Unbounded operator
கணிதத்தில், மேலும் குறிப்பாக செயல்பாட்டு பகுப்பாய்வு மற்றும் இயக்கக் கோட்பாடு, வரம்பற்ற இயக்குபவர் என்ற கருத்து வேறுபட்ட இயக்கிகள், குவாண்டம் இயக்கவியலில் வரம்பற்ற அவதானிப்புகள் மற்றும் பிற நிகழ்வுகளைக் கையாள்வதற்கான ஒரு சுருக்க கட்டமைப்பை வழங்குகிறது. "வரம்பற்ற ஆபரேட்டர்" என்ற சொல் தவறாக இருக்கலாம், ஏனெனில் "வரம்பற்றது" சில நேரங்களில் "வரம்புக்குட்பட்டது அல்ல" என்று புரிந்து கொள்ளப்பட வேண்டும்; "ஆபரேட்டர்" என்பது "நேரியல் ஆபரேட்டர்" என்று புரிந்து கொள்ளப்பட வேண்டும் ("வரம்புக்குட்பட்ட ஆபரேட்டர்" விஷயத்தில்); ஆபரேட்டரின் களம் ஒரு நேரியல் துணைப்பகுதி, முழு இடமும் அவசியமில்லை; இந்த நேரியல் துணைப்பகுதி மூடப்பட வேண்டிய அவசியமில்லை; பெரும்பாலும் (ஆனால் எப்போதும் அல்ல) இது அடர்த்தியாக கருதப்படுகிறது; ஒரு வரம்புக்குட்பட்ட ஆபரேட்டரின் சிறப்பு வழக்கில், இன்னும், களம் பொதுவாக முழு இடமாகவும் கருதப்படுகிறது. எல்லைக்குட்பட்ட இயக்கிகளுக்கு மாறாக, கொடுக்கப்பட்ட இடத்தில் வரம்பற்ற இயக்கிகள் ஒரு இயற்கணிதத்தையோ அல்லது ஒரு நேரியல் இடத்தையோ கூட உருவாக்குவதில்லை, ஏனெனில் ஒவ்வொன்றும் அதன் சொந்த களத்தில் வரையறுக்கப்படுகின்றன. "ஆபரேட்டர்" என்ற சொல் பெரும்பாலும் "வரம்புக்குட்பட்ட நேரியல் ஆபரேட்டர்" என்று பொருள்படும், ஆனால் இந்த கட்டுரையின் சூழலில் இது மேலே செய்யப்பட்ட முன்பதிவுகளுடன் "வரம்பற்ற ஆபரேட்டர்" என்று பொருள்படும். கொடுக்கப்பட்ட இடம் ஒரு ஹில்பர்ட் இடமாக கருதப்படுகிறது. பானாச் இடைவெளிகள் மற்றும் பொதுவான இடவியல் திசையன் இடைவெளிகளுக்கு சில பொதுமைப்படுத்தல்கள் சாத்தியமாகும். குறுகிய வரலாறு வரம்பற்ற இயக்கிகளின் கோட்பாடு 1920 களின் பிற்பகுதியிலும் 1930 களின் முற்பகுதியிலும் குவாண்டம் இயக்கவியலுக்கான கடுமையான கணித கட்டமைப்பை உருவாக்கும் ஒரு பகுதியாக உருவாக்கப்பட்டது. இந்தக் கோட்பாட்டின் வளர்ச்சி ஜான் வான் நியூமன் மற்றும் மார்ஷல் ஸ்டோன் ஆகியோரால் ஏற்பட்டது. வான் நியூமன் 1932 ஆம் ஆண்டில் வரம்பற்ற ஆபரேட்டர்களை பகுப்பாய்வு செய்ய வரைபடங்களைப் பயன்படுத்தி அறிமுகப்படுத்தினார். வரையறைகள் மற்றும் அடிப்படை பண்புகள் பானாச் இடங்களாக இருக்கட்டும். வரம்பற்ற இயக்குபவர் (அல்லது வெறுமனே இயக்குபவர்) என்பது ஒரு நேரியல் துணை இடத்திலிருந்து-களத்திற்கு-ஒரு நேரியல் வரைபடமாகும். வழக்கமான மரபுக்கு மாறாக, முழு இடத்திலும் வரையறுக்கப்படாமல் போகலாம். ஒரு ஆபரேட்டர் அதன் வரைபடம் ஒரு மூடிய தொகுப்பாக இருந்தால் மூடியதாகக் கூறப்படுகிறது. (இங்கே, வரைபடம் என்பது