Grandi's series
கணிதத்தில், எழுதப்பட்ட எல்லையற்ற தொடர், சில நேரங்களில் கிராண்டியின் தொடர் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது, இத்தாலிய கணிதவியலாளர், தத்துவஞானி மற்றும் பாதிரியார் கைடோ கிராண்டியின் நினைவாக, 1703 இல் இந்தத் தொடரின் மறக்கமுடியாத சிகிச்சையை வழங்கினார். இது ஒரு வேறுபட்ட தொடர், அதாவது அதற்கு தொகை இல்லை. இருப்பினும், பல கணித ரீதியாக சுவாரஸ்யமான முடிவுகளை வழங்க இதை கையாளலாம். எடுத்துக்காட்டாக, கணிதத்தில் பல கூட்டுத்தொகை முறைகள் ஒரு வேறுபட்ட தொடருக்கு கூட எண் மதிப்புகளை ஒதுக்க பயன்படுத்தப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, இந்த தொடரின் செசரோ கூட்டுத்தொகை மற்றும் ராமானுஜன் கூட்டுத்தொகை 1/2 ஆகும். 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 + 1 + 1 என்ற தொடரின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறிய ஒரு வெளிப்படையான முறை என்னவென்றால், அதை ஒரு தொலைநோக்கி தொடர் போலக் கருதி, (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) +. = 0 + 0 + 0 +. = 0. மறுபுறம், இதேபோன்ற அடைப்புக்குறிப்பு செயல்முறை வெளிப்படையாக முரண்பட்ட முடிவுக்கு வழிவகுக்கிறது 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) +. = 1 + 0 + 0 +. = 1. எனவே, கிராண்டியின் தொடருக்கு அடைப்புக்குறிகளைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், ஒருவர் 0 அல்லது 1 ஐ "மதிப்பாக" பெறலாம். (எய்லன்பெர்க்-மசூர் மோசடி என்று அழைக்கப்படும் இந்த கருத்தின் மாறுபாடுகள் சில நேரங்களில் முடிச்சு கோட்பாடு மற்றும் இயற்கணிதத்தில் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.) இந்த இரண்டு "மதிப்புகளின்" சராசரியை எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம், தொடர் ஒன்றிணைகிறது என்பதை ஒருவர் நியாயப்படுத்த முடியும். கிராண்டியின் தொடரை ஒரு வேறுபட்ட வடிவியல் தொடராகக் கருதுதல் மற்றும் மூன்றாவது மதிப்பைப் பெறுவதற்கு ஒருங்கிணைந்த வடிவியல் தொடரை மதிப்பிடும் அதே இயற்கணித முறைகளைப் பயன்படுத்துதல்ஃ S = 1 − 1 + 1 − 1 +. எனவே 1 − S = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 +.) = 1 − 1 + 1 − 1 +. = S '1 − S = S1 = 2S, இதன் விளைவாக S =. - S ஐக் கணக்கிடுவதன் மூலமும், S இலிருந்து முடிவைக் கழிப்பதன் மூலமும், 2S = 1 ஐத் தீர்ப்பதன் மூலமும் அதே முடிவு விளைகிறது. மேற்கண்ட கையாளுதல்கள் ஒரு தொடரின் கூட்டுத்தொகை உண்மையில் எதைக் குறிக்கிறது என்பதையும், வேறுபட்ட வடிவியல் தொடர்களுக்கு இயற்கணித முறைகளை எவ்வாறு பயன்படுத்தலாம் என்பதையும் கருத்தில் கொள்ளவில்லை. இருப்பினும், விருப்பப்படி வரிசைகளை அடைப்புக்குறிக்குள் வைப்பது எவ்வளவு முக்கியம், அவற்றுடன் எண்கணிதத்தைச் செய்ய முடியும் என்பது மிகவும் முக்கியம் என்ற அளவிற்கு, ஒருவர் இரண்டு முடிவுகளுக்கு வரலாம்ஃ 1−1 + 1−1 +. அதற்கு sum.Davis p.152 இல்லை. ஆனால் அதன் கூட்டுத்தொகை