Krein–Milman theorem
செயல்பாட்டு பகுப்பாய்வின் கணிதக் கோட்பாட்டில், கிரெய்ன்-மில்மேன் தேற்றம் என்பது உள்ளூரில் குவிந்த இடவியல் திசையன் இடைவெளிகளில் (டி. வி. எஸ்) சிறிய குவிந்த தொகுப்புகளைப் பற்றிய ஒரு கருத்தாகும். இந்த தேற்றம் எல்லையற்ற பரிமாண இடைவெளிகளுக்கு பொதுமைப்படுத்துகிறது மற்றும் தன்னிச்சையான சிறிய குவிந்த பின்வரும் அடிப்படை அவதானிப்பை அமைக்கிறதுஃ ஒரு குவிந்த (அதாவது. "நிரப்பப்பட்ட") முக்கோணம், அதன் சுற்றளவு மற்றும் "அதன் உள்ளே" பகுதி உட்பட, அதன் மூன்று செங்குத்துகளின் குவிந்த மேலோட்டத்திற்கு சமம், அங்கு இந்த செங்குத்துகள் சரியாக இந்த வடிவத்தின் தீவிர புள்ளிகளாகும். இந்த அவதானிப்பு பிளேன் ஸ்டேட்மென்ட் மற்றும் வரையறைகளில் உள்ள வேறு எந்த குவிந்த பலகோணத்திற்கும் வைத்திருக்கிறது முன்னுரிமைகள் மற்றும் வரையறைகள் முழுவதும், ஒரு உண்மையான அல்லது சிக்கலான திசையன் இடமாக இருக்கும். எந்தவொரு உறுப்புகளுக்கும் மற்றும் ஒரு திசையன் இடத்திலும், தொகுப்பு மற்றும் தி இடையே அல்லது மூடிய இடைவெளி என்று அழைக்கப்படுகிறது அல்லது இடையே திறந்த இடைவெளி மற்றும் அது திருப்தி அடையும் போது இருக்கும் போது மற்றும் புள்ளிகள் மற்றும் இந்த இடைவெளியின் இறுதி புள்ளிகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. ஒரு இடைவெளி அதன் இறுதிப் புள்ளிகள் தனித்துவமாக இருந்தால் அது சரியானது அல்லது சரியானது என்று கூறப்படுகிறது. இடைவெளிகள் மற்றும் எப்போதும் அவற்றின் இறுதிப் புள்ளிகளைக் கொண்டுள்ளன, அதே நேரத்தில் அவற்றின் இறுதிப் புள்ளிகள் எதுவும் இல்லை. உண்மையான கோட்டில் புள்ளிகள் மற்றும் இருந்தால், மேலே உள்ள வரையறை ஒரு மூடிய இடைவெளி என அதன் வழக்கமான வரையறையைப் போலவே இருக்கும். எதற்கும் புள்ளி (கண்டிப்பாக) என்று கூறப்படுகிறது மற்றும் திறந்த கோடு பிரிவைச் சேர்ந்தது என்றால் அது ஒரு துணைக்குழுவாக இருந்தால், அது எந்த இரண்டு புள்ளிகளுக்கும் இடையில் இல்லை என்றால் அது ஒரு தீவிர புள்ளி என்று அழைக்கப்படுகிறது. மூடிய அலகு வட்டத்தின் தீவிர புள்ளிகள் அலகு வட்டம் ஆகும். ஒவ்வொரு திறந்த இடைவெளி மற்றும் சீரழிந்த மூடிய இடைவெளி தீவிர புள்ளிகளைக் கொண்டிருக்கவில்லை, அதே நேரத்தில் சீரழியாத மூடிய இடைவெளியின் தீவிர புள்ளிகள் மற்றும் ஏதேனும் இரண்டு புள்ளிகளுக்கு கோடு பிரிவு