Tangent lines to circles
யூக்ளிடியன் தள வடிவவியலில், ஒரு வட்டத்திற்கு ஒரு தொடுகோட்டு கோடு என்பது வட்டத்தின் உட்புறத்திற்குள் ஒருபோதும் நுழையாமல், சரியாக ஒரு புள்ளியில் வட்டத்தைத் தொடும் ஒரு கோடு ஆகும். வட்டங்களுக்கான தொடு கோடுகள் பல கோட்பாடுகளின் பொருளை உருவாக்குகின்றன, மேலும் பல வடிவியல் கட்டமைப்புகள் மற்றும் சான்றுகளில் முக்கிய பங்கு வகிக்கின்றன. ஒரு புள்ளியில் ஒரு வட்டத்திற்கான தொடுகோட்டு கோடு அந்த புள்ளியின் ஆரத்திற்கு செங்குத்தாக இருப்பதால், தொடுகோட்டு கோடுகளை உள்ளடக்கிய கோட்பாடுகள் பெரும்பாலும் ரேடியல் கோடுகள் மற்றும் ஆர்த்தோகனல் வட்டங்களை உள்ளடக்கியது. ஒரு வட்டத்திற்கு தொடுகோட்டு கோடுகள் ஒரு வட்டத்திற்கு ஒரு தொடுகோட்டு கோடு ஒரு புள்ளியில் வட்டத்தை வெட்டுகிறது. ஒப்பிடுகையில், செகண்ட் கோடுகள் ஒரு வட்டத்தை இரண்டு புள்ளிகளில் வெட்டுகின்றன, அதேசமயம் மற்றொரு கோடு ஒரு வட்டத்தை வெட்டாது. தொடுகோட்டு கோடுகளின் இந்த பண்பு அளவீடுகள், சுழற்சி, மொழிபெயர்ப்புகள், தலைகீழ்கள் மற்றும் வரைபட கணிப்புகள் போன்ற பல வடிவியல் மாற்றங்களின் கீழ் பாதுகாக்கப்படுகிறது. தொழில்நுட்ப மொழியில், கோடு மற்றும் வட்டம் சிதைந்திருக்கலாம் என்றாலும், இந்த மாற்றங்கள் தொடுகோட்டு கோடு மற்றும் வட்டத்தின் நிகழ்வு கட்டமைப்பை மாற்றாது. ஒரு வட்டத்தின் ஆரம் வட்டத்தின் சுற்றளவில் அதன் இறுதிப் புள்ளி வழியாக தொடுகோட்டிக்கு செங்குத்தாக உள்ளது. மாறாக, அதே இறுதிப் புள்ளியின் வழியாக ஒரு ஆரத்திற்கு செங்குத்தாக ஒரு தொடுகோட்டு கோடு உள்ளது. வட்டத்தின் வடிவியல் உருவம் மற்றும் தொடுகோட்டு கோடு ஆரம் அச்சில் ஒரு பிரதிபலிப்பு சமச்சீர் உள்ளது. ஒரு வட்டத்திற்குள் உள்ள ஒரு புள்ளியின் வழியாக எந்த தொடுகோட்டையும் வரைய முடியாது, ஏனெனில் அத்தகைய கோடு ஒரு செகண்ட் கோடு இருக்க வேண்டும். இருப்பினும், வட்டத்திற்கு வெளியே உள்ள ஒரு புள்ளியில் இருந்து ஒரு வட்டத்திற்கு இரண்டு தொடுகோட்டிகள் வரையப்படலாம். ஒரு வட்டத்தின் வடிவியல் உருவம் மற்றும் இரண்டு தொடுகோட்டு கோடுகளும் இதேபோல் வட்டத்தின் மைய புள்ளியுடன் இணைக்கும் ரேடியல் அச்சைப் பற்றிய பிரதிபலிப்பு சமச்சீர்மையைக் கொண்டுள்ளன. எனவே இரண்டு தொடுகோட்டு புள்ளிகளிலிருந்து பிரிவுகளின் நீளம் சமமாக இருக்கும். செகண்ட்-டான்ஜென்ட் தேற்றத்தின் படி, இந்த டான்ஜென்ட் நீளத்தின் வர்க்கம் வட்டத்தில் உள்ள புள்ளி P இன் சக்திக்கு சமம். இந்த சக்தி வட்டத்தின் எந்த இரண்டு குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளிலிருந்தும் ஒரு செகண்ட் கோடு கடந்து செல்லும் தூரங்களின் பெருக்கலுக்கு சமம். தொடுகோட்டு கோடு மற்றும் தொடுகோட்டு புள்ளி ஒருவருக்கொருவர் ஒரு இணை உறவைக் கொண்டுள்ளன, இது துருவ புள்ளிகள் மற்றும் துருவக் கோடுகளின் யோசனையாக பொதுமைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது. வட்டத்திற்கு வெளியே உள்ள ஒரு புள்ளிக்கும் அதன் இரண்டு புள்ளிகளை இணைக்கும் செகண்ட் கோட்டுக்கும் இடையே அதே பரஸ்பர உறவு உள்ளது. ஒரு புள்ளி மையத்துடன் ஒரு வட்டத்திற்கு வெளிப்புறமாக இருந்தால், மற்றும் புள்ளிகளில் வட்டத்தைத் தொடும் தொடுகோட்டிகள் மற்றும், பின்னர் மற்றும் கூடுதல் (180 டிகிரி வரை கூட்டல்). வெளிப்புற புள்ளியின் தொடுகோட்டு புள்ளியில் இருந்து ஒரு நாணல் வரையப்பட்டால், பின்னர். கார்ட்டீசியன் சமன்பாடு கார்ட்டீசியன் ஆயத்தொகுப்புகளில் வட்டத்தின் சமன்பாடு மையத்துடன் உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் வட்டத்தின் தொடுகோட்டில் கார்ட்டீசியன் சமன்பாடு