Van Hiele model
கணிதக் கல்வியில், வான் ஹீல் மாதிரி என்பது மாணவர்கள் வடிவவியலை எவ்வாறு கற்றுக்கொள்கிறார்கள் என்பதை விவரிக்கும் ஒரு கோட்பாடாகும். இந்தக் கோட்பாடு 1957 ஆம் ஆண்டில் நெதர்லாந்தில் உள்ள உட்ரெக்ட் பல்கலைக்கழகத்தில் டினா வான் ஹீல்-கெல்டோஃப் மற்றும் பியர் வான் ஹீல் (மனைவி மற்றும் கணவர்) ஆகியோரின் முனைவர் ஆய்வறிக்கைகளில் உருவானது. சோவியத்துகள் 1960 களில் இந்தக் கோட்பாட்டைப் பற்றி ஆராய்ச்சி செய்து தங்கள் கண்டுபிடிப்புகளை தங்கள் பாடத்திட்டத்தில் ஒருங்கிணைத்தனர். அமெரிக்க ஆராய்ச்சியாளர்கள் 1970 களின் பிற்பகுதியிலும் 1980 களின் முற்பகுதியிலும் வான் ஹீல் கோட்பாட்டில் பல பெரிய ஆய்வுகளை மேற்கொண்டனர், மாணவர்களின் குறைந்த வான் ஹீல் அளவுகள் ஆதாரம் சார்ந்த வடிவியல் படிப்புகளில் வெற்றி பெறுவது கடினம் என்றும் முந்தைய தர நிலைகளில் சிறந்த தயாரிப்பை அறிவுறுத்துவதாகவும் முடிவு செய்தனர். பியர் வான் ஹீல் 1986 இல் ஸ்ட்ரக்சர் அண்ட் இன்சைட்டை வெளியிட்டார், மேலும் அவரது கோட்பாட்டை மேலும் விவரித்தார். ஆரம்ப நிலை மட்டங்களில் வடிவங்களின் பண்புகள் மற்றும் வகைப்பாட்டை பகுப்பாய்வு செய்வதில் முக்கியத்துவம் அளிப்பதன் மூலம் இந்த மாதிரி உலகெங்கிலும் உள்ள வடிவியல் பாடத்திட்டத்தை பெரிதும் பாதித்துள்ளது. அமெரிக்காவில், இந்தக் கோட்பாடு கணித ஆசிரியர்களின் தேசிய கவுன்சில் மற்றும் பொது மைய தரநிலைகளால் வெளியிடப்பட்ட தரநிலைகளின் வடிவியல் இழையை பாதித்துள்ளது. வான் ஹீல் நிலைகள் மாணவர் தனக்கு புரியாத [கணித] உறவுகளுடன் செயல்பட ரோட் மூலம் கற்றுக்கொள்கிறார், அவற்றில் அவர் தோற்றத்தைக் காணவில்லை. எனவே உறவுகளின் அமைப்பு என்பது குழந்தையின் பிற அனுபவங்களுடன் எந்த தொடர்பும் இல்லாத ஒரு சுயாதீனமான கட்டமைப்பாகும். இதன் பொருள் என்னவென்றால், மாணவருக்கு என்ன கற்பிக்கப்பட்டுள்ளது, அதிலிருந்து என்ன கணக்கிடப்பட்டுள்ளது என்பது மட்டுமே தெரியும். அமைப்புக்கும் உணர்ச்சி உலகிற்கும் இடையே தொடர்புகளை ஏற்படுத்த அவர் கற்றுக்கொள்ளவில்லை. ஒரு புதிய சூழ்நிலையில் அவர் கற்றுக்கொண்டதை எவ்வாறு பயன்படுத்துவது என்று அவருக்குத் தெரியாது. - பியர் வான் ஹீல், 1959 வான் ஹீல் மாதிரியின் நன்கு அறியப்பட்ட பகுதி, குழந்தைகள் வடிவவியலில் எவ்வாறு நியாயப்படுத்த கற்றுக்கொள்கிறார்கள் என்பதை விவரிக்க வான் ஹீல்ஸ் முன்வைத்த ஐந்து நிலைகள் ஆகும். வடிவியல் கருத்துக்களுக்கு இடையிலான உறவுகளின் அமைப்புகளைப் பற்றிய விரிவான புரிதலை உருவாக்கும் வரை மாணவர்கள் வடிவியல் கோட்பாடுகளை நிரூபிப்பார்கள் என்று எதிர்பார்க்க முடியாது. இந்த அமைப்புகளை ரோட் மூலம் கற்றுக்கொள்ள முடியாது, ஆனால் ஏராளமான எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் எதிர் எடுத்துக்காட்டுகள், வடிவியல் புள்ளிவிவரங்களின் பல்வேறு பண்புகள், பண்புகளுக்கு இடையிலான உறவுகள் மற்றும் இந்த பண்புகள் எவ்வாறு வரிசைப்படுத்தப்படுகின்றன என்பதை