Operad
கணிதத்தில், ஒரு ஓபராட் என்பது சுருக்க செயல்பாடுகளைக் கொண்ட ஒரு கட்டமைப்பாகும், ஒவ்வொன்றும் ஒரு நிலையான வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான உள்ளீடுகள் (வாதங்கள்) மற்றும் ஒரு வெளியீட்டைக் கொண்டுள்ளன, அத்துடன் இந்த செயல்பாடுகளை எவ்வாறு உருவாக்குவது என்பதற்கான விவரக்குறிப்பும் உள்ளது. ஒரு ஓபராட் கொடுக்கப்பட்டால், ஒருவர் ஒரு இயற்கணிதத்தை இந்த தொகுப்பில் கான்கிரீட் செயல்பாடுகளுடன் சேர்ந்து ஒரு தொகுப்பாக வரையறுக்கிறார், இது சுருக்க செயல்பாடுகளைப் போலவே செயல்படுகிறது. உதாரணமாக, மேலே உள்ள ஆல்ஜிப்ராக்கள் துல்லியமாக லை ஆல்ஜிப்ராக்கள் என்று ஒரு லை ஓபராட் உள்ளது; ஒரு வகையில் அனைத்து லை ஆல்ஜிப்ராக்களுக்கும் பொதுவான செயல்பாடுகளை சுருக்கமாக குறியாக்கம் செய்கிறது. ஒரு குழு அதன் குழு பிரதிநிதித்துவங்களுக்கு இருப்பதால் ஒரு ஓபராட் அதன் ஆல்ஜிப்ராக்களுக்கு உள்ளது. வரலாறு இயக்கிகள் இயற்கணித இடவியலில் உருவாகின்றன; அவை 1968 இல் ஜே. மைக்கேல் போர்ட்மேன் மற்றும் ரெய்னர் எம். வோக்ட் மற்றும் 1972 இல் ஜே. பீட்டர் மே ஆகியோரால் மீண்டும் மீண்டும் சுழல் இடைவெளிகளை வகைப்படுத்த அறிமுகப்படுத்தப்பட்டன. மார்ட்டின் மார்க்கல், ஸ்டீவ் ஷ்னைடர் மற்றும் ஜிம் ஸ்டாஷெஃப் ஆகியோர் ஓபராட்கள் குறித்த தங்கள் புத்தகத்தில் எழுதுகிறார்கள்ஃ "ஓபராட் என்ற பெயரும் முறையான வரையறையும் 1970 களின் முற்பகுதியில் ஜே. பீட்டர் மேயின்" தி ஜியோமெட்ரி ஆஃப் இடரேட்டட் லூப் ஸ்பேஸ்களில் "முதன்முதலில் தோன்றியது, ஆனால் ஒரு வருடம் அல்லது அதற்கு முன்னர், போர்ட்மேன் மற்றும் வோக்ட் ஆடம்ஸ் மற்றும் மேக் லேனின் PROP கள் மற்றும் PACT களால் ஈர்க்கப்பட்ட நிலையான வடிவத்தில் ஆபரேட்டர்களின் பெயர் வகைகளின் கீழ் அதே கருத்தை விவரித்தனர். உண்மையில், வரலாற்றுக்கு முந்தைய வரலாறு ஏராளமாக உள்ளது. இந்த கருத்து முதன்முதலில் ஒரு நூற்றாண்டுக்கு முன்பு ஏ. என். இல் தோன்றியது என்று வெய்பெல் [வெய்] சுட்டிக்காட்டுகிறார். 1898 ஆம் ஆண்டில் வெளியிடப்பட்ட வைட்ஹெட்டின் "யுனிவர்சல் ஆல்ஜிப்ரா பற்றிய ஒரு ஆய்வுக் கட்டுரை". "ஓபராட்" என்ற சொல் மே மாதத்தால் "செயல்பாடுகள்" மற்றும் "மோனாட்" (மேலும் அவரது தாயார் ஒரு ஓபரா பாடகர் என்பதால்) ஆகியவற்றின் கலவையாக உருவாக்கப்பட்டது. மாக்சிம் கான்ட்சேவிச், விக்டர் கின்ஸ்பர்க் மற்றும் மிகைல் கப்ரானோவ் ஆகியோரின் ஆரம்பகால நுண்ணறிவுகளின் அடிப்படையில், 90 களின் முற்பகுதியில் ஓபராட்களில் ஆர்வம் கணிசமாக புதுப்பிக்கப்பட்டது, பகுத்தறிவு ஹோமோடோபி கோட்பாட்டில் சில இரட்டை நிகழ்வுகளை ஓபராட்களின் கோஸுல் இரட்டைத்தன்மையைப் பயன்படுத்தி விளக்க முடியும் என்பதைக் கண்டறிந்தனர். மாக்சிம் கான்ட்சேவிச் மற்றும் தாமஸ் வில்வாச்சரின் படைப்புகளில் பாய்சன் பன்மடங்கு சிதைவு அளவீடு, டிலிக்னே அனுமானம் அல்லது கிராஃப் ஹோமாலஜி போன்ற பல பயன்பாடுகளை ஆபரேட்டுகள் கண்டறிந்துள்ளன. உள்ளுணர்வு ஒரு தொகுப்பு என்று