Duffing equation
ஜார்ஜ் டஃபிங்கின் (1861-1944) பெயரால் பெயரிடப்பட்ட டஃபிங் சமன்பாடு (அல்லது டஃபிங் ஊசலாட்டம்), ஒரு நேரியல் அல்லாத இரண்டாவது வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடாகும், இது சில ஈரமான மற்றும் இயக்கப்படும் ஊசலாட்டங்களை மாதிரியாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. சமன்பாடு என்பது (அறியப்படாத) செயல்பாடு நேரத்தில் இடப்பெயர்ச்சி, நேரத்தைப் பொறுத்தவரை முதல் வழித்தோன்றல், அதாவது. வேகம், மற்றும் இது இரண்டாவது நேர-வழித்தோன்றல் ஆகும். முடுக்கம். எண்கள் மற்றும் மாறிலிகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. இந்த சமன்பாடு எளிய ஹார்மோனிக் இயக்கத்தை விட மிகவும் சிக்கலான ஆற்றலைக் கொண்ட ஒரு ஈரமான ஊசலாட்டத்தின் இயக்கத்தை விவரிக்கிறது (இது வழக்குடன் ஒத்திருக்கிறது); இயற்பியல் அடிப்படையில், இது மாதிரிகள், எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு மீள் ஊசல், அதன் வசந்தத்தின் விறைப்பு ஹூக்கின் சட்டத்திற்கு சரியாக கீழ்ப்படியவில்லை. டஃபிங் சமன்பாடு என்பது குழப்பமான நடத்தையை வெளிப்படுத்தும் ஒரு இயக்கவியல் அமைப்புக்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு. மேலும், டஃபிங் அமைப்பு அதிர்வெண் பதிலில் ஜம்ப் அதிர்வு நிகழ்வை வழங்குகிறது, இது ஒரு வகையான அதிர்வெண் ஹிஸ்டெரெசிஸ் நடத்தையாகும். மேற்கண்ட சமன்பாட்டில் உள்ள அளவுருக்கள் பின்வருமாறுஃ ஈரப்பதத்தின் அளவைக் கட்டுப்படுத்துகிறது, நேரியல் விறைப்புத்தன்மையைக் கட்டுப்படுத்துகிறது, மீட்டெடுக்கும் விசையில் நேரியல் அல்லாத அளவைக் கட்டுப்படுத்துகிறது; டஃப்பிங் சமன்பாடு ஒரு ஈரமான மற்றும் இயக்கப்படும் எளிய ஹார்மோனிக் ஆஸிலேட்டரை விவரிக்கிறது என்றால், இது குறிப்பிட்ட இயக்க விசையின் வீச்சு ஆகும்; அமைப்பு ஒரு உந்து விசை இல்லாமல் இருந்தால், மற்றும் குறிப்பிட்ட இயக்க விசையின் கோண அதிர்வெண் ஆகும். டஃபிங் சமன்பாடு ஒரு நேரியல் அல்லாத நீரூற்று மற்றும் ஒரு நேரியல் டாம்பருடன் இணைக்கப்பட்ட ஒரு வெகுஜனத்தின் அலைவுகளை விவரிப்பதாகக் காணலாம். நேரியல் அல்லாத வசந்தத்தால் வழங்கப்படும் மீட்டெடுக்கும் விசை எப்போது மற்றும் வசந்தம் ஒரு கடினப்படுத்தும் வசந்தம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. மாறாக, இது ஒரு மென்மையாக்கும் வசந்தம் (இன்னும் உடன்). இதன் விளைவாக, கடினப்படுத்துதல் மற்றும் மென்மையாக்குதல் என்ற