Gas in a harmonic trap
குவாண்டம் ஹார்மோனிக் ஆஸிலேட்டரின் முடிவுகள் ஒரு ஹார்மோனிக் பொறியில் ஒரு குவாண்டம் இலட்சிய வாயுவின் சமநிலை நிலைமையைப் பார்க்கப் பயன்படுத்தப்படலாம், இது உடனடி வெப்பமயமாக்கல் மோதல்களைத் தவிர ஒருவருக்கொருவர் தொடர்பு கொள்ளாத ஏராளமான துகள்களைக் கொண்ட ஒரு ஹார்மோனிக் ஆற்றலாகும். போஸ் வாயுக்கள் பற்றிய பல சோதனை ஆய்வுகள் இத்தகைய ஹார்மோனிக் பொறிகளில் நடத்தப்படுவதால் இந்த நிலைமை மிகவும் நடைமுறை முக்கியத்துவம் வாய்ந்தது. மேக்ஸ்வெல்-போல்ட்ஸ்மேன் புள்ளிவிவரங்கள், போஸ்-ஐன்ஸ்டீன் புள்ளிவிவரங்கள் அல்லது ஃபெர்மி-டைராக் புள்ளிவிவரங்களின் முடிவுகளைப் பயன்படுத்தி தாமஸ்-ஃபெர்மி தோராயத்தைப் (ஒரு பெட்டியில் உள்ள வாயு) பயன்படுத்தி மிகப் பெரிய பொறியின் வரம்பிற்குச் சென்று, ஆற்றல் நிலைகளின் சீரழிவை () ஒரு வேறுபாடாகவும், நிலைகளின் மீது உள்ள கூட்டுத்தொகைகளை ஒருங்கிணைப்புகளாகவும் வெளிப்படுத்துகிறோம். பகிர்வு செயல்பாடு அல்லது பெரிய பகிர்வு செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தி வாயுவின் வெப்ப இயக்கவியல் பண்புகளைக் கணக்கிடும் நிலையில் இருப்போம். ஒரு பெட்டியில் உள்ள சிறந்த வாயுவின் விஷயத்தில் செய்யப்பட்டதைப் போலவே, வெகுஜனமற்ற துகள்களுக்கும் முடிவுகளை நீட்டிக்க முடியும் என்றாலும், பெரிய துகள்களின் விஷயத்தில் மட்டுமே பரிசீலிக்கப்படும். மேலும் முழுமையான கணக்கீடுகள் தனித்தனி கட்டுரைகளுக்கு விடப்படும், ஆனால் சில எளிய எடுத்துக்காட்டுகள் இந்த கட்டுரையில் வழங்கப்படும். தாமஸ்-ஃபெர்மி நிலைகளின் சீரழிவுக்கான தோராயமான மதிப்பீடு ஒரு ஹார்மோனிக் கிணற்றில் உள்ள பெரிய துகள்களுக்கு, துகள்களின் நிலைகள் குவாண்டம் எண்களின் தொகுப்பால் கணக்கிடப்படுகின்றன. ஒரு குறிப்பிட்ட நிலையின் ஆற்றல் பின்வருமாறு வழங்கப்படுகிறதுஃ குவாண்டம் எண்களின் ஒவ்வொரு தொகுப்பும் மோதல் மூலம் மாற்றக்கூடிய துகள் சுதந்திரத்தின் உள் டிகிரிகளின் எண்ணிக்கை எங்கே என்பதைக் குறிப்பிடுகின்றன என்று வைத்துக்கொள்வோம். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு சுழல்-1/2 துகள், ஒவ்வொரு சுழல் நிலைக்கு ஒன்று இருக்கும். ஒரு துகள்களின் சாத்தியமான ஒவ்வொரு நிலையையும் நேர்மறை முழு எண்களின் முப்பரிமாண கட்டத்தில் ஒரு புள்ளியாக நாம் நினைக்கலாம். தாமஸ்-ஃபெர்மி தோராயமானது குவாண்டம் எண்கள் மிகவும் பெரியவை என்று கருதுகிறது, அவை ஒரு தொடர்ச்சியாக கருதப்படலாம். பெரிய மதிப்புகளுக்கு, மேலே உள்ள சமன்பாட்டிலிருந்து குறைவான அல்லது சமமான ஆற்றலைக் கொண்ட நிலைகளின் எண்ணிக்கையை நாம் மதிப்பிடலாம்ஃ இது ஆற்றல் சமன்பாடு மற்றும் நேர்மறை ஆக்டான்ட்டின் எல்லை தளங்களால் விவரிக்கப்பட்ட தளத்தால் உருவாக்கப்பட்ட டெட்ராஹெட்ரானின் அளவை விட இரண்டு மடங்கு ஆகும். எனவே மற்றும் இடையே உள்ள ஆற்றலைக் கொண்ட நிலைகளின் எண்ணிக்கை பின்வருமாறுஃ இந்த தொடர்ச்சியான தோராயத்தைப் பயன்படுத்துவதில், குறைந்த ஆற்றல் நிலைகளை வகைப்படுத்தும் திறனை நாம் இழந்துவிட்டோம் என்பதைக் கவனியுங்கள், இதில் தரை நிலை உட்பட. பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில் இது ஒரு பிரச்சனையாக இருக்காது, ஆனால் போஸ்-ஐன்ஸ்டீன் ஒடுக்கத்தை கருத்தில் கொள்ளும்போது, இதில் வாயுவின் பெரும்பகுதி தரை நிலையில் அல்லது அதற்கு அருகில் உள்ளது, குறைந்த ஆற்றல் நிலைகளை கையாளும் திறனை நாம் மீட்டெடுக்க வேண்டும். தொடர்ச்சியான தோராயத்தைப் பயன்படுத்தாமல், ஆற்றல் கொண்ட துகள்களின் எண்ணிக்கை பின்வருமாறு கொடுக்கப்படுகிறதுஃ அங்கு ஃபெர்மி-டிராக் புள்ளிவிவரங்களுக்குக் கீழ்ப்படும் துகள்களுக்கு ஃபெர்மி-டைராக் புள்ளிவிவரங்களுக்குக் கீழ்ப்படும் துகள்களுக்கு மேக்ஸ்வெல்-போல்ட்ஸ்மேன் புள்ளிவிவரங்களுக்குக் கீழ்ப்படும் துகள்களுக்கு | |-| |, ஃபோல்ட்ஸ்மேன் மாறிலி, வெப்பநிலை மற்றும் வேதியியல் ஆற்றலாக இருப்பது. தொடர்ச்சியான தோராயத்தைப் பயன்படுத்தி, மற்றும் இடையே உள்ள ஆற்றலைக் கொண்ட துகள்களின் எண்ணிக்கை இப்போது எழுதப்பட்டுள்ளதுஃ ஆற்றல் விநியோக செயல்பாடு நாம் இப்போது "ஹார்மோனிக் பொறியில் உள்ள வாயு" க்கான சில விநியோக செயல்பாடுகளைத் தீர்மானிக்கும் நிலையில் இருக்கிறோம். எந்தவொரு மாறியின் விநியோகச் செயல்பாடும் மற்றும் இடையேயான மதிப்புகளைக் கொண்ட துகள்களின் பின்னத்திற்கு சமமாக இருக்கும்ஃ இது பின்வருமாறுஃ இந்த உறவுகளைப் பயன்படுத்தி நாம் ஆற்றல் விநியோகச் செயல்பாட்டைப் பெறுகிறோம்ஃ குறிப்பிட்ட எடுத்துக்காட்டுகள் பின்வரும் பிரிவுகள் சில குறிப்பிட்ட நிகழ்வுகளுக்கான முடிவுகளுக்கு ஒரு உதாரணத்தைக் கொடுக்கின்றன. மாபெரும் மேக்ஸ்வெல்-போல்ட்ஸ்மேன் துகள்கள் இந்த