Leibniz integral rule
கால்குலஸில், ஒருங்கிணைந்த அடையாளத்தின் கீழ் வேறுபடுத்தலுக்கான லீப்னிஸ் ஒருங்கிணைந்த விதி, இந்த ஒருங்கிணைப்பின் வழித்தோன்றலைப் பொறுத்து ஒருங்கிணைப்புகள் மற்றும் ஒருங்கிணைப்புகள் செயல்பாடுகளாக இருக்கும் வடிவத்தின் ஒருங்கிணைப்புக்கு வெளிப்படுத்தக்கூடியது, ஏனெனில் பகுதி வழித்தோன்றல் ஒருங்கிணைப்புக்குள், உடன் மட்டுமே மாறுபாடு வழித்தோன்றலை எடுப்பதில் கருதப்படுகிறது. இது காட்ஃபிரைட் லீப்னிஸின் பெயரால் அழைக்கப்படுகிறது. செயல்பாடுகள் மற்றும் மாறிலிகள் மற்றும் இதைச் சார்ந்து இல்லாத மதிப்புகளுடன் கூடிய சிறப்பு வழக்கில் பின்வருவனவற்றை எளிதாக்குகிறதுஃ நிலையானது மற்றும், இது மற்றொரு பொதுவான சூழ்நிலை (எடுத்துக்காட்டாக, காச்சியின் தொடர்ச்சியான ஒருங்கிணைப்பு சூத்திரத்தின் சான்றில்), லீப்னிஸ் ஒருங்கிணைந்த விதி ஆகிறதுஃ இந்த முக்கியமான முடிவு, சில நிபந்தனைகளின் கீழ், ஒருங்கிணைந்த மற்றும் பகுதி வேறுபட்ட இயக்கிகளை பரிமாறிக்கொள்ள பயன்படுத்தப்படலாம், மேலும் ஒருங்கிணைந்த உருமாற்றங்களின் வேறுபாட்டில் குறிப்பாக பயனுள்ளதாக இருக்கும். இதற்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு நிகழ்தகவு கோட்பாட்டில் தருணத்தை உருவாக்கும் செயல்பாடு ஆகும், இது லாப்லேஸ் உருமாற்றத்தின் மாறுபாடு ஆகும், இது ஒரு சீரற்ற மாறியின் தருணங்களை உருவாக்க வேறுபடுத்தப்படலாம். லீப்னிஸின் ஒருங்கிணைந்த விதி பொருந்துமா என்பது அடிப்படையில் வரம்புகளின் பரிமாற்றம் பற்றிய கேள்வி. பொதுவான வடிவம்ஃ ஒருங்கிணைந்த குறியீட்டின் கீழ் வேறுபாடு வலது புறம் லாக்ராஞ்சின் குறியீட்டைப் பயன்படுத்தி எழுதப்படலாம்ஃ தேற்றத்தின் வலுவான பதிப்புகள் பகுதி வழித்தோன்றல் கிட்டத்தட்ட எல்லா இடங்களிலும் இருக்க வேண்டும், அது தொடர்ச்சியாக இருக்கக்கூடாது. இந்த சூத்திரம் லீப்னிஸ் ஒருங்கிணைந்த விதியின் பொதுவான வடிவமாகும், மேலும் கால்குலஸின் அடிப்படை தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி பெறப்படலாம். கால்குலஸின் (முதல்) அடிப்படை தேற்றம் என்பது மேலே உள்ள சூத்திரத்தின் குறிப்பிட்ட வழக்கு மட்டுமே, அங்கு நிலையானது, மேலும் அதைச் சார்ந்தது அல்ல. மேல் மற்றும் கீழ் வரம்புகள் இரண்டும் மாறிலிகளாக எடுத்துக் கொள்ளப்பட்டால், சூத்திரம் ஒரு ஆபரேட்டர் சமன்பாட்டின் வடிவத்தை எடுக்கும்ஃ ஒரு நிலையான இடைவெளியைப் பொறுத்தவரை பகுதி வழித்தோன்றல் மற்றும் ஒருங்கிணைந்த ஆபரேட்டர் ஆகும். அதாவது, இது இரண்டாவது வழித்தோன்றல்களின் சமச்சீருடன் தொடர்புடையது, ஆனால் ஒருங்கிணைப்புகள் மற்றும் வழித்தோன்றல்களை உள்ளடக்கியது. இந்த வழக்கு லீப்னிஸ் ஒருங்கிணைந்த விதி என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. வரம்புகளின் பரிமாற்றத்தில் பின்வரும் மூன்று அடிப்படை கோட்பாடுகள் அடிப்படையில் சமமானவைஃ ஒரு வழித்தோன்றல் மற்றும் ஒரு ஒருங்கிணைப்பின் பரிமாற்றம் (ஒருங்கிணைந்த அடையாளத்தின் கீழ் வேறுபாடு; அதாவது, லீப்னிஸ் ஒருங்கிணைந்த விதி); பகுதி வழித்தோன்றல்களின் வரிசையின் மாற்றம்; ஒருங்கிணைப்பு வரிசையின் மாற்றம் (ஒருங்கிணைந்த அடையாளத்தின் கீழ் ஒருங்கிணைப்பு; அதாவது, ஃபுபினியின் தேற்றம்). முப்பரிமாண, நேர-சார்ந்த வழக்கு முப்பரிமாண இடத்தில் நகரும் இரு பரிமாண மேற்பரப்புக்கான ஒரு லீப்னிஸ் ஒருங்கிணைந்த விதி பின்வருமாறுஃ நேரத்தில் இடஞ்சார்ந்த நிலையில் ஒரு திசையன் புலம், மூடிய வளைவால் சூழப்பட்ட ஒரு மேற்பரப்பு, மேற்பரப்பின் ஒரு திசையன் உறுப்பு, வளைவின் ஒரு திசையன் உறுப்பு, பிராந்தியத்தின் இயக்கத்தின் திசைவேகம், திசையன் வேறுபாடு, திசையன் குறுக்கு தயாரிப்பு, இரட்டை ஒருங்கிணைப்புகள் மேற்பரப்பில் மேற்பரப்பு ஒருங்கிணைப்புகள், மற்றும் கோடு