Spinors in three dimensions
கணிதத்தில், மூன்று பரிமாணங்களுக்கு சிறப்பு வாய்ந்த ஸ்பினார் கருத்தை புள்ளி தயாரிப்பு மற்றும் குறுக்கு தயாரிப்பு ஆகியவற்றின் பாரம்பரிய கருத்துக்களின் மூலம் கருதலாம். இது சுழற்சி குழுவான SO (3) இன் விரிவான இயற்கணித விவாதத்தின் ஒரு பகுதியாகும். 2 × 2 சிக்கலான ஹெர்மிடியன் மேட்ரிக்ஸுடன் ஒரு ஸ்பின்னரின் தொடர்பு எலி கார்டனால் வடிவமைக்கப்பட்டது. விரிவாக, உண்மையான (அல்லது சிக்கலான) எண்களின் திசையன் x = (x1, x2, x3) கொடுக்கப்பட்டால், சிக்கலான மேட்ரிக்ஸை ஒருவர் தொடர்புபடுத்தலாம். இந்த வடிவத்தின் மெட்ரிக்குகள் பின்வரும் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன, அவை அவற்றை 3-இடத்தின் வடிவவியலுடன் உள்ளார்ந்த முறையில் தொடர்புபடுத்துகின்றனஃ, இது தீர்மானிப்பதைக் குறிக்கிறது. , அங்கு I என்பது அடையாள மேட்ரிக்ஸ். இங்கு Z என்பது குறுக்கு விளைபொருளுடன் தொடர்புடைய அணி. ஒரு அலகு திசையன் என்றால், திசையனுடன் தொடர்புடைய அணி, இது சமதளத்தில் ஆர்த்தோகனல் பிரதிபலிப்பதன் விளைவாகும். சுழற்சி செயல்பாடுகளை எளிமைப்படுத்த கடைசி பண்பு பயன்படுத்தப்படலாம். இரண்டு பிரதிபலிப்புகளின் கலவையாக 3-இடைவெளி காரணிகளில் எந்த சுழற்சியும் என்பது நேரியல் இயற்கணிதத்திலிருந்து ஒரு அடிப்படை உண்மை. (பொதுவாக, எந்தவொரு நோக்குநிலை-தலைகீழ் ஆர்த்தோகனல் மாற்றமும் ஒரு பிரதிபலிப்பு அல்லது மூன்று பிரதிபலிப்புகளின் பெருக்கல் ஆகும்.) எனவே R என்பது ஒரு அலகு திசையனுக்கு செங்குத்தாக உள்ள தளத்தின் பிரதிபலிப்பாக சிதைந்துவிடும் ஒரு சுழற்சியாக இருந்தால், அதைத் தொடர்ந்து செங்குத்தாக உள்ள தளத்தில் பிரதிபலிப்பு இருந்தால், மேட்ரிக்ஸ் R வழியாக திசையனின் சுழற்சியைக் குறிக்கிறது. 3-இடத்தின் அனைத்து சுழற்சி நேரியல் வடிவவியலையும் சிக்கலான 2 × 2 மேட்ரிக்ஸின் தொகுப்பாக திறம்பட குறியிடப்பட்ட பிறகு, 2 × 1 மேட்ரிக்ஸ்கள் (அதாவது நெடுவரிசை திசையன்கள்) என்ன பங்கு வகிக்கின்றன என்று கேட்பது இயல்பானது. தற்காலிகமாக, ஒரு ஸ்பின்னர் என்பது சிக்கலான உள்ளீடுகளைக் கொண்ட ஒரு நெடுவரிசை திசையன் ஆகும். சுழல்களின் இடைவெளி சிக்கலான 2 × 2 மேட்ரிக்ஸ்களால் செயல்படுகிறது என்பது தெளிவாகிறது. மேலே காட்டப்பட்டுள்ளபடி, ஒரு ஜோடி அலகு திசையன்களில் உள்ள இரண்டு பிரதிபலிப்புகளின் பெருக்கல் 2 × 2 மேட்ரிக்ஸை வரையறுக்கிறது, அதன் யூக்ளிடியன் திசையன்கள் மீதான செயல்பாடு ஒரு சுழற்சியாகும். எனவே