Holomorph (mathematics)
கணிதத்தில், குறிப்பாக குழுக் கோட்பாடு என்று அழைக்கப்படும் இயற்கணிதப் பகுதியில், ஒரு குழுவின் ஹோலோமார்ப் என்பது குழுவையும் அதன் தானியங்கி குழுவையும் ஒரே நேரத்தில் (நகல்கள்) கொண்ட ஒரு குழுவாகும். ஹோலோமார்ப் குழுக்களின் சுவாரஸ்யமான எடுத்துக்காட்டுகளை வழங்குகிறது, மேலும் குழு கூறுகள் மற்றும் குழு தன்னியக்கவியலுக்கு ஒரு சீரான சூழலில் சிகிச்சையளிக்க அனுமதிக்கிறது. குழுக் கோட்பாட்டில், ஒரு குழுவிற்கு, குறிக்கப்படும் ஹோலோமார்ப் ஒரு அரை மறைமுக தயாரிப்பு அல்லது ஒரு வரிசைமாற்றக் குழுவாக விவரிக்கப்படலாம். ஹோல் (ஜி) ஒரு அரை மறைமுக விளைபொருளாக இருந்தால், அது தானியங்கி உருவகக் குழுவாக இருந்தால், அங்கு பெருக்கம் [Eq ஆல் வழங்கப்படுகிறது. 1] பொதுவாக, ஒரு அரை மறைமுக தயாரிப்பு எங்கே மற்றும் குழுக்கள் மற்றும் ஒரு ஹோமோமார்பிசம் வடிவத்தில் வழங்கப்படுகிறது மற்றும் அரை மறைமுக உற்பத்தியில் உள்ள உறுப்புகளின் பெருக்கம் நன்கு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது, எனவே. ஹோலோமார்பைப் பொறுத்தவரை, மற்றும் அடையாள வரைபடம், எனவே [Eq இல் கொடுக்கப்பட்டுள்ள பெருக்கத்தில் வெளிப்படையாக எழுதுவதை நாம் அடக்குகிறோம். 1] மேலே. எடுத்துக்காட்டாக, வரிசை 3 இன் சுழற்சி குழு இங்கு கொடுக்கப்பட்ட பெருக்கத்துடன்ஃ இன் அடுக்குகள் மட்டு 3 மற்றும் மட்டு 2 இன் அடுக்குகளாக எடுக்கப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, இந்த குழு அபெலியன் அல்ல, எனவே, இது வரிசை 6 இன் அபெலியன் அல்லாத குழு, இது அடிப்படை குழு கோட்பாட்டின் படி, சமச்சீர் குழுவிற்கு ஐசோமார்பிக் ஆக இருக்க வேண்டும். ஹோல் (ஜி) ஒரு வரிசைமாற்றக் குழுவாக ஒரு குழு ஜி இடது மற்றும் வலது பெருக்கத்தால் இயற்கையாகவே செயல்படுகிறது, ஒவ்வொன்றும் ஜி இன் அடிப்படை தொகுப்பில் ஜி இலிருந்து சமச்சீர் குழுவிற்கு ஒரு ஒத்த உருவத்தை உருவாக்குகிறது. ஒரு ஒத்த உருவவியல் λ: ஜி → சிம் (ஜி), (எச்) = ஜி·ஹெச் என வரையறுக்கப்படுகிறது. அதாவது, G இன் ஒவ்வொரு உறுப்பையும் g ஆல் இடது-பெருக்குவதன் மூலம் பெறப்பட்ட வரிசைமாற்றத்திற்கு g வரைபடமாக்கப்படுகிறது. இதேபோல், இரண்டாவது ஒத்தமைவு ρ: G → சிம் (G) என்பது (h) = h·g−1 ஆல் வரையறுக்கப்படுகிறது, அங்கு தலைகீழ் (k) = ((k)) என்பதை உறுதி செய்கிறது. இந்த ஹோமோமார்பிசம்கள் ஜி இன் இடது மற்றும் வலது