Dirac algebra
கணித இயற்பியலில், டிராக் இயற்கணிதம் என்பது கிளிஃபோர்ட் இயற்கணிதம் ஆகும். இது 1928 ஆம் ஆண்டில் கணித இயற்பியலாளர் பி. ஏ. எம். டிராக் என்பவரால் இயற்கணிதத்தின் ஜெனரேட்டர்களைக் குறிக்கும் காமா மேட்ரிக்ஸின் மேட்ரிக்ஸ் பிரதிநிதித்துவத்துடன் சுழல் துகள்களுக்கான டிராக் சமன்பாட்டை உருவாக்குவதில் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. காமா மேட்ரிக்ஸ்கள் என்பது நான்கு மேட்ரிக்ஸ்களின் தொகுப்பாகும், அதாவது, அதன் கூறுகள் பூர்த்தி செய்கின்றன, அங்கு மரபுப்படி, ஒரு அடையாள மேட்ரிக்ஸ் வலது புறத்தில் அடக்கப்பட்டுள்ளது. எண்கள் மின்காவ்ஸ்கி அளவீட்டின் கூறுகளாகும். இந்த கட்டுரைக்கு கையொப்பத்தை பெரும்பாலும் கழித்தல், அதாவது, என சரிசெய்கிறோம். டைராக் இயற்கணிதம் என்பது அடையாளத்தின் நேரியல் இடைவெளி, காமா மேட்ரிக்ஸ்கள் மற்றும் காமா மேட்ரிக்ஸ்களின் எந்தவொரு நேரியல் சுயாதீன தயாரிப்புகளாகும். இது புலத்தின் மீது அல்லது பரிமாணத்துடன் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண இயற்கணிதத்தை உருவாக்குகிறது. இயற்கணிதத்திற்கான அடிப்படை இயற்கணிதத்திற்கு ஒரு அடிப்படை உள்ளது, அங்கு ஒவ்வொரு வெளிப்பாட்டிலும், ஒவ்வொரு கிரேக்க குறியீடும் நாம் வலதுபுறம் செல்லும்போது அதிகரிக்கிறது. குறிப்பாக, வெளிப்பாடுகளில் மீண்டும் மீண்டும் குறியீடு இல்லை. பரிமாண எண்ணிக்கையின் அடிப்படையில், இயற்கணிதத்தின் பரிமாணம் 16 ஆகும். தனித்துவத்தின் பெருக்கல்களை எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம் இயற்கணிதத்தை உருவாக்க முடியும்ஃ அடையாளம் எழுகிறது, மற்றவை வெளிப்படையாக அதன் பெருக்கல்களாகும். இந்த கூறுகள் மூலம் உருவாக்கப்படும் இடத்தை பரப்புகின்றன. நாற்கர சக்திகள் மற்றும் லோரென்ட்ஸ் இயற்கணிதத்தால் உருவாக்கப்பட்ட கிளிஃபோர்ட் இயற்கணிதத்தின் அடிப்படை நம்மிடம் உள்ளது என்று நாங்கள் முடிவு செய்கிறோம். தெளிவுக்காக, இங்கே தேவையான எண் காரணிகளின் எண்ணிக்கையைக் குறைப்பதற்கான மரபுகளைத் தேர்ந்தெடுப்போம், ஆனால் ஜெனரேட்டர்கள் ஹெர்மிஷியனை விட ஹெர்மிஷியனுக்கு எதிரானதாக இருக்க வழிவகுக்கும். கிளிஃபோர்ட் இயற்கணிதத்தின் இருபடி உட்பகுதியை எழுத மற்றொரு பொதுவான வழி உள்ளதுஃ உடன். குறிப்பு. இதை எழுத மற்றொரு வழி உள்ளதுஃ இந்த வடிவம் லோரென்ட்ஸ் இயற்கணிதத்தின் பிரதிநிதித்துவம் (உண்மையான மரபுகளுடன்) இயற்பியல் மரபுகளைக் காட்ட பயன்படுத்தப்படலாம் இது இயற்பியலில் ஒரு காரணியை சேர்ப்பது பொதுவான