Geometric median
வடிவவியலில், ஒரு யூக்ளிடியன் இடத்தில் தனித்துவமான மாதிரி புள்ளிகளின் வடிவியல் சராசரி என்பது மாதிரி புள்ளிகளுக்கான தூரங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் குறைக்கும் புள்ளியாகும். இது மீடியனை பொதுமைப்படுத்துகிறது, இது ஒரு பரிமாண தரவுகளுக்கான தூரங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் குறைக்கும் பண்பைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் அதிக பரிமாணங்களில் ஒரு மையப் போக்கை வழங்குகிறது. இது 1-மீடியன், இடஞ்சார்ந்த மீடியன், யூக்ளிடியன் மினிஸம் பாயிண்ட் அல்லது டோரிசெல்லி பாயிண்ட் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. வடிவியல் சராசரி என்பது புள்ளிவிவரங்களில் இருப்பிடத்தின் ஒரு முக்கியமான மதிப்பீட்டாளராகும், அங்கு இது எல் 1 மதிப்பீட்டாளர் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது (எல் 1 நெறிமுறைக்குப் பிறகு). இது வசதி இருப்பிடத்தில் ஒரு நிலையான சிக்கலாகும், அங்கு போக்குவரத்து செலவைக் குறைக்க ஒரு வசதியைக் கண்டுபிடிப்பதில் உள்ள சிக்கலை இது மாதிரியாகக் காட்டுகிறது. மிகவும் பொதுவான k-மீடியன் சிக்கல் k கிளஸ்டர் மையங்களின் இருப்பிடத்தைக் கேட்கிறது, ஒவ்வொரு மாதிரி புள்ளியிலிருந்தும் அதன் அருகிலுள்ள மையத்திற்கு உள்ள தூரங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் குறைக்கிறது. புள்ளி ஒரு கோடு அல்லது வளைவாக பொதுமைப்படுத்தப்பட்டால், குறைந்தபட்ச முழுமையான விலகல்கள் மூலம் சிறந்த பொருத்தமான தீர்வு காணப்படுகிறது. விமானத்தில் உள்ள மூன்று புள்ளிகளுக்கான சிக்கலின் சிறப்பு வழக்கு (அதாவது, கீழே உள்ள வரையறையில், = 3 மற்றும் = 2) சில நேரங்களில் ஃபெர்மாட்டின் சிக்கல் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது; இது குறைந்தபட்ச ஸ்டெய்னர் மரங்களின் கட்டுமானத்தில் எழுகிறது, மேலும் இது முதலில் பியர் டி ஃபெர்மாட்டால் ஒரு சிக்கலாக முன்வைக்கப்பட்டது மற்றும் எவாஞ்சலிஸ்டா டோரிசெல்லியால் தீர்க்கப்பட்டது. அதன் தீர்வு இப்போது மூன்று மாதிரி புள்ளிகளால் உருவாக்கப்பட்ட முக்கோணத்தின் ஃபெர்மாட் புள்ளி என்று அழைக்கப்படுகிறது. வடிவியல் சராசரி எடை தூரங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் குறைக்கும் சிக்கலுக்கு பொதுமைப்படுத்தப்படலாம், இது ஆல்பிரட் வெபர் தனது 1909 புத்தகத்தில் வசதி இருப்பிடம் குறித்த விவாதத்திற்குப் பிறகு வெபர் சிக்கல் என்று அழைக்கப்படுகிறது. சில ஆதாரங்கள் வெபரின் சிக்கலை ஃபெர்மாட்-வெபர் சிக்கல் என்று அழைக்கின்றன, ஆனால் மற்றவர்கள் இந்த பெயரை எடை இல்லாத வடிவியல் சராசரி சிக்கலுக்கு பயன்படுத்துகின்றனர். வடிவியல் சராசரி சிக்கலின் கணக்கெடுப்பை வழங்குகிறது. தனித்துவமற்ற புள்ளி தொகுப்புகளுக்கான சிக்கலின் பொதுமைப்படுத்தல்களைப் பார்க்கவும். வரையறை