Hardy–Littlewood maximal function
கணிதத்தில், ஹார்டி-லிட்டில்வுட் அதிகபட்ச ஆபரேட்டர் எம் என்பது உண்மையான பகுப்பாய்வு மற்றும் ஹார்மோனிக் பகுப்பாய்வில் பயன்படுத்தப்படும் ஒரு குறிப்பிடத்தக்க நேரியல் அல்லாத ஆபரேட்டர் ஆகும். வரையறை ஆபரேட்டர் உள்ளூரில் ஒருங்கிணைக்கக்கூடிய செயல்பாட்டை எடுத்துக்கொள்கிறார் f: Rd → C மற்றும் மற்றொரு செயல்பாட்டை Mf ஐ வழங்குகிறது. எந்த புள்ளிக்கும் x ωRd, செயல்பாடு Mf யதார்த்தங்களின் தொகுப்பின் அதிகபட்சத்தை வழங்குகிறது, அதாவது x இல் உள்ள எந்த ஆரம் r இன் அனைத்து பந்துகளுக்கும் B (x, r) இன் சராசரி மதிப்புகளின் தொகுப்பு. முறைப்படி, இங்கு |E | என்பது ஒரு துணைக்குழுவின் D-பரிமாண லெபெஸ்கூ அளவீட்டைக் குறிக்கிறது. சராசரிகள் x மற்றும் r இல் கூட்டாக தொடர்ச்சியானவை, எனவே அதிகபட்ச செயல்பாடு Mf, r> 0 க்கு மேல் மேலாதிக்கமாக இருப்பதால், அளவிடக்கூடியது. எம்எஃப் கிட்டத்தட்ட எல்லா இடங்களிலும் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது என்பது தெளிவாகத் தெரியவில்லை. இது ஹார்டி-லிட்டில்வுட் அதிகபட்ச சமத்துவமின்மையின் விளைவாகும். ஹார்டி-லிட்டில்வுட் அதிகபட்ச சமத்துவமின்மை ஜி. எச். ஹார்டி மற்றும் ஜே. இ. லிட்டில்வுட் ஆகியோரின் இந்த தேற்றம், எம் என்பது p> 1 க்கான Lp (Rd) இலிருந்து ஒரு சப்-லீனியர் ஆபரேட்டராக வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது என்று கூறுகிறது. அதாவது, f ω Lp (Rd) என்றால் அதிகபட்ச செயல்பாடு Mf பலவீனமான L1-எல்லைக்குட்பட்டது மற்றும் Mf ω Lp (Rd) ஆகும். தேற்றத்தை இன்னும் துல்லியமாக குறிப்பிடுவதற்கு முன், எளிமைக்காக, {f> t} என்பது {x | f (x)> t} தொகுப்பைக் குறிக்கட்டும். இப்போது நம்மிடம் உள்ளதுஃ தேற்றம் (பலவீனமான வகை மதிப்பீடு). d ≤ 1 க்கு, ஒரு நிலையான Cd> 0 உள்ளது, அதாவது அனைத்து λ> 0 மற்றும் f ≤ L1 (Rd) க்கும், நம்மிடம் உள்ளதுஃ ஹார்டி-லிட்டில்வுட் அதிகபட்ச சமத்துவமின்மை கையில் இருப்பதால், பின்வரும் வலுவான வகை மதிப்பீடு மார்ஸின்கீவிக்ஸ் இடைக்கணிப்பு தேற்றத்தின் உடனடி விளைவாகும்ஃ தேற்றம் (வலுவான வகை மதிப்பீடு). ஒரு நிலையான Cp, d> 0 உள்ளது, அதாவது வலுவான வகை மதிப்பீட்டில் Cp, d க்கான சிறந்த வரம்புகள் தெரியவில்லை. இருப்பினும் பின்னர் எலியாஸ் எம். ஸ்டெய்ன் பின்வருவனவற்றை நிரூபிக்க கால்டெரோன்-ஜைக்மண்ட் சுழற்சி முறையைப் பயன்படுத்தினார்ஃ தேற்றம் (பரிமாண சுதந்திரம்). இந்த தேற்றத்திற்கு பல சான்றுகள் இருந்தாலும், ஒரு பொதுவான ஒன்று கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளதுஃ p = φ க்கு, சமத்துவமின்மை அற்பமானது (ஒரு செயல்பாட்டின் சராசரி அதன் அத்தியாவசிய மேலாதிக்கத்தை விட பெரியதாக இல்லாததால்). 