Padé approximant
கணிதத்தில், ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளிக்கு அருகிலுள்ள ஒரு செயல்பாட்டின் கொடுக்கப்பட்ட வரிசையின் விகிதமுறு செயல்பாட்டின் "சிறந்த" தோராயமாகும். இந்த நுட்பத்தின் கீழ், தோராயமான சக்தி தொடர் அது தோராயமாக இருக்கும் செயல்பாட்டின் சக்தி தொடருடன் உடன்படுகிறது. இந்த நுட்பம் 1890 ஆம் ஆண்டில் ஹென்றி பேட் என்பவரால் உருவாக்கப்பட்டது, ஆனால் ஜார்ஜ் ஃப்ரோபீனியஸிடம் திரும்பிச் செல்கிறார், அவர் இந்த யோசனையை அறிமுகப்படுத்தினார் மற்றும் சக்தி தொடரின் பகுத்தறிவு தோராயங்களின் அம்சங்களை ஆராய்ந்தார். பேட் தோராயமானது பெரும்பாலும் அதன் டெய்லர் தொடரை வெட்டுவதை விட செயல்பாட்டின் சிறந்த தோராயத்தை அளிக்கிறது, மேலும் டெய்லர் தொடர் ஒன்றிணைக்காத இடங்களில் அது இன்னும் வேலை செய்யலாம். இந்த காரணங்களுக்காக கணினி கணக்கீடுகளில் பேட் தோராயங்கள் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. டயோஃபாண்டைன் தோராய மற்றும் ஆழ்நிலை எண் கோட்பாட்டில் அவை துணை செயல்பாடுகளாகவும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, இருப்பினும் கூர்மையான முடிவுகளுக்கு தற்காலிக முறைகள்-ஒருவிதத்தில் பேட் கோட்பாட்டால் ஈர்க்கப்பட்டவை-பொதுவாக அவற்றை மாற்றுகின்றன. பாடே தோராயமானது ஒரு பகுத்தறிவு செயல்பாடு என்பதால், ஒரு செயற்கை ஒருமைப் புள்ளி தோராயமாக ஏற்படலாம், ஆனால் போரெல்-பாடே பகுப்பாய்வு மூலம் இதைத் தவிர்க்கலாம். ஒரு துண்டிக்கப்பட்ட டெய்லர் தொடரை விட பேட் தோராயமானது ஒரு சிறந்த தோராயமாக இருப்பதற்கான காரணம் பல-புள்ளி கூட்டுத்தொகை முறையின் கண்ணோட்டத்தில் தெளிவாக உள்ளது. முடிவிலியில் அறிகுறியற்ற விரிவாக்கம் 0 அல்லது மாறிலியாக மாறும் பல நிகழ்வுகள் இருப்பதால், அதை "முழுமையற்ற இரண்டு-புள்ளி பேட் தோராயமாக" விளக்கலாம், இதில் சாதாரண பேட் தோராயமானது டெய்லர் தொடரை வெட்டுவதற்கான முறையை மேம்படுத்துகிறது. வரையறை ஒரு சார்பு f மற்றும் இரண்டு முழு எண்கள் m ≤ 0 மற்றும் n ≤ 1 கொடுக்கப்பட்டால், வரிசை [m/n] இன் பேட் தோராயமானது f (x) உடன் முடிந்தவரை மிக உயர்ந்த வரிசைக்கு ஒத்திருக்கும் விகிதமுறு செயல்பாடாகும், இது சமமாக, ஒரு மக்லாரின் தொடரில் (0 இல் டெய்லர் தொடர்) விரிவுபடுத்தப்பட்டால், அதன் முதல் சொற்கள் முதல் சொற்களுக்கு சமமாக இருக்கும், எனவே அது இருக்கும்போது, பேட் தோராயமானது கொடுக்கப்பட்ட m மற்றும் n க்கான முறையான சக்தி தொடராக தனித்துவமானது. மேலே வரையறுக்கப்பட்ட பேட் தோராயத்தை கணக்கீடு என்றும் குறிக்கப்படுகிறது கொடுக்கப்பட்ட x க்கு, பேட் தோராயங்களை வின்னின் எப்சிலான் வழிமுறை மற்றும் அதிலிருந்து பிற வரிசை மாற்றங்களாலும் கணக்கிட முடியும். ஒரு பேட் தோராயத்தை கணக்கிடுவதற்கான ஒரு வழி பல்லுறுப்புக்கோவை மிகப் பெரிய பொதுவான வகுத்தியின் நீட்டிக்கப்பட்ட யூக்ளிடியன் வழிமுறை வழியாகும். இந்த உறவு சில காரணிகளின் இருப்புக்கு சமமானது, இது பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் நீட்டிக்கப்பட்ட மிகப்பெரிய பொதுவான வகுத்தியின் கணக்கீட்டில் ஒரு