Machine epsilon
இயந்திர எப்சிலான் அல்லது இயந்திர துல்லியம் என்பது மிதக்கும் புள்ளி எண்கணிதத்தில் வட்டமிடுவதன் காரணமாக ஏற்படும் ஒப்பீட்டு தோராயப் பிழையின் மேல் வரம்பாகும். இந்த மதிப்பு கணினி எண்கணிதத்தை எண் பகுப்பாய்வு துறையிலும், கணக்கீட்டு அறிவியல் பாடத்தின் விரிவாக்கத்திலும் வகைப்படுத்துகிறது. இந்த அளவு மாசெப்ஸ் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் இது கிரேக்க எப்சிலான் சின்னங்களைக் கொண்டுள்ளது. இரண்டு நடைமுறையில் உள்ள வரையறைகள் உள்ளன. எண் பகுப்பாய்வில், இயந்திர எப்சிலான் பயன்படுத்தப்படும் வட்டத்தின் வகையைப் பொறுத்தது, மேலும் இது அலகு ரவுண்ட்ஆஃப் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது, இது போல்ட் ரோமன் யு குறியீட்டைக் கொண்டுள்ளது. இருப்பினும், குறைவான முறையான, ஆனால் மிகவும் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படும் வரையறையின்படி, இயந்திர எப்சிலான் ரவுண்டிங் முறையிலிருந்து சுயாதீனமாக உள்ளது மற்றும் u அல்லது 2u க்கு சமமாக இருக்கலாம். நிலையான வன்பொருள் எண்கணிதங்களுக்கான மதிப்புகள் பின்வரும் அட்டவணை நிலையான மிதக்கும்-புள்ளி வடிவங்களுக்கான இயந்திர எப்சிலான் மதிப்புகளை பட்டியலிடுகிறது. ஒவ்வொரு வடிவமைப்பும் சுற்று-க்கு-அருகில் பயன்படுத்துகிறது. முறையான வரையறை ரவுண்டிங் என்பது மிதக்கும் புள்ளி எண் அமைப்பில் ஒரு உண்மையான எண்ணின் பிரதிநிதித்துவத்தைத் தேர்ந்தெடுப்பதற்கான ஒரு செயல்முறையாகும். ஒரு எண் அமைப்பு மற்றும் ஒரு ரவுண்டிங் செயல்முறைக்கு, இயந்திர எப்சிலான் என்பது தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட ரவுண்டிங் செயல்முறையின் அதிகபட்ச ஒப்பீட்டு பிழையாகும். இந்த வரையறையிலிருந்து ஒரு மதிப்பைத் தீர்மானிக்க சில பின்னணி தேவைப்படுகிறது. ஒரு மிதக்கும் புள்ளி எண் அமைப்பு ஒரு ரேடிக்ஸ் மூலம் வகைப்படுத்தப்படுகிறது, இது அடிப்படை என்றும் அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் துல்லியத்தால், அதாவது. முக்கியத்துவத்தின் ரேடிக்ஸ் இலக்கங்களின் எண்ணிக்கை (எந்தவொரு முன்னணி மறைமுக பிட் உட்பட). ஒரே அடுக்கைக் கொண்ட அனைத்து எண்களும், இடைவெளியைக் கொண்டுள்ளன,. சரியான சக்திகளாக இருக்கும் எண்களில் இடைவெளி மாறுகிறது; பெரிய அளவிலான பக்கத்தில் உள்ள இடைவெளி சிறிய அளவிலான பக்கத்தில் உள்ள இடைவெளியை விட பல மடங்கு பெரியது. இயந்திர எப்சிலான் ஒப்பீட்டு பிழையின் கட்டுப்பாடு என்பதால், அடுக்குடன் கூடிய எண்களைக் கருத்தில் கொள்வது போதுமானது. நேர்மறை எண்களைக் கருத்தில் கொண்டாலும் போதுமானது. வழக்கமான ரவுண்ட்-டு-நியரஸ்ட் வகையான ரவுண்டிங்கிற்கு, முழுமையான ரவுண்டிங் பிழை அதிகபட்சமாக பாதி இடைவெளியில் உள்ளது, அல்லது. இந்த மதிப்பு உறவினர் பிழையின் மிகப்பெரிய சாத்தியமான எண் ஆகும். உறவினர் பிழையில் உள்ள வகுத்தல் என்பது எண்ணை வட்டமிடுவதாகும், இது உறவினர் பிழையை பெரியதாக மாற்ற முடிந்தவரை சிறியதாக இருக்க வேண்டும். எனவே மற்றும் இடையே இருக்கும் படிவத்தின் எண்களுக்கு ரவுண்டிங் பயன்படுத்தப்படும்போது மோசமான உறவினர் பிழை நிகழ்கிறது. இந்த எண்கள் அனைத்தும் தொடர்புடைய பிழையுடன் வட்டமிடுகின்றன. அதிகபட்சம் அதன் வரம்பின் மேல் முனையில் இருக்கும்போது நிகழ்கிறது. எண்களுடன் ஒப்பிடும்போது வகுப்பில் உள்ளவை மிகக் குறைவு, எனவே இது உகந்ததாக விடப்படுகிறது, மேலும் இது இயந்திர எப்சிலானாக எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது. இங்கே காட்டப்பட்டுள்ளபடி, சுற்றும் எண்களுக்கு ஒப்பீட்டு பிழை மோசமானது, எனவே இயந்திர எப்சிலான் யூனிட் ரவுண்ட்ஆஃப் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது, அதாவது தோராயமாக "யூனிட் மதிப்புக்கு வட்டமிடும்போது ஏற்படக்கூடிய அதிகபட்ச பிழை". எனவே, ஒரு இயல்பாக்கப்பட்ட மிதக்கும் புள்ளி எண்ணுக்கும், அருகிலுள்ள இயல்பாக்கப்பட்ட எண்ணுக்கும் இடையிலான அதிகபட்ச இடைவெளி. எண்கணித மாதிரி எண் பகுப்பாய்வு இயந்திர எப்சிலானைப் பயன்படுத்தி வட்டப் பிழையின் விளைவுகளை ஆய்வு செய்கிறது. இயந்திர எண்கணிதத்தின் உண்மையான பிழைகள் நேரடியாகப் படிக்க மிகவும் சிக்கலானவை, எனவே அதற்கு பதிலாக, பின்வரும் எளிய மாதிரி பயன்படுத்தப்படுகிறது. அனைத்து மிதக்கும்-புள்ளி செயல்பாடுகளும் எல்லையற்ற-துல்லிய செயல்பாட்டைச் செய்ய முடியும் என்பது போல் செய்யப்படுகின்றன, பின்னர், முடிவு மிதக்கும்-புள்ளி எண்ணுக்கு வட்டமிடப்படுகிறது என்று ஐ. இ. இ. இ எண்கணித தரநிலை கூறுகிறது. (1), மிதக்கும்-புள்ளி எண்கள் என்று வைத்துக்கொள்வோம், (2) கூட்டல் அல்லது பெருக்கம் போன்ற மிதக்கும்-புள்ளி எண்களில் ஒரு எண்கணித செயல்பாடு, மற்றும் (3) எல்லையற்ற துல்லிய செயல்பாடு. தரநிலையின்படி, கணினி கணக்கிடுகிறதுஃ இயந்திர எப்சிலான் என்பதன் அர்த்தத்தால், வட்டத்தின் ஒப்பீட்டு பிழை அதிகபட்ச இயந்திர எப்சிலான் அளவாகும், எனவேஃ முழுமையான அளவில் அதிகபட்சம் அல்லது u ஆகும். குறிப்புகளில் உள்ள டெம்மல் மற்றும் ஹைகம் ஆகியோரின் புத்தகங்கள் காஸியன் நீக்குதலின் பிழைகளை பகுப்பாய்வு செய்ய இந்த மாதிரி எவ்வாறு பயன்படுத்தப்படுகிறது என்பதைப் பார்க்க ஆலோசிக்கப்படலாம். மாறுபாடு வரையறைகள் IEEE தரநிலை இயந்திர எப்சிலான் மற்றும் அலகு ரவுண்ட்ஆஃப் ஆகிய சொற்களை வரையறுக்கவில்லை, எனவே இந்த சொற்களின் மாறுபட்ட வரையறைகள் பயன்பாட்டில் உள்ளன, இது சில குழப்பங்களை ஏற்படுத்தும். இயந்திர எப்சிலோனுக்கான முறையான வரையறை பேராசிரியர் ஜேம்ஸ் டெம்மல் விரிவுரை ஸ்கிரிப்ட்கள், லாபாக் லீனியர் அல்ஜிப்ரா தொகுப்பு, எண் ஆராய்ச்சி ஆவணங்கள் மற்றும் சில அறிவியல் கணினி மென்பொருள்களில் பயன்படுத்தப்படுகிறது. பெரும்பாலான எண் ஆய்வாளர்கள் மெஷின் எப்சிலான் மற்றும் யூனிட் ரவுண்ட்ஆஃப் ஆகிய சொற்களை இந்த அர்த்தத்துடன் ஒன்றுக்கொன்று மாற்றாகப் பயன்படுத்துகின்றனர். இந்த மாற்று வரையறை கல்வித்துறைக்கு வெளியே மிகவும் பரவலாக உள்ளதுஃ இயந்திர எப்சிலான் என்பது 1 மற்றும் அடுத்த பெரிய மிதக்கும் புள்ளி எண்ணுக்கு இடையிலான வேறுபாடு ஆகும். இந்த வரையறையின்படி, 1 உடன் தொடர்புடைய கடைசி இடத்தில் உள்ள அலகின் மதிப்புக்கு சமம், அதாவது. (மிதக்கும் புள்ளி அமைப்பின் அடிப்பகுதி மற்றும் துல்லியம் எங்கே) மற்றும் அலகு ரவுண்ட்ஆஃப் u, ரவுண்ட்-டு-நியரெஸ்ட் பயன்முறையைக் கருதி, மற்றும் u, ரவுண்ட்-பை-சாப் என்று கருதி. இந்த வரையறையின் பரவலானது மிதக்கும்-புள்ளி வகைகள் மற்றும் பிற நிரலாக்க மொழிகளில் தொடர்புடைய மாறிலிகள் தொடர்பான மாறிலிகளுக்கு ஐஎஸ்ஓ சி தரத்தில் அதன் பயன்பாட்டில் வேரூன்றியுள்ளது. இது அறிவியல் கணினி மென்பொருளிலும், எண்கள் மற்றும் கணினி இலக்கியத்திலும் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. இயந்திர எப்சிலானை எவ்வாறு தீர்மானிப்பது என்பது நிலையான நூலகங்கள் முன்கூட்டியே கணக்கிடப்பட்ட மதிப்புகளை வழங்காத இடங்களில் (சி-க்கு FLT _ EPSILON, DBL _ EPSILON மற்றும் LDBL _ EPSILON உடன் செய்வது போலவும், சி + + இல் std:: numeric _ حدود <T>: epsilon () உடன் செய்வது போலவும்), இயந்திர எப்சிலானை தீர்மானிக்க சிறந்த வழி மேலே உள்ள அட்டவணையைக் குறிப்பிடுவதும் பொருத்தமான சக்தி சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதும் ஆகும். கம்ப்யூட்டிங் மெஷின் எப்சிலான் பெரும்பாலும் ஒரு பாடப்புத்தக பயிற்சியாக வழங்கப்படுகிறது. பின்வரும் எடுத்துக்காட்டுகள் இயந்திர எப்சிலானை அலகு ரவுண்ட்ஆஃப் என்ற அர்த்தத்தில் அல்லாமல் மிதக்கும் புள்ளி எண்களின் இடைவெளி 1 என்ற அர்த்தத்தில் கணக்கிடுகின்றன. முடிவுகள் பயன்படுத்தப்படும் குறிப்பிட்ட மிதக்கும்-புள்ளி வடிவமைப்பைப் பொறுத்தது என்பதை நினைவில் கொள்க, அதாவது மிதவை, இரட்டை, நீண்ட இரட்டை அல்லது நிரலாக்க மொழி, தொகுப்பாளர் மற்றும் உண்மையான தளத்திற்கான இயக்க நேர நூலகம் ஆகியவற்றால் ஆதரிக்கப்படுகிறது. செயலியால் ஆதரிக்கப்படும் சில வடிவங்கள் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட தொகுப்பாளர் மற்றும் இயக்க முறைமையால் ஆதரிக்கப்படாமல் போகலாம். சில மொழிகள் மற்றும் நூலகங்களில் கிடைக்கும் தன்னிச்சையான-துல்லியமான எண்கணிதம் உட்பட, இயக்க நேர நூலகத்தால் பிற வடிவங்கள் பின்பற்றப்படலாம். ஒரு கடுமையான அர்த்தத்தில் இயந்திர எப்சிலான் என்ற சொல் செயலியால் (அல்லது இணை செயலி) நேரடியாக ஆதரிக்கப்படும் துல்லியத்தைக் குறிக்கிறது, ஒரு குறிப்பிட்ட இயக்க முறைமைக்கான ஒரு குறிப்பிட்ட தொகுப்பாளரால் ஆதரிக்கப்படும் சில துல்லியம் அல்ல, அது சிறந்த வடிவமைப்பைப் பயன்படுத்துவதாக அறியப்படாவிட்டால். ஐ. இ. இ. இ 754 மிதக்கும்-புள்ளி வடிவங்கள் ஒரே அகலத்தின் இரண்டின் நிரப்பு முழு எண்ணாக மறுபரிசீலனை செய்யப்படும்போது, அவை நேர்மறை மதிப்புகளை விட சலிப்பாக அதிகரிக்கிறது மற்றும் எதிர்மறை மதிப்புகளை விட சலிப்பாக குறைகிறது (32 பிட் மிதவைகளின் பைனரி பிரதிநிதித்துவத்தைப் பார்க்கவும்). அவர்களுக்கு அந்த பண்பும் உள்ளது, மற்றும் (மேற்கூறிய முழு எண் மறுபரிசீலனை எங்கே). வகை பஞ்சிங்கை அனுமதிக்கும் மற்றும் எப்போதும் IEEE 754-1985 ஐப் பயன்படுத்தும் மொழிகளில், ஒரு இயந்திர எப்சிலானை நிலையான நேரத்தில் கணக்கிட இதைப் பயன்படுத்தலாம். எடுத்துக்காட்டாக, சி இல்ஃ டைப்பெடெஃப் யூனியன் {நீண்ட நீண்ட i64; இரட்டை d64;} dbl _ 64; இரட்டை இயந்திரம் _ eps (இரட்டை மதிப்பு) {dbl _ 64s; s.d64 = மதிப்பு; s.i64 + +; திரும்ப s.d64-மதிப்பு;} பைத்தானில் எடுத்துக்காட்டுஃ டெஃப் இயந்திரம்Epsilon (ஃபங்க் = மிதவை): இயந்திரம் _ எப்சிலன் = ஃபங்க் (1) அதே நேரத்தில் ஃபங்க் (1) + இயந்திரம் _ எப்சிலன்! = ஃபங்க் (1): இயந்திரம் _ எப்சிலன் _ கடைசி = இயந்திரம் _ எப்சிலன் இயந்திரம் _ எப்சிலன் = ஃபங்க் (இயந்திரம் _ எப்சிலன்)/ஃபங்க் (2) திரும்ப இயந்திரம் ஒரு நேர்மறையான முடிவு எப்போதும் விரும்பப்பட்டால், இயந்திரம் _ eps இன் திரும்பும் அறிக்கையை பின்வருமாறு மாற்றலாம்ஃ திரும்ப (s.i64 <0? மதிப்பு-s.d64: s.d64-மதிப்பு); 64-பிட் இரட்டையர்கள் 2.220446e-16 ஐக் கொடுக்கின்றன, இது எதிர்பார்த்தபடி 2−52 ஆகும். ஒரு நேரியல் தேடலைப் பயன்படுத்தி, அதன் உண்மையான மதிப்பின் இரண்டு (அளவின் ஒரு வரிசை) காரணிக்குள், இயந்திர எப்சிலானை தோராயமாக மதிப்பிட பின்வரும் எளிய வழிமுறையைப் பயன்படுத்தலாம். எப்சிலான் = 1; அதேசமயம் (1 + 0.5 * எப்சிலான்) 1: எப்சிலான் = 0.5 * எப்சிலான் இயந்திர எப்சிலான், மாண்டிசாவுக்கு பயன்படுத்தப்படும் பிட்களின் எண்ணிக்கையின் எதிர்மறை சக்திக்கு இரண்டாகக் கணக்கிடப்படலாம். முழுமையான உறவினர் பிழையுடனான உறவு ஒரு எண்ணின் இயந்திர பிரதிநிதித்துவம் என்றால், பிரதிநிதித்துவத்தில் முழுமையான உறவினர் பிழை ஆதாரம் பின்வரும் ஆதாரம் நேர்மறை எண்கள் மற்றும் இயந்திர பிரதிநிதித்துவங்களுக்கு சுற்று-மூலம்-சாப் பயன்படுத்தி வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. நாம் பிரதிநிதித்துவப்படுத்த விரும்பும் ஒரு நேர்மறை எண் என்றால், அது கீழே உள்ள இயந்திர எண்ணுக்கும் மேலே உள்ள இயந்திர எண்ணுக்கும் இடையில் இருக்கும். என்றால், அர்த்தத்தின் அளவிற்கு பயன்படுத்தப்படும் பிட்களின் எண்ணிக்கை எங்கே, பின்னர்ஃ பிரதிநிதித்துவம் ஒன்று அல்லது இருக்கும் என்பதால், இந்த ஆதாரம் நேர்மறை எண்கள் மற்றும் ரவுண்ட்-பை-சாப் ஆகியவற்றிற்கு மட்டுப்படுத்தப்பட்டிருந்தாலும், எதிர்மறை எண்கள் மற்றும் ரவுண்ட்-டு-அருகிலுள்ள இயந்திர பிரதிநிதித்துவங்கள் தொடர்பாக சமத்துவமின்மையை நிரூபிக்க அதே முறையைப் பயன்படுத்தலாம். மிதக்கும் புள்ளி, கடைசி இடத்தில் மிதக்கும் புள்ளி எண்கணித அலகு துல்லிய சிக்கல்கள் பற்றிய பொதுவான விவாதம் (யுஎல்பி) குறிப்புகள் மற்றும் குறிப்புகள் ஆண்டர்சன், ஈ.; லாபாக் பயனர்கள் வழிகாட்டி, தொழில்துறை மற்றும் பயன்பாட்டு கணிதத்திற்கான சங்கம் (சியாம்), பிலடெல்பியா, பிஎ, மூன்றாவது பதிப்பு, 1999. கோடி, வில்லியம் ஜே.; MACHAR: இயந்திர அளவுருக்களை இயக்கவியல் ரீதியாக தீர்மானிக்க ஒரு சவுப்ரூட்டின், கணித மென்பொருளில் ACM பரிவர்த்தனைகள், தொகுதி. 14 (4), 1988,303-311. பெசெட், டிடியர் எச்.; பொருள் சார்ந்த எண் முறைகளை செயல்படுத்துதல், மோர்கன் & காஃப்மேன், சான் பிரான்சிஸ்கோ, சிஏ, 2000. டெம்மல், ஜேம்ஸ் டபிள்யூ., அப்ளைடு நியூமெரிக்கல் லீனியர் ஆல்ஜிப்ரா, சொசைட்டி ஃபார் இண்டஸ்ட்ரியல் அண்ட் அப்ளைடு மேத்தமேட்டிக்ஸ் (SIAM), பிலடெல்பியா, PA, 1997. ஹையம், நிக்கோலஸ் ஜே.; துல்லியம் மற்றும் எண் வழிமுறைகளின் ஸ்திரத்தன்மை, தொழில்துறை மற்றும் பயன்பாட்டு கணிதத்திற்கான சங்கம் (SIAM), பிலடெல்பியா, PA, இரண்டாவது பதிப்பு, 2002. பிரஸ், வில்லியம் எச்.; டியுகோல்ஸ்கி, சவுல் ஏ.; வெட்டர்லிங், வில்லியம் டி.; மற்றும் ஃப்ளானரி, பிரையன் பி.; ஃபோர்ட்ரான் 77 இல் எண் சமையல் குறிப்புகள், 2 வது பதிப்பு., அத்தியாயம். 20. 2, பக். 881-886 ஃபோர்சித், ஜார்ஜ் ஈ.; மால்கம், மைக்கேல் ஏ.; மோலர், கிளீவ் பி.; "கணிதக் கணக்கீடுகளுக்கான கணினி முறைகள்", ப்ரெண்டிஸ்-ஹால், 1977 வெளிப்புற இணைப்புகள் MACHAR, ஒரு வழக்கமான (சி மற்றும் ஃபோர்ட்ரானில்) "இயக்கவியல் கணிப்பு இயந்திர மாறிலிகள்" (ஏசிஎம் வழிமுறை 722) மிதக்கும் புள்ளி கணக்கீடுகளின் துல்லியத்தைக் கண்டறிதல், ஃபோர்ட்ரான் 77 பதிப்பை அடிப்படையாகக் கொண்டு ஃபோர்ட்ரான் பாஸ்கல் மற்றும் ஓபரனில் MACHAR ஐ செயல்படுத்துதல். எடுத்துக்காட்டாக சி குறியீட்டைக் கொண்ட கணினி எண்கணிதக் கட்டுரைகள்ஃ எப்ஸிலோன் டி மாச்சினா