மரபு, இதனால் ஹெர்மிடியன் இணைவு (இடநேர கிரேக்க குறியீடுகளைப் பொறுத்து இடமாற்றம் செய்யப்படுகிறது) சிக்மா ஜெனரேட்டர்களின் 'ஹெர்மிடியன் மேட்ரிக்ஸ்' ஐ வழங்குகிறது, அவற்றில் அடைப்புக்குறிக்கு எதிரான சமச்சீர் காரணமாக பூஜ்ஜியமற்றவை, டென்சரின் ஆறு பரிமாண பிரதிநிதித்துவத்தை பரப்புகின்றன-உள்ளே லோரென்ட்ஸ் இயற்கணிதத்தின் பிரதிநிதித்துவம். மேலும், அவை லை இயற்கணிதத்தின் பரிமாற்ற உறவுகளைக் கொண்டுள்ளன, எனவே சுழல் பிரதிநிதித்துவத்திற்குள் அமர்ந்திருக்கும் லோரெண்ட்ஸ் இயற்கணிதத்தின் பிரதிநிதித்துவத்தை (ஒரு பிரதிநிதித்துவ இடத்தை விரிவுபடுத்துவதோடு) உருவாக்குகின்றன. சுழற்சி (1,3) மேட்ரிக்ஸ்களுக்கான அதிவேக வரைபடம் நன்கு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. இது லோரெண்ட்ஸ் இயற்கணிதத்தை திருப்திப்படுத்துகிறது, மேலும் லோரெண்ட்ஸ் குழுவின் சுழல் குழுவின் பிரதிநிதித்துவத்திற்கு அடுக்கடுக்காக மாறுகிறது (கண்டிப்பாக, அடையாளத்துடன் இணைக்கப்பட்ட எதிர்காலத்தில் இயக்கப்படும் பகுதி). இந்த பிரதிநிதித்துவத்தின் சுழல் ஜெனரேட்டர்கள் அவை. அது ஒரு மேட்ரிக்ஸ், ஒரு மேட்ரிக்ஸின் கூறுகள் அல்ல என்பதை நாங்கள் வலியுறுத்துகிறோம். ஒரு சிக்கலான மேட்ரிக்ஸாக அதன் கூறுகள் எழுத்துக்களின் தொடக்கத்திலிருந்து கிரேக்க எழுத்துக்களைப் பயன்படுத்தி மரபுப்படி பெயரிடப்பட்டுள்ளன. இந்த அமைப்பில் திசையன் இடத்தின் ஒரு உறுப்பாக இருக்கும் ஒரு ஸ்பின்னரின் செயல்பாடு, அல்லது கூறுகளில், இது ஒரு ஸ்பின்னரில் ஒரு எல்லையற்ற லோரென்ட்ஸ் மாற்றத்திற்கு ஒத்திருக்கிறது. பின்னர் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட லோரெண்ட்ஸ் உருமாற்றத்தை, கூறுகளால் அளவுருவாக (சமச்சீரற்றது) வெளிப்படுத்தலாம் அது பின்வரும் பண்பிலிருந்து திருப்திப்படுத்துகிறது மற்றும் மேலே வரையறுக்கப்பட்டுள்ளபடி இது ஸ்பின்னர்களுக்கான டைராக் இணைப்பின் வரையறையை ஊக்குவிக்கிறது, இன். அதனுடன் தொடர்புடைய மாற்றம். இதன் மூலம், டிராக் லக்ராஞ்சியன் போன்ற லக்ராஞ்சியன்களின் கட்டுமானத்திற்காக லோரெண்ட்ஸ் மாறாத அளவுகளை உருவாக்குவது எளிது. குவார்டிக் பவர் குவார்டிக் சஸ்பேஸ் ஒரு ஒற்றை அடிப்படை உறுப்பைக் கொண்டுள்ளது, அங்கு முற்றிலும் ஆண்டிசிமெட்ரிக் டென்சர் வழக்கமாக உள்ளது. இது ஏதேனும் இரண்டு அருகிலுள்ள காமா மேட்ரிக்ஸ்களின் பரிமாற்றத்தின் கீழ் சமச்சீரற்றது. γ5 சிக்கலான இடைவெளியைக் கருத்தில் கொள்ளும்போது, இந்த அடிப்படை உறுப்பை மாற்றாக