Regular singular point
கணிதத்தில், சிக்கலான தளத்தில் உள்ள சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் கோட்பாட்டில், புள்ளிகள் சாதாரண புள்ளிகளாக வகைப்படுத்தப்படுகின்றன, இதில் சமன்பாட்டின் குணகங்கள் பகுப்பாய்வு செயல்பாடுகளாகும், மேலும் ஒருமை புள்ளிகள், இதில் சில குணகம் ஒருமைப்பாட்டைக் கொண்டுள்ளது. பின்னர் ஒற்றைப் புள்ளிகளுக்கு இடையே, ஒரு வழக்கமான ஒற்றைப் புள்ளிக்கு இடையே ஒரு முக்கியமான வேறுபாடு செய்யப்படுகிறது, அங்கு தீர்வுகளின் வளர்ச்சி ஒரு இயற்கணித செயல்பாட்டால் (எந்த சிறிய துறையிலும்) கட்டுப்படுத்தப்படுகிறது, மேலும் ஒரு ஒழுங்கற்ற ஒற்றைப் புள்ளி, அங்கு முழு தீர்வு தொகுப்புக்கு அதிக வளர்ச்சி விகிதங்களைக் கொண்ட செயல்பாடுகள் தேவைப்படுகின்றன. இந்த வேறுபாடு, எடுத்துக்காட்டாக, மூன்று வழக்கமான ஒருமை புள்ளிகளைக் கொண்ட ஹைப்பர்ஜியோமெட்ரிக் சமன்பாட்டிற்கும், பெசல் சமன்பாட்டிற்கும் இடையில் நிகழ்கிறது, இது ஒரு வகையில் ஒரு வரம்புக்குட்பட்ட வழக்கு, ஆனால் பகுப்பாய்வு பண்புகள் கணிசமாக வேறுபடுகின்றன. முறையான வரையறைகள் மேலும் துல்லியமாக, மெரோமார்பிக் செயல்பாடுகளுடன்-th வரிசையின் சாதாரண நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள். முடிவிலியில் உள்ள புள்ளியை சாத்தியமான ஒருமை புள்ளியாக சேர்க்க சமன்பாடு ரீமன் கோளத்தில் ஆய்வு செய்யப்பட வேண்டும். தேவைப்பட்டால் சிக்கலான தளத்தின் வரையறுக்கப்பட்ட பகுதிக்குள் φ ஐ நகர்த்த ஒரு மோபியஸ் உருமாற்றத்தைப் பயன்படுத்தலாம், கீழே உள்ள பெசல் வேறுபாடு சமன்பாட்டின் உதாரணத்தைப் பார்க்கவும். பின்னர் குறியீட்டு சமன்பாட்டை அடிப்படையாகக் கொண்ட ஃப்ரோபீனியஸ் முறை ஒரு முழு எண்ணாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லாத சிக்கலான தளத்தில் கொடுக்கப்பட்ட எந்தவொரு சிக்கலான சக்திகளுக்கும் அருகிலுள்ள சக்தி தொடர் மடங்கு சிக்கலான சக்திகளாக இருக்கும் சாத்தியமான தீர்வுகளைக் கண்டறிய பயன்படுத்தப்படலாம்; எனவே, இந்த செயல்பாடு இருக்கலாம், எனவே, ஒரு கிளை வெட்டப்பட்டதற்கு நன்றி, அல்லது சில துளையிடப்பட்ட வட்டின் ரீமன் மேற்பரப்பில் இருந்து நீட்டிக்கப்படுகிறது. இது ஒரு சாதாரண புள்ளிக்கு எந்த சிரமத்தையும் முன்வைக்கவில்லை (லாசரஸ் ஃபுக்ஸ் 1866). ஒரு வழக்கமான ஒற்றைப் புள்ளி என்றால், வரையறையின்படி அதிகபட்சமாக வரிசையின் துருவத்தைக் கொண்டிருப்பது என்று பொருள்படும், ஃப்ரோபீனியஸ் முறையும் வேலை செய்ய முடியும் மற்றும் அருகிலுள்ள சுயாதீன தீர்வுகளை வழங்க முடியும். இல்லையெனில் புள்ளி ஒரு ஒழுங்கற்ற ஒற்றுமை. அவ்வாறான நிலையில், பகுப்பாய்வு தொடர்ச்சியின் மூலம் தீர்வுகளைத் தொடர்புபடுத்தும் மோனோட்ரோமி குழு பொதுவாகச் சொல்வதற்கு குறைவாகவே உள்ளது, மேலும் தீர்வுகளை