Hecke character
எண் கோட்பாட்டில், ஹெக் எழுத்து என்பது டிரிக்லெட் எழுத்தின் பொதுமைப்படுத்தலாகும், இது டிரிக்லெட் எல்-செயல்பாடுகளை விட பெரிய எல்-செயல்பாடுகளின் வகுப்பை உருவாக்க எரிக் ஹெக் என்பவரால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது, மேலும் டெடெகிண்ட் ஜீட்டா-செயல்பாடுகளுக்கான இயற்கையான அமைப்பு மற்றும் ரீமன் ஜீட்டா-செயல்பாட்டிற்கு ஒத்த செயல்பாட்டு சமன்பாடுகளைக் கொண்ட சில மற்றவை. ஹெக் எழுத்துக்கு சில நேரங்களில் பயன்படுத்தப்படும் பெயர் ஜெர்மன் சொல் கிரோஸென்சராக்டர் (பெரும்பாலும் கிரோஸென்சராக்டர், கிரோஸென்சராக்டர் போன்றவை எழுதப்படுகின்றன). ஒரு ஹெக் எழுத்து என்பது ஒரு எண் புலம் அல்லது உலகளாவிய செயல்பாட்டு புலத்தின் இலட்சிய வகுப்புக் குழுவின் ஒரு எழுத்து ஆகும். இது முன்மாதிரி குழுவின் ஒரு பாத்திரத்துடன் தனித்துவமாக ஒத்திருக்கிறது, இது முதன்மை ஐடல்ஸில் அற்பமானது, ப்ரொஜெக்ஷன் வரைபடத்துடன் கலவை மூலம். இந்த வரையறை ஒரு எழுத்தின் வரையறையைப் பொறுத்தது, இது ஆசிரியர்களிடையே சற்று மாறுபடும்ஃ இது பூஜ்ஜியமற்ற சிக்கலான எண்களுக்கு ("குவாசிச்சராக்டர்" என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) ஒரு ஹோமோமார்பிசம் அல்லது சி ("யூனிட்டரி") இல் உள்ள அலகு வட்டத்திற்கு ஒரு ஹோமோமார்பிசம் என வரையறுக்கப்படலாம். எந்தவொரு குவாசிச்சாராக்டரும் (ஐடல் கிளாஸ் குழுவின்) ஒரு யூனிட்டரி எழுத்து மடங்கு நெறிமுறையின் உண்மையான சக்தியாக தனித்துவமாக எழுதப்படலாம், எனவே இரண்டு வரையறைகளுக்கும் இடையே பெரிய வேறுபாடு இல்லை. ஒரு ஹெக் எழுத்தின் கடத்தி χ என்பது மிகப்பெரிய ஐடியல் m ஆகும், அதாவது χ என்பது ஒரு ஹெக் எழுத்து மோட் m ஆகும். இங்கே நாம் χ என்பது ஒரு ஹெக் எழுத்து மோட் m என்று சொல்கிறோம், χ (ஐடியல் குழுவில் ஒரு எழுத்தாகக் கருதப்படுகிறது) வரையறுக்கப்பட்ட ஐடல்ஸ் குழுவில் அற்பமானதாக இருந்தால், அதன் ஒவ்வொரு v-adic கூறுகளும் 1 + mOv இல் உள்ளன. இலட்சியங்களைப் பயன்படுத்தி வரையறை ஹெக் எழுத்தின் அசல் வரையறை, ஹெக்கிற்குச் செல்வது, பின்ன இலட்சியங்களில் ஒரு எழுத்தின் அடிப்படையில் இருந்தது. ஒரு எண் புலம் K ஐப் பொறுத்தவரை, m = mfm ≤ ஒரு K-தொகுதியாக இருக்கட்டும், mf உடன், "வரையறுக்கப்பட்ட பகுதி", K மற்றும் m ≤ இன் ஒருங்கிணைந்த இலட்சியமாக இருப்பதால், "எல்லையற்ற பகுதி", K இன் உண்மையான இடங்களின் (முறையான) பெருக்கல் ஆகும். மாடுலஸ் m கொண்ட ஒரு ஹெக் எழுத்து என்பது Im இலிருந்து பூஜ்ஜியமற்ற சிக்கலான எண்களுக்குள் ஒரு குழு ஒத்த உருவகம் ஆகும், அதாவது இலட்சியங்களில் (a) Pm இல் அதன் மதிப்பு தொடர்ச்சியான ஒத்த உருவகத்தின் a இல் உள்ள மதிப்புக்கு சமமாக இருக்கும் பூஜ்ஜியமற்ற சிக்கலான எண்களுக்கு K இன் அனைத்து ஆர்க்கிமிடியன் முழுமைகளின் பெருக்கலின் பெருக்கிலிருந்து, அங்கு