Spin representation
கணிதத்தில், சுழல் பிரதிநிதித்துவங்கள் தன்னிச்சையான பரிமாணம் மற்றும் கையொப்பத்தில் (அதாவது, காலவரையற்ற ஆர்த்தோகனல் குழுக்கள் உட்பட) ஆர்த்தோகனல் அல்லது சிறப்பு ஆர்த்தோகனல் குழுக்களின் குறிப்பிட்ட திட்டவட்டமான பிரதிநிதித்துவங்கள் ஆகும். இன்னும் துல்லியமாக, அவை சுழல் குழுக்களின் இரண்டு சமமான பிரதிநிதித்துவங்களாகும், அவை சிறப்பு ஆர்த்தோகனல் குழுக்களின் இரட்டை உறைகளாகும். அவை பொதுவாக உண்மையான அல்லது சிக்கலான எண்களில் ஆய்வு செய்யப்படுகின்றன, ஆனால் அவை மற்ற துறைகளில் வரையறுக்கப்படலாம். சுழல் பிரதிநிதித்துவத்தின் கூறுகள் சுழல்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. எலக்ட்ரான் போன்ற ஃபெர்மியன்களின் இயற்பியல் விளக்கத்தில் அவை முக்கிய பங்கு வகிக்கின்றன. சுழல் பிரதிநிதித்துவங்கள் பல வழிகளில் கட்டமைக்கப்படலாம், ஆனால் பொதுவாக கட்டுமானம் குழுவின் திசையன் பிரதிநிதித்துவத்தில் அதிகபட்ச ஐசோட்ரோபிக் துணை இடத்தைத் தேர்ந்தெடுப்பதை (ஒருவேளை மறைமுகமாக மட்டுமே) உள்ளடக்கியது. உண்மையான எண்களுக்கு மேல், இது பொதுவாக திசையன் பிரதிநிதித்துவத்தின் சிக்கலான பயன்பாட்டைப் பயன்படுத்துகிறது. இந்த காரணத்திற்காக, முதலில் சிக்கலான எண்களின் மீது சுழல் பிரதிநிதித்துவங்களை வரையறுப்பது வசதியானது, மேலும் உண்மையான கட்டமைப்புகளை அறிமுகப்படுத்துவதன் மூலம் உண்மையான பிரதிநிதித்துவங்களைப் பெறுகிறது. சுழல் பிரதிநிதித்துவங்களின் பண்புகள், ஒரு நுட்பமான வழியில், ஆர்த்தோகனல் குழுவின் பரிமாணம் மற்றும் கையொப்பத்தைப் பொறுத்தது. குறிப்பாக, சுழல் பிரதிநிதித்துவங்கள் பெரும்பாலும் மாறாத இருமுனை வடிவங்களை ஏற்றுக்கொள்கின்றன, அவை சுழல் குழுக்களை கிளாசிக்கல் லை குழுக்களில் உட்பொதிக்க பயன்படுத்தப்படலாம். குறைந்த பரிமாணங்களில், இந்த உட்பொதிப்புகள் சர்ஜெக்டிவ் மற்றும் சுழல் குழுக்களுக்கும் மிகவும் பழக்கமான லை குழுக்களுக்கும் இடையிலான சிறப்பு ஐசோமார்பிசம்களை தீர்மானிக்கின்றன; இது இந்த பரிமாணங்களில் சுழல்களின் பண்புகளை தெளிவுபடுத்துகிறது. செட்-அப் ஒரு வரையறுக்கப்படாத இருபடி வடிவத்துடன் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண உண்மையான அல்லது சிக்கலான திசையன் இடமாக இருக்கட்டும். பாதுகாக்கப்பட்ட (உண்மையான அல்லது சிக்கலான) நேரியல் வரைபடங்கள் ஆர்த்தோகனல் குழுவை உருவாக்குகின்றன. குழுவின் அடையாளக் கூறு சிறப்பு ஆர்த்தோகனல் குழு என்று அழைக்கப்படுகிறது. (ஒரு காலவரையற்ற இருபடி வடிவத்துடன் உண்மையானது, இந்த சொல் நிலையானதல்லஃ சிறப்பு ஆர்த்தோகனல் குழு பொதுவாக இந்த விஷயத்தில் இரண்டு கூறுகளைக் கொண்ட ஒரு துணைக்குழுவாக வரையறுக்கப்படுகிறது. குழு ஐசோமார்பிசம் வரை, ஒரு தனித்துவமான இணைக்கப்பட்ட இரட்டை கவர், சுழல் குழுவைக் கொண்டுள்ளது. இவ்வாறு ஒரு குரூப் ஹோமோமார்பிசம் உள்ளது, அதன் கர்னல் இரண்டு உறுப்புகளைக் குறிக்கிறது, அங்கு அடையாள உறுப்பு உள்ளது. எனவே, ஹோமோமார்பிசத்திற்குப் பிறகு குழு கூறுகள் மற்றும் இன் சமமானவை; அதாவது, எந்த உள்ளத்திற்கும். குழுக்கள் மற்றும் அனைத்தும் லை குழுக்கள், மேலும் நிலையானவை ஒரே லை இயற்கணிதத்தைக் கொண்டுள்ளன. உண்மையானது என்றால், அதன் சிக்கலான ஒரு உண்மையான திசையன் துணைப்பகுதி, மற்றும் இருபடி வடிவம் இயற்கையாகவே ஒரு இருபடி வடிவத்திற்கு நீண்டுள்ளது. இது ஒரு துணைக்குழுவாக உட்பொதிக்கிறது, எனவே நாம் ஒரு துணைக்குழுவாக உணரலாம். மேலும், சிக்கலானது. சிக்கலான வழக்கில், இருபடி வடிவங்கள் ஐசோமார்பிசம் வரை அதன் பரிமாணத்தால் தனித்துவமாக தீர்மானிக்கப்படுகின்றன. குறிப்பாக, நாம் கருதலாம் மற்றும் தொடர்புடைய லை குழுக்கள் குறிக்கப்படுகின்றன மற்றும் அவற்றின் லை இயற்கணிதம் என. உண்மையான வழக்கில், இருபடி வடிவங்கள் ஐசோமார்பிசம் வரை ஒரு ஜோடி எதிர்மறை அல்லாத முழு எண்களால் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன. குறிப்பாக, நாம் கருதலாம் மற்றும் தொடர்புடைய லை குழுக்கள் மற்றும் லை இயற்கணிதம் குறிக்கப்படுகின்றன மற்றும். கையொப்பத்தை வெளிப்படையாக செய்ய பதிலாக எழுதுகிறோம். சுழல் பிரதிநிதித்துவங்கள், ஒரு வகையில், எளிமையான பிரதிநிதித்துவங்கள் மற்றும் அவை மற்றும் பிரதிநிதித்துவங்களிலிருந்து வரவில்லை. ஒரு சுழல் பிரதிநிதித்துவம், எனவே, ஒரு உண்மையான அல்லது சிக்கலான திசையன் இடைவெளி, பொதுவான நேரியல் குழுவிலிருந்து அல்லது ஒரு குழு ஒத்த உருவத்துடன் சேர்ந்து உறுப்பு கர்னலில் இல்லை. அத்தகைய பிரதிநிதித்துவம் இருந்தால், லை குழுக்களுக்கும் லை ஆல்ஜிப்ராக்களுக்கும் இடையிலான உறவின் படி, இது ஒரு லை அல்ஜிப்ரா பிரதிநிதித்துவத்தைத் தூண்டுகிறது, அதாவது, கம்யூட்டேட்டர் அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள எண்டோமார்பிசம்களின் லை அல்ஜிப்ரா அல்லது அதற்கு ஒரு லை அல்ஜிப்ரா ஹோமோமார்பிசம். சுழல் பிரதிநிதித்துவங்களை பின்வரும் மூலோபாயத்தின் படி பகுப்பாய்வு செய்யலாம்ஃ ஒரு உண்மையான சுழல் பிரதிநிதித்துவம் என்றால், அதன் சிக்கலானது ஒரு சிக்கலான சுழல் பிரதிநிதித்துவமாகும்; ஒரு பிரதிநிதித்துவமாக, எனவே இது ஒரு சிக்கலான