Schur polynomial
கணிதத்தில், இசாய் ஷூர் பெயரிடப்பட்ட ஷூர் பல்லுறுப்புக்கோவைகள், n மாறிகளில் உள்ள சில சமச்சீர் பல்லுறுப்புக்கோவைகள், பகிர்வுகளால் குறியிடப்படுகின்றன, அவை அடிப்படை சமச்சீர் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் மற்றும் முழுமையான ஒரே மாதிரியான சமச்சீர் பல்லுறுப்புக்கோவைகளை பொதுமைப்படுத்துகின்றன. பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாட்டில் அவை பொதுவான நேரியல் குழுக்களின் பல்லுறுப்புக்கோவை பகுக்கமுடியாத பிரதிநிதித்துவங்களின் எழுத்துக்கள் ஆகும். ஷூர் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் அனைத்து சமச்சீர் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் இடத்திற்கும் ஒரு நேரியல் அடிப்படையை உருவாக்குகின்றன. ஷுர் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் எந்தவொரு பெருக்கமும் ஷுர் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் நேரியல் கலவையாக எதிர்மறை அல்லாத ஒருங்கிணைந்த குணகங்களுடன் எழுதப்படலாம்; இந்த குணகங்களின் மதிப்புகள் லிட்டில்வுட்-ரிச்சர்ட்சன் விதியால் ஒருங்கிணைந்து கொடுக்கப்படுகின்றன. மேலும் பொதுவாக, வளைந்த ஷூர் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் ஜோடி பகிர்வுகளுடன் தொடர்புடையவை மற்றும் ஷூர் பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கு ஒத்த பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன. வரையறை (ஜாகோபியின் இருமுனை சூத்திரம்) ஷூர் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் முழு எண் பகிர்வுகளால் குறியிடப்படுகின்றன. ஒரு பகிர்வு கொடுக்கப்பட்டால், அங்கு, மற்றும் ஒவ்வொன்றும் எதிர்மறை அல்லாத முழு எண், செயல்பாடுகள் தீர்மானிப்பவரின் பண்புகளால் பல்லுறுப்புக்கோவைகளை மாற்றுகின்றன. ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை என்பது மாறிகளின் எந்த இடமாற்றத்தின் கீழும் அடையாளத்தை மாற்றினால் மாறி மாறி வரும். அவை மாறி மாறி வருவதால், அவை அனைத்தும் வாண்டர்மொண்டே தீர்மானிப்பானால் வகுக்கப்படுகின்றன ஷுர் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் விகிதமாக வரையறுக்கப்படுகின்றன இது ஜாகோபியின் இருமுனை சூத்திரம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இது வேய்ல் எழுத்து சூத்திரத்தின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு. இது ஒரு சமச்சீர் செயல்பாடாகும், ஏனெனில் எண் மற்றும் வகுத்தல் இரண்டும் மாறி மாறி, மற்றும் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை, ஏனெனில் அனைத்து மாற்று பல்லுறுப்புக்கோவைகளும் வாண்டர்மொண்டே தீர்மானிப்பானால் வகுக்கப்படுகின்றன. பண்புகள் மாறிகளில் உள்ள டிகிரி ஷூர் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் மாறிகளில் உள்ள ஒரே மாதிரியான டிகிரி சமச்சீர் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் இடத்திற்கான ஒரு நேரியல் அடிப்படையாகும். ஒரு பகிர்வைப் பொறுத்தவரை, ஷுர் பல்லுறுப்புக்கோவை என்பது மோனாமியல்களின் கூட்டுத்தொகையாகும், இதில் கூட்டுத்தொகை அனைத்து செமிஸ்டாண்டர்ட் இளம் அட்டவணை வடிவத்திலும் இருக்கும். அடுக்குகள் எடையைக் கொடுக்கின்றன, வேறுவிதமாகக் கூறினால் ஒவ்வொன்றும் எண்ணிக்கையின் நிகழ்வுகளை கணக்கிடுகின்றன. இது லிண்ட்ஸ்ட்ரோம்-ஜெசல்-வியன்னோட் லெம்மாவைப் பயன்படுத்தி முதல் ஜியாம்பெல்லி சூத்திரத்தின் வரையறைக்கு சமமாக