Nil ideal
கணிதத்தில், இன்னும் குறிப்பாக வளையக் கோட்பாடு, ஒரு வளையத்தின் இடது, வலது அல்லது இரு பக்க இலட்சியம் அதன் ஒவ்வொரு உறுப்புகளும் நில்பொடென்ட் ஆக இருந்தால் பூஜ்ய இலட்சியம் என்று கூறப்படுகிறது. ஒரு பரிமாற்ற வளையத்தின் நில்ராடிக்கல் ஒரு நில் இலட்சியத்திற்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு; உண்மையில், இது பூஜ்யமாக இருப்பதன் பண்பைப் பொறுத்தவரை வளையத்தின் அதிகபட்ச இலட்சியமாகும். துரதிர்ஷ்டவசமாக பூஜ்ய உறுப்புகளின் தொகுப்பு எப்போதும் பரிமாற்றமற்ற வளையங்களுக்கு ஒரு இலட்சியத்தை உருவாக்காது. நில இலட்சியங்கள் இன்னும் சுவாரஸ்யமான திறந்த கேள்விகளுடன் தொடர்புடையவை, குறிப்பாக தீர்க்கப்படாத கோதே அனுமானம். பரிமாற்ற வளையங்களில், பூஜ்ய இலட்சியங்கள் பரிமாற்றமற்ற வளையங்களை விட நன்கு புரிந்து கொள்ளப்படுகின்றன, ஏனெனில் முதன்மையாக பரிமாற்ற வளையங்களில், நில்போட்டன்ட் கூறுகள் மற்றும் நில்போட்டன்ட் கூறுகளின் கூட்டுத்தொகைகளை உள்ளடக்கிய தயாரிப்புகள் இரண்டும் நில்போட்டன்ட் ஆகும். ஏனென்றால், a மற்றும் b ஆகியவை an = 0 மற்றும் bm = 0 கொண்ட R இன் நில்பொடென்ட் உறுப்புகளாகவும், r என்பது R இன் எந்த உறுப்பாகவும் இருந்தால், (a·r) n = an·rn = 0, மற்றும் பைனாமியல் தேற்றத்தின் படி, (a + b) m + n = 0. எனவே, அனைத்து நில்பொடென்ட் கூறுகளின் தொகுப்பும் ஒரு வளையத்தின் நில் ரேடிக்கல் என்று அழைக்கப்படும் ஒரு இலட்சியத்தை உருவாக்குகிறது. நில் ரேடிக்கல் ஒவ்வொரு நில்போட்டன்ட் உறுப்பையும் கொண்டிருப்பதால், ஒரு பரிமாற்ற வளையத்தின் ஒரு இலட்சியம் அது நில் ரேடிக்கலின் துணைக்குழுவாக இருந்தால் மட்டுமே பூஜ்யமாக இருக்கும், எனவே நில் ரேடிக்கல் பூஜ்யம் அல்லாத இலட்சியங்களில் அதிகபட்சமாக இருக்கும். மேலும், ஒரு பரிமாற்ற வளையம் R இன் எந்த நில்போட்டன்ட் உறுப்புக்கும், சிறந்த aR என்பது இல்லை. எவ்வாறாயினும், ஒரு பரிமாற்றமற்ற வளையத்திற்கு, நில்போட்டன்ட் கூறுகளின் தொகுப்பு ஒரு இலட்சியத்தை உருவாக்குகிறது என்பது பொதுவாக உண்மை அல்ல, அல்லது a என்பது நில்போட்டன்ட் என்றாலும் a என்பது ஒரு பூஜ்யம் (ஒரு பக்க) இலட்சியமாகும். பரிமாற்றமற்ற வளையங்கள் பூஜ்ய இலட்சியங்களின் கோட்பாடு பரிமாற்றமற்ற வளையக் கோட்பாட்டில் முக்கிய முக்கியத்துவம் வாய்ந்தது. குறிப்பாக, பூஜ்ய வளையங்களைப் புரிந்துகொள்வதன் மூலம்-ஒவ்வொரு உறுப்பும் நில்போட்டன்ட் கொண்ட வளையங்கள்-ஒருவர் மிகவும் பொதுவான