Spacetime algebra
கணித இயற்பியலில், விண்வெளி நேர இயற்கணிதம் (எஸ். டி. ஏ) என்பது கிளிஃபோர்ட் இயற்கணிதம் சிஎல் 1,3 (ஆர்) அல்லது அதற்கு சமமான வடிவியல் இயற்கணிதம். டேவிட் ஹெஸ்டென்ஸின் கூற்றுப்படி, விண்வெளி நேர இயற்கணிதம் குறிப்பாக சிறப்பு சார்பியல் மற்றும் சார்பியல் விண்வெளி நேரத்தின் வடிவவியலுடன் நெருக்கமாக தொடர்புடையதாக இருக்கலாம். இது திசையன்கள் மட்டுமல்லாமல், பைவெக்டர்கள் (பகுதிகள் அல்லது சுழற்சிகள் போன்ற குறிப்பிட்ட தளங்களுடன் தொடர்புடைய இயக்க அளவுகள்) அல்லது கத்திகள் (குறிப்பிட்ட ஹைப்பர்-தொகுதிகளுடன் தொடர்புடைய அளவுகள்) இணைக்கப்படுவதற்கும், சுழற்றுவதற்கும், பிரதிபலிப்பதற்கும் அல்லது லோரெண்ட்ஸ் உயர்த்துவதற்கும் அனுமதிக்கும் ஒரு திசையன் இடமாகும். இது சிறப்பு சார்பியலில் சுழல்களின் இயற்கையான தாய் இயற்கணிதமாகும். இந்த பண்புகள் இயற்பியலில் மிக முக்கியமான சமன்பாடுகளை குறிப்பாக எளிய வடிவங்களில் வெளிப்படுத்த அனுமதிக்கின்றன, மேலும் அவற்றின் அர்த்தங்களைப் பற்றிய அதிக வடிவியல் புரிதலுக்கு மிகவும் உதவியாக இருக்கும். கட்டமைப்பு இடநேர இயற்கணிதம் ஒரு நேரம் போன்ற திசையன் மற்றும் மூன்று இடம் போன்ற திசையன்களின் ஆர்த்தோகனல் அடிப்படையிலிருந்து கட்டமைக்கப்படலாம், பெருக்க விதியுடன் கையொப்பத்துடன் மின்காவ்ஸ்கி மெட்ரிக் உள்ளது. எனவே,, இல்லையெனில். அடிப்படை திசையன்கள் இந்த பண்புகளை டைராக் மேட்ரிக்ஸுடன் பகிர்ந்து கொள்கின்றன, ஆனால் STA இல் வெளிப்படையான மேட்ரிக்ஸ் பிரதிநிதித்துவம் பயன்படுத்தப்பட வேண்டியதில்லை. இது ஒரு ஸ்கேலார், நான்கு திசையன்கள், ஆறு பைவெக்டர்கள், நான்கு சூடோவெக்டர்கள் மற்றும் ஒரு சூடோஸ்கேலார் ஆகியவற்றின் அடிப்படையை உருவாக்குகிறது. இடநேர இயற்கணிதத்தில் ஒரு அற்பமான துணை இயற்கணிதமும் உள்ளது, இதில் சமமான தர உறுப்புகள் மட்டுமே உள்ளன, அதாவது. ஸ்கேலர்கள், பைவெக்டர்கள் மற்றும் சூடோஸ்கேலர்கள். சமமான துணை இயற்கணிதத்தில், அளவீடுகள் மற்றும் சூடோஸ்கேலர்கள் இரண்டும் அனைத்து உறுப்புகளுடனும் பயணிக்கின்றன, மேலும் சிக்கலான எண்களைப் போல செயல்படுகின்றன. இருப்பினும், சமச்சீர் மாற்றங்களின் கீழ், திசையன்கள் மற்றும் சூடோவெக்டர்கள் நிராகரிக்கப்படுகின்றன என்ற உண்மையுடன் தொடர்புடைய இடநேர இயற்கணிதத்தின் அனைத்து ஒற்றைப்படை-தர கூறுகளுடன் கூடிய சூடோஸ்கேலார் ஆன்டிகம்மியூட்டுகள். ஆர்த்தோகனல் அடிப்படையுடன் தொடர்புடைய ரெசிப்ரோக்கல் பிரேம் என்பது பரஸ்பர அடிப்படையாகும், இது உறவை திருப்திப்படுத்துகிறது இந்த ரெசிப்ரோக்கல் பிரேம் திசையன்கள் ஒரு அடையாளத்தால் மட்டுமே வேறுபடுகின்றன, உடன், மற்றும். ஐன்ஸ்டீன் குறியீட்டின்படி, ஒரு