Unbiased estimation of standard deviation
புள்ளியியல் மற்றும் குறிப்பிட்ட புள்ளியியல் கோட்பாட்டில், ஒரு நிலையான விலகலின் பக்கச்சார்பற்ற மதிப்பீடு என்பது மதிப்புகளின் மக்கள்தொகையின் நிலையான விலகலின் (புள்ளியியல் சிதறலின் அளவீடு) மதிப்பிடப்பட்ட மதிப்பின் புள்ளிவிவர மாதிரியிலிருந்து கணக்கீடு ஆகும், இது கணக்கீட்டின் எதிர்பார்க்கப்பட்ட மதிப்புக்கு சமம். பின்னர் கோடிட்டுக் காட்டப்பட்ட சில முக்கியமான சூழ்நிலைகளைத் தவிர, புள்ளிவிவரங்களின் பயன்பாடுகளுக்கு இந்த பணி சிறிதும் பொருந்தாது, ஏனெனில் அதன் தேவை முக்கியத்துவ சோதனைகள் மற்றும் நம்பிக்கை இடைவெளிகளின் பயன்பாடு அல்லது பேய்சியன் பகுப்பாய்வைப் பயன்படுத்துவது போன்ற நிலையான நடைமுறைகளால் தவிர்க்கப்படுகிறது. இருப்பினும், புள்ளிவிவரக் கோட்பாட்டைப் பொறுத்தவரை, இது மதிப்பீட்டுக் கோட்பாட்டின் சூழலில் ஒரு எடுத்துக்காட்டு சிக்கலை வழங்குகிறது, இது கூறுவதற்கு எளிதானது மற்றும் முடிவுகளை மூடிய வடிவத்தில் பெற முடியாது. பக்கச்சார்பற்ற மதிப்பீட்டிற்கான தேவையை திணிப்பது எந்த உண்மையான நன்மையும் இல்லாமல், அசௌகரியத்தை சேர்ப்பதாகக் கருதப்படலாம் என்பதற்கு இது ஒரு எடுத்துக்காட்டையும் வழங்குகிறது. உந்துதல் புள்ளிவிவரங்களில், எண்களின் மக்கள்தொகையின் நிலையான விலகல் பெரும்பாலும் மக்கள்தொகையிலிருந்து பெறப்பட்ட சீரற்ற மாதிரியிலிருந்து மதிப்பிடப்படுகிறது. இது மாதிரி நிலையான விலகல் ஆகும், இது மாதிரி எங்கே (முறையாக, சீரற்ற மாறி X இலிருந்து உணர்தல்) மற்றும் மாதிரி சராசரி மூலம் வரையறுக்கப்படுகிறது. இது மக்கள்தொகையின் நிலையான விலகலின் ஒரு பக்கச்சார்பான மதிப்பீட்டாளர் என்பதைப் பார்ப்பதற்கான ஒரு வழி, அந்த மாறுபாடு இருந்தால் அடிப்படை மக்கள்தொகையின் σ2 மாறுபாட்டிற்கான ஒரு பக்கச்சார்பற்ற மதிப்பீட்டாளர் s2 என்பதிலிருந்து தொடங்குவதாகும். வர்க்கமூலம் ஒரு நேரியல் அல்லாத செயல்பாடாகும், மேலும் நேரியல் செயல்பாடுகள் மட்டுமே எதிர்பார்ப்பை எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம் பயணிக்கின்றன. வர்க்கமூலம் கண்டிப்பாக குழிவான செயல்பாடு என்பதால், மாதிரி மாறுபாட்டின் வர்க்கமூலம் குறைத்து மதிப்பிடப்படுகிறது என்பது ஜென்சனின் சமத்துவமின்மையிலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது. மாதிரி மாறுபாட்டிற்கான சூத்திரத்தில் n க்கு பதிலாக n−1 ஐப் பயன்படுத்துவது பெசலின் திருத்தம் என்று அழைக்கப்படுகிறது, இது மக்கள்தொகை