Burr–Erdős conjecture
கணிதத்தில், பர்-எர்டாஸ் அனுமானம் என்பது குறைவான வரைபடங்களின் ராம்சே எண்ணிக்கையைப் பற்றிய ஒரு சிக்கலாகும். இந்த அனுமானம் ஸ்டீபன் பர் மற்றும் பால் எர்டாஸ் ஆகியோரின் பெயரால் பெயரிடப்பட்டுள்ளது, மேலும் இது எர்டாஸின் பெயரால் பெயரிடப்பட்ட பல அனுமானங்களில் ஒன்றாகும்; எந்தவொரு சிறிய குடும்ப வரைபடங்களிலும் உள்ள வரைபடங்களின் ராம்ஸே எண்ணிக்கை வரைபடத்தின் செங்குத்துகளின் எண்ணிக்கையில் நேர்கோட்டில் வளர வேண்டும் என்று அது கூறுகிறது. இந்த அனுமானத்தை சூங்பம் லீ நிரூபித்தார். எனவே இது இப்போது ஒரு தேற்றமாகும். வரையறைகள் G ஒரு திசைதிருப்பப்படாத வரைபடம் என்றால், G இன் சீரழிவு என்பது குறைந்தபட்ச எண் p ஆகும், அதாவது G இன் ஒவ்வொரு துணை வரைபடமும் டிகிரி p அல்லது அதற்கும் சிறிய உச்சியைக் கொண்டுள்ளது. சிதைவு p கொண்ட ஒரு வரைபடம் p-சிதைவு என்று அழைக்கப்படுகிறது. சமமாக, ஒரு p-சிதைவு வரைபடம் என்பது ஒரு வரைபடமாகும், இது படி p அல்லது அதற்கும் சிறிய உச்சியை மீண்டும் மீண்டும் அகற்றுவதன் மூலம் வெற்று வரைபடத்திற்கு குறைக்கப்படலாம். இது ராம்ஸேயின் தேற்றத்திலிருந்து பின்வருமாறு, எந்தவொரு வரைபடத்திற்கும் குறைந்தபட்ச முழு எண் உள்ளது, ராம்ஸே எண் ஜி, அதாவது குறைந்தபட்சம் செங்குத்துகளில் உள்ள விளிம்புகள் சிவப்பு அல்லது நீல நிறத்தில் இருக்கும் எந்த முழுமையான வரைபடமும் ஜி இன் ஒரே வண்ணமுடைய நகலைக் கொண்டுள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு முக்கோணத்தின் ராம்ஸே எண் 6 ஆகும்ஃ ஆறு செங்குத்துகளில் ஒரு முழுமையான வரைபடத்தின் விளிம்புகள் சிவப்பு அல்லது நீல நிறத்தில் இருந்தாலும், எப்போதும் ஒரு சிவப்பு முக்கோணம் அல்லது நீல முக்கோணம் இருக்கும். 1973 ஆம் ஆண்டில், ஸ்டீபன் பர் மற்றும் பால் எர்டாஸ் ஆகியோர் பின்வரும் அனுமானத்தை முன்வைத்தனர்ஃ ஒவ்வொரு முழு எண் p க்கும் ஒரு நிலையான cp உள்ளது, இதனால் n செங்குத்துகளில் எந்த p-சிதைவு வரைபடம் G க்கும் அதிகபட்சம் cp n இருக்கும். அதாவது, ஒரு n-வெர்டெக்ஸ் வரைபடம் G ஆனது p-சிதைவு என்றால், G இன் ஒரே வண்ணமுடைய நகல் ஒவ்வொரு இரண்டு விளிம்புகள் கொண்ட முழு வரைபடத்திலும் cp n செங்குத்துகளில் இருக்க வேண்டும். அறியப்பட்ட முடிவுகள் முழு அனுமானம் நிரூபிக்கப்படுவதற்கு முன்பு, இது முதலில் சில சிறப்பு நிகழ்வுகளில் தீர்க்கப்பட்டது. வரம்புக்குட்பட்ட டிகிரி வரைபடங்களுக்கு இது நிரூபிக்கப்பட்டது; அவற்றின் ஆதாரம் cp இன் மிக உயர்ந்த மதிப்புக்கு வழிவகுத்தது, மேலும் இந்த மாறிலியின் மேம்பாடுகள் மற்றும் மூலம் செய்யப்பட்டன. மேலும் பொதுவாக, p-வரிசைப்படுத்தக்கூடிய வரைபடங்களுக்கு இந்த அனுமானம் உண்மை என்று அறியப்படுகிறது, இதில் வரம்புக்குட்பட்ட அதிகபட்ச டிகிரி கொண்ட வரைபடங்கள், பிளானர் வரைபடங்கள் மற்றும் Kp இன் உட்பிரிவு இல்லாத வரைபடங்கள் ஆகியவை அடங்கும். இது துணைப்பிரிவு வரைபடங்களுக்கும் அறியப்படுகிறது, இதில் இரண்டு அருகிலுள்ள செங்குத்துகள் இரண்டுக்கு மேல் டிகிரியைக் கொண்டிருக்கவில்லை. தன்னிச்சையான வரைபடங்களைப் பொறுத்தவரை, ராம்சே எண் சற்றே மேலோட்டமாக வளரும் ஒரு செயல்பாட்டால் வரையறுக்கப்பட்டதாக அறியப்படுகிறது. குறிப்பாக, எந்தவொரு p-சிதைவு n-வெர்டெக்ஸ் வரைபடம் G க்கு, குறிப்புகள் குறிப்புகள் போன்ற ஒரு நிலையான cp உள்ளது என்பதைக் காட்டியது. . . . . . . . . வரைபடக் கோட்பாடு ராம்ஸே கோட்பாடு நிரூபிக்கப்பட்ட அனுமானங்கள் பர்-எர்டாஸ் அனுமானம் வரைபடக் கோட்பாட்டில் உள்ள தேற்றங்கள்