Quantile function
நிகழ்தகவு மற்றும் புள்ளிவிவரங்களில், அளவீட்டு செயல்பாடு ஒரு சீரற்ற மாறியின் மதிப்பை வெளியிடுகிறது, அதாவது அதன் நிகழ்தகவு ஒரு உள்ளீட்டு நிகழ்தகவு மதிப்பை விட குறைவாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்கும். உள்ளுணர்வாக, அளவீட்டு செயல்பாடு ஒரு நிகழ்தகவு உள்ளீட்டில் மற்றும் அதற்குக் கீழே உள்ள வரம்புடன் தொடர்புடையது, சில நிகழ்தகவு விநியோகத்திற்கு அந்த வரம்பில் ஒரு சீரற்ற மாறி உணரப்படுவதற்கான சாத்தியக்கூறுகள். இது சதவீதம் செயல்பாடு (சதவீதத்திற்குப் பிறகு), சதவீதம்-புள்ளி செயல்பாடு அல்லது தலைகீழ் ஒட்டுமொத்த விநியோக செயல்பாடு (ஒட்டுமொத்த விநியோக செயல்பாட்டிற்குப் பிறகு) என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. வரையறை ஸ்ட்ரிக்ட்லி மோனோடோனிக் டிஸ்ட்ரிபியூஷன் ஃபங்ஷன் ஒரு சீரற்ற மாறி X இன் தொடர்ச்சியான மற்றும் கண்டிப்பாக மோனோடோனிக் ஒட்டுமொத்த விநியோக செயல்பாட்டைக் குறிக்கும் வகையில், குவான்டைல் ஃபங்ஷன் அதன் உள்ளீடு p ஐ ஒரு வாசல் மதிப்பு x க்கு வரைபடமாக்குகிறது, இதனால் X இன் நிகழ்தகவு x ஐ விட குறைவாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்கும். பொது விநியோகச் செயல்பாடு கண்டிப்பாக மோனோடோனிக் அல்லாத விநியோகச் செயல்பாடுகளின் பொதுவான விஷயத்தில், எனவே ஒரு தலைகீழ் சி. டி. எஃப். ஐ அனுமதிக்காது, அளவீடு என்பது ஒரு விநியோகச் செயல்பாட்டின் (சாத்தியமான) மதிப்புள்ள செயல்பாட்டு தொகுப்பாகும், இது இடைவெளியில் வழங்கப்படுகிறது இது பெரும்பாலும் மிகக் குறைந்த மதிப்பைத் தேர்ந்தெடுப்பது நிலையானது, இது சமமாக எழுதப்படலாம் (எஃப் இன் சரியான தொடர்ச்சியைப் பயன்படுத்தி) இங்கே அளவீட்டு செயல்பாடு x இன் குறைந்தபட்ச மதிப்பைத் தருகிறது என்ற உண்மையை நாம் கைப்பற்றுகிறோம் c. விநியோகச் செயல்பாடு சரியான தொடர்ச்சியானதாகவும், பலவீனமாக சலிப்பாகவும் இருப்பதால், குறைந்தபட்ச செயல்பாட்டை குறைந்தபட்ச செயல்பாட்டால் மாற்ற முடியும் என்பதை நினைவில் கொள்க. F செயல்பாடு தொடர்ச்சியாகவும், கண்டிப்பாக சலிப்பாகவும் அதிகரித்தால், சமத்துவமின்மைகளை சமத்துவங்களால் மாற்ற முடியும், மேலும் நம்மிடம் உள்ளதுஃ பொதுவாக, விநியோக செயல்பாடு F ஒரு இடது அல்லது வலது தலைகீழாக இருக்கத் தவறினாலும், அளவு செயல்பாடு Q என்பது விநியோக செயல்பாட்டிற்கு "கிட்டத்தட்ட உறுதியான இடது தலைகீழாக" செயல்படுகிறது, அதாவது கிட்டத்தட்ட நிச்சயமாக. எளிய எடுத்துக்காட்டு எடுத்துக்காட்டாக, எக்ஸ்போனென்ஷியல் (λ) இன் ஒட்டுமொத்த விநியோகச் செயல்பாடு (அதாவது. தீவிரம் λ மற்றும் எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு (சராசரி) 1/λ) எக்ஸ்பொனென்ஷியல் (λ) க்கான அளவு செயல்பாடு Q இன் மதிப்பைக் கண்டறிவதன் மூலம் பெறப்படுகிறதுஃ 