Positive-definite kernel
இயக்கக் கோட்பாட்டில், கணிதத்தின் ஒரு கிளை, ஒரு நேர்மறை-வரையறுக்கப்பட்ட கர்னல் என்பது ஒரு நேர்மறை-வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாடு அல்லது நேர்மறை-வரையறுக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸின் பொதுமைப்படுத்தலாகும். ஒருங்கிணைந்த இயக்குபவர் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் சூழலில், 20 ஆம் நூற்றாண்டின் முற்பகுதியில் ஜேம்ஸ் மெர்சரால் இது முதன்முதலில் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. அப்போதிருந்து, நேர்மறை-வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாடுகள் மற்றும் அவற்றின் பல்வேறு ஒப்புமைகள் மற்றும் பொதுமைப்படுத்தல்கள் கணிதத்தின் பல்வேறு பகுதிகளில் எழுந்துள்ளன. ஃபோரியர் பகுப்பாய்வு, நிகழ்தகவு கோட்பாடு, செயல்பாட்டுக் கோட்பாடு, சிக்கலான செயல்பாட்டுக் கோட்பாடு, தருண சிக்கல்கள், ஒருங்கிணைந்த சமன்பாடுகள், பகுதி வேறுபட்ட சமன்பாடுகளுக்கான எல்லை-மதிப்பு சிக்கல்கள், இயந்திர கற்றல், உட்பொதிக்கும் சிக்கல், தகவல் கோட்பாடு மற்றும் பிற பகுதிகளில் அவை இயற்கையாகவே நிகழ்கின்றன. வரையறை ஒரு காலியாக இல்லாத தொகுப்பாக இருக்கட்டும், சில நேரங்களில் குறியீட்டு தொகுப்பு என்று குறிப்பிடப்படுகிறது. ஒரு சமச்சீர் சார்பு நேர்மறை-வரையறுக்கப்பட்ட (p. d.) என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஏதேனும் இருந்தால் கர்னல் ஆன், கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. நிகழ்தகவுக் கோட்பாட்டில், சில நேரங்களில் நேர்மறை-வரையறுக்கப்பட்ட கர்னல்களுக்கு இடையே ஒரு வேறுபாடு செய்யப்படுகிறது, இதற்கு சமத்துவம் (1.1) குறிக்கிறது, மற்றும் நேர்மறை அரை-வரையறுக்கப்பட்ட (p. s. d.) இந்த நிபந்தனையை விதிக்காத கர்னல்கள். இது ஜோடி வாரியான மதிப்பீட்டின் மூலம் கட்டமைக்கப்பட்ட எந்தவொரு வரையறுக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸும் முற்றிலும் நேர்மறையாக இருக்க வேண்டும் என்பதற்கு சமம் என்பதை நினைவில் கொள்க. அல்லது எதிர்மறை அல்லாத (பி. எஸ். டி.) ஐகென் மதிப்புகள். கணித இலக்கியத்தில், கர்னல்கள் பொதுவாக சிக்கலான மதிப்புள்ள செயல்பாடுகளாகும், ஆனால் இந்த கட்டுரையில் நாம் உண்மையான மதிப்புள்ள செயல்பாடுகளைக் கருதுகிறோம், இது pd இன் பயன்பாடுகளில் பொதுவான நடைமுறையாகும். கர்னல்கள். சில பொது சொத்துக்கள் ஒரு குடும்பத்திற்கு பி. டி. கர்னல்கள் கூம்பு கூட்டுத்தொகை pd ஆகும், கொடுக்கப்பட்ட பெருக்கல் pd ஆகும், கொடுக்கப்பட்ட வரம்பு pd ஆகும். வரம்பு இருந்தால். செட்டுகளின் வரிசை