மாறுபாட்டின் மதிப்பீட்டில் சார்பை சரிசெய்கிறது, மேலும் சில, ஆனால் மக்கள்தொகை நிலையான விலகலின் மதிப்பீட்டில் உள்ள அனைத்து சார்புகளையும் சரிசெய்கிறது. அனைத்து மக்கள்தொகை விநியோகங்களுக்கும் பக்கச்சார்பற்ற நிலையான விலகலின் மதிப்பீட்டைக் கண்டுபிடிக்க முடியாது, ஏனெனில் சார்பு குறிப்பிட்ட விநியோகத்தைப் பொறுத்தது. பின்வருவனவற்றில் பெரும்பாலானவை ஒரு சாதாரண விநியோகத்தை அனுமானிக்கும் மதிப்பீட்டுடன் தொடர்புடையவை. இயல்பான விநியோகத்திற்கான சார்பு திருத்த முடிவுகள் சீரற்ற மாறி பொதுவாக விநியோகிக்கப்படும்போது, சார்பு அகற்ற ஒரு சிறிய திருத்தம் உள்ளது. திருத்தத்தைப் பெற, பொதுவாக விநியோகிக்கப்பட்ட X க்கு, கோக்ரானின் தேற்றம் என்பது சுதந்திரத்தின் அளவுகளுடன் ஒரு சி சதுர விநியோகத்தைக் கொண்டுள்ளது என்பதைக் குறிக்கிறது, எனவே அதன் சதுர வேர், சுதந்திரத்தின் அளவுகளுடன் ஒரு சி விநியோகத்தைக் கொண்டுள்ளது. இதன் விளைவாக, இந்த கடைசி வெளிப்பாட்டின் எதிர்பார்ப்பைக் கணக்கிடுதல் மற்றும் மாறிலிகளை மறுசீரமைத்தல், அங்கு திருத்தக் காரணி என்பது சுதந்திரத்தின் அளவுகளுடன் சி விநியோகத்தின் அளவுகோல் சராசரி ஆகும். இது மாதிரி அளவு n ஐப் பொறுத்தது, மேலும் பின்வருமாறு கொடுக்கப்பட்டுள்ளதுஃ இங்கு κ (·) என்பது காமா செயல்பாடு ஆகும். σ ஐ வகுப்பதன் மூலம் ஒரு பக்கச்சார்பற்ற மதிப்பீட்டாளரைப் பெறலாம். பெரியதாக வளரும்போது அது 1 ஐ நெருங்குகிறது, மேலும் சிறிய மதிப்புகளுக்கு கூட திருத்தம் சிறியது. படம் ஒரு பிளாட் மற்றும் மாதிரி அளவைக் காட்டுகிறது. கீழேயுள்ள அட்டவணை சில மதிப்புகளுக்கான எண் மதிப்புகள் மற்றும் இயற்கணித வெளிப்பாடுகளை வழங்குகிறது; புள்ளிவிவர தரக் கட்டுப்பாடு குறித்த பெரும்பாலான பாடப்புத்தகங்களில் இன்னும் முழுமையான அட்டவணைகள் காணப்படலாம். இந்த திருத்தம் சாதாரணமாகவும் சுயாதீனமாகவும் விநியோகிக்கப்பட்ட X க்கு ஒரு பக்கச்சார்பற்ற மதிப்பீட்டாளரை மட்டுமே உருவாக்குகிறது என்பதை நினைவில் கொள்வது அவசியம். இந்த நிபந்தனை திருப்தி அடையும் போது, s சம்பந்தப்பட்ட மற்றொரு முடிவு என்னவென்றால், s இன் நிலையான பிழை, அதே நேரத்தில் பக்கச்சார்பற்ற மதிப்பீட்டாளரின் நிலையான பிழை இயல்பான விநியோகத்திற்கான கட்டைவிரல் விதி c4 (n) செயல்பாட்டைக் கணக்கிடுவது மிகவும் கடினமாகத் தோன்றினால், மதிப்பீட்டாளரை எடுக்க கட்டைவிரலின் எளிய விதி உள்ளது. இந்த வெளிப்பாடு தோராயமானது மட்டுமே; உண்மையில், சார்பு ஒப்பீட்டளவில் சிறியதுஃ சொல்லுங்கள், இது 