Conjugate gradient method
கணிதத்தில், இணை சாய்வு முறை என்பது நேரியல் சமன்பாடுகளின் குறிப்பிட்ட அமைப்புகளின் எண் தீர்வுக்கான ஒரு வழிமுறையாகும், அதாவது அவற்றின் அணி நேர்மறை-வரையறுக்கப்பட்டதாகும். இணை சாய்வு முறை பெரும்பாலும் ஒரு மறு செய்கை வழிமுறையாக செயல்படுத்தப்படுகிறது, இது ஒரு நேரடி செயல்படுத்தல் அல்லது சோல்ஸ்கி சிதைவு போன்ற பிற நேரடி முறைகளால் கையாள முடியாத அளவுக்கு பெரியதாக இருக்கும் சிறிய அமைப்புகளுக்கு பொருந்தும். பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகள் அல்லது உகப்பாக்கம் சிக்கல்களை எண்ணியல் ரீதியாக தீர்க்கும்போது பெரிய அரிதான அமைப்புகள் பெரும்பாலும் எழுகின்றன. ஆற்றல் குறைத்தல் போன்ற கட்டுப்பாடற்ற உகப்பாக்கம் சிக்கல்களைத் தீர்க்கவும் இணை சாய்வு முறையைப் பயன்படுத்தலாம். இது பொதுவாக மேக்னஸ் ஹெஸ்டென்ஸ் மற்றும் எட்வர்ட் ஸ்டீஃபெல் ஆகியோருக்குக் காரணம், அவர்கள் அதை Z4 இல் நிரல் செய்து, அதை விரிவாக ஆராய்ச்சி செய்தனர். பைகோன்ஜுகேட் சாய்வு முறை சமச்சீர் அல்லாத மேட்ரிக்ஸ்களுக்கு ஒரு பொதுமைப்படுத்தலை வழங்குகிறது. பல்வேறு நேரியல் அல்லாத இணை சாய்வு முறைகள் நேரியல் அல்லாத உகப்பாக்கம் சிக்கல்களின் மினிமாவை நாடுகின்றன. இணை சாய்வுகளால் தீர்க்கப்படும் சிக்கலின் விளக்கம் திசையனுக்கான நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பை நாம் தீர்க்க விரும்புகிறோம் என்று வைத்துக்கொள்வோம், அங்கு அறியப்பட்ட அணி சமச்சீர் (அதாவது, ஏடி = ஏ), நேர்மறை-வரையறுக்கப்பட்ட (அதாவது. xTAx> 0 Rn இல் உள்ள அனைத்து பூஜ்ஜியமற்ற திசையன்களுக்கும்), மற்றும் உண்மையானது, மேலும் இது அறியப்படுகிறது. இந்த அமைப்பின் தனித்துவமான தீர்வை நாம் குறிக்கிறோம். ஒரு நேரடி முறையாக பெறுதல் கான்ஜுகேட் சாய்வு முறையை பல்வேறு கண்ணோட்டங்களில் இருந்து பெறலாம், இதில் உகப்பாக்கலுக்கான கான்ஜுகேட் திசை முறையின் சிறப்பு மற்றும் ஐகென் மதிப்பு சிக்கல்களுக்கான அர்னால்டி/லான்சோஸ் மறு செய்கையின் மாறுபாடு ஆகியவை அடங்கும். அவற்றின் அணுகுமுறைகளில் வேறுபாடுகள் இருந்தபோதிலும், இந்த வழித்தோன்றல்கள் ஒரு பொதுவான தலைப்பைப் பகிர்ந்து கொள்கின்றன-எஞ்சியவற்றின் ஆர்த்தோகோனாலிட்டி மற்றும் தேடல் திசைகளின் இணைப்பை நிரூபிக்கின்றன. இந்த முறையின் நன்கு அறியப்பட்ட சுருக்கமான சூத்திரத்தை உருவாக்குவதற்கு இந்த இரண்டு பண்புகளும் முக்கியமானவை. சமச்சீர் மற்றும் நேர்மறை-திட்டவட்டமானது என்பதால், இடது புறம் ஒரு உள் விளைபொருளை வரையறுக்கிறது, இரண்டு திசையன்கள் இந்த உள் விளைபொருளைப் பொறுத்தவரை ஆர்த்தோகனலாக இருந்தால் மட்டுமே அவை இணைக்கப்படுகின்றன. இணைப்பாக இருப்பது ஒரு சமச்சீர் உறவாகும்ஃ இணைப்பாக இருந்தால், இணைப்பாகும். இது பரஸ்பர இணைந்த திசையன்களின் தொகுப்பு என்று வைத்துக்கொள்வோம், அதாவது. எல்லோருக்கும். பின்னர் ஒரு அடிப்படையை