Ultraparallel theorem
ஹைபர்போலிக் வடிவவியலில், இரண்டு கோடுகள் வெட்டப்படாமலும், இணையாக கட்டுப்படுத்தப்படாமலும் இருந்தால் அவை மிகவும் இணையாக இருக்கும் என்று கூறப்படுகிறது. அல்ட்ரா பேரலல் தேற்றம் ஒவ்வொரு ஜோடி (தனித்துவமான) அல்ட்ரா பேரலல் கோடுகளும் ஒரு தனித்துவமான பொதுவான செங்குத்தாக (இரண்டு கோடுகளுக்கும் செங்குத்தாக இருக்கும் ஒரு ஹைபர்போலிக் கோடு) இருப்பதாகக் கூறுகிறது. ஹில்பர்ட்டின் கட்டுமானம் r மற்றும் s இரண்டு மிக இணையான கோடுகளாக இருக்கட்டும். எந்த இரண்டு தனித்துவமான புள்ளிகளிலிருந்தும் A மற்றும் C s இல் AB மற்றும் CB 'r க்கு செங்குத்தாகவும், B மற்றும் B' r இல் வரையவும். அது AB = CB 'ஆக இருந்தால், விரும்பிய பொதுவான செங்குத்தானது AC மற்றும் BB' இன் நடு புள்ளிகளுடன் இணைகிறது (சாச்சேரி நாற்கர ACB 'B இன் சமச்சீர் மூலம்). இல்லையென்றால், பொதுத்தன்மையை இழக்காமல் ஏபி <சிபி 'என்று நாம் கருதலாம். C இலிருந்து A இன் எதிர் பக்கத்தில் உள்ள கோடு s இல் E ஒரு புள்ளியாக இருக்கட்டும். CB இல் A 'ஐ எடுத்துக் கொள்ளுங்கள், இதனால் A' B '= AB. 'A' வழியாக ஒரு கோடு s '(A' E ') ஐ E க்கு அருகில் வரையவும், இதனால் கோணம் B' A 'E' கோணம் BAE கோணத்திற்கு சமமாக இருக்கும். பின்னர் s 'ஒரு சாதாரண புள்ளி D' இல் s ஐ சந்திக்கிறது. கதிர் AE மீது ஒரு புள்ளி D ஐ உருவாக்குங்கள், இதனால் AD = A 'D'. பின்னர் D '§ D. அவை r இலிருந்து ஒரே தூரம் மற்றும் இரண்டும் s இல் உள்ளன. எனவே D' D இன் செங்குத்தான இருபுறமும் (s இன் ஒரு பிரிவு) r க்கு செங்குத்தாக உள்ளது. (r மற்றும் s அதி இணையாக இருப்பதை விட அறிகுறியற்ற இணையாக இருந்தால், இந்த கட்டுமானம் தோல்வியடையும், ஏனெனில் s 's ஐ சந்திக்காது. மாறாக s' s மற்றும் r இரண்டிற்கும் அறிகுறியற்ற இணையாக இருக்கும்.) பாயின்கேர் அரை தள மாதிரியில் உள்ள சான்று கார்ட்டீசியன் தளத்தின் அப்சிஸாவில் நான்கு தனித்துவமான புள்ளிகளாக இருக்கட்டும். அப்சிஸாவுக்கு மேலே அரை வட்டமாக விட்டம் மற்றும் முறையே இருக்கட்டும். பின்னர் பாயின்கேர் அரை-பிளேன் மாடல் HP இல், மற்றும் அல்ட்ரா இணையான கோடுகளைக் குறிக்கிறது. பின்வரும் இரண்டு ஹைபர்போலிக் இயக்கங்களை உருவாக்கவும்ஃ இப்போது இந்த இரண்டு ஹைபர்போலிக் இயக்கங்களுடன் தொடரவும்ஃ பின்னர்,,, (சொல்லுங்கள்) இல் உள்ளது. தனித்துவமான அரை வட்டமானது, தோற்றத்தில் மையத்துடன், ஒன்றுக்கு செங்குத்தாக மற்றொன்றின் ஆரத்திற்கு ஒரு ஆரம் தொடுகோடு இருக்க வேண்டும். அப்சிஸா மற்றும் செங்குத்தான ஆரங்களால் உருவாக்கப்பட்ட வலது முக்கோணம் நீளத்தின் ஹைபோடென்யூஸைக் கொண்டுள்ளது. மேலே உற்பத்தி செய்யப்படும் நான்கு ஹைபர்போலிக் இயக்கங்கள் ஒவ்வொன்றும் தலைகீழாக மாற்றப்பட்டு, தோற்றம் மற்றும் ஆரத்தை மையமாகக் கொண்ட அரை வட்டத்திற்கு தலைகீழ் வரிசையில் பயன்படுத்தப்படலாம், இதனால் தனித்துவமான ஹைபர்போலிக் கோடு