Tverberg's theorem
தனித்துவமான வடிவவியலில், 1966 ஆம் ஆண்டில் ஹெல்ஜ் ட்வெர்பெர்க் முதன்முதலில் கூறிய ட்வெர்பெர்க்கின் தேற்றம், டி-பரிமாண யூக்ளிடியன் இடத்தில் போதுமான பல புள்ளிகளை வெட்டப்பட்ட குவிந்த மேலோட்டங்களுடன் துணைக்குழுக்களாகப் பிரிக்க முடியும். குறிப்பாக, எந்தவொரு நேர்மறை முழு எண்களுக்கும் d, r மற்றும் எந்த புள்ளிகளின் தொகுப்புக்கும் ஒரு புள்ளி x உள்ளது (கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகளில் ஒன்று அவசியமில்லை) மற்றும் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகளை r துணைக்குழுக்களாகப் பிரிப்பது, அதாவது x அனைத்து துணைக்குழுக்களின் குவிந்த மேலோட்டத்தைச் சேர்ந்தது. இந்த தேற்றத்தின் விளைவாக ஏற்படும் பகிர்வு ட்வெர்பர்க் பகிர்வு என்று அழைக்கப்படுகிறது. சிறப்பு வழக்கு r = 2 ரேடானால் முன்பு நிரூபிக்கப்பட்டது, மேலும் இது ரேடானின் தேற்றம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டுகள் வழக்கு d = 1, உண்மையான கோட்டில் உள்ள எந்த 2r-1 புள்ளிகளையும் r துணைக்குழுக்களாக பிரித்தெடுக்கக்கூடிய குவிந்த மேலோட்டங்களுடன் பிரிக்கலாம் என்று கூறுகிறது. உண்மையில், புள்ளிகள் x1 <x2 <. <x2r <x2r-1 ஆக இருந்தால், 1,., r இல் உள்ள i க்கான AI = {xi, x2r-i} இல் உள்ள பகிர்வு இந்த நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்கிறது (அது தனித்துவமானது). r = 2 ஐப் பொறுத்தவரை, டுவெர்பெர்க்கின் தேற்றம் எந்தவொரு d + 2 புள்ளிகளையும் இரண்டு துணைக்குழுக்களாகப் பிரிக்கலாம் என்று கூறுகிறது. இது ரேடானின் தேற்றம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த வழக்கில், பொது நிலையில் உள்ள புள்ளிகளுக்கு, பகிர்வு தனித்துவமானது. r = 3 மற்றும் d = 2 என்ற வழக்கு, தளத்தில் உள்ள எந்த ஏழு புள்ளிகளும் மூன்று துணைக்குழுக்களாகப் பிரிக்கப்படலாம் என்று கூறுகிறது. ஏழு புள்ளிகள் ஒரு வழக்கமான முக்கோணத்தின் செங்குத்துகளாக இருக்கும் ஒரு உதாரணத்தை விளக்கப்படம் காட்டுகிறது. எடுத்துக்காட்டு காட்டுவது போல, ஒரே புள்ளிகளின் தொகுப்பில் பல வேறுபட்ட ட்வெர்பர்க் பகிர்வுகள் இருக்கலாம்; இந்த ஏழு புள்ளிகள் ஏழு வெவ்வேறு வழிகளில் பிரிக்கப்படலாம், அவை ஒருவருக்கொருவர் சுழற்சிகளால் வேறுபடுகின்றன. இடவியல் ட்வெர்பர்க் தேற்றம் ட்வெர்பர்க்கின் தேற்றத்தின் சமமான சூத்திரம் பின்வருமாறுஃ d, r நேர்மறை முழு எண்களாகவும், N: = (d + 1) (r-1) ஆகவும் இருக்கட்டும். ஒரு N-பரிமாண