Étale fundamental group
ஏட்டேல் அல்லது இயற்கணித அடிப்படை குழு என்பது இயற்கணித வடிவவியலில், திட்டங்களுக்கு, இடவியல் இடைவெளிகளின் வழக்கமான அடிப்படை குழுவின் ஒப்புமை ஆகும். இடவியல் அனலாக்/முறைசாரா விவாதம் இயற்கணித இடவியலில், ஒரு சுட்டிக்காட்டப்பட்ட இடவியல் இடத்தின் அடிப்படை குழு அடிப்படையில் சுழல்களின் ஹோமோடாபி வகுப்புகளின் குழுவாக வரையறுக்கப்படுகிறது. இந்த வரையறை உண்மையான மற்றும் சிக்கலான பன்மடங்கு போன்ற இடங்களுக்கு நன்றாக வேலை செய்கிறது, ஆனால் ஜாரிஸ்கி இடவியல் கொண்ட ஒரு இயற்கணித வகைக்கு விரும்பத்தகாத முடிவுகளை வழங்குகிறது. மூடும் இடங்களின் வகைப்பாட்டில், அடிப்படை குழு சரியாக உலகளாவிய மூடும் இடத்தின் டெக் உருமாற்றங்களின் குழு என்று காட்டப்பட்டுள்ளது. இது மிகவும் நம்பிக்கைக்குரியதுஃ இயற்கணித வகைகளின் வரையறுக்கப்பட்ட அடுக்கு வடிவங்கள் இடவியல் இடைவெளிகளின் இடைவெளிகளை மூடுவதற்கு பொருத்தமான ஒப்புமை ஆகும். துரதிர்ஷ்டவசமாக, ஒரு இயற்கணித வகை பெரும்பாலும் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு "உலகளாவிய உறையைக்" கொண்டிருக்கத் தவறிவிடுகிறது, எனவே அதன் வரையறுக்கப்பட்ட அடுக்கு உறைகளின் முழு வகையையும் ஒருவர் கருத்தில் கொள்ள வேண்டும். பின்னர் ஒருவர் அடேல் அடிப்படை குழுவை வரையறுக்க முடியும் வரையறுக்கப்பட்ட தானியங்கி குழுக்களின் தலைகீழ் வரம்பு. முறையான வரையறை ஒரு இணைக்கப்பட்ட மற்றும் உள்ளூரில் நொய்தேரியன் திட்டமாக இருக்கட்டும், ஒரு வடிவியல் புள்ளியாக இருக்கட்டும், மேலும் இந்த பிரிவில் உள்ள மோர்பிஸம்கள் ஒரு திட்டத்திலிருந்து ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட இடேல் மார்ஃபிசம் போன்ற ஜோடிகளின் வகையாக இருக்கட்டும். ஃபன்க்டர் பொதுவாக பிரதிநிதித்துவப்படுத்தப்படுவதில்லை; இருப்பினும், இது உண்மையில் கலோயிஸ் அட்டைகளால் பிரதிநிதித்துவப்படுத்தப்படுகிறது. இதன் பொருள் என்னவென்றால், நம்மிடம் ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் சிஸ்டம் உள்ளது, இது ஒரு இயக்கிய தொகுப்பால் குறியிடப்பட்டுள்ளது, அங்கு காலோயிஸ் கவர்கள், அதாவது, வரையறுக்கப்பட்ட அடல் திட்டங்கள். இதன் பொருள் என்னவென்றால், நாம் ஃபங்க்டர்களின் ஐசோமார்பிசத்தை வழங்கியுள்ளோம். குறிப்பாக, ப்ரொஜெக்டிவ் சிஸ்டத்தின் ஒரு குறிப்பிடத்தக்க புள்ளி எங்களிடம் உள்ளது. அத்தகைய இரண்டுக்கு வரைபடம் ஒரு குழு