வைத்துக்கொள்வோம், கார்ட்டீசியன் பெருக்கல் முதல் நகல்களின் அனைத்து செயல்பாடுகளின் தொகுப்பையும் வரையறுக்கிறோம். இந்த செயல்பாடுகளை நாம் உருவாக்கலாம்ஃ கொடுக்கப்பட்ட, செயல்பாடு பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறதுஃ கொடுக்கப்பட்ட வாதங்களிலிருந்து, அவற்றை தொகுதிகளாகப் பிரிக்கிறோம், முதல் ஒன்று வாதங்களைக் கொண்டுள்ளது, இரண்டாவது ஒரு வாதங்கள் போன்றவை, பின்னர் முதல் தொகுதிக்கு, இரண்டாவது தொகுதிக்கு பொருந்தும். அத்தகைய வழியில் பெறப்பட்ட மதிப்புகளின் பட்டியலுக்கு நாம் விண்ணப்பிக்கிறோம். வாதங்களையும் நாம் முடக்கலாம், அதாவது. சமச்சீர் குழுவின் சரியான செயல் நம்மிடம் உள்ளது, இது for, மற்றும் மூலம் வரையறுக்கப்படுகிறது. கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள ஒரு சமச்சீர் ஓபராட்டின் வரையறை இந்த இரண்டு செயல்பாடுகளின் அத்தியாவசிய பண்புகளைப் பிடிக்கிறது மற்றும். வரையறை சமச்சீரற்ற ஓபராட் ஒரு சமச்சீரற்ற ஓபராட் (சில நேரங்களில் வரிசைமாற்றங்கள் இல்லாத ஓபராட் அல்லது ஒரு அல்லாத அல்லது வெற்று ஓபராட் என்று அழைக்கப்படுகிறது) பின்வருவனவற்றைக் கொண்டுள்ளதுஃ தொகுப்புகளின் வரிசை, அதன் கூறுகள்-ஆரி செயல்பாடுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, அனைத்து நேர்மறை முழு எண்களுக்கும் அடையாளம் என்று அழைக்கப்படும் ஒரு உறுப்பு, பின்வரும் ஒத்திசைவு கோட்பாடுகளை திருப்திப்படுத்தும் ஒரு கலவை செயல்பாடுஃ அடையாளம்ஃ கூட்டுறவுஃ சமச்சீர் ஓபராட் ஒரு சமச்சீர் ஓபராட் (பெரும்பாலும் ஓபராட் என்று அழைக்கப்படுகிறது) மேலே உள்ளபடி ஒரு சமச்சீர் அல்லாத ஓபராட், சமச்சீர் குழுவின் சரியான செயலுடன் சேர்ந்து, சமச்சீரால் குறிக்கப்படுகிறது மற்றும் திருப்திப்படுத்துகிறதுஃ ஒரு வரிசைமாற்றத்தால் வழங்கப்படுகிறது, (வலது புறத்தில் குறிக்கிறது) இந்த வரையறையில் உள்ள வரிசைமாற்ற நடவடிக்கைகள் பெரும்பாலான பயன்பாடுகளுக்கு இன்றியமையாதவை, இதில் லூப் ஸ்பேஸ்களுக்கான அசல் பயன்பாடு அடங்கும். செயல்பாடுகளின் ஒரு உருவகம் ஒரு வரிசையைக் கொண்டுள்ளதுஃ அடையாளத்தைப் பாதுகாக்கிறதுஃ கலவையைப் பாதுகாக்கிறதுஃ ஒவ்வொரு n-ary செயல்பாடு மற்றும் செயல்பாடுகளுக்கும், வரிசைமாற்ற செயல்களைப் பாதுகாக்கிறதுஃ எனவே செயல்பாடுகள் மூலம் குறிக்கப்படும் ஒரு வகையை உருவாக்குகின்றன. மற்ற பிரிவுகளில் இதுவரை ஓபராட்கள் செட் வகைகளில் மட்டுமே கருதப்பட்டுள்ளன. மேலும் பொதுவாக, எந்தவொரு சமச்சீர் மோனாய்டல் வகை சி யிலும் ஓபராட்களை வரையறுக்க முடியும். அவ்வாறான நிலையில், ஒவ்வொன்றும் C இன் ஒரு பொருள், கலவை என்பது C இல் ஒரு உருவகம் (மோனாய்டல் வகையின் டென்சர் பெருக்கத்தைக் குறிக்கிறது), மற்றும் சமச்சீர் குழு கூறுகளின் செயல்கள் C இல் உள்ள ஐசோமார்பிசம்களால் வழங்கப்படுகின்றன. இந்த வழக்கில், ஒரு இடவியல் ஓபராட் இடைவெளிகளின் வரிசையால் வழங்கப்படுகிறது (செட்களுக்கு பதிலாக). ஓபராட்டின் கட்டமைப்பு வரைபடங்கள் (சமச்சீர் குழுக்களின் கலவை