Topological modular forms
கணிதத்தில், இடவியல் மட்டு வடிவங்கள் (டி. எம். எஃப்) என்பது ஒரு பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட கோஹோமோலஜி கோட்பாட்டை விவரிக்கும் ஒரு நிறமாலையின் பெயர். உறுதியான சொற்களில், எந்தவொரு முழு எண் n க்கும் ஒரு இடவியல் இடைவெளி உள்ளது, மேலும் இந்த இடைவெளிகள் அவற்றுக்கிடையே சில வரைபடங்களுடன் பொருத்தப்பட்டுள்ளன, இதனால் எந்தவொரு இடவியல் இடைவெளி X க்கும், ஒருவர் X முதல் தொடர்ச்சியான வரைபடங்களின் ஹோமோடோபி வகுப்புகளின் தொகுப்பில் ஒரு அபெலியன் குழு கட்டமைப்பைப் பெறுகிறார். டிஎம்எஃப்-ஐ வேறுபடுத்தும் ஒரு அம்சம் என்னவென்றால், அதன் குணகம் வளையம், (புள்ளி), ஒருங்கிணைந்த கஸ்ப் விரிவாக்கங்களுடன் கூடிய ஹோலோமார்பிக் மாடுலர் வடிவங்களின் தரப்படுத்தப்பட்ட வளையத்திற்கு கிட்டத்தட்ட சமம். உண்மையில், இந்த இரண்டு வளையங்களும் பகா எண்கள் 2 மற்றும் 3 ஐ தலைகீழாக மாற்றிய பிறகு ஐசோமார்பிக் ஆகின்றன, ஆனால் இந்த தலைகீழ் குணகம் வளையத்தில் நிறைய முறுக்கு தகவல்களை அழிக்கிறது. இடவியல் மட்டு வடிவங்களின் நிறமாலை (பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட) நீள்வட்ட வளைவுகளின் மட்டு அடுக்கில் E-முடிவிலி வளைய நிறமாலையின் உறையின் உலகளாவிய பிரிவுகளாக கட்டமைக்கப்பட்டுள்ளது. இந்தக் கோட்பாடு எண் கோட்பாட்டில் உள்ள மட்டு வடிவங்களின் கோட்பாடு, கோளங்களின் ஒரே மாதிரியான குழுக்கள் மற்றும் பன்மடங்கு வளைய இடைவெளிகளில் உள்ள அனுமான குறியீட்டு கோட்பாடுகளுடன் உறவுகளைக் கொண்டுள்ளது. டி. எம். எஃப் முதன்முதலில் மைக்கேல் ஹாப்கின்ஸ் மற்றும் ஹெய்ன்ஸ் மில்லரால் கட்டப்பட்டது; பல கணக்கீடுகளை பால் கோர்ஸ், ஹாப்கின்ஸ், மார்க் மஹோவால்ட், மில்லர், சார்லஸ் ரெஸ்க் மற்றும் டில்மேன் பாயர் ஆகியோரின் முன் அச்சுகள் மற்றும் கட்டுரைகளில் காணலாம். டி. எம். எஃப் இன் அசல் கட்டுமானம் ஹாப்கின்ஸ், மில்லர் மற்றும் பால் கோர்ஸ் ஆகியோரின் தடைக் கோட்பாட்டைப் பயன்படுத்துகிறது, மேலும் இது டுவயர், கான் மற்றும் ஸ்டோவர் ஆகியோரின் கருத்துக்களை அடிப்படையாகக் கொண்டது. இந்த அணுகுமுறையில், நீள்வட்ட வளைவுகளின் மாடுலி அடுக்கின் ஈட்டேல் தளத்தில் பெருக்க கோஹோமோலஜி கோட்பாடுகளின் ப்ரீஷீஃப் ஒட்டோப்பை ("மேல்" என்பது இடவியல் கோட்பாட்டைக் குறிக்கிறது) வரையறுக்கிறது, மேலும் இது ஈ-முடிவிலி வளைய நிறமாலையின் உறைக்கு ஒரு தனித்துவமான வழியில் உயர்த்தப்படலாம் என்பதைக் காட்டுகிறது. இந்த உறையில் பின்வரும் பண்புகள் உள்ளனஃ R வளையத்தின் மீது உள்ள எந்த நீள்வட்ட வளைவுக்கும், இது ஒரு E-முடிவிலி வளைய நிறமாலையை (ஒரு பாரம்பரிய நீள்வட்ட கோஹோமோலஜி கோட்பாடு) ஒதுக்குகிறது, அதனுடன் தொடர்புடைய முறையான குழு அந்த நீள்வட்ட வளைவின் முறையான குழுவாகும். இரண்டாவது கட்டுமானம், ஜேக்கப் லூரி காரணமாக, அது பிரதிநிதித்துவப்படுத்தும் மாடுலி சிக்கலை விவரிப்பதன் மூலமும், பின்னர் இருப்பைக் காட்ட பொது பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாட்டைப் பயன்படுத்துவதன் மூலமும் டி. எம். எஃப் ஐ உருவாக்குகிறதுஃ நீள்வட்ட வளைவுகளின் மாடுலி அடுக்கு ஒரு வளையத்திற்கு அதன் மீது நீள்வட்ட வளைவுகளின் வகையை ஒதுக்கும் செயல்பாட்டாளரைக் குறிக்கிறது போலவே, ஈ-முடிவிலி வளைய நிறமாலையின் உறையுடன் கூடிய அடுக்கு ஒரு ஈ-முடிவிலி வளையத்திற்கு அதன் வகை சார்ந்த பெறப்பட்ட நீள்வட்ட வளைவுகளுக்கு ஒதுக்கும் செயல்பாட்டாளரைக் குறிக்கிறது, சரியான முறையில் விளக்கப்படுகிறது. இந்த கட்டுமானங்கள் மென்மையான நீள்வட்ட வளைவுகளின் மாடுலி அடுக்கின் மீது வேலை செய்கின்றன, மேலும் அவை இந்த மாடுலி அடுக்கின் டிலிக்னே-மம்ஃபோர்ட் சுருக்கத்திற்கும் வேலை செய்கின்றன, இதில் நோடல் ஒற்றுமைகளுடன் கூடிய நீள்வட்ட வளைவுகள் சேர்க்கப்பட்டுள்ளன. டிஎம்எஃப் என்பது மென்மையான வளைவுகளின் மாடுலி அடுக்கின் மீது உள்ள உலகளாவிய பிரிவுகளின் விளைவாகும், மேலும் டிஎம்எஃப் என்பது டிலிக்னே-மம்ஃபோர்ட் சுருக்கத்தின் உலகளாவிய பிரிவுகளாக எழும் ஸ்பெக்ட்ரம் ஆகும். டி. எம். எஃப் என்பது இணைப்பு டி. எம். எஃப் இன் குறிப்பிட்ட பதிப்பாகும். டிஎம்எஃப்-ஐ உருவாக்கப் பயன்படுத்தப்படும் வளைய நிறமாலை காலம் 2 உடன் காலமுறை கொண்டதாக இருக்கும்போது, டிஎம்எஃப்-க்கு 576 காலம் உள்ளது. காலமுறை மாடுலர் டிஸ்கிரிமினண்ட்டுடன் தொடர்புடையது. கணிதத்தின் பிற பகுதிகளுடனான உறவுகள் tmf இல் சில ஆர்வம் சரம் கோட்பாடு மற்றும் இணக்கமான புலக் கோட்பாட்டிலிருந்து வருகிறது. கிரேம் செகல் முதன்முதலில் 1980 களில் நீள்வட்ட கோஹோமோலஜியின் (டி. எம். எஃப் இன் முன்னோடி) வடிவியல் கட்டுமானத்தை ஒருவித மாடுலி இடமாக இணக்கமான புலக் கோட்பாடுகளின் வடிவமாக வழங்க