Ore condition
கணிதத்தில், குறிப்பாக வளையக் கோட்பாடு என்று அழைக்கப்படும் இயற்கணிதப் பகுதியில், தாது நிலை என்பது ஒய்ஸ்டீன் தாதுவால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட ஒரு நிபந்தனையாகும், இது பரிமாற்ற வளையங்களுக்கு அப்பால் விரிவடைவது, பின்னங்களின் புலத்தை உருவாக்குவது அல்லது பொதுவாக ஒரு வளையத்தின் உள்ளூர்மயமாக்கல் ஆகியவற்றுடன் தொடர்புடையது. ஒரு வளையம் R இன் பெருக்க துணைக்குழு S க்கான சரியான தாது நிபந்தனை மற்றும், குறுக்குவெட்டு ஆகும். பூஜ்ஜியமற்ற உறுப்புகளின் தொகுப்பு சரியான தாது நிபந்தனையை திருப்திப்படுத்தும் ஒரு (பரிமாற்றமற்ற) களம் சரியான தாது களம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இடது வழக்கு இதேபோல் வரையறுக்கப்படுகிறது. பொதுவான யோசனை ஒரு பெருக்க துணைக்குழு S ஐப் பொறுத்தவரை R [S−1] பின்னங்களின் சரியான வளையத்தை உருவாக்குவதே குறிக்கோள். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், வடிவத்தின் கூறுகளுடன் −1 ஆக வேலை செய்ய விரும்புகிறோம், மேலும் R [S−1] தொகுப்பில் ஒரு வளைய கட்டமைப்பைக் கொண்டிருக்க விரும்புகிறோம். சிக்கல் என்னவென்றால், பெருக்கலின் (−1) (bt−1) வெளிப்படையான விளக்கம் இல்லை; உண்மையில், s−1 ஐ b ஐ கடந்த "நகர்த்த" ஒரு முறை நமக்குத் தேவை. இதன் பொருள் என்னவென்றால், s−1b ஐ ஒரு பெருக்கல் b1s1−1 ஆக மீண்டும் எழுத முடியும். பின்னர் இடதுபுறத்தில் s ஆல் மற்றும் வலதுபுறத்தில் s1 ஆல் பெருக்கினால், நமக்கு கிடைக்கும். எனவே கொடுக்கப்பட்ட a மற்றும் s க்கு, a1 மற்றும் s1 உடன் இருப்பது போன்ற தேவையை நாம் காண்கிறோம். பயன்பாடு ஒவ்வொரு ஒருங்கிணைந்த களமும் பின்னங்களின் புலத்தின் (உட்பொதிப்பதன் மூலம்) ஒரு துணை வளையம் என்று நன்கு அறியப்பட்டிருப்பதால், ஒவ்வொரு உறுப்பும் rs−1 வடிவத்தில் s பூஜ்ஜியமற்றதாக இருக்கும் வகையில் இருப்பதால், அதே கட்டுமானம் ஒரு பரிமாற்றமற்ற களத்தை எடுத்து ஒரு பிரிவு வளையத்தை (ஒரு பரிமாற்றமற்ற புலம்) அதே பண்புடன் தொடர்புபடுத்த முடியுமா என்று கேட்பது இயற்கையானது. சில நேரங்களில் பதில் "இல்லை" என்று மாறிவிடும், அதாவது, ஒத்த "பின்னங்களின் வலது பிரிவு வளையம்" இல்லாத களங்கள் உள்ளன. ஒவ்வொரு வலது தாது களம் R க்கும், ஒரு தனித்துவமான (இயற்கையான R-ஐசோமார்பிசம் வரை) பிரிவு வளையம் D உள்ளது, இதில் R ஒரு துணை வளையமாக உள்ளது, அதாவது D இன் ஒவ்வொரு உறுப்பும் R இல் r க்கு rs − 1 மற்றும் R இல் s பூஜ்ஜியமற்றது. அத்தகைய பிரிவு வளையம் D என்பது R இன் வலது பின்னங்களின் வளையம் என்றும், D இல் வலது வரிசை என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. இடது பின்னங்கள் மற்றும் இடது வரிசையின் வளையம் பற்றிய கருத்து ஒத்த முறையில் வரையறுக்கப்படுகிறது, D இன் கூறுகள் s − 1r வடிவத்தில் உள்ளன. டி இல் ஆர் ஒரு சரியான வரிசை என்ற வரையறை டி முற்றிலும் rs−1 வடிவத்தின் கூறுகளைக் கொண்டிருக்க வேண்டும் என்ற நிபந்தனையை உள்ளடக்கியது என்பதை நினைவில் கொள்வது முக்கியம். தாது நிபந்தனைகளில் ஒன்றைத் திருப்திப்படுத்தும் எந்தவொரு களமும் ஒரு பிரிவு வளையத்தின் துணை வளையமாகக் கருதப்படலாம், இருப்பினும் இது தானாகவே R என்பது D இல் ஒரு இடது வரிசை என்று அர்த்தமல்ல, ஏனெனில் D க்கு s−1r வடிவத்தில் இல்லாத ஒரு உறுப்பு இருக்கலாம். எனவே ஆர் ஒரு வலது-இடது-தாது களமாக இருக்க முடியும். உள்ளுணர்வாக, D இன் அனைத்து உறுப்புகளும் rs−1 வடிவத்தில் இருக்க வேண்டும் என்ற நிபந்தனை R என்பது D இன் ஒரு "பெரிய" R-துணை தொகுதி