Abel's identity
கணிதத்தில், ஏபலின் அடையாளம் (ஏபலின் சூத்திரம் அல்லது ஏபலின் வேறுபட்ட சமன்பாடு அடையாளம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) என்பது அசல் வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் குணகத்தின் அடிப்படையில் ஒரே மாதிரியான இரண்டாவது வரிசை நேரியல் சாதாரண வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் இரண்டு தீர்வுகளின் வ்ரோன்ஸ்கியனை வெளிப்படுத்தும் ஒரு சமன்பாடாகும். இந்த உறவை n-வது வரிசை நேரியல் சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடுகளுக்கு பொதுமைப்படுத்தலாம். இந்த அடையாளம் நோர்வே கணிதவியலாளர் நீல்ஸ் ஹென்ரிக் ஏபலின் பெயரால் அழைக்கப்படுகிறது. ஏபலின் அடையாளம் வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் வெவ்வேறு நேரியல் சுயாதீன தீர்வுகளுடன் தொடர்புடையது என்பதால், மற்றொன்றிலிருந்து ஒரு தீர்வைக் கண்டுபிடிக்க இதைப் பயன்படுத்தலாம். இது தீர்வுகள் தொடர்பான பயனுள்ள அடையாளங்களை வழங்குகிறது, மேலும் அளவுருக்களின் மாறுபாடு முறை போன்ற பிற நுட்பங்களின் ஒரு பகுதியாகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும். பெசலின் சமன்பாடு போன்ற சமன்பாடுகளுக்கு இது குறிப்பாக பயனுள்ளதாக இருக்கும், அங்கு தீர்வுகள் ஒரு எளிய பகுப்பாய்வு வடிவத்தைக் கொண்டிருக்கவில்லை, ஏனெனில் அத்தகைய சந்தர்ப்பங்களில் வ்ரோன்ஸ்கியன் நேரடியாகக் கணக்கிடுவது கடினம். ஒரே மாதிரியான நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் முதல் வரிசை அமைப்புகளின் பொதுமைப்படுத்தல் லியோவில்லின் சூத்திரத்தால் வழங்கப்படுகிறது. கூற்று உண்மையான அல்லது சிக்கலான மதிப்புள்ள தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகள் p மற்றும் q உடன் உண்மையான கோட்டின் இடைவெளி I இல் ஒரு ஒரே மாதிரியான நேரியல் இரண்டாவது வரிசை சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள். ஆபெலின் அடையாளம் இரண்டு உண்மையான அல்லது சிக்கலான மதிப்புள்ள தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளின் வ்ரோன்ஸ்கியன் மற்றும் இந்த வேறுபாடு சமன்பாட்டின், அதாவது தீர்மானிப்பானால் வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாடு ஒவ்வொரு புள்ளிக்கும் உறவை திருப்திப்படுத்துகிறது என்று கூறுகிறது. குறிப்புகள் குறிப்பாக, வேறுபட்ட சமன்பாடு உண்மையான மதிப்புடையதாக இருக்கும்போது, வ்ரோன்ஸ்கியன் எப்போதும் ஒரே மாதிரியாக பூஜ்ஜியமாக இருக்கும், எப்போதும் நேர்மறையாக இருக்கும் அல்லது ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் எப்போதும் எதிர்மறையாக இருக்கும் (கீழே உள்ள ஆதாரத்தைப் பார்க்கவும்). பிந்தைய நிகழ்வுகள் இரண்டு தீர்வுகளையும் குறிக்கின்றன மற்றும் நேரியல் ரீதியாக சுயாதீனமானவை (ஒரு ஆதாரத்திற்கு வ்ரோன்ஸ்கியனைப் பார்க்கவும்). தீர்வுகளின் இரண்டாவது வழித்தோன்றல்கள் மற்றும் தொடர்ச்சியானவை என்று கருத வேண்டிய அவசியமில்லை. ஏபலின் தேற்றம் குறிப்பாக பயனுள்ளதாக இருக்கும், ஏனெனில் அது நிலையானது என்பதைக் குறிக்கிறது. தயாரிப்பு விதியைப் பயன்படுத்தி வ்ரோன்ஸ்கியனை வேறுபடுத்துவதற்கான ஆதாரம் கொடுக்கிறது (சுருக்கத்திற்கான வாதத்தை எழுதுவது மற்றும் தவிர்ப்பது) அசல் வேறுபாடு சமன்பாட்டில் தீர்ப்பது இந்த முடிவை இரண்டாவது வழித்தோன்றல்களை மாற்றுவதற்காக வ்ரோன்ஸ்கியன் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலாக மாற்றுகிறது மற்றும் வழங்குகிறது இது ஒரு முதல்-வரிசை நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடு, மேலும் ஏபலின் அடையாளம் தனித்துவமான தீர்வைத் தருகிறது என்பதைக் காட்டுகிறது, இது மதிப்பை அடைகிறது. செயல்பாடு தொடர்ச்சியாக இருப்பதால், இது ஒவ்வொரு மூடிய