Dirac comb
கணிதத்தில், டைராக் சீப்பு (ஷா செயல்பாடு, உந்துவிசை ரயில் அல்லது மாதிரி செயல்பாடு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட காலத்திற்கான சூத்திரத்துடன் கூடிய ஒரு குறிப்பிட்ட கால செயல்பாடு ஆகும். இங்கே t ஒரு உண்மையான மாறி மற்றும் கூட்டுத்தொகை அனைத்து முழு எண்களிலும் விரிவடைகிறது k. டைராக் டெல்டா செயல்பாடு மற்றும் டைராக் சீப்பு ஆகியவை மிதமான விநியோகங்களாகும். செயல்பாட்டின் வரைபடம் ஒரு சீப்பை ஒத்திருக்கிறது (சீப்பின் பற்களாக s உடன்), எனவே அதன் பெயர் மற்றும் செயல்பாட்டைக் குறிக்க சீப்பு போன்ற சிரிலிக் எழுத்து ஷா (ஷ்) பயன்படுத்தப்படுகிறது. காலம் தவிர்க்கப்பட்ட சின்னம், அலகு காலத்தின் டைராக் சீப்பை குறிக்கிறது. டைராக் சீப்பு செயல்பாடு காலமுறை என்பதால், அதை டைரிக்லெட் கர்னலை அடிப்படையாகக் கொண்ட ஃபோரியர் தொடராக குறிப்பிடலாம்ஃ டைராக் சீப்பு செயல்பாடு ஃபோரியர் தொடரைப் பற்றி எந்த குறிப்பும் இல்லாமல், மிதமான விநியோகங்கள் குறித்த தொடர்ச்சியான ஃபோரியர் பகுப்பாய்வின் ஒற்றை கட்டமைப்பில், மாதிரி மற்றும் மாற்றுப்பெயர் போன்ற தொடர்ச்சியான மற்றும் தனித்துவமான நிகழ்வுகளை பிரதிநிதித்துவப்படுத்த அனுமதிக்கிறது. டைராக் சீப்பின் ஃபோரியர் உருமாற்றம் மற்றொரு டைராக் சீப்பு ஆகும். சமிக்ஞை செயலாக்கத்தில், பாய்சான் கூட்டுத்தொகை சூத்திரமாக மாறும் மிதமான விநியோகங்கள் குறித்த கொன்வொல்யூஷன் தேற்றம் காரணமாக, டிராக் சீப்பு அதனுடன் பெருக்குவதன் மூலம் மாதிரி மாதிரியை அனுமதிக்கிறது, ஆனால் அதனுடன் கொன்வொல்யூஷன் மூலம் மாடலிங் கால அளவை அனுமதிக்கிறது. டைராக்-சீப்பு அடையாளம் டைராக் சீப்பை இரண்டு வழிகளில் கட்டமைக்க முடியும், ஒன்று சீப்பு ஆபரேட்டரைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் (மாதிரி செய்வதன் மூலம்) தொடர்ந்து செயல்படும் செயல்பாட்டிற்கு பயன்படுத்தப்படுகிறது, அல்லது, மாற்றாக, டைராக் டெல்டாவில் பயன்படுத்தப்படும் பிரதிநிதி ஆபரேட்டரைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் (கால அளவைச் செய்வது). முறைப்படி, இந்த விளைச்சல் (;) எங்கே மற்றும் சமிக்ஞை செயலாக்கத்தில், இந்த பண்பு ஒருபுறம் ஒரு செயல்பாட்டை பெருக்குவதன் மூலம் மாதிரியை அனுமதிக்கிறது, மறுபுறம் இது () உடன் ஒருங்கிணைப்பதன் மூலம் கால அளவை அனுமதிக்கிறது. டைராக் சீப்பு அடையாளம் என்பது மென்மையான விநியோகங்களுக்கான கன்வொல்யூஷன் தேற்றத்தின் ஒரு குறிப்பிட்ட நிகழ்வாகும். அளவிடுதல் டைராக் சீப்பின் அளவிடுதல் பண்பு டைராக் டெல்டா செயல்பாட்டின் பண்புகளிலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது. நேர்மறை உண்மையான எண்களைப் பொறுத்தவரை, இது பின்வருமாறுஃ எதிர்மறை எண்களுக்கு பதிலாக நேர்மறை அளவீட்டு எண்கள் தேவைப்படுவது ஒரு கட்டுப்பாடு அல்ல என்பதை நினைவில் கொள்க, ஏனெனில் எதிர்மறை அடையாளம் உள்ளே உள்ள கூட்டுத்தொகையின் வரிசையை மட்டுமே மாற்றியமைக்கும், இது முடிவை பாதிக்காது. ஃபோரியர் தொடர் இது காலத்துடன் காலமுறை