Schwarzschild geodesics
பொது சார்பியலில், ஸ்வார்ஸ்ஷைல்டு புவியியல் ஒரு மைய நிலையான வெகுஜனத்தின் ஈர்ப்பு விசையில் சோதனைத் துகள்களின் இயக்கத்தை விவரிக்கிறது, அதாவது ஸ்வார்ஸ்ஷைல்டு அளவீட்டில் இயக்கம். ஐன்ஸ்டீனின் பொது சார்பியல் கோட்பாட்டை சரிபார்ப்பதில் ஸ்வார்ஸ்ஷைல்ட் புவியியல் முக்கிய பங்கு வகித்துள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, சூரிய மண்டலத்தில் உள்ள கிரகங்களின் ஒழுங்கற்ற முன்கணிப்பு மற்றும் ஈர்ப்பு விசையால் ஒளி விலகுவது பற்றிய துல்லியமான கணிப்புகளை அவை வழங்குகின்றன. ஸ்வார்ஸ்ஷைல்ட் புவியியல் வெகுஜனங்களின் துகள்களின் இயக்கத்துடன் மட்டுமே தொடர்புடையது, அவை ஈர்ப்பு விசைக்கு மிகக் குறைவாகவே பங்களிக்கின்றன. இருப்பினும், அவை பல வானியற்பியல் காட்சிகளில் மிகவும் துல்லியமானவை, அவை மைய வெகுஜனத்தை விட பல மடங்கு சிறியவை, எ. கா., தங்கள் நட்சத்திரத்தைச் சுற்றி வரும் கிரகங்களுக்கு. ஸ்வார்ஸ்ஷைல்டு புவியியல் தன்னிச்சையான வெகுஜன இரண்டு உடல்களின் ஒப்பீட்டு இயக்கத்திற்கு ஒரு நல்ல தோராயமாகும், இது ஸ்வார்ஸ்ஷைல்டு வெகுஜன இரண்டு தனிப்பட்ட வெகுஜனங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக அமைக்கப்பட்டுள்ளது மற்றும். பொது சார்பியலில் பைனரி நட்சத்திரங்களின் இயக்கத்தை கணிப்பதில் இது முக்கியமானது. ஐன்ஸ்டீனின் பொது சார்பியல் கோட்பாடு வெளியிடப்பட்ட ஒரு மாதத்திற்குப் பிறகு, 1915 ஆம் ஆண்டில் தீர்வைக் கண்டுபிடித்த அதன் கண்டுபிடிப்பாளர் கார்ல் ஸ்வார்ஸ்ஷைல்டின் நினைவாக ஸ்வார்ஸ்ஷைல்ட் மெட்ரிக் பெயரிடப்பட்டது. அற்பமான தட்டையான இடைவெளி தீர்வைத் தவிர ஐன்ஸ்டீன் புலச் சமன்பாடுகளின் முதல் துல்லியமான தீர்வு இதுவாகும். 1931 ஆம் ஆண்டில், ஸ்வார்ஸ்ஷைல்டு அளவீட்டில் ஒரு சோதனைத் துகள்களின் பாதையை நீள்வட்ட செயல்பாடுகளின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்த முடியும் என்பதைக் காட்டும் ஒரு கட்டுரையை யூசுக் ஹாகிஹாரா வெளியிட்டார். 1949 ஆம் ஆண்டில் சாமுவேல் கப்லான், ஸ்வார்ஸ்ஷைல்ட் அளவீட்டில் வட்ட சுற்றுப்பாதை நிலையானதாக இருக்க குறைந்தபட்ச ஆரம் இருப்பதாகக் காட்டியுள்ளார். ஐன்ஸ்டீன் புலச் சமன்பாடுகளுக்கு ஒரு சரியான தீர்வு ஸ்வார்ஸ்ஷைல்ட் மெட்ரிக் ஆகும், இது ஒரு சார்ஜ் செய்யப்படாத, சுழலாத, கோள சமச்சீர் பொருளின் வெளிப்புற ஈர்ப்பு விசைக்கு ஒத்திருக்கிறது. சிறிய நேர்மறை நிறை கொண்ட ஒரு சோதனைத் துகள் விஷயத்தில், சரியான நேரம் (துகள்களுடன் நகரும் ஒரு கடிகாரத்தால் அளவிடப்படும் நேரம்) வினாடிகளில், ஒளியின் வேகம் வினாடிக்கு மீட்டர்களில், ஏனென்றால், நேர ஒருங்கிணைப்பு (முடிவிலியில் ஒரு நிலையான கடிகாரத்தால் அளவிடப்படும் நேரம்) வினாடிகளில், ஏனெனில், ரேடியல் ஒருங்கிணைப்பு (நட்சத்திரத்தை மையமாகக் கொண்ட ஒரு வட்டத்தின் சுற்றளவு) மீட்டர்களில் வகுக்கப்படுகிறது, ரேடியன்களில் உள்ள அட்சரேகை (வடக்கிலிருந்து கோணம்), ரேடியன்களில் உள்ள தீர்க்கரேகை, மற்றும் பெரிய பொருளின் (மீட்டர்களில்) ஸ்வார்ஸ்ஷைல்ட் ஆரம், இது ஈர்ப்பு விசை மாறிலி இருக்கும் இடத்தின் மூலம் அதன் வெகுஜனத்துடன் தொடர்புடையது. கிளாசிக்கல் நியூட்டனின் ஈர்ப்பு கோட்பாடு விகிதம் பூஜ்ஜியத்திற்குச் செல்லும்போது வரம்பில் மீட்கப்படுகிறது. அந்த வரம்பில், மெட்ரிக் சிறப்பு சார்பியலால் வரையறுக்கப்பட்டதற்குத் திரும்புகிறது. நடைமுறையில், இந்த விகிதம் கிட்டத்தட்ட எப்போதும் மிகவும் சிறியதாக இருக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, பூமியின் ஸ்வார்ஸ்ஷைல்ட் ஆரம் தோராயமாக 9 மிமீ (அங்குலம்) ஆகும்; பூமியின் மேற்பரப்பில், நியூட்டனின் ஈர்ப்பு விசையின் திருத்தங்கள் ஒரு பில்லியனில் ஒரு பகுதி மட்டுமே. சூரியனின் ஸ்வார்ஸ்ஷைல்ட் ஆரம் மிகவும் பெரியது, தோராயமாக 2953 மீட்டர், ஆனால் அதன் மேற்பரப்பில், விகிதம் தோராயமாக ஒரு மில்லியனில் 4 பாகங்கள் ஆகும். ஒரு