Étale morphism
இயற்கணித வடிவவியலில், ஒரு ஏட்டேல் மார்ஃபிசம் () என்பது முறைப்படி ஏட்டேல் மற்றும் உள்ளூரில் வரையறுக்கப்பட்ட விளக்கக்காட்சியைக் கொண்ட திட்டங்களின் உருவவியல் ஆகும். இது சிக்கலான பகுப்பாய்வு இடவியலில் ஒரு உள்ளூர் ஐசோமார்பிசம் என்ற கருத்தின் இயற்கணித ஒப்புமை ஆகும். அவை மறைமுக செயல்பாட்டு தேற்றத்தின் கருதுகோள்களை திருப்திப்படுத்துகின்றன, ஆனால் ஜாரிஸ்கி இடவியலில் திறந்த தொகுப்புகள் மிகவும் பெரியவை என்பதால், அவை உள்ளூர் ஐசோமார்பிசம்கள் அல்ல. இது இருந்தபோதிலும், ஏட்டேல் வரைபடங்கள் உள்ளூர் பகுப்பாய்வு ஐசோமார்பிசங்களின் பல பண்புகளை தக்க வைத்துக் கொள்கின்றன, மேலும் அவை இயற்கணித அடிப்படை குழு மற்றும் ஏட்டேல் இடவியல் ஆகியவற்றை வரையறுக்க பயனுள்ளதாக இருக்கும். étale என்ற சொல் ஒரு பிரெஞ்சு பெயரடை, இதன் பொருள் "மந்தமான", "மந்தமான அலை" அல்லது, அடையாளப்பூர்வமாக, அமைதியான, அசையாத, குடியேறுவதற்கு எஞ்சிய ஒன்று. வரையறை ஒரு வளைய ஹோமோமார்பிசமாக இருக்கட்டும். இது ஒரு-இயற்கணிதத்தை உருவாக்குகிறது. ஒரு மோனிக் பல்லுறுப்புக்கோவை மற்றும் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகியவற்றைத் தேர்ந்தெடுக்கவும், அதன் வழித்தோன்றல் ஒரு அலகு ஆகும். தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டால் அது நிலையான அடேல் என்று நாம் கூறுகிறோம், எனவே இது ஒரு-இயற்கணிதமாக ஐசோமார்பிக் மற்றும் நியதி வரைபடமாகும். திட்டங்களின் உருவகமாக இருக்கட்டும். பின்வரும் சமமான பண்புகளில் ஏதேனும் இருந்தால் மட்டுமே அது étale என்று நாம் கூறுகிறோம்ஃ தட்டையானது மற்றும் கட்டப்படாதது. இது ஒரு மென்மையான உருவகம் மற்றும் கட்டப்படாதது. தட்டையானது, உள்ளூரில் வரையறுக்கப்பட்ட விளக்கக்காட்சியைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் ஒவ்வொரு உள்ளுக்கும், நார் என்பது புள்ளிகளின் இணைந்த ஒன்றிணைப்பாகும், அவை ஒவ்வொன்றும் எஞ்சிய புலத்தின் வரையறுக்கப்பட்ட பிரிக்கக்கூடிய புலம் நீட்டிப்பின் நிறமாலையாகும். இது தட்டையானது, உள்ளூரில் வரையறுக்கப்பட்ட விளக்கக்காட்சியைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் எஞ்சிய புலத்தின் ஒவ்வொரு இயற்கணித மூடலுக்கும், வடிவியல் நார் என்பது புள்ளிகளின் வேறுபட்ட ஒன்றிணைப்பாகும், அவை ஒவ்வொன்றும் ஐசோமார்பிக் ஆகும். இது ஒப்பீட்டு பரிமாண பூஜ்ஜியத்தின் மென்மையான உருவகம் ஆகும். இது ஒரு மென்மையான உருவகம் மற்றும் உள்ளூரில் அரை-எல்லைக்குட்பட்ட உருவகம் ஆகும். இது உள்ளூரில் வரையறுக்கப்பட்ட விளக்கக்காட்சியைக் கொண்டுள்ளது மற்றும் உள்ளூரில் ஒரு நிலையான அடில் மார்ஃபிஸம் ஆகும், அதாவது, ஒவ்வொன்றிற்கும், விடுங்கள். பின்னர் ஒரு திறந்த