Free lattice
கணிதத்தில், வரிசைக் கோட்பாட்டின் பகுதியில், ஒரு இலவச லட்டிஸ் என்பது ஒரு லட்டிஸுடன் தொடர்புடைய இலவச பொருள். சுதந்திரமான பொருள்களாக, அவை உலகளாவிய சொத்துகளைக் கொண்டுள்ளன. முறையான வரையறை ஒரு லட்டிஸ் என்ற கருத்தை இரண்டு செயல்பாடுகள் மற்றும் சில அடையாளங்களை திருப்திப்படுத்தும் வகையில் தன்னியக்கமாக்க முடியும் என்பதால், அனைத்து லட்டிஸின் வகையும் ஒரு மாறுபாட்டை (உலகளாவிய இயற்கணிதம்) உருவாக்குகிறது, எனவே இந்த வகைக்குள் (உலகளாவிய இயற்கணிதத்தின் பொதுவான கொள்கைகளின்படி) இலவச பொருள்கள் உள்ளனஃ பொது கோட்பாடுகளிலிருந்து பின்பற்றப்படும் அந்த உறவுகளை மட்டுமே வைத்திருக்கும் லட்டிஸ்கள். இந்த இலவச லட்டிஸ்கள் தொடர்புடைய உலகளாவிய பண்பைப் பயன்படுத்தி வகைப்படுத்தப்படலாம். குறிப்பாக, ஃப்ரீ லாட்டிஸ் என்பது செட்களில் இருந்து லாட்டிஸ்கள் வரை ஒரு ஃபங்க்ட்டர் ஆகும், இது ஒவ்வொரு செட்டுக்கும் ஒவ்வொரு தொடர்புடைய உறுப்புக்கும் ஒதுக்கப்பட்ட ஒரு செட் வரைபடத்துடன் பொருத்தப்பட்ட ஃப்ரீ லாட்டிஸை ஒதுக்குகிறது. இவற்றின் உலகளாவிய பண்பு என்னவென்றால், எந்தவொரு வரைபடத்திற்கும் ஒரு தன்னிச்சையான லட்டிஸிலிருந்து ஒரு தனித்துவமான லட்டிஸ் ஹோமோமார்பிசம் திருப்திகரமாக அல்லது ஒரு பரிமாற்ற வரைபடமாக உள்ளதுஃ ஃபங்க்டர் லட்டிஸ்களிலிருந்து அவற்றின் அடிப்படை தொகுப்புகளுக்கு மறந்துபோன ஃபங்க்டருக்கு அருகில் விடப்படுகிறது. இலவச லட்டிஸ் பற்றிய விஷயங்களை உலகளாவிய பண்பைப் பயன்படுத்தி நேரடியாக நிரூபிக்க அடிக்கடி முடியும், ஆனால் அத்தகைய வாதங்கள் சுருக்கமாக இருக்கும், எனவே ஒரு கான்கிரீட் கட்டுமானம் ஒரு மதிப்புமிக்க மாற்று விளக்கக்காட்சியை வழங்குகிறது. செமிலட்டிஸ்களைப் பொறுத்தவரை, இலவச செமிலட்டிஸின் வெளிப்படையான கட்டுமானம் கொடுப்பது நேரடியானது; இது உலகளாவிய பண்பு மூலம் வரையறையின் பல அம்சங்களை விளக்க உதவுகிறது. குறிப்பாக, ஃப்ரீ செமிலட்டிஸ் அனைத்து வரையறுக்கப்பட்ட காலியாக இல்லாத துணைக்குழுக்களின் தொகுப்பாக உணரப்படலாம், சாதாரண செட் யூனியன் இணைப்பு செயல்பாடாக இருக்கும். வரைபடம் சிங்கிள்டன் தொகுப்புகளின் கூறுகளை வரைபடமாக்குகிறது, அதாவது, அனைவருக்கும். எந்தவொரு செமிலட்டிஸ் மற்றும் எந்தவொரு செட் வரைபடத்திற்கும், அதனுடன் தொடர்புடைய உலகளாவிய மார்ஃபிசம் செமிலட்டிஸ் செயல்பாட்டைக் குறிக்கும் இடத்தால் வழங்கப்படுகிறது. இந்த வடிவம் உலகளாவிய சொத்தால் கட்டாயப்படுத்தப்படுகிறதுஃ சிலவற்றின் வடிவத்தில் உள்ள கூறுகளின் வரையறுக்கப்பட்ட ஒன்றிணைப்பாக எதையும் எழுதலாம், உலகளாவிய சொத்தில் சமத்துவம் கூறுகிறது, இறுதியாக ஹோமோமார்பிசம் நிலை அனைவருக்கும் குறிக்கிறது. எல்லையற்ற துணைக்குழுக்களுக்கு (ஒன்று கூட இருந்தால்) எந்த நீட்டிப்பும் இந்த நிபந்தனைகளால் தனித்துவமாக தீர்மானிக்கப்பட வேண்டியதில்லை, எனவே எல்லையற்ற துணைக்குழுக்களுடன் தொடர்புடைய எந்த உறுப்புகளும் இருக்க முடியாது. லோயர் செமிலாட்டிஸ்கள் இதேபோல் லோயர் செமிலாட்டிஸ்களுக்கு ஒரு ஃப்ரீ ஃபங்க்டரை வரையறுக்க முடியும், ஆனால் இந்த கலவையானது பல வழிகளில் ஃப்ரீ லாட்டிஸை உருவாக்கத் தவறிவிட்டது, ஏனெனில் இது ஒரு தொகுப்பாகக் கருதப்படுகிறதுஃ ஜாயின் செயல்பாடு புதிய கூறுகளுக்கு நீட்டிக்கப்படவில்லை, தற்போதுள்ள பகுதி வரிசை மதிக்கப்படவில்லை; பார்வைகள் மற்றும் தொடர்பில்லாதவை, அது புரிந்து கொள்ளக்கூடாது. ஃப்ரீ லட்டிஸின் உண்மையான அமைப்பு ஃப்ரீ செமிலட்டிஸை விட கணிசமாக மிகவும் சிக்கலானது. வார்த்தை சிக்கல் இலவச லாட்டிஸ்களுக்கான சொல் சிக்கல் சில சுவாரஸ்யமான அம்சங்களைக் கொண்டுள்ளது. எல்லைக்குட்பட்ட ஜன்னல்களின் விஷயத்தைக் கவனியுங்கள், அதாவது. இரண்டு பைனரி செயல்பாடுகள் மற்றும் இரண்டு மாறிலிகள் (பூஜ்ய செயல்பாடுகள்) 0 மற்றும் 1 உடன் இயற்கணித கட்டமைப்புகள். கொடுக்கப்பட்ட ஜெனரேட்டர்கள் X இன் கூறுகளின் மீது இந்த செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி வடிவமைக்கக்கூடிய அனைத்து நன்கு உருவாக்கப்பட்ட வெளிப்பாடுகளின் தொகுப்பும் W (X) என்று அழைக்கப்படும். இந்த சொற்களின் தொகுப்பில் பல வெளிப்பாடுகள் உள்ளன, அவை ஒவ்வொரு ஜாலத்திலும் சமமான மதிப்புகளைக் குறிக்கின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, a என்பது X இன் சில உறுப்பு என்றால், a ஷ்ண 1 = 1 மற்றும் a ஷ்ண 1 = a. இலவச வரம்புக்குட்பட்ட லட்டிஸ்களுக்கான சொல் சிக்கல் என்பது W (X) இன் இந்த உறுப்புகளில் எது இலவச வரம்புக்குட்பட்ட லட்டிஸ் FX இல் அதே உறுப்பைக் குறிக்கிறது என்பதை தீர்மானிக்கும் சிக்கலாகும், எனவே ஒவ்வொரு வரம்புக்குட்பட்ட லட்டிஸிலும். சொல் சிக்கலை பின்வருமாறு தீர்க்கலாம். பின்வருவனவற்றுள் ஒன்று இருந்தால் மட்டுமே W (X) இல் ஒரு உறவு ≤ ~ v ஐ அமைப்பதன் மூலம் தூண்டல் ரீதியாக வரையறுக்கப்படலாம்ஃ W = v (இது W மற்றும் V X இன் உறுப்புகள் என்ற விஷயத்தில் மட்டுப்படுத்தப்படலாம்), W = 0, v = 1, W = W1 ≤ W2 மற்றும் இரண்டும் W1 ≤ v மற்றும் W2 ≤ v ஹோல்ட், W = W1 ≤ v அல்லது W2 ≤ v வைத்திருக்கிறது, v = v1 ≤ v2 மற்றும் ஒன்று W ≤ v1 அல்லது W ≤ v2 வைத்திருக்கிறது, v = v1 ≤ v2 மற்றும் இரண்டும் W ≤ v1 மற்றும் w ≤ v1 மற்றும் இது டபிள்யூ (எக்ஸ்) இல் ஒரு முன்கூட்டிய வரிசை ≤ ~ ஐ வரையறுக்கிறது, எனவே ஒரு சமநிலை உறவை டபிள்யூ ~ வி மூலம் வரையறுக்க முடியும், அப்போது டபிள்யூ ≤ ~ வி மற்றும் வி ≤ ~ டபிள்யூ. பின்னர் ஓரளவு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட ஈவு இடைவெளி டபிள்யூ (எக்ஸ்)/~ என்பது ஃப்ரீ பௌண்டட் லட்டிஸ் எஃப்எக்ஸ் என்பதைக் காட்டலாம். டபிள்யூ (எக்ஸ்)/~ இன் சமநிலை வகுப்புகள் அனைத்து சொற்களான டபிள்யூ மற்றும் வி ஆகியவற்றின் தொகுப்புகளாகும், அவை டபிள்யூ ≤ வி மற்றும் வி ≤ டபிள்யூ உடன் உள்ளன. டபிள்யூ (எக்ஸ்) இல் நன்கு உருவாக்கப்பட்ட இரண்டு சொற்களான வி மற்றும் டபிள்யூ ஆகியவை ஒவ்வொரு வரம்புக்குட்பட்ட லட்டிஸிலும் ஒரே மதிப்பைக் குறிக்கின்றன, மேலும் டபிள்யூ ≤ வி மற்றும் வி ≤ டபிள்யூ என்றால் மட்டுமே; பிந்தைய நிபந்தனைகளை மேலே உள்ள தூண்டல் வரையறையைப் பயன்படுத்தி திறம்பட தீர்மானிக்க முடியும். xwz மற்றும் xwzw (xwy) என்ற சொற்கள் ஒவ்வொரு வரம்புக்குட்பட்ட ஜாலகத்திலும் ஒரே மதிப்பைக் குறிக்கின்றன என்பதைக் காட்ட ஒரு எடுத்துக்காட்டு கணக்கீட்டை அட்டவணை காட்டுகிறது. மேற்கூறிய கட்டுமானத்தில் விதிகள் 2 மற்றும் 3 ஐத் தவிர்த்து, வரம்பற்ற லட்டிஸின் விஷயமும் இதேபோல் நடத்தப்படுகிறது. இலவச லட்டிஸ்களில் உள்ள சொல் சிக்கலின் தீர்வு பல சுவாரஸ்யமான இணைப்புகளைக் கொண்டுள்ளது. ஒன்று என்னவென்றால், மூன்று உறுப்பு ஜெனரேட்டர்களின் தொகுப்பின் இலவச லட்டிஸ் எல்லையற்றது. உண்மையில், மூன்று ஜெனரேட்டர்களில் உள்ள ஒவ்வொரு இலவச லட்டிஸிலும் ஒரு சப்-லட்டிஸ் உள்ளது என்பதைக் கூட ஒருவர் காட்டலாம், இது நான்கு ஜெனரேட்டர்களின் தொகுப்புக்கு இலவசம். தூண்டல் மூலம், இது இறுதியில் எண்ணற்ற பல ஜெனரேட்டர்களில் இலவசமாக ஒரு சப்-லேட்டிஸை உருவாக்குகிறது. இந்த பண்பு குழுக்களில் உள்ள SQ-உலகளாவிய தன்மையை நினைவூட்டுகிறது. மூன்று ஜெனரேட்டர்களில் உள்ள இலவச லட்டிஸ் எல்லையற்ற வருமானமாகும் என்பதற்கான சான்று pn + 1 = xw (yw (xw (xw (yw (xw (zw))))) ஐ தூண்டுவதன் மூலம் வரையறுப்பதன் மூலம் x, y மற்றும் z மூன்று ஜெனரேட்டர்கள், மற்றும் p0 = x. பின்னர் ஒன்று, சிக்கல் என்ற வார்த்தையின் தூண்டல் உறவுகளைப் பயன்படுத்தி, pn + 1 என்பது pn ஐ விட கண்டிப்பாக பெரியது என்பதைக் காட்டுகிறது, எனவே அனைத்து எண்ணற்ற பல சொற்களும் pn இலவச லட்டிஸ் FX இல் உள்ள வெவ்வேறு மதிப்புகளுக்கு மதிப்பீடு செய்கின்றன. முழுமையான இலவச லட்டிஸ் மற்றொரு விளைவு என்னவென்றால், முழுமையான இலவச லட்டிஸ் (மூன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட ஜெனரேட்டர்களில்) "இல்லை", இது ஒரு சரியான வகுப்பு என்ற பொருளில். இதன் சான்று சிக்கல் என்ற வார்த்தையிலிருந்தும் பின்பற்றப்படுகிறது. உறவுகளின் அடிப்படையில் ஒரு முழுமையான ஜாலகத்தை வரையறுக்க, சந்திப்பு மற்றும் இணைப்பின் இறுதி உறவுகளைப் பயன்படுத்துவது போதாது; எல்லையற்ற துணைக்குழுக்களின் சந்திப்பு மற்றும் இணைப்பை வரையறுக்கும் எல்லையற்ற உறவுகளையும் ஒருவர் கொண்டிருக்க வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, "இணைத்தல்" உடன் தொடர்புடைய முடிவற்ற உறவை இவ்வாறு வரையறுக்கலாம் இங்கே, f என்பது ஒரு கார்டினல் N இன் கூறுகளிலிருந்து FX வரை ஒரு வரைபடமாகும்; ஆபரேட்டர் மேலாதிக்கத்தைக் குறிக்கிறது, அதில் அது f இன் படத்தை அதன் இணைப்புக்கு எடுத்துச் செல்கிறது. இது, நிச்சயமாக, N ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணாக இருக்கும்போது "இணைவதற்கு" ஒத்ததாகும்; இந்த வரையறையின் புள்ளி, N ஒரு எல்லையற்ற கார்டினலாக இருந்தாலும் கூட, இணைப்பை ஒரு உறவாக வரையறுப்பதாகும். சிக்கல் என்ற வார்த்தையை முன்கூட்டியே ஆர்டர் செய்வதற்கான கோட்பாடுகள், சந்திப்பதற்கும் இணைப்பதற்கும் தொடர்புடைய இரண்டு முடிவற்ற ஆபரேட்டர்களால் இணைக்கப்படலாம். அவ்வாறு செய்த பிறகு, ஒருவர் வரையறையை ஒரு வரம்பு வரிசைப்படி கொடுக்கப்பட்ட ஒரு சாதாரண குறியீட்டிற்கு விரிவுபடுத்துகிறார். பின்னர், முன்பு போலவே, அது கண்டிப்பாக அதை விட பெரியது என்பதை ஒருவர் காட்டலாம். எனவே, முழுமையான இலவச லட்டிஸில் குறைந்தபட்சம் பல உறுப்புகள் உள்ளன, எனவே, முழுமையான இலவச லட்டிஸ் ஒரு தொகுப்பாக இருக்க முடியாது, எனவே ஒரு சரியான வகுப்பாக இருக்க வேண்டும். குறிப்புகள் பீட்டர் டி. ஜான்ஸ்டோன், ஸ்டோன் ஸ்பேஸஸ், கேம்பிரிட்ஜ் ஸ்டடீஸ் இன் அட்வான்ஸ்டு மேத்தமேட்டிக்ஸ் 3, கேம்பிரிட்ஜ் யுனிவர்சிட்டி பிரஸ், கேம்பிரிட்ஜ், 1982. () (அத்தியாயம் 1 ஐப் பார்க்கவும்) லட்டிஸ் கோட்பாடு இலவச இயற்கணித கட்டமைப்புகள் சொற்களின் கலவையாகும்.