Notation for differentiation
வேறுபட்ட கால்குலஸில், வேறுபாட்டிற்கு ஒற்றை சீரான குறியீடு இல்லை. அதற்கு பதிலாக, ஒரு சார்பு அல்லது மாறியின் வழித்தோன்றலுக்கான பல்வேறு குறியீடுகள் பல்வேறு கணிதவியலாளர்களால் முன்மொழியப்பட்டுள்ளன. ஒவ்வொரு குறியீட்டின் பயனும் சூழலைப் பொறுத்து மாறுபடும், மேலும் சில நேரங்களில் கொடுக்கப்பட்ட சூழலில் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட குறியீடுகளைப் பயன்படுத்துவது சாதகமானது. வேறுபடுத்தலுக்கான மிகவும் பொதுவான குறியீடுகள் (மற்றும் அதன் எதிர் செயல்பாடு, வேறுபடுத்தல் எதிர்ப்பு அல்லது காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு) கீழே பட்டியலிடப்பட்டுள்ளன. கோட்ஃபிரைட் லீப்னிஸ் பயன்படுத்திய அசல் குறியீடு கணிதம் முழுவதும் பயன்படுத்தப்படுகிறது. சமன்பாடு சார்பு மற்றும் சுயாதீன மாறிகளுக்கு இடையிலான செயல்பாட்டு உறவாகக் கருதப்படும்போது இது குறிப்பாக பொதுவானது. லீப்னிஸின் குறியீடு வழித்தோன்றலை இவ்வாறு எழுதுவதன் மூலம் இந்த உறவை வெளிப்படையாக்குகிறது மேலும், at இன் வழித்தோன்றல் எனவே உயர் வழித்தோன்றல்கள் இவ்வாறு எழுதப்படுகின்றன இது குறியீடுகளின் முறையான கையாளுதல்களிலிருந்து வரும் ஒரு அறிவுறுத்தும் குறியீட்டு சாதனமாகும், இதில், ஒரு கட்டத்தில் வழித்தோன்றலின் மதிப்பு லீப்னிஸின் குறியீட்டைப் பயன்படுத்தி இரண்டு வழிகளில் வெளிப்படுத்தப்படலாம்ஃ லீப்னிஸின் குறியீடு வேறுபடுத்தலுக்கான மாறியைக் குறிப்பிட அனுமதிக்கிறது (வகுப்பில்). பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கருத்தில் கொள்ளும்போது இது குறிப்பாக உதவியாக இருக்கும். இது சங்கிலி விதியை நினைவில் கொள்வதற்கும் அடையாளம் காண்பதற்கும் எளிதாக்குகிறதுஃ வேறுபடுத்தலுக்கான லீப்னிஸின் குறியீட்டிற்கு அல்லது (வேறுபாடுகள் என்று அழைக்கப்படும்) போன்ற சின்னங்களுக்கு அவற்றின் சொந்த அர்த்தத்தை ஒதுக்க வேண்டிய அவசியமில்லை, மேலும் சில எழுத்தாளர்கள் இந்த சின்னங்களுக்கு அர்த்தத்தை ஒதுக்க முயற்சிக்கவில்லை. லீப்னிஸ் இந்த சின்னங்களை எல்லையற்றவை என்று கருதினார். தரமற்ற பகுப்பாய்வு அல்லது வெளிப்புற வழித்தோன்றல்களில் எல்லையற்றவை போன்ற பிற அர்த்தங்களை பிற்கால எழுத்தாளர்கள் அவற்றுக்கு ஒதுக்கியுள்ளனர். பொதுவாக, வரையறுக்கப்படாமல் விடப்படுகிறது அல்லது சமன் செய்யப்படுகிறது, அதே நேரத்தில் சமன்பாட்டின் அடிப்படையில் ஒரு அர்த்தம் ஒதுக்கப்படுகிறது, இது எழுதப்படலாம், எ. கா. (கீழே