உள்ளது வட்டத்தின் மறைமுக வழித்தோன்றலை எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம் இதை நிரூபிக்க முடியும். வட்டத்திற்கு சமன்பாடு உள்ளது என்று சொல்லுங்கள், நாம் தொடுகோட்டு கோட்டின் சாய்வைக் கண்டுபிடிக்கும் இடத்தில் நாம் மறைமுகமான வழித்தோன்றலை எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம் தொடங்குகிறோம்ஃ இப்போது நம்மிடம் தொடுகோட்டு கோட்டின் சாய்வு இருப்பதால், சாய்வு மற்றும் தொடுகோட்டு புள்ளியின் ஒருங்கிணைப்பை வரி சமன்பாட்டிற்கு மாற்றலாம். திசைகாட்டி மற்றும் நேரான விளிம்பு கட்டமைப்புகள் வட்டத்தின் சுற்றளவில் ஒரு புள்ளியில் ஒரு வட்டத்திற்கு ஒரு கோடு தொடுகோடு அமைப்பது ஒப்பீட்டளவில் நேரடியானதுஃ வட்டத்தின் மையத்திலிருந்து, ரேடியல் புள்ளி வழியாக ஒரு கோடு வரையப்படுகிறது; கோடு என்பது செங்குத்தான கோடு. வட்டத்திற்கு வெளியே உள்ள ஒரு புள்ளியில் தொடுகோடுகளை உருவாக்க தாலிஸின் தேற்றம் பயன்படுத்தப்படலாம்ஃ ஒரு வட்டம் கோடு பிரிவின் நடுப்புள்ளியை மையமாகக் கொண்டு வரையப்படுகிறது, விட்டம் கொண்டது, அங்கு மீண்டும் வட்டத்தின் மையம். குறுக்குவெட்டு புள்ளிகள் மற்றும் வட்டம் மற்றும் புதிய வட்டம் ஆகியவை பின்வரும் வாதத்தின் மூலம் கடந்து செல்லும் கோடுகளுக்கான தொடுகோடு புள்ளிகளாகும். கோடு பிரிவுகள் மற்றும் வட்டத்தின் ஆரங்கள்; இரண்டும் அரை வட்டத்தில் பொறிக்கப்பட்டிருப்பதால், அவை முறையே கோடு பிரிவுகளுக்கு செங்குத்தாக உள்ளன. ஆனால் ஒரு தொடுகோட்டு கோடு மட்டுமே ரேடியல் கோட்டிற்கு செங்குத்தாக உள்ளது. எனவே, வட்டத்திலிருந்து வரும் மற்றும் கடந்து செல்லும் இரண்டு கோடுகளும் வட்டத்திற்கு தொடுகோடு கொண்டவை. வட்டத்திற்கு வெளியே ஒரு புள்ளிக்கு தொடுகோட்டைக் கட்டமைப்பதற்கான மற்றொரு முறை ஒரு நேரான விளிம்பை மட்டுமே பயன்படுத்துகிறதுஃ வட்டத்தை இரண்டு முறை வெட்டுகின்ற கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியின் வழியாக ஏதேனும் மூன்று வெவ்வேறு கோடுகளை வரையவும். ஆறு குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளாக இருக்கட்டும், அதே எழுத்து அதே கோட்டுடன் தொடர்புடையது மற்றும் குறியீடு 1 க்கு நெருக்கமான புள்ளியுடன் தொடர்புடையது. கோடுகள் மற்றும் குறுக்கிடும் புள்ளியாக இருக்கட்டும், இதேபோல் கோடுகள் மற்றும். மற்றும் வழியாக ஒரு கோட்டை வரையவும். இந்த கோடு வட்டத்தை இரண்டு புள்ளிகளில் சந்திக்கிறது, மற்றும். தொடுகோடுகள் கோடுகள் மற்றும். பகுப்பாய்வு வடிவவியலுடன் சமன்பாட்டுடன் வட்டத்தின் ஒரு புள்ளியாக இருக்கட்டும் தொடுகோடு சமன்பாட்டைக் கொண்டுள்ளது, ஏனெனில் இது இரண்டு வளைவுகளிலும் உள்ளது மற்றும் கோட்டின் இயல்பான திசையன் ஆகும். தொடுகோடு-அச்சை புள்ளியில் குறுக்கிடுகிறது இதற்கு நேர்மாறாக, இரண்டு தொடுகோடுகளை விட புள்ளியில் தொடங்கி இரண்டு புள்ளிகளில் வட்டத்தை சந்தித்தால் திசையன் வடிவத்தில் எழுதப்பட்டிருக்கும்ஃ புள்ளி-அச்சில் இல்லையென்றால்ஃ திசையன் வடிவத்தில் ஒன்று தூரத்தால் மாற்றப்படுகிறது மற்றும் அலகு அடிப்படை திசையன்கள் ஆர்த்தோகனல் அலகு திசையன்களால் மாற்றப்படுகின்றன, பின்னர் புள்ளி வழியாக தொடுகோடுகள் புள்ளிகளில் வட்டத்தைத் தொடுகின்றன. புள்ளிக்கு வட்டத்தில் உள்ளது மற்றும் சமன்பாட்டுடன் ஒரே ஒரு தொடுகோடு உள்ளது. சமன்பாடுகளுடன் 2 தொடுகோடுகள் இருந்தால் வட்ட தலைகீழ் உறவுஃ சமன்பாடு துருவ மற்றும் துருவத்துடன் புள்ளியின் வட்டத்தின் தலைகீழ் உறவை