அனுபவிப்பதன் மூலம் பழக்கத்தின் மூலம் உருவாக்கப்பட வேண்டும். வான் ஹீல்ஸ் முன்வைத்த ஐந்து நிலைகள் இந்த புரிதலின் மூலம் மாணவர்கள் எவ்வாறு முன்னேறுகிறார்கள் என்பதை விவரிக்கின்றன. ஐந்து வான் ஹீல் நிலைகள் சில நேரங்களில் மாணவர்கள் வடிவ வகைப்பாட்டை எவ்வாறு புரிந்துகொள்கிறார்கள் என்பதற்கான விளக்கங்களாக தவறாகப் புரிந்து கொள்ளப்படுகின்றன, ஆனால் நிலைகள் உண்மையில் வடிவங்கள் மற்றும் பிற வடிவியல் யோசனைகளைப் பற்றி மாணவர்கள் நியாயப்படுத்தும் முறையை விவரிக்கின்றன. பியரி வான் ஹீல் தனது மாணவர்கள் வடிவவியலைப் பற்றிய புரிதலில் சில புள்ளிகளில் "பீடபூமி" நோக்கிச் செல்வதைக் கவனித்தார், மேலும் இந்த பீடபூமி புள்ளிகளை நிலைகளாக அடையாளம் கண்டார். பொதுவாக, இந்த நிலைகள் வயதை விட அனுபவம் மற்றும் அறிவுறுத்தலின் விளைவாகும். இது பியாஜெட்டின் அறிவாற்றல் வளர்ச்சிக் கோட்பாட்டிற்கு மாறாக உள்ளது, இது வயதைப் பொறுத்தது. ஒரு குழந்தைக்கு இந்த வடிவியல் யோசனைகளுடன் போதுமான அனுபவங்கள் (வகுப்பறை அல்லது வேறு) இருக்க வேண்டும். வளமான அனுபவங்கள் மூலம், குழந்தைகள் தொடக்கப்பள்ளியில் நிலை 2 ஐ அடைய முடியும். இத்தகைய அனுபவங்கள் இல்லாமல், பல பெரியவர்கள் (ஆசிரியர்கள் உட்பட) உயர்நிலைப் பள்ளியில் முறையான வடிவியல் படிப்பை மேற்கொண்டாலும் கூட, தங்கள் வாழ்நாள் முழுவதும் நிலை 1 இல் உள்ளனர். நிலைகள் பின்வருமாறுஃ நிலை 0. காட்சிப்படுத்தல்ஃ இந்த மட்டத்தில், ஒரு குழந்தையின் சிந்தனையின் கவனம் தனிப்பட்ட வடிவங்களில் உள்ளது, இது குழந்தை அவர்களின் முழுமையான தோற்றத்தை மதிப்பிடுவதன் மூலம் வகைப்படுத்த கற்றுக்கொள்கிறது. குழந்தைகள் வெறுமனே, "அது ஒரு வட்டம்" என்று கூறுகிறார்கள், பொதுவாக மேலும் விளக்கம் இல்லாமல். குழந்தைகள் அடிப்படை வடிவியல் உருவங்களின் (முக்கோணம், வட்டம், சதுரம்) முன்மாதிரிகளை அடையாளம் காண்கிறார்கள். இந்த காட்சி முன்மாதிரிகள் பின்னர் மற்ற வடிவங்களை அடையாளம் காண பயன்படுத்தப்படுகின்றன. ஒரு வடிவம் என்பது ஒரு வட்டம், ஏனெனில் அது ஒரு சூரியன் போல தோற்றமளிக்கிறது; ஒரு வடிவம் என்பது ஒரு செவ்வகம், ஏனெனில் அது ஒரு கதவு அல்லது பெட்டி போல தோற்றமளிக்கிறது. ஒரு சதுரம் ஒரு செவ்வகத்தை விட வேறு வகையான வடிவமாகத் தோன்றுகிறது, மேலும் ஒரு ரோம்பஸ் மற்ற இணையான வடிவங்களைப் போல இல்லை, எனவே இந்த வடிவங்கள் குழந்தையின் மனதில் முற்றிலும் தனித்தனியாக வகைப்படுத்தப்படுகின்றன. குழந்தைகள் புள்ளிவிவரங்களை அவற்றின் பண்புகளை பகுப்பாய்வு செய்யாமல் முழுமையான பார்வையில் பார்க்கிறார்கள். ஒரு வடிவம் அதன் முன்மாதிரியை போதுமான அளவு ஒத்திருக்கவில்லை என்றால், குழந்தை வகைப்பாட்டை நிராகரிக்கலாம். எனவே, இந்த கட்டத்தில் குழந்தைகள் ஒரு மெல்லிய, ஆப்பு வடிவ முக்கோணத்தை (பக்கங்கள் 1,20,20 அல்லது பக்கங்கள் 20,20,39) ஒரு "முக்கோணம்" என்று அழைக்கத் தயங்கலாம், ஏனெனில் இது ஒரு சமபக்க முக்கோணத்திலிருந்து வடிவத்தில் மிகவும் வேறுபட்டது, இது "முக்கோணம்" என்பதற்கான