Smoothness
கணித பகுப்பாய்வில், ஒரு செயல்பாட்டின் மென்மை என்பது சில களங்களில் தொடர்ச்சியான வழித்தோன்றல்களின் எண்ணிக்கையால் அளவிடப்படும் ஒரு பண்பு ஆகும், இது வேறுபாடு வகுப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது. குறைந்தபட்சம், ஒரு செயல்பாடு எல்லா இடங்களிலும் வேறுபடுத்தக்கூடியதாக இருந்தால் (எனவே தொடர்ச்சியானது) மென்மையாகக் கருதப்படலாம். மறுபுறம், இது அதன் களத்தில் உள்ள அனைத்து வரிசைகளின் வழித்தோன்றல்களையும் கொண்டிருக்கலாம், இந்த விஷயத்தில் இது எல்லையற்ற வேறுபடுத்தக்கூடியது என்று கூறப்படுகிறது மற்றும் சி-முடிவிலி செயல்பாடு (அல்லது செயல்பாடு) என்று குறிப்பிடப்படுகிறது. வேறுபடுத்துதல் வகுப்புகள் வேறுபடுத்துதல் வகுப்பு என்பது அவற்றின் வழித்தோன்றல்களின் பண்புகளின்படி செயல்பாடுகளை வகைப்படுத்துவதாகும். இது ஒரு செயல்பாட்டிற்கு இருக்கும் மற்றும் தொடர்ச்சியான வழித்தோன்றலின் மிக உயர்ந்த வரிசையின் அளவீடு ஆகும். உண்மையான கோட்டில் ஒரு திறந்த தொகுப்பு மற்றும் உண்மையான மதிப்புகளுடன் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு செயல்பாட்டைக் கவனியுங்கள். k ஒரு எதிர்மறை அல்லாத முழு எண்ணாக இருக்கட்டும். வழித்தோன்றல்கள் இருந்தால் மற்றும் தொடர்ச்சியானதாக இருந்தால் செயல்பாடு வேறுபடுத்தக்கூடிய வகுப்பைக் கொண்டதாகக் கூறப்படுகிறது. - வேறுபடுத்தக்கூடியதாக இருந்தால், அது குறைந்தபட்சம் வகுப்பில் உள்ளது, ஏனெனில் அவை தொடர்ச்சியானவை. செயல்பாடு எல்லையற்ற வேறுபடுத்தக்கூடிய, மென்மையான அல்லது வர்க்கத்தின் என்று கூறப்படுகிறது, அது அனைத்து ஆர்டர்களின் வழித்தோன்றல்களையும் கொண்டிருந்தால். (எனவே இந்த வழித்தோன்றல்கள் அனைத்தும் தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகள்.) மென்மையாக இருந்தால் (அதாவது, வகுப்பில் இருந்தால்) செயல்பாடு வர்க்கம் அல்லது பகுப்பாய்வு என்று கூறப்படுகிறது, மேலும் அதன் களத்தில் உள்ள எந்த புள்ளியிலும் அதன் டெய்லர் தொடர் விரிவாக்கம் புள்ளியின் சில சுற்றுப்புறங்களில் உள்ள செயல்பாட்டுடன் இணைகிறது. எனவே கண்டிப்பாக உள்ளடக்கப்பட்டுள்ளது. பம்ப் செயல்பாடுகள் செயல்பாடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகளாகும், ஆனால் உள்ளே அல்ல. வேறுவிதமாகக் கூறினால், இந்த வகுப்பு அனைத்து தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளையும் கொண்டுள்ளது. வகுப்பில் அனைத்து வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாடுகளும் உள்ளன, அவற்றின் வழித்தோன்றல் தொடர்ச்சியானது; அத்தகைய செயல்பாடுகள் தொடர்ச்சியான வேறுபடுத்தக்கூடியவை என்று அழைக்கப்படுகின்றன. எனவே, ஒரு