Field equation
கோட்பாட்டு இயற்பியல் மற்றும் பயன்பாட்டு கணிதத்தில், புல சமன்பாடு என்பது ஒரு பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடாகும், இது ஒரு இயற்பியல் புலத்தின் இயக்கவியலை தீர்மானிக்கிறது, குறிப்பாக புலத்தின் நேர பரிணாமம் மற்றும் இடஞ்சார்ந்த விநியோகம். சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகள் நேரம் மற்றும் இடத்தின் செயல்பாடுகளாக புலத்துடன் நேரடியாக ஒத்திருக்கும் கணித செயல்பாடுகள் ஆகும். புல சமன்பாடு ஒரு பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடு என்பதால், பல்வேறு இயற்பியல் சாத்தியக்கூறுகளைக் குறிக்கும் தீர்வுகளின் குடும்பங்கள் உள்ளன. வழக்கமாக, ஒரே ஒரு சமன்பாடு மட்டுமல்ல, ஒரே நேரத்தில் தீர்க்கப்பட வேண்டிய இணைக்கப்பட்ட சமன்பாடுகளின் தொகுப்பும் உள்ளது. புல சமன்பாடுகள் சாதாரண வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் அல்ல, ஏனெனில் ஒரு புலம் இடம் மற்றும் நேரத்தைப் பொறுத்தது, இதற்கு குறைந்தது இரண்டு மாறிகள் தேவைப்படுகின்றன. "அலை சமன்பாடு", "பரவல் சமன்பாடு" மற்றும் "தொடர்ச்சியான சமன்பாடு" அனைத்தும் நிலையான வடிவங்களைக் கொண்டுள்ளன (மேலும் பல்வேறு சிறப்பு நிகழ்வுகள் அல்லது பொதுமைப்படுத்தல்கள்), "புல சமன்பாடு" என்று குறிப்பிடப்படும் ஒற்றை, சிறப்பு சமன்பாடு எதுவும் இல்லை. தலைப்பு பரவலாக கிளாசிக்கல் ஃபீல்ட் கோட்பாடு மற்றும் குவாண்டம் ஃபீல்ட் கோட்பாட்டின் சமன்பாடுகளாக பிரிக்கப்படுகிறது. பாரம்பரிய புலச் சமன்பாடுகள் ஒரு பொருளின் வெப்பநிலை, ஒரு திரவத்தின் திசைவேகம், ஒரு நெகிழ்வான பொருளின் அழுத்தங்கள், மின்னோட்டத்திலிருந்து வரும் மின்சார மற்றும் காந்தப்புலங்கள் போன்ற பல இயற்பியல் பண்புகளை விவரிக்கின்றன. மின்காந்தவியல் மற்றும் ஈர்ப்பு விசை போன்ற இயற்கையின் அடிப்படை சக்திகளையும் அவை விவரிக்கின்றன. குவாண்டம் புலக் கோட்பாட்டில், எலக்ட்ரான்கள் மற்றும் ஃபோட்டான்கள் போன்ற "துகள்களின்" துகள்கள் அல்லது அமைப்புகள் புலங்களுடன் தொடர்புடையவை, இது எல்லையற்ற டிகிரி ஆஃப் ஃப்ரீடம் (துகள் இயக்கவியலில் வரையறுக்கப்பட்ட டிகிரி ஆஃப் ஃப்ரீடம் போலல்லாமல்) மற்றும் மாறி துகள் எண்களை உருவாக்க அல்லது அழிக்க அனுமதிக்கிறது. பொதுவாக, புலச் சமன்பாடுகள் அனுமானிக்கப்படுகின்றன (ஐன்ஸ்டீன் புலச் சமன்பாடுகள் மற்றும் அனைத்து குவாண்டம் புலச் சமன்பாடுகளுக்கும் அடிப்படையாக இருக்கும் ஷ்ரோடிங்கர் சமன்பாடு போன்றவை) அல்லது சோதனைகளின் முடிவுகளிலிருந்து பெறப்படுகின்றன (மேக்ஸ்வெல்லின் சமன்பாடுகள் போன்றவை). அவற்றின் செல்லுபடியின் அளவு என்பது சோதனை முடிவுகளுடன் சரியாக கணிக்கவும் உடன்படவும் அவர்களின் திறன் ஆகும். ஒரு கோட்பாட்டு கண்ணோட்டத்தில், புல சமன்பாடுகளை லக்ராஞ்சியன் புலக் கோட்பாடு, ஹாமில்டோனியன் புலக் கோட்பாடு மற்றும் நிலையான செயல்பாட்டுக் கொள்கையின் புல கோட்பாட்டு சூத்திரங்கள் ஆகியவற்றின் கட்டமைப்புகளில் வடிவமைக்க முடியும். பொருத்தமான லாக்ராஞ்சியன் அல்லது