படியின் பெஸௌட் அடையாளமாக விளக்கப்படலாம் மற்றும். இரண்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகள் p மற்றும் q இன் மிகப் பெரிய பொதுவான வகுத்தியைக் கணக்கிட, ஒருவர் நீண்ட வகுப்பின் மூலம் மீதமுள்ள வரிசை k = 1,2,3, உடன், வரை கணக்கிடுகிறார் என்பதை நினைவில் கொள்க. நீட்டிக்கப்பட்ட மிகப் பெரிய பொதுவான வகுத்தியின் பெஸௌட் அடையாளங்களுக்கு ஒருவர் ஒரே நேரத்தில் இரண்டு பல்லுறுப்புக்கோவை வரிசைகளை ஒவ்வொரு படியிலும் பெஸௌட் அடையாளத்தைப் பெறுகிறார். பின்னர் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் [m/n] pade தோராயத்தைக் கொடுக்கின்றன. நீட்டிக்கப்பட்ட மிகப் பெரிய பொதுவான வகுத்தி கணக்கீட்டின் அனைத்து படிகளையும் ஒருவர் கணக்கிட்டால், ஒருவர் பேட் அட்டவணையின் எதிர்-மூலைவிட்டத்தைப் பெறுவார். ரீமன்-பேட் ஜீட்டா செயல்பாடு ஒரு வேறுபட்ட தொடரின் மறுசீரமைப்பைப் படிக்க, பேட் அல்லது வெறுமனே விகிதமுறு ஜீட்டா செயல்பாட்டை அறிமுகப்படுத்துவது பயனுள்ளதாக இருக்கும் என்று சொல்லுங்கள், அங்கு f (x) செயல்பாட்டின் வரிசை (m, n) இன் பேட் தோராயமாக உள்ளது. s = 0 இல் உள்ள ஜீட்டா ஒழுங்குமுறைப்படுத்தல் மதிப்பு வேறுபட்ட தொடரின் கூட்டுத்தொகையாக எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது. இந்த பாடே ஜீட்டா செயல்பாட்டிற்கான செயல்பாட்டு சமன்பாடு, பாடே தோராயத்தில் aj மற்றும் bj ஆகியவை குணகங்களாகும். சப்ஸ்கிரிப்ட் '0' என்பது பேட் வரிசை [0/0] என்று பொருள்படும், எனவே, நம்மிடம் ரீமான் ஜீட்டா செயல்பாடு உள்ளது. DLog Pade முறை Pade தோராயங்கள் முக்கியமான புள்ளிகள் மற்றும் செயல்பாடுகளின் அடுக்குகளை பிரித்தெடுக்க பயன்படுத்தப்படலாம். வெப்ப இயக்கவியலில், ஒரு சார்பு f (x) ஒரு புள்ளி x = r க்கு அருகில் பகுப்பாய்வு அல்லாத முறையில் செயல்பட்டால், ஒருவர் x = r ஐ ஒரு முக்கியமான புள்ளி என்றும் p ஐ f இன் தொடர்புடைய முக்கியமான அடுக்கு என்றும் அழைக்கிறார். பொதுமைப்படுத்தல்கள் ஒரு படி தோராயமானது ஒரு மாறியில் ஒரு செயல்பாட்டை தோராயமாக மதிப்பிடுகிறது. இரண்டு மாறிகளில் உள்ள தோராயமானது சிஷோம் தோராயமானது (ஜே. எஸ். ஆர். சிஷோல்முக்குப் பிறகு) என்றும், பல மாறிகளில் கேன்டர்பரி தோராயமானது (கென்ட் பல்கலைக்கழகத்தில் கிரேவ்ஸ்-மோரிஸுக்குப் பிறகு) என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. இரண்டு புள்ளிகள் பேட் தோராயமானது வழக்கமான பேட் தோராயமானது ஒரு குறிப்பிட்ட வரிசை வரை மக்லாரின் விரிவாக்கத்தை இனப்பெருக்கம் செய்ய தீர்மானிக்கப்படுகிறது. எனவே, விரிவாக்க புள்ளியைத் தவிர மதிப்பில் தோராயமாக மோசமாக இருக்கலாம். இது 2-புள்ளி பேட் தோராயத்தால் தவிர்க்கப்படுகிறது, இது ஒரு வகை பன்முக கூட்டுத்தொகை முறையாகும். அறிகுறியற்ற நடத்தை மூலம் வெளிப்படுத்தப்படும் ஒரு செயல்பாடுஃ மற்றும் கூடுதல் அறிகுறியற்ற நடத்தைஃ முக்கிய நடத்தையைத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம், பேட் தோராயத்தை உருவாக்குவதன் மூலம் ஒரே நேரத்தில் அறிகுறியற்ற நடத்தையை இனப்பெருக்கம் செய்யும் தோராயமான