Curve fitting
வளைவு பொருத்துதல் என்பது ஒரு வளைவு அல்லது கணித செயல்பாட்டை உருவாக்கும் செயல்முறையாகும், இது தொடர்ச்சியான தரவு புள்ளிகளுக்கு சிறந்த பொருத்தத்தைக் கொண்டுள்ளது, இது கட்டுப்பாடுகளுக்கு உட்பட்டது. வளைவு பொருத்துதலில் இடைக்கணிப்பு அடங்கும், அங்கு தரவுகளுக்கு ஒரு சரியான பொருத்தம் தேவைப்படுகிறது, அல்லது மென்மையாக்குதல், இதில் தரவுகளுக்கு தோராயமாக பொருந்தக்கூடிய ஒரு "மென்மையான" செயல்பாடு கட்டமைக்கப்படுகிறது. தொடர்புடைய தலைப்பு பின்னடைவு பகுப்பாய்வு ஆகும், இது சீரற்ற பிழைகளுடன் காணப்பட்ட தரவுகளுக்கு பொருந்தக்கூடிய ஒரு வளைவில் எவ்வளவு நிச்சயமற்ற தன்மை உள்ளது போன்ற புள்ளிவிவர அனுமானத்தின் கேள்விகளில் அதிக கவனம் செலுத்துகிறது. பொருத்தப்பட்ட வளைவுகள் தரவு காட்சிப்படுத்தலுக்கான உதவியாகவும், தரவு இல்லாத ஒரு செயல்பாட்டின் மதிப்புகளை ஊகிக்கவும், இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட மாறிகளுக்கு இடையிலான உறவுகளை சுருக்கமாகவும் பயன்படுத்தப்படலாம். எக்ஸ்ட்ராபோலேஷன் என்பது கவனிக்கப்பட்ட தரவுகளின் வரம்பிற்கு அப்பால் பொருத்தப்பட்ட வளைவைப் பயன்படுத்துவதைக் குறிக்கிறது, மேலும் இது ஓரளவு நிச்சயமற்ற தன்மைக்கு உட்பட்டது, ஏனெனில் இது கவனிக்கப்பட்ட தரவைப் பிரதிபலிக்கும் அளவுக்கு வளைவை உருவாக்கப் பயன்படுத்தப்படும் முறையைப் பிரதிபலிக்கக்கூடும். தரவுகளின் நேரியல்-இயற்கணித பகுப்பாய்விற்கு, "பொருத்துதல்" என்பது பொதுவாக வளைவிலிருந்து ஒரு புள்ளியின் செங்குத்து (y-அச்சு) இடப்பெயர்ச்சியைக் குறைக்கும் வளைவைக் கண்டுபிடிக்க முயற்சிப்பதாகும் (எ. கா., சாதாரண குறைந்தபட்ச சதுரங்கள்). இருப்பினும், வரைகலை மற்றும் பட பயன்பாடுகளுக்கு, வடிவியல் பொருத்துதல் சிறந்த காட்சி பொருத்தத்தை வழங்க முற்படுகிறது; இது பொதுவாக வளைவுக்கு ஆர்த்தோகனல் தூரத்தை குறைக்க முயற்சிப்பதைக் குறிக்கிறது (எ. கா., மொத்த குறைந்தபட்ச சதுரங்கள்), அல்லது இல்லையெனில் வளைவிலிருந்து ஒரு புள்ளியின் இடப்பெயர்ச்சியின் இரண்டு அச்சுகளையும் சேர்க்க வேண்டும். வடிவியல் பொருத்தங்கள் பிரபலமாக இல்லை, ஏனெனில் அவை பொதுவாக நேரியல் அல்லாத மற்றும்/அல்லது மறு செய்கை கணக்கீடுகள் தேவைப்படுகின்றன, இருப்பினும் அவை மிகவும் அழகியல் மற்றும் வடிவியல் துல்லியமான முடிவின் நன்மையைக் கொண்டுள்ளன. தரவு புள்ளிகளுக்கு செயல்பாடுகளை இயற்கணித பொருத்துதல் மிகவும் பொதுவாக, ஒன்று வடிவத்தின் செயல்பாட்டிற்கு