நேரடி கூட்டுத்தொகையின் நேரியல் துணைப்பகுதி ஆகும், இது அனைத்து ஜோடிகளின் தொகுப்பாக வரையறுக்கப்படுகிறது, அங்கு களத்தின் மீது ஓடுகிறது. வெளிப்படையாக, இதன் பொருள் என்னவென்றால், அத்தகைய களத்திலிருந்து வரும் புள்ளிகளின் ஒவ்வொரு வரிசைக்கும் மற்றும், அது மற்றும் களத்திற்கு சொந்தமானது. கிராஃப் நெறிமுறையின் அடிப்படையில் மூடிய தன்மையையும் வடிவமைக்க முடியும்ஃ ஒரு ஆபரேட்டர் அதன் டொமைன் நெறிமுறையைப் பொறுத்தவரை ஒரு முழுமையான இடமாக இருந்தால் மட்டுமே மூடப்படும்ஃ ஒரு ஆபரேட்டர் அதன் டொமைன் அடர்த்தியாக இருந்தால் அடர்த்தியாக வரையறுக்கப்படுவதாகக் கூறப்படுகிறது. முழு இடமும் அடர்த்தியாக இருப்பதால், முழு இடத்திலும் வரையறுக்கப்பட்ட ஆபரேட்டர்களும் இதில் அடங்குவர். களத்தின் அடர்த்தி அவசியம் மற்றும் அருகிலுள்ள இருப்பு (ஹில்பர்ட் இடைவெளிகள் என்றால் மற்றும் இருந்தால்) மற்றும் இடமாற்றத்திற்கு போதுமானது; கீழே உள்ள பிரிவுகளைப் பார்க்கவும். அதன் களத்தில் மூடப்பட்ட, அடர்த்தியாக வரையறுக்கப்பட்ட மற்றும் தொடர்ச்சியானதாக இருந்தால், அதன் களம் அனைத்தும். ஒரு ஹில்பர்ட் இடத்தில் ஒரு அடர்த்தியான வரையறுக்கப்பட்ட ஆபரேட்டர் ஒரு உண்மையான எண்ணுக்கு ஒரு நேர்மறை ஆபரேட்டராக இருந்தால் கீழே இருந்து வரம்புக்குட்பட்டது என்று அழைக்கப்படுகிறது. அதாவது, களத்தில் உள்ள அனைவருக்கும் (அல்லது மாற்றாக தன்னிச்சையாக இருப்பதால்). இரண்டும் கீழே இருந்து வரம்புக்குட்பட்டிருந்தால், அது வரம்புக்குட்பட்டது. எடுத்துக்காட்டு அலகு இடைவெளியில் தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளின் இடத்தை குறிக்கலாம், மேலும் தொடர்ச்சியான வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாடுகளின் இடத்தை குறிக்கலாம். நாங்கள் மேலாதிக்க நெறிமுறையுடன் சித்தப்படுத்துகிறோம், இது ஒரு பானாச் இடமாக மாறுகிறது. வழக்கமான சூத்திரத்தால் கிளாசிக்கல் டிஃபரென்ஷியேஷன் ஆபரேட்டரை வரையறுக்கவும்ஃ ஒவ்வொரு டிஃபரென்ஷியேபிள் செயல்பாடும் தொடர்ச்சியானது, எனவே. இது களத்துடன் நன்கு வரையறுக்கப்பட்ட வரம்பற்ற ஆபரேட்டர் என்று நாங்கள் கூறுகிறோம். இதற்காக, அது நேரியல் என்பதை நாம் காட்ட வேண்டும், பின்னர், எடுத்துக்காட்டாக, அத்தகைய சிலவற்றை வெளிப்படுத்த வேண்டும். இது ஒரு லீனியர் ஆபரேட்டர், ஏனெனில் இரண்டு தொடர்ச்சியான வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாடுகளின் லீனியர் கலவையும் தொடர்ந்து வேறுபடுத்தக்கூடியது, மேலும் ஆபரேட்டர் வரம்புக்குட்பட்டவர் அல்ல. எடுத்துக்காட்டாக, பூர்த்தி