2.3% க்கு சமம், மற்றும் சார்பு ஏற்கனவே 0.1% ஆகும். பிற விநியோகங்கள் புள்ளிவிவர ரீதியாக சுயாதீனமான தரவு இயல்பான விநியோகத்தைத் தவிர வேறு விநியோகங்களின் அளவுரு குடும்பத்தால் வடிவமைக்கப்பட்ட சந்தர்ப்பங்களில், மக்கள்தொகை நிலையான விலகல், அது இருந்தால், மாதிரியின் அளவுருக்களின் செயல்பாடாக இருக்கும். மதிப்பீட்டிற்கான ஒரு பொதுவான அணுகுமுறை அதிகபட்ச வாய்ப்பாக இருக்கும். மாற்றாக, ராவ்-பிளாக்வெல் தேற்றத்தை நிலையான விலகல் பற்றிய நல்ல மதிப்பீட்டைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான ஒரு வழியாகப் பயன்படுத்தலாம். எந்தவொரு சந்தர்ப்பத்திலும் பெறப்பட்ட மதிப்பீடுகள் பொதுவாக பக்கச்சார்பற்றதாக இருக்காது. கருத்தியல் ரீதியாக, தத்துவார்த்த மாற்றங்கள் பக்கச்சார்பற்ற மதிப்பீடுகளுக்கு வழிவகுக்கும், ஆனால், இயல்பான விநியோகத்தைப் போலல்லாமல், இவை பொதுவாக மதிப்பிடப்பட்ட அளவுருக்களைப் பொறுத்தது. மதிப்பிடப்பட்ட நிலையான விலகலின் சார்பைக் குறைப்பதே தேவை என்றால், அதை முற்றிலுமாக அகற்றுவதை விட, இரண்டு நடைமுறை அணுகுமுறைகள் கிடைக்கின்றன, இவை இரண்டும் மறு மாதிரியின் சூழலில் உள்ளன. இவை ஜாக்னைஃபிங் மற்றும் பூட்ஸ்ட்ராப்பிங் ஆகும். நிலையான விலகல் அல்லது மாதிரி நிலையான விலகல் ஆகியவற்றின் அளவுரு அடிப்படையிலான மதிப்பீடுகளுக்கு இரண்டையும் பயன்படுத்தலாம். இயல்பற்ற விநியோகங்களுக்கு நிலையான விலகலின் பக்கச்சார்பற்ற மதிப்பீட்டாளருக்கான தோராயமான (O (n−1) சொற்கள் வரை) சூத்திரம் γ2 என்பது மக்கள்தொகை அதிகப்படியான குர்டோசிஸை குறிக்கிறது. அதிகப்படியான குர்டோசிஸ் சில விநியோகங்களுக்கு முன்பே அறியப்படலாம் அல்லது தரவுகளிலிருந்து மதிப்பிடப்படலாம். தன்னியக்க தொடர்பின் விளைவு (தொடர் தொடர்பு) மேலே உள்ள பொருள், புள்ளியை மீண்டும் வலியுறுத்த, சுயாதீனமான தரவுகளுக்கு மட்டுமே பொருந்தும். இருப்பினும், நிஜ உலக தரவு பெரும்பாலும் இந்த தேவையை பூர்த்தி செய்யாது; இது தன்னியக்க தொடர்புடையது (தொடர் தொடர்பு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது). ஒரு எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு அளவீட்டு கருவியின் தொடர்ச்சியான அளவீடுகள் ஒருவிதமான "மென்மையாக்குதல்" (இன்னும் சரியாக, குறைந்த-பாஸ் வடிகட்டுதல்) செயல்முறையை உள்ளடக்கியது தானாகவே தொடர்புடையதாக இருக்கும், ஏனெனில் எந்தவொரு குறிப்பிட்ட மதிப்பும் முந்தைய மற்றும் பிந்தைய அளவீடுகளின் சில கலவையிலிருந்து கணக்கிடப்படுகிறது. தன்னியக்க