Product measure
கணிதத்தில், அளவிடக்கூடிய இரண்டு இடைவெளிகள் மற்றும் அவற்றின் மீது அளவீடுகள் கொடுக்கப்பட்டால், ஒருவர் அளவிடக்கூடிய ஒரு தயாரிப்பு இடத்தையும் அந்த இடத்தில் ஒரு தயாரிப்பு அளவீட்டையும் பெற முடியும். கருத்தியல் ரீதியாக, இது செட்டுகளின் கார்ட்டீசியன் தயாரிப்பு மற்றும் இரண்டு இடவியல் இடைவெளிகளின் தயாரிப்பு இடவியல் ஆகியவற்றை வரையறுப்பது போன்றது, தவிர தயாரிப்பு அளவீட்டுக்கு பல இயற்கையான தேர்வுகள் இருக்கலாம். அளவிடக்கூடிய இரண்டு இடைவெளிகள், அதாவது முறையே சிக்மா ஆல்ஜிப்ராக்கள், மற்றும் இந்த இடைவெளிகளில் அளவீடுகளாக இருக்கட்டும். வடிவத்தின் துணைக்குழுக்களால் உருவாக்கப்பட்ட கார்ட்டீசியன் பெருக்கல் மீது சிக்மா இயற்கணிதத்தால் குறிக்கவும், இந்த சிக்மா இயற்கணிதம் தயாரிப்பு இடத்தில் டென்சர்-தயாரிப்பு σ-இயற்கணிதம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு தயாரிப்பு அளவீடு (பல எழுத்தாளர்களால் குறிக்கப்படுகிறது) என்பது அனைவருக்கும் பண்புகளை திருப்திப்படுத்தும் அளவிடக்கூடிய இடத்தில் ஒரு அளவீடு என்று வரையறுக்கப்படுகிறது. (பெருக்கும் அளவீடுகளில், அவற்றில் சில எல்லையற்றவை, ஏதேனும் காரணி பூஜ்ஜியமாக இருந்தால் பெருக்கல் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் என்று வரையறுக்கிறோம்.) உண்மையில், இடைவெளிகள்-எல்லையற்றதாக இருக்கும்போது, தயாரிப்பு அளவீடு தனித்துவமாக வரையறுக்கப்படுகிறது, மேலும் ஒவ்வொரு அளவிடக்கூடிய தொகுப்பு E க்கும், எங்கே மற்றும், இவை இரண்டும் அளவிடக்கூடிய தொகுப்புகளாகும். இந்த அளவின் இருப்பு ஹான்-கொல்மோகோரோவ் தேற்றத்தால் உத்தரவாதம் அளிக்கப்படுகிறது. இரண்டும் σ-எல்லைக்குட்பட்டதாக இருந்தால் மட்டுமே தயாரிப்பு அளவின் தனித்துவம் உத்தரவாதம் அளிக்கப்படுகிறது. யூக்ளிடியன் இடைவெளி Rn இல் உள்ள போரெல் அளவீடுகளை உண்மையான கோடு R இல் உள்ள போரெல் அளவீடுகளின் n நகல்களின் பெருக்கலாகப் பெறலாம். தயாரிப்பு இடத்தின் இரண்டு காரணிகளும் முழுமையான அளவீட்டு இடங்களாக இருந்தாலும், தயாரிப்பு இடம் இருக்காது. இதன் விளைவாக, லெபெஸ்கூ அளவீட்டில் போரெல் அளவீட்டை நீட்டிக்க அல்லது தயாரிப்பு இடத்தில் லெபெஸ்கூ அளவீட்டைக் கொடுக்க இரண்டு லெபெஸ்கூ நடவடிக்கைகளின் உற்பத்தியை நீட்டிக்க நிறைவு செயல்முறை தேவைப்படுகிறது. இரண்டு அளவீடுகளின் விளைபொருளை உருவாக்குவதற்கு எதிரான