Eventually (mathematics)
எண் கோட்பாடு மற்றும் பகுப்பாய்வின் கணிதப் பகுதிகளில், ஒரு எல்லையற்ற வரிசை அல்லது ஒரு செயல்பாடு அதன் அனைத்து வரிசைப்படுத்தப்பட்ட நிகழ்வுகளிலும் கூறப்பட்ட பண்பு இல்லையென்றால், இறுதியில் ஒரு குறிப்பிட்ட பண்பு இருப்பதாகக் கூறப்படுகிறது, ஆனால் சில நிகழ்வுகளுக்குப் பிறகு அது கடந்து செல்லும். "இறுதியில்" என்ற வார்த்தையின் பயன்பாடு பெரும்பாலும் "போதுமான பெரிய எண்களுக்கு" என்று மறுபெயரிடப்படலாம், மேலும் எந்தவொரு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட தொகுப்பின் கூறுகளுக்கும் (வரிசைகள் மற்றும் துணைக்குழுக்கள் போன்றவை) பொருந்தும் பண்புகளின் வகுப்பிற்கும் நீட்டிக்கப்படலாம். குறிப்பு சொற்றொடர் இறுதியில் (அல்லது போதுமான அளவு பெரியது) காணப்படும் பொதுவான வடிவம் பின்வருமாறு தோன்றுகிறதுஃ இறுதியில் உண்மை (போதுமான அளவிற்கு உண்மை), எங்கே மற்றும் உலகளாவிய மற்றும் இருத்தலியல் அளவீடுகள், இது உண்மையில் ஒரு சுருக்கெழுத்துஃ இது உண்மை அல்லது சற்றே முறைப்படிஃ இது எந்தவொரு குறிப்பிட்ட மதிப்பும் அறியப்பட்டதாக இருக்க வேண்டும் என்று அர்த்தமல்ல, ஆனால் அத்தகைய ஒரு உள்ளது என்று மட்டுமே அர்த்தம். "போதுமான அளவு பெரியது" என்ற சொற்றொடரை "தன்னிச்சையாக பெரியது" அல்லது "எல்லையற்ற அளவில் பெரியது" என்ற சொற்றொடர்களுடன் குழப்பக்கூடாது. மேலும் விவரங்களுக்கு, தன்னிச்சையாக large#Arbitrarily பெரியது எதிராக போதுமான பெரியது எதிராக எல்லையற்ற பெரியது என்பதைப் பார்க்கவும். உந்துதல் மற்றும் வரையறை ஒரு எல்லையற்ற வரிசைக்கு, ஆரம்பத்தில் அது வெளிப்படுத்தும் நடத்தைகளை விட வரிசையின் நீண்ட கால நடத்தைகளில் ஒருவர் பெரும்பாலும் அதிக ஆர்வம் காட்டுகிறார். இந்த விஷயத்தில், இந்த கருத்தை முறையாகப் பிடிப்பதற்கான ஒரு வழி என்னவென்றால், வரிசை இறுதியில் ஒரு குறிப்பிட்ட பண்பைக் கொண்டுள்ளது, அல்லது அதற்கு சமமாக, சிலருக்கு அதன் தொடர்ச்சிகளில் ஒன்றால் சொத்து திருப்தி அடைகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு குறிப்பிட்ட வரம்பிற்கு இணையும் உண்மையான எண்களின் வரிசையின் வரையறை பின்வருமாறுஃ ஒவ்வொரு நேர்மறை எண்ணுக்கும், அனைவருக்கும் ஒரு இயல்பான எண் உள்ளது. "இறுதியில்" என்ற சொல் "அனைவருக்கும் ஒரு இயற்கை எண் உள்ளது" என்பதற்கான சுருக்கெழுத்தாகப் பயன்படுத்தப்படும்போது, ஒருங்கிணைப்பு வரையறையை இன்னும் எளிமையாக பின்வருமாறு மறுபரிசீலனை செய்யலாம்ஃ ஒவ்வொரு நேர்மறை எண்ணுக்கும், இறுதியில். இங்கே, இந்த பண்புகளை பூர்த்தி செய்யாத இயற்கை எண்களின் தொகுப்பு ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்பு என்பதைக் கவனியுங்கள்; அதாவது, தொகுப்பு காலியாக உள்ளது அல்லது அதிகபட்ச உறுப்பைக் கொண்டுள்ளது. இதன் விளைவாக, இந்த விஷயத்தில் "இறுதியில்" என்ற பயன்பாடு "எல்லாருக்கும் ஆனால் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான சொற்களுக்கு" என்ற வெளிப்பாட்டிற்கு ஒத்ததாக இருக்கிறது-"கிட்டத்தட்ட அனைத்து சொற்களுக்கும்" என்ற வெளிப்பாட்டின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு (இருப்பினும் "கிட்டத்தட்ட அனைத்தும்" எல்லையற்ற பல விதிவிலக்குகளையும் அனுமதிக்க பயன்படுத்தப்படலாம்). அடிப்படை மட்டத்தில், ஒரு வரிசையை அதன் களமாக இயற்கையான எண்களைக் கொண்ட ஒரு செயல்பாடாக கருதலாம், மேலும் "இறுதியில்" என்ற கருத்து மிகவும் பொதுவான தொகுப்புகளில் உள்ள செயல்பாடுகளுக்கும் பொருந்தும்-குறிப்பாக பெரிய உறுப்பு இல்லாத வரிசையைக் கொண்டவர்களுக்கு. இன்னும் குறிப்பாக, அத்தகைய ஒரு தொகுப்பு மற்றும் அதை விட பெரிய அனைத்து உறுப்புகளுக்கும் செயல்பாடு வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு உறுப்பு இருந்தால், எப்போது வேண்டுமானாலும் கூறப்பட்ட பண்பு இருக்கும் ஒரு உறுப்பு இருந்தால் இறுதியில் சில பண்புகளைக் கொண்டிருப்பதாகக் கூறப்படுகிறது. இந்த கருத்து பயன்படுத்தப்படுகிறது, எடுத்துக்காட்டாக, ஹார்டி புலங்களின் ஆய்வில், அவை உண்மையான செயல்பாடுகளால் ஆன புலங்கள், அவை ஒவ்வொன்றும் இறுதியில் சில பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன. எடுத்துக்காட்டுகள் "2 ஐ விட பெரிய அனைத்து பகா எண்களும் ஒற்றைப்படை" என்று "இறுதியில், அனைத்து பகா எண்களும் ஒற்றைப்படை" என்று எழுதலாம். இறுதியில், அனைத்து பகா எண்களும் ±1 மாடுலோ 6 உடன் ஒத்திருக்கின்றன. ஒரு பகா எணத்தின் வர்க்கம் இறுதியில் 1 மட்டு 24 க்கு ஒத்ததாக இருக்கும் (குறிப்பாக, இது 3 ஐ விட பெரிய அனைத்து பகா எண்களுக்கும் பொருந்தும்). ஒரு இயற்கை எண்ணின் காரணி இறுதியில் 0 என்ற இலக்கத்தில் முடிவடைகிறது (குறிப்பாக, 4 ஐ விட பெரிய அனைத்து இயற்கை எண்களுக்கும் இது பொருந்தும்). தாக்கங்கள் ஒரு வரிசை அல்லது செயல்பாடு இறுதியில் ஒரு பண்பைக் கொண்டிருக்கும்போது, அந்த வரிசை தொடர்பாக எதையாவது நிரூபிக்கும் சூழலில் அது பயனுள்ள தாக்கங்களைக் கொண்டிருக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, சில செயல்பாடுகளின் அறிகுறியற்ற நடத்தையின் சூழலில், இது இறுதியில் கணக்கீட்டு ரீதியாகக் கவனிக்கப்படுவதை விட வித்தியாசமாக செயல்படுகிறதா அல்லது கணக்கீட்டு ரீதியாகக் கவனிக்கப்படுகிறதா என்பதை அறிவது பயனுள்ளதாக இருக்கும், இல்லையெனில் இதைக் கவனிக்க முடியாது. "இறுதியில்" என்ற சொல்லை பல கணித வரையறைகளில் இணைத்து அவற்றை இன்னும் சுருக்கமாக மாற்றலாம். இவற்றில் சில வகையான வரம்புகளின் வரையறைகள் (மேலே காணப்படுவது போல) மற்றும் அறிகுறியற்ற நடத்தையை விவரிப்பதற்கான பிக் ஓ குறியீடு ஆகியவை அடங்கும். கணிதத்தில் பிற பயன்பாடுகள் ஒரு 3-மடிப்பு சரியாக உட்பொதிக்கப்பட்ட 2 பக்க சுருக்க முடியாத மேற்பரப்பைக் கொண்டிருந்தால் அது போதுமான அளவு பெரியது என்று அழைக்கப்படுகிறது. 3-மடங்கு ஹேக்கன் பன்மடங்கு என்று அழைக்கப்படுவதற்கு இந்த பண்பு முக்கிய தேவையாகும். தற்காலிக தர்க்கம் ஒரு ஆபரேட்டரை அறிமுகப்படுத்துகிறது, இது விளக்கக்கூடிய அறிக்கைகளை வெளிப்படுத்த பயன்படுத்தப்படலாம்ஃ சில பண்புகள் இறுதியில் எதிர்கால தருணத்தில் இருக்கும். கிட்டத்தட்ட அனைத்து பிக் ஓ குறியீடு கணித வாசக எண் கோட்பாடு குறிப்புகள் எண் கோட்பாடு கணித சொற்களஞ்சியம் 3-பன்மடங்கு ஆகியவற்றையும் பார்க்கவும்.