Laplacian matrix
வரைபடக் கோட்பாட்டின் கணிதத் துறையில், வரைபட லாப்லாசியன் என்றும் அழைக்கப்படும் லாப்லாசியன் மேட்ரிக்ஸ், அட்மிட்டன்ஸ் மேட்ரிக்ஸ், கிர்ச்சோஃப் மேட்ரிக்ஸ் அல்லது டிஸ்கிரீட் லாப்லாசியன், ஒரு வரைபடத்தின் மேட்ரிக்ஸ் பிரதிநிதித்துவமாகும். பியரி-சைமன் லாப்லேஸின் பெயரால் பெயரிடப்பட்ட, வரைபட லாப்லேசியன் மேட்ரிக்ஸை வரையறுக்கப்பட்ட வேறுபாடு முறையால் பெறப்பட்ட எதிர்மறை தொடர்ச்சியான லாப்லேசியனை தோராயமாக மதிப்பிடும் வரைபடத்தில் எதிர்மறை தனித்த லாப்லேஸ் ஆபரேட்டரின் அணி வடிவமாக பார்க்க முடியும். லாப்லாசியன் மேட்ரிக்ஸ் ஒரு வரைபடத்தின் பல பயனுள்ள பண்புகளுடன் தொடர்புடையது. கிர்ச்சோஃப்பின் தேற்றத்துடன் சேர்ந்து, கொடுக்கப்பட்ட வரைபடத்திற்கு பரவியிருக்கும் மரங்களின் எண்ணிக்கையைக் கணக்கிட இதைப் பயன்படுத்தலாம். ஒரு வரைபடத்தின் மிகக் குறைந்த வெட்டு ஃபைட்லர் திசையன் மூலம் தோராயமாக மதிப்பிடப்படலாம்-வரைபடத்தின் லாப்லாசியனின் இரண்டாவது மிகச்சிறிய ஐகென் மதிப்புடன் தொடர்புடைய ஐகென் வெக்டர்-சீஜரின் சமத்துவமின்மையால் நிறுவப்பட்டது. லாப்லாசியன் மேட்ரிக்ஸின் நிறமாலை சிதைவு பல இயந்திர கற்றல் பயன்பாடுகளில் தோன்றும் குறைந்த பரிமாண உட்பொதிகளை உருவாக்க அனுமதிக்கிறது மற்றும் வரைபட வரைபடத்தில் ஒரு நிறமாலை அமைப்பை தீர்மானிக்கிறது. வரைபட அடிப்படையிலான சமிக்ஞை செயலாக்கம் என்பது வரைபட ஃபோரியர் உருமாற்றத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது, இது சமிக்ஞையுடன் தொடர்புடைய வரைபடத்தின் லாப்லாசியன் மேட்ரிக்ஸின் ஐகென் வெக்டர்களுக்கான சிக்கலான சைனுசாய்டுகளின் நிலையான அடிப்படையை மாற்றுவதன் மூலம் பாரம்பரிய தனித்துவமான ஃபோரியர் உருமாற்றத்தை விரிவுபடுத்துகிறது. லாப்லாசியன் மேட்ரிக்ஸ் ஒரு எளிய வரைபடத்திற்கு வரையறுக்க எளிதானது, ஆனால் ஒரு விளிம்பு-எடையுள்ள வரைபடத்திற்கான பயன்பாடுகளில் மிகவும் பொதுவானது, அதாவது, அதன் விளிம்புகளில் எடைகளுடன்-வரைபட அருகாமை மேட்ரிக்ஸின் உள்ளீடுகள். ஸ்பெக்ட்ரல் கிராஃப் கோட்பாடு ஒரு வரைபடத்தின் பண்புகளை ஒரு நிறமாலையுடன் தொடர்புபடுத்துகிறது, அதாவது, ஐகென் மதிப்புகள் மற்றும் வரைபடத்துடன் தொடர்புடைய மேட்ரிக்ஸின் ஐகென் வெக்டர்கள், அதன் அருகாமை மேட்ரிக்ஸ் அல்லது லாப்லாசியன் மேட்ரிக்ஸ் போன்றவை. சமநிலையற்ற எடைகள் மேட்ரிக்ஸ் ஸ்பெக்ட்ரமை விரும்பத்தகாத வகையில் பாதிக்கலாம், இது இயல்பாக்கலின் தேவைக்கு வழிவகுக்கிறது-மேட்ரிக்ஸ் உள்ளீடுகளின் ஒரு நெடுவரிசை/வரிசை அளவீடு-இதன் விளைவாக இயல்பாக்கப்பட்ட அருகாமை மற்றும் லாப்லாசியன் மேட்ரிக்ஸ்கள். எளிமையான வரைபடங்களுக்கான வரையறைகள் லாப்லாசியன் மேட்ரிக்ஸ் செங்குத்துகளுடன் கூடிய ஒரு எளிய வரைபடத்தைப் பொறுத்தவரை, அதன் லாப்லாசியன் மேட்ரிக்ஸ் உறுப்பு வாரியாக அல்லது அதற்கு சமமாக மேட்ரிக்ஸால் வரையறுக்கப்படுகிறது, அங்கு டி என்பது டிகிரி மேட்ரிக்ஸ் மற்றும் ஏ என்பது வரைபடத்தின் அருகாமை மேட்ரிக்ஸ் ஆகும். ஒரு எளிய வரைபடம் என்பதால், 1s அல்லது 0s மட்டுமே உள்ளது மற்றும் அதன் மூலைவிட்ட கூறுகள் அனைத்தும் 0s ஆகும். பெயரிடப்பட்ட, திசைதிருப்பப்படாத வரைபடம் மற்றும் அதன் லாப்லாசியன் மேட்ரிக்ஸின் எளிய எடுத்துக்காட்டு இங்கே. அருகிலுள்ள மேட்ரிக்ஸ் மற்றும் லாப்லாசியன் மேட்ரிக்ஸ் இரண்டும் சமச்சீர் என்றும், லாப்லாசியன் மேட்ரிக்ஸின் வரிசை மற்றும் நெடுவரிசை கூட்டுத்தொகை