ஆய்வு செய்வது கடினம், அவற்றின் அறிகுறியற்ற விரிவாக்கங்களின் அடிப்படையில் தவிர. ஒரு ஒழுங்கற்ற ஒருமைப்பாட்டின் ஒழுங்கின்மை பாயின்கேர் தரவரிசை () ஆல் அளவிடப்படுகிறது. வழக்கமான நிலை என்பது ஒரு வகையான நியூட்டன் பலகோண நிலை, அதாவது அனுமதிக்கப்பட்ட துருவங்கள் ஒரு பிராந்தியத்தில் உள்ளன, அதற்கு எதிராக வரையப்படும்போது, அச்சுகளுக்கு 45 டிகிரியில் ஒரு கோட்டால் சூழப்பட்டுள்ளன. ஒரு சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடு, அதன் ஒற்றை புள்ளிகள் மட்டுமே, முடிவிலியில் உள்ள புள்ளி உட்பட, வழக்கமான ஒற்றை புள்ளிகள் ஒரு ஃபுச்சியன் சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. இரண்டாவது வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடுகளுக்கான எடுத்துக்காட்டுகள் இந்த விஷயத்தில் மேலே உள்ள சமன்பாடு பின்வரும் நிகழ்வுகளை வேறுபடுத்துகிறதுஃ செயல்பாடுகள் மற்றும் பகுப்பாய்வு செய்யும் போது புள்ளி ஒரு சாதாரண புள்ளியாகும். 1 இல் வரிசைப்படுத்த ஒரு துருவத்தைக் கொண்டிருந்தால் மற்றும் 2 இல் வரிசைப்படுத்த ஒரு துருவத்தைக் கொண்டிருந்தால் புள்ளி ஒரு வழக்கமான ஒற்றைப் புள்ளியாகும். இல்லையெனில் புள்ளி ஒரு ஒழுங்கற்ற ஒற்றைப் புள்ளியாகும். மாற்றீடு மற்றும் உறவுகளைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் முடிவிலியில் ஒரு ஒழுங்கற்ற ஒற்றைப் புள்ளி உள்ளதா என்பதை நாம் சரிபார்க்கலாம்ஃ இவ்வாறு நாம் சமன்பாட்டை ஒரு சமன்பாடாக மாற்றலாம், மேலும் என்ன நடக்கிறது என்பதைச் சரிபார்க்கலாம். மற்றும் அவை பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் மேற்கோள்களாக இருந்தால், அதன் வகுப்பில் உள்ள பல்லுறுப்புக்கோவை அதன் எண் டிகிரியை விட குறைந்தது ஒரு டிகிரி அதிகமாகவும், அதன் வகுத்தல் அதன் எண் டிகிரியை விட குறைந்தது இரண்டு டிகிரி அதிகமாகவும் இல்லாவிட்டால், எல்லையற்ற x இல் ஒரு ஒழுங்கற்ற ஒற்றைப் புள்ளி இருக்கும். ஒற்றைப் புள்ளிகள் மற்றும் அறியப்பட்ட தீர்வுகளைக் கொண்ட கணித இயற்பியலின் சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடுகளிலிருந்து பல எடுத்துக்காட்டுகள் கீழே பட்டியலிடப்பட்டுள்ளன. பெசல் வேறுபாடு சமன்பாடு இது இரண்டாவது வரிசையின் ஒரு சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடு ஆகும். இது லாப்லேஸின் சமன்பாட்டிற்கான தீர்வில் உருளை ஆயத்தொகுதிகளில் காணப்படுகிறதுஃ ஒரு தன்னிச்சையான உண்மையான அல்லது சிக்கலான எண்ணுக்கு (பெசல் செயல்பாட்டின் வரிசை). மிகவும் பொதுவான மற்றும் முக்கியமான சிறப்பு வழக்கு ஒரு முழு எண் எங்கே. இந்த சமன்பாட்டை x2 ஆல் வகுத்தால் பின்வருமாறு கிடைக்கும்ஃ இந்த விஷயத்தில் முதல் வரிசையில் ஒரு துருவத்தைக் கொண்டுள்ளது. போது, இரண்டாவது வரிசையின் ஒரு