Binary icosahedral group
கணிதத்தில், பைனரி ஐகோசாஹெட்ரல் குழு 2I அல்லது 120 வரிசையின் ஒரு குறிப்பிட்ட நபிலியன் அல்லாத குழு ஆகும். இது வரிசை 2 இன் சுழற்சி குழுவால் 60 ஆம் வரிசையின் ஐகோசாஹெட்ரல் குழு I அல்லது (2,3,5) இன் விரிவாக்கமாகும், மேலும் இது சுழல் குழுவால் சிறப்பு ஆர்த்தோகனல் குழுவின் ஒத்த உருவத்தை உள்ளடக்கிய 2:1 இன் கீழ் ஐகோசாஹெட்ரல் குழுவின் முன் உருவமாகும். பைனரி ஐகோசாஹெட்ரல் குழு என்பது 120 வரிசையின் ஸ்பின் (3) இன் தனித்துவமான துணைக்குழுவாகும். இது முழு ஐகோசாஹெட்ரல் குழுவுடன் குழப்பமடையக்கூடாது, இது 120 வரிசையின் வேறுபட்ட குழுவாகும், மாறாக இது ஆர்த்தோகனல் குழு O (3) இன் துணைக்குழுவாகும். ஐசோமார்பிசத்தின் கீழ் பைனரி ஐகோசாஹெட்ரல் குழு அலகு குவாட்டர்னியன்களின் ஒரு தனித்துவமான துணைக்குழுவாக மிகவும் எளிதாக விவரிக்கப்படுகிறது, இதில் Sp (1) என்பது அலகு குவாட்டர்னியன்களின் பெருக்கக் குழுவாகும். (இந்த ஒத்த உருவம் பற்றிய விளக்கத்திற்கு குவாட்டர்னியன்கள் மற்றும் இடஞ்சார்ந்த சுழற்சிகள் பற்றிய கட்டுரையைப் பார்க்கவும்.) கூறுகள் வெளிப்படையாக, பைனரி ஐகோசாஹெட்ரல் குழு பின்வரும் திசையன்களின் அனைத்து சம வரிசைமாற்றங்களின் சங்கமமாக வழங்கப்படுகிறதுஃ 96 சம வரிசைமாற்றங்களின் 16 சம வரிசைமாற்றங்களின் 8 சம வரிசைமாற்றங்கள் இங்கே தங்க விகிதம். மொத்தத்தில் 120 தனிமங்கள் உள்ளன, அதாவது அலகு ஐகோசியன்கள். அவை அனைத்தும் அலகு அளவைக் கொண்டுள்ளன, எனவே அவை அலகு குவாட்டர்னியன் குழுவில் உள்ளன Sp (1). 4 பரிமாண இடைவெளியில் உள்ள 120 உறுப்புகள் 120 செங்குத்துகளுடன் 600-செல், ஒரு வழக்கமான 4-பாலிடோப்புடன் பொருந்துகின்றன. பண்புகள் மத்திய விரிவாக்கம் 2I ஆல் குறிக்கப்படும் பைனரி ஐகோசாஹெட்ரல் குழு, ஐகோசாஹெட்ரல் குழுவின் உலகளாவிய சரியான மைய நீட்டிப்பாகும், எனவே இது குவாசிசிம்பிள் ஆகும்ஃ இது ஒரு எளிய குழுவின் சரியான மைய நீட்டிப்பாகும். வெளிப்படையாக, இது குறுகிய துல்லியமான வரிசைக்குள் பொருந்துகிறது இந்த வரிசை பிரிக்கப்படவில்லை, அதாவது 2I என்பது I ஆல் {±1} இன் அரை மறைமுக தயாரிப்பு அல்ல. உண்மையில், I க்கு 2I ஐசோமார்பிக் துணைக்குழு இல்லை. 