Enriques–Kodaira classification
கணிதத்தில், என்ரிக்ஸ்-கோடேரா வகைப்பாடு என்பது சிறிய சிக்கலான மேற்பரப்புகளை பத்து வகுப்புகளாக வகைப்படுத்துவதாகும். இந்த வகுப்புகள் ஒவ்வொன்றிற்கும், வகுப்பில் உள்ள மேற்பரப்புகளை ஒரு மாடுலி இடத்தால் அளவுருவாக மாற்றலாம். பெரும்பாலான வகுப்புகளுக்கு மாடுலி இடைவெளிகள் நன்கு புரிந்து கொள்ளப்படுகின்றன, ஆனால் பொதுவான வகை மேற்பரப்புகளின் வகைக்கு மாடுலி இடைவெளிகள் வெளிப்படையாக விவரிக்க மிகவும் சிக்கலானதாகத் தெரிகிறது, இருப்பினும் சில கூறுகள் அறியப்படுகின்றன. மாக்ஸ் நோதர் இயற்கணித மேற்பரப்புகளின் முறையான ஆய்வைத் தொடங்கினார், மேலும் கைடோ காஸ்டெல்னுவோவோ வகைப்பாட்டின் முக்கிய பகுதிகளை நிரூபித்தார். சிக்கலான ப்ரொஜெக்டிவ் மேற்பரப்புகளின் வகைப்பாட்டை விவரித்தார். பின்னர் இயற்கணிதமற்ற சிறிய மேற்பரப்புகளைச் சேர்க்க வகைப்பாட்டை விரிவுபடுத்தினார். நேர்மறை பண்புகளில் மேற்பரப்புகளின் ஒத்த வகைப்பாடு தொடங்கப்பட்டு முடிக்கப்பட்டது; இது பண்பு 0 ப்ரொஜெக்டிவ் வழக்கைப் போன்றது, தவிர ஒன்று பண்பு 2 இல் ஒருமை மற்றும் சூப்பர் சிங்குலர் என்ரிக்ஸ் மேற்பரப்புகளையும், 2 மற்றும் 3 பண்புகளில் அரை-ஹைப்பரெல்லிப்டிக் மேற்பரப்புகளையும் பெறுகிறது. வகைப்பாட்டின் கூற்று சுருக்கமான சிக்கலான மேற்பரப்புகளின் என்ரிக்ஸ்-கோடெய்ரா வகைப்பாடு, இந்த பக்கத்தில் பட்டியலிடப்பட்டுள்ள 10 வகைகளில் ஒவ்வொன்றும் ஒரே மாதிரியான குறைந்தபட்ச சிக்கலான மேற்பரப்பு என்று கூறுகிறது; வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், இது பகுத்தறிவு, ஆட்சி (பேரினம்> 0), வகை VII, K3, என்ரிக்ஸ், கோடெய்ரா, டாரிக், ஹைப்பர்லிப்டிக், ஒழுங்காக அரை நீள்வட்ட அல்லது பொதுவான வகை மேற்பரப்புகளில் ஒன்றாகும். பொதுவான வகையைத் தவிர மற்ற 9 வகை மேற்பரப்புகளுக்கு, அனைத்து மேற்பரப்புகளும் எப்படி இருக்கும் என்பதைப் பற்றிய முழுமையான விளக்கம் உள்ளது (இது ஏழாம் வகுப்பிற்கு உலகளாவிய கோள ஷெல் அனுமானத்தைப் பொறுத்தது, இன்னும் 2009 இல் நிரூபிக்கப்படவில்லை). பல எடுத்துக்காட்டுகள் கண்டுபிடிக்கப்பட்டிருந்தாலும், பொதுவான வகை மேற்பரப்புகளில் அவற்றின் வெளிப்படையான வகைப்பாட்டைப் பற்றி அதிகம் அறியப்படவில்லை. கோடைரா மேற்பரப்புகள் அல்லது வகை VII இன் மேற்பரப்புகள் எதுவும் இல்லை, மேலும் சிறப்பியல்பு 2 இல் என்ரிக்ஸ் மேற்பரப்புகளின் சில கூடுதல் குடும்பங்கள் உள்ளன, மேலும் 2 மற்றும் 3 பண்புகளில் ஹைப்பர்லிப்டிக் மேற்பரப்புகள் உள்ளன, மேலும் கோடைரா பரிமாணம் 1 இல் 2 மற்றும் 3 பண்புகளில் ஒன்று அரை நீள்வட்ட இழைகளை அனுமதிக்கிறது. இந்த கூடுதல் குடும்பங்களை பின்வருமாறு புரிந்து கொள்ள முடியும்ஃ பண்பு 0 இல் இந்த மேற்பரப்புகள் வரையறுக்கப்பட்ட குழுக்களால் மேற்பரப்புகளின் மேற்கோள்களாகும், ஆனால் வரையறுக்கப்பட்ட பண்புகளில் வரையறுக்கப்படாத வரையறுக்கப்பட்ட குழு திட்டங்களால் மேற்கோள்களை எடுக்க முடியும். ஆஸ்கார் ஜாரிஸ்கி சில மேற்பரப்புகளை நேர்மறையான பண்புகளில் உருவாக்கினார், அவை ஒன்றுபட்டவை, ஆனால் பகுத்தறிவற்றவை, பிரிக்க முடியாத நீட்டிப்புகளிலிருந்து பெறப்பட்டன (ஜாரிஸ்கி மேற்பரப்புகள்). நேர்மறையான பண்புகளில் செர்ரே வேறுபடலாம் என்பதைக் காட்டியது, மேலும் அவை சமமாக இருக்கும்போது கூட அவை ஒழுங்கின்மையை (பிகார்ட் வகையின் பரிமாணம்) விட அதிகமாக இருக்கலாம் என்பதை இகுசா காட்டியது. மேற்பரப்புகளின் மாறுபாடுகள் ஹோட்ஜ் எண்கள் மற்றும் கோடெய்ரா பரிமாணம் வகைப்பாட்டில் பயன்படுத்தப்படும் ஒரு சிறிய சிக்கலான மேற்பரப்புகளின் மிக முக்கியமான மாறிலிகள் பல்வேறு ஒத்திசைவான சீஃப் கோஹோமோலஜி குழுக்களின் பரிமாணங்களின் அடிப்படையில் கொடுக்கப்படலாம். அடிப்படை எண்கள் ப்ளூரிஜெனரா மற்றும் ஹோட்ஜ் எண்கள் பின்வருமாறு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளனஃ கே என்பது ஹோலோமார்பிக் 2-வடிவங்களாக இருக்கும் பிரிவுகளைக் கொண்ட நியதி வரி மூட்டை ஆகும். அவை ப்ளூரிஜெனரா என்று அழைக்கப்படுகின்றன. அவை பைரேஷனல் மாறிலிகள், அதாவது, ஊதுதலின் கீழ் மாறாதவை. சீபர்க்-விட்டன் கோட்பாட்டைப் பயன்படுத்தி, ராபர்ட் ஃப்ரீட்மேன் மற்றும் ஜான் மோர்கன் ஆகியோர் சிக்கலான பன்மடங்கு அவை அடிப்படை சார்ந்த மென்மையான 4-பன்மடங்கு மட்டுமே சார்ந்துள்ளன என்பதைக் காட்டினர். காலர் அல்லாத மேற்பரப்புகளுக்கு ப்ளூரிஜெனரா அடிப்படை குழுவால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது, ஆனால் காலர் மேற்பரப்புகளுக்கு ஹோமியோமார்பிக் ஆனால் வெவ்வேறு ப்ளூரிஜெனா மற்றும் கோடேரா பரிமாணங்களைக் கொண்ட மேற்பரப்புகளுக்கு எடுத்துக்காட்டுகள் உள்ளன. தனிப்பட்ட ப்ளூரிஜெனரா பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுவதில்லை; அவற்றைப் பற்றிய மிக முக்கியமான விஷயம் கோடேரா பரிமாணத்தால் அளவிடப்படும் அவற்றின் வளர்ச்சி விகிதம் ஆகும். இது கோடெய்ரா பரிமாணமாகும்ஃ இது (சில நேரங்களில் −1 என எழுதப்படுகிறது) ப்ளூரிஜெனரா அனைத்தும் 0 ஆக இருந்தால், இல்லையெனில் எல்லைக்குட்பட்ட மிகச்சிறிய எண் (மேற்பரப்புகளுக்கு 0,1, அல்லது 2) ஆகும். என்ரிக்ஸ் இந்த வரையறையைப் பயன்படுத்தவில்லைஃ அதற்கு பதிலாக அவர் மற்றும் மதிப்புகளைப் பயன்படுத்தினார். பின்வரும் தொடர்புகள் கொடுக்கப்பட்ட கோடெய்ரா பரிமாணத்தை இவை தீர்மானிக்கின்றனஃ ஹோலோமார்பிக் ஐ-வடிவங்களின் உறைகள் எங்கே, ஹாட்ஜ் எண்கள், பெரும்பாலும் ஹாட்ஜ் வைரத்தில் ஒழுங்கமைக்கப்பட்டுள்ளனஃ செர்ரே இரட்டைத்தன்மை மற்றும் ஒரு சிக்கலான மேற்பரப்பின் ஹாட்ஜ் எண்கள் மேற்பரப்பின் சார்ந்த உண்மையான கோஹோமோலஜி வளையத்தை மட்டுமே சார்ந்துள்ளன, மேலும் அவை இருதரப்பு மாற்றங்களின் கீழ் மாறாதவை, தவிர ஒரு புள்ளியை வீசுவதன் கீழ் 1 அதிகரிக்கிறது. மேற்பரப்பு காலர் என்றால், மூன்று சுயாதீன ஹோட்ஜ் எண்கள் மட்டுமே உள்ளன. மேற்பரப்பு கச்சிதமாக இருந்தால், ஹோட்ஜ் எண்களுடன் தொடர்புடைய சமமான அல்லது மாறுபாடற்றவை (குறைந்தபட்சம் சிக்கலான மேற்பரப்புகளுக்கு) ஹோட்ஜ் எண்களின் நேரியல் சேர்க்கைகளாக பின்வருமாறு எழுதப்படலாம்ஃ பெட்டி எண்கள்ஃ p> 0 என்ற சிறப்பியல்பில் வரையறுக்கப்படும் பெட்டி எண்கள் l-adic கோஹோமோலஜியைப் பயன்படுத்தி வரையறுக்கப்படுகின்றன, மேலும் இந்த உறவுகளை பூர்த்தி செய்ய வேண்டிய அவசியமில்லை. ஆய்லர் பண்பு அல்லது ஆய்லர் எண்ஃ ஒழுங்கின்மை என்பது பிகார்ட் வகை மற்றும் அல்பானீஸ் வகையின் பரிமாணமாக வரையறுக்கப்படுகிறது மற்றும் q ஆல் குறிக்கப்படுகிறது. சிக்கலான மேற்பரப்புகளுக்கு (ஆனால் எப்போதும் பிரதான பண்பு கொண்ட மேற்பரப்புகளுக்கு அல்ல) வடிவியல் பேரினம்ஃ எண்கணித பேரினம்ஃ அற்பமான மூட்டையின் ஹோலோமார்பிக் ஆய்லர் பண்பு (பொதுவாக மேலே வரையறுக்கப்பட்ட ஆய்லர் எண்ணிலிருந்து வேறுபடுகிறது): நோய்தரின் சூத்திரத்தால் இது டாட் பேரினத்திற்கும் சமம் சிக்கலான மேற்பரப்புகளுக்கான இரண்டாவது கோஹோமோலஜி குழுவின் கையொப்பம் பின்வருமாறு குறிக்கப்படுகிறதுஃ அவை அதிகபட்ச நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை திட்டவட்டமான துணை இடங்களின் பரிமாணங்கள்ஃ c2 = e மற்றும் செர்ன் எண்கள், செர்ன் வகுப்புகளில் உள்ள பல்வேறு பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் ஒருங்கிணைப்புகள் என வரையறுக்கப்படுகின்றன. பிற மாறிலிகள் வகைப்பாட்டில் அதிகம் பயன்படுத்தப்படாத சிறிய சிக்கலான மேற்பரப்புகளின் மேலும் மாறிலிகள் உள்ளன. பகுப்பான்களின் மட்டு நேரியல் சமநிலையின் பிகார்ட் குழு பிக் (எக்ஸ்) போன்ற இயற்கணித மாறிலிகள், பிகார்ட் எண் ρ தரவரிசையுடன் அதன் ஈவு நெரான்-செவேரி குழு என்எஸ் (எக்ஸ்), அடிப்படை குழு π1 மற்றும் ஒருங்கிணைந்த ஒத்திசைவு மற்றும் ஒத்திசைவு குழுக்கள் போன்ற இடவியல் மாறிலிகள் மற்றும் சீபர்க்-விட்டன் மாறிலிகள் மற்றும் டொனால்ட்சன் மாறிலிகள் போன்ற அடிப்படை மென்மையான 4-மடிப்புகளின் மாறிலிகள் ஆகியவை இதில் அடங்கும். குறைந்தபட்ச மாதிரிகள் மற்றும் எந்த மேற்பரப்பும் ஒரு ஒற்றை அல்லாத மேற்பரப்புக்கு இருதரப்பு ஆகும், எனவே பெரும்பாலான நோக்கங்களுக்காக இது ஒற்றை அல்லாத மேற்பரப்புகளை வகைப்படுத்த போதுமானது. ஒரு மேற்பரப்பில் உள்ள எந்த புள்ளியையும் கருத்தில் கொண்டு, இந்த புள்ளியை ஊதுவதன் மூலம் ஒரு புதிய மேற்பரப்பை உருவாக்க முடியும், அதாவது தோராயமாக அதை ப்ரொஜெக்டிவ் கோட்டின் நகலால் மாற்றுகிறோம். இந்த கட்டுரையின் நோக்கத்திற்காக, ஒரு ஒற்றை அல்லாத மேற்பரப்பு எக்ஸ் ஒரு புள்ளியை வீசுவதன் மூலம் மற்றொரு ஒற்றை அல்லாத மேற்பரப்பில் இருந்து பெற முடியாவிட்டால் குறைந்தபட்சம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. காஸ்டெல்னுவோவோவின் சுருக்கக் கோட்பாட்டின் படி, இது X க்கு (−1)-வளைவுகள் இல்லை (சுய-குறுக்குவெட்டு எண் −1 உடன் மென்மையான விகிதமுறு வளைவுகள்) என்று சொல்வதற்கு சமம். (குறைந்தபட்ச மாதிரி திட்டத்தின் மிகவும் நவீன சொற்களில், ஒரு மென்மையான ப்ரொஜெக்டிவ் மேற்பரப்பு எக்ஸ் அதன் நியதி வரி மூட்டை KX நெஃப் என்றால் குறைந்தபட்சம் என்று அழைக்கப்படும். ஒரு மென்மையான ப்ரொஜெக்டிவ் மேற்பரப்பு அதன் கோடெய்ரா பரிமாணம் எதிர்மறையாக இல்லாவிட்டால் மட்டுமே அந்த வலுவான அர்த்தத்தில் குறைந்தபட்ச மாதிரியைக் கொண்டுள்ளது.) ஒவ்வொரு மேற்பரப்பு X குறைந்தபட்சம் ஒற்றை அல்லாத மேற்பரப்புக்கு இருதரப்பு ஆகும், மேலும் X குறைந்தபட்சம் கோடெய்ரா பரிமாணத்தைக் கொண்டிருந்தால் அல்லது இயற்கணிதமாக இல்லாவிட்டால் இந்த குறைந்தபட்ச ஒற்றை அல்லாத மேற்பரப்பு தனித்துவமானது. கோடேரா பரிமாணத்தின் இயற்கணித மேற்பரப்புகள் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட குறைந்தபட்ச ஒற்றை அல்லாத மேற்பரப்புக்கு இருதரப்பாக இருக்கலாம், ஆனால் இந்த குறைந்தபட்ச மேற்பரப்புகளுக்கு இடையிலான உறவை விவரிப்பது எளிது. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு புள்ளியில் வீசப்படும் P1 × P1 என்பது இரண்டு முறை வீசப்படும் P2 க்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும். எனவே அனைத்து சிறிய சிக்கலான மேற்பரப்புகளையும் பைரேஷனல் ஐசோமார்பிசம் வரை வகைப்படுத்த இது (அதிகமாகவோ அல்லது குறைவாகவோ) குறைந்தபட்ச ஒற்றை அல்லாதவற்றை வகைப்படுத்த போதுமானது. கோடெய்ரா பரிமாணத்தின் மேற்பரப்புகள்-கோடெய்ரா பரிமாணத்தின் இயற்கணித மேற்பரப்புகளை பின்வருமாறு வகைப்படுத்தலாம். q> 0 என்றால், அல்பேனிய வகையின் வரைபடத்தில் இழைகள் உள்ளன, அவை ப்ரொஜெக்டிவ் கோடுகள் (மேற்பரப்பு குறைவாக இருந்தால்) எனவே மேற்பரப்பு ஒரு விதிக்கப்பட்ட மேற்பரப்பாகும். q = 0 என்றால் இந்த வாதம் அல்பேனிய வகை ஒரு புள்ளியாக செயல்படாது, ஆனால் இந்த விஷயத்தில் காஸ்டெல்னுவோவோவின் தேற்றம் மேற்பரப்பு பகுத்தறிவு என்பதைக் குறிக்கிறது. இயற்கணிதமற்ற மேற்பரப்புகளுக்கு கோடெய்ரா வகை VII என்று அழைக்கப்படும் கூடுதல் வகை மேற்பரப்புகளைக் கண்டறிந்தார், அவை இன்னும் நன்கு புரிந்து கொள்ளப்படவில்லை. பகுத்தறிவு மேற்பரப்பு என்பது சிக்கலான ப்ரொஜெக்டிவ் பி 2 தளத்திற்கு மேற்பரப்பு இருதரப்பு என்று பொருள்படும். இவை அனைத்தும் இயற்கணித ரீதியானவை. குறைந்தபட்ச பகுத்தறிவு மேற்பரப்புகள் P2 ஆகவும், Hirzebruch மேற்பரப்புகள் n = 0 அல்லது n ≤ 2 க்காகவும் உள்ளன. (Hirzebruch மேற்பரப்பு σn என்பது O (0) + O (n) உறையுடன் தொடர்புடைய P1 மீது உள்ள P1 மூட்டை ஆகும். மேற்பரப்பு p1 × p1 க்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும், மேலும் p1 ஒரு புள்ளியில் வீசப்படுவதற்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும், எனவே குறைந்தபட்சம் அல்ல. மாறிலிகள்ஃ ப்ளூரிஜெனரா அனைத்தும் 0 மற்றும் அடிப்படை குழு அற்பமானது. ஹோட்ஜ் வைரம்ஃ எடுத்துக்காட்டுகள்ஃ பி 2, பி 1 × பி 1 = எஸ் 0, ஹிர்ஸெப்ரூச் மேற்பரப்புகள் எஸ் என், குவாட்ரிக்ஸ், கியூபிக் மேற்பரப்புகள், டெல் பெஸோ மேற்பரப்புகள், வெரோனீஸ் மேற்பரப்பு. இந்த எடுத்துக்காட்டுகளில் பல குறைந்தபட்சம் அல்லாதவை. ஜி பேரினத்தின்> 0 ஆட்சி செய்யப்பட்ட மேற்பரப்புகளின் ஆட்சி செய்யப்பட்ட மேற்பரப்புகள் ஜி இனத்தின் வளைவுக்கு ஒரு மென்மையான உருமாற்றத்தைக் கொண்டுள்ளன, அதன் இழைகள் கோடுகள் பி 1 ஆகும். அவை அனைத்தும் இயற்கணித ரீதியானவை. (பேரினம் 0 இல் உள்ளவை ஹிர்ஸெப்ரூச் மேற்பரப்புகள் மற்றும் பகுத்தறிவு கொண்டவை.) எந்தவொரு விதிக்கப்பட்ட மேற்பரப்பும் ஒரு தனித்துவமான வளைவு C க்கு P1 × C க்கு இருதரப்பு சமம், எனவே இருதரப்பு சமநிலை வரை விதிக்கப்பட்ட மேற்பரப்புகளின் வகைப்பாடு அடிப்படையில் வளைவுகளின் வகைப்பாட்டைப் போன்றது. P1 × P1 க்கு ஐசோமார்பிக் இல்லாத ஒரு மேற்பரப்பு ஒரு தனித்துவமான தீர்ப்பைக் கொண்டுள்ளது (P1 × P1 க்கு இரண்டு