Hodge structure
கணிதத்தில், ஹோட்ஜ் அமைப்பு, டபிள்யூ. வி. டி. ஹோட்ஜ் பெயரிடப்பட்டது, நேரியல் இயற்கணித மட்டத்தில் ஒரு இயற்கணித அமைப்பு, ஹோட்ஜ் கோட்பாடு ஒரு மென்மையான மற்றும் கச்சிதமான கோஹ்லர் பன்மடங்கு கோஹோமோலஜி குழுக்களுக்கு கொடுக்கும் ஒன்றைப் போன்றது. ஹோட்ஜ் கட்டமைப்புகள் அனைத்து சிக்கலான வகைகளுக்கும் (அவை ஒருமை மற்றும் முழுமையற்றவை என்றாலும்) கலப்பு ஹோட்ஜ் கட்டமைப்புகளின் வடிவத்தில் பொதுமைப்படுத்தப்பட்டுள்ளன, இது பியர் டெலிக்னே (1970) ஆல் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. ஹோட்ஜ் கட்டமைப்பின் மாறுபாடு என்பது ஹோட்ஜ் கட்டமைப்புகளின் குடும்பமாகும், இது பல மடங்குகளால் அளவிடப்படுகிறது, இது முதலில் பிலிப் கிரிஃபித்ஸ் (1968) என்பவரால் ஆய்வு செய்யப்பட்டது. இந்த கருத்துக்கள் அனைத்தும் மோரிஹிகோ சைட்டோ (1989) என்பவரால் சிக்கலான வகைகளை விட கலப்பு ஹோட்ஜ் தொகுதிகளாக மேலும் பொதுமைப்படுத்தப்பட்டன. ஹாட்ஜ் கட்டமைப்புகளின் வரையறை முழு எண் எடை n இன் தூய ஹாட்ஜ் அமைப்பு ஒரு அபெலியன் குழுவைக் கொண்டுள்ளது மற்றும் அதன் சிக்கலான H ஐ சிக்கலான துணை இடங்களின் நேரடி கூட்டுத்தொகையாக சிதைக்கிறது, அங்கு, சிக்கலான இணைப்பின் பண்புடன்ஃ ஹாட்ஜ் வடிகட்டுதலால் H இன் நேரடி கூட்டுத்தொகையை மாற்றுவதன் மூலம் ஒரு சமமான வரையறை பெறப்படுகிறது, இது நிபந்தனைக்கு உட்பட்டு சிக்கலான துணை இடங்களால் H இன் வரையறுக்கப்பட்ட குறைந்து வரும் வடிகட்டுதல் இந்த இரண்டு விளக்கங்களுக்கும் இடையிலான உறவு பின்வருமாறு கொடுக்கப்பட்டுள்ளதுஃ எடுத்துக்காட்டாக, X ஒரு சிறிய காலர் பன்மடங்கு என்றால், முழு எண் குணகங்களுடன் X இன் n-வது கோஹோமோலஜி குழு, அதன் n-வது கோஹோமோலஜி ஆகும். இயற்கணித வடிவவியலில் உள்ள பயன்பாடுகளுக்கு, அதாவது, சிக்கலான ப்ரொஜெக்டிவ் வகைகளை அவற்றின் காலங்களால் வகைப்படுத்துவது, எடை n இன் அனைத்து ஹாட்ஜ் கட்டமைப்புகளின் தொகுப்பும் மிகப் பெரியது. ரீமன் இருமுனை உறவுகளைப் பயன்படுத்தி, ஹோட்ஜ் ரீமன் இருமுனை உறவுகள் என்று அழைக்கப்படும் இந்த விஷயத்தில், அதை கணிசமாக எளிமைப்படுத்தலாம். எடை n கொண்ட ஒரு துருவப்படுத்தப்பட்ட ஹோட்ஜ் அமைப்பு ஒரு ஹோட்ஜ் அமைப்பு மற்றும் ஒரு சிதைக்கப்படாத முழு எண் இருமுனை வடிவம் Q ஆன் (துருவமுனைப்பு) ஆகியவற்றைக் கொண்டுள்ளது, இது நேரியல் மூலம் H வரை நீட்டிக்கப்படுகிறது, மேலும் நிபந்தனைகளை திருப்திப்படுத்துகிறதுஃ ஹோட்ஜ் வடிகட்டுதலைப் பொறுத்தவரை, இந்த