Cut point
இடவியலில், ஒரு வெட்டு-புள்ளி என்பது இணைக்கப்பட்ட இடத்தின் ஒரு புள்ளியாகும், அதன் அகற்றல் விளைவாக ஏற்படும் இடத்தை துண்டிக்க காரணமாகிறது. ஒரு புள்ளியை அகற்றுவது துண்டிக்கப்பட்ட இடைவெளிகளை விளைவிக்கவில்லை என்றால், இந்த புள்ளி ஒரு வெட்டு அல்லாத புள்ளி என்று அழைக்கப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு கோட்டின் ஒவ்வொரு புள்ளியும் ஒரு வெட்டு புள்ளியாகும், அதே நேரத்தில் ஒரு வட்டத்தின் எந்த புள்ளியும் வெட்டு புள்ளியாக இருக்காது. ஒவ்வொரு இடத்திலும் உள்ள வெட்டு புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையை எண்ணுவதன் மூலம் இணைக்கப்பட்ட இரண்டு இடைவெளிகள் ஹோமியோமார்பிக் என்பதை தீர்மானிக்க வெட்டு புள்ளிகள் பயனுள்ளதாக இருக்கும். இரண்டு இடைவெளிகள் வெவ்வேறு எண்ணிக்கையிலான வெட்டு புள்ளிகளைக் கொண்டிருந்தால், அவை ஹோமியோமார்பிக் அல்ல. கோடுகள் மற்றும் வட்டங்கள் ஹோமியோமார்பிக் அல்ல என்பதைக் காட்ட வெட்டு புள்ளிகளைப் பயன்படுத்துவது ஒரு உன்னதமான எடுத்துக்காட்டு. வெட்டுப் புள்ளிகள் இடவியல் தொடர்ச்சியின் குணாதிசயத்திலும் பயனுள்ளதாக இருக்கும், இது இடைவெளிகளின் ஒரு வகுப்பாகும், இது சுருக்கமும் இணைப்பும் பண்புகளை ஒருங்கிணைக்கிறது மற்றும் அலகு இடைவெளி, வட்டம் மற்றும் டோரஸ் போன்ற பல பழக்கமான இடங்களை உள்ளடக்கியது. வரையறை முறையான வரையறைகள் இணைக்கப்பட்ட T1 இடவியல் இடைவெளி X இன் வெட்டு புள்ளி, X-{p} இணைக்கப்படாத வகையில் X இல் உள்ள ஒரு புள்ளி p ஆகும். வெட்டு புள்ளியாக இல்லாத ஒரு புள்ளி வெட்டு புள்ளியாக அழைக்கப்படுகிறது. X இல் உள்ள ஒவ்வொரு புள்ளியும் X இன் வெட்டு புள்ளியாக இருந்தால், காலியாக இணைக்கப்படாத இடவியல் இடைவெளி X ஒரு வெட்டு-புள்ளி இடமாகும். அடிப்படை எடுத்துக்காட்டுகள் ஒரு மூடிய இடைவெளி [a, b] எண்ணற்ற பல வெட்டு புள்ளிகளைக் கொண்டுள்ளது. அதன் இறுதி புள்ளிகளைத் தவிர அனைத்து புள்ளிகளும் வெட்டு புள்ளிகள் மற்றும் இறுதி புள்ளிகள் {a, b} வெட்டு புள்ளிகள் அல்ல. ஒரு திறந்த இடைவெளி (a, b) மூடிய இடைவெளிகள் போன்ற எண்ணற்ற பல வெட்டு புள்ளிகளைக் கொண்டுள்ளது. திறந்த இடைவெளிகளில் இறுதிப் புள்ளிகள் இல்லாததால், அதில் வெட்டப்படாத புள்ளிகள் இல்லை. ஒரு வட்டத்திற்கு வெட்டு புள்ளிகள் இல்லை, மேலும் ஒரு வட்டத்தின் ஒவ்வொரு புள்ளியும் வெட்டப்படாத புள்ளியாகும். குறிப்புகள் X இன் வெட்டு என்பது ஒரு தொகுப்பு {p, U, V} ஆகும், இதில் p என்பது X, U மற்றும் V இன் வெட்டு புள்ளியாகும், இது X-{p} இன் பிரிப்பை உருவாக்குகிறது. இதை X\ {p} = U|V என்றும் எழுதலாம். வெட்டு புள்ளிகள் மற்றும் ஹோமியோமார்பிசம் வெட்டு புள்ளிகள் கோட்பாடுகள் தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளின் கீழ் பாதுகாக்கப்பட வேண்டிய அவசியமில்லை. எடுத்துக்காட்டாகஃ f: [0,2] → R2, f (x) = (cos x, sin x) ஆல் வழங்கப்படுகிறது. இடைவெளியின் ஒவ்வொரு புள்ளியும் (இரண்டு இறுதிப் புள்ளிகளைத் தவிர) ஒரு வெட்டு புள்ளியாகும், ஆனால் f (x) வெட்டு புள்ளிகள் இல்லாத ஒரு வட்டத்தை உருவாக்குகிறது. வெட்டு புள்ளிகள் ஹோமியோமார்பிசங்களின் கீழ் பாதுகாக்கப்படுகின்றன. எனவே, கட்-பாயிண்ட் ஒரு இடவியல் மாறாதது. கட்-பாயிண்ட்ஸ் மற்றும் கான்டினுவா ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட புள்ளிகளைக் கொண்ட ஒவ்வொரு தொடர்ச்சியும் (கச்சிதமாக இணைக்கப்பட்ட ஹவுஸ்டோர்ஃப் இடம்) குறைந்தது இரண்டு கட் அல்லாத புள்ளிகளைக் கொண்டுள்ளது. குறிப்பாக, ஒவ்வொரு திறந்த தொகுப்பும் இதன் விளைவாக வரும் இடத்தை பிரிக்கும் வகையில் குறைந்தபட்சம் ஒரு வெட்டு அல்லாத புள்ளியைக் கொண்டுள்ளது. சரியாக இரண்டு வெட்டப்படாத புள்ளிகளைக் கொண்ட ஒவ்வொரு தொடர்ச்சியும் அலகு இடைவெளிக்கு ஹோமியோமார்பிக் ஆகும். கே என்பது புள்ளிகள் a, b மற்றும் K-{a, b} இணைக்கப்படாத ஒரு தொடர்ச்சியாக இருந்தால், கே என்பது அலகு வட்டத்திற்கு ஒத்த உருவமாகும். வெட்டு-புள்ளி இடைவெளிகளின் இடவியல் பண்புகள் X ஒரு இணைக்கப்பட்ட இடமாகவும், x என்பது X இல் ஒரு வெட்டு புள்ளியாகவும் இருக்கட்டும், அதாவது X\ {x} = A|B. பின்னர் {x} திறந்த அல்லது மூடப்பட்டிருக்கும். {x} திறந்திருந்தால், A மற்றும் B மூடப்பட்டிருக்கும். {x} மூடப்பட்டிருந்தால், A மற்றும் B திறந்திருக்கும். X ஒரு கட்-பாயிண்ட் இடமாக இருக்கட்டும். X இன் மூடிய புள்ளிகளின் தொகுப்பு எல்லையற்றது. குறைக்கமுடியாத வெட்டு-புள்ளி இடைவெளிகள் வரையறைகள் ஒரு வெட்டு-புள்ளி இடைவெளி அதன் சரியான துணைக்குழு ஒரு வெட்டு-புள்ளி இடமாக இல்லாவிட்டால் அது பகுக்கமுடியாதது. காலிம்ஸ்கி வரிஃ முழு எண்களின் தொகுப்பாக இருக்கட்டும் மற்றும் ஒரு இடவியல் ஒரு அடிப்படை எங்கே. கலிம்ஸ்கி வரிசை இந்த இடவியல் கொண்ட தொகுப்பாகும். இது ஒரு கட்-பாயிண்ட் இடம். மேலும், இது பகுக்கமுடியாதது. கோட்பாடு ஒரு இடவியல் இடைவெளி என்பது கலிம்ஸ்கி கோட்டிற்கு எக்ஸ் ஹோமியோமார்பிக் ஆக இருந்தால் மட்டுமே பகுக்கமுடியாத வெட்டு-புள்ளி இடைவெளி ஆகும். கட் பாயிண்ட் (வரைபடக் கோட்பாடு) குறிப்புகள் (முதலில் 1970 இல் அடிசன்-வெஸ்லி பப்ளிஷிங் கம்பெனி, இன்க் வெளியிட்டது.) பொது இடவியல்