Wythoff's game
வைத்தாஃப் விளையாட்டு என்பது இரண்டு வீரர்கள் கொண்ட கணிதக் கழித்தல் விளையாட்டு ஆகும், இது இரண்டு குவியல்கள் கொண்ட கவுண்டர்களுடன் விளையாடப்படுகிறது. வீரர்கள் ஒன்று அல்லது இரண்டு குவியல்களிலிருந்தும் கவுண்டர்களை அகற்றுகிறார்கள்; இரண்டு குவியல்களிலிருந்தும் கவுண்டர்களை அகற்றும்போது, ஒவ்வொரு குவியலிலிருந்தும் அகற்றப்பட்ட கவுண்டர்களின் எண்ணிக்கை சமமாக இருக்க வேண்டும். ஒரு வீரர் கடைசி கவுண்டர் அல்லது கவுண்டர்களை அகற்றி, வெற்றி பெறும்போது விளையாட்டு முடிவடைகிறது. விளையாட்டின் சமமான விளக்கம் என்னவென்றால், ஒரு சதுரங்க ராணி சதுரங்களின் பெரிய கட்டத்தில் எங்காவது வைக்கப்படுகிறார், மேலும் ஒவ்வொரு வீரரும் ராணியை கட்டத்தின் கீழ் இடது மூலையை நோக்கி நகர்த்தலாம்ஃ தெற்கு, மேற்கு அல்லது தென்மேற்கு, எத்தனை படிகள் வேண்டுமானாலும். வெற்றியாளர் ராணியை மூலையில் நகர்த்தும் வீரர் ஆவார். ராணியின் இரண்டு கார்ட்டீசியன் ஆயத்தொலைவுகள் குவியல்களிலிருந்து கவுண்டர்களை அகற்றுவதை உள்ளடக்கிய விளையாட்டின் உருவாக்கத்தில் இரண்டு குவியல்களின் அளவுகளுடன் ஒத்திருக்கின்றன. மார்ட்டின் கார்ட்னர் தனது மார்ச் 1977 "கணித விளையாட்டுப் பத்தியில்" சயின்டிபிக் அமெரிக்கனில் இந்த விளையாட்டு சீனாவில் ஜின் ஷிஜ் ("கற்களை எடுப்பது") என்ற பெயரில் விளையாடப்பட்டதாகக் கூறுகிறார். டச்சு கணிதவியலாளர் டபிள்யூ. ஏ. வைத்தாஃப் 1907 ஆம் ஆண்டில் இந்த விளையாட்டின் கணித பகுப்பாய்வை வெளியிட்டார். உகந்த மூலோபாயம் விளையாட்டின் எந்த நிலையையும் ஒரு ஜோடி முழு எண்களால் (n, m) n ≤ m உடன் விவரிக்க முடியும், இது நிலையில் உள்ள இரண்டு குவியல்களின் அளவு அல்லது ராணியின் ஆயத்தொகுதிகளை விவரிக்கிறது. விளையாட்டின் மூலோபாயம் குளிர் நிலைகள் மற்றும் சூடான நிலைகளைச் சுற்றி வருகிறதுஃ குளிர் நிலையில், நகரும் முறை கொண்ட வீரர் சிறந்த விளையாட்டில் தோல்வியடைவார், அதே நேரத்தில் சூடான நிலையில், நகரும் முறை கொண்ட வீரர் சிறந்த விளையாட்டில் வெற்றி பெறுவார். ஒரு சூடான நிலையில் இருந்து உகந்த உத்தி எந்த அடையக்கூடிய குளிர் நிலைக்கு மாறுவதாகும். நிலைகளை வெப்பமாகவும் குளிராகவும் வகைப்படுத்துவது பின்வரும் மூன்று விதிகளுடன் மீண்டும் மீண்டும் மேற்கொள்ளப்படலாம்ஃ (0,0) ஒரு குளிர் நிலை. ஒரே நகர்வில் ஒரு குளிர் நிலையை அடையக்கூடிய எந்த நிலையும் ஒரு சூடான நிலையாகும். ஒவ்வொரு நகர்வும் ஒரு சூடான நிலைக்கு வழிவகுத்தால், ஒரு நிலை குளிர்ச்சியாக இருக்கும். உதாரணமாக, விதி 2 இன் படி, m> 0 உடன் (0, m) மற்றும் (m, m) வடிவத்தின் அனைத்து நிலைகளும் சூடாக இருக்கும். இருப்பினும், நிலை (1,2) குளிர்ச்சியாக இருக்கிறது, ஏனென்றால் அதிலிருந்து அடையக்கூடிய ஒரே நிலைகள், (0,1), (0,2), (1,0) மற்றும் (1,1) அனைத்தும் சூடாக உள்ளன. n மற்றும் m இன் மிகச்சிறிய மதிப்புகளைக் கொண்ட குளிர் நிலைகள் (n, m) (0,0), (1,2), (3,5), (4,7), (6,10) மற்றும் (8,13) ஆகும். (வரிசை மற்றும் OEIS இல்) (மேலும் காண்க) இந்த விளையாட்டின் மிசெர் விளையாட்டைப் பொறுத்தவரை, (0,1) மற்றும் (2,2) குளிர் நிலைகள், மற்றும் m, n> 2 உடன் ஒரு நிலை (n, m) சாதாரண விளையாட்டில் (n, m) குளிர்ச்சியாக இருந்தால் மட்டுமே குளிர். குளிர் நிலைகளுக்கான சூத்திரம் வைத்தாஃப் குளிர் நிலைகள் தங்க விகிதத்தால் தீர்மானிக்கப்படும் வழக்கமான வடிவத்தைப் பின்பற்றுகின்றன என்பதைக் கண்டறிந்தார். குறிப்பாக, k என்பது ஏதேனும் இயற்கையான எண் மற்றும் φ என்பது தங்க விகிதம் மற்றும் நாம் தரை செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்துகிறோம் என்றால், (nk, mk) என்பது k வது குளிர் நிலை. எண்களின் இந்த இரண்டு வரிசைகளும் ஆன்லைன் என்சைக்ளோபீடியா ஆஃப் இன்டெஜர் சீக்வென்ஸ்களில் முறையே மற்றும் பதிவு செய்யப்பட்டுள்ளன. nk மற்றும் mk என்ற இரண்டு வரிசைகளும் சமன்பாட்டுடன் தொடர்புடைய பீட்டி வரிசைகளாகும். பீட்டி வரிசைகளின் ஜோடிக்கு பொதுவாக இது பொருந்தும், இந்த இரண்டு வரிசைகளும் நிரப்பு ஆகும்ஃ ஒவ்வொரு நேர்மறை முழு எண்ணும் இரண்டு வரிசைகளிலும் சரியாக ஒரு முறை தோன்றும். நிம் கிரண்டியின் விளையாட்டு ஒரு சதுர வைத்தாஃப் வரிசையைக் கழிக்கவும் குறிப்புகள் வெளிப்புற இணைப்புகள் கணித விளையாட்டுகள்