முறைப்படி, ஒவ்வொன்றுடனும் கொடுக்கப்பட்ட m புள்ளிகளின் தொகுப்புக்கு, வடிவியல் சராசரி இவ்வாறு வரையறுக்கப்படுகிறது இங்கே, ஆர்க் மின் என்பது கூட்டுத்தொகையைக் குறைக்கும் வாதத்தின் மதிப்பைக் குறிக்கிறது. இந்த விஷயத்தில், இது n பரிமாண யூக்ளிடியன் இடத்தில் உள்ள புள்ளியாகும், அங்கிருந்து அனைத்து யூக்ளிடியன் தூரங்களின் கூட்டுத்தொகையும் குறைந்தபட்சமாகும். பண்புகள் 1 பரிமாண வழக்குக்கு, வடிவியல் சராசரி நடுத்தரத்துடன் ஒத்துப்போகிறது. ஏனென்றால், ஒரு மாறுபட்ட சராசரி புள்ளிகளிலிருந்து தூரங்களின் கூட்டுத்தொகையையும் குறைக்கிறது. (இன்னும் துல்லியமாக, புள்ளிகள் p1,., pn ஆக இருந்தால், அந்த வரிசையில், n ஒற்றைப்படை என்றால் வடிவியல் சராசரி நடுத்தர புள்ளியாகும், ஆனால் n சமமாக இருந்தால் தனித்தனியாக தீர்மானிக்கப்படுவதில்லை, அது இரண்டு நடுத்தர புள்ளிகளுக்கு இடையிலான கோடு பிரிவில் எந்த புள்ளியிலும் இருக்க முடியும் மற்றும்.) புள்ளிகள் கொலினியராக இல்லாத போதெல்லாம் வடிவியல் மீடியன் தனித்துவமானது. மொழிபெயர்ப்பு மற்றும் சுழற்சி உள்ளிட்ட யூக்ளிடியன் ஒற்றுமை மாற்றங்களுக்கு வடிவியல் சராசரி சமமாக உள்ளது. இதன் பொருள் என்னவென்றால், வடிவியல் நடுத்தரத்தை மாற்றுவதன் மூலமோ அல்லது மாதிரி தரவுகளுக்கு அதே மாற்றத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலமோ மற்றும் மாற்றப்பட்ட தரவுகளின் வடிவியல் நடுத்தரத்தைக் கண்டுபிடிப்பதன் மூலமோ ஒருவர் அதே முடிவைப் பெறுவார். வடிவியல் சராசரி ஜோடி வாரியான தூரங்களிலிருந்து மட்டுமே வரையறுக்கப்படுகிறது என்பதிலிருந்து இந்த பண்பு பின்பற்றப்படுகிறது, மேலும் இது மாதிரி தரவு குறிப்பிடப்படும் ஆர்த்தோகனல் கார்ட்டீசியன் ஆயத்தொகுதிகளின் அமைப்பைப் பொறுத்தது அல்ல. இதற்கு மாறாக, ஒரு பன்முகத் தரவுத்தொகுப்புக்கான கூறு வாரியான சராசரி பொதுவான சுழற்சி மாறாத நிலையில் இல்லை, அல்லது ஆயத்தொகுப்புகளின் தேர்விலிருந்து சுயாதீனமாக இல்லை. வடிவியல் நடுத்தரமானது 0.05 என்ற முறிவு புள்ளியைக் கொண்டுள்ளது. அதாவது, மாதிரி தரவுகளில் பாதி வரை தன்னிச்சையாக சிதைந்திருக்கலாம், மேலும் மாதிரிகளின் சராசரி இன்னும் சிதைக்கப்படாத தரவுகளின் இருப்பிடத்திற்கு ஒரு வலுவான மதிப்பீட்டாளரை வழங்கும். சிறப்பு நிகழ்வுகள் 3 (இணைரேகை அல்லாத) புள்ளிகளுக்கு, அந்த புள்ளிகளால் உருவாக்கப்பட்ட முக்கோணத்தின் எந்த கோணமும் 120 டிகிரி அல்லது அதற்கு மேல் இருந்தால், வடிவியல் சராசரி என்பது அந்த கோணத்தின் உச்சியில் உள்ள புள்ளியாகும். அனைத்து கோணங்களும் 120 டிகிரிக்கு குறைவாக இருந்தால், வடிவியல் சராசரி என்பது முக்கோணத்திற்குள் உள்ள புள்ளியாகும், இது ஒவ்வொரு மூன்று ஜோடி முக்கோண செங்குத்துகளுக்கும் 120 டிகிரி கோணத்தை உட்படுத்துகிறது. இது மூன்று செங்குத்துகளால் உருவாக்கப்பட்ட முக்கோணத்தின் ஃபெர்மாட் புள்ளி என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. (மூன்று