Isothermal coordinates
கணிதத்தில், குறிப்பாக வேறுபட்ட வடிவவியலில், ரீமானியன் பன்மடங்கு மீது சமவெப்ப ஆயத்தொலைவுகள் யூக்ளிடியன் மெட்ரிக் இணக்கமாக இருக்கும் உள்ளூர் ஆயத்தொலைவுகள் ஆகும். இதன் பொருள் என்னவென்றால், சமவெப்ப ஆயத்தொகுதிகளில், ரீமானியன் மெட்ரிக் உள்ளூரில் ஒரு நேர்மறை மென்மையான செயல்பாட்டின் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது. (ரீமானியன் பன்மடங்கு சார்ந்ததாக இருந்தால், சில எழுத்தாளர்கள் ஒரு ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு அந்த நோக்குநிலையுடன் சமவெப்பமாக இருக்க வேண்டும் என்று வலியுறுத்துகின்றனர்.) மேற்பரப்புகளில் சமவெப்ப ஆயத்தொலைவுகள் முதன்முதலில் காஸ் மூலம் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டன. கார்ன் மற்றும் லிச்சென்ஸ்டைன் இரு பரிமாண ரீமானியன் பன்மடங்கு எந்த புள்ளியிலும் சமவெப்ப ஆயத்தொலைவுகள் இருப்பதை நிரூபித்தனர். இதற்கு மாறாக, பெரும்பாலான உயர் பரிமாண பன்மடங்கு சமவெப்ப ஆயத்தொலைவுகளை எங்கும் அனுமதிக்காது; அதாவது, அவை பொதுவாக உள்ளூரில் இணக்கமாக தட்டையாக இருக்காது. பரிமாணம் 3 இல், ஒரு ரீமானியன் மெட்ரிக் அதன் பருத்தி இழுவிசை மறைந்துவிட்டால் மட்டுமே உள்ளூரில் இணக்கமாக தட்டையாக இருக்கும். பரிமாணங்கள்> 3 இல், ஒரு மெட்ரிக் அதன் வேய்ல் டென்சர் மறைந்துவிட்டால் மட்டுமே உள்ளூரில் இணக்கமாக தட்டையானது. மேற்பரப்புகளில் சமவெப்ப ஆயத்தொலைவுகள் 1822 ஆம் ஆண்டில், கார்ல் ஃப்ரெட்ரிக் காஸ் ஒரு தன்னிச்சையான மேற்பரப்பில் ஒரு உண்மையான பகுப்பாய்வு ரீமானியன் மெட்ரிக் மூலம் சமவெப்ப ஆயத்தொலைவுகள் இருப்பதை நிரூபித்தார், இது ஜோசப் லாக்ராஞ்சின் முந்தைய முடிவுகளைப் பின்பற்றியது. காஸ் பயன்படுத்திய கட்டுமானம் காச்சி-கோவலேவ்ஸ்கி தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தியது, இதனால் அவரது முறை அடிப்படையில் உண்மையான பகுப்பாய்வு சூழலுக்கு மட்டுப்படுத்தப்பட்டுள்ளது. ஆர்தர் கார்னின் இரு பரிமாண பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் கோட்பாட்டில் புதுமைகளைத் தொடர்ந்து, லியோன் லிச்சென்ஸ்டைன் 1916 ஆம் ஆண்டில் குறைந்த ஒழுங்குமுறை கொண்ட ரீமானியன் அளவீடுகளுக்கான சமவெப்ப ஆயத்தொலைவுகளின் பொதுவான இருப்பைக் கண்டறிந்தார், இதில் மென்மையான அளவீடுகள் மற்றும் ஹோல்டர் தொடர்ச்சியான அளவீடுகள் கூட அடங்கும். இரு பரிமாண பன்மடங்கு மீது ஒரு ரீமானியன் மெட்ரிக் கொடுக்கப்பட்டால், சமவெப்ப ஒருங்கிணைப்பு விளக்கப்படங்களுக்கு இடையிலான மாற்றம் செயல்பாடு, இது