Vector fields on spheres
கணிதத்தில், கோளங்களில் திசையன் புலங்களைப் பற்றிய விவாதம் வேறுபட்ட இடவியலின் ஒரு பாரம்பரிய சிக்கலாகும், இது ஹேரி பந்து தேற்றத்துடன் தொடங்கி, பிரிவு ஆல்ஜிப்ராக்களின் வகைப்பாட்டின் ஆரம்பகால வேலை. குறிப்பாக, கேள்வி என்னவென்றால், பரிமாண யூக்ளிடியன் இடத்தில் ஒரு கோளத்தில் எத்தனை நேரியல் சுயாதீனமான மென்மையான எங்கும் பூஜ்ஜிய திசையன் புலங்களை உருவாக்க முடியும். 1962 ஆம் ஆண்டில் ஃபிராங்க் ஆடம்ஸ் ஒரு உறுதியான பதிலை வழங்கினார். கிளிஃபோர்ட் ஆல்ஜிப்ராக்களைப் பயன்படுத்தி நேரடி கட்டுமானத்தின் மூலம், குறைந்தபட்சம் அத்தகைய புலங்கள் இருந்தன என்பது ஏற்கனவே அறியப்பட்டது (கீழே உள்ள வரையறையைப் பார்க்கவும்). ஆடம்ஸ் ஹோமோடோபி கோட்பாடு மற்றும் இடவியல் கே-கோட்பாட்டைப் பயன்படுத்தி மேலும் சுயாதீனமான திசையன் புலங்களைக் கண்டுபிடிக்க முடியவில்லை என்பதை நிரூபித்தார். எனவே ஒரு () பரிமாண கோளத்தில் இருக்கும் புள்ளி வாரியாக நேரியல் சுயாதீனமான திசையன் புலங்களின் சரியான எண்ணிக்கை. தொழில்நுட்ப விவரங்கள் விரிவாக, இந்த கேள்வி 'வட்ட கோளங்கள்' மற்றும் அவற்றின் தொடுகோடு மூட்டைகளுக்கு பொருந்தும்ஃ உண்மையில் அனைத்து கவர்ச்சியான கோளங்களும் ஐசோமார்பிக் தொடுகோடு மூட்டைகளைக் கொண்டிருப்பதால், ரேடான்-ஹர்விட்ஸ் எண்கள் எந்தவொரு ஒரே மாதிரியான கோளத்தின் தொடுகோடு மூட்டையின் அதிகபட்ச நேரியல் சுயாதீன பிரிவுகளை தீர்மானிக்கின்றன. ஒற்றைப்படை வழக்கு பாயின்கேர்-ஹாப் குறியீட்டு தேற்றத்தால் கவனிக்கப்படுகிறது (ஹேர் பந்து தேற்றத்தைப் பார்க்கவும்), எனவே வழக்கு ஈவன் அதன் நீட்டிப்பாகும். ()-கோளத்தில் புள்ளி வாரியாக நேரியல்-சுயாதீன திசையன் புலங்களின் அதிகபட்ச தொடர்ச்சியான (மென்மையானது இங்கே வேறுபட்டதாக இருக்காது) சரியாக உள்ளது என்று ஆடம்ஸ் காட்டினார். புலங்களின் கட்டுமானம் உண்மையான கிளிஃபோர்ட் ஆல்ஜிப்ராக்களுடன் தொடர்புடையது, இது ஒரு காலமுறை மாடுலோ 8 கொண்ட ஒரு கோட்பாடாகும், இது இங்கேயும் காட்டப்படுகிறது. கிராம்-ஷ்மிட் செயல்முறையின் மூலம், (புள்ளி வாரியாக) நேரியல் சுதந்திரம் அல்லது ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் ஒரு ஆர்த்தோனார்மல் அடிப்படையைக் கொடுக்கும் புலங்களைக் கேட்பது ஒன்றே. ரேடான்-ஹர்விட்ஸ் எண்கள் ரேடான்-ஹர்விட்ஸ் எண்கள் இருபடி வடிவங்களில் ஹர்விட்ஸ் சிக்கல் குறித்து ஜோஹன் ரேடான் (1922) மற்றும் அடால்ஃப் ஹர்விட்ஸ் (1923) ஆகியோரின் முந்தைய படைப்புகளில் காணப்படுகின்றன. ஒற்றைப்படை எண் மற்றும் இருவரின் சக்தி ஆகியவற்றின் பெருக்கலாக எழுதப்பட்டால், எழுதுங்கள். பிறகு. முதல் சில மதிப்புகள் (முதல்): 2,4,2,8,2,4,2,9,2,4,2,8,2,4,2,10,. ஒற்றைப்படை என்றால், செயல்பாட்டின் மதிப்பு ஒன்று. இந்த எண்கள் பிற தொடர்புடைய பகுதிகளிலும் நிகழ்கின்றன. மேட்ரிக்ஸ் கோட்பாட்டில், ரேடான்-ஹர்விட்ஸ் எண் உண்மையான மேட்ரிக்ஸின் நேரியல் துணை இடத்தின் அதிகபட்ச அளவைக் கணக்கிடுகிறது, இதற்காக ஒவ்வொரு பூஜ்ஜியமற்ற மேட்ரிக்ஸும் ஒரு ஒற்றுமை மாற்றமாகும், அதாவது. ஒரு ஆர்த்தோகனல் மேட்ரிக்ஸ் மற்றும் ஒரு ஸ்கேலார் மேட்ரிக்ஸின் பெருக்கல். இருபடி வடிவங்களில், ஹர்விட்ஸ் சிக்கல் இருபடி வடிவங்களுக்கு இடையில் பெருக்க அடையாளங்களைக் கேட்கிறது. கிளாசிக்கல் முடிவுகள் 1952 இல் பெனோ எக்மேனால் மறுபரிசீலனை செய்யப்பட்டன. அவை இப்போது குறியீட்டு கோட்பாடு மற்றும் கோட்பாட்டு இயற்பியல் உள்ளிட்ட பகுதிகளில் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. குறிப்புகள் வேறுபட்ட இடவியல் இடவியலில் கோட்பாடுகள்