Iterated function
கணிதத்தில், ஒரு மறு செய்கை செயல்பாடு என்பது ஒரு செயல்பாடு (அதாவது, ஒரு தொகுப்பிலிருந்து தனக்குத்தானே ஒரு செயல்பாடு), இது ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான முறை மற்றொரு செயல்பாட்டை உருவாக்குவதன் மூலம் பெறப்படுகிறது. ஒரே செயல்பாட்டை மீண்டும் மீண்டும் பயன்படுத்தும் செயல்முறை மறு செய்கை என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த செயல்பாட்டில், சில ஆரம்ப பொருளிலிருந்து தொடங்கி, கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்துவதன் விளைவாக மீண்டும் செயல்பாட்டில் உள்ளீடாக வழங்கப்படுகிறது, மேலும் இந்த செயல்முறை மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, வலதுபுறத்தில் உள்ள படத்தில்ஃ செயல்பாட்டு கலவையின் வட்ட வடிவ சின்னத்துடன். கணினி அறிவியல், ஃப்ராக்டல்கள், டைனமிகல் சிஸ்டம்ஸ், கணிதம் மற்றும் மறுசீரமைப்பு குழு இயற்பியல் ஆகியவற்றில் இடைநிலை செயல்பாடுகள் ஆய்வு செய்யப்படுகின்றன. வரையறை ஒரு தொகுப்பு X இல் மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்படும் செயல்பாட்டின் முறையான வரையறை பின்வருமாறு. ஒரு தொகுப்பாகவும், ஒரு செயல்பாடாகவும் இருக்கட்டும். (ஹான்ஸ் ஹென்ரிச் பர்மான் மற்றும் ஜான் ஃப்ரெடெரிக் வில்லியம் ஹெர்ஷல் ஆகியோரால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட ஒரு குறியீடு) இன் n-வது மறு செய்கை என வரையறுக்கப்படுகிறது, அங்கு n ஒரு எதிர்மறை அல்லாத முழு எண், மூலம்ஃ மற்றும் அடையாள செயல்பாடு எங்கே மற்றும் செயல்பாட்டு கலவையைக் குறிக்கிறது. அதாவது, எப்போதும் கூட்டுறவு. குறியீடு என்பது செயல்பாட்டின் மறு செய்கை (கலவை) அல்லது செயல்பாட்டின் எக்ஸ்போனென்டியேஷன் (பிந்தையது பொதுவாக முக்கோணவியல் பயன்படுத்தப்படுகிறது) ஆகிய இரண்டையும் குறிக்கக்கூடும் என்பதால், சில கணிதவியலாளர்கள் கலவை அர்த்தத்தைக் குறிக்கப் பயன்படுத்தத் தேர்வு செய்கிறார்கள், செயல்பாட்டின்-வது மறு செய்கைக்கு எழுதுகிறார்கள், எடுத்துக்காட்டாக, பொருள். அதே நோக்கத்திற்காக, பெஞ்சமின் பியர்ஸ் என்பவரால் பயன்படுத்தப்பட்டது, அதே நேரத்தில் ஆல்பிரட் பிரிங்ஷீம் மற்றும் ஜூல்ஸ் மோக் ஆகியோர் அதற்கு பதிலாக பரிந்துரைத்தனர். ஏபிலியன் பண்பு மற்றும் மறு செய்கை வரிசைமுறைகள் பொதுவாக, பின்வரும் அடையாளம் அனைத்து எதிர்மறை அல்லாத முழு எண்களுக்கும் பொருந்தும், மேலும், இது கட்டமைப்பு ரீதியாக எக்ஸ்போனென்டியேஷனின் பண்புக்கு ஒத்ததாக இருக்கிறது, அதாவது. சிறப்பு வழக்கு. பொதுவாக, தன்னிச்சையான பொது (எதிர்மறை, முழு எண் அல்லாத, முதலியன) குறியீடுகள் மற்றும், இந்த உறவு மொழிபெயர்ப்பு செயல்பாட்டு சமன்பாடு, cf என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஷ்ரோடரின் சமன்பாடு மற்றும் ஏபெல் சமன்பாடு. ஒரு மடக்கை அளவில், இது