அனைத்தும் பூஜ்ஜியங்கள் என்றும் திசைதிருப்பப்படாத வரைபடத்திற்காக நாம் கவனிக்கிறோம். இயக்கப்பட்ட வரைபடங்களுக்கு, பின்வரும் எடுத்துக்காட்டில் உள்ளதைப் போல, பயன்பாட்டைப் பொறுத்து இன்டெக்ரி அல்லது அவுட் டிகிரி பயன்படுத்தப்படலாம்ஃ இயக்கப்பட்ட வரைபடத்தில், அருகிலுள்ள மேட்ரிக்ஸ் மற்றும் லாப்லாசியன் மேட்ரிக்ஸ் இரண்டும் சமச்சீரற்றவை. அதன் லாப்லாசியன் மேட்ரிக்ஸில், நெடுவரிசை-கூட்டுத்தொகை அல்லது வரிசை-கூட்டுத்தொகை பூஜ்ஜியமாக இருக்கும், இது இன்டெக்ரீ அல்லது அவுட் டிகிரி பயன்படுத்தப்பட்டதா என்பதைப் பொறுத்து இருக்கும். இந்த வரையறையில் உள்ள விளிம்புகள் தொழில்நுட்ப ரீதியாக இயக்கப்பட்டிருந்தாலும், அவற்றின் திசைகள் தன்னிச்சையாக இருக்கலாம், இதன் விளைவாக அதே சமச்சீர் லாப்லாசியன் மேட்ரிக்ஸ் எல் வரையறுக்கப்படுகிறது, இது B இன் மேட்ரிக்ஸ் இடமாற்றம் எங்கே என்று வரையறுக்கப்படுகிறது. ஒரு மாற்று தயாரிப்பு விளிம்பு-அடிப்படையிலான லாப்லாசியன் என்று அழைக்கப்படுவதை வரையறுக்கிறது, இது பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படும் உச்சி-அடிப்படையிலான லாப்லாசியன் மேட்ரிக்ஸ் எல். சமச்சீர் லாப்லாசியன் ஒரு இயக்கப்படும் வரைபடத்திற்கு ஒரு இயக்கப்படும் வரைபடத்தின் லாப்லாசியன் மேட்ரிக்ஸ் வரையறையின்படி பொதுவாக சமச்சீரற்றது, அதே நேரத்தில், எ. கா., பாரம்பரிய நிறமாலை கிளஸ்டரிங் முதன்மையாக சமச்சீர் அருகாமை மற்றும் லாப்லாசியன் மேட்ரிக்ஸுடன் திசைதிருப்பப்படாத வரைபடங்களுக்காக உருவாக்கப்பட்டது. சமச்சீர் தேவைப்படும் நுட்பங்களைப் பயன்படுத்துவதற்கான ஒரு அற்பமான அணுகுமுறை, அசல் இயக்கப்பட்ட வரைபடத்தை ஒரு திசைதிருப்பப்படாத வரைபடமாக மாற்றுவதும், பிந்தையவருக்கு லாப்லாசியன் மேட்ரிக்ஸை உருவாக்குவதும் ஆகும். மேட்ரிக்ஸ் குறியீட்டில், திசைதிருப்பப்படாத வரைபடத்தின் அருகாமை மேட்ரிக்ஸ், எ. கா., அசல் இயக்கப்பட்ட வரைபடம் மற்றும் அதன் மேட்ரிக்ஸ் இடமாற்றத்தின் அருகாமை மேட்ரிக்ஸின் பூலியன் கூட்டுத்தொகையாக வரையறுக்கப்படலாம், அங்கு பூஜ்ஜியம் மற்றும் ஒரு உள்ளீடுகள் எண், மதிப்புகளைக் காட்டிலும் தர்க்கரீதியானதாகக் கருதப்படுகின்றன, பின்வரும் எடுத்துக்காட்டில்ஃ லாப்லாசியன் மேட்ரிக்ஸ் இயல்பாக்கம் ஒரு பெரிய டிகிரி கொண்ட ஒரு உச்சி, கனமான முனை என்றும் அழைக்கப்படுகிறது, இதன் விளைவாக மேட்ரிக்ஸ் பண்புகளில் ஆதிக்கம் செலுத்தும் லாப்லாசியன் மேட்ரிக்ஸில் ஒரு பெரிய மூலைவிட்ட நுழைவு ஏற்படுகிறது. இயல்பாக்கம் என்பது லாப்லாசியன் மேட்ரிக்ஸின் உள்ளீடுகளை உச்சி டிகிரிகளால் வகுப்பதன் மூலம், அத்தகைய செங்குத்துகளின் செல்வாக்கை மற்ற செங்குத்துகளுக்கு சமமாக மாற்றுவதை நோக்கமாகக் கொண்டுள்ளது. பூஜ்ஜியத்தால் பிரிக்கப்படுவதைத் தவிர்ப்பதற்காக, பூஜ்ஜிய டிகிரி கொண்ட தனிமைப்படுத்தப்பட்ட செங்குத்துகள் இயல்பாக்குதல் செயல்முறையிலிருந்து விலக்கப்படுகின்றன. சமச்சீர் இயல்பாக்கப்பட்ட லாப்லாசியன் சமச்சீர் இயல்பாக்கப்பட்ட லாப்லாசியன் மேட்ரிக்ஸ் பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறதுஃ மூர்-பென்ரோஸ் தலைகீழ் எங்கே. சமச்சீர் இயல்பாக்கப்பட்ட லாப்லாசியன் மேட்ரிக்ஸ் அருகிலுள்ள மேட்ரிக்ஸ் சமச்சீராக இருந்தால் மட்டுமே சமச்சீராக இருக்கும். வழிநடத்தப்பட்ட வரைபடத்தின் சமச்சீர் அல்லாத அருகாமை மேட்ரிக்ஸுக்கு, இயல்பாக்கம் செய்ய இன்டெக்ரி மற்றும் அவுட் டிகிரி பயன்படுத்தப்படலாம்ஃ இடது (சீரற்ற-நடை) மற்றும் வலது