Vitali covering lemma
கணிதத்தில், லெம்மாவை உள்ளடக்கிய விட்டலி என்பது யூக்ளிடியன் இடைவெளிகளின் அளவீட்டுக் கோட்பாட்டில் பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படும் ஒரு ஒருங்கிணைந்த மற்றும் வடிவியல் விளைவாகும். இந்த லெம்மா ஒரு இடைநிலை படியாகும், சுயாதீன ஆர்வத்துடன், விட்டாலி உள்ளடக்கிய தேற்றத்தின் சான்றில். இந்தக் கவரிங் தேற்றம் இத்தாலிய கணிதவியலாளர் கியூசெப் விட்டாலிக்குச் சொந்தமானது. லெம்மாவை உள்ளடக்கிய ஈ. விட்டாலியின் விட்டாலி உறையிலிருந்து பிரித்தெடுக்கப்பட்ட ஒரு இணைந்த குடும்பத்தால் Rd இன் கொடுக்கப்பட்ட துணைக்குழு E ஐ ஒரு லெபஸ்கூ-புறக்கணிக்கக்கூடிய தொகுப்பு வரை உள்ளடக்க முடியும் என்று தேற்றம் கூறுகிறது. லெம்மாவின் இரண்டு அடிப்படை பதிப்புகள் உள்ளன, ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட பதிப்பு மற்றும் எல்லையற்ற பதிப்பு. இரண்டு லெம்மாவையும் ஒரு மெட்ரிக் இடத்தின் பொதுவான அமைப்பில் நிரூபிக்க முடியும், பொதுவாக இந்த முடிவுகள் யூக்ளிடியன் இடத்தின் சிறப்பு வழக்கில் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. இரண்டு கோட்பாடுகளிலும் நாம் பின்வரும் குறியீட்டைப் பயன்படுத்துவோம்ஃ ஒரு பந்து என்றால், பந்துக்கு எழுதுவோம். வரையறுக்கப்பட்ட பதிப்பு தேற்றம் (வரையறுக்கப்பட்ட மூடுதல் லெம்மா). ஒரு தன்னிச்சையான மெட்ரிக் இடத்தில் உள்ள பந்துகளின் வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்பாக இருக்கட்டும். பின்னர் இந்த பந்துகளின் ஒரு துணைத் தொகுப்பு உள்ளது, அவை வேறுபட்டவை மற்றும் சான்றுகளை திருப்திப்படுத்துகின்றனஃ பொதுத்தன்மையை இழக்காமல், பந்துகளின் தொகுப்பு காலியாக இல்லை என்று கருதுகிறோம்; அதாவது, n> 0. மிகப்பெரிய ஆரம் கொண்ட பந்தாக இருக்கட்டும். தூண்டுதலாக, தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டதாக வைத்துக்கொள்வோம். அதில் ஏதேனும் பந்து வேறுபட்டிருந்தால், அதிகபட்ச ஆரம் கொண்ட பந்தாக இருக்கட்டும் (உறவுகளை தன்னிச்சையாக உடைத்தல்), இல்லையெனில், நாம் m: = k ஐ அமைத்து தூண்டல் வரையறையை முடிவுக்குக் கொண்டுவருகிறோம். இப்போது அமைக்கவும். அதை ஒவ்வொருவருக்கும் காட்ட வேண்டும். என்றால் இது தெளிவாக உள்ளது. இல்லையெனில், குறுக்கிடும் சில அவசியம் உள்ளன மற்றும் ஆரம் குறைந்தபட்சம் அது போன்ற பெரிய உள்ளது. முக்கோண