Overdetermined system
கணிதத்தில், அறியப்படாதவற்றை விட அதிகமான சமன்பாடுகள் இருந்தால் சமன்பாடுகளின் அமைப்பு மிகைப்படுத்தப்பட்டதாகக் கருதப்படுகிறது. சீரற்ற குணகங்களுடன் கட்டமைக்கப்படும்போது ஒரு மிகைப்படுத்தப்பட்ட அமைப்பு கிட்டத்தட்ட எப்போதும் சீரற்றதாக இருக்கும் (அதற்கு எந்த தீர்வும் இல்லை). இருப்பினும், ஒரு மிகைப்படுத்தப்பட்ட அமைப்பு சில சந்தர்ப்பங்களில் தீர்வுகளைக் கொண்டிருக்கும், எடுத்துக்காட்டாக சில சமன்பாடுகள் அமைப்பில் பல முறை ஏற்பட்டால், அல்லது சில சமன்பாடுகள் மற்றவற்றின் நேரியல் சேர்க்கைகளாக இருந்தால். வரையறையை கட்டுப்பாடு எண்ணும் கருத்தாக்கத்தின் அடிப்படையில் விவரிக்க முடியும். அறியப்படாத ஒவ்வொன்றையும் கிடைக்கக்கூடிய அளவிலான சுதந்திரமாக பார்க்க முடியும். அமைப்பில் அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட ஒவ்வொரு சமன்பாடும் ஒரு அளவிலான சுதந்திரத்தை கட்டுப்படுத்தும் ஒரு தடையாக பார்க்கப்படலாம். எனவே, சமன்பாடுகளின் எண்ணிக்கை மற்றும் இலவச மாறிகளின் எண்ணிக்கை சமமாக இருக்கும்போது முக்கியமான வழக்கு நிகழ்கிறது. சுதந்திரத்தின் அளவைக் கொடுக்கும் ஒவ்வொரு மாறிக்கும், அதனுடன் தொடர்புடைய கட்டுப்பாடு உள்ளது. அமைப்பு மிகைப்படுத்தப்பட்டிருக்கும் போது மிகைப்படுத்தப்பட்ட வழக்கு நிகழ்கிறது-அதாவது, சமன்பாடுகள் அறியப்படாதவற்றை விட அதிகமாக இருக்கும்போது. இதற்கு மாறாக, அமைப்பு குறைவாக கட்டுப்படுத்தப்படும்போது குறைத்து மதிப்பிடப்பட்ட வழக்கு நிகழ்கிறது-அதாவது, சமன்பாடுகளின் எண்ணிக்கை அறியப்படாதவர்களின் எண்ணிக்கையை விட குறைவாக இருக்கும்போது. இத்தகைய அமைப்புகள் பொதுவாக எண்ணற்ற தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளன. சமன்பாடுகளின் மிகைப்படுத்தப்பட்ட நேரியல் அமைப்புகள் இரண்டு பரிமாணங்களில் ஒரு எடுத்துக்காட்டு 3 சமன்பாடுகள் மற்றும் 2 அறியப்படாத (மற்றும்) அமைப்பைக் கவனியுங்கள், இது 3> 2 என்பதால் மிகைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது, மேலும் இது வரைபடத்துடன் ஒத்திருக்கிறது #1: ஒவ்வொரு ஜோடி நேரியல் சமன்பாடுகளுக்கும் ஒரு தீர்வு உள்ளதுஃ முதல் மற்றும் இரண்டாவது சமன்பாடுகளுக்கு (0.2, −1.4), முதல் மற்றும் மூன்றாவது (−2/3,1/3), மற்றும் இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது (1.5,25). இருப்பினும், மூன்றையும் ஒரே நேரத்தில் திருப்திப்படுத்தும் தீர்வு எதுவும் இல்லை. வரைபடங்கள் #2 மற்றும் 3 ஆகியவை சீரற்ற பிற உள்ளமைவுகளைக் காட்டுகின்றன, ஏனெனில் அனைத்து கோடுகளிலும் எந்த புள்ளியும் இல்லை. இந்த