ஹோமோமார்பிசத்தைத் தூண்டுகிறது, இது ப்ரொஜெக்டிவ் அமைப்பிலிருந்து தானியங்கி குழுக்களின் ப்ரொஜெக்டிவ் அமைப்பை உருவாக்குகிறது. பின்னர் நாம் பின்வரும் வரையறையை உருவாக்குகிறோம்ஃ அட் இன் அடேல் அடிப்படை குழு என்பது தலைகீழ் வரம்பு இடவியல் கொண்ட தலைகீழ் வரம்பாகும். செயல்பாட்டாளர் இப்போது வரையறுக்கப்பட்ட மற்றும் தொடர்ச்சியான-தொகுப்புகளின் வகைக்கு ஒரு செயல்பாட்டாளராக உள்ளார், மேலும் வரையறுக்கப்பட்ட மற்றும் தொடர்ச்சியான-தொகுப்புகளின் வகைக்கும் இடையில் உள்ள வகைகளின் சமநிலையை நிறுவுகிறார். எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் கோட்பாடுகள் இதற்கு மிக அடிப்படையான எடுத்துக்காட்டு, ஒரு புலத்தின் அடிப்படை அடிப்படை குழு. அடிப்படையில் வரையறையின்படி, அடிப்படை குழு முழுமையான கலோயிஸ் குழுவிற்கு ஐசோமார்பிக் என்று காட்டப்படலாம். இன்னும் துல்லியமாக, ஒரு வடிவியல் புள்ளியைத் தேர்ந்தெடுப்பது தனித்தனியாக மூடிய விரிவாக்க புலத்தைக் கொடுப்பதற்கு சமம், மேலும் அந்த அடிப்படை புள்ளியைப் பொறுத்தவரை étale அடிப்படை குழு கலோயிஸ் குழுவுடன் அடையாளம் காணப்படுகிறது. கலோயிஸ் குழுவின் இந்த விளக்கம் கிரோதெண்டீக்கின் கலோயிஸ் கோட்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. மேலும் பொதுவாக, ஒரு புலத்தின் மீது எந்த வடிவியல் ரீதியாக இணைக்கப்பட்ட வகையிலும் (அதாவது, இணைக்கப்பட்டிருப்பது போன்றது) பண்பு பூஜ்ஜிய புலத்தின் மீது திட்டங்களின் திட்டங்களின் சரியான வரிசை உள்ளது. இயற்கணித அடிப்படை குழு, இது பொதுவாக இந்த விஷயத்தில் அழைக்கப்படுவது போல, அதன் வரம்பற்ற நிறைவு ஆகும். இது ரீமன் இருப்பு தேற்றத்தின் விளைவாகும், இது அனைத்து வரையறுக்கப்பட்ட அடுக்கு உறைகளும் ஒன்றிலிருந்து உருவாகின்றன என்று கூறுகிறது. குறிப்பாக, மென்மையான வளைவுகளின் அடிப்படை குழு (அதாவது, திறந்த ரீமன் மேற்பரப்புகள்) நன்கு புரிந்து கொள்ளப்படுகிறது; இது இயற்கணித அடிப்படை குழுவை தீர்மானிக்கிறது. மேலும் பொதுவாக, குணாதிசய பூஜ்ஜியத்தின் எந்தவொரு இயற்கணித மூடிய புலத்தின் மீதும் ஒரு சரியான திட்டத்தின் அடிப்படை குழு அறியப்படுகிறது, ஏனெனில் இயற்கணித மூடிய புலங்களின் நீட்டிப்பு ஐசோமார்பிக் அடிப்படை குழுக்களைத் தூண்டுகிறது. நேர்மறை சிறப்பியல்பு மற்றும் கட்டுப்படுத்தும் அடிப்படை குழுவின் ஒரு புலத்தின் மீது திட்டங்கள் நேர்மறை சிறப்பியல்புகளின் இயற்கணித ரீதியாக மூடப்பட்ட