Imprecise probability
துல்லியமற்ற நிகழ்தகவு பகுதி நிகழ்தகவு விவரக்குறிப்புகளை அனுமதிக்க நிகழ்தகவு கோட்பாட்டை பொதுமைப்படுத்துகிறது, மேலும் தகவல் பற்றாக்குறை, தெளிவற்ற அல்லது முரண்பட்டதாக இருக்கும்போது பொருந்தும், இந்த விஷயத்தில் ஒரு தனித்துவமான நிகழ்தகவு விநியோகத்தை அடையாளம் காண்பது கடினமாக இருக்கலாம். இதன் மூலம், இந்தக் கோட்பாடு கிடைக்கக்கூடிய அறிவை இன்னும் துல்லியமாக பிரதிநிதித்துவப்படுத்துவதை நோக்கமாகக் கொண்டுள்ளது. நிபுணத்துவ வெளிப்பாட்டைக் கையாள்வதில் துல்லியம் பயனுள்ளதாக இருக்கும், ஏனென்றால்ஃ மக்கள் தங்கள் சொந்த அகநிலை நிகழ்தகவுகளைத் தீர்மானிக்கும் வரையறுக்கப்பட்ட திறனைக் கொண்டுள்ளனர், மேலும் அவர்கள் ஒரு இடைவெளியை மட்டுமே வழங்க முடியும் என்பதைக் காணலாம். ஒரு இடைவெளி பல்வேறு கருத்துக்களுடன் இணக்கமாக இருப்பதால், பகுப்பாய்வு வெவ்வேறு நபர்களின் வரம்பிற்கு மிகவும் நம்பத்தகுந்ததாக இருக்க வேண்டும். கொல்மோகோரோவ், லாப்லேஸ், டி ஃபினெட்டி, ராம்சே, காக்ஸ், லிண்ட்லி மற்றும் பலர் உருவாக்கியபடி நிச்சயமற்ற தன்மை பாரம்பரியமாக ஒரு நிகழ்தகவு விநியோகத்தால் வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது. இருப்பினும், இது விஞ்ஞானிகள், புள்ளியியலாளர்கள் மற்றும் நிகழ்தகவு நிபுணர்களால் ஒருமனதாக ஏற்றுக்கொள்ளப்படவில்லைஃ நிகழ்தகவுக் கோட்பாட்டின் சில மாற்றங்கள் அல்லது விரிவாக்கம் தேவை என்று வாதிடப்பட்டுள்ளது, ஏனென்றால் ஒவ்வொரு நிகழ்வுக்கும் ஒரு நிகழ்தகவை வழங்க முடியாது, குறிப்பாக சிறிய தகவல் அல்லது தரவு மட்டுமே கிடைக்கும்போது-அத்தகைய விமர்சனத்திற்கு ஒரு ஆரம்ப எடுத்துக்காட்டு லாப்லேஸின் படைப்புகளைப் பற்றிய பூலின் விமர்சனம்-அல்லது ஒரு தனிநபரின் படைப்புகளைக் காட்டிலும் ஒரு குழு ஒப்புக்கொள்ளும் நிகழ்தகவுகளை மாதிரியாக்க விரும்பும் போது. ஒருவேளை மிகவும் பொதுவான பொதுமைப்படுத்தல் ஒரு ஒற்றை நிகழ்தகவு விவரக்குறிப்பை ஒரு இடைவெளி விவரக்குறிப்புடன் மாற்றுவதாகும். குறைந்த மற்றும் உயர் நிகழ்தகவுகள், மற்றும், அல்லது பொதுவாக, குறைந்த மற்றும் உயர் எதிர்பார்ப்புகள் (நடைமுறைகள்) மூலம் குறிக்கப்படுகின்றன, இந்த இடைவெளியை நிரப்புவதை நோக்கமாகக் கொண்டுள்ளன. குறைந்த நிகழ்தகவுச் செயல்பாடு கூடுதல் சேர்க்கை ஆனால் சேர்க்கை அவசியமில்லை, அதேசமயம் மேல் நிகழ்தகவு துணை சேர்க்கை ஆகும். கோட்பாட்டைப் பற்றிய பொதுவான புரிதலைப் பெற, கருத்தில் கொள்ளுங்கள்ஃ அனைத்து நிகழ்வுகளுக்கான சிறப்பு வழக்கு ஒரு துல்லியமான நிகழ்தகவுக்கு சமம் மற்றும் அனைத்து அற்பமான நிகழ்வுகளுக்கும் விவரக்குறிப்பில் எந்த தடையும் இல்லை. சில அணுகுமுறைகள், சேர்க்கப்படாத நிகழ்தகவுகள் என்ற பெயரில் சுருக்கமாக, இந்த தொகுப்பு செயல்பாடுகளில் ஒன்றை நேரடியாகப் பயன்படுத்துகின்றன, மற்றொன்று இயற்கையாகவே வரையறுக்கப்படுவதாகக் கருதுகிறது. பிற தொடர்புடைய கருத்துக்கள் அனைத்து நிகழ்வுகளுக்கும் தொடர்புடைய இடைவெளிகளை அடிப்படை நிறுவனமாக புரிந்துகொள்கின்றன. துல்லியமற்ற நிகழ்தகவைப் பயன்படுத்துவதற்கான யோசனை ஒரு நீண்ட வரலாற்றைக் கொண்டுள்ளது. தர்க்கம் மற்றும் நிகழ்தகவு கோட்பாடுகளை சமரசம் செய்வதை நோக்கமாகக் கொண்ட ஜார்ஜ் பூல் என்பவரால் பத்தொன்பதாம் நூற்றாண்டின் நடுப்பகுதியில் முதல் முறையான சிகிச்சை தொடங்கப்பட்டது. 1920 களில், நிகழ்தகவு குறித்த ஒரு கட்டுரையில், கெய்ன்ஸ் நிகழ்தகவுக்கு ஒரு வெளிப்படையான இடைவெளி மதிப்பீட்டு அணுகுமுறையை உருவாக்கி பயன்படுத்தினார். துல்லியமற்ற நிகழ்தகவு மாதிரிகள் குறித்த வேலை 20 ஆம் நூற்றாண்டு முழுவதும் பொருத்தமாக தொடர்ந்தது, பெர்னார்ட் கூப்மேன், சி. ஏ. பி. ஸ்மித், ஐ. ஜே. குட், ஆர்தர் டெம்ப்ஸ்டர், க்ளென் ஷாஃபர், பீட்டர் எம். வில்லியம்ஸ், ஹென்றி கிபர்க், ஐசக் லெவி மற்றும் டெடி சீடன்ஃபீல்ட். 1990களின் தொடக்கத்தில், பீட்டர் வால்லியின் புள்ளியியல் பகுத்தறிவுடன் துல்லியமற்ற நிகழ்தகவுகள் என்ற புத்தகத்தின் வெளியீட்டுடன் இந்தத் துறை சில வேகத்தை சேகரிக்கத் தொடங்கியது (இங்குதான் "துல்லியமற்ற நிகழ்தகவு" என்ற சொல் தோன்றியது). 1990 களில் குஸ்நெட்சோவ் மற்றும் வெய்செல்பெர்கர் ஆகியோரின் முக்கியமான படைப்புகளும் காணப்பட்டன, அவர்கள் இருவரும் இடைவெளி நிகழ்தகவு என்ற வார்த்தையைப் பயன்படுத்துகின்றனர். வால்லியின் கோட்பாடு பாரம்பரிய அகநிலை நிகழ்தகவு கோட்பாட்டை சூதாட்டங்களுக்கான விலைகளை வாங்குதல் மற்றும் விற்பனை செய்தல் மூலம் விரிவுபடுத்துகிறது, அதேசமயம் வெய்செல்பெர்கரின் அணுகுமுறை கொல்மோகோரோவின் கோட்பாடுகளை ஒரு விளக்கத்தை திணிக்காமல் பொதுமைப்படுத்துகிறது. நிலையான நிலைத்தன்மை நிலைமைகள் மேல் மற்றும் குறைந்த நிகழ்தகவு ஒதுக்கீடுகளை காலியாக இல்லாத மூடிய குவிந்த தொகுப்புகளின் நிகழ்தகவு விநியோகங்களுடன் தொடர்புபடுத்துகின்றன. எனவே, ஒரு வரவேற்கத்தக்க துணை தயாரிப்பாக, இந்தக் கோட்பாடு வலுவான புள்ளிவிவரங்கள் மற்றும் அளவுரு அல்லாத புள்ளிவிவரங்களில் பயன்படுத்தப்படும் மாதிரிகளுக்கான முறையான கட்டமைப்பையும் வழங்குகிறது. சொக்வெட் ஒருங்கிணைப்பை அடிப்படையாகக் கொண்ட கருத்துக்களும், இரண்டு மோனோடோன் மற்றும் முற்றிலும் மோனோடோன் திறன்கள் என்று அழைக்கப்படுபவையும் அடங்கும், அவை செயற்கை நுண்ணறிவில் (டெம்ப்ஸ்டர்-ஷேஃபர்) நம்பிக்கை செயல்பாடுகள் என்ற பெயரில் மிகவும் பிரபலமாகிவிட்டன. மேலும், விளையாட்டு-கோட்பாட்டு நிகழ்தகவு பற்றிய ஷாஃபர் மற்றும் வோவ்க்கின் கருத்துக்கு ஒரு வலுவான தொடர்பு உள்ளது. கணித மாதிரிகள் "துல்லியமற்ற நிகழ்தகவு" என்ற சொல் ஓரளவு தவறாக வழிநடத்துகிறது, அந்த