செய்யுங்கள் ஆனால். ஆபரேட்டர் அடர்த்தியாக வரையறுக்கப்பட்டு, மூடப்பட்டுள்ளது. அதே ஆபரேட்டரை பானாச் இடத்தின் பல தேர்வுகளுக்கு ஒரு ஆபரேட்டராகக் கருதலாம், அவற்றில் எதற்கும் இடையில் வரம்புக்குட்பட்டிருக்கக்கூடாது. அதே நேரத்தில், இது மற்ற ஜோடி பானாச் இடைவெளிகளின் இயக்கியாகவும், சில இடவியல் திசையன் இடைவெளிகளின் இயக்கியாகவும் வரையறுக்கப்படலாம். ஒரு எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு திறந்த இடைவெளியாக இருக்கட்டும் மற்றும் எங்கு என்பதைக் கருத்தில் கொள்ளுங்கள்ஃ ஒரு வரம்பற்ற ஆபரேட்டரின் இணைப்பை இரண்டு சமமான வழிகளில் வரையறுக்க முடியும். ஹில்பர்ட் இடைவெளிகள் இடையே ஒரு வரம்பற்ற ஆபரேட்டராக இருக்கட்டும். முதலாவதாக, ஒரு வரம்புக்குட்பட்ட ஆபரேட்டரின் இணைப்பை ஒருவர் எவ்வாறு வரையறுக்கிறார் என்பதற்கு ஒத்த வகையில் இதை வரையறுக்க முடியும். அதாவது, பண்புடன் ஒரு ஆபரேட்டர் என வரையறுக்கப்படுகிறதுஃ இன்னும் துல்லியமாக, பின்வரும் வழியில் வரையறுக்கப்படுகிறது. களத்தில் ஒரு தொடர்ச்சியான நேரியல் செயல்பாடாக இருந்தால், ஹான்-பானாக் தேற்றம் வழியாக முழு இடத்திற்கும் நேரியல் செயல்பாட்டை விரிவுபடுத்திய பின்னர், ஒரு உறுப்பாக அறிவிக்கப்படுகிறது, ஏனெனில் ரீஸ் பிரதிநிதித்துவ தேற்றம் ஹில்பர்ட் இடத்தின் தொடர்ச்சியான இரட்டை உள் விளைபொருளால் கொடுக்கப்பட்ட நேரியல் செயல்பாடுகளின் தொகுப்புடன் அடையாளம் காண அனுமதிக்கிறது. நேரியல் செயல்பாடு அடர்த்தியாக வரையறுக்கப்பட்டால் மட்டுமே இந்த திசையன் தனித்துவமாக தீர்மானிக்கப்படுகிறது; அல்லது சமமாக, அடர்த்தியாக வரையறுக்கப்பட்டால். இறுதியாக, கட்டுமானத்தை முடிக்க அனுமதிப்பது ஒரு நேரியல் வரைபடமாக இருக்க வேண்டும். அடர்த்தியாக வரையறுக்கப்பட்டால் மட்டுமே அட்ஜாயின்ட் உள்ளது. வரையறையின்படி, களம் என்பது களத்தில் தொடர்ச்சியான கூறுகளைக் கொண்டுள்ளது. இதன் விளைவாக, களம் எதுவாகவும் இருக்கலாம்; அது அற்பமானதாக இருக்கலாம் (அதாவது, பூஜ்ஜியத்தை மட்டுமே கொண்டுள்ளது). டொமைன் ஒரு மூடிய ஹைப்பர்பிளேன் மற்றும் டொமைனில் எல்லா இடங்களிலும் மறைந்துவிடும். எனவே, அதன் களத்தின் வரம்பு என்பது அதன் வரம்பைக் குறிக்காது. மறுபுறம், முழு இடத்திலும் வரையறுக்கப்பட்டால், அதன் களத்தில் வரம்புக்குட்பட்டது, எனவே முழு இடத்திலும் ஒரு வரம்புக்குட்பட்ட ஆபரேட்டருக்கு தொடர்ச்சியால் நீட்டிக்கப்படலாம். களம் அடர்த்தியாக இருந்தால், அது அதன் அருகிலுள்ள ஒரு மூடிய அடர்த்தியான வரையறுக்கப்பட்ட ஆபரேட்டரைக் கொண்டுள்ளது, அது எல்லைக்குட்பட்டிருந்தால் மட்டுமே. ஒரு