Ordinal utility
பொருளாதாரத்தில், ஒரு வரிசை பயன்பாட்டு செயல்பாடு என்பது ஒரு வரிசை அளவில் ஒரு முகவரின் விருப்பங்களைக் குறிக்கும் ஒரு செயல்பாடு ஆகும். சாதாரண பயன்பாட்டுக் கோட்பாடு, மற்றொன்றை விட எந்த விருப்பம் சிறந்தது என்று கேட்பது மட்டுமே அர்த்தமுள்ளது என்று கூறுகிறது, ஆனால் அது எவ்வளவு சிறந்தது அல்லது எவ்வளவு சிறந்தது என்று கேட்பது அர்த்தமற்றது. உறுதியான நிபந்தனைகளின் கீழ் நுகர்வோர் முடிவெடுக்கும் கோட்பாடு அனைத்தும் வரிசை பயன்பாட்டின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தப்படலாம் மற்றும் பொதுவாக வெளிப்படுத்தப்படலாம். எடுத்துக்காட்டாக, "நான் A ஐ விட B ஐ விரும்புகிறேன், B ஐ விட C ஐ விரும்புகிறேன்" என்று ஜார்ஜ் கூறுகிறார் என்று வைத்துக்கொள்வோம். ஜார்ஜின் விருப்பத்தேர்வுகளை ஒரு செயல்பாட்டால் பிரதிநிதித்துவப்படுத்தலாம்ஃ ஆனால் கார்டினல் பயன்பாட்டின் விமர்சகர்கள் இந்த செயல்பாட்டின் ஒரே அர்த்தமுள்ள செய்தி வரிசை என்று கூறுகிறார்கள்; உண்மையான எண்கள் அர்த்தமற்றவை. எனவே, ஜார்ஜின் விருப்பத்தேர்வுகளை பின்வரும் செயல்பாடு v ஆல் குறிப்பிடலாம்ஃ u மற்றும் v செயல்பாடுகள் பொதுவாக சமமானவை-அவை ஜார்ஜின் விருப்பத்தேர்வுகளை சமமாக பிரதிநிதித்துவப்படுத்துகின்றன. சாதாரண பயன்பாடு கார்டினல் பயன்பாட்டுக் கோட்பாட்டுடன் முரண்படுகிறதுஃ பிந்தையது விருப்பங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடுகளும் முக்கியம் என்று கருதுகிறது. u இல் A மற்றும் B க்கு இடையிலான வேறுபாடு B மற்றும் C க்கு இடையிலான வேறுபாட்டை விட மிகவும் சிறியது, அதே நேரத்தில் v இல் இதற்கு நேர்மாறானது உண்மை. எனவே, u மற்றும் v கார்டினலாக சமமானவை அல்ல. ஆர்டினல் யூட்டிலிட்டி கான்செப்ட் முதன்முதலில் 1906 இல் பரேட்டோவால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. குறிப்பு உலகின் அனைத்து நிலைகளின் தொகுப்பும் ஒரு முகவருக்கு முன்னுரிமை உறவும் உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். பலவீனமான முன்னுரிமை உறவைக் குறிப்பிடுவது பொதுவானது, இதனால் "முகவர் குறைந்தபட்சம் A ஐப் போலவே B ஐ விரும்புகிறார்". இந்த சின்னம் அலட்சிய உறவுக்கு ஒரு சுருக்கெழுத்தாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறதுஃ, இது "பி மற்றும் ஏ இடையே முகவர் அலட்சியமாக இருக்கிறார்" என்று கூறுகிறது. சின்னம் வலுவான முன்னுரிமை உறவுக்கு ஒரு சுருக்கெழுத்தாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறதுஃ, இது "முகவர் கண்டிப்பாக பி முதல் ஏ வரை விரும்புகிறார்" என்று கூறுகிறது. ஒரு செயல்பாடு உறவைக் குறிக்கும் என்று கூறப்படுகிறதுஃ தொடர்புடைய கருத்துக்கள் அலட்சிய வளைவு வரைபடங்கள் ஒரு எண் செயல்பாட்டை வரையறுப்பதற்குப் பதிலாக, ஒரு முகவரின் முன்னுரிமை உறவை அலட்சிய வளைவுகளால் வரைபடமாக குறிப்பிடலாம். x மற்றும் y என்ற இரண்டு வகையான பொருட்கள் இருக்கும்போது இது குறிப்பாக பயனுள்ளதாக இருக்கும். பின்னர், ஒவ்வொரு அலட்சிய வளைவும் புள்ளிகளின் தொகுப்பைக் காட்டுகிறது, அவை ஒரே வளைவில் இருந்தால், பின்னர். ஒரு எடுத்துக்காட்டு அலட்சிய வளைவு கீழே காட்டப்பட்டுள்ளதுஃ ஒவ்வொரு அலட்சிய வளைவும் புள்ளிகளின் தொகுப்பாகும், ஒவ்வொன்றும் இரண்டு பொருட்கள் அல்லது சேவைகளின் அளவுகளின் கலவையைக் குறிக்கின்றன, இவை அனைத்தும் நுகர்வோர் சமமாக திருப்தி அடைகின்றன. தோற்றத்திலிருந்து மேலும் ஒரு வளைவு இருந்தால், பயன்பாட்டின் நிலை அதிகமாக இருக்கும். வளைவின் சாய்வு (Y க்கு X இன் மாற்றீட்டின் விளிம்பு விகிதத்தின் எதிர்மறை) எந்த கட்டத்திலும் நபர் நல்ல X ஐ நல்ல Y க்கு எதிராக வர்த்தகம் செய்ய விரும்பும் விகிதத்தைக் காட்டுகிறது, அதே அளவிலான பயன்பாட்டைப் பராமரிக்கிறது. நுகர்வோர் குறைந்து வரும் விளிம்பு மாற்று விகிதத்தைக் கொண்டிருப்பதாகக் கருதி, வளைவு தோற்றத்திற்கு குவிந்துள்ளது. அலட்சிய வளைவுகளுடன் கூடிய நுகர்வோர் பகுப்பாய்வு (ஒரு வரிசை அணுகுமுறை) கார்டினல் பயன்பாட்டுக் கோட்பாட்டின் அடிப்படையில் அதே முடிவுகளைத் தருகிறது என்பதைக் காட்டலாம்-அதாவது, நுகர்வோர் எந்த இரண்டு பொருட்களுக்கும் இடையிலான மாற்று விகிதத்தின் விளிம்பு விகிதம் அந்த பொருட்களின் விலைகளின் விகிதத்திற்கு சமமாக இருக்கும் கட்டத்தில் நுகர்வார்கள் (சம-விளிம்பு கொள்கை). வெளிப்படுத்தப்பட்ட முன்னுரிமை கோட்பாடு நிஜ உலகில் வரிசை விருப்பத்தேர்வு உறவுகளை எவ்வாறு கவனிப்பது என்ற சிக்கலை வெளிப்படுத்துகிறது. வெளிப்படுத்தப்பட்ட முன்னுரிமை கோட்பாட்டின் சவால், எந்தப் பொருட்களின் மூட்டைகள் முன்கூட்டியே இருந்தன என்பதைத் தீர்மானிப்பதில் உள்ளது, அவை குறைவாக விரும்பப்பட்டதன் அடிப்படையில், தனிநபர்கள் குறிப்பிட்ட மூட்டைகளைத் தேர்ந்தெடுப்பதைக் கவனிக்கும்போது. வரிசை பயன்பாட்டு செயல்பாட்டின் இருப்புக்கு தேவையான நிபந்தனைகள் ஒரு பிரதிநிதித்துவ செயல்பாட்டின் இருப்பை உறுதிப்படுத்த சில நிபந்தனைகள் அவசியம்ஃ இடைநிலைஃ என்றால் பின்னர். முழுமைஃ அனைத்து மூட்டைகளுக்கும்ஃ ஒன்று