Stationary phase approximation
கணிதத்தில், நிலையான கட்ட தோராயமானது அறிகுறியற்ற பகுப்பாய்வின் ஒரு அடிப்படை கொள்கையாகும், இது வேகமாக மாறிவரும் சிக்கலான அதிவேகத்திற்கு எதிராக ஒருங்கிணைப்பதன் மூலம் வழங்கப்படும் செயல்பாடுகளுக்கு பொருந்தும். இந்த முறை 19 ஆம் நூற்றாண்டில் இருந்து தோன்றியது, இது ஜார்ஜ் கேப்ரியல் ஸ்டோக்ஸ் மற்றும் லார்ட் கெல்வின் காரணமாகும். இது லாப்லேஸின் முறை மற்றும் செங்குத்தான இறங்கு முறையுடன் நெருக்கமாக தொடர்புடையது, ஆனால் லாப்லேஸின் பங்களிப்பு மற்றவர்களுக்கு முன்னால் உள்ளது. அடிப்படைகள் நிலையான கட்ட முறைகளின் முக்கிய யோசனை வேகமாக மாறிவரும் கட்டத்துடன் சைனுசாய்டுகளை ரத்து செய்வதை நம்பியுள்ளது. பல சைனுசாய்டுகள் ஒரே கட்டத்தைக் கொண்டிருந்தால், அவை ஒன்றாகச் சேர்க்கப்பட்டால், அவை ஆக்கபூர்வமாக சேர்க்கப்படும். இருப்பினும், அதே சைனூசாய்டுகள் அதிர்வெண் மாறும்போது விரைவாக மாறும் கட்டங்களைக் கொண்டிருந்தால், அவை ஒத்திசைவற்ற முறையில் சேர்க்கப்படும், வெவ்வேறு நேரங்களில் ஆக்கபூர்வமான மற்றும் அழிவுகரமான கூட்டலுக்கு இடையில் மாறுபடும். ஃபார்முலா லெட்டிங் என்பது செயல்பாட்டின் முக்கியமான புள்ளிகளின் தொகுப்பைக் குறிக்கிறது (அதாவது. புள்ளிகள் எங்கே), சுருக்கமாக ஆதரிக்கப்படுகிறது அல்லது அதிவேக சிதைவைக் கொண்டுள்ளது என்ற அனுமானத்தின் கீழ், மற்றும் அனைத்து முக்கியமான புள்ளிகளும் உருவாக்கப்படாதவை (அதாவது. for) நம்மிடம் பின்வரும் அறிகுறியற்ற சூத்திரம் உள்ளது, இது பின்வருமாறுஃ இங்கே ஹெஸியன் குறிக்கிறது, மேலும் ஹெஸியன் கையொப்பத்தைக் குறிக்கிறது, அதாவது. நேர்மறை ஐகென் மதிப்புகளின் எண்ணிக்கை கழித்தல் எதிர்மறை ஐகென் மதிப்புகளின் எண்ணிக்கை. ஏனெனில், இது பின்வருமாறு குறைகிறதுஃ இந்த விஷயத்தில் அனைத்து முக்கியமான புள்ளிகளும் சிதைக்கப்படாதவை என்ற அனுமானங்கள் குறைகின்றன. இது செங்குத்தான இறங்கு முறைக்கான சூத்திரத்தின் விக்-சுழற்றப்பட்ட பதிப்பாகும். ஒரு எடுத்துக்காட்டு ஒரு செயல்பாட்டைக் கவனியுங்கள். இந்த செயல்பாட்டில் உள்ள கட்டச் சொல்,, எப்போது அல்லது அதற்கு சமமாக நிலையாக இருக்கும். இந்த சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகள் சிலருக்கு மேலாதிக்க அதிர்வெண்களைத் தருகின்றன. நாம் ஒரு டெய்லர் தொடராக விரிவுபடுத்தி, அதை விட உயர்ந்த வரிசையின் விதிமுறைகளை புறக்கணித்தால், அதன் இரண்டாவது வழித்தோன்றலைக் குறிக்கும் இடம் எங்குள்ளது. ஒப்பீட்டளவில் பெரியதாக இருக்கும்போது, ஒரு