சுழற்சிகளில் சுழற்சிகளின் செயல்பாடு உள்ளது. இருப்பினும், ஒரு முக்கியமான எச்சரிக்கை உள்ளதுஃ ஒரு சுழற்சியின் காரணிமயமாக்கல் தனித்துவமானது அல்ல. தெளிவாக, ஒரு சுழற்சியின் பிரதிநிதித்துவமாக இருந்தால், R ஐ −R ஆல் மாற்றுவது அதே சுழற்சியை வழங்கும். உண்மையில், இது மட்டுமே எழும் தெளிவின்மை என்பதை ஒருவர் எளிதில் காட்ட முடியும். எனவே ஒரு சுழற்சியில் சுழற்சியின் செயல்பாடு எப்போதும் இரட்டை மதிப்புடையதாக இருக்கும். 2 × 2 சிக்கலான மேட்ரிக்ஸ்களுடன் கார்டனின் பணிக்கு சில முன்னோடிகள் இருந்தனர்ஃ வொல்ஃப்காங் பாலி இந்த மேட்ரிக்ஸ்களை மிகவும் தீவிரமாக பயன்படுத்தினார், இதனால் நான்கு பரிமாண துணை இடத்தின் ஒரு குறிப்பிட்ட அடிப்படையின் கூறுகள் பாலி மேட்ரிக்ஸ் σi என்று அழைக்கப்படுகின்றன, இதனால் ஹெர்மிடியன் மேட்ரிக்ஸ் ஒரு பாலி திசையனாக எழுதப்படுகிறது 19 ஆம் நூற்றாண்டின் நடுப்பகுதியில் நான்கு சிக்கலான பரிமாணங்களைக் கொண்ட இந்த இயற்கணிதத்தின் இயற்கணித செயல்பாடுகள் புவிசார் இயக்கங்களாக ஆய்வு செய்யப்பட்டன. இயற்பியலுக்கான கணிதத்தில் மைக்கேல் ஸ்டோன் மற்றும் பால் கோல்ட்பார் ஆகியோர் இதை எதிர்த்து, "சுழல் பிரதிநிதித்துவங்கள் இயற்பியலில் தேவைப்படுவதற்கு சில ஆண்டுகளுக்கு முன்பு 1913 இல் 'எலி கார்டனால் கண்டுபிடிக்கப்பட்டன" என்று கூறுகின்றனர். ஐசோட்ரோபிக் திசையன்களைப் பயன்படுத்தி உருவாக்கம் சுழற்சிகள் குவாட்டர்னியோனிக் கட்டுமானத்தைப் பயன்படுத்தாமல் 3-இடத்தில் ஐசோட்ரோபிக் திசையன்களிலிருந்து நேரடியாக கட்டமைக்கப்படலாம். சுழற்சிகளின் இந்த அறிமுகத்தை ஊக்குவிக்க, X என்பது சிக்கலான 3-இடத்தில் ஒரு திசையன் x ஐக் குறிக்கும் ஒரு அணி என்று வைத்துக்கொள்வோம். x ஐசோட்ரோபிக் என்று மேலும் வைத்துக்கொள்வோம்ஃ அதாவது, X இன் தீர்மானிப்பவர் பூஜ்ஜியமாக இருப்பதால் அதன் வரிசைகள் அல்லது நெடுவரிசைகளுக்கு இடையில் விகிதாசாரம் உள்ளது. எனவே மேட்ரிக்ஸ் இரண்டு சிக்கலான 2-திசையன்களின் வெளிப்புற பெருக்கலாக எழுதப்படலாம்ஃ இந்த காரணியாக்கம் திசையன் x இன் ஆயத்தொகுப்புகளில் மிகைப்படுத்தப்பட்ட சமன்பாடுகளின் அமைப்பை வழங்குகிறதுஃ கட்டுப்பாட்டிற்கு உட்பட்டு இந்த அமைப்பு தீர்வுகளை ஏற்றுக்கொள்கிறது. எனவே ஒரு சுழல் ஒரு ஐசோட்ரோபிக் திசையனாகக் கருதப்படலாம், அதோடு அடையாளத்தின் தேர்வும் இருக்கலாம். மடக்கை கிளை காரணமாக, ஒரு அடையாளத்தை தொடர்ந்து தேர்வு செய்வது சாத்தியமில்லை என்பதை நினைவில் கொள்க, இதனால் x