Macdonald polynomials
கணிதத்தில், மெக்டொனால்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகள் Pλ (x; t, q) என்பது 1987 இல் மெக்டொனால்ட் அறிமுகப்படுத்திய பல மாறிகளில் உள்ள ஆர்த்தோகனல் சமச்சீர் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் குடும்பமாகும். பின்னர் அவர் 1995 இல் சமச்சீரற்ற பொதுமைப்படுத்தலை அறிமுகப்படுத்தினார். மெக்டொனால்ட் முதலில் தனது பல்லுறுப்புக்கோவைகளை வரையறுக்கப்பட்ட வேர் அமைப்புகளின் எடைகள் λ உடன் தொடர்புபடுத்தி, ஒரே ஒரு மாறி t ஐப் பயன்படுத்தினார், ஆனால் பின்னர் அவற்றை வரையறுக்கப்பட்ட வேர் அமைப்புகளை விட அஃபைன் ரூட் அமைப்புகளுடன் தொடர்புபடுத்துவது மிகவும் இயல்பானது என்பதை உணர்ந்தார், இந்த விஷயத்தில் மாறி t ஐ பல்வேறு மாறிகள் t = (t1,., tk) ஆல் மாற்றலாம், அஃபைன் ரூட் அமைப்பில் உள்ள வேர்களின் ஒவ்வொரு k சுற்றுப்பாதைகளுக்கும் ஒன்று. மெக்டொனால்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகள் என்பது n மாறிகள் x = (x1,., xn) இல் உள்ள பல்லுறுப்புக்கோவைகள் ஆகும், இதில் n என்பது அஃபைன் ரூட் அமைப்பின் தரவரிசையாகும். அவை ஜாக் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் மற்றும் ஹால்-லிட்டில்வுட் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் மற்றும் அஸ்கி-வில்சன் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் போன்ற ஆர்த்தோகனல் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் பல குடும்பங்களை பொதுமைப்படுத்துகின்றன, இவை பெயரிடப்பட்ட 1-மாறுபடும் ஆர்த்தோகனல் பல்லுறுப்புக்கோவைகளில் பெரும்பாலானவற்றை சிறப்பு நிகழ்வுகளாக உள்ளடக்குகின்றன. கூர்ன்விந்தர் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் என்பது சில குறைக்கப்படாத வேர் அமைப்புகளின் மெக்டொனால்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகள் ஆகும். அவர்கள் அஃபைன் ஹெக் ஆல்ஜிப்ராக்கள் மற்றும் ஹில்பர்ட் திட்டங்களுடன் ஆழமான உறவுகளைக் கொண்டுள்ளனர், அவை மெக்டொனால்ட் அவர்களைப் பற்றி முன்வைத்த பல யூகங்களை நிரூபிக்கப் பயன்படுத்தப்பட்டன. வரையறை முதலில் சில குறியீடுகளை சரிசெய்யவும்ஃ R என்பது ஒரு உண்மையான திசையன் இடத்தில் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட வேர் அமைப்பு V. R + என்பது நேர்மறை வேர்களின் தேர்வாகும், இது ஒரு நேர்மறை வேய்ல் அறைக்கு ஒத்திருக்கிறது. W என்பது R இன் வேய்ல் குழுவாகும். Q என்பது R இன் வேர் லட்டிஸ் ஆகும் (வேர்களால் பரவியிருக்கும் லட்டிஸ்). P என்பது R இன் எடை லட்டிஸ் (Q ஐக் கொண்டுள்ளது). எடைகளின் மீது ஒரு வரிசைஃ எளிய வேர்களின் எதிர்மறை அல்லாத நேரியல் கலவையாக இருந்தால் மட்டுமே. P + என்பது மேலாதிக்க எடைகளின் தொகுப்பாகும்ஃ நேர்மறை வேய்ல் அறையில் P இன் கூறுகள். ρ என்பது வேய்ல் திசையன்ஃ நேர்மறை வேர்களின் கூட்டுத்தொகையில் பாதி; இது