Rindler coordinates
ரிண்ட்லர் ஆயத்தொலைவுகள் என்பது சிறப்பு சார்பியல் சூழலில் பயன்படுத்தப்படும் ஒரு ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பாகும், இது தட்டையான இடநேரத்தில் ஒரே சீராக முடுக்கிவிடும் குறிப்பு சட்டகத்தின் ஹைபர்போலிக் முடுக்கத்தை விவரிக்கிறது. சார்பியல் இயற்பியலில் ஹைபர்போலிக் முறையில் துரிதப்படுத்தப்பட்ட குறிப்பு கட்டமைப்பின் ஆயத்தொலைவுகள் தட்டையான மின்காவ்ஸ்கி விண்வெளி நேரத்தின் ஒரு பகுதியைக் குறிக்கும் ஒரு முக்கியமான மற்றும் பயனுள்ள ஒருங்கிணைப்பு விளக்கப்படத்தை உருவாக்குகின்றன. சிறப்பு சார்பியலில், ஒரு சீரான முடுக்கிவிடும் துகள் ஹைபர்போலிக் இயக்கத்திற்கு உட்படுகிறது, இதற்காக அது ஓய்வில் இருக்கும் ஒரு சீரான முடுக்கிவிடும் குறிப்பு சட்டகத்தை அதன் சரியான குறிப்பு சட்டகமாக தேர்வு செய்யலாம். இந்த ஹைபர்போலிக் முறையில் துரிதப்படுத்தப்பட்ட சட்டகத்தில் உள்ள நிகழ்வுகளை ஒரே மாதிரியான ஈர்ப்பு விசையில் எழும் விளைவுகளுடன் ஒப்பிடலாம். தட்டையான இடநேரத்தில் முடுக்கங்கள் பற்றிய பொதுவான கண்ணோட்டத்திற்கு, முடுக்கம் (சிறப்பு சார்பியல்) மற்றும் சரியான குறிப்பு சட்டகம் (தட்டையான இடநேர) ஆகியவற்றைப் பார்க்கவும். இந்த கட்டுரையில், ஒளியின் வேகம் வரையறுக்கப்படுகிறது, மந்தமான ஆயத்தொலைவுகள் மற்றும் ஹைபர்போலிக் ஆயத்தொலைவுகள் ஆகும். இந்த ஹைபர்போலிக் ஆயத்தொகுதிகளை துரிதப்படுத்தப்பட்ட பார்வையாளரின் நிலையைப் பொறுத்து இரண்டு முக்கிய வகைகளாகப் பிரிக்கலாம்ஃ பார்வையாளர் சரியான நேரத்தில் இருந்தால் (கொமோவிங் ஆக்ஸிலரோமீட்டரால் அளவிடப்படும் நிலையான சரியான முடுக்கத்துடன்), பின்னர் ஹைபர்போலிக் ஆயத்தொகுதிகள் பெரும்பாலும் ரிண்ட்லர் ஆயத்தொகுதிகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. பார்வையாளர் நேரத்தில் நிலையில் இருந்தால், ஹைபர்போலிக் ஆயத்தொலைவுகள் சில நேரங்களில் மோலர் ஆயத்தொலைவுகள் அல்லது கோட்ட்லர்-முல்லர் ஆயத்தொலைவுகள் தொடர்புடைய கோட்ட்லர்-முல்லர் மெட்ரிக் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. ஹைபர்போலிக் இயக்கத்தில் பார்வையாளர்களுடன் தொடர்புடைய ஒரு மாற்று விளக்கப்படம் ரேடார் ஆயத்தொகுதிகளைப் பயன்படுத்தி பெறப்படுகிறது, அவை சில நேரங்களில் லாஸ் ஆயத்தொகுதிகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. கோட்ட்லர்-முல்லர் ஆயத்தொகுதிகள் மற்றும் லாஸ் ஆயத்தொகுதிகள் இரண்டும் ரிண்ட்லர் ஆயத்தொகுதிகளாகவும் குறிக்கப்படுகின்றன. வரலாற்றைப் பொறுத்தவரை, சிறப்பு சார்பியல் தோன்றிய உடனேயே, அவை ஹைபர்போலிக் இயக்கக் கருத்துடன் (முழுமையாகவோ அல்லது பகுதியாகவோ) ஆய்வு செய்யப்பட்டபோது, அவை அறிமுகப்படுத்தப்பட்டனஃ ஆல்பர்ட் ஐன்ஸ்டீன் (1907,1912), மேக்ஸ் பார்ன் (1909), அர்னால்ட் சோமர்ஃபீல்ட் (1910), மேக்ஸ் வான் லாவ் (1911), ஹென்ட்ரிக் லோரென்ட்ஸ் (1913), ஃப்ரெட்ரிக் கோட்ட்லர் (1914), வொல்ஃப்காங் பாலி (1921), கார்ல் போலர்ட் (1922), ஸ்ட்ஜெபன் மொகோரோவிசிக் (1922), ஜார்ஜஸ் லெமைட்ரே (1924), ஐன்ஸ்டீன் & நாதன் ரோசன் (1935), கிறிஸ்டியன் முல்லர் (1943,1952), ஃபிரிட்ஸ் ரோஹ்ர்லிச் (1913) விவரங்கள் மற்றும் ஆதாரங்களுக்கு, பார்க்கவும். ரிண்ட்லர் சட்டகத்தின் சிறப்பியல்புகள் ஹைபர்போலிக் இயக்கத்தில் உள்ள ஒரு பொருளின் உலகக் கோடு சரியான நேரம் மற்றும் வேகத்தின் செயல்பாடாக-திசையில் நிலையான சரியான முடுக்கத்தைக் கொண்டுள்ளது, இது நிலையானது மற்றும் மாறுபடும் இடத்தின் மூலம் கொடுக்கப்படலாம், உலகக் கோடு ஹைபர்போலாவை ஒத்திருக்கிறது. சமன்பாடுகளை மாறி மற்றும் மாறிலி என வரையறுப்பதன் மூலம் மறுபரிசீலனை செய்ய முடியும் என்று சோமர்ஃபீல்ட் காட்டினார், இதனால் இது ஒரு கோமோவிங் பார்வையாளரால் அளவிடப்படும் ஹைபர்போலிக் இயக்கத்தில் ஒரு பொருளின் ஒரே நேரத்தில் "ஓய்வு வடிவத்தை" குறிக்கிறது. பார்வையாளரின் சரியான நேரத்தை முழு ஹைபர்போலிக் முறையில் துரிதப்படுத்தப்பட்ட சட்டகத்தின் நேரமாக அமைப்பதன் மூலம், மந்தமான ஆயத்தொகுதிகள் மற்றும் ஹைபர்போலிக் ஆயத்தொகுதிகளுக்கு இடையிலான உருமாற்ற சூத்திரங்கள் இதன் விளைவாக உள்ளனஃ தலைகீழ் வேறுபடுத்தப்பட்டு மின்காவ்ஸ்கி மெட்ரிக்க்குள் செருகப்பட்டவுடன், ஹைபர்போலிக் முறையில் துரிதப்படுத்தப்பட்ட சட்டகத்தில் உள்ள மெட்ரிக் பின்வருமாறு இந்த மாற்றங்கள் ரிண்ட்லர் பார்வையாளரை ரிண்ட்லர் ஆயத்தொகுப்புகளில் "ஓய்வில்" இருக்கும் ஒரு பார்வையாளராக வரையறுக்கின்றன, அதாவது, நிலையான x, y, z ஐ பராமரித்தல் மற்றும் நேரம் செல்லச் செல்ல மாறுபடும் t ஐ மட்டுமே பராமரித்தல். ரிண்ட்லர் பார்வையாளரின் சரியான முடுக்கம் (ஹைபர்போலாவுடன்) ரிண்ட்லர் ஒருங்கிணைப்பு நேரத்திற்கு சமமாக வரையறுக்கப்பட்டால், இந்த ஆயத்தொலைவுகள் பிராந்தியத்தில் செல்லுபடியாகும், இது