Gaussian binomial coefficient
கணிதத்தில், காஸியன் இருமக் குணகங்கள் (காஸியன் குணகங்கள், காஸியன் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் அல்லது q-இருமக் குணகங்கள் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன) என்பது இருமக் குணகங்களின் q-ஒப்புமைகள் ஆகும். காஸியன் இருமக் குணகம், அல்லது என எழுதப்படுகிறது, இது முழு எண் குணகங்களைக் கொண்ட q இல் உள்ள ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும், அதன் மதிப்பு q ஒரு பகா சக்திக்கு அமைக்கப்படும்போது பரிமாணம் k இன் துணை இடங்களின் எண்ணிக்கையை கணக்கிடுகிறது, இது ஒரு திசையன் இடத்தில் n க்கு மேல், q உறுப்புகளுடன் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட புலம்; அதாவது. இது வரையறுக்கப்பட்ட கிராஸ்மேனியனில் உள்ள புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை. வரையறை காஸியன் இருமக் குணகங்கள் பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகின்றனஃ இங்கு m மற்றும் r எதிர்மறை அல்லாத முழு எண்கள். என்றால், இது 0 ஆக மதிப்பிடப்படுகிறது. ஏனெனில், எண் மற்றும் வகுத்தல் இரண்டும் வெற்று விளைபொருள்கள் என்பதால் மதிப்பு 1 ஆகும். சூத்திரம் முதலில் ஒரு விகிதமுறு செயல்பாடாகத் தோன்றினாலும், இது உண்மையில் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை, ஏனென்றால் Z [q] இல் வகுத்தல் துல்லியமாக இருப்பதால், எண் மற்றும் வகுப்பில் உள்ள அனைத்து காரணிகளும் வகுக்கப்படுகின்றன, மேலும் ஈவு q-எண் ஆகும்ஃ இந்த காரணிகளைப் பிரிப்பது சமமான சூத்திரத்தை அளிக்கிறது. காஸியன் இருமக் குணகம் வரையறுக்கப்பட்ட மதிப்புகளைக் கொண்டுள்ளதுஃ எடுத்துக்காட்டுகள் ஒருங்கிணைந்த விளக்கங்கள் தலைகீழ்கள் காஸியன் இருமக் குணகங்களின் ஒரு ஒருங்கிணைந்த விளக்கம் தலைகீழ்களை உள்ளடக்கியது. சாதாரண இருமக் குணகம் ஒரு-உறுப்பு தொகுப்பிலிருந்து தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட-கலவைகளை கணக்கிடுகிறது. அந்த உறுப்புகளை நீளமுள்ள ஒரு வார்த்தையில் வெவ்வேறு எழுத்து நிலைகளாக ஒருவர் எடுத்துக் கொண்டால், ஒவ்வொரு கலவையும் இரண்டு எழுத்துக்களின் எழுத்துக்களைப் பயன்படுத்தி நீளமுள்ள ஒரு வார்த்தைக்கு ஒத்திருக்கிறது, 1 என்ற எழுத்தின் நகல்களுடன் (தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட கலவையில் உள்ள நிலைகளைக் குறிக்கிறது) மற்றும் 0 (மீதமுள்ள நிலைகளுக்கு). எனவே, எடுத்துக்காட்டாக, 0s மற்றும் 1s ஐப் பயன்படுத்தும் சொற்கள். காஸியன் பைனாமியல் குணகத்தைப் பெற, ஒவ்வொரு வார்த்தையும் ஒரு காரணியுடன் தொடர்புடையது, அங்கு