Sobol sequence
சோபோல் 'வரிசைகள் (எல். பி. டி. டி வரிசைகள் அல்லது அடிப்படை 2 இல் (டி, எஸ்) வரிசைகள் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன) அரை-சீரற்ற குறைந்த-முரண்பாடு வரிசைகளுக்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு. அவை முதன்முதலில் 1967 இல் ரஷ்ய கணிதவியலாளர் இலியா எம். சோபோல் '(Îilhyya мееерович соболh) என்பவரால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டன. இந்த வரிசைகள் இரண்டின் அடித்தளத்தைப் பயன்படுத்தி அலகு இடைவெளியின் தொடர்ச்சியான சிறந்த சீரான பகிர்வுகளை உருவாக்குகின்றன, பின்னர் ஒவ்வொரு பரிமாணத்திலும் ஆயங்களை மறுசீரமைக்கின்றன. s-பரிமாண அலகு ஹைபர்கியூபில் நல்ல விநியோகங்கள் is = [0,1] s என்பது s-பரிமாண அலகு ஹைபர்கியூபாகவும், f என்பது is க்கு மேல் ஒரு உண்மையான ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடாகவும் இருக்கட்டும். சோபோல் 'இன் அசல் உந்துதல் ஒரு வரிசை xn ஐ Is இல் உருவாக்குவதாகும், இதனால் ஒருங்கிணைப்பு முடிந்தவரை வேகமாக இருக்கும். தொகை ஒருங்கிணைப்பை நோக்கி ஒன்றிணைவதற்கு, xn புள்ளிகள் நிரப்பப்பட வேண்டும் என்பது துளைகளைக் குறைப்பதாகும் என்பது ஏறத்தாழ தெளிவாகிறது. மற்றொரு நல்ல பண்பு என்னவென்றால், இஸ் இன் குறைந்த பரிமாண முகத்தின் மீது xn இன் கணிப்புகள் மிகக் குறைந்த துளைகளையும் விட்டுச் செல்கின்றன. எனவே Is இன் ஒரே மாதிரியான நிரப்புதல் தகுதி பெறாது, ஏனெனில் குறைந்த பரிமாணங்களில் பல புள்ளிகள் ஒரே இடத்தில் இருக்கும், எனவே ஒருங்கிணைந்த மதிப்பீட்டிற்கு பயனற்றது. இந்த நல்ல விநியோகங்கள் (t, m, s)-நெட்கள் மற்றும் (t, s)-வரிசைமுறைகள் அடிப்படை b இல் அழைக்கப்படுகின்றன. அவற்றை அறிமுகப்படுத்த, முதலில் அடிப்படை b இல் ஒரு அடிப்படை s-இடைவெளியை வரையறுக்கவும், aj மற்றும் dj எதிர்மறை அல்லாத முழு எண்களாக இருக்கும் வடிவத்தின் Is இன் துணைக்குழு, மற்றும் {1,., s} இல் உள்ள அனைத்து j க்கும். கொடுக்கப்பட்ட 2 முழு எண்களில், a (t, m, s)-நிகரம் என்பது b இன் bm புள்ளிகளின் ஒரு வரிசை xn ஆகும், அதாவது அனைத்து அடிப்படை இடைவெளி P க்கு b இன் ஹைப்பர் வால்யூம் λ (P) = bt−m. எதிர்மறை அல்லாத முழு எண் t ஐப் பொறுத்தவரை, அடிப்படை b இல் உள்ள a (t, s)-வரிசை என்பது xn புள்ளிகளின் எல்லையற்ற வரிசையாகும், அதாவது அனைத்து முழு எண்களுக்கும், வரிசை அடிப்படை b இல் a (t, m, s)-நிகரமாகும். சோபோல் தனது கட்டுரையில், Πτ-மெஷ்கள் மற்றும் LPτ வரிசைகளை விவரித்தார், அவை முறையே (t, m, s)-நெட்கள் மற்றும் (t, s)-வரிசைகள் அடிப்படை 2 இல் உள்ளன. அடிப்படை b இல் உள்ள சொற்கள் (t, m, s)-நெட்கள் மற்றும் (t, s)-வரிசைமுறைகள் (நைடெர்ரைட்டர் வரிசைகள் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன) 1988 ஆம் ஆண்டில் ஹரால்ட் நைடெர்ரைட்டரால் உருவாக்கப்பட்டன. ஹால்டன், ஃபோரெ மற்றும் பிற குறைந்த