அல்லது அல்லது இரண்டும். முழுமையும் பிரதிபலிப்பைக் குறிக்கிறதுஃ ஒவ்வொருவருக்கும்ஃ இந்த நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்பட்டு, தொகுப்பு வரையறுக்கப்பட்டதாக இருக்கும்போது, தொடக்க பத்தியில் எடுத்துக்காட்டப்பட்டுள்ளபடி, ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் பொருத்தமான எண்ணை ஒதுக்குவதன் மூலம் பிரதிநிதித்துவப்படுத்தும் ஒரு செயல்பாட்டை உருவாக்குவது எளிது. X எண்ணற்ற எண்ணற்றதாக இருக்கும்போது இதுவும் பொருந்தும். மேலும், மதிப்புகள் வரம்பில் இருக்கும் ஒரு பிரதிநிதித்துவ பயன்பாட்டு செயல்பாட்டை தூண்டக்கூடிய வகையில் உருவாக்க முடியும். எல்லையற்றதாக இருக்கும்போது, இந்த நிபந்தனைகள் போதுமானதாக இல்லை. எடுத்துக்காட்டாக, லெக்ஸிகோகிராஃபிக் விருப்பத்தேர்வுகள் நிலையற்றவை மற்றும் முழுமையானவை, ஆனால் அவை எந்த பயன்பாட்டு செயல்பாட்டாலும் குறிப்பிடப்பட முடியாது. தேவையான கூடுதல் நிபந்தனை தொடர்ச்சியாகும். A ஐ விட B ஐ விரும்பும்போதெல்லாம், B அல்லது A இலிருந்து சிறிய விலகல்கள் அவற்றுக்கிடையேயான வரிசையை மாற்றியமைக்காவிட்டால், ஒரு முன்னுரிமை உறவு தொடர்ச்சியானது என்று அழைக்கப்படுகிறது. முறைப்படி, ஒரு தொகுப்பு X இல் ஒரு முன்னுரிமை உறவு பின்வரும் சமமான நிபந்தனைகளில் ஒன்றை திருப்திப்படுத்தினால் தொடர்ச்சியானது என்று அழைக்கப்படுகிறதுஃ ஒவ்வொன்றிற்கும், தொகுப்பு இடவியல் ரீதியாக தயாரிப்பு இடவியல் உடன் மூடப்பட்டுள்ளது (இந்த வரையறை ஒரு இடவியல் இடமாக இருக்க வேண்டும்). ஒவ்வொரு வரிசைக்கும், அனைத்து i மற்றும் மற்றும், பின்னர். அத்தகைய ஒவ்வொன்றிற்கும், ஒரு பந்தைச் சுற்றி ஒரு பந்து உள்ளது, அது பந்தைச் சுற்றியுள்ள ஒவ்வொரு பந்துக்கும், பந்தைச் சுற்றியுள்ள ஒவ்வொரு பந்துக்கும், (இந்த வரையறை ஒரு மெட்ரிக் இடமாக இருக்க வேண்டும்). ஒரு முன்னுரிமை உறவு தொடர்ச்சியான பயன்பாட்டு செயல்பாட்டால் குறிப்பிடப்பட்டால், அது தெளிவாக தொடர்ச்சியானது. டெப்ரூ (1954) இன் கோட்பாடுகளின்படி, இதற்கு நேர்மாறானதும் உண்மைதான்ஃ ஒவ்வொரு தொடர்ச்சியான முழுமையான முன்னுரிமை உறவையும் தொடர்ச்சியான வரிசை பயன்பாட்டு செயல்பாட்டால் குறிப்பிடலாம். அகராதியியல் விருப்பத்தேர்வுகள் தொடர்ச்சியானவை அல்ல என்பதை நினைவில் கொள்க. எடுத்துக்காட்டாக, ஆனால் சுற்றியுள்ள ஒவ்வொரு பந்திலும் (5,1) புள்ளிகள் உள்ளன, மேலும் இந்த புள்ளிகள் குறைவாக உள்ளன. மேலே கூறப்பட்ட உண்மையின்படி, இந்த விருப்பத்தேர்வுகளை ஒரு பயன்பாட்டு