நேர்மறை வேய்ல் அறையின் உட்புறத்தில் உள்ள P + இன் ஒரு சிறப்பு உறுப்பு ஆகும். F என்பது 0 என்ற பண்புடைய புலம், பொதுவாக விகிதமுறு எண்கள். A = F (P) என்பது P இன் குழு இயற்கணிதமாகும், இது λ Π க்கு eλ என்று எழுதப்பட்ட உறுப்புகளின் அடிப்படையைக் கொண்டுள்ளது. mμ = σλ ± Wμeλ என்பது ஒரு சுற்றுப்பாதை கூட்டுத்தொகை; இந்த உறுப்புகள் எல்லையற்ற q-போச்சம்மர் சின்னமான W ஆல் நிர்ணயிக்கப்பட்ட உறுப்புகளின் துணை இயற்கணித AW க்கு ஒரு அடிப்படையை உருவாக்குகின்றன. குறைந்தபட்சம் t என்பது q இன் நேர்மறை முழு எண் சக்தியாக இருக்கும்போது, A இன் இரண்டு கூறுகளின் உள் பெருக்கல் ஆகும். மெக்டொனால்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகள் Pλ என்பது λ Π + க்கான தனித்துவமாக பின்வரும் இரண்டு நிபந்தனைகளால் வரையறுக்கப்படுகின்றனஃ இங்கு uλμ என்பது q மற்றும் t இன் விகிதமுறு செயல்பாடாகும், இதில் uλλ = 1 உள்ளது; λ <μ என்றால் Pλ மற்றும் Pμ ஆர்த்தோகனல் ஆகும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், மெக்டொனால்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகள் AW க்கான வெளிப்படையான அடிப்படையை ஆர்த்தோகனலைஸ் செய்வதன் மூலம் பெறப்படுகின்றன. இந்த பண்புகளைக் கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் இருப்பைக் காண்பிப்பது எளிது (எந்த உள் பெருக்கலுக்கும்). மெக்டொனால்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் ஒரு முக்கிய பண்பு என்னவென்றால், அவை ஆர்த்தோகனல் ஆகும்ஃ λ  ஒத்திருக்கும் போதெல்லாம் Pλ, Pμ ′ = 0. இது வரையறையின் அற்பமான விளைவு அல்ல, ஏனெனில் பி + முற்றிலும் வரிசைப்படுத்தப்படவில்லை, எனவே ஒப்பிட முடியாத ஏராளமான கூறுகளைக் கொண்டுள்ளது. எனவே தொடர்புடைய பல்லுறுப்புக்கோவைகள் இன்னும் ஆர்த்தோகனல் என்பதை ஒருவர் சரிபார்க்க வேண்டும். மெக்டொனால்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகள் 1 பரிமாண ஐகென்ஸ்பேஸ்களுடன் சுய-இணை ஆபரேட்டர்களின் பயணத்தின் இயற்கணிதத்திற்கான ஐகென் வெக்டர்கள் என்பதைக் காண்பிப்பதன் மூலமும், வெவ்வேறு ஐகென் மதிப்புகளுக்கான ஐகென்ஸ்பேஸ்கள் ஆர்த்தோகனலாக இருக்க வேண்டும் என்ற உண்மையைப் பயன்படுத்துவதன் மூலமும் ஆர்த்தோகனாலிட்டியை நிரூபிக்க முடியும். எளிமையாக இணைக்கப்படாத வேர் அமைப்புகளின் (பி, சி, எஃப், ஜி) விஷயத்தில், t அளவுருவை வேரின் நீளத்துடன் மாறுபடும் வகையில் தேர்வு செய்யலாம், இது மெக்டொனால்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் மூன்று அளவுரு குடும்பத்தை வழங்குகிறது. ஒருவர் வரையறையை குறைக்கப்படாத வேர் அமைப்பு BC க்கு நீட்டிக்கலாம், இந்த விஷயத்தில் ஒருவர் ஆறு அளவுரு குடும்பத்தைப் பெறுகிறார் (வேர்களின் ஒவ்வொரு சுற்றுப்பாதையிலும் ஒரு t, கூட்டல் q) இது கூர்ன்விந்தர் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் என்று