வகையின் அமைப்புகள் சீரற்றதாகக் கருதப்படுகின்றன. மிகைப்படுத்தப்பட்ட அமைப்பு உண்மையில் ஒரு தீர்வைக் கொண்ட ஒரே நிகழ்வுகள் வரைபடங்கள் #4,5 மற்றும் 6 இல் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளன. சுயாதீன சமன்பாடுகளின் எண்ணிக்கை அறியப்படாதவற்றின் எண்ணிக்கையை விட அதிகமாக இல்லாத போதுமான நேரியல் சார்ந்த சமன்பாடுகளை மிகைப்படுத்தப்பட்ட அமைப்பு கொண்டிருக்கும்போது மட்டுமே இந்த விதிவிலக்குகள் ஏற்படலாம். நேரியல் சார்பு என்பது சில சமன்பாடுகளை மற்ற சமன்பாடுகளை நேரியல் முறையில் இணைப்பதன் மூலம் பெறலாம் என்பதாகும். எடுத்துக்காட்டாக, Y = X + 1 மற்றும் 2Y = 2X + 2 ஆகியவை நேரியல் சார்ந்த சமன்பாடுகளாகும், ஏனெனில் இரண்டாவது ஒன்றை முதல் ஒன்றை இரண்டு முறை எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம் பெறலாம். மேட்ரிக்ஸ் வடிவம் நேரியல் சமன்பாடுகளின் எந்த அமைப்பையும் மேட்ரிக்ஸ் சமன்பாடாக எழுதலாம். முந்தைய சமன்பாடுகளின் அமைப்பை (வரைபடம் #1 இல்) பின்வருமாறு எழுதலாம்ஃ குணக மேட்ரிக்ஸின் வரிசைகள் (சமன்பாடுகளுடன் தொடர்புடையவை) நெடுவரிசைகளை (அறியப்படாதவற்றுடன் தொடர்புடையவை) விட அதிகமாக உள்ளன என்பதைக் கவனியுங்கள், அதாவது அமைப்பு மிகைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது. இந்த மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை 2 ஆகும், இது அமைப்பில் உள்ள சார்பு மாறிகளின் எண்ணிக்கையுடன் ஒத்திருக்கிறது. குணகம் மேட்ரிக்ஸ் அதன் பெருக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸின் அதே தரவரிசையைக் கொண்டிருந்தால் மட்டுமே ஒரு நேரியல் அமைப்பு சீராக இருக்கும் (கூடுதல் நெடுவரிசையுடன் கூடிய குணகம் மேட்ரிக்ஸ், அந்த நெடுவரிசை மாறிலிகளின் நெடுவரிசை திசையனாக இருக்கும்). ஆக்மென்டட் மேட்ரிக்ஸ் தரவரிசை 3 ஐக் கொண்டுள்ளது, எனவே அமைப்பு சீரற்றது. பூஜ்யம் 0 ஆகும், அதாவது பூஜ்ய இடத்தில் பூஜ்ஜிய திசையன் மட்டுமே உள்ளது, எனவே எந்த அடிப்படையும் இல்லை. நேரியல் இயற்கணிதத்தில், மேட்ரிக்ஸின் பண்புகளை தீர்மானிக்க வரிசை இடைவெளி, நெடுவரிசை இடைவெளி மற்றும் பூஜ்ய இடைவெளி ஆகியவற்றின் கருத்துக்கள் முக்கியமானவை. மேற்கூறிய கட்டுப்பாடுகள் மற்றும் சுதந்திரத்தின் அளவுகள் பற்றிய முறைசாரா விவாதம் இந்த முறையான கருத்துக்களுடன் நேரடியாக தொடர்புடையது. ஒரே மாதிரியான வழக்கு (இதில் அனைத்து நிலையான சொற்களும் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும்) எப்போதும் சீராக இருக்கும் (ஏனெனில் ஒரு அற்பமான, அனைத்து பூஜ்ஜிய தீர்வு உள்ளது). நேரியல் சார்ந்த சமன்பாடுகளின் எண்ணிக்கையைப் பொறுத்து இரண்டு நிகழ்வுகள் உள்ளனஃ ஒன்று அற்பமான தீர்வு மட்டுமே உள்ளது, அல்லது அற்பமான தீர்வு மற்றும் எல்லையற்ற பிற தீர்வுகளின் தொகுப்பு உள்ளது. நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைக் கவனியுங்கள்ஃ 1 ≤ i ≤ M க்கு Li = 0, மற்றும் மாறிகள் X1, X2,., XN, இதில் ஒவ்வொரு Li யும் Xis இன் எடையுள்ள கூட்டுத்தொகையாகும். பின்னர் X1 = X2 = ꯘꯥ = XN = 0 எப்போதும் ஒரு தீர்வாகும். எம் <என் போது அமைப்பு குறைவாக தீர்மானிக்கப்படுகிறது மற்றும் எப்போதும் மேலும் தீர்வுகள் ஒரு முடிவிலி உள்ளன. உண்மையில் தீர்வுகளின் இடத்தின் பரிமாணம் எப்போதும் குறைந்தபட்சம் N − M ஆக இருக்கும். M ≤ N க்கு, அனைத்து மதிப்புகளும் 0 ஆக இருப்பதைத் தவிர வேறு எந்த தீர்வும் இருக்காது. சமன்பாடுகளின் அமைப்பு சுயாதீன சமன்பாடுகளின் எண்ணிக்கை அதிகபட்சம் N−1 ஆக இருக்கும் அளவுக்கு போதுமான சார்புகளைக் (நேரியல் சார்ந்த சமன்பாடுகள்) கொண்டிருக்கும்போது மட்டுமே மற்ற தீர்வுகளின் முடிவிலி இருக்கும். ஆனால் M ≤ N உடன் சுயாதீன சமன்பாடுகளின் எண்ணிக்கை N ஐ விட அதிகமாக இருக்கலாம், இந்த விஷயத்தில் அற்பமான தீர்வு மட்டுமே. நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளில், 1 ≤ i ≤ M க்கு Li = ci, X1, X2, XN மாறிகளில் சமன்பாடுகள் சில நேரங்களில் நேரியல் சார்ந்தவை; உண்மையில் நேரியல் சுயாதீன சமன்பாடுகளின் எண்ணிக்கை N + 1 ஐ தாண்ட முடியாது. N அறியப்படாத மற்றும் M சமன்பாடுகள் (M> N) கொண்ட மிகைப்படுத்தப்பட்ட அமைப்புக்கு பின்வரும் சாத்தியமான நிகழ்வுகள் உள்ளன. M = N + 1 மற்றும் அனைத்து M சமன்பாடுகளும் நேரியல் ரீதியாக சுயாதீனமானவை. இந்த வழக்கில் எந்தத் தீர்வும் இல்லை. எடுத்துக்காட்டுஃ x = 1, x = 2. M> N ஆனால் K சமன்பாடுகள் (K <M மற்றும் K ≤ N + 1) மட்டுமே நேரியல் ரீதியாக சுயாதீனமானவை. இதற்கு மூன்று சாத்தியமான துணை நிகழ்வுகள் உள்ளனஃ K = N + 1. இந்த வழக்கு எந்த தீர்வையும் வழங்காது. எடுத்துக்காட்டுஃ 2x = 2, x = 1, x = 2. K = N. இந்த வழக்கு ஒரு ஒற்றை தீர்வைத் தருகிறது அல்லது தீர்வு இல்லை, பிந்தையது ஒரு சமன்பாட்டின் குணகம் திசையனை மற்ற சமன்பாடுகளின் குணகம் திசையன்களின் எடையுள்ள கூட்டுத்தொகையால் நகலெடுக்க முடியும், ஆனால் மற்ற சமன்பாடுகளின் நிலையான சொற்களுக்கு பயன்படுத்தப்படும் எடையுள்ள தொகை ஒரு சமன்பாட்டின் நிலையான சொல்லைப் பிரதிபலிக்காது. ஒரு தீர்வுடன் எடுத்துக்காட்டுஃ 2x = 2, x = 1. தீர்வு இல்லாத எடுத்துக்காட்டுஃ 2x + 2y = 2, x + y = 1, x + y = 3. கே <என். இந்த வழக்கு எண்ணற்ற பல தீர்வுகளைத் தருகிறது அல்லது எந்த தீர்வும் இல்லை, பிந்தையது முந்தைய துணை