இயல்பாக்கப்பட்ட லாப்லாசியன்கள் இடது (சீரற்ற-நடை) இயல்பாக்கப்பட்ட லாப்லாசியன் மேட்ரிக்ஸ் பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறதுஃ மூர்-பென்ரோஸ் தலைகீழ் எங்கே. கூறுகள் மூலம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன இதேபோல், சரியான இயல்பாக்கப்பட்ட லாப்லாசியன் மேட்ரிக்ஸ் என வரையறுக்கப்படுகிறது. அனைத்து தனிமைப்படுத்தப்பட்ட செங்குத்துகளின் அற்பமான வழக்கைத் தவிர, அருகிலுள்ள அணி சமச்சீராக இருந்தால் இடது அல்லது வலது இயல்பாக்கப்பட்ட லாப்லாசியன் அணி சமச்சீராக இருக்காது. எடுத்துக்காட்டாக, தனிமைப்படுத்தப்பட்ட செங்குத்துகள் இல்லையென்றால், வலது சீரற்றது, எனவே இது ஒரு சீரற்ற நடைப்பயணத்தின் மேட்ரிக்ஸ் ஆகும், இதனால் இடது இயல்பாக்கப்பட்ட லாப்லாசியன் ஒவ்வொரு வரிசையையும் பூஜ்ஜியமாக கூட்டுகிறது. எனவே நாம் சில நேரங்களில் சீரற்ற-நடை இயல்பாக்கப்பட்ட லாப்லாசியன் என்று அழைக்கிறோம். குறைவான அசாதாரணமாக பயன்படுத்தப்படும் வலது இயல்பாக்கப்பட்ட லாப்லாசியனில் ஒவ்வொரு நெடுவரிசையும் பூஜ்ஜியத்திற்கு கூட்டப்படுகிறது, ஏனெனில் இடது சீரற்றது. வழிநடத்தப்பட்ட வரைபடத்தின் சமச்சீரற்ற அருகாமை மேட்ரிக்ஸுக்கு, இயல்பாக்கலுக்கான இன்டெக்ரி அல்லது அவுட் டிகிரியையும் ஒருவர் தேர்வு செய்ய வேண்டும்ஃ இடது அவுட் டிகிரி இயல்பாக்கப்பட்ட லாப்லாசியன் வரிசை-கூட்டுத்தொகையுடன் அனைத்து 0 வலது சீரற்றதுடன் தொடர்புடையது, அதே நேரத்தில் வலது டிகிரியில் இயல்பாக்கப்பட்ட லாப்லாசியன் நெடுவரிசை-கூட்டுத்தொகையுடன் அனைத்து 0 இடது சீரற்றதைக் கொண்டுள்ளது. எடையுள்ள விளிம்புகளைக் கொண்ட வரைபடங்களுக்கான வரையறைகள் எடையுள்ள விளிம்புகளைக் கொண்ட பயன்பாட்டு வரைபடங்களில் பொதுவானவை அவற்றின் அருகாமை மேட்ரிக்ஸால் வசதியாக வரையறுக்கப்படுகின்றன, அங்கு உள்ளீடுகளின் மதிப்புகள் எண் மற்றும் பூஜ்ஜியங்கள் மற்றும் ஒன்றுக்கு மட்டுப்படுத்தப்படவில்லை. ஸ்பெக்ட்ரல் கிளஸ்டரிங் மற்றும் கிராஃப் அடிப்படையிலான சிக்னல் செயலாக்கத்தில், வரைபட செங்குத்துகள் தரவு புள்ளிகளைக் குறிக்கும் இடத்தில், விளிம்பு எடைகளைக் கணக்கிடலாம், எ. கா., ஜோடி தரவு புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரங்களுக்கு நேர்மாறான விகிதாசாரமாக, அனைத்து எடைகளும் எதிர்மறையாக இல்லாததற்கு வழிவகுக்கிறது. தரவு புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தொடர்பு மற்றும் எதிர் தொடர்பைப் பயன்படுத்துவது இயற்கையாகவே நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை எடைகளுக்கு வழிவகுக்கிறது. எளிய வரைபடங்களுக்கான பெரும்பாலான வரையறைகள் எதிர்மறை அல்லாத எடைகளின் நிலையான வழக்குக்கு அற்பமாக நீட்டிக்கப்படுகின்றன, அதே நேரத்தில் எதிர்மறை எடைகளுக்கு அதிக கவனம் தேவைப்படுகிறது, குறிப்பாக இயல்பாக்கத்தில். லாப்லாசியன் மேட்ரிக்ஸ் என்பது டி என்பது டிகிரி மேட்ரிக்ஸ் மற்றும் ஏ என்பது வரைபடத்தின் அருகாமை மேட்ரிக்ஸ் என்பதன் மூலம் வரையறுக்கப்படுகிறது. வழிநடத்தப்பட்ட வரைபடங்களுக்கு, பின்வரும் எடுத்துக்காட்டில் உள்ளதைப் போல, பயன்பாட்டைப் பொறுத்து இன்டெக்ரி அல்லது அவுட் டிகிரி பயன்படுத்தப்படலாம்ஃ கிராஃப் சுய-சுழல்கள், அருகிலுள்ள மேட்ரிக்ஸின் முக்கிய மூலைவிட்டத்தில் பூஜ்ஜியமற்ற உள்ளீடுகளால் தங்களை வெளிப்படுத்துகின்றன, ஆனால் அவை வரைபட லாப்லாசியன் மதிப்புகளை பாதிக்காது. இன்சிடன்ஸ் மேட்ரிக்ஸ் வழியாக சமச்சீர் லாப்லாசியன் எடையுள்ள விளிம்புகளைக் கொண்ட வரைபடங்களுக்கு ஒருவர் எடையுள்ள இன்சிடன்ஸ் மேட்ரிக்ஸ் B ஐ வரையறுக்கலாம் மற்றும் அதனுடன் தொடர்புடைய சமச்சீர் லாப்லாசியனை உருவாக்க அதைப் பயன்படுத்தலாம். ஒரு மாற்று தூய்மையான அணுகுமுறை, இங்கே விவரிக்கப்பட்டுள்ளது, இணைப்பிலிருந்து எடைகளைப் பிரிப்பதாகும்ஃ வழக்கமான வரைபடங்களைப் போலவே நிகழ்வு மேட்ரிக்ஸைப் பயன்படுத்துவதைத் தொடரவும், எடைகளின் மதிப்புகளை வைத்திருக்கும் ஒரு மேட்ரிக்ஸை அறிமுகப்படுத்தவும். கொடுக்கப்பட்ட விறைப்புத்தன்மை மற்றும் அலகு நீளத்தின் நீரூற்றுகளின் அமைப்பை விவரிக்க இயக்கவியலில் பயன்படுத்தப்படும் இந்த மாதிரிக்கு ஒரு ஸ்ப்ரிங் அமைப்பு ஒரு எடுத்துக்காட்டு, அங்கு விறைப்புத்தன்மையின் மதிப்புகள் வரைபட விளிம்புகளின் எடைகளின் பாத்திரத்தை வகிக்கின்றன. இவ்வாறு நாம் எடையற்ற இன்செடென்ஸ் மேட்ரிக்ஸ் B இன் வரையறையை உறுப்பு Bve உடன் உச்சி v மற்றும் விளிம்பு e (இணைக்கும் உச்சிகள் மற்றும், i> j உடன்) வரையறுக்கப்பட்ட வரையறையுடன் மீண்டும் பயன்படுத்துகிறோம். B இன் வரையறையில் உள்ள விளிம்புகள் தொழில்நுட்ப ரீதியாக இயக்கப்பட்டிருந்தாலும், அவற்றின் திசைகள் தன்னிச்சையாக இருக்கலாம், இருப்பினும் அதே சமச்சீர் லாப்லாசியன் மேட்ரிக்ஸ் L இன் விளைவாக வரையறுக்கப்படுகிறது. கட்டுமானம் பின்வரும் எடுத்துக்காட்டில் விளக்கப்பட்டுள்ளது, அங்கு ஒவ்வொரு விளிம்புக்கும் எடை மதிப்பு i ஒதுக்கப்பட்டுள்ளது, ஒரு இயக்கப்படும் வரைபடத்திற்கு சமச்சீர் லாப்லாசியனுடன், எளிய வரைபடங்களைப் போலவே, இயக்கப்படும் எடையுள்ள வரைபடத்தின் லாப்லாசியன் அணி வரையறையின்படி பொதுவாக சமச்சீரற்றது. லாப்லாசியனை உருவாக்குவதற்கு முன்பு அசல் இயக்கப்பட்ட வரைபடத்தை திசைதிருப்பப்படாத வரைபடமாக மாற்றுவதன் மூலம் சமச்சீர்மையை செயல்படுத்தலாம். வழிநடத்தப்படாத வரைபடத்தின் அருகாமை மேட்ரிக்ஸ், எ. கா., அசல் இயக்கப்பட்ட வரைபடத்தின் அருகாமை மேட்ரிக்ஸின் கூட்டுத்தொகையாக வரையறுக்கப்படலாம் மற்றும் அதன் மேட்ரிக்ஸ் பின்வரும் எடுத்துக்காட்டில் உள்ளபடி மாற்றப்படுகிறதுஃ இதில் பூஜ்ஜியம் மற்றும் ஒரு உள்ளீடுகள் எளிய வரைபடங்களைப் போல தர்க்கரீதியாக அல்லாமல் எண்ணியலாகக் கருதப்படுகின்றன, மதிப்புகள், முடிவுகளில் உள்ள வேறுபாட்டை விளக்குகின்றன-எளிய வரைபடங்களுக்கு, சமச்சீர் வரைபடம் இன்னும் அதன் சமச்சீர் அருகாமை மேட்ரிக்ஸுடன் எளிமையாக இருக்க வேண்டும், இது தர்க்கரீதியான, எண் மதிப்புகள் அல்ல, எ. கா., தர்க்கரீதியான தொகை 1 வி 1 = 1, அதே நேரத்தில் எண் தொகை 1 + 1 = 2 ஆகும். மாற்றாக, சமச்சீர் லாப்லாசியன் மேட்ரிக்ஸை இரண்டு லாப்லாசியன்களிலிருந்து இன்டெக்ரீ மற்றும் அவுட் டிகிரியைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம், பின்வரும் எடுத்துக்காட்டில் உள்ளபடிஃ அவுட்-டிகிரி லாப்லாசியன் இடமாற்றம் மற்றும் இன்-டிகிரி லாப்லாசியன் கூட்டுத்தொகை சமச்சீர் லாப்லாசியன் மேட்ரிக்ஸுக்கு சமம். லாப்லாசியன் மேட்ரிக்ஸ் இயல்பாக்கம் இயல்பாக்கலின் குறிக்கோள், எளிய வரைபடங்களைப் போலவே, லாப்லாசியன் மேட்ரிக்ஸின் மூலைவிட்ட உள்ளீடுகளையும் அனைத்து அலகுகளாக மாற்றுவதும், மூலைவிட்ட உள்ளீடுகளை அதற்கேற்ப அளவிடுவதும் ஆகும். ஒரு எடையுள்ள வரைபடத்தில், ஒரு உச்சி ஒரு சிறிய எண்ணிக்கையிலான இணைக்கப்பட்ட விளிம்புகள் காரணமாக ஒரு பெரிய டிகிரியைக் கொண்டிருக்கலாம், ஆனால் பெரிய எடைகளுடன் அதே போல் அலகு