Multipole expansion
பலமுனை விரிவாக்கம் என்பது கோணங்களைப் பொறுத்து ஒரு செயல்பாட்டைக் குறிக்கும் ஒரு கணிதத் தொடராகும்-பொதுவாக முப்பரிமாண யூக்ளிடியன் இடத்திற்கான கோள ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் (துருவ மற்றும் அசிமுத்தல் கோணங்கள்) பயன்படுத்தப்படும் இரண்டு கோணங்கள். டெய்லர் தொடரைப் போலவே, பல துருவ விரிவாக்கங்களும் பயனுள்ளதாக இருக்கும், ஏனெனில் அசல் செயல்பாட்டின் நல்ல தோராயத்தை வழங்க பெரும்பாலும் முதல் சில சொற்கள் மட்டுமே தேவைப்படுகின்றன. விரிவுபடுத்தப்படும் செயல்பாடு உண்மையான அல்லது சிக்கலான மதிப்புடையதாக இருக்கலாம், மேலும் இது வரையறுக்கப்படுகிறது, அல்லது வேறு சில பல துருவ விரிவாக்கங்களுக்கு குறைவாக அடிக்கடி மின்காந்த மற்றும் ஈர்ப்பு புலங்களின் ஆய்வில் அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படுகிறது, அங்கு தொலைதூர புள்ளிகளில் உள்ள புலங்கள் ஒரு சிறிய பிராந்தியத்தில் உள்ள மூலங்களின் அடிப்படையில் கொடுக்கப்படுகின்றன. கோணங்களுடன் கூடிய பல துருவ விரிவாக்கம் பெரும்பாலும் ஆரம் கொண்ட விரிவாக்கத்துடன் இணைக்கப்படுகிறது. இத்தகைய கலவையானது முப்பரிமாண இடைவெளி முழுவதும் ஒரு செயல்பாட்டை விவரிக்கும் விரிவாக்கத்தை அளிக்கிறது. பலமுனை விரிவாக்கம் படிப்படியாக சிறந்த கோண அம்சங்களுடன் (தருணங்கள்) சொற்களின் கூட்டுத்தொகையாக வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. முதல் (பூஜ்ஜிய வரிசை) சொல் மோனோபோல் தருணம் என்றும், இரண்டாவது (முதல் வரிசை) சொல் இருமுனை தருணம் என்றும், மூன்றாவது (இரண்டாவது வரிசை) நாற்கர தருணம் என்றும், நான்காவது (மூன்றாவது வரிசை) சொல் ஆக்டுபோல் தருணம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. கிரேக்க எண் முன்னொட்டுகளின் வரம்பைக் கருத்தில் கொண்டு, உயர் வரிசையின் சொற்கள் வழக்கமாக துருவங்களின் எண்ணிக்கையில் "-துருவத்தை" சேர்ப்பதன் மூலம் பெயரிடப்படுகின்றன-எ. கா., 32-துருவங்கள் (அரிதாக டாட்ரியாகோண்டாபோல் அல்லது ட்ரையாக்கோண்டடிபோல்) மற்றும் 64-துருவங்கள் (அரிதாக டெட்ராஹெக்ஸாகோண்டாபோல் அல்லது ஹெக்ஸாகோண்டாடெட்ராபோல்). ஒரு பலமுனை தருணம் பொதுவாக தோற்றத்திற்கான தூரத்தின் சக்திகள் (அல்லது தலைகீழ் சக்திகள்) மற்றும் சில கோண சார்பு ஆகியவற்றை உள்ளடக்கியது. கொள்கையளவில், ஒரு பன்மடங்கு விரிவாக்கம் ஆற்றல் பற்றிய சரியான விளக்கத்தை வழங்குகிறது, மேலும் பொதுவாக இரண்டு நிபந்தனைகளின் கீழ் ஒருங்கிணைக்கிறதுஃ (1) மூலங்கள் (எ. கா. மின்னூட்டங்கள்) தோற்றத்திற்கு அருகில் உள்ளூர்மயமாக்கப்படுகின்றன மற்றும் ஆற்றல் காணப்பட்ட புள்ளி