வழக்கமான பிரதிநிதித்துவங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. ஒவ்வொரு ஹோமோமார்பிசமும் ஊசி ஆகும், இது கெய்லியின் தேற்றம் என்று குறிப்பிடப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, G = C3 = {1, x, x2} என்பது மூன்று வரிசைகளின் சுழற்சிக் குழுவாக இருந்தால், (1) = x·1 = x, (x) = x·x = x2, மற்றும் (x2) = x·x2 = 1, எனவே λ (x) (1, x, x2) ஐ (x, x2,1) ஆக எடுக்கும். λ இன் உருவம் G க்கு சிம் (G) ஐசோமார்பிக் ஒரு துணைக்குழுவாகும், மேலும் சிம் (G) இல் அதன் இயல்பாக்கம் G இன் ஹோலோமார்ப் N ஆக வரையறுக்கப்படுகிறது. ஹோலோமார்பின் ஒரு உறுப்பு n G இன் அடையாளத்தை சரிசெய்தால், G இல் 1 க்கு, (n·) (1) = (n·) (1), ஆனால் இடது புறம் n (g), மற்றும் வலது புறம் h ஆகும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், N இல் n G இன் அடையாளத்தை சரிசெய்தால், G இல் உள்ள ஒவ்வொரு g க்கும், n· =·n. g, h ஆகியவை G இன் உறுப்புகளாகவும், n என்பது G இன் அடையாளத்தை நிர்ணயிக்கும் N இன் உறுப்பாகவும் இருந்தால், இந்த சமத்துவத்தை இரண்டு முறை n·· மற்றும் ஒரு முறை (சமமான) வெளிப்பாட்டிற்கு n· பயன்படுத்துவது n (g)·n (h) = n (g·h) ஐ வழங்குகிறது. அதாவது, G இன் அடையாளத்தை சரிசெய்யும் N இன் ஒவ்வொரு உறுப்பும் உண்மையில் G இன் தானியங்கி வடிவமாகும். அத்தகைய n இயல்பாக்குகிறது, மேலும் அடையாளத்தை சரிசெய்யும் ஒரே உறுப்பு λ (1) ஆகும். A ஐ அடையாளத்தின் நிலைப்படுத்தியாக அமைத்தல், A ஆல் உருவாக்கப்பட்ட துணைக்குழு மற்றும் சாதாரண துணைக்குழு மற்றும் நிரப்பு A உடன் அரை மறைமுக தயாரிப்பு ஆகும். இடைநிலை என்பதால், பாயிண்ட் ஸ்டெபிலைசர் A ஆல் உருவாக்கப்படும் துணைக்குழு அனைத்தும் N ஆகும், இது ஒரு வரிசைமாற்றக் குழுவாக ஹோலோமார்ப் அரை மறைமுக விளைபொருளாக ஹோலோமார்புக்கு ஐசோமார்பிக் என்பதைக் காட்டுகிறது. இது பயனுள்ளது, ஆனால் நேரடியாக பொருந்தாது, சிம் (ஜி) இன் மையப்படுத்தல், அவற்றின் குறுக்குவெட்டு, அங்கு Z (ஜி) ஜி இன் மையமாக உள்ளது, மேலும் N இன் இந்த இரண்டு இயல்பான துணைக்குழுக்களுக்கும் A ஒரு பொதுவான நிரப்பு ஆகும். பண்புகள் ρ (ஜி) θஆட் (ஜி) = 1ஆட் (ஜி) ρ (ஜி) ஐ இயல்பாக்குகிறது, இதனால் λ (ஜி) ρ (ஜி) ρ (ஜி) (எச்) = ghg−1 (ஜி இன் உள் தானியங்கிகளின் குழுவாகும்) K ≤ ஜி என்பது ஒரு சிறப்பியல்பு துணைக்குழுவாகும்.