Thin set (Serre)
கணிதத்தில், ஜீன்-பியர் செர்ரின் பெயரால் பெயரிடப்பட்ட செர்ரின் அர்த்தத்தில் ஒரு மெல்லிய தொகுப்பு, கொடுக்கப்பட்ட புலம் K இன் மீது இயற்கணித வடிவவியலில் கட்டப்பட்ட ஒரு குறிப்பிட்ட வகையான துணைக்குழுவாகும், இது ஒரு திட்டவட்டமான அர்த்தத்தில் 'சாத்தியமற்றது'. இரண்டு அடிப்படைகள்ஃ ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது அல்லது இல்லாமலும் இருக்கலாம்; K க்குள் தீர்ப்பது எப்போதும் காரணிப்படுத்தாத ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை. ஒருவர் வரையறுக்கப்பட்ட தொழிற்சங்கங்களை எடுக்கவும் அனுமதிக்கப்படுகிறார். மேலும் துல்லியமாக, V என்பது K ஐ விட ஒரு இயற்கணித வகையாக இருக்கட்டும் (இங்கே அனுமானங்கள்ஃ V என்பது பகுக்கமுடியாத தொகுப்பு, ஒரு அரை-திட்ட வகை, மற்றும் K க்கு பூஜ்ஜிய பண்பு உள்ளது). ஒரு வகை I மெல்லிய தொகுப்பு என்பது V (K) இன் துணைக்குழுவாகும், இது ஜரிஸ்கி-அடர்த்தியானது அல்ல. அதாவது இது ஒரு இயற்கணித தொகுப்பில் உள்ளது, இது d ஐ விட குறைவான பரிமாணங்களின் இயற்கணித வகைகளின் வரையறுக்கப்பட்ட சங்கமாகும், இது V இன் பரிமாணமாகும். ஒரு வகை II மெல்லிய தொகுப்பு என்பது ஒரு இயற்கணித உருவகத்தின் (அடிப்படையில் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை வரைபடம்) φ இன் ஒரு படமாகும், இது வேறு சில d-பரிமாண இயற்கணித வகை V′ இன் K-புள்ளிகளுக்கு பயன்படுத்தப்படுகிறது, இது அடிப்படையில் V இல் படி e> 1 உடன் ஒரு விரிவாக்கப்பட்ட மறைப்பாக வரைபடமாக்குகிறது. இதை மேலும் தொழில்நுட்ப ரீதியாகச் சொல்வதானால், வகை II இன் மெல்லிய தொகுப்பு என்பது φ (V′ (K)) இன் எந்த துணைக்குழுவாகும், அங்கு V′ என்பது V இன் அதே அனுமானங்களை திருப்திப்படுத்துகிறது மற்றும் φ என்பது வடிவவியலாளரின் பார்வையில் பொதுவாக புறநிலை ஆகும். எனவே செயல்பாட்டு புலங்களின் மட்டத்தில் நம்மிடம் [K (V): K (V′)] = e> 1 உள்ளது. V இன் ஒரு பொதுவான புள்ளி v என்பது V′ இல் u உடன் φ (u) ஆக இருக்கும்போது, K (V) இல் உள்ள v இலிருந்து, K க்கு மேல் ஒரு டிகிரி e சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதில் இருந்து மட்டுமே u இன் ஆயத்தொலைவுகள் வருகின்றன என்று நாம் பொதுவாக முடிவு செய்ய முடியும். இது கிளாசிக்கல் ஹில்பர்ட் பகுக்கமுடியாத கோட்பாட்டை மேலும் வடிவியல் சொற்களில் மறுசீரமைக்கிறது. ஒரு மெல்லிய தொகுப்பு, பொதுவாக, I மற்றும் II வகைகளின் மெல்லிய தொகுப்புகளின் வரையறுக்கப்பட்ட சங்கத்தின் துணைக்குழுவாகும். A என்பது Q க்கு மேல் உள்ள கோட்டின் மெல்லிய துணைக்குழுவாக இருந்தால், அதிகபட்ச H இல் உயரம் கொண்ட A இன் புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை H ஆகும்ஃ அதிகபட்ச H இல் உயரத்தின் ஒருங்கிணைந்த புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை, இந்த முடிவு சிறந்தது. பெரிய சல்லடை முறையை அடிப்படையாகக் கொண்ட எஸ். டி. கோஹனின் விளைவாக, இந்த முடிவை விரிவுபடுத்துகிறது, உயர செயல்பாட்டின் அடிப்படையில் புள்ளிகளை எண்ணுகிறது மற்றும் ஒரு வலுவான அர்த்தத்தில், ஒரு மெல்லிய தொகுப்பு அவற்றில் குறைந்த விகிதத்தைக் கொண்டுள்ளது என்பதைக் காட்டுகிறது (இது மோர்டெல்-வெயில் தேற்றம் குறித்த செர்ரேவின் சொற்பொழிவுகளில் விரிவாக விவாதிக்கப்பட்டுள்ளது). பின்னர் ஹில்பெர்டியன் புலங்கள் ஹில்பெர்டியன் வகை V ஓவர் K என்பது V (K) மெல்லியதாக இல்லாத ஒன்றுஃ இது V இன் இருதரப்பு மாறிலி ஆகும். ஹில்பெர்டியன் புலம் K என்பது K க்கு மேல் ஹில்பெர்டியன் வகை நேர்மறை பரிமாணம் உள்ளதுஃ இந்த சொல் 1962 இல் லாங்கால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. K என்பது ஹில்பெர்டியன் என்றால், K க்கு மேல் உள்ள ப்ரொஜெக்டிவ் கோடு ஹில்பெர்டியன் ஆகும், எனவே இதை வரையறையாக எடுத்துக் கொள்ளலாம். விகிதமுறு எண் புலம் Q என்பது ஹில்பெர்டியன் ஆகும், ஏனென்றால் ஹில்பெர்ட்டின் பகுக்கமுடியாத கோட்பாடு ஒரு இணையாக Q மீது உள்ள ப்ரொஜெக்டிவ் கோடு ஹில்பெர்டியன் என்று கூறுகிறதுஃ உண்மையில், எந்த இயற்கணித எண் புலமும் ஹில்பெர்டியன் ஆகும், மீண்டும் ஹில்பெர்ட் பகுக்கமுடியாத கோட்பாட்டின் படி. பொதுவாக ஒரு ஹில்பெர்டியன் புலத்தின் வரையறுக்கப்பட்ட டிகிரி நீட்டிப்பு ஹில்பெர்டியன் மற்றும் இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட எல்லையற்ற புலம் ஹில்பெர்டியன் ஆகும். ஹில்பெர்டியன் புலங்களின் நிரந்தர அளவுகோல்களில் பல முடிவுகள் உள்ளன. குறிப்பாக ஹில்பெர்டியனிட்டி வரையறுக்கப்பட்ட பிரிக்கக்கூடிய நீட்டிப்புகள் மற்றும் அபெலியன் நீட்டிப்புகளின் கீழ் பாதுகாக்கப்படுகிறது. N என்பது ஒரு ஹில்பெர்டியன் புலத்தின் கலோயிஸ் நீட்டிப்பாக இருந்தால், N ஹில்பெர்டியனாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை என்றாலும், வெய்ஸாவரின் முடிவுகள் N இன் எந்தவொரு சரியான வரையறுக்கப்பட்ட நீட்டிப்பும் ஹில்பெர்டியன் என்று வலியுறுத்துகின்றன. இந்த திசையில் மிகவும் பொதுவான முடிவு ஹரனின் வைர தேற்றம் ஆகும். இந்த முடிவுகள் மற்றும் பலவற்றைப் பற்றிய விவாதம் ஃப்ரைட்-கார்டனின் ஃபீல்ட் எண்கணிதத்தில் தோன்றுகிறது. ஹில்பெர்டியன் என்பது அளவுகோலின் மறுமுனையில் இயற்கணித ரீதியாக மூடப்பட்டிருப்பதிலிருந்துஃ சிக்கலான எண்கள் அனைத்து செட்களையும் மெல்லியதாக கொண்டுள்ளன, எடுத்துக்காட்டாக. அவை, மற்ற உள்ளூர் புலங்களுடன் (உண்மையான எண்கள், p-adic எண்கள்) ஹில்பெர்டியன் அல்ல. WWA பண்பு ஒரு எண் புலத்தின் மீது ஒரு வகை V க்கான WWA பண்பு (பலவீனமான 'பலவீனமான தோராய', sic) பலவீனமான தோராயமாகும் (cf. இயற்கணிதக் குழுக்களில் தோராயமாக), கொடுக்கப்பட்ட சில வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்புகளைத் தவிர்க்கும் K இன் இடங்களின் வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்புகளுக்கு. எடுத்துக்காட்டாக, K = Q ஐ எடுத்துக் கொள்ளுங்கள்ஃ P பகா எண்களின் வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்புகளில் உள்ள அனைத்து தயாரிப்புகளுக்கும் V (Q) ΠV (Qp) இல் அடர்த்தியாக இருக்க வேண்டும், ஒரு முறை கொடுக்கப்பட்ட சில தொகுப்பு {p1,., pM} எதுவும் இதில் சேர்க்கப்படவில்லை. V க்கான WWA என்பது V என்பது ஹில்பெர்டியன் என்பதைக் குறிக்கிறது என்பதை எகெடால் நிரூபித்துள்ளார். உண்மையில் கொலியட்-தெலீன் எந்தவொரு ஒற்றுமை வகையிலும் டபிள்யுடபிள்யுஏ வைத்திருக்கிறது என்று அனுமானிக்கிறார், எனவே இது ஒரு வலுவான அறிக்கையாகும். இந்த அனுமானம் தலைகீழ் கலோயிஸ் சிக்கலுக்கு ஒரு நேர்மறையான பதிலைக் குறிக்கும். குறிப்புகள் டயோஃபாண்டைன் வடிவியல் புலம் (கணிதம்)