Enumerative geometry
கணிதத்தில், கணக்கீட்டு வடிவியல் என்பது இயற்கணித வடிவவியலின் கிளை ஆகும், இது வடிவியல் கேள்விகளுக்கான தீர்வுகளின் எண்ணிக்கையை எண்ணுவதில் அக்கறை கொண்டுள்ளது, முக்கியமாக குறுக்குவெட்டு கோட்பாட்டின் மூலம். அப்பல்லோனியஸின் சிக்கல் கணக்கீட்டு வடிவவியலின் ஆரம்பகால எடுத்துக்காட்டுகளில் ஒன்றாகும். இந்த சிக்கல் கொடுக்கப்பட்ட மூன்று வட்டங்கள், புள்ளிகள் அல்லது கோடுகளுக்கு தொடுகோடாக இருக்கும் வட்டங்களின் எண்ணிக்கை மற்றும் கட்டமைப்பைக் கேட்கிறது. பொதுவாக, கொடுக்கப்பட்ட மூன்று வட்டங்களுக்கான சிக்கல் எட்டு தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது, அவை 23 ஆகக் காணலாம், ஒவ்வொரு தொடுகோடு நிபந்தனையும் வட்டங்களின் இடத்தில் இருபடி நிலையை விதிக்கிறது. இருப்பினும், கொடுக்கப்பட்ட வட்டங்களின் சிறப்பு ஏற்பாடுகளுக்கு, தீர்வுகளின் எண்ணிக்கை 0 (தீர்வுகள் இல்லை) முதல் ஆறு வரை எந்த முழு எண்ணாகவும் இருக்கலாம்; அப்பல்லோனியஸின் சிக்கலுக்கு ஏழு தீர்வுகள் இருக்கும் எந்த ஏற்பாடும் இல்லை. முக்கிய கருவிகள் அடிப்படை முதல் மிகவும் மேம்பட்ட வரை பல கருவிகள் அடங்கும்ஃ பரிமாணத்தை எண்ணும் பெஸௌட்டின் தேற்றம் ஸ்கூபர்ட் கால்குலஸ், மேலும் பொதுவாக கோஹோமோலஜியில் சிறப்பியல்பு வகுப்புகள் கோஹோமோலஜியுடன் குறுக்குவெட்டுகளை எண்ணும் தொடர்பு பாயின்கேர் டூயலிட்டி வளைவுகள், வரைபடங்கள் மற்றும் பிற வடிவியல் பொருட்களின் மாடுலி இடைவெளிகள் பற்றிய ஆய்வு, சில நேரங்களில் குவாண்டம் கோஹோமோலஜி கோட்பாட்டின் மூலம். குவாண்டம் கோஹோமோலஜி, குரோமோவ்-விட்டன் மாறிலிகள் மற்றும் கண்ணாடி சமச்சீர் பற்றிய ஆய்வு கிளெமென்ஸ் அனுமானத்தில் குறிப்பிடத்தக்க முன்னேற்றத்தைக் கொடுத்தது. கணக்கீட்டு வடிவியல் குறுக்குவெட்டு கோட்பாட்டுடன் மிகவும் நெருக்கமாக பிணைக்கப்பட்டுள்ளது. ஸ்கூபர்ட் கால்குலஸ் கணக்கீட்டு வடிவியல் பத்தொன்பதாம் நூற்றாண்டின் இறுதியில் ஹெர்மன் ஸ்கூபர்ட்டின் கைகளில் அற்புதமான வளர்ச்சியைக் கண்டது. அவர் அதை ஷுபர்ட் கால்குலஸ் என்ற நோக்கத்திற்காக அறிமுகப்படுத்தினார், இது பரந்த பகுதிகளில் அடிப்படை வடிவியல் மற்றும் இடவியல் மதிப்பை நிரூபித்துள்ளது. கணக்கீட்டு வடிவவியலின் குறிப்பிட்ட தேவைகள் 1960 களிலும் 1970 களிலும் (எடுத்துக்காட்டாக ஸ்டீவன் க்ளீமன் சுட்டிக்காட்டியபடி) கூடுதல் கவனம் செலுத்தப்படும் வரை