Infinite-dimensional holomorphy
கணிதத்தில், எல்லையற்ற பரிமாண ஹோலோமார்பி என்பது செயல்பாட்டு பகுப்பாய்வின் ஒரு கிளை ஆகும். இது வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாடுகளுக்கு ஹோலோமார்பிக் செயல்பாட்டின் கருத்தை பொதுமைப்படுத்துவதிலும், சிக்கலான பானாச் இடைவெளிகளில் (அல்லது ஃப்ரெசெட் இடைவெளிகள் பொதுவாக) மதிப்புகளை எடுப்பதிலும் அக்கறை கொண்டுள்ளது, பொதுவாக எல்லையற்ற பரிமாணம். இது நேரியல் அல்லாத செயல்பாட்டு பகுப்பாய்வின் ஒரு அம்சமாகும். ஒரு சிக்கலான பரிமாணத்திற்கு அப்பால் ஹோலோமார்பிக் செயல்பாடுகளின் கோட்பாட்டை விரிவுபடுத்துவதற்கான முதல் படி, வெக்டர்-மதிப்புள்ள ஹோலோமார்பிக் செயல்பாடுகள் என்று அழைக்கப்படுவதைக் கருத்தில் கொள்கிறது, அவை இன்னும் சிக்கலான தளம் C இல் வரையறுக்கப்படுகின்றன, ஆனால் ஒரு பானாச் இடத்தில் மதிப்புகளை எடுக்கின்றன. இத்தகைய செயல்பாடுகள் முக்கியமானவை, எடுத்துக்காட்டாக, வரம்புக்குட்பட்ட நேரியல் இயக்கிகளுக்கான ஹோலோமார்பிக் செயல்பாட்டு கால்குலஸை உருவாக்குவதில். வரையறை. ஒரு சார்பு f: U → X, இதில் U ′C ஒரு திறந்த துணைக்குழு மற்றும் X ஒரு சிக்கலான பானாச் இடைவெளி அது சிக்கலான-வேறுபடுத்தக்கூடியதாக இருந்தால் ஹோலோமார்பிக் என்று அழைக்கப்படுகிறது; அதாவது, ஒவ்வொரு புள்ளிக்கும் பின்வரும் வரம்பு உள்ளதுஃ ஒரு திசையன் மதிப்புள்ள ஹோலோமார்பிக் செயல்பாட்டின் கோடு ஒருங்கிணைப்பை ஒருவர் வரையறுக்கலாம் f: U → X ஒரு திருத்தக்கூடிய வளைவு γ உடன்ஃ [a, b] → U சிக்கலான மதிப்புள்ள ஹோலோமார்பிக் செயல்பாடுகளைப் போலவே, வடிவத்தின் தொகைகளின் வரம்பாக a = t0 <t1 <. <tn = b என்பது இடைவெளி [a, b] இன் ஒரு துணைப்பிரிவாகும், துணைப்பிரிவு இடைவெளிகளின் நீளம் பூஜ்ஜியத்தை நெருங்குகிறது. காச்சி ஒருங்கிணைந்த தேற்றம் திசையன் மதிப்புள்ள ஹோலோமார்பிக் செயல்பாடுகளுக்கும் உள்ளது என்பதை இது ஒரு விரைவான சரிபார்ப்பாகும். உண்மையில், f: U → X அத்தகைய ஒரு செயல்பாடாகவும், T: X → C ஒரு வரம்புக்குட்பட்ட நேரியல் செயல்பாடாகவும் இருந்தால், T o f: U → C கலவை ஒரு சிக்கலான மதிப்புள்ள ஹோலோமார்பிக் செயல்பாடாகும் என்பதைக் காட்டலாம். எனவே, கிளாசிக்கல் காச்சி ஒருங்கிணைந்த தேற்றத்தின் படி, γ ஒரு எளிய மூடிய வளைவின் உட்புறம் U இல் உள்ளது, வலதுபுறத்தில் உள்ள ஒருங்கிணைப்பு பூஜ்ஜியமாகும். பின்னர், T தன்னிச்சையானதாக இருப்பதால், இது ஹான்-பானாக் தேற்றத்திலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது, இது