வெள்ளை குள்ள நட்சத்திரம் மிகவும் அடர்த்தியானது, ஆனால் இங்கே கூட அதன் மேற்பரப்பில் உள்ள விகிதம் ஒரு மில்லியனில் சுமார் 250 பாகங்கள் ஆகும். நியூட்ரான் நட்சத்திரங்கள் (விகிதம் தோராயமாக 50 சதவீதம் இருக்கும்) மற்றும் கருந்துளைகள் போன்ற தீவிர அடர்த்தியான பொருட்களுக்கு அருகில் மட்டுமே இந்த விகிதம் பெரியதாகிறது. சோதனைத் துகள்களின் சுற்றுப்பாதைகள் ஒரு மாறியை கருத்தில் இருந்து அகற்ற சமச்சீர் பயன்படுத்துவதன் மூலம் சிக்கலை எளிதாக்கலாம். ஸ்வார்ஸ்ஷைல்டு அளவீடு சமச்சீராக இருப்பதால், அந்த தளத்தில் நகரத் தொடங்கும் எந்த புவியியலும் காலவரையின்றி அந்த தளத்தில் இருக்கும் (தளம் முற்றிலும் புவியியலாகும்). எனவே, துகள்களின் சுற்றுப்பாதை அந்த தளத்தில் இருக்கும் வகையில் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பை நாம் நோக்குநிலைப்படுத்துகிறோம், மேலும் (இந்த தளத்தின்) மெட்ரிக் இயக்கத்தின் இரண்டு மாறிலிகளுக்கு (சரியான நேரத்தில் மாறாத மதிப்புகள்) எளிதாக்கும் வகையில் ஒருங்கிணைப்பை சரிசெய்கிறோம். கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள வழித்தோன்றல்). ஒன்று மொத்த ஆற்றல்ஃ மற்றொன்று குறிப்பிட்ட கோண உந்தம் ஆகும்ஃ இரண்டு பொருட்களின் மொத்த கோண உந்தம் எங்கே, மற்றும் குறைக்கப்பட்ட நிறை. எப்போது, குறைக்கப்பட்ட நிறை தோராயமாக சமமாக இருக்கும். சில நேரங்களில் அது அனுமானிக்கப்படுகிறது. புதன் கிரகத்தைப் பொறுத்தவரை, இந்த எளிமைப்படுத்தல் சார்பியல் விளைவை விட இரண்டு மடங்கு பெரிய பிழையை அறிமுகப்படுத்துகிறது. புவியியலைப் பற்றி விவாதிக்கும்போது, கற்பனையாக கருதப்படலாம், மேலும் மாறிலிகள் மற்றும் முக்கியமானது என்ன. சாத்தியமான அனைத்து புவியியல்களையும் உள்ளடக்குவதற்காக, எல்லையற்ற (ஃபோட்டான்களின் பாதைகளை வழங்குதல்) அல்லது கற்பனையான (டாக்கியோனிக் ஜியோடெசிக்ஸுக்கு) நிகழ்வுகளை நாம் கருத்தில் கொள்ள வேண்டும். ஃபோட்டோனிக் வழக்கைப் பொறுத்தவரை, இரண்டு மாறிலிகளின் விகிதத்துடன் தொடர்புடைய ஒரு எண்ணையும் நாம் குறிப்பிட வேண்டும், அதாவது, இது பூஜ்ஜியமாகவோ அல்லது பூஜ்ஜியமற்ற உண்மையான எண்ணாகவோ இருக்கலாம். இந்த மாறிலிகளை ஸ்வார்ஸ்ஷைல்டு அளவீட்டின் வரையறைக்குள் மாற்றுவது ஆரத்திற்கான இயக்கத்தின் சமன்பாட்டை சரியான நேரத்தின் செயல்பாடாக வழங்குகிறதுஃ இதற்கு முறையான தீர்வு டாக்கியோனிக் புவியியியலுக்கு சதுர வேர் கற்பனையாக இருக்கும் என்பதை நினைவில் கொள்க. அறிகுறியற்ற முறையில் ஒருங்கிணைப்பு நேர்மாறான விகிதாசாரத்தில் இருப்பதால், குறிப்புச் சட்டகத்தை அணுகினால் அது எப்போதும் அதை அடையாமல் அதிவேகமாக செயல்படுகிறது என்பதை இது காட்டுகிறது. இருப்பினும், ஒரு செயல்பாடாக, அடைகிறது. மேற்கண்ட தீர்வுகள் செல்லுபடியாகும், அதே நேரத்தில் ஒருங்கிணைப்பு வரையறுக்கப்பட்டதாக இருக்கும், ஆனால் மொத்த தீர்வு இரண்டு அல்லது முடிவிலி துண்டுகளை உள்ளடக்கியிருக்கலாம், ஒவ்வொன்றும் ஒருங்கிணைப்பால் விவரிக்கப்படுகின்றன, ஆனால் சதுர மூலத்திற்கான மாற்று அறிகுறிகளுடன். பூஜ்ஜிய கோண உந்தத்துடன் ஃபோட்டோனிக் ஜியோடெசிக்ஸுக்கு () (ஃபோட்டோனிக் வழக்கில் சரியான நேரம் அற்பமானது என்றாலும், ஒருவர் ஒரு அஃபைன் அளவுருவை வரையறுக்க முடியும், பின்னர் ஜியோடெசிக் சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு ஆகும்). தீர்க்கக்கூடிய மற்றொரு வழக்கு என்னவென்றால், இதில் மற்றும் மற்றும் நிலையானது. இது சரியான நேரத்திற்கு கொடுக்கும் அளவில் இது சிறிய மற்றும் நேர்மறையான தீர்வுகளுக்கு அருகில் உள்ளது. கரைசலுக்கு வெளியே டாக்கியோனிக் உள்ளது மற்றும் "சரியான நேரம்" இடம் போன்றதுஃ இது சிறிய மற்றும் எதிர்மறையான பிற டாக்கியோனிக் கரைசல்களுக்கு அருகில் உள்ளது. வெளிப்புறத்தில் நிலையான டாக்கியோனிக் ஜியோடெசிக் ஒரு நிலையான ஜியோடெசிக் உட்புறத்தால் தொடரப்படுவதில்லை, மாறாக ஒரு "இணையான வெளிப்புற