2I இன் மையம் துணைக்குழு {±1} ஆகும், இதனால் உள் தானியங்கி உருவம் குழு I க்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும். முழு ஆட்டோமார்ஃபிஸம் குழு S5 க்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும் (5 எழுத்துகளில் உள்ள சமச்சீர் குழு), அதேபோல்-2I இன் எந்தவொரு ஆட்டோமார்ஃபிஸமும் மையத்தின் அற்பமான உறுப்பை () சரிசெய்கிறது, எனவே I இன் ஆட்டோமார்ஃபிஸத்திற்கு இறங்குகிறது, மாறாக, I இன் எந்த ஆட்டோமார்ஃபிஸமும் 2I இன் ஆட்டோமார்ஃபிஸத்திற்கு உயர்த்துகிறது, ஏனெனில் I இன் ஜெனரேட்டர்களின் லிப்ட் 2I இன் ஜெனரேட்டர்கள் (வெவ்வேறு லிஃப்ட்கள் ஒரே ஆட்டோமார்ஃபிஸத்தை அளிக்கின்றன). சூப்பர்பெர்ஃபெக்ட் பைனரி ஐகோசாஹெட்ரல் குழு சரியானது, அதாவது அது அதன் கம்யூட்டேட்டர் துணைக்குழுவிற்கு சமம். உண்மையில், 2I என்பது 120 வரிசையின் தனித்துவமான சரியான குழுவாகும். இது 2I தீர்க்க முடியாதது என்பதைப் பின்பற்றுகிறது. மேலும், பைனரி ஐகோசாஹெட்ரல் குழு சூப்பர்ஃபெர்ஃபெக்ட் ஆகும், இதன் பொருள் அதன் முதல் இரண்டு குழு ஹோமாலஜி குழுக்கள் மறைந்துவிடுகின்றனஃ குறிப்பாக, இதன் பொருள் அதன் அபெலியனைசேஷன் அற்பமானது (இது அற்பமான அபெலியன் மேற்கோள்களைக் கொண்டிருக்கவில்லை) மற்றும் அதன் ஷூர் பெருக்கி அற்பமானது (இது அற்பமான சரியான மைய நீட்டிப்புகள் இல்லை). உண்மையில், பைனரி ஐகோசாஹெட்ரல் குழு மிகச்சிறிய (அற்பமான) சூப்பர்பெர்ஃபெக்ட் குழுவாகும். இருப்பினும், Hn (2I, Z) என்பது n = 4k + 3 க்கு 120 வரிசையின் சுழற்சியாகவும், இல்லையெனில் n> 0 க்கு அற்பமாகவும் இருப்பதால், பைனரி ஐகோசாஹெட்ரல் குழு அசைக்லிக் அல்ல. ஐசோமார்பிசம் குறிப்பாக, பைனரி ஐகோசாஹெட்ரல் குழு என்பது ஸ்பின் (3) இன் துணைக்குழுவாகும், மேலும் ஐகோசாஹெட்ரல் குழுவை உள்ளடக்கியது, இது SO (3) இன் துணைக்குழுவாகும். சுருக்கமாக, ஐகோசாஹெட்ரல் குழு 4-சிம்ப்ளக்ஸின் சமச்சீர்மைகளுக்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும், இது SO (4) இன் துணைக்குழுவாகும், மேலும் பைனரி ஐகோசாஹெட்ரல் குழு ஸ்பின் (4) இல் உள்ள இரட்டை மறைப்புக்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும். சமச்சீர் குழு 4 பரிமாண பிரதிநிதித்துவத்தைக் கொண்டுள்ளது என்பதைக் கவனியுங்கள் (-சிம்ப்ளக்ஸின் முழு சமச்சீர்மைகளாக அதன் வழக்கமான குறைந்த பரிமாண பகுக்கமுடியாத பிரதிநிதித்துவம்), மேலும் 4-சிம்ப்ளக்ஸின் முழு சமச்சீர்மைகளும் முழு ஐகோசாஹெட்ரல் குழு அல்ல (இவை 120 வரிசையின் இரண்டு வெவ்வேறு குழுக்கள்). பைனரி ஐகோசாஹெட்ரல் குழுவை மாற்றுக் குழுவின் இரட்டை மறைப்பாகக் கருதலாம், இந்த ஐசோமார்பிசம் ஐகோசாஹெட்ரல் குழுவின் ஐசோமார்பிசத்தை மாற்றுக் குழுவுடன் உள்ளடக்கியது. ஒரு தனித்துவமான துணைக்குழுவைப் போலவே, இரட்டை ஓவரின் ஒரு தனித்துவமான துணைக்குழுவாகும், அதாவது. 2-1 ஹோமோமார்பிசம் முதல் 2-1 ஹோமோமார்பிசத்திற்கு கட்டுப்படுத்தப்படுகிறது. பைனரி ஐகோசாஹெட்ரல் குழு சிறப்பு நேரியல் குழு SL (2,5) க்கு ஐசோமார்பிக் என்பதை ஒருவர் காட்டலாம்-அலகு தீர்மானிப்பவருடன் வரையறுக்கப்பட்ட புலம் F5 க்கு மேல் உள்ள அனைத்து 2 × 2 மேட்ரிக்ஸின் குழுவும்; இது ப்ரொஜெக்டிவ் சிறப்பு நேரியல் குழு பி. எஸ். எல் (2,5) உடன் விதிவிலக்கான ஐசோமார்பிசத்தை உள்ளடக்கியது. எஸ்எல், ஜிஎல், பிஎஸ்எல், பிஜிஎல் ஆகியவற்றின் பரிமாற்ற வர்க்கம் ஒரு பரிமாற்ற வர்க்கத்திற்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும், இதில் ஸ்பின் (4), பின் (4), எஸ்ஓ (4), ஓ (4) ஆகியவற்றின் பரிமாற்ற வர்க்கத்தின் துணைக்குழுக்களுக்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும். விளக்கக்காட்சி குழு 2I ஒரு விளக்கக்காட்சியைக் கொண்டுள்ளது அல்லது அதற்கு சமமாக, இந்த உறவுகளுடன் ஜெனரேட்டர்கள் துணைக்குழுக்களால் வழங்கப்படுகின்றன 2I இன் ஒரே சரியான இயல்பான துணைக்குழு மையம் {±1} ஆகும். மூன்றாவது ஐசோமார்பிசம் தேற்றத்தின் படி, 2I இன் துணைக்குழுக்களுக்கும் I இன் துணைக்குழுக்களுக்கும் இடையே ஒரு கலோயிஸ் இணைப்பு உள்ளது, அங்கு 2I இன் துணைக்குழுக்களில் மூடல் ஆபரேட்டர் {±1} ஆல் பெருக்கப்படுகிறது. இது வரிசை 2 இன் ஒரே உறுப்பு, எனவே இது சம வரிசையின் அனைத்து துணைக்குழுக்களிலும் உள்ளதுஃ எனவே 2I இன் ஒவ்வொரு துணைக்குழுவும் ஒற்றைப்படை வரிசையில் உள்ளது அல்லது I இன் துணைக்குழுவின் முன்னோடியாகும். பல்வேறு உறுப்புகளால் உருவாக்கப்படும் சுழற்சி குழுக்களைத் தவிர (ஒற்றைப்படை வரிசையைக் கொண்டிருக்கக்கூடியவை), 2I இன் பிற துணைக்குழுக்கள் (இணைத்தல் வரை) பின்வருமாறுஃ பைனரி டைஹெட்ரல் குழுக்கள், Dic5 = Q20 = ± 2,2,5  ஆஹாத, வரிசை 20 மற்றும் Dic3 = Q12 = ± 2,2,3  ஆஹாத வரிசை 12 இன் குவாட்டர்னியன் குழு, 8 லிப்ஸ்கிட்ஸ் அலகுகளைக் கொண்ட Q8 = ± 2,2,2 57, குறியீடு 15 இன் துணைக்குழுவை உருவாக்குகிறது, இது டைசைக்ளிக் குழு Dic2 ஆகும்; இது ஒரு விளிம்பின் நிலைப்படுத்தியை உள்ளடக்கியது. 