Degree of a continuous mapping
இடவியலில், ஒரே பரிமாணத்தின் இரண்டு சிறிய சார்ந்த பன்மடங்கு இடையே ஒரு தொடர்ச்சியான வரைபடத்தின் அளவு என்பது வரைபடத்தின் கீழ் பல மடங்கு வரம்பைச் சுற்றி கள பன்மடங்கு எத்தனை முறை மூடுகிறது என்பதைக் குறிக்கும் ஒரு எண்ணாகும். பட்டம் எப்போதும் ஒரு முழு எண், ஆனால் நோக்குநிலைகளைப் பொறுத்து நேர்மறை அல்லது எதிர்மறையாக இருக்கலாம். ஒரு வரைபடத்தின் அளவு முதன்முதலில் ப்ரூவரால் வரையறுக்கப்பட்டது, அவர் டிகிரி ஹோமோடாபி மாறாதது (ஹோமோடாபிகளில் மாறாதது) என்பதைக் காட்டினார், மேலும் ப்ரூவர் நிலையான புள்ளி தேற்றத்தை நிரூபிக்க அதைப் பயன்படுத்தினார். நவீன கணிதத்தில், ஒரு வரைபடத்தின் அளவு இடவியல் மற்றும் வடிவவியலில் முக்கிய பங்கு வகிக்கிறது. இயற்பியலில், தொடர்ச்சியான வரைபடத்தின் அளவு (எடுத்துக்காட்டாக, விண்வெளியில் இருந்து சில வரிசை அளவுரு தொகுப்புக்கு ஒரு வரைபடம்) ஒரு இடவியல் குவாண்டம் எண்ணின் ஒரு எடுத்துக்காட்டு ஆகும். Sn முதல் Sn வரையிலான டிகிரியின் வரையறைகள் எளிய மற்றும் மிக முக்கியமான வழக்கு-கோளத்திலிருந்து தனக்குத்தானே ஒரு தொடர்ச்சியான வரைபடத்தின் டிகிரியாகும் (இந்த விஷயத்தில், இது முறுக்கு எண் என்று அழைக்கப்படுகிறது): ஒரு தொடர்ச்சியான வரைபடமாக இருக்கட்டும். பின்னர் ஒரு ஹோமோமார்பிசத்தைத் தூண்டுகிறது, அங்கு th ஹோமோலஜி குழு உள்ளது. இந்த உண்மையை கருத்தில் கொண்டு, அது சில நிலையான வடிவத்தில் இருக்க வேண்டும் என்பதை நாம் காண்கிறோம். இது பின்னர் டிகிரி ஆஃப் என்று அழைக்கப்படுகிறது. பன்மடங்கு இடையே இயற்கணித இடவியல் எக்ஸ் மற்றும் ஒய் மூடப்பட்ட இணைக்கப்பட்ட சார்ந்த எம்-பரிமாண பன்மடங்கு இருக்கட்டும். ஒரு பன்மடங்கு நோக்குநிலை என்பது அதன் மேல் ஒரே மாதிரியான குழு Z க்கு ஐசோமார்பிக் என்பதைக் குறிக்கிறது. ஒரு நோக்குநிலையைத் தேர்ந்தெடுப்பது என்பது சிறந்த ஹோமாலஜி குழுவின் ஜெனரேட்டரைத் தேர்ந்தெடுப்பதாகும். ஒரு தொடர்ச்சியான வரைபடம் f: X → Y என்பது ஒரு சமச்சீரமைப்பைத் தூண்டுகிறது, இது Hm (X) இலிருந்து Hm (Y) வரை உள்ளது. [X], ரெஸ்ப். [Y] என்பது எச்எம் (எக்ஸ்), ரெஸ்பின் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட ஜெனரேட்டராக இருக்க வேண்டும். எச்எம் (ஒய்) (அல்லது எக்ஸ், ஒய் இன் அடிப்படை வகுப்பு). பின்னர் f இன் அளவு f * ([X]) என வரையறுக்கப்படுகிறது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், Y இல் உள்ள y மற்றும் f−1 (y) ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்பாக