Fáry–Milnor theorem
முடிச்சுகளின் கணிதக் கோட்பாட்டில், இஸ்ட்வான் ஃபரி மற்றும் ஜான் மில்னர் ஆகியோரின் பெயரால் பெயரிடப்பட்ட ஃபரி-மில்னர் தேற்றம், சிறிய மொத்த வளைவு கொண்ட முப்பரிமாண மென்மையான வளைவுகள் இணைக்கப்படாமல் இருக்க வேண்டும் என்று கூறுகிறது. இந்தக் கோட்பாடு 1949இல் ஃபரீ மற்றும் 1950இல் மில்னர் ஆகியோரால் சுயாதீனமாக நிரூபிக்கப்பட்டது. இது பின்னர் நாற்கரங்களின் இருப்பிலிருந்து பின்பற்றப்படுவதாகக் காட்டப்பட்டது. யூக்ளிடியன் இடத்தில் K என்பது அதன் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் κ வளைவை வரையறுக்க போதுமான மென்மையான மூடிய வளைவாக இருந்தால், மொத்த முழுமையான வளைவு 4π ஐ விட குறைவாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருந்தால், K என்பது ஒரு முத்திரை அல்ல, அதாவது. : K ஒரு அன்க்னாட் இல்லையென்றால், அதாவது என்று முரண்பாடு நமக்குச் சொல்கிறது. K என்பது வட்டத்திற்கு ஐசோடோபிக் அல்ல, பின்னர் மொத்த வளைவு கண்டிப்பாக 4π ஐ விட அதிகமாக இருக்கும். மொத்த வளைவு 4 க்கும் குறைவாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருப்பது K ஒரு இணைக்கப்படாத நிபந்தனையாக இருக்க போதுமான நிபந்தனை என்பதைக் கவனியுங்கள்; இது ஒரு அவசியமான நிபந்தனை அல்ல. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், 4π ஐ விட குறைவான அல்லது சமமான மொத்த வளைவு கொண்ட அனைத்து முடிச்சுகளும் கட்டப்படாதவை என்றாலும், 4π ஐ விட கடுமையான வளைவு கொண்ட கட்டற்ற முடிச்சுகள் உள்ளன. மென்மையான வளைவுகளுக்கு பொதுமைப்படுத்தல்கள் மூடிய பலகோண சங்கிலிகளுக்கு அதே முடிவு வளைவின் ஒருங்கிணைப்புடன் சங்கிலியின் அருகிலுள்ள பிரிவுகளுக்கு இடையிலான கோணங்களின் கூட்டுத்தொகையால் மாற்றப்படுகிறது. பலகோண சங்கிலிகளால் தன்னிச்சையான வளைவுகளை தோராயமாக மதிப்பிடுவதன் மூலம், மொத்த வளைவின் வரையறையை பெரிய வகை வளைவுகளுக்கு நீட்டிக்க முடியும், அதற்குள் ஃபரி-மில்னர் தேற்றமும் (,) கொண்டுள்ளது. குறிப்புகள். . . . வெளி இணைப்புகள். ஃபென்னர் தேற்றத்தின் வடிவியல் ஆதாரத்தையும், எந்தவொரு மென்மையான மூடிய வளைவும் குறைந்தபட்சம் 2π மொத்த வளைவைக் கொண்டுள்ளன என்பதற்கான தொடர்புடைய தேற்றத்தையும் விவரிக்கிறார். முடிச்சு கோட்பாடு இடவியல் கோட்பாடுகள்