Crystalline cohomology
கணிதத்தில், படிக ஒத்திசைவு என்பது ஒரு அடிப்படை புலம் k மீது X திட்டங்களுக்கான ஒரு வெயில் ஒத்திசைவு கோட்பாடாகும். அதன் மதிப்புகள் Hn (X/W) என்பது k க்கு மேல் உள்ள விட் திசையன்களின் வளையத்தின் W மீது உள்ள தொகுதிகள் ஆகும். படிக கோஹோமோலஜி என்பது வெயில் அனுமானங்களின் ஒரு பகுதியின் p-adic ஆதாரத்தால் ஓரளவு ஈர்க்கப்பட்டுள்ளது மற்றும் கிரோதெண்டிக் (1963) அறிமுகப்படுத்திய டி ராம் கோஹோமோலஜியின் இயற்கணித பதிப்புடன் நெருக்கமாக தொடர்புடையது. தோராயமாகப் பார்த்தால், பண்பு p இல் உள்ள ஒரு வகை X இன் படிக ஒத்திசைவியல் என்பது X இன் மென்மையான லிப்ட்டின் டி ராம் ஒத்திசைவியல் ஆகும், அதே நேரத்தில் X இன் டி ராம் ஒத்திசைவியல் என்பது படிக ஒத்திசைவியல் குறைக்கப்பட்ட மோட் p ஆகும் (அதிக டோர்களை கணக்கில் எடுத்துக் கொண்ட பிறகு). படிக ஒத்திசைவின் யோசனை, தோராயமாக, ஒரு திட்டத்தின் ஜாரிஸ்கி திறந்த செட்களை பிளவுபட்ட சக்தி கட்டமைப்புகளுடன் ஜாரிஸ்கி திறந்த செட்களின் எண்ணற்ற தடிமன்களால் மாற்றுவதாகும். இதற்கு உந்துதல் என்னவென்றால், ஒரு திட்டத்தை பண்பு p இலிருந்து பண்பு 0 க்கு உள்ளூர் அளவில் உயர்த்துவதன் மூலமும், இயற்கணித டி ராம் கோஹோமோலஜியின் பொருத்தமான பதிப்பைப் பயன்படுத்துவதன் மூலமும் அதைக் கணக்கிட முடியும். படிக கோஹோமோலஜி மென்மையான சரியான திட்டங்களுக்கு மட்டுமே நன்றாக வேலை செய்கிறது. கடினமான கோஹோமோலஜி இதை மிகவும் பொதுவான திட்டங்களுக்கு விரிவுபடுத்துகிறது. பண்புக்கூறு p இல் உள்ள திட்டங்களுக்கான பயன்பாடுகள், படிக கோஹோமோலஜி கோட்பாடு p-adic étale கோஹோமோலஜியை விட கோஹோமோலஜி குழுக்களில் p-முறிவு பற்றிய கேள்விகளைக் கையாள முடியும். இது பி-அடிக் எல்-செயல்பாடுகளில் பெரும்பாலான பணிகளுக்கு இயற்கையான பின்னணியாக அமைகிறது. படிக கோஹோமோலஜி, எண் கோட்பாட்டின் பார்வையில், எல்-அடிக் கோஹோமோலஜி தகவல்களில் ஒரு இடைவெளியை நிரப்புகிறது, இது 'சமமான பண்பு பகா எண்கள்' இருக்கும் இடத்தில் சரியாக நிகழ்கிறது. பாரம்பரியமாக ரேமிஃபிகேஷன் கோட்பாட்டின் பாதுகாப்பு, படிக ஒத்திசைவு இந்த சூழ்நிலையை டையுடோன் தொகுதி கோட்பாடாக மாற்றுகிறது, இது எண்கணித சிக்கல்களில் ஒரு முக்கியமான கையாளுதலை வழங்குகிறது. இதை முறையான அறிக்கைகளாக மாற்றுவதற்கான பரந்த நோக்கங்களைக் கொண்ட அனுமானங்கள் ஜீன்-மார்க் ஃபோன்டைனால் உச்சரிக்கப்பட்டன, இதன் தீர்மானம் பி-அடிக் ஹோட்ஜ் கோட்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. குணகங்கள் இயற்கணித ரீதியாக மூடப்பட்ட p> 0 புலத்தின் மீது