நிபந்தனைகள் C என்பது H இல் உள்ள வெயில் ஆபரேட்டர், ஆன் மூலம் வழங்கப்படுகிறது. ஒரு ஹாட்ஜ் கட்டமைப்பின் மற்றொரு வரையறை ஒரு சிக்கலான திசையன் இடத்தில்-தரப்படுத்தலுக்கும் வட்டக் குழு U (1) இன் செயல்பாட்டிற்கும் இடையிலான சமநிலையை அடிப்படையாகக் கொண்டது. இந்த வரையறையில், இரு பரிமாண உண்மையான இயற்கணித டோரஸ் என்று கருதப்படும் சிக்கலான எண்களின் பெருக்கக் குழுவின் செயல் H இல் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. இந்த செயல் ஒரு உண்மையான எண் ஒரு மூலம் செயல்படும் பண்பைக் கொண்டிருக்க வேண்டும். சப்ஸ்பேஸ் என்பது ஏ-ஹாட்ஜ் கட்டமைப்பால் பெருக்கலாக செயல்படும் சப்ஸ்பேஸ் ஆகும் நோக்கங்களின் கோட்பாட்டில், கோஹோமோலஜிக்கு அதிக பொதுவான குணகங்களை அனுமதிப்பது முக்கியம். ஒரு ஹோட்ஜ் கட்டமைப்பின் வரையறை உண்மையான எண்களின் புலத்தின் நொய்தேரியன் துணை வளையம் A ஐ சரிசெய்வதன் மூலம் மாற்றியமைக்கப்படுகிறது, இது ஒரு புலம். பின்னர் எடை n இன் தூய ஹாட்ஜ் ஏ-அமைப்பு முன்பு போலவே வரையறுக்கப்படுகிறது, அதற்கு பதிலாக ஏ. B இன் துணை வளையமான A க்கான ஹோட்ஜ் A-கட்டமைப்புகள் மற்றும் B-கட்டமைப்புகள் தொடர்பான அடிப்படை மாற்றம் மற்றும் கட்டுப்பாட்டுக்கு இயற்கையான செயல்பாடுகள் உள்ளன. கலப்பு ஹோட்ஜ் கட்டமைப்புகள் 1960 களில் ஜீன்-பியர் செர்ரேவால் வெயில் அனுமானங்களின் அடிப்படையில் கவனிக்கப்பட்டது, ஒருமை (ஒருவேளை குறைக்கப்படக்கூடிய) மற்றும் முழுமையற்ற இயற்கணித வகைகள் கூட 'மெய்நிகர் பெட்டி எண்களை' அனுமதிக்க வேண்டும். மேலும் துல்லியமாக, எந்தவொரு இயற்கணித வகையிலும் X ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை PX (t) ஐ ஒதுக்க முடியும், இது அதன் மெய்நிகர் பாயின்கேர் பல்லுறுப்புக்கோவை என்று அழைக்கப்படுகிறது, இதன் பண்புகளுடன் X ஒற்றை மற்றும் திட்டமற்றது (அல்லது முழுமையானது) என்றால் Y என்பது X மற்றும் U = X\ Y இன் மூடிய இயற்கணித துணைக்குழுவாக இருந்தால் அத்தகைய பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் இருப்பு ஒரு பொதுவான (ஒருமை மற்றும் முழுமையற்ற) இயற்கணித வகையின் ஒத்திசைவுகளில் ஹோட்ஜ் கட்டமைப்பின் அனலாக் இருப்பதிலிருந்து தொடரும். புதுமையான அம்சம் என்னவென்றால், ஒரு பொதுவான வகையின் nth கோஹோமோலஜி வெவ்வேறு எடைகளின் துண்டுகளைக் கொண்டிருப்பது போல் தெரிகிறது. இது அலெக்சாண்டர் கிரோதெண்டிக் தனது நோக்கங்களின் அனுமானக் கோட்பாட்டிற்கு வழிவகுத்தது