1 <p <≤ க்கு, முதலில் பலவீனமான வகை மதிப்பீட்டை நிரூபிக்க லெம்மாவை உள்ளடக்கிய விட்டலியின் பின்வரும் பதிப்பைப் பயன்படுத்துவோம். (லெம்மாவின் ஆதாரத்திற்கு கட்டுரையைப் பார்க்கவும்.) லெம்மா. எக்ஸ் ஒரு பிரிக்கக்கூடிய மெட்ரிக் இடமாகவும், வரம்புக்குட்பட்ட விட்டம் கொண்ட திறந்த பந்துகளின் குடும்பமாகவும் இருக்கட்டும். பின்னர் 5 பி என்பது 5 மடங்கு ஆரம் கொண்ட பி போன்ற வேறுபட்ட பந்துகளைக் கொண்ட ஒரு எண்ணக்கூடிய துணைக்குடும்பத்தைக் கொண்டுள்ளது. Mf (x)> t என்றால், வரையறையின்படி, x ஐ மையமாகக் கொண்ட ஒரு பந்து Bx ஐக் காணலாம், அதாவது லெம்மாவால், அத்தகைய பந்துகளில், 5Bj இன் ஒன்றிணைப்பு {Mf> t} ஐ உள்ளடக்கும் வகையில் வேறுபட்ட பந்துகளின் வரிசையை நாம் காணலாம். இது பின்வருமாறுஃ இது பலவீனமான வகை மதிப்பீட்டின் ஆதாரத்தை நிறைவு செய்கிறது. இதிலிருந்து அடுத்ததாக Lp வரம்புகளைக் கண்டறிகிறோம். |f (x) |> t/2 மற்றும் 0 இல்லையெனில் b ஐ b (x) = f (x) ஆல் வரையறுக்கவும். b க்கு பயன்படுத்தப்படும் பலவீனமான வகை மதிப்பீட்டின்படி, நம்மிடம் உள்ளதுஃ C = 5d உடன். பின்னர் மேலே உள்ள மதிப்பீட்டின்படி நம்மிடம் உள்ளதுஃ இங்கு மாறிலி Cp என்பது p மற்றும் d ஐ மட்டுமே சார்ந்துள்ளது. இது தேற்றத்தின் ஆதாரத்தை நிறைவு செய்கிறது. லெபெஸ்கூ அளவின் உள் ஒழுங்குமுறை மற்றும் லெம்மாவை உள்ளடக்கிய விட்டலியின் வரையறுக்கப்பட்ட பதிப்பைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் ஆதாரத்தில் உள்ள மாறிலியை மேம்படுத்த முடியும் என்பதை நினைவில் கொள்க. மாறிலியை மேம்படுத்துவது பற்றி மேலும் அறிய கீழே உள்ள விவாதப் பிரிவைப் பார்க்கவும். பயன்பாடுகள் ஹார்டி-லிட்டில்வுட் அதிகபட்ச சமத்துவமின்மையின் சில பயன்பாடுகள் பின்வரும் முடிவுகளை நிரூபிப்பதை உள்ளடக்குகின்றனஃ லெபெஸ்கூ வேறுபாடு தேற்றம் ராடெமாச்சர் வேறுபாடு தேற்றம் ஃபாடூவின் தொடுவானமற்ற ஒருங்கிணைப்பு பற்றிய தேற்றம். பின்ன ஒருங்கிணைப்பு தேற்றம் இங்கே லெபெஸ்கூ வேறுபாடு தேற்றத்தின் விரைவான ஆதாரத்தை வழங்க அதிகபட்ச செயல்பாட்டை உள்ளடக்கிய ஒரு நிலையான தந்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம். (ஆனால் அதிகபட்ச தேற்றத்தின் சான்றில், லெம்மாவை உள்ளடக்கிய விட்டலியைப் பயன்படுத்தினோம் என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள்.) f ω L1 (Rn) மற்றும் f = h + g என்று எழுதும் இடத்தில் h தொடர்ச்சியானது மற்றும் கச்சிதமான ஆதரவைக் கொண்டுள்ளது மற்றும் g ω L1 (Rn) தன்னிச்சையாக சிறியதாக மாற்றக்கூடிய