Semisimple Lie algebra
கணிதத்தில், ஒரு லை அல்ஜிப்ரா என்பது எளிய லை ஆல்ஜிப்ராக்களின் நேரடி கூட்டுத்தொகையாக இருந்தால் அது அரை எளியதாகும். (ஒரு எளிய லை அல்ஜிப்ரா என்பது பூஜ்ஜியமற்ற சரியான இலட்சியங்கள் இல்லாத அபெலியன் அல்லாத லை அல்ஜிப்ரா ஆகும்). கட்டுரை முழுவதும், வேறுவிதமாகக் கூறப்படாவிட்டால், ஒரு லை இயற்கணிதம் என்பது 0 என்ற பண்பு புலத்தின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண லை இயற்கணிதம் ஆகும். அத்தகைய லை இயற்கணிதத்திற்கு, பூஜ்ஜியமற்றது என்றால், பின்வரும் நிபந்தனைகள் சமமானவைஃ அரை எளிய; கொலை வடிவம், κ (x, y) = tr (ad (x) ad (y)), சிதைக்கப்படாதது; பூஜ்ஜியமற்ற அபெலியன் இலட்சியங்களைக் கொண்டிருக்கவில்லை; பூஜ்ஜியமற்ற தீர்க்கக்கூடிய இலட்சியங்களைக் கொண்டிருக்கவில்லை; பூஜ்ஜியத்தின் தீவிர (அதிகபட்ச தீர்க்கக்கூடிய இலட்சியம்) பூஜ்ஜியமாகும். முக்கியத்துவம் அரை எளிமைத்தன்மையின் முக்கியத்துவம் முதலில் லெவி சிதைவிலிருந்து வருகிறது, இது ஒவ்வொரு வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண லை இயற்கணிதமும் தீர்க்கக்கூடிய இலட்சியம் (அதன் ரேடிக்கல்) மற்றும் அரை எளிய இயற்கணிதத்தின் அரை மறைமுக தயாரிப்பு என்று கூறுகிறது. குறிப்பாக, தீர்க்கக்கூடிய மற்றும் அரை எளிமையான பூஜ்ஜியமற்ற லை இயற்கணிதம் எதுவும் இல்லை. அரை எளிய லை ஆல்ஜிப்ராக்கள் மிகவும் நேர்த்தியான வகைப்பாட்டைக் கொண்டுள்ளன, இது தீர்க்கக்கூடிய லை ஆல்ஜிப்ராக்களுக்கு முற்றிலும் மாறுபட்டது. இயற்கணித ரீதியாக மூடப்பட்ட பூஜ்ஜிய புலத்தின் மீது அரை எளிய லை ஆல்ஜிப்ராக்கள் அவற்றின் வேர் அமைப்பால் முழுமையாக வகைப்படுத்தப்படுகின்றன, அவை டைன்கின் வரைபடங்களால் வகைப்படுத்தப்படுகின்றன. இயற்கணித ரீதியாக மூடப்பட்ட புலங்களில் அரை எளிய ஆல்ஜிப்ராக்களை இயற்கணித மூடலுக்கு மேல் உள்ளவற்றின் அடிப்படையில் புரிந்து கொள்ள முடியும், இருப்பினும் வகைப்பாடு சற்றே சிக்கலானது; உண்மையான அரை எளிய லை ஆல்ஜிப்ராக்களின் உண்மையான வடிவத்தைப் பார்க்கவும், அவை எலி கார்டனால் வகைப்படுத்தப்பட்டன. மேலும், அரை எளிய லை ஆல்ஜிப்ராக்களின் பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாடு பொதுவான லை ஆல்ஜிப்ராக்களை விட மிகவும் தூய்மையானது. எடுத்துக்காட்டாக, அரை எளிய லை இயற்கணிதத்தில் ஜோர்டான் சிதைவு அதன் பிரதிநிதித்துவத்தில் ஜோர்டான் சிதைவுடன் ஒத்துப்போகிறது; பொதுவாக லை ஆல்ஜிப்ராக்களுக்கு இது பொருந்தாது. அரை எளிய என்றால், பின்னர். குறிப்பாக, ஒவ்வொரு நேரியல் அரை எளிய லை இயற்கணிதமும் சிறப்பு நேரியல் லை இயற்கணிதத்தின் துணை இயற்கணிதமாகும். அரை எளிய லை ஆல்ஜிப்ராக்களுக்கான பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாட்டின் கட்டமைப்பைப் பற்றிய ஆய்வு ஒரு முக்கிய பகுதியாகும். சிக்கலான எண்களின் மீது அரை எளிய லை ஆல்ஜிப்ராக்கள் முதன்முதலில் வில்ஹெல்ம் கில்லிங் (1888-90) ஆல் வகைப்படுத்தப்பட்டன, இருப்பினும் அவரது ஆதாரம் கடுமையானதாக இல்லை. அவரது சான்றை எலி கார்டன் (1894) தனது பி. எச். டி ஆய்வறிக்கையில் கடுமையாக முன்வைத்தார், அவர் அரை எளிய உண்மையான லை ஆல்ஜிப்ராக்களையும் வகைப்படுத்தினார். இது பின்னர் சுத்திகரிக்கப்பட்டது, மேலும் டைன்கின் வரைபடங்கள் மூலம் தற்போதைய வகைப்பாட்டை 1947 இல் அப்போதைய 