விவரிக்கிறதுஃ புள்ளியின் துருவத்திற்கு தொடுகோடு பலகோணங்கள் என்ற சமன்பாடு உள்ளது ஒரு தொடுகோடு பலகோணம் என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட வட்டத்திற்கு பக்கங்கள் ஒவ்வொன்றும் தொடுகோடு என்று அழைக்கப்படும் ஒரு பலகோணம். ஒவ்வொரு முக்கோணமும் ஒரு தொடுகோட்டு பலகோணமாகும், அதே போல் எந்த எண்ணிக்கையிலான பக்கங்களின் ஒவ்வொரு வழக்கமான பலகோணமும் உள்ளது; கூடுதலாக, ஒவ்வொரு பலகோண பக்கங்களுக்கும் எல்லையற்ற எண்ணிக்கையிலான ஒத்திசைவற்ற தொடுகோட்டு பலகோணங்கள் உள்ளன. தொடுகோடு நாற்கரக் கோட்பாடு மற்றும் பொறிக்கப்பட்ட வட்டங்கள் ஒரு தொடுகோடு நாற்கரமானது கொடுக்கப்பட்ட வட்டத்திற்கு தொடுகோடு கொண்ட நான்கு நேரான பக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு மூடிய உருவம் ஆகும். சமமாக, வட்டம் நாற்கரத்தில் பொறிக்கப்பட்டுள்ளது. பிடோட் தேற்றத்தின் படி, அத்தகைய நாற்கரத்தின் எதிர் பக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை சமம், அதாவது, நாற்கரத்தின் நான்கு செங்குத்துகளிலிருந்து தொடுகோடு பிரிவுகளின் சமத்துவத்திலிருந்து இந்த முடிவு பின்பற்றப்படுகிறது. தொடுகோட்டு புள்ளிகள் (பிரிவில்), (பிரிவில்), (பிரிவில்) மற்றும் (பிரிவில்) என குறிக்கப்பட வேண்டும். ஒவ்வொரு புள்ளியைப் பற்றிய சமச்சீர் தொடுகோட்டு பிரிவுகள் சமமாக உள்ளனஃ ஆனால் நாற்கரத்தின் ஒவ்வொரு பக்கமும் தேற்றத்தை நிரூபிக்கும் இரண்டு தொடுகோட்டு பிரிவுகளால் ஆனது. இதற்கு நேர்மாறாகவும் இது பொருந்தும்ஃ எதிர் பக்கங்களின் நீளம் ஒரே மதிப்புடன் இருக்கும் ஒவ்வொரு நாற்கரத்திலும் ஒரு வட்டத்தை பொறிக்க முடியும். இந்தக் கோட்பாடும் அதன் எதிர் கோட்பாடும் பல்வேறு பயன்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக, எந்த செவ்வகமும் ஒரு சதுரமாக இல்லாவிட்டால் பொறிக்கப்பட்ட வட்டத்தைக் கொண்டிருக்க முடியாது என்பதையும், ஒவ்வொரு ரோம்பஸுக்கும் ஒரு பொறிக்கப்பட்ட வட்டம் உள்ளது என்பதையும் அவை உடனடியாகக் காட்டுகின்றன, அதேசமயம் ஒரு பொதுவான இணையான வரைபடம் இல்லை. இரண்டு வட்டங்களுக்கு தொடு கோடுகள் இரண்டு வட்டங்களுக்கு, பொதுவாக நான்கு தனித்துவமான கோடுகள் உள்ளன, அவை இரண்டிற்கும் தொடுவானவை (பிடாஞ்சென்ட்)-இரண்டு வட்டங்களும் ஒன்றுக்கொன்று வெளியே இருந்தால்-ஆனால் சீரழிந்த சந்தர்ப்பங்களில் பூஜ்ஜியம் மற்றும் நான்கு பிடாஞ்சென்ட் கோடுகளுக்கு இடையில் எந்த எண்ணும் இருக்கலாம்; இவை கீழே குறிப்பிடப்பட்டுள்ளன. இவற்றில் இரண்டு, வெளிப்புற தொடுகோட்டு கோடுகள், வட்டங்கள் கோட்டின் ஒரே பக்கத்தில் விழுகின்றன; மற்ற இரண்டிற்கும், உள் தொடுகோட்டு கோடுகள், வட்டங்கள் கோட்டின் எதிர் பக்கங்களில் விழுகின்றன. வெளிப்புற தொடுகோட்டு கோடுகள் வெளிப்புற ஹோமோதெடிக் மையத்தில் வெட்டுகின்றன, அதே நேரத்தில் உள் தொடுகோட்டு கோடுகள் உள் ஹோமோதெடிக் மையத்தில் வெட்டுகின்றன. வெளிப்புற மற்றும் உள் ஒத்த மையங்கள் இரண்டும் மையங்களின் வரிசையில் (இரண்டு வட்டங்களின் மையங்களை இணைக்கும் கோடு), சிறிய வட்டத்தின் மையத்திற்கு அருகில் உள்ளனஃ உள் மையம் இரண்டு வட்டங்களுக்கு இடையிலான பிரிவில் உள்ளது, அதே நேரத்தில் வெளிப்புற மையம் புள்ளிகளுக்கு இடையில் இல்லை, மாறாக சிறிய வட்டத்தின் மையத்தின் பக்கத்தில் உள்ளது. இரண்டு வட்டங்களும் சமமான ஆரத்தைக் கொண்டிருந்தால், இன்னும் நான்கு பிடாஞ்சென்ட்கள் உள்ளன, ஆனால் வெளிப்புற தொடுகோட்டு கோடுகள் இணையாக உள்ளன மற்றும் அஃபைன் தளத்தில் வெளிப்புற மையம் இல்லை; ப்ரொஜெக்டிவ் பிளேனில், வெளிப்புற