Tight binding
திட-நிலை இயற்பியலில், இறுக்கமான-பிணைப்பு மாதிரி (அல்லது TB மாதிரி) என்பது ஒவ்வொரு அணு தளத்திலும் அமைந்துள்ள தனிமைப்படுத்தப்பட்ட அணுக்களுக்கான அலை செயல்பாடுகளின் மேற்பரப்பின் அடிப்படையில் தோராயமான அலை செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி மின்னணு பட்டை கட்டமைப்பைக் கணக்கிடுவதற்கான ஒரு அணுகுமுறையாகும். இந்த முறை வேதியியலில் பயன்படுத்தப்படும் எல். சி. ஏ. ஓ முறையுடன் (அணு சுற்றுப்பாதை முறையின் நேரியல் கலவை) நெருக்கமாக தொடர்புடையது. இறுக்கமான பிணைப்பு மாதிரிகள் பல்வேறு வகையான திடப்பொருட்களுக்கு பயன்படுத்தப்படுகின்றன. இந்த மாதிரி பல சந்தர்ப்பங்களில் நல்ல தரமான முடிவுகளைத் தருகிறது, மேலும் இறுக்கமான பிணைப்பு மாதிரி தோல்வியுற்றால் சிறந்த முடிவுகளைத் தரும் பிற மாதிரிகளுடன் இணைக்கப்படலாம். இறுக்கமான பிணைப்பு மாதிரி ஒரு எலக்ட்ரான் மாதிரியாக இருந்தாலும், மேற்பரப்பு நிலைகளின் கணக்கீடு மற்றும் பல்வேறு வகையான பல உடல் சிக்கல்கள் மற்றும் குவாசிபார்டிகல் கணக்கீடுகளுக்கான பயன்பாடு போன்ற மேம்பட்ட கணக்கீடுகளுக்கும் இந்த மாதிரி ஒரு அடிப்படையை வழங்குகிறது. இந்த மின்னணு பட்டை அமைப்பு மாதிரியின் "இறுக்கமான பிணைப்பு" என்ற பெயர், இந்த குவாண்டம் இயந்திர மாதிரி திடப்பொருட்களில் இறுக்கமாக பிணைக்கப்பட்ட எலக்ட்ரான்களின் பண்புகளை விவரிக்கிறது என்பதைக் குறிக்கிறது. இந்த மாதிரியில் உள்ள எலக்ட்ரான்கள் அவை சேர்ந்த அணுவுடன் இறுக்கமாக பிணைக்கப்பட வேண்டும், மேலும் அவை திடப்பொருளின் சுற்றியுள்ள அணுக்களில் நிலைகள் மற்றும் ஆற்றல்களுடன் மட்டுப்படுத்தப்பட்ட தொடர்புகளைக் கொண்டிருக்க வேண்டும். இதன் விளைவாக, எலக்ட்ரானின் அலை செயல்பாடு அது சேர்ந்துள்ள இலவச அணுவின் அணு சுற்றுப்பாதைக்கு ஒத்ததாக இருக்கும். எலக்ட்ரானின் ஆற்றல் இலவச அணு அல்லது அயனியில் உள்ள எலக்ட்ரானின் அயனியாக்க ஆற்றலுக்கு நெருக்கமாக இருக்கும், ஏனெனில் அண்டை அணுக்களில் உள்ள ஆற்றல்கள் மற்றும் நிலைகளுடன் தொடர்பு குறைவாக உள்ளது. ஒரு-துகள் இறுக்கமான-பிணைப்பு ஹாமில்டோனியனின் கணித சூத்திரம் முதல் பார்வையில் சிக்கலானதாகத் தோன்றினாலும், மாதிரி சிக்கலானது அல்ல, மேலும் உள்ளுணர்வாக மிகவும் எளிதாக புரிந்து கொள்ள முடியும். இந்தக் கோட்பாட்டில் குறிப்பிடத்தக்க பங்கு வகிக்கும் மூன்று வகையான மேட்ரிக்ஸ் கூறுகள் மட்டுமே உள்ளன. அந்த மூன்று வகையான உறுப்புகளில் இரண்டு பூஜ்ஜியத்திற்கு அருகில் இருக்க வேண்டும், மேலும் அவை பெரும்பாலும் புறக்கணிக்கப்படலாம். மாதிரியில் உள்ள மிக முக்கியமான கூறுகள் அணு மேட்ரிக்ஸ் கூறுகளாகும், அவை ஒரு வேதியியலாளரால் பிணைப்பு ஆற்றல்கள் என்று அழைக்கப்படும். பொதுவாக இந்த மாதிரியில் பல அணு ஆற்றல் நிலைகள் மற்றும் அணு சுற்றுப்பாதைகள் உள்ளன. சுற்றுப்பாதைகள் வெவ்வேறு புள்ளி-குழு பிரதிநிதித்துவங்களைச் சேர்ந்தவை என்பதால் இது சிக்கலான பட்டை கட்டமைப்புகளுக்கு