இருக்க வேண்டும். உண்மையில், இந்த இரண்டு அறிக்கைகளும் துல்லியமாகவும் முறையாகவும் நிரூபிக்கப்படலாம், ஆனால் 19 ஆம் நூற்றாண்டில் தோன்றிய நன்கு வரையறுக்கப்பட்ட கணிதக் கருத்துகளைப் பயன்படுத்தி மட்டுமே. ஐரோப்பாவில் 17 ஆம் நூற்றாண்டின் பிற்பகுதியில் கால்குலஸ் அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட பிறகு, ஆனால் நவீன கடுமையின் வருகைக்கு முன்னர், இந்த பதில்களுக்கு இடையிலான பதற்றம் வடிவியல் தொடருடனான mathematicians.Knopp p.457 உறவுக்கு இடையிலான "முடிவற்ற" மற்றும் "வன்முறை" சர்ச்சை என்று வகைப்படுத்தப்படுவதைத் தூண்டியது. சிக்கலான பகுப்பாய்வின் அடிப்படையில், இது தொடரின் பகுப்பாய்வு தொடர்ச்சியின் மதிப்பாகக் கருதப்படுகிறது, இது சிக்கலான அலகு வட்டில் மட்டுமே வரையறுக்கப்படுகிறது. நவீன கணிதத்தில், ஒரு எல்லையற்ற தொடரின் கூட்டுத்தொகை அதன் பகுதி தொகைகளின் வரிசையின் வரம்பாக வரையறுக்கப்படுகிறது, அது இருந்தால். கிராண்டியின் தொடரின் பகுதி தொகைகளின் வரிசை தெளிவாக எந்த எண்ணையும் அணுகாது (இது 0 மற்றும் 1 இல் இரண்டு குவிப்பு புள்ளிகளைக் கொண்டிருந்தாலும்). எனவே, கிராண்டியின் தொடர் வேறுபட்டது. தொடர் முற்றிலும் ஒருங்கிணைந்ததாக இல்லாவிட்டால், தனிப்பட்ட சொற்களை மறுசீரமைப்பது போன்ற ஒரு தொடரில் தீங்கற்றதாகத் தோன்றும் பல செயல்பாடுகளைச் செய்வது செல்லுபடியாகாது என்பதைக் காட்டலாம். இல்லையெனில் இந்த செயல்பாடுகள் கூட்டுத்தொகையின் முடிவை மாற்றக்கூடும். மேலும், கிராண்டியின் தொடரின் விதிமுறைகள் 0 அல்லது 1 மட்டுமல்லாமல், இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட தொடர்ச்சியான முழு எண் எண்களின் எந்த இடைவெளியிலும் அதன் குவிப்பு புள்ளிகளைக் கொண்டிருக்க மறுசீரமைக்கப்படலாம். எடுத்துக்காட்டாக, தொடர் (இதில், ஐந்து ஆரம்ப + 1 சொற்களுக்குப் பிறகு, + 1 மற்றும்-1 சொற்களின் ஜோடியாக மாறி மாறி வரும் சொற்கள்-+ 1 மற்றும்-1 ஆகிய இரண்டின் முடிவிலி 1 அல்லது-1 இன் எந்த வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணையும் கிராண்ட் ஹோட்டலின் ஹில்பர்ட்டின் முரண்பாடுகளால் முன்கூட்டியே அனுமதிக்கிறது) கிராண்டியின் தொடரின் வரிசைமாற்றமாகும், இதில் மறுசீரமைக்கப்பட்ட தொடரில் உள்ள ஒவ்வொரு மதிப்பும் அசல் தொடரில் இருந்து அதிகபட்சம் நான்கு நிலைகளில் இருக்கும் மதிப்புடன் ஒத்திருக்கிறது; அதன் குவிப்பு புள்ளிகள் 3,4 மற்றும் 5 ஆகும். கல்வி அறிவாற்றல் தாக்கம் 1987 ஆம் ஆண்டில், அன்னா சியர்பின்ஸ்கா கிராண்டியின் தொடரை வார்சா லைசியத்தில் 17 வயது ப்ரீக்கால்குலஸ் மாணவர்களின் குழுவிற்கு அறிமுகப்படுத்தினார். கணிதம் மற்றும் இயற்பியல் படிக்கும் சகாக்களை விட அவர்களின் கணித அனுபவம் குறைவான முக்கியத்துவம் வாய்ந்ததாக இருக்கும் என்ற எதிர்பார்ப்புடன் மனிதநேய மாணவர்கள் மீது அவர் கவனம் செலுத்தினார், எனவே அவர்கள் வெளிப்படுத்தும் அறிவுசார் தடைகள் லைசியம் மாணவர்களிடையே இன்னும் இருக்கக்கூடிய தடைகளை