தொடர்புடைய தரவுகளின் மாறுபாடு மற்றும் நிலையான விலகல் பற்றிய மதிப்பீடுகள் பக்கச்சார்பானதாக இருக்கும். மாதிரி மாறுபாட்டின் எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு n என்பது மாதிரி அளவு (அளவீடுகளின் எண்ணிக்கை) மற்றும் தரவின் தன்னியக்க தொடர்பு செயல்பாடு (ACF) ஆகும். (அடைப்புக்குறிகளில் உள்ள வெளிப்பாடு வெறுமனே வாசிப்புகளுக்கான சராசரி எதிர்பார்க்கப்பட்ட தன்னியக்க உறவைக் கழித்தல் ஆகும் என்பதை நினைவில் கொள்க.) ஏ. சி. எஃப் நேர்மறை மதிப்புகளைக் கொண்டிருந்தால், மாறுபாட்டின் மதிப்பீடு (மற்றும் அதன் வர்க்கமூலம், நிலையான விலகல்) சார்பு குறைந்ததாக இருக்கும். அதாவது, தரவுகளின் உண்மையான மாறுபாடு ஒரு சரிசெய்யப்படாத மாறுபாடு அல்லது நிலையான விலகல் கணக்கீட்டால் சுட்டிக்காட்டப்பட்டதை விட அதிகமாக இருக்கும். மேலே உள்ள அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள அளவால் மதிப்பீட்டைப் பிரிப்பதன் மூலம், சார்பை சரிசெய்ய இந்த வெளிப்பாட்டைப் பயன்படுத்த வேண்டுமானால், ACF பகுப்பாய்வு ரீதியாக அறியப்பட வேண்டும், தரவுகளின் மதிப்பீட்டின் மூலம் அல்ல என்பதை அங்கீகரிக்க வேண்டியது அவசியம். ஏனென்றால், மதிப்பிடப்பட்ட ஏ. சி. எஃப் தானாகவே பக்கச்சார்பானதாக இருக்கும். நிலையான விலகலில் சார்பின் உதாரணம் நிலையான விலகலில் சார்பின் அளவை விளக்குவதற்கு, ஒரு குறிப்பிட்ட டிஜிட்டல் வடிப்பானைப் பயன்படுத்தும் ஒரு கருவியின் தொடர்ச்சியான அளவீடுகளைக் கொண்ட ஒரு தரவுத்தொகுப்பைக் கவனியுங்கள், அதன் ACF என்பது வடிகட்டியின் அளவுருவாக இருக்கும் இடத்தில் கொடுக்கப்பட்டதாக அறியப்படுகிறது, மேலும் இது பூஜ்ஜியத்திலிருந்து ஒற்றுமைக்கு மதிப்புகளை எடுக்கும். எனவே ஏ. சி. எஃப் நேர்மறை மற்றும் வடிவியல் ரீதியாக குறைகிறது. மாதிரி அளவு n இன் செயல்பாடாக α இன் பல அமைப்புகளுக்கு மதிப்பிடப்பட்ட நிலையான விலகலின் விகிதத்தை (இது இந்த டிஜிட்டல் வடிப்பானுக்கு பகுப்பாய்வு ரீதியாக கணக்கிடப்படலாம்) படம் காட்டுகிறது. α ஐ மாற்றுவது வடிப்பானின் மாறுபாடு குறைப்பு விகிதத்தை மாற்றுகிறது, இதனால் α இன் சிறிய மதிப்புகள் அதிக மாறுபாடு குறைப்பு அல்லது "மென்மையாக்குதல்" விளைவிக்கும் என்று அறியப்படுகிறது. சார்பு ஒற்றுமையிலிருந்து வேறுபட்ட செங்குத்து அச்சில் உள்ள மதிப்புகளால் குறிக்கப்படுகிறது; அதாவது, சார்பு இல்லை என்றால், மதிப்பிடப்பட்ட நிலையான விலகலின் விகிதம் ஒற்றுமையாக இருக்கும். தெளிவாக, மிதமான மாதிரி அளவுகளுக்கு