Symmetry operation
குழுக் கோட்பாடு, வடிவியல், பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாடு மற்றும் மூலக்கூறு வடிவியல் ஆகியவற்றில், ஒரு சமச்சீர் செயல்பாடு என்பது ஒரு பொருளின் வடிவியல் மாற்றமாகும், இது மேற்கொள்ளப்பட்ட பிறகு அதே தோற்றத்தை விட்டு விடுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, விண்வெளியில் ஒரு பொருளின் உருமாற்றங்கள், சுழற்சிகள், பிரதிபலிப்புகள் மற்றும் தலைகீழ்கள் அனைத்தும் சமச்சீர் செயல்பாடுகளாகும். இத்தகைய சமச்சீர் செயல்பாடுகள் சமச்சீர் கூறுகளைப் பொறுத்து செய்யப்படுகின்றன (எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு புள்ளி, கோடு அல்லது தளம்). மூலக்கூறு சமச்சீரின் சூழலில், ஒரு சமச்சீர் செயல்பாடு என்பது அணுக்களின் வரிசைமாற்றமாகும், அதாவது மூலக்கூறு அல்லது படிகமானது தொடக்க நிலையில் இருந்து பிரித்தறிய முடியாத ஒரு நிலையாக மாற்றப்படுகிறது. இந்த வரையறையிலிருந்து இரண்டு அடிப்படை உண்மைகள் பின்பற்றப்படுகின்றன, இது அதன் பயனை வலியுறுத்துகிறது. சமச்சீர் செயல்பாடுகளைப் பொறுத்தவரை இயற்பியல் பண்புகள் மாறாமல் இருக்க வேண்டும். சமச்சீர் செயல்பாடுகளை வரிசைமாற்ற குழுக்களுக்கு ஐசோமார்பிக் குழுக்களாக ஒன்றாக சேகரிக்க முடியும். மூலக்கூறு சமச்சீர் சூழலில், குவாண்டம் அலை செயல்பாடுகள் மாறாததாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை, ஏனென்றால் செயல்பாடு அவற்றை ஒரு கட்டத்தால் பெருக்கலாம் அல்லது சீரழிந்த பிரதிநிதித்துவத்திற்குள் எந்த இயற்பியல் பண்பையும் பாதிக்காமல் கலவைகளை கலக்கலாம். மூலக்கூறுகள் அடையாளச் செயல்பாடு அடையாளச் செயல்பாடு என்பது பொருளுக்கு ஒன்றும் செய்யாமல் இருப்பதைக் குறிக்கிறது. ஏனெனில் ஒவ்வொரு மூலக்கூறுக்கும் எதுவும் செய்யாவிட்டால் அதிலிருந்து பிரித்தறிய முடியாதது, ஒவ்வொரு பொருளும் குறைந்தபட்சம் அடையாள செயல்பாட்டைக் கொண்டுள்ளது. அடையாள செயல்பாடு அல்லது மூலம் குறிக்கப்படுகிறது. அடையாள செயல்பாட்டில், மூலக்கூறுக்கு எந்த மாற்றமும் காணப்படவில்லை. மிகவும் சமச்சீரற்ற மூலக்கூறு கூட அடையாள செயல்பாட்டைக் கொண்டுள்ளது. அத்தகைய அடையாளச் செயல்பாட்டின் தேவை குழுக் கோட்பாட்டின் கணிதத் தேவைகளிலிருந்து எழுகிறது. கண்ணாடித் தளங்கள் மூலம் பிரதிபலிப்பு சமச்சீர் தளங்கள் அல்லது கண்ணாடி தளங்கள் எனப்படும் சமச்சீர் கூறுகளைப் பொறுத்து