பொருந்துகிறது. தரவு புள்ளிகளுக்கு பொருத்தமான கோடுகள் மற்றும் பல்லுறுப்புக்கோவை செயல்பாடுகள் முதல் டிகிரி பல்லுறுப்புக்கோவை சமன்பாடு என்பது சாய்வு a கொண்ட ஒரு கோடு ஆகும். ஒரு கோடு எந்த இரண்டு புள்ளிகளையும் இணைக்கும், எனவே முதல் டிகிரி பல்லுறுப்புக்கோவை சமன்பாடு என்பது தனித்துவமான x ஆயத்தொகுதிகளைக் கொண்ட எந்த இரண்டு புள்ளிகளின் வழியாகவும் சரியான பொருத்தமாகும். சமன்பாட்டின் வரிசை இரண்டாவது டிகிரி பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு அதிகரிக்கப்பட்டால், பின்வரும் முடிவுகள்ஃ இது ஒரு எளிய வளைவை மூன்று புள்ளிகளுக்கு சரியாக பொருந்தும். சமன்பாட்டின் வரிசை மூன்றாம் டிகிரி பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு அதிகரிக்கப்பட்டால், பின்வருபவை பெறப்படுகின்றனஃ இது சரியாக நான்கு புள்ளிகளுக்கு பொருந்தும். இது நான்கு கட்டுப்பாடுகளுக்கு சரியாக பொருந்தும் என்று கூறுவது மிகவும் பொதுவான அறிக்கையாகும். ஒவ்வொரு தடையும் ஒரு புள்ளி, கோணம் அல்லது வளைவாக இருக்கலாம் (இது ஒரு ஊசலாடும் வட்டத்தின் ஆரத்தின் பரஸ்பரமாகும்). கோணம் மற்றும் வளைவு கட்டுப்பாடுகள் பெரும்பாலும் ஒரு வளைவின் முனைகளில் சேர்க்கப்படுகின்றன, அத்தகைய சந்தர்ப்பங்களில் அவை இறுதி நிபந்தனைகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. ஒரே முக்கோணத்திற்குள் உள்ள பல்லுறுப்புக்கோவை வளைவுகளுக்கு இடையில் ஒரு மென்மையான மாற்றத்தை உறுதிப்படுத்த ஒரே மாதிரியான இறுதி நிபந்தனைகள் அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படுகின்றன. "வளைவு விகிதத்தில் மாற்றம்" போன்ற உயர்-வரிசை கட்டுப்பாடுகளும் சேர்க்கப்படலாம். உதாரணமாக, இது நெடுஞ்சாலை க்ளோவர்லீஃப் வடிவமைப்பில் ஒரு காரில் பயன்படுத்தப்படும் சக்திகளின் மாற்ற விகிதத்தைப் புரிந்துகொள்ள பயனுள்ளதாக இருக்கும் (ஜெர்க்கைப் பார்க்கவும்), ஏனெனில் இது க்ளோவர்லீப்பைப் பின்பற்றுகிறது, அதற்கேற்ப நியாயமான வேக வரம்புகளை அமைக்கவும். முதல் டிகிரி பல்லுறுப்புக்கோவை சமன்பாடு ஒரு புள்ளி மற்றும் ஒரு கோணத்திற்கு சரியான பொருத்தமாக இருக்கலாம், அதே நேரத்தில் மூன்றாம் டிகிரி பல்லுறுப்புக்கோவை சமன்பாடு இரண்டு புள்ளிகளுக்கு சரியான பொருத்தமாக இருக்கலாம், ஒரு கோண கட்டுப்பாடு மற்றும் ஒரு வளைவு கட்டுப்பாடு. இவற்றுக்கும் உயர் வரிசை பல்லுறுப்புக்கோவை சமன்பாடுகளுக்கும் வேறு பல கட்டுப்பாடுகளின் சேர்க்கைகள் சாத்தியமாகும். n + 1 க்கும் மேற்பட்ட கட்டுப்பாடுகள் இருந்தால் (n என்பது பல்லுறுப்புக்கோவையின் டிகிரி), பல்லுறுப்புக்கோவை வளைவை இன்னும் அந்த கட்டுப்பாடுகள் வழியாக இயக்க முடியும். அனைத்து கட்டுப்பாடுகளுக்கும் ஒரு சரியான பொருத்தம் உறுதியாக இல்லை (ஆனால் நடக்கலாம், எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு முதல் டிகிரி பல்லுறுப்புக்கோவை சரியாக மூன்று கொலினியர் புள்ளிகளைப் பொருத்துகிறது). இருப்பினும், பொதுவாக, ஒவ்வொரு தோராயத்தையும் மதிப்பிடுவதற்கு சில முறைகள் தேவைப்படுகின்றன. குறைந்தபட்ச சதுர முறை என்பது விலகல்களை ஒப்பிடுவதற்கான ஒரு வழியாகும். பல்லுறுப்புக்கோவை சமன்பாட்டின் அளவை வெறுமனே அதிகரித்து சரியான பொருத்தத்தைப் பெற முடியும் போது தோராயமான பொருத்தத்தைப் பெற பல காரணங்கள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. : ஒரு சரியான பொருத்தம் இருந்தாலும், அதை உடனடியாகக் கண்டுபிடிக்க முடியும் என்று அவசியமில்லை. பயன்படுத்தப்படும் வழிமுறையைப் பொறுத்து ஒரு மாறுபட்ட வழக்கு இருக்கலாம், அங்கு சரியான பொருத்தத்தைக் கணக்கிட முடியாது, அல்லது தீர்வைக் கண்டுபிடிக்க அதிக கணினி நேரம் ஆகலாம். இந்த நிலைமைக்கு தோராயமான தீர்வு தேவைப்படலாம். ஒரு மாதிரியில் கேள்விக்குரிய தரவு புள்ளிகளை சராசரியாகப் பெறுவதன் விளைவு, வளைவை சரியாக பொருத்துவதற்கு சிதைப்பதை விட, விரும்பத்தக்கதாக இருக்கலாம். ரங்கின் நிகழ்வுஃ உயர் வரிசை பல்லுறுப்புக்கோவைகள் அதிக ஊசலாட்டமாக இருக்கலாம். ஒரு வளைவு A மற்றும் B ஆகிய இரண்டு புள்ளிகளைக் கடந்து சென்றால், வளைவு A மற்றும் B இன் நடுப்புள்ளிக்கு அருகில் ஓரளவு ஓடும் என்று எதிர்பார்க்கப்படுகிறது. உயர்-வரிசை பல்லுறுப்புக்கோவை வளைவுகளில் இது நடக்காமல் போகலாம்; அவை நேர்மறை அல்லது எதிர்மறை அளவில் மிகப் பெரிய மதிப்புகளைக் கொண்டிருக்கலாம். குறைந்த வரிசை பல்லுறுப்புக்கோவைகளுடன், வளைவு நடுப்புள்ளிக்கு அருகில் விழும் வாய்ப்பு அதிகம் (இது முதல் டிகிரி பல்லுறுப்புக்கோவையில் நடுப்புள்ளி வழியாக சரியாக இயங்குவது உறுதி). குறைந்த வரிசை பல்லுறுப்புக்கோவைகள் மென்மையாகவும், உயர் வரிசை பல்லுறுப்புக்கோவைகள் "கட்டி" யாகவும் இருக்கும். இதை இன்னும் துல்லியமாக வரையறுக்க, ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை வளைவில் சாத்தியமான அதிகபட்ச ஊடுருவல் புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை n-2 ஆகும், இதில் n என்பது