22 வயதான யூஜின் டைன்கின் வழங்கினார். சில சிறிய மாற்றங்கள் செய்யப்பட்டுள்ளன (குறிப்பாக ஜே. பி. செர்ரினால்), ஆனால் ஆதாரம் அதன் அத்தியாவசியங்களில் மாறாமல் உள்ளது, மேலும் எந்தவொரு நிலையான குறிப்பிலும் காணலாம். அடிப்படை பண்புகள் அரை எளிய லை ஆல்ஜிப்ராக்களின் ஒவ்வொரு ஐடியல், ஈவு மற்றும் பெருக்கல் மீண்டும் அரை எளிமையானது. அரை எளிய லை இயற்கணிதத்தின் மையம் அற்பமானது (மையம் ஒரு அபெலியன் ஐடியல் என்பதால்). வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், அருகிலுள்ள பிரதிநிதித்துவம் ஊசி ஆகும். மேலும், படம் வழித்தோன்றல்கள் என்று மாறிவிடும். எனவே, இது ஒரு ஐசோமார்பிசம் ஆகும். (இது வைட்ஹெட்டின் லெம்மாவின் சிறப்பு வழக்கு.) அருகிலுள்ள பிரதிநிதித்துவம் உட்செலுத்துதல் என்பதால், அரை எளிய லை இயற்கணிதம் என்பது அருகிலுள்ள பிரதிநிதித்துவத்தின் கீழ் ஒரு நேரியல் லை இயற்கணிதம் ஆகும். இது சில தெளிவின்மைக்கு வழிவகுக்கும், ஏனெனில் ஒவ்வொரு லை இயற்கணிதமும் ஏற்கனவே வேறு சில திசையன் இடத்தைப் (அடோவின் தேற்றம்) பொறுத்து நேரியல் ஆகும், இருப்பினும் அருகிலுள்ள பிரதிநிதித்துவத்தின் மூலம் அவசியமில்லை. ஆனால் நடைமுறையில், இத்தகைய தெளிவின்மை அரிதாகவே நிகழ்கிறது. அரை எளிய லை அல்ஜிப்ரா என்றால், (ஏனெனில் அரை எளிய மற்றும் அபெலியன்). ஒவ்வொரு புலம் நீட்டிப்புக்கும் அடிப்படை நீட்டிப்பு அரை எளிமையாக இருந்தால் மட்டுமே, பண்பு பூஜ்ஜியத்தின் ஒரு புலம் k மீது ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண லை இயற்கணிதம் அரை எளிமையானது. எனவே, எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண உண்மையான லை இயற்கணிதம் அதன் சிக்கலானது அரை எளியதாக இருந்தால் மட்டுமே அரை எளியதாக இருக்கும். ஜோர்டான் சிதைவு பண்பு பூஜ்ஜியத்தின் புலத்தின் மீது ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண திசையன் இடத்தின் ஒவ்வொரு எண்டோமார்பிசமும் x தனித்துவமாக ஒரு அரை எளிய (அதாவது, இயற்கணித மூடுதலின் மீது மூலைவிட்டமாக) மற்றும் s மற்றும் n ஒருவருக்கொருவர் பயணிக்கும் வகையில் நில்போட்டன்ட் பகுதியாக சிதைக்கப்படலாம். மேலும், s மற்றும் n ஒவ்வொன்றும் x இல் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும். இது x இன் ஜோர்டான் சிதைவு ஆகும். மேற்கூறியவை அரை எளிய லை இயற்கணிதத்தின் இணை பிரதிநிதித்துவத்திற்கு பொருந்தும். x இன் ஒரு உறுப்பு அரை எளிய (ரெஸ்ப்) என்று கூறப்படுகிறது. நில்போட்டன்ட்) ஒரு அரை எளிய (ரெஸ்ப்) என்றால். நில்போட்டன்ட்) ஆபரேட்டர். அப்படியானால், சுருக்கமான ஜோர்டான் சிதைவு x ஐ தனித்துவமாக இவ்வாறு எழுதலாம் என்று கூறுகிறதுஃ எங்கே அரை எளிய, நில்போட்டன்ட் மற்றும். மேலும், x உடன் பயணித்தால், அது இரண்டுடனும் பயணிக்கிறது. சுருக்கமான ஜோர்டான் சிதைவு காரணிகள் எந்தவொரு பிரதிநிதித்துவத்தின் மூலமும் கொடுக்கப்பட்ட எந்தவொரு பிரதிநிதித்துவத்திலும் ρ, பிரதிநிதித்துவ இடத்தின் எண்டோமார்பிசம் இயற்கணிதத்தில் ρ (x) இன் ஜோர்டான் சிதைவு ஆகும். (இது வேய்லின் முழுமையான குறைப்பு தேற்றத்தின் விளைவாக நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது; முழுமையான reducibility#Application: ஜோர்டான் சிதைவைப் பாதுகாத்தல் பற்றிய வேய்லின் தேற்றத்தைப் பார்க்கவும். கட்டமைப்பு