Pregeometry (model theory)
ப்ரீஜியோமெட்ரி மற்றும் முழு ஒருங்கிணைந்த ப்ரீஜியோமெட்ரியில், அடிப்படையில் "மேட்ராய்டு" என்பதற்கான ஒத்த சொற்கள் ஆகும். அவை கியான்-கார்லோ ரோட்டாவால் குறைந்த "விவரிக்க முடியாத கேகோஃபோனஸ்" மாற்று வார்த்தையை வழங்கும் நோக்கத்துடன் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டன. மேலும், ஒருங்கிணைந்த வடிவியல் என்ற சொல், சில நேரங்களில் வடிவியல் என்று சுருக்கமாக அழைக்கப்படுகிறது, இது "எளிய மேட்ராய்டு" என்பதற்கு மாற்றாக கருதப்பட்டது. இந்த சொற்கள் இப்போது மேட்ராய்டுகளின் ஆய்வில் அரிதாகவே பயன்படுத்தப்படுகின்றன. நேரியல் இயற்கணிதத்தின் பல அடிப்படை கருத்துக்கள்-மூடல், சுதந்திரம், துணைவெளி, அடிப்படை, பரிமாணம்-முன்கூட்டிய அளவீடுகளின் பொதுவான கட்டமைப்பில் கிடைக்கின்றன. மாதிரி கோட்பாடு என்று அழைக்கப்படும் கணித தர்க்கத்தின் கிளையில், எல்லையற்ற ஃபைனிட்டரி மேட்ராய்டுகள், அங்கு "ப்ரீஜியோமெட்ரி" (மற்றும் அவை எளிய மேட்ராய்டுகளாக இருந்தால் "வடிவவியல்கள்") என்று அழைக்கப்படுகின்றன, அவை சுதந்திர நிகழ்வுகளின் விவாதத்தில் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. முன்கணிதங்கள், வடிவவியல்கள் மற்றும் சுருக்க மூடல் ஆபரேட்டர்கள் முதல் வரிசை மாதிரிகளின் கட்டமைப்பை எவ்வாறு பாதிக்கின்றன என்பதைப் பற்றிய ஆய்வு வடிவியல் நிலைத்தன்மை கோட்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. உந்துதல் சில புலத்தின் மீது ஒரு திசையன் இடைவெளி என்றால், திசையன்களின் அனைத்து நேரியல் சேர்க்கைகளின் தொகுப்பாக நாம் வரையறுக்கிறோம், இது ஸ்பான் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. பின்னர் நம்மிடம் மற்றும் உள்ளது. ஸ்டெய்னிட்ஸ் பரிமாற்ற லெம்மா இந்த அறிக்கைக்கு சமமானதுஃ என்றால், பின்னர் சுயாதீன தொகுப்பின் நேரியல் இயற்கணித கருத்துக்கள், தொகுப்பு, அடிப்படை மற்றும் பரிமாணத்தை உருவாக்குதல் அனைத்தையும்-ஆபரேட்டரை மட்டுமே பயன்படுத்தி வெளிப்படுத்த முடியும். ஒரு ப்ரீஜியோமெட்ரி என்பது இந்த சூழ்நிலையின் சுருக்கமாகும்ஃ நாம் ஒரு தன்னிச்சையான தொகுப்பு மற்றும் ஒரு தன்னிச்சையான ஆபரேட்டருடன் தொடங்குகிறோம், இது ஒரு துணைக்குழுவின் ஒவ்வொரு துணைக்குழுவிற்கும் ஒதுக்கி, மேலே உள்ள பண்புகளை திருப்திப்படுத்துகிறது. பின்னர் இந்த பொதுவான அமைப்பில் "லீனியர் அல்ஜிப்ரா" கருத்துகளையும் வரையறுக்கலாம். பரிமாணத்தைப் பற்றிய இந்த பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட கருத்து மாதிரிக் கோட்பாட்டில் மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும், அங்கு சில சூழ்நிலைகளில் ஒருவர் பின்வருமாறு வாதிடலாம்ஃ ஒரே கார்டினாலிட்டி கொண்ட இரண்டு மாதிரிகள் ஒரே