CCR and CAR algebras
கணிதம் மற்றும் இயற்பியலில் முறையே போசான்கள் மற்றும் ஃபெர்மியன்களின் குவாண்டம் இயந்திர ஆய்விலிருந்து சி. சி. ஆர் ஆல்ஜிப்ராக்கள் (நியதி பரிமாற்ற உறவுகளுக்குப் பிறகு) மற்றும் சி. ஏ. ஆர் ஆல்ஜிப்ராக்கள் (நியதி எதிர் பரிமாற்ற உறவுகளுக்குப் பிறகு) எழுகின்றன. குவாண்டம் புள்ளியியல் இயக்கவியல் மற்றும் குவாண்டம் புலம் கோட்பாட்டில் அவை முக்கிய பங்கு வகிக்கின்றன. சி. சி. ஆர் மற்றும் சி. ஏ. ஆர் ஆகியவை *-ஆல்ஜிப்ராக்கள் ஒரு நன்சீங்குலர் ரியல் ஆண்டிசிமெட்ரிக் பைலினியர் வடிவம் (அதாவது. ஒரு சிம்ப்லெக்டிக் திசையன் இடம்). எந்தவொரு உள்ளத்திற்கும் உள்ள உறவுகளுக்கு உட்பட்ட கூறுகளால் உருவாக்கப்படும் யூனிடல் *-அல்ஜிப்ரா நியதி பரிமாற்ற உறவுகள் (சி. சி. ஆர்) அல்ஜிப்ரா என்று அழைக்கப்படுகிறது. வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாணமாக இருக்கும்போது இந்த இயற்கணிதத்தின் பிரதிநிதித்துவங்களின் தனித்துவம் ஸ்டோன்-வான் நியூமன் தேற்றத்தில் விவாதிக்கப்படுகிறது. அதற்கு பதிலாக ஒரு ஒற்றை அல்லாத உண்மையான சமச்சீர் இருமுனை வடிவம் பொருத்தப்பட்டிருந்தால், எந்தவொரு உறவுகளுக்கும் உட்பட்ட கூறுகளால் உருவாக்கப்படும் ஒற்றையாட்சி *-இயற்கணிதம் நியமன எதிர்ச்சேர்க்கை உறவுகள் (CAR) இயற்கணிதம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. சி. சி. ஆரின் சி *-இயற்கணிதம் சி. சி. ஆர் சி *-இயற்கணிதம் என்று அழைக்கப்படும் சி. சி. ஆர் இயற்கணிதம் ஒரு தனித்துவமான, ஆனால் நெருக்கமாக தொடர்புடைய பொருள் உள்ளது. நான்ச்சிங்குலர் சிம்ப்லெக்டிக் வடிவத்துடன் ஒரு உண்மையான சிம்ப்லெக்டிக் திசையன் இடமாக இருக்கட்டும். செயல்பாட்டாளர் ஆல்ஜிப்ராக்களின் கோட்பாட்டில், சி. சி. ஆர் அல்ஜிப்ரா ஓவர் என்பது சி *-ஆல்ஜிப்ரா ஆகும், இவை நியதி பரிமாற்ற உறவுகளின் வெயில் வடிவம் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, குறிப்பாக, அவை ஒவ்வொன்றும் யூனிட்டரி மற்றும் யூனிட்டரி என்பதைக் குறிக்கின்றன. சி. சி. ஆர் இயற்கணிதம் ஒரு எளிய பிரிக்க முடியாத இயற்கணிதம் மற்றும் ஐசோமார்பிசம் வரை தனித்துவமானது என்பது அனைவரும் அறிந்ததே. ஒரு ஹில்பர்ட் இடைவெளி மற்றும் உள்-உற்பத்தியின் கற்பனையான பகுதியால் வழங்கப்படும் போது, சி. சி. ஆர் இயற்கணிதம் சமச்சீர் ஃபாக் இடத்தில் எதற்கும் அமைப்பதன் மூலம் உண்மையுடன் குறிப்பிடப்படுகிறது. புல இயக்கிகள் ஒவ்வொன்றிற்கும் சமச்சீர் ஃபாக் இடத்தில் ஒரு அளவுரு ஒற்றையாட்சி குழுவின் ஜெனரேட்டராக வரையறுக்கப்படுகின்றன. இவை சுய-இணைக்கப்பட்ட வரம்பற்ற ஆபரேட்டர்கள், இருப்பினும் அவை முறையாக திருப்தி அளிக்கின்றன, ஏனெனில் பணி உண்மையான-நேரியல், எனவே ஆபரேட்டர்கள் ஒரு சி. சி. ஆர் இயற்கணிதத்தை பிரிவு 1 இன் அர்த்தத்தில் வரையறுக்கிறார்கள். CAR இன் C *-இயற்கணிதம் ஒரு ஹில்பர்ட் இடமாக