துல்லியம் பெரும்பாலும் துல்லியம் என்று தவறாக கருதப்படுகிறது, அதேசமயம் ஒரு துல்லியமற்ற பிரதிநிதித்துவம் ஒரு துல்லியமான துல்லியமான பிரதிநிதித்துவத்தை விட மிகவும் துல்லியமாக இருக்கலாம். எவ்வாறாயினும், இந்த சொல் 1990 களில் நிறுவப்பட்டதாகத் தெரிகிறது, மேலும் இது நிகழ்தகவுக் கோட்பாட்டின் பரந்த அளவிலான நீட்டிப்புகளை உள்ளடக்கியது, இதில் பின்வருவன அடங்கும்ஃ நம்பகத்தன்மை தொகுப்புகள், அல்லது நிகழ்தகவு விநியோகங்களின் தொகுப்புகள் நடைமுறைகள் சீரற்ற தொகுப்பு கோட்பாடு டெம்ப்ஸ்டர்-ஷேஃபர் சான்றுகள் கோட்பாடு குறைந்த மற்றும் மேல் நிகழ்தகவுகள், அல்லது இடைவெளி நிகழ்தகவுகள் நம்பிக்கை செயல்பாடுகள் சாத்தியம் மற்றும் தேவை அளவீடுகள் குறைந்த மற்றும் மேல் நடைமுறைகள் ஒப்பீட்டு நிகழ்தகவு வரிசைப்படுத்தல்கள் விரும்பத்தக்க சூதாட்டங்களின் பகுதி முன்னுரிமை வரிசைப்படுத்தல்கள் p-பெட்டிகள் வலுவான பேயஸ் முறைகள் துல்லியமற்ற நிகழ்தகவுகளின் விளக்கம் மேற்கூறிய பலவற்றின் ஒருங்கிணைப்பு வால்லியால் முன்மொழியப்பட்டது, இருப்பினும் இது எந்த வகையிலும் துல்லியமற்ற நிகழ்தகவு கோட்பாடுகளை முறைப்படுத்துவதற்கான முதல் முயற்சியல்ல. நிகழ்தகவு விளக்கங்களைப் பொறுத்தவரை, வால்லியின் துல்லியமற்ற நிகழ்தகவுகளை உருவாக்குவது நிகழ்தகவின் பேய்சியன் விளக்கத்தின் அகநிலை மாறுபாட்டை அடிப்படையாகக் கொண்டது. வால்லி மேல் மற்றும் கீழ் நிகழ்தகவுகளை மேல் மற்றும் கீழ் நடைமுறைகளின் சிறப்பு நிகழ்வுகள் மற்றும் புருனோ டி ஃபினெட்டி முன்வைத்த சூதாட்ட கட்டமைப்பாக வரையறுக்கிறார். எளிமையான சொற்களில், ஒரு முடிவெடுப்பவரின் குறைந்த முன்னுரிமை என்பது முடிவெடுப்பவர் ஒரு சூதாட்டத்தை வாங்குவார் என்று உறுதியாக நம்பும் மிக உயர்ந்த விலையாகும், மேலும் உயர் முன்னுரிமை என்பது அவர் அல்லது அவள் சூதாட்டத்திற்கு நேர்மாறாக வாங்குவார் என்று முடிவெடுப்பவர் உறுதியாக நம்பும் மிகக் குறைந்த விலையாகும் (இது அசல் சூதாட்டத்தை விற்பனை செய்வதற்கு சமம்). மேல் மற்றும் கீழ் நிலைகள் சமமாக இருந்தால், அவை சூதாட்டத்திற்கான முடிவெடுப்பவரின் நியாயமான விலையை கூட்டாக பிரதிநிதித்துவப்படுத்துகின்றன, முடிவெடுப்பவர் சூதாட்டத்தின் இருபுறமும் எடுக்க விரும்பும் விலை. நியாயமான விலை இருப்பது துல்லியமான சாத்தியக்கூறுகளுக்கு வழிவகுக்கிறது. துல்லியமற்ற தன்மைக்கான அனுமதி, அல்லது முடிவெடுப்பவரின் மேல் மற்றும் கீழ் நிலைப்பாடுகளுக்கு இடையிலான இடைவெளி, துல்லியமான மற்றும் துல்லியமற்ற நிகழ்தகவு கோட்பாடுகளுக்கு இடையிலான முதன்மை வேறுபாடு ஆகும். சமச்சீரற்ற தகவல்களின் காரணமாக நிதி ரீதியாக திரவமாக இல்லாத பந்தய சந்தைகளில் இத்தகைய இடைவெளிகள் இயற்கையாகவே எழுகின்றன. இந்த இடைவெளியை ஹென்றி கிபர்க் தனது இடைவெளி