பிராந்தியத்தில்" தொடர்கிறது (க்ருஸ்கல்-செகெரெஸ் ஆயத்தொலைவுகளைப் பார்க்கவும்). பிற டாக்கியோனிக் கரைசல்கள் ஒரு கருந்துளையில் நுழைந்து இணையான வெளிப்புறப் பகுதிக்குள் மீண்டும் வெளியேறலாம். நிகழ்வு அடிவானத்திற்குள் நிலையான தீர்வு () ஒரு வெள்ளை துளைக்குள் ஒரு நிலையான தீர்வால் தொடர்கிறது. கோண உந்தம் பூஜ்ஜியமாக இல்லாதபோது, சரியான நேரத்தைச் சார்ந்திருப்பதை நாம் கோணத்தைச் சார்ந்திருப்பதன் மூலம் மாற்றலாம், இதன் வரையறையைப் பயன்படுத்தி சுற்றுப்பாதைக்கான சமன்பாட்டைக் கொடுக்கிறது, சுருக்கத்திற்கு, இரண்டு நீளம்-அளவுகள், மற்றும், குறிப்பு மூலம் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளன டாக்கியோனிக் வழக்கில், கற்பனை மற்றும் உண்மையான அல்லது எல்லையற்றதாக இருக்கும். அதே சமன்பாட்டை லக்ராஞ்சியன் அணுகுமுறை அல்லது ஹாமில்டன்-ஜாகோபி சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தி பெறலாம் (கீழே காண்க). சுற்றுப்பாதை சமன்பாட்டின் தீர்வு இது வீயர்ஸ்ட்ராஸ் நீள்வட்ட செயல்பாட்டின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தப்படலாம். உள்ளூர் மற்றும் தாமதமான வேகங்கள் கிளாசிக்கல் இயக்கவியலில் போலல்லாமல், ஸ்வார்ஸ்ஷைல்ட் ஆயத்தொலைவுகளில் மற்றும் உள்ளூர் வேகத்தின் ரேடியல் மற்றும் குறுக்கு கூறுகள் அல்ல (ஒரு நிலையான பார்வையாளருடன் ஒப்பிடுகையில்), அதற்கு பதிலாக அவை ரேடியல் மற்றும் இயக்கத்தின் குறுக்கு கூறுடன் தொடர்புடைய முடுக்கத்திற்கான கூறுகளை வழங்குகின்றன. காட்சியில் இருந்து வெகு தொலைவில் உள்ள ஒருங்கிணைப்பு புத்தகக் காப்பாளர் ஷாபிரோ-தாமதமான வேகத்தை கவனிக்கிறார், இது உறவு மற்றும் மூலம் வழங்கப்படுகிறது. புத்தகக் காப்பாளர் மற்றும் நகரும் சோதனை-துகள்களுக்கு இடையிலான நேர விரிதல் காரணியை எண் ஈர்ப்பு விசை மற்றும் வகுத்தல் என்பது நேர விரிதலின் இயக்கவியல் கூறு என்ற வடிவத்திலும் வைக்கலாம். முடிவிலியிலிருந்து விழும் ஒரு துகள் இடது காரணி வலது காரணிக்கு சமம், ஏனெனில் வீழ்ச்சியடையும் வேகம் இந்த விஷயத்தில் தப்பிக்கும் வேகத்துடன் பொருந்துகிறது. இரண்டு மாறிலிகள் கோண உந்தம் மற்றும் வெகுஜனத்துடன் ஒரு சோதனை-துகள்களின் மொத்த ஆற்றல் ஆகியவை பெரிய சோதனைத் துகள்களுக்கு லோரென்ட்ஸ் காரணி மற்றும் சரியான நேரம், அதே நேரத்தில் ஃபோட்டான்கள் போன்ற வெகுஜனமற்ற துகள்களுக்கு அமைக்கப்பட்டுள்ளது மற்றும் ஒரு அஃபைன் அளவுருவின் பாத்திரத்தை வகிக்கிறது. துகள் நிறை இல்லாததாக இருந்தால் மற்றும் உடன் மாற்றப்படுகிறது, பிளாங்க் மாறிலி மற்றும் உள்ளூரில் கவனிக்கப்படும் அதிர்வெண் எங்கே. நீள்வட்ட செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி துல்லியமான தீர்வு சுற்றுப்பாதையின் அடிப்படை சமன்பாடு தலைகீழ் ஆரத்தின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தப்பட்டால் அதைத் தீர்ப்பது எளிது இந்த சமன்பாட்டின் வலது புறம் ஒரு கன பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும், இது மூன்று வேர்களைக் கொண்டுள்ளது, இங்கே குறிக்கப்படுகிறது, மற்றும் மூன்று வேர்களின் கூட்டுத்தொகை உண்மையான குணகங்களைக் கொண்ட ஒரு கன பல்லுறுப்புக்கோவை மூன்று உண்மையான வேர்களைக் கொண்டிருக்கலாம் அல்லது ஒரு உண்மையான வேர் மற்றும் இரண்டு சிக்கலான இணை வேர்களைக் கொண்டிருக்கலாம். மூன்று வேர்களும் உண்மையான எண்களாக இருந்தால், வேர்கள் அவ்வாறு பெயரிடப்படுகின்றன. அதற்கு பதிலாக ஒரே ஒரு உண்மையான வேர் இருந்தால், அது குறிக்கப்படுகிறது; சிக்கலான இணை வேர்கள் பெயரிடப்பட்டுள்ளன மற்றும். டெஸ்கார்ட்டின் அறிகுறிகளின் விதியைப் பயன்படுத்தினால், அதிகபட்சம் ஒரு எதிர்மறை வேர் இருக்கலாம்; இருந்தால் மட்டுமே எதிர்மறையாக இருக்கும். கீழே விவாதிக்கப்பட்டபடி, சாத்தியமான சுற்றுப்பாதைகளின் வகைகளை தீர்மானிக்க வேர்கள் பயனுள்ளதாக இருக்கும். வேர்களின் இந்த முத்திரையைப் பொறுத்தவரை, அடிப்படை