Local cohomology
இயற்கணித வடிவவியலில், லோக்கல் கோஹோமோலஜி என்பது ரிலேட்டிவ் கோஹோமோலஜியின் இயற்கணித அனலாக் ஆகும். அலெக்சாண்டர் கிரோதெண்டிக் இதை 1961 ஆம் ஆண்டில் ஹார்வர்டில் நடந்த கருத்தரங்குகளில் அறிமுகப்படுத்தினார், மேலும் IHES இல் 1961-2 இல் SGA2 என எழுதப்பட்டது-, என மறுபதிப்பு செய்யப்பட்டது. ஒரு இயற்கணித வகையின் (அல்லது திட்டத்தின்) திறந்த துணைக்குழுவில் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு செயல்பாட்டைப் பொறுத்தவரை (பொதுவாக, ஒரு குவாசிகோஹெரென்ட் உறையின் ஒரு பிரிவு), உள்ளூர் கோஹோமோலஜி அந்த செயல்பாட்டை ஒரு பெரிய களத்திற்கு விரிவுபடுத்துவதற்கான தடையை அளவிடுகிறது. உதாரணமாக, பகுத்தறிவு செயல்பாடு, ஒரு புலத்தின் மீது உள்ள அஃபைன் கோட்டின் நிரப்பு மீது மட்டுமே வரையறுக்கப்படுகிறது, மேலும் முழு இடத்திலும் ஒரு செயல்பாட்டிற்கு நீட்டிக்க முடியாது. உள்ளூர் கோஹோமோலஜி தொகுதி (ஒருங்கிணைப்பு வளையம் எங்கே) ஒரு கோஹோமோலஜி வகுப்பின் மறைந்து போகாத நிலையில் இதைக் கண்டறிகிறது. இதேபோல், அஃபைன் தளத்தில் உள்ள மற்றும் அச்சுகளிலிருந்து விலகி வரையறுக்கப்படுகிறது, ஆனால்-அச்சின் நிரப்பு அல்லது-அச்சின் நிரப்பு மட்டும் நீட்டிக்க முடியாது (இது போன்ற செயல்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகையாக வெளிப்படுத்த முடியாது); இந்த தடை உள்ளூர் கோஹோமோலஜி தொகுதியில் பூஜ்ஜியமற்ற வகுப்பிற்கு துல்லியமாக ஒத்திருக்கிறது. இயற்கணித வடிவவியலுக்கு வெளியே, உள்ளூர் ஒத்திசைவியல் பரிமாற்ற இயற்கணிதம், ஒருங்கிணைப்பு மற்றும் சில வகையான பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகளில் பயன்பாடுகளைக் கண்டறிந்துள்ளது. வரையறை கோட்பாட்டின் மிகவும் பொதுவான வடிவியல் வடிவத்தில், பிரிவுகள் ஒரு இடவியல் இடத்தில், ஒரு மூடிய துணைக்குழுவின் ஆதரவுடன், அபெலியன் குழுக்களின் ஒரு உறையாகக் கருதப்படுகின்றன, உள்ளூர் ஒத்திசைவு குழுக்களின் வடிவத்தின் பெறப்பட்ட செயல்பாடுகள் கோட்பாட்டின் இயற்கணித வடிவத்தில், இடைவெளி X என்பது ஒரு பரிமாற்ற வளையத்தின் ஸ்பெக்ட்ரம் ஸ்பெக் (ஆர்) ஆகும் ஆர் (இந்த கட்டுரை முழுவதும் நொய்தீரியன் என்று கருதப்படுகிறது) மற்றும் உறை எஃப் என்பது ஆர்-தொகுதி எம் உடன் தொடர்புடைய குவாசிகோஹெரென்ட் உறையாகும், இது குறிக்கப்படுகிறது. மூடிய உட்பிரிவு Y ஒரு இலட்சியம் I