பரிமாணத்தைக் கொண்டிருக்க வேண்டும் மற்றும் ஒரே பரிமாணத்தைக் கொண்ட இரண்டு மாதிரிகள் ஐசோமார்பிக் ஆக இருக்க வேண்டும். வரையறைகள் முன்முனை அளவீடுகள் மற்றும் வடிவவியல்கள் ஒரு ஒருங்கிணைந்த முன்முனை அளவீடு (ஃபைனிட்டரி மேட்ராய்டு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) என்பது ஒரு ஜோடி, அங்கு ஒரு தொகுப்பு மற்றும் (மூடல் வரைபடம் என்று அழைக்கப்படுகிறது) பின்வரும் கோட்பாடுகளை திருப்திப்படுத்துகிறது. அனைவருக்கும் மற்றும்ஃ மோனோடோன் அதிகரித்து ஆதிக்கம் செலுத்துகிறது (அதாவது. குறிக்கிறது) மற்றும் தனித்துவமானது (அதாவது) வரையறுக்கப்பட்ட எழுத்துக்கள்ஃ ஒவ்வொன்றிற்கும் சில வரையறுக்கப்பட்ட எழுத்துக்கள் உள்ளன. பரிமாற்றக் கோட்பாடுஃ என்றால், பின்னர் (எனவே உண்மையில் மோனோடோனிசிட்டி மற்றும் தனித்தன்மை மூலம்). சிலருக்கு படிவத்தின் தொகுப்புகள் மூடியவை என்று அழைக்கப்படுகின்றன. மூடிய செட்டுகளின் வரையறுக்கப்பட்ட குறுக்குவெட்டுகள் மூடப்பட்டுள்ளன என்பது பின்னர் தெளிவாகிறது, இது மிகச்சிறிய மூடிய செட் ஆகும். ஒரு வடிவியல் என்பது ஒரு முன்கணிதமாகும், இதில் சிங்கிள்டான்களின் மூடல் சிங்கிள்டான்களாகவும், வெற்று தொகுப்பின் மூடல் வெற்று தொகுப்பாகவும் இருக்கும். சுதந்திரம், தளங்கள் மற்றும் பரிமாணம் கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்புகள், ஏதேனும் இருந்தால் சுயாதீனமாக இருக்கும். வெற்று தொகுப்பின் மீது அது சுயாதீனமாக இருந்தால் அது சுயாதீனமானது என்று நாங்கள் கூறுகிறோம். ஒரு தொகுப்பு மற்றும் அதற்கு மேல் சுயாதீனமாக இருந்தால் அதற்கு ஒரு அடிப்படையாகும். ஒரு அடிப்படை என்பது அதிகபட்ச சுயாதீன துணைக்குழுவைப் போன்றது, மேலும் ஜோர்னின் லெம்மாவைப் பயன்படுத்தி ஒவ்வொரு தொகுப்புக்கும் ஒரு அடிப்படை இருப்பதை ஒருவர் காட்ட முடியும். ஒரு ப்ரீஜியோமெட்ரி ஸ்டெய்னிட்ஸ் பரிமாற்ற பண்பை திருப்திப்படுத்துவதால், அனைத்து தளங்களும் ஒரே கார்டினாலிட்டியைக் கொண்டுள்ளன, எனவே ஓவர் பரிமாணத்தை, ஓவர் என்ற எந்த அடிப்படையின் கார்டினாலிட்டியாகவும் வரையறுக்கலாம். மீண்டும், இன் பரிமாணம் வெற்று தொகுப்பின் மீது உள்ள பரிமாணமாக வரையறுக்கப்படுகிறது. எப்போதெல்லாம் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட துணைக்குழு என்றால் செட்டுகள் சுயாதீனமாக இருக்கும். இந்த உறவு சமச்சீர் என்பதை நினைவில் கொள்க. தானியங்கி வடிவங்கள் மற்றும் ஒரே மாதிரியான முன்தொகுப்பு அளவீடுகள் ஒரு முன்தொகுப்பு அளவீட்டின் தானியங்கி வடிவம் என்பது எந்தவொரு வகைக்கும் ஒரு பைஜெக்ஷன் ஆகும். எந்தவொரு மூடிய மற்றும் ஏதேனும் இரண்டு உறுப்புகளுக்கும் ஒரு தானியங்கி உருவம் இருந்தால், ஒரு முன்கூட்டிய அளவீடு ஒரே மாதிரியானது என்று