Point groups in two dimensions
வடிவவியலில், இரு பரிமாண புள்ளி குழு அல்லது ரோசெட் குழு என்பது ஒரு சமதளத்தில் குறைந்தபட்சம் ஒரு புள்ளியையாவது நிலைநிறுத்தும் வடிவியல் சமச்சீர் குழுவாகும். அத்தகைய ஒவ்வொரு குழுவும் O (2) உட்பட ஆர்த்தோகனல் குழுவின் ஒரு துணைக்குழுவாகும். அதன் கூறுகள் சுழற்சிகள் மற்றும் பிரதிபலிப்புகள் ஆகும், மேலும் சுழற்சிகளை மட்டுமே கொண்ட அத்தகைய ஒவ்வொரு குழுவும் SO (2) உட்பட சிறப்பு ஆர்த்தோகனல் குழுவின் ஒரு துணைக்குழுவாகும். அந்த குழு R/Z க்கு ஐசோமார்பிக் மற்றும் முதல் யூனிட்டரி குழு, U (1), வட்டம் குழு என்றும் அழைக்கப்படும் ஒரு குழு. இரு பரிமாண புள்ளி குழுக்கள் அச்சு முப்பரிமாண புள்ளி குழுக்களுக்கு ஒரு அடிப்படையாக முக்கியமானவை, அச்சு ஒருங்கிணைப்பில் பிரதிபலிப்புகளைச் சேர்க்கின்றன. ஸ்டார்ஃபிஷ் மற்றும் ஜெல்லிஃபிஷ் போன்ற உயிரினங்களின் சமச்சீர் மற்றும் பூக்கள் போன்ற உயிரின பாகங்களிலும் அவை முக்கியமானவை. தனித்தனி குழுக்கள் தனித்தனி இரு பரிமாண புள்ளி குழுக்களின் இரண்டு குடும்பங்கள் உள்ளன, மேலும் அவை n அளவுருவுடன் குறிப்பிடப்படுகின்றன, இது குழுவில் உள்ள சுழற்சிகளின் குழுவின் வரிசையாகும். இன்டெல் என்பது ஹெர்மன்-மகுயின் குறியீடு அல்லது சர்வதேச குறியீட்டைக் குறிக்கிறது, இது பெரும்பாலும் படிகவியலில் பயன்படுத்தப்படுகிறது. எல்லையற்ற வரம்பில், இந்த குழுக்கள் ஒரு பரிமாண கோடு குழுக்களாக மாறுகின்றன. ஒரு குழு இரு பரிமாண ஜாலகம் அல்லது கட்டத்தின் சமச்சீர் என்றால், படிகவியல் கட்டுப்பாடு தேற்றம் n இன் மதிப்பை இரு குடும்பங்களுக்கும் 1,2,3,4 மற்றும் 6 ஆக கட்டுப்படுத்துகிறது. இவ்வாறு 10 இரு பரிமாண படிகவியல் புள்ளி குழுக்கள் உள்ளனஃ C1, C2, C3, C4, C6, D1, D2, D3, D4, D6 குழுக்கள் பின்வருமாறு கட்டமைக்கப்படலாம்ஃ Cn. Cn என்றும் அழைக்கப்படும் ஒரு தனிமத்தால் உருவாக்கப்படுகிறது, இது 2π/n கோணத்தில் சுழற்சிக்கு ஒத்திருக்கிறது. அதன் உறுப்புகள் E (அடையாளம்), Cn, Cn2,., Cnn−1, சுழற்சி கோணங்கள் 0,2π/n, 4π/n,., 2 (n−1) π/n உடன் தொடர்புடையவை. டிஎன். உறுப்பு Cn மற்றும் பிரதிபலிப்பு σ ஆல் உருவாக்கப்படுகிறது. இதன் உறுப்புகள் குழு Cn இன் உறுப்புகளாகும், இதில் உறுப்புகள் σ, Cnσ, Cn2σ,., Cnn−1σ சேர்க்கப்பட்டுள்ளன. இந்த கூடுதல் கோணங்கள் 0, π/n, 2π/n,., (n−1) π/n நோக்குநிலை கோணங்களுடன் கோடுகள் முழுவதும் பிரதிபலிப்புகளுக்கு ஒத்திருக்கின்றன. எனவே Dn என்பது Cn மற்றும் குழுவின் (E, σ) அரை மறைமுக பெருக்கல் ஆகும். C2 மற்றும் D1 தவிர இந்த குழுக்கள் அனைத்தும் தனித்துவமான சுருக்கக் குழுக்களைக் கொண்டுள்ளன, அவை