மற்றும் ஹோட்ஜ் கோட்பாட்டின் விரிவாக்கத்திற்கான தேடலைத் தூண்டியது, இது பியர் டெலிக்னேவின் பணியில் உச்சக்கட்டத்தை அடைந்தது. அவர் ஒரு கலப்பு ஹோட்ஜ் அமைப்பு என்ற கருத்தை அறிமுகப்படுத்தினார், அவர்களுடன் பணிபுரிவதற்கான நுட்பங்களை உருவாக்கினார், அவற்றின் கட்டுமானத்தை வழங்கினார் (ஹெய்சுகே ஹிரொனகாவின் ஒருமைப்பாட்டின் தீர்மானத்தின் அடிப்படையில்) மற்றும் எல்-அடிக் கோஹோமோலஜியின் எடைகளுடன் அவற்றை தொடர்புபடுத்தி, வெயில் அனுமானங்களின் கடைசி பகுதியை நிரூபித்தார். வளைவுகளின் எடுத்துக்காட்டு வரையறையை ஊக்குவிக்க, இரண்டு ஒற்றை அல்லாத கூறுகளைக் கொண்ட குறைக்கப்படக்கூடிய சிக்கலான இயற்கணித வளைவு X இன் வழக்கைக் கவனியுங்கள், மேலும், இது புள்ளிகளில் குறுக்குவெட்டு ரீதியாக வெட்டுகிறது மற்றும். மேலும், கூறுகள் கச்சிதமாக இல்லை என்று வைத்துக்கொள்வோம், ஆனால் புள்ளிகளைச் சேர்ப்பதன் மூலம் சுருக்கப்படலாம். வளைவு X இன் முதல் கோஹோமோலஜி குழு (சிறிய ஆதரவுடன்) முதல் ஹோமோலஜி குழுவிற்கு இரட்டை ஆகும், இது காட்சிப்படுத்த எளிதானது. இந்த குழுவில் மூன்று வகையான ஒரு சுழற்சிகள் உள்ளன. முதலாவதாக, துளைகளைச் சுற்றி சிறிய சுழல்களைக் குறிக்கும் கூறுகள் உள்ளன. பின்னர் ஒவ்வொரு கூறுகளின் சுருக்கத்தின் முதல் ஒத்திசைவிலிருந்து வரும் கூறுகள் உள்ளன. இந்த கூறுகளின் சுருக்கத்தில் ஒரு சுழற்சியுடன் தொடர்புடைய () இல் உள்ள ஒரு சுழற்சி, நியமனம் அல்லஃ இந்த கூறுகள் கால அளவை மாற்றியமைக்க தீர்மானிக்கப்படுகின்றன. இறுதியாக, முதல் இரண்டு வகைகளை மாடுலோ செய்யுங்கள், குழு ஒரு ஒருங்கிணைந்த சுழற்சியால் உருவாக்கப்படுகிறது, இது ஒரு கூறில் ஒரு பாதையில் இருந்து மற்றொரு கூறில் ஒரு பாதையில் திரும்பி வருகிறது. இது அதிகரித்து வரும் வடிகட்டுதலை ஒப்புக்கொள்கிறது, அதன் தொடர்ச்சியான மேற்கோள்கள் Wn/Wn−1 மென்மையான முழுமையான வகைகளின் ஒத்திசைவிலிருந்து உருவாகின்றன, எனவே வெவ்வேறு எடைகள் இருந்தாலும் (தூய) ஹாட்ஜ் கட்டமைப்புகளை ஒப்புக்கொள்கின்றன. மேலும் எடுத்துக்காட்டுகளை "கலப்பு ஹாட்ஜ் கோட்பாட்டிற்கான ஒரு அப்பாவித்தனமான வழிகாட்டி" இல் காணலாம். கலப்பு ஹோட்ஜ் கட்டமைப்பின் வரையறை ஒரு அபெலியன் குழுவில் கலப்பு ஹோட்ஜ் அமைப்பு சிக்கலான திசையன் இடைவெளி H இல் (சிக்கலானது) ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட குறைந்து வரும் வடிகட்டுதல் Fp ஐக் கொண்டுள்ளது, இது