Linear relation
நேரியல் இயற்கணிதத்தில், ஒரு திசையன் இடைவெளி அல்லது ஒரு தொகுதியின் கூறுகளுக்கு இடையிலான நேரியல் உறவு அல்லது வெறுமனே உறவு என்பது ஒரு நேரியல் சமன்பாடாகும், இது இந்த கூறுகளை ஒரு தீர்வாக கொண்டுள்ளது. இன்னும் துல்லியமாக, ஒரு வளையத்தின் மீது ஒரு (இடது) தொகுதியின் கூறுகள் இருந்தால் (ஒரு புலத்தின் மீது ஒரு திசையன் இடைவெளி ஒரு சிறப்பு வழக்கு), இடையில் ஒரு உறவு என்பது ஒரு தொகுதியை உருவாக்கும் கூறுகளின் வரிசையாகும். ஒருவர் பொதுவாக ஒரு இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட தொகுதியின் உருவாக்கும் தொகுப்பாக இருக்கும் விஷயத்தில் ஆர்வமாக உள்ளார், இந்த விஷயத்தில் உறவுகளின் தொகுதி பெரும்பாலும் ஒரு சிஜிகி தொகுதி என்று அழைக்கப்படுகிறது. சிஜிகி தொகுதி ஒரு உருவாக்கும் தொகுப்பின் தேர்வைப் பொறுத்தது, ஆனால் இது ஒரு இலவச தொகுதியுடன் நேரடி தொகை வரை தனித்துவமானது. அதாவது, ஒரே தொகுதியின் இரண்டு உருவாக்கும் தொகுப்புகளுடன் தொடர்புடைய சிசிகி தொகுதிகள் என்றால், அவை நிலையான ஐசோமார்பிக் ஆகும், அதாவது இரண்டு இலவச தொகுதிகள் உள்ளன மற்றும் அவை ஐசோமார்பிக் ஆகும். உயர் வரிசை சிசிகி தொகுதிகள் மீண்டும் மீண்டும் வரையறுக்கப்படுகின்றனஃ ஒரு தொகுதியின் முதல் சிசிகி தொகுதி வெறுமனே அதன் சிசிகி தொகுதி ஆகும். ஏனெனில், ஒரு th சிசிகி தொகுதி என்பது ஒரு-th சிசிகி தொகுதியின் சிசிகி தொகுதி ஆகும். ஹில்பர்ட்டின் சிசிகி தேற்றம் கூறுகிறது, ஒரு புலத்தின் மீது ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை வளையம் நிச்சயமற்றதாக இருந்தால், ஒவ்வொரு th சிசிகி தொகுதியும் இலவசம். ஒவ்வொரு வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண திசையன் இடத்திற்கும் ஒரு அடிப்படை உள்ளது என்பது உண்மை, மேலும் இது ஒரு முதன்மை இலட்சிய களமாகும், மேலும் இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட இலவச தொகுதியின் ஒவ்வொரு துணை தொகுதியும் இலவசம். உயர் வரிசை சிசிகி தொகுதிகளின் கட்டுமானம் இலவச தீர்மானங்களின் வரையறையாக பொதுமைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது, இது ஹில்பர்ட்டின் சிசிகி தேற்றத்தை ஒரு புலத்தின் மீது தீர்மானிக்கப்படாத ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை வளையமாக உலகளாவிய ஒத்த பரிமாணத்தைக் கொண்டுள்ளது. பரிமாற்ற வளையத்தின் இரண்டு கூறுகள் மற்றும் இருந்தால், அது அற்பமானதாகக் கூறப்படும் ஒரு உறவு. ஒரு இலட்சியத்தின் அற்பமான உறவுகளின் தொகுதி என்பது இலட்சியத்தின் முதல் சிஜிகி தொகுதியின் துணை