வழக்கமான முன்மாதிரி. முக்கோணத்தின் கிடைமட்ட அடிப்பகுதி மேலேயும் எதிர் முனை கீழேயும் இருந்தால், குழந்தை அதை ஒரு முக்கோணமாக அடையாளம் காணலாம், ஆனால் அது "தலைகீழாக" இருப்பதாகக் கூறலாம். வட்டமான அல்லது முழுமையற்ற பக்கங்களைக் கொண்ட வடிவங்கள் ஒரு சமபக்க முக்கோணத்துடன் முழுமையான ஒற்றுமையைக் கொண்டிருந்தால் அவை முக்கோணங்களாக ஏற்றுக்கொள்ளப்படலாம். சதுரங்கள் "வைரங்கள்" என்று அழைக்கப்படுகின்றன, அவற்றின் பக்கங்கள் கிடைமட்டத்திற்கு 45 டிகிரியில் அமைந்திருந்தால் அவை சதுரங்களாக அங்கீகரிக்கப்படுவதில்லை. இந்த மட்டத்தில் உள்ள குழந்தைகள் பெரும்பாலும் ஒரு உதாரணத்தின் அடிப்படையில் ஏதோ ஒன்று உண்மை என்று நம்புகிறார்கள். நிலை 1. பகுப்பாய்வுஃ இந்த மட்டத்தில், வடிவங்கள் அவற்றின் பண்புகளை தாங்குகின்றன. சிந்தனையின் பொருள்கள் வடிவங்களின் வகுப்புகள், அவை பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன என்று பகுப்பாய்வு செய்ய குழந்தை கற்றுக்கொண்டது. இந்த மட்டத்தில் உள்ள ஒருவர், "ஒரு சதுரத்திற்கு 4 சம பக்கங்களும் 4 சம கோணங்களும் உள்ளன" என்று கூறலாம். அதன் மூலைவிட்டங்கள் ஒத்ததாகவும் செங்குத்தாகவும் உள்ளன, மேலும் அவை ஒன்றையொன்று இரண்டாகப் பிரிக்கின்றன. வடிவத்தின் தோற்றத்தை விட பண்புகள் மிகவும் முக்கியம். கருப்புப் பலகையில் ஒரு உருவம் வரையப்பட்டு, அது ஒத்த பக்கங்களையும் கோணங்களையும் கொண்டிருப்பதாக ஆசிரியர் கூறினால், மாணவர்கள் அதை ஒரு சதுரம் என்று ஏற்றுக்கொள்கிறார்கள், அது மோசமாக வரையப்பட்டாலும் கூட. இந்த மட்டத்தில் பண்புகள் இன்னும் ஆர்டர் செய்யப்படவில்லை. குழந்தைகள் அடிப்படை உருவங்களின் பண்புகளைப் பற்றி விவாதிக்கலாம் மற்றும் இந்த பண்புகளால் அவற்றை அடையாளம் காணலாம், ஆனால் பொதுவாக பிரிவுகளை ஒன்றுடன் ஒன்று இணைக்க அனுமதிக்க மாட்டார்கள், ஏனெனில் அவர்கள் ஒவ்வொரு பண்பையும் மற்றவர்களிடமிருந்து தனிமைப்படுத்திக் கொள்கிறார்கள். எடுத்துக்காட்டாக, அவர்கள் இன்னும் "ஒரு சதுரம் ஒரு செவ்வகம் அல்ல" என்று வலியுறுத்துவார்கள். (அத்தகைய நம்பிக்கைகளை ஆதரிக்க அவை வெளிப்புற பண்புகளை அறிமுகப்படுத்தலாம், அதாவது ஒரு செவ்வகத்தை மற்ற ஜோடி பக்கங்களை விட ஒரு ஜோடி பக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு வடிவமாக வரையறுப்பது போன்றவை.) குழந்தைகள் வடிவங்களின் பல பண்புகளை கவனிக்கத் தொடங்குகிறார்கள், ஆனால் பண்புகளுக்கு இடையிலான உறவுகளைப் பார்க்கவில்லை; எனவே அவர்கள் பண்புகளின் பட்டியலை தேவையான மற்றும் போதுமான நிபந்தனைகளுடன் ஒரு சுருக்கமான வரையறைக்கு குறைக்க முடியாது. அவை வழக்கமாக பல எடுத்துக்காட்டுகளிலிருந்து தூண்டுதலாக நியாயப்படுத்துகின்றன, ஆனால் வடிவங்களின் பண்புகள் எவ்வாறு தொடர்புடையவை என்பதை அவர்கள் புரிந்து கொள்ளாததால் இன்னும் விலக்காக நியாயப்படுத்த முடியாது. நிலை 2. சுருக்கம்ஃ இந்த மட்டத்தில், பண்புகள் வரிசைப்படுத்தப்படுகின்றன. சிந்தனையின் பொருள்கள் வடிவியல் பண்புகளாகும், இதை