சுற்றுப்பாதை சமன்பாட்டின் தீர்வு செயல்பாட்டைக் குறிக்கிறது (ஜாகோபி நீள்வட்ட செயல்பாடுகளில் ஒன்று) மற்றும் ஆரம்ப நிலையை பிரதிபலிக்கும் ஒருங்கிணைப்பின் மாறிலி ஆகும். இந்த நீள்வட்ட செயல்பாட்டின் நீள்வட்ட மாடுலஸ் நியூட்டனின் வரம்பு என்ற சூத்திரத்தால் வழங்கப்படுகிறது. கிரக சுற்றுப்பாதைகளுக்கான நியூட்டனின் தீர்வை மீட்டெடுக்க, ஸ்வார்ஸ்ஷைல்ட் ஆரம் பூஜ்ஜியத்திற்குச் செல்லும்போது ஒருவர் வரம்பை எடுத்துக்கொள்கிறார். இந்த வழக்கில், மூன்றாவது வேர் தோராயமாக ஆகிறது, மற்றும் அல்லது விட மிகப் பெரியது. எனவே, மாடுலஸ் பூஜ்ஜியத்திற்கு முனைகிறது; அந்த வரம்பில், கிரக இயக்கங்களுக்கான நியூட்டனின் தீர்வுகளுக்கு இணக்கமான முக்கோணவியல் சைன் செயல்பாடாக மாறுகிறது, இந்த சூத்திரம் விசித்திரத்தின் ஒரு குவிய கூம்பு விவரிக்கிறது. பூஜ்ஜியம் அல்லது எதிர்மறை உண்மையான எண் என்றால், சுற்றுப்பாதை முறையே ஒரு பரவளையம் அல்லது ஒரு ஹைப்பர்போலா ஆகும். இந்த பிந்தைய இரண்டு நிகழ்வுகளில், மிக நெருக்கமான அணுகுமுறையின் தூரத்தைக் குறிக்கிறது; சுற்றுப்பாதை முடிவிலிக்குச் செல்வதால் (), தொலைதூர அணுகுமுறையின் தூரம் இல்லை. வேர்கள் மற்றும் சாத்தியமான சுற்றுப்பாதைகளின் கண்ணோட்டம் ஒரு வேர் என்பது சுற்றுப்பாதையின் ஒரு புள்ளியைக் குறிக்கிறது, அங்கு வழித்தோன்றல் மறைந்துவிடும், அதாவது, எங்கே. அத்தகைய திருப்புமுனையில், இரண்டாவது வழித்தோன்றலின் மதிப்பைப் பொறுத்து அதிகபட்சம், குறைந்தபட்சம் அல்லது ஒரு ஊடுருவல் புள்ளியை அடைகிறது, இது சூத்திரத்தால் வழங்கப்படுகிறது. மூன்று வேர்களும் தனித்துவமான உண்மையான எண்களாக இருந்தால், இரண்டாவது வழித்தோன்றல் முறையே u1, u2 மற்றும் u3 இல் நேர்மறை, எதிர்மறை மற்றும் நேர்மறை ஆகும். இது பின்வருமாறு, u மற்றும் φ இன் வரைபடம் u1 மற்றும் u2 க்கு இடையில் ஊசலாடலாம், அல்லது அது u3 இலிருந்து முடிவிலியை நோக்கி நகரலாம் (இது r பூஜ்ஜியத்திற்குச் செல்வதற்கு ஒத்திருக்கிறது). u1 எதிர்மறையாக இருந்தால், ஒரு "ஊசலாட்டத்தின்" ஒரு பகுதி மட்டுமே உண்மையில் ஏற்படும். இது முடிவிலியிலிருந்து வரும் துகள், மைய வெகுஜனத்திற்கு அருகில் வந்து, பின்னர் கிளாசிக்கல் தீர்வில் ஹைபர்போலிக் பாதை போல மீண்டும் முடிவிலியை நோக்கி நகர்வதுடன் ஒத்திருக்கிறது. துகள் அதன் கோண உந்தத்திற்கு சரியான அளவு ஆற்றலைக் கொண்டிருந்தால், u2 மற்றும் u3 ஒன்றிணைக்கும். இந்த வழக்கில் மூன்று தீர்வுகள் உள்ளன. சுற்றுப்பாதை சுழன்று, அந்த ஆரத்தை (அறிகுறியற்ற முறையில்) φ இல் குறைந்து வரும் அதிவேகமாக அணுகலாம், அல்லது. அல்லது அந்த ஆரத்தில் ஒரு வட்ட சுற்றுப்பாதையை வைத்திருக்கலாம். அல்லது அந்த ஆரத்திலிருந்து மையப் புள்ளி வரை சுழலும் ஒரு சுற்றுப்பாதையை ஒருவர் கொண்டிருக்கலாம். கேள்விக்குரிய ஆரம் உள் ஆரம் என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் 3 மடங்கு rs க்கு இடையில் உள்ளது. ஒரு வட்ட சுற்றுப்பாதை சமமாக இருக்கும்போது விளைகிறது, இது வெளிப்புற ஆரம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த பல்வேறு வகையான சுற்றுப்பாதைகள் கீழே விவாதிக்கப்படுகின்றன. துகள் போதுமான ஆற்றல் மற்றும் போதுமான குறைந்த கோண உந்தத்துடன் மைய வெகுஜனத்தில் வந்தால் மட்டுமே அது உண்மையானதாக இருக்கும். இது கருந்துளையில் விழும் துகள்களுக்கு ஒத்திருக்கிறது. சுற்றுப்பாதை சுழற்சிகள் φ இல் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட மாற்றத்துடன் உள்ளன. சுற்றுப்பாதைகளின் முன்கணிப்பு செயல்பாடு sn மற்றும் அதன் சதுர sn2 முறையே 4K மற்றும் 2K காலங்களைக் கொண்டுள்ளன, அங்கு K சமன்பாட்டால் வரையறுக்கப்படுகிறது எனவே, φ இல் ஒரு ஊசலாட்டத்தின் (அல்லது, சமமாக, ஒரு ஊசலாட்டத்தின்) மாற்றம் சமம் கிளாசிக்கல் வரம்பில், u3 அணுகுகிறது மற்றும் அல்லது விட மிகப் பெரியது. எனவே, தோராயமாக அதே காரணங்களுக்காக, δφ இன் வகுத்தல் தோராயமாக உள்ளது மாடுலஸ் பூஜ்ஜியத்திற்கு அருகில் இருப்பதால், கால K ஐ சக்திகளில் விரிவாக்க முடியும்; மிகக் குறைந்த வரிசைக்கு, இந்த விரிவாக்கம் விளைகிறது இந்த தோராயங்களை δφ க்கான சூத்திரத்தில் மாற்றுவதன் மூலம் ஒரு ரேடியல் அலைவுக்கு கோண முன்னேற்றத்திற்கான சூத்திரத்தை வழங்குகிறது. இவை நீள்வட்டத்தின் அரை-பெரிய அச்சு மற்றும் அதன் சுற்றுப்பாதை விசித்திரத்தன்மையின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தப்படலாம், இது இறுதி சமன்பாட்டை ஈர்ப்பு விசையால் ஒளியை வளைக்கிறது என்ற வரையறையை மாற்றும் வரம்பில் துகள் நிறை m பூஜ்ஜியத்திற்குச் செல்லும்போது (அல்லது, சமமாக ஒளி நேரடியாக மைய வெகுஜனத்தை நோக்கிச் செல்கிறது என்றால், நீளம் அளவீடு a முடிவிலிக்குச் செல்வது போல), சுற்றுப்பாதைக்கான சமன்பாடு அதிகாரங்களில் விரிவடைகிறது, இந்த சூத்திரத்தில் முன்னணி வரிசை சொல் முடிவிலியிலிருந்து வந்து முடிவிலிக்குச் செல்லும் வெகுஜனமற்ற துகளுக்கான தோராயமான கோண விலகல் δφ ஐ வழங்குகிறதுஃ இங்கே, தாக்க அளவுரு, நெருங்கிய அணுகுமுறையின் தூரத்தை விட சற்றே அதிகமாகும்ஃ இந்த சூத்திரம் தோராயமாக இருந்தாலும், அது சூரியனின் மேற்பரப்பில் ஒளி மேய்ச்சலுக்கு, தோராயமான கோண விலகல் தோராயமாக 1.75 ஆர்க் விநாடிகள் ஆகும், இது ஒரு வட்டத்தின் தோராயமாக ஒரு மில்லியனில் ஒரு பகுதியாகும். நியூட்டனின் இயற்பியலுடனான தொடர்பு பயனுள்ள ரேடியல் ஆற்றல் மேலே பெறப்பட்ட துகள்களுக்கான இயக்கத்தின் சமன்பாட்டை ஸ்வார்ஸ்ஷைல்ட் ஆரம் rs இன் வரையறையைப் பயன்படுத்தி மீண்டும் எழுதலாம், இது ஒரு பரிமாண பயனுள்ள ஆற்றலில் நகரும் ஒரு துகள் சமம் முதல் இரண்டு சொற்கள் நன்கு அறியப்பட்ட கிளாசிக்கல் ஆற்றல்கள், முதலாவது கவர்ச்சிகரமான நியூட்டனின் ஈர்ப்பு ஆற்றல் மற்றும் இரண்டாவது விரட்டும் "மையவிலக்கு" ஆற்றல்; இருப்பினும், மூன்றாவது சொல் பொது சார்பியலுக்கு தனித்துவமான ஒரு கவர்ச்சிகரமான ஆற்றல் ஆகும். கீழே மற்றும் பிற இடங்களில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி, இந்த தலைகீழ்-கனசதுர ஆற்றல் நீள்வட்ட சுற்றுப்பாதைகளை படிப்படியாக ஒரு சுழற்சிக்கு δφ கோணத்தால் முன்கூட்டியே செலுத்துகிறது, அங்கு அரை-பெரிய அச்சு மற்றும் விசித்திரமானது. மூன்றாவது சொல் கவர்ச்சிகரமானது மற்றும் சிறிய மதிப்புகளில் ஆதிக்கம் செலுத்துகிறது, இது ஒரு முக்கியமான உள் ஆரம் ரின்னரைக் கொடுக்கிறது, அதில் ஒரு துகள் தவிர்க்க முடியாமல் உள்நோக்கி இழுக்கப்படுகிறது; இந்த உள் ஆரம் என்பது ஒரு அலகு வெகுஜனத்திற்கு துகள் கோண உந்தத்தின் செயல்பாடு அல்லது அதற்கு சமமாக, மேலே வரையறுக்கப்பட்ட நீளம்-அளவு. வட்ட சுற்றுப்பாதைகள் மற்றும் அவற்றின் நிலைத்தன்மை பயனுள்ள ஆற்றலை நீளத்தின் அடிப்படையில் மீண்டும் எழுதலாம். பயனுள்ள விசை பூஜ்ஜியமாக இருக்கும்போது வட்ட சுற்றுப்பாதைகள் சாத்தியமாகும், அதாவது இரண்டு கவர்ச்சிகரமான விசைகள்-நியூட்டனின் ஈர்ப்பு (முதல் சொல்) மற்றும் பொது சார்பியலுக்கு தனித்துவமான ஈர்ப்பு (மூன்றாவது சொல்)-விரட்டும் மையவிலக்கு விசையால் (இரண்டாவது சொல்) சரியாக சமநிலைப்படுத்தப்படும் போது. இந்த சமநிலை ஏற்படக்கூடிய இரண்டு ஆரங்கள் உள்ளன, அவை இங்கே ரின்னர் மற்றும் திசைவி என்று குறிக்கப்படுகின்றன, அவை இருபடி சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி பெறப்படுகின்றன. உள் ஆரம் ரின்னர் நிலையற்றது, ஏனென்றால் r சிறியதாகும்போது கவர்ச்சிகரமான மூன்றாவது விசை மற்ற இரண்டு விசைகளை விட மிக வேகமாக வலுப்பெறுகிறது; துகள் ரின்னரிலிருந்து சற்று உள்நோக்கி நழுவினால் (மூன்று விசைகளும் சமநிலையில் இருக்கும் இடத்தில்), மூன்றாவது விசை மற்ற இரண்டையும் ஆதிக்கம் செலுத்துகிறது மற்றும் துகள் r = 0 க்கு உள்ளே இழுக்கிறது. இருப்பினும், வெளிப்புற ஆரத்தில், வட்ட சுற்றுப்பாதைகள் நிலையானவை; மூன்றாவது சொல் குறைவான முக்கியத்துவம் வாய்ந்தது