Generalized Jacobian
இயற்கணித வடிவவியலில் ஒரு பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ஜாகோபியன் என்பது ஒரு வகுத்தியுடன் ஒரு வளைவுடன் தொடர்புடைய ஒரு பரிமாற்ற இயற்கணிதக் குழுவாகும், இது ஒரு முழுமையான வளைவின் ஜாகோபியன் வகையை பொதுமைப்படுத்துகிறது. அவை 1954 ஆம் ஆண்டில் மேக்ஸ்வெல் ரோசன்லிக்ட் என்பவரால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டன, மேலும் ஒரு வளைவின் விரிவாக்கப்பட்ட உறைகளை அபெலியன் கலோயிஸ் குழுவுடன் ஆய்வு செய்ய பயன்படுத்தப்படலாம். ஒரு வளைவின் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ஜாகோபியர்கள் என்பது ஒரு பரிமாற்ற அஃபைன் இயற்கணிதக் குழுவால் வளைவின் ஜாகோபியனின் நீட்டிப்புகள் ஆகும், இது செவால்லியின் கட்டமைப்பு தேற்றத்தின் அற்பமான எடுத்துக்காட்டுகளை வழங்குகிறது. வரையறை C என்பது ஒரு முழுமையான ஒற்றை அல்லாத வளைவு, m என்பது C இல் ஒரு பயனுள்ள வகுத்தி, S என்பது m இன் ஆதரவு, மற்றும் P என்பது C இல் ஒரு நிலையான அடிப்படை புள்ளி, S இல் இல்லை. பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ஜாகோபியன் Jm என்பது ஒரு பரிமாற்ற இயற்கணிதக் குழுவாகும், இது C முதல் Jm வரையிலான விகிதமுறு வரைபடத்துடன் உள்ளதுஃ f என்பது P ஐ Jm இன் அடையாளத்திற்கு அழைத்துச் செல்கிறது. f என்பது S க்கு வெளியே வழக்கமானதாகும். f (D) = 0 என்ற போது D என்பது C இல் உள்ள ஒரு விகிதமுறு சார்பான g இன் வகுத்தி ஆகும், அதாவது g ஷ்ண 1 மட்டு m. மேலும் Jm என்பது இந்த பண்புகளைக் கொண்ட உலகளாவிய குழுவாகும், அதாவது C இலிருந்து Jm மூலம் தனித்துவமாக மேலே உள்ள காரணிகளைக் கொண்ட ஒரு குழுவிற்கு எந்த விகிதமுறு வரைபடமும். குழு Jm அடிப்படை புள்ளி P இன் தேர்வைப் பொறுத்தது அல்ல, இருப்பினும் P ஐ மாற்றுவது ஒரு மொழிபெயர்ப்பு மூலம் f ஐ வரைபடமாக்குகிறது. m = 0 க்கு பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ஜாகோபியன் Jm என்பது வழக்கமான ஜாகோபியன் J ஆகும், இது ஒரு அபெலியன் வகை பரிமாணம் g, C இன் இனமாகும். எனவே நம்மிடம் ஒரு சரியான வரிசை உள்ளது 0 → Lm → Jm → J → 0 குழு Lm என்பது ஒரு ஈவு 0 → Gm → ΠUPI (ni) → Lm → 0 குழுக்களின் பெருக்கலின் அடிப்படையில் உள்ள புலத்தின் பெருக்கக் குழு Gm. தயாரிப்பு m இன் ஆதரவில் பை புள்ளிகளுக்கு மேல் இயங்குகிறது, மேலும் யுபிஐ (என்ஐ) குழு என்பது உள்ளூர் வளைய மாடுலோவின் தலைகீழ் கூறுகளின் குழுவாகும், அவை 1 மோட் பினி ஆகும். யூ. பி. ஐ. (என். ஐ.) குழுவிற்கு பரிமாணம் என். ஐ. உள்ளது, இது எம். இல் எத்தனை முறை பை ஏற்படுகிறது. இது ஜி. எம். பெருக்கக் குழுவின் பெருக்கல் ஆகும், இது ஒரு ஒற்றை ஆற்றல் கொண்ட பரிமாணக் குழுவால் என். ஐ.-1, இது பண்பு 0 இல் என். ஐ.-1 சேர்க்கைக் குழுக்களின் பெருக்கலுக்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும். சிக்கலான பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ஜாகோபியர்கள் சிக்கலான எண்களில், பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ஜாகோபியனின் இயற்கணித அமைப்பு பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ஜாகோபியனின் பகுப்பாய்வு கட்டமைப்பை தீர்மானிக்கிறது, இது ஒரு சிக்கலான லை குழுவாக அமைகிறது. பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ஜாகோபியனின் அடிப்படையிலான பகுப்பாய்வு துணைக்குழுவை பின்வருமாறு விவரிக்கலாம். (இது எப்போதும் இயற்கணித கட்டமைப்பை தீர்மானிக்காது, ஏனெனில் இரண்டு ஐசோமார்பிக் அல்லாத பரிமாற்ற இயற்கணித குழுக்கள் பகுப்பாய்வு குழுக்களாக ஐசோமார்பிக் ஆக இருக்கலாம்.) சிக்கலான திசையன் இடைவெளி ω (−m) (m மீது துருவங்களுடன் 1-வடிவங்கள்) இன் H1 (C−S) சமச்சீர் குழுவிலிருந்து இரட்டை ω (−m) * வரை ஒரு இயற்கையான வரைபடம் உள்ளது, இது 1-சுழற்சியில் 1-வடிவத்தின் ஒருங்கிணைப்பால் தூண்டப்படுகிறது. பகுப்பாய்வு பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ஜாகோபியன் பின்னர் ஈவுக் குழு ω (−m) */H1 (C −S) ஆகும். குறிப்புகள் இயற்கணித குழுக்கள் இயற்கணித வளைவுகள்