திசையன் மேல் அல்லது கீழ் குறியீட்டு ஆயத்தொகுதிகளில் சுருக்கத்துடன் குறிப்பிடப்படலாம், அங்கு ஆயத்தொகுதிகள் அடிப்படை திசையன்கள் அல்லது அவற்றின் பரஸ்பரங்களுடன் புள்ளி தயாரிப்புகளை எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம் பிரித்தெடுக்கப்படலாம். டென்சர் கால்குலஸைப் போலவே, குறியீட்டு நிலையின் மாற்றத்தை மெட்ரிக் மற்றும் குறியீட்டு ஜிம்னாஸ்டிக்ஸின் பயன்பாட்டைப் பயன்படுத்தி அடைய முடியும்ஃ மல்டிவெக்டர் பிரிவு விண்வெளி நேர இயற்கணிதம் ஒரு பிரிவு இயற்கணிதம் அல்ல, ஏனெனில் இது தனித்துவமான கூறுகள் மற்றும் பூஜ்ஜியமற்ற பூஜ்ஜிய வகுத்திகளைக் கொண்டுள்ளதுஃ இத்தகைய ப்ரொஜெக்டர்களுக்கான ஒளி-கூம்பு மற்றும் ஆர்த்தோகொனாலிட்டி உறவுகளில் முறையே ப்ரொஜெக்டர்களாக இவை விளக்கப்படலாம். ஆனால் சில சந்தர்ப்பங்களில் ஒரு மல்டிவெக்டர் அளவை மற்றொன்றால் வகுத்து, முடிவைப் புரிந்துகொள்ள முடியும்ஃ எனவே, எடுத்துக்காட்டாக, அதே தளத்தில் ஒரு திசையனால் வகுக்கப்பட்ட ஒரு திசைப்பகுதி மற்றொரு திசையனை வழங்குகிறது, இது முதல் திசையனுக்கு ஆர்த்தோகனல் ஆகும். இடநேர சாய்வு ஒரு யூக்ளிடியன் இடத்தில் உள்ள சாய்வு போன்ற இடநேர சாய்வு, திசை வழித்தோன்றல் உறவை திருப்திப்படுத்தும் வகையில் வரையறுக்கப்படுகிறதுஃ இதற்கு சாய்வின் வரையறை வெளிப்படையாக எழுதப்பட வேண்டும், இந்த பாகங்கள் இடநேரப் பிளவு இடநேர இயற்கணிதத்தில், ஒரு இடநேரப் பிளவு என்பது நான்கு பரிமாண இடத்திலிருந்து (3 + 1) பரிமாண இடைவெளியில் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட குறிப்பு சட்டகத்தில் பின்வரும் இரண்டு செயல்பாடுகளின் மூலம் ஒரு திட்டமாகும்ஃ தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட நேர அச்சின் சரிவு, பைவெக்டர்களால் பரப்பப்பட்ட 3D இடத்தை வழங்குகிறது, இது இயற்பியல் இடத்தின் இயற்கணிதத்தில் நிலையான 3D அடிப்படை திசையன்களுக்கு சமம் மற்றும் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட நேர அச்சில் 4D இடத்தின் திட்டத்திற்கு சமம், 1D இடத்தை வழங்குகிறது. இது நேரத்தைப் போன்ற அடிப்படை திசையன் மூலம் முன் அல்லது பிந்தைய பெருக்கத்தின் மூலம் அடையப்படுகிறது, இது ஒரு நான்கு திசையனை ஒரு அளவிடக்கூடிய நேரத்தைப் போலவும், இருவெறி இடத்தைப் போன்ற கூறாகவும் பிரிக்க உதவுகிறது, குறிப்பு சட்டகத்துடன் இணைந்து நகர்கிறது. இந்த பைவெக்டர்கள் ஒற்றுமைக்கு சதுரமாக இருப்பதால், அவை ஒரு இடஞ்சார்ந்த அடிப்படையாக செயல்படுகின்றன. பாலி மேட்ரிக்ஸ் குறியீட்டைப் பயன்படுத்தி, இவை எழுதப்படுகின்றன. STA இல் உள்ள இடஞ்சார்ந்த திசையன்கள் தடித்த முகப்பில் குறிக்கப்படுகின்றன; பின்னர் மற்றும்,-இடநேர