Nonlinear Schrödinger equation
கோட்பாட்டு இயற்பியலில், (ஒரு பரிமாண) நேரியல் அல்லாத ஷ்ரோடிங்கர் சமன்பாடு (என்எல்எஸ்இ) என்பது ஷ்ரோடிங்கர் சமன்பாட்டின் நேரியல் அல்லாத மாறுபாடு ஆகும். இது ஒரு கிளாசிக்கல் புல சமன்பாடாகும், இதன் முக்கிய பயன்பாடுகள் நேரியல் அல்லாத ஒளியியல் இழைகள் மற்றும் பிளானர் அலை வழிகாட்டிகளில் ஒளியைப் பரப்புவதற்கும், போஸ்-ஐன்ஸ்டீன் ஒடுக்கங்களுக்கு அதிக அனிசோட்ரோபிக், சிகார் வடிவ பொறிகளில் மட்டுப்படுத்தப்பட்டிருப்பதற்கும் ஆகும். கூடுதலாக, ஆழமான கண்ணுக்குத் தெரியாத (பூஜ்ஜிய-பிசுபிசுப்பு) நீரின் மேற்பரப்பில் சிறிய-அலைவீச்சு ஈர்ப்பு அலைகளின் ஆய்வுகளில் சமன்பாடு தோன்றுகிறது; சூடான பிளாஸ்மாவில் உள்ள லாங்முயர் அலைகள்; அயனி மண்டலத்தின் கவனம் செலுத்தும் பகுதிகளில் விமான-விலக்கப்பட்ட அலைக் கதிர்களின் பரப்புதல்; மூலக்கூறு சங்கிலிகளுடன் ஆற்றல் போக்குவரத்துக்கு பொறுப்பான டேவிடோவின் ஆல்பா-ஹெலிக்ஸ் சாலிட்டான்களின் பரப்புதல்; மற்றும் பல. மேலும் பொதுவாக, என்எல்எஸ்இ உலகளாவிய சமன்பாடுகளில் ஒன்றாகத் தோன்றுகிறது, இது சிதறல் கொண்ட பலவீனமான நேரியல் அல்லாத ஊடகங்களில் அரை-ஒரே வண்ண அலைகளின் மெதுவாக மாறுபட்ட பாக்கெட்டுகளின் பரிணாமத்தை விவரிக்கிறது. நேரியல் ஷ்ரோடிங்கர் சமன்பாட்டைப் போலல்லாமல், என்எல்எஸ்இ ஒரு குவாண்டம் நிலையின் நேர பரிணாமத்தை ஒருபோதும் விவரிக்காது. 1டி என்எல்எஸ்இ ஒரு ஒருங்கிணைந்த மாதிரிக்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு. குவாண்டம் இயக்கவியலில், 1டி என்எல்எஸ்இ என்பது கிளாசிக்கல் நேரியல் அல்லாத ஷ்ரோடிங்கர் புலத்தின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு, இது ஒரு குவாண்டம் ஷ்ரோடிங்கர் புலத்தின் கிளாசிக்கல் வரம்பாகும். மாறாக, கிளாசிக்கல் ஷ்ரோடிங்கர் புலம் நியதிப்படி அளவிடப்படும்போது, அது ஒரு குவாண்டம் புலக் கோட்பாடாக மாறுகிறது (இது நேரியல், இது 'குவாண்டம் நேரியல் அல்லாத ஷ்ரோடிங்கர் சமன்பாடு' என்று அழைக்கப்படுகிறது என்ற உண்மை இருந்தபோதிலும்) இது டெல்டா-செயல்பாட்டு தொடர்புகளுடன் போசோனிக் புள்ளி துகள்களை விவரிக்கிறது-துகள்கள் அவை ஒரே புள்ளியில் இருக்கும்போது விரட்டுகின்றன அல்லது ஈர்க்கின்றன. உண்மையில், துகள்களின் எண்ணிக்கை வரையறுக்கப்படும்போது, இந்த குவாண்டம் புலம் கோட்பாடு லீப்-லினிகர் மாதிரிக்கு