மற்றும் pd இன் வரிசை என்றால். கர்னல்கள், பின்னர் இரண்டும் பி. டி. கர்னல்கள். விடுங்கள். பின்னர் வரம்பும் ஒரு பி. டி. கர்னல். எடுத்துக்காட்டுகள் பி. டி. கர்னல்கள் பி. டி. யின் பொதுவான எடுத்துக்காட்டுகள் யூக்ளிடியன் இடத்தில் வரையறுக்கப்பட்ட கர்னல்கள் பின்வருமாறுஃ பல்லுறுப்புக்கோவை கர்னல்ஃ. காஸியன் கர்னல் (ஆர். பி. எஃப் கர்னல்): லாப்லாசியன் கர்னல்ஃ ஏபெல் கர்னல்ஃ. சோபோலேவ் இடைவெளிகளை உருவாக்கும் கர்னல்ஃ, மூன்றாவது வகையின் பெசல் செயல்பாடு எங்கே? கர்னல் பாலி-வீனர் இடத்தை உருவாக்குகிறதுஃ ஒரு ஹில்பர்ட் இடைவெளி என்றால், அதன் தொடர்புடைய உள் பெருக்கல் ஒரு pd ஆகும். கர்னல். உண்மையில், கர்னல்கள் மற்றும் ஹிஸ்டோகிராம்களில் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளனஃ நிஜ வாழ்க்கைப் பிரச்சினைகளின் பயன்பாடுகளில் ஹிஸ்டோகிராம்கள் அடிக்கடி எதிர்கொள்ளப்படுகின்றன. பெரும்பாலான அவதானிப்புகள் பொதுவாக எண்ணிக்கையின் எதிர்மறை அல்லாத திசையன்களின் வடிவத்தில் கிடைக்கின்றன, அவை இயல்பாக்கப்பட்டால், அதிர்வெண்களின் ஹிஸ்டோகிராம்களைத் தருகின்றன. பின்வரும் சதுர அளவீடுகளின் குடும்பம், முறையே ஜென்சன் வேறுபாடு,-சதுரம், மொத்த மாறுபாடு மற்றும் ஹெல்லிங்கர் தூரத்தின் இரண்டு மாறுபாடுகள்ஃ pd ஐ வரையறுக்க பயன்படுத்தப்படலாம். பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தும் கர்னல்கள் வரலாறு நேர்மறை-வரையறுக்கப்பட்ட கர்னல்கள், (1.1) இல் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளபடி, 1909 ஆம் ஆண்டில் ஜேம்ஸ் மெர்சரின் ஒருங்கிணைந்த சமன்பாடுகள் குறித்த ஒரு ஆய்வறிக்கையில் முதன்முதலில் தோன்றியது. அடுத்த இரண்டு தசாப்தங்களில் பல எழுத்தாளர்கள் இந்த கருத்தை பயன்படுத்தினர், ஆனால் அவர்களில் யாரும் வெளிப்படையாக கர்னல்களைப் பயன்படுத்தவில்லை, அதாவது. பி. டி. செயல்பாடுகள் (உண்மையில் எம். மத்தியாஸ் மற்றும் எஸ். போச்னர் ஆகியோர் பி. டி படிப்பைப் பற்றி அறிந்திருக்கவில்லை என்று தெரிகிறது. கர்னல்கள்). இரண்டாவது வகையான ஃப்ரெட்ஹோம் ஒருங்கிணைந்த சமன்பாடுகள் குறித்து ஹில்பர்ட்டின் 1904 ஆம் ஆண்டின் ஆய்வறிக்கையில் இருந்து மெர்சரின் பணி உருவானதுஃ குறிப்பாக, ஹில்பர்ட் ஒரு தொடர்ச்சியான உண்மையான சமச்சீர் கர்னல் எங்கே, தொடர்ச்சியானது, ஆர்த்தோனார்மல் ஐகென் செயல்பாடுகளின் முழுமையான அமைப்பு மற்றும் (1.2) இன் தொடர்புடைய ஐகென் மதிப்புகள் என்று காட்டியிருந்தார். ஹில்பர்ட் ஒரு "திட்டவட்டமான" கர்னலை வரையறுத்தார், இதற்கு இரட்டை ஒருங்கிணைப்பு திருப்தி அளிக்கிறது. மெர்சரின் ஆய்வறிக்கையின் அசல் நோக்கம் ஹில்பர்ட்டின் அர்த்தத்தில் திட்டவட்டமான