Classical group
கணிதத்தில், கிளாசிக்கல் குழுக்கள் யதார்த்தங்கள், சிக்கலான எண்கள் மற்றும் குவாட்டர்னியன்கள் ஆகியவற்றின் மீது சிறப்பு நேரியல் குழுக்களாக வரையறுக்கப்படுகின்றன, அவை சமச்சீர் அல்லது வளைவு-சமச்சீர் இருதரப்பு வடிவங்களின் சிறப்பு தானியங்கி குழுக்களுடன் மற்றும் உண்மையான, சிக்கலான மற்றும் குவாட்டர்னியோனிக் வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண திசையன் இடைவெளிகளில் வரையறுக்கப்பட்ட ஹெர்மிடியன் அல்லது வளைவு-ஹெர்மிடியன் செஸ்குலினியர் வடிவங்கள். இவற்றில், சிக்கலான கிளாசிக்கல் லை குழுக்கள் லை குழுக்களின் நான்கு எல்லையற்ற குடும்பங்களாகும், அவை விதிவிலக்கான குழுக்களுடன் சேர்ந்து எளிய லை குழுக்களின் வகைப்பாட்டை முடக்குகின்றன. கச்சிதமான பாரம்பரிய குழுக்கள் சிக்கலான பாரம்பரிய குழுக்களின் கச்சிதமான உண்மையான வடிவங்களாகும். பாரம்பரிய குழுக்களின் வரையறுக்கப்பட்ட ஒப்புமைகள் லை வகையின் பாரம்பரிய குழுக்கள் ஆகும். "கிளாசிக்கல் குரூப்" என்ற சொல் ஹெர்மன் வேய்லால் உருவாக்கப்பட்டது, இது அவரது 1939 மோனோகிராஃப் தி கிளாசிக்கல் குரூப்களின் தலைப்பாகும். கிளாசிக்கல் குழுக்கள் நேரியல் லை குழுக்களின் விஷயத்தின் ஆழமான மற்றும் மிகவும் பயனுள்ள பகுதியை உருவாக்குகின்றன. பெரும்பாலான வகையான பாரம்பரிய குழுக்கள் பாரம்பரிய மற்றும் நவீன இயற்பியலில் பயன்பாட்டைக் காண்கின்றன. ஒரு சில உதாரணங்கள் பின்வருமாறு. சுழற்சிக் குழு என்பது யூக்ளிடியன் இடைவெளி மற்றும் இயற்பியலின் அனைத்து அடிப்படை விதிகளின் சமச்சீர் ஆகும், லோரென்ட்ஸ் குழு என்பது சிறப்பு சார்பியலின் இடைவெளி நேரத்தின் சமச்சீர் குழுவாகும். குவாண்டம் குரோமோடைனமிக்ஸின் சமச்சீர் குழு சிறப்பு ஒற்றையாட்சி குழுவாகும், மேலும் சிம்ப்லெக்டிக் குழு ஹாமில்டோனியன் இயக்கவியல் மற்றும் அதன் குவாண்டம் இயந்திர பதிப்புகளில் பயன்பாட்டைக் கண்டறிகிறது. கிளாசிக்கல் குழுக்கள் கிளாசிக்கல் குழுக்கள் என்பது கீழே விவாதிக்கப்பட்ட சீரழியாத வடிவங்களின் ஆட்டோமார்ஃபிஸம் குழுக்களுடன் சேர்ந்து பொதுவான நேரியல் குழுக்களாகும். இந்த குழுக்கள் பொதுவாக துணைக்குழுக்களுக்கு கூடுதலாக கட்டுப்படுத்தப்படுகின்றன, அவற்றின் கூறுகள் தீர்மானிக்கும் 1 ஐக் கொண்டுள்ளன, இதனால் அவற்றின் மையங்கள் தனித்துவமானவை. கிளாசிக்கல் குழுக்கள், தீர்மானிப்பவர் 1 நிபந்தனையுடன், கீழே உள்ள அட்டவணையில் பட்டியலிடப்பட்டுள்ளன. தொடர்ச்சியில், தீர்மானிப்பவர் 1 நிபந்தனை அதிக பொதுவான நலனுக்காக தொடர்ந்து பயன்படுத்தப்படுவதில்லை. சிக்கலான பாரம்பரிய குழுக்கள், மற்றும். ஒரு குழு அதன் லை இயற்கணிதம் சிக்கலானது என்பதைப் பொறுத்து சிக்கலானது. எந்தவொரு லை இயற்கணிதமும் ஒரு உண்மையான இயற்கணிதம் என்பதால் உண்மையான கிளாசிக்கல் குழுக்கள் அனைத்து கிளாசிக்கல் குழுக்களையும் குறிக்கின்றன. கச்சிதமான பாரம்பரிய குழுக்கள் சிக்கலான பாரம்பரிய குழுக்களின் கச்சிதமான உண்மையான வடிவங்களாகும். இவை, மாறி மாறி, மற்றும். சுருக்கமான உண்மையான வடிவத்தின் ஒரு தன்மை லை இயற்கணிதத்தின் அடிப்படையில் உள்ளது. இதன் சிக்கலானது, மற்றும் இதன் மூலம் உருவாக்கப்பட்ட இணைக்கப்பட்ட குழு கச்சிதமாக இருந்தால், அது ஒரு கச்சிதமான உண்மையான வடிவமாகும். கிளாசிக்கல் குழுக்கள் ஒரே மாதிரியாக உண்மையான வடிவங்களைப் பயன்படுத்தி வேறு வழியில் வகைப்படுத்தப்படலாம். கிளாசிக்கல் குழுக்கள் (இங்கே தீர்மானிப்பவர் 1 நிபந்தனையுடன், ஆனால் இது தேவையில்லை) பின்வருமாறுஃ சிக்கலான நேரியல் இயற்கணித குழுக்கள் மற்றும் அவற்றின் உண்மையான வடிவங்களுடன். உதாரணமாக, ஒரு உண்மையான வடிவம், ஒரு உண்மையான வடிவம், மற்றும் ஒரு