ஹோமோதெடிக் மையம் இந்த கோடுகளின் சாய்வுக்கு ஒத்த முடிவிலியில் உள்ளது. வெளிப்புற தொடுகோடு புள்ளிகளை இணைக்கும் சிவப்பு கோடு மற்றும் இரண்டு வட்டங்களுக்கு இடையிலான வெளிப்புற தொடுகோடு ஆகும். கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள், புள்ளிகள், கோணத்தின் உதவியுடன் எளிதில் கணக்கிடப்படலாம்ஃ இங்கே இரண்டு வட்டங்களின் ஆரங்களைக் குறிக்கவும், கோணத்தை அடிப்படை முக்கோணவியல் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம். உங்களிடம் அடன் 2 உடன் 2-வாதம் ஆர்க்டான்ஜென்ட் உள்ளது. அருகிலுள்ள மற்றும் தொலைதூர வட்டங்களின் மையங்களுக்கிடையேயான தூரம் மற்றும் இரண்டு வட்டங்களின் இரண்டு வெளிப்புற தொடுகோடுகள் முறையே சந்திக்கும் புள்ளி (ஹோமோதெடிக் மையம்) ஆகியவற்றை பின்வரும் ஒற்றுமையைப் பயன்படுத்தி கண்டறியலாம்ஃ இங்கே, அருகிலுள்ள அல்லது தொலைதூர வட்டத்தின் மையங்களிலிருந்து தூரங்களைக் கண்டறிய வேண்டியதன் அவசியத்தைப் பொறுத்து இருக்கலாம், மற்றும். இது இரண்டு வட்டங்களின் மையங்களுக்கு இடையிலான தூரமாகும். உள் தொடுகோடு என்பது இரண்டு வட்டங்களின் மையங்களை இணைக்கும் பகுதியை வெட்டுகின்ற ஒரு தொடுகோடு ஆகும். இரண்டு வட்டங்களும் ஒன்றுடன் ஒன்று இணைக்கும் சந்தர்ப்பங்களில் உள் தொடுகோடு வரையறுக்கப்படாது என்பதை நினைவில் கொள்க. கட்டுமானம் அந்த கட்டுரையில் விவரிக்கப்பட்டுள்ளபடி, ஹோமோதெடிக் மையங்களை உருவாக்குவதன் மூலமும், பின்னர் மேலே விவரிக்கப்பட்ட முறைகளில் ஒன்றின் மூலம் ஒரு வட்டத்திற்கு தொடுகோடாக இருக்கும் ஹோமோதெடிக் மையத்தின் வழியாக தொடுகோடுகளை உருவாக்குவதன் மூலமும் பிடாஞ்சென்ட் கோடுகளை உருவாக்க முடியும். இதன் விளைவாக வரும் கோடு மற்ற வட்டத்திற்கும் தொடுகோடாக இருக்கும். மாற்றாக, தொடுகோட்டு கோடுகள் மற்றும் தொடுகோட்டு புள்ளிகளை கீழே விவரிக்கப்பட்டுள்ளபடி இன்னும் நேரடியாக கட்டமைக்க முடியும். சீரழிந்த சந்தர்ப்பங்களில் இந்த கட்டுமானங்கள் உடைகின்றன என்பதை நினைவில் கொள்க; விளக்கத்தை எளிதாக்க இது இந்த பிரிவில் விவாதிக்கப்படவில்லை, ஆனால் கட்டுமானத்தின் ஒரு வடிவம் வரம்பு நிகழ்வுகளில் வேலை செய்ய முடியும் (எ. கா., ஒரு கட்டத்தில் இரண்டு வட்டங்கள் தொடுகோடு). செயற்கை வடிவியல் இரண்டு வட்டங்களின் மையங்களாக இருக்கட்டும், மேலும் அவற்றின் ஆரங்களாக இருக்கட்டும், வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், வட்டம் இரண்டு வட்டங்களில் பெரியதாக வரையறுக்கப்படுகிறது. வெளிப்புற மற்றும் உள் தொடுகோடுகளை உருவாக்க இரண்டு வெவ்வேறு முறைகள் பயன்படுத்தப்படலாம். வெளிப்புற தொடுகோடுகள் ஆரம் கொண்ட ஒரு புதிய வட்டம் மையமாக வரையப்படுகிறது. மேலே உள்ள முறையைப் பயன்படுத்தி, இந்த புதிய வட்டத்திற்கு தொடுகோடாக இருக்கும் இரண்டு கோடுகள் வரையப்படுகின்றன. இந்த கோடுகள் விரும்பிய தொடுகோட்டு கோடுகளுக்கு இணையாக உள்ளன, ஏனென்றால் நிலைமை இரு வட்டங்களையும் ஒரு நிலையான அளவு சுருங்குவதற்கு ஒத்திருக்கிறது, இது ஒரு புள்ளிக்கு சுருங்குகிறது. மையத்திலிருந்து தொடுகோட்டு புள்ளிகள் வழியாக இரண்டு ரேடியல் கோடுகள் வரையப்படலாம்; இவை விரும்பிய தொடுகோட்டு புள்ளிகளில் வெட்டுகின்றன. விரும்பிய வெளிப்புற தொடுகோட்டு கோடுகள் அந்த தொடுகோட்டு புள்ளிகளில் இந்த ரேடியல் கோடுகளுக்கு செங்குத்தாக இருக்கும் கோடுகள் ஆகும், அவை மேலே விவரிக்கப்பட்டுள்ளபடி கட்டமைக்கப்படலாம். உள் தொடுகோடுகள் ஆரம் கொண்ட ஒரு புதிய வட்டம் மையமாக வரையப்படுகிறது. மேலே உள்ள முறையைப் பயன்படுத்தி, இந்த புதிய வட்டத்திற்கு தொடுகோடாக இருக்கும் இரண்டு கோடுகள் வரையப்படுகின்றன. இந்த கோடுகள் விரும்பிய தொடுகோட்டு கோடுகளுக்கு இணையாக உள்ளன, ஏனெனில் நிலைமை ஒரு நிலையான அளவு விரிவடையும் போது ஒரு புள்ளிக்கு சுருங்குவதற்கு ஒத்திருக்கிறது. மையத்திலிருந்து தொடுகோட்டு புள்ளிகள் வழியாக இரண்டு ரேடியல் கோடுகள் வரையப்படலாம்; இவை விரும்பிய தொடுகோட்டு புள்ளிகளில் வெட்டுகின்றன. விரும்பிய உள் தொடுகோட்டு கோடுகள் அந்த தொடுகோட்டு புள்ளிகளில் இந்த ரேடியல் கோடுகளுக்கு செங்குத்தாக இருக்கும் கோடுகள் ஆகும், அவை மேலே விவரிக்கப்பட்டுள்ளபடி கட்டமைக்கப்படலாம். பகுப்பாய்வு வடிவியல் வட்டங்கள் முறையே ஆரம் மற்றும் மையங்களைக் கொண்டிருக்கட்டும். இயல்பாக்குதலுடன் சமன்பாட்டின் மூலம் ஒரு கோட்டை வெளிப்படுத்துவது பின்னர் ஒரு பிடாஞ்சென்ட் கோடு திருப்தி அளிக்கிறதுஃ இரண்டாவது விளைச்சலில் இருந்து முதல் பகுதியை கழிப்பதன் மூலம் தீர்ப்பது, வெளிப்புற தொடுகோடு அல்லது உள் தொடுகோடு. சமன்பாடு (1) ஐ எளிமைப்படுத்துவதன் மூலம் நாம் இயல்பாக்கலாம், இதன் விளைவாக பின்வரும் சமன்பாடுகளின் அமைப்பு உருவாகிறதுஃ இரண்டு வெளிப்புற தொடுகோட்டு கோடுகளுக்கு இரண்டு தீர்வுகளைப் பெற இவற்றைத் தீர்க்கவும் (): வடிவியல் ரீதியாக இது தொடுகோட்டு கோடுகள் மற்றும் மையங்களின் கோடு ஆகியவற்றால் உருவாக்கப்பட்ட கோணத்தைக் கணக்கிடுவதற்கு ஒத்திருக்கிறது, பின்னர் அதை பயன்படுத்தி மையங்களின் கோட்டின் சமன்பாட்டை சுழற்றி தொடுகோட்டு கோட்டின் சமன்பாட்டைக் கொடுக்கிறது. ஒரு வலது முக்கோணத்தின் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளைக் கணக்கிடுவதன் மூலம் கோணம் கணக்கிடப்படுகிறது, அதன் செங்குத்துகள் (வெளிப்புற) ஹோமோதெடிக் மையம், ஒரு வட்டத்தின் மையம் மற்றும் ஒரு தொடுகோட்டு புள்ளி; ஹைபோடெனஸ் தொடுகோட்டில் உள்ளது, ஆரம் கோணத்திற்கு நேர்மாறாக உள்ளது, மற்றும் அருகிலுள்ள பக்கம் மையங்களின் கோட்டில் உள்ளது. அலகு திசையன் இருந்து சுட்டிக்காட்டுகிறது, அதே நேரத்தில் மையங்களின் கோடு மற்றும் ஒரு தொடுகோட்டு கோடு இடையே கோணம் எங்கே. பின்னர் (சுழற்சியின் திசையின் அடையாளத்தைப் பொறுத்து), மேலே உள்ள சமன்பாடுகள் சுழற்சி மேட்ரிக்ஸைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் சுழற்சியாகும்ஃ இது வட்டங்களின் வலதுபுறத்தில் உள்ள தொடுகோட்டு கோடு. இருந்து பார்க்கும் வட்டங்களின் வலதுபுறத்தில் உள்ள தொடுகோட்டு கோடு. மேலே உள்ள ஒவ்வொரு வட்டத்திற்கும் நேர்மறை ஆரம் இருப்பதாக கருதுகிறது. நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறையாக இருந்தால், ஒவ்வொரு கோட்டின் இடதுபுறத்திலும் வலதுபுறத்திலும் இருக்கும், மேலும் இரண்டு தொடுகோட்டுகளும் கடக்கும். இந்த வழியில் நான்கு தீர்வுகளும் பெறப்படுகின்றன. ரேடி சுவிட்சுகள் மற்றும் இரண்டின் அறிகுறிகளையும் மாற்றுவது. திசையன்கள் பொதுவாக தொடுகோட்டு புள்ளிகள் மற்றும் மையங்கள் மற்றும் ஆரங்கள் கொண்ட இரண்டு வட்டங்களுக்கு தொடுகோட்டு நான்கு கோடுகள் மற்றும் ஒரே நேரத்தில் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதன் மூலம் வழங்கப்படுகின்றனஃ இந்த சமன்பாடுகள் இணையாக இருக்கும் தொடுகோட்டு கோடு ஆரங்களுக்கு செங்குத்தாக இருப்பதாகவும், தொடுகோட்டு புள்ளிகள் அந்தந்த வட்டங்களில் இருப்பதாகவும் வெளிப்படுத்துகின்றன. இவை இரண்டு இரு பரிமாண திசையன் மாறிகளில் உள்ள நான்கு இருபடி சமன்பாடுகளாகும், மேலும் பொதுவான நிலையில் நான்கு ஜோடி தீர்வுகள் இருக்கும். சீரழிந்த