கவனிக்கப்படவில்லை. குறுக்குவெட்டு எண்கள் கடுமையாக வரையறுக்கப்பட்டன (ஆண்ட்ரே வெயிலால் அவரது அடிப்படை திட்டத்தின் ஒரு பகுதியாக 1942-6, பின்னர் மீண்டும்), ஆனால் இது கணக்கீட்டு கேள்விகளின் சரியான களத்தை அழிக்கவில்லை. ஃபட்ஜ் காரணிகள் மற்றும் ஹில்பர்ட்டின் பதினைந்தாவது சிக்கல் பரிமாண எண்ணிக்கையின் நைவ் பயன்பாடு மற்றும் பெஸௌட்டின் தேற்றம் ஆகியவை தவறான முடிவுகளைத் தருகின்றன, பின்வரும் எடுத்துக்காட்டு காட்டுகிறது. இந்த சிக்கல்களுக்கு பதிலளிக்கும் விதமாக, இயற்கணித வடிவவியலாளர்கள் தெளிவற்ற "ஃபட்ஜ் காரணிகளை" அறிமுகப்படுத்தினர், அவை பல தசாப்தங்களுக்குப் பிறகு மட்டுமே கடுமையாக நியாயப்படுத்தப்பட்டன. எடுத்துக்காட்டாக, ப்ரொஜெக்டிவ் பிளேனில் கொடுக்கப்பட்ட ஐந்து கோடுகளுக்கு தொடுவான கூம்பு பிரிவுகளை எண்ணுங்கள். கூம்புகள் பரிமாணம் 5 இன் ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் இடத்தை உருவாக்குகின்றன, அவற்றின் ஆறு குணகங்களை ஒரே மாதிரியான ஆயத்தொகுதிகளாக எடுத்துக்கொள்கின்றன, மேலும் ஐந்து புள்ளிகள் ஒரு கூம்பை தீர்மானிக்கின்றன, புள்ளிகள் பொதுவான நேரியல் நிலையில் இருந்தால், கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியின் வழியாக செல்வது ஒரு நேரியல் நிபந்தனையை விதிக்கிறது. இதேபோல், கொடுக்கப்பட்ட கோடு L க்கு தொடுகோடு (தொடுகோடு என்பது பெருக்கம் இரண்டுடன் குறுக்கிடுவதாகும்) ஒரு இருபடி நிலை, எனவே P5 இல் ஒரு நாற்கரத்தை தீர்மானிக்கிறது. இருப்பினும், அத்தகைய அனைத்து நாற்கரங்களையும் உள்ளடக்கிய வகுத்திகளின் நேரியல் அமைப்பு ஒரு அடிப்படை இருப்பிடம் இல்லாமல் இல்லை. உண்மையில் அத்தகைய ஒவ்வொரு நாற்கரத்திலும் வெரோனீஸ் மேற்பரப்பு உள்ளது, இது கூம்பு (aX + bY + cZ) 2 = 0 ஐ 'இரட்டை கோடுகள்' என்று அழைக்கிறது. ஏனென்றால், ஒரு இரட்டைக் கோடு தளத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு கோட்டையும் வெட்டுகிறது, ஏனெனில் ப்ரொஜெக்டிவ் பிளேனில் உள்ள கோடுகள் வெட்டுகின்றன, ஏனெனில் அது இரட்டிப்பாக இருப்பதால் பெருக்கம் இரண்டுடன், இதனால் அதே குறுக்குவெட்டு நிலையை (பெருக்கம் இரண்டின் குறுக்குவெட்டு) பூர்த்தி செய்கிறது. 5-இடத்தில் உள்ள 5 பொதுவான நாற்கரங்கள் 32 = 25 புள்ளிகளில் வெட்டுகின்றன என்று பொது பெஸௌட் தேற்றம் கூறுகிறது. ஆனால் இங்குள்ள தொடர்புடைய நாற்கரங்கள் பொதுவான நிலையில் இல்லை. 