Courant algebroid
வேறுபட்ட வடிவியல் என்று அழைக்கப்படும் கணிதத் துறையில், ஒரு கோரண்ட் வடிவியல் முதலில் ஜாங்-ஜு லியு, ஆலன் வெய்ன்ஸ்டீன் மற்றும் பிங் சூ ஆகியோரால் 1997 ஆம் ஆண்டில் லை பைல்ஜெபிராய்டுகளின் இரட்டையர் பற்றிய விசாரணையில் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. லியு, வெய்ன்ஸ்டீன் மற்றும் சூ ஆகியோர் இதற்கு கோரண்ட் பெயரிட்டனர், அவர் 1990 ஆம் ஆண்டின் தொடக்கத்தில் கோரண்ட் ஆல்ஜிப்ராய்டின் நிலையான முன்மாதிரியை மறைமுகமாக உருவாக்கினார், அவர் இன்று கோரண்ட் அடைப்புக்குறி என்று அழைக்கப்படும் ஒரு வளைந்த சமச்சீர் அடைப்புக்குறியைக் கண்டுபிடித்தார், இது ஜாகோபி அடையாளத்தை திருப்திப்படுத்தத் தவறிவிட்டது. இந்த நிலையான எடுத்துக்காட்டு மற்றும் ஒரு லை பைஅல்ஜீப்ராவின் இரட்டை இரண்டும் கோரண்ட் ஆல்ஜ்பிராய்டுகளின் சிறப்பு நிகழ்வுகளாகும். வரையறை ஒரு கோரண்ட் ஆல்ஜிப்ராய்டு என்பது ஒரு அடைப்புக்குறிக்குள் ஒரு திசையன் மூட்டை, சீரழியாத நார் வாரியான உள் தயாரிப்பு மற்றும் பின்வரும் கோட்பாடுகளுக்கு உட்பட்டு ஒரு மூட்டை வரைபடம் ஆகியவற்றைக் கொண்டுள்ளது, இதில் E மற்றும் f இன் பிரிவுகள் அடிப்படை பன்மடங்கு M. D இல் ஒரு மென்மையான செயல்பாடாகும், இது d டி ராம் வேறுபாடு, இரட்டை வரைபடம் மற்றும் κ உடன் இணைக்கப்பட்டுள்ளது. வளைவு-சமச்சீர் வரையறை அடைப்புக்குறியை வளைவு-சமச்சீர் செய்ய ஒரு மாற்று வரையறை கொடுக்கப்படலாம், ஏனெனில் இது மேலே உள்ள ஜாகோபி-அடையாள கோட்பாட்டை இனி திருப்திப்படுத்தாது. அதற்கு பதிலாக இது ஒரு ஹோமோடோபிக் ஜாகோபி-அடையாளத்தை பூர்த்தி செய்கிறது. இங்கே T என்பது லீப்னிஸ் விதி மற்றும் அளவிடுதல் உற்பத்தியின் மாறுபாடு உறவின் மூலம் மாற்றியமைக்கப்படுகிறது மற்றும் வளைவு-சமச்சீர் மீறல் கோட்பாட்டால் மாற்றப்படுகிறது வளைவு-சமச்சீர் அடைப்புக்குறிப்பு D மற்றும் ஜாகோபியேட்டர் T உடன் இணைந்து வலுவான ஹோமோடோபிக் லை இயற்கணிதத்தை உருவாக்குகிறது. பண்புகள் அடைப்புக்குறி மூன்றாவது கோட்பாட்டிலிருந்து ஒருவர் பார்ப்பது போல் வளைவு-சமச்சீர் அல்ல. அதற்கு பதிலாக இது ஒரு குறிப்பிட்ட ஜாகோபி-அடையாளம் (முதல் கோட்பாடு) மற்றும் ஒரு லீப்னிஸ் விதி (இரண்டாவது கோட்பாடு) ஆகியவற்றை பூர்த்தி செய்கிறது. இந்த இரண்டு கோட்பாடுகளிலிருந்தும் நங்கூரம் வரைபடம் ρ என்பது அடைப்புக்குறிகளின் உருவகம் என்பதை ஒருவர் பெறலாம்ஃ நான்காவது விதி அடைப்புக்குறிக்குக் கீழ் உள்ள உள் உற்பத்தியின் மாறாத தன்மையாகும். துருவமுனைப்பு எடுத்துக்காட்டுகளுக்கு வழிவகுக்கிறது கோரண்ட் ஆல்ஜிபிராய்டுக்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு நேரடித் தொகையில் டோர்ஃப்மேன் அடைப்புக்குறி ஆகும், இது ஷ்வெராவால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட ஒரு திருப்பத்துடன் (1998) வரையறுக்கப்படுகிறதுஃ இதில் எக்ஸ், ஒய் திசையன் புலங்கள், ω, η என்பது 1-வடிவங்கள் மற்றும் எச் என்பது அடைப்புக்குறியை முறுக்கும் மூடிய 3-வடிவமாகும். பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட சிக்கலான கட்டமைப்புகளின் ஒருங்கிணைப்பை விவரிக்க இந்த அடைப்புக்குறிப்பு பயன்படுத்தப்படுகிறது. ஒரு லை ஆல்ஜிப்ராய்டு A இலிருந்து ஒரு பொதுவான எடுத்துக்காட்டு எழுகிறது, அதன் தூண்டப்பட்ட வேறுபாடு மீண்டும் d என எழுதப்படும். பின்னர் அதே சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும் டோர்ஃப்மேன் அடைப்புக்குறிக்கு H உடன் ஒரு A-3-வடிவம் d இன் கீழ் மூடப்பட்டுள்ளது. ஒரு கோரண்ட் ஆல்ஜிபிராய்டின் மற்றொரு எடுத்துக்காட்டு ஒரு இருபடி லை இயற்கணிதம், அதாவது. ஒரு மாறாத அளவிடக்கூடிய விளைபொருளுடன் ஒரு பொய் இயற்கணிதம். இங்கே அடிப்படை பன்மடங்கு ஒரு புள்ளி மட்டுமே, எனவே நங்கூரம் வரைபடம் (மற்றும் டி) அற்பமானது. வெய்ன்ஸ்டீன் மற்றும் பலர் கட்டுரையில் விவரித்த உதாரணம். இது ஒரு லை பைஆல்ஜெபிராய்டிலிருந்து வருகிறது, அதாவது. ஒரு லை ஆல்ஜிபிராய்டு (நங்கூரம் மற்றும் அடைப்புக்குறிக்குள்), அதன் இரட்டை லை ஆல்ஜிபிராய்டு (வேறுபாடுகளைத் தூண்டுகிறது) மற்றும் (ஆர். எச். எஸ்ஸில் நீங்கள் தரப்படுத்தப்பட்ட லீப்னிஸ் விதியைப் பயன்படுத்துவதற்கு ஏ-அடைப்புக்குறிக்கு நீட்டிக்கிறீர்கள்). இந்த கருத்து A மற்றும் (ராய்டன்பெர்க்கைப் பார்க்கவும்) இல் சமச்சீராக உள்ளது. இங்கே நங்கூரம் மற்றும் அடைப்புக்குறியுடன் மேலே உள்ளவற்றின் வளைவு-சமச்சீர் X மற்றும் α இல் உள்ளது (Y மற்றும் β இல் சமமாக): டைராக் கட்டமைப்புகள் பிளவு கையொப்பத்தின் உள் விளைபொருளுடன் ஒரு கோரண்ட் ஆல்ஜிப்ராய்டு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது (எ. கா. நிலையான ஒன்று), பின்னர் ஒரு டைராக் அமைப்பு ஒரு அதிகபட்ச ஐசோட்ரோபிக் ஒருங்கிணைந்த திசையன் சப் பண்டில் எல் → எம், அதாவது. ,,, என தெரிவித்துள்ளார். எடுத்துக்காட்டுகள் கோரண்ட் கண்டுபிடித்தபடி மற்றும் டோர்ஃப்மேனால் இணையாக, 2-வடிவம் ω ω ω2 (M) இன் வரைபடம் அதிகபட்சமாக ஐசோட்ரோபிக் மற்றும் மேலும் ஒருங்கிணைந்த iff dω = 0, அதாவது. 2-வடிவம் டி ராம் வேறுபாட்டின் கீழ் மூடப்பட்டுள்ளது, அதாவது. ஒரு முன் அறிகுறி அமைப்பு. இரண்டாவது வகை உதாரணங்கள் பைவேக்டர்களிலிருந்து எழுகின்றன, அவற்றின் வரைபடம் அதிகபட்சமாக ஐசோட்ரோபிக் மற்றும் ஒருங்கிணைந்த IFF [Π, Π] = 0, அதாவது. Π என்பது எம். பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட சிக்கலான கட்டமைப்புகளில் ஒரு பாய்சான் பைவெக்டர் ஆகும் (முக்கிய கட்டுரையில் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட சிக்கலான வடிவவியலையும் பார்க்கவும்) பிளவு கையொப்பத்தின் உள் விளைபொருளுடன் ஒரு கோரண்ட் ஆல்ஜிப்ராய்டு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. ஒரு பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட சிக்கலான அமைப்பு L → M என்பது சிக்கலான கோரண்ட் ஆல்ஜிபிராய்டில் உள்ள ஒரு டைராக் கட்டமைப்பாகும், இதில் கூடுதல் பண்பு உள்ளது, இது சிக்கலான நிலையான சிக்கலான கட்டமைப்பைப் பொறுத்தவரை சிக்கலான இணைப்பைக் குறிக்கிறது. குவால்டியரியால் விரிவாக ஆய்வு செய்யப்பட்டபடி, பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட சிக்கலான கட்டமைப்புகள் சிக்கலான வடிவவியலுக்கு ஒத்த வடிவவியலைப் படிக்க அனுமதிக்கின்றன. எடுத்துக்காட்டுகள் முன் அறிகுறி மற்றும் பாய்சான் கட்டமைப்புகளைத் தவிர ஒரு சிக்கலான கட்டமைப்பின் வரைபடமும் J: TM → TM ஆகும். குறிப்புகள் மேலும் வாசிப்பு டிமிட்ரி ராய்டன்பெர்க்ஃ கோரண்ட் ஆல்ஜ்பிராய்டுகள், பெறப்பட்ட அடைப்புக்குறிகள், மற்றும் சிம்ப்லெக்டிக் சூப்பர்மேனிஃபோல்ட்ஸ் கூட, பிஎச்டி ஆய்வறிக்கை பல்கலைக்கழகம். கலிபோர்னியா பெர்க்லி (1999) வேறுபட்ட வடிவியல்