Hadwiger–Nelson problem
வடிவியல் வரைபடக் கோட்பாட்டில், ஹியூகோ ஹாட்விகர் மற்றும் எட்வர்ட் நெல்சன் ஆகியோரின் பெயரால் பெயரிடப்பட்ட ஹாட்விகர்-நெல்சன் சிக்கல், ஒருவருக்கொருவர் 1 தூரத்தில் உள்ள இரண்டு புள்ளிகள் ஒரே நிறத்தைக் கொண்டிருக்காத வகையில் தளத்தை வண்ணமயமாக்கத் தேவையான குறைந்தபட்ச வண்ணங்களைக் கேட்கிறது. பதில் தெரியவில்லை, ஆனால் 5,6 அல்லது 7 எண்களில் ஒன்றாகக் குறைக்கப்பட்டுள்ளது. சரியான மதிப்பு செட் கோட்பாட்டிற்கான கோட்பாடுகளின் தேர்வைப் பொறுத்தது. வரையறுக்கப்பட்ட வரைபடங்களுடனான உறவு கேள்வியை பின்வருமாறு வரைபட கோட்பாட்டு சொற்களில் சொல்லலாம். G என்பது தளத்தின் அலகு தூர வரைபடமாக இருக்கட்டும்ஃ இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரம் 1 ஆக இருந்தால் மட்டுமே, தளத்தின் அனைத்து புள்ளிகளையும் செங்குத்துகளாகக் கொண்ட ஒரு எல்லையற்ற வரைபடம் மற்றும் இரண்டு செங்குத்துகளுக்கு இடையில் ஒரு விளிம்புடன். ஹாட்விகர்-நெல்சன் சிக்கல் ஜி இன் நிற எண்ணைக் கண்டுபிடிப்பதாகும். இதன் விளைவாக, சிக்கல் பெரும்பாலும் "தளத்தின் நிற எண்ணைக் கண்டுபிடிப்பது" என்று அழைக்கப்படுகிறது. டி ப்ரூய்ன்-எர்டாஸ் தேற்றத்தின் விளைவாக, சிக்கல் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட அலகு தூர வரைபடத்தின் மிகப்பெரிய சாத்தியமான நிற எண்ணைக் கண்டுபிடிப்பதற்கு சமமானது (விருப்பத்தின் கோட்பாட்டின் அனுமானத்தின் கீழ்). வரலாற்றின் படி, இந்த சிக்கல் முதன்முதலில் 1950 இல் நெல்சன் என்பவரால் வகுக்கப்பட்டது, மேலும் முதன்முதலில் அவர் வெளியிட்டார். ஐந்து ஒத்த மூடிய செட்களால் விமானத்தின் எந்த மறைப்பும் செட்களில் ஒன்றில் ஒரு அலகு தூரத்தைக் கொண்டிருப்பதைக் காட்டும் ஒரு தொடர்புடைய முடிவை அவர் முன்பு வெளியிட்டார், மேலும் அவர் பிற்கால காகிதத்தில் சிக்கலைக் குறிப்பிட்டுள்ளார். இந்தப் பிரச்சினையையும் அதன் வரலாற்றையும் விரிவாக விவாதிக்கிறார். சிக்கலின் ஒரு பயன்பாடு அதை பெக்மேன்-குவார்லஸ் தேற்றத்துடன் இணைக்கிறது, அதன்படி யூக்ளிடியன் தளத்தின் (அல்லது ஏதேனும் உயர் பரிமாண இடைவெளி) எந்த வரைபடமும் அலகு தூரங்களைப் பாதுகாக்கும் ஒரு ஐசோமெட்ரியாக இருக்க வேண்டும், இது அனைத்து தூரங்களையும் பாதுகாக்கிறது. இந்த இடைவெளிகளின் வரையறுக்கப்பட்ட வண்ணமயமாக்கல்கள் அவற்றிலிருந்து உயர் பரிமாண இடைவெளிகளுக்கு வரைபடங்களை உருவாக்க பயன்படுத்தப்படலாம், அவை தூரங்களைப் பாதுகாக்கின்றன, ஆனால் அவை ஐசோமீட்டரிகள் அல்ல. உதாரணமாக, யூக்ளிடியன் தளத்தை ஆறு பரிமாண இடைவெளியில் ஏழு வண்ணங்களால் வண்ணமயமாக்குவதன் மூலம் வரைபடமாக்க முடியும், இதனால் தூரத்தில் உள்ள இரண்டு புள்ளிகள் ஒரே