Harnack's principle
பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் கணிதத் துறையில், ஹார்னாக்கின் கோட்பாடு அல்லது ஹார்னாக்கின் தேற்றம் என்பது ஹார்னாக்கின் சமத்துவமின்மையின் ஒரு இணைப்பாகும், இது ஹார்மோனிக் செயல்பாடுகளின் வரிசைகளின் ஒருங்கிணைப்பைக் கையாள்கிறது. யூக்ளிடியன் இடத்தின் திறந்த இணைக்கப்பட்ட துணைக்குழுவில் ஹார்மோனிக் செயல்பாடுகளின் வரிசையைக் கருத்தில் கொண்டால், அவை ஒவ்வொரு புள்ளிக்கும், பின்னர் வரம்பு தானாகவே நீட்டிக்கப்பட்ட உண்மையான எண் வரிசையில் உள்ளது என்ற பொருளில் புள்ளிவழியாக சலிப்பாக இல்லை. ஹார்னாக்கின் தேற்றம் வரம்பு ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் எல்லையற்றது அல்லது அதன் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது என்று கூறுகிறது. பிந்தைய வழக்கில், ஒருங்கிணைப்பு சிறிய செட்களில் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும் மற்றும் வரம்பு ஒரு ஹார்மோனிக் செயல்பாடாகும். இந்தக் கோட்பாடு ஹார்னாக்கின் சமத்துவமின்மையின் விளைவாகும். எந்தவொரு குறிப்பிட்ட மதிப்பிற்கும் ஒரு காச்சி வரிசை என்றால், ஹார்மோனிக் செயல்பாட்டிற்கு பயன்படுத்தப்படும் ஹார்னாக் சமத்துவமின்மை, தன்னிச்சையான சிறிய தொகுப்பைக் கொண்டிருப்பதைக் குறிக்கிறது, இது போதுமான அளவு பெரியது மற்றும் தன்னிச்சையாக சிறியது. இது கச்சிதமான செட்களில் சீரான ஒருங்கிணைப்புக்கான வரையறையாகும். வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஹார்னாக் சமத்துவமின்மை என்பது ஒரு கட்டத்தில் ஹார்மோனிக் செயல்பாடுகளின் வரிசையின் காச்சி சொத்தை அனைத்து புள்ளிகளிலும் காச்சி சொத்துக்கு நேரடியாகப் பரப்பும் ஒரு கருவியாகும். சிறிய தொகுப்புகளில் சீரான ஒருங்கிணைப்பை நிறுவிய பின்னர், வரம்பின் ஒத்திசைவு என்பது சராசரி மதிப்பு பண்பு (தானாகவே சீரான ஒருங்கிணைப்பால் பாதுகாக்கப்படுகிறது) தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளுக்கு இடையில் ஒத்திசைவான செயல்பாடுகளை முழுமையாக வகைப்படுத்துகிறது என்ற உண்மையின் உடனடி விளைவாகும். சுருக்கமான தொகுப்புகளில் சீரான ஒருங்கிணைப்பின் ஆதாரம் எந்தவொரு நேரியல் இரண்டாவது வரிசை நீள்வட்ட பகுதி வேறுபாடு சமன்பாட்டிற்கும் சமமாக உள்ளது, இது அதே சமன்பாட்டை தீர்க்கும் வகையில் நேரியல் ஆகும். ஒரே வித்தியாசம் என்னவென்றால், இரண்டாவது வரிசை நீள்வட்ட PDE இன் தீர்வுகளுக்கான பொதுவான ஹார்னாக் சமத்துவமின்மை ஹோல்டிங் பயன்படுத்தப்பட வேண்டும், மாறாக ஹார்மோனிக் செயல்பாடுகளுக்கு மட்டுமே பயன்படுத்தப்பட வேண்டும். சிறிய செட்களில் சீரான ஒருங்கிணைப்பை நிறுவியிருப்பதால், சராசரி மதிப்பு பண்பு இந்த பொதுவான அமைப்பில் கிடைக்கவில்லை, எனவே ஒரு புதிய தீர்வுக்கு ஒருங்கிணைந்ததற்கான ஆதாரம் அதற்கு பதிலாக ஷாடர் மதிப்பீடுகள் போன்ற பிற கருவிகளைப் பயன்படுத்த வேண்டும். குறிப்புகள் ஆதாரங்கள் வெளிப்புற இணைப்புகள் ஹார்மோனிக் செயல்பாடுகள் சிக்கலான பகுப்பாய்வில் கோட்பாடுகள் கணிதக் கொள்கைகள்