Kazhdan–Lusztig polynomial
பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாட்டின் கணிதத் துறையில், ஒரு கச்தான்-லுஸ்டிக் பல்லுறுப்புக்கோவை என்பது அவர் அறிமுகப்படுத்திய ஒருங்கிணைந்த பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் குடும்பத்தின் உறுப்பினர் ஆகும். அவை ஒரு காக்செட்டர் குழு W இன் y, w உறுப்புகளின் ஜோடிகளால் குறியிடப்படுகின்றன, அவை குறிப்பாக ஒரு லை குழுவின் வெயில் குழுவாக இருக்கலாம். உந்துதல் மற்றும் வரலாறு 1978 ஆம் ஆண்டின் வசந்த காலத்தில் கச்டன் மற்றும் லுஸ்டிக் ஆகியோர் ஒரு இயற்கணிதக் குழுவின் வெய்ல் குழுவின் ஸ்ப்ரிங்கர் பிரதிநிதித்துவங்களை ஆய்வு செய்து கொண்டிருந்தனர், அவை ஒற்றுமை வகுப்புகளுடன் தொடர்புடைய-அடிக் கோஹோமோலஜி குழுக்கள். சிக்கலான எண்களுக்கு மேல் இந்த பிரதிநிதித்துவங்களின் புதிய கட்டமைப்பை அவர்கள் கண்டறிந்தனர். பிரதிநிதித்துவம் இரண்டு இயற்கையான தளங்களைக் கொண்டிருந்தது, மேலும் இந்த இரண்டு தளங்களுக்கு இடையிலான மாற்றம் மேட்ரிக்ஸ் அடிப்படையில் கச்தான்-லுஸ்டிக் பல்லுறுப்புக்கோவைகளால் வழங்கப்படுகிறது. அவற்றின் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் உண்மையான கஸ்தான்-லுஸ்டிக் கட்டுமானம் மிகவும் அடிப்படை. கச்தான் மற்றும் லுஸ்டிக் ஆகியோர் காக்செட்டர் குழுவின் ஹெக் இயற்கணிதத்திலும் அதன் பிரதிநிதித்துவங்களிலும் ஒரு நியதி அடிப்படையை உருவாக்க இதைப் பயன்படுத்தினர். தங்கள் முதல் ஆய்வறிக்கையில் கச்தான் மற்றும் லுஸ்டிக் ஆகியோர் தங்கள் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் ஷுபர்ட் வகைகளுக்கான உள்ளூர் பாயின்கேர் இரட்டைத்தன்மையின் தோல்வியுடன் தொடர்புடையவை என்று குறிப்பிட்டனர். மார்க் கோரெஸ்கி மற்றும் ராபர்ட் மேக்பெர்சன் ஆகியோரின் குறுக்குவெட்டு ஒத்திசைவியல் அடிப்படையில் அவர்கள் இதை மறுபரிசீலனை செய்தனர், மேலும் சில குறுக்குவெட்டு ஒத்திசைவியல் குழுக்களின் பரிமாணங்களின் அடிப்படையில் அத்தகைய அடிப்படையின் மற்றொரு வரையறையை வழங்கினர். ஸ்ப்ரிங்கர் பிரதிநிதித்துவத்திற்கான இரண்டு தளங்கள், வர்மா தொகுதிகள் மற்றும் எளிய தொகுதிகளால் வழங்கப்பட்ட அரை எளிய லை ஆல்ஜிப்ராக்களின் சில எல்லையற்ற பரிமாண பிரதிநிதித்துவங்களின் கிரோதெண்டிக் குழுவிற்கான இரண்டு தளங்களை கச்டன் மற்றும் லுஸ்டிக்கிற்கு நினைவூட்டின. இந்த ஒப்புமையும், ஜென்ஸ் கார்ஸ்டன் ஜான்ட்சென் மற்றும் அந்தோனி ஜோசப் ஆகியோரின் வேலையும், வேல் குழுக்களின் பிரதிநிதித்துவங்களுடன் ஆல்ஜிப்ராக்களை மூடுவதற்கான பழமையான கொள்கைகளை தொடர்புபடுத்தியது, கஸ்தான்-லுஸ்டிக் அனுமானங்களுக்கு வழிவகுத்தது. வரையறை ஒரு காக்செட்டர் குழு W ஐ செட் S ஐ உருவாக்குவதன் மூலம் சரிசெய்து, ஒரு தனிமத்தின் நீளத்திற்கு எழுதவும் (S இன் உறுப்புகளின் பெருக்கலாக w க்கான வெளிப்பாட்டின் மிகச்சிறிய நீளம்). W