Hahn decomposition theorem
கணிதத்தில், ஆஸ்திரிய கணிதவியலாளர் ஹான்ஸ் ஹானின் பெயரால் பெயரிடப்பட்ட ஹான் சிதைவு தேற்றம், எந்த அளவிடக்கூடிய இடத்திற்கும் மற்றும்-இயற்கணிதத்தில் வரையறுக்கப்பட்ட எந்தவொரு கையொப்பமிடப்பட்ட அளவிற்கும், இரண்டு அளவிடக்கூடிய தொகுப்புகள் உள்ளன, மற்றும், அத்தகையவற்றில்ஃ மற்றும். அத்தகைய ஒவ்வொன்றிற்கும், ஒன்று உள்ளது, அதாவது, ஒரு நேர்மறையான தொகுப்பாகும். அத்தகைய ஒவ்வொன்றிற்கும், ஒன்று உள்ளது, அதாவது, ஒரு எதிர்மறை தொகுப்பாகும். மேலும், இந்த சிதைவு அடிப்படையில் தனித்துவமானது, அதாவது மேலே உள்ள மூன்று நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்வதற்கான அளவிடக்கூடிய வேறு எந்த ஜோடி துணைக்குழுக்களுக்கும், சமச்சீர் வேறுபாடுகள் மற்றும் அவை பூஜ்யம் செட் ஆகியவை அவற்றின் ஒவ்வொரு அளவிடக்கூடிய துணைக்குழுவிற்கும் பூஜ்ஜிய அளவீடு உள்ளது என்ற வலுவான அர்த்தத்தில் உள்ளன. இந்த ஜோடி பின்னர் கையொப்பமிடப்பட்ட அளவின் ஹான் சிதைவு என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஜோர்டான் அளவீட்டு சிதைவு ஹான் சிதைவு தேற்றத்தின் ஒரு விளைவு, இது வரையறுக்கப்பட்ட ஒவ்வொரு கையொப்பமிடப்பட்ட அளவும் இரண்டு நேர்மறை அளவீடுகளின் வேறுபாட்டில் ஒரு தனித்துவமான சிதைவைக் கொண்டுள்ளது என்றும், அவற்றில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது என்றும் கூறுகிறது, அதாவது ஒவ்வொரு அளவிடக்கூடிய துணைக்குழுவிற்கும் மற்றும் ஒவ்வொரு அளவிடக்கூடிய துணைக்குழுவிற்கும், எந்த ஹான் சிதைவுக்கும். நாம் முறையே நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை பகுதியை அழைக்கிறோம். இந்த ஜோடி ஜோர்டான் சிதைவு (அல்லது சில நேரங்களில் ஹான்-ஜோர்டான் சிதைவு) என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒவ்வொரு மற்றும் எந்த ஹான் சிதைவுக்கும் இந்த இரண்டு நடவடிக்கைகளையும் வரையறுக்கலாம். ஜோர்டான் சிதைவு தனித்துவமானது என்பதை நினைவில் கொள்க, அதே நேரத்தில் ஹான் சிதைவு அடிப்படையில் மட்டுமே தனித்துவமானது. ஜோர்டான் சிதைவு பின்வரும் விளைவைக் கொண்டுள்ளதுஃ ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட கையொப்பமிடப்பட்ட அளவின் ஜோர்டான் சிதைவைக் கருத்தில் கொண்டால், அதில் ஏதேனும் ஒன்று உள்ளது. மேலும், ஒரு ஜோடி வரையறுக்கப்பட்ட எதிர்மறை அல்லாத நடவடிக்கைகளுக்கு, கடைசி வெளிப்பாடு ஜோர்டான் சிதைவு என்பது எதிர்மறை அல்லாத நடவடிக்கைகளின் வேறுபாட்டின் குறைந்தபட்ச சிதைவு என்று பொருள். இது ஜோர்டான் சிதைவின் குறைந்தபட்ச பண்பு ஆகும். ஜோர்டான் சிதைவின் சான்றுஃ ஜோர்டான் அளவீட்டு சிதைவின் இருப்பு, தனித்துவம் மற்றும் குறைந்தபட்சம் ஆகியவற்றின் அடிப்படை ஆதாரத்திற்கு ஃபிஷர் (2012) ஐப் பார்க்கவும். ஹான் சிதைவு தேற்றத்தின் ஆதாரம் தயாரிப்புஃ அது மதிப்பை எடுக்கவில்லை என்று