Grassmann number
கணித இயற்பியலில், ஹெர்மன் கிராஸ்மேனின் பெயரால் பெயரிடப்பட்ட கிராஸ்மேன் எண் (எதிர் பரிமாற்ற எண் அல்லது சூப்பர் எண் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) என்பது சிக்கலான எண்களுக்கு மேல் வெளிப்புற இயற்கணிதத்தின் ஒரு உறுப்பு ஆகும். 1 பரிமாண இயற்கணிதத்தின் சிறப்பு வழக்கு இரட்டை எண் என்று அழைக்கப்படுகிறது. கிராஸ்மேன் எண்கள் இயற்பியலில் ஃபெர்மியோனிக் புலங்களுக்கான ஒரு பாதை ஒருங்கிணைந்த பிரதிநிதித்துவத்தை வெளிப்படுத்த ஆரம்பகால பயன்பாட்டைக் கண்டன, இருப்பினும் அவை இப்போது சூப்பர்ஸ்பேஸிற்கான அடித்தளமாக பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, இதன் மீது சூப்பர்ஸைமெட்ரி கட்டப்பட்டுள்ளது. முறைசாரா கலந்துரையாடல் கிராஸ்மேன் எண்கள் பயண எதிர்ப்பு கூறுகள் அல்லது பொருட்களால் உருவாக்கப்படுகின்றன. போக்குவரத்துக்கு எதிரான பொருள்கள் பற்றிய யோசனை கணிதத்தின் பல பகுதிகளில் எழுகிறதுஃ அவை பொதுவாக வேறுபட்ட வடிவவியலில் காணப்படுகின்றன, அங்கு வேறுபட்ட வடிவங்கள் போக்குவரத்துக்கு எதிரானவை. வேறுபட்ட வடிவங்கள் பொதுவாக ஒரு பன்மடங்கு வழித்தோன்றல்களின் அடிப்படையில் வரையறுக்கப்படுகின்றன; இருப்பினும், எந்தவொரு அடிப்படை பன்மடங்கு இருப்பை ஒருவர் "மறந்துவிடுகிறார்" அல்லது "புறக்கணிக்கிறார்", மேலும் வடிவங்கள் வழித்தோன்றல்கள் என்று வரையறுக்கப்பட்டதை "மறந்துவிடுகிறார்கள்" அல்லது "புறக்கணிக்கிறார்கள்", அதற்கு பதிலாக, ஒருவர் பயணத்திற்கு எதிரான பொருள்களைக் கொண்ட ஒரு சூழ்நிலையை வெறுமனே சிந்திக்கவும், வேறு முன் வரையறுக்கப்பட்ட அல்லது முன் கருதப்பட்ட பண்புகளைக் கொண்டிருக்கவில்லை. இத்தகைய பொருள்கள் ஒரு இயற்கணிதத்தை உருவாக்குகின்றன, குறிப்பாக கிராஸ்மேன் இயற்கணிதம் அல்லது வெளிப்புற இயற்கணிதம். கிராஸ்மேன் எண்கள் அந்த இயற்கணிதத்தின் கூறுகளாகும். அவை "சாதாரண" எண்களைப் போலல்லாமல் செயல்படுகின்றன என்பதன் மூலம் "எண்" என்ற பெயர் நியாயப்படுத்தப்படுகிறதுஃ அவை சேர்க்கப்படலாம், பெருக்கப்படலாம் மற்றும் பிரிக்கப்படலாம்ஃ அவை கிட்டத்தட்ட ஒரு புலத்தைப் போல செயல்படுகின்றன. மேலும் பலவற்றைச் செய்ய முடியும்ஃ கிராஸ்மேன் எண்களின் பல்லுறுப்புக்கோவைகளை ஒருவர் பரிசீலிக்கலாம், இது ஹோலோமார்பிக் செயல்பாடுகளின் யோசனைக்கு வழிவகுக்கிறது. அத்தகைய செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களை ஒருவர் எடுக்கலாம், பின்னர் எதிர்-வழித்தோன்றல்களையும் கருத்தில் கொள்ளலாம். இந்த கருத்துக்கள் ஒவ்வொன்றும் கவனமாக வரையறுக்கப்படலாம், மேலும் சாதாரண கணிதத்திலிருந்து சமமான கருத்துக்களுடன் நியாயமான முறையில் நன்கு ஒத்திருக்கலாம். ஒப்புமை அங்கு முடிவடையாதுஃ ஒருவர் சூப்பர் கணிதத்தின் ஒரு முழு கிளையையும் கொண்டிருக்கிறார், அங்கு யூக்ளிடியன் இடத்தின் அனலாக் சூப்பர்ஸ்பேஸ் ஆகும், ஒரு பன்மடங்கு அனலாக் ஒரு சூப்பர்மேனிஃபோல்ட் ஆகும், ஒரு லை இயற்கணிதத்தின் அனலாக் ஒரு லை சூப்பர்ஆல்ஜிப்ரா மற்றும் பல. கிராஸ்மேன் எண்கள் இவை அனைத்தையும் சாத்தியமாக்கும் அடிப்படை கட்டமைப்பாகும். நிச்சயமாக, ஒருவர் வேறு எந்தத் துறையிலும், அல்லது வளையத்திலும் கூட இதேபோன்ற திட்டத்தை தொடரலாம், இது உண்மையில் கணிதத்தில் பரவலாகவும் பொதுவாகவும் செய்யப்படுகிறது. இருப்பினும், சூப்பர்மாதமேட்டிக்ஸ் இயற்பியலில் ஒரு சிறப்பு முக்கியத்துவத்தைப் பெறுகிறது, ஏனென்றால் ஃபெர்மியன்களின் குவாண்டம்-மெக்கானிக்கல் நடத்தையுடன் எதிர்-பரிமாற்ற நடத்தையை வலுவாக அடையாளம் காணலாம்ஃ எதிர்-பரிமாற்றமானது பாலி விலக்கு கொள்கையாகும். எனவே, கிராஸ்மேன் எண்கள் மற்றும் சூப்பர் கணிதவியல் பற்றிய ஆய்வு, பொதுவாக, இயற்பியலில் அவற்றின் பயன்பாட்டால் வலுவாக இயக்கப்படுகிறது. குறிப்பாக, குவாண்டம் புலக் கோட்பாட்டில், அல்லது மிகவும் குறுகிய, இரண்டாவது அளவீட்டில், ஒன்று பல துகள் குவாண்டம் நிலைகளை உருவாக்கும் ஏணி ஆபரேட்டர்களுடன் வேலை செய்கிறது. ஃபெர்மியன்களுக்கான ஏணி இயக்கிகள் புலம் குவாண்டாவை உருவாக்குகின்றன, இது அவசியம் சமச்சீர் எதிர்ப்பு அலை செயல்பாடுகளைக் கொண்டிருக்க வேண்டும், ஏனெனில் இது பாலி விலக்கு கொள்கையால் கட்டாயப்படுத்தப்படுகிறது. இந்த சூழ்நிலையில், ஒரு கிராஸ்மேன் எண் சில (பொதுவாக தீர்மானிக்கப்படாத) ஃபெர்மியன்களின் எண்ணிக்கையைக் கொண்ட ஒரு அலை செயல்பாட்டிற்கு உடனடியாகவும் நேரடியாகவும் ஒத்திருக்கிறது. ஃபெர்மியன்களின் எண்ணிக்கை நிலையானதாகவும் வரையறுக்கப்பட்டதாகவும் இருக்கும்போது, எதிர்ச்சேர்க்கை உறவுகளுக்கும் சுழல்களுக்கும் இடையிலான ஒரு வெளிப்படையான உறவு சுழல் குழுவின் மூலம் வழங்கப்படுகிறது. இந்த குழுவை கிளிஃபோர்ட் இயற்கணிதத்தில் அலகு-நீளம் திசையன்களின் துணைக்குழுவாக