Branched covering
கணிதத்தில், ஒரு கிளை மூடுபனி என்பது ஒரு சிறிய தொகுப்பைத் தவிர, கிட்டத்தட்ட ஒரு மூடுபனி வரைபடமாகும். இடவியலில், ஒரு வரைபடம் என்பது கிளை தொகுப்பு என்று அழைக்கப்படும் எங்கும் அடர்த்தியான தொகுப்பைத் தவிர எல்லா இடங்களிலும் ஒரு மூடுபனி வரைபடமாக இருந்தால் ஒரு கிளை மூடுதல் ஆகும். எடுத்துக்காட்டுகளில் வட்டங்களின் பிளவிலிருந்து ஒற்றை வட்டத்திற்கு வரைபடம் அடங்கும், அங்கு வரைபடம் ஒவ்வொரு வட்டத்திலும் ஒரு ஹோமியோமார்பிசம் ஆகும். இயற்கணித வடிவவியலில், கிளை மூடுதல் என்ற சொல் ஒரு இயற்கணித வகையிலிருந்து மற்றொரு வகைக்கு உருவகங்களை விவரிக்கப் பயன்படுகிறது, இரண்டு பரிமாணங்களும் ஒரே மாதிரியானவை, மேலும் பரிமாணத்தின் வழக்கமான நார் 0 ஆகும். அவ்வாறான நிலையில், (ஜரிஸ்கி இடவியல்) ஒரு திறந்த தொகுப்பு இருக்கும், இது அடர்த்தியாக இருக்கும், அதாவது (முதல், அதாவது) கட்டுப்பாடு தடையின்றி இருக்கும். சூழலைப் பொறுத்து, இதை வலுவான இடவியல், சிக்கலான எண்கள் அல்லது பொதுவாக ஒரு அடல் உருவவியல் (சில சற்றே வலுவான கருதுகோள்களின் கீழ், தட்டையான தன்மை மற்றும் பிரிப்பு பற்றியது) ஆகியவற்றிற்கான உள்ளூர் ஹோமியோமார்பிசமாக நாம் எடுத்துக் கொள்ளலாம். பொதுவாக, அத்தகைய உருவகம் இடவியல் அர்த்தத்தில் ஒரு மூடும் இடத்தை ஒத்திருக்கிறது. எடுத்துக்காட்டாக, இரண்டும் கச்சிதமான ரீமன் மேற்பரப்புகள் என்றால், நமக்கு அது மட்டுமே தேவைப்படுகிறது, அது ஹோலோமார்பிக் மற்றும் நிலையானது அல்ல, பின்னர் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட புள்ளிகளின் தொகுப்பு உள்ளது, அதற்கு வெளியே நாம் ஒரு நேர்மையான உறையைக் காண்கிறோம். ரேமிஃபிகேஷன் லோகஸ் விதிவிலக்கான புள்ளிகளின் தொகுப்பு ரேமிஃபிகேஷன் லோகஸ் என்று அழைக்கப்படுகிறது (அதாவது. இது சாத்தியமான மிகப்பெரிய திறந்த தொகுப்பின் நிரப்பு). பொதுவாக மோனோட்ரோமி என்பது மூடியின் தாள்களில் செயல்படும் அடிப்படை குழுவின் படி நிகழ்கிறது (இந்த இடவியல் படம் ஒரு பொதுவான அடிப்படை புலத்தின் விஷயத்திலும் துல்லியமாக செய்யப்படலாம்). கும்மர் நீட்டிப்புகள் கிளை உறைகள் எளிதில் கும்மர் நீட்டிப்புகளாக கட்டப்படுகின்றன, அதாவது. செயல்பாட்டு புலத்தின் இயற்கணித விரிவாக்கமாக. ஹைப்பர்லிப்டிக் வளைவுகள் முன்மாதிரி எடுத்துக்காட்டுகளாகும். ரம்மிஃபைட் மூடுதல் ஒரு ரம்மிஃபைட் மூடுதல் என்பது வெற்று ரேமிஃபிகேஷன் லோகஸ் நிகழ்வு ஆகும். எடுத்துக்காட்டுகள் நீள்வட்ட வளைவுகளின் உருவங்கள் விரிவாக்கப்பட்ட உறைகளுக்கு பல எடுத்துக்காட்டுகளை வழங்குகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, சமன்பாட்டின் நீள்வட்ட வளைவாக இருக்கட்டும்-அச்சில் உள்ள ப்ரொஜெக்ஷன் என்பது ரேமிஃபிகேஷன் லோகஸுடன் ஒரு