அழைக்கப்படுகிறது. சில நேரங்களில் மெக்டொனால்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகளை குறைக்கப்படாத அஃபைன் ரூட் அமைப்பைப் பொறுத்தது என்று கருதுவது நல்லது. இந்த வழக்கில், அஃபைன் ரூட் அமைப்பில் வேர்களின் ஒவ்வொரு சுற்றுப்பாதையிலும் தொடர்புடைய ஒரு அளவுரு t உள்ளது, மேலும் ஒரு அளவுரு q. வேர்களின் சுற்றுப்பாதைகளின் எண்ணிக்கை 1 முதல் 5 வரை மாறுபடும். எடுத்துக்காட்டுகள் q = t என்றால் மெக்டொனால்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகள் வேர் அமைப்பின் சுருக்கக் குழுவின் பிரதிநிதித்துவங்களின் வேய்ல் எழுத்துக்களாக மாறும், அல்லது வகை A இன் வேர் அமைப்புகளின் விஷயத்தில் ஷுர் செயல்பாடுகள். q = 0 என்றால், மெக்டொனால்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகள் ஒரு அரை எளிய p-adic குழுவிற்கான (மறுசீரமைக்கப்பட்ட) மண்டல கோள செயல்பாடுகளாக மாறும், அல்லது ரூட் சிஸ்டம் வகை A ஐக் கொண்டிருக்கும்போது ஹால்-லிட்டில்வுட் பல்லுறுப்புக்கோவைகள். t = 1 என்றால் மெக்டொனால்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகள் W சுற்றுப்பாதைகளில் உள்ள தொகைகளாக மாறும், இவை வேர் அமைப்பு வகை A ஐக் கொண்டிருக்கும்போது மோனோமியல் சமச்சீர் செயல்பாடுகளாகும். நாம் t = qα ஐ வைத்து, q ஐ 1 ஆக வைத்தால், மெக்டொனால்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகள் ஜாக் பல்லுறுப்புக்கோவைகளாகவும், ரூட் சிஸ்டம் வகை A ஆக இருக்கும்போது, மேலும் பொதுவான ரூட் சிஸ்டம்களுக்கு ஹெக்மேன்-ஆப்டம் பல்லுறுப்புக்கோவைகளாகவும் மாறும். அஃபைன் வேர் அமைப்பு A1 ஐப் பொறுத்தவரை, மெக்டொனால்ட் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் ரோஜர்ஸ் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் ஆகும். குறைக்கப்படாத தரவரிசை 1 அஃபைன் ரூட் சிஸ்டம் வகைக்கு (சி, சி 1), மெக்டொனால்ட் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் அஸ்கி-வில்சன் பல்லுறுப்புக்கோவைகளாகும், இவை 1 மாறியில் உள்ள ஆர்த்தோகனல் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் பெயரிடப்பட்ட குடும்பங்களில் பெரும்பாலானவற்றை சிறப்பு நிகழ்வுகளாக உள்ளடக்குகின்றன. குறைக்கப்படாத அஃபைன் ரூட் சிஸ்டம் வகைக்கு (சி, சிஎன்), மெக்டொனால்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகள் கூர்ன்விந்தர் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் ஆகும். சில நேர்மறை முழு எண் k க்கு t = qk என்றால், மெக்டொனால்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் நெறிமுறை மூலம் வழங்கப்படுகிறது இது டைசன் அனுமானத்தின் பொதுமைப்படுத்தலாக மெக்டொனால்ட் (1982) ஆல் அனுமானிக்கப்பட்டது, மேலும் இரட்டை அஃபைன் ஹெக் ஆல்ஜிப்ராக்களின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி செரெட்னிக் (1995) ஆல் அனைத்து (குறைக்கப்பட்ட) வேர் அமைப்புகளுக்கும் நிரூபிக்கப்பட்டது. இந்த அனுமானம் முன்பு பல எழுத்தாளர்களால் வகை என் தவிர அனைத்து வேர்கள் அமைப்புகளுக்கும் வழக்கு-மூலம்-வழக்கு நிரூபிக்கப்பட்டது. நெறிமுறை அனுமானத்துடன் சேர்ந்து இந்த சூழலில் கூட்டாக மெக்டொனால்ட் அனுமானங்கள் என்று குறிப்பிடப்படும் இரண்டு அனுமானங்கள் உள்ளனஃ நெறிமுறைக்கான சூத்திரத்துடன் கூடுதலாக, மெக்டொனால்ட் புள்ளி tρ இல் Pλ இன் மதிப்புக்கான ஒரு சூத்திரத்தையும், ஒரு சமச்சீர்மையையும் ஊகித்தார். மெக்டொனால்டு நேர்மறை அனுமானம் ஒரு வகை-1 இன் வேர்கள் அமைப்புகளைப் பொறுத்தவரை, மெக்டொனால்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகள் வெறுமனே n மாறிகளில் உள்ள சமச்சீர் பல்லுறுப்புக்கோவைகளாகும், அவை q மற்றும் t இன் விகிதமுறு செயல்பாடுகளாக இருக்கும். மெக்டொனால்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் ஒரு குறிப்பிட்ட மாற்றப்பட்ட பதிப்பு (கீழே உள்ள ஒருங்கிணைந்த சூத்திரத்தைப் பார்க்கவும்) சமச்சீர் செயல்பாடுகளின் இடத்தின் ஒரு ஆர்த்தோகனல் அடிப்படையை உருவாக்குகிறது, எனவே ஷூர் செயல்பாடுகளின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தப்படலாம். இந்த உறவுகளின் குணகங்கள் Kλμ (q, t) கோஸ்ட்கா-மெக்டொனால்டு குணகங்கள் அல்லது qt-கோஸ்ட்கா குணகங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. கோஸ்ட்கா-மெக்டொனால்டு குணகங்கள் q மற்றும் t இல் உள்ள எதிர்மறை அல்லாத முழு எண் குணகங்களுடன் கூடிய பல்லுறுப்புக்கோவைகள் என்று மெக்டொனால்ட் ஊகித்தார். இந்த அனுமானங்கள் இப்போது நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளன; கடினமான மற்றும் இறுதி படி நேர்மறையை நிரூபிப்பதாகும், இது மார்க் ஹைமன் (2001) என்பவரால் செய்யப்பட்டது. qt-கோஸ்ட்கா குணகங்களுக்கான ஒருங்கிணைந்த சூத்திரத்தைக் கண்டுபிடிப்பது இயற்கணித ஒருங்கிணைப்பில் இன்னும் ஒரு மைய திறந்த சிக்கலாக உள்ளது. என்! அனுமானம் தி என்! அட்ரியானோ கார்சியா மற்றும் மார்க் ஹைமான் ஆகியோரின் அனுமானம், n இன் ஒவ்வொரு பகிர்வுக்கும், n இன் அனைத்து உயர் பகுதி வழித்தோன்றல்களாலும் பரவியிருக்கும் இடைவெளி பரிமாணம் n! ஐக் கொண்டுள்ளது, இதில் (pj, qj) பகிர்வின் வரைபடத்தின் n கூறுகள் வழியாக இயங்குகிறது, இது எதிர்மறை அல்லாத முழு எண்களின் ஜோடிகளின் துணைக்குழுவாகக் கருதப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, n = 3 இன் பகிர்வு 3 = 2 + 1 ஆக இருந்தால், ஜோடிகள் (pj, qj) (0,0), (0,1), (1,0), மற்றும் இடைவெளி Dμ 6 = 3! பரிமாணத்தைக் கொண்டுள்ளது. ஹைமனின் மெக்டொனால்டு நேர்மறை அனுமானம் மற்றும் n இன் ஆதாரம்! ஒரு விமானத்தில் உள்ள n புள்ளிகளின் ஐசோஸ்பெக்ட்ரல் ஹில்பர்ட் திட்டம் கோஹன்-மக்காலே (மற்றும் கோரென்ஸ்டைன் கூட) என்பதைக் காட்டும் அனுமானம் இதில் அடங்கும். ஹைமான் மற்றும் கார்சியாவின் முந்தைய முடிவுகள் ஏற்கனவே இது n ஐ குறிக்கிறது என்பதைக் காட்டியுள்ளன! அனுமானம், மற்றும் அந்த n! கோஸ்ட்கா-மெக்டொனால்டு குணகங்கள் தொகுதிகள் டி. எம். யுவிற்கான வகைப்படுத்தப்பட்ட எழுத்து பெருக்கங்கள் என்று அனுமானம் குறிக்கிறது. இது உடனடியாக மெக்டொனால்டு நேர்மறை அனுமானத்தை குறிக்கிறது, ஏனெனில் எழுத்து பெருக்கங்கள் எதிர்மறை அல்லாத முழு எண்களாக இருக்க வேண்டும். இயன் க்ரோஜ்னோவ்ஸ்கி மற்றும் மார்க் ஹைமான் ஆகியோர் எல். எல். டி பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கான நேர்மறையான அனுமானத்தை நிரூபிப்பதன் மூலம் மெக்டொனால்ட் நேர்மறையான அனுமானத்தின் மற்றொரு ஆதாரத்தைக் கண்டறிந்தனர். மெக்டொனால்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கான ஒருங்கிணைந்த சூத்திரம் 2005 ஆம் ஆண்டில், ஜே. ஹாக்லண்ட், எம். ஹைமான் மற்றும் என். லோஹர் ஆகியோர் மெக்டொனால்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் ஒருங்கிணைந்த விளக்கத்தின் முதல் ஆதாரத்தை வழங்கினர். 1988இல் ஐ. ஜி. மெக்டொனால்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் ஒருங்கிணைந்த விளக்கத்தின் இரண்டாவது ஆதாரத்தை மெக்டொனால்டு வழங்கினார் (சமன்பாடுகள் (4.11 மற்றும் 5.13)). மெக்டொனால்டின் சூத்திரம் ஹாக்லண்ட், ஹைமான் மற்றும் லோஹ்ரின் படைப்புகளிலிருந்து வேறுபட்டது, பல குறைவான சொற்களுடன் (இந்த சூத்திரம் மெக்டொனால்டின் ஆரம்ப படைப்பான Ch இல் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. VI (7.13). கணக்கீட்டிற்கு மிகவும் பயனுள்ளதாகவும், அதன் சொந்த உரிமையில் சுவாரஸ்யமாகவும் இருந்தாலும், அவற்றின் ஒருங்கிணைந்த சூத்திரங்கள் கோஸ்ட்கா-மெக்டொனால்ட் குணகங்களின் நேர்மறையை உடனடியாகக் குறிக்கவில்லை, ஏனெனில் மெக்டொனால்ட் பல்லுறுப்புக்கோவைகளை ஷூர் செயல்பாடுகளுக்கு பதிலாக மோனோமியல் சமச்சீர் செயல்பாடுகளாக சிதைக்கின்றன. வழக்கமானதை விட மாற்றப்பட்ட மெக்டொனால்ட் பல்லுறுப்புக்கோவைகளில் எழுதப்பட்ட அவை, அங்கு σ என்பது வடிவத்தின் இளம் வரைபடத்தின் நிரப்புதலாகும், இன் மற்றும் மாஜ் ஆகியவை நிரப்புதலில் வரையறுக்கப்பட்ட சில ஒருங்கிணைந்த புள்ளிவிவரங்கள் (செயல்பாடுகள்) ஆகும். இந்த சூத்திரம் மெக்டொனால்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகளை எண்ணற்ற பல மாறிகளில் வெளிப்படுத்துகிறது. n மாறிகளில் உள்ள பல்லுறுப்புக்கோவைகளைப் பெற, 1,2,., n முழு எண்களை மட்டுமே பயன்படுத்தும் நிரப்புதல்களுக்கு சூத்திரத்தை மட்டுப்படுத்துங்கள். xσ என்ற சொல் σi என்பது உள்ளடக்கம் i உடன் μ ஐ நிரப்புவதில் உள்ள பெட்டிகளின் எண்ணிக்கை என்று விளக்கப்பட வேண்டும். மேலே உள்ள சூத்திரத்தில் உள்ள மாற்றப்பட்ட மெக்டொனால்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகள் கிளாசிக்கல் மெக்டொனால்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகளுடன் தொடர்ச்சியான