ஒருங்கிணைப்பு எல்லை வளைவுக்கு மேல் உள்ளது. உயர் பரிமாணங்கள் லீப்னிஸ் ஒருங்கிணைந்த விதியை பன்முக ஒருங்கிணைப்புகளுக்கு நீட்டிக்க முடியும். இரண்டு மற்றும் மூன்று பரிமாணங்களில், இந்த விதி திரவ இயக்கவியல் புலத்திலிருந்து ரெனால்ட்ஸ் போக்குவரத்து தேற்றம் என்று நன்கு அறியப்படுகிறதுஃ ஒரு அளவிடுதல் செயல்பாடு எங்கே, மற்றும் R3 மற்றும் அதன் எல்லையின் நேர மாறுபடும் இணைக்கப்பட்ட பகுதியைக் குறிக்கிறது, முறையே, எல்லையின் யூலேரியன் திசைவேகம் (லாக்ராஞ்சியன் மற்றும் யூலேரியன் ஆயத்தொகுப்புகளைப் பார்க்கவும்) மற்றும் மேற்பரப்பு தனிமத்தின் அலகு இயல்பான கூறு ஆகும். லீப்னிஸ் ஒருங்கிணைந்த விதியின் பொதுவான அறிக்கைக்கு வேறுபட்ட வடிவவியலின் கருத்துக்கள் தேவைப்படுகின்றன, குறிப்பாக வேறுபட்ட வடிவங்கள், வெளிப்புற வழித்தோன்றல்கள், ஆப்பு தயாரிப்புகள் மற்றும் உட்புற தயாரிப்புகள். அந்த கருவிகளுடன், n பரிமாணங்களில் லீப்னிஸ் ஒருங்கிணைந்த விதி என்னவென்றால், ஒருங்கிணைப்பின் நேர மாறுபடும் களம், ω என்பது ஒரு p-வடிவம், வேகத்தின் திசையன் புலம், உட்புற உற்பத்தியைக் குறிக்கிறது, dxω என்பது ω இன் வெளிப்புற வழித்தோன்றலாகும். இருப்பினும், இந்த அடையாளங்கள் அனைத்தும் லை வழித்தோன்றல்களைப் பற்றிய மிகவும் பொதுவான அறிக்கையிலிருந்து பெறப்படலாம்ஃ இங்கே, வேறுபட்ட வடிவம் வாழும் சுற்றுப்புற பன்மடங்கு இடம் மற்றும் நேரம் இரண்டையும் உள்ளடக்கியது. ஒரு குறிப்பிட்ட தருணத்தில் ஒருங்கிணைப்பின் பகுதி (ஒரு சப்மேனிஃபோல்ட்) (இது சார்ந்து இல்லை, ஏனெனில் ஒரு சப்மேனிஃபோல்ட் என்ற அதன் அளவுரு காலப்போக்கில் அதன் நிலையை வரையறுக்கிறது), லை வழித்தோன்றலாகும், இது முந்தைய சூத்திரங்களிலிருந்து (அதாவது, இடநேர வேகம்) முற்றிலும் இடஞ்சார்ந்த திசையன் புலத்திற்கு நேரத்தின் திசையில் யூனிட்டரி திசையன் புலத்தைச் சேர்ப்பதன் மூலம் பெறப்பட்ட இடநேர திசையன் புலமாகும், இது ஓட்டத்தால் உருவாக்கப்பட்ட ஒரு அளவுரு குழுவிலிருந்து ஒரு டிஃபிஃபோமார்பிசம் ஆகும், மேலும் இது அத்தகைய டிஃபிஃபோமார்பிசத்தின் கீழ் உள்ள உருவமாகும். இந்த வடிவத்தைப் பற்றி குறிப்பிடத்தக்க ஒன்று என்னவென்றால், காலப்போக்கில் அதன் வடிவத்தையும் அளவையும் மாற்றும்போது அது கணக்கிட முடியும், ஏனெனில் அத்தகைய சிதைவுகள் முழுமையாக தீர்மானிக்கப்படுகின்றன அளவீட்டுக் கோட்பாடு அறிக்கை ஒரு திறந்த துணைக்குழுவாக இருக்கட்டும், மேலும் ஒரு அளவீட்டு இடமாக இருக்கட்டும். பின்வரும் நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்கிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம்ஃ ஒவ்வொன்றிற்கும் ஒரு லெபெஸ்கூ-ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடு. கிட்டத்தட்ட அனைத்திற்கும், பகுதி வழித்தோன்றல் அனைவருக்கும் உள்ளது. அனைவருக்கும் மற்றும் கிட்டத்தட்ட ஒவ்வொருவருக்கும் ஒரு ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடு உள்ளது. பின்னர், அனைவருக்கும், ஆதாரம் ஆதிக்கம் செலுத்தும் ஒருங்கிணைப்பு தேற்றம் மற்றும் சராசரி மதிப்பு தேற்றம் (கீழே உள்ள விவரங்கள்) ஆகியவற்றை நம்பியுள்ளது. அடிப்படை வடிவத்தின் ஆதாரம் நாம் முதலில் ஒருங்கிணைப்பு a மற்றும் b இன் நிலையான வரம்புகளின் வழக்கை நிரூபிக்கிறோம். ஒருங்கிணைப்பு வரிசையை மாற்ற ஃபுபினியின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம். மூடிய செவ்வகத்தில் தொடர்ச்சியானது என்பதால் கையில் உள்ள ஒருங்கிணைப்புகள் நன்கு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளன என்பதைக் கவனியுங்கள், எனவே அங்கு ஒரே மாதிரியாக தொடர்ச்சியானது; எனவே dt அல்லது dx ஆல் அதன் ஒருங்கிணைப்புகள் மற்ற