இருப்பதைக் காட்டலாம் (அந்தப் பக்கத்தில் கோடிட்டுக் காட்டப்பட்டுள்ளது போல). ஷூர் பல்லுறுப்புக்கோவைகளை கோஸ்ட்கா எண்கள் என்று அழைக்கப்படும் எதிர்மறை முழு எண் குணகங்களுடன் மோனோமியல் சமச்சீர் செயல்பாடுகளின் நேரியல் சேர்க்கைகளாக வெளிப்படுத்தலாம், கோஸ்ட்கா எண்கள் அரை தரமான இளம் அட்டவணைகளின் எண்ணிக்கையால் வழங்கப்படுகின்றன λ வடிவம் மற்றும் எடை μ. ஜாகோபி-ட்ரூடி அடையாளங்கள் முதல் ஜாகோபி-ட்ரூடி சூத்திரம் ஷூர் பல்லுறுப்புக்கோவையை முழுமையான ஒரே மாதிரியான சமச்சீர் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் அடிப்படையில் ஒரு தீர்மானகராக வெளிப்படுத்துகிறது, அங்கு. இரண்டாவது ஜாகோபி-ட்ரூடி சூத்திரம் ஷுர் பல்லுறுப்புக்கோவையை அடிப்படை சமச்சீர் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் அடிப்படையில் ஒரு தீர்மானகராக வெளிப்படுத்துகிறது, அங்கு மற்றும் இணை பகிர்வு ஆகும். இரண்டு அடையாளங்களிலும், எதிர்மறை சந்தாக்கள் கொண்ட செயல்பாடுகள் பூஜ்ஜியமாக வரையறுக்கப்படுகின்றன. ஜியாம்பெல்லி அடையாளம் மற்றொரு தீர்மானிக்கும் அடையாளம் ஜியாம்பெல்லியின் சூத்திரமாகும், இது இளம் வரைபடத்தில் உள்ள கொக்கி பகிர்வுகளுக்கான அடிப்படையில் ஒரு தன்னிச்சையான பகிர்வுக்கான ஷுர் செயல்பாட்டை வெளிப்படுத்துகிறது. ஃப்ரோபீனியஸின் குறியீட்டில், பகிர்வு குறிக்கப்படுகிறது, அங்கு, நிலையில் உள்ள ஒவ்வொரு மூலைவிட்ட உறுப்புக்கும், அதே வரிசையில் வலதுபுறத்தில் உள்ள பெட்டிகளின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கிறது மற்றும் அதே நெடுவரிசையில் (கை மற்றும் கால் நீளம், முறையே) அதற்குக் கீழே உள்ள பெட்டிகளின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கிறது. ஜியாம்பெல்லி அடையாளம் இந்த பகிர்வுடன் தொடர்புடைய ஷுர் செயல்பாட்டை ஹூக் பகிர்வுகளுக்கான தீர்மானகராக வெளிப்படுத்துகிறது. காச்சி அடையாளம் ஷூர் செயல்பாடுகளுக்கான காச்சி அடையாளம் (இப்போது எண்ணற்ற பல மாறிகளில்), மற்றும் அதன் இரட்டை நிலை என்னவென்றால், கூட்டுத்தொகை அனைத்து பகிர்வுகளுக்கும் λ மீது எடுக்கப்படுகிறது, மேலும், முறையே முழுமையான சமச்சீர் செயல்பாடுகள் மற்றும் அடிப்படை சமச்சீர் செயல்பாடுகளைக் குறிக்கிறது. ஷுர் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் பெருக்கல்களின் கூட்டுத்தொகையை மாறிகளில் எடுத்துக் கொண்டால், கூட்டுத்தொகையில் நீளத்தின் பகிர்வுகள் மட்டுமே அடங்கும், இல்லையெனில் ஷுர் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் மறைந்துவிடும். சமச்சீர் செயல்பாடுகளின் பிற குடும்பங்களுக்கு இந்த அடையாளங்களின் பல பொதுமைப்படுத்தல்கள் உள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக, மெக்டொனால்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகள், ஸ்கூபர்ட் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் மற்றும் கிரோதெண்டிக் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் ஆகியவை காச்சி போன்ற அடையாளங்களை ஒப்புக்கொள்கின்றன. மேலும் அடையாளங்கள் ஷுர் பல்லுறுப்புக்கோவையை ஹால்-லிட்டில்வுட் பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கான ஒரு சூத்திரத்தின் சிறப்பு மூலம் கணக்கிடலாம், இங்கு அனைத்து i, மற்றும் w ஆகியவற்றிற்கும் குறியீடுகளை வரிசைப்படுத்துவதன் மூலம் மாறிகள் மீது செயல்படும் வகையில் வரிசைமாற்றங்களின் துணைக்குழு உள்ளது. முர்னாகன்-நகயாமா விதி முர்நாகன்-நகயாமா விதி ஒரு