அஃபைன் நெய்பர்ஹுட் மற்றும் ஒரு திறந்த அஃபைன் நெய்பர்ஹுட் உள்ளது, அதில் உள்ள ரிங் ஹோமோமார்பிசம் நிலையான étale ஆகும். இது உள்ளூரில் வரையறுக்கப்பட்ட விளக்கக்காட்சியைக் கொண்டுள்ளது மற்றும் முறையாக சொல்லப்படுகிறது. இது உள்ளூரில் வரையறுக்கப்பட்ட விளக்கக்காட்சியைக் கொண்டுள்ளது மற்றும் உள்ளூர் வளையங்களிலிருந்து வரைபடங்களுக்கு முறையாக étale ஆகும், அதாவதுஃ ஒரு உள்ளூர் வளையமாக இருக்கட்டும், அத்தகைய ஒரு இலட்சியமாக இருக்கட்டும். செட் மற்றும், மற்றும் நியதி மூடிய மூழ்கும் இருக்கட்டும். மூடிய புள்ளியைக் குறிக்கலாம். அது போன்ற உருவகங்களாக இருக்கட்டும். பின்னர் அது போன்ற ஒரு தனித்துவமான-உருவகம் உள்ளது. அது உள்ளூரில் நொய்தேரியன் மற்றும் f என்பது உள்ளூரில் வரையறுக்கப்பட்ட வகையைச் சேர்ந்தது என்று வைத்துக்கொள்வோம். உள்ளே, முடிக்கப்பட்ட உள்ளூர் வளையங்களில் தூண்டப்பட்ட வரைபடமாக இருக்கட்டும். பின்னர் பின்வருபவை சமமானவைஃ étale ஆகும். ஒவ்வொன்றிற்கும், முடிக்கப்பட்ட உள்ளூர் வளையங்களில் தூண்டப்பட்ட வரைபடம் முறையாக அடிக் இடவியல் ஆகும். ஒவ்வொன்றிற்கும், ஒரு ஃப்ரீ-தொகுதி மற்றும் ஃபைபர் என்பது ஒரு புலம், இது எஞ்சிய புலத்தின் வரையறுக்கப்பட்ட பிரிக்கக்கூடிய புலம் நீட்டிப்பாகும். (இங்கே அதிகபட்ச ஐடியல் உள்ளது.) பின்வரும் கூடுதல் பண்புகளைக் கொண்ட உள்ளூர் வளையங்களின் வரைபடங்களுக்கு இது முறையாகச் சொல்லப்படுகிறது. உள்ளூர் வளையத்தை ஆர்டினியன் என்று கருதலாம். அதிகபட்ச ஐடியல் என்றால், திருப்தி என்று கருதலாம். இறுதியாக, எஞ்சிய புலங்களில் உள்ள உருவகம் ஒரு ஐசோமார்பிசம் என்று கருதப்படலாம். கூடுதலாக, எஞ்சிய புலங்களில் உள்ள அனைத்து வரைபடங்களும் ஐசோமார்பிசம்களாக இருந்தால், அல்லது தனித்தனியாக மூடப்பட்டிருந்தால், ஒவ்வொன்றிற்கும், முடிக்கப்பட்ட உள்ளூர் வளையங்களில் தூண்டப்பட்ட வரைபடம் ஒரு ஐசோமார்பிசமாக இருந்தால் மட்டுமே அது étale ஆகும். எடுத்துக்காட்டுகள் ஏதேனும் திறந்த நீரில் மூழ்குவது ஏட்டேல் ஆகும், ஏனெனில் இது உள்ளூரில் ஒரு ஐசோமார்பிசம் ஆகும். மூடும் இடைவெளிகள் ஏட்டேல் மார்ஃபிஸம்களின் எடுத்துக்காட்டுகள் ஆகும். எடுத்துக்காட்டாக, வளையத்தில் ஒரு முழு எண் தலைகீழாக இருந்தால், அது ஒரு டிகிரி அடேல் மார்ஃபிசம் ஆகும். எந்த ரேமிஃபைட் மூடுதலும் ஒரு ரேமிஃபைட் லோகஸைக் கொண்டுள்ளது, இது étale ஆகும். வரையறுக்கப்பட்ட பிரிக்கக்கூடிய புலம் நீட்டிப்புகளால் தூண்டப்படும் உருவகங்கள் étale-அவை கொடுக்கப்பட்ட டெக் உருமாற்றங்களின் குழுவுடன் எண்கணித மூடும் இடைவெளிகளை உருவாக்குகின்றன. வடிவத்தின் எந்த வளைய ஹோமோமார்பிசமும், அனைத்து பல்லுறுப்புக்கோவைகளும், மற்றும் ஜாகோபியன் தீர்மானிப்பவர் ஒரு அலகாக