Lattice of subgroups
கணிதத்தில், ஒரு குழுவின் துணைக்குழுக்களின் லட்டிஸ் என்பது லட்டிஸ் ஆகும், அதன் கூறுகள் துணைக்குழுக்களாக உள்ளன, பகுதி வரிசை உறவு சேர்க்கை அமைக்கப்பட்டுள்ளது. இந்த லட்டிஸில், இரண்டு துணைக்குழுக்களின் இணைப்பு அவற்றின் இணைப்பால் உருவாக்கப்பட்ட துணைக்குழுவாகும், மேலும் இரண்டு துணைக்குழுக்களின் சந்திப்பு அவற்றின் குறுக்குவெட்டு ஆகும். எடுத்துக்காட்டு டைஹெட்ரல் குழு டிஹ் 4 பத்து துணைக்குழுக்களைக் கொண்டுள்ளது, இது தன்னை மற்றும் அற்பமான துணைக்குழுவைக் கணக்கிடுகிறது. எட்டு குழு உறுப்புகளில் ஐந்து வரிசை இரண்டு துணைக்குழுக்களை உருவாக்குகின்றன, மற்ற இரண்டு அடையாளமற்ற உறுப்புகள் இரண்டும் வரிசை நான்கு அதே சுழற்சி துணைக்குழுவை உருவாக்குகின்றன. கூடுதலாக, Z2 × Z2 வடிவத்தில் இரண்டு துணைக்குழுக்கள் உள்ளன, அவை ஜோடி வரிசை-இரண்டு உறுப்புகளால் உருவாக்கப்படுகின்றன. இந்த பத்து துணைக்குழுக்களால் உருவாக்கப்பட்ட ஜன்னல் விளக்கப்படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது. ஒரு குழுவின் அனைத்து துணைக்குழுக்களின் லட்டிஸ் பொதுவாக ஒரு மாடுலர் லட்டிஸ் அல்ல என்பதையும் இந்த எடுத்துக்காட்டு காட்டுகிறது. உண்மையில், இந்த குறிப்பிட்ட லட்டிஸில் தடைசெய்யப்பட்ட "பெண்டகன்" N5 ஒரு சப்-லட்டிஸாக உள்ளது. பண்புகள் A ≤ C (C இன் ஒரு துணைக்குழு) கொண்ட ஒரு குழுவின் எந்த A, B மற்றும் C துணைக்குழுக்களுக்கும் பின்னர் AB ≤ C = A (B ≤ C); இங்கே பெருக்கம் என்பது துணைக்குழுக்களின் பெருக்கமாகும். இந்த பண்பு குழுக்களின் மாடுலர் பண்பு அல்லது (டெடெகிண்ட்ஸ்) மாடுலர் சட்டம் (,) என்று அழைக்கப்படுகிறது. இரண்டு இயல்பான துணைக்குழுக்களுக்கு தயாரிப்பு உண்மையில் இரண்டையும் கொண்ட மிகச்சிறிய துணைக்குழுவாக இருப்பதால், இயல்பான துணைக்குழுக்கள் ஒரு மட்டு ஜாலத்தை உருவாக்குகின்றன. லாட்டிஸ் தேற்றம் ஒரு குழுவின் துணைக்குழுக்களின் லாட்டிஸ் மற்றும் அதன் மேற்கோள்களுக்கு இடையே ஒரு கலோயிஸ் தொடர்பை நிறுவுகிறது. Zassenhaus லெம்மா துணைக்குழுக்களின் லட்டிஸில் உள்ள மேற்கோள்கள் மற்றும் தயாரிப்புகளின் சில சேர்க்கைகளுக்கு இடையில் ஒரு ஐசோமார்பிசத்தை வழங்குகிறது. பொதுவாக, துணைக்குழுக்களின் லட்டிஸின் வடிவத்திற்கு எந்த தடையும் இல்லை, அதாவது ஒவ்வொரு லட்டிஸும் சில குழுவின் துணைக் குழு லட்டிஸின் துணைக்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும். மேலும், ஒவ்வொரு வரையறுக்கப்பட்ட லட்டிஸும் சில வரையறுக்கப்பட்ட குழுவின் துணைக்குழு லட்டிஸின் துணை லட்டிஸுக்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும். சில பண்புகளைக் கொண்ட சிறப்பியல்பு ஜன்னல்கள் துணைக்குழுக்கள் ஜன்னல்களை உருவாக்குகின்றன, ஆனால் பிற பண்புகள் இல்லை. இயல்பான துணைக்குழுக்கள் எப்போதும் ஒரு மட்டு ஜாலத்தை