சமத்துவமின்மை பின்னர் அதை எளிதாக குறிக்கிறது, தேவைக்கேற்ப. இது வரையறுக்கப்பட்ட பதிப்பின் ஆதாரத்தை நிறைவு செய்கிறது. எல்லையற்ற பதிப்பு தேற்றம் (எல்லையற்ற மூடுதல் லெம்மா). பந்து B இன் ஆரத்தைக் குறிக்கும் வகையில் பிரிக்கக்கூடிய மெட்ரிக் இடத்தில் பந்துகளின் தன்னிச்சையான தொகுப்பாக இருக்கட்டும். பின்னர் ஒரு எண்ணக்கூடிய துணைத் தொகுப்பு உள்ளது, அதாவது பந்துகள் ஜோடி வாரியாக வேறுபடுகின்றன, மேலும் திருப்தி அளிக்கின்றன மேலும், ஒவ்வொன்றும் சிலவற்றுடன் வெட்டுகின்றன. ஆதாரம்ஃ F ஐ Fn, n ≤ 0 என்ற துணைத் தொகுப்புகளாகப் பிரிப்பதைக் கவனியுங்கள், அதாவது, (2−n−1R, 2−nR] இல் ஆரம் கொண்ட பந்துகள் B ஐக் கொண்டுள்ளது. ஒரு வரிசை Gn, Gn′Fn உடன், பின்வருமாறு தூண்டல் முறையில் வரையறுக்கப்படுகிறது. முதலில், H0 = F0 ஐ அமைக்கவும், G0 என்பது H0 இன் அதிகபட்ச வேறுபட்ட துணை சேகரிப்பாக இருக்கட்டும் (அத்தகைய துணை சேகரிப்பு ஸோர்னின் லெம்மாவால் உள்ளது). G0,., Gn தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டுள்ளன என்று வைத்துக்கொள்வோம், Gn + 1 என்பது Hn + 1 இன் அதிகபட்ச வேறுபட்ட துணைத் தொகுப்பாக இருக்கட்டும். F இன் துணை சேகரிப்பு தேற்றத்தின் தேவைகளை பூர்த்தி செய்கிறதுஃ G என்பது ஒரு வேறுபட்ட தொகுப்பாகும், எனவே கொடுக்கப்பட்ட மெட்ரிக் இடைவெளி பிரிக்கக்கூடியதாக இருப்பதால் இது கணக்கிடப்படுகிறது. மேலும், ஒவ்வொரு பந்தும் B ωF ஒரு பந்தை C ωG ஐ குறுக்கிடுகிறது, அதாவது B ω5C. உண்மையில், நமக்கு சில கொடுக்கப்பட்டால், B என்பது Fn க்கு சொந்தமானது போன்ற சில n இருக்க வேண்டும். ஒன்று B என்பது Hn க்கு சொந்தமானது அல்ல, இது n> 0 ஐக் குறிக்கிறது, மேலும் B என்பது G0,., Gn−1, அல்லது B ωHn ஆகியவற்றின் சங்கமத்திலிருந்து ஒரு பந்தை வெட்டுகிறது மற்றும் Gn இன் அதிகபட்சத்தால், B ஒரு பந்தை Gn இல் வெட்டுகிறது. எவ்வாறாயினும், G0,., Gn இன் ஒன்றியத்திற்கு சொந்தமான ஒரு பந்து C ஐ B வெட்டுகிறது. அத்தகைய பந்து சி 2 − n − 1R ஐ விட பெரிய ஆரத்தைக் கொண்டிருக்க வேண்டும். B இன் ஆரம் 2−nR ஐ விட குறைவாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருப்பதால், முக்கோண சமத்துவமின்மையின் மூலம் B′5C என்று கூறலாம். இதிலிருந்து உடனடியாக ஆதாரத்தை பூர்த்தி செய்கிறது. குறிப்புகள் எல்லையற்ற பதிப்பில், பந்துகளின் ஆரம்ப தொகுப்பு