வார்த்தையின் தலைகீழ் எண்ணிக்கை, இந்த விஷயத்தில், ஒரு தலைகீழ் என்பது ஒரு ஜோடி நிலைகள், அங்கு ஜோடியின் இடதுபுறம் 1 என்ற எழுத்தையும் வலது நிலை 0 என்ற எழுத்தையும் வைத்திருக்கிறது. மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டில், 0 தலைகீழ் கொண்ட ஒரு சொல், 1 தலைகீழ் கொண்ட ஒரு சொல், 2 தலைகீழ் கொண்ட இரண்டு சொற்கள்,,,, 3 தலைகீழ் கொண்ட ஒரு சொல், மற்றும் 4 தலைகீழ் கொண்ட ஒரு சொல், உள்ளன. இது ஆரம்ப நிலையில் இருந்து 1 களின் இடது-மாற்றங்களின் எண்ணிக்கையாகும். இவை உள்ள குணகங்களுடன் ஒத்திருக்கின்றன. இதைப் பார்ப்பதற்கான மற்றொரு வழி, ஒவ்வொரு வார்த்தையையும் செவ்வக கட்டத்தின் குறுக்கே ஒரு பாதையுடன் உயரம் மற்றும் அகலத்துடன் இணைப்பது, கீழ் இடது மூலையில் இருந்து மேல் வலது மூலையில் செல்வது. பாதை ஒவ்வொரு 0 க்கும் ஒரு படி சரியானது மற்றும் ஒவ்வொரு 1 க்கும் ஒரு படி மேலே செல்கிறது. ஒரு தலைகீழ் ஒரு படியின் திசைகளை மாற்றுகிறது (வலது + மேல் + வலது மற்றும் நேர்மாறாக மாறுகிறது), எனவே தலைகீழ் எண்ணிக்கை பாதையின் கீழ் உள்ள பகுதிக்கு சமம். தொட்டிகளில் உள்ள பந்துகள் பிரித்தறிய முடியாத பந்துகளை பிரித்தறிய முடியாத தொட்டிகளில் வீசுவதற்கான வழிகளின் எண்ணிக்கையாக இருக்கட்டும், அங்கு ஒவ்வொரு தொட்டியிலும் பந்துகள் வரை இருக்கலாம். காஸியன் பைனாமியல் குணகம் வகைப்படுத்த பயன்படுத்தப்படலாம். உண்மையில், இது பல்லுறுப்புக்கோவையின் குணகத்தைக் குறிக்கிறது (கீழே உள்ள பயன்பாடுகள் பிரிவையும் பார்க்கவும்). பண்புகள் பிரதிபலிப்பு சாதாரண இருமியல் குணகங்களைப் போலவே, காஸியன் இருமியல் குணகங்களும் மைய-சமச்சீர், அதாவது பிரதிபலிப்பின் கீழ் மாறாதவைஃ குறிப்பாக, q = 1 இல் வரம்பு ஒரு காஸியன் இருமியல் குணகத்தின் மதிப்பீடு அதாவது. குணகங்களின் கூட்டுத்தொகை தொடர்புடைய இரும மதிப்பு கொடுக்கிறது. பல்லுறுப்புக்கோவையின் அளவு என்பது. q அடையாளங்கள் பாஸ்கலின் அடையாளத்தின் ஒப்புமைகள் காஸியன் இருமக் குணகங்களுக்கான பாஸ்கலின் அடையாளத்தின் ஒப்புமைகள்ஃ மற்றும் எப்போது, இவை இரண்டும் வழக்கமான இருமக் அடையாளத்தைக் கொடுக்கின்றன. இரண்டு சமன்பாடுகளும் செல்லுபடியாகும் என்பதை நாம் காணலாம். முதல் பாஸ்கல் அனலாக் ஆரம்ப மதிப்புகளைப் பயன்படுத்தி காஸியன் இருமக் குணகங்களை (m ஐப் பொறுத்தவரை) மீண்டும் மீண்டும் கணக்கிட அனுமதிக்கிறது, மேலும் காஸியன் இருமக் குணகங்கள் உண்மையில் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் (q இல்) என்பதையும் காட்டுகிறது. இரண்டாவது பாஸ்கல் அனலாக் பிரதிபலிப்பின் கீழ் காஸியன் பைனாமியல் குணகங்களின் மாற்று மற்றும் மாறுபாட்டைப் பயன்படுத்தி