Cartan's criterion
கணிதத்தில், கார்டனின் அளவுகோல் 0 என்ற பண்பு கொண்ட ஒரு லை இயற்கணிதத்திற்கு தீர்க்கக்கூடிய நிபந்தனைகளை வழங்குகிறது, இது லை இயற்கணிதம் அரை எளிமையானதாக இருப்பதற்கான தொடர்புடைய அளவுகோலைக் குறிக்கிறது. இது கொலை வடிவத்தின் கருத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது, இது ஒரு சமச்சீர் இருமுனை வடிவமாகும், இது ஒரு நேரியல் இயக்கியின் சுவடுகளைக் குறிக்கும் சூத்திரத்தால் வரையறுக்கப்படுகிறது. அளவுகோல் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. தீர்க்கக்கூடிய தன்மைக்கான கார்டனின் அளவுகோல் கார்டனின் தீர்க்கக்கூடிய தன்மைக்கான அளவுகோல் கூறுகிறதுஃ ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண திசையன் இடத்தின் எண்டோமார்பிசங்களின் ஒரு லை துணை இயற்கணிதம் ஒரு பண்பு பூஜ்ஜிய புலத்தின் மீது இருந்தால் மட்டுமே தீர்க்க முடியும். தீர்க்கக்கூடிய வழக்கில் லையின் தேற்றத்திலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது, இது தரை புலத்தின் இயற்கணித மூடலின் மேல் முக்கோண வடிவத்தில் வைக்கிறது (சுவடு தரை புலத்தை நீட்டித்த பிறகு கணக்கிடப்படலாம்). ஜோர்டான்-செவல்லி சிதைவின் அடிப்படையில் நில்பொடென்சி அளவுகோலிலிருந்து எதிர்ப்பைக் கண்டறியலாம் (ஆதாரத்திற்கு, இணைப்பைப் பின்பற்றவும்). அருகிலுள்ள பிரதிநிதித்துவத்திற்கு கார்டனின் அளவுகோலைப் பயன்படுத்துவது பின்வருமாறுஃ ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண லை இயற்கணிதம் பூஜ்ஜிய பண்பு புலத்தின் மீது இருந்தால் மட்டுமே தீர்க்க முடியும் (K என்பது கொலை வடிவமாக இருந்தால்). அரை எளிமைக்கான கார்டனின் அளவுகோல் கார்டனின் அரை எளிமைக்கான அளவுகோல் கூறுகிறதுஃ ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண லை இயற்கணிதம் பூஜ்ஜிய பண்பு புலத்தின் மீது கொலை வடிவம் சிதைக்கப்படாவிட்டால் மட்டுமே அரை எளிமையானது. ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண லை இயற்கணிதம் (எந்தவொரு பண்பிலும்) சிதைவடையாத மாறாத இருமுனை வடிவத்தைக் கொண்டிருந்தால் மற்றும் பூஜ்ஜியமற்ற அபெலியன் இலட்சியங்கள் இல்லையென்றால், குறிப்பாக அதன் கொலை வடிவம் சிதைவடையாததாக இருந்தால், அது எளிய லை ஆல்ஜிப்ராக்களின் கூட்டுத்தொகை என்பதற்கு ஒரு குறுகிய ஆதாரத்தை அளித்தது. இதற்கு நேர்மாறாக, ஒரு அரை எளிய இயற்கணிதம் (பண்பு 0 இல்) சிதைக்கப்படாத கொலை வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது என்பது கார்டனின் தீர்க்கக்கூடிய அளவுகோலிலிருந்து எளிதில் பின்பற்றப்படுகிறது. கார்டனின் அளவுகோல்கள் பண்புகளில் தோல்வியடைகின்றன; எடுத்துக்காட்டாகஃ லை இயற்கணிதம் எளிமையானது, k க்கு 2 அல்ல பண்பு இருந்தால் மற்றும் மறைந்துபோகும் கொலை வடிவத்தைக் கொண்டிருந்தால், அது பூஜ்ஜியமற்ற மாறாத இருமுனை வடிவத்தைக் கொண்டிருந்தாலும். லை அல்ஜிப்ரா அடிப்படை மற்றும் அடைப்புக்குறிப்பு [ai, aj] = (i−j) ai + j க்கு எளிமையானது, ஆனால் பூஜ்ஜியமற்ற மாறாத இருமுனை வடிவம் இல்லை. k க்கு பண்பு 2 இருந்தால், அரை மறைமுக பெருக்கல் gl2 (k). k2 என்பது தீர்க்கக்கூடிய லை இயற்கணிதமாகும், ஆனால் கொலை வடிவம் அதன் பெறப்பட்ட இயற்கணிதமான sl2 (k). k2 இல் ஒரே மாதிரியாக பூஜ்ஜியமாக இல்லை. ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண லை இயற்கணிதம் நில்பொடென்ட் என்றால், கொலை வடிவம் ஒரே மாதிரியாக பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் (மேலும் பொதுவாக கொலை வடிவம் எந்த நில்பொடென்ட் இலட்சியத்திலும் மறைந்துவிடும்). இதற்கு நேர்மாறானது தவறானதுஃ கொல்லும் வடிவம் மறைந்துவிடும் நில்பொடென்ட் அல்லாத லை ஆல்ஜிப்ராக்கள் உள்ளன. ஒரு உதாரணம் ஒரு அபெலியன் லை இயற்கணிதம் V இன் அரை மறைமுக பெருக்கல் மூலம் வழங்கப்படுகிறது, இதில் 1 பரிமாண லை இயற்கணிதம் V இல் ஒரு எண்டோமார்பிசம் b ஆக செயல்படுகிறது, அதாவது b நில்போட்டன்ட் அல்ல மற்றும் Tr (b2) = 0. பண்பு 0 இல், ஒவ்வொரு குறைப்பு லை இயற்கணிதமும் (அபெலியன் மற்றும் எளிய லை ஆல்ஜிப்ராக்களின் கூட்டுத்தொகையாகும்) சிதைக்கப்படாத மாறாத சமச்சீர் இருமுனை வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது. இருப்பினும் இதற்கு நேர்மாறானது தவறானதுஃ சீரழியாத மாறாத சமச்சீர் இருமுனை வடிவத்தைக் கொண்ட ஒரு லை இயற்கணிதம் எளிய மற்றும் அபெலியன் லை ஆல்ஜிப்ராக்களின் கூட்டுத்தொகையாக இருக்க வேண்டியதில்லை. ஒரு பொதுவான எதிர் எடுத்துக்காட்டு G = L [t]/tnL [t] ஆகும், இதில் n> 1, L என்பது இருமுனை வடிவம் (,) கொண்ட ஒரு எளிய சிக்கலான லை அல்ஜீப்ரா ஆகும், மேலும் G இல் உள்ள இருமுனை வடிவம் L இல் உள்ள வடிவத்தால் தூண்டப்பட்ட G இல் உள்ள C [t]-மதிப்புள்ள இருமுனை வடிவத்தின் tn−1 இன் குணகத்தை எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம் வழங்கப்படுகிறது. குறிப்புகள் குறிப்புகள் மேலும் காண்க மாடுலர் லை அல்ஜீப்ரா லை ஆல்ஜிப்ராக்கள்