ஆயத்தொகுதிகளுக்கு இடையில் ஒரு முழு சுழற்சியில் () தொடர்ந்து மாறுபடும். ஒரு சுழற்சியில் ஒரு சுழற்சியின் பிரதிநிதித்துவத்தின் இந்த தெளிவின்மை இருந்தபோதிலும், சுழற்சிகள் ω1: ω2 விகிதத்தில் ஒரு பின்ன நேரியல் மாற்றத்தால் சந்தேகத்திற்கு இடமின்றி செயல்படுகின்றன, ஏனெனில் தீர்வு () இல் உள்ள ஒரு தேர்வு அடையாளம் இரண்டாவது அடையாளத்தின் தேர்வை கட்டாயப்படுத்துகிறது. குறிப்பாக, சுழல்களின் இடைவெளி என்பது ஆர்த்தோகனல் குழுவின் திட்டவட்டமான பிரதிநிதித்துவமாகும். இந்தக் கண்ணோட்டத்தின் விளைவாக, சுழல்கள் ஐசோட்ரோபிக் திசையன்களின் ஒரு வகையான "வர்க்கமூலமாக" கருதப்படலாம். குறிப்பாக, மேட்ரிக்ஸ் சிஸ்டம் () ஐ அறிமுகப்படுத்துவது என்பது தீர்மானிக்கப்படாத ஸ்பின்னருக்கான X = 2 ω t ω C ஐத் தீர்ப்பதற்கு சமம். ஒரு ஃபோர்டியோரி, ω மற்றும் x இன் பாத்திரங்கள் இப்போது தலைகீழாக இருந்தால், Q (ω) = x வடிவம் வரையறுக்கிறது, ஒவ்வொரு சுழற்சிக்கும் ω, ω இன் கூறுகளில் ஒரு திசையன் x ஐ நான்கு மடங்காக வரையறுக்கிறது. இந்த இருபடி வடிவம் துருவமுனைக்கப்பட்டிருந்தால், அது சுழல்கள் Q (μ, x) மீது ஒரு இருமுனை திசையன் மதிப்புள்ள வடிவத்தை தீர்மானிக்கிறது. இந்த இருமுனை வடிவம் பின்னர் ஒரு பிரதிபலிப்பு அல்லது சுழற்சியின் கீழ் இழுவிசையாக மாறுகிறது. யதார்த்தம் மேற்கூறிய கருத்துக்கள் பரிசீலனையில் உள்ள அசல் யூக்ளிடியன் இடம் உண்மையானதா அல்லது சிக்கலானதா என்பது சமமாக பொருந்தும். இருப்பினும், இடம் உண்மையானதாக இருக்கும்போது, சுழற்சிகள் சில கூடுதல் கட்டமைப்பைக் கொண்டுள்ளன, இது சுழற்சி குழுவின் பிரதிநிதித்துவத்தைப் பற்றிய முழுமையான விளக்கத்தை எளிதாக்குகிறது. எளிமையைப் பொறுத்தவரை, 3-இடத்தில் உள்ள உள் பெருக்கல் நேர்மறை-திட்டவட்டமான கையொப்பத்தைக் கொண்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம்ஃ இந்த மரபுடன், உண்மையான திசையன்கள் ஹெர்மிடியன் மேட்ரிக்ஸ்களுடன் ஒத்திருக்கின்றன. மேலும், () வடிவத்தைப் பாதுகாக்கும் உண்மையான சுழற்சிகள் (இரட்டை மதிப்புள்ள அர்த்தத்தில்) தீர்மானிக்கும் ஒன்றின் யூனிட்டரி மேட்ரிக்ஸ்களுடன் ஒத்திருக்கின்றன. நவீன சொற்களில், இது சிறப்பு ஒற்றையாட்சி குழுவான எஸ்யு (2) ஐ எஸ்ஓ (3) இன் இரட்டை மறைப்பாக முன்வைக்கிறது. இதன் விளைவாக, ஸ்பின் ஹெர்மிடியன் தயாரிப்பு அனைத்து சுழற்சிகளாலும் பாதுகாக்கப்படுகிறது, எனவே இது நியமனமானது. இருப்பினும், 3-இடத்தில் உள் உற்பத்தியின் கையொப்பம் காலவரையற்றதாக இருந்தால் (அதாவது, சிதைக்கப்படாதது, ஆனால் நேர்மறை திட்டவட்டமானதல்ல), இதைப் பிரதிபலிக்கும் வகையில் மேற்கூறிய பகுப்பாய்வு சரிசெய்யப்பட வேண்டும். 