Radon's theorem
வடிவவியலில், 1921 ஆம் ஆண்டில் ஜோஹன் ரேடானால் வெளியிடப்பட்ட குவிந்த தொகுப்புகள் குறித்த ரேடானின் தேற்றம் பின்வருமாறு கூறுகிறதுஃ Rd இல் உள்ள d + 2 புள்ளிகளின் எந்த தொகுப்பையும் இரண்டு தொகுப்புகளாகப் பிரிக்கலாம், அதன் குவிந்த மேலோட்டங்கள் வெட்டுகின்றன. இந்த குவிந்த மேலோட்டங்களின் குறுக்குவெட்டில் உள்ள ஒரு புள்ளி set.For எடுத்துக்காட்டின் ரேடான் புள்ளி என்று அழைக்கப்படுகிறது, d = 2 என்ற விஷயத்தில், யூக்ளிடியன் தளத்தில் உள்ள நான்கு புள்ளிகளின் எந்த தொகுப்பையும் இரண்டு வழிகளில் ஒன்றில் பிரிக்கலாம். இது ஒரு மூன்று மற்றும் ஒரு சிங்கிள்டனை உருவாக்கலாம், அங்கு மூன்று (ஒரு முக்கோணம்) இன் குவிந்த மேலோட்டத்தில் சிங்கிள்டன் உள்ளது; மாற்றாக, இது இரண்டு ஜோடி புள்ளிகளை உருவாக்கலாம், அவை இரண்டு குறுக்குவெட்டு கோடு பிரிவுகளின் இறுதிப் புள்ளிகளை உருவாக்குகின்றன. ஆதாரம் மற்றும் கட்டுமானம் d-பரிமாண இடத்தில் d + 2 புள்ளிகளின் எந்த தொகுப்பையும் கருத்தில் கொள்ளுங்கள். பின்னர் a1,., ad + 2 பெருக்கிகளின் தொகுப்பு உள்ளது, இவை அனைத்தும் பூஜ்ஜியமாக இல்லை, நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கின்றன, ஏனெனில் d + 2 அறியப்படாதவை (பெருக்கிகள்) உள்ளன, ஆனால் அவை பூர்த்தி செய்ய வேண்டிய d + 1 சமன்பாடுகள் மட்டுமே உள்ளன (புள்ளிகளின் ஒவ்வொரு ஒருங்கிணைப்புக்கும் ஒன்று, பெருக்கிகளின் கூட்டுத்தொகை பூஜ்ஜியமாக இருக்க வேண்டிய இறுதி சமன்பாட்டுடன்). சில குறிப்பிட்ட பூஜ்ஜியமற்ற தீர்வை சரிசெய்யவும் a1,., ad + 2. நேர்மறை பெருக்கிகளுடன் புள்ளிகளின் தொகுப்பாக இருக்கட்டும், மேலும் எதிர்மறை அல்லது பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் பெருக்கிகளுடன் புள்ளிகளின் தொகுப்பாக இருக்கட்டும். பின்னர், புள்ளிகளின் தேவையான பகிர்வை இரண்டு துணைக்குழுக்களாக வெட்டி குவிந்த மேலோட்டங்களுடன் உருவாக்கவும். குவிந்த மேல்புறங்கள் மற்றும் அவை வெட்டப்பட வேண்டும், ஏனென்றால் அவை இரண்டும் இந்த புள்ளியை வெளிப்படுத்தும் புள்ளியின் இடது புறம் உள்ள புள்ளிகளின் குவிந்த கலவையாக வெளிப்படுத்துகிறது, மேலும் வலது புறம் அதை உள்ள புள்ளிகளின் குவிந்த கலவையாக வெளிப்படுத்துகிறது. எனவே, ஆதாரத்தை நிறைவு செய்து, இரண்டு குவிந்த மேலோட்டங்களுக்கும் சொந்தமானது. பெருக்கிகளுக்கான சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்க காஸியன் நீக்குதல் அல்லது பிற திறமையான வழிமுறைகளைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், பரிமாணத்தில் பல்லுறுப்புக்கோவை கொண்ட ஒரு ரேடான் புள்ளியை திறம்பட உருவாக்க இந்த ஆதார முறை அனுமதிக்கிறது. இடவியல் ரேடான் தேற்றத்தின் ஒரு சமமான சூத்திரம் பின்வருமாறுஃ f என்பது ஒரு (d + 1)-பரிமாண சிம்ப்ளக்ஸ் αd + 1 முதல் Rd வரை ஏதேனும் அஃபைன் செயல்பாடாக இருந்தால், αd + 1 இன் இரண்டு வேறுபட்ட முகங்கள் உள்ளன, அவற்றின் படங்கள் α intersect.They இன் கீழ் சமமானவை, ஏனெனில் ஒரு சிம்ப்ளக்ஸில் உள்ள எந்த அஃபைன் செயல்பாடும் அதன் செங்குத்துகளின் படங்களால் தனித்துவமாக தீர்மானிக்கப்படுகிறது. முறைப்படி, f என்பது Δd + 1 முதல் Rd வரை ஒரு அஃபைன் செயல்பாடாக இருக்கட்டும். Δd + 1 இன் செங்குத்துகளாக இருக்கட்டும், மேலும் அவற்றின் படங்கள் f இன் கீழ் இருக்கட்டும். அசல் சூத்திரத்தின் மூலம், இதை இரண்டு வேறுபட்ட துணைக்குழுக்களாகப் பிரிக்கலாம், எ. கா. (xi) i இல் I மற்றும் (xj) j இல் J, ஒன்றுடன் ஒன்று குவிந்த மேலோடு. f என்பது அஃபைன் என்பதால், I இல் உள்ள (xi) i இன் குவிந்த மேலோடு என்பது I இல் உள்ள செங்குத்துகள் (vi) i ஆல் பரவியிருக்கும் முகத்தின் உருவமாகும், அதேபோல் J இல் உள்ள (xj) j இன் குவிந்த மேலோடு என்பது j இல் உள்ள செங்குத்துகள் (vj) j ஆல் பரவியிருக்கும் முகத்தின் உருவமாகும். இந்த இரண்டு முகங்களும் வேறுபட்டவை, மேலும் அவற்றின் உருவங்கள் f குறுக்குவெட்டின் கீழ் உள்ளன-புதிய சூத்திரத்தால் கூறப்பட்டபடி. இடவியல் ரேடான் தேற்றம் இந்த வடிவமைப்பை பொதுமைப்படுத்துகிறது. இது f ஐ எந்த தொடர்ச்சியான செயல்பாடாகவும் இருக்க அனுமதிக்கிறது-அவசியம் இணைக்கப்பட வேண்டிய அவசியமில்லைஃ f என்பது ஒரு (d + 1)-பரிமாண சிம்ப்ளக்ஸ் αd + 1 முதல் Rd வரை ஏதேனும் தொடர்ச்சியான செயல்பாடாக இருந்தால், αd + 1 இன் இரண்டு வேறுபட்ட முகங்கள் உள்ளன, அவற்றின் படங்கள் f intersect.More இன் கீழ் பொதுவாக, K என்பது ஏதேனும் (d + 1)-பரிமாண சிறிய குவிந்த தொகுப்பாகவும், f என்பது K முதல் d-பரிமாண இடைவெளி வரை எந்தவொரு தொடர்ச்சியான செயல்பாடாகவும் இருந்தால், ஒரு நேரியல் செயல்பாடு g உள்ளது, அதாவது g அதன் அதிகபட்ச மதிப்பை அடையும் ஒரு புள்ளியும், g அதன் குறைந்தபட்ச மதிப்பை அடையும் வேறு சில புள்ளிகளும் f ஆல் அதே புள்ளிக்கு வரைபடமாக்கப்படுகின்றன. K ஒரு சிம்ப்ளக்ஸ் என்றால், g இன் அதிகபட்ச மற்றும் குறைந்தபட்ச புள்ளிகளால் உருவாக்கப்பட்ட இரண்டு சிம்ப்ளக்ஸ் முகங்கள் பின்னர் இரண்டு பிளவுபட்ட