ஒரு (வரையறுக்கப்பட்ட-பரிமாண) அரை எளிய லை இயற்கணிதமாக இருக்கட்டும், இது இயற்கணித ரீதியாக மூடப்பட்ட பூஜ்ஜிய புலத்தின் மீது இருக்கும். கார்டன் துணை இயற்கணிதத்தின் ஒரு குறிப்பிட்ட தனித்துவமான துணை இயற்கணிதத்தின் அருகிலுள்ள செயல்பாட்டின் மூலம் அதன் கட்டமைப்பை விவரிக்க முடியும். வரையறையின்படி, கார்டன் துணை இயற்கணிதம் (அதிகபட்ச டோரல் துணை இயற்கணிதம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) என்பது ஒரு அதிகபட்ச துணை இயற்கணிதம் ஆகும், அதாவது ஒவ்வொன்றிற்கும், மூலைவிட்டமாக இருக்கும். இது மாறிவிடும் போது, அபெலியன் மற்றும் எனவே அனைத்து ஆபரேட்டர்களும் ஒரே நேரத்தில் மூலைவிட்டமாக உள்ளன. ஒவ்வொரு நேரியல் செயல்பாட்டிற்கும், வாருங்கள். (இது மையப்படுத்தல் என்பதைக் கவனியுங்கள்.) பின்னர் (காட்ட மிகவும் கடினமான உருப்படி. நிலையான சான்றுகள் அனைத்தும் பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாட்டில் சில உண்மைகளைப் பயன்படுத்துகின்றன; எ. கா., செர்ரே எதிர்மறை எடையின் பழமையான உறுப்பைக் கொண்ட ஒரு தொகுதி எல்லையற்ற பரிமாணமானது, முரண்பாடாக இருக்கிறது என்ற உண்மையைப் பயன்படுத்துகிறது. பரிமாற்ற உறவுகளுடன் இருக்கட்டும்; அதாவது, நிலையான அடிப்படையுடன் ஒத்திருக்கிறது. உள்ள நேரியல் செயல்பாடுகள் தொடர்புடைய வேர்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. வேர்கள் ஸ்பான் (என்றால், பூஜ்ஜிய ஆபரேட்டர் என்பதால்; அதாவது, மையத்தில் உள்ளது, இது பூஜ்ஜியமாகும். மேலும், பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாட்டிலிருந்து, பின்வரும் சமச்சீர் மற்றும் ஒருங்கிணைந்த பண்புகளைக் கண்டறிகிறோம்ஃ ஒவ்வொன்றிற்கும், பண்புகள் (1) மற்றும் (2) நிலையான-புள்ளி தொகுப்பைக் கொண்டிருப்பதைக் கவனியுங்கள், அதாவது அதனுடன் தொடர்புடைய ஹைப்பர்பிளேனைப் பொறுத்தவரை பிரதிபலிப்பு. மேலே உள்ளவை அது ஒரு வேர் அமைப்பு என்று கூறுகின்றன. இது ஒரு வேர் அமைப்பின் பொதுவான கோட்பாட்டைப் பின்பற்றுகிறது, இது ஒவ்வொரு மூலமும் ஒரே அடையாளத்தின் முழு எண் குணகங்களுடன் ஒரு நேரியல் கலவையாகும்; வேர்கள் எளிய வேர்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. விடுங்கள், போன்றவை. பின்னர் உறுப்புகள் (செவால்லி ஜெனரேட்டர்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன) ஒரு லை இயற்கணிதமாக உருவாக்கப்படுகின்றன. மேலும், அவை உறவுகளை திருப்திப்படுத்துகின்றன (செர்ரே உறவுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன): உடன்,. இதன் நேர்மாறும் உண்மைஃ அதாவது, ஜெனரேட்டர்களால் உருவாக்கப்படும் லை இயற்கணிதம் மற்றும் மேலே உள்ளதைப் போன்ற உறவுகள் ஒரு (வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண) அரை எளிய லை இயற்கணிதம் ஆகும், இது மேலே உள்ளபடி ரூட் ஸ்பேஸ் சிதைவைக் கொண்டுள்ளது (கார்டன் மேட்ரிக்ஸ் என்றால்). இது செர்ரேயின் தேற்றம். குறிப்பாக, இரண்டு அரை எளிய லை ஆல்ஜிப்ராக்கள் ஒரே வேர் அமைப்பைக் கொண்டிருந்தால் அவை ஐசோமார்பிக் ஆகும். ஒரு வேர் அமைப்பு மற்றும் செர்ரேயின் தேற்றத்தின் தன்னியக்க இயல்பின் உட்குறிப்பு என்னவென்றால், சாத்தியமான அனைத்து வேர் அமைப்புகளையும் ஒருவர் கணக்கிட முடியும்; எனவே, "அனைத்து சாத்தியமான" அரை எளிய லை ஆல்ஜிப்ராக்கள் (பண்பு