ஹோட்ஜ் வடிகட்டுதல் என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் விகிதமுறு திசையன் இடத்தில் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட அதிகரிக்கும் வடிகட்டுதல் வை (அளவீடுகளை விகிதமுறு எண்களுக்கு விரிவுபடுத்துவதன் மூலம் பெறப்படுகிறது), எடை வடிகட்டுதல் என்று அழைக்கப்படுகிறது, இது எடை வடிகட்டலைப் பொறுத்தவரை n-வது தொடர்புடைய தரப்படுத்தப்பட்ட அளவு, அதன் சிக்கலான தன்மையில் F ஆல் தூண்டப்பட்ட வடிகட்டலுடன் சேர்ந்து, எடை n இன் தூய ஹாட்ஜ் கட்டமைப்பாகும். கலப்பு ஹாட்ஜ் கட்டமைப்புகள் ஒரு அபெலியன் வகையை உருவாக்குகின்றன. இந்த பிரிவில் உள்ள கர்னல்கள் மற்றும் கோக்கர்னல்கள் தூண்டப்பட்ட வடிகட்டுதல்களுடன், திசையன் இடைவெளிகளின் பிரிவில் வழக்கமான கர்னல்கள் மற்றும் கோக்கர்னல்களுடன் ஒத்துப்போகின்றன. ஒரு சிறிய காலர் பன்மடங்கு மொத்த ஒத்திசைவு கலப்பு ஹாட்ஜ் கட்டமைப்பைக் கொண்டுள்ளது, அங்கு எடை வடிகட்டுதல் Wn இன் n வது இடைவெளி என்பது n ஐ விட குறைவான அல்லது சமமான டிகிரியின் ஒத்திசைவு குழுக்களின் (விகிதமுறு குணகங்களுடன்) நேரடி கூட்டுத்தொகையாகும். எனவே, சுருக்கமான, சிக்கலான வழக்கில் கிளாசிக்கல் ஹாட்ஜ் கோட்பாட்டை சிக்கலான ஒத்திசைவு குழுவில் இரட்டை தரவரிசையை வழங்குவதாக ஒருவர் நினைக்கலாம், இது ஒரு குறிப்பிட்ட வழியில் இணக்கமான அதிகரித்து வரும் வடிகட்டுதல் Fp மற்றும் குறைந்து வரும் வடிகட்டுதல் Wn ஐ வரையறுக்கிறது. பொதுவாக, மொத்த கோஹோமோலஜி இடத்தில் இன்னும் இந்த இரண்டு வடிகட்டுதல்களும் உள்ளன, ஆனால் அவை இனி நேரடி கூட்டுத்தொகை சிதைவிலிருந்து வருவதில்லை. தூய ஹோட்ஜ் கட்டமைப்பின் மூன்றாவது வரையறையைப் பொறுத்தவரை, குழுவின் செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தி ஒரு கலப்பு ஹோட்ஜ் கட்டமைப்பை விவரிக்க முடியாது என்று ஒருவர் கூறலாம். டிலிக்னேவின் ஒரு முக்கியமான நுண்ணறிவு என்னவென்றால், கலப்பு வழக்கில் மிகவும் சிக்கலான பரிமாற்றமற்ற புரோஆல்ஜிப்ராயிக் குழு உள்ளது, இது தனக்கியன் சம்பிரதாயத்தைப் பயன்படுத்தி அதே விளைவுக்கு பயன்படுத்தப்படலாம். மேலும், (கலப்பு) ஹோட்ஜ் கட்டமைப்புகளின் வகை டென்சர் தயாரிப்பு பற்றிய ஒரு நல்ல கருத்தை ஒப்புக்கொள்கிறது, இது வகைகளின் விளைபொருளுடன் தொடர்புடையது, அதே போல் உள் ஹோம் மற்றும் இரட்டை பொருளின் தொடர்புடைய கருத்துக்களும், அதை ஒரு தனக்கியன் வகையாக ஆக்குகிறது. தனகா-கிரெய்ன் தத்துவத்தின் படி, இந்த வகை ஒரு குறிப்பிட்ட