இன் ஹெக் இயற்கணிதம் வளையத்திற்கு மேல் உள்ள உறுப்புகளின் அடிப்படையைக் கொண்டுள்ளது, பெருக்கத்தால் வரையறுக்கப்படுகிறது இருபடி இரண்டாவது உறவு ஒவ்வொரு ஜெனரேட்டரும் ஹெக் இயற்கணிதத்தில் தலைகீழாக, தலைகீழாக உள்ளது என்பதைக் குறிக்கிறது. இந்த தலைகீழ்கள் உறவையும் (−2q−1 ஆல் இருபடி உறவை பெருக்குவதன் மூலம் பெறப்படுகிறது), மேலும் பின்னல் உறவுகளையும் திருப்திப்படுத்துகின்றன. இதிலிருந்து ஹெக் இயற்கணிதம் ஒரு தானியங்கி டி ஐக் கொண்டுள்ளது, இது q1/2 ஐ q−1/2 க்கு அனுப்புகிறது மற்றும் ஒவ்வொன்றும். மேலும் பொதுவாக ஒன்று உள்ளது; மேலும் டி ஒரு ஊடுருவல் என்று காணலாம். கச்தான்-லுஸ்டிக் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் பைவ் (க்யூ) ஒரு ஜோடி உறுப்புகள் ஒய், டபிள்யூ ஆஃப் டபிள்யூ ஆகியவற்றால் குறியிடப்படுகின்றன, மேலும் பின்வரும் பண்புகளால் தனித்துவமாக தீர்மானிக்கப்படுகின்றன. y ≤ w (W இன் ப்ரூஹத் வரிசையில்) இல்லாவிட்டால் அவை 0 ஆகவும், y = w என்றால் 1 ஆகவும், y <w க்கு அவற்றின் டிகிரி அதிகபட்சமாக (l (w) −l (y) −1)/2 ஆகவும் இருக்கும். மூலக்கூறுகள் ஹெக் இயற்கணிதத்தின் ஊடுருவல் டி இன் கீழ் மாறாதவை. மூலக்கூறுகள் ஹெக் இயற்கணிதத்தின் அடிப்படையை ஒரு-தொகுதியாக உருவாக்குகின்றன, இது கச்தான்-லுஸ்டிக் அடிப்படை என்று அழைக்கப்படுகிறது. கச்தான்-லுஸ்டிக் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் இருப்பை நிறுவ, கச்தான் மற்றும் லுஸ்டிக் ஆகியவை ரைவ் (க்யூ) என்று குறிக்கப்படும் மேலும் அடிப்படை பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் அடிப்படையில் பைவ் (க்யூ) பல்லுறுப்புக்கோவைகளை கணக்கிடுவதற்கான எளிய மறுநிகழ்வு நடைமுறையை வழங்கின. அவற்றால் வரையறுக்கப்படுகிறது அவை மறுசுழற்சி உறவுகளைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படலாம் பின்னர் இடதுபுறத்தில் உள்ள இரண்டு சொற்களும் நிலையான சொற்கள் இல்லாமல் q1/2 மற்றும் q−1/2 இல் உள்ள பல்லுறுப்புக்கோவைகள் என்ற உண்மையைப் பயன்படுத்தி உறவைப் பயன்படுத்தி மீண்டும் கணக்கிடப்படலாம். இந்த சூத்திரங்கள் சுமார் 3 க்கும் மேற்பட்ட தரவரிசைக்கு கையால் பயன்படுத்த கடினமாக உள்ளன, ஆனால் கணினிகளுக்கு நன்கு மாற்றியமைக்கப்பட்டுள்ளன, மேலும் அவற்றுடன் கஸ்தான்-லுஸ்டிக் பல்லுறுப்புக்கோவைகளை கணக்கிடுவதற்கான ஒரே வரம்பு என்னவென்றால், பெரிய தரவரிசைக்கு அத்தகைய பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் எண்ணிக்கை கணினிகளின் சேமிப்பு திறனை விட அதிகமாக உள்ளது. எடுத்துக்காட்டுகள் y ≤ w என்றால் பை, டபிள்யூ நிலையான சொல் 1 ஐக் கொண்டுள்ளது. y ≤ w மற்றும் பின்னர் பை என்றால், w = 1. ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட காக்செட்டர் குழுவின் மிக நீளமான உறுப்பு டபிள்யூ = டபிள்யூ0 என்றால், அனைத்து y க்கும் பை, டபிள்யூ = 1 ஆகும். W என்பது காக்செட்டர் குழு A1 அல்லது A2 (அல்லது பொதுவாக எந்த காக்செட்டர் குழுவும் அதிகபட்சம் 2 வது இடத்தில் இருந்தால்) என்றால், y ≤ w என்றால் 1 மற்றும் இல்லையெனில் 0 ஆகும். W என்பது காக்செட்டர் குழு A3 ஆக இருந்தால், a மற்றும் c பயணத்துடன் S = {a, b, c} தொகுப்பை உருவாக்குகிறது, பின்னர் Pb, bacb = 1 + q மற்றும் Pac, acbca = 1 + q, நிலையான பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் எடுத்துக்காட்டுகளைக் கொடுக்கிறது. குறைந்த தரவரிசை குழுக்களுக்கான கச்தான்-லுஸ்டிக் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் எளிய மதிப்புகள் உயர் தரவரிசை குழுக்களுக்கு பொதுவானவை அல்ல. எடுத்துக்காட்டாக, E8 இன் பிளவு வடிவத்திற்கு மிகவும் சிக்கலான லுஸ்டிக்-வோகன் பல்லுறுப்புக்கோவை (கச்தான்-லுஸ்டிக் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் மாறுபாடுஃ கீழே காண்க) நிலையான சொல் 1 மற்றும் எதிர்மறை அல்லாத முழு எண் குணகங்களைக் கொண்ட எந்தவொரு பல்லுறுப்புக்கோவை சில சமச்சீர் குழுவின் சில ஜோடி உறுப்புகளுக்கு கச்தான்-லுஸ்டிக் பல்லுறுப்புக்கோவை என்று காட்டப்படுகிறது. கச்தான்-லுஸ்டிக் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் அவற்றின் நியதி அடிப்படையிலும் ஹெக் இயற்கணிதத்தின் இயற்கையான அடிப்படையிலும் இடைநிலைக் குணகங்களாக எழுகின்றன. கண்டுபிடிப்புக் கட்டுரை இரண்டு சமமான அனுமானங்களையும் முன்வைத்தது, அவை இப்போது கச்தான்-லுஸ்டிக் அனுமானங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, அவை 1 இல் உள்ள அவற்றின் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் மதிப்புகளை சிக்கலான அரை எளிய லை குழுக்கள் மற்றும் லை ஆல்ஜிப்ராக்களின் பிரதிநிதித்துவங்களுடன் தொடர்புபடுத்தி, பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாட்டில் நீண்டகாலமாக உள்ள சிக்கலை நிவர்த்தி செய்கின்றன. W ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட வேய்ல் குழுவாக இருக்கட்டும். ஒவ்வொரு W க்கும் மிக உயர்ந்த எடையைக் கொண்ட வர்மா தொகுதியாகக் குறிக்கிறது, அங்கு ρ என்பது நேர்மறை வேர்களின் (அல்லது வேய்ல் திசையன்) அரை கூட்டுத்தொகையாகும், மேலும் அதன் பகுக்கமுடியாத விகிதமாக இருக்கட்டும், இது மிக உயர்ந்த எடையின் எளிய மிக உயர்ந்த எடை தொகுதியாகும். இவை இரண்டும் வேய்ல் குழு W உடன் சிக்கலான அரை எளிய லை அல்ஜீப்ரா g மீது உள்ளூரில்-வரம்பற்ற எடை தொகுதிகள், எனவே ஒரு இயற்கணித எழுத்தை ஏற்றுக்கொள்கின்றன. ஒரு g-தொகுதி X இன் எழுத்துக்கு ch (X) ஐ எழுதுவோம். கஸ்தான்-லுஸ்டிக் அனுமானங்கள் கூறுகின்றனஃ வேய்ல் குழுவின் அதிகபட்ச நீளத்தின் உறுப்பு எங்கே. இந்த அனுமானங்கள் இயல்பான 0 இயற்கணித ரீதியாக மூடிய புலங்களில் சுயாதீனமாக