மாணவர் விலக்காக இணைக்க கற்றுக்கொண்டார். பண்புகள் தொடர்புடையவை என்பதையும், பண்புகளின் ஒரு தொகுப்பு மற்றொரு சொத்தை குறிக்கலாம் என்பதையும் மாணவர் புரிந்துகொள்கிறார். வடிவியல் புள்ளிவிவரங்களைப் பற்றி எளிய வாதங்களுடன் மாணவர்கள் நியாயப்படுத்தலாம். இந்த மட்டத்தில் உள்ள ஒரு மாணவர், "ஐசோசிலஸ் முக்கோணங்கள் சமச்சீர், எனவே அவற்றின் அடிப்படை கோணங்கள் சமமாக இருக்க வேண்டும்" என்று கூறலாம். வடிவங்களின் வகைகளுக்கு இடையிலான உறவுகளை கற்பவர்கள் அங்கீகரிக்கிறார்கள். அனைத்து சதுரங்களும் செவ்வகங்கள் என்பதை அவர்கள் அங்கீகரிக்கிறார்கள், ஆனால் அனைத்து செவ்வகங்களும் சதுரங்கள் அல்ல, மேலும் சதுரங்கள் ஏன் ஒவ்வொன்றின் பண்புகளைப் பற்றிய புரிதலின் அடிப்படையில் ஒரு வகை செவ்வகங்கள் என்பதை அவர்கள் புரிந்துகொள்கிறார்கள். உதாரணமாக, ஒரு ரோம்பஸ் என்ற செவ்வகத்தைக் கொண்டிருப்பது சாத்தியமா இல்லையா என்பதை அவர்கள் சொல்ல முடியும். அவர்கள் தேவையான மற்றும் போதுமான நிபந்தனைகளைப் புரிந்துகொள்கிறார்கள் மற்றும் சுருக்கமான வரையறைகளை எழுத முடியும். இருப்பினும், விலக்கின் உள்ளார்ந்த அர்த்தத்தை அவர்கள் இன்னும் புரிந்து கொள்ளவில்லை. அவர்கள் ஒரு சிக்கலான வாதத்தைப் பின்பற்றவோ, வரையறைகளின் இடத்தைப் புரிந்து கொள்ளவோ அல்லது கோட்பாடுகளின் தேவையைப் புரிந்துகொள்ளவோ முடியாது, எனவே முறையான வடிவியல் சான்றுகளின் பங்கை அவர்களால் இன்னும் புரிந்து கொள்ள முடியாது. நிலை 3. விலக்குஃ இந்த மட்டத்தில் உள்ள மாணவர்கள் விலக்கின் அர்த்தத்தை புரிந்துகொள்கிறார்கள். சிந்தனையின் பொருள் டிடக்டிவ் ரீசனிங் (எளிய சான்றுகள்) ஆகும், இதை மாணவர் முறையான சான்றுகளின் அமைப்பை (யூக்ளிடியன் வடிவியல்) உருவாக்க ஒருங்கிணைக்க கற்றுக்கொள்கிறார். கற்றவர்கள் மேல்நிலைப் பள்ளி மட்டத்தில் வடிவியல் சான்றுகளை உருவாக்கி அவற்றின் அர்த்தத்தைப் புரிந்து கொள்ளலாம். யூக்ளிடிய வடிவவியலில் வரையறுக்கப்படாத சொற்கள், வரையறைகள், கோட்பாடுகள் மற்றும் கோட்பாடுகளின் பங்கை அவர்கள் புரிந்துகொள்கிறார்கள். இருப்பினும், இந்த மட்டத்தில் உள்ள மாணவர்கள் கோட்பாடுகளும் வரையறைகளும் தன்னிச்சையானவை அல்ல, நிலையானவை என்று நம்புகிறார்கள், எனவே யூக்ளிடியன் அல்லாத வடிவவியலை அவர்களால் இன்னும் கற்பனை செய்ய முடியாது. வடிவியல் கருத்துக்கள் இன்னும் யூக்ளிடியன் தளத்தில் உள்ள பொருள்களாக புரிந்து கொள்ளப்படுகின்றன. நிலை 4. கடுமைஃ இந்த மட்டத்தில், வடிவியல் ஒரு கணிதவியலாளரின் மட்டத்தில் புரிந்து கொள்ளப்படுகிறது. வரையறைகள் தன்னிச்சையானவை என்பதையும், உண்மையில் எந்தவொரு உறுதியான உணர்தலையும் குறிக்க வேண்டியதில்லை என்பதையும் மாணவர்கள் புரிந்துகொள்கிறார்கள். சிந்தனையின் பொருள் விலக்கு வடிவியல் அமைப்புகள் ஆகும், இதற்காக கற்பவர் தன்னியக்க அமைப்புகளை ஒப்பிடுகிறார். கற்றவர்கள் புரிதலுடன் யூக்ளிடியன் அல்லாத வடிவவியல்களைப் படிக்கலாம். வடிவவியலின் ஒழுக்கத்தையும், அது