மாறிகளில் தொடர்ச்சியானவை, மேலும் அவற்றால் ஒருங்கிணைக்கப்படுகின்றன (அடிப்படையில் இது ஒரே மாதிரியான தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளுக்கு, ஒருவர் ஒருங்கிணைப்பு அடையாளத்தின் மூலம் வரம்பைக் கடக்கலாம், கீழே விரிவாக விவரிக்கப்பட்டுள்ளது). எனவேஃ நாம் வரையறுத்துள்ள இடத்தில்ஃ (x0 மற்றும் x க்கு இடையிலான வேறு எந்த புள்ளியாலும் x0 ஐ இங்கே மாற்றலாம்) F என்பது வழித்தோன்றலுடன் வேறுபடுத்தக்கூடியது, எனவே பூஜ்ஜியத்தை அணுகும் வரம்பை நாம் எடுக்கலாம். இடது புறத்திற்கு இந்த வரம்பு பின்வருமாறுஃ வலது புறத்திற்கு, நாம் பெறுகிறோம்ஃ இவ்வாறு நாம் விரும்பிய முடிவை நிரூபிக்கிறோம்ஃ வரம்புக்குட்பட்ட ஒருங்கிணைப்பு தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி மற்றொரு ஆதாரம் கையில் உள்ள ஒருங்கிணைப்புகள் லெபெஸ்கூ ஒருங்கிணைப்புகளாகும் என்றால், வரம்புக்குட்பட்ட ஒருங்கிணைப்பு தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தலாம் (இந்த ஒருங்கிணைப்புகளுக்கு செல்லுபடியாகும், ஆனால் ரீமன் ஒருங்கிணைப்புகளுக்கு அல்ல) ஒருங்கிணைந்த அடையாளத்தின் வழியாக வரம்பைக் கடக்க முடியும் என்பதைக் காட்ட. இந்த ஆதாரம் fx (x, t) லெபெஸ்கூ ஒருங்கிணைந்ததாக மட்டுமே காட்டுகிறது என்ற அர்த்தத்தில் பலவீனமானது என்பதை நினைவில் கொள்க, ஆனால் அது ரீமன் ஒருங்கிணைந்ததாக இல்லை. முந்தைய (வலுவான) ஆதாரத்தில், f (x, t) ரீமன் ஒருங்கிணைந்ததாக இருந்தால், fx (x, t) ஆகவும் இருக்கும் (எனவே வெளிப்படையாக லெபெஸ்கூ ஒருங்கிணைந்ததாகவும் இருக்கும்). வழித்தோன்றலின் வரையறையின்படி, சமன்பாடு () ஐ சமன்பாடு () ஆக மாற்றலாம். இரண்டு ஒருங்கிணைப்புகளின் வேறுபாடு வேறுபாட்டின் ஒருங்கிணைப்புக்கு சமம், மேலும் 1/h ஒரு மாறிலி, எனவே வரம்பை ஒருங்கிணைந்த அடையாளத்தின் வழியாக கடக்க முடியும் என்பதை இப்போது காட்டுகிறோம். ஒருங்கிணைந்த குறியீட்டின் கீழ் வரம்பின் பத்தியில் வரம்புக்குட்பட்ட ஒருங்கிணைப்பு தேற்றம் (ஆதிக்கம் செலுத்தும் ஒருங்கிணைப்பு தேற்றத்தின் ஒரு துணை) செல்லுபடியாகும் என்று நாங்கள் கூறுகிறோம். t நிலையானதற்கு, சராசரி மதிப்பு தேற்றம் என்பது [x, x + δ] இடைவெளியில் z இருப்பதைக் குறிக்கிறது, அதாவது fx (x, t) இன் தொடர்ச்சியும் களத்தின் சுருக்கமும் ஒன்றாக fx (x, t) வரம்புக்குட்பட்டது என்பதைக் குறிக்கிறது. சராசரி மதிப்பு தேற்றத்தின் மேற்கண்ட பயன்பாடு எனவே ஒரு சீரான (சுயாதீனமான) பிணைப்பை வழங்குகிறது. வேறுபாடு மேற்கோள்கள் பகுதி வழித்தோன்றல் உள்ளது என்ற அனுமானத்தின் மூலம் பகுதி வழித்தோன்றல் fx க்கு புள்ளி வாரியாக இணைகின்றன. மேலே உள்ள வாதம் ஒவ்வொரு வரிசைக்கும் {δn} → 0, வரிசை ஒரே மாதிரியாக வரம்புக்குட்பட்டது மற்றும் புள்ளி வாரியாக fx உடன் இணைகிறது என்பதைக் காட்டுகிறது. வரையறுக்கப்பட்ட ஒருங்கிணைப்புக் கோட்பாடு, வரையறுக்கப்பட்ட அளவின் தொகுப்பில் உள்ள செயல்பாடுகளின் வரிசை ஒரே மாதிரியாக வரையறுக்கப்பட்டு புள்ளி வாரியாக ஒன்றிணைந்தால், ஒருங்கிணைப்பின் கீழ் வரம்பின் பத்தியில் செல்லுபடியாகும் என்று கூறுகிறது. குறிப்பாக, {δn} → 0 என்ற ஒவ்வொரு வரிசைக்கும் வரம்பு மற்றும் ஒருங்கிணைப்பு பரிமாறிக்கொள்ளப்படலாம். எனவே, δ → 0 என்ற வரம்பை ஒருங்கிணைந்த அடையாளத்தின் வழியாக அனுப்பலாம். ஒரு உண்மையான மாறி மற்றும் உண்மையான மதிப்புள்ள வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாடுகள் மற்றும் ஒரு உண்மையான மாறியின் தொடர்ச்சியான உண்மையான மதிப்புள்ள செயல்பாடு g க்கு, இது சங்கிலி விதி மற்றும் கால்குலஸின் முதல் அடிப்படை தேற்றத்திலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது. வரையறுக்கவும் மற்றும் (கீழ் வரம்பு களத்தில் சில எண்ணாக இருக்க