Rigidity (mathematics)
கணிதத்தில், கணிதப் பொருட்களின் ஒரு கடினமான தொகுப்பு சி (எடுத்துக்காட்டாக செட் அல்லது செயல்பாடுகள்) என்பது ஒவ்வொரு சி Π சி யும் ஒருவர் எதிர்பார்ப்பதை விட சி பற்றிய குறைவான தகவல்களால் தனித்துவமாக தீர்மானிக்கப்படுகிறது. மேற்கண்ட கூற்று ஒரு கணிதச் சொத்தை வரையறுக்கவில்லை; அதற்கு பதிலாக, கணிதவியலாளர்களால் கணிதத்தில் "கடினமான" என்ற பெயரடை பொதுவாக எந்த அர்த்தத்தில் பயன்படுத்தப்படுகிறது என்பதை இது விவரிக்கிறது. சில எடுத்துக்காட்டுகள் பின்வருமாறுஃ அலகு வட்டில் உள்ள ஹார்மோனிக் செயல்பாடுகள் அவற்றின் எல்லை மதிப்புகளால் தனித்துவமாக தீர்மானிக்கப்படுகின்றன என்ற பொருளில் அவை கடினமானவை. ஹோலோமார்பிக் செயல்பாடுகள் ஒரே புள்ளியில் உள்ள அனைத்து வழித்தோன்றல்களின் தொகுப்பால் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன. உண்மையான கோட்டில் இருந்து சிக்கலான தளத்திற்கு ஒரு மென்மையான செயல்பாடு, பொதுவாக, ஒரே புள்ளியில் அதன் அனைத்து வழித்தோன்றல்களாலும் தீர்மானிக்கப்படுவதில்லை, ஆனால் கூடுதல் தேவைப்பட்டால், சிக்கலான தளத்தில் உண்மையான கோட்டின் அருகிலுள்ள ஒன்றுக்கு செயல்பாட்டை நீட்டிக்க முடியும். ஸ்வார்ஸ் லெம்மா அத்தகைய கடினத்தன்மை தேற்றத்திற்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு. இயற்கணிதத்தின் அடிப்படை தேற்றத்தின் படி, C இல் உள்ள பல்லுறுப்புக்கோவைகள் எந்தவொரு பல்லுறுப்புக்கோவையும் எந்தவொரு எல்லையற்ற தொகுப்பிலும் அதன் மதிப்புகளால் முழுமையாக தீர்மானிக்கப்படுகின்றன, அதாவது N, அல்லது அலகு வட்டு. முந்தைய உதாரணத்தின் மூலம், ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை எந்த ஒரு புள்ளியிலும் அதன் பூஜ்ஜியமற்ற வழித்தோன்றல்களின் வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்பால் ஹோலோமார்பிக் செயல்பாடுகளின் தொகுப்பிற்குள் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. திசையன் இடைவெளிகள் X, Y க்கு இடையிலான நேரியல் வரைபடங்கள் L (X, Y) கடினமானவை, அதாவது எந்த L ω L (X, Y) X இன் எந்த அடிப்படை திசையன்களின் தொகுப்பிலும் அதன் மதிப்புகளால் முழுமையாக தீர்மானிக்கப்படுகிறது. மோஸ்டோவின் கடினத்தன்மை தேற்றம், எதிர்மறையாக வளைந்த பன்மடங்கு வடிவியல் அமைப்பு அவற்றின் இடவியல் கட்டமைப்பால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது என்று கூறுகிறது. ஒரு நன்கு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட தொகுப்பு அதன் மீது உள்ள ஒரே (வரிசை-பாதுகாக்கும்) தானியங்கி உருவம் என்பது அடையாள செயல்பாடு என்ற பொருளில் கடினமானது. இதன் விளைவாக, கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு நன்கு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட தொகுப்புகளுக்கு இடையிலான ஒரு ஐசோமார்பிசம் தனித்துவமாக இருக்கும். குவிந்த பாலிடோப்புகளின் வடிவியல் குறித்த காச்சியின் தேற்றம், ஒரு குவிந்த பாலிடோப் அதன் முகங்களின் வடிவியல் மற்றும் ஒருங்கிணைந்த அருகாமை விதிகளால் தனித்துவமாக தீர்மானிக்கப்படுகிறது என்று கூறுகிறது. அலெக்ஸாண்ட்ரோவின் தனித்துவக் கோட்பாடு, மூன்று பரிமாணங்களில் ஒரு குவிந்த பாலிஹெட்ரான் அதன் மேற்பரப்பில் உள்ள புவியியலின் மெட்ரிக் இடத்தால் தனித்துவமாக தீர்மானிக்கப்படுகிறது என்று கூறுகிறது. பல்வேறு இயற்கணித கே-கோட்பாட்டுக் குழுக்களுக்கு இடையிலான கே-கோட்பாட்டு ஐசோமார்பிசம்களில் விறைப்பு விளைகிறது. தலைகீழ் காலோயிஸ் சிக்கலில் கடினமான குழுக்கள். ஒருங்கிணைந்த பயன்பாடு ஒருங்கிணைப்பில், கடினமான என்ற சொல் ஒரு கடினமான சர்ஜெக்ஷன் என்ற கருத்தை வரையறுக்கவும் பயன்படுத்தப்படுகிறது, இது பின்வரும் சமமான நிபந்தனைகளைக் கொண்ட ஒரு சர்ஜெக்ஷன் ஆகும்ஃ ஒவ்வொன்றிற்கும்,; ஒரு-டப்பிள் என்று கருதினால், உறுப்புகளின் முதல் நிகழ்வுகள் அதிகரித்து வரும் வரிசையில் உள்ளன; ஆரம்ப பிரிவுகளின் ஆரம்ப பிரிவுகளை வரைபடமாக்குகிறது. இது கடினமான மேற்கண்ட வரையறையுடன் தொடர்புடையது, இதில் ஒவ்வொரு கடினமான சர்ஜெக்ஷனும் தனித்துவமாக வரையறுக்கிறது, மேலும் துண்டுகளாகப் பிரிப்பதன் மூலம் தனித்துவமாக வரையறுக்கப்படுகிறது. ஒரு கடினமான சர்ஜெக்ஷன் கொடுக்கப்பட்டால், பகிர்வு வரையறுக்கப்படுகிறது. மாறாக, ஒரு பகிர்வு கொடுக்கப்பட்டால், அனுமதிப்பதன் மூலம் ஆர்டர் செய்யுங்கள். இப்போது-ஆர்டர் செய்யப்பட்ட பகிர்வு என்றால், வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாடு ஒரு கடினமான சர்ஜெக்ஷன் ஆகும். மேலும் காண்க தனித்தன்மை தேற்றம் கட்டமைப்பு விறைப்பு, நெகிழ்வான கீல்கள் மூலம் ஒன்றாக இணைக்கப்பட்ட கடினமான இயற்பியல் பொருட்களின் குழுக்களின் சுதந்திரத்தின் அளவுகளை விவரிக்கும் ஒரு கணிதக் கோட்பாடு. நிலை அமைப்பு (இயற்கணித வடிவியல்) குறிப்புகள் கணித சொற்களஞ்சியம்