பெயர்ச்சொற்கள் பொதுவாக டஃபிங் சமன்பாட்டைப் பொறுத்தவரை பயன்படுத்தப்படுகின்றன, இது (மற்றும்) இன் மதிப்புகளைப் பொறுத்தது. டஃபிங் சமன்பாட்டில் உள்ள அளவுருக்களின் எண்ணிக்கையை அளவிடுதல் மூலம் இரண்டாகக் குறைக்கலாம் (பக்கிங்ஹாம் π தேற்றத்திற்கு இணங்க), எ. கா. பயணம் மற்றும் நேரத்தை இவ்வாறு அளவிட முடியும்ஃ மற்றும் நேர்மறை என்று கருதுவது (மற்ற அளவீடுகள் அளவுருக்களின் வெவ்வேறு வரம்புகளுக்கு அல்லது ஆய்வு செய்யப்பட்ட சிக்கலில் வெவ்வேறு முக்கியத்துவத்திற்கு சாத்தியமாகும்). பின்னர்ஃ எங்கே மற்றும் புள்ளிகள் என்பதைப் பொறுத்து வேறுபடுத்துவதைக் குறிக்கின்றன இது கட்டாய மற்றும் ஈரமான டஃபிங் சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகளை மூன்று அளவுருக்கள் (, மற்றும்) மற்றும் இரண்டு ஆரம்ப நிபந்தனைகளின் அடிப்படையில் விவரிக்க முடியும் என்பதைக் காட்டுகிறது. மற்றும்). தீர்வுக்கான முறைகள் பொதுவாக, டஃபிங் சமன்பாடு ஒரு சரியான குறியீட்டு தீர்வை ஒப்புக்கொள்ளாது. இருப்பினும், பல தோராயமான முறைகள் நன்றாக வேலை செய்கின்றனஃ ஃபோரியர் தொடரில் விரிவாக்கம் தன்னிச்சையான துல்லியத்திற்கு இயக்கத்தின் சமன்பாட்டை வழங்கலாம். டஃபிங் சொல் என்றும் அழைக்கப்படும் இந்த சொல், சிறியதாக தோராயமாக மதிப்பிடப்படலாம் மற்றும் அமைப்பு ஒரு குழப்பமான எளிய ஹார்மோனிக் ஊசலாட்டமாக கருதப்படுகிறது. ஃப்ரோபீனியஸ் முறை ஒரு சிக்கலான ஆனால் வேலை செய்யக்கூடிய தீர்வை அளிக்கிறது. யூலரின் முறை மற்றும் ரங்கே-குட்டா முறைகள் போன்ற பல்வேறு எண் முறைகளில் ஏதேனும் ஒன்றைப் பயன்படுத்தலாம். டஃபிங் சமன்பாட்டின் தோராயமான தீர்வுகளைப் பெறுவதற்கும், வலுவான நேரியல் அல்லாதவற்றிற்கும் ஹோமோடாபி பகுப்பாய்வு முறை (எச்ஏஎம்) தெரிவிக்கப்பட்டுள்ளது. தடையற்ற () மற்றும் இயக்கப்படாத () டஃபிங் சமன்பாட்டின் சிறப்பு வழக்கில், ஜாகோபியின் நீள்வட்ட செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி ஒரு சரியான தீர்வை பெறலாம். கட்டாயப்படுத்தப்படாத ஊசலாட்டத்திற்கான தீர்வின் வரம்பு அன்டாம்ப்ட் ஊசலாட்டத்தின் பெருக்கம் அன்டாம்ப்ட் மற்றும் அன்டாம்ப்ட் டஃபிங் சமன்பாட்டின் பெருக்கம், கொடுக்கிறதுஃ ஒரு மாறிலியுடன். இன் மதிப்பு ஆரம்ப நிபந்தனைகளால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது மற்றும் H இல் உள்ள மாற்று அமைப்பு ஹாமில்டோனியன் என்பதைக் காட்டுகிறதுஃ இரண்டும் நேர்மறையாக இருக்கும்போது, தீர்வு வரம்புக்குட்பட்டதுஃ ஹாமில்டோனியன் நேர்மறையாக இருக்கும். இதேபோல், ஈரப்படுத்தப்பட்ட ஆஸிலேட்டர் உலகளவில் ஒன்றிணைக்கிறது, லியாபுனோவ் செயல்பாட்டு முறை மூலம் ஈரப்படுத்தப்படுகிறது. ஈரமான டஃப்பிங் ஊசலாட்டத்தை கட்டாயப்படுத்தாமல் அதன் நிலையான சமநிலைப் புள்ளியில் (களில்) முடிவடையும். நிலையான மற்றும் நிலையற்ற சமநிலை புள்ளிகள் உள்ளன நிலையான சமநிலை இருந்தால் மற்றும் நிலையான சமநிலை மற்றும் அதிர்வெண் பதில் கனசதுர நேரியல் அல்லாத கட்டாய டஃபிங் ஊசலாட்டம் பின்வரும் சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாட்டால் விவரிக்கப்படுகிறதுஃ இந்த ஊசலாட்டத்தின் அதிர்வெண் பதில் சமன்பாட்டின் நிலையான நிலை பதிலின் வீச்சை விவரிக்கிறது (அதாவது) கொடுக்கப்பட்ட கிளர்ச்சியின் அதிர்வெண்ணில் அதிர்வெண் பதிலுடன் ஒரு நேரியல் ஊசலாட்டத்திற்கும் நேரியல் உள்ளது. இருப்பினும், பூஜ்ஜியமற்ற கனக் குணகத்திற்கு, அதிர்வெண் பதில் நேரியல் அல்லாததாக மாறுகிறது. நேரியல் அல்லாத வகையைப் பொறுத்து, டஃபிங் ஆஸிலேட்டர் கடினப்படுத்துதல், மென்மையாக்குதல் அல்லது கலப்பு கடினப்படுத்துதல்-மென்மையாக்குதல் அதிர்வெண் பதிலைக் காட்டலாம். எப்படியிருந்தாலும், ஹோமோடாபி பகுப்பாய்வு முறை அல்லது ஹார்மோனிக் சமநிலையைப் பயன்படுத்தி, பின்வரும் வடிவத்தில் ஒரு அதிர்வெண் மறுமொழி சமன்பாட்டைப் பெறலாம்ஃ டஃபிங் சமன்பாட்டின் அளவுருக்களுக்கு, மேலே உள்ள இயற்கணித சமன்பாடு கொடுக்கப்பட்ட கிளர்ச்சி அதிர்வெண்ணில் நிலையான நிலை அலைவு வீச்சை வழங்குகிறது. அதிர்வெண் பதிலுக்கான வரைபடத் தீர்வு நாம் விமானத்தில் இரண்டு வளைவுகளின் குறுக்குவெட்டு என வரைபடமாக தீர்க்கலாம்ஃ நிலையான, இரண்டாவது வளைவு முதல் நாற்கரத்தில் ஒரு நிலையான ஹைப்பர்போலா ஆகும். முதல் வளைவு வடிவம் கொண்ட ஒரு பரவளையமாகும், மேலும் இடத்தில் உச்சியில் உள்ளது. நாம் சரிசெய்து மாற்றினால், பரவளையத்தின் உச்சி கோடு வழியாக நகர்கிறது. வரைபடமாக, ஒரு பெரிய நேர்மறை எண் என்றால், மாறுபடும் போது, பரவளையம் ஹைப்பர்போலாவை ஒரு புள்ளியில் வெட்டுகிறது, பின்னர் மூன்று புள்ளிகள், பின்னர் மீண்டும் ஒரு புள்ளி. இதேபோல், ஒரு பெரிய எதிர்மறை எண் இருக்கும்போது வழக்கை நாம் பகுப்பாய்வு செய்யலாம். குதிப்பு டஃப்பிங் சமன்பாட்டில் உள்ள அளவுருக்களின் சில வரம்புகளுக்கு, அதிர்வெண் பதில் இனி கட்டாய