முன்மொழிந்தார், மேலும் இந்த கருத்துக்கள் ஸ்டீபன் ஸ்டோல்ஸ் மற்றும் பீட்டர் டீச்னர் ஆகியோரால் தொடர்ந்து விரிவுபடுத்தப்பட்டுள்ளன. சூப்பர்சிமெட்ரிக் யூக்ளிடியன் புலக் கோட்பாடுகளின் மாடுலி இடமாக டிஎம்எஃப்-ஐ உருவாக்க முயற்சிப்பதே அவர்களின் திட்டமாகும். சரம் கோட்பாட்டால் மிகவும் நேரடியாக உந்துதல் பெற்ற வேலையில், எட்வர்ட் விட்டன் விட்டன் இனத்தை அறிமுகப்படுத்தினார், இது சரம் போர்டிஸம் வளையத்திலிருந்து மட்டு வடிவங்களின் வளையத்திற்கு ஒரு ஒத்த உருவகம், ஒரு பன்மடங்கு வளைய இடத்தில் அற்பமான இருப்பிடத்தின் முறையான சுற்றுப்புறத்தில் சமமான குறியீட்டு கோட்பாட்டைப் பயன்படுத்துகிறது. இது எந்த சுழற்சியையும் பன்மடங்கு தொடர்புபடுத்துகிறது, இது பாதி முதல் பொண்ட்ரியாகின் வகுப்பை ஒரு மட்டு வடிவமாக மறைக்கிறது. ஹாப்கின்ஸ், மத்தேயு ஆண்டோ, சார்லஸ் ரெஸ்க் மற்றும் நீல் ஸ்ட்ரிக்லேண்ட் ஆகியோரின் பணியின் மூலம், விட்டன் இனத்தை இடவியல் நிலைக்கு உயர்த்த முடியும். அதாவது, சரம் போர்டிஸம் ஸ்பெக்ட்ரம் முதல் டி. எம். எஃப் (ஒரு நோக்குநிலை என்று அழைக்கப்படும்) வரை ஒரு வரைபடம் உள்ளது, அதாவது விட்டன் இனமானது இந்த ஸ்பெக்ட்ராவின் ஹோமோடாபி குழுக்களில் தூண்டப்பட்ட வரைபடத்தின் கலவையாகவும், ஹோமோடாபி குழுக்களின் வரைபடமாகவும் மீட்கப்படுகிறது. இது விட்டன் இனத்தைப் பற்றிய சில பிரிவினை அறிக்கைகளை நிரூபிக்க அனுமதித்தது. டி. எம். எஃப் இன் நோக்குநிலை சுழல் போர்டிஸம் ஸ்பெக்ட்ரம் முதல் கிளாசிக்கல் கே-கோட்பாடு வரையிலான அதியா-பாட்-ஷாபிரோ வரைபடத்துடன் ஒப்புமையில் உள்ளது, இது டிராக் சமன்பாட்டை இடவியல் வரை உயர்த்துவதாகும். குறிப்புகள் பெஹ்ரன்ஸ், எம்., டிஎம்எஃப் கட்டுமானம் குறித்த குறிப்புகள் (2007), http://www-math.mit.edu ~ எம்பெஹ்ரன்ஸ்/பேப்பர்ஸ்/பில்ட்டிஎம்எஃப். பிடிஎஃப் கோர்ஸ், பி. மற்றும் ஹாப்கின்ஸ், எம்., கம்யூட்டேடிவ் ரிங் ஸ்பெக்ட்ராவின் மாடுலி ஸ்பேஸ்கள், http://www.math.northwestern.edu ~ பிஜர்ஸ்/பேப்பர்ஸ்/சம். பிடிஎஃப் ஹாப்கின்ஸ், எம் மற்றும் மஹோவால்ட், எம்., எலிப்டிக் வளைவுகளிலிருந்து ஹோமோடோபி கோட்பாடு (1998), http://www.math.purdue.edu/research/atopology/Hopkins-Mahowald/eo2homotopy.pdf லூரி, ஜே, எலிப்டிக் கோஹோமோலஜியின் ஒரு கணக்கெடுப்பு (2007), http://www.math.harvard.edu லூரி/பேப்பர்ஸ்/சர்வே.