Position (geometry)
வடிவவியலில், ஒரு நிலை அல்லது நிலை திசையன், இருப்பிட திசையன் அல்லது ஆரம் திசையன் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது, இது ஒரு யூக்ளிடியன் திசையன் ஆகும், இது ஒரு தன்னிச்சையான குறிப்பு தோற்றம் O உடன் தொடர்புடைய இடத்தில் ஒரு புள்ளி P இன் நிலையை குறிக்கிறது. பொதுவாக x, r அல்லது s என்று குறிக்கப்படும் இது, O முதல் P வரையிலான நேர் கோடு பிரிவுடன் ஒத்திருக்கிறது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், இடப்பெயர்ச்சி அல்லது மொழிபெயர்ப்பு தான் P இன் தோற்றத்தை வரைபடமாக்குகிறதுஃ நிலை திசையன் என்ற சொல் பெரும்பாலும் வேறுபட்ட வடிவியல், இயக்கவியல் மற்றும் எப்போதாவது திசையன் கால்குலஸ் ஆகிய துறைகளில் பயன்படுத்தப்படுகிறது. அடிக்கடி இது இரு பரிமாண அல்லது முப்பரிமாண இடைவெளியில் பயன்படுத்தப்படுகிறது, ஆனால் யூக்ளிடியன் இடைவெளிகள் மற்றும் எந்த பரிமாணத்தின் இடங்களையும் எளிதில் பொதுமைப்படுத்தலாம். தொடர்புடைய நிலை புள்ளி P ஐப் பொறுத்தவரை ஒரு புள்ளி Q இன் உறவினர் நிலை யூக்ளிடியன் திசையன் ஆகும், இது இரண்டு முழுமையான நிலை திசையன்களின் கழித்தல் விளைவாகும் (ஒவ்வொன்றும் தோற்றத்தைப் பொறுத்தவரை): இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையிலான உறவினர் திசை என்பது ஒரு அலகு திசையனாக இயல்பாக்கப்பட்ட அவற்றின் உறவினர் நிலையாகும்ஃ இங்கு வகுத்தல் என்பது இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரமாகும். ஒரு ஒப்பீட்டு திசை என்பது ஒரு பிணைக்கப்பட்ட திசையன் ஆகும், இது ஒரு சாதாரண திசைக்கு மாறாக, இது ஒரு இலவச திசையன் ஆகும். வரையறை மூன்று பரிமாணங்கள் முப்பரிமாணங்களில், முப்பரிமாண ஆயத்தொகுதிகளின் எந்த தொகுப்பும் அவற்றுடன் தொடர்புடைய அடிப்படை திசையன்களும் விண்வெளியில் ஒரு புள்ளியின் இருப்பிடத்தை வரையறுக்க பயன்படுத்தப்படலாம்-கையில் உள்ள பணிக்கு எது எளிமையானது என்பதைப் பயன்படுத்தலாம். பொதுவாக, ஒருவர் பழக்கமான கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பைப் பயன்படுத்துகிறார், அல்லது சில நேரங்களில் கோள துருவ ஆயத்தொலைவுகள் அல்லது உருளை ஆயத்தொலைவுகள்ஃ இங்கு t என்பது ஒரு அளவுரு, அவற்றின் செவ்வக அல்லது வட்ட சமச்சீர் காரணமாக. இந்த வெவ்வேறு ஆயத்தொலைவுகள் மற்றும் அதனுடன் தொடர்புடைய அடிப்படை திசையன்கள் ஒரே நிலை திசையனைக் குறிக்கின்றன. அதற்கு பதிலாக மேலும் பொதுவான வளைவு ஆயத்தொலைவுகளைப் பயன்படுத்தலாம், மேலும் அவை தொடர்ச்சியான இயக்கவியல் மற்றும் பொது சார்பியல் போன்ற சூழல்களில் உள்ளன (பிந்தைய வழக்கில் ஒருவருக்கு கூடுதல் நேர ஒருங்கிணைப்பு தேவை). n பரிமாணங்கள் நேரியல் இயற்கணிதம் ஒரு n பரிமாண நிலை திசையனின் சுருக்கத்தை அனுமதிக்கிறது. ஒரு நிலை திசையனை அடிப்படை திசையன்களின் நேரியல் கலவையாக வெளிப்படுத்தலாம்ஃ அனைத்து நிலை திசையன்களின் தொகுப்பும் நிலை இடத்தை உருவாக்குகிறது (ஒரு திசையன் இடைவெளி அதன் கூறுகள் நிலை திசையன்களாகும்), ஏனெனில் நிலைகளைச் சேர்க்கலாம் (திசையன் கூட்டல்) மற்றும் நீளத்தில் அளவிடலாம் (அளவிடுதல் பெருக்கம்) இடத்தில் மற்றொரு நிலை திசையனைப் பெற. "இடைவெளி" என்ற கருத்து உள்ளுணர்வு கொண்டது, ஏனெனில் ஒவ்வொரு xi (i = 1,2,., n) எந்த மதிப்பையும் கொண்டிருக்கலாம், மதிப்புகளின் தொகுப்பு இடத்தில் ஒரு புள்ளியை வரையறுக்கிறது. நிலை இடத்தின் பரிமாணம் n (மங்கலான (R) = n என்றும் குறிக்கப்படுகிறது). அடிப்படை