Discriminant of an algebraic number field
கணிதத்தில், ஒரு இயற்கணித எண் புலத்தின் வேறுபாடு ஒரு எண் மாறிலி ஆகும், இது தளர்வாக பேசுகையில், இயற்கணித எண் புலத்தின் (முழு எண்களின் வளையத்தின்) அளவை அளவிடுகிறது. மேலும் குறிப்பாக, இது முழு எண்களின் வளையத்தின் அடிப்படை களத்தின் வர்க்க தொகுதிக்கு விகிதாசாரமாகும், மேலும் இது எந்த பகா எண்கள் வரிசைப்படுத்தப்படுகின்றன என்பதை ஒழுங்குபடுத்துகிறது. டிஸ்கிரிமினன்ட் என்பது ஒரு எண் புலத்தின் மிக அடிப்படையான மாறுபாடுகளில் ஒன்றாகும், மேலும் இது K இன் டெடெக்கிண்ட் ஜீட்டா செயல்பாட்டின் செயல்பாட்டு சமன்பாடு மற்றும் K க்கான பகுப்பாய்வு வகுப்பு எண் சூத்திரம் போன்ற பல முக்கியமான பகுப்பாய்வு சூத்திரங்களில் நிகழ்கிறது. எண் புலங்களின் நீட்டிப்பு K/L இன் ஒப்பீட்டு பாகுபாட்டிலிருந்து வேறுபடுத்துவதற்காக K இன் பாகுபாடு K இன் முழுமையான பாகுபாடு என்று குறிப்பிடப்படலாம். பிந்தையது L இன் முழு எண்களின் வளையத்தில் ஒரு இலட்சியமாகும், மேலும் முழுமையான பாகுபாட்டைப் போலவே இது K/L இல் எந்த பகா எண்கள் வரிசைப்படுத்தப்படுகின்றன என்பதைக் குறிக்கிறது. இது L ஐ Q ஐ விட பெரியதாக இருக்க அனுமதிக்கும் முழுமையான பாகுபாட்டின் பொதுமைப்படுத்தலாகும்; உண்மையில், L = Q ஆக இருக்கும்போது, K/Q இன் உறவினர் பாகுபாடு என்பது K இன் முழுமையான பாகுபாட்டால் உருவாக்கப்பட்ட Z இன் முதன்மை இலட்சியமாகும். b1,., bn என்பது OK இன் ஒருங்கிணைந்த அடிப்படையாக இருக்கட்டும் (அதாவது. ஒரு Z-தொகுதியாக ஒரு அடிப்படை), மற்றும் {σ1,., σn} சிக்கலான எண்களில் K இன் உட்பொதிப்புகளின் தொகுப்பாக இருக்கட்டும் (அதாவது. உட்செலுத்தும் வளைய ஹோமோமார்பிசம் K → C). K இன் பாகுபாடு என்பது n ஐ n மேட்ரிக்ஸ் B ஆல் தீர்மானிப்பதன் வர்க்கமாகும், அதன் (i, j)-நுழைவு σi (bj) ஆகும். குறியீடாக, சமமாக, K முதல் Q வரையிலான சுவடுகளைப் பயன்படுத்தலாம். குறிப்பாக, சுவடு வடிவத்தை மேட்ரிக்ஸ் என்று வரையறுக்கவும், அதன் (i, j)-நுழைவு TrK/Q (bibj) ஆகும். இந்த மேட்ரிக்ஸ் பி. டி. பி. க்கு சமம், எனவே K இன் பாகுபாட்டின் வர்க்கம் இந்த மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பதாகும். ஒருங்கிணைந்த அடிப்படையான b1,., bn உடன் K இல் உள்ள ஒரு வரிசையின் பாகுபாடு அதே வழியில் வரையறுக்கப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டுகள் இருபடி எண் புலங்கள்ஃ d ஒரு சதுரம் இல்லாத முழு எண்ணாக இருக்கட்டும், பின்னர் அதன் பாகுபாடு ஒரு இருபடி எண் புலத்தின் பாகுபாடு ஒரு அடிப்படை பாகுபாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. சைக்ளோடோமிக் புலங்கள்ஃ n> 2 ஒரு முழு எண்ணாக இருக்கட்டும், ζn என்பது ஒற்றுமையின் பழமையான n வது மூலமாக இருக்கட்டும், மேலும் Kn = Q (ζn) என்பது n வது சைக்ளோடோமிக் புலமாக இருக்கட்டும். யூலரின் டோட்டியன்ட் சார்பு