Closed monoidal category
கணிதத்தில், குறிப்பாக வகைக் கோட்பாட்டில், ஒரு மூடிய மோனாய்டல் வகை (அல்லது ஒரு மோனாய்டல் மூடிய வகை) என்பது ஒரு மோனாய்டல் வகை மற்றும் ஒரு மூடிய வகை ஆகிய இரண்டும் கட்டமைப்புகள் இணக்கமாக இருக்கும் வகையில் ஒரு வகை. ஒரு உன்னதமான எடுத்துக்காட்டு செட்டுகளின் வகை, செட், அங்கு செட்டுகளின் மோனாய்டல் தயாரிப்பு மற்றும் வழக்கமான கார்ட்டீசியன் தயாரிப்பு, மற்றும் உள் ஹோம் என்பது முதல் முதல் செயல்பாடுகளின் தொகுப்பாகும். ஒரு கார்ட்டீசியன் அல்லாத உதாரணம் ஒரு புலத்தின் மீது உள்ள திசையன் இடைவெளிகளின் வகை, கே-வெக்ட் ஆகும். இங்கே மோனாய்டல் தயாரிப்பு என்பது திசையன் இடைவெளிகளின் வழக்கமான டென்சர் தயாரிப்பு ஆகும், மேலும் உள் ஹோம் என்பது ஒரு திசையன் இடத்திலிருந்து மற்றொரு திசையன் இடத்திற்கு நேரியல் வரைபடங்களின் திசையன் இடமாகும். மூடிய சமச்சீர் மோனாய்டல் வகைகளின் உள் மொழி நேரியல் தர்க்கம் மற்றும் வகை அமைப்பு நேரியல் வகை அமைப்பு ஆகும். மூடிய மோனாய்டல் வகைகளின் பல எடுத்துக்காட்டுகள் சமச்சீர் ஆகும். இருப்பினும், இது எப்போதும் அப்படி இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை, ஏனெனில் மொழியியலின் வகை-கோட்பாட்டு சூத்திரங்களில் சமச்சீர் அல்லாத மோனாய்டல் வகைகளை எதிர்கொள்ள முடியும்; தோராயமாக பேசுகையில், இது இயற்கையான மொழி விஷயங்களில் சொல்-வரிசை காரணமாகும். வரையறை ஒரு மூடிய மோனாய்டல் வகை என்பது ஒரு மோனாய்டல் வகையாகும், அதாவது ஒவ்வொரு பொருளுக்கும் வலது இழுவிசை மூலம் கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டாளர் ஒரு வலது பக்கவாட்டைக் கொண்டுள்ளார், எழுதப்பட்டவர் இதன் பொருள் ஏ மற்றும் சி இரண்டிலும் இயற்கையான ஹோம்-செட்களுக்கு இடையில் 'கறி' என்று அழைக்கப்படும் ஒரு பைஜெக்ஷன் உள்ளது. வேறுபட்ட, ஆனால் பொதுவான குறியீட்டில், ஃபங்க்டருக்கு ஒரு வலது பக்கவாட்டு சமமாக உள்ளது என்று ஒருவர் கூறுவார், ஒரு மூடிய மோனாய்டல் வகை என்பது ஒரு வகை, ஒவ்வொரு இரண்டு பொருட்களுக்கும் ஏ மற்றும் பி, ஒரு பொருள், ஒரு மார்ஃபிஸத்துடன், பின்வரும் உலகளாவிய பண்புகளை திருப்திப்படுத்துகிறதுஃ ஒவ்வொரு மார்ஃபிஸத்திற்கும் ஒரு தனித்துவமான மார்ஃபிஸம் உள்ளது. இந்த ஃபன்க்டர் இன்டெர்னல் ஹோம் ஃபன்க்டர் என்றும், இந்த பொருள் இன்டெர்னல் ஹோம் ஆஃப் மற்றும் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. உட்புற ஹோம்க்கு பல பிற குறியீடுகள் பொதுவான பயன்பாட்டில் உள்ளன. டென்சர் தயாரிப்பு கார்ட்டீசியன் தயாரிப்பாக இருக்கும்போது, வழக்கமான குறியீடு மற்றும் இந்த பொருள் அதிவேக பொருள் என்று அழைக்கப்படுகிறது. பிக்லோஸ் செய்யப்பட்ட மற்றும் சமச்சீர் பிரிவுகள் கண்டிப்பாகச் சொல்வதானால், ஒரு வலது மூடிய மோனாய்டல் வகையை வரையறுத்தோம், ஏனெனில் எந்தவொரு பொருளுடனும் வலது இழுவிசை ஒரு சரியான இணைப்பைக் கொண்டிருக்க வேண்டும். இடது மூடிய மோனாய்டல் பிரிவில், எந்தவொரு பொருளுடனும் இடது இழுவிசையின் செயல்பாட்டாளர் வலது பக்கவாட்டில் இருக்க