Affine Lie algebra
கணிதத்தில், ஒரு அஃபைன் லை அல்ஜிப்ரா என்பது ஒரு எல்லையற்ற பரிமாண லை அல்ஜிப்ரா ஆகும், இது ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண எளிய லை அல்ஜிபிராவிலிருந்து நியதி முறையில் கட்டமைக்கப்பட்டுள்ளது. ஒரு அஃபைன் லை இயற்கணிதத்தைப் பொறுத்தவரை, கீழே விவரிக்கப்பட்டுள்ளபடி, தொடர்புடைய அஃபைன் காக்-மூடி இயற்கணிதத்தையும் உருவாக்கலாம். முற்றிலும் கணிதக் கண்ணோட்டத்தில், அஃபைன் லை ஆல்ஜிப்ராக்கள் சுவாரஸ்யமானவை, ஏனெனில் அவற்றின் பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாடு, வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண அரை எளிய லை ஆல்ஜிப்ராக்களின் பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாட்டைப் போலவே, பொதுவான காக்-மூடி ஆல்ஜிப்ராக்களை விட மிகவும் நன்கு புரிந்து கொள்ளப்படுகிறது. விக்டர் காக் கவனித்தபடி, அஃபைன் லை ஆல்ஜிப்ராக்களின் பிரதிநிதித்துவங்களுக்கான எழுத்து சூத்திரம் சில ஒருங்கிணைந்த அடையாளங்களைக் குறிக்கிறது, அவை மெக்டொனால்ட் அடையாளங்கள். அஃபைன் லை ஆல்ஜிப்ராக்கள் சரம் கோட்பாடு மற்றும் இரு பரிமாண இணக்கமான புலக் கோட்பாட்டில் அவை கட்டமைக்கப்பட்ட விதத்தின் காரணமாக முக்கிய பங்கு வகிக்கின்றனஃ ஒரு எளிய லை இயற்கணிதத்திலிருந்து தொடங்கி, லூப் இயற்கணிதத்தை ஒருவர் கருதுகிறார், இது ஒரு வட்டத்தில்-மதிப்புள்ள செயல்பாடுகளால் (மூடிய சரம் என விளக்கப்படுகிறது) பாயிண்ட் வைஸ் கம்யூட்டேட்டருடன் உருவாகிறது. அஃபைன் லை இயற்கணிதம் வளைய இயற்கணிதத்தில் ஒரு கூடுதல் பரிமாணத்தைச் சேர்ப்பதன் மூலமும், பரிமாற்றியை அற்பமான முறையில் மாற்றியமைப்பதன் மூலமும் பெறப்படுகிறது, இதை இயற்பியலாளர்கள் குவாண்டம் ஒழுங்கின்மை (இந்த விஷயத்தில், WZW மாதிரியின் ஒழுங்கின்மை) மற்றும் கணிதவியலாளர்கள் ஒரு மைய நீட்டிப்பு என்று அழைக்கிறார்கள். மேலும் பொதுவாக, σ என்பது அதன் டைன்கின் வரைபடத்தின் தானியங்கி வடிவத்துடன் தொடர்புடைய எளிய லை இயற்கணிதத்தின் தானியங்கி வடிவமாக இருந்தால், முறுக்கப்பட்ட வளைய இயற்கணிதம் உண்மையான கோட்டில்-மதிப்புள்ள செயல்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளது, இது முறுக்கப்பட்ட கால இடைவெளி நிலையை பூர்த்தி செய்கிறது. அவற்றின் மைய நீட்டிப்புகள் துல்லியமாக முறுக்கப்பட்ட அஃபைன் லை ஆல்ஜிப்ராக்கள் ஆகும். சரம் கோட்பாட்டின் கண்ணோட்டம் அஃபைன் லை ஆல்ஜிப்ராக்களின் பல ஆழமான பண்புகளைப் புரிந்துகொள்ள உதவுகிறது, அதாவது அவற்றின் பிரதிநிதித்துவங்களின் எழுத்துக்கள் மாடுலர் குழுவின் கீழ் தங்களுக்குள் மாறுகின்றன. வரையறை ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண எளிய லை இயற்கணிதமாக இருந்தால், அதனுடன் தொடர்புடைய அஃபைன் லை இயற்கணிதம் வளைய இயற்கணிதத்தின் மைய விரிவாக்கமாக கட்டப்பட்டுள்ளது, ஒரு பரிமாண மையத்துடன் ஒரு திசையன் இடமாக, லாரண்ட் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் சிக்கலான திசையன் இடைவெளி தீர்மானிக்கப்படாத t இல் உள்ளது. லை அடைப்புக்குறி அனைத்திற்கான சூத்திரத்தால் வரையறுக்கப்படுகிறது மற்றும், லை இயற்கணிதத்தில் லை அடைப்புக்குறி எங்கே மற்றும் கார்டன்-கில்லிங் வடிவமாகும். ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண அரை எளிய லை இயற்கணிதத்துடன் தொடர்புடைய அஃபைன் லை இயற்கணிதம் அதன் எளிய கூட்டுத்தொகையுடன் தொடர்புடைய அஃபைன் லை இயற்கணுக்களின் நேரடி கூட்டுத்தொகையாகும். தொடர்புடைய அஃபைன் கேக்-மூடி இயற்கணிதம் [d, A] = δ (A) ஐ திருப்திப்படுத்தும் கூடுதல் ஜெனரேட்டர் d ஐச் சேர்ப்பதன் மூலம் அரை மறைமுக தயாரிப்பு என்று வரையறுக்கப்படுகிறது. டைன்கின் வரைபடங்களை உருவாக்குவது ஒவ்வொரு அஃபைன் லை இயற்கணிதத்தின் டைன்கின் வரைபடம் அதனுடன் தொடர்புடைய எளிய லை இயற்கணிதத்தையும் ஒரு கூடுதல் முனையையும் கொண்டுள்ளது, இது ஒரு கற்பனையான மூலத்தைச் சேர்ப்பதற்கு ஒத்திருக்கிறது. நிச்சயமாக, அத்தகைய முனையை எந்த இடத்திலும் டைன்கின் வரைபடத்துடன் இணைக்க முடியாது, ஆனால் ஒவ்வொரு எளிய லை இயற்கணிதத்திற்கும் லை இயற்கணிதத்தின் வெளிப்புற தானியங்கிகளின் குழுவின் கார்டினாலிட்டிக்கு சமமான பல சாத்தியமான இணைப்புகள் உள்ளன. குறிப்பாக, இந்த குழு எப்போதும் அடையாள உறுப்பைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் அதனுடன் தொடர்புடைய அஃபைன் லை அல்ஜிப்ரா ஒரு முறுக்கப்படாத அஃபைன் லை அல்ஜிப்ரா என்று அழைக்கப்படுகிறது. எளிய இயற்கணிதம் உள் தன்னியல்புகள் அல்லாத தன்னியல்புகளை ஒப்புக்கொள்ளும்போது, ஒருவர் மற்ற டைன்கின் வரைபடங்களைப் பெறலாம், இவை முறுக்கப்பட்ட அஃபைன் லை ஆல்ஜிப்ராக்களுடன் ஒத்திருக்கின்றன. மைய நீட்டிப்புகளை வகைப்படுத்துவது தொடர்புடைய எளிய லை இயற்கணிதத்தின் டைன்கின் வரைபடத்துடன் ஒரு கூடுதல் முனையின் இணைப்பு பின்வரும் கட்டமைப்பிற்கு ஒத்திருக்கிறது. ஒரு அஃபைன் லை இயற்கணிதத்தை எப்போதும் தொடர்புடைய எளிய லை இயற்கணிதத்தின் வளைய இயற்கணிதத்தின் மைய நீட்டிப்பாக கட்டமைக்க முடியும். அதற்கு பதிலாக ஒருவர் அரை எளிய லை இயற்கணிதத்துடன் தொடங்க விரும்பினால், அரை எளிய இயற்கணிதத்தின் எளிய கூறுகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமமான பல உறுப்புகளால் ஒருவர் மையமாக நீட்டிக்க வேண்டும். இயற்பியலில், அதற்கு பதிலாக அரை எளிய இயற்கணிதம் மற்றும் அபெலியன் இயற்கணிதம் ஆகியவற்றின் நேரடி கூட்டுத்தொகையை ஒருவர் பெரும்பாலும் கருதுகிறார். இந்த வழக்கில் ஒருவர் n அபெலியன் ஜெனரேட்டர்களுக்கு மேலும் n மைய கூறுகளைச் சேர்க்க வேண்டும். தொடர்புடைய எளிய சிறிய லை குழுவின் வளையக் குழுவின் இரண்டாவது ஒருங்கிணைந்த ஒத்திசைவு முழு எண்களுக்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும். ஒற்றை ஜெனரேட்டரால் அஃபைன் லை குழுவின் மைய நீட்டிப்புகள் இந்த ஃப்ரீ லூப் குழுவின் மீது இடவியல் ரீதியாக வட்டக் கட்டிகளாகும், அவை ஃபைப்ரேஷனின் முதல் செர்ன் வகுப்பு என்று அழைக்கப்படும் இரண்டு வகுப்புகளால் வகைப்படுத்தப்படுகின்றன. எனவே, ஒரு அஃபைன் லை குழுவின் மைய நீட்டிப்புகள் ஒரு அளவுரு k ஆல் வகைப்படுத்தப்படுகின்றன, இது இயற்பியல் இலக்கியத்தில் நிலை என்று அழைக்கப்படுகிறது, இது முதலில் தோன்றியது. k ஒரு இயற்கை எண்ணாக இருக்கும்போது மட்டுமே அஃபைன் காம்பாக்ட் குழுக்களின் ஒற்றை மிக உயர்ந்த எடை பிரதிநிதித்துவங்கள் உள்ளன. மேலும் பொதுவாக, அரை எளிய இயற்கணிதத்தை ஒருவர் கருத்தில் கொண்டால், ஒவ்வொரு எளிய கூறுக்கும் ஒரு மைய கட்டணம் உள்ளது. கட்டமைப்பு கார்டன்-வெயில் அடிப்படையை வரையறுக்கப்பட்ட வழக்கில், கார்டன்-வெயில் அடிப்படையை தீர்மானிப்பது அஃபைன் லை ஆல்ஜிப்ராக்களின் கட்டமைப்பை தீர்மானிப்பதில் ஒரு முக்கியமான படியாகும். ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண, எளிய, சிக்கலான லை இயற்கணிதத்தை கார்டன் துணை இயற்கணிதம் மற்றும் ஒரு குறிப்பிட்ட வேர் அமைப்புடன் சரிசெய்யவும். குறியீட்டை அறிமுகப்படுத்துவதன் மூலம், கார்டன்-வெயில் அடிப்படையை அஃபைன் லை இயற்கணிதத்திற்கு ஒன்றுக்கு நீட்டிக்க முயற்சி செய்யலாம், இது ஒரு அபெலியன் துணை இயற்கணிதத்தை உருவாக்குகிறது. இன் மற்றும் ஆன் இன் ஐகென் மதிப்புகள் முறையே மற்றும் சுயாதீனமாக உள்ளன. எனவே இந்த அபெலியன் துணை இயற்கணிதத்தைப் பொறுத்தவரை வேர் எல்லையற்ற சீரழிந்துள்ளது. மேலே விவரிக்கப்பட்ட வழித்தோன்றலை அபெலியன் துணை இயற்கணிதத்துடன் இணைப்பது, அபெலியன் துணை இயற்கணிதத்தை அஃபைன் லை இயற்கணிதத்திற்கான கார்டன் துணை இயற்கணிதமாக மாற்றுகிறது, கொலை வடிவத்திற்கான ஐகென் மதிப்புகளுடன் கொலை வடிவத்தை அதன் மாறாத பண்பைப் பயன்படுத்தி கிட்டத்தட்ட முழுமையாக தீர்மானிக்க முடியும். அஃபைன் காக்-மூடி