Ducci sequence
ஒரு டூச்சி வரிசை என்பது முழு எண்களின் n-டப்பிள்களின் வரிசையாகும், இது சில நேரங்களில் "டிஃபி கேம்" என்று அழைக்கப்படுகிறது, ஏனெனில் இது வரிசைகளை அடிப்படையாகக் கொண்டது. முழு எண்களின் n-டப்பிள் கொடுக்கப்பட்டால், வரிசையில் அடுத்த n-டப்பிள் அண்டை முழு எண்களின் முழுமையான வேறுபாடுகளை எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம் உருவாகிறதுஃ இதை விவரிப்பதற்கான மற்றொரு வழி பின்வருமாறு. ஒரு வட்டத்தில் n முழு எண்களை வரிசைப்படுத்தி, எந்தவொரு கழித்தல் அறிகுறிகளையும் புறக்கணித்து, அண்டை நாடுகளுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டை எடுத்து ஒரு புதிய வட்டத்தை உருவாக்கவும்; பின்னர் செயல்பாட்டை மீண்டும் செய்யவும். 1930 களில் இதைக் கண்டுபிடித்த இத்தாலிய கணிதவியலாளரான என்ரிகோ டுச்சியின் (1864-1940) பெயரால் டுச்சி வரிசைகள் பெயரிடப்பட்டுள்ளன. டூச்சி வரிசைகள் டூச்சி வரைபடம் அல்லது என்-எண் விளையாட்டு என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன. இந்த வரைபடங்களின் ஆய்வில் வெளிப்படையான சிக்கல்கள் இன்னும் உள்ளன. பண்புகள் இரண்டாவது n-டப்பிள் முதல், ஒரு டுச்சி வரிசையில் ஒவ்வொரு n-டப்பிளிலும் உள்ள ஒவ்வொரு முழு எண்ணும் 0 ஐ விட அதிகமாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்கும் மற்றும் முதல் n-டப்பிளின் அதிகபட்ச மற்றும் குறைந்தபட்ச உறுப்பினர்களுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டை விட குறைவாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்கும் என்பது தெளிவாகிறது. இந்த கட்டுப்பாடுகளுடன் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான சாத்தியமான n-டப்பிள்கள் மட்டுமே இருப்பதால், n-டப்பிள்களின் வரிசை விரைவில் அல்லது பின்னர் மீண்டும் நிகழ வேண்டும். எனவே ஒவ்வொரு டூச்சி வரிசையும் இறுதியில் காலமுறை ஆகிறது. n என்பது 2 இன் சக்தியாக இருந்தால், ஒவ்வொரு டூச்சி வரிசையும் இறுதியில் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான படிகளில் n-டப்பிளை (0,0,., 0) அடைகிறது. n என்பது இரண்டின் சக்தி இல்லையென்றால், ஒரு டூச்சி வரிசை இறுதியில் பூஜ்ஜியங்களின் n-டப்பிளை அடையும் அல்லது 'பைனரி' n-டப்பிள்களின் கால சுழற்சியில் குடியேறும்; அதாவது, வடிவத்தின் n-டப்பிள்கள், ஒரு மாறிலி, மற்றும். டுச்சி வரிசைகளின் ஒரு வெளிப்படையான பொதுமைப்படுத்தல், n-டப்பிள்களின் உறுப்பினர்கள் முழு எண்களை விட எந்தவொரு உண்மையான எண்களாகவும் இருக்க அனுமதிப்பதாகும். எடுத்துக்காட்டாக, இந்த 4-டப்பிள் நான்கு மறு செய்கைகளில் (0,0,0,0) உடன் இணைகிறதுஃ இங்கே வழங்கப்பட்ட பண்புகள் எப்போதும் இந்த