நிரூபிக்கப்பட்டன. ஆதாரத்தின் போக்கில் அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட முறைகள் 1980கள் மற்றும் 1990கள் முழுவதும் வடிவியல் பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாடு என்ற பெயரில் பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாட்டின் வளர்ச்சிக்கு வழிகாட்டியுள்ளன. குறிப்புகள் 1. இரண்டு அனுமானங்களும் சமமானவை என்று அறியப்படுகிறது. மேலும், போர்ஹோ-ஜான்ட்சனின் மொழிபெயர்ப்புக் கொள்கை எந்தவொரு மேலாதிக்க ஒருங்கிணைந்த எடையுடனும் மாற்றப்படலாம் என்பதைக் குறிக்கிறது. இவ்வாறு, பெர்ன்ஸ்டைன்-கெல்ஃபாண்ட்-கெல்ஃபாண்ட் வகை O இன் எந்தவொரு வழக்கமான ஒருங்கிணைந்த தொகுதியிலும் வர்மா தொகுதிகளின் ஜோர்டான்-ஹோல்டர் பெருக்கங்களை கஸ்தான்-லுஸ்டிக் அனுமானங்கள் விவரிக்கின்றன. 2. கஸ்தான்-லுஸ்டிக் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் அனைத்து குணகங்களின் ஒத்த விளக்கம் ஜான்ட்சென் அனுமானத்திலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது, இது ஒரு நியதி வடிகட்டுதல், ஜான்ட்சென் வடிகட்டுதல் மூலம் தீர்மானிக்கப்படும் வர்மா தொகுதியின் சில துணை அளவுகளில் தனிப்பட்ட குணகங்கள் பெருக்கங்கள் என்று தோராயமாக கூறுகிறது. வழக்கமான ஒருங்கிணைந்த வழக்கில் ஜான்ட்சன் அனுமானம் பின்னர் ஒரு காகிதத்தில் நிரூபிக்கப்பட்டது. 3. டேவிட் வோகன் அனுமானங்களின் விளைவாக, ஒற்றைப்படை என்றால் அது மறைந்துவிடும் என்பதைக் காட்டினார், எனவே வகை O இல் உள்ள அத்தகைய அனைத்து Ext குழுக்களின் பரிமாணங்களும் கஸ்தான்-லுஸ்டிக் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் குணகங்களின் அடிப்படையில் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன. ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட வேய்ல் குழுவின் கச்தான்-லுஸ்டிக் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் அனைத்து குணகங்களும் எதிர்மறை அல்லாத முழு எண்கள் என்பதை இந்த முடிவு நிரூபிக்கிறது. இருப்பினும், ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட வேய்ல் குழு W இன் விஷயத்தில் நேர்மறையானது ஏற்கனவே கஜ்தான்-லுஸ்டிக் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் குணகங்களின் விளக்கத்திலிருந்து, ஊகங்களைப் பொருட்படுத்தாமல், குறுக்குவெட்டு ஒத்திசைவு குழுக்களின் பரிமாணங்களாக அறியப்பட்டது. இதற்கு நேர்மாறாக, கஸ்தான்-லுஸ்டிக் பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கும் எக்ஸ்ட் குழுக்களுக்கும் இடையிலான உறவை கோட்பாட்டளவில் அனுமானங்களை நிரூபிக்க பயன்படுத்தலாம், இருப்பினும் அவற்றை நிரூபிப்பதற்கான இந்த அணுகுமுறை செயல்படுத்த மிகவும் கடினமாக இருந்தது. 