கணக்கிடக்கூடியதாகவோ அல்லது கணக்கிட முடியாததாகவோ இருக்கலாம். பிரிக்கக்கூடிய மெட்ரிக் இடத்தில், எந்த ஜோடி வாரியாக வேறுபட்ட பந்துகளின் தொகுப்பும் கணக்கிடப்பட வேண்டும். பிரிக்க முடியாத இடத்தில், அதே வாதம் ஒரு ஜோடி வாரியாக வேறுபட்ட துணைக்குடும்பம் இருப்பதைக் காட்டுகிறது, ஆனால் அந்த குடும்பம் கணக்கிடப்பட வேண்டியதில்லை. ஆரங்கள் வரம்புக்குட்பட்டதாக இல்லாவிட்டால் முடிவு தோல்வியடையக்கூடும்ஃ Rd இல் 0 ஐ மையமாகக் கொண்ட அனைத்து பந்துகளின் குடும்பத்தையும் கருத்தில் கொள்ளுங்கள்; எந்தவொரு இணைந்த துணைக்குடும்பமும் ஒரு பந்து B ஐ மட்டுமே கொண்டுள்ளது, மேலும் 5 B இந்த குடும்பத்தில் உள்ள அனைத்து பந்துகளையும் கொண்டிருக்கவில்லை. மாறிலி 5 உகந்ததல்ல. Fn ஐ வரையறுக்க 2−n க்கு பதிலாக c−n, c> 1 என்ற அளவுகோல் பயன்படுத்தப்பட்டால், இறுதி மதிப்பு 5 க்கு பதிலாக 1 + 2c ஆகும். 3 ஐ விட பெரிய எந்த மாறிலியும் லெம்மாவின் சரியான அறிக்கையை அளிக்கிறது, ஆனால் 3 அல்ல. ஒரு சிறந்த பகுப்பாய்வைப் பயன்படுத்தி, அசல் தொகுப்பு F என்பது Rd இன் E துணைக்குழுவின் விட்டாலி மறைப்பாக இருக்கும்போது, மேலே உள்ள ஆதாரத்தில் வரையறுக்கப்பட்ட துணை சேகரிப்பு G, E ஐ ஒரு லெபெஸ்கூ-புறக்கணிக்கக்கூடிய தொகுப்பு வரை உள்ளடக்கியது என்பதைக் காட்டுகிறது. பயன்பாடுகள் மற்றும் பயன்பாட்டு முறை விடாலி லெம்மாவின் பயன்பாடு ஹார்டி-லிட்டில்வுட் அதிகபட்ச சமத்துவமின்மையை நிரூபிப்பதில் உள்ளது. இந்த ஆதாரத்தைப் போலவே, விட்டாலி லெம்மா அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படுகிறது, உதாரணமாக, ஒரு தொகுப்பின் டி-பரிமாண லெபெஸ்கூ அளவீட்டைக் கருத்தில் கொண்டு, இது ஒரு குறிப்பிட்ட தொகுப்பின் பந்துகளின் சங்கமத்தில் உள்ளது என்று நமக்குத் தெரியும், அவை ஒவ்வொன்றும் நாம் எளிதில் கணக்கிடக்கூடிய அளவீட்டைக் கொண்டுள்ளன, அல்லது ஒருவர் சுரண்ட விரும்பும் ஒரு சிறப்பு பண்பு உள்ளது. எனவே, இந்த ஒன்றியத்தின் அளவை நாம் கணக்கிட்டால், E இன் அளவின் மேல் வரம்பைக் கொண்டிருப்போம். இருப்பினும், இந்த பந்துகள் அனைத்தும் ஒன்றுடன் ஒன்று இணைந்தால் அவற்றின் ஒன்றியத்தின் அளவைக் கணக்கிடுவது கடினம். விட்டாலி லெம்மாவின் படி, நாம் ஒரு துணைத் தொகுப்பைத் தேர்வு செய்யலாம், இது வேறுபட்டது மற்றும் அது போன்றது. எனவே, இப்போது, ஒரு டி-பரிமாண பந்தின் ஆரத்தை ஐந்து காரணி