இருக்கும் இடத்தில், étale ஆகும். எடுத்துக்காட்டாக, மார்ஃபிஸம் ஈட்டேல் மற்றும் டெக் உருமாற்றங்களின் குழுவுடன் ஒரு டிகிரி உள்ளடக்கிய இடத்துடன் ஒத்திருக்கிறது. முந்தைய உதாரணத்தை விரிவுபடுத்தினால், மென்மையான சிக்கலான இயற்கணித வகைகளின் உருவவியல் நம்மிடம் உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். சமன்பாடுகளால் கொடுக்கப்படுவதால், அதை சிக்கலான பன்மடங்கு வரைபடமாக நாம் விளக்கலாம். ஜாகோபியன் பூஜ்ஜியமற்றதாக இருக்கும்போதெல்லாம், உள்ளார்ந்த செயல்பாட்டு தேற்றத்தால் சிக்கலான பன்மடங்கு ஒரு உள்ளூர் ஐசோமார்பிசம் ஆகும். முந்தைய உதாரணத்தின் படி, பூஜ்ஜியமற்ற ஜாகோபியன் இருப்பது ஏட்டேலாக இருப்பதற்கு சமம். X, Y உள்ளூரில் நொய்தீரியன், பகுக்கமுடியாத மற்றும் Y இயல்பான வரையறுக்கப்பட்ட வகையின் மேலாதிக்க உருவகமாக இருக்கட்டும். f கட்டப்படாததாக இருந்தால், அது étale ஆகும். ஒரு புலம் K க்கு, எந்த K-இயற்கணிதம் A அவசியம் தட்டையானது. எனவே, A என்பது ஒரு ஈட்டேல் அல்ஜிப்ரா ஆகும், அது அன்ராமிஃபைட் செய்யப்பட்டால் மட்டுமே, இது K புலத்தின் பிரிக்கக்கூடிய மூடல் மற்றும் வலது புறம் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட நேரடி தொகைக்கு சமம், அதன் அனைத்து கூட்டுத்தொகைகளும் உள்ளன. ஈட்டேல் கே-ஆல்ஜிப்ராஸின் இந்த தன்மை கிளாசிக்கல் கலோயிஸ் கோட்பாட்டை மறுபரிசீலனை செய்வதற்கான ஒரு படியாகும் (கிரோதெண்டீக்கின் கலோயிஸ் கோட்பாட்டைப் பார்க்கவும்). பண்புகள் ஈட்டேல் உருவகங்கள் கலவை மற்றும் அடிப்படை மாற்றத்தின் கீழ் பாதுகாக்கப்படுகின்றன. இடேல் உருவகப்படுத்துதல்கள் மூலத்திலும் அடித்தளத்திலும் உள்ளூரில் உள்ளன. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், திறந்த சப்ஷீம்களின் மூலம் ஒவ்வொரு மூடுதலுக்கும் மூடுதலின் திறந்த சப்ஷீம்கள் ஒவ்வொன்றிற்கும் கட்டுப்பாடு இருந்தால் மட்டுமே, மேலும் திறந்த சப்ஷீம்களின் மூலம் ஒவ்வொரு மூடுதலுக்கும் தூண்டப்பட்ட மார்ஃபிஸம்கள் இருந்தால் மட்டுமே மூடுதலின் ஒவ்வொரு சப்ஷீமுக்கும். குறிப்பாக, திறந்த அஃபைன்களில் étale என்ற பண்பை சோதிக்க முடியும். ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட எடேல் உருவகங்களின் குடும்பத்தின் விளைபொருள் எடேல் ஆகும். ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட உருவவியல் குடும்பத்தைப் பொறுத்தவரை, ஒவ்வொன்றும் நிலையானதாக இருந்தால் மட்டுமே வேறுபட்ட ஒன்றிணைப்பு நிலையானது. லெட் அண்ட், மற்றும் அது அன்ராமிஃபைட் மற்றும் ஏட்டேல் என்று வைத்துக்கொள்வோம். பிறகு அடங்கிப் போகிறது. குறிப்பாக, மற்றும் étale முடிந்துவிட்டால், மற்றும் இடையே எந்த-உருமாற்றமும் étale ஆகும். குவாசி-காம்பாக்ட் ஏட்டேல் மார்ஃபிசம்கள் குவாசி-ஃபைனைட் ஆகும். ஒரு