Montel's theorem
சிக்கலான பகுப்பாய்வில், கணிதத்தின் ஒரு பகுதி, மான்டலின் தேற்றம் ஹோலோமார்பிக் செயல்பாடுகளின் குடும்பங்களைப் பற்றிய இரண்டு கோட்பாடுகளில் ஒன்றைக் குறிக்கிறது. இவை பிரெஞ்சு கணிதவியலாளர் பால் மான்டெலின் பெயரால் பெயரிடப்பட்டுள்ளன, மேலும் ஹோலோமார்பிக் செயல்பாடுகளின் குடும்பம் இயல்பான நிபந்தனைகளின் கீழ் உள்ளன. தேற்றத்தின் முதல் மற்றும் எளிமையான பதிப்பு, சிக்கலான எண்களின் திறந்த துணைக்குழுவில் வரையறுக்கப்பட்ட ஹோலோமார்பிக் செயல்பாடுகளின் குடும்பம் உள்ளூரில் ஒரே மாதிரியாக பிணைக்கப்பட்டிருந்தால் மட்டுமே இயல்பானது என்று கூறுகிறது. இந்த தேற்றம் பின்வரும் முறைப்படி வலுவான விளைவைக் கொண்டுள்ளது. இது ஒரு திறந்த தொகுப்பில் உள்ள மெரோமார்பிக் செயல்பாடுகளின் குடும்பம் என்று வைத்துக்கொள்வோம். இது இயல்பானதாக இல்லாவிட்டாலும், அதன் சுற்றுப்புறமாக இருந்தால், சிக்கலான தளத்தில் அடர்த்தியாக இருக்கும். இரண்டு மதிப்புகளைத் தவிர்க்கும் செயல்பாடுகள் மான்டலின் தேற்றத்தின் வலுவான பதிப்பு (எப்போதாவது அடிப்படை இயல்புநிலை சோதனை என்று குறிப்பிடப்படுகிறது) ஹோலோமார்பிக் செயல்பாடுகளின் ஒரு குடும்பம், இவை அனைத்தும் ஒரே இரண்டு மதிப்புகளைத் தவிர்ப்பது இயல்பானது என்று கூறுகிறது. தேவை மேற்கண்ட கோட்பாடுகளில் உள்ள நிபந்தனைகள் போதுமானவை, ஆனால் இயல்புநிலைக்கு அவசியமில்லை. உண்மையில், குடும்பம் இயல்பானது, ஆனால் எந்த சிக்கலான மதிப்பையும் விட்டுவிடாது. சான்றுகள் மான்டலின் தேற்றத்தின் முதல் பதிப்பு மார்ட்டியின் தேற்றத்தின் நேரடி விளைவாகும் (இது கோள வழித்தோன்றல்கள் உள்ளூரில் பிணைக்கப்பட்டிருந்தால் மட்டுமே ஒரு குடும்பம் இயல்பானது என்று கூறுகிறது) மற்றும் காச்சியின் ஒருங்கிணைந்த சூத்திரம். தாமஸ் ஜோன்ஸ் ஸ்டீல்ட்ஜெஸ் மற்றும் வில்லியம் ஃபாக் ஓஸ்கூட் ஆகியோருக்குப் பிறகு இந்த தேற்றம் ஸ்டீல்ட்ஜெஸ்-ஓஸ்கூட் தேற்றம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. மேலே கூறப்பட்ட கருப்பொருள் பின்வருமாறு கணக்கிடப்படுகிறது. அனைத்து செயல்பாடுகளும் புள்ளியின் ஒரே சுற்றுப்புறத்தைத் தவிர்க்கின்றன என்று வைத்துக்கொள்வோம். வரைபடத்துடன் போஸ்ட் கம்போஸ் செய்வதன் மூலம் நாம் ஒரு சீரான வரம்புக்குட்பட்ட குடும்பத்தைப் பெறுகிறோம், இது தேற்றத்தின் முதல் பதிப்பால் இயல்பானது. மான்டெலின் தேற்றத்தின் இரண்டாவது பதிப்பை முதல் பதிப்பில் இருந்து யூனிட் டிஸ்க்கிலிருந்து இரண்டு முறை பஞ்சர் செய்யப்பட்ட தளத்திற்கு ஒரு ஹோலோமார்பிக் உலகளாவிய உறை உள்ளது என்ற உண்மையைப் பயன்படுத்தி யூகிக்க முடியும். (அத்தகைய மூடுதல் நீள்வட்ட மட்டு செயல்பாட்டால் வழங்கப்படுகிறது). மோன்டெலின் தேற்றத்தின் இந்த பதிப்பை பிகார்டின் தேற்றத்திலிருந்து, ஜல்க்மேனின் லெம்மாவைப் பயன்படுத்தி பெறலாம். முழு செயல்பாடுகளுக்கான கோட்பாடுகளுடனான உறவு ப்ளோச்சின் கோட்பாடு என்று அழைக்கப்படும் ஒரு ஹூரிஸ்டிக் கொள்கை (ஜல்க்மேனின் லெம்மாவால் துல்லியமாக செய்யப்பட்டது) ஒரு முழு செயல்பாடும் நிலையானது என்பதைக் குறிக்கும் பண்புகள் ஹோலோமார்பிக் செயல்பாடுகளின் குடும்பம் இயல்பானது என்பதை உறுதிசெய்யும் பண்புகளுடன் ஒத்திருக்கின்றன என்று கூறுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, மேலே கூறப்பட்ட மான்டலின் தேற்றத்தின் முதல் பதிப்பு லியோவில்லின் தேற்றத்தின் ஒப்புமையாகும், அதே நேரத்தில் இரண்டாவது பதிப்பு பிகார்டின் தேற்றத்துடன் ஒத்திருக்கிறது. மோன்டெல் விண்வெளி அடிப்படை இயல்புநிலை சோதனை ரீமன் மேப்பிங் தேற்றம் குறிப்புகள் குறிப்புகள் சுருக்கக் கோட்பாடுகள் சிக்கலான பகுப்பாய்வில் கோட்பாடுகள்