வரையறுக்கலாம், மேலும் இயற்கையாகவே பயண எதிர்ப்பு வேய்ல் சுழற்சிகளாக காரணியாக்கப்படுகிறது. மாற்று-எதிர்ப்பு மற்றும் சுழற்சிகளாக வெளிப்பாடு ஆகிய இரண்டும் சுழல் குழுவிற்கு இயற்கையான பாணியில் எழுகின்றன. சாராம்சத்தில், கிராஸ்மேன் எண்கள் சுழற்சியில் இருந்து எழும் உறவுகளை நிராகரிப்பதாகவும், பரிமாற்ற எதிர்ப்பு காரணமாக உறவுகளை மட்டுமே வைத்திருப்பதாகவும் கருதலாம். பொது விளக்கம் மற்றும் பண்புகள் கிராஸ்மேன் எண்கள் என்பது கிராஸ்மேன் மாறிகள் அல்லது கிராஸ்மேன் திசைகள் அல்லது சூப்பர்சார்ஜ்களின் தொகுப்பால் உருவாக்கப்பட்ட வெளிப்புற இயற்கணிதத்தின் தனிப்பட்ட கூறுகள் அல்லது புள்ளிகள் ஆகும், அவை எல்லையற்றதாக இருக்கலாம். "கிராஸ்மேன் மாறிகள்" என்ற வார்த்தையின் பயன்பாடு வரலாற்று ரீதியானது; அவை மாறிகள் அல்ல, அவை ஒரு ஒற்றை இயற்கணிதத்தின் அடிப்படை கூறுகளாக நன்கு புரிந்து கொள்ளப்படுகின்றன. ஒருங்கிணைப்புகளை வரையறுப்பது ஒரு முதன்மை பயன்பாடாகும், மேலும் ஒருங்கிணைப்பின் மாறி கிராஸ்மேன்-மதிப்புடையது, எனவே, மொழியை துஷ்பிரயோகம் செய்வதன் மூலம் கிராஸ்மேன் மாறி என்று அழைக்கப்படுகிறது. இதேபோல், திசை பற்றிய கருத்து சூப்பர்ஸ்பேஸ் என்ற கருத்திலிருந்து வருகிறது, அங்கு சாதாரண யூக்ளிடியன் இடம் கூடுதல் கிராஸ்மேன் மதிப்புள்ள "திசைகளுடன்" நீட்டிக்கப்படுகிறது. இயற்பியலில் உள்ள மின்னூட்டங்களின் கருத்திலிருந்து மின்னூட்டத்தின் பெயர் வருகிறது, இது இயற்பியல் சமச்சீர் ஜெனரேட்டர்களுடன் ஒத்திருக்கிறது (நோய்தரின் தேற்றம் வழியாக). உணரப்பட்ட சமச்சீர் என்னவென்றால், ஒரு கிராஸ்மேன் மாறியின் பெருக்கம் ஃபெர்மியன்கள் மற்றும் போசான்களுக்கு இடையிலான தரவரிசையை மாற்றுகிறது; இது கீழே விரிவாக விவாதிக்கப்படுகிறது. கிராஸ்மேன் மாறிகள் ஒரு திசையன் இடத்தின் (பரிமாணத்தின்) அடிப்படை திசையன்கள் ஆகும். அவை ஒரு புலத்தின் மீது ஒரு இயற்கணிதத்தை உருவாக்குகின்றன, புலம் பொதுவாக சிக்கலான எண்களாக எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது, இருப்பினும் யதார்த்தங்கள் போன்ற பிற புலங்களை ஒருவர் சிந்திக்க முடியும். இயற்கணிதம் ஒரு ஒற்றை இயற்கணிதம், மற்றும் ஜெனரேட்டர்கள் எதிர்-பரிமாற்றமாகும்ஃ அவை சிக்கலான எண்களின் மீது ஒரு திசையன் இடத்தின் கூறுகள் என்பதால், அவை வரையறையின்படி, சிக்கலான