கூறப்படுகிறது, இதில் வரைபடம் மற்றும் புள்ளி வாரியாக சரிசெய்யப்படுகிறது. தொடர்புடைய வடிவியல் மற்றும் உள்ளூர்மயமாக்கல்கள் ஒரு முன் புவியியலைப் பொறுத்தவரை, அதனுடன் தொடர்புடைய வடிவியல் (சில நேரங்களில் இலக்கியத்தில் நியதி வடிவியல் என்று குறிப்பிடப்படுகிறது) என்பது வடிவியல் ஆகும், மேலும் எதற்கும், ஒரே மாதிரியான முன் புவியியலின் தொடர்புடைய வடிவியல் ஒரே மாதிரியாக இருப்பதைக் காண்பது எளிது. உள்ளூர்மயமாக்கலைப் பொறுத்தவரை ப்ரீஜியோமெட்ரி எங்கே. முன்கூட்டிய அளவீடுகளின் வகைகள் முன்கூட்டிய அளவீடுஃ அனைத்தும் காலியாக இல்லாவிட்டால் அற்பமான (அல்லது சீரழிந்த) என்று கூறப்படுகிறது. ஏதேனும் இரண்டு மூடிய வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண தொகுப்புகள் சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்தினால் (அல்லது அதற்கு சமமாக ஓவர் சுயாதீனமாக இருந்தால்). ஒரு சிங்கிள்டனில் உள்ளூர்மயமாக்கல் இருந்தால் அது உள்ளூரில் மாடுலர் ஆகும். (உள்ளூரில்) அது அற்பமான மற்றும் (உள்ளூரில்) மாடுலர் என்றால் ப்ரொஜெக்டிவ். வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்புகளின் மூடல்கள் வரையறுக்கப்பட்டதாக இருந்தால் உள்ளூரில் வரையறுக்கப்பட்டவை. அற்பத்தன்மை, மாடுலாரிட்டி மற்றும் லோக்கல் மாடுலாரிட்டி ஆகியவை தொடர்புடைய வடிவவியலுக்கு செல்கின்றன, மேலும் அவை உள்ளூர்மயமாக்கலின் கீழ் பாதுகாக்கப்படுகின்றன. உள்ளூரில் மாடுலர் ஹோமோஜீனியஸ் ப்ரீஜியோமெட்ரி என்றால், இன் இன் உள்ளூர்மயமாக்கல் மாடுலர் ஆகும். வடிவியல் எப்போதாவது இருந்தால் மட்டுமே மாடுலர் ஆகும், பின்னர். எடுத்துக்காட்டுகள் அற்பமான எடுத்துக்காட்டு ஏதேனும் தொகுப்பு என்றால் நாம் அனைவருக்கும் வரையறுக்கலாம். இந்த ப்ரீஜியோமெட்ரி ஒரு அற்பமான, ஒரே மாதிரியான, உள்ளூரில் வரையறுக்கப்பட்ட வடிவியல் ஆகும். திசையன் இடைவெளிகள் மற்றும் திட்ட இடைவெளிகள் ஒரு புலமாக இருக்கட்டும் (ஒரு பிரிவு வளையம் உண்மையில் போதுமானது) மற்றும் ஒரு திசையன் இடமாக இருக்கட்டும். பின்னர் ஒரு ப்ரீஜியோமெட்ரி ஆகும், அங்கு செட்டுகளின் மூடல்கள் அவற்றின் இடைவெளி என்று வரையறுக்கப்படுகின்றன. மூடிய தொகுப்புகள் நேரியல் துணை இடைவெளிகள் மற்றும் நேரியல் இயற்கணிதத்திலிருந்து பரிமாணம் பற்றிய கருத்து முன்கூட்டிய அளவீட்டு பரிமாணத்துடன் ஒத்துப்போகிறது. இந்த ப்ரீஜியோமெட்ரி ஒரே மாதிரியான மற்றும் மாடுலர் ஆகும். திசையன் இடைவெளிகள் மாடுலாரிட்டியின் முன்மாதிரி எடுத்துக்காட்டாக கருதப்படுகின்றன. வரையறுக்கப்பட்டிருந்தால் மட்டுமே உள்ளூரில் வரையறுக்கப்படுகிறது. இது ஒரு வடிவியல் அல்ல, ஏனெனில் எந்தவொரு அற்பமான திசையனின் மூடுதலும் குறைந்தபட்சம் அளவின் துணை இடமாகும். ஒரு பரிமாண திசையன் இடத்தின் தொடர்புடைய