சிம்ப்ளக்ஸ் ΔN முதல் Rd வரை ஏதேனும் அஃபைன் செயல்பாடு என்றால், அதன் கீழ் உள்ள படங்களை குறுக்கிடும் r ஜோடி வாரியாக-வேறுபட்ட முகங்கள் உள்ளன. அதாவதுஃ ஒரு சிம்ப்ளக்ஸில் உள்ள எந்தவொரு அஃபைன் செயல்பாடும் அதன் செங்குத்துகளின் படங்களால் தனித்துவமாக தீர்மானிக்கப்படுவதால், F1,., Fr இன் ΔN மற்றும் அவை சமமானவை. முறைப்படி, f என்பது ΔN முதல் Rd வரை ஒரு அஃபைன் செயல்பாடாக இருக்கட்டும். ΔN இன் செங்குத்துகளாக இருக்கட்டும், மேலும் அவற்றின் படங்கள் f இன் கீழ் இருக்கட்டும். அசல் சூத்திரத்தின் மூலம், r ஐ வேறுபட்ட துணைக்குழுக்களாகப் பிரிக்கலாம், எ. கா. ((xi) i இல் அஜ்) j இல் [r] ஒன்றுடன் ஒன்று குவிந்த மேலோடு. f என்பது அஃபைன் என்பதால், அஜில் உள்ள (xi) i இன் குவிந்த மேலோடு என்பது [r] இல் உள்ள அனைத்து j க்கும் அஜில் உள்ள செங்குத்துகள் (vi) i ஆல் பரவியிருக்கும் முகத்தின் உருவமாகும். இந்த முகங்கள் ஜோடி வாரியாக வேறுபடுகின்றன, மேலும் அவற்றின் உருவங்கள் f குறுக்குவெட்டின் கீழ் உள்ளன-புதிய சூத்திரத்தால் கூறப்பட்டுள்ளது. இடவியல் ட்வெர்பெர்க் தேற்றம் இந்த வடிவமைப்பை பொதுமைப்படுத்துகிறது. இது f ஐ எந்தவொரு தொடர்ச்சியான செயல்பாடாகவும் இருக்க அனுமதிக்கிறது-அஃபைன் அவசியமில்லை. ஆனால், தற்போது இது r ஒரு பகா சக்தி என்ற விஷயத்தில் மட்டுமே நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளதுஃ d ஒரு நேர்மறை முழு எண்ணாக இருக்கட்டும், r ஒரு பகா எண்ணின் சக்தியாக இருக்கட்டும். N: = (d + 1) (r-1) என்று வைத்துக்கொள்வோம். ஒரு N-பரிமாண சிம்ப்ளக்ஸ் δN முதல் Rd வரை ஏதேனும் தொடர்ச்சியான செயல்பாடு என்றால், δN இன் r ஜோடி வாரியாக-வேறுபட்ட முகங்கள் உள்ளன, அவற்றின் படங்கள் f குறுக்குவெட்டின் கீழ் உள்ளன. அதாவதுஃ F1,., Fr of ΔN போன்ற முகங்கள் உள்ளன மற்றும். ஆதாரங்கள் இடவியல் ட்வெர்பெர்க் தேற்றம் பகா r க்கு பாரனி, ஷ்லோஸ்மேன் மற்றும் ஸ்சுக்ஸ் ஆகியோரால் நிரூபிக்கப்பட்டது. மேடௌசெக் நீக்கப்பட்ட இணைப்புகளைப் பயன்படுத்தி ஒரு ஆதாரத்தை வழங்குகிறார். இந்த தேற்றம் r ஒரு முதன்மை-சக்தி என்று ஓசாய்டின் மற்றும் பின்னர் வோலோவிகோவ் மற்றும் சர்க்காரியா ஆகியோரால் நிரூபிக்கப்பட்டது. ரோட்டாவின் அடிப்படை அனுமானம் ட்வெர்பர்க்-வகை கோட்பாடுகள் மற்றும் பின்ன ஹெல்லி பண்பு ஆகியவற்றையும் பார்க்கவும். குறிப்புகள் குவிந்த வடிவவியலில் உள்ள தேற்றங்கள் தனித்துவமான வடிவவியலில் உள்ள தேற்றங்கள் வடிவியல் குறுக்குவெட்டு கோட்பாடு கன்வெக்ஸ் ஹல்