Strongly regular graph
வரைபடக் கோட்பாட்டில், ஒரு வலுவான வழக்கமான வரைபடம் (எஸ். ஆர். ஜி) என்பது செங்குத்துகள் மற்றும் டிகிரியைக் கொண்ட ஒரு வழக்கமான வரைபடமாகும், அதாவது கொடுக்கப்பட்ட சில முழு எண்களுக்கு ஒவ்வொரு இரண்டு அருகிலுள்ள செங்குத்துகளும் பொதுவான அண்டை நாடுகளைக் கொண்டுள்ளன, மேலும் ஒவ்வொரு இரண்டு அருகிலுள்ள செங்குத்துகளும் பொதுவான அண்டை நாடுகளைக் கொண்டுள்ளன. இத்தகைய வலுவான வழக்கமான வரைபடம் குறிக்கப்படுகிறது. அதன் நிரப்பும் வலுவாக வழக்கமானதுஃ ஒரு வலுவான வழக்கமான வரைபடம் என்பது 2 விட்டம் கொண்ட தூர-வழக்கமான வரைபடமாகும், இது எப்போதும் பூஜ்ஜியமற்றதாக இருக்கும். இது எப்போது வேண்டுமானாலும் உள்ளூரில் நேரியல் வரைபடமாகும். ஒரு வலுவான வழக்கமான வரைபடம் இலக்கியத்தில் ஒரு srg (v, k, λ, μ) என்று குறிக்கப்படுகிறது. மரபுப்படி, வரையறையை அற்பமாக திருப்திப்படுத்தும் வரைபடங்கள் விரிவான ஆய்வுகள் மற்றும் வலுவான வழக்கமான வரைபடங்களின் பட்டியல்களிலிருந்து விலக்கப்படுகின்றன. இவற்றில் ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட சம அளவிலான முழுமையான வரைபடங்களின் வேறுபட்ட ஒன்றிணைப்பு மற்றும் அவற்றின் நிரப்புகள், சம அளவிலான சுயாதீன தொகுப்புகளுடன் முழுமையான பன்முக வரைபடங்கள் ஆகியவை அடங்கும். ஆண்ட்ரிஸ் ப்ரூவர் மற்றும் ஹென்ட்ரிக் வான் மால்டெகேம் (பார்க்க #References) ஸ்பெக்ட்ரல் கிராஃப் கோட்பாட்டின் அடிப்படையில் ஒரு வலுவான வழக்கமான வரைபடத்தின் மாற்று ஆனால் முழுமையாக சமமான வரையறையைப் பயன்படுத்துகின்றனர்ஃ ஒரு வலுவான வழக்கமான வரைபடம் என்பது ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட வழக்கமான வரைபடமாகும், இது சரியாக மூன்று ஐகென் மதிப்புகளைக் கொண்டுள்ளது, அவற்றில் ஒன்று மட்டுமே படி k க்கு சமம், பெருக்கம் 1. இது தானாகவே முழுமையாக இணைக்கப்பட்ட வரைபடங்களை (அவை மூன்று அல்ல, இரண்டு தனித்துவமான ஐகென் மதிப்புகளை மட்டுமே கொண்டுள்ளன) மற்றும் துண்டிக்கப்பட்ட வரைபடங்களை (அவற்றின் டிகிரி k இன் பெருக்கம் வெவ்வேறு இணைக்கப்பட்ட கூறுகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமம், எனவே இது ஒன்றுக்கு மேல் இருக்கும்) நிராகரிக்கிறது. ப்ரூவர் உட்பட பெரும்பாலான இலக்கியங்கள், பெரிய ஐகென் மதிப்பை r (பெருக்கம் f உடன்) என்றும் சிறியதை s (பெருக்கம் g உடன்) என்றும் குறிப்பிடுகின்றன. வரலாறு வலுவான வழக்கமான வரைபடங்கள் ஆர். சி. யால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டன 1963 இல் போஸ். 