Torsion (algebra)
கணிதத்தில், குறிப்பாக வளையக் கோட்பாட்டில், ஒரு முறுக்கு உறுப்பு என்பது ஒரு தொகுதியின் ஒரு உறுப்பு ஆகும், இது வளையத்தின் பூஜ்ஜியமற்ற-வகுப்பானால் பெருக்கப்படும்போது பூஜ்ஜியத்தை அளிக்கிறது. ஒரு தொகுதியின் சுழல் துணை தொகுதி என்பது சுழல் கூறுகளால் உருவாக்கப்பட்ட துணை தொகுதி ஆகும். ஒரு முறுக்கு தொகுதி என்பது அதன் முறுக்கு துணை தொகுதிக்கு சமமான ஒரு தொகுதி ஆகும். ஒரு தொகுதி அதன் முறுக்கு துணை தொகுதி பூஜ்ஜிய உறுப்பு மட்டுமே இருந்தால் முறிவு இல்லாதது. இந்த சொல் பொதுவாக ஒரு களத்தில் உள்ள தொகுதிகளுக்கு பயன்படுத்தப்படுகிறது, அதாவது, வளையத்தின் வழக்கமான கூறுகள் அனைத்தும் அதன் பூஜ்ஜியமற்ற கூறுகளாக இருக்கும்போது. இந்த சொல் அபெலியன் குழுக்களுக்குப் பொருந்தும் ("தொகுதி" மற்றும் "துணை தொகுதி" ஆகியவற்றுடன் "குழு" மற்றும் "துணைக் குழு" ஆகியவற்றால் மாற்றப்படுகிறது). அபெலியன் குழுக்கள் முழு எண்களின் வளையத்தின் மீது உள்ள தொகுதிகள் என்ற உண்மையால் இது அனுமதிக்கப்படுகிறது (உண்மையில், இது சொற்களின் தோற்றம், இது தொகுதிகளுக்கு பொதுமைப்படுத்தப்படுவதற்கு முன்பு அபெலியன் குழுக்களுக்கு அறிமுகப்படுத்தப்பட்டுள்ளது). பரிமாற்றமற்ற குழுக்களின் விஷயத்தில், ஒரு முறுக்கு உறுப்பு என்பது வரையறுக்கப்பட்ட வரிசையின் ஒரு உறுப்பு ஆகும். பரிமாற்ற வழக்குக்கு மாறாக, முறுக்கு கூறுகள் பொதுவாக ஒரு துணைக்குழுவை உருவாக்காது. வரையறை ஒரு வளையத்தின் மீது ஒரு தொகுதி M இன் ஒரு உறுப்பு m என்பது வளையத்தின் வழக்கமான உறுப்பு r இருந்தால் (ஒரு உறுப்பு இடது அல்லது வலது பூஜ்ஜிய வகுத்தி அல்ல) m ஐ அழிக்கிறது, அதாவது, ஒரு ஒருங்கிணைந்த களத்தில் (பூஜ்ஜிய வகுத்திகள் இல்லாத ஒரு பரிமாற்ற வளையம்), பூஜ்ஜியமற்ற ஒவ்வொரு உறுப்பும் வழக்கமானவை, எனவே ஒரு ஒருங்கிணைந்த களத்தின் மீது ஒரு தொகுதியின் முறிவு உறுப்பு ஒருங்கிணைந்த களத்தின் பூஜ்ஜியமற்ற உறுப்பால் அழிக்கப்படுகிறது. சில எழுத்தாளர்கள் இதை ஒரு முறுக்கு உறுப்பின் வரையறையாகப் பயன்படுத்துகின்றனர், ஆனால் இந்த வரையறை மிகவும் பொதுவான வளையங்களில் சரியாக வேலை செய்யாது. ஒரு வளையம் ஆர் மீது ஒரு தொகுதி எம் அதன் அனைத்து கூறுகளும் முறுக்கு கூறுகளாக இருந்தால் முறுக்கு தொகுதி என்றும், பூஜ்ஜியம் மட்டுமே முறுக்கு உறுப்பாக இருந்தால் முறிவு இல்லாதது என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. வளையம் R பரிமாற்றமாக இருந்தால், அனைத்து முறுக்கு கூறுகளின் தொகுப்பும் M இன் துணை தொகுதியை உருவாக்குகிறது, இது M இன் முறுக்கு துணை தொகுதி என்று அழைக்கப்படுகிறது, சில நேரங்களில் T (M) என்று குறிக்கப்படுகிறது. ஆர் பரிமாற்றமாக இல்லாவிட்டால், டி (எம்) ஒரு துணை தொகுதியாக இருக்கலாம் அல்லது இல்லாமலும் இருக்கலாம். அனைத்து சரியான ஆர்-தொகுதிகளுக்கும் டி (எம்) எம் இன் துணை