மற்றும் அமைப்பு சார்பற்ற கெப்ளர் சிக்கலைப் போலவே செயல்படுகிறது. (கிளாசிக்கல் வழக்கு) விட மிகப் பெரியதாக இருக்கும்போது, இந்த சூத்திரங்கள் தோராயமாக rs மற்றும் rs இன் வரையறைகளை திசைவிக்கு மாற்றுவது வெகுஜனப் பொருளைச் சுற்றி வரும் வெகுஜனத் துகள்களுக்கான கிளாசிக்கல் சூத்திரத்தை அளிக்கிறது. இங்கு ωφ என்பது துகள்களின் சுற்றுப்பாதை கோண வேகம் ஆகும். நியூட்டனின் ஈர்ப்பு விசைக்கு சமமான மையவிலக்கு விசையை அமைப்பதன் மூலம் சார்பற்ற இயக்கவியலில் இந்த சூத்திரம் பெறப்படுகிறதுஃ குறைக்கப்பட்ட நிறை எங்கே? நமது குறியீட்டில், பாரம்பரிய சுற்றுப்பாதை கோண வேகம் சமம் மறுபுறம், a2 மேலே இருந்து 3r2 ஐ நெருங்கும் போது, இரண்டு ஆரங்களும் ஒரே மதிப்புக்கு ஒன்றிணைகின்றன மேலே உள்ள இருபடி தீர்வுகள் திசைவி எப்போதும் 3rs ஐ விட அதிகமாக இருப்பதை உறுதிசெய்கின்றன, அதே நேரத்தில் ரின்னர் rs மற்றும் 3rs க்கு இடையில் உள்ளது. rs ஐ விட சிறிய வட்ட சுற்றுப்பாதைகள் சாத்தியமில்லை. நிறை இல்லாத துகள்களுக்கு, a முடிவிலிக்குச் செல்கிறது, இது ரின்னர் = rs இல் ஃபோட்டான்களுக்கு ஒரு வட்ட சுற்றுப்பாதை உள்ளது என்பதைக் குறிக்கிறது. இந்த ஆரத்தின் கோளம் சில நேரங்களில் ஃபோட்டான் கோளம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஆரம் திசைவியின் வட்ட சுற்றுப்பாதையில் இருந்து ஒரு சிறிய ரேடியல் விலகல் ஒரு கோண அதிர்வெண்ணுடன் நிலையாக ஊசலாடும், இது இருபுறமும் சதுர மூலத்தை எடுத்து டெய்லர் தொடர் விரிவாக்க விளைச்சலைச் செய்வதற்கு சமம். ஸ்வார்ஸ்ஷைல்ட் ஆரம் rs இன் வரையறையை மாற்றுவதன் மூலம் இது நீள்வட்ட சுற்றுப்பாதையின் அரை ஆக்சிஸ் A மற்றும் விசித்திரத்தன்மை e ஐப் பயன்படுத்தி எளிமைப்படுத்தப்படலாம், இது சுற்றுப்பாதை சமன்பாட்டின் முன்கூட்டிய கோண கணித வழித்தோன்றல்களைக் கொடுக்கும் சூத்திரத்தால் தொடர்புடையது கிறிஸ்டோஃபெல் சின்னங்கள் ஸ்வார்ஸ்ஷைல்ட்-மெட்ரிக்க்கான மறைந்து போகாத கிறிஸ்டோஃபெல் சின்னங்கள்ஃ ஜியோடெசிக் சமன்பாடு ஐன்ஸ்டீனின் பொது சார்பியல் கோட்பாட்டின் படி, விண்வெளி நேரத்தில் புவியியியலில் மிகக் குறைவான வெகுஜன பயணத்தின் துகள்கள். தட்டையான விண்வெளி-நேரத்தில், ஈர்ப்பு மூலத்திலிருந்து வெகு தொலைவில், இந்த புவியியல் நேர் கோடுகளுடன் ஒத்திருக்கிறது; இருப்பினும், விண்வெளி-நேரம் வளைந்திருக்கும் போது அவை நேர் கோடுகளிலிருந்து விலகிச் செல்லக்கூடும். ஜியோடெசிக் கோடுகளுக்கான சமன்பாடு என்னவென்றால், γ என்பது கிறிஸ்டோஃபெல் சின்னத்தைக் குறிக்கிறது மற்றும் மாறி என்பது விண்வெளி-நேரத்தின் வழியாக துகள்களின் பாதையை அளவிடுகிறது, இது உலகக் கோடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. கிறிஸ்டோஃபெல் சின்னம் மெட்ரிக் டென்சரை மட்டுமே சார்ந்துள்ளது, அல்லது அது நிலைக்கு ஏற்ப எவ்வாறு மாறுகிறது என்பதைப் பொறுத்தது. மாறி என்பது நேரத்தைப் போன்ற சுற்றுப்பாதைகளுக்கான சரியான நேரத்தின் நிலையான பெருக்கமாகும் (அவை பெரிய துகள்களால் பயணிக்கின்றன), மேலும் பொதுவாக அதற்கு சமமாக இருக்கும். ஒளி போன்ற (அல்லது பூஜ்ய) சுற்றுப்பாதைகளுக்கு (ஃபோட்டான் போன்ற வெகுஜனமற்ற துகள்களால் பயணிக்கும்), சரியான நேரம் பூஜ்ஜியமாகும், கண்டிப்பாக பேசுகையில், மாறியாக பயன்படுத்த முடியாது. ஆயினும்கூட, ஒளி போன்ற சுற்றுப்பாதைகளை நேர சமமான சுற்றுப்பாதைகளின் அல்ட்ரா ரிலேட்டிவிஸ்டிக் வரம்பாகப் பெறலாம், அதாவது, துகள் நிறை m அதன் மொத்த ஆற்றலை நிலையாக வைத்திருக்கும்போது பூஜ்ஜியத்திற்குச் செல்லும் வரம்பு. எனவே, ஒரு துகள் இயக்கத்தைத் தீர்க்க, மிகவும் நேரடியான வழி ஜியோடெசிக் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதாகும், இது ஐன்ஸ்டீன் மற்றும் பிறரால் ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட அணுகுமுறையாகும். ஸ்வார்ஸ்ஷைல்ட் அளவீட்டை இரண்டு செயல்பாடுகளும் அதன் பரஸ்பரமும் சுருக்கத்திற்கு