மாற்றங்களின் மூலம் தொடர்புடையவை. முதலாவதாக, குறிக்கப்படும் மெக்டொனால்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் ஒருங்கிணைந்த வடிவம், குணகங்களின் வகுப்புகளை அழிக்கும் மறு அளவீடு ஆகும்ஃ இளம் வரைபடத்தில் உள்ள சதுரங்களின் தொகுப்பு எங்கே, மற்றும் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி சதுரத்தின் கை மற்றும் காலைக் குறிக்கிறது. குறிப்புஃ வலதுபுறத்தில் உள்ள உருவம் அட்டவணைக்கு பிரெஞ்சு குறியீட்டைப் பயன்படுத்துகிறது, இது இளம் வரைபடங்களுக்கான விக்கிப்பீடியா பக்கத்தில் பயன்படுத்தப்படும் ஆங்கில குறியீட்டிலிருந்து செங்குத்தாக புரட்டப்பட்டுள்ளது. பிரெஞ்சு குறியீடு பொதுவாக மெக்டொனால்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் ஆய்வில் பயன்படுத்தப்படுகிறது. மாற்றப்பட்ட மெக்டொனால்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகளை பின்னர் 'களின் அடிப்படையில் வரையறுக்கலாம். மேலே உள்ள அடைப்புக்குறி குறியீடு பிளைதிஸ்டிக் மாற்றீட்டைக் குறிக்கிறது. ஜாக் பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கான நோப் மற்றும் சாஹியின் சூத்திரத்தை நிரூபிக்க இந்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம். சமச்சீர் அல்லாத மெக்டொனால்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகள் 1995 ஆம் ஆண்டில், மெக்டொனால்டு சமச்சீர் மெக்டொனால்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் சமச்சீர் அல்லாத அனலாக்கை அறிமுகப்படுத்தினார், மேலும் சமச்சீர் மெக்டொனால்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகளை சமச்சீர் அல்லாத எதிர்ப்பிலிருந்து எளிதாக மீட்டெடுக்க முடியும். அவரது அசல் வரையறையில், சமச்சீர் அல்லாத மெக்டொனால்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகள் ஒரு குறிப்பிட்ட உள் பெருக்கலுக்கு ஆர்த்தோகனல் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் தனித்துவமான குடும்பமாகும், அதே போல் மோனோமியல் அடிப்படையில் விரிவுபடுத்தப்படும்போது முக்கோண பண்புகளை திருப்திப்படுத்துகின்றன. 2007 ஆம் ஆண்டில், ஹாக்லண்ட், ஹைமான் மற்றும் லோஹர் ஆகியோர் சமச்சீர் அல்லாத மெக்டொனால்ட் பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கு ஒரு ஒருங்கிணைந்த சூத்திரத்தை வழங்கினர். சமச்சீர் அல்லாத மெக்டொனால்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகள் q = t = 0 ஐ எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம் டிமாசர் எழுத்துக்களுக்கும், q = t = φ ஆக இருக்கும்போது முக்கிய பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கும் நிபுணத்துவம் அளிக்கின்றன. விலக்கு செயல்முறையின் அடிப்படையில் ஒருங்கிணைந்த சூத்திரங்கள் 2018 ஆம் ஆண்டில், எஸ். கார்டீல், ஓ. மாண்டெல்ஸ்டாம் மற்றும் எல். வில்லியம்ஸ் ஆகியோர் விலக்கு செயல்முறையைப் பயன்படுத்தி சமச்சீர் மற்றும் சமச்சீரற்ற