மூலம் அதிகரிப்பது அதன் அளவை 5d காரணி மூலம் அதிகரிக்கிறது, எனவே விட்டாலி உள்ளடக்கிய தேற்றம் என்பதை நாம் அறிவோம். விட்டாலியின் பாரம்பரிய அமைப்பில், மிகக் குறைவான தொகுப்பு ஒரு லெபெஸ்கூ மிகக் குறைவான தொகுப்பாகும், ஆனால் லெபெஸ்கூ அளவைத் தவிர வேறு நடவடிக்கைகள் மற்றும் Rd ஐத் தவிர வேறு இடங்களும் பரிசீலிக்கப்பட்டுள்ளன, கீழே உள்ள தொடர்புடைய பிரிவில் காட்டப்பட்டுள்ளது. பின்வரும் அவதானிப்பு பயனுள்ளதாக இருக்கும்ஃ E க்கு ஒரு விட்டாலி உள்ளடக்கமாக இருந்தால் மற்றும் E ஒரு திறந்த தொகுப்பில் இருந்தால் ωRd, பின்னர் ω இல் உள்ள U தொகுப்புகளின் துணை சேகரிப்பும் E க்கு ஒரு விட்டாலி உள்ளடக்கமாகும். லெபெஸ்கூ அளவிற்கான விட்டாலியின் உள்ளடக்க தேற்றம் லெபெஸ்கூ அளவிற்கான அடுத்த உள்ளடக்க தேற்றம் λd இதற்கு காரணமாக உள்ளது. Rd இன் அளவிடக்கூடிய துணைக்குழுக்களின் தொகுப்பு ஒரு வழக்கமான குடும்பமாகும் (லெபெஸ்கூ என்ற பொருளில்) சேகரிப்பில் உள்ள ஒவ்வொரு தொகுப்பு V க்கும் ஒரு மாறிலி C இருந்தால். க்யூப்ஸ் குடும்பம் வழக்கமான குடும்பத்திற்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு, R2 இல் உள்ள செவ்வகங்களின் குடும்பத்தைப் போலவே, பக்கங்களின் விகிதம் m−1 மற்றும் m க்கு இடையில் இருக்கும், சில நிலையான m ≤1 க்கு. Rd இல் ஒரு தன்னிச்சையான நெறிமுறை கொடுக்கப்பட்டால், நெறிமுறையுடன் தொடர்புடைய மெட்ரிக் பந்துகளின் குடும்பம் மற்றொரு எடுத்துக்காட்டு. மாறாக, R2 இல் உள்ள அனைத்து செவ்வகங்களின் குடும்பமும் வழக்கமானதாக இல்லை. இதன் அசல் முடிவு இந்த தேற்றத்தின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு ஆகும், இதில் d = 1 மற்றும் வரையறுக்கப்பட்ட அளவீட்டைக் கொண்ட உண்மையான கோட்டின் அளவிடக்கூடிய துணைக்குழு E க்கு ஒரு விட்டலி உள்ளடக்கிய இடைவெளிகளின் தொகுப்பாகும். மேலே உள்ள தேற்றம் E க்கு வரையறுக்கப்பட்ட அளவீடு இருப்பதாக கருதாமல் உண்மையாகவே உள்ளது. n <|x | <n + 1 போன்ற புள்ளிகள் x இன் திறந்த வருடாந்திரத்தில் உள்ள E இன் பகுதிக்கு, வரையறுக்கப்பட்ட அளவீட்டு வழக்கில், ஒவ்வொரு முழு எண் n ≤ 0 க்கும், மூடுதல் முடிவைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் இது பெறப்படுகிறது. ஓரளவு தொடர்புடைய கவரிங் தேற்றம் பெசிகோவிட்ச் கவரிங் தேற்றம் ஆகும். ஒரு துணைக்குழுவின் ஒவ்வொரு புள்ளிக்கும் a