Poincaré–Lindstedt method
இடையூறு கோட்பாட்டில், போயின்கேர்-லிண்ட்ஸ்டெட் முறை அல்லது லிண்ட்ஸ்டெட்-போயின்கேர் முறை என்பது வழக்கமான இடையூறு அணுகுமுறைகள் தோல்வியடையும் போது, சாதாரண வேறுபட்ட சமன்பாடுகளுக்கு காலமுறை தீர்வுகளை ஒரே மாதிரியாக தோராயமாக மதிப்பிடுவதற்கான ஒரு நுட்பமாகும். வரையறுக்கப்பட்ட ஊசலாட்ட தீர்வுகளுடன் பலவீனமாக நேரியல் அல்லாத சிக்கல்களுக்கு இடையூறு கோட்பாட்டின் நேரடியான பயன்பாட்டில் எழும் மதச்சார்பற்ற சொற்களை-வரம்பில்லாமல் வளரும் சொற்களை இந்த முறை நீக்குகிறது. இந்த முறை ஹென்றி பாயின்கரே மற்றும் ஆண்டர்ஸ் லிண்ட்ஸ்டெட் ஆகியோரின் பெயரால் அழைக்கப்படுகிறது. இந்தக் கட்டுரை பல உதாரணங்களைக் காட்டுகிறது. இந்தக் கோட்பாட்டை 10ஆம் அத்தியாயத்தில் காணலாம். எடுத்துக்காட்டுஃ டஃபிங் சமன்பாடு தடையற்ற, கட்டாயப்படுத்தப்படாத டஃபிங் சமன்பாடு t> 0 க்கு 0 <ε ′1 உடன் வழங்கப்படுகிறது. ஆரம்ப நிபந்தனைகளைக் கவனியுங்கள் x (t) = x0 (t) + εx1 (t) +. என்ற வடிவத்தின் ஒரு இடையூறு-தொடர் தீர்வு தேடப்படுகிறது. தொடரின் முதல் இரண்டு சொற்கள் இந்த தோராயமானது காலத்தின் எல்லையின்றி வளர்கிறது, இது சமன்பாடு மாதிரிகள் இருக்கும் இயற்பியல் அமைப்புடன் பொருந்தாது. இந்த எல்லையற்ற வளர்ச்சிக்கு பொறுப்பான சொல், மதச்சார்பற்ற சொல் என்று அழைக்கப்படுகிறது. போயின்கேர்-லிண்ட்ஸ்டெட் முறை பின்வருமாறு எல்லா நேரத்திற்கும் துல்லியமான ஒரு தோராயத்தை உருவாக்க அனுமதிக்கிறது. தீர்வை ஒரு அறிகுறியற்ற தொடராக வெளிப்படுத்துவதோடு மட்டுமல்லாமல், நேரத்தை அளவிட மற்றொரு தொடரை உருவாக்குங்கள் t: இங்கு நம்மிடம் முன்னணி வரிசை ω0 = 1 உள்ளது, ஏனெனில், சமன்பாடு எப்போது தீர்வைக் கொண்டுள்ளது. இப்போது x (τ) = x0 (τ) + εx1 (τ) +.. என்ற வடிவத்தின் தீர்வைத் தேடுங்கள். ε இல் உள்ள பூஜ்ஜியம் மற்றும் முதல் வரிசை சிக்கலுக்கான பின்வரும் தீர்வுகள் பெறப்படுகின்றனஃ எனவே மதச்சார்பற்ற சொல்லை தேர்வு மூலம் அகற்றலாம்ஃ ω1 =. இந்த வழியில் இடையூறு பகுப்பாய்வைத் தொடர்வதன் மூலம் துல்லியத்தின் உயர் வரிசைகளைப் பெற முடியும். இப்போதைக்கு, தோராயமானது-ε இல் முதல் வரிசை வரை சரியானது-எடுத்துக்காட்டுஃ வான் டெர் போல் ஆஸிலேட்டர் நாம் வான் டெர் போல் ஆஸிலேட்டரை 2 வரிசை வரை மட்டுமே தீர்க்கிறோம். இந்த முறையை அதே வழியில் காலவரையின்றி தொடரலாம், அங்கு வரிசை-n சொல் ஒரு ஹார்மோனிக் சொல் மற்றும் சில சூப்பர்-ஹார்மோனிக் சொற்களைக் கொண்டுள்ளது. சூப்பர்-ஹார்மோனிக் சொற்களின் குணகங்கள் நேரடியாக தீர்க்கப்படுகின்றன, மேலும் ஹார்மோனிக் வார்த்தையின் குணகங்கள் வரிசை-(n + 1) க்கு விரிவுபடுத்துவதன் மூலமும், அதன் மதச்சார்பற்ற சொல்லை அகற்றுவதன் மூலமும் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன. வரிசை 3 வரையிலான வழித்தோன்றலுக்கும், வரிசை 164 வரையிலான கணினி வழித்தோன்றலுக்கும் 10ஆம் அத்தியாயத்தைப் பார்க்கவும். வான் டெர் போல் ஆஸிலேட்டரை ஒரு சிறிய நேர்மறை எண்ணாக இருக்கும் சமன்பாட்டுடன் கருதுங்கள். இரண்டாவது வரிசைக்கு மாற்றீட்டைச் செய்யுங்கள்ஃ இது சமன்பாட்டைத் தருகிறது இப்போது செருகவும், மேலும் வரிசைகளுக்கு