இருந்தால், f−1 (y) இல் உள்ள ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் X இன் m-th லோக்கல் ஹோமோலஜி குழுக்களைக் கருத்தில் கொண்டு f இன் அளவைக் கணக்கிட முடியும். வேறுபட்ட இடவியல் வேறுபட்ட இடவியல் மொழியில், ஒரு மென்மையான வரைபடத்தின் அளவை பின்வருமாறு வரையறுக்கலாம்ஃ f ஒரு மென்மையான வரைபடமாக இருந்தால், அதன் களம் ஒரு சிறிய பன்மடங்கு மற்றும் p என்பது f இன் வழக்கமான மதிப்பாக இருந்தால், வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்பைக் கருதுங்கள். டிஃபோமார்பிசம் என்பது நோக்குநிலை பாதுகாப்பாகவோ அல்லது நோக்குநிலை தலைகீழாகவோ இருக்கலாம். r என்பது xi புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையாக இருக்கட்டும், இதில் f என்பது நோக்குநிலை பாதுகாப்பாகும் மற்றும் s என்பது f என்பது நோக்குநிலை தலைகீழாக மாறும் எண்ணாக இருக்கும். f இன் கோடோமைன் இணைக்கப்படும்போது, r − s எண் p இன் தேர்விலிருந்து சுயாதீனமாக இருக்கும் (n இல்லை என்றாலும்!) ஒன்று f இன் அளவை r − s ஆக வரையறுக்கிறது. இந்த வரையறை மேலே உள்ள இயற்கணித இடவியல் வரையறையுடன் ஒத்துப்போகிறது. அதே வரையறை எல்லையுடன் கூடிய சுருக்கமான பன்மடங்கு வேலை செய்கிறது, ஆனால் பின்னர் f X இன் எல்லையை Y இன் எல்லைக்கு அனுப்ப வேண்டும். டிகிரி மாடுலோ 2 (டிகிரி 2 (எஃப்)) ஐ முன்பு போலவே வரையறுக்கலாம், ஆனால் Z2 ஹோமோலஜியில் அடிப்படை வகுப்பை எடுத்துக் கொள்ளலாம். இந்த விஷயத்தில் டிக 2 (எஃப்) என்பது இசட் 2 இன் ஒரு உறுப்பு (இரண்டு கூறுகளைக் கொண்ட புலம்), பன்மடங்கு திசையில் இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை, மேலும் n என்பது முன்பு போலவே p இன் முன் உருவங்களின் எண்ணிக்கையாக இருந்தால், டிக 2 (எஃப்) என்பது n மாடுலோ 2 ஆகும். வேறுபட்ட வடிவங்களின் ஒருங்கிணைப்பு (சி-) ஒருமை ஒத்தவியல் மற்றும் டி ராம் கோஹோமோலஜி இடையே ஒரு இணைப்பை வழங்குகிறதுஃ, இங்கு ஒரு சுழற்சியால் குறிக்கப்படும் ஒரு ஹோமோலஜி வகுப்பு மற்றும் டி ராம் கோஹோமோலஜி வகுப்பைக் குறிக்கும் ஒரு மூடிய வடிவம். ஒரு மென்மையான வரைபடத்திற்கு f: X → Y திசைதிருப்பக்கூடிய m-மேனிஃபோல்டுகளுக்கு இடையில், f ≤ மற்றும் f ≤ முறையே சங்கிலிகள் மற்றும் வடிவங்களில் தூண்டப்பட்ட வரைபடங்கள் உள்ளன. f ிற [X] = டிகிரி f· [Y] என்பதால், Y இல் எந்த m-வடிவத்திற்கும் ω உள்ளது. மூடிய பிராந்தியத்திலிருந்து வரைபடங்கள் ஒரு எல்லைக்குட்பட்ட பகுதி என்றால், மென்மையானது, ஒரு வழக்கமான மதிப்பு மற்றும், பின்னர் டிகிரி என்பது