பிரதிநிதித்துவத்திற்கு விரிவடைகிறது. தலைகீழாகத் தொடரும்போது, நாம் முதலில் சிக்கலான சுழல் பிரதிநிதித்துவங்களை உருவாக்குகிறோம், பின்னர் அவற்றை சிக்கலான சுழல் பிரதிநிதித்துவங்களுக்கு கட்டுப்படுத்துகிறோம், பின்னர் இறுதியாக உண்மையான சுழல் பிரதிநிதித்துவங்களுக்கு சாத்தியமான குறைப்புகளை பகுப்பாய்வு செய்கிறோம். சிக்கலான சுழல் பிரதிநிதித்துவங்கள் நிலையான இருபடி வடிவத்துடன் இருக்கட்டும், இதனால் துருவமுனைப்புடன் தொடர்புடைய சமச்சீர் இருமுனை வடிவம் குறிக்கப்படுகிறது. ஐசோட்ரோபிக் துணை இடங்கள் மற்றும் வேர் அமைப்புகள் சுழல் பிரதிநிதித்துவங்களின் ஒரு நிலையான கட்டுமானம் ஒரு ஜோடி அதிகபட்ச முற்றிலும் ஐசோட்ரோபிக் துணை இடங்களைத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம் தொடங்குகிறது. அத்தகைய ஒரு தேர்வை செய்வோம். என்றால் அல்லது, பின்னர் மற்றும் இரண்டும் பரிமாணத்தைக் கொண்டுள்ளன. என்றால், பின்னர், அதேசமயம், பின்னர், 1 பரிமாண ஆர்த்தோகனல் நிரப்பு எங்கே உள்ளது. அதனுடன் தொடர்புடைய பைலினியர் வடிவம் மற்றும் இடையே ஒரு இணைப்பைத் தூண்டுகிறது, இது உருவாக்கப்படாததாக இருக்க வேண்டும், ஏனெனில் அவை முற்றிலும் ஐசோட்ரோபிக் துணை இடங்கள் மற்றும் உருவாக்கப்படாதவை. எனவே இவை இரட்டை திசையன் இடைவெளிகள் ஆகும். இன்னும் திட்டவட்டமாக, ஒரு அடிப்படையாக இருக்கட்டும். ஒரு மேட்ரிக்ஸ் என்றால், இந்த அடிப்படையைப் பொறுத்தவரை ஒரு எண்டோமார்பிசத்தைத் தூண்டுகிறது, மேலும் டிரான்ஸ்போஸ் உள்ளேயும் உள்ளேயும் உள்ள அனைத்திற்கும் ஒரு மாற்றத்தைத் தூண்டுகிறது. இது பின்வருமாறு, ஆன், ஆன் மற்றும் பூஜ்ஜியத்தின் (ஒற்றைப்படை என்றால்) எண்டோமார்பிசம், அனைத்திற்கும் வளைவு, எனவே (கிளாசிக்கல் குழுவைப் பார்க்கவும்) ஒரு உறுப்பு. இந்த கட்டமைப்பில் மூலைவிட்ட மேட்ரிக்ஸ்களைப் பயன்படுத்துவது ஒரு கார்டன் துணை இயற்கணிதத்தை வரையறுக்கிறதுஃ இன் தரவரிசை, மற்றும் மூலைவிட்ட மேட்ரிக்ஸ்கள் ஒரு பரிமாண அபெலியன் துணை இயற்கணிதத்தை தீர்மானிக்கின்றன. ஒரு மூலைவிட்ட மேட்ரிக்ஸுக்கு th மூலைவிட்ட நுழைவு அதன் அடிப்படையாக இருக்கட்டும். இது ஒரு அடிப்படை என்பது தெளிவாகிறது. இருமுனை வடிவம் வெளிப்படையாக அடையாளம் காணப்படுவதால், அதனுடன் தொடர்புடைய வேர் அமைப்பை உருவாக்குவது இப்போது எளிதானது. வேர் இடைவெளிகள் (செயல்பாட்டிற்கான ஒரே நேரத்தில் ஐகென்ஸ்பேஸ்கள்) பின்வரும் கூறுகளால் பரவியுள்ளனஃ ரூட் (ஒரே நேரத்தில் ஐகென் மதிப்பு) (இது ரூட்டுடன் ரூட்டுடன் இருந்தால், ஒற்றைப்படை என்றால், பூஜ்ஜியமற்ற