மற்றும் வரம்புக்குட்பட்ட துணை இடைவெளியிலும் வரம்புக்குட்பட்டது, எனவே ஒருங்கிணைக்கக்கூடியது, எனவே இது நன்கு வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாடாகும். இரு பக்கங்களையும் வேறுபடுத்தி, தயாரிப்பு விதி, சங்கிலி விதி, அதிவேக செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் மற்றும் கால்குலஸின் அடிப்படை தேற்றம் ஆகியவற்றைப் பயன்படுத்தி, வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் காரணமாக ஒருவர் பெறுகிறார். எனவே, நிலையானதாக இருக்க வேண்டும், இல்லையெனில் நாம் சராசரி மதிப்பு தேற்றத்திற்கு ஒரு முரண்பாட்டைப் பெறுவோம் (சிக்கலான மதிப்புள்ள வழக்கில் உண்மையான மற்றும் கற்பனை பகுதிக்கு தனித்தனியாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது). ஏனெனில், ஏபலின் அடையாளம் ஃபார் என்ற வரையறையைத் தீர்ப்பதன் மூலம் பின்பற்றப்படுகிறது. பொதுமைப்படுத்தல் ஒரு இடைவெளியில் செயல்பாடுகளின் வ்ரோன்ஸ்கியன் என்பது தீர்மானிப்பவரால் வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாடாகும். வரிசையின் ஒரே மாதிரியான நேரியல் சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளுங்கள்ஃ உண்மையான கோட்டின் இடைவெளியில் உண்மையான-அல்லது சிக்கலான-மதிப்புள்ள தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டைக் கொண்டிருங்கள். இந்த n வது வரிசை வேறுபாடு சமன்பாட்டின் தீர்வுகளால். பின்னர் ஏபலின் அடையாளத்தின் பொதுமைப்படுத்தல் இந்த வ்ரோன்ஸ்கியன் உறவை திருப்திப்படுத்துகிறது என்று கூறுகிறதுஃ ஒவ்வொரு புள்ளிக்கும். நேரடி ஆதாரம் சுருக்கத்திற்கு, நாங்கள் வாதத்திற்காக எழுதுகிறோம் மற்றும் தவிர்க்கிறோம். முதல் வரிசை நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாட்டை வ்ரோன்ஸ்கியன் தீர்க்கிறது என்பதைக் காட்ட இது போதுமானது, ஏனெனில் ஆதாரத்தின் மீதமுள்ள பகுதி பின்னர் வழக்குக்கான ஒன்றுடன் ஒத்துப்போகிறது. நம்மிடம் உள்ள வழக்கில் மற்றும் வேறுபாடு சமன்பாடு ஒன்றுடன் ஒத்துப்போகிறது. எனவே, பின்வருவனவற்றைக் கருத்தில் கொள்ளுங்கள். வ்ரோன்ஸ்கியனின் வழித்தோன்றல் என்பது வரையறுக்கும் தீர்மானிப்பவரின் வழித்தோன்றலாகும். தீர்மானிப்பவர்களுக்கான லீப்னிஸ் சூத்திரத்திலிருந்து ஒவ்வொரு வரிசையையும் தனித்தனியாக வேறுபடுத்துவதன் மூலம் இந்த வழித்தோன்றலைக் கணக்கிட முடியும், எனவே, விரிவாக்கத்திலிருந்து ஒவ்வொரு தீர்மானிப்பவரும் ஒரே மாதிரியான வரிசைகளைக் கொண்டுள்ளனர் என்பதைக் கவனியுங்கள், கடைசி ஒன்றைத் தவிர. நேரியல் சார்ந்த வரிசைகளைக் கொண்ட தீர்மானிப்பவர்கள் 0 க்கு சமமாக இருப்பதால், கடைசியாக ஒன்று மட்டுமே எஞ்சியுள்ளதுஃ ஒவ்வொன்றும் சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதால், ஒவ்வொன்றிற்கும் நம்மிடம் உள்ளது. எனவே, மேலே உள்ள தீர்மானிப்பவரின் கடைசி வரிசையில் அதன் முதல் வரிசையின் நேரங்களைச் சேர்ப்பது, அதன் இரண்டாவது வரிசையின் நேரங்களைச் சேர்ப்பது மற்றும் கடைசி வரிசைக்கு அடுத்த நேரங்கள் வரை, அதன் வழித்தோன்றலுக்கான தீர்மானிப்பவரின் மதிப்பு மாறாமல் உள்ளது, மேலும் லியோவில்லின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி ஆதாரத்தைப் பெறுகிறோம். மேற்கோள்கள் ஏபெல், என். எச்., "பிரெசிஸ் டி யுனே தியோரி டெஸ் ஃபோன்க்ஷன்ஸ் எலிப்டிக்" ஜே. ரெய்ன் ஏஞ்ச்யூ. கணிதம்., 4 (1829) pp. 309-348. பாய்ஸ், டபிள்யூ. இ. மற்றும் டிப்ரிமா, ஆர். சி. (1986). அடிப்படை வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் மற்றும் எல்லை மதிப்பு சிக்கல்கள், 4 வது பதிப்பு. நியூயார்க்ஃ வில்லி. சான்றுகளைக் கொண்ட கட்டுரைகள் கணித அடையாளங்கள் சாதாரண வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் நீல்ஸ் ஹென்ரிக் ஏபெல்