பெரும்பாலும் ரிண்ட்லர் வெட்ஜ் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த உலகக் கோட்டை பராமரிக்க, பார்வையாளர் ஒரு நிலையான சரியான முடுக்கத்துடன் முடுக்கிவிட வேண்டும், ரிண்ட்லர் பார்வையாளர்கள் (ரிண்ட்லர் அடிவானத்திற்கு) நெருக்கமாக அதிக சரியான முடுக்கம் கொண்டுள்ளனர். அனைத்து ரிண்ட்லர் பார்வையாளர்களும் மந்தமான சட்டகத்தில் உடனடியாக ஓய்வெடுக்கிறார்கள், மேலும் இந்த நேரத்தில் சரியான முடுக்கம் கொண்ட ஒரு ரிண்ட்லர் பார்வையாளர் நிலையில் இருப்பார் (உண்மையில், ஆனால் நாம் எங்கே அலகுகள் என்று கருதுகிறோம்), இது ரிண்ட்லர் ஆயத்தொகுப்புகளில் ரிண்ட்லர் அடிவானத்திலிருந்து பார்வையாளரின் நிலையான தூரமாகும். அனைத்து ரிண்ட்லர் பார்வையாளர்களும் தங்கள் கடிகாரங்களை பூஜ்ஜியத்திற்கு அமைத்தால், ஒரு ரிண்ட்லர் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பை வரையறுக்கும் போது, ரிண்ட்லர் பார்வையாளரின் சரியான நேரம் ரிண்ட்லர் ஆயத்தொகுதிகளில் உள்ள ஒருங்கிணைப்பு நேரத்திற்கு சமமாக இருக்கும், மேலும் இந்த பார்வையாளரின் சரியான முடுக்கம் மேலே உள்ள மதிப்பை வரையறுக்கிறது (ரிண்ட்லர் அடிவானத்திலிருந்து வெவ்வேறு தூரங்களில் உள்ள மற்ற ரிண்ட்லர் பார்வையாளர்களுக்கு, ஒருங்கிணைப்பு நேரம் அவற்றின் சரியான நேரத்தின் சில நிலையான பெருக்கிக்கு சமமாக இருக்கும்). ரிண்ட்லர் ஒருங்கிணைப்பு முறையை வரையறுப்பது ஒரு பொதுவான நடைமுறையாகும், இதனால் ஒருங்கிணைப்பு நேரத்துடன் சரியான நேரத்தைப் பொருத்தக்கூடிய ரிண்ட்லர் பார்வையாளர் சரியான முடுக்கம் கொண்டவர், எனவே அதை சமன்பாடுகளிலிருந்து அகற்ற முடியும். மேலே உள்ள சமன்பாடு இதற்கு எளிமைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது. ஒரு முடுக்கம் கொடுக்கப்பட்டால், ரிண்ட்லர் ஹொரைசன் தூரத்தைக் கண்டறிய எளிமைப்படுத்தப்படாத சமன்பாடு மிகவும் வசதியானது. கட்டுரையின் எஞ்சிய பகுதி இரண்டையும் அமைக்கும் நடைமுறையைப் பின்பற்றும், எனவே அலகுகள் மற்றும் 1 அலகாக இருக்கும். ஒளி-வினாடி/வினாடி 2 ஐ அமைப்பது ஒளி-ஆண்டு/ஆண்டு 2 ஐ அமைப்பதில் இருந்து மிகவும் வேறுபட்டது என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள். நாம் எந்த அலகுகளைத் தேர்ந்தெடுத்தாலும், சரியான முடுக்கத்தின் அளவு நமது அலகுகளின் தேர்வைப் பொறுத்ததுஃ எடுத்துக்காட்டாக, தூரத்திற்கு ஒளி-ஆண்டுகள், (அல்லது) மற்றும் நேரத்திற்கு ஆண்டுகள், (அல்லது) ஆகியவற்றைப் பயன்படுத்தினால், இது ஒளி ஆண்டு/ஆண்டு 2 என்று பொருள்படும், இது சுமார் 9,5 மீட்டர்/வினாடி 2 க்கு சமம், அதே நேரத்தில் தூரத்திற்கு ஒளி-விநாடிகளின் அலகுகள், (அல்லது), மற்றும் நேரத்திற்கு விநாடிகள், (அல்லது), இது ஒளி-வினாடி/வினாடி 2, அல்லது 299 792 458 மீட்டர்/வினாடி 2 என்று பொருள்படும். உருமாற்ற சூத்திரங்களின் மாறுபாடுகள் உருமாற்ற சூத்திரங்களின் பொதுவான வழித்தோன்றல் கொடுக்கப்படுகிறது, அதனுடன் தொடர்புடைய ஃபெர்மி-வாக்கர் டெட்ராட் வடிவமைக்கப்படும்போது, அதிலிருந்து ஃபெர்மி ஆயத்தொலைவுகள் அல்லது சரியான ஆயத்தொலைவுகளைப் பெற முடியும். இந்த ஆயத்தொகுதிகளின் தோற்றத்தின் தேர்வைப் பொறுத்து, ஒருவர் மெட்ரிக், தோற்றம் மற்றும் புள்ளியில் உள்ள நேரத்திற்கு இடையிலான நேர விரிவு மற்றும் ஒருங்கிணைந்த ஒளி வேகம் ஆகியவற்றைப் பெறலாம் (ஒளியின் இந்த மாறி வேகம் சிறப்பு சார்பியலுக்கு முரணாக இல்லை, ஏனெனில் இது பயன்படுத்தப்படும் துரிதப்படுத்தப்பட்ட ஆயத்தொகுதிகளின் ஒரு கலைப்பொருளாகும், அதே நேரத்தில் மந்தமான ஆயத்தொகுப்புகளில் இது நிலையானதாக இருக்கும்). ஃபெர்மி ஆயத்தொகுப்புகளுக்குப் பதிலாக, ரேடார் ஆயத்தொகுப்புகளையும் பயன்படுத்தலாம், அவை ஒளி சமிக்ஞைகளைப் பயன்படுத்தி தூரத்தை தீர்மானிப்பதன் மூலம் பெறப்படுகின்றன (தூரத்தின் பிரிவைப் பார்க்கவும்), இதன் மூலம் மெட்ரிக், நேர விரிவு மற்றும் ஒளியின் வேகம் ஆகியவை ஆயத்தொகுப்புகளைப் பொறுத்தது அல்ல-குறிப்பாக, ஒளியின் ஆயத்தொகுப்பு வேகம் மந்தமான பிரேம்களில் ஒளியின் வேகத்துடன் ஒரே மாதிரியாக உள்ளதுஃ ரிண்ட்லர் பார்வையாளர்கள் புதிய விளக்கப்படத்தில் () உடன் மற்றும், இரட்டை பிரேம் புலத்தைக் கொண்ட கோஃப்ரேம் புலத்தை எடுத்துக்கொள்வது இயற்கையானது இது ஒவ்வொரு நிகழ்விலும் தொடுகோடு இடத்தில் ஒரு உள்ளூர் லோரென்ட்ஸ் சட்டகத்தை வரையறுக்கிறது (நமது ரிண்ட்லர் விளக்கப்படத்தால் மூடப்பட்ட பகுதியில், அதாவது ரிண்ட்லர் வெட்ஜ்). ரிண்ட்லர் பார்வையாளர்கள் என்று அழைக்கப்படும் பார்வையாளர்களின் குடும்பத்தின் உலகக் கோடுகளைக் கொண்ட ஒரு நேர ஒற்றுமையை நேர ஒற்றுமை அலகு திசையன் புலத்தின் ஒருங்கிணைந்த வளைவுகள் வழங்குகின்றன. ரிண்ட்லர் விளக்கப்படத்தில், இந்த உலகக் கோடுகள் செங்குத்து ஒருங்கிணைப்புக் கோடுகளாகத் தோன்றுகின்றன. மேலே உள்ள