இரண்டிற்கும் செங்குத்தாக கிடைக்கும். பெல்ட்ராமி-க்ளீன் மாதிரியில் உள்ள சான்று ஹைபர்போலிக் வடிவவியலின் பெல்ட்ராமி-க்ளீன் மாதிரியில்ஃ இரண்டு அல்ட்ரா இணையான கோடுகள் இரண்டு பிரிக்கப்படாத வளையங்களுடன் ஒத்திருக்கின்றன. இந்த இரண்டு கோடுகளின் துருவங்கள் வளையங்களின் இறுதிப் புள்ளிகளில் எல்லை வட்டத்திற்கு தொடுகோட்டு கோடுகளின் அந்தந்த குறுக்குவெட்டுகளாகும். கோடு l க்கு செங்குத்தாக உள்ள கோடுகள் வளையங்களால் வடிவமைக்கப்படுகின்றன, அவற்றின் நீட்டிப்பு l இன் துருவத்தின் வழியாக செல்கிறது. எனவே கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு கோடுகளின் துருவங்களுக்கு இடையில் தனித்துவமான கோட்டை வரைந்து, அதை எல்லை வட்டத்துடன் வெட்டுகிறோம்; குறுக்குவெட்டின் நாணல் அல்ட்ரா இணையான கோடுகளின் விரும்பிய பொதுவான செங்குத்தாக இருக்கும். வளையங்களில் ஒன்று விட்டம் கொண்டதாக இருந்தால், நம்மிடம் ஒரு கம்பம் இல்லை, ஆனால் இந்த விஷயத்தில் விட்டத்திற்கு செங்குத்தாக இருக்கும் எந்த வளையமும் பெல்ட்ராமி-க்ளீன் மாதிரியில் செங்குத்தாக உள்ளது, எனவே நாம் ஒரு கோட்டை வரைகிறோம். இந்த கட்டுமானம் எப்போதும் சாத்தியம் என்பதைக் காண்பிப்பதன் மூலம் ஆதாரம் முடிக்கப்படுகிறதுஃ இரண்டு வளையங்களும் விட்டம் இருந்தால், அவை வெட்டுகின்றன. (எல்லை வட்டத்தின் மையத்தில்) வளையங்களில் ஒன்று மட்டுமே விட்டம் கொண்டதாக இருந்தால், மற்ற வளையம் அதன் உட்புறத்தில் உள்ள முதல் வளையத்தின் ஒரு பகுதிக்கு செங்குத்தாக கீழே செல்கிறது, மேலும் துருவத்திலிருந்து செங்குத்தான விட்டம் வரை ஒரு கோடு விட்டம் மற்றும் வளையத்தை வெட்டுகிறது. இரண்டு கோடுகளும் விட்டம் கொண்டவை அல்ல என்றால், ஒவ்வொரு துருவத்திலிருந்தும் வரையப்பட்ட தொடுகோடுகளை விரிவுபடுத்தி, அதற்குள் பொறிக்கப்பட்ட அலகு வட்டத்துடன் ஒரு நாற்கரத்தை உருவாக்கலாம். துருவங்கள் இந்த நாற்கரத்தின் எதிர் செங்குத்துகளாக உள்ளன, மேலும் வளையங்கள் உச்சியின் அருகிலுள்ள பக்கங்களுக்கு இடையில், எதிர் மூலைகளில் வரையப்பட்ட கோடுகள் ஆகும். நாற்கரமானது குவிந்திருப்பதால், துருவங்களுக்கு இடையிலான கோடு மூலைகளில் வரையப்பட்ட இரு வளையங்களையும் வெட்டுகிறது, மேலும் வளையங்களுக்கு இடையிலான கோட்டின் பிரிவு மற்ற இரண்டு வளையங்களுக்கு செங்குத்தாக தேவையான வளையத்தை வரையறுக்கிறது. மாற்றாக, அல்ட்ரா-பேரலல் கோடுகளின் பொதுவான செங்குத்தை நாம் பின்வருமாறு கட்டமைக்கலாம்ஃ பெல்ட்ராமி-க்ளீன் மாதிரியில் உள்ள அல்ட்ரா-பேரலல் கோடுகள் இரண்டு பிரிக்கப்படாத வளையங்களாகும். ஆனால் அவை உண்மையில் வட்டத்திற்கு வெளியே வெட்டுகின்றன. குறுக்குவெட்டு புள்ளியின் துருவமானது விரும்பிய பொதுவான செங்குத்தாகும். குறிப்புகள் கரோல் போர்சுக் & வாண்டா ஸ்ஸ்மிலெவ் (1960) புவியியலின் அடித்தளங்கள், பக்கம் 291. சான்றுகளைக் கொண்ட கட்டுரைகள் ஹைபர்போலிக் வடிவியல் கோட்பாடுகள் வடிவவியலில்