வழிவகுக்கும். பரஸ்பர லட்டிஸ் மற்றும் பிரில்லோயின் மண்டலம் பெரும்பாலும் திடப்பொருளின் படிகத்தை விட வேறுபட்ட விண்வெளி குழுவைச் சேர்ந்தவை. பிரில்லோயின் மண்டலத்தில் உள்ள உயர் சமச்சீர் புள்ளிகள் வெவ்வேறு புள்ளி-குழு பிரதிநிதித்துவங்களைச் சேர்ந்தவை. உறுப்புகளின் லட்டிஸ்கள் அல்லது எளிய சேர்மங்கள் போன்ற எளிய அமைப்புகள் ஆய்வு செய்யப்படும்போது, உயர் சமச்சீர் புள்ளிகளில் பகுப்பாய்வு ரீதியாக ஐகென்ஸ்டேட்களைக் கணக்கிடுவது பெரும்பாலும் மிகவும் கடினம் அல்ல. எனவே இறுக்கமான பிணைப்பு மாதிரி குழு கோட்பாட்டைப் பற்றி மேலும் அறிய விரும்புவோருக்கு நல்ல எடுத்துக்காட்டுகளை வழங்க முடியும். இறுக்கமான பிணைப்பு மாதிரி ஒரு நீண்ட வரலாற்றைக் கொண்டுள்ளது மற்றும் பல வழிகளில் பயன்படுத்தப்பட்டு பல்வேறு நோக்கங்கள் மற்றும் வெவ்வேறு விளைவுகளுடன் பயன்படுத்தப்படுகிறது. மாடல் தானாக நிற்காது. மாதிரியின் சில பகுதிகளை கிட்டத்தட்ட இலவச எலக்ட்ரான் மாதிரி போன்ற பிற வகையான கணக்கீடுகள் மற்றும் மாதிரிகளால் நிரப்பலாம் அல்லது நீட்டிக்கலாம். மாதிரியே, அல்லது அதன் சில பகுதிகள், மற்ற கணக்கீடுகளுக்கு அடிப்படையாக செயல்பட முடியும். கடத்தும் பாலிமர்கள், கரிம குறைக்கடத்திகள் மற்றும் மூலக்கூறு மின்னணுவியல் பற்றிய ஆய்வில், எடுத்துக்காட்டாக, இறுக்கமான-பிணைப்பு போன்ற மாதிரிகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, இதில் அசல் கருத்தாக்கத்தில் உள்ள அணுக்களின் பங்கு இணைக்கப்பட்ட அமைப்புகளின் மூலக்கூறு சுற்றுப்பாதைகளால் மாற்றப்படுகிறது மற்றும் அணு மேட்ரிக்ஸ் கூறுகள் இடைநிலை அல்லது மூலக்கூறுகளுக்கு இடையேயான ஹோப்பிங் மற்றும் சுரங்கப்பாதை அளவுருக்களால் மாற்றப்படுகின்றன. இந்த கடத்திகள் கிட்டத்தட்ட அனைத்தும் மிகவும் அனிசோட்ரோபிக் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன, சில நேரங்களில் கிட்டத்தட்ட ஒரு பரிமாணமாக இருக்கும். வரலாற்று பின்னணி 1928 வாக்கில், ஒரு மூலக்கூறு சுற்றுப்பாதை பற்றிய யோசனை ராபர்ட் முல்லிகனால் முன்வைக்கப்பட்டது, அவர் பிரெட்ரிக் ஹண்டின் பணிகளால் கணிசமாக ஈர்க்கப்பட்டார். மூலக்கூறு சுற்றுப்பாதைகளை தோராயமாக மதிப்பிடுவதற்கான எல். சி. ஏ. ஓ முறை 1928 ஆம் ஆண்டில் பி. என். ஃபிங்க்லெஸ்டீன் மற்றும் ஜி. இ. ஹோரோவிட்ஸ் ஆகியோரால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது, அதே நேரத்தில் திடப்பொருட்களுக்கான எல். சி. ஏ. ஓ முறை ஃபெலிக்ஸ் ப்ளோச் என்பவரால் உருவாக்கப்பட்டது, 1928 ஆம் ஆண்டில் அவரது முனைவர் ஆய்வறிக்கையின் ஒரு பகுதியாக, எல். சி. ஏ. ஓ-எம். ஓ அணுகுமுறையுடன் ஒரே நேரத்தில் சுயாதீனமாக இருந்தது. எலக்ட்ரானிக் பேண்ட் கட்டமைப்பை தோராயமாக மதிப்பிடுவதற்கான மிகவும் எளிமையான இடைக்கணிப்பு திட்டம், குறிப்பாக மாற்றம் உலோகங்களின் டி-பேண்டுகளுக்கு, 1954 ஆம் ஆண்டில் ஜான் கிளார்க் ஸ்லேட்டர் மற்றும் ஜார்ஜ் ஃப்ரெட் கோஸ்டர் ஆகியோரால் உருவாக்கப்பட்ட அளவுரு