Cayley–Bacharach theorem
கணிதத்தில், கெய்லி-பச்சராக் தேற்றம் என்பது ப்ரொஜெக்டிவ் பிளேனில் கியூபிக் வளைவுகள் (டிகிரி மூன்று தள வளைவுகள்) பற்றிய ஒரு அறிக்கையாகும். அசல் வடிவம் கூறுகிறதுஃ இரண்டு கனசதுரங்கள் மற்றும் ப்ரொஜெக்டிவ் பிளேனில் ஒன்பது (வெவ்வேறு) புள்ளிகளில் சந்திக்கின்றன என்று வைத்துக்கொள்வோம், அவை பொதுவாக ஒரு இயற்கணித மூடிய புலத்தின் மீது சந்திக்கின்றன. பின்னர் ஏதேனும் எட்டு புள்ளிகளைக் கடந்து செல்லும் ஒவ்வொரு கனசதுரமும் ஒன்பதாவது புள்ளியைக் கடந்து செல்கிறது. கெய்லி-பச்சராக் தேற்றத்தின் மிகவும் உள்ளார்ந்த வடிவம் பின்வருமாறு கூறுகிறதுஃ கொடுக்கப்பட்ட எட்டு புள்ளிகளின் தொகுப்பின் வழியாகச் செல்லும் இயற்கணித ரீதியாக மூடப்பட்ட புலத்தின் மீது உள்ள ஒவ்வொரு கன வளைவும் ஒன்பதாவது புள்ளியின் வழியாக (பெருக்கங்களை எண்ணும்) செல்கிறது, இது மட்டுமே சார்ந்துள்ளது. கோனிக்ஸ் தொடர்பான ஒரு தொடர்புடைய முடிவு முதலில் பிரெஞ்சு புவியியலாளர் மைக்கேல் சாஸ்ல்ஸால் நிரூபிக்கப்பட்டது, பின்னர் ஆர்தர் கெய்லி மற்றும் ஐசக் பச்சராக் ஆகியோரால் கியூபிக்ஸ் என்று பொதுமைப்படுத்தப்பட்டது. ஏழு புள்ளிகள் ஒரு கூம்பு மீது இருந்தால், ஒன்பதாவது புள்ளியை அந்த கூம்பு மீது தேர்வு செய்யலாம், ஏனெனில் எப்போதும் பெஸௌட்டின் தேற்றத்தின் காரணமாக முழு கூம்பு இருக்கும். மற்ற சந்தர்ப்பங்களில், நம்மிடம் பின்வருவன உள்ளன. எந்த ஏழு புள்ளிகளும் இணை-கூம்பு புள்ளிகளாக இல்லாவிட்டால், (இன் அஃபைன் கூம்புகள்) (இரட்டை புள்ளிகளுக்கு பெருக்கத்துடன்) மறைந்துவிடும் கன ஒரே மாதிரியான பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் திசையன் இடைவெளி பரிமாணம் இரண்டைக் கொண்டுள்ளது. அப்படியானால், ஒவ்வொரு கனசதுரமும் எந்த இரண்டு வெவ்வேறு கனசதுரங்களின் குறுக்குவெட்டு வழியாகவும் செல்கிறது, இது பெஸௌட்டின் தேற்றத்தின் காரணமாக குறைந்தது ஒன்பது புள்ளிகளைக் (இயற்கணித மூடலுக்கு மேல்) கொண்டுள்ளது. இந்த புள்ளிகளை மட்டுமே உள்ளடக்க முடியாது, இது நமக்குத் தருகிறது. சீரழிந்த கூம்புகள் அதிகபட்சம் இரண்டு கோடுகளின் சங்கமமாக இருப்பதால், சீரழிந்த கூம்பில் ஏழு புள்ளிகளில் நான்கு புள்ளிகள் எப்போதும் கொலினியராக இருக்கும். இதன் விளைவாகஃ சிதைக்கப்படாத கூம்பு மீது ஏழு புள்ளிகள் இல்லை என்றால், ஒரு கோட்டில் நான்கு புள்ளிகள் இல்லை என்றால், (அஃபைன் கூம்புகள்) மறைந்துவிடும் கனசதுர ஒரே மாதிரியான பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் திசையன் இடைவெளி பரிமாணம் இரண்டைக் கொண்டுள்ளது. மறுபுறம், அவை கொலினியர் என்று வைத்துக்கொள்வோம், அவற்றில் ஏழு புள்ளிகள் இணை-கோனிக் அல்ல. பின்னர் ஐந்து புள்ளிகள் மற்றும் மூன்று புள்ளிகள் கோலினியர் அல்ல. பெஸௌட்டின் தேற்றத்தின் காரணமாக முழு