எங்கு உள்ளது என்பதன் மூலம் Kn இன் பாகுபாடு வழங்கப்படுகிறது, மேலும் வகுப்பில் உள்ள பெருக்கல் n ஐ வகுக்கும் பகா எண்கள் p க்கு மேல் உள்ளது. சக்தி தளங்கள்ஃ முழு எண்களின் வளையம் ஒரு சக்தி ஒருங்கிணைந்த அடிப்படையைக் கொண்டிருந்தால், அதாவது, ஓகே = Z [α] என்று எழுதப்படலாம், K இன் பாகுபாடு α இன் குறைந்தபட்ச பல்லுறுப்புக்கோவையின் பாகுபாடு சமம். இதைப் பார்க்க, b1 = 1, b2 = α, b3 = α2,., bn = αn−1 ஆக இருக்க OK இன் ஒருங்கிணைந்த அடிப்படையை ஒருவர் தேர்வு செய்யலாம். பின்னர், வரையறையில் உள்ள மேட்ரிக்ஸ் என்பது αi = σi (α) உடன் தொடர்புடைய வாண்டர்மொண்டே மேட்ரிக்ஸ் ஆகும், அதன் தீர்மானிப்பவர் வர்க்கம் இது குறைந்தபட்ச பல்லுறுப்புக்கோவையின் பாகுபாட்டின் வரையறையாகும். K = Q (α) என்பது x3 − x2 − 2x − 8 என்ற பல்லுறுப்புக்கோவையின் ஒரு மூல α ஐ இணைப்பதன் மூலம் பெறப்பட்ட எண் புலமாக இருக்கட்டும். இது ரிச்சர்ட் டெடெகிண்டின் எண் புலத்தின் அசல் எடுத்துக்காட்டு, அதன் முழு எண்களின் வளையம் ஒரு சக்தி அடிப்படையைக் கொண்டிருக்கவில்லை. ஒரு ஒருங்கிணைந்த அடிப்படை {1, α, α (α + 1)/2} ஆல் வழங்கப்படுகிறது மற்றும் K இன் பாகுபாடு-503 ஆகும். தொடர்ச்சியான பாகுபாடுகள்ஃ ஒரு இருபடி புலத்தின் பாகுபாடு அதை தனித்துவமாக அடையாளம் காட்டுகிறது, ஆனால் பொதுவாக, உயர்-நிலை எண் புலங்களுக்கு இது உண்மையல்ல. எடுத்துக்காட்டாக, டிஸ்கிரிமினன்ட் 3969 இன் இரண்டு ஐசோமார்பிக் அல்லாத கனப்புலங்கள் உள்ளன. அவை முறையே பல்லுறுப்புக்கோவையின் மூலத்தை இணைப்பதன் மூலம் பெறப்படுகின்றன. அடிப்படை முடிவுகள் பிரில்லின் தேற்றம்ஃ வேறுபடுத்தியின் அடையாளம் (−1) r2 ஆகும், அங்கு r2 என்பது K இன் சிக்கலான இடங்களின் எண்ணிக்கை. ஸ்டிக்கல்பெர்கர் கோட்பாடுஃ மின்காவ்ஸ்கியின் வரம்புஃ n என்பது K/Q விரிவாக்கத்தின் அளவையும், r2 என்பது K இன் சிக்கலான இடங்களின் எண்ணிக்கையையும் குறிக்கட்டும், பின்னர் மின்காவ்ஸ்கியின் கோட்பாடுஃ K என்பது Q அல்ல என்றால், |ΔK |> 1 (இது மின்காவ்ஸ்கி வரம்பிலிருந்து நேரடியாகப் பின்பற்றுகிறது). ஹெர்மைட்-மின்காவ்ஸ்கி தேற்றம் N ஒரு நேர்மறை முழு எண்ணாக இருக்கட்டும். இறுதியாக பல (ஐசோமார்பிசம் வரை) இயற்கணித எண் புலங்கள் மட்டுமே உள்ளன K உடன் |ΔK | <N. மீண்டும், இது ஹெர்மைட்டின் தேற்றத்துடன் பிணைக்கப்பட்ட மின்காவ்ஸ்கியிலிருந்து பின்தொடர்கிறது (பரிந்துரைக்கப்பட்ட டிஸ்கிரிமினன்ட் கொண்ட பல இயற்கணித எண் புலங்கள் மட்டுமே உள்ளன). ஒரு பொதுவான இயற்கணித எண் புலத்தின் பாகுபாடு பற்றிய வரையறை, கே, 1871 ஆம் ஆண்டில் டெடெகிண்ட் என்பவரால் வழங்கப்பட்டது. இந்த கட்டத்தில், பாகுபாடு மற்றும் விரிவாக்கத்திற்கு இடையிலான உறவை அவர் ஏற்கனவே அறிந்திருந்தார். ஹெர்மைட்டின் தேற்றம் 1857 ஆம் ஆண்டில் சார்லஸ் ஹெர்மைட் ஒரு ஆதாரத்தை வெளியிட்டதன் மூலம் பாகுபாட்டின் பொதுவான வரையறையை முன்னறிவிக்கிறது. 