Ross–Littlewood paradox
ரோஸ்-லிட்டில்வுட் முரண்பாடு (பந்துகள் மற்றும் குவளை சிக்கல் அல்லது பிங் பாங் பந்து சிக்கல் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) என்பது சுருக்க கணிதம் மற்றும் தர்க்கத்தில் ஒரு கற்பனையான சிக்கலாகும், இது முரண்பாடான அல்லது குறைந்தபட்சம் உள்ளுணர்வு அல்லாத, முடிவிலியின் தன்மையை விளக்க வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது. இன்னும் குறிப்பாக, தாம்சனின் விளக்கு முரண்பாட்டைப் போலவே, ரோஸ்-லிட்டில்வுட் முரண்பாடும் ஒரு சூப்பர் டாஸ்க் என்ற கருத்துடன் கருத்தியல் சிக்கல்களை விளக்க முயற்சிக்கிறது, இதில் எண்ணற்ற எண்ணிக்கையிலான பணிகள் தொடர்ச்சியாக முடிக்கப்படுகின்றன. இந்த சிக்கலை முதலில் கணிதவியலாளர் ஜான் ஈ. லிட்டில்வுட் தனது 1953 புத்தகமான லிட்டில்வுட்ஸ் மிஸெல்லனியில் விவரித்தார், பின்னர் ஷெல்டன் ரோஸ் தனது 1988 புத்தகமான ஏ ஃபர்ஸ்ட் கோர்ஸ் இன் ப்ரோபபபிலிட்டியில் விரிவுபடுத்தினார். வெற்று குவளை மற்றும் எல்லையற்ற பந்துகளின் விநியோகத்துடன் சிக்கல் தொடங்குகிறது. பின்னர் எண்ணற்ற படிகள் செய்யப்படுகின்றன, அதாவது ஒவ்வொரு படியிலும் 10 பந்துகள் குவளையில் சேர்க்கப்பட்டு அதிலிருந்து 1 பந்து அகற்றப்படுகிறது. பின்னர் கேள்வி எழுப்பப்படுகிறதுஃ பணி முடிந்ததும் குவளையில் எத்தனை பந்துகள் உள்ளன? எண்ணற்ற படிகளை முடிக்க, மதியத்திற்கு ஒரு நிமிடத்திற்கு முன்பு குவளை காலியாக இருப்பதாகவும், பின்வரும் படிகள் செய்யப்படுவதாகவும் கருதப்படுகிறதுஃ முதல் படி மதியத்திற்கு 30 விநாடிகளுக்கு முன்பு செய்யப்படுகிறது. இரண்டாவது படி மதியத்திற்கு 15 விநாடிகளுக்கு முன் செய்யப்படுகிறது. ஒவ்வொரு அடுத்தடுத்த படியும் முந்தைய படியின் பாதி நேரத்தில் செய்யப்படுகிறது, அதாவது, படி n மதியம் முன் 2 நிமிடங்களில் செய்யப்படுகிறது. மதியத்திற்குள் எண்ணற்ற எண்ணிக்கையிலான படிகள் செய்யப்படுகின்றன என்பதை இது உறுதி செய்கிறது. ஒவ்வொரு அடுத்தடுத்த படியும் முந்தைய படியை விட பாதி நேரம் எடுக்கும் என்பதால், ஒரு நிமிடம் கடந்த நேரத்தில் எண்ணற்ற படிகள் செய்யப்படுகின்றன. கேள்வி என்னவென்றால்ஃ மதிய நேரத்தில் குவளையில் எத்தனை பந்துகள் உள்ளன? புதிர்க்கான பதில்கள் பல பிரிவுகளாகப் பிரிக்கப்படுகின்றன. குவளை எல்லையற்ற பல பந்துகளைக் கொண்டுள்ளது மிகவும் உள்ளுணர்வு பதில் என்னவென்றால், குவளை மதியத்திற்குள் எண்ணற்ற பந்துகளைக் கொண்டுள்ளது, ஏனெனில் வழியில் ஒவ்வொரு அடியிலும் அகற்றப்படுவதை விட அதிகமான பந்துகள் சேர்க்கப்படுகின்றன. வரையறையின்படி, ஒவ்வொரு படிநிலையிலும், முந்தைய படிநிலையை விட அதிக எண்ணிக்கையிலான பந்துகள் இருக்கும். உண்மையில், முந்தைய படிநிலையிலிருந்து பந்துகளின் எண்ணிக்கை குறைக்கப்படும் படி எதுவும் இல்லை. ஒவ்வொரு முறையும் பந்துகளின் எண்ணிக்கை அதிகரித்தால், எல்லையற்ற படிகளுக்குப் பிறகு எண்ணற்ற பந்துகள் இருக்கும். பந்துகளின் எல்லையற்ற விநியோகத்தின் பந்துகள் எண்ணப்பட்டவை என்றும், படி 1 பந்துகளில் 1 முதல் 10 வரை குவளையில் செருகப்படுகின்றன என்றும், பின்னர் பந்து எண் 1 அகற்றப்படுகிறது