உருவாக்குகின்றன. உண்மையில், லட்டிஸ் மாடுலர் என்று உத்தரவாதம் அளிக்கும் அத்தியாவசிய பண்பு என்னவென்றால், துணைக்குழுக்கள் ஒருவருக்கொருவர் பயணிக்கின்றன, அதாவது. அவை குவாசினார்மல் துணைக்குழுக்கள் என்று. நில்போட்டன்ட் இயல்பான துணைக்குழுக்கள் ஒரு லட்டிஸை உருவாக்குகின்றன, இது ஃபிட்டிங்கின் தேற்றத்தின் உள்ளடக்கத்தின் (ஒரு பகுதியாகும்). பொதுவாக, எந்த ஃபிட்டிங் கிளாஸ் எஃப்-க்கும், துணை இயல்பான எஃப்-துணைக்குழுக்கள் மற்றும் சாதாரண எஃப்-துணைக்குழுக்கள் இரண்டும் லட்டிஸ்களை உருவாக்குகின்றன. இதில் மேலே உள்ளவை நில்போட்டன்ட் குழுக்களின் வகுப்பான எஃப் உடன் அடங்கும், அதே போல் தீர்க்கக்கூடிய குழுக்களின் வகுப்பான எஃப் போன்ற பிற எடுத்துக்காட்டுகளும் அடங்கும். குழுக்களின் ஒரு வகை ஐசோமார்பிசம், சப்-நார்மல் துணைக்குழுக்கள் மற்றும் சப்-நார்மல் துணைக்குழுக்களின் தயாரிப்புகளின் கீழ் மூடப்பட்டிருந்தால் அது பொருத்தமான வகுப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது. மத்திய துணைக்குழுக்கள் ஒரு ஜன்னலை உருவாக்குகின்றன. இருப்பினும், வரையறுக்கப்பட்ட துணைக்குழுக்களும் அல்லது முறிவு துணைக்குழுக்களும் ஒரு ஜாலத்தை உருவாக்கவில்லைஃ எடுத்துக்காட்டாக, இலவச தயாரிப்பு இரண்டு முறிவு கூறுகளால் உருவாக்கப்படுகிறது, ஆனால் எல்லையற்றது மற்றும் எல்லையற்ற வரிசையின் கூறுகளைக் கொண்டுள்ளது. சாதாரண துணைக்குழுக்கள் ஒரு மாடுலர் லட்டிஸை உருவாக்குகின்றன என்பது மிகவும் பொதுவான முடிவின் ஒரு குறிப்பிட்ட நிகழ்வாகும், அதாவது எந்தவொரு மால்ட்சேவ் வகையிலும் (இதில் குழுக்கள் ஒரு எடுத்துக்காட்டு), ஒற்றுமைகளின் லட்டிஸ் மாடுலர் ஆகும். குழுக்களை அவற்றின் துணைக்குழு லட்டிஸ்களால் வகைப்படுத்துதல் லட்டிஸ் கோட்பாட்டு தகவல்கள் சில நேரங்களில் அசல் குழுவைப் பற்றிய தகவல்களை ஊகிக்க பயன்படுத்தப்படலாம், இது ஒரு யோசனை. உதாரணமாக, ஓர் நிரூபித்தபடி, ஒரு குழு அதன் துணைக்குழுக்களின் லட்டிஸ் விநியோகமாக இருந்தால் மட்டுமே அது உள்ளூரில் சுழற்சி ஆகும். கூடுதலாக லட்டிஸ் ஏறும் சங்கிலி நிலையை திருப்திப்படுத்தினால், குழு சுழற்சி ஆகும். துணைக்குழுக்களின் லட்டிஸ் ஒரு நிரம்பிய லட்டிஸ் கொண்ட குழுக்கள் நிரம்பிய குழுக்கள் என்றும், துணைக்குழுக்களின் லட்டிஸ் மாடுலர் லட்டிஸ்கள் கொண்ட குழுக்கள் இவாசாவா குழுக்கள் அல்லது மாடுலர் குழுக்கள் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன. தீர்க்கக்கூடிய குழுக்கள் மற்றும் சரியான குழுக்களுக்கும் இந்த வகையின் லட்டிஸ்-கோட்பாட்டு குணாதிசயங்கள் உள்ளன. புல் இல் ரால்ப் ஃப்ரீஸின் குறிப்புகள் விமர்சனம். ஏஎம்எஸ் 33 (4): 487-492. வெளிப்புற இணைப்புகள் துணைக்குழுக்களின் லட்டிஸில் பிளானட்மேத் உள்ளீடு எடுத்துக்காட்டுஃ சமச்சீர் குழுவின் துணைக்குழுக்களின் லட்டிஸ் எஸ் 4 லட்டிஸ் கோட்பாடு குழு கோட்பாடு