உறுப்பு, ரூட்டுடன் ரூட் எனவே, அடிப்படையைப் பொறுத்தவரை, வேர்கள் என்பது திசையன்கள், அவை ஒற்றைப்படை என்றால் வரிசைமாற்றங்களுடன் சேர்ந்து வரிசைமாற்றங்களாகும். நேர்மறை வேர்களின் அமைப்பு மற்றும் (ஒற்றைப்படை) மூலம் வழங்கப்படுகிறது. தொடர்புடைய எளிய வேர்கள் நேர்மறை வேர்கள் எளிய வேர்களின் எதிர்மறை அல்லாத முழு எண் நேரியல் சேர்க்கைகள் ஆகும். சுழல் பிரதிநிதித்துவங்கள் மற்றும் அவற்றின் எடைகள் வெளிப்புற இயற்கணிதம் (கள்) மற்றும்/அல்லது பயன்பாடுகளின் சுழல் பிரதிநிதித்துவங்களின் ஒரு கட்டுமானம் எந்தவொரு உறுப்புக்கும் மற்றும் செயலில் உள்ள எந்தவொரு உறுப்புக்கும் ஒரு செயல் பின்வருமாறு வழங்கப்படுகிறதுஃ இரண்டாவது சொல் ஒரு சுருக்கமாகும் (உட்புற பெருக்கம்) இருமுனை வடிவத்தைப் பயன்படுத்தி வரையறுக்கப்படுகிறது, இது ஜோடிகள் மற்றும். இந்த நடவடிக்கை கிளிஃபோர்ட் உறவுகளை மதிக்கிறது, எனவே கிளிஃபோர்ட் இயற்கணிதத்திலிருந்து ஒரு ஒத்த உருவத்தை தூண்டுகிறது. இதேபோன்ற செயலை வரையறுக்க முடியும், இதனால் இரண்டுமே கிளிஃபோர்ட் தொகுதிகள். லை இயற்கணிதம் என்பது சிக்கலான லை இயற்கணிதத்திற்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும், இது மூடுதலால் தூண்டப்பட்ட வரைபடத்தின் மூலம் இது இரண்டையும் பிரதிநிதித்துவப்படுத்துகிறது. அவை உண்மையில் சமமான பிரதிநிதித்துவங்கள், எனவே நாம் S இல் கவனம் செலுத்துகிறோம். கார்டன் துணை இயற்கணிதத்தின் கூறுகள் A அடிப்படையில் செயல்படுகின்றன என்பதை வெளிப்படையான விளக்கம் காட்டுகிறது மற்றும் வடிவத்தின் கூறுகளால் வழங்கப்படுகிறது. இவை பின்வருவனவற்றின் செயல்பாட்டிற்கான எடை இடைவெளிகளை தெளிவாக விரிவுபடுத்துகின்றனஃ கொடுக்கப்பட்ட அடிப்படை திசையனில் ஈஜென்வெல்யூ-1/2 ஐக் கொண்டுள்ளது, இல்லையெனில் ஈஜென்வெல்யூவைக் கொண்டுள்ளது. இதன் எடைகள் அனைத்தும் சாத்தியமான சேர்க்கைகள் மற்றும் ஒவ்வொரு எடை இடமும் ஒரு பரிமாணமாகும். இதன் கூறுகள் டைராக் ஸ்பின்னர்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. சமமாக இருக்கும் போது, பகுக்கமுடியாத பிரதிநிதித்துவம் அல்லஃ மேலும் அவை மாறாத துணை இடங்களாகும். எடைகள் சம எண்ணிக்கையிலான கழித்தல் அறிகுறிகளைக் கொண்டவையாகவும், ஒற்றைப்படை எண்ணிக்கையிலான கழித்தல் அறிகுறிகளைக் கொண்டவையாகவும் பிரிக்கப்படுகின்றன. S + மற்றும் S-இரண்டும் பரிமாணம் 2m−1 இன் பகுக்கமுடியாத பிரதிநிதித்துவங்களாகும், அதன் உறுப்புகள் வேய்ல் சுழல்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. அவை சிரல் சுழல் பிரதிநிதித்துவங்கள் அல்லது