என்றும் வைத்துக்கொள்வோம். படி 2 இல், 11 முதல் 20 வரை பந்துகள் செருகப்படுகின்றன, பின்னர் பந்து 2 அகற்றப்படுகிறது. இதன் பொருள் என்னவென்றால், மதியத்திற்குள், குவளையில் செருகப்பட்ட n என்று பெயரிடப்பட்ட ஒவ்வொரு பந்தும் இறுதியில் அடுத்த கட்டத்தில் அகற்றப்படும் (அதாவது, படி n இல்). எனவே, மாலையில் குவளை காலியாக உள்ளது. இது கணிதவியலாளர்களான அல்லிஸ் மற்றும் கோய்ட்ஸியர் ஆகியோரால் விரும்பப்பட்ட தீர்வாகும். மதிய நேரத்தில் குவளை காலியாக உள்ளது என்பது இந்த வாதத்தின் கலவையாகும், மேலும் குவளை எண்ணற்ற பல பந்துகளைக் கொண்டிருக்க வேண்டும் என்ற உள்ளுணர்வு பதிலுடன், இந்த சிக்கலுக்கு ரோஸ்-லிட்டில்வுட் முரண்பாடு என்று பெயரிடப்பட்டுள்ளது. ரோஸின் சிக்கலின் நிகழ்தகவு பதிப்பு, ஒரு பந்தை திரும்பப் பெறும்போதெல்லாம் அந்த நேரத்தில் குவளையில் இருந்தவற்றிலிருந்து அந்த பந்து ஒரே மாதிரியாக சீரற்ற முறையில் தேர்ந்தெடுக்கப்படும் வகையில் அகற்றுதல் முறையை விரிவுபடுத்தியது. இந்த வழக்கில், மதிய நேரத்தில் ஒரு குறிப்பிட்ட பந்து குவளையில் இருந்ததற்கான நிகழ்தகவு 0 என்றும், எனவே, பூலின் சமத்துவமின்மையைப் பயன்படுத்தி, பந்துகளுக்கு மேல் எண்ணக்கூடிய தொகையை எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம், மதிய நேரத்தில் குவளை காலியாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு 1 என்றும் அவர் காட்டினார். நிலைமைகளைப் பொறுத்தது உண்மையில், ஒருவர் முடிவடையும் பந்துகளின் எண்ணிக்கை, குவளையிலிருந்து பந்துகள் அகற்றப்படும் வரிசையைப் பொறுத்தது. முன்பு குறிப்பிட்டபடி, மதிய நேரத்தில் குவளையில் பந்துகள் எதுவும் விடப்படாத வகையில் பந்துகளைச் சேர்த்து அகற்றலாம். இருப்பினும், படி 1 இல் பந்து எண் 10, படி 2 இல் பந்து எண் 20 மற்றும் பலவற்றை குவளையிலிருந்து அகற்றினால், மதிய நேரத்தில் குவளையில் எண்ணற்ற பந்துகள் எஞ்சியிருக்கும் என்பது தெளிவாகிறது. உண்மையில், பல்வேறு படிகளில் எந்த பந்து அகற்றப்படுகிறது என்பதைப் பொறுத்து, தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட எந்த எண்ணிக்கையிலான பந்துகளையும் மதியத்திற்குள் குவளையில் வைக்கலாம், கீழே உள்ள செயல்முறை நிரூபிக்கிறது. இது தத்துவஞானி தர்க்கவாதி டாம் டிமோஸ்கோ மற்றும் கணிதவியலாளர் தர்க்கவாதி ஜிம் ஹென்லே ஆகியோரால் விரும்பப்பட்ட தீர்வாகும். இந்த தீர்வு கணித ரீதியாக தொகுப்புகளின் வரிசையின் தாழ்ந்த வரம்பை எடுத்துக்கொள்வதற்கு ஒத்திருக்கிறது. குவளையில் மீதமுள்ள தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட n எண்ணிக்கையிலான பந்துகளை எவ்வாறு பெறுவது என்பதை பின்வரும் செயல்முறை கோடிட்டுக் காட்டுகிறது. n என்பது குவளையில் உள்ள பந்துகளின் விரும்பிய இறுதி எண்ணிக்கையைக் குறிக்கட்டும் (n ≤ 0). தற்போது நடைபெறும் செயல்பாட்டின் எண்ணிக்கையை நான் குறிக்கிறேன் (i ≤1). செயல்முறைஃ i = 1 முதல் முடிவிலி வரைஃ i ≤ n என்றால் (10 * i-9) முதல் (10 * i) வரை எண்ணப்பட்ட பந்துகளை குவளையில் வைக்கவும், பின்னர் i> n என்றால் பந்து எண் 2 * i ஐ அகற்றவும், பின்னர் பந்து எண் n + i ஐ அகற்றவும். எனவே, சரியாக