ஒரு வகை X க்கு, p ஐத் தவிர வேறு எந்த பகா எண்ணுக்கும்-adic கோஹோமோலஜி குழுக்கள்-adic முழு எண்களின் வளையத்தில் உள்ள குணகங்களுடன் X இன் திருப்திகரமான கோஹோமோலஜி குழுக்களைக் கொடுக்கின்றன. நியாயமான பண்புகளைக் கொண்ட Q (அல்லது Z, அல்லது Q, அல்லது Z) இல் உள்ள குணகங்களைக் கொண்ட ஒத்த ஒத்திசைவுக் குழுக்களைக் கண்டறிவது பொதுவாக சாத்தியமில்லை. X ஒரு மேலோட்டமான நீள்வட்ட வளைவாக இருந்தால், அதன் எண்டோமார்பிசம் வளையம் ஒரு குவாட்டர்னியன் இயற்கணிதத்தில் ஒரு அதிகபட்ச வரிசையாகும். எதிர்பார்க்கப்படும் பரிமாணம் 2 இன் Q க்கு மேல் X ஒரு கோஹோமோலஜி குழுவைக் கொண்டிருந்தால், (எதிர் இயற்கணிதம்) B இந்த 2 பரிமாண இடைவெளியில் Q க்கு மேல் செயல்படும், இது சாத்தியமற்றது, ஏனெனில் B p இல் விரிவுபடுத்தப்படுகிறது. கிரோதெண்டீக்கின் படிக கோஹோமோலஜி கோட்பாடு இந்த தடையை சுற்றி வருகிறது, ஏனெனில் இது தரை புலத்தின் விட் திசையன்களின் வளையத்தின் மீது தொகுதிகளை உருவாக்குகிறது. எனவே தரை புலம் F இன் இயற்கணித மூடல் என்றால், அதன் மதிப்புகள் Z இன் அதிகபட்ச அன்ராமிஃபைட் எக்ஸ்டென்ஷனின் p-adic நிறைவு மீது தொகுதிகள் ஆகும், இது Z க்கு மேல் அல்லாமல், p ஆல் வகுக்கப்படாத அனைத்து n க்கும் ஒற்றுமையின் n வது வேர்களைக் கொண்ட மிகப் பெரிய வளையமாகும். உந்துதல் பண்புக்கூறு p இன் புலம் k மீது ஒரு வகை X இன் வெயில் கோஹோமோலஜி கோட்பாட்டை வரையறுப்பதற்கான ஒரு யோசனை என்னவென்றால், அதை k இன் விட் திசையன்களின் வளையத்தின் மீது ஒரு வகை X * க்கு 'உயர்த்துவது' (இது குறைப்பு முறை p இல் X ஐத் திருப்பித் தருகிறது), பின்னர் இந்த லிப்ட்டின் டி ராம் கோஹோமோலஜியை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். பிரச்சனை என்னவென்றால், இந்த கோஹோமோலஜி லிஃப்டிங் தேர்விலிருந்து சுயாதீனமாக உள்ளது என்பது வெளிப்படையாகத் தெரியவில்லை. 0 என்ற சிறப்பியல்பில் உள்ள படிக கோஹோமோலஜியின் யோசனை, ஒரு கோஹோமோலஜி கோட்பாட்டின் நேரடி வரையறையைக் கண்டறிவது, இது ஒரு பொருத்தமான தளத்தில் நிலையான உறைகளின் கோஹோமோலஜியை கண்டுபிடிப்பதாகும் இன்ஃப் (எக்ஸ்) எக்ஸ் மீது, எல்லையற்ற தளம் என்று அழைக்கப்படுகிறது, பின்னர் அது எந்த லிப்ட்டின் டி ராம் கோஹோமோலஜியைப் போன்றது என்பதைக் காட்டுகிறது. இன்ஃப் (எக்ஸ்) தளம் என்பது ஒரு வகையாகும், அதன் பொருள்களை எக்ஸ் இன் வழக்கமான திறந்த தொகுப்புகளின் ஒருவித பொதுமைப்படுத்தலாகக் கருதலாம். பண்புக்கூறு 0 இல் அதன் பொருள்கள் எல்லையற்ற தடிமன்களாக உள்ளன U → T இன் ஜாரிஸ்கி திறந்த துணைக்குழுக்கள் X