செயல்பாட்டால் பிரதிநிதித்துவப்படுத்த முடியாது. தனித்துவம் ஒவ்வொரு பயன்பாட்டு செயல்பாடு v க்கும், v ஆல் குறிக்கப்படும் ஒரு தனித்துவமான முன்னுரிமை உறவு உள்ளது. இருப்பினும், இதற்கு நேர்மாறானது உண்மையல்லஃ ஒரு முன்னுரிமை உறவு பல்வேறு பயன்பாட்டு செயல்பாடுகளால் குறிக்கப்படலாம். அதே விருப்பத்தேர்வுகளை எந்த பயன்பாட்டு செயல்பாடாகவும் வெளிப்படுத்தலாம், இது v இன் சலிப்பாக அதிகரிக்கும் மாற்றமாகும். எ. கா., ஏதேனும் சலிப்பான முறையில் அதிகரிக்கும் செயல்பாடு இருந்தால், v மற்றும் v செயல்பாடுகள் ஒரே மாதிரியான அலட்சிய வளைவு வரைபடங்களுக்கு வழிவகுக்கும். இந்த சமநிலை பின்வரும் வழியில் சுருக்கமாக விவரிக்கப்பட்டுள்ளதுஃ ஒரு வரிசை பயன்பாட்டு செயல்பாடு மோனோடோன் மாற்றத்தை அதிகரிக்கும் வரை தனித்துவமானது. இதற்கு மாறாக, ஒரு கார்டினல் பயன்பாட்டு செயல்பாடு அஃபைன் மாற்றத்தை அதிகரிக்கும் வரை தனித்துவமானது. ஒவ்வொரு அஃபைன் மாற்றமும் மோனோடோன் ஆகும்; எனவே, இரண்டு செயல்பாடுகள் கார்டினலி சமமானவை என்றால் அவை பொதுவாக சமமானவை, ஆனால் நேர்மாறாக இல்லை. மோனோடோனிசிட்டி, இனிமேல், இந்த தொகுப்பு அனைத்து எதிர்மறை அல்லாத உண்மையான இரு பரிமாண திசையன்களின் தொகுப்பாகும் என்று வைத்துக்கொள்வோம். எனவே ஒரு உறுப்பு என்பது ஆப்பிள்கள் மற்றும் வாழைப்பழங்கள் போன்ற இரண்டு பொருட்களிலிருந்து நுகரப்படும் அளவைக் குறிக்கும் ஒரு ஜோடி ஆகும். பின்னர் சில சூழ்நிலைகளில் ஒரு முன்னுரிமை உறவு ஒரு பயன்பாட்டு செயல்பாட்டால் குறிக்கப்படுகிறது. முன்னுரிமை உறவு சலிப்பாக அதிகரித்து வருகிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம், அதாவது "மேலும் எப்போதும் சிறந்தது": பின்னர், இரண்டு பகுதி வழித்தோன்றல்களும், அவை இருந்தால், v இன் நேர்மறையானவை. சுருக்கமாகஃ ஒரு பயன்பாட்டு செயல்பாடு சலிப்பாக அதிகரித்து வரும் முன்னுரிமை உறவைக் குறிக்கிறது என்றால், பயன்பாட்டு செயல்பாடு சலிப்பாக அதிகரித்து வருகிறது. மாற்றீட்டின் விளிம்பு விகிதம் ஒரு நபர் ஒரு மூட்டை வைத்திருக்கிறார் மற்றும் இந்த மூட்டைக்கும் மூட்டைக்கும் இடையில் அவர் அலட்சியமாக இருப்பதாகக் கூறுகிறார் என்று வைத்துக்கொள்வோம். இதன் பொருள் என்னவென்றால், y இன் அலகுகளைப் பெற x இன் அலகுகளைக் கொடுக்க அவர் தயாராக இருக்கிறார். இந்த விகிதத்தை வைத்திருந்தால், அது புள்ளியில் x மற்றும் y க்கு இடையிலான மாற்று விகிதத்தின் விளிம்பு விகிதம் (எம்ஆர்எஸ்) என்று நாம் கூறுகிறோம். எம்ஆர்எஸ்-இன் இந்த வரையறை வரிசை