ரேமிஃபைட் கவர் ஆகும், ஏனெனில் ஃபைபரின் இந்த மூன்று மதிப்புகளுக்கு இரட்டை புள்ளி, மற்ற எந்த மதிப்பிற்கும், ஃபைபர் இரண்டு தனித்துவமான புள்ளிகளைக் கொண்டுள்ளது (இயற்கணித மூடிய புலத்தின் மீது). இந்த திட்டம் செயல்பாட்டு புலங்களின் டிகிரி இரண்டின் இயற்கணித நீட்டிப்பைத் தூண்டுகிறதுஃ மேலும், அடிப்படை பரிமாற்ற வளையங்களின் பின்ன புலங்களை நாம் எடுத்துக் கொண்டால், நாம் மார்ஃபிஸத்தைப் பெறுகிறோம் எனவே இந்த திட்டம் ஒரு டிகிரி 2 கிளை மூடுதலாகும். ப்ரொஜெக்டிவ் கோட்டிற்கு தொடர்புடைய ப்ரொஜெக்டிவ் நீள்வட்ட வளைவின் டிகிரி 2 கிளை மூடுதலை உருவாக்க இது ஒரே மாதிரியாக இருக்கலாம். விமான இயற்கணித வளைவு முந்தைய உதாரணம் பின்வரும் வழியில் எந்த இயற்கணித தள வளைவுக்கும் பொதுமைப்படுத்தப்படலாம். சமன்பாட்டால் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு சமதள வளைவாக இருக்கட்டும், அங்கு இரண்டு தீர்மானிக்கப்படாதவற்றில் பிரிக்கக்கூடிய மற்றும் பகுக்கமுடியாத பல்லுறுப்புக்கோவை உள்ளது. இன் டிகிரி என்றால், ஃபைபர் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான மதிப்புகளைத் தவிர, தனித்துவமான புள்ளிகளைக் கொண்டுள்ளது. எனவே, இந்த ப்ரொஜெக்ஷன் என்பது டிகிரியின் கிளை மூடுதலாகும். இதன் விதிவிலக்கான மதிப்புகள் இன் குணகத்தின் வேர்கள் மற்றும் டிஸ்கிரிமினன்ட் இன் வேர்கள் ஆகும். டிஸ்கிரிமினன்ட்டின் வேருக்கு மேல், குறைந்தபட்சம் ஒரு விரிவாக்கப்பட்ட புள்ளி உள்ளது, இது ஒரு முக்கியமான புள்ளி அல்லது ஒரு ஒற்றை புள்ளியாகும். இன் குணகத்தின் மூலமாகவும் இருந்தால், இந்த விரிவாக்கப்பட்ட புள்ளி "முடிவிலியில்" உள்ளது. இன் குணகத்தின் வேருக்கு மேல், வளைவு ஒரு எல்லையற்ற கிளையைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் ஃபைபர் புள்ளிகளை விட குறைவாக உள்ளது. இருப்பினும், ஒருவர் ப்ரொஜெக்ஷனை மற்றும்-ஆக்சிஸின் ப்ரொஜெக்டிவ் முழுமைகளுக்கு விரிவுபடுத்தினால், அது டிஸ்க்ரிமிநெண்ட்டின் வேர் இல்லையென்றால், ப்ரொஜெக்ஷன் ஒரு சுற்றுப்புறத்தின் மீது ஒரு உறையாக மாறும். இந்த ப்ரொஜெக்ஷன் டிகிரியின் கிளை மூடியது என்ற உண்மையை செயல்பாட்டு புலங்களைக் கருத்தில் கொள்வதன் மூலமும் காணலாம். உண்மையில், இந்த ப்ரொஜெக்ஷன் டிகிரி மாறுபடும் ரேமிஃபிகேஷன்களின் ஃபீல்ட் எக்ஸ்டென்ஷனுடன் ஒத்திருக்கிறது, கோட்டின் கிளை உறைகளை மாறுபட்ட ரேமிஃபிகேஷன் டிகிரிகளுடன் நாம் பொதுமைப்படுத்தலாம். நாம் வெவ்வேறு புள்ளிகளைத் தேர்ந்தெடுக்கும்போது வடிவத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவையைக் கவனியுங்கள், மாறுபாட்டின் மறைந்து போகும் இடத்தால் வழங்கப்படும் இழைகள். காரணிமயமாக்கலில் நேரியல் சொற்களில் ஒன்றின் பெருக்கம் ஒன்றால் அதிகரிக்கும் எந்த