Holomorphic functional calculus
கணிதத்தில், ஹோலோமார்பிக் செயல்பாட்டு கால்குலஸ் என்பது ஹோலோமார்பிக் செயல்பாடுகளுடன் கூடிய செயல்பாட்டு கால்குலஸ் ஆகும். அதாவது, ஒரு சிக்கலான வாதம் z மற்றும் ஒரு ஆபரேட்டர் T இன் ஹோலோமார்பிக் செயல்பாடு f கொடுக்கப்பட்டால், நோக்கம் ஒரு ஆபரேட்டரை உருவாக்குவதாகும், f (T), இது இயற்கையாகவே சிக்கலான வாதத்திலிருந்து ஆபரேட்டர் வாதத்திற்கு செயல்பாட்டை விரிவுபடுத்துகிறது. மேலும் துல்லியமாக, செயல்பாட்டு கால்குலஸ் டி ஸ்பெக்ட்ரமின் சுற்றுப்புறத்தில் உள்ள ஹோலோமார்பிக் செயல்பாடுகளிலிருந்து வரம்புக்குட்பட்ட ஆபரேட்டர்கள் வரை தொடர்ச்சியான இயற்கணித ஹோமோமார்பிசத்தை வரையறுக்கிறது. இந்த கட்டுரை சில பானாச் இடத்தில் டி ஒரு வரம்புக்குட்பட்ட நேரியல் ஆபரேட்டராக இருக்கும் வழக்கைப் பற்றி விவாதிக்கும். குறிப்பாக, டி சிக்கலான உள்ளீடுகளைக் கொண்ட ஒரு சதுர மேட்ரிக்ஸாக இருக்கலாம், இது செயல்பாட்டு கால்குலஸை விளக்குவதற்கும் பொதுவான கட்டுமானத்தில் சம்பந்தப்பட்ட அனுமானங்களுக்கான சில ஹூரிஸ்டிக் நுண்ணறிவுகளை வழங்குவதற்கும் பயன்படுத்தப்படும். உந்துதல் ஒரு பொதுவான செயல்பாட்டு கால்குலஸின் தேவை இந்த பிரிவில் T சிக்கலான உள்ளீடுகளுடன் ஒரு n × n மேட்ரிக்ஸ் என்று கருதப்படும். கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாடு f ஒரு குறிப்பிட்ட சிறப்பு வகையைச் சேர்ந்ததாக இருந்தால், f (T) ஐ வரையறுக்க இயற்கையான வழிகள் உள்ளன. உதாரணமாக, ஒரு சிக்கலான பல்லுறுப்புக்கோவை என்றால், ஒருவர் வெறுமனே Z க்கு T ஐ மாற்றலாம் மற்றும் T0 = I, அடையாள அணி எங்கே என்பதை வரையறுக்கலாம். இது பல்லுறுப்புக்கோவை செயல்பாட்டு கால்குலஸ் ஆகும். இது பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் வளையத்திலிருந்து n × n மேட்ரிக்ஸின் வளையம் வரை ஒரு ஒத்த உருவம் ஆகும். பல்லுறுப்புக்கோவைகளிலிருந்து சற்று விரிவடைந்து, f: C → C எல்லா இடங்களிலும் ஹோலோமார்பிக் ஆக இருந்தால், அதாவது. ஒரு முழு செயல்பாடு, மெக்லாரின் தொடர் பல்லுறுப்புக்கோவை வழக்கைப் பிரதிபலிப்பது நாம் வரையறுக்க பரிந்துரைக்கிறது மெக்லாரின் தொடர் எல்லா இடங்களிலும் ஒன்றிணைவதால், மேலே உள்ள தொடர் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட ஆபரேட்டர் நெறிமுறையில் ஒன்றிணைக்கும். இதற்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு ஒரு மேட்ரிக்ஸின் எக்ஸ்பொனென்ஷியல் ஆகும். f (z) = ez இன் மெக்லாரின் தொடரில் z ஐ T ஆல் மாற்றுவது, எல்லா இடங்களிலும் f இன் மெக்லாரின் தொடர் ஒன்றிணைவதற்கான தேவையை ஓரளவு தளர்த்த முடியும். மேலே இருந்து, உண்மையில் தேவைப்படுவது மெக்லாரின் தொடரின் ஒருங்கிணைப்பின் ஆரம் டி இன் ஆபரேட்டர் நெறிமுறையான டி ஐ விட அதிகமாக இருக்க வேண்டும் என்பது தெளிவாகிறது. இது ஓரளவு எஃப் குடும்பத்தை விரிவுபடுத்துகிறது, இதற்காக மேலே உள்ள அணுகுமுறையைப் பயன்படுத்தி எஃப் (டி) ஐ வரையறுக்க முடியும். இருப்பினும் அது திருப்திகரமாக இல்லை. உதாரணமாக, மேட்ரிக்ஸ் கோட்பாட்டில் இருந்து ஒரு உண்மை என்னவென்றால், ஒவ்வொரு ஒற்றை அல்லாத T க்கும் ஒரு மடக்கை S உள்ளது, அதாவது eS = T. இது ஒரு செயல்பாட்டு கால்குலஸைக் கொண்டிருப்பது விரும்பத்தக்கது, இது ஒரு ஒற்றை அல்லாத T க்கு, ln (T) ஐ வரையறுக்க அனுமதிக்கிறது, இது S உடன் ஒத்துப்போகிறது. இது சக்தி தொடர் வழியாக செய்ய முடியாது, எடுத்துக்காட்டாக மடக்கை தொடர் திறந்த அலகு வட்டில் மட்டுமே இணைகிறது. தொடரில் Z க்கு T ஐ மாற்றுவது, தலைகீழ் T + I க்கு ln (T + I) க்கு நன்கு வரையறுக்கப்பட்ட வெளிப்பாட்டை வழங்கத் தவறிவிட்டது. எனவே இன்னும் பொதுவான செயல்பாட்டு கால்குலஸ் தேவைப்படுகிறது. செயல்பாட்டு கால்குலஸ் மற்றும் ஸ்பெக்ட்ரம் f (T) அர்த்தமுள்ளதாக இருக்க ஒரு தேவையான நிபந்தனை f என்பது T இன் ஸ்பெக்ட்ரத்தில் வரையறுக்கப்பட வேண்டும் என்று எதிர்பார்க்கப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, சாதாரண மேட்ரிக்ஸ்களுக்கான ஸ்பெக்ட்ரல் தேற்றம் ஒவ்வொரு இயல்பான மேட்ரிக்ஸும் ஒற்றை கோணமாக இருக்கும் என்று கூறுகிறது. இது டி இயல்பானதாக இருக்கும்போது எஃப் (டி) இன் வரையறைக்கு வழிவகுக்கிறது. T இன் சில ஐகென் மதிப்பு λ க்கு f (λ) வரையறுக்கப்படாவிட்டால் ஒருவர் சிரமங்களை எதிர்கொள்கிறார். T இன் நிறமாலையில் f வரையறுக்கப்பட்டால் மட்டுமே f (T) ஐ வரையறுக்க முடியும் என்ற கருத்தை மற்ற அறிகுறிகளும் வலுப்படுத்துகின்றன. இயற்கையான மடக்கை 0 இல் வரையறுக்கப்படாததால், ln (T) ஐ இயற்கையாக வரையறுக்க முடியாது என்று ஒருவர் எதிர்பார்க்கலாம். உண்மை நிலவரம் இதுதான். மற்றொரு எடுத்துக்காட்டாக, f (T) ஐக் கணக்கிடுவதற்கான நியாயமான வழி என்று தோன்றலாம், இருப்பினும், வலது புறத்தில் உள்ள தலைகீழ்கள் இல்லையென்றால் இந்த வெளிப்பாடு வரையறுக்கப்படுவதில்லை, அதாவது, 2 அல்லது 5 T இன் ஐகென் மதிப்புகள் என்றால். கொடுக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸ் T க்கு, T இன் ஐகென் மதிப்புகள் எந்த அளவிற்கு f (T) ஐ வரையறுக்க முடியும் என்பதைக் கட்டளையிடுகின்றன; அதாவது, T இன் அனைத்து ஐகென் மதிப்புகள் λ க்கும் f (λ) வரையறுக்கப்பட வேண்டும். ஒரு பொதுவான வரம்புக்குட்பட்ட ஆபரேட்டருக்கு இந்த நிபந்தனை "T இன் நிறமாலையில் f வரையறுக்கப்பட வேண்டும்" என்று மொழிபெயர்க்கப்பட்டுள்ளது. இந்த அனுமானம் செயல்பாட்டு கால்குலஸ் வரைபடம், f → f (T), சில விரும்பத்தக்க பண்புகளைக் கொண்ட ஒரு செயல்படுத்தும் நிபந்தனையாக மாறுகிறது. வரம்புக்குட்பட்ட இயக்கியின் செயல்பாட்டு கால்குலஸ் X ஒரு சிக்கலான பானாச் இடமாக இருக்கட்டும், L (X) என்பது X இல் வரம்புக்குட்பட்ட இயக்கிகளின் குடும்பத்தைக் குறிக்கிறது. கிளாசிக்கல் செயல்பாட்டுக் கோட்பாட்டிலிருந்து காச்சி ஒருங்கிணைந்த சூத்திரத்தை நினைவுகூருங்கள். f: C → C என்பது சில திறந்த தொகுப்பான D ′C இல் ஹோலோமார்பிக் ஆகவும், D இல் சரிசெய்யக்கூடிய ஜோர்டான் வளைவாகவும் இருக்கட்டும், அதாவது, சுய-குறுக்கீடுகள் இல்லாமல் வரையறுக்கப்பட்ட நீளத்தின் மூடிய வளைவு. புள்ளிகளின் தொகுப்பு U γ இன் உள்ளே உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம், அதாவது. அதாவது z ஐப் பற்றிய முறுக்கு எண் 1, D இல் உள்ளது. U இல் உள்ள எந்த z க்கும் காச்சி ஒருங்கிணைந்த சூத்திரம் கூறுகிறது. இந்த சூத்திரத்தை பானாச் இடம் எல் (எக்ஸ்) இல் மதிப்புகளை எடுக்கும் செயல்பாடுகளுக்கு விரிவுபடுத்துவதே யோசனை. காச்சியின் ஒருங்கிணைந்த சூத்திரம் பின்வரும் வரையறையை பரிந்துரைக்கிறது (முற்றிலும் முறையானது, இப்போதைக்கு): இங்கு (ζ−T) −1 என்பது ζ இல் T இன் தீர்வாகும். இந்த பானாச் இடம்-மதிப்புள்ள ஒருங்கிணைப்பு சரியான முறையில் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம், இந்த முன்மொழியப்பட்ட செயல்பாட்டு கால்குலஸ் பின்வரும் தேவையான நிபந்தனைகளைக் குறிக்கிறதுஃ காச்சியின் ஒருங்கிணைந்த சூத்திரத்தின் அளவிடுதல் பதிப்பு ஹோலோமார்பிக் எஃப்-க்கு பொருந்தும் என்பதால், பானாச் இடைவெளி வழக்குக்கும் இது பொருந்தும் என்று நாங்கள் எதிர்பார்க்கிறோம், அங்கு பானாச் இடைவெளி எல் (எக்ஸ்) இல் மதிப்புகளை எடுக்கும் செயல்பாடுகளுக்கு ஹோலோமார்பி பற்றிய பொருத்தமான கருத்து இருக்க வேண்டும். டி, σ (T) இன் நிறமாலையில் தீர்க்கமான வரைபடம் ζ → (ζ−T) −1 வரையறுக்கப்படாததால், ஜோர்டான் வளைவு ஜாதன் σ (T) ஐ வெட்டக்கூடாது. இப்போது, ரிசல்வன்ட் மேப்பிங் σ (T) இன் நிரப்பு மீது ஹோலோமார்பிக் ஆக இருக்கும். எனவே ஒரு அற்பமான செயல்பாட்டு கால்குலஸைப் பெற, γ என்பது σ (T) ஐ (குறைந்தபட்சம் ஒரு பகுதியையாவது) இணைக்க வேண்டும். செயல்பாட்டு கால்குலஸ் நன்கு வரையறுக்கப்பட்டிருக்க வேண்டும், அதாவது f (T) γ இலிருந்து சுயாதீனமாக இருக்க வேண்டும். செயல்பாட்டு கால்குலஸின் முழு வரையறை பின்வருமாறுஃ T ω L (X) ஐப் பொறுத்தவரை, f என்பது ஒரு திறந்த தொகுப்பான D ω C இல் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு ஹோலோமார்பிக் செயல்பாடு, இதில் σ (T) உள்ளது, மற்றும் γ = {γ1,., γm} என்பது D இல் உள்ள ஜோர்டன் வளைவுகளின் தொகுப்பாகும், இது ஒரு "உள்" தொகுப்பான U ஐ பிணைக்கிறது, அதாவது σ (T) U இல் உள்ளது, மேலும் ஒவ்வொரு γi யும் எல்லை அர்த்தத்தில் அமைந்துள்ளது. திறந்த தொகுப்பு டி எஃப் உடன் மாறுபடலாம் மற்றும் வலதுபுறத்தில் உள்ள புள்ளிவிவரங்களால் காட்டப்பட்டுள்ளபடி இணைக்கப்படவோ அல்லது வெறுமனே இணைக்கப்படவோ தேவையில்லை. பின்வரும் உட்பிரிவுகள் வரையறையில் குறிப்பிடப்பட்ட கருத்துக்களை துல்லியமாக்குகின்றன, மேலும் கொடுக்கப்பட்ட அனுமானங்களின் கீழ் f (T) உண்மையில் நன்கு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது என்பதைக் காட்டுகின்றன. பானாச் இடம்-மதிப்புள்ள ஒருங்கிணைந்த சிஎஃப். போச்னர் ஒருங்கிணைப்பு ஒரு தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டிற்கு g ஒரு திறந்த சுற்றுப்புறத்தில் வரையறுக்கப்பட்டு, L (X) இல் மதிப்புகளை எடுத்துக்கொள்வதால், விளிம்பு ஒருங்கிணைப்பு ண்கு γ என்பது அளவிடுதல் வழக்கைப் போலவே வரையறுக்கப்படுகிறது. ஒவ்வொன்றையும் ஒரு உண்மையான இடைவெளி [a, b] மூலம் அளவிட முடியும், மேலும் ஒருங்கிணைப்பு என்பது [a, b] இன் எப்போதும்-மெல்லிய பகிர்வுகளிலிருந்து பெறப்பட்ட ரீமன் தொகைகளின் வரம்பாகும். ரீமன் கூட்டுத்தொகை சீரான இயக்குபவர் இடவியலில் ஒன்றிணைகிறது. செயல்பாட்டு கால்குலஸின் வரையறையில், f என்பது ஒரு திறந்த சுற்றுப்புறத்தில் ஹோலோமார்பிக் என்று கருதப்படுகிறது. ரிசல்வன்ட் வரைபடம் ரிசல்வன்ட் தொகுப்பில் ஹோலோமார்பிக் என்று கீழே காட்டப்படும். எனவே, ஒருங்கிணைப்பு அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கிறது. தீர்க்கும் வரைபடம் ζ → (ζ−T) −1 வரைபடம் T இன் தீர்க்கும் வரைபடம் என்று அழைக்கப்படுகிறது, இது σ (T) இன் நிரப்பு மீது வரையறுக்கப்படுகிறது, இது T இன் தீர்க்கும் தொகுப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் இது ρ (T) ஆல் குறிக்கப்படும். கிளாசிக்கல் செயல்பாட்டுக் கோட்பாட்டின் பெரும்பகுதி ஒருங்கிணைப்பின் பண்புகளைப் பொறுத்தது ஹோலோமார்பிக் செயல்பாட்டு கால்குலஸ் ஒத்திருக்கிறது, இதில் ஒரு நல்ல செயல்பாட்டு கால்குலஸிலிருந்து ஒருவருக்குத் தேவையான பண்புகளைப் பெறுவதில் ரிசல்வன்ட் மேப்பிங் முக்கிய பங்கு வகிக்கிறது. இந்த உட்பிரிவு இந்த சூழலில் இன்றியமையாத தீர்க்கும் வரைபடத்தின் பண்புகளை கோடிட்டுக் காட்டுகிறது. 1 வது தீர்க்கும் சூத்திரம் நேரடி கணக்கீடு காட்டுகிறது, z1 க்கு, z2 ±ρ (T), எனவே, இந்த சமன்பாடு முதல் தீர்க்கும் சூத்திரம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த சூத்திரம் (z1−T) −1 மற்றும் (z2−T) −1 பரிமாற்றத்தைக் காட்டுகிறது, இது செயல்பாட்டு கால்குலஸின் படம் ஒரு பரிமாற்ற இயற்கணிதமாக இருக்கும் என்ற உண்மையைக் குறிக்கிறது. z2 → z1 ஐ அனுமதிப்பது தீர்க்கும் வரைபடம் (சிக்கலானது-) ஒவ்வொரு z1 ±ρ (T) இல் வேறுபடுத்தக்கூடியது என்பதைக் காட்டுகிறது; எனவே செயல்பாட்டு கால்குலஸின் வெளிப்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்பு L (X) இல் ஒருங்கிணைக்கிறது. பகுப்பாய்வு பகுப்பாய்வு பகுப்பாய்வு பகுப்பாய்வு பகுப்பாய்வு பகுப்பாய்வு பகுப்பாய்வு பகுப்பாய்வு பகுப்பாய்வு பகுப்பாய்வு பகுப்பாய்வு பகுப்பாய்வு பகுப்பாய்வு பகுப்பாய்வு பகுப்பாய்வு