வேண்டும்) பின்னர், ஒரு கலவையாக எழுதப்படலாம்ஃ சங்கிலி விதி பின்னர் கால்குலஸின் முதல் அடிப்படை தேற்றத்தால், என்று குறிக்கிறது. எனவே, மேலே உள்ள இந்த முடிவை மாற்றுவதன் மூலம், நாம் விரும்பிய சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்ஃ குறிப்புஃ வேறுபடுத்தப்பட வேண்டிய வெளிப்பாடு வடிவத்தில் இருந்தால் இந்த வடிவம் குறிப்பாக பயனுள்ளதாக இருக்கும்ஃ ஏனெனில் இது ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகளைப் பொறுத்தது அல்ல, இது ஒருங்கிணைந்த அடையாளத்தின் கீழ் இருந்து நகர்த்தப்படலாம், மேலும் மேலே உள்ள வடிவம் தயாரிப்பு விதியுடன் பயன்படுத்தப்படலாம், அதாவது, மாறுபடும் வரம்புகளுடன் கூடிய பொது வடிவம் செட், அங்கு a மற்றும் b ஆகியவை α இன் செயல்பாடுகளாகும், அவை முறையே, α ஆல் அதிகரிக்கப்படும்போது, α மற்றும் αb அதிகரிப்புகளை வெளிப்படுத்துகின்றன. பின்னர், சராசரி மதிப்பு தேற்றத்தின் ஒரு வடிவம், மேலே உள்ள αφ க்கான சூத்திரத்தின் முதல் மற்றும் கடைசி ஒருங்கிணைப்புகளுக்குப் பயன்படுத்தப்படலாம், இதன் விளைவாக α ஆல் வகுக்கவும், α → 0 ஆக இருக்கட்டும். கவனிக்கவும்........... ஒருங்கிணைந்த குறியீட்டின் மூலம் வரம்பை நாம் கடக்கலாம்ஃ மீண்டும் வரம்புக்குட்பட்ட ஒருங்கிணைப்பு தேற்றம் மூலம். இது லீப்னிஸ் ஒருங்கிணைந்த விதியின் பொதுவான வடிவத்தை அளிக்கிறது, மாறி வரம்புகளுடன் கூடிய பொதுவான வடிவத்தின் மாற்று ஆதாரம், சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்துகிறது மாறி வரம்புகளுடன் கூடிய லீப்னிஸின் ஒருங்கிணைந்த விதியின் பொதுவான வடிவம் லீப்னிஸின் ஒருங்கிணைந்த விதி, பன்முகத்தன்மை கொண்ட சங்கிலி விதி மற்றும் கால்குலஸின் முதல் அடிப்படை தேற்றம் ஆகியவற்றின் அடிப்படை வடிவத்தின் விளைவாக பெறப்படலாம். தரையில் ஒரு செவ்வகத்தில் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம், மற்றும். மேலும், அனுமானிக்கவும் மற்றும் பகுதி வழித்தோன்றல் இரண்டும் இந்த செவ்வகத்தில் தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகள். வேறுபடுத்தக்கூடிய உண்மையான மதிப்புள்ள செயல்பாடுகள் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளன என்று வைத்துக்கொள்வோம், (அதாவது. ஒவ்வொருவருக்கும்). இப்போது, செட் மற்றும் பின்னர், வரையறுக்கப்பட்ட ஒருங்கிணைப்புகளின் பண்புகளால், நாம் எழுதலாம், ஏனெனில் செயல்பாடுகள் அனைத்தும் வேறுபடுத்தக்கூடியவை (ஆதாரத்தின் முடிவில் உள்ள கருத்தைப் பார்க்கவும்), பன்முகத்தன்மை சங்கிலி விதியால், அது வேறுபடுத்தக்கூடியது என்பதைப் பின்பற்றுகிறது, மேலும் அதன் வழித்தோன்றல் சூத்திரத்தால் வழங்கப்படுகிறதுஃ இப்போது, ஒவ்வொன்றிற்கும், ஒவ்வொன்றிற்கும், நம்மிடம் அது உள்ளது என்பதைக் கவனியுங்கள், ஏனென்றால் பகுதியளவு வழித்தோன்றலை எடுத்துக் கொள்ளும்போது, நாம் வெளிப்பாட்டை நிலையாக வைத்திருக்கிறோம்; இதனால் ஒருங்கிணைப்பின் நிலையான வரம்புகளுடன் லீப்னிஸின் ஒருங்கிணைப்பு விதியின் அடிப்படை வடிவம் பொருந்தும். அடுத்து, கால்குலஸின் முதல் அடிப்படை தேற்றத்தால், நம்மிடம் அது உள்ளது; ஏனென்றால் பகுதியளவு வழித்தோன்றலை எடுக்கும்போது, முதல் மாறி நிலையானது, எனவே அடிப்படை தேற்றத்தை உண்மையில் பயன்படுத்தலாம். இந்த முடிவுகளை மேலே உள்ள சமன்பாட்டிற்கு மாற்றுவது பின்வருவனவற்றை விரும்பியபடி வழங்குகிறது. மேலே உள்ள ஆதாரத்தில் ஒரு தொழில்நுட்ப புள்ளி உள்ளது, இது கவனிக்கத்தக்கதுஃ சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்துவது ஏற்கனவே வேறுபடுத்தக்கூடியதாக இருக்க வேண்டும். இங்குதான் நாம் நமது அனுமானங்களைப் பயன்படுத்துகிறோம். மேலே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, பகுதியளவு