கணிதம் அல்லாத ஆய்வுகளிலிருந்து தத்துவ ரீதியாக எவ்வாறு வேறுபடுகிறது என்பதையும் மக்கள் புரிந்து கொள்ள முடியும். அமெரிக்க ஆராய்ச்சியாளர்கள் நிலைகளை 1 முதல் 5 வரை மறுபெயரிட்டனர், இதனால் அவர்கள் ஒரு "நிலை 0" ஐச் சேர்க்க முடியும், இது வடிவங்களை அடையாளம் காண முடியாத இளம் குழந்தைகளை விவரிக்கிறது. இரண்டு எண் முறைகளும் இன்னும் பயன்பாட்டில் உள்ளன. சில ஆராய்ச்சியாளர்கள் நிலைகளுக்கு வெவ்வேறு பெயர்களையும் கொடுக்கிறார்கள். நிலைகளின் பண்புகள் வான் ஹீல் நிலைகள் ஐந்து பண்புகளைக் கொண்டுள்ளனஃ நிலையான வரிசைஃ நிலைகள் படிநிலையாக உள்ளன. மாணவர்கள் ஒரு நிலையைத் தவிர்க்க முடியாது. வடிவியல் மாணவர்கள் அனுபவிக்கும் சிரமத்தின் பெரும்பகுதி அவர்கள் சுருக்கம் நிலையை இன்னும் அடையாதபோது கழித்தல் மட்டத்தில் கற்பிக்கப்படுவதால் தான் என்று வான் ஹீல்ஸ் கூறுகிறார். 2. அட்ஜசென்சிஃ ஒரு கட்டத்தில் உள்ளார்ந்த பண்புகள் அடுத்த கட்டத்தில் வெளிப்புறமாக மாறும். (பண்புகள் காட்சிப்படுத்தல் மட்டத்தில் உள்ளன, ஆனால் மாணவர் பகுப்பாய்வு நிலை வரை அவற்றைப் பற்றி இன்னும் உணர்வுபூர்வமாக அறிந்திருக்கவில்லை. பண்புகள் உண்மையில் பகுப்பாய்வு மட்டத்தில் தொடர்புடையவை, ஆனால் மாணவர்கள் இன்னும் உறவுகளைப் பற்றி வெளிப்படையாக அறிந்திருக்கவில்லை.) 3. வேறுபாடுஃ ஒவ்வொரு மட்டத்திற்கும் அதன் சொந்த மொழியியல் சின்னங்கள் மற்றும் உறவுகளின் நெட்வொர்க் உள்ளது. ஒரு மொழியியல் சின்னத்தின் பொருள் அதன் வெளிப்படையான வரையறையை விட அதிகமாக உள்ளது; இது கொடுக்கப்பட்ட சின்னத்துடன் பேச்சாளர் தொடர்புபடுத்தும் அனுபவங்களை உள்ளடக்கியது. ஒரு கட்டத்தில் "சரியானது" என்பது மற்றொரு மட்டத்தில் சரியானதாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை. நிலை 0 இல் ஒரு சதுரம் என்பது ஒரு பெட்டி போல தோற்றமளிக்கிறது. நிலை 2 இல் ஒரு சதுரம் என்பது ஒரு சிறப்பு வகை செவ்வகமாகும். இவை இரண்டும் நிலை 1 இல் யாராவது பகுத்தறிவதற்கு "சதுரம்" என்ற பொருளின் சரியான விளக்கமாக இல்லை. வரையறையையும் அதனுடன் தொடர்புடைய பண்புகளையும் மாணவரிடம் வெறுமனே ஒப்படைத்தால், கருத்துடன் அர்த்தமுள்ள அனுபவங்களை வளர்த்துக் கொள்ள அனுமதிக்கப்படாமல், மாணவரால் பாடத்தில் பயன்படுத்தப்படும் சூழ்நிலைகளுக்கு அப்பால் இந்த அறிவைப் பயன்படுத்த முடியாது. 4. பிரிவினைஃ ஒரு மட்டத்தில் பகுத்தறிவுள்ள ஒரு ஆசிரியர் கீழ் மட்டத்தில் உள்ள ஒரு மாணவரிடமிருந்து வேறுபட்ட "மொழியை" பேசுகிறார், இது புரிதலைத் தடுக்கிறது. ஒரு ஆசிரியர் ஒரு "சதுரம்" பற்றி பேசும்போது அவர் ஒரு சிறப்பு வகை செவ்வகத்தைக் குறிக்கிறார். நிலை 0 அல்லது 1 இல் உள்ள ஒரு மாணவருக்கு இந்த வார்த்தையைப் பற்றிய அதே புரிதல் இருக்காது. மாணவர் ஆசிரியரைப் புரிந்து கொள்ளவில்லை, மேலும் மாணவர் எப்படி நியாயப்படுத்துகிறார் என்பதை ஆசிரியர் புரிந்து கொள்ளவில்லை, மாணவர்களின் பதில்கள் வெறுமனே "தவறானவை" என்று அடிக்கடி முடிவு செய்கிறார். வடிவவியலில் தோல்வியடைவதற்கு