4. கஸ்தான்-லுஸ்டிக் அனுமானங்களின் சில சிறப்பு நிகழ்வுகளை சரிபார்க்க எளிதானது. எடுத்துக்காட்டாக, எம் 1 என்பது ஆண்டிடாமினன்ட் வர்மா தொகுதி, இது எளிமையானது என்று அறியப்படுகிறது. இதன் பொருள் என்னவென்றால், M1 = L1, w = 1 க்கான இரண்டாவது அனுமானத்தை நிறுவுகிறது, ஏனெனில் கூட்டுத்தொகை ஒரு காலத்திற்கு குறைகிறது. மறுபுறம், w = w0 க்கான முதல் அனுமானம் வேய்ல் எழுத்து சூத்திரம் மற்றும் வர்மா தொகுதியின் தன்மைக்கான சூத்திரம் ஆகியவற்றிலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது, மேலும் அனைத்து கச்தான்-லுஸ்டிக் பல்லுறுப்புக்கோவைகளும் 1 க்கு சமம் என்ற உண்மையுடன். 5. காசிவாரா (1990) கச்தான்-லுஸ்டிக் அனுமானங்களின் பொதுமைப்படுத்தலை சமச்சீர் காக்-மூடி ஆல்ஜிப்ராக்களுக்கு நிரூபித்தது. ப்ரூஹட் சிதைவு மூலம் வேல் குழு W உடன் இயற்கணிதக் குழு G இன் இடைவெளி G/B என்பது W இன் உறுப்புகளால் அளவிடப்பட்ட அஃபைன் இடைவெளிகளின் Xw இன் வேறுபட்ட ஒன்றிணைப்பாகும். இந்த இடைவெளிகளின் மூடல்கள் ஷுபர்ட் வகைகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, மேலும் டிலிக்னேவின் ஆலோசனையைப் பின்பற்றி, ஷுபர்ட் வகைகளின் குறுக்குவெட்டு கோஹோமோலஜி குழுக்களின் அடிப்படையில் கச்டன்-லுஸ்டிக் பல்லுறுப்புக்கோவைகளை எவ்வாறு வெளிப்படுத்துவது என்பதைக் காட்டியது. இன்னும் துல்லியமாக, கச்டன்-லுஸ்டிக் பல்லுறுப்புக்கோவை பை, டபிள்யூ (க்யூ) வலதுபுறத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு சொல்லுக்கும் சமம்ஃ ஷீவ்களின் சிக்கலான ஐ. சி. யை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள், அதன் ஹைப்பர்ஹோமாலஜி என்பது ஸ்கூபர்ட் வகை டபிள்யூ (செல்லின் மூடல்) இன் குறுக்குவெட்டு ஒத்திசைவாகும், அதன் கோஹோமோலஜியை டிகிரியாக எடுத்துக் கொள்ளுங்கள், பின்னர் இந்த உறையின் தண்டின் பரிமாணத்தை செல்லின் எந்த நேரத்திலும் எடுத்துக் கொள்ளுங்கள், அதன் மூடல் y இன் ஸ்கூபர்ட் வகையாகும். ஒற்றைப்படை-பரிமாண கோஹோமோலஜி குழுக்கள் அனைத்தும் பூஜ்ஜியமாக இருப்பதால் கூட்டுத்தொகையில் தோன்றாது. வரையறுக்கப்பட்ட வேய்ல் குழுக்களுக்கான கச்தான்-லுஸ்டிக் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் அனைத்து குணகங்களும் எதிர்மறை அல்லாத முழு எண்கள் என்பதற்கான முதல் ஆதாரத்தை இது வழங்கியது. உண்மையான குழுக்களுக்கான பொதுமைப்படுத்தல் லுஸ்டிக்-வோகன் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் (கச்தான்-லுஸ்டிக் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் அல்லது கச்தான்-லுஸ்டிக்-வோகன் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன) அறிமுகப்படுத்தப்பட்டன. அவை கச்தான்-லுஸ்டிக் பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கு ஒத்தவை, ஆனால் உண்மையான அரை எளிய லை குழுக்களின் பிரதிநிதித்துவங்களுக்கு ஏற்ப வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளன, மேலும் அவற்றின் யூனிட்டரி டூயல்களின் அனுமான விளக்கத்தில் முக்கிய பங்கு