Gibbs measure
கணிதத்தில், ஜோசியா வில்லார்ட் கிப்ஸின் பெயரிடப்பட்ட கிப்ஸ் அளவீடு, நிகழ்தகவு கோட்பாடு மற்றும் புள்ளிவிவர இயக்கவியலின் பல சிக்கல்களில் அடிக்கடி காணப்படும் ஒரு நிகழ்தகவு அளவீடு ஆகும். இது எல்லையற்ற அமைப்புகளுக்கு நியதி குழுமத்தின் பொதுமைப்படுத்தலாகும். இங்கே, நிலைகளின் இடத்திலிருந்து உண்மையான எண்களுக்கு ஒரு செயல்பாடு; இயற்பியல் பயன்பாடுகளில், கட்டமைப்பு x இன் ஆற்றலாக விளக்கப்படுகிறது. அளவுரு ஒரு இலவச அளவுரு; இயற்பியலில், இது தலைகீழ் வெப்பநிலை. இயல்பாக்கும் மாறிலி என்பது பகிர்வு செயல்பாடு ஆகும். இருப்பினும், எல்லையற்ற அமைப்புகளில், மொத்த ஆற்றல் இனி ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட எண் அல்ல, மேலும் ஒரு நியதி குழுமத்தின் நிகழ்தகவு விநியோகத்தின் பாரம்பரிய கட்டுமானத்தில் பயன்படுத்த முடியாது. புள்ளிவிவர இயற்பியலில் பாரம்பரிய அணுகுமுறைகள் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட அமைப்பின் அளவு முடிவிலியை (வெப்ப இயக்கவியல் வரம்பு) நெருங்குவதால் தீவிர பண்புகளின் வரம்பை ஆய்வு செய்தன. ஆற்றல் செயல்பாட்டை ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட துணை அமைப்பிலிருந்து மாறிகளை மட்டுமே உள்ளடக்கிய சொற்களின் கூட்டுத்தொகையாக எழுத முடியும் போது, கிப்ஸ் அளவீட்டின் கருத்து ஒரு மாற்று அணுகுமுறையை வழங்குகிறது. கிப்ஸ் நடவடிக்கைகள் டோப்ருஷின், லான்ஃபோர்ட் மற்றும் ரூய்லே போன்ற நிகழ்தகவு கோட்பாட்டாளர்களால் முன்மொழியப்பட்டன, மேலும் வரையறுக்கப்பட்ட அமைப்புகளின் வரம்பை எடுத்துக்கொள்வதற்குப் பதிலாக, எல்லையற்ற அமைப்புகளை நேரடியாகப் படிக்க ஒரு கட்டமைப்பை வழங்கின. ஒவ்வொரு வரையறுக்கப்பட்ட துணை அமைப்பிலும் அது தூண்டும் நிபந்தனையான நிகழ்தகவுகள் ஒரு நிலைத்தன்மை நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்தால் ஒரு அளவீடு ஒரு கிப்ஸ் அளவீடு ஆகும்ஃ வரையறுக்கப்பட்ட துணை அமைப்புக்கு வெளியே உள்ள அனைத்து டிகிரி சுதந்திரமும் உறைந்திருந்தால், இந்த எல்லை நிபந்தனைகளுக்கு உட்பட்டு துணை அமைப்பிற்கான நியமன குழுமம் உறைநிலை அளவுகளில் நிபந்தனைக்குட்பட்ட கிப்ஸ் அளவின் நிகழ்தகவுகளுடன் பொருந்துகிறது. ஹேமர்ஸ்லி-கிளிஃபோர்ட் தேற்றம் ஒரு மார்கோவ் பண்பை திருப்திப்படுத்தும் எந்தவொரு நிகழ்தகவு அளவும் (உள்ளூரில் வரையறுக்கப்பட்ட) ஆற்றல் செயல்பாட்டின் பொருத்தமான