Stochastic differential equation
ஒரு சீரற்ற வேறுபாடு சமன்பாடு (எஸ். டி. இ) என்பது ஒரு வேறுபாடு சமன்பாடாகும், இதில் ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட சொற்கள் ஒரு சீரற்ற செயல்முறையாகும், இதன் விளைவாக ஒரு தீர்வு ஏற்படுகிறது, இது ஒரு சீரற்ற செயல்முறையாகும். எஸ். டி. இ. க்கள் தூய கணிதம் முழுவதும் பல பயன்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளன, மேலும் அவை பங்கு விலைகள், சீரற்ற வளர்ச்சி மாதிரிகள் அல்லது வெப்ப ஏற்ற இறக்கங்களுக்கு உட்படும் இயற்பியல் அமைப்புகள் போன்ற சீரற்ற மாதிரிகளின் பல்வேறு நடத்தைகளை மாதிரியாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. எஸ். டி. இ. க்கள் ஒரு சீரற்ற வேறுபாட்டைக் கொண்டுள்ளன, இது மிகவும் அடிப்படை வழக்கில் சீரற்ற வெள்ளை சத்தம் ஒரு பிரவுனியன் இயக்கத்தின் வழித்தோன்றலாக அல்லது பொதுவாக ஒரு செமிமார்டிங்கேலாக கணக்கிடப்படுகிறது. இருப்பினும், மற்ற வகையான சீரற்ற நடத்தை சாத்தியமாகும், அதாவது லெவி செயல்முறைகள் போன்ற ஜம்ப் செயல்முறைகள் அல்லது ஜம்புகளுடன் கூடிய செமிமார்டிங்கேல்ஸ். சீரற்ற வேறுபாடு சமன்பாடுகள் சீரற்ற வேறுபாடு சமன்பாடுகளுடன் இணைக்கப்படுகின்றன. தற்செயலான வேறுபாடு சமன்பாடுகளை வேறுபாடு பன்மடங்கு வரை நீட்டிக்க முடியும். பின்னணி சீரற்ற வேறுபாடு சமன்பாடுகள் 1905 ஆம் ஆண்டில் ஆல்பர்ட் ஐன்ஸ்டீன் மற்றும் மரியன் ஸ்மோலுசோவ்ஸ்கி ஆகியோரின் படைப்புகளில் பிரவுனியன் இயக்கக் கோட்பாட்டில் தோன்றின, இருப்பினும் லூயிஸ் பேச்லியர் 1900 ஆம் ஆண்டில் பிரவுனியன் இயக்கத்தை மாதிரியாக்கிய முதல் நபராக இருந்தார், இது இப்போது பேச்லியர் மாதிரி என்று அழைக்கப்படும் சீரற்ற வேறுபாடு சமன்பாட்டிற்கு மிக ஆரம்ப உதாரணத்தை அளிக்கிறது. இந்த ஆரம்பகால எடுத்துக்காட்டுகளில் சில நேரியல் சீரற்ற வேறுபட்ட சமன்பாடுகளாகும், இது பிரெஞ்சு இயற்பியலாளர் லாங்கேவின் நினைவாக 'லாங்கேவின்' சமன்பாடுகள் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது, இது ஒரு சீரற்ற சக்திக்கு உட்பட்ட ஒரு ஹார்மோனிக் ஊசலாட்டத்தின் இயக்கத்தை விவரிக்கிறது. 1940 களில் ஜப்பானிய கணிதவியலாளர் கியோசி இட்டோவின் அற்புதமான பணியின் மூலம் தற்செயலான வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் கணிதக் கோட்பாடு உருவாக்கப்பட்டது, அவர் சீரற்ற ஒருங்கிணைப்பு என்ற கருத்தை அறிமுகப்படுத்தி, நேரியல் அல்லாத சீரற்ற வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் ஆய்வைத் தொடங்கினார். மற்றொரு அணுகுமுறை பின்னர் ரஷ்ய இயற்பியலாளர் ஸ்ட்ராட்டோனோவிச் என்பவரால் முன்மொழியப்பட்டது, இது சாதாரண கால்குலஸைப் போன்ற ஒரு கால்குலஸுக்கு வழிவகுத்தது. சொற்களஞ்சியம் இலக்கியத்தில் எஸ். டி. இ. களின் மிகவும் பொதுவான வடிவம் ஒரு சாதாரண வேறுபட்ட சமன்பாடாகும், வலது புறம் ஒரு வெள்ளை சத்தம் மாறியைப் பொறுத்து ஒரு சொல்லால் குழப்பமடைகிறது. பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில், எஸ். டி. இ. க்கள் தொடர்புடைய சீரற்ற வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் தொடர்ச்சியான கால வரம்பாக புரிந்து கொள்ளப்படுகின்றன. எஸ். டி. இ. க்களைப் பற்றிய இந்த புரிதல் தெளிவற்றது மற்றும் தொடர்புடைய ஒருங்கிணைப்பின் சரியான கணித வரையறையால் பூர்த்தி செய்யப்பட வேண்டும். அத்தகைய கணித வரையறை