தொகுதியாக இருந்தால் மட்டுமே ஆர் ஒரு சரியான தாது வளையம் என்று காட்டப்படுகிறது. வலது நொய்தேரியன் களங்கள் ஓர் என்பதால், இது ஆர் ஒரு சரியான நொய்தேரியன் களமாக இருக்கும் போது வழக்கை உள்ளடக்கியது (இது பரிமாற்றமாக இருக்காது). மேலும் பொதுவாக, M ஒரு வளையத்தின் மீது ஒரு தொகுதியாக இருக்கட்டும் R மற்றும் S R இன் பெருக்க மூடிய துணைக்குழுவாக இருக்கட்டும். S இல் ஒரு உறுப்பு s இருந்தால், M இன் ஒரு உறுப்பு m ஒரு S-முறிவு உறுப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது, அதாவது, குறிப்பாக, ஒருவர் S க்கு வளையத்தின் வழக்கமான கூறுகளின் தொகுப்பை எடுத்து மேலே உள்ள வரையறையை மீட்டெடுக்கலாம். ஒரு குழு G இன் ஒரு உறுப்பு g என்பது வரையறுக்கப்பட்ட வரிசையைக் கொண்டிருந்தால் குழுவின் முறுக்கு உறுப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது, அதாவது, gm = e போன்ற ஒரு நேர்மறை முழு எண் m இருந்தால், இதில் e என்பது குழுவின் அடையாள உறுப்பைக் குறிக்கிறது, மேலும் gm என்பது g இன் m பிரதிகளின் பெருக்கத்தைக் குறிக்கிறது. ஒரு குழு அதன் அனைத்து உறுப்புகளும் முறிவு உறுப்புகளாகவும், அதன் ஒரே முறிவு உறுப்பு அடையாள உறுப்பாகவும் இருந்தால் அது முறிவு (அல்லது காலமுறை) குழு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. எந்தவொரு அபெலியன் குழுவும் முழு எண்களின் Z வளையத்தின் மீது ஒரு தொகுதியாகக் கருதப்படலாம், மேலும் இந்த விஷயத்தில் சுழற்சியின் இரண்டு கருத்துக்களும் ஒத்துப்போகின்றன. எடுத்துக்காட்டுகள் M எந்த வளையத்திற்கும் ஒரு இலவச தொகுதியாக இருக்கட்டும் R. பின்னர் அது M முறிவு இல்லாதது என்ற வரையறைகளிலிருந்து உடனடியாகப் பின்தொடர்கிறது (வளையம் R ஒரு களம் இல்லையென்றால், R இன் பூஜ்ஜியமற்ற-வகுப்புகளின் தொகுப்பு S ஐப் பொறுத்தவரை முறிவு கருதப்படுகிறது). குறிப்பாக, எந்தவொரு இலவச அபெலியன் குழுவும் முறுக்கு இல்லாதது மற்றும் K புலத்தின் மீது உள்ள எந்த திசையன் இடமும் K க்கு மேல் உள்ள தொகுதியாகக் கருதப்படும்போது முறிவு இல்லாதது. எடுத்துக்காட்டு 1 க்கு மாறாக, எந்தவொரு வரையறுக்கப்பட்ட குழுவும் (அபெலியன் அல்லது இல்லை) காலமுறை மற்றும் இறுதியாக உருவாக்கப்படுகிறது. இதற்கு நேர்மாறாக, பர்ன்சைடின் சிக்கல், இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட எந்தவொரு காலக் குழுவும் வரையறுக்கப்பட்டதாக இருக்க வேண்டுமா என்று கேட்கிறது. காலம் நிர்ணயிக்கப்பட்டிருந்தாலும், பொதுவாக பதில் "இல்லை". ஒரு புலத்தின் பெருக்கக் குழுவின் சுழல் கூறுகள் அதன் ஒற்றுமையின் வேர்கள் ஆகும். மாடுலர் குழுவில், 2 × 2 முழு எண் மேட்ரிக்ஸின் குழு SL (2, Z) இலிருந்து அதன் மையத்தை காரணியாக்குவதன் மூலம் அலகு தீர்மானிப்பதைக் கொண்டு பெறப்படும், எந்தவொரு அற்பமான முறுக்கு உறுப்பும் வரிசை இரண்டைக் கொண்டுள்ளது மற்றும் உறுப்பு S உடன் இணைக்கப்பட்டுள்ளது அல்லது வரிசை மூன்று மற்றும் உறுப்பு ST உடன் இணைக்கப்பட்டுள்ளது. இந்த வழக்கில், முறுக்கு கூறுகள் ஒரு துணைக்குழுவை உருவாக்காது, எடுத்துக்காட்டாக, S·ST = T, இது எல்லையற்ற வரிசையைக் கொண்டுள்ளது. விகிதமுறு எண்கள் மாடுலோ 1 ஐக் கொண்ட அபெலியன் குழுவான க்யூ/இசட், காலமுறை, அதாவது. ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் வரையறுக்கப்பட்ட வரிசை உள்ளது. இதேபோல், ஒரு மாறியில் உள்ள பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் R = K [t] வளையத்தின் மீது உள்ள தொகுதி K (t)/K [t] தூய முறிவு ஆகும். இந்த இரண்டு எடுத்துக்காட்டுகளையும் பின்வருமாறு பொதுமைப்படுத்தலாம்ஃ R ஒரு ஒருங்கிணைந்த களமாகவும், Q அதன் பின்னங்களின் புலமாகவும் இருந்தால், Q/R ஒரு முறுக்கு R-தொகுதி ஆகும். (ஆர்/இசட், +) இன் முறுக்கு துணைக்குழு (க்யூ/இசட், +) ஆகும், அதே நேரத்தில் குழுக்கள் (ஆர், +) மற்றும் (இசட், +) முறிவு இல்லாதவை. ஒரு துணைக்குழுவால் ஒரு முறிவு இல்லாத அபெலியன் குழுவின் ஈவு, துணைக்குழு ஒரு தூய துணைக்குழுவாக இருக்கும்போது சரியாக முறிவு இல்லாதது. ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண திசையன் இடைவெளி V இல் செயல்படும் ஒரு நேரியல் இயக்குபவர் L ஐக் கவனியுங்கள். நாம் V ஐ இயற்கையான வழியில் ஒரு F [L]-தொகுதியாகப் பார்த்தால், பின்னர் (பல விஷயங்களின் விளைவாக, வெறுமனே வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாணத்தால் அல்லது கெய்லி-ஹாமில்டன் தேற்றத்தின் விளைவாக), V என்பது ஒரு முறுக்கு F [L]-தொகுதி. ஒரு முதன்மை இலட்சிய களத்தின் வழக்கு R என்பது ஒரு (பரிமாற்ற) முதன்மை இலட்சிய களம் என்றும், M என்பது இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட R-தொகுதி என்றும் வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் ஒரு முதன்மை இலட்சிய களத்தின் மீது இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட தொகுதிகளுக்கான கட்டமைப்பு தேற்றம் தொகுதி எம் முதல் ஐசோமார்பிசம் வரை விரிவான விளக்கத்தை அளிக்கிறது. குறிப்பாக, F என்பது வரையறுக்கப்பட்ட தரவரிசை கொண்ட ஒரு இலவச R-தொகுதி (M ஐ மட்டுமே பொறுத்து) மற்றும் T (M) என்பது M இன் முறுக்கு துணை தொகுதி என்று அது கூறுகிறது. இரண்டு மாறிகளில் உள்ள பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் வளையமான R = K [x, y] க்கு கூட, இந்த துணை மிகவும் பொதுவான பரிமாற்ற களங்களுக்கு பொருந்தாது. இறுதியாக உருவாக்கப்படாத தொகுதிகளுக்கு, மேலே உள்ள நேரடி சிதைவு உண்மை அல்ல. ஒரு அபெலியன் குழுவின் முறுக்கு துணைக்குழு அதன் நேரடி கூட்டுத்தொகையாக இருக்காது. முறிவு மற்றும் உள்ளூர்மயமாக்கல் ஆர் ஒரு பரிமாற்ற களம் மற்றும் எம் ஒரு ஆர்-தொகுதி என்று வைத்துக்கொள்வோம். R