வழக்கைப் போலவே நிகழ்கிறது. எண்ணற்ற தீர்வுகளைக் கொண்ட எடுத்துக்காட்டுஃ 3x + 3y = 3,2x + 2y = 2, x + y = 1. தீர்வு இல்லாத எடுத்துக்காட்டுஃ 3x + 3y + 3z = 3,2x + 2y + 2z = 2, x + y + z = 1, x + y + z = 4. காஸியன் நீக்குதலைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் அமைப்பின் குணகங்களின் பெருக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸை வரிசை எசெலான் வடிவத்தில் வைப்பதன் மூலம் இந்த முடிவுகளைப் புரிந்துகொள்வது எளிதாக இருக்கலாம். இந்த வரிசை ஈச்சலோன் வடிவம் கொடுக்கப்பட்ட அமைப்புக்கு சமமான சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் பெருக்கப்பட்ட அணி ஆகும் (இது சரியாக அதே தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது). அசல் அமைப்பில் சுயாதீன சமன்பாடுகளின் எண்ணிக்கை என்பது எக்கலோன் வடிவத்தில் பூஜ்ஜியமற்ற வரிசைகளின் எண்ணிக்கை ஆகும். எசெலான் வடிவத்தில் கடைசி பூஜ்ஜியமற்ற வரிசையில் கடைசி நெடுவரிசையில் உள்ள பூஜ்ஜியமற்ற ஒரு நுழைவு மட்டுமே இருந்தால் மட்டுமே அமைப்பு சீரற்றது (தீர்வு இல்லை) (0 = c என்ற சமன்பாட்டைக் கொடுக்கும் போது c என்பது பூஜ்ஜியமற்ற மாறிலி). இல்லையெனில், ஈச்சலோன் வடிவத்தில் பூஜ்ஜியமற்ற வரிசைகளின் எண்ணிக்கை அறியப்படாதவற்றின் எண்ணிக்கைக்கு சமமாக இருக்கும்போது சரியாக ஒரு தீர்வு உள்ளது, மேலும் பூஜ்ஜியமற்ற வரிசைகளின் எண்ணிக்கை மாறிகளின் எண்ணிக்கையை விட குறைவாக இருக்கும்போது எண்ணற்ற பல தீர்வுகள் உள்ளன. மற்றொரு வகையில் பார்த்தால், ரூச்-கேபெல்லி தேற்றத்தின்படி, பெருக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை குணக மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசையை விட அதிகமாக இருந்தால் எந்தவொரு சமன்பாடுகளின் அமைப்பும் (மிகைப்படுத்தப்பட்ட அல்லது வேறுவிதமாக) சீரற்றதாக இருக்கும். மறுபுறம், இந்த இரண்டு மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசைகளும் சமமாக இருந்தால், அமைப்புக்கு குறைந்தபட்சம் ஒரு தீர்வாவது இருக்க வேண்டும். தரவரிசை மாறிகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமமாக இருந்தால் மட்டுமே தீர்வு தனித்துவமானது. இல்லையெனில் பொதுவான தீர்வு k இலவச அளவுருக்களைக் கொண்டுள்ளது, அங்கு k என்பது மாறிகளின் எண்ணிக்கைக்கும் தரவரிசைக்கும் இடையிலான வேறுபாடு; எனவே அத்தகைய சந்தர்ப்பத்தில் முடிவிலியின் தீர்வுகள் உள்ளன. சரியான தீர்வுகள் அனைத்து சரியான தீர்வுகளையும் பெறலாம், அல்லது மேட்ரிக்ஸ் இயற்கணிதத்தைப் பயன்படுத்தி எதுவும் இல்லை என்பதைக் காட்டலாம். சிஸ்டம் ஆஃப் லீனியர் equations#Matrix