முதன்முதலில் 1940 களில் கியோசி இட்டோவால் முன்மொழியப்பட்டது, இது இன்று இட்டோ கால்குலஸ் என்று அழைக்கப்படுகிறது. மற்றொரு கட்டுமானம் பின்னர் ரஷ்ய இயற்பியலாளர் ஸ்ட்ராட்டோனோவிச் என்பவரால் முன்மொழியப்பட்டது, இது ஸ்ட்ராட்டோனோவிச் ஒருங்கிணைப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது. இட்டோ ஒருங்கிணைப்பு மற்றும் ஸ்ட்ராட்டோனோவிச் ஒருங்கிணைப்பு ஆகியவை தொடர்புடையவை, ஆனால் வேறுபட்டவை, பொருள்கள் மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான தேர்வு கருதப்படும் பயன்பாட்டைப் பொறுத்தது. இட்டோ கால்குலஸ் என்பது நிலையற்ற தன்மை அல்லது காரணத்தன்மை என்ற கருத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது, இது மாறி நேரமாக இருக்கும் பயன்பாடுகளில் இயற்கையானது. மறுபுறம், ஸ்ட்ராட்டோனோவிச் கால்குலஸ் சாதாரண கால்குலஸை ஒத்த விதிகளைக் கொண்டுள்ளது மற்றும் பன்மடங்கு சீரற்ற இயக்கம் போன்ற வடிவியல் சிக்கல்களைக் கையாளும் போது அதை மிகவும் இயற்கையாக மாற்றும் உள்ளார்ந்த வடிவியல் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது, இருப்பினும் இது சாத்தியம் மற்றும் சில சந்தர்ப்பங்களில் சீரற்ற இயக்கத்தை மாதிரியாக்க விரும்பப்படுகிறது. எஸ். டி. இ. க்களில் ஒரு மாற்று பார்வை டிப்ஃபோமார்பிசம்களின் சீரற்ற ஓட்டம் ஆகும். இந்த புரிதல் தெளிவற்றது மற்றும் சீரற்ற வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் தொடர்ச்சியான நேர வரம்பின் ஸ்ட்ராட்டோனோவிச் பதிப்புடன் ஒத்திருக்கிறது. எஸ். டி. இ. களுடன் தொடர்புடையது ஸ்மோலுசோவ்ஸ்கி சமன்பாடு அல்லது ஃபோக்கர்-பிளாங்க் சமன்பாடு, இது நிகழ்தகவு விநியோக செயல்பாடுகளின் நேர பரிணாமத்தை விவரிக்கும் ஒரு சமன்பாடு ஆகும். வேறுபட்ட வடிவங்களின் தற்காலிக பரிணாமத்திற்கு ஃபோக்கர்-பிளாங்க் பரிணாமத்தின் பொதுமைப்படுத்தல் தற்செயலான பரிணாம ஆபரேட்டர் என்ற கருத்தால் வழங்கப்படுகிறது. இயற்பியல் அறிவியலில், "லாங்கேவின் எஸ். டி. இ. க்கள்" என்ற வார்த்தையின் பயன்பாட்டில் ஒரு தெளிவின்மை உள்ளது. லாங்கேவின் எஸ். டி. இ. க்கள் மிகவும் பொதுவான வடிவமாக இருந்தாலும், இந்த சொல் பொதுவாக சாய்வு ஓட்ட திசையன் புலங்களைக் கொண்ட எஸ். டி. இ. களின் குறுகிய வகுப்பைக் குறிக்கிறது. இந்த வகை எஸ். டி. இ. க்கள் குறிப்பாக பிரபலமாக உள்ளன, ஏனெனில் இது பாரிசி-சோர்லாஸ் சீரற்ற அளவீட்டு செயல்முறையின் தொடக்க புள்ளியாகும், இது ஒரு N = 2 சூப்பர் சிம்மெட்ரிக் மாதிரிக்கு வழிவகுக்கிறது, இது சூப்பர் சிமெட்ரிக் குவாண்டம் இயக்கவியலுடன் நெருக்கமாக தொடர்புடையது. எவ்வாறாயினும், இயற்பியல் கண்ணோட்டத்தில், இந்த வகை எஸ். டி. இ. க்கள் மிகவும் சுவாரஸ்யமானவை அல்ல, ஏனெனில் இது ஒருபோதும் இடவியல் மேல்நிலை அளவீட்டின் தன்னிச்சையான முறிவை வெளிப்படுத்தாது, அதாவது, (மிகைப்படுத்தப்பட்ட) லாங்கேவின் எஸ். டி. இ. க்கள் ஒருபோதும் குழப்பமடையாது. சீரற்ற கால்குலஸ் பிரவுனியன் இயக்கம் அல்லது வீனர் செயல்முறை கணித ரீதியாக விதிவிலக்காக சிக்கலானது என்று கண்டறியப்பட்டது. வீனர் செயல்முறை கிட்டத்தட்ட எங்கும் வேறுபடுத்தக்கூடியது அல்ல; எனவே, அதற்கு அதன் சொந்த கால்குலஸ் விதிகள் தேவைப்படுகின்றன. தற்செயலான கால்குலஸின் இரண்டு ஆதிக்கம் செலுத்தும் பதிப்புகள் உள்ளன, இட்டோ சீரற்ற கால்குலஸ் மற்றும் ஸ்ட்ராட்டோனோவிச் சீரற்ற