Symmetric product of an algebraic curve
கணிதத்தில், ஒரு இயற்கணித வளைவு C இன் n-மடங்கு சமச்சீர் பெருக்கல் என்பது n-மடங்கு கார்ட்டீசியன் பெருக்கல் C × C × C அல்லது Cn இன் ஈவு இடமாகும், இது சமச்சீர் குழு Sn இன் குழு நடவடிக்கையால் n எழுத்துக்களை வரிசைப்படுத்துகிறது. இது σnC ஆல் குறிக்கப்படும் ஒரு மென்மையான இயற்கணித வகையாக உள்ளது. சி ஒரு சிறிய ரீமன் மேற்பரப்பு என்றால், σnC எனவே ஒரு சிக்கலான பன்மடங்கு ஆகும். வளைவுகளின் பாரம்பரிய வடிவியல் தொடர்பாக அதன் ஆர்வம் என்னவென்றால், அதன் புள்ளிகள் டிகிரி n இன் C இல் பயனுள்ள வகுத்திகளுடன் ஒத்திருக்கின்றன, அதாவது, எதிர்மறை அல்லாத முழு எண் குணகங்களுடன் புள்ளிகளின் முறையான கூட்டுத்தொகை. C ஐப் பொறுத்தவரை, ப்ரொஜெக்டிவ் கோடு (ரீமன் கோளம் என்று சொல்லுங்கள்), அதன் n வது சமச்சீர் பெருக்கல் σnC ஐ சிக்கலான ப்ரொஜெக்டிவ் இடைவெளி பரிமாணம் n உடன் அடையாளம் காணலாம். G க்கு g ± 1 பேரினம் இருந்தால், σnC என்பது C இன் ஜாகோபியன் வகை J உடன் நெருக்கமாக தொடர்புடையது. மேலும் துல்லியமாக n ஐ g வரை மதிப்புகள் எடுக்க அவை கீழே இருந்து J க்கு தோராயங்களின் வரிசையை உருவாக்குகின்றனஃ J இல் உள்ள அவற்றின் படங்கள் J இல் கூடுதலாக உள்ளன (தீட்டா-பகிர்வைப் பார்க்கவும்) பரிமாணம் n ஐக் கொண்டுள்ளன மற்றும் J ஐ நிரப்புகின்றன, சிறப்பு வகுத்திகளால் ஏற்படும் சில அடையாளங்களுடன். g = n க்கு நாம் உண்மையில் J க்கு சமமான இருதரப்பு சமன்பாட்டைக் கொண்டுள்ளோம்; ஜாகோபியன் என்பது சமச்சீர் உற்பத்தியின் கீழே வீசுவதாகும். அதாவது செயல்பாட்டு புலங்களின் மட்டத்தில் C இன் செயல்பாட்டு புலத்தின் நேரியல் வேறுபட்ட நகல்களை எடுத்துக்கொள்வதன் மூலமும், அவற்றின் கலவையில் சமச்சீர் குழுவின் நிலையான துணை புலத்தை எடுத்துக்கொள்வதன் மூலமும் J ஐ உருவாக்க முடியும். 'பைரேஷனல் டேட்டாவிலிருந்து' J ஐ ஒரு சுருக்க வகையாக உருவாக்கும் ஆண்ட்ரே வெயிலின் நுட்பத்தின் ஆதாரம் இதுவாகும். J ஐ உருவாக்குவதற்கான பிற வழிகள், எடுத்துக்காட்டாக ஒரு பிகார்ட் வகையாக, இப்போது விரும்பப்படுகின்றன, ஆனால் இதன் பொருள் என்னவென்றால், C F (x1) + இல் உள்ள எந்தவொரு விகிதமுறு செயல்பாட்டிற்கும் F. + F (xg) என்பது J இல் ஒரு விகிதமுறு செயல்பாடாக அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கிறது, xi F இன் துருவங்களிலிருந்து விலகி இருப்பது. இது விரிவாக ஆய்வு செய்யப்பட்டுள்ளது, எடுத்துக்காட்டாக கெம்ப் மற்றும் முகாய். பெட்டி எண்கள் மற்றும் சமச்சீர் உற்பத்தியின் யூலர் பண்பு சி என்பது சிக்கலான எண்கள் சி மீது ஜி இனத்தின் மென்மையான ப்ரொஜெக்டிவ் வளைவாக இருக்கட்டும். அனைத்து n = 0,1,2, க்கான சமச்சீர் தயாரிப்புகளின் பெட்டி எண்கள் பை (σnC). உற்பத்தி செயல்பாட்டால் வழங்கப்படுகின்றன மற்றும் அவற்றின் யூலர் பண்புகள் e (σnC) உற்பத்தி செயல்பாட்டால் வழங்கப்படுகின்றன. குறிப்புகள் குறிப்புகள் இயற்கணித வளைவுகள் சமச்சீர் செயல்பாடுகள்