முறையே மூன்று சமன்பாடுகள் உள்ளனஃ முதல் சமன்பாட்டிற்கு பொதுவான தீர்வு உள்ளது. காலத்தின் தோற்றத்தைத் தேர்ந்தெடுங்கள். பின்னர் அதைப் பெற இரண்டாவது சமன்பாட்டில் செருகவும் (சில முக்கோணவியல் அடையாளங்களுக்குப் பிறகு) மதச்சார்பற்ற சொல்லை அகற்ற, நாம் இரண்டு குணகங்களையும் பூஜ்ஜியமாக அமைக்க வேண்டும், இதனால் நாம் ஈட்ட வேண்டும். குறிப்பாக, பூஜ்ஜியத்திலிருந்து ஒரு சிறிய நேர்மறை மாறிலிக்கு அதிகரிக்கும் போது, ஆரம் 2 இல் உள்ளதைத் தவிர, கட்ட இடத்தில் உள்ள அனைத்து வட்ட சுற்றுப்பாதைகளும் அழிக்கப்படுகின்றன என்பதை நாங்கள் கண்டறிந்தோம். இப்போது விளைச்சலைத் தீர்ப்பது. நாம் எப்போதும் வார்த்தையை உள்வாங்கலாம், எனவே நாம் WLOG ஐ நியாயமாக வைத்திருக்க முடியும். இப்போது பெற இரண்டாவது சமன்பாட்டைச் செருகவும் மதச்சார்பற்ற சொல்லை அகற்ற, நாம் அமைக்கிறோம். எனவே நாம் அதைக் காண்கிறோம். எடுத்துக்காட்டுஃ மத்தேயு சமன்பாடு இது அளவுரு அதிர்வுக்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு. மாத்யூ சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள், அங்கு ஒரு மாறிலி மற்றும் சிறியது. சமன்பாட்டின் தீர்வு இரண்டு நேர அளவுகளைக் கொண்டிருக்கும், ஒன்று வரிசையில் வேகமாக மாறுபடும், மற்றொன்று வரிசையில் மெதுவாக மாறுபடும். மூன்றாவது சமன்பாட்டில் உள்ள மதச்சார்பற்ற சொல் குணகங்கள் அவற்றை பூஜ்ஜியமாக அமைக்கின்றன, இயக்கத்தின் சமன்பாடுகளை நாம் காண்கிறோம்ஃ அதன் தீர்மானிப்பவர், எனவே, தோற்றம் ஒரு சேணம் புள்ளியாக இருக்கும்போது, ஊசலாட்டத்தின் வீச்சு வரம்பற்றதாக வளரும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், அளவுருவில் உள்ள கோண அதிர்வெண் (இந்த விஷயத்தில்,) அசல் ஊசலாட்டத்தின் கோண அதிர்வெண்ணுக்கு (இந்த விஷயத்தில்) போதுமான அளவு நெருக்கமாக இருக்கும்போது, ஊசலாட்டம் வரம்பற்ற முறையில் வளரும், ஒரு குழந்தை ஊஞ்சலில் ஊசலாடுவதைப் போல சந்திரனுக்கு அனைத்து வழிகளையும் செலுத்துகிறது. ஷோஹத் விரிவாக்கம் வான் டெர் போல் ஆஸிலேட்டருக்கு, நம்மிடம் பெரிய அளவில் உள்ளது, எனவே பெரியதாக மாறும்போது, திசைதிருப்பல்களின் அடிப்படையில் தொடர் விரிவாக்கம் மற்றும் வரம்புக்குட்பட்டதாக இருக்க அதன் விதிமுறைகளை நாம் மேலும் மேலும் வைத்திருக்க வேண்டும். இது வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு அளவுருவை நமக்கு பரிந்துரைக்கிறதுஃ பின்னர், தொடர் விரிவாக்கங்களைப் பயன்படுத்தி, மதச்சார்பற்ற சொற்களை அகற்றுவதற்கான அதே முறையைப் பயன்படுத்தி, நாம் காண்கிறோம். ஏனெனில், விரிவாக்கம் வலதுபுறத்தில் உள்ள தொடருக்கான வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான சொற்களை எடுக்க அனுமதிக்கிறது, மேலும் இது வரம்பில் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட மதிப்புக்கு ஒன்றிணைக்கும். பின்னர் நம்மிடம் இருக்கும், இது சரியாக விரும்பிய அறிகுறியற்ற நடத்தை. ஷோஹத் விரிவாக்கத்தின் பின்னணியில் உள்ள யோசனை இதுதான். சரியான அறிகுறியற்ற மாறிலி, இது நாம் பார்க்க முடியும் என அணுகப்படுகிறது. குறிப்புகள் மற்றும் குறிப்புகள் இடையூறு கோட்பாடு