Numerical model of the Solar System
சூரிய மண்டலத்தின் எண் மாதிரி என்பது கணித சமன்பாடுகளின் தொகுப்பாகும், அவை தீர்க்கப்படும்போது, கிரகங்களின் தோராயமான நிலைகளை நேரத்தின் செயல்பாடாக வழங்குகின்றன. அத்தகைய மாதிரியை உருவாக்குவதற்கான முயற்சிகள் வான இயக்கவியலின் மிகவும் பொதுவான துறையை நிறுவியது. துல்லியத்தை சரிபார்க்க இந்த உருவகப்படுத்துதலின் முடிவுகளை கடந்த கால அளவீடுகளுடன் ஒப்பிடலாம், பின்னர் எதிர்கால நிலைகளை கணிக்க பயன்படுத்தலாம். எனவே இதன் முக்கிய பயன்பாடு பஞ்சாங்கங்களைத் தயாரிப்பதாகும். பழைய முயற்சிகள் உருவகப்படுத்துதல்கள் கார்ட்டீசியன் அல்லது கோள ஆயத்தொகுப்புகளில் செய்யப்படலாம். முந்தையவை எளிதானவை, ஆனால் மிகவும் கணக்கீட்டு தீவிரமானவை, மேலும் மின்னணு கணினியில் மட்டுமே நடைமுறைக்குரியவை. எனவே முந்தைய காலங்களில் பிந்தையது மட்டுமே பயன்படுத்தப்பட்டது. கண்டிப்பாகச் சொல்வதானால், பிந்தையது குறைவான கணக்கீட்டு தீவிரம் கொண்டதாக இல்லை, ஆனால் சில எளிய தோராயங்களுடன் தொடங்கி, பின்னர் விரும்பிய துல்லியத்தை அடையத் தேவையான இடையூறுகளைச் சேர்க்க முடியும். சாராம்சத்தில் சூரிய மண்டலத்தின் இந்த கணித உருவகப்படுத்துதல் என்-பாடி சிக்கலின் ஒரு வடிவமாகும். N சின்னம் உடல்களின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கிறது, இதில் சூரியன், 8 கிரகங்கள், டஜன் கணக்கான நிலவுகள் மற்றும் எண்ணற்ற கோள்கள், வால்மீன்கள் மற்றும் பலவற்றை உள்ளடக்கியிருந்தால் அவை மிகப் பெரியதாக வளரக்கூடும். இருப்பினும், வேறு எந்த உடலிலும் சூரியனின் செல்வாக்கு மிகவும் பெரியது, மேலும் மற்ற அனைத்து உடல்களின் செல்வாக்கும் ஒருவருக்கொருவர் மிகவும் சிறியது, இதனால் சிக்கலை பகுப்பாய்வு ரீதியாக தீர்க்கக்கூடிய 2-உடல் சிக்கலாகக் குறைக்கலாம். ஒவ்வொரு கிரகத்திற்கும் ஒரு சுற்றுப்பாதை, நேரத்தின் செயல்பாடாக அதன் நிலையைப் பற்றிய எளிய விளக்கம். இது தீர்க்கப்பட்டவுடன், சந்திரன்கள் மற்றும் கிரகங்கள் ஒருவருக்கொருவர் ஏற்படுத்தும் தாக்கங்கள் சிறிய திருத்தங்களாக சேர்க்கப்படுகின்றன. முழு கிரக சுற்றுப்பாதையுடன் ஒப்பிடும்போது இவை சிறியவை. சில திருத்தங்கள் இன்னும் பல டிகிரி பெரியதாக இருக்கலாம், அதே நேரத்தில் அளவீடுகள் 1′′ ஐ விட சிறந்த துல்லியத்திற்கு செய்யப்படலாம். உருவகப்படுத்துதல்களுக்கு இந்த முறை இனி பயன்படுத்தப்படாவிட்டாலும், ஒப்பீட்டளவில் எளிமையான முக்கிய தீர்வை ஒருவர் எடுக்க முடியும், ஒருவேளை மிகப்பெரிய குழப்பங்களில் சிலவற்றைச் சேர்க்கலாம், மேலும் விரும்பிய கிரக நிலையில் அதிக