CM-field
கணிதத்தில், சிஎம்-புலம் என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட வகை எண் புலமாகும், எனவே சிக்கலான பெருக்கக் கோட்பாட்டுடன் நெருக்கமான தொடர்பைக் குறிக்கும் வகையில் இது பெயரிடப்பட்டுள்ளது. பயன்படுத்தப்படும் மற்றொரு பெயர் ஜே-ஃபீல்ட். "சிஎம்" என்ற சுருக்கம் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. முறையான வரையறை ஒரு எண் புலம் K என்பது ஒரு CM-புலம், இது ஒரு இருபடி நீட்டிப்பு K/F ஆக இருந்தால், அடிப்படை புலம் F முற்றிலும் உண்மையானது, ஆனால் K முற்றிலும் கற்பனையானது. அதாவது, F இன் ஒவ்வொரு உட்பொதிப்பும் முற்றிலும் உள்ளே உள்ளது, ஆனால் K இன் உட்பொதிப்பு இல்லை. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், K இன் ஒரு துணைப்புலம் F உள்ளது, அதாவது K ஒரு தனிமத்தின் ஒற்றை வர்க்கமூலத்தால் F மீது உருவாக்கப்படுகிறது, β = என்று சொல்லுங்கள், விகிதமுறு எண் புலத்தின் மீது β இன் குறைந்தபட்ச பல்லுறுப்புக்கோவை அதன் அனைத்து வேர்களும் அல்லாத உண்மையான சிக்கலான எண்களைக் கொண்டிருக்கும் வகையில். இதற்கு α முற்றிலும் எதிர்மறையாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட வேண்டும், இதனால் ஒவ்வொரு உட்பொதிக்கும் σ இன் உண்மையான எண் புலத்தில், σ (α) <0. பண்புகள் ஒரு சிஎம்-ஃபீல்டின் ஒரு அம்சம் என்னவென்றால், சிக்கலான இணைப்பானது புலத்தில் ஒரு தானியங்கித்தன்மையைத் தூண்டுகிறது, இது அதன் உட்பொதிப்பிலிருந்து சுயாதீனமாக உள்ளது. கொடுக்கப்பட்ட குறியீட்டில், அது β இன் அடையாளத்தை மாற்ற வேண்டும். ஒரு எண் புலம் K ஒரு "அலகுகள் குறைபாடு" இருந்தால் மட்டுமே CM-புலம் ஆகும், அதாவது. இது ஒரு சரியான துணைப்புலம் F ஐக் கொண்டிருந்தால், அதன் அலகு குழு K இன் அதே தரவரிசையைக் கொண்டுள்ளது. உண்மையில், F என்பது மேலே குறிப்பிட்டுள்ள K இன் முற்றிலும் உண்மையான துணைப்புலமாகும். இது டிரிக்லெட்டின் அலகு தேற்றத்திலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டுகள் CM-புலத்தின் எளிய மற்றும் ஊக்கமளிக்கும் எடுத்துக்காட்டு ஒரு கற்பனையான இருபடி புலமாகும், இதற்கு முற்றிலும் உண்மையான துணை புலம் பகுத்தறிவுகளின் புலம் மட்டுமே. சிஎம்-ஃபீல்டின் மிக முக்கியமான எடுத்துக்காட்டுகளில் ஒன்று சைக்ளோடோமிக் ஃபீல்ட் ஆகும், இது ஒற்றுமையின் பழமையான n வது மூலத்தால் உருவாக்கப்படுகிறது. இது முற்றிலும் உண்மையான புலத்தின் முற்றிலும் கற்பனையான இருபடி விரிவாக்கமாகும், பிந்தையது சிக்கலான இணைப்பின் நிலையான புலமாகும், மேலும் இது ஒரு சதுர மூலத்தை இணைப்பதன் மூலம் பெறப்படுகிறது. இது அனைத்து முற்றிலும் உண்மையான புலங்களின் கியூஆர் சங்கமத்தின் இருபடி விரிவாக்கமாகும். முழுமையான கலோயிஸ் குழு கால் (/கியூஆர்) கால் (/கியூ) இல் உள்ள வரிசை 2 இன் அனைத்து கூறுகளாலும் (ஒரு மூடிய துணைக்குழுவாக) உருவாக்கப்படுகிறது, மேலும் கால் (/கியூசிஎம்) குறியீடு 2 இன் துணைக்குழுவாகும். காலோயிஸ் குழு கால் (கியூசிஎம்/கியூ) வரிசை 2 (சிக்கலான இணைவு) ஒரு உறுப்பு மூலம் உருவாக்கப்படும் ஒரு மையத்தைக் கொண்டுள்ளது மற்றும் அதன் மையத்தின் ஈவு குழு கால் (கியூஆர்/கியூ) ஆகும். V என்பது n பரிமாணத்தின் சிக்கலான அபெலியன் வகையாக இருந்தால், V இன் எண்டோமார்பிசம்களின் எந்த அபெலியன் இயற்கணிதமும் Z க்கு மேல் அதிகபட்சம் 2n தரவரிசையைக் கொண்டிருக்கும். இது தரவரிசை 2n மற்றும் V எளிமையாக இருந்தால், F என்பது CM-புலத்தில் ஒரு வரிசையாகும். இதற்கு நேர்மாறாக எந்தவொரு சிஎம் புலமும் சில எளிய சிக்கலான அபெலியன் வகைகளிலிருந்து இதுபோன்று எழுகிறது, இது ஐசோஜெனி வரை தனித்துவமானது. CM அல்லாத முற்றிலும் கற்பனையான புலத்தின் ஒரு எடுத்துக்காட்டு பல்லுறுப்புக்கோவையால் வரையறுக்கப்பட்ட எண் புலமாகும். குறிப்புகள் புலம் (கணிதம்) இயற்கணித எண் கோட்பாடு சிக்கலான எண்கள்