காண்க). இத்தகைய சமன்பாடுகள் சில நூல்களில் காணப்படும் சொற்களுக்கு வழிவகுக்கின்றன, இதில் வழித்தோன்றல் "வேறுபட்ட குணகம்" (அதாவது, குணகம்) என்று குறிப்பிடப்படுகிறது. சில எழுத்தாளர்களும் பத்திரிகைகளும் வேறுபட்ட சின்னத்தை இத்தாலிக்கு பதிலாக ரோமானிய வகையாக அமைத்துள்ளனர்ஃ ஐஎஸ்ஓ/ஐஇசி 80000 அறிவியல் பாணி வழிகாட்டி இந்த பாணியை பரிந்துரைக்கிறது. பகுப்பாய்வு டெட்ராகனிஸ்டிக் பார்ஸ் செகுண்டா மற்றும் மெத்தடி டான்ஜென்டியம் இன்வெர்ஸ் எடுத்துக்காட்டு (இரண்டும் 1675 முதல்) ஆகியவற்றில் ஒருங்கிணைந்த சின்னத்தை லீப்னிஸ் அறிமுகப்படுத்தியது. இது இப்போது ஒருங்கிணைப்புக்கான நிலையான சின்னமாக உள்ளது. லாக்ராஞ்சின் குறியீடு வேறுபடுத்தலுக்கான மிகவும் பொதுவான நவீன குறியீடுகளில் ஒன்று ஜோசப் லூயிஸ் லாக்ராஞ்சின் பெயரால் பெயரிடப்பட்டுள்ளது, இது உண்மையில் ஆய்லரால் கண்டுபிடிக்கப்பட்டு முந்தையவரால் பிரபலப்படுத்தப்பட்டாலும் கூட. லாக்ராஞ்சின் குறியீட்டில், ஒரு பகா முத்திரை ஒரு வழித்தோன்றலைக் குறிக்கிறது. f ஒரு சார்பு என்றால், x இல் மதிப்பிடப்பட்ட அதன் வழித்தோன்றல் எழுதப்படுகிறது. இது முதன்முதலில் 1749 இல் அச்சில் வெளிவந்தது. இரண்டாவது வழித்தோன்றல் மற்றும் மூன்றாவது வழித்தோன்றல் போன்ற கூடுதல் முதன்மை மதிப்பெண்களைப் பயன்படுத்தி உயர் வழித்தோன்றல்கள் குறிக்கப்படுகின்றன. மீண்டும் மீண்டும் முதன்மைக் குறியீடுகளைப் பயன்படுத்துவது இறுதியில் பயனற்றதாகிவிடும். சில எழுத்தாளர்கள் ரோமானிய எண்களைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் தொடர்கிறார்கள், பொதுவாக சிறிய வழக்கில், நான்காவது, ஐந்தாவது, ஆறாவது மற்றும் உயர் வரிசை வழித்தோன்றல்களைக் குறிக்க. மற்ற எழுத்தாளர்கள் அடைப்புக்குறிக்குள் அரபு எண்களைப் பயன்படுத்துகின்றனர், ஏனெனில் இந்த குறியீடு n வது வழித்தோன்றலை விவரிக்கவும் உதவுகிறது, அங்கு n ஒரு மாறி. ஒரு சார்பு f (x, y) க்கு இரண்டு சுயாதீன மாறிகள் இருக்கும்போது, பின்வரும் நடைமுறையைப் பின்பற்றலாம்ஃ ஆன்டிடிஃபெரென்ஷியேஷனுக்கான லாக்ரேஞ்சின் குறியீடு ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் எடுக்கும்போது, லாக்ரேஞ்ச் லீப்னிஸின் குறியீட்டைப் பின்பற்றியதுஃ இருப்பினும், ஒருங்கிணைப்பு என்பது வேறுபாட்டின் தலைகீழ் செயல்பாடு என்பதால், உயர் வரிசை வழித்தோன்றல்களுக்கான லாக்ரேஞ்சின் குறியீடு ஒருங்கிணைப்புகளுக்கும் விரிவடைகிறது. f