இறுக்கமான-பிணைப்பு முறை, சில நேரங்களில் எஸ். கே இறுக்கமான-பிணைப்பு முறை என்று குறிப்பிடப்படுகிறது. எஸ்கே இறுக்கமான-பிணைப்பு முறையின் மூலம், ஒரு திடப்பொருளின் மின்னணு பட்டை அமைப்பு கணக்கீடுகள் அசல் ப்ளோச்சின் தேற்றத்தைப் போல முழு கடுமையுடன் மேற்கொள்ளப்பட வேண்டியதில்லை, மாறாக, முதல்-கோட்பாடுகளின் கணக்கீடுகள் உயர்-சமச்சீர் புள்ளிகளில் மட்டுமே மேற்கொள்ளப்படுகின்றன, மேலும் பட்டை அமைப்பு இந்த புள்ளிகளுக்கு இடையில் ப்ரில்லூன் மண்டலத்தின் எஞ்சிய பகுதியில் இடைக்கணிக்கப்பட்டுள்ளது. இந்த அணுகுமுறையில், வெவ்வேறு அணு தளங்களுக்கு இடையிலான தொடர்புகள் இடையூறுகளாகக் கருதப்படுகின்றன. நாம் கருத்தில் கொள்ள வேண்டிய பல வகையான தொடர்புகள் உள்ளன. படிக ஹாமில்டோனியன் என்பது தோராயமாக வெவ்வேறு தளங்களில் அமைந்துள்ள அணு ஹாமில்டோனியர்களின் கூட்டுத்தொகையாகும், மேலும் அணு அலை செயல்பாடுகள் படிகத்தில் அருகிலுள்ள அணு தளங்களை ஒன்றுடன் ஒன்று இணைக்கின்றன, எனவே அவை சரியான அலை செயல்பாட்டின் துல்லியமான பிரதிநிதித்துவங்கள் அல்ல. அடுத்த பகுதியில் சில கணித வெளிப்பாடுகளுடன் மேலும் விளக்கங்கள் உள்ளன. வலுவான ஒன்றோடொன்று தொடர்புடைய பொருள் பற்றிய சமீபத்திய ஆராய்ச்சியில் இறுக்கமான பிணைப்பு அணுகுமுறை அடிப்படை தோராயமாகும், ஏனெனில் 3-டி மாற்றம் உலோக எலக்ட்ரான்கள் போன்ற அதிக உள்ளூர்மயமாக்கப்பட்ட எலக்ட்ரான்கள் சில நேரங்களில் வலுவான ஒன்றோடொன்று தொடர்புடைய நடத்தைகளைக் காட்டுகின்றன. இந்த விஷயத்தில், எலக்ட்ரான்-எலக்ட்ரான் தொடர்புகளின் பங்கு பல உடல் இயற்பியல் விளக்கத்தைப் பயன்படுத்தி பரிசீலிக்கப்பட வேண்டும். இறுக்கமான பிணைப்பு மாதிரி பொதுவாக மின்னணு பட்டை அமைப்பு மற்றும் நிலையான ஆட்சியில் உள்ள பட்டை இடைவெளிகளைக் கணக்கிட பயன்படுத்தப்படுகிறது. இருப்பினும், சீரற்ற கட்ட தோராய (ஆர். பி. ஏ) மாதிரி போன்ற பிற முறைகளுடன் இணைந்து, அமைப்புகளின் மாறும் பதிலையும் ஆய்வு செய்யலாம். 2019 ஆம் ஆண்டில், பன்ன்வர்த் மற்றும் பலர். முதன்மையாக கட்டமைப்புகள் மற்றும் சகப்பிணைப்பு அல்லாத தொடர்பு ஆற்றல்களைக் கணக்கிடுவதற்காக GFN2-xTB முறையை அறிமுகப்படுத்தியது. கணித சூத்திரம் நாம் அணு சுற்றுப்பாதைகளை அறிமுகப்படுத்துகிறோம், அவை ஒற்றை தனிமைப்படுத்தப்பட்ட அணுவின் ஹாமில்டோனியனின் ஐகென் செயல்பாடுகளாகும். அணு ஒரு படிகத்தில் வைக்கப்படும்போது, இந்த அணு அலை செயல்பாடு அருகிலுள்ள அணு தளங்களை ஒன்றுடன் ஒன்று இணைக்கிறது, எனவே அவை படிக ஹாமில்டோனியனின் உண்மையான ஐகென் செயல்பாடுகள் அல்ல. எலக்ட்ரான்கள் இறுக்கமாக பிணைக்கப்படும்போது ஒன்றுடன் ஒன்று குறைவாக இருக்கும், இது "இறுக்கமான பிணைப்பு" என்ற விளக்கத்தின் ஆதாரமாகும். அமைப்பின் உண்மையான ஹாமில்டோனியனைப் பெறத் தேவையான அணு ஆற்றலுக்கான எந்தவொரு திருத்தங்களும் சிறியதாகக் கருதப்படுகின்றனஃ இங்கு படிக ஜாலகத்தில் உள்ள தளத்தில் அமைந்துள்ள ஒரு அணுவின் அணு