இருந்தால் ஒரு தொகுப்பு குவிந்தது என்று அழைக்கப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, மூன்று தனித்துவமான புள்ளிகளின் எந்தவொரு தொகுப்பின் குவிந்த மேலோடு ஒரு மூடிய கோடு பிரிவை (அவை கொலினியராக இருந்தால்) அல்லது அதன் சுற்றளவு உட்பட ஒரு திடமான (அதாவது, "நிரப்பப்பட்ட") முக்கோணத்தை உருவாக்குகிறது. விமானத்தில் அலகு வட்டம் குவிந்தது, ஆனால் மூடிய அலகு வட்டு குவிந்தது, மேலும், இந்த வட்டு வட்டத்தின் குவிந்த மேலோட்டத்திற்கு சமம். வழக்கமான நெறிமுறையுடன் சதுர-கூட்டக்கூடிய வரிசைகளின் பிரிக்கக்கூடிய ஹில்பர்ட் இடைவெளி எல்பி இடம் ஒரு சிறிய துணைக்குழுவைக் கொண்டுள்ளது, அதன் குவிந்த மேலோடு மூடப்பட்டுள்ளது, இதனால் கச்சிதமாகவும் உள்ளது. இருப்பினும், அனைத்து முழுமையான ஹவுஸ்டோர்ஃப் உள்ளூரில் குவிந்த இடங்களைப் போலவே, இந்த சிறிய துணைக்குழுவின் குவிந்த மேலோடு கச்சிதமாக இருக்கும். ஆனால் ஒரு ஹவுஸ்டோர்ஃப் உள்ளூரில் குவிந்த இடைவெளி முழுமையடையவில்லை என்றால், அது எப்போது வேண்டுமானாலும் கச்சிதமாக இருக்கும் என்று பொதுவாக உத்தரவாதம் அளிக்கப்படுகிறது; ஒவ்வொரு கச்சிதமான துணைக்குழுவின் (முழுமையடையாத) முன்-ஹில்பர்ட் திசையன் துணைப் பகுதியில் கூட ஒரு உதாரணத்தைக் காணலாம் (இது "ப்ரீ காம்பாக்ட்" என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) மற்றும் ஒரு ஹவுஸ்டோர்ஃப் உள்ளூரில் குவிந்த இடத்தின் முற்றிலும் வரையறுக்கப்பட்ட துணைக்குழுவின் மூடிய குவிந்த மேலோடு முற்றிலும் வரம்புக்குட்பட்டதாக இருக்கும் என்று உத்தரவாதம் அளிக்கப்படுகிறது. சுருக்கமான தொகுப்பும் குவிந்த நிலையில் இருந்தால், மேலே உள்ள தேற்றம் அடுத்த தேற்றத்தின் முதல் பகுதியைக் கொண்டுள்ளது, இது பெரும்பாலும் கிரெய்ன்-மில்மேன் தேற்றம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. உச்ச புள்ளிகளின் குவிந்த மேலோடு ஒரு குவிந்த துணைக்குழுவை உருவாக்குகிறது, எனவே ஆதாரத்தின் முக்கிய சுமை போதுமான தீவிர புள்ளிகள் உள்ளன என்பதைக் காண்பிப்பதாகும், இதனால் அவற்றின் குவிந்த மேலோடு அனைத்தையும் உள்ளடக்கியது இந்த காரணத்திற்காக, மேலே உள்ள தேற்றத்தின் பின்வரும் இணையும் பெரும்பாலும் கிரெய்ன்-மில்மேன் தேற்றம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த தேற்றத்தையும் அதன் முடிவையும் காட்சிப்படுத்த, ஒரு