இந்த பண்பு முக்கிய காரணங்களில் ஒன்றாகும் என்று வான் ஹீல்ஸ் நம்பினார். ஆசிரியர்கள் தாங்கள் தெளிவாகவும் தர்க்கரீதியாகவும் தங்களை வெளிப்படுத்துவதாக நம்புகிறார்கள், ஆனால் அவர்களின் நிலை 3 அல்லது 4 பகுத்தறிவு குறைந்த மட்டங்களில் உள்ள மாணவர்களுக்கு புரிந்துகொள்ள முடியாதது, ஆசிரியர்களும் தங்கள் மாணவர்களின் சிந்தனை செயல்முறைகளைப் புரிந்து கொள்ளவில்லை. வெறுமனே, ஆசிரியருக்கும் மாணவர்களுக்கும் தங்கள் மொழியின் பின்னால் பகிரப்பட்ட அனுபவங்கள் தேவை. 5. அடையுதல்ஃ வான் ஹீல்ஸ் ஒரு குறிப்பிட்ட தலைப்பில் ஒரு மட்டத்திலிருந்து இன்னொரு நிலைக்கு மாணவர்களை வழிநடத்த ஐந்து கட்டங்களை பரிந்துரைத்தார்ஃ தகவல் அல்லது விசாரணைஃ மாணவர்கள் பொருளை நன்கு அறிந்துகொண்டு அதன் கட்டமைப்பைக் கண்டறியத் தொடங்குகிறார்கள். ஆசிரியர்கள் ஒரு புதிய யோசனையை முன்வைத்து, புதிய கருத்துடன் மாணவர்கள் பணியாற்ற அனுமதிக்கின்றனர். புதிய கருத்தாக்கத்தின் கட்டமைப்பை மாணவர்கள் இதேபோல் அனுபவிப்பதன் மூலம், அவர்கள் அதைப் பற்றி அர்த்தமுள்ள உரையாடல்களை நடத்த முடியும். (ஒரு ஆசிரியர், "இது ஒரு ரோம்பஸ். உங்கள் காகிதத்தில் இன்னும் சில ரோம்பிகளை உருவாக்குங்கள். வழிகாட்டப்பட்ட அல்லது வழிநடத்தப்பட்ட நோக்குநிலைஃ மாணவர்கள் மறைமுகமான உறவுகளை ஆராய உதவும் பணிகளைச் செய்கிறார்கள். ஆசிரியர்கள் தாங்கள் கற்றுக்கொள்ள விரும்பும் புதிய கருத்தாக்கத்தின் பண்புகளை மாணவர்கள் நன்கு அறிந்துகொள்ள அனுமதிக்கும் வகையில் நியாயமான வழிகாட்டுதல் இயல்புடைய செயல்பாடுகளை முன்மொழிகிறார்கள். (ஒரு ஆசிரியர் கேட்கலாம், "நீங்கள் ஒரு மூலைவிட்டத்தில் ரோம்பஸை வெட்டி மடிக்கும்போது என்ன நடக்கும்? மற்ற மூலைவிட்டமா? " மற்றும் பல, விவாதத்தைத் தொடர்ந்து.) விளக்கம்ஃ மாணவர்கள் தாங்கள் கண்டுபிடித்ததை வெளிப்படுத்துகிறார்கள் மற்றும் சொற்களஞ்சியம் அறிமுகப்படுத்தப்படுகிறது. மாணவர்களின் அனுபவங்கள் பகிரப்பட்ட மொழியியல் சின்னங்களுடன் இணைக்கப்பட்டுள்ளன. வான் ஹீல்ஸ் இந்த கருத்தை நன்கு அறிந்துகொள்ள மாணவர்களுக்கு வாய்ப்பு கிடைத்த பிறகு சொற்களஞ்சியத்தைக் கற்றுக்கொள்வது மிகவும் இலாபகரமானது என்று நம்புகிறார். கண்டுபிடிப்புகள் முடிந்தவரை வெளிப்படையாக செய்யப்படுகின்றன. (ஒரு ஆசிரியர் கூறலாம், "நாங்கள் கவனித்த பண்புகள் மற்றும் நீங்கள் கண்டுபிடித்த விஷயங்களுக்கான சில தொடர்புடைய சொற்களஞ்சியம் இங்கே. இதன் பொருள் என்ன என்பதைப் பற்றி விவாதிப்போம் ". இலவச நோக்குநிலைஃ மாணவர்கள் மிகவும் சிக்கலான பணிகளைச் செய்கிறார்கள், இது பொருள் உறவுகளின் வலையமைப்பில் தேர்ச்சி பெற உதவுகிறது. அவர்கள் ஆய்வு செய்யப்படும் பண்புகளை அறிவார்கள், ஆனால் பல்வேறு சூழ்நிலைகளில் உறவுகளின் வலையமைப்பை வழிநடத்துவதில் சரளமாக வளர வேண்டும். வழிகாட்டப்பட்ட நோக்குநிலையை விட இந்த வகை செயல்பாடு மிகவும் திறந்த முடிவுடையது. இந்த பணிகளுக்கு அவற்றைத் தீர்ப்பதற்கான நடைமுறைகள் அமைக்கப்படாது. பிரச்சினைகள் மிகவும் சிக்கலானதாக