Plimpton 322
பிளிம்ப்டன் 322 என்பது பாபிலோனிய களிமண் பலகையாகும், இது பாபிலோனிய கணிதத்தின் ஒரு உதாரணத்தைக் கொண்டிருப்பது குறிப்பிடத்தக்கது. இது ஜி. ஏ. வில் 322 வது இடத்தில் உள்ளது. கொலம்பியா பல்கலைக்கழகத்தில் பிளிம்ப்டன் சேகரிப்பு. கிமு 1800 இல் எழுதப்பட்டதாக நம்பப்படும் இந்த பலகையில், அந்தக் காலத்தின் க்யூனிஃபார்ம் எழுத்துக்களில் நான்கு நெடுவரிசைகள் மற்றும் 15 வரிசை எண்கள் உள்ளன. இந்த அட்டவணை இப்போது பித்தகோரிய முக்கோணங்கள் என்று அழைக்கப்படும் மூன்று எண்களில் இரண்டை பட்டியலிடுகிறது, அதாவது, முழு எண்கள் மற்றும் திருப்திகரமானவை. நவீன கண்ணோட்டத்தில், அத்தகைய முக்கோணங்களை உருவாக்குவதற்கான ஒரு முறை ஒரு குறிப்பிடத்தக்க ஆரம்பகால சாதனையாகும், இது கிரேக்க மற்றும் இந்திய கணிதவியலாளர்கள் இந்த சிக்கலுக்கான தீர்வுகளைக் கண்டுபிடிப்பதற்கு நீண்ட காலத்திற்கு முன்பே அறியப்பட்டது. அதே நேரத்தில், டேப்லெட்டின் ஆசிரியர் ஒரு தொழில்முறை கணிதவியலாளர் அல்ல, ஒரு எழுத்தாளராக இருந்தார் என்பதை ஒருவர் நினைவில் கொள்ள வேண்டும்; பள்ளி பிரச்சினைகளுக்கு எடுத்துக்காட்டுகளை உருவாக்குவதே அவரது குறிக்கோள்களில் ஒன்றாக இருந்திருக்கலாம் என்று கூறப்படுகிறது. டேப்லெட்டின் தன்மை மற்றும் நோக்கம் குறித்து குறிப்பிடத்தக்க அறிவார்ந்த விவாதம் நடந்துள்ளது. இந்த டேப்லெட்டின் படிக்கக்கூடிய பிரபலமான சிகிச்சைகளுக்கு கணிதத்தில் எக்ஸ்போசிட்டரி சிறப்புக்கான லெஸ்டர் ஆர். ஃபோர்டு விருதைப் பெறுபவரைப் பார்க்கவும் அல்லது, இன்னும் சுருக்கமாக, டேப்லெட்டின் எண்களின் விளக்கம் பற்றிய விரிவான மற்றும் தொழில்நுட்ப விவாதம், விரிவான நூலியல். பிளிம்ப்டன் 322 ஓரளவு உடைந்துள்ளது, தோராயமாக 13 செமீ அகலம், 9 செமீ உயரம் மற்றும் 2 செமீ தடிமன் கொண்டது. நியூயார்க் வெளியீட்டாளர் ஜார்ஜ் ஆர்தர் பிளிம்ப்டன் இந்த டேப்லெட்டை ஒரு தொல்பொருள் வியாபாரி எட்கர் ஜே. வங்கிகள், சுமார் 1922 இல், மற்றும் 1930 களின் நடுப்பகுதியில் கொலம்பியா பல்கலைக்கழகத்திற்கு அவரது மீதமுள்ள சேகரிப்புடன் அதை ஒப்படைக்கிறது. வங்கிகளின் கூற்றுப்படி, இந்த மாத்திரை பண்டைய நகரமான லார்சாவுடன் தொடர்புடைய தெற்கு ஈராக்கில் உள்ள சென்கெரேஹ் என்ற இடத்திலிருந்து வந்தது. இந்த மாத்திரை கிமு 1800 இல் எழுதப்பட்டதாக நம்பப்படுகிறது, நடுத்தர காலவரிசையைப் பயன்படுத்தி, அதன் க்யூனிஃபார்ம் ஸ்கிரிப்டுக்குப் பயன்படுத்தப்படும் கையெழுத்து பாணியை அடிப்படையாகக் கொண்டதுஃ இந்த கையெழுத்து "4000-3500 ஆண்டுகளுக்கு முன்பு தெற்கு ஈராக்கிலிருந்து வந்த ஆவணங்களின் பொதுவானது" என்று எழுதுகிறது. இன்னும் குறிப்பாக, லார்சாவின் பிற டேப்லெட்களுடன் வடிவமைக்கும் ஒற்றுமைகளின் அடிப்படையில், அவற்றில் வெளிப்படையான தேதிகள் எழுதப்பட்டுள்ளன, பிளிம்ப்டன் 322 கிமு 1822-1784 காலத்தைச் சேர்ந்ததாக இருக்கலாம். பிளிம்ப்டன் 322 அந்தக் காலத்தின் கணித ஆவணங்களை விட மற்ற நிர்வாக ஆவணங்களைப் போலவே அதே வடிவத்தில் எழுதப்பட்டது என்று ராப்சன் சுட்டிக்காட்டுகிறார். பிளிம்ப்டன் 322 இன் முக்கிய உள்ளடக்கம் பாபிலோனிய செக்ஸாஜிமல் குறியீட்டில் நான்கு நெடுவரிசைகள் மற்றும் பதினைந்து வரிசைகளைக் கொண்ட எண்களின் அட்டவணையாகும். நான்காவது நெடுவரிசை 1 முதல் 15 வரையிலான வரிசையில் ஒரு வரிசை எண் மட்டுமே. எஞ்சியிருக்கும் டேப்லெட்டில் இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது நெடுவரிசைகள் முழுமையாகக் காணப்படுகின்றன. இருப்பினும், முதல் நெடுவரிசையின் விளிம்பு உடைக்கப்பட்டுள்ளது, மேலும் காணாமல் போன இலக்கங்கள் என்னவாக இருக்கக்கூடும் என்பதற்கு இரண்டு நிலையான எக்ஸ்ட்ராபோலேஷன்கள் உள்ளன; ஒவ்வொரு எண்ணும் 1 க்கு சமமான கூடுதல் இலக்கத்துடன் தொடங்குகிறதா இல்லையா என்பதில் மட்டுமே இந்த விளக்கங்கள் வேறுபடுகின்றன. அடைப்புக்குறிக்குள் காட்டப்படும் வேறுபட்ட எக்ஸ்ட்ராபோலேஷன்கள், முதல் மற்றும் நான்காவது நெடுவரிசைகளின் சேதமடைந்த பகுதிகள், அவற்றின் உள்ளடக்கம் சாய்வில் காட்டப்பட்டுள்ளது, மற்றும் கீழே உள்ள சதுர அடைப்புக்குறிக்குள் பொதுவாக முன்மொழியப்பட்ட திருத்தங்களுடன் தடித்த முகப்பில் காட்டப்படும் ஆறு அனுமானிக்கப்பட்ட பிழைகள், இந்த எண்கள் வரிசை 15 இல் திருத்தத்திற்கு இரண்டு சாத்தியமான மாற்று வழிகள் காட்டப்பட்டுள்ளனஃ மூன்றாவது நெடுவரிசையில் 53 ஐ அதன் இரு மடங்கு மதிப்புடன் மாற்ற வேண்டும், 1.46, அல்லது இரண்டாவது நெடுவரிசையில் 56 ஐ அதன் பாதி மதிப்புடன் மாற்ற வேண்டும், 28. இந்த நெடுவரிசைகளின் இடதுபுறத்தில் டேப்லெட்டின் உடைந்த பகுதியில் கூடுதல் நெடுவரிசைகள் இருந்திருக்கலாம். பாபிலோனிய செக்ஸாஜிமல் குறியீடு ஒவ்வொரு எண்ணையும் பெருக்கும் 60 இன் சக்தியைக் குறிப்பிடவில்லை, இது இந்த