0 ≤ p <1 க்கு. எனவே குவார்டைல்கள் பின்வருமாறுஃ முதல் குவார்டைல் (p = 1/4) மீடியன் (p = 2/4) மூன்றாவது குவார்டைல் (p = 3/4) பயன்பாடுகள் குவாண்டைல் செயல்பாடுகள் புள்ளிவிவர பயன்பாடுகள் மற்றும் மான்டே கார்லோ முறைகள் இரண்டிலும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. அளவீட்டுச் செயல்பாடு என்பது நிகழ்தகவு விநியோகத்தை பரிந்துரைப்பதற்கான ஒரு வழியாகும், மேலும் இது நிகழ்தகவு அடர்த்திச் செயல்பாடு (பி. டி. எஃப்) அல்லது நிகழ்தகவு நிறைச் செயல்பாடு, ஒட்டுமொத்த விநியோகச் செயல்பாடு (சி. டி. எஃப்) மற்றும் சிறப்பியல்புச் செயல்பாடு ஆகியவற்றிற்கு மாற்றாகும். நிகழ்தகவு விநியோகத்தின் அளவுச் செயல்பாடு, Q, அதன் ஒட்டுமொத்த விநியோகச் செயல்பாட்டின் தலைகீழ் ஆகும் F. அளவுச் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல், அதாவது அளவு அடர்த்தி செயல்பாடு, நிகழ்தகவு விநியோகத்தை பரிந்துரைப்பதற்கான மற்றொரு வழியாகும். இது அளவீட்டு செயல்பாட்டுடன் இயற்றப்பட்ட பி. டி. எஃப் இன் பரஸ்பரமாகும். புள்ளிவிவர பயன்பாடுகளுக்கு, கொடுக்கப்பட்ட விநியோகத்தின் முக்கிய சதவீத புள்ளிகளை பயனர்கள் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டில் உள்ளபடி அவர்களுக்கு மீடியன் மற்றும் 25 சதவீதம் மற்றும் 75 சதவீதம் குவார்டைல்கள் அல்லது 5 சதவீதம், 95 சதவீதம், 2.5 சதவீதம், 97.5% நிலைகள் தேவைப்படுகின்றன, அதாவது ஒரு அவதானிப்பின் புள்ளிவிவர முக்கியத்துவத்தை மதிப்பிடுவது போன்ற பிற பயன்பாடுகளுக்கு அதன் விநியோகம் அறியப்படுகிறது; அளவு உள்ளீட்டைப் பார்க்கவும். கணினிகள் பிரபலமடைவதற்கு முன்பு, புத்தகங்களில் அளவு செயல்பாட்டை மாதிரியாகக் கொண்ட புள்ளிவிவர அட்டவணைகளுடன் இணைப்புகள் இருப்பது வழக்கத்திற்கு மாறானது அல்ல. அளவீட்டு செயல்பாடுகளின் புள்ளிவிவர பயன்பாடுகள் கில்கிரிஸ்டால் விரிவாக விவாதிக்கப்படுகின்றன. மான்டே-கார்லோ உருவகப்படுத்துதல்கள் பல்வேறு வகையான உருவகப்படுத்துதல் கணக்கீடுகளில் பயன்படுத்துவதற்கு சீரான சீரற்ற அல்லது போலி எண்களை உருவாக்க அளவு செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்துகின்றன. கொடுக்கப்பட்ட விநியோகத்திலிருந்து ஒரு மாதிரி ஒரு சீரான விநியோகத்திலிருந்து ஒரு மாதிரியில் அதன் அளவு செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் கொள்கையளவில் பெறப்படலாம். உருவகப்படுத்துதல் முறைகளின் தேவைகள், எடுத்துக்காட்டாக நவீன கணக்கீட்டு நிதியத்தில், அளவு செயல்பாடுகளை அடிப்படையாகக் கொண்ட முறைகளில் அதிக கவனம் செலுத்துகின்றன, ஏனெனில் அவை கோபுலா அல்லது அரை-மான்ட்-கார்லோ முறைகள் மற்றும் நிதியில் மான்டே கார்லோ முறைகளை அடிப்படையாகக் கொண்ட பன்முக நுட்பங்களுடன் நன்றாக வேலை