உள்ளன). மாறிலிகள்ஃ ப்ளூரிஜெனரா அனைத்தும் 0 ஆகும். ஹோட்ஜ் வைரம்ஃ எடுத்துக்காட்டுகள்ஃ பி 1 உடன்> 0 இனத்தின் எந்த வளைவின் பெருக்கல். ஏழாம் வகுப்பின் மேற்பரப்புகள் இந்த மேற்பரப்புகள் ஒருபோதும் இயற்கணித அல்லது காலர் அல்ல. b2 = 0 கொண்ட குறைந்தபட்சங்கள் போகோமோலோவ் மூலம் வகைப்படுத்தப்பட்டுள்ளன, மேலும் அவை ஹோப் மேற்பரப்புகள் அல்லது இனோவ் மேற்பரப்புகள் ஆகும். நேர்மறையான இரண்டாவது பெட்டி எண்ணைக் கொண்ட எடுத்துக்காட்டுகளில் இனோவ்-ஹிர்ஸெப்ரூச் மேற்பரப்புகள், எனோகி மேற்பரப்புகள் மற்றும் பொதுவாக கேட்டோ மேற்பரப்புகள் அடங்கும். உலகளாவிய கோள ஷெல் அனுமானம், நேர்மறையான இரண்டாவது பெட்டி எண்ணைக் கொண்ட அனைத்து குறைந்தபட்ச வகுப்பு VII மேற்பரப்புகளும் கேட்டோ மேற்பரப்புகள் என்பதைக் குறிக்கிறது, இது வகை VII மேற்பரப்புகளின் வகைப்பாட்டை ஏறக்குறைய நிறைவு செய்யும். மாறிலிகள்ஃ q = 1, h1,0 = 0. அனைத்து ப்ளூரிஜெனராக்களும் 0 ஆகும். ஹோட்ஜ் வைரம்ஃ கோடெய்ரா பரிமாணத்தின் மேற்பரப்புகள் 0 இந்த மேற்பரப்புகள் நொய்தரின் சூத்திரத்துடன் தொடங்கி வகைப்படுத்தப்படுகின்றன கோடெய்ரா பரிமாணம் 0 க்கு, K தன்னுடன் பூஜ்ஜிய குறுக்குவெட்டு எண்ணைக் கொண்டுள்ளது, எனவே இதைப் பயன்படுத்தி நாம் பின்வருவனவற்றை அடைகிறோம்ஃ மேலும் κ = 0 என்பதால் நம்மிடம் உள்ளதுஃ இதை முந்தைய சமன்பாட்டுடன் இணைப்பது பின்வருவனவற்றை வழங்குகிறதுஃ பொதுவாக 2h0,1 ≤ b1, எனவே இடதுபுறத்தில் உள்ள மூன்று சொற்கள் எதிர்மறை அல்லாத முழு எண்கள் மற்றும் இந்த சமன்பாட்டிற்கு ஒரு சில தீர்வுகள் மட்டுமே உள்ளன. இயற்கணித மேற்பரப்புகளுக்கு 2h0,1 − b1 என்பது 0 மற்றும் 2pg க்கு இடையிலான ஒரு சமமான முழு எண் ஆகும். சிறிய சிக்கலான மேற்பரப்புகளுக்கு 2h0,1 − b1 = 0 அல்லது 1. கோஹ்லருக்கு மேற்பரப்புகள் 2h0,1 − b1 = 0 மற்றும் h1,0 = h0,1 ஆகும். இந்த நிபந்தனைகளுக்கான பெரும்பாலான தீர்வுகள் பின்வரும் அட்டவணையில் உள்ளபடி மேற்பரப்புகளின் வகைகளுடன் ஒத்திருக்கின்றனஃ K3 மேற்பரப்புகள் இவை q = 0 மற்றும் அற்பமான நியமக் கோடு மூட்டையுடன் கோடெய்ரா பரிமாணம் 0 இன் குறைந்தபட்ச சிறிய சிக்கலான மேற்பரப்புகள் ஆகும். அவை அனைத்தும் காலர் பன்மடங்கு ஆகும். அனைத்து K3 மேற்பரப்புகளும் டிஃபியோமார்பிக் ஆகும், மேலும் அவற்றின் டிஃபியோமார்பிசம் வகுப்பு 4-மடங்கு இணைக்கப்பட்ட மென்மையான சுழற்சிக்கு ஒரு முக்கியமான எடுத்துக்காட்டு. மாறுபாடுகள்ஃ இரண்டாவது கோஹோமோலஜி குழு H2 (X, Z) என்பது பரிமாணம் 22 மற்றும் கையொப்பம் −16 இன் தனித்துவமான ஒற்றை ஒற்றை லட்டிஸ் II3,19 க்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும். ஹோட்ஜ் வைரம்ஃ எடுத்துக்காட்டுகள்ஃ பி 3 (சி) கும்மர் மேற்பரப்புகளில் டிகிரி 4 ஹைப்பர்சர்ஃபேஸ்கள். இவை ஒரு அபெலியன் மேற்பரப்பை ஆட்டோமார்ஃபிஸம் மூலம் மேற்கோள் காட்டுவதன் மூலம் பெறப்படுகின்றன, பின்னர் 16 ஒருமை புள்ளிகளை வீசுகின்றன. ஒரு குறிக்கப்பட்ட K3 மேற்பரப்பு என்பது II3,19 முதல் H2 (X, Z) வரை ஒரு ஐசோமார்பிசத்துடன் ஒரு K3 மேற்பரப்பு ஆகும். குறிக்கப்பட்ட K3 மேற்பரப்புகளின் மாடுலி இடைவெளி பரிமாணம் 20 