ஹாமில்டோனியன் அடர்த்தி, கொடுக்கப்பட்ட அமைப்பில் உள்ள புலங்களின் செயல்பாடு மற்றும் அவற்றின் வழித்தோன்றல்கள் ஆகியவற்றைப் பொறுத்தவரை, நிலையான செயல்பாட்டின் கொள்கை புல சமன்பாட்டைப் பெறும். சமச்சீர் கிளாசிக்கல் மற்றும் குவாண்டம் கோட்பாடுகள் இரண்டிலும், புல சமன்பாடுகள் பின்னணி இயற்பியல் கோட்பாட்டின் சமச்சீர்மையை திருப்திப்படுத்தும். பெரும்பாலான நேரங்களில் கலிலிய சமச்சீர் போதும், வேகத்திற்கு (பரவும் புலங்களின்) ஒளியை விட மிகக் குறைவு. துகள்கள் மற்றும் புலங்கள் ஒளிக்கு நெருக்கமான வேகத்தில் பரவும் போது, லோரென்ட்ஸ் சமச்சீர் மிகவும் பொதுவான அமைப்புகளில் ஒன்றாகும், ஏனெனில் சமன்பாடும் அதன் தீர்வுகளும் சிறப்பு சார்பியலுடன் ஒத்துப்போகின்றன. மற்றொரு சமச்சீர் அளவீட்டு சுதந்திரத்திலிருந்து எழுகிறது, இது புல சமன்பாடுகளுக்கு உள்ளார்ந்ததாகும். இடைவினைகளுக்கு ஒத்த புலங்கள் கேஜ் புலங்களாக இருக்கலாம், அதாவது அவை ஒரு ஆற்றலிலிருந்து பெறப்படலாம், மேலும் ஆற்றலின் சில மதிப்புகள் புலத்தின் அதே மதிப்புடன் ஒத்திருக்கின்றன. வகைப்படுத்தல் களச் சமன்பாடுகளை பல வழிகளில் வகைப்படுத்தலாம்ஃ கிளாசிக்கல் அல்லது குவாண்டம், சார்பற்ற அல்லது சார்பியல், புலத்தின் சுழற்சி அல்லது நிறை மற்றும் புலத்தில் உள்ள கூறுகளின் எண்ணிக்கை மற்றும் ஒருங்கிணைப்பு மாற்றங்களின் கீழ் அவை எவ்வாறு மாறுகின்றன (எ. கா. அளவிடக்கூடிய புலங்கள், திசையன் புலங்கள், இழுவிசை புலங்கள், சுழல் புலங்கள், சுழல் புலங்கள் போன்றவை). அவை வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் வகைப்பாட்டை, நேரியல் அல்லது நேரியல் அல்லாதவை, மிக உயர்ந்த வழித்தோன்றலின் வரிசை அல்லது பின்ன வேறுபட்ட சமன்பாடுகளாக கூட பெறலாம். கேஜ் புலங்கள் குழு கோட்பாட்டில், அபெலியன் அல்லது நோன்பெலியன் என வகைப்படுத்தப்படலாம். அலை புல சமன்பாடுகள் அலை சமன்பாடுகளுக்கு அடித்தளமாக உள்ளன, ஏனெனில் அவ்வப்போது மாறிவரும் புலங்கள் அலைகளை உருவாக்குகின்றன. அலைச் சமன்பாடுகளை புலச் சமன்பாடுகளாகக் கருதலாம், அதாவது அவை பெரும்பாலும் புலச் சமன்பாடுகளிலிருந்து பெறப்படலாம். மாற்றாக, பொருத்தமான லாக்ராஞ்சியன் அல்லது ஹாமில்டோனியன் அடர்த்திகள் மற்றும் நிலையான செயல்பாட்டின் கொள்கையைப் பயன்படுத்தி, அலை சமன்பாடுகளையும் பெறலாம். எடுத்துக்காட்டாக, மேக்ஸ்வெல்லின் சமன்பாடுகள் சமச்சீரற்ற மின்காந்த அலை சமன்பாடுகளைப் பெற பயன்படுத்தப்படலாம், மேலும் ஐன்ஸ்டீன் புலம் சமன்பாடுகளிலிருந்து ஈர்ப்பு அலைகளின் சமன்பாடுகளைப் பெறலாம். புலச் சமன்பாடுகளுக்கான துணைச் சமன்பாடுகள் புலங்கள் சம்பந்தப்பட்டிருந்தாலும், இயற்பியலில் உள்ள ஒவ்வொரு பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடும் (PDE) தானாகவே "புலச் சமன்பாடு" என்று அழைக்கப்படுவதில்லை. கொடுக்கப்பட்ட இயற்பியல் அமைப்புக்கு கூடுதல் கட்டுப்பாடுகளை வழங்குவதற்கான கூடுதல் சமன்பாடுகள் அவை. "தொடர்ச்சியான சமன்பாடுகள்" மற்றும் "பரவல் சமன்பாடுகள்" போக்குவரத்து நிகழ்வுகளை