பிளவு மற்றும் அதன் தலைகீழ் பின்வருமாறுஃ இருப்பினும், மேலே உள்ள சூத்திரங்கள் கையொப்பத்துடன் (+--) மின்காவ்ஸ்கி அளவீட்டில் மட்டுமே செயல்படுகின்றன. இரு கையொப்பங்களிலும் வேலை செய்யும் இடநேர பிரிவின் வடிவங்களுக்கு, எந்த மற்றும் பயன்படுத்தப்பட வேண்டும் என்பதற்கான மாற்று வரையறைகள். லோரெண்ட்ஸ் உருமாற்றங்கள் வடிவியல் இயற்கணிதத்தில் ஒரு திசையனை சுழற்ற, பின்வரும் சூத்திரம் பயன்படுத்தப்படுகிறதுஃ, சுழற்ற வேண்டிய கோணம் எங்கே, மற்றும் சுழற்சியின் தளத்தைக் குறிக்கும் இயல்பாக்கப்பட்ட பைவெக்டர் ஆகும். கொடுக்கப்பட்ட ஸ்பேசெலிக் பைவெக்டருக்கு, எனவே யூலரின் சூத்திரம் பொருந்தும், இது சுழற்சியைக் கொடுக்கிறது. கொடுக்கப்பட்ட டைமெலிக் பைவெக்டருக்கு, எனவே ஒரு "நேரத்தின் மூலம் சுழற்சி" பிளவு-சிக்கலான எண்களுக்கான ஒத்த சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்துகிறதுஃ இந்த சமன்பாட்டை விளக்கினால், நேர திசையில் இந்த சுழற்சிகள் வெறுமனே ஹைபர்போலிக் சுழற்சிகள் என்பதைக் காண்பது எளிது. இவை சிறப்பு சார்பியலில் லோரெண்ட்ஸ் ஊக்கத்திற்கு சமமானவை. இந்த இரண்டு உருமாற்றங்களும் லோரெண்ட்ஸ் உருமாற்றங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, மேலும் அவை அனைத்தின் ஒருங்கிணைந்த தொகுப்பு லோரெண்ட்ஸ் குழு ஆகும். எஸ். டி. ஏ. வில் உள்ள ஒரு பொருளை எந்தவொரு அடிப்படையிலிருந்தும் (ஒரு குறிப்பு சட்டகத்துடன் தொடர்புடையது) இன்னொரு இடத்திற்கு மாற்ற, இந்த மாற்றங்களில் ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்டவை பயன்படுத்தப்பட வேண்டும். பாரம்பரிய மின்காந்தவியல் ஃபாரடே பைவெக்டர் எஸ். டி. ஏ. வில், மின்சார புலம் மற்றும் காந்தப்புலத்தை ஃபாரடே பைவெக்டர் என்று அழைக்கப்படும் ஒற்றை பைவெக்டர் புலமாக ஒருங்கிணைக்க முடியும், இது ஃபாரடே டென்சருக்கு சமம். இது வழக்கமான மின்சார மற்றும் காந்தப்புலங்கள் எங்கே மற்றும் எங்கே என்று வரையறுக்கப்படுகிறது, மேலும் இது எஸ். டி. ஏ சூடோஸ்கேலார் ஆகும். மாற்றாக, கூறுகளின் அடிப்படையில் விரிவாக்கம், தனித்தனி மற்றும் புலங்கள் பயன்படுத்துவதிலிருந்து மீட்டெடுக்கப்படுகின்றன என்று வரையறுக்கப்படுகிறது இந்த சொல் கொடுக்கப்பட்ட குறிப்பு சட்டகத்தைக் குறிக்கிறது, எனவே, வெவ்வேறு குறிப்பு சட்டகங்களைப் பயன்படுத்துவது நிலையான சிறப்பு சார்பியலைப் போலவே வெளிப்படையாக வெவ்வேறு உறவினர் புலங்களை ஏற்படுத்தும். ஃபாரடே பைவெக்டர் சார்பியல் ரீதியாக மாறாதது என்பதால், அதன் சதுரத்தில் மேலும் தகவல்களைக் காணலாம், இது இரண்டு புதிய லோரெண்ட்ஸ்-மாறுபட்ட அளவுகள், ஒரு அளவிடுதல் மற்றும் ஒரு