Riemann–Siegel theta function
கணிதத்தில், ரீமன்-சீகல் தீட்டா செயல்பாடு காமா செயல்பாட்டின் அடிப்படையில் t இன் உண்மையான மதிப்புகளுக்கு வரையறுக்கப்படுகிறது. இங்கே வாதம் ஒரு தொடர்ச்சியான செயல்பாடு பெறப்பட்டு வைத்திருக்கும் வகையில் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகிறது, அதாவது, லாக்-காமா செயல்பாட்டின் முதன்மை கிளை வரையறுக்கப்பட்ட அதே வழியில். இது ஒரு அறிகுறியற்ற விரிவாக்கத்தைக் கொண்டுள்ளது, இது ஒன்றிணைவதில்லை, ஆனால் அதன் முதல் சில சொற்கள் இதற்கு ஒரு நல்ல தோராயத்தைக் கொடுக்கின்றன. அதன் டெய்லர்-சீரிஸ் 0 இல் இணைகிறது, இது வரிசையின் பாலிகாம்மா செயல்பாட்டைக் குறிக்கிறது. ரீமன்-சீகல் தீட்டா செயல்பாடு ரீமன் ஜீட்டா செயல்பாட்டைப் படிப்பதில் ஆர்வமாக உள்ளது, ஏனெனில் இது ரீமன் ஜீட்டா செயல்பாட்டை சுழற்ற முடியும், இதனால் அது முக்கியமான கோட்டில் முற்றிலும் உண்மையான மதிப்புள்ள Z செயல்பாடாக மாறும். வளைவு விவாதம் ரீமன்-சீகல் தீட்டா செயல்பாடு என்பது மற்றும் மூன்று வேர்களைக் கொண்ட உண்மையான மதிப்புகளுக்கான ஒற்றைப்படை உண்மையான பகுப்பாய்வு செயல்பாடாகும். இது ஒரு அதிகரித்து வரும் செயல்பாடாகும், மேலும் மதிப்புடன் உள்ளூர் உச்சநிலையைக் கொண்டுள்ளது. இது ஒரு ஒற்றை ஊடுருவல் புள்ளியைக் கொண்டுள்ளது, இது அதன் வழித்தோன்றலின் குறைந்தபட்சமாகும். ஒரு சிக்கலான மாறியின் செயல்பாடாக தீட்டா நாம் லாக்-காமா செயல்பாட்டிற்கான எல்லையற்ற தொடர் வெளிப்பாட்டைக் கொண்டுள்ளோம், அங்கு γ என்பது யூலரின் மாறிலி. z க்கு மாற்றாக மற்றும் கற்பனையான பகுதியை கால அடிப்படையில் எடுத்துக்கொள்வது θ (t) க்கு பின்வரும் தொடரைக் கொடுக்கிறது, −1 மற்றும் 1 க்கு இடையில் கற்பனையான பகுதியைக் கொண்ட மதிப்புகளுக்கு, ஆர்க்டன்ஜென்ட் செயல்பாடு ஹோலோமார்பிக் ஆகும், மேலும் இந்தத் தொடர்-1/2 மற்றும் 1/2 க்கு இடையில் கற்பனையான பகுதியுடன் பகுதியில் உள்ள சிறிய தொகுப்புகளில் ஒரே மாதிரியாக ஒன்றிணைவதை எளிதில் காணலாம், இது இந்த களத்தில் ஒரு ஹோலோமார்பிக் செயல்பாட்டிற்கு வழிவகுக்கிறது. இது பின்வருமாறு Z செயல்பாடும் இந்த பிராந்தியத்தில் ஹோலோமார்பிக் ஆகும், இது முக்கியமான துண்டு. மூடிய-வடிவ வெளிப்பாட்டைப் பெற அடையாளங்களைப் பயன்படுத்தலாம், இது நமது அசல் வரையறையை t இன் ஹோலோமார்பிக் செயல்பாட்டிற்கு விரிவுபடுத்துகிறது. log இன் முதன்மை கிளை எதிர்மறை உண்மையான அச்சில் ஒரு கிளை வெட்டு இருப்பதால், இந்த வரையறையில் θ (t) i/2 க்கு மேலே மற்றும்-i/2 க்கு கீழே உள்ள கற்பனை அச்சில் கிளை வெட்டுக்களைப் பெறுகிறது. கிராம் புள்ளிகள் முக்கியமான கோட்டில் உள்ள ரீமன் ஜீட்டா செயல்பாட்டை எழுதலாம் ஒரு உண்மையான எண் என்றால், Z செயல்பாடு உண்மையான மதிப்புகளைத் தருகிறது. எனவே முக்கியமான கோட்டில் உள்ள ஜீட்டா செயல்பாடு பூஜ்ஜியத்தில் உண்மையானதாக இருக்கும், அதனுடன் தொடர்புடையது அல்லது எப்போது. பிந்தைய வழக்கு நிகழும் இடத்தின் நேர்மறையான உண்மையான மதிப்புகள் ஜே. பி. கிராமுக்குப் பிறகு