வடிவியல் என்பது-பரிமாண திட்ட இடைவெளி ஆகும். இந்த ப்ரீஜியோமெட்ரி ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் வடிவியல் என்பதைப் பார்ப்பது எளிது. அஃபைன் இடைவெளிகள் ஒரு புலத்தின் மீது ஒரு பரிமாண அஃபைன் இடமாக இருக்கட்டும். ஒரு தொகுப்பைப் பொறுத்தவரை, அதன் மூடலை அதன் அஃபைன் ஹல் என்று வரையறுக்கவும் (அதாவது. அதை உள்ளடக்கிய மிகச்சிறிய அஃபைன் துணைப்பகுதி). இது ஒரு ஒரே மாதிரியான பரிமாண வடிவவியலை உருவாக்குகிறது. ஒரு அஃபைன் இடைவெளி மாடுலர் அல்ல (எடுத்துக்காட்டாக, மற்றும் இணையான கோடுகள் என்றால், மாடுலாரிட்டி வரையறையில் உள்ள சூத்திரம் தோல்வியடைகிறது). இருப்பினும், அனைத்து உள்ளூர்மயமாக்கல்களும் மட்டுப்படுத்தப்பட்டவையா என்பதை சரிபார்க்க எளிதானது. புலம் நீட்டிப்புகள் மற்றும் ஆழ்நிலை டிகிரி ஒரு புலம் நீட்டிப்பாக இருக்கட்டும். நாம் வரையறுத்தால் செட் ஒரு ப்ரீஜியோமெட்ரி ஆகிறது. இது இயற்கணித ரீதியாக சுயாதீனமாக இருந்தால் மட்டுமே இந்த முன்கூட்டிய கணிதத்தில் செட் சுயாதீனமாக இருக்கும். இன் பரிமாணம் மீறிய பட்டத்துடன் ஒத்துப்போகிறது. மாதிரி கோட்பாட்டில், இயற்கணித ரீதியாக மூடப்பட்டிருப்பது மற்றும் அதன் முதன்மை புலம் குறிப்பாக முக்கியமானது. திசையன் இடைவெளிகள் மாடுலர் மற்றும் அஃபைன் இடைவெளிகள் "கிட்டத்தட்ட" மாடுலர் (அதாவது. எல்லா இடங்களிலும் உள்ளூரில் மாடுலர்), இயற்கணித ரீதியாக மூடிய புலங்கள் மற்ற உச்சநிலைக்கு எடுத்துக்காட்டுகளாகும், அவை உள்ளூரில் மாடுலர் கூட இல்லை (அதாவது. உள்ளூர்மயமாக்கல்கள் எதுவும் மட்டுப்படுத்தப்படவில்லை). கணக்கிடக்கூடிய முதல்-வரிசை மொழி எல் மற்றும் எல்-கட்டமைப்பு எம் கொடுக்கப்பட்டால், M இன் எந்தவொரு வரையறுக்கக்கூடிய துணைக்குழுவும் வலுவாக குறைந்தபட்சமானது டி தொகுப்பில் ஒரு முன்கூட்டிய வடிவவியலுக்கு வழிவகுக்கிறது. இங்கே மூடல் ஆபரேட்டர் மாதிரி-கோட்பாட்டு அர்த்தத்தில் இயற்கணித மூடல் மூலம் வழங்கப்படுகிறது. வலுவான குறைந்தபட்ச கோட்பாட்டின் ஒரு மாதிரி ஐசோமார்பிசம் வரை அதன் பரிமாணத்தால் ஒரு ப்ரீஜியோமெட்ரியாக தீர்மானிக்கப்படுகிறது; இந்த உண்மை மார்லியின் வகைப்பாட்டு தேற்றத்தின் சான்றில் பயன்படுத்தப்படுகிறது. நிலையான கோட்பாடுகளின் குறைந்தபட்ச தொகுப்புகளில், சுதந்திர உறவு சுதந்திரத்தை உருவாக்குவது என்ற கருத்துடன் ஒத்துப்போகிறது. குறிப்புகள் எச். எச். கிராபோ மற்றும் ஜி. சி. ரோட்டா (1970), ஒருங்கிணைந்த கோட்பாட்டின் அடித்தளங்கள்ஃ ஒருங்கிணைந்த வடிவவியல்கள். எம்ஐடி. பிரஸ், கேம்பிரிட்ஜ், மாஸ். பிள்ளை, ஆனந்த் (1996), வடிவியல் நிலைத்தன்மை கோட்பாடு. ஆக்ஸ்போர்டு லாஜிக் வழிகாட்டிகள். ஆக்ஸ்போர்டு பல்கலைக்கழகம் பிரஸ். மேட்ராய்டு கோட்பாடு மாதிரி கோட்பாடு