சூடோஸ்கேலரைக் கொடுக்கிறதுஃ அளவிடுதல் பகுதி மின்காந்த புலத்திற்கான லாக்ராஞ்சியன் அடர்த்தியுடன் ஒத்திருக்கிறது, மேலும் சூடோஸ்கேலர் பகுதி குறைவாக அடிக்கடி காணப்படும் லோரெண்ட்ஸ் மாறாதது. மேக்ஸ்வெல்லின் சமன்பாடு மேக்ஸ்வெல்லின் சமன்பாடுகளை நிலையான திசையன் கால்குலஸ் மூலம் செய்யக்கூடியதை விட எளிமையான வடிவத்தில், இடநேர இயற்கணிதத்தைப் பயன்படுத்தி வடிவமைக்க முடியும். இதேபோல் மேலே உள்ள புலம் பைவெக்டருக்கு, மின்சார சார்ஜ் அடர்த்தி மற்றும் மின்னோட்ட அடர்த்தி ஒரு ஒற்றை விண்வெளி நேர திசையனாக ஒருங்கிணைக்கப்படலாம், இது நான்கு-திசையனுக்கு சமம். எனவே, விண்வெளி நேர மின்னோட்டம் கூறுகள் பாரம்பரிய முப்பரிமாண மின்னோட்ட அடர்த்தியின் கூறுகளாக இருக்கும் இடத்தால் வழங்கப்படுகிறது. இந்த அளவுகளை இந்த வழியில் இணைக்கும்போது, கிளாசிக்கல் சார்ஜ் அடர்த்தி என்பது நேரத்தைப் போன்ற திசையில் பயணிக்கும் மின்னோட்டத்தைத் தவிர வேறில்லை என்பதை இது குறிப்பாக தெளிவுபடுத்துகிறது. முன்பு வரையறுக்கப்பட்டபடி மின்காந்த புலம் மற்றும் மின்னோட்ட அடர்த்தியை விண்வெளி நேர சாய்வுடன் இணைத்து, மேக்ஸ்வெல்லின் நான்கு சமன்பாடுகளையும் விண்வெளி நேர இயற்கணிதத்தில் ஒரே சமன்பாடாக இணைக்கலாம். இந்த அளவுகள் அனைத்தும் விண்வெளி நேர இயற்கணிதத்தில் உள்ள கோவேறியன்ட் பொருள்கள் என்ற உண்மை தானாகவே சமன்பாட்டின் லோரெண்ட்ஸ் கோவேறியன்ஸுக்கு உத்தரவாதம் அளிக்கிறது, இது நான்கு தனித்தனி சமன்பாடுகளாகப் பிரிக்கப்படுவதை விட மிகவும் எளிதானது. இந்த வடிவத்தில், மேக்ஸ்வெல்லின் சமன்பாடுகளின் சில பண்புகளை நிரூபிப்பதும் மிகவும் எளிதானது, அதாவது சார்ஜ் பாதுகாப்பு. எந்தவொரு பைவெக்டர் புலத்திற்கும், அதன் இடநேர சாய்வின் வேறுபாடு என்பது, பின்வரும் கையாளுதல்களைச் செய்ய முடியும் என்ற உண்மையைப் பயன்படுத்திஃ இந்த சமன்பாடு மின்னோட்ட அடர்த்தியின் வேறுபாடு பூஜ்ஜியமாகும் என்பதற்கான தெளிவான அர்த்தத்தைக் கொண்டுள்ளது, அதாவது. காலப்போக்கில் மொத்த மின்னூட்டம் மற்றும் மின்னோட்ட அடர்த்தி பாதுகாக்கப்படுகிறது. மேலும், வலது புறம், ஒரு திசையன் மற்றும் ஒரு பைவெக்டரின் பெருக்கல் என்பதால், ஒரு சூடோவெக்டர் பகுதியைக் கொண்டிருக்கலாம், இது காந்த மோனோபோல்களை விவரிக்கும். இவை இல்லை என்று பரிசோதனை கூறுகிறது, இது சமன்பாட்டை ஓரளவு சமச்சீரற்றதாக ஆக்குகிறது. சார்ஜ் செய்யப்பட்ட துகள் மீது உள்ள லோரெண்ட்ஸ் விசையின் வடிவத்தை இடநேர இயற்கணிதத்தைப் பயன்படுத்தி கணிசமாக எளிமைப்படுத்தலாம். நிலையான திசையன் கால்குலஸ் சூத்திரத்தில், இரண்டு சாத்தியமான செயல்பாடுகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றனஃ மின்சார