பூஜ்ஜியத்தின் இயற்கணித மூடிய புலத்தின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாணம்). வேய்ல் குழு என்பது s ஆல் உருவாக்கப்படும் நேரியல் மாற்றங்களின் குழுவாகும். வெய்ல் குழு என்பது சிக்கலின் ஒரு முக்கியமான சமச்சீர் ஆகும்; எடுத்துக்காட்டாக, எந்தவொரு வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண பிரதிநிதித்துவத்தின் எடைகளும் வேய்ல் குழுவின் கீழ் மாறாதவை. எடுத்துக்காட்டு sln (C) இல் ரூட் ஸ்பேஸ் சிதைவு மற்றும் மூலைவிட்ட மேட்ரிக்ஸின் கார்டன் துணை இயற்கணிதம், மூலம் வரையறுக்கப்படுகிறது, இது மூலைவிட்டத்தில் உள்ள மூலைவிட்ட மேட்ரிக்ஸைக் குறிக்கிறது. பின்னர் சிதைவு நிலையான (மேட்ரிக்ஸ்) அடிப்படையுடன் திசையனுக்கு எங்கு வழங்கப்படுகிறது, அதாவது-வது வரிசை மற்றும்-வது நெடுவரிசையில் அடிப்படை திசையனைக் குறிக்கிறது. இந்த சிதைவு ஒரு தொடர்புடைய வேர் அமைப்பைக் கொண்டுள்ளதுஃ எஸ்எல் 2 (சி) எடுத்துக்காட்டாக, சிதைவில் மற்றும் தொடர்புடைய வேர் அமைப்பு எஸ்எல் 3 (சி) சிதைவில் மற்றும் தொடர்புடைய வேர் அமைப்பு எடுத்துக்காட்டுகளால் வழங்கப்படுகிறது #Structure இல் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளபடி, அரை எளிய லை ஆல்ஜிப்ராக்கள் (அல்லது பொதுவாக இயற்கணித ரீதியாக மூடப்பட்ட பூஜ்ஜியத்தின் பண்பு புலம்) அவற்றின் கார்டன் சபால்ஜிப்ராக்களுடன் தொடர்புடைய வேர் அமைப்பால் வகைப்படுத்தப்படுகின்றன, மேலும் வேர் அமைப்புகள் அவற்றின் டைன்கின் வரைபடங்களால் வகைப்படுத்தப்படுகின்றன. அரை எளிய லை ஆல்ஜிப்ராக்களின் எடுத்துக்காட்டுகள், கிளாசிக்கல் லை ஆல்ஜிப்ராக்கள், அவற்றின் டைன்கின் வரைபடங்களிலிருந்து வரும் குறியீட்டுடன், சிறப்பு நேரியல் லை அல்ஜிப்ரா ஆகும். , ஒற்றைப்படை பரிமாண சிறப்பு ஆர்த்தோகனல் லை இயற்கணிதம். , சிம்ப்லெக்டிக் லை அல்ஜிப்ரா. , சம பரிமாண சிறப்பு ஆர்த்தோகனல் லை அல்ஜிப்ரா (). குடும்பத்தில் கட்டுப்பாடு தேவைப்படுகிறது, ஏனெனில் இது ஒரு பரிமாண மற்றும் பரிமாற்றமானது, எனவே அரை எளிமையானது அல்ல. இந்த லை ஆல்ஜிப்ராக்கள் எண்ணப்படுகின்றன, எனவே n என்பது தரவரிசை. கிட்டத்தட்ட இந்த அரை எளிய லை ஆல்ஜிப்ராக்கள் அனைத்தும் உண்மையில் எளிமையானவை மற்றும் இந்த குடும்பங்களின் உறுப்பினர்கள் கிட்டத்தட்ட அனைவரும் வேறுபட்டவர்கள், சிறிய வரிசையில் சில மோதல்களைத் தவிர. எடுத்துக்காட்டாக, மற்றும். இந்த நான்கு குடும்பங்களும், ஐந்து விதிவிலக்குகளுடன் (E6, E7, E8, F4 மற்றும் G2), உண்மையில் சிக்கலான எண்களுக்கு மேல் உள்ள ஒரே எளிய லை ஆல்ஜிப்ராக்கள் ஆகும். வகைப்பாடு 0 என்ற இயல்புடைய இயற்கணித ரீதியாக மூடப்பட்ட புலத்தின் மீது உள்ள ஒவ்வொரு அரை எளிய லை இயற்கணிதமும் எளிய லை ஆல்ஜிப்ராக்களின் (வரையறையின்படி) நேரடி கூட்டுத்தொகையாகும், மேலும் வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண எளிய லை ஆல்ஜிப்ராக்கள் நான்கு குடும்பங்களாக உள்ளன-ஒரு, Bn, Cn மற்றும் Dn-ஐந்து விதிவிலக்குகளுடன் E6, E7, E8, F4 மற்றும் G2. எளிய லை ஆல்ஜிப்ராக்கள் வலதுபுறத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள இணைக்கப்பட்ட டைன்கின் வரைபடங்களால் வகைப்படுத்தப்படுகின்றன, அதே நேரத்தில் அரை எளிய லை ஆல்ஜிப்ராக்கள் இணைக்கப்படாத டைன்கின் வரைபடங்களுடன் ஒத்திருக்கின்றன, அங்கு