Helly's theorem
ஹெல்லியின் தேற்றம் என்பது குவிந்த தொகுப்புகளின் குறுக்குவெட்டில் தனித்துவமான வடிவவியலில் ஒரு அடிப்படை விளைவாகும். இது 1913 ஆம் ஆண்டில் எட்வர்ட் ஹெல்லியால் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது, ஆனால் 1923 வரை அவரால் வெளியிடப்படவில்லை, அந்த நேரத்தில் மாற்று சான்றுகள் ஏற்கனவே வெளிவந்தன. ஹெலியின் தேற்றம் ஒரு ஹெல்லி குடும்பம் என்ற கருத்துக்கு வழிவகுத்தது. கூற்று, உடன் குவிந்த துணைக்குழுக்களின் வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்பாக இருக்கட்டும். இந்த செட்கள் ஒவ்வொன்றின் குறுக்குவெட்டும் காலியாக இல்லாவிட்டால், முழு சேகரிப்பும் ஒரு காலியாக இல்லாத குறுக்குவெட்டைக் கொண்டுள்ளது; அதாவது, எல்லையற்ற சேகரிப்புகளுக்கு ஒருவர் சுருக்கத்தை கருத வேண்டும்ஃ கார்டினாலிட்டியின் ஒவ்வொரு துணை சேகரிப்பும் அதிகபட்சமாக காலியாக இல்லாத குறுக்குவெட்டைக் கொண்டிருக்கும் வகையில் சிறிய குவிந்த துணைக்குழுக்களின் தொகுப்பாக இருக்கட்டும். பின்னர் முழு சேகரிப்பும் காலியாக இல்லாத குறுக்குவெட்டைக் கொண்டுள்ளது. ஆதாரம் ரேடானின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி வரையறுக்கப்பட்ட பதிப்பை நாங்கள் நிரூபிக்கிறோம். எல்லையற்ற பதிப்பு பின்னர் சுருக்கத்தின் வரையறுக்கப்பட்ட குறுக்குவெட்டு பண்பு குணாதிசயத்தால் பின்பற்றப்படுகிறதுஃ ஒரு சுருக்கமான இடத்தின் மூடிய துணைக்குழுக்களின் தொகுப்பு ஒரு காலியாக இல்லாத குறுக்குவெட்டைக் கொண்டுள்ளது, ஒவ்வொரு வரையறுக்கப்பட்ட துணை சேகரிப்பும் காலியாக இல்லாத குறுக்குவெட்டைக் கொண்டிருந்தால் மட்டுமே (நீங்கள் ஒரு தொகுப்பை சரிசெய்தவுடன், அதனுடன் மற்ற அனைவரின் குறுக்குவெட்டும் ஒரு நிலையான கச்சிதமான இடத்தின் மூடிய துணைக்குழுக்களாகும்). ஆதாரம் தூண்டல் மூலம்ஃ அடிப்படை வழக்குஃ விடுங்கள். நமது அனுமானங்களின்படி, ஒவ்வொன்றிற்கும் பொதுவான குறுக்குவெட்டில் ஒரு புள்ளி உள்ளது, இது சாத்தியமான விதிவிலக்குடன் உள்ளது. இப்போது நாம் ரேடானின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம், இது குவிந்த மேற்புறத்தின் குவிந்த மேற்புறத்தை வெட்டுகிறது போன்ற வேறுபட்ட துணைக்குழுக்களை நமக்கு வழங்குகிறது. இந்த இரண்டு குவிந்த மேலோட்டங்களின் குறுக்குவெட்டில் இது ஒரு புள்ளி என்று வைத்துக்கொள்வோம். உண்மையில், எதையாவது கருத்தில் கொண்டால், அதன் ஒரே உறுப்பு இல்லை என்பதை நாங்கள் நிரூபிப்போம் என்று நாங்கள் கூறுகிறோம். என்றால், பின்னர், எனவே. இது குவிந்த நிலையில் இருப்பதால், இது குவிந்த மேற்புறத்தையும் கொண்டுள்ளது, எனவே இதுவும். அதேபோல், என்றால், பின்னர், அதே காரணத்தால். ஒவ்வொன்றிலும் இருப்பதால், அது குறுக்குவெட்டிலும் இருக்க வேண்டும். மேலே, புள்ளிகள் அனைத்தும் வேறுபட்டவை