ஆற்றலைக் குறிக்கிறது. நேர-சுயாதீனமான ஒற்றை எலக்ட்ரான் ஷ்ரோடிங்கர் சமன்பாட்டிற்கான ஒரு தீர்வு பின்னர் அணு சுற்றுப்பாதைகளின் நேரியல் கலவையாக தோராயமாக மதிப்பிடப்படுகிறதுஃ, இது m-th அணு ஆற்றல் அளவைக் குறிக்கிறது. மொழிபெயர்ப்பு சமச்சீர் மற்றும் இயல்பாக்கம் ப்ளோச் தேற்றம் ஒரு படிகத்தில் உள்ள அலை செயல்பாடு ஒரு கட்ட காரணியால் மட்டுமே மொழிபெயர்ப்பின் கீழ் மாற முடியும் என்று கூறுகிறதுஃ அலை செயல்பாட்டின் அலை திசையன் எங்கே. இதன் விளைவாக, குணகங்கள் திருப்தி அடைகின்றன மாற்றுவதன் மூலம், (ஆர். எச். எஸ்ஸில் நாம் டம்மி குறியீட்டை மாற்றியுள்ளோம்) அல்லது அலை செயல்பாட்டை ஒற்றுமைக்கு இயல்பாக்குவதைக் காண்கிறோம்ஃ எனவே இயல்பாக்கம் அமைக்கிறது αm (Rp) அணு ஒன்றுடன் ஒன்று ஒருங்கிணைப்புகள், இதன் விளைவாக அடிக்கடி புறக்கணிக்கப்படுகின்றன மற்றும் இறுக்கமான பிணைப்பு ஹாமில்டோனியன் அலை செயல்பாட்டிற்கான இறுக்கமான பிணைப்பு வடிவத்தைப் பயன்படுத்தி, m-th ஆற்றல் பட்டைக்கு m-th அணு ஆற்றல் நிலை மட்டுமே முக்கியமானது என்று கருதினால், ப்ளோச் ஆற்றல்கள் வடிவத்தில் உள்ளன இங்கே கடைசி கட்டத்தில் ஒன்றுடன் ஒன்று ஒருங்கிணைப்பு பூஜ்ஜியம் என்று கருதப்பட்டது. ஆற்றல் பின்னர் எம் என்பது m-th அணு மட்டத்தின் ஆற்றல், மற்றும், மற்றும் கீழே விவாதிக்கப்பட்ட இறுக்கமான பிணைப்பு அணி கூறுகள் ஆகும். இறுக்கமான பிணைப்பு மேட்ரிக்ஸ் கூறுகள் உறுப்புகள் அண்டை அணுக்களில் உள்ள ஆற்றல் காரணமாக அணு ஆற்றல் மாற்றம் ஆகும். இந்த சொல் பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில் ஒப்பீட்டளவில் சிறியது. இது பெரியதாக இருந்தால், அண்டை அணுக்களில் உள்ள ஆற்றல்கள் மைய அணுவின் ஆற்றலில் பெரிய தாக்கத்தை ஏற்படுத்துகின்றன என்று அர்த்தம். அடுத்த வகை சொற்கள் அருகிலுள்ள அணுக்களில் உள்ள அணு சுற்றுப்பாதைகள் m மற்றும் l க்கு இடையிலான அணு மேட்ரிக்ஸ் உறுப்பு ஆகும். இது பிணைப்பு ஆற்றல் அல்லது இரண்டு மைய ஒருங்கிணைப்பு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் இது இறுக்கமான பிணைப்பு மாதிரியில் ஆதிக்கம் செலுத்தும் சொல். கடைசி வகை சொற்கள் அருகிலுள்ள அணுக்களில் அணு சுற்றுப்பாதைகள் m மற்றும் l க்கு இடையிலான ஒன்றுடன் ஒன்று ஒருங்கிணைப்புகளைக் குறிக்கின்றன. இவையும் பொதுவாக சிறியவை; இல்லையென்றால், பவுலி விரட்டுதல் மைய அணுவின் ஆற்றலில் ஒரு புறக்கணிக்க முடியாத தாக்கத்தை ஏற்படுத்துகிறது. மேட்ரிக்ஸ் உறுப்புகளின் மதிப்பீடு முன்பு குறிப்பிட்டபடி-மேட்ரிக்ஸ் உறுப்புகளின் மதிப்புகள் அயனியாக்க ஆற்றலுடன் ஒப்பிடுகையில் அவ்வளவு பெரியவை அல்ல, ஏனெனில் மைய அணுவில் உள்ள அண்டை அணுக்களின் ஆற்றல்கள் குறைவாகவே உள்ளன. ஒப்பீட்டளவில் சிறியதாக இல்லாவிட்டால், மத்திய அணுவில் உள்ள அண்டை அணுவின் ஆற்றலும் சிறியதாக இல்லை என்று அர்த்தம். அவ்வாறான நிலையில், சில காரணங்களால் பேண்ட் கட்டமைப்பின் விளக்கத்திற்கு இறுக்கமான பிணைப்பு மாதிரி ஒரு நல்ல