சமம். குவாண்டம் மற்றும் கிளாசிக்கல் 1டி நேரியல் அல்லாத ஷ்ரோடிங்கர் சமன்பாடுகள் இரண்டும் ஒருங்கிணைக்கக்கூடியவை. எல்லையற்ற வலிமை விரட்டலின் வரம்பு சிறப்பு ஆர்வமாக உள்ளது, இந்த விஷயத்தில் லீப்-லினிகர் மாதிரி டாங்க்ஸ்-கிரார்டியோ வாயுவாக மாறுகிறது (ஹார்ட்-கோர் போஸ் வாயு அல்லது ஊடுருவ முடியாத போஸ் வாயு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது). இந்த வரம்பில், போசான்கள், ஜோர்டான்-விக்னர் மாற்றத்தின் தொடர்ச்சியான பொதுமைப்படுத்தலாகும் மாறிகளின் மாற்றத்தின் மூலம், ஒரு பரிமாண ஒரு தொடர்பு இல்லாத சுழலற்ற ஃபெர்மியன்களின் அமைப்பாக மாற்றப்படலாம். நேரியல் அல்லாத ஷ்ரோடிங்கர் சமன்பாடு என்பது கின்ஸ்பர்க்-லாண்டாவ் சமன்பாட்டின் எளிமைப்படுத்தப்பட்ட 1 + 1 பரிமாண வடிவமாகும், இது 1950 ஆம் ஆண்டில் சூப்பர் கண்டக்டிவிட்டி குறித்த அவர்களின் பணியில் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது, மேலும் இது ஒளியியல் கற்றைகளைப் பற்றிய அவர்களின் ஆய்வில் வெளிப்படையாக எழுதப்பட்டது. பல பரிமாண பதிப்பு லாப்லாசியன் மூலம் இரண்டாவது இடஞ்சார்ந்த வழித்தோன்றலை மாற்றுகிறது. ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட பரிமாணங்களில், சமன்பாடு ஒருங்கிணைக்க முடியாதது, இது சரிவு மற்றும் அலை கொந்தளிப்பை அனுமதிக்கிறது. சமன்பாடு நேரியல் அல்லாத ஷ்ரோடிங்கர் சமன்பாடு என்பது ஒரு நேரியல் அல்லாத பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடாகும், இது கிளாசிக்கல் மற்றும் குவாண்டம் இயக்கவியலுக்குப் பொருந்தும். கிளாசிக்கல் சமன்பாடு கிளாசிக்கல் ஃபீல்ட் சமன்பாடு (பரிமாணமற்ற வடிவத்தில்): சிக்கலான புலத்திற்கு ± (x, t). இந்த சமன்பாடு பாய்சான் அடைப்புக்குறிகளுடன் ஹாமில்டோனியிலிருந்து எழுகிறது, அதன் நேரியல் எதிர்ப்பாளரைப் போலல்லாமல், இது ஒரு குவாண்டம் நிலையின் நேர பரிணாமத்தை ஒருபோதும் விவரிக்காது. எதிர்மறை κ கொண்ட வழக்கு கவனம் செலுத்துதல் என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் பிரகாசமான சாலிடான் தீர்வுகள் (விண்வெளியில் உள்ளூர்மயமாக்கப்பட்டு, முடிவிலியை நோக்கி இடஞ்சார்ந்த அட்டென்யுயேஷன் கொண்டிருப்பது) மற்றும் சுவாச தீர்வுகளை அனுமதிக்கிறது. (கீழே காண்க) காட்டப்பட்டுள்ளபடி, தலைகீழ் சிதறல் உருமாற்றத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் இதைத் தீர்க்க