முகங்களாக இருக்க வேண்டும், அதன் படங்கள் வெற்று குறுக்குவெட்டை கொண்டிருக்க வேண்டும். அதே பொதுவான கூற்று, ஒரு சிம்ப்ளக்ஸுக்குப் பதிலாக ஒரு ஹைப்பர்ஸ்பியரில் பயன்படுத்தப்படும்போது, போர்சுக்-உலம் தேற்றத்தை அளிக்கிறது, அதாவது கோளத்தின் இரண்டு எதிர் புள்ளிகளை ஒரே புள்ளியில் வரைபடமாக்க வேண்டும். ஆதாரங்கள் இடவியல் ரேடான் தேற்றம் முதலில் பஜ்மோசி மற்றும் பரணி ஆகியோரால் பின்வரும் வழியில் நிரூபிக்கப்பட்டதுஃ Sd (d-பரிமாண கோளம்) முதல் Δd + 1 வரை ஒரு தொடர்ச்சியான வரைபடத்தை உருவாக்குங்கள், அதாவது கோளத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு புள்ளி x க்கும், g (x) மற்றும் g (-x) ஆகியவை Δd + 1 இன் இரண்டு வேறுபட்ட முகங்களில் உள்ளன. Sd முதல் Rd வரையிலான தொடர்ச்சியான சார்பான சார்புக்கு போர்சுக்-உலம் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துங்கள். அத்தகைய எந்தவொரு செயல்பாட்டிற்கும், Sd இல் சில புள்ளி y உள்ளது, அதாவது f (g (y)) = f (g (-y)) என்று தேற்றம் கூறுகிறது. புள்ளிகள் g (y) மற்றும் g (-y) ஆகியவை δd + 1 இன் இரண்டு வேறுபட்ட முகங்களில் உள்ளன, மேலும் அவை Rd இன் அதே புள்ளியில் f ஆல் வரைபடமாக்கப்படுகின்றன. இந்த இரண்டு வேறுபட்ட முகங்களின் உருவங்கள் வெட்டுகின்றன என்பதை இது குறிக்கிறது. மற்றொரு ஆதாரத்தை லோவாஸ் மற்றும் ஷ்ரிஜ்வர் ஆகியோர் வழங்கினர். மூன்றாவது ஆதாரம் Matousek ஆல் வழங்கப்படுகிறதுஃ K என்பது சிம்ப்ளக்ஸ் Δd + 1 ஆக இருக்கட்டும், மேலும் K இன் நீக்கப்பட்ட இணைப்பாக இருக்கட்டும். Sd + 1 கோளத்திற்கு வடிவியல் உணர்தல் ஹோமியோமார்பிக் ஆகும். எனவே, Z2-குறியீடு d + 1 க்கு சமம். இடவியல் ரேடான் தேற்றம் பின்வரும் பொதுவான தேற்றத்திலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது. எந்தவொரு எளிய சிக்கலான K க்கும், இன் Z2-குறியீடு d ஐ விட பெரியதாக இருந்தால், ஒவ்வொரு தொடர்ச்சியான வரைபடத்திற்கும் | |K | | முதல் Rd வரை, K இன் இரண்டு இணைந்த முகங்களின் படங்கள் வெட்டுகின்றன. பயன்பாடுகள் தளத்தில் உள்ள எந்த நான்கு புள்ளிகளின் ரேடான் புள்ளியும் அவற்றின் வடிவியல் நடுத்தரமாகும், இது மற்ற புள்ளிகளுக்கான தூரங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் குறைக்கும் புள்ளியாகும். ரேடானின் தேற்றம் குவிந்த தொகுப்புகளின் குறுக்குவெட்டுகள் குறித்த ஹெலியின் தேற்றத்தின் நிலையான ஆதாரத்தின் ஒரு முக்கிய படிநிலையை உருவாக்குகிறது; இந்த