திசையன் மதிப்புள்ள வழக்கில் காச்சி ஒருங்கிணைந்த தேற்றத்தை நிரூபிக்கிறது. இந்த சக்திவாய்ந்த கருவியைப் பயன்படுத்தி ஒருவர் காச்சியின் ஒருங்கிணைந்த சூத்திரத்தை நிரூபிக்கலாம், மேலும், கிளாசிக்கல் வழக்கைப் போலவே, எந்தவொரு திசையன் மதிப்புள்ள ஹோலோமார்பிக் செயல்பாடும் பகுப்பாய்வு செய்யப்படுகிறது. ஒரு சார்பு f: U → X ஹோலோமார்பிக் ஆக இருப்பதற்கான ஒரு பயனுள்ள அளவுகோல் என்னவென்றால், T o f: U → C என்பது ஒவ்வொரு தொடர்ச்சியான நேரியல் செயல்பாட்டிற்கும் ஒரு ஹோலோமார்பிக் சிக்கலான மதிப்புள்ள செயல்பாடு T: X → C. அத்தகைய f பலவீனமாக ஹோலோமார்பிக் ஆகும். சிக்கலான தளத்தின் திறந்த துணைக்குழுவில் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு செயல்பாடு ஒரு ஃப்ரெச்செட் இடத்தில் மதிப்புகளுடன் இருந்தால், அது பலவீனமாக ஹோலோமார்பிக் என்றால் மட்டுமே ஹோலோமார்பிக் என்று காட்ட முடியும். மேலும் பொதுவாக, இரண்டு சிக்கலான பானாச் இடைவெளிகள் X மற்றும் Y மற்றும் ஒரு திறந்த தொகுப்பு U ற் X கொடுக்கப்பட்டால், f இன் ஃப்ரெச்செட் வழித்தோன்றல் U இல் உள்ள ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் இருந்தால், f: U → Y என்பது ஹோலோமார்பிக் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த பொதுவான சூழலில், ஒரு ஹோலோமார்பிக் செயல்பாடு பகுப்பாய்வு என்பது இன்னும் உண்மை, அதாவது, அதை ஒரு சக்தி தொடரில் உள்ளூரில் விரிவாக்க முடியும் என்பதை ஒருவர் காட்டலாம். எவ்வாறாயினும், ஒரு பந்தில் ஒரு செயல்பாடு வரையறுக்கப்பட்டு, ஹோலோமார்பிக் ஆக இருந்தால், பந்தின் மையத்தைச் சுற்றியுள்ள அதன் சக்தி தொடர் முழு பந்திலும் ஒன்றிணைகிறது என்பது இனி உண்மையல்ல; எடுத்துக்காட்டாக, ஒருங்கிணைப்பின் வரையறுக்கப்பட்ட ஆரம் கொண்ட முழு இடத்திலும் வரையறுக்கப்பட்ட ஹோலோமார்பிக் செயல்பாடுகள் உள்ளன. பொதுவாக, இரண்டு சிக்கலான இடவியல் திசையன் இடைவெளிகள் எக்ஸ் மற்றும் ஒய் மற்றும் ஒரு திறந்த தொகுப்பு யு எக்ஸ் கொடுக்கப்பட்டால், ஒரு செயல்பாட்டின் ஹோலோமார்பியை வரையறுக்க பல்வேறு வழிகள் உள்ளன f: U → Y. வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண அமைப்பைப் போலல்லாமல், எக்ஸ் மற்றும் ஒய் எல்லையற்ற பரிமாணமாக இருக்கும்போது, ஹோலோமார்பிக் செயல்பாடுகளின் பண்புகள் எந்த வரையறை தேர்ந்தெடுக்கப்படுகிறது என்பதைப் பொறுத்தது. நாம் கருத்தில் கொள்ள வேண்டிய சாத்தியக்கூறுகளின் எண்ணிக்கையைக் கட்டுப்படுத்த, எக்ஸ் மற்றும் ஒய் உள்ளூரில் குவிந்திருக்கும் போது