செபிஷேவ் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் கூடு கட்டும் பண்புக்கு குறைகிறது, ஏனெனில். இந்த உறவு எக்ஸ்போனென்டேஷனின் பண்புக்கு ஒத்ததாகவும் உள்ளது. செயல்பாடுகளின் வரிசை ஒரு பிகார்ட் வரிசை என்று அழைக்கப்படுகிறது, இது சார்லஸ் எமிலி பிகார்ட்டின் பெயரால் பெயரிடப்பட்டுள்ளது. கொடுக்கப்பட்ட உள்ள, மதிப்புகளின் வரிசை சுற்றுப்பாதை என்று அழைக்கப்படுகிறது. சில முழு எண்களுக்கு, சுற்றுப்பாதை ஒரு குறிப்பிட்ட சுற்றுப்பாதை என்று அழைக்கப்படுகிறது. கொடுக்கப்பட்டவற்றின் மிகச்சிறிய மதிப்பு சுற்றுப்பாதையின் காலம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த புள்ளியே ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளி என்று அழைக்கப்படுகிறது. கணினி அறிவியலில் சுழற்சி கண்டறிதல் சிக்கல் என்பது ஒரு சுற்றுப்பாதையில் முதல் காலப்புள்ளி மற்றும் சுற்றுப்பாதையின் காலத்தைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான வழிமுறை சிக்கலாகும். நிலையான புள்ளிகள் சிலவற்றில் (அதாவது, சுற்றுப்பாதையின் காலம்) இருந்தால், அது மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்படும் வரிசையின் நிலையான புள்ளி என்று அழைக்கப்படுகிறது. நிலையான புள்ளிகளின் தொகுப்பு பெரும்பாலும் குறிக்கப்படுகிறது. பானாச் நிலையான புள்ளி தேற்றம் மற்றும் ப்ரூவர் நிலையான புள்ளி தேற்றம் உள்ளிட்ட பல்வேறு சூழ்நிலைகளில் நிலையான புள்ளிகள் இருப்பதை உறுதிசெய்யும் பல நிலையான புள்ளி கோட்பாடுகள் உள்ளன. நிலையான புள்ளி மறு செய்கையால் உற்பத்தி செய்யப்படும் வரிசைகளின் ஒருங்கிணைப்பு முடுக்கத்திற்கு பல நுட்பங்கள் உள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு மறுசுழற்சி செய்யப்பட்ட நிலையான புள்ளியில் பயன்படுத்தப்படும் ஐட்கென் முறை ஸ்டெஃபென்சனின் முறை என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் இது இருபடி ஒருங்கிணைப்பை உருவாக்குகிறது. நடத்தை கட்டுப்படுத்துதல் மறு செய்கையின் போது, சுருங்கி ஒரு புள்ளியை நோக்கி ஒன்றிணைக்கும் தொகுப்புகள் இருப்பதை ஒருவர் காணலாம். அத்தகைய சந்தர்ப்பத்தில், ஒன்றிணைக்கப்பட்ட புள்ளி ஒரு கவர்ச்சிகரமான நிலையான புள்ளி என்று அழைக்கப்படுகிறது. மாறாக, மறு செய்கை ஒரு புள்ளியில் இருந்து விலகிச் செல்லும் புள்ளிகளின் தோற்றத்தைக் கொடுக்கலாம்; இது ஒரு நிலையற்ற நிலையான புள்ளிக்கு பொருந்தும். சுற்றுப்பாதையின் புள்ளிகள் ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட வரம்புகளுக்கு இணையும் போது, சுற்றுப்பாதையின் குவிப்பு புள்ளிகளின் தொகுப்பு வரம்பு தொகுப்பு அல்லது ω-வரம்பு தொகுப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஈர்ப்பு மற்றும் விரட்டுதல் பற்றிய கருத்துக்கள் இதேபோல் பொதுமைப்படுத்தப்படுகின்றன; மறு செய்கையின் கீழ் உள்ள சிறிய சுற்றுப்புறங்களின் நடத்தைக்கு ஏற்ப, ஒருவர் மறு