மாதிரி அல்ல என்பதற்கான அறிகுறியாகும். அணுக்கரு இடையேயான தூரங்கள் மிகவும் சிறியதாக இருக்கலாம் அல்லது லட்டிஸில் உள்ள அணுக்கள் அல்லது அயனிகளில் உள்ள கட்டணங்கள் தவறாக இருக்கலாம். அணு அலை செயல்பாடுகள் மற்றும் ஆற்றல்களை விரிவாக அறிந்தால் அணு மேட்ரிக்ஸ் கூறுகளை நேரடியாகக் கணக்கிட முடியும். பெரும்பாலும் அப்படி நடப்பதில்லை. இந்த மேட்ரிக்ஸ் கூறுகளுக்கான அளவுருக்களைப் பெற பல வழிகள் உள்ளன. வேதியியல் பிணைப்பு ஆற்றல் தரவுகளிலிருந்து அளவுருக்களைப் பெறலாம். பிரில்லோயின் மண்டலத்தில் உள்ள சில உயர் சமச்சீர் புள்ளிகளில் உள்ள ஆற்றல்கள் மற்றும் ஐகென்ஸ்டேட்களை மதிப்பீடு செய்யலாம் மற்றும் மேட்ரிக்ஸ் கூறுகளில் உள்ள மதிப்புகள் ஒருங்கிணைப்புகளை மற்ற மூலங்களிலிருந்து வரும் பேண்ட் கட்டமைப்பு தரவுகளுடன் பொருத்தலாம். இன்டர்டாமிக் ஓவர்லேப் மேட்ரிக்ஸ் கூறுகள் சிறியதாகவோ அல்லது புறக்கணிக்கக்கூடியதாகவோ இருக்க வேண்டும். அவை பெரியதாக இருந்தால், இறுக்கமான பிணைப்பு மாதிரி சில நோக்கங்களுக்காக வரையறுக்கப்பட்ட மதிப்பைக் கொண்டுள்ளது என்பதற்கான அறிகுறியாகும். எடுத்துக்காட்டாக, பெரிய ஒன்றுடன் ஒன்று என்பது மிகக் குறுகிய அணு இடையேயான தூரத்திற்கான அறிகுறியாகும். உலோகங்கள் மற்றும் இடைநிலை உலோகங்களில் பரந்த எஸ்-பேண்ட் அல்லது எஸ். பி-பேண்ட் ஏற்கனவே இருக்கும் பேண்ட் கட்டமைப்பு கணக்கீட்டிற்கு அடுத்த-அருகிலுள்ள-அண்டை மேட்ரிக்ஸ் கூறுகள் மற்றும் ஒன்றுடன் ஒன்று ஒருங்கிணைப்புகளை அறிமுகப்படுத்துவதன் மூலம் சிறப்பாக பொருத்தப்படலாம், ஆனால் அது போன்ற பொருத்தங்கள் ஒரு உலோகத்தின் மின்னணு அலை செயல்பாட்டிற்கு மிகவும் பயனுள்ள மாதிரியை வழங்காது. அடர்த்தியான பொருட்களில் உள்ள பரந்த பட்டைகள் கிட்டத்தட்ட இலவச எலக்ட்ரான் மாதிரியால் சிறப்பாக விவரிக்கப்படுகின்றன. டி-பட்டைகள் மற்றும் எஃப்-பட்டைகளைப் போலவே, பட்டையின் அகலம் சிறியதாகவும், எலக்ட்ரான்கள் வலுவாக உள்ளூர்மயமாக்கப்பட்டதாகவும் இருக்கும் சந்தர்ப்பங்களில் இறுக்கமான பிணைப்பு மாதிரி சிறப்பாக செயல்படுகிறது. வைரம் அல்லது சிலிக்கான் போன்ற திறந்த படிக கட்டமைப்புகளின் விஷயத்தில் இந்த மாதிரி நல்ல முடிவுகளைத் தருகிறது, அங்கு அண்டை நாடுகளின் எண்ணிக்கை குறைவாக உள்ளது. இந்த மாதிரியை ஒரு கலப்பின NFE-TB மாதிரியில் கிட்டத்தட்ட இலவச எலக்ட்ரான் மாதிரியுடன் எளிதாக இணைக்க முடியும். வானியர் செயல்பாடுகளுடனான இணைப்பு ப்ளோச் செயல்பாடுகள் ஒரு குறிப்பிட்ட படிக ஜாலகத்தில் மின்னணு நிலைகளை விவரிக்கின்றன. ப்ளோச் செயல்பாடுகளை ஒரு ஃபோரியர் தொடராகக் குறிப்பிடலாம், அங்கு Rn என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட படிக ஜாலகத்தில் ஒரு அணு தளத்தைக் குறிக்கிறது, k என்பது ப்ளோச்சின் செயல்பாட்டின் அலை திசையன், r என்பது எலக்ட்ரான் நிலை, m என்பது பேண்ட் குறியீடு மற்றும் தொகை அனைத்து N அணு தளங்களுக்கும் மேல் உள்ளது. ப்ளோச்சின் செயல்பாடு என்பது ஒரு