மற்றும் செயல்கள்) பின்னர் தொடர்ச்சியானவை என்று கருதப்படுகின்றன. இதன் விளைவாக ஒரு இடவியல் ஓபராட் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இதேபோல், ஓபராட்களின் உருவவியல் வரையறையில், சம்பந்தப்பட்ட வரைபடங்கள் தொடர்ச்சியானவை என்று கருதுவது அவசியம். செயல்பாடுகளை வரையறுப்பதற்கான பிற பொதுவான அமைப்புகளில், எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு பரிமாற்ற வளையத்தின் மீது உள்ள தொகுதிகள், சங்கிலி வளாகங்கள், குழுமங்கள் (அல்லது வகைகளின் வகை கூட), கோல்ஜெப்ராக்கள் போன்றவை அடங்கும். இயற்கணித வரையறை ஒரு பரிமாற்ற வளையம் ஆர் கொடுக்கப்பட்டால், ஆர் மீது தொகுதிகளின் வகையை நாம் கருதுகிறோம். ஆர் மீது ஒரு ஓபராட் சில வரையறுக்கப்பட்ட நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்யும் (இது ஒரு மோனாட்) எண்டோஃபங்க்டர்களின் மோனாய்டல் பிரிவில் ஒரு மோனாய்டு பொருளாக வரையறுக்கப்படலாம். எடுத்துக்காட்டாக, "பல்லுறுப்புக்கோவை எண்டோஃபங்க்டர்கள்" என்ற பிரிவில் ஒரு மோனாய்டு பொருள் ஒரு ஓபராட் ஆகும். இதேபோல், ஒரு சமச்சீர் ஓபராட்டை-பொருள்களின் பிரிவில் ஒரு மோனாய்டு பொருளாக வரையறுக்கலாம், அங்கு ஒரு சமச்சீர் குழு என்று பொருள். ஒருங்கிணைந்த இனங்களின் பிரிவில் ஒரு மோனாய்டு பொருள் வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்புகளில் ஒரு ஓபராட் ஆகும். மேற்கண்ட அர்த்தத்தில் ஒரு ஓபராட் சில நேரங்களில் ஒரு பொதுவான வளையமாக கருதப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, நிக்கலாய் துரோவ் தனது பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட வளையங்களை வடிகட்டப்பட்ட கோலிமிட்டுகளுடன் அந்த பயணத்தில் எண்டோஃபங்க்டர்களின் மோனாய்டல் பிரிவில் மோனாய்டு பொருள்கள் என்று வரையறுக்கிறார். இது ஒரு வளையத்தின் பொதுமைப்படுத்தலாகும், ஏனெனில் ஒவ்வொரு சாதாரண வளையம் R ஒரு மோனாட்டை வரையறுக்கிறது, இது X ஆல் உருவாக்கப்பட்ட இலவச R-தொகுதியின் அடிப்படை தொகுப்புக்கு ஒரு தொகுப்பு X ஐ அனுப்புகிறது. அசோசியேட்டிவிட்டி என்ற கோட்பாட்டைப் புரிந்துகொள்வது என்பது செயல்பாடுகளின் கலவை என்பது அசோசியேட்டிவ் (செயல்பாடு அசோசியேட்டிவ்), வகைக் கோட்பாட்டில் உள்ள கோட்பாட்டிற்கு ஒத்ததாகும்; செயல்பாடுகள் தாங்களாகவே செயல்பாடுகளாக அசோசியேட்டிவ் என்று அர்த்தமல்ல. கீழே உள்ள அசோசியேட்டிவ் ஓபராட் உடன் ஒப்பிடவும். ஓபராட் கோட்பாட்டில் அசோசியேட்டிவிட்டி என்பது, நீக்கப்பட்ட கலவைகளிலிருந்து தெளிவின்மை இல்லாமல் செயல்பாடுகளை உள்ளடக்கிய வெளிப்பாடுகளை எழுத முடியும், செயல்பாடுகளுக்கான அசோசியேட்டிவிட்டி என்பது நீக்கப்பட்ட அடைப்புக்குறிகளிலிருந்து தெளிவின்மை இல்லாமல் தயாரிப்புகளை எழுத அனுமதிக்கிறது. உதாரணமாக, ஒரு பைனரி செயல்பாடு என்றால், இது அல்லது என எழுதப்படுகிறது. எனவே அது கூட்டுறவாக இருக்கலாம் அல்லது இல்லாமலும் இருக்கலாம். பின்னர் பொதுவாக எழுதப்படுவது