Riemannian submersion
வேறுபட்ட வடிவவியலில், கணிதத்தின் ஒரு கிளை, ஒரு ரீமானியன் நீரில் மூழ்குதல் என்பது ஒரு ரீமானியன் பன்மடங்கு இருந்து மற்றொன்றுக்கு மூழ்குவதாகும், இது அளவீடுகளை மதிக்கிறது, அதாவது இது தொடுகோட்டு இடைவெளிகளில் ஒரு ஆர்த்தோகனல் திட்டமாகும். முறையான வரையறை (எம், ஜி) மற்றும் (என், எச்) இரண்டு ரீமானியன் பன்மடங்கு மற்றும் ஒரு (சர்ஜெக்டிவ்) நீரில் மூழ்குதல், அதாவது ஒரு நார் பன்மடங்கு என்று வைத்துக்கொள்வோம். கிடைமட்ட விநியோகம் என்பது தொடுகோட்டு மூட்டையின் துணை-மூட்டை ஆகும், இது திட்டம் மற்றும் மெட்ரிக் ஆகிய இரண்டையும் சார்ந்துள்ளது. பின்னர், f ஒரு ரீமானியன் நீரில் மூழ்குதல் என்று அழைக்கப்படுகிறது, அனைவருக்கும், திசையன் இடைவெளி ஐசோமார்பிசம் ஐசோமெட்ரிக், அதாவது நீளம்-பாதுகாப்பாக இருந்தால் மட்டுமே. எடுத்துக்காட்டுகள் ஒரு லை குழு ஒரு ரீமானியன் பன்மடங்கு மீது ஐசோமெட்ரிக், சுதந்திரமாகவும் ஒழுங்காகவும் செயல்படும்போது ஒரு ரீமானியன் நீரில் மூழ்குவதற்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு எழுகிறது. ஈவு அளவீடு பொருத்தப்பட்ட ஈவு இடத்திற்கான கணிப்பு ஒரு ரீமானியன் நீரில் மூழ்குவதாகும். எடுத்துக்காட்டாக, அலகு சிக்கலான எண்களின் குழுவால் கூறு வாரியாக பெருக்கப்படுவது ஹோப் ஃபைப்ரேஷனை அளிக்கிறது. பண்புகள் ஒரு ரீமானியன் நீர்மூழ்கிக் கப்பலின் இலக்கு இடத்தின் பிரிவு வளைவை ஓ 'நெய்லின் சூத்திரத்தால் மொத்த இடத்தின் வளைவிலிருந்து கணக்கிட முடியும், இது பாரெட் ஓ' நெய்ல் என்று பெயரிடப்பட்டதுஃ ஆர்த்தோனார்மல் திசையன் புலங்கள் எங்கு உள்ளன, அவற்றின் கிடைமட்ட லிஃப்ட், திசையன் புலங்களின் லை அடைப்புக்குறி மற்றும் செங்குத்து விநியோகத்திற்கு திசையன் புலத்தின் திட்டமாகும். குறிப்பாக பிரிவின் வளைவுக்கான கீழ் வரம்பு குறைந்தபட்சம் பிரிவின் வளைவுக்கான கீழ் வரம்பைப் போலவே பெரியது. பொதுமைப்படுத்தல்கள் மற்றும் மாறுபாடுகள் ஃபைபர் மூட்டை சப்மெட்ரி கோ-லிப்ஸிட்ச் வரைபடம் மேலும் காண்க ஃபைபர் செய்யப்பட்ட பன்மடங்கு வடிவியல் இடவியல் குறிப்புகள் குறிப்புகள். பாரெட் ஓ 'நீல். ஒரு மூழ்கலின் அடிப்படை சமன்பாடுகள். மிச்சிகன் கணிதம். ஜே. 13 (1966), 459-469. ரீமானியன் வடிவியல் பன்மடங்கு வரைபடங்கள்