விவரிக்கின்றன, இருப்பினும் அவை போக்குவரத்து செயல்முறைகளை பாதிக்கும் புலங்களை உள்ளடக்கியிருக்கலாம். ஒரு "அமைப்பு சமன்பாடு" ஒரு PDE இன் வடிவத்தை எடுத்து புலங்களை உள்ளடக்கியிருந்தால், அது பொதுவாக ஒரு புல சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுவதில்லை, ஏனெனில் இது புலங்களின் இயக்கவியல் நடத்தையை நிர்வகிக்காது. அவை கொடுக்கப்பட்ட பொருளில் ஒரு புலத்தை மற்றொன்றுடன் தொடர்புபடுத்துகின்றன. பொருளின் விளைவுகளை கணக்கில் எடுத்துக் கொள்ள வேண்டியிருக்கும் போது புலச் சமன்பாடுகளுடன் அரசியலமைப்புச் சமன்பாடுகளும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. கிளாசிக்கல் புல சமன்பாடு கிளாசிக்கல் புல சமன்பாடுகள் தொடர்ச்சியான இயக்கவியல் (எலாஸ்டோடையனமிக்ஸ் மற்றும் திரவ இயக்கவியல் உட்பட), வெப்ப பரிமாற்றம், மின்காந்தவியல் மற்றும் ஈர்ப்பு ஆகியவற்றில் எழுகின்றன. அடிப்படை பாரம்பரிய புலச் சமன்பாடுகளில் நியூட்டனின் சார்பற்ற ஈர்ப்பு விசைக்கான உலகளாவிய ஈர்ப்பு விதி அடங்கும். சார்பியல் ஈர்ப்பு விசைக்கான ஐன்ஸ்டீன் புல சமன்பாடுகள் மின்காந்தத்திற்கான மேக்ஸ்வெல்லின் சமன்பாடுகள். அடிப்படை விதிகளிலிருந்து பெறப்பட்ட முக்கியமான சமன்பாடுகள் பின்வருமாறுஃ திரவ ஓட்டத்திற்கான நேவியர்-ஸ்டோக்ஸ் சமன்பாடுகள். நிஜ வாழ்க்கை கணித மாடலிங் செயல்முறைகளின் ஒரு பகுதியாக, பாரம்பரிய புல சமன்பாடுகள் இயக்கத்தின் பிற சமன்பாடுகள், நிலை சமன்பாடுகள், அமைப்பு சமன்பாடுகள் மற்றும் தொடர்ச்சியான சமன்பாடுகளுடன் சேர்ந்து வருகின்றன. குவாண்டம் புலக் கோட்பாட்டில், துகள்கள் ஷ்ரோடிங்கர் சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்தும் குவாண்டம் புலங்களால் விவரிக்கப்படுகின்றன. அவை உருவாக்கம் மற்றும் அனிஹிலேஷன் ஆபரேட்டர்கள் ஆகும், அவை பரிமாற்ற உறவுகளை திருப்திப்படுத்துகின்றன மற்றும் சுழல்-புள்ளிவிவரக் கோட்பாட்டிற்கு உட்பட்டவை. சார்பியல் குவாண்டம் புலம் சமன்பாடுகளின் குறிப்பிட்ட நிகழ்வுகளில் சுழல்-0 துகள்களுக்கான க்ளீன்-கார்டன் சமன்பாடு, சுழல்-1/2 துகள்களுக்கான டிராக் சமன்பாடு, எந்த சுழல் துகள்களுக்கான பார்க்மேன்-விக்னர் சமன்பாடுகள் ஆகியவை அடங்கும். குவாண்டம் புலம் சமன்பாடுகளில், துகள்களின் இருப்பிடத்தின் நிலை ஆயத்தொகுப்புகளுக்கு பதிலாக துகள்களின் வேகக் கூறுகளைப் பயன்படுத்துவது பொதுவானது, புலங்கள் வேக இடத்தில் உள்ளன மற்றும் ஃபோரியர் உருமாற்றங்கள் அவற்றை நிலை பிரதிநிதித்துவத்துடன் தொடர்புபடுத்துகின்றன. மேலும் காண்க புல வலிமை அலை செயல்பாடு அடிப்படை தொடர்பு புலம் இணைப்பு புலம் துண்டித்தல் இணைப்பு அளவுரு வெற்றிட தீர்வு குறிப்புகள் பொது பாரம்பரிய புலம் கோட்பாடு குவாண்டம் புலம் கோட்பாடு பாரம்பரிய மற்றும் குவாண்டம் புலம் கோட்பாடு வெளிப்புற இணைப்புகள் கோட்பாட்டு இயற்பியல் கணித இயற்பியல் பயன்பாட்டு கணிதம் பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகள் பாரம்பரிய புலம் கோட்பாடு குவாண்டம் புலம் கோட்பாடு