முன்னுரிமை உறவை மட்டுமே அடிப்படையாகக் கொண்டது-இது ஒரு எண் பயன்பாட்டு செயல்பாட்டைப் பொறுத்தது அல்ல. முன்னுரிமை உறவு ஒரு பயன்பாட்டு செயல்பாட்டால் குறிப்பிடப்பட்டு, செயல்பாடு வேறுபடுத்தக்கூடியதாக இருந்தால், அந்த செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்களிலிருந்து எம்ஆர்எஸ் கணக்கிடப்படலாம்ஃ எடுத்துக்காட்டாக, முன்னுரிமை உறவு அப்போது குறிப்பிடப்பட்டால். செயல்பாட்டிற்கு எம்ஆர்எஸ் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும். இந்த இரண்டு செயல்பாடுகளும் ஒரே முன்னுரிமை உறவைக் குறிக்கின்றன என்பதால் இது ஒரு தற்செயல் நிகழ்வு அல்ல-ஒவ்வொன்றும் மற்றொன்றின் மோனோடோன் மாற்றமாகும். பொதுவாக, எம்ஆர்எஸ் வெவ்வேறு புள்ளிகளில் வேறுபட்டிருக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, எம்ஆர்எஸ் குறைவாக இருக்கலாம், ஏனெனில் அந்த நபருக்கு நிறைய எக்ஸ் மற்றும் ஒரு ஒய் மட்டுமே உள்ளது, ஆனால் அட் அல்லது எம்ஆர்எஸ் அதிகமாக உள்ளது. சில சிறப்பு நிகழ்வுகள் கீழே விவரிக்கப்பட்டுள்ளன. ஒரு குறிப்பிட்ட முன்னுரிமை உறவின் எம்ஆர்எஸ் மூட்டை சார்ந்து இல்லாதபோது, அதாவது, எம்ஆர்எஸ் அனைவருக்கும் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும்போது, அலட்சிய வளைவுகள் நேரியல் மற்றும் வடிவத்தின்ஃ மற்றும் முன்னுரிமை உறவை ஒரு நேரியல் செயல்பாட்டால் குறிப்பிடலாம்ஃ (நிச்சயமாக, அதே உறவை அல்லது போன்ற பல நேரியல் அல்லாத செயல்பாடுகளால் குறிப்பிடலாம், ஆனால் நேரியல் செயல்பாடு எளிமையானது.) குவாசிலினியாரிட்டி (Quasilinearity) எம். ஆர். எஸ் சார்ந்து இருக்கும்போது ஆனால் அதை சார்ந்து இல்லை, முன்னுரிமை உறவை ஒரு குவாசிலினியர் பயன்பாட்டு செயல்பாட்டால் பிரதிநிதித்துவப்படுத்தலாம், இது ஒரு குறிப்பிட்ட மோனோடோனிக்கலாக அதிகரிக்கும் செயல்பாடாகும். எம்ஆர்எஸ் ஒரு செயல்பாடு என்பதால், ஒரு சாத்தியமான செயல்பாட்டை ஒரு ஒருங்கிணைப்பாகக் கணக்கிடலாம்ஃ இந்த விஷயத்தில், அனைத்து அலட்சிய வளைவுகளும் இணையாக உள்ளன-அவை ஒருவருக்கொருவர் கிடைமட்ட இடமாற்றங்கள். இரண்டு பொருட்களுடன் சேர்க்கை ஒரு பொதுவான வகை பயன்பாட்டு செயல்பாடு ஒரு சேர்க்கை செயல்பாடுஃ கொடுக்கப்பட்ட விருப்பத்தேர்வுகள் சேர்க்கை பயன்பாட்டு செயல்பாட்டால் குறிப்பிடப்படுகிறதா என்பதை சரிபார்க்க பல வழிகள் உள்ளன. இரட்டை ரத்துசெய்தல் பண்பு விருப்பத்தேர்வுகள் கூட்டுத்தொகையாக இருந்தால், ஒரு எளிய எண்கணிதக் கணக்கீடு அதைக் காட்டுகிறது, எனவே இந்த "இரட்டை