Standard error
ஒரு புள்ளிவிவரத்தின் நிலையான பிழை (எஸ்இ) (பொதுவாக ஒரு அளவுருவின் மதிப்பீடு) என்பது அதன் மாதிரி விநியோகத்தின் நிலையான விலகல் அல்லது அந்த நிலையான விலகலின் மதிப்பீடு ஆகும். புள்ளிவிவரம் மாதிரி சராசரி என்றால், அது சராசரி நிலையான பிழை (SEM) என்று அழைக்கப்படுகிறது. நம்பிக்கை இடைவெளிகளை உருவாக்குவதில் நிலையான பிழை ஒரு முக்கிய மூலப்பொருள் ஆகும். ஒரு சராசரியின் மாதிரி விநியோகம் அதே மக்கள்தொகையிலிருந்து மீண்டும் மீண்டும் மாதிரி எடுப்பதன் மூலமும், பெறப்பட்ட மாதிரி வழிமுறைகளைப் பதிவு செய்வதன் மூலமும் உருவாக்கப்படுகிறது. இது வெவ்வேறு வழிகளின் விநியோகத்தை உருவாக்குகிறது, மேலும் இந்த விநியோகம் அதன் சொந்த சராசரி மற்றும் மாறுபாட்டைக் கொண்டுள்ளது. கணித ரீதியாக, பெறப்பட்ட மாதிரி சராசரி விநியோகத்தின் மாறுபாடு மாதிரி அளவால் வகுக்கப்பட்ட மக்கள்தொகையின் மாறுபாட்டிற்கு சமம். ஏனென்றால், மாதிரி அளவு அதிகரிக்கும் போது, மாதிரி என்பது மக்கள்தொகை சராசரியைச் சுற்றி மிகவும் நெருக்கமாக இருக்கும். எனவே, சராசரி மற்றும் நிலையான விலகலின் நிலையான பிழைகளுக்கு இடையிலான உறவு, கொடுக்கப்பட்ட மாதிரி அளவிற்கு, சராசரியின் நிலையான பிழை மாதிரி அளவின் வர்க்கமூலத்தால் வகுக்கப்பட்ட நிலையான விலகலுக்கு சமம். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், சராசரியின் நிலையான பிழை என்பது மக்கள் தொகை சராசரியைச் சுற்றியுள்ள மாதிரி வழிமுறைகளின் சிதறலின் அளவீடு ஆகும். பின்னடைவு பகுப்பாய்வில், "நிலையான பிழை" என்ற சொல் குறைக்கப்பட்ட சி-ஸ்கொயர் புள்ளிவிவரத்தின் சதுர மூலத்தைக் குறிக்கிறது அல்லது ஒரு குறிப்பிட்ட பின்னடைவு குணகத்திற்கான நிலையான பிழையைக் குறிக்கிறது (நம்பிக்கை இடைவெளிகளில் பயன்படுத்துவது போல). மாதிரியின் நிலையான பிழை சராசரி துல்லியமான மதிப்பு புள்ளிவிவர ரீதியாக சுயாதீனமான அவதானிப்புகளின் மாதிரி ஒரு புள்ளிவிவர மக்களிடமிருந்து ஒரு நிலையான விலகலுடன் எடுக்கப்பட்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். மாதிரியிலிருந்து கணக்கிடப்பட்ட சராசரி மதிப்பு, சராசரியில் தொடர்புடைய நிலையான பிழையைக் கொண்டிருக்கும், இது பின்வருமாறு கொடுக்கப்பட்டுள்ளதுஃ ஒரு மக்கள்தொகை சராசரியின் மதிப்பை மதிப்பிட முயற்சிக்கும்போது, காரணி காரணமாக, மதிப்பீட்டில் உள்ள பிழையை இரண்டு காரணி மூலம் குறைப்பதற்கு மாதிரியில் நான்கு மடங்கு அதிகமான அவதானிப்புகளைப் பெற வேண்டும்; பத்து காரணி மூலம் அதைக் குறைப்பதற்கு நூறு மடங்கு