பகுப்பாய்வு பகுப்பாய்வு பகுப்பாய்வு பகுப்பாய்வு பகுப்பாய்வு பகுப்பாய்வு பகுப்பாய்வு பகுப்பாய்வு பகுப்பாய்வு பகுப்பாய்வு பகுப்பாய்வு பகுப்பாய்வு பகுப்பாய்வு பகுப்பாய்வு பகுப்பாய்வு பகுப்பாய்வு பகுப்பாய்வு பகுப்பாய்வு பகுப்பாய்வு பகுப்பாய்வு பகுப்பாய்வு பகுப்பாய்வு பகுப்பாய்வு பகுப்பாய்வு பகுப்பாய்வு பகுப்பாய்வு பகுப்பாய்வு பகுப்பாய்வு பகுப்பாய்வு பகுப்பாய்வு பகுப்பாய்வு பகுப்பாய்வு பகுப்பாய்வு பகுப்பாய்வு பகுப்பாய்வு பகுப்பாய்வு பகுப்பாய்வு பகுப்பாய்வு பகுப்பாய்வு பகுப்பாய்வு பகுப்பாய்வு பகுப்பாய்வு பகுப்பாய்வு பகுப்பாய்வு பகுப்பாய்வு பகுப்பாய்வு பகுப்பாய்வு பகுப்பாய்வு பகுப்பாய்வு பகுப்பாய்வு பகுப்பாய்வு பகுப்பாய தீர்க்கும் தொகுப்பு ρ (T) உண்மையில் ஒரு திறந்த தொகுப்பாகும், அதில் தீர்க்கும் வரைபடம் பகுப்பாய்வு செய்யப்படுகிறது. இந்த பண்பு செயல்பாட்டு கால்குலஸுக்கான அடுத்தடுத்த வாதங்களில் பயன்படுத்தப்படும். இந்த உரிமைகோரலை சரிபார்க்க, z1 ωρ (T) மற்றும் முறையான வெளிப்பாட்டைக் கவனிக்கவும் (z2−T) −1 க்கு நாம் பரிசீலிக்க வேண்டும். மேலே உள்ள தொடர் L (X) இல் ஒருங்கிணைக்கிறது, இது (z2−T) −1 இன் இருப்பைக் குறிக்கிறது, எனவே, தீர்க்கும் தொகுப்பு ρ (T) திறந்திருக்கும் மற்றும் z1−ρ (T) ஐ மையமாகக் கொண்ட ஒரு திறந்த வட்டில் உள்ள சக்தி தொடர் வெளிப்பாடு தீர்க்கும் வரைபடம் ρ (T) இல் பகுப்பாய்வு செய்யப்படுவதைக் காட்டுகிறது. நியூமன் தொடர் (z−T) −1 க்கான மற்றொரு வெளிப்பாடும் பயனுள்ளதாக இருக்கும். முறையான வெளிப்பாடு ஒருவரைக் கருத்தில் கொள்ள வழிவகுக்கிறது இந்த தொடர், நியூமன் தொடர், σ (T) இன் சுருக்கமாக இருந்தால் (z−T) −1 ஆக ஒன்றிணைக்கிறது, தீர்வின் கடைசி இரண்டு பண்புகளிலிருந்து ஒரு வரம்புக்குட்பட்ட ஆபரேட்டர் T இன் ஸ்பெக்ட்ரம் σ (T) என்பது C இன் சுருக்கமான துணைக்குழு என்று நாம் யூகிக்க முடியும். எனவே, σ (T) ρD போன்ற எந்தவொரு திறந்த தொகுப்பு D க்கும், ஜோர்டான் வளைவுகளின் நேர்மறையான நோக்குநிலை மற்றும் மென்மையான அமைப்பு உள்ளது, அதாவது σ (T) γ இன் உள்ளே உள்ளது மற்றும் D இன் நிரப்பு γ இன் வெளிப்புறத்தில் உள்ளது. எனவே, செயல்பாட்டு கால்குலஸின் வரையறைக்கு, உண்மையில் ஜோர்டான் வளைவுகளின் பொருத்தமான குடும்பத்தை ஒவ்வொரு f க்கும் காணலாம், இது சில D இல் ஹோலோமார்பிக் ஆகும். நன்கு வரையறுக்கப்பட்ட முந்தைய விவாதம் ஒருங்கிணைப்பு அர்த்தமுள்ளதாக இருப்பதைக் காட்டுகிறது, அதாவது. ஜோர்டான் வளைவுகளின் பொருத்தமான தொகுப்பு ஒவ்வொரு f க்கும் உள்ளது மற்றும் ஒருங்கிணைப்பு பொருத்தமான அர்த்தத்தில் ஒன்றிணைக்கிறது. காட்டப்படாதது என்னவென்றால், செயல்பாட்டு கால்குலஸின் வரையறை தெளிவற்றது, அதாவது. இது γ இன் தேர்வைப் பொறுத்தது அல்ல. இந்த சிக்கலை இப்போது தீர்க்க முயற்சிக்கிறோம். ஒரு ஆரம்ப உண்மை ஜோர்டான் வளைவுகளின் தொகுப்புக்கு γ = {γ1,., γm} மற்றும் ஒரு புள்ளி a ωC, a ஐப் பொறுத்தவரை γ இன் முறுக்கு எண் அதன் உறுப்புகளின் முறுக்கு எண்களின் கூட்டுத்தொகையாகும். நாம் வரையறுத்தால்ஃ பின்வரும் தேற்றம் காச்சி மூலம்ஃ தேற்றம். g: G → C ஹோலோமார்பிக் ஆகவும், G இன் நிரப்பு n (ஜாத, a) = 0 ஆகவும் இருந்தால், g இன் விளிம்பு ஒருங்கிணைப்பு பூஜ்ஜியமாகும். எல் (எக்ஸ்) இல் ஜி மதிப்புகளை எடுக்கும்போது இந்த முடிவின் திசையன் மதிப்புள்ள அனலாக் நமக்குத் தேவைப்படும். இந்த நோக்கத்திற்காக, g: G → L (X) ஹோலோமார்பிக் ஆக இருக்கட்டும், அதே அனுமானங்களுடன். யோசனை எல் (எக்ஸ்) இன் இரட்டை இடைவெளி எல் (எக்ஸ்) * ஐப் பயன்படுத்துகிறது, மேலும் அளவிடுதல் வழக்குக்கான காச்சியின் தேற்றத்திற்கு அனுப்பப்படுகிறது. ஒருங்கிணைப்பைக் கருத்தில் கொள்ளுங்கள், இந்த ஒருங்கிணைப்பில் அனைத்து φωL (X) * மறைந்துவிடும் என்பதைக் காட்ட முடிந்தால், ஒருங்கிணைப்பு பூஜ்ஜியமாக இருக்க வேண்டும். φ வரம்புக்குட்பட்டது மற்றும் ஒருங்கிணைப்பு நெறிமுறையில் ஒன்றிணைவதால், நம்மிடம் பின்வருவன உள்ளனஃ ஆனால் g என்பது ஹோலோமார்பிக், எனவே கலவை φ (g): G ρC → C என்பது ஹோலோமார்பிக் ஆகும், எனவே காச்சியின் தேற்றத்தின் முக்கிய வாதத்தால் செயல்பாட்டு கால்குலஸின் நன்கு வரையறுக்கப்பட்ட தன்மை இப்போது ஒரு எளிதான விளைவாகப் பின்பற்றப்படுகிறது. D என்பது σ (T) கொண்ட ஒரு திறந்த தொகுப்பாக இருக்கட்டும். செயல்பாட்டு கால்குலஸுக்கு கொடுக்கப்பட்ட அனுமானத்தை திருப்திப்படுத்தும் ஜோர்டான் வளைவுகளின் இரண்டு (வரையறுக்கப்பட்ட) தொகுப்புகள் γ = {γi} மற்றும் ω = {ωj} என்று வைத்துக்கொள்வோம். ஒவ்வொரு ωj இன் நோக்குநிலையையும் மாற்றியமைப்பதன் மூலம் ω′ ஐ பெறலாம் என்பதைக் காட்ட விரும்புகிறோம், பின்னர் இரண்டு தொகுப்புகளின் ஒன்றிணைப்பைக் கவனியுங்கள். γ ω ′ மற்றும் σ (T) இரண்டும் கச்சிதமானவை. எனவே சில திறந்த தொகுப்பு U உள்ளது, அதாவது σ (T) U இன் நிரப்பு உள்ளது. U இன் நிரப்பு வடிவத்தில் உள்ள எந்த a யும் முறுக்கு எண் n ஐக் கொண்டுள்ளது, a = 0 மற்றும் செயல்பாடு U இல் ஹோலோமார்பிக் ஆகும். எனவே காச்சி தேற்றத்தின் திசையன் மதிப்புள்ள பதிப்பு அதாவது. எனவே செயல்பாட்டு கால்குலஸ் நன்கு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. இதன் விளைவாக, f1 மற்றும் f2 ஆகியவை σ (T) இன் சுற்றுப்புறங்கள் D1 மற்றும் D2 இல் வரையறுக்கப்பட்ட இரண்டு ஹோலோமார்பிக் செயல்பாடுகளாக இருந்தால், அவை σ (T) கொண்ட ஒரு திறந்த தொகுப்பில் சமமாக இருந்தால், f1 (T) = f2 (T). மேலும், டி 1 டி 2 ஆக இல்லாவிட்டாலும், ஆபரேட்டர் (எஃப் 1 + எஃப் 2) (டி) நன்கு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. (f1·f2) (T) என்ற வரையறைக்கும் இது பொருந்தும். σ (T) இன் திறந்த சுற்றுப்புறத்தின் மீது f ஹோலோமார்பிக் என்று அனுமானிக்கப்படுவதால் இதுவரை இந்த அனுமானத்தின் முழு வலிமையும் பயன்படுத்தப்படவில்லை. ஒருங்கிணைப்பின் ஒருங்கிணைப்புக்கு, தொடர்ச்சி மட்டுமே பயன்படுத்தப்பட்டது. நன்கு வரையறுக்கப்படுவதற்கு, வரையறைகளைக் கொண்ட ஒரு திறந்த தொகுப்பு U இல் f மட்டுமே ஹோலோமார்பிக் ஆக இருக்க வேண்டும், ஆனால் σ (T) அவசியமில்லை. செயல்பாட்டு கால்குலஸின் ஹோமோமார்பிசம் பண்பைக் காண்பிப்பதில் அனுமானம் முழுமையாகப் பயன்படுத்தப்படும். பண்புகள் பல்லுறுப்புக்கோவை வழக்கு வரைபடத்தின் நேரியல் f′f (T) ஒருங்கிணைப்பின் ஒருங்கிணைப்பிலிருந்து பின்பற்றுகிறது மற்றும் ஒரு பானாச் இடத்தில் நேரியல் செயல்பாடுகள் தொடர்ச்சியானவை. பல்லுறுப்புக்கோவை செயல்பாட்டு கால்குலஸை f (z) = σ0 ≤ i ≤ mi zi ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும் போது நாம் மீட்டெடுக்கிறோம். இதை நிரூபிக்க, k ≤ 0 மற்றும் f (z) = zk க்கு, f (T) = Tk, அதாவது. எந்தவொரு பொருத்தமான γ சூழலுக்கும் σ (T). மேலே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, டி இன் ஆபரேட்டர் நெறிமுறையை விட அதிகமான ஆரம் கொண்ட வட்டமாக  தாஇ தேர்வுசெய்க, அத்தகைய  தாஇ மீது, தீர்க்கும் வரைபடம் ஒரு சக்தி தொடர் பிரதிநிதித்துவத்தை ஏற்றுக்கொள்கிறது, இது δ என்பது க்ரோனெக்கர் டெல்டா சின்னமாகும். பொருத்தமான அனுமானங்களை திருப்திப்படுத்தும் எந்தவொரு f1 மற்றும் f2 க்கும், ஹோமோமார்பிசம் பண்பு கூறுகிறது நாம் ஒரு வாதத்தை வரைகிறோம், இது முதல் தீர்க்கும் சூத்திரத்தையும் f இல் வைக்கப்பட்டுள்ள அனுமானங்களையும் அழைக்கிறது. இதற்கான காரணம் கீழே தெளிவாகத் தெரியும். நேரடியாகக் கணக்கிடுவதன் மூலம் தொடங்குங்கள் கடைசி வரி பின்வருவது என்னவென்றால், ω Π2 என்பது κ1 க்கு வெளியே உள்ளது மற்றும் f1 என்பது σ (T) இன் சில