பொதுவான உண்மையைக் கவனிப்பதன் மூலம் இணைப்பின் மற்ற சமமான வரையறையைப் பெறலாம். ஒரு லீனியர் ஆபரேட்டரை பின்வருமாறு வரையறுக்கவும்ஃ இது ஒரு ஐசோமெட்ரிக் சர்ஜெக்ஷன் என்பதால், இது யூனிட்டரி ஆகும். எனவேஃ அடர்த்தியாக வரையறுக்கப்பட்டால் மட்டுமே சில ஆபரேட்டர்களின் வரைபடம். ஒரு எளிய கணக்கீடு இந்த "சில" திருப்தி அளிக்கிறது என்பதைக் காட்டுகிறதுஃ களத்தில் உள்ள ஒவ்வொருவருக்கும். எனவே இது இணைப்பாகும். இது மேற்கண்ட வரையறையிலிருந்து உடனடியாக இணை மூடப்பட்டுள்ளது என்பதைப் பின்பற்றுகிறது. குறிப்பாக, ஒரு சுய-இணை ஆபரேட்டர் (பொருள்) மூடப்பட்டுள்ளது. எல்லைக்குட்பட்ட ஆபரேட்டர்களுக்கான சில நன்கு அறியப்பட்ட பண்புகள் மூடிய அடர்த்தியான வரையறுக்கப்பட்ட ஆபரேட்டர்களுக்கு பொதுமைப்படுத்தப்பட்டால் மட்டுமே ஒரு ஆபரேட்டர் மூடிய மற்றும் அடர்த்தியான வரையறுக்கப்படுகிறது. மூடிய இயக்கியின் கர்னல் மூடப்பட்டுள்ளது. மேலும், ஒரு மூடிய அடர்த்தியான வரையறுக்கப்பட்ட இயக்கியின் கர்னல் அருகிலுள்ள வரம்பின் ஆர்த்தோகனல் நிரப்புடன் ஒத்துப்போகிறது. அதாவது, வான் நியூமனின் தேற்றம் மற்றும் அவை சுய-இணைந்தவை என்றும், அவை இரண்டும் நேர்மாறாக உள்ளன என்றும் கூறுகிறது. அற்பமான கர்னல் இருந்தால், அடர்த்தியான வரம்பைக் கொண்டுள்ளது (மேலே உள்ள அடையாளத்தால்). மேலும்ஃ அனைவருக்காகவும் இருந்தால் மட்டுமே அது சர்ஜெக்டிவ் ஆகும் (இது அடிப்படையில் மூடிய வரம்பு தேற்றம் என்று அழைக்கப்படும் ஒரு மாறுபாடு). குறிப்பாக, மூடிய வரம்பைக் கொண்டிருந்தால் மட்டுமே மூடிய வரம்பைக் கொண்டுள்ளது. வரம்புக்குட்பட்ட வழக்குக்கு மாறாக, எடுத்துக்காட்டாக, அது இல்லாதது கூட சாத்தியம் என்பதால் அது அவசியமில்லை. எவ்வாறாயினும், எடுத்துக்காட்டாக, வரம்புக்குட்பட்டிருந்தால் இது பொருந்தும். ஒரு அடர்த்தியான வரையறுக்கப்பட்ட, மூடிய ஆபரேட்டர் பின்வரும் சமமான நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்தால் இயல்பானவர் என்று அழைக்கப்படுகிறார்ஃ இந்த களத்தில் உள்ள ஒவ்வொருவருக்கும் களம் சமம் மற்றும் களத்தில் உள்ள ஒவ்வொருவருக்கும் சுய-இணை ஆபரேட்டர்கள் உள்ளனர். ஒவ்வொரு சுய இணைப்பு ஆபரேட்டரும் இயல்பானவர். பானாச் இடைவெளிகளுக்கு இடையில் ஒரு ஆபரேட்டராக இருக்கட்டும். பின்னர் டிரான்ஸ்போஸ் (அல்லது டூயல்) என்பது லீனியர் ஆபரேட்டரை திருப்திப்படுத்துவதாகும்ஃ அனைவருக்கும் மற்றும் இங்கே, நாம் குறியீட்டைப் பயன்படுத்தினோம்ஃ ட்ரான்ஸ்போஸ் இருப்பதற்கு தேவையான மற்றும் போதுமான நிபந்தனை அடர்த்தியாக வரையறுக்கப்படுகிறது (அடிப்படையில் அருகிலுள்ள