உண்மையான வடிவம். தீர்மானிப்பவர் 1 நிபந்தனை இல்லாமல், சிறப்பு நேரியல் குழுக்களை குணாதிசயத்தில் தொடர்புடைய பொதுவான நேரியல் குழுக்களுடன் மாற்றவும். கேள்விக்குரிய இயற்கணிதக் குழுக்கள் லை குழுக்கள், ஆனால் "உண்மையான வடிவம்" பற்றிய சரியான கருத்தைப் பெற "இயற்கணித" தகுதி தேவைப்படுகிறது. பில்லினியர் மற்றும் செஸ்குலினியர் வடிவங்கள் கிளாசிக்கல் குழுக்கள் உண்மையான மற்றும் சிக்கலான எண்களின் புலங்களில் வரையறுக்கப்பட்ட வடிவங்களின் அடிப்படையில் வரையறுக்கப்படுகின்றன, மற்றும், எங்கே மற்றும் உள்ளன. குவாட்டர்னியன்கள், ஒரு புலத்தை உருவாக்குவதில்லை, ஏனெனில் பெருக்கம் பரிமாற்றத்தை ஏற்படுத்தாது; அவை ஒரு பிரிவு வளையம் அல்லது வளைவு புலம் அல்லது பரிமாற்றமற்ற புலத்தை உருவாக்குகின்றன. இருப்பினும், மேட்ரிக்ஸ் குவாட்டர்னியோனிக் குழுக்களை வரையறுப்பது இன்னும் சாத்தியமாகும். இந்த காரணத்திற்காக, ஒரு திசையன் இடத்தை மேலேயும், கீழேயும் வரையறுக்க அனுமதிக்கப்படுகிறது. இந்த விஷயத்தில், குழு நடவடிக்கையின் பிரதிநிதித்துவத்தை இடமிருந்து மேட்ரிக்ஸ் பெருக்கமாக சாத்தியமாக்க ஒரு வலது திசையன் இடைவெளி, மற்றும் போலவே. சில வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண வலது திசையன் இடத்தில் ஒரு வடிவம், அல்லது அது செஸ்க்விலைனியர் என்று அழைக்கப்பட்டால் அது பைலினியர் ஆகும், இந்த மரபுகள் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டால் அவை அனைத்து நிகழ்வுகளிலும் செயல்படுகின்றன. ஒரு தானியங்கி உருவகம் என்பது நேரியல் இயக்கிகளின் தொகுப்பில் உள்ள ஒரு வரைபடமாகும், இது ஒரு குழுவை உருவாக்கும் அனைத்து தானியங்கி உருவகங்களின் தொகுப்பாகும், இது தானியங்கி உருவகம் குழு என்று அழைக்கப்படுகிறது, குறிக்கப்படுகிறது. இது ஒரு கிளாசிக்கல் குழுவின் ஆரம்ப வரையறைக்கு வழிவகுக்கிறதுஃ ஒரு கிளாசிக்கல் குழு என்பது வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண திசையன் இடைவெளிகளில் ஒரு இருமுனை அல்லது செஸ்குலினியர் வடிவத்தைப் பாதுகாக்கும் ஒரு குழுவாகும், அல்லது. இந்த வரையறை சில பணிநீக்கங்களைக் கொண்டுள்ளது. இந்த விஷயத்தில், பைலினியர் என்பது செஸ்க்விலியருக்கு சமம். இந்த விஷயத்தில், பூஜ்ஜியமற்ற இருமுனை வடிவங்கள் எதுவும் இல்லை. சமச்சீர், வளைவு-சமச்சீர், ஹெர்மிடியன் மற்றும் வளைவு-ஹெர்மிடியன் வடிவங்கள் ஒரு வடிவம் சமச்சீர் என்றால் அது வளைவு-சமச்சீர் என்றால் அது ஹெர்மிடியன் என்றால் இறுதியாக, ஒரு இருதரப்பு வடிவம் தனித்துவமாக ஒரு சமச்சீர் வடிவம் மற்றும் வளைவு-சமச்சீர் வடிவத்தின் கூட்டுத்தொகையாக இருந்தால் அது வளைவு-ஹெர்மிடியன் ஆகும். ஒரு உருமாற்றப் பாதுகாப்பு இரு பகுதிகளையும் தனித்தனியாகப் பாதுகாக்கிறது. சமச்சீர் மற்றும் வளைவு-சமச்சீர் வடிவங்களைப் பாதுகாக்கும் குழுக்களை தனித்தனியாக ஆய்வு செய்யலாம். ஹெர்மிடியன் மற்றும் ஸ்க்யூ-ஹெர்மிடியன் வடிவங்களுக்கும் முடாடிஸ் முடாண்டிஸ் பொருந்தும். இந்த காரணத்திற்காக, வகைப்பாட்டின் நோக்கங்களுக்காக, முற்றிலும் சமச்சீர், வளைவு-சமச்சீர், ஹெர்மிடியன் அல்லது வளைவு-ஹெர்மிடியன் வடிவங்கள் மட்டுமே கருதப்படுகின்றன. வடிவங்களின் இயல்பான வடிவங்கள் குறிப்பிட்ட பொருத்தமான தளங்களின் தேர்வுகளுடன் ஒத்திருக்கின்றன. இவை பின்வரும் இயல்பான வடிவங்களை ஆயத்தொகுதிகளில் வழங்கும் தளங்கள்ஃ வளைவு-ஹெர்மிடியன் வடிவத்தில் உள்ள அடிப்படை அடிப்படையின் மூன்றாவது அடிப்படை உறுப்பு ஆகும். இந்த தளங்கள் இருப்பதற்கான ஆதாரம் மற்றும் சில்வெஸ்டரின் மந்தநிலை விதி, கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் அடையாளங்களின் எண்ணிக்கையின் சுதந்திரம், மற்றும் சமச்சீர் மற்றும் ஹெர்மிடியன் வடிவங்களில், அதே போல் ஒவ்வொரு வெளிப்பாட்டிலும் புலங்கள் இருப்பது அல்லது இல்லாதது ஆகியவற்றை அல்லது இல் காணலாம். இந்த ஜோடி, மற்றும் சில நேரங்களில், படிவத்தின் கையொப்பம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. புலங்களின் நிகழ்வின் விளக்கம்ஃ அற்பமான இருமுனை வடிவங்கள் எதுவும் இல்லை. சமச்சீர் இருமுனை வழக்கில், மேலே உள்ள வடிவங்கள் மட்டுமே கையொப்பத்தைக் கொண்டுள்ளன. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், "கையொப்பம்" கொண்ட ஒரு சிக்கலான இருமுனை வடிவம், அடிப்படையை மாற்றுவதன் மூலம், மேலே உள்ள வெளிப்பாடில் உள்ள அனைத்து அறிகுறிகளும் "" இருக்கும் ஒரு வடிவமாக குறைக்கப்படலாம், அதேசமயம் இது உண்மையான விஷயத்தில் சாத்தியமற்றது, இது அடிப்படையிலிருந்து சுயாதீனமாக இருக்கும் இந்த வடிவத்தில் வைக்கப்படும் போது. இருப்பினும், ஹெர்மிடியன் வடிவங்கள் சிக்கலான மற்றும் குவாட்டர்னியோனிக் வழக்கு இரண்டிலும் அடிப்படை-சுயாதீனமான கையொப்பத்தைக் கொண்டுள்ளன. (உண்மையான வழக்கு சமச்சீர் வழக்குக்கு குறைகிறது.) ஒரு சிக்கலான திசையன் இடத்தில் ஒரு வளைவு-ஹெர்மிடியன் வடிவம் ஹெர்மிடியன் மூலம் பெருக்குவதன் மூலம் வழங்கப்படுகிறது, எனவே இந்த விஷயத்தில், சுவாரஸ்யமானது மட்டுமே. ஆட்டோமார்ஃபிஸம் குழுக்கள் முதல் பிரிவு பொதுவான கட்டமைப்பை வழங்குகிறது. மற்ற பிரிவுகள் வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண திசையன் இடைவெளிகளில் பைலினியர் மற்றும் செஸ்குலினியர் வடிவங்களின் தானியங்கி உருமாற்றக் குழுக்களாக எழும் தரமான வெவ்வேறு நிகழ்வுகளை வெளியேற்றுகின்றன, மற்றும். ஆட்டோமொபைல் (φ)-ஆட்டோமொபைல் குழு அல்லது அதற்கு மேல் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண திசையன் இடத்தில் சிதைக்கப்படாத வடிவம் என்று வைத்துக்கொள்வோம். இந்த வரையறையை நிபந்தனை () இல் பயன்படுத்துவதன் மூலம் வரையறுக்கப்படுவதைப் பொறுத்தவரை ஒவ்வொன்றும் ஒரு இணைப்பைக் கொண்டிருப்பதால், நிபந்தனை () இன் அடிப்படையில் தானியங்கி உருவம் குழு வரையறுக்கப்படுகிறது. இந்த அடிப்படையைப் பொறுத்தவரை, கூறுகள் எங்கு உள்ளன என்பதை வைக்கவும். இது இருமுனை வடிவங்களுக்கு பொருத்தமானது. Sesquilinear வடிவங்கள் ஒத்த வெளிப்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளன, அவை பின்னர் தனித்தனியாக நடத்தப்படுகின்றன. மேட்ரிக்ஸ் குறியீட்டில் ஒருவர் கண்டுபிடிக்கிறார் மற்றும் () இலிருந்து மேட்ரிக்ஸ் எங்கே உள்ளது. சீரழிவற்ற நிலை என்பது துல்லியமாக தலைகீழாக இருப்பதைக் குறிக்கிறது, எனவே அருகிலுள்ள நிலை எப்போதும் இருக்கும். இதன் மூலம் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது தானியங்கி குழுக்களின் பொய் இயற்கணிதத்தை உடனடியாக எழுதலாம். சுருக்கமாக, அனைவருக்கும் இருந்தால் மட்டுமே, லை ஆல்ஜிப்ராக்களின் எக்ஸ்பொனென்ஷியல் மேப்பிங்கின் கீழ் () இல் உள்ள நிபந்தனையுடன் தொடர்புடையது, எனவே அல்லது ஒரு அடிப்படையில் எக்ஸ்பொனென்ஷியல் மேப்பிங்கின் பவர் சீரிஸ் விரிவாக்கம் மற்றும் சம்பந்தப்பட்ட செயல்பாடுகளின் நேரியல் ஆகியவற்றைப் பயன்படுத்துவதைக் காணலாம். மாறாக, என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர், மேலே உள்ள முடிவைப் பயன்படுத்தி, இவ்வாறு லை இயற்கணிதத்தை ஒரு அடிப்படையைக் குறிக்காமல் வகைப்படுத்தலாம், அல்லது அருகிலுள்ளது, ஏனெனில் கீழே உள்ள ஒவ்வொரு கிளாசிக்கல் குழுவிற்கும் இயல்பான வடிவம் வழங்கப்படும். அந்த இயல்பான வடிவத்திலிருந்து, மேட்ரிக்ஸை நேரடியாக படிக்க முடியும். இதன் விளைவாக, அட்ஜாயின்ட் மற்றும் லை ஆல்ஜிப்ராக்களுக்கான