ஆல் வரையறுக்கப்படுகிறது. இந்த சூழ்நிலையில், செயல்பாட்டாளர் I-முறிவு செயல்பாட்டாளருடன் ஒத்திருக்கிறது, இது அழிப்பான்களின் ஒன்றிணைப்பாகும், அதாவது M இன் கூறுகள் I இன் சில சக்தியால் அழிக்கப்படுகின்றன. ஒரு சரியான பெறப்பட்ட செயல்பாட்டாளராக, I ஐப் பொறுத்தவரை ith உள்ளூர் கோஹோமோலஜி தொகுதி என்பது தொகுதியின் ஊசி தீர்மானத்தின் I-முறிவு பகுதியை எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம் பெறப்பட்ட சங்கிலி வளாகத்தின் ith கோஹோமோலஜி குழுவாகும். ஆர்-தொகுதிகள் மற்றும் ஆர்-தொகுதி ஒத்த உருவகங்களைக் கொண்டிருப்பதால், உள்ளூர் கோஹோமோலஜி குழுக்கள் ஒவ்வொன்றும் ஆர்-தொகுதியின் இயற்கையான கட்டமைப்பைக் கொண்டுள்ளன. I-முறிவு பகுதி மாற்றாக விவரிக்கப்படலாம் மற்றும் இந்த காரணத்திற்காக, ஒரு R-தொகுதி M இன் உள்ளூர் ஒத்திசைவு எக்ஸ்ட்ரா தொகுதிகளின் நேரடி வரம்புடன் உடன்படுகிறது, இது இந்த வரையறைகளில் ஏதேனும் ஒன்றைப் பின்பற்றுகிறது, அவை ஒரே ரேடிக்கலைக் கொண்ட மற்றொரு இலட்சியத்தால் மாற்றப்பட்டால் மாறாமல் இருக்கும். உள்ளூர் கோஹோமோலஜி I க்கான ஜெனரேட்டர்களின் எந்தவொரு தேர்வையும் சார்ந்து இல்லை என்பதையும் இது பின்பற்றுகிறது, இது செச் காம்ப்ளக்ஸ் சம்பந்தப்பட்ட பின்வரும் வரையறையில் பொருத்தமானது. கோஸ்ஸுல் மற்றும் செச் காம்ப்ளக்ஸ்களைப் பயன்படுத்துதல் லோக்கல் கோஹோமோலஜியின் பெறப்பட்ட ஃபங்க்டர் வரையறைக்கு தொகுதியின் ஊசி தீர்மானம் தேவைப்படுகிறது, இது வெளிப்படையான கணக்கீடுகளில் பயன்படுத்த அணுக முடியாததாக இருக்கும். செக் வளாகம் சில சூழல்களில் மிகவும் நடைமுறைக்குரியதாக கருதப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, உள்ளூர் கோஹோமோலஜியின் செக் சிக்கலான வரையறையை வழங்குவதற்கு முன்பு "கொடுக்கப்பட்ட தொகுதிக்கு இந்த [ஊசி] வகையான தீர்மானங்களில் ஏதேனும் ஒன்றை உண்மையில் உற்பத்தி செய்வதில் உள்ள சிக்கலை" அவர்கள் "அடிப்படையில் புறக்கணிக்கிறார்கள்" என்று கூறுகிறார்கள், மேலும் செக் கோஹோமோலஜியை "ஒரு திட்டத்தில் அரை-ஒத்திசைவான உறைகளின் கோஹோமோலஜியை கணக்கிடுவதற்கான ஒரு நடைமுறை முறையை வழங்குவதாக" விவரிக்கிறார்கள். மேலும் "கணக்கீடுகளுக்கு மிகவும் பொருத்தமானது". செக் வளாகத்தை உருவாக்கும் கோஸுல் வளாகங்களின் கொலிமிட்டாக வரையறுக்கலாம். உள்ளூர் கோஹோமோலஜி தொகுதிகளை பின்வருமாறு