சார்பு என்பது சரியாக ஒரு சார்பு, அதன் வழித்தோன்றல் உள்ளது மற்றும் வர்க்கத்தைச் சேர்ந்தது. பொதுவாக, அனைத்து தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளின் தொகுப்பாக அறிவிப்பதன் மூலமும், எந்தவொரு நேர்மறை முழு எண்ணையும் அதன் வழித்தோன்றல் உள்ள அனைத்து வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாடுகளின் தொகுப்பாக அறிவிப்பதன் மூலமும் வகுப்புகளை மீண்டும் மீண்டும் வரையறுக்க முடியும். குறிப்பாக, ஒவ்வொன்றிலும் உள்ளது, மேலும் இந்த கட்டுப்பாடு கண்டிப்பானது () என்பதைக் காட்ட எடுத்துக்காட்டுகள் உள்ளன. எல்லையற்ற வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாடுகளின் வகுப்பு, எதிர்மறை அல்லாத முழு எண்களில் மாறுபடும் வகுப்புகளின் குறுக்குவெட்டு ஆகும். எடுத்துக்காட்டுகள்ஃ தொடர்ச்சியான (C0) ஆனால் வேறுபடுத்த முடியாத செயல்பாடு தொடர்ச்சியானது, ஆனால் வேறுபடுத்தக்கூடியது அல்ல, எனவே இது C0 வகுப்பைச் சேர்ந்தது, ஆனால் C1 வகுப்பைச் சேர்ந்தது அல்ல. எடுத்துக்காட்டுஃ ஃபைனிட்லி-டைம்ஸ் டிஃபரென்ஷியேபிள் (சி) ஒவ்வொரு இரட்டை முழு எண்ணுக்கும், செயல்பாடு தொடர்ச்சியானது மற்றும் நேரங்கள் வேறுபடுத்தக்கூடியது. இருப்பினும், நேரம் வேறுபடுத்தக்கூடியதாக இல்லை, அதேபோல் சி வகுப்பும் உள்ளது, ஆனால் சி வகுப்பில் இல்லை. எடுத்துக்காட்டுஃ வேறுபடுத்தக்கூடிய ஆனால் தொடர்ச்சியாக வேறுபடுத்த முடியாத (சி 1 அல்ல) செயல்பாடு வேறுபடுத்தக்கூடியது, வழித்தோன்றலுடன் ஏனெனில் ஊசலாடுகிறது, பூஜ்ஜியத்தில் தொடர்ச்சியானது அல்ல. எனவே, வேறுபடுத்தக்கூடியது ஆனால் வகுப்பு C1 அல்ல. எடுத்துக்காட்டுஃ வேறுபடுத்தக்கூடிய ஆனால் லிப்ஸ்கிட்ஸ் தொடர்ச்சியானது அல்ல செயல்பாடு வேறுபடுத்தக்கூடியது, ஆனால் அதன் வழித்தோன்றல் ஒரு சிறிய தொகுப்பில் வரம்பற்றது. எனவே, இது வேறுபடுத்தக்கூடிய ஒரு செயல்பாட்டிற்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு, ஆனால் உள்ளூரில் லிப்ஸிட்ச் தொடர்ச்சியானது அல்ல. எடுத்துக்காட்டுஃ பகுப்பாய்வு (சி) அதிவேக செயல்பாடு பகுப்பாய்வு, எனவே Cω வகுப்பில் வருகிறது. முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் சிக்கலான அதிவேக செயல்பாடுகளின் நேரியல் சேர்க்கைகள் மற்றும் அவை வரையறுக்கப்பட்ட இடங்களில் பகுப்பாய்வு செய்யப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டுஃ மென்மையான (சி) ஆனால் பகுப்பாய்வு அல்ல (சி) பம்ப் செயல்பாடு மென்மையானது, எனவே வகுப்பு சி ≤, ஆனால் அது பகுப்பாய்வு அல்ல, எனவே வகுப்பு சிω அல்ல. கச்சிதமான ஆதரவுடன் மென்மையான செயல்பாட்டிற்கு இந்த செயல்பாடு ஒரு