வெளிப்பாடுகள் சூத்திரங்கள் () மற்றும் () ஐப் பயன்படுத்தி பெறப்படலாம். இது அற்பமான பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில் கீழே நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. பிலீனியர் வழக்கு வடிவம் சமச்சீராக இருக்கும்போது, அழைக்கப்படுகிறது. இது வளைவு-சமச்சீராக இருக்கும்போது அழைக்கப்படுகிறது. இது உண்மையான மற்றும் சிக்கலான வழக்குகளுக்கு பொருந்தும். குவாட்டர்னியோனிக் வெக்டர் இடைவெளிகளில் பூஜ்ஜியமற்ற இருமுனை வடிவங்கள் இல்லாததால் குவாட்டர்னியோனிக் வழக்கு காலியாக உள்ளது. உண்மையான வழக்கு இரண்டு நிகழ்வுகளாக பிரிக்கப்படுகிறது, சமச்சீர் மற்றும் சமச்சீரற்ற வடிவங்கள் தனித்தனியாக சிகிச்சையளிக்கப்பட வேண்டும். O (p, q) மற்றும் O (n)-ஆர்த்தோகனல் குழுக்கள் சமச்சீர் மற்றும் திசையன் இடைவெளி உண்மையானதாக இருந்தால், ஒரு அடிப்படையைத் தேர்ந்தெடுக்கலாம், இதனால் கூட்டல் மற்றும் கழித்தல்-அடையாளங்களின் எண்ணிக்கை குறிப்பிட்ட அடிப்படையிலிருந்து சுயாதீனமாக இருக்கும். கூட்டல் குறியீடுகளின் எண்ணிக்கை எங்கே மற்றும் கழித்தல்-குறியீடுகளின் எண்ணிக்கை எங்கே என்று ஒருவர் எழுதுகிறார். குறியீடு இருந்தால். தேவைப்பட்டால் அடிப்படையை மறுசீரமைத்த பிறகு மேட்ரிக்ஸ் இந்த விஷயத்தில் உள்ளது. அருகிலுள்ள செயல்பாடு () பின்னர் 0 ஆக இருக்கும்போது வழக்கமான இடமாற்றத்திற்கு குறைகிறது. லை இயற்கணிதம் சமன்பாடு () மற்றும் பொருத்தமான அன்சாட்ஸ் (இது கீழே உள்ள வழக்கில் விவரிக்கப்பட்டுள்ளது) ஆகியவற்றைப் பயன்படுத்தி காணப்படுகிறது, மேலும் () இன் படி குழு குழுக்களால் வழங்கப்படுகிறது மற்றும் வரைபடத்தின் மூலம் ஐசோமார்பிக் ஆகும் எடுத்துக்காட்டாக, லோரென்ட்ஸ் குழுவின் லை இயற்கண்பா இயற்கையாகவே எழுதப்படலாம், இதனால்-பிளாக் மேல் இடது (அல்லது வேறு எந்த தொகுதியும்) ஆக இருக்கும் வகையில் மறுசீரமைக்க முடியும். இங்கே "நேரக் கூறு" ஒரு இயற்பியல் விளக்கத்தில் நான்காவது ஒருங்கிணைப்பாக முடிவடைகிறது, மேலும் மிகவும் பொதுவானதாக இருக்கும் முதல் அல்ல. sp (m, R)-உண்மையான சிம்ப்லெக்டிக் குழு வளைவு-சமச்சீர் மற்றும் திசையன் இடைவெளி உண்மையானதாக இருந்தால், எங்கே என்பதைக் கொடுக்கும் ஒரு அடிப்படை உள்ளது. ஒருவர் எழுதுகிறார் என்றால் அல்லது. இயல்பான வடிவத்திலிருந்து ஒருவர் படிக்கிறார்-பரிமாண மேட்ரிக்ஸ்கள் இருக்கும் இடத்தில் அன்சாட்ஸை உருவாக்குவதன் மூலம் மற்றும் () ஐக் கருத்தில் கொண்டு, ஒருவர் லை இயற்கணிதத்தைக் கண்டுபிடிப்பார், மேலும் குழு சிக்கலான வழக்கு மூலம் வழங்கப்படுகிறது. ஓ (என், சி)-சிக்கலான ஆர்த்தோகனல் குழு வழக்கு சமச்சீர் மற்றும் திசையன் இடைவெளி சிக்கலானதாக இருந்தால், கூட்டல்-அடையாளங்களைக் கொண்ட ஒரு அடிப்படையை மட்டுமே பயன்படுத்த முடியும். ஆட்டோமொஃபிஸம் குழு அழைக்கப்படும் விஷயத்தில் உள்ளது. எளிய லை ஆல்ஜிப்ராக்களின் வகைப்பாட்டின் அடிப்படையில், அவை இரண்டு வகுப்புகளாகப் பிரிக்கப்பட்டுள்ளன, அவை வேர் அமைப்புடன் ஒற்றைப்படை மற்றும் வேர் அமைப்புடன் கூட உள்ளன. sp (m, C)-சிக்கலான சிம்ப்லெக்டிக் குழு வளைவு-சமச்சீர் மற்றும் திசையன் இடைவெளி வளாகத்திற்கு, அதே சூத்திரம், உண்மையான விஷயத்தில் பொருந்தும். ஒருவர் எழுதுகிறார். வழக்கில் ஒருவர் எழுதுகிறார் அல்லது. பொய் இயற்கணிதம் அதற்கு இணையாக உள்ளது, மற்றும் குழு செஸ்க்விலைனியர் வழக்கு மூலம் வழங்கப்படுகிறது செஸ்க்விலைனியர் வழக்கில், ஒருவர் ஒரு அடிப்படையின் அடிப்படையில் வடிவத்திற்கு சற்று வித்தியாசமான அணுகுமுறையை உருவாக்குகிறார், மாற்றியமைக்கப்படும் மற்ற வெளிப்பாடுகள். சிக்கலான மற்றும் குவாட்டர்னியோனிக் வழக்கு கீழே பரிசீலிக்கப்படும். ஒரு