1950 களில் ஸ்பெக்ட்ரல் கிராஃப் கோட்பாட்டின் அப்போதைய புதிய துறையில் முந்தைய பணியை அவர்கள் உருவாக்கினர். எடுத்துக்காட்டுகள் நீளம் 5 இன் சுழற்சி ஒரு srg (5,2,0,1) ஆகும். பீட்டர்சன் வரைபடம் ஒரு எஸ்ஆர்ஜி (10,3,0,1) ஆகும். கிளெப்ஷ் வரைபடம் ஒரு எஸ்ஆர்ஜி (16,5,0,2) ஆகும். ஸ்ரீகண்டே வரைபடம் ஒரு எஸ்ஆர்ஜி (16,6,2,2) ஆகும், இது ஒரு தொலைதூர-இடைநிலை வரைபடம் அல்ல. n × n சதுர ரூக்கின் வரைபடம், அதாவது, ஒரு சமநிலையான முழுமையான இருதரப்பு வரைபடத்தின் வரி வரைபடம் Kn, n, ஒரு srg (n2,2n−2, n−2,2) ஆகும். இதற்கான அளவுருக்கள் ஸ்ரீகண்டே வரைபடத்துடன் ஒத்துப்போகின்றன, ஆனால் இரண்டு வரைபடங்களும் ஐசோமார்பிக் அல்ல. ஒரு முழுமையான வரைபடம் Kn இன் வரி வரைபடம் ஒரு. சாங் வரைபடங்கள் எஸ்ஆர்ஜி (28,12,6,4), கே8 இன் வரி வரைபடத்தைப் போலவே உள்ளன, ஆனால் இந்த நான்கு வரைபடங்களும் ஐசோமார்பிக் அல்ல. (s, t) வரிசையின் ஒவ்வொரு பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட நாற்கரமும் அதன் வரி வரைபடமாக ஒரு srg ((s + 1) (st + 1), s (t + 1), s-1, t + 1) ஐ வழங்குகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, GQ (2,4) srg (27,10,1,5) ஐ அதன் வரி வரைபடமாக கொடுக்கிறது. ஷ்லாஃப்லி வரைபடம் ஒரு எஸ்ஆர்ஜி (27,16,10,8) ஆகும். ஹாஃப்மேன்-சிங்கிள்டன் வரைபடம் ஒரு எஸ்ஆர்ஜி (50,7,0,1) ஆகும். சிம்ஸ்-கெவிர்ட்ஸ் வரைபடம் ஒரு (56,10,0,2) ஆகும். M22 வரைபடம் அல்லது மெஸ்னர் வரைபடம் ஒரு srg (77,16,0,4) ஆகும். ப்ரூவர்-ஹேமர்ஸ் வரைபடம் ஒரு எஸ்ஆர்ஜி (81,20,1,6) ஆகும். ஹிக்மேன்-சிம்ஸ் வரைபடம் ஒரு எஸ்ஆர்ஜி (100,22,0,6) ஆகும். உள்ளூர் மெக்லாலின் வரைபடம் ஒரு எஸ்ஆர்ஜி (162,56,10,24) ஆகும். கேமரூன் வரைபடம் ஒரு எஸ்ஆர்ஜி (239,30,9,3) ஆகும். பெர்லெகாம்ப்-வான் லின்ட்-சீடெல் வரைபடம் ஒரு எஸ்ஆர்ஜி (243,22,1,2) ஆகும். மெக்லாலின் வரைபடம் ஒரு எஸ்ஆர்ஜி (275,112,30,56) ஆகும். q வரிசையின் பாலே வரைபடம் ஒரு srg (q, (q−1)/2, (q−5)/4, (q−1)/4) ஆகும். சிறிய பாலே வரைபடம், உடன், 5-சுழற்சி (மேலே) ஆகும். சுய-நிரப்பு வளைவு-இடைநிலை வரைபடங்கள் வலுவாக வழக்கமானவை. வரைபடம் மற்றும் அதன் நிரப்பு இரண்டும் இணைக்கப்பட்டிருந்தால் வலுவான வழக்கமான வரைபடம் பழமையானது என்று அழைக்கப்படுகிறது. மேலே உள்ள அனைத்து வரைபடங்களும் பழமையானவை, இல்லையெனில் அல்லது. கான்வேயின் 99-கிராஃப் சிக்கல் ஒரு எஸ். ஆர். ஜி (99,14,1,2) கட்டுமானத்தைக் கேட்கிறது. இந்த அளவுருக்கள் கொண்ட ஒரு வரைபடம் இருக்கிறதா என்பது தெரியவில்லை, மேலும் ஜான் ஹார்டன் கான்வே இந்த சிக்கலுக்கான தீர்வுக்காக $1000 பரிசை வழங்கினார். முக்கோணம் இல்லாத வரைபடங்கள் λ = 0 கொண்ட வலுவான வழக்கமான வரைபடங்கள் முக்கோணம் இல்லாதவை. 