எடுத்துக்காட்டு. பன்முக வேறுபாடு வகுப்புகள் ஒரு திறந்த தொகுப்பில் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு செயல்பாடு, ஒரு நேர்மறை முழு எண்ணுக்கு, அனைத்து பகுதி வழித்தோன்றல்களும் இருந்தால் மற்றும் தொடர்ச்சியாக இருந்தால், ஒவ்வொரு எதிர்மறை அல்லாத முழு எண்களுக்கும், மற்றும் ஒவ்வொன்றிற்கும். சமமாக,-th வரிசை ஃப்ரெசெட் வழித்தோன்றல் இருந்தால் அது வகுப்பில் உள்ளது மற்றும் அதன் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் தொடர்ச்சியானது. செயல்பாடு கிளாஸ் அல்லது அது தொடர்ச்சியாக இருந்தால் என்று கூறப்படுகிறது. வகுப்பின் செயல்பாடுகள் தொடர்ந்து வேறுபடுத்தக்கூடியவை என்றும் கூறப்படுகிறது. ஒரு செயல்பாடு, ஒரு திறந்த தொகுப்பில் வரையறுக்கப்படுகிறது, ஒரு நேர்மறை முழு எண்ணுக்கு, அதன் அனைத்து கூறுகளும் வகுப்பில் இருந்தால், வரையறுக்கப்பட்ட இயற்கை கணிப்புகள் எங்கே. இது வர்க்கத்தைச் சேர்ந்தது அல்லது அது தொடர்ச்சியாக இருந்தால், அல்லது சமமாக, அனைத்து கூறுகளும் தொடர்ச்சியாக இருந்தால், ஆன் என்று கூறப்படுகிறது. Ck செயல்பாடுகளின் இடைவெளி உண்மையான கோட்டின் திறந்த துணைக்குழுவாக இருக்கட்டும். வரையறுக்கப்பட்ட அனைத்து உண்மையான மதிப்புள்ள செயல்பாடுகளின் தொகுப்பு ஒரு ஃப்ரெச்செட் திசையன் இடமாகும், இதில் செமினார்ம்களின் எண்ணக்கூடிய குடும்பம் உள்ளது, அங்கு ஒன்றிணைந்த சிறிய தொகுப்புகளின் தொடர்ச்சியில் மாறுபடும், மற்றும். செயல்பாடுகளின் தொகுப்பும் ஒரு ஃப்ரெச்செட் இடத்தை உருவாக்குகிறது. ஒன்று மேலே உள்ள அதே செமினார்ம்களைப் பயன்படுத்துகிறது, இது அனைத்து எதிர்மறை அல்லாத முழு எண் மதிப்புகளுக்கும் வரம்பிற்குள் அனுமதிக்கப்படுவதைத் தவிர. மேலே உள்ள இடைவெளிகள் இயற்கையாகவே சில வரிசைகளின் வழித்தோன்றல்களைக் கொண்ட செயல்பாடுகளில் நிகழ்கின்றன; இருப்பினும், குறிப்பாக பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் ஆய்வில், சில நேரங்களில் சோபோலேவ் இடைவெளிகளுடன் வேலை செய்வது மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும். தொடர்ச்சி அளவுரு தொடர்ச்சி (சி. கே) மற்றும் வடிவியல் தொடர்ச்சி (ஜி. என்) என்ற சொற்கள் பிரையன் பார்ஸ்கியால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டன, இது ஒரு வளைவின் மென்மையை வேகத்தில் உள்ள கட்டுப்பாடுகளை அகற்றுவதன் மூலம் அளவிட முடியும் என்பதைக் காட்டுகிறது, இதன் மூலம் அளவுரு வளைவைக் கண்டறிகிறது. அளவுரு தொடர்ச்சி அளவுரு தொடர்ச்சி (சி. கே) என்பது அளவுரு வளைவுகளுக்கு பயன்படுத்தப்படும் ஒரு கருத்தாகும், இது வளைவில் உள்ள தூரத்துடன் அளவுருவின் மதிப்பின் மென்மையை விவரிக்கிறது. A (அளவுரு) வளைவு Ck வகுப்பைக் கொண்டதாகக் கூறப்படுகிறது, இருந்தால் அது தொடர்ச்சியாக உள்ளது, இறுதி புள்ளிகளில் உள்ள வழித்தோன்றல்கள் மற்றும் ஒரு பக்க வழித்தோன்றல்களாக (வலதுபுறத்தில் இருந்து மற்றும் இடதுபுறத்தில் இருந்து) எடுத்துக் கொள்ளப்படுகின்றன. இந்தக் கருத்தின் நடைமுறைப் பயன்பாடாக, நேர அளவுருவுடன் ஒரு பொருளின் இயக்கத்தை விவரிக்கும் ஒரு வளைவு C1 தொடர்ச்சியைக் கொண்டிருக்க வேண்டும் மற்றும் அதன் முதல் வழித்தோன்றல் வேறுபடுத்தக்கூடியது-பொருள் வரையறுக்கப்பட்ட முடுக்கம் கொண்டிருக்க வேண்டும். ஒரு திரைப்படத்தை உருவாக்கும் போது கேமராவின் பாதை போன்ற மென்மையான இயக்கத்திற்கு, அளவுரு தொடர்ச்சியின் உயர் வரிசைகள் தேவைப்படுகின்றன. அளவுரு தொடர்ச்சியின் வரிசை அளவுரு தொடர்ச்சியின் பல்வேறு வரிசையை பின்வருமாறு விவரிக்கலாம்ஃ பூஜ்ஜிய வழித்தோன்றல் தொடர்ச்சியானது (வளைவுகள் தொடர்ச்சியானவை): பூஜ்ஜியம் மற்றும் முதல் வழித்தோன்றல்கள் தொடர்ச்சியானவைஃ பூஜ்ஜியம், முதல் மற்றும் இரண்டாவது வழித்தோன்றல்கள் தொடர்ச்சியானவைஃ 0-th முதல்-th வழித்தோன்றல்கள் தொடர்ச்சியான வடிவியல் தொடர்ச்சியாகும். இந்த கருத்து இயற்கணிதத்தை விட வடிவியல் மூலம், ஒரு அளவுரு செயல்பாட்டின் மூலம் வெளிப்படுத்தப்படும் தொடர்ச்சியின் கருத்தை விவரிக்கும் ஆரம்ப முயற்சியாகும். வடிவியல் தொடர்ச்சியின் பின்னணியில் உள்ள அடிப்படை யோசனை என்னவென்றால், ஐந்து கூம்பு பிரிவுகள் உண்மையில் ஒரே வடிவத்தின் ஐந்து வெவ்வேறு பதிப்புகள். ஒரு நீள்வட்டமானது விசித்திரத்தன்மை பூஜ்ஜியத்தை நெருங்கும்போது ஒரு வட்டத்திற்கு அல்லது ஒரு பரவளையத்தை நெருங்கும்போது ஒரு பரவளையத்திற்கு முனைகிறது; விசித்திரத்தன்மை ஒன்றை நோக்கி விழும்போது ஒரு ஹைப்பர்போலா ஒரு பரவளையத்திற்கு முனைகிறது; அது கோடுகளை வெட்டுவதற்கும் முனைகிறது. இவ்வாறு, கூம்பு பிரிவுகளுக்கு இடையே தொடர்ச்சி இருந்தது. இந்த கருத்துக்கள் தொடர்ச்சியின் பிற கருத்துக்களுக்கு வழிவகுத்தன. உதாரணமாக, ஒரு வட்டமும் ஒரு நேர்கோடும் ஒரே வடிவத்தின் இரண்டு வெளிப்பாடுகளாக இருந்தால், ஒருவேளை ஒரு கோடு எல்லையற்ற ஆரம் கொண்ட வட்டமாக கருதப்படலாம். அப்படி இருக்க, புள்ளியை வட்டத்தில் ஒரு புள்ளியாக அனுமதிப்பதன் மூலம் ஒருவர் கோட்டை மூட வேண்டும், மற்றும் ஒரே மாதிரியாக இருக்க வேண்டும். இத்தகைய கருத்துக்கள் நவீன, இயற்கணித ரீதியாக வரையறுக்கப்பட்ட, ஒரு செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சியைப் பற்றிய யோசனையை உருவாக்குவதில் பயனுள்ளதாக இருந்தன (மேலும் திட்டவட்டமாக நீட்டிக்கப்பட்ட உண்மையான கோட்டைப் பார்க்கவும்). வடிவியல் தொடர்ச்சியின் வரிசை