அளவிடக்கூடிய ஆற்றல் மற்றும் காந்த திசையன் ஆற்றல். எஸ். டி. ஏ கருவிகளைப் பயன்படுத்தி, இந்த இரண்டு பொருள்களும் ஒற்றை திசையன் புலமாக இணைக்கப்படுகின்றன, இது டென்சர் கால்குலஸில் உள்ள மின்காந்த நான்கு-ஆற்றலுக்கு ஒத்ததாகும். எஸ். டி. ஏ. வில், இது அளவிடக்கூடிய ஆற்றல் எங்கே என்று வரையறுக்கப்படுகிறது, மேலும் அவை காந்த ஆற்றலின் கூறுகளாகும். வரையறுக்கப்பட்டபடி, இந்த புலம் ஒரு மீட்டருக்கு வெபர்களின் எஸ். ஐ அலகுகளைக் கொண்டுள்ளது. மின்காந்த புலத்தை இந்த சாத்தியமான புலத்தின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தலாம், இருப்பினும், இந்த வரையறை தனித்துவமானது அல்ல. எந்த இரண்டு முறை வேறுபடுத்தக்கூடிய அளவிடக்கூடிய செயல்பாட்டிற்கும், இந்த நிகழ்வு கேஜ் சுதந்திரம் என்று அழைக்கப்படுவதால், வழங்கப்பட்ட ஆற்றலும் அசலைப் போலவே இருக்கும். கொடுக்கப்பட்ட சிக்கலை எளிமையாக்க பொருத்தமான செயல்பாட்டைத் தேர்ந்தெடுக்கும் செயல்முறை கேஜ் ஃபிக்ஸிங் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இருப்பினும், சார்பியல் மின்னாற்றலில், லோரென்ஸ் நிபந்தனை பெரும்பாலும் விதிக்கப்படுகிறது. சாத்தியத்தின் அடிப்படையில் எஸ். டி. ஏ மேக்ஸ்வெல் சமன்பாட்டை மறுசீரமைக்க, முதலில் மேலே உள்ள வரையறையுடன் மாற்றப்படுகிறது. இந்த முடிவுக்குப் பதிலாக, ஒருவர் எஸ். டி. ஏ. வில் மின்காந்தத்தின் சாத்தியமான சூத்திரத்திற்கு வருகிறார்ஃ லக்ராஞ்சியன் சூத்திரம் டென்சர் கால்குலஸ் சம்பிரதாயத்திற்கு ஒத்ததாக, எஸ். டி. ஏ. வில் உள்ள சாத்தியமான சூத்திரம் இயற்கையாகவே பொருத்தமான லக்ராஞ்சியன் அடர்த்திக்கு வழிவகுக்கிறது. புலத்திற்கான மல்டிவெக்டர்-மதிப்புள்ள யூலர்-லாக்ரேஞ்ச் சமன்பாடுகளைப் பெறலாம், மேலும் அளவிடப்படாத ஒன்றைப் பொறுத்தவரை பகுதி வழித்தோன்றலை எடுக்கும் கணித கடினத்தன்மையுடன் தளர்வானதால், தொடர்புடைய சமன்பாடுகள் ஆகின்றன இந்த வடிவத்திலிருந்து சாத்தியமான சமன்பாட்டை மீண்டும் பெறத் தொடங்குவதற்கு, லோரென்ஸ் கேஜ் அமைப்பில் வேலை செய்வது எளிது இந்த செயல்முறையை தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட அளவைப் பொருட்படுத்தாமல் செய்யலாம், ஆனால் இது விளைவாக வரும் செயல்முறையை கணிசமாக தெளிவுபடுத்துகிறது. வடிவியல் உற்பத்தியின் கட்டமைப்பு காரணமாக, இந்த நிபந்தனையைப் பயன்படுத்துவது முடிவடைகிறது. இதில் மாற்றப்பட்ட பிறகு, சாத்தியமான புலத்திற்கு மேலே உள்ள அதே இயக்க சமன்பாடு எளிதில் பெறப்படுகிறது. பௌலி சமன்பாடு இடநேர இயற்கணிதம் ஒரு மேட்ரிக்ஸ் கோட்பாட்டிற்கு பதிலாக ஒரு உண்மையான கோட்பாட்டின் அடிப்படையில் பௌலி துகள் பற்றிய விளக்கத்தை அனுமதிக்கிறது. பாலி