கிராம் புள்ளிகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, மேலும் நிச்சயமாக ஒரு முழு எண் இருக்கும் புள்ளிகளாகவும் விவரிக்கப்படலாம். ஒரு கிராம் புள்ளி என்பது ஒரு தீர்வாகும் இந்த தீர்வுகள் வரிசையால் தோராயமாக மதிப்பிடப்படுகின்றனஃ லம்பேர்ட் W செயல்பாடு எங்கே. இங்கே மிகச்சிறிய எதிர்மறை அல்லாத கிராம் புள்ளிகள் உள்ளன குறியீடு n இன் தேர்வு சற்று கச்சா. இது வரலாற்று ரீதியாக முதல் மதிப்பில் குறியீடு 0 ஆக இருக்கும் வகையில் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகிறது, இது முக்கியமான கோட்டில் உள்ள ரீமன் ஜீட்டா செயல்பாட்டின் மிகச்சிறிய நேர்மறை பூஜ்ஜியத்தை (கற்பனையான பகுதியில் 14.13472515.) விட பெரியது. கவனிக்கவும், இந்த-செயல்பாடு முழுமையான-சிறிய உண்மையான வாதங்களுக்கு ஊசலாடுகிறது, எனவே [−24,24] இடைவெளியில் தனித்துவமாக தலைகீழாக இல்லை! எனவே ஒற்றைப்படை தீட்டா-செயல்பாடு அதன் சமச்சீர் கிராம் புள்ளியை குறியீடு-3 இல் 0 மதிப்புடன் கொண்டுள்ளது. பூஜ்ஜியங்களைக் கணக்கிடும்போது கிராம் புள்ளிகள் பயனுள்ளதாக இருக்கும். ஒரு கிராம் புள்ளியில் மற்றும் இது இரண்டு தொடர்ச்சியான கிராம் புள்ளிகளில் நேர்மறையாக இருந்தால், இடைவெளியில் பூஜ்ஜியத்தைக் கொண்டிருக்க வேண்டும். கிராமத்தின் சட்டத்தின்படி, உண்மையான பகுதி பொதுவாக நேர்மறையாக இருக்கும், அதே நேரத்தில் கற்பனையான பகுதி கிராம் புள்ளிகளுடன் மாறி மாறி, ஓரளவு வழக்கமான இடைவெளியில் நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை மதிப்புகளுக்கு இடையில் இருக்கும். 0 முதல் T வரையிலான துண்டில் உள்ள வேர்களின் எண்ணிக்கையை, அறிகுறியற்ற முறையில் வளரும் ஒரு பிழை சொல் எங்கே என்பதைக் கண்டறியலாம். கிராமத்தின் சட்டத்திற்குக் கீழ்ப்படிந்தால் மட்டுமே, துண்டில் வேர்களின் எண்ணிக்கையைக் கண்டுபிடிப்பது வெறுமனே ஆகிவிடும் இன்று நமக்குத் தெரியும், நீண்ட காலத்திற்கு, கிராமத்தின் சட்டம் அனைத்து கிராம்-இடைவெளிகளில் நான்கில் ஒரு பங்கிற்கு ரீமன் ஜீட்டா-செயல்பாட்டின் சரியாக 1 பூஜ்ஜியத்தைக் கொண்டிருக்கத் தவறிவிட்டது. பெரிய குறியீடுகளுக்கு இது தோல்வியடையக்கூடும் என்று கிராம் அஞ்சினார் (முதல் மிஸ் 127 வது பூஜ்ஜியத்திற்கு முன்பு குறியீடு 126 இல் உள்ளது) எனவே இது மிக உயர்ந்த குறியீடுகளுக்கு மட்டுமே என்று கூறினார். பின்னர் ஹட்சின்சன் முக்கியமான கோட்டில் உள்ள அனைத்து பூஜ்ஜியங்களும் கிராம் புள்ளிகளால் பிரிக்கப்படும் (தவறான) அறிக்கைக்கு கிராம் விதி என்ற சொற்றொடரை உருவாக்கினார். மேலும் காண்க Z செயல்பாடு குறிப்புகள் கேப்க், டபிள்யூ. (1979), நியூ ஹெர்லைடங் அண்ட் எக்ஸ்ப்லிஸியெர் ரெஸ்டாப்ஷாட்சங் டெர் ரீமன்-சீகல்-ஃபார்மல். ஆய்வறிக்கை, கோட்டிங்கன் பல்கலைக்கழகம். திருத்தப்பட்ட பதிப்பு (eDiss Göttingen 2015) வெளிப்புற இணைப்புகள் வொல்ப்ராம் ஆராய்ச்சி-ரீமன்-சீகல் தீட்டா செயல்பாடு (செயல்பாட்டு திட்டமிடல் மற்றும் மதிப்பீட்டை உள்ளடக்கியது) ஜீட்டா மற்றும் எல்-செயல்பாடுகள் பெர்ன்ஹார்ட் ரீமன்