அதிர்வெண்ணின் ஒற்றை மதிப்புள்ள செயல்பாடாக இருக்காது ஒரு கடினப்படுத்தும் ஸ்பிரிங் ஆஸிலேட்டருக்கு (மற்றும் போதுமான பெரிய நேர்மறை) அதிர்வெண் பதில் அதிக அதிர்வெண் பக்கத்திற்கும், மென்மையாக்கும் ஸ்பிரிங் ஆஸிலேட்டருக்கு (மற்றும்) குறைந்த அதிர்வெண் பக்கத்திற்கும் அதிகமாக உள்ளது. கீழ் தொங்கும் பக்கம் நிலையற்றது-அதாவது. அதிர்வெண் பதிலின் புள்ளிவிவரங்களில் உள்ள கோடு-கோடு பகுதிகள்-மற்றும் ஒரு நீடித்த நேரத்திற்கு உணர முடியாது. இதன் விளைவாக, ஜம்ப் நிகழ்வு காட்டப்படுகிறதுஃ கோண அதிர்வெண் மெதுவாக அதிகரிக்கும் போது (மற்ற அளவுருக்கள் சரிசெய்யப்பட்ட நிலையில்), மறுமொழி வீச்சு திடீரென்று A இல் B க்கு குறைகிறது, அதிர்வெண் மெதுவாக குறைக்கப்பட்டால், பின்னர் C இல் வீச்சு D க்கு உயர்கிறது, பின்னர் அதிர்வெண் பதிலின் மேல் கிளையைப் பின்பற்றுகிறது. ஏ-பி மற்றும் சி-டி தாவல்கள் ஒத்துப்போவதில்லை, எனவே அதிர்வெண் ஸ்வீப் திசையைப் பொறுத்து அமைப்பு ஹிஸ்டெரெசிஸை காட்டுகிறது. குழப்பத்திற்கு மாறுதல் மேற்கண்ட பகுப்பாய்வு அடிப்படை அதிர்வெண் பதில் ஆதிக்கம் செலுத்துகிறது (ஹார்மோனிக் சமநிலையைச் செய்ய அவசியம்), மேலும் அதிக அதிர்வெண் பதில்கள் மிகக் குறைவு என்று கருதுகிறது. கட்டாயப்படுத்துதல் போதுமான வலுவாக இருக்கும்போது இந்த அனுமானம் தக்கவைக்க தவறிவிட்டது. உயர் வரிசை ஒத்திசைவுகளை புறக்கணிக்க முடியாது, மேலும் இயக்கவியல் குழப்பமடைகிறது. குழப்பத்திற்கு வெவ்வேறு சாத்தியமான மாற்றங்கள் உள்ளன, பொதுவாக தொடர்ச்சியான கால இரட்டிப்பு மூலம். டஃபிங் சமன்பாட்டின் நேரத் தொடர் மற்றும் கட்ட உருவப்படங்களின் சில பொதுவான எடுத்துக்காட்டுகள், காலத்தை இரட்டிப்பாக்கும் பிளவுபடுத்தல் மூலம் சப்ஹார்மோனிக்ஸின் தோற்றத்தைக் காட்டுகின்றன-அதே போல் குழப்பமான நடத்தை-கீழே உள்ள புள்ளிவிவரங்களில் காட்டப்பட்டுள்ளன. கட்டாய வீச்சு மேலும் அதிகரிக்கிறது மற்ற அளவுருக்கள் மதிப்புகளைக் கொண்டுள்ளனஃ மற்றும் ஆரம்ப நிபந்தனைகள் மற்றும் கட்ட உருவப்படங்களில் உள்ள சிவப்பு புள்ளிகள் சில நேரங்களில் அவை காலத்தின் முழு எண்ணாகும் குறிப்புகள் மேற்கோள்கள் நூலியல் வெளிப்புற இணைப்புகள் ஸ்காலர்பீடியா கணிதத்தில் டஃபிங் ஆஸிலேட்டர் உலகப் பக்கம் சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடுகள் குழப்பமான வரைபடங்கள் நேரியல் அல்லாத அமைப்புகள் வீடியோ கிளிப்களைக் கொண்ட கட்டுரைகள்