3 க்கும் குறைவான செங்குத்துகளில் உள்ள முழுமையான வரைபடங்கள் மற்றும் அனைத்து முழுமையான இருதரப்பு வரைபடங்களைத் தவிர, முன்பு பட்டியலிடப்பட்ட ஏழு (பென்டகன், பீட்டர்சன், கிளெப்ஷ், ஹாஃப்மேன்-சிங்கிள்டன், கெவிர்ட்ஸ், மெஸ்னர்-எம் 22 மற்றும் ஹிக்மேன்-சிம்ஸ்) மட்டுமே அறியப்பட்டவை. புவியியல் வரைபடங்கள் ஒவ்வொரு வலுவான வழக்கமான வரைபடமும் ஒரு புவியியல் வரைபடமாகும், இதில் ஒவ்வொரு இரண்டு செங்குத்துகளும் ஒரு தனித்துவமான எடை இல்லாத குறுகிய பாதையைக் கொண்டுள்ளன. அறியப்பட்ட ஒரே வலுவான வழக்கமான வரைபடங்கள் 0 ஆக இருக்கும், எனவே முக்கோணம் இல்லாதவை. இவை மூர் வரைபடங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, மேலும் அவை கீழே விரிவாக ஆராயப்படுகின்றன. (400,21,2,1) போன்ற அளவுருக்களின் பிற சேர்க்கைகள் இன்னும் நிராகரிக்கப்படவில்லை. ஒரு வலுவான வழக்கமான வரைபடம் கொண்டிருக்கும் பண்புகள் குறித்து தொடர்ந்து ஆராய்ச்சி இருந்தபோதிலும், அவை இன்னும் உள்ளனவா அல்லது அவற்றின் எண்ணிக்கை வரையறுக்கப்பட்டதா என்பது கூட தெரியவில்லை. அடிப்படை முடிவு மட்டுமே அறியப்படுகிறது, அது அத்தகைய வரைபடத்திற்கு 1 ஆக இருக்க முடியாது. வலுவான வழக்கமான வரைபடங்களின் இயற்கணித பண்புகள் அளவுருக்களுக்கு இடையிலான அடிப்படை உறவு ஒரு srg (v, k, λ, μ) இல் உள்ள நான்கு அளவுருக்கள் சுயாதீனமானவை அல்ல. அவர்கள் பின்வரும் உறவுக்குக் கீழ்ப்படிய வேண்டும்ஃ மேற்கண்ட உறவு பின்வருமாறு ஒரு எண்ணும் வாதத்தின் மூலம் பெறப்படுகிறதுஃ வரைபடத்தின் செங்குத்துகள் மூன்று நிலைகளில் இருப்பதை கற்பனை செய்து பாருங்கள். நிலை 0 இல் எந்த உச்சியையும் மூலமாகத் தேர்ந்தெடுக்கவும். பின்னர் அதன் k அண்டை நாடுகள் நிலை 1 இல் உள்ளன, மற்ற அனைத்து செங்குத்துகளும் நிலை 2 இல் உள்ளன. நிலை 1 இல் உள்ள செங்குத்துகள் நேரடியாக வேருடன் இணைக்கப்பட்டுள்ளன, எனவே அவை வேருடன் பொதுவான λ பிற அண்டை நாடுகளைக் கொண்டிருக்க வேண்டும், மேலும் இந்த பொதுவான அண்டை நாடுகளும் நிலை 1 இல் இருக்க வேண்டும். ஒவ்வொரு முனையிலும் டிகிரி k இருப்பதால், நிலை 2 இல் உள்ள செங்குத்துகளுடன் இணைக்க ஒவ்வொரு நிலை 1 முனையிலும் விளிம்புகள் உள்ளன. எனவே, நிலை 1 மற்றும் நிலை 2 க்கு இடையில் விளிம்புகள் உள்ளன. நிலை 2 இல் உள்ள செங்குத்துகள் மூலத்துடன் நேரடியாக இணைக்கப்படவில்லை, எனவே அவை மூலத்துடன் பொதுவான அண்டை நாடுகளைக் கொண்டிருக்க வேண்டும், மேலும் இந்த பொதுவான அண்டை நாடுகள் அனைத்தும் நிலை 1 இல் இருக்க வேண்டும். நிலை 2 இல் செங்குத்துகள் உள்ளன, ஒவ்வொன்றும் நிலை 1 இல் உள்ள μ செங்குத்துகளுடன் இணைக்கப்பட்டுள்ளன. எனவே நிலை 1 மற்றும் நிலை 2 க்கு