Kuratowski's closure-complement problem
புள்ளி-தொகுப்பு இடவியலில், குரடோவ்ஸ்கியின் மூடல்-நிரப்பு சிக்கல் மூடலின் தொகுப்பு செயல்பாடுகளை மீண்டும் மீண்டும் பயன்படுத்துவதன் மூலம் பெறக்கூடிய அதிக எண்ணிக்கையிலான தனித்துவமான தொகுப்புகளைக் கேட்கிறது மற்றும் ஒரு இடவியல் இடத்தின் கொடுக்கப்பட்ட தொடக்க துணைக்குழுவை பூர்த்தி செய்கிறது. பதில் 14 ஆகும். இந்த முடிவு முதன்முதலில் 1922 இல் கசிமியர்ஸ் குரடோவ்ஸ்கியால் வெளியிடப்பட்டது. ஜான் எல். கெல்லியின் 1955 கிளாசிக், ஜெனரல் டோபோலஜியில் ஒரு பாடப்புத்தக பயிற்சியாக புகழ் பெறுவதற்கு முன்பு இது குராடோவ்ஸ்கியின் அடிப்படை மோனோகிராஃப் டோபோலோகியில் (முதன்முதலில் 1933 இல் பிரெஞ்சு மொழியில் வெளியிடப்பட்டது; முதல் ஆங்கில மொழிபெயர்ப்பு 1966 இல் தோன்றியது) கூடுதல் வெளிப்பாட்டைப் பெற்றது. ப்ரூஃப் லெட்டிங் என்பது ஒரு இடவியல் இடத்தின் தன்னிச்சையான துணைக்குழுவைக் குறிக்கிறது, மூடுவதற்கும், பூர்த்தி செய்வதற்கும் எழுதவும். பின்வரும் மூன்று அடையாளங்கள் 14 தனித்துவமான தொகுப்புகளுக்கு மேல் கிடைக்காது என்பதைக் குறிக்கிறதுஃ (மூடல் செயல்பாடு தனித்துவமானது.) . (நிரப்பு செயல்பாடு ஒரு ஊடுருவல் ஆகும்.) . (அல்லது அதற்கு சமமாக, அடையாளத்தைப் பயன்படுத்துதல் (2)). முதல் இரண்டும் அற்பமானவை. மூன்றாவது அடையாளத்திலிருந்து பின்தொடர்கிறது, அதன் உட்புறம் நிரப்பு மூடலின் நிரப்பு சமம்,. (அறுவைசிகிச்சை திறனற்றது.) அதிகபட்சம் 14 ஐ உணரும் ஒரு துணைக்குழு 14-தொகுப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது. வழக்கமான இடவியல் கீழ் உண்மையான எண்களின் இடைவெளி 14 தொகுப்புகளைக் கொண்டுள்ளது. இங்கே ஒரு எடுத்துக்காட்டுஃ இது ஒரு திறந்த இடைவெளியைக் குறிக்கிறது மற்றும் ஒரு மூடிய இடைவெளியைக் குறிக்கிறது. இந்த தொகுப்பைக் குறிக்கலாம். பின்னர் பின்வரும் 14 தொகுப்புகள் அணுகக்கூடியவைஃ, மேலே காட்டப்பட்டுள்ள தொகுப்பு. மேலும் முடிவுகள் ஒரு இடவியல் இடத்தின் சூழலில் அதன் தோற்றம் இருந்தபோதிலும், குரடோவ்ஸ்கியின் மூடல்-நிரப்பு சிக்கல் உண்மையில் இடவியல் விட இயற்கணிதமானது. 1960 முதல் நெருக்கமாக தொடர்புடைய சிக்கல்கள் மற்றும் முடிவுகளின் ஆச்சரியமான ஏராளமானவை தோன்றியுள்ளன, அவற்றில் பல புள்ளி-செட் இடவியலுடன் சிறிதளவே அல்லது எந்த தொடர்பும் இல்லை. மூடல்-நிரப்பு செயல்பாடுகள் ஒரு மோனாய்டை வழங்குகின்றன, அவை இடவியல் இடைவெளிகளை வகைப்படுத்த பயன்படுத்தப்படலாம். குறிப்புகள் வெளிப்புற இணைப்புகள் குரடோவ்ஸ்கி மூடல்-நிரப்பு தேற்றம் பி. ஜே. கார்ட்னர் மற்றும் மார்செல் ஜாக்சன் குரடோவ்ஸ்கி மூடல்-நிரப்பு சிக்கல் மார்க் பவ்ரான் இடவியல் கணித சிக்கல்கள்