ஒரு வளைவு அல்லது மேற்பரப்பு தொடர்ச்சியைக் கொண்டிருப்பதாக விவரிக்கப்படலாம், இது மென்மையின் அதிகரித்து வரும் அளவீடு ஆகும். ஒரு வளைவில் ஒரு புள்ளியின் இருபுறமும் உள்ள பிரிவுகளைக் கவனியுங்கள்ஃ வளைவுகள் இணைக்கும் புள்ளியில் தொடுகின்றன. : வளைவுகள் இணைக்கும் புள்ளியில் ஒரு பொதுவான தொடுகோடு திசையையும் பகிர்ந்து கொள்கின்றன. : வளைவுகள் இணைக்கும் புள்ளியில் ஒரு பொதுவான வளைவு மையத்தையும் பகிர்ந்து கொள்கின்றன. பொதுவாக, வளைவுகளை (அளவுரு) தொடர்ச்சியைக் கொண்டிருக்க மறுசீரமைக்க முடிந்தால் தொடர்ச்சி உள்ளது. வளைவின் மறுசீரமைப்பு வடிவியல் ரீதியாக அசலுக்கு ஒத்ததாக இருக்கிறது; அளவுரு மட்டுமே பாதிக்கப்படுகிறது. சமமாக, இரண்டு திசையன் செயல்பாடுகள் மற்றும் ஒரு அளவிடுதலுக்கு (அதாவது, திசை, ஆனால் அளவு அவசியமில்லை என்றால், இரண்டு திசையன்களின் சமமாக இருந்தால்) தொடர்ச்சியைக் கொண்டுள்ளன. ஒரு வளைவு மென்மையாகத் தோன்ற தொடர்ச்சியான தேவை என்பது வெளிப்படையாகத் தெரிந்தாலும், கட்டிடக்கலை மற்றும் ஸ்போர்ட்ஸ் கார் வடிவமைப்பில் விரும்பியவர்கள் போன்ற நல்ல அழகியலுக்கு, அதிக அளவிலான வடிவியல் தொடர்ச்சி தேவைப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, உடல் தொடர்ச்சியைக் கொண்டிருக்காவிட்டால் ஒரு கார் உடலில் பிரதிபலிப்புகள் மென்மையாகத் தோன்றாது. A (நான்கு மூலைகளிலும் தொண்ணூறு டிகிரி வட்ட வளைவுகளுடன்) தொடர்ச்சியைக் கொண்டுள்ளது, ஆனால் தொடர்ச்சியைக் கொண்டிருக்கவில்லை. ஒரு கோளத்தின் ஆக்டான்ட்கள் அதன் மூலைகளிலும், கால் சிலிண்டர்கள் அதன் விளிம்புகளிலும் உள்ள a க்கும் இது பொருந்தும். தொடர்ச்சியுடன் திருத்தக்கூடிய வளைவு தேவைப்பட்டால், கியூபிக் ஸ்ப்ளைன்கள் பொதுவாக தேர்ந்தெடுக்கப்படுகின்றன; இந்த வளைவுகள் தொழில்துறை வடிவமைப்பில் அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படுகின்றன. பிற கருத்துக்கள் பகுப்பாய்வுடன் தொடர்பு அனைத்து பகுப்பாய்வு செயல்பாடுகளும் "மென்மையானவை" (அதாவது. அனைத்து வழித்தோன்றல்களும் தொடர்ச்சியாக உள்ளன) அவை பகுப்பாய்வு செய்யப்படும் தொகுப்பில், பம்ப் செயல்பாடுகள் (மேலே குறிப்பிடப்பட்டவை) போன்ற எடுத்துக்காட்டுகள் உண்மையான செயல்பாடுகளுக்கு நேர்மாறாக இல்லை என்பதைக் காட்டுகின்றனஃ பகுப்பாய்வு செய்யாத மென்மையான உண்மையான செயல்பாடுகள் உள்ளன. எந்த நேரத்திலும் மென்மையான ஆனால் பகுப்பாய்வு செய்யப்படாத செயல்பாடுகளின் எளிய எடுத்துக்காட்டுகளை ஃபோரியர் தொடர் மூலம் உருவாக்க முடியும்; மற்றொரு எடுத்துக்காட்டு ஃபேபியஸ் செயல்பாடு ஆகும். இத்தகைய செயல்பாடுகள் விதியை விட விதிவிலக்காக