விஷயத்தில்ஃ ஆற்றல் விநியோகச் செயல்பாட்டை ஒருங்கிணைத்தல் மற்றும் கொடுக்கப்பட வேண்டியவற்றைத் தீர்ப்பதுஃ அசல் ஆற்றல் விநியோகச் செயல்பாட்டிற்குள் மாற்றுவதுஃ மாபெரும் போஸ்-ஐன்ஸ்டீன் துகள்கள் இந்த விஷயத்தில்ஃ எங்கே வரையறுக்கப்படுகிறதுஃ ஆற்றல் விநியோகச் செயல்பாட்டை ஒருங்கிணைத்தல் மற்றும் கொடுக்கப்படுவதைத் தீர்ப்பதுஃ பல்லுறுப்புக்கோவைச் செயல்பாடு எங்கே. பல்லுறுப்புக்கோவை சொல் எப்போதும் நேர்மறை மற்றும் உண்மையானதாக இருக்க வேண்டும், அதாவது அதன் மதிப்பு 0 முதல் 1 வரை செல்லும். வெப்பநிலை பூஜ்ஜியத்திற்குச் செல்லும்போது, பெரியதாகவும் பெரியதாகவும் மாறும், இறுதியாக ஒரு முக்கியமான மதிப்பை அடையும் வரை, அங்கு மற்றும் வெப்பநிலையில் ஒரு போஸ்-ஐன்ஸ்டீன் ஒடுக்கம் உருவாகத் தொடங்கும் முக்கியமான வெப்பநிலை. பிரச்சனை என்னவென்றால், மேலே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, தொடர்ச்சியான தோராயத்தில் தரை நிலை புறக்கணிக்கப்பட்டுள்ளது. மேலே உள்ள வெளிப்பாடு உற்சாகமான நிலைகளில் உள்ள போசான்களின் எண்ணிக்கையை நன்கு வெளிப்படுத்துகிறது, எனவே நாம் எழுதலாம்ஃ இங்கு சேர்க்கப்பட்ட சொல் தரை நிலையில் உள்ள துகள்களின் எண்ணிக்கை. (தரை நிலை ஆற்றல் புறக்கணிக்கப்பட்டுள்ளது.) இந்த சமன்பாடு பூஜ்ஜிய வெப்பநிலை வரை இருக்கும். சிறந்த போஸ் வாயு பற்றிய கட்டுரையில் மேலும் முடிவுகளைக் காணலாம். மிகப்பெரிய ஃபெர்மி-டைராக் துகள்கள் (எ. கா. ஒரு உலோகத்தில் எலக்ட்ரான்கள்) இந்த விஷயத்தில்ஃ ஆற்றல் விநியோகச் செயல்பாட்டை ஒருங்கிணைப்பது பின்வருவனவற்றை வழங்குகிறதுஃ இங்கு மீண்டும், பல்லுறுப்புக்கோவைச் செயல்பாடு ஆகும். சிறந்த ஃபெர்மி வாயு பற்றிய கட்டுரையில் மேலும் முடிவுகளைக் காணலாம். குறிப்புகள் ஹுவாங், கெர்சன், "புள்ளியியல் மெக்கானிக்ஸ்", ஜான் வில்லி அண்ட் சன்ஸ், நியூயார்க், 1967 ஏ. இசிஹாரா, "புள்ளியியல் இயற்பியல்", அகாடமிக் பிரஸ், நியூயார்க், 1971 எல். டி. லாண்டாவ் மற்றும் ஈ. எம். லிஃப்ஷிட்ஸ், புள்ளியியல் இயற்பியல், 3 வது பதிப்பு பகுதி 1, பட்டர்வொர்த்-ஹெய்ன்மேன், ஆக்ஸ்போர்டு, 1996 சி. ஜே. பெத்திக் மற்றும் எச். ஸ்மித், தளர்வான வாயுக்களில் போஸ்-ஐன்ஸ்டீன் ஒடுக்கம், கேம்பிரிட்ஜ் பல்கலைக்கழக பிரஸ், கேம்பிரிட்ஜ், 2004 புள்ளியியல் இயக்கவியல்