தோற்றத்திலிருந்து வெகு தொலைவில் உள்ளது; அல்லது (2) தலைகீழ், அதாவது, ஆதாரங்கள் தோற்றத்திலிருந்து வெகு தொலைவில் அமைந்திருந்தால் மற்றும் ஆற்றல் தோற்றத்திற்கு அருகில் காணப்பட்டால். முதல் (மிகவும் பொதுவான) வழக்கில், தொடர் விரிவாக்கத்தின் குணகங்கள் வெளிப்புற பல துருவ தருணங்கள் அல்லது வெறுமனே பல துருவ தருணங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, இரண்டாவது வழக்கில், அவை உட்புற பல துருவ தருணங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. கோள ஒத்திசைவுகளில் விரிவாக்கம் மிகவும் பொதுவாக, இந்தத் தொடர் கோள ஒத்திசைவுகளின் கூட்டுத்தொகையாக எழுதப்படுகிறது. எனவே, நிலையான கோள ஒத்திசைவுகள் இருக்கும் கூட்டுத்தொகையாக நாம் ஒரு செயல்பாட்டை எழுதலாம், மேலும் அவை செயல்பாட்டைப் பொறுத்து நிலையான குணகங்கள். இந்த சொல் மோனோபோலைக் குறிக்கிறது; இருமுனையை குறிக்கிறது; மற்றும் பல. சமமாக, கோணங்கள் மற்றும் குறியீடுகளால் கொடுக்கப்பட்ட திசையில் ஒரு அலகு திசையனின் கூறுகளைக் குறிக்கும் இடமாகவும் இந்தத் தொடர் அடிக்கடி எழுதப்படுகிறது, மேலும் குறியீடுகள் மறைமுகமாக சுருக்கப்படுகின்றன. இங்கே, சொல் மோனோபோல்; இருமுனையை குறிக்கும் மூன்று எண்களின் தொகுப்பு; மற்றும் பல. மேற்கண்ட விரிவாக்கங்களில், குணகங்கள் உண்மையானதாகவோ அல்லது சிக்கலானதாகவோ இருக்கலாம். இருப்பினும், பன்மடங்கு விரிவாக்கமாக வெளிப்படுத்தப்படும் செயல்பாடு உண்மையானதாக இருந்தால், குணகங்கள் சில பண்புகளை பூர்த்தி செய்ய வேண்டும். பல வெக்டர் விரிவாக்கத்தில், ஒவ்வொரு குணகமும் உண்மையானதாக இருக்க வேண்டும்ஃ அளவிடுதல் செயல்பாடுகளின் விரிவாக்கங்கள் பல துருவ விரிவாக்கங்களின் மிகவும் பொதுவான பயன்பாடாக இருந்தாலும், அவை தன்னிச்சையான தரவரிசையின் டென்சர்களை விவரிக்க பொதுமைப்படுத்தப்படலாம். இது மின்காந்தத்தில் திசையன் ஆற்றலின் பல துருவ விரிவாக்கங்களில் அல்லது ஈர்ப்பு அலைகளின் விளக்கத்தில் மெட்ரிக் இடையூறு ஆகியவற்றில் பயன்படுத்தப்படுகிறது. மூன்று பரிமாணங்களின் செயல்பாடுகளை விவரிக்க, ஒருங்கிணைந்த தோற்றத்திலிருந்து விலகி, பல துருவ விரிவாக்கத்தின் குணகங்களை தோற்றத்திற்கான தூரத்தின் செயல்பாடுகளாக எழுதலாம்-பெரும்பாலும், இன் சக்திகளில் ஒரு லாரண்ட் தொடராக. எடுத்துக்காட்டாக, மின்காந்த ஆற்றலை விவரிக்க, தோற்றத்திற்கு அருகிலுள்ள ஒரு சிறிய பகுதியில் உள்ள ஒரு மூலத்திலிருந்து, குணகங்களை பின்வருமாறு எழுதலாம்ஃ பயன்பாடுகள் வெகுஜன அமைப்புகளின் ஈர்ப்பு விசைகள், மின்னூட்டம் மற்றும் மின்னோட்ட விநியோகங்களின் மின்சார மற்றும் காந்தப்புலங்கள் மற்றும் மின்காந்த அலைகளின் பரப்புதல் ஆகியவற்றை