ஆற்றல் எம் (கே) உடன் தொடர்புடைய ஒரு குறிப்பிட்ட படிக ஆற்றலில் ஒரு எலக்ட்ரானின் அலை செயல்பாட்டிற்கான ஒரு துல்லியமான ஈஜென்சொல்யூஷன் ஆகும், மேலும் இது முழு படிக அளவிலும் பரவியுள்ளது. ஃபோரியர் உருமாற்ற பகுப்பாய்வைப் பயன்படுத்தி, m-th ஆற்றல் பட்டைக்கான ஒரு இடஞ்சார்ந்த உள்ளூர்மயமாக்கப்பட்ட அலை செயல்பாட்டை பல ப்ளோச்சின் செயல்பாடுகளிலிருந்து உருவாக்க முடியும்ஃ இந்த உண்மையான விண்வெளி அலை செயல்பாடுகள் வானியர் செயல்பாடுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, மேலும் அவை அணு தளமான Rn உடன் மிகவும் நெருக்கமாக உள்ளூர்மயமாக்கப்பட்டுள்ளன. நிச்சயமாக, நம்மிடம் சரியான வானியர் செயல்பாடுகள் இருந்தால், தலைகீழ் ஃபோரியர் உருமாற்றத்தைப் பயன்படுத்தி சரியான ப்ளோச் செயல்பாடுகளைப் பெறலாம். இருப்பினும் ப்ளோச் செயல்பாடுகள் அல்லது வானியர் செயல்பாடுகளை நேரடியாகக் கணக்கிடுவது எளிதல்ல. திடப்பொருட்களின் மின்னணு கட்டமைப்புகளைக் கணக்கிடுவதில் தோராயமான அணுகுமுறை அவசியம். தனிமைப்படுத்தப்பட்ட அணுக்களின் தீவிர நிகழ்வை நாம் கருத்தில் கொண்டால், வானியர் செயல்பாடு ஒரு தனிமைப்படுத்தப்பட்ட அணு சுற்றுப்பாதையாக மாறும். அந்த வரம்பு ஒரு அணு அலை செயல்பாட்டை வானியர் செயல்பாட்டிற்கான தோராயமான வடிவமாக தேர்வு செய்வதைக் குறிக்கிறது, இது இறுக்கமான பிணைப்பு தோராயமாக அழைக்கப்படுகிறது. இரண்டாவது அளவீடு டி-ஜே மாடல் மற்றும் ஹப்பார்ட் மாடல் போன்ற மின்னணு கட்டமைப்பின் நவீன விளக்கங்கள் இறுக்கமான பிணைப்பு மாதிரியை அடிப்படையாகக் கொண்டவை. இரண்டாவது அளவீட்டு சம்பிரதாயத்தின் கீழ் வேலை செய்வதன் மூலம் இறுக்கமான பிணைப்பைப் புரிந்து கொள்ள முடியும். அணு சுற்றுப்பாதையை ஒரு அடிப்படை நிலையாகப் பயன்படுத்தி, இறுக்கமான பிணைப்பு கட்டமைப்பில் இரண்டாவது அளவீட்டு ஹாமில்டோனியன் ஆபரேட்டரை பின்வருமாறு எழுதலாம்ஃ,-உருவாக்கம் மற்றும் அழிவு ஆபரேட்டர்கள்-சுழல் துருவமுனைப்பு-ஹோப்பிங் ஒருங்கிணைப்பு-அருகிலுள்ள அண்டை குறியீடு-மற்ற சொற்களின் ஹெர்மிடியன் இணைவு (கள்) இங்கே, ஹோப்பிங் ஒருங்கிணைப்பு இறுக்கமான பிணைப்பு மாதிரியில் பரிமாற்ற ஒருங்கிணைப்புக்கு ஒத்திருக்கிறது. தீவிர நிகழ்வுகளைக் கருத்தில் கொண்டு, ஒரு எலக்ட்ரான் அண்டை தளங்களுக்குள் குதிப்பது சாத்தியமற்றது. இந்த வழக்கு தனிமைப்படுத்தப்பட்ட அணு அமைப்பு ஆகும். ஊசலாடும் சொல் இயக்கப்பட்டால் () எலக்ட்ரான்கள் அவற்றின் இயக்க ஆற்றலைக் குறைக்கும் இரு இடங்களிலும் இருக்க முடியும். வலுவான தொடர்புடைய எலக்ட்ரான் அமைப்பில், எலக்ட்ரான்-எலக்ட்ரான் தொடர்புகளை கருத்தில் கொள்வது அவசியம். இந்த தொடர்பு ஹாமில்டோனியனில் நேரடி கூலம்ப் தொடர்பு ஆற்றல் மற்றும் எலக்ட்ரான்களுக்கு இடையிலான பரிமாற்ற தொடர்பு ஆற்றல் ஆகியவை அடங்கும். உலோக-இன்சுலேட்டர் மாற்றங்கள் (எம்ஐடி), உயர் வெப்பநிலை சூப்பர் கண்டக்டிவிட்டி மற்றும் பல குவாண்டம் கட்ட மாற்றங்கள் போன்ற இந்த