கால்குலஸ். இரண்டிற்கும் நன்மைகள் மற்றும் தீமைகள் உள்ளன, மேலும் ஒரு குறிப்பிட்ட சூழ்நிலையில் ஒன்று மற்றொன்றை விட பொருத்தமானதா என்று புதுமுகங்கள் அடிக்கடி குழப்பமடைகிறார்கள். வழிகாட்டுதல்கள் உள்ளன (எ. கா. Øksendal, 2003) மற்றும் வசதியாக, ஒருவர் உடனடியாக ஒரு Itö SDE ஐ ஒரு சமமான ஸ்ட்ராட்டோனோவிச் SDE ஆக மாற்றலாம் மற்றும் மீண்டும் திரும்பலாம். இருப்பினும், எஸ். டி. இ ஆரம்பத்தில் எழுதப்படும்போது எந்த கால்குலஸைப் பயன்படுத்த வேண்டும் என்பதில் ஒருவர் கவனமாக இருக்க வேண்டும். எண்சார் தீர்வுகள் தற்செயலான வேறுபாடு சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான எண் முறைகளில் யூலர்-மரியாமா முறை, மில்ஸ்டீன் முறை, ரன்ஜ்-குட்டா முறை (எஸ். டி. இ), ரோசென்ப்ரோக் முறை மற்றும் மறு செய்கை செய்யப்பட்ட சீரற்ற ஒருங்கிணைப்புகளின் வெவ்வேறு பிரதிநிதித்துவங்களை அடிப்படையாகக் கொண்ட முறைகள் ஆகியவை அடங்கும். இயற்பியலில் பயன்பாடு இயற்பியலில், எஸ். டி. இ. க்கள் மூலக்கூறு இயக்கவியல் முதல் நரம்பியல் இயக்கவியல் மற்றும் வானியற்பியல் பொருட்களின் இயக்கவியல் வரை பரந்த பயன்பாட்டைக் கொண்டுள்ளன. மேலும் குறிப்பாக, எஸ். டி. இ. க்கள் அனைத்து இயக்கவியல் அமைப்புகளையும் விவரிக்கின்றன, இதில் குவாண்டம் விளைவுகள் முக்கியமற்றவை அல்லது இடையூறுகளாகக் கருதப்படலாம். சத்தம் கொண்ட மாதிரிகளுக்கு இயக்கவியல் அமைப்புகள் கோட்பாட்டின் பொதுமைப்படுத்தலாக எஸ். டி. இ. க்களைக் காணலாம். இது ஒரு முக்கியமான பொதுமைப்படுத்தலாகும், ஏனெனில் உண்மையான அமைப்புகளை அவற்றின் சூழல்களிலிருந்து முற்றிலும் தனிமைப்படுத்த முடியாது, இந்த காரணத்திற்காக எப்போதும் வெளிப்புற சீரற்ற செல்வாக்கை அனுபவிக்கிறது. புதிய அறியப்படாதவற்றை அறிமுகப்படுத்துவதன் மூலம் உயர்-வரிசை சமன்பாடுகளை பல இணைந்த முதல்-வரிசை சமன்பாடுகளாக மாற்றுவதற்கான நிலையான நுட்பங்கள் உள்ளன. எனவே, பின்வருபவை SDE களின் மிகவும் பொதுவான வகுப்பாகும்ஃ அதன் கட்டம் (அல்லது நிலை) இடத்தில் அமைப்பில் உள்ள நிலை, வேறுபடுத்தக்கூடிய பன்மடங்கு என்று கருதப்படுகிறது, இது பரிணாமத்தின் தீர்மானகரமான விதியைக் குறிக்கும் ஒரு ஓட்டம் திசையன் புலம், மேலும் இது ஒரு தொகுப்பாகும் திசையன் புலங்கள் அமைப்பின் இணைப்பை காஸியன் வெள்ளை சத்தத்துடன் வரையறுக்கின்றன,. ஒரு நேரியல் இடைவெளி மற்றும் மாறிலிகள் என்றால், அமைப்பு சேர்க்கை சத்தத்திற்கு உட்பட்டது என்று கூறப்படுகிறது, இல்லையெனில் அது பெருக்க சத்தத்திற்கு உட்பட்டது என்று கூறப்படுகிறது. இந்த சொல் ஓரளவு தவறாக வழிநடத்துகிறது, ஏனெனில் இது பொதுவான வழக்கைக் குறிக்கிறது, இருப்பினும் இது வரையறுக்கப்பட்ட வழக்கைக் குறிக்கிறது. சத்தத்தின் நிலையான உள்ளமைவுக்கு, எஸ். டி. இ ஆரம்ப நிலையைப் பொறுத்து வேறுபடுத்தக்கூடிய ஒரு தனித்துவமான தீர்வைக் கொண்டுள்ளது. சத்தம் உள்ளமைவுகளை விட ஆர்வமுள்ள பல்வேறு பொருட்களை சராசரி செய்ய முயற்சிக்கும்போது சீரற்ற வழக்கின் அற்பத்தன்மை காட்டப்படுகிறது. இந்த அர்த்தத்தில், சத்தம் பெருக்கமாக இருக்கும்போது மற்றும் எஸ். டி. இ ஒரு சீரற்ற வேறுபாடு சமன்பாட்டின் தொடர்ச்சியான நேர வரம்பாக புரிந்து கொள்ளப்படும்போது ஒரு எஸ். டி. இ ஒரு தனித்துவமாக வரையறுக்கப்பட்ட நிறுவனம் அல்ல. இந்த விஷயத்தில், இட்டோ அல்லது எஸ். டி. இ. களின் ஸ்ட்ராட்டோனோவிச் விளக்கங்கள் போன்ற "எஸ். டி. இ. யின் விளக்கங்கள்" என்று