Rotation system
ஒருங்கிணைந்த கணிதத்தில், சுழற்சி அமைப்புகள் (ஒருங்கிணைந்த உட்பொதிப்புகள் அல்லது ஒருங்கிணைந்த வரைபடங்கள் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன) ஒவ்வொரு முனையையும் சுற்றியுள்ள வரைபடத்தின் விளிம்புகளின் வட்ட வரிசையை விவரிப்பதன் மூலம் திசைதிருப்பக்கூடிய மேற்பரப்புகளில் வரைபடங்களின் உட்பொதிப்புகளை குறியாக்கம் செய்கின்றன. ஒரு சுழற்சி முறையின் மிகவும் முறையான வரையறை ஜோடி வரிசைமாற்றங்களை உள்ளடக்கியது; அத்தகைய ஜோடி ஒரு பன்மடங்கு, ஒரு மேற்பரப்பு மற்றும் மேற்பரப்பில் பன்மடங்கு உட்பொதிக்கப்பட்ட 2-செல் ஆகியவற்றை தீர்மானிக்க போதுமானது. ஒவ்வொரு சுழற்சி திட்டமும் ஒரு மூடிய நோக்குடைய மேற்பரப்பில் (நோக்குநிலை-பாதுகாக்கும் இடவியல் சமநிலை வரை) இணைக்கப்பட்ட பன்மடங்கு ஒரு தனித்துவமான 2-செல் உட்பொதிப்பை வரையறுக்கிறது. மாறாக, ஒரு சார்ந்த மூடிய மேற்பரப்பில் இணைக்கப்பட்ட மல்டி கிராஃபிக் ஜி இன் எந்தவொரு உட்பொதிப்பும் ஜி-ஐ அதன் அடிப்படை மல்டி கிராஃபிக் ஆகக் கொண்ட ஒரு தனித்துவமான சுழற்சி அமைப்பை வரையறுக்கிறது. சுழற்சி அமைப்புகளுக்கும் 2-செல் உட்பொதிப்புகளுக்கும் இடையிலான இந்த அடிப்படை சமநிலை முதன்முதலில் 1890 களில் லோதர் ஹெஃப்டரால் இரட்டை வடிவத்தில் தீர்க்கப்பட்டது மற்றும் 1950 களில் ரிங்கெல் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்பட்டது. சுயாதீனமாக, எட்மண்ட்ஸ் தேற்றத்தின் முதன்மையான வடிவத்தை வழங்கினார், மேலும் அவரது ஆய்வின் விவரங்கள் யங்ஸால் பிரபலப்படுத்தப்பட்டுள்ளன. பன்முகக் கல்விகளுக்கான பொதுமைப்படுத்தல் கிராஸ் மற்றும் ஆல்பர்ட் ஆகியோரால் வழங்கப்பட்டது. சுழற்சி அமைப்புகள் ரெய்ன்கோல்ட் மற்றும் பலர் பயன்படுத்திய சுழற்சி வரைபடங்களுடன் தொடர்புடையவை, ஆனால் ஒரே மாதிரியானவை அல்ல. (2002) வரைபடங்களின் ஜிக்-ஜாக் தயாரிப்பை வரையறுக்க. ஒரு சுழற்சி அமைப்பு ஒவ்வொரு உச்சியையும் சுற்றியுள்ள விளிம்புகளின் வட்ட வரிசையைக் குறிப்பிடுகிறது, அதே நேரத்தில் ஒரு சுழற்சி வரைபடம் ஒவ்வொரு உச்சியிலும் விளிம்புகளின் (வட்டமற்ற) வரிசைமாற்றத்தைக் குறிப்பிடுகிறது. கூடுதலாக, எந்த வரைபடத்திற்கும் சுழற்சி அமைப்புகளை வரையறுக்கலாம், அதே நேரத்தில் ரெய்ங்கோல்ட் மற்றும் பலர். அவற்றை வரையறுக்க சுழற்சி வரைபடங்கள் வழக்கமான வரைபடங்களுக்கு மட்டுப்படுத்தப்பட்டுள்ளன. முறையான வரையறை முறைப்படி, ஒரு சுழற்சி அமைப்பு ஒரு ஜோடி (σ, θ) என வரையறுக்கப்படுகிறது, அங்கு σ மற்றும் θ ஆகியவை ஒரே தரை தொகுப்பு B இல் செயல்படும் வரிசைமாற்றங்கள், θ என்பது ஒரு நிலையான-புள்ளி-இல்லாத ஈடுபாடு, மற்றும் σ மற்றும் θ ஆல் உருவாக்கப்படும் குழு <σ, θ> B இல் இடைநிலை ரீதியாக செயல்படுகிறது. ஒரு நோக்குநிலை மேற்பரப்பில் இணைக்கப்பட்ட பன்மடங்கு G இன் 2-செல் உட்பொதிப்பிலிருந்து ஒரு சுழற்சி முறையைப் பெற, B என்பது G இன் டார்ட்ஸ் (அல்லது கொடிகள் அல்லது அரை முனைகள்) கொண்டிருக்கட்டும்; அதாவது, G இன் ஒவ்வொரு விளிம்பிற்கும் நாம் B இன் இரண்டு கூறுகளை உருவாக்குகிறோம், விளிம்பின் ஒவ்வொரு இறுதிப் புள்ளிக்கும் ஒன்று. ஒரு விளிம்பில் அதன் இரண்டு இறுதிப் புள்ளிகளும் ஒரே உச்சியைக் கொண்டிருந்தாலும், அந்த