இன் ஹவுஸ்டோர்ஃப் அல்லாத மென்மையான பகுப்பாய்வு இடத்துடன் இணைக்கப்பட்டுள்ளது. இயற்கணித K3 மேற்பரப்புகள் அதன் 19 பரிமாண துணை வகைகளின் எண்ணக்கூடிய தொகுப்பை உருவாக்குகின்றன. அபெலியன் மேற்பரப்புகள் மற்றும் இரு பரிமாண சிக்கலான டோரி இரு பரிமாண சிக்கலான டோரி அபெலியன் மேற்பரப்புகளை உள்ளடக்கியது. ஒரு பரிமாண சிக்கலான டோரி வெறும் நீள்வட்ட வளைவுகள் மற்றும் அனைத்தும் இயற்கணிதமானவை, ஆனால் பரிமாணம் 2 இன் மிகவும் சிக்கலான டோரி இயற்கணிதமல்ல என்பதை ரீமன் கண்டுபிடித்தார். இயற்கணித வகைகள் சரியாக இரு பரிமாண அபெலியன் வகைகளாகும். அவர்களின் கோட்பாட்டின் பெரும்பகுதி உயர் பரிமாண டோரி அல்லது அபெலியன் வகைகளின் கோட்பாட்டின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு. இரண்டு நீள்வட்ட வளைவுகளின் (ஐசோஜெனி வரை) விளைபொருளாக இருக்க வேண்டிய அளவுகோல்கள் பத்தொன்பதாம் நூற்றாண்டில் ஒரு பிரபலமான ஆய்வாக இருந்தன. மாறிலிகள்ஃ ப்ளூரிஜெனரா அனைத்தும் 1 ஆகும். மேற்பரப்பு S1 × S1 × S1 × S1 க்கு வேறுபட்டது, எனவே அடிப்படை குழு Z4 ஆகும். ஹாட்ஜ் வைரம்ஃ எடுத்துக்காட்டுகள்ஃ இரண்டு நீள்வட்ட வளைவுகளின் தயாரிப்பு. ஒரு பேரினம் 2 வளைவின் ஜாகோபியன். ஒரு லட்டிஸ் மூலம் C2 இன் எந்த ஈவு. கோடெய்ரா மேற்பரப்புகள் அவை நிலையான மெரோமார்பிக் செயல்பாடுகளைக் கொண்டிருந்தாலும், அவை ஒருபோதும் இயற்கணிதமாக இருக்காது. அவை பொதுவாக இரண்டு துணை வகைகளாகப் பிரிக்கப்படுகின்றனஃ அற்பமான நியமனக் கட்டிகளுடன் கூடிய முதன்மை கோடெய்ரா மேற்பரப்புகள் மற்றும் 2,3,4 அல்லது 6 வரிசைகளின் வரையறுக்கப்பட்ட குழுக்களால் இவற்றின் மேற்கோள்களாக இருக்கும் இரண்டாம் நிலை கோடெய்ரா மேற்பரப்புகள், மேலும் அவை அற்பமான நியமனக் கட்டைகளைக் கொண்டுள்ளன. இரண்டாம் நிலை கொடைரா மேற்பரப்புகள் முதன்மை மேற்பரப்புகளுடன் அதே தொடர்பைக் கொண்டுள்ளன, என்ரிக் மேற்பரப்புகள் கே 3 மேற்பரப்புகளுடன் உள்ளன, அல்லது நீள்வட்ட மேற்பரப்புகள் அபெலியன் மேற்பரப்புகளுடன் உள்ளன. மாறிலிகள்ஃ மேற்பரப்பு k = 1,2,3,4,6 வரிசையின் ஒரு குழுவால் ஒரு முதன்மை கோடெய்ரா மேற்பரப்பின் ஈவு என்றால், n என்பது k ஆல் வகுக்கப்படலாம் மற்றும் இல்லையெனில் 0 ஆக இருந்தால் ப்ளூரிஜெனா Pn 1 ஆகும். ஹோட்ஜ் வைரம்ஃ எடுத்துக்காட்டுகள்ஃ ஒரு நீள்வட்ட வளைவின் மீது ஒரு அற்பமான கோடு மூட்டை எடுத்து, பூஜ்ஜியப் பகுதியை அகற்றி, பின்னர் சில சிக்கலான எண் z இன் சக்திகளால் பெருக்கப்படும் Z ஆல் இழைகளை வெளியேற்றவும். இது ஒரு முதன்மை கொடைரா மேற்பரப்பை வழங்குகிறது. என்ரிக் மேற்பரப்புகள் இவை q = 0 போன்ற சிக்கலான மேற்பரப்புகள் மற்றும் நியமனக் கோடு மூட்டை அற்பமானது அல்ல, ஆனால் அற்பமான சதுரத்தைக் கொண்டுள்ளது. என்ரிக் மேற்பரப்புகள் அனைத்தும் இயற்கணித ரீதியானவை (எனவே காலர்). அவை வரிசை 2 இன் குழுவால் K3 மேற்பரப்புகளின் மேற்கோள்கள் மற்றும் அவற்றின் கோட்பாடு இயற்கணித K3 மேற்பரப்புகளைப் போன்றது. மாறிலிகள்ஃ n சமமாக இருந்தால் ப்ளூரிஜெனா Pn 1 ஆகவும், n ஒற்றைப்படை என்றால் 0 ஆகவும் இருக்கும். அடிப்படை குழுவிற்கு வரிசை 2 உள்ளது. இரண்டாவது கோஹோமோலஜி குழு H2 (X, Z) என்பது பரிமாணம் 