குவிந்த பலகோணம் இருக்கும் குறிப்பிட்ட வழக்கைக் கவனியுங்கள். இந்த விஷயத்தில், பலகோணத்தின் மூலைகள் (அவை அதன் தீவிர புள்ளிகள்) மட்டுமே பலகோண வடிவத்தை மீட்டெடுக்க தேவை. பலகோணம் குவிந்ததாக இல்லாவிட்டால் தேற்றத்தின் கூற்று தவறானது, ஏனெனில் புள்ளிகளை மூலைகளாகக் கொண்ட ஒரு பலகோணத்தை வரைய பல வழிகள் உள்ளன. குவிந்த தொகுப்பு கச்சிதமாக இருக்க வேண்டும் என்ற தேவையை பின்வரும் கோட்பாட்டின் வலுப்படுத்தப்பட்ட பொதுமைப்படுத்தல் பதிப்பைக் கொடுக்க பலவீனப்படுத்தலாம். மேலே உள்ள பண்பு சில நேரங்களில் அல்லது என்று அழைக்கப்படுகிறது. சுருக்கமானது குவிந்த சுருக்கத்தைக் குறிக்கிறது, ஏனெனில் வரையறுக்கப்பட்ட குறுக்குவெட்டு பண்பு (எஃப். ஐ. பி) கொண்ட மூடிய துணைக்குழுக்களின் ஒவ்வொரு குடும்பமும் காலியாக இல்லாத குறுக்குவெட்டைக் கொண்டிருந்தால் மட்டுமே ஒரு இடவியல் இடைவெளி கச்சிதமாக இருக்கும் (அதாவது, அதன் கர்னல் காலியாக இல்லை). குவிந்த சுருக்கத்தின் வரையறை எஃப். ஐ. பி அடிப்படையில் சிறிய இடைவெளிகளின் இந்த குணாதிசயத்தைப் போன்றது, இது குவிந்த அந்த மூடிய துணைக்குழுக்களை மட்டுமே உள்ளடக்கியது என்பதைத் தவிர (அனைத்து மூடிய துணைக்குழுக்களையும் விட). மேலும் பொதுவான அமைப்புகள் சுற்றுப்புற இடத்திற்கான உள்ளூர் குவிந்த தன்மையின் அனுமானம் அவசியம், ஏனென்றால் நேரியல் தேவைப்படும் இடம் அல்லாத குவிந்த இடத்திற்கு ஒரு எதிர் உதாரணத்தை உருவாக்கியது, ஏனெனில் கேட் (0) இடைவெளிகளில் பலவீனமாக கச்சிதமான குவிந்த செட்களுக்கு அறிக்கை தோல்வியடைகிறது, நிரூபிக்கப்பட்டபடி. இருப்பினும், கிரெய்ன்-மில்மேன் தேற்றம் கச்சிதமான கேட் (0) இடைவெளிகளைக் கொண்டுள்ளது என்பதை நிரூபித்தது. தொடர்புடைய முடிவுகள் முந்தைய அனுமானங்களின் கீழ் ஒரு துணைக்குழு என்றால் மற்றும் மூடிய குவிந்த மேலோடு அனைத்தும் இருந்தால், அதன் ஒவ்வொரு தீவிர புள்ளியும் மூடலுக்கு சொந்தமானது இந்த முடிவு கிரெய்ன்-மில்மேன் தேற்றத்திற்கு (பகுதி) என்று அழைக்கப்படுகிறது. சொக்வெட்-பிஷப்-டி லீயு தேற்றம், ஒவ்வொரு புள்ளியும் ஒரு நிகழ்தகவு அளவின் பாரிஸென்டர் என்று கூறுகிறது, இது விருப்பத்தின் கோட்பாட்டுடன் உறவின் தீவிர புள்ளிகளின் தொகுப்பை ஆதரிக்கிறது. ஜெர்மெலோ-ஃப்ரான்கெல் தொகுப்புக் கோட்பாடு (இசட்எஃப்) தன்னியக்க கட்டமைப்பின் கீழ், மேலே கொடுக்கப்பட்ட