கர்னல்களை வகைப்படுத்துவதாகும், ஆனால் மெர்சர் விரைவில் அத்தகைய செயல்பாடுகளின் வகை நிர்ணயிப்பாளர்களின் அடிப்படையில் வகைப்படுத்த மிகவும் கட்டுப்படுத்தப்பட்டதாக இருப்பதைக் கண்டறிந்தார். எனவே அவர் தொடர்ச்சியான உண்மையான சமச்சீர் கர்னலை நேர்மறை வகையாக வரையறுத்தார் (அதாவது. நேர்மறை-வரையறுக்கப்பட்ட) அனைத்து உண்மையான தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளுக்கும் இருந்தால், ஒரு கர்னல் நேர்மறை வகையாக இருக்க (1.1) ஒரு அவசியமான மற்றும் போதுமான நிபந்தனை என்பதை அவர் நிரூபித்தார். மெர்சர் பின்னர் எந்தவொரு தொடர்ச்சியான பி. டி. க்கும் அதை நிரூபித்தார் கர்னல் விரிவாக்கம் முற்றிலும் மற்றும் ஒரே மாதிரியாக உள்ளது. ஏறக்குறைய அதே நேரத்தில் ஒருங்கிணைந்த சமன்பாடுகளின் கோட்பாட்டில் வேறுபட்ட கேள்வியால் உந்தப்பட்ட டபிள்யூ. எச். யங், தொடர்ச்சியான கர்னல்களின் நிபந்தனை (1.1) அனைவருக்கும் சமம் என்பதைக் காட்டியது. ஈ. எச். மூர் மிகவும் பொதுவான வகையான பி. டி. பற்றிய ஆய்வைத் தொடங்கினார். கர்னல். ஒரு சுருக்கமான தொகுப்பாக இருந்தால், அவை அனைவருக்கும் (1.1) திருப்தி அளித்தால், "நேர்மறை ஹெர்மிடியன் மேட்ரிக்ஸ்களில்" வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாடுகளை அவர் அழைக்கிறார். ஒருங்கிணைந்த சமன்பாடுகளை பொதுமைப்படுத்துவதில் மூர் ஆர்வம் காட்டினார், மேலும் அவை ஒவ்வொன்றிற்கும் ஒரு ஹில்பர்ட் இடைவெளி உள்ளது என்பதைக் காட்டினார். இந்த பண்பு கர்னலின் இனப்பெருக்கம் செய்யும் பண்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் நீள்வட்ட பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகளுக்கான எல்லை-மதிப்பு சிக்கல்களின் தீர்வில் முக்கியத்துவம் வாய்ந்தது. வளர்ச்சியின் மற்றொரு வரிசை இதில் பி. டி. 1929 ஆம் ஆண்டில் ஈ. கார்டன் தொடங்கி, எச். வெயில் மற்றும் எஸ். இட்டோ ஆகியோரால் தொடரப்பட்ட ஒரே மாதிரியான இடைவெளிகளில் ஹார்மோனிக்ஸ் கோட்பாடு கர்னல்கள் ஒரு பெரிய பாத்திரத்தை வகித்தன. மிகவும் விரிவான கோட்பாடு பி. டி. ஒரே மாதிரியான இடங்களில் உள்ள கர்னல்கள் எம். கிரெய்னின் கர்னல்கள் ஆகும், இதில் சிறப்பு நிகழ்வுகளாக பி. டி. செயல்பாடுகள் மற்றும் உள்ளூரில் கச்சிதமான குழுக்களின் பகுக்கமுடியாத ஒற்றையாட்சி பிரதிநிதித்துவங்கள். நிகழ்தகவு கோட்பாட்டில், பி. டி. கர்னல்கள் சீரற்ற செயல்முறைகளின் கோவேரியன்ஸ் கர்னல்களாக எழுகின்றன. கர்னல் ஹில்பர்ட் இடைவெளிகள் மற்றும் அம்ச வரைபடங்களுடன் இணைப்பு நேர்மறை-வரையறுக்கப்பட்ட கர்னல்கள் சில அடிப்படை ஹில்பர்ட் விண்வெளி