குழுவின் வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண பிரதிநிதித்துவங்களின் வகைக்கு சமம், இது டெலிக்னே, மில்னே மற்றும் பலர். வெளிப்படையாக விவரிக்கப்பட்டுள்ளது, பார்க்கவும் மற்றும். இந்த குழுவின் விளக்கம் மேலும் வடிவியல் அடிப்படையில் மறுசீரமைக்கப்பட்டது. பகுத்தறிவு தூய துருவமுனைப்பு ஹோட்ஜ் கட்டமைப்புகளுக்கான தொடர்புடைய (மிகவும் சம்பந்தப்பட்ட) பகுப்பாய்வு செய்யப்பட்டது. கோஹோமோலஜியில் கலப்பு ஹோட்ஜ் அமைப்பு (டெலிக்னேவின் தேற்றம்) டெலிக்னே ஒரு தன்னிச்சையான இயற்கணித வகையின் n வது கோஹோமோலஜி குழு ஒரு நியமன கலப்பு ஹோட்ஜ் கட்டமைப்பைக் கொண்டுள்ளது என்பதை நிரூபித்துள்ளது. இந்த அமைப்பு செயல்பாட்டு, மற்றும் வகைகளின் தயாரிப்புகளுடன் இணக்கமானது (குனெத் ஐசோமார்பிசம்) மற்றும் கோஹோமோலஜியில் உள்ள தயாரிப்பு. ஒரு முழுமையான நான்சீங்குலர் வகை X க்கு இந்த அமைப்பு எடை n இல் தூய்மையானது, மேலும் ஹோட்ஜ் வடிகட்டலை துண்டிக்கப்பட்ட டி ராம் வளாகத்தின் ஹைப்பர் ஆல்ககாலஜி மூலம் வரையறுக்க முடியும். சான்றுகள் தோராயமாக இரண்டு பகுதிகளைக் கொண்டுள்ளன, அவை சுருக்கமின்மை மற்றும் ஒருமைப்பாட்டைக் கவனித்துக்கொள்கின்றன. இரு பகுதிகளும் ஒருமைப்பாட்டின் தீர்மானத்தை (ஹிரொனகா காரணமாக) ஒரு அத்தியாவசிய வழியில் பயன்படுத்துகின்றன. ஒற்றை வழக்கில், வகைகள் எளிமையான திட்டங்களால் மாற்றப்படுகின்றன, இது மிகவும் சிக்கலான ஒரே மாதிரியான இயற்கணிதத்திற்கு வழிவகுக்கிறது, மேலும் வளாகங்களில் ஒரு ஹோட்ஜ் கட்டமைப்பின் தொழில்நுட்ப கருத்து (கோஹோமோலஜிக்கு மாறாக) பயன்படுத்தப்படுகிறது. நோக்கங்களின் கோட்பாட்டைப் பயன்படுத்தி, ஒருங்கிணைந்த குணகங்களைக் கொண்ட ஒன்றுக்கு விகிதமுறு குணகங்களுடன் கோஹோமோலஜியில் எடை வடிகட்டலைச் செம்மைப்படுத்த முடியும். எடுத்துக்காட்டுகள் டேட்-ஹாட்ஜ் அமைப்பு என்பது (ஒரு துணைக்குழுவால்) கொடுக்கப்பட்ட அடிப்படை தொகுதியைக் கொண்ட ஹாட்ஜ் கட்டமைப்பாகும், எனவே இது வரையறையின்படி எடை-2 இல் தூய்மையானது மற்றும் இது ஐசோமார்பிசம் வரை எடை-2 இன் தனித்துவமான 1 பரிமாண தூய ஹாட்ஜ் கட்டமைப்பாகும். மேலும் பொதுவாக, அதன் n வது இழுவிசை சக்தி 1 பரிமாண மற்றும் தூய எடை-2n ஆல் குறிக்கப்படுகிறது. ஒரு சிறிய காலர் பன்மடங்கு கோஹோமோலஜி ஒரு ஹாட்ஜ் கட்டமைப்பைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் n வது கோஹோமோலஜி குழு எடை n இல் தூய்மையானது. ஒரு சிக்கலான வகையின் கோஹோமோலஜி (ஒருவேளை ஒருமை அல்லது சரியானதல்ல) ஒரு கலப்பு ஹாட்ஜ் கட்டமைப்பைக் கொண்டுள்ளது. இது மென்மையான வகைகளுக்கு, மற்றும் பொதுவாக மூலம் காட்டப்பட்டது. சாதாரண குறுக்கு ஒற்றுமைகளைக் கொண்ட ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் வகைக்கு சீரழிந்த E2-பக்கத்துடன் ஒரு நிறமாலை வரிசை உள்ளது, இது அதன் அனைத்து கலப்பு ஹாட்ஜ் கட்டமைப்புகளையும் கணக்கிடுகிறது. E1-பக்கம் ஒரு எளிய தொகுப்பிலிருந்து வரும் வேறுபாட்டுடன் வெளிப்படையான சொற்களைக் கொண்டுள்ளது. எந்த மென்மையான வகை X ஒரு சாதாரண குறுக்குவெட்டு வகுத்தியை பூர்த்தி செய்வதன் மூலம் ஒரு மென்மையான சுருக்கத்தை ஏற்றுக்கொள்கிறது. X இன் கோஹோமோலஜியில் கலப்பு ஹாட்ஜ் கட்டமைப்பை வெளிப்படையாக விவரிக்க தொடர்புடைய மடக்கை வடிவங்களைப் பயன்படுத்தலாம். ஒரு மென்மையான ப்ரொஜெக்டிவ் ஹைப்பர்சர்ஃபேஸ் டிகிரிக்கான ஹோட்ஜ் கட்டமைப்பை கிரிஃபித்ஸ் தனது "பீரியட் இன்டெக்ரல்ஸ் ஆஃப் ஆல்ஜீப்ராயிக் மேனிஃபோல்ட்ஸ்" ஆய்வறிக்கையில் வெளிப்படையாக உருவாக்கினார். ஹைப்பர்சர்ஃபேஸை வரையறுக்கும் பல்லுறுப்புக்கோவை என்றால், தரப்படுத்தப்பட்ட ஜாகோபியன் ஈவு வளையத்தின் நடுத்தர கோஹோமோலஜியின் அனைத்து தகவல்களும் உள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக, கொடுக்கப்பட்ட K3 மேற்பரப்பைக் கருத்தில் கொள்ளுங்கள், எனவே மற்றும். பின்னர், தரப்படுத்தப்பட்ட ஜாகோபியன் வளையம் பழமையான கோஹோமோலஜி குழுக்களுக்கான ஐசோமார்பிசம் ஆகும், எனவே 19 பரிமாணமாக பரவியிருக்கும் திசையன் இடைவெளி என்பதைக் கவனியுங்கள். லெஃப்ஷெட்ஸ் வகுப்பால் கொடுக்கப்பட்ட ஒரு கூடுதல் திசையன் உள்ளது. லெஃப்ஷெட்ஸ் ஹைப்பர்பிளேன் தேற்றம் மற்றும் ஹோட்ஜ் டூயலிட்டி ஆகியவற்றிலிருந்து, மீதமுள்ள கோஹோமோலஜி-பரிமாணத்தில் உள்ளது. எனவே ஹோட்ஜ் வைரம் ஒரு டிகிரி பிளேன் வளைவின் இனத்தை சரிபார்க்க முந்தைய ஐசோமார்பிசத்தையும் நாம் பயன்படுத்தலாம். இது ஒரு மென்மையான வளைவு மற்றும் எஹ்ரெஸ்மேன் ஃபைப்ரேஷன் தேற்றம் என்பதால், இனத்தின் ஒவ்வொரு மென்மையான வளைவும் டிஃப்பியோமார்பிக் என்று உத்தரவாதம் அளிக்கிறது, பின்னர் அந்த பேரினம் ஒரே மாதிரியாக உள்ளது. எனவே, ஜாகோபியன் வளையத்தின் தரப்படுத்தப்பட்ட பகுதியுடன் பழமையான கோஹோமோலஜியின் ஐசோமார்பிசத்தைப் பயன்படுத்தி, இது பரிமாணம் விரும்பியபடி இருப்பதைக் குறிக்கிறது. ஒரு முழுமையான குறுக்குவெட்டுக்கான ஹோட்ஜ் எண்களும் எளிதில் கணக்கிடக்கூடியவைஃ ஃபிரெட்ரிக் ஹிர்ஸெப்ரூச் கண்டுபிடித்த ஒரு