1877 ஆம் ஆண்டில், அலெக்சாண்டர் வான் பிரில் பாகுபாடு காட்டுபவரின் அடையாளத்தை தீர்மானித்தார். லியோபோல்ட் க்ரோனெக்கர் 1882 ஆம் ஆண்டில் மின்காவ்ஸ்கியின் தேற்றத்தை முதன்முதலில் குறிப்பிட்டார், இருப்பினும் முதல் ஆதாரம் 1891 இல் ஹெர்மன் மின்காவ்ஸ்கியால் வழங்கப்பட்டது. அதே ஆண்டில், மின்காவ்ஸ்கி பாகுபாடு காட்டுபவர் குறித்த தனது வரியை வெளியிட்டார். பத்தொன்பதாம் நூற்றாண்டின் இறுதியில், லுட்விக் ஸ்டிக்கல்பெர்கர் டிஸ்கிரிமினன்ட் மாடுலோ நான்கின் எச்சங்கள் குறித்த தனது தேற்றத்தைப் பெற்றார். ரிலேட்டிவ் டிஸ்கிரிமினன்ட் மேலே வரையறுக்கப்பட்ட டிஸ்கிரிமினன்ட் சில நேரங்களில் K இன் முழுமையான டிஸ்கிரிமினன்ட் என்று குறிப்பிடப்படுகிறது, இது K/L என்ற எண் புலங்களின் நீட்டிப்பின் ரிலேட்டிவ் டிஸ்கிரிமினன்ட் ΔK/L இலிருந்து வேறுபடுகிறது, இது OL இல் ஒரு இலட்சியமாகும். உறவினர் பாகுபாடு என்பது முழுமையான பாகுபாடு போன்ற பாணியில் வரையறுக்கப்படுகிறது, ஆனால் OL இல் உள்ள இலட்சியங்கள் முதன்மையானதாக இருக்காது என்பதையும், OK க்கு OL அடிப்படை இருக்காது என்பதையும் கணக்கில் கொள்ள வேண்டும். L இல் உள்ள அடையாளமாக இருக்கும் C க்குள் K இன் உட்பொதிப்புகளின் தொகுப்பாக {σ1,., σn} இருக்கட்டும். b1,., bn என்பது L க்கு மேல் K இன் எந்த அடிப்படையாக இருந்தாலும், d (b1,., bn) என்பது n இன் தீர்மானிப்பவரின் சதுரமாக இருக்கட்டும், அதன் (i, j)-நுழைவு σi (bj) ஆகும். பின்னர், K/L இன் உறவினர் பாகுபாடு என்பது d (b1,., bn) ஆல் உருவாக்கப்படும் இலட்சியமாகும், ஏனெனில் {b1,., bn} K/L இன் அனைத்து ஒருங்கிணைந்த தளங்களிலும் மாறுபடும். (அதாவது. அனைத்து i க்கும் b ω சரி என்ற பண்பு கொண்ட அடித்தளங்கள்) மாற்றாக, K/L இன் ஒப்பீட்டு பாகுபாடு என்பது K/L இன் வேறுபாட்டின் நெறிமுறையாகும். L = Q ஆக இருக்கும்போது, முழுமையான டிஸ்கிரிமினன்ட் αK ஆல் உருவாக்கப்படும் Z இன் முதன்மை இலட்சியம் உறவினர் டிஸ்கிரிமினன்ட் αK/Q ஆகும். K/L/F புலங்களின் கோபுரத்தில் தொடர்புடைய பாகுபாடுகள் தொடர்புடைய நெறிமுறையைக் குறிக்கும் இடத்தால் தொடர்புடையவை. ரேமிஃபிகேஷன் ரிலேட்டிவ் டிஸ்கிரிமினன்ட் புலம் நீட்டிப்பு K/L இன் ரேமிஃபிகேஷன் தரவை ஒழுங்குபடுத்துகிறது. L இன் ஒரு பிரைம் ஐடியல் p K இல் விரிவடைகிறது, அது ரிலேட்டிவ் டிஸ்கிரிமினன்ட் ΔK/L ஐ வகுத்தால் மட்டுமே. டிஸ்கிரிமினன்ட் யூனிட் ஐடியலாக இருந்தால் மட்டுமே ஒரு நீட்டிப்பு அன்ராமிஃபை செய்யப்படுகிறது. மேலே கட்டப்பட்ட மின்காவ்ஸ்கி, Q இன் அற்பமான கட்டப்படாத நீட்டிப்புகள் எதுவும் இல்லை என்பதைக் காட்டுகிறது. Q ஐ விட பெரிய புலங்கள் வரிசைப்படுத்தப்படாத நீட்டிப்புகளைக் கொண்டிருக்கலாம்ஃ எடுத்துக்காட்டாக, ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட வகுப்பு எண் கொண்ட எந்தவொரு