பொதுமைப்படுத்தல்களுக்கு பொருந்தாது. எடுத்துக்காட்டாக, n-டப்பிள் (1, q, q2, q3) உடன் தொடங்கும் ஒரு டூச்சி வரிசை, அங்கு q என்பது கனசதுரத்தின் (பகுத்தறிவற்ற) நேர்மறை மூலமாகும், இது வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான படிகளில் (0,0,0,0) அடையாது, இருப்பினும் வரம்பில் அது (0,0,0,0) உடன் இணைகிறது. எடுத்துக்காட்டுகள் டூச்சி வரிசைகள் பூஜ்ஜியங்களின் டப்பிள் அல்லது ஒரு குறிப்பிட்ட சுழற்சியை அடைவதற்கு முன்பு தன்னிச்சையாக நீண்டதாக இருக்கலாம். (0,653,1854,4063) இல் தொடங்கும் 4-டப்பிள் வரிசை பூஜ்ஜிய டப்பிளை அடைய 24 மறு செய்கைகளை எடுக்கும். இந்த 5-டப்பிள் வரிசை 7 மறு செய்கைகளுக்குப் பிறகு 15 பைனரி 'லூப்' காலத்திற்குள் நுழைகிறது. பின்வரும் 6-டப்பிள் வரிசை, நீளம் இரண்டின் சக்தியாக இல்லாத டப்பிள்களின் வரிசைகள் இன்னும் பூஜ்ஜியங்களின் டப்பிளை அடையக்கூடும் என்பதைக் காட்டுகிறதுஃ ஏதேனும் "இரண்டு சக்தி"-டப்பிள் டச்சி வரிசைக்கு சில நிபந்தனைகள் விதிக்கப்பட்டால், பூஜ்ஜிய டப்பிளை அடைய இரண்டு அல்லது அதற்கும் குறைவான மறு செய்கைகளின் சக்தியை எடுக்கும். இந்த வரிசைகள் ஒரு விதியுடன் ஒத்துப்போகின்றன என்று அனுமானிக்கப்படுகிறது. மாடுலோ இரண்டு வடிவம் டூச்சி வரிசைகள் பைனரி சுழல்களில் நுழையும்போது, வரிசையை மாடுலோ இரண்டில் கையாள முடியும். அதாவதுஃ வரிசை அனைத்து பூஜ்ஜியங்களுக்கும் மறைந்துவிடும் போது நிரூபிப்பதற்கான அடிப்படையை இது உருவாக்குகிறது. மட்டு 2 இல் உள்ள நேரியல் வரைபடத்தை வொல்ப்ராம் குறியீட்டில் விதி 102 என குறிக்கப்படும் செல்லுலார் தானியங்கி வரைபடமாக மேலும் அடையாளம் காணலாம் மற்றும் மார்ட்டின்-ஓட்லிஸ்கோ-வொல்ப்ராம் வரைபடத்தின் மூலம் விதி 90 உடன் தொடர்புடையது. விதி 102 சியர்பின்ஸ்கி முக்கோணத்தை மீண்டும் உருவாக்குகிறது. பிற தொடர்புடைய தலைப்புகள் டுச்சி வரைபடம் ஒரு வேறுபாடு சமன்பாட்டிற்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு, இது நேரியல் அல்லாத இயக்கவியல், குழப்பம் கோட்பாடு மற்றும் எண் பகுப்பாய்வு ஆகியவற்றை உள்ளடக்கிய ஒரு வகை. சைக்ளோடோமிக் பல்லுறுப்புக்கோவைகளுடனான ஒற்றுமைகளும் சுட்டிக்காட்டப்பட்டுள்ளன. தற்போது டுச்சி வரைபடத்தின் நடைமுறை பயன்பாடுகள் எதுவும் இல்லை என்றாலும், வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் மிகவும் பயன்படுத்தப்பட்ட புலத்துடன் அதன் தொடர்பு டுச்சி வரைபடத்தின் ஒரு வடிவம் எதிர்காலத்தில் பயன்பாட்டைக் காணலாம் என்ற யூகத்திற்கு வழிவகுத்தது. குறிப்புகள் வெளிப்புற இணைப்புகள் கட்-தி-முடிச்சு வரிசைகள் மற்றும் தொடர் எண் கோட்பாட்டில் ஒரு வட்டத்தில் டூச்சி வரிசை முழு எண் மறு செய்கைகள்