அழைக்கப்படுவதன் மூலம் எஸ். டி. இ. பூர்த்தி செய்யப்பட வேண்டும். ஆயினும்கூட, எஸ். டி. இ. டிஃபிஃபோமார்பிசங்களின் தொடர்ச்சியான நேர சீரற்ற ஓட்டமாக கருதப்படும்போது, இது ஒரு தனித்துவமாக வரையறுக்கப்பட்ட கணிதப் பொருளாகும், இது ஒரு சீரற்ற வேறுபாடு சமன்பாட்டின் தொடர்ச்சியான நேர வரம்பிற்கு ஸ்ட்ராட்டோனோவிச் அணுகுமுறையுடன் ஒத்திருக்கிறது. இயற்பியலில், சமமான ஃபோக்கர்-பிளாங்க் சமன்பாட்டை (எஃப். பி. இ) பயன்படுத்தி நேரத்தின் செயல்பாடாக நிகழ்தகவு விநியோக செயல்பாட்டைக் கண்டுபிடிப்பதே தீர்வின் முக்கிய முறையாகும். ஃபோக்கர்-பிளாங்க் சமன்பாடு ஒரு தீர்மானகரமான பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடு ஆகும். ஷ்ரோடிங்கர் சமன்பாடு குவாண்டம் அலை செயல்பாட்டின் நேர பரிணாமத்தை எவ்வாறு வழங்குகிறது அல்லது பரவல் சமன்பாடு வேதியியல் செறிவு நேர பரிணாமத்தை எவ்வாறு அளிக்கிறது என்பதைப் போலவே நிகழ்தகவு விநியோக செயல்பாடு எவ்வாறு காலப்போக்கில் உருவாகிறது என்பதை இது கூறுகிறது. மாற்றாக, மான்டே கார்லோ உருவகப்படுத்துதல் மூலம் எண் தீர்வுகளைப் பெறலாம். புள்ளிவிவர இயற்பியல் மற்றும் குவாண்டம் இயக்கவியலுக்கு இடையிலான ஒப்புமையை ஈர்க்கும் பாதை ஒருங்கிணைப்பு பிற நுட்பங்களில் அடங்கும் (எடுத்துக்காட்டாக, ஃபோக்கர்-பிளாங்க் சமன்பாட்டை ஒரு சில மாறிகளை மறுபரிசீலனை செய்வதன் மூலம் ஷ்ரோடிங்கர் சமன்பாடாக மாற்றலாம்) அல்லது நிகழ்தகவு விநியோக செயல்பாட்டின் புள்ளிவிவர தருணங்களுக்கான சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடுகளை எழுதுவதன் மூலம். நிகழ்தகவுக் கோட்பாட்டில் பயன்படுத்தப்படும் குறியீடு (மற்றும் நிகழ்தகவுக் கோட்பாட்டின் பல பயன்பாடுகளில், எடுத்துக்காட்டாக வடிகட்டுதல் சிக்கல் மற்றும் கணித நிதியுடன் சமிக்ஞை செயலாக்கத்தில்) சற்று வேறுபட்டது. இது சீரற்ற வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான எண் முறைகள் குறித்த வெளியீடுகளில் பயன்படுத்தப்படும் குறியீடாகும். இந்த குறியீடு இயற்பியல் சூத்திரத்தில் நேரத்தின் சீரற்ற செயல்பாட்டின் கவர்ச்சியான தன்மையை மிகவும் வெளிப்படையாக ஆக்குகிறது. கடுமையான கணித சொற்களில், ஒரு சாதாரண செயல்பாடாக தேர்வு செய்ய முடியாது, ஆனால் ஒரு பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட செயல்பாடாக மட்டுமே. கணித சூத்திரம் இந்த சிக்கலை இயற்பியல் சூத்திரத்தை விட குறைவான தெளிவின்மையுடன் நடத்துகிறது. ஒரு பொதுவான சமன்பாடு ஒரு வீனர் செயல்முறையைக் குறிக்கும் வடிவத்தில் உள்ளது (நிலையான பிரவுனியன் இயக்கம்). இந்த சமன்பாடு தொடர்புடைய ஒருங்கிணைந்த சமன்பாட்டை வெளிப்படுத்தும் ஒரு முறைசாரா வழியாக விளக்கப்பட வேண்டும் மேலே உள்ள சமன்பாடு தொடர்ச்சியான நேர சீரற்ற செயல்முறை Xt இன் நடத்தையை ஒரு சாதாரண லெபெஸ்கூ ஒருங்கிணைப்பு மற்றும் ஒரு இட்டோ ஒருங்கிணைப்பின் கூட்டுத்தொகையாக வகைப்படுத்துகிறது. தற்செயலான வேறுபாடு சமன்பாட்டின் ஒரு ஹூரிஸ்டிக் (ஆனால் மிகவும் பயனுள்ளதாக) விளக்கம் என்னவென்றால், δ நீளத்தின் ஒரு சிறிய நேர இடைவெளியில் சீரற்ற செயல்முறை Xt அதன் மதிப்பை ஒரு தொகையால் மாற்றுகிறது, இது பொதுவாக எதிர்பார்ப்பு μ (Xt, t) δ மற்றும் மாறுபாடு σ (Xt, t) 2 δ உடன் விநியோகிக்கப்படுகிறது மற்றும் செயல்முறையின் கடந்தகால நடத்தையிலிருந்து சுயாதீனமாக உள்ளது. ஏனென்றால், ஒரு