விவரிக்கலாம்ஃ கோஸுல் வளாகங்கள் ஒரு சங்கிலி சிக்கலான மார்ஃபிசத்தைத் தூண்டுவதன் மூலம் பெருக்கம் செய்யும் பண்பைக் கொண்டுள்ளன, இது பூஜ்ஜியத்திற்கு ஹோமோடோபிக் ஆகும், அதாவது மூலம் அழிக்கப்படுகிறது. தொகுப்புகளின் கோலிமிடில் உள்ள பூஜ்ஜியமற்ற வரைபடம் இறுதியாக பல கோஸுல் வளாகங்களிலிருந்து வரைபடங்களைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் அவை இலட்சியத்தில் உள்ள சில உறுப்புகளால் அழிக்கப்படவில்லை. கோஸுல் வளாகங்களின் இந்த கோலிமிட் செச் வளாகத்திற்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும், இது கீழே குறிக்கப்படுகிறது. மேலே உள்ள சங்கிலி வளாகத்தின் கோஹோமோலஜி குழுவிற்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும், உள்ளூர் கோஹோமோலஜி தொகுதிகளை (பண்பு பூஜ்ஜியத்தில்) கணக்கிடுவதற்கான பரந்த பிரச்சினை மற்றும் விவாதிக்கப்படுகிறது. அடிப்படை பண்புகள் லோக்கல் கோஹோமோலஜி என்பது பெறப்பட்ட செயல்பாடாக வரையறுக்கப்படுவதால், ஆர்-தொகுதிகளின் எந்தவொரு குறுகிய துல்லியமான வரிசைக்கும், வரையறையின்படி, லோக்கல் கோஹோமோலஜியில் ஒரு இயற்கையான நீண்ட துல்லியமான வரிசை உள்ளது. X இல் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு குவாசிகோஹெரென்ட் ஷீஃப் F க்கு, இது ஒரு வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது X என்பது ஒரு அஃபைன் திட்டமாகும் மற்றும் Y என்பது ஒரு இலட்சிய I இன் மறைந்து வரும் தொகுப்பாகும், கோஹோமோலஜி குழுக்கள் மறைந்துவிடும். என்றால், இது ஒரு சரியான வரிசைக்கு வழிவகுக்கிறது, அங்கு நடுத்தர வரைபடம் பிரிவுகளின் கட்டுப்பாடு ஆகும். இந்த கட்டுப்பாட்டு வரைபடத்தின் இலக்கு சிறந்த மாற்றம் என்றும் குறிப்பிடப்படுகிறது. n ≤ 1 க்கு, ஐசோமார்பிசம்கள் உள்ளன, ஏனெனில் ஷீஃப் கோஹோமோலஜியுடன் மேலே உள்ள ஐசோமார்பிசம் காரணமாக, உள்ளூர் கோஹோமோலஜியை திட்டத்தின் மீது பல அர்த்தமுள்ள இடவியல் கட்டமைப்புகளை முற்றிலும் இயற்கணித சொற்களில் வெளிப்படுத்த பயன்படுத்தலாம். எடுத்துக்காட்டாக, X இல் உள்ள ஒரு ஜோடி திறந்த தொகுப்புகளான U மற்றும் V ஐப் பொறுத்தவரை மேயர்-விட்டோரிஸ் வரிசையின் உள்ளூர் ஒத்திசைவியலில் ஒரு இயற்கையான ஒப்புமை உள்ளது, இது முறையே ஒரு ஜோடி இலட்சியம் I மற்றும் J உடன் தொடர்புடைய மூடிய துணைக்குழுக்களின் நிரப்புகளால் வழங்கப்படுகிறது. இந்த வரிசை