புள்ளிகளும் கொலினியராக இருந்தால், வடிவியல் சராசரி என்பது மற்ற இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையிலான புள்ளியாகும், இது ஒரு பரிமாண சராசரி விஷயத்தில் உள்ளது.) நான்கு கோப்ளானர் புள்ளிகளுக்கு, நான்கு புள்ளிகளில் ஒன்று மற்ற மூன்று புள்ளிகளால் உருவாக்கப்பட்ட முக்கோணத்திற்குள் இருந்தால், வடிவியல் சராசரி அந்த புள்ளியாகும். இல்லையெனில், நான்கு புள்ளிகள் ஒரு குவிந்த நாற்கரத்தை உருவாக்குகின்றன, மேலும் வடிவியல் நடுத்தரமானது நாற்கரத்தின் மூலைவிட்டங்களின் குறுக்குவெட்டு புள்ளியாகும். நான்கு கோப்ளானார் புள்ளிகளின் வடிவியல் சராசரி நான்கு புள்ளிகளின் தனித்துவமான ரேடான் புள்ளிக்கு சமம். கணக்கீடு வடிவியல் சராசரி எளிதில் புரிந்துகொள்ளக்கூடிய கருத்தாக இருந்தபோதிலும், அதை கணக்கிடுவது ஒரு சவாலாக உள்ளது. ஒவ்வொரு புள்ளிக்கும் உள்ள தூரங்களின் வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் குறைப்பதாக வடிவியல் நடுத்தரத்தைப் போலவே வரையறுக்கப்படும் மையக்கரு அல்லது வெகுஜன மையம், ஒரு எளிய சூத்திரத்தால் காணலாம்-அதன் ஆயத்தொலைவுகள் புள்ளிகளின் ஆயத்தொலைவுகளின் சராசரி-ஆனால் வடிவியல் நடுத்தரத்திற்கு பொதுவாக வெளிப்படையான சூத்திரமோ, எண்கணித செயல்பாடுகள் மற்றும் kth வேர்களை மட்டுமே உள்ளடக்கிய சரியான வழிமுறையோ இருக்க முடியாது என்று காட்டப்பட்டுள்ளது. எனவே, இந்த கணக்கீட்டு மாதிரியின் கீழ் இந்த சிக்கலின் தீர்வுக்கான எண் அல்லது குறியீட்டு தோராயங்கள் மட்டுமே சாத்தியமாகும். இருப்பினும், ஒவ்வொரு படியும் மிகவும் துல்லியமான தோராயத்தை உருவாக்கும் ஒரு மறு செய்கை செயல்முறையைப் பயன்படுத்தி வடிவியல் நடுத்தரத்திற்கு ஒரு தோராயத்தைக் கணக்கிடுவது நேரடியானது. ஒவ்வொரு மாதிரி புள்ளிக்கும் உள்ள தூரம் குவிந்ததாகவும், குவிந்த செயல்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகை குவிந்ததாகவும் இருப்பதால், மாதிரி புள்ளிகளுக்கான தூரங்களின் கூட்டுத்தொகை ஒரு குவிந்த செயல்பாடு என்ற உண்மையிலிருந்து இந்த வகை நடைமுறைகளைப் பெறலாம். எனவே, ஒவ்வொரு படியிலும் தூரங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் குறைக்கும் நடைமுறைகள் ஒரு உள்ளூர் உகந்த நிலையில் சிக்கிக் கொள்ள முடியாது. இந்த வகையின் ஒரு பொதுவான அணுகுமுறை, எண்ட்ரே வெய்ஸ்ஃபீல்டின் பணிக்குப் பிறகு வெய்ஸ்ஃபீல்டின் வழிமுறை என்று அழைக்கப்படுகிறது, இது மீண்டும் மீண்டும் மறு எடை குறைந்த சதுரங்களின் ஒரு வடிவமாகும். இந்த வழிமுறை தற்போதைய மதிப்பீட்டிலிருந்து மாதிரி புள்ளிகளுக்கான தூரங்களுக்கு நேர்மாறான விகிதாசாரத்தில் இருக்கும் எடைகளின் தொகுப்பை வரையறுக்கிறது, மேலும் இந்த எடைகளுக்கு ஏற்ப மாதிரியின் எடையுள்ள சராசரியான ஒரு புதிய மதிப்பீட்டை உருவாக்குகிறது. அதாவது, இந்த முறை கிட்டத்தட்ட அனைத்து ஆரம்ப