Affine geometry of curves
வேறுபட்ட வடிவவியலின் கணிதத் துறையில், வளைவுகளின் அஃபைன் வடிவியல் என்பது ஒரு அஃபைன் இடத்தில் வளைவுகளைப் பற்றிய ஆய்வு, குறிப்பாக சிறப்பு அஃபைன் குழுவின் கீழ் மாறாத அத்தகைய வளைவுகளின் பண்புகள் வளைவுகளின் கிளாசிக்கல் யூக்ளிடியன் வடிவவியலில், அடிப்படை கருவி ஃப்ரெனெட்-செரெட் சட்டகம் ஆகும். அஃபைன் வடிவவியலில், ஃப்ரெனெட்-செரெட் சட்டகம் இனி நன்கு வரையறுக்கப்படவில்லை, ஆனால் இதே போன்ற தீர்க்கமான பாத்திரத்தை வகிக்கும் ஒரு வளைவில் மற்றொரு நியதி நகரும் சட்டகத்தை வரையறுக்க முடியும். இந்தக் கோட்பாடு 20 ஆம் நூற்றாண்டின் முற்பகுதியில் உருவாக்கப்பட்டது, பெரும்பாலும் வில்ஹெல்ம் பிளாஷ்கே மற்றும் ஜீன் ஃபேவர்ட் ஆகியோரின் முயற்சிகளால் உருவாக்கப்பட்டது. அஃபைன் சட்டகம் x (t) ஒரு வளைவாக இருக்கட்டும். யூக்ளிடியன் வழக்கில் ஒருவர் செய்வது போல, x (t) இன் முதல் n வழித்தோன்றல்கள் நேரியல் ரீதியாக சுயாதீனமானவை என்று வைத்துக்கொள்வோம், இதனால், குறிப்பாக, x (t) எந்த குறைந்த பரிமாண அஃபைன் துணை இடத்திலும் இல்லை. பின்னர் வளைவு அளவுரு t ஐ நிர்ணயிக்கும் பொருளை அமைப்பதன் மூலம் இயல்பாக்கலாம் அத்தகைய வளைவு அதன் அஃபைன் ஆர்க்லெங்த் மூலம் அளவுருவாகக் கூறப்படுகிறது. அத்தகைய அளவுருவிற்கு, வளைவுக்கான சிறப்பு அஃபைன் சட்டகம் என்று அழைக்கப்படும் சிறப்பு அஃபைன் குழுவில் ஒரு வரைபடத்தை தீர்மானிக்கிறது. அதாவது, அளவுகளின் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் அஃபைன் இடத்திற்கான ஒரு சிறப்பு அஃபைன் சட்டகத்தை வரையறுக்கவும், இது இடத்தின் ஒரு புள்ளி x மற்றும் x இல் உள்ள புள்ளியுடன் இணைக்கப்பட்ட ஒரு சிறப்பு நேரியல் அடிப்படையைக் கொண்டுள்ளது. இந்த வரைபடத்துடன் மௌரர்-கார்டன் வடிவத்தின் பின்னோக்கி இழுத்தல் வளைவின் அஃபைன் கட்டமைப்பு மாறுபாடுகளின் முழுமையான தொகுப்பை வழங்குகிறது. தளத்தில், இது ஒரு ஒற்றை அளவிடுதல் மாறுபாட்டை அளிக்கிறது, இது வளைவின் அஃபைன் வளைவு. வேறுபட்ட மாறிலி வளைவு அளவுருவின் இயல்பாக்கம் மேலே தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டது, இதனால் n ஷ்ணம் 0 (மட்டு 4) அல்லது n ஷ்ணம் 3 (மட்டு 4) என்றால், இந்த நிர்ணயிப்பானின் அடையாளம் வளைவின் தனித்துவமான மாறிலி ஆகும். ஒரு வளைவு + 1 ஆக இருந்தால் டெக்ஸ்ட்ரோர்ஸ் (வலது முறுக்கு, ஜெர்மன் மொழியில் அடிக்கடி வெய்ன்வெண்டிக்) என்றும், சைனிஸ்ட்ரோர்ஸ் (இடது முறுக்கு, ஜெர்மன் மொழியில் அடிக்கடி ஹோப்ஃபென்வெண்டிக்)-1 ஆக இருந்தால் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. மூன்று பரிமாணங்களில், வலது கை ஹெலிக்ஸ் டெக்ஸ்ட்ரோஸ் ஆகும், இடது கை ஹெலிக்ஸ் சைனிஸ்ட்ரோஸ் ஆகும். வளைவு x இன் வளைவு அஃபைன் ஆர்க்லெங்த் மூலம் அளவிடப்படுகிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் அஃபைன் வளைவுகள், k1,., kn−1 இன் x வரையறுக்கப்படுகிறது, அத்தகைய வெளிப்பாடு சாத்தியமானது தீர்மானிப்பவரின் வழித்தோன்றலைக் கணக்கிடுவதன் மூலம் பின்பற்றப்படுகிறது, இதனால் x (n + 1) என்பது x′,., x (n−1) இன் நேரியல் கலவையாகும். அதன் நெடுவரிசைகள் x இன் முதல் n வழித்தோன்றல்களாக இருக்கும் மேட்ரிக்ஸைக் கவனியுங்கள் (இன்னும் சிறப்பு அஃபைன் வளைவு நீளத்தால் அளவிடப்படுகிறது). பின்னர், உறுதியான சொற்களில், மேட்ரிக்ஸ் சி என்பது x இன் முதல் n வழித்தோன்றல்களால் வழங்கப்பட்ட சட்டகத்துடன் சிறப்பு நேரியல் குழுவின் மௌரர்-கார்டன் வடிவத்தின் பின்னோக்கி இழுக்கப்படுகிறது. மேலும் காண்கஃ நகரும் சட்டகம் அஃபைன் கோளம் குறிப்புகள் வளைவுகள் வேறுபட்ட வடிவியல் அஃபைன் வடிவியல்