தரக் கண்ணோட்டத்தில், வளைவு-ஹெர்மிடியன் வடிவங்களின் பரிசீலனை (ஐசோமார்பிசம் வரை) எந்த புதிய குழுக்களையும் வழங்காது; ஒரு வளைவு-ஹெர்மிடியன் வடிவத்தை ஹெர்மிடியன் மற்றும் நேர்மாறாக வழங்குவதன் மூலம் பெருக்கம். எனவே ஹெர்மிடியன் வழக்கை மட்டுமே பரிசீலிக்க வேண்டும். U (p, q) மற்றும் U (n)-ஒற்றையாட்சி குழுக்கள் ஒரு சீரழியாத ஹெர்மிடியன் வடிவம் இயல்பான வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது இருமுனை வழக்கில், கையொப்பம் (p, q) அடிப்படையிலிருந்து சுயாதீனமாக உள்ளது. தானியங்கி உருவம் குழு குறிக்கப்படுகிறது, அல்லது, வழக்கில்,. குறியீடு இருந்தால். இந்த வழக்கில், வடிவத்தை எடுக்கிறது மற்றும் லை இயற்கணிதம் வழங்கப்படுகிறது குழு g என்பது ஒரு பொதுவான n x n சிக்கலான மேட்ரிக்ஸ் மற்றும் g இன் கான்ஜுகேட் டிரான்ஸ்போஸ் என வரையறுக்கப்படுகிறது, இதை இயற்பியலாளர்கள் அழைக்கிறார்கள். ஒரு ஒப்பீடாக, ஒரு யூனிட்டரி மேட்ரிக்ஸ் U (n) என வரையறுக்கப்படுகிறது, இது குவாட்டர்னியோனிக் வழக்கு போன்றது என்பதை நாம் கவனிக்கிறோம். இந்த வழியில், ஒரு குவாட்டர்னியன், ஒரு குவாட்டர்னியன் நெடுவரிசை திசையன் மற்றும் குவாட்டர்னியன் மேட்ரிக்ஸ். ஒரு இடது திசையன் இடைவெளி இருந்தால், நேரியல் பராமரிக்க வலதுபுறத்தில் இருந்து வரிசை திசையன்களின் மேட்ரிக்ஸ் பெருக்கம் தேவைப்படும். இது ஒரு அடிப்படை கொடுக்கப்படும் போது ஒரு திசையன் இடத்தில் ஒரு குழுவின் வழக்கமான நேரியல் செயல்பாட்டுடன் ஒத்திருக்காது, இது நெடுவரிசை திசையன்களில் இடதுபுறத்தில் இருந்து அணி பெருக்கம் ஆகும். எனவே இனிமேல் ஒரு சரியான திசையன் இடைவெளி. அப்படியிருந்தும், அதன் பரிமாற்றமற்ற தன்மை காரணமாக கவனமாக இருக்க வேண்டும். சிக்கலான பிரதிநிதித்துவங்கள் பயன்படுத்தப்படும் என்பதால் (பெரும்பாலும் வெளிப்படையான) விவரங்கள் தவிர்க்கப்படுகின்றன. குவாட்டர்னியோனிக் குழுக்களுடன் கையாளும் போது சிக்கலைப் பயன்படுத்தி குவாட்டர்னியோன்களைக் குறிப்பிடுவது வசதியானது, இந்த பிரதிநிதித்துவத்துடன், குவாட்டர்னியோனிக் பெருக்கம் மேட்ரிக்ஸ் பெருக்கலாக மாறுகிறது மற்றும் குவாட்டர்னியோனிக் இணைவு ஹெர்மிடியன் இணைப்பை எடுக்கும். மேலும், சிக்கலான குறியீட்டின் படி ஒரு குவாட்டர்னியன் ஒரு நெடுவரிசை திசையனாக கொடுக்கப்பட்டால், இடதுபுறத்தில் இருந்து ஒரு குவாட்டர்னியன் மேட்ரிக்ஸ் பிரதிநிதித்துவத்தால் பெருக்கப்படுவது சரியான குவாட்டர்னியனைக் குறிக்கும் ஒரு புதிய நெடுவரிசை திசையனை உருவாக்குகிறது. இந்த பிரதிநிதித்துவம் குவாட்டர்னியன் கட்டுரையில் காணப்படும் மிகவும் பொதுவான பிரதிநிதித்துவத்திலிருந்து சற்று வேறுபடுகிறது. மிகவும் பொதுவான மரபு ஒரு வரிசை மேட்ரிக்ஸில் வலதுபுறத்தில் இருந்து பெருக்கி அதே விஷயத்தை அடைய கட்டாயப்படுத்தும். தற்செயலாக, மேலே உள்ள பிரதிநிதித்துவம் அலகு குவாட்டர்னியன்களின் குழு () ஐசோமார்பிக் என்பதை தெளிவுபடுத்துகிறது. குவாட்டர்னியோனிக்-மெட்ரிக்குகள், வெளிப்படையான நீட்டிப்பு மூலம், சிக்கலான எண்களின் தொகுதி-மெட்ரிக்குகளால் குறிப்பிடப்படலாம். மேலே உள்ள குறியீட்டின் படி சிக்கலான எண்களைக் கொண்ட ஒரு நெடுவரிசை திசையன் மூலம் ஒரு குவாட்டர்னியோனிக் நெடுவரிசை திசையனைக் குறிக்க ஒருவர் ஒப்புக் கொண்டால், மேல் எண்கள் மற்றும் கீழ் எண்கள் இருக்கும், பின்னர் ஒரு குவாட்டர்னியோனிக்-மேட்ரிக்ஸ் மேலே கொடுக்கப்பட்ட வடிவத்தின் ஒரு சிக்கலான-மேட்ரிக்ஸாக மாறும், ஆனால் இப்போது α மற்றும் β-மேட்ரிக்ஸ்களுடன். மேலும் முறைப்படி A மேட்ரிக்ஸ் () இல் உள்ள படிவத்தை இருந்தால் மட்டுமே காட்டுகிறது. இந்த அடையாளங்களுடன், இடைவெளி ஒரு உண்மையான இயற்கணிதம், ஆனால் இது ஒரு சிக்கலான துணைப்பகுதி அல்ல. நுழைவு வாரியாக குவாட்டர்னியோனிக் பெருக்கத்தைப் பயன்படுத்தி பெருக்குதல் (இடமிருந்து), பின்னர் படத்தில் மேப்பிங் செய்வது, நுழைவு வாரியாக நேரடியாக உள்ளால் பெருக்குவதை விட வேறுபட்ட முடிவை அளிக்கிறது. குவாட்டர்னியோனிக் பெருக்க விதிகள் புதியவை மற்றும் அடைப்புக்குறிக்குள் இருக்கும் இடத்தைக் கொடுக்கின்றன. குவாட்டர்னியோனிக் திசையன்களின் மீது குவாட்டர்னியோனிக் மேட்ரிக்ஸின் செயல்பாடு இப்போது சிக்கலான அளவுகளால் குறிக்கப்படுகிறது, இல்லையெனில் இது "சாதாரண" மேட்ரிக்ஸ்கள் மற்றும் திசையன்களுக்கு சமமாக இருக்கும். இவ்வாறு குவாட்டர்னியோனிக் குழுக்கள் குவாட்டர்னியோனிக் மேட்ரிக்ஸின் பரிமாணம் இருக்கும் இடத்தில் உட்பொதிக்கப்பட்டுள்ளன. ஒரு குவாட்டர்னியோனிக் மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பவர் இந்த பிரதிநிதித்துவத்தில் அதன் பிரதிநிதி மேட்ரிக்ஸின் சாதாரண சிக்கலான தீர்மானிப்பவர் என்று வரையறுக்கப்படுகிறார். குவாட்டர்னியோனிக் பெருக்கத்தின் பரிமாற்றமற்ற தன்மை, மேட்ரிக்ஸின் குவாட்டர்னியோனிக் பிரதிநிதித்துவத்தில், தெளிவற்றதாக இருக்கும். உட்பொதிக்கப்பட்ட வழி தனித்துவமானது அல்ல, ஆனால் அத்தகைய உட்பொதிப்புகள் அனைத்தும் for மூலம் தொடர்புடையவை, இதனால் தீர்மானிப்பவர் பாதிக்கப்படுவதில்லை. இந்த சிக்கலான போர்வையில் உள்ள பெயர். இதற்கு மாறாக, ஹெர்மிடியன் மற்றும் ஸ்க்யூ-ஹெர்மிடியன் வழக்கு இரண்டும் பரிசீலிக்கப்படும்போது புதிதாக ஒன்றைக் கொண்டுவருகின்றன, எனவே இந்த வழக்குகள் தனித்தனியாகக் கருதப்படுகின்றன. ஜிஎல் (என், எச்) மற்றும் எஸ்எல் (என், எச்) மேலே உள்ள அடையாளத்தின் கீழ், அதன் லை இயற்கணிதம் என்பது மேலே உள்ள வரைபடத்தின் படத்தில் உள்ள அனைத்து மேட்ரிக்ஸின் தொகுப்பாகும், குவாட்டர்னியோனிக் சிறப்பு நேரியல் குழு மேட்ரிக்ஸ்களில் தீர்மானிப்பவர் எங்கு எடுக்கப்படுகிறார் என்பதன் மூலம் வழங்கப்படுகிறது. மாற்றாக, இதை டையுடோன் தீர்மானிப்பவரின் கர்னல் என்று வரையறுக்கலாம். லை இயற்கணிதம் sp (p, q)-குவாட்டர்னியோனிக் யூனிட்டரி குழு மேலே உள்ள சிக்கலான விஷயத்தில், இயல்பான வடிவம் மற்றும் பிளஸ்-சைன்களின் எண்ணிக்கை அடிப்படையிலிருந்து சுயாதீனமாக உள்ளது. இந்த படிவத்துடன் இருக்கும்போது, குறியீட்டிற்கான காரணம் என்னவென்றால், மேலே உள்ள மருந்தைப் பயன்படுத்தி, குழுவை ஒரு சிக்கலான-ஹெர்மிடியன் வடிவ கையொப்பத்தைப் பாதுகாப்பதற்கான ஒரு துணைக்குழுவாக பிரதிநிதித்துவப்படுத்தலாம். இது சில நேரங்களில் ஹைபர் யூனிடரி குழு என்று அழைக்கப்படுகிறது. குவாட்டர்னியோனிக் குறியீட்டில், வடிவத்தின் குவாட்டர்னியோனிக் மேட்ரிக்ஸ்கள் திருப்திப்படுத்தும் என்று பொருள். குவாட்டர்னியோனிக் மேட்ரிக்ஸ் பெருக்கத்தைக் கையாளும் போது எச்சரிக்கையுடன் இருக்க வேண்டும், ஆனால் இங்கே மட்டுமே மற்றும் ஒவ்வொரு குவாட்டர்னியோன் மேட்ரிக்ஸுடனும் இவை பயணிக்கின்றன. இப்போது ஒவ்வொரு தொகுதியிலும் ப்ரிஸ்க்ரிப்ஷன் () ஐப் பயன்படுத்துங்கள், மேலும் () இல் உள்ள உறவுகள் தி லை அல்ஜீப்ரா ஆகிவிட்டால் திருப்தி அடையும். பின்னர் ஒரு-மதிப்புள்ள வடிவமாக பார்க்கப்படுகிறது. இவ்வாறு, நேரியல் மாற்றங்களாகக் கருதப்படும் கூறுகள், ஹெர்மிடியன் வடிவ கையொப்பம் மற்றும் சிதைக்கப்படாத வளைவு-சமச்சீர் வடிவம் ஆகிய இரண்டையும் பாதுகாக்கின்றன. இரண்டு வடிவங்களும் முற்றிலும் சிக்கலான மதிப்புகளை எடுத்துக்கொள்கின்றன, மேலும் இரண்டாவது வடிவத்தின் முன் காரணி காரணமாக, அவை தனித்தனியாக பாதுகாக்கப்பட்டுள்ளன. இதன் பொருள் என்னவென்றால், இது குழுவின் பெயர் மற்றும் குறியீடு ஆகிய