Klein transformation
குவாண்டம் புலக் கோட்பாட்டில், க்ளீன் மாற்றம் என்பது சுழல்-புள்ளிவிவரக் கோட்பாட்டைத் திருத்துவதற்கான புலங்களின் மறுவரையறை ஆகும். போஸ்-ஐன்ஸ்டீன் φ மற்றும் χ புலங்கள் என்று வைத்துக்கொள்வோம், x மற்றும் y ஸ்பேசெலிக்-பிரிக்கப்பட்ட புள்ளிகள் மற்றும் i மற்றும் j ஸ்பின்/டென்சர் குறியீடுகளைக் குறிக்கின்றன என்றால், Z2 சமநிலையின் கீழ் χ மாறாதது என்று வைத்துக்கொள்வோம் (இடஞ்சார்ந்த பிரதிபலிப்புகளுடன் எந்த தொடர்பும் இல்லை!) χ ஐ − χ வரை வரைபடமாக்குகிறது, ஆனால் φ மாறாமல் விடுகிறது. வெளிப்படையாக, ஃப்ரீ ஃபீல்ட் கோட்பாடுகள் எப்போதும் இந்த பண்புகளை திருப்திப்படுத்துகின்றன. பின்னர், χ துகள்களின் எண்ணிக்கையின் Z2 சமநிலை நன்கு வரையறுக்கப்பட்டு காலப்போக்கில் பாதுகாக்கப்படுகிறது. இந்த சமநிலையை இயக்குபவர் Kχ ஆல் குறிக்கலாம், இது χ-சம நிலைகளை தனக்குத்தானே வரைகிறது மற்றும் χ-ஒற்றைப்படை நிலைகளை அவற்றின் எதிர்மறையாக வரைகிறது. பின்னர், கே. சி. எச் என்பது இன்வால்யூடிவ், ஹெர்மிடியன் மற்றும் யூனிட்டரி ஆகும். மேலே உள்ள φ மற்றும் χ புலங்கள் ஒரு போசான் அல்லது ஃபெர்மியனுக்கு சரியான புள்ளிவிவர உறவுகளைக் கொண்டிருக்கவில்லை என்று சொல்லத் தேவையில்லை. அதாவது. அவை தங்களைப் பொறுத்தவரை போசோனிக் ஆனால் ஒருவருக்கொருவர் ஃபெர்மியோனிக் ஆகும். ஆனால் நீங்கள் புள்ளிவிவர பண்புகளை மட்டும் பார்த்தால், அது போஸ்-ஐன்ஸ்டீன் புள்ளிவிவரங்களைப் போலவே அதே புள்ளிவிவரங்களைக் கொண்டிருப்பதைக் காண்கிறோம். இங்கே ஏன்ஃ இரண்டு புதிய புலங்கள் φ 'மற்றும் χ' ஐ பின்வருமாறு வரையறுக்கவும்ஃ மேலும் இந்த மறுவரையறை தலைகீழாக உள்ளது (ஏனெனில் Kχ என்பது). இப்போது, ஸ்பேசெலிக் கம்யூட்டேஷன் உறவுகள் ஃபெர்மி-டிராக் ஆகின்றன இப்போது, எடுத்துக்காட்டுடன் வேலை செய்வோம் (வழக்கம் போல் ஸ்பேசெலிக்-பிரிக்கப்பட்டது). மீண்டும் ஒரு முறை நம்மிடம் ஒரு Z2 பாதுகாக்கப்பட்ட பேரிட்டி ஆபரேட்டர் Kχ உள்ளது, இது χ மீது மட்டுமே செயல்படுகிறது. இரண்டுக்கும் மேற்பட்ட புலங்கள் இருந்தால், விரும்பிய முடிவைப் பெறும் வரை ஒவ்வொரு ஜோடி புலங்களுக்கும் "தவறான" பரிமாற்ற/எதிர் பரிமாற்ற உறவுகளுடன் க்ளீன் மாற்றத்தைப் பயன்படுத்தலாம். இது பாராஸ்டாடிஸ்டிக்ஸ் மற்றும் மிகவும் பழக்கமான போஸ்-ஐன்ஸ்டீன்/ஃபெர்மி-டிராக் புள்ளிவிவரங்களுக்கு இடையிலான சமநிலையை விளக்குகிறது. மேலும் காண்கஃ ஜோர்டான்-ஷ்விங்கர் மாற்றம் ஜோர்டான்-விக்டர் மாற்றம் போகோலியுபோவ்-வாலட்டின் மாற்றம் ஹோல்ஸ்டீன்-ப்ரிமாகோஃப் மாற்றம் குவாண்டம் புலம் கோட்பாடு