செய்கின்றன. கணக்கீடு அளவீட்டு செயல்பாடுகளின் மதிப்பீடு பெரும்பாலும் எண் முறைகளை உள்ளடக்கியது, மேலே உள்ள அதிவேக விநியோகம் போன்றது, இது ஒரு மூடிய வடிவ வெளிப்பாட்டைக் காணக்கூடிய சில விநியோகங்களில் ஒன்றாகும் (மற்றவற்றில் சீருடை, வெய்புல், டுகி லாம்ப்டா (இதில் லாஜிஸ்டிக் அடங்கும்) மற்றும் பதிவு-லாஜிஸ்டிக் ஆகியவை அடங்கும்). சி. டி. எஃப் ஒரு மூடிய வடிவ வெளிப்பாட்டைக் கொண்டிருக்கும்போது, சி. டி. எஃப் ஐ தலைகீழாக மாற்றுவதற்கு பைசெக்ஷன் முறை போன்ற எண் வேர்-கண்டுபிடிப்பு வழிமுறையைப் பயன்படுத்தலாம். அளவீட்டு செயல்பாடுகளை மதிப்பிடுவதற்கான பிற வழிமுறைகள் எண் ரெசிபிஸ் தொடர் புத்தகங்களில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. பொதுவான விநியோகங்களுக்கான வழிமுறைகள் பல புள்ளிவிவர மென்பொருள் தொகுப்புகளில் கட்டமைக்கப்பட்டுள்ளன. அளவீட்டுச் சார்புகள் நேரியல் அல்லாத சாதாரண மற்றும் பகுதி வகையீட்டுச் சமன்பாடுகளின் தீர்வுகளாகவும் வகைப்படுத்தப்படலாம். இயல்பான, மாணவர், பீட்டா மற்றும் காமா விநியோகங்களின் நிகழ்வுகளுக்கான சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடுகள் கொடுக்கப்பட்டு தீர்க்கப்பட்டுள்ளன. இயல்பான விநியோகம் இயல்பான விநியோகம் ஒருவேளை மிக முக்கியமான வழக்கு. இயல்பான விநியோகம் ஒரு இருப்பிட அளவிலான குடும்பமாக இருப்பதால், தன்னிச்சையான அளவுருக்களுக்கான அதன் அளவு செயல்பாட்டை நிலையான இயல்பான விநியோகத்தின் அளவு செயல்பாட்டின் எளிய மாற்றத்திலிருந்து பெறலாம், இது புரோபிட் செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. துரதிர்ஷ்டவசமாக, இந்த செயல்பாடு அடிப்படை இயற்கணித செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி மூடிய வடிவ பிரதிநிதித்துவத்தைக் கொண்டிருக்கவில்லை; இதன் விளைவாக, தோராயமான பிரதிநிதித்துவங்கள் பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. விசுரா மற்றும் அக்லாம் ஆகியோரால் முழுமையான கலப்பு பகுத்தறிவு மற்றும் பல்லுறுப்புக்கோவை தோராயங்கள் வழங்கப்பட்டுள்ளன. கலப்பு அல்லாத பகுத்தறிவு தோராயங்கள் ஷாவால் உருவாக்கப்பட்டுள்ளன. இயல்பான அளவிற்கான சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடு இயல்பான அளவிற்கான ஒரு நேரியல் அல்லாத சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடு, w (p), கொடுக்கப்படலாம். இது மைய (ஆரம்ப) நிபந்தனைகளுடன் உள்ளது இந்த சமன்பாடு கிளாசிக்கல் பவர் சீரிஸ் அணுகுமுறை உட்பட பல முறைகளால் தீர்க்கப்படலாம். இதிலிருந்து தன்னிச்சையாக அதிக துல்லியத்தின் தீர்வுகள் உருவாக்கப்படலாம் (ஸ்டெய்ன்ப்ரெச்சர் மற்றும் ஷா, 2008 ஐப் பார்க்கவும்). மாணவரின் டி-விநியோகம் இது வரலாற்று ரீதியாக மிகவும் கடினமான நிகழ்வுகளில் ஒன்றாகும், ஏனெனில் ஒரு