Omega language
கோட்பாட்டு கணினி அறிவியலில் முறையான மொழிக் கோட்பாட்டில், ஒரு எல்லையற்ற சொல் என்பது எல்லையற்ற நீள வரிசை (குறிப்பாக, ஒரு ω-நீளம் வரிசை) சின்னங்கள், மற்றும் ஒரு ω-மொழி என்பது எல்லையற்ற சொற்களின் தொகுப்பாகும். இங்கே, ω என்பது முதல் வரிசை எண்ணைக் குறிக்கிறது, இது இயற்கை எண்களின் தொகுப்பாகும். முறையான வரையறை  நிஷ்பாக்ஷிகங்கள் குறியீடுகளின் தொகுப்பாக இருக்கட்டும் (வரையறுக்கப்பட வேண்டிய அவசியமில்லை). முறையான மொழிக் கோட்பாட்டின் நிலையான வரையறையைப் பின்பற்றி, σ * என்பது σ க்கு மேல் உள்ள அனைத்து வரையறுக்கப்பட்ட சொற்களின் தொகுப்பாகும். ஒவ்வொரு வரையறுக்கப்பட்ட வார்த்தையும் ஒரு நீளத்தைக் கொண்டுள்ளது, இது ஒரு இயல்பான எண். n நீளம் கொண்ட ஒரு சொல் கொடுக்கப்பட்டால், w ஐ {0,1,., n − 1} → σ தொகுப்பிலிருந்து ஒரு செயல்பாடாக பார்க்க முடியும், i இல் உள்ள மதிப்பு i நிலையில் குறியீட்டைக் கொடுக்கும். எல்லையற்ற சொற்கள், அல்லது ω-சொற்கள், இதேபோல் இருந்து σ வரையிலான செயல்பாடுகளாகக் கருதப்படலாம். அனைத்து எல்லையற்ற சொற்களின் தொகுப்பு σ க்கு மேல் குறிக்கப்படுகிறது. அனைத்து வரையறுக்கப்பட்ட மற்றும் எல்லையற்ற சொற்களின் தொகுப்பு சில நேரங்களில் எழுதப்படுகிறது. எனவே ω-மொழி L க்கு மேல் σ என்பது σω இன் துணைக்குழுவாகும். செயல்பாடுகள் ω-மொழிகளில் வரையறுக்கப்பட்ட சில பொதுவான செயல்பாடுகள்ஃ குறுக்குவெட்டு மற்றும் ஒன்றிணைப்பு கொடுக்கப்பட்ட ω-மொழிகள் L மற்றும் M, இரண்டும் ω-மொழிகள். இடது இணைப்பு L ஒரு ω-மொழியாகவும், K வரையறுக்கப்பட்ட சொற்களின் மொழியாகவும் இருக்கட்டும். பின்னர் K ஐ இடதுபுறத்திலும், இடதுபுறத்தில் மட்டுமே L உடன் இணைத்து புதிய ω-மொழி KL ஐ வழங்க முடியும். ஒமேகா (எல்லையற்ற மறு செய்கை) குறியீட்டைக் குறிப்பிடுவது போல, செயல்பாடு என்பது வரையறுக்கப்பட்ட நீள மொழிகளில் க்ளீன் நட்சத்திர இயக்கியின் எல்லையற்ற பதிப்பாகும். ஒரு முறையான மொழி L ஐப் பொறுத்தவரை, Lω என்பது L இலிருந்து அனைத்து எல்லையற்ற சொற்களின் வரிசைகளின் ω-மொழியாகும்; செயல்பாட்டுக் கண்ணோட்டத்தில், அனைத்து செயல்பாடுகளின். முன்னொட்டுகள் w ஒரு ω-வார்த்தையாக இருக்கட்டும். முறையான மொழியான முன்னுரை (டபிள்யூ), ஒவ்வொரு வரையறுக்கப்பட்ட முன்னொட்டியையும் கொண்டுள்ளது. வரம்பு வரையறுக்கப்பட்ட-நீள மொழி எல் கொடுக்கப்பட்டால், ஒரு ω-சொல் டபிள்யூ எல்லையற்ற தொகுப்பாக இருந்தால் மட்டுமே