Vector area
முப்பரிமாண வடிவியல் மற்றும் திசையன் கணக்கீட்டில், ஒரு பரப்பளவு திசையன் என்பது ஒரு திசையுடன் ஒரு பரப்பளவு அளவை இணைக்கும் ஒரு திசையன் ஆகும், இதனால் மூன்று பரிமாணங்களில் ஒரு நோக்குநிலை பகுதியை குறிக்கிறது. மூன்று பரிமாணங்களில் உள்ள ஒவ்வொரு வரம்புக்குட்பட்ட மேற்பரப்பும் அதன் திசையன் பகுதி எனப்படும் தனித்துவமான பகுதி திசையனுடன் தொடர்புடையதாக இருக்கலாம். இது மேற்பரப்பு இயல்பான மேற்பரப்பு ஒருங்கிணைப்புக்கு சமம் மற்றும் வழக்கமான (அளவிடக்கூடிய) மேற்பரப்பு பகுதியிலிருந்து வேறுபட்டது. வெக்டர் பகுதியை இரண்டு பரிமாணங்களில் கையொப்பமிடப்பட்ட பகுதியின் முப்பரிமாண பொதுமைப்படுத்தலாகக் காணலாம். வரையறை அளவிடக்கூடிய பரப்பளவு மற்றும் அலகு இயல்பான ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட சமதள மேற்பரப்புக்கு, திசையன் பரப்பளவு அந்த பகுதியால் அளவிடப்படும் அலகு இயல்பானதாக வரையறுக்கப்படுகிறதுஃ தட்டையான பக்கப் பகுதிகளின் தொகுப்பைக் கொண்ட ஒரு நோக்குநிலை மேற்பரப்புக்கு, மேற்பரப்பின் திசையன் பரப்பளவு அந்த பகுதிக்கு அலகு இயல்பான திசையன் இருக்கும் இடத்தால் வழங்கப்படுகிறது. போதுமான அளவு நன்கு நடந்து கொள்ளும் வரம்புக்குட்பட்ட, நோக்குநிலை வளைந்த மேற்பரப்புகளுக்கு, நாம் இன்னும் திசையன் பகுதியை வரையறுக்க முடியும். முதலில், மேற்பரப்பை எல்லையற்ற கூறுகளாகப் பிரிக்கிறோம், அவை ஒவ்வொன்றும் திறம்பட தட்டையானவை. பரப்பளவின் ஒவ்வொரு எல்லையற்ற உறுப்புக்கும், நம்மிடம் ஒரு பரப்பளவு திசையன் உள்ளது, மேலும் எல்லையற்றது. உள்ளூர் அலகு திசையன் செங்குத்தாக எங்கே உள்ளது. ஒருங்கிணைப்பது மேற்பரப்புக்கான திசையன் பகுதியை வழங்குகிறது. பண்புகள் ஒரு மேற்பரப்பின் திசையன் பரப்பளவு (கையொப்பமிடப்பட்ட) திட்டமிடப்பட்ட பகுதி அல்லது அது மிகப் பெரிய விமானத்தில் மேற்பரப்பின் "நிழல்" என்று விளக்கப்படலாம்; அதன் திசை அந்த விமானத்தின் இயல்புநிலை மூலம் வழங்கப்படுகிறது. ஒரு வளைந்த அல்லது முகப்பு (அதாவது. பிளானர் அல்லாத) மேற்பரப்பு, திசையன் பகுதி உண்மையான மேற்பரப்பு பகுதியை விட அளவில் சிறியது. ஒரு தீவிரமான எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு மூடிய மேற்பரப்பு தன்னிச்சையாக பெரிய பரப்பளவைக் கொண்டிருக்கலாம், ஆனால் அதன் திசையன் பரப்பளவு பூஜ்ஜியமாக இருக்க வேண்டும். ஒரு எல்லையைப் பகிர்ந்து கொள்ளும் மேற்பரப்புகள் மிகவும் மாறுபட்ட பகுதிகளைக் கொண்டிருக்கலாம், ஆனால் அவை ஒரே திசையன் பகுதியை கொண்டிருக்க வேண்டும்-திசையன் பகுதி