வைத்துக்கொள்வோம் (இல்லையெனில் அதன்படி சிதைகிறது). மேலே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, ஒரு எதிர்மறை தொகுப்பு என்பது ஒவ்வொரு அளவிடக்கூடிய துணைக்குழுவிற்கும் ஒரு தொகுப்பாகும். உரிமைகோரல்ஃ அது திருப்தி அளிக்கிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் அது போன்ற ஒரு எதிர்மறை தொகுப்பு உள்ளது. உரிமைகோரலின் ஆதாரம்ஃ வரையறுக்கவும். தூண்டுதலாக அது கட்டப்பட்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். அளவிடக்கூடிய அனைத்து துணைக்குழுக்களின் மேலாதிக்கத்தையும் குறிக்கலாம். இந்த மேலாதிக்கம் ஒரு முன்னுரிமை எல்லையற்றதாக இருக்கலாம். வெற்று தொகுப்பு என்பது வரையறையில் ஒரு சாத்தியமான வேட்பாளராக இருப்பதால், மற்றும், நம்மிடம் உள்ளது. வரையறையின்படி, தூண்டல் படிநிலையை முடிக்க ஒரு அளவிடக்கூடிய துணைக்குழு உள்ளது. இறுதியாக, வரையறுக்கவும் செட்டுகள் வேறுபட்ட துணைக்குழுக்களாக இருப்பதால், அது கையொப்பமிடப்பட்ட அளவின் சிக்மா சேர்க்கையிலிருந்து பின்தொடர்கிறது. எதிர்மறையான தொகுப்பு அல்ல என்று வைத்துக்கொள்வோம். இதன் பொருள் என்னவென்றால், திருப்திப்படுத்தும் அளவிடக்கூடிய துணைக்குழு இருக்கும். பின்னர் ஒவ்வொருவருக்கும், எனவே வலதுபுறத்தில் உள்ள தொடர் வேறுபட வேண்டும், இது ஒரு முரண்பாடு என்பதைக் குறிக்கிறது. எனவே, ஒரு எதிர்மறை தொகுப்பாக இருக்க வேண்டும். சிதைவின் கட்டுமானம்ஃ அமைக்கவும். தூண்டுதலாக, கொடுக்கப்பட்டால், அளவிடக்கூடிய அனைத்து துணைக்குழுக்களின் முடிவிலியாக வரையறுக்கவும். இந்த முடிவிலி ஒரு முன்னுரிமையாக இருக்கலாம். வரையறையில் ஒரு சாத்தியமான வேட்பாளராக இருப்பது போல, மற்றும், நம்மிடம் உள்ளது. எனவே, ஒரு-அளவிடக்கூடிய துணைக்குழு உள்ளது, அதாவது மேலே உள்ள கூற்றுப்படி, ஒரு எதிர்மறை தொகுப்பு உள்ளது. தூண்டல் படிநிலையை முடிக்க அமைக்கவும். இறுதியாக, வரையறுக்கவும் செட்டுகள் வேறுபட்டிருப்பதால், சிக்மா சேர்க்கை மூலம் அளவிடக்கூடிய ஒவ்வொரு துணைக்குழுவிற்கும் நம்மிடம் உள்ளது. குறிப்பாக, இது ஒரு எதிர்மறை தொகுப்பு என்பதை இது காட்டுகிறது. அடுத்து, வரையறுக்கவும். ஒரு நேர்மறை தொகுப்பு இல்லையென்றால், ஒரு-அளவிடக்கூடிய துணைக்குழு இருக்கும். பின்னர் அனைவருக்கும் மற்றும் இதற்கு அனுமதி இல்லை. எனவே, இது ஒரு நேர்மறையான தொகுப்பாகும். தனித்துவ அறிக்கையின் சான்றுஃ இது மற்றொரு ஹான் சிதைவு என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் ஒரு நேர்மறை தொகுப்பு மற்றும் ஒரு எதிர்மறை தொகுப்பு. எனவே, அதன் ஒவ்வொரு அளவிடக்கூடிய துணைக்குழுவும் பூஜ்ஜிய அளவைக் கொண்டுள்ளது. அதுவே இதற்கும் பொருந்தும். இது ஆதாரத்தை நிறைவு செய்கிறது. கே. இ. டி. குறிப்புகள் பிளானட்மேத்தில் ஹான் சிதைவு தேற்றத்தை வெளிப்புற இணைப்புகள் இணைக்கின்றன. அளவீட்டுக் கோட்பாட்டில் உள்ள கோட்பாடுகள் சான்றுகளைக் கொண்ட கட்டுரைகள்