என்று கூறுகிறது. உண்மையில் இந்த நிபந்தனை ஆர்ஆர் என்பது டி. ஆரின் அத்தியாவசிய துணை தொகுதி என்பதை உறுதி செய்கிறது. கடைசியாக, ஒரு பிரிவு வளையத்தில் ஒரு களத்தின் எடுத்துக்காட்டு கூட உள்ளது, இது இரு தாது நிபந்தனையையும் திருப்திப்படுத்தாது (கீழே உள்ள எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்க்கவும்). மற்றொரு இயல்பான கேள்விஃ "ஒரு பிரிவு வளையத்தின் துணை வளையம் எப்போது தாது வலதுபுறம் இருக்கும்?" ஒரு வகைப்பாடு என்னவென்றால், டி ஒரு தட்டையான இடது ஆர்-தொகுதியாக இருந்தால் மட்டுமே ஒரு பிரிவு வளையம் டி இன் துணை வளையம் ஆர் ஒரு வலது தாது களமாகும். தாது நிபந்தனைகளின் வேறுபட்ட, வலுவான பதிப்பு பொதுவாக R ஒரு களமாக இல்லாத வழக்கில் வழங்கப்படுகிறது, அதாவது ஒரு பொதுவான பல c = au = bv உடன் u இருக்க வேண்டும், v பூஜ்ஜிய வகுத்திகள் அல்ல. இந்த வழக்கில், ஓரியின் தேற்றம் (வலது அல்லது இடது) கிளாசிக்கல் வளையங்கள் என்று அழைக்கப்படும் ஒரு மேல் வளையத்தின் இருப்பை உறுதிப்படுத்துகிறது. எடுத்துக்காட்டுகள் பரிமாற்ற களங்கள் தானாகவே ஓர் களங்களாகும், ஏனெனில் பூஜ்ஜியமற்ற a மற்றும் b க்கு, ab பூஜ்ஜியமற்றது. சரியான முதன்மை இலட்சிய களங்கள் போன்ற சரியான நொய்தேரியன் களங்கள், சரியான ஓர் களங்கள் என்றும் அறியப்படுகின்றன. இன்னும் பொதுவாக, ஆல்ஃபிரட் கோல்டி ஆர்ஆர் வரையறுக்கப்பட்ட சீரான பரிமாணத்தைக் கொண்டிருந்தால் மட்டுமே ஒரு களம் ஆர் சரியானது என்பதை நிரூபித்தார். வலது பேஸவுட் களங்கள் வலது ஓரம் என்பதும் உண்மைதான். வலது அல்லது இடது ஓரம் இல்லாத ஒரு பிரிவு வளையத்தின் துணை டொமைன்ஃ F என்பது ஏதேனும் புலம் மற்றும் x மற்றும் y ஆகிய இரண்டு குறியீடுகளில் இலவச மோனாய்டு என்றால், மோனாய்டு வளையம் எந்த ஓர நிபந்தனையையும் பூர்த்தி செய்யாது, ஆனால் இது ஒரு இலவச இலட்சிய வளையம், எனவே உண்மையில் ஒரு பிரிவு வளையத்தின் துணை வளையம், மூலம். பெருக்கல் தொகுப்புகள் தாது நிலை மற்ற பெருக்கல் துணைக்குழுக்களுக்கு பொதுமைப்படுத்தப்படலாம், மேலும் இது மற்றும் பாடப்புத்தக வடிவத்தில் வழங்கப்படுகிறது. R வளையத்தின் ஒரு துணைக்குழு S, R இல் உள்ள a, b, மற்றும் S இல் உள்ள s, t: S இல் உள்ள st: (தொகுப்பு S பெருக்க முறையில் மூடப்பட்டுள்ளது. aS θ sR காலியாக இல்லை; (தொகுப்பு S சரியான வரிசைமாற்றத்தக்கது.) இருந்தால், S இல் சில u உடன் உள்ளது; (செட் S சரியானது. எஸ் ஒரு சரியான வகுத்தல் தொகுப்பாக இருந்தால், பரிமாற்ற வழக்கைப் போலவே வலது பின்னங்களின் வளையத்தை ஆர்எஸ்-1 ஐ உருவாக்க முடியும். S ஐ வழக்கமான உறுப்புகளின் தொகுப்பாக எடுத்துக் கொண்டால் (R இல் உள்ள a உறுப்புகள் R இல் உள்ள b பூஜ்ஜியமற்றது என்றால், ab மற்றும் b பூஜ்ஜியமற்றது), சரியான தாது நிபந்தனை வெறுமனே S ஒரு சரியான வகுத்தல் தொகுப்பாக இருக்க வேண்டும். பரிமாற்ற உள்ளூர்மயமாக்கலின் பல பண்புகள் இந்த பொதுவான அமைப்பில் உள்ளன. R வளையத்திற்கு S ஒரு வலது வகுப்பாக அமைக்கப்பட்டிருந்தால், இடது ஆர்-தொகுதி ஆர்எஸ்-1 தட்டையானது. மேலும், எம் ஒரு சரியான ஆர்-தொகுதி என்றால், எஸ்-முறிவு, ஒரு ஆர்-துணை தொகுதி ஐசோமார்பிக் ஆகும், மேலும் தொகுதி இயற்கையாகவே ஒரு தொகுதி எம்எஸ்-1 க்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும், இதில் பரிமாற்ற வழக்கில் உள்ளதைப் போல "பின்னங்கள்" உள்ளன. குறிப்புகள் குறிப்புகள் வெளிப்புற இணைப்புகள் பிளானட்மேத் பக்கம் தாது நிலையில் பிளானட்மேத் பக்கம் ஓரியின் தேற்றத்தில் பிளானட்மேத் பக்கம் கிளாசிக்கல் வளையத்தின் வளையக் கோட்பாட்டில்