வீனர் செயல்முறையின் அதிகரிப்புகள் சுயாதீனமானவை மற்றும் பொதுவாக விநியோகிக்கப்படுகின்றன. செயல்பாடு μ சறுக்கல் குணகம் என்று குறிப்பிடப்படுகிறது, அதே நேரத்தில் σ பரவல் குணகம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. சீரற்ற செயல்முறை Xt ஒரு பரவல் செயல்முறை என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் இது மார்கோவ் பண்புகளை திருப்திப்படுத்துகிறது. ஒரு எஸ். டி. இ. யின் முறையான விளக்கம் எஸ். டி. இ. க்கு என்ன தீர்வு என்பதைப் பொறுத்து வழங்கப்படுகிறது. ஒரு SDE க்கு ஒரு தீர்வுக்கு இரண்டு முக்கிய வரையறைகள் உள்ளன, ஒரு வலுவான தீர்வு மற்றும் ஒரு பலவீனமான தீர்வு இரண்டிற்கும் SDE இன் ஒருங்கிணைந்த சமன்பாட்டு பதிப்பைத் தீர்க்கும் ஒரு செயல்முறை Xt இன் இருப்பு தேவைப்படுகிறது. இரண்டிற்கும் இடையிலான வேறுபாடு அடிப்படை நிகழ்தகவு இடத்தில் () உள்ளது. ஒரு பலவீனமான தீர்வு ஒரு நிகழ்தகவு இடைவெளி மற்றும் ஒருங்கிணைந்த சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்தும் ஒரு செயல்முறையைக் கொண்டுள்ளது, அதே நேரத்தில் ஒரு வலுவான தீர்வு என்பது சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்தும் ஒரு செயல்முறையாகும் மற்றும் கொடுக்கப்பட்ட நிகழ்தகவு இடத்தில் வரையறுக்கப்படுகிறது. ஒரு முக்கியமான உதாரணம் வடிவியல் பிரவுனியன் இயக்கத்திற்கான சமன்பாடு ஆகும், இது நிதி கணிதத்தின் பிளாக்-ஷோல்ஸ் விருப்பங்கள் விலை மாதிரியில் ஒரு பங்கின் விலையின் இயக்கவியலுக்கான சமன்பாடாகும். வடிவியல் பிரவுனியன் இயக்கத்தை பொதுமைப்படுத்துவதன் மூலம், வலுவான தீர்வுகளை ஒப்புக்கொள்ளும் எஸ். டி. இ. க்களை வரையறுக்க முடியும், மேலும் அதன் விநியோகம் வெவ்வேறு வடிவியல் பிரவுனியன் இயக்கங்கள் அல்லது பிளாக் ஸ்கோல்ஸ் மாதிரிகளிலிருந்து வரும் அடர்த்திகளின் குவிந்த கலவையாகும், ஒற்றை எஸ். டி. இ. யைப் பெறுகிறது, அதன் தீர்வுகள் வெவ்வேறு பிளாக் ஸ்கோல்ஸ் மாதிரிகளின் லாக்னார்மல் விநியோகங்களின் கலவை இயக்கவியலாக விநியோகிக்கப்படுகின்றன. இது நிதி கணிதத்தில் உள்ள நிலையற்ற புன்னகையை சமாளிக்கக்கூடிய மாதிரிகளுக்கு வழிவகுக்கிறது. எண்கணித பிரவுனியன் இயக்கம் என்று அழைக்கப்படும் எளிய எஸ். டி. இ 1900 ஆம் ஆண்டில் பங்கு விலைகளுக்கான முதல் மாதிரியாக லூயிஸ் பேச்லியரால் பயன்படுத்தப்பட்டது, இது இன்று பேச்லியர் மாதிரி என்று அழைக்கப்படுகிறது. மேலும் பொதுவான சீரற்ற வேறுபட்ட சமன்பாடுகளும் உள்ளன, அங்கு குணகங்கள் μ மற்றும் σ செயல்முறை Xt இன் தற்போதைய மதிப்பை மட்டுமல்லாமல், செயல்முறையின் முந்தைய மதிப்புகளையும், மற்ற செயல்முறைகளின் தற்போதைய அல்லது முந்தைய மதிப்புகளையும் சார்ந்துள்ளது. அவ்வாறான நிலையில், தீர்வு செயல்முறை, எக்ஸ், ஒரு மார்கோவ் செயல்முறை அல்ல, மேலும் இது ஒரு இட்டோ செயல்முறை என்று அழைக்கப்படுகிறது, இது ஒரு பரவல் செயல்முறை அல்ல. குணகங்கள் X இன் தற்போதைய மற்றும் கடந்த கால மதிப்புகளை மட்டுமே சார்ந்திருக்கும்போது, வரையறுக்கும் சமன்பாடு சீரற்ற தாமத வேறுபாடு சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஃபிஸ்க்-ஸ்ட்ராட்டோனோவிச் ஒருங்கிணைப்புடன் கூடிய தற்செயல் வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் பொதுமைப்படுத்தல், தாவல்களுடன் கூடிய செமிமார்டிங்கேல்களுக்கு ஒருங்கிணைந்தவை