Sylvester equation
கணிதத்தில், கட்டுப்பாட்டுக் கோட்பாட்டுத் துறையில், சில்வெஸ்டர் சமன்பாடு என்பது வடிவத்தின் ஒரு அணி சமன்பாடாகும்ஃ இது ஆங்கில கணிதவியலாளர் ஜேம்ஸ் ஜோசப் சில்வெஸ்டரின் பெயரால் அழைக்கப்படுகிறது. பின்னர் A, B மற்றும் C மேட்ரிக்ஸ்கள் கொடுக்கப்பட்டால், இந்த சமன்பாட்டிற்குக் கீழ்ப்படும் சாத்தியமான மேட்ரிக்ஸ்கள் X ஐக் கண்டுபிடிப்பதே சிக்கல். அனைத்து மேட்ரிக்ஸ்களும் சிக்கலான எண்களில் குணகங்களைக் கொண்டிருப்பதாகக் கருதப்படுகின்றன. சமன்பாடு அர்த்தமுள்ளதாக இருக்க, மேட்ரிக்ஸ்கள் பொருத்தமான அளவுகளைக் கொண்டிருக்க வேண்டும், எடுத்துக்காட்டாக அவை அனைத்தும் ஒரே அளவிலான சதுர மேட்ரிக்ஸ்களாக இருக்கலாம். ஆனால் பொதுவாக, A மற்றும் B முறையே n மற்றும் m அளவுகளின் சதுர மேட்ரிக்ஸ்களாக இருக்க வேண்டும், பின்னர் X மற்றும் C இரண்டும் n வரிசைகள் மற்றும் m நெடுவரிசைகளைக் கொண்டுள்ளன. A மற்றும் −B இன் பொதுவான ஐகென் மதிப்புகள் இல்லாதபோது ஒரு சில்வெஸ்டர் சமன்பாடு X க்கு ஒரு தனித்துவமான தீர்வைக் கொண்டுள்ளது. மேலும் பொதுவாக, AX + XB = C சமன்பாடு ஒரு (அநேகமாக எல்லையற்ற பரிமாண) பானாச் இடத்தில் வரம்புக்குட்பட்ட இயக்கிகளின் சமன்பாடாகக் கருதப்படுகிறது. இந்த வழக்கில், ஒரு தீர்வு X இன் தனித்துவத்திற்கான நிபந்தனை கிட்டத்தட்ட ஒரே மாதிரியாக இருக்கும்ஃ A மற்றும் −B இன் நிறமாலை வேறுபடும் போது சரியாக ஒரு தனித்துவமான தீர்வு X உள்ளது. தீர்வுகளின் இருப்பு மற்றும் தனித்துவம் க்ரோனெக்கர் தயாரிப்பு குறியீடு மற்றும் திசையன் இயக்கியைப் பயன்படுத்தி, சில்வெஸ்டரின் சமன்பாட்டை பரிமாணம், பரிமாணம், பரிமாணம் மற்றும் அடையாள மேட்ரிக்ஸ் வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதலாம். இந்த வடிவத்தில், சமன்பாட்டை ஒரு நேரியல் பரிமாண அமைப்பாகக் காணலாம். தேற்றம். கொடுக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸ்கள் மற்றும், சில்வெஸ்டர் சமன்பாடு எந்தவொரு ஐகென் மதிப்பையும் பகிர்ந்து கொள்ளாவிட்டால் மட்டுமே எந்தவொரு தனித்துவமான தீர்வையும் கொண்டுள்ளது. சான்று. சமன்பாடு என்பது அறியப்படாத மற்றும் ஒரே எண்ணிக்கையிலான சமன்பாடுகளைக் கொண்ட ஒரு நேரியல் அமைப்பாகும். எனவே ஒரே மாதிரியான சமன்பாடு அற்பமான தீர்வை மட்டுமே ஏற்றுக்கொண்டால் மட்டுமே கொடுக்கப்பட்ட எதற்கும் இது தனித்துவமாக தீர்க்கக்கூடியது. (i) அதை அனுமானித்து, எந்தவொரு ஐகென் மதிப்பையும் பகிர்ந்து கொள்ள வேண்டாம். மேற்கூறிய ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டிற்கு ஒரு தீர்வாக இருக்கட்டும். பின்னர், கணித தூண்டல் மூலம் ஒவ்வொன்றிற்கும் உயர்த்தப்படலாம். இதன் விளைவாக, எந்த பல்லுறுப்புக்கோவைக்கும். குறிப்பாக, இதன் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவையாக இருக்கட்டும். பின்னர் கெய்லி-ஹாமில்டன் தேற்றம் காரணமாக; இதற்கிடையில், ஸ்பெக்ட்ரல் மேப்பிங் தேற்றம் ஒரு மேட்ரிக்ஸின் ஸ்பெக்ட்ரமை எங்கு குறிக்கிறது என்பதை நமக்குக் கூறுகிறது. எந்தவொரு ஐகென் மதிப்பையும் பகிர்ந்து கொள்ளாததால், பூஜ்ஜியத்தைக் கொண்டிருக்கவில்லை, எனவே இது ஒற்றை அல்லாதது. எனவே விரும்பியபடி. இது தேற்றத்தின் "என்றால்" பகுதியை நிரூபிக்கிறது. (ii) இப்போது அதை அனுமானித்து, ஒரு ஐகென் மதிப்பைப் பகிர்ந்து கொள்ளுங்கள். ஒரு தொடர்புடைய வலது ஐகென் வெக்டராக இருக்கட்டும், மற்றும் ஒரு தொடர்புடைய இடது ஐகென் வெக்டராக இருக்கட்டும். பின்னர், மற்றும் எனவே