Proofs of quadratic reciprocity
எண் கோட்பாட்டில், பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் போலவே, இருபடி பரஸ்பர விதியும் வழக்கத்திற்கு மாறாக அதிக எண்ணிக்கையிலான சான்றுகளுக்கு தன்னைக் கொடுத்துள்ளது. இருபடி பரஸ்பர சட்டத்தின் பல நூறு சான்றுகள் வெளியிடப்பட்டுள்ளன. ஆதாரம் சுருக்கம் அடிப்படை ஒருங்கிணைந்த சான்றுகளில், இரட்டை எண்ணிக்கையின் வகைகளைப் பயன்படுத்தும் இரண்டு வகைகள் உள்ளன. கோட்டோல்ட் ஐன்ஸ்டீன் எழுதிய ஒன்று லட்டிஸ் புள்ளிகளை கணக்கிடுகிறது. மற்றொன்று சீன எஞ்சிய தேற்றத்தால் வெளிப்படுத்தப்பட்ட சோலோடரேவின் லெம்மாவைப் பயன்படுத்துகிறது மற்றும் ஒரு வரிசைமாற்றத்தின் கையொப்பத்தைக் கணக்கிடுகிறது. குறுகிய அறியப்பட்ட ஆதாரம் இரட்டை எண்ணிக்கையின் எளிமைப்படுத்தப்பட்ட பதிப்பையும் பயன்படுத்துகிறது, அதாவது இரட்டை எண்ணும் மாடுலோ ஒரு நிலையான பகா எண். ஐன்ஸ்டைனின் சான்றான ஐன்ஸ்டைனின் இருபடிப் பரிமாற்றத்தின் ஆதாரம் காஸின் மூன்றாவது ஆதாரத்தின் எளிமைப்படுத்தலாகும். இது மிகவும் வடிவியல் ரீதியாக உள்ளுணர்வு மற்றும் குறைந்த தொழில்நுட்ப கையாளுதல் தேவைப்படுகிறது. புறப்படும் புள்ளி "ஐன்ஸ்டீனின் லெம்மா" ஆகும், இது தனித்துவமான ஒற்றைப்படை பகா எண்களுக்கு p, q, தரை செயல்பாட்டைக் குறிக்கிறது (x ஐ விடக் குறைவான அல்லது சமமான மிகப்பெரிய முழு எண்), மற்றும் கூட்டுத்தொகை சம முழு எண்களுக்கு மேல் எடுக்கப்படும் இடத்தில் u = 2,4,6,, p − 1. எடுத்துக்காட்டாக, இந்த முடிவு காஸ் லெம்மாவுடன் மிகவும் ஒத்திருக்கிறது, மேலும் இதேபோன்ற பாணியில் நிரூபிக்கப்படலாம் (கீழே கொடுக்கப்பட்ட ஆதாரம்). (q/p) இன் இந்த பிரதிநிதித்துவத்தைப் பயன்படுத்தி, முக்கிய வாதம் மிகவும் நேர்த்தியானது. பின்வரும் வரைபடத்தில் ABC முக்கோணத்தின் உட்புறத்தில் சமமான x-ஒருங்கிணைப்புடன் கூடிய லட்டிஸ் புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையை கூட்டுத்தொகை கணக்கிடுகிறதுஃ ஒவ்வொரு நெடுவரிசையிலும் சம எண்ணிக்கையிலான புள்ளிகள் இருப்பதால் (அதாவது q−1 புள்ளிகள்), BCYX பிராந்தியத்தில் உள்ள அத்தகைய லட்டிஸ் புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை CZY பிராந்தியத்தில் உள்ள புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையின் அதே மாடுலோ 2 ஆகும்ஃ பின்னர் இரண்டு அச்சுகளிலும் வரைபடத்தை புரட்டுவதன் மூலம், CZY க்குள் சமமான x-ஒருங்கிணைப்புடன் கூடிய புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை ஒற்றைப்படை x-ஒருங்கிணைப்புகளைக் கொண்ட AXY க்குள் உள்ள புள்ளிகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமம் என்பதைக் காண்கிறோம். இதைக் குறிப்பிடுவதன் மூலம் கணித ரீதியாக நியாயப்படுத்தலாம். முடிவு என்னவென்றால், இங்கு μ என்பது AXY இன் உட்புறத்தில் உள்ள மொத்த