சந்தேகத்திற்கு இடமின்றி செயல்பாட்டில் எழுதப்படுகிறது. இது அனுப்புகிறது (முதல் இரண்டிலும், மூன்றாவது அடையாளத்திலும் விண்ணப்பிக்கவும்), பின்னர் இடதுபுறத்தில் உள்ள "பெருக்குகிறது". இது ஒரு மரமாக சித்தரிக்கப்படும்போது தெளிவாகிறதுஃ இது 3-ஆரி செயல்பாட்டை அளிக்கிறதுஃ இருப்பினும், வெளிப்பாடு ஒரு முன்னுரிமை தெளிவற்றதுஃ உள் கலவைகள் முதலில் நிகழ்த்தப்பட்டால், அல்லது வெளிப்புற கலவைகள் முதலில் நிகழ்த்தப்பட்டால் (செயல்பாடுகள் வலமிருந்து இடமாக படிக்கப்படுகின்றன). எழுதுவது, இது எதிராக உள்ளது. அதாவது, மரம் "செங்குத்து அடைப்புக்குறிகளை" காணவில்லைஃ செயல்பாடுகளின் முதல் இரண்டு வரிசைகள் முதலில் இயற்றப்பட்டால் (வரிசையில் மேல்நோக்கிய அடைப்புக்குறியை வைக்கிறது; உள் கலவை முதலில் செய்கிறது), பின்வரும் முடிவுகள்ஃ இது 4-ஆரி செயல்பாட்டை வழங்குவதற்கு சந்தேகத்திற்கு இடமின்றி மதிப்பீடு செய்கிறது. ஒரு சிறுகுறிப்பு வெளிப்பாடாகஃ செயல்பாடுகளின் கீழ் இரண்டு வரிசைகள் முதலில் இயற்றப்பட்டால் (கோட்டில் கீழ்நோக்கிய அடைப்புக்குறியை வைக்கிறது; வெளிப்புற கலவை முதலில் செய்கிறது), பின்வரும் முடிவுகள்ஃ இது பின்னர் 4-ஆரி செயல்பாட்டை வழங்குவதற்கு சந்தேகத்திற்கு இடமின்றி மதிப்பீடு செய்கிறதுஃ கூட்டுறவின் ஓபராட் கோட்பாடு என்னவென்றால், இவை ஒரே முடிவை அளிக்கின்றன, இதனால் வெளிப்பாடு தெளிவற்றது. அடையாளக் கோட்பாடு அடையாளக் கோட்பாட்டை (ஒரு பைனரி செயல்பாட்டிற்கு) ஒரு மரத்தில் பின்வருமாறு காட்சிப்படுத்தலாம்ஃ அதாவது பெறப்பட்ட மூன்று செயல்பாடுகள் சமமானவைஃ அடையாளத்துடன் முன் அல்லது பிந்தைய தொகுப்பு எந்த வித்தியாசத்தையும் ஏற்படுத்தாது. வகைகளைப் பொறுத்தவரை, இது அடையாள கோட்பாட்டின் ஒரு துணை. எடுத்துக்காட்டுகள் செட் மற்றும் ஓபராட் ஆல்ஜிப்ராக்களில் எண்டோமார்பிசம் ஓபராட் மிகவும் அடிப்படை ஓபராட்கள் மேலே உள்ள "உள்ளுணர்வு" பிரிவில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. எந்தவொரு தொகுப்புக்கும், அனைத்து செயல்பாடுகளையும் உள்ளடக்கிய எண்டோமார்பிசம் ஓபராட்டைப் பெறுகிறோம். இந்த ஓபராட்கள் முக்கியமானவை, ஏனெனில் அவை ஓபராட் ஆல்ஜிப்ராக்களை வரையறுக்க உதவுகின்றன. ஒரு ஓபராட் என்றால், ஒரு ஓபராட் இயற்கணிதம் ஒரு தொகுப்பு மற்றும் ஒரு ஓபராட் மார்ஃபிஸத்தால் வழங்கப்படுகிறது. உள்ளுணர்வாக, அத்தகைய உருவகப்படுத்துதல் ஒவ்வொரு "சுருக்க" செயல்பாட்டையும் தொகுப்பில் ஒரு "கான்கிரீட்"-ஆரி செயல்பாடாக மாற்றுகிறது. ஒரு ஓபராட் இயற்கணிதம் இவ்வாறு கான்கிரீட் செயல்பாடுகளுடன் ஒரு தொகுப்பைக் கொண்டுள்ளது, அதில் ஓபராட் சுருக்கமாக குறிப்பிடப்பட்ட விதிகளைப் பின்பற்றுகிறது. திசையன் இடைவெளிகள் மற்றும் செயல்பாட்டு ஆல்ஜிப்ராக்களில் எண்டோமார்பிசம் ஓபராட் k ஒரு புலம் என்றால், k க்கு மேல் வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண திசையன் இடைவெளிகளின் வகையை நாம் கருத்தில் கொள்ளலாம்; இது k க்கு மேல் சாதாரண