Gas in a box
குவாண்டம் இயக்கவியலில், பெட்டியில் உள்ள குவாண்டம் துகள்களின் முடிவுகளை ஒரு பெட்டியில் உள்ள குவாண்டம் இலட்சிய வாயுவின் சமநிலை நிலைமையைப் பார்க்கப் பயன்படுத்தலாம், இது உடனடி வெப்பமயமாக்கல் மோதல்களைத் தவிர ஒருவருக்கொருவர் தொடர்பு கொள்ளாத அதிக எண்ணிக்கையிலான மூலக்கூறுகளைக் கொண்ட ஒரு பெட்டியாகும். இந்த எளிய மாதிரியை கிளாசிக்கல் ஐடியல் வாயு மற்றும் பல்வேறு குவாண்டம் ஐடியல் வாயுக்களான ஐடியல் மாஸ் பெர்மி வாயு, ஐடியல் மாஸ் போஸ் வாயு மற்றும் பிளாக் பாடி கதிர்வீச்சு (ஃபோட்டான் வாயு) ஆகியவற்றை விவரிக்கப் பயன்படுத்தலாம், இது ஒரு மாஸ் இல்லாத போஸ் வாயுவாகக் கருதப்படலாம், இதில் வெப்பமயமாக்கல் பொதுவாக ஃபோட்டான்களின் சமநிலையான வெகுஜனத்துடன் தொடர்பு கொள்வதன் மூலம் எளிதாக்கப்படுகிறது என்று கருதப்படுகிறது. மேக்ஸ்வெல்-போல்ட்ஸ்மேன் புள்ளிவிவரங்கள், போஸ்-ஐன்ஸ்டீன் புள்ளிவிவரங்கள் அல்லது ஃபெர்மி-டிராக் புள்ளிவிவரங்கள் ஆகியவற்றின் முடிவுகளைப் பயன்படுத்தி, மிகப் பெரிய பெட்டியின் வரம்பைக் கருத்தில் கொண்டு, தாமஸ்-ஃபெர்மி தோராயமானது (என்ரிகோ ஃபெர்மி மற்றும் லெவெலின் தாமஸ் ஆகியோரின் பெயரால் பெயரிடப்பட்டது) ஆற்றல் நிலைகளின் சீரழிவை ஒரு வேறுபாடாகவும், நிலைகளின் மீதான கூட்டுத்தொகைகளை ஒருங்கிணைப்புகளாகவும் வெளிப்படுத்த பயன்படுத்தப்படுகிறது. இது பிரிப்பு செயல்பாடு அல்லது பெரிய பகிர்வு செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தி வாயுவின் வெப்ப இயக்கவியல் பண்புகளைக் கணக்கிட உதவுகிறது. இந்த முடிவுகள் மாபெரும் மற்றும் நிறை இல்லாத துகள்களுக்கு பயன்படுத்தப்படும். மேலும் முழுமையான கணக்கீடுகள் தனித்தனி கட்டுரைகளுக்கு விடப்படும், ஆனால் சில எளிய எடுத்துக்காட்டுகள் இந்த கட்டுரையில் வழங்கப்படும். தாமஸ்-ஃபெர்மி நிலைகளின் சீரழிவுக்கான தோராயமான மதிப்பீடு ஒரு பெட்டியில் உள்ள பெரிய மற்றும் நிறை இல்லாத துகள்களுக்கு, ஒரு துகள் நிலைகள் குவாண்டம் எண்களின் தொகுப்பால் கணக்கிடப்படுகின்றன. வேகத்தின் அளவு h என்பது பிளாங்கின் மாறிலி மற்றும் L என்பது பெட்டியின் ஒரு பக்கத்தின் நீளம். ஒரு துகள்களின் ஒவ்வொரு சாத்தியமான நிலையும் நேர்மறை முழு எண்களின் முப்பரிமாண கட்டத்தில் ஒரு புள்ளியாக கருதப்படலாம். ஒவ்வொரு குவாண்டம் எண்களின் தொகுப்பும் f நிலைகளைக் குறிப்பிடுகின்றன என்று வைத்துக்கொள்வோம், அங்கு f என்பது மோதல் மூலம் மாற்றக்கூடிய துகள் சுதந்திரத்தின் உள் டிகிரிகளின் எண்ணிக்கை. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு சுழல் துகள் f = 2 ஐக் கொண்டிருக்கும், ஒவ்வொரு சுழல் நிலைக்கு ஒன்று. n இன் பெரிய மதிப்புகளுக்கு, மேலே உள்ள சமன்பாட்டிலிருந்து p ஐ விட குறைவான அல்லது சமமான வேகத்தின் அளவைக் கொண்ட நிலைகளின் எண்ணிக்கை தோராயமாக f மடங்கு ஆரம் n கொண்ட கோளத்தின் அளவை எட்டால் வகுக்கிறது, ஏனெனில் நேர்மறை ni உடன் கூடிய ஆக்சன்ட் மட்டுமே கருதப்படுகிறது. தொடர்ச்சியான தோராயத்தைப் பயன்படுத்தி, p மற்றும் p + dp க்கு இடையில் வேகத்தின் அளவைக் கொண்ட நிலைகளின் எண்ணிக்கை எனவே V = L3 என்பது பெட்டியின் அளவு. தாமஸ்-ஃபெர்மி தோராயமாக்கல் என்றும் அழைக்கப்படும் இந்த தொடர்ச்சியான தோராயத்தைப் பயன்படுத்துவதில், குறைந்த ஆற்றல் நிலைகளை வகைப்படுத்தும் திறன் இழக்கப்படுகிறது என்பதைக் கவனியுங்கள், இதில் தரை நிலை Ni = 1 ஆகும். பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில் இது ஒரு பிரச்சனையாக இருக்காது, ஆனால் போஸ்-ஐன்ஸ்டீன் ஒடுக்கத்தை கருத்தில் கொள்ளும்போது, இதில் வாயுவின் பெரும்பகுதி தரை நிலையில் அல்லது அதற்கு அருகில் உள்ளது, குறைந்த ஆற்றல் நிலைகளை கையாளும் திறன் முக்கியமானது. எந்த தோராயத்தையும் பயன்படுத்தாமல், ஆற்றல் εi கொண்ட துகள்களின் எண்ணிக்கை நிலை i இன் சீரழிவு எங்கே மற்றும் β = 1/kBT, போல்ட்ஸ்மேனின் நிலையான kB, வெப்பநிலை T மற்றும் வேதியியல் ஆற்றல் μ ஆகியவற்றால் வழங்கப்படுகிறது. (மேக்ஸ்வெல்-போல்ட்ஸ்மேன் புள்ளிவிவரங்கள், போஸ்-ஐன்ஸ்டீன் புள்ளிவிவரங்கள் மற்றும் ஃபெர்மி-டிராக் புள்ளிவிவரங்களைப் பார்க்கவும்.) தாமஸ்-ஃபெர்மி தோராயத்தைப் பயன்படுத்தி, E மற்றும் E + dE க்கு இடையில் ஆற்றலுடன் dNE துகள்களின் எண்ணிக்கை பின்வருமாறுஃ E மற்றும் E + dE க்கு இடையில் ஆற்றல் கொண்ட நிலைகளின் எண்ணிக்கை எங்கே? இந்த கட்டுரையின் முந்தைய பகுதிகளிலிருந்து பெறப்பட்ட முடிவுகளைப் பயன்படுத்தி, ஒரு பெட்டியில் உள்ள எரிவாயுவுக்கான சில விநியோகங்களை இப்போது தீர்மானிக்க முடியும். துகள்களின் அமைப்பைப் பொறுத்தவரை, ஒரு மாறிக்கான விநியோகம் வெளிப்பாட்டின் மூலம் வரையறுக்கப்படுகிறது, இது இடையில் மற்றும் எங்கு