Projective cover
வகைக் கோட்பாடு என்று அழைக்கப்படும் சுருக்க கணிதத்தின் கிளையில், ஒரு பொருள் X இன் ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் கவர் ஒரு வகையில் ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் பொருள் P ஆல் X இன் சிறந்த தோராயமாகும். ப்ரொஜெக்டிவ் கவர்கள் ஊசி உறைகளின் இரட்டை ஆகும். வரையறை ஒரு வகை மற்றும் X ஒரு பொருளாக இருக்கட்டும். ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் கவர் என்பது ஒரு ஜோடி (பி, பி) ஆகும், இதில் பி ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் பொருள் மற்றும் பி ஹோம் (பி, எக்ஸ்) இல் ஒரு மிதமிஞ்சிய எபிமார்பிசம் ஆகும். R ஒரு வளையமாக இருந்தால், R-தொகுதிகளின் பிரிவில், ஒரு மிதமிஞ்சிய எபிமார்பிசம் என்பது ஒரு எபிமார்பிசம் ஆகும், அதாவது p இன் கர்னல் P இன் மிதமிஞ்சிய துணை தொகுதியாகும். பண்புகள் ப்ரொஜெக்டிவ் கவர்கள் மற்றும் அவற்றின் மிதமிஞ்சிய எபிமார்பிசம்கள், அவை இருக்கும்போது, ஐசோமார்பிசம் வரை தனித்துவமானவை. இருப்பினும், ஐசோமார்பிசம் தனித்துவமாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை, ஏனெனில் ப்ரொஜெக்டிவ் பண்பு ஒரு முழு அளவிலான உலகளாவிய பண்பு அல்ல. p ஒரு மிதமிஞ்சிய கர்னலைக் கொண்டிருப்பதன் முக்கிய விளைவு பின்வருமாறுஃ N என்பது P இன் சரியான துணை தொகுதியாக இருந்தால், பின்னர். முறைசாரா முறையில் பேசுகையில், இது தேவையற்ற கர்னல் P ஐ M ஐ உகந்த முறையில் மறைக்க காரணமாகிறது என்பதைக் காட்டுகிறது, அதாவது, P இன் எந்த துணை தொகுதியும் போதுமானதாக இருக்காது. இது P இன் புரொஜெக்டிவிட்டி சார்ந்தது அல்லஃ இது அனைத்து மிதமிஞ்சிய எபிமார்பிசங்களுக்கும் பொருந்தும். (P, p) என்பது M இன் புரொஜெக்டிவ் கவர் ஆகவும், P 'என்பது எபிமார்பிசம் கொண்ட மற்றொரு புரொஜெக்டிவ் தொகுதியாகவும் இருந்தால், P' இலிருந்து P வரை ஒரு பிளவு எபிமார்பிசம் உள்ளது, அதாவது ஊசி உறைகள் மற்றும் தட்டையான உறைகளைப் போலல்லாமல், ஒவ்வொரு இடது (வலது) R-தொகுதியிலும் வளையம் R ஐப் பொருட்படுத்தாமல், இடது (வலது) R-தொகுதிகள் பொதுவாக புரொஜெக்டிவ் அட்டைகளைக் கொண்டிருக்காது. ஒவ்வொரு இடது (வலது) ஆர்-தொகுதியும் ஆர்-மோட் (மோட்-ஆர்) இல் ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் கவர் இருந்தால் ஒரு வளையம் ஆர் இடது (வலது) சரியானது என்று அழைக்கப்படுகிறது. இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட ஒவ்வொரு இடது (வலது) ஆர்-தொகுதியும் ஆர்-மோட் (மோட்-ஆர்) இல் ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் கவர் இருந்தால் ஒரு வளையம் அரை-சரியானது என்று அழைக்கப்படுகிறது. "செமிபெர்ஃபெக்ட்" என்பது ஒரு இடது-வலது சமச்சீர் பண்பு ஆகும். ஐடெம்போட்டண்டுகள் R/J இலிருந்து R க்கு உயர்த்தப்பட்டால் ஒரு வளையம் லிப்ட்/ராட் என்று அழைக்கப்படுகிறது, அங்கு J என்பது R இன் ஜேகப்ஸன் ரேடிக்கல் ஆகும். லிப்ட்/ராட் என்ற பண்பு ப்ரொஜெக்டிவ் கவர்களின் அடிப்படையில் வகைப்படுத்தப்படலாம்ஃ R தொகுதி R/J இன் நேரடி கூட்டுத்தொகைகள் (வலது அல்லது இடது தொகுதியாக) ப்ரொஜெக்டிவ் கவர்கள் இருந்தால் மட்டுமே R என்பது லிப்ட்/ராட் ஆகும். ஆர் தொகுதிகளின் பிரிவில் எடுத்துக்காட்டுகள்ஃ எம் ஏற்கனவே ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் தொகுதியாக இருந்தால், எம் முதல் எம் வரையிலான அடையாள வரைபடம் ஒரு மிதமிஞ்சிய எபிமார்பிசம் ஆகும் (அதன் கர்னல் பூஜ்ஜியமாக உள்ளது). எனவே, ப்ரொஜெக்டிவ் தொகுதிகள் எப்போதும் ப்ரொஜெக்டிவ் அட்டைகளைக் கொண்டுள்ளன. J (R) = 0 என்றால், M ஏற்கனவே திட்டவட்டமாக இருந்தால் மட்டுமே ஒரு தொகுதி M ஒரு திட்டவட்டமான மறைப்பைக் கொண்டுள்ளது. ஒரு தொகுதி எம் எளிமையானதாக இருந்தால், அது இருந்தால், அது அதன் ப்ரொஜெக்டிவ் அட்டையின் மேற்புறமாக இருக்க வேண்டும். ஒரு தொகுதிக்கான ஊசி உறை எப்போதும் உள்ளது, இருப்பினும் சில வளைய தொகுதிகளில் ப்ரொஜெக்டிவ் கவர்கள் இல்லாமல் இருக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, Z இலிருந்து Z/2Z க்கு இயற்கையான வரைபடம் Z-தொகுதி Z/2Z இன் ப்ரொஜெக்டிவ் கவர் அல்ல (இது உண்மையில் ப்ரொஜெக்டிவ் கவர் இல்லை). அதன் அனைத்து சரியான தொகுதிகளையும் ப்ரொஜெக்டிவ் கவர்களுடன் வழங்கும் வளையங்களின் வகுப்பு சரியான சரியான வளையங்களின் வகுப்பாகும். எந்த ஆர்-தொகுதி எம் ஒரு தட்டையான மறைப்பைக் கொண்டுள்ளது, இது ஆர் ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் கவர் இருந்தால் ப்ரொஜெக்டிவ் கவர்க்கு சமம். மேலும் காண்க ப்ரொஜெக்டிவ் ரெசல்யூஷன் குறிப்புகள் வகை கோட்பாடு ஹோமோலாஜிக்கல் அல்ஜிப்ரா தொகுதி கோட்பாடு