புலத்திற்கு, முடிவுகள் வேறுபட்டவை, ஏனெனில் இந்த சூழ்நிலையில் ஆர்ட்டின்-ஷ்ரியர் உறைகள் உள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக, அஃபைன் கோட்டின் அடிப்படை குழு இடவியல் ரீதியாக இறுதியாக உருவாக்கப்படவில்லை. சில திட்டங்களின் கட்டுப்படுத்தும் அடிப்படை குழு U என்பது வழக்கமான அடிப்படை குழுவின் ஒரு ஈவு ஆகும், இதில் அட்டைகளை மட்டுமே கணக்கில் எடுத்துக்கொள்கிறது, அவை ஓரளவு விரிவுபடுத்தப்படுகின்றன, அங்கு சில சுருக்கங்கள் உள்ளன மற்றும் இது இன் இன் நிரப்பு ஆகும். எடுத்துக்காட்டாக, அஃபைன் கோட்டின் கட்டுப்படுத்தும் அடிப்படை குழு பூஜ்ஜியமாகும். சிறப்பியல்பு p இன் ஒரு புலத்தின் மீது அஃபைன் திட்டங்கள் ஒவ்வொரு அஃபைன் திட்டமும் ஒரு-இடைவெளி என்று மாறிவிடும், அதாவது ஈட்டேல் ஹோமோடாபி வகை முற்றிலும் அதன் ஈட்டேல் ஹோமோடாபி குழுவால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. ஒரு வடிவியல் புள்ளி எங்கே என்பதைக் கவனியுங்கள். மேலும் தலைப்புகள் ஒரு வகை-கோட்பாட்டு கண்ணோட்டத்தில், அடிப்படை குழு ஒரு செயல்பாட்டாளர் {சுட்டிக்காட்டப்பட்ட இயற்கணித வகைகள்} → {ப்ரோஃபைனைட் குழுக்கள்} ஆகும். தலைகீழ் காலோயிஸ் சிக்கல் அடிப்படை குழுக்களாக (அல்லது கள விரிவாக்கங்களின் காலோயிஸ் குழுக்கள்) என்ன குழுக்கள் எழலாம் என்று கேட்கிறது. அனபெலியன் வடிவியல், எடுத்துக்காட்டாக கிரோதெண்டீக்கின் பிரிவு அனுமானம், அவற்றின் அடிப்படை குழுக்களால் தீர்மானிக்கப்படும் வகைகளின் வகைகளை அடையாளம் காண முயல்கிறது. ஒரு திட்டத்தின் அடேல் ஹோமோடாபி வகை மூலம் உயர் அடேல் ஹோமோடாபி குழுக்களை ஆய்வு செய்கிறது. அடல் சார்பு அடிப்படை குழு அடல் சார்பு அடிப்படை குழு என்று அழைக்கப்படும் அடல் அடிப்படை குழுவின் ஒரு மாறுபாட்டை அறிமுகப்படுத்தியுள்ளது. இது வரையறுக்கப்பட்ட அடுக்கு அட்டைகளுக்கு பதிலாக, அடுக்கு மற்றும் சரியான மதிப்பீட்டு அளவுகோல்களை பூர்த்தி செய்யும் வரைபடங்களைக் கருத்தில் கொண்டு கட்டப்பட்டுள்ளது. வடிவியல் ரீதியாக ஒரு கிளை திட்டங்களுக்கு (எ. கா., சாதாரண திட்டங்கள்), இரண்டு அணுகுமுறைகளும் ஒப்புக்கொள்கின்றன, ஆனால் பொதுவாக நிலையான சார்பு அடிப்படை குழு ஒரு சிறந்த மாறாததுஃ அதன் வரம்பற்ற நிறைவு என்பது நிலையான அடிப்படை குழுவாகும். மேலும் காண்க அடிப்படை குழு அடிப்படை குழு திட்டம் குறிப்புகள் குறிப்புகள் திட்டம் கோட்பாடு இயற்கணித வடிவவியலின் இடவியல் முறைகள்