குறிப்பிடத்தக்க சார்பு (இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட காரணி) இருக்கலாம். சராசரியின் மாறுபாடு மக்கள்தொகையின் மாறுபாட்டைக் காட்டிலும் மதிப்பிடப்பட்ட சராசரியின் மாறுபாடு அல்லது நிலையான விலகலை மதிப்பிடுவது பெரும்பாலும் ஆர்வமாக உள்ளது. தரவு தன்னியக்கமாக தொடர்புடையதாக இருக்கும்போது, இது மாதிரி சராசரியின் தத்துவார்த்த மாறுபாட்டில் நேரடி விளைவை ஏற்படுத்துகிறது, இது மாதிரி சராசரியின் மாறுபாட்டை σ2 மதிப்பீட்டை மாற்றுவதன் மூலம் மதிப்பிடலாம். அத்தகைய ஒரு மதிப்பீட்டை மேலே கொடுக்கப்பட்ட E [s2] க்கான சமன்பாட்டிலிருந்து பெறலாம். முதலில் பின்வரும் மாறிலிகளை வரையறுத்து, மீண்டும், ஒரு அறியப்பட்ட ஏ. சி. எஃப் என்று வைத்துக் கொள்ளுங்கள்ஃ இதனால் கவனிக்கப்பட்ட மாதிரி மாறுபாட்டை திருத்தக் காரணியால் வகுப்பதன் மூலம் பெறப்பட்ட அளவின் எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு மாறுபாட்டின் பக்கச்சார்பற்ற மதிப்பீட்டை அளிக்கிறது. இதேபோல், சராசரி மாறுபாட்டிற்கு மேலே உள்ள வெளிப்பாட்டை மீண்டும் எழுதுதல், மற்றும் கவனிக்கப்பட்ட மாதிரி மாறுபாடு மற்றும் அறியப்பட்ட அளவுகளின் அடிப்படையில் சராசரி மாறுபாட்டின் ஒரு பக்கச்சார்பற்ற மதிப்பீட்டாளராக இருக்கும் மதிப்பீட்டை மாற்றுவது. தன்னியக்க தொடர்புகள் ஒரே மாதிரியாக பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், இந்த வெளிப்பாடு சுயாதீன தரவுகளுக்கான சராசரியின் மாறுபாட்டிற்கான நன்கு அறியப்பட்ட முடிவுக்கு குறைகிறது. இந்த வெளிப்பாடுகளில் எதிர்பார்ப்பு ஆபரேட்டரின் விளைவு என்னவென்றால், சமத்துவம் சராசரியாக (அதாவது சராசரியாக) உள்ளது. மக்கள்தொகையின் நிலையான விலகல்களை மதிப்பிடுவது மக்கள்தொகையின் மாறுபாட்டை உள்ளடக்கிய மேற்கண்ட வெளிப்பாடுகள் மற்றும் அந்த மக்கள்தொகையின் சராசரி மதிப்பீட்டைக் கொண்டிருப்பதால், அந்தந்த நிலையான விலகல்களின் பக்கச்சார்பற்ற மதிப்பீடுகளைப் பெற இந்த வெளிப்பாடுகளின் வர்க்கமூலத்தை வெறுமனே எடுத்துக்கொள்வது தர்க்கரீதியானதாகத் தோன்றும். இருப்பினும், எதிர்பார்ப்புகள் ஒருங்கிணைந்தவை என்பதால், அதற்கு பதிலாக, ஒரு செயல்பாடு θ உள்ளது என்று வைத்துக் கொள்ளுங்கள், அதாவது நிலையான விலகல் ஒரு பக்கச்சார்பற்ற மதிப்பீட்டாளரை எழுத முடியும் மற்றும் θ மாதிரி அளவு n மற்றும் ACF ஐப் பொறுத்தது. என்ஐடி (பொதுவாக மற்றும் சுயாதீனமாக விநியோகிக்கப்பட்ட) தரவுகளின் விஷயத்தில், ரேடிக்காண்ட் என்பது ஒற்றுமை