உருவாக்குகிறது, மேலும் இந்த அடிப்படையில் நாம் தீர்வை வெளிப்படுத்தலாம்ஃ திசையன் விளைச்சலுடன் சிக்கலை இடது-பெருக்குதல் மற்றும் எனவே இது சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான பின்வரும் முறையை வழங்குகிறதுஃ இணை திசைகளின் வரிசையைக் கண்டறிந்து, பின்னர் குணகங்களைக் கணக்கிடுங்கள். ஒரு மறுசுழற்சி முறையாக நாம் இணை திசையன்களை கவனமாக தேர்வுசெய்தால், தீர்வுக்கு ஒரு நல்ல தோராயத்தைப் பெற அவை அனைத்தும் நமக்குத் தேவையில்லை. எனவே, கான்ஜுகேட் சாய்வு முறையை ஒரு மறு செய்கை முறையாகக் கருத விரும்புகிறோம். நேரடி முறை அதிக நேரம் எடுக்கும் அளவுக்கு n மிகப் பெரியதாக இருக்கும் அமைப்புகளை தோராயமாக தீர்க்கவும் இது அனுமதிக்கிறது. ஆரம்ப யூகத்தை நாம் குறிக்கிறோம் (பொதுவான தன்மையை இழக்காமல் நாம் கருதலாம், இல்லையெனில் அதற்கு பதிலாக Az = b − Ax0 அமைப்பைக் கருத்தில் கொள்ளலாம்). x0 இல் தொடங்கி நாம் தீர்வைத் தேடுகிறோம், ஒவ்வொரு மறு செய்கையிலும் நாம் தீர்வுக்கு நெருக்கமாக இருக்கிறோமா என்பதைச் சொல்ல ஒரு மெட்ரிக் தேவை (அது நமக்குத் தெரியாது). இரண்டாவது வழித்தோன்றல்களின் ஹெஸியன் மேட்ரிக்ஸ் சமச்சீர் நேர்மறை-திட்டவட்டமானது மற்றும் மினிமைசர் (Df (x) = 0 ஐப் பயன்படுத்துதல்) அதன் முதல் வழித்தோன்றலில் இருந்து பின்வரும் ஆரம்ப சிக்கலைத் தீர்க்கிறது என்பதால் ஒரு தனித்துவமான மினிமைசரின் இருப்பு தெளிவாகத் தெரிகிறது. f இன் சாய்வு சமம். ஒரு ஆரம்ப யூகம் x0 உடன் தொடங்கி, இதன் பொருள் நாம் p0 = b − Ax0 ஐ எடுத்துக்கொள்கிறோம். அடிப்படையில் உள்ள மற்ற திசையன்கள் சாய்வுடன் இணைக்கப்படும், எனவே இணை சாய்வு முறை என்று அழைக்கப்படுகிறது. p0 என்பது வழிமுறையின் இந்த ஆரம்ப படியால் வழங்கப்பட்ட எஞ்சிய பகுதியாகும் என்பதை நினைவில் கொள்க. k வது படியில் rk என்பது எஞ்சியதாக இருக்கட்டும்ஃ மேலே கவனித்தபடி, இது at இன் எதிர்மறை சாய்வு, எனவே சாய்வு வம்சாவளி முறை rk திசையில் நகர வேண்டும். இருப்பினும், இங்கே, திசைகள் ஒன்றோடொன்று இணைந்திருக்க வேண்டும் என்று நாங்கள் வலியுறுத்துகிறோம். இதைச் செயல்படுத்துவதற்கான ஒரு நடைமுறை வழி, தற்போதைய எஞ்சிய மற்றும் முந்தைய அனைத்து தேடல் திசைகளிலிருந்தும் அடுத்த தேடல் திசையை உருவாக்க வேண்டும். இணைப்புக் கட்டுப்பாடு ஒரு ஆர்த்தோனார்மல்-வகை கட்டுப்பாடு, எனவே இந்த வழிமுறையை கிராம்-ஷ்மிட் ஆர்த்தோனார்மலைசேஷனுக்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டாக பார்க்க முடியும். இது பின்வரும் வெளிப்பாட்டை அளிக்கிறதுஃ (ஒருங்கிணைப்பில் இணைப்புக் கட்டுப்பாட்டின் விளைவுக்காக கட்டுரையின் மேலே உள்ள படத்தைப் பார்க்கவும்). இந்த திசையைப் பின்பற்றி, அடுத்த உகந்த இடம் வரையறையிலிருந்து கடைசி சமத்துவம் பின்பற்றப்படும் இடத்துடன் வழங்கப்படுகிறது. xk + 1 க்கான வெளிப்பாட்டை f ஆக மாற்றி, அதன் விளைவாக