திசையன்களைப் பொறுத்தவரை திசையன் r இன் ஆயத்தொலைவுகள் xi ஆகும். ஒருங்கிணைப்புகளின் திசையன் ஒருங்கிணைப்பு திசையன் அல்லது n-டப்பிள் (x1, x2,., xn) ஐ உருவாக்குகிறது. ஒரு அளவுரு xi (t) ஒரு வளைந்த 1D பாதையை விவரிக்கும், இரண்டு அளவுருக்கள் xi (t1, t2) ஒரு வளைந்த 2D மேற்பரப்பை விவரிக்கிறது, மூன்று xi (t1, t2, t3) ஒரு வளைந்த 3D அளவை விவரிக்கிறது. ஒரு அடிப்படை தொகுப்பு B = {e1, e2,., en} இன் நேரியல் இடைவெளி நிலை இடைவெளி R க்கு சமம், குறிக்கப்படும் இடைவெளி (B) = R. பயன்பாடுகள் வேறுபட்ட வடிவியல் நிலை திசையன் புலங்கள் தொடர்ச்சியான மற்றும் வேறுபடுத்தக்கூடிய இட வளைவுகளை விவரிக்கப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, இந்த விஷயத்தில் சுயாதீன அளவுரு நேரமாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை, ஆனால் (எ. கா.) வளைவின் வளைவின் நீளம். இயக்கவியல் இயக்கத்தின் எந்தவொரு சமன்பாட்டிலும், நிலை திசையன் r (t) பொதுவாக மிகவும் விரும்பப்படும் அளவாகும், ஏனெனில் இந்த செயல்பாடு ஒரு துகள் இயக்கத்தை வரையறுக்கிறது (அதாவது. ஒரு புள்ளி நிறை)-ஒரு குறிப்பிட்ட நேரத்தில் கொடுக்கப்பட்ட ஒருங்கிணைப்பு அமைப்புடன் தொடர்புடைய அதன் இருப்பிடம் t. நிலையின் அடிப்படையில் இயக்கத்தை வரையறுக்க, ஒவ்வொரு ஒருங்கிணைப்பும் நேரத்தின் அடிப்படையில் அளவுருவாக இருக்கலாம்; நேரத்தின் ஒவ்வொரு தொடர்ச்சியான மதிப்பும் ஆயத்தொகுப்புகளால் கொடுக்கப்பட்ட தொடர்ச்சியான இடஞ்சார்ந்த இடங்களின் வரிசையுடன் ஒத்திருப்பதால், பல தொடர்ச்சியான இடங்களின் தொடர்ச்சியான வரம்பு என்பது துகள் தடமறிதல் பாதையாகும். ஒரு பரிமாணத்தைப் பொறுத்தவரை, நிலை ஒரே ஒரு கூறுகளைக் கொண்டுள்ளது, எனவே இது திறம்பட ஒரு அளவிடக்கூடிய ஒருங்கிணைப்பாக சீரழிகிறது. இது x திசையில் ஒரு திசையன் அல்லது ரேடியல் r திசையாக இருக்கலாம். சமமான குறியீடுகளில் வழித்தோன்றல்கள் அடங்கும் நேரம் t இன் செயல்பாடான ஒரு நிலை திசையன் r க்கு, நேர வழித்தோன்றல்களை t ஐப் பொறுத்து கணக்கிட முடியும். இந்த வழித்தோன்றல்கள் இயக்கவியல், கட்டுப்பாட்டுக் கோட்பாடு, பொறியியல் மற்றும் பிற அறிவியல் ஆய்வுகளில் பொதுவான பயன்பாட்டைக் கொண்டுள்ளன. திசைவேகம் என்பது ஒரு எண்ணற்ற சிறிய இடப்பெயர்ச்சி (திசையன்) ஆகும். முடுக்கம் ஜெர்க் நிலையின் முதல், இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது வழித்தோன்றலுக்கான இந்த பெயர்கள் பொதுவாக அடிப்படை இயக்கவியலில் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. விரிவாக்கத்தின் மூலம், உயர்-வரிசை வழித்தோன்றல்களை இதே பாணியில் கணக்கிட முடியும். இந்த உயர்-வரிசை வழித்தோன்றல்களைப் பற்றிய ஆய்வு அசல் இடப்பெயர்ச்சி செயல்பாட்டின் தோராயங்களை மேம்படுத்தலாம். பொறியியல் மற்றும் இயற்பியலில் பல பகுப்பாய்வு நுட்பங்களை இயக்கும் வகையில், எல்லையற்ற வரிசையின் கூட்டுத்தொகையாக இடப்பெயர்ச்சி செயல்பாட்டை துல்லியமாக பிரதிநிதித்துவப்படுத்துவதற்காக இத்தகைய உயர்-வரிசை சொற்கள் தேவைப்படுகின்றன. அஃபைன் ஸ்பேஸ் கோஆர்டினேட் சிஸ்டம் கிடைமட்ட நிலை வரி உறுப்பு அளவுரு மேற்பரப்பு நிலை நிர்ணயம் ஆறு டிகிரி சுதந்திரம் செங்குத்து நிலை குறிப்புகள் குறிப்புகள் கெல்லர், எஃப். ஜே., கெட்டிஸ், டபிள்யூ. இ. மற்றும் பலர். 1993). "இயற்பியல்ஃ கிளாசிக்கல் மற்றும் நவீன" 2 வது பதிப்பு. மெக்ரா ஹில் வெளியீடு. வெளிப்புற இணைப்புகள் இயக்கவியல் பண்புகள்