கோடும் எப்போதும் இருக்கும் என்பதால், (அஃபைன் கூம்புகள்) மீது மறைந்துபோகும் கன ஒரே மாதிரியான பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் திசையன் இடைவெளி இருபடி ஒரே மாதிரியான பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் திசையன் இடைவெளிக்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும், அவை மறைந்துவிடும் (அஃபைன் கூம்புகள்), இது பரிமாணம் இரண்டு. இரண்டு பரிமாண முடிவுகளுக்கான நிபந்தனைகளின் தொகுப்புகள் வேறுபட்டிருந்தாலும், அவை இரண்டும் முழு பொது நிலைகளை விட கண்டிப்பாக பலவீனமானவைஃ மூன்று புள்ளிகள் கொலினியராக இருக்க அனுமதிக்கப்படுகிறது, மேலும் ஆறு புள்ளிகள் ஒரு கூம்பு மீது இருக்க அனுமதிக்கப்படுகிறது (பொதுவாக இரண்டு புள்ளிகள் ஒரு கோட்டை தீர்மானிக்கின்றன, ஐந்து புள்ளிகள் ஒரு கூம்பு தீர்மானிக்கின்றன). கெய்லி-பச்சராக் தேற்றத்தைப் பொறுத்தவரை, ஒற்றை புள்ளியைக் கடந்து செல்வதை விட, ஒன்பது புள்ளிகளைக் கடந்து செல்லும் கனசதுரங்களின் குடும்பத்தைக் கொண்டிருப்பது அவசியம். பெஸௌட்டின் தேற்றத்தின்படி, இயற்கணித ரீதியாக மூடப்பட்ட புலத்தின் மீது இரண்டு வெவ்வேறு கன வளைவுகள், பொதுவான பகுக்கமுடியாத கூறு இல்லாதவை சரியாக ஒன்பது புள்ளிகளில் சந்திக்கின்றன (பெருக்கத்துடன் கணக்கிடப்படுகின்றன). எட்டு குறுக்குவெட்டு புள்ளிகள் (ஏழு இணை-கூம்பு புள்ளிகள் இல்லாமல்) ஏற்கனவே பரிந்துரைக்கப்பட்டிருந்தால், வளைவுகளின் குடும்பத்தில் உள்ள எந்த இரண்டு உறுப்பினர்களின் குறுக்குவெட்டின் கடைசி புள்ளி நகராது என்று கெய்லி-பச்சராக் தேற்றம் வலியுறுத்துகிறது. பயன்பாடுகள் ஒரு சிறப்பு வழக்கு பாஸ்கலின் தேற்றம், இந்த விஷயத்தில் கேள்விக்குரிய இரண்டு கனசதுரங்கள் அனைத்தும் சீரழிந்துவிட்டனஃ ஒரு கூம்பு (ஒரு அறுகோண) மீது ஆறு புள்ளிகள் கொடுக்கப்பட்டால், எதிர் பக்கங்களை நீட்டிப்பதன் மூலம் பெறப்பட்ட கோடுகளைக் கவனியுங்கள்-இது தலா மூன்று கோடுகள் கொண்ட இரண்டு கனசதுரங்களை வழங்குகிறது, இது 9 புள்ளிகளில் வெட்டுகிறது-கூம்பு மீது 6 புள்ளிகள், மற்றும் 3 பிற. இந்த 3 கூடுதல் புள்ளிகள் ஒரு கோட்டில் உள்ளன, ஏனெனில் கூம்பு மற்றும் ஏதேனும் இரண்டு புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் கோடு 8 புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் ஒரு கனசதுரமாகும். இரண்டாவது பயன்பாடு பாப்பஸின் அறுகோண தேற்றம் ஆகும், இது மேலே உள்ளதைப் போன்றது, ஆனால் ஆறு புள்ளிகள் ஒரு கூம்புக்கு பதிலாக இரண்டு கோடுகளில் உள்ளன. இறுதியாக, நீள்வட்ட வளைவு புள்ளி கூட்டலின் இணைப்பை நிரூபிக்க மூன்றாவது வழக்கு கண்டறியப்பட்டுள்ளது. முதல் கனசதுரம் BC, O (A + B) மற்றும் A (B + C) ஆகிய மூன்று கோடுகளையும், இரண்டாவது கனசதுரம் AB, O (B + C) மற்றும் C (A + B) ஆகிய மூன்று கோடுகளையும் கொண்டிருக்கட்டும். பின்வரும் எட்டு புள்ளிகள் இரண்டு கனசதுரங்களுக்கும் பொதுவானவைஃ A, B, C, A + B,-A-B, B + C,-B-C, O. எனவே அவற்றின் ஒன்பதாவது புள்ளிகள் ஒரே மாதிரியாக இருக்க வேண்டும்-A-(B + C) =-(A + B)-C. பரிமாண எண்ணிக்கையால் கெய்லி-பச்சராக் தேற்றத்தையும், அது டிகிரி 3 க்கு ஏன் எழுகிறது என்பதையும் புரிந்து கொள்ள முடியும். எளிமையாகச் சொன்னால், ஒன்பது புள்ளிகள் ஒரு கனசதுரத்தை தீர்மானிக்கின்றன, ஆனால் பொதுவாக ஒரு தனித்துவமான கனசதுரத்தை வரையறுக்கின்றன. எனவே ஒன்பது புள்ளிகள் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட கனசதுரத்தில் இருந்தால், இரண்டு கனசதுரங்களின் (அஸ்) குறுக்குவெட்டில் சமமாக இருந்தால், அவை பொதுவான நிலையில் இல்லை-அவை ஒரு பரிமாணத்தால் மிகைப்படுத்தப்படுகின்றன-இதனால் அவற்றின் வழியாகச் செல்லும் கனசதுரங்கள் ஒரு கூடுதல் தடையை பூர்த்தி செய்கின்றன, இது "எட்டு என்பது ஒன்பது" பண்பைக் குறிக்கிறது. பொதுவான நிகழ்வு மிகைப்பன்மை என்று அழைக்கப்படுகிறது; மேற்பரப்புகளுக்கான ரீமன்-ரோச் தேற்றத்தைப் பார்க்கவும். முறைப்படி, இரண்டு டிகிரி வளைவுகளைக் கொடுத்தால், அவை வரையறுக்கும் சமன்பாடுகளின் ப்ரொஜெக்டிவ் லீனியர் சேர்க்கைகளை எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம் டிகிரி வளைவுகளின் பென்சிலை (ஒரு அளவுரு லீனியர் சிஸ்டம்) வரையறுக்கின்றன என்பதை முதலில் நினைவில் கொள்ளுங்கள்; இது வளைவுகளின் அளவுரு இடத்தில் ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் கோட்டை தீர்மானிக்கும் இரண்டு புள்ளிகளுக்கு ஒத்திருக்கிறது, இது வெறுமனே ப்ரொஜெக்டிவ் ஸ்பேஸ் ஆகும். கெய்லி-பேசராக் தேற்றம் உயர் டிகிரிக்கு எழுகிறது, ஏனெனில் டிகிரியின் இரண்டு வளைவுகளின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை, அதாவது (பெஸௌட்டின் தேற்றத்தால்), டிகிரியின் வளைவை வரையறுக்கத் தேவையான புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையை விட வேகமாக வளர்கிறது. விரிவாக, டிகிரி வளைவைத் தீர்மானிக்கத் தேவையான புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை டிகிரியின் மோனாமியல்களின் எண்ணிக்கை, ப்ரொஜெக்டிவைசேஷனில் இருந்து கழித்தல் 1 ஆகும். முதல் சில புள்ளிகளுக்கு இந்த விளைச்சல்ஃ 2 மற்றும் 1: இரண்டு புள்ளிகள் ஒரு கோட்டை தீர்மானிக்கின்றன, இரண்டு கோடுகள் ஒரு புள்ளியில் வெட்டுகின்றன, 5 மற்றும் 4: ஐந்து புள்ளிகள் ஒரு கூம்பு தீர்மானிக்கின்றன, இரண்டு கூம்பு நான்கு புள்ளிகளில் வெட்டுகின்றன, 9 மற்றும் 9: ஒன்பது புள்ளிகள் ஒரு கனசதுரத்தை தீர்மானிக்கின்றன, இரண்டு கனசதுரங்கள் ஒன்பது புள்ளிகளில் வெட்டுகின்றன, 14 மற்றும் 16. எனவே இவை முதலில் 3 க்கு உடன்படுகின்றன, மேலும் குறுக்குவெட்டுகளின் எண்ணிக்கை