உள்ளடக்கிய சிக்கல்களில் பல துருவ விரிவாக்கங்கள் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. எலக்ட்ரானிக் ஆர்பிட்டல்களின் உட்புற மல்டிபோல்களுடன் அவற்றின் தொடர்பு ஆற்றல்களிலிருந்து அணு கருக்களின் வெளிப்புற மல்டிபோல் தருணங்களை கணக்கிடுவது ஒரு உன்னதமான எடுத்துக்காட்டு. அணுக்கருவின் பன்மடங்கு தருணங்கள் அணுக்கருவின் உள்ளே உள்ள கட்டணங்களின் விநியோகம் மற்றும் அணுக்கருவின் வடிவம் குறித்து தெரிவிக்கின்றன. பல துருவ விரிவாக்கத்தை அதன் முதல் பூஜ்ஜியமற்ற காலத்திற்கு வெட்டுவது பெரும்பாலும் கோட்பாட்டு கணக்கீடுகளுக்கு பயனுள்ளதாக இருக்கும். பல துருவ விரிவாக்கங்கள் எண் உருவகப்படுத்துதல்களிலும் பயனுள்ளதாக இருக்கும், மேலும் கிரீன்கார்ட் மற்றும் ரோக்லினின் வேகமான பல துருவ முறையின் அடிப்படையை உருவாக்குகின்றன, இது ஊடாடும் துகள்களின் அமைப்புகளில் ஆற்றல்கள் மற்றும் சக்திகளின் திறமையான கணக்கீட்டிற்கான ஒரு பொதுவான நுட்பமாகும். அடிப்படை யோசனை துகள்களை குழுக்களாக சிதைப்பதாகும்; ஒரு குழுவிற்குள் உள்ள துகள்கள் பொதுவாக தொடர்பு கொள்கின்றன (அதாவது, முழு ஆற்றலால்), அதேசமயம் துகள்களின் குழுக்களுக்கு இடையிலான ஆற்றல்கள் மற்றும் சக்திகள் அவற்றின் பல துருவ தருணங்களிலிருந்து கணக்கிடப்படுகின்றன. வேகமான பன்மடங்கு முறையின் செயல்திறன் பொதுவாக எவால்ட் கூட்டுத்தொகையைப் போலவே இருக்கும், ஆனால் துகள்கள் தொகுக்கப்பட்டிருந்தால், அதாவது. இந்த அமைப்பு பெரிய அடர்த்தி ஏற்ற இறக்கங்களைக் கொண்டுள்ளது. ஒரு நிலைமின்னியல் மின்னூட்டம் பகிர்வுக்கு வெளியே ஒரு ஆற்றலின் பல துருவ விரிவாக்கம் நிலை திசையன்களுடன் புள்ளி மின்னூட்டங்களைக் கொண்ட ஒரு தனித்துவமான மின்னூட்டம் பகிர்வை கருத்தில் கொள்ளுங்கள். மின்னூட்டங்கள் தோற்றத்தைச் சுற்றி தொகுக்கப்பட்டுள்ளன என்று நாம் கருதுகிறோம், இதனால் அனைத்து i: க்கும், சில வரையறுக்கப்பட்ட மதிப்பு உள்ளது. மின்னூட்டம் விநியோகம் காரணமாக, மின்னூட்டம் விநியோகத்திற்கு வெளியே உள்ள ஒரு கட்டத்தில், அதாவது, ஆற்றல்களில் விரிவாக்கப்படலாம். இந்த விரிவாக்கத்தை உருவாக்குவதற்கான இரண்டு வழிகளை இலக்கியத்தில் காணலாம்ஃ முதலாவது கார்ட்டீசியன் ஆயத்தொகுப்புகளில் ஒரு டெய்லர் தொடர், மற்றும், இரண்டாவது கோள துருவ ஆயத்தொகுப்புகளைப் பொறுத்து கோள ஒத்திசைவுகளின் அடிப்படையில் உள்ளது. கார்ட்டீசியன் அணுகுமுறைக்கு லெஜெண்டர் செயல்பாடுகள், கோள ஒத்திசைவு போன்றவை பற்றிய முன் அறிவு தேவையில்லை என்ற நன்மை உள்ளது. அதன் குறைபாடு என்னவென்றால், வழித்தோன்றல்கள் மிகவும் சிக்கலானவை (உண்மையில் அதன் பெரும்பகுதி