தேர்வுக்கான கிப்ஸ் அளவீடு என்பதைக் குறிக்கிறது. எனவே, கிப்ஸ் நடவடிக்கை இயற்பியலுக்கு வெளியே ஹாப்ஃபீல்ட் நெட்வொர்க்குகள், மார்கோவ் நெட்வொர்க்குகள், மார்கோவ் லாஜிக் நெட்வொர்க்குகள் மற்றும் விளையாட்டு கோட்பாடு மற்றும் பொருளாதாரத்தில் வரம்புக்குட்பட்ட பகுத்தறிவு சாத்தியமான விளையாட்டுகள் போன்ற பரவலான சிக்கல்களுக்கு பொருந்தும். உள்ளூர் (வரையறுக்கப்பட்ட வரம்பு) இடைவினைகள் கொண்ட ஒரு அமைப்பில் ஒரு கிப்ஸ் அளவீடு கொடுக்கப்பட்ட எதிர்பார்க்கப்பட்ட ஆற்றல் அடர்த்திக்கு என்ட்ரோபி அடர்த்தியை அதிகரிக்கிறது; அல்லது, சமமாக, இது இலவச ஆற்றல் அடர்த்தியைக் குறைக்கிறது. ஒரு எல்லையற்ற அமைப்பின் கிப்ஸ் அளவீடு தனித்துவமானது அல்ல, ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட அமைப்பின் நியதி குழுமத்திற்கு மாறாக, இது தனித்துவமானது. ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட கிப்ஸ் அளவீடுகளின் இருப்பு சமச்சீர் உடைப்பு மற்றும் கட்ட சகவாழ்வு போன்ற புள்ளிவிவர நிகழ்வுகளுடன் தொடர்புடையது. புள்ளியியல் இயற்பியல் ஒரு அமைப்பில் கிப்ஸ் அளவீடுகளின் தொகுப்பு எப்போதும் குவிந்திருக்கும், எனவே ஒரு தனித்துவமான கிப்ஸ் அளவீடு உள்ளது (இந்த விஷயத்தில் அமைப்பு "எர்கோடிக்" என்று கூறப்படுகிறது), அல்லது எண்ணற்ற பல உள்ளன (மற்றும் அமைப்பு "நோனெர்கோடிக்" என்று அழைக்கப்படுகிறது). நோன்எர்கோடிக் வழக்கில், கிப்ஸ் அளவீடுகளை "தூய நிலைகள்" என்று அழைக்கப்படும் மிகச் சிறிய எண்ணிக்கையிலான சிறப்பு கிப்ஸ் அளவீடுகளின் குவிந்த சேர்க்கைகளின் தொகுப்பாக வெளிப்படுத்தலாம் (குவாண்டம் இயக்கவியலில் தூய நிலைகள் பற்றிய தொடர்புடைய ஆனால் தனித்துவமான கருத்துடன் குழப்பமடையக்கூடாது). இயற்பியல் பயன்பாடுகளில், ஹாமில்டோனியன் (ஆற்றல் செயல்பாடு) பொதுவாக வட்டாரத்தின் சில உணர்வைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் தூய நிலைகள் கிளஸ்டர் சிதைவு பண்பைக் கொண்டுள்ளன, அவை "தொலைதூரப் பிரிக்கப்பட்ட துணை அமைப்புகள்" சுயாதீனமானவை. நடைமுறையில், இயற்பியல் யதார்த்தமான அமைப்புகள் இந்த தூய நிலைகளில் ஒன்றில் காணப்படுகின்றன. ஹாமில்டோனியன் ஒரு சமச்சீர்மையைக் கொண்டிருந்தால், ஒரு தனித்துவமான (அதாவது. எர்கோடிக்) கிப்ஸ் அளவீடு சமச்சீரின் கீழ் மாறாததாக இருக்க வேண்டும். ஆனால் பல