இருக்கலாம் மற்றும் தீர்வுகளைக் கண்டறிய அதிக சுதந்திரமான ஆய்வு தேவைப்படலாம். (ஒரு ஆசிரியர், "இரண்டு பக்கங்கள் மட்டுமே கொடுக்கப்பட்ட ஒரு ரோம்பஸை நீங்கள் எவ்வாறு உருவாக்க முடியும்?" என்று கூறலாம். மற்றும் மாணவர்கள் ஒரு நிலையான நடைமுறையைக் கற்றுக்கொள்ளாத பிற சிக்கல்கள்.) ஒருங்கிணைப்புஃ மாணவர்கள் தாங்கள் கற்றுக்கொண்டதை சுருக்கமாகக் கூறி அதை நினைவகத்தில் வைக்கிறார்கள். மாணவர்கள் கற்றுக்கொண்ட அனைத்தையும் பற்றிய ஒரு கண்ணோட்டத்தை ஆசிரியர் வழங்கலாம். இந்த கட்டத்தில் ஆசிரியர் எந்த புதிய விஷயத்தையும் முன்வைக்காமல் இருப்பது முக்கியம், ஆனால் ஏற்கனவே கற்றுக்கொண்டவற்றின் சுருக்கம் மட்டுமே. எதிர்கால வேலைக்காக கற்றுக்கொண்ட கொள்கைகள் மற்றும் சொற்களஞ்சியத்தை நினைவில் வைத்திருக்க ஆசிரியர் ஒரு வேலையை வழங்கலாம், ஒருவேளை மேலும் பயிற்சிகள் மூலம். (ஒரு ஆசிரியர் கூறலாம், "நாம் கற்றுக்கொண்டவற்றின் சுருக்கம் இங்கே. இதை உங்கள் நோட்டுப் புத்தகத்தில் எழுதி, வீட்டுப்பாடத்திற்காக இந்த பயிற்சிகளைச் செய்யுங்கள். வான் ஹீல் மாதிரியின் ஆதரவாளர்கள், பாரம்பரிய அறிவுறுத்தல் பெரும்பாலும் இந்த கடைசி கட்டத்தை மட்டுமே உள்ளடக்கியது என்று சுட்டிக்காட்டுகின்றனர், இது மாணவர்கள் ஏன் பொருள் தேர்ச்சி பெறவில்லை என்பதை விளக்குகிறது. டினா வான் ஹீல்-கெல்டோஃப்பின் முனைவர் பட்ட ஆய்வறிக்கைக்காக, நெதர்லாந்தில் உள்ள மாண்டிசோரி மேல்நிலைப் பள்ளியில் 12 வயது குழந்தைகளுடன் கற்பித்தல் பரிசோதனையை நடத்தினார். இந்த முறையைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் 20 பாடங்களில் 0 முதல் 1 வரையிலும், 50 பாடங்களில் 1 முதல் 2 வரையிலும் மாணவர்களின் நிலைகளை உயர்த்த முடிந்தது என்று அவர் தெரிவித்தார். ஆராய்ச்சி வான் ஹீல் நிலைகளை அளவுகோலாகப் பயன்படுத்தி, வடிவியல் மாணவர்களில் கிட்டத்தட்ட பாதி பேர் ஒரு பாடத்திட்டத்தில் வைக்கப்படுகிறார்கள், அதில் அவர்கள் வெற்றி பெறுவதற்கான வாய்ப்புகள் 50-50 மட்டுமே. - ஜல்மான் உஸிஸ்கின், 1982 அமெரிக்க மாணவர்களின் வான் ஹீல் அளவுகள் குறைவாக இருப்பதாக ஆராய்ச்சியாளர்கள் கண்டறிந்தனர். ஐரோப்பிய ஆராய்ச்சியாளர்கள் ஐரோப்பிய மாணவர்களுக்கும் இதே போன்ற முடிவுகளைக் கண்டறிந்துள்ளனர். பல, ஒருவேளை பெரும்பாலான, அமெரிக்க மாணவர்கள் ஒரு ஆதாரம் சார்ந்த உயர்நிலைப் பள்ளி வடிவியல் பாடத்திட்டத்தை வெற்றிகரமாக முடித்த பிறகும் கழித்தல் அளவை அடையவில்லை, ஒருவேளை வான் ஹீல்ஸ் கூறியது போல் பொருள் ரோட் மூலம் கற்றுக்கொள்ளப்படுவதால் இருக்கலாம். அமெரிக்க உயர்நிலைப் பள்ளி வடிவியல் படிப்புகள் மாணவர்கள் ஏற்கனவே குறைந்தபட்சம் நிலை 2 இல் உள்ளனர், நிலை 3 க்கு செல்ல தயாராக உள்ளனர், அதே நேரத்தில் பல உயர்நிலைப் பள்ளி மாணவர்கள் இன்னும் நிலை 1 அல்லது நிலை 0 இல் உள்ளனர். மேலே உள்ள நிலையான வரிசை பண்பைப் பார்க்கவும். இந்தக் கோட்பாட்டின் விமர்சனம் மற்றும் மாற்றங்கள் மேலே உள்ள