நிலைகளுக்கும் ஒருங்கிணைக்கிறது, ஆனால் அதன் மதிப்பீடுகளில் ஒன்று கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகளில் ஒன்றில் விழும்போது ஒன்றிணைக்கத் தவறிவிடலாம். இந்த நிகழ்வுகளைக் கையாள இது மாற்றியமைக்கப்படலாம், இதனால் இது அனைத்து ஆரம்ப புள்ளிகளுக்கும் ஒருங்கிணைக்கிறது. இந்த சிக்கலுக்கு தோராயமாக உகந்த தீர்வுகளைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான மிகவும் அதிநவீன வடிவியல் உகப்பாக்கம் நடைமுறைகளை விவரிக்கவும். கிட்டத்தட்ட நேரியல் நேரத்தில் வடிவியல் நடுத்தரத்தை தன்னிச்சையான துல்லியத்திற்கு எவ்வாறு கணக்கிடுவது என்பதைக் காட்டுங்கள். பொதுவான உகப்பாக்கம் தீர்வுகளைப் பயன்படுத்தி பல்லுறுப்புக்கோவை நேரத்தில் தீர்க்கக்கூடிய இரண்டாவது வரிசை கூம்பு நிரலாக சிக்கலை வடிவமைக்க முடியும் என்பதையும் நினைவில் கொள்க. வடிவியல் நடுத்தரத்தின் பண்பு கொடுக்கப்பட்ட அனைத்து புள்ளிகளிலிருந்தும் y வேறுபட்டிருந்தால், xi, பின்னர் y என்பது வடிவியல் நடுத்தரமாகும், அது திருப்தி அடைந்தால் மட்டுமேஃ இது சமம்ஃ இது வெய்ஸ்ஃபெல்டின் வழிமுறையுடன் நெருக்கமாக தொடர்புடையது. பொதுவாக, xi என்பது வடிவியல் நடுத்தரமாகும், இது போன்ற திசையன்கள் இருந்தால் மட்டுமேஃ xi §y க்கு, மற்றும் xi = y க்கு, இந்த நிபந்தனையின் சமமான உருவாக்கம் இது நடுத்தர சொத்தின் பொதுமைப்படுத்தலாகக் காணலாம், அதாவது புள்ளிகளின் எந்தவொரு பகிர்வும், குறிப்பாக y வழியாக எந்த ஹைப்பர்பிளேனால் தூண்டப்பட்டாலும், ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் y இலிருந்து நேர்மறை திசைகளின் அதே மற்றும் எதிர் கூட்டுத்தொகையைக் கொண்டுள்ளது. ஒரு பரிமாண வழக்கில், ஹைப்பர்பிளேன் என்பது புள்ளி y ஆகும், மேலும் திசைகளின் கூட்டுத்தொகை (இயக்கப்பட்ட) எண்ணும் அளவீட்டுக்கு எளிதாக்குகிறது. பொதுமைப்படுத்தல்கள் வடிவியல் நடுத்தரத்தை யூக்ளிடியன் இடைவெளிகள் முதல் பொது ரீமானியன் பன்மடங்கு வரை (மற்றும் மெட்ரிக் இடைவெளிகள் கூட) ஒரு ரீமானியன் பன்மடங்கு மீது ஃப்ரெச்செட் சராசரியை வரையறுக்கப் பயன்படுத்தப்படும் அதே யோசனையைப் பயன்படுத்தி பொதுமைப்படுத்தலாம். தொடர்புடைய தூர செயல்பாட்டைக் கொண்ட ஒரு ரீமானியன் பன்மடங்கு இருக்கட்டும், 1 க்கு கூட்டப்படும் எடைகளாக இருக்கட்டும், மேலும் அவதானிப்புகளிலிருந்து இருக்கட்டும். பின்னர் தரவு புள்ளிகளின் எடையுள்ள வடிவியல் சராசரி (அல்லது எடையுள்ள ஃப்ரெசெட் சராசரி) என வரையறுக்கிறோம். அனைத்து எடைகளும் சமமாக இருந்தால், அது வடிவியல் சராசரி என்று நாம் வெறுமனே கூறுகிறோம். மெடாய்டு வடிவியல் சராசரி முழுமையான விலகல் குறிப்புகள் குறிப்புகளையும் பார்க்கவும். பல்வேறுபட்ட புள்ளிவிவரங்கள் என்பதாக ஆங்கிலத்தில் மொழிபெயர்க்கப்பட்டுள்ளது பண்புக்கூறு அல்லாத புள்ளிவிவரங்கள் கணித உகப்பாக்கம் வடிவியல் வழிமுறைகள் விளக்கமான புள்ளிவிவரங்கள்