வகிக்கின்றன. அவற்றின் வரையறை மிகவும் சிக்கலானது, சிக்கலான குழுக்களுடன் ஒப்பிடும்போது உண்மையான குழுக்களின் பிரதிநிதித்துவங்களின் ஒப்பீட்டு சிக்கலை பிரதிபலிக்கிறது. வேறுபாடு, பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாட்டுடன் நேரடியாக தொடர்புடைய சந்தர்ப்பங்களில், இரட்டை கோசெட்டுகளின் மட்டத்தில் விளக்கப்பட்டுள்ளது; அல்லது சிக்கலான கொடி பன்மடங்கு G/B இன் ஒப்புமைகள் மீதான செயல்களின் பிற சொற்களில் G ஒரு சிக்கலான லை குழு மற்றும் B ஒரு போரெல் துணைக்குழு. அசல் (கே-எல்) வழக்கு பின்னர் சிதைவின் விவரங்களைப் பற்றியது, இது ப்ரூஹட் சிதைவின் ஒரு பாரம்பரிய கருப்பொருளாகும், மேலும் கிராஸ்மேனியனில் உள்ள ஸ்கூபர்ட் செல்களுக்கு முந்தையது. எல்-வி வழக்கு ஜி இன் உண்மையான வடிவத்தை எடுக்கிறது, அந்த அரை எளிய குழுவில் ஒரு அதிகபட்ச சிறிய துணைக்குழு, மற்றும் கே இன் சிக்கலான தன்மையை உருவாக்குகிறது. பின்னர் ஆய்வின் பொருத்தமான பொருள். மார்ச் 2007 இல், எல்-வி பல்லுறுப்புக்கோவைகள் E8 இன் பிளவு வடிவத்திற்கு கணக்கிடப்பட்டதாக அறிவிக்கப்பட்டது. பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாட்டில் பிற பொருட்களுக்கான பொதுமைப்படுத்தல் கச்தான் மற்றும் லுஸ்டிக் ஆகியோரின் இரண்டாவது ஆய்வுக் கட்டுரை கச்தான்-லுஸ்டிக் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் வரையறைக்கு ஒரு வடிவியல் அமைப்பை நிறுவியது, அதாவது, கொடி வகைகளில் ஷுபர்ட் வகைகளின் ஒருமைப்பாட்டின் வடிவியல். லுஸ்டிக்கின் பிற்காலப் பணிகளில் பெரும்பாலானவை, பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாட்டில் எழும் பிற இயற்கையான ஒருமை இயற்கணித வகைகளின் சூழலில், குறிப்பாக, நில்போட்டன்ட் சுற்றுப்பாதைகள் மற்றும் விறைப்பு வகைகளின் மூடல்கள் ஆகியவற்றில் கச்தான்-லுஸ்டிக் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் ஒப்புமைகளை ஆராய்ந்தன. குவாண்டம் குழுக்களின் பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாடு, மட்டு லை ஆல்ஜிப்ராக்கள் மற்றும் அஃபைன் ஹெக் ஆல்ஜிப்ராக்கள் அனைத்தும் கச்தான்-லுஸ்டிக் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் பொருத்தமான ஒப்புமைகளால் இறுக்கமாக கட்டுப்படுத்தப்படுகின்றன என்பது தெரியவந்தது. அவர்கள் ஒரு அடிப்படை விளக்கத்தை ஒப்புக்கொள்கிறார்கள், ஆனால் பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாட்டிற்குத் தேவையான இந்த பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் ஆழமான பண்புகள் நவீன இயற்கணித வடிவியல் மற்றும் ஹோமோலாஜிக்கல் இயற்கணிதத்தின் அதிநவீன நுட்பங்களிலிருந்து பின்பற்றப்படுகின்றன, அதாவது குறுக்குவெட்டு கோஹோமோலஜி, வக்கிரமான உறைகள் மற்றும் பெய்லின்சன்-பெர்ன்ஸ்டீன்-டெலிக்னே சிதைவு