ரத்துசெய்தல்" பண்பு சேர்க்கைக்கு அவசியமான நிபந்தனையாகும். டெப்ரூ (1960) இந்த பண்பு போதுமானது என்பதைக் காட்டியதுஃ அதாவது, ஒரு முன்னுரிமை உறவு இரட்டை-ரத்துசெய்யும் பண்பை திருப்திப்படுத்தினால், அதை ஒரு சேர்க்கை பயன்பாட்டு செயல்பாட்டால் குறிப்பிடலாம். விருப்பத்தேர்வுகள் ஒரு சேர்க்கை செயல்பாட்டால் குறிப்பிடப்பட்டால், ஒரு எளிய எண்கணிதக் கணக்கீடு இந்த "தொடர்புடைய பரிமாற்றங்கள்" பண்பு சேர்க்கைக்கு அவசியமான நிபந்தனை என்பதைக் காட்டுகிறது. இந்த நிபந்தனையும் போதுமானது. மூன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட பொருட்களுடன் சேர்க்கை மூன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட பொருட்கள் இருக்கும்போது, பயன்பாட்டு செயல்பாட்டின் சேர்க்கைக்கான நிபந்தனை இரண்டு பொருட்களை விட வியக்கத்தக்க வகையில் எளிதானது. இது டெப்ரூவின் (1960) தேற்றம் 3 இன் விளைவாகும். சேர்க்கைக்கு தேவையான நிபந்தனை முன்னுரிமை சுதந்திரம் ஆகும். துணைக்குழு A இல் உள்ள முன்னுரிமை உறவு, துணைக்குழு B க்கான நிலையான மதிப்புகள் கொடுக்கப்பட்டால், இந்த நிலையான மதிப்புகளிலிருந்து சுயாதீனமாக இருந்தால், பொருட்களின் துணைக்குழு A பொருட்களின் துணைக்குழு B இலிருந்து முன்னுரிமை ரீதியாக சுயாதீனமாக இருப்பதாகக் கூறப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, மூன்று பொருட்கள் உள்ளன என்று வைத்துக்கொள்வோம்ஃ x y மற்றும் z. {x, y} என்ற துணைக்குழு முன்னுரிமை அடிப்படையில் {z} என்ற துணைக்குழுவிலிருந்து சுயாதீனமாக உள்ளது. இந்த விஷயத்தில், நாம் வெறுமனே இதைச் சொல்லலாம்ஃ மாறிலி z க்கு. சுயாதீனமான பொருட்களின் விஷயத்தில் முன்னுரிமை சுதந்திரம் அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கிறது. எடுத்துக்காட்டாக, ஆப்பிள்கள் மற்றும் வாழைப்பழங்களின் மூட்டைகளுக்கு இடையிலான விருப்பத்தேர்வுகள் ஒரு முகவர் வைத்திருக்கும் காலணிகள் மற்றும் சாக்ஸின் எண்ணிக்கையிலிருந்து சுயாதீனமாக இருக்கலாம், மேலும் நேர்மாறாகவும் இருக்கலாம். டெப்ரூவின் தேற்றத்தின் படி, பொருட்களின் அனைத்து துணைக்குழுக்களும் அவற்றின் நிரப்புகளிலிருந்து முன்னுரிமை ரீதியாக சுயாதீனமாக இருந்தால், முன்னுரிமை உறவை ஒரு சேர்க்கை மதிப்பு செயல்பாட்டால் குறிப்பிடலாம். அத்தகைய சேர்க்கை மதிப்பு செயல்பாட்டை எவ்வாறு உருவாக்க முடியும் என்பதைக் காண்பிப்பதன் மூலம் இந்த முடிவைப் பற்றிய உள்ளுணர்வு விளக்கத்தை இங்கே வழங்குகிறோம். ஆதாரம் மூன்று