Nilpotent orbit
கணிதத்தில், நில்பொடென்ட் சுற்றுப்பாதைகள் என்பது நில்பொடென்ட் மேட்ரிக்ஸின் பொதுமைப்படுத்தல்கள் ஆகும், அவை உண்மையான மற்றும் சிக்கலான அரை எளிய லை குழுக்கள் மற்றும் அரை எளிய லை ஆல்ஜிப்ராக்களின் பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாட்டில் முக்கிய பங்கு வகிக்கின்றன. வரையறை ஒரு அரை எளிய லை அல்ஜீப்ராவின் ஒரு உறுப்பு X என்பது நில்பொடென்ட் என்று அழைக்கப்படுகிறது, அதன் அருகிலுள்ள எண்டோமார்பிசம் ad X: g → g, ad X (Y) = [X, Y] நில்பொடென்ட் என்றால், அதாவது, (ad X) n = 0 பெரிய n க்கு. சமமாக, அதன் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவை பேட் X (t) tdim g க்கு சமமாக இருந்தால் X நில்பொடென்ட் ஆகும். ஒரு அரை எளிய லை குழு அல்லது இயற்கணித குழு G அதன் லை அல்ஜீப்ராவில் அருகிலுள்ள பிரதிநிதித்துவத்தின் மூலம் செயல்படுகிறது, மேலும் நில்பொடென்ட் என்ற பண்பு இந்த செயலின் கீழ் மாறாது. நில்பொடென்ட் சுற்றுப்பாதை என்பது அருகிலுள்ள செயலின் ஒரு சுற்றுப்பாதையாகும், அதாவது அதன் உறுப்புகளில் ஏதேனும் (சமமாக, அனைத்தும்) நில்பொடென்ட் ஆகும். சிக்கலான உள்ளீடுகளைக் கொண்ட நில்போட்டன்ட் மேட்ரிக்ஸ்கள் எடுத்துக்காட்டுகள், சிக்கலான பொது நேரியல் குழுவுடன் தொடர்புடைய பொதுக் கோட்பாட்டிற்கான முக்கிய உந்துதல் வழக்கை உருவாக்குகின்றன. ஒவ்வொரு நில்பொடென்ட் மேட்ரிக்ஸும் ஒரு தனித்துவமான மேட்ரிக்ஸுடன் ஜோர்டன் தொகுதிகளின் அளவுகளுடன் இணைக்கப்பட்டுள்ளது என்பதை ஜோர்டானின் இயல்பான மேட்ரிக்ஸிலிருந்து நாம் அறிவோம், அங்கு n இன் பகிர்வு ஆகும். எனவே n = 2 விஷயத்தில் இரண்டு நில்பொடென்ட் சுற்றுப்பாதைகள் உள்ளன, பூஜ்ஜிய மேட்ரிக்ஸைக் கொண்ட பூஜ்ஜிய சுற்றுப்பாதை மற்றும் பகிர்வு (1,1) உடன் தொடர்புடையது மற்றும் பூஜ்ஜியம் அல்லாத அனைத்து மேட்ரிக்ஸ்களையும் கொண்ட முதன்மை சுற்றுப்பாதை பூஜ்ஜிய சுவடு மற்றும் தீர்மானிப்பதைக் கொண்ட A பூஜ்ஜியமற்றது, பகிர்வு (2) உடன் தொடர்புடையது. வடிவியல் ரீதியாக, இந்த சுற்றுப்பாதை மேட்ரிக்ஸின் நான்கு பரிமாண திசையன் இடத்தில் அதன் உச்சியைக் கழித்தல் இரு பரிமாண சிக்கலான இருபடி கூம்பு ஆகும். சிக்கலான சிறப்பு நேரியல் குழு என்பது ஒரே நில்போட்டன்ட் சுற்றுப்பாதைகளைக் கொண்ட பொதுவான நேரியல் குழுவின் துணைக்குழுவாகும். இருப்பினும், சிக்கலான சிறப்பு நேரியல் குழுவை உண்மையான சிறப்பு நேரியல் குழுவுடன் மாற்றினால், புதிய நில்போட்டன்ட் சுற்றுப்பாதைகள் எழலாம். குறிப்பாக, n = 2 க்கு இப்போது 3 நில்போட்டன்ட் சுற்றுப்பாதைகள் உள்ளனஃ பூஜ்ஜிய சுற்றுப்பாதை மற்றும் இரண்டு உண்மையான அரை-கூம்புகள் (உச்சி இல்லாமல்), மேலே உள்ள அளவுருவின் நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை மதிப்புகளுடன் தொடர்புடையவை. நில்போட்டன்ட் சுற்றுப்பாதைகளின் பண்புகள் அருகிலுள்ள செயலின் சுற்றுப்பாதைகளாக வகைப்படுத்தப்படலாம், அதன் ஜாரிஸ்கி மூடல் 0 ஐக் கொண்டுள்ளது. நில்பொடென்ட் சுற்றுப்பாதைகள் எண்ணிக்கையில் வரையறுக்கப்பட்டவை. ஒரு நில்பொடென்ட் சுற்றுப்பாதையின் சரிஸ்கி மூடல் என்பது நில்பொடென்ட் சுற்றுப்பாதைகளின் ஒன்றிணைப்பாகும். ஜேகப்ஸன்-மொரோசோவ் தேற்றம்ஃ பூஜ்ஜியப் புலத்தின் மீது, எந்த நில்பொடென்ட் உறுப்பு e ஐ ஒரு sl2-மூன்று {e, h, f} இல் சேர்க்கலாம், மேலும் அத்தகைய மூன்று உறுப்புகளும் G இல் e இன் மையப்படுத்தியான ZG (e) ஆல் இணைக்கப்படுகின்றன. நிலை அமைப்பு நில்பொடென்ட் சுற்றுப்பாதைகள் ஓரளவு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட தொகுப்பை உருவாக்குகின்றனஃ இரண்டு நில்பொடென்ட் சுற்றுப்பாதைகள் கொடுக்கப்பட்டால், O2 இன் ஜரிஸ்கி மூடுதலில் O1 இருந்தால் O1 O2 ஐ விட குறைவாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்கும். இந்த நிலை ஒரு தனித்துவமான குறைந்தபட்ச உறுப்பு, பூஜ்ஜிய சுற்றுப்பாதை மற்றும் தனித்துவமான அதிகபட்ச உறுப்பு, வழக்கமான நில்போட்டன்ட் சுற்றுப்பாதையைக் கொண்டுள்ளது, ஆனால் பொதுவாக, இது ஒரு தரப்படுத்தப்பட்ட நிலை அல்ல. தரை புலம் இயற்கணித ரீதியாக மூடப்பட்டிருந்தால், பூஜ்ஜிய சுற்றுப்பாதை ஒரு தனித்துவமான சுற்றுப்பாதையால் மூடப்பட்டிருக்கும், இது குறைந்தபட்ச சுற்றுப்பாதை என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் வழக்கமான சுற்றுப்பாதை ஒரு தனித்துவமான சுற்றுப்பாதையை உள்ளடக்கியது, இது துணை ஒழுங்கற்ற சுற்றுப்பாதை என்று அழைக்கப்படுகிறது. சிறப்பு நேரியல் குழு SLn ஐப் பொறுத்தவரை, நில்பொடென்ட் சுற்றுப்பாதைகள் n இன் பகிர்வுகளால் அளவுருவாக உள்ளன. கெர்ஸ்டென்ஹேபரின் ஒரு தேற்றத்தால், சுற்றுப்பாதைகளின் வரிசை n இன் பகிர்வுகளில் ஆதிக்கம் செலுத்தும் வரிசைக்கு ஒத்திருக்கிறது. மேலும், G என்பது இருமுனை வடிவத்தின் ஐசோமெட்ரி குழுவாக இருந்தால், அதாவது. SLn இன் ஒரு ஆர்த்தோகனல் அல்லது சிம்ப்லெக்டிக் துணைக்குழு, பின்னர் அதன் நில்போட்டன்ட் சுற்றுப்பாதைகள் ஒரு குறிப்பிட்ட சமநிலை நிலையை பூர்த்தி செய்யும் n இன் பகிர்வுகளால் அளவுருவாக மாற்றப்படுகின்றன, மேலும் அதனுடன் தொடர்புடைய நிலை அமைப்பு அனைத்து பகிர்வுகளிலும் ஆதிக்கம் செலுத்தும் வரிசையால் தூண்டப்படுகிறது (இது கெர்ஸ்டென்ஹேபர் மற்றும் ஹெஸ்லிங்க் காரணமாக ஒரு அற்பமான தேற்றம் அல்ல). இணை பிரதிநிதித்துவ குறிப்புகள் டேவிட் காலிங்வுட் மற்றும் வில்லியம் மெக்கோவர்ன் ஆகியோரையும் பார்க்கவும். அரை எளிய லை இயற்கணிதத்தில் நில்பொடென்ட் சுற்றுப்பாதைகள். வான் நோஸ்ட்ராண்ட் ரீன்ஹோல்ட் கணிதத் தொடர். வான் நோஸ்ட்ராண்ட் ரெய்ன்ஹோல்ட் கம்பெனி, நியூயார்க், 1993. . . பொய் ஆல்ஜிப்ராக்கள்