சிறிய வேறுபாடு கூட ஒருங்கிணைப்புக்குள் விரைவான அலைவுகளை உருவாக்கும், இது ரத்து செய்யப்படுவதற்கு வழிவகுக்கும். எனவே டெய்லர் விரிவாக்கத்திற்கான வரம்பிற்கு அப்பால் ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகளை நாம் நீட்டிக்க முடியும். நாம் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தினால்,. . இது ஒருங்கிணைக்கிறது. குறைப்பு படிகள் சம்பந்தப்பட்ட கொள்கையின் முதல் முக்கிய பொதுவான கூற்று என்னவென்றால், I (k) இன் அறிகுறியற்ற நடத்தை f இன் முக்கியமான புள்ளிகளை மட்டுமே சார்ந்துள்ளது. g ஐத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம் ஒருங்கிணைப்பு f க்கு முக்கியமான புள்ளி இல்லாத இடத்தின் ஒரு பகுதிக்கு உள்ளூர்மயமாக்கப்பட்டால், இதன் விளைவாக வரும் ஒருங்கிணைப்பு 0 ஆக இருக்கும், ஏனெனில் அலைவுகளின் அதிர்வெண் முடிவிலிக்கு கொண்டு செல்லப்படுகிறது. உதாரணத்திற்கு ரீமன்-லெபெஸ்க்யூ லெம்மாவைப் பார்க்கவும். இரண்டாவது கூற்று என்னவென்றால், f ஒரு மோர்ஸ் செயல்பாடாக இருக்கும்போது, f இன் ஒருமை புள்ளிகள் சிதைக்கப்படாதவை மற்றும் தனிமைப்படுத்தப்பட்டவை, பின்னர் கேள்வியை n = 1 என்ற வழக்குக்கு குறைக்கலாம். உண்மையில், பின்னர், ஒருங்கிணைப்பை ஒவ்வொன்றிலும் ஒரு முக்கியமான புள்ளி P உடன் நிகழ்வுகளாகப் பிரிக்க g ஐத் தேர்வு செய்யலாம். அந்த நேரத்தில், P இல் உள்ள ஹெஸியன் தீர்மானிப்பவர் 0 அல்ல என்ற அனுமானத்தால், மோர்ஸ் லெம்மா பொருந்தும். ஒருங்கிணைப்புகளின் மாற்றத்தால் f ஐ மாற்றலாம். J இன் மதிப்பு P இல் f இன் ஹெஸியன் மேட்ரிக்ஸின் கையொப்பத்தால் வழங்கப்படுகிறது. g ஐப் பொறுத்தவரை, அத்தியாவசிய வழக்கு என்னவென்றால், g என்பது xi இன் பம்ப் செயல்பாடுகளின் பெருக்கல் ஆகும். இப்போது P தான் தோற்றம் என்று பொதுத்தன்மையை இழக்காமல் கருதினால், இடைவெளியில் மதிப்பு 1 உடன் ஒரு மென்மையான பம்ப் செயல்பாட்டை எடுத்து, அதற்கு வெளியே 0 க்கு விரைவாகச் செல்லுங்கள். எடுத்துக் கொள்ளுங்கள், பின்னர் ஃபுபினியின் தேற்றம் I (k) ஐ f (x) = ±x2 போன்ற உண்மையான கோட்டின் மீது உள்ள ஒருங்கிணைப்புகளின் பெருக்கலாகக் குறைக்கிறது. கழித்தல் குறியீட்டைக் கொண்ட வழக்கு கூட்டல் அடையாளத்துடன் வழக்கின் சிக்கலான இணைப்பாகும், எனவே அடிப்படையில் ஒரு அறிகுறியற்ற மதிப்பீடு தேவைப்படுகிறது. இந்த வழியில் மோர்ஸ் செயல்பாடுகளுக்கான அலைவு ஒருங்கிணைப்புகளுக்கு அறிகுறியற்ற தன்மையைக் காணலாம். சீரழிந்த வழக்கில் மேலும் நுட்பங்கள் தேவைப்படுகின்றன (எடுத்துக்காட்டாக ஏர் செயல்பாட்டைப் பார்க்கவும்). ஒரு பரிமாண வழக்கு அத்தியாவசிய அறிக்கை இதுஃ உண்மையில் விளிம்பு ஒருங்கிணைப்பு மூலம் சமன்பாட்டின் வலது புறத்தில் உள்ள முக்கிய சொல் இடது புறத்தில் உள்ள ஒருங்கிணைப்பின் மதிப்பு, வரம்பிற்கு மேல் நீட்டிக்கப்பட்டுள்ளது என்பதைக் காட்டலாம் (ஒரு ஆதாரத்திற்கு ஃப்ரெஸ்னல் ஒருங்கிணைப்பைப் பார்க்கவும்). எனவே ஒருங்கிணைந்த அளவை மதிப்பிடுவது பற்றிய கேள்வி இது, சொல்லுங்கள். இது அனைத்து ஒரு பரிமாண ஒருங்கிணைப்புகளுக்கான மாதிரியாகும், இது இரண்டாவது வழித்தோன்றலைக் கொண்ட ஒற்றை சிதைவு அல்லாத முக்கியமான புள்ளியைக் கொண்டுள்ளது. உண்மையில் மாதிரி வழக்கில் 0 இல் இரண்டாவது வழித்தோன்றல் 2 உள்ளது. பயன்படுத்தி அளவிடுவதற்கு, எங்கே மாறிலி என்பதை மாற்றுவது ஸ்கேலிங் மூலம் சமம் என்பதைக் கவனியுங்கள். இது பொதுவான மதிப்புகளுக்கு, காரணி ஆகிறது என்பதைப் பின்பற்றுகிறது. முன்பு குறிப்பிட்டபடி, ஒருவர் சிக்கலான இணை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறார். கீழ்-வரிசை சொற்கள் சூத்திரத்திலிருந்து காணக்கூடியது போல, நிலையான கட்ட தோராயமானது ஒருங்கிணைப்பின் அறிகுறியற்ற நடத்தையின் முதல்-வரிசை தோராயமாகும். கீழ்-வரிசை சொற்களை பல்வேறு எடைக் காரணிகளைக் கொண்ட ஃபைன்மேன் வரைபடங்களின் கூட்டுத்தொகையாகப் புரிந்து கொள்ள முடியும், ஏனெனில் அவை நன்றாக நடந்து கொண்டன. குவாண்டம் புலக் கோட்பாட்டில் உள்ள பொதுவான ஒருங்கிணைப்புகளைப் பார்க்கவும் லாப்லேஸின் செங்குத்தான வம்சாவளியின் முறை குறிப்புகள் குறிப்புகள் ப்ளீஸ்டின், என். மற்றும் ஹேண்டல்ஸ்மேன், ஆர். (1975), ஒருங்கிணைப்புகளின் அறிகுறியற்ற விரிவாக்கங்கள், டோவர், நியூயார்க். விக்டர் கில்லெமின் மற்றும் ஷ்லோமோ ஸ்டெர்ன்பெர்க் (1990), வடிவியல் அறிகுறிகள், (அத்தியாயம் 1 ஐப் பார்க்கவும்). . அகி, கெயிட்டி; & ரிச்சர்ட்ஸ், பால் ஜி. (2002). "அளவு நில அதிர்வு" (2வது பதிப்பு. ), pp 255-256. பல்கலைக்கழக அறிவியல் புத்தகங்கள், வோங், ஆர். (2001), ஒருங்கிணைப்புகளின் அறிகுறியற்ற தோராயங்கள், பயன்பாட்டு கணிதத்தில் கிளாசிக்ஸ், தொகுதி. 34 ஆகும். 1989 ஆம் ஆண்டின் அசலின் திருத்தப்பட்ட மறுபதிப்பு. தொழில்துறை மற்றும் பயன்பாட்டு கணிதத்திற்கான சங்கம் (SIAM), பிலடெல்பியா, PA. xviii + 543 பக்கங்கள், டையுடோன், ஜே. (1980), கால்குல் இன்ஃபினிட்டிசிமல், ஹெர்மன், பாரிஸ் வெளிப்புற இணைப்புகள் கணித பகுப்பாய்வு இடையூறு கோட்பாடு