ஆகியவற்றின் பயன்பாடு. கஸ்தான்-லுஸ்டிக் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் குணகங்கள் சோர்கலின் இருமுனை பிரிவில் உள்ள சில ஒத்த உருவ இடைவெளிகளின் பரிமாணங்களாக கருதப்படுகின்றன. தன்னிச்சையான காக்செட்டர் குழுக்களுக்கான இந்த குணகங்களின் ஒரே அறியப்பட்ட நேர்மறையான விளக்கம் இதுதான். கச்தான்-லுஸ்டிக் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் ஒருங்கிணைந்த பண்புகள் மற்றும் அவற்றின் பொதுமைப்படுத்தல்கள் ஆகியவை செயலில் உள்ள தற்போதைய ஆராய்ச்சியின் ஒரு தலைப்பாகும். பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாடு மற்றும் இயற்கணித வடிவவியலில் அவற்றின் முக்கியத்துவத்தைக் கருத்தில் கொண்டு, கஜ்தான்-லுஸ்டிக் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் கோட்பாட்டை முற்றிலும் ஒருங்கிணைந்த பாணியில் உருவாக்க முயற்சிகள் மேற்கொள்ளப்பட்டுள்ளன, இது வடிவவியலை ஓரளவு நம்பியுள்ளது, ஆனால் குறுக்குவெட்டு ஒத்திசைவு மற்றும் பிற மேம்பட்ட நுட்பங்களைப் பற்றி குறிப்பிடவில்லை. இது வடிவம்-தவிர்ப்பு நிகழ்வு போன்ற இயற்கணித ஒருங்கிணைப்புகளில் உற்சாகமான முன்னேற்றங்களுக்கு வழிவகுத்துள்ளது. சில குறிப்புகள் பாடப்புத்தகத்தில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. இந்த விஷயத்தில் ஒரு ஆராய்ச்சி மோனோகிராஃப் உள்ளது. பல சிறப்பு நிகழ்வுகளில் வெளிப்படையான சூத்திரங்கள் இருந்தாலும், சமச்சீர் குழுக்களுக்கு கூட கஸ்தான்-லுஸ்டிக் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் அனைத்து குணகங்களுக்கும் (சில இயற்கை தொகுப்புகளின் கார்டினாலிட்டிகளாக) அறியப்பட்ட ஒருங்கிணைந்த விளக்கம் இல்லை. சமத்துவமின்மை கோபயாஷி (2013) படிகவியல் காக்செட்டர் குழுக்களுக்கான கச்தான்-லுஸ்டிக் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் மதிப்புகள் சில கடுமையான சமத்துவமின்மையை பூர்த்தி செய்கின்றன என்பதை நிரூபித்ததுஃ ஒரு படிகவியல் காக்செட்டர் அமைப்பு மற்றும் அதன் கச்தான்-லுஸ்டிக் பல்லுறுப்புக்கோவைகளாக இருக்கட்டும். மற்றும் என்றால், அது போன்ற ஒரு பிரதிபலிப்பு உள்ளது. குறிப்புகள். . . . . . . . . . . . . . வெளிப்புற இணைப்புகள் யு. சி. யில் கச்தான்-லுஸ்டிக் கோட்பாடு குறித்த வசந்த 2005 பாடத்திட்டத்தின் வாசிப்புகள் மோனிகா வஜிரானி எழுதிய டேவிஸ் கச்தான்-லுஸ்டிக் பல்லுறுப்புக்கோவைகளை கணக்கிடுவதற்கான GAP நிரல்கள். ஃபோக்கோ டு க்ளோக்ஸின் காக்செட்டர் மென்பொருள் எந்த காக்செட்டர் குழுவிற்கும் கஜான்-லுஸ்டிக் பல்லுறுப்புக்கோவைகளை கணக்கிடுவதற்கான அட்லஸ் மென்பொருளுக்கான கஜான்-லுஸ்டிக் பல்லுறுப்புக்கோவைகளை கணக்கிடுவதற்கான மென்பொருள். பல்லுறுப்புக்கோவைகள் லை குழுக்களின் பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாடு லை ஆல்ஜிப்ராக்களின் பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாடு இயற்கணித ஒருங்கிணைப்பு