துகள் பற்றிய மேட்ரிக்ஸ் கோட்பாடு விவரிப்பு பின்வருமாறுஃ ஒரு சுழல் எங்கே, வடிவியல் விளக்கம் இல்லாத கற்பனை அலகு, பாலி மேட்ரிக்ஸ்கள் (வடிவியல் இயற்கணிதத்தில் ஒரு உறுப்பு அல்ல, ஒரு மேட்ரிக்ஸ் ஆபரேட்டர் என்பதைக் குறிக்கும் 'தொப்பி' குறியீட்டுடன்), மற்றும் ஷ்ரோடிங்கர் ஹாமில்டோனியன் ஆகும். இடநேர இயற்கணிதத்தில் பாலி துகள் உண்மையான பாலி-ஷ்ரோடிங்கர் சமன்பாட்டால் விவரிக்கப்படுகிறதுஃ இப்போது அலகு சூடோஸ்கேலார், மற்றும் வடிவியல் இயற்கணிதத்தின் கூறுகள், சமமான பல-திசையனுடன்; மீண்டும் ஷ்ரோடிங்கர் ஹாமில்டோனியன் ஆகும். காந்தப்புலத்தை உள்ளடக்கிய சொல் கைவிடப்பட்டால் இந்த கோட்பாடு ஷ்ரோடிங்கர் கோட்பாட்டிற்கு குறைகிறது என்பதை வலியுறுத்த ஹெஸ்டென்ஸ் இதை உண்மையான பாலி-ஷ்ரோடிங்கர் கோட்பாடு என்று குறிப்பிடுகிறார். இந்த சமன்பாடு இயற்பியல் இடத்தின் இயற்கணிதத்திற்கு மிகவும் பொருத்தமானது, ஏனெனில் இந்த சமன்பாட்டில் விண்வெளி நேர இயற்கணிதத்திற்கு அவசியமான எதுவும் இல்லை. டைராக் சமன்பாடு இடநேர இயற்கணிதம் ஒரு மேட்ரிக்ஸ் கோட்பாட்டிற்கு பதிலாக ஒரு உண்மையான கோட்பாட்டின் அடிப்படையில் டைராக் துகள் பற்றிய விளக்கத்தை செயல்படுத்துகிறது. டைராக் துகள்களின் மேட்ரிக்ஸ் கோட்பாட்டு விளக்கம்ஃ டைராக் மேட்ரிக்ஸ்கள் எங்கே உள்ளன. இடநேர இயற்கணிதத்தில், ஹெஸ்டென்ஸின் வழித்தோன்றலைத் தொடர்ந்து, டைராக் துகள் சமன்பாட்டின் மூலம் விவரிக்கப்படுகிறதுஃ இங்கே, சுழல் புலம், மற்றும் வடிவியல் இயற்கணிதத்தின் கூறுகள், மின்காந்த நான்கு ஆற்றல், மற்றும் இடநேர திசையன் வழித்தோன்றல் ஆகும். இது மின்காந்தவியல் மற்றும் குவாண்டம் இயக்கவியல் ஆகிய இரண்டிற்கும் இயக்கத்தின் சமன்பாடுகளை விவரிக்க ஒரே கணித ஆபரேட்டரை அனுமதிக்கிறது, இது இரண்டின் மிக எளிமையான ஒருங்கிணைப்புக்கு வழிவகுக்கிறது. டைராக் சுழல்கள் சார்பியல் குவாண்டம் அலை செயல்பாடு சில நேரங்களில் ஒரு சுழல் புலமாக வெளிப்படுத்தப்படுகிறது, அதாவது. ஒரு பைவெக்டர் எங்கே, மற்றும் டேவிட் ஹெஸ்டென்ஸால் அதன் வழித்தோன்றலின் படி, விண்வெளி நேரத்தில் ஒரு சமமான பன்முக-மதிப்புள்ள செயல்பாடு, ஒரு ஒற்றை ஒற்றை சுழல் (அல்லது "ரோட்டார்"), மற்றும் அளவிடுதல்-மதிப்புள்ள செயல்பாடுகள். இந்த கட்டுமானத்தில், இன் கூறுகள் ஒரு டைராக் ஸ்பின்னரின் கூறுகளுடன் நேரடியாக ஒத்திருக்கலாம், இவை இரண்டும் 8 அளவிடக்கூடிய கட்டின்மை கூறுகளைக் கொண்டுள்ளன என்பதன் மூலம் எளிதில் சரிபார்க்கப்படலாம். இந்த சமன்பாடு சுழற்சியை கற்பனையான சூடோஸ்கேலருடன் இணைப்பதாக விளக்கப்படுகிறது. இது ஒரு லோரெண்ட்ஸ் சுழற்சியாகக் கருதப்படுகிறது, இது செயல்பாட்டின் மூலம் திசையன்களின் மற்றொரு