என்று நாங்கள் கருதினோம். இது அவ்வாறு இல்லையென்றால், சிலருக்குச் சொல்லுங்கள், பின்னர் ஒவ்வொரு செட்டிலும் உள்ளது, மீண்டும் குறுக்குவெட்டு காலியாக இல்லை என்று முடிவு செய்கிறோம். இது வழக்கின் ஆதாரத்தை நிறைவு செய்கிறது. தூண்டல் படிஃ கூற்று உண்மை என்று வைத்துக்கொள்வோம். மேலே உள்ள வாதம் செட்டுகளின் எந்தவொரு துணை சேகரிப்பும் காலியாக இல்லாத குறுக்குவெட்டைக் கொண்டிருக்கும் என்பதைக் காட்டுகிறது. இரண்டு செட்களையும் ஒற்றை செட்டுடன் மாற்றும் சேகரிப்பை நாம் பரிசீலிக்கலாம். இந்த புதிய தொகுப்பில், செட்டுகளின் ஒவ்வொரு துணை சேகரிப்பும் காலியாக இல்லாத குறுக்குவெட்டைக் கொண்டிருக்கும். எனவே தூண்டல் கருதுகோள் பொருந்தும், மேலும் இந்த புதிய தொகுப்பு காலியாக இல்லாத குறுக்குவெட்டைக் கொண்டுள்ளது என்பதைக் காட்டுகிறது. இது அசல் சேகரிப்புக்கும் அதையே குறிக்கிறது, மேலும் ஆதாரத்தை நிறைவு செய்கிறது. வண்ணமயமான ஹெல்லி தேற்றம் என்பது ஹெல்லியின் தேற்றத்தின் விரிவாக்கமாகும், இதில் ஒரு தொகுப்புக்குப் பதிலாக, d + 1 குவிந்த துணைக்குழுக்களின் தொகுப்புகள் உள்ளன. ஒரு டிரான்ஸ்வெர்சலின் ஒவ்வொரு தேர்வுக்கும்-ஒவ்வொரு தொகுப்பிலிருந்தும் ஒரு தொகுப்பு-தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட அனைத்து தொகுப்புகளுக்கும் பொதுவான ஒரு புள்ளி இருந்தால், சேகரிப்புகளில் குறைந்தபட்சம் ஒன்றுக்கு, சேகரிப்பில் உள்ள அனைத்து தொகுப்புகளுக்கும் பொதுவான ஒரு புள்ளி உள்ளது. உருவகமாக, டி + 1 சேகரிப்புகள் டி + 1 வெவ்வேறு வண்ணங்களில் இருப்பதாகக் கருதலாம். பின்னர் தேற்றம் கூறுகிறது, ஒரு செட்-ஒரு-நிறத்தின் ஒவ்வொரு தேர்வும் காலியாக இல்லாத குறுக்குவெட்டைக் கொண்டிருந்தால், அந்த நிறத்தின் அனைத்து செட்களும் காலியாக இல்லாத குறுக்குவெட்டைக் கொண்டிருக்கும் வகையில் ஒரு நிறம் உள்ளது. ஒவ்வொரு a> 0க்கும் சில b> 0 உள்ளது, அதாவது n குவிந்த துணைக்குழுக்களாக இருந்தால், குறைந்தபட்சம் (d + 1)-டப்பிள்களின் a-பின்னங்கள் பொதுவான ஒரு புள்ளியைக் கொண்டிருந்தால், குறைந்தபட்சம் b தொகுப்புகளின் பின்னம் பொதுவான ஒரு புள்ளியைக் கொண்டிருக்கும். காராத்தியோடோரியின் தேற்றம் டோயிக்னானின் தேற்றம் கிர்ச்ச்பெர்கரின் தேற்றம் ஷாப்லி-ஃபோக்மேன் லெம்மா கிரெய்ன்-மில்மேன் தேற்றம் சோக்வெட் கோட்பாடு ரேடானின் தேற்றம் மற்றும் அதன் பொதுமைப்படுத்தல், ட்வெர்பர்க்கின் தேற்றம் குறிப்புகள் குறிப்புகள் ஆகியவற்றைப் பார்க்கவும். . . ஹென்ரிச் குகென்ஹைமர் (1977) பொருந்தக்கூடிய வடிவியல், பக்கம் 137, க்ரீகர், ஹன்டிங்டன். . . . குவிந்த வடிவவியலில் உள்ள தேற்றங்கள் தனித்துவமான வடிவவியலில் உள்ள தேற்றங்கள் சான்றுகளைக் கொண்ட கட்டுரைகள் வடிவியல் குறுக்குவெட்டு கோட்பாடு