அதிகமான அவதானிப்புகள் தேவை. மதிப்பீடு மாதிரி எடுக்கப்பட்ட மக்கள்தொகையின் நிலையான விலகல் அரிதாகவே அறியப்படுகிறது. எனவே, சராசரியின் நிலையான பிழை வழக்கமாக அதற்கு பதிலாக மாதிரி நிலையான விலகலுடன் மாற்றுவதன் மூலம் மதிப்பிடப்படுகிறதுஃ இது உண்மையான "நிலையான பிழை" க்கான ஒரு மதிப்பீட்டாளர் மட்டுமே என்பதால், இங்கே பிற குறியீடுகளைக் காண்பது பொதுவானதுஃ மக்கள்தொகையின் நிலையான விலகல் (), மாதிரியின் நிலையான விலகல் (), சராசரியின் நிலையான விலகல் (, இது நிலையான பிழை), மற்றும் சராசரியின் நிலையான விலகலின் மதிப்பீட்டாளர் (, இது பெரும்பாலும் கணக்கிடப்பட்ட அளவு, மேலும் பெரும்பாலும் பேச்சுவழக்கில் நிலையான பிழை என்றும் அழைக்கப்படுகிறது). மதிப்பீட்டாளரின் துல்லியம் மாதிரி அளவு சிறியதாக இருக்கும்போது, மக்கள்தொகையின் உண்மையான நிலையான விலகலுக்கு பதிலாக மாதிரியின் நிலையான விலகலைப் பயன்படுத்துவது மக்கள்தொகை நிலையான விலகலை முறையாக குறைத்து மதிப்பிடும், எனவே நிலையான பிழையும் கூட. n = 2 உடன், குறைத்து மதிப்பிடுவது சுமார் 25 சதவீதம், ஆனால் n = 6 க்கு, குறைத்து மதிப்பிடுவது 5 சதவீதம் மட்டுமே. குர்லாண்ட் மற்றும் திரிபாதி (1971) இந்த விளைவுக்கான திருத்தம் மற்றும் சமன்பாட்டை வழங்குகின்றன. சோகல் மற்றும் ரோஹ்ல்ஃப் (1981) n <20 இன் சிறிய மாதிரிகளுக்கான திருத்தக் காரணியின் சமன்பாட்டைக் கொடுக்கிறார்கள். மேலும் விவாதத்திற்கு நிலையான விலகல் பற்றிய பக்கச்சார்பற்ற மதிப்பீட்டைப் பார்க்கவும். வழித்தோன்றல் சராசரி நிலையான பிழை என்பது மாறுபாட்டின் வரையறை மற்றும் அதன் சில எளிய பண்புகள் கொடுக்கப்பட்ட சுயாதீனமான சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டுத்தொகையின் மாறுபாட்டிலிருந்து பெறப்படலாம். சராசரி மற்றும் நிலையான விலகல் கொண்ட மக்கள்தொகையிலிருந்து சுயாதீனமான அவதானிப்புகளின் மாதிரியாக இருந்தால், பியனைம் சூத்திரத்தின் காரணமாக, நிலையான விலகல்களை நாம் தோராயமாக மதிப்பிட்டுள்ள இடத்தில் மாறுபாட்டைக் கொண்டிருக்கும் மொத்தத்தை நாம் வரையறுக்க முடியும், அதாவது, நிச்சயமற்ற தன்மைகள், மக்கள்தொகையின் நிலையான விலகலுக்கான சிறந்த மதிப்புடன் அளவீடுகள். இந்த அளவீடுகளின் சராசரி வெறுமனே கொடுக்கப்படுகிறது சராசரி மாறுபாடு பின்னர் நிலையான பிழை, வரையறையின்படி, நிலையான விலகல் வெறுமனே மாறுபாட்டின் வர்க்கமூலமாகும்ஃ தொடர்புடைய சீரற்ற மாறிகளுக்கு மாதிரி மாறுபாட்டை மார்கோவ் சங்கிலி மைய வரம்பு தேற்றத்தின் படி கணக்கிட வேண்டும். சீரற்ற மாதிரி