Complete intersection
கணிதத்தில், வி இன் இலட்சியம் சரியாக கோடிம் V உறுப்புகளால் உருவாக்கப்பட்டால், ப்ரொஜெக்டிவ் ஸ்பேஸில் ஒரு இயற்கணித வகை V ஒரு முழுமையான குறுக்குவெட்டு ஆகும். அதாவது, V க்கு பரிமாணம் m இருந்தால் மற்றும் ப்ரொஜெக்டிவ் ஸ்பேஸ் Pn இல் இருந்தால், n − m ஒரே மாதிரியான பல்லுறுப்புக்கோவைகள் இருக்க வேண்டும்ஃ ஒரே மாதிரியான ஆயத்தொகுப்புகளில் Xj, இது V இல் மறைந்துவிடும் மற்ற அனைத்து ஒரே மாதிரியான பல்லுறுப்புக்கோவைகளையும் உருவாக்குகிறது. வடிவியல் ரீதியாக, ஒவ்வொரு ஃபை ஒரு ஹைப்பர்சர்ஃபேஸை வரையறுக்கிறது; இந்த ஹைப்பர்சர்ஃபேஸ்களின் குறுக்குவெட்டு V ஆக இருக்க வேண்டும். ஹைப்பர்சர்ஃபேஸ்களின் குறுக்குவெட்டு எப்போதும் குறைந்தபட்சம் m பரிமாணத்தைக் கொண்டிருக்கும், ஸ்கேலர்களின் புலம் சிக்கலான எண்கள் போன்ற இயற்கணித மூடிய புலம் என்று கருதுகிறது. கேள்வி என்னவென்றால், குறுக்குவெட்டில் கூடுதல் புள்ளிகள் இல்லாமல், பரிமாணத்தை m ஆகக் குறைக்க முடியுமா? கோடிமென்ஷன் செய்தவுடன் இந்த நிலையை சரிபார்க்க மிகவும் கடினமாக உள்ளது. அப்போது V தானாகவே ஒரு ஹைப்பர்சர்ஃபேஸ் மற்றும் நிரூபிக்க எதுவும் இல்லை. எடுத்துக்காட்டுகள் முழுமையான குறுக்குவெட்டுகளின் எளிய எடுத்துக்காட்டுகள் ஹைப்பர்சர்ஃபேஸ்களால் வழங்கப்படுகின்றன, அவை ஒற்றை பல்லுறுப்புக்கோவையின் மறைந்து வரும் இருப்பிடத்தால் வரையறுக்கப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு குவிண்டிக் மூன்று மடங்குக்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு கொடுக்கிறது. இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட வெளிப்படையான எடுத்துக்காட்டுகளைப் பயன்படுத்தி உயர் பரிமாண வகைகளின் முழுமையான குறுக்குவெட்டுகளின் வெளிப்படையான எடுத்துக்காட்டுகளைக் கண்டுபிடிப்பது கடினமாக இருக்கலாம், ஆனால், எடுத்துக்காட்டுகள் அல்லாத முறுக்கப்பட்ட கனசதுரத்தால் வழங்கப்பட்ட 3 மடங்கு வகைக்கு ஒரு வெளிப்படையான எடுத்துக்காட்டு உள்ளது. இதற்கு ஒரு சிறந்த எடுத்துக்காட்டு முறுக்கப்பட்ட கனசதுரம் ஆகும்ஃ இது ஒரு மென்மையான உள்ளூர் முழுமையான குறுக்குவெட்டு ஆகும், அதாவது எந்த விளக்கப்படத்திலும் இது இரண்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் மறைந்து வரும் இருப்பிடமாக வெளிப்படுத்தப்படலாம், ஆனால் உலகளவில் இது இரண்டுக்கும் மேற்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் மறைந்து வரும் இருப்பிடத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. குறிப்பு மூலம் உட்பொதிப்பைக் கொடுப்பதற்கு மேல் மிக அதிகமான வரி மூட்டையைப் பயன்படுத்தி அதை உருவாக்கலாம். உட்பொதிப்பை நாம் அனுமதித்தால் பின்வரும் உறவுகளைத் தருகிறதுஃ எனவே முறுக்கப்பட்ட கனசதுரம் என்பது பரிமாணத்தில் வேறுபடும் வகைகளின் ஒன்றிணைப்பு ஆகும், இது ஒரு முழுமையான குறுக்குவெட்டை உருவாக்குவதற்கான மற்றொரு வசதியான வழியாகும், இது ஒருபோதும் உள்ளூர் முழுமையான குறுக்குவெட்டாக இருக்க முடியாது, அவற்றின் பரிமாணங்கள் உடன்படாத இரண்டு வெவ்வேறு வகைகளின் கலவையை எடுத்துக்கொள்வதாகும். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு புள்ளியில் ஒரு கோடு மற்றும் ஒரு தளம் வெட்டுவது இந்த நிகழ்வுக்கு ஒரு சிறந்த எடுத்துக்காட்டு. இது பன்முகத்தன்மை திட்டத்தால் வழங்கப்படுகிறது ஒரு முழுமையான குறுக்குவெட்டு ஒரு பன்முகத்தன்மையைக் கொண்டுள்ளது, இது ஹைப்பர்சர்ஃபேஸ்களை வரையறுக்கும் அளவுகளின் டப்பிள் (சரியாக ஒரு பன்முகத்தன்மை என்றாலும்) என்று எழுதப்பட்டுள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, மீண்டும் P3 இல் நாற்கரங்களை எடுத்துக்கொள்வது, (2,2) என்பது இரண்டின் முழுமையான குறுக்குவெட்டின் பன்முகத்தன்மை ஆகும், அவை பொதுவான நிலையில் இருக்கும்போது நீள்வட்ட வளைவாக இருக்கும். சிக்கலான மென்மையான முழுமையான குறுக்குவெட்டுகளின் ஹோட்ஜ் எண்கள் குனிஹிகோ கோடைராவால் உருவாக்கப்பட்டன. பொதுவான நிலை மேலும் சுத்திகரிக்கப்பட்ட கேள்விகளுக்கு, குறுக்குவெட்டின் தன்மை இன்னும் நெருக்கமாக உரையாற்றப்பட வேண்டும். ஒரு குறுக்குவெட்டு நிலையை பூர்த்தி செய்ய ஹைப்பர்சர்ஃபேஸ்கள் தேவைப்படலாம் (அவற்றின் தொடுகோடு இடைவெளிகள் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளில் பொதுவான நிலையில் இருப்பது போல). குறுக்குவெட்டு திட்ட-கோட்பாட்டாக இருக்கலாம், வேறுவிதமாகக் கூறினால், இங்கே Fi (X0,., Xn) ஆல் உருவாக்கப்படும் ஒரே மாதிரியான ஐடியல் V இன் வரையறுக்கும் ஐடியலாக இருக்க வேண்டும், மேலும் சரியான ரேடிக்கலைக் கொண்டிருக்கக்கூடாது. பரிமாற்ற இயற்கணிதத்தில், முழுமையான குறுக்குவெட்டு நிபந்தனை வழக்கமான வரிசை சொற்களாக மொழிபெயர்க்கப்பட்டுள்ளது, இது உள்ளூர் முழுமையான குறுக்குவெட்டின் வரையறையை அனுமதிக்கிறது, அல்லது சில உள்ளூர்மயமாக்கலுக்குப் பிறகு ஒரு இலட்சியம் வழக்கமான வரிசைகளை வரையறுக்கிறது. பரிமாணத்தின் முழுமையான குறுக்குவெட்டுகள் ஹைப்பர்பிளேன் பிரிவுகளின் குறுக்குவெட்டு என்பதால், அதை கண்டுபிடிக்க லெஃப்ஷெட்ஸ் ஹைப்பர்பிளேன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தலாம். கூடுதலாக, உலகளாவிய குணகம் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி ஹோமாலஜி குழுக்கள் எப்போதும் முறிவு இல்லாதவை என்பதை சரிபார்க்கலாம். இடத்தின் யூலர் பண்பு மூலம் நடுத்தர ஹோமாலஜி குழு தீர்மானிக்கப்படுகிறது என்பதை இது குறிக்கிறது. ஆய்லர் பண்பு ஹிர்ஸெப்ரூச் பல டிகிரியின் அனைத்து முழுமையான குறுக்குவெட்டுகளின் பரிமாணத்தையும் கணக்கிடும் ஒரு உருவாக்கும் செயல்பாட்டைக் கொடுத்தார். மேற்கோள் குறிப்புகள் வெளிப்புற இணைப்புகள் மேனிஃபோல்ட் அட்லஸ் இயற்கணித வடிவவியலில் முழுமையான குறுக்குவெட்டுகள் பரிமாற்ற இயற்கணிதம்