Enriques surface
கணிதத்தில், என்ரிக் மேற்பரப்புகள் இயற்கணித மேற்பரப்புகளாகும், அதாவது ஒழுங்கின்மை q = 0 மற்றும் நியமனக் கோடு மூட்டை K ஆகியவை அற்பமானவை அல்ல, ஆனால் அற்பமான சதுரத்தைக் கொண்டுள்ளன. என்ரிக் மேற்பரப்புகள் அனைத்தும் திட்டவட்டமானவை (எனவே சிக்கலான எண்களுக்கு மேல் கோஹ்லர்) மற்றும் 0 இனத்தின் நீள்வட்ட மேற்பரப்புகள் ஆகும். 2 அல்லாத பண்பு புலங்களில் அவை நிலையான புள்ளிகள் இல்லாமல் செயல்படும் வரிசை 2 இன் குழுவால் K3 மேற்பரப்புகளின் மேற்கோள்கள் மற்றும் அவற்றின் கோட்பாடு இயற்கணித K3 மேற்பரப்புகளைப் போன்றது. என்ரிக் மேற்பரப்புகள் முதன்முதலில் விரிவாக ஆய்வு செய்யப்பட்டன, q = pg = 0 கொண்ட ஒரு மேற்பரப்பு அவசியம் பகுத்தறிவுள்ளதா என்பது பற்றி விவாதிக்கப்பட்ட ஒரு கேள்விக்கான பதிலாக, இருப்பினும் முன்பு அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட சில ரேய் ஒற்றுமைகள் என்ரிக் மேற்பரப்புகளுக்கு எடுத்துக்காட்டுகளாகும். என்ரிக் மேற்பரப்புகளை மற்ற புலங்களிலும் வரையறுக்கலாம். 2 ஐத் தவிர வேறு பண்பு புலங்களில், இந்தக் கோட்பாடு சிக்கலான எண்களுக்கு மேல் உள்ள கோட்பாட்டைப் போன்றது என்பதைக் காட்டியது. சிறப்பியல்பு 2 இன் புலங்களில் வரையறை மாற்றியமைக்கப்பட்டுள்ளது, மேலும் இரண்டு புதிய குடும்பங்கள் உள்ளன, அவை ஒருமை மற்றும் மேல்நிலை என்ரிக்ஸ் மேற்பரப்புகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. இந்த இரண்டு கூடுதல் குடும்பங்களும் பண்பு 2 இல் வரிசை 2 இன் இரண்டு தனித்துவமற்ற இயற்கணித குழு திட்டங்களுடன் தொடர்புடையவை. சிக்கலான என்ரிக் மேற்பரப்புகளின் மாறிலிகள் n சமமாக இருந்தால் ப்ளூரிஜெனா Pn 1 ஆகவும், n ஒற்றைப்படை என்றால் 0 ஆகவும் இருக்கும். அடிப்படை குழுவிற்கு வரிசை 2 உள்ளது. இரண்டாவது கோஹோமோலஜி குழு H2 (X, Z) என்பது பரிமாணம் 10 மற்றும் கையொப்பம்-8 இன் தனித்துவமான ஒற்றை ஒற்றை லட்டிஸ் II1,9 மற்றும் வரிசை 2 இன் குழுவின் கூட்டுத்தொகைக்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும். ஹோட்ஜ் வைரம்ஃ குறிக்கப்பட்ட என்ரிக்ஸ் மேற்பரப்புகள் இணைக்கப்பட்ட 10 பரிமாண குடும்பத்தை உருவாக்குகின்றன, இது பகுத்தறிவைக் காட்டுகிறது. பண்பு 2 என்ரிக்ஸ் மேற்பரப்புகளின் சில புதிய குடும்பங்கள் உள்ளன, சில நேரங்களில் குவாசி என்ரிக்ஸ் மேற்பரப்புகள் அல்லது கிளாசிக்கல் அல்லாத என்ரிக்ஸ் மேற்பரப்புகள் அல்லது (சூப்பர்) ஒருமை என்ரிக்ஸ் மேற்பரப்புகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. ("ஒருமை" என்ற சொல் மேற்பரப்பு ஒருமைப்பாட்டைக் கொண்டுள்ளது என்று அர்த்தமல்ல, ஆனால் மேற்பரப்பு ஏதோ ஒரு வகையில் "சிறப்பு வாய்ந்தது" என்று அர்த்தம்.) சிறப்பியல்பு 2 இல் என்ரிக்ஸ் மேற்பரப்புகளின் வரையறை மாற்றியமைக்கப்பட்டுள்ளதுஃ அவை குறைந்தபட்ச மேற்பரப்புகளாக வரையறுக்கப்படுகின்றன, அவற்றின் நியமன வகுப்பு K எண்ணியல் ரீதியாக 0 க்கு சமமானது மற்றும் அதன் இரண்டாவது பெட்டி எண் 10 ஆகும். (2 ஐத் தவிர வேறு பண்புகளில் இது வழக்கமான வரையறைக்கு சமம்.) இப்போது என்ரிக் மேற்பரப்புகளில் 3 குடும்பங்கள் உள்ளனஃ கிளாசிக்கல்ஃ மங்கலான (H1 (O)) = 0. இது 2K = 0 ஐக் குறிக்கிறது, ஆனால் K பூஜ்ஜியமற்றது, மற்றும் பிகட் Z/2Z ஆகும். மேற்பரப்பு என்பது குழு திட்டமான μ2 ஆல் குறைக்கப்பட்ட ஒருமை