மெக்டொனால்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் நேரடி ஒருங்கிணைந்த தன்மையை வழங்கினர். அவற்றின் முடிவுகள் ஹாக்லண்டின் முந்தைய படைப்புகளிலிருந்து ஓரளவு வேறுபடுகின்றன, ஏனெனில் அவை மெக்டொனால்ட் பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கு அதன் மாற்றத்தை விட நேரடியாக ஒரு சூத்திரத்தை வழங்குகின்றன. அவர்கள் பல வரிசை வரிசையின் கருத்தை உருவாக்குகிறார்கள், இது பந்துகள் அல்லது வெற்று செல்களைக் கொண்ட ஒரு அணி, பந்துகளுக்கும் அவற்றின் அண்டை நாடுகளுக்கும் இடையில் ஒரு வரைபடம் மற்றும் ஒரு ஒருங்கிணைந்த லேபிளிங் பொறிமுறையுடன். சமச்சீரற்ற மெக்டொனால்டு பல்லுறுப்புக்கோவை பின்னர் திருப்திப்படுத்துகிறதுஃ இங்கு தொகை அனைத்து பல வரிசை வரிசைகளிலும் உள்ளது மற்றும் குறிப்பிட்ட பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கு அந்த வரிசைகளை வரைபடமாக்கும் ஒரு எடை செயல்பாடாகும். சமச்சீர் மெக்டொனால்டு பல்லுறுப்புக்கோவை திருப்திப்படுத்துகிறதுஃ இதில் வெளிப்புற கூட்டுத்தொகை அனைத்து தனித்துவமான கலவைகளுக்கும் மேல் உள்ளது, அவை வரிசைமாற்றங்களாகும், மேலும் உள் கூட்டுத்தொகை முன்பு போலவே இருக்கும். குறிப்புகள் நூலியல் மார்க் ஹைமான் காம்பினடோரிக்ஸ், சமச்சீர் செயல்பாடுகள் மற்றும் ஹில்பர்ட் திட்டங்கள் கணிதத்தில் தற்போதைய முன்னேற்றங்கள் 2002, எண். 1 (2002), 39-111. ஹைமான், மார்க் நோட்ஸ் மெக்டொனால்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகள் மற்றும் ஹில்பர்ட் திட்டங்களின் வடிவியல். சமச்சீர் செயல்பாடுகள் 2001: முன்னேற்றங்கள் மற்றும் முன்னோக்குகளின் ஆய்வுகள், 1-64, நேட்டோ அறிவியல். செர். II கணிதம். இயற்பியல். கெம்., 74, க்ளூவர் அகாட். வெளியீடு., டோர்ட்ரெக்ட், 2002. மெக்டொனால்டு, ஐ. ஜி. சமச்சீர் செயல்பாடுகள் மற்றும் ஹால் பல்லுறுப்புக்கோவைகள். இரண்டாம் பதிப்பு. ஆக்ஸ்போர்டு கணித மோனோகிராஃப்கள். ஆக்ஸ்போர்டு அறிவியல் வெளியீடுகள். தி கிளாரெண்டன் பிரஸ், ஆக்ஸ்போர்டு யுனிவர்சிட்டி பிரஸ், நியூயார்க், 1995. x + 475 pp. மெக்டொனால்டு, ஐ. ஜி. சமச்சீர் செயல்பாடுகள் மற்றும் ஆர்த்தோகனல் பல்லுறுப்புக்கோவைகள். டீன் ஜாக்குலின் பி. லூயிஸ் நினைவு சொற்பொழிவுகள் ரட்ஜர்ஸ் பல்கலைக்கழகம், நியூ பிரன்சுவிக், என். ஜே. பல்கலைக்கழக விரிவுரைத் தொடர், 12. அமெரிக்க கணிதச் சங்கம், பிராவிடன்ஸ், ஆர்ஐ, 1998. xvi + 53 pp. மெக்டொனால்டு, ஐ. ஜி. அஃபைன் ஹெக் ஆல்ஜிப்ராக்கள் மற்றும் ஆர்த்தோகனல் பல்லுறுப்புக்கோவைகள். செமினேர் போர்பாகி 797 (1995). வெளிப்புற இணைப்புகள் மெக்டொனால்ட் பல்லுறுப்புக்கோவைகளைப் பற்றிய மைக் ஜாப்ரோக்கியின் பக்கம். மெக்டொனால்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகளைப் பற்றிய ஹைமானின் சில ஆவணங்கள். இயற்கணித ஒருங்கிணைப்புகள் இயற்கணித வடிவியல் ஆர்த்தோகனல் பல்லுறுப்புக்கோவைகள்