Mapping cone (homological algebra)
ஹோமோலாஜிக்கல் இயற்கணிதத்தில், மேப்பிங் கூம்பு என்பது இடவியலில் உள்ள ஒத்த கட்டுமானத்தால் ஈர்க்கப்பட்ட சங்கிலி வளாகங்களின் வரைபடத்தில் ஒரு கட்டுமானமாகும். முக்கோண வகைகளின் கோட்பாட்டில் இது ஒரு வகையான ஒருங்கிணைந்த கர்னல் மற்றும் கோக்கர்னல் ஆகும்ஃ சங்கிலி வளாகங்கள் அவற்றின் சொற்களை ஒரு அபெலியன் பிரிவில் எடுத்துக் கொண்டால், இதனால் நாம் கோஹோமோலஜியைப் பற்றி பேச முடியும், பின்னர் ஒரு வரைபடத்தின் கூம்பு f அசைக்ளிக் என்றால் வரைபடம் ஒரு அரை-ஐசோமார்பிசம் என்று பொருள்; சிக்கல்களின் பெறப்பட்ட வகைக்கு நாம் சென்றால், இதன் பொருள் f என்பது அங்கு ஒரு ஐசோமார்பிசம், இது குழுக்களின் வரைபடங்கள், ஒரு வளையத்தின் மீது உள்ள தொகுதிகள் அல்லது ஒரு தன்னிச்சையான அபெலியன் வகையின் கூறுகளின் பழக்கமான பண்புகளை நினைவுபடுத்துகிறது, கர்னல் மற்றும் கோக்கர்னல் இரண்டும் மறைந்துவிட்டால், வரைபடம் ஒரு ஐசோமார்பிசம். நாம் ஒரு டி-பிரிவில் பணிபுரிகிறோம் என்றால், உண்மையில் கூம்பு அதன் மையத்தின் பொருட்களுக்கு இடையில் வரைபடங்களின் கர்னல் மற்றும் கோக்கர்னல் இரண்டையும் வழங்குகிறது. கூம்பு எந்த சேர்க்கை வகையிலும் கோசெயின் வளாகங்களின் பிரிவில் வரையறுக்கப்படலாம் (அதாவது, ஒரு வகை அதன் உருவங்கள் அபெலியன் குழுக்களை உருவாக்குகின்றன, இதில் ஏதேனும் இரண்டு பொருட்களின் நேரடி கூட்டுத்தொகையை நாம் உருவாக்கலாம்). சிக்கல்களின் வரைபடத்திற்கு நாம் கூம்பை வரையறுக்கிறோம், இது பெரும்பாலும் பின்வரும் சிக்கலால் குறிக்கப்படுகிறது அல்லது இருக்க வேண்டும்ஃ சொற்களில், வேறுபாடுகளுடன் (நெடுவரிசை திசையன்கள் போல செயல்படுகிறது). இங்கே மற்றும் உடன் சிக்கலானது. இயல்பான வேறுபாட்டிலிருந்து வேறுபட்டது என்பதைக் கவனியுங்கள், மேலும் சில எழுத்தாளர்கள் வேறுபட்ட அடையாள மரபைப் பயன்படுத்துகிறார்கள். எனவே, எடுத்துக்காட்டாக, நமது வளாகங்கள் அபெலியன் குழுக்களைச் சேர்ந்தவை என்றால், வேறுபாடு பண்புகளாக செயல்படும், இப்போது நாம் ஒரு அபெலியன் பிரிவில் வேலை செய்கிறோம் என்று வைத்துக்கொள்வோம், இதனால் ஒரு வளாகத்தின் ஒத்த தன்மை வரையறுக்கப்படுகிறது. கூம்பின் முக்கிய பயன்பாடு அரை-ஐசோமார்பிசம்களை அடையாளம் காண்பதாகும்ஃ கூம்பு அசிக்ளிக் என்றால், வரைபடம் ஒரு அரை-ஐசோமார்பிசம் ஆகும். இதைப் பார்க்க, ஒரு முக்கோணத்தின் இருப்பைப் பயன்படுத்துகிறோம், அங்கு