முடியும். மற்றொரு வழக்கு, κ பாசிட்டிவ் உடன், இருண்ட சாலிடான் தீர்வுகளைக் கொண்ட டிஃபோகசிங் என்எல்எஸ் ஆகும் (முடிவிலியில் நிலையான வீச்சு மற்றும் வீச்சில் ஒரு உள்ளூர் இடஞ்சார்ந்த சரிவு). குவாண்டம் இயக்கவியல் அளவிடப்பட்ட பதிப்பைப் பெற, பாய்சான் அடைப்புக்குறிகளை கம்யூட்டேட்டர்கள் மற்றும் சாதாரண வரிசையில் ஹாமில்டோனியன் மூலம் மாற்றவும் குவாண்டம் பதிப்பு பெத்தே அன்சாட்ஸால் லீப் மற்றும் லினிகர் மூலம் தீர்க்கப்பட்டது. வெப்ப இயக்கவியல் சென்-நிங் யாங் என்பவரால் விவரிக்கப்பட்டது. குவாண்டம் தொடர்பு செயல்பாடுகளும் 1993 இல் கோரேபினால் மதிப்பீடு செய்யப்பட்டன. இந்த மாதிரியில் உயர்ந்த பாதுகாப்புச் சட்டங்கள் உள்ளன-1989 ஆம் ஆண்டில் டேவிஸ் மற்றும் கோரேபின் உள்ளூர் துறைகளின் அடிப்படையில் அவற்றை வெளிப்படுத்தினர். சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது நேரியல் அல்லாத ஷ்ரோடிங்கர் சமன்பாடு 1d இல் ஒருங்கிணைக்கப்படுகிறதுஃ தலைகீழ் சிதறல் உருமாற்றத்துடன் அதை தீர்க்கிறது. சமன்பாடுகளின் தொடர்புடைய நேரியல் அமைப்பு ஜாகரோவ்-ஷபாத் அமைப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறதுஃ இங்கு ஜாகரோவ்-ஷபாத் அமைப்பின் பொருந்தக்கூடிய நிபந்தனையாக நேரியல் அல்லாத ஷ்ரோடிங்கர் சமன்பாடு எழுகிறதுஃ q = r * அல்லது q = − r * ஐ அமைப்பதன் மூலம் கவர்ச்சிகரமான அல்லது விரட்டும் தொடர்புடன் நேரியல் அல்லாத ஷ்ரோடிங்கர் சமன்பாடு பெறப்படுகிறது. ஒரு மாற்று அணுகுமுறை ஜாகரோவ்-ஷபாத் அமைப்பை நேரடியாகப் பயன்படுத்துகிறது மற்றும் பின்வரும் டார்போக்ஸ் மாற்றத்தைப் பயன்படுத்துகிறதுஃ இது அமைப்பை மாறாமல் விடுகிறது. இங்கே, φ என்பது ஜாகரோவ்-ஷபாத் அமைப்பின் மற்றொரு தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸ் தீர்வாகும் (φ இலிருந்து வேறுபட்டது) ஸ்பெக்ட்ரல் அளவுரு ω உடன்ஃ U = 0 என்ற அற்பமான தீர்விலிருந்து தொடங்கி, மீண்டும் மீண்டும், n சாலிட்டான்களுடன் தீர்வுகளைப் பெறுகிறது. என்எல்எஸ் சமன்பாடு என்பது மொத்த-பிடாவ்ஸ்கி சமன்பாட்டைப் போன்ற ஒரு பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடாகும். வழக்கமாக இது பகுப்பாய்வு தீர்வைக் கொண்டிருக்கவில்லை மற்றும் மொத்த-பிடாவ்ஸ்கி சமன்பாட்டைத் தீர்க்கப் பயன்படுத்தப்படும் பிளவு-படி