டென்சர் உற்பத்தியைப் பயன்படுத்தி ஒரு மோனாய்டல் வகையாக மாறுகிறது. V ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண திசையன் இடமாக இருக்கட்டும் V இன் எண்டோமார்பிசம் ஓபராட் = நேரியல் வரைபடங்களின் இடைவெளி, (கலவை) கொடுக்கப்பட்டுள்ளது,,, அவற்றின் கலவை வரைபடத்தால் வழங்கப்படுகிறது, (அடையாளம்) அடையாள உறுப்பு என்பது அடையாள வரைபடம், (சமச்சீர் குழு நடவடிக்கை) டென்சர்களின் கூறுகளை வரிசைப்படுத்துவதன் மூலம் செயல்படுகிறது. ஒரு ஓபராட் என்றால், ஒரு கே-லீனியர் ஓபராட் இயற்கணிதம் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண திசையன் இடைவெளி V ஓவர் k மற்றும் ஒரு ஓபராட் மார்ஃபிஸம் மூலம் வழங்கப்படுகிறது; இது V இன் செயல்பாடுகளைப் போல செயல்படும் கான்கிரீட் மல்டி லீனியர் செயல்பாடுகளைக் குறிப்பிடுவதற்கு சமம். (ஓபராட்கள் மற்றும் ஓபராட் ஆல்ஜிப்ராக்கள் மற்றும் வளையங்கள் மற்றும் தொகுதிகளுக்கு இடையிலான ஒப்புமையைக் கவனியுங்கள்ஃ ஒரு வளையத்தின் மீது ஒரு தொகுதி R ஒரு அபெலியன் குழு M ஆல் ஒரு வளைய ஹோமோமார்பிசத்துடன் வழங்கப்படுகிறது. பயன்பாடுகளைப் பொறுத்து, மேற்கூறியவற்றின் மாறுபாடுகள் சாத்தியமாகும்ஃ எடுத்துக்காட்டாக, இயற்கணித இடவியலில், திசையன் இடைவெளிகள் மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான டென்சர் தயாரிப்புகளுக்கு பதிலாக, ஒருவர் (நியாயமான) இடவியல் இடைவெளிகள் மற்றும் கார்ட்டீசியன் தயாரிப்புகளை அவற்றுக்கிடையே பயன்படுத்துகிறார். "சிறிய ஒன்று" இயக்கங்கள் சிறிய 2-வட்டுகள் இயக்ககம் என்பது ஒரு இடவியல் இயக்கமாகும், இதில் தோற்றத்தை மையமாகக் கொண்ட அலகு வட்டுக்குள் n டிஜாயின்ட் டிஸ்க்குகளின் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட பட்டியல்களைக் கொண்டுள்ளது. சமச்சீர் குழு சிறிய வட்டுகளின் பட்டியலை வரிசைப்படுத்துவதன் மூலம் அத்தகைய உள்ளமைவுகளில் செயல்படுகிறது. சிறிய வட்டுகளுக்கான செயல்பாட்டு கலவை வலதுபுறத்தில் உள்ள படத்தில் விளக்கப்பட்டுள்ளது, அங்கு ஒரு உறுப்பு ஒரு உறுப்புடன் இயற்றப்பட்டு, கட்டமைப்பைக் குறைப்பதன் மூலமும், i-th வட்டில் செருகுவதன் மூலமும் பெறப்பட்ட உறுப்பை வழங்குகிறது. இதேபோல், ஒரு சிறிய n-வட்டு செயல்பாட்டை வரையறுக்க முடியும், அலகு பந்தின் உள்ளே வேறுபட்ட n-பந்துகளின் உள்ளமைவுகளைக் கருத்தில் கொண்டு. முதலில் சிறிய n-கியூப்கள் ஓபராட் அல்லது சிறிய இடைவெளிகள் ஓபராட் (ஆரம்பத்தில் சிறிய n-கியூப்கள் PROP கள் என்று அழைக்கப்பட்டது) மைக்கேல் போர்ட்மேன் மற்றும் ரெய்னர் வோக்ட் ஆகியோரால் இதேபோல் வரையறுக்கப்பட்டது, அலகு ஹைபர்கியூபுக்குள் வேறுபட்ட அச்சு-சீரமைக்கப்பட்ட n-பரிமாண ஹைபர்க்யூப்களின் (n-பரிமாண இடைவெளிகள்) உள்ளமைவுகளின் அடிப்படையில். பின்னர் இது மே மாதத்தால் சிறிய குவிந்த உடல்கள் இயக்கத்திற்கு பொதுமைப்படுத்தப்பட்டது, மேலும் "சிறிய வட்டுகள்" என்பது "சிறிய குவிந்த உடல்களிலிருந்து" பெறப்பட்ட "நாட்டுப்புறக் கதைகளின்" ஒரு