Lie bracket of vector fields
வேறுபட்ட இடவியல் கணிதத் துறையில், திசையன் புலங்களின் லை அடைப்புக்குறிப்பு, ஜாகோபி-லை அடைப்புக்குறிப்பு அல்லது திசையன் புலங்களின் கம்யூட்டேட்டர் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது, இது எந்த இரண்டு திசையன் புலங்களான X மற்றும் Y க்கு ஒரு மென்மையான பன்மடங்கு M இல் ஒதுக்கும் ஒரு ஆபரேட்டர் ஆகும். கருத்தியல் ரீதியாக, லை அடைப்புக்குறி X ஆல் உருவாக்கப்படும் ஓட்டத்தில் Y இன் வழித்தோன்றலாகும், மேலும் சில நேரங்களில் குறிக்கப்படுகிறது ("X உடன் Y இன் லை வழித்தோன்றல்"). இது X ஆல் உருவாக்கப்படும் ஓட்டத்தில் எந்த டென்சர் புலத்தின் லை வழித்தோன்றலுக்கு பொதுமைப்படுத்துகிறது. லை அடைப்புக்குறி ஒரு ஆர்-பில்லினியர் செயல்பாடாகும், மேலும் பன்மடங்கு எம் இல் உள்ள அனைத்து மென்மையான திசையன் புலங்களின் தொகுப்பையும் (எல்லையற்ற பரிமாண) லை இயற்கணிதமாக மாற்றுகிறது. லை அடைப்புக்குறி வேறுபட்ட வடிவியல் மற்றும் வேறுபட்ட இடவியல் ஆகியவற்றில் முக்கிய பங்கு வகிக்கிறது, எடுத்துக்காட்டாக ஃப்ரோபீனியஸ் ஒருங்கிணைப்பு தேற்றத்தில், மேலும் நேரியல் அல்லாத கட்டுப்பாட்டு அமைப்புகளின் வடிவியல் கோட்பாட்டிலும் அடிப்படையாக உள்ளது. வரையறைகள் லை அடைப்புக்குறியை வரையறுப்பதற்கு மூன்று கருத்தியல் ரீதியாக வேறுபட்ட ஆனால் சமமான அணுகுமுறைகள் உள்ளனஃ திசையன் புலங்கள் வழித்தோன்றல்கள் ஒரு பன்மடங்கு M இல் உள்ள ஒவ்வொரு மென்மையான திசையன் புலமும் மென்மையான செயல்பாடுகளில் (எங்கே மற்றும் வகுப்பின்) செயல்படும் ஒரு வேறுபட்ட ஆபரேட்டராகக் கருதப்படலாம், மற்றொரு செயல்பாடாக நாம் வரையறுக்கும்போது அதன் மதிப்பு ஒரு புள்ளியில் x (p) திசையில் p இல் f இன் திசை வழித்தோன்றலாகும். இந்த வழியில், ஒவ்வொரு மென்மையான திசையன் புலம் X C ≤ (M) இல் ஒரு வழித்தோன்றலாக மாறுகிறது. மேலும், C ≤ (M) இல் உள்ள எந்தவொரு வழித்தோன்றலும் ஒரு தனித்துவமான மென்மையான திசையன் புலம் X இலிருந்து எழுகிறது. பொதுவாக, ஏதேனும் இரண்டு வழித்தோன்றல்களின் கம்யூட்டேட்டர் மற்றும் மீண்டும் ஒரு வழித்தோன்றலாகும், இது ஆபரேட்டர்களின் கலவையைக் குறிக்கிறது. லை அடைப்புக்குறியை கம்யூட்டேட்டர் வழித்தோன்றலுடன் தொடர்புடைய திசையன் புலமாக வரையறுக்க இதைப் பயன்படுத்தலாம்ஃ ஓட்டங்கள் மற்றும் வரம்புகள் திசையன் புலம் X உடன் தொடர்புடைய ஓட்டமாக இருக்கட்டும், மேலும் D என்பது தொடுகோட்டு வரைபட வழித்தோன்றல் ஆபரேட்டரைக் குறிக்கட்டும். பின்னர் புள்ளியில் உள்ள X மற்றும் Y இன் லை அடைப்புக்குறியை லை வழித்தோன்றல் என்று வரையறுக்கலாம்ஃ இது x புள்ளிக்குத் திரும்புவதற்கான தொடர்ச்சியான திசைகளில் ஓட்டத்தின் தோல்வியையும் அளவிடுகிறதுஃ ஆயத்தொகுப்புகளில் லை அடைப்புக்குறியின் மேலே உள்ள வரையறைகள் உள்ளார்ந்தவை என்றாலும் (பன்மடங்கு M இல் உள்ள ஆயத்தொகுப்புகளின் தேர்விலிருந்து சுயாதீனமாக), நடைமுறையில் ஒருவர் பெரும்பாலும் ஒரு குறிப்பிட்ட ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பின் அடிப்படையில் அடைப்புக்குறியைக் கணக்கிட விரும்புகிறார். தொடுகோட்டு மூட்டையின் தொடர்புடைய உள்ளூர் அடிப்படைக்கு நாம் எழுதுகிறோம், இதனால் பொதுவான திசையன் புலங்களை எழுத முடியும் மற்றும் மென்மையான செயல்பாடுகளுக்கு. பின்னர் லை