கட்டமைப்புகளை உள்ளடக்கிய ஒரு கட்டமைப்பை வழங்குகின்றன. பின்வருவனவற்றில் நேர்மறை-வரையறுக்கப்பட்ட கர்னல்களுக்கும் இரண்டு கணிதப் பொருட்களுக்கும் இடையிலான இறுக்கமான உறவை நாங்கள் முன்வைக்கிறோம், அதாவது ஹில்பர்ட் இடைவெளிகள் மற்றும் அம்ச வரைபடங்களை இனப்பெருக்கம் செய்கிறோம். ஒரு தொகுப்பாக இருக்கட்டும், செயல்பாடுகளின் ஹில்பர்ட் இடைவெளி மற்றும் அதனுடன் தொடர்புடைய உள் தயாரிப்பு. எந்தவொரு மதிப்பீட்டிற்கும் செயல்பாடு வரையறுக்கப்படுகிறது. நாம் முதலில் ஒரு இனப்பெருக்கம் செய்யும் கர்னல் ஹில்பர்ட் இடத்தை (ஆர். கே. எச். எஸ்) வரையறுக்கிறோம்ஃ வரையறைஃ மதிப்பீட்டு செயல்பாடுகள் தொடர்ச்சியாக இருந்தால் ஸ்பேஸ் ஒரு இனப்பெருக்கம் செய்யும் கர்னல் ஹில்பர்ட் ஸ்பேஸ் என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒவ்வொரு ஆர். கே. எச். எஸ்ஸும் அதனுடன் தொடர்புடைய ஒரு சிறப்பு செயல்பாட்டைக் கொண்டுள்ளது, அதாவது இனப்பெருக்கம் செய்யும் கர்னல்ஃ வரையறைஃ இனப்பெருக்கம் செய்யும் கர்னல் என்பது ஒரு செயல்பாடு, மற்றும், அனைவருக்கும் மற்றும். பிந்தைய பண்பு இனப்பெருக்கம் செய்யும் பண்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது. பின்வரும் முடிவு ஆர். கே. எச். எஸ் மற்றும் இனப்பெருக்கம் செய்யும் கர்னல்களுக்கு இடையிலான சமநிலையைக் காட்டுகிறதுஃ இப்போது நேர்மறை திட்டவட்டமான கர்னல்களுக்கும் ஆர். கே. எச். எஸ்-க்கும் இடையிலான தொடர்பு பின்வரும் தேற்றத்தால் வழங்கப்படுகிறது. முன்பு குறிப்பிட்டபடி, உள் தயாரிப்புகளிலிருந்து நேர்மறை திட்டவட்டமான கர்னல்களை உருவாக்க முடியும். இந்த உண்மையை பி. டி. யை இணைக்கப் பயன்படுத்தலாம் இயந்திர கற்றல் பயன்பாடுகளில் எழும் மற்றொரு சுவாரஸ்யமான பொருளுடன் கர்னல்கள், அதாவது அம்ச வரைபடம். ஒரு ஹில்பர்ட் இடமாகவும், அதனுடன் தொடர்புடைய உள் விளைபொருளாகவும் இருக்கட்டும். எந்தவொரு வரைபடமும் அம்ச வரைபடம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த வழக்கில் நாம் அம்ச இடத்தை அழைக்கிறோம். ஒவ்வொரு அம்ச வரைபடமும் ஒரு தனித்துவமான பி. டி. யை வரையறுக்கிறது என்பதைப் பார்ப்பது எளிது. கர்னல் மூலம் உண்மையில், பின்வருவனவற்றின் நேர்மறையான உறுதித்தன்மை p. d. உள் உற்பத்தியின் பண்பு. மறுபுறம், ஒவ்வொரு பி. டி. கர்னல் மற்றும் அதனுடன் தொடர்புடைய ஆர். கே. எச். எஸ், பல தொடர்புடைய அம்ச வரைபடங்களைக் கொண்டுள்ளன. உதாரணமாகஃ லெட், அண்ட் ஃபார் ஆல். பின்னர், இனப்பெருக்கம் செய்யும் பண்பு மூலம். இது பி. டி. யில் ஒரு புதிய தோற்றத்தை பரிந்துரைக்கிறது. பொருத்தமான ஹில்பர்ட் இடங்களில் உள் தயாரிப்புகளாக