நிகழ்வாகும். வேரூன்றிய மரங்கள் வரைபடக் கோட்பாட்டில், வேரூன்றிய மரங்கள் ஒரு இயற்கையான செயல்பாட்டை உருவாக்குகின்றன. இங்கே, n இலைகளுடன் அனைத்து வேரூன்றிய மரங்களின் தொகுப்பாகும், அங்கு இலைகள் 1 முதல் n வரை எண்ணப்படுகின்றன. இலை முத்திரைகளை வரிசைப்படுத்துவதன் மூலம் குழு இந்த தொகுப்பில் செயல்படுகிறது. செயல்பாட்டு கலவையானது i-th இலையை i-th மரத்தின் வேர் மூலம் மாற்றுவதன் மூலம் வழங்கப்படுகிறது, ஏனெனில், இதனால் n மரங்களை இணைத்து ஒரு பெரிய மரத்தை உருவாக்குகிறது, அதன் வேர் வேருக்கு சமமாக இருக்கும் மற்றும் அதன் இலைகள் வரிசையில் எண்ணப்படுகின்றன. சுவிஸ்-சீஸ் ஓபராட் சுவிஸ்-சீஸ் ஓபராட் என்பது இரண்டு வண்ண இடவியல் ஓபராட் ஆகும், இது ஒரு யூனிட் n-செமிடிஸ்க் மற்றும் n-டைமென்ஷனல் செமிடிஸ்க்குகளுக்குள் வேறுபட்ட n-டைமென்ஷனல் டிஸ்க்குகளின் உள்ளமைவுகளின் அடிப்படையில் வரையறுக்கப்படுகிறது, இது யூனிட் செமிடிஸ்க்கின் அடிப்பகுதியில் மையமாக உள்ளது மற்றும் அதன் உள்ளே அமர்ந்துள்ளது. செயல்பாட்டு கலவையானது அலகு வட்டுக்குள் "சிறிய" வட்டுகளை மற்றொரு அலகு அரை வட்டுக்குள் "சிறிய" வட்டுகளுக்குள் ஒட்டுதல் உள்ளமைவுகளிலிருந்தும், அலகு அரை வட்டுக்குள் "சிறிய" வட்டுகள் மற்றும் அரை வட்டுகளை மற்ற அலகு அரை வட்டுக்குள் உள்ளமைவுகளிலிருந்தும் வருகிறது. சுவிஸ்-சீஸ் ஓபராட் அலெக்சாண்டர் ஏ. வோரோனோவ் என்பவரால் வரையறுக்கப்பட்டது. ஹோக்ச்சைல்ட் கோஹோமோலஜி குறித்த டெலிக்னேவின் அனுமானத்தின் சுவிஸ்-சீஸ் பதிப்பை உருவாக்க மாக்சிம் கான்ட்சேவிச் இதைப் பயன்படுத்தினார். கொன்ட்சேவிச்சின் அனுமானம் போ ஹூ, இகோர் கிரிஸ் மற்றும் அலெக்சாண்டர் ஏ. வோரோனோவ் ஆகியோரால் ஓரளவு நிரூபிக்கப்பட்டது, பின்னர் ஜஸ்டின் தாமஸ் முழுமையாக நிரூபித்தார். அசோசியேட்டிவ் ஓபராட் ஓபராட்களின் மற்றொரு வகை எடுத்துக்காட்டுகள் அசோசியேட்டிவ் ஆல்ஜிப்ராக்கள், கம்யூட்டேட்டிவ் ஆல்ஜிப்ராக்கள் மற்றும் லை ஆல்ஜிப்ராக்கள் போன்ற இயற்கணித கட்டமைப்புகளின் கட்டமைப்புகளைக் கைப்பற்றுகின்றன. பைனரி செயல்பாடுகளால் உருவாக்கப்படும் இந்த மூன்றில் ஒவ்வொன்றிலும், இவை ஒவ்வொன்றையும் இறுதியாக வழங்கப்பட்ட ஓபராட்டாக காட்சிப்படுத்தலாம். எடுத்துக்காட்டாக, அசோசியேட்டிவ் ஓபராட் என்பது ஒரு பைனரி செயல்பாட்டால் உருவாக்கப்படும் ஒரு சமச்சீர் ஓபராட் ஆகும், இந்த நிபந்தனை பைனரி செயல்பாட்டின் அசோசியேட்டிவிக்கு ஒத்திருக்கிறது என்ற நிபந்தனைக்கு உட்பட்டது; பெருக்கமாக எழுதுவது, மேலே உள்ள நிபந்தனை. செயல்பாட்டின் இந்த அசோசியேட்டிவிட்டி எந்தவொரு ஓபராட்டிலும் வைத்திருக்கும் கலவையின் அசோசியேட்டிவிட்டியுடன் குழப்பமடையக்கூடாது; மேலே உள்ள அசோசியேட்டிவிட்டி கோட்பாட்டைப் பார்க்கவும். அசோசியேட்டிவ் ஓபராட்டில், ஒவ்வொன்றும் சமச்சீர் குழுவால் வழங்கப்படுகிறது, இது சரியான பெருக்கத்தால் செயல்படுகிறது. கலப்பு அதன் உள்ளீடுகளை தொகுதிகளில் அதற்கேற்பவும், தொகுதிகளுக்குள் பொருத்தமானவற்றிற்கு