Angle of parallelism
ஹைபர்போலிக் வடிவவியலில், இணையான கோணம் என்பது இரண்டு அறிகுறியற்ற இணையான பக்கங்களைக் கொண்ட வலது ஹைபர்போலிக் முக்கோணத்தின் வலது அல்லாத கோண உச்சியில் உள்ள கோணமாகும். கோணம் வலது கோணத்திற்கும் இணையான கோணத்தின் உச்சிக்கும் இடையிலான பிரிவின் நீளத்தைப் பொறுத்தது. ஒரு கோட்டில் இல்லாத ஒரு புள்ளியைக் கொடுத்தால், புள்ளியில் இருந்து கோட்டிற்கு செங்குத்தாக ஒரு புள்ளியை விடுங்கள். இந்த செங்குத்தான பிரிவின் நீளமாக a இருக்கட்டும், மேலும் புள்ளியின் வழியாக வரையப்பட்ட கோடு கொடுக்கப்பட்ட கோட்டை வெட்டாத வகையில் மிகக் குறைந்த கோணமாக இருக்கட்டும். இரண்டு பக்கங்களும் அறிகுறியற்ற முறையில் இணையாக இருப்பதால், தொடர்புடைய ஐந்து சமமான வெளிப்பாடுகள் உள்ளன மற்றும் a: இங்கு சின், கோஷ், டான், செச் மற்றும் csch ஆகியவை ஹைபர்போலிக் செயல்பாடுகள் மற்றும் gd என்பது குடர்மேனியன் செயல்பாடு ஆகும். கட்டுமானம் ஜானோஸ் போல்யாய் ஒரு கட்டமைப்பைக் கண்டுபிடித்தார், இது r இல் இல்லாத ஒரு புள்ளியின் வழியாகச் செல்லும் ஒரு கோடு r க்கு அறிகுறியற்ற இணையாக s ஐக் கொடுக்கிறது. r இல் A இலிருந்து B க்கு செங்குத்தாக ஒரு புள்ளியைக் குறைக்கவும். B இலிருந்து வேறுபட்ட r இல் எந்த புள்ளியையும் C ஐத் தேர்ந்தெடுக்கவும். ஒரு செங்குத்தான t ஐ c இல் r ஆக உயர்த்தவும். t இல் A இலிருந்து D க்கு செங்குத்தாக ஒரு சொட்டு சொட்டு சொட்டு சொட்டு சொட்டு சொட்டு சொட்டு சொட்டு சொட்டு சொட்டு சொட்டு சொட்டு சொட்டு சொட்டு சொட்டு சொட்டு சொட்டு சொட்டு சொட்டு சொட்டு சொட்டு சொட்டு சொட்டு சொட்டு சொட்டு சொட்டு சொட்டு சொட்டு சொட்டு சொட்டு சொட்டு சொட்டு சொட்டு சொட்டு சொட்டு சொட்டு சொட்டு சொட்டு சொட்டு சொட்டு சொட்டு சொட்டு சொட்டு சொட்டு சொட்டு சொட்டு சொட்டு சொட்டு சொட்டு சொட்டு சொட்டு சொட்டு சொட்டு சொட்டு சொட்டு சொட்டு சொட்டு சொட்டு சொட்டு சொட்டு சொட்டு சொட்டு சொட்டு சொட்டு சொட்டு சொட்டு சொட்டு சொட்டு சொட்டு சொட்டு சொட்டு சொட்டு சொட்டு சொட்டு சொட்டு நீளம். DA க்கு சமமான ஆரம் கொண்ட C ஐச் சுற்றி ஒரு வட்டத்தை வரையவும். பின்னர் BEC கோணம் BC நீளத்திலிருந்து சுயாதீனமாக உள்ளது, இது AB ஐ மட்டுமே சார்ந்துள்ளது; இது இணையான கோணமாகும். AB இலிருந்து BEC கோணத்தில் A வழியாக s ஐ உருவாக்கவும். இங்கே பயன்படுத்தப்படும் சூத்திரங்களுக்கான வலது முக்கோணங்களின் முக்கோண அளவீட்டைப் பார்க்கவும். வரலாறு இணையான கோணம் 1840 ஆம் ஆண்டில் நிகோலாய் லோபாச்சேவ்ஸ்கியின் ஜெர்மன் வெளியீடான "ஜியோமெட்ரிஷ் அன்டர்சுச்சுங்கன் ஜுர் தியரி டெர் பாரல்லல்லினியன்" இல் உருவாக்கப்பட்டது. 