தொகுதியாகும், இது ஒரு இலட்சியத்தின் உருவாக்கும் தொகுப்பின் கூறுகளுக்கு இடையிலான அற்பமான உறவுகளால் உருவாக்கப்படுகிறது. அற்பமான உறவுகளின் கருத்தை உயர் வரிசை சிஜிகி தொகுதிகளுக்கு பொதுமைப்படுத்தலாம், மேலும் இது ஒரு இலட்சியத்தின் கோஸுல் வளாகத்தின் கருத்துக்கு வழிவகுக்கிறது, இது ஒரு இலட்சியத்தின் ஜெனரேட்டர்களுக்கு இடையிலான அற்பமான உறவுகள் பற்றிய தகவல்களை வழங்குகிறது. அடிப்படை வரையறைகள் ஒரு வளையமாக இருக்கட்டும், இடது-தொகுதியாக இருக்கட்டும். ஒரு நேரியல் உறவு, அல்லது வெறுமனே கூறுகளுக்கு இடையிலான உறவு என்பது கூறுகளின் வரிசையாகும், இது ஒரு உருவாக்கும் தொகுப்பாக இருந்தால், அந்த உறவு பெரும்பாலும் ஒரு சிசிகி என்று அழைக்கப்படுகிறது. இதைப் பொருட்படுத்தாமல் ஒரு சிஜிகி என்று அழைப்பது அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கிறது, ஏனெனில், சிஜிகி தொகுதி தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட உருவாக்கும் தொகுப்பைப் பொறுத்தது என்றாலும், அதன் பெரும்பாலான பண்புகள் சுயாதீனமானவை; கீழே காண்க. வளையம் நொய்தேரியன் அல்லது குறைந்தபட்சம் ஒத்திசைவாக இருந்தால், இறுதியாக உருவாக்கப்பட்டால், சிசிகி தொகுதியும் இறுதியாக உருவாக்கப்படுகிறது. இந்த சிசிகி தொகுதியின் சிசிகி தொகுதி என்பது இரண்டாவது சிசிகி தொகுதி ஆகும். இந்த வழியில் தொடர்வதன் மூலம் ஒவ்வொரு நேர்மறை முழு எண்ணுக்கும் ஒரு th சிசிகி தொகுதியை வரையறுக்க முடியும். ஹில்பர்ட்டின் சிசிகி தேற்றம், ஒரு புலத்தின் மீது ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை வளையத்தின் மீது இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட தொகுதி என்றால், எந்த th சிசிகி தொகுதியும் ஒரு இலவச தொகுதி என்று வலியுறுத்துகிறது. நிலையான பண்புகள் பொதுவாக, கே-கோட்பாட்டின் மொழியில், ஒரு பண்பு போதுமான பெரிய இலவச தொகுதியுடன் நேரடி தொகையை உருவாக்குவதன் மூலம் அது உண்மையாக மாறினால் அது நிலையானது. சிஜிஜிஸ் தொகுதிகளின் ஒரு அடிப்படை பண்பு என்னவென்றால், சம்பந்தப்பட்ட தொகுதிகளுக்கான தொகுப்புகளை உருவாக்குவதற்கான தேர்வுகளில் "நிலையான சுயாதீனமானவை" உள்ளன. பின்வரும் முடிவு இந்த நிலையான properties.Proof இன் அடிப்படையாகும். ஒரு உருவாக்கும் தொகுப்பைப் போலவே, ஒவ்வொன்றையும் எழுதலாம் இது இடையே ஒரு உறவை வழங்குகிறது இப்போது, ஏதேனும் உறவு இருந்தால், அது மட்டுமே இடையே ஒரு உறவு. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், இடையில் உள்ள ஒவ்வொரு உறவும் s இன் நேரியல் கலவையின் கூட்டுத்தொகையாகும். இந்த சிதைவு தனித்துவமானது என்பதை நிரூபிப்பது நேரடியானது, இது முடிவை நிரூபிக்கிறது. முதல் சிசிகி தொகுதி "நிலையான தனித்துவமானது" என்பதை இது நிரூபிக்கிறது. இன்னும் துல்லியமாக, இரண்டு உருவாக்கும் தொகுப்புகள் மற்றும் ஒரு தொகுதி கொடுக்கப்பட்டால், உறவுகளின் தொடர்புடைய தொகுதிகள் என்றால், இரண்டு இலவச தொகுதிகள் உள்ளன மற்றும் அவை ஐசோமார்பிக் ஆகும். இதை நிரூபிக்க, இரண்டு உருவாக்கும் தொகுப்புகளின் ஒன்றிணைப்புக்கு இடையிலான உறவுகளின் தொகுதியின் இரண்டு சிதைவுகளைப் பெறுவதற்கு முந்தைய முன்மொழிவை இரண்டு முறை பயன்படுத்துவது போதுமானது. உயர் சிசிகி தொகுதிகளுக்கு இதேபோன்ற முடிவைப் பெறுவதற்கு, ஏதேனும் தொகுதி இருந்தால், அது ஒரு இலவச தொகுதி என்றால், ஐசோமார்பிக் சிசிகி தொகுதிகள் உள்ளன என்பதை நிரூபிக்க வேண்டும். ஒரு உற்பத்தி தொகுப்பு மற்றும் ஒரு அடிப்படையைக் கொண்ட ஒரு உற்பத்தி தொகுப்பைக் கருத்தில் கொள்வது போதுமானது. இந்த உருவாக்கும் தொகுப்பின் உறுப்புகளுக்கு இடையிலான ஒவ்வொரு தொடர்புக்கும், அடிப்படை கூறுகளின் குணகங்கள் அனைத்தும் பூஜ்ஜியமாகும், மேலும் அவற்றின் சிசைகிகள் பூஜ்ஜிய குணகங்களுடன் நீட்டிக்கப்பட்ட சிசைகிகளே ஆகும். இது பின்வரும் தேற்றத்திற்கான ஆதாரத்தை நிறைவு செய்கிறது. இலவசத் தீர்மானங்களுடனான உறவு ஒரு-தொகுதியை உருவாக்கும் தொகுப்பைப் பொறுத்தவரை, புதிய தீர்மானிக்கப்படாத அடிப்படைகளின் இலவச தொகுதியை ஒருவர் பரிசீலிக்கலாம். இது ஒரு சரியான வரிசையை வரையறுக்கிறது, அங்கு இடது அம்பு நேரியல் வரைபடமாகும், இது ஒவ்வொன்றையும் தொடர்புடைய வரைபடத்துடன் இணைக்கிறது. இதற்கு பதிலாக இந்த கர்னலுடன் இந்த கட்டமைப்பை மீண்டும் செய்யலாம். இந்த கட்டுமானத்தை மீண்டும் மீண்டும் செய்தால், அனைத்தும் இலவச தொகுதிகளாக இருக்கும் ஒரு நீண்ட துல்லியமான வரிசையைப் பெறுகிறது. வரையறையின்படி, அத்தகைய நீண்ட துல்லியமான வரிசை ஒரு இலவச தீர்மானம் ஆகும். ஒவ்வொன்றிற்கும், தொடங்கும் அம்புக்குறியின் கர்னல் ஒரு th சிசிகி தொகுதி ஆகும். இலவச தீர்மானங்கள் பற்றிய ஆய்வு சிசிகி தொகுதிகள் பற்றிய ஆய்வுக்கு சமம் என்பதை இது பின்பற்றுகிறது. ஒரு இலவச தீர்மானம் இலவசமாக இருந்தால் நீளத்திற்கு வரையறுக்கப்படுகிறது. இந்த விஷயத்தில், ஒவ்வொன்றிற்கும் ஒருவர் எடுக்கலாம் மற்றும் (பூஜ்ஜிய தொகுதி). இது ஹில்பர்ட்டின் சிசிகி தேற்றத்தை மறுபரிசீலனை செய்ய அனுமதிக்கிறதுஃ ஒரு புலத்தின் மீது நிச்சயமற்ற ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை வளையமாக இருந்தால், ஒவ்வொரு இலவச தெளிவுத்திறனும் அதிகபட்ச நீளத்திற்கு