லட்டிஸ் புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை. p மற்றும் q ஐ மாற்றும்போது, அதே வாதம் ν என்பது WIA இன் உட்புறத்தில் உள்ள லட்டிஸ் புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை என்பதைக் காட்டுகிறது. AY கோட்டில் எந்த லட்டிஸ் புள்ளிகளும் இல்லாததால் (p மற்றும் q ஒப்பீட்டளவில் பகா எண்கள் என்பதால்), செவ்வகத்தில் உள்ள மொத்த புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை WYXA என்பதால் நாம் ஐன்ஸ்டீனின் லெம்மாவின் ஆதாரத்தைப் பெறுகிறோம். எண்கள் (−1) r (u) r (u), மீண்டும் குறைந்தபட்ச நேர்மறை எச்சங்கள் மாடுலோ p ஆகக் கருதப்படுகின்றன, இவை அனைத்தும் சமமானவை (நமது இயங்கும் எடுத்துக்காட்டில், அவை 8,6,2,10,4 ஆகும்.) மேலும், அவை அனைத்தும் தனித்துவமானவை, ஏனென்றால் (−1) r (u) r (u) ஷ்ணம் (−1) r (t) r (t) (மாட் p) என்றால், u ஷ்ணம் (மாட் p) ஐப் பெற நாம் q ஆல் வகுக்கலாம். இது u ஷ்ண t (மட்டு p) ஐ கட்டாயப்படுத்துகிறது, ஏனெனில் u மற்றும் t இரண்டும் சமம், அதேசமயம் p ஒற்றைப்படை. அவற்றில் சரியாக (p−1)/2 இருப்பதால் அவை தனித்துவமானவை என்பதால், அவை 2,4,., p−1 என்ற இரட்டை முழு எண்களின் மறுசீரமைப்பாக இருக்க வேண்டும். மறுபுறம், r (u) மற்றும் தரை செயல்பாட்டின் வரையறையின்படி, p ஒற்றைப்படை மற்றும் u சமமாக இருப்பதால், r (u) மற்றும் r (u) ஆகியவை ஒரே மாதிரியான மாடுலோ 2 ஆகும். இறுதியாக இது நாம் முடித்துவிட்டோம் என்பதைக் காட்டுகிறது, ஏனெனில் இடது புறம் (q/p) க்கு ஒரு மாற்று வெளிப்பாடு மட்டுமே. லெம்மாவின் சேர்க்கை இந்த லெம்மா அடிப்படையில் இரட்டிப்பாகிய பிறகு குறைந்த எச்சங்களின் எண்ணிக்கை ஒற்றைப்படை (q/p) இன் மதிப்பை அளிக்கிறது என்று கூறுகிறது. இது காஸ் லெம்மாவிலிருந்து எளிதில் பின்பற்றப்படுகிறது. மேலும், r (u) மற்றும் r (u) ஆகியவை u இன் சமநிலையைப் பொறுத்து ஒரே மாதிரியான மாடுலோ 2 அல்லது பொருத்தமற்றவை என்பதைக் குறிக்கிறது. இதன் பொருள் என்னவென்றால், எச்சங்கள் (உள்ள) ஒத்தவை, எனவே எங்கே. எடுத்துக்காட்டாக, முந்தைய உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி, எச்சங்கள் மற்றும் தரை செயல்பாடு கொடுக்கிறது. ஒற்றுமையின் வடிவம். இருபடி காஸ் கூட்டுத்தொகையைப் பயன்படுத்தும் சான்று காஸ் கூட்டுத்தொகையைப் பயன்படுத்தும் இருபடி ரெசிப்ரொசிட்டியின் சான்று மிகவும் பொதுவான மற்றும் உன்னதமான சான்றுகளில் ஒன்றாகும். இந்த சான்றுகள் ஒற்றை மதிப்புகளின் கணக்கீடுகளை இரண்டு வெவ்வேறு வழிகளில் ஒப்பிடுவதன் மூலம் செயல்படுகின்றன, ஒன்று யூலரின் அளவுகோலைப் பயன்படுத்துகிறது, மற்றொன்று பைனாமியல் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துகிறது. யூலரின் அளவுகோல் எவ்வாறு பயன்படுத்தப்படுகிறது என்பதற்கான ஒரு எடுத்துக்காட்டாக, ஒற்றைப்படை பகா