Band matrix
கணிதத்தில், குறிப்பாக மேட்ரிக்ஸ் கோட்பாட்டில், ஒரு பேண்ட் மேட்ரிக்ஸ் அல்லது பேண்டட் மேட்ரிக்ஸ் என்பது ஒரு சிறிய மேட்ரிக்ஸ் ஆகும், அதன் பூஜ்ஜியமற்ற உள்ளீடுகள் ஒரு மூலைவிட்ட பட்டையுடன் மட்டுப்படுத்தப்பட்டுள்ளன, இதில் முக்கிய மூலைவிட்டம் மற்றும் இருபுறமும் பூஜ்ஜியம் அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட மூலைவிட்டங்கள் உள்ளன. பேண்ட் மேட்ரிக்ஸ் அலைவரிசை முறைப்படி, ஒரு n × n மேட்ரிக்ஸ் A = (ஏஆஇ, ஜே) ஐக் கவனியுங்கள். அனைத்து மேட்ரிக்ஸ் உறுப்புகளும் ஒரு மூலைவிட்ட எல்லைப் பட்டைக்கு வெளியே பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், அதன் வரம்பு k1 மற்றும் k2 மாறிலிகளால் தீர்மானிக்கப்படுகிறதுஃ பின்னர் k1 மற்றும் k2 அளவுகள் முறையே மற்றும் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. மேட்ரிக்ஸின் அதிகபட்சம் k1 மற்றும் k2 ஆகும்; வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், இது k என்ற எண்ணாகும். எடுத்துக்காட்டுகள் k1 = k2 = 0 கொண்ட ஒரு பேண்ட் மேட்ரிக்ஸ் ஒரு மூலைவிட்ட மேட்ரிக்ஸ் ஆகும் k1 = k2 = 1 கொண்ட ஒரு பேண்ட் மேட்ரிக்ஸ் ஒரு முக்கோண மேட்ரிக்ஸ் ஆகும். முக்கோண மேட்ரிக்ஸ்கள் k1 = 0, k2 = n−1 க்கு, ஒருவர் மேல் முக்கோண மேட்ரிக்ஸின் வரையறையைப் பெறுகிறார், இதேபோல் k1 = n−1, k2 = 0 க்கு ஒருவர் குறைந்த முக்கோண மேட்ரிக்ஸைப் பெறுகிறார். அலைவரிசை குறைவாக இருக்கும்போது மேல் மற்றும் கீழ் ஹெஸன்பெர்க் மேட்ரிக்ஸ்கள் டோப்ளிட்ஸ் மேட்ரிக்ஸ்களை அளவிடுகின்றன. பிளாக் மூலைவிட்ட மேட்ரிக்ஸ்கள் ஷிப்ட் மேட்ரிக்ஸ்கள் மற்றும் ஷியர் மேட்ரிக்ஸ்கள் ஜோர்டனில் மேட்ரிக்ஸ்கள் இயல்பான வடிவம் ஒரு ஸ்கைலைன் மேட்ரிக்ஸ், இது "மாறி பேண்ட் மேட்ரிக்ஸ்" என்றும் அழைக்கப்படுகிறது, இது பேண்ட் மேட்ரிக்ஸின் பொதுமைப்படுத்தல் லெஹ்மர் மேட்ரிக்ஸ்களின் தலைகீழ்கள் நிலையான முக்கோண மேட்ரிக்ஸ்கள், எனவே அவை பேண்ட் மேட்ரிக்ஸ்கள். பயன்பாடுகள் எண் பகுப்பாய்வில், வரையறுக்கப்பட்ட உறுப்பு அல்லது வரையறுக்கப்பட்ட வேறுபாடு சிக்கல்களிலிருந்து வரும் மேட்ரிக்ஸ்கள் பெரும்பாலும் கட்டப்படுகின்றன. இத்தகைய மேட்ரிக்ஸ்களை சிக்கல் மாறிகளுக்கு இடையிலான இணைப்பின் விளக்கங்களாகக் காணலாம்; கட்டப்பட்ட பண்பு மாறிகள் தன்னிச்சையாக பெரிய தூரங்களில் இணைக்கப்படவில்லை என்ற உண்மையுடன் ஒத்திருக்கிறது. இத்தகைய மேட்ரிக்ஸ்களை மேலும் பிரிக்கலாம், எடுத்துக்காட்டாக, பேண்ட்டில் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பும் பூஜ்ஜியமற்றதாக இருக்கும் இடத்தில் பேண்டட் மேட்ரிக்ஸ்கள் உள்ளன. ஒரு பரிமாண சிக்கல்களை விவரிக்கும் போது இவை பெரும்பாலும் எழுகின்றன. அதிக பரிமாணங்களில் உள்ள சிக்கல்களும் பேண்டட் மெட்ரிக்குகளுக்கு வழிவகுக்கின்றன, இந்த விஷயத்தில் பேண்ட்டும் குறைவாகவே இருக்கும். உதாரணமாக, ஒரு சதுர களத்தில் ஒரு பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடு (மைய வேறுபாடுகளைப் பயன்படுத்தி) மேட்ரிக்ஸ் பரிமாணத்தின் சதுர மூலத்திற்கு சமமான அலைவரிசையுடன் ஒரு மேட்ரிக்ஸை வழங்கும், ஆனால் பேண்டிற்குள் 5 மூலைவிட்டங்கள் மட்டுமே பூஜ்ஜியமற்றவை. துரதிர்ஷ்டவசமாக, அத்தகைய மேட்ரிக்ஸுக்கு காஸியன் நீக்குதலைப் பயன்படுத்துவது (அல்லது அதற்கு சமமான ஒரு LU சிதைவு) பல பூஜ்ஜியமற்ற கூறுகளால் பேண்ட் நிரப்பப்படுவதில் விளைகிறது. பட்டை சேமிப்பு பட்டை மேட்ரிக்ஸ்கள் வழக்கமாக பட்டையில் மூலைவிட்டங்களை சேமிப்பதன் மூலம் சேமிக்கப்படுகின்றன; மீதமுள்ளவை மறைமுகமாக பூஜ்ஜியமாகும். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு முக்கோண அணி அலைவரிசை 1 ஐக் கொண்டுள்ளது. 6-ஆல்-6 மேட்ரிக்ஸ் 6-ஆல்-3 மேட்ரிக்ஸாக சேமிக்கப்படுகிறது மேட்ரிக்ஸ் சமச்சீராக இருக்கும்போது மேலும் சேமிப்பு சாத்தியமாகும். எடுத்துக்காட்டாக, 2 இன் மேல் அலைவரிசையுடன் ஒரு சமச்சீர் 6-ஆல்-6 மேட்ரிக்ஸைக் கவனியுங்கள்ஃ இந்த மேட்ரிக்ஸ் 6-ஆல்-3 மேட்ரிக்ஸாக சேமிக்கப்படுகிறதுஃ விரிந்த மேட்ரிக்ஸின் பேண்ட் வடிவம் கணக்கீட்டு கண்ணோட்டத்தில், பேண்ட் மேட்ரிக்ஸுடன் வேலை செய்வது எப்போதும் ஒத்த பரிமாண சதுர மேட்ரிக்ஸ்களுடன் வேலை செய்வதை விட முன்னுரிமை அளிக்கிறது. ஒரு பேண்ட் மேட்ரிக்ஸை சிக்கலான முறையில் ஒரு செவ்வக மேட்ரிக்ஸுடன் ஒப்பிடலாம், அதன் வரிசை பரிமாணம் பேண்ட் மேட்ரிக்ஸின் அலைவரிசைக்கு சமம். இவ்வாறு பெருக்கம் போன்ற செயல்பாடுகளைச் செய்வதில் ஈடுபடும் வேலை கணிசமாகக் குறைகிறது, இது பெரும்பாலும் கணக்கீட்டு நேரம் மற்றும் சிக்கலின் அடிப்படையில் பெரும் சேமிப்புக்கு வழிவகுக்கிறது. அடர்த்தியான மேட்ரிக்ஸ்களை விட குறைவான மேட்ரிக்ஸ்கள் மிகவும் திறமையான கணக்கீட்டிற்கும், கணினி சேமிப்பகத்தை மிகவும் திறம்பட பயன்படுத்துவதற்கும் தங்களை வழங்குவதால், மேட்ரிக்ஸில் வரிசைமாற்றங்களைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் அலைவரிசையைக் குறைப்பதற்கான (அல்லது நிரப்புதலை நேரடியாகக் குறைப்பதற்கான) வழிகளைக் கண்டுபிடிப்பதில் அதிக ஆராய்ச்சி கவனம் செலுத்தியுள்ளது. குத்தில்-மெக்கீ வழிமுறை ஒரு சிறிய சமச்சீர் மேட்ரிக்ஸின் அலைவரிசையைக் குறைக்க பயன்படுத்தப்படலாம். இருப்பினும், தலைகீழ் குத்தில்-மெக்கீ வழிமுறை சிறப்பாக செயல்படும் மேட்ரிக்ஸ்கள் உள்ளன. இன்னும் பல முறைகள் பயன்பாட்டில் உள்ளன. வரிசைகள் மற்றும் நெடுவரிசைகளின் வரிசைமாற்றங்கள் மூலம் குறைந்தபட்ச அலைவரிசை கொண்ட ஒரு மேட்ரிக்ஸின் பிரதிநிதித்துவத்தைக் கண்டுபிடிப்பதில் உள்ள சிக்கல் NP-கடினமானது. மூலைவிட்ட மேட்ரிக்ஸ் வரைபட அலைவரிசை குறிப்புகள் குறிப்புகளையும் பார்க்கவும். . . . . வெளிப்புற இணைப்புகள் லாபாக் மற்றும் பேண்ட் மேட்ரிக்ஸ் தொடர்பான தகவல்கள் பேண்டட் மேட்ரிக்ஸ் மற்றும் பிற ஸ்பார்ஸ் மேட்ரிக்ஸ் வடிவங்கள் பற்றிய பயிற்சி ஸ்பார்ஸ் மேட்ரிக்ஸ்