எண்களுடன் பயணிக்கின்றன. அதாவது, சிக்கலான ஒன்றைப் பொறுத்தவரை, ஜெனரேட்டர்களின் சதுரங்கள் மறைந்துவிடும்ஃ வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், கிராஸ்மேன் மாறி என்பது பூஜ்ஜியத்தின் பூஜ்ஜியமற்ற சதுர-வேர் ஆகும். முறையான வரையறை முறைப்படி, அடிப்படையுடன் ஒரு பரிமாண சிக்கலான திசையன் இடமாக இருக்கட்டும். கிராஸ்மேன் மாறிகள் கொண்ட கிராஸ்மேன் இயற்கணிதம் வெளிப்புற இயற்கணிதமாக வரையறுக்கப்படுகிறது, அதாவது வெளிப்புற தயாரிப்பு எங்கே மற்றும் நேரடி கூட்டுத்தொகை ஆகும். இந்த இயற்கணிதத்தின் தனித்தனி கூறுகள் பின்னர் கிராஸ்மேன் எண்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. வரையறை நிறுவப்பட்டவுடன் கிராஸ்மேன் எண்ணை எழுதும் போது ஆப்பு சின்னத்தை தவிர்ப்பது நிலையானது. ஒரு பொதுவான கிராஸ்மேன் எண்ணை கண்டிப்பாக அதிகரிக்கும் இடத்தில் எழுதலாம்-டப்பிள்களுடன், மற்றும் அவை சிக்கலானவை, தரவரிசையின் முற்றிலும் சமச்சீரற்ற டென்சர்கள். மீண்டும், மற்றும் (உட்பட்டு), மற்றும் பெரிய வரையறுக்கப்பட்ட தயாரிப்புகள், இன் துணை இடங்களின் அடிப்படை திசையன்களின் பாத்திரத்தை வகிப்பதைக் காணலாம். நேரியல் ரீதியாக சுயாதீனமான கிராஸ்மேன் மாறிகளால் உருவாக்கப்படும் கிராஸ்மேன் இயற்கணிதம் பரிமாணத்தைக் கொண்டுள்ளது; இது மேற்கண்ட தொகைக்கு பயன்படுத்தப்படும் இருமக் கோட்பாட்டிலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது, மேலும் மாறிகளின்-மடிப்பு பெருக்கல் மேலே உள்ள பரிமாற்ற எதிர்ப்பு உறவுகளால் மறைந்துவிட வேண்டும் என்ற உண்மை. இதன் பரிமாணம் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட பைனாமியல் குணகம் மூலம் வழங்கப்படுகிறது. சிறப்பு வழக்கு இரட்டை எண் என்று அழைக்கப்படுகிறது, இது 1873 இல் வில்லியம் கிளிஃபோர்ட் என்பவரால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. எல்லையற்ற பரிமாணமாக இருந்தால், மேலே உள்ள தொடர் முடிவடையாது மற்றும் ஒன்று வரையறுக்கிறது பொதுவான உறுப்பு இப்போது சில நேரங்களில் உடல் என்றும் சூப்பர் எண்ணின் ஆன்மா என்றும் குறிப்பிடப்படுகிறது. பண்புகள் வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண வழக்கில் (அதே சொற்களைப் பயன்படுத்தி) ஆன்மா நில்பொடென்ட், அதாவது. ஆனால் எல்லையற்ற பரிமாண வழக்கில் இது