விளிம்பிற்கு இரண்டு டார்ட்களை உருவாக்குகிறோம். நாம் θ (b) ஐ b இன் அதே விளிம்பில் இருந்து உருவாக்கப்பட்ட மற்ற டார்ட்டாக இருக்க அனுமதிக்கிறோம்; இது தெளிவாக நிலையான புள்ளிகள் இல்லாத ஒரு இன்வொல்யூஷன் ஆகும். நாம் σ (b) ஐ கடிகார திசையில் உள்ள டார்ட்டாக இருக்க அனுமதிக்கிறோம், அதே உச்சியில் ஏற்படும் விளிம்புகளின் சுழற்சி வரிசையில் b இலிருந்து, அங்கு "கடிகார திசையில்" மேற்பரப்பின் நோக்குநிலையால் வரையறுக்கப்படுகிறது. ஒரு பன்முகக் கல்வெட்டு ஒரு நோக்குநிலை ஆனால் நோக்குநிலை இல்லாத மேற்பரப்பில் உட்பொதிக்கப்பட்டிருந்தால், அது பொதுவாக இரண்டு சுழற்சி அமைப்புகளுடன் ஒத்திருக்கிறது, மேற்பரப்பின் இரண்டு நோக்குநிலைகளில் ஒவ்வொன்றிற்கும் ஒன்று. இந்த இரண்டு சுழற்சி அமைப்புகளும் ஒரே ஊடுருவல் θ ஐக் கொண்டுள்ளன, ஆனால் ஒரு சுழற்சி அமைப்பிற்கான வரிசைமாற்ற σ மற்ற சுழற்சி அமைப்பிற்கான தொடர்புடைய வரிசைமாற்றத்தின் தலைகீழ் ஆகும். சுழற்சி அமைப்பிலிருந்து உட்பொதிப்பை மீட்டெடுப்பது ஒரு சுழற்சி அமைப்பிலிருந்து ஒரு பன்முகத்தை மீட்டெடுக்க, σ இன் ஒவ்வொரு சுற்றுப்பாதைக்கும் ஒரு உச்சியையும், θ இன் ஒவ்வொரு சுற்றுப்பாதைக்கும் ஒரு விளிம்பையும் உருவாக்குகிறோம். இந்த இரண்டு சுற்றுப்பாதைகளும் காலியாக இல்லாத குறுக்குவெட்டைக் கொண்டிருந்தால் ஒரு உச்சி ஒரு விளிம்புடன் நிகழும். எனவே, ஒரு உச்சியில் நிகழும் நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கை என்பது சுற்றுப்பாதையின் அளவு மற்றும் ஒரு விளிம்பில் நிகழும் நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கை சரியாக இரண்டு ஆகும். ஒரு சுழற்சி அமைப்பு ஒரு இணைக்கப்பட்ட மல்டி கிராஃபிக் ஜி இன் 2-செல் உட்பொதிப்பிலிருந்து பெறப்பட்டால், சுழற்சி அமைப்பிலிருந்து பெறப்பட்ட வரைபடம் ஜி க்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும். ஒரு சுழற்சி அமைப்பிலிருந்து பெறப்பட்ட வரைபடத்தை ஒரு மேற்பரப்பில் உட்பொதிக்க, ஒவ்வொரு சுற்றுப்பாதைக்கும் ஒரு வட்டை உருவாக்கவும் σθ, மற்றும் ஈ உடன் தொடர்புடைய இரண்டு டார்ட்ஸ் இந்த வட்டுகளுடன் தொடர்புடைய இரண்டு சுற்றுப்பாதைகளைச் சேர்ந்திருக்கும் போதெல்லாம் ஒரு விளிம்பில் இரண்டு வட்டுகளை ஒன்றாக ஒட்டவும். இதன் விளைவாக பெறப்பட்ட பல எழுத்துக்களின் 2-செல் உட்பொதிப்பாகும், அவற்றில் இரண்டு செல்கள் σθ இன் சுற்றுப்பாதைகளுடன் தொடர்புடைய வட்டுகளாகும். இந்த உட்பொதிப்பின் மேற்பரப்பு ஒவ்வொரு முனையையும் சுற்றியுள்ள விளிம்புகளின் கடிகார திசையில் வரிசைப்படுத்துவது σ ஆல் கொடுக்கப்பட்ட கடிகார திசையில் வரிசைப்படுத்தப்படுவதைப் போலவே இருக்கும் வகையில் நோக்கலாம். உட்பொதிப்பின் மேற்பரப்பை வகைப்படுத்துவது யூலர் சூத்திரத்தின் படி சுழற்சி அமைப்பால் வரையறுக்கப்பட்ட மூடிய நோக்குநிலை மேற்பரப்பின் ஜி இனத்தை நாம் கண்டுபிடிக்க முடியும் (அதாவது, அடிப்படை பன்மடங்கு உட்பொதிக்கப்பட்ட மேற்பரப்பு). அதைக் கவனியுங்கள், மற்றும். வரிசைமாற்றத்தின் சுற்றுப்பாதைகளின் தொகுப்பை எங்கே குறிக்கிறது என்பதை நாம் காண்கிறோம். மேலும் காண்க ஒருங்கிணைந்த வரைபடம் குறிப்புகள் குறிப்புகள். இடவியல் வரைபடக் கோட்பாடு