ஆதாரம் ரேடானின் தேற்றத்தின் ரேடானின் அசல் கண்டுபிடிப்புக்கு உந்துதலாக இருந்தது. ரேடானின் தேற்றத்தை நேரியல் பிரிப்புகள் தொடர்பாக டி-பரிமாண புள்ளிகளின் வி. சி பரிமாணத்தைக் கணக்கிடவும் பயன்படுத்தலாம். டி + 1 புள்ளிகளின் தொகுப்புகள் உள்ளன (எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு வழக்கமான சிம்ப்ளக்ஸின் புள்ளிகள்) அதாவது ஒவ்வொரு இரண்டு காலியாக இல்லாத துணைக்குழுக்களையும் ஒரு ஹைப்பர்பிளேன் மூலம் ஒருவருக்கொருவர் பிரிக்க முடியும். இருப்பினும், எந்த d + 2 புள்ளிகளின் தொகுப்பு கொடுக்கப்பட்டாலும், ஒரு ரேடான் பகிர்வின் இரண்டு துணைக்குழுக்களையும் நேர்கோட்டில் பிரிக்க முடியாது. எனவே, இந்த அமைப்பின் VC பரிமாணம் சரியாக d + 1 ஆகும். டி + 2 புள்ளிகளின் தொகுப்புகளை அவற்றின் ரேடான் புள்ளியால் மீண்டும் மீண்டும் மாற்றும் ஒரு சீரற்ற வழிமுறை, எந்த புள்ளி தொகுப்பின் மையப்புள்ளிக்கு ஒரு தோராயத்தை கணக்கிட பயன்படுத்தப்படலாம், இது புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை மற்றும் பரிமாணம் ஆகிய இரண்டிலும் பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும். தொடர்புடைய கருத்துக்கள் வடிவியல் சராசரி. ஒரு பரிமாண இடத்தில் மூன்று புள்ளிகளின் ரேடான் புள்ளி அவற்றின் சராசரி மட்டுமே. புள்ளிகளின் தொகுப்பின் வடிவியல் சராசரி என்பது தொகுப்பில் உள்ள புள்ளிகளுக்கான தூரங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் குறைக்கும் புள்ளியாகும்; இது ஒரு பரிமாண நடுத்தரத்தை பொதுமைப்படுத்துகிறது மற்றும் வசதி இருப்பிடம் மற்றும் வலுவான புள்ளிவிவரங்களின் பார்வையில் இருந்து ஆய்வு செய்யப்பட்டுள்ளது. தளத்தில் உள்ள நான்கு புள்ளிகளின் தொகுப்புகளுக்கு, வடிவியல் சராசரி ரேடான் புள்ளியுடன் ஒத்துப்போகிறது. ட்வெர்பெர்க்கின் தேற்றம். r தொகுப்புகளாகப் பிரிப்பதற்கான ஒரு பொதுமைப்படுத்தல் வழங்கப்பட்டது மற்றும் இப்போது ட்வெர்பர்க்கின் தேற்றம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. யூக்ளிடியன் டி-ஸ்பேஸில் உள்ள எந்த புள்ளிகளின் தொகுப்புக்கும், r துணைக்குழுக்களாக ஒரு பகிர்வு உள்ளது, அதன் குவிந்த மேலோட்டங்கள் குறைந்தது ஒரு பொதுவான புள்ளியில் வெட்டுகின்றன என்று அது கூறுகிறது. சில புள்ளிகளின் தொகுப்பின் குவிந்த மேலோட்டத்தில் உள்ள எந்த புள்ளியும் அதிகபட்சம் d + 1 புள்ளிகளின் துணைக்குழுவின் குவிந்த மேலோட்டத்திற்குள் இருக்கும் என்று காராதியோடரி தேற்றம் கூறுகிறது; அதாவது, கொடுக்கப்பட்ட