வரும் வழிமுறையைப் பொறுத்து அதைக் குறைத்தால் வெளிப்பாட்டைப் பெறலாம் மேலே உள்ள வழிமுறை கான்ஜுகேட் சாய்வு முறையின் மிக நேரடியான விளக்கத்தை வழங்குகிறது. சொல்லப்பட்டபடி, வழிமுறைக்கு முந்தைய அனைத்து தேடல் திசைகள் மற்றும் எஞ்சிய திசையன்களின் சேமிப்பு தேவைப்படுகிறது, அதே போல் பல மேட்ரிக்ஸ்-வெக்டர் பெருக்கங்களும் தேவைப்படுகின்றன, எனவே கணக்கீட்டு ரீதியாக விலை உயர்ந்ததாக இருக்கலாம். இருப்பினும், வழிமுறையின் நெருக்கமான பகுப்பாய்வு அது ஆர்த்தோகனல் என்பதைக் காட்டுகிறது, அதாவது. , i §j க்கு. மேலும் இது-ஆர்த்தோகனல், அதாவது. , க்காக. இது வழிமுறை முன்னேறும்போது, அதே கிரைலோவ் துணை இடத்தை பரப்புகிறது என்று கருதலாம். நிலையான உள் விளைபொருளைப் பொறுத்தவரை ஆர்த்தோகனல் அடிப்படையை உருவாக்குகிறது, மேலும் தூண்டப்பட்ட உள் விளைபொருளைப் பொறுத்தவரை ஆர்த்தோகனல் அடிப்படையை உருவாக்குகிறது. எனவே, கிரைலோவ் துணைவெளியில் உள்ள திட்டமாகக் கருதலாம். Ax = b ஐத் தீர்ப்பதற்கான வழிமுறை கீழே விவரிக்கப்பட்டுள்ளது, அங்கு ஒரு உண்மையான, சமச்சீர், நேர்மறை-திட்டவட்டமான அணி. உள்ளீட்டு திசையன் தோராயமான ஆரம்ப தீர்வு அல்லது 0 ஆக இருக்கலாம். இது மேலே விவரிக்கப்பட்ட சரியான செயல்முறையின் வேறுபட்ட சூத்திரமாகும். இது மிகவும் பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படும் வழிமுறையாகும். இதே சூத்திரம் பிளெட்சர்-ரீவ்ஸ் நான்லீனியர் கான்ஜுகேட் சாய்வு முறையிலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது. மறுதொடக்கம் பயன்படுத்தப்படும் சாய்வு வம்சாவளி முறையால் கணக்கிடப்படுகிறது என்பதை நாம் கவனிக்கிறோம். செட்டிங் இதேபோல் சாய்வு இறங்கு முறையால் கணக்கிடப்படும், அதாவது, இணை சாய்வு மறு செய்கைகளின் மறுதொடக்கத்தின் எளிய செயல்படுத்தலாக பயன்படுத்தப்படலாம். மறுதொடக்கம் ஒருங்கிணைப்பை மெதுவாக்கக்கூடும், ஆனால் கான்ஜுகேட் சாய்வு முறை தவறாக நடந்து கொண்டால் நிலைத்தன்மையை மேம்படுத்தலாம், எ. கா., ரவுண்ட்-ஆஃப் பிழை காரணமாக. தெளிவான எஞ்சிய கணக்கீடு துல்லியமான எண்கணிதத்தில் வைத்திருக்கும் சூத்திரங்கள் மற்றும், இவை இரண்டும் சூத்திரங்களையும் கணித ரீதியாக சமமானவையாகவும் ஆக்குகின்றன. திசையன் ஏற்கனவே மதிப்பீடு செய்ய கணக்கிடப்பட்டிருப்பதால் கூடுதல் பெருக்கத்தை தவிர்க்க முந்தையது வழிமுறையில் பயன்படுத்தப்படுகிறது. பிந்தையது மிகவும் துல்லியமாக இருக்கலாம், ரவுண்ட்-ஆஃப் பிழை குவிப்புக்கு உட்பட்டு மறுசுழற்சி மூலம் மறைமுகமான ஒன்றுக்கான வெளிப்படையான கணக்கீட்டை மாற்றுகிறது, எனவே அவ்வப்போது மதிப்பீட்டிற்கு பரிந்துரைக்கப்படுகிறது. எஞ்சியவற்றின் ஒரு நெறிமுறை பொதுவாக அளவுகோல்களை நிறுத்துவதற்கு பயன்படுத்தப்படுகிறது. வெளிப்படையான எஞ்சியவற்றின் நெறிமுறை துல்லியமான எண்கணிதம் மற்றும் வட்ட பிழைகள் ஆகிய இரண்டிலும் உறுதியான அளவிலான துல்லியத்தை வழங்குகிறது, அங்கு ஒருங்கிணைப்பு இயற்கையாகவே தேங்கி நிற்கிறது. இதற்கு நேர்மாறாக, மறைமுகமான எஞ்சியவை வட்டப் பிழைகளின் அளவைக் காட்டிலும் வீச்சில் சிறியதாக இருக்கும் என்று அறியப்படுகிறது, எனவே ஒருங்கிணைப்பின் தேக்கநிலையைத் தீர்மானிக்க இதைப் பயன்படுத்த முடியாது. ஆல்ஃபா மற்றும் பீட்டாவின் கணக்கீடு வழிமுறையில், ஆர்த்தோகனல் போன்றது தேர்ந்தெடுக்கப்படுகிறது. முதல் வகுத்தல் எளிமைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது. இணைக்கப்பட்ட வகையில் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகிறது. ஆரம்பத்தில், பயன்படுத்தப்படுகிறது மற்றும் அதற்கு சமமாக எண் ஏனெனில் என மீண்டும் எழுதப்படுகிறது மற்றும் வடிவமைப்பால் ஆர்த்தோகனல் ஆகும். தேடல் திசைகள் pk இணைக்கப்பட்டுள்ளன என்றும், மீதமுள்ளவை ஆர்த்தோகனல் என்றும் வகுத்தல் மீண்டும் எழுதப்படுகிறது. இது ரத்து செய்த பிறகு வழிமுறையில் கொடுக்கிறது. ஜூலியாவில் உள்ள எடுத்துக்காட்டு குறியீடு (நிரலாக்க மொழி) "" கான்ஜுகேட் _ கிரேடியன்ட்! (A, b, x) இணை சாய்வு முறையைப் பயன்படுத்தி 'A * x = b' க்கு தீர்வைத் திருப்பவும். செயல்பாடு இணைவு _ சாய்வு! (A:: சுருக்கம் மேட்ரிக்ஸ், b:: சுருக்கம் வெக்டர், x:: சுருக்கம் வெக்டர்; tol = eps (எல்டைப் (b))) #எஞ்சிய திசையன் எஞ்சியிருப்பதை துவக்குங்கள் = b-A * x #தேடல் திசை திசையன் தேடலை துவக்குங்கள் = எஞ்சிய #ஆரம்ப சதுர எஞ்சிய நெறிமுறை பழைய _ sqr _ ரெசிடு _ நார்ம் = எஞ்சிய '* எஞ்சிய #ஐ ஒருங்கிணைக்கும் வரை மீண்டும் இயக்கவும், அதே நேரத்தில் பழைய _ sqr _ ரெசிடு _ நார்ம்> டோல் A _ தேடல் _ திசை = A * தேடல் _ திசை படி அளவு = பழைய _ sqr _ ரெசிடு _ நார்ம் x = x + படி அளவு * தேடல் திசை #எஞ்சியதை புதுப்பிக்கவும் @. எஞ்சிய = எஞ்சிய-படி அளவு * A _ தேடல் திசை புதிய _ sqr _ எஞ்சிய _ நெறிமுறை = புள்ளி (எஞ்சிய, எஞ்சிய) #தேடல் திசை திசையன் @ஐ புதுப்பிக்கவும். தேடல் _ திசை = எஞ்சிய + (புதிய _ sqr _ ரெசிட் _ நார்ம்/பழைய _ sqr _ ரெசிட் _ நார்ம்) ^ 2 * தேடல் _ திசை #அடுத்த மறு செய்கை பழைய _ sqr _ ரெசிட் _ நார்ம் = புதிய _ sqr _ ரெசிட் _ நார்ம் எண்ட் ரிட்டர்ன் x எண்ட் x எண்ட் எண்ணியல் எடுத்துக்காட்டு. குறிப்புக்கு, சரியான தீர்வு x0 உடன் தொடர்புடைய எஞ்சிய திசையன் r0 ஐக் கணக்கிடுவதே நமது முதல் படியாகும். இந்த எஞ்சியவை r0 = b-Ax0 என்ற சூத்திரத்திலிருந்து கணக்கிடப்படுகின்றன, மேலும் நமது விஷயத்தில் இது சமம் இது முதல் மறு செய்கை என்பதால், எஞ்சிய திசையன் r0 ஐ நமது ஆரம்ப தேடல் திசை p0 ஆகப் பயன்படுத்துவோம்; pk ஐத் தேர்ந்தெடுக்கும் முறை மேலும் மறு செய்கைகளில் மாறும். நாம் இப்போது x1 ஐ சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம் இந்த முடிவு முதல் மறு செய்கையை நிறைவு செய்கிறது, இதன் விளைவாக அமைப்புக்கு ஒரு "மேம்பட்ட" தோராயமான தீர்வு, x1. நாம் இப்போது முன்னேறி அடுத்த எஞ்சிய திசையன் r1 ஐ சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம் இந்த செயல்பாட்டின் அடுத்த கட்டம் அடுத்த தேடல் திசையை p1 தீர்மானிக்க இறுதியில் பயன்படுத்தப்படும் அளவிடுதலைக் கணக்கிடுவதாகும். இப்போது, இந்த அளவிடலைப் பயன்படுத்தி, அடுத்த தேடல் திசை p1 ஐ உறவைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம். இறுதியாக, x1 ஐக் கண்டுபிடிக்கப் பயன்படுத்திய அதே முறையைப் பயன்படுத்தி x2 ஐக் காண்கிறோம். இதன் விளைவாக, x2, x1 மற்றும் x0 ஐ விட அமைப்பின் தீர்வுக்கு ஒரு "சிறந்த" தோராயமாகும். வரையறுக்கப்பட்ட துல்லியத்திற்கு பதிலாக இந்த எடுத்துக்காட்டில் சரியான எண்கணிதம் பயன்படுத்தப்பட வேண்டுமானால், n = 2 மறு செய்கைகளுக்குப் பிறகு கோட்பாட்டளவில் சரியான தீர்வு எட்டப்பட்டிருக்கும் (n என்பது அமைப்பின் வரிசையாகும்). ஒருங்கிணைப்பு பண்புகள் இணைவு சாய்வு முறையை கோட்பாட்டளவில் ஒரு நேரடி முறையாகப் பார்க்க முடியும், ஏனெனில் ரவுண்ட்-ஆஃப் பிழை இல்லாத நிலையில் இது ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான மறு செய்கைகளுக்குப் பிறகு சரியான தீர்வை உருவாக்குகிறது, இது மேட்ரிக்ஸின் அளவை விட பெரியதாக இல்லை. நடைமுறையில், சரியான தீர்வு ஒருபோதும் பெறப்படுவதில்லை, ஏனெனில் சிறிய இடையூறுகள் கூட கான்ஜுகேட் சாய்வு முறை நிலையற்றது, எ. கா., பெரும்பாலான திசைகள் நடைமுறையில் கான்ஜுகேட் அல்ல, கிரைலோவ் துணை இடங்களை உருவாக்கும் சீரழிவு தன்மை காரணமாக. ஒரு மறு செய்கை முறையாக, இணை சாய்வு முறை ஒரே மாதிரியாக (ஆற்றல் நெறிமுறையில்) சரியான தீர்வுக்கான தோராயங்களை மேம்படுத்துகிறது மற்றும் ஒப்பீட்டளவில் சிறிய (சிக்கல் அளவுடன் ஒப்பிடும்போது) மறு செய்கைகளின் எண்ணிக்கைக்குப் பிறகு தேவையான சகிப்புத்தன்மையை அடையலாம். முன்னேற்றம் பொதுவாக நேரியல் மற்றும் அதன் வேகம் அமைப்பு மேட்ரிக்ஸின் நிபந்தனை எண்ணால் தீர்மானிக்கப்படுகிறதுஃ பெரியது, மெதுவான முன்னேற்றம். பெரியதாக இருந்தால், முன் நிபந்தனை பொதுவாக அசல் அமைப்பை விட சிறியதாக மாற்ற பயன்படுத்தப்படுகிறது, கீழே காண்க. ஒருங்கிணைப்புக் கோட்பாடு பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் துணைக்குழுவை வரையறுக்கிறது, அதிகபட்ச டிகிரியின் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் தொகுப்பு எங்கே. சரியான தீர்வின் மறு செய்கை தோராயங்களாக இருக்கட்டும், மேலும் பிழைகளை இவ்வாறு வரையறுக்கவும். இப்போது, ஒருங்கிணைப்பு விகிதத்தை ஸ்பெக்ட்ரம் குறிக்கும் இடத்தில் தோராயமாக மதிப்பிடலாம், மேலும் நிபந்தனை எண்ணைக் குறிக்கிறது. கவனிக்கவும், இந்த வரம்பு ஜாகோபி அல்லது காஸ்-சீடலின் மறு செய்கை முறைகளுடன் ஒப்பிடும்போது விரைவான ஒருங்கிணைப்பு விகிதத்தைக் காட்டுகிறது. ஒருங்கிணைப்புக் கோட்பாட்டில் எந்த