Engel's theorem
பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாட்டில், கணிதத்தின் ஒரு கிளை, எங்கெலின் தேற்றம் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண லை இயற்கணிதம் ஒரு நில்போட்டன்ட் லை இயற்கணிதம் என்று கூறுகிறது, ஒவ்வொன்றிற்கும், கொடுக்கப்பட்ட அருகிலுள்ள வரைபடம், ஒரு நில்போட்டன்ட் எண்டோமார்பிசமாக இருந்தால் மட்டுமே; அதாவது, சில k க்கு. இது தேற்றத்தின் விளைவாகும், இது எங்கெலின் தேற்றம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது, இது மேட்ரிக்ஸின் லை இயற்கணிதம் நில்போட்டன்ட் மேட்ரிக்ஸ்களைக் கொண்டிருந்தால், பின்னர் மேட்ரிக்ஸ்கள் அனைத்தையும் ஒரே நேரத்தில் கண்டிப்பாக மேல் முக்கோண வடிவத்திற்கு கொண்டு வர முடியும் என்று கூறுகிறது. நம்மிடம் வெறுமனே மேட்ரிக்ஸின் லை இயற்கணிதம் இருந்தால், அது ஒரு லை இயற்கணிதமாக நில்போட்டன்ட் ஆகும், பின்னர் இந்த முடிவு பின்பற்றப்படாது (அதாவது. லையின் "தீர்க்கக்கூடிய" தேற்றத்தில் "நில்போட்டன்ட்" மற்றும் "மேல் முக்கோண முக்கோணத்துடன்" "கண்டிப்பாக மேல் முக்கோண முக்கோணத்துடன்" மாற்றுவது தவறானது; இது ஏற்கனவே அளவிடக்கூடிய மேட்ரிக்ஸின் ஒரு பரிமாண லை துணை இயற்கணிதத்திற்கு தோல்வியடைகிறது). 20 ஜூலை 1890 தேதியிட்ட வில்ஹெல்ம் கில்லிங்கிற்கு எழுதிய கடிதத்தில் அதற்கு ஒரு ஆதாரத்தை வரைந்த கணிதவியலாளர் ஃப்ரெட்ரிக் ஏங்கலின் பெயரால் இந்த தேற்றம் பெயரிடப்பட்டுள்ளது. எங்கலின் மாணவர் கே. ஏ. உமலாஃப் தனது 1891 ஆய்வறிக்கையில் ஒரு முழுமையான ஆதாரத்தை வழங்கினார், இது என மறுபதிப்பு செய்யப்பட்டது. அறிக்கைகள் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண திசையன் இடைவெளி V மற்றும் ஒரு துணை இயற்கணிதத்தின் எண்டோமார்பிசங்களின் லை இயற்கணிதமாக இருக்கட்டும். பின்னர் ஏங்கலின் தேற்றம் பின்வருவன சமமானவை என்று கூறுகிறதுஃ ஒவ்வொன்றும் V இல் ஒரு நில்போட்டன்ட் எண்டோமார்பிசம் ஆகும், அதாவது ஒரு கொடி உள்ளது; அதாவது, கூறுகள் ஒரே நேரத்தில் கண்டிப்பாக மேல்-முக்கோணமாக்கக்கூடியவை. அடிப்படை புலத்தில் எந்த அனுமானமும் தேவையில்லை என்பதை நினைவில் கொள்க. ஒவ்வொரு பூஜ்ஜியமற்ற வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண திசையன் இடைவெளி V மற்றும் ஒரு துணை இயற்கணிதத்திற்கும், V இல் பூஜ்ஜியமற்ற திசையன் v உள்ளது, அதாவது ஒவ்வொருவருக்கும் இது #Proof இல் நிரூபிக்கப்பட்ட தேற்றத்தின் வடிவமாகும். (இந்த அறிக்கை அற்பமாக அறிக்கை 2 க்கு சமமானது, ஏனெனில் இது தேவையான பண்புகளுடன் ஒரு கொடியை தூண்டுவதற்கு அனுமதிக்கிறது.) பொதுவாக, ஒரு லை அல்ஜிப்ரா அதன் கீழ் மையத் தொடர் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட படியில் மறைந்துவிட்டால் நில்போட்டன்ட் என்று கூறப்படுகிறது; அதாவது, = (i + 1)-th சக்திக்கு, சில k உள்ளது. பின்னர் ஏங்கலின் தேற்றம் பின்வரும் தேற்றத்தைக் குறிக்கிறது (ஏங்கலின் தேற்றம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது): வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாணத்தைக் கொண்டிருக்கும்போது, ஒவ்வொன்றிற்கும் நில்போட்டன்ட் இருந்தால் மட்டுமே நில்போட்டன்ட் ஆகும். உண்மையில், நில்போட்டன்ட் ஆபரேட்டர்கள் இருந்தால், 1 ஆல். 