லெஜெண்டர் விரிவாக்கத்தின் மறைமுகமான மறுபிறப்பு ஆகும், இது 1780 களில் லெஜெண்டரால் ஒரு முறை மற்றும் எப்போதும் செய்யப்பட்டது). மேலும் பல துருவ விரிவாக்கத்தின் பொதுவான காலத்திற்கு ஒரு மூடிய வெளிப்பாட்டைக் கொடுப்பது கடினம்-பொதுவாக முதல் சில சொற்கள் மட்டுமே நீள்வட்டத்தைத் தொடர்ந்து கொடுக்கப்படுகின்றன. கார்ட்டீசியன் ஆயத்தொகுப்புகளில் விரிவாக்கம் வசதிக்காக அனுமானிக்கவும். லாப்லேஸ் சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்தினால், மேலே உள்ள விரிவாக்கத்தின் மூலம் நம்மிடம் உள்ளது மற்றும் விரிவாக்கத்தை ஒரு தடையற்ற கார்ட்டீசியன் இரண்டாவது தரவரிசை டென்சரின் கூறுகளின் அடிப்படையில் மீண்டும் எழுதலாம்ஃ க்ரோனெக்கர் டெல்டா எங்கே மற்றும். தடத்தை அகற்றுவது பொதுவானது, ஏனெனில் இது இரண்டாவது தரவரிசை டென்சரிலிருந்து சுழற்சி மாறாததை வெளியே எடுக்கிறது. எடுத்துக்காட்டு இப்போது பின்வரும் வடிவத்தைக் கவனியுங்கள்ஃ பின்னர் நேரடி வேறுபாட்டின் மூலம் ஒரு மோனோபோல், இருமுனை மற்றும் (தடமற்ற) நாற்கரத்தை முறையே வரையறுக்கவும், இறுதியாக மொத்த ஆற்றலின் பல துருவ விரிவாக்கத்தின் முதல் சில சொற்களைப் பெறுகிறோம், இது தனித்தனி கட்டணங்களின் கூலோம்ப் ஆற்றல்களின் கூட்டுத்தொகையாகும்ஃ ஒரு தனித்துவமான சார்ஜ் விநியோகத்தின் ஆற்றலின் இந்த விரிவாக்கம் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள உண்மையான திட ஹார்மோனிக்ஸில் உள்ளதைப் போலவே உள்ளது. முக்கிய வேறுபாடு என்னவென்றால், தற்போதைய ஒன்று நேரியல் சார்ந்த அளவுகளின் அடிப்படையில் உள்ளது, குறிப்புஃ மின்னூட்ட விநியோகம் எதிர் அடையாளத்தின் இரண்டு மின்னூட்டங்களைக் கொண்டிருந்தால், அவை எல்லையற்ற தூரத்தை வேறுபடுத்துகின்றன, இதனால், விரிவாக்கத்தில் ஆதிக்கம் செலுத்தும் சொல் மின்சார இருமுனை ஆற்றல் புலம் என்று எளிதில் காட்டப்படுகிறது. கோள வடிவம் சார்ஜ் விநியோகத்திற்கு வெளியே ஒரு புள்ளியில் உள்ள ஆற்றல், அதாவது. , லாப்லேஸ் விரிவாக்கத்தால் விரிவுபடுத்தப்படலாம்ஃ அங்கு ஒரு ஒழுங்கற்ற திட ஹார்மோனிக் (ஒரு கோள ஹார்மோனிக் செயல்பாட்டை வகுத்தல் என கீழே வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது) மற்றும் ஒரு வழக்கமான திட ஹார்மோனிக் (ஒரு கோள ஹார்மோனிக் நேரங்கள்) ஆகும். மின்னூட்டம் பகிர்வின் கோளப் பெருக்கல் தருணத்தை நாம் பின்வருமாறு வரையறுக்கிறோம், ஒரு பெருக்கல் தருணம் என்பது மின்னூட்டம் பகிர்வின் மூலம் மட்டுமே தீர்மானிக்கப்படுகிறது என்பதைக் கவனியுங்கள் (என் கட்டணங்களின் நிலைகள் மற்றும் அளவுகள்). ஒரு கோள ஹார்மோனிக் அலகு திசையனைப் பொறுத்தது. (ஒரு அலகு திசையன் இரண்டு கோள