பிரதிநிதித்துவப்படுத்தும். கிராண்டியின் தொடருக்கு ஒரு மதிப்பை ஒதுக்குவதில் மாணவர்கள் தயங்குவார்கள் என்று சியர்பின்ஸ்கா ஆரம்பத்தில் எதிர்பார்த்தார், அந்த நேரத்தில் வடிவியல் தொடர் சூத்திரத்தின் விளைவாக இருப்பதாகக் கூறி அவர்களை அதிர்ச்சியடையச் செய்யலாம். வெறுமனே, பகுத்தறிவில் பிழையைத் தேடுவதன் மூலமும், பல்வேறு பொதுவான விகிதங்களுக்கான சூத்திரத்தை ஆராய்வதன் மூலமும், மாணவர்கள் "இரண்டு வகையான தொடர்கள் இருப்பதை கவனிப்பார்கள், மேலும் ஒருங்கிணைப்பு பற்றிய ஒரு மறைமுகமான கருத்து பிறக்கும்". இருப்பினும், அவ்வாறு கூறப்பட்டதாலோ அல்லது அவ்வாறு கூறப்பட்டதாலோ மாணவர்கள் அதிர்ச்சியடையவில்லை. லீப்னிஸ் மற்றும் கிராண்டி ஒரு நம்பத்தகுந்த முடிவு என்று நினைத்ததால், ஒரு முன்னுரிமை, மாணவர்களின் எதிர்வினை மிகவும் ஆச்சரியமாக இருக்கக்கூடாது என்று சியர்பின்ஸ்கா குறிப்பிடுகிறார்; "இருப்பினும், மாணவர்களின் தரப்பில் இந்த அதிர்ச்சியின் பற்றாக்குறை பற்றிய விளக்கம் சற்று வித்தியாசமாக இருக்கலாம். அவர்கள் இந்த அபத்தத்தை அமைதியாக ஏற்றுக்கொண்டனர், ஏனென்றால், 'கணிதம் முற்றிலும் சுருக்கமானது மற்றும் யதார்த்தத்திலிருந்து வெகு தொலைவில் உள்ளது', மேலும் 'அந்த கணித மாற்றங்களுடன் நீங்கள் அனைத்து வகையான முட்டாள்தனங்களையும் நிரூபிக்க முடியும்' என்று சிறுவர்களில் ஒருவர் பின்னர் கூறினார். மாணவர்கள் இறுதியில் ஒருங்கிணைப்பு கேள்வியிலிருந்து விடுபடவில்லை; சியர்பின்ஸ்கா அடுத்த நாள் தசம விரிவாக்கங்களுடன் இணைப்பதன் மூலம் இந்த பிரச்சினையில் அவர்களை ஈடுபடுத்துவதில் வெற்றி பெற்றார். 0.999. = 1 மாணவர்களை ஆச்சரியத்தில் ஆழ்த்தியவுடன், அவரது மீதமுள்ள பொருட்கள் "அவர்களின் காதுகளைக் கடந்தன". 2000 ஆம் ஆண்டில் இத்தாலியின் ட்ரெவிஸோவில் நடத்தப்பட்ட மற்றொரு ஆய்வில், மூன்றாம் ஆண்டு மற்றும் நான்காம் ஆண்டு லைசியோ சயின்டிகோ மாணவர்களுக்கு (16 முதல் 18 வயதுக்குட்பட்டவர்கள்) பின்வருவனவற்றைக் கேட்கும் அட்டைகள் வழங்கப்பட்டனஃ "1703 ஆம் ஆண்டில், கணிதவியலாளர் கைடோ கிராண்டி கூடுதலாக ஆய்வு செய்தார்ஃ 1-1 + 1-1 +. (சேர்க்கைகள், எல்லையற்ற பல, எப்போதும் + 1 மற்றும்-1). அதைப் பற்றி உங்கள் கருத்து என்ன? ". மாணவர்கள் எல்லையற்ற தொகுப்பின் யோசனையை அறிமுகப்படுத்தினர், ஆனால் அவர்களுக்கு எல்லையற்ற தொடர்களில் முன் அனுபவம் இல்லை. புத்தகங்கள் அல்லது கால்குலேட்டர்கள் இல்லாமல் அவர்களுக்கு பத்து நிமிடங்கள் வழங்கப்பட்டது. 88 பதில்கள் பின்வருமாறு வகைப்படுத்தப்பட்டனஃ (26) முடிவு 0 (18) முடிவு 0 அல்லது 1 ஆக இருக்கலாம் (5) முடிவு இல்லை (4) முடிவு 1⁄2 (3) முடிவு 1 (2) முடிவு எல்லையற்றது (30) பதில் இல்லை ஆராய்ச்சியாளர் ஜியோர்ஜியோ பாக்னி, பல மாணவர்களை நேர்காணல் செய்து அவர்களின் காரணத்தைத் தீர்மானித்தார். அவர்களில் 16 பேர் கிராண்டி மற்றும் ரிச்சாட்டி போன்ற தர்க்கத்தைப் பயன்படுத்தி 0 என்ற பதிலை நியாயப்படுத்தினர். மற்றவர்கள் 1⁄2 ஐ 0 மற்றும் 1 இன் சராசரி