மார்ஃபிஸம் என்பது ஒரு திறந்த நீரில் மூழ்கும் போது, அது மிதமான மற்றும் ரேடிக்கலாக இருந்தால் மட்டுமே. ஏட்டேல் மற்றும் சர்ஜெக்டிவ் என்றால், பின்னர் (வரையறுக்கப்பட்ட அல்லது இல்லையெனில்). தலைகீழ் செயல்பாட்டு தேற்றம் etale உருவகப்படுத்துதல்கள் f: X → Y என்பது உள்ளூர் டிப்ஃபோமார்பிசங்களின் இயற்கணித எதிர்ப்பொருளாகும். இன்னும் துல்லியமாக, மென்மையான வகைகளுக்கு இடையிலான ஒரு உருவகம் ஒரு புள்ளியில் étale ஆகும், இது தொடர்புடைய தொடுகோடு இடைவெளிகளுக்கு இடையிலான வேறுபாடு ஒரு ஐசோமார்பிசம் ஆகும். பன்மடங்கு இடையே ஒரு வரைபடம் ஒரு உள்ளூர் டிப்ஃபோமார்பிசம் என்பதை உறுதிப்படுத்த இது துல்லியமாக தேவையான நிபந்தனையாகும், அதாவது. எந்தவொரு புள்ளிக்கும், x இன் திறந்த சுற்று U உள்ளது, அதாவது f முதல் U வரையிலான கட்டுப்பாடு ஒரு டிப்ஃபோமார்பிசம் ஆகும். இந்த முடிவு இயற்கணித வடிவவியலில் இல்லை, ஏனெனில் இடவியல் மிகவும் கரடுமுரடானது. எடுத்துக்காட்டாக, y-அச்சுக்கு y = x2 என்ற பரவளையத்தின் f திட்டத்தைக் கவனியுங்கள். இந்த உருவகம் தோற்றம் (0,0) தவிர ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் étale ஆகும், ஏனெனில் வேறுபாடு 2x ஆல் வழங்கப்படுகிறது, இது இந்த புள்ளிகளில் மறைந்துவிடாது. இருப்பினும், f இன் உள்ளூர் தலைகீழ் (ஜாரிஸ்கி-) இல்லை, ஏனெனில் வர்க்கமூலம் ஒரு இயற்கணித வரைபடம் அல்ல, இது பல்லுறுப்புக்கோவைகளால் வழங்கப்படவில்லை. இருப்பினும், étale இடவியல் பயன்படுத்தி, இந்த நிலைமைக்கு ஒரு தீர்வு உள்ளது. துல்லியமான கூற்று பின்வருமாறுஃ étale மற்றும் வரையறுக்கப்பட்டதாக இருந்தால், Y இல் உள்ள எந்த புள்ளிக்கும், அதன் படத்தில் y ஐக் கொண்ட ஒரு étale மார்ஃபிசம் V → Y உள்ளது (V ஐ y இன் ஒரு étale திறந்த சுற்றுப்புறமாக கருதலாம்), அதாவது நாம் f ஐ V க்கு மாற்றும்போது, (முதல் உறுப்பினர் V இன் முன் படமாக இருக்கும், V ஒரு ஜாரிஸ்கி திறந்த சுற்றுப்புறமாக இருந்தால்) V க்கு ஐசோமார்பிக் திறந்த துணைக்குழுக்களின் வரையறுக்கப்பட்ட வேறுபட்ட ஒன்றிணைப்பாகும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், Y இல் உள்ள étale-உள்ளூர், மார்ஃபிசம் f என்பது ஒரு இடவியல் வரையறுக்கப்பட்ட கவர் ஆகும். ஒப்பீட்டு பரிமாணம் n இன் மென்மையான உருமாற்றத்திற்கு, X மற்றும் Y இல் உள்ளிடத்தில், f என்பது ஒரு அஃபைன் இடத்தில் திறந்த நீரில் மூழ்குவதாகும். இது நீரில் மூழ்குவது குறித்த கட்டமைப்பு தேற்றத்தின் அடில் அனலாக் பதிப்பாகும். தூய்மை (இயற்கணித வடிவியல்) குறிப்புகள் நூலியல் ஜே. எஸ். மில்னே (2008) ஐயும் பார்க்கவும். திட்டங்களின் ஈட்டேல் கோஹோமோலஜி மார்ஃபிசம் பற்றிய சொற்பொழிவுகள்