மார்கஸ் வகையின் எஸ். டி. இ. க்கள் ஆகும். மார்கஸ் ஒருங்கிணைப்பு என்பது மெக்சேனின் சீரற்ற கால்குலஸின் நீட்டிப்பாகும். ஓர்ன்ஸ்டீன்-உஹ்லென்பெக் செயல்முறைக்கான சமன்பாட்டின் பயன்பாட்டிலிருந்து சீரற்ற நிதியத்தில் ஒரு புதுமையான பயன்பாடு பெறப்படுகிறது, இது ஒரு பங்கின் விலையின் வருவாயின் இயக்கவியலுக்கான சமன்பாடாகும். இந்த கருதுகோளின் கீழ், மார்ஸெல்லோ மினென்னா உருவாக்கிய முறைகள் சந்தை துஷ்பிரயோக நிகழ்வுகளை மறைக்கக்கூடிய அசாதாரண வருவாயை அடையாளம் காணக்கூடிய முன்கணிப்பு இடைவெளியை தீர்மானிக்கின்றன. மேலும் பொதுவாக ஒருவர் சீரற்ற கால்குலஸ் கோட்பாட்டை வேறுபட்ட பன்மடங்கு வரை நீட்டிக்க முடியும், மேலும் இந்த நோக்கத்திற்காக ஒருவர் ஃபிஸ்க்-ஸ்ட்ராடோனோவிச் ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்துகிறார். ஒரு பன்மடங்கு, சில வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண திசையன் இடத்தை கருத்தில் கொள்ளுங்கள், வழக்கமான நிபந்தனைகளை திருப்திப்படுத்தும் ஒரு வடிகட்டப்பட்ட நிகழ்தகவு இடம் மற்றும் ஒரு புள்ளி சுருக்கமாக இருக்கட்டும் மற்றும் அளவிடக்கூடியதாக இருக்கட்டும். எழுதப்பட்ட ஒரு சீரற்ற வேறுபாடு சமன்பாடு ஒரு ஜோடி, இது ஒரு தொடர்ச்சியான மதிப்புள்ள அரை-சந்தைப்படுத்தல் ஆகும், இது திசையன் மூட்டைகளின் ஒத்த உருவகமாகும். ஒவ்வொன்றிற்கும் வரைபடம் நேரியல் மற்றும் ஒவ்வொன்றிற்கும். ஆரம்ப நிபந்தனையுடன் எஸ். டி. இ. க்கு ஒரு தீர்வு வாழ்நாள் வரை தொடர்ச்சியான-தழுவிய-மதிப்புள்ள செயல்முறையாகும். ஒவ்வொரு சோதனைச் செயல்பாட்டிற்கும் செயல்முறை ஒரு உண்மையான மதிப்புள்ள அரை சந்தைப்படுத்தல் மற்றும் சமன்பாட்டுடன் ஒவ்வொரு நிறுத்த நேரத்திற்கும்-கிட்டத்தட்ட நிச்சயமாக, வேறுபாடு எங்கே. ஆயுட்காலம் அதிகபட்சமாக இருந்தால் அது ஒரு அதிகபட்ச தீர்வாகும், அதாவது-கிட்டத்தட்ட நிச்சயமாக. ஒவ்வொரு சோதனை செயல்பாட்டிற்கும் ஒரு செமிமார்டிங்கேல், அதாவது ஒரு செமிமார்டிங்கேல் என்ற உண்மையிலிருந்து இது பின்பற்றப்படுகிறது. ஒரு அதிகபட்ச தீர்வைக் கொடுத்தால், நேரத்தை முழுமையாக நீட்டிக்க முடியும், மேலும் தொடர்ச்சியான பிறகு நாம் பிரித்தறிய முடியாத செயல்முறைகளுக்கு வருவோம். ஸ்ட்ராட்டோனோவிச் எஸ். டி. இ. க்கள் பன்மடங்கு எஸ். டி. இ. க்கான இயற்கையான தேர்வாக இருந்தாலும், அவை சங்கிலி விதியை திருப்திப்படுத்துகின்றன மற்றும் அவற்றின் சறுக்கல் மற்றும் பரவல் குணகங்கள் ஆயத்தொகுதிகளின் மாற்றங்களின் கீழ் திசையன் புலங்களாக செயல்படுகின்றன, பன்மடங்கு இட்டோ கால்குலஸ் விரும்பத்தக்க நிகழ்வுகள் உள்ளன. பன்மடங்கு மீது இட்டோ கால்குலஸ் கோட்பாடு முதன்முதலில் லாரண்ட் ஸ்வார்ட்ஸால் ஸ்வார்ட்ஸ் மார்ஃபிசம் என்ற கருத்தாக்கத்தின் மூலம் உருவாக்கப்பட்டது, மேலும் ஜெட்-பண்டிலின் அடிப்படையில் பன்மடங்கு மீது இட்டோ எஸ். டி. இ. களின் தொடர்புடைய 2-ஜெட் விளக்கத்தையும் பார்க்கவும். ஒரு பெரிய இடத்தில் கொடுக்கப்பட்ட ஒரு SDE இன் தீர்வை உகந்த முறையில் தோராயமாக மதிப்பிட முயற்சிக்கும்போது இந்த விளக்கம் உதவியாக இருக்கும், அந்த இடத்தின் துணை அடுக்கில் கொடுக்கப்பட்ட ஒரு SDE இன் தீர்வுகளுடன், ஒரு ஸ்ட்ராட்டோனோவிச் அடிப்படையிலான திட்டம் உகந்ததாக இருக்காது. இது வடிகட்டுதல் சிக்கலுக்கு பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது, இது உகந்த திட்ட வடிப்பான்களுக்கு வழிவகுக்கிறது. தோராயமான பாதைகளாக எஸ். டி. இ. க்கள் பொதுவாக ஒரு எஸ். டி. இ. யின் தீர்வுக்கு ஒரு நிகழ்தகவு அமைப்பு தேவைப்படுகிறது, ஏனெனில் தீர்வில் உள்ள ஒருங்கிணைப்பு ஒரு சீரற்ற ஒருங்கிணைப்பாகும். வேறுபட்ட சமன்பாட்டு பாதையை பாதை மூலம் கையாள முடிந்தால், ஒருவர் ஒரு சீரற்ற ஒருங்கிணைப்பை வரையறுக்க வேண்டிய அவசியமில்லை, மேலும் ஒருவர் நிகழ்தகவு கோட்பாட்டிலிருந்து சுயாதீனமாக ஒரு கோட்பாட்டை உருவாக்க முடியும். இது SDE ஐ ஒவ்வொருவருக்கும் ஒற்றை தீர்மானகரமான வேறுபாடு சமன்பாடாக கருதுவதை சுட்டிக்காட்டுகிறது, கொடுக்கப்பட்ட நிகழ்தகவு இடத்தில் () மாதிரி இடம் எங்கே. இருப்பினும், எஸ். டி. இ. யின் நேரடி பாதை வாரியான விளக்கம் சாத்தியமில்லை, ஏனெனில் பிரவுனியன் இயக்க பாதைகள் வரம்பற்ற மாறுபாட்டைக் கொண்டுள்ளன மற்றும் நிகழ்தகவு ஒன்றுடன் எங்கும் வேறுபடுத்த முடியாது, எனவே இது போன்ற சொற்களுக்கு அர்த்தம் கொடுக்க அப்பாவித்தனமான வழி இல்லை, மேலும் ஒரு அப்பாவித்தனமான பாதை வாரியான வரையறையைத் தவிர ஒவ்வொரு ஒன்றிற்கும் எதிரான ஒருங்கிணைப்பாக சீரற்ற ஒருங்கிணைப்பு. இருப்பினும், வழக்கமான சத்தம் மற்றும் தோராயமான பாதைகள் கோட்பாட்டைப் பயன்படுத்தி எஸ். டி. இ. களின் தீர்வுகளின் வரம்புகளுக்கான வோங்-ஜாகாய் முடிவால் உந்தப்பட்டு, பிரவுனியன் இயக்கத்தின் மறு செய்கை ஒருங்கிணைப்புகளின் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட வரையறையைச் சேர்க்கும் அதே வேளையில், ஒவ்வொரு சிங்கிளுக்கும் ஒரு தீர்மானகரமான தோராயமான ஒருங்கிணைப்பை வரையறுக்க முடியும். தொடர்ச்சியான ஒருங்கிணைப்பின் பிற வரையறைகள் ஸ்ட்ராட்டோனோவிச் ஒருங்கிணைப்பு போன்ற வெவ்வேறு சீரற்ற ஒருங்கிணைப்புகளின் தீர்மானகரமான பாதை வாரியான சமமானவற்றுக்கு வழிவகுக்கின்றன. இது உதாரணமாக நிதி கணிதத்தில் நிகழ்தகவு இல்லாமல் விலை விருப்பங்களுக்கு பயன்படுத்தப்படுகிறது. தீர்வுகளின் இருப்பு மற்றும் தனித்துவம் தீர்மானகரமான சாதாரண மற்றும் பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகளைப் போலவே, கொடுக்கப்பட்ட எஸ். டி. இ. க்கு ஒரு தீர்வு இருக்கிறதா, அது தனித்துவமானதா இல்லையா என்பதை அறிந்து கொள்வது முக்கியம். பின்வருபவை n-பரிமாண யூக்ளிடியன் விண்வெளி Rn இல் மதிப்புகளை எடுத்து m-பரிமாண பிரவுனியன் இயக்கம் B ஆல் இயக்கப்படும் Itö SDE க்கான ஒரு பொதுவான இருப்பு மற்றும் தனித்துவ தேற்றம் ஆகும்; ஆதாரம் Øksendal (2003, § 5.2) இல் காணலாம். T> 0 என்று வைத்துக்கொள்வோம், மேலும் அனைத்து t ω [0, T] மற்றும் அனைத்து x மற்றும் y ω Rn ஆகியவற்றிற்கும் மாறிலிகள் C மற்றும் D இருக்கும் அளவிடக்கூடிய செயல்பாடுகளாக இருக்கட்டும், அங்கு Z ஒரு சீரற்ற மாறி என்று வைத்துக்கொள்வோம், இது Bs ஆல் உருவாக்கப்பட்ட σ-இயற்கணிதத்திலிருந்து சுயாதீனமாக உள்ளது, s ω0, மற்றும் வரையறுக்கப்பட்ட இரண்டாவது தருணத்துடன்ஃ பின்னர் சீரற்ற வேறுபாடு சமன்பாடு/ஆரம்ப மதிப்பு சிக்கல் ஒரு P-கிட்டத்தட்ட நிச்சயமாக தனித்துவமான t-தொடர்ச்சியான தீர்வு (t, ω) Xt (ω) ஐக் கொண்டுள்ளது, அதாவது X என்பது Z மற்றும் Bs ஆல் உருவாக்கப்பட்ட வடிகட்டுதல் FtZ க்கு ஏற்றது, s ≤ t, மற்றும் பொதுவான வழக்குஃ உள்ளூர் லிப்ஸ்கிட்ஸ் நிபந்தனை மற்றும் அதிகபட்ச தீர்வுகள். மேலும் பொதுவாக ஒருவர் பன்மடங்கு சீரற்ற வேறுபாடு சமன்பாடுகளையும் பார்க்கலாம். இந்த சமன்பாட்டின் தீர்வு வெடிக்கிறதா என்பது