இன் மீண்டும் மீண்டும் ஒருங்கிணைப்புகள் முதல் ஒருங்கிணைப்புக்கு (இது தலைகீழ் செயல்பாட்டுடன் எளிதில் குழப்பமடைகிறது), இரண்டாவது ஒருங்கிணைப்புக்கு, மூன்றாவது ஒருங்கிணைப்புக்கு மற்றும் n வது ஒருங்கிணைப்புக்கு எழுதப்படலாம். டி-குறியீடு இந்த குறியீடு சில நேரங்களில் அழைக்கப்படுகிறது, இருப்பினும் இது லூயிஸ் பிரான்சுவா அன்டோயின் அர்போகாஸ்டால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது, மேலும் லியோன்ஹார்ட் ஆய்லர் இதைப் பயன்படுத்தவில்லை என்று தெரிகிறது. இந்த குறியீடு (டி ஆபரேட்டர்) அல்லது (நியூட்டன்-லீப்னிஸ் ஆபரேட்டர்) என குறிக்கப்படும் ஒரு வேறுபட்ட ஆபரேட்டரைப் பயன்படுத்துகிறது. ஒரு செயல்பாட்டிற்கு பயன்படுத்தப்படும்போது, இது உயர் வழித்தோன்றல்களால் வரையறுக்கப்படுகிறது, அவை டி இன் "சக்திகள்" என்று குறிப்பிடப்படுகின்றன (இங்கு மேற்பரப்புகள் டி இன் மறு செய்கை கலவையைக் குறிக்கின்றன), இரண்டாவது வழித்தோன்றலைப் போலவே, மூன்றாவது வழித்தோன்றலுக்கும், மற்றும் n வது வழித்தோன்றலுக்கும். டி-குறியீடு எந்த வேறுபாடு செய்யப்படுகிறது என்பதைப் பொறுத்து மாறியை மறைமுகமாகக் காட்டுகிறது. இருப்பினும், இந்த மாறியை அதன் பெயரை ஒரு சப்ஸ்கிரிப்டாக வைப்பதன் மூலமும் தெளிவுபடுத்தலாம்ஃ f என்பது ஒரு மாறி x இன் செயல்பாடாக இருந்தால், இது முதல் வழித்தோன்றலுக்கும், இரண்டாவது வழித்தோன்றலுக்கும், மூன்றாவது வழித்தோன்றலுக்கும், n வது வழித்தோன்றலுக்கும் எழுதுவதன் மூலம் செய்யப்படுகிறது. f என்பது பல மாறிகளின் செயல்பாடாக இருக்கும்போது, "" என்பதைப் பயன்படுத்துவதற்குப் பதிலாக, ஒரு பாணியிலான வளைந்த சிறிய-எழுத்து d, "ஷ்ணல்" ஐப் பயன்படுத்துவது பொதுவானது. மேலே குறிப்பிட்டபடி, சந்தாக்கள் எடுக்கப்பட்ட வழித்தோன்றல்களைக் குறிக்கின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு சார்பின் இரண்டாவது பகுதி வழித்தோன்றல்கள் பின்வருமாறுஃ டி-குறியீடு வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் மற்றும் வேறுபட்ட இயற்கணிதத்தின் ஆய்வில் பயனுள்ளதாக இருக்கும். டி-குறியீட்டிற்கான டி-குறியீட்டை ஆன்ட்ட்டெரிவேட்டிவ்களுக்கு பயன்படுத்தலாம், அதே போல் லாக்ரேஞ்சின் குறியீட்டெண் பின்வருமாறு முதல் ஆன்ட்டெரிவேட்டிவ், இரண்டாவது ஆன்டெரிவேட்டிவ் மற்றும் n வது ஆன்டெரிவேட்டிவ் ஆகியவற்றிற்கு பயன்படுத்தப்படுகிறது. நியூட்டனின் குறியீடு ஐசக் நியூட்டனின் வேறுபாட்டிற்கான குறியீடு (புள்ளி குறியீடு, ஃப்ளக்சன்கள் அல்லது