ரவுண்ட்-ஆஃப் பிழையும் கருதப்படவில்லை, ஆனால் ஆன் கிரீன்பாம் கோட்பாட்டளவில் விளக்கியது போல் ஒருங்கிணைப்பு வரம்பு பொதுவாக நடைமுறையில் செல்லுபடியாகும். நடைமுறை ஒருங்கிணைப்பு சீரற்ற முறையில் துவக்கப்பட்டால், மறு செய்கைகளின் முதல் கட்டம் பெரும்பாலும் வேகமானது, ஏனெனில் கிரைலோவ் துணைப்பகுதிக்குள் பிழை அகற்றப்படுகிறது, இது ஆரம்பத்தில் ஒரு சிறிய பயனுள்ள நிபந்தனை எண்ணை பிரதிபலிக்கிறது. ஒருங்கிணைப்பின் இரண்டாவது கட்டம் பொதுவாக கோட்பாட்டு ஒருங்கிணைப்பால் நன்கு வரையறுக்கப்படுகிறது, ஆனால் மேட்ரிக்ஸின் நிறமாலையின் விநியோகம் மற்றும் பிழையின் நிறமாலை விநியோகத்தைப் பொறுத்து சூப்பர்-லீனியராக இருக்கலாம். கடைசி கட்டத்தில், அடையக்கூடிய மிகச்சிறிய துல்லியம் அடையப்படுகிறது மற்றும் ஒருங்கிணைப்பு ஸ்டால்கள் அல்லது முறை வேறுபடத் தொடங்கலாம். பெரிய அளவிலான மெட்ரிக்குகளுக்கான இரட்டை-துல்லிய மிதக்கும்-புள்ளி வடிவத்தில் உள்ள வழக்கமான அறிவியல் கணினி பயன்பாடுகளில், இணை சாய்வு முறை முதல் அல்லது இரண்டாவது கட்டத்தில் மறு செய்கைகளை முடிவுக்குக் கொண்டுவருவதற்கான சகிப்புத்தன்மையுடன் ஒரு நிறுத்தும் அளவுகோல்களைப் பயன்படுத்துகிறது. முன்நிபந்தனை செய்யப்பட்ட கான்ஜுகேட் சாய்வு முறை பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில், கான்ஜுகேட் சாய்வு முறையின் விரைவான ஒருங்கிணைப்பை உறுதிப்படுத்த முன்நிபந்தனை அவசியம். சமச்சீர் நேர்மறை-வரையறுக்கப்பட்ட மற்றும் அதை விட சிறந்த நிபந்தனை எண்ணைக் கொண்டிருந்தால், ஒரு முன் நிபந்தனை இணைவு சாய்வு முறையைப் பயன்படுத்தலாம். இது பின்வரும் வடிவத்தை எடுக்கிறதுஃ rk + 1 போதுமான அளவு சிறியதாக இருந்தால் மீண்டும் செய்யவும், இறுதியில் மீண்டும் செய்தால் வெளியேறும் சுழற்சி முடிவடைகிறது இதன் விளைவாக xk + 1 மேலே உள்ள சூத்திரம் வழக்கமான இணை சாய்வு முறையை முன்நிபந்தனை செய்யப்பட்ட அமைப்புக்கு பயன்படுத்துவதற்கு சமம், அங்கு அமைப்பின் சமச்சீர் (மற்றும் நேர்மறை வரையறையை) வைத்திருக்க முன்நிபந்தனையின் சோல்ஸ்கி சிதைவு பயன்படுத்தப்பட வேண்டும். இருப்பினும், இந்த சிதைவை கணக்கிட வேண்டிய அவசியமில்லை, மேலும் இது தெரிந்துகொள்ள போதுமானது. இது அதே நிறமாலையைக் கொண்டுள்ளது என்பதைக் காட்டலாம். முன் நிபந்தனை மேட்ரிக்ஸ் M சமச்சீர் நேர்மறை-திட்டவட்டமான மற்றும் நிலையானதாக இருக்க வேண்டும், அதாவது, மறு செய்கையிலிருந்து மறு செய்கைக்கு மாற முடியாது. முன் நிபந்தனை மீது இந்த அனுமானங்கள் ஏதேனும் மீறப்பட்டால், முன் நிபந்தனை இணைக்கப்பட்ட சாய்வு முறையின் நடத்தை கணிக்க முடியாததாக மாறக்கூடும். பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படும் முன் நிபந்தனைக்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு முழுமையற்ற சோல்ஸ்கி காரணிமயமாக்கல் ஆகும். நெகிழ்வான முன்நிபந்தனை செய்யப்பட்ட இணை சாய்வு