பிரதிபலிப்பு செயல்பாடு மேற்கொள்ளப்படுகிறது. அத்தகைய ஒவ்வொரு தளமும் (சிக்மா) என குறிக்கப்படுகிறது. மூலக்கூறின் முதன்மை அச்சுடன் தொடர்புடைய அதன் நோக்குநிலை ஒரு சப்ஸ்கிரிப்ட் மூலம் குறிக்கப்படுகிறது. தளம் மூலக்கூறு வழியாக செல்ல வேண்டும் மற்றும் அதற்கு முற்றிலும் வெளியே இருக்க முடியாது. சமச்சீர் தளம் மூலக்கூறின் முதன்மை அச்சைக் கொண்டிருந்தால் (அதாவது, மூலக்கூறு-அச்சு), அது ஒரு செங்குத்து கண்ணாடி தளமாக குறிப்பிடப்படுகிறது, இது ஒரு சப்ஸ்கிரிப்ட் () ஆல் குறிக்கப்படுகிறது. சமச்சீர் தளம் முதன்மை அச்சுக்கு செங்குத்தாக இருந்தால், அது ஒரு கிடைமட்ட கண்ணாடி தளமாக குறிப்பிடப்படுகிறது, இது ஒரு சப்ஸ்கிரிப்ட் () ஆல் குறிக்கப்படுகிறது. சமச்சீர் தளம் முதன்மை அச்சுக்கு செங்குத்தாக இரண்டு 2 மடங்கு அச்சுகளுக்கு இடையிலான கோணத்தை இரண்டாகப் பிரித்தால், அது ஒரு டைஹெட்ரல் கண்ணாடி தளமாக குறிப்பிடப்படுகிறது, இது ஒரு சப்ஸ்கிரிப்ட் () ஆல் குறிக்கப்படுகிறது. ஒவ்வொரு கண்ணாடி தளத்தின் பிரதிபலிப்பின் மூலம், மூலக்கூறு தன்னைப் பற்றிய ஒரே மாதிரியான படத்தை உருவாக்க முடியும். தலைகீழ் செயல்பாடு சமச்சீர் மையத்தின் (உறுப்பு) மூலம் ஒரு தலைகீழாக, ஒரு மூலக்கூறில் உள்ள ஒவ்வொரு புள்ளியையும் எடுத்து, பின்னர் அதை மறுபுறம் அதே தூரத்திற்கு நகர்த்துவதை நாம் கற்பனை செய்கிறோம். சுருக்கமாக, தலைகீழ் செயல்பாடு ஒவ்வொரு அணுவையும் தலைகீழ் மையத்தின் வழியாகவும், எதிர் பக்கத்தில் அதே தூரத்திற்கு வெளியேயும் செலுத்துகிறது. தலைகீழ் மையம் என்பது மூலக்கூறின் வடிவியல் மையத்தில் அமைந்துள்ள ஒரு புள்ளியாகும். இதன் விளைவாக, அணுக்களின் அனைத்து கார்ட்டீசியன் ஆயத்தொலைவுகளும் தலைகீழாக உள்ளன (அதாவது. க்கு). தலைகீழ் மையத்தைக் குறிக்கப் பயன்படுத்தப்படும் சின்னம். தலைகீழ் செயல்பாடு நேரங்கள் மேற்கொள்ளப்படும்போது, அது குறிக்கப்படுகிறது, எங்கே சமம், எப்போது ஒற்றைப்படை. ஒரு தலைகீழ் மையத்தைக் கொண்ட மூலக்கூறுகளின் எடுத்துக்காட்டுகளில் எண்முக வடிவியல் (பொது சூத்திரம்), சதுர சமதள வடிவியல் (பொது சூத்திரம்) மற்றும் எத்திலீன் () கொண்ட சில மூலக்கூறுகள் அடங்கும். தலைகீழ் மையங்கள் இல்லாத மூலக்கூறுகளுக்கு எடுத்துக்காட்டுகள் சைக்ளோபென்டாடியனைடு () மற்றும் முக்கோண பிரமிடல் வடிவியல் (பொதுவான சூத்திரம்) கொண்ட மூலக்கூறுகள் ஆகும். முறையான சுழற்சி செயல்பாடுகள் அல்லது n-மடிப்பு சுழற்சி ஒரு சரியான சுழற்சி என்பது ஒரு அச்சில் எளிய சுழற்சியைக் குறிக்கிறது. இத்தகைய செயல்பாடுகள் சுழற்சி அல்லது நிகழ்த்தப்பட்ட நேரங்களின் மூலம் குறிக்கப்படுகின்றன. சூப்பர்ஸ்கிரிப்ட் ஒன்றுக்கு சமமாக இருந்தால் அது தவிர்க்கப்படும். 