அதே காரணத்திற்காக, மேலே விவாதிக்கப்பட்டபடி). எந்தவொரு ஹில்பர்ட் இடத்திற்கும் எதிர்-நேரியல் ஐசோமார்பிசம் உள்ளதுஃ இந்த ஐசோமார்பிசத்தின் மூலம், டிரான்ஸ்போஸ் பின்வரும் வழியில் அருகிலுள்ளவற்றுடன் தொடர்புடையதுஃ (வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண வழக்கைப் பொறுத்தவரை, இது ஒரு மேட்ரிக்ஸின் அருகாமை அதன் கான்ஜுகேட் டிரான்ஸ்போஸ் என்ற உண்மையுடன் ஒத்திருக்கிறது.) இது ஒரு இடமாற்றத்தின் அடிப்படையில் அட்ஜாயின்ட் வரையறையை வழங்குகிறது என்பதை நினைவில் கொள்க. மூடிய நேரியல் இயக்கிகள் மூடிய நேரியல் இயக்கிகள் பானாச் இடைவெளிகளில் உள்ள நேரியல் இயக்கிகளின் ஒரு வகுப்பாகும். அவை எல்லைக்குட்பட்ட இயக்கிகளை விட மிகவும் பொதுவானவை, எனவே தொடர்ச்சியானவை அல்ல, ஆனால் அவை ஸ்பெக்ட்ரம் மற்றும் (சில அனுமானங்களுடன்) செயல்பாட்டு கால்குலஸை வரையறுக்கக்கூடிய போதுமான நல்ல பண்புகளைத் தக்க வைத்துக் கொள்கின்றன. வரையறுக்கப்படாத பல முக்கியமான லீனியர் ஆபரேட்டர்கள் மூடப்பட்டதாக மாறுகின்றன, அதாவது வழித்தோன்றல் மற்றும் ஒரு பெரிய வகை வேறுபட்ட ஆபரேட்டர்கள். இரண்டு பானாச் இடைவெளிகள் இருக்கட்டும். ஒரு லீனியர் ஆபரேட்டர் மூடப்பட்டிருக்கும், ஒவ்வொரு வரிசைக்கும் ஒன்று மற்றும் உள்ளது போன்ற ஒன்றிணைந்தால். சமமாக, அதன் வரைபடம் நேரடி தொகையில் மூடப்பட்டிருந்தால் மூடப்படுகிறது. ஒரு லீனியர் ஆபரேட்டரைப் பொறுத்தவரை, மூடப்பட்டிருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை, அதன் வரைபடத்தை மூடுவது சில ஆபரேட்டரின் வரைபடமாக இருந்தால், அந்த ஆபரேட்டர் மூடல் என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் அது மூடக்கூடியது என்று நாங்கள் கூறுகிறோம். மூலம் மூடுவதைக் குறிக்கவும். இது பின்வருமாறு கட்டுப்படுத்தப்படுகிறது. ஒரு நெருக்கமான இயக்கியின் மையப்பகுதி (அல்லது அத்தியாவசிய களம்) என்பது வரம்பை மூடுவதற்கான ஒரு துணைக்குழுவாகும். எடுத்துக்காட்டு ஒரு இடைவெளியில் அனைத்து தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளின் பானாச் இடைவெளி எங்கே என்பதை வழித்தோன்றல் ஆபரேட்டரைக் கவனியுங்கள். ஒருவர் அதன் டொமைனை எடுத்துக் கொண்டால், அது வரம்பற்ற ஒரு மூடிய ஆபரேட்டர் ஆகும். மறுபுறம், என்றால், இனி மூடப்படாது, ஆனால் அது மூடக்கூடியதாக இருக்கும், மூடல் அதன் நீட்டிப்பாக வரையறுக்கப்படுகிறது. சமச்சீர் ஆபரேட்டர்கள் மற்றும் சுய-இணை ஆபரேட்டர்கள் ஒரு ஹில்பர்ட் இடத்தில் ஒரு ஆபரேட்டர் T என்பது நம்மிடம் உள்ள களத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு x மற்றும் y க்கும் இருந்தால் மட்டுமே சமச்சீர் ஆகும். ஒரு அடர்த்தியான வரையறுக்கப்பட்ட ஆபரேட்டர், T இன் களத்திற்கு மட்டுப்படுத்தப்பட்ட அதன் அருகிலுள்ள T ≤ உடன் ஒப்புக் கொண்டால் மட்டுமே சமச்சீர் ஆகும், வேறுவிதமாகக் கூறினால், T ≤ என்பது ஒரு நீட்டிப்பாக இருக்கும். பொதுவாக, T அடர்த்தியாக வரையறுக்கப்பட்டு சமச்சீராக இருந்தால், அருகிலுள்ள T இன் களம் T இன் களத்திற்கு சமமாக இருக்க வேண்டியதில்லை. டி சுய-இணைப்பாக இருக்கும்போது, இணைப்பின் இருப்பு டி அடர்த்தியாக வரையறுக்கப்படுவதைக் குறிக்கிறது என்பதையும், டி ≤ அவசியம் மூடப்பட்டிருப்பதால், டி மூடப்பட்டுள்ளது என்பதையும் நினைவில் கொள்க. ஒரு அடர்த்தியான வரையறுக்கப்பட்ட இயக்குபவர் T சமச்சீர், துணைப்பகுதி (முந்தைய பிரிவில் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது) J இன் கீழ் அதன் படத்திற்கு செங்குத்தாக இருந்தால் (இங்கே J (x, y): = (y,-x)). சமமாக, ஒரு இயக்குபவர் T என்பது அடர்த்தியாக வரையறுக்கப்பட்டு, மூடப்பட்டு, சமச்சீர் மற்றும் நான்காவது நிபந்தனையை திருப்திப்படுத்தினால் சுய-இணைப்பாகும்ஃ இரண்டு இயக்குபவர்களும், புறநிலை, அதாவது, முழு இடைவெளி H இல் T இன் களத்தை வரைபடமாக்குங்கள். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால்ஃ H இல் உள்ள ஒவ்வொரு x க்கும் T இன் களத்தில் y மற்றும் z உள்ளன மற்றும். இரண்டு துணை இடங்களும் ஆர்த்தோகனல் மற்றும் அவற்றின் கூட்டுத்தொகை முழு இடமாக இருந்தால் ஒரு ஆபரேட்டர் டி சுய-இணைப்பாகும் இந்த அணுகுமுறை அடர்த்தியாக வரையறுக்கப்படாத மூடிய ஆபரேட்டர்களை உள்ளடக்காது. அடர்த்தியாக வரையறுக்கப்படாத சமச்சீர் இயக்கிகளை நேரடியாகவோ அல்லது வரைபடங்கள் மூலமாகவோ வரையறுக்கலாம், ஆனால் அருகிலுள்ள இயக்கிகள் மூலம் அல்ல. ஒரு சமச்சீர் இயக்குபவர் பெரும்பாலும் அதன் கெய்லி உருமாற்றம் மூலம் ஆய்வு செய்யப்படுகிறார். ஒரு சிக்கலான ஹில்பர்ட் இடத்தில் ஒரு இயக்குபவர் T அதன் இருபடி வடிவம் உண்மையானதாக இருந்தால் மட்டுமே சமச்சீர் ஆகும், அதாவது, T இன் களத்தில் உள்ள அனைத்து x க்கும் எண் உண்மையானது. அது இல்லை என்று நடக்கலாம். ஒரு அடர்த்தியான வரையறுக்கப்பட்ட ஆபரேட்டர் T அதன் இருபடி வடிவம் எதிர்மறையாக இல்லாவிட்டால் நேர்மறை (அல்லது எதிர்மறை அல்லாத) என்று அழைக்கப்படுகிறது, அதாவது, T இன் களத்தில் உள்ள அனைத்து x க்கும். அத்தகைய ஆபரேட்டர் அவசியம் சமச்சீராக இருக்க வேண்டும். ஒவ்வொரு அடர்த்தியான வரையறுக்கப்பட்ட, மூடிய T க்கும் இயக்குபவர் சுய-இணை மற்றும் நேர்மறை. நிறமாலை தேற்றம் சுய-இணை