அவசியமில்லை. வரையறுக்கப்பட்ட-பரிமாணமாக இருந்தால், எல்லையற்ற-பரிமாண வரையறுக்கப்பட்ட மற்றும் எண்ணக்கூடிய ஜெனரேட்டர்களின் தொகுப்பாக இருந்தால், இரண்டு தனித்துவமான வகையான சூப்பர் எண்கள் பொதுவாக இலக்கியத்தில் தோன்றும்ஃ வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான ஜெனரேட்டர்களைக் கொண்டவை, பொதுவாக = 1,2,3 அல்லது 4, மற்றும் எண்ணற்ற-எல்லையற்ற எண்ணிக்கையிலான ஜெனரேட்டர்களைக் கொண்டவை. இந்த இரண்டு சூழ்நிலைகளும் முதலில் தோன்றுவது போல் தொடர்பில்லாதவை அல்ல. முதலாவதாக, ஒரு சூப்பர்மேனிஃபோல்ட் வரையறையில், ஒரு மாறுபாடு எண்ணற்ற-எல்லையற்ற எண்ணிக்கையிலான ஜெனரேட்டர்களைப் பயன்படுத்துகிறது, ஆனால் பின்னர் ஒரு இடவியலைப் பயன்படுத்துகிறது, இது பரிமாணத்தை ஒரு சிறிய வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணாக திறம்பட குறைக்கிறது. மற்றொரு சந்தர்ப்பத்தில், ஒருவர் வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான ஜெனரேட்டர்களுடன் தொடங்கலாம், ஆனால் இரண்டாவது அளவீட்டின் போக்கில், எண்ணற்ற எண்ணிக்கையிலான ஜெனரேட்டர்களின் தேவை எழுகிறதுஃ ஒரு ஃபெர்மியன் கொண்டு செல்லக்கூடிய ஒவ்வொரு சாத்தியமான வேகத்திற்கும் ஒவ்வொன்றும். இன்வொல்யூஷன், புலத்தின் தேர்வு சிக்கலான எண்கள் பொதுவாக கிராஸ்மேன் எண்களின் வரையறைக்கான புலமாக தேர்ந்தெடுக்கப்படுகின்றன, இது உண்மையான எண்களுக்கு மாறாக, இது ஒரு இணைவு அல்லது இன்வொல்யூஷன் அறிமுகப்படுத்தப்படும்போது சில விசித்திரமான நடத்தைகளைத் தவிர்க்கிறது. கிராஸ்மேன் எண்களில் ஒரு ஆபரேட்டரை * அறிமுகப்படுத்துவது பொதுவானதுஃ ஒரு ஜெனரேட்டர் எப்போது, கிராஸ்மேன் எண்களை z என்று ஒருவர் பரிசீலிக்கலாம், மேலும் இவை (சூப்பர்) உண்மையானவை என்று குறிப்பிடலாம், அதே நேரத்தில் கீழ்ப்படிபவர்கள் (சூப்பர்) கற்பனை என்று அழைக்கப்படுகிறார்கள். கிராஸ்மேன் எண்கள் உண்மையான எண்களை அடிப்படை புலமாகப் பயன்படுத்தினாலும், இந்த வரையறைகள் நன்றாகவே செல்கின்றன, இருப்பினும், அத்தகைய சந்தர்ப்பத்தில், ஜெனரேட்டர்களின் எண்ணிக்கை 4 க்கும் குறைவாக இருந்தால் பல குணகங்கள் மறைந்துவிட வேண்டிய கட்டாயத்தில் உள்ளன. எனவே, வழக்கமாக, கிராஸ்மேன் எண்கள் பொதுவாக சிக்கலான எண்களில் வரையறுக்கப்படுகின்றன. பிற மரபுகள் சாத்தியமாகும்; மேற்கூறியவை சில நேரங்களில் டுவிட் மாநாடு என்று