நெறிமுறையுடன். பின்னர் தொடர்ச்சி மூலம். இப்போது, ωg ≤ 2Mg மற்றும் எனவே, தேற்றத்தின் படி, நம்மிடம் உள்ளதுஃ இப்போது, நாம் கிட்டத்தட்ட எல்லா இடங்களிலும் ωf = 0 ஐ அனுமதிக்கலாம் மற்றும் முடிவு செய்யலாம்; அதாவது, கிட்டத்தட்ட அனைத்து x க்கும் உள்ளது. வரம்பு உண்மையில் f (x) க்கு சமம் என்பதைக் காட்ட இது உள்ளது. ஆனால் இது எளிதானதுஃ இது (அடையாளத்தின் தோராயமாக) அறியப்படுகிறது, எனவே கிட்டத்தட்ட எல்லா இடங்களிலும் ஒரு தொடர்ச்சி உள்ளது. வரம்பின் தனித்துவத்தால், fr → f கிட்டத்தட்ட எல்லா இடங்களிலும். விவாதம் மேற்கண்ட ஏற்றத்தாழ்வுகளில் Cp, d மற்றும் Cd என்ற மிகச்சிறிய மாறிலிகள் என்ன என்பது இன்னும் தெரியவில்லை. இருப்பினும், கோள அதிகபட்ச செயல்பாடுகளைப் பற்றிய எலியாஸ் ஸ்டெய்னின் விளைவாக, 1 <p <≤ க்கு, பரிமாணத்தின் மீது Cp, d இன் சார்பை நாம் அகற்றலாம், அதாவது, p ஐப் பொறுத்து சில நிலையான Cp> 0 க்கு Cp, d = Cp. ஹார்டி-லிட்டில்வுட் மேக்ஸிமல் ஆபரேட்டரின் பல பொதுவான வகைகள் உள்ளன, அவை மையப்படுத்தப்பட்ட பந்துகளின் சராசரிகளை வெவ்வேறு குடும்பங்களின் செட்களின் சராசரியுடன் மாற்றுகின்றன. உதாரணமாக, மையப்படுத்தப்படாத எச்எல் அதிகபட்ச இயக்கியை (ஸ்டெய்ன்-ஷகார்சியின் குறியீட்டைப் பயன்படுத்தி) வரையறுக்கலாம், அங்கு பந்துகள் பிஎக்ஸ் x இல் மையப்படுத்தப்படுவதை விட x ஐ மட்டுமே கொண்டிருக்க வேண்டும். டயாடிக் எச்எல் மேக்ஸிமல் ஆபரேட்டரும் உள்ளது, அங்கு க்யூஎக்ஸ் புள்ளி x ஐக் கொண்ட அனைத்து டயாடிக் க்யூப்ஸிலும் உள்ளது. இந்த இரண்டு இயக்கிகளும் எச்எல் அதிகபட்ச சமத்துவமின்மையை பூர்த்தி செய்கின்றன. ரைசிங் சன் லெம்மா குறிப்புகள் ஜான் பி. கார்னெட், எல்லைக்குட்பட்ட பகுப்பாய்வு செயல்பாடுகள் ஆகியவற்றையும் பார்க்கவும். ஸ்ப்ரிங்கர்-வெர்லாக், 2006 அன்டோனியோஸ் டி. மெலாஸ், மையப்படுத்தப்பட்ட ஹார்டி-லிட்டில்வுட் அதிகபட்ச சமத்துவமின்மைக்கான சிறந்த மாறிலி, ஆனல்ஸ் ஆஃப் மேத்தமேட்டிக்ஸ், 157 (2003), ராமி ஷகார்சி & எலியாஸ் எம். ஸ்டெய்ன், பகுப்பாய்வு III இல் பிரின்ஸ்டன் சொற்பொழிவுகள்ஃ உண்மையான பகுப்பாய்வு. பிரின்ஸ்டன் யுனிவர்சிட்டி பிரஸ், 2005 எலியாஸ் எம். ஸ்டெய்ன், அதிகபட்ச செயல்பாடுகள்ஃ கோள வழிமுறைகள், புரோக். நடால். அகாடமி. அறிவியல். யு. எஸ். ஏ. 73 (1976), எலியாஸ் எம். ஸ்டெய்ன், ஒற்றை ஒருங்கிணைப்புகள் மற்றும் செயல்பாடுகளின் வேறுபடுத்தக்கூடிய பண்புகள். பிரின்ஸ்டன் யுனிவர்சிட்டி பிரஸ், 1971 ஜெரால்ட் டெஸ்சல், உண்மையான மற்றும் செயல்பாட்டு பகுப்பாய்வில் தலைப்புகள் (விரிவுரை குறிப்புகள்) உண்மையான பகுப்பாய்வு ஹார்மோனிக் பகுப்பாய்வு செயல்பாடுகளின் வகைகள்