மதிப்புகளைக் கொண்ட துகள்களின் பின்னம், இடையில் மதிப்புகளைக் கொண்ட துகள்களின் எண்ணிக்கை மற்றும் இடையே மதிப்புகளைக் கொண்ட நிலைகளின் எண்ணிக்கை, மதிப்பைக் கொண்ட ஒரு நிலை ஒரு துகள், மொத்த துகள்களின் எண்ணிக்கையால் ஆக்கிரமிக்கப்பட்டுள்ளது என்பதற்கான நிகழ்தகவு. இது பின்வருமாறுஃ ஒரு வேகப் பகிர்வுக்கு, மற்றும் இடையே வேகத்தின் அளவைக் கொண்ட துகள்களின் பின்னம்ஃ மற்றும் ஒரு ஆற்றல் பகிர்வுக்கு, மற்றும் இடையே ஆற்றலைக் கொண்ட துகள்களின் பின்னம்ஃ ஒரு பெட்டியில் உள்ள ஒரு துகள் (மற்றும் ஒரு இலவச துகள் கூட), ஆற்றல் மற்றும் வேகத்திற்கு இடையிலான உறவு மிகப்பெரிய மற்றும் நிறை இல்லாத துகள்களுக்கு வேறுபட்டது. வெகுஜன துகள்களுக்கு, வெகுஜனமற்ற துகள்களுக்கு, துகள்களின் நிறை எங்கே மற்றும் ஒளியின் வேகம். இந்த உறவுகளைப் பயன்படுத்தி, பெரிய துகள்களுக்கு வாயுவின் வெப்ப அலைநீளம் எங்கே? இது ஒரு முக்கியமான அளவு, ஏனெனில் துகள்களுக்கு இடையேயான தூரத்தின் வரிசையில் இருக்கும்போது, குவாண்டம் விளைவுகள் ஆதிக்கம் செலுத்தத் தொடங்குகின்றன, மேலும் வாயுவை இனி மேக்ஸ்வெல்-போல்ட்ஸ்மேன் வாயுவாகக் கருத முடியாது. நிறை இல்லாத துகள்களுக்கு இப்போது நிறை இல்லாத துகள்களுக்கான வெப்ப அலைநீளம் எங்கே. குறிப்பிட்ட எடுத்துக்காட்டுகள் பின்வரும் பிரிவுகள் சில குறிப்பிட்ட நிகழ்வுகளுக்கான முடிவுகளுக்கு ஒரு உதாரணத்தை வழங்குகின்றன. மாபெரும் மேக்ஸ்வெல்-போல்ட்ஸ்மேன் துகள்கள் இந்த விஷயத்தில்ஃ ஆற்றல் விநியோகச் செயல்பாட்டை ஒருங்கிணைத்தல் மற்றும் N ஐத் தீர்ப்பது அசல் ஆற்றல் விநியோகச் செயல்பாட்டிற்கு மாற்றாக வழங்குகிறது, அவை மேக்ஸ்வெல்-போல்ட்ஸ்மேன் விநியோகத்திற்கு பாரம்பரியமாக பெறப்பட்ட அதே முடிவுகளாகும். சிறந்த வாயு பற்றிய கட்டுரையின் பாரம்பரிய பிரிவில் மேலும் முடிவுகளைக் காணலாம். மாஸ்ஸிவ் போஸ்-ஐன்ஸ்டீன் துகள்கள் இந்த வழக்கில்ஃ ஆற்றல் விநியோக செயல்பாட்டை ஒருங்கிணைத்து N க்கு தீர்ப்பது துகள் எண்ணைக் கொடுக்கிறது, அங்கு Lis (z) என்பது பல்லுறுப்புக்கோவை செயல்பாடாகும். பல்லுறுப்புக்கோவை சொல் எப்போதும் நேர்மறை மற்றும் உண்மையானதாக இருக்க வேண்டும், அதாவது அதன் மதிப்பு 0 முதல் ζ (3/2) வரை செல்லும், ஏனெனில் z 0 முதல் 1 வரை செல்லும். வெப்பநிலை பூஜ்ஜியத்தை நோக்கி இறங்கும்போது, பெரியதாகவும் பெரியதாகவும் மாறும், இறுதியாக