துருவ கோணங்களால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது.) எனவே, வரையறையின்படி, ஒழுங்கற்ற திட ஹார்மோனிக்ஸ் எழுதப்படலாம், இதனால் சார்ஜ் விநியோகத்திற்கு வெளியே உள்ள புள்ளியில் புலத்தின் பல துருவ விரிவாக்கம் வழங்கப்படுகிறது இந்த விரிவாக்கம் முற்றிலும் பொதுவானது, இது முதல் சிலவற்றிற்கு மட்டுமல்ல, அனைத்து சொற்களுக்கும் ஒரு மூடிய வடிவத்தை அளிக்கிறது. மின்னழுத்தத்தின் விரிவாக்கத்தில் கோள பல துருவ தருணங்கள் குணகங்களாகத் தோன்றுகின்றன என்பதை இது காட்டுகிறது. இளங்கலை பாடப்புத்தகங்களில் பொதுவாகக் காணப்படும் ஒரே சொற்களான உண்மையான வடிவத்தில் முதல் சில சொற்களைக் கருத்தில் கொள்வது ஆர்வமாக உள்ளது. ஒரே நேரத்தில் இரண்டு காரணிகளின் ஒற்றையாட்சி மாற்றத்தின் கீழ் m கூட்டுத்தொகையின் கூட்டுத்தொகை மாறாதது என்பதால், சிக்கலான கோள ஒத்திசைவுகளை உண்மையான வடிவத்திற்கு மாற்றுவது ஒரு ஒற்றையாட்சி மாற்றத்தின் மூலம் என்பதால், நாம் வெறுமனே உண்மையான ஒழுங்கற்ற திட ஒத்திசைவுகளையும் உண்மையான பல துருவ தருணங்களையும் மாற்றலாம். இது உண்மையில் மீண்டும் கூலம்பின் விதி. நாம் அறிமுகப்படுத்திய சொல்லுக்கு பின்னர் இந்த சொல் கார்ட்டீசியன் வடிவத்தில் காணப்படும் ஒன்றைப் போன்றது. இந்த வார்த்தையை எழுதுவதற்கு, நாற்கர கணத்தின் ஐந்து உண்மையான கூறுகள் மற்றும் உண்மையான கோள ஹார்மோனிக்ஸ் ஆகியவற்றிற்கான சுருக்கெழுத்து குறியீடுகளை நாம் அறிமுகப்படுத்த வேண்டும். இந்த வகை குறிப்புகளை இலக்கியத்தில் காணலாம். சிக்கலான குறியீட்டின் பயனை வெளிப்படுத்தும் வகையில், உண்மையான குறியீடு மிக விரைவில் மோசமாகிவிடும் என்பது தெளிவாகிறது. இரண்டு ஒன்றுடன் ஒன்று இணைக்கப்படாத சார்ஜ் விநியோகங்களின் தொடர்பு இரண்டு செட் பாயிண்ட் சார்ஜ்களைக் கருத்தில் கொள்ளுங்கள், ஒரு செட் ஒரு புள்ளியைச் சுற்றி தொகுக்கப்பட்டுள்ளது மற்றும் ஒரு செட் ஒரு புள்ளியைச் சுற்றி தொகுக்கப்பட்டுள்ளது. உதாரணமாக இரண்டு மூலக்கூறுகளை நினைத்துப் பாருங்கள், ஒரு மூலக்கூறு வரையறையின்படி எலக்ட்ரான்கள் (எதிர்மறை புள்ளி கட்டணங்கள்) மற்றும் கருக்கள் (நேர்மறை புள்ளி கட்டணங்கள்) ஆகியவற்றைக் கொண்டுள்ளது என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள். இரண்டு விநியோகங்களுக்கிடையேயான மொத்த நிலைமின்னியல் தொடர்பு ஆற்றல் இந்த ஆற்றலை ஒரு சக்தி தொடரில் மற்றும் இன் தலைகீழ் தூரத்தில் விரிவுபடுத்தலாம். இந்த விரிவாக்கம் யுஎபியின் பல துருவ விரிவாக்கம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த பல துருவ விரிவாக்கத்தை பெறுவதற்காக, நாம் எழுதுகிறோம், இது ஒரு திசையன் நோக்கி