எலக்ட்ரான்-எலக்ட்ரான் தொடர்பு ஆற்றலிலிருந்து தூண்டப்பட்ட பல புதிய இயற்பியல் உள்ளன. எடுத்துக்காட்டுஃ ஒரு பரிமாண எஸ்-பேண்ட் இங்கே இறுக்கமான பிணைப்பு மாதிரி அணு தளங்களுக்கு இடையில் ஒரு மற்றும் σ பிணைப்புகளை இடைவெளியில் ஒரு நேர் கோட்டில் ஒற்றை எஸ்-சுற்றுப்பாதை கொண்ட அணுக்களின் சரத்திற்கான எஸ்-பேண்ட் மாதிரியுடன் விளக்கப்பட்டுள்ளது. ஹாமில்டோனியனின் தோராயமான ஐகென்ஸ்டேட்களைக் கண்டறிய, அணு சுற்றுப்பாதைகளின் நேரியல் கலவையைப் பயன்படுத்தலாம், அங்கு N = மொத்த தளங்களின் எண்ணிக்கை மற்றும் ஒரு உண்மையான அளவுரு ஆகும். (அணு அலை செயல்பாடுகளின் ஒன்றுடன் ஒன்று புறக்கணிக்கப்பட்டால், இந்த அலை செயல்பாடு முன்னணி காரணி 1/ρN ஆல் ஒற்றுமைக்கு இயல்பாக்கப்படுகிறது.) அருகிலுள்ள அண்டை ஒன்றுடன் ஒன்று இருப்பதாகக் கருதினால், ஹாமில்டோனியனின் பூஜ்ஜியமற்ற மேட்ரிக்ஸ் கூறுகளை மட்டுமே வெளிப்படுத்த முடியும் ஆற்றல் Ei என்பது தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட அணு சுற்றுப்பாதையுடன் தொடர்புடைய அயனியாக்க ஆற்றல் மற்றும் U என்பது அண்டை அணுக்களின் ஆற்றலின் விளைவாக சுற்றுப்பாதையின் ஆற்றல் மாற்றம் ஆகும். ஸ்லேட்டர் மற்றும் கோஸ்டர் இன்டர்டாமிக் மேட்ரிக்ஸ் கூறுகளான கூறுகள் பிணைப்பு ஆற்றல்கள் ஆகும். இந்த ஒரு பரிமாண எஸ்-பேண்ட் மாதிரியில், பிணைப்பு ஆற்றலுடன் எஸ்-சுற்றுப்பாதைகளுக்கு இடையில்-பிணைப்புகள் மட்டுமே உள்ளன. அண்டை அணுக்களில் நிலைகளுக்கு இடையிலான ஒன்றுடன் ஒன்று S. மேலே உள்ள சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தி நிலையின் ஆற்றலைப் பெறலாம்ஃ எடுத்துக்காட்டாக, எங்கே, மற்றும் இவ்வாறு இந்த நிலையின் ஆற்றலை ஆற்றல் சிதறலின் பழக்கமான வடிவத்தில் குறிப்பிடலாம்ஃ ஆற்றல் மற்றும் நிலை அனைத்து அணு சுற்றுப்பாதைகளின் கூட்டுத்தொகையைக் கொண்டுள்ளது. இந்த நிலையை பிணைப்பு சுற்றுப்பாதைகளின் சங்கிலியாகக் காணலாம். ஆற்றல் மற்றும் நிலை அணு சுற்றுப்பாதைகளின் கூட்டுத்தொகையைக் கொண்டுள்ளது, அவை கட்டத்திற்கு வெளியே ஒரு காரணியாகும். இந்த நிலையை பிணைப்பு அல்லாத சுற்றுப்பாதைகளின் சங்கிலியாகக் காணலாம். இறுதியாக ஆற்றல் மற்றும் நிலை அணு சுற்றுப்பாதைகளின் மாறி மாறி கூட்டுத்தொகையைக் கொண்டுள்ளது. இந்த நிலையை பிணைப்பு எதிர்ப்பு சுற்றுப்பாதைகளின் சங்கிலியாகக் காணலாம். இந்த உதாரணம் உடனடியாக மூன்று பரிமாணங்களுக்கு நீட்டிக்கப்படுகிறது, எடுத்துக்காட்டாக, வெறுமனே n a க்கு பதிலாக அருகிலுள்ள அண்டை திசையன் இருப்பிடங்களை அறிமுகப்படுத்துவதன் மூலம் ஒரு உடல் மையமாகக் கொண்ட கனசதுர அல்லது முகத்தை மையமாகக் கொண்ட கனசதுர ஜன்னலுக்கு. அதேபோல், ஒவ்வொரு தளத்திலும் பல வேறுபட்ட அணு சுற்றுப்பாதைகளைப் பயன்படுத்தி இந்த முறையை பல பட்டைகளுக்கு நீட்டிக்க முடியும். மேலே உள்ள பொதுவான சூத்திரம் இந்த நீட்டிப்புகளை எவ்வாறு நிறைவேற்ற முடியும் என்பதைக் காட்டுகிறது. 