கிரெய்ன்-மில்மேன் தேற்றத்தின் அனைத்து பதிப்புகளையும் நிரூபிக்க விருப்பத்தின் கோட்பாடு (ஏசி) போதுமானது, இதில் கேஎம் அறிக்கை மற்றும் அதன் பொதுமைப்படுத்தல் எஸ்கேஎம் அடங்கும். விருப்பத்தின் கோட்பாடு பூலியன் பிரைம் ஐடியல் தேற்றத்தையும் (பிபிஐ) குறிக்கிறது, ஆனால் அதற்கு சமமானதல்ல, இது பானாச்-அலாக்லு தேற்றத்திற்கு சமமானது. இதற்கு நேர்மாறாக, கிரெய்ன்-மில்மேன் தேற்றம் KM மற்றும் பூலியன் பிரைம் ஐடியல் தேற்றம் (BPI) ஆகியவை விருப்பத்தின் கோட்பாட்டைக் குறிக்கின்றன. சுருக்கமாக, கேஎம் மற்றும் பிபிஐ இரண்டும் இருந்தால் மட்டுமே ஏசி வைத்திருக்கும். ZF இன் கீழ், விருப்பத்தின் கோட்பாடு பின்வரும் அறிக்கைக்கு சமமானது என்பதை இது பின்பற்றுகிறதுஃ எந்தவொரு உண்மையான நெறிமுறை இடத்தின் தொடர்ச்சியான இரட்டை இடத்தின் மூடிய அலகு பந்து ஒரு தீவிர புள்ளியைக் கொண்டுள்ளது. மேலும், உண்மையான திசையன் இடைவெளிகள் (HB) க்கான ஹான்-பானாக் தேற்றத்துடன் SKM சேர்ந்து விருப்பத்தின் கோட்பாட்டிற்கு சமம். பிபிஐ என்பது எச். பி. யைக் குறிக்கிறது என்று அறியப்படுகிறது, ஆனால் அது அதற்கு சமமானதல்ல (வேறுவிதமாகக் கூறினால், பிபிஐ எச். பி. யை விட கண்டிப்பாக வலுவானது). வரலாறு மூலம் நிரூபிக்கப்பட்ட அசல் அறிக்கை இங்கே கூறப்பட்ட படிவத்தை விட சற்றே குறைவான பொதுவானது. முன்னதாக, முப்பரிமாணமாக இருந்தால், அதன் தீவிர புள்ளிகளின் தொகுப்பின் குவிந்த மேலோட்டத்திற்கு சமம் என்பதை நிரூபித்தது. இந்த கூற்று எந்த வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாணத்திற்கும் விரிவுபடுத்தப்பட்டது. கிரெய்ன்-மில்மேன் தேற்றம் இதை தன்னிச்சையான உள்ளூரில் குவிந்ததாக பொதுமைப்படுத்துகிறது; இருப்பினும், வரையறுக்கப்பட்ட முதல் எல்லையற்ற பரிமாண இடைவெளிகள் வரை பொதுமைப்படுத்த, மூடலைப் பயன்படுத்துவது அவசியம். மேற்கோள்கள் நூலியல் என். கே. நிகோல்ஸ்கிஜ் (எட்.) ஐயும் பார்க்கவும். செயல்பாட்டு பகுப்பாய்வு I. ஸ்பிரிங்கர்-வெர்லாக், 1992. எச். எல். ராய்டன், உண்மையான பகுப்பாய்வு. ப்ரெண்டிஸ்-ஹால், எங்கில்வுட் கிளிஃப்ஸ், நியூ ஜெர்சி, 1988. குவிந்த வடிவவியலில் குவிந்த கோட்பாடுகளை உள்ளடக்கிய கன்வெக்ஸ் ஹல் சார்ந்த மேட்ராய்டுகள் தேற்றம் தனித்துவமான வடிவவியலில் தேற்றம் செயல்பாட்டு பகுப்பாய்வில் இடவியல் திசையன் இடைவெளிகளில் தேற்றம்