பொருட்களைக் கருதுகிறதுஃ x, y, z. மூன்று மதிப்பு செயல்பாடுகளில் ஒவ்வொன்றிற்கும் மூன்று புள்ளிகளை எவ்வாறு வரையறுப்பது என்பதைக் காட்டுகிறோம்ஃ 0 புள்ளி, 1 புள்ளி மற்றும் 2 புள்ளி. மற்ற புள்ளிகளை இதேபோல் கணக்கிடலாம், பின்னர் செயல்பாடுகள் அவற்றின் முழு வரம்பிலும் நன்கு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளன என்று முடிவு செய்ய தொடர்ச்சியைப் பயன்படுத்தலாம். 0 புள்ளிஃ தன்னிச்சையாகத் தேர்ந்தெடுத்து அவற்றை மதிப்பு செயல்பாட்டின் பூஜ்ஜியமாக ஒதுக்குங்கள், அதாவது. : 1 புள்ளிஃ தன்னிச்சையாக தேர்வு செய்யுங்கள். அதை மதிப்பின் அலகாக அமைக்கவும், அதாவது. : பின்வரும் அலட்சிய உறவுகள் கொண்டிருக்கும் வகையில் தேர்ந்தெடுக்கவும்ஃ இந்த அலட்சியம் x இன் அலகுகளுடன் பொருந்த y மற்றும் z இன் அலகுகளை அளவிட உதவுகிறது. இந்த மூன்று புள்ளிகளின் மதிப்பு 1 ஆக இருக்க வேண்டும், எனவே நாம் 2 புள்ளிகளை ஒதுக்குகிறோம்ஃ இப்போது நாம் முன்னுரிமை-சுதந்திர அனுமானத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம். மற்றும் இடையேயான உறவு z இலிருந்து சுயாதீனமாக உள்ளது, அதேபோல் மற்றும் x இலிருந்து சுயாதீனமாக உள்ளது மற்றும் மற்றும் இடையேயான உறவு y இலிருந்து சுயாதீனமாக உள்ளது. எனவே இது பயனுள்ளதாக இருக்கும், ஏனெனில் இதன் பொருள் இந்த மூன்று புள்ளிகளில் v செயல்பாடு அதே மதிப்பைக் கொண்டிருக்கலாம்-2. அவ்வாறு தேர்ந்தெடுத்து 3 புள்ளிகளை ஒதுக்குங்கள்ஃ இதுவரை நமது பணிகள் சீராக உள்ளன என்பதைக் காட்ட, 3 இன் மொத்த மதிப்பைப் பெறும் அனைத்து புள்ளிகளும் அலட்சிய புள்ளிகள் என்பதை நாம் காட்ட வேண்டும். இங்கே, மீண்டும், முன்னுரிமை சுதந்திர அனுமானம் பயன்படுத்தப்படுகிறது, ஏனெனில் மற்றும் இடையேயான உறவு z இலிருந்து சுயாதீனமாக உள்ளது (மற்றும் இதேபோல் மற்ற ஜோடிகளுக்கு); எனவே மற்ற ஜோடிகளுக்கும் இதேபோல். எனவே, 3 புள்ளி தொடர்ந்து வரையறுக்கப்படுகிறது. தூண்டல் மூலம் நாம் இதைத் தொடரலாம் மற்றும் அனைத்து முழு எண் புள்ளிகளிலும் ஒரு பொருளின் செயல்பாடுகளை வரையறுக்கலாம், பின்னர் அனைத்து உண்மையான புள்ளிகளிலும் அதை வரையறுக்க தொடர்ச்சியைப் பயன்படுத்தலாம். மேற்கண்ட ஆதாரத்தின் புள்ளி 1 இல் ஒரு மறைமுகமான அனுமானம் என்னவென்றால், மூன்று பொருட்களும் அத்தியாவசியமானவை அல்லது முன்னுரிமை பொருத்தமானவை. இதன் பொருள் என்னவென்றால், ஒரு குறிப்பிட்ட பொருளின் அளவு அதிகரிக்கப்பட்டால், புதிய மூட்டை கண்டிப்பாக சிறந்தது. 