ஒருங்கிணைப்பு மாற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, இவை அசல் கார்ட்டீசியன் விளக்கப்படத்தில் ஹைபர்போலிக் வளைவுகளுடன் ஒத்திருப்பதைக் காண்கிறோம். எந்தவொரு லோரெண்ட்சியன் பன்மடங்கு எந்த நேர ஒற்றுமையையும் போலவே, இந்த ஒற்றுமையும் ஒரு இயக்கவியல் சிதைவைக் கொண்டுள்ளது (ராய்சௌதுரி சமன்பாட்டைப் பார்க்கவும்). இந்த வழக்கில், ரிண்ட்லர் பார்வையாளர்களின் ஒற்றுமையின் விரிவாக்கம் மற்றும் வர்டிஸிட்டி மறைந்துவிடும். விரிவாக்க டென்சரின் மறைவு நம் பார்வையாளர்கள் ஒவ்வொருவரும் தனது அண்டை நாடுகளுடன் நிலையான தூரத்தை பராமரிக்கிறார்கள் என்பதைக் குறிக்கிறது. வோர்டிஸிட்டி டென்சரின் மறைவு என்பது நமது பார்வையாளர்களின் உலக கோடுகள் ஒருவருக்கொருவர் சுழலவில்லை என்பதைக் குறிக்கிறது; இது ஒரு வகையான உள்ளூர் இல்லாத "சுழற்சி" ஆகும். ஒவ்வொரு பார்வையாளரின் முடுக்கம் திசையன் கோவேரியன்ட் வழித்தோன்றலால் வழங்கப்படுகிறது, அதாவது ஒவ்வொரு ரிண்ட்லர் பார்வையாளரும் திசையில் முடுக்கிவிடுகிறார்கள். தனித்தனியாகப் பார்த்தால், ஒவ்வொரு பார்வையாளரும் உண்மையில் இந்த திசையில் நிலையான அளவுடன் முடுக்கிவிடுகிறார்கள், எனவே அவற்றின் உலகக் கோடுகள் யூக்ளிடிய வடிவவியலில் நிலையான பாதை வளைவின் வளைவுகளாக இருக்கும் வட்டங்களின் லோரெண்ட்சியன் ஒப்புமைகளாகும். ரிண்ட்லர் பார்வையாளர்கள் வோர்டிஸிட்டி இல்லாதவர்கள் என்பதால், அவை ஹைப்பர்சர்ஃபேஸ் ஆர்த்தோகனல் ஆகும். ஆர்த்தோகனல் இடஞ்சார்ந்த ஹைப்பர்சிலிக்ஸ்கள்; இவை ரிண்ட்லர் விளக்கப்படத்தில் கிடைமட்ட அரை தளங்களாகவும், கார்ட்டீசியன் விளக்கப்படத்தில் அரை தளங்களாகவும் தோன்றுகின்றன (மேலே உள்ள உருவத்தைப் பார்க்கவும்). கோடு உறுப்பில் அமைத்தால், இவை சாதாரண யூக்ளிடியன் வடிவவியலைக் கொண்டிருப்பதைக் காண்கிறோம். எனவே, ரிண்ட்லர் விளக்கப்படத்தில் உள்ள இடஞ்சார்ந்த ஆயத்தொலைவுகள் மிகவும் எளிமையான விளக்கத்தைக் கொண்டுள்ளன, இது ரிண்ட்லர் பார்வையாளர்கள் பரஸ்பரம் நிலையானவர்கள் என்ற கூற்றுடன் ஒத்துப்போகிறது. ரிண்ட்லர் பார்வையாளர்களின் இந்த கடினத்தன்மைக்கு இந்த கட்டுரையில் சிறிது நேரம் கழித்து வருவோம். ஒரு "முரண்பாடான" பண்பு குறிப்பு என்னவென்றால், சிறிய மாறிலி x ஒருங்கிணைப்பைக் கொண்ட ரிண்ட்லர் பார்வையாளர்கள் தொடர்ந்து செயல்படுவது கடினம். இது ஆச்சரியமாகத் தோன்றலாம், ஏனெனில் நியூட்டனின் இயற்பியலில், நிலையான ஒப்பீட்டு தூரத்தை பராமரிக்கும் பார்வையாளர்கள் அதே முடுக்கத்தைப் பகிர்ந்து கொள்ள வேண்டும். ஆனால் சார்பியல் இயற்பியலில், சில வெளிப்புற சக்தியால் (அதன் சமச்சீர் அச்சுக்கு இணையாக) முடுக்கிவிடப்படும் ஒரு கம்பியின் பின்தங்கிய இறுதிப் புள்ளி முன்னணி இறுதிப் புள்ளியை விட சற்று கடினமாக முடுக்கிவிட வேண்டும், இல்லையெனில் அது இறுதியில் உடைக்க வேண்டும். இது லோரெண்ட்ஸ் சுருக்கத்தின் வெளிப்பாடாகும். கம்பி முடுக்கிவிடும்போது, அதன் வேகம் அதிகரிக்கிறது மற்றும் அதன் நீளம் குறைகிறது. இது குறுகியதாக இருப்பதால், பின்புற முனை முன்புறத்தை விட கடினமாக முடுக்கிவிட வேண்டும். இதைப் பார்ப்பதற்கான மற்றொரு வழி என்னவென்றால்ஃ பின்புற முனை குறுகிய காலத்தில் வேகத்தில் அதே மாற்றத்தை அடைய வேண்டும். இது ஒரு வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கு வழிவகுக்கிறது, சிறிது தூரத்தில், பின்தங்கிய முனையின் முடுக்கம் வேறுபடுகிறது, இதன் விளைவாக ரிண்ட்லர் அடிவானம் ஏற்படுகிறது. இந்த நிகழ்வு நன்கு அறியப்பட்ட "முரண்பாடு", பெல்லின் விண்கல முரண்பாட்டின் அடிப்படையாகும். இருப்பினும், இது சார்பியல் இயக்கவியலின் ஒரு எளிய விளைவாகும். இதைப் பார்ப்பதற்கான ஒரு வழி, முடுக்கம் திசையனின் அளவு அதனுடன் தொடர்புடைய உலகக் கோட்டின் பாதை வளைவு மட்டுமே என்பதைக் கவனிப்பதாகும். ஆனால் நமது ரிண்ட்லர் பார்வையாளர்களின் உலகக் கோடுகள் யூக்ளிடியன் தளத்தில் உள்ள செறிவு வட்டங்களின் குடும்பத்தின் ஒப்புமைகளாகும், எனவே நாம் வெறுமனே வேக ஸ்கேட்டர்களுக்கு நன்கு தெரிந்த ஒரு உண்மையின் லோரெண்ட்சியன் ஒப்புமையைக் கையாள்கிறோம்ஃ செறிவு வட்டங்களின் குடும்பத்தில், உள் வட்டங்கள் வெளிப்புறங்களை விட வேகமாக (ஒரு அலகு வளைவு நீளத்திற்கு) வளைக்க வேண்டும். மின்காவ்ஸ்கி பார்வையாளர்கள் இயற்கையான தேர்வால் மின்காவ்ஸ்கி விளக்கப்படத்தில் கொடுக்கப்பட்ட ஒரு மாற்று சட்டகத்தையும் அறிமுகப்படுத்துவது பயனுள்ளது, மேலே கொடுக்கப்பட்ட ஒருங்கிணைப்பு மாற்றத்தைப் பயன்படுத்தி இந்த திசையன் புலங்களை மாற்றுவதன் மூலம், ரிண்ட்லர் விளக்கப்படத்தில் (ரைண்டர் வெட்ஜில்) இந்த சட்டகம் கணக்கிடப்படுகிறது என்பதைக் காண்கிறோம். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், இது ஒரு புவியியல் ஒற்றுமை; தொடர்புடைய பார்வையாளர்கள் நிலைத்த இயக்க நிலையில் உள்ளனர். அசல் கார்ட்டீசியன் விளக்கப்படத்தில், மின்காவ்ஸ்கி பார்வையாளர்கள் என்று நாம் அழைக்கும் இந்த பார்வையாளர்கள் ஓய்வில் உள்ளனர். ரிண்ட்லர் விளக்கப்படத்தில், மின்காவ்ஸ்கி பார்வையாளர்களின் உலகக் கோடுகள் ஒருங்கிணைந்த தளத்திற்கு அறிகுறியற்ற ஹைபர்போலிக் செகண்ட் வளைவுகளாகத் தோன்றுகின்றன. குறிப்பாக, ரிண்ட்லர் ஆயத்தொகுப்புகளில், நிகழ்வைக் கடந்து செல்லும் மின்காவ்ஸ்கி பார்வையாளரின் உலகக் கோடு இந்த மின்காவ்ஸ்கி பார்வையாளரின் சரியான நேரம் எங்கே. அவரது வரலாற்றின் ஒரு சிறிய பகுதி மட்டுமே ரிண்ட்லர் விளக்கப்படத்தால் மூடப்பட்டுள்ளது என்பதை நினைவில் கொள்க. ரிண்ட்லர் விளக்கப்படம் ஏன் புவியியல் ரீதியாக முழுமையடையவில்லை என்பதை இது வெளிப்படையாகக் காட்டுகிறது; நேரத்தைப் போன்ற புவியியல் வரையறுக்கப்பட்ட சரியான நேரத்தில் விளக்கப்படத்தால் மூடப்பட்ட பிராந்தியத்திற்கு வெளியே இயங்குகிறது. நிச்சயமாக, ரிண்ட்லர் விளக்கப்படம் புவியியல் ரீதியாக முழுமையானதாக இருக்க முடியாது என்பதை நாம் ஏற்கனவே அறிந்திருந்தோம், ஏனென்றால் இது அசல் கார்ட்டீசியன் விளக்கப்படத்தின் ஒரு பகுதியை மட்டுமே உள்ளடக்கியது, இது புவியியல் ரீதியாக முழுமையான விளக்கப்படமாகும். படத்தில் சித்தரிக்கப்பட்டுள்ள வழக்கில், ஒளி கூம்புகளை வரைந்தோம் (சரியாக அளவிடப்பட்டு உயர்த்தியுள்ளோம்). ரிண்ட்லர் அடிவானம் ரிண்ட்லர் ஒருங்கிணைப்பு விளக்கப்படம் x = 0 இல் ஒரு ஒருங்கிணைந்த ஒருமைப்பாட்டைக் கொண்டுள்ளது, அங்கு மெட்ரிக் டென்சர் (ரிண்ட்லர் ஆயத்தொகுப்புகளில் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது) மறைந்துவிடும் தீர்மானிப்பதைக் கொண்டுள்ளது. இது நிகழ்கிறது, ஏனெனில் x → 0 என ரிண்ட்லர் பார்வையாளர்களின் முடுக்கம் வேறுபடுகிறது. ரிண்ட்லர் வெட்ஜை விளக்கும் உருவத்திலிருந்து நாம் காணக்கூடியது போல, ரிண்ட்லர் விளக்கப்படத்தில் உள்ள லோகஸ் x = 0 கார்ட்டீசியன் விளக்கப்படத்தில் உள்ள லோகஸ் T2 = X2, X> 0 உடன் ஒத்திருக்கிறது, இது இரண்டு பூஜ்ய அரை விமானங்களைக் கொண்டுள்ளது, ஒவ்வொன்றும் பூஜ்ய ஜியோடெசிக் ஒற்றுமையால் ஆளப்படுகிறது. இப்போதைக்கு, ரிண்ட்லர் அடிவானத்தை ரிண்ட்லர் ஆயங்களின் எல்லையாகக் கருதுகிறோம். ரிண்ட்லர் ஆயத்தொகுதிகளில் நிலையான நிலையை கொண்ட முடுக்கிவிடும் பார்வையாளர்களின் தொகுப்பை நாம் கருத்தில் கொண்டால், அவர்களில் எவரும் T ≤ X கொண்ட நிகழ்வுகளிலிருந்து ஒளி சமிக்ஞைகளைப் பெற முடியாது (வரைபடத்தில், இவை T = X கோட்டின் இடதுபுறத்தில் அல்லது மேல் சிவப்பு அடிவானத்தில் உள்ள நிகழ்வுகளாக இருக்கும்; இருப்பினும் இந்த பார்வையாளர்கள் தங்கள் முடுக்கத்தை நிறுத்தி இந்த கோட்டைக் கடந்தால் T ≤ X கொண்ட நிகழ்வுகளிலிருந்து சமிக்ஞைகளைப் பெறலாம்) அல்லது T ≤ − X கொண்ட நிகழ்வுகளுக்கு அவர்கள் ஒருபோதும் சமிக்ஞைகளை அனுப்பியிருக்க முடியாது (கீழ் சிவப்பு அடிவானத்தில் இருக்கும் T = − X கோட்டின் இடதுபுறத்தில் அல்லது நிகழ்வுகள்; அந்த நிகழ்வுகள் அவற்றின் கடந்த உலகக் கோட்டின் எதிர்கால ஒளி கூம்புகளுக்கு வெளியே உள்ளன). மேலும், அடிவானத்திற்கு நெருக்கமாகவும் நெருக்கமாகவும் முடுக்கிவிடும் இந்த பார்வையாளர்களின் தொகுப்பின் உறுப்பினர்களை நாம் கருத்தில் கொண்டால், அடிவானத்திற்கான தூரம் பூஜ்ஜியத்தை நெருங்கும் வரம்பில், இந்த தூரத்தில் ஒரு பார்வையாளர் அனுபவிக்கும் நிலையான சரியான முடுக்கம் (இது அத்தகைய பார்வையாளரால் அனுபவிக்கப்பட்ட ஜி-சக்தியாகவும் இருக்கும்) முடிவிலியை நெருங்கும். ஒரு கருந்துளையின் நிகழ்வு அடிவானத்திற்கு வெளியே வட்டமிடும் பார்வையாளர்களின் தொகுப்பை நாம் கருத்தில் கொண்டால் இந்த இரண்டு உண்மைகளும் உண்மையாக இருக்கும், ஒவ்வொரு பார்வையாளரும் ஸ்வார்ஸ்ஷைல்ட் ஆயத்தொகுப்புகளில் ஒரு நிலையான ஆரத்தில் வட்டமிடுகிறார்கள். உண்மையில், ஒரு கருந்துளையின் அருகிலுள்ள பகுதியில், நிகழ்வு அடிவானத்திற்கு நெருக்கமான வடிவவியலை ரிண்ட்லர் ஆயத்தொகுப்புகளில் விவரிக்க முடியும். ஒரு முடுக்கி சட்டகத்தின் விஷயத்தில் ஹாக்கிங் கதிர்வீச்சு அன்ருஹ் கதிர்வீச்சு என்று குறிப்பிடப்படுகிறது. இணைப்பு என்பது ஈர்ப்பு விசையுடன் முடுக்கத்தின் சமநிலையாகும். ஜியோடெசிக்ஸ் ரிண்ட்லர் விளக்கப்படத்தில் உள்ள ஜியோடெசிக் சமன்பாடுகள் ஜியோடெசிக் லாக்ராஞ்சியனிலிருந்து எளிதில் பெறப்படுகின்றன. அவை. நிச்சயமாக, அசல் கார்ட்டீசியன் விளக்கப்படத்தில், ஜியோடெசிக்ஸ் நேர் கோடுகளாகத் தோன்றும், எனவே நமது ஒருங்கிணைப்பு மாற்றத்தைப் பயன்படுத்தி ரிண்ட்லர் விளக்கப்படத்தில் அவற்றை எளிதாக பெற முடியும். இருப்பினும், அசல் விளக்கப்படத்திலிருந்து சுயாதீனமாக அவற்றைப் பெறுவதும் படிப்பதும் அறிவுறுத்தலாகும், மேலும் இந்த பிரிவில் அவ்வாறு செய்வோம். முதல், மூன்றாவது மற்றும் நான்காவது