எடுத்துக் கொள்ளலாம் மேலும் விவரங்களை இங்கே காணலாம். ஒரு தொகுதி வடிவமாக குவார்டிக் தனிமத்தின் மொத்த சமச்சீர் எதிர்ப்பு மூலம், இது ஒரு தொகுதி வடிவமாக கருதப்படலாம். உண்மையில், இந்த அவதானிப்பு வெளிப்புற இயற்கணிதத்தின் பொதுமைப்படுத்தலாக கிளிஃபோர்ட் ஆல்ஜிப்ராக்களைப் பற்றிய விவாதத்திற்கு விரிவுபடுத்துகிறதுஃ இரண்டும் டென்சர் இயற்கணிதத்தின் மேற்கோள்களாக எழுகின்றன, ஆனால் வெளிப்புற இயற்கணிதம் மிகவும் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட அளவைக் கொடுக்கிறது, அங்கு எதிர்-கம்யூட்டேட்டர்கள் அனைத்தும் மறைந்துவிடுகின்றன. டிராக் மற்றும் க்ளீன்-கார்டன் சமன்பாட்டிலிருந்து தொடங்கும் வழித்தோன்றல் காமா உறுப்புகளின் வரையறுக்கும் வடிவத்தை டைராக் சமன்பாடு மற்றும் க்ளீன்-கார்டன் சமன்பாடுஃ கொடுக்கப்பட வேண்டும், மேலும் இந்த சமன்பாடுகள் நிலையான முடிவுகளுக்கு வழிவகுக்க வேண்டும். நிலைத்தன்மை தேவையிலிருந்து பெறப்பட்டது (ஆதாரம்). டைராக் சமன்பாட்டை அதன் இணை சமன்பாட்டால் பெருக்கினால் கிடைக்கும் விளைவுகள்ஃ க்ளீன்-கார்டன் சமன்பாட்டுடன் நிலைத்தன்மையின் தேவை உடனடியாக பின்வருவனவற்றிற்கு வழிவகுக்கிறதுஃ எதிர்ச்சேர்க்கை எங்கே, கையொப்பத்துடன் (+ −−) மின்காவ்ஸ்கி மெட்ரிக் மற்றும் 4x4 அலகு மேட்ரிக்ஸ் ஆகும். கிள 1,3 (சி) மற்றும் கிள 1,3 (ஆர்) டைராக் இயற்கணிதத்தை உண்மையான இடநேர இயற்கணிதத்தின் ஒரு சிக்கலான செயல்பாடாகக் கருதலாம் கிள 1,3 (): கிள 1,3 () கிள 1,3 () இலிருந்து வேறுபடுகிறதுஃ கிள 1,3 () இல் காமா மேட்ரிக்ஸ்கள் மற்றும் அவற்றின் தயாரிப்புகளின் உண்மையான நேரியல் சேர்க்கைகள் மட்டுமே அனுமதிக்கப்படுகின்றன. வடிவியல் இயற்கணிதத்தின் ஆதரவாளர்கள் சாத்தியமான இடங்களில் உண்மையான ஆல்ஜிப்ராக்களுடன் வேலை செய்ய முயற்சிக்கின்றனர். ஒரு இயற்பியல் சமன்பாட்டில் ஒரு கற்பனை அலகு இருப்பதை அடையாளம் காண்பது பொதுவாக சாத்தியம் (மற்றும் பொதுவாக அறிவொளியூட்டும்) என்று அவர்கள் வாதிடுகின்றனர். இத்தகைய அலகுகள் ஒரு உண்மையான கிளிஃபோர்ட் இயற்கணிதத்தில் உள்ள பல அளவுகளில் ஒன்றிலிருந்து எழுகின்றன, அவை சதுரத்திலிருந்து −1 வரை இருக்கும், மேலும் இவை இயற்கணிதத்தின் பண்புகள் மற்றும் அதன் பல்வேறு துணை இடங்களின் தொடர்பு காரணமாக வடிவியல் முக்கியத்துவத்தைக் கொண்டுள்ளன. டைராக் சமன்பாட்டின் சூழலில் ஒரு கூடுதல் கற்பனை அலகை அறிமுகப்படுத்துவது அவசியமா அல்லது பயனுள்ளதா என்றும் இந்த ஆதரவாளர்களில் சிலர் கேள்வி