வளையத்தின் ஈவு புலமாக Q இருக்கட்டும். பின்னர் அளவீடுகளின் நீட்டிப்பு மூலம் M இலிருந்து பெறப்பட்ட Q-தொகுதியை ஒருவர் கருத்தில் கொள்ளலாம். Q என்பது ஒரு புலம் என்பதால், Q க்கு மேல் உள்ள ஒரு தொகுதி ஒரு திசையன் இடைவெளி, அநேகமாக எல்லையற்ற பரிமாணமாக இருக்கலாம். M முதல் MQ வரையிலான அபெலியன் குழுக்களின் நியதி ஒத்த உருவம் உள்ளது, மேலும் இந்த ஒத்த உருவகத்தின் கர்னல் துல்லியமாக முறுக்கு துணை தொகுதி T (M) ஆகும். மேலும் பொதுவாக, S என்பது வளையம் R இன் பெருக்க மூடிய துணைக்குழுவாக இருந்தால், ஆர்-தொகுதி M இன் உள்ளூர்மயமாக்கலை நாம் பரிசீலிக்கலாம், இது உள்ளூர்மயமாக்கல் ஆர்எஸ் மீது ஒரு தொகுதியாகும். எம் முதல் எம்எஸ் வரை ஒரு நியமன வரைபடம் உள்ளது, அதன் கர்னல் துல்லியமாக எம் இன் எஸ்-சுழற்சி துணை தொகுதி ஆகும். எனவே எம் இன் சுழற்சி துணை தொகுதி "உள்ளூர்மயமாக்கலில் மறைந்துவிடும்" கூறுகளின் தொகுப்பாக விளக்கப்படலாம். தாது நிலையை திருப்திப்படுத்தும் வளையங்களுக்கான பரிமாற்றமற்ற அமைப்பில் அதே விளக்கம் தொடர்கிறது, அல்லது பொதுவாக எந்தவொரு வலது வகுத்தல் தொகுப்பு எஸ் மற்றும் வலது ஆர்-தொகுதி எம். ஹோமோலாஜிக்கல் இயற்கணிதத்தில் முறிவு என்ற கருத்து ஹோமோலாஜிக்கல் இயற்கணிதத்தில் முக்கிய பங்கு வகிக்கிறது. எம் மற்றும் என் ஒரு பரிமாற்ற களமான ஆர் மீது இரண்டு தொகுதிகளாக இருந்தால் (எடுத்துக்காட்டாக, இரண்டு அபெலியன் குழுக்கள், ஆர் = இசட் போது), டார் செயல்பாடுகள் ஆர்-தொகுதிகள் டோரி (எம், என்) குடும்பத்தை வழங்குகின்றன. ஒரு ஆர்-தொகுதி எம் இன் எஸ்-சுழற்சி டோர்ஆர் * இன் சரியான வரிசையால் டோர்ஆர் 1 (எம், ஆர்எஸ்/ஆர்) க்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும்ஃ ஆர்-தொகுதிகளின் குறுகிய துல்லியமான வரிசை ஒரு சரியான வரிசையை அளிக்கிறது, எனவே எம் இன் உள்ளூர்மயமாக்கல் வரைபடத்தின் கர்னல் ஆகும். இதே முடிவு பரிமாற்றமற்ற வளையங்களுக்கும், செட் எஸ் ஒரு சரியான வகுத்தல் தொகுப்பாக இருக்கும் வரை பொருந்தும். அபெலியன் வகைகள் ஒரு அபெலியன் வகையின் முறுக்கு கூறுகள் முறிவு புள்ளிகள் அல்லது, பழைய சொற்களில், பிரிவு புள்ளிகள் ஆகும். நீள்வட்ட வளைவுகளில் அவை பிரிவு பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் அடிப்படையில் கணக்கிடப்படலாம். பகுப்பாய்வு முறுக்கு எண்கணித இயக்கவியல் தட்டையான தொகுதி அனிஹிலேட்டர் (வளையக் கோட்பாடு) ஒரு அபெலியன் குழுவின் தொகுதி தரவரிசையின் உள்ளூர்மயமாக்கல் ரே-சிங்கர் முறிவு இல்லாத அபெலியன் குழு உலகளாவிய குணகம் குறிப்புகள் ஆதாரங்கள் எர்ன்ஸ்ட் குன்ஸ், "பரிமாற்ற இயற்கணிதம் மற்றும் இயற்கணித வடிவவியலின் அறிமுகம்", பிர்காசர் 1985, இர்விங் கப்லான்ஸ்கி, "எல்லையற்ற அபெலியன் குழுக்கள்", மிச்சிகன் பல்கலைக்கழகம், 1954. ஏபிலியன் குழு கோட்பாடு தொகுதி கோட்பாடு ஹோமோலாஜிக்கல் அல்ஜிப்ரா