நிகழ்தகவுகளுக்காக மீண்டும் மீண்டும் வழங்குகிறார், இருப்பினும் அவரும் ஐசக் லெவியும் இடைவெளிகள் அல்லது விநியோகங்களின் தொகுப்புகளுக்கான பிற காரணங்களையும் வழங்குகிறார்கள், இது நம்பிக்கையின் நிலைகளைக் குறிக்கிறது. துல்லியமற்ற நிகழ்தகவுகளுடன் கூடிய சிக்கல்கள் துல்லியமற்ற நிகழ்தகவுகளுடன் கூடிய ஒரு சிக்கல் என்னவென்றால், பரந்த அல்லது குறுகிய இடைவெளியைக் காட்டிலும் ஒரு இடைவெளியைப் பயன்படுத்துவதில் பெரும்பாலும் ஒரு சுயாதீனமான எச்சரிக்கை அல்லது தைரியம் உள்ளார்ந்ததாக இருக்கிறது. இது நம்பிக்கையின் அளவு, தெளிவற்ற உறுப்பினரின் அளவு அல்லது ஏற்றுக்கொள்ளும் வரம்பாக இருக்கலாம். நிகழ்தகவு விநியோகங்களின் தொகுப்பிலிருந்து பெறப்பட்ட குறைந்த மற்றும் மேல் வரம்புகளைக் கொண்ட இடைவெளிகளுக்கு இது ஒரு சிக்கல் அல்ல, எ. கா., முன்னுரிமைகளின் தொகுப்பு, அதைத் தொடர்ந்து தொகுப்பின் ஒவ்வொரு உறுப்பினருக்கும் நிபந்தனை. இருப்பினும், சில விநியோகங்கள் ஏன் முன்னுரிமைகளின் தொகுப்பில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளன, சில ஏன் இல்லை என்ற கேள்விக்கு இது வழிவகுக்கும். மற்றொரு சிக்கல் என்னவென்றால், ஒரு ஒற்றை எண்ணை விட இரண்டு எண்களைப் பற்றி ஒருவர் துல்லியமாக இருக்க முடியும், குறைந்த வரம்பு மற்றும் மேல் வரம்பு, ஒரு புள்ளி நிகழ்தகவு. இந்த சிக்கல் வெறுமனே சொல்லாட்சிக் கலையாக இருக்கலாம், ஏனெனில் இடைவெளிகள் கொண்ட ஒரு மாதிரியின் வலிமை இயல்பாகவே புள்ளி மதிப்புள்ள நிகழ்தகவுகள் கொண்ட ஒரு மாதிரியை விட அதிகமாக உள்ளது. இது இறுதிப் புள்ளிகளில் துல்லியத்தின் பொருத்தமற்ற கூற்றுக்கள் மற்றும் புள்ளி மதிப்புகளுக்கு கவலைகளை எழுப்புகிறது. மிகவும் நடைமுறையான பிரச்சினை என்னவென்றால், எந்த வகையான முடிவுக் கோட்பாடு துல்லியமற்ற நிகழ்தகவுகளைப் பயன்படுத்த முடியும். தெளிவற்ற நடவடிக்கைகளுக்கு, ரொனால்ட் ஆர். யாகரின் வேலை உள்ளது. குவிந்த விநியோகத் தொகுப்புகளுக்கு, லெவியின் படைப்புகள் போதனைக்குரியவை. மற்றொரு அணுகுமுறை, வெறுமனே சராசரியை எடுத்துக்கொள்வதை விட அல்லது ஹர்விக்ஸ் முடிவு விதியைப் பயன்படுத்துவதை விட, இடைவெளியின் தைரியத்தைக் கட்டுப்படுத்தும் வரம்பு ஒரு முடிவுக்கு முக்கியமா என்று கேட்கிறது. மற்ற அணுகுமுறைகள் இலக்கியத்தில் காணப்படுகின்றன. தெளிவற்ற விரோதம் வலுவான முடிவெடுப்பது துல்லியமற்ற டிரிச்லெட் செயல்முறை குறிப்புகள் வெளிப்புற இணைப்புகள் துல்லியமற்ற நிகழ்தகவுக்கான சங்கம்ஃ கோட்பாடுகள் மற்றும் பயன்பாடுகள் துல்லியமற்ற நிகழ்தகவுகளின் அடிப்படையில் ஒரு வகைப்பாட்டின் திறந்த மூல அமலாக்கம் ஐடிஎஸ்ஐஏ ஸ்டான்போர்ட் என்சைக்ளோபீடியா ஆஃப் தத்துவத்தில் துல்லியமற்ற நிகழ்தகவு குழு துல்லியமற்ற நிகழ்தகவு கோட்பாடு குறித்த புள்ளிவிவர தோராயங்கள்