3-இடத்தில் நீளம் வடிவம் பின்வருமாறு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம்ஃ பின்னர் முந்தைய பிரிவுகளின் சுழல்களின் கட்டுமானம் தொடர்கிறது, ஆனால் அனைத்து சூத்திரங்களிலும் மாற்றப்படுகிறது. இந்த புதிய மரபுடன், ஒரு உண்மையான திசையனுடன் தொடர்புடைய அணி தானே உண்மையானதுஃ வடிவம் () இனி ஒரு உண்மையான சுழற்சியின் (அல்லது தலைகீழ்) கீழ் மாறாதது, ஏனெனில் குழு நிலைப்படுத்துதல் () இப்போது ஒரு லோரென்ட்ஸ் குழு O (2,1) ஆகும். அதற்கு பதிலாக, ஹெர்மிடியன் எதிர்ப்பு வடிவம் இந்த மெட்ரிக் கையொப்பத்தில் ஸ்பின்னர்களுக்கான உள் தயாரிப்பு பற்றிய பொருத்தமான கருத்தை வரையறுக்கிறது. O (2,1) இன் அடையாளத்தின் இணைக்கப்பட்ட கூறுகளில் ஏற்படும் மாற்றங்களின் கீழ் இந்த வடிவம் மாறாதது. இரு சந்தர்ப்பங்களிலும், குவார்டிக் வடிவம் O (3) (அல்லது O (2,1), முறையே) கீழ் முழுமையாக மாறாதது, இங்கு Q என்பது முந்தைய பிரிவில் விவரிக்கப்பட்டுள்ள திசையன் மதிப்புள்ள இருமுனை வடிவமாகும். இது இருபடிக்கு பதிலாக ஒரு குவார்டிக் மாறாதது என்ற உண்மை ஒரு முக்கியமான விளைவைக் கொண்டுள்ளது. சிறப்பு ஆர்த்தோகனல் உருமாற்றங்களின் குழுவில் ஒருவர் கவனத்தை மட்டுப்படுத்தினால், இந்த வடிவத்தின் வர்க்கமூலத்தை எடுத்து, அவற்றின் டூயல்களுடன் சுழல்களின் அடையாளத்தைப் பெறுவது சந்தேகத்திற்கு இடமின்றி சாத்தியமாகும். பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாட்டின் மொழியில், ஐசோமார்பிசம் வரை SO (3) (அல்லது SO (2,1)) இன் ஒரே ஒரு பகுக்கமுடியாத சுழற்சி பிரதிநிதித்துவம் மட்டுமே உள்ளது என்பதை இது குறிக்கிறது. எவ்வாறாயினும், தலைகீழ் மாற்றங்களும் (எ. கா., ஒரு தளத்தில் பிரதிபலிப்புகள்) அனுமதிக்கப்பட்டால், பிரதிபலிப்பின் பயன்பாட்டில் அடையாளம் மாறுவதால் சுழற்சிகளை அவற்றின் இரட்டையர்களுடன் அடையாளம் காண முடியாது. எனவே O (3) (அல்லது O (2,1)) இன் இரண்டு பகுக்கமுடியாத சுழல் பிரதிநிதித்துவங்கள் உள்ளன, சில நேரங்களில் முள் பிரதிநிதித்துவங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. யதார்த்த கட்டமைப்புகள் இந்த இரண்டு கையொப்பங்களுக்கும் இடையிலான வேறுபாடுகளை சுழல்களின் இடத்தில் ஒரு யதார்த்த அமைப்பு என்ற கருத்தின் மூலம் குறியிட