எழுப்புகிறார்கள். ரீமானியன் வடிவவியலின் கணிதத்தில், கிளிஃபோர்ட் இயற்கணிதம் சிஎல்பி, q () ஐ தன்னிச்சையான பரிமாணங்களுக்கு வரையறுப்பது வழக்கமாக உள்ளது; வெயில் சுழல்களின் எதிர்-பரிமாற்றமானது இயற்கையாகவே கிளிஃபோர்ட் இயற்கணிதத்திலிருந்து வெளிப்படுகிறது. வெயில் சுழல்கள் சுழல் குழுவின் செயல்பாட்டின் கீழ் மாறுகின்றன. சுழல் குழுவின் சிக்கலானது, ஸ்பின்க் குழு என்று அழைக்கப்படுகிறது, இது வட்டத்துடன் சுழல் குழுவின் ஒரு தயாரிப்பு ஆகும், இது தயாரிப்புடன் அடையாளம் காண ஒரு குறியீட்டு சாதனம் மட்டுமே. இதன் வடிவியல் புள்ளி என்னவென்றால், இது உண்மையான ஸ்பினரை பிரிக்கிறது, இது லோரெண்ட்ஸ் மாற்றங்களின் கீழ் மாறுபடுகிறது, இது மின்காந்த தொடர்புகளின் இழையுடன் அடையாளம் காணக்கூடிய கூறுகளிலிருந்து. டைராக் துகள்/எதிர் துகள் நிலைகளை தொடர்புபடுத்துவதற்கு பொருத்தமான முறையில் சிக்கல் சமநிலை மற்றும் சார்ஜ் இணைவு (சமமாக, வேய்ல் அடிப்படையில் சிரல் நிலைகள்). பைஸ்பினார், நேரியல் ரீதியாக சுயாதீனமான இடது மற்றும் வலது கூறுகளைக் கொண்டிருப்பதால், மின்காந்த புலத்துடன் தொடர்பு கொள்ள முடியும். இது மஜோரானா ஸ்பின்னர் மற்றும் எல்கோ ஸ்பின்னருக்கு மாறாக உள்ளது, இது முடியாது (அதாவது. அவை மின்சார ரீதியாக நடுநிலையானவை), ஏனெனில் அவை சிக்கலானதிலிருந்து வரும் பகுதியுடன் தொடர்பு கொள்ளாமல் இருக்க ஸ்பினரை வெளிப்படையாக கட்டுப்படுத்துகின்றன. வழக்கமான குவாண்டம் புலக் கோட்பாட்டு பாடப்புத்தகங்களில் சார்ஜ் மற்றும் சமநிலையின் விளக்கக்காட்சி ஒரு குழப்பமான தலைப்பாக இருக்கக்கூடும் என்பதால், ஒரு பொதுவான வடிவியல் அமைப்பில் இந்த தலைப்புகளை மிகவும் கவனமாக பிரித்தல் தெளிவுபடுத்தும். கிளிஃபோர்ட் இயற்கணிதத்தின் நிலையான விளக்கங்கள் வேய்ல் சுழற்சிகளை முதல் கொள்கைகளிலிருந்து உருவாக்குகின்றன; அவை "தானாகவே" பயணத்திற்கு எதிரானவை என்பது கட்டுமானத்தின் ஒரு நேர்த்தியான வடிவியல் துணை தயாரிப்பு ஆகும், இது பாலி விலக்கு கொள்கையை (அல்லது சில நேரங்களில் கிராஸ்மேன் மாறிகள் தற்காலிக வாதம் மூலம் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டுள்ளன என்ற பொதுவான உணர்வு) ஈர்க்கும் எந்தவொரு வாதத்தையும் முற்றிலும் கடந்து செல்கிறது. சமகால இயற்பியல் நடைமுறையில், டைராக் இயற்கணிதம் இடநேர இயற்கணிதத்தை விட டைராக் சமன்பாட்டின் சுழற்சிகள் நிலையான சூழலாகத் தொடர்கிறது. மேலும் காண்கஃ உயர் பரிமாண காமா மேட்ரிக்ஸ் ஃபியர்ஸ் அடையாள குறிப்புகள் கிளிஃபோர்ட் ஆல்ஜிப்ரா ஆல்ஜிப்ரா