பல்லுறுப்புக்கோவை சமன்பாட்டின் வரிசையாகும். ஒரு ஊடுருவல் புள்ளி என்பது வளைவில் உள்ள ஒரு இடமாகும், அங்கு அது நேர்மறை ஆரத்திலிருந்து எதிர்மறைக்கு மாறுகிறது. இங்குதான் அது "தண்ணீரை வைத்திருப்பதில்" இருந்து "தண்ணீரை கொட்டுவதில்" மாறுகிறது என்றும் நாம் கூறலாம். உயர் வரிசை பல்லுறுப்புக்கோவைகள் கட்டியாக இருப்பது மட்டுமே "சாத்தியம்" என்பதை நினைவில் கொள்க; அவை மென்மையாகவும் இருக்கலாம், ஆனால் குறைந்த வரிசை பல்லுறுப்புக்கோவை வளைவுகளைப் போலல்லாமல் இதற்கு எந்த உத்தரவாதமும் இல்லை. ஒரு பதினைந்தாம் டிகிரி பல்லுறுப்புக்கோவை அதிகபட்சமாக பதின்மூன்று ஊடுருவல் புள்ளிகளைக் கொண்டிருக்கலாம், ஆனால் பதினொரு அல்லது ஒன்பது அல்லது ஏதேனும் ஒற்றைப்படை எண்ணை ஒன்றாகக் கொண்டிருக்கலாம். (சம எண் டிகிரி கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவைகள் n-2 முதல் பூஜ்ஜியம் வரை எந்த சம எண்ணிக்கையிலான ஊடுருவல் புள்ளிகளையும் கொண்டிருக்கலாம்.) உயர் வரிசை பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கு முன்பு பட்டியலிடப்பட்ட அனைத்து காரணங்களுக்கும் ஒரு துல்லியமான பொருத்தத்திற்கு தேவையானதை விட அதிகமாக இருக்கும் பல்லுறுப்புக்கோவை வளைவின் அளவு விரும்பத்தகாதது, ஆனால் எண்ணற்ற தீர்வுகள் இருக்கும் ஒரு வழக்குக்கும் வழிவகுக்கிறது. எடுத்துக்காட்டாக, வழக்கமான இரண்டுக்கு பதிலாக ஒரு புள்ளியால் மட்டுமே கட்டுப்படுத்தப்படும் முதல் டிகிரி பல்லுறுப்புக்கோவை (ஒரு கோடு) எண்ணற்ற தீர்வுகளைக் கொடுக்கும். இது ஒரே ஒரு தீர்வை எவ்வாறு ஒப்பிடுவது மற்றும் தேர்வு செய்வது என்ற சிக்கலைக் கொண்டுவருகிறது, இது மென்பொருளுக்கும் மனிதர்களுக்கும் ஒரு பிரச்சினையாக இருக்கலாம். இந்த காரணத்திற்காக, அனைத்து கட்டுப்பாடுகளிலும் ஒரு சரியான பொருத்தத்திற்கு முடிந்தவரை குறைந்த டிகிரியைத் தேர்ந்தெடுப்பது சிறந்தது, மேலும் தோராயமான பொருத்தம் ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்டால் இன்னும் குறைந்த டிகிரியைத் தேர்வு செய்வது சிறந்தது. தரவு புள்ளிகளுக்கு பிற செயல்பாடுகளை பொருத்துதல் சில சந்தர்ப்பங்களில் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் (சைன் மற்றும் கொசைன் போன்றவை) போன்ற பிற வகையான வளைவுகளும் பயன்படுத்தப்படலாம். ஸ்பெக்ட்ரோஸ்கோபியில், தரவு காஸியன், லோரெண்ட்சியன், வோயிக்ட் மற்றும் தொடர்புடைய செயல்பாடுகளுடன் பொருத்தப்படலாம். உயிரியல், சூழலியல், மக்கள்தொகை, தொற்றுநோயியல் மற்றும் பல