கர்னல்கள், அல்லது வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால் பி. டி. கர்னல்களை ஒற்றுமை வரைபடங்களாகப் பார்க்க முடியும், இது இரண்டு புள்ளிகள் எவ்வளவு ஒத்தவை மற்றும் மதிப்பின் மூலம் திறம்பட அளவிடுகிறது. மேலும், pd இன் சமநிலை மூலம். கர்னல்கள் மற்றும் அதனுடன் தொடர்புடைய ஆர். கே. எச். எஸ், ஒவ்வொரு அம்ச வரைபடத்தையும் ஆர். கே. எச். எஸ் உருவாக்க பயன்படுத்தலாம். கர்னல்கள் மற்றும் தூரங்கள் கர்னல் முறைகள் பெரும்பாலும் அருகிலுள்ள அண்டை போன்ற தூர அடிப்படையிலான முறைகளுடன் ஒப்பிடப்படுகின்றன. இந்த பிரிவில் அவற்றின் இரண்டு கூறுகளுக்கு இடையிலான ஒற்றுமைகளைப் பற்றி விவாதிக்கிறோம், அதாவது கர்னல்கள் மற்றும் தூரங்கள். இங்கே சில தொகுப்புகளின் ஒவ்வொரு ஜோடி உறுப்புகளுக்கும் இடையிலான தூர செயல்பாட்டின் மூலம், அந்த தொகுப்பில் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு மெட்ரிக் என்று அர்த்தம், அதாவது. எந்தவொரு எதிர்மறை-மதிப்பற்ற செயல்பாடும் திருப்தி அளிக்கிறது, மற்றும் இருந்தால் மட்டுமே, தூரங்களுக்கும் பி. டி. க்கும் இடையிலான ஒரு இணைப்பு கர்னல்கள் ஒரு குறிப்பிட்ட வகையான கர்னலால் வழங்கப்படுகின்றன, இது எதிர்மறை திட்டவட்டமான கர்னல் என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது வரையறைஃ ஒரு சமச்சீர் செயல்பாடு எதிர்மறை திட்டவட்டமான (என். டி.) கர்னல் என்று அழைக்கப்படுகிறது. nd கர்னல்களுக்கும் தூரங்களுக்கும் இடையிலான இணையானது பின்வருவனவற்றில் உள்ளதுஃ ஒரு nd கர்னல் செட்டில் மறைந்து, இந்த செட்டில் மட்டுமே பூஜ்ஜியமாக இருக்கும்போதெல்லாம், அதன் வர்க்கமூலம் ஒரு தூரமாகும். அதே நேரத்தில் ஒவ்வொரு தூரமும் ஒரு என். டி. கர்னலுடன் பொருந்தாது. இது ஹில்பெர்டியன் தூரங்களுக்கு மட்டுமே பொருந்தும், அங்கு சில ஹில்பெர்ட் இடத்தில் மெட்ரிக் இடத்தை ஐசோமெட்ரிக் முறையில் உட்பொதிக்க முடிந்தால் தூரம் ஹில்பெர்டியன் என்று அழைக்கப்படுகிறது. மறுபுறம், என். டி. கர்னல்களை பி. டி இன் துணைக்குடும்பத்துடன் அடையாளம் காணலாம். எல்லையற்ற வகுக்கக்கூடிய கர்னல்கள் என்று அழைக்கப்படும் கர்னல்கள். ஒவ்வொன்றிற்கும் ஒரு நேர்மறை-திட்டவட்டமான கர்னல் இருந்தால், எதிர்மறை-மதிப்பற்ற கர்னல் எல்லையற்ற வகுபடும் என்று கூறப்படுகிறது. மற்றொரு இணைப்பு ஒரு பி. டி. கர்னல் ஒரு போலி அளவீட்டைத் தூண்டுகிறது, அங்கு தூர செயல்பாட்டின் முதல் கட்டுப்பாடு அனுமதிக்க தளர்த்தப்படுகிறது. ஒரு நேர்மறை-வரையறுக்கப்பட்ட கர்னலைப் பொறுத்தவரை, ஒரு தொலைதூர செயல்பாட்டை நாம் பின்வருமாறு வரையறுக்கலாம்ஃ இயந்திர கற்றலில் உள்ள சில