வரையறுக்கப்பட்ட இடத்தில் எழுதப்படலாம். இந்த அளவீட்டில் இருந்து, கிறிஸ்டோஃபெல் சின்னங்கள் கணக்கிடப்படலாம், மேலும் முடிவுகள் புவியியல் சமன்பாடுகளாக மாற்றப்படலாம் இந்த நான்கு சமன்பாடுகளில் முதலாவதாக மாற்றுவதன் மூலம் இது ஒரு சரியான தீர்வாகும் என்பதை சரிபார்க்கலாம். சமச்சீர் மூலம், சுற்றுப்பாதை சமதளமாக இருக்க வேண்டும், மேலும் பூமத்திய ரேகை தளம் சுற்றுப்பாதையின் தளமாக இருக்கும் வகையில் ஒருங்கிணைப்பு சட்டகத்தை ஏற்பாடு செய்ய நாம் சுதந்திரமாக இருக்கிறோம். இந்த தீர்வு இரண்டாவது மற்றும் நான்காவது சமன்பாடுகளை எளிதாக்குகிறது. இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க, அவற்றை முறையே மற்றும் ஆல் வகுத்தால் போதுமானது. இது இரண்டு இயக்க மாறிலிகளைத் தருகிறது. லாக்ராஞ்சியன் அணுகுமுறை சோதனைத் துகள்கள் ஒரு நிலையான அளவீட்டில் புவியியலைப் பின்பற்றுவதால், அந்த துகள்களின் சுற்றுப்பாதைகள் மாறுபாடுகளின் கால்குலஸைப் பயன்படுத்தி தீர்மானிக்கப்படலாம், இது லாக்ராஞ்சியன் அணுகுமுறை என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. புவியியல் கோட்பாட்டைப் பொறுத்தவரை, அவற்றின் ஆயத்தொகுதிகளில் உள்ள சிறிய உள்ளூர் மாறுபாடுகள் (அவற்றின் இறுதிப் புள்ளிகள் நிகழ்வுகளை நிலையான நிலையில் வைத்திருக்கும்போது) அவற்றின் ஒட்டுமொத்த நீளத்தில் குறிப்பிடத்தக்க மாற்றத்தை ஏற்படுத்தாத வளைவுகளாக வரையறுக்கப்படுகின்றன. இது கணித ரீதியாக வேறுபாடுகளின் கால்குலஸைப் பயன்படுத்தி வெளிப்படுத்தப்படலாம், அங்கு τ என்பது சரியான நேரம், s = cτ என்பது இடைவெளி-நேரத்தில் வளைவு-நீளம் மற்றும் T என்பது இயக்க ஆற்றலுடன் ஒப்புமை என வரையறுக்கப்படுகிறது. சரியான நேரத்தைப் பொறுத்தவரை வழித்தோன்றல் சுருக்கத்திற்கான ஒரு புள்ளியால் குறிப்பிடப்பட்டால், டி நிலையான காரணிகளாக எழுதப்படலாம் (சி அல்லது இரண்டின் வர்க்கமூலம் போன்றவை) மாறுபட்ட சிக்கலுக்கான பதிலை பாதிக்காது; எனவே, ஒருங்கிணைந்த விளைச்சலுக்குள் மாறுபாட்டை எடுத்துக்கொள்வது ஹாமில்டனின் கொள்கையை வழங்குகிறது மாறுபட்ட சிக்கலின் தீர்வு லாக்ரேஞ்சின் சமன்பாடுகளால் வழங்கப்படுகிறது t மற்றும் φ க்கு பயன்படுத்தப்படும்போது, இந்த சமன்பாடுகள் இரண்டு நிலையான நீள அளவுகளின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தக்கூடிய இரண்டு இயக்க மாறிலிகளை வெளிப்படுத்துகின்றன, மேலும் மேலே காட்டப்பட்டுள்ளபடி, ஸ்வார்ஸ்ஷைல்ட் மெட்ரிக் வரையறையில் இந்த சமன்பாடுகளை மாற்றுவது சுற்றுப்பாதைக்கான சமன்பாட்டை வழங்குகிறது. ஹாமில்டோனியன் அணுகுமுறை ஒரு லாக்ராஞ்சியன் கரைசலை சமமான ஹாமில்டோனியன் வடிவத்தில் மறுசீரமைக்கலாம். இந்த வழக்கில், ஹாமில்டோனியன் மீண்டும் ஒரு முறை வழங்கப்படுகிறது, சுற்றுப்பாதை சமச்சீர் மூலம் கட்டுப்படுத்தப்படலாம். முதல் சமன்பாட்டை இரண்டாவது சமன்பாட்டால் வகுப்பதன் மூலம் சரியான நேரத்தைப் பொறுத்து வழித்தோன்றல்கள் வழங்கப்படுகின்றன சுற்றுப்பாதை சமன்பாட்டை வழங்குகிறது ரேடியல் வேகத்தை r இன் அடிப்படையில் ஹாமில்டோனியனின் நிலைத்தன்மையைப் பயன்படுத்தி வெளிப்படுத்தலாம்; இது ஹாமில்டோனியன்-ஜாகோபி அணுகுமுறையின் அடிப்படை சுற்றுப்பாதை சமன்பாட்டை வழங்குகிறது சுற்றுப்பாதை சமன்பாட்டை ஹாமில்டோன்-ஜாகோபி சமன்பாட்டிலிருந்து பெறலாம். இந்த அணுகுமுறையின் நன்மை என்னவென்றால், இது துகள் இயக்கத்தை ஒரு அலையின் பரப்புதலுடன் சமன் செய்கிறது, மேலும் ஃபெர்மாட்டின் கொள்கையின் மூலம் பொது சார்பியலில் ஈர்ப்பு விசையால் ஒளியின் விலகல் வழித்தோன்றலுக்கு நேர்த்தியாக வழிவகுக்கிறது. அடிப்படை யோசனை என்னவென்றால், ஈர்ப்பு விசை நேரம் குறைந்து வருவதால், ஈர்ப்பு விசைக்கு நெருக்கமான ஒரு அலை-முன்புறத்தின் பகுதிகள் மேலும் தொலைவில் இருப்பதை விட மெதுவாக நகர்கின்றன, இதனால் அலை-முன்புறத்தின் பரப்புதலின் திசையை வளைக்கின்றன. பொதுவான கோவேரியன்ஸைப் பயன்படுத்தி, அலகு