வளையங்களைப் பற்றி நன்கு புரிந்து கொள்ள முடியும். பரிமாற்ற வளையங்களைப் பொறுத்தவரை, எப்போதும் ஒரு அதிகபட்ச பூஜ்ய இலட்சியம் இருக்கும்ஃ வளையத்தின் நில்ராடிக்கல். பரிமாற்றமற்ற வளையங்களின் விஷயத்தில் அத்தகைய அதிகபட்ச பூஜ்ய இலட்சியம் இருப்பது பூஜ்ய இலட்சியங்களின் கூட்டுத்தொகை மீண்டும் பூஜ்யம் என்ற உண்மையால் உத்தரவாதம் அளிக்கப்படுகிறது. இருப்பினும், இரண்டு இடது நில் இலட்சியங்களின் கூட்டுத்தொகை மீண்டும் ஒரு இடது நில் இலட்சியம் என்ற கூற்றின் உண்மை மழுப்பலாகவே உள்ளது; இது கோதே அனுமானம் என்று அழைக்கப்படும் ஒரு திறந்த சிக்கலாகும். கோதே அனுமானம் முதன்முதலில் 1930 இல் முன்வைக்கப்பட்டது, இன்னும் 2023 வரை தீர்க்கப்படாமல் உள்ளது. நில்பொடென்ட் இலட்சியங்களுடனான தொடர்பு ஒரு நில் இலட்சியத்தின் கருத்து ஒரு நில்பொடென்ட் இலட்சியத்துடன் ஆழமான தொடர்பைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் சில வகை வளையங்களில், இரண்டு கருத்துக்களும் ஒத்துப்போகின்றன. ஒரு இலட்சியம் நில்பொடென்ட் என்றால், அது நிச்சயமாக இல்லை. பூஜ்ய இலட்சியங்கள் நில்பொடென்ட் ஆக இருப்பதற்கு இரண்டு முக்கிய தடைகள் உள்ளனஃ உறுப்புகளை அழிக்கத் தேவையான அடுக்குக்கு மேல் வரம்பு இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை. தன்னிச்சையாக உயர் அடுக்குகள் தேவைப்படலாம். நில்பொடென்ட் உறுப்புகளின் பெருக்கல் தன்னிச்சையாக உயர் n க்கு பூஜ்ஜியமற்றதாக இருக்கலாம். நில்பொடென்ட் என தகுதி பெற ஒரு பூஜ்ய இலட்சியத்திற்கு இந்த இரண்டு தடைகளும் தவிர்க்கப்பட வேண்டும் என்பது தெளிவாகிறது. ஒரு வலது ஆர்டினியன் வளையத்தில், எந்த பூஜ்ய இலட்சியமும் நில்பொடென்ட் ஆகும். வளையத்தின் ஜேகோப்சன் ரேடிக்கலில் எந்தவொரு பூஜ்ய இலட்சியமும் உள்ளது என்பதைக் கவனிப்பதன் மூலம் இது நிரூபிக்கப்படுகிறது, மேலும் ஜேகோப்சன் ரேடிக்கல் ஒரு நில்போட்டன்ட் இலட்சியமாக இருப்பதால் (ஆர்டினியன் கருதுகோள் காரணமாக), முடிவு பின்வருமாறு. உண்மையில், இது வலது நொய்தேரியன் வளையங்களுக்கு பொதுமைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது; இதன் விளைவாக லெவிட்ஸ்கியின் தேற்றம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. உட்டுமியின் காரணமாக ஒரு குறிப்பாக எளிய ஆதாரத்தைக் காணலாம். மேலும் காண்க கோதே அனுமானம் நில்போட்டன்ட் இலட்சியம் நில்ராடிக்கல் ஜேகப்சன் தீவிர குறிப்புகள் குறிப்புகள் இலட்சியங்கள் (வளையக் கோட்பாடு)