Essential extension
கணிதத்தில், குறிப்பாக தொகுதிக் கோட்பாடு, ஒரு வளையம் R மற்றும் ஒரு துணை தொகுதி N உடன் ஒரு R-தொகுதி M கொடுக்கப்பட்டால், தொகுதி M என்பது N இன் அத்தியாவசிய நீட்டிப்பு என்று கூறப்படுகிறது (அல்லது N ஒரு அத்தியாவசிய துணை தொகுதி அல்லது M இன் பெரிய துணை தொகுதி என்று கூறப்படுகிறது) M இன் ஒவ்வொரு துணை தொகுதி H க்கும், ஒரு சிறப்பு நிகழ்வாக, R இன் அத்தியாவசிய இடது இலட்சியம் ஒரு இடது இலட்சியமாகும், இது இடது தொகுதி ஆர். ஆரின் துணை தொகுதியாக அவசியம். இடது இலட்சியம் R இன் பூஜ்ஜியமற்ற இடது இலட்சியத்துடன் பூஜ்ஜியமற்ற குறுக்குவெட்டைக் கொண்டுள்ளது. இதேபோல், ஒரு அத்தியாவசிய வலது இலட்சியம் வலது ஆர் தொகுதி ஆர். ஆரின் அத்தியாவசிய துணை தொகுதியாகும். அத்தியாவசிய நீட்டிப்புகளுக்கான வழக்கமான குறியீடுகளில் பின்வரும் இரண்டு வெளிப்பாடுகள் அடங்கும்ஃ, மற்றும் ஒரு அத்தியாவசிய துணை தொகுதியின் இரட்டைக் கருத்து மிதமிஞ்சிய துணை தொகுதியின் (அல்லது சிறிய துணை தொகுதி) கருத்தாகும். வேறு எந்த துணை தொகுதிக்கும் H என்றால், ஒரு துணை தொகுதி N மிதமிஞ்சியதாக இருக்கும். தேவையற்ற துணை தொகுதிகளுக்கான வழக்கமான குறியீடுகளில் பின்வருவன அடங்கும்ஃ, மற்றும் பண்புகள் மேலே அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட குறியீட்டில் கொடுக்கப்பட்டுள்ள அத்தியாவசிய நீட்டிப்புகளின் சில அடிப்படை பண்புகள் இங்கே உள்ளன. M ஒரு தொகுதியாகவும், K, N மற்றும் H ஆகியவை K N உடன் M இன் துணை தொகுதிகளாகவும் இருக்கட்டும், M என்பது M இன் அத்தியாவசிய துணை தொகுதியாகும், மேலும் பூஜ்ஜியமற்ற தொகுதியின் பூஜ்ஜிய துணை தொகுதி ஒருபோதும் அவசியமில்லை. சோர்னின் லெம்மாவைப் பயன்படுத்தினால் மட்டுமே மற்றொரு பயனுள்ள உண்மையை நிரூபிக்க முடியும்ஃ M இன் எந்த துணை தொகுதி N க்கும், ஒரு துணை தொகுதி C உள்ளது. மேலும், முறையான அத்தியாவசிய நீட்டிப்பு இல்லாத ஒரு தொகுதி (அதாவது, மற்றொரு தொகுதியில் தொகுதி அவசியம் என்றால், அது அந்த தொகுதிக்கு சமம்) ஒரு ஊசி தொகுதி ஆகும். ஒவ்வொரு தொகுதி எம் ஒரு அதிகபட்ச அத்தியாவசிய நீட்டிப்பு E (M) ஐக் கொண்டுள்ளது என்பதை நிரூபிக்க முடியும், இது எம் இன் உட்செலுத்தும் ஹல் என்று அழைக்கப்படுகிறது. உட்செலுத்தும் ஹல் அவசியம் ஒரு உட்செலுத்தும் தொகுதி, மற்றும் ஐசோமார்பிசம் வரை தனித்துவமானது. எம் கொண்ட வேறு எந்த ஊசி தொகுதியும் ஈ (எம்) இன் நகலைக் கொண்டுள்ளது என்ற பொருளில் ஊசி மேலோடு குறைவாக உள்ளது. பல பண்புகள் மிதமிஞ்சிய துணை தொகுதிகளாக இரு மடங்காக மாறுகின்றன, ஆனால் அனைத்தும் அல்ல. மீண்டும் M ஒரு தொகுதியாகவும், K, N மற்றும் H ஆகியவை K N உடன் M