எடைகளுடன் இணைக்கப்பட்ட விளிம்புகள் அதிக எண்ணிக்கையில் இருப்பதால். வரைபட சுய-சுழல்கள், அதாவது, அருகிலுள்ள மேட்ரிக்ஸின் முக்கிய மூலைவிட்டத்தில் பூஜ்ஜியமற்ற உள்ளீடுகள், வரைபட லாப்லாசியன் மதிப்புகளை பாதிக்காது, ஆனால் இயல்பாக்குதல் காரணிகளைக் கணக்கிடுவதற்கு கணக்கிடப்பட வேண்டும். சமச்சீர் இயல்பாக்கப்பட்ட லாப்லாசியன் சமச்சீர் இயல்பாக்கப்பட்ட லாப்லாசியன் வரையறுக்கப்படுகிறது, அங்கு எல் என்பது வழக்கத்திற்கு மாறான லாப்லாசியன், ஏ என்பது அருகாமை அணி, டி என்பது டிகிரி அணி, மற்றும் மூர்-பென்ரோஸ் தலைகீழ். டிகிரி மேட்ரிக்ஸ் டி மூலைவிட்டமாக இருப்பதால், அதன் பரஸ்பர சதுர வேர் வெறுமனே மூலைவிட்ட மேட்ரிக்ஸ் ஆகும், அதன் மூலைவிட்ட உள்ளீடுகள் டி இன் மூலைவிட்ட உள்ளீடுகளின் சதுர வேர்களின் பரஸ்பரமாக இருக்கும். அனைத்து விளிம்பு எடைகளும் எதிர்மறையாக இல்லாவிட்டால், அனைத்து டிகிரி மதிப்புகளும் தானாகவே எதிர்மறையாக இருக்காது, எனவே ஒவ்வொரு டிகிரி மதிப்புக்கும் தனித்துவமான நேர்மறை சதுர வேர் உள்ளது. பூஜ்ஜியத்தால் பிரிப்பதைத் தவிர்க்க, பூஜ்ஜிய டிகிரி கொண்ட செங்குத்துகள் இயல்பாக்குதல் செயல்முறையிலிருந்து விலக்கப்படுகின்றன, பின்வரும் எடுத்துக்காட்டில் உள்ளபடிஃ சமச்சீர் இயல்பாக்கப்பட்ட லாப்லாசியன் ஒரு சமச்சீர் மேட்ரிக்ஸ் ஆகும், அருகிலுள்ள மேட்ரிக்ஸ் A சமச்சீர் மற்றும் D இன் மூலைவிட்ட உள்ளீடுகள் எதிர்மறையாக இல்லாவிட்டால் மட்டுமே, இந்த விஷயத்தில் நாம் சமச்சீர் இயல்பாக்கப்பட்ட லாப்லாசியன் என்ற வார்த்தையைப் பயன்படுத்தலாம். சமச்சீர் இயல்பாக்கப்பட்ட லாப்லாசியன் மேட்ரிக்ஸை எடையற்ற நிகழ்வு மேட்ரிக்ஸ் B மற்றும் விளிம்பு எடைகளைக் கொண்ட மூலைவிட்ட மேட்ரிக்ஸ் W ஐப் பயன்படுத்தி எழுதலாம் மற்றும் புதிய எடையுள்ள நிகழ்வு மேட்ரிக்ஸை வரையறுக்கலாம், அதன் வரிசைகள் செங்குத்துகளால் குறியிடப்படுகின்றன மற்றும் அதன் நெடுவரிசைகள் G இன் விளிம்புகளால் குறியிடப்படுகின்றன, இதனால் ஒரு விளிம்புடன் தொடர்புடைய ஒவ்வொரு நெடுவரிசையும் e = {u, v} u உடன் தொடர்புடைய வரிசையில் ஒரு நுழைவு உள்ளது, v உடன் தொடர்புடைய வரிசையில் ஒரு நுழைவு, மற்றும் வேறு இடங்களில் 0 உள்ளீடுகளைக் கொண்டுள்ளது. சீரற்ற நடை இயல்பாக்கப்பட்ட லாப்லாசியன் சீரற்ற நடை இயல்பாக்கப்பட்ட லாப்லாசியன் டி என்பது டிகிரி மேட்ரிக்ஸ் என வரையறுக்கப்படுகிறது. டிகிரி மேட்ரிக்ஸ் டி மூலைவிட்டமாக இருப்பதால், அதன் தலைகீழ் வெறுமனே ஒரு மூலைவிட்ட மேட்ரிக்ஸ் என்று வரையறுக்கப்படுகிறது, இது மூலைவிட்ட உள்ளீடுகளைக் கொண்டுள்ளது, அவை டி இன் தொடர்புடைய மூலைவிட்ட உள்ளீடுகளின் பரஸ்பரமாக உள்ளன. தனிமைப்படுத்தப்பட்ட செங்குத்துகளுக்கு (டிகிரி 0 கொண்டவை), ஒரு பொதுவான தேர்வு அதனுடன் தொடர்புடைய உறுப்பை 0 ஆக அமைப்பது. ரேண்டம்-வாக் இயல்பாக்கப்பட்ட லாப்லாசியனின் பெயர் இந்த மேட்ரிக்ஸ் என்ற உண்மையிலிருந்து வருகிறது, இது கிராஃப்பில் ஒரு ரேண்டம் வாக்கரின் மாற்றம் மேட்ரிக்ஸ் ஆகும், இது எதிர்மறை அல்லாத எடைகளைக் கருதுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, i-th நிலையான அடிப்படை திசையனைக் குறிக்கலாம். பின்னர் ஒரு நிகழ்தகவு திசையன் என்பது உச்சியில் இருந்து ஒரு படி எடுத்த பிறகு ஒரு சீரற்ற வாக்கரின் இருப்பிடங்களின் விநியோகத்தைக் குறிக்கிறது; அதாவது. மேலும் பொதுவாக, திசையன் என்பது வரைபடத்தின் செங்குத்துகளில் ஒரு சீரற்ற வாக்கரின் இருப்பிடத்தின் நிகழ்தகவு