இயற்கணிதத்தில் கில்லிங் வடிவத்திற்கும் கில்லிங் வடிவத்திற்கும் குறியீட்டைப் பயன்படுத்துகிறது, அங்கு கடைசி சமன்பாடு மட்டுமே மாறுபாட்டால் சரிசெய்யப்படுவதில்லை, அதற்கு பதிலாக மரபுப்படி தேர்ந்தெடுக்கப்படுகிறது. குறிப்பிடத்தக்க வகையில், உட்பகுதியின் கட்டுப்பாடு கையொப்பத்துடன் ஒரு இருமுனை வடிவத்தை அளிக்கிறது. இதனுடன் தொடர்புடைய அஃபைன் மூலத்தை எழுதுங்கள். வரையறுப்பது, இதை மீண்டும் எழுதலாம் வேர்களின் முழு தொகுப்பு பின்னர் இது பூஜ்ஜிய நீளத்தைக் கொண்டிருப்பதால் அசாதாரணமானதுஃ கில்லிங் வடிவத்தால் தூண்டப்பட்ட வேர்களில் இருமுனை வடிவம் எங்கே. அஃபைன் எளிய வேர் அஃபைன் இயற்கணிதத்திற்கான எளிய வேர்களின் அடிப்படையைப் பெற, ஒரு கூடுதல் எளிய வேர் இணைக்கப்பட வேண்டும், மேலும் ஒரு வேரின் உயரம் பற்றிய வழக்கமான கருத்தைப் பயன்படுத்தி, மிக உயர்ந்த வேர் எங்குள்ளது என்பதன் மூலம் வழங்கப்படுகிறது. இது நீட்டிக்கப்பட்ட கார்டன் மேட்ரிக்ஸ் மற்றும் நீட்டிக்கப்பட்ட டைன்கின் வரைபடங்களை வரையறுக்க அனுமதிக்கிறது. பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாடு அஃபைன் லை ஆல்ஜிப்ராக்களுக்கான பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாடு பொதுவாக வர்மா தொகுதிகளைப் பயன்படுத்தி உருவாக்கப்படுகிறது. அரை எளிய லை ஆல்ஜிப்ராக்களைப் போலவே, இவை மிக அதிக எடை கொண்ட தொகுதிகள். வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண பிரதிநிதித்துவங்கள் எதுவும் இல்லை; இது ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண வர்மா தொகுதியின் பூஜ்ய திசையன்கள் பூஜ்ஜியமாக இருக்க வேண்டும் என்ற உண்மையிலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது; அதேசமயம் அஃபைன் லை ஆல்ஜிப்ராக்களுக்கானவை இல்லை. தோராயமாகப் பார்த்தால், இது பின்வருமாறு, ஏனெனில் கொலை வடிவம் திசைகளில் லோரெண்ட்சியன் ஆகும், எனவே சில நேரங்களில் சரத்தில் "லைட் கோன் ஆயத்தங்கள்" என்று அழைக்கப்படுகின்றன. "கதிரியக்கமாக வரிசைப்படுத்தப்பட்ட" தற்போதைய இயக்குபவர் தயாரிப்புகள் சரம் உலகத் தாள் மற்றும் இடஞ்சார்ந்த திசையில் நேரம் போன்ற திசையை எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட நேரத்தைப் போன்ற இயல்பானவை என்று புரிந்து கொள்ள முடியும். தரவரிசை k இன் வெற்றிட பிரதிநிதித்துவம் பிரதிநிதித்துவங்கள் பின்வருமாறு இன்னும் விரிவாக கட்டமைக்கப்பட்டுள்ளன. ஒரு பொய் இயற்கணிதம் மற்றும் அடிப்படையை சரிசெய்யவும். பின்னர் தொடர்புடைய வளைய இயற்கணிதத்திற்கு ஒரு அடிப்படையாகும், மேலும் இது அஃபைன் லை இயற்கணிதத்திற்கு