Tate module
கணிதத்தில், ஜான் டேட் பெயரிடப்பட்ட ஒரு அபெலியன் குழுவின் டேட் தொகுதி, ஒரு அபெலியன் குழு A இலிருந்து கட்டப்பட்ட ஒரு தொகுதி ஆகும். பெரும்பாலும், இந்த கட்டுமானம் பின்வரும் சூழ்நிலையில் செய்யப்படுகிறதுஃ G என்பது K புலத்தின் மீது ஒரு பரிமாற்றக் குழு திட்டமாகும், Ks என்பது K இன் பிரிக்கக்கூடிய மூடல், மற்றும் A = G (Ks) (G இன் Ks-மதிப்புள்ள புள்ளிகள்). இந்த வழக்கில், A இன் டேட் தொகுதி K இன் முழுமையான கலோயிஸ் குழுவின் செயல்பாட்டைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் இது G இன் டேட் தொகுதி என்று குறிப்பிடப்படுகிறது. வரையறை ஒரு அபெலியன் குழு A மற்றும் ஒரு பகா எண் p கொடுக்கப்பட்டால், A இன் p-adic டேட் தொகுதி A [pn] என்பது A இன் pn முறிவு (அதாவது. பெருக்கல்-மூலம்-pn வரைபடத்தின் கர்னல்), மற்றும் தலைகீழ் வரம்பு பெருக்கல்-மூலம்-p வரைபடம் A [pn + 1] → A [pn] ஆல் கொடுக்கப்பட்ட மாற்றம் உருவகங்களுடன் நேர்மறை முழு எண்கள் n க்கு மேல் உள்ளது. இவ்வாறு, டேட் தொகுதி A இன் அனைத்து p-சக்தி சுழற்சியையும் குறியாக்கம் செய்கிறது. இது எடுத்துக்காட்டுகள் மூலம் ஒரு Zp-தொகுதியின் கட்டமைப்பைக் கொண்டுள்ளது டேட் தொகுதி அபெலியன் குழு A என்பது K இன் பிரிக்கக்கூடிய மூடல் Ks இல் ஒற்றுமையின் வேர்களின் குழுவாக இருக்கும்போது, A இன் p-adic டேட் தொகுதி சில நேரங்களில் டேட் தொகுதி என்று குறிப்பிடப்படுகிறது (அங்கு p மற்றும் K இன் தேர்வு மறைமுகமாக புரிந்து கொள்ளப்படுகிறது). இது முழுமையான காலோயிஸ் குழுவான K இன் GK இன் நேரியல் செயல்பாட்டுடன் Zp க்கு மேல் ஒரு இலவச தரவரிசை ஒரு தொகுதியாகும். எனவே, இது K இன் p-adic சைக்ளோடோமிக் தன்மை என்றும் குறிப்பிடப்படும் ஒரு காலோயிஸ் பிரதிநிதித்துவமாகும். இது பெருக்கக் குழு திட்டமான Gm, K ஓவர் K இன் டேட் தொகுதியாகவும் கருதப்படலாம். ஒரு அபெலியன் வகையின் டேட் தொகுதி ஒரு புலம் K க்கு மேல் ஒரு அபெலியன் வகை G ஐக் கொடுத்தால், G இன் Ks-மதிப்புள்ள புள்ளிகள் ஒரு அபெலியன் குழுவாகும். G இன் p-adic டேட் தொகுதி Tp (G) என்பது ஒரு கலோயிஸ் பிரதிநிதித்துவமாகும் (முழுமையான கலோயிஸ் குழுவின், GK, K இன்). அபெலியன் வகைகளின் பாரம்பரிய முடிவுகள், கே பண்பு பூஜ்ஜியம் அல்லது பண்பு l ஐக் கொண்டிருந்தால், அங்கு பகா எண் p § l, பின்னர் Tp (G) என்பது தரவரிசை 2d இன் Zp க்கு மேல் ஒரு இலவச தொகுதியாகும், அங்கு d என்பது G இன் பரிமாணமாகும். p என்பது K இன் சிறப்பியல்புக்கு சமமாக இல்லாவிட்டால், G இன் p-adic டேட் தொகுதி ஏட்டேல் கோஹோமோலஜியின் இரட்டை ஆகும். டேட் அனுமானத்தின் ஒரு சிறப்பு வழக்கை டேட் தொகுதிகளின் அடிப்படையில் சொல்லலாம். K அதன் பகா புலத்தின் மீது இறுதியாக உருவாக்கப்படுகிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம் (எ. கா. ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட புலம், ஒரு இயற்கணித எண் புலம், ஒரு உலகளாவிய செயல்பாட்டு புலம்), p, மற்றும் A மற்றும் B ஆகியவற்றிலிருந்து வேறுபட்ட பண்பு கொண்ட இரண்டு அபெலியன் வகைகள் K ஐ விட வேறுபட்டவை. ஹோம்கே (A, B) என்பது A முதல் B வரையிலான அபெலியன் வகைகளின் உருவங்களின் குழுவாகவும், வலது புறம் Tp (A) முதல் Tp (B) வரையிலான GK-நேரியல் வரைபடங்களின் குழுவாகவும் இருக்கும் என்று டேட் அனுமானம் கணித்துள்ளது. கே ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட புலம் என்ற வழக்கை 1960 களில் டேட் தானே நிரூபித்தார். கெர்ட் ஃபால்டிங்ஸ் தனது புகழ்பெற்ற "மோர்டெல் காகிதத்தில்" கே ஒரு எண் புலம் என்பதை நிரூபித்தார். ஒரு வளைவு C மீது ஒரு ஜாகோபியன் விஷயத்தில், ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட புலத்தின் மீது k முதல் p வரையிலான சிறப்பியல்பு பகா எண், டேட் தொகுதியை கலப்பு நீட்டிப்பின் கலோயிஸ் குழுவுடன் அடையாளம் காணலாம், அங்கு k இன் நீட்டிப்பு ஒற்றுமையின் அனைத்து p-சக்தி வேர்களையும் கொண்டுள்ளது மற்றும் A (p) என்பது அதிகபட்சம் கட்டப்படாத அபெலியன் p-நீட்டிப்பு ஆகும். ஒரு எண் புலத்தின் டேட் தொகுதி ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட புலத்தின் மீது ஒரு வளைவின் செயல்பாட்டு புலத்திற்கான டேட் தொகுதியின் விளக்கம் ஒரு இயற்கணித எண் புலத்தின் டேட் தொகுதிக்கான வரையறையை பரிந்துரைக்கிறது, இது கென்கிச்சி இவாசாவாவால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட உலகளாவிய புலத்தின் மற்ற வகுப்பாகும். ஒரு எண் புலம் K க்கு, ஒற்றுமையின் பிஎம்-சக்தி வேர்கள், கிமீ மற்றும் ஏ (பி) ஆகியவற்றின் ஒன்றிணைப்பு மூலம் விரிவாக்கத்தை குறிக்கலாம். பின்னர் Tp (K) ஒரு சார்பு-p-குழு மற்றும் எனவே ஒரு Zp-தொகுதி. கிளாஸ் ஃபீல்ட் கோட்பாட்டைப் பயன்படுத்தி ஒருவர் Tp (K) ஐ Km இன் கிளாஸ் குழுக்களின் Cm இன் தலைகீழ் வரம்பிற்கு ஐசோமார்பிக் என்று விவரிக்கலாம். இவாசாவா Tp (K) ஐ Zp [[T] ஐ முடிக்கும் போது ஒரு தொகுதியாக காட்சிப்படுத்தினார், மேலும் இது வகுப்புக் குழுக்களின் வரிசையில் p இன் அடுக்குக்கான ஒரு சூத்திரத்தைக் குறிக்கிறது. மேலும் காண்க டேட் அனுமானம் டேட் ட்விஸ்ட் இவாசாவா கோட்பாடு குறிப்புகள் குறிப்புகள் அபெலியன் வகைகளின் பிரிவு 13