வெகுஜனத்தின் ஒற்றைத் துகளுக்கான ஹாமில்டன்-ஜாகோபி சமன்பாட்டை தன்னிச்சையான ஆயத்தொகுப்புகளில் வெளிப்படுத்தலாம், ஏனெனில் இது மேலே உள்ள ஹாமில்டோனியன் சூத்திரத்திற்கு சமம், செயல்பாட்டின் பகுதி வழித்தோன்றல்கள் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட மொமெண்டாவின் இடத்தைப் பெறுகின்றன. ஸ்வார்ஸ்ஷைல்ட் மெட்ரிக் ஜி. எம். யு. என். ஐப் பயன்படுத்தி, இந்த சமன்பாடு மீண்டும் கோள ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பை சுற்றுப்பாதையின் தளத்துடன் நோக்குகிறது. நேரம் t மற்றும் அசிமுத்தல் கோணம் φ ஆகியவை சுழற்சி ஆயத்தொலைவுகளாகும், இதனால் ஹாமில்டனின் முதன்மை செயல்பாடு S க்கான தீர்வை எங்கே மற்றும் நிலையான பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட மொமெண்டா என்று எழுத முடியும். ஹாமில்டன்-ஜாகோபி சமன்பாடு ரேடியல் பகுதிக்கு ஒரு ஒருங்கிணைந்த தீர்வை வழங்குகிறது. பாதுகாக்கப்பட்ட வேகத்தைப் பொறுத்தவரை ஹாமில்டனின் முதன்மை செயல்பாடு S இன் வழித்தோன்றலை எடுத்துக்கொள்வது pφ விளைச்சலுக்கு சமம். φ மற்றும் r இல் ஒரு மிகச்சிறிய மாறுபாட்டை எடுத்துக்கொள்வது அடிப்படை சுற்றுப்பாதை சமன்பாட்டை அளிக்கிறது, அங்கு பாதுகாக்கப்பட்ட நீளம்-அளவுகள் a மற்றும் b ஆகியவை ஹாமில்டனின் கொள்கையால் பாதுகாக்கப்பட்ட தருணத்தால் வரையறுக்கப்படுகின்றன. இதற்கு மாறுபாடுகளின் கால்குலஸை ஒருவர் பயன்படுத்தினால், ஒருவர் மீண்டும் ஒரு ஜியோடெசிக்கான சமன்பாடுகளைப் பெறுகிறார். கணக்கீடுகளை எளிமைப்படுத்த, ஒருவர் முதலில் ஒருங்கிணைப்பின் சதுரத்தின் மாறுபாட்டை எடுத்துக்கொள்கிறார். இந்த வழக்கின் மெட்ரிக் மற்றும் ஆயத்தொகுதிகளுக்கு மற்றும் பூமத்திய ரேகை தளத்தில் துகள் நகர்கிறது என்று கருதினால், அந்த சதுரம் இதன் மாறுபாட்டை எடுத்துக்கொள்வது தீர்க்கரேகையைப் பொறுத்து தீர்க்கரேகையில் இயக்கத்தை வேறுபடுத்துகிறது, இது ஒருங்கிணைப்பின் மாறுபாட்டைப் பெறுவதற்கு மட்டுமே வகுக்கப்படுகிறது. உள்ளே உள்ள மற்ற காரணி எல்லா இடங்களிலும் பூஜ்ஜியமாக இல்லாவிட்டால், ஒரு தவறான தேர்வு மூலம் ஒருங்கிணைப்பை பூஜ்ஜியமற்றதாக மாற்றலாம். எனவே இயக்கத்தின் சமன்பாடு நேரத்தைப் பொறுத்தவரை இயக்கமாகும், இது ஒருங்கிணைப்பின் மாறுபாட்டைப் பெறுவதற்காக மட்டுமே வகுக்கப்படுகிறது எனவே பகுதிகளால் ஒருங்கிணைப்பது தருகிறது எனவே இயக்கத்தின் சமன்பாடு பாதுகாக்கப்பட்ட தருணம் ஆகும் எனவே ஒருங்கிணைப்பின் மாறிலிகளைத் தீர்மானிக்க இந்த இயக்கத்தின் சமன்பாடுகளை ஒருங்கிணைக்கவும். ரேடியல் மோஷன் சப்ஸ்டிட்யூட்டிங் மற்றும் மெட்ரிக் சமன்பாட்டிற்குள் (மற்றும் பயன்படுத்துதல்) ஒருவர் பெறக்கூடியதை வழங்குகிறது, இது இயக்கத்தின் சமன்பாடாகும். இதைப் பெறுவதற்கு வகுப்பதன் மூலம் சார்ந்திருப்பதைக் காணலாம், இது நிறை இல்லாத துகள்களுக்கு கூட பொருந்தும். நீள அளவுகோல்கள் வரையறுக்கப்பட்டு, பின்னர் சார்ந்திருப்பதை எளிதாக்குகிறது மேலும் காண்க கிளாசிக்கல் சென்ட்ரல்-ஃபோர்ஸ் பிராப்ளம் ஃபிரேம் ஃபீல்ட்ஸ் இன் ஜெனரல் ரிலேட்டிவிட்டி கெப்ளர் பிராப்ளம் டூ-பாடி பிராப்ளம் இன் ஜெனரல் ரிலேட்டிவிட்டி குறிப்புகள் குறிப்புகள் நூலியல் ஸ்வார்ஸ்ஷைல்ட், கே. (1916). கிரேவிடேஷன்ஸ்ஃபீல்ட் மாசென்பங்க்ட்ஸ் ஐன்ஸ்டீனின் கோட்பாட்டைப் புரிந்துகொள்ளவில்லை. அகாதமி 1,189-196. அசல் காகிதத்தின் அசல் காகித உரையின் ஸ்கேன், விக்கி மூல மொழிபெயர்ப்பில் அன்டோசி மற்றும் லோயிங்கர் காகிதத்தில் ஒரு வர்ணனை, ஸ்வார்ஸ்ஷைல்ட், கே. (1916) என்ற எளிய வழித்தோன்றலை வழங்குகிறது. கிரேவிடேஷன்ஸ்ஃபீல்ட் குகல் ஒரு இன்க் கம்ப்ரஸ்ஸிப்லர் ஃப்ளூசிக்வீட். மாணவர்களுக்கான கல்விக்கழகம் 1,424-? (ஈர்ப்பு (புத்தகத்தைப் பார்க்கவும்).) வெளிப்புற இணைப்புகள் கெவின் பிரவுன் எழுதிய சார்பியல் பற்றிய பிரதிபலிப்புகளிலிருந்து ஒரு பகுதி. பொது சார்பியலில் துல்லியமான தீர்வுகள்