முடியும். முறைசாரா முறையில், இது ஒரு ஸ்பின்னரின் சிக்கலான இணைப்பை எடுப்பதற்கான ஒரு மருந்தாகும், ஆனால் இது ஒரு ஸ்பின்னரின் கூறுகளுக்கு வழக்கமான இணைப்புடன் ஒத்திருக்காது. குறிப்பாக, ஒரு யதார்த்த அமைப்பு ஒரு ஹெர்மிடியன் 2 × 2 மேட்ரிக்ஸ் K ஆல் குறிப்பிடப்படுகிறது, அதன் பெருக்கல் அடையாள மேட்ரிக்ஸ் ஆகும்ஃ K2 = ID. ஒரு யதார்த்த அமைப்பு K ஐப் பொறுத்தவரை ஒரு சுழலின் இணைப்பானது திசையன்களின் (எ. கா., () அல்லது ()) உள் பெருக்கலின் குறிப்பிட்ட வடிவத்தால் வரையறுக்கப்படுகிறது, இது ஒரு யதார்த்த கட்டமைப்பை (-1 இன் காரணி வரை) தீர்மானிக்கிறது, X ஒரு யதார்த்த திசையனுடன் தொடர்புடைய ஒரு மேட்ரிக்ஸாக இருக்கும்போதெல்லாம் தேவைப்படுகிறது. எனவே K = iC என்பது யூக்ளிடியன் கையொப்பம் () இல் உள்ள யதார்த்த அமைப்பு, மற்றும் K = ID என்பது கையொப்பம் () ஆகும். கையில் ஒரு யதார்த்த கட்டமைப்புடன், ஒருவர் பின்வரும் முடிவுகளைக் கொண்டிருக்கிறார்ஃ எக்ஸ் என்பது ஒரு உண்மையான திசையனுடன் தொடர்புடைய மேட்ரிக்ஸ் என்றால், மேலும், μ மற்றும் x ஒரு சுழற்சியாக இருந்தால் மட்டுமே, உள் பெருக்கல் சரியான ஆர்த்தோகனல் மாற்றங்களின் கீழ் மாறாத ஒரு ஹெர்மிடியன் வடிவத்தை தீர்மானிக்கிறது. பெரும்பாலும், இயற்பியல் மாணவர் சந்திக்கும் சுழல்களின் முதல் எடுத்துக்காட்டு பவுலியின் எலக்ட்ரான் சுழற்சி கோட்பாட்டில் பயன்படுத்தப்படும் 2 × 1 சுழல்களாகும். பௌலி மேட்ரிக்ஸ்கள் சுழல் இயக்கிகளாகப் பயன்படுத்தப்படும் மூன்று 2 × 2 மேட்ரிக்ஸ்களின் திசையன் ஆகும். 3 பரிமாணங்களில் ஒரு அலகு திசையன் கொடுக்கப்பட்டால், எடுத்துக்காட்டாக (a, b, c), அலகு திசையனின் திசையில் சுழல்வதற்கான சுழல் மேட்ரிக்ஸைப் பெற ஒருவர் பாலி சுழல் மேட்ரிக்ஸுடன் ஒரு புள்ளி உற்பத்தியை எடுக்கிறார். அந்த சுழல் மேட்ரிக்ஸின் ஈஜென்வெக்டர்கள் சுழல்-1/2 திசையன் கொடுக்கப்பட்ட திசையில் சார்ந்த சுழல்களாகும். எடுத்துக்காட்டுஃ u = (0.8,-0.6,0) ஒரு அலகு திசையன். பாலி சுழல் மேட்ரிக்ஸுடன் இதைக் குறிப்பிடுவது மேட்ரிக்ஸைக் கொடுக்கிறதுஃ ஐஜென்வெக்டர்களை நேரியல் இயற்கணிதத்தின் வழக்கமான முறைகளால் காணலாம், ஆனால் ஒரு வசதியான தந்திரம் என்னவென்றால், ஒரு பாலி சுழல் மேட்ரிக்ஸ் ஒரு தன்னிச்சையான மேட்ரிக்ஸ், அதாவது மேலே உள்ள மேட்ரிக்ஸின் வர்க்கம் அடையாள மேட்ரிக்ஸ் ஆகும். எனவே ±1 இன் ஐகென் மதிப்புகள் கொண்ட ஐகென் வெக்டர் சிக்கலுக்கான ஒரு (மேட்ரிக்ஸ்) தீர்வு வெறுமனே 1 ±Su