நிகழ்வுகள் இரண்டு தனித்துவமான வட்டங்கள் பூஜ்ஜியத்திற்கும் நான்கு பிட்டாஞ்சென்ட் கோடுகளுக்கும் இடையில் இருக்கலாம், கட்டமைப்பைப் பொறுத்து; மையங்களுக்கும் ஆரங்களுக்கும் இடையிலான தூரத்தின் அடிப்படையில் இவற்றை வகைப்படுத்தலாம். பெருக்கத்துடன் கணக்கிடப்பட்டால் (ஒரு பொதுவான தொடுகோட்டை இரண்டு முறை எண்ணும்) பூஜ்ஜியம், இரண்டு அல்லது நான்கு பிடாஞ்சென்ட் கோடுகள் உள்ளன. எதிர்மறை அல்லது பூஜ்ஜிய ஆரம் கொண்ட வட்டங்களுக்கும் பிடான்ஜென்ட் கோடுகள் பொதுமைப்படுத்தப்படலாம். சீரழிந்த நிகழ்வுகள் மற்றும் பெருக்கங்களை மற்ற கட்டமைப்புகளின் வரம்புகளின் அடிப்படையில் புரிந்து கொள்ள முடியும்-எ. கா., கிட்டத்தட்ட தொடும் இரண்டு வட்டங்களின் வரம்பு, மற்றும் அவை தொடும் வகையில் ஒன்றை நகர்த்துவது, அல்லது பூஜ்ஜிய ஆரம் கொண்ட வட்டத்திற்கு சுருங்கும் சிறிய ஆரம் கொண்ட ஒரு வட்டம். வட்டங்கள் ஒருவருக்கொருவர் வெளியே இருந்தால் (), இது பொதுவான நிலை, நான்கு பிடாஞ்சென்ட்கள் உள்ளன. அவை ஒரு புள்ளியில் () வெளிப்புறமாகத் தொட்டால்-வெளிப்புறத் தொடுதிரையின் ஒரு புள்ளியைக் கொண்டிருந்தால்-அவை இரண்டு வெளிப்புற பிடாஞ்சென்ட்களையும் ஒரு உள் பிடாஞ்சென்டையும் கொண்டுள்ளன, அதாவது பொதுவான தொடுதிரைக் கோடு. இந்த பொதுவான தொடுகோட்டு கோடு பெருக்கம் இரண்டைக் கொண்டுள்ளது, ஏனெனில் இது வட்டங்களை (இடதுபுறத்தில் ஒன்று, வலதுபுறத்தில் ஒன்று) இரு நோக்குநிலைகளுக்கும் (திசை) பிரிக்கிறது. வட்டங்கள் இரண்டு புள்ளிகளில் () வெட்டுகின்றன என்றால், அவை உள் பிடாஞ்சென்ட்களையும் இரண்டு வெளிப்புற பிடாஞ்சென்ட்களையும் கொண்டிருக்காது (அவை வெட்டுவதால் அவற்றைப் பிரிக்க முடியாது, எனவே உள் பிடாஞ்சென்ட்கள் இல்லை). வட்டங்கள் ஒரு புள்ளியில் () உள்ளே தொட்டால்-உள் தொடுகோடு ஒரு புள்ளி உள்ளது-பின்னர் அவர்கள் உள் பிடாஞ்சென்ட்கள் மற்றும் ஒரு வெளிப்புற பிடாஞ்சென்ட்டைக் கொண்டிருக்கவில்லை, அதாவது பொதுவான தொடுகோடு கோடு, மேலே உள்ளபடி பெருக்கம் இரண்டு உள்ளது. ஒரு வட்டம் முற்றிலும் மற்றொன்றிற்குள் () இருந்தால், அவை பிடாஞ்சென்ட்களைக் கொண்டிருக்காது, ஏனெனில் வெளி வட்டத்திற்கு ஒரு தொடுகோட்டு கோடு உள் வட்டத்தை வெட்டாது, அல்லது மாறாக உள் வட்டத்திற்கு ஒரு தொடுகோட்டு கோடு வெளி வட்டத்திற்கு ஒரு செகண்ட் கோடு ஆகும். இறுதியாக, இரண்டு வட்டங்களும் ஒரே மாதிரியாக இருந்தால், வட்டத்திற்கு எந்த தொடுகோடும் ஒரு பொதுவான தொடுகோடாகவும் எனவே (வெளிப்புற) பிடாஞ்சென்டாகவும் இருக்கும், எனவே ஒரு வட்டத்தின் மதிப்புள்ள பிடாஞ்சென்ட்கள் உள்ளன. மேலும், பிடாஞ்சென்ட் கோடுகள் என்ற கருத்தை எதிர்மறை ஆரம் கொண்ட வட்டங்களுக்கு நீட்டிக்க முடியும் (புள்ளிகளின் அதே இடம், ஆனால் "உள்ளே வெளியே" என்று கருதப்படுகிறது), இந்த விஷயத்தில் ஆரங்கள் எதிர் அடையாளத்தைக் கொண்டிருந்தால் (ஒரு வட்டத்திற்கு எதிர்மறை ஆரம் மற்றும் மற்றொன்று நேர்மறை ஆரம்) வெளிப்புற மற்றும் உள் ஒத்த மையங்கள் மற்றும் வெளிப்புற மற்றும் உள் பிடாஞ்சென்ட்கள் மாற்றப்படுகின்றன, அதே நேரத்தில் ஆரங்கள் ஒரே அடையாளத்தைக் கொண்டிருந்தால் (நேர்மறை ஆரங்கள் அல்லது எதிர்மறை ஆரங்கள் இரண்டும்) "வெளிப்புறம்" மற்றும் "உள்" ஒரே வழக்கமான உணர்வைக் கொண்டுள்ளன (ஒரு அடையாளத்தை மாற்றுவது அவற்றை மாற்றுகிறது, எனவே இரண்டையும் மாற்றுவது அவற்றை மீண்டும் மாற்றுகிறது). ஒன்று அல்லது இரண்டு வட்டங்களும் ஆரம் பூஜ்ஜியத்தைக் கொண்டிருக்கும்போது பிடான்ஜென்ட் கோடுகளையும் வரையறுக்கலாம். இந்த