பண்புகளில் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளபடி, நிலைகள் தொடர்ச்சியற்றவை, ஆனால் நிலைகள் உண்மையில் எவ்வளவு தனித்துவமானவை என்று ஆராய்ச்சியாளர்கள் விவாதித்துள்ளனர். பல குழந்தைகள் பல நிலைகளில் அல்லது இடைநிலை நிலைகளில் நியாயப்படுத்துவதாக ஆய்வுகள் கண்டறிந்துள்ளன, இது கோட்பாட்டிற்கு முரணாகத் தெரிகிறது. குழந்தைகள் பாடத்தின் வெளிப்பாட்டைப் பொறுத்து வெவ்வேறு கருத்துக்களுக்கு வெவ்வேறு விகிதங்களில் நிலைகள் வழியாக முன்னேறுகிறார்கள். எனவே அவை சில வடிவங்களுக்கு ஒரு மட்டத்தில் நியாயப்படுத்தலாம், ஆனால் மற்ற வடிவங்களுக்கு மற்றொரு மட்டத்தில். காட்சிப்படுத்தல் மட்டத்தில் உள்ள பல குழந்தைகள் முற்றிலும் முழுமையான பாணியில் நியாயப்படுத்துவதில்லை என்று சில ஆராய்ச்சியாளர்கள் கண்டறிந்துள்ளனர், ஆனால் ஒரு சதுரத்தின் சம பக்கங்கள் அல்லது ஒரு வட்டத்தின் வட்டத்தன்மை போன்ற ஒரு பண்புக்கூறில் கவனம் செலுத்தலாம். இந்த நிலைக்கு ஒத்திசைவு நிலை என்று மறுபெயரிட அவர்கள் முன்மொழிந்துள்ளனர். முக்கிய நிலைகளுக்கு இடையில் துணை நிலைகளை வரையறுப்பது போன்ற பிற மாற்றங்களும் பரிந்துரைக்கப்பட்டுள்ளன, இருப்பினும் இந்த மாற்றங்கள் எதுவும் இன்னும் பிரபலமடையவில்லை. வான் ஹீல் கோட்பாட்டை அறிவுறுத்தலுடன் இணைத்தல்-வான் ஹீல் கோட்பாட்டை அடிப்படையாகக் கொண்ட செயல்பாடுகள்-மார்குரைட் மேசன் இளம் குழந்தைகளின் வடிவியல் புரிதலின் நிலைகள் மேரி அன்னே ஹன்னிபால் மேற்கோள்கள் வெளிப்புற இணைப்புகள் வான் ஹீல் அளவுகள் வடிவியல் புரிதல்-வான் ஹீல் மாதிரியைப் பற்றி அடிக்கடி கேட்கப்படும் கேள்விகளின் PDF, நூலியல் உடன் வான் ஹீல் கோட்பாட்டை அறிவுறுத்தலுடன் இணைத்தல்-வான் ஹீல் கோட்பாட்டை அடிப்படையாகக் கொண்ட செயல்பாடுகள் இடஞ்சார்ந்த மற்றும் வடிவியல் சிந்தனையின் வளர்ச்சிஃ அறிவுறுத்தலின் முக்கியத்துவம். வான் ஹீல் நிலைகள் மற்றும் மேல்நிலைப் பள்ளி வடிவவியலில் சாதனை-பெரிய 1982 சிகாகோ ஆய்வு வான் ஹீல் மாதிரியை பகுப்பாய்வு செய்கிறது மற்றும் வடிவவியலில் அமெரிக்க உயர்நிலைப் பள்ளி மாணவர்களின் சாதனையைப் புரிந்துகொள்வதில் அதன் முக்கியத்துவத்தை பகுப்பாய்வு செய்கிறது வடிவவியலுக்கான ஒரு கட்டமைப்பு கே-12-பவர்பாயிண்ட் விளக்கக்காட்சி வடிவியல் சிந்தனையின் வான் ஹீல் மாதிரி வான் ஹீல் மாடல் சர்வதேச மாநாட்டின் முக்கிய அம்சங்களின் ஒரு குறுகிய விளக்கக்காட்சி "குரோஷியாவில் கணிதக் கல்வியில் வான் ஹீல் கோட்பாடு". இதை ஏற்பாடு செய்தவர்கள்ஃ சாதார் பல்கலைக்கழகம், ஆசிரியர் கல்வித் துறை & ஹுனி-ஹர்வட்ஸ்கா உட்ருகா நாஸ்டாவ்னிகா இஸ்த்ராஜிவாகா (ஆசிரியர் ஆராய்ச்சியாளர்களின் குரோஷிய சங்கம்). தொழில்முறை விரிவுரைகள் மற்றும் பட்டறைகளில் செயல் ஆராய்ச்சியின் அம்சங்கள் பற்றிய தலைப்புகள், செயல்பாடுகளில் வான் ஹீல் கோட்பாட்டின் நிலைகள் அம்சங்கள் மற்றும் குரோஷிய மாநில பள்ளி பயன்பாட்டிற்கான சோதனை முன்மொழிவு ஆகியவை அடங்கும். வடிவியல் கல்வி கற்பித்தல்