கோரென்ஸ்டைன் மேற்பரப்பின் ஒரு ஈவு ஆகும். ஒற்றைஃ மங்கலானது (H1 (O)) = 1 மற்றும் ஃப்ரோபீனியஸ் எண்டோமார்பிசத்தால் அற்பமான முறையில் செயல்படுகிறது. இது K = 0 ஐக் குறிக்கிறது, மேலும் பிகட் என்பது μ2 ஆகும். மேற்பரப்பு என்பது Z/2Z குழு திட்டத்தால் ஒரு K3 மேற்பரப்பின் ஒரு ஈவு ஆகும். சூப்பர்சங்குலர்ஃ மங்கலானது (H1 (O)) = 1 மற்றும் ஃப்ரோபீனியஸ் எண்டோமார்பிசத்தால் அற்பமாக செயல்படுகிறது. இது K = 0 ஐக் குறிக்கிறது, மேலும் பிகட் α2 ஆகும். மேற்பரப்பு என்பது குழு திட்டமான α2 ஆல் குறைக்கப்பட்ட ஒருமை கோரென்ஸ்டைன் மேற்பரப்பின் ஒரு பகுதியாகும். அனைத்து என்ரிக் மேற்பரப்புகளும் நீள்வட்ட அல்லது அரை நீள்வட்டமாக உள்ளன. எடுத்துக்காட்டுகள் ஒரு ரேய் ஒற்றுமை என்பது P3 இல் கொடுக்கப்பட்ட முப்பரிமாண நேரியல் அமைப்பின் குறைந்தபட்சம் 2 நாற்கரங்களில் உள்ள கோடுகளின் குடும்பமாகும். நேரியல் அமைப்பு பொதுவானதாக இருந்தால், ரேய் ஒற்றுமை ஒரு என்ரிக்ஸ் மேற்பரப்பாகும். இவை என்ரிக்ஸ் மேற்பரப்புகளின் ஆரம்பகால எடுத்துக்காட்டுகளாகும். டிகிரி 2 இன் சில பொதுவான ஒரே மாதிரியான பல்லுறுப்புக்கோவை கியூ போன்ற ஒரு டெட்ராஹெட்ரானின் விளிம்புகளில் இரட்டை கோடுகளுடன் 3 பரிமாண ப்ரொஜெக்டிவ் இடத்தில் டிகிரி 6 இன் மேற்பரப்பை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். பின்னர் அதன் இயல்பாக்கம் ஒரு என்ரிக்ஸ் மேற்பரப்பு ஆகும். இது கண்டுபிடிக்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகளின் குடும்பம். ஒரு நிலையான புள்ளி இலவச ஊடுருவல் மூலம் ஒரு K3 மேற்பரப்பின் ஈவு ஒரு என்ரிக்ஸ் மேற்பரப்பாகும், மேலும் 2 ஐத் தவிர மற்ற அனைத்து என்ரிக்ஸ் மேற்பரப்புகளும் இவ்வாறு கட்டமைக்கப்படலாம். எடுத்துக்காட்டாக, S என்பது K3 மேற்பரப்பு w4 + x4 + y4 + z4 = 0 மற்றும் T என்பது (w, x, y, z) முதல் (w, ix,-y,-iz) வரை எடுக்கும் 4 தானியங்கி வரிசை என்றால், T2 க்கு எட்டு நிலையான புள்ளிகள் உள்ளன. இந்த எட்டு புள்ளிகளை ஊதி, T2 ஆல் ஈவு அளவை எடுத்துக்கொள்வது ஒரு நிலையான-புள்ளி-இல்லாத ஊடுருவல் T உடன் ஒரு K3 மேற்பரப்பை வழங்குகிறது, மேலும் T ஆல் இதன் ஈவு ஒரு என்ரிக்ஸ் மேற்பரப்பாகும். மாற்றாக, என்ரிக்ஸ் மேற்பரப்பை அசல் மேற்பரப்பின் விகிதத்தை 4 தானியங்கி டி வரிசையால் எடுத்து, விகிதத்தின் எட்டு ஒற்றை புள்ளிகளைத் தீர்ப்பதன் மூலம் கட்டமைக்க முடியும். மற்றொரு உதாரணம், பை (u, v, w) + கி (x, y, z) = 0 என்ற வடிவத்தின் 3 நாற்கரங்களின் குறுக்குவெட்டை எடுத்து, (u: v: w: x: y: z) ஐ (-x:-y:-z: u: v: w) ஆக மாற்றுவதன் மூலம் ஈவு அளவை எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம் வழங்கப்படுகிறது. பொதுவான நாற்கரத்தைப் பொறுத்தவரை இந்த ஊடுருவல் என்பது ஒரு K3 மேற்பரப்பின் நிலையான-புள்ளி-இல்லாத ஊடுருவல் ஆகும், எனவே ஈவு ஒரு என்ரிக்ஸ் மேற்பரப்பாகும். மேலும் காண்க வுல்ஃப் பி. பார்த், கிளாஸ் ஹுலேக், கிறிஸ் ஏ. எம். பீட்டர்ஸ், அன்டோனியஸ் வான் டி வென் ஆகியோரால் எழுதப்பட்ட இயற்கணித மேற்பரப்புகளின் பட்டியல் என்ரிக்ஸ்-கோடெய்ரா வகைப்பாடு சூப்பர்சைங்குலர் வகை குறிப்புகள் காம்பாக்ட் காம்ப்ளக்ஸ் மேற்பரப்புகள் இது கச்சிதமான சிக்கலான மேற்பரப்புகளுக்கான நிலையான குறிப்பு புத்தகமாகும். சிக்கலான மேற்பரப்புகள் பைரேஷனல் வடிவியல் இயற்கணித மேற்பரப்புகள்