செய்கைகளை நிலையான தொகுப்புகள் மற்றும் நிலையற்ற தொகுப்புகளாக வகைப்படுத்தலாம். (பகுப்பாய்வு செயல்பாடுகளின் எல்லையற்ற கலவைகளையும் பார்க்கவும்.) மற்ற கட்டுப்படுத்தும் நடத்தைகள் சாத்தியமாகும்; எடுத்துக்காட்டாக, அலைந்து திரியும் புள்ளிகள் என்பது விலகிச் செல்லும் புள்ளிகள், அவை தொடங்கிய இடத்திற்கு அருகில் கூட திரும்பி வராது. மாறாத அளவீடு தனிப்பட்ட புள்ளி இயக்கவியலைக் காட்டிலும் அடர்த்தி விநியோகத்தின் பரிணாமத்தை ஒருவர் கருத்தில் கொண்டால், கட்டுப்படுத்தும் நடத்தை மாறாத அளவீட்டால் வழங்கப்படுகிறது. தொடர்ச்சியான மறு செய்கையின் கீழ் ஒரு புள்ளி-மேகம் அல்லது தூசி-மேகத்தின் நடத்தையாக இதைக் காணலாம். மாறாத அளவீடு என்பது ரூய்லே-ஃப்ரோபீனியஸ்-பெரான் ஆபரேட்டர் அல்லது டிரான்ஸ்பர் ஆபரேட்டரின் ஐகென்ஸ்டேட் ஆகும், இது 1 இன் ஐகென் மதிப்புடன் தொடர்புடையது. சிறிய ஐகென் மதிப்புகள் நிலையற்ற, சிதைந்துபோன நிலைகளுடன் ஒத்திருக்கின்றன. பொதுவாக, தொடர்ச்சியான மறு செய்கை ஒரு ஷிப்ட், டிரான்ஸ்பர் ஆபரேட்டர் மற்றும் அதன் அட்ஜாயின்ட் ஆகியவற்றுடன் ஒத்திருப்பதால், கூப்மேன் ஆபரேட்டர் இரண்டையும் ஷிப்ட் இடத்தில் ஷிப்ட் ஆபரேட்டர்கள் நடவடிக்கை என்று விளக்கலாம். வரையறுக்கப்பட்ட வகையின் துணை மாற்றங்களின் கோட்பாடு பல மறு செய்கை செயல்பாடுகளைப் பற்றிய பொதுவான நுண்ணறிவை வழங்குகிறது, குறிப்பாக குழப்பத்திற்கு வழிவகுக்கும். பின்னம் மீண்டும் மீண்டும் பாய்கிறது மற்றும் எதிர்மறை மீண்டும் மீண்டும் பாய்கிறது சமன்பாடு பல தீர்வுகளைக் கொண்டிருக்கும்போது இந்த கருத்தை கவனமாகப் பயன்படுத்த வேண்டும், இது பொதுவாக பாபேஜின் அடையாள வரைபடத்தின் செயல்பாட்டு வேர்களின் சமன்பாட்டைப் போலவே இருக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, for மற்றும், இரண்டும் தீர்வுகள்; எனவே எண்கள் பல இயற்கணித வேர்களைக் கொண்டிருப்பதைப் போலவே, வெளிப்பாடும் ஒரு தனித்துவமான செயல்பாட்டைக் குறிக்காது. இந்த சிக்கல் எண்கணிதத்தில் "0/0" என்ற வெளிப்பாட்டிற்கு மிகவும் ஒத்திருக்கிறது. fs களத்தை போதுமான அளவு நீட்டிக்க முடிந்தால், f இன் ஒரு அற்பமான மூலத்தை எப்போதும் பெற முடியும், cf. படம். தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட வேர்கள் பொதுவாக ஆய்வின் கீழ் உள்ள சுற்றுப்பாதையைச் சேர்ந்தவை. ஒரு சார்பின் பின்ன மறு செய்கையை வரையறுக்கலாம்ஃ எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு சார்பின் அரை மறு செய்கை என்பது அத்தகைய ஒரு சார்பாகும். இந்த செயல்பாட்டை குறியீட்டு குறியீட்டைப் பயன்படுத்தி எழுதலாம். இதேபோல், செயல்பாடு வரையறுக்கப்பட்டாலும், அதற்கு சமமாக வரையறுக்கப்படலாம், மற்றும் பல, அனைத்தும் முன்பு குறிப்பிடப்பட்ட கொள்கையின் அடிப்படையில், அது. இந்த யோசனையை பொதுமைப்படுத்தலாம், இதனால் மறு செய்கை எண்ணிக்கை ஒரு தொடர்ச்சியான அளவுருவாக