நிறத்தைக் கொண்டிருக்காது, பின்னர் புள்ளிகளை அவற்றின் வண்ணங்களால் ஆறு பரிமாண வழக்கமான சிம்ப்ளக்ஸின் ஏழு செங்குத்துகளுக்கு அலகு நீள விளிம்புகளுடன் வரைபடமாக்கலாம். இது அலகு தூரத்தில் உள்ள எந்த இரண்டு புள்ளிகளையும் தனித்துவமான வண்ணங்களுக்கும், அங்கிருந்து சிம்ப்ளக்ஸின் தனித்துவமான செங்குத்துகளுக்கும், ஒருவருக்கொருவர் அலகு தூரத்தில் வரைபடமாக்குகிறது. இருப்பினும், இது மற்ற அனைத்து தூரங்களையும் பூஜ்ஜியம் அல்லது ஒன்றுக்கு வரைபடமாக்குகிறது, எனவே இது ஒரு ஐசோமெட்ரி அல்ல. விமானத்திற்கு வண்ணம் பூசத் தேவையான வண்ணங்களின் எண்ணிக்கையை ஏழிலிருந்து குறைந்த எண்ணாகக் குறைக்க முடிந்தால், அதே குறைப்பு இந்த கட்டுமானத்தில் இலக்கு இடத்தின் பரிமாணத்திற்கும் பொருந்தும். கீழ் மற்றும் மேல் எல்லைகள் விமானத்தின் நிற எண் குறைந்தது நான்கு ஆக இருக்க வேண்டும் என்ற உண்மை, 1961 ஆம் ஆண்டில் வில்லியம் மற்றும் லியோ மோசர் சகோதரர்களால் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட பின்னர் மோசர் சுழல் என்று பெயரிடப்பட்ட நிற எண் நான்கைக் கொண்ட ஏழு-வெர்டெக்ஸ் அலகு தூர வரைபடத்தின் இருப்பைப் பின்பற்றுகிறது. இந்த வரைபடம் x என்ற பொதுவான உச்சியில் இணைக்கப்பட்ட இரண்டு அலகு சமபக்க முக்கோணங்களைக் கொண்டுள்ளது. இந்த முக்கோணங்கள் ஒவ்வொன்றும் மற்றொரு விளிம்பில் மற்றொரு சமபக்க முக்கோணத்துடன் இணைக்கப்பட்டுள்ளன; இந்த இணைந்த முக்கோணங்களின் செங்குத்துகள் y மற்றும் z ஒருவருக்கொருவர் அலகு தூரத்தில் உள்ளன. தளம் மூன்று நிறமாக இருக்க முடிந்தால், முக்கோணங்களுக்குள் உள்ள நிறம் y மற்றும் z ஆகிய இரண்டும் x ஐப் போலவே ஒரே நிறத்தைக் கொண்டிருக்கும், ஆனால், y மற்றும் z ஒருவருக்கொருவர் அலகு தூரத்தில் இருப்பதால், நாம் சரியான நிறத்தைக் கொண்டிருக்க மாட்டோம் தளத்தின் அலகு தூர வரைபடம். எனவே, இந்த வரைபடத்திற்கும் அதை உள்ளடக்கிய தளத்திற்கும் வண்ணம் பூச குறைந்தபட்சம் நான்கு வண்ணங்கள் தேவை. பத்து-வெர்டெக்ஸ் நான்கு-வண்ண அலகு தூர வரைபடத்தின் வடிவத்தில் ஒரு மாற்று கீழ் எல்லை, கோலோம்ப் வரைபடம், அதே நேரத்தில் சாலமன் டபிள்யூ. கோலோம்பால் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது. கணினி விஞ்ஞானியும் உயிரியலாளருமான ஆப்ரி டி கிரே 1581-வெர்டெக்ஸ், 4-நிறமற்ற அலகு-தூர வரைபடத்தைக் கண்டறிந்தபோது, 2018 ஆம் ஆண்டில் கீழ் வரம்பு ஐந்தாக உயர்த்தப்பட்டது. இதன் சான்று கணினி உதவியுடன் உள்ளது. கணிதவியலாளர் கில் கலாய் மற்றும் கணினி விஞ்ஞானி ஸ்காட் ஆரோன்சன் ஆகியோர் டி கிரேயின் கண்டுபிடிப்பு பற்றிய விவாதத்தை வெளியிட்டனர், ஆரோன்சன் எஸ்ஏடி தீர்வுகளைப் பயன்படுத்தி டி கிரேயின் முடிவின் சுயாதீன சரிபார்ப்புகளைப் புகாரளித்தார். கலாய் ஜோர்டான் எல்லன்பெர்க் மற்றும் நோம் எல்கிஸ் ஆகியோரின் கூடுதல் இடுகைகளை எல்கிஸ் மற்றும் (தனித்தனியாக) டி கிரே ஆகியோருடன் இணைத்தார், டி கிரேயின் கட்டுமானத்தில் இருந்ததை விட குறைவான செங்குத்துகளுடன் 4-அல்லாத வண்ணமயமான அலகு தூர வரைபடங்களைக் கண்டறிய ஒரு பாலிமாத் திட்டத்தை முன்மொழிந்தார். 