எப்போது அதிகமாக இருக்கும். இதன் பொருள் என்னவென்றால், இரண்டு கனசதுரங்களின் குறுக்குவெட்டின் 9 புள்ளிகள் கனசதுரங்களைப் பொறுத்தவரை சிறப்பு நிலையில் உள்ளன, உயர் டிகிரிக்கு ஒரு ஃபோர்டியோரி, ஆனால் குறைந்த டிகிரியைப் போலல்லாமல்ஃ இரண்டு கோடுகள் ஒரு புள்ளியில் வெட்டுகின்றன, இது பொதுவான நேரியல் நிலையில் அற்பமானது, மேலும் இரண்டு நாற்கரங்கள் நான்கு புள்ளிகளில் வெட்டுகின்றன, அவை (நாற்கரங்கள் பகுக்கமுடியாதவை என்று கருதி மூன்று புள்ளிகள் கோலினியர் அல்ல) பொதுவாக நாற்கர நிலையில் உள்ளன, ஏனெனில் ஐந்து புள்ளிகள் ஒரு நாற்கரத்தை தீர்மானிக்கின்றன, மேலும் எந்த நான்கு புள்ளிகளும் (பொதுவாக நேரியல் நிலையில்) அவற்றின் வழியாக நாற்கரத்தின் பென்சில் கொண்டுள்ளன, ஏனெனில் அமைப்பு குறைவாக தீர்மானிக்கப்படுகிறது. கனசதுரங்களைப் பொறுத்தவரை, ஒன்பது புள்ளிகள் ஒரு கனசதுரத்தை தீர்மானிக்கின்றன, ஆனால் பொதுவாக அவை ஒரு தனித்துவமான கனசதுரத்தை தீர்மானிக்கின்றன-இதனால் இரண்டு வெவ்வேறு கனசதுரங்கள் அவற்றின் வழியாகச் செல்வது (இதனால் ஒரு பென்சில்) சிறப்பு வாய்ந்தது-கரைசல் இடம் எதிர்பார்த்ததை விட ஒரு பரிமாணம் அதிகமாக உள்ளது, இதனால் தீர்வுகள் பூர்த்தி செய்கின்றன கூடுதல் கட்டுப்பாடு, அதாவது "8 என்பது 9" பண்பைக் குறிக்கிறது. மேலும் திட்டவட்டமாக, மூன்று மாறிகளில் மூன்று டிகிரி கொண்ட ஒரே மாதிரியான பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் திசையன் இடைவெளி பரிமாணத்தைக் கொண்டிருப்பதால், எட்டு (வெவ்வேறு) புள்ளிகளைக் கடந்து செல்லும் கனசதுர வளைவுகளின் அமைப்பு பரிமாணத்தின் திசையன் இடைவெளியால் அளவிடப்படுகிறது (ஒரு கட்டத்தில் பல்லுறுப்புக்கோவை மறைந்துவிடுவது ஒற்றை நேரியல் நிபந்தனையை விதிக்கிறது). நான்கு புள்ளிகள் கோலினியராக இல்லாவிட்டாலும், ஒரு கூம்பு மீது ஏழு புள்ளிகள் இல்லாவிட்டாலும் பரிமாணம் சரியாக இரண்டு என்பதைக் காட்டலாம். இந்த உண்மையிலிருந்து கெய்லி-பச்சராக் தேற்றத்தைக் கணிக்க முடியும். மேலும் காண்க லீனியர் சிஸ்டம் ஆஃப் டிவைசர்ஸ் குறிப்புகள் அடிக்குறிப்புகள் நூலியல் மைக்கேல் சாஸ்லெஸ், ட்ரேட் டெஸ் செக்ஷன்ஸ் கோனிக், கௌதியர்-வில்லர்ஸ், பாரிஸ், 1885. எட்வர்ட் டி. டேவிஸ், அந்தோனி வி. ஜெரமிட்டா, மற்றும் ஃபெருசியோ ஓரெச்சியா, கோரென்ஸ்டைன் ஆல்ஜிப்ராஸ் மற்றும் கெய்லி-பச்சராக் தேற்றம், அமெரிக்க கணித சங்கத்தின் செயல்முறைகள் 93 (1985), 593-597. டேவிட் ஐசென்பட், மார்க் கிரீன் மற்றும் ஜோ ஹாரிஸ், கெய்லி-பச்சராக் கோட்பாடுகள் மற்றும் அனுமானங்கள், புல்லட்டின் ஆஃப் தி அமெரிக்கன் மேத்தமேட்டிக்கல் சொசைட்டி 33 (1996), எண். 3, 295-324. இயற்கணித வளைவுகளில் உள்ள தேற்றம் அலைவரிசை வடிவவியலில் உள்ள தேற்றம் இயற்கணித வடிவவியலில் உள்ள தேற்றம்