முறை எண் ரீதியாக சவாலான பயன்பாடுகளில், அதிநவீன முன்நிபந்தனைகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, இது மாறி முன்நிபந்தனைக்கு வழிவகுக்கும், மறு செய்கைகளுக்கு இடையில் மாறக்கூடும். முன் நிபந்தனை ஒவ்வொரு மறு செய்கையிலும் சமச்சீர் நேர்மறை-திட்டவட்டமாக இருந்தாலும், அது மாறக்கூடும் என்ற உண்மை மேலே உள்ள வாதங்களை செல்லாததாக்குகிறது, மேலும் நடைமுறை சோதனைகளில் மேலே வழங்கப்பட்ட வழிமுறையின் ஒருங்கிணைப்பை கணிசமாக மெதுவாக்க வழிவகுக்கிறது. பிளெட்சர்-ரீவ்ஸ் சூத்திரத்திற்கு பதிலாக போலக்-ரிபியர் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவது இந்த விஷயத்தில் ஒருங்கிணைப்பை வியத்தகு முறையில் மேம்படுத்தலாம். முன்நிபந்தனை செய்யப்பட்ட கான்ஜுகேட் சாய்வு முறையின் இந்த பதிப்பை நெகிழ்வானதாக அழைக்கலாம், ஏனெனில் இது மாறுபட்ட முன்நிபந்தனையை அனுமதிக்கிறது. முன் நிபந்தனை சமச்சீர் நேர்மறை திட்டவட்டமாக (எஸ். பி. டி) இல்லாவிட்டாலும் நெகிழ்வான பதிப்பு வலுவானதாக காட்டப்படுகிறது. நெகிழ்வான பதிப்பை செயல்படுத்துவதற்கு கூடுதல் திசையனை சேமிக்க வேண்டும். ஒரு நிலையான எஸ். பி. டி முன் நிபந்தனைக்கு, எனவே இரண்டு சூத்திரங்களும் சரியான எண்கணிதத்தில் சமமானவை, அதாவது, ரவுண்ட்-ஆஃப் பிழை இல்லாமல். போலக்-ரிபியர் சூத்திரத்துடன் முறையின் சிறந்த ஒருங்கிணைப்பு நடத்தை பற்றிய கணித விளக்கம் என்னவென்றால், இந்த விஷயத்தில் முறை உள்ளூரில் உகந்ததாகும், குறிப்பாக, இது உள்ளூரில் உகந்த செங்குத்தான இறங்கு முறையை விட மெதுவாக ஒன்றிணைக்காது. Vs. உள்ளூரில் உகந்த செங்குத்தான இறங்கு முறை அசல் மற்றும் முன்நிபந்தனை செய்யப்பட்ட கான்ஜுகேட் சாய்வு முறைகள் இரண்டிலும், வரி தேடல், செங்குத்தான இறங்கு முறைகளைப் பயன்படுத்தி அவற்றை உள்ளூரில் உகந்ததாக மாற்ற ஒருவர் மட்டுமே அமைக்க வேண்டும். இந்த மாற்றீட்டில், திசையன்கள் எப்போதும் திசையன்களைப் போலவே இருக்கும், எனவே திசையன்களை சேமிக்க வேண்டிய அவசியமில்லை. எனவே, இந்த செங்குத்தான இறங்கு முறைகளின் ஒவ்வொரு மறு செய்கையும் கான்ஜுகேட் சாய்வு முறைகளுடன் ஒப்பிடும்போது சற்று மலிவானது. இருப்பினும், பிந்தையது வேகமாக ஒன்றிணைகிறது, ஒரு (அதிக) மாறி மற்றும்/அல்லது எஸ். பி. டி அல்லாத முன் நிபந்தனை பயன்படுத்தப்படாவிட்டால், மேலே பார்க்கவும். இரட்டை ஒருங்கிணைப்பாளருக்கான உகந்த பின்னூட்டக் கட்டுப்பாட்டாளராக இணைந்த சாய்வு முறை உகந்த கட்டுப்பாட்டுக் கோட்பாட்டைப் பயன்படுத்தி இணைந்த சாய்வு முறையையும் பெறலாம். இந்த அணுகுமுறையில், இணைந்த சாய்வு முறை ஒரு உகந்த பின்னூட்டக் கட்டுப்பாட்டாளராக வெளிவருகிறது, இரட்டை ஒருங்கிணைப்பு அமைப்புக்கு, அளவுகள் மற்றும் மாறுபட்ட பின்னூட்ட ஆதாயங்கள். இயல்பான சமன்பாடுகளில் இணைந்த சாய்வு இணை சாய்வு முறையை இயல்பான சமன்பாடுகளான ஏடிஏ மற்றும் வலது புற திசையன் ஏடிபி ஆகியவற்றிற்கு