திறந்த சுற்றுப்புறங்களில் ஹோலோமார்பிக் ஆகும், எனவே இரண்டாவது சொல் மறைந்துவிடும். எனவே, நம்மிடம் பின்வருவன உள்ளனஃ சுருக்க ஒருங்கிணைப்பைப் பொறுத்தவரை தொடர்ச்சி G′C σ (T) ′G உடன் திறந்திருக்கட்டும். G இல் உள்ள ஹோலோமார்பிக் செயல்பாடுகளின் வரிசை {fk} G இன் சுருக்கமான துணைக்குழுக்களில் ஒரே மாதிரியாக இணைகிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம் (இது சில நேரங்களில் கச்சிதமான ஒருங்கிணைப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது). பின்னர் {fk (T)} என்பது L (X) இல் ஒன்றிணைகிறதுஃ எளிமைக்காக γ என்பது ஒரே ஒரு ஜோர்டான் வளைவை மட்டுமே கொண்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். சீரான ஒருங்கிணைப்பு அனுமானம் மற்றும் பல்வேறு தொடர்ச்சியான கருத்தாய்வுகளை இணைப்பதன் மூலம், மேலே உள்ளவை 0 ஆக k, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l, l. எனவே {fk (T)} என்பது காச்சி, எனவே ஒருங்கிணைந்ததாகும். தனித்துவம் சுருக்கமாக, ஹோலோமார்பிக் செயல்பாட்டு கால்குலஸ், f → f (T), பின்வரும் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது என்பதைக் காட்டியுள்ளோம்ஃ இது பல்லுறுப்புக்கோவை செயல்பாட்டு கால்குலஸை விரிவுபடுத்துகிறது. இது σ (T) முதல் L (X) வரையிலான சுற்றுப்புறத்தில் வரையறுக்கப்பட்ட ஹோலோமார்பிக் செயல்பாடுகளின் இயற்கணிதத்திலிருந்து ஒரு இயற்கணித ஒத்த உருவமாகும், இது சிறிய தொகுப்புகளில் சீரான ஒருங்கிணைப்பைப் பாதுகாக்கிறது. மேற்கண்ட பண்புகளை திருப்திப்படுத்தும் ஒரு கால்குலஸ் தனித்துவமானது என்பதை நிரூபிக்க முடியும். எல்லைக்குட்பட்ட இயக்கிகளின் குடும்பம் L (X) ஒரு பானாச் இயற்கணிதம் A ஆல் மாற்றப்பட்டால், இதுவரை விவாதிக்கப்பட்ட அனைத்தும் சொற்களஞ்சியம் கொண்டவை என்பதை நாம் கவனிக்கிறோம். ஸ்பெக்ட்ரல் மேப்பிங் தேற்றம் என்பது ஸ்பெக்ட்ரல் மேப்பிங் தேற்றம் பல்லுறுப்புக்கோவை செயல்பாட்டு கால்குலஸுக்கு பொருந்தும் என்று அறியப்படுகிறதுஃ எந்த பல்லுறுப்புக்கோவைக்கும் p, σ (p (T)) = p (σ (T)). இதை ஹோலோமார்பிக் கால்குலஸ் வரை நீட்டிக்க முடியும். f (σ (T)) ρ (f (T)) ஐக் காட்ட, எந்த சிக்கலான எண்ணாகவும் இருக்கட்டும். சிக்கலான பகுப்பாய்வின் விளைவாக, σ (T) இன் சுற்றுப்புறத்தில் ஒரு செயல்பாடு g ஹோலோமார்பிக் உள்ளது, அதாவது ஹோமோமார்பிசம் பண்பின் படி, f (T) − f (μ) = (T − μ) g (T). எனவே, μ ω (T) என்பது f (μ) ω (f (T)) ஐக் குறிக்கிறது. மற்ற சேர்ப்புக்கு, μ என்பது f (σ (T)) இல் இல்லையென்றால், செயல்பாட்டு கால்குலஸ் g (T) (f (T) − μ) = I க்கு பொருந்தும். எனவே, μ என்பது σ (f (T)) இல் இல்லை. ஸ்பெக்ட்ரல் கணிப்புகள் அடிப்படை யோசனை பின்வருமாறு. K என்பது σ (T) மற்றும் U இன் துணைக்குழு என்று வைத்துக்கொள்வோம், V என்பது முறையே K மற்றும் σ (T) \K இன் வேறுபட்ட சுற்றுப்புறங்கள். பின்னர் e என்பது [e (z)] 2 = e (z) உடன் ஒரு ஹோலோமார்பிக் செயல்பாடாகும், எனவே, U ≤ V இல் அமைந்துள்ள மற்றும் σ (T) ஐ இணைக்கும் பொருத்தமான விளிம்புக்கு, நேரியல் ஆபரேட்டர் ஒரு வரம்புக்குட்பட்ட திட்டமாக இருக்கும், இது T உடன் பயணிக்கிறது மற்றும் பயனுள்ள தகவல்களை வழங்குகிறது. σ (T) இல் உள்ள சப்ஸ்பேஸ் டோபாலஜியில் K திறந்த மற்றும் மூடியதாக இருந்தால் மட்டுமே இந்த சூழ்நிலை சாத்தியமாகும். மேலும், தொகுப்பு V இல் e பூஜ்ஜியமாக இருப்பதால் பாதுகாப்பாக புறக்கணிக்கப்படலாம், எனவே ஒருங்கிணைப்புக்கு எந்த பங்களிப்பும் இல்லை. e (T) திட்டம் K இல் T இன் நிறமாலை திட்டம் என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் P (K; T) ஆல் குறிக்கப்படுகிறது. எனவே சப்ஸ்பேஸ் டோபோலஜியில் திறந்த மற்றும் மூடியிருக்கும் σ (T) இன் ஒவ்வொரு துணைக்குழுவும் K