இன் துணை தொகுதிகளாகவும் இருக்கட்டும். பூஜ்ஜிய துணை தொகுதி எப்போதும் மிதமிஞ்சியதாக இருக்கும், மேலும் பூஜ்ஜியமற்ற தொகுதி M ஒருபோதும் மிதமிஞ்சியதாக இருக்காது. இருந்தால் மட்டுமே, இருந்தால் மட்டுமே மற்றும் இருந்தால் மட்டுமே. ஒவ்வொரு தொகுதியையும் ஒரு மோனோமார்பிசம் மூலம் வரைபடமாக்க முடியும் என்பதால், அதன் படம் ஒரு உட்செலுத்தும் தொகுதியில் (அதன் உட்செலுத்தும் ஹல்) அவசியம், இரட்டை அறிக்கை உண்மையா என்று ஒருவர் கேட்கலாம், அதாவது. ஒவ்வொரு தொகுதி எம் க்கும், ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் தொகுதி பி மற்றும் பி முதல் எம் வரை ஒரு எபிமார்பிசம் உள்ளதா, அதன் கர்னல் மிதமிஞ்சியதாக இருக்கிறதா? (அத்தகைய பி ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் கவர் என்று அழைக்கப்படுகிறது). பதில் பொதுவாக "இல்லை", மற்றும் வலது தொகுதிகள் அனைத்தும் ப்ரொஜெக்டிவ் அட்டைகளைக் கொண்ட சிறப்பு வகை வளையங்கள் சரியான சரியான வளையங்களின் வகுப்பாகும். நகயாமாவின் லெம்மாவின் ஒரு வடிவம் என்னவென்றால், J (R) M என்பது M இன் மிதமிஞ்சிய துணை தொகுதியாகும், M என்பது R ஐ விட இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட தொகுதியாகும். பொதுமைப்படுத்தல் இந்த வரையறையை ஒரு தன்னிச்சையான அபெலியன் வகை C க்கு பொதுமைப்படுத்தலாம். ஒரு அத்தியாவசிய நீட்டிப்பு என்பது ஒரு மோனோமார்பிசம் ஆகும், அதாவது பூஜ்ஜியமற்ற ஒவ்வொரு துணைப் பொருளுக்கும் s: N → E, ஃபைபர் தயாரிப்பு N × E M ≤ 0. ஒரு பொதுவான பிரிவில், ஒரு உருவகப்படுத்துதல் f: X → Y ஒரு உருவகப்படுத்துதல் g: Y → Z ஒரு உருவகப்படுத்துதல் என்றால், g ° f ஒரு உருவகப்படுத்துதல் என்றால் மட்டுமே அவசியம். g ஐ Y இன் அடையாள உருவகமாக எடுத்துக்கொள்வது ஒரு அத்தியாவசிய உருவகம் f ஒரு மோனோமார்பிசமாக இருக்க வேண்டும் என்பதைக் காட்டுகிறது. X ஒரு ஊசி ஹல் Y ஐக் கொண்டிருந்தால், Y என்பது X இன் மிகப்பெரிய அத்தியாவசிய நீட்டிப்பாகும். ஆனால் மிகப்பெரிய அத்தியாவசிய நீட்டிப்பு ஒரு ஊசி மேலோட்டமாக இருக்காது. உண்மையில், டி 1 இடைவெளிகள் மற்றும் தொடர்ச்சியான வரைபடங்களின் பிரிவில், ஒவ்வொரு பொருளும் ஒரு தனித்துவமான மிகப்பெரிய அத்தியாவசிய நீட்டிப்பைக் கொண்டுள்ளது, ஆனால் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட உறுப்புகளுடன் எந்த இடமும் ஒரு ஊசி மேலோட்டத்தைக் கொண்டிருக்கவில்லை. மேலும் காண்க அடர்த்தியான துணை தொகுதிகள் ஒரு சிறப்பு வகை அத்தியாவசிய துணை தொகுதிகள் குறிப்புகள் டேவிட் ஐசென்பட், இயற்கணித வடிவியல் பிரிவு III.2 பரிமாற்ற இயற்கணித தொகுதி கோட்பாட்டை நோக்கிய பார்வையுடன் பரிமாற்ற இயற்கணிதம்