சுட்டிக்காட்டுகிறது. இரண்டு விநியோகங்களும் ஒன்றுடன் ஒன்று இல்லை என்று நாங்கள் கருதுகிறோம் என்பதை நினைவில் கொள்கஃ இந்த நிபந்தனையின் கீழ் லாப்லேஸ் விரிவாக்கத்தை பின்வரும் வடிவத்தில் பயன்படுத்தலாம், அவை முறையே ஒழுங்கற்ற மற்றும் வழக்கமான திட ஹார்மோனிக்ஸ் ஆகும். வழக்கமான திடமான ஹார்மோனிக் மொழிபெயர்ப்பு ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட விரிவாக்கத்தை அளிக்கிறது, அங்கு சுட்டிக்காட்டப்பட்ட அடைப்புக்குறிகளுக்கு இடையிலான அளவு ஒரு கிளெப்ஷ்-கார்டன் குணகம் ஆகும். மேலும் நாம் கோள பெருக்கிகளின் வரையறையின் பயன்பாடு மற்றும் சுருக்க வரம்புகளை சற்றே மாறுபட்ட வரிசையில் மூடுவது (இது ஒரு எல்லையற்ற வரம்பிற்கு மட்டுமே அனுமதிக்கப்படுகிறது) இறுதியாக வழங்குகிறது இது இரண்டு ஒன்றுடன் ஒன்று இணைக்கப்படாத சார்ஜ் விநியோகங்களின் தொடர்பு ஆற்றலின் பல துருவ விரிவாக்கமாகும். இந்த விரிவாக்கம் வெளிப்படையாக அதிகாரங்களில் இருப்பதால். செயல்பாடு ஒரு இயல்பாக்கப்பட்ட கோள ஹார்மோனிக் ஆகும். மூலக்கூறு தருணங்கள் அனைத்து அணுக்கள் மற்றும் மூலக்கூறுகள் (எஸ்-நிலை அணுக்களைத் தவிர) ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட மறைந்துபோகாத நிரந்தர பல துருவ தருணங்களைக் கொண்டுள்ளன. இலக்கியத்தில் வெவ்வேறு வரையறைகளைக் காணலாம், ஆனால் கோள வடிவத்தில் பின்வரும் வரையறை ஒரு பொதுவான சமன்பாட்டில் உள்ளது என்ற நன்மையைக் கொண்டுள்ளது. இது சிக்கலான வடிவத்தில் இருப்பதால், அதன் உண்மையான எதிர்ப்பை விட கணக்கீடுகளில் கையாளுவது எளிதானது. N துகள்கள் (எலக்ட்ரான்கள் மற்றும் கருக்கள்) கொண்ட ஒரு மூலக்கூறை eZi கட்டணங்களுடன் கருதுகிறோம். (எலக்ட்ரான்கள்-1 இன் Z-மதிப்பைக் கொண்டுள்ளன, அதே நேரத்தில் கருக்களுக்கு இது அணு எண்). துகள் i இல் கோள துருவ ஆயத்தொலைவுகள் ri, θi, மற்றும் φi மற்றும் கார்ட்டீசியன் ஆயத்தொலைவுகள் xi, yi மற்றும் zi உள்ளன. (சிக்கலான) நிலைமின்னியல் பல துருவ ஆபரேட்டர் என்பது ராசாவின் இயல்பாக்கத்தில் ஒரு வழக்கமான திட ஹார்மோனிக் செயல்பாடு ஆகும் (இது ஷ்மிட்டின் அரை இயல்பாக்கம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது). மூலக்கூறு மொத்த இயல்பாக்கப்பட்ட அலை செயல்பாட்டைக் கொண்டிருந்தால் (எலக்ட்ரான்கள் மற்றும் கருக்களின் ஆயத்தொகுப்புகளைப் பொறுத்து), மூலக்கூறின் வரிசையின் பெருமுனை தருணம் எதிர்பார்ப்பு (எதிர்பார்க்கப்பட்ட) மதிப்பால் வழங்கப்படுகிறதுஃ மூலக்கூறு ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளி குழு சமச்சீர்மையைக் கொண்டிருந்தால், இது அலை செயல்பாட்டில் பிரதிபலிக்கிறதுஃ குழுவின் ஒரு