மேற்கூறிய ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டிற்கு ஒரு அற்பமான தீர்வாகும், இது தேற்றத்தின் "இருந்தால் மட்டுமே" பகுதியை நியாயப்படுத்துகிறது. கே. இ. டி. ஸ்பெக்ட்ரல் மேப்பிங் தேற்றத்திற்கு மாற்றாக, ஆதாரத்தின் பகுதி (i) இன் ஒற்றுமையற்ற தன்மையை கோப்ரைம் பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கான பெஸௌட்டின் அடையாளத்தால் நிரூபிக்க முடியும். இதன் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவையாக இருக்கட்டும். ஏனெனில் மற்றும் எந்த ஐகென் மதிப்பையும் பகிர்ந்து கொள்ளவில்லை, மேலும் அவை கோப்ரைம் ஆகும். எனவே இது போன்ற பல்லுறுப்புக்கோவைகள் உள்ளன. கெய்லி-ஹாமில்டன் தேற்றத்தின் படி, எனவே, அது ஒருமைப்பாடற்றது என்பதைக் குறிக்கிறது. இந்த தேற்றம் உண்மையான மேட்ரிக்ஸ்களுக்கு அவற்றின் சிக்கலான ஐகென் மதிப்புகளை ஒருவர் கருதும் எச்சரிக்கையுடன் உண்மையாகவே உள்ளது. "என்றால்" பகுதிக்கான ஆதாரம் இன்னும் பொருந்தும்; "மட்டுமே என்றால்" பகுதிக்கு, இரண்டும் ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டை பூர்த்தி செய்கின்றன, மேலும் அவை ஒரே நேரத்தில் பூஜ்ஜியமாக இருக்க முடியாது என்பதைக் கவனியுங்கள். ரோத்தின் அகற்றுதல் விதி n மற்றும் m அளவு கொண்ட இரண்டு சதுர சிக்கலான மேட்ரிக்ஸ்கள் A மற்றும் B, மற்றும் m ஆல் n அளவு கொண்ட ஒரு மேட்ரிக்ஸ் C கொடுக்கப்பட்டால், பின்வரும் n + m அளவு கொண்ட இரண்டு சதுர மேட்ரிக்ஸ்கள் ஒருவருக்கொருவர் ஒத்திருக்கும் போது ஒருவர் கேட்கலாம்ஃ மற்றும். பதில் என்னவென்றால், AX − XB = C போன்ற ஒரு மேட்ரிக்ஸ் X இருக்கும்போது இந்த இரண்டு மேட்ரிக்ஸ்களும் சரியாக ஒத்திருக்கின்றன. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், X என்பது ஒரு சில்வெஸ்டர் சமன்பாட்டிற்கான தீர்வாகும். இது ரோத்தின் அகற்றுதல் விதி என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒருவர் ஒரு திசையை எளிதில் சரிபார்க்கிறார்ஃ AX − XB = C என்றால், ரோத்தின் அகற்றுதல் விதி ஒரு பானாச் இடத்தில் எல்லையற்ற பரிமாண வரம்புக்குட்பட்ட ஆபரேட்டர்களுக்கு பொதுமைப்படுத்தப்படாது. ஆயினும்கூட, ரோத்தின் அகற்றுதல் விதி சில்வெஸ்டர் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளுக்கு பொதுமைப்படுத்துகிறது. சில்வெஸ்டர் சமன்பாட்டின் எண் தீர்வுக்கான ஒரு பாரம்பரிய வழிமுறை பார்டல்ஸ்-ஸ்டீவர்ட் வழிமுறை ஆகும், இது ஒரு கியூஆர் வழிமுறை மூலம் ஷூர் வடிவமாக மாற்றப்பட்டு, அதன் விளைவாக முக்கோண அமைப்பை பின்-மாற்று மூலம் தீர்க்கிறது. இந்த வழிமுறை, அதன் கணக்கீட்டு செலவு எண்கணித செயல்பாடுகளாகும், மற்றவற்றுடன், லாபக் மற்றும் குனு ஆக்டேவில் உள்ள லைப் செயல்பாடு ஆகியவற்றால் பயன்படுத்தப்படுகிறது. அந்த மொழியில் உள்ள சில்வெஸ்டர் செயல்பாட்டையும் பார்க்கவும். சில குறிப்பிட்ட பட செயலாக்க பயன்பாட்டில், பெறப்பட்ட சில்வெஸ்டர் சமன்பாடு ஒரு மூடிய வடிவ தீர்வைக் கொண்டுள்ளது. மேலும் பார்க்கவும் லியாபுனோவ் சமன்பாடு, சில்வெஸ்டர் சமன்பாட்டின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு இயற்கணித ரிச்சாட்டி சமன்பாடு குறிப்புகள் குறிப்புகள் வெளிப்புற இணைப்புகள் தன்னிச்சையான அளவிலான மேட்ரிக்ஸ்களுக்கான ஆன்லைன் தீர்வு. சில்வெஸ்டர் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான கணிதச் செயல்பாடு மெட்ரிசஸ் கட்டுப்பாட்டுக் கோட்பாட்டைத் தீர்க்க MATLAB செயல்பாடு