அரை சுழல் பிரதிநிதித்துவங்கள் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன. மேலே உள்ள நேர்மறை வேர் அமைப்பைப் பொறுத்தவரை, S + மற்றும் S-இன் மிக உயர்ந்த எடைகள் முறையே மற்றும் ஆகும். கிளிஃபோர்ட் செயல் சி. எல். என். சி. யை முடிவு (எஸ்) உடன் அடையாளம் காட்டுகிறது மற்றும் சமமான துணை இயற்கணிதம் எஸ் + மற்றும் எஸ்-ஐப் பாதுகாக்கும் எண்டோமார்பிசம்களுடன் அடையாளம் காணப்படுகிறது. மற்ற கிளிஃபோர்ட் தொகுதி S′ இந்த விஷயத்தில் S க்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும். n ஒற்றைப்படை என்றால், S என்பது பரிமாணம் 2m இன் (n, C) பகுக்கமுடியாத பிரதிநிதித்துவமாகும்ஃ ஒரு அலகு திசையனின் கிளிஃபோர்ட் செயல்பாடு u ω U ஆல் வழங்கப்படுகிறது, எனவே (n, C) இன் உறுப்புகள் u ωw அல்லது u ωw ωW வடிவம் W இன் வெளிப்புற இயற்கணிதத்தின் சம மற்றும் ஒற்றைப்படை பகுதிகளைப் பாதுகாக்காது. இன்னும் துல்லியமாக, இரண்டு பிரதிநிதித்துவங்களும் சி. எல். என். சியின் பேரிட்டி இன்வொல்யூஷன் α ஆல் தொடர்புடையவை (முதன்மை தானியங்கியல் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது), இது சமமான துணை இயற்கணிதத்தின் அடையாளமாகும், மேலும் சி. எல். என். சியின் ஒற்றைப்படை பகுதியில் உள்ள அடையாளத்தை கழித்தல். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், எஸ் முதல் எஸ் வரை ஒரு நேரியல் ஐசோமார்பிசம் உள்ளது, இது எஸ் மீது சிஎன்சி இல் ஏ இன் செயல்பாட்டை எஸ் மீது α (ஏ) இன் செயல்பாட்டுடன் அடையாளம் காட்டுகிறது. λ என்பது S இன் எடை என்றால் பிலீனியர் உருவாகிறது, எனவே −λ ஆகும். இது S என்பது இரட்டை பிரதிநிதித்துவத்திற்கு ஐசோமார்பிக் என்பதைப் பின்பற்றுகிறது. n = 2m + 1 ஒற்றைப்படை ஆக இருக்கும்போது, ஐசோமார்பிசம் B: S = S என்பது ஷுர்ஸ் லெம்மாவால் அளவிடுவதற்கு தனித்துவமானது, ஏனெனில் S என்பது பகுக்கமுடியாதது, மேலும் இது S இல் β வழியாக ஒரு நாடெஜெனரேட் மாறாத இருமுனை வடிவத்தை வரையறுக்கிறது. உண்மையில், மேலும் உண்மை என்னவென்றால்ஃ S என்பது எதிர் கிளிஃபோர்ட் இயற்கணிதத்தின் பிரதிநிதித்துவமாகும், எனவே, சி. எல். என். சி இரண்டு அற்பமான எளிய தொகுதிகள் S மற்றும் S′ ஐ மட்டுமே கொண்டிருப்பதால், பேரிட்டி இன்வொல்யூஷன் α உடன் தொடர்புடையது, சி. எல். என். சி இன் ஒரு ஆன்டியாடோமார்பிசம் τ உள்ளது, இது சி. எல். என். சி இல் உள்ள எந்த A க்கும் உள்ளது. உண்மையில் τ என்பது m சமத்திற்கு தலைகீழ் (V இல் உள்ள அடையாளத்தால் தூண்டப்பட்ட ஆன்டியோடோமார்பிசம்) மற்றும் m ஒற்றைப்படைக்கு