1954 ஆம் ஆண்டில் ஜே. சி. ஸ்லேட்டர் மற்றும் ஜி. எஃப். கோஸ்டர் ஆகியோர் வெளியிட்டனர், முக்கியமாக இடைநிலை உலோக டி-பட்டைகளின் கணக்கீட்டிற்காக, கியூபிக் ஹார்மோனிக் சுற்றுப்பாதைகளிலிருந்து நேராகப் பெறக்கூடிய இன்டர்டாமிக் மேட்ரிக்ஸ் கூறுகளின் அட்டவணை. அட்டவணை மேட்ரிக்ஸ் கூறுகளை எல். சி. ஏ. ஓ இரண்டு மைய பிணைப்பு ஒருங்கிணைப்புகளின் செயல்பாடுகளாக இரண்டு கன ஹார்மோனிக் சுற்றுப்பாதைகளுக்கு இடையில் வெளிப்படுத்துகிறது, i மற்றும் j, அருகிலுள்ள அணுக்களில். பிணைப்பு ஒருங்கிணைப்புகள் எடுத்துக்காட்டாக, மற்றும் சிக்மா, பை மற்றும் டெல்டா பிணைப்புகளுக்கு (இந்த ஒருங்கிணைப்புகள் அணுக்களுக்கு இடையிலான தூரத்தையும் சார்ந்திருக்க வேண்டும் என்பதைக் கவனியுங்கள், அதாவது. ஒவ்வொரு முறையும் வெளிப்படையாக குறிப்பிடப்படவில்லை என்றாலும், அவை ஒரு செயல்பாடு.) டி என்பது அணுக்களுக்கு இடையிலான தூரம் மற்றும் எல், எம் மற்றும் என் ஆகியவை அண்டை அணுவுக்கு கோசைன்களின் திசை என இன்டர்டாமிக் வெக்டர் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. அனைத்து இன்டர்டாமிக் மேட்ரிக்ஸ் உறுப்புகளும் வெளிப்படையாக பட்டியலிடப்படவில்லை. இந்த அட்டவணையில் பட்டியலிடப்படாத மேட்ரிக்ஸ் கூறுகள் அட்டவணையில் உள்ள மற்ற மேட்ரிக்ஸ் கூறுகளின் குறியீடுகள் மற்றும் கொசைன் திசைகளின் வரிசைமாற்றத்தால் கட்டமைக்கப்படலாம். சுற்றுப்பாதை குறியீடுகளை மாற்றுவது எடுத்துக்கொள்வதற்கு சமம் என்பதை நினைவில் கொள்க, அதாவது. . உதாரணமாக,. எலக்ட்ரானிக் பேண்ட் கட்டமைப்பு ஏறக்குறைய இலவச எலக்ட்ரான் மாதிரி ப்ளோச்சின் கோட்பாடுகள் க்ரோனிக்-பென்னி மாதிரி ஃபெர்மி மேற்பரப்பு வானியர் செயல்பாடு ஹப்பார்ட் மாதிரி டி-ஜே மாதிரி பயனுள்ள வெகுஜன ஆண்டர்சனின் விதி விலகல் இயக்கவியல் கோட்பாடு திட நிலை இயற்பியல் அணு சுற்றுப்பாதைகளின் மூலக்கூறு சுற்றுப்பாதை முறையின் நேரியல் கலவை (எல். சி. ஏ. ஓ) ஹோல்ஸ்டீன்-ஹெர்ரிங் முறை பியர்ஸ் மாற்று ஹக்கல் முறை குறிப்புகள் என். டபிள்யூ. ஆஷ்கிராஃப்ட் மற்றும் என். டி. மெர்மின், திட நிலை இயற்பியல் (தாம்சன் கற்றல், டொராண்டோ, 1976). சுருக்கப்பட்ட பொருளில் ஸ்டீபன் ப்ளண்டெல் காந்தவியல் (ஆக்ஸ்போர்டு, 2001). S.Maekawa மற்றும் பலர். மாற்றம் உலோக ஆக்சைடுகளின் இயற்பியல் (ஸ்ப்ரிங்கர்-வெர்லாக் பெர்லின் ஹைடெல்பெர்க், 2004). ஜான் சிங்கிள்டன் பேண்ட் கோட்பாடு மற்றும் திடப்பொருட்களின் மின்னணு பண்புகள் (ஆக்ஸ்போர்டு, 2001). மேலும் வாசிப்பு வெளிப்புற இணைப்புகள் கிரிஸ்டல்-ஃபீல்ட் கோட்பாடு, இறுக்கமான-பிணைப்பு முறை மற்றும் ஜான்-டெல்லர் விளைவு ஈ. பவாரினி, ஈ. கோச், எஃப். ஆண்டர்ஸ் மற்றும் எம். ஜாரெல் (பதிப்புகள். ): இணைக்கப்பட்ட எலக்ட்ரான்கள்ஃ மாதிரிகள் முதல் பொருட்கள் வரை, ஜூலை 2012, டைட்-பைண்டிங் ஸ்டுடியோஃ டைட்-பைண்டிங் ஹாமில்டோனியன் எலக்ட்ரானிக் கட்டமைப்பு முறைகளின் அளவுருக்களைக் கண்டறிய ஒரு தொழில்நுட்ப மென்பொருள் தொகுப்பு எலக்ட்ரானிக் பேண்ட் கட்டமைப்புகள்