என்பது தெளிவாகிறது. அதாவது, அனைத்து t க்கும். அத்தகைய குறிப்பிட்ட கால செயல்பாட்டிற்கான சிக்கலான ஃபோரியர் தொடர் என்பது ஃபோரியர் குணகங்கள் (குறியீடாக) அனைத்து ஃபோரியர் குணகங்களும் 1/T ஆகும், இதன் விளைவாக காலம் ஒரு யூனிட்டாக இருக்கும்போது, இது ரீமார்க்கிற்கு எளிதாக்குகிறதுஃ மிகவும் கடுமையாக, டைராக் டெல்டா செயல்பாடு உட்பட எந்தவொரு தயாரிப்புகளிலும் ரீமன் அல்லது லெபெஸ்கூ ஒருங்கிணைப்பு பூஜ்ஜியத்தை ஈட்டுகிறது. இந்த காரணத்திற்காக, மேலே உள்ள ஒருங்கிணைப்பு (ஃபோரியர் தொடர் குணகங்கள் நிர்ணயம்) "பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட செயல்பாடுகள் அர்த்தத்தில்" புரிந்து கொள்ளப்பட வேண்டும். இதன் பொருள் என்னவென்றால், டைராக் சீப்பில் பயன்படுத்தப்படும் இடைவெளியின் சிறப்பியல்பு செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்துவதற்குப் பதிலாக, ஒருவர் லைட்ஹில் யூனிட்டரி செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுவதை கட்அவுட் செயல்பாடாகப் பயன்படுத்துகிறார், விவரங்களுக்கு, பக்கம் 62, தேற்றம் 22 ஐப் பார்க்கவும். ஃபோரியர் உருமாற்றம் டைராக் சீப்பின் ஃபோரியர் உருமாற்றமும் ஒரு டைராக் சீப்பு ஆகும். அதிர்வெண் களத்தில் (Hz) வெளிப்படுத்தப்படும் ஃபோரியர் உருமாற்றத்திற்கு, காலத்தின் டைராக் சீப்பு காலத்தின் மீட்டெடுக்கப்பட்ட டைராக் சீப்பாக மாறுகிறது, அதாவது. இது மற்றொரு டைராக் சீப்புக்கு விகிதாசாரமாகும், ஆனால் அதிர்வெண் களத்தில் (ரேடியன்/வி) காலத்துடன் உள்ளது. எனவே காஸியன் செயல்பாடுகளின் ஒருங்கிணைந்த தொடர் என்பதால், காஸியர்கள் காஸியன்களாக மாறுகிறார்கள், அவற்றின் ஃபோரியர் உருமாற்றங்கள் ஒவ்வொன்றும் காஸியன்களின் தொடரையும் விளைவிக்கின்றன, மேலும் வெளிப்படையான கணக்கீடு செயல்பாடுகள் மற்றும் ஒவ்வொன்றும் சம தூர காஸியன் கூர்முனைகளைக் கொண்ட ஒரு குறிப்பிட்ட கால செயல்பாட்டை ஒத்திருக்கின்றன என்பதை நிறுவுகிறது, மேலும் அவற்றின் அந்தந்த "உயரங்கள்" (முன் காரணிகள்) முடிவிலியில் பூஜ்ஜியத்திற்குச் செல்லும் காஸியன் உறை செயல்பாடுகளை மெதுவாகக் குறைப்பதன் மூலம் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன. வரம்பில் ஒவ்வொரு காஸியன் ஸ்பைக் முறையே மற்றும் ஒவ்வொன்றிற்கும் மையமாக ஒரு எல்லையற்ற கூர்மையான டைராக் உந்துதலாக மாறுகிறது என்பதை நினைவில் கொள்க, எனவே அனைத்து முன் காரணிகளும் இறுதியில் பிரித்தறிய முடியாதவை. எனவே செயல்பாடுகளும் அவற்றின் ஃபோரியர் உருமாற்றங்களும் ஒரே செயல்பாட்டிற்கு ஒன்றிணைகின்றன, மேலும் இந்த வரம்பு செயல்பாடு எல்லையற்ற சம தூர காஸியன் கூர்முனைகளின் தொடராகும், ஒவ்வொரு ஸ்பைக்கும் ஒன்றின் அதே முன் காரணியால் பெருக்கப்படுகிறது, அதாவது. அலகு காலத்திற்கான டைராக் சீப்பு மற்றும், இந்த வரம்பில் நாம் நிரூபிக்கப்பட வேண்டிய முடிவைப் பெறுவதால்ஃ ஃபோரியர் உருமாற்றத்தின் அளவிடுதல் பண்பைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் காலத்திற்கான தொடர்புடைய