விஷயத்தில் (அதாவது. கிப்ஸ் அளவீடுகள், ஹாமில்டோனிய சமச்சீரின் கீழ் தூய நிலைகள் பொதுவாக மாறாதவை அல்ல. எடுத்துக்காட்டாக, முக்கியமான வெப்பநிலைக்கு கீழே உள்ள எல்லையற்ற ஃபெரோ காந்த ஐசிங் மாதிரியில், இரண்டு தூய நிலைகள் உள்ளன, "பெரும்பாலும்-மேல்" மற்றும் "பெரும்பாலும்-கீழ்" நிலைகள், அவை மாதிரியின் சமச்சீரின் கீழ் ஒன்றோடொன்று மாற்றப்படுகின்றன. மார்கோவ் சொத்தின் ஒரு உதாரணத்தை ஐசிங் மாதிரியின் கிப்ஸ் அளவீட்டில் காணலாம். கொடுக்கப்பட்ட சுழற்சி நிலை s இல் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு, கொள்கையளவில், அமைப்பில் உள்ள மற்ற அனைத்து சுழல்களின் நிலைகளையும் சார்ந்துள்ளது. எனவே, நாம் நிகழ்தகவை இவ்வாறு எழுதலாம். இருப்பினும், ஒரு ஐசிங் மாதிரியில் வரையறுக்கப்பட்ட-வரம்பு தொடர்புகள் மட்டுமே உள்ளன (எடுத்துக்காட்டாக, அருகிலுள்ள-அண்டை தொடர்புகள்), எங்களிடம் உண்மையில், தளத்தின் சுற்றுப்புறம் எங்கே உள்ளது. அதாவது, தளத்தில் நிகழ்தகவு ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட சுற்றுப்புறத்தில் உள்ள சுழற்சிகளை மட்டுமே சார்ந்துள்ளது. இந்த கடைசி சமன்பாடு ஒரு உள்ளூர் மார்கோவ் பண்பு வடிவத்தில் உள்ளது. இந்த பண்பு கொண்ட அளவீடுகள் சில நேரங்களில் மார்கோவ் சீரற்ற புலங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. இன்னும் வலுவாக, இதற்கு நேர்மாறானதும் உண்மைதான்ஃ மார்கோவ் பண்பைக் கொண்ட எந்தவொரு நேர்மறை நிகழ்தகவு விநியோகத்தையும் (எல்லா இடங்களிலும் பூஜ்ஜியமற்ற அடர்த்தி) பொருத்தமான ஆற்றல் செயல்பாட்டிற்கான கிப்ஸ் அளவீடாகக் குறிப்பிடலாம். இது ஹேமர்ஸ்லி-கிளிஃபோர்ட் தேற்றம். லட்டிஸ்கள் பற்றிய முறையான வரையறை பின்வருவது ஒரு லட்டிஸில் ஒரு சீரற்ற புலத்தின் சிறப்பு வழக்குக்கான முறையான வரையறையாகும். இருப்பினும், கிப்ஸ் அளவீட்டின் யோசனை இதை விட மிகவும் பொதுவானது. ஒரு லட்டிஸில் கிப்ஸ் சீரற்ற புலத்தின் வரையறைக்கு சில சொற்கள் தேவைப்படுகின்றனஃ லட்டிஸ்ஃ ஒரு எண்ணக்கூடிய தொகுப்பு. ஒற்றை-சுழல் இடம்ஃ ஒரு நிகழ்தகவு இடம். உள்ளமைவு இடம்ஃ, எங்கே மற்றும். ஒரு உள்ளமைவு மற்றும் ஒரு துணைக்குழுவைப் பொறுத்தவரை, இன் கட்டுப்பாடு. என்றால் மற்றும், பின்னர் உள்ளமைவு என்பது முறையே மற்றும் மற்றும் ஆகியவற்றிற்கான கட்டுப்பாடுகளைக் கொண்ட உள்ளமைவாகும். அனைத்து வரையறுக்கப்பட்ட