கட்டுமானம் சிதைவு ஆகும், இது ஒருவிதத்தில் கொடுக்கப்பட்ட அளவீட்டை அசல் அளவீட்டைக் கொடுக்க ஒருங்கிணைக்கக்கூடிய அளவீடுகளின் குடும்பமாக "பிரிக்கிறது". எடுத்துக்காட்டாக, இரண்டு அளவீட்டு இடைவெளிகள் கொடுக்கப்பட்டால், அவற்றின் பெருக்கலில் எப்போதும் ஒரு தனித்துவமான அதிகபட்ச பெருக்கல் அளவீடு இருக்கும், சில அளவிடக்கூடிய தொகுப்பு A க்கு μmax (A) வரையறுக்கப்பட்டதாக இருந்தால், எந்தவொரு பெருக்கல் அளவிற்கும் μmax (A) = μ (A). குறிப்பாக அளவிடக்கூடிய எந்தவொரு தொகுப்பிலும் அதன் மதிப்பு குறைந்தபட்சம் வேறு எந்த தயாரிப்பு அளவிற்கும் இருக்கும். இது கராத்தியோடரி விரிவாக்க தேற்றத்தால் உருவாக்கப்பட்ட அளவீடு ஆகும். சில நேரங்களில் ஒரு தனித்துவமான குறைந்தபட்ச தயாரிப்பு அளவீடும் உள்ளது, இது ஒரு தனித்துவமான குறைந்தபட்ச தயாரிப்பு அளவீடு ஆகும், இது ஒரு தனித்துவமான அளவீட்டு அளவீடு ஆகும், இது ஒரு தனித்துவமான அளவீட்டு அளவீடு ஆகும், இது ஒரு தனித்துவமான அளவீட்டு அளவீடு ஆகும், இது ஒரு தனித்துவமான அளவீட்டு அளவீடு ஆகும், இது ஒரு தனித்துவமான அளவீட்டு அளவீடு ஆகும். ஒரு தயாரிப்பு ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட தயாரிப்பு அளவைக் கொண்ட ஒரு எடுத்துக்காட்டு இங்கே. X × Y என்ற பெருக்கலை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள், இதில் X என்பது லெபெஸ்கூ அளவீட்டுடன் கூடிய அலகு இடைவெளி, மற்றும் Y என்பது எண்ணும் அளவீட்டுடன் கூடிய அலகு இடைவெளி மற்றும் அனைத்து தொகுப்புகளும் அளவிடக்கூடியவை. பின்னர் குறைந்தபட்ச தயாரிப்பு அளவீட்டிற்கு ஒரு தொகுப்பின் அளவீடு அதன் கிடைமட்ட பிரிவுகளின் அளவீடுகளின் கூட்டுத்தொகையாகும், அதே நேரத்தில் அதிகபட்ச தயாரிப்பு அளவீட்டிற்கு ஒரு தொகுப்பு அளவீட்டு முடிவிலியைக் கொண்டுள்ளது, இது A × B வடிவத்தின் எண்ணக்கூடிய எண்ணிக்கையிலான தொகுப்புகளின் சங்கமத்தில் இல்லாவிட்டால், இதில் A க்கு லெபெஸ்கூ அளவீடு 0 அல்லது B என்பது ஒற்றை புள்ளி. (இந்த விஷயத்தில் அளவீடு வரையறுக்கப்பட்ட அல்லது எல்லையற்றதாக இருக்கலாம்.) குறிப்பாக, மூலைவிட்டமானது குறைந்தபட்ச தயாரிப்பு அளவீட்டிற்கு 0 அளவைக் கொண்டுள்ளது மற்றும் அதிகபட்ச தயாரிப்பு அளவீட்டிற்கான முடிவிலியை அளவிடுகிறது. மேலும் காண்கஃ ஃபுபினியின் தேற்றம் குறிப்புகள் அளவீடுகள் (அளவீட்டுக் கோட்பாடு) ஒருங்கிணைந்த கால்குலஸ்