வரைபடத்தின் ஒவ்வொரு கூறுகளும் அரை எளிய லை அல்ஜிப்ரா எளிய லை ஆல்ஜிப்ராக்களாக சிதைவதன் கூட்டுத்தொகையுடன் ஒத்திருக்கின்றன. ஒரு கார்டன் துணை இயற்கணிதத்தையும் (கீழே காண்க) லை இயற்கணிதத்தில் அதன் அருகிலுள்ள செயல்பாட்டையும் கருத்தில் கொண்டு வகைப்பாடு தொடர்கிறது. செயல்பாட்டின் வேர் அமைப்பு பின்னர் இரண்டும் அசல் லை இயற்கணிதத்தை தீர்மானிக்கிறது மற்றும் மிகவும் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட வடிவத்தைக் கொண்டிருக்க வேண்டும், இது டைன்கின் வரைபடங்களால் வகைப்படுத்தப்படலாம். மேலும் விவரங்களுக்கு கார்டன் சபால்ஜெப்ராக்கள் மற்றும் வேர் அமைப்புகளை விவரிக்கும் கீழே உள்ள பகுதியைப் பார்க்கவும். இந்த வகைப்பாடு கணிதத்தில் மிகவும் நேர்த்தியான முடிவுகளில் ஒன்றாக பரவலாகக் கருதப்படுகிறது-கோட்பாடுகளின் சுருக்கமான பட்டியல், ஒப்பீட்டளவில் குறுகிய ஆதாரத்தின் மூலம், ஆச்சரியமான கட்டமைப்பைக் கொண்ட ஒரு முழுமையான ஆனால் அற்பமான வகைப்பாடு. இது வரையறுக்கப்பட்ட எளிய குழுக்களின் வகைப்பாட்டுடன் ஒப்பிடப்பட வேண்டும், இது கணிசமாக மிகவும் சிக்கலானது. நான்கு குடும்பங்களின் கணக்கீடு தேவையற்றது மற்றும் A, Bn, Cn மற்றும் Dn எனில் எளிய ஆல்ஜிப்ராக்களை மட்டுமே கொண்டுள்ளது. ஒருவர் குறைந்த எண்ணிக்கையில் எண்ணத் தொடங்கினால், கணக்கீடு தேவையற்றது, மேலும் ஒருவர் எளிய லை ஆல்ஜிப்ராக்களுக்கு இடையில் விதிவிலக்கான ஐசோமார்பிசம்களைக் கொண்டிருக்கிறார், அவை டைன்கின் வரைபடங்களின் ஐசோமார்பிசத்தில் பிரதிபலிக்கின்றன; எனையும் கீழே நீட்டிக்க முடியும், ஆனால் E6 க்கு கீழே மற்ற, விதிவிலக்கான ஆல்ஜிப்ராக்களுக்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும். இயற்கணித ரீதியாக மூடப்படாத புலத்தின் மீது, வகைப்பாடு மிகவும் சிக்கலானது-ஒன்று இயற்கணித மூடலின் மீது எளிய லை ஆல்ஜிப்ராக்களை வகைப்படுத்துகிறது, பின்னர் இவை ஒவ்வொன்றிற்கும், இந்த வடிவத்தைக் கொண்ட அசல் புலத்தின் மீது எளிய லை ஆல்ஜிப்ராக்களை வகைப்படுத்துகிறது (மூடலுக்கு மேல்). எடுத்துக்காட்டாக, எளிய உண்மையான லை ஆல்ஜிப்ராக்களை வகைப்படுத்த, ஒருவர் கொடுக்கப்பட்ட சிக்கலான தன்மையுடன் உண்மையான லை ஆல்ஜிப்ராக்களை வகைப்படுத்துகிறார், அவை சிக்கலான லை அல்ஜிப்ராவின் உண்மையான வடிவங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன; இது சேடேக் வரைபடங்களால் செய்யப்படலாம், அவை கூடுதல் தரவுகளுடன் ("அலங்காரங்கள்") டைன்கின் வரைபடங்களாகும். அரை எளிய லை ஆல்ஜிப்ராக்களின் பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாடு ஒரு (வரையறுக்கப்பட்ட-பரிமாண) அரை எளிய லை அல்ஜிப்ரா, இயற்கணித ரீதியாக மூடப்பட்ட பூஜ்ஜிய புலத்தின் மீது இருக்கட்டும். பின்னர், #Structure இல் உள்ளதைப் போல, வேர் அமைப்பு எங்கே? எளிய வேர்களைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்; ஒரு வேர் பின்னர் நேர்மறை என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் இது எதிர்மறை அல்லாத முழு எண் குணகங்களுடன் எளிய வேர்களின் நேரியல் கலவையாக இருந்தால் குறிக்கப்படுகிறது. போரெல் துணை இயற்கணிதத்தின் அதிகபட்ச தீர்க்கக்கூடிய துணை இயற்கணிதமாக இருக்கட்டும். V ஒரு (சாத்தியமான-எல்லையற்ற-பரிமாண) எளிய-தொகுதியாக இருக்கட்டும். V ஒரு-எடை திசையனை