முதலில் இருந்து பின்பற்றுகிறது. இந்த அடையாளங்கள் நேரியல் இயற்கணிதத்தின் அடிப்படையில் இயற்கையான விளக்கங்களைக் கொண்டுள்ளன. r-பரிமாண துணை இடங்களைக் கணக்கிடுவதை நினைவில் கொள்ளுங்கள், மேலும் ஒரு பரிமாண பூஜ்ய இடத்துடன் ஒரு திட்டமாக இருக்கட்டும். முதல் அடையாளம் பைஜெக்ஷனில் இருந்து வருகிறது, இது சஸ்பேஸிற்கு எடுத்துச் செல்கிறது; ஸ்பேஸ் r-டைமென்ஷனல் என்றால், அதன் கிராஃப் இருக்கும் லீனியர் ஃபங்க்ஷனையும் நாம் கண்காணிக்க வேண்டும்; ஆனால், ஸ்பேஸ் (r−1)-டைமென்ஷனல் என்றால், எந்த கூடுதல் தகவலும் இல்லாமல் நாம் மறுகட்டமைக்க முடியும். இரண்டாவது அடையாளம் இதேபோன்ற விளக்கத்தைக் கொண்டுள்ளது, இது ஒரு (m−1) பரிமாண இடைவெளியை எடுத்துக்கொள்கிறது, மீண்டும் இரண்டு நிகழ்வுகளாகப் பிரிகிறது. ஒப்புமைகளின் சான்றுகள் இரண்டு ஒப்புமைகளையும் முதலில் குறிப்பிடுவதன் மூலம் நிரூபிக்க முடியும், வரையறையிலிருந்து, நம்மிடம் உள்ளதுஃ சமன்பாடு () ஆக மாறுகிறதுஃ மற்றும் சமன்பாடு () ஐ மாற்றுவது முதல் ஒப்புமையைக் கொடுக்கிறது. இதேபோன்ற செயல்முறை, அதற்கு பதிலாக, இரண்டாவது அனலாக்கைக் கொடுக்கிறது. q-பைனாமியல் தேற்றம் q-பைனாமியல் குணகங்களுக்கான பைனாமியல் தேற்றத்தின் அனலாக் உள்ளது, இது காச்சி பைனாமியல் தேற்றம் என்று அழைக்கப்படுகிறதுஃ வழக்கமான பைனாமியல் தேற்றத்தைப் போலவே, இந்த சூத்திரமும் ஏராளமான பொதுமைப்படுத்தல்களையும் நீட்டிப்புகளையும் கொண்டுள்ளது; அத்தகைய ஒன்று, நியூட்டனின் எதிர்மறை சக்திகளுக்கான பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட பைனாமியல் தேற்றத்துடன் தொடர்புடையது, வரம்பில், இந்த சூத்திரங்கள் விளைச்சல் மற்றும். அமைத்தல் முறையே தனித்துவமான மற்றும் எந்த பகுதிகளுக்கும் உருவாக்கும் செயல்பாடுகளை வழங்குகிறது. (மேலும் பார்க்கவும் அடிப்படை ஹைப்பர்ஜியோமெட்ரிக் தொடர்.) மத்திய q-பைனாமியல் அடையாளம் சாதாரண பைனாமியல் குணகங்களுடன், நம்மிடம் பின்வருவன உள்ளனஃ q-பைனாமியல் குணகங்களுடன், அனலாக் பின்வருமாறுஃ பயன்பாடுகள் காஸ் முதலில் இருபடி காஸ் கூட்டுத்தொகையின் அடையாளத்தை தீர்மானிப்பதில் காஸியன் பைனாமியல் குணகங்களைப் பயன்படுத்தினார். சமச்சீர் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் எண்ணிக்கையிலும் பகிர்வுகளின் கோட்பாட்டிலும் காஸியன் இருமக் குணகங்கள் நிகழ்கின்றன. qr இன் குணகம் என்பது m அல்லது அதற்கும் குறைவான பாகங்கள் கொண்ட r இன் பகிர்வுகளின் எண்ணிக்கையாகும், ஒவ்வொன்றும் n ஐ விட குறைவாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்கும். சமமாக, இது n அல்லது அதற்கும் குறைவான பகுதிகளைக் கொண்ட r