எண்களின் விளக்கத்தை தெளிவற்றதாக ஆக்குகிறது. இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது நெடுவரிசைகளில் உள்ள எண்கள் பொதுவாக முழு எண்களாக கருதப்படுகின்றன. முதல் நெடுவரிசையில் உள்ள எண்களை பின்னங்களாக மட்டுமே புரிந்து கொள்ள முடியும், மேலும் அவற்றின் மதிப்புகள் அனைத்தும் 1 மற்றும் 2 க்கு இடையில் உள்ளன (ஆரம்ப 1 உள்ளது என்று வைத்துக் கொள்ளுங்கள்-அவை இல்லாவிட்டால் அவை 0 மற்றும் 1 க்கு இடையில் உள்ளன). இந்த பின்னங்கள் துல்லியமானவை, வெட்டுக்கள் அல்லது வட்டமான தோராயங்கள் அல்ல. இந்த அனுமானங்களின் கீழ் டேப்லெட்டின் தசம மொழிபெயர்ப்பு கீழே காட்டப்பட்டுள்ளது. முதல் நெடுவரிசையில் உள்ள பெரும்பாலான துல்லியமான செக்ஸாஜிமல் பின்னங்கள் முடிவடையும் தசம விரிவாக்கங்களைக் கொண்டிருக்கவில்லை மற்றும் ஏழு தசம இடங்களுக்கு வட்டமிடப்பட்டுள்ளன. * முன்பு போலவே, வரிசை 15 க்கு ஒரு மாற்று திருத்தம் இரண்டாவது நெடுவரிசையில் 28 மற்றும் மூன்றாவது நெடுவரிசையில் 53 ஐக் கொண்டுள்ளது. வரிசை 11 இன் இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது நெடுவரிசைகளில் உள்ள உள்ளீடுகள், வரிசை 15 ஐத் தவிர மற்ற அனைத்து வரிசைகளையும் போலல்லாமல், ஒரு பொதுவான காரணியைக் கொண்டுள்ளன. 45 மற்றும் 1.15 ஐ 3/4 மற்றும் 5/4 என புரிந்து கொள்ள முடியும், இது பாபிலோனிய கணிதத்தில் பழக்கமான (3,4,5) வலது முக்கோணத்தின் நிலையான (0.75,1,1.25) அளவீட்டுடன் ஒத்துப்போகிறது. ஒவ்வொரு வரிசையிலும், இரண்டாவது நெடுவரிசையில் உள்ள எண்ணை ஒரு வலது முக்கோணத்தின் குறுகிய பக்கமாகவும், மூன்றாவது நெடுவரிசையில் உள்ள எண்ணை முக்கோணத்தின் ஹைபோடெனஸ் என்றும் விளக்கலாம். எல்லா சந்தர்ப்பங்களிலும், நீண்ட பக்கமும் ஒரு முழு எண்ணாகும், இது ஒரு பித்தகோரியன் மூன்று கூறுகளை உருவாக்குகிறது. முதல் நெடுவரிசையில் உள்ள எண் பின்னம் ("1" சேர்க்கப்படவில்லை என்றால்) அல்லது ("1" சேர்க்கப்பட்டிருந்தால்). ஒவ்வொரு சந்தர்ப்பத்திலும், நீண்ட பக்கம் ஒரு வழக்கமான எண், அதாவது, 60 இன் சக்தியின் முழு எண் வகுத்தி அல்லது அதற்கு சமமாக, 2,3 மற்றும் 5 இன் சக்திகளின் பெருக்கல். இந்த காரணத்திற்காகவே முதல் நெடுவரிசையில் உள்ள எண்கள் துல்லியமாக உள்ளன, ஏனெனில் ஒரு முழு எண்ணை ஒரு வழக்கமான எண்ணால் வகுத்தால் முடிவடையும் செக்ஸாஜிமல் எண்ணை உருவாக்குகிறது. உதாரணமாக, அட்டவணையின் வரி 1 குறுகிய பக்கம் 119 மற்றும் ஹைபோடெனஸ் 169 கொண்ட ஒரு முக்கோணத்தை விவரிப்பதாக விளக்கப்படலாம், இது நீண்ட பக்கத்தைக் குறிக்கிறது, இது ஒரு வழக்கமான எண் (23·3·5). நெடுவரிசை 1 இல் உள்ள எண் (169/120) 2 அல்லது (119/120) 2 ஆகும். நெடுவரிசை தலைப்புகள் ஒவ்வொரு நெடுவரிசையிலும் அக்காடியன் மொழியில் எழுதப்பட்ட ஒரு தலைப்பு உள்ளது. சில சொற்கள் சுமேரிய லோகோகிராம்கள் ஆகும், அவை வாசகர்களால் அக்காடியன் சொற்களைக் குறிக்கின்றன என்று புரிந்து கொள்ளப்பட்டிருக்கும். இவற்றில் ÍB.SI8, அக்காடியன் மிட்டார்டம் ("சதுரம்"), MU.BI.IM, அக்காடியன் ஷும்சு ("அதன் வரிசை"), மற்றும் SAG, அக்காடியன் பூட்டம் ("அகலம்") ஆகியவை அடங்கும். நான்காவது நெடுவரிசையில் உள்ள ஒவ்வொரு எண்ணுக்கும் முன்பு சுமேரோகிராம் KI உள்ளது, இது படி, "அவர்களுக்கு வரிசை எண்களின் தன்மையை அளிக்கிறது". மேலே உள்ள செக்ஸாஜிமல் அட்டவணையில், இடாலிக் செய்யப்பட்ட சொற்களும் சொற்களின் பகுதிகளும் பலகையின் சேதம் அல்லது சட்டவிரோதத்தன்மை காரணமாக படிக்க முடியாத உரையின் பகுதிகளைக் குறிக்கின்றன, மேலும் அவை நவீன அறிஞர்களால் புனரமைக்கப்பட்டுள்ளன. ÍB.SI8 மற்றும் டாகில்டம் என்ற சொற்களின் துல்லியமான பொருள் குறித்து தொடர்ந்து விவாதம் நடைபெற்று வருவதால் அவை மொழிபெயர்க்கப்படாமல் விடப்பட்டுள்ளன. நெடுவரிசைகள் 2 மற்றும் 3 இன் தலைப்புகளை "அகலத்தின் சதுரம்" மற்றும் "மூலைவிட்டத்தின் சதுரம்" என்று மொழிபெயர்க்கலாம், ஆனால் (pp. 173-174) ÍB.SI8 என்ற சொல் சதுரத்தின் பரப்பளவை அல்லது சதுரத்தின் பக்கத்தைக் குறிக்கலாம் என்றும், இந்த விஷயத்தில் அதை 'சதுர-பக்கம்' அல்லது ஒருவேளை 'சதுர வேர்' என்று புரிந்து கொள்ள வேண்டும் என்றும் வாதிடுகிறார். இதேபோல் (ப. 526) சதுரத்தை நிறைவு செய்வது இப்போது இருபடி சமன்பாடுகள் என்று புரிந்து கொள்ளப்படுவதைத் தீர்க்கப் பயன்படுத்தப்படும் சிக்கல்களில் இந்த சொல் அடிக்கடி தோன்றுகிறது என்பதைக் கவனியுங்கள், இந்த சூழலில் இது முடிக்கப்பட்ட சதுரத்தின் பக்கத்தைக் குறிக்கிறது, ஆனால் இது "ஒரு நேரியல் பரிமாணம் அல்லது கோடு பிரிவு குறிக்கப்படுகிறது" என்பதைக் குறிக்கவும் உதவும். (ப. 35, 39), மறுபுறம், இந்த சொல் பல்வேறு வகையான வெவ்வேறு கணித செயல்பாடுகளின் விளைவுகளைக் குறிக்கும் நிகழ்வுகளை வெளிப்படுத்துகிறது மற்றும் "அகலத்தின் (அல்லது