என்று நியாயப்படுத்தினர். அவர்களின் பகுத்தறிவு, லீப்னிஸின் கருத்தைப் போலவே இருந்தாலும், 18 ஆம் நூற்றாண்டின் கணிதத்திற்கு மிகவும் முக்கியமான நிகழ்தகவு அடிப்படையைக் கொண்டிருக்கவில்லை என்று பாக்னி குறிப்பிடுகிறார். கலாச்சார சூழல் வேறுபட்டிருந்தாலும், வரலாற்று வளர்ச்சிக்கும் தனிப்பட்ட வளர்ச்சிக்கும் இடையிலான தொடர்புடன் பதில்கள் ஒத்துப்போகின்றன என்று அவர் முடிக்கிறார். வெவ்வேறு கூட்டுத்தொகை கருத்தாக்கங்களை வேறுபடுத்தும் செயல்முறையை ஜோயல் லெஹ்மன் விவரிக்கிறார், இது ஒரு கருத்தியல் பிளவுக்கு மேல் ஒரு பாலத்தை உருவாக்குகிறதுஃ 18 ஆம் நூற்றாண்டின் கணிதத்தை வேட்டையாடிய வேறுபாடு குறித்த குழப்பம். தொடர்கள் பொதுவாக வரலாறு இல்லாமல் வழங்கப்படுகின்றன மற்றும் பயன்பாடுகளிலிருந்து தனித்தனியாக இருப்பதால், மாணவர் "இவை என்ன?" ஆனால் "நாம் ஏன் இதைச் செய்கிறோம்?" ஒருங்கிணைப்பைத் தீர்மானிப்பதில் கவனம் செலுத்துவது, ஆனால் தொகை அல்ல, முழு செயல்முறையையும் செயற்கை மற்றும் பல மாணவர்களுக்கு அர்த்தமற்றதாகத் தோன்றுகிறது-மேலும் பயிற்றுவிப்பாளர்களுக்கும் கூட ". இதன் விளைவாக, பல மாணவர்கள் யூலரின் அணுகுமுறையைப் போலவே ஒரு அணுகுமுறையை வளர்த்துக் கொள்கிறார்கள்ஃ "இயற்கையாக எழும் பிரச்சினைகள் (அதாவது, இயற்கையிலிருந்து) தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளன, எனவே விஷயங்கள் இறுதியில் வேலை செய்யும் என்ற அனுமானம் சோதனை ரீதியாக நியாயப்படுத்தப்படுகிறது. எல்லாம் சரியாக இருக்கிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம், வந்த தீர்வு வேலை செய்தால், நீங்கள் அநேகமாக சரியாக இருந்திருக்கலாம், அல்லது குறைந்தபட்சம் போதுமான அளவு சரியாக இருந்திருக்கலாம். எனவே, வீட்டுப்பாடப் பிரச்சினைகளில் மட்டுமே தோன்றும் விவரங்களைப் பற்றி ஏன் கவலைப்பட வேண்டும்? " காலெட் கிராண்டியின் தொடரை யூலர் நடத்திய சிகிச்சைக்கு எதிராக முன்வைக்கப்பட்ட அதே உதாரணத்துடன் இந்த ஆட்சேபனையை எதிர்கொள்ள லெஹ்மன் பரிந்துரைக்கிறார். சுருக்கம் தொடர்பான சிக்கல்கள் 1−2 + 3−4 + 5−6 + 7−8 +. (முடிவிலி வரை) தொடர்களும் வேறுபடுகின்றன, ஆனால் சில முறைகள் இதைச் சுருக்கமாகப் பயன்படுத்தப்படலாம். இது கிராண்டியின் தொடருக்கு ஒதுக்கப்பட்ட பெரும்பாலான கூட்டுத்தொகை முறைகளின் மதிப்பின் சதுரமாகும், இது கிராண்டியின் தொடரின் இரண்டு பிரதிகளின் காச்சி தயாரிப்பாகக் கருதப்படுவதால் நியாயமானது. மேலும் காண்கஃ 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + · · · 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + · · 1 − 2 + 3 − 4 + · 1 + 2 + 3 + 4 + · 1 + 2 + 4 + 8 + · 1 − 2 + 4 − 8 + ꯘꯥ ராமானுஜன் கூட்டுத்தொகை தாம்சனின் செஸ்ரோ கூட்டுத்தொகை குறிப்புகள் குறிப்புகள் வெளிப்புற இணைப்புகள் ஒன்று கழித்தல் ஒன்று கூட்டல் ஒன்று கழித்தல் ஒன்று-எண் கோடு, கிராண்டியின் தொடர் வேறுபட்ட தொடர் வடிவியல் தொடர் 1 (எண்) கணித முரண்பாடுகள் சமநிலை (கணிதம்)