மாறும், இது ஒரு தொடர்ச்சியான சுற்றுப்பாதையின் தொடர்ச்சியான "நேரம்" ஆகும். அத்தகைய சந்தர்ப்பங்களில், ஒருவர் அமைப்பை ஒரு ஓட்டம் என்று குறிப்பிடுகிறார். (cf. கீழே உள்ள இணைவு பற்றிய பிரிவு.) ஒரு சார்பு பைஜெக்டிவ் (எனவே ஒரு தலைகீழ் செயல்பாட்டைக் கொண்டுள்ளது) என்றால், எதிர்மறை மறு செய்கைகள் செயல்பாட்டு தலைகீழ்கள் மற்றும் அவற்றின் கலவைகளுக்கு ஒத்திருக்கின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, இது இயல்பான தலைகீழ், அதே நேரத்தில் தலைகீழ் தானாகவே உருவாக்கப்பட்டது, அதாவது. . பின்ன எதிர்மறை மறு செய்கைகள் பின்ன நேர்மறைக்கு ஒத்ததாக வரையறுக்கப்படுகின்றன; எடுத்துக்காட்டாக, வரையறுக்கப்படுகிறது, அல்லது, சமமாக, அது போன்றது. பின்ன மறு செய்கைக்கான சில சூத்திரங்கள் ஒரு நிலையான புள்ளியைப் பயன்படுத்தி பின்ன மறு செய்கைக்கான தொடர் சூத்திரத்தைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான பல முறைகளில் ஒன்று பின்வருமாறு. முதலில் செயல்பாட்டிற்கான ஒரு நிலையான புள்ளியை தீர்மானிக்கவும். யதார்த்தங்களுக்குச் சொந்தமான அனைத்து n க்கும் வரையறுக்கவும். இது, சில வழிகளில், பின்ன மறு செய்கைகளின் மீது வைக்க மிகவும் இயற்கையான கூடுதல் நிபந்தனையாகும். நிலையான புள்ளியைச் சுற்றி ஒரு டெய்லர் தொடராக விரிவாக்குங்கள், எந்த k க்கும் மாற்றாக விரிவாக்குங்கள், சொற்களை எளிமைப்படுத்த வடிவியல் முன்னேற்றத்தைப் பயன்படுத்துங்கள், ஒரு சிறப்பு வழக்கு உள்ளது, இது காலவரையின்றி தொடரப்படலாம், திறமையற்றது என்றாலும், பிந்தைய சொற்கள் பெருகிய முறையில் சிக்கலானதாகின்றன. மேலும் முறையான நடைமுறை இணைவு பற்றிய பின்வரும் பிரிவில் கோடிட்டுக் காட்டப்பட்டுள்ளது. எடுத்துக்காட்டு 1 எடுத்துக்காட்டாக, அமைவு நிலையான புள்ளியைக் கொடுக்கிறது, எனவே மேலே உள்ள சூத்திரம் சரிபார்க்க அற்பமானது என்று முடிவடைகிறது. எடுத்துக்காட்டு 2 இது n முறை செய்யப்படும் இடத்தின் மதிப்பைக் கண்டறியவும் (மற்றும் n ஒரு முழு எண்ணாக இல்லாதபோது இடைக்கணிக்கப்பட்ட மதிப்புகள் இருக்கலாம்). எங்களிடம் உள்ளது. ஒரு நிலையான புள்ளி. எனவே 2 இன் நிலையான புள்ளி மதிப்பைச் சுற்றி அமைக்கவும் விரிவுபடுத்தவும் ஒரு எல்லையற்ற தொடர், இது முதல் மூன்று சொற்களை மட்டுமே எடுத்து, n நேர்மறை-cf ஆக இருக்கும்போது முதல் தசம இடத்திற்கு சரியானது. டெட்ரேஷன்ஃ. (மற்ற நிலையான புள்ளியைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் தொடர் வேறுபடுகிறது.) ஏனெனில், தொடர் தலைகீழ் செயல்பாட்டைக் கணக்கிடுகிறது. எடுத்துக்காட்டு 3 செயல்பாட்டுடன், x (bn) இன் டெய்லர் தொடர் 1 ஐச் சுற்றி விரிவுபடுத்தப்பட்ட தொடரைப் பெற நிலையான புள்ளி 1 ஐச் சுற்றி விரிவாக்குங்கள். இணைவு மற்றும் இரண்டு மறு செய்கை செயல்பாடுகள் இருந்தால், மற்றும் ஒரு ஹோமியோமார்பிசம் உள்ளது, பின்னர் மற்றும் இடவியல் ரீதியாக இணைக்கப்பட்டதாகக் கூறப்படுகிறது. தெளிவாக, இடவியல் இணைவு மறு செய்கையின் கீழ் பாதுகாக்கப்படுகிறது. எனவே, ஒரு மறு செய்கை செயல்பாட்டு அமைப்புக்கு ஒருவர் தீர்க்க முடிந்தால், அனைத்து இடவியல் ரீதியாக இணைந்த அமைப்புகளுக்கும் தீர்வுகள் உள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக, கூடார வரைபடம் இடவியல் ரீதியாக தளவாட வரைபடத்துடன் இணைக்கப்பட்டுள்ளது. ஒரு சிறப்பு வழக்கு, எடுத்து, ஒரு என மறு செய்கை உள்ளது, எந்த செயல்பாடு. மாற்று விளைச்சலை உருவாக்குவது, ஏபெல் சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படும் ஒரு வடிவம். ஒரு கடுமையான ஹோமியோமார்பிசம் இல்லாதபோதும், ஒரு நிலையான புள்ளிக்கு அருகில், இங்கே = 0, (0) = 0 ஆக எடுத்துக் கொள்ளப்பட்டால், ஒருவர் பெரும்பாலும் ஒரு செயல்பாட்டிற்கான ஷ்ரோடரின் சமன்பாட்டை தீர்க்க முடியும். எனவே, பொருத்தமான விதிகளின் கீழ் (எ. கா.,) அதன் மறு செய்கை சுற்றுப்பாதை அல்லது ஓட்டம், மோனோமியலின் சுற்றுப்பாதையின் இணைப்புக்கு சமம், இந்த வெளிப்பாட்டில் ஒரு வெற்று அடுக்காக செயல்படுகிறதுஃ செயல்பாட்டு மறு செய்கை பெருக்கத்திற்கு குறைக்கப்பட்டுள்ளது! இருப்பினும், இங்கே, அடுக்குக்கு இனி முழு எண் அல்லது நேர்மறையாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை, மேலும் இது முழு சுற்றுப்பாதைக்கான பரிணாம வளர்ச்சியின் தொடர்ச்சியான "நேரம்" ஆகும்ஃ பிகார்ட் வரிசையின் மோனாய்டு (cf. உருமாற்ற அரைகுறை) ஒரு முழு தொடர்ச்சியான குழுவாக பொதுமைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது. இந்த முறை (முதன்மை ஐகென்ஃபங்ஷன் இன் பெர்டர்பேட்டிவ் டெர்மினேஷன், cf. கார்ல்மேன் மேட்ரிக்ஸ்) முந்தைய பிரிவின் வழிமுறைக்கு சமமானது, இருப்பினும், நடைமுறையில், மிகவும் சக்திவாய்ந்த மற்றும் முறையானதாகும். மார்கோவ் சங்கிலிகள் செயல்பாடு நேரியல் மற்றும் ஒரு சீரற்ற மேட்ரிக்ஸ் மூலம் விவரிக்க முடியும் என்றால், அதாவது, ஒரு அணி அதன் வரிசைகள் அல்லது நெடுவரிசைகள் ஒன்று கூட்டல், பின்னர் மறு செய்கை அமைப்பு ஒரு மார்கோவ் சங்கிலி என்று அழைக்கப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டுகள் பல குழப்பமான வரைபடங்கள் உள்ளன. நன்கு அறியப்பட்ட மறு செய்கை செயல்பாடுகளில் மாண்டல்பிரோட் தொகுப்பு மற்றும் மறு செய்கை செயல்பாட்டு அமைப்புகள் அடங்கும். எர்ன்ஸ்ட் ஷ்ரோடர், 1870 ஆம் ஆண்டில், லாஜிஸ்டிக் வரைபடத்தின் சிறப்பு நிகழ்வுகளை உருவாக்கினார், அதாவது குழப்பமான வழக்கு, எனவே. ஷ்ரோடர் தனது முறையுடன் விளக்கப்பட்ட ஒரு காழ்ப்புணர்ச்சியற்ற வழக்கு, விளைந்தது, எனவே. ஒரு தொகுப்பில் ஒரு குழு உறுப்பின் செயல்பாடு என்றால், மறு செய்கை செயல்பாடு ஒரு இலவச குழுவிற்கு ஒத்திருக்கிறது. பெரும்பாலான செயல்பாடுகளுக்கு n-th மறு செய்கைக்கு வெளிப்படையான பொதுவான மூடிய வடிவ வெளிப்பாடுகள் இல்லை. கீழேயுள்ள