இடங்களிலிருந்து நாம் உடனடியாக முதல் ஒருங்கிணைப்புகளைப் பெறுகிறோம். இது நான்காவது முதல் ஒருங்கிணைப்பை வழங்குகிறது, அதாவது. புவியியல் சமன்பாடுகளின் முழுமையான தீர்வை வழங்க இது போதுமானது. பூஜ்ய புவியியலைப் பொறுத்தவரை, பூஜ்ஜியமற்றவற்றிலிருந்து, x ஒருங்கிணைப்பு இடைவெளியில் வரம்புகளைக் காண்கிறோம். ரிண்ட்லர் வெட்ஜில் எந்தவொரு நிகழ்வின் மூலமும் எந்தவொரு பூஜ்ய புவியியலைக் கொடுக்கும் முழுமையான ஏழு அளவுரு குடும்பம், ஒரு குறிப்பிட்ட நிகழ்வின் மூலம் சில பிரதிநிதி பூஜ்ய புவியியலின் தடங்களைத் திட்டமிடுகிறது (அதாவது, ஹைப்பர்ஸ்லைஸுக்கு முன்வைத்தல்), ஒரு புள்ளியின் வழியாக அனைத்து அரை வட்டங்களின் குடும்பத்தைப் போலவும், ரிண்ட்லர் அடிவானத்திற்கு ஆர்த்தோகனல் போலவும் இருக்கும் ஒரு படத்தைப் பெறுகிறோம் (படத்தைப் பார்க்கவும்). ஃபெர்மாட் மெட்ரிக் ரிண்ட்லர் விளக்கப்படத்தில், ரிண்ட்லர் பார்வையாளர்களுக்கான எந்தவொரு இடஞ்சார்ந்த ஹைப்பர்ஸ்லைஸிலும் பூஜ்ய புவியியலின் கணிப்புகள் வெறுமனே அரை வட்ட வளைவுகள் என்பதை இப்போது கொடுக்கப்பட்ட பொதுவான தீர்விலிருந்து நேரடியாக சரிபார்க்க முடியும், ஆனால் இதைப் பார்க்க மிகவும் எளிமையான வழி உள்ளது. ஒரு நிலையான இடைவெளி நேரம் என்பது ஒரு வோர்டிஸிட்டி இல்லாத டைம்லிக் கில்லிங் வெக்டர் புலத்தைக் காணலாம். இந்த விஷயத்தில், தொடர்புடைய நிலையான பார்வையாளர்களுக்கு (நிலையான பார்வையாளர்களாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை) ஆர்த்தோகனல் (ஒரே மாதிரியான) இடஞ்சார்ந்த ஹைப்பர்ஸ்லைஸ்களின் தனித்துவமாக வரையறுக்கப்பட்ட குடும்பம் எங்களிடம் உள்ளது. இது விண்வெளி நேரத்திலிருந்து பெறப்பட்ட அசல் அளவீட்டுடன் இணக்கமாக தொடர்புடைய இந்த ஹைப்பர்ஸ்லைஸ்களில் ஏதேனும் ஒரு புதிய அளவீட்டை வரையறுக்க அனுமதிக்கிறது, ஆனால் புதிய அளவீட்டில் உள்ள புவியியல் பண்புடன் (இது ஒரு ரீமானியன் மூன்று மடங்குகளில் ஒரு ரீமானியன் மெட்ரிக் என்பதைக் கவனியுங்கள்) துல்லியமாக விண்வெளி நேரத்தின் பூஜ்ய புவியியியலின் கணிப்புகள். இந்த புதிய மெட்ரிக் ஃபெர்மாட் மெட்ரிக் என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் ஒரு நிலையான இடநேரத்தில் ஒரு ஒருங்கிணைந்த விளக்கப்படத்துடன் வழங்கப்படுகிறது, இதில் வரி உறுப்பு ஃபெர்மாட் மெட்ரிக் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது (இங்கு மெட்ரிக் குணகங்கள் மதிப்பீடு செய்யப்படுவதாக புரிந்து கொள்ளப்படுகிறது). ரிண்ட்லர் விளக்கப்படத்தில், நேரத்தைப் போன்ற மொழிபெயர்ப்பு அத்தகைய ஒரு கொல்லும் திசையன் புலமாகும், எனவே இது ஒரு நிலையான இடநேரமாகும் (ஆச்சரியப்படுவதற்கில்லை, ஏனெனில் மின்காவ்ஸ்கி இடநேரமானது நிச்சயமாக ஐன்ஸ்டீன் புல சமன்பாட்டின் நிலையான வெற்றிட தீர்வாகும்). எனவே, ரிண்ட்லர் பார்வையாளர்களுக்கான ஃபெர்மாட் அளவீட்டை நாம் உடனடியாக எழுதலாம்ஃ ஆனால் இது மேல் பாதி விண்வெளி விளக்கப்படத்தில் ஹைபர்போலிக் மூன்று-இடைவெளி H3 இன் நன்கு அறியப்பட்ட வரி உறுப்பு ஆகும். இது ஹைபர்போலிக் தளமான H2 க்கான நன்கு அறியப்பட்ட மேல் பாதி தள விளக்கப்படத்துடன் நெருக்கமாக ஒத்திருக்கிறது, இது இணக்கமான வரைபட சிக்கல்கள் (மற்றும் பல) தொடர்பாக சிக்கலான பகுப்பாய்வு மாணவர்களின் தலைமுறைகளுக்கு நன்கு தெரிந்திருக்கிறது, மேலும் பல கணித மனப்பான்மை கொண்ட வாசகர்கள் ஏற்கனவே அறிந்திருக்கிறார்கள் மேல் பாதி தள மாதிரியில் H2 இன் புவியியல் வெறுமனே அரை வட்டங்கள் (உண்மையான அச்சால் குறிக்கப்படும் முடிவிலியில் உள்ள வட்டத்திற்கு ஆர்த்தோகனல்). ரிண்ட்லர் விளக்கப்படம் மின்காவ்ஸ்கி விண்வெளி நேரத்திற்கான ஒரு ஒருங்கிணைந்த விளக்கப்படம் என்பதால், பத்து நேரியல் சுயாதீனமான கில்லிங் வெக்டர் புலங்களைக் கண்டுபிடிப்போம் என்று எதிர்பார்க்கிறோம். உண்மையில், கார்ட்டீசியன் விளக்கப்படத்தில் நாம் பத்து நேரியல் சுயாதீனமான கில்லிங் வெக்டர் புலங்களை உடனடியாகக் காணலாம், அவை முறையே நேர மொழிபெயர்ப்பின் ஒரு அளவுரு துணைக்குழுக்கள், மூன்று இடஞ்சார்ந்த, மூன்று சுழற்சிகள் மற்றும் மூன்று பூஸ்ட்களை உருவாக்குகின்றன. இவை ஒன்றாக மின்காவ்ஸ்கி விண்வெளி நேரத்தின் சமச்சீர் குழுவான (சரியான ஐசோக்ரோனஸ்) பாயின்கேர் குழுவை உருவாக்குகின்றன. இருப்பினும், கில்லிங் வெக்டர் சமன்பாடுகளை நேரடியாக எழுதி தீர்ப்பது அறிவுறுத்தலாகும். நாம் நான்கு பழக்கமான கொல்லும் திசையன் புலங்களைப் பெறுகிறோம் (நேர மொழிபெயர்ப்பு, இடஞ்சார்ந்த மொழிபெயர்ப்புகள் முடுக்கத்தின் திசையில் ஆர்த்தோகனல் மற்றும் இடஞ்சார்ந்த சுழற்சி முடுக்கத்தின் திசையில் ஆர்த்தோகனல்) மேலும் ஆறுஃ (அறிகுறிகள் தொடர்ந்து + அல்லது-தேர்ந்தெடுக்கப்படும் இடத்தில்). இவை நிலையான ஜெனரேட்டர்களுடன் எவ்வாறு தொடர்புடையவை