Serre spectral sequence
கணிதத்தில், செர்ரே நிறமாலை வரிசை (சில நேரங்களில் லெரே நிறமாலை வரிசையில் ஜீன் லெரேயின் முந்தைய பணியை அங்கீகரிக்க லெரே-செர்ரே நிறமாலை வரிசை) இயற்கணித இடவியலில் ஒரு முக்கியமான கருவியாகும். இது ஹோமோலாஜிக்கல் அல்ஜீப்ராவின் மொழியில், ஒரு (செர்ரே) இழையின் மொத்த இடைவெளி X இன் ஒற்றை (கோ) ஹோமோலஜியை அடிப்படை இடைவெளி B மற்றும் ஃபைபர் F இன் (கோ) ஹோமோலஜியின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்துகிறது. இதன் விளைவாக ஜீன்-பியர் செர்ரே தனது முனைவர் ஆய்வறிக்கையில் உள்ளார். கோஹோமோலஜி ஸ்பெக்ட்ரல் வரிசை இடவியல் இடைவெளிகளின் செர் இழையாக இருக்கட்டும், மேலும் எஃப் (பாதை-இணைக்கப்பட்ட) இழையாக இருக்கட்டும். செர்ரே கோஹோமோலஜி ஸ்பெக்ட்ரல் வரிசை பின்வருமாறுஃ இங்கே, குறைந்தபட்சம் நிலையான எளிமைப்படுத்தும் நிலைமைகளின் கீழ்,-சொல்லில் உள்ள குணகக் குழு F இன் q-th ஒருங்கிணைந்த கோஹோமோலஜி குழுவாகும், மேலும் வெளிப்புறக் குழு அந்த குழுவில் உள்ள குணகங்களுடன் B இன் ஒற்றை கோஹோமோலஜி ஆகும். கண்டிப்பாகச் சொல்வதானால், பல்வேறு இழைகளின் கோஹோமோலஜியால் வழங்கப்பட்ட B இல் உள்ள உள்ளூர் குணகம் அமைப்பைப் பொறுத்தவரை கோஹோமோலஜி என்று பொருள்படும். எடுத்துக்காட்டாக, பி வெறுமனே இணைக்கப்பட்டுள்ளது என்று கருதினால், இது வழக்கமான கோஹோமோலஜிக்கு வீழ்ச்சியடைகிறது. ஒரு பாதை இணைக்கப்பட்ட அடித்தளத்திற்கு, அனைத்து வெவ்வேறு இழைகளும் ஹோமோடாபி சமமானவை. குறிப்பாக, அவற்றின் கோஹோமோலஜி ஐசோமார்பிக் ஆகும், எனவே "ஃபைபர்" தேர்வு எந்த தெளிவின்மையையும் கொடுக்காது. அடைப்பு என்பது மொத்த இடைவெளி X இன் ஒருங்கிணைந்த ஒத்திசைவைக் குறிக்கிறது. இந்த நிறமாலை வரிசையை ஜோடியின் கோஹோமோலஜியின் நீண்ட துல்லியமான வரிசைகளிலிருந்து கட்டப்பட்ட ஒரு துல்லியமான ஜோடியிலிருந்து பெறலாம், அங்கு பி-எலும்புக்கூட்டின் மீது இழையின் கட்டுப்பாடு உள்ளது. மேலும் துல்லியமாக, இந்த குறியீட்டைப் பயன்படுத்தி, f என்பது ஒவ்வொரு துண்டையும் கட்டுப்படுத்துவதன் மூலம் வரையறுக்கப்படுகிறது, g என்பது ஜோடியின் நீண்ட துல்லியமான வரிசையில் கோபான்டரி வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி வரையறுக்கப்படுகிறது, மேலும் h என்பது கட்டுப்படுத்துவதன் மூலம் வரையறுக்கப்படுகிறது. ஹோமோலஜி ஸ்பெக்ட்ரல் வரிசை இதேபோல் கோஹோமோலஜி ஸ்பெக்ட்ரல் வரிசைக்கு, ஹோமோலஜிக்கு ஒன்று உள்ளதுஃ இங்கு குறியீடுகள் மேலே உள்ளவற்றுக்கு இரட்டை. எடுத்துக்காட்டு