ஜாகோபியன் மேட்ரிக்ஸ் எங்கே என்ற சூத்திரத்தால் வரையறுக்கப்படுகிறது. டிகிரியின் இந்த வரையறை இயற்கையாகவே ஒழுங்கற்ற மதிப்புகளுக்கு நீட்டிக்கப்படலாம், அதாவது ஒரு புள்ளி எங்கே நெருக்கமாக உள்ளது. பட்டம் பின்வரும் பண்புகளை திருப்திப்படுத்துகிறதுஃ என்றால், அது போன்ற ஒன்று உள்ளது. எல்லோருக்கும். சிதைவு பண்புஃ மற்றும் ஆகியவற்றின் வேறுபட்ட பகுதிகளாக இருந்தால். ஹோமோடோபி இன்வேரியன்ஸ்ஃ ஒரு ஹோமோடோபி வழியாக ஹோமோடோபி சமமானதாக இருந்தால் மற்றும், பின்னர் செயல்பாடு உள்ளூரில் நிலையானது இந்த பண்புகள் டிகிரியை தனித்துவமாக வகைப்படுத்துகின்றன, மேலும் டிகிரியை அவற்றால் ஒரு தன்னியக்க வழியில் வரையறுக்கலாம். இதேபோல், எல்லையுடன் கச்சிதமான நோக்குடைய பன்மடங்கு இடையே ஒரு வரைபடத்தின் அளவை நாம் வரையறுக்க முடியும். பண்புகள் ஒரு வரைபடத்தின் அளவு ஒரு ஹோமோடாபி மாறாதது; மேலும் கோளத்திலிருந்து தனக்குத் தானே தொடர்ச்சியான வரைபடங்களுக்கு இது ஒரு முழுமையான ஹோமோடாபி மாறாதது, அதாவது. இரண்டு வரைபடங்கள் ஒரே மாதிரியாக இருந்தால் மட்டுமே இருக்கும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், டிகிரி என்பது மற்றும் இடையே ஒரு ஐசோமார்பிசம் ஆகும். மேலும், ஹோப்ஃப் தேற்றம் எந்தவொரு பரிமாண மூடிய நோக்குடைய பன்மடங்கு M க்கும், n-கோளத்தின் ஒரு சுய வரைபடம் n + 1-பந்தில் இருந்து n-கோளத்திற்கு ஒரு வரைபடத்திற்கு நீட்டிக்கப்பட்டால் மட்டுமே இரண்டு வரைபடங்கள் ஹோமோடோபிக் என்று கூறுகிறது. (இங்கே செயல்பாடு F என்பது F இன் கட்டுப்பாடு என்ற பொருளில் f ஐ நீட்டிக்கிறது.) டிகிரியைக் கணக்கிடுவது ஒரு n-பரிமாண பெட்டி B (n இடைவெளிகளின் பெருக்கல்) இலிருந்து f வரை தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டின் இடவியல் டிகிரி டிகிரி டிகிரி (f, B, 0) ஐக் கணக்கிடுவதற்கான ஒரு வழிமுறை உள்ளது, அங்கு f எண்கணித வெளிப்பாடுகளின் வடிவத்தில் வழங்கப்படுகிறது. படிப்பை கணக்கிடுவதற்கான மென்பொருள் கருவியான டாப்டெக்கில் (எல். ஜி. பி. எல்-3) இந்த வழிமுறையை செயல்படுத்துவது கிடைக்கிறது. கவரிங் எண்ணையும் பார்க்கவும், இதே போன்ற பெயரிடப்பட்ட சொல். இது முறுக்கு எண்ணை பொதுமைப்படுத்தவில்லை என்பதை நினைவில் கொள்க, ஆனால் பந்துகள் அடர்த்தி (பாலிடோப்), ஒரு பாலிஹெட்ரல் அனலாக் டோபோலாஜிக்கல் டிகிரி கோட்பாடு குறிப்புகள் குறிப்புகள் வெளிப்புற இணைப்புகள் மூலம் ஒரு தொகுப்பின் அட்டைகளை விவரிக்கிறது. இயற்கணித இடவியல் வேறுபட்ட இடவியல் தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளின் கோட்பாடு