ஏற்றுக்கொண்டால், அது அளவிடுதல் வரை தனித்துவமானது மற்றும் V இன் மிக உயர்ந்த எடை திசையன் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இது ஒரு-எடை திசையன் மற்றும்-எடை, ஒரு நேரியல் செயல்பாடு, V இன் மிக உயர்ந்த எடை என்று அழைக்கப்படுகிறது. அடிப்படை ஆனால் அற்பமான உண்மைகள் பின்னர் (1) ஒவ்வொரு நேரியல் செயல்பாட்டிற்கும், அதன் மிக உயர்ந்த எடையைக் கொண்ட ஒரு எளிய தொகுதி உள்ளது மற்றும் (2) ஒரே மிக உயர்ந்த எடையைக் கொண்ட இரண்டு எளிய தொகுதிகள் சமமானவை. சுருக்கமாக, ஒரு போரெல்-எடை திசையனை அனுமதிக்கும் எளிய-தொகுதிகளின் சமநிலை வகுப்புகளின் தொகுப்புக்கும் இடையே ஒரு பைஜெக்ஷன் உள்ளது. பயன்பாடுகளைப் பொறுத்தவரை, ஒருவர் பெரும்பாலும் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண எளிய-தொகுதி (ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண பகுக்கமுடியாத பிரதிநிதித்துவம்) மீது ஆர்வம் காட்டுகிறார். குறிப்பாக ஒரு லை குழுவின் லை அல்ஜீப்ரா (அல்லது அத்தகையவற்றின் சிக்கலாக்கம்) இருக்கும்போது இது நிகழ்கிறது, ஏனெனில், லை கடிதத்தின் மூலம், ஒரு லை அல்ஜீப்ரா பிரதிநிதித்துவத்தை ஒரு லை குழு பிரதிநிதித்துவத்துடன் ஒருங்கிணைக்க முடியும். அடுத்த அளவுகோல் பின்னர் இந்த தேவையை நிவர்த்தி செய்கிறதுஃ நேர்மறை வேய்ல் அறையால், குவிந்த கூம்பு என்று பொருள்படும், அங்கு அது ஒரு தனித்துவமான திசையன். அளவுகோல் பின்வருமாறு கூறுகிறதுஃ ஒவ்வொரு நேர்மறை மூலத்திற்கும், (1) ஒரு முழு எண் மற்றும் (2) இருந்தால் மட்டுமே. மேலே உள்ள சமமான நிபந்தனையை திருப்திப்படுத்தும் ஒரு நேரியல் செயல்பாடு ஒரு மேலாதிக்க ஒருங்கிணைந்த எடை என்று அழைக்கப்படுகிறது. எனவே, சுருக்கமாக, மேலாதிக்க ஒருங்கிணைந்த எடைகளுக்கும் வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண எளிய தொகுதிகளின் சமநிலை வகுப்புகளுக்கும் இடையில் ஒரு பைஜெக்ஷன் உள்ளது, இதன் விளைவாக மிக உயர்ந்த எடையின் தேற்றம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண எளிய தொகுதியின் தன்மை வேல் எழுத்து சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது. வேய்ல் காரணமான தேற்றம், பண்பு பூஜ்ஜியத்தின் புலத்தின் மீது, அரை எளிய லை இயற்கணிதத்தின் ஒவ்வொரு வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண தொகுதியும் முற்றிலும் குறைக்கப்படக்கூடியது என்று கூறுகிறது; அதாவது, இது எளிய-தொகுதிகளின் நேரடி கூட்டுத்தொகையாகும். எனவே, மேற்கண்ட முடிவுகள் அரை எளிய லை இயற்கணிதத்தின் வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண பிரதிநிதித்துவங்களுக்கு பொருந்தும். உண்மையான அரை எளிய பொய் இயற்கணிதம் ஒரு அரை எளிய பொய் இயற்கணிதம் பூஜ்ஜியத்தின் சிறப்பியல்புகளைக் கொண்ட ஆனால் இயற்கணித ரீதியாக மூடப்படாத ஒரு புலத்தின் மீது, இயற்கணித ரீதியாக மூடப்பட்ட பூஜ்ஜியத்தின் சிறப்பியல்பு புலத்தின் மீது இருப்பதைப் போன்ற பொதுவான கட்டமைப்பு கோட்பாடு எதுவும் இல்லை. ஆனால் உண்மையான எண்களின் புலத்தில், கட்டமைப்பு முடிவுகள் இன்னும் உள்ளன. ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண உண்மையான அரை எளிய லை இயற்கணிதமாகவும் அதன் சிக்கலானதாகவும் இருக்கட்டும் (இது மீண்டும் அரை எளிமையானது). உண்மையான பொய் இயற்கணிதம் ஒரு உண்மையான வடிவம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு உண்மையான வடிவம் அதன் மீது உள்ள கொலை வடிவம் எதிர்மறை-திட்டவட்டமாக இருந்தால் அது ஒரு சுருக்க வடிவம் என்று அழைக்கப்படுகிறது; இது ஒரு சுருக்கமான லை குழுவின் லை இயற்கணிதமாக இருக்க வேண்டும் (எனவே, பெயர்). சுருக்கமான வழக்கு ஒரு கச்சிதமான வடிவம் மற்றும் அதிகபட்ச அபெலியன் துணைப்பகுதி என்று வைத்துக்கொள்வோம். ஒருவர் காட்டலாம் (எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு சிறிய லை குழுவின் லை இயற்கணிதம்) இது வளைவு-ஹெர்மிடியன் மேட்ரிக்ஸ்களைக் கொண்டுள்ளது, இது கற்பனையான ஐகென் மதிப்புகளுடன் மூலைவிட்டமாக உள்ளது. எனவே, ஒரு கார்டன் துணை இயற்கணிதம் மற்றும் அதன் விளைவாக ரூட் ஸ்பேஸ் சிதைவு (cf. #Structure) இதில் ஒவ்வொன்றும் உண்மையான மதிப்புடையவை; எனவே, உண்மையான திசையன் இடத்தில் ஒரு உண்மையான-நேரியல் செயல்பாட்டைக் கொண்டு அடையாளம் காணலாம். எடுத்துக்காட்டாக, அனைத்து மூலைவிட்ட மேட்ரிக்ஸின் உட்பகுதியையும் எடுத்துக் கொள்வோம். குறிப்பு. for ஆல் கொடுக்கப்பட்ட லீனியர் ஃபங்ஷனலாக இருக்கட்டும். பின்னர் ஒவ்வொன்றிற்கும்,-வது இடத்தில் 1 மற்றும் வேறு இடங்களில் பூஜ்ஜியத்தைக் கொண்ட அணி எங்கே? எனவே, ஒவ்வொரு மூலமும் வடிவத்தில் உள்ளது மற்றும் வேர் இடைவெளி சிதைவு என்பது மேட்ரிக்ஸின் சிதைவு ஆகும்ஃ சுருக்கமற்ற வழக்கு ஒரு கச்சிதமான வடிவம் அல்ல என்று வைத்துக்கொள்வோம் (அதாவது, கொலை வடிவத்தின் கையொப்பம் அனைத்தும் எதிர்மறையாக இல்லை). மேலும், இது ஒரு கார்டன் இன்வொல்யூஷன் மற்றும் ஐகென்ஸ்பேஸ் சிதைவாக இருக்கட்டும் என்று வைத்துக்கொள்வோம், முறையே 1 மற்றும்-1 க்கான ஐகென்ஸ்பேஸ்கள் எங்கே. எடுத்துக்காட்டாக, என்றால் மற்றும் எதிர்மறை இடமாற்றம், பின்னர். அதிகபட்ச அபெலியன் துணை இடமாக இருக்கட்டும். இப்போது, சமச்சீர் மேட்ரிக்ஸ்களைக் கொண்டுள்ளது (பொருத்தமான உள் விளைபொருளைப் பொறுத்தவரை), இதனால் இயக்கிகள் ஒரே நேரத்தில் உண்மையான ஐகென் மதிப்புகளுடன் மூலைவிட்டமாக உள்ளன. இயற்கணித ரீதியாக மூடிய அடிப்படை புலத்திற்கான வாதங்களை மீண்டும் செய்வதன் மூலம், ஒருவர் சிதைவைப் பெறுகிறார் (கட்டுப்படுத்தப்பட்ட வேர் இடைவெளி சிதைவு என்று அழைக்கப்படுகிறார்): இதில் உள்ள உறுப்புகள் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட வேர்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, எந்தவொரு நேரியல் செயல்பாட்டிற்கும்; குறிப்பாக,. மேலும், இது ஒரு வேர் அமைப்பு, ஆனால் குறைக்கப்பட வேண்டிய அவசியமில்லை (அதாவது, இது இரண்டு வேர்களிலும் நிகழலாம்). எஸ்எல் (என், சி) இன் வழக்கு, என்றால், அதன் மூலைவிட்ட துணை இயற்கணிதமாக எடுத்துக் கொள்ளலாம், இது மூலைவிட்ட மேட்ரிக்ஸ்களைக் கொண்டுள்ளது, அதன் மூலைவிட்ட உள்ளீடுகள் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும். பரிமாணம் இருப்பதால், அதற்கு தரவரிசை இருப்பதை நாம் காண்கிறோம். இந்த விஷயத்தில் வேர் திசையன்கள் மேட்ரிக்ஸ்களாக எடுத்துக் கொள்ளப்படலாம், அங்கு இடத்தில் 1 மற்றும் வேறு இடங்களில் பூஜ்ஜியங்களைக் கொண்ட மேட்ரிக்ஸ் உள்ளது. மூலைவிட்ட உள்ளீடுகளுடன் ஒரு மூலைவிட்ட அணி என்றால், நம்மிடம் உள்ளது. எனவே, இதன் வேர்கள் நேரியல் செயல்பாடுகளால் கொடுக்கப்படுகின்றன. அதன் இரட்டையருடன் அடையாளம் காணப்பட்ட