இடையிலான விளிம்புகளின் எண்ணிக்கை. நிலை 1 மற்றும் நிலை 2 க்கு இடையிலான விளிம்புகளுக்கான இரண்டு வெளிப்பாடுகளையும் சமன் செய்தால், உறவு பின்வருமாறு. அட்ஜசென்சி மேட்ரிக்ஸ் சமன்பாடுகள் I ஐடென்ட்டிட்டி மேட்ரிக்ஸைக் குறிக்கலாம் மற்றும் J என்பது ஒன்றின் மேட்ரிக்ஸைக் குறிக்கட்டும், இவை இரண்டும் வரிசை v இன் மேட்ரிக்ஸ்கள். முதலாவதாக, இது வழக்கமான தேவையின் மறுபரிசீலனை ஆகும். இது k என்பது ஆல்-ஒன்ஸ் ஐகென் வெக்டருடன் அருகிலுள்ள மேட்ரிக்ஸின் ஐகென் மதிப்பு என்பதைக் காட்டுகிறது. இரண்டாவதாக, இது வலுவான ஒழுங்குமுறையை வெளிப்படுத்துகிறது. இடது புறத்தின் ij-th உறுப்பு i முதல் j வரையிலான இரண்டு படி பாதைகளின் எண்ணிக்கையை வழங்குகிறது. வலது புறத்தின் முதல் சொல் i இலிருந்து i க்கு இரண்டு படி பாதைகளின் எண்ணிக்கையை அளிக்கிறது, அதாவது k விளிம்புகள் வெளியே மற்றும் உள்ளே. இரண்டாவது சொல் i மற்றும் j நேரடியாக இணைக்கப்படும்போது இரண்டு படி பாதைகளின் எண்ணிக்கையை வழங்குகிறது. மூன்றாவது சொல் i மற்றும் j இணைக்கப்படாதபோது தொடர்புடைய மதிப்பை வழங்குகிறது. மூன்று நிகழ்வுகளும் பரஸ்பரம் பிரத்தியேகமானவை மற்றும் ஒட்டுமொத்தமாக முழுமையானவை என்பதால், எளிய சேர்க்கை சமத்துவம் பின்பற்றப்படுகிறது. இதற்கு நேர்மாறாக, மேற்கண்ட நிபந்தனைகள் இரண்டையும் திருப்திப்படுத்தும் மற்றும் முழுமையான அல்லது பூஜ்ய வரைபடம் இல்லாத ஒரு வரைபடம் ஒரு வலுவான வழக்கமான வரைபடமாகும். ஈஜென்வெல்யூக்கள் மற்றும் கிராஃப் ஸ்பெக்ட்ரம் அருகிலுள்ள மேட்ரிக்ஸ் ஏ சமச்சீர் என்பதால், அதன் ஈஜென்வெக்டர்கள் ஆர்த்தோகனல் என்பதைப் பின்பற்றுகிறது. நாம் ஏற்கனவே ஒரு ஐகென் வெக்டரை கவனித்தோம், அதற்கு மேலே உள்ள அனைத்தும் ஐகென் மதிப்பு k உடன் தொடர்புடையவை. எனவே மற்ற ஐகென் வெக்டர்கள் x அனைத்தும் பூர்த்தி செய்ய வேண்டும், அங்கு J என்பது முன்பு போலவே ஆல்-ஒன்ஸ் மேட்ரிக்ஸ் ஆகும். முன்பு நிறுவப்பட்ட சமன்பாட்டை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள்ஃ மேலும் மேலே உள்ள சமன்பாட்டை ஐகென் வெக்டர் x ஆல் பெருக்கவும்ஃ தொடர்புடைய ஐகென் மதிப்பு p ஐ அழைக்கவும் (வரைபட அளவுருவுடன் குழப்பமடைய வேண்டாம்) மற்றும் மாற்றாக, மற்றும்ஃ x ஐ அகற்றி இருபடி பெற மறுசீரமைக்கவும்ஃ இது இரண்டு கூடுதல் ஐகென் மதிப்புகளை வழங்குகிறது. எனவே வலுவான வழக்கமான மேட்ரிக்ஸுக்கு சரியாக மூன்று ஐகென் மதிப்புகள் உள்ளன. மாறாக, மூன்று ஐகென் மதிப்புகளுடன் இணைக்கப்பட்ட வழக்கமான வரைபடம் வலுவாக வழக்கமானதாகும். வலுவான வழக்கமான வரைபட இலக்கியத்தில் உள்ள சொற்களைப் பின்பற்றி, பெரிய ஐகென் மதிப்பு பெருக்கம் f உடன் r என்றும், சிறியது