திறந்த துணைக்குழுக்களுக்கு இடையிலான வரைபடமாகும், இது அவசியம் கோணத்தைப் பாதுகாக்கிறது. கோணத்தைப் பாதுகாக்கும் பண்பு மற்றும் நோக்குநிலைப் பாதுகாப்பு ஆகியவை ஹோலோமார்பிக் செயல்பாடுகளின் (பலவற்றில்) ஒரு குணாதிசயமாகும், எனவே ஐசோதெர்மல் ஒருங்கிணைப்பு விளக்கப்படங்களைக் கொண்ட ஒரு நோக்குநிலை ஒருங்கிணைப்பு அட்லஸை ஒரு ஹோலோமார்பிக் ஒருங்கிணைப்பு அட்லஸாகக் கருதலாம். இது ஒரு ரீமானியன் மெட்ரிக் மற்றும் இரு பரிமாண பன்மடங்கு மீது ஒரு நோக்குநிலை ஆகியவை இணைந்து ஒரு ரீமானின் மேற்பரப்பின் கட்டமைப்பைத் தூண்டுகின்றன என்பதை நிரூபிக்கிறது (அதாவது. ஒரு பரிமாண சிக்கலான பன்மடங்கு). மேலும், ஒரு நோக்குநிலை மேற்பரப்பு கொடுக்கப்பட்டால், இரண்டு ரீமானியன் அளவீடுகள் ஒரே ஹோலோமார்பிக் அட்லஸைத் தூண்டுகின்றன, அவை ஒன்றுக்கொன்று இணையாக இருந்தால் மட்டுமே. இந்த காரணத்திற்காக, ரீமன் மேற்பரப்புகளைப் பற்றிய ஆய்வு சார்ந்த மேற்பரப்புகளில் ரீமனியன் அளவீடுகளின் இணக்கமான வகுப்புகளின் ஆய்வுக்கு ஒத்ததாக இருக்கிறது. 1950 களில், கார்ன் மற்றும் லிச்சென்ஸ்டைனின் கருத்துக்களின் வெளிப்பாடுகள் சிக்கலான வழித்தோன்றல்களின் மொழியிலும், லிப்மேன் பெர்ஸ் மற்றும் ஷிங்-ஷென் செர்ன் ஆகியோரால் பெல்ட்ராமி சமன்பாட்டிலும் வைக்கப்பட்டன. இந்த சூழலில், பொதுவான தீர்வுகளின் இருப்பை ஆராய்வது இயல்பானது, அவை தொடர்புடைய பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகளை திருப்திப்படுத்துகின்றன, ஆனால் வழக்கமான வழியில் ஒருங்கிணைந்த விளக்கப்படங்களாக இனி விளக்க முடியாது. இரு பரிமாண களங்களில் நீள்வட்ட பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் கோட்பாடு குறித்த தனது ஆரம்ப 1938 கட்டுரையில் சார்லஸ் மோரி இதைத் தொடங்கினார், இது பின்னர் லார்ஸ் அஹ்ல்போர்ஸ் மற்றும் பெர்ஸின் அளவிடக்கூடிய ரீமன் மேப்பிங் தேற்றத்திற்கு வழிவகுத்தது. பெல்ட்ராமி சமன்பாடு பெல்ட்ராமி சமன்பாட்டிற்கான அறியப்பட்ட இருப்பு கோட்பாடுகளைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் சமவெப்ப ஆயத்தொலைவுகளின் இருப்பை நிரூபிக்க முடியும், அவை கால்டெரோன் மற்றும் ஜைக்மண்டின் ஒருமை ஒருங்கிணைந்த இயக்கிகளுக்கான Lp மதிப்பீடுகளை நம்பியுள்ளன. பெல்ட்ராமி சமன்பாட்டிற்கு ஒரு எளிய அணுகுமுறை சமீபத்தில் அட்ரியன் டூவாடியால் வழங்கப்பட்டுள்ளது. ரீமானியன் மெட்ரிக் சிக்கலான ஒருங்கிணைப்பில் உள்ளூரில் கொடுக்கப்பட்டால், அது எங்கே மற்றும் மற்றும் உடன் மென்மையாக இருக்கும் வடிவத்தை எடுக்கும். உண்மையில் சமவெப்ப