மற்றும் θ என்பது மேலே உள்ள முதல் பிரிவில் கொடுக்கப்பட்டுள்ள c4 செயல்பாடு மட்டுமே. c4 ஐப் போலவே, மாதிரி அளவு அதிகரிக்கும் போது θ ஒற்றுமையை அணுகுகிறது (γ1 ஐப் போலவே). உருவகப்படுத்துதல் மாடலிங் மூலம் இது நிரூபிக்கப்படலாம், θ ஐ புறக்கணிப்பது (அதாவது, அதை ஒற்றுமையாக எடுத்துக்கொள்வது) மற்றும் பயன்படுத்துவது தன்னியக்க தொடர்புகளால் ஏற்படும் ஒரு சில சதவீத சார்புகளைத் தவிர மற்ற அனைத்தையும் நீக்குகிறது, இது ஒரு பக்கச்சார்பற்ற மதிப்பீட்டாளரைக் காட்டிலும் குறைக்கப்பட்ட-சார்பு மதிப்பீட்டாளராக அமைகிறது. நடைமுறை அளவீட்டு சூழ்நிலைகளில், இந்த சார்பு குறைப்பு குறிப்பிடத்தக்கதாகவும், பயனுள்ளதாகவும் இருக்கும், சில ஒப்பீட்டளவில் சிறிய சார்பு இருந்தாலும் கூட. மேலே உள்ள படம், நிலையான விலகல் மற்றும் மாதிரி அளவில் சார்பு ஒரு உதாரணத்தைக் காட்டுகிறது, இந்த தோராயத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது; உருமாற்ற சார்பு θ அங்கு சேர்க்கப்படாததால் உண்மையான சார்பு அந்த வரைபடங்களில் சுட்டிக்காட்டப்பட்டதை விட சற்றே பெரியதாக இருக்கும். மாதிரியின் நிலையான விலகலை மதிப்பிடுவது என்பது மக்கள்தொகை மாறுபாட்டின் அடிப்படையில் சராசரி பக்கச்சார்பற்ற மாறுபாட்டைக் குறிக்கிறது மற்றும் இங்கே எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்புகள் இல்லாததால், இந்த விஷயத்தில் வர்க்க மூலத்தை எடுக்க முடியும், இதனால் மேலே உள்ள பக்கச்சார்பற்ற மதிப்பீட்டு வெளிப்பாட்டைப் பயன்படுத்தி σ க்கு, சராசரியின் நிலையான விலகலின் மதிப்பீடு பின்னர் இருக்கும். பெசலின் திருத்த மதிப்பீடு கோவேரியன்ஸ் மேட்ரிக்ஸ் மாதிரி சராசரி மற்றும் மாதிரி கோவேரியன்ஸ் குறிப்புகள் டக்ளஸ் சி. மாண்ட்கோமெரி மற்றும் ஜார்ஜ் சி. ரங்கர், பயன்பாட்டு புள்ளிவிவரங்கள் மற்றும் பொறியாளர்களுக்கான நிகழ்தகவு, 3 வது பதிப்பு, வில்லி அண்ட் சன்ஸ், 2003 ஐப் பார்க்கவும். (பிரிவுகள் 7-2.2 மற்றும் 16-5 ஐப் பார்க்கவும்) வெளிப்புற இணைப்புகள் ஒரு ஜாவா ஊடாடும் கிராஃபிக் ஹெல்மர்ட் PDF ஐக் காட்டுகிறது, இதிலிருந்து சார்பு திருத்த காரணிகள் பெறப்படுகின்றன. நிலையான விலகலின் பக்கச்சார்பற்ற மதிப்பீட்டிற்கான மான்டே-கார்லோ உருவகப்படுத்துதல் டெமோ. http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/pmc/section3/pmc32.htm மாறிகள் கட்டுப்பாட்டு விளக்கப்படங்கள் என்றால் என்ன? மதிப்பீட்டு முறைகள் சுருக்கம் புள்ளிவிவரங்கள் ஒத்திசைவு மற்றும் தொடர்பு