கிரான்க்-நிக்கோல்சன் மற்றும் ஃபோரியர் ஸ்பெக்ட்ரல் முறைகள் போன்ற அதே எண் முறைகள் அதன் தீர்வுக்கு பயன்படுத்தப்படுகின்றன. அதன் தீர்வுக்கு வெவ்வேறு ஃபோர்ட்ரான் மற்றும் சி நிரல்கள் உள்ளன. கலிலிய மாறிலி அல்லாத ஷ்ரோடிங்கர் சமன்பாடு பின்வரும் அர்த்தத்தில் கலிலிய மாறிலி அல்லஃ ஒரு தீர்வு கொடுக்கப்பட்டால், x ஐ x (x, t) இல் எல்லா இடங்களிலும் x + vt உடன் மாற்றுவதன் மூலமும், ஒரு கட்டக் காரணியைச் சேர்ப்பதன் மூலமும் ஒரு புதிய தீர்வை பெற முடியும்ஃ ஃபைபர் ஒளியியலில் நேரியல் அல்லாத ஷ்ரோடிங்கர் சமன்பாடு ஒளியியலில், நேரியல் அல்லாத ஷ்ரோடிங்கர் சமன்பாடு ஃபைபர் ஒளியியலில் அலை பரவலின் மாதிரியான மனகோவ் அமைப்பில் நிகழ்கிறது. செயல்பாடு si ஒரு அலைகளைக் குறிக்கிறது மற்றும் நேரியல் அல்லாத ஷ்ரோடிங்கர் சமன்பாடு ஒரு நேரியல் அல்லாத ஊடகத்தின் மூலம் அலைகளின் பரவலை விவரிக்கிறது. இரண்டாவது வரிசை வழித்தோன்றல் சிதறலைக் குறிக்கிறது, அதே நேரத்தில் κ சொல் நேரியல் அல்லாததைக் குறிக்கிறது. சுய-கட்ட பண்பேற்றம், நான்கு-அலை கலவை, இரண்டாவது-ஹார்மோனிக் தலைமுறை, தூண்டப்பட்ட ராமன் சிதறல், ஒளியியல் சாலிட்டான்கள், அல்ட்ராஷார்ட் துடிப்புகள் போன்றவை உட்பட ஒரு இழையில் பல நேரியல் அல்லாத விளைவுகளை சமன்பாடு மாதிரிகள் உருவாக்குகின்றன. நீர் அலைகளில் உள்ள நேரியல் அல்லாத ஷ்ரோடிங்கர் சமன்பாடு நீர் அலைகளுக்கு, நேரியல் அல்லாத ஷ்ரோடிங்கர் சமன்பாடு பண்பேற்றப்பட்ட அலைக் குழுக்களின் உறையின் பரிணாமத்தை விவரிக்கிறது. 1968 ஆம் ஆண்டில் ஒரு கட்டுரையில், விளாடிமிர் ஈ. ஜாகரோவ் நீர் அலைகளின் ஹாமில்டோனியன் கட்டமைப்பை விவரிக்கிறார். அதே ஆய்வறிக்கையில் ஜாகரோவ், மெதுவாக மாற்றியமைக்கப்பட்ட அலைக் குழுக்களுக்கு, அலை வீச்சு தோராயமாக நேரியல் அல்லாத ஷ்ரோடிங்கர் சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்துகிறது என்பதைக் காட்டுகிறது. நேரியல் அல்லாத அளவுரு k இன் மதிப்பு தொடர்புடைய நீர் ஆழத்தைப் பொறுத்தது. ஆழமான நீரைப் பொறுத்தவரை, நீர் அலைகளின் அலை நீளத்துடன் ஒப்பிடும்போது நீரின் ஆழம் பெரியதாக இருப்பதால், k எதிர்மறையாக உள்ளது மற்றும் உறை சாலிட்டான்கள் ஏற்படலாம். கூடுதலாக, வெளிப்புற நேரத்தை சார்ந்த நீர் ஓட்டத்தால் தூண்டப்பட்ட முடுக்கம் மூலம் இந்த உறை சாலிட்டான்களின் குழு வேகத்தை அதிகரிக்க முடியும். ஆழமற்ற நீரைப் பொறுத்தவரை, நீரின் ஆழத்தை