ஆபரேட்டர்களுக்கும் மேலும், சாதாரண ஆபரேட்டர்களுக்கும் பொருந்தும், ஆனால் பொதுவாக அடர்த்தியான வரையறுக்கப்பட்ட, மூடிய ஆபரேட்டர்களுக்கு அல்ல, ஏனெனில் இந்த விஷயத்தில் ஸ்பெக்ட்ரம் காலியாக இருக்கலாம். எல்லா இடங்களிலும் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு சமச்சீர் ஆபரேட்டர் மூடப்பட்டுள்ளது, எனவே வரம்புக்குட்பட்டது, இது ஹெல்லிங்கர்-டோப்ளிட்ஸ் தேற்றம். நீட்டிப்பு தொடர்பான வரையறையின்படி, ஒரு ஆபரேட்டர் டி என்பது ஒரு ஆபரேட்டர் எஸ் இன் நீட்டிப்பாகும். ஒரு சமமான நேரடி வரையறைஃ S இன் களத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு x க்கும், x என்பது T இன் களத்திற்கு சொந்தமானது மற்றும். ஒவ்வொரு ஆபரேட்டருக்கும் எல்லா இடங்களிலும் வரையறுக்கப்பட்ட நீட்டிப்பு உள்ளது என்பதை நினைவில் கொள்க, இது முற்றிலும் இயற்கணித உண்மை மற்றும் விருப்பத்தின் கோட்பாட்டை அடிப்படையாகக் கொண்டது. கொடுக்கப்பட்ட ஆபரேட்டர் வரம்புக்குட்பட்டதாக இல்லாவிட்டால், நீட்டிப்பு ஒரு தொடர்ச்சியற்ற நேரியல் வரைபடமாகும். கொடுக்கப்பட்ட ஆபரேட்டரின் முக்கியமான பண்புகளைப் பாதுகாக்க முடியாது என்பதால் இது சிறிதும் பயனளிக்காது (கீழே காண்க), மேலும் இது பொதுவாக மிகவும் தனித்துவமானது அல்ல. ஒரு இயக்குபவர் T பின்வரும் சமமான நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்தால் அது நெருக்கமானதாக அழைக்கப்படுகிறதுஃ T ஒரு மூடிய நீட்டிப்பைக் கொண்டுள்ளது; T இன் வரைபடத்தை மூடுவது சில இயக்குபவரின் வரைபடமாகும்; T இன் களத்திலிருந்து புள்ளிகளின் ஒவ்வொரு வரிசைக்கும் (xn) xn → 0 மற்றும் Txn → y அது வைத்திருக்கிறது. அனைத்து ஆபரேட்டர்களும் மூடக்கூடியவர்கள் அல்ல. ஒரு நெருக்கமான இயக்குபவர் T க்கு T இன் மூடல் என்று அழைக்கப்படும் மிகக் குறைந்த மூடிய நீட்டிப்பு உள்ளது. T இன் வரைபடத்தின் மூடல் வரைபடத்திற்கு சமம் மற்ற, குறைந்தபட்சம் அல்லாத மூடிய நீட்டிப்புகள் இருக்கலாம். ஒரு அடர்த்தியான வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டாளர் T என்பது அடர்த்தியாக வரையறுக்கப்பட்டால் மட்டுமே மூடக்கூடியது. இந்த வழக்கில் மற்றும் S அடர்த்தியாக வரையறுக்கப்பட்டு, T என்பது S இன் நீட்டிப்பாக இருந்தால், S ≤ என்பது T ≤ இன் நீட்டிப்பாகும். ஒவ்வொரு சமச்சீர் இயக்கியும் மூடக்கூடியது. ஒரு சமச்சீர் ஆபரேட்டருக்கு தன்னைத் தவிர சமச்சீர் நீட்டிப்புகள் இல்லையென்றால் அது அதிகபட்ச சமச்சீர் என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒவ்வொரு சுய-இணைப்பு இயக்கியும் அதிகபட்ச