என்பதைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான ஒரு பயிற்சியாக நாம் விட்டுவிடுகிறோம்; கார்ட்டீசியன் விளக்கப்படத்தில் உள்ளதற்கு சமமான ஜெனரேட்டர்களைப் பெற முடியும் என்பதை இங்கே சுட்டிக்காட்ட விரும்புகிறோம், இருப்பினும் இந்த மொழிபெயர்ப்பின் கீழ் ரிண்ட்லர் வெட்ஜ் வெளிப்படையாக மாறாதது அல்ல. இது எப்படி இருக்க முடியும்? பதில் என்னவென்றால், ஒரு மென்மையான பன்மடங்கு மீது பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் அமைப்பால் வரையறுக்கப்பட்ட எதையும் போலவே, கொலை சமன்பாடும் பொதுவாக உள்ளூரில் வரையறுக்கப்பட்ட தீர்வுகளைக் கொண்டிருக்கும், ஆனால் இவை உலகளவில் இருக்காது. அதாவது, குழு அளவுருவில் பொருத்தமான கட்டுப்பாடுகளுடன், ஒரு கொலை ஓட்டம் எப்போதும் பொருத்தமான உள்ளூர் சுற்றுப்புறத்தில் வரையறுக்கப்படலாம், ஆனால் ஓட்டம் உலகளவில் நன்கு வரையறுக்கப்படாமல் போகலாம். பொது மென்மையான பன்மடங்கு ஆய்விலும் இதே பிரச்சினை எழுவதால், இதற்கும் லோரெண்ட்சியன் பன்மடங்கு ஆய்வுக்கும் எந்த தொடர்பும் இல்லை. ரிண்ட்லர் விளக்கப்படத்தின் ஆய்விலிருந்து கற்றுக்கொள்ள வேண்டிய பல மதிப்புமிக்க பாடங்களில் ஒன்று, உண்மையில் ரிண்ட்லர் பார்வையாளர்களால் பயன்படுத்தக்கூடிய தூரத்தைப் பற்றிய பல தனித்துவமான (ஆனால் நியாயமான) கருத்துக்கள் உள்ளன. முதலாவதாக நாம் மேலே மறைமுகமாக பயன்படுத்திய ஒன்றுஃ இடஞ்சார்ந்த ஹைப்பர்சிலிக்ஸ்களில் தூண்டப்பட்ட ரீமேனியன் மெட்ரிக். இந்த தூண்டப்பட்ட ரீமானியன் மெட்ரிக் ஒத்திருப்பதால் இதை ஆட்சியாளர் தூரம் என்று அழைப்போம், ஆனால் அதன் செயல்பாட்டு பொருள் உடனடியாக வெளிப்படையாக இருக்காது. இயற்பியல் அளவீட்டின் கண்ணோட்டத்தில், இரண்டு உலகக் கோடுகளுக்கு இடையிலான தூரத்தைப் பற்றிய மிகவும் இயற்கையான கருத்து ரேடார் தூரமாகும். நமது பார்வையாளரின் உலகக் கோட்டிலிருந்து (நிகழ்வு A) ஒரு பூஜ்ய புவியியலை ஒரு சிறிய பொருளின் உலகக் கோட்டிற்கு அனுப்புவதன் மூலம் இது கணக்கிடப்படுகிறது, அதன் பிறகு அது பிரதிபலிக்கிறது (நிகழ்வு B) மற்றும் பார்வையாளருக்குத் திரும்புகிறது (நிகழ்வு C). ரேடார் தூரம் பின்னர் சுற்றுப்பயண பயண நேரத்தை வகுப்பதன் மூலம் பெறப்படுகிறது, இது நமது பார்வையாளரால் கொண்டு செல்லப்படும் ஒரு சிறந்த கடிகாரத்தால் அளவிடப்படுகிறது. (மின்காவ்ஸ்கி விண்வெளி நேரத்தில், அதிர்ஷ்டவசமாக, இரண்டு உலகக் கோடுகளுக்கு இடையில் பல பூஜ்ய புவியியல் பாதைகளின் சாத்தியத்தை நாம் புறக்கணிக்க முடியும், ஆனால் அண்டவியல் மாதிரிகள் மற்றும் பிற பயன்பாடுகளில் விஷயங்கள் அவ்வளவு எளிதானவை அல்ல. இரண்டு பார்வையாளர்களுக்கிடையேயான தூரம் பற்றிய இந்த கருத்து பார்வையாளர்களை ஒன்றோடொன்று மாற்றுவதன் கீழ் சமச்சீராக இருக்கும் ஒரு கருத்தை அளிக்கிறது என்று கருதுவதை எதிர்த்து நாம் எச்சரிக்க வேண்டும்). குறிப்பாக, ஒரு ஜோடி ரிண்ட்லர் பார்வையாளர்களை முறையே ஆயத்தொகுதிகளுடன் கருத்தில் கொள்ளுங்கள். (இவற்றில் முதல், பின்தங்கிய பார்வையாளர், முன்னணி பார்வையாளருடன் தொடர்ந்து இருப்பதற்காக, சற்று கடினமாக முடுக்கிவிடுகிறார் என்பதை நினைவில் கொள்க). ரிண்ட்லர் கோடு உறுப்பில் அமைத்தால், முடுக்கம் திசையில் நகரும் பூஜ்ய புவியியலின் சமன்பாட்டை நாம் உடனடியாகப் பெறுகிறோம்ஃ எனவே, இந்த இரண்டு பார்வையாளர்களுக்கும் இடையிலான ரேடார் தூரம் மூலம் வழங்கப்படுகிறது இது ஆட்சியாளர் தூரத்தை விட சற்று சிறியது, ஆனால் அருகிலுள்ள பார்வையாளர்களுக்கு முரண்பாடு மிகக் குறைவு. தூரத்தைப் பற்றிய மூன்றாவது சாத்தியமான கருத்து இதுஃ நமது பார்வையாளர் ஒரு பொருளின் மீது வைக்கப்பட்டுள்ள ஒரு அலகு வட்டு மூலம் உட்படுத்தப்பட்ட கோணத்தை அளவிடுகிறார் (ஒரு புள்ளி பொருள் அல்ல), அது அவரது இருப்பிடத்திலிருந்து தோன்றுகிறது. இதை ஒளியியல் விட்டம் தூரம் என்று அழைக்கிறோம். மின்காவ்ஸ்கி இடநேரத்தில் உள்ள பூஜ்ய புவியியலின் எளிய தன்மை காரணமாக, நமது ஜோடி ரிண்ட்லர் பார்வையாளர்களுக்கு இடையிலான ஒளியியல் தூரத்தை நாம் உடனடியாக தீர்மானிக்க முடியும் (முடுக்கத்தின் திசையுடன் சீரமைக்கப்பட்டுள்ளது). ஒரு ஓவியத்திலிருந்து ஒளியியல் விட்டம் கொண்ட தூர அளவீடுகள் போல நம்பத்தகுந்ததாக இருக்க வேண்டும். எனவே, ஒரு முன்னணி பார்வையாளருக்கு (வழக்கு) தூரத்தை மதிப்பிடும் ஒரு பின்தங்கிய பார்வையாளரின் விஷயத்தில், ஒளியியல் தூரம் ஆட்சியாளர் தூரத்தை விட சற்று பெரியது, இது ரேடார் தூரத்தை விட சற்று பெரியது. பின்தங்கிய பார்வையாளருக்கு தூரத்தை மதிப்பிடும் ஒரு முன்னணி பார்வையாளரின் வழக்கை பரிசீலிக்க வாசகர் இப்போது ஒரு கணம் எடுக்க வேண்டும். தூரத்தைப் பற்றிய பிற கருத்துக்களும் உள்ளன, ஆனால் முக்கிய அம்சம் தெளிவாக உள்ளதுஃ இந்த பல்வேறு கருத்துக்களின் மதிப்புகள் பொதுவாக கொடுக்கப்பட்ட ஜோடி ரிண்ட்லர் பார்வையாளர்களுக்கு