வழித்தோன்றல்கள் சூத்திரங்கள் மற்றும் மூலம் வழங்கப்படுகின்றன. தொடர்ச்சியானது என்பதால், அதன் ஒருங்கிணைப்பும் ஒரு தொடர்ச்சியான செயல்பாடாகும், மேலும் தொடர்ச்சியானது என்பதால், இந்த இரண்டு முடிவுகளும் பகுதியளவு வழித்தோன்றல்கள் இரண்டும் தொடர்ச்சியானவை என்பதைக் காட்டுகின்றன. பகுதி வழித்தோன்றல்களின் தொடர்ச்சி செயல்பாட்டின் வேறுபடுத்துதலைக் குறிக்கிறது என்பதால், உண்மையில் வேறுபடுத்தக்கூடியது. முப்பரிமாண, நேரத்தை சார்ந்த வடிவம் படம் 1 இல் உள்ள மேற்பரப்பு t நேரத்தில் ஒரு மையக்கருவைப் பற்றி ஒழுங்கமைக்கப்பட்ட புள்ளிகளின் தொகுப்பைக் கொண்டுள்ளது. செயல்பாட்டை நேரத்தின் சுயாதீனமாக எழுதலாம். மாறிகள் நகரும் மேற்பரப்பில் இணைக்கப்பட்ட ஒரு புதிய குறிப்பு சட்டகத்திற்கு மாற்றப்படுகின்றன, இதன் தோற்றம். ஒரு கடினமான மொழிபெயர்ப்பு மேற்பரப்பைப் பொறுத்தவரை, ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகள் பின்னர் நேரத்திலிருந்து சுயாதீனமாக இருக்கும், எனவேஃ பிராந்தியத்திற்கு ஒருங்கிணைப்பைக் கட்டுப்படுத்தும் ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகள் இனி நேரத்தைச் சார்ந்தது அல்ல, எனவே வேறுபாடு ஒருங்கிணைப்பு வழியாகச் சென்று ஒருங்கிணைப்பில் மட்டுமே செயல்படுகிறதுஃ மேற்பரப்பின் இயக்கத்தின் வேகத்துடன் இந்த சமன்பாடு புலத்தின் பொருள் வழித்தோன்றலை வெளிப்படுத்துகிறது, அதாவது நகரும் மேற்பரப்பில் இணைக்கப்பட்ட ஒரு ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பைப் பொறுத்தவரை வழித்தோன்றல். வழித்தோன்றலைக் கண்டறிந்த பிறகு, மாறிகளை அசல் குறிப்பு சட்டகத்திற்கு மாற்றலாம். (சுருட்டை பற்றிய கட்டுரையைப் பார்க்கவும்) மற்றும் ஸ்டோக்ஸ் தேற்றம் சுருட்டை மேற்பரப்பு ஒருங்கிணைப்பை ஒரு கோடு ஒருங்கிணைப்புடன் சமன் செய்கிறது என்பதை நாம் கவனிக்கிறோம்ஃ கோடு ஒருங்கிணைப்பின் அடையாளம் கோடு உறுப்பு ds இன் திசையைத் தேர்ந்தெடுப்பதற்கான வலது கை விதியை அடிப்படையாகக் கொண்டது. இந்த அடையாளத்தை நிறுவ, எடுத்துக்காட்டாக, புலம் F நேர்மறை z-திசையில் சுட்டிக்காட்டுகிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம், மேலும் மேற்பரப்பு ‡ என்பது xy-தளத்தின் ஒரு பகுதியாகும். நேர்மறை z-திசையில் இருக்க இயல்பானதை நாம் ஏற்றுக்கொள்கிறோம். நேர்மறையான ஊடுருவல் பின்னர் எதிர் கடிகார திசையில் இருக்கும் (வலது கை விதி கட்டைவிரல் z-அச்சுடன்). பின்னர் இடது புறத்தில் உள்ள ஒருங்கிணைப்பு F இன் நேர்மறை ஃப்ளக்ஸ் மூலம் ஒரு நேர்மறை ஃப்ளக்ஸ் தீர்மானிக்கிறது. v வேகத்தில் நேர்மறை x-திசையில் மொழிபெயர்க்கிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம். y-அச்சுக்கு இணையாக உள்ள ஒரு உறுப்பு, ds என்று சொல்லுங்கள், நேரம் t இல் ஒரு பரப்பளவு vt × ds ஐ வெளியேற்றுகிறது. நாம் ஒரு எதிர் கடிகார திசையில் எல்லையைச் சுற்றி ஒருங்கிணைத்தால், vt × ds புள்ளிகள் எதிர்மறை z-திசையில் உள்ளன (அங்கு ds கீழ்நோக்கி சுட்டிக்காட்டுகிறது), மற்றும் நேர்மறை z-திசையில் வலது பக்கத்தில் உள்ளது (அங்கு ds மேல்நோக்கி சுட்டிக்காட்டுகிறது), இது அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கிறது, ஏனெனில் அது வலதுபுறம் நகர்கிறது, வலதுபுறத்தில் பரப்பளவைச் சேர்த்து இடதுபுறத்தில் இழக்கிறது. அந்த அடிப்படையில், F இன் பாய்வு ஷ்ணுவின் வலதுபுறத்தில் அதிகரித்து இடதுபுறத்தில் குறைந்து வருகிறது. இருப்பினும், புள்ளி தயாரிப்பு. இதன் விளைவாக, கோடு ஒருங்கிணைப்பின் அடையாளம் எதிர்மறையாக எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது. v ஒரு மாறிலி என்றால், இது மேற்கோள் காட்டப்பட்ட முடிவு. இந்த ஆதாரம் மேற்பரப்பு நகரும் போது