இணைவு (V இல் உள்ள அடையாளத்தை கழித்தல் மூலம் தூண்டப்பட்ட ஆன்டியோடோமார்பிசம்) ஆகும். இந்த இரண்டு ஆன்டியோடோமார்பிசம்களும் பேரிட்டி இன்வொல்யூஷன் α ஆல் தொடர்புடையவை, இது V இல் உள்ள அடையாளத்தை கழித்தல் மூலம் தூண்டப்படும் ஆட்டோமார்ஃபிஸம் ஆகும். n = 2m ஆக இருக்கும்போது, நிலைமை m இன் சமநிலையை மிகவும் உணர்திறன் ரீதியாக சார்ந்திருக்கும். m க்கு சமமான, ஒரு எடை λ க்கு சம எண்ணிக்கையிலான கழித்தல் அறிகுறிகள் உள்ளன, − λ செய்தால் மட்டுமே; ஒவ்வொரு அரை-சுழல் பிரதிநிதித்துவத்திலும் தனித்தனி ஐசோமார்பிசம் B ±: S ± → S ± ± உள்ளன, ஒவ்வொன்றும் அதன் இரட்டை, ஒவ்வொன்றும் அளவீடு வரை தனித்தனியாக தீர்மானிக்கப்படுகின்றன. இவை ஒரு ஐசோமார்பிசமாக இணைக்கப்படலாம் B: S → S ≤. m ஒற்றைப்படைக்கு, λ என்பது S + இன் எடையாக இருந்தால் மட்டுமே S + இன் எடையாகும்; எனவே S + முதல் S − ற்றஂ வரை ஒரு ஐசோமார்பிசம் உள்ளது, இது மீண்டும் அளவுகோல் வரை தனித்துவமானது, மேலும் அதன் டிரான்ஸ்போஸ் S − முதல் S + ற்றஂ வரை ஒரு ஐசோமார்பிசத்தை வழங்குகிறது. இவை மீண்டும் ஒரு ஐசோமார்பிசமாக இணைக்கப்படலாம் B: S → S ≤. m ஈவன் மற்றும் m ஒற்றைப்படை ஆகிய இரண்டிற்கும், B இன் தேர்வில் உள்ள சுதந்திரம் B உடன் தொடர்புடைய இருதரப்பு வடிவம் β திருப்திப்படுத்துகிறது (1) என்று வலியுறுத்துவதன் மூலம் ஒட்டுமொத்த அளவுகோலுக்கு மட்டுப்படுத்தப்படலாம், இதில் τ என்பது ஒரு நிலையான ஆன்டியோடோமார்பிசம் (தலைகீழ் அல்லது இணைவு). சமச்சீர் மற்றும் டென்சர் சதுரம் β இன் சமச்சீர் பண்புகளை கிளிஃபோர்ட் ஆல்ஜிப்ராக்கள் அல்லது பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாட்டைப் பயன்படுத்தி தீர்மானிக்க முடியும். உண்மையில் இன்னும் பலவற்றைச் சொல்லலாம்ஃ டென்சர் சதுரம் S′S ஆனது பல்வேறு k க்கு V இல் உள்ள k-வடிவங்களின் நேரடி கூட்டுத்தொகையாக சிதைக்கப்பட வேண்டும், ஏனெனில் அதன் எடைகள் அனைத்தும் h′ இல் உள்ள உறுப்புகளாகும், அதன் கூறுகள் {− 1,0,1} ஐச் சேர்ந்தவை. இப்போது சமமான நேரியல் வரைபடங்கள் S′S′S′S′S′S′S′C′S′C′S′C′S′S′C′S′S′C′S′S′C′S′S′C′S′S′S′C′S′S′S′C′S′S′S′S′C′S′S′S′S′C′S′S′S′S′S′S′S′S′S′S′S′S′S′S′S′S′S′S′S′S′S′S′S′S′S′S′S′S′S′S′S′S′S′S′S′S′S′S′S′S′S′S′S′S′S′S′S′S′S′S′S′S′S′S மேலும், β (φ, si) = εβ (si, φ) மற்றும் τ க்கு kV இல் εk என்ற அடையாளம் இருந்தால், A க்கு kV இல் உள்ளது. n = 2m + 1 ஒற்றைப்படை என்றால், அது ஷூரின் லெம்மாவிலிருந்து பின்தொடர்கிறது (இரு பக்கங்களும் பரிமாணம் 22 மீ மற்றும் வலதுபுறத்தில் உள்ள பிரதிநிதித்துவங்கள் சமமற்றவை). சமச்சீர் ஒரு இன்வொல்யூஷன் τ ஆல் நிர்வகிக்கப்படுவதால், அது இணைவு அல்லது தலைகீழ் ஆகும், 2jV இன் சமச்சீர் கூறு j உடன் மாறி மாறி வருகிறது. அடிப்படை ஒருங்கிணைப்பு கொடுக்கிறது மற்றும் அடையாளம் S2S இல் எந்த பிரதிநிதித்துவங்கள் நிகழ்கின்றன மற்றும் 2S இல் என்ன நிகழ்கின்றன என்பதை தீர்மானிக்கிறது. குறிப்பாக மற்றும் v ωV க்கு (இது ω2mV க்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும்), τ என்பது m சமத்திற்கு தலைகீழ் மற்றும் m ஒற்றைப்படைக்கு இணைவு என்பதை உறுதிப்படுத்துகிறது. n = 2m சமமாக இருந்தால், பகுப்பாய்வு அதிக ஈடுபாடு கொண்டது, ஆனால் இதன் விளைவாக மிகவும் சுத்திகரிக்கப்பட்ட சிதைவு ஏற்படுகிறதுஃ S2S ±, ±2S ± மற்றும் S + ±S-ஒவ்வொன்றும் k-வடிவங்களின் நேரடி கூட்டுத்தொகையாக சிதைக்கப்படலாம் (இங்கு k = m க்கு மேலும் சிதைவு உள்ளது சுய இரட்டை மற்றும் ஆன்ட்செல்ப்டுவல் m-வடிவங்களாக). பின்வரும் அட்டவணையின்படி, n மாடுலோ 8 ஐப் பொறுத்து, S இல் ஒரு கிளாசிக்கல் லை இயற்கணிதத்தின் துணை இயற்கணிதமாக எனவே (n, C) ஐ உணர்ந்து கொள்வதே முக்கிய விளைவுஃ n ≤ 6 க்கு, இந்த உட்பொதிப்புகள் ஐசோமார்பிசம்கள் (n = 6 க்கு gl ஐ விட ஸ்லைடு மீது): உண்மையான பிரதிநிதித்துவங்கள் எனவே (n, C) இன் சிக்கலான சுழற்சி பிரதிநிதித்துவங்கள் செயலை உண்மையான சபால்ஜெப்ராக்களுக்கு கட்டுப்படுத்துவதன் மூலம் எனவே (p, q) இன் உண்மையான பிரதிநிதித்துவங்களை வழங்குகின்றன. இருப்பினும், உண்மையான லை ஆல்ஜிப்ராக்களின் செயல்பாட்டின் கீழ் மாறாத கூடுதல் "யதார்த்த" கட்டமைப்புகள் உள்ளன. இவை மூன்று வகைகளில் வருகின்றன. ஒரு மாறாத சிக்கலான ஆன்டிலினியர் வரைபடம் r: S → S உடன் r2 = ஐடிஎஸ் உள்ளது. r இன் நிலையான புள்ளி தொகுப்பு பின்னர் ஒரு உண்மையான திசையன் துணைப்பகுதி எஸ்ஆர் ஆகும் எஸ்ஆர் சி = எஸ். இது ஒரு உண்மையான அமைப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு மாறாத சிக்கலான ஆன்டிலினியர் வரைபடம் உள்ளது j: S → S உடன் j2 = −idS. இது பின்வருமாறு, மூன்று i, j மற்றும் k: = ij ஆகியவை S ஐ ஒரு குவாட்டர்னியோனிக் திசையன் இடைவெளி SH ஆக ஆக்குகின்றன. இது ஒரு குவாட்டர்னியோனிக் அமைப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு மாறாத சிக்கலான ஆன்டிலினியர் வரைபடம் b: S → S ≤ உள்ளது, இது தலைகீழாக உள்ளது. இது S இல் ஒரு சூடோஹெர்மிடியன் இருமுனை வடிவத்தை வரையறுக்கிறது மற்றும் இது ஒரு ஹெர்மிடியன் அமைப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது. எனவே (p, q) இன் கீழ் மாறாத கட்டமைப்பின் வகை p − q மாடுலோ 8 என்ற கையொப்பத்தை மட்டுமே சார்ந்துள்ளது, மேலும் இது பின்வரும் அட்டவணையால் வழங்கப்படுகிறது. இங்கே ஆர், சி மற்றும் எச் முறையே உண்மையான, ஹெர்மிடியன் மற்றும் குவாட்டர்னியோனிக் கட்டமைப்புகளைக் குறிக்கின்றன, மேலும் ஆர் + ஆர் மற்றும் எச் + எச் ஆகியவை அரை-சுழல் பிரதிநிதித்துவங்கள் முறையே உண்மையான அல்லது குவாட்டர்னியோனிக் கட்டமைப்புகளை ஏற்றுக்கொள்கின்றன என்பதைக் குறிக்கின்றன. விளக்கம் மற்றும் அட்டவணைகள் உண்மையான பிரதிநிதித்துவத்தின் விளக்கத்தை முடிக்க, இந்த கட்டமைப்புகள் மாறாத இருமுனை வடிவங்களுடன் எவ்வாறு தொடர்பு கொள்கின்றன என்பதை நாம் விவரிக்க வேண்டும். n = p + q + p − q மட்டு 2 என்பதால், இரண்டு நிகழ்வுகள் உள்ளனஃ பரிமாணம் மற்றும் கையொப்பம் இரண்டும் சமம், மற்றும் பரிமாணம் மற்றும் கையொப்பம் இரண்டும் ஒற்றைப்படை. ஒற்றைப்படை வழக்கு எளிமையானது, ஒரே ஒரு சிக்கலான சுழல் பிரதிநிதித்துவம் S மட்டுமே உள்ளது, மேலும் ஹெர்மிடியன் கட்டமைப்புகள் ஏற்படாது. n = 1 என்ற அற்பமான வழக்கைத் தவிர, S எப்போதும் சம பரிமாணமானது, மங்கலான S = 2N என்று சொல்லுங்கள். எனவே (2N, C) இன் உண்மையான வடிவங்கள் (K, L) உடன் K + L = 2N மற்றும் எனவே (N, H) ஆகும், அதே நேரத்தில் sp (2N, C) இன் உண்மையான வடிவங்கள் sp (2N, R) மற்றும் sp (K, L) உடன் K + L = N ஆகும். எனவே ஒற்றைப்படை சுழல் பிரதிநிதித்துவங்களை பின்வரும் அட்டவணையில் சுருக்கமாகக் கூறலாம். (†) சமமானது மற்றும் இதற்கு, இது. சம பரிமாண வழக்கு ஒத்திருக்கிறது. ஏனெனில், சிக்கலான அரை-சுழல் பிரதிநிதித்துவங்கள் சம பரிமாணத்தில் உள்ளன. ஹெர்மிடியன் கட்டமைப்புகள் மற்றும் உண்மையான வடிவங்கள், அவை, உடன், மற்றும் ஆகியவற்றை நாம் கூடுதலாக கையாள வேண்டும். இதன் விளைவாக வரும் சம சுழல் பிரதிநிதித்துவங்கள் பின்வருமாறு சுருக்கமாகக் கூறப்படுகின்றன. (*) ஏனென்றால், அதற்கு பதிலாக நம்மிடம் உள்ளது (†) சமமானது மற்றும் (இதில் அடங்கும்), அதற்கு பதிலாக நம்மிடம் உள்ளது சிக்கலான வழக்கில் குறைந்த பரிமாண ஐசோமார்பிசம்கள் பின்வரும் உண்மையான வடிவங்களைக் கொண்டுள்ளன. இந்த அட்டவணையில் இல்லாத உண்மையான லை ஆல்ஜிப்ராக்களின் ஒரே சிறப்பு ஐசோமார்பிசம் மற்றும் குறிப்புகள் குறிப்புகள் ஆகும். . . . ஆரம்ப பதிப்புக்கு நிரல் வலைத்தளத்தையும் பார்க்கவும். . . . . லை குழுக்களின் சுழற்பந்து வீச்சாளர்களின் பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாடு