Local property
கணிதத்தில், ஒரு கணிதப் பொருள், பொருளின் சில வரையறுக்கப்பட்ட, உடனடி பகுதிகளில் (எ. கா., சில போதுமான அளவு சிறிய அல்லது தன்னிச்சையாக சிறிய புள்ளிகளின் சுற்றுப்புறங்களில்) திருப்தி அடைந்தால், உள்ளூரில் ஒரு சொத்தை திருப்திப்படுத்துவதாகக் கூறப்படுகிறது. ஒரு செயல்பாட்டில் ஒரு புள்ளியின் பண்புகள் ஒருவேளை இருப்பிடம் என்ற கருத்தின் சிறந்த அறியப்பட்ட எடுத்துக்காட்டு உள்ளூர் குறைந்தபட்சம் (அல்லது உள்ளூர் அதிகபட்சம்) என்ற கருத்தாக்கத்தில் உள்ளது, இது ஒரு செயல்பாட்டில் ஒரு புள்ளியாகும், அதன் செயல்பாட்டு மதிப்பு புள்ளிகளின் உடனடி சுற்றுப்புறத்திற்குள் மிகச்சிறியது (ரெஸ்ப்., மிகப்பெரியது). இது உலகளாவிய குறைந்தபட்சம் (அல்லது உலகளாவிய அதிகபட்சம்) என்ற கருத்துடன் முரண்பட வேண்டும், இது அதன் முழு களத்திலும் செயல்பாட்டின் குறைந்தபட்சம் (ரெஸ்ப்., அதிகபட்சம்) உடன் ஒத்திருக்கிறது. ஒரு இடத்தின் பண்புகள் ஒரு இடவியல் இடம் சில நேரங்களில் ஒரு சொத்தை உள்ளூரில் காட்சிப்படுத்துவதாகக் கூறப்படுகிறது, சொத்தை பின்வரும் வழிகளில் ஒன்றில் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் "அருகில்" காட்சிப்படுத்தினால்ஃ ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் சொத்தை வெளிப்படுத்தும் ஒரு சுற்றுப்புறம் உள்ளது; ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் சொத்தை வெளிப்படுத்தும் செட்டுகளின் சுற்றுப்புற தளம் உள்ளது. இங்கே, நிபந்தனை (2) பெரும்பாலும் நிபந்தனை (1) ஐ விட வலுவானது என்பதையும், இரண்டையும் வேறுபடுத்திக் காட்ட கூடுதல் எச்சரிக்கை எடுக்கப்பட வேண்டும் என்பதையும் நினைவில் கொள்க. எடுத்துக்காட்டாக, இந்த நிபந்தனைகளின் வெவ்வேறு தேர்வுகளின் விளைவாக உள்ளூரில் கச்சிதமான வரையறையில் சில மாறுபாடுகள் ஏற்படலாம். எடுத்துக்காட்டுகள் உள்ளூரில் சுருக்கமான இடவியல் இடங்கள் உள்ளூரில் இணைக்கப்பட்ட மற்றும் உள்ளூரில் பாதை இணைக்கப்பட்ட இடவியல் இடங்கள் உள்ளூரில் ஹவுஸ்டோர்ஃப், உள்ளூரில் வழக்கமான, உள்ளூரில் இயல்பான போன்றவை. ஒரு ஜோடி இடைவெளிகளின் உள்ளூரில் அளவிடக்கூடிய பண்புகள் இடவியல் இடைவெளிகளுக்கு இடையிலான சமநிலை (எ. கா., ஹோமியோமார்பிசம், டிஃபியோமார்பிசம், ஐசோமெட்ரி) பற்றிய சில கருத்துகளைப் பொறுத்தவரை, முதல் இடத்தின் ஒவ்வொரு புள்ளியும் இரண்டாவது இடத்தின் சுற்றுப்புறத்திற்கு சமமான ஒரு சுற்றுப்புறத்தைக் கொண்டிருந்தால் இரண்டு இடைவெளிகள் உள்ளூரில் சமமானவை என்று கூறப்படுகிறது. உதாரணமாக, வட்டமும் கோடும் மிகவும் மாறுபட்ட பொருள்கள். வட்டத்தை கோடு போல் நீட்டவோ, இடைவெளிகள் அல்லது ஒன்றுடன் ஒன்று இல்லாமல் வட்டத்தில் பொருந்தும் வகையில் கோட்டை சுருக்கவோ முடியாது. இருப்பினும், வட்டத்தின் ஒரு சிறிய பகுதியை நீட்டலாம் மற்றும் கோட்டின் ஒரு சிறிய துண்டு போல தோற்றமளிக்கும் வகையில் தட்டையாக மாற்றலாம். இந்த காரணத்திற்காக, வட்டமும் கோடும் உள்ளூரில் சமமானவை என்று ஒருவர் கூறலாம். இதேபோல், கோளமும் தளமும் உள்ளூரில் சமமானவை. ஒரு கோளத்தின் மேற்பரப்பில் நிற்கும் ஒரு சிறிய போதுமான பார்வையாளர் (எ. கா., ஒரு நபர் மற்றும் பூமி) அதை ஒரு தளத்திலிருந்து பிரித்தறிய முடியாததாகக் காண்பார். எல்லையற்ற குழுக்களின் பண்புகள் ஒரு எல்லையற்ற குழுவிற்கு, ஒரு "சிறிய சுற்றுப்புறம்" என்பது இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட துணைக்குழுவாக கருதப்படுகிறது. இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட ஒவ்வொரு துணைக்குழுவும் பி என்றால் எல்லையற்ற குழு உள்ளூரில் பி என்று கூறப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட ஒவ்வொரு துணைக்குழுவும் வரையறுக்கப்பட்டதாக இருந்தால் ஒரு குழு உள்ளூரில் வரையறுக்கப்படுகிறது, மேலும் இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட ஒவ்வொரு துணைக்குழுவும் கரையக்கூடியதாக இருந்தால் ஒரு குழு உள்ளூரில் கரையக்கூடியது. வரையறுக்கப்பட்ட குழுக்களின் பண்புகள் வரையறுக்கப்பட்ட குழுக்களுக்கு, ஒரு "சிறிய சுற்றுப்புறம்" என்பது ஒரு பகா எண் p இன் அடிப்படையில் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு துணைக்குழுவாக எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது, பொதுவாக உள்ளூர் துணைக்குழுக்கள், அற்பமான p-துணைக்குழுக்களின் இயல்பாக்கிகள். இந்த விஷயத்தில், ஒரு சொத்தை உள்ளூர் துணைக்குழுக்களிலிருந்து கண்டறிய முடிந்தால் அது உள்ளூர் என்று கூறப்படுகிறது. உலகளாவிய மற்றும் உள்ளூர் பண்புகள் 1960 களில் மேற்கொள்ளப்பட்ட வரையறுக்கப்பட்ட எளிய குழுக்களின் வகைப்பாட்டின் ஆரம்பகால பணியின் குறிப்பிடத்தக்க பகுதியை உருவாக்கின. பரிமாற்ற வளையங்களின் பண்புகள் பரிமாற்ற வளையங்களுக்கு, இயற்கணித வடிவவியலின் கருத்துக்கள் ஒரு வளையத்தின் "சிறிய சுற்றுப்புறத்தை" ஒரு பகா இலட்சியத்தில் உள்ளூர்மயமாக்கலாக எடுத்துக்கொள்வதை இயல்பாக்குகின்றன. இந்த வழக்கில், ஒரு சொத்தை உள்ளூர் வளையங்களிலிருந்து கண்டறிய முடிந்தால் அது உள்ளூர் என்று கூறப்படுகிறது. உதாரணமாக, ஒரு பரிமாற்ற வளையத்தின் மீது ஒரு தட்டையான தொகுதியாக இருப்பது ஒரு உள்ளூர் பண்பு, ஆனால் ஒரு இலவச தொகுதியாக இருப்பது அல்ல. மேலும் அறிய, ஒரு தொகுதியின் உள்ளூர்மயமாக்கலைப் பார்க்கவும். மேலும் காண்க உள்ளூர் பாதை இணைப்பு குறிப்புகள் பொது இடவியல் ஹோமியோமார்பிசம்கள்