இருக்கட்டும். ஆபரேட்டர் ஆல்ஜிப்ராக்களின் கோட்பாட்டில் சிஏஆர் அல்ஜிப்ரா என்பது சிக்கலான யூனிடல் *-அல்ஜிப்ராவின் தனித்துவமான சி *-நிறைவாகும், இது எந்தவொரு, பிரிக்கக்கூடிய போது சிஏஆர் இயற்கணிதம் ஒரு ஏஎஃப் இயற்கணிதம் மற்றும் சிறப்பு வழக்கில் எல்லையற்ற பரிமாணமாக இருக்கும், இது பெரும்பாலும் இவ்வாறு எழுதப்படுகிறது. சமச்சீரற்ற ஃபாக் இடமாக இருக்கட்டும், மேலும் சமச்சீரற்ற திசையன்களின் மீது ஆர்த்தோகனல் திட்டமாக இருக்கட்டும்ஃ CAR இயற்கணிதம் அனைவருக்கும் அமைப்பதன் மூலம் உண்மையுடன் குறிப்பிடப்படுகிறது மற்றும். இவை ஒரு சி *-இயற்கணிதத்தை உருவாக்குகின்றன என்ற உண்மை என்னவென்றால், சமச்சீரற்ற ஃபாக் இடத்தில் உருவாக்கம் மற்றும் அழிப்பு ஆபரேட்டர்கள் நேர்மையான வரம்புக்குட்பட்ட ஆபரேட்டர்கள். மேலும், ஃபீல்ட் ஆபரேட்டர்கள் பிரிவு 1 உடன் உறவை வழங்குவதில் திருப்தி அடைகிறார்கள். சூப்பர் ஆல்ஜீப்ரா பொதுமைப்படுத்தல் ஒரு நிஜ தரப்படுத்தப்பட்ட திசையன் இடமாக இருக்கட்டும், இது ஒரு நான்சீங்குலர் ஆண்டிசிமெட்ரிக் பைலினியர் சூப்பர்ஃபார்ம் (அதாவது) ஒன்று இருந்தால் அது உண்மையானது அல்லது ஒரு சம உறுப்பு மற்றும் அவை இரண்டும் ஒற்றைப்படை என்றால் கற்பனையானது. எந்தவொரு இரண்டு தூய உறுப்புகளுக்கான உறவுகளுக்கு உட்பட்ட கூறுகளால் உருவாக்கப்படும் யூனிடல் *-ஆல்ஜீப்ரா என்பது வெளிப்படையான சூப்பர் ஆல்ஜீப்ரா பொதுமைப்படுத்தலாகும், இது சி. சி. ஆர்களை சி. ஏ. ஆர்களுடன் ஒருங்கிணைக்கிறதுஃ அனைத்து தூய உறுப்புகளும் சமமாக இருந்தால், ஒருவர் சி. சி. ஆரைப் பெறுகிறார், அதே நேரத்தில் அனைத்து தூய உறுப்புகளும் ஒற்றைப்படை என்றால், ஒருவர் சி. ஏ. ஆரைப் பெறுகிறார். கணிதத்தில், சிக்கலான எண்கள் மட்டுமல்லாமல், எந்தவொரு புலத்திலும் உள்ள சி. சி. ஆர் மற்றும் சி. ஏ. ஆர் ஆல்ஜிப்ராக்களின் சுருக்க அமைப்பு, வேய்ல் மற்றும் கிளிஃபோர்ட் ஆல்ஜிப்ராக்களின் பெயர்களால் ஆய்வு செய்யப்படுகிறது, அங்கு பல குறிப்பிடத்தக்க முடிவுகள் கிடைத்துள்ளன. இவற்றில் ஒன்று என்னவென்றால், வேய்ல் மற்றும் கிளிஃபோர்ட் ஆல்ஜிப்ராக்களின் தரப்படுத்தப்பட்ட பொதுமைப்படுத்தல்கள் ஒரு சிம்ப்லெக்டிக் மற்றும் ஒரு சமச்சீர் அல்லாத சிதைவு இருதரப்பு வடிவத்தின் அடிப்படையில் நியதி பரிமாற்றம் மற்றும் எதிர்ச்சேர்க்கை உறவுகளின் அடிப்படை இல்லாத சூத்திரத்தை அனுமதிக்கின்றன. கூடுதலாக, இந்த தரப்படுத்தப்பட்ட வேய்ல் இயற்கணிதத்தில் உள்ள பைனரி கூறுகள் சிம்ப்லெக்டிக் மற்றும் காலவரையற்ற ஆர்த்தோகனல் லை ஆல்ஜிப்ராக்களின் பரிமாற்ற உறவுகளின் அடிப்படை இல்லாத பதிப்பை வழங்குகின்றன. மேலும் காண்கஃ போஸ்-ஐன்ஸ்டீன் புள்ளியியல் ஃபெர்மி-டிராக் புள்ளியியல் சரம் கோட்பாட்டின் சொற்களஞ்சியம் ஹைசன்பெர்க் குழு போகோலியுபோவ் மாற்றம் (−1) F குறிப்புகள் குவாண்டம் புலம் கோட்பாடு தன்னியக்க குவாண்டம் புலம் கோட்பாடு செயல்பாட்டு பகுப்பாய்வு ஆல்ஜிபிராஸ் சி *-ஆல்ஜிபிராஸ்