முயற்சி இல்லாமல் வர முடியும் என்பதால் தோராயமான எஃபிமெரிஸை கண்டுபிடிப்பது இன்னும் பயனுள்ளதாக இருக்கும். குறைபாடு என்னவென்றால், இடையூறு கோட்பாடு மிகவும் மேம்பட்ட கணிதமாகும். நவீன முறை நவீன முறை முப்பரிமாண இடத்தில் எண் ஒருங்கிணைப்பைக் கொண்டுள்ளது. ஒன்று சம்பந்தப்பட்ட ஒவ்வொரு பொருளுக்கும் நிலை (x, y, z) மற்றும் திசைவேகத்திற்கு (vx, vy, vz) அதிக துல்லியமான மதிப்புடன் தொடங்குகிறது. ஒவ்வொரு பொருளின் வெகுஜனத்தையும் அறியும்போது, நியூட்டனின் ஈர்ப்பு விதியிலிருந்து முடுக்கம் (x, ay, az) கணக்கிடப்படலாம். ஒவ்வொரு உடலும் ஒருவருக்கொருவர் உடலை ஈர்க்கிறது, மொத்த முடுக்கம் இந்த அனைத்து ஈர்ப்புகளின் கூட்டுத்தொகையாகும். அடுத்தது ஒரு சிறிய நேர-படி Δt ஐத் தேர்ந்தெடுத்து நியூட்டனின் இரண்டாவது இயக்க விதியைப் பயன்படுத்துகிறது. முடுக்கம் Δt உடன் பெருக்கப்படுவது வேகத்திற்கு ஒரு திருத்தத்தை அளிக்கிறது. திசைவேகத்தை Δt உடன் பெருக்குவது நிலைக்கு ஒரு திருத்தத்தை அளிக்கிறது. இந்த செயல்முறை மற்ற அனைத்து உடல்களுக்கும் மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்படுகிறது. இதன் விளைவாக அனைத்து உடல்களுக்கும் நிலை மற்றும் வேகத்திற்கான ஒரு புதிய மதிப்பு உள்ளது. பின்னர், இந்த புதிய மதிப்புகளைப் பயன்படுத்தி ஒருவர் முழு கணக்கீட்டையும் அடுத்த நேர-படி Δt க்கு தொடங்குகிறார். இந்த செயல்முறையை அடிக்கடி மீண்டும் மீண்டும் செய்தால், காலப்போக்கில் அனைத்து உடல்களின் நிலைகள் பற்றிய விளக்கத்துடன் ஒருவர் முடிவடைகிறார். இந்த முறையின் நன்மை என்னவென்றால், ஒரு கணினிக்கு இது மிகவும் எளிதான வேலை, மேலும் இது ஒரே நேரத்தில் அனைத்து உடல்களுக்கும் மிகவும் துல்லியமான முடிவுகளைத் தருகிறது, இது இடையூறுகளைத் தீர்மானிப்பதற்கான சிக்கலான மற்றும் கடினமான நடைமுறைகளை நீக்குகிறது. குறைபாடு என்னவென்றால், ஒருவர் முதலில் மிகவும் துல்லியமான புள்ளிவிவரங்களுடன் தொடங்க வேண்டும், இல்லையெனில் முடிவுகள் காலப்போக்கில் யதார்த்தத்திலிருந்து விலகிச் செல்லும்; ஒருவர் x, y, z நிலைகளைப் பெறுகிறார், அவை பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுவதற்கு முன்பு மிகவும் நடைமுறை கிரகண அல்லது பூமத்திய ரேகை ஆயத்தொகுப்புகளாக மாற்றப்படுகின்றன; மேலும் இது அனைத்தும் அல்லது எதுவும் இல்லாத அணுகுமுறை. ஒரு குறிப்பிட்ட நேரத்தில் ஒரு கிரகத்தின் நிலையை ஒருவர் தெரிந்து கொள்ள விரும்பினால், மற்ற அனைத்து கிரகங்களும் அனைத்து இடைநிலை நேர நடவடிக்கைகளும் கணக்கிடப்பட வேண்டும். ஒருங்கிணைப்பு