உடன் தொடர்புடைய நிறமாலை திட்டத்தைக் கொண்டுள்ளது, அங்கு γ என்பது K ஐச் சுற்றியுள்ள ஒரு விளிம்பாகும், ஆனால் σ (T) இன் வேறு புள்ளிகள் இல்லை. P = P (K; T) என்பது எல்லைக்குட்பட்டது மற்றும் T உடன் பயணிக்கிறது என்பதால், இது U = T|PX மற்றும் V = T | (1−P) X என்ற வடிவத்தில் T ஐ வெளிப்படுத்த உதவுகிறது. PX மற்றும் (1−P) X இரண்டும் T இன் மாறாத துணை இடங்களாகும், மேலும் σ (U) = K மற்றும் σ (V) = σ (T) \K. ஒரு முக்கிய பண்பு பரஸ்பர ஆர்த்தோகனாலிட்டி ஆகும். σ (T) இல் உள்ள சப்ஸ்பேஸ் டோபாலஜியில் L மற்றொரு திறந்த மற்றும் மூடிய தொகுப்பாக இருந்தால், P (K; T) P (L; T) = P (L; T) P (K; T) = P (K θL; T) இது K மற்றும் L பிரிந்திருக்கும் போதெல்லாம் பூஜ்ஜியமாகும். ஸ்பெக்ட்ரல் கணிப்புகள் பல பயன்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளன. σ (T) இன் எந்த தனிமைப்படுத்தப்பட்ட புள்ளியும் சப்ஸ்பேஸ் டோபோலஜியில் திறந்த மற்றும் மூடப்பட்டிருக்கும், எனவே இது ஒரு தொடர்புடைய நிறமாலை திட்டத்தைக் கொண்டுள்ளது. X வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாணத்தைக் கொண்டிருக்கும்போது σ (T) தனிமைப்படுத்தப்பட்ட புள்ளிகளைக் கொண்டுள்ளது மற்றும் இதன் விளைவாக வரும் நிறமாலை கணிப்புகள் ஜோர்டான் இயல்பான வடிவத்தின் மாறுபாட்டிற்கு வழிவகுக்கின்றன, இதில் ஒரே ஐகென் மதிப்புடன் தொடர்புடைய அனைத்து ஜோர்டான் தொகுதிகளும் ஒருங்கிணைக்கப்படுகின்றன. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒரு தனித்துவமான ஐகென் மதிப்பிற்கு துல்லியமாக ஒரு தொகுதி உள்ளது. அடுத்த பகுதி இந்த சிதைவை இன்னும் விரிவாக கருதுகிறது. சில நேரங்களில் நிறமாலை கணிப்புகள் அவற்றின் தாய் ஆபரேட்டர்களிடமிருந்து பண்புகளைப் பெறுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, T என்பது நிறமாலை ஆரம் r கொண்ட ஒரு நேர்மறை மேட்ரிக்ஸ் என்றால், பெரான்-ஃப்ரோபீனியஸ் தேற்றம் r bul σ (T) என்று வலியுறுத்துகிறது. தொடர்புடைய நிறமாலை திட்டமான P = P (r; T) நேர்மறையானது மற்றும் பரஸ்பர ஆர்த்தோகோனாலிட்டி மூலம் வேறு எந்த நிறமாலை திட்டமும் நேர்மறை வரிசை அல்லது நெடுவரிசையைக் கொண்டிருக்க முடியாது. உண்மையில் TP = rP மற்றும் (T/r) n → P என n → ≤ ஆக இருப்பதால், இந்த ப்ரொஜெக்ஷன் P (இது பெர்ரான் ப்ரொஜெக்ஷன் என்று அழைக்கப்படுகிறது) n அதிகரிக்கும் போது தோராயமாக (T/r) n ஐ மதிப்பிடுகிறது, மேலும் அதன் ஒவ்வொரு நெடுவரிசைகளும் T இன் ஐகென் வெக்டர் ஆகும். மேலும் பொதுவாக T ஒரு சிறிய ஆபரேட்டராக இருந்தால், σ (T) இல் உள்ள அனைத்து பூஜ்ஜியமற்ற புள்ளிகளும் தனிமைப்படுத்தப்படுகின்றன, எனவே அவற்றில் எந்த வரையறுக்கப்பட்ட துணைக்குழுவும் T ஐ சிதைக்க பயன்படுத்தப்படலாம். தொடர்புடைய நிறமாலை ப்ரொஜெக்ஷன் எப்போதும் வரையறுக்கப்பட்ட தரவரிசையைக் கொண்டுள்ளது. எல் (எக்ஸ்) இல் உள்ள ஒத்த நிறமாலை பண்புகளைக் கொண்ட ஆபரேட்டர்கள் ரீஸ் ஆபரேட்டர்கள் என்று அழைக்கப்படுகிறார்கள். ரைஸ் ஆபரேட்டர்களின் பல வகுப்புகள் (காம்பாக்ட் ஆபரேட்டர்கள் உட்பட) எல் (எக்ஸ்) இல் இலட்சியங்கள் மற்றும் ஆராய்ச்சிக்கு ஒரு வளமான துறையை வழங்குகின்றன. இருப்பினும் X ஒரு ஹில்பர்ட் இடமாக இருந்தால், ரைஸ் ஆபரேட்டர்களுக்கும் வரையறுக்கப்பட்ட தரவரிசை கொண்டவர்களுக்கும் இடையில் சரியாக ஒரு மூடிய இலட்சியம் உள்ளது. மேற்கூறிய விவாதத்தின் பெரும்பகுதியை ஒரு சிக்கலான பானாச் இயற்கணிதத்தின் பொதுவான சூழலில் அமைக்கலாம். இங்கே ஸ்பெக்ட்ரல் ப்ரொஜெக்ஷன்கள் ஸ்பெக்ட்ரல் ஐடிம்போட்டண்ட்கள் என்று குறிப்பிடப்படுகின்றன, ஏனெனில் அவை முன்மொழிய இனி ஒரு இடம் இருக்காது. மாறாத துணைவெளி சிதைவு ஸ்பெக்ட்ரம் σ (T) இணைக்கப்படாவிட்டால், செயல்பாட்டு கால்குலஸைப் பயன்படுத்தி X ஐ T இன் மாறாத