அளவுருவின் இருப்பு, ν, சுதந்திரத்தின் அளவுகள், பகுத்தறிவு மற்றும் பிற தோராயங்களைப் பயன்படுத்துவதை சங்கடமாக்குகிறது. ν = 1,2,4 ஆக இருக்கும்போது எளிய சூத்திரங்கள் உள்ளன, மேலும் ν சமமாக இருக்கும்போது சிக்கலை ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் தீர்வாகக் குறைக்கலாம். மற்ற சந்தர்ப்பங்களில் குவான்டைல் செயல்பாடுகளை பவர் சீரிஸாக உருவாக்கலாம். எளிய நிகழ்வுகள் பின்வருமாறுஃ ν = 1 (காச்சி விநியோகம்) ν = 2 ν = 4 அங்கு மற்றும் மேலே உள்ள "அடையாளம்" செயல்பாடு நேர்மறை வாதங்களுக்கு + 1, எதிர்மறை வாதங்களுக்கு-1 மற்றும் பூஜ்ஜியத்தில் பூஜ்ஜியம். இது முக்கோணவியல் சைன் செயல்பாட்டுடன் குழப்பமடையக்கூடாது. அளவு கலவைகள் அடர்த்திகளின் கலவைகளுக்கு ஒத்ததாக, விநியோகங்களை அளவு கலவைகளாக வரையறுக்கலாம், இங்கு, அளவு செயல்பாடுகள் மற்றும், மாதிரி அளவுருக்கள். அளவுருக்கள் தேர்ந்தெடுக்கப்பட வேண்டும், எனவே அது ஒரு அளவு செயல்பாடு. இரண்டு நான்கு-அளவுரு அளவு கலவைகள், இயல்பான-பல்லுறுப்புக்கோவை அளவு கலவை மற்றும் காச்சி-பல்லுறுப்புக்கோவை அளவு கலவை ஆகியவை கார்வேனனால் வழங்கப்படுகின்றன. அளவீட்டு சார்புகளுக்கான நேரியல் அல்லாத வேறுபாடு சமன்பாடுகள் இயல்பான பகிர்வுக்கு கொடுக்கப்பட்ட நேரியல் அல்லாத சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடு என்பது இரண்டாவது வழித்தோன்றல் இருக்கும் எந்த அளவீட்டு சார்புக்கும் கிடைக்கும் ஒரு சிறப்பு நிகழ்வாகும். பொதுவாக ஒரு அளவிற்கான சமன்பாடு, Q (p), கொடுக்கப்படலாம். இது பொருத்தமான எல்லை நிலைமைகளால் அதிகரிக்கப்படுகிறது, இங்கு f (x) என்பது நிகழ்தகவு அடர்த்தி செயல்பாடு ஆகும். இந்த சமன்பாட்டின் வடிவங்கள் மற்றும் தொடர் மற்றும் அறிகுறியற்ற தீர்வுகள் மூலம் அதன் பாரம்பரிய பகுப்பாய்வு, இயல்பான, மாணவர், காமா மற்றும் பீட்டா விநியோகங்களின் நிகழ்வுகளுக்கு ஸ்டெய்ன்ப்ரெச்சர் மற்றும் ஷா (2008) விளக்கியுள்ளனர். இத்தகைய தீர்வுகள் துல்லியமான அளவுகோல்களை வழங்குகின்றன, மேலும் மாணவரின் விஷயத்தில், நேரடி மான்டே கார்லோ பயன்பாட்டிற்கு பொருத்தமான தொடர். தலைகீழ் உருமாற்ற மாதிரி சதவீதம் புள்ளி நிகழ்தகவு ஒருங்கிணைந்த உருமாற்றம் அளவு தரவரிசை அளவு விநியோக குறிப்புகள் மேலும் வாசிப்பு அபெர்னாதி, ரோஜர் டபிள்யூ மற்றும் ஸ்மித், ராபர்ட் பி. (1993) * "எஃப்-விநியோகத்தின் சதவீதங்களைக் கண்டறிய தலைகீழ் பீட்டா விநியோகத்திற்கு தொடர் விரிவாக்கத்தைப் பயன்படுத்துதல்", ஏசிஎம் டிரான்ஸ். கணிதம். Softw., 9 (4), 478-480 "மாணவர்" டி விநியோகம் ஏசிஎம் அல்காரிதம் 396 ஐ நிர்வகிப்பதற்கான இயல்பான அளவு புதிய முறைகளின் சுத்திகரிப்புஃ நிகழ்தகவு விநியோகம் தொடர்பான மாணவர் டி-குவாண்டைல்ஸ் செயல்பாடுகள் pt: அளவு