ஆயத்தொகுதிகளில் மெட்ரிக் ρ மென்மையாக வடிவத்தை எடுக்க வேண்டும். பெல்ட்ராமி சமன்பாடு ஒரு டிப்ஃபோமார்பிக் தீர்வைக் கொண்டிருந்தால், ஒருங்கிணைப்புகள் (u, v) சமவெப்பமாக இருக்கும் வகையில் சிக்கலான ஒருங்கிணைப்பு திருப்தி அளிக்கிறது. அத்தகைய தீர்வு எந்த சுற்றுப்புறத்திலும் இருப்பதாக நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. நீள்வட்ட பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகளுக்கான உள்ளூர் தீர்வு மூலம் இருப்பு ஒரு மென்மையான இரு பரிமாண ரீமானியன் பன்மடங்கு மீது சமவெப்ப ஆயத்தொலைவுகள் இருப்பது நீள்வட்ட பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் பகுப்பாய்வில் நிலையான உள்ளூர் தீர்வு விளைவின் விளைவாகும். தற்போதைய சூழலில், தொடர்புடைய நீள்வட்ட சமன்பாடு என்பது ஒரு செயல்பாடு ரீமானியன் மெட்ரிக் உடன் ஒத்ததாக இருக்க வேண்டும் என்ற நிபந்தனையாகும். உள்ளூர் தீர்வு பின்னர் எந்த புள்ளியிலும் ஒரு சுற்றுப்புறம் உள்ளது, அதில் எங்கும் மறைந்துபோகாத வழித்தோன்றலுடன் ஒரு ஹார்மோனிக் செயல்பாடு உள்ளது என்று கூறுகிறது. இத்தகைய செயல்பாட்டிலிருந்து சமவெப்ப ஆயத்தொலைவுகள் பின்வரும் வழியில் கட்டமைக்கப்படுகின்றன. ரீமானியன் மெட்ரிக் உடன் தொடர்புடைய ஹோட்ஜ் ஸ்டார் ஆபரேட்டரைப் பயன்படுத்தி வரையறுக்கப்பட்ட வேறுபட்ட 1-வடிவத்தின் நெருக்கத்திற்கு ஹார்மோனிசிட்டி ஒத்திருக்கிறது. பாயின்கேர் லெம்மா இவ்வாறு ஹோட்ஜ் நட்சத்திரத்தின் வரையறையின்படி ஒரு செயல்பாட்டின் இருப்பைக் குறிக்கிறது, மேலும் அவை ஒன்றுக்கொன்று ஆர்த்தோகனல் மற்றும் எனவே நேரியல் ரீதியாக சுயாதீனமானவை, பின்னர் இது தலைகீழ் செயல்பாட்டு தேற்றத்திலிருந்து பின்பற்றுகிறது மற்றும் அதன் சில சுற்றுப்புறங்களில் ஒரு ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பை உருவாக்குகிறது. இந்த ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு தானாகவே ஐசோதெர்மல் ஆகும், ஏனெனில் ஆர்த்தோகோனாலிட்டி மற்றும் மெட்ரிக் மூலைவிட்டத்தை குறிக்கிறது, மேலும் ஹோட்ஜ் நட்சத்திரத்தின் நெறிமுறை-பாதுகாக்கும் பண்பு இரண்டு மூலைவிட்ட கூறுகளின் சமத்துவத்தைக் குறிக்கிறது. காஸியன் வளைவு சமவெப்ப ஆயத்தொகுதிகளில், காஸியன் வளைவு எளிமையான வடிவத்தை எடுக்கிறது மேலும் காண்க லியோவில்லின் சமன்பாட்டு குவாசிகோஃபார்மல் வரைபடம் குறிப்புகள் குறிப்புகள். மறு அச்சிடப்பட்டதுஃ வெளிப்புற இணைப்புகள் வேறுபட்ட வடிவியல் வேறுபட்ட வடிவவியலில் அமைப்புகளை ஒருங்கிணைக்க பகுதி வேறுபட்ட சமன்பாடுகள்