அட்டவணை அவ்வாறு செய்யும் சிலரை பட்டியலிடுகிறது. இந்த வெளிப்பாடுகள் அனைத்தும் முழு எண் அல்லாத மற்றும் எதிர்மறை n, அதே போல் எதிர்மறை அல்லாத முழு எண் n க்கு கூட செல்லுபடியாகும் என்பதை நினைவில் கொள்க. குறிப்புஃ இந்த இரண்டு சிறப்பு நிகழ்வுகளும் மட்டுமே மூடிய வடிவ தீர்வைக் கொண்ட ஒரே நிகழ்வுகளாகும். முறையே b = 2 =-a மற்றும் b = 4 =-a ஐத் தேர்ந்தெடுப்பது, அவற்றை அட்டவணைக்கு முன் விவாதிக்கப்பட்ட அயோடிக் அல்லாத மற்றும் குழப்பமான லாஜிஸ்டிக் நிகழ்வுகளுக்கு மேலும் குறைக்கிறது. இந்த எடுத்துக்காட்டுகளில் சில எளிய இணைப்புகளால் தங்களுக்குள் தொடர்புடையவை. மறு செய்கை செயல்பாடுகளை ஆர்ட்டின்-மசூர் ஜீட்டா செயல்பாடு மற்றும் பரிமாற்ற ஆபரேட்டர்கள் மூலம் ஆய்வு செய்யலாம். கணினி அறிவியலில், தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகள் தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளின் ஒரு சிறப்பு நிகழ்வாக நிகழ்கின்றன, இது லாம்ப்டா கால்குலஸ் போன்ற பரந்த தலைப்புகள் அல்லது கணினி நிரல்களின் குறியீட்டு சொற்பொருள் போன்ற குறுகிய தலைப்புகளின் ஆய்வுக்கு நங்கூரமிடுகிறது. மறு செய்கை செயல்பாடுகளின் அடிப்படையில் வரையறைகள் இரண்டு முக்கியமான செயல்பாடுகளை மறு செய்கை செயல்பாடுகளின் அடிப்படையில் வரையறுக்கலாம். இவை கூட்டுத்தொகைஃ மற்றும் சமமான பெருக்கல்ஃ செயல்பாட்டு வழித்தோன்றல் ஒரு மறுசுழற்சி செயல்பாட்டின் செயல்பாட்டு வழித்தோன்றல் மறுசுழற்சி சூத்திரத்தால் வழங்கப்படுகிறதுஃ லை இன் தரவு போக்குவரத்து சமன்பாடு மறுசுழற்சி செயல்பாடுகள் ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடுகளின் தொடர் விரிவாக்கத்தில் பயிரிடப்படுகின்றன, எடுத்துக்காட்டாக. செயல்பாட்டின் th மறு செய்கைக்கு மறு செய்கை திசைவேகம் அல்லது பீட்டா செயல்பாடு (இயற்பியல்) கொடுக்கப்பட்டால், நம்மிடம் உள்ளது எடுத்துக்காட்டாக, கடினமான அட்வெக்சனுக்கு, என்றால். இதன் விளைவாக, ஒரு எளிய ஷிப்ட் ஆபரேட்டரின் நடவடிக்கை. இதற்கு நேர்மாறாக, மேலே விவாதிக்கப்பட்ட பொதுவான ஏபெல் சமன்பாட்டின் மூலம் ஒருவர் தன்னிச்சையாக கொடுக்கப்பட்டதைக் குறிப்பிடலாம், அங்கு இது தொடர்ச்சியான மறு செய்கை குறியீட்டிற்கு, இப்போது ஒரு சப்ஸ்கிரிப்டாக எழுதப்பட்டுள்ளது, இது ஒரு தொடர்ச்சியான குழுவின் லையின் புகழ்பெற்ற அதிவேக உணர்தலுக்கு சமம் என்பதைக் குறிப்பிடுவதன் மூலம் இது தெளிவாகிறது, இந்த அதிவேக உணர்தல் தானாகவே மொழிபெயர்ப்பு செயல்பாட்டு சமன்பாட்டிற்கு பொதுவான தீர்வை வழங்குகிறது, மேலும் பகுத்தறிவற்ற சுழற்சி மறு செய்கை செயல்பாட்டு அமைப்பு சுழற்சி முறை சுழற்சி எண் சார்க்கோவ்ஸ்கியின் தேற்றம் பின்ன கணக்கீட்டு மறுநிகழ்வு உறவு ஷ்ரோடரின் சமன்பாடு செயல்பாட்டு சதுர மூல ஏபெல் செயல்பாடு ஷ்ரோடரின் சமன்பாடு பாட்டரின் சமன்பாடு பகுப்பாய்வு செயல்பாடுகளின் எல்லையற்ற கலவைகள் ஃப்ளோ