360 டிகிரி வழியாக ஒரு சுழற்சி, எங்கே. இது Identity () செயல்பாட்டிற்கு சமம். இது 180 டிகிரி சுழற்சியாகும், அதே போல் 120 டிகிரி சுழற்சியும் ஆகும். இங்கே மூலக்கூறை ஒரு அச்சைச் சுற்றி சமமான நிலைகளாக சுழற்றலாம். சமச்சீர் கொண்ட மூலக்கூறுக்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு நீர் () மூலக்கூறு ஆகும். ஆக்ஸிஜன் அணுவின் வழியாகச் செல்லும் ஒரு அச்சில் மூலக்கூறு 180 டிகிரி சுழற்றப்பட்டால், அறுவை சிகிச்சைக்கு முன்னும் பின்னும் கண்டறியக்கூடிய வேறுபாடு எதுவும் காணப்படவில்லை. ஒரு அச்சின் வரிசையை பல முறை கருதலாம், அதற்கு சமமான உள்ளமைவைக் கொடுக்கும் குறைந்தபட்ச சுழற்சிக்கு, அசல் கட்டமைப்பைப் போன்ற ஒரு உள்ளமைவைக் கொடுக்க அந்த சுழற்சி மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்பட வேண்டும் (அதாவது. 360 டிகிரி அல்லது 2 சுழற்சி). இதற்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு முறையான சுழற்சி ஆகும், இது சுழற்சியின் மூலம் அச்சைச் சுற்றியுள்ள முதல் சுழற்சியைக் குறிக்கிறது, அதே நேரத்தில் சுழற்சி என்பது ஒரே மாதிரியான உள்ளமைவாகும், ஏனெனில் இது அசல் கட்டமைப்பைக் கொடுக்கிறது, மேலும் இது ஒரு அடையாள உறுப்பு () என்று அழைக்கப்படுகிறது. எனவே, இது மூன்றின் வரிசையாகும், மேலும் இது பெரும்பாலும் மூன்று மடங்கு அச்சு என்று குறிப்பிடப்படுகிறது. முறையற்ற சுழற்சி செயல்பாடுகள் ஒரு முறையற்ற சுழற்சி இரண்டு செயல்பாட்டு படிகளை உள்ளடக்கியதுஃ சரியான சுழற்சியைத் தொடர்ந்து சுழற்சி அச்சுக்கு செங்குத்தாக ஒரு தளத்தின் வழியாக பிரதிபலிப்பு. முறையற்ற சுழற்சி என்பது வரிசை எங்கே என்ற குறியீட்டால் குறிக்கப்படுகிறது. முறையற்ற சுழற்சி என்பது சரியான சுழற்சி மற்றும் பிரதிபலிப்பின் கலவையாகும் என்பதால், ஒரு செங்குத்தான தளம் தனித்தனியாக இருக்கும்போதெல்லாம் எப்போதும் இருக்கும். இது பொதுவாக ஒரு கண்ணாடி தளத்தைப் பற்றிய பிரதிபலிப்பு செயல்பாடு என்று குறிக்கப்படுகிறது. பொதுவாக ஒரு தலைகீழ் மையத்தைப் பற்றிய தலைகீழ் செயல்பாடு என்று குறிக்கப்படுகிறது. ஒரு