10 மற்றும் கையொப்பம் −8 மற்றும் வரிசை 2 இன் ஒரு குழுவின் தனித்துவமான ஒற்றை ஒற்றை லட்டிஸ் II1,9 இன் கூட்டுத்தொகைக்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும். ஹோட்ஜ் வைரம்ஃ குறிக்கப்பட்ட என்ரிக்ஸ் மேற்பரப்புகள் இணைக்கப்பட்ட 10 பரிமாண குடும்பத்தை உருவாக்குகின்றன, இது வெளிப்படையாக விவரிக்கப்பட்டுள்ளது. சிறப்பியல்பு 2 இல் என்ரிக்ஸ் மேற்பரப்புகளின் சில கூடுதல் குடும்பங்கள் உள்ளன, அவை ஒருமை மற்றும் மேல்நிலை என்ரிக்ஸ் மேற்பரப்புகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன; விவரங்களுக்கு என்ரிக்ஸ் மேற்பரப்புகளில் உள்ள கட்டுரையைப் பார்க்கவும். ஹைப்பர்லிப்டிக் (அல்லது பயிலிப்டிக்) மேற்பரப்புகள் சிக்கலான எண்களுக்கு மேல் இவை ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட தானியங்கிகளின் குழுவால் இரண்டு நீள்வட்ட வளைவுகளின் பெருக்கலின் பகுதிகளாகும். வரையறுக்கப்பட்ட குழு Z/2Z, Z/2Z + Z/2Z, Z/3Z, Z/3Z + Z/3Z, Z/4Z, Z/4Z + Z/2Z, அல்லது Z/6Z ஆக இருக்கலாம். பண்புகள் 2 அல்லது 3 புலங்களில் ஒரு அல்லாத விற்று குழு திட்டம் மூலம் மேற்கோள்கள் எடுத்து மூலம் கொடுக்கப்பட்ட சில கூடுதல் குடும்பங்கள் உள்ளன; விவரங்களுக்கு ஹைப்பர்லிப்டிக் மேற்பரப்புகள் பற்றிய கட்டுரையைப் பார்க்கவும். ஹாட்ஜ் வைரம்ஃ கோடெய்ரா பரிமாணத்தின் மேற்பரப்புகள் 1 ஒரு நீள்வட்ட மேற்பரப்பு என்பது நீள்வட்ட இழைகளைக் கொண்ட ஒரு மேற்பரப்பு ஆகும் (ஒரு வளைவு B க்கு ஒரு சர்ஜெக்டிவ் ஹோலோமார்பிக் வரைபடம், இது இறுதியாக பல இழைகள் தவிர அனைத்தும் பேரினம் 1 இன் மென்மையான பகுக்கமுடியாத வளைவுகளாகும்). அத்தகைய இழைகளில் உள்ள பொதுவான நார் என்பது B இன் செயல்பாட்டு புலத்தின் மீது ஒரு பேரினம் 1 வளைவு ஆகும். மாறாக, ஒரு வளைவின் செயல்பாட்டு புலத்தின் மீது ஒரு பேரினம் 1 வளைவு கொடுக்கப்பட்டால், அதன் ஒப்பீட்டளவில் குறைந்தபட்ச மாதிரி ஒரு நீள்வட்ட மேற்பரப்பு ஆகும். கொடைராவும் மற்றவர்களும் அனைத்து நீள்வட்ட மேற்பரப்புகளையும் பற்றி மிகவும் முழுமையான விளக்கத்தை வழங்கியுள்ளனர். குறிப்பாக, கொடைரா சாத்தியமான ஒற்றை இழைகளின் முழுமையான பட்டியலை வழங்கினார். நீள்வட்ட மேற்பரப்புகளின் கோட்பாடு தனித்துவமான மதிப்பீட்டு வளையங்கள் (எ. கா., p-adic முழு எண்களின் வளையம்) மற்றும் டெடெக்கிண்ட் களங்கள் (எ. கா., ஒரு எண் புலத்தின் முழு எண்களின் வளையம்) மீது நீள்வட்ட வளைவுகளின் சரியான வழக்கமான மாதிரிகளின் கோட்பாட்டிற்கு ஒத்ததாகும். வரையறுக்கப்பட்ட பண்பு 2 மற்றும் 3 இல் ஒருவர் அரை நீள்வட்ட மேற்பரப்புகளையும் பெறலாம், அதன் இழைகள் அனைத்தும் ஒற்றை முனையுடன் பகுத்தறிவு வளைவுகளாக இருக்கலாம், அவை "சீரழிந்த நீள்வட்ட வளைவுகள்" ஆகும். கோடெய்ரா பரிமாணம் 1 இன் ஒவ்வொரு மேற்பரப்பும் ஒரு நீள்வட்ட மேற்பரப்பு (அல்லது 2 அல்லது 3 பண்புகளில் ஒரு அரை நீள்வட்ட மேற்பரப்பு), ஆனால் இதற்கு நேர்மாறானது உண்மையல்லஃ ஒரு நீள்வட்ட மேற்பரப்பு கோடெய்ரா பரிமாணம், 0 அல்லது 1 ஐக் கொண்டிருக்கலாம். அனைத்து என்ரிக் மேற்பரப்புகள், அனைத்து ஹைப்பர்லிப்டிக் மேற்பரப்புகள், அனைத்து கோடெய்ரா