rd, ஒரு யூக்ளிடியன் பந்து B (a, r) மையம் a மற்றும் நேர்மறை ஆரம் r உடன் ஒதுக்கப்பட்டுள்ளது. பின்னர், விட்டாலி தேற்றத்தைப் போலவே, A ஐ ஒரு குறிப்பிட்ட வழியில் உள்ளடக்குவதற்காக இந்த பந்துகளின் துணைத் தொகுப்பு தேர்ந்தெடுக்கப்படுகிறது. விட்டாலி உள்ளடக்கக் கோட்பாட்டுடன் உள்ள முக்கிய வேறுபாடுகள் என்னவென்றால், ஒருபுறம், விட்டாலியின் இணைப்பின்மைத் தேவை ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளியைக் கொண்ட தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட பந்துகளின் எண் Nx ஒரு மாறிலி Bd ஆல் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது என்ற உண்மைக்கு தளர்த்தப்படுகிறது, இது பரிமாணத்தை மட்டுமே சார்ந்துள்ளது d; மறுபுறம், தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட பந்துகள் கொடுக்கப்பட்ட அனைத்து மையங்களின் தொகுப்பு A ஐ உள்ளடக்கியது. ஹவுஸ்டோர்ஃப் அளவீட்டிற்கான விட்டலியின் கவரிங் தேற்றம் லெபெஸ்கூ அளவிற்குப் பதிலாக ஹவுஸ்டோர்ஃப் அளவீட்டைக் கருத்தில் கொள்ளும்போது இதே போன்ற நோக்கத்தைக் கொண்டிருக்கலாம். பின்வரும் தேற்றம் அந்த விஷயத்தில் பொருந்தும். மேலும், E க்கு வரையறுக்கப்பட்ட s-பரிமாண ஹவுஸ்டோர்ஃப் அளவீடு இருந்தால், எந்த ε> 0 க்கும், இந்த துணை சேகரிப்பு {Uj} ஐ நாம் தேர்வு செய்யலாம், அதாவது இந்த தேற்றம் மேலே கொடுக்கப்பட்ட லெபெஸ்குவின் முடிவைக் குறிக்கிறது. உண்மையில், s = d ஆக இருக்கும்போது, Rd இல் உள்ள ஹவுஸ்டோர்ஃப் அளவீட்டு Hs, d-பரிமாண லெபெஸ்கூ அளவின் பெருக்கத்துடன் ஒத்துப்போகிறது. ஒரு வேறுபட்ட தொகுப்பு வழக்கமானதாக இருந்தால், வரையறுக்கப்பட்ட லெபெஸ்கூ அளவீட்டுடன் அளவிடக்கூடிய பகுதி B இல் இருந்தால், இது முந்தைய தேற்றத்தின் முதல் கூற்றில் இரண்டாவது சாத்தியத்தை விலக்குகிறது. தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட இணைப்பிழந்த துணை சேகரிப்பால், லெபெஸ்கூ-புறக்கணிக்கக்கூடிய தொகுப்பு வரை E மூடப்பட்டிருக்கும். கவரிங் லெம்மா முதல் கவரிங் தேற்றம் வரை கவரிங் லெம்மாவை விட்டாலி கவரிங் தேற்றத்தின் பின்வரும் அடிப்படை வடிவத்தின் சான்றில் இடைநிலை படியாகப் பயன்படுத்தலாம். ஆதாரம்ஃ பொதுவான தன்மையை இழக்காமல், எஃப் இல் உள்ள அனைத்து பந்துகளும் புத்துயிர் பெறாதவை மற்றும் ஆரம் 1 ஐ விட குறைவாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்கும் என்று