பயன்பாடுகள் நேர்மறை-வரையறுக்கப்பட்ட கர்னல்கள், கர்னல் ஹில்பர்ட் இடைவெளிகளை இனப்பெருக்கம் செய்வதன் மூலம் அவற்றின் சமநிலையின் மூலம், புள்ளிவிவரக் கற்றல் கோட்பாட்டில் குறிப்பாக முக்கியமானவை, ஏனெனில் புகழ்பெற்ற பிரதிநிதித்துவ தேற்றம் ஒரு ஆர். கே. எச். எஸ்ஸில் உள்ள ஒவ்வொரு மினிமைசர் செயல்பாட்டையும் பயிற்சி புள்ளிகளில் மதிப்பிடப்பட்ட கர்னல் செயல்பாட்டின் நேரியல் கலவையாக எழுத முடியும் என்று கூறுகிறது. இது நடைமுறையில் பயனுள்ள முடிவாகும், ஏனெனில் இது அனுபவ அபாயக் குறைப்பு சிக்கலை எல்லையற்ற பரிமாணத்திலிருந்து வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண உகப்பாக்கம் சிக்கலுக்கு திறம்பட எளிதாக்குகிறது. நிகழ்தகவு மாதிரிகளில் கர்னல்கள் நிகழ்தகவு கோட்பாட்டில் கர்னல்கள் எழுவதற்கு பல்வேறு வழிகள் உள்ளன. நிர்ணயிக்கப்படாத மீட்பு சிக்கல்கள்ஃ ஒரு தொகுப்பின் புதிய புள்ளியில் அறியப்படாத மாதிரி செயல்பாட்டின் பதிலைக் கண்டுபிடிக்க விரும்புகிறோம் என்று வைத்துக்கொள்வோம், அவதானிப்பு அல்லது பரிசோதனையின் மூலம் கொடுக்கப்பட்ட உள்ளீட்டு-பதில் ஜோடிகளின் மாதிரி எங்களிடம் உள்ளது. பதில் ஒரு நிலையான செயல்பாடு அல்ல, மாறாக ஒரு உண்மையான மதிப்புள்ள சீரற்ற மாறியின் உணர்தல். தீர்மானகரமான அமைப்பில் மாற்றப்படும் செயல்பாட்டைப் பற்றிய தகவல்களைப் பெறுவதே குறிக்கோள். இரண்டு கூறுகளுக்கு சீரற்ற மாறிகள் மற்றும் தொடர்பற்றதாக இருக்காது, ஏனென்றால் விவரிக்கப்பட்ட சீரற்ற சோதனைகளுக்கு மிகவும் நெருக்கமாக இருந்தால், பெரும்பாலும் ஒத்த நடத்தையைக் காண்பிக்கும். இது ஒரு கோவேரியன்ஸ் கர்னல் மூலம் விவரிக்கப்படுகிறது. அத்தகைய கர்னல் உள்ளது மற்றும் பலவீனமான கூடுதல் அனுமானங்களின் கீழ் நேர்மறை-திட்டவட்டமானது. நிகழ்தகவு பின்னணியை முற்றிலுமாக புறக்கணித்து, கோவேரியன்ஸ் கர்னலுடன் கர்னல் இடைக்கணிப்பைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் இப்போது ஒரு நல்ல மதிப்பீட்டைப் பெற முடியும். இப்போது பூஜ்ஜிய சராசரி மற்றும் மாறுபாட்டைக் கொண்ட ஒரு சத்தம் மாறி சேர்க்கப்பட்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம், அதாவது சத்தம் வேறுபட்டதற்கு சுயாதீனமானது மற்றும் அதிலிருந்து சுயாதீனமானது, பின்னர் ஒரு நல்ல மதிப்பீட்டைக் கண்டுபிடிப்பதில் உள்ள சிக்கல் மேலே உள்ளதைப் போன்றது, ஆனால் மாற்றியமைக்கப்பட்ட கர்னலுடன் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. கர்னல்கள் மூலம் அடர்த்தி மதிப்பீடுஃ சிக்கல் என்னவென்றால், ஒரு களத்தின் மீது பல்வகை விநியோகத்தின் அடர்த்தியை மீட்டெடுப்பது, மீண்டும் மீண்டும் உட்பட ஒரு