மேற்பரப்புகள், சில கே 3 மேற்பரப்புகள், சில அபெலியன் மேற்பரப்புகள் மற்றும் சில பகுத்தறிவு மேற்பரப்புகள் நீள்வட்ட மேற்பரப்புகளாகும், மேலும் இந்த எடுத்துக்காட்டுகள் 1 க்கும் குறைவான கோடெய்ரா பரிமாணத்தைக் கொண்டுள்ளன. ஒரு நீள்வட்ட மேற்பரப்பு, அதன் அடிப்படை வளைவு B குறைந்தபட்சம் 2 பேரினத்தைக் கொண்டுள்ளது, எப்போதும் கோடெய்ரா பரிமாணம் 1 ஐக் கொண்டுள்ளது, ஆனால் கோடெய்ரா பரிமாணம் 0 அல்லது 1 பேரினத்தின் B உடன் சில நீள்வட்ட மேற்பரப்புகளுக்கும் 1 ஆக இருக்கலாம். மாறிலிகள்ஃ எடுத்துக்காட்டுஃ E ஒரு நீள்வட்ட வளைவாகவும், B குறைந்தபட்சம் 2 பேரினத்தின் வளைவாகவும் இருந்தால், E × B என்பது கோடெய்ரா பரிமாணம் 1 இன் நீள்வட்ட மேற்பரப்பாகும். கொடைரா பரிமாணம் 2 இன் மேற்பரப்புகள் (பொதுவான வகை மேற்பரப்புகள்) இவை அனைத்தும் இயற்கணித ரீதியானவை, மேலும் ஒருவிதத்தில் பெரும்பாலான மேற்பரப்புகள் இந்த வகுப்பில் உள்ளன. பொது வகை மேற்பரப்புகளுக்கு ஒரு கரடுமுரடான மாடுலி திட்டம் இருப்பதாக கீசெக்கர் காட்டினார்; இதன் பொருள் செர்ன் எண்கள் சி மற்றும் சி 2 இன் எந்தவொரு நிலையான மதிப்புகளுக்கும், அந்த செர்ன் எண்களுடன் பொதுவான வகை மேற்பரப்புகளை வகைப்படுத்தும் ஒரு அரை-திட்ட திட்டம் உள்ளது. இருப்பினும் இந்த திட்டங்களை வெளிப்படையாக விவரிப்பது மிகவும் கடினமான பிரச்சினை, மேலும் இது செய்யப்பட்ட செர்ன் எண்களின் மிகக் குறைந்த ஜோடி மட்டுமே உள்ளன (திட்டம் காலியாக இருக்கும்போது தவிர!) மாறுபாடுகள்ஃ பொதுவான வகையின் குறைந்தபட்ச சிக்கலான மேற்பரப்பின் செர்ன் எண்கள் பூர்த்தி செய்ய வேண்டிய பல நிபந்தனைகள் உள்ளனஃ (போகோமோலோவ்-மியோகா-யூ சமத்துவமின்மை) (நோதர் சமத்துவமின்மை) இந்த நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்யும் பெரும்பாலான ஜோடி முழு எண்கள் பொதுவான வகையின் சில சிக்கலான மேற்பரப்புக்கான செர்ன் எண்களாகும். எடுத்துக்காட்டுகள்ஃ எளிய எடுத்துக்காட்டுகள் குறைந்தபட்சம் 2 பேரினத்தின் இரண்டு வளைவுகளின் பெருக்கல் மற்றும் பி 3 இல் குறைந்தது 5 டிகிரி உயர் மேற்பரப்பு ஆகும். அறியப்பட்ட ஏராளமான பிற கட்டுமானங்களும் உள்ளன. இருப்பினும், பெரிய செர்ன் எண்களுக்கு பொதுவான வகையின் "வழக்கமான" மேற்பரப்புகளை உருவாக்கக்கூடிய அறியப்பட்ட கட்டுமானம் எதுவும் இல்லை; உண்மையில் பொதுவான வகையின் "வழக்கமான" மேற்பரப்பு பற்றிய நியாயமான கருத்து ஏதேனும் உள்ளதா என்பது கூட தெரியவில்லை. பெரும்பாலான ஹில்பர்ட் மாடுலர் மேற்பரப்புகள், போலி ப்ரொஜெக்டிவ் விமானங்கள், பார்லோ மேற்பரப்புகள் மற்றும் பலவற்றை உள்ளடக்கிய பல எடுத்துக்காட்டுகள் கண்டுபிடிக்கப்பட்டுள்ளன. மேலும் காண்க இயற்கணித மேற்பரப்புகளின் குறிப்புகளின் பட்டியல்-சுருக்கமான சிக்கலான மேற்பரப்புகளுக்கான நிலையான குறிப்பு புத்தகம்; (சாப்ட்கவர்)-வகைப்பாட்டிற்கான ஒரு அடிப்படை அறிமுகத்துடன் வெளிப்புற இணைப்புகள் லெ சூப்பர்ஃபிசி ஆல்ஜிபிரிச் என்பது என்ரிக்குகளின் ஊடாடும் காட்சிப்படுத்தலாகும்-பீட்டர் பெல்மேன்ஸ் மற்றும் ஜோஹன் கமெலின் காம்ப்ளக்ஸ் மேற்பரப்புகள் பைரேஷனல் வடிவியல் இயற்கணித மேற்பரப்புகள் கணித வகைப்பாட்டு அமைப்புகள்