Poincaré metric
கணிதத்தில், ஹென்றி பாயின்கேர் பெயரிடப்பட்ட பாயின்கேர் மெட்ரிக் என்பது நிலையான எதிர்மறை வளைவின் இரு பரிமாண மேற்பரப்பை விவரிக்கும் மெட்ரிக் டென்சர் ஆகும். இது ஹைபர்போலிக் வடிவியல் அல்லது ரீமன் மேற்பரப்புகளில் பல்வேறு கணக்கீடுகளில் பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படும் இயற்கையான அளவீடு ஆகும். இரு பரிமாண ஹைபர்போலிக் வடிவவியலில் பொதுவாக மூன்று சமமான பிரதிநிதித்துவங்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. ஒன்று போயின்கேர் அரை-தள மாதிரி, இது மேல் அரை-தளத்தில் ஹைபர்போலிக் இடத்தின் மாதிரியை வரையறுக்கிறது. பாயின்கேர் வட்டு மாதிரி அலகு வட்டில் ஹைபர்போலிக் இடத்திற்கான ஒரு மாதிரியை வரையறுக்கிறது. வட்டு மற்றும் மேல் பாதி தளம் ஒரு இணக்கமான வரைபடத்தால் தொடர்புடையவை, மேலும் ஐசோமீட்டரிகள் மோபியஸ் உருமாற்றங்களால் வழங்கப்படுகின்றன. மூன்றாவது பிரதிநிதித்துவம் துளையிடப்பட்ட வட்டில் உள்ளது, அங்கு q-ஒப்புமைகளுக்கான உறவுகள் சில நேரங்களில் வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன. இந்த பல்வேறு படிவங்கள் கீழே மதிப்பாய்வு செய்யப்பட்டுள்ளன. ரீமன் மேற்பரப்புகளில் அளவீடுகளின் கண்ணோட்டம் சிக்கலான தளத்தில் ஒரு மெட்ரிக் பொதுவாக λ என்பது ஒரு உண்மையான, நேர்மறையான செயல்பாடு மற்றும் வடிவத்தில் வெளிப்படுத்தப்படலாம். சிக்கலான தளத்தில் ஒரு வளைவின் நீளம் γ இவ்வாறு கொடுக்கப்படுகிறது சிக்கலான தளத்தின் துணைக்குழுவின் பரப்பளவு தொகுதி வடிவத்தை உருவாக்க பயன்படுத்தப்படும் வெளிப்புற தயாரிப்பு எங்கு உள்ளது என்பதன் மூலம் வழங்கப்படுகிறது. அளவீட்டின் தீர்மானிப்பவர் சமம், எனவே தீர்மானிப்பவரின் வர்க்கமூலம். தரையில் உள்ள யூக்ளிடியன் தொகுதி வடிவம் மற்றும் எனவே ஒருவர் ஒரு செயல்பாட்டைக் கொண்டிருக்கிறார் என்றால் அளவீட்டின் ஆற்றல் என்று கூறப்படுகிறது லாப்லேஸ்-பெல்ட்ராமி ஆபரேட்டர் அளவீட்டின் காஸியன் வளைவு மூலம் வழங்கப்படுகிறது இந்த வளைவு ரிச்சி அளவிடுதல் வளைவின் பாதி ஆகும். ஐசோமீட்டரிகள் கோணங்கள் மற்றும் வளைவு நீளங்களைப் பாதுகாக்கின்றன. ரீமன் மேற்பரப்புகளில், ஐசோமீட்டரிகள் ஒருங்கிணைப்பின் மாற்றங்களுக்கு ஒத்தவைஃ அதாவது, லாப்லேஸ்-பெல்ட்ராமி ஆபரேட்டர் மற்றும் வளைவு இரண்டும் ஐசோமீட்டரிகளின் கீழ் மாறாதவை. எனவே, எடுத்துக்காட்டாக, S என்பது மெட்ரிக் கொண்ட ரீமன் மேற்பரப்பாகவும், T என்பது மெட்ரிக் கொண்ட ரீமன் மேற்பரப்பாகவும் இருக்கட்டும். பின்னர் ஒரு வரைபடம் இணக்கமாக இருந்தால் மற்றும் இருந்தால் மட்டுமே ஒரு ஐசோமெட்ரி ஆகும். இங்கே, வரைபடம் இணக்கமாக இருக்க வேண்டும் என்ற தேவை அறிக்கையைத் தவிர வேறில்லை, அதாவது பாயின்கேர் விமானத்தில் மெட்ரிக் மற்றும் தொகுதி உறுப்பு பாயின்கேர் அரை-தள மாதிரியில் உள்ள பாயின்கேர் மெட்ரிக் டென்சர் நாம் எழுதும் இடமாக மேல் அரை-தளம் எச் இல் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. இந்த மெட்ரிக் டென்சர் SL (2, R) இன் செயல்பாட்டின் கீழ் மாறாதது. அதாவது, நாம் அதற்கு எழுதினால், நாம் அதைச் செய்ய முடியும், மேலும் தி இன்ஃபினிட்டிசிமல் உருமாற்றங்கள் மற்றும் இதனால் மெட்ரிக் டென்சர் SL (2, R) இன் கீழ் மாறாதது என்பதை தெளிவுபடுத்துகிறது. உண்மையில், மாறாத தொகுதி உறுப்பு மூலம் வழங்கப்படுகிறது மெட்ரிக் குறுக்கு விகிதத்தின் அடிப்படையில் அளவீட்டின் மற்றொரு சுவாரஸ்யமான வடிவத்தால் வழங்கப்படுகிறது. ஏதேனும் நான்கு புள்ளிகள் மற்றும் சுருக்கப்பட்ட சிக்கலான தளத்தில் குறுக்கு விகிதம் வரையறுக்கப்படுகிறது பின்னர் மெட்ரிக் இங்கே வழங்கப்படுகிறது, மேலும் உண்மையான எண் கோட்டில், ஜியோடெசிக் இணைப்பின் இறுதிப் புள்ளிகள் மற்றும். இவை மற்றும் இடையே இருக்கும் வகையில் எண்ணப்படுகின்றன. இந்த மெட்ரிக் டென்சருக்கான புவியியல் உண்மையான அச்சுக்கு செங்குத்தாக வட்ட வளைவுகள் (உண்மையான அச்சில் தோற்றமளிக்கும் அரை வட்டங்கள்) மற்றும் உண்மையான அச்சில் முடிவடையும் நேரான செங்குத்து கோடுகள் ஆகும். தளத்திலிருந்து வட்டுக்கான முறைசாரா வரைபடம் மேல் பாதி தளத்தை மோபியஸ் மாற்றத்துடன் அலகு வட்டுடன் இணக்கமாக வரைபடமாக்க முடியும், அங்கு டபிள்யூ என்பது அலகு வட்டில் உள்ள புள்ளி, இது மேல் பாதி தளத்தில் உள்ள புள்ளி இசட் உடன் ஒத்திருக்கிறது. இந்த வரைபடத்தில், நிலையான z0 மேல் பாதி தளத்தில் எந்த புள்ளியிலும் இருக்கலாம்; அது வட்டின் மையத்தில் வரைபடமாக்கப்படும். உண்மையான அச்சு அலகு வட்டின் விளிம்பில் வரைபடமாக்குகிறது நிலையான உண்மையான எண்ணை வட்டை ஒரு தன்னிச்சையான நிலையான தொகையால் சுழற்ற பயன்படுத்தலாம். கனோனிக்கல் மேப்பிங் என்பது i ஐ வட்டின் மையத்திற்கும், 0 ஐ வட்டின் அடிப்பகுதிக்கும் அழைத்துச் செல்கிறது. பாயின்கேர் வட்டில் உள்ள மெட்ரிக் மற்றும் தொகுதி உறுப்பு பாயின்கேர் வட்டு மாதிரியில் உள்ள பாயின்கேர் மெட்ரிக் டென்சர் திறந்த அலகு வட்டில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. போயின்கேர் வட்டில் உள்ள ஜியோடெசிக் ஓட்டங்கள் அனோசோவ் ஓட்டங்கள்; அந்த கட்டுரை அத்தகைய ஓட்டங்களுக்கான குறியீட்டை உருவாக்குகிறது. துளையிடப்பட்ட வட்டு மாதிரி ஒரு வட்டில் மேல் அரை தளத்தின் இரண்டாவது பொதுவான வரைபடம் q-வரைபடமாகும், அங்கு q என்பது பெயர் மற்றும் τ என்பது அரை கால விகிதம்ஃ முந்தைய பிரிவுகளின் குறியீட்டில், τ என்பது மேல் அரை தளத்தின் ஒருங்கிணைப்பாகும். வரைபடம் பஞ்சர் செய்யப்பட்ட வட்டில் உள்ளது, ஏனெனில் மதிப்பு q = 0 வரைபடத்தின் படத்தில் இல்லை. மேல் அரை விமானத்தில் உள்ள பாயின்கேர் மெட்ரிக் q-வட்டில் ஒரு மெட்ரிக் தூண்டுகிறது அளவீட்டின் ஆற்றல் ஸ்வார்ஸ் லெம்மா பாயின்கேர் மெட்ரிக் ஹார்மோனிக் செயல்பாடுகளில் தூரத்தைக் குறைக்கிறது. இது ஸ்வார்ஸ்-ஆல்ஃபோர்ஸ்-பிக் தேற்றம் என்று அழைக்கப்படும் ஸ்வார்ஸ் லெம்மாவின் விரிவாக்கமாகும். ஃபுச்ச்சியன் குழு ஃபுச்ச்சியன் மாதிரி க்ளீனியன் குழு பாயின்கேர் வட்டு மாதிரி பாயின்கேர் அரை விமான மாதிரி பிரைம் ஜியோடெசிக் குறிப்புகள் ஹெர்ஷெல் எம். ஃபார்காஸ் மற்றும் இர்வின் க்ரா, ரீமன் மேற்பரப்புகள் (1980), ஸ்பிரிங்கர்-வெர்லாக், நியூயார்க் ஆகியவற்றைப் பார்க்கவும். . ஜூர்கன் ஜோஸ்ட், காம்பாக்ட் ரீமன் சர்ஃபேஸ்கள் (2002), ஸ்பிரிங்கர்-வெர்லாக், நியூயார்க். (பிரிவு 2.3 ஐப் பார்க்கவும்). ஸ்வெட்லனா கட்டோக், ஃபுச்சியன் குழுக்கள் (1992), சிகாகோ பிரஸ் பல்கலைக்கழகம், சிகாகோ (ஒரு எளிய, எளிதில் படிக்கக்கூடிய அறிமுகத்தை வழங்குகிறது.) முறைசாரா வடிவியல் ஹைபர்போலிக் வடிவியல் ரீமானியன் வடிவியல் ரீமானின் மேற்பரப்பு அளவீட்டு