வரைபடங்கள் நேரடி கூட்டுத்தொகைகளால் வழங்கப்படுகின்றன (சங்கிலி வளாகங்களின் ஹோமோடோபி வகையைப் பார்க்கவும்). இது ஒரு முக்கோணம் என்பதால், இது ஹோமோலஜி குழுக்களில் ஒரு நீண்ட துல்லியமான வரிசைக்கு வழிவகுக்கிறதுஃ மேலும் அசிக்ளிக் என்றால், வரையறையின்படி, மேலே உள்ள வெளிப்புற சொற்கள் பூஜ்ஜியமாகும். வரிசை துல்லியமாக இருப்பதால், இதன் பொருள் அனைத்து ஹோமாலஜி குழுக்களிலும் ஒரு ஐசோமார்பிசத்தைத் தூண்டுகிறது, எனவே (மீண்டும் வரையறையின்படி) ஒரு அரை-ஐசோமார்பிசம் ஆகும். இந்த உண்மை ஒரு அபெலியன் பிரிவில் ஐசோமார்பிசங்களின் வழக்கமான மாற்று குணாதிசயத்தை நினைவுபடுத்துகிறது, ஏனெனில் கர்னல் மற்றும் கோக்கர்னல் இரண்டும் மறைந்துவிடும் வரைபடங்கள். ஒரு கூம்பு ஒரு ஒருங்கிணைந்த கர்னல் மற்றும் கோக்கர்னலாக தோன்றுவது தற்செயலானது அல்ல; உண்மையில், சில சூழ்நிலைகளில் கூம்பு உண்மையில் இரண்டையும் உள்ளடக்கியது. எடுத்துக்காட்டாக, நாம் ஒரு அபெலியன் பிரிவில் வேலை செய்கிறோம் என்று வைத்துக்கொள்வோம், மேலும் 0 டிகிரியில் ஒரே ஒரு பூஜ்ஜியமற்ற சொல் மட்டுமே உள்ளதுஃ எனவே இது சரியானது (அடிப்படை அபெலியன் வகையின் பொருட்களின் வரைபடமாக). பின்னர் கூம்பு சரியாக உள்ளது (அண்டர்செட் உரை ஒவ்வொரு வார்த்தையின் அளவையும் குறிக்கிறது.) இந்த வளாகத்தின் ஒத்த தன்மை இது ஒரு விபத்து அல்ல, உண்மையில் ஒவ்வொரு டி-பிரிவிலும் நிகழ்கிறது. உருளை வரைபடம் உருளை ஒரு தொடர்புடைய கருத்து உருளை வரைபடம்ஃ சங்கிலி வளாகங்களின் உருவகமாக இருக்கட்டும், மேலும் இயற்கையான வரைபடமாக இருக்கட்டும். f இன் மேப்பிங் சிலிண்டர் வரையறையின்படி g இன் மேப்பிங் கூம்பு ஆகும். இடவியல் உத்வேகம் இந்த சிக்கலானது இடவியல் இடைவெளிகளின் தொடர்ச்சியான வரைபடத்தின் மேப்பிங் கூம்பு (இடவியல்) க்கு ஒப்பாக கூம்பு என்று அழைக்கப்படுகிறதுஃ இடவியல் கூம்பின் ஒற்றைச் சங்கிலிகளின் சிக்கலானது X முதல் Y வரையிலான ஒற்றைச் சங்கிலிகளின் தூண்டப்பட்ட வரைபடத்தின் கூம்புக்கு (சங்கிலி-சிக்கலான-உணர்வில்) சமமான ஒரே மாதிரியாக இருக்கும். வளாகங்களின் வரைபடத்தின் மேப்பிங் சிலிண்டர் இதேபோல் தொடர்ச்சியான வரைபடங்களின் மேப்பிங் சிலிண்டருடன் தொடர்புடையது. குறிப்புகள் ஜோசப் ஜே. ரோட்மேன், இயற்கணித இடவியல் பற்றிய ஒரு அறிமுகம் (1988) ஸ்ப்ரிங்கர்-வெர்லாக் (அத்தியாயம் 9 ஐப் பார்க்கவும்) ஹோமோலாஜிக்கல் அல்ஜிப்ரா