Orthogonal transformation
நேரியல் இயற்கணிதத்தில், ஒரு ஆர்த்தோகனல் மாற்றம் என்பது ஒரு உண்மையான உள் தயாரிப்பு இடைவெளி V இல் ஒரு நேரியல் மாற்றம் T: V → V ஆகும், இது உள் உற்பத்தியைப் பாதுகாக்கிறது. அதாவது, V இன் ஒவ்வொரு ஜோடி உறுப்புகளுக்கும், நம்மிடம் உள்ளது திசையன்களின் நீளம் மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணங்கள் உள் தயாரிப்பு மூலம் வரையறுக்கப்படுவதால், ஆர்த்தோகனல் உருமாற்றங்கள் திசையன்களின் நீளம் மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணங்களைப் பாதுகாக்கின்றன. குறிப்பாக, ஆர்த்தோகனல் உருமாற்றங்கள் ஆர்த்தோனார்மல் தளங்களை ஆர்த்தோனார்மல் தளங்களாக வரைபடமாக்குகின்றன. ஆர்த்தோகனல் உருமாற்றங்கள் ஊசி ஆகும்ஃ அப்படியானால், எனவே, அதன் கர்னல் அற்பமானது. இரு அல்லது முப்பரிமாண யூக்ளிடியன் இடத்தில் ஏற்படும் ஆர்த்தோகனல் உருமாற்றங்கள் கடினமான சுழற்சிகள், பிரதிபலிப்புகள் அல்லது சுழற்சி மற்றும் பிரதிபலிப்பின் கலவையாகும் (முறையற்ற சுழற்சிகள் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன). பிரதிபலிப்புகள் என்பது (நிஜ உலக) கண்ணாடிகளைப் போல, கண்ணாடி தளத்திற்கு ஆர்த்தோகனல், முன் திசையிலிருந்து பின்புறமாக மாறும் மாற்றங்கள் ஆகும். முறையான சுழற்சிகளுடன் தொடர்புடைய மேட்ரிக்ஸ்கள் (பிரதிபலிப்பு இல்லாமல்) + 1 என்ற தீர்மானிப்பதைக் கொண்டுள்ளன. பிரதிபலிப்புடன் கூடிய உருமாற்றங்கள்-1 என்ற நிர்ணயிப்பானைக் கொண்ட மேட்ரிக்ஸ்களால் குறிப்பிடப்படுகின்றன. இது சுழற்சி மற்றும் பிரதிபலிப்பு என்ற கருத்தை அதிக பரிமாணங்களுக்கு பொதுமைப்படுத்த அனுமதிக்கிறது. வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண இடைவெளிகளில், ஒரு ஆர்த்தோகனல் மாற்றத்தின் மேட்ரிக்ஸ் பிரதிநிதித்துவம் (ஒரு ஆர்த்தோகனல் அடிப்படையைப் பொறுத்தவரை) ஒரு ஆர்த்தோகனல் மேட்ரிக்ஸ் ஆகும். அதன் வரிசைகள் அலகு நெறிமுறை கொண்ட பரஸ்பர ஆர்த்தோகனல் திசையன்களாகும், இதனால் வரிசைகள் V இன் ஆர்த்தோனார்மல் அடிப்படையை உருவாக்குகின்றன. மேட்ரிக்ஸின் நெடுவரிசைகள் V இன் மற்றொரு ஆர்த்தோனார்மல் அடிப்படையை உருவாக்குகின்றன. ஒரு ஆர்த்தோகனல் மாற்றம் தலைகீழாக இருந்தால் (இது எப்போதும் V வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாணமாக இருக்கும் போது) அதன் தலைகீழ் மற்றொரு ஆர்த்தோகனல் மாற்றமாகும். அதன் மேட்ரிக்ஸ் பிரதிநிதித்துவம் அசல் மாற்றத்தின் மேட்ரிக்ஸ் பிரதிநிதித்துவத்தின் இடமாற்றமாகும். எடுத்துக்காட்டுகள் நிலையான யூக்ளிடியன் உள் தயாரிப்பு மற்றும் நிலையான அடிப்படையுடன் உள்-தயாரிப்பு இடத்தை கருத்தில் கொள்ளுங்கள். பின்னர், மேட்ரிக்ஸ் மாற்றம் ஆர்த்தோகனல் ஆகும். இதைப் பார்க்க, பின்னர், முந்தைய உதாரணம் அனைத்து ஆர்த்தோகனல் உருமாற்றங்களையும் கட்டமைக்க நீட்டிக்கப்படலாம். எடுத்துக்காட்டாக, பின்வரும் மேட்ரிக்ஸ்கள் ஆர்த்தோகனல் உருமாற்றங்களை பின்வருவனவற்றில் வரையறுக்கின்றனஃ மேலும் காண்க முறையற்ற சுழற்சி லீனியர் உருமாற்றம் ஆர்த்தோகனல் மேட்ரிக்ஸ் யூனிடரி உருமாற்ற குறிப்புகள் லீனியர் அல்ஜிப்ரா