n பந்துகள் குவளையில் உள்ளன. பந்து மற்றும் குவளையின் நிலை மதியத்திற்கு முந்தைய ஒவ்வொரு கணத்திலும் நன்கு வரையறுக்கப்பட்டிருந்தாலும், மதிய நேரத்திலோ அல்லது அதற்குப் பின்னரோ எந்த நேரத்திலும் எந்த முடிவையும் எடுக்க முடியாது. எனவே, நாம் அனைவரும் அறிந்தபடி, மதிய நேரத்தில், குவளை மாயமாக மறைந்துவிடும், அல்லது அதற்கு வேறு ஏதாவது நடக்கும். ஆனால் எங்களுக்குத் தெரியாது, ஏனெனில் சிக்கல் அறிக்கை இதைப் பற்றி எதுவும் சொல்லவில்லை. எனவே, முந்தைய தீர்வைப் போலவே, இந்த தீர்வும் சிக்கல் அடிக்கோடிட்டுக் காட்டப்பட்டுள்ளது, ஆனால் முந்தைய தீர்வை விட வித்தியாசமான முறையில் உள்ளது என்று கூறுகிறது. இந்த தீர்வை கணித தத்துவஞானி பால் பெனாசெராப் ஆதரித்தார். சிக்கல் தவறாக வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது சிக்கல் தவறான நிலையில் உள்ளது. துல்லியமாகச் சொல்வதானால், சிக்கல் அறிக்கையின்படி, மதியத்திற்கு முன் எண்ணற்ற செயல்பாடுகள் செய்யப்படும், பின்னர் நண்பகலில் நிலைமை குறித்து கேட்கப்படும். ஆனால், ஜெனோவின் முரண்பாடுகளைப் போலவே, மதியத்திற்கு முன் எண்ணற்ற பல அறுவை சிகிச்சைகள் (தொடர்ச்சியாக) நடக்க வேண்டும் என்றால், மதியம் என்பது ஒருபோதும் அடைய முடியாத நேரமாகும். மறுபுறம், நண்பகலில் எத்தனை பந்துகள் எஞ்சியிருக்கும் என்று கேட்பது மதியத்தை எட்டும் என்று கருதுவதாகும். எனவே பிரச்சினையின் கூற்றில் ஒரு முரண்பாடு உள்ளார்ந்ததாக உள்ளது, மேலும் இந்த முரண்பாடு ஒருவர் எப்படியாவது எண்ணற்ற படிகளை 'முடிக்க' முடியும் என்ற அனுமானமாகும். இது கணிதவியலாளரும் தத்துவஞானியுமான ஜீன் பால் வான் பெண்டெகேம் ஆதரித்த தீர்வாகும். மேலும் பார்க்கவும் சூப்பர்டாஸ்க் தாம்சனின் விளக்கு ஜெனோவின் முரண்பாடுகள் ஹில்பர்ட்டின் கிராண்ட் ஹோட்டல் குறிப்புகளின் முரண்பாடு மேலும் வாசிப்பு "லிட்டில்வுட் மிஸெல்லனி" (பதிப்பு. பெலா பொல்லோபாஸ்), கேம்பிரிட்ஜ் யுனிவர்சிட்டி பிரஸ், கேம்பிரிட்ஜ், 1986. பக். 26. (முதலில் "ஒரு கணிதவியலாளரின் மிஸ்லெனி" என்ற பெயரில் வெளியிடப்பட்டது. Béla Bollobás, Methuen & Co., 1953) "டாஸ்க்ஸ், சூப்பர்-டாஸ்க்ஸ், அண்ட் மாடர்ன் எலிட்டிக்ஸ்", பால் பெனாசெராஃப், ஜர்னல் ஆஃப் ஃபிலோசிபி, LIX, 1962, pp. ஷெல்டன் ரோஸ், நியூயார்க்ஃ மாக்மில்லன், 1976 "ஆன் சம் பாரடாக்ஸ் ஆஃப் தி இன்பினைட்", விக்டர் ஆலிஸ் மற்றும் டியூனிஸ் கோய்ட்ஸியர், தி பிரிட்டிஷ் ஜர்னல் ஃபார் தி ஃபிலோசிபி ஆஃப் சயின்ஸ், v. 42 n. 2, ஜூன் 1991, pp. 187-194 "ரோஸ் முரண்பாடு ஒரு சாத்தியமற்ற சூப்பர்-டாஸ்க்", ஜீன் பால் வான் பெண்டெகெம், தி பிரிட்டிஷ் ஜர்னல் ஃபார் தி ஃபிலோசிபி ஆஃப் சயின்ஸ், v. 45 n. 2, ஜூன் 1994, pp. 743-748 "எல்லையற்ற வலிகள்ஃ சூப்பர்டாஸ்குகளுடன் சிக்கல்", ஏர்மேன், ஜே. மற்றும் நார்டன், ஜே. டி., எஸ். ஸ்டிச் (பதிப்பு.) பால் பெனாசெராப்ஃ த தத்துவஞானியும் அவரது விமர்சகர்களும் (நியூயார்க்ஃ பிளாக்வெல்), 1994 "ஸ்வீட் ரீசன்ஃ நவீன தர்க்கத்திற்கான ஒரு கள வழிகாட்டி", டாம் டிமோஸ்கோ மற்றும் ஜிம் ஹென்லே, ஃப்ரீமேன் பிரஸ், 1995 சூப்பர் டாஸ்க்ஸ் முரண்பாடுகள் முடிவிலி