குறிப்பிடப்படுகின்றன; ரோஜர்ஸ் ஈடுபாட்டிற்காக பயன்படுத்துகிறார். இந்த மரபில், உண்மையான சூப்பர் எண்கள் எப்போதும் உண்மையான குணகங்களைக் கொண்டுள்ளன, அதேசமயம் டிவிட் மரபில், உண்மையான சூப்பர் எண்கள் உண்மையான மற்றும் கற்பனை குணகங்களைக் கொண்டிருக்கலாம். இது இருந்தபோதிலும், பொதுவாக டுவிட் மாநாட்டில் பணியாற்றுவது எளிதானது. ஒற்றைப்படை எண்ணிக்கையிலான கிராஸ்மேன் மாறிகளின் பகுப்பாய்வு தயாரிப்புகள் ஒருவருக்கொருவர் பயணத்திற்கு எதிரானவை; அத்தகைய தயாரிப்பு பெரும்பாலும் ஒரு எண் என்று அழைக்கப்படுகிறது. சம எண்ணிக்கையிலான கிராஸ்மேன் மாறிகளின் தயாரிப்புகள் (அனைத்து கிராஸ்மேன் எண்களுடனும்) பயணிக்கின்றன; அவை பெரும்பாலும் சி-எண்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. சொற்களை துஷ்பிரயோகம் செய்வதன் மூலம், ஒரு-எண் சில நேரங்களில் ஒரு தொலைதொடர்பு எதிர்ப்பு சி-எண் என்று அழைக்கப்படுகிறது. சம மற்றும் ஒற்றைப்படை துணை இடங்களாக இந்த சிதைவு இயற்கணிதத்தில் ஒரு தரவரிசையை வழங்குகிறது; எனவே கிராஸ்மேன் ஆல்ஜிப்ராக்கள் சூப்பர் கம்யூட்டேடிவ் ஆல்ஜிப்ராக்களின் முன்மாதிரி எடுத்துக்காட்டுகளாகும். சி-எண்கள் ஒரு துணை இயற்கணிதத்தை உருவாக்குகின்றன என்பதை நினைவில் கொள்க, ஆனால் ஏ-எண்கள் இல்லை (அவை ஒரு துணை இடைவெளி, ஒரு துணை இயற்கணிதம் அல்ல). கிராஸ்மேன் எண்களின் வரையறை சிக்கலான எண்களின் பகுப்பாய்வுக்கு ஒப்பாக கணித பகுப்பாய்வு செய்ய அனுமதிக்கிறது. அதாவது, ஒருவர் சூப்பர்ஹோலோமார்பிக் செயல்பாடுகளை வரையறுக்கலாம், வழித்தோன்றல்களை வரையறுக்கலாம், அதே போல் ஒருங்கிணைப்புகளை வரையறுக்கலாம். இரட்டை எண்கள் குறித்த கட்டுரையில் சில அடிப்படை கருத்துக்கள் விரிவாக உருவாக்கப்பட்டுள்ளன. ஒரு பொதுவான விதியாக, எல்லையற்ற எண்ணிக்கையிலான ஜெனரேட்டர்களுடன் கிராஸ்மேன் எண்களுடன் பணிபுரிவதன் மூலம் சாதாரண கணித நிறுவனங்களின் சூப்பர்-சமச்சீர் ஒப்புமைகளை வரையறுப்பது பொதுவாக எளிதானதுஃ பெரும்பாலான வரையறைகள் நேரடியானவை, மேலும் தொடர்புடைய போசோனிக் வரையறைகளிலிருந்து எடுத்துக் கொள்ளலாம். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு ஒற்றை கிராஸ்மேன் எண்ணை ஒரு பரிமாண இடத்தை உருவாக்குவதாக கருதலாம். ஒரு திசையன் இடைவெளி,-பரிமாண மேற்பரப்பு, பின்னர் இந்த ஒரு பரிமாண கார்ட்டீசியன் பெருக்கலாகத் தோன்றுகிறது இது அடிப்படையில் ஜெனரேட்டர்களுடன் கூடிய இயற்கணிதத்திற்கு சமம் என்பதைக் காட்டலாம், ஆனால் இதற்கு வேலை தேவைப்படுகிறது. சுழல் இடைவெளி சுழல் இடைவெளி என்பது வெய்ல் சுழல்களின் (மற்றும் சுழல் எதிர்ப்பு) இடத்தின் கிராஸ்மேன் அல்லது வெளிப்புற இயற்கணிதம் என வரையறுக்கப்படுகிறது, அதாவது n ஃபெர்மியன்களின் அலை செயல்பாடுகள் இதில் அடங்கும். கிராஸ்மேன் எண்களின் மீதான ஒருங்கிணைப்பு ஒருங்கிணைப்புகள் பெரெசின் ஒருங்கிணைப்புகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன (சில நேரங்களில் கிராஸ்மேன் ஒருங்கிணைப்புகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன). ஃபெர்மி புலத்திற்கான பாதை ஒருங்கிணைப்பை இனப்பெருக்கம் செய்ய, கிராஸ்மேன் ஒருங்கிணைப்பின் வரையறை பின்வரும் பண்புகளைக் கொண்டிருக்க வேண்டும்ஃ நேரியல் பகுதி ஒருங்கிணைப்பு சூத்திரம் மேலும், எந்தவொரு செயல்பாட்டின் டெய்லர் விரிவாக்கம் இரண்டு சொற்களுக்குப் பிறகு முடிவடைகிறது, ஏனெனில், மற்றும் குவாண்டம் புலக் கோட்பாட்டிற்கு கூடுதலாக ஒருங்கிணைப்பு மாறிகளின் மாற்றத்தின் கீழ் மாறுபாடு தேவைப்படுகிறது, அதாவது இந்த நிபந்தனையை திருப்திப்படுத்தும் ஒரே நேரியல் செயல்பாடு ஒரு நிலையானது (வழக்கமாக 1) முறை, எனவே பெரெசின் வரையறுத்தார் இது கிராஸ்மேன் அளவின் ஒருங்கிணைப்புக்கான பின்வரும் விதிகளில் விளைகிறதுஃ எனவே கிராஸ்மேன் எண்ணின் ஒருங்கிணைப்பு மற்றும் வேறுபாட்டின் செயல்பாடுகள் ஒரே மாதிரியானவை என்று நாங்கள் முடிவு செய்கிறோம். குவாண்டம் புலக் கோட்பாட்டின் பாதை ஒருங்கிணைந்த சூத்திரத்தில் பின்வரும் காஸியன் ஒருங்கிணைந்த கிராஸ்மேன் அளவுகள் ஃபெர்மியோனிக் எதிர் தொடர்பு புலங்களுக்கு தேவைப்படுகின்றன, இதில் A ஒரு N × N மேட்ரிக்ஸ் ஆகும்ஃ மரபுகள் மற்றும் சிக்கலான ஒருங்கிணைப்பு பல கிராஸ்மேன் எண்களை ஒருங்கிணைக்கும்போது ஒரு தெளிவின்மை எழுகிறது. சில எழுத்தாளர்கள் செயல்பாட்டாளர்களின் ஹெர்மிடியன் இணைப்பைப் போன்ற சிக்கலான இணைப்பையும் வரையறுக்கிறார்கள், கூடுதல் மரபுடன் நாம் சுயாதீனமான கிராஸ்மேன் எண்களாக கருதலாம் மற்றும் பின்பற்றலாம் எனவே ஒரு காஸியன் ஒருங்கிணைப்பு மதிப்பீடு செய்யப்படுகிறது மற்றும் ஒரு கூடுதல் காரணி ஒரு காரணியை திறம்பட அறிமுகப்படுத்துகிறது, ஒரு சாதாரண காஸியனைப் போலவே, ஒற்றுமையை நிரூபித்த