சில நேரங்களில், முரட்டுத்தனமாக, வேறுபாட்டிற்கான ஃப்ளைஸ்பெக் குறியீடு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) சார்பு மாறியின் மீது ஒரு புள்ளியை வைக்கிறது. அதாவது, y என்பது t இன் செயல்பாடாக இருந்தால், t ஐப் பொறுத்தவரை y இன் வழித்தோன்றல் உயர் வழித்தோன்றல்கள் பல புள்ளிகளைப் பயன்படுத்தி குறிப்பிடப்படுகின்றன, நியூட்டன் இந்த யோசனையை வெகுதூரம் விரிவுபடுத்தியது போலஃ நியூட்டனின் குறியீடு தொடர்பான யூனிகோட் எழுத்துக்கள் பின்வருமாறுஃ இரண்டு முறை "டயரெசிஸ் இணைத்தல்" மூலம் மாற்றப்பட்டது. நியூட்டனின் குறியீடு பொதுவாக சுயாதீன மாறி நேரத்தைக் குறிக்கும் போது பயன்படுத்தப்படுகிறது. இருப்பிடம் என்பது t இன் செயல்பாடாக இருந்தால், அது வேகத்தைக் குறிக்கிறது மற்றும் முடுக்கத்தைக் குறிக்கிறது. இந்த குறியீடு இயற்பியல் மற்றும் கணித இயற்பியலில் பிரபலமாக உள்ளது. வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் போன்ற இயற்பியலுடன் தொடர்புடைய கணிதப் பகுதிகளிலும் இது தோன்றுகிறது. ஒரு சார்பு மாறி y = f (x) இன் வழித்தோன்றலை எடுக்கும்போது, ஒரு மாற்று குறியீடு உள்ளதுஃ நியூட்டன் ஒரு வளைந்த X இல் பக்க புள்ளிகளைப் பயன்படுத்தி பின்வரும் பகுதி வேறுபாடு இயக்கிகளை உருவாக்கினார். வைட்ஸைட் வழங்கிய வரையறைகள் பின்வருமாறுஃ நியூட்டனின் ஒருங்கிணைப்புக்கான குறியீடு நியூட்டன் தனது குவாட்ரடுரா கர்வரம் (1704) மற்றும் பிற்கால படைப்புகளில் ஒருங்கிணைப்புக்காக பல வேறுபட்ட குறியீடுகளை உருவாக்கினார்ஃ அவர் சார்பு மாறி () க்கு மேலே ஒரு சிறிய செங்குத்து பட்டை அல்லது பகா எண், ஒரு முன்னொட்டு செவ்வகம் (), அல்லது ஒரு செவ்வகத்தில் உள்ள வார்த்தையின் சாய்வு () சரளமாக அல்லது நேர ஒருங்கிணைப்பு (இல்லாமை) குறிக்க. பல ஒருங்கிணைப்புகளைக் குறிக்க, நியூட்டன் இரண்டு சிறிய செங்குத்து பார்கள் அல்லது பகா எண்கள் () அல்லது முந்தைய குறியீடுகளின் கலவையைப் பயன்படுத்தி, இரண்டாவது முறை ஒருங்கிணைப்பைக் (இல்லாமை) குறிக்கிறார். உயர் வரிசை நேர ஒருங்கிணைப்புகள் பின்வருமாறு இருந்தனஃ அச்சிடும் சிரமங்கள் மற்றும் லீப்னிஸ்-நியூட்டன் கால்குலஸ் சர்ச்சை காரணமாக இந்த கணிதக் குறியீடு பரவலாகவில்லை. பகுதி வழித்தோன்றல்கள் பன்முக கால்குலஸ் அல்லது டென்சர் பகுப்பாய்வு போன்ற குறிப்பிட்ட வகை வேறுபாடுகள் தேவைப்படும்போது, பிற குறியீடுகள் பொதுவானவை. ஒற்றை சுயாதீன மாறி x இன் செயல்பாடு f க்கு, சுயாதீன