குறிப்பிட்ட பகுக்கமுடியாத பிரதிநிதித்துவத்தின் λ இன் படி உருமாறும் ("ேட்சி சமச்சீர் வகை λ"). இதன் விளைவாக தேர்வு விதிகள் பல துருவ ஆபரேட்டரின் எதிர்பார்ப்பு மதிப்பைக் கொண்டுள்ளன, அல்லது வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், சமச்சீர் காரணமாக எதிர்பார்ப்பு மதிப்பு மறைந்துவிடும். இதற்கு நன்கு அறியப்பட்ட உதாரணம் என்னவென்றால், ஒரு தலைகீழ் மையத்தைக் கொண்ட மூலக்கூறுகள் ஒரு இருமுனையை எடுத்துச் செல்லாது (எதிர்பார்ப்பு மதிப்புகள் மறைந்துவிடும். சமச்சீர் இல்லாத ஒரு மூலக்கூறுக்கு, எந்த தேர்வு விதிகளும் செயல்படாது, அத்தகைய மூலக்கூறு எந்த வரிசையிலும் மறைந்து போகாத பல மடங்குகளைக் கொண்டிருக்கும் (இது ஒரு இருமுனை மற்றும் ஒரே நேரத்தில் ஒரு நாற்கர, ஆக்டுபோல், ஹெக்ஸாடெக்காபோல் போன்றவற்றைக் கொண்டிருக்கும்). வழக்கமான திட ஹார்மோனிக்ஸின் மிகக் குறைந்த வெளிப்படையான வடிவங்கள் (காண்டன்-ஷார்ட்லி கட்டத்துடன்) கொடுக்கின்றனஃ (மூலக்கூறின் மொத்த கட்டணம்). (சிக்கலான) இருமுனை கூறுகள் பின்வருமாறுஃ ஒரு எளிய நேரியல் கலவையால் ஒருவர் சிக்கலான பலமுனை இயக்கிகளை உண்மையானவையாக மாற்ற முடியும் என்பதை நினைவில் கொள்க. உண்மையான மல்டிபோல் ஆபரேட்டர்கள் கொசைன் வகை அல்லது சைன் வகையைச் சேர்ந்தவை. மேலே கொடுக்கப்பட்ட சிக்கலான மூலக்கூறு பல துருவ தருணத்தின் வரையறை இந்த கட்டுரையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ள வரையறையின் சிக்கலான இணைப்பாகும், இது ஜாக்சனின் கிளாசிக்கல் எலக்ட்ரோடைனமிக்ஸ் குறித்த நிலையான பாடப்புத்தகத்தின் வரையறையைப் பின்பற்றுகிறது, இயல்பாக்கம் தவிர. மேலும், ஜாக்சனின் பாரம்பரிய வரையறையில் N-துகள் குவாண்டம் இயந்திர எதிர்பார்ப்பு மதிப்புக்கு சமமானது ஒரு துகள் சார்ஜ் விநியோகத்தின் ஒருங்கிணைந்ததாகும். ஒரு-துகள் குவாண்டம் இயந்திர அமைப்பைப் பொறுத்தவரை, எதிர்பார்ப்பு மதிப்பு என்பது சார்ஜ் விநியோகத்தின் (அலை செயல்பாட்டு சதுரத்தின் மாடுலஸ்) ஒரு ஒருங்கிணைப்பைத் தவிர வேறில்லை என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள், இதனால் இந்த கட்டுரையின் வரையறை ஜாக்சனின் வரையறையின் குவாண்டம் இயந்திர என்-துகள் பொதுமைப்படுத்தலாகும். இந்தக் கட்டுரையில் உள்ள வரையறை, மற்றவற்றுடன், ஃபானோ மற்றும் ராக்கா மற்றும் பிரிங்க் மற்றும் சாட்ச்லர் ஆகியவற்றுடன் உடன்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டுகள் பல வகையான பல துருவ தருணங்கள் உள்ளன, ஏனெனில் பல வகையான ஆற்றல்கள் மற்றும் ஒரு தொடர் விரிவாக்கத்தின் மூலம் ஒரு ஆற்றலை தோராயமாக மதிப்பிடுவதற்கான பல வழிகள் உள்ளன, இது