Van Aubel's theorem
விமான வடிவவியலில், வான் ஆபலின் தேற்றம் ஒரு நாற்கரத்தின் பக்கங்களில் கட்டப்பட்ட சதுரங்களுக்கு இடையிலான உறவை விவரிக்கிறது. கொடுக்கப்பட்ட குவிந்த நாற்கரத்தில் தொடங்கி, ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் நாற்கரத்திற்கு வெளிப்புறமாக ஒரு சதுரத்தை உருவாக்குங்கள். எதிர் சதுரங்களின் மையங்களுக்கு இடையிலான இரண்டு கோடு பிரிவுகளும் சம நீளமுள்ளவை மற்றும் ஒருவருக்கொருவர் சரியான கோணங்களில் உள்ளன என்று வான் ஆபலின் தேற்றம் கூறுகிறது. இதே விஷயத்தைச் சொல்வதற்கான மற்றொரு வழி என்னவென்றால், நான்கு சதுரங்களின் மைய புள்ளிகள் ஒரு ஈக்விடியோகனல் ஆர்த்தோடியாகனல் நாற்கரத்தின் செங்குத்துகளை உருவாக்குகின்றன. இந்த தேற்றம் பெல்ஜிய கணிதவியலாளர் ஹென்ரிகஸ் ஹூபர்டஸ் (ஹென்றி) வான் ஆபெல் (1830-1906) என்பவரின் பெயரால் அழைக்கப்படுகிறது, அவர் இதை 1878 இல் வெளியிட்டார். இந்த தேற்றம் மறு நுழைவு நாற்கரங்களுக்கும், கொடுக்கப்பட்ட நாற்கரத்திற்கு சதுரங்கள் உள்நாட்டில் கட்டப்படும் போதும் பொருந்தும். சிக்கலான (சுய-வெட்டுதல்) நாற்கரங்களுக்கு, சதுரங்களுக்கான வெளிப்புற மற்றும் உள் கட்டமைப்புகள் வரையறுக்க முடியாதவை. இந்த விஷயத்தில், கட்டுமானங்கள் மிகவும் பொதுவான வழியில் மேற்கொள்ளப்படும்போது தேற்றம் உண்மையாக உள்ளதுஃ ஒரு தொடர்ச்சியான திசையில் நாற்கர செங்குத்துகளைப் பின்பற்றி, கொடுக்கப்பட்ட நாற்கரத்தின் ஒவ்வொரு பக்கத்தின் வலது புறத்திலும் ஒவ்வொரு சதுரத்தையும் உருவாக்குங்கள். நாற்கர செங்குத்துகளை ஒரே தொடர்ச்சியான திசையில் பின்பற்றி, கொடுக்கப்பட்ட நாற்கரத்தின் ஒவ்வொரு பக்கத்தின் இடது புறத்திலும் ஒவ்வொரு சதுரத்தையும் உருவாக்குங்கள். இரண்டு எதிர் பக்கங்களில் நாற்கரத்திற்கு வெளிப்புறமாக (அல்லது உட்புறமாக) கட்டப்பட்ட சதுரங்களின் மையங்களை இணைக்கும் பிரிவுகள் வான் ஆபெல் பிரிவுகள் என்று குறிப்பிடப்படுகின்றன. இரண்டு சமமான மற்றும் ஆர்த்தோகனல் வான் ஆபெல் பிரிவுகளின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகள் (தேவைப்படும்போது உற்பத்தி செய்யப்படும்) வான் ஆபெல் புள்ளிகள் என்று குறிப்பிடப்படுகின்றனஃ வெளிப்புற கட்டுமானத்திற்கான முதல் அல்லது வெளிப்புற வான் ஆபெல் புள்ளி, உட்புறத்திற்கான இரண்டாவது அல்லது உள் வான் ஆபெல் புள்ளி. வான் ஆபெல் தேற்ற அமைப்பு சில பொருத்தமான அம்சங்களை வழங்குகிறது, மற்றவற்றுடன்ஃ வான் ஆபெல் புள்ளிகள் நாற்கரத்தின் இரண்டு சுற்றப்பட்ட சதுரங்களின் மையங்களாகும். வான் ஆபெல் புள்ளிகள், நாற்கர மூலைவிட்டங்களின் நடுப்புள்ளிகள் மற்றும் வான் ஆபெல் பிரிவுகளின் நடுப்புள்ளிகள் ஆகியவை ஒருங்கிணைந்தவை. இந்த தேற்றத்தின் சில விரிவாக்கங்கள், ஒத்த செவ்வகங்களைக் கருத்தில் கொண்டு, கொடுக்கப்பட்ட நாற்கரத்தின் பக்கங்களில் கட்டப்பட்ட ஒத்த ரோம்பி மற்றும் ஒத்த இணையான வரைபடங்கள் கணித வர்த்தமானியில் வெளியிடப்பட்டுள்ளன. பெட்ர்-டக்ளஸ்-நியூமன் தேற்றத்தையும் பார்க்கவும் தெபால்ட்டின் தேற்றம் நெப்போலியனின் தேற்றம் பாட்டேமாவின் தேற்றத்தை சுட்டிக்காட்டுகிறது குறிப்புகள் வெளிப்புற இணைப்புகள் வான் ஆபெலின் நாற்கரங்களுக்கான தேற்றம் மற்றும் ஜே வேர்ன்டோர்ஃப் எழுதிய முக்கோணங்களுக்கான வான் ஆபெலின் தேற்றம், தி வொல்ப்ராம் டெமான்ஸ்ட்ரேஷன்ஸ் ப்ராஜெக்ட். யுடாகா நிஷியாமா எழுதிய வான் ஆபலின் அழகான வடிவியல் தேற்றம், தூய மற்றும் பயன்பாட்டு கணிதத்தின் சர்வதேச இதழ். ஜியோஜெப்ராவைப் பயன்படுத்தி உருவாக்கப்பட்ட வான் ஆபலின் தேற்றத்தைக் காட்டும் டிம் பிரெஸ்ஜின்ஸ்கியின் ஊடாடும் ஆப்லெட். டைனமிக் ஜியோமெட்ரி ஸ்கெட்ச்கள், ஊடாடும் வடிவியல் ஓவியங்களில் உள்ள ஒத்த நாற்கரங்களுக்கு வான் ஆபலின் தேற்றத்தின் சில பொதுமைப்படுத்தல்கள். QG-2P6: Quadri-Figures இன் கலைக்களஞ்சியத்தில் (EQF) கிறிஸ் வான் டியன்ஹோவன் எழுதிய வெளிப்புற மற்றும் உள் வான் ஆபெல் புள்ளிகள். ஹாதிட்ரஸ்ட் டிஜிட்டல் நூலகத்தில் எம். எச். வான் ஆபெல் எழுதிய பல்கோணங்களின் கட்டமைப்புகளைப் பற்றிய கவலைகளை கவனியுங்கள். நாற்கரங்கள் பற்றிய கோட்பாடுகள்