ஒருவர் கருதலாம். மூடும் லெம்மாவின் எல்லையற்ற வடிவத்தால், F இன் கணக்கிடக்கூடிய வேறுபட்ட துணைத் தொகுப்பு உள்ளது, அதாவது ஒவ்வொரு பந்தும் B ωF ஒரு பந்தை C ωG ஐ வெட்டுகிறது, அதற்காக B ω5C. r> 0 கொடுக்கப்பட வேண்டும், மேலும் Z என்பது புள்ளிகளின் தொகுப்பைக் குறிக்கட்டும், அவை G இலிருந்து எந்த பந்திலும் இல்லை மற்றும் 0 ஐ மையமாகக் கொண்ட r ஆரம் கொண்ட திறந்த பந்து B (r) ஐச் சேர்ந்தவை. கொடுக்கப்பட்ட ஒவ்வொரு r க்கும் Z என்பது லெபெஸ்கூ-புறக்கணிக்கக்கூடியது என்பதைக் காட்ட இது போதுமானது. B (r) ஐ சந்திக்கும் G இல் உள்ள பந்துகளின் துணைத் தொகுப்பைக் குறிக்கலாம். இது வரையறுக்கப்பட்டதாகவோ அல்லது எண்ணக்கூடிய வகையில் எல்லையற்றதாகவோ இருக்கலாம் என்பதைக் கவனியுங்கள். z ω Z சரி செய்யப்படட்டும். ஒவ்வொரு N க்கும், z என்பது Z இன் வரையறையின்படி மூடிய தொகுப்பைச் சேர்ந்ததல்ல. ஆனால் விட்டாலி கவர் பண்பு மூலம், ஒருவர் B (r) இல் உள்ள z ஐக் கொண்ட ஒரு பந்தைக் காணலாம், மேலும் K இலிருந்து பிரிந்து செல்லலாம். G இன் பண்பு மூலம், பந்து B சில பந்தை வெட்டுகிறது மற்றும் அதில் உள்ளது. ஆனால் K மற்றும் B வேறுபட்டிருப்பதால், நம்மிடம் i> N இருக்க வேண்டும். எனவே சில i> N க்கு, எனவே இது ஒவ்வொரு N க்கும் சமத்துவமின்மையைக் கொடுக்கிறது. எல்லையற்ற பரிமாண இடைவெளிகள் விட்டாலி உள்ளடக்கிய தேற்றம் எல்லையற்ற பரிமாண அமைப்புகளில் செல்லுபடியாகாது. இந்த திசையில் முதல் முடிவை டேவிட் ப்ரீஸ் 1979 இல் வழங்கினார்ஃ ஒரு (எல்லையற்ற பரிமாண) பிரிக்கக்கூடிய ஹில்பர்ட் இடைவெளி H இல் ஒரு காஸியன் அளவீடு γ உள்ளது, இதனால் விட்டாலி உள்ளடக்கிய தேற்றம் (H, போரெல் (H), γ) க்கு தோல்வியடைகிறது. இந்த முடிவு 2003 ஆம் ஆண்டில் ஜரோஸ்லாவ் டிஸரால் வலுப்படுத்தப்பட்டதுஃ விடாலி உள்ளடக்கிய தேற்றம் உண்மையில் எந்த (எல்லையற்ற பரிமாண) பிரிக்கக்கூடிய ஹில்பர்ட் இடத்திலும் ஒவ்வொரு எல்லையற்ற பரிமாண காஸியன் அளவிற்கும் தோல்வியடைகிறது. மேலும் பார்க்கஃ பெசிகோவிட்ச் உள்ளடக்கிய தேற்றம் குறிப்புகள் குறிப்புகள் (தலைப்பு மொழிபெயர்ப்பு) "உண்மையான மாறிகளின் புள்ளிகள் மற்றும் செயல்பாடுகளின் குழுக்களில்" என்பது விட்டாலி உள்ளடக்கிய தேற்றத்தின் முதல் ஆதாரத்தைக் கொண்ட காகிதமாகும். லெம்மாஸ் அளவீட்டுக் கோட்பாட்டை உள்ளடக்கியது உண்மையான பகுப்பாய்வு