1891 ஆம் ஆண்டில் டெக்சாஸ் பேராசிரியர் ஜி. பி. ஹால்ஸ்டெட் ஒரு மொழிபெயர்ப்பை தயாரித்த பிறகு இந்த வெளியீடு ஆங்கிலத்தில் பரவலாக அறியப்பட்டது. (இணையான கோட்பாடு குறித்த வடிவியல் ஆராய்ச்சிகள்) பின்வரும் பத்திகள் ஹைபர்போலிக் வடிவவியலில் இந்த முக்கிய கருத்தை வரையறுக்கின்றனஃ இணையான எச்ஏ மற்றும் செங்குத்தான ஏ. டி. க்கு இடையிலான கோணம் எச்ஏடி இணையான கோணம் (இணையான கோணம்) என்று அழைக்கப்படுகிறது, இதை நாம் இங்கே AD = p க்கு Π (p) ஆல் குறிப்பிடுவோம். Q என்பது x-அச்சில் விட்டம் கொண்ட அரை வட்டமாக இருக்கட்டும், இது புள்ளிகள் (1,0) மற்றும் (0, y) வழியாக செல்கிறது, அங்கு y> 1. Q என்பது தோற்றத்தை மையமாகக் கொண்ட அலகு அரை வட்டத்திற்கு தொடுகோடு என்பதால், இரண்டு அரை வட்டங்களும் இணையான ஹைபர்போலிக் கோடுகளைக் குறிக்கின்றன. y-அச்சு இரண்டு அரை வட்டங்களையும் கடந்து, அலகு அரை வட்டத்துடன் ஒரு சரியான கோணத்தையும், Q உடன் ஒரு மாறி கோணத்தையும் உருவாக்குகிறது. இரண்டு கோணங்களும் செங்குத்தாக, இடது பக்கத்திலிருந்து இடது பக்கமாகவும், வலது பக்கத்திலிருந்து வலது பக்கமாகவும் இருப்பதால், (0, y) ஆரத்தால் உட்படுத்தப்பட்ட Q இன் மையத்தில் உள்ள கோணமும் φ ஆகும். அரை வட்டமான Q அதன் மையத்தை (x, 0), x <0 இல் கொண்டுள்ளது, எனவே அதன் ஆரம் 1 − x ஆகும். எனவே, ஹைபர்போலிக் வடிவவியலின் பாயின்கேர் அரை-தள மாதிரியின் அளவீடு {(0, y): y> 0} கதிரில் உள்ள தூரத்தை மடக்கை அளவீட்டுடன் அளவிடுகிறது. லாக் y = a என்று வைத்துக்கொள்வோம், எனவே y = ea இங்கு e என்பது இயற்கையான மடக்கை அடிப்படையாகும். பின்னர் φ க்கும் a க்கும் இடையிலான உறவை முக்கோணம் {(x, 0), (0,0), (0, y)} இலிருந்து கணக்கிடலாம், எடுத்துக்காட்டாகஃ குறிப்புகள் மார்வின் ஜே. கிரீன்பெர்க் (1974) யூக்ளிடியன் மற்றும் யூக்ளிடியன் அல்லாத வடிவவியல்கள், pp. 211-3, டபிள்யூ. எச். ஃப்ரீமேன் & கம்பெனி. ராபின் ஹார்ட்ஷோர்ன் (1997) கம்பானியன் டு யூக்ளிட் pp. 319, 325, அமெரிக்க கணித சங்கம்,. ஜெர்மி கிரே (1989) ஐடியாஸ் ஆஃப் ஸ்பேஸ்ஃ யூக்ளிடியன், யூக்ளிடியன் அல்லாத மற்றும் சார்பியல், 2 வது பதிப்பு, கிளாரெண்டன் பிரஸ், ஆக்ஸ்போர்டு (பக்கங்கள் 113 முதல் 118 வரை பார்க்கவும்). பெலா கெரெக்ஜார்டோ (1966) லெஸ் ஃபாண்ட்மெண்ட்ஸ் டி லா ஜியோமெட்ரி, டோம் டியூக்ஸ், § 97.6 ஏங்கிள் டி பாரல்லலிஸ்மெ டி லா ஜியோமெட்ரி ஹைபர்போலிக், pp. 411, 2, அகாடெமியா கியாடோ, புடாபெஸ்ட். ஹைபர்போலிக் வடிவியல் செயல்பாடுகள் மற்றும் வரைபடங்கள் கோணம்