மாறியின் சந்தாக்களைப் பயன்படுத்தி வழித்தோன்றலை நாம் வெளிப்படுத்தலாம்ஃ இந்த வகை குறியீடு பல மாறிகளின் செயல்பாட்டின் பகுதி வழித்தோன்றல்களை எடுக்க குறிப்பாக பயனுள்ளதாக இருக்கும். பகுதி வழித்தோன்றல்கள் பொதுவாக சாதாரண வழித்தோன்றல்களிலிருந்து வேறுபடுத்தப்படுகின்றன, வேறுபட்ட இயக்குபவர் d ஐ "ஷ்ணல்" சின்னத்துடன் மாற்றுவதன் மூலம். எடுத்துக்காட்டாக, x ஐப் பொறுத்தவரை பகுதியளவு வழித்தோன்றலை நாம் குறிக்கலாம், ஆனால் y அல்லது z க்கு அல்ல பல வழிகளில்ஃ இந்த வேறுபாட்டை முக்கியமாக்குவது என்னவென்றால், ஒரு பகுதி அல்லாத வழித்தோன்றல், சூழலைப் பொறுத்து, அனைத்து மாறிகளும் ஒரே நேரத்தில் மாற அனுமதிக்கப்படும் போது மாற்றத்தின் விகிதமாக விளக்கப்படலாம், அதேசமயம் ஒரு பகுதி வழித்தோன்றலுடன் ஒரு மாறி மட்டுமே மாற வேண்டும் என்பது வெளிப்படையானது. கணிதம், இயற்பியல் மற்றும் பொறியியல் ஆகியவற்றின் பல்வேறு துணைத் துறைகளில் பிற குறியீடுகளைக் காணலாம்; எடுத்துக்காட்டாக, வெப்ப இயக்கவியலின் மேக்ஸ்வெல் உறவுகளைப் பார்க்கவும். குறியீடு என்பது தொகுதி V ஐப் பொறுத்தவரை வெப்பநிலை T இன் வழித்தோன்றலாகும், அதே நேரத்தில் என்ட்ரோபி (சப்ஸ்கிரிப்ட்) S ஐ நிலையானதாக வைத்திருக்கிறது, அதே நேரத்தில் அழுத்தம் P ஐ நிலையானதாக வைத்திருக்கும் போது அளவைப் பொறுத்தவரை வெப்பநிலையின் வழித்தோன்றலாகும். ஒரு மாறியைப் பொறுத்தவரை உயர்-வரிசை பகுதி வழித்தோன்றல்கள் இவ்வாறு வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன. இந்த கடைசி வழக்கில் மாறிகள் இரண்டு குறியீடுகளுக்கு இடையில் தலைகீழ் வரிசையில் எழுதப்படுகின்றன, பின்வருமாறு விளக்கப்பட்டுள்ளனஃ மேலே உள்ள குறியீடு சிக்கலானதாகவோ அல்லது போதுமான அளவு வெளிப்படையாகவோ இருக்கும் சூழ்நிலைகளில் மல்டி-இன்டெக்ஸ் குறியீடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. செயல்பாடுகளைக் கருத்தில் கொள்ளும்போது, பல குறியீட்டை எதிர்மறை அல்லாத முழு எண்களின் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட பட்டியலாக வரையறுக்கிறோம்ஃ இந்த வழியில் வேறு வழிகளில் எழுத கடினமாக இருக்கும் சில முடிவுகளை (லீப்னிஸ் விதி போன்றவை) சுருக்கமாக வெளிப்படுத்தலாம்-பல குறியீடுகள் குறித்த கட்டுரையில் சில எடுத்துக்காட்டுகளைக் காணலாம். திசையன் கால்குலஸ் திசையன் கால்குலஸில் உள்ள குறியீடு திசையன் அல்லது அளவிடுதல் புலங்களின் வேறுபாடு மற்றும் ஒருங்கிணைப்பு பற்றியது. முப்பரிமாண யூக்ளிடியன் இடைவெளி