2. இயற்கணிதத்திற்கு பயன்படுத்தப்படும், அத்தகைய ஒரு கொடி உள்ளது. ஏனெனில், இது நில்போட்டன்ட் என்பதைக் குறிக்கிறது. (இதற்கு நேர்மாறாக வரையறையிலிருந்து நேராகப் பின்பற்றப்படுகிறது.) ஆதாரம் இந்த தேற்றத்தின் பின்வரும் வடிவத்தை நாம் நிரூபிக்கிறோம்ஃ ஒவ்வொன்றும் நில்போட்டன்ட் எண்டோமார்பிசம் கொண்ட ஒரு லை துணை இயற்கணிதமாக இருந்தால், V க்கு நேர்மறை பரிமாணம் இருந்தால், V இல் பூஜ்ஜியமற்ற திசையன் v உள்ளது, அதாவது ஒவ்வொரு X க்கும். ஆதாரம் பரிமாணத்தின் மீது தூண்டல் மூலம் மற்றும் ஒரு சில படிகளைக் கொண்டுள்ளது. (ஆதாரத்தின் கட்டமைப்பு ஒரு தீர்க்கக்கூடிய இயற்கணிதத்தைப் பற்றிய லையின் தேற்றத்தைப் போலவே உள்ளது என்பதைக் கவனியுங்கள்.) அடிப்படை வழக்கு அற்பமானது மற்றும் அதன் பரிமாணம் நேர்மறை என்று நாம் கருதுகிறோம். படி 1: கோடிமென்ஷன் ஒன்றின் இலட்சியத்தைக் கண்டறியவும். இது மிகவும் கடினமான படியாகும். ஒரு அதிகபட்ச (சரியான) துணை இயற்கணிதமாக இருக்கட்டும், இது வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாணத்தால் உள்ளது. இது கோடிமென்ஷன் ஒன்றின் இலட்சியம் என்று நாங்கள் கூறுகிறோம். ஒவ்வொன்றிற்கும், (1) ஒரு நேரியல் எண்டோமார்பிசத்தைத் தூண்டுகிறது மற்றும் (2) இந்த தூண்டப்பட்ட வரைபடம் நில்போட்டன்ட் என்பதைச் சரிபார்க்க எளிதானது (உண்மையில், நில்போட்டன்ட் போலவே நில்போட்டன்ட் ஆகும்; ஜோர்டான்-செவல்லி decomposition#Lie ஆல்ஜிப்ராக்களைப் பார்க்கவும்). எனவே, இதன் மூலம் உருவாக்கப்பட்ட லை துணை இயற்கணிதத்திற்கு பயன்படுத்தப்படும் தூண்டல் கருதுகோள் மூலம், ஒவ்வொன்றிற்கும் பூஜ்ஜியமற்ற திசையன் v உள்ளது. அதாவது, சில Y க்கு ஆனால் உள்ளே இல்லை என்றால், ஒவ்வொருவருக்கும். ஆனால் பின்னர் Y ஆல் பரவியிருக்கும் சப்ஸ்பேஸ் ஒரு லை சப்ஆல்ஜிப்ரா ஆகும், இதில் கோடிமென்ஷன் ஒன்றின் ஐடியல் ஆகும். எனவே, அதிகபட்சம் மூலம்,. இது இந்தக் கூற்றை நிரூபிக்கிறது. படி 2: விடுங்கள். பின்னர் W ஐ நிலைப்படுத்துகிறது; அதாவது, ஒவ்வொன்றிற்கும். உண்மையில், உள்ளேயும் உள்ளேயும், நம்மிடம் உள்ளதுஃ ஏனெனில் ஒரு இலட்சியம் மற்றும் எனவே. இவ்வாறு, டபிள்யூ. படி 3 இல் உள்ளதுஃ பூஜ்ஜியமற்ற திசையனைக் கண்டுபிடிப்பதன் மூலம் ஆதாரத்தை முடிக்கவும். L என்பது ஒரு பரிமாண திசையன் துணைப்பகுதி என்று எழுதுங்கள். L இல் Y ஒரு பூஜ்ஜியமற்ற திசையனாகவும், W இல் v ஒரு பூஜ்ஜியமற்ற திசையனாகவும் இருக்கட்டும். இப்போது, ஒரு நில்போட்டன்ட் எண்டோமார்பிசம் (கருதுகோள் மூலம்) மற்றும் எனவே சில k க்கு. பின்னர் திசையன் படி 2 ஆல் W இல் இருப்பதால் தேவையான திசையன் ஆகும். லையின் தேற்றத்தையும் பார்க்கவும் ஹைசன்பெர்க் குழு குறிப்புகள் மேற்கோள்கள் படைப்புகள் பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாட்டில் லை ஆல்ஜிப்ராக்கள் தேற்றங்களின் பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாட்டை மேற்கோள் காட்டின