எந்த-தொகுதியின் வடிவத்தையும் கொண்டுள்ளது. இயற்கணித அமைப்பை வரையறுக்க (கோட்பாட்டளவில் அமைக்க) தேவையான குறைந்தபட்ச எண்ணிக்கையிலான சமன்பாடுகளை (எண்கணித தரவரிசை என்று குறிப்பிடப்படுகிறது) பிணைக்க உள்ளூர் கோஹோமோலஜியின் மறைவு பயன்படுத்தப்படலாம். அதே ரேடிக்கல் இருந்தால், மற்றும் உறுப்புகளால் உருவாக்கப்பட்டால், ஜெனரேட்டர்களில் உள்ள செச் காம்ப்ளக்ஸ் டிகிரியில் எந்த விதிமுறைகளையும் கொண்டிருக்காது. அனைத்து இலட்சியங்களிலும் மிகக் குறைந்த எண்ணிக்கையிலான ஜெனரேட்டர்கள் அதாவது எண்கணித தரவரிசை குறிக்கப்படுகிறது. அத்தகைய எந்தவொரு இலட்சியத்தையும் பயன்படுத்தி உள்ளூர் கோஹோமோலஜி கணக்கிடப்படலாம் என்பதால், அது அதைப் பின்பற்றுகிறது. தரப்படுத்தப்பட்ட உள்ளூர் கோஹோமோலஜி மற்றும் ப்ரொஜெக்டிவ் வடிவியல் மூலம் தரப்படுத்தப்படும்போது, ஒரே மாதிரியான கூறுகளால் உருவாக்கப்பட்டு, ஒரு தரப்படுத்தப்பட்ட தொகுதியாக இருக்கும்போது, உள்ளூர் கோஹோமோலஜி தொகுதியில் இயற்கையான தரப்படுத்தல் உள்ளது, இது மற்றும் தரப்படுத்தல்களுடன் இணக்கமாக உள்ளது. இந்த கட்டுரையில் வெளிப்படுத்தப்பட்ட உள்ளூர் ஒத்திசைவியலின் அனைத்து அடிப்படை பண்புகளும் தரப்படுத்தப்பட்ட கட்டமைப்புடன் இணக்கமாக உள்ளன. இறுதியாக உருவாக்கப்பட்டு, நேர்மறை டிகிரியைக் கொண்ட கூறுகளால் உருவாக்கப்படும் இலட்சியமாக இருந்தால், தரப்படுத்தப்பட்ட கூறுகள் இறுதியாக உருவாக்கப்பட்டு போதுமான அளவிற்கு மறைந்துவிடும். நேர்மறை டிகிரியின் அனைத்து கூறுகளாலும் (சில நேரங்களில் பொருத்தமற்ற ஐடியல் என்று அழைக்கப்படுகிறது) உருவாக்கப்படும் ஐடியல் குறிப்பாக சிறப்பு வாய்ந்தது, ஏனெனில் இது ப்ரொஜெக்டிவ் வடிவவியலுடன் தொடர்புடையது. இந்த விஷயத்தில், ஒரு ஐசோமார்பிசம் உள்ளது, அங்கு ப்ரொஜெக்டிவ் திட்டம் தொடர்புடையது, மேலும் இது செர்ரே திருப்பத்தைக் குறிக்கிறது. இந்த ஐசோமார்பிசம் அனைத்து டிகிரிகளிலும் தரப்படுத்தப்படுகிறது. இந்த ஐசோமார்பிசம் உள்ளூர் கோஹோமோலஜியை ப்ரொஜெக்டிவ் திட்டங்களின் உலகளாவிய கோஹோமோலஜியுடன் தொடர்புபடுத்துகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, காஸ்டெல்னுவோவோ-மம்ஃபோர்ட் ஒழுங்குமுறையை உள்ளூர் கோஹோமோலஜியைப் பயன்படுத்தி வடிவமைக்க முடியும், அங்கு அது போன்ற மிக உயர்ந்த டிகிரியைக் குறிக்கிறது. வழக்கமான தன்மை தொடர்பான சில மேல் வரம்பு முடிவுகளை