துணைக்குழுக்களின் தொகுப்பு. ஒவ்வொரு துணைக்குழுவிற்கும், செயல்பாடுகளின் குடும்பத்தால் உருவாக்கப்பட்ட-இயற்கணிதம், எங்கே. இந்த-ஆல்ஜிப்ராக்களின் ஒன்றிணைப்பு மாறுபடும் வகையில் லட்டிஸில் உள்ள சிலிண்டர் செட்டுகளின் இயற்கணிதம் ஆகும். ஆற்றல்ஃ ஒவ்வொன்றிற்கும் அளவிடக்கூடியது போன்ற செயல்பாடுகளின் குடும்பம், அதாவது இது கட்டுப்பாட்டை மட்டுமே சார்ந்துள்ளது (மற்றும் அளவிடத்தக்க வகையில் செய்கிறது). அனைத்திற்கும், பின்வரும் தொடர் உள்ளதுஃ வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்பு A இன் அனைத்து புள்ளிகளுக்கும் இடையிலான தொடர்புடன் தொடர்புடைய மொத்த ஆற்றலுக்கான (ஹாமில்டோனியன்) பங்களிப்பாக நாங்கள் விளக்குகிறோம். பின்னர் சந்திக்கும் அனைத்து வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்புகளின் மொத்த ஆற்றலுக்கான பங்களிப்பாக A. மொத்த ஆற்றல் பொதுவாக எல்லையற்றது என்பதை நினைவில் கொள்க, ஆனால் ஒவ்வொன்றிற்கும் நாம் "உள்ளூர்மயமாக்கும்போது" அது வரையறுக்கப்பட்டதாக இருக்கலாம், நாங்கள் நம்புகிறோம். எல்லை நிபந்தனைகளுடன் ஹாமில்டோனியன், ஆற்றலுக்காக, எங்கு வரையறுக்கப்படுகிறது. எல்லை நிபந்தனைகள் மற்றும் தலைகீழ் வெப்பநிலையுடன் (ஆற்றல் மற்றும்) பகிர்வு செயல்பாடு, உற்பத்தி அளவீட்டு எ ஆற்றல் எங்கு உள்ளது என்பதன் மூலம் வரையறுக்கப்படுகிறது-அனைவருக்கும் வரையறுக்கப்பட்டிருந்தால் ஏற்றுக்கொள்ளப்படுகிறது மற்றும். அனைத்திற்கும் டோப்ருஷின்-லான்ஃபோர்ட்-ரூய்லே (டி. எல். ஆர்) சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்தினால்-ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய ஆற்றலுக்கான கிப்ஸ் அளவீடு ஒரு நிகழ்தகவு அளவீடு ஆகும். மேற்கண்ட வரையறைகளைப் புரிந்துகொள்ள உதவும் ஒரு எடுத்துக்காட்டு, ஐசிங் மாதிரியின் முக்கியமான எடுத்துக்காட்டில் அருகிலுள்ள-அண்டை தொடர்புகள் (இணைப்பு மாறிலி) மற்றும் காந்தப்புலம் () உடன் தொடர்புடைய அளவுகள் இங்கே உள்ளனஃ சிங்கிள்-ஸ்பின் ஸ்பேஸ் போல்ட்ஸ்மேன் டிஸ்ட்ரிபியூஷன் எக்ஸ்பொனென்ஷியல் ஃபேமிலி கிப்ஸ் அல்காரிதம் கிப்ஸ் சாம்பிளிங் இன்டராக்ட்டிங் துகள் சிஸ்டம் பொடென்ஷியல் கேம் சாப்ட்மேக்ஸ் ஸ்டோகேஸ்டிக் செல்லுலார் ஆட்டோமேட்டா குறிப்புகள் மேலும் வாசிப்பு அளவீடுகள் (அளவீட்டுக் கோட்பாடு) புள்ளியியல் இயக்கவியல் விளையாட்டு கோட்பாடு சமநிலைக் கருத்துக்கள்