2021 ஆம் ஆண்டு நிலவரப்படி, வண்ண எண் 5 உடன் அறியப்பட்ட மிகச்சிறிய அலகு தூர வரைபடம் 509 செங்குத்துகளைக் கொண்டுள்ளது. பாலிமத் திட்டத்தின் பக்கம், மேலும் ஆராய்ச்சி, ஊடக மேற்கோள்கள் மற்றும் சரிபார்ப்பு தரவைக் கொண்டுள்ளது. வண்ண எண்ணில் ஏழின் மேல் எல்லை வழக்கமான அறுகோணங்கள் மூலம் தளத்தின் ஒரு டெஸ்லேஷன் இருப்பதிலிருந்து பின்பற்றுகிறது, விட்டம் ஒன்றுக்கு சற்று குறைவாக உள்ளது, அவை ஏழு வண்ணங்களை மீண்டும் மீண்டும் வடிவத்தில் ஒதுக்கி, தளத்தின் 7-நிறத்தை உருவாக்கலாம். படி, இந்த மேல் வரம்பை முதன்முதலில் ஜான் ஆர். இஸ்பெல் கவனித்தார். மாறுபாடுகள் சிக்கலை எளிதில் உயர் பரிமாணங்களுக்கு நீட்டிக்க முடியும். 3-இடைவெளி நிற எண்ணைக் கண்டுபிடிப்பது குறிப்பாக ஒரு சுவாரஸ்யமான சிக்கலாகும். விமானத்தில் உள்ள பதிப்பைப் போலவே, பதில் தெரியவில்லை, ஆனால் குறைந்தது 6 மற்றும் அதிகபட்சம் 15 என்று காட்டப்பட்டுள்ளது. சிக்கலின் n-பரிமாண வழக்கில், n-பரிமாண க்யூப்ஸ் ஓடுகளிலிருந்து காணப்படும் தேவையான வண்ணங்களின் எண்ணிக்கையில் ஒரு எளிதான மேல் வரம்பு. சிம்ப்ளக்ஸிலிருந்து ஒரு குறைந்த எல்லை உள்ளது. ஏனெனில், மோசர் சுழற்சியின் பொதுமைப்படுத்தலைப் பயன்படுத்தி ஒரு கீழ் எல்லை கிடைக்கிறதுஃ ஒரு ஜோடி பொருள்கள் (ஒவ்வொன்றும் இரண்டு சிம்ப்ளக்ஸ்கள் ஒரு பக்கத்தில் ஒன்றாக ஒட்டப்படுகின்றன) அவை ஒரு பக்கத்தில் ஒரு புள்ளியாலும் மறுபுறம் ஒரு கோட்டாலும் இணைக்கப்படுகின்றன. 1981 ஆம் ஆண்டில் ஃபிராங்க்ல் மற்றும் வில்சன் ஆகியோரால் ஒரு அதிவேக குறைந்த எல்லை நிரூபிக்கப்பட்டது. ஒவ்வொரு நிறத்தின் புள்ளிகளின் தொகுப்புகளும் சில குறிப்பிட்ட வகைகளின் தொகுப்புகளுக்கு மட்டுப்படுத்தப்பட்ட தளத்தின் வண்ணங்களையும் ஒருவர் பரிசீலிக்கலாம். இத்தகைய கட்டுப்பாடுகள் தேவையான வண்ணங்களின் எண்ணிக்கையை அதிகரிக்கக்கூடும், ஏனெனில் அவை சில வண்ணங்கள் ஏற்றுக்கொள்ளப்படுவதைத் தடுக்கின்றன. உதாரணமாக, தளத்தின் நிறம் ஜோர்டான் வளைவுகளால் சூழப்பட்ட பகுதிகளைக் கொண்டிருந்தால், குறைந்தது ஆறு வண்ணங்கள் தேவைப்படுகின்றன. மேலும் காண்க நான்கு வண்ணத் தேற்றம் குறிப்புகள் குறிப்புகள் வெளிப்புற இணைப்புகள் வரைபடக் கோட்பாட்டில் தீர்க்கப்படாத சிக்கல்கள் வடிவியல் வரைபடக் கோட்பாடு வரைபட வண்ணமயமாக்கல் எல்லையற்ற வரைபடங்கள் கணித சிக்கல்கள்