இன் U. இதன் பொருள் U என்பது T இல் உள்ள இலட்சியங்களின் நில்போட்டன்ட் உறையால் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு திட்ட T இன் மூடிய சப்ஷீம் ஆகும்; எடுத்துக்காட்டாக, ஸ்பெக் (k) → ஸ்பெக் (k [x]/(x2)). கிரோதெண்டிக் X ஓவர் C என்ற மென்மையான திட்டங்களுக்கு, இன்ஃப் (X) இல் உள்ள ஷீஃப் OX இன் கோஹோமோலஜி வழக்கமான (மென்மையான அல்லது இயற்கணித) டி ராம் கோஹோமோலஜியைப் போன்றது என்பதைக் காட்டியது. படிக ஒத்திசைவு பண்புக்கூறு p இல், பண்புக்கூறு 0 இல் மேலே வரையறுக்கப்பட்ட படிக தளத்தின் மிகவும் வெளிப்படையான அனலாக் வேலை செய்யாது. டி ராம் வளாகத்தின் துல்லியத்தை நிரூபிக்க, ஒருவருக்கு ஒருவித பாயின்கேர் லெம்மா தேவைப்படுகிறது, அதன் ஆதாரம் ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்துகிறது, மேலும் ஒருங்கிணைப்புக்கு பல்வேறு பிரிக்கப்பட்ட சக்திகள் தேவைப்படுகின்றன, அவை பண்பு 0 இல் உள்ளன, ஆனால் எப்போதும் பண்பு p இல் இல்லை. கிரோதெண்டிக் X இன் படிக தளத்தின் பொருள்களை X இன் ஜாரிஸ்கி திறந்த துணைக்குழுக்களின் தோராயமாக எண்ணற்ற தடிமனாக வரையறுப்பதன் மூலம் இந்த சிக்கலைத் தீர்த்தார், தேவையான பிரிக்கப்பட்ட சக்திகளைக் கொடுக்கும் பிளவுபட்ட சக்தி கட்டமைப்புடன். n நீளமுள்ள விட் திசையன்களின் Wn = W/pnW வளையத்தின் மீது p> 0 என்ற பண்பு கொண்ட ஒரு சரியான புலம் k மீது வேலை செய்வோம். எடுத்துக்காட்டாக, k என்பது p வரிசையின் வரையறுக்கப்பட்ட புலமாகவும், Wn என்பது Z/pnZ வளையமாகவும் இருக்கலாம். (பொதுவாக ஒருவர் ஒரு அடிப்படை திட்டமான S மீது வேலை செய்யலாம், இது ஒரு பிளவுபட்ட சக்தி கட்டமைப்பைக் கொண்ட இலட்சியங்களின் நிலையான உறையைக் கொண்டுள்ளது.) X என்பது k க்கு மேல் உள்ள ஒரு திட்டமாக இருந்தால், Wn உடன் தொடர்புடைய X இன் படிக தளம், கிறிஸ் (X/Wn) என்று குறிக்கப்படுகிறது, அதன் பொருள்கள் ஜோடிகளாக U → T ஐக் கொண்டுள்ளது, இது X இன் ஜாரிஸ்கி திறந்த துணைக்குழு U இன் மூடிய நீரில் சில Wn-திட்டம் T ஐக் கொண்டுள்ளது, இது J இலட்சியங்களின் உறையால் வரையறுக்கப்படுகிறது, மேலும் J இல் ஒரு பிரிக்கப்பட்ட சக்தி கட்டமைப்புடன் Wn இல் உள்ளவற்றுடன் இணக்கமாக உள்ளது. X ஓவர் k திட்டத்தின் படிக ஒத்திசைவு என்பது தலைகீழ் வரம்பாக வரையறுக்கப்படுகிறது, அங்கு X/Wn இன் படிக தளத்தின் ஒத்திசைவு வளையங்களின் உறையில் உள்ள மதிப்புகளுடன் O: = OWn. இந்தக் கோட்பாட்டின் ஒரு முக்கிய அம்சம் என்னவென்றால், ஒரு மென்மையான திட்டமான X ஓவர் k இன் படிக ஒத்திசைவியல் பெரும்பாலும் இயற்கணித