சட்டகத்திற்குள் திசையன்களின் ஒரு சட்டகமாகும், அங்கு டில்டே சின்னம் தலைகீழாகக் குறிக்கிறது (தலைகீழ் பெரும்பாலும் கத்தரிக்கோல் சின்னத்தால் குறிக்கப்படுகிறது, மேலும் வடிவியல் இயற்கணிதத்தில் சுழற்சிகளைப் பார்க்கவும்). உள்நாட்டில் மாறுபட்ட திசையன் மற்றும் அளவிடக்கூடிய மதிப்புள்ள அவதானிப்புகளுக்கான கட்டமைப்பை வழங்குவதற்கும், முதலில் ஷ்ரோடிங்கரால் முன்மொழியப்பட்ட குவாண்டம் இயக்கவியலின் ஜிட்டர்பெவெகங் விளக்கத்திற்கு ஆதரவளிப்பதற்கும் இது நீட்டிக்கப்பட்டுள்ளது. ஹெஸ்டென்ஸ் தனது வெளிப்பாட்டை பாதை ஒருங்கிணைந்த சூத்திரத்தில் ஃபேய்ன்மேனின் வெளிப்பாட்டுடன் ஒப்பிட்டுள்ளார்ஃ பாதையில் உள்ள பாரம்பரிய நடவடிக்கை எங்கே. புலத்தின் மின்னோட்ட அடர்த்தியை U (1) கேஜ் சமச்சீர் மூலம் வெளிப்படுத்தலாம் டைராக் சமன்பாடு சில நிலையான கட்ட மாற்றத்தால் கொடுக்கப்பட்ட சில உலகளாவிய கட்ட மாற்றத்தின் கீழ் சமச்சீர் ஆகும். உருமாற்றத்தைச் செய்தால், புலத்தின் மின்னூட்டம் மற்றும் அலகு சூடோஸ்கேலார் எங்கே, மேலே காட்டப்பட்டுள்ளபடி டைராக் சமன்பாடு மாறாமல் இருக்கும். இருப்பினும், சமன்பாட்டிலிருந்து அனைத்து இயற்பியல் அவதானிப்புகளும் ஒரு வலுவான உள்ளூர்மயமாக்கப்பட்ட கட்ட சமச்சீரின் கீழ் மாறாதவை, அங்கு கட்ட மாற்றம் இடத்தை விட தன்னிச்சையான அளவால் மாறுபடும். உள்ளூர்மயமாக்கப்பட்ட கட்ட மாற்றம் அளவிடுதல் செயல்பாட்டால் வழங்கப்படுகிறது, மேலும் மாற்றம் என்பது ஒரு அளவிடுதல் மற்றும் சூடோஸ்கேலார் பகுதியாக சிதைந்துவிடுகிறது என்ற உண்மையிலிருந்து வருகிறது, இவை இரண்டும் சமமான துணை இயற்கணிதத்தின் கூறுகளுடன் பயணிக்கின்றன. இருப்பினும், டைராக் சமன்பாட்டில் இந்த வலுவான சமச்சீர்மையைப் பயன்படுத்தும் போது, இடநேர வழித்தோன்றல் தயாரிப்பு விதி மற்றும் சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்துகிறது. உருமாற்றப்பட்ட வழித்தோன்றல் அசல் அதே வடிவத்தைக் கொண்டிருக்கவில்லை என்பதால் (அதாவது. இது ஒரு கூடுதல் சொல்லைக் கொண்டுள்ளது, இது வெளிப்படையாக கட்டத்தைப் பொறுத்தது), வழித்தோன்றல் சமன்பாட்டை உள்ளூரில் கட்ட மாறாததாக இருப்பதிலிருந்து தடுக்கிறது. இந்த சிக்கலை சரிசெய்ய, ஒருவர் ஒரு கேஜ் புலத்தை அறிமுகப்படுத்தலாம், இது சமன்பாட்டில் உள்ள உள்ளூர் கட்ட சார்புநிலையை அகற்றும் வகையில் மாற்றுவதற்கு வரையறுக்கப்படும். கேஜ் புலத்தை அதே தன்னிச்சையான கட்ட மாற்றத்தின் கீழ் மாற்ற ஒருவர் வரையறுத்தால், இது துல்லியமாக தொடர்பு சொல் எங்கிருந்து வருகிறது. முதலில், இந்த சுருக்க அளவீட்டு புலம் உண்மையில் எதைக் குறிக்கிறது என்பது தெளிவாகத் தெரியவில்லை, ஏனெனில் இது அலை