முந்தைய பிரிவில், முடுக்கம் ஒரு சிறிய காலக்கட்டத்தில் நிலையானதாக இருக்கும் என்று கருதப்பட்டது, இதனால் கணக்கீடு வெறுமனே V × Δt ஐ R உடன் சேர்ப்பது மற்றும் பலவற்றிற்கு குறைகிறது. உண்மையில் இது அப்படி இல்லை, ஒருவர் எடுக்க வேண்டிய நடவடிக்கைகளின் எண்ணிக்கை தடைசெய்யும் அளவுக்கு அதிகமாக இருக்கும் அளவுக்கு சிறியதாக இருக்கும்போது தவிர. ஏனெனில் எந்த நேரத்திலும் முடுக்கத்தால் நிலை மாறும் போது, முடுக்கத்தின் மதிப்பு உடனடி நிலைப்பாட்டால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. வெளிப்படையாகவே ஒரு முழுமையான ஒருங்கிணைப்பு தேவைப்படுகிறது. பல முறைகள் உள்ளன. முதலில் தேவையான சமன்பாடுகளைக் கவனியுங்கள்ஃ இந்த சமன்பாடு ஒரு குறிப்பிட்ட உடல் j இல் 1 முதல் N வரை இயங்கும் அனைத்து உடல்களின் முடுக்கத்தையும் விவரிக்கிறது. இது ஒரு திசையன் சமன்பாடு, எனவே இது எக்ஸ், ஒய், இசட் கூறுகள் ஒவ்வொன்றிற்கும் 3 சமன்பாடுகளாகப் பிரிக்கப்பட வேண்டும், இது பின்வருமாறுஃ கூடுதல் உறவுகளுடன், இதேபோல் ஒய் மற்றும் இசட். முந்தைய சமன்பாடு (ஈர்ப்பு) முன்கூட்டியதாகத் தோன்றலாம், ஆனால் அதன் கணக்கீட்டில் எந்தப் பிரச்சினையும் இல்லை. பிந்தைய சமன்பாடுகள் (இயக்க விதிகள்) எளிமையானதாகத் தோன்றுகின்றன, ஆனால் அவற்றைக் கணக்கிட முடியாது. கணினிகளால் ஒருங்கிணைக்க முடியாது, அவை எல்லையற்ற மதிப்புகளுடன் வேலை செய்ய முடியாது, எனவே dt க்கு பதிலாக நாம் Δt ஐப் பயன்படுத்துகிறோம், இதன் விளைவாக வரும் மாறியை இடதுபுறமாக கொண்டு வருகிறோம்ஃ, மற்றும்ஃ a என்பது இன்னும் நேரத்தின் செயல்பாடு என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள். இவற்றைத் தீர்ப்பதற்கான எளிய வழி யூலர் வழிமுறை மட்டுமே, இது சாராம்சத்தில் மேலே விவரிக்கப்பட்ட நேரியல் கூட்டல் ஆகும். சில பொதுவான கணினி மொழியில் மட்டுமே 1 பரிமாணத்திற்கு நம்மைக் கட்டுப்படுத்திக் கொள்ளுங்கள்ஃ a.old = ஈர்ப்பு செயல்பாடு (x.old) x.new = x.old + v.old * dt v.new = v.old + a.old * dt சாராம்சத்தில் நேரத்தின் முழு காலத்திற்கும் பயன்படுத்தப்படும் முடுக்கம், நேரத்தின் தொடக்கத்தில் இருந்ததைப் போலவே, இந்த எளிய முறைக்கு அதிக துல்லியம் இல்லை. தொடக்க மதிப்பு மற்றும் எதிர்பார்க்கப்படும் (இடையூறு இல்லாத) இறுதி மதிப்புக்கு இடையிலான சராசரி முடுக்கத்தை எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம் மிகச் சிறந்த முடிவுகளை அடையலாம்ஃ a.old = ஈர்ப்பு செயல்பாடு (x.old) x.expect = x.old + v.old * dt v.new = v.old + (a.old + a.expect) * 0.5 * dt x.new = x.old + (v.new + v.old) * 0.5 * dt இடைநிலை மதிப்புகளை எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம் இன்னும் சிறந்த முடிவுகளை எதிர்பார்க்கலாம். ரங்கே-குட்டா முறையைப் பயன்படுத்தும் போது இதுதான் நிகழ்கிறது, குறிப்பாக தரம் 4 அல்லது 5 இல் ஒன்று மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும். லீப்ஃப்ராக் முறை அதன் நல்ல நீண்ட கால ஆற்றல் சேமிப்பு காரணமாக பயன்படுத்தப்படும் மிகவும் பொதுவான முறையாகும். டெய்லர் தொடரின் பயன்பாடு முற்றிலும் மாறுபட்ட முறையாகும். அவ்வாறான நிலையில் நாம் எழுதுகிறோம்ஃ ஆனால் r இல் மட்டுமே சில உயர் வழித்தோன்றல்களை உருவாக்குவதற்குப் பதிலாக, ஒருவர் r மற்றும் v இல் (அதாவது r ') எழுதுவதன் மூலம் உருவாக்க முடியும், பின்னர் ஒரு தொடரில் f மற்றும் g காரணிகளை எழுதலாம். தோராயங்கள் முடுக்கங்களைக் கணக்கிடுவதற்கு ஒவ்வொரு பொருளின் ஈர்ப்பு விசை ஒருவருக்கொருவர் ஈர்க்கப்படுவதை கணக்கில் எடுத்துக் கொள்ள வேண்டும். இதன் விளைவாக உருவகப்படுத்துதலில் உள்ள கணக்கீட்டின் அளவு உடல்களின் எண்ணிக்கையின் சதுரத்துடன் அதிகரிக்கிறதுஃ உடல்களின் எண்ணிக்கையை இரட்டிப்பாக்குவது ஒரு காரணி நான்குடன் வேலையை அதிகரிக்கிறது. உருவகப்படுத்துதலின் துல்லியத்தை அதிகரிக்க அதிக தசமங்கள் மட்டுமல்லாமல் சிறிய நேர நடவடிக்கைகளும் எடுக்கப்பட வேண்டும், மீண்டும் வேலையின் அளவை விரைவாக அதிகரிக்கிறது. வேலையின் அளவைக் குறைக்க தந்திரங்கள் பயன்படுத்தப்பட வேண்டும் என்பது தெளிவாகிறது. இந்த தந்திரங்களில் சில இங்கே கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. ஏற்கனவே மேலே கோடிட்டுக் காட்டப்பட்டுள்ளபடி, சரியான ஒருங்கிணைப்பு முறையைப் பயன்படுத்துவதே மிக முக்கியமான தந்திரமாகும். அலகுகளைத் தேர்ந்தெடுப்பது முக்கியம். சில மதிப்புகளை மிகவும் சிறியதாகவும், சிலவற்றை மிகப் பெரியதாகவும் மாற்றும் எஸ். ஐ. அலகுகளில் வேலை செய்வதற்குப் பதிலாக, அனைத்து அலகுகளும் 1 க்கு அருகில் இருக்கும் வகையில் அளவிடப்பட வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, சூரிய மண்டலத்தில் உள்ள தூரங்களுக்கு வானியல் அலகு மிகவும் நேரடியானது. இதைச் செய்யாவிட்டால், ஒரு மிதக்கும் புள்ளி ஓவர்ஃப்ளோ அல்லது அண்டர்ஃப்ளோவின் மீது ஒரு கணக்கீட்டின் நடுவில் கைவிடப்பட்ட ஒரு உருவகப்படுத்துதலைக் காண்பது கிட்டத்தட்ட உறுதி, மேலும் அவ்வளவு மோசமாக இல்லாவிட்டாலும், துண்டிக்கப்பட்ட பிழைகள் காரணமாக துல்லியம் இழக்கப்பட வாய்ப்புள்ளது. N பெரியதாக இருந்தால் (சூரிய மண்டல