புலத்திற்கும், அதன் ஹில்பர்ட் வகுப்பு புலம் ஒரு அற்பமான வரிசைப்படுத்தப்படாத நீட்டிப்பாகும். ரூட் டிஸ்கிரிமினன்ட் ஒரு டிகிரி n எண் புலம் K இன் ரூட் டிஸ்கிரிமினன்ட் சூத்திரத்தால் வரையறுக்கப்படுகிறது புலங்களின் கோபுரத்தில் உள்ள உறவினர் டிஸ்கிரிமினன்ட்களுக்கு இடையிலான உறவு ரூட் டிஸ்கிரிமினன்ட் ஒரு ஒழுங்கற்ற நீட்டிப்பில் மாறாது என்பதைக் காட்டுகிறது. அறிகுறியற்ற கீழ் வரம்புகள் எதிர்மறை விகிதமுறு எண்கள் ρ மற்றும் σ, இரண்டும் 0 அல்ல, மற்றும் ஒரு நேர்மறை முழு எண் n அதாவது ஜோடி (r, 2s) = (ρn, σn) Z × 2Z இல் உள்ளது, αn (ρ, σ) என்பது rdK இன் முடிவிலியாக இருக்கட்டும், ஏனெனில் K என்பது r உண்மையான உட்பொதிப்புகள் மற்றும் 2s சிக்கலான உட்பொதிப்புகளுடன் டிகிரி n எண் புலங்களில் வரம்புகளைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் α (ρ, σ) = லிமின்ஃப்ன் → αn (ρ, σ) ஆக இருக்கட்டும். பின்னர், மற்றும் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ரீமன் கருதுகோள் வலுவான பிணைப்பைக் குறிக்கிறது அறிகுறியற்ற முறையில் மட்டுமல்லாமல், அனைத்து டிகிரிகளிலும் வைத்திருக்கும் ஒரு குறைந்த வரியும் உள்ளதுஃ முற்றிலும் உண்மையான புலங்களுக்கு, ரூட் டிஸ்க்ரிமிநென்ட்> 14 ஆகும், 1229 விதிவிலக்குகளுடன். மறுபுறம், ஒரு எல்லையற்ற வகுப்பு புல கோபுரம் இருப்பது α (ρ, σ) இன் மதிப்புகளில் மேல் வரம்புகளைக் கொடுக்க முடியும். எடுத்துக்காட்டாக, m = 3·5·7·11·19 உடன் Q () க்கு மேல் உள்ள எல்லையற்ற வகுப்பு புல கோபுரம் ரூட் டிஸ்கிரிமினன்ட் 2 ≈ 296.276 உடன் தன்னிச்சையாக பெரிய டிகிரி புலங்களை உருவாக்குகிறது, எனவே α (0,1) <296.276. சமமாக விரிவாக்கப்பட்ட கோபுரங்களைப் பயன்படுத்தி, ஹாஜிர் மற்றும் மெய்ர் ஆகியோர் α (1,0) <954.3 மற்றும் α (0,1) <82.2, மார்ட்டினெட்டின் முந்தைய எல்லைகளை விட மேம்படுகின்றன என்பதைக் காட்டியுள்ளனர். மற்ற அளவுகளுடனான உறவு உட்பொதிக்கும்போது, OK இன் அடிப்படை களத்தின் அளவு (சில நேரங்களில் வேறு அளவீடு பயன்படுத்தப்படுகிறது மற்றும் பெறப்பட்ட தொகுதி, r2 என்பது K இன் சிக்கலான இடங்களின் எண்ணிக்கை). இந்த தொகுதியில் அதன் தோற்றத்தின் காரணமாக, பாகுபாடு K இன் டெடெகிண்ட் ஜீட்டா செயல்பாட்டின் செயல்பாட்டு சமன்பாட்டிலும் தோன்றுகிறது, எனவே பகுப்பாய்வு வகுப்பு எண் சூத்திரத்திலும், பிராவர்-சீகல் தேற்றத்திலும் தோன்றுகிறது. K/L இன் ஒப்பீட்டு பாகுபாடு என்பது K/L இன் கலோயிஸ் குழுவின் வழக்கமான பிரதிநிதித்துவத்தின் ஆர்ட்டின் கடத்தி ஆகும். இது கே/எல் காலோயிஸ் குழுவின் எழுத்துக்களின் ஆர்ட்டின் கடத்திகளுடன் ஒரு தொடர்பை வழங்குகிறது, இது கடத்தி-பாகுபாடு சூத்திரம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. குறிப்புகள் குறிப்புகள் முதன்மை ஆதாரங்கள் இரண்டாம் நிலை ஆதாரங்கள் மேலும் வாசிப்பு இயற்கணித எண் கோட்பாடு