மட்டுமே ஹோலோமார்பி பற்றி விவாதிப்போம். இந்த பிரிவு வரையறைகளின் பட்டியலை வழங்குகிறது, இது பலவீனமான கருத்திலிருந்து வலுவான கருத்துக்கு செல்கிறது. X மற்றும் Y இடைவெளிகள் சில கூடுதல் கட்டுப்பாடுகளை பூர்த்தி செய்யும் போது இந்த வரையறைகள் தொடர்பான சில கோட்பாடுகளின் விவாதத்துடன் இது முடிவடைகிறது. கேடாக்ஸ் ஹோலோமார்பி என்பது பலவீனமான ஹோலோமார்பியை முழுமையாக எல்லையற்ற பரிமாண அமைப்புக்கு நேரடியாக பொதுமைப்படுத்துவதாகும். எக்ஸ் மற்றும் ஒய் ஆகியவை உள்ளூரில் குவிந்த இடவியல் திசையன் இடைவெளிகளாகவும், யு எக்ஸ் ஒரு திறந்த தொகுப்பாகவும் இருக்கட்டும். ஒரு சார்பு f: U → Y, ஒவ்வொரு a ω U மற்றும் b ω X க்கும், மற்றும் ஒவ்வொரு தொடர்ச்சியான நேரியல் செயல்பாட்டிற்கும் φ: Y → C, சார்பு என்பது தோற்றத்தின் சுற்றுப்புறத்தில் உள்ள z இன் ஹோலோமார்பிக் செயல்பாடாகும். கேட்டோ ஹோலோமார்பிக் செயல்பாடுகளின் தொகுப்பு HG (U, Y) ஆல் குறிக்கப்படுகிறது. கேடக்ஸ் ஹோலோமார்பிக் செயல்பாடுகளின் பகுப்பாய்வில், வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண ஹோலோமார்பிக் செயல்பாடுகளின் எந்தவொரு பண்புகளும் X இன் வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண துணை இடங்களைக் கொண்டுள்ளன. இருப்பினும், செயல்பாட்டு பகுப்பாய்வில் வழக்கம் போல், இந்த பண்புகள் ஒரே சீராக ஒன்றிணைக்கப்படாமல் முழு திறந்த தொகுப்புகளில் இந்த செயல்பாடுகளின் தொடர்புடைய பண்புகளை வழங்காது. எடுத்துக்காட்டுகள் f ω U என்றால், f அனைத்து வரிசைகளின் கேட்டக்ஸ் வழித்தோன்றல்களையும் கொண்டுள்ளது, ஏனெனில் x ω U மற்றும் h1,., hk ω X க்கு, k-வது வரிசை கேட்டக்ஸ் வழித்தோன்றல் Dkf (x) {h1,., hk} என்பது ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண இடமான ஹை இன் இடைவெளியில் மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்படும் திசை வழித்தோன்றல்களை மட்டுமே உள்ளடக்கியது. இந்த வழக்கில், மறு செய்கை செய்யப்பட்ட கேடௌக்ஸ் வழித்தோன்றல்கள் ஹை இல் பன்முகத்தன்மை கொண்டவை, ஆனால் முழு ஸ்பேஸ் எக்ஸ் மீது கருதப்படும் போது பொதுவாக தொடர்ச்சியானதாக இருக்காது. மேலும், டெய்லரின் தேற்றத்தின் ஒரு பதிப்பு பின்வருமாறு கூறுகிறதுஃ இங்கே, பன்முக இயக்கியான டிஎன்எஃப் (எக்ஸ்) உடன் தொடர்புடைய y இல் உள்ள டிகிரி n இன் ஒரே மாதிரியான பல்லுறுப்புக்கோவை. இந்த தொடரின் ஒருங்கிணைப்பு ஒரே மாதிரியாக இல்லை. இன்னும் துல்லியமாக, V′X ஒரு நிலையான வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண துணைவெளியாக இருந்தால், தொடர் 0 ω Y இன் போதுமான சிறிய சிறிய சுற்றுப்புறங்களில் ஒரே மாதிரியாக ஒருங்கிணைக்கிறது. இருப்பினும், சப்ஸ்பேஸ் V மாறுபட அனுமதித்தால், ஒருங்கிணைப்பு தோல்வியடைகிறதுஃ இந்த மாறுபாட்டைப் பொறுத்தவரை இது பொதுவாக ஒரே மாதிரியாக இருக்காது. இது வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண வழக்குக்கு முற்றிலும் மாறுபட்டது என்பதை நினைவில் கொள்க. ஹார்டாக்கின் தேற்றம் கேடாக்ஸ் ஹோலோமார்பிக் செயல்பாடுகளை பின்வரும் அர்த்தத்தில் வைத்திருக்கிறதுஃ f: (U. X1) × (V. X2) → Y என்பது அதன் ஒவ்வொரு வாதத்திலும் தனித்தனியாக கேடாக்ஸ் ஹோலோமார்பிக் கொண்ட ஒரு செயல்பாடாக இருந்தால், f என்பது தயாரிப்பு இடத்தில் கேடாக்ஸ் ஹோலோமார்பிக் ஆகும். ஹைபோஅனாலிட்டிசிட்டி ஒரு செயல்பாடு f: (U′X) → Y என்பது ஹைபோஅனாலிடிக் ஆகும், மேலும் f என்பது U இன் ஒப்பீட்டளவில் கச்சிதமான துணைக்குழுக்களில் தொடர்ச்சியாக இருந்தால். ஒவ்வொரு x′U க்கும், டெய்லர் தொடர் விரிவாக்கம் (இது ஏற்கனவே கேடாக்ஸ் ஹோலோமார்பியால் உத்தரவாதம் அளிக்கப்பட்டுள்ளது) ஒன்றிணைந்து 0′X இன் சுற்றுப்புறத்தில் y க்கு தொடர்ச்சியாக இருந்தால், ஒரு செயல்பாடு f′HG (U, Y) ஹோலோமார்பிக் ஆகும். இவ்வாறு ஹோலோமார்பி பலவீனமான ஹோலோமார்பி என்ற கருத்தை பவர் சீரிஸ் விரிவாக்கத்தின் ஒருங்கிணைப்புடன் ஒருங்கிணைக்கிறது. ஹோலோமார்பிக் செயல்பாடுகளின் தொகுப்பு H (U, Y) ஆல் குறிக்கப்படுகிறது. U இன் ஒவ்வொரு புள்ளியும் f இன் கீழ் உள்ள படம் Y இல் வரம்புக்குட்பட்ட ஒரு சுற்றுப்புறத்தைக் கொண்டிருந்தால், உள்ளூரில் வரம்புக்குட்பட்ட ஹோலோமார்பி ஒரு செயல்பாடு f: (URX) → Y என்பது உள்ளூரில் வரம்புக்குட்பட்டது என்று கூறப்படுகிறது. கூடுதலாக, f என்பது U இல் கேடாக்ஸ் ஹோலோமார்பிக் என்றால், f என்பது உள்ளூரில் எல்லைக்குட்பட்ட ஹோலோமார்பிக் ஆகும். இந்த வழக்கில், நாம் f ωHLB (U, Y) என்று எழுதுகிறோம். குறிப்புகள் ரிச்சர்ட் வி. கடிசன், ஜான் ஆர். ரிங்க்ரோஸ், ஃபண்டமெண்டல்ஸ் ஆஃப் தி தியரி ஆஃப் ஆபரேட்டர் ஆல்ஜிப்ராஸ், தொகுதி. 1: அடிப்படை கோட்பாடு. அமெரிக்க கணிதச் சங்கம், 1997. (பிரிவைப் பார்க்கவும். 3. 3) சூ பாங் சே, ஹோலோமார்ஃபி மற்றும் கால்குலஸ் இன் நார்மட் ஸ்பேஸ்கள், மார்செல் டெக்கர், 1985. லாரன்ஸ் ஏ. ஹாரிஸ், எல்லையற்ற பரிமாண ஹோலோமார்பிக் செயல்பாடுகளுக்கான நிலையான புள்ளி தேற்றம் (தேதி குறிப்பிடப்படவில்லை). பானாச் இடங்கள்