விட 4.6 மடங்கு அதிக அலைநீளத்துடன், நேரியல் அல்லாத அளவுரு k நேர்மறை மற்றும் உறை சாலிட்டான்கள் கொண்ட அலைக் குழுக்கள் இல்லை. ஆழமற்ற நீரில் மேற்பரப்பு-உயர சாலிட்டான்கள் அல்லது மொழிபெயர்ப்பு அலைகள் உள்ளன, ஆனால் அவை நேரியல் அல்லாத ஷ்ரோடிங்கர் சமன்பாட்டால் நிர்வகிக்கப்படுவதில்லை. முரட்டு அலைகளின் உருவாக்கத்தை விளக்குவதற்கு நேரியல் அல்லாத ஷ்ரோடிங்கர் சமன்பாடு முக்கியமானது என்று கருதப்படுகிறது. சிக்கலான புலம், நேரியல் அல்லாத ஷ்ரோடிங்கர் சமன்பாட்டில் தோன்றுவது போல, நீர் அலைகளின் வீச்சு மற்றும் கட்டத்துடன் தொடர்புடையது. வடிவத்தின் நீர் மேற்பரப்பு உயரம் η உடன் மெதுவாக மாற்றியமைக்கப்பட்ட கேரியர் அலைகளைக் கவனியுங்கள்ஃ இங்கு a (x0, t0) மற்றும் θ (x0, t0) மெதுவாக மாற்றியமைக்கப்பட்ட வீச்சு மற்றும் கட்டமாகும். மேலும் ω0 மற்றும் k0 ஆகியவை (நிலையான) கோண அதிர்வெண் மற்றும் கேரியர் அலைகளின் அலைவரிசை ஆகும், அவை சிதறல் உறவை ω0 = ω (k0) பூர்த்தி செய்ய வேண்டும். எனவே அதன் மாடுலஸ் |ψ | என்பது அலை வீச்சு a, மற்றும் அதன் வாதம் arg (si) என்பது கட்டம் θ ஆகும். மேலே கொடுக்கப்பட்டுள்ள நேரியல் அல்லாத ஷ்ரோடிங்கர் சமன்பாட்டில் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளபடி, இயற்பியல் ஆயத்தொகுதிகள் (x0, t0) மற்றும் (x, t) ஆயத்தொகுதிகளுக்கு இடையிலான உறவு பின்வருமாறு வழங்கப்படுகிறதுஃ எனவே (x, t) என்பது கேரியர் அலைகளின் குழு திசைவேகத்துடன் (k0) நகரும் ஒரு மாற்றப்பட்ட ஆயத்தொகுப்பு அமைப்பாகும், சிதறல்-உறவு வளைவு ω "(k0)-குழு திசைவேக சிதறலைக் குறிக்கும்-எப்போதும் ஈர்ப்பு செயல்பாட்டின் கீழ் உள்ள நீர் அலைகளுக்கு எதிர்மறையாக இருக்கும், எந்த நீர் ஆழத்திற்கும். ஆழமான நீரின் மேற்பரப்பில் உள்ள அலைகளைப் பொறுத்தவரை, நேரியல் அல்லாத ஷ்ரோடிங்கர் சமன்பாட்டிற்கான முக்கிய குணகங்கள் பின்வருமாறுஃ எனவே g என்பது பூமியின் மேற்பரப்பில் ஈர்ப்பு விசை காரணமாக ஏற்படும் முடுக்கம். அசல் (x0, t0) இல் நீர் அலைகளுக்கான நேரியல் அல்லாத ஷ்ரோடிங்கர் சமன்பாடு பின்வருமாறு ஒருங்கிணைக்கிறதுஃ சிக்கலான இணைவு) மற்றும் எனவே ஆழமான நீர் அலைகளுக்கு. கேஜ் ஈக்குவேலன்ட் எதிர்ப்பொருள் என்எல்எஸ்இ (1) என்பது பின்வரும் ஐசோட்ரோபிக் லாண்டாவ்-லிஃப்ஷிட்ஸ் சமன்பாடு (எல்எல்இ) அல்லது ஹைசன்பெர்க் ஃபெரோமேக்னெட் சமன்பாட்டிற்கு