z = 1 மற்றும் ரீமன் ஜீட்டா செயல்பாட்டைக் குறிக்கும் ஒரு முக்கியமான மதிப்பை அடையும் வரை. முக்கியமான வெப்பநிலை எந்த வெப்பநிலையில் உள்ளது. இந்த முக்கியமான வெப்பநிலைக்கு கீழே உள்ள வெப்பநிலைக்கு, துகள் எண்ணுக்கு மேலே உள்ள சமன்பாடு எந்த தீர்வையும் கொண்டிருக்கவில்லை. முக்கியமான வெப்பநிலை என்பது போஸ்-ஐன்ஸ்டீன் ஒடுக்கம் உருவாகத் தொடங்கும் வெப்பநிலை ஆகும். பிரச்சனை என்னவென்றால், மேலே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, தொடர்ச்சியான தோராயத்தில் தரை நிலை புறக்கணிக்கப்பட்டுள்ளது. எவ்வாறாயினும், துகள் எண்ணுக்கான மேற்கண்ட சமன்பாடு கிளர்ச்சியடைந்த நிலைகளில் உள்ள போசான்களின் எண்ணிக்கையை நன்கு வெளிப்படுத்துகிறது, இதனால்ஃ இங்கு சேர்க்கப்பட்ட சொல் தரை நிலையில் உள்ள துகள்களின் எண்ணிக்கை. தரை நிலை ஆற்றல் புறக்கணிக்கப்பட்டுள்ளது. இந்த சமன்பாடு பூஜ்ஜிய வெப்பநிலை வரை இருக்கும். சிறந்த போஸ் வாயு பற்றிய கட்டுரையில் மேலும் முடிவுகளைக் காணலாம். நிறை இல்லாத போஸ்-ஐன்ஸ்டீன் துகள்கள் (எ. கா. கருப்பு உடல் கதிர்வீச்சு) நிறை இல்லாத துகள்களின் விஷயத்தில், நிறை இல்லாத ஆற்றல் விநியோக செயல்பாடு பயன்படுத்தப்பட வேண்டும். இந்த செயல்பாட்டை அதிர்வெண் விநியோக செயல்பாடாக மாற்றுவது வசதியானதுஃ நிறை இல்லாத துகள்களுக்கான வெப்ப அலைநீளம் எங்கே? நிறமாலை ஆற்றல் அடர்த்தி (அலகு அதிர்வெண்ணுக்கு ஒரு அலகு தொகுதிக்கு ஆற்றல்) பின்னர் பிற வெப்ப இயக்கவியல் அளவுருக்கள் பெரிய துகள்களுக்கான வழக்குக்கு ஒத்ததாக பெறப்படலாம். எடுத்துக்காட்டாக, அதிர்வெண் பகிர்வு செயல்பாட்டை ஒருங்கிணைத்தல் மற்றும் N ஐத் தீர்ப்பது துகள்களின் எண்ணிக்கையைக் கொடுக்கிறதுஃ மிகவும் பொதுவான நிறை இல்லாத போஸ் வாயு ஒரு கருப்பு உடலில் உள்ள ஃபோட்டான் வாயுவாகும். "பெட்டியை" ஒரு கருப்பு உடல் குழியாக எடுத்துக் கொண்டால், ஃபோட்டான்கள் தொடர்ந்து உறிஞ்சப்பட்டு சுவர்களால் மீண்டும் வெளியேற்றப்படுகின்றன. அப்படியானால், ஃபோட்டான்களின் எண்ணிக்கை பாதுகாக்கப்படுவதில்லை. போஸ்-ஐன்ஸ்டீன் புள்ளிவிவரங்களின் வழித்தோன்றலில், துகள்களின் எண்ணிக்கையின் மீதான கட்டுப்பாடு அகற்றப்படும்போது, இது வேதியியல் ஆற்றலை (μ) பூஜ்ஜியமாக அமைப்பதற்கு சமமாக இருக்கும். மேலும், ஃபோட்டான்கள் இரண்டு