விஷயத்தில் குறிப்பிட்ட பல குறியீடுகள் பொதுவானவை. கொடுக்கப்பட்ட கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு என்று வைத்துக்கொள்வோம், A என்பது கூறுகளைக் கொண்ட ஒரு திசையன் புலம், அது ஒரு அளவிடக்கூடிய புலம். வில்லியம் ரோவன் ஹாமில்டனால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட டிஃபரென்ஷனல் ஆப்பரேட்டர், டெல் அல்லது நப்லா என்று அழைக்கப்படும், இது ஒரு திசையன் வடிவத்தில் குறியீடாக வரையறுக்கப்படுகிறது, அங்கு சொற்களஞ்சியம் ஆபரேட்டர் ஒரு சாதாரண திசையனாக கருதப்படும் என்பதை அடையாளமாக பிரதிபலிக்கிறது. சாய்வுஃ அளவிடக்கூடிய புலத்தின் சாய்வு என்பது ஒரு திசையன் ஆகும், இது உரு மற்றும் அளவிடக்கூடிய புலத்தின் பெருக்கத்தால் குறியீடாக வெளிப்படுத்தப்படுகிறது, வேறுபாடுஃ திசையன் புலம் A இன் வேறுபாடு ஒரு அளவிடக்கூடியது, இது உரு மற்றும் திசையன் A இன் புள்ளி பெருக்கத்தால் குறியீடாக வெளிப்படுத்தப்படுகிறது, லாப்லாசியன்ஃ அளவிடக்கூடிய புலத்தின் லாப்லாசியன் ஒரு அளவிடக்கூடியது, இது உரு 2 இன் அளவிடக்கூடிய பெருக்கத்தால் குறியீடாக வெளிப்படுத்தப்படுகிறது மற்றும் அளவிடக்கூடிய புலம் φ, சுழற்சிஃ திசையன் புலம் A இன் சுழற்சி அல்லது சுழற்சி ஒரு திசையன் ஆகும், இது உரு மற்றும் திசையன் A இன் குறுக்கு விளைபொருளால் குறியீடாக வெளிப்படுத்தப்படுகிறது, வழித்தோன்றல்களின் பல குறியீட்டு செயல்பாடுகளை நேரடியான முறையில் பொதுமைப்படுத்தலாம். எடுத்துக்காட்டாக, ஒற்றை-மாறி தயாரிப்பு விதி சாய்வு இயக்கியைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் அளவிடக்கூடிய புலங்களின் பெருக்கத்தில் ஒரு நேரடி ஒப்புமையைக் கொண்டுள்ளது, ஒற்றை மாறி கால்குலஸின் பல விதிகள் சாய்வு, வேறுபாடு, சுருள் மற்றும் லாப்லாசியன் ஆகியவற்றிற்கான திசையன் கால்குலஸ் ஒப்புமைகளைக் கொண்டுள்ளன. மேலும் கவர்ச்சியான வகையான இடங்களுக்கு மேலும் குறியீடுகள் உருவாக்கப்பட்டுள்ளன. மின்காவ்ஸ்கி இடத்தில் உள்ள கணக்கீடுகளுக்கு, டி 'அலம்பெர்ட் ஆபரேட்டர், டி' அலம்பெர்டியன், அலை ஆபரேட்டர் அல்லது பாக்ஸ் ஆபரேட்டர் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது, இது லாப்லாசியனின் சின்னத்துடன் முரண்படாதபோது அல்லது குறிக்கப்படுகிறது. செயல்பாட்டு கால்குலஸ் குறிப்புகள் வெளிப்புற இணைப்புகள் கால்குலஸின் சின்னங்களின் ஆரம்ப பயன்பாடுகள், ஜெஃப் மில்லரால் பராமரிக்கப்படுகிறது (). வேறுபட்ட கணக்கீட்டு கணிதக் குறியீடு