கணக்கீடுகள் ஹோப்ஃப் ஃபைப்ரேஷன் ஹோப்ஃப் ஃபைப்ரேஷன் மூலம் வழங்கப்படுகிறது என்பதை நினைவில் கொள்க. லெரே-செர்ரே ஸ்பெக்ட்ரல் வரிசையின்-பக்கம் வேறுபாடு கீழே மற்றும் வலதுபுறம் செல்கிறது என்று கூறுகிறது. எனவே ஒரே வேறுபாடு அவசியமில்லை, ஏனென்றால் மீதமுள்ளவை டொமைன் அல்லது கோடமைன் 0 ஐக் கொண்டுள்ளன (அவை E2-பக்கத்தில் இருப்பதால்). குறிப்பாக, இந்த வரிசை E2 = E ≤ இல் சீரழிகிறது. E3-பக்கம் ஸ்பெக்ட்ரல் வரிசை அதாவது. சுவாரஸ்யமான பகுதிகளை மதிப்பீடு செய்தால், நம்மிடம் உள்ளது மற்றும் இரண்டின் கோஹோமோலஜியை அறிவது பூஜ்ஜியமாகும், எனவே வேறுபாடு ஒரு ஐசோமார்பிசம் ஆகும். ஒரு சிக்கலான திட்டவட்டமான வகையின் மீது கோள மூட்டை ஒரு சிக்கலான n-பரிமாண திட்டவட்டமான வகையைக் கொடுத்தால், உட்பொதிப்பிலிருந்து வருவதற்கு வரி மூட்டைகளின் நியமன குடும்பம் உள்ளது. இது அனுப்பும் உலகளாவிய பிரிவுகளால் வழங்கப்படுகிறது நாம் ஒரு தரவரிசை திசையன் மூட்டையை உருவாக்கினால், இது திசையன் மூட்டைகளின் வரையறுக்கப்பட்ட வைட்னி கூட்டுத்தொகையாகும், அதன் இழைகள் கோளங்களாக இருக்கும் ஒரு கோள மூட்டை உருவாக்க முடியும். பின்னர், ஒருங்கிணைந்த கோஹோமோலஜியை கணக்கிட ஆய்லர் வகுப்புடன் செர்ரே ஸ்பெக்ட்ரல் வரிசையைப் பயன்படுத்தலாம். இதன் மூலம்-பக்கம் வழங்கப்படுகிறது. அற்பமான வேறுபாடுகள் மட்டுமே-பக்கத்தில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன என்பதை நாம் காண்கிறோம், மேலும் அவை யூலர் வகுப்புடன் இணைப்பதன் மூலம் வரையறுக்கப்படுகின்றன. இந்த விஷயத்தில் இது சிறந்த செர்ன் வகுப்பால் வழங்கப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு K3 மேற்பரப்புக்கான திசையன் மூட்டையைக் கவனியுங்கள். பின்னர், ஸ்பெக்ட்ரல் வரிசை லெஃப்ஷெட்ஸ் வகுப்பின் சதுரத்திற்கான வேறுபாடு என்று படிக்கிறது. இந்த விஷயத்தில், ஒரே அற்பமான வேறுபாடு என்னவென்றால், அற்பமான கோஹோமோலஜி குழுக்கள் மட்டுமே அடிப்படை பாதை இடைவெளி ஃபைப்ரேஷன் என்பதைக் குறிப்பிடுவதன் மூலம் இந்த கணக்கீட்டை முடிக்க முடியும் நாம் முதலில் ஒரு அடிப்படை எடுத்துக்காட்டுடன் தொடங்குகிறோம்; பாதை இடைவெளி ஃபைப்ரேஷனைக் கருத்தில் கொள்ளுங்கள் அடிப்படை மற்றும் மொத்த இடத்தின் ஒத்த தன்மையை நாம் அறிவோம், எனவே செர்ரே ஸ்பெக்ட்ரல் வரிசைவு வளைய இடத்தின் ஒத்த தன்மையை நமக்குச் சொல்ல முடியும் என்று நமது உள்ளுணர்வு கூறுகிறது. E2 பக்கத்தில் என்ன நடக்கலாம் என்பதைக் கட்டுப்படுத்த E ≤ பக்கத்தைப் (மொத்த