செயல்பாடுகளை பல்வேறு சந்தர்ப்பங்களில் காணலாம். இதன் விளைவாக, தோராயத்தின் துல்லியம் சாதாரண பேட் தோராயத்தில் மிக மோசமாக இருக்கும் இடத்தில், 2-புள்ளி பேட் தோராயத்தின் நல்ல துல்லியம் உத்தரவாதம் அளிக்கப்படுகிறது. எனவே, 2-புள்ளி பேட் தோராயமானது உலகளவில் ஒரு நல்ல தோராயத்தை வழங்கும் ஒரு முறையாக இருக்கலாம். பல்லுறுப்புக்கோவைகள் அல்லது எதிர்மறை சக்திகளின் தொடர், எக்ஸ்பொனென்ஷியல் செயல்பாடு, மடக்கை செயல்பாடு ஆகியவற்றால் வெளிப்படுத்தப்படும் சந்தர்ப்பங்களில் அல்லது, 2-புள்ளி பேட் தோராயத்தைப் பயன்படுத்தலாம். அதிக துல்லியத்துடன் ஒரு வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் தோராயமான தீர்வை வழங்க இதைப் பயன்படுத்த ஒரு முறை உள்ளது. மேலும், ரீமன் ஜீட்டா செயல்பாட்டின் அற்பமான பூஜ்ஜியங்களுக்கு, முதல் அற்பமான பூஜ்ஜியத்தை உண்மையான அச்சில் உள்ள அறிகுறியற்ற நடத்தையிலிருந்து சில துல்லியத்துடன் மதிப்பிடலாம். மல்டி-பாயிண்ட் பேட் தோராயமானது 2-பாயிண்ட் பேட் தோராயத்தின் மேலும் நீட்டிப்பு மல்டி-பாயிண்ட் பேட் தோராயமாகும். இந்த முறை தோராயமாக மதிப்பிடப்பட வேண்டிய ஒரு செயல்பாட்டின் ஒற்றுமை புள்ளிகளைக் கையாள்கிறது. ஒரு செயல்பாட்டின் ஒற்றுமைகள் குறியீட்டுடன் வெளிப்படுத்தப்படும் சந்தர்ப்பங்களைக் கவனியுங்கள் 2-புள்ளி பேட் தோராயத்தைத் தவிர, இதில் தகவல்களை உள்ளடக்கியது, இந்த முறை திசைதிருப்பலின் பண்பைக் குறைக்க தோராயமாக மதிப்பிடுகிறது. இதன் விளைவாக, செயல்பாட்டின் தனித்துவத்தின் தகவல் கைப்பற்றப்படுவதால், ஒரு செயல்பாட்டின் தோராயத்தை அதிக துல்லியத்துடன் செய்ய முடியும். எடுத்துக்காட்டுகள் ஜாகோபி பெசல் ஃப்ரெஸ்னல் மேலும் பார்க்கவும் படே அட்டவணை பாஸ்கரா I இன் சைன் தோராய சூத்திரம் குறிப்புகள் இலக்கியம் பேக்கர், ஜி. ஏ., ஜூனியர்; மற்றும் கிரேவ்ஸ்-மோரிஸ், பி. பேட் தோராயங்கள். கேம்பிரிட்ஜ் யு. பி., 1996. பேக்கர், ஜி. ஏ., ஜூனியர் பேட் தோராயமாக, ஸ்காலர்பேடியா, 7 (6): 9756. பிரெசின்ஸ்கி, சி. ரெடிவோ ஜாக்லியா, எம். எக்ஸ்ட்ராபோலேஷன் முறைகள். கோட்பாடு மற்றும் நடைமுறை. வடக்கு-ஹாலந்து, 1991. ஃப்ரோபீனியஸ், ஜி., [ஜர்னல் ஃபர் டை ரெய்ன் அண்ட் ஏஞ்ச்வாண்ட்டே மேத்தமேட்டிக் (கிரெல்லின் ஜர்னல்)]. தொகுதி 1881, இதழ் 90, பக்கங்கள் 1-17. கிராக், டபிள்யூ. பி.; தி பேட் டேபிள் அண்ட் இட்ஸ் ரிலேஷன் டு சில அல்காரிதம்ஸ் ஆஃப் நியூமெரிக்கல் அனாலிசிஸ் [SIAM ரிவ்யூ], தொகுதி. 14, இல்லை. 1, 1972, பக்கங்கள். 1-62. பாடே, எச்.;, தீஸிஸ், [ஆன். எகோல் இல்லை. (3), 9,1892, பக்கங்கள். 1-93 கூடுதல். . வெளிப்புற இணைப்புகள் பாடே தோராயமான, ஒலெக்சாண்டர் பாவ்லிக், தி வொல்ப்ராம் ஆர்ப்பாட்டங்கள் திட்டம். தரவு பகுப்பாய்வு சுருக்கமான புத்தகம்ஃ பேட் தோராயமானது, ருடால்ப் கே. பாக் துகள் இயற்பியலுக்கான ஐரோப்பிய ஆய்வகம், CERN. சைன்வேவ், ஸ்காட் டட்டலோ, கடைசியாக அணுகப்பட்டது 2010-11-11. நேர தாமதங்களுடன் மாதிரிகளின் பேட் தோராயத்திற்கான MATLAB செயல்பாடு. தொடர்ச்சியான பின்னங்கள் எண் பகுப்பாய்வு பகுத்தறிவு செயல்பாடுகள்