உடன்படாது என்றாலும், ஒவ்வொரு ஜோடி ரிண்ட்லர் பார்வையாளர்களும் நிலையான தூரத்தை பராமரிக்கிறார்கள் என்பதை அவர்கள் அனைவரும் ஒப்புக்கொள்கிறார்கள். மிகவும் அருகிலுள்ள ரிண்ட்லர் பார்வையாளர்கள் பரஸ்பரம் நிலையானவர்கள் என்ற உண்மை, மேலே குறிப்பிடப்பட்ட உண்மையிலிருந்து பின்வருமாறு, ரிண்ட்லர் ஒற்றுமையின் விரிவாக்க டென்சர் ஒரே மாதிரியாக மறைந்துவிடும். இருப்பினும், பல்வேறு புலன்களில், இந்த கடினத்தன்மை பண்பு பெரிய அளவுகளில் உள்ளது என்பதை இங்கே காட்டியுள்ளோம். இது உண்மையில் ஒரு குறிப்பிடத்தக்க கடினத்தன்மை பண்பு, சார்பியல் இயற்பியலில், எந்த கம்பியையும் கடுமையாக துரிதப்படுத்த முடியாது (எந்த வட்டு கடினமாக சுழற்ற முடியாது)-குறைந்தபட்சம், ஒரே மாதிரியான அழுத்தங்களைத் தக்கவைக்காமல் அல்ல. இதைப் பார்ப்பதற்கான எளிதான வழி, நியூட்டனின் இயற்பியலில், நாம் ஒரு கடினமான பொருளை "உதைத்தால்", உடலில் உள்ள பொருளின் அனைத்து கூறுகளும் உடனடியாக அவற்றின் இயக்க நிலையை மாற்றும் என்பதைக் கவனிப்பதாகும். எந்தவொரு இயற்பியல் விளைவையும் கொண்ட எந்த தகவலும் ஒளியின் வேகத்தை விட வேகமாக பரவ முடியாது என்ற சார்பியல் கொள்கையுடன் இது நிச்சயமாக பொருந்தாது. ஒரு கம்பியை அதன் நீளத்தில் எங்கும் பயன்படுத்தப்படும் சில வெளிப்புற சக்தியால் துரிதப்படுத்தினால், கம்பியில் உள்ள பல்வேறு இடங்களில் உள்ள பொருளின் கூறுகள் அனைத்தும் ஒரே அளவிலான முடுக்கத்தை உணர முடியாது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், உடைக்காத ஒரு துரிதப்படுத்தப்பட்ட கம்பி அதன் நீளத்தில் மாறுபடும் அழுத்தங்களைத் தக்கவைக்க வேண்டும். மேலும், நேர மாறுபடும் சக்திகளைக் கொண்ட எந்தவொரு சிந்தனை பரிசோதனையிலும், நாம் ஒரு பொருளை "உதைத்தாலும்" அல்லது அதை படிப்படியாக முடுக்கிவிட முயற்சித்தாலும், சார்பியல் இயக்கவியலுக்கு முரணான இயந்திர மாதிரிகளைத் தவிர்ப்பதில் உள்ள சிக்கலைத் தவிர்க்க முடியாது (ஏனெனில் உடலின் தொலைதூர பகுதிகள் பயன்படுத்தப்பட்ட சக்திக்கு மிக விரைவாக பதிலளிக்கின்றன). ஆட்சியாளர் தூரத்தின் செயல்பாட்டு முக்கியத்துவம் குறித்த கேள்விக்குத் திரும்புகையில், நம் பார்வையாளர்கள் மிக மெதுவாக ஒரு சிறிய ஆட்சியாளரைக் கையிலிருந்து கடந்து செல்லும்போது இது கிடைக்கும் தூரமாக இருக்க வேண்டும் என்பதை நாம் காண்கிறோம், இது மீண்டும் மீண்டும் முடிவடைகிறது. ஆனால் இந்த விளக்கத்தை விரிவாக நியாயப்படுத்துவதற்கு ஒருவித பொருள் மாதிரி தேவைப்படும். வளைந்த விண்வெளி நேரங்களுக்கு பொதுமைப்படுத்தல் மேலே விவரிக்கப்பட்டுள்ளபடி ரிண்ட்லர் ஆயத்தொலைவுகளை வளைந்த விண்வெளி நேரத்திற்கு பொதுமைப்படுத்தலாம், ஃபெர்மி இயல்பான ஆயத்தொலைவுகள். பொதுமைப்படுத்தல் அடிப்படையில் ஒரு பொருத்தமான ஆர்த்தோனார்மல் டெட்ராட்டை உருவாக்கி, பின்னர் ஃபெர்மி-வாக்கர் போக்குவரத்து விதியைப் பயன்படுத்தி கொடுக்கப்பட்ட பாதையில் கொண்டு செல்வதை உள்ளடக்கியது. விவரங்களுக்கு, கீழே உள்ள குறிப்புகளில் நி மற்றும் சிம்மர்மேன் எழுதிய கட்டுரையைப் பார்க்கவும். இத்தகைய பொதுமைப்படுத்தல் உண்மையில் ஒரு பூமியை அடிப்படையாகக் கொண்ட ஆய்வகத்தில் மந்தநிலை மற்றும் ஈர்ப்பு விளைவுகளையும், அதே போல் மிகவும் சுவாரஸ்யமான இணைந்த மந்தநிலை-ஈர்ப்பு விளைவுகளையும் ஆய்வு செய்ய உதவுகிறது. கோட்லர்-முல்லர் மற்றும் ரிண்ட்லர் ஒருங்கிணைப்புகள் ஆல்பர்ட் ஐன்ஸ்டீன் (1907) ஒரு சீரான துரிதப்படுத்தப்பட்ட சட்டகத்திற்குள் விளைவுகளை ஆய்வு செய்தார், ஒருங்கிணைந்த சார்பு நேர விரிவு மற்றும் () க்கு சமமான ஒளியின் வேகத்திற்கான சமன்பாடுகளைப் பெற்றார், மேலும் பார்வையாளரின் தோற்றத்திலிருந்து சுயாதீனமான சூத்திரங்களை உருவாக்குவதற்காக, ரேடார் ஆயத்தொகுப்புகளுடன் முறையான ஒப்பந்தத்தில் நேர விரிதலை () பெற்றார். போர்ன் கடினத்தன்மை என்ற கருத்தை அறிமுகப்படுத்தியபோது, மேக்ஸ் பார்ன் (1909) ஹைபர்போலிக் இயக்கத்திற்கான சூத்திரங்களை () க்கு சமமான "ஹைபர்போலிக் முறையில் துரிதப்படுத்தப்பட்ட குறிப்பு அமைப்பாக" () மாற்றங்களாகப் பயன்படுத்தலாம் என்று குறிப்பிட்டார். போர்னின் பணியை அர்னால்ட் சோமர்ஃபீல்ட் (1910) மற்றும் மேக்ஸ் வான் லாவ் (1911) ஆகியோர் மேலும் விரிவுபடுத்தினர், அவர்கள் இருவரும் கற்பனை எண்களைப் பயன்படுத்தி () ஐப் பெற்றனர், இதை வொல்ப்காங் பாலி (1921) சுருக்கமாகக் கூறினார், அவர் ஆயத்தொகுதிகளைத் தவிர () கற்பனை எண்களைப் பயன்படுத்தி மெட்ரிக் () ஐப் பெற்றார். ஐன்ஸ்டீன் (1912) ஒரு நிலையான ஈர்ப்பு விசையை ஆய்வு செய்து, கோட்ட்லர்-முல்லர் மெட்ரிக் () மற்றும் ஒளியின் ஒருங்கிணைந்த சார்பு வேகத்தைப் பயன்படுத்தி சூத்திரங்களுக்கான () தோராயங்களைப் பெற்றார். ஹென்ட்ரிக் லோரென்ட்ஸ் (1913) ஐன்ஸ்டீனின் சமநிலைக் கோட்பாடு மற்றும் சீரான ஈர்ப்பு