Fenchel's duality theorem
கணிதத்தில், ஃபென்சலின் இரட்டைத் தேற்றம் என்பது வெர்னர் ஃபென்சலின் பெயரிடப்பட்ட குவிந்த செயல்பாடுகளின் கோட்பாட்டின் விளைவாகும். f என்பது Rn இல் சரியான குவிந்த செயல்பாடாக இருக்கட்டும் மற்றும் g என்பது Rn இல் சரியான குழிவான செயல்பாடாக இருக்கட்டும். பின்னர், வழக்கமான நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்பட்டால், இங்கு f * என்பது f இன் குவிந்த இணைவு (ஃபென்செல்-லெஜெண்டர் உருமாற்றம் என்றும் குறிப்பிடப்படுகிறது) மற்றும் g * என்பது g இன் குழிவான இணைவு ஆகும். அதாவது, கணிதத் தேற்றம் X மற்றும் Y ஆகியவை பானாச் இடைவெளிகளாக இருக்கட்டும், மேலும் அவை குவிந்த செயல்பாடுகளாக இருக்க வேண்டும் மற்றும் ஒரு வரம்புக்குட்பட்ட நேரியல் வரைபடமாக இருக்க வேண்டும். பின்னர் ஃபென்செல் சிக்கல்கள்ஃ பலவீனமான இரட்டைத்தன்மையை திருப்திப்படுத்துதல், அதாவது. . அவை முறையே f, g இன் குவிந்த இணைப்புகள் மற்றும் அட்ஜாயின்ட் ஆபரேட்டர் என்பதைக் கவனியுங்கள். இந்த இரட்டை சிக்கலுக்கான இடையூறு செயல்பாடு இதன் மூலம் வழங்கப்படுகிறது. f, g மற்றும் A ஆகியவை f மற்றும் g ஆகியவை குறைந்த அரை-தொடர்ச்சியானவை என்றும், இயற்கணித உட்புறம் எங்கே என்றும், h என்பது சில செயல்பாடாக இருக்கும் இடத்தில், தொகுப்பு அல்லது செயல்பாடு தொடர்ச்சியான புள்ளிகள் எங்கே என்றும் வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் வலுவான இரட்டைத்தன்மை உள்ளது, அதாவது. . அப்படியானால் மேலாதிக்கம் அடையப்படுகிறது. ஒரு பரிமாண விளக்கப்படம் பின்வரும் படத்தில், சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தில் உள்ள மினிமைசேஷன் சிக்கல் விளக்கப்பட்டுள்ளது. x இல் குவிந்த மற்றும் குழிவான வளைவுகளுக்கு இடையிலான செங்குத்து தூரம் முடிந்தவரை சிறியதாக இருக்கும் வகையில் x ஐ மாற்ற ஒருவர் முயல்கிறார். படத்தில் செங்குத்து கோட்டின் நிலை (தோராயமாக) உகந்ததாகும். மேலே உள்ள சமன்பாட்டின் வலது புறத்தில் உள்ள அதிகபட்ச சிக்கலை அடுத்த படம் விளக்குகிறது. இரண்டு தொடுகோடுகளும் ஒரே சாய்வு p ஐக் கொண்டிருக்கும் வகையில் இரண்டு வளைவுகளில் ஒவ்வொன்றிற்கும் தொடுகோடுகள் இழுக்கப்படுகின்றன. சிக்கல் என்னவென்றால், இரண்டு தொடுகோடுகளும் முடிந்தவரை ஒருவருக்கொருவர் தொலைவில் இருக்கும் வகையில் p ஐ சரிசெய்வது (இன்னும் துல்லியமாக, அவை y-அச்சை வெட்டுகின்ற புள்ளிகள் முடிந்தவரை ஒருவருக்கொருவர் தொலைவில் இருக்கும் வகையில்). இரண்டு தொடுகோடுகளையும் செங்குத்து நீரூற்றுகள் கொண்ட உலோகக் கம்பிகளாக கற்பனை செய்து பாருங்கள், அவை அவற்றைத் தள்ளி, இரண்டு பரவளையங்களுக்கு எதிராக உள்ளன. ஃபென்சலின் தேற்றம் இரண்டு சிக்கல்களுக்கும் ஒரே தீர்வு இருப்பதாகக் கூறுகிறது. குறைந்தபட்ச செங்குத்து பிரிப்பைக் கொண்ட புள்ளிகளும் அதிகபட்சமாக பிரிக்கப்பட்ட இணையான தொடுகோடுகளுக்கான தொடுகோடு புள்ளிகளாகும். மேலும் பார்க்கவும் லெஜெண்ட்ரே மாற்றம் கன்வெக்ஸ் கான்ஜுகேட் மொரியோவின் தேற்றம் வொல்ஃப் டூயலிட்டி வெர்னர் ஃபென்செல் குறிப்புகள் கோட்பாடுகள் பகுப்பாய்வில் கன்வெக்ஸ் உகப்பாக்கம்