ஒரு அடிப்படையாகும். தரவரிசையின் வெற்றிட பிரதிநிதித்துவம், அடிப்படையுடன் சிக்கலான பிரதிநிதித்துவம் எங்கே என்பதைக் குறிக்கிறது மற்றும் (உடன்) அஃபைன் வெர்டெக்ஸ் அல்ஜிப்ரா மூலம் செயல்பாட்டை வரையறுக்கிறது வெற்றிட பிரதிநிதித்துவம் உண்மையில் வெர்டெக்ஸ் அல்ஜிப்ரா கட்டமைப்பைக் கொண்டிருக்கலாம், இந்த விஷயத்தில் இது தரவரிசையின் அஃபைன் வெர்டெக்ஸ் அல்ஜிப்ரா என்று அழைக்கப்படுகிறது. அஃபைன் லை இயற்கணிதம் இயற்கையாகவே காக்-மூடி இயற்கணிதம் வரை விரிவடைகிறது, இது வெர்டெக்ஸ் இயற்கணிதத்தில் மொழிபெயர்ப்பு ஆபரேட்டரால் குறிக்கப்படுகிறது. வேய்ல் குழு மற்றும் எழுத்துக்கள் ஒரு அஃபைன் லை இயற்கணிதத்தின் வேய்ல் குழுவை பூஜ்ஜிய-முறை இயற்கணிதத்தின் வேய்ல் குழுவின் (வளைய இயற்கணிதத்தை வரையறுக்கப் பயன்படுத்தப்படும் லை இயற்கணிதம்) மற்றும் கோரோட் லட்டிஸின் அரை-நேரடி பெருக்கலாக எழுதலாம். அஃபைன் லை ஆல்ஜிப்ராக்களின் இயற்கணித எழுத்துக்களின் வேய்ல் எழுத்து சூத்திரம் வேய்ல்-காக் எழுத்து சூத்திரத்திற்கு பொதுமைப்படுத்துகிறது. இவற்றில் இருந்து பல சுவாரஸ்யமான கட்டுமானங்கள் பின்பற்றப்படுகின்றன. ஜாகோபி தீட்டா செயல்பாட்டின் பொதுமைப்படுத்தல்களை ஒருவர் உருவாக்கலாம். இந்த தீட்டா செயல்பாடுகள் மாடுலர் குழுவின் கீழ் மாறுகின்றன. அரை-எளிய லை ஆல்ஜிப்ராக்களின் வழக்கமான வகுத்தல் அடையாளங்களும் பொதுமைப்படுத்தப்படுகின்றன; ஏனெனில் எழுத்துக்களை "சிதைவுகள்" அல்லது மிக உயர்ந்த எடைகளின் q-ஒப்புமைகளாக எழுத முடியும் என்பதால், இது பல புதிய ஒருங்கிணைந்த அடையாளங்களுக்கு வழிவகுத்தது, இதில் டெடெகிண்ட் எட்டா செயல்பாட்டிற்கான முன்பு அறியப்படாத பல அடையாளங்களும் அடங்கும். இந்த பொதுமைப்படுத்தல்களை லாங்லேண்ட்ஸ் திட்டத்தின் ஒரு நடைமுறை எடுத்துக்காட்டாக பார்க்க முடியும். சுகவாரா கட்டுமானத்தின் காரணமாக, எந்தவொரு அஃபைன் லை இயற்கணிதத்தின் உலகளாவிய உறை இயற்கணிதமும் விராஸோரோ இயற்கணிதத்தை ஒரு துணை இயற்கணிதமாக கொண்டுள்ளது. இது அஃபைன் லை ஆல்ஜிப்ராக்களை WZW மாதிரிகள் அல்லது கோசெட் மாதிரிகள் போன்ற இணக்கமான புலக் கோட்பாடுகளின் சமச்சீர் ஆல்ஜிப்ராக்களாக செயல்பட அனுமதிக்கிறது. இதன் விளைவாக, அஃபைன் லை ஆல்ஜிப்ராக்கள் சரம் கோட்பாட்டின் உலகத் தாள் விளக்கத்திலும் தோன்றும். எடுத்துக்காட்டு பரிமாற்ற உறவுகளை திருப்திப்படுத்தும் ஜெனரேட்டர்களால் வரையறுக்கப்பட்ட ஹைசன்பெர்க் இயற்கணிதத்தை அஃபைன் லை இயற்கணிதமாக உணர முடியும். குறிப்புகள் லை ஆல்ஜிப்ராக்கள் பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாடு