Euclid's theorem
யூக்ளிடின் தேற்றம் என்பது எண்ணைக் கோட்பாட்டில் ஒரு அடிப்படை அறிக்கையாகும், இது எண்ணற்ற பல பகா எண்கள் உள்ளன என்று வலியுறுத்துகிறது. இதை முதன்முதலில் யூக்ளிட் தனது எலிமென்ட்ஸ் என்ற நூலில் நிரூபித்தார். இந்தக் கோட்பாட்டிற்கு பல சான்றுகள் உள்ளன. யூக்ளிடின் சான்று யூக்ளிட் தனது படைப்பான எலிமென்ட்ஸ் (புத்தகம் IX, முன்மொழிவு 20) இல் வெளியிடப்பட்ட ஒரு ஆதாரத்தை வழங்கினார், இது இங்கே மொழிபெயர்க்கப்பட்டுள்ளது. p1, p2,., pn ஆகிய பகா எண்களின் வரையறுக்கப்பட்ட பட்டியலைக் கவனியுங்கள். இந்த பட்டியலில் இல்லாத குறைந்தபட்சம் ஒரு கூடுதல் பகா எண் இருப்பதைக் காண்பிக்கும். பட்டியலில் உள்ள அனைத்து பகா எண்களின் பெருக்கலாக P இருக்கட்டும்ஃ P = p1p2.pn. q = P + 1 என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் q என்பது பகா எண்ணாக இருந்தாலும் இல்லாவிட்டாலும்ஃ q பகா எண்ணாக இருந்தால், பட்டியலில் இல்லாத குறைந்தபட்சம் ஒரு பகா எண்ணாவது இருக்கும், அதாவது q தானே. q பகா எண் இல்லையென்றால், சில பகா காரணி p என்பது q ஐ வகுக்கிறது. இந்த காரணி p நமது பட்டியலில் இருந்தால், அது P ஐ வகுக்கும் (P என்பது பட்டியலில் உள்ள ஒவ்வொரு எண்ணின் பெருக்கல் என்பதால்); ஆனால் p இப்போது கூறியது போல் P + 1 = q ஐ வகுக்கிறது. p என்பது P மற்றும் q ஐ வகுத்தால், p என்பது இரண்டு எண்களின் வேறுபாட்டைப் பிரிக்க வேண்டும், அதாவது (P + 1) − P அல்லது வெறும் 1. எந்த பகா எண்ணும் 1 ஐ வகுக்காததால், p பட்டியலில் இருக்க முடியாது. இதன் பொருள் என்னவென்றால், பட்டியலில் உள்ளவற்றுக்கு அப்பால் குறைந்தது ஒரு பகா எண் உள்ளது. பகா எண்களின் ஒவ்வொரு வரையறுக்கப்பட்ட பட்டியலுக்கும் பட்டியலில் இல்லாத ஒரு பகா எண் உள்ளது என்பதை இது நிரூபிக்கிறது. அசல் படைப்பில், யூக்ளிட் பகா எண்களின் தன்னிச்சையான பட்டியலை எழுத எந்த வழியும் இல்லாததால், அவர் அடிக்கடி பயன்படுத்திய ஒரு முறையைப் பயன்படுத்தினார், அதாவது, பொதுமைப்படுத்தக்கூடிய உதாரணத்தின் முறை. அதாவது, அவர் மூன்று பகா எண்களை மட்டுமே தேர்ந்தெடுத்து, மேலே கோடிட்டுக் காட்டப்பட்ட பொதுவான முறையைப் பயன்படுத்தி, அவர் எப்போதும் ஒரு கூடுதல் பகா எண்ணைக் கண்டுபிடிக்க முடியும் என்பதை நிரூபிக்கிறார். எத்தனை பகா எண்கள் முதலில் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டாலும், இதேபோன்ற ஆதாரம் வேலை செய்யும் என்று அவரது வாசகர்கள் நம்புகிறார்கள் என்று யூக்ளிட் கருதுகிறார். ஆரம்பத்தில் கருதப்பட்ட வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்பில் அனைத்து பகா எண்களும் உள்ளன என்ற அனுமானத்துடன் தொடங்கி முரண்பாட்டின் மூலம் யூக்ளிட் இந்த முடிவை நிரூபித்ததாக பெரும்பாலும் தவறாக தெரிவிக்கப்படுகிறது, இருப்பினும் இது உண்மையில் நிகழ்வுகளின் மூலம் ஒரு சான்றாகும், இது ஒரு நேரடி ஆதார முறையாகும். தத்துவஞானி டோர்கெல் ஃப்ரான்சென், தர்க்கம் குறித்த ஒரு புத்தகத்தில், "எண்ணற்ற பல பகா எண்கள் உள்ளன என்பதற்கான யூக்ளிடின் ஆதாரம் ஒரு மறைமுக ஆதாரம் அல்ல [.] வாதம் சில நேரங்களில் 'அனைத்து பகா எண்களும்' என்ற அனுமானத்துடன் மாற்றுவதன் மூலம் மறைமுக ஆதாரமாக வடிவமைக்கப்படுகிறது. இருப்பினும், இந்த அனுமானம் ஆதாரத்தில் கூட பயன்படுத்தப்படாததால், சீர்திருத்தம் அர்த்தமற்றது ". மாறுபாடுகள் யூக்ளிடின் ஆதாரத்தில் பல மாறுபாடுகள் உள்ளன, அவற்றில் பின்வருவன அடங்கும்ஃ காரணி n! ஒரு நேர்மறை முழு எண் n இன் பெருக்கல் 2 முதல் n வரையிலான ஒவ்வொரு முழு எண்ணாலும் வகுக்கப்படுகிறது, ஏனெனில் இது அவை அனைத்தின் பெருக்கமாகும். எனவே, 2 முதல் n வரையிலான எந்த முழு எண்களாலும் வகுக்க முடியாது, இதில் அடங்கும் (ஒவ்வொன்றாலும் வகுக்கும்போது மீதமுள்ள 1 ஐ இது தருகிறது). எனவே n ஐ விட பெரிய ஒரு பகா எண்ணால் பகா எண் அல்லது வகுக்கக்கூடியது. இரண்டு சந்தர்ப்பங்களிலும், ஒவ்வொரு நேர்மறை முழு எண் n க்கும், குறைந்தபட்சம் ஒரு பகா எண் n ஐ விட பெரியதாக இருக்கும். முடிவு என்னவென்றால் பகா எண்களின் எண்ணிக்கை எல்லையற்றது. சுவிஸ் கணிதவியலாளர் லியோன்ஹார்ட் ஆய்லர் எழுதிய மற்றொரு சான்று, எண்கணிதத்தின் அடிப்படை தேற்றத்தை நம்பியுள்ளதுஃ ஒவ்வொரு முழு எண்ணுக்கும் ஒரு தனித்துவமான பகாக் காரணியாக்கம் உள்ளது. யூலர் என்ன எழுதினார் (இந்த நவீன குறியீட்டுடன் அல்ல, நவீன தரங்களைப் போலல்லாமல், தொகைகள் மற்றும் தயாரிப்புகளில் உள்ள வாதங்களை எந்த வரையறுக்கப்பட்ட முழு எண்களின் தொகுப்புகளுக்கும் கட்டுப்படுத்தவில்லை) என்பது நம்மிடம் உள்ள முதல் பகா எண்களின் தொகுப்பைக் குறிக்கிறது, மேலும் நேர்மறை முழு எண்களின் தொகுப்பாகும், அதன் பகா காரணிகள் அனைத்தும் உள்ளன. இறுதித் தொகையில் பகா எண்களின் ஒவ்வொரு பெருக்கலும் சரியாக ஒரு முறை தோன்றும், எனவே கடைசி சமத்துவம் எண்கணிதத்தின் அடிப்படை தேற்றத்தால் உண்மை. இந்த முடிவுக்கு தனது முதல் பதிலில் யூலர் "முழுமையான முடிவிலி" போன்ற ஒரு சின்னத்தால் குறிக்கிறார், மேலும் அறிக்கையில் உள்ள எல்லையற்ற தொகை "மதிப்புக்கு" சமம் என்று எழுதுகிறார், இதனால் எல்லையற்ற பெருக்கல் சமமாக உள்ளது (நவீன சொற்களில் இது ஹார்மோனிக் தொடரின் பகுதி கூட்டுத்தொகை அறிகுறியற்ற முறையில் வேறுபடுகிறது என்று சொல்வதற்கு சமம்). பின்னர் யூலர் தனது இரண்டாவது இணைப்பில், பெருக்கல் வரையறுக்கப்பட்ட மதிப்பு 2 க்கு ஒன்றிணைகிறது என்றும், இதன் விளைவாக வர்க்கங்களை விட அதிக பகா எண்கள் உள்ளன என்றும் குறிப்பிடுகிறார். இது யூக்ளிடின் தேற்றத்தை நிரூபிக்கிறது. அதே கட்டுரையில் (தேற்றம் 19) யூலர் உண்மையில் மேலே உள்ள சமத்துவத்தைப் பயன்படுத்தி தனக்கு முன்பு அறியப்படாத மிகவும் வலுவான தேற்றத்தை நிரூபித்தார், அதாவது தொடர் வேறுபட்டது, இது அனைத்து பகா எண்களின் தொகுப்பைக் குறிக்கிறது (யூலர் எழுதுகிறார் எல்லையற்ற தொகை, இது நவீன சொற்களில் இந்த தொடரின் பகுதி கூட்டுத்தொகை அறிகுறியற்ற முறையில் செயல்படுகிறது என்று சொல்வதற்கு சமம்). எர்டஸின் ஆதாரம் பால் எர்டாஸ் ஒரு ஆதாரத்தை வழங்கினார், இது எண்கணிதத்தின் அடிப்படை தேற்றத்தையும் நம்பியுள்ளது. ஒவ்வொரு நேர்மறை முழு எண்ணும் ஒரு சதுரம் இல்லாத எண் மற்றும் ஒரு சதுர எண்ணாக ஒரு தனித்துவமான காரணிமயமாக்கலைக் கொண்டுள்ளது. உதாரணமாக,. ஒரு நேர்மறை முழு எண்ணாக இருக்கட்டும், மேலும் பகா எண்களின் எண்ணிக்கை குறைவாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்கட்டும். அந்த பகா எண்களை அழைக்கவும். குறைவாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்கும் எந்தவொரு நேர்மறை முழு எண்ணையும் ஒவ்வொன்றும் அல்லது இருக்கும் வடிவத்தில் எழுதலாம். சதுரம் இல்லாத பகுதியை உருவாக்க வழிகள் உள்ளன. அதிகபட்சம் அப்படித் தான் இருக்க முடியும். எனவே, பெரும்பாலான எண்களை இந்த வடிவத்தில் எழுதலாம். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், அல்லது, மறுசீரமைத்தல், குறைவான அல்லது சமமான பகா எண்களின் எண்ணிக்கை அதிகமாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்கும். தன்னிச்சையாக இருந்ததால், சரியான முறையில் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம் விரும்பிய அளவுக்கு பெரியதாக இருக்கலாம். ஃபர்ஸ்டன்பெர்க்கின் ஆதாரம் 1950 களில், ஹில்லெல் ஃபர்ஸ்டன்பெர்க் புள்ளி-தொகுப்பு இடவியலைப் பயன்படுத்தி முரண்பாடு மூலம் ஒரு ஆதாரத்தை அறிமுகப்படுத்தினார். முழு எண்கள் Z இல் ஒரு இடவியலை வரையறுக்கவும், சமமான இடைவெளி முழு எண் இடவியல் என்று அழைக்கப்படுகிறது, ஒரு துணைக்குழுவை ஒரு திறந்த தொகுப்பாக அறிவிப்பதன் மூலம், அது வெற்று தொகுப்பாக இருந்தால் மட்டுமே, அல்லது அது எண்கணித வரிசைகள் S (a, b) (a § 0 க்கு) ஒன்றிணைந்தால் மட்டுமே, அங்கு ஒரு முரண்பாடு பின்வருகிறது ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட முழு எண்களின் தொகுப்பு திறந்திருக்க முடியாது மற்றும் அடிப்படை S (a, b) அமைக்கும் பண்பு திறந்த மற்றும் மூடியது, ஏனெனில் அதன் நிரப்பு வரையறுக்கப்பட்டதால் மூட முடியாது, ஆனால் அது மூடிய தொகுப்புகளின் வரையறுக்கப்பட்ட ஒன்றிணைப்பு என்பதால் மூடப்பட்டுள்ளது. சேர்க்கை-விலக்கு கொள்கையைப் பயன்படுத்தி சமீபத்திய சான்றுகள் சான்று ஜுவான் பப்லோ பினாஸ்கோ பின்வரும் ஆதாரத்தை எழுதியுள்ளார். p1,., pN ஆகியவை மிகச்சிறிய N பகா எண்களாக இருக்கட்டும். பின்னர் சேர்க்கை-விலக்கு கோட்பாட்டின் மூலம், அந்த பகா எண்களில் ஒன்றால் வகுக்கக்கூடிய x ஐ விடக் குறைவான அல்லது சமமான நேர்மறை முழு எண்களின் எண்ணிக்கை x ஆல் வகுக்கப்பட்டு, x ஐ வழங்க அனுமதிக்கிறது. p1,., pN ஐத் தவிர வேறு பகா எண்கள் இல்லையென்றால், (1) இல் உள்ள வெளிப்பாடு சமம் மற்றும் (2) இல் உள்ள வெளிப்பாடு 1 க்கு சமம், ஆனால் தெளிவாக (3) இல் உள்ள வெளிப்பாடு 1 க்கு சமம் அல்ல. எனவே, p1,., pN ஐ விட அதிக பகா எண்கள் இருக்க வேண்டும். லெஜெண்ட்ரேயின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி ஆதாரம் 2010 ஆம் ஆண்டில், ஜுன்ஹோ பீட்டர் வாங் பின்வரும் ஆதாரத்தை முரண்பாடாக வெளியிட்டார். k எந்த நேர்மறை முழு எண்ணாகவும் இருக்கட்டும். பின்னர் லெஜெண்ட்ரேயின் சூத்திரத்தின்படி (சில நேரங்களில் டி பாலிக்னாக்கிற்குக் காரணம்) ஆனால் இறுதியாக பல பகா எண்கள் மட்டுமே இருந்தால், பின்னர் (பின்னத்தின் எண் தனித்தனியாக அதிவேகமாக வளரும், அதே நேரத்தில் ஸ்டிர்லிங்கின் தோராயத்தால் வகுத்தல் தனித்தனியாக அதிவேகமாக வளரும்), ஒவ்வொரு k க்கும் எண் வகுப்பை விட அதிகமாகவோ அல்லது சமமாகவோ உள்ளது என்ற உண்மையை முரண்படுத்துகிறது. கட்டுமானத்தின் மூலம் ஆதாரம் பிலிப் சைடாக் கட்டுமானத்தின் மூலம் பின்வரும் ஆதாரத்தை வழங்கினார், இது ரிடக்டியோ அட் அப்சர்டம் அல்லது யூக்ளிடின் லெம்மாவைப் பயன்படுத்தவில்லை (ஒரு பகா எண் p என்பது ab ஐ வகுத்தால் அது a அல்லது b ஐ வகுக்க வேண்டும்). ஒவ்வொரு இயல் எண்ணும் (> 1) குறைந்தபட்சம் ஒரு பகாக் காரணியைக் கொண்டிருப்பதால், n மற்றும் (n + 1) ஆகிய இரண்டு தொடர்ச்சியான எண்களுக்கு பொதுவான காரணி இல்லை என்பதால், n (n + 1) என்ற பெருக்கல் n என்ற எண்ணை விட வேறுபட்ட பகாக் காரணிகளைக் கொண்டுள்ளது. எனவே புரோனிக் எண்களின் சங்கிலிஃ 1 × 2 = 2 {2}, 2 × 3 = 6 {2,3}, 6 × 7 = 42 {2,3,7}, 42 × 43 = 1806 {2,3,7,43}, 1806 × 1807 = 326342 {2,3,7,43,13,13,139}, ··· வரம்பற்ற வளர்ந்து வரும் பகா எண்களின் வரிசையை வழங்குகிறது. சுருக்கமின்மை முறையைப் பயன்படுத்தும் சான்று k பகா எண்கள் (p1,., pk) மட்டுமே இருந்தன என்று வைத்துக்கொள்வோம். எண்கணிதத்தின் அடிப்படை தேற்றத்தின் மூலம், எந்தவொரு நேர்மறை முழு எண் n ஐ எதிர்மறை அல்லாத முழு எண் அடுக்குகள் மற்றும் வரையறுக்கப்பட்ட அளவிலான பகா எண்களின் பட்டியலுடன் சேர்ந்து எண்ணை மறுகட்டமைக்க போதுமானது என்று குறிப்பிடலாம். அனைத்து i க்கும், இது அனைத்து i க்கும் (அடிப்படை-2 மடக்கைக் குறிக்கும் இடத்தில்) பின்பற்றுகிறது. இது பின்வரும் அளவில் n க்கு ஒரு குறியீட்டை வழங்குகிறது (பெரிய O குறியீட்டைப் பயன்படுத்தி): பிட்கள். பைனரியில் நேரடியாக n ஐக் குறிப்பிடுவதை விட இது மிகவும் திறமையான குறியாக்கமாகும், இது பிட்களை எடுக்கும். இழப்பற்ற தரவு சுருக்கத்தின் ஒரு நிறுவப்பட்ட முடிவு, ஒருவர் பொதுவாக N பிட்களை விட குறைவான N பிட்களாக சுருக்க முடியாது என்று கூறுகிறது. மேலே உள்ள பிரதிநிதித்துவம் n போதுமான அளவு பெரியதாக இருக்கும்போது இதை மீறுகிறது. எனவே, பகா எண்களின் எண்ணிக்கை வரையறுக்கப்பட்டதாக இருக்கக்கூடாது. வலுவான முடிவுகள் இந்த பிரிவில் உள்ள கோட்பாடுகள் ஒரே நேரத்தில் யூக்ளிடின் தேற்றம் மற்றும் பிற முடிவுகளைக் குறிக்கின்றன. எண்கணித முன்னேற்றங்கள் குறித்த டிரிக்லெட்டின் தேற்றம் டிரிக்லெட்டின் தேற்றம், எந்த இரண்டு நேர்மறை இணை முழு எண்கள் a மற்றும் d க்கு, a + nd வடிவத்தில் எண்ணற்ற பல பகா எண்கள் உள்ளன, அங்கு n ஒரு நேர்மறை முழு எண்ணாகும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒரு மாடுலோ d க்கு ஒத்த எண்ணற்ற பகா எண்கள் உள்ளன. பகா எண் தேற்றம் எந்தவொரு உண்மையான எண்ணுக்கும் குறைவான அல்லது சமமான பகா எண்களின் எண்ணிக்கையை வழங்கும் பகா எண்ணும் செயல்பாடாக இருக்கட்டும். பகா எண் தேற்றம் பின்னர் இது ஒரு நல்ல தோராயமாகும், அதாவது இரண்டு செயல்பாடுகளின் ஈவு வரம்பு மற்றும் பிணைப்பு இல்லாமல் அதிகரிக்கும் போது 1: அறிகுறியற்ற குறியீட்டைப் பயன்படுத்தி இந்த முடிவை மறுபரிசீலனை செய்யலாம் இது யூக்ளிடின் தேற்றத்தை அளிக்கிறது, ஏனெனில் பெர்ட்ராண்ட்-சேபிஷேவ் தேற்றம் எண் கோட்பாட்டில், பெர்ட்ராண்டின் அனுமானம் என்பது எந்தவொரு முழு எண்ணுக்கும், பெர்ட்ராண்ட்-சேபிஷேவ் தேற்றத்தையும் ஒரு உறவாகக் கூறக்கூடிய குறைந்தபட்சம் ஒரு பகா எண் எப்போதும் இருப்பதாகக் குறிப்பிடும் ஒரு தேற்றமாகும், அங்கு பகா எண்ணும் செயல்பாடு (பகா எண்களின் எண்ணிக்கை குறைவாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்கும்): எல்லாவற்றிற்கும் இந்த அறிக்கை முதன்முதலில் 1845 இல் ஜோசப் பெர்ட்ராண்டால் (1822-1900) அனுமானிக்கப்பட்டது. அவரது அனுமானம் 1852 ஆம் ஆண்டில் செபிஷேவ் (1821-1894) ஆல் முழுமையாக நிரூபிக்கப்பட்டது, எனவே இந்த அனுமானம் பெர்ட்ராண்ட்-செபிஷேவ் தேற்றம் அல்லது செபிஷேவின் தேற்றம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. குறிப்புகள் மற்றும் குறிப்புகள் வெளிப்புற இணைப்புகள் யூக்ளிடின் கூறுகள், புத்தகம் IX, ப்ராப். 20 (யூக்ளிடின் ஆதாரம், கிளார்க் பல்கலைக்கழகத்தில் டேவிட் ஜாய்ஸின் இணையதளத்தில்) பகா எண்களைப் பற்றிய ஆதாரக் கோட்பாடுகளைக் கொண்ட கட்டுரைகள்