Semi-differentiability
கணிதத்தின் ஒரு கிளையான கால்குலஸில், ஒரு உண்மையான மாறியின் உண்மையான மதிப்புள்ள சார்பு f இன் ஒரு பக்க வேறுபாடு மற்றும் அரை வேறுபாடு பற்றிய கருத்துக்கள் வேறுபடுத்துதலை விட பலவீனமானவை. குறிப்பாக, f செயல்பாடு ஒரு கட்டத்தில் வலது வேறுபடுத்தக்கூடியது என்று கூறப்படுகிறது, தோராயமாக பேசுகையில், ஒரு வழித்தோன்றலை செயல்பாட்டின் வாதம் x வலதுபுறத்தில் இருந்து a க்கு நகர்வதாகவும், வழித்தோன்றலை x இடதுபுறத்தில் இருந்து a க்கு நகர்வதாகவும் வரையறுக்க முடியும். ஒரு பரிமாண வழக்கு கணிதத்தில், ஒரு இடது வழித்தோன்றல் மற்றும் ஒரு வலது வழித்தோன்றல் ஆகியவை வழித்தோன்றல்கள் (ஒரு செயல்பாட்டின் மாற்ற விகிதங்கள்) ஒரு திசையில் மட்டுமே இயக்கத்திற்கு வரையறுக்கப்படுகின்றன (இடது அல்லது வலது; அதாவது, குறைந்த அல்லது அதிக மதிப்புகளுக்கு) ஒரு செயல்பாட்டின் வாதத்தால். வரையறைகள் f என்பது உண்மையான எண்களின் I துணைக்குழுவில் வரையறுக்கப்பட்ட உண்மையான மதிப்புள்ள செயல்பாட்டைக் குறிக்கட்டும். ஒரு வரம்பு புள்ளி மற்றும் ஒருதலைப்பட்ச வரம்பு ஒரு உண்மையான எண்ணாக இருந்தால், f என்பது a இல் வலது வேறுபடுத்தக்கூடியது என்றும், ஷ்ணல் + f (a) வரம்பு a இல் f இன் வலது வழித்தோன்றல் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு வரம்பு புள்ளி மற்றும் ஒரு பக்க வரம்பு ஒரு உண்மையான எண்ணாக இருந்தால், f என்பது a இல் லெப்ட் டிஃபரென்ஷியேபிள் என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் வரம்பு ஷ்ணல்-f (a) என்பது a இல் f இன் லெப்ட் டெரிவேட்டிவ் என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு வரம்பு புள்ளியாக இருந்தால் மற்றும் f என்பது a இல் இடது மற்றும் வலது வேறுபடுத்தக்கூடியதாக இருந்தால், f என்பது a இல் அரை வேறுபடுத்தக்கூடியதாக அழைக்கப்படுகிறது. இடது மற்றும் வலது வழித்தோன்றல்கள் சமமாக இருந்தால், அவை வழக்கமான ("இருதிசை") வழித்தோன்றலின் அதே மதிப்பைக் கொண்டுள்ளன. ஒருவர் ஒரு சமச்சீர் வழித்தோன்றலையும் வரையறுக்கலாம், இது இடது மற்றும் வலது வழித்தோன்றல்களின் எண்கணித சராசரிக்கு சமம் (அவை இரண்டும் இருக்கும்போது), எனவே வழக்கமான வழித்தோன்றல் இல்லாதபோது சமச்சீர் வழித்தோன்றல் இருக்கலாம். குறிப்புகள் மற்றும் எடுத்துக்காட்டுகள் ஒரு செயல்பாடு அதன் களத்தின் ஒரு உள் புள்ளியில் வேறுபடுத்தக்கூடியது, அது a இல் அரை வேறுபடுத்தக்கூடியதாகவும், இடது வழித்தோன்றல் வலது வழித்தோன்றலுக்கு சமமாகவும் இருந்தால் மட்டுமே. வேறுபடுத்த முடியாத அரை-வேறுபடுத்தக்கூடிய சார்புக்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு, a = 0 இல் உள்ள முழுமையான மதிப்பு சார்பாகும். ஒரு செயல்பாடு ஒரு புள்ளியில் அரை வேறுபடுத்தக்கூடியதாக இருந்தால், அது a இல் தொடர்ச்சியானது என்பதைக் குறிக்கிறது. காட்டிச் செயல்பாடு 1 [0, ≤) ஒவ்வொரு உண்மையான a யிலும் சரியாக வேறுபடுத்தக்கூடியது, ஆனால் பூஜ்ஜியத்தில் தொடர்ச்சியற்றது (இந்த காட்டிச் செயல்பாடு பூஜ்ஜியத்தில் வேறுபடுத்தக்கூடியது அல்ல என்பதைக் கவனியுங்கள்). பயன்பாடு உண்மையான கோட்டின் இடைவெளி I இல் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு உண்மையான