தேர்வு செய்வதைப் பொறுத்தது. சில உள்ளூர் லிப்ஸ்கிட்ஸ் நிபந்தனையை திருப்திப்படுத்துகிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம், அதாவது, சில சிறிய தொகுப்பு மற்றும் யூக்ளிடியன் நெறிமுறை இருக்கும் நிலையில் சில நிலையானவை. இந்த நிபந்தனை அதிகபட்ச தீர்வு என்று அழைக்கப்படுவதன் இருப்பு மற்றும் தனித்துவத்திற்கு உத்தரவாதம் அளிக்கிறது. தொடர்ச்சியானது மற்றும் மேலே உள்ள உள்ளூர் லிப்ஸிட்ச் நிபந்தனையை திருப்திப்படுத்துகிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம், மேலும் சில ஆரம்ப நிபந்தனையாக இருக்கட்டும், அதாவது இது ஆரம்ப σ-இயற்கணிதத்தைப் பொறுத்தவரை அளவிடக்கூடிய செயல்பாடு. கிட்டத்தட்ட நிச்சயமாக ஒரு கணிக்கக்கூடிய நிறுத்த நேரமாக இருக்கட்டும். நிறுத்தப்பட்ட செயல்முறையை அறிவிப்பது (எனவே அனைத்தும்) செட்டில் நிறுத்தப்பட்ட சீரற்ற வேறுபாடு சமன்பாட்டிற்கு ஒரு தீர்வாக இருந்தால், ஒரு மதிப்புள்ள அரை சந்தைப்படுத்தல் வாழ்நாளின் அதிகபட்ச தீர்வு என்று அழைக்கப்படுகிறது. இது வெடிப்பு நேரம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. சில வெளிப்படையாக தீர்க்கக்கூடிய எஸ். டி. இ. களின் நேரியல் எஸ். டி. இ.: கொடுக்கப்பட்ட வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாட்டிற்கான குறைக்கப்படக்கூடிய எஸ். டி. இ. க்கள்ஃ வழக்கு 1 ஸ்ட்ராட்டோனோவிச் எஸ். டி. இ. க்கு சமமான பொதுவான வழக்கு, இது ஒரு பொதுவான தீர்வைக் கொண்டுள்ளது, அங்கு குறைக்கப்படக்கூடிய எஸ். டி. இ. க்கள்ஃ கொடுக்கப்பட்ட வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாட்டிற்கான வழக்கு 2 ஸ்ட்ராட்டோனோவிச் எஸ். டி. இ. க்கு சமம், இது முன்பு வரையறுக்கப்பட்ட இடத்திற்கு குறைக்கப்படுகிறது. எஸ். டி. இ. களின் சூப்பர்சிமெட்ரிக் கோட்பாட்டில், மாதிரியின் கட்ட இடத்தில் உள்ள வேறுபட்ட வடிவங்களில் செயல்படும் சீரற்ற பரிணாம ஆபரேட்டர் மூலம் சீரற்ற இயக்கவியல் வரையறுக்கப்படுகிறது. தற்செயலான இயக்கவியலின் இந்த துல்லியமான சூத்திரத்தில், அனைத்து எஸ். டி. இ. களும் இடவியல் சூப்பர்சிமெட்ரியைக் கொண்டுள்ளன, இது தொடர்ச்சியான நேர ஓட்டத்தின் மூலம் கட்ட இடத்தின் தொடர்ச்சியைப் பாதுகாப்பதைக் குறிக்கிறது. இந்த சூப்பர்சிமெட்ரியின் தன்னிச்சையான முறிவு என்பது குழப்பம், கொந்தளிப்பு, சுய ஒழுங்கமைக்கப்பட்ட விமர்சனத்தன்மை போன்ற துறைகள் முழுவதும் அறியப்படும் எங்கும் நிறைந்த இயக்கவியல் நிகழ்வின் கணித சாராம்சமாகும். கோல்ட்ஸ்டோன் தேற்றம் அதனுடன் தொடர்புடைய நீண்ட தூர இயக்கவியல் நடத்தை, அதாவது பட்டாம்பூச்சி விளைவு, 1/எஃப் மற்றும் வெடிக்கும் சத்தங்கள் மற்றும் பூகம்பங்கள், நரம்பியல் சுழற்சிகள், சூரிய எரிப்புகள் போன்றவற்றின் அளவுகோல் இல்லாத புள்ளிவிவரங்களை விளக்குகிறது. பின்தங்கிய சீரற்ற வேறுபாடு சமன்பாடு லாங்கேவின் இயக்கவியல் உள்ளூர் நிலையற்ற தன்மை சீரற்ற செயல்முறை சீரற்ற நிலையற்ற பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகள் பரவல் செயல்முறை சீரற்ற வேறுபாடு சமன்பாடு குறிப்புகள் மேலும் வாசிப்பு டெஸ்மண்ட் ஹையம் மற்றும் பீட்டர் க்ளோடென்ஃ "சீரற்ற வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் எண் உருவகப்படுத்துதலுக்கான ஒரு அறிமுகம்", SIAM, (2021). வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் சீரற்ற செயல்முறைகள்