ஒரே உருவகத்தின் ஒவ்வொரு உள்ளூர் கூறுகளும் ஒரே உண்மையான பகுதியைக் கொண்டுள்ளன (அடுக்கில்). (இங்கே நாம் K இன் பல்வேறு ஆர்க்கிமிடியன் இடங்களுடன் தொடர்புடைய உட்பொதிகளைப் பயன்படுத்தி K இன் ஆர்க்கிமிடியன் முழுமைகளின் பெருக்கலில் ஒரு உட்பொதிக்கிறோம்.) எனவே ஒரு ஹெக் எழுத்தை கதிர் வகுப்பு குழு மாடுலோ m இல் வரையறுக்கலாம், இது இம்/பிஎம் என்ற ஈவு ஆகும். கண்டிப்பாகச் சொல்வதானால், முற்றிலும் நேர்மறையான ஜெனரேட்டரை ஏற்றுக்கொள்பவர்களுக்கு முதன்மை இலட்சியங்களில் நடத்தை பற்றிய நிபந்தனையை ஹெக் உருவாக்கினார். எனவே, மேலே கொடுக்கப்பட்ட வரையறையைப் பொறுத்தவரை, அவர் உண்மையில் அனைத்து உண்மையான இடங்களும் தோன்றிய மாடுலியுடன் மட்டுமே பணியாற்றினார். எல்லையற்ற பகுதி m φ இன் பங்கு இப்போது ஒரு முடிவிலி வகை என்ற கருத்தின் கீழ் இணைக்கப்பட்டுள்ளது. வரையறைகளுக்கு இடையிலான உறவு ஐடெலிக் வரையறையை விட சிறந்த வரையறை மிகவும் சிக்கலானது, மேலும் ஹெக்கின் வரையறைக்கான உந்துதல் எல்-செயல்பாடுகளை உருவாக்குவதாகும் (சில நேரங்களில் ஹெக் எல்-செயல்பாடுகள் என்று குறிப்பிடப்படுகிறது) இது ஒரு டிரிச்லெட் எல்-செயல்பாட்டின் கருத்தை பகுத்தறிவுகளிலிருந்து மற்ற எண் புலங்களுக்கு விரிவுபடுத்துகிறது. ஒரு ஹெக் எழுத்து χ க்கு, அதன் L-செயல்பாடு ஹெக் எழுத்தின் மாடுலஸ் m க்கு ஒப்பீட்டளவில் முதன்மையான ஒருங்கிணைந்த இலட்சியங்களில் மேற்கொள்ளப்படும் டிரிக்லெட் தொடர் என்று வரையறுக்கப்படுகிறது. குறியீடு N (I) என்பது சிறந்த நெறிமுறை என்று பொருள்படும். Pm துணைக்குழுக்களில் ஹெக் எழுத்துக்களின் நடத்தையை நிர்வகிக்கும் பொதுவான உண்மையான பகுதி நிபந்தனை இந்த டிரிக்லெட் தொடர்கள் சில வலது அரை தளங்களில் முற்றிலும் ஒன்றிணைவதைக் குறிக்கிறது. இந்த எல்-செயல்பாடுகள் முழு சிக்கலான தளத்திற்கும் ஒரு மெரோமார்பிக் தொடர்ச்சியைக் கொண்டுள்ளன என்பதை ஹெக் நிரூபித்தார், எழுத்து அற்பமானதாக இருக்கும்போது s = 1 இல் வரிசை 1 இன் எளிய துருவத்தைத் தவிர பகுப்பாய்வு செய்யப்படுகிறது. பழமையான ஹெக் எழுத்துக்களுக்கு (பழமையான டிரிக்லெட் எழுத்துக்களைப் போலவே ஒரு மாடுலஸுடன் தொடர்புடைய வரையறை), இந்த எல்-செயல்பாடுகள் ஒரு எழுத்தின் எல்-செயல்பாட்டின் மதிப்புகள் மற்றும் அதன் சிக்கலான இணை எழுத்தின் எல்-செயல்பாடு தொடர்பான செயல்பாட்டு சமன்பாட்டை பூர்த்தி செய்வதை ஹெக் காட்டினார். ஐடல் கிளாஸ் குழுவின் ஒரு எழுத்தை கருத்தில் கொள்ளுங்கள், இது அலகு வட்டத்தில் ஒரு வரைபடமாக எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது, இது முதன்மை ஐடல்ஸில் 1 ஆகவும், அனைத்து எல்லையற்ற இடங்களையும் கொண்ட ஒரு விதிவிலக்கான வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்பு S இல் உள்ளது. பின்னர் ஐடியல் குரூப் IS இன் ஒரு எழுத்தை χ உருவாக்குகிறது, S இல் இல்லாத