எண் p ஐ தீர்மானிப்பதற்கான முதல் துணை வழக்கின் விரைவான ஆதாரத்தை வழங்க இதைப் பயன்படுத்தலாம்ஃ யூலரின் அளவுகோலால், ஆனால் சமநிலையின் இரு பக்கங்களும் ±1 மற்றும் p ஒற்றைப்படை என்பதால், அதை நாம் யூகிக்க முடியும். இரண்டாவது துணை வழக்கு லெட், ஒற்றுமை மற்றும் தொகுப்பின் பழமையான 8 வது வேர். அப்போதிருந்து, நாம் அதைப் பார்க்கிறோம். இது ஒரு இயற்கணித முழு எண் என்பதால், p ஒரு ஒற்றைப்படை பகா எண்ணாக இருந்தால், அதைப் பற்றி பேசுவது அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும். (முறைப்படி நாம் இயற்கணித முழு எண்களை p ஆல் உருவாக்கப்பட்ட இலட்சியத்துடன் காரணியாக்குவதன் மூலம் உருவாக்கப்பட்ட பரிமாற்ற வளையத்தை பரிசீலிக்கிறோம். ஏனெனில் இது ஒரு இயற்கணித முழு எண் அல்ல, 1,2,., p இன் தனித்துவமான கூறுகள்.) ஆய்லரின் அளவுகோலைப் பயன்படுத்தி, நாம் அதைச் சொல்லலாம், ஆனால் பைனாமியல் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம். பைனாமியல் விரிவாக்கத்தில் உள்ள குறுக்கு சொற்கள் அனைத்தும் p இன் காரணிகளைக் கொண்டிருப்பதால், அதைக் காண்கிறோம். இதை இரண்டு நிகழ்வுகளாகப் பிரிப்பதன் மூலம் இதை இன்னும் துல்லியமாக மதிப்பீடு செய்யலாம். . பிரைம் மாடுலோ 8 க்கான ஒரே விருப்பங்கள் இவை மட்டுமே, மேலும் இந்த இரண்டு நிகழ்வுகளையும் அதிவேக வடிவத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிட முடியும். அனைத்து ஒற்றைப்படை பகா எண்களுக்கும் இதை சுருக்கமாக எழுதலாம், ஏனெனில் இந்த இரண்டு வெளிப்பாடுகளையும் இணைத்து, பெருக்கினால் அதைக் காணலாம். ±1 மற்றும் 2 ஆகிய இரண்டும் தலைகீழ் மாடுலோ p என்பதால், பொதுவான வழக்கு பொது ஆதாரத்திற்கான யோசனை மேலே உள்ள துணை வழக்கைப் பின்பற்றுகிறது என்று நாம் முடிவு செய்யலாம்ஃ p க்கான லெஜெண்டர் சின்னங்களை எப்படியாவது குறியாக்கம் செய்யும் ஒரு இயற்கணித முழு எண்ணைக் கண்டறியவும், பின்னர் இந்த இயற்கணித முழு எண் மாடுலோ q இன் q வது சக்தியை இரண்டு வெவ்வேறு வழிகளில் கணக்கிடுவதன் மூலம் லெஜெண்டர் சின்னங்களுக்கு இடையிலான உறவைக் கண்டறியவும், ஒன்று ஆய்லரின் அளவுகோலைப் பயன்படுத்துகிறது மற்றொன்று பைனாமியல் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துகிறது. ஒற்றுமையின் ஒரு பழமையான pth வேர் எங்கே இருக்கட்டும். இது ஒரு இருபடி காஸ் தொகை. இந்த காஸ் தொகைகளின் அடிப்படை பண்பு எங்கே என்பது ஆகும். இதை அடுத்த ஆதாரத்தின் சூழலில் வைக்க, காஸ் கூட்டுத்தொகையின் தனிப்பட்ட கூறுகள் சைக்ளோடோமிக் புலத்தில் உள்ளன, ஆனால் மேலே உள்ள சூத்திரம் L இல் உள்ள தனித்துவமான இருபடி புலத்தின் ஜெனரேட்டர் என்பதைக் காட்டுகிறது. இந்த அடிப்படை சூத்திரத்தையும் யூலரின் அளவுகோலையும் பயன்படுத்தி, எனவே இருமியல் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, 'a' ஒரு பெருக்க