அடைப்புக்குறியை இவ்வாறு கணக்கிடலாம்ஃ M என்பது (Rn இன் திறந்த துணைக்குழு) என்றால், திசையன் புலங்கள் X மற்றும் Y ஐ வடிவத்தின் மென்மையான வரைபடங்களாக எழுதலாம் மற்றும் லை அடைப்புக்குறிப்பு பின்வருமாறு வழங்கப்படுகிறதுஃ X மற்றும் Y நெடுவரிசை திசையன்களை பெருக்கும் ஜாகோபியன் மேட்ரிக்ஸ்கள் (மற்றும் முறையே குறியீட்டு குறியீட்டைப் பயன்படுத்தி). பண்புகள் திசையன் புலங்களின் லை அடைப்புக்குறிப்பு M இல் உள்ள அனைத்து திசையன் புலங்களின் உண்மையான திசையன் இடத்தை (அதாவது, தொடுகோட்டு மூட்டையின் மென்மையான பிரிவுகள்) ஒரு லை இயற்கணிதத்தின் கட்டமைப்புடன் சித்தப்படுத்துகிறது, அதாவது [1] என்பது ஒரு வரைபடமாகும்ஃ R-பில்லினியாரிட்டி ஆன்டி-சமச்சீர், ஜாகோபி அடையாளம், இரண்டாவது பண்பின் உடனடி விளைவு எதற்கும். மேலும், லை அடைப்புக்குறிக்கு ஒரு "தயாரிப்பு விதி" உள்ளது. M இல் ஒரு மென்மையான (அளவிடுதல்-மதிப்புள்ள) செயல்பாடு f மற்றும் M இல் ஒரு திசையன் புலம் Y கொடுக்கப்பட்டால், ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் திசையன் Yx ஐ அளவிடுதல் f (x) ஆல் பெருக்குவதன் மூலம் ஒரு புதிய திசையன் புலம் fY ஐப் பெறுகிறோம். பின்னர்ஃ இங்கு நாம் அளவிடுதல் சார்பு X (f) ஐ திசையன் புலம் Y உடன் பெருக்குகிறோம், மேலும் அளவிடுதல் சார்பு f ஐ திசையன் புலத்துடன் பெருக்குகிறோம். இது லை அடைப்புக்குறியைக் கொண்ட திசையன் புலங்களை லை ஆல்ஜிபிராய்டாக மாற்றுகிறது. X மற்றும் Y இன் லை அடைப்புக்குறியை மறைப்பது என்பது இந்த திசைகளில் பாய்வுகளைப் பின்தொடர்வது M இல் உட்பொதிக்கப்பட்ட ஒரு மேற்பரப்பை வரையறுக்கிறது, X மற்றும் Y ஒருங்கிணைந்த திசையன் புலங்களாக வரையறுக்கிறதுஃ தேற்றம் iff X மற்றும் Y இன் ஓட்டங்கள் உள்ளூரில் பயணிக்கின்றன, அதாவது அனைத்திற்கும் போதுமான அளவு சிறிய s, t. இது ஃப்ரோபீனியஸ் ஒருங்கிணைப்பு தேற்றத்தின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு. ஒரு லை குழு G க்கு எடுத்துக்காட்டுகள், அதனுடன் தொடர்புடைய லை இயற்கணிதம் என்பது அடையாளத்தில் உள்ள தொடுகோடு இடமாகும், இது G இல் இடது மாறாத திசையன் புலங்களின் திசையன் இடத்துடன் அடையாளம் காணப்படலாம். ஒரு மேட்ரிக்ஸ் லை குழுவிற்கு, அதன் உறுப்புகள் மேட்ரிக்ஸ்கள், ஒவ்வொரு தொடுகோட்டு இடத்தையும் மேட்ரிக்ஸ்களாக குறிப்பிடலாம்ஃ, இங்கு மேட்ரிக்ஸ் பெருக்கம் மற்றும் I என்பது அடையாள மேட்ரிக்ஸ் ஆகும். அதனுடன் தொடர்புடைய மாறாத திசையன் புலம் வழங்கப்படுகிறது, மேலும் ஒரு கணக்கீடு லை அடைப்புக்குறியைக் காட்டுகிறது, இது மேட்ரிக்ஸின் வழக்கமான கம்யூட்டேட்டருடன் ஒத்திருக்கிறதுஃ பொதுமைப்படுத்தல்கள் மேலே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, லை வழித்தோன்றலை லை அடைப்புக்குறியின் பொதுமைப்படுத்தலாகக் காணலாம். லை அடைப்புக்குறியின் மற்றொரு பொதுமைப்படுத்தல் (திசையன் மதிப்புள்ள வேறுபட்ட வடிவங்களுக்கு) ஃப்ரோலிச்சர்-நிஜேன்ஹுயிஸ் அடைப்புக்குறி ஆகும். குறிப்புகள் பொய் அடைப்புக்குறிகள் மற்றும் பொய் வழித்தோன்றல்களின் பொதுவான கோட்பாடு பற்றிய விரிவான விவாதம். எல்லையற்ற பரிமாணங்களுக்கு பொதுமைப்படுத்தல்களுக்கு. பில்லினியர் வரைபடங்கள் வேறுபட்ட வடிவியல் வேறுபட்ட இடவியல் ரீமானியன் வடிவியல்