சிதைவதற்கான சாத்தியத்தை கருத்தில் கொள்ளவில்லை. மாற்று வழித்தோன்றல் லெம்மா. ஒன்றுஃ ஆதாரம். கால்குலஸின் அடிப்படை தேற்றத்தின் ஆதாரத்திலிருந்து, மற்றும் a மற்றும் b நிலையானவை என்றும், f (x) ஒரு அளவுரு α ஐ உள்ளடக்கியது என்றும் வைத்துக்கொள்வோம், இது ஒருங்கிணைப்பில் நிலையானது, ஆனால் வெவ்வேறு ஒருங்கிணைப்புகளை உருவாக்க மாறுபடலாம். f (x, α) என்பது x மற்றும் α இன் தொடர்ச்சியான செயல்பாடு என்று கருதுங்கள் {(x, α): α0 ≤ α ≤ α1 மற்றும் a ≤ x ≤ b}, மற்றும் பகுதி வழித்தோன்றல் fα (x, α) உள்ளது மற்றும் தொடர்ச்சியானது. ஒருவர் வரையறுத்தால்ஃ பின்னர் ஒருங்கிணைந்த அடையாளத்தின் கீழ் வேறுபடுத்துவதன் மூலம் α ஐப் பொறுத்து வேறுபடுத்தப்படலாம், அதாவது, ஹைன்-கான்டார் தேற்றத்தின் படி அது அந்த தொகுப்பில் ஒரே சீராக தொடர்ச்சியானது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், [a, b] இல் உள்ள x இன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும், மறுபுறம், எனவே φ (α) ஒரு தொடர்ச்சியான செயல்பாடாகும். இதேபோல் இருந்தால் மற்றும் தொடர்ச்சியாக இருந்தால், அனைத்து ε> 0 க்கும் δα உள்ளதுஃ எனவே, இப்போது, ε → 0 என்பது δα → 0 ஆக உள்ளது, எனவே இதை நிரூபிக்க நாம் வகுத்துள்ள சூத்திரம் இது. இப்போது, a மற்றும் b ஆகியவை α இன் செயல்பாடுகள் என்று வைத்துக்கொள்வோம், அவை முறையே α மற்றும் δb அதிகரிப்புகளை எடுக்கின்றன, α ஐ α ஆல் அதிகரிக்கும் போது. பின்னர், சராசரி மதிப்பு தேற்றத்தின் ஒரு வடிவம், மேலே உள்ள αφ க்கான சூத்திரத்தின் முதல் மற்றும் கடைசி ஒருங்கிணைப்புகளுக்கு a <ω <b ஐப் பயன்படுத்தலாம், இதன் விளைவாக ω ஆல் வகுத்தல், ω → 0 ஐ அனுமதிப்பது, ω1 → a மற்றும் ω2 → b ஐக் கவனிப்பது மற்றும் விளைச்சலுக்கு மேலே உள்ள வழித்தோன்றலைப் பயன்படுத்துவது இது லீப்னிஸ் ஒருங்கிணைந்த விதியின் பொதுவான வடிவமாகும். எடுத்துக்காட்டுகள் 1: நிலையான வரம்புகள் செயல்பாட்டைக் கவனியுங்கள் ஒருங்கிணைந்த குறியீட்டின் கீழ் உள்ள செயல்பாடு (x, α) = (0,0) புள்ளியில் தொடர்ச்சியானது அல்ல, மேலும் செயல்பாடு φ (α) α = 0 இல் ஒரு இடைநிறுத்தத்தைக் கொண்டுள்ளது, ஏனெனில் φ (α) ±π/2 ஐ α → 0 ± ஆக அணுகுகிறது. ஒருங்கிணைந்த அடையாளத்தின் கீழ் α ஐப் பொறுத்தவரை φ (α) ஐ வேறுபடுத்தினால், α = 0 ஐத் தவிர α இன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் இது உண்மை என்பதை நாம் பெறுகிறோம். இது ஒருங்கிணைக்கப்படலாம் (α ஐப் பொறுத்தவரை) எடுத்துக்காட்டு 2: மாறுபடும் வரம்புகள் மாறுபடும் வரம்புகளுடன் ஒரு எடுத்துக்காட்டுஃ பயன்பாடுகள் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்புகளை மதிப்பீடு செய்தல் சில திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்புகளை மதிப்பீடு செய்யும் போது சூத்திரம் பயனுள்ளதாக இருக்கும். இந்த சூழலில் பயன்படுத்தப்படும்போது, ஒருங்கிணைந்த அடையாளத்தின் கீழ் வேறுபடுத்துவதற்கான லீப்னிஸ் ஒருங்கிணைந்த விதி ஒருங்கிணைப்புக்கான ஃபேய்ன்மேனின் தந்திரம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டு 3 இப்போது கருத்தில் கொள்ளுங்கள், மாறுபடும் போது, நம்மிடம் உள்ளது எனவே, இரு பக்கங்களையும் ஒருங்கிணைப்பதன் மூலம், மதிப்பீடு செய்வதிலிருந்து பின்வருவனவற்றைப் பெறுகிறோம்ஃ அதே முறையில் தீர்மானிக்க, நாம் 1 அங்குலத்திற்கும் அதிகமான மதிப்பில் மாற்ற வேண்டும். இது சற்று அசௌகரியமாக உள்ளது. அதற்கு பதிலாக, நாம் எங்கு மாற்றுகிறோம். பின்னர், எனவே, வரையறை இப்போது நிறைவடைந்துள்ளதுஃ வேறுபடுத்தலுக்கான நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்படாததால், மேற்கூறிய விவாதம், நிச்சயமாக, பொருந்தாது. எடுத்துக்காட்டு 4 முதலில் நாம் கணக்கிடுவதுஃ ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகள் சுயாதீனமாக இருப்பதால், நம்மிடம் பின்வருவன உள்ளனஃ மறுபுறம்ஃ இந்த இரண்டு உறவுகளையும் சமன் செய்தால் பின்னர் விளைச்சல் கிடைக்கும். இந்த வழித்தோன்றல் பொதுமைப்படுத்தப்படலாம். நாம் அதை வரையறுத்தால், கொடுக்கப்பட்ட, இந்த ஒருங்கிணைந்த குறைப்பு சூத்திரம் அனைத்து மதிப்புகளையும் கணக்கிட பயன்படுத்தப்படலாம் என்பதை எளிதில் காட்ட முடியும் என்பதை நினைவில் கொள்க. போன்ற ஒருங்கிணைப்புகள் மற்றும் வெய்ர்ஸ்ட்ராஸ் மாற்றீட்டைப் பயன்படுத்தி கையாளப்படலாம். எடுத்துக்காட்டு 5 இங்கே, ஒருங்கிணைப்பின் கீழ் ஒருங்கிணைந்த வேறுபாட்டைக் கருத்தில் கொள்கிறோம், நம்மிடம் உள்ளது எனவேஃ ஆனால் வரையறையின்படி மற்றும் எடுத்துக்காட்டு 6 இங்கே, ஒருங்கிணைப்பைக் கருதுகிறோம் நாம் ஒரு புதிய மாறி φ ஐ அறிமுகப்படுத்துகிறோம் மற்றும் ஒருங்கிணைப்பை மீண்டும் எழுதுகிறோம் φ = 1 இது அசல் ஒருங்கிணைப்புக்கு சமமாக இருக்கும்போது. இருப்பினும், இந்த பொதுவான ஒருங்கிணைப்பு பின்வருவனவற்றைப் பொறுத்து வேறுபடுத்தப்படலாம்ஃ இப்போது, φ ஐ சரிசெய்து, திசையன் புலத்தை வரையறுக்கவும். மேலும், கொடுக்கப்பட்ட அலகு வட்டத்தின் நேர்மறை சார்ந்த அளவுருவைத் தேர்ந்தெடுக்கவும், இதனால். பின்னர் மேலே உள்ள இறுதி ஒருங்கிணைப்பு துல்லியமாக ஓவர் இன் கோடு ஒருங்கிணைப்பாகும். பச்சை கோட்பாட்டின் படி, இது மூடிய அலகு வட்டு இருக்கும் இரட்டை ஒருங்கிணைப்புக்கு சமம். அதன் ஒருங்கிணைப்பு ஒரே மாதிரியாக 0 ஆகும், எனவே இதேபோல் ஒரே மாதிரியாக பூஜ்ஜியமாகும். இது f (φ) நிலையானது என்பதைக் குறிக்கிறது. மாறிலி பின்வருவனவற்றை மதிப்பிடுவதன் மூலம் தீர்மானிக்கப்படலாம்ஃ எனவே, அசல் ஒருங்கிணைப்பும் சமம். தீர்க்க வேண்டிய பிற சிக்கல்கள் ஒருங்கிணைந்த அடையாளத்தின் கீழ் வேறுபடுத்தும் நுட்பத்தைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கக்கூடிய எண்ணற்ற பிற ஒருங்கிணைப்புகள் உள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக, பின்வரும் ஒவ்வொரு நிகழ்விலும், அசல் ஒருங்கிணைப்பு ஒரு புதிய அளவுருவைக் கொண்ட ஒத்த ஒருங்கிணைப்பால் மாற்றப்படலாம்ஃ முதல் ஒருங்கிணைப்பு, டிரிக்லெட் ஒருங்கிணைப்பு, நேர்மறை α க்கு முற்றிலும் ஒன்றிணைகிறது, ஆனால் நிபந்தனைக்குட்பட்ட போது மட்டுமே ஒன்றிணைகிறது. எனவே, ஒருங்கிணைந்த அடையாளத்தின் கீழ் வேறுபடுத்துவது எப்போது என்பதை நியாயப்படுத்த எளிதானது, ஆனால் சில கவனமான வேலை தேவைப்படும்போது இதன் விளைவாக வரும் சூத்திரம் செல்லுபடியாகும் என்பதை நிரூபிக்கிறது. எல்லையற்ற தொடர் ஒருங்கிணைந்த அடையாளத்தின் கீழ் உள்ள வேறுபாட்டின் அளவீட்டு-கோட்பாட்டு பதிப்பு கூட்டுத்தொகையை (வரையறுக்கப்பட்ட அல்லது எல்லையற்ற) எண்ணும் அளவீடாக விளக்குவதன் மூலமும் பொருந்தும். ஒரு பயன்பாட்டிற்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு என்னவென்றால், பவர் சீரிஸ் அவற்றின் ஒருங்கிணைப்பு ஆரத்தில் வேறுபடுத்தக்கூடியது. பிரபலமான கலாச்சாரத்தில் ஒருங்கிணைந்த அடையாளத்தின் கீழ் வேறுபாடு மறைந்த இயற்பியலாளர் ரிச்சர்ட் ஃபேய்ன்மேனின் சிறந்த விற்பனையான நினைவுக் குறிப்பில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது நிச்சயமாக நீங்கள் நகைச்சுவையாக இருக்கிறீர்கள், திரு. ஃபேய்ன்மேன்! "கருவிகளின் வேறுபட்ட பெட்டி" என்ற அத்தியாயத்தில். உயர்நிலைப் பள்ளியில் இருந்தபோது, ஃப்ரெடெரிக் எஸ். வூட்ஸ் (மாசசூசெட்ஸ் இன்ஸ்டிடியூட் ஆப் டெக்னாலஜியில் கணிதப் பேராசிரியராக இருந்தவர்) எழுதிய அட்வான்ஸ்டு கால்குலஸ் (1926) என்ற பழைய உரையிலிருந்து அதைக் கற்றுக்கொண்டதாக அவர் விவரிக்கிறார். ஃபைன்மேன் பின்னர் கால்குலஸில் தனது முறையான கல்வியைப் பெற்றபோது இந்த நுட்பம் அடிக்கடி கற்பிக்கப்படவில்லை, ஆனால் இந்த நுட்பத்தைப் பயன்படுத்தி, ஃபைன்மேன் பிரின்ஸ்டன் பல்கலைக்கழகத்தில் பட்டதாரி பள்ளிக்கு வந்தவுடன் கடினமான ஒருங்கிணைப்பு சிக்கல்களைத் தீர்க்க முடிந்ததுஃ நான் ஒருபோதும் கற்றுக்கொள்ளாத ஒரு விஷயம் கான்டூர் ஒருங்கிணைப்பு. எனது உயர்நிலைப் பள்ளி இயற்பியல் ஆசிரியர் திரு பேடர் எனக்கு வழங்கிய ஒரு புத்தகத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள பல்வேறு முறைகள் மூலம் ஒருங்கிணைப்புகளைச் செய்ய நான் கற்றுக்கொண்டேன். ஒரு நாள் அவர் என்னை வகுப்புக்குப் பிறகு தங்கச் சொன்னார். "ஃபேய்ன்மேன்", அவர் கூறினார், "நீங்கள் அதிகமாக பேசுகிறீர்கள், நீங்கள் அதிகமாக சத்தம் போடுகிறீர்கள். ஏன் என்று எனக்குத் தெரியும். சலிப்படைந்து விட்டீர்கள். எனவே நான் உங்களுக்கு ஒரு புத்தகத்தை கொடுக்கப் போகிறேன். நீங்கள் மேலே பின்புறம், மூலையில் சென்று இந்தப் புத்தகத்தைப் படியுங்கள், இந்தப் புத்தகத்தில் உள்ள அனைத்தையும் நீங்கள் அறிந்தால், நீங்கள் மீண்டும் பேசலாம் ". எனவே ஒவ்வொரு இயற்பியல் வகுப்பிலும், பாஸ்கலின் சட்டத்தில் என்ன நடக்கிறது அல்லது அவர்கள் என்ன செய்கிறார்கள் என்பதில் நான் கவனம் செலுத்தவில்லை. வூட்ஸ் எழுதிய "அட்வான்ஸ்டு கால்குலஸ்" என்ற புத்தகத்துடன் நான் பின்புறமாக இருந்தேன். நான் "கால்குலஸ் ஃபார் தி பிராக்டிகல் மேன்" கொஞ்சம் படித்திருப்பதை பேடர் அறிந்திருந்தார், எனவே அவர் எனக்கு உண்மையான படைப்புகளை வழங்கினார்-அது கல்லூரியில் ஜூனியர் அல்லது சீனியர் படிப்புக்கானது. இது ஃபோரியர் தொடர், பெசல் செயல்பாடுகள், தீர்மானிப்பவர்கள், நீள்வட்ட செயல்பாடுகள்-எனக்கு எதுவும் தெரியாத அனைத்து வகையான அற்புதமான விஷயங்களையும் கொண்டிருந்தது. ஒருங்கிணைந்த அடையாளத்தின் கீழ் அளவுருக்களை எவ்வாறு வேறுபடுத்துவது என்பதையும் அந்த புத்தகம் காட்டியது-இது ஒரு குறிப்பிட்ட செயல்பாடு. அது பல்கலைக்கழகங்களில் அதிகம் கற்பிக்கப்படுவதில்லை என்று மாறிவிடும்; அவர்கள் அதை வலியுறுத்துவதில்லை. ஆனால் அந்த முறையை எவ்வாறு பயன்படுத்துவது என்பதை நான் கண்டுபிடித்தேன், அந்த ஒரு மோசமான கருவியை மீண்டும் மீண்டும் பயன்படுத்தினேன். எனவே அந்த புத்தகத்தைப் பயன்படுத்தி நான் சுயமாக கற்பிக்கப்பட்டதால், ஒருங்கிணைப்புகளைச் செய்வதற்கான விசித்திரமான முறைகள் என்னிடம் இருந்தன. இதன் விளைவாக, எம்ஐடி அல்லது பிரின்ஸ்டனில் உள்ள தோழர்களுக்கு ஒரு குறிப்பிட்ட ஒருங்கிணைப்பைச் செய்வதில் சிக்கல் ஏற்பட்டபோது, அவர்கள் பள்ளியில் கற்றுக்கொண்ட நிலையான முறைகளால் அதைச் செய்ய முடியவில்லை. இது விளிம்பு ஒருங்கிணைப்பாக இருந்தால், அவர்கள் அதைக் கண்டுபிடித்திருப்பார்கள்; இது ஒரு எளிய தொடர் விரிவாக்கமாக இருந்தால், அவர்கள் அதைக் கண்டுபிடித்திருப்பார்கள். பின்னர் நான் வந்து ஒருங்கிணைந்த அடையாளத்தின் கீழ் வேறுபடுத்த முயற்சிக்கிறேன், அது பெரும்பாலும் வேலை செய்தது. எனவே ஒருங்கிணைப்புகளைச் செய்வதில் எனக்கு ஒரு பெரிய நற்பெயர் கிடைத்தது, ஏனென்றால் எனது கருவிகளின் பெட்டி மற்றவர்களிடமிருந்து வேறுபட்டது, மேலும் அவர்கள் எனக்கு சிக்கலைக் கொடுப்பதற்கு முன்பு தங்கள் கருவிகள் அனைத்தையும் அதில் முயற்சித்தார்கள். சங்கிலி விதி ஒருங்கிணைந்த லீப்னிஸ் விதியின் வேறுபாடு (பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட தயாரிப்பு விதி) ரெனால்ட்ஸ் போக்குவரத்து தேற்றம், லீப்னிஸ் விதி குறிப்புகளின் பொதுமைப்படுத்தல் மேலும் வாசிப்பு வெளிப்புற இணைப்புகள் காட்ஃபிரைட் வில்ஹெல்ம் லீப்னிஸ் பல்வகையான கால்குலஸ் ஒருங்கிணைந்த கால்குலஸ் வேறுபட்ட கால்குலஸ் சான்றுகளைக் கொண்ட கட்டுரைகள்