ஆயத்தொலைவுகள் மற்றும் சார்ஜ் விநியோகத்தின் சமச்சீர் ஆகியவற்றைப் பொறுத்தது. மிகவும் பொதுவான விரிவாக்கங்களில் பின்வருவன அடங்கும்ஃ ஒரு ஆற்றலின் அச்சு பல துருவ தருணங்கள்; ஒரு ஆற்றலின் கோள பல துருவ தருணங்கள்; மற்றும் ஒரு ஆற்றலின் உருளை பல துருவ தருணங்கள் மின் ஆற்றல், காந்த ஆற்றல் மற்றும் புள்ளி மூலங்களின் ஈர்ப்பு திறன் ஆகியவை அடங்கும். ஒரு மின்னழுத்தத்திற்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு எல்லையற்ற கோடு மின்னூட்டத்தின் மின்சார ஆற்றல் ஆகும். கணிதம் மற்றும் கணித இயற்பியலில் உள்ள பல துருவ தருணங்கள் ஒரு சார்பின் சிதைவுக்கு ஒரு ஆர்த்தோகனல் அடிப்படையை உருவாக்குகின்றன, இது ஒரு புலம் ஒருவருக்கொருவர் எல்லையற்ற நெருக்கமாக கொண்டு வரப்படும் மூலங்களை சுட்டிக்காட்டுவதற்கான பதிலை அடிப்படையாகக் கொண்டது. இவற்றை பல்வேறு வடிவியல் வடிவங்களில் ஒழுங்கமைக்கப்பட்டதாகவோ அல்லது விநியோகக் கோட்பாட்டின் அர்த்தத்தில், திசை வழித்தோன்றல்கள் என்று கருதலாம். பல துருவ விரிவாக்கங்கள் இயற்பியல் விதிகளின் அடிப்படை சுழற்சி சமச்சீர் மற்றும் அவற்றுடன் தொடர்புடைய வேறுபட்ட சமன்பாடுகளுடன் தொடர்புடையவை. மூல சொற்கள் (நிறை, மின்னூட்டங்கள் அல்லது மின்னோட்டங்கள் போன்றவை) சமச்சீராக இல்லாவிட்டாலும், சுழற்சி சமச்சீர் குழுவின் பகுக்கமுடியாத பிரதிநிதித்துவங்களின் அடிப்படையில் அவற்றை விரிவுபடுத்தலாம், இது கோள ஒத்திசைவு மற்றும் தொடர்புடைய ஆர்த்தோகனல் செயல்பாடுகளுக்கு வழிவகுக்கிறது. ரேடியல் சார்பு நிலைகளுக்கான தொடர்புடைய தீர்வுகளை பிரித்தெடுக்க மாறிகளைப் பிரிப்பதற்கான நுட்பத்தைப் பயன்படுத்துகிறது. நடைமுறையில், பல புலங்களை ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான பல துருவ தருணங்களுடன் நன்கு தோராயமாக மதிப்பிட முடியும் (இருப்பினும் ஒரு புலத்தை சரியாக மறுகட்டமைக்க ஒரு எல்லையற்ற எண் தேவைப்படலாம்). ஒரு பொதுவான பயன்பாடு ஒரு உள்ளூர்மயமாக்கப்பட்ட சார்ஜ் விநியோகத்தின் புலத்தை அதன் மோனோபோல் மற்றும் இருமுனை சொற்களால் தோராயமாக மதிப்பிடுவதாகும். கொடுக்கப்பட்ட பல துருவ தருண வரிசைக்கு ஒரு முறை தீர்க்கப்பட்ட சிக்கல்கள் நேரியல் ரீதியாக இணைக்கப்பட்டு கொடுக்கப்பட்ட மூலத்திற்கான இறுதி தோராயமான தீர்வை உருவாக்கலாம். பார்ன்ஸ்-ஹட் உருவகப்படுத்துதலை மேலும் காண்க ஃபாஸ்ட் மல்டிபோல் முறை லாப்லேஸ் விரிவாக்கம் லெஜெண்டர் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் குவாட்ருபோல் காந்தங்கள் துகள் முடுக்கிகளில் பயன்படுத்தப்படுகின்றன திட ஹார்மோனிக்ஸ் டோராய்டல் தருணம் குறிப்புகள் திசையன் கால்குலஸ் தருணம் (இயற்பியல்)