தீர்வை பார்க்கவும். தோராயமான தீர்வுகள் மிகைப்படுத்தப்பட்ட அமைப்புகளுக்கு தோராயமான தீர்வைக் கண்டறிய சாதாரண குறைந்தபட்ச சதுரங்களின் முறையைப் பயன்படுத்தலாம். அமைப்பைப் பொறுத்தவரை, குறைந்தபட்ச சதுர சூத்திரம் சிக்கலில் இருந்து பெறப்படுகிறது, அதன் தீர்வை இயல்பான சமன்பாடுகளுடன் எழுதலாம், அங்கு ஒரு மேட்ரிக்ஸ் டிரான்ஸ்போஸ் இருப்பதைக் குறிக்கிறது (அதாவது, A க்கு முழு நெடுவரிசை தரவரிசை இருந்தால்). இந்த சூத்திரத்தின் மூலம் சரியான தீர்வு இல்லாதபோது தோராயமான தீர்வு காணப்படுகிறது, மேலும் அது இருக்கும்போது சரியான தீர்வைத் தருகிறது. இருப்பினும், நல்ல எண் துல்லியத்தை அடைய, குறைந்தபட்ச சதுரப் பிரச்சினையைத் தீர்க்க ஏ இன் கியூஆர் காரணிமயமாக்கலைப் பயன்படுத்துவது விரும்பப்படுகிறது. சமன்பாடுகளின் மிகைப்படுத்தப்பட்ட நேரியல் அல்லாத அமைப்புகள் வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண இடைவெளிகளில், சமன்பாடுகளின் அமைப்பை ஒரு புள்ளி இருக்கும் இடத்தில் அல்லது உண்மையான அல்லது சிக்கலான செயல்பாடுகளின் வடிவத்தில் எழுதலாம் அல்லது பிரதிநிதித்துவப்படுத்தலாம். என்றால் அமைப்பு மிகைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது. இதற்கு மாறாக, இந்த அமைப்பு ஒரு குறைவாக தீர்மானிக்கப்பட்ட அமைப்பாகும். மிகைப்படுத்தப்பட்ட அமைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்கான ஒரு பயனுள்ள முறையாக, காஸ்-நியூட்டன் மறு செய்கை உள்ளூரில் நாற்கரமாக ஜாகோபியன் மேட்ரிக்ஸ்கள் ஊசி போடும் தீர்வுகளுடன் இணைகிறது. பொது பயன்பாட்டில் இந்த கருத்தை பல்லுறுப்புக்கோவை சமன்பாடுகளின் அமைப்புகள் அல்லது பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகள் போன்ற சமன்பாடுகளின் பொதுவான அமைப்புகளுக்கும் பயன்படுத்தலாம். பல்லுறுப்புக்கோவை சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைப் பொறுத்தவரை, ஒரு மிகைப்படுத்தப்பட்ட அமைப்புக்கு ஒரு தீர்வு இருக்கலாம், ஆனால் எந்த ஒரு சமன்பாடும் மற்றவற்றின் விளைவாக இல்லை, மேலும் எந்தவொரு சமன்பாட்டையும் அகற்றும்போது, புதிய அமைப்பு அதிக தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரே தீர்வு உள்ளது, ஆனால் ஒவ்வொரு சமன்பாட்டிற்கும் இரண்டு தீர்வுகள் உள்ளன. மேலும் காண்க நிர்ணயிக்கப்படாத அமைப்பு ரூச்-கேபெல்லி (அல்லது, ரூச்-ஃப்ரோபீனியஸ்) தேற்றம் ஒருங்கிணைப்பு நிலை குறைந்தபட்ச சதுரங்கள் நிலைத்தன்மை ஆதாரம் சுருக்கப்பட்ட உணர்தல் மூர்-பென்ரோஸ் போலி தலைகீழ் குறிப்புகள் வளைவு பொருந்தும் நேரியல் இயற்கணிதம் பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகள்