Order dimension
கணிதத்தில், ஓரளவு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட தொகுப்பின் (பொசெட்) பரிமாணம் என்பது மொத்த வரிசைகளின் மிகச்சிறிய எண்ணிக்கையாகும், அதன் குறுக்கீடு பகுதி வரிசைக்கு வழிவகுக்கிறது. இந்த கருத்து சில நேரங்களில் வரிசை பரிமாணம் அல்லது பகுதி வரிசையின் துஷ்னிக்-மில்லர் பரிமாணம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. முதலில் ஆய்வு செய்யப்பட்ட வரிசை பரிமாணம்; இங்கே வழங்கப்பட்டதை விட இந்த விஷயத்தின் விரிவான சிகிச்சைக்கு, பார்க்கவும். முறையான வரையறை ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட நிலை P இன் பரிமாணம் என்பது P இன் நேரியல் நீட்டிப்புகளின் குடும்பம் இருக்கும் மிகக் குறைந்த முழு எண் t ஆகும், இதனால் P இல் உள்ள ஒவ்வொரு x மற்றும் y க்கும், x என்பது P இல் y க்கு முன்னதாக இருந்தால், அது அனைத்து நேரியல் நீட்டிப்புகளிலும் y க்கு முன்னதாக இருந்தால் மட்டுமே. அதாவது, வரிசை பரிமாணத்தின் மாற்று வரையறை என்பது மொத்த ஆர்டர்களின் குறைந்தபட்ச எண்ணிக்கையாகும், அதாவது பி அவற்றின் தயாரிப்பில் கூறு வாரியான வரிசையுடன் உட்பொதிக்கிறது. அனைவருக்கும் இருந்தால் மட்டுமே i (,). X இல் உள்ள நேரியல் வரிசைகளின் குடும்பம் ஒரு நிலை P = (X, <P) இன் உணர்தல் என்று அழைக்கப்படுகிறது, அதாவது X இல் உள்ள எந்த x மற்றும் y க்கும், x <P y துல்லியமாக x <1 y, x <2 y, மற்றும் x <t y. எனவே, ஒரு நிலை P இன் பரிமாணத்திற்கு சமமான வரையறை "P இன் உணர்திறனின் குறைந்தபட்ச கார்டினாலிட்டி" ஆகும். P இன் ஒவ்வொரு முக்கியமான ஜோடிக்கும் (x, y), R இல் உள்ள ஒரு வரிசைக்கு <i க்கு y <ix இருந்தால் மட்டுமே, நேரியல் நீட்டிப்புகளின் எந்தவொரு காலியாக இல்லாத குடும்ப R ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட ஓரளவு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட தொகுப்பு P இன் உணர்திறனாக இருக்கும் என்பதைக் காட்டலாம். குறிப்பாக, AI மற்றும் Bi ஆகியவை P இல் ஒப்பிடமுடியாதவை; P ஒரு கிரீடம் வரைபடத்தின் நோக்குநிலை வடிவமாக பார்க்கப்படலாம். இந்த எடுத்துக்காட்டு n = 4 க்கான இந்த வகையின் வரிசையைக் காட்டுகிறது. பின்னர், ஒவ்வொரு i க்கும், எந்தவொரு ரியலைசரும் ஒரு நேரியல் வரிசையைக் கொண்டிருக்க வேண்டும், இது ai ஐத் தவிர அனைத்து aj உடன் தொடங்குகிறது (சில வரிசையில்), பின்னர் b, பின்னர் ai ஐ உள்ளடக்கியது, மீதமுள்ள அனைத்து bj உடன் முடிவடைகிறது. ஏனென்றால், அத்தகைய வரிசையை உள்ளடக்காத ஒரு ரியலைசர் இருந்தால், அந்த ரியலைசரின் ஆர்டர்களின் குறுக்குவெட்டு AI முந்தைய Bi ஐக் கொண்டிருக்கும், இது P இல் உள்ள AI மற்றும் Bi இன் ஒப்பிடமுடியாத தன்மைக்கு முரணாக இருக்கும். எனவே, P சரியாக n பரிமாணத்தைக் கொண்டுள்ளது. உண்மையில், P என்பது n பரிமாணத்தின் நிலையின் நிலையான எடுத்துக்காட்டு என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் இது பொதுவாக Sn ஆல் குறிக்கப்படுகிறது. வரிசை பரிமாணம் இரண்டு வரிசை பரிமாணம் இரண்டு கொண்ட பகுதி வரிசைகள் பகுதி வரிசைகளாக வகைப்படுத்தப்படலாம், அதன் ஒப்பீட்டு வரைபடம் வேறு பகுதி வரிசையின் ஒப்பீட்டு வரைபடத்தின் நிரப்பு ஆகும். அதாவது, P என்பது வரிசை பரிமாணம் இரண்டு கொண்ட ஒரு பகுதி வரிசை, அதே உறுப்புகளின் தொகுப்பில் ஒரு பகுதி வரிசை Q இருந்தால் மட்டுமே, அதாவது தனித்துவமான உறுப்புகளின் ஒவ்வொரு ஜோடி x, y இந்த இரண்டு பகுதி வரிசைகளில் ஒன்றில் சரியாக ஒப்பிடத்தக்கது. P ஐ இரண்டு நேரியல் நீட்டிப்புகளால் உணர்ந்தால், P க்கு நிரப்பு பகுதி வரிசை Q ஐ இரண்டு நேரியல் நீட்டிப்புகளில் ஒன்றை மாற்றியமைப்பதன் மூலம் உணர முடியும். எனவே, பரிமாணம் இரண்டின் பகுதி வரிசைகளின் ஒப்பீட்டு வரைபடங்கள் சரியாக வரிசைமாற்ற வரைபடங்கள், வரைபடங்கள் இவை இரண்டும் ஒப்பீட்டு வரைபடங்கள் மற்றும் ஒப்பீட்டு வரைபடங்களுக்கு நிரப்பு. வரிசை பரிமாணம் இரண்டின் பகுதி வரிசைகள் தொடர்-இணையான பகுதி வரிசைகளை உள்ளடக்கியது. அவை சரியாக பகுதி வரிசைகளாகும், அதன் ஹாஸ் வரைபடங்கள் மேலாதிக்க வரைபடங்களைக் கொண்டுள்ளன, அவை கார்ட்டீசியன் ஆயத்தொகுதிகளாக ஒரு ரியலைசரின் இரண்டு வரிசைமாற்றங்களில் உள்ள நிலைகளைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் பெறப்படலாம். கணக்கீட்டு சிக்கலானது கொடுக்கப்பட்ட வரையறுக்கப்பட்ட ஓரளவு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட தொகுப்பு அதிகபட்சம் இரண்டில் வரிசை பரிமாணத்தைக் கொண்டிருக்கிறதா என்பதை பல்லுறுப்புக்கோவை நேரத்தில் தீர்மானிக்க முடியும், எடுத்துக்காட்டாக, பகுதி வரிசையின் ஒப்பீட்டு வரைபடம் ஒரு வரிசைமாற்ற வரைபடமா என்பதைச் சோதிப்பதன் மூலம். இருப்பினும், எந்தவொரு k ≤ 3 க்கும், வரிசை பரிமாணம் அதிகபட்சமாக k ஆக இருக்கிறதா என்பதை சோதிப்பது NP-முழுமையானது. எந்தவொரு திசைதிருப்பப்படாத வரைபடம் G இன் நிகழ்வு நிலை G இன் செங்குத்துகள் மற்றும் விளிம்புகளை அதன் கூறுகளாகக் கொண்டுள்ளது; இந்த நிலையில், x = y அல்லது x ஒரு உச்சியாக இருந்தால், x என்பது ஒரு விளிம்பாகும், x என்பது y இன் இறுதிப் புள்ளியாகும். சில வகையான வரைபடங்கள் அவற்றின் நிகழ்வு நிலைகளின் வரிசை பரிமாணங்களால் வகைப்படுத்தப்படலாம்ஃ ஒரு வரைபடம் என்பது அதன் நிகழ்வு நிலையின் வரிசை பரிமாணம் அதிகபட்சம் இரண்டாக இருந்தால் மட்டுமே ஒரு பாதை வரைபடமாகும், மேலும் ஷ்னைடரின் தேற்றத்தின்படி, அதன் நிகழ்வு நிலையின் வரிசை பரிமாணம் அதிகபட்சம் மூன்றாக இருந்தால் மட்டுமே அது ஒரு சமதள வரைபடமாகும். n செங்குத்துகளில் ஒரு முழுமையான வரைபடத்திற்கு, நிகழ்வு நிலையின் வரிசை பரிமாணம். அனைத்து எளிய n-வெர்டெக்ஸ் வரைபடங்களும் வரிசை பரிமாணத்துடன் நிகழ்வு நிலைகளைக் கொண்டுள்ளன என்பதை இது பின்பற்றுகிறது. k-பரிமாணம் மற்றும் 2-பரிமாணம் பரிமாணத்தின் பொதுமைப்படுத்தல் என்பது k-பரிமாணத்தின் (எழுதப்பட்ட) கருத்தாகும், இது அதிகபட்சம் k இல் நீளமுள்ள சங்கிலிகளின் குறைந்தபட்ச எண்ணிக்கையாகும், அதன் பெருக்கத்தில் பகுதி வரிசையை உட்பொதிக்க முடியும். குறிப்பாக, ஒரு வரிசையின் 2-பரிமாணத்தை மிகச்சிறிய தொகுப்பின் அளவாகக் காணலாம், அதாவது இந்த தொகுப்பில் சேர்க்கும் வரிசையில் வரிசை உட்பொதிக்கப்படுகிறது. இடைவெளி பரிமாண குறிப்புகளையும் பார்க்கவும். . . . . . . . . வரிசைக் கோட்பாடு பரிமாணக் கோட்பாடு