நேர்மாறாக இருக்க அனுமதித்தால், இந்த கூட்டுத்தொகையை மாற்றீட்டைப் பயன்படுத்தி மீண்டும் எழுதலாம், இது கூட்டுத்தொகையின் வரம்பை பாதிக்காது. எனவே, இந்த இரண்டு வெளிப்பாடுகளையும் பயன்படுத்துவதன் மூலமும், அதன் மூலம் பெருக்குவதன் மூலமும் நாம் எழுதலாம், ஏனெனில் இது தலைகீழ் மாடுலோ q, மற்றும் லெஜெண்டர் குறியீடுகள் ±1 ஆக இருப்பதால், இயற்கணித எண் கோட்பாட்டைப் பயன்படுத்தி ஆதாரம் என்று நாம் முடிவு செய்யலாம். சைக்ளோடோமிக் புலம் அமைப்பு p ஒரு ஒற்றைப்படை பகா எண் என்று வைத்துக்கொள்வோம். இந்த நடவடிக்கை சைக்ளோடோமிக் புலத்திற்குள் நடைபெறுகிறது, அங்கு ζp என்பது ஒற்றுமையின் பழமையான pth மூலமாகும். சைக்ளோடோமிக் புலங்களின் அடிப்படை கோட்பாடு ஒரு நியதி ஐசோமார்பிசம் உள்ளது என்பதை நமக்குத் தெரிவிக்கிறது, இது தனிமத்திற்கு σa திருப்திகரமாக அனுப்புகிறது. குறிப்பாக, இந்த ஐசோமார்பிசம் உட்செலுத்தப்படுகிறது, ஏனெனில் ஒரு புலத்தின் பெருக்கக் குழு ஒரு சுழற்சி குழுவாகும்ஃ G என்பது சுழற்சி என்பதால், H என்பது G இல் குறியீடு 2 ஐக் கொண்டுள்ளது, எனவே கலோயிஸ் கடிதத்தின் கீழ் H உடன் தொடர்புடைய துணைப்பகுதி Q இன் இருபடி நீட்டிப்பாக இருக்க வேண்டும். (உண்மையில் இது எல் இல் உள்ள கியூவின் தனித்துவமான இருபடி விரிவாக்கமாகும்) காஸியன் காலக் கோட்பாடு எது என்பதை தீர்மானிக்கிறது; அது எங்கே என்று மாறிவிடும், இந்த கட்டத்தில் நமது கட்டமைப்பிலிருந்து வெளிப்படும் இருபடி பரஸ்பரத்தின் குறிப்பைக் காணத் தொடங்குகிறோம். ஒருபுறம், H இன் உருவம் துல்லியமாக (பூஜ்ஜியமற்ற) இருபடி எச்சங்கள் மாடுலோ p ஐக் கொண்டுள்ளது. மறுபுறம், H என்பது p இன் வர்க்கமூலத்தை (அல்லது −p இன்) எடுக்கும் முயற்சியுடன் தொடர்புடையது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், இப்போது q ஒரு பகா எண்ணாக இருந்தால் (p இலிருந்து வேறுபட்டது), ஃப்ரோபீனியஸ் தானியங்கி உருவம் முழு எண்களின் வளையத்தில், q க்கு மேல் இருக்கும் எந்த கட்டற்ற பகா இலட்சியம் β ஐயும் தேர்வு செய்யுங்கள், மேலும் β உடன் தொடர்புடைய ஃப்ரோபீனியஸ் தானியங்கி உருவகமாக இருக்கட்டும்; அதன் சிறப்பியல்பு பண்பு என்னவென்றால் (அத்தகைய ஃப்ரோபீனியஸ் தனிமத்தின் இருப்பு இயற்கணித எண் கோட்பாட்டு இயந்திரத்தின் ஒரு பிட்டைப் பொறுத்தது). நமக்குத் தேவையான முக்கிய உண்மை என்னவென்றால், L இன் எந்த சப்ஃபீல்டு K க்கும், உண்மையில், δ என்பது β க்குக் கீழே உள்ள OK இன் எந்த சீர்மமாகவும் இருக்கட்டும் (எனவே q க்கு மேலே). பின்னர், எதற்கும், அது δ க்கு ஒரு ஃப்ரோபீனியஸ் என்று நாம் காண்கிறோம். ஒரு நிலையான முடிவு என்னவென்றால், அதன் வரிசை தொடர்புடைய மந்தநிலை டிகிரிக்கு சமம்; அதாவது, φ K ஐ சரிசெய்தால் மட்டுமே இடது புறம் 1 க்கு சமம், மேலும் q மட்டுமே K இல் முழுமையாகப் பிரிந்தால் வலது