முற்றிலும் எல்லையால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. இவை ஸ்டோக்ஸ் தேற்றத்தின் விளைவுகள். ஒரு இணையான திசையனின் திசையன் பரப்பளவு அதை பரப்பும் இரண்டு திசையன்களின் குறுக்கு விளைபொருளால் வழங்கப்படுகிறது; இது ஒரே திசையன்களால் உருவாக்கப்பட்ட முக்கோணத்தின் இரு மடங்கு (திசையன்) பரப்பளவு ஆகும். பொதுவாக, எந்த மேற்பரப்பின் திசையன் பரப்பளவு, அதன் எல்லை நேரான கோடு பிரிவுகளின் வரிசையைக் கொண்டுள்ளது (இரண்டு பரிமாணங்களில் ஒரு பலகோணத்திற்கு ஒத்த) மேற்பரப்பின் முக்கோணமயமாக்கலுடன் தொடர்புடைய குறுக்கு தயாரிப்புகளின் தொடரைப் பயன்படுத்தி கணக்கிட முடியும். இது ஷூலேஸ் சூத்திரத்தை மூன்று பரிமாணங்களுக்கு பொதுமைப்படுத்துவதாகும். பொருத்தமாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட திசையன் புலத்திற்கு பயன்படுத்தப்படும் ஸ்டோக்ஸின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, திசையன் பகுதிக்கு ஒரு எல்லை ஒருங்கிணைப்பைப் பெறலாம்ஃ இதன் எல்லை எங்கே, அதாவது. ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட நோக்குடைய மூடிய விண்வெளி வளைவுகள். இது கிரீன்ஸ் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி இரு பரிமாண பரப்பளவு கணக்கீட்டிற்கு ஒத்ததாகும். பயன்பாடுகள் ஒரு மேற்பரப்பு வழியாக ஒரு திசையன் புலத்தின் பாய்ச்சலை தீர்மானிக்கும் போது மேற்பரப்பு ஒருங்கிணைப்புகளைக் கணக்கிடும்போது பகுதி திசையன்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. புலத்தின் புள்ளி பெருக்கல் மற்றும் (எல்லையற்ற) பரப்பளவு திசையனின் ஒருங்கிணைப்பால் ஃப்ளக்ஸ் வழங்கப்படுகிறது. மேற்பரப்பில் புலம் நிலையானதாக இருக்கும்போது, ஒருங்கிணைப்பு புலத்தின் புள்ளி தயாரிப்பு மற்றும் மேற்பரப்பின் திசையன் பகுதிக்கு எளிதாக்குகிறது. ஒரு தளத்தின் மீது திட்டமிடப்பட்ட பகுதி திசையன் பகுதி S இன் புள்ளி பெருக்கல் மற்றும் இலக்கு தள அலகு இயல்பான மூலம் வழங்கப்படுகிறதுஃ எடுத்துக்காட்டாக,-தளத்தின் மீது திட்டமிடப்பட்ட பகுதி திசையன் பகுதியின்-கூறுக்கு சமம், மேலும் இது தளத்தின் இயல்பான மற்றும்-அச்சுக்கு இடையிலான கோணம் எங்கே என்பதற்கு சமம். டி குவாவின் தேற்றத்தின் எந்த எண்ணிக்கையிலும் ஒரு நோக்குநிலை பகுதியைக் குறிக்கும் பைவெக்டரையும் பார்க்கவும், திசையன் பகுதியை ஆர்த்தோகனல் கூறுகளாக சிதைப்பதில் குறுக்கு தயாரிப்பு சாதாரண மேற்பரப்பு ஒருங்கிணைந்த குறிப்புகள் பகுதி திசையன்கள் (கணிதம் மற்றும் இயற்பியல்) பகுப்பாய்வு வடிவியல்