எல் வரம்பில் இருக்கும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒரு தன்னிச்சையான பெரிய இயல் எண் n க்கு, L இல் சில வார்த்தைகளைத் தேர்ந்தெடுப்பது எப்போதும் சாத்தியமாகும், அதன் நீளம் n ஐ விட அதிகமாக இருக்கும், மேலும் இது w இன் முன்னொட்டு ஆகும். L இல் வரம்பு செயல்பாட்டை Lδ அல்லது எழுதலாம். ω-சொற்களுக்கு இடையிலான தூரம் செட் σω ஐ மெட்ரிக் வரையறையின்படி ஒரு மெட்ரிக் இடைவெளியாக உருவாக்க முடியும்ஃ இங்கு |x | என்பது "x இன் நீளம்" (x இல் உள்ள குறியீடுகளின் எண்ணிக்கை) என்று விளக்கப்படுகிறது, மேலும் inf என்பது உண்மையான எண்களின் தொகுப்புகளின் மீது முடிவிலியாகும். அப்படியானால், நீளமான முன்னொட்டு x மற்றும் பல இல்லை. சமச்சீர் தெளிவாக உள்ளது. m மற்றும் v நீளத்தின் அதிகபட்ச பகிரப்பட்ட முன்னொட்டு மற்றும் u இன் அதிகபட்ச பகிரப்பட்ட முன்னொட்டு n நீளத்தைக் கொண்டிருந்தால், w மற்றும் u இன் முதல் எழுத்துக்கள் ஒரே மாதிரியாக இருக்க வேண்டும் என்பதிலிருந்து இடைநிலை பின்பற்றப்படுகிறது. எனவே d என்பது ஒரு அளவீடு. முக்கியமான துணைப்பிரிவுகள் ω-மொழிகளின் மிகவும் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படும் துணைப்பிரிவு ω-வழக்கமான மொழிகளின் தொகுப்பாகும், அவை புச்சி தானியங்கி மூலம் அடையாளம் காணக்கூடிய பயனுள்ள பண்பை அனுபவிக்கின்றன. எனவே ω-வழக்கமான மொழி உறுப்பினரின் முடிவு சிக்கல் ஒரு புச்சி தானியங்கியைப் பயன்படுத்தி தீர்மானிக்கக்கூடியது, மேலும் கணக்கிடுவதற்கு மிகவும் நேரடியானது. மொழி ஒரு தொகுப்பின் சக்தி தொகுப்பாக இருந்தால் ("அணு முன்மொழிவுகள்" என்று அழைக்கப்படுகிறது) பின்னர் ω-மொழி ஒரு நேரியல் நேர பண்பு ஆகும், அவை மாதிரி சரிபார்ப்பில் ஆய்வு செய்யப்படுகின்றன. நூலியல் பெர்ரின், டி. மற்றும் பின், ஜே. இ. "எல்லையற்ற சொற்கள்ஃ தானியங்கி, அரை குழுக்கள், தர்க்கம் மற்றும் விளையாட்டுகள்". தூய மற்றும் பயன்பாட்டு கணிதம் தொகுதி 141, எல்செவியர், 2004. ஸ்டைகர், எல். ω-மொழிகள். ஜி. ரோஸன்பெர்க் மற்றும் ஏ. சலோமா, ஆசிரியர்கள், முறையான மொழிகளின் கையேடு, தொகுதி 3, பக்கங்கள் 339-387. ஸ்ப்ரிங்கர்-வெர்லாக், பெர்லின், 1997. தாமஸ், டபிள்யூ. "ஆட்டோமட்டா ஆன் இன்பினைட் ஆப்ஜெக்ட்ஸ்". ஜான் வான் லீயுவென், ஆசிரியர், கோட்பாட்டு கணினி அறிவியலின் கையேடு, தொகுதி B: முறையான மாதிரிகள் மற்றும் சொற்பொருள், பக்கங்கள் 133-192. எல்செவியர் அறிவியல் வெளியீட்டாளர்கள், ஆம்ஸ்டர்டாம், 1990. முறையான மொழிகளின் கணக்கீட்டு கோட்பாடு