Indecomposable continuum
புள்ளி-தொகுப்பு இடவியலில், ஒரு ஒருங்கிணைக்க முடியாத தொடர்ச்சி என்பது ஒருங்கிணைக்க முடியாத ஒரு தொடர்ச்சியாகும், அதாவது. அதை அதன் சரியான துணைக் கண்டங்களில் ஏதேனும் இரண்டின் ஒன்றிணைப்பாக வெளிப்படுத்த முடியாது. 1910 ஆம் ஆண்டில், எல். ஈ. ஜே. ப்ரூவர் ஒரு ஒருங்கிணைக்க முடியாத தொடர்ச்சியை முதன்முதலில் விவரித்தார். ஒருங்கிணைக்க முடியாத தொடர்ச்சியானது இடவியலாளர்களால் எதிர் உதாரணங்களின் ஆதாரமாக பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது. அவை இயக்கவியல் அமைப்புகளிலும் நிகழ்கின்றன. வரையறைகள் ஒரு தொடர்ச்சியானது ஒரு காலியாக இல்லாத சிறிய இணைக்கப்பட்ட மெட்ரிக் இடமாகும். வளைவு, n-கோளம் மற்றும் ஹில்பர்ட் கனசதுரம் ஆகியவை பாதை-இணைக்கப்பட்ட தொடர்ச்சியின் எடுத்துக்காட்டுகளாகும்; இடவியலாளரின் சைன் வளைவு ஒரு எடுத்துக்காட்டு பாதை-இணைக்கப்படாத தொடர்ச்சியாகும், வார்சா வட்டம் என்பது பாதை-இணைக்கப்பட்ட தொடர்ச்சியாகும், இது உள்ளூரில் பாதை-இணைக்கப்படவில்லை. ஒரு தொடர்ச்சியின் துணைக்கண்டம் என்பது ஒரு மூடிய, இணைக்கப்பட்ட துணைக்குழுவாகும். ஒரு இடைவெளி ஒரு புள்ளிக்கு சமமாக இல்லாவிட்டால் அது புதுப்பிக்கப்படாதது. இரண்டு துணைத் தொடர்ச்சி மற்றும் அத்தகைய மற்றும் ஆனால் இருந்தால் ஒரு தொடர்ச்சியானது சிதைக்கக்கூடியது. இதைத் தொடர்ந்து அவை பிறழ்வற்றவையாக உள்ளன. சிதைக்க முடியாத ஒரு தொடர்ச்சி ஒரு சிதைக்க முடியாத தொடர்ச்சியாகும். ஒவ்வொரு துணைக்கண்டமும் ஒருங்கிணைக்க முடியாத ஒரு தொடர்ச்சி பரம்பரை ரீதியாக ஒருங்கிணைக்க முடியாதது என்று கூறப்படுகிறது. ஒரு ஒருங்கிணைக்க முடியாத தொடர்ச்சியின் கலவை என்பது ஒரு அதிகபட்ச தொகுப்பாகும், இதில் எந்த இரண்டு புள்ளிகளும் சில சரியான துணைக் கண்டத்திற்குள் உள்ளன. ஒரு தொடர்ச்சியானது இடையில் மற்றும் இடையில் பகுக்கமுடியாதது மற்றும் முறையான துணைக்கண்டம் இரண்டு புள்ளிகளையும் கொண்டிருக்கவில்லை. ஒரு சீரமைக்கப்படாத ஒருங்கிணைக்க முடியாத மெட்ரிக் தொடர்ச்சிக்கு, எந்த இரண்டு புள்ளிகளுக்கும் இடையில் பகுக்கமுடியாத ஒரு கணக்கிட முடியாத துணைக்குழு உள்ளது. 1910 ஆம் ஆண்டில் எல். இ. ஜே. ப்ரூவர் ஆர்தர் மோரிட்ஸ் ஷோன்ஃப்ளைஸ் உருவாக்கிய ஒரு அனுமானத்தை நிராகரிக்கும் ஒரு ஒருங்கிணைக்க முடியாத தொடர்ச்சியை விவரித்தார், அவை திறந்த, இணைக்கப்பட்ட, வேறுபட்ட செட்களாக இருந்தால், இரண்டு மூடிய, இணைக்கப்பட்ட சரியான துணைக்குழுக்களின் சங்கமமாக இருக்க வேண்டும். பக்கெட் கைப்பிடியின் ஒரு பதிப்பு உட்பட இதுபோன்ற மேலும் பல ஒருங்கிணைக்க முடியாத தொடர்ச்சியை ஜிக்மண்ட் ஜானிசெவ்ஸ்கி விவரித்தார். இருப்பினும், ஜானிஸ்சேவ்ஸ்கி இந்த தொடர்ச்சியின் பகுக்கமுடியாத தன்மையில் கவனம் செலுத்தினார். 1917 ஆம் ஆண்டில் குனிசோ யோனியாமா வாடா ஏரிகளை (டேகோ வாடாவின் பெயரால் பெயரிடப்பட்டது) விவரித்தார், அதன் பொதுவான எல்லை பிரிக்க முடியாதது. 1920 களில் ஒருங்கிணைக்க முடியாத தொடர்ச்சியானது வார்சா கணிதப் பள்ளியால் ஃபண்டமெண்டா கணிதத்தில் நோயியல் எதிர் எடுத்துக்காட்டுகளாக அல்லாமல், அவற்றின் சொந்த நலனுக்காக படிக்கத் தொடங்கியது. ஸ்டீபன் மசூர்கீவிக்ஸ் தான் முதன்முதலில் இன்டெகம்போசபிலிட்டி வரையறையை வழங்கினார். 