புறம் ஒன்றுக்கு சமம், எனவே நாம் முடித்துவிட்டோம். இப்போது, ஒற்றுமையின் pth வேர்கள் தனித்துவமான மாடுலோ β (அதாவது. பல்லுறுப்புக்கோவை Xp−1 சிறப்பியல்பு q) இல் பிரிக்கக்கூடியது, நாம் அதை வைத்திருக்க வேண்டும், அதாவது முன்பு வரையறுக்கப்பட்ட தானியங்கி உருமாற்றத்துடன் ஒத்துப்போகிறது. K ஐ நாம் ஆர்வமுள்ள இருபடி புலமாக எடுத்துக் கொண்டால், சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம், ஆதாரத்தை நிறைவு செய்கிறோம் இறுதியாக நாம் இதைச் செய்தவுடன், இருபடி பரஸ்பரத்தின் விதி உடனடியாக வெளியேறும் என்பதைக் காட்ட வேண்டும். கடைசி சமநிலையைக் காட்ட, முதலில் இந்த விஷயத்தில், சில முழு எண் x (q ஆல் வகுக்க முடியாது) உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். இது (q) க்கு சமமாக இருக்க முடியாது, ஏனெனில் இது q ஆல் வகுக்கப்படாது. இது அலகு இலட்சியமாக இருக்க முடியாது, ஏனென்றால் அது q ஆல் வகுக்கப்படுகிறது, இது மீண்டும் சாத்தியமற்றது. எனவே (q) K இல் பிரிக்கப்பட வேண்டும். மாறாக, (q) பிரிகிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம், மேலும் β என்பது q க்கு மேலே K இன் பகா எண்ணாக இருக்கட்டும். பின்னர் நாம் சிலவற்றைத் தேர்வு செய்யலாம் உண்மையில், இருபடி புலங்களின் அடிப்படை கோட்பாடு K இன் முழு எண்களின் வளையம் துல்லியமாக உள்ளது என்பதைக் குறிக்கிறது, எனவே a மற்றும் b இன் வகுப்புகள் 2 க்கு சமமாக இருக்கும். q §2 என்பதால், நாம் a மற்றும் b ஐ 2 ஆல் பாதுகாப்பாக பெருக்கி, இப்போது a மற்றும் b ஆகியவை Z இல் உள்ளன என்று கருதலாம். இருப்பினும், q என்பது b ஐ வகுக்க முடியாது, எனவே q என்பது a ஐ வகுக்கிறது, இது நமது விருப்பத்திற்கு முரணானது எனவே, நாம் விரும்பியபடி பெற b மாடுலோ q ஆல் வகுக்கலாம். குறிப்புகள் அடிப்படை எண் கோட்பாடு பற்றிய ஒவ்வொரு பாடப்புத்தகமும் (மற்றும் இயற்கணித எண் கோட்பாடு பற்றிய சில) இருபடி பரஸ்பரத்திற்கு ஒரு ஆதாரத்தைக் கொண்டுள்ளன. இரண்டு குறிப்பாக குறிப்பிடத்தக்கவைஃ இருபடி மற்றும் உயர்-சக்தி பரஸ்பர சட்டங்கள் மற்றும் அவற்றின் வரலாற்றைப் பற்றிய விவாதத்தின் பல சான்றுகள் (சில பயிற்சிகளில்) உள்ளன. அதன் மகத்தான நூலியல் 196 வெவ்வேறு வெளியிடப்பட்ட சான்றுகளுக்கான இலக்கிய மேற்கோள்களை உள்ளடக்கியது. இருபடி பரஸ்பரம் (மற்றும் பல பயிற்சிகள்) பல சான்றுகள் உள்ளன, மேலும் கன மற்றும் இருபடிம நிகழ்வுகளையும் உள்ளடக்கியது. உடற்பயிற்சி 13.26 (p 202) இந்த புத்தகத்தில் இதுவரை கொடுக்கப்பட்ட இருபடி பரஸ்பர சட்டத்தின் சான்றுகளின் எண்ணிக்கையை எண்ணி, மற்றொரு ஒன்றைக் கண்டுபிடிப்பதாகக் கூறுகிறது. வெளிப்புற இணைப்புகள் எஃப். லெம்மர்மேயரின் காலவரிசை மற்றும் நாற்கர பரஸ்பர சட்டத்தின் சான்றுகளின் நூலியல் (332 சான்றுகள்) இயற்கணித எண் கோட்பாடு கட்டுரை சான்றுகள்