விநியோகமாக இருந்தால், படிகளுக்குப் பிறகு வாக்கரின் நிகழ்தகவு விநியோகமாகும். சீரற்ற நடை இயல்பாக்கப்பட்ட லாப்லாசியனை இடது இயல்பாக்கப்பட்ட லாப்லாசியன் என்றும் அழைக்கலாம், ஏனெனில் இயல்பாக்கம் லாப்லாசியனை இடதுபுறத்தில் உள்ள இயல்பாக்குதல் மேட்ரிக்ஸால் பெருக்குவதன் மூலம் செய்யப்படுகிறது. அனைத்து எடைகளும் எதிர்மறை அல்லாதவை என்று கருதி, இது சரியான சீரற்றதாக இருப்பதால், ஒவ்வொரு வரிசையும் பூஜ்ஜியமாக கூட்டப்படுகிறது. குறைவான அசாதாரணமாக பயன்படுத்தப்படும் வலது இயல்பாக்கப்பட்ட லாப்லாசியனில் ஒவ்வொரு நெடுவரிசையும் பூஜ்ஜியத்திற்கு கூட்டப்படுகிறது, ஏனெனில் இடது சீரற்றது. வழிநடத்தப்பட்ட வரைபடத்தின் சமச்சீரற்ற அருகாமை மேட்ரிக்ஸுக்கு, இயல்பாக்கலுக்கான இன்டெக்ரி அல்லது அவுட் டிகிரியையும் ஒருவர் தேர்வு செய்ய வேண்டும்ஃ இடது அவுட் டிகிரி இயல்பாக்கப்பட்ட லாப்லாசியன் வரிசை-கூட்டுத்தொகையுடன் அனைத்து 0 வலது சீரற்றதுடன் தொடர்புடையது, அதே நேரத்தில் வலது டிகிரியில் இயல்பாக்கப்பட்ட லாப்லாசியன் நெடுவரிசை-கூட்டுத்தொகையுடன் அனைத்து 0 இடது சீரற்றதைக் கொண்டுள்ளது. எதிர்மறை எடைகள் இயல்பாக்கலுக்கு பல சவால்களை முன்வைக்கின்றனஃ எதிர்மறை எடைகள் இருப்பது இயற்கையாகவே பூஜ்ஜிய வரிசை மற்றும்/அல்லது தனிமைப்படுத்தப்படாத செங்குத்துகளுக்கு நெடுவரிசை-கூட்டுத்தொகையை ஏற்படுத்தக்கூடும். நேர்மறை எடைகளின் பெரிய வரிசை-கூட்டுத்தொகை மற்றும் சமமாக எதிர்மறையான பெரிய வரிசை-கூட்டுத்தொகை எதிர்மறை எடைகளைக் கொண்ட ஒரு உச்சி, ஒன்றாக பூஜ்ஜியம் வரை கூட்டல், ஒரு கனமான முனையாகவும், இரண்டு பெரிய மதிப்புகளும் அளவிடப்பட்டதாகவும் கருதப்படலாம், அதே நேரத்தில் மூலைவிட்ட நுழைவு பூஜ்ஜியமாக இருக்கும், தனிமைப்படுத்தப்பட்ட உச்சியைப் போல. எதிர்மறை எடைகள் எதிர்மறை வரிசை மற்றும்/அல்லது நெடுவரிசை கூட்டுத்தொகையையும் கொடுக்கலாம், இதனால் இயல்பற்ற லாப்லாசியன் மேட்ரிக்ஸில் தொடர்புடைய மூலைவிட்ட நுழைவு எதிர்மறையாக இருக்கும் மற்றும் சமச்சீர் இயல்பாக்கலுக்குத் தேவையான நேர்மறை சதுர வேர் இருக்காது. வரிசை மற்றும்/அல்லது நெடுவரிசை கூட்டுத்தொகையின் முழுமையான மதிப்பை இயல்பாக்கும் நோக்கத்திற்காக எடுக்க வாதங்கள் செய்யப்படலாம், இதனால் சாத்தியமான மதிப்பு-1 ஐ இயல்பாக்கப்பட்ட லாப்லாசியன் மேட்ரிக்ஸின் முக்கிய மூலைவிட்டத்தின் முறையான அலகு உள்ளீடாகக் கருதுகிறது. பண்புகள் ஒரு (திசைதிருப்பப்படாத) வரைபடம் ஜி மற்றும் அதன் லாப்லாசியன் மேட்ரிக்ஸ் எல் ஐகென் மதிப்புகளுடன்ஃ எல் சமச்சீர் ஆகும். எல் என்பது பாசிட்டிவ்-செமிடிஃபைனைட் (அதாவது அனைவருக்கும்). லாப்லாசியன் சமச்சீர் மற்றும் மூலைவிட்டமாக ஆதிக்கம் செலுத்துகிறது என்பதிலிருந்து இதைக் காணலாம். எல் என்பது ஒரு எம்-மேட்ரிக்ஸ் (அதன் மூலைவிட்ட உள்ளீடுகள் நேர்மறையானவை அல்ல, இருப்பினும் அதன் ஐகென் மதிப்புகளின் உண்மையான பகுதிகள் எதிர்மறையானவை அல்ல). L இன் ஒவ்வொரு வரிசை கூட்டுத்தொகை மற்றும் நெடுவரிசை கூட்டுத்தொகை பூஜ்ஜியமாகும். உண்மையில், கூட்டுத்தொகையில், உச்சியின் அளவு ஒவ்வொரு அண்டைக்கும் "-1" உடன் சுருக்கப்படுகிறது. இதன் விளைவாக, திசையன் திருப்தி அடைவதால் இது லாப்லாசியன் மேட்ரிக்ஸ் ஒருமை என்பதைக் குறிக்கிறது. வரைபடத்தில் இணைக்கப்பட்ட கூறுகளின் எண்ணிக்கை லாப்லாசியனின் பூஜ்ய இடத்தின் பரிமாணம் மற்றும் 0 ஐகென் மதிப்பின் இயற்கணித பெருக்கம் ஆகும். L