சுருக்கக் குழு Z2 ஐப் பகிர்ந்து கொள்கின்றன. அனைத்து சுழற்சி குழுக்களும் அபெலியன் அல்லது கம்யூட்டேடிவ் ஆகும், ஆனால் இரண்டு டைஹெட்ரல் குழுக்கள் மட்டுமே உள்ளனஃ D1 ~ Z2 மற்றும் D2 ~ Z2 × Z2. உண்மையில், டி3 என்பது மிகச்சிறிய நபிலியன் அல்லாத குழுவாகும். இரட்டை n க்கு, ஹெர்மன்-மகுயின் சின்னம் nm என்பது கீழே விளக்கப்பட்டுள்ளபடி முழு சின்னமான nmm இன் சுருக்கமாகும். H-M குறியீட்டில் உள்ள n என்பது n-மடங்கு சுழற்சிகளைக் குறிக்கிறது, அதே நேரத்தில் m என்பது பிரதிபலிப்பு அல்லது கண்ணாடி தளங்களைக் குறிக்கிறது. மிகவும் பொதுவான குழுக்கள் இந்த குழுக்கள் இரு பரிமாண ஆர்த்தோகனல் மேட்ரிக்ஸ்களுடன் எளிதில் கட்டமைக்கப்படுகின்றன. தொடர்ச்சியான சுழற்சி குழுவான SO (2) அல்லது C ≤ மற்றும் அதன் துணைக்குழுக்கள் சுழற்சி மேட்ரிக்ஸ்கள் கொண்ட கூறுகளைக் கொண்டுள்ளனஃ இதில் SO (2) ஏதேனும் சாத்தியமான θ ஐக் கொண்டுள்ளது. ஆச்சரியப்படுவதற்கில்லை, SO (2) மற்றும் அதன் துணைக்குழுக்கள் அனைத்தும் அபெலியன்; சுழற்சி கோணங்களின் கூட்டல் பயணங்கள். தனித்துவமான சுழற்சிக் குழுக்களுக்கு Cn, கூறுகள் Cnk = R (2πk/n) தொடர்ச்சியான டைஹெட்ரல் குழு O (2) அல்லது D ≤ மற்றும் பிரதிபலிப்புகளுடன் கூடிய அதன் துணைக்குழுக்கள் சுழற்சி மேட்ரிக்ஸ்களை மட்டுமல்ல, பிரதிபலிப்பு மேட்ரிக்ஸ்களையும் உள்ளடக்கிய கூறுகளைக் கொண்டுள்ளனஃ இதில் O (2) ஏதேனும் சாத்தியமான θ ஐக் கொண்டுள்ளது. இருப்பினும், பிரதிபலிப்புகளுடன் O (2) இன் ஒரே அபெலியன் துணைக்குழுக்கள் D1 மற்றும் D2 ஆகும். தனித்த டைஹெட்ரல் குழுக்கள் Dn, உறுப்புகள் Cnkσ = S (2πk/n) துருவ ஆயத்தொகுதிகளைப் பயன்படுத்தும்போது, இந்த குழுக்களின் ஒரு பரிமாண சமச்சீர் குழுக்களுடனான உறவு தெளிவாகிறது. SO (2) இன் துணைக்குழுக்களின் வகைகள்ஃ வரையறுக்கப்பட்ட சுழற்சி துணைக்குழுக்கள் Cn (n ≤ 1); ஒவ்வொரு n க்கும் ஒரு ஐசோமெட்ரி குழு உள்ளது, சுருக்க குழு வகை Zn இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட குழுக்கள், Cn மற்றும் m சுயாதீன சுழற்சிகளால் உருவாக்கப்படும் Zm Zn வடிவங்களில் ஒன்றுக்கு ஒவ்வொரு ஐசோமார்பிக், விகிதமுறு எண்ணிக்கையிலான திருப்பங்களுடன், மற்றும் m, n ≤ 1; ஒவ்வொரு ஜோடிக்கும் (m, n) எண்ணற்ற பல ஐசோமெட்ரி குழுக்கள் உள்ளன, இவை அனைத்தும் சுருக்கக் குழுவிற்கு சமம்; ஜோடிக்கு (1,1) குழு சுழற்சி ஆகும். பிற கணக்கிடக்கூடிய துணைக்குழுக்கள். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு முழு எண் n க்கு, SO (2) உட்பட எண்ணற்ற n துணைக்குழுக்களின் எதிர்மறை முழு எண் சக்திக்கு சமமான பல திருப்பங்களின் அனைத்து சுழற்சிகளாலும் உருவாக்கப்படும் குழு SO (2) இன் ஒவ்வொரு துணைக்குழுவிற்கும் O (2) இன் துணைக்குழுக்களின் தொடர்புடைய எண்ணற்ற வகுப்பு உள்ளது, அவை சுருக்கக் குழுவாக பரஸ்பர ஐசோமார்பிக் ஆகும்ஃ ஒரு வகுப்பில் உள்ள ஒவ்வொரு துணைக்குழுக்களும் முதலில் குறிப்பிடப்பட்ட துணைக்குழுவால் உருவாக்கப்படுகின்றன மற்றும் தோற்றத்தின் வழியாக ஒரு வரியில் ஒற்றை பிரதிபலிப்பு. இவை (பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட) டைஹெட்ரல் குழுக்கள், இதில் சுருக்கக் குழு வகை டிஹ்னின் வரையறுக்கப்பட்ட டிஎன் (என்ஓஆர் 1) அடங்கும். n = 1 க்கு பொதுவான குறியீடு Cs, சுருக்க குழு வகை Z2 ஆகும். O (2) இன் இடவியல் துணைக்குழுக்களாக, வரையறுக்கப்பட்ட ஐசோமெட்ரி குழுக்கள் மற்றும் SO (2) மற்றும் O (2) மட்டுமே மூடப்பட்டுள்ளன. இந்த குழுக்கள் சுழற்சிகளை மட்டுமே கொண்டுள்ளனவா அல்லது பிரதிபலிப்புகளை உள்ளடக்கியுள்ளனவா என்பதைப் பொறுத்து இரண்டு தனித்துவமான குடும்பங்களாகப் பிரிகின்றன. சுழற்சி குழுக்கள், Cn (சுருக்க குழு வகை Zn), 360°/n சுழற்சிகள் மற்றும் அனைத்து முழு எண் பெருக்கங்களையும் கொண்டுள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக, நான்கு கால் மலம் சி 4 சமச்சீர் குழுவைக் கொண்டுள்ளது, இது 0°, 90°, 180° மற்றும் 270° சுழற்சிகளைக் கொண்டுள்ளது. ஒரு சதுரத்தின் சமச்சீர் குழு டைஹெட்ரல் குழுக்களின் குடும்பத்தைச் சேர்ந்தது, டிஎன் (சுருக்க குழு வகை டிஹ்ன்), சுழற்சிகளைப் போலவே பல பிரதிபலிப்புகளையும் உள்ளடக்கியது. வட்டத்தின் எல்லையற்ற சுழற்சி சமச்சீர் பிரதிபலிப்பு சமச்சீர்மையையும் குறிக்கிறது, ஆனால் முறைப்படி வட்டக் குழு S1 டிஹ் (S1) இலிருந்து வேறுபட்டது, ஏனெனில் பிந்தையது வெளிப்படையாக பிரதிபலிப்புகளை உள்ளடக்கியது. ஒரு எல்லையற்ற குழு தொடர்ச்சியாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை; எடுத்துக்காட்டாக, 360 டிகிரி/சுழற்சியின் அனைத்து முழு எண் மடங்குகளின் குழுவைக் கொண்டுள்ளோம், இதில் 180 டிகிரி சுழற்சி சேர்க்கப்படவில்லை. அதன் பயன்பாட்டைப் பொறுத்து, ஒரு குறுக்கு திசையில் ஒரு தன்னிச்சையான நுண்ணிய அளவிலான விவரங்கள் வரை ஒரே மாதிரியான தன்மை அந்த திசையில் முழு ஒரே மாதிரியான தன்மைக்கு சமமாக கருதப்படலாம், இந்த விஷயத்தில் இந்த சமச்சீர் குழுக்கள் புறக்கணிக்கப்படலாம். n = 1,2,3,4 மற்றும் 6 க்கான Cn மற்றும் Dn ஐ மொழிபெயர்ப்பு சமச்சீருடன் இணைக்கலாம், சில நேரங்களில் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட வழிகளில். இவ்வாறு இந்த 10 குழுக்கள் 17 வால்பேப்பர் குழுக்களுக்கு வழிவகுக்கின்றன. சமச்சீர் குழுக்கள் 