இடத்தின் ஒத்த தன்மை) பயன்படுத்துவதன் மூலம் ஒரு இழையின் ஒத்த தன்மையைப் படிக்க முடியும் என்பதற்கு இது ஒரு எடுத்துக்காட்டு. எனவே அதை நினைவில் கொள்ளுங்கள் எனவே q = 0 ஆக இருக்கும்போது, வழக்கமான முழு எண் மதிப்புள்ள ஹோமோலஜி குழுக்கள் Hp (Sn + 1) ஐப் பார்க்கிறோம், அவை 0 மற்றும் n + 1 டிகிரிகளில் மதிப்பு மற்றும் மற்ற எல்லா இடங்களிலும் மதிப்பு 0 ஐக் கொண்டுள்ளன. இருப்பினும், பாதை இடைவெளி சுருங்கக்கூடியதாக இருப்பதால், வரிசை E φ ஐ அடையும் நேரத்தில், p = q = 0 இல் உள்ள குழுவைத் தவிர எல்லாம் 0 ஆகிவிடும் என்பதை நாம் அறிவோம். மற்றொரு குழுவிலிருந்து ஒரு ஐசோமார்பிசம் இருந்தால் மட்டுமே இது நடக்க முடியும். இருப்பினும், ஒரு குழு பூஜ்ஜியமற்றதாக இருக்கக்கூடிய ஒரே இடங்கள் p = 0 அல்லது p = n + 1 நெடுவரிசைகளில் உள்ளன, எனவே இந்த ஐசோமார்பிசம் கோடோமைனுடன் En + 1 பக்கத்தில் நிகழ வேண்டும். இந்த செயல்முறையை தூண்டுதலாக மீண்டும் செய்வது, மற்ற எல்லா இடங்களிலும் n மற்றும் 0 இன் முழு எண் மடங்குகளில் ஹாய் (ωSn + 1) மதிப்பைக் கொண்டுள்ளது என்பதைக் காட்டுகிறது. சிக்கலான ப்ரொஜெக்டிவ் ஸ்பேஸின் கோஹோமோலஜி வளையம் ஃபைப்ரேஷனைப் பயன்படுத்துவதற்கான கோஹோமோலஜியை நாம் கணக்கிடுகிறோம்ஃ இப்போது, E2 பக்கத்தில், 0,0 ஒருங்கிணைப்பில் வளையத்தின் அடையாளம் உள்ளது. 0, 1 ஒருங்கிணைப்பில், உருவாக்கும் ஒரு உறுப்பு i உள்ளது இருப்பினும், வரம்பு பக்கத்தின் மூலம், 2n + 1 டிகிரியில் அற்பமான ஜெனரேட்டர்கள் மட்டுமே இருக்க முடியும் என்பதை நாம் அறிவோம், ஜெனரேட்டர் i என்பது 2,0 ஒருங்கிணைப்பில் உள்ள சில உறுப்பு x ஐ மீற வேண்டும் என்று கூறுகிறது. இப்போது, 2,1 ஒருங்கிணைப்பில் ஒரு உறுப்பு ix இருக்க வேண்டும் என்று இது நமக்குச் சொல்கிறது. 4, 0 ஒருங்கிணைப்பு x2 ஆக இருக்க வேண்டும் என்று லீப்னிஸ் விதியின் மூலம் d (ix) = x2 ஐ நாம் காண்கிறோம், ஏனெனில் டிகிரி 2n + 1 வரை அற்பமான ஒத்த தன்மை இருக்க முடியாது. 2n + 1 வரை இந்த வாதத்தை மீண்டும் மீண்டும் தூண்டுவது 2n ஒருங்கிணைப்பில் ixn ஐக் கொடுக்கிறது, இது அந்த அளவில் ஒரே ஜெனரேட்டராக இருக்க வேண்டும், இதனால் 2n + 1,0 ஒருங்கிணைப்பு 0 ஆக இருக்க வேண்டும் என்று நமக்குச் சொல்கிறது. ஸ்பெக்ட்ரல் வரிசையின் கிடைமட்ட கீழ் வரிசையை வாசிப்பது நமக்கு கோஹோமோலஜி வளையத்தை அளிக்கிறது, மேலும் இது பதில் என்னவென்று நமக்குச் சொல்கிறது எல்லையற்ற சிக்கலான ப்ரொஜெக்டிவ் ஸ்பேஸைப் பொறுத்தவரை, வரம்புகளை