அளவுடன் சுயாதீனமான மற்றும் ஒரே மாதிரியாக விநியோகிக்கப்பட்ட சீரற்ற மாறிகள் சில அளவுகோல்களின்படி எத்தனை அவதானிப்புகள் ஏற்றுக்கொள்ளப்படும் என்பதை முன்கூட்டியே அறியாமல் ஒரு மாதிரி எடுக்கப்படும் சந்தர்ப்பங்கள் உள்ளன. அத்தகைய சந்தர்ப்பங்களில், மாதிரி அளவு ஒரு சீரற்ற மாறி, அதன் மாறுபாடு அத்தகைய மாறுபாட்டைச் சேர்க்கிறது, இது மொத்த மாறுபாட்டின் சட்டத்திலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது. பாய்சான் விநியோகம் இருந்தால், மதிப்பீட்டாளருடன். எனவே நிலையான பிழையின் மதிப்பீட்டாளர் பின்வரும் சூத்திரத்தை வழிநடத்துகிறார்ஃ (நிலையான விலகல் என்பது மாறுபாட்டின் வர்க்க மூலமாகும் என்பதால்). σ மதிப்பு அறியப்படாதபோது மாணவர் தோராயமானது பல நடைமுறை பயன்பாடுகளில், σ இன் உண்மையான மதிப்பு தெரியவில்லை. இதன் விளைவாக, சாத்தியமான σ களின் பரவலை கணக்கில் எடுத்துக் கொள்ளும் ஒரு விநியோகத்தை நாம் பயன்படுத்த வேண்டும். உண்மையான அடிப்படை விநியோகம் காஸியன் என்று அறியப்படும்போது, அறியப்படாத σ உடன் இருந்தாலும், இதன் விளைவாக மதிப்பிடப்பட்ட விநியோகம் மாணவர் t-விநியோகத்தைப் பின்பற்றுகிறது. நிலையான பிழை என்பது மாணவர் டி-விநியோகத்தின் நிலையான விலகல் ஆகும். டி-விநியோகங்கள் காஸியனிலிருந்து சற்று வேறுபட்டவை, மேலும் மாதிரியின் அளவைப் பொறுத்து மாறுபடும். சிறிய மாதிரிகள் மக்கள்தொகை நிலையான விலகலை ஓரளவு குறைத்து மதிப்பிடுவதற்கான வாய்ப்புகள் அதிகம் மற்றும் உண்மையான மக்கள்தொகை சராசரியிலிருந்து வேறுபடும் சராசரியைக் கொண்டுள்ளன, மேலும் மாணவர் டி-விநியோகம் ஒரு காஸியனுடன் ஒப்பிடும்போது சற்றே கனமான வால்களுடன் இந்த நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவைக் கணக்கிடுகிறது. ஒரு மாணவர் t-விநியோகத்தின் நிலையான பிழையை மதிப்பிடுவதற்கு σ க்கு பதிலாக மாதிரி நிலையான விலகல் "s" ஐப் பயன்படுத்துவது போதுமானது, மேலும் நம்பிக்கை இடைவெளிகளைக் கணக்கிட இந்த மதிப்பைப் பயன்படுத்தலாம். குறிப்புஃ மாதிரி அளவு 100 க்கும் அதிகமாக இருக்கும்போது மாணவர் நிகழ்தகவு விநியோகம் காஸியன் விநியோகத்தால் நன்கு தோராயமாக மதிப்பிடப்படுகிறது. அத்தகைய மாதிரிகளுக்கு ஒருவர் பிந்தைய விநியோகத்தைப் பயன்படுத்தலாம், இது மிகவும் எளிமையானது. மேலும், மக்கள்தொகையின் 'உண்மையான' விநியோகம் தெரியவில்லை என்றாலும், மாதிரி விநியோகத்தின் இயல்புநிலை ஒரு நியாயமான மாதிரி அளவிற்கு அர்த்தமுள்ளதாக கருதுகிறது, மேலும் சில மாதிரி நிலைமைகளின் கீழ், CLT ஐப் பார்க்கவும். இந்த நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்படாவிட்டால், நிலையான பிழையை மதிப்பிடுவதற்கு பூட்ஸ்ட்ராப் விநியோகத்தைப் பயன்படுத்துவது பெரும்பாலும் ஒரு நல்ல நடைப்பயணமாகும், ஆனால் இது கணக்கீட்டு ரீதியாக தீவிரமானதாக இருக்கலாம். அனுமானங்கள் மற்றும் பயன்பாடு எவ்வாறு பயன்படுத்தப்படுகிறது என்பதற்கான ஒரு எடுத்துக்காட்டு, அறியப்படாத மக்கள்தொகையின் நம்பிக்கை இடைவெளிகளை அர்த்தப்படுத்துவதாகும். மாதிரி விநியோகம் பொதுவாக விநியோகிக்கப்பட்டால், மாதிரி சராசரி, நிலையான பிழை மற்றும் இயல்பான விநியோகத்தின் அளவுகள் ஆகியவை உண்மையான மக்கள்தொகை சராசரிக்கான நம்பிக்கை இடைவெளிகளைக் கணக்கிட பயன்படுத்தப்படலாம். பின்வரும் வெளிப்பாடுகள் மேல் மற்றும் கீழ் 95 சதவீதம் நம்பிக்கை வரம்புகளைக் கணக்கிட பயன்படுத்தப்படலாம், இதில் மாதிரி சராசரிக்கு சமமானது, மாதிரி சராசரிக்கான நிலையான பிழைக்கு சமம், மற்றும் இயல்பான விநியோகத்தின் 97.5 சதவீத புள்ளியின் தோராயமான மதிப்பு 1.96 ஆகும்ஃ குறிப்பாக, ஒரு மாதிரி புள்ளிவிவரத்தின் நிலையான பிழை (மாதிரி சராசரி போன்றவை) என்பது அது உருவாக்கப்பட்ட செயல்பாட்டில் மாதிரி சராசரியின் உண்மையான அல்லது மதிப்பிடப்பட்ட நிலையான விலகல் ஆகும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், இது மாதிரி புள்ளிவிவரத்தின் மாதிரி விநியோகத்தின் உண்மையான அல்லது மதிப்பிடப்பட்ட நிலையான விலகல் ஆகும். நிலையான பிழையின் குறியீடு எஸ்இ, எஸ்இஎம் (அளவீட்டு அல்லது சராசரி நிலையான பிழைகளுக்கு) அல்லது எஸ்இ ஆகியவற்றில் ஏதேனும் ஒன்றாக இருக்கலாம். நிலையான பிழைகள் ஒரு மதிப்பில் நிச்சயமற்ற தன்மையின் எளிய அளவீடுகளை வழங்குகின்றன, மேலும் அவை பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, ஏனெனில்ஃ பல சந்தர்ப்பங்களில், பல தனிப்பட்ட அளவுகளின் நிலையான பிழை தெரிந்தால், அளவுகளின் சில செயல்பாட்டின் நிலையான பிழையை எளிதில் கணக்கிட முடியும்; மதிப்பின் நிகழ்தகவு விநியோகம் அறியப்படும்போது, இது ஒரு சரியான நம்பிக்கை இடைவெளியைக் கணக்கிட பயன்படுத்தப்படலாம்; நிகழ்தகவு விநியோகம் அறியப்படாதபோது, செபிஷேவ் அல்லது வைசோசான்ஸ்கி-பெட்டுனின் ஏற்றத்தாழ்வுகள் ஒரு பழமைவாத நம்பிக்கை இடைவெளியைக் கணக்கிட பயன்படுத்தப்படலாம்; மற்றும் மாதிரி அளவு முடிவிலிக்கு முனைவதால் மைய வரம்பு தேற்றம் சராசரியின் மாதிரி விநியோகம் அறிகுறிய இயல்பானது என்று உத்தரவாதம் அளிக்கிறது. அறிவியல் மற்றும் தொழில்நுட்ப இலக்கியங்களில், சோதனைத் தரவுகள் பெரும்பாலும் மாதிரி