உருவகப்படுத்துதல்களில் அவ்வளவு இல்லை, ஆனால் விண்மீன் உருவகப்படுத்துதல்களில் அதிகம்) உடல்களின் மாறும் குழுக்களை உருவாக்குவது வழக்கமாக உள்ளது. ஒரு குறிப்பிட்ட திசையில் உள்ள அனைத்து உடல்களும், அந்த நேரத்தில் கணக்கிடப்படும் குறிப்பு பொருளிலிருந்து அதிக தூரத்தில், ஒன்றாக எடுக்கப்பட்டு, அவற்றின் ஈர்ப்பு ஈர்ப்பு முழு குழுவிலும் சராசரியாக இருக்கும். ஒரு மூடிய அமைப்பின் ஆற்றலின் மொத்த அளவு மற்றும் கோண உந்தம் ஆகியவை பாதுகாக்கப்பட்ட அளவுகளாகும். ஒவ்வொரு நேர நடவடிக்கைக்குப் பிறகும் இந்த அளவுகளைக் கணக்கிடுவதன் மூலம் உருவகப்படுத்துதலை அவை கணிசமாக மாறவில்லை என்றால் ஸ்டெப்சைஸை அதிகரிக்கவும், அவர்கள் அவ்வாறு செய்யத் தொடங்கினால் அதைக் குறைக்கவும் திட்டமிட முடியும். முன்பு இருந்ததைப் போலவே உடல்களை குழுக்களாக இணைத்து, நெருக்கமானவற்றை விட தொலைதூர உடல்களில் பெரிய மற்றும் குறைந்த நேர நிலைகளைப் பயன்படுத்துவதும் சாத்தியமாகும். ஒரு குறிப்பிட்ட பொருள் குறிப்பு உடலுக்கு அருகில் இருக்கும்போது முடுக்கத்தின் அதிகப்படியான விரைவான மாற்றத்தை அனுமதிக்க, ஒரு சிறிய அளவுரு e ஐ அறிமுகப்படுத்துவது வழக்கமாக உள்ளது, இதனால் சிக்கல்கள் மிக உயர்ந்த துல்லியம் தேவைப்பட்டால், கணக்கீடுகள் மிகவும் சிக்கலானதாகிவிடும். வால்மீன்களைப் பொறுத்தவரை, கதிர்வீச்சு அழுத்தம் மற்றும் வாயு இழுவை போன்ற அலைவரிசை சக்திகள் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்பட வேண்டும். புதன் மற்றும் பிற கிரகங்களைப் பொறுத்தவரை, நீண்ட காலக் கணக்கீடுகளுக்கு, சார்பியல் விளைவுகளை புறக்கணிக்க முடியாது. பின்னர் மொத்த ஆற்றல் இனி ஒரு மாறிலி அல்ல (ஏனெனில் நேரியல் உந்தத்துடன் கூடிய நான்கு திசையன் ஆற்றல்). ஒளியின் வரையறுக்கப்பட்ட வேகம் கிளாசிக்கல் மற்றும் சார்பியல் ஒளி-நேர விளைவுகளை அனுமதிப்பதையும் முக்கியமாக்குகிறது. கிரகங்களை இனி துகள்களாக கருத முடியாது, ஆனால் அவற்றின் வடிவம் மற்றும் அடர்த்தியையும் கருத்தில் கொள்ள வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, பூமியின் தட்டையானது முன்கூட்டியே ஏற்படுவதை ஏற்படுத்துகிறது, இதனால் அச்சு சாய்வு மாறுகிறது, இது அனைத்து கிரகங்களின் நீண்ட கால இயக்கங்களையும் பாதிக்கிறது. நீண்ட கால மாதிரிகள், சில பல்லாயிரக்கணக்கான ஆண்டுகளுக்கு அப்பால், சூரிய மண்டலத்தின் ஸ்திரத்தன்மை இல்லாததால் சாத்தியமில்லை. எஃபிமெரிஸ் விஎஸ்ஓபி (கிரகங்கள்) குறிப்புகள் எண் பகுப்பாய்வு கணக்கீட்டு இயற்பியல் சூரிய மண்டல சூரிய மண்டல மாதிரிகளின் இயக்கவியல் இயக்கவியல்