24 ஹர்விட்ஸ் அலகுகள் பைனரி டெட்ராஹெட்ரல் குழு எனப்படும் குறியீட்டு 5 துணைக்குழுவை உருவாக்குகின்றன; இது ஒரு சிரல் டெட்ராஹெட்ரல் குழுவை உள்ளடக்கியது. இந்த குழு சுய இயல்பாக்குகிறது, எனவே அதன் இணை வகுப்பு 5 உறுப்பினர்களைக் கொண்டுள்ளது (இது ஒரு வரைபடத்தை வழங்குகிறது அதன் படம்). 4 பரிமாண சமச்சீர் குழுக்களுடன் தொடர்பு ஐகோசாஹெட்ரல் சமச்சீர் குழுவின் 4 பரிமாண அனலாக் Ih என்பது 600-செல்லின் சமச்சீர் குழுவாகும் (அதன் இரட்டை, 120-செல்). முந்தையது H3 வகையின் காக்செட்டர் குழுவைப் போலவே, பிந்தையது H4 வகையின் காக்செட்டர் குழுவாகும், இது [3,3,5] என்றும் குறிக்கப்படுகிறது. அதன் சுழற்சி துணைக்குழு, குறிக்கப்படுகிறது [3,3,5] + என்பது SO (4) இல் வாழும் 7200 வரிசையின் குழுவாகும். ஸ்பின் (3) என்பது எஸ்ஓ (3) இன் இரட்டை கவர் போலவே எஸ்ஓ (4) ஸ்பின் (4) என்று அழைக்கப்படும் இரட்டை கவர் கொண்டுள்ளது. ஐசோமார்பிசம் ஸ்பின் (3) = ஸ்பின் (1) ஐப் போலவே, ஸ்பின் (4) குழுவும் ஸ்பின் (1) × ஸ்ப் (1) க்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும். ஸ்பின் (4) இல் உள்ள [3,3,5] + இன் முன் படம் (2I இன் நான்கு பரிமாண அனலாக்) துல்லியமாக 14400 வரிசையின் தயாரிப்பு குழு 2I × 2I ஆகும். 600-செல்லின் சுழற்சி சமச்சீர் குழு பின்னர் [3,3,5] + = (2I × 2I)/{±1} ஆகும். 2I இலிருந்து பல்வேறு 4 பரிமாண சமச்சீர் குழுக்களை உருவாக்க முடியும். விவரங்களுக்கு, பார்க்கவும் (கான்வே மற்றும் ஸ்மித், 2003). பயன்பாடுகள் கொசெட் ஸ்பேஸ் ஸ்பின் (3)/2I = S3/2I என்பது பாயின்கேர் ஹோமோலஜி கோளம் என்று அழைக்கப்படும் ஒரு கோள 3-மேனிஃபோல்ட் ஆகும். இது ஒரு ஹோமோலஜி கோளத்திற்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு, அதாவது. ஒரு 3-மடங்கு, அதன் ஹோமோலஜி குழுக்கள் 3-கோளத்தின் குழுக்களுக்கு ஒத்தவை. போயின்கேர் கோளத்தின் அடிப்படை குழு பைனரி ஐகோசாஹெட்ரல் குழுவிற்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும், ஏனெனில் போயின்கேர் கோளம் பைனரி ஐகோசாஹெட்ரல் குழுவால் 3-கோளத்தின் ஈவு ஆகும். மேலும் காண்கஃ பைனரி பாலிஹெட்ரல் குழுமம் பைனரி சுழற்சி குழுமம், 2n பைனரி டைஹெட்ரல் குழுமம், 2n பைனரி டைஹெட்ரல் குழுமம், 4n பைனரி டெட்ராஹெட்ரல் குழுமம், 2T = 75 2,3,3 57,24 பைனரி எண்முகக் குழுமம், 2O = 75 2,3,4 57, வரிசை 48 குறிப்புகள் 6.5 பைனரி பாலிஹெட்ரல் குழுக்கள், p. 68 குறிப்புகள் ஐகோசாஹெட்ரல்