மூலைவிட்டத்தின்) தீர்க்கும் எண்ணிக்கை" என்ற மொழிபெயர்ப்பை முன்மொழிகிறது. இதேபோல், (பக்கம் 300) "ரூட்" என்ற மொழிபெயர்ப்பை முன்மொழிகிறது. நெடுவரிசை 1 இல், தலைப்பின் இரு வரிகளின் முதல் பகுதிகளும் சேதமடைந்துள்ளன. முதல் வார்த்தையை தகில்டி (தகில்டத்தின் ஒரு வடிவம்) என மறுசீரமைத்தார், இது பெரும்பாலான அடுத்தடுத்த ஆராய்ச்சியாளர்களால் ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட ஒரு வாசிப்பு. வரி 2 இன் உடைந்த பகுதியில் 1 ஐ செருக முன்மொழியப்படும் வரை தலைப்பு பொதுவாக மொழிபெயர்க்க முடியாததாகக் கருதப்பட்டது, மேலும் சட்டவிரோதமான இறுதி வார்த்தையைப் புரிந்துகொள்வதில் வெற்றி பெற்றது, மேலே உள்ள அட்டவணையில் கொடுக்கப்பட்ட வாசிப்பை உருவாக்குகிறது. விரிவான மொழியியல் பகுப்பாய்வின் அடிப்படையில், ராப்சன் டாகில்டத்தை "ஹோல்டிங் ஸ்கொயர்" என்று மொழிபெயர்க்க முன்மொழிகிறார். பழைய பாபிலோனிய கணிதத்தில் இந்த வார்த்தையின் ஒப்பீட்டளவில் அறியப்பட்ட சில நிகழ்வுகளை ஆய்வு செய்யுங்கள். ஏறக்குறைய எல்லா சந்தர்ப்பங்களிலும், இது சதுரத்தை நிறைவு செய்யும் செயல்பாட்டில் ஒரு உருவத்தில் சேர்க்கப்பட்ட துணை சதுரத்தின் நேரியல் பரிமாணத்தைக் குறிக்கிறது, மேலும் இது ஒரு இருபடி தீர்க்கும் கடைசி கட்டத்தில் கழிக்கப்பட்ட அளவு, அவர்கள் ராப்சனுடன் உடன்படுகிறார்கள் இந்த நிகழ்வில் இது ஒரு சதுரத்தின் பரப்பளவைக் குறிக்கிறது என்று புரிந்து கொள்ளப்பட வேண்டும். மறுபுறம், தலைப்பின் உடைந்த பகுதியில் தாகில்டம் அ-ஷா ("பகுதி") க்கு முன்னதாக இருந்திருக்கலாம் என்று முன்மொழிகிறது. அகலம் (குறுகிய பக்கம்) மற்றும் நீளத்துடன் (நீண்ட பக்கம்) ஒரு செவ்வகத்தின் மூலைவிட்டத்திற்கு இடையிலான உறவை தலைப்பு விவரிக்கிறது என்று இப்போது பரவலான உடன்பாடு உள்ளதுஃ மூலைவிட்டத்தில் உள்ள சதுரத்திலிருந்து பகுதி 1 ஐக் கழிப்பது (கிழித்தல்) அகலத்தில் சதுரத்தின் பரப்பளவை விட்டுச் செல்கிறது. பிழைகள் மேலே உள்ள அட்டவணையில் சுட்டிக்காட்டப்பட்டுள்ளபடி, பெரும்பாலான அறிஞர்கள் டேப்லெட்டில் ஆறு பிழைகள் இருப்பதாக நம்புகிறார்கள், மேலும், வரிசை 15 இல் உள்ள இரண்டு சாத்தியமான திருத்தங்களைத் தவிர, சரியான மதிப்புகள் என்னவாக இருக்க வேண்டும் என்பதில் பரவலான உடன்பாடு உள்ளது. டேப்லெட்டின் கணக்கீட்டு முறை தொடர்பாக பிழைகள் எவ்வாறு நிகழ்ந்தன, அவை எதைக் குறிக்கின்றன என்பது குறித்து குறைவான உடன்பாடு உள்ளது. பிழைகளின் சுருக்கம் பின்வருமாறு. வரிசை 2, நெடுவரிசை 1 (இல்லாத 1 மற்றும் 10 களுக்கு 50 மற்றும் 6 க்கு இடையில் இடைவெளிகளை விட்டுச் செல்வதை புறக்கணிப்பது) மற்றும் வரிசை 9, நெடுவரிசை 2 (8 க்கு 9 எழுதுவது) ஆகியவற்றில் உள்ள பிழைகள் உலகளவில் ஒரு வேலை டேப்லெட்டிலிருந்து நகலெடுப்பதில் சிறிய பிழைகளாக கருதப்படுகின்றன (அல்லது அட்டவணையின் முந்தைய நகலிலிருந்து இருக்கலாம்). வரிசை 8, நெடுவரிசை 1 இல் உள்ள பிழை (இரண்டு செக்ஸாஜிமல் இலக்கங்களை 45 14 ஐ அவற்றின் கூட்டுத்தொகையால் மாற்றுவது, 59) டேப்லெட்டில் உள்ள சில ஆரம்ப காகிதங்களில் கவனிக்கப்படவில்லை என்று தெரிகிறது. இது சில நேரங்களில் ஒரு வேலை டேப்லெட்டிலிருந்து நகலெடுக்கும் செயல்பாட்டில் எழுத்தாளரால் செய்யப்பட்ட ஒரு எளிய தவறாக (எடுத்துக்காட்டாக) கருதப்படுகிறது. எவ்வாறாயினும், விவாதிக்கப்பட்டபடி, பல அறிஞர்கள் இந்த பிழை எண்ணுக்கு வழிவகுக்கும் கணக்கீட்டில் ஒரு பிழையாக மிகவும் நம்பத்தகுந்த வகையில் விளக்கப்பட்டுள்ளது என்று முன்மொழிந்துள்ளனர், எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு பெருக்கத்தைச் செய்யும்போது எழுத்தர் ஒரு நடுத்தர பூஜ்ஜியத்தை (பூஜ்ஜிய இலக்கத்தைக் குறிக்கும் வெற்று இடம்) கவனிக்கவில்லை. பிழையின் இந்த விளக்கம் அட்டவணையின் கட்டுமான முறைக்கான இரண்டு முக்கிய முன்மொழிவுகளுடனும் இணக்கமாக உள்ளது. (கீழே காண்க.) மீதமுள்ள மூன்று பிழைகள் மாத்திரை கணக்கிடப்பட்ட விதத்தில் தாக்கங்களைக் கொண்டுள்ளன. வரிசை 13, நெடுவரிசை 2 இல் உள்ள எண் 7.12.1, சரியான மதிப்பின் சதுரமாகும், 2.41. நெடுவரிசை 2 இல் உள்ள நீளங்கள் தொடர்புடைய சதுரத்தின் பரப்பளவின் சதுர மூலத்தை எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம் கணக்கிடப்பட்டன, அல்லது நீளம் மற்றும் பரப்பளவு ஒன்றாக கணக்கிடப்பட்டன என்று கருதினால், இந்த பிழை சதுர மூலத்தை எடுக்கத் தவறியது அல்லது ஒரு வேலை பலகையிலிருந்து தவறான எண்ணை நகலெடுப்பது என்று விளக்கப்படலாம். வரிசை 15 இல் உள்ள பிழை நெடுவரிசை 2 இல் 28 க்கு பதிலாக 56 எழுதப்பட்டதாக புரிந்து கொள்ளப்பட்டால், பின்தங்கிய பகுதி வழிமுறையின் முறையற்ற பயன்பாட்டின் விளைவாக பிழையை விளக்க முடியும், இது அட்டவணை பரஸ்பர ஜோடிகளின் மூலம் கணக்கிடப்பட்டால் தேவைப்படுகிறது