2டி சமச்சீர் குழுக்கள் ஐசோமெட்ரி குழுக்களுடன் ஒத்திருக்கின்றன, O (2) மற்றும் SO (2) இன் படி சமச்சீர் திசையன் புலங்களுக்கு பொருந்தக்கூடிய பொதுவான சமச்சீர் கருத்தாக்கத்தில் மட்டுமே வேறுபடுத்த முடியும் என்பதைத் தவிர. மேலும், பயன்பாட்டைப் பொறுத்து, குறுக்கு திசையில் தன்னிச்சையாக சிறந்த விவரங்கள் வரை ஒரே மாதிரியான தன்மை அந்த திசையில் முழு ஒரே மாதிரியான தன்மைக்கு சமமாக கருதப்படலாம். இது வகைப்பாட்டை பெரிதும் எளிதாக்குகிறதுஃ O (2) இன் மூடிய இடவியல் துணைக்குழுக்களுக்கு நாம் கட்டுப்படுத்தலாம்ஃ வரையறுக்கப்பட்டவை மற்றும் O (2) (வட்ட சமச்சீர்), மற்றும் திசையன் புலங்களுக்கு SO (2). இந்த குழுக்கள் ஒரு வட்டத்தில் மூடப்பட்டிருக்கும் போது, ஒரு பரிமாண சமச்சீர் குழுக்களுடன் ஒத்திருக்கின்றன. மொழிபெயர்ப்பு சமச்சீர் E (2) உடன் இணைப்புகள் என்பது O (2) மற்றும் மொழிபெயர்ப்பு குழு T இன் அரை மறைமுக பெருக்கல் ஆகும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், O (2) என்பது E (2) இன் ஈவுக் குழுவிற்கு T: O (2) E (2)/T ஆல் சமச்சீரமைக்கப்பட்ட E (2) இன் துணைக்குழுவாகும். அதன் கர்னல் டி. E (2) இன் ஒவ்வொரு துணைக்குழுவிற்கும் அதன் உருவத்தை p இன் கீழ் நாம் கருத்தில் கொள்ளலாம்ஃ துணைக்குழுவின் கூறுகள் சேர்ந்துள்ள கோஸெட்டுகளைக் கொண்ட ஒரு புள்ளி குழு, வேறுவிதமாகக் கூறினால், ஐசோமெட்ரிகளின் மொழிபெயர்ப்பு பகுதிகளை புறக்கணிப்பதன் மூலம் பெறப்பட்ட புள்ளி குழு. E (2) இன் ஒவ்வொரு தனித்துவமான துணைக்குழுவிற்கும், படிகவியல் கட்டுப்பாட்டு தேற்றம் காரணமாக, இந்த புள்ளி குழு Cn அல்லது n = 1,2,3,4 அல்லது 6 க்கு Dn வகையாகும். n = 1,2,3,4 மற்றும் 6 க்கான Cn மற்றும் Dn ஐ மொழிபெயர்ப்பு சமச்சீருடன் இணைக்கலாம், சில நேரங்களில் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட வழிகளில். இவ்வாறு இந்த 10 குழுக்கள் 17 வால்பேப்பர் குழுக்களுக்கு வழிவகுக்கின்றன, மேலும் n = 1 மற்றும் 2 கொண்ட நான்கு குழுக்களும் 7 ஃப்ரீஸ் குழுக்களுக்கு வழிவகுக்கின்றன. ஒவ்வொரு வால்பேப்பர் குழுவிற்கும் p1, p2, p3, p4, p6, அனைத்து ஐசோமெட்ரி குழுக்களின் p இன் கீழ் உள்ள படம் (அதாவது. E (2)/T அல்லது O (2) இல் உள்ள "கணிப்புகள்" அனைத்தும் தொடர்புடைய Cn க்கு சமம்; மேலும் இரண்டு ஃப்ரைஸ் குழுக்கள் C1 மற்றும் C2 உடன் ஒத்திருக்கின்றன. p6m இன் ஐசோமெட்ரி குழுக்கள் ஒவ்வொன்றும் D6 வகையின் புள்ளி குழுக்களில் ஒன்றிற்கு வரைபடமாக்கப்படுகின்றன. மற்ற 11 வால்பேப்பர் குழுக்களுக்கு, ஒவ்வொரு ஐசோமெட்ரி குழுவும் டி 1, டி 2, டி 3 அல்லது டி 4 வகைகளின் புள்ளி குழுக்களில் ஒன்றிற்கு வரைபடமாக்கப்படுகிறது. மேலும் ஐந்து ஃப்ரைஸ் குழுக்கள் டி 1 மற்றும் டி 2 உடன் ஒத்திருக்கின்றன. கொடுக்கப்பட்ட அறுகோண மொழிபெயர்ப்பு லட்டிஸுக்கு இரண்டு வெவ்வேறு குழுக்கள் D3 உள்ளன, இது P31m மற்றும் p3m1 ஐ உருவாக்குகிறது. டி1, டி2 மற்றும் டி4 வகைகளில் ஒவ்வொன்றிற்கும் முறையே 3,4 மற்றும் 2 வால்பேப்பர் குழுக்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு, குழுவில் உள்ள ஒவ்வொரு பிரதிபலிப்புடனும் தொடர்புடைய மொழிபெயர்ப்பு திசையனால் தீர்மானிக்கப்படுகிறதுஃ ஐசோமீட்டரிகள் மொழிபெயர்ப்பு கூறுகளைப் பொருட்படுத்தாமல் ஒரே கோசெட்டில் இருப்பதால், அதே கண்ணாடியுடன் ஒரு பிரதிபலிப்பு மற்றும் கிளைடு பிரதிபலிப்பு ஒரே கோசெட்டில் உள்ளன. எனவே, ஐசோமெட்ரி குழுக்கள் எ. கா. வகை p4m மற்றும் p4g இரண்டும் வகை D4 இன் புள்ளி குழுக்களுக்கு வரைபடமாக்கப்பட்டுள்ளன. கொடுக்கப்பட்ட ஐசோமெட்ரி குழுவிற்கு, குழுவின் கூறுகளால் குழுவில் உள்ள மொழிபெயர்ப்பின் இணைப்புகள் ஒரு மொழிபெயர்ப்பு குழுவை (ஒரு லட்டிஸ்) உருவாக்குகின்றன-இது ஐசோமெட்ரி குழுவின் துணைக்குழுவாகும், இது நாம் தொடங்கிய மொழிபெயர்ப்பு மற்றும் ஐசோமெட்ரி குழுவுடன் தொடர்புடைய புள்ளி குழுவை மட்டுமே சார்ந்துள்ளது. ஏனென்றால், கிளைடு பிரதிபலிப்பு மூலம் மொழிபெயர்ப்பின் இணைப்பானது தொடர்புடைய பிரதிபலிப்பு மூலம் சமமாக இருக்கும்ஃ மொழிபெயர்ப்பு திசையன் பிரதிபலிக்கிறது. ஐசோமெட்ரி குழுவில் ஒரு n-மடங்கு சுழற்சி இருந்தால், லட்டிஸ் இரட்டை n க்கு n-மடங்கு சமச்சீர் மற்றும் ஒற்றைப்படை n க்கு 2n-மடங்கு சமச்சீர் உள்ளது. ஒரு மொழிபெயர்ப்பைக் கொண்ட ஒரு தனித்த ஐசோமெட்ரி குழுவின் விஷயத்தில், குறைந்தபட்ச நீளத்தின் மொழிபெயர்ப்புக்கு இதைப் பயன்படுத்துகிறோம் என்றால், பின்னர், இரண்டு அருகிலுள்ள திசைகளில் மொழிபெயர்ப்புகளின் திசையன் வேறுபாட்டைக் கருத்தில் கொண்டு, அது n ≤ 6 ஐப் பின்பற்றுகிறது, மேலும் ஒற்றைப்படை n க்கு 2n ≤ 6, எனவே n = 1,2,3,4, அல்லது 6 (படிகவியல் கட்டுப்பாடு தேற்றம்). மூன்று பரிமாணங்களில் உள்ள புள்ளி குழு புள்ளி குழுக்களையும் பார்க்கவும் நான்கு பரிமாணங்களில் உள்ள புள்ளி குழுக்கள் ஒரு பரிமாண சமச்சீர் குழு வெளிப்புற இணைப்புகள், வடிவியல் மாற்றங்கள் மற்றும் வால்பேப்பர் குழுக்கள்ஃ லான்ஸ் டிராகர் எழுதிய வடிவியல் வடிவங்களின் சமச்சீர்கள் (ஐசோமெட்ரிகளின் தனித்த குழுக்கள்). புள்ளி குழுக்கள் மற்றும் படிக அமைப்புகள், யி-ஷு வெய், பக். 4-5 வடிவியல் மையம்ஃ கார்ட்டீசியன் ஆயத்தொகுதிகளில் உள்ள ஒற்றுமைகளுக்கான 2.1 சூத்திரங்கள் (இரு பரிமாணங்கள்) யூக்ளிடியன் சமச்சீர் குழு கோட்பாடு