பிரைம் ஐடியல்களில் ஃப்ரீ அபெலியன் குரூப். S இல் இல்லாத ஒவ்வொரு பிரைம் p க்கும் ஒரு சீரான உறுப்பு π ஐ எடுத்து, IS இலிருந்து ஐடியல் கிளாஸ்களுக்கு ஒரு வரைபடத்தை வரையறுக்கவும், ஒவ்வொரு p ஐயும் ஐடியலின் கிளாஸுக்கு மேப்பிங் செய்வதன் மூலம் p ஒருங்கிணைப்பில் π மற்றும் எல்லா இடங்களிலும் 1 ஆகும். χ என்பது Π மற்றும் si ஆகியவற்றின் கலவையாக இருக்கட்டும். பின்னர் χ சிறந்த குழுவில் ஒரு எழுத்தாக நன்கு வரையறுக்கப்படுகிறது. எதிர் திசையில், ஐ. எஸ் இன் ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய எழுத்து χ கொடுக்கப்பட்டால், ஒரு தனித்துவமான ஐடல் கிளாஸ் எழுத்துக்கு ஒத்திருக்கிறது. இங்கே ஏற்றுக்கொள்ளத்தக்கது S தொகுப்பை அடிப்படையாகக் கொண்ட ஒரு மாடுலஸ் m இன் இருப்பைக் குறிக்கிறது, அதாவது 1 மட்டு m ஆக இருக்கும் இலட்சியங்களில் χ எழுத்து 1 ஆகும். எழுத்துக்கள் 'பெரியவை' என்ற பொருளில் உள்ளன, அதாவது முடிவிலி-வகை சிறியதாக இல்லாதபோது இந்த எழுத்துக்கள் வரையறுக்கப்பட்ட வரிசையில் இல்லை என்று அர்த்தம். வரையறுக்கப்பட்ட-வரிசை ஹெக் எழுத்துக்கள் அனைத்தும், ஒரு வகையில், கிளாஸ் ஃபீல்ட் கோட்பாட்டால் கணக்கிடப்படுகின்றனஃ அவற்றின் எல்-செயல்பாடுகள் ஆர்ட்டின் எல்-செயல்பாடுகள், ஆர்ட்டின் பரஸ்பரம் காட்டுகிறது. ஆனால் காஸியன் புலம் போன்ற எளிமையான ஒரு புலம் கூட ஹெக் எழுத்துக்களைக் கொண்டுள்ளது, அவை வரையறுக்கப்பட்ட வரிசைக்கு அப்பால் ஒரு தீவிரமான வழியில் செல்கின்றன (கீழே உள்ள உதாரணத்தைப் பார்க்கவும்). சிக்கலான பெருக்கக் கோட்பாட்டின் பிற்கால முன்னேற்றங்கள், 'பெரிய' எழுத்துக்களின் சரியான இடம் ஒரு முக்கியமான வகை இயற்கணித வகைகளுக்கு (அல்லது நோக்கங்கள் கூட) ஹாஸ்-வெயில் எல்-செயல்பாடுகளை வழங்குவதாகும் என்பதைக் குறிக்கிறது. சிறப்பு நிகழ்வுகள் ஒரு டிரிக்லெட் எழுத்து என்பது வரையறுக்கப்பட்ட வரிசையின் ஹெக் எழுத்து ஆகும். இது முற்றிலும் நேர்மறை முதன்மை இலட்சியங்களின் தொகுப்பில் உள்ள மதிப்புகளால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது, அவை சில மாடுலஸ் m ஐப் பொறுத்தவரை 1 ஆகும். ஒரு ஹில்பர்ட் எழுத்து என்பது கடத்தி 1 இன் டிரிச்லெட் எழுத்து ஆகும். ஹில்பர்ட் எழுத்துக்களின் எண்ணிக்கை என்பது புலத்தின் வகுப்புக் குழுவின் வரிசையாகும். கிளாஸ் ஃபீல்ட் கோட்பாடு ஹில்பர்ட் எழுத்துக்களை ஹில்பர்ட் கிளாஸ் ஃபீல்டின் கலோயிஸ் குழுவின் எழுத்துக்களுடன் அடையாளம் காட்டுகிறது. பகுத்தறிவு எண்களின் புலத்திற்கு எடுத்துக்காட்டுகள், ஐடல் வகுப்பு குழு p-adic முழு எண்களின் அனைத்து அலகு குழுக்களுடன் நேர்மறை உண்மையான R + இன் பெருக்கலுக்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும். எனவே ஒரு குவாசிச்சராக்டர் ஒரு டிரிச்லெட் எழுத்துடன் நெறிமுறையின் சக்தியின் விளைபொருளாக எழுதப்படலாம். கடத்தி 