ஏற்பவும் வரிசைப்படுத்துகிறது. அசோசியேட்டிவ் ஓபராட்டின் மீது உள்ள ஆல்ஜிப்ராக்கள் துல்லியமாக அரை குழுக்கள்ஃ ஒற்றை பைனரி அசோசியேட்டிவ் செயல்பாட்டுடன் ஒன்றாக அமைகின்றன. அசோசியேட்டிவ் ஓபராட்டின் மீது உள்ள கே-லீனியர் ஆல்ஜிப்ராக்கள் துல்லியமாக அசோசியேட்டிவ் கே-ஆல்ஜிப்ராக்கள் ஆகும். முனைய சமச்சீர் ஓபராட் முனைய சமச்சீர் ஓபராட் என்பது ஒவ்வொரு n க்கும் ஒற்றை n-ஆரி செயல்பாட்டைக் கொண்ட ஓபராட் ஆகும், ஒவ்வொன்றும் அற்பமாக செயல்படுகின்றன. இந்த ஓபராட்டின் மீது உள்ள ஆல்ஜிப்ராக்கள் பரிமாற்ற அரை குழுக்கள்; கே-லீனியர் ஆல்ஜிப்ராக்கள் பரிமாற்ற துணை கே-ஆல்ஜிப்ராக்கள் ஆகும். இதேபோல், ஆர்ட்டின் பின்னல் குழுவால் ஒவ்வொன்றும் வழங்கப்படும் ஒரு அல்லாத செயல்பாடு உள்ளது. மேலும், இந்த அல்லாத ஓபராட் ஒரு சடை ஓபராட்டின் கட்டமைப்பைக் கொண்டுள்ளது, இது ஒரு ஓபராட்டின் கருத்தை சமச்சீர் முதல் பின்னல் குழுக்கள் வரை பொதுமைப்படுத்துகிறது. நேரியல் இயற்கணிதத்தில், உண்மையான திசையன் இடைவெளிகள் அனைத்து நேரியல் சேர்க்கைகளின் செயல்பாட்டின் மீது உள்ள ஆல்ஜிப்ராக்களாக கருதப்படலாம். இந்த ஓபராட் வரையறுக்கப்படுகிறது, பெர்முட்டிங் கூறுகளின் வெளிப்படையான செயல்பாடு மற்றும் திசையன்களின் இணைப்பால் கொடுக்கப்பட்ட கலவை, எங்கே. உதாரணமாக, திசையன் 2,3,-5,0, குணகங்களுடன் ஒரு நேரியல் கலவையை உருவாக்கும் செயல்பாட்டைக் குறிக்கிறது. இந்த பார்வை நேரியல் சேர்க்கைகள் ஒரு திசையன் இடத்தில் மிகவும் பொதுவான செயல்பாடு என்ற கருத்தை முறைப்படுத்துகிறது-ஒரு திசையன் இடைவெளி நேரியல் சேர்க்கைகளின் செயல்பாட்டின் மீது ஒரு இயற்கணிதம் என்று சொல்வது ஒரு திசையன் இடத்தில் சாத்தியமான அனைத்து இயற்கணித செயல்பாடுகளும் நேரியல் சேர்க்கைகள் என்ற கூற்றாகும். திசையன் கூட்டல் மற்றும் அளவிடுதல் பெருக்கத்தின் அடிப்படை செயல்பாடுகள் அனைத்து நேரியல் சேர்க்கைகளின் செயல்பாட்டிற்கான ஒரு உருவாக்கும் தொகுப்பாகும், அதே நேரத்தில் நேரியல் சேர்க்கைகள் செயல்பாடு ஒரு திசையன் இடத்தில் சாத்தியமான அனைத்து செயல்பாடுகளையும் நியமனமாக குறியாக்கம் செய்கிறது. இதேபோல், அஃபைன் சேர்க்கைகள், கூம்பு சேர்க்கைகள் மற்றும் குவிந்த சேர்க்கைகள் ஆகியவை துணை இயக்ககங்களுடன் ஒத்திருப்பதாகக் கருதப்படலாம், அங்கு திசையனின் சொற்கள் 1 க்கு கூட்டல், சொற்கள் அனைத்தும் முறையே எதிர்மறை அல்லாதவை அல்லது இரண்டும். வரைபட ரீதியாக, இவை எல்லையற்ற அஃபைன் ஹைப்பர்பிளேன், எல்லையற்ற ஹைப்பர்-ஆக்டான்ட் மற்றும் எல்லையற்ற சிம்ப்ளக்ஸ் ஆகும். இது இருப்பது அல்லது நிலையான சிம்ப்ளக்ஸ் மாதிரி இடைவெளிகள் என்பதன் அர்த்தத்தை முறைப்படுத்துகிறது, மேலும் ஒவ்வொரு வரம்புக்குட்பட்ட குவிந்த பாலிடோப்பும் ஒரு சிம்ப்ளக்ஸின் உருவம் போன்ற அவதானிப்புகள். இங்கே துணை இயக்கங்கள் மிகவும் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட செயல்பாடுகளுடன் ஒத்திருக்கின்றன, இதனால் மேலும் பொதுவான