Octonion algebra
கணிதத்தில், F புலத்தின் மீது ஒரு ஆக்டோனியன் இயற்கணிதம் அல்லது கெய்லி இயற்கணிதம் என்பது F க்கு மேல் உள்ள ஒரு கலவை இயற்கணிதம் ஆகும், இது F க்கு மேல் பரிமாணம் 8 ஐக் கொண்டுள்ளது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், இது 8 பரிமாண ஒற்றுமை அல்லாத தொடர்புடைய இயற்கணிதம் A க்கு மேல் F ஆகும், இது சிதைவு அல்லாத இருபடி வடிவம் N (நெறிமுறை வடிவம் என்று அழைக்கப்படுகிறது) அதாவது A இல் உள்ள அனைத்து x மற்றும் y க்கும். ஆக்டோனியன் இயற்கணிதத்தின் மிகவும் நன்கு அறியப்பட்ட எடுத்துக்காட்டு கிளாசிக்கல் ஆக்டோனியன்கள் ஆகும், அவை உண்மையான எண்களின் புலமான ஆர் மீது ஒரு ஆக்டோனியன் இயற்கணிதமாகும். பிளவு-ஆக்டோனியன்கள் ஆர் மீது ஒரு ஆக்டோனியன் இயற்கணிதத்தையும் உருவாக்குகின்றன. ஆர்-இயற்கணிதம் ஐசோமார்பிசம் வரை, இவை மட்டுமே உண்மையான ஆக்டோனியன் ஆல்ஜிப்ராக்கள் ஆகும். உயிர் ஆக்டோனியன்களின் இயற்கணிதம் சிக்கலான எண்கள் சி மீது ஆக்டோனியன் இயற்கணிதம் ஆகும். N இன் ஆக்டோனியன் இயற்கணிதம் ஒரு பிரிவு இயற்கணிதம், N வடிவம் அனிசோட்ரோபிக் என்றால் மட்டுமே. ஒரு பிளவு ஆக்டோனியன் இயற்கணிதம் என்பது இருபடி வடிவமான N ஐசோட்ரோபிக் ஆகும் (அதாவது, N (x) = 0 உடன் பூஜ்ஜியமற்ற திசையன் x உள்ளது). எஃப்-ஆல்ஜீப்ரா ஐசோமார்பிசம் வரை, எந்த புலத்திலும் ஒரு தனித்துவமான பிளவு ஆக்டோனியன் அல்ஜிப்ரா உள்ளது. எஃப் இயற்கணித ரீதியாக மூடப்பட்டிருக்கும் போது அல்லது ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட புலமாக இருக்கும்போது, இவை மட்டுமே எஃப் மீது ஆக்டோனியன் ஆல்ஜிப்ராக்கள். ஆக்டோனியன் ஆல்ஜிப்ராக்கள் எப்போதும் தொடர்பற்றவை. இருப்பினும், அவை மாற்று ஆல்ஜிப்ராக்கள், மாற்றுத் தன்மை என்பது கூட்டுறவின் பலவீனமான வடிவமாகும். மேலும், மௌஃபாங் அடையாளங்கள் எந்த ஆக்டோனியன் இயற்கணிதத்திலும் உள்ளன. எந்தவொரு ஆக்டோனியன் இயற்கணிதத்திலும் உள்ள தலைகீழ் கூறுகள் ஒரு மவுஃபாங் வளையத்தை உருவாக்குகின்றன, அதே போல் அலகு நெறிமுறையின் கூறுகளும் செய்கின்றன. ஒரு தன்னிச்சையான புலம் k மீது பொதுவான ஆக்டோனியன் ஆல்ஜிப்ராக்களின் கட்டுமானத்தை லியோனார்ட் டிக்சன் தனது புத்தகமான ஆல்ஜிப்ரென் அண்ட் இஹ்ரே ஜாஹ்லெந்தியோரி (1927) (சீட் 264) இல் விவரித்தார் மற்றும் மேக்ஸ் ஸோர்ன் மீண்டும் கூறினார். பெருக்கல் k இலிருந்து ஒரு γ ஐத் தேர்ந்தெடுப்பதைப் பொறுத்தது. k க்கு மேல் ஒரு குவாட்டர்னியன் இயற்கணிதத்திலிருந்து q மற்றும் Q கொடுக்கப்பட்டால், ஆக்டோனியன் q + Qe என்று எழுதப்படுகிறது. மற்றொரு ஆக்டோனியனை r + Re என்று எழுதலாம். பின்னர் குவாட்டர்னியன் இயற்கணிதத்தில் உள்ள இணைப்பைக் குறிக்கும் * உடன், அவற்றின் பெருக்கல் இந்த கெய்லி-டிக்சன் கட்டுமானத்தைப் பற்றிய ஸோர்னின் ஜெர்மன் மொழி விளக்கமாகும், இது கலவை ஆல்ஜிப்ராக்களின் கட்டமைப்பை விவரிக்கும் இந்த பெயரின் தொடர்ச்சியான பயன்பாட்டிற்கு பங்களித்தது. நிலையான மாதிரியின் கூறுகளை சமரசம் செய்யும் முயற்சியில் ஆக்டோனியன் ஆல்ஜிப்ராக்களைப் பயன்படுத்தலாம் என்று கோல் ஃப்யூரி முன்மொழிந்துள்ளார். வகைப்பாடு இது அடால்ஃப் ஹர்விட்ஸின் ஒரு தேற்றமாகும், இது இயல்பான வடிவத்தின் எஃப்-ஐசோமார்பிசம் வகுப்புகள் ஆக்டோனியன் எஃப்-ஆல்ஜிப்ராஸின் ஐசோமார்பிசம் வகுப்புகளுடன் ஒன்றுக்கு ஒன்று தொடர்புபடுத்தப்படுகின்றன. மேலும், சாத்தியமான நெறிமுறை வடிவங்கள் சரியாக எஃப் மீது ஃபைஸ்டர் 3-வடிவங்களாகும். எந்த இரண்டு ஆக்டோனியன் எஃப்-ஆல்ஜிப்ராக்களும் எஃப் இன் இயற்கணித மூடுதலின் மீது ஐசோமார்பிக் ஆக இருப்பதால், ஒருவர் அபெலியன் அல்லாத கலோயிஸ் கோஹோமோலஜியின் கருத்துக்களைப் பயன்படுத்தலாம். குறிப்பாக, பிளவு ஆக்டோனியன்களின் தானியங்கி உருவகக் குழு பிளவு இயற்கணிதக் குழு G2 என்ற உண்மையைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், ஆக்டோனியன் F-ஆல்ஜிப்ராக்களின் ஐசோமார்பிசம் வகுப்புகளின் தொடர்புகளை F ஐ விட G2-முறுக்கிகளின் ஐசோமார்பிசம் வகுப்புகளுடன் ஒருவர் காண்கிறார். இந்த ஐசோமார்பிசம் வகுப்புகள் அபெலியன் அல்லாத கலோயிஸ் கோஹோமோலஜி தொகுப்பை உருவாக்குகின்றன. குறிப்புகள் வெளிப்புற இணைப்புகள் கலவை ஆல்ஜிப்ரா அல்ஜிப்ரா அல்லாத தொடர்புடைய ஆல்ஜிப்ராக்கள்