முடிவைக் காணலாம், டைராக் சீப்பு மற்றொரு டைராக் சீப்பாக மாறுகிறது என்பதை நிறுவுவதற்கான மற்றொரு முறை பொதுவாக குறிப்பிட்ட கால செயல்பாடுகளின் தொடர்ச்சியான ஃபோரியர் உருமாற்றங்களை ஆராய்வதன் மூலம் தொடங்குகிறது, பின்னர் டைராக் சீப்பு விஷயத்தில் நிபுணத்துவம் பெற்றது. குறிப்பிட்ட விதி ஃபோரியர் உருமாற்றத்திற்கான மரபைப் பொறுத்தது என்பதைக் காண்பிப்பதற்காக, இது எந்த குறிப்பிட்ட கால செயல்பாட்டிற்கும் அதன் ஃபோரியர் உருமாற்றம் கீழ்ப்படியும் கோண அதிர்வெண்ணைப் பயன்படுத்தி காட்டப்படும்ஃ ஏனெனில் ஃபோரியர் உருமாற்றம் மற்றும் வழிவகுக்கிறது மற்றும் இந்த சமன்பாடு கிட்டத்தட்ட எல்லா இடங்களிலும் சாத்தியமான விதிவிலக்குகளுடன் உள்ளது மற்றும் தொடர்புடைய ஃபோரியர் தொடர் வெளிப்பாட்டில் ஃபோரியர் உருமாற்றத்தை மதிப்பிடும்போது தொடர்புடைய டெல்டா செயல்பாட்டு முடிவுகளை கணக்கிடுகிறது. டைராக் சீப்பின் ஃபோரியர் உருமாற்றத்தின் சிறப்பு நிகழ்வைப் பொறுத்தவரை, ஒரே காலகட்டத்தில் ஃபோரியர் தொடர் ஒருங்கிணைப்பு தோற்றத்தில் உள்ள டைராக் செயல்பாட்டை மட்டுமே உள்ளடக்கியது, இதனால் ஒவ்வொன்றிற்கும் கொடுக்கிறது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், குறிப்பிட்ட கால செயல்பாடுகளின் தொடர்ச்சியான ஃபோரியர் உருமாற்றம் அனைத்து ஃபோரியர் தொடர் குணகங்களுக்கும் வழிவகுக்கிறது, அதாவது. மற்றொரு டைராக் சீப்பு, ஆனால் கோண அதிர்வெண் களத்தில் (ரேடியன்/வி) காலத்துடன். குறிப்பிட்டபடி, குறிப்பிட்ட விதி பயன்படுத்தப்பட்ட ஃபோரியர் உருமாற்றத்திற்கான மரபைப் பொறுத்தது. உண்மையில், டைராக் டெல்டா செயல்பாட்டின் அளவிடுதல் பண்பைப் பயன்படுத்தும் போது, மேற்கூறியவை சாதாரண அதிர்வெண் களத்தில் (Hz) மீண்டும் வெளிப்படுத்தப்படலாம் மற்றும் ஒருவர் மீண்டும் பெறலாம்ஃ அதாவது அலகு கால டைராக் சீப்பு தன்னைத்தானே மாற்றுகிறதுஃ இறுதியாக, டைராக் சீப்பு என்பது கோண அதிர்வெண் இடத்தில் தொடர்ச்சியான ஃபோரியர் உருமாற்றத்தின் ஐகென் செயல்பாடாகும், ஏனெனில் யூனிட்டரி ஃபோரியர் உருமாற்றத்திற்கு மேலே உள்ளவை மாதிரி மற்றும் மாற்றுப்பெயராக மீண்டும் வெளிப்படுத்தப்படலாம் டைராக் சீப்புகளால் எந்த செயல்பாட்டையும் பெருக்குவது சீப்பின் முனைகளில் செயல்பாட்டின் மதிப்புக்கு சமமான ஒருங்கிணைப்புகளுடன் கூடிய தூண்டுதல்களின் ரயிலாக மாற்றுகிறது. இந்த செயல்பாடு அடிக்கடி மாதிரியைக் குறிக்கப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. டைராக் சீப்பு மற்றும் கன்வொல்யூஷன் தேற்றத்தின் சுய-மாற்றும் பண்பு காரணமாக, இது அதிர்வெண் களத்தில் உள்ள டைராக் சீப்புடன் உள்ள கன்வொல்யூஷனுடன் ஒத்திருக்கிறது. ஒரு டெல்டா செயல்பாட்டுடன் ஒருங்கிணைப்பு என்பது செயல்பாட்டை மாற்றுவதற்கு சமம் என்பதால், டைராக் சீப்புடன் ஒருங்கிணைப்பு என்பது பிரதி அல்லது காலமுறை கூட்டுத்தொகைக்கு ஒத்திருக்கிறதுஃ இது நிக்விஸ்ட்-ஷானன் மாதிரி தேற்றத்தின் இயற்கையான உருவாக்கத்திற்கு வழிவகுக்கிறது. செயல்பாட்டின் ஸ்பெக்ட்ரம் B ஐ விட அதிக அதிர்வெண்களைக் கொண்டிருக்கவில்லை என்றால் (அதாவது, அதன் ஸ்பெக்ட்ரம் இடைவெளியில் மட்டுமே பூஜ்ஜியமற்றது), இடைவேளைகளில் அசல் செயல்பாட்டின் மாதிரிகள் அசல் சமிக்ஞையை மறுகட்டமைக்க போதுமானவை. மாதிரி செயல்பாட்டின் நிறமாலையை பொருத்தமான செவ்வக செயல்பாட்டால் பெருக்க இது போதுமானது, இது செங்கல் சுவர் லோ பாஸ் வடிப்பானைப் பயன்படுத்துவதற்கு சமம். நேர களத்தில், இந்த "ரெக்ட் செயல்பாட்டுடன் பெருக்கம்" என்பது "சிங்க் செயல்பாட்டுடன் ஒருங்கிணைப்பு" (, p.33-34) க்கு சமம். எனவே, இது அதன் மாதிரிகளிலிருந்து அசல் செயல்பாட்டை மீட்டெடுக்கிறது. இது விட்டேகர்-ஷானன் இடைக்கணிப்பு சூத்திரம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. குறிப்புஃ மிகவும் கடுமையாக, டைராக் சீப்பு போன்ற ஒரு பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட செயல்பாட்டுடன் ரெக்ட் செயல்பாட்டின் பெருக்கம் தோல்வியடைகிறது. இடைவெளி எல்லைகளில் பெருக்கல் பெருக்கலின் தீர்மானிக்கப்படாத விளைவுகளால் இது ஏற்படுகிறது. ஒரு பணித்தொகுப்பாக, ஒருவர் ரெக்ட் செயல்பாட்டிற்கு பதிலாக லைட்ஹில் யூனிட்டரி செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்துகிறார். இது இடைவெளி எல்லைகளில் மென்மையானது, எனவே இது எல்லா இடங்களிலும் தீர்மானிக்கப்பட்ட பெருக்க விளைபொருள்களைத் தருகிறது, விவரங்களுக்கு பக்கம் 62, தேற்றம் 22 ஐப் பார்க்கவும். திசை புள்ளிவிவரங்களில் பயன்படுத்தவும் திசை புள்ளிவிவரங்களில், காலத்தின் டைராக் சீப்பு ஒரு மூடப்பட்ட டைராக் டெல்டா செயல்பாட்டிற்கு சமம் மற்றும் நேரியல் புள்ளிவிவரங்களில் டைராக் டெல்டா செயல்பாட்டின் ஒப்புமை ஆகும். நேரியல் புள்ளிவிவரங்களில், சீரற்ற மாறி பொதுவாக உண்மையான எண் கோடு அல்லது அதன் சில துணைக்குழுவில் விநியோகிக்கப்படுகிறது, மேலும் நிகழ்தகவு அடர்த்தி என்பது ஒரு செயல்பாடாகும், அதன் களம் உண்மையான எண்களின் தொகுப்பாகும், மேலும் அதன் ஒருங்கிணைப்பு ஒற்றுமை ஆகும். திசை புள்ளிவிவரங்களில், சீரற்ற மாறி அலகு வட்டத்தில் விநியோகிக்கப்படுகிறது, மேலும் நிகழ்தகவு அடர்த்தி என்பது ஒரு செயல்பாடாகும், அதன் களம் நீளத்தின் உண்மையான எண்களின் சில இடைவெளி மற்றும் அந்த இடைவெளியில் அதன் ஒருங்கிணைப்பு ஒற்றுமை ஆகும். உண்மையான எண் கோட்டின் மீது ஒரு தன்னிச்சையான செயல்பாட்டைக் கொண்ட ஒரு டைராக் டெல்டா செயல்பாட்டின் பெருக்கத்தின் ஒருங்கிணைப்பு பூஜ்ஜியத்தில் அந்த செயல்பாட்டின் மதிப்பை வழங்குவதைப் போலவே, காலத்தின் ஒரு டைராக் சீப்பின் பெருக்கத்தின் ஒருங்கிணைப்பு காலத்தின் தன்னிச்சையான செயல்பாட்டைக் கொண்டுள்ளது அலகு வட்டத்தின் மீது பூஜ்ஜியத்தில் அந்த செயல்பாட்டின் மதிப்பை வழங்குகிறது. காம்ப் ஃபில்டர் ஃப்ரீக்வென்சி காம்ப் பாய்சன் சுருக்க சூத்திரம் குறிப்புகள் மேலும் வாசிப்பைப் பார்க்கவும். . . சிறப்பு செயல்பாடுகள் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட செயல்பாடுகள் சமிக்ஞை செயலாக்க திசை புள்ளிவிவரங்கள்