பயன்படுத்துவதன் மூலம் ஒரு தன்னிச்சையான என்-பை-எம் மேட்ரிக்ஸுக்கு பயன்படுத்தலாம், ஏனெனில் ஏடிஏ என்பது எந்த ஏ-க்கும் சமச்சீர் நேர்மறை-அரை வரையறுக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸ் ஆகும். இதன் விளைவாக இயல்பான சமன்பாடுகளில் (சிஜிஎன்ஆர்) இணைந்த சாய்வு உள்ளது. ATAx = ATb ஒரு மறு செய்கை முறையாக, நினைவகத்தில் வெளிப்படையாக ATA ஐ உருவாக்க வேண்டிய அவசியமில்லை, ஆனால் மேட்ரிக்ஸ்-வெக்டர் மற்றும் டிரான்ஸ்போஸ் மேட்ரிக்ஸ்-வெக்டர் பெருக்கங்களைச் செய்ய மட்டுமே. எனவே, இந்த செயல்பாடுகள் பொதுவாக மிகவும் திறமையானவை என்பதால், ஏ ஒரு சிறிய மேட்ரிக்ஸாக இருக்கும்போது சிஜிஎன்ஆர் குறிப்பாக பயனுள்ளதாக இருக்கும். இருப்பினும், இயல்பான சமன்பாடுகளை உருவாக்குவதில் உள்ள குறைபாடு என்னவென்றால், நிபந்தனை எண் κ (ATA) κ2 (A) க்கு சமம், எனவே CGNR இன் ஒருங்கிணைப்பு விகிதம் மெதுவாக இருக்கலாம் மற்றும் தோராயமான தீர்வின் தரம் ரவுண்ட்ஆஃப் பிழைகளுக்கு உணர்திறன் கொண்டதாக இருக்கலாம். ஒரு நல்ல முன்நிபந்தனைக் கண்டுபிடிப்பது பெரும்பாலும் சிஜிஎன்ஆர் முறையைப் பயன்படுத்துவதில் ஒரு முக்கிய பகுதியாகும். பல வழிமுறைகள் முன்மொழியப்பட்டுள்ளன (எ. கா., சிஜிஎல்எஸ், எல்எஸ்கியூஆர்). எல்எஸ்கியூஆர் வழிமுறையானது சிறந்த எண் நிலைத்தன்மையைக் கொண்டுள்ளது, அதாவது ஏ மோசமான நிலையில் இருக்கும்போது, அதாவது ஏ ஒரு பெரிய நிபந்தனை எண்ணைக் கொண்டுள்ளது. சிக்கலான ஹெர்மிடியன் மேட்ரிக்ஸ்களுக்கான கான்ஜுகேட் சாய்வு முறை ஒரு அற்பமான மாற்றத்துடன் கூடிய கான்ஜுகேட் சாய்வு முறை சிக்கலான மதிப்புள்ள மேட்ரிக்ஸ் A மற்றும் திசையன் b கொடுக்கப்பட்டால், சிக்கலான மதிப்புள்ள திசையன் x க்கான நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பு, இதில் A என்பது ஹெர்மிடியன் (அதாவது, A '= A) மற்றும் நேர்மறை-வரையறுக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸ், மற்றும் சின்னம்' கான்ஜுகேட் டிரான்ஸ்போஸைக் குறிக்கிறது. அற்பமான மாற்றம் என்பது எல்லா இடங்களிலும் உண்மையான இடமாற்றத்திற்கு கான்ஜுகேட் இடமாற்றத்தை மாற்றுவதாகும். மேலும் காண்கஃ பைகோன்ஜுகேட் சாய்வு முறை (BiCG) கான்ஜுகேட் சாய்வு சதுர முறை (CGS) கான்ஜுகேட் எஞ்சிய முறை காஸியன் நம்பிக்கை பரப்புதல் மறு செய்கை முறைஃ நேரியல் அமைப்புகள் கிரைலோவ் சப்ஸ்பேஸ் நேரியல் அல்லாத கான்ஜுகேட் சாய்வு முறை முன் நிபந்தனை ஸ்பார்ஸ் மேட்ரிக்ஸ்-வெக்டர் பெருக்கல் குறிப்புகள் மேலும் வாசிப்பு ஜெரார்ட் மெரண்ட்ஃ "கான்ஜுகேட் சாய்வு வழிமுறையில் அமைதியான பிழைகளைக் கண்டறிதல் மற்றும் திருத்தம்", எண் வழிமுறைகள், vol.92 (2023), pp.869-891. URL = https://doi.org/10.1007/s11075-022-01380-1 வெளிப்புற இணைப்புகள் எண் நேரியல் இயற்கணிதம் சாய்வு முறைகள் எடுத்துக்காட்டாக MATLAB/ஆக்டேவ் குறியீட்டைக் கொண்ட கட்டுரைகள்