நிரூபிக்க உள்ளூர் கோஹோமோலஜியைப் பயன்படுத்தலாம். எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் முறையான பின்னங்களின் படங்களால் உள்ளூர் கோஹோமோலஜி தொகுதி உருவாக்கப்பட்டால், செக் வளாகத்தைப் பயன்படுத்தி சிறந்த உள்ளூர் கோஹோமோலஜி. இந்த பின்னம் ஒரு பூஜ்ஜியமற்ற உறுப்புடன் ஒத்திருக்கிறது என்றால் மற்றும் அது இல்லை என்றால் மட்டுமே. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு புலம் மற்றும் மாறிகளில் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை வளையமாக இருந்தால், உள்ளூர் கோஹோமோலஜி தொகுதியை ஒரு திசையன் இடமாகக் கருதலாம், இதற்கு (செக் கோஹோமோலஜி வகுப்புகளின்) தலைகீழ் மோனாமியல்கள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. ஒரு-தொகுதியாக, 1 ஆல் பெருக்கல் குறைகிறது, நிபந்தனைக்கு உட்பட்டு, கூறுகளுடன் பெருக்குவதன் மூலம் சக்திகளை அதிகரிக்க முடியாது என்பதால், தொகுதி இறுதியாக உருவாக்கப்படவில்லை. H1 இன் எடுத்துக்காட்டுகள் அறியப்பட்டால் (எங்கே), தொகுதி சில நேரங்களில் வரிசையைப் பயன்படுத்தி வெளிப்படையாக கணக்கிடப்படலாம் பின்வரும் எடுத்துக்காட்டுகளில், எந்த புலமும் உள்ளது. மற்றும், பின்னர் மற்றும் ஒரு திசையன் இடமாக, முதல் உள்ளூர் கோஹோமோலஜி தொகுதி, ஒரு 1 பரிமாண திசையன் இடத்தால் உருவாக்கப்படுகிறது. ஒரு தொகுதியின் பரிமாணம் டிஎம்ஆர் (எம்) (அதன் ஆதரவின் க்ருல் பரிமாணம் என வரையறுக்கப்படுகிறது) உள்ளூர் கோஹோமோலஜி தொகுதிகளுக்கு ஒரு மேல் வரம்பை வழங்குகிறதுஃ ஆர் உள்ளூர் மற்றும் எம் இறுதியாக உருவாக்கப்பட்டால், இந்த வரம்பு கூர்மையானது, அதாவது. ஆழம் (வழக்கமான எம்-வரிசையின் அதிகபட்ச நீளம் என வரையறுக்கப்படுகிறது; எம் இன் தரம் என்றும் குறிப்பிடப்படுகிறது) ஒரு கூர்மையான கீழ் வரியை வழங்குகிறது, அதாவது, இது மிகச்சிறிய முழு எண் n ஆகும், அதாவது இந்த இரண்டு வரம்புகளும் ஒன்றாக உள்ளூர் வளையங்களில் கோஹன்-மெக்காலே தொகுதிகளின் குணாதிசயத்தை அளிக்கின்றனஃ அவை துல்லியமாக ஒரு n ஐத் தவிர மற்ற அனைத்திற்கும் மறைந்துவிடும் தொகுதிகள். உள்ளூர் இரட்டைத்தன்மை உள்ளூர் இரட்டைத்தன்மை தேற்றம் என்பது செர் இரட்டைத்தன்மையின் உள்ளூர் அனலாக் ஆகும். கோஹென்-மக்காலே உள்ளூர் பரிமாண வளையத்திற்கு, இது ஒரு கோரென்ஸ்டைன் உள்ளூர் வளையத்தின் ஒரே மாதிரியான படமாகும் (எடுத்துக்காட்டாக, முழுமையானது