செயல்பாட்டின் கட்டத்தை மாற்றுவதைத் தவிர கவனிக்கக்கூடிய விளைவைக் கொண்டிருக்கவில்லை. ஆனால் அதன் அறிமுகத்தின் விளைவுகளை ஆராயும்போது, அது வெறுமனே மின்காந்த நான்கு-ஆற்றல் என்றும், மாறிலி என்பது புலத்தில் கொடுக்கப்பட்ட துகள்களின் கட்டணம் என்றும் தெளிவாகிறது. எனவே, டைராக் சமன்பாட்டை கட்ட மாறுபாடற்றதாக கட்டாயப்படுத்துவது மின்காந்த தொடர்புகளை ஒரு போனஸாக விவரிக்க அனுமதிக்கிறது. எலக்ட்ரோவீக் இன்டராக்ஷன் மற்றும் வலுவான இன்டராக்ஷன் ஆகியவற்றை நிர்வகிக்கும் கேஜ் உருமாற்றங்களுக்கு இதே போன்ற கேஜ் புலங்கள் எஸ். டி. ஏ-வில் உள்ளன, இது இந்த கட்டமைப்பில் நிலையான மாதிரியை மறுசீரமைக்கத் தொடங்க சிலரை வழிநடத்தியுள்ளது. கேம்பிரிட்ஜ் பல்கலைக்கழகத்தின் பொது சார்பியலின் ஒரு புதிய சூத்திரம் லேசென்பி, டோரன் மற்றும் குல் ஆகியவை ஈர்ப்பு விசையின் ஒரு புதிய சூத்திரத்தை முன்மொழிந்துள்ளன, இது கேஜ் கோட்பாடு ஈர்ப்பு விசை (ஜி. டி. ஜி) என்று அழைக்கப்படுகிறது, இதில் மின்காவ்ஸ்கி இடத்தில் வளைவைத் தூண்டுவதற்கு இடநேர இயற்கணிதம் பயன்படுத்தப்படுகிறது, அதே நேரத்தில் "இடநேரத்தில் நிகழ்வுகளின் தன்னிச்சையான மென்மையான மறுவடிவமைப்பின்" கீழ் ஒரு கேஜ் சமச்சீர்மையை ஒப்புக்கொள்கிறது (லேசென்பி, மற்றும் பலர். ); ஒரு அற்பமான வழித்தோன்றல் பின்னர் புவியியல் சமன்பாட்டிற்கு வழிவகுக்கிறது, மேலும் கோவேரியன்ட் வழித்தோன்றல் ஈர்ப்பு ஆற்றலுடன் தொடர்புடைய இணைப்பு, மற்றும் மின்காந்த புலம் போன்ற வெளிப்புற தொடர்பு ஆகும். இந்தக் கோட்பாடு கருந்துளைகளின் சிகிச்சைக்கு சில வாக்குறுதிகளைக் காட்டுகிறது, ஏனெனில் அதன் ஸ்வார்ஸ்ஷைல்ட் தீர்வின் வடிவம் ஒருமைப்பாடுகளில் உடைவதில்லை; பொது சார்பியலின் பெரும்பாலான முடிவுகள் கணித ரீதியாக மீண்டும் உருவாக்கப்பட்டுள்ளன, மேலும் கிளாசிக்கல் எலக்ட்ரோடைனமிக்ஸின் சார்பியல் உருவாக்கம் குவாண்டம் இயக்கவியல் மற்றும் டைராக் சமன்பாட்டிற்கு நீட்டிக்கப்பட்டுள்ளது. மேலும் காண்க வடிவியல் இயற்கணிதம் டிராக் இயற்கணிதம் மேக்ஸ்வெல்லின் சமன்பாடுகள் டிராக் சமன்பாடு பொது சார்பியல் குறிப்புகள் வெளிப்புற இணைப்புகள் கற்பனை எண்கள் உண்மையானவை அல்ல-விண்வெளி நேரத்தின் வடிவியல் இயற்கணிதம், வடிவியல் இயற்கணிதத்தின் கருத்துக்களுக்கான ஒரு பயிற்சி அறிமுகம், எஸ். குல், ஏ. லேசென்பி, சி. டோரன் வடிவியல் இயற்கணத்தின் இயற்பியல் பயன்பாடுகள் பாடநெறி குறிப்புகள், குறிப்பாக பகுதி 2 ஐப் பார்க்கவும். கேம்பிரிட்ஜ் பல்கலைக்கழக வடிவியல் இயற்கணிதம் குழு வடிவியல் கால்குலஸ் ஆராய்ச்சி மற்றும் மேம்பாடு வடிவியல் இயற்கணிதம் கிளிஃபோர்ட் ஆல்ஜீப்ராஸ் மின்காவ்ஸ்கி இடநேர கணித இயற்பியல்