ஷூர் பல்லுறுப்புக்கோவையுடன் ஒரு சக்தி-தொகை சமச்சீர் செயல்பாட்டின் பெருக்குலை வெளிப்படுத்துகிறது, ஷூர் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் அடிப்படையில்ஃ இங்கு கூட்டுத்தொகை அனைத்து பகிர்வுகளுக்கும் மேல் உள்ளது, அதாவது μ/λ என்பது r அளவின் விளிம்பு-ஹூக் மற்றும் ht (μ/λ) என்பது வரைபடத்தில் உள்ள வரிசைகளின் எண்ணிக்கை. லிட்டில்வுட்-ரிச்சர்ட்சன் விதி மற்றும் பியேரியின் சூத்திரம் லிட்டில்வுட்-ரிச்சர்ட்சன் குணகங்கள் மூன்று பகிர்வுகளைப் பொறுத்தது, அவற்றில் ஷூர் செயல்பாடுகள் பெருக்கப்படுவதை விவரிக்கின்றன, மேலும் இது நேரியல் கலவையில் உள்ள குணகமாக இருக்கும் ஷூர் செயல்பாட்டை வழங்குகிறது; வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால் அவை குணகங்கள், அதாவது லிட்டில்வுட்-ரிச்சர்ட்சன் விதி வளைந்த வடிவம் மற்றும் எடையின் லிட்டில்வுட்-ரிச்சர்ட்சன் அட்டவணைகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமம் என்று கூறுகிறது. பியேரியின் சூத்திரம் லிட்டில்வுட்-ரிச்சர்ட்சன் விதியின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு, இது ஷூர் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் அடிப்படையில் விளைபொருளை வெளிப்படுத்துகிறது. இரட்டைப் பதிப்பு ஷுர் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. ஷுர் பல்லுறுப்புக்கோவையை மதிப்பீடு செய்வது உள்ளீடுகளுடன் அரை தரமான வடிவத்தின் இளம் அட்டவணைகளின் எண்ணிக்கையை வழங்குகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, வேய்ல் எழுத்து சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், இந்த சூத்திரத்தில், இளம் வரைபடத்தின் ஒவ்வொரு வரிசையின் அகலத்தையும் குறிக்கும் டப்பிள், அதன் நீளம் இருக்கும் வரை பூஜ்ஜியங்களுடன் மறைமுகமாக நீட்டிக்கப்பட்டுள்ளது என்பதைக் காட்டலாம். கூறுகளின் கூட்டுத்தொகை. நிலையான λ க்கு அதே அளவைக் கணக்கிடும் ஹூக் நீளம் சூத்திரத்தையும் பார்க்கவும். எடுத்துக்காட்டு பின்வரும் விரிவாக்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டு இந்த கருத்துக்களை தெளிவுபடுத்த உதவும். n = 3, d = 4 என்ற விஷயத்தைக் கவனியுங்கள். ஃபெரர்ஸ் வரைபடங்கள் அல்லது வேறு சில முறைகளைப் பயன்படுத்தி, 4 இன் நான்கு பகிர்வுகள் அதிகபட்சம் மூன்று பகுதிகளாக இருப்பதை நாம் காண்கிறோம். நம்மிடம் மற்றும் பல உள்ளன, வாண்டர்மொண்டே தீர்மானிப்பவர் எங்கே. சுருக்கமாகஃ மூன்று மாறிகளில் உள்ள ஒவ்வொரு ஒரே மாதிரியான டிகிரி-நான்கு சமச்சீர் பல்லுறுப்புக்கோவையையும் இந்த நான்கு ஷுர் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் தனித்துவமான நேரியல் கலவையாக வெளிப்படுத்தலாம், மேலும் இந்த கலவையை பொருத்தமான நீக்குதல் வரிசைக்கு கிராப்னர் அடிப்படையைப் பயன்படுத்தி மீண்டும் காணலாம். எடுத்துக்காட்டாக, இது ஒரு சமச்சீர் பல்லுறுப்புக்கோவை, இது படி நான்கு ஒரே மாதிரியாக உள்ளது, மேலும் பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாட்டுடன் நமக்கு உறவு உள்ளது ஷுர் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் சமச்சீர் குழுக்கள், பொதுவான நேரியல் குழுக்கள் மற்றும் ஒற்றையாட்சி குழுக்களின் பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாட்டில் நிகழ்கின்றன. வெய்ல் எழுத்து சூத்திரம் ஷூர் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் பொதுவான நேரியல் குழுக்களின் வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண பகுக்கமுடியாத பிரதிநிதித்துவங்களின் எழுத்துக்கள் என்பதைக் குறிக்கிறது, மேலும் ஷூரின் பணியை மற்ற கச்சிதமான மற்றும் அரை எளிய லை குழுக்களுக்கு பொதுமைப்படுத்த உதவுகிறது. இந்த உறவுக்கு பல வெளிப்பாடுகள் எழுகின்றன, அவற்றில் மிக முக்கியமான ஒன்று சமச்சீர் சக்தி செயல்பாடுகளின் அடிப்படையில் ஷுர் செயல்பாடுகள் sλ இன் விரிவாக்கம் ஆகும். பகிர்வு ρ ஆல் குறியிடப்பட்ட சுழற்சி வகையின் கூறுகளில் மதிப்பிடப்பட்ட பகிர்வு λ ஆல் குறியிடப்பட்ட சமச்சீர் குழுவின் பிரதிநிதித்துவத்தின் தன்மைக்கு நாம் χ ஐ எழுதினால், ρ = (1r1,2r2,3r3,.) என்றால் பகிர்வு ρ என்பது k நீளத்தின் rk பகுதிகளைக் கொண்டுள்ளது என்று அர்த்தம். முர்ணகன்-நகயாமா விதியைப் பயன்படுத்தி χ முழு எண்களைக் கணக்கிடலாம். ஷூர் நேர்மறை பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாட்டுடன் தொடர்பு இருப்பதால், ஷூர் செயல்பாடுகளில் நேர்மறையாக விரிவடையும் ஒரு சமச்சீர் செயல்பாடு குறிப்பாக ஆர்வமாக உள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, வளைவு ஷூர் செயல்பாடுகள் சாதாரண ஷூர் செயல்பாடுகளில் நேர்மறையாக விரிவடைகின்றன, மேலும் குணகங்கள் லிட்டில்வுட்-ரிச்சர்ட்சன் குணகங்கள் ஆகும். இதன் ஒரு சிறப்பு வழக்கு ஷூர் செயல்பாடுகளில் முழுமையான ஒரே மாதிரியான சமச்சீர் செயல்பாடுகளின் விரிவாக்கம் ஆகும். இந்த சிதைவு ஒரு வரிசைமாற்ற தொகுதி எவ்வாறு பகுக்கமுடியாத பிரதிநிதித்துவங்களாக சிதைக்கப்படுகிறது என்பதை பிரதிபலிக்கிறது. ஷூர் நேர்மறையை நிரூபிப்பதற்கான முறைகள் கொடுக்கப்பட்ட சமச்சீர் செயல்பாட்டின் ஷூர் நேர்மறையை நிரூபிக்க பல அணுகுமுறைகள் உள்ளன. எஃப் ஒரு ஒருங்கிணைந்த முறையில் விவரிக்கப்பட்டால், அரை தரமான இளம் அட்டவணைகளுடன் ஒரு பைஜெக்ஷனை உருவாக்குவதே ஒரு நேரடி அணுகுமுறையாகும். எடெல்மேன்-கிரீன் கடிதப் பரிமாற்றமும் ராபின்சன்-ஷென்ஸ்டெட்-க்னுத் கடிதப் பரிமாற்றமும் அத்தகைய பைஜெக்சன்களுக்கு எடுத்துக்காட்டுகளாகும். அதிக கட்டமைப்பைக் கொண்ட ஒரு பைஜெக்ஷன் என்பது படிகங்கள் என்று அழைக்கப்படுவதைப் பயன்படுத்தும் ஒரு சான்றாகும். இந்த முறையை அடிப்படை ஒருங்கிணைந்த பொருட்களின் உள்ளூர் விதிகளுடன் விவரிக்கப்பட்ட ஒரு குறிப்பிட்ட வரைபட கட்டமைப்பை வரையறுப்பது என்று விவரிக்கலாம். இதே போன்ற ஒரு கருத்து இரட்டை சமநிலை பற்றிய கருத்தாகும். இந்த அணுகுமுறை ஒரு வரைபட கட்டமைப்பையும் பயன்படுத்துகிறது, ஆனால் அடிப்படை குவாசிசிமெட்ரிக் அடிப்படையில் விரிவாக்கத்தை குறிக்கும் பொருள்களில். இது ஆர். எஸ். கே-கடிதத்துடன் நெருக்கமாக தொடர்புடையது. பொதுமைப்படுத்தல்கள் ஸ்க்யூ ஷூர் செயல்பாடுகள் ஸ்க்யூ ஷூர் செயல்பாடுகள் sλ/μ இரண்டு பகிர்வுகளைப் பொறுத்தது, மேலும் பண்புகளால் வரையறுக்கப்படலாம் இங்கே, உள் தயாரிப்பு ஹால் உள் தயாரிப்பு ஆகும், இதற்காக ஷூர் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் ஒரு ஆர்த்தோனார்மல் அடிப்படையை உருவாக்குகின்றன. சாதாரண ஷூர் பல்லுறுப்புக்கோவைகளைப் போலவே, இவற்றைக் கணக்கிட பல வழிகள் உள்ளன. ஸ்க்யூ ஷுர் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் ஒருங்கிணைந்த விளக்கமும் உள்ளது, அதாவது இது ஸ்க்யூ வடிவத்தின் அனைத்து அரை தரமான இளம் அட்டவணைகளின் (அல்லது நெடுவரிசை-கடுமையான அட்டவணைகள்) கூட்டுத்தொகையாகும். ஸ்க்யூ ஷூர் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் ஷூர் பல்லுறுப்புக