தரவுகளின் சராசரி மற்றும் நிலையான விலகல் அல்லது நிலையான பிழையுடன் சராசரி ஆகியவற்றைப் பயன்படுத்தி சுருக்கமாகக் கூறப்படுகின்றன. இது பெரும்பாலும் அவற்றின் பரிமாற்றத்தைப் பற்றிய குழப்பத்திற்கு வழிவகுக்கிறது. இருப்பினும், சராசரி மற்றும் நிலையான விலகல் ஆகியவை விளக்கமான புள்ளிவிவரங்கள், அதேசமயம் சராசரியின் நிலையான பிழை சீரற்ற மாதிரி செயல்முறையின் விளக்கமாகும். மாதிரி தரவுகளின் நிலையான விலகல் என்பது அளவீடுகளில் உள்ள மாறுபாட்டின் விளக்கமாகும், அதே நேரத்தில் சராசரியின் நிலையான பிழை என்பது மைய வரம்பு தேற்றத்தின் வெளிச்சத்தில், மாதிரி அளவு மக்கள்தொகை சராசரியின் மதிப்பீடுகளில் ஒரு சிறந்த வரம்பை எவ்வாறு வழங்கும் என்பது பற்றிய ஒரு நிகழ்தகவு அறிக்கையாகும். எளிமையாகச் சொன்னால், மாதிரி சராசரியின் நிலையான பிழை என்பது மாதிரி சராசரி மக்கள்தொகை சராசரியிலிருந்து எவ்வளவு தூரம் இருக்கக்கூடும் என்பதற்கான மதிப்பீடாகும், அதேசமயம் மாதிரியின் நிலையான விலகல் என்பது மாதிரியில் உள்ள தனிநபர்கள் மாதிரி சராசரியிலிருந்து எந்த அளவிற்கு வேறுபடுகிறார்கள் என்பதாகும். மக்கள்தொகை நிலையான விலகல் வரையறுக்கப்பட்டதாக இருந்தால், மாதிரியின் சராசரியின் நிலையான பிழை அதிகரித்து வரும் மாதிரி அளவுடன் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும், ஏனெனில் மக்கள்தொகை சராசரி மதிப்பீடு மேம்படும், அதே நேரத்தில் மாதிரியின் நிலையான விலகல் தோராயமாக இருக்கும் மாதிரி அளவு அதிகரிக்கும் போது மக்கள்தொகை நிலையான விலகல். விரிவாக்கங்கள் வரையறுக்கப்பட்ட மக்கள் தொகை திருத்தம் (எஃப். பி. சி) நிலையான பிழைக்கு மேலே கொடுக்கப்பட்ட சூத்திரம் மக்கள் தொகை எல்லையற்றது என்று கருதுகிறது. இருப்பினும், தற்போதுள்ள வரையறுக்கப்பட்ட மக்கள்தொகையை உருவாக்கிய செயல்முறையை அளவிடுவதில் மக்கள் ஆர்வமாக இருக்கும்போது இது பெரும்பாலும் வரையறுக்கப்பட்ட மக்கள்தொகைக்கு பயன்படுத்தப்படுகிறது (இது ஒரு பகுப்பாய்வு ஆய்வு என்று அழைக்கப்படுகிறது). மக்கள் தொகை வரையறுக்கப்படும்போது மேற்கண்ட சூத்திரம் சரியாக இல்லை என்றாலும், மாதிரி பின்னம் சிறியதாக இருக்கும்போது வரையறுக்கப்பட்ட மற்றும் எல்லையற்ற மக்கள் தொகை பதிப்புகளுக்கிடையேயான வேறுபாடு சிறியதாக இருக்கும் (எ. கா. ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட மக்கள்தொகையின் ஒரு சிறிய விகிதம் ஆய்வு செய்யப்படுகிறது). இந்த விஷயத்தில் மக்கள் பெரும்பாலும் வரையறுக்கப்பட்ட மக்கள்தொகையை சரிசெய்வதில்லை, அடிப்படையில் அதை "தோராயமாக எல்லையற்ற" மக்கள்தொகை என்று கருதுகின்றனர். காலப்போக்கில் மாறாத தற்போதைய வரையறுக்கப்பட்ட மக்கள்தொகையை அளவிடுவதில் ஒருவர் ஆர்வமாக இருந்தால், மக்கள்தொகை அளவை சரிசெய்வது அவசியம் (கணக்கீட்டு ஆய்வு என்று அழைக்கப்படுகிறது). ஒரு கணக்கீட்டு ஆய்வில் மாதிரி பின்னம் (பெரும்பாலும் எஃப் என்று அழைக்கப்படுகிறது) பெரியதாக (தோராயமாக 5 சதவீதம் அல்லது அதற்கு மேல்) இருக்கும்போது, நிலையான பிழையின் மதிப்பீட்டை "வரையறுக்கப்பட்ட மக்கள் தொகை திருத்தம்" (அகா. : FPC): இது, பெரிய N க்குஃ மக்கள்தொகையில் ஒரு பெரிய சதவீதத்திற்கு அருகில் மாதிரியைப் பெறுவதன் மூலம் பெறப்பட்ட கூடுதல் துல்லியத்தைக் கணக்கிடுகிறது. எஃப். பி. சி. யின் விளைவு என்னவென்றால், மாதிரி அளவு n என்பது மக்கள்தொகை அளவு N க்கு சமமாக இருக்கும்போது பிழை பூஜ்ஜியமாகிறது. மாற்றாக மாதிரி எடுத்துக் கொண்டால், எஃப். பி. சி செயல்பாட்டிற்கு வராது. அளவிடப்பட்ட அளவு A இன் மதிப்புகள் புள்ளிவிவர ரீதியாக சுயாதீனமாக இல்லாவிட்டாலும், அளவுரு இடைவெளி x "இல் உள்ள அறியப்பட்ட இடங்களிலிருந்து பெறப்பட்டிருந்தால், சராசரியின் உண்மையான நிலையான பிழையின் ஒரு பக்கச்சார்பற்ற மதிப்பீட்டை (உண்மையில் நிலையான விலகல் பகுதியில் ஒரு திருத்தம்) மாதிரியின் கணக்கிடப்பட்ட நிலையான பிழையை f" என்ற காரணியால் பெருக்குவதன் மூலம் பெறலாம்ஃ இதில் மாதிரி சார்பு குணகம் ρ என்பது அனைத்து மாதிரி புள்ளி ஜோடிகளுக்கும் தன்னியக்க தொடர்பு-குணகம் (−1 மற்றும் + 1 க்கு இடையிலான அளவு) பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படும் பிரைஸ்-வின்ஸ்டன் மதிப்பீடாகும். இந்த தோராயமான சூத்திரம் மிதமான முதல் பெரிய மாதிரி அளவுகளுக்கானது; குறிப்பு எந்த மாதிரி அளவிற்கும் சரியான சூத்திரங்களை வழங்குகிறது, மேலும் வோல் ஸ்ட்ரீட் பங்கு மேற்கோள்கள் போன்ற பெரிதும் தன்னியக்க தொடர்புடைய நேரத் தொடர்களுக்கு பயன்படுத்தப்படலாம். மேலும், இந்த சூத்திரம் நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை ρ க்கு ஒரே மாதிரியாக வேலை செய்கிறது. மேலும் விவாதத்திற்கு நிலையான விலகல் பற்றிய பக்கச்சார்பற்ற மதிப்பீட்டைப் பார்க்கவும். மேலும் காண்க மத்திய வரம்பு தேற்றத்தின் விளக்கப்படம் பிழையின் விளிம்பு சாத்தியமான பிழை எடையுள்ள சராசரி சராசரி மற்றும் மாதிரி கோவேரியன்ஸின் நிலையான பிழை சராசரி மற்றும் கணிக்கப்பட்ட பதில்களின் சராசரி மாறுபாட்டின் நிலையான பிழை குறிப்புகள் புள்ளிவிவர விலகல் மற்றும் சிதறல்