இரண்டையும் விளக்குகிறது. O ≤ (2n) = O (n, H)-குவாட்டர்னியோனிக் ஆர்த்தோகனல் குழு ஒரு வளைந்த-ஹெர்மிடியன் வடிவத்திற்கான இயல்பான வடிவம் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட பட்டியலில் மூன்றாவது அடிப்படை குவாட்டர்னியன் எங்கே என்பதன் மூலம் வழங்கப்படுகிறது. இந்த விஷயத்தில், மேலே உள்ள சிக்கலான மேட்ரிக்ஸ் குறியாக்கத்தைப் பயன்படுத்தி உணரப்படலாம், இதன் துணைக்குழுவாக சிதைக்கப்படாத சிக்கலான வளைவு-ஹெர்மிடியன் வடிவ கையொப்பத்தைப் பாதுகாக்கிறது. இயல்பான வடிவத்திலிருந்து ஒருவர் குவாட்டர்னியோனிக் குறியீட்டில் மற்றும் () இலிருந்து அதைப் பின்பற்றுவதைக் காண்கிறார். இப்போது பரிந்துரை () படி வைக்கவும். இப்போது சிக்கலான குறியீட்டில் () இல் உள்ள கடைசி நிபந்தனை லை அல்ஜிப்ரா ஆகிறது மற்றும் குழு வரைபடம் வரையறுக்கப்பட்ட இடமாக வகைப்படுத்தப்படலாம். மேலும், குழுவை நிர்ணயிக்கும் படிவத்தை ஒரு மதிப்புள்ள படிவமாக பார்க்க முடியும். படிவத்திற்கு மாற்றீடுகளையும் வெளிப்பாட்டையும் செய்யுங்கள். பின்னர் வடிவம் ஹெர்மிடியன் (இடது புறத்தில் உள்ள முதல் வடிவம் வளைவு-ஹெர்மிடியன்) கையொப்பம். முறையே முதல் மற்றும் கடைசி அடிப்படை திசையன்கள் எங்கிருந்து வருகின்றன என்பதற்கான அடிப்படையை மாற்றுவதன் மூலம் கையொப்பம் தெளிவாகத் தெரிகிறது. இரண்டாவது வடிவம், சமச்சீர் நேர்மறை திட்டவட்டமானது. எனவே, காரணி காரணமாக, இரண்டையும் தனித்தனியாகப் பாதுகாக்கிறது, மேலும் "ஓ" என்ற குறியீடு விளக்கப்பட்டுள்ளது என்று முடிவு செய்யலாம். இயற்கணிதத்தில் மிகவும் பரவலாகக் கருதப்படும் பொது புலங்கள் அல்லது ஆல்ஜிப்ராக்களின் கிளாசிக்கல் குழுக்கள் மீது கிளாசிக்கல் குழுக்கள், குறிப்பாக சுவாரஸ்யமான அணி குழுக்களை வழங்குகின்றன. மேட்ரிக்ஸ் குழுவின் குணகங்களின் புலம் F உண்மையான எண் அல்லது சிக்கலான எண்களாக இருக்கும்போது, இந்த குழுக்கள் கிளாசிக்கல் லை குழுக்களாக மட்டுமே இருக்கும். தரை புலம் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட புலமாக இருக்கும்போது, கிளாசிக்கல் குழுக்கள் லை வகையின் குழுக்களாக இருக்கும். வரையறுக்கப்பட்ட எளிய குழுக்களை வகைப்படுத்துவதில் இந்த குழுக்கள் முக்கிய பங்கு வகிக்கின்றன. மேலும், F க்கு மேல் R என்ற ஒற்றைத் துணை இயற்கணிதத்தின் மீது கிளாசிக்கல் குழுக்களைக் கருத்தில் கொள்ளலாம்; இங்கு R = H (யதார்த்தங்களுக்கு மேல் ஒரு இயற்கணிதம்) ஒரு முக்கியமான வழக்கைக் குறிக்கிறது. பொதுவான தன்மையின் பொருட்டு, கட்டுரை R க்கு மேல் உள்ள குழுக்களைக் குறிக்கும், அங்கு R என்பது தரை புலம் F ஆக இருக்கலாம். அவற்றின் சுருக்கக் குழுக் கோட்பாட்டைக் கருத்தில் கொண்டு, பல நேரியல் குழுக்கள் ஒரு "சிறப்பு" துணைக்குழுவைக் கொண்டுள்ளன, பொதுவாக தரை புலத்தின் மீது தீர்மானிக்கும் 1 இன் கூறுகளைக் கொண்டுள்ளன, மேலும் அவற்றில் பெரும்பாலானவை தொடர்புடைய "திட்டவட்டமான" மேற்கோள்களைக் கொண்டுள்ளன, அவை குழுவின் மையத்தின் மேற்கோள்களாகும். ஆர்த்தோகனல் குழுக்களுக்கு 2 "எஸ்" என்ற பண்பு வேறுபட்ட பொருளைக் கொண்டுள்ளது. ஒரு குழுவின் பெயருக்கு முன்னால் உள்ள "பொது" என்ற சொல் பொதுவாக குழுவை ஒரு நிலையான வடிவத்தால் பெருக்க அனுமதிக்கப்படுவதைக் குறிக்கிறது, அதை நிலையானதாக விடுவதை விட. சப்ஸ்கிரிப்ட் n வழக்கமாக குழு செயல்படும் தொகுதியின் பரிமாணத்தைக் குறிக்கிறது; R = F என்றால் இது ஒரு திசையன் இடைவெளி. கேவியட்ஃ இந்த குறியீடு டைன்கின் வரைபடங்களின் n உடன் ஓரளவு மோதுகிறது, இது தரவரிசை. பொது மற்றும் சிறப்பு நேரியல் குழுக்கள் பொது நேரியல் குழு GLn (R) என்பது Rn இன் அனைத்து R-நேரியல் தானியங்கிகளின் குழுவாகும். ஒரு