முடியும் என்பதைக் காட்டுகிறார்கள், அதேசமயம் திசைதிருப்பப்படாத விளிம்பு புவியியல் பி. எஸ். பி. ஏ. சி. இ-முழுமையானது, அதிகபட்ச டிகிரி 3 கொண்ட பிளானர் வரைபடங்களுக்கு கூட. வரைபடம் இருதரப்பாக இருந்தால், திசைதிருப்பப்படாத விளிம்பு புவியியல் பல்லுறுப்புக்கோவை நேரத்தில் தீர்க்கக்கூடியது. விளைவுகள் ஜி. ஜி. பி. எஸ். பி. ஏ. சி. இ-முழுமையானது என்பதால், பி = பி. எஸ். பி. ஏ. சி. இ தவிர ஜி. ஜியில் உகந்த விளையாட்டுக்கு பல்லுறுப்புக்கோவை நேர வழிமுறை இல்லை. இருப்பினும், மற்ற விளையாட்டுகளின் சிக்கலை நிரூபிப்பது அவ்வளவு எளிதானது அல்ல, ஏனெனில் சில விளையாட்டுகள் (சதுரங்கம் போன்றவை) வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான விளையாட்டு நிலைகளைக் கொண்டுள்ளன-இது ஒரு பி. எஸ். பி. ஏ. சி. இ-முழுமையான சிக்கலுக்கு ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்குவது கடினம் (அல்லது சாத்தியமற்றது). இருப்பினும், சில விளையாட்டுகளின் சிக்கலை இன்னும் பொதுமைப்படுத்தல் மூலம் பகுப்பாய்வு செய்யலாம் (எ. கா., ஒரு n × n பலகைக்கு). GG இன் முழுமையின் ஆதாரமாக, பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட Go க்கான ஆதாரத்திற்கான குறிப்புகளைப் பார்க்கவும். குறிப்புகள் மைக்கேல் சிப்சர், கணக்கீட்டுக் கோட்பாட்டின் அறிமுகம், பி. டபிள்யூ. எஸ், 1997. பி. எஸ். பி. ஏ. சி. இ-முழுமையான சிக்கல்கள்