வரையறுக்கப்படுகிறது. ஒரு பரிமாற்ற நொய்தேரியன் வளையத்தின் உலகளாவிய பரிமாணம் எல்லையற்றது அல்லது குறைந்தபட்சமானது, ஒவ்வொரு இலவச தெளிவுத்திறனும் அதிகபட்ச நீளத்திற்கு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. ஒரு பரிமாற்ற நொய்தேரியன் வளையம் அதன் உலகளாவிய பரிமாணம் வரையறுக்கப்பட்டதாக இருந்தால் அது வழக்கமானதாக இருக்கும். இந்த விஷயத்தில், உலகளாவிய பரிமாணம் அதன் க்ரல் பரிமாணத்திற்கு சமம். எனவே, ஹில்பர்ட்டின் சிசிகி தேற்றத்தை மிகவும் குறுகிய வாக்கியத்தில் மறுபரிசீலனை செய்யலாம், இது அதிக கணிதத்தை மறைக்கிறதுஃ ஒரு புலத்தின் மீது ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை வளையம் ஒரு வழக்கமான ring.Trivial உறவுகள் ஒரு பரிமாற்ற வளையத்தில், ஒருவர் எப்போதும் வைத்திருக்கிறார். இது அற்பமாக மற்றும் இடையே ஒரு நேரியல் உறவு என்று குறிக்கிறது. எனவே, ஒரு இலட்சியத்தை உருவாக்கும் தொகுப்பைப் பொறுத்தவரை, இரண்டு உருவாக்கும் கூறுகளுக்கு இடையிலான இந்த அற்பமான உறவுகளால் உருவாக்கப்படும் துணை தொகுதியின் ஒவ்வொரு உறுப்பையும் அற்பமான உறவு அல்லது அற்பமான சிஜிஜி என்று அழைக்கப்படுகிறது. இன்னும் துல்லியமாக, அற்பமான சிஜிஜிகளின் தொகுதி அது போன்ற உறவுகளால் உருவாக்கப்படுகிறது. சிசிகி என்ற சொல் ஆர்தர் கெய்லியின் படைப்புகளுடன் கணிதத்தில் வந்தது. அந்த கட்டுரையில், கெய்லி இதை விளைவுகள் மற்றும் பாகுபாடுகள் பற்றிய கோட்பாட்டில் பயன்படுத்தினார். கிரகங்களுக்கிடையேயான நேரியல் தொடர்பைக் குறிக்க வானியலில் சிசிகி என்ற சொல் பயன்படுத்தப்பட்டதால், 2 × 3 மேட்ரிக்ஸ் விஷயத்தில், ஒரு மேட்ரிக்ஸின் மைனர்களுக்கு இடையிலான நேரியல் உறவுகளைக் குறிக்க கெய்லி இதைப் பயன்படுத்தினார்ஃ பின்னர், சிசிகி என்ற சொல் டேவிட் ஹில்பர்ட் தனது 1890 கட்டுரையில் (கணிதவியலாளர்களிடையே) பிரபலப்படுத்தப்பட்டது, இதில் பல்லுறுப்புக்கோவைகள், ஹில்பர்ட்டின் சிசிகி தேற்றம், ஹில்பர்ட்டின் அடிப்படை தேற்றம் மற்றும் ஹில்பர்ட்டின் நல்ஸ்டெல்லென்சாட்ஸ் பற்றிய மூன்று அடிப்படை கோட்பாடுகள் உள்ளன. தனது கட்டுரையில், கெய்லி ஒரு சிறப்பு வழக்கில், பின்னர் கோஸுல் வளாகம் என்று அழைக்கப்பட்டதை, கணிதவியலாளர் ஜீன்-லூயிஸ் கோஸுலால் வேறுபட்ட வடிவவியலில் இதேபோன்ற கட்டுமானத்திற்குப் பிறகு பயன்படுத்துகிறார். குறிப்புகள் குறிப்புகள் டேவிட் ஐசென்பட், தி ஜியோமெட்ரி ஆஃப் சிஜிஜிஸ், கணிதத்தில் பட்டதாரி உரைகள், தொகுதி. 229, ஸ்பிரிங்கர், 2005. பரிமாற்ற இயற்கணிதம் ஹோமோலாஜிக்கல் இயற்கணிதம் லீனியர் இயற்கணிதம் பல்லுறுப்புக்கோவைகள்