இன் பகிர்வுகளின் எண்ணிக்கையாகும், ஒவ்வொன்றும் m ஐ விட குறைவாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்கும். காஸியன் இருமக் குணகங்களும் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட புலத்தின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட திட்ட இடைவெளிகளின் கணக்கீட்டுக் கோட்பாட்டில் முக்கிய பங்கு வகிக்கின்றன. குறிப்பாக, q உறுப்புகளுடன் கூடிய ஒவ்வொரு வரையறுக்கப்பட்ட புலம் Fq க்கும், காஸியன் இருமக் குணகம் Fq (ஒரு கிராஸ்மேனியன்) மீது ஒரு n-பரிமாண திசையன் இடத்தின் k-பரிமாண திசையன் துணை இடங்களின் எண்ணிக்கையை கணக்கிடுகிறது. q இல் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையாக விரிவுபடுத்தப்படும்போது, இது கிராஸ்மேனியன் நன்கு அறியப்பட்ட சிதைவை ஸ்கூபர்ட் செல்களாக உருவாக்குகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, காஸியன் இருமக் குணகம் என்பது (Fq) n இல் உள்ள ஒரு பரிமாண துணை இடங்களின் எண்ணிக்கை (சமமாக, தொடர்புடைய திட்ட இடத்தில் உள்ள புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை). மேலும், q என்பது 1 (முறையே −1) ஆக இருக்கும்போது, காஸியன் இருமக் குணகம் தொடர்புடைய சிக்கலான (முறையே உண்மையான) கிராஸ்மேனியனின் யூலர் பண்புகளை வழங்குகிறது. Fqn இன் k-பரிமாண அஃபைன் துணை இடங்களின் எண்ணிக்கை இதற்கு சமம். இது ஒரு ஹைப்பர்பிளேனை நிர்ணயித்து, அந்த ஹைப்பர்பிளேனில் உள்ள அத்தகைய துணை இடங்களை எண்ணி, பின்னர் ஹைப்பர்பிளேனில் இல்லாத துணை இடங்களை எண்ணுவதன் மூலம் (m−1)-பரிமாண ப்ரொஜெக்டிவ் இடத்தின் (r−1)-பரிமாண துணை இடங்களை எண்ணுவது போன்ற அடையாளத்தின் மற்றொரு விளக்கத்தை அனுமதிக்கிறது; இந்த பிந்தைய துணை இடங்கள் இந்த நிலையான ஹைப்பர்பிளேனை முடிவிலியில் ஹைப்பர்பிளேனாகக் கருதுவதன் மூலம் பெறப்பட்ட இடத்தின் (r−1)-பரிமாண அஃபைன் துணை இடங்களுடன் புறநிலை தொடர்புகளில் உள்ளன. குவாண்டம் குழுக்களுக்கான பயன்பாடுகளில் பொதுவான மரபுகளில், சற்று வித்தியாசமான வரையறை பயன்படுத்தப்படுகிறது; குவாண்டம் பைனாமியல் குணகம் உள்ளது. குவாண்டம் பைனாமியல் குணகத்தின் இந்த பதிப்பு மற்றும் பரிமாற்றத்தின் கீழ் சமச்சீராக உள்ளது. குறிப்புகள் எக்ஸ்டன், எச். (1983), க்யூ-ஹைப்பர்ஜியோமெட்ரிக் செயல்பாடுகள் மற்றும் பயன்பாடுகள், நியூயார்க்ஃ ஹால்ஸ்டெட் பிரஸ், சிச்செஸ்டர்ஃ எல்லிஸ் ஹார்வுட், 1983,, (தேதி குறிப்பிடப்படாதது, 2004 அல்லது அதற்கு முந்தையது). ரத்னாதா கோல்ஹட்கர், கிராஸ்மேன் வகைகளின் ஜீட்டா செயல்பாடு (ஜனவரி 26,2004 தேதியிட்டது) (2009). கியூ-அனலாக்ஸ் காரணி மற்றும் இருமியல் தலைப்புகள்