சுழல் நிலைகளைக் கொண்டிருப்பதால், f இன் மதிப்பு 2 ஆகும். ஸ்பெக்ட்ரல் ஆற்றல் அடர்த்தி என்பது பிளாங்கின் பிளாக் பாடி கதிர்வீச்சு விதியின் ஸ்பெக்ட்ரல் ஆற்றல் அடர்த்தியாகும். வெகுஜனமற்ற மேக்ஸ்வெல்-போல்ட்ஸ்மேன் துகள்களுக்கு இந்த செயல்முறை மேற்கொள்ளப்பட்டால் வீன் விநியோகம் மீட்கப்படுகிறது என்பதை நினைவில் கொள்க, இது அதிக வெப்பநிலை அல்லது குறைந்த அடர்த்திகளுக்கு ஒரு பிளாங்கின் விநியோகத்தை தோராயமாக மதிப்பிடுகிறது. சில சூழ்நிலைகளில், ஃபோட்டான்கள் சம்பந்தப்பட்ட எதிர்வினைகள் ஃபோட்டான்களின் எண்ணிக்கையைப் பாதுகாக்கும் (எ. கா. ஒளி உமிழும் டையோட்கள், "வெள்ளை" துவாரங்கள்). இந்த சந்தர்ப்பங்களில், ஃபோட்டான் விநியோக செயல்பாடு பூஜ்ஜியமற்ற வேதியியல் ஆற்றலை உள்ளடக்கும். (ஹெர்மன் 2005) மற்றொரு வெகுஜனமற்ற போஸ் வாயு வெப்பத் திறனுக்காக டெபை மாதிரியால் வழங்கப்படுகிறது. இந்த மாதிரி ஒரு பெட்டியில் உள்ள ஃபோனான்களின் வாயுவைக் கருத்தில் கொள்கிறது மற்றும் ஃபோனான்களின் வளர்ச்சியிலிருந்து வேறுபடுகிறது, ஏனெனில் ஃபோனான்களின் வேகம் ஒளி வேகத்தை விட குறைவாக உள்ளது, மேலும் பெட்டியின் ஒவ்வொரு அச்சுக்கும் அதிகபட்சமாக அனுமதிக்கப்பட்ட அலைநீளம் உள்ளது. இதன் பொருள் என்னவென்றால், கட்ட இடத்தின் மீது ஒருங்கிணைப்பை முடிவிலிக்கு மேற்கொள்ள முடியாது, மேலும் பல மடங்கு எண்களில் வெளிப்படுத்தப்படுவதற்குப் பதிலாக, அவை தொடர்புடைய டெபை செயல்பாடுகளில் வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன. மிகப்பெரிய ஃபெர்மி-டைராக் துகள்கள் (எ. கா. ஒரு உலோகத்தில் உள்ள எலக்ட்ரான்கள்) இந்த விஷயத்தில்ஃ ஆற்றல் விநியோக செயல்பாட்டை ஒருங்கிணைப்பது மீண்டும், லிஸ் (இசட்) என்பது பல்லுறுப்புக்கோவை செயல்பாடு மற்றும் வெப்ப டி ப்ரோக்லி அலைநீளம். சிறந்த ஃபெர்மி வாயு பற்றிய கட்டுரையில் மேலும் முடிவுகளைக் காணலாம். ஃப்ரீ எலக்ட்ரான் மாதிரி, வெள்ளை குள்ளர்களின் கோட்பாடு மற்றும் பொதுவாக சீரழிந்த பொருள் ஆகியவற்றில் ஃபெர்மி வாயுவின் பயன்பாடுகள் காணப்படுகின்றன. மேலும் காண்க கேஸ் இன் எ ஹார்மோனிக் ட்ராப் குறிப்புகள் வு-குவோக், எல்., உள்ளமைவு ஒருங்கிணைப்பு (புள்ளிவிவர இயக்கவியல்), 2008. இந்த விக்கி தளம் கீழே உள்ளது; 2012 ஏப்ரல் 28 அன்று வலை காப்பகத்தில் இந்த கட்டுரையைப் பார்க்கவும். புள்ளியியல் இயக்கவியல்