32 இலிருந்து, 31 கழிக்கப்பட்டு வெரோனீஸுக்குக் கொடுக்கப்பட வேண்டும், சரியான பதிலை (வடிவவியலின் பார்வையில்) விட்டுச் செல்ல, அதாவது 1. 'சீரழிந்த' நிகழ்வுகளுக்கு குறுக்குவெட்டுகளைக் குறிப்பிடும் இந்த செயல்முறை ஒரு 'ஃபட்ஜ் காரணி' யின் பொதுவான வடிவியல் அறிமுகமாகும். ஹில்பர்ட்டின் பதினைந்தாவது சிக்கல் இந்த தலையீடுகளின் வெளிப்படையான தன்னிச்சையான தன்மையை சமாளிப்பதாகும்; இந்த அம்சம் ஸ்கூபர்ட் கால்குலஸின் அடித்தள கேள்விக்கு அப்பாற்பட்டது. 1984 ஆம் ஆண்டில் எச். கிளெமென்ஸ் ஒரு குவிண்டிக் மூன்று மடங்கு விகிதமுறு வளைவுகளின் எண்ணிக்கையின் எண்ணிக்கையை ஆய்வு செய்து பின்வரும் யூகத்தை அடைந்தார். ஒரு பொதுவான குவிண்டிக் மூன்று மடங்கு, ஒரு நேர்மறை முழு எண்ணாக இருக்கட்டும், பின்னர் டிகிரி ஆன் கொண்ட ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான விகிதமுறு வளைவுகள் மட்டுமே உள்ளன. இந்த வழக்கில் இந்த அனுமானம் தீர்க்கப்பட்டுள்ளது, ஆனால் இன்னும் அதிகமாக உள்ளது. 1991 ஆம் ஆண்டில் சரம் கோட்பாட்டு கண்ணோட்டத்தில் குவிண்டிக் மீது கண்ணாடி சமச்சீர் பற்றிய காகிதம் அனைவருக்கும் டிகிரி டி விகிதமுறு வளைவுகளின் எண்களை வழங்குகிறது. இதற்கு முன்பு, இயற்கணித வடிவவியலாளர்கள் இந்த எண்களை மட்டுமே கணக்கிட முடியும். எடுத்துக்காட்டுகள் இயற்கணித வடிவவியலில் கணக்கீடுகளின் வரலாற்று முக்கியத்துவம் வாய்ந்த சில எடுத்துக்காட்டுகள் பின்வருமாறுஃ 2 விண்வெளியில் 4 பொதுவான கோடுகளை சந்திக்கும் கோடுகளின் எண்ணிக்கை 8 3 பொதுவான வட்டங்களுக்கு தொடுகோடு வட்டங்களின் எண்ணிக்கை (அப்பல்லோனியஸின் சிக்கல்). 27 ஒரு மென்மையான கன மேற்பரப்பில் உள்ள கோடுகளின் எண்ணிக்கை (சால்மன் மற்றும் கெய்லி) 2875 ஒரு பொதுவான குவிண்டிக் மீது உள்ள கோடுகளின் எண்ணிக்கை மூன்று மடங்கு 3264 பொதுவான நிலையில் உள்ள 5 விமான கூம்புகளுக்கு கூம்பு தொடுகோடுகளின் எண்ணிக்கை (சாஸ்ல்கள்) 609250 ஒரு பொதுவான குவிண்டிக் மீது உள்ள கூம்புகளின் எண்ணிக்கை மூன்று மடங்கு 4407296 8 பொதுவான நாற்கர மேற்பரப்புகளுக்கு கூம்பு தொடுகோடுகளின் எண்ணிக்கை 666841088 3-இடத்தில் உள்ள பொதுவான நிலையில் உள்ள 9 கொடுக்கப்பட்ட நாற்கர மேற்பரப்புகளுக்கான நாற்கர தொடுகோடிகளின் எண்ணிக்கை 5819539783680 3-விண்வெளி இணைப்புகளில் பொதுவான நிலையில் 12 கொடுக்கப்பட்ட நாற்கர மேற்பரப்புகளுக்கான முறுக்கப்பட்ட கன வளைவுகளின் எண்ணிக்கை