மதிப்புள்ள, வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாடு f, எல்லா இடங்களிலும் பூஜ்ஜிய வழித்தோன்றலைக் கொண்டிருந்தால், சராசரி மதிப்பு தேற்றத்தின் பயன்பாடு காட்டுவது போல் அது நிலையானது. வேறுபடுத்தக்கூடிய தன்மையின் அனுமானத்தை f இன் தொடர்ச்சி மற்றும் ஒரு பக்க வேறுபடுத்தக்கூடிய தன்மைக்கு பலவீனப்படுத்தலாம். வலது வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாடுகளுக்கான பதிப்பு கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளது, இடது வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாடுகளுக்கான பதிப்பு ஒத்ததாகும். இடது அல்லது வலதுபுறத்தில் செயல்படும் வேறுபட்ட இயக்கிகள் மற்றொரு பொதுவான பயன்பாடு இன்ஃபிக்ஸ் குறியீட்டில் பைனரி இயக்கிகளாக கருதப்படும் வழித்தோன்றல்களை விவரிப்பதாகும், இதில் வழித்தோன்றல்கள் இடது அல்லது வலது இயக்கங்களில் பயன்படுத்தப்பட வேண்டும். உதாரணமாக, பாய்சான் அடைப்புக்குறியின் பொதுமைப்படுத்தல்களை வரையறுக்கும் போது இது பயனுள்ளதாக இருக்கும். ஒரு ஜோடி செயல்பாடுகளுக்கு f மற்றும் g, இடது மற்றும் வலது வழித்தோன்றல்கள் முறையே வரையறுக்கப்படுகின்றன ப்ரா-கெட் குறியீட்டில், வழித்தோன்றல் ஆபரேட்டர் வலது செயல்பாட்டில் வழக்கமான வழித்தோன்றலாகவோ அல்லது இடதுபுறத்தில் எதிர்மறை வழித்தோன்றலாகவோ செயல்பட முடியும். உயர் பரிமாண வழக்கு இந்த மேற்கண்ட வரையறையை திசை வழித்தோன்றலின் பலவீனமான பதிப்பைப் பயன்படுத்தி Rn இன் துணைக்குழுக்களில் வரையறுக்கப்பட்ட உண்மையான மதிப்புள்ள செயல்பாடுகளுக்கு பொதுமைப்படுத்தலாம். f இன் களத்தின் ஒரு உட்புற புள்ளியாக a இருக்கட்டும். பின்னர் f என்பது a புள்ளியில் அரை வேறுபடுத்தக்கூடியது என்று அழைக்கப்படுகிறது, ஒவ்வொரு திசையிலும் u ω Rn உடன் வரம்பு ஒரு உண்மையான எண்ணாக இருந்தால். எனவே அரை-வேறுபாடு என்பது கேடாக்ஸ் வேறுபடுத்துதலை விட பலவீனமானது, இதற்காக ஒருவர் h ஐ நேர்மறை மதிப்புகளுக்கு மட்டுமே கட்டுப்படுத்தாமல் h → 0 க்கு மேலே உள்ள வரம்பை எடுத்துக்கொள்கிறார். எடுத்துக்காட்டாக, செயல்பாடு அரை வேறுபடுத்தக்கூடியது, ஆனால் அங்கு கேடக்ஸ் வேறுபடுத்தக்கூடியது அல்ல. உண்மையில், உடன் (இந்த பொதுமைப்படுத்தல் n = 1 க்கான அசல் வரையறைக்கு சமமானதல்ல என்பதை நினைவில் கொள்க, ஏனெனில் ஒரு பக்க வரம்பு புள்ளிகள் என்ற கருத்து உட்புற புள்ளிகளின் வலுவான கருத்துடன் மாற்றப்படுகிறது. பண்புகள் Rn இன் குவிந்த திறந்த துணைக்குழுவில் எந்த குவிந்த செயல்பாடும் அரை வேறுபடுத்தக்கூடியது. ஒரு மாறியின் ஒவ்வொரு அரை வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாடும் தொடர்ச்சியானது என்றாலும், இது பல மாறிகளுக்கு இனி பொருந்தாது. உண்மையான மதிப்புள்ள செயல்பாடுகளுக்கு பதிலாக பொதுமைப்படுத்தல், Rn அல்லது பானாச் இடத்தில் மதிப்புகளை எடுக்கும் செயல்பாடுகளை ஒருவர் பரிசீலிக்கலாம். மேலும் காண்க வழித்தோன்றல் வழித்தோன்றல் பகுதி வழித்தோன்றல் கிரேடியாக்ஸ் வழித்தோன்றல் ஃப்ரெச்செட் வழித்தோன்றல் வழித்தோன்றல் (பொதுமைப்படுத்தல்கள்) டினி வழித்தோன்றல்கள் குறிப்புகள் உண்மையான பகுப்பாய்வு வேறுபட்ட கால்குலஸ் சான்றுகள் செயல்பாடுகள் மற்றும் வரைபடங்களைக் கொண்ட கட்டுரைகள்