எடுத்துக்கொள்வது மூன்று கோளங்களின் நான்காவது ஹோமோடாபி குழுவிற்கு பதிலளிக்கிறது செர்ரே ஸ்பெக்ட்ரல் வரிசையின் மிகவும் அதிநவீன பயன்பாடு கணக்கீடு இந்த குறிப்பிட்ட எடுத்துக்காட்டு கோளங்களின் உயர் ஹோமோடாபி குழுக்களைப் பற்றிய தகவல்களைக் கண்டுபிடிப்பதற்காக ஒருவர் பயன்படுத்தக்கூடிய ஒரு முறையான நுட்பத்தை விளக்குகிறது. பின்வரும் இழையைக் கவனியுங்கள், இது எய்லன்பெர்க்-மேக்லேன் இடைவெளி இருக்கும் இடத்தில் ஒரு ஐசோமார்பிசம் ஆகும். பின்னர் வரைபடத்தை ஒரு ஃபைப்ரேஷனாக மாற்றுகிறோம்; மறு செய்கை ஃபைபர் என்பது அடிப்படை இடத்தின் லூப் ஸ்பேஸ் என்பது பொதுவான அறிவு, எனவே எங்கள் எடுத்துக்காட்டில் ஃபைபர் என்று பெறுகிறோம். மொத்த கோஹோமோலஜியில் டிகிரி 3 இல் எதுவும் இல்லை என்பதால், இது ஒரு ஐசோமார்பிசத்தால் கொல்லப்பட வேண்டும் என்பதை நாம் அறிவோம். ஆனால் அதை வரைபடமாக்கக்கூடிய ஒரே உறுப்பு கோஹோமோலஜி வளையத்தின் ஜெனரேட்டர் a ஆகும், எனவே நம்மிடம் உள்ளது. எனவே கப் தயாரிப்பு கட்டமைப்பின் மூலம், டிகிரி 4 இல் உள்ள ஜெனரேட்டர், ஜெனரேட்டருக்கு 2 ஆல் பெருக்குவதன் மூலமும், டிகிரி 6 இல் உள்ள கோஹோமோலஜியின் ஜெனரேட்டர் 3 ஆல் பெருக்குவதன் மூலமும் வரைபடமாக்கப்படுகிறது. ஆனால் இப்போது நாம் X இன் கீழ் ஹோமோடாபி குழுக்களை (அதாவது, 4 க்கும் குறைவான டிகிரிகளில் உள்ள குழுக்கள்) மறு செய்கை இழுவைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் கொன்றுவிட்டதால், ஹூரெவிக்ஸ் தேற்றத்தின் மூலம், கோரோலரிஃ ஆதாரம்ஃ ஹோப் ஃபைப்ரேஷனுக்கான ஹோமோடாபி குழுக்களின் நீண்ட துல்லியமான வரிசையை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். மேலும் காண்க கைசின் வரிசை குறிப்புகள் செர்ரே நிறமாலை வரிசை இயற்கணித இடவியல் பற்றிய பெரும்பாலான பாடப்புத்தகங்களில் உள்ளடக்கப்பட்டுள்ளது, எ. கா. ஆலன் ஹாட்சர், ஸ்பெக்ட்ரல் சீக்வென்சஸ் எட்வின் ஸ்பானியர், ஆல்ஜீப்ராயிக் டோபாலஜி, ஸ்பிரிங்கர் ஜேம்ஸ் டேவிஸ், பால் கிர்க் ஆகியோரும், இயற்கணித டோபாலஜியில் சொற்பொழிவு குறிப்புகள் செர் ஸ்பெக்ட்ரல் வரிசையின் பல நல்ல பயன்பாடுகளை வழங்குகிறது. ஒரு நேர்த்தியான கட்டுமானம் ஆண்ட்ரியாஸ் டிரஸ், சூர் ஸ்பெக்ட்ரால்ஸீக்வென்ஸ் ஐனர் ஃபாஸெரங், இன்வென்ஷன்ஸ் மேத்தமேடிகே 3 (1967), 172-178, EuDML காரணமாகும். எளிமையான தொகுப்புகளின் வழக்கு பால் கோர்ஸ், ரிக் ஜார்டின், எளிமையான ஹோமோடாபி கோட்பாடு, பிர்காசர் இயற்கணித இடவியல் ஸ்பெக்ட்ரல் வரிசைகளில் சிகிச்சையளிக்கப்படுகிறது.