Lagrangian Grassmannian
கணிதத்தில், லக்ராஞ்சியன் கிராஸ்மேனியன் என்பது ஒரு உண்மையான சிம்ப்லெக்டிக் திசையன் இடைவெளி V இன் லக்ராஞ்சியன் துணை இடங்களின் மென்மையான பன்மடங்கு ஆகும். அதன் பரிமாணம் n (n + 1) (இங்கு V இன் பரிமாணம் 2n ஆகும்). இது ஒரே மாதிரியான இடத்துடன் அடையாளம் காணப்படலாம், அங்கு யூனிட்டரி குழு மற்றும் ஆர்த்தோகனல் குழு உள்ளது. விளாடிமிர் அர்னால்டைத் தொடர்ந்து இது λ (n) ஆல் குறிக்கப்படுகிறது. லாக்ராஞ்சியன் கிராஸ்மேனியன் என்பது V இன் சாதாரண கிராஸ்மேனியன் என்பதன் துணைப்புள்ளியாகும். ஒரு சிக்கலான லாக்ராஞ்சியன் கிராஸ்மேனியன் என்பது 2n பரிமாணத்தின் சிக்கலான சிம்ப்ளெக்டிக் திசையன் இடைவெளி V இன் லாக்ராஞ்சியன் துணை இடங்களின் சிக்கலான ஒரே மாதிரியான பன்மடங்கு ஆகும். இது சிக்கலான பரிமாணம் n (n + 1) இன் ஒரே மாதிரியான இடத்துடன் அடையாளம் காணப்படலாம், அங்கு சிறிய சிம்ப்லெக்டிக் குழு உள்ளது. ஒரு ஒரே மாதிரியான இடமாக லக்ராஞ்சியன் கிராஸ்மேனியன் λ (n) ஐ அடையாளம் காண முடியும் என்பதைக் காண, இது ஒரு 2n-பரிமாண உண்மையான திசையன் இடைவெளி என்பதைக் கவனியுங்கள், அதன் வழக்கமான உள் உற்பத்தியின் கற்பனையான பகுதி அதை ஒரு சிம்ப்ளெக்டிக் திசையன் இடமாக ஆக்குகிறது. இதன் லாக்ராஞ்சியன் உட்பகுதிகள் பின்னர் உண்மையான பரிமாண n இன் உண்மையான உட்பகுதிகளாகும், அதில் உள் உற்பத்தியின் கற்பனையான பகுதி மறைந்துவிடும். ஒரு உதாரணம். ஒற்றையாட்சி குழு இந்த துணை இடங்களின் தொகுப்பில் தற்காலிகமாக செயல்படுகிறது, மேலும் நிலைப்படுத்துபவர் ஆர்த்தோகனல் குழுவாகும். இது ஒரே மாதிரியான இடைவெளிகளின் கோட்பாட்டிலிருந்து பின்வருமாறு λ (n) ஒரு ஒரே மாதிரியான இடமாக ஐசோமார்பிக் ஆகும். இடவியல் லாக்ராஞ்சியன் கிராஸ்மேனியன் மற்றும் சிக்கலான லாக்ராஞ்சியன் கிராஸ்மேனியன் ஆகியவற்றின் நிலையான இடவியல் முழுமையாகப் புரிந்து கொள்ளப்படுகிறது, ஏனெனில் இந்த இடைவெளிகள் பாட் பீரியடிசிட்டி தேற்றத்தில் தோன்றுகின்றனஃ, மற்றும்-அவை குறியீட்டில் (பரிமாணம்) மாற்றம் வரை நிலையான ஆர்த்தோகனல் குழுவின் ஹோமோடோபி குழுக்களாக உள்ளன. குறிப்பாக, இதன் அடிப்படை குழு எல்லையற்ற சுழற்சி ஆகும். எனவே அதன் முதல் ஹோமோலஜி குழுவும் எல்லையற்ற சுழற்சி ஆகும், இது அதன் முதல் கோஹோமோலஜி குழுவாகும், ஒரு யூனிட்டரி மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பவரின் சதுரத்தால் கொடுக்கப்பட்ட ஒரு தனித்துவமான ஜெனரேட்டருடன், அலகு வட்டத்திற்கு ஒரு வரைபடமாக. இது வி. பி. மாஸ்லோவ் அறிமுகப்படுத்திய மாஸ்லோவ் குறியீட்டின் விளக்கத்திற்கு வழிவகுக்கிறது என்று அர்னால்ட் காட்டினார். V இன் லக்ராஞ்சியன் சப்மேனிஃபோல்ட் M க்கு, உண்மையில், ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் அதன் தொடுகோடு இடத்தை வகைப்படுத்தும் ஒரு வரைபடம் உள்ளது (cf. காஸ் வரைபடம்). மாஸ்லோவ் குறியீடு என்பது இந்த வரைபடத்தின் மூலம் இழுக்கப்படுகிறது, இது தனித்துவமான ஜெனரேட்டரின். மாஸ்லோவ் குறியீடு ஒரு சிம்ப்லெக்டிக் திசையன் இடத்தின் சிம்ப்லெக்டோமார்பிசங்களின் பாதைக்கு ஒரு மாஸ்லோவ் குறியீடு ஒதுக்கப்படலாம், இது வி. பி. மாஸ்லோவின் பெயரிடப்பட்டது; பாதை ஒரு வளையமாக இருந்தால் அது ஒரு முழு எண்ணாகவும், பொதுவாக அரை முழு எண்ணாகவும் இருக்கும். இந்த பாதை ஒரு ஹாமில்டோனியன் திசையன் புலத்தின் குறிப்பிட்ட சுற்றுப்பாதையில் ஒரு சிம்ப்லெக்டிக் பன்மடங்கு அல்லது ஒரு தொடர்பு பன்மடங்கு ரீப் திசையன் புலத்தின் மீது சிம்ப்லெக்டிக் திசையன் மூட்டை அற்பமானதாக இருந்தால், அது கான்லி-ஜெஹெண்டர் குறியீடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. இது ஃப்ளோர் ஹோமோலஜியில் எழும் காச்சி-ரீமன்-வகை இயக்கிகளின் நிறமாலை ஓட்டத்தை கணக்கிடுகிறது. இது முதலில் டபிள்யூ. கே. பி தோராயத்தின் ஆய்வில் தோன்றியது மற்றும் அளவீட்டு, குவாண்டம் குழப்பம் சுவடு சூத்திரங்கள் மற்றும் சிம்ப்லெக்டிக் வடிவியல் மற்றும் இடவியல் ஆய்வில் அடிக்கடி தோன்றுகிறது. நேரியல் லாக்ராஞ்சியன் சப்மேனிஃபோல்டுகளுக்கான மாஸ்லோவ் குறியீட்டின் அடிப்படையில் இதை மேலே விவரிக்கலாம். குறிப்புகள் வி. ஐ. அர்னால்ட், அளவீட்டு நிலைமைகளில் நுழையும் சிறப்பியல்பு வகுப்பு, ஃபங்க்ஷனல் 'நி அனலிஸ் ஐ ஈகோ பிரிலோசெனியா, 1967,1,1,1-14,. வி. பி. மாஸ்லோவ், தியோரி டெஸ் பெர்டர்பேஷன்ஸ் மற்றும் மெத்தோட்ஸ் அறிகுறிகள். 1972 மாஸ்லோவ் குறியீடு தொடர்பான வகைப்படுத்தப்பட்ட மூலப் பொருள். ஒரே மாதிரியான இடைவெளிகளின் குறியீட்டு வடிவியல் இடவியல் கணித அளவீடு