ஆகும். அதாவது, தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட நெடுவரிசை பூஜ்ஜியமாக இல்லாவிட்டால், ஈஜென்வெக்டர் மேட்ரிக்ஸின் நெடுவரிசைகளில் ஒன்றை திசையன் தீர்வாக ஒருவர் தேர்வு செய்யலாம். மேற்கூறியவற்றின் முதல் நெடுவரிசையை எடுத்துக் கொண்டால், இரண்டு ஐகென் மதிப்புகளுக்கான ஐகென் வெக்டர் தீர்வுகள் பின்வருமாறுஃ ஐகென் வெக்டர்களைக் கண்டறியப் பயன்படுத்தப்படும் தந்திரம் இலட்சியங்களின் கருத்துடன் தொடர்புடையது, அதாவது, மேட்ரிக்ஸ் ஐகென் வெக்டர்கள் (1 ±Su)/2 ப்ரொஜெக்ஷன் ஆபரேட்டர்கள் அல்லது ஐடிம்போட்டண்ட்கள், எனவே ஒவ்வொன்றும் பாலி இயற்கணிதத்தில் ஒரு இலட்சியத்தை உருவாக்குகின்றன. இதே தந்திரம் எந்த கிளிஃபோர்ட் இயற்கணிதத்திலும் வேலை செய்கிறது, குறிப்பாக கீழே விவாதிக்கப்பட்ட டைராக் இயற்கணிதம். இந்த ப்ரொஜெக்ஷன் ஆபரேட்டர்கள் அடர்த்தி மேட்ரிக்ஸ் கோட்பாட்டிலும் காணப்படுகின்றன, அங்கு அவை தூய அடர்த்தி மேட்ரிக்ஸின் எடுத்துக்காட்டுகளாகும். மேலும் பொதுவாக, (a, b, c) திசையில் சுழல்வதற்கான ப்ரொஜெக்ஷன் ஆபரேட்டர் வழங்கப்படுகிறது மற்றும் பூஜ்ஜியமற்ற எந்த நெடுவரிசையையும் ப்ரொஜெக்ஷன் ஆபரேட்டராக எடுத்துக் கொள்ளலாம். இரண்டு நெடுவரிசைகளும் வேறுபட்டதாகத் தோன்றினாலும், அவை ஒரே சுழற்சியின் மடங்குகள் (பூஜ்ஜியமாக இருக்கலாம்) என்பதைக் காட்ட a2 + b2 + c2 = 1 ஐப் பயன்படுத்தலாம். அணு இயற்பியல் மற்றும் குவாண்டம் இயக்கவியலில், சுழற்சியின் பண்பு முக்கிய பங்கு வகிக்கிறது. அவற்றின் பிற பண்புகளுக்கு கூடுதலாக, அனைத்து துகள்களும் ஒரு கிளாசிக்கல் அல்லாத பண்பைக் கொண்டுள்ளன, அதாவது, வழக்கமான இயற்பியலில் எந்த தொடர்பும் இல்லை, அதாவது சுழற்சி, இது ஒரு வகையான உள்ளார்ந்த கோண உந்தமாகும். நிலை பிரதிநிதித்துவத்தில், சுழற்சி இல்லாத ஒரு அலை செயல்பாட்டிற்கு பதிலாக, si = si (r), சுழற்சியுடன் உள்ளதுஃ si = si (r, σ), இதில் σ பின்வரும் தனித்துவமான மதிப்புகளின் தொகுப்பை எடுக்கிறதுஃ ஒரு துகள்களின் மொத்த கோண உந்தம் இயக்குபவர், சுற்றுப்பாதை கோண உந்தம் (அதாவது, முழு எண்கள் மட்டுமே அனுமதிக்கப்படுகின்றன) மற்றும் உள்ளார்ந்த பகுதியான சுழற்சியின் கூட்டுத்தொகையுடன் ஒத்திருக்கிறது. ஒன்று போசான்கள் (S = 0, ±1, ±2,.) மற்றும் ஃபெர்மியன்களை (S = ±1/2, ±3/2, ±5/2,.) வேறுபடுத்துகிறது. மேலும் காண்க ப்ளோச் கோளம் பவுலி சமன்பாடு குறிப்புகள் நேரியல் இயற்கணிதம் சுழல்கள் ru: σπινορ τρίχμερνογο προστρανστβα