Pure subgroup
கணிதத்தில், குறிப்பாக அபெலியன் குழுக்களின் கோட்பாட்டைப் படிக்கும் இயற்கணிதப் பகுதியில், ஒரு தூய துணைக்குழு என்பது நேரடி கூட்டுத்தொகையின் பொதுமைப்படுத்தலாகும். இது அபெலியன் குழு கோட்பாடு மற்றும் தொடர்புடைய பகுதிகளில் பல பயன்பாடுகளைக் கண்டறிந்துள்ளது. வரையறை ஒரு (பொதுவாக அபெலியன்) குழுவின் ஒரு துணைக்குழு ஒரு உறுப்பு ஒரு வேர் இருக்கும் போதெல்லாம், அது அவசியம் ஒரு வேர் இருந்தால் தூய என்று கூறப்படுகிறது. முறைப்படிஃ, ஜி இல் ஒரு இருப்பு என்பது எஸ் இல் ஒரு இருப்பு போன்றது. தூய துணைக்குழுக்கள் தனிமைப்படுத்தப்பட்ட துணைக்குழுக்கள் அல்லது சேவை செய்யும் துணைக்குழுக்கள் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன, மேலும் அவை முதன்முதலில் ப்ரூஃபரின் 1923 ஆய்வறிக்கையில் ஆராயப்பட்டன, இது முதன்மை அபெலியன் குழுக்களின் சிதைவுக்கான நிலைமைகளை தூய துணைக்குழுக்களைப் பயன்படுத்தி சுழற்சி குழுக்களின் நேரடி தொகைகளாக விவரித்தது. ப்ரூஃபரின் பணி குலிகோஃப் மூலம் பூர்த்தி செய்யப்பட்டது, அங்கு பல முடிவுகள் தூய துணைக்குழுக்களை முறையாகப் பயன்படுத்தி மீண்டும் நிரூபிக்கப்பட்டன. குறிப்பாக, வரையறுக்கப்பட்ட அடுக்கின் தூய துணைக்குழுக்கள் நேரடி கூட்டுத்தொகைகள் என்பதற்கு ஒரு சான்று வழங்கப்பட்டது. தூய துணைக்குழுக்கள், எல்லையற்ற அபெலியன் குழு கோட்பாட்டுடன் அவற்றின் உறவு மற்றும் அவர்களின் இலக்கியம் பற்றிய ஒரு கணக்கெடுப்பு பற்றிய முழுமையான விவாதம் இர்விங் கப்லான்ஸ்கியின் சிறிய சிவப்பு புத்தகத்தில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. எடுத்துக்காட்டுகள் ஒரு குழுவின் ஒவ்வொரு நேரடி கூட்டுத்தொகையும் ஒரு தூய துணைக்குழுவாகும். ஒரு தூய துணைக்குழுவின் ஒவ்வொரு தூய துணைக்குழுவும் தூய்மையானது. ஒரு அபெலியன் குழுவின் பிரிக்கக்கூடிய துணைக்குழு தூய்மையானது. ஈவுக் குழு முறிவு இல்லாததாக இருந்தால், துணைக்குழு தூய்மையானது. ஒரு அபெலியன் குழுவின் சுழல் துணைக்குழு தூய்மையானது. தூய துணைக்குழுக்களின் வழிநடத்தப்பட்ட ஒன்றிணைப்பு ஒரு தூய துணைக்குழுவாகும். இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட அபெலியன் குழுவில் முறுக்கு துணைக்குழு ஒரு நேரடி கூட்டுத்தொகை என்பதால், முறுக்கு துணைக்குழு எப்போதும் ஒரு அபெலியன் குழுவின் நேரடி கூட்டுத்தொகையாக இருக்கிறதா என்று ஒருவர் கேட்கலாம். இது எப்போதும் ஒரு கூட்டுத்தொகை அல்ல, ஆனால் இது ஒரு தூய துணைக்குழு என்று மாறிவிடும். சில லேசான நிலைமைகளின் கீழ், தூய துணைக்குழுக்கள் நேரடி கூட்டுத்தொகைகள் ஆகும். எனவே, குலிகோப்பின் காகிதத்தில் உள்ளதைப் போல, அந்த நிலைமைகளின் கீழ் ஒருவர் இன்னும் விரும்பிய முடிவை மீட்டெடுக்க முடியும். வரையறுக்கப்பட்ட நிபந்தனைகளுடன் நேரடி கூட்டுத்தொகைகளின் விளைவாகவும், குறைந்த கட்டுப்பாட்டு வரையறுக்கப்பட்ட நிபந்தனைகளுடன் நேரடி கூட்டுத்தொகைகளில் முழு முடிவுக்கும் இடையில் ஒரு இடைநிலை சொத்தாக தூய துணைக்குழுக்களைப் பயன்படுத்தலாம். இந்த பயன்பாட்டின் மற்றொரு எடுத்துக்காட்டு ப்ரூஃபரின் காகிதமாகும், அங்கு "வரையறுக்கப்பட்ட முறுக்கு அபெலியன் குழுக்கள் சுழற்சி குழுக்களின் நேரடி கூட்டுத்தொகைகள்" என்ற உண்மை, தூய துணைக்குழுக்களின் இடைநிலை பரிசீலனை மூலம் "வரையறுக்கப்பட்ட அடுக்குகளின் அனைத்து முறிவு அபெலியன் குழுக்களும் சுழற்சி குழுக்களின் நேரடி கூட்டுத்தொகைகள்" என்ற முடிவுக்கு நீட்டிக்கப்படுகிறது. பொதுமைப்படுத்தல்கள் தூய துணைக்குழுக்கள் அபெலியன் குழுக்கள் மற்றும் தொகுதிகளின் கோட்பாட்டில் பல வழிகளில் பொதுமைப்படுத்தப்பட்டன. தூய துணை தொகுதிகள் பல்வேறு வழிகளில் வரையறுக்கப்பட்டன, ஆனால் இறுதியில் டென்சர் தயாரிப்புகள் அல்லது சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளின் அடிப்படையில் நவீன வரையறையில் குடியேறின; முந்தைய வரையறைகள் பொதுவாக n 'th வேர்களுக்கு மேலே பயன்படுத்தப்பட்ட ஒற்றை சமன்பாடு போன்ற நேரடி பொதுமைப்படுத்தல்களாக இருந்தன. தூய ஊசி மற்றும் தூய ப்ரொஜெக்டிவ் தொகுதிகள் ப்ரூஃபரின் 1923 ஆய்வறிக்கையின் கருத்துக்களிலிருந்து நெருக்கமாகப் பின்பற்றப்படுகின்றன. தூய ப்ரொஜெக்டிவ் தொகுதிகள் தூய ஊசி போன்ற பல பயன்பாடுகளைக் கண்டறியவில்லை என்றாலும், அவை அசல் வேலையுடன் மிகவும் நெருக்கமாக தொடர்புடையவைஃ ஒரு தொகுதி இறுதியாக வழங்கப்பட்ட தொகுதிகளின் நேரடி கூட்டுத்தொகையின் நேரடி கூட்டுத்தொகையாக இருந்தால் அது தூய ப்ரொஜெக்டிவ் ஆகும். முழு எண்கள் மற்றும் அபெலியன் குழுக்களைப் பொறுத்தவரை, ஒரு தூய ப்ரொஜெக்டிவ் தொகுதி சுழற்சி குழுக்களின் நேரடி கூட்டுத்தொகைக்கு சமம். குறிப்புகள் அத்தியாயம் III. துணைக்குழு பண்புகள் அபெலியன் குழு கோட்பாடு