பெருக்கம் g உடன் s என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. அனைத்து ஐகென் மதிப்புகளின் கூட்டுத்தொகையும் அருகிலுள்ள மேட்ரிக்ஸின் தடயமாக இருப்பதால், இந்த விஷயத்தில் பூஜ்ஜியமாக இருப்பதால், அந்தந்த பெருக்கங்கள் f மற்றும் g ஐக் கணக்கிட முடியும்ஃ ஐகென் மதிப்பு k க்கு பெருக்கம் 1 உள்ளது. ஐகென் மதிப்பு பன்மடங்கு உள்ளது. ஐகென் மதிப்பு பன்மடங்கு உள்ளது. பெருக்கங்கள் முழு எண்களாக இருக்க வேண்டும் என்பதால், அவற்றின் வெளிப்பாடுகள் v, k, μ மற்றும் λ ஆகியவற்றின் மதிப்புகளுக்கு மேலும் கட்டுப்பாடுகளை வழங்குகின்றன. வலுவான வழக்கமான வரைபடங்கள் சமமற்ற பெருக்கங்களுடன் முழு எண் ஐகென் மதிப்புகளைக் கொண்டுள்ளன. வலுவான வழக்கமான வரைபடங்கள் அவை சமச்சீர் மாநாட்டு மேட்ரிக்ஸுடன் தொடர்பு கொண்டிருப்பதால் அவை மாநாட்டு வரைபடங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. அவற்றின் அளவுருக்கள் அவற்றின் ஐகென் மதிப்புகள் மற்றும், இரண்டின் பெருக்கமும் சமமாக இருக்கும். மேலும், இந்த விஷயத்தில், ப்ரூக்-ரைசர்-சௌலா தேற்றத்துடன் தொடர்புடைய இரண்டு சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு v சமமாக இருக்க வேண்டும். ஐகென் மதிப்புகள் மற்றும் அவற்றின் பெருக்கங்களின் கூடுதல் பண்புகள் பின்வருமாறுஃ, எனவே r மற்றும் s ஐகென் மதிப்புகளுடன் கொடுக்கப்பட்டால், அதன் நிரப்பு-1-s மற்றும்-1-r ஐகென் மதிப்புகளைக் கொண்டுள்ளது. பெருக்கங்களுக்கான மாற்று சமன்பாடுகள் மற்றும் சட்டக அளவு நிபந்தனைகள்ஃ ஒரு விளைவாக, சில வரிசையில் இருந்தால் மட்டுமே. கிரெய்ன் நிபந்தனைகள்ஃ மற்றும் முழுமையான பிணைப்புஃ மற்றும். நகம் பிணைக்கப்பட்டதுஃ என்றால், பின்னர் அல்லது. எந்தவொரு அளவுருக்களுக்கும் மேலே உள்ள நிபந்தனைகள் மீறப்பட்டால், அந்த அளவுருக்களுக்கு வலுவான வழக்கமான வரைபடம் இல்லை. ப்ரூவர் அத்தகைய இருப்பு அல்லது இல்லாதது பற்றிய பட்டியல்களை இங்கே தொகுத்துள்ளார், அவை இல்லாததற்கான காரணங்கள் ஏதேனும் இருந்தால். ஹாஃப்மேன்-சிங்கிள்டன் தேற்றம் மேலே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, ஐகென் மதிப்புகளின் பெருக்கங்கள் முழு எண்களாக இருக்க வேண்டும். 1960 ஆம் ஆண்டில், ஆலன் ஹாஃப்மேன் மற்றும் ராபர்ட் சிங்கிள்டன் ஆகியோர் λ = 0 மற்றும் μ = 1 கொண்ட மூர் வரைபடங்களில் பயன்படுத்தும்போது அந்த வெளிப்பாடுகளை ஆய்வு செய்தனர். இத்தகைய வரைபடங்கள் முக்கோணங்கள் இல்லாதவை (இல்லையெனில் λ பூஜ்ஜியத்தை தாண்டும்) மற்றும் நாற்கரங்கள் (இல்லையெனில் μ 1 ஐ தாண்டும்), எனவே அவை 5 இன் சுற்றளவு (மிகச்சிறிய சுழற்சி நீளம்) கொண்டுள்ளன. சமன்பாட்டில் λ மற்றும் μ இன் மதிப்புகளை மாற்றுவதன் மூலம், ஐஜென் மதிப்பு பெருக்கங்கள் குறைவதைக் காணலாம் பெருக்கங்கள் முழு எண்களாக இருக்க, அளவு பகுத்தறிவுடையதாக இருக்க வேண்டும், எனவே எண் பூஜ்ஜியமாகவோ அல்லது வகுத்தல் ஒரு முழு எண்ணாகவோ இருக்கும். எண் பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், சாத்தியக்கூறுகள் பின்வருமாறுஃ k = 0 மற்றும் v = 1 ஒரு முனை மற்றும் விளிம்புகள் இல்லாத ஒரு அற்பமான வரைபடத்தை அளிக்கிறது, மேலும் k = 2 மற்றும் v = 5 5-வெர்டெக்ஸ் சுழற்சி வரைபடத்தை அளிக்கிறது, இது பொதுவாக ஒரு வழக்கமான ஐங்கோணமாக வரையப்படுகிறது. டினாமினேட்டர் ஒரு முழு எண் t ஆக இருந்தால், அது ஒரு சரியான சதுரமாகும். மாற்றீடுஃ இரு பக்கங்களும் முழு எண்கள் என்பதால், ஒரு முழு எண்ணாக இருக்க வேண்டும், எனவே t என்பது 15 இன் காரணி, அதாவது. இதையொட்டிஃ k = 1 மற்றும் v = 2 ஒரு விளிம்புடன் இணைந்த இரண்டு செங்குத்துகளின் அற்பமான வரைபடத்தை அளிக்கிறது, k = 3 மற்றும் v = 10 பீட்டர்சன் வரைபடத்தை அளிக்கிறது, k = 7 மற்றும் v = 50 ஹாஃப்மேன்-சிங்கிள்டன் வரைபடத்தை அளிக்கிறது, இந்த பகுப்பாய்வின் போது ஹாஃப்மேன் மற்றும் சிங்கிள்டன் ஆகியோரால் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது, மேலும் k = 57 மற்றும் v = 3250 1960 முதல் கண்டுபிடிக்கப்படாத ஒரு பிரபலமான வரைபடத்தை முன்னறிவிக்கிறது, அதன் இருப்பு நிரூபிக்கப்படவில்லை. ஹாஃப்மேன்-சிங்கிள்டன் தேற்றம் மேலே பட்டியலிடப்பட்டதைத் தவிர வலுவான வழக்கமான சுற்றளவு-5 மூர் வரைபடங்கள் இல்லை என்று கூறுகிறது. பகுதி வடிவியல் சீடெல் அட்ஜசென்சி மேட்ரிக்ஸ் டூ-கிராஃப் நோட்ஸ் ரெஃபரென்ஸ் ஆண்ட்ரிஸ் ப்ரூவர் மற்றும் ஹென்ட்ரிக் வான் மால்டெகேம் (2022), ஸ்ட்ராங்லி ரெகுலர் கிராஃப்ஸைப் பார்க்கவும். கேம்பிரிட்ஜ்ஃ கேம்பிரிட்ஜ் பல்கலைக்கழக அச்சகம். . ஏ. இ. ப்ரூவர், ஏ. எம். கோஹன், மற்றும் ஏ. நியூமேயர் (1989), டிஸ்டன்ஸ் ரெகுலர் கிராஃப்ஸ். பெர்லின், நியூயார்க்ஃ ஸ்பிரிங்கர்-வெர்லாக். , கிறிஸ் கோட்சில் மற்றும் கார்டன் ராய்ல் (2004), இயற்கணித வரைபடக் கோட்பாடு. நியூயார்க்ஃ ஸ்பிரிங்கர்-வெர்லாக். வெளிப்புற இணைப்புகள் எரிக் டபிள்யூ. வெய்ஸ்டீன், மாத்வேர்ல்ட் கட்டுரை பல எடுத்துக்காட்டுகளுடன். கார்டன் ராய்ல், பெரிய வரைபடங்கள் மற்றும் குடும்பங்களின் பட்டியல். ஆண்ட்ரிஸ் ஈ. ப்ரூவர், வலுவான வழக்கமான வரைபடங்களின் அளவுருக்கள். பிரெண்டன் மெக்கே, சில வரைபடங்களின் தொகுப்புகள். டெட் ஸ்பென்ஸ், அதிகபட்சம் 64 செங்குத்துகளில் வலுவான வழக்கமான வரைபடங்கள். வரைபடக் குடும்பங்கள் இயற்கணித வரைபடக் கோட்பாடு வழக்கமான வரைபடங்கள்