வேண்டும் என்று நாங்கள் கோருகிறோம் ஒரு இரு மூடிய மோனாய்டல் வகை என்பது இடது மற்றும் வலது மூடிய மோனாய்டல் வகையாகும். ஒரு சமச்சீர் மோனாய்டல் வகை வலதுபுறமாக மூடப்பட்டிருந்தால் மட்டுமே மூடப்படும். எனவே ஒரு 'சமச்சீர் மோனாய்டல் மூடிய வகை' பற்றி அது இடது அல்லது வலது மூடியுள்ளதா என்பதைக் குறிப்பிடாமல் பாதுகாப்பாகப் பேசலாம். உண்மையில், சடை மோனாய்டல் வகைகளுக்கும் இது பொதுவாக பொருந்தும்ஃ சடை இயற்கையாகவே ஐசோமார்பிக் ஆக இருப்பதால், இடதுபுறத்தில் டென்சரிங் மற்றும் வலதுபுறத்தில் டென்சரிங் ஆகியவற்றுக்கு இடையிலான வேறுபாடு முக்கியமற்றதாகிவிடும், எனவே ஒவ்வொரு வலது மூடிய சடை மோனாய்டல் வகையும் ஒரு நியதி வழியில் இடதுபுறமாக மூடப்படுகிறது, மற்றும் நேர்மாறாகவும். மூடிய மோனாய்டல் வகைகளை கூடுதல் பண்பு கொண்ட மோனாய்டல் பிரிவுகள் என்று விவரித்தோம். ஒரு மூடிய மோனாய்டல் வகையை ஒரு கூடுதல் பண்பு கொண்ட மூடிய வகையாக ஒருவர் வரையறுக்கலாம். அதாவது, உள் ஹோம் ஃபங்க்டருக்கு அருகில் ஒரு டென்சர் தயாரிப்பு இருப்பதை நாம் கோரலாம். இந்த அணுகுமுறையில், மூடிய மோனாய்டல் பிரிவுகள் மோனாய்டல் மூடிய பிரிவுகள் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டுகள் ஒவ்வொரு கார்ட்டீசியன் மூடிய வகையும் ஒரு சமச்சீர், மோனாய்டல் மூடிய வகையாகும், மோனாய்டல் அமைப்பு கார்ட்டீசியன் தயாரிப்பு கட்டமைப்பாக இருக்கும்போது. உள் ஹோம் செயல்பாட்டாளர் அதிவேக பொருளால் வழங்கப்படுகிறது. குறிப்பாக, தொகுப்புகளின் வகை, செட், ஒரு சமச்சீர், மூடிய மோனாய்டல் வகை. இங்கே உள் ஹோம் என்பது முதல் முதல் செயல்பாடுகளின் தொகுப்பாகும். தொகுதிகளின் வகை, ஆர்-மோட் ஒரு பரிமாற்ற வளையம் ஆர் மீது ஒரு கார்ட்டீசியன் அல்லாத, சமச்சீர், மோனாய்டல் மூடிய வகை. மோனாய்டல் தயாரிப்பு தொகுதிகளின் டென்சர் தயாரிப்பால் வழங்கப்படுகிறது மற்றும் உள் ஹோம் அதன் இயற்கையான ஆர்-தொகுதி கட்டமைப்புடன் ஆர்-லீனியர் வரைபடங்களின் இடத்தால் வழங்கப்படுகிறது. குறிப்பாக, ஒரு புலத்தின் மீது உள்ள திசையன் இடைவெளிகளின் வகை ஒரு சமச்சீர், மூடிய மோனாய்டல் வகையாகும். அபெலியன் குழுக்களை இசட்-தொகுதிகளாகக் கருதலாம், எனவே அபெலியன் குழுக்களின் வகையும் ஒரு சமச்சீர், மூடிய மோனாய்டல் வகையாகும். ஒரு சமச்சீர் சிறிய மூடிய வகை என்பது ஒரு சமச்சீர் மோனாய்டல் மூடிய வகையாகும், இதில் உள் ஹோம் செயல்பாட்டாளர் வழங்கப்படுகிறது. நியமன உதாரணம் வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண திசையன் இடைவெளிகளின் வகை, FdVect. எதிர் எடுத்துக்காட்டுகள் வளையங்களின் வகை என்பது வளையங்களின் இழுவிசை உற்பத்தியின் கீழ் ஒரு சமச்சீர், மோனாய்டல் வகையாகும், இது அலகு பொருளாக செயல்படுகிறது. இந்த வகை மூடப்படவில்லை. அது இருந்தால், எந்த ஜோடி வளையங்களுக்கும் இடையில் சரியாக ஒரு ஒத்த உருவம் இருக்கும்ஃ ஒரு பரிமாற்ற வளையத்தின் மீது ஆர்-ஆல்ஜிப்ராக்களின் வகைக்கும் இது பொருந்தும் ஆர். மேலும் காண்க இஸ்பெல் கான்ஜுகேசி குறிப்புகள் மோனாய்டல் பிரிவுகள் மூடப்பட்ட பிரிவுகள்