சமச்சீர் ஆகும். இதற்கு நேர்மாறாக இருப்பது தவறு. ஒரு ஆபரேட்டர் அதன் மூடல் சுய இணைப்பாக இருந்தால் அடிப்படையில் சுய இணைப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு ஆபரேட்டர் அடிப்படையில் ஒரே ஒரு சுய-இணை நீட்டிப்பைக் கொண்டிருந்தால் மட்டுமே அது சுய-இணைப்பாகும். ஒரு சமச்சீர் இயக்குபவர் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட சுய-இணை நீட்டிப்பு மற்றும் அவற்றின் தொடர்ச்சியைக் கூட கொண்டிருக்கலாம். ஒரு அடர்த்தியான வரையறுக்கப்பட்ட, சமச்சீர் ஆபரேட்டர் T அடிப்படையில் இரண்டு ஆபரேட்டர்களும் அடர்த்தியான வரம்பைக் கொண்டிருந்தால் மட்டுமே சுய-இணைப்பாகும். T ஒரு அடர்த்தியான வரையறுக்கப்பட்ட ஆபரேட்டராக இருக்கட்டும். "டி என்பது எஸ் இன் நீட்டிப்பாகும்" என்ற உறவைக் குறிக்கும் வகையில் எஸ். டி. (ஒரு வழக்கமான சுருக்கம் γ (எஸ்) γ (டி)) பின்வருவனவற்றைக் கொண்டுள்ளது. T சமச்சீராக இருந்தால், T ற்ஹட்ஹட்ஹட்ஹட்ஹட்ஹட்ஹட்ஹட்ஹட்ஹட்ஹட். T மூடப்பட்ட மற்றும் சமச்சீராக இருந்தால், T = T. T என்பது சுய இணைப்பாக இருந்தால், T = T ிற = T ிற. T அடிப்படையில் சுய-இணைப்பாக இருந்தால், T ρ T ≤ = T ≤. சுய-இணை இயக்கிகளின் முக்கியத்துவம் கணித இயற்பியலில் சுய-இணை இயக்கிகளின் வகுப்பு குறிப்பாக முக்கியமானது. ஒவ்வொரு சுய-இணைப்பு இயக்கியும் அடர்த்தியாக வரையறுக்கப்பட்ட, மூடிய மற்றும் சமச்சீர் ஆகும். இதற்கு நேர்மாறானது எல்லைக்குட்பட்ட ஆபரேட்டர்களுக்கு பொருந்தும், ஆனால் பொதுவாக தோல்வியடைகிறது. இந்த மூன்று பண்புகளை விட சுய இணக்கம் கணிசமாக அதிக வரம்புக்குட்பட்டது. புகழ்பெற்ற நிறமாலை தேற்றம் சுய-இணை ஆபரேட்டர்களுக்கு பொருந்தும். ஒரு அளவுரு ஒற்றையாட்சி குழுக்களில் ஸ்டோனின் தேற்றத்துடன் இணைந்து, சுய-இணைப்பு இயக்கிகள் துல்லியமாக வலுவான தொடர்ச்சியான ஒரு அளவுரு ஒற்றையாட்சி குழுக்களின் எல்லையற்ற ஜெனரேட்டர்கள் என்பதைக் காட்டுகிறது, பார்க்கவும். கிளாசிக்கல் மற்றும் குவாண்டம் இயக்கவியலில் நேர பரிணாமத்தை விவரிக்க இத்தகைய ஒற்றையாட்சி குழுக்கள் குறிப்பாக முக்கியமானவை. மேலும் காண்க ஸ்டோன்-வான் நியூமன் தேற்றம் வரம்புக்குட்பட்ட ஆபரேட்டர் குறிப்புகள் மேற்கோள்கள் நூலியல் (அத்தியாயம் 12 ஐப் பார்க்கவும் "ஹில்பர்ட் இடங்களில் வரம்பற்ற ஆபரேட்டர்களின் பொதுக் கோட்பாடு"). (அத்தியாயம் 5 "வரம்பற்ற ஆபரேட்டர்கள்" ஐப் பார்க்கவும்). (அத்தியாயம் 8 "வரம்பற்ற ஆபரேட்டர்கள்" ஐப் பார்க்கவும்). லீனியர் ஆபரேட்டர்கள் ஆபரேட்டர் கோட்பாடு டிஃ லீனியர் Operator#Unbeschränkte லீனியர் ஆபரேட்டர்கள்