இன் பூஜ்ஜியமற்ற மிகச்சிறிய ஐகென் மதிப்பு நிறமாலை இடைவெளி என்று அழைக்கப்படுகிறது. L இன் இரண்டாவது மிகச்சிறிய ஐகென் மதிப்பு (பூஜ்ஜியமாக இருக்கலாம்) G இன் இயற்கணித இணைப்பு (அல்லது ஃபீட்லர் மதிப்பு) மற்றும் ஒரு வரைபடத்தின் மிகக் குறைந்த வெட்டை தோராயமாக மதிப்பிடுகிறது. லாப்லாசியன் என்பது செயல்பாடுகளின் n-பரிமாண திசையன் இடத்தில் ஒரு ஆபரேட்டர் ஆகும், அங்கு G இன் உச்சி தொகுப்பு, மற்றும். G என்பது k-ஒழுங்காக இருக்கும்போது, இயல்பாக்கப்பட்ட லாப்லாசியன்ஃ, இங்கு A என்பது அருகாமை அணி மற்றும் I என்பது ஒரு அடையாள அணி. பல இணைக்கப்பட்ட கூறுகளைக் கொண்ட ஒரு வரைபடத்திற்கு, எல் என்பது ஒரு தொகுதி மூலைவிட்ட மேட்ரிக்ஸ் ஆகும், இதில் ஒவ்வொரு தொகுதியும் ஒவ்வொரு கூறுக்கும் அந்தந்த லாப்லாசியன் மேட்ரிக்ஸ் ஆகும், ஒருவேளை செங்குத்துகளை மறுசீரமைத்த பிறகு (அதாவது. எல் என்பது ஒரு தொகுதி மூலைவிட்ட மேட்ரிக்ஸுக்கு ஒத்த வரிசைமாற்றமாகும்). லாப்லாசியன் மேட்ரிக்ஸ் எல் இன் சுவடு கருதப்படும் வரைபடத்தின் விளிம்புகளின் எண்ணிக்கை எங்கே என்பதற்கு சமம். இப்போது அலகு-இயல்பான ஐகென் வெக்டர்கள் மற்றும் அதனுடன் தொடர்புடைய ஐகென் மதிப்புகளுடன் ஒரு ஐகெண்டின் கலவையைக் கவனியுங்கள்ஃ ஏனெனில் திசையனின் உள் விளைபொருளாக அதனுடன் எழுதப்படலாம், எனவே இதன் ஐகென் மதிப்புகள் அனைத்தும் எதிர்மறை அல்லாதவை என்பதை இது காட்டுகிறது. இயல்பாக்கப்பட்ட சமச்சீர் லாப்லாசியனின் அனைத்து ஐகென் மதிப்புகளும் 0 = μ0 ≤. ≤ μn − 1 ≤ 2 ஐ திருப்திப்படுத்துகின்றன. இந்த ஐகென் மதிப்புகள் (இயல்பாக்கப்பட்ட லாப்லாசியனின் நிறமாலை என்று அழைக்கப்படுகின்றன) பொதுவான வரைபடங்களுக்கான பிற வரைபட மாறுபாடுகளுடன் நன்கு தொடர்புடையவை. ஒருவர் சரிபார்க்கலாம்ஃ, அதாவது, இயல்பாக்கப்பட்ட லாப்லாசியனைப் போன்றது. இந்த காரணத்திற்காக, பொதுவாக சமச்சீர் இல்லையென்றாலும், அது உண்மையான ஐகென் மதிப்புகளைக் கொண்டுள்ளது-இயல்பாக்கப்பட்ட சமச்சீர் லாப்லாசியனின் ஐகென் மதிப்புகளைப் போலவே. தொடர்ச்சியான லாப்லாசியனை தோராயமாக மதிப்பிடும் தனித்த லாப்லாசியன் ஆபரேட்டர் என்ற விளக்கம் வரைபட லாப்லாசியன் மேட்ரிக்ஸை வரையறுக்கப்பட்ட வேறுபாடு முறையால் பெறப்பட்ட எதிர்மறை தொடர்ச்சியான லாப்லாசியன் ஆபரேட்டரை தோராயமாக மதிப்பிடும் வரைபடத்தில் எதிர்மறை தனித்த லாப்லாசியன் ஆபரேட்டரின் அணி வடிவமாக மேலும் காணலாம். (டிஸ்கிரீட் பாய்சன் சமன்பாட்டைப் பார்க்கவும்) இந்த விளக்கத்தில், ஒவ்வொரு வரைபட உச்சியும் ஒரு கட்ட புள்ளியாகக் கருதப்படுகிறது; உச்சியின் உள்ளூர் இணைப்பு இந்த கட்ட புள்ளியில் வரையறுக்கப்பட்ட வேறுபாடு தோராயமான ஸ்டென்சிலை தீர்மானிக்கிறது, கட்டத்தின் அளவு எப்போதும் ஒவ்வொரு விளிம்பிற்கும் ஒன்றாக இருக்கும், மேலும் எந்த கட்ட புள்ளிகளிலும் கட்டுப்பாடுகள் இல்லை, இது ஒரே மாதிரியான நியூமன் எல்லை நிலை, அதாவது இலவச எல்லைக்கு ஒத்திருக்கிறது. அத்தகைய விளக்கம், எ. கா., வரம்பற்ற எண்ணிக்கையிலான செங்குத்துகள் மற்றும் விளிம்புகளுடன் வரைபடங்களின் விஷயத்தில் லாப்லாசியன் மேட்ரிக்ஸை பொதுமைப்படுத்த அனுமதிக்கிறது, இது எல்லையற்ற அளவிலான லாப்லாசியன் மேட்ரிக்ஸுக்கு வழிவகுக்கிறது. லாப்லாசியன் மேட்ரிக்ஸின் பொதுமைப்படுத்தல்கள் மற்றும் விரிவாக்கங்கள் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட லாப்லாசியன் என்பது பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறதுஃ சாதாரண லாப்லாசியன் ஒரு பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட லாப்லாசியன் என்பதைக் கவனியுங்கள். அருகிலுள்ள மேட்ரிக்ஸின் காந்த லாப்லாசியன் உள்ளீடுகள் சிக்கலான மதிப்புடையதாக இருக்கலாம், இந்த விஷயத்தில் மேட்ரிக்ஸ் சமச்சீர் பற்றிய கருத்தை ஹெர்மிடியன் மேட்ரிக்ஸ் மூலம் மாற்ற வேண்டும். உண்மையான எடைகளுடன் இயக்கப்பட்ட வரைபடத்திற்கான காந்த லாப்லாசியன் சமச்சீர் லாப்லாசியன் மற்றும் ஹெர்மிடியன் கட்ட மேட்ரிக்ஸின் உண்மையான சமச்சீர் மேட்ரிக்ஸின் ஹடாமார்ட் பெருக்கலாக சிக்கலான உள்ளீடுகளுடன் கட்டமைக்கப்பட்டுள்ளது, இது சிக்கலான தளத்தில் உள்ள கட்டத்திற்குள் விளிம்பு திசையை குறியாக்கம் செய்கிறது. குவாண்டம் இயற்பியலின் சூழலில், காந்த லாப்லாசியன் ஒரு வரைபடத்தில் ஒரு இலவச சார்ஜ் செய்யப்பட்ட துகள்களின் நிகழ்வுகளை விவரிக்கும் ஆபரேட்டராக விளக்கப்படலாம், இது ஒரு காந்தப்புலத்தின் செயல்பாட்டிற்கு உட்பட்டது மற்றும் அளவுரு மின்சார கட்டணம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. பின்வரும் எடுத்துக்காட்டில்ஃ சிதைந்த லாப்லாசியன் சிதைந்த லாப்லாசியன் பொதுவாக வரையறுக்கப்படுகிறது, அங்கு I என்பது அடையாள அணி, A என்பது அருகாமை அணி, D என்பது டிகிரி அணி, மற்றும் s என்பது ஒரு (சிக்கலான மதிப்புள்ள) எண். நிலையான லாப்லாசியன் நியாயமானது மற்றும் அறிகுறியற்ற லாப்லாசியன் ஆகும். சிக்னலெஸ் லாப்லாசியன் சிக்னலெஸ் லாப்லாசியன் என்பது டிகிரி மேட்ரிக்ஸ் எங்கே என்று வரையறுக்கப்படுகிறது, மேலும் இது அருகிலுள்ள மேட்ரிக்ஸ் ஆகும். கையொப்பமிடப்பட்ட லாப்லாசியனைப் போலவே, அறிகுறியற்ற லாப்லாசியனும் நேர்மறையான அரை-திட்டவட்டமானது, ஏனெனில் இது நிகழ்வு அணி எங்கே என்பதைக் குறிக்கலாம். தனிமைப்படுத்தப்பட்ட செங்குத்துகளைத் தவிர இருதரப்பு இணைக்கப்பட்ட கூறுகளைக் கொண்டிருந்தால் மட்டுமே அது 0-ஐஜென்வெக்டரைக் கொண்டுள்ளது. வரைபடத்தில் இருதரப்பு இணைக்கப்பட்ட கூறு இருந்தால் மட்டுமே இது ஒரு தீர்வைக் கொண்டுள்ளது என்று இதைக் காட்டலாம். இயக்கப்பட்ட பன்முகக் கல்வெட்டுகள் லாப்லாசியன் மேட்ரிக்ஸின் ஒப்புமையை இயக்கப்பட்ட பன்முகக் கல்வெட்டுகளுக்கு வரையறுக்கலாம். இந்த விஷயத்தில் லாப்லாசியன் மேட்ரிக்ஸ் எல் வரையறுக்கப்படுகிறது, அங்கு டி என்பது டி உடன் ஒரு மூலைவிட்ட மேட்ரிக்ஸ், ஐ என்பது உச்சியின் வெளிப்புறத்திற்கு சமம் மற்றும் ஏ என்பது ஐ உடன் ஒரு மேட்ரிக்ஸ், ஜே என்பது ஐ முதல் ஜே வரையிலான விளிம்புகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமம் (சுழல்கள் உட்பட). திறந்த மூல மென்பொருள் செயலாக்கங்கள் ஸ்கைப் நெட்வொர்க்எக்ஸ் ஜூலியா அப்ளிகேஷன் சாப்ட்வேர் ஸ்கிகிட்-லர்ன் ஸ்பெக்ட்ரல் கிளஸ்டரிங் பைஜிஎஸ்பிஃ பைதான் மெகாமனில் கிராஃப் சிக்னல் செயலாக்கம்ஃ மில்லியன் கணக்கான புள்ளிகளுக்கான மேனிஃபோல்ட் கற்றல் மென்மையாக்குகிறதுஜி லாப்லாசியன் சேஞ்ச் பாயிண்ட் டிடெக்ஷன் ஃபார் டைனமிக் கிராஃப்ஸ் (கேடிடி 2020) லாப்லாசியன் ஆப்ட் (லாப்லாசியனின் எடை வரைபடங்களின் இரண்டாவது ஐகென் மதிப்பை அதிகப்படுத்துவதற்கான ஜூலியா தொகுப்பு) லிக்எம்ஜி (பெரிய ஒழுங்கற்ற வரைபட மல்டி கிரிட்) Laplacians.jl மேலும் காண்க வரையறுக்கப்பட்ட எடையுள்ள வரைபடங்களில் ஸ்டிஃப்னஸ் மேட்ரிக்ஸ் டிஸ்டன்ஸ் டிரான்ஸிஷன் ரேட் மேட்ரிக்ஸ் கால்குலஸ் கிராஃப் ஃபோரியர் உருமாற்றம் குறிப்புகள் இயற்கணித வரைபடக் கோட்பாடு அளவீடுகள்