சமமான அளவீடு ஆகும், இந்த சமன்பாடு இஷிமோரி சமன்பாடு போன்ற 2 + 1 பரிமாணங்களில் பல ஒருங்கிணைந்த மற்றும் ஒருங்கிணைக்க முடியாத பொதுமைப்படுத்தல்களை ஏற்றுக்கொள்கிறது என்பதை நினைவில் கொள்க. பூஜ்ஜிய வளைவு உருவாக்கம் என்எல்எஸ்இ என்பது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் ஒரு குறிப்பிட்ட இணைப்பின் வளைவுக்கு சமம். தெளிவாக, ஆயத்தொகுப்புகளுடன், இணைப்பு கூறுகள் பாலி மேட்ரிக்ஸ்கள் இருக்கும் இடத்தால் வழங்கப்படுகின்றன. பின்னர் பூஜ்ஜிய வளைவு சமன்பாடு என்எல்எஸ்இக்கு சமம். பூஜ்ஜிய வளைவு சமன்பாடு வரையறுக்கப்பட்டால் அது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமான வளைவுக்கு ஒத்திருப்பதால் பெயரிடப்பட்டுள்ளது. பூஜ்ஜிய வளைவு சமன்பாடு லக்ஸ் சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்துவதை விட PDE ஐ மீட்டெடுக்கிறது என்ற பொருளில், மெட்ரிக்ஸ்கள் ஜோடி மற்றும் என்எல்எஸ்இக்கு ஒரு லக்ஸ் ஜோடி என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன. சுழல்களுடனான உறவு சுழல் இழைகளின் வேலை நேரியல் அல்லாத ஷ்ரோடிங்கர் சமன்பாட்டுடன் நெருக்கமாக தொடர்புடையது என்பதைக் காட்டுகிறது. அதைத் தொடர்ந்து, ஒரு சுழல் இழைக்கு சுவாசத் தீர்வுகளும் ஏற்படலாம் என்பதைக் காட்ட இந்த கடிதத்தைப் பயன்படுத்தினார். குவாண்டம் புலக் கோட்பாட்டில் தொடர்புடைய மாதிரிக்கான ஏ. கே. என். எஸ் அமைப்பு எக்காஸ் சமன்பாடு குவார்டிக் தொடர்பையும் பார்க்கவும் சாலிடான் (ஒளியியல்) லோகரிதமிக் ஷ்ரோடிங்கர் சமன்பாடு குறிப்புகள் குறிப்புகள் குறிப்புகள் பிற வெளிப்புற இணைப்புகள் நேரியல் அல்லாத ஷ்ரோடிங்கர் சமன்பாடு (வீடியோ) குறித்த பயிற்சி விரிவுரை. ஈக்யூ வேர்ல்டில் ஒரு கியூபிக் நான்லீனியாரிட்டியுடன் நான்லீனியர் ஷ்ரோடிங்கர் சமன்பாடுஃ கணித சமன்பாடுகளின் உலகம். ஈக்யூ வேர்ல்டில் ஒரு பவர்-லா நான்லீனியாரிட்டியுடன் நான்லீனியர் ஷ்ரோடிங்கர் சமன்பாடுஃ கணித சமன்பாடுகளின் உலகம். ஈக்யூ வேர்ல்டில் பொது வடிவத்தின் நேரியல் அல்லாத ஷ்ரோடிங்கர் சமன்பாடுஃ கணித சமன்பாடுகளின் உலகம். சிதறல் விக்கியில் நேரியல் அல்லாத ஷ்ரோடிங்கர் சமன்பாட்டின் கணித அம்சங்கள் பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகள் சரியாக தீர்க்கக்கூடிய மாதிரிகள் ஷ்ரோடிங்கர் சமன்பாடு ஒருங்கிணைந்த அமைப்புகள்