ஒருங்கிணைந்த சூத்திரம் உள்ளது. பயன்பாடுகள் ஹோட்ஜ் கட்டமைப்பு மற்றும் கலப்பு ஹோட்ஜ் கட்டமைப்பின் கருத்துக்களை அடிப்படையாகக் கொண்ட இயந்திரங்கள் அலெக்ஸாண்டர் கிரோதெண்டிக் முன்வைத்த நோக்கங்களின் இன்னும் பெரும்பாலும் அனுமானக் கோட்பாட்டின் ஒரு பகுதியாகும். அதன் எல்-அடிக் கோஹோமோலஜியில் செயல்படும் ஃப்ரோபீனியஸ் உறுப்புகளின் ஐகென் மதிப்பால் குறியிடப்பட்ட ஒற்றை அல்லாத இயற்கணித வகை X க்கான எண்கணிதத் தகவல்கள், ஒரு சிக்கலான இயற்கணித வகையாகக் கருதப்படும் X இலிருந்து எழும் ஹோட்ஜ் கட்டமைப்புடன் பொதுவான ஒன்றைக் கொண்டுள்ளன. செர்ஜி கெல்ஃபாண்ட் மற்றும் யூரி மேனின் ஆகியோர் 1988 ஆம் ஆண்டில் தங்கள் மெத்தட்ஸ் ஆஃப் ஹோமோலாஜிக்கல் அல்ஜிப்ராவில், மற்ற கோஹோமோலஜி குழுக்களில் செயல்படும் கலோயிஸ் சமச்சீர்மைகளைப் போலல்லாமல், "ஹோட்ஜ் சமச்சீர்மைகளின்" தோற்றம் மிகவும் மர்மமானது, முறைப்படி இருந்தாலும், அவை டி ராம் கோஹோமோலஜியில் மிகவும் சிக்கலற்ற குழுவின் செயல்பாட்டின் மூலம் வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன. அப்போதிருந்து, கண்ணாடி சமச்சீரின் கண்டுபிடிப்பு மற்றும் கணித சூத்திரத்துடன் மர்மம் ஆழமடைந்துள்ளது. ஹோட்ஜ் கட்டமைப்பின் மாறுபாடு ஹோட்ஜ் கட்டமைப்பின் மாறுபாடு (,,) என்பது ஒரு சிக்கலான பன்மடங்கு X ஆல் அளவிடப்படும் ஹோட்ஜ் கட்டமைப்புகளின் குடும்பமாகும். மேலும் துல்லியமாக ஒரு சிக்கலான பன்மடங்கு X இல் உள்ள ஹாட்ஜ் கட்டமைப்பின் மாறுபாடு X இல் இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட அபெலியன் குழுக்களின் உள்ளூரில் நிலையான உறை S ஐக் கொண்டுள்ளது, S OX இல் குறைந்து வரும் ஹாட்ஜ் வடிகட்டுதல் F உடன், பின்வரும் இரண்டு நிபந்தனைகளுக்கு உட்பட்டுஃ வடிகட்டுதல் உறை S இன் ஒவ்வொரு தண்டிலும் n எடையின் ஹாட்ஜ் கட்டமைப்பைத் தூண்டுகிறது (கிரிஃபித்ஸ் டிரான்ஸ்வெர்சாலிட்டி) S OX இல் உள்ள இயற்கையான இணைப்பு இங்கே S OX இல் உள்ள இயற்கையான (தட்டையான) இணைப்பு S இல் உள்ள தட்டையான இணைப்பால் தூண்டப்படுகிறது மற்றும் OX இல் தட்டையான இணைப்பு d, மற்றும் OX என்பது X இல் உள்ள ஹோலோமார்பிக் செயல்பாடுகளின் உறையாகும், மேலும் இது X இல் 1 வடிவங்களின் உறையாகும். இந்த இயற்கையான தட்டையான இணைப்பு காஸ்-மேனின் இணைப்பு ஆகும், இது பிகார்ட்-ஃபுக்ஸ் சமன்பாட்டின் மூலம் விவரிக்கப்படலாம். கலப்பு ஹோட்ஜ் கட்டமைப்பின் மாறுபாட்டை இதேபோல் வரையறுக்கலாம், ஒரு தரப்படுத்தல் அல்லது