1 இன் காஸியன் முழு எண்களின் ஹெக் எழுத்து χ என்பது χ ((a)) = |a |s (a/|a |) 4n என்ற வடிவத்தில் s கற்பனை மற்றும் n ஒரு முழு எண், இதில் a என்பது இலட்சியத்தின் (a) ஜெனரேட்டர் ஆகும். ஒரே அலகுகள் i இன் சக்திகள், எனவே அடுக்கில் உள்ள 4 இன் காரணி இலட்சியங்களில் எழுத்து நன்கு வரையறுக்கப்படுவதை உறுதி செய்கிறது. L (s, χ) க்கான செயல்பாட்டு சமன்பாட்டின் ஹெக்கின் அசல் ஆதாரம் ஒரு வெளிப்படையான தீட்டா-செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தியது. எமில் ஆர்டினின் மேற்பார்வையின் கீழ் எழுதப்பட்ட ஜான் டேட்டின் 1950 பிரின்ஸ்டன் முனைவர் ஆய்வுக் கட்டுரை, எந்தவொரு சிறப்பு செயல்பாடுகளின் தேவையையும் அகற்ற, பொண்ட்ரியாகின் இரட்டைத்தன்மையை முறையாகப் பயன்படுத்தியது. இதேபோன்ற கோட்பாட்டை கென்கிச்சி இவாசாவா சுயாதீனமாக உருவாக்கினார், இது அவரது 1950 ஐசிஎம் பேச்சின் பொருளாக இருந்தது. ஒரு போர்பாக்கி கருத்தரங்கில் பின்னர் செய்யப்பட்ட மறுசீரமைப்பு, டேட்டின் ஆதாரத்தின் சில பகுதிகளை விநியோகக் கோட்பாட்டின் மூலம் வெளிப்படுத்த முடியும் என்பதைக் காட்டியதுஃ கொடுக்கப்பட்ட χ மூலம் ஐடல்ஸ் செயல்பாட்டின் கீழ் மாறும் K இன் அடீல் குழுவில் விநியோகங்களின் இடம் (ஸ்வார்ட்ஸ்-ப்ரூஹாட் சோதனை செயல்பாடுகளுக்கு) பரிமாணம் 1 ஐக் கொண்டுள்ளது. இயற்கணித ஹெக் எழுத்துக்கள் ஒரு இயற்கணித ஹெக் எழுத்து என்பது இயற்கணித மதிப்புகளை எடுக்கும் ஹெக் எழுத்தாகும்ஃ அவை 1947 இல் வெயில் என்பவரால் ஏ0 என்ற பெயரில் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டன. இத்தகைய எழுத்துக்கள் வர்க்க புலக் கோட்பாடு மற்றும் சிக்கலான பெருக்கக் கோட்பாட்டில் நிகழ்கின்றன. உண்மையில் E என்பது F என்ற எண்ணுப் புலத்தின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு நீள்வட்ட வளைவாக இருக்கட்டும், மேலும் K என்பது F இல் உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் F க்கு ஒரு இயற்கணித ஹெக் எழுத்து χ உள்ளது, விதிவிலக்கான தொகுப்பு S உடன் E இன் மோசமான குறைப்பின் பகா எண்களின் தொகுப்பு எல்லையற்ற இடங்களுடன். நல்ல குறைப்பின் ஒரு முதன்மை இலட்சிய p க்கு, χ (p) மதிப்பு ஃப்ரோபீனியஸ் எண்டோமார்பிசத்தின் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவையின் மூலமாகும் என்ற பண்பு இந்த எழுத்துக்கு உள்ளது. இதன் விளைவாக, E க்கான ஹாஸ்-வெயில் ஜீட்டா சார்பு என்பது χ மற்றும் அதன் சிக்கலான இணைப்பிற்கான இரண்டு டிரிக்லெட் தொடர்களின் பெருக்கமாகும். குறிப்புகள் குறிப்புகள் ஜே. டேட், எண் புலங்களில் ஃபோரியர் பகுப்பாய்வு மற்றும் ஹெக்கின் ஜீட்டா செயல்பாடுகள் (டேட்டின் 1950 ஆய்வறிக்கை), இயற்கணித எண் கோட்பாட்டில் எடிட் ஜே. டபிள்யூ. எஸ். காசல்ஸ், ஏ. ஃப்ரோலிச் (1967) பக். எண் கோட்பாடு ஜீட்டா மற்றும் எல்-செயல்பாடுகள்