துறைகளில், மக்கள்தொகையின் வளர்ச்சி, தொற்று நோய் பரவுதல் போன்றவை. லாஜிஸ்டிக் செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தி பொருத்தப்படலாம். விவசாயத்தில் தலைகீழ் லாஜிஸ்டிக் சிக்மாய்டு செயல்பாடு (எஸ்-வளைவு) பயிர் விளைச்சல் மற்றும் வளர்ச்சி காரணிகளுக்கு இடையிலான உறவை விவரிக்க பயன்படுத்தப்படுகிறது. பண்ணை நிலங்களில் அளவிடப்பட்ட தரவுகளின் சிக்மாய்டு பின்னடைவு மூலம் நீல உருவம் உருவாக்கப்பட்டது. ஆரம்பத்தில், அதாவது. குறைந்த மண்ணின் உப்புத்தன்மையில், மண்ணின் உப்புத்தன்மையை அதிகரிக்கும் போது பயிர் விளைச்சல் மெதுவாக குறைகிறது, அதன்பிறகு குறைப்பு வேகமாக முன்னேறுகிறது. தரவு புள்ளிகளுக்கு விமான வளைவுகளின் வடிவியல் பொருத்துதல் வடிவத்தின் ஒரு செயல்பாட்டை அனுமானிக்க முடியாவிட்டால், ஒருவர் இன்னும் ஒரு விமான வளைவை பொருத்த முயற்சி செய்யலாம். கூம்பு பிரிவுகள் (வட்ட, நீள்வட்ட, பரவளைய மற்றும் ஹைபர்போலிக் வளைவுகள்) அல்லது முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் (சைன் மற்றும் கொசைன் போன்றவை) போன்ற பிற வகையான வளைவுகளும் சில சந்தர்ப்பங்களில் பயன்படுத்தப்படலாம். எடுத்துக்காட்டாக, ஈர்ப்பு விசையின் தாக்கத்தின் கீழ் உள்ள பொருட்களின் பாதைகள் ஒரு பரவளையப் பாதையைப் பின்பற்றுகின்றன, காற்று எதிர்ப்பு புறக்கணிக்கப்படும்போது. எனவே, ஒரு பரவளைய வளைவுக்கு பொருத்தமான பாதை தரவு புள்ளிகள் அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும். அலைகள் சைனூசாய்டல் வடிவங்களைப் பின்பற்றுகின்றன, எனவே அலை தரவு புள்ளிகள் ஒரு சைன் அலை அல்லது வெவ்வேறு காலகட்டங்களின் இரண்டு சைன் அலைகளின் கூட்டுத்தொகையுடன் பொருந்த வேண்டும், சந்திரன் மற்றும் சூரியனின் விளைவுகள் இரண்டையும் கருத்தில் கொண்டால். ஒரு அளவுரு வளைவைப் பொறுத்தவரை, அதன் ஒவ்வொரு ஆயத்தொகுதியையும் வளைவு நீளத்தின் ஒரு தனி செயல்பாடாக பொருத்துவது பயனுள்ளதாக இருக்கும்; தரவு புள்ளிகளை வரிசைப்படுத்த முடியும் என்று கருதி, நாண் தூரத்தைப் பயன்படுத்தலாம். வடிவியல் பொருத்தத்தால் ஒரு வட்டத்தைப் பொருத்துவது 2டி தரவு புள்ளிகளின் தொகுப்பிற்கு வட்டத்தின் சிறந்த காட்சி பொருத்தத்தைக் கண்டறிய முயற்சிக்கும் சிக்கலை அணுகுகிறது. இந்த முறை சாதாரணமாக நேரியல் அல்லாத சிக்கலை நேரியல் சிக்கலாக நேர்த்தியாக மாற்றுகிறது, இது தொடர்ச்சியான எண் முறைகளைப் பயன்படுத்தாமல் தீர்க்கப்படலாம், எனவே