இரட்டை எண் எப்போது ஆனால் ஒற்றைப்படை சுழற்சி அச்சுகள் எப்போது, கண்ணாடி தளங்கள் மற்றும் தலைகீழ் மையங்கள் சமச்சீர் கூறுகள், சமச்சீர் செயல்பாடுகள் அல்ல. மிக உயர்ந்த வரிசையின் சுழற்சி அச்சு முதன்மை சுழற்சி அச்சு என்று அழைக்கப்படுகிறது. மூலக்கூறின் கார்ட்டீசியன்-அச்சை முதன்மை சுழற்சி அச்சைக் கொண்டிருக்க அமைப்பது வழக்கமாக உள்ளது. எடுத்துக்காட்டுகள் டைகுளோரோமீத்தேன்,. இரண்டு ஹைட்ரஜன் அணுக்களுக்கும் இரண்டு குளோரின் அணுக்களுக்கும் இடையிலான கார்பன் அணு மற்றும் நடுப்புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் ஒரு சுழற்சி அச்சு உள்ளது. z அச்சை அச்சுடன் இணை-நேரியல் என்றும், தளம் கொண்டதாகவும், தளம் கொண்டதாகவும் வரையறுக்கவும். ஒரு சுழற்சி செயல்பாடு இரண்டு ஹைட்ரஜன் அணுக்களையும் இரண்டு குளோரின் அணுக்களையும் ஊடுருவிச் செல்கிறது. தளத்தில் உள்ள பிரதிபலிப்பு ஹைட்ரஜன் அணுக்களை ஊடுருவிச் செல்கிறது, அதே நேரத்தில் தளத்தில் உள்ள பிரதிபலிப்பு குளோரின் அணுக்களை ஊடுருவிச் செல்கிறது. நான்கு சமச்சீர் செயல்பாடுகள், மற்றும் புள்ளி குழுவை உருவாக்குகின்றன. ஏதேனும் இரண்டு செயல்பாடுகள் தொடர்ச்சியாக மேற்கொள்ளப்பட்டால், குழுவின் ஒரு செயல்பாடு நிகழ்த்தப்பட்டதைப் போலவே விளைவு இருக்கும் என்பதை நினைவில் கொள்க. மீத்தேன்,. வரிசை 2 மற்றும் 3 இன் சரியான சுழற்சிகளுக்கு கூடுதலாக, சி-எச் பிணைப்புகளுக்கும் ஆறு கண்ணாடி தளங்களுக்கும் இடையில் பாதி வழியில் செல்லும் மூன்று பரஸ்பர செங்குத்தான அச்சுகள் உள்ளன. படிகங்களில் உள்ள படிகங்கள், திருகு சுழற்சிகள் மற்றும்/அல்லது கிளைடு பிரதிபலிப்புகள் கூடுதலாக சாத்தியமாகும் என்பதை நினைவில் கொள்க. இவை பகுதியளவு மொழிபெயர்ப்புடன் சுழற்சிகள் அல்லது பிரதிபலிப்புகள் ஆகும். படிக ஜல்லின் பரிமாணங்களின் அடிப்படையில் இந்த செயல்பாடுகள் மாறக்கூடும். பிரவைஸ் லட்டிஸ்கள் மொழிபெயர்ப்பு சமச்சீர் செயல்பாடுகளைக் குறிக்கும் என்று கருதப்படலாம். படிகவியல் புள்ளி குழுக்களின் செயல்பாடுகளின் சேர்க்கைகள் கூட்டல் சமச்சீர் செயல்பாடுகளுடன் 230 படிகவியல் விண்வெளி குழுக்களை உருவாக்குகின்றன. மூலக்கூறு சமச்சீர் படிக அமைப்பு படிகவியல் கட்டுப்பாட்டு தேற்றம் குறிப்புகள் எஃப். ஏ. ஐயும் பார்க்கவும். குழு கோட்பாட்டின் பருத்தி வேதியியல் பயன்பாடுகள், வில்லி, 1962,1971 இயற்பியல் வேதியியல் சமச்சீர்