3 க்கும் மேற்பட்ட பொருட்களுக்கான ஆதாரம் ஒத்திருக்கிறது. உண்மையில், புள்ளிகளின் அனைத்து துணைக்குழுக்களும் முன்னுரிமை ரீதியாக சுயாதீனமானவை என்பதை நாம் சரிபார்க்க வேண்டியதில்லை; ஒரு நேரியல் எண்ணிக்கையிலான ஜோடி பொருட்களை சரிபார்க்க இது போதுமானது. எ. கா., வெவ்வேறு பொருட்கள் இருந்தால், அனைவருக்கும், இரண்டு பொருட்களும் மற்ற பொருட்களிலிருந்து முன்னுரிமை ரீதியாக சுயாதீனமாக உள்ளனவா என்பதை சரிபார்க்க போதுமானது. சேர்க்கை பிரதிநிதித்துவத்தின் தனித்துவம் ஒரு சேர்க்கை முன்னுரிமை உறவை பல்வேறு சேர்க்கை பயன்பாட்டு செயல்பாடுகளால் குறிப்பிடலாம். இருப்பினும், இந்த செயல்பாடுகள் அனைத்தும் ஒத்தவைஃ அவை ஒருவருக்கொருவர் மோனோடோன் மாற்றங்களை அதிகரிப்பது மட்டுமல்லாமல் (ஒரே உறவைக் குறிக்கும் அனைத்து பயன்பாட்டு செயல்பாடுகளையும் போலவே); அவை ஒருவருக்கொருவர் நேரியல் மாற்றங்களை அதிகரிக்கின்றன. சுருக்கமாக, ஒரு சேர்க்கை வரிசை பயன்பாட்டு செயல்பாடு நேரியல் மாற்றத்தை அதிகரிக்கும் வரை தனித்துவமானது. வரிசை தரவுகளிலிருந்து சேர்க்கை மற்றும் இருபடி பயன்பாட்டு செயல்பாடுகளை உருவாக்குதல் ஜெரார்ட் டெப்ரூவால் வகுக்கப்பட்ட மிகவும் பொதுவான வகை பயன்பாட்டு செயல்பாடுகளின் கணித அடித்தளங்கள்-இருபடி மற்றும் சேர்க்கை-ஆண்ட்ரானிக் டான்ஜியன் முற்றிலும் வரிசை தரவுகளிலிருந்து அவற்றின் கட்டுமானத்திற்கான முறைகளை உருவாக்க உதவியது. குறிப்பாக, மாறிகளில் உள்ள சேர்க்கை மற்றும் இருபடி பயன்பாட்டு செயல்பாடுகளை முடிவெடுப்பவர்களின் நேர்காணல்களிலிருந்து உருவாக்க முடியும், அங்கு கேள்விகள் கார்டினல் பயன்பாட்டு மதிப்பீடுகளைக் குறிப்பிடாமல் ஒருங்கிணைந்த விமானங்களில் முற்றிலும் 2D-வேறுபாடு வளைவுகளைக் கண்டுபிடிப்பதை நோக்கமாகக் கொண்டுள்ளன. வரிசை மற்றும் கார்டினல் பயன்பாட்டு செயல்பாடுகளுக்கு இடையிலான ஒப்பீடு பின்வரும் அட்டவணை பொருளாதாரத்தில் பொதுவான இரண்டு வகையான பயன்பாட்டு செயல்பாடுகளை ஒப்பிடுகிறதுஃ முன்னுரிமை (பொருளாதாரம்) பல பண்புக்கூறு பயன்பாட்டு நுகர்வோர் கோட்பாடு விளிம்பு பயன்பாட்டு லாட்டிஸ் கோட்பாடு கன்வெக்ஸ் விருப்பத்தேர்வுகள் குறிப்புகள் வெளிப்புற இணைப்புகள் லெக்ஸிகோகிராஃபிக் முன்னுரிமை உறவை ஒரு பயன்பாட்டு செயல்பாட்டால் பிரதிநிதித்துவப்படுத்த முடியாது. Economics.SE இல் R2 இல் உட்பொதிக்கப்படக்கூடிய நேரியல் வரிசைகளை அகராதியியல் ரீதியாக வரிசைப்படுத்துகிறது. Math.SE இல். முர்ரே என். ரோத்பார்ட், "பயன்பாடு மற்றும் நலன்புரி பொருளாதாரத்தின் புனரமைப்பை நோக்கி" பயன்பாடு