பெரிய மாதிரியிலிருந்து. மாதிரி புள்ளிகள் அடர்த்தியாக இருக்கும் இடத்தில், உண்மையான அடர்த்தி செயல்பாடு பெரிய மதிப்புகளை எடுக்க வேண்டும். ஒரு கட்டத்தின் ஒவ்வொரு கலத்திலும் உள்ள மாதிரிகளின் எண்ணிக்கையை எண்ணுவதன் மூலமும், அதன் விளைவாக வரும் ஹிஸ்டோகிராமைத் திட்டமிடுவதன் மூலமும் ஒரு எளிய அடர்த்தி மதிப்பீடு சாத்தியமாகும், இது ஒரு துண்டுப்பிரதியாக நிலையான அடர்த்தி மதிப்பீட்டை வழங்குகிறது. மொத்த ஒருங்கிணைப்பு ஒன்றுக்கு சமமாக இருக்கும் ஒரு எதிர்மறை மொழிபெயர்ப்பு மாறாத கர்னலைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் ஒரு சிறந்த மதிப்பீட்டைப் பெறலாம், மேலும் ஒரு மென்மையான மதிப்பீடாக வரையறுக்கலாம். பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் எண் தீர்வு மெஷ்ஃப்ரீ முறைகள் என்று அழைக்கப்படுபவற்றின் மிகப்பெரிய பயன்பாட்டு பகுதிகளில் ஒன்று PDE களின் எண் தீர்வில் உள்ளது. பிரபலமான சில மெஷ்ஃப்ரீ முறைகள் நேர்மறை-வரையறுக்கப்பட்ட கர்னல்களுடன் நெருக்கமாக தொடர்புடையவை (மெஷ் இல்லாத உள்ளூர் பெட்ரோவ் கேலர்கின் (எம். எல். பி. ஜி), ரீப்ரோடூசிங் கர்னல் துகள் முறை (ஆர். கே. பி. எம்) மற்றும் மென்மையான-துகள் ஹைட்ரோடினமிக்ஸ் (எஸ். பி. எச்) போன்றவை). இந்த முறைகள் இணைப்புக்கு ரேடியல் அடிப்படையிலான கர்னலைப் பயன்படுத்துகின்றன. ஸ்டைன்ஸ்பிரிங் டைலேஷன் தேற்றம் பிற பயன்பாடுகள் கணினி சோதனைகள் மற்றும் பிற பொறியியல் சோதனைகள் பற்றிய இலக்கியங்களில், பி. டி. ஐ அடிப்படையாகக் கொண்ட மாதிரிகளை ஒருவர் அதிகளவில் எதிர்கொள்கிறார். கர்னல்கள், ஆர். பி. எஃப். கள் அல்லது கிரிக்கிங். அத்தகைய ஒரு தலைப்பு மறுமொழி மேற்பரப்பு முறை. தரவு பொருத்துதலுக்கு கீழே கொதிக்கும் பிற வகையான பயன்பாடுகள் விரைவான முன்மாதிரி மற்றும் கணினி கிராபிக்ஸ் ஆகும். இங்கே ஒருவர் பெரும்பாலும் புள்ளி மேகத் தரவை தோராயமாக அல்லது இடைக்கணிப்பு செய்ய மறைமுக மேற்பரப்பு மாதிரிகளைப் பயன்படுத்துகிறார். விண்ணப்பங்கள் பி. டி. கணிதத்தின் பல்வேறு பிற கிளைகளில் கர்னல்கள் பன்முக ஒருங்கிணைப்பு, பன்முக உகப்பாக்கம் மற்றும் எண் பகுப்பாய்வு மற்றும் அறிவியல் கணக்கீட்டில் உள்ளன, அங்கு ஒருவர் வேகமான, துல்லியமான மற்றும் தகவமைப்பு வழிமுறைகளை உயர் செயல்திறன் கொண்ட கணினி சூழல்களில் சிறந்த முறையில் செயல்படுத்துகிறார். மேலும் காண்க கோவேரியன்ஸ் செயல்பாடு ஒருங்கிணைந்த சமன்பாடு ஒருங்கிணைந்த மாற்றம் ஒரு குழுவில் நேர்மறை-வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாடு கர்னல் ஹில்பர்ட் விண்வெளி குறிப்புகள் இயக்குபவர் கோட்பாடு ஹில்பர்ட் இடைவெளிகள்