இருப்பதாகத் தோன்றினாலும், பகுப்பாய்வு செயல்பாடுகள் மென்மையானவற்றில் மிகவும் மெல்லியதாக சிதறிக்கிடக்கின்றன; மிகவும் கடுமையாக, பகுப்பாய்வு செயல்பாடுகள் மென்மையான செயல்பாடுகளின் ஒரு சிறிய துணைக்குழுவை உருவாக்குகின்றன. மேலும், உண்மையான கோட்டின் ஒவ்வொரு திறந்த துணைக்குழுவிற்கும், A இல் பகுப்பாய்வு செய்யப்படும் மென்மையான செயல்பாடுகள் உள்ளன, வேறு எங்கும் இல்லை. நிலைமையை உண்மையான கோட்டில் உள்ள ஆழ்நிலை எண்களின் எங்கும் உள்ள நிலைமையுடன் ஒப்பிடுவது பயனுள்ளதாக இருக்கும். உண்மையான கோடு மற்றும் மென்மையான செயல்பாடுகளின் தொகுப்பு ஆகிய இரண்டிலும், முதல் சிந்தனையில் நாம் கொண்டு வரும் எடுத்துக்காட்டுகள் (இயற்கணித/விகிதமுறு எண்கள் மற்றும் பகுப்பாய்வு செயல்பாடுகள்) பெரும்பாலான நிகழ்வுகளை விட மிகவும் சிறப்பாக செயல்படுகின்றனஃ ஆழ்நிலை எண்கள் மற்றும் எங்கும் பகுப்பாய்வு செயல்பாடுகள் முழு அளவீட்டைக் கொண்டிருக்கவில்லை (அவற்றின் நிரப்புகள் மிகக் குறைவு). இவ்வாறு விவரிக்கப்பட்ட நிலைமை சிக்கலான வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாடுகளுக்கு முற்றிலும் மாறுபட்டது. ஒரு திறந்த தொகுப்பில் ஒரு முறை மட்டுமே ஒரு சிக்கலான செயல்பாடு வேறுபடுத்தக்கூடியதாக இருந்தால், அது அந்த தொகுப்பில் எல்லையற்ற வேறுபடுத்தக்கூடியதாகவும் பகுப்பாய்வு செய்யக்கூடியதாகவும் இருக்கும். ஒற்றுமையின் மென்மையான பகிர்வுகள் கொடுக்கப்பட்ட மூடிய ஆதரவுடன் மென்மையான செயல்பாடுகள் ஒற்றுமையின் மென்மையான பகிர்வுகளின் கட்டுமானத்தில் பயன்படுத்தப்படுகின்றன (ஒற்றுமையின் பகிர்வு மற்றும் இடவியல் சொற்களஞ்சியத்தைப் பார்க்கவும்); மென்மையான பன்மடங்கு ஆய்வில் இவை அவசியம், எடுத்துக்காட்டாக ரீமானியன் அளவீடுகளை அவற்றின் உள்ளூர் இருப்பு முதல் உலகளவில் வரையறுக்க முடியும் என்பதைக் காட்ட. ஒரு எளிய வழக்கு உண்மையான கோட்டில் ஒரு பம்ப் செயல்பாடு ஆகும், அதாவது, ஒரு மென்மையான செயல்பாடு f ஒரு இடைவெளி [a, b] க்கு வெளியே 0 மதிப்பை எடுக்கும் மற்றும் கோட்டில் பல ஒன்றுடன் ஒன்று இடைவெளிகள் கொடுக்கப்பட்டால், பம்ப் செயல்பாடுகளை அவை ஒவ்வொன்றிலும் கட்டமைக்க முடியும், மற்றும் அரை-எல்லையற்ற இடைவெளிகளில் மற்றும் முழு வரியையும் உள்ளடக்கும் வகையில், செயல்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகை எப்போதும் 1 ஆக இருக்கும். இப்போது கூறப்பட்டதிலிருந்து, ஒற்றுமையின் பகிர்வுகள் ஹோலோமார்பிக் செயல்பாடுகளுக்கு பொருந்தாது; இருப்பு மற்றும் பகுப்பாய்வு தொடர்ச்சியுடன் தொடர்புடைய அவற்றின் வெவ்வேறு நடத்தை ஷீஃப் கோட்பாட்டின் வேர்களில் ஒன்றாகும். இதற்கு மாறாக, மென்மையான செயல்பாடுகளின் உறைகள் அதிக இடவியல் தகவல்களைக் கொண்டிருக்காது. ஒரு மென்மையான பன்மடங்கு, பரிமாணம் மற்றும் ஒரு அட்லஸ் கொடுக்கப்பட்டால், ஒரு வரைபடம் மென்மையாக இருக்கும், இது போன்ற ஒரு விளக்கப்படம் இருந்தால், அது ஒரு சுற்றுப்புறத்திலிருந்து ஒரு மென்மையான செயல்பாடாகும் (கொடுக்கப்பட்ட வரிசை வரை அனைத்து பகுதி வழித்தோன்றல்களும் தொடர்ச்சியானவை). அட்டவணைகளுக்கு இடையிலான மாற்றம் செயல்பாடுகளில் உள்ள மென்மைத் தேவைகள் ஒரு விளக்கப்படத்திற்கு அருகில் மென்மையாக இருந்தால் அது வேறு எந்த விளக்கப்படத்திற்கும் அருகில் மென்மையாக இருக்கும் என்பதை உறுதி செய்வதால் அட்லஸின் எந்த விளக்கப்படத்தையும் பொறுத்து மென்மையை சரிபார்க்கலாம். ஒரு பரிமாண பன்மடங்கு வரைபடமாக இருந்தால், ஒவ்வொன்றிற்கும் ஒரு விளக்கப்படம் மற்றும் அது போன்ற ஒரு விளக்கப்படம் இருந்தால் அது மென்மையாக இருக்கும், மேலும் பன்மடங்கு இடையே உள்ள மென்மையான வரைபடங்களிலிருந்து ஒரு மென்மையான செயல்பாடு தொடுகோட்டு இடைவெளிகளிடையே நேரியல் வரைபடங்களைத் தூண்டுகிறதுஃ ஏனெனில், ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் புஷ்ஃபார்வர்டு (அல்லது வேறுபாடு) தொடுகோட்டு திசையன்களுக்கு தொடுகோட்டு திசையன்களை வரைபடமாக்குகிறதுஃ மேலும் தொடுகோட்டு மூட்டையின் மட்டத்தில், புஷ்ஃபார்வர்டு ஒரு திசையன் மூட்டை காப்பமைவியம்ஃ புஷ்ஃபார்வர்டுக்கு இரட்டை என்பது புல்பேக் ஆகும், இது கோவேக்டர்களை கோவேக்டர்களுக்கு மீண்டும் "இழுக்கிறது" மற்றும்-வடிவங்களுக்கு-வடிவங்களுக்குஃ இந்த வழியில் பன்மடங்கு இடையே உள்ள மென்மையான செயல்பாடுகள் திசையன் புலங்கள் மற்றும் வேறுபாடு வடிவங்கள் போன்ற உள்ளூர் தரவை ஒரு பன்மடங்கு அல்லது கீழே கொண்டு செல்ல முடியும். மென்மையான செயல்பாடுகளுடன் முன்னோடிகள் மற்றும் முன்னோக்கி தள்ளுதல், பொதுவாக, கூடுதல் அனுமானங்கள் இல்லாமல் பன்மடங்கு அல்ல. வழக்கமான புள்ளிகளின் முன்கணிப்புகள் (அதாவது, முன்கணிப்பில் வேறுபாடு மறைந்துவிடாவிட்டால்) பன்மடங்கு ஆகும்; இது முன்கணிப்பு தேற்றம். இதேபோல், உட்பொதிப்புகளுடன் முன்னோக்கி தள்ளுவது பன்மடங்கு ஆகும். பன்மடங்கு துணைக்குழுக்களுக்கு இடையில் மென்மையான செயல்பாடுகள் பன்மடங்கு தன்னிச்சையான துணைக்குழுக்களுக்கான மென்மையான வரைபடத்தின் தொடர்புடைய கருத்து உள்ளது. ஒரு செயல்பாடு என்றால் அதன் களம் மற்றும் வரம்பு முறையே பன்மடங்கு மற்றும் துணைக்குழுக்களாக இருக்கும். எல்லாவற்றிற்கும் ஒரு திறந்த தொகுப்பு மற்றும் அனைவருக்கும் ஒரு மென்மையான செயல்பாடு இருந்தால் மென்மையானது என்று கூறப்படுகிறது (எண் கோட்பாடு) சோபோலேவ் மேப்பிங் குறிப்புகள் மென்மையான செயல்பாடுகள்