பிறகு, ஹெர்மிடியன் மேட்ரிக்ஸை உள்ளடக்கிய ஒரு பொதுவான காஸியன் ஒருங்கிணைப்பை ஐகென் மதிப்புகளுடன் மதிப்பீடு செய்யலாம், மேட்ரிக்ஸ் பிரதிநிதித்துவங்கள் கிராஸ்மேன் எண்களை மேட்ரிக்ஸால் பிரதிநிதித்துவப்படுத்தலாம். எடுத்துக்காட்டாக, இரண்டு கிராஸ்மேன் எண்களால் உருவாக்கப்பட்ட கிராஸ்மேன் இயற்கணிதத்தைக் கவனியுங்கள். இந்த கிராஸ்மேன் எண்களை 4 × 4 மேட்ரிக்ஸ்களால் குறிப்பிடலாம்ஃ பொதுவாக, n ஜெனரேட்டர்களில் உள்ள கிராஸ்மேன் இயற்கணிதத்தை 2n × 2n சதுர மேட்ரிக்ஸ்களால் குறிப்பிடலாம். இயற்பியல் ரீதியாக, இந்த மேட்ரிக்ஸ்களை ஆக்கிரமிப்பு எண் அடிப்படையில் n ஒத்த ஃபெர்மியன்களின் ஹில்பர்ட் இடத்தில் செயல்படும் ரைசிங் ஆபரேட்டர்கள் என்று கருதலாம். ஒவ்வொரு ஃபெர்மியனுக்கும் ஆக்கிரமிப்பு எண் 0 அல்லது 1 என்பதால், 2n அடிப்படை நிலைகள் உள்ளன. கணித ரீதியாக, இந்த மேட்ரிக்ஸ்களை கிராஸ்மேன் இயற்கணிதத்தின் இடது வெளிப்புற பெருக்கத்துடன் தொடர்புடைய நேரியல் இயக்கிகளாக விளக்கலாம். கிராஸ்மேன் எண்களுக்கு சில பொதுமைப்படுத்தல்கள் உள்ளன. இதற்கு N மாறிகளின் அடிப்படையில் விதிகள் தேவைப்படுகின்றன, அதாவதுஃ குறியீடுகள் அனைத்து வரிசைமாற்றங்களுக்கும் சுருக்கப்படும் போது, இதன் விளைவாகஃ சில N> 2 க்கு. N-டென்சர்களின் ஹைப்பர்டிடெர்மினன்ட்களைக் கணக்கிடுவதற்கும், N> 2 ஐ விட பெரிய சக்திகளுக்கான பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் டிஸ்கிரிமினன்ட்களைக் கணக்கிடுவதற்கும் இவை பயனுள்ளதாக இருக்கும். N முடிவிலிக்கு முனைவதால் வரம்புக்குட்பட்ட விஷயமும் உள்ளது, இந்த விஷயத்தில் எண்களில் பகுப்பாய்வு செயல்பாடுகளை வரையறுக்க முடியும். எடுத்துக்காட்டாக, N = 3 என்ற விஷயத்தில் ஒரு கிராஸ்மேன் எண்ணை மேட்ரிக்ஸ் மூலம் குறிப்பிடலாம்ஃ இரண்டு கிராஸ்மேன் எண்களுக்கு மேட்ரிக்ஸ் அளவு 10 × 10 ஆக இருக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, இரண்டு கிராஸ்மேன் மாறிகள் கொண்ட N = 3 க்கான விதிகள் பின்வருவனவற்றைக் குறிக்கின்றனஃ எனவே இதைக் காட்ட முடியும், எனவே இது 2 × 2 × 2 டென்சரின் ஹைபர்டிடெர்மினண்ட்டுக்கு ஒரு வரையறையை அளிக்கிறது கிராஸ்மேனியன் ஹெர்மன் கிராஸ்மேன் (மொழியியியலாளர் மற்றும் கணிதவியலாளர்) சூப்பர்ஸ்பேஸ் வெளிப்புற இயற்கணிதம் குறிப்புகள் சூப்பர்ஸைமெட்ரி குவாண்டம் ஃபீல்ட் கோட்பாடு