என்றால்), இயற்கையான இணைத்தல் ஒரு சரியான ஜோடி என்று அது கூறுகிறது, அங்கு ஒரு இரட்டைப்படுத்துதல் தொகுதி உள்ளது. மாட்லிஸ் டூயலிட்டி ஃபன்க்டரின் அடிப்படையில், லோக்கல் டூயலிட்டி தேற்றத்தை பின்வரும் ஐசோமார்பிசமாக வெளிப்படுத்தலாம். இந்த அறிக்கை எளிமையானது, இது கோரென்ஸ்டீன் என்ற கருதுகோளுக்கு சமம். இது வழக்கு, எடுத்துக்காட்டாக, வழக்கமான என்றால். பயன்பாடுகள் ஆரம்ப பயன்பாடுகள் லெஃப்ஷெட்ஸ் ஹைப்பர்பிளேன் கோட்பாடுகளின் ஒப்புமைகளுக்கு இருந்தன. பொதுவாக இத்தகைய கோட்பாடுகள், கட்டுப்படுத்தக்கூடிய சில 'இழப்புகளை' தவிர, ஒரு இயற்கணித வகையின் ஹைப்பர்பிளேன் பிரிவில் ஹோமாலஜி அல்லது கோஹோமோலஜி ஆதரிக்கப்படுகிறது என்று கூறுகின்றன. இந்த முடிவுகள் இயற்கணித அடிப்படை குழுவிற்கும் பிகார்ட் குழுவிற்கும் பொருந்தும். மற்றொரு வகை பயன்பாடு கிரோதெண்டீக்கின் இணைப்புக் கோட்பாடு (பெர்டினி தேற்றத்தின் உள்ளூர் ஒப்புமை) அல்லது மற்றும் காரணமாக ஃபுல்டன்-ஹான்சன் இணைப்புக் கோட்பாடு போன்ற இணைப்புக் கோட்பாடுகளாகும். பிந்தையது ஒரு இயற்கணித மூடிய புலத்தின் மீது Pr இல் உள்ள இரண்டு ப்ரொஜெக்டிவ் வகைகளான V மற்றும் W க்கு, Z = V θ W இன் இணைப்பு பரிமாணம் (அதாவது, Z இன் மூடிய துணைக்குழு T இன் குறைந்தபட்ச பரிமாணம் Z இலிருந்து அகற்றப்பட வேண்டும், இதனால் நிரப்பு Z\ T துண்டிக்கப்படுகிறது) c (Z) ± மங்கலான V + மங்கலான W−r−1 ஆல் பிணைக்கப்பட்டுள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, மங்கலான V + மங்கலான W> r என்றால் Z இணைக்கப்பட்டுள்ளது. பாலிஹெட்ரல் வடிவவியலில், மெக்முல்லனின் மேல் பிணைப்பு தேற்றத்தின் எளிமையான வடிவத்தின் ஸ்டான்லியின் 1975 ஆதாரத்தின் ஒரு முக்கிய மூலப்பொருள், தொடர்புடைய எளிமையான வளாகத்தின் ஸ்டான்லி-ரைஸ்னர் வளையம் கோஹன்-மெக்காலே என்றும், உள்ளூர் ஒத்திசைவு இந்த கணக்கீட்டில் ஒரு முக்கியமான கருவியாகும் என்றும் ஹாக்ஸ்டரின் சூத்திரத்தின் மூலம் காட்டுகிறது. மேலும் காண்க லோக்கல் ஹோமாலஜி-ஒரு ஸ்பேஸ் ஃபால்டிங்ஸின் அனிஹிலேட்டர் தேற்றம் குறிப்புகள் அறிமுக குறிப்பு ஹூனெக், கிரேக்; டெய்லர், அமேலியா, லோக்கல் கோஹோமோலஜி குறிப்புகள் பற்றிய விரிவுரைகள் ஹார்ட்ஷோர்ன் ஷீஃப் கோட்பாட்டின் இடவியல் முறைகள் இயற்கணித கோஹோமோலஜி கோட்பாடுகள் கம்யூட்டேடிவ் அல்ஜிப்ரா டூயலிட்டி கோட்பாடுகள்