துணைக்குழு உள்ளதுஃ சிறப்பு நேரியல் குழு எஸ்எல்என் (ஆர்) மற்றும் அவற்றின் மேற்கோள்கள்ஃ திட்டவட்டமான பொது நேரியல் குழு பிஜிஎல்என் (ஆர்) = ஜிஎல்என் (ஆர்)/இசட் (ஜிஎல்என் (ஆர்)) மற்றும் திட்டவட்டமான சிறப்பு நேரியல் குழு பிஎஸ்எல்என் (ஆர்) = எஸ்எல்என் (ஆர்)/இசட் (எஸ்எல்என் (ஆர்)). ஒரு புலம் F மீது உள்ள திட்டவட்டமான சிறப்பு நேரியல் குழு பி. எஸ். எல். என் (எஃப்), n = 2 மற்றும் புலம் 2 அல்லது 3 வரிசையைக் கொண்டிருக்கும்போது இரண்டு நிகழ்வுகளைத் தவிர, n ≤ 2 க்கு எளிமையானது. ஒற்றையாட்சி குழுக்கள் யூனிடரி குழு யுன் (ஆர்) என்பது ஒரு தொகுதியில் ஒரு செஸ்க்விலைனியர் வடிவத்தைப் பாதுகாக்கும் குழுவாகும். ஒரு துணைக்குழு உள்ளது, சிறப்பு ஒற்றையாட்சி குழு சூரியன் (R) மற்றும் அவற்றின் மேற்கோள்கள் திட்டவட்டமான ஒற்றையாட்சி குழு சூரியன் (R) = சூரியன் (R)/சூரியன் (R) மற்றும் திட்டவட்டமான சிறப்பு ஒற்றையாட்சி குழு சூரியன் (R) = சூரியன் (R)/சூரியன் (R). இது ஒரு ஈவு, ப்ரொஜெக்டிவ் சிம்ப்லெக்டிக் குழு பிஎஸ்பி 2 என் (ஆர்) ஐக் கொண்டுள்ளது. பொதுவான சிம்ப்லெக்டிக் குழுவான ஜி. எஸ். பி. 2. என் (ஆர்) ஒரு தொகுதியின் தன்னியக்க உருமாற்றங்களைக் கொண்டுள்ளது, இது ஒரு வளைந்த சமச்சீர் வடிவத்தை சில தலைகீழ் அளவீடுகளால் பெருக்குகிறது. இரண்டு மற்றும் மூன்று உறுப்புகளின் புலங்களில் உள்ள பி. எஸ். பி. 2 இன் நிகழ்வுகளைத் தவிர, ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட புலத்தின் மீது உள்ள ப்ரொஜெக்டிவ் சிம்ப்ளெக்டிக் குழுவான பி. எஸ். பி. 2. என் (எஃப். க்யூ) n ≤1 க்கு எளிமையானது. ஆர்த்தோகனல் குழுக்கள் ஆர்த்தோகனல் குழு ஆன் (ஆர்) ஒரு தொகுதியில் சிதைக்கப்படாத இருபடி வடிவத்தைப் பாதுகாக்கிறது. ஒரு துணைக்குழு உள்ளது, சிறப்பு ஆர்த்தோகனல் குழு எஸ்ஓஎன் (ஆர்) மற்றும் மேற்கோள்கள், ப்ரொஜெக்டிவ் ஆர்த்தோகனல் குழு பிஓஎன் (ஆர்), மற்றும் ப்ரொஜெக்டிவ் சிறப்பு ஆர்த்தோகனல் குழு பிஎஸ்ஓஎன் (ஆர்). பண்பு 2 இல் தீர்மானிப்பவர் எப்போதும் 1 ஆக இருப்பார், எனவே சிறப்பு ஆர்த்தோகனல் குழு பெரும்பாலும் டிக்சன் மாறாத 1 இன் கூறுகளின் துணைக்குழுவாக வரையறுக்கப்படுகிறது. ஒரு பெயரற்ற குழு பெரும்பாலும் ωn (R) ஆல் குறிக்கப்படுகிறது, இது சுழல் நெறிமுறை 1 இன் உறுப்புகளின் ஆர்த்தோகனல் குழுவின் கூறுகளைக் கொண்டுள்ளது, அதனுடன் தொடர்புடைய துணைக்குழு மற்றும் ஈவு குழுக்கள் Sωn (R), Pωn (R), பிஎஸ்ஓஎன் (R). (யதார்த்தங்களின் மீது நேர்மறை திட்டவட்டமான இருபடி வடிவங்களுக்கு, குழு ω ஆர்த்தோகனல் குழுவைப் போலவே இருக்கும், ஆனால் பொதுவாக இது சிறியது. முள் குழு பின் (ஆர்) என்று அழைக்கப்படும் ωn (ஆர்) இன் இரட்டை உறையும் உள்ளது, மேலும் இது சுழல் குழு ஸ்பின் (ஆர்) என்று அழைக்கப்படும் ஒரு துணைக்குழுவைக் கொண்டுள்ளது. பொதுவான ஆர்த்தோகனல் குழுவான கோன் (ஆர்) ஒரு தொகுதியின் தானியங்கி உருமாற்றங்களைக் கொண்டுள்ளது, இது ஒரு இருபடி வடிவத்தை சில தலைகீழ் அளவீடுகளால் பெருக்குகிறது. குறிப்பு மரபுகள் விதிவிலக்கான லை குழுக்களுடன் முரண்படுகின்றன கிளாசிக்கல் லை குழுக்களுடன் முரண்படுவது விதிவிலக்கான லை குழுக்கள், ஜி 2, எஃப் 4, ஈ 6, ஈ 7, ஈ 8 ஆகும், அவை அவற்றின் சுருக்க பண்புகளைப் பகிர்ந்து கொள்கின்றன, ஆனால் அவற்றின் பரிச்சயம் அல்ல. இவை 1890 ஆம் ஆண்டில் வில்ஹெல்ம் கில்லிங் மற்றும் எலி கார்டன் ஆகியோரால் சிக்கலான எண்களின் மீது எளிய லை ஆல்ஜிப்ராக்களின் வகைப்பாட்டில் மட்டுமே கண்டுபிடிக்கப்பட்டன. குறிப்புகள் குறிப்புகள் ஈ. ஆர்ட்டின் (1957) வடிவியல் இயற்கணிதம், அத்தியாயங்கள் III, IV, & V வழியாக இணைய காப்பக லை குழுக்கள்