Reflection principle
கணிதத்தின் ஒரு கிளையான தொகுப்புக் கோட்பாட்டில், ஒரு பிரதிபலிப்புக் கோட்பாடு, கொடுக்கப்பட்ட எந்தவொரு பண்பையும் பொறுத்தவரை, அனைத்து தொகுப்புகளின் வகுப்பை ஒத்திருக்கும் தொகுப்புகளைக் கண்டுபிடிக்க முடியும் என்று கூறுகிறது. "ஒத்திருப்பது" என்பதன் அர்த்தத்தைப் பொறுத்து பிரதிபலிப்புக் கொள்கையின் பல்வேறு வடிவங்கள் உள்ளன. பிரதிபலிப்புக் கோட்பாட்டின் பலவீனமான வடிவங்கள் ZF தொகுப்புக் கோட்பாட்டின் கோட்பாடுகளாகும், அதே நேரத்தில் வலுவான வடிவங்கள் தொகுப்புக் கோட்பாட்டிற்கான புதிய மற்றும் மிகவும் சக்திவாய்ந்த கோட்பாடுகளாக இருக்கலாம். "பிரதிபலிப்புக் கோட்பாடு" என்ற பெயர் அனைத்து தொகுப்புகளின் பிரபஞ்சத்தின் பண்புகளும் ஒரு சிறிய தொகுப்புக்கு "பிரதிபலிக்கின்றன" என்ற உண்மையிலிருந்து வருகிறது. உந்துதல் பிரதிபலிப்புக் கொள்கையின் ஒரு அப்பாவித்தனமான பதிப்பு, "அனைத்து தொகுப்புகளின் பிரபஞ்சத்தின் எந்தவொரு பண்புக்கும் ஒரே பண்புடன் ஒரு தொகுப்பைக் காணலாம்" என்று கூறுகிறது. இது ஒரு உடனடி முரண்பாட்டிற்கு வழிவகுக்கிறதுஃ அனைத்து தொகுப்புகளின் பிரபஞ்சமும் அனைத்து தொகுப்புகளையும் கொண்டுள்ளது, ஆனால் அது அனைத்து தொகுப்புகளையும் கொண்டிருக்கும் பண்புடன் எந்த தொகுப்பும் இல்லை. பயனுள்ள (மற்றும் முரண்பாடற்ற) பிரதிபலிப்புக் கொள்கைகளைப் பெற, "சொத்து" என்பதன் பொருள் என்ன என்பதையும், எந்த பண்புகளை நாம் அனுமதிக்கிறோம் என்பதையும் பற்றி நாம் மிகவும் கவனமாக இருக்க வேண்டும். பிரதிபலிப்புக் கோட்பாடுகள் எந்தவொரு கருத்து, யோசனை அல்லது அறிக்கையும் தொகுப்புகளின் பிரபஞ்சத்தைப் பற்றிய நமது முழு பார்வையையும் கைப்பற்ற முடியாது என்ற கருத்தை உருவாக்கும் முயற்சிகளுடன் தொடர்புடையவை. கர்ட் கோடல் இதை பின்வருமாறு விவரித்தார்ஃ ஜார்ஜ் கேன்டர் முழுமையான முடிவிலி குறித்து இதேபோன்ற கருத்துக்களை வெளிப்படுத்தினார்ஃ அனைத்து கார்டினாலிட்டி பண்புகளும் இந்த எண்ணிக்கையில் திருப்தி அடைந்துள்ளன, இதில் ஒரு சிறிய கார்டினல் வைத்திருக்கிறார். முரண்பாடற்ற பிரதிபலிப்புக் கொள்கைகளைக் கண்டறிய, நாம் பின்வருமாறு முறைசாரா முறையில் வாதிடலாம். தொகுப்புகளை உருவாக்குவதற்கான முறைகளின் சில தொகுப்பு A எங்களிடம் உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம் (எடுத்துக்காட்டாக, அதிகாரத் தொகுப்புகள், துணைக்குழுக்கள், மாற்றுவதற்கான கோட்பாடு மற்றும் பலவற்றை எடுத்துக்கொள்வது). இந்த முறைகள் அனைத்தையும் மீண்டும் மீண்டும் பயன்படுத்துவதன் மூலம் பெறப்பட்ட அனைத்து தொகுப்புகளையும் எடுத்து, இந்த தொகுப்புகளை ஒரு வகுப்பு X ஆக உருவாக்குவதை நாம் கற்பனை செய்யலாம், இது சில தொகுப்புக் கோட்பாட்டின் மாதிரியாகக் கருதப்படலாம். ஆனால் இந்தக் கண்ணோட்டத்தின் வெளிச்சத்தில், V ஒரு சில செயல்பாடுகளால் தீர்ந்துவிடாது, இல்லையெனில் அது கீழே இருந்து எளிதில் விவரிக்கப்படும், இந்த கொள்கை வற்றாதது (V இன்) என்று அழைக்கப்படுகிறது. இதன் விளைவாக, V என்பது X ஐ விட பெரியது. தொகுப்பு X க்கு A இல் உள்ள முறைகளைப் பயன்படுத்துவது V ஐ விட சிறிய தொகுப்பை ஏற்படுத்தும், ஏனெனில் A இல் உள்ள செயல்பாடுகளின் கீழ் X இன் படத்திலிருந்து V தீர்ந்துவிடாது. தொகுப்புகளை உருவாக்குவதற்கான பின்வரும் புதிய கொள்கையை நாம் அறிமுகப்படுத்தலாம்ஃ "தொகுப்பு A இல் உள்ள அனைத்து முறைகளையும் மீண்டும் மீண்டும் பயன்படுத்துவதன் மூலம் சில தொகுப்புகளிலிருந்து பெறப்பட்ட அனைத்து தொகுப்புகளின் தொகுப்பும் ஒரு தொகுப்பாகும்". இந்தக் கொள்கையை A உடன் சேர்த்த பிறகு, இந்த புதிய A இல் உள்ள செயல்பாடுகளால் V இன்னும் தீர்ந்துவிடவில்லை. இந்த செயல்முறை மேலும் மேலும் மீண்டும் செய்யப்படலாம், இது தொகுப்பு A க்கு மேலும் மேலும் செயல்பாடுகளைச் சேர்க்கிறது மற்றும் பெரிய மற்றும் பெரிய மாதிரிகள் X ஐப் பெறுகிறது. ஒவ்வொரு X யும் V ஐ ஒத்திருக்கிறது, அதாவது அது A இல் உள்ள செயல்பாடுகளின் கீழ் மூடப்பட்டிருக்கும் V உடன் சொத்தைப் பகிர்ந்து கொள்கிறது. இந்த முறைசாரா வாதத்தை நாம் இரண்டு வழிகளில் பயன்படுத்தலாம். இதை நாம் ZF செட் கோட்பாட்டில் முறைப்படுத்த முயற்சி செய்யலாம்; இதைச் செய்வதன் மூலம் ZF செட் கோட்பாட்டின் சில கோட்பாடுகளைப் பெறுகிறோம், அவை பிரதிபலிப்பு கோட்பாடுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. மாற்றாக, பெரிய கார்டினல்கள் இருப்பதை வலியுறுத்தும் சில கோட்பாடுகள் போன்ற தொகுப்புக் கோட்பாட்டிற்கான புதிய கோட்பாடுகளை அறிமுகப்படுத்த ஊக்குவிக்க இந்த வாதத்தைப் பயன்படுத்தலாம். ZF தொகுப்புக் கோட்பாட்டில் முந்தைய பிரிவின் பிரதிபலிப்புக் கொள்கையின் வாதத்தை முறைப்படுத்த முயற்சிக்கும்போது, பண்புகள் A இன் சேகரிப்பு குறித்து சில நிபந்தனைகளைச் சேர்ப்பது அவசியம் (எடுத்துக்காட்டாக, A வரையறுக்கப்பட்டதாக இருக்கலாம்). இதைச் செய்வது பல நெருக்கமான தொடர்புடைய "பிரதிபலிப்பு கோட்பாடுகளை" உருவாக்குகிறது, இவை அனைத்தும் ZFC இன் மாதிரியாக இருக்கும் ஒரு தொகுப்பைக் கண்டுபிடிக்க முடியும் என்று கூறுகின்றன. வலுவான பிரதிபலிப்புக் கொள்கைகளுக்கு மாறாக, இவை ZFC இல் நிரூபிக்கப்படுகின்றன. ZFC க்கான மிகவும் பொதுவான பிரதிபலிப்பு கொள்கைகளில் ஒன்று ஒரு தேற்றம் திட்டமாகும், இது பின்வருமாறு விவரிக்கப்படலாம்ஃ அளவுருக்கள் கொண்ட எந்தவொரு சூத்திரத்திற்கும், உண்மை என்றால் (செட்-கோட்பாட்டு பிரபஞ்சத்தில்), பின்னர் ஒட்டுமொத்த படிநிலையின் ஒரு நிலை உள்ளது. இது லெவி-மாண்டேக் பிரதிபலிப்புக் கொள்கை அல்லது லெவி பிரதிபலிப்புக் கொள்கை என்று அழைக்கப்படுகிறது, இது முக்கியமாக மற்றும் இல் ஆராயப்பட்டது. இந்த பிரதிபலிப்புக் கொள்கையின் மற்றொரு பதிப்பு, ZFC இன் எந்தவொரு வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான சூத்திரங்களுக்கும் நாம் ஒட்டுமொத்த படிநிலையில் ஒரு தொகுப்பைக் காணலாம், அதாவது தொகுப்பில் உள்ள அனைத்து சூத்திரங்களும் முழுமையானவை (அதாவது அவை அனைத்து தொகுப்புகளின் பிரபஞ்சத்திலும் இருந்தால் மட்டுமே அவை பிடித்துக் கொள்கின்றன). எனவே இந்த தொகுப்பு அனைத்து தொகுப்புகளின் பிரபஞ்சத்தையும் ஒத்திருக்கிறது என்று இது கூறுகிறது, குறைந்தபட்சம் கொடுக்கப்பட்ட வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான சூத்திரங்களைப் பொருத்தவரை. ZFC க்கான மற்றொரு பிரதிபலிப்புக் கொள்கை ஒரு தேற்ற திட்டமாகும், இது பின்வருமாறு விவரிக்கப்படலாம்ஃ அதிகபட்ச இலவச மாறிகள் கொண்ட ஒரு சூத்திரமாக இருக்கட்டும். பின்னர் ZFC எங்கு என்பது தொடர்பைக் குறிக்கிறது என்பதை நிரூபிக்கிறது (அதாவது, வடிவத்தில் தோன்றும் அனைத்து அளவீடுகளையும் முறையே மற்றும் மூலம் மாற்றுகிறது). ZFC இல் உள்ள பிரதிபலிப்புக் கொள்கையின் மற்றொரு வடிவம், ZFC இன் எந்தவொரு வரையறுக்கப்பட்ட கோட்பாடுகளுக்கும் இந்த கோட்பாடுகளை திருப்திப்படுத்தும் எண்ணக்கூடிய இடைநிலை மாதிரியை நாம் காணலாம் என்று கூறுகிறது. (குறிப்பாக இது, சீரற்றதாக இல்லாவிட்டால், ZFC இறுதியாக தன்னியக்கமாக்க முடியாதது என்பதை நிரூபிக்கிறது, ஏனெனில் அது இருந்தால் அது ஒரு மாதிரியின் இருப்பை நிரூபிக்கும், எனவே அதன் சொந்த நிலைத்தன்மையை நிரூபிக்கும், இது கோடலின் இரண்டாவது முழுமையற்ற தேற்றத்திற்கு முரணானது.) பிரதிபலிப்பு தேற்றத்தின் இந்த பதிப்பு லோவென்ஹெய்ம்-ஸ்கோலெம் தேற்றத்துடன் நெருக்கமாக தொடர்புடையது. ஒரு வலுவான அணுக முடியாத கார்டினல் என்றால், ஒரு மூடிய வரம்பற்ற துணைக்குழு உள்ளது, அதாவது ஒவ்வொருவருக்கும், அடையாள செயல்பாடு முதல் முதல் ஒரு அடிப்படை உட்பொதிப்பாகும். பொதுவாக ZFC ஐ விட மிகவும் பலவீனமான எண்கணிதக் கோட்பாடுகளுக்கு எண்கணித பிரதிபலிப்புக் கொள்கைகள் பரிசீலிக்கப்படலாம். ஏனெனில், ஒரு-மாடல் என்பது அறிக்கைகளின் சரியான உண்மை மதிப்புகளைக் கொண்ட ஒரு மாதிரியாகும், இது பகுப்பாய்வு படிநிலையின் பத்தாவது மட்டத்தில் உள்ளது. இரண்டாவது வரிசை எண்கணிதத்தின் ஒரு துணை அமைப்பின் கணக்கிடக்கூடிய மாதிரி, கணக்கிடக்கூடிய இயற்கை எண்களின் தொகுப்பைக் கொண்டுள்ளது, அவை ஒரு துணைக்குழுவாக குறியிடப்படலாம். இந்தக் கோட்பாடு ஒரு-மாடலின் இருப்பை நிரூபிக்கிறது, இது a-model.Theorem VII.2.16 என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. சூத்திரங்களுக்கான-மாடல் பிரதிபலிப்புக் கொள்கை, எந்தவொரு சூத்திரத்திற்கும் அதன் ஒரே ஃப்ரீ செட் மாறி, அனைவருக்கும், வைத்திருந்தால், ஒரு எண்ணக்கூடிய குறியிடப்பட்ட-மாடல் உள்ளது என்று கூறுகிறது. சார்பு விருப்பத்தின் ஒரு திட்டத்தால் ஒரு நீட்டிப்பு தன்னியக்கமாக்கப்படுகிறது. எதற்கும், அமைப்பு-பிரதிபலிப்புக்கு சமமானது formulas.Theorem VII.7.6-மாதிரி பிரதிபலிப்பு செட்-கோட்பாட்டு பிரதிபலிப்புடன் தொடர்புகளைக் கொண்டுள்ளது, எடுத்துக்காட்டாக பலவீனமான செட் கோட்பாடு கேபி மீது,-சூத்திரங்களின் பிரதிபலிப்பின் திட்டத்தை இடைநிலை தொகுப்புகளுடன் சேர்ப்பது (அனைத்து சூத்திரங்களுக்கும்) அதே-சமன்பாடுகளை வழங்குகிறது மேலும் சூத்திரங்களுக்கான-மாதிரி பிரதிபலிப்பின் ஒரு திட்டமும். புதிய கோட்பாடுகளாக பெர்னேயின் வர்க்கக் கோட்பாடு பால் பெர்னேஸ் ஒரு பிரதிபலிப்புக் கொள்கையை தொகுப்புக் கோட்பாட்டின் ஒரு பதிப்பிற்கு ஒரு கோட்பாடாகப் பயன்படுத்தினார் (வான் நியூமன்-பெர்னேஸ்-கோடல் தொகுப்புக் கோட்பாடு அல்ல, இது ஒரு பலவீனமான கோட்பாடு). அவரது பிரதிபலிப்புக் கோட்பாடு தோராயமாக சில பண்புகளைக் கொண்ட ஒரு வகுப்பாக இருந்தால், "பிரபஞ்சத்தின்" துணைக்குழுவாகக் கருதப்படும்போது அதே பண்புகளைக் கொண்ட ஒரு இடைநிலை தொகுப்பைக் காணலாம் என்று கூறியது. இது மிகவும் சக்திவாய்ந்த கோட்பாடாகும், மேலும் அணுக முடியாத கார்டினல்கள் போன்ற பல சிறிய பெரிய கார்டினல்களின் இருப்பைக் குறிக்கிறது. (தோராயமாக கூறுவதானால், ZFC இல் உள்ள அனைத்து ஆர்டினல்களின் வகுப்பும் அணுக முடியாத கார்டினல் ஆகும், இது ஒரு தொகுப்பு அல்ல என்ற உண்மையைத் தவிர, பிரதிபலிப்புக் கொள்கையைப் பயன்படுத்தி ஒரே பண்பைக் கொண்ட ஒரு தொகுப்பு இருப்பதைக் காட்டலாம், வேறுவிதமாகக் கூறினால் அது அணுக முடியாத கார்டினல்.) துரதிர்ஷ்டவசமாக, இதை ZFC இல் நேரடியாக தன்னியக்கமாக்க முடியாது, மேலும் மோர்ஸ்-கெல்லி தொகுப்புக் கோட்பாடு போன்ற ஒரு வர்க்கக் கோட்பாட்டை பொதுவாகப் பயன்படுத்த வேண்டும். பெர்னேஸின் பிரதிபலிப்புக் கொள்கையின் நிலைத்தன்மை ஒரு ω-எர்டாஸ் கார்டினல் இருப்பதன் மூலம் குறிக்கப்படுகிறது. இன்னும் துல்லியமாக, பெர்னேஸின் வர்க்கக் கோட்பாட்டின் கோட்பாடுகள் பின்வருமாறுஃ விரிவாக்க வகுப்பு விவரக்குறிப்புஃ இலவசமில்லாத எந்தவொரு சூத்திரத்திற்கும், துணைக்குழுக்கள்ஃ பிரதிபலிப்புஃ எந்தவொரு சூத்திரத்திற்கும், அடித்தளத் தேர்வு என்பது அதிகாரத் தொகுப்பைக் குறிக்கிறது. அகிஹிரோ கனமோரியின் கூற்றுப்படி, 1961 ஆம் ஆண்டு ஆய்வறிக்கையில், பெர்னெய்ஸ் சுதந்திரம் இல்லாத எந்தவொரு சூத்திரத்திற்கும் பிரதிபலிப்பு திட்டத்தைக் கருதினார், அங்கு அது இடைநிலை என்று வலியுறுத்துகிறது. செட் அளவுருக்கள் தோன்றலாம் மற்றும் உட்பிரிவுகளை அறிமுகப்படுத்துவதன் மூலம் அவற்றைக் கட்டுப்படுத்த வேண்டியிருக்கலாம் என்ற அவதானிப்புடன் தொடங்கி, பெர்னெய்ஸ் இந்த திட்டத்துடன் நிறுவப்பட்ட இணைத்தல், ஒன்றிணைப்பு, முடிவிலி மற்றும் மாற்றீடு, இதன் விளைவாக ZF இன் குறிப்பிடத்தக்க பொருளாதார விளக்கக்காட்சியை அடைகிறது. மற்றவை அக்கர்மேன் தொகுப்புக் கோட்பாட்டின் சில சூத்திரங்கள் பிரதிபலிப்புக் கொள்கையைப் பயன்படுத்துகின்றன. அக்கர்மேனின் கோட்பாடு, குறிப்பிடப்படாத எந்தவொரு சூத்திரத்திற்கும், பீட்டர் கோயல்னர், "உள்ளார்ந்த நியாயப்படுத்தப்பட்ட" என்று கருதப்படும் ஒரு பொதுவான வகை பிரதிபலிப்புக் கொள்கைகள் சீரற்றவை அல்லது பலவீனமானவை என்பதைக் காட்டியது, அதில் அவை எர்டாஸ் கார்டினலுடன் தொடர்புடையவை. இருப்பினும், மிகவும் சக்திவாய்ந்த பிரதிபலிப்புக் கொள்கைகள் உள்ளன, அவை பல்வேறு பெரிய கார்டினல் கோட்பாடுகளுடன் நெருக்கமாக தொடர்புடையவை. கிட்டத்தட்ட அறியப்பட்ட ஒவ்வொரு பெரிய கார்டினல் கோட்பாட்டிற்கும் அதை குறிக்கும் ஒரு அறியப்பட்ட பிரதிபலிப்பு கொள்கை உள்ளது, மேலும் இதற்கு நேர்மாறாக மிகவும் சக்திவாய்ந்த அறியப்பட்ட பிரதிபலிப்பு கொள்கைகள் அனைத்தும் அறியப்பட்ட பெரிய கார்டினல் கோட்பாடுகளால் குறிக்கப்படுகின்றன. இதற்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு முழுமையான கோட்பாடு ஆகும், இது அனைத்து வரையறுக்கப்பட்ட n க்கும் சூப்பர்-என்-பெரிய கார்டினல்கள் இருப்பதைக் குறிக்கிறது மற்றும் அதன் நிலைத்தன்மை ஒரு I3 தரவரிசை-க்கு-தரவரிசை கார்டினலால் குறிக்கப்படுகிறது. ஓர்ட் என்பது ஒரு மஹ்லோ கார்டினல் என்று ஒரு கோட்பாட்டைச் சேர்க்கவும்-ஒவ்வொரு மூடிய வரம்பற்ற ஆர்டினல்கள் சி வகுப்பிற்கும் (அளவுருக்களுடன் ஒரு சூத்திரத்தால் வரையறுக்கப்படுகிறது), சி இல் ஒரு வழக்கமான ஆர்டினல் உள்ளது. இது வலுவான அணுக முடியாத கார்டினல்கள் மற்றும் பலவற்றைப் பெற அனுமதிக்கிறது. குறிப்புகள் மேற்கோள்கள் வெளிப்புற இணைப்புகள் மிஸார் அமைப்பு ஆதாரம்ஃ http://mizar.org/version/current/html/zf_refle.html கணிதக் கோட்பாடுகளை அமைக்கவும்