புள்ளி ஒரு ரேடான் பகிர்வின் ஒரு பகுதியாகும், அதில் அது ஒரு சிங்கிள்டன் ஆகும். கராத்தியோடரி தேற்றத்தின் ஒரு சான்று ரேடானின் தேற்றத்தின் ஆதாரத்தைப் போலவே நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளுக்கான தீர்வுகளை ஆராய்வதற்கான ஒரு நுட்பத்தைப் பயன்படுத்துகிறது, அதிகபட்சம் d + 1 இருக்கும் வரை ஒரு நேரத்தில் ஒரு புள்ளியை அகற்றுகிறது. குவியல் வடிவவியல்கள். ரேடானின் தேற்றம் தொடர்பான கருத்துக்கள் குவிந்த வடிவவியல்களுக்கும், குடும்பத்தில் ஏதேனும் இரண்டு தொகுப்புகளின் குறுக்குவெட்டு குடும்பத்தில் இருக்கும் பண்புகளைக் கொண்ட வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்புகளின் குடும்பங்களுக்கும், வெற்று தொகுப்பு மற்றும் அனைத்து தொகுப்புகளின் ஒன்றிணைப்பும் குடும்பத்தைச் சேர்ந்தவை என்றும் கருதப்படுகின்றன. இந்த மிகவும் பொதுவான சூழலில், ஒரு செட் S இன் குவிந்த மேலோடு என்பது S ஐக் கொண்ட குடும்ப உறுப்பினர்களின் குறுக்குவெட்டு ஆகும், மேலும் ஒரு இடத்தின் ரேடான் எண் மிகச்சிறிய r ஆகும், அதாவது எந்த r புள்ளிகளும் இரண்டு துணைக்குழுக்களைக் கொண்டுள்ளன, அவற்றின் குவிந்த மேலோடு வெட்டுகின்றன. இதேபோல், ஹெல்லி எண் h மற்றும் கராத்தியோடரி எண் c ஐ யூக்ளிடியன் இடைவெளிகளில் உள்ள குவிந்த தொகுப்புகளுக்கான வரையறைகளுக்கு ஒப்புமை மூலம் வரையறுக்கலாம், மேலும் இந்த எண்கள் h <r ≤ ch + 1 சமத்துவமின்மைகளை பூர்த்தி செய்கின்றன என்பதைக் காட்டலாம். வரைபடங்களுக்கான ரேடான் தேற்றம். ஒரு தன்னிச்சையான திசைதிருப்பப்படாத வரைபடத்தில், ஒரு குவிந்த தொகுப்பை செங்குத்துகளின் தொகுப்பாக வரையறுக்கலாம், இது தொகுப்பில் ஒரு ஜோடி செங்குத்துகளை இணைக்கும் ஒவ்வொரு தூண்டப்பட்ட பாதையையும் உள்ளடக்கியது. இந்த வரையறையின் மூலம், வரைபடத்தில் உள்ள ω + 1 செங்குத்துகளின் ஒவ்வொரு தொகுப்பையும் இரண்டு துணைக்குழுக்களாகப் பிரிக்கலாம், அவற்றின் குவிந்த மேலோட்டங்கள் வெட்டுகின்றன, மேலும் ω + 1 என்பது இது சாத்தியமான குறைந்தபட்ச எண், இங்கு ω என்பது கொடுக்கப்பட்ட வரைபடத்தின் கிளைக் எண். தூண்டப்பட்ட பாதைகளுக்கு பதிலாக குறுகிய பாதைகளை உள்ளடக்கிய தொடர்புடைய முடிவுகளுக்கு பார்க்கவும் மற்றும். குறிப்புகள் குறிப்புகள். . . மேற்கோள் காட்டியபடி. . . . மேற்கோள் காட்டியபடி. . . . . . . தனித்துவமான வடிவவியலில் உள்ள தேற்றங்கள் குவிந்த வடிவவியலில் உள்ள தேற்றங்கள் கன்வெக்ஸ் ஹல்ஸின் வடிவியல் குறுக்குவெட்டு கோட்பாடு