பிறகு, வேர்கள் பூஜ்ஜியத்தின் கூட்டுத்தொகையில் உள்ள-டப்பிள்களின் இடத்தில் திசையன்களாக மாறுகின்றன. இது வழக்கமான லேபிளிங்கில் அறியப்படும் வேர் அமைப்பு ஆகும். மூலத்துடன் தொடர்புடைய பிரதிபலிப்பு மற்றும் மூலைவிட்ட உள்ளீடுகளை மாற்றுவதன் மூலம் செயல்படுகிறது. வேய்ல் குழு பின்னர் உறுப்புகளின் வரிசைமாற்றக் குழுவாகும், இது மேட்ரிக்ஸின் மூலைவிட்ட உள்ளீடுகளை வரிசைப்படுத்துவதன் மூலம் செயல்படுகிறது. பொதுமைப்படுத்தல்கள் அரை எளிய லை ஆல்ஜிப்ராக்கள் சில பொதுமைப்படுத்தல்களை ஒப்புக்கொள்கின்றன. முதலாவதாக, அரை எளிய லை ஆல்ஜிப்ராக்களுக்கு பொருந்தும் பல அறிக்கைகள் பொதுவாக ரிடக்டிவ் லை ஆல்ஜிப்ராக்களுக்கு பொருந்தும். சுருக்கமாக, ஒரு குறைப்பு லை இயற்கணிதம் என்பது அதன் இணை பிரதிநிதித்துவம் முற்றிலும் குறைக்கப்படக்கூடியது, அதே நேரத்தில் ஒரு குறைப்பு லை இயற்கணிதம் என்பது ஒரு அரை எளிய லை இயற்கணிதம் மற்றும் ஒரு அபெலியன் லை இயற்கணிதம் ஆகியவற்றின் நேரடி கூட்டுத்தொகையாகும்; எடுத்துக்காட்டாக, அரை எளிய மற்றும் குறைப்பு ஆகும். அரை எளிய லை ஆல்ஜிப்ராக்களின் பல பண்புகள் குறைப்புத்திறனை மட்டுமே சார்ந்துள்ளன. சிக்கலான அரை எளிய/குறைப்பு லை ஆல்ஜிப்ராக்களின் பல பண்புகள் இயற்கணித ரீதியாக மூடிய புலங்களின் மீது அரை எளிய/குறைப்பு லை ஆல்ஜிப்ராக்களுக்கு மட்டுமல்லாமல், பொதுவாக மற்ற புலங்களின் மீது அரை எளிய/குறைப்பு லை ஆல்ஜிப்ராக்களைப் பிரிக்கவும் பொருந்தும்ஃ அரை எளிய/குறைப்பு லை ஆல்ஜிப்ராக்கள் இயற்கணித ரீதியாக மூடிய புலங்களின் மீது எப்போதும் பிரிக்கப்படுகின்றன, ஆனால் மற்ற புலங்களின் மீது இது எப்போதும் பொருந்தாது. ஸ்ப்லிட் லை ஆல்ஜிப்ராக்கள் அடிப்படையில் இயற்கணித ரீதியாக மூடிய புலங்களில் அரை எளிய லை ஆல்ஜிப்ராக்களைப் போலவே அதே பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாட்டைக் கொண்டுள்ளன, எடுத்துக்காட்டாக, கார்டன் துணை இயற்கணிதத்தைப் பிரிப்பது இயற்கணித ரீதியாக மூடிய புலங்களில் கார்டன் துணை இயற்கணிதத்தைப் போலவே அதே பாத்திரத்தை வகிக்கிறது. உதாரணமாக, இது பின்பற்றப்படும் அணுகுமுறையாகும், இது பிளவு அரை எளிய/குறைப்பு லை ஆல்ஜிப்ராக்களின் பிரதிநிதித்துவங்களை வகைப்படுத்துகிறது. அரை எளிய மற்றும் குறைப்புக் குழுக்கள் ஒரு இணைக்கப்பட்ட லை குழு அதன் லை இயற்கணிதம் அரை எளிய லை இயற்கணிதம் என்றால் அரை எளிய என்று அழைக்கப்படுகிறது. எளிய லை ஆல்ஜிப்ராக்களின் நேரடி கூட்டுத்தொகை. அதன் லை இயற்கணிதம் எளிய மற்றும் அற்பமான (ஒரு பரிமாண) லை ஆல்ஜிப்ராக்களின் நேரடி கூட்டுத்தொகையாக இருந்தால் அது குறைப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது. இயற்கணிதம், வடிவியல் மற்றும் இயற்பியலில் உள்ள பல கணிதப் பொருட்களின் சமச்சீர்களாக குறைப்புக் குழுக்கள் இயற்கையாகவே நிகழ்கின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு n-பரிமாண உண்மையான திசையன் இடத்தின் சமச்சீர் குழு (சமமாக, தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸின் குழு) குறைப்பு ஆகும். மேலும் காண்க லை அல்ஜிப்ரா ரூட் சிஸ்டம் லை அல்ஜிப்ரா பிரதிநிதித்துவம் காம்பாக்ட் குரூப் சிம்பிள் லை குரூப் போரெல் சப்அல்ஜிப்ரா ஜேகப்ஸன்-மொரோசோவ் தேற்றம் குறிப்புகள். . . . லை ஆல்ஜிப்ராக்களின் பண்புகள்