விசையைப் படிக்கும்போது (,,) போன்ற ஆயத்தொகுதிகளைப் பெற்றார். ஃப்ரெட்ரிக் கோட்ட்லர் (1914) ஒரு விரிவான விளக்கத்தை வழங்கினார், அவர் தொடர்புடைய ஆர்த்தோனார்மல் டெட்ராட், உருமாற்ற சூத்திரங்கள் மற்றும் மெட்ரிக் (,) ஆகியவற்றை உருவாக்கினார். மேலும் கார்ல் போலர்ட் (1922) சீரான முடுக்கம் மற்றும் சீரான ஈர்ப்பு விசைகள் பற்றிய தனது ஆய்வில் மெட்ரிக் () ஐப் பெற்றார். போர்ன் கடினத்தன்மை தொடர்பான ஒரு ஆய்வறிக்கையில், ஜார்ஜஸ் லெமைட்ரே (1924) ஆயத்தொகுப்புகள் மற்றும் மெட்ரிக் (,) ஐப் பெற்றார். ஆல்பர்ட் ஐன்ஸ்டீன் மற்றும் நாதன் ரோசன் (1935) ஆகியோர் ஒரே மாதிரியான ஈர்ப்பு விசைக்கு "நன்கு அறியப்பட்ட" வெளிப்பாடுகள் என்று விவரித்தனர். கிறிஸ்டியன் முல்லர் (1943) ஒரே மாதிரியான ஈர்ப்பு விசைகள் தொடர்பான ஆய்வாக (,) பெற்ற பிறகு, அவர் (1952) மற்றும் மிஸ்னர் & தோர்ன் & வீலர் (1973) அதே சமன்பாடுகளைப் பெற பெர்மி-வாக்கர் போக்குவரத்தைப் பயன்படுத்தினர். இந்த ஆய்வுகள் தட்டையான விண்வெளி நேரத்துடன் தொடர்புடையதாக இருந்தபோதிலும், வொல்ஃப்காங் ரிண்ட்லர் (1960) வளைந்த விண்வெளி நேரத்தில் ஹைபர்போலிக் இயக்கத்தை பகுப்பாய்வு செய்தார், மேலும் (1966) ஸ்வார்ஸ்ஷைல்ட் இடத்தில் உள்ள க்ரூஸ்கல் ஆயத்தொகுப்புகளுடன் தட்டையான விண்வெளி நேரத்தில் ஹைபர்போலிக் ஆயத்தொகுப்புகளுக்கு (,) இடையிலான ஒப்புமையைக் காட்டினார். இது ஹைபர்போலிக் இயக்கத்தில் ஒரு பார்வையாளரால் அளவிடப்படும் அன்ருஹ் கதிர்வீச்சை உருவாக்குவதில் அடுத்தடுத்த எழுத்தாளர்களை பாதித்தது, இது கருந்துளைகளின் ஹாக்கிங் கதிர்வீச்சின் விளக்கத்திற்கு ஒத்ததாகும். ஹொரைசன் பார்ன் (1909) ஹைபர்போலிக் இயக்கத்தில் ஒரு போர்ன் கடினமான உடலின் உள் புள்ளிகள் இப்பகுதியில் மட்டுமே இருக்க முடியும் என்பதைக் காட்டியது. சோமர்ஃபெல்ட் (1910) நிலையான மற்றும் ஹைபர்போலிக் ஆயத்தொகுப்புகளுக்கு இடையிலான மாற்றத்திற்கு அனுமதிக்கப்பட்ட ஆயத்தொகுப்புகள் பூர்த்தி செய்யப்பட வேண்டும் என்று வரையறுத்தார். கோட்ட்லர் (1914) இந்த பிராந்தியத்தை இவ்வாறு வரையறுத்தார், மேலும் ஒரு "எல்லை தளம்" () இருப்பதை சுட்டிக்காட்டினார், அதற்கு அப்பால் எந்த சமிக்ஞையும் ஹைபர்போலிக் இயக்கத்தில் பார்வையாளரை அடைய முடியாது. இது போலர்ட் (1922) என்பவரால் "பார்வையாளரின் அடிவானம்" () என்று அழைக்கப்பட்டது. ரிண்ட்லர் (1966) அத்தகைய அடிவானத்திற்கும் அடிவானத்திற்கும் இடையிலான உறவை க்ருஸ்கல் ஆயத்தொகுப்புகளில் நிரூபித்தார். ராடார் ஒருங்கிணைப்புகள் போலர்ட்டின் சம்பிரதாயத்தைப் பயன்படுத்தி, ஸ்ட்ஜெபன் மொஹோரோவிசிக் (1922) சில அளவுருக்களுக்கு வேறு ஒரு தேர்வைச் செய்து, அச்சிடும் பிழையுடன் மெட்ரிக் () ஐப் பெற்றார், இது மற்றொரு அச்சிடும் பிழையுடன் போலர்ட் (1922பி) ஆல் சரிசெய்யப்பட்டது, அச்சிடும் பிழை இல்லாத பதிப்பு மொஹோரோவிசிக் (1923) ஆல் வழங்கப்பட்டது. கூடுதலாக, மெட்ரிக் (இப்போது கோட்ட்லர்-முல்லர் மெட்ரிக் என்று அழைக்கப்படுகிறது) தவறானது என்று மொஹோரோவிசிக் தவறாக வாதிட்டார், இதை போலர்ட் (1922) மறுத்தார். மெட்ரிக் () ஹாரி லாஸ் (1963) என்பவரால் மீண்டும் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது, அவர் தொடர்புடைய ஆயத்தொகுதிகளையும் () வழங்கினார், அவை சில நேரங்களில் "லாஸ் ஆயத்தொகுதிகள்" என்று அழைக்கப்படுகின்றன. மெட்ரிக் (), அதே போல் (,), ஃபிரிட்ஸ் ரோர்லிச் (1963) என்பவரால் பெறப்பட்டது. இறுதியில், லாஸ் ஆயத்தொலைவுகள் (,) ரேடார் ஆயத்தொலைவுகளுடன் டெஸ்லோஜ் & பில்பாட் (1987) மூலம் அடையாளம் காணப்பட்டன. வரலாற்று சூத்திரங்களுடன் கூடிய அட்டவணை பெல்லின் விண்கல முரண்பாட்டையும் பார்க்கவும், சில நேரங்களில் சர்ச்சைக்குரிய பொருள் பெரும்பாலும் ரிண்ட்லர் ஆயத்தொகுதிகளைப் பயன்படுத்தி ஆய்வு செய்யப்படுகிறது. மின்காவ்ஸ்கி விண்வெளி நேரத்தில் சில துரிதப்படுத்தப்பட்ட பார்வையாளர்களின் இயக்கத்திற்கு ஏற்ற மற்றொரு முக்கியமான ஒருங்கிணைப்பு அமைப்புக்கு பிறப்பு ஆயத்தொலைவுகள். ஒற்றுமை (பொது சார்பியல்) எஹ்ரென்ஃபெஸ்ட் முரண்பாடு, சில நேரங்களில் சர்ச்சைக்குரிய பாடத்திற்கு பெரும்பாலும் போர்ன் ஆயத்தொகுதிகளைப் பயன்படுத்தி ஆய்வு செய்யப்படுகிறது. பொது சார்பியலில் கட்டமைப்புப் புலங்கள் பொது சார்பியல் வளங்கள் மில்னே மாதிரி ராய்சௌதுரி சமன்பாடு அன்ருஹ் விளைவு குறிப்புகள் வரலாற்று ஆதாரங்கள் மேலும் வாசிப்பு பயனுள்ள பின்னணிஃ மென்மையான பன்மடங்கு திசையன் புலங்களைப் பற்றிய பின்னணிக்கு அத்தியாயம் 4 ஐப் பார்க்கவும். ஃபெர்மாட் அளவீட்டின் வழித்தோன்றலுக்கு அத்தியாயம் 8 ஐப் பார்க்கவும். ரிண்ட்லர் ஆயத்தொலைவுகள்ஃ பிரிவு 6.6 ஐப் பார்க்கவும். ரிண்ட்லர் அடிவானம்ஃ சார்பியல் கோட்பாடு பொது சார்பியல் முடுக்கத்தில் அட்டவணைகளை ஒருங்கிணைக்கவும்