விஷயத்தில் ஆரம் பூஜ்ஜியத்துடன் கூடிய வட்டம் ஒரு இரட்டைப் புள்ளியாகும், எனவே அதன் வழியாகச் செல்லும் எந்தக் கோடும் புள்ளியை பெருக்கம் இரண்டுடன் வெட்டுகிறது, எனவே "தொடுகோடு" ஆகும். ஒரு வட்டத்திற்கு ஆரம் பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், ஒரு பிடாஞ்சென்ட் கோடு வெறுமனே வட்டத்திற்கு ஒரு கோடு தொடுகோடு மற்றும் புள்ளியைக் கடந்து செல்கிறது, மேலும் இது பெருக்கம் இரண்டுடன் கணக்கிடப்படுகிறது. இரண்டு வட்டங்களும் ஆரம் பூஜ்ஜியத்தைக் கொண்டிருந்தால், பிடாஞ்சென்ட் கோடு என்பது அவை வரையறுக்கும் கோடு, மேலும் இது நான்கு பெருக்கத்துடன் கணக்கிடப்படுகிறது. இந்த சீரழிந்த நிகழ்வுகளில் வெளிப்புற மற்றும் உள் ஒரே மாதிரியான மையம் பொதுவாக இன்னும் உள்ளது என்பதை நினைவில் கொள்க (ஆரங்கள் சமமாக இருந்தால் வெளிப்புற மையம் முடிவிலியில் உள்ளது), வட்டங்கள் ஒத்துப்போனால் தவிர, வெளிப்புற மையம் வரையறுக்கப்படவில்லை, அல்லது இரண்டு வட்டங்களும் ஆரம் பூஜ்ஜியத்தைக் கொண்டிருந்தால், இந்த விஷயத்தில் உள் மையம் வரையறுக்கப்படவில்லை. பயன்பாடுகள் பெல்ட் சிக்கல் பெல்ட் சிக்கலைத் தீர்க்க உள் மற்றும் வெளிப்புற தொடுகோட்டு கோடுகள் பயனுள்ளதாக இருக்கும், இது இரண்டு புல்லிகளுக்கு மேல் வசதியாக பொருந்துவதற்குத் தேவையான பெல்ட் அல்லது கயிற்றின் நீளத்தைக் கணக்கிடுவதாகும். பெல்ட் மிகக் குறைவான தடிமன் கொண்ட ஒரு கணிதக் கோடு என்று கருதப்பட்டால், இரண்டு புல்லிகளும் ஒரே தளத்தில் இருப்பதாகக் கருதப்பட்டால், பெல்ட்டால் உட்படுத்தப்பட்ட வட்ட வளைவுகளின் நீளங்களுடன் தொடர்புடைய தொடுகோட்டு கோடு பிரிவுகளின் நீளங்களை கூட்டுவதற்கு சிக்கல் உருவாகிறது. சக்கரங்களை கடக்கும் வகையில் பெல்ட் மூடப்பட்டிருந்தால், உட்புற தொடுகோட்டு கோடு பிரிவுகள் பொருத்தமானவை. மாறாக, பெல்ட் புல்லிகளைச் சுற்றி வெளிப்புறமாக மூடப்பட்டிருந்தால், வெளிப்புற தொடுகோட்டு கோடு பிரிவுகள் பொருத்தமானவை; இந்த வழக்கு சில நேரங்களில் புல்லியின் சிக்கல் என்று அழைக்கப்படுகிறது. மூன்று வட்டங்களுக்கு தொடுகோட்டு கோடுகள்ஃ மோங்கேயின் தேற்றம் மூலம் குறிக்கப்படும் மூன்று வட்டங்களுக்கு, மற்றும், மூன்று ஜோடி வட்டங்கள் உள்ளன (,, மற்றும்). ஒவ்வொரு ஜோடி வட்டங்களும் இரண்டு ஓரினச்சேர்க்கை மையங்களைக் கொண்டிருப்பதால், மொத்தம் ஆறு ஓரினச்சேர்க்கை மையங்கள் உள்ளன. 19 ஆம் நூற்றாண்டின் முற்பகுதியில் காஸ்பர்ட் மோங்கே இந்த ஆறு புள்ளிகள் நான்கு கோடுகளில் உள்ளன என்பதைக் காட்டினார், ஒவ்வொரு வரியும் மூன்று கோலினியர் புள்ளிகளைக் கொண்டுள்ளன. அப்பல்லோனியஸின் சிக்கல் அப்பல்லோனியஸின் சிக்கலின் பல சிறப்பு நிகழ்வுகள் ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட கோடுகளுக்கு தொடுகோடு கொண்ட ஒரு வட்டத்தைக் கண்டுபிடிப்பதை உள்ளடக்கியது. இவற்றில் எளிமையானது கொடுக்கப்பட்ட மூன்று கோடுகளுக்கு (எல்எல்எல் சிக்கல்) தொடுகோடாக இருக்கும் வட்டங்களை உருவாக்குவதாகும். இந்த சிக்கலைத் தீர்க்க, அத்தகைய எந்தவொரு வட்டத்தின் மையமும் எந்த ஜோடி கோடுகளின் கோண இருபகுதியில் இருக்க வேண்டும்; இரண்டு கோடுகளின் ஒவ்வொரு குறுக்குவெட்டிற்கும் இரண்டு கோண-பாகுபாடு கோடுகள் உள்ளன. இந்த கோண இரு பிரிவுகளின் குறுக்குவெட்டுகள் தீர்வு வட்டங்களின் மையங்களைக் கொடுக்கின்றன. பொதுவாக இதுபோன்ற நான்கு வட்டங்கள் உள்ளன, மூன்று கோடுகளின் குறுக்குவெட்டால் உருவாக்கப்பட்ட முக்கோணத்தின் பொறிக்கப்பட்ட வட்டம் மற்றும் மூன்று விவரிக்கப்பட்ட வட்டங்கள். ஒரு பொதுவான