கோட்பாடுகள் உள்ளன. கம்யூட்டேட்டிவ்-ரிங் ஓபராட் மற்றும் லை ஓபராட் கம்யூட்டேட்டிவ்-ரிங் ஓபராட் என்பது ஒரு ஓபராட் ஆகும், அதன் ஆல்ஜிப்ராக்கள் கம்யூட்டேட்டிவ் வளையங்களாகும். மாறிகளுக்கான பல்லுறுப்புக்கோவைகளை (மறுபெயரிடப்பட்ட மாறிகளுடன்) மாற்றுவதன் மூலம் கொடுக்கப்பட்ட வெளிப்படையான செயல் மற்றும் செயல்பாட்டு கலவையுடன் இது வரையறுக்கப்படுகிறது. இதே போன்ற ஒரு செயல்பாட்டை வரையறுக்க முடியும், அதன் ஆல்ஜிப்ராக்கள் சில நிலையான அடிப்படை புலத்தின் மீது இணைந்த, பரிமாற்ற ஆல்ஜிப்ராக்கள் ஆகும். இந்த ஓபராடின் கோஸுல்-டூயல் லை ஓபராட் (அதன் ஆல்ஜிப்ராக்கள் லை ஆல்ஜிப்ராக்கள்), மற்றும் நேர்மாறாகவும் உள்ளது. ஃப்ரீ ஆப்பரேட்ஸ் வழக்கமான இயற்கணித கட்டமைப்புகள் (எ. கா., ஃப்ரீ அல்ஜீப்ரா கட்டுமானம்) ஓபராட்களுக்கு நீட்டிக்கப்படலாம். குழு செயல்படும் செட்களைக் கொண்ட பொருள்களைக் குறிக்கலாம். பின்னர் ஒரு மறக்கமுடியாத ஃபன்க்டர் உள்ளது, இது வெறுமனே ஓபராடிக் கலவையை மறக்கிறது. இந்த மறக்கமுடியாத ஃபன்க்டருக்கு இடதுபுறம் ஒரு இணைப்பை உருவாக்க முடியும் (இது இலவச ஃபன்க்டரின் வழக்கமான வரையறை). செயல்பாடுகளின் தொகுப்பைப் பொறுத்தவரை, E என்பது E இல் இலவச ஓபராட் ஆகும். ஒரு குழு அல்லது வளையத்தைப் போலவே, இலவச கட்டுமானம் ஜெனரேட்டர்கள் மற்றும் உறவுகளின் அடிப்படையில் ஒரு ஓபராட்டை வெளிப்படுத்த அனுமதிக்கிறது. ஒரு ஓபராடின் இலவச பிரதிநிதித்துவத்தால், ஒரு ஃப்ரீ ஓபராடின் மேற்கோளாக எழுதுவதைக் குறிக்கிறோம், அங்கு E இன் ஜெனரேட்டர்களை விவரிக்கிறது மற்றும் எபிமார்பிசத்தின் கர்னல் உறவுகளை விவரிக்கிறது. ஒரு (சமச்சீர்) ஓபராட் ஒரு இலவச விளக்கக்காட்சியைக் கொண்டிருந்தால் அது இருபடி என்று அழைக்கப்படுகிறது, அதாவது ஜெனரேட்டர் மற்றும் உறவு இதில் உள்ளது. குளோன்கள் குளோன்கள் என்பது செயல்பாடுகளின் சிறப்பு வழக்கு, அவை ஒன்றாக அடையாளம் காணும் வாதங்களின் கீழ் மூடப்படுகின்றன (சில தரவை "மீண்டும் பயன்படுத்துதல்"). குளோன்களை ஒரு மினியன் (அல்லது குளோனாய்டு) ஆகும் ஓபராட்களாக சமமாக வரையறுக்கலாம். ஹோமோடாபி கோட்பாட்டில் செயல்படுகிறது இன், ஸ்டாஷெஃப் எழுதுகிறார்ஃ "ஹோமோடாபி" பற்றிய நல்ல கருத்தைக் கொண்ட பிரிவுகளில் ஆபரேட்டுகள் குறிப்பாக முக்கியமானவை மற்றும் பயனுள்ளவை, அங்கு அவை உயர் ஹோமோடாபிகளின் படிநிலைகளை ஒழுங்கமைப்பதில் முக்கிய பங்கு வகிக்கின்றன. மேலும் காண்க PRO (வகைக் கோட்பாடு) உயர்-வரிசை இயக்ககத்தின் மீது இயற்கணிதம் E ≤-இயக்கக போலி இயற்கணிதம் பன்முகக் குறிப்புகள் மேற்கோள்கள் குறிப்புகள் மிகுவல் ஏ. மெண்டெஸ் (2015). ஒருங்கிணைப்பு மற்றும் கணினி அறிவியலில் செயல்பாடுகளை அமைக்கவும். கணிதத்தில் ஸ்ப்ரிங்கர் சுருக்கங்கள். . சாமுவேல் கிராடோ (2018). ஒருங்கிணைப்பில் சமச்சீரற்ற செயல்பாடுகள். ஸ்பிரிங்கர் சர்வதேச வெளியீடு. . வெளிப்புற இணைப்புகள் https://golem.ph.utexas.edu/category/2011/05/an_operadic_introduction_to_en.html சுருக்கம் இயற்கணித வகை கோட்பாடு