முரண்பாடு வரிசைகளுடன் ஒப்பிடுகையில் சோபோல் 'வரிசைகள் என்ற சொல் ஆங்கிலம் பேசும் பிந்தைய செய்தித்தாள்களில் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. ஒரு வேகமான வழிமுறை அன்டோனோவ் மற்றும் சலீவ் ஆகியோரால் மிகவும் திறமையான சாம்பல் குறியீடு செயல்படுத்தல் முன்மொழியப்பட்டது. சோபோல் எண்களின் உருவாக்கத்தைப் பொறுத்தவரை, n-வது புள்ளி டிராவை உருவாக்குவதற்கு n க்கு பதிலாக சாம்பல் குறியீட்டைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் அவை தெளிவாக உதவப்படுகின்றன. நாம் ஏற்கனவே அனைத்து சோபோல் வரிசையையும் n−1 வரை வரைந்து, தேவையான அனைத்து பரிமாணங்களுக்கும் xn−1, j மதிப்புகளை நினைவகத்தில் வைத்திருக்கிறோம் என்று வைத்துக்கொள்வோம். சாம்பல் குறியீடு G (n) முந்தைய G (n−1) இலிருந்து ஒரு ஒற்றை மூலம் வேறுபடுவதால், k-th, பிட் (இது n−1 இன் வலதுபுற பூஜ்ஜிய பிட்) என்று சொல்லுங்கள், xn−1 ஐ xn க்கு பரப்புவதற்காக ஒவ்வொரு பரிமாணத்திற்கும் ஒரு ஒற்றை XOR செயல்பாடு மட்டுமே செய்ய வேண்டும், அதாவது. கூடுதல் சீரான பண்புகள் சோபோல் 'பண்பு ஏ மற்றும் ஏ' எனப்படும் கூடுதல் சீரான நிபந்தனைகளை அறிமுகப்படுத்தியது. வரையறை 2d நீளத்தின் டி-பரிமாண வரிசையின் எந்தவொரு பைனரி பிரிவுக்கும் (ஒரு தன்னிச்சையான துணைக்குழு அல்ல) ஒவ்வொரு 2d ஹைபர்க்யூப்களிலும் சரியாக ஒரு டிரா இருந்தால், அதன் விளைவாக அலகு ஹைபர்க்யூபை அதன் ஒவ்வொரு நீள நீட்டிப்புகளுடனும் பாதியாகப் பிரிப்பதன் விளைவாக குறைந்த முரண்பாடு வரிசை பண்பு A ஐ திருப்திப்படுத்துவதாகக் கூறப்படுகிறது. வரையறை 4d நீளத்தின் டி-பரிமாண வரிசையின் எந்தவொரு பைனரி பிரிவுக்கும் (ஒரு தன்னிச்சையான துணைக்குழு அல்ல) ஒவ்வொரு 4d ஹைபர்க்யூப்களிலும் சரியாக ஒரு டிரா இருந்தால், அதன் விளைவாக அலகு ஹைபர்க்யூபை அதன் ஒவ்வொரு நீளம் நீட்டிப்புகளுடனும் நான்கு சம பாகங்களாகப் பிரிப்பதன் விளைவாக ஒரு குறைந்த முரண்பாடு வரிசை பண்பு A 'ஐ திருப்திப்படுத்துவதாகக் கூறப்படுகிறது. ஏ மற்றும் ஏ 'பண்புகளுக்கு உத்தரவாதம் அளிக்கும் கணித நிபந்தனைகள் உள்ளன. தேற்றம் 'd-பரிமாண சோபோல்' வரிசை பண்பு A iff ஐக் கொண்டுள்ளது, அங்கு Vd என்பது d × d பைனரி மேட்ரிக்ஸ் ஆகும், இது vk, j, m உடன் வரையறுக்கப்படுகிறது, இது vk, j = (0. vk, j, 1vk, j, 2.) 2 என்ற திசை எண்ணின் பைனரி புள்ளிக்குப் பிறகு m-வது இலக்கத்தைக் குறிக்கிறது. தேற்றம் 'd-பரிமாண சோபோல் வரிசை' என்பது பண்பு A 'iff ஐக் கொண்டுள்ளது, அங்கு Ud என்பது 2d × 2d பைனரி மேட்ரிக்ஸ் ஆகும், இது vk, j, m உடன் வரையறுக்கப்படுகிறது, இது திசை எண் vk, j = (0. vk, j, 1vk, j, 2.) 2 இன் பைனரி புள்ளிக்குப் பிறகு m-வது இலக்கத்தைக் குறிக்கிறது. A மற்றும் A 'பண்புகளுக்கான சோதனைகள் சுயாதீனமானவை. எனவே A மற்றும் A ஆகிய இரண்டு பண்புகளையும் அல்லது அவற்றில் ஒன்றை மட்டுமே திருப்திப்படுத்தும் சோபோல் வரிசையை உருவாக்க முடியும். சோபோல் 'எண்களின் துவக்கம் ஒரு சோபோல்' வரிசையை உருவாக்க, திசை எண்களின் தொகுப்பு vi, j தேர்ந்தெடுக்கப்பட வேண்டும். ஆரம்ப திசை எண்களைத் தேர்ந்தெடுப்பதில் சில சுதந்திரம் உள்ளது. எனவே, தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட பரிமாணங்களுக்கு சோபோல் வரிசையின் வெவ்வேறு உணர்தல்களைப் பெற முடியும். ஆரம்ப எண்களின் மோசமான தேர்வு கணக்கீட்டிற்கு பயன்படுத்தப்படும்போது சோபோல் வரிசைகளின் செயல்திறனை கணிசமாகக் குறைக்கும். தொடக்க எண்களுக்கான எளிதான தேர்வு என்னவென்றால், எல்-வது இடதுபுற பிட் செட் மற்றும் மற்ற அனைத்து பிட்களும் பூஜ்ஜியமாக இருக்க வேண்டும், அதாவது. k மற்றும் j அனைத்திற்கும் mk, j = 1 ஆகும். இந்த துவக்கம் பொதுவாக அலகு துவக்கம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இருப்பினும், அத்தகைய வரிசை குறைந்த பரிமாணங்களுக்கு கூட பண்பு ஏ மற்றும் ஏ 'க்கான சோதனையில் தோல்வியடைகிறது, எனவே இந்த துவக்கம் மோசமானது. செயலாக்கம் மற்றும் கிடைக்கும் தன்மை வெவ்வேறு எண்ணிக்கையிலான பரிமாணங்களுக்கான நல்ல துவக்க எண்கள் பல ஆசிரியர்களால் வழங்கப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, சோபோல் '51 வரையிலான பரிமாணங்களுக்கான துவக்க எண்களை வழங்குகிறது. அதே துவக்க எண்களின் தொகுப்பு பிராட்லி மற்றும் ஃபாக்ஸ் ஆகியோரால் பயன்படுத்தப்படுகிறது. உயர் பரிமாணங்களுக்கான துவக்க எண்கள் ஜோ மற்றும் குவோவில் கிடைக்கின்றன. பீட்டர் ஜாக்கல் தனது "மான்டே கார்லோ மெத்தட்ஸ் இன் ஃபைனான்ஸ்" என்ற புத்தகத்தில் பரிமாணம் 32 வரை துவக்க எண்களை வழங்குகிறார். பிற செயல்பாடுகள் சி, ஃபோர்ட்ரான் 77, அல்லது ஃபோர்ட்ரான் 90 நடைமுறைகளாக மென்பொருளின் எண் சமையல் தொகுப்பில் கிடைக்கின்றன. ஜோ மற்றும் குவோ துவக்க எண்களின் அடிப்படையில் 1111 பரிமாணங்களில் ஒரு இலவச/திறந்த மூல செயல்படுத்தல், சி இல் கிடைக்கிறது, மேலும் பைதான் மற்றும் ஜூலியாவில் 21201 பரிமாணங்கள் வரை கிடைக்கிறது. சி + +, ஃபோர்ட்ரான் 90, மேட்லேப் மற்றும் பைத்தானுக்கு 1111 பரிமாணங்கள் வரை வேறுபட்ட இலவச/திறந்த மூல செயல்படுத்தல் கிடைக்கிறது. இறுதியாக, வணிக ரீதியான சோபோல் வரிசை ஜெனரேட்டர்கள், எடுத்துக்காட்டாக, என்ஏஜி நூலகத்திற்குள் கிடைக்கின்றன. பிரிட்டிஷ்-ரஷ்ய கடலோர மேம்பாட்டு நிறுவனத்திடமிருந்து (பி. ஆர். ஓ. டி. ஏ) ஒரு பதிப்பு கிடைக்கிறது. MATLAB அதன் புள்ளியியல் கருவிப்பெட்டியின் ஒரு பகுதியாக ஒரு செயல்பாட்டையும் கொண்டுள்ளது. மேலும் காண்கஃ குறைந்த-முரண்பாடு வரிசைகள் அரை-மான்டெ கார்லோ முறை குறிப்புகள் குறிப்புகள் வெளிப்புற இணைப்புகள் ACM இன் சேகரிக்கப்பட்ட வழிமுறைகள் (வழிமுறைகள் 647,659 மற்றும் 738 ஐப் பார்க்கவும்.) சோபோல் 'வரிசைகள் ஜெனரேட்டர் நிரலாக்கக் குறியீடுகளின் தொகுப்பு சோபோல்' வரிசையின் ஃப்ரீவேர் சி + + ஜெனரேட்டர் குறைந்த முரண்பாடு வரிசைகள் மற்றும் தொடர்கள்