அப்பல்லோனியஸ் சிக்கலை ஒரு வட்டம் மற்றும் இரண்டு இணையான கோடுகளுக்கு வட்ட தொடுகோடுகளின் எளிய சிக்கலாக மாற்றலாம் (இது எல். எல். சி சிறப்பு வழக்கின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு). இதை நிறைவேற்ற, கொடுக்கப்பட்ட மூன்று வட்டங்களில் இரண்டை அவை தொடும் வரை அளவிட போதுமானது, அதாவது, தொடுகோடு. பொருத்தமான ஆரம் கொண்ட வட்டத்தைப் பொறுத்தவரை அவற்றின் தொடுகோட்டு புள்ளியில் ஒரு தலைகீழ், கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு தொடுதல் வட்டங்களையும் இரண்டு இணையான கோடுகளாகவும், மூன்றாவது கொடுக்கப்பட்ட வட்டத்தை மற்றொரு வட்டமாகவும் மாற்றுகிறது. எனவே, மாற்றப்பட்ட மூன்றாவது வட்டத்துடன் தொடர்பு கொள்ளும் வரை இரண்டு இணையான கோடுகளுக்கு இடையில் நிலையான ஆரம் கொண்ட வட்டத்தை நெகிழ்வதன் மூலம் தீர்வுகளைக் காணலாம். மறு-தலைகீழ் அசல் சிக்கலுக்கான தொடர்புடைய தீர்வுகளை உருவாக்குகிறது. பொதுமைப்படுத்தல்கள் ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட வட்டங்களுக்கு ஒரு தொடுகோட்டு கோடு என்ற கருத்தை பல வழிகளில் பொதுமைப்படுத்தலாம். முதலாவதாக, தொடுகோட்டு புள்ளிகள் மற்றும் தொடுகோட்டு கோடுகளுக்கு இடையிலான இணைவு உறவை துருவ புள்ளிகள் மற்றும் துருவக் கோடுகளாக பொதுமைப்படுத்தலாம், இதில் துருவ புள்ளிகள் வட்டத்தின் சுற்றளவில் மட்டுமல்லாமல் எங்கும் இருக்கலாம். இரண்டாவதாக, இரண்டு வட்டங்களின் ஒன்றிணைப்பு என்பது ஒரு குவார்டிக் பிளேன் வளைவின் ஒரு சிறப்பு (குறைக்கப்படக்கூடிய) வழக்கு ஆகும், மேலும் வெளிப்புற மற்றும் உள் தொடுகோட்டு கோடுகள் இந்த குவார்டிக் வளைவின் பிடாஞ்சென்ட்களாகும். ஒரு பொதுவான குவார்டிக் வளைவு 28 பிடாஞ்சென்ட்களைக் கொண்டுள்ளது. மூன்றாவது பொதுமைப்படுத்தல் தொடுகோட்டு கோடுகளைக் காட்டிலும் தொடுகோட்டு வட்டங்களைக் கருதுகிறது; ஒரு தொடுகோட்டு கோடு எல்லையற்ற ஆரம் கொண்ட தொடுகோட்டு வட்டமாகக் கருதப்படலாம். குறிப்பாக, இரண்டு வட்டங்களுக்கான வெளிப்புற தொடுகோடுகள் இரு வட்டங்களுக்கும் உட்புறமாகவோ அல்லது வெளிப்புறமாகவோ தொடுகோடாக இருக்கும் வட்டங்களின் குடும்பத்தின் நிகழ்வுகளை மட்டுப்படுத்துகின்றன, அதே நேரத்தில் உள் தொடுகோடுகள் வட்டங்களின் குடும்பத்தின் நிகழ்வுகளை மட்டுப்படுத்துகின்றன, அவை ஒன்றுக்கு உட்புறமாக தொடுகோடாகவும், இரண்டு வட்டங்களில் மற்றொன்றுக்கு வெளிப்புறமாக தொடுகோடாகவும் உள்ளன. மோபியஸ் அல்லது தலைகீழ் வடிவவியலில், கோடுகள் "முடிவிலியில்" ஒரு புள்ளியின் வழியாக வட்டங்களாகக் கருதப்படுகின்றன, மேலும் எந்தவொரு கோடு மற்றும் எந்த வட்டத்திற்கும், ஒரு மோபியஸ் மாற்றம் உள்ளது, இது ஒன்றுக்கு மற்றொன்று வரைபடமாக்குகிறது. மோபியஸ் வடிவவியலில், ஒரு கோடு மற்றும் ஒரு வட்டத்திற்கு இடையிலான தொடுகோடு இரண்டு வட்டங்களுக்கு இடையிலான தொடுகோடு ஒரு சிறப்பு நிகழ்வாக மாறுகிறது. இந்த சமநிலை லை கோள வடிவவியலில் மேலும் நீட்டிக்கப்பட்டுள்ளது. ஆரம் மற்றும் தொடுகோட்டு கோடு ஒரு வட்டத்தின் ஒரு புள்ளியில் செங்குத்தாகவும், அலகு ஹைபர்போலாவின் ஒரு புள்ளியில் ஹைபர்போலிக்-ஆர்த்தோகனலாகவும் உள்ளன. ஆரம் திசையன் வழியாக அலகு ஹைபர்போலாவின் அளவுரு பிரதிநிதித்துவம். ஆரம் மற்றும் தொடுகோடு ஹைபர்போலிக் ஆர்த்தோகனல் என்பதால் மற்றும் அலகு ஹைபர்போலாவின் அறிகுறியற்ற நிலையில் ஒருவருக்கொருவர் பிரதிபலிப்புகள் ஆகும். பிளவு-சிக்கலான எண்கள் (எங்கே) என்று விளக்கும்போது, இரண்டு எண்களும் குறிப்புகளை பூர்த்தி செய்கின்றன வெளிப்புற இணைப்புகள் வட்டங்கள்