இது முந்தைய நுட்பங்களை விட மிக வேகமாக உள்ளது. வடிவியல் பொருத்தத்தால் ஒரு நீள்வட்டத்தைப் பொருத்துதல் மேற்கண்ட நுட்பம் ஒரு நேரியல் அல்லாத படியைச் சேர்ப்பதன் மூலம் பொதுவான நீள்வட்டங்களுக்கு நீட்டிக்கப்படுகிறது, இதன் விளைவாக வேகமான ஒரு முறை ஏற்படுகிறது, ஆனால் தன்னிச்சையான நோக்குநிலை மற்றும் இடப்பெயர்ச்சி ஆகியவற்றின் பார்வைக்கு இனிமையான நீள்வட்டங்களைக் கண்டறிகிறது. பொருத்தமான மேற்பரப்புகள் இந்த விவாதம் 2டி வளைவுகளின் அடிப்படையில் இருந்தபோதிலும், இந்த தர்க்கத்தின் பெரும்பகுதி 3டி மேற்பரப்புகளுக்கும் விரிவடைகிறது, இதன் ஒவ்வொரு இணைப்பும் இரண்டு அளவுரு திசைகளில் வளைவுகளின் வலையால் வரையறுக்கப்படுகிறது, பொதுவாக யு மற்றும் வி என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு மேற்பரப்பு ஒவ்வொரு திசையிலும் ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட மேற்பரப்பு திட்டுகளால் ஆனது. மென்பொருள் ஆர் போன்ற பல புள்ளிவிவர தொகுப்புகள் மற்றும் க்னுப்லோட், குனு அறிவியல் நூலகம், எம். எல். ஏ. பி, மேப்பிள், மேட் லேப், டி. கே. சால்வர் 6, சைலேப், கணிதம், குனு ஆக்டேவ் மற்றும் சைபி போன்ற எண் மென்பொருள்கள் பல்வேறு சூழ்நிலைகளில் வளைவு பொருத்துதலைச் செய்வதற்கான கட்டளைகளை உள்ளடக்கியது. வளைவு பொருத்துதலைச் செய்ய குறிப்பாக எழுதப்பட்ட நிரல்களும் உள்ளன; அவை புள்ளிவிவர மற்றும் எண்-பகுப்பாய்வு திட்டங்களின் பட்டியல்களிலும், பின்வருவனவற்றில் காணலாம்ஃ வகைஃ பின்னடைவு மற்றும் வளைவு பொருத்துதல் மென்பொருள். மேலும் காண்க அளவீட்டு வளைவு வளைவு பொருத்துதல் சுருக்கக் கோட்பாடு செயல்பாட்டு தோராயமானது பொருத்தமான மரபியல் நிரலாக்கத்தின் நற்குணம் குறைந்த சதுரங்கள் சரிசெய்தல் லெவென்பெர்க்-மார்க்வார்ட் வழிமுறை வரி பொருத்துதல் நேரியல் இடைக்கணிப்பு கணித மாதிரி பல வெளிப்பாடு நிரலாக்கம் நேரியல் பின்னடைவு அதிகப்படியான விமான வளைவு சாத்தியக்கூறு விநியோகம் பொருத்துதல் சைனூசாய்டல் மாதிரி மென்மையாக்கும் பிளவுகள் (இடைக்கணிப்பு, மென்மையாக்குதல்) நேரத் தொடர் மொத்த குறைந்தபட்ச சதுரங்கள் நேரியல் போக்கு மதிப்பீடு குறிப்புகள் மேலும் வாசிப்பு என். செர்னோவ் (2010), வட்ட மற்றும் நேரியல் பின்னடைவுஃ குறைந்தபட்ச சதுரங்களால் பொருத்தப்பட்ட வட்டங்கள் மற்றும் கோடுகள், சாப்மேன் & ஹால்/சிஆர்சி, புள்ளிவிவரங்கள் மற்றும் பயன்பாட்டு நிகழ்தகவு குறித்த மோனோகிராஃப்கள், தொகுதி 117 (256 பிபி. ).