வடிகட்டுதல் W ஐ எஸ் உடன் சேர்ப்பதன் மூலம். இயற்கணித உருவவியல்களிலிருந்து வழக்கமான எடுத்துக்காட்டுகளைக் காணலாம். எடுத்துக்காட்டாக, 10 ஆம் பேரினத்தின் மென்மையான சமதள வளைவுகளாக இருக்கும் இழைகளைக் கொண்டுள்ளது மற்றும் ஒரு ஒற்றை வளைவாக சீரழிகிறது பின்னர், கோஹோமோலஜி உறைகள் கலப்பு ஹாட்ஜ் கட்டமைப்புகளின் மாறுபாடுகளைத் தருகின்றன. ஹாட்ஜ் தொகுதிகள் என்பது ஒரு சிக்கலான பன்மடங்கு மீது ஹாட்ஜ் கட்டமைப்புகளின் மாறுபாட்டின் பொதுமைப்படுத்தலாகும். அவை முறைசாரா முறையில் ஹாட்ஜ் கட்டமைப்புகளின் உறைகள் போன்ற ஒன்றாகக் கருதப்படலாம்; துல்லியமான வரையறை தொழில்நுட்ப மற்றும் சிக்கலானது. கலப்பு ஹோட்ஜ் தொகுதிகளுக்கு பொதுமைப்படுத்தல்கள் உள்ளன, மேலும் ஒற்றுமைகளுடன் பன்மடங்கு உள்ளன. ஒவ்வொரு மென்மையான சிக்கலான வகையிலும், அதனுடன் தொடர்புடைய கலப்பு ஹோட்ஜ் தொகுதிகளின் அபெலியன் வகை உள்ளது. இவை பன்மடங்கு உறைகளின் மீது உள்ள உறைகளின் வகைகளைப் போலவே முறைப்படி செயல்படுகின்றன; எடுத்துக்காட்டாக, பன்மடங்கு உறைகளுக்கு இடையே உள்ள உருவகங்கள் f என்பது f *, f *, f!, f! ஷீவ்களுக்கானதைப் போன்ற கலப்பு ஹோட்ஜ் தொகுதிகளுக்கு இடையில் (பெறப்பட்ட பிரிவுகள்). கலப்பு ஹோட்ஜ் அமைப்பு ஹோட்ஜ் அனுமானம் ஜாகோபியன் சிறந்த ஹோட்ஜ்-டேட் அமைப்பு, ஹோட்ஜ் கட்டமைப்புகளின் பி-அடிக் அனலாக் ஆகியவற்றைப் பார்க்கவும். குறிப்புகள் அறிமுக குறிப்புகள் (சீஃப் கோஹோமோலஜியைப் பயன்படுத்தி ஹாட்ஜ் எண்களைக் கணக்கிடுவதற்கான கருவிகளைக் கொடுக்கிறது) கலப்பு ஹாட்ஜ் கோட்பாட்டிற்கான ஒரு அப்பாவித்தனமான வழிகாட்டி (எடையுள்ள ஒரே மாதிரியான பல்லுறுப்புக்கோவையின் அஃபைன் மில்னார் ஃபைபரின் கலப்பு ஹாட்ஜ் எண்களுக்கான ஒரு சூத்திரத்தையும் ஜெனரேட்டர்களையும் வழங்குகிறது, மேலும் எடையுள்ள ஒரே மாதிரியான பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் முழுமைகளுக்கான ஒரு சூத்திரத்தையும் வழங்குகிறது. கணக்கெடுப்பு கட்டுரைகள் குறிப்புகள் இது ஒரு சிக்கலான வகையின் ஒத்திசைவில் ஒரு கலப்பு ஹோட்ஜ் கட்டமைப்பை உருவாக்குகிறது. இது ஒரு சிக்கலான வகையின் கோஹோமோலஜியில் ஒரு கலப்பு ஹாட்ஜ் கட்டமைப்பை உருவாக்குகிறது. இது ஒரு சிக்கலான வகையின் கோஹோமோலஜியில் ஒரு கலப்பு ஹாட்ஜ் கட்டமைப்பை உருவாக்குகிறது. . இந்தக் கட்டுரையின் சிறுகுறிப்பு பதிப்பை ஜே. மில்னேவின் முகப்புப்பக்கத்தில் காணலாம். ஹோமோலாஜிக்கல் அல்ஜிப்ரா ஹோட்ஜ் கோட்பாடு பன்மடங்கு கட்டமைப்புகள்