கட்டத்திலும், ஒரு விரிவாக்கம் உள்ளது. திட்ட கோட்பாட்டு எடுத்துக்காட்டுகள் நீள்வட்ட வளைவுகள் வளைவுகளின் உருவங்கள் திட்டங்களின் விரிவாக்கப்பட்ட உறைகளுக்கு பல எடுத்துக்காட்டுகளை வழங்குகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு அஃபைன் நீள்வட்ட வளைவிலிருந்து ஒரு கோட்டிற்கு ஒரு மார்ஃபிசம் என்பது ரேமிஃபிகேஷன் லோகஸுடன் ஒரு விரிவாக்கப்பட்ட கவர் ஆகும் இது ஏனெனில் ஃபைபரின் எந்த புள்ளியிலும் திட்டம் மேலும், அடிப்படை கம்யூட்டேடிவ் வளையங்களின் பின்ன புலங்களை நாம் எடுத்துக் கொண்டால், புலம் ஹோமோமார்பிசத்தைப் பெறுகிறோம், இது டிகிரி இரண்டின் இயற்கணித நீட்டிப்பாகும்; எனவே அஃபைன் கோட்டிற்கு ஒரு நீள்வட்ட வளைவின் டிகிரி 2 கிளைகள் மூடப்பட்டிருக்கும். ஒரு திட்டவட்டமான நீள்வட்ட வளைவின் உருவகத்தை உருவாக்க இது ஒரே மாதிரியாக இருக்கலாம். ஹைப்பர்லிப்டிக் வளைவு ஒரு ஹைப்பர்லிப்டிக் வளைவு அஃபைன் கோட்டின் மேலே உள்ள டிகிரி அட்டையின் பொதுமைப்படுத்தலை வழங்குகிறது, படிவத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை மூலம் வரையறுக்கப்பட்ட அஃபைன் திட்டத்தை கருத்தில் கொள்வதன் மூலம், அஃபைன் கோட்டின் உயர் டிகிரி உறைகளுக்கு மீண்டும் மீண்டும் வேர்கள் இல்லாத மார்ஃபிஸத்தை எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம் முந்தைய உதாரணத்தை நாம் பொதுமைப்படுத்தலாம். பின்னர், பின்ன புலங்களின் தூண்டப்பட்ட உருமாற்றத்தைப் பெறுகிறோம் இலக்கின் ஒரு-தொகுதி ஐசோமார்பிசம் உள்ளது எனவே கவர் டிகிரி ஆகும். சூப்பர் எலிப்டிக் வளைவுகள் என்பது ஹைப்பர்லிப்டிக் வளைவுகளின் பொதுமைப்படுத்தல் மற்றும் முந்தைய குடும்ப எடுத்துக்காட்டுகளின் சிறப்பு, ஏனெனில் அவை மீண்டும் மீண்டும் வேர்கள் இல்லாத வடிவத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவைகளிலிருந்து அஃபைன் திட்டங்களால் வழங்கப்படுகின்றன. திட்டவட்டமான இடத்தின் விரிவாக்கப்பட்ட உறைகள் மற்றொரு பயனுள்ள வகை எடுத்துக்காட்டுகள் திட்டவட்டமான இடத்தின் விரிவாக்கப்பட்ட உறைகளிலிருந்து வருகின்றன. ஒரு ஒரே மாதிரியான பல்லுறுப்புக்கோவை கொடுக்கப்பட்டால், ப்ரொஜெக்டிவ் திட்டங்களின் மார்ஃபிஸத்தை கருத்தில் கொண்டு ரேமிஃபிகேஷன் லோகஸுடன் ஒரு விரிவாக்கப்பட்ட உறையை உருவாக்க முடியும். பயன்பாடுகள் கிளை உறைகள் உருமாற்றங்களின் சமச்சீர் குழுவுடன் வருகின்றன. சமச்சீர் குழு ரேமிஃபிகேஷன் லோகஸின் புள்ளிகளில் நிலைப்படுத்திகளைக் கொண்டிருப்பதால், கிளை உறைகள் ஆர்பிஃபோல்ட்ஸ் அல்லது டெலிக்னே-மம்ஃபோர்ட் அடுக்குகளின் எடுத்துக்காட்டுகளை உருவாக்க பயன்படுத்தப்படலாம். மேலும் காண்கஃ எடேல் மார்ஃபிசம் ஆர்பிஃபோல்ட் ஸ்டேக் (கணிதம்) குறிப்புகள் காம்ப்ளக்ஸ் பன்மடங்கு இயற்கணித வகைகள்