துருவத்தைக் கொண்டுள்ளது. எனவே இந்த சமன்பாடு 0 இல் ஒரு வழக்கமான ஒற்றுமையைக் கொண்டுள்ளது. உதாரணமாக, மோபியஸ் உருமாற்றத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டியிருக்கும் போது என்ன நடக்கிறது என்பதைப் பார்க்க. இயற்கணிதத்தைச் செய்த பிறகுஃ இப்போது முதல் வரிசையில் ஒரு துருவத்தைக் கொண்டுள்ளது, ஆனால் நான்காவது வரிசையில் ஒரு துருவத்தைக் கொண்டுள்ளது. எனவே, இந்த சமன்பாடு x உடன் தொடர்புடைய ஒரு ஒழுங்கற்ற ஒருமைப்பாட்டைக் கொண்டுள்ளது. லெஜெண்டர் வேறுபாடு சமன்பாடு இது இரண்டாவது வரிசையின் சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடு ஆகும். இது லாப்லேஸ் சமன்பாட்டின் கோள ஆயத்தொகுதிகளில் உள்ள தீர்வில் காணப்படுகிறதுஃ சதுர அடைப்புக்குறியைத் திறப்பது பின்வருமாறு கொடுக்கிறதுஃ மற்றும் இதன் மூலம் வகுத்தல்ஃ இந்த வேறுபட்ட சமன்பாடு ±1 மற்றும் φ இல் வழக்கமான ஒருமை புள்ளிகளைக் கொண்டுள்ளது. ஹெர்மைட் வேறுபாடு சமன்பாடு ஒன்று ஒரு ஹார்மோனிக் ஊசலாட்டத்திற்கான ஒரு பரிமாண நேர சுயாதீனமான ஷ்ரோடிங்கர் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதில் இந்த சாதாரண இரண்டாவது வரிசை வேறுபாடு சமன்பாட்டை எதிர்கொள்கிறது. இந்த வழக்கில் சாத்தியமான ஆற்றல் V (x): இது பின்வரும் சாதாரண இரண்டாவது வரிசை வேறுபாடு சமன்பாட்டிற்கு வழிவகுக்கிறதுஃ இந்த வேறுபாடு சமன்பாடு φ இல் ஒரு ஒழுங்கற்ற ஒருமைப்பாட்டைக் கொண்டுள்ளது. இதன் தீர்வுகள் ஹெர்மைட் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் ஆகும். ஹைப்பர்ஜியோமெட்ரிக் சமன்பாடு சமன்பாட்டை இரு பக்கங்களையும் வகுப்பதன் மூலம் வரையறுக்கலாம்ஃ இந்த வேறுபட்ட சமன்பாடு 0,1 மற்றும் φ இல் வழக்கமான ஒருமை புள்ளிகளைக் கொண்டுள்ளது. ஒரு தீர்வு ஹைப்பர்ஜியோமெட்ரிக் செயல்பாடு ஆகும். குறிப்புகள் ஈ. டி. காப்ஸன், ஒரு சிக்கலான மாறியின் செயல்பாடுகளின் கோட்பாட்டின் அறிமுகம் (1935) வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் ஏ. ஆர். ஃபோர்சித் கோட்பாடு தொகுதி. IV: சாதாரண நேரியல் சமன்பாடுகள் (கேம்பிரிட்ஜ் யுனிவர்சிட்டி பிரஸ், 1906) எட்வர்ட் கோர்சட், கணித பகுப்பாய்வில் ஒரு பாடநெறி, தொகுதி II, பகுதி II: வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் pp. 128−ff. (ஜின் & கோ, பாஸ்டன், 1917) ஈ. எல். இன்ஸ், சாதாரண வேறுபட்ட சமன்பாடுகள், டோவர் பப்ளிகேஷன்ஸ் (1944) டி. எம். மேக்ரோபர்ட் ஒரு சிக்கலான மாறியின் செயல்பாடுகள் பக்கம் 243 (மேகமிலன், லண்டன், 1917) ஈ. டி. விட்டேகர் மற்றும் ஜி. என். வாட்சன் நவீன பகுப்பாய்வின் ஒரு பாடநெறி பக்கம் 188-எஃப்எஃப். (கேம்பிரிட்ஜ் பல்கலைக்கழகம் பிரஸ், 1915) சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடுகள் சிக்கலான பகுப்பாய்வு