டி ராம் ஒத்திசைவியல் அடிப்படையில் கணக்கிடப்படலாம், இது X ஐ ஒரு திட்டமான Z ஓவர் W க்கு சரியான மற்றும் மென்மையான தூக்குதலின் அடிப்படையில் கணக்கிடப்படலாம். இதற்கு நேர்மாறாக, X இன் டி ராம் கோஹோமோலஜியை அதன் படிக கோஹோமோலஜியின் குறைப்பு முறை p ஆக மீட்டெடுக்க முடியும் (அதிக டார்ஸை கணக்கில் எடுத்துக் கொண்ட பிறகு). படிகங்கள் X என்பது S க்கு மேல் ஒரு திட்டமாக இருந்தால், உறை OX/S என்பது OX/S (T) = T இன் ஒருங்கிணைப்பு வளையத்தால் வரையறுக்கப்படுகிறது, அங்கு T ஐ ஒரு பொருளின் சுருக்கமாக எழுதுகிறோம். கிறிஸ் (எக்ஸ்/எஸ்) தளத்தில் உள்ள ஒரு படிகமானது ஓஎக்ஸ்/எஸ் தொகுதிகளின் ஒரு உறை எஃப் ஆகும், இது பின்வரும் அர்த்தத்தில் கடினமானதுஃ கிரிஸ் (எக்ஸ்/எஸ்) இன் டி, டி ′ பொருட்களுக்கு இடையிலான எந்த வரைபடத்திற்கும், இயற்கையான வரைபடம் எஃப் * எஃப் (டி) முதல் எஃப் (டி) வரை ஒரு ஐசோமார்பிசம் ஆகும். இது ஜாரிஸ்கி இடவியலில் உள்ள தொகுதிகளின் குவாசிகோஹெரென்ட் ஷீப்பின் வரையறையைப் போன்றது. ஒரு படிகத்திற்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு உறை OX/S ஆகும். இந்தக் கோட்பாட்டுடன் இணைக்கப்பட்ட படிகச் சொல், கிரோதெண்டிக் டேட்டிற்கு எழுதிய கடிதத்தில் (1966) விளக்கப்பட்டுள்ளது, இது இயற்கணித வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் சில பண்புகளால் ஈர்க்கப்பட்ட ஒரு உருவகமாகும். இவை பி-அடிக் கோஹோமோலஜி கோட்பாடுகளில் (படிகக் கோட்பாட்டின் முன்னோடிகள், டுவோர்க், மான்ஸ்கி, வாஷ்னிட்ஸர், லுப்கின் மற்றும் காட்ஸ் ஆகியோரால் பல்வேறு வடிவங்களில் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டன) குறிப்பாக டுவோர்க்கின் படைப்புகளில் பங்கு வகித்தன. இத்தகைய வேறுபட்ட சமன்பாடுகளை இயற்கணித கோஸுல் இணைப்புகளின் மூலம் எளிதில் வடிவமைக்க முடியும், ஆனால் p-adic கோட்பாட்டில் பகுப்பாய்வு தொடர்ச்சியின் அனலாக் மிகவும் மர்மமானது (ஏனெனில் p-adic வட்டுகள் ஒன்றுடன் ஒன்று இருப்பதை விட வேறுபடுகின்றன). ஆணை மூலம், ஒரு படிகத்தில் சிக்கலான பகுப்பாய்வு செயல்பாடுகளின் பகுப்பாய்வு தொடர்ச்சியின் விஷயத்தில் குறிப்பிடத்தக்க 'விறைப்பு' மற்றும் 'பரப்புதல்' இருக்கும். (சிஎஃப். 1960 களில் ஜான் டேட் அறிமுகப்படுத்திய கடுமையான பகுப்பாய்வு இடங்களும், இந்த விஷயங்கள் தீவிரமாக விவாதிக்கப்பட்டபோது.) மேலும் காண்க மோடிவிக் கோஹோமோலஜி டி ராம் கோஹோமோலஜி குறிப்புகள் (அதியாவுக்கு எழுதிய கடிதம், அக்டோபர் 14,1963). இயற்கணித வடிவியல் கோஹோமோலஜி கோட்பாடுகள் ஹோமோலாஜிகல் அல்ஜிப்ரா