1922 ஆம் ஆண்டில் ப்ரோனிஸ்லா நாஸ்டர் போலி-வளைவை விவரித்தார், இது பரம்பரை ரீதியாக ஒருங்கிணைக்க முடியாத தொடர்ச்சியின் முதல் எடுத்துக்காட்டு. பக்கெட் கைப்பிடி எடுத்துக்காட்டு ஒருங்கிணைக்க முடியாத தொடர்ச்சியானது பெரும்பாலும் உள்ளமைக்கப்பட்ட குறுக்குவெட்டுகளின் வரிசையின் வரம்பாக அல்லது (பொதுவாக) தொடர்ச்சியின் வரிசையின் தலைகீழ் வரம்பாக கட்டமைக்கப்படுகிறது. பக் கேண்டில், அல்லது ப்ரூவர்-ஜானிசெவ்ஸ்கி-நாஸ்டர் தொடர்ச்சி, பெரும்பாலும் ஒரு ஒருங்கிணைக்க முடியாத தொடர்ச்சியின் எளிய எடுத்துக்காட்டாக கருதப்படுகிறது, மேலும் அவ்வாறு கட்டமைக்கப்படலாம் (மேல் வலதுபுறத்தைப் பார்க்கவும்). மாற்றாக, விமானத்தில் உள்ள-அச்சின் இடைவெளியில் காட்டப்படும் கேன்டர் முப்பரிமாண தொகுப்பை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். மையத்துடன் மற்றும் இறுதிப் புள்ளிகளுடன் (இந்த புள்ளியைப் பற்றி சமச்சீராக இருக்கும்)-அச்சுக்கு மேலே அரை வட்டங்களின் குடும்பமாக இருக்கட்டும். இடைவேளையின் நடுப்புள்ளியை மையமாகக் கொண்ட மற்றும் இறுதிப் புள்ளிகளைக் கொண்ட-அச்சுக்குக் கீழே உள்ள அரை வட்டங்களின் குடும்பமாக இருக்கட்டும். இடைவேளையின் நடுப்புள்ளியை மையமாகக் கொண்ட மற்றும் இறுதிப் புள்ளிகளைக் கொண்ட-அச்சுக்குக் கீழே உள்ள அரை வட்டங்களின் குடும்பமாக இருக்கட்டும். பின்னர் அத்தகைய அனைத்தின் சங்கமம் வாளி கைப்பிடி ஆகும். வாளி கைப்பிடி எந்த போரெல் டிரான்ஸ்வெர்சலையும் ஒப்புக்கொள்ளவில்லை, அதாவது ஒவ்வொரு கலவையிலிருந்தும் சரியாக ஒரு புள்ளியைக் கொண்ட போரெல் தொகுப்பு இல்லை. பண்புகள் ஒரு வகையில், 'பெரும்பாலான' தொடர்ச்சியானவை ஒருங்கிணைக்க முடியாதவை. மெட்ரிக் கொண்ட ஒரு-செல், அனைத்து காலியாக இல்லாத மூடிய துணைக்குழுக்களின் தொகுப்பு மற்றும் ஹவுஸ்டோர்ஃப் மெட்ரிக் மூலம் வரையறுக்கப்பட்ட அனைத்து இணைக்கப்பட்ட உறுப்பினர்களின் ஹைப்பர்ஸ்பேஸ் ஆக இருக்கட்டும். பின்னர் நொன்டெஜெனரேட் இன்டெகொம்போசபிள் சப் கான்டினுவாவின் தொகுப்பு அடர்த்தியாக உள்ளது. 1932 ஆம் ஆண்டில் ஜார்ஜ் பிர்காஃப் தனது "குறிப்பிடத்தக்க மூடிய வளைவை" விவரித்தார், இது ஒரு மாறாத தொடர்ச்சியைக் கொண்ட வருடாந்திரத்தின் ஹோமியோமார்பிசம் ஆகும். மேரி சார்பென்டியர் இந்த தொடர்ச்சியானது ஒருங்கிணைக்க முடியாதது என்பதைக் காட்டினார், இது ஒருங்கிணைக்க முடியாத தொடர்ச்சியிலிருந்து இயக்கவியல் அமைப்புகளுக்கு முதல் இணைப்பாகும். ஒரு குறிப்பிட்ட சிறிய குதிரைவாலி வரைபடத்தின் மாறாத தொகுப்பு வாளி கைப்பிடி ஆகும். மார்ஸி பார்ஜ் மற்றும் பலர் இயக்கவியல் அமைப்புகளில் ஒருங்கிணைக்க முடியாத தொடர்ச்சியை விரிவாக ஆய்வு செய்துள்ளனர். இன்டெகொம்போசபிலிட்டி (ஆக்கபூர்வமான கணிதம்) லேக்ஸ் ஆஃப் வாடாவையும் பார்க்கவும், விமானத்தின் மூன்று திறந்த துணைக்குழுக்கள், அதன் எல்லை ஒரு இன்டெகொம்போசபில் தொடர்ச்சியான சோலெனாய்டு சியர்பின்ஸ்கி தரைவிரிப்பு குறிப்புகள் வெளிப்புற இணைப்புகள் பத்திரிகையின் முன் அட்டையில் தோன்றும் ப்ரூவரின் இன்டெகொம்போசபில் தொடர்ச்சியின் படத்தை விளக்குகிறது. தொடர்ச்சிக் கோட்பாடு