துணைவெளிகளாக சிதைக்க முடியும். σ (T) ஒரு வேறுபட்ட தொழிற்சங்கமாக இருக்கட்டும், Fi மற்றும் 0 என்ற கூறுகளை மட்டுமே உள்ளடக்கிய சில சுற்றுப்புறங்களில் ei ஐ 1 ஆக வரையறுக்கவும். ஹோமோமார்பிசம் பண்பின் படி, ஈஐ (டி) என்பது அனைத்து ஐக்கும் ஒரு திட்டமாகும். உண்மையில் இது மேலே விவரிக்கப்பட்ட ஸ்பெக்ட்ரல் ப்ரொஜெக்ஷன் பி (ஃபை; டி) மட்டுமே. ஈஐ (டி) டி = டி ஈஐ (டி) என்ற உறவு என்பது ஒவ்வொரு ஈஐ (டி) இன் வரம்பையும் குறிக்கிறது, இது ஷியால் குறிக்கப்படுகிறது, இது டி இன் மாறாத துணைவெளியாகும். எக்ஸ் இந்த நிரப்பு துணைவெளிகளின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தப்படலாம் என்பதால்ஃ இதேபோல், டிஐ என்பது ஷிக்கு மட்டுப்படுத்தப்பட்ட டி என்றால், நேரடி கூட்டுத்தொகையைக் கவனியுங்கள். மேப்பிங் R: X '→ X என்பது ஒரு பானாச் ஸ்பேஸ் ஐசோமார்பிசத்தால் வரையறுக்கப்படுகிறது, மேலும் இதை T இன் தொகுதி மூலைவிட்டமாக பார்க்க முடியும். ஸ்பெக்ட்ரத்தில் இருந்து λi மட்டுமே கொண்ட ஒரு திறந்த வட்டில் ei ஐ 1 ஆகத் தேர்ந்தெடுக்கவும். தொடர்புடைய தொகுதி-மூலைவிட்ட அணி என்பது டி. தொடர்புடைய முடிவுகளின் ஜோர்டான் நியம வடிவமாகும். வலுவான அனுமானங்களுடன், டி ஒரு ஹில்பர்ட் இடத்தில் செயல்படும் ஒரு சாதாரண ஆபரேட்டராக இருக்கும்போது, செயல்பாட்டு கால்குலஸின் களத்தை விரிவுபடுத்தலாம். இரண்டு முடிவுகளையும் ஒப்பிடும்போது, சாதாரண மெட்ரிக்குகளுக்கான நிறமாலை தேற்றத்திற்கும் ஜோர்டான் நியம வடிவத்திற்கும் இடையிலான உறவுடன் ஒரு தோராயமான ஒப்புமையை உருவாக்க முடியும். T ஒரு இயல்பான இயக்கியாக இருக்கும்போது, ஒரு தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டு கால்குலஸைப் பெறலாம், அதாவது, ஒருவர் f (T) ஐ σ (T) இல் வரையறுக்கப்பட்ட தொடர்ச்சியான செயல்பாடாக மதிப்பீடு செய்யலாம். அளவீட்டுக் கோட்பாட்டின் இயந்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, இது அளவிடக்கூடிய செயல்பாடுகளுக்கு மட்டுமே நீட்டிக்கப்படலாம் (போரெல் செயல்பாட்டு கால்குலஸைப் பார்க்கவும்). அந்த சூழலில், E′σ (T) ஒரு போரெல் தொகுப்பாகவும், 1E என்பது E இன் சிறப்பியல்பு செயல்பாடாகவும் இருந்தால், ப்ரொஜெக்ஷன் ஆபரேட்டர் 1E (T) என்பது மேலே விவாதிக்கப்பட்ட ei (T) இன் சுத்திகரிப்பு ஆகும். போரெல் செயல்பாட்டு கால்குலஸ் ஒரு ஹில்பர்ட் இடத்தில் வரம்பற்ற சுய-இணை ஆபரேட்டர்களுக்கு விரிவடைகிறது. சற்றே சுருக்கமான மொழியில், ஹோலோமார்பிக் செயல்பாட்டு கால்குலஸை பானாச் இயற்கணிதத்தின் எந்த உறுப்புக்கும் நீட்டிக்க முடியும், அடிப்படையில் மேலே உள்ள அதே வாதங்களைப் பயன்படுத்தலாம். இதேபோல், தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டு கால்குலஸ் எந்தவொரு சி *-இயற்கணிதத்திலும் உள்ள இயல்பான உறுப்புகளுக்கும், எந்த வான் நியூமன் இயற்கணிதத்திலும் உள்ள இயல்பான உறுப்புகளுக்கான அளவிடக்கூடிய செயல்பாட்டு கால்குலஸுக்கும் பொருந்தும். வரம்பற்ற இயக்கிகள் ஒரு ஹோலோமார்பிக் செயல்பாட்டு கால்குலஸை காலியாக இல்லாத தீர்க்கும் தொகுப்பைக் கொண்ட வரம்பற்ற மூடிய இயக்கிகளுக்கு இதேபோன்ற பாணியில் வரையறுக்கலாம். ரிசல்வன்ட் ஃபார்மலிசம் ஜோர்டான் நியதி வடிவத்தையும் பார்க்கவும், அங்கு வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண வழக்கு சில விரிவாக விவாதிக்கப்படுகிறது. குறிப்புகள் என். டன்ஃபோர்ட் மற்றும் ஜே. டி. ஷ்வார்ட்ஸ், லீனியர் ஆபரேட்டர்ஸ், பகுதி I: பொது கோட்பாடு, இன்டர்சைன்ஸ், 1958. ஸ்டீவன் ஜி கிராண்ட்ஸ். இயற்கணிதம், எண்கணிதம் மற்றும் முக்கோணவியல் அகராதி. சிஆர்சி பிரஸ், 2000. இஸ்ரேல் கோபெர்க், சீமோர் கோல்ட்பர்க் மற்றும் மரினஸ் ஏ. காஷோக், லீனியர் ஆபரேட்டர்களின் வகுப்புகள்ஃ தொகுதி 1. பிர்கௌசர், 1991. ஹோலோமார்பிக் செயல்பாடுகள்