கீழே விவரிக்கப்பட்டுள்ளது. இந்த பிழை நெடுவரிசைகள் 2 மற்றும் 3 இல் உள்ள எண்களுக்கு பொதுவான வழக்கமான காரணிகளை அகற்றுவதற்கான ஒரு மறு செய்கை நடைமுறையைப் பயன்படுத்துவதற்கு சமம், ஒரு நெடுவரிசையில் முறையற்ற எண்ணிக்கையிலான முறை. வரிசை 2, நெடுவரிசை 3 இல் உள்ள எண் சரியான எண்ணுடன் வெளிப்படையான உறவைக் கொண்டிருக்கவில்லை, மேலும் இந்த எண் எவ்வாறு பெறப்பட்டது என்பதற்கான அனைத்து விளக்கங்களும் பல பிழைகளை முன்வைக்கின்றன. 3.12.01 என்பது 3.13 இன் எளிய தவறான நகலாக இருந்திருக்கலாம் என்று கவனிக்கப்பட்டது. அப்படியானால், தவறான எண் 3.13 க்கான விளக்கம் வரிசை 15 இல் உள்ள பிழையின் விளக்கத்திற்கு ஒத்ததாகும். பொதுவான ஒருமித்த கருத்துக்கு ஒரு விதிவிலக்கு என்னவென்றால், அதே ஆசிரியரின் முந்தைய பகுப்பாய்விலிருந்து விலகி, வரிசை 15 இல் உள்ள எண்கள் பிழையில் இல்லை, ஆனால் விரும்பியபடி எழுதப்பட்டன என்றும், வரிசை 2, நெடுவரிசை 3 இல் உள்ள ஒரே பிழை 3.13 ஐ 3.12.01 என்று தவறாக எழுதியது என்றும் கருதப்படுகிறது. இந்தக் கருதுகோளின் கீழ், நெடுவரிசைகள் 2 மற்றும் 3 ஐ "முன் மற்றும் மூலைவிட்டத்தின் காரணி குறைக்கப்பட்ட மையங்கள்" என்று மறுபரிசீலனை செய்வது அவசியம். ஒரு எண்ணின் காரணி-குறைக்கப்பட்ட மையமானது சரியான-சதுர வழக்கமான காரணிகள் அகற்றப்பட்ட எண் ஆகும்; காரணி-குறைக்கப்பட்ட மையத்தை கணக்கிடுவது பழைய பாபிலோனிய கணிதத்தில் சதுர வேர்களைக் கணக்கிடும் செயல்முறையின் ஒரு பகுதியாகும். ஃப்ரிபெர்க்கின் கூற்றுப்படி, "பிளிம்ப்டன் 322 இன் ஆசிரியர் தனது இயல்பாக்கப்பட்ட மூலைவிட்ட முக்கோணங்களின் தொடரை (ஒவ்வொரு முக்கோணத்திலும் 1 க்கு சமமான நீளம்) பழங்கால மூலைவிட்ட முக்கோணங்களின் தொடர்க்கு (முன், நீளம் மற்றும் மூலைவிட்டம் பொதுவான காரணிகள் இல்லாமல் முழு எண்களுக்கு சமம்) குறைக்கும் நோக்கம் ஒருபோதும் இல்லை". அட்டவணையின் கட்டுமானம் இந்த எண்கள் எவ்வாறு உருவாக்கப்பட்டன என்பதில் அறிஞர்கள் இன்னும் வேறுபடுகிறார்கள். இவை இரண்டும் அட்டவணையை உருவாக்கும் முறைக்கான இரண்டு முக்கிய முன்மொழிவுகளை அடையாளம் காட்டுகின்றனஃ முன்மொழியப்பட்ட ஜோடிகளை உருவாக்கும் முறை, மற்றும் பரஸ்பர ஜோடிகளின் முறை, ப்ரூயின்களால் முன்மொழியப்பட்டது மற்றும் வோய்ல்ஸால் விரிவுபடுத்தப்பட்டது, மற்றும் ஃப்ரிபெர்க். ஜோடிகளை உருவாக்குதல் நவீன சொற்களைப் பயன்படுத்த, p மற்றும் q ஆகியவை p> q போன்ற இயற்கையான எண்களாக இருந்தால், (p2 − q2,2pq, p2 + q2) ஒரு பித்தகோரியன் மூன்று மடங்காக உருவாகிறது. முக்கோணம் பழமையானது, அதாவது மூன்று முக்கோண பக்கங்களுக்கும் பொதுவான காரணி இல்லை, p மற்றும் q ஆகியவை கோப்ரைம் மற்றும் இரண்டும் ஒற்றைப்படை அல்ல. நியூஜெபாவர் மற்றும் சாச்ஸ் ஆகியோர் p மற்றும் q ஐ கோப்ரைம் வழக்கமான எண்களாகத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம் டேப்லெட் உருவாக்கப்பட்டது என்று முன்மொழிகின்றனர் (ஆனால் இரண்டும் ஒற்றைப்படை-வரிசை 15 ஐப் பார்க்கவும்) மற்றும் d = p2 + q2, s = p2 − q2, மற்றும் l = 2pq ஐக் கணக்கிடுவதன் மூலம் (இதனால் l ஒரு வழக்கமான எண்). எடுத்துக்காட்டாக, p = 12 மற்றும் q = 5 ஐ அமைப்பதன் மூலம் வரி 1 உருவாக்கப்படும். பக் மற்றும் ராப்சன் இருவரும் இந்த முன்மொழிவில் நெடுவரிசை 1 இன் இருப்பு மர்மமானது என்பதைக் குறிப்பிடுகின்றனர், ஏனெனில் இது கட்டுமானத்தில் எந்தப் பங்கையும் வகிக்கவில்லை, மேலும் அட்டவணையின் வரிசைகள் ஏன் வரிசைப்படுத்தப்பட்டுள்ளன என்பதை இந்த முன்மொழிவு விளக்கவில்லை, அல்லது, இந்த கருதுகோளின் கீழ், டேப்லெட்டின் உடைந்த பகுதியில் இடதுபுறத்தில் உள்ள நெடுவரிசைகளில் பட்டியலிடப்பட்டிருக்கலாம். அட்டவணையில் உள்ள பிழைகள் எவ்வாறு நம்பத்தகுந்த வகையில் எழுந்திருக்கலாம் என்பதையும், அக்காலத்தின் கணித கலாச்சாரத்திற்கு ஏற்ப இல்லை என்பதையும் இந்த முன்மொழிவு விளக்கவில்லை என்றும் ராப்சன் வாதிடுகிறார். பரஸ்பர-ஜோடி முன்மொழிவில், தொடக்க புள்ளி அதன் பரஸ்பர, 1/x உடன் ஒரு வழக்கமான செக்ஸாஜிமல் பின்னம் x ஆகும். "வழக்கமான செக்ஸாஜிமல் பின்னம்" என்பது x என்பது 2,3 மற்றும் 5 இன் (எதிர்மறை) சக்திகளின் பெருக்கல் என்று பொருள்படும். அளவுகள் (x−1/x)/2,1, மற்றும் (x + 1/x)/2 பின்னர் ஒரு விகிதமுறு பித்தகோரியன் மூன்று மடங்கு என்று அழைக்கப்படும். மேலும், மூன்று பக்கங்களும் வரையறுக்கப்பட்ட பாலியல் பிரதிநிதித்துவங்களைக் கொண்டுள்ளன. இந்த முன்மொழிவை ஆதரிப்பவர்கள், வழக்கமான பரஸ்பர ஜோடிகள் (x, 1/x) பிளிம்ப்டன் 322 இன் அதே நேரம் மற்றும் இடத்திலிருந்து வேறுபட்ட சிக்கலில் காண்பிக்கப்படுவதை சுட்டிக்காட்டுகின்றனர், அதாவது பரப்பளவு 1 இன் செவ்வகத்தின் பக்கங்களைக் கண்டுபிடிப்பதில் உள்ள சிக்கல், அதன் நீண்ட பக்கம் கொடுக்கப்பட்ட நீளத்தால் அதன் குறுகிய பக்கத்தை விட அதிகமாக உள்ளது c (இது இப்போதெல்லாம் இருபடி சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகளாகக் கணக்கிடப்படலாம்). YBC 6967 என்ற டேப்லெட்டை பகுப்பாய்வு செய்கிறது, இதில் v1 = c/2, v2 = v12, v3 = 1 + v2, மற்றும் v4 = v 31/2 ஆகிய இடைநிலை மதிப்புகளின் வரிசையைக் கணக்கிடுவதன் மூலம் அத்தகைய சிக்கல் தீர்க்கப்படுகிறது, இதிலிருந்து x = v4 + v1 மற்றும் 1/x = v4 − v1 ஐக் கணக்கிட முடியும். v3 இன் வர்க்கமூலத்தை கணக்கிட வேண்டிய அவசியம், பொதுவாக வரையறுக்கப்பட்ட செக்ஸாஜிமல் பிரதிநிதித்துவங்களைக் கொண்ட பதில்களில் விளைந்தாலும், YBC 6967 இல் உள்ள சிக்கல் அமைக்கப்பட்டது-அதாவது c இன் மதிப்பு பொருத்தமாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டது-ஒரு நல்ல பதிலைக் கொடுக்க. இது, உண்மையில், மேலே உள்ள விவரக்குறிப்பின் தோற்றம் x ஒரு வழக்கமான செக்ஸாஜிமல் பின்னமாக இருக்க வேண்டும்ஃ இந்த வழியில் x ஐத் தேர்ந்தெடுப்பது x மற்றும் 1/x இரண்டும் வரையறுக்கப்பட்ட செக்ஸாஜிமல் பிரதிநிதித்துவங்களைக் கொண்டிருப்பதை உறுதி செய்கிறது. ஒரு நல்ல பதிலுடன் ஒரு சிக்கலை வடிவமைக்க, சிக்கல் செட்டர் அத்தகைய x ஐத் தேர்வு செய்ய வேண்டும் மற்றும் ஆரம்ப தரவுத்தொகுப்பு c ஐ x−1/x க்கு சமமாக இருக்கட்டும். ஒரு பக்க விளைவு, இது ஒரு பகுத்தறிவு பித்தகோரியன் மூன்று, கால்கள் வி 1 மற்றும் 1 மற்றும் ஹைபோடெனஸ் வி 4 ஆகியவற்றை உருவாக்குகிறது. YBC 6967 இல் உள்ள சிக்கல் உண்மையில் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கிறது என்பதை சுட்டிக்காட்ட வேண்டும், இது மேலே உள்ள v3 க்கான வெளிப்பாட்டை v3 = 60 + v2 உடன் மாற்றுகிறது. பக்கங்கள் v1,, மற்றும் v4 ஆக மாறும்போது ஒரு விகிதமுறு மும்மடங்கு பெறுவதன் பக்க விளைவு இழக்கப்படுகிறது. இந்த முன்மொழிவில், பாபிலோனியர்கள் பிரச்சினையின் இரண்டு வகைகளையும் நன்கு அறிந்திருந்தனர் என்று கருதப்பட வேண்டும். பிளிம்ப்டன் 322 இன் நெடுவரிசைகளை பின்வருமாறு விளக்கலாம் என்று ராப்சன் வாதிடுகிறார்ஃ முதல் நெடுவரிசையில் v3 = ((x + 1/x)/2) 2 = 1 + (c/2) 2, இரண்டாவது நெடுவரிசையில் பொருத்தமான பெருக்கிக்கு a·v1 = a· (x−1/x)/2, மூன்றாவது நெடுவரிசையில் a·v4 = a· (x + 1/x)/2. இந்த விளக்கத்தில், x மற்றும் 1/x (அல்லது ஒருவேளை v1 மற்றும் v4) முதல் நெடுவரிசையின் இடதுபுறத்தில் உடைந்த பகுதியில் டேப்லெட்டில் தோன்றியிருக்கும். எனவே நெடுவரிசை 1 இன் இருப்பு கணக்கீட்டில் ஒரு இடைநிலை படியாக விளக்கப்படுகிறது, மேலும் வரிசைகளின் வரிசை x (அல்லது v1) இன் இறங்கு மதிப்புகளால் ஆகும். 2 மற்றும் 3 நெடுவரிசைகளில் உள்ள மதிப்புகளைக் கணக்கிடப் பயன்படுத்தப்படும் பெருக்கி a, பக்க நீளங்களை மறுபரிசீலனை செய்வதாகக் கருதப்படலாம், இது "பின்தங்கிய பகுதி வழிமுறையின்" பயன்பாட்டிலிருந்து எழுகிறது, இதில் இரண்டு மதிப்புகளும் மீண்டும் மீண்டும் பரஸ்பரத்தால் பெருக்கப்படுகின்றன இரண்டின் கடைசி செக்ஸாஜிமல் இலக்கங்களுக்கு பொதுவான எந்தவொரு வழக்கமான காரணியும், அத்தகைய பொதுவான காரணி எதுவும் இருக்காது வரை. மேலே விவாதிக்கப்பட்டபடி, டேப்லெட்டில் உள்ள பிழைகள் அனைத்தும் பரஸ்பர-ஜோடி முன்மொழிவில் இயற்கையான விளக்கங்களைக் கொண்டுள்ளன. மறுபுறம், நெடுவரிசைகள் 2 மற்றும் 3 இன் பங்கு மற்றும் பெருக்கியின் தேவை இந்த முன்மொழிவால் விவரிக்கப்படவில்லை என்று ராப்சன் சுட்டிக்காட்டுகிறார், மேலும் டேப்லெட்டின் ஆசிரியரின் குறிக்கோள் YBC 6967 இல் தீர்க்கப்பட்ட வகையின் இருபடி சிக்கல்களுக்கு அல்ல, மாறாக "ஒருவித வலது-முக்கோண சிக்கல்களுக்கு" அளவுருக்களை வழங்குவதாகும் என்று கூறுகிறார். மேசையை உருவாக்கப் பயன்படுத்தப்படும் முறையும், அது எந்த நோக்கத்திற்காக பயன்படுத்தப்பட்டது என்பதும் ஒரே மாதிரியாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை என்றும் அவர் குறிப்பிடுகிறார். டேப்லெட்டில் உள்ள எண்கள் பரஸ்பர ஜோடிகளைப் பயன்படுத்தி உருவாக்கப்பட்டன என்ற கருத்துக்கு வலுவான கூடுதல் ஆதரவு ஷோயன் சேகரிப்பிலிருந்து எம்எஸ் 3052 மற்றும் எம்எஸ் 3971 ஆகிய இரண்டு டேப்லெட்டுகளிலிருந்து வருகிறது. ஜோரன் ஃப்ரிபெர்க் இரண்டு பலகைகளையும் மொழிபெயர்த்து பகுப்பாய்வு செய்தார், மேலும் இரண்டும் பரஸ்பர ஜோடிகளை தொடக்க புள்ளியாகப் பயன்படுத்தி ஒரு செவ்வகத்தின் மூலைவிட்ட மற்றும் பக்க நீளங்களைக் கணக்கிடுவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகளைக் கொண்டுள்ளன என்பதைக் கண்டுபிடித்தார். இந்த இரண்டு பலகைகளும் பழைய பாபிலோனிய மொழியைச் சேர்ந்தவை, பிளிம்ப்டன் 322 ஐப் போலவே அதே வயதுடையவை, இவை இரண்டும் லார்சாவுக்கு அருகிலுள்ள உருக்கிலிருந்து வந்தவை என்று நம்பப்படுகிறது. இரண்டு மாத்திரைகள் பற்றிய மேலும் பகுப்பாய்வு மேற்கொள்ளப்பட்டது. எம்எஸ் 3971 ஐந்து சிக்கல்களின் பட்டியலைக் கொண்டுள்ளது, அவற்றில் மூன்றாவது "ஐந்து மூலைவிட்டங்களைக் காண்பதற்காக" தொடங்கி "ஐந்து மூலைவிட்டங்களுடன்" முடிவடைகிறது. சிக்கலின் ஐந்து பகுதிகள் ஒவ்வொன்றிற்கும் கொடுக்கப்பட்ட தரவு ஒரு பரஸ்பர ஜோடியைக் கொண்டுள்ளது. ஒவ்வொரு பகுதிக்கும் ஒரு செவ்வகத்தின் மூலைவிட்டம் மற்றும் அகலம் (குறுகிய பக்கம்) ஆகிய இரண்டின் நீளங்களும் கணக்கிடப்படுகின்றன. நீளம் (நீண்ட பக்கம்) குறிப்பிடப்படவில்லை, ஆனால் கணக்கீடு அது 1 ஆக எடுத்துக் கொள்ளப்படுவதைக் குறிக்கிறது. நவீன சொற்களில், கணக்கீடு பின்வருமாறு தொடர்கிறதுஃ கொடுக்கப்பட்ட x மற்றும் 1/x, முதல் கணக்கீடு (x + 1/x)/2, மூலைவிட்டம். பின்னர் அகலத்தை கணக்கிடுங்கள். ஐந்து பாகங்களில் முதல் பாகத்தைக் கொண்ட டேப்லெட்டின் பகுதியில் சேதம் ஏற்பட்டதால், ஆரம்ப தரவுகளின் தடயங்கள் மற்றும் தீர்வு தவிர, இந்த பகுதிக்கான சிக்கலின் அறிக்கை இழக்கப்பட்டுள்ளது. மற்ற நான்கு பகுதிகளும் பெரும்பாலும் அப்படியே உள்ளன, மேலும் அனைத்தும் மிகவும் ஒத்த உரையைக் கொண்டுள்ளன. மூலைவிட்டத்தை பரஸ்பர ஜோடியின் கூட்டுத்தொகையில் பாதியாக எடுத்துக்கொள்வதற்கான காரணம் அப்படியே உள்ள உரையில் குறிப்பிடப்படவில்லை. அகலத்தின் கணக்கீடு (x−1/x)/2 க்கு சமம், ஆனால் இந்த நேரடியான கணக்கீட்டு முறை பயன்படுத்தப்படவில்லை, மூலைவிட்டத்தின் சதுரத்தை பக்கங்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகையுடன் தொடர்புபடுத்தும் விதி விரும்பப்படுகிறது. எம்எஸ் 3052 இன் இரண்டாவது சிக்கலின் உரையும் மோசமாக சேதமடைந்துள்ளது, ஆனால் எஞ்சியிருப்பது எம்எஸ் 3971, சிக்கல் 3 இன் ஐந்து பகுதிகளைப் போலவே கட்டமைக்கப்பட்டுள்ளது. சிக்கல் ஒரு உருவத்தைக் கொண்டுள்ளது, இது ஃப்ரிபெர்க்கின் கூற்றுப்படி, "எந்த மூலைவிட்டங்களும் இல்லாத செவ்வகம்". உரையின் பாதுகாக்கப்பட்ட பகுதிகள் நீளத்தை 1 என்று வெளிப்படையாகக் குறிப்பிடுகின்றன என்பதை வலியுறுத்துகின்றன, மேலும் நீளத்தின் சதுரமாக அகலத்தைக் கணக்கிடும் செயல்பாட்டில் மூலைவிட்டத்தின் சதுரத்திலிருந்து கழிக்கப்படும் 1 ஐ வெளிப்படையாகக் கணக்கிடுகின்றன. இரண்டு டேப்லெட்டுகளிலும் உள்ள ஆறு சிக்கல்களுக்கான ஆரம்ப தரவு மற்றும் கணக்கிடப்பட்ட அகலம் மற்றும் மூலைவிட்டம் கீழே உள்ள அட்டவணையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. MS 3971 §3a இன் அளவுருக்கள் மாத்திரை சேதமடைந்ததால் நிச்சயமற்றவை. MS 3052 இலிருந்து சிக்கலின் அளவுருக்கள் நிலையான (3,4,5) வலது முக்கோணத்தின் மறுசீரமைப்புடன் ஒத்திருக்கின்றன, இது பிளிம்ப்டன் 322 இன் வரிசை 11 ஆக தோன்றுகிறது. MS 3971 இன் சிக்கல்களில் உள்ள அளவுருக்கள் எதுவும் பிளிம்ப்டன் 322 இன் எந்த வரிசைகளுடனும் பொருந்தவில்லை. கீழே விவாதிக்கப்பட்டபடி, பிளிம்ப்டன் 322 இன் அனைத்து வரிசைகளும் x ≤ 9/5 ஐக் கொண்டுள்ளன, அதே நேரத்தில் MS 3971 இல் உள்ள அனைத்து சிக்கல்களும் x <9/5 ஐக் கொண்டுள்ளன. எவ்வாறாயினும், எம்எஸ் 3971 இன் அளவுருக்கள் அனைத்தும் டி சோலா பிரைஸ் முன்மொழியப்பட்ட பிளிம்ப்டன் 322 அட்டவணையின் விரிவாக்கத்தின் வரிசைகளுடன் ஒத்திருக்கின்றன, அவை கீழே விவாதிக்கப்பட்டுள்ளன. எம்எஸ் 3052 மற்றும் எம்எஸ் 3971 (மற்றும் நீட்டிப்பு மூலம், பிளிம்ப்டன் 322 இல்) விட ஒய். பி. சி 6967 இல் உள்ள சிக்கலில் பரஸ்பர ஜோடியின் பங்கு வேறுபட்டது என்பதை வலியுறுத்த வேண்டும். YBC 6967 இன் சிக்கலில், பரஸ்பர ஜோடியின் உறுப்பினர்கள் 1 பரப்பளவு கொண்ட செவ்வகத்தின் பக்கங்களின் நீளங்கள். x மற்றும் 1/x இன் வடிவியல் பொருள் MS 3052 மற்றும் MS 3971 இல் உள்ள சிக்கல்களின் எஞ்சியிருக்கும் உரையில் குறிப்பிடப்படவில்லை. வரையறுக்கப்பட்ட செக்ஸாஜிமல் அகலம் மற்றும் மூலைவிட்டத்துடன் செவ்வகங்களை உற்பத்தி செய்வதற்கான அறியப்பட்ட நடைமுறையைப் பயன்படுத்துவதே குறிக்கோளாகத் தெரிகிறது. இந்த சிக்கல்களில் பக்க நீளங்களை மறுபரிசீலனை செய்ய பின்தங்கிய புள்ளி வழிமுறை பயன்படுத்தப்படவில்லை என்பதையும் சுட்டிக்காட்ட வேண்டும். முன்மொழிவுகளின் ஒப்பீடு பரஸ்பர-ஜோடி முன்மொழிவில் உள்ள x அளவு உற்பத்தி-ஜோடி முன்மொழிவில் p/q விகிதத்திற்கு ஒத்திருக்கிறது. உண்மையில், இரண்டு முன்மொழிவுகளும் கணக்கீட்டு முறையில் வேறுபடுகின்றன என்றாலும், p மற்றும் q இரண்டும் ஒற்றைப்படை நிலையில் இருக்கும் விஷயத்தில் 2 இன் ஒட்டுமொத்த காரணியைத் தவிர, இரண்டும் ஒரே மூன்று மடங்குகளை உருவாக்குவதால் முடிவுகளுக்கு இடையே சிறிய கணித வேறுபாடு உள்ளது. (துரதிர்ஷ்டவசமாக, டேப்லெட்டில் இது நிகழும் ஒரே இடம் வரிசை 15 இல் உள்ளது, இதில் ஒரு பிழை உள்ளது, எனவே முன்மொழிவுகளை வேறுபடுத்திப் பார்க்க இதைப் பயன்படுத்த முடியாது.) பரஸ்பர-ஜோடி முன்மொழிவுகளின் ஆதரவாளர்கள் x ஒரு அடிப்படை p மற்றும் q இலிருந்து கணக்கிடப்பட்டதா என்பதில் வேறுபடுகிறார்கள், ஆனால் டேப்லெட் கணக்கீடுகளில் பயன்படுத்தப்படும் p/q மற்றும் q/p சேர்க்கைகளுடன் மட்டுமே அல்லது பரஸ்பர அட்டவணைகள் போன்ற பிற மூலங்களிலிருந்து x நேரடியாகப் பெறப்பட்டதா என்பதில் வேறுபடுகிறார்கள். பிந்தைய கருதுகோளில் ஒரு சிரமம் என்னவென்றால், x அல்லது 1/x இன் தேவையான சில மதிப்புகள் நான்கு-இடம் செக்ஸாஜிமல் எண்கள், மேலும் நான்கு-இடம் பரஸ்பர அட்டவணைகள் எதுவும் அறியப்படவில்லை. நியூஜ்பாவர் மற்றும் சாச்ஸ், உண்மையில், தங்கள் அசல் படைப்புகளில் பரஸ்பர ஜோடிகளைப் பயன்படுத்துவதற்கான சாத்தியக்கூறுகளைக் குறிப்பிட்டனர், மேலும் இந்த காரணத்திற்காக அதை நிராகரித்தனர். இருப்பினும், பழைய பாபிலோனிய காலத்தின் அறியப்பட்ட ஆதாரங்கள் மற்றும் கணக்கீட்டு முறைகள் பயன்படுத்தப்பட்ட x இன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் காரணமாக இருக்கலாம் என்று ராப்சன் வாதிடுகிறார். நியூஜெபாவர் மற்றும் சாக்ஸ் ஜோடிகள் தேர்வு செய்ததில், பலகையில் உள்ள முக்கோண பரிமாணங்கள் கிட்டத்தட்ட ஐசோசிலஸ் வலது முக்கோணம் (குறுகிய கால், 119, கிட்டத்தட்ட நீண்ட காலுக்கு சமம், 120) முதல் 30 டிகிரி மற்றும் 60 டிகிரிக்கு நெருக்கமான கடுமையான கோணங்களைக் கொண்ட வலது முக்கோணம் வரை இருக்கும், மேலும் கோணம் தோராயமாக 1 டிகிரி படிகளில் மிகவும் சீரான பாணியில் குறைகிறது. p, q ஜோடிகள் இந்த இலக்கை மனதில் கொண்டு வேண்டுமென்றே தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டதாக அவர்கள் கூறுகிறார்கள். உற்பத்தி-ஜோடி கட்டமைப்பிற்குள் பணிபுரியும் போது, அட்டவணையின் ஒவ்வொரு வரிசையும் 1 ≤ q <60 ஐ திருப்திப்படுத்தும் ஒரு q ஆல் உருவாக்கப்படுகிறது, அதாவது, q எப்போதும் ஒரு ஒற்றை இலக்க செக்ஸாஜிமல் எண். p/q விகிதம் அட்டவணையின் வரிசை 1 இல் அதன் மிகப்பெரிய மதிப்பான 12/5 = 2.4 ஐ எடுத்துக்கொள்கிறது, எனவே இது எப்போதும் அதை விட குறைவாக இருக்கும், இது p2 − q2 என்பது நீண்ட கால் மற்றும் 2pq என்பது முக்கோணத்தின் குறுகிய கால் என்று உத்தரவாதம் அளிக்கிறது, இது நவீன சொற்களில், p2 − q2 நீளத்தின் காலுக்கு எதிரான கோணம் 45° க்கும் குறைவாக உள்ளது என்பதைக் குறிக்கிறது. இந்த விகிதம் வரிசை 15 இல் மிகக் குறைவாக உள்ளது, அங்கு p/q = 9/5 சுமார் 31.9 டிகிரி கோணத்திற்கு. மேலும், 9/5 மற்றும் 12/5 க்கு இடையில் சரியாக 15 வழக்கமான விகிதங்கள் உள்ளன, இதில் q என்பது ஒரு ஒற்றை இலக்க செக்ஸாஜிமல் எண், இவை டேப்லெட்டின் வரிசைகளுடன் ஒன்றுக்கு ஒன்று ஒத்திருக்கும். எண்களின் சம இடைவெளி வடிவமைப்பால் இருந்திருக்காது என்றும் அவர் சுட்டிக்காட்டுகிறார்ஃ அட்டவணையில் கருதப்படும் எண்களின் வரம்பில் வழக்கமான-எண் விகிதங்களின் அடர்த்தியிலிருந்து மட்டுமே இது எழுந்திருக்கலாம். டி சோலா பிரைஸ், விகிதத்திற்கான இயற்கையான குறைந்த வரம்பு 1 ஆக இருக்கும் என்று வாதிட்டார், இது 0 டிகிரி கோணத்திற்கு ஒத்திருக்கிறது. q ஒரு ஒற்றை இலக்க செக்ஸாஜிமல் எண்ணாக இருக்க வேண்டும் என்ற தேவையை பராமரித்து, மொத்தம் 38 ஜோடிக்கு, டேப்லெட்டால் குறிப்பிடப்படுவதைத் தவிர 23 ஜோடிகள் உள்ளன என்பதை அவர் கண்டறிந்தார். பலகையில் உள்ள நெடுவரிசைகளுக்கு இடையிலான செங்குத்து மதிப்பெண் பின்புறத்தில் தொடர்கிறது என்று அவர் குறிப்பிடுகிறார், இது எழுத்தர் மேசையை நீட்டிக்க விரும்பியிருக்கலாம் என்று பரிந்துரைக்கிறது. கிடைக்கக்கூடிய இடம் 23 கூடுதல் வரிசைகளுக்கு சரியாக இடமளிக்கும் என்று அவர் கூறுகிறார். பரஸ்பர-ஜோடி முன்மொழிவுகளின் ஆதரவாளர்களும் இந்த திட்டத்தை ஆதரித்துள்ளனர். இந்த முன்மொழிவை நேரடியாக உரையாற்றவில்லை, ஆனால் அட்டவணை "நிரம்பவில்லை" என்பதை ஒப்புக்கொள்கிறது. பரஸ்பர-ஜோடி முன்மொழிவில், டேப்லெட்டில் குறிப்பிடப்படும் ஒவ்வொரு x-ம் அதிகபட்சம் நான்கு-இடம் செக்ஸாஜிமல் எண்ணாகும், அதிகபட்சம் நான்கு-இடம் பரஸ்பரம் இருக்கும், மேலும் x மற்றும் 1/x இல் உள்ள மொத்த இடங்களின் எண்ணிக்கை ஒருபோதும் 7-க்கு மேல் இருக்காது என்று அவர் குறிப்பிடுகிறார். இந்த பண்புகள் தேவைகளாக எடுத்துக் கொள்ளப்பட்டால், டேப்லெட்டில் இருந்து x "காணவில்லை" என்பதற்கான மூன்று மதிப்புகள் உள்ளன, அவை பல்வேறு வழிகளில் விரும்பத்தகாதவை என்பதால் அவை நீக்கப்பட்டிருக்கலாம் என்று அவர் வாதிடுகிறார். இந்த திட்டத்தின் "அதிர்ச்சியூட்டும் தற்காலிக" தன்மையை அவர் ஒப்புக்கொள்கிறார், இது முக்கியமாக டேப்லெட்டின் ஆசிரியரின் தேர்வு அளவுகோல்களை விவரிப்பதற்கான அனைத்து முயற்சிகளையும் விமர்சிக்கும் ஒரு சொல்லாட்சிக் கருவியாக செயல்படுகிறது. நோக்கமும் படைப்பாற்றலும் ஒரு எண்-கோட்பாட்டு விளக்கத்திற்காக வாதிட்டன, ஆனால் அட்டவணையில் உள்ள உள்ளீடுகள் சில குறிப்பிட்ட வரம்புகளுக்குள் நெடுவரிசை 1 இல் உள்ள மதிப்புகளின் மிகவும் வழக்கமான குறைப்பை அடைவதை நோக்கமாகக் கொண்ட ஒரு வேண்டுமென்றே தேர்வு செயல்முறையின் விளைவாகும் என்றும் நம்பினர். மேலும் இரண்டும் ஒரு முக்கோணவியல் விளக்கத்தின் இருப்பைக் குறிப்பிடுகின்றன, இது பல்வேறு பொது வரலாறுகள் மற்றும் வெளியிடப்படாத படைப்புகளின் ஆசிரியர்களுக்கு ராப்சன் கூறுகிறது, ஆனால் முதல் நெடுவரிசையின் மதிப்புகள் ஒவ்வொரு வரிசையிலும் விவரிக்கப்பட்ட வலது முக்கோணத்தின் குறுகிய பக்கத்திற்கு எதிரான கோணத்தின் சதுர செகண்ட் அல்லது தொடுகோடு (காணாமல் போன இலக்கத்தைப் பொறுத்து) என விளக்கப்படலாம், மேலும் வரிசைகள் தோராயமாக ஒரு டிகிரி அதிகரிப்புகளில் இந்த கோணங்களால் வரிசைப்படுத்தப்படுகின்றன. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், நீங்கள் முதல் நெடுவரிசையில் உள்ள எண்ணை எடுத்து, (1) ஐ தள்ளுபடி செய்து, அதன் சதுர மூலத்தைப் பெற்று, பின்னர் இதை நெடுவரிசை இரண்டில் உள்ள எண்ணாகப் பிரித்தால், இதன் விளைவாக முக்கோணத்தின் நீண்ட பக்கத்தின் நீளம் இருக்கும். இதன் விளைவாக, முதல் நெடுவரிசையில் உள்ள எண்ணின் வர்க்கமூலத்தை (கழித்தல் ஒன்று) குறுகிய பக்கத்திற்கு எதிரே உள்ள கோணத்தின் தொடுகோடு என்று இன்று நாம் அழைப்போம். (1) சேர்க்கப்பட்டால், அந்த எண்ணின் வர்க்கமூலம் செகண்ட் ஆகும். டேப்லெட்டின் முந்தைய விளக்கங்களுடன் முரண்படுகையில், வரலாற்று, கலாச்சார மற்றும் மொழியியல் சான்றுகள் அனைத்தும் டேப்லெட் "வழக்கமான பரஸ்பர ஜோடிகளின் பட்டியலிலிருந்து" கட்டப்பட்டதாக வெளிப்படுத்துகின்றன. முக்கோணவியல் கோட்பாடு "கருத்தியல் ரீதியாக காலச்சார்பற்றது" என்று மொழியியல் அடிப்படையில் ராப்சன் வாதிடுகிறார்ஃ இது அப்போதிருந்து பாபிலோனிய கணிதத்தின் பதிவில் இல்லாத பல கருத்துக்களைப் பொறுத்தது. 2003 ஆம் ஆண்டில், எம்ஏஏ ராப்சனுக்கு அவரது பணிக்காக லெஸ்டர் ஆர். ஃபோர்டு விருதை வழங்கியது, பிளிம்ப்டன் 322 இன் ஆசிரியர் ஒரு தொழில்முறை அல்லது அமெச்சூர் கணிதவியலாளராக இருக்க வாய்ப்பில்லை என்று கூறினார். அவர் ஒரு ஆசிரியராகவும், பிளிம்ப்டன் 322 பயிற்சிகளின் தொகுப்பாகவும் இருந்திருக்கலாம் ". ராப்சன் நவீன சொற்களில் இயற்கணிதமாக வகைப்படுத்தப்படும் ஒரு அணுகுமுறையை எடுத்துக்கொள்கிறார், இருப்பினும் அவர் அதை உறுதியான வடிவியல் சொற்களில் விவரிக்கிறார், மேலும் பாபிலோனியர்களும் இந்த அணுகுமுறையை வடிவியல் ரீதியாக விளக்கியிருப்பார்கள் என்று வாதிடுகிறார். எனவே, இந்த மாத்திரை தொடர்ச்சியான உடற்பயிற்சிகளை வழங்குவதாக விளக்கப்படலாம். இது அக்கால எழுத்துப் பள்ளிகளின் வழக்கமான கணித முறைகளைப் பயன்படுத்துகிறது, மேலும் இது அந்தக் காலகட்டத்தில் நிர்வாகிகளால் பயன்படுத்தப்பட்ட ஆவண வடிவத்தில் எழுதப்பட்டுள்ளது. எனவே, எழுத்தாளர் அநேகமாக ஒரு எழுத்தாளராக இருக்கலாம், லார்சாவில் ஒரு அதிகாரியாக இருக்கலாம் என்று ராப்சன் வாதிடுகிறார். மாத்திரை மற்றும் பிஎம் 80209 போன்ற ஒத்த டேப்லெட்களின் தொடர்ச்சியான கணித அமைப்பு, ஒரு ஆசிரியர் ஒருவருக்கொருவர் அதே வடிவத்தில் ஆனால் வெவ்வேறு தரவுகளுடன் சிக்கல்களை அமைக்க அனுமதிப்பதில் பயனுள்ளதாக இருந்திருக்கும். ஐஎம் 67118 மாஸ்கோ கணித பாப்பிரஸ் ரைண்ட் கணித பாப்பிரஸ் ஒய். பி. சி 7289 குறிப்புகள் குறிப்புகளைப் பார்க்கவும். . . . . . . . . . . . . . வெளிப்புற இணைப்புகள் உயர்தர டிஜிட்டல் படங்கள் உட்பட க்யூனிஃபார்ம் டிஜிட்டல் நூலக முன்முயற்சி (சி. டி. எல். ஐ) அட்டவணையில் உள்ள உள்ளீடுகள்ஃ பிளிம்ப்டன் 322, சி. டி. எல். ஐ விக்கி கட்டுரை ஒய். பி. சி 6967 எம். எஸ் 3052 எம். எஸ் 3971 மேலும் வாசிக்க. . . கண்காட்சிகள் "பித்தாகரஸ் முன்ஃ பழைய பாபிலோனிய கணிதத்தின் கலாச்சாரம்", பண்டைய உலக ஆய்வுக்கான நிறுவனம், நியூயார்க் பல்கலைக்கழகம், நவம்பர் 12-டிசம்பர் 17,2010. பிளிம்ப்டன் 322 இன் புகைப்படம் மற்றும் விளக்கம் அடங்கும்). . பிளிம்ப்டன் 322 பற்றிய சர்ச்சையைக் குறிப்பிட்டு "பைத்தாகரஸ் முன்" கண்காட்சியின் விமர்சனம். "அவரது கிரீடத்தில் நகைகள்ஃ கொலம்பியாவின் நூலகங்களின் சிறப்பு சேகரிப்புகளிலிருந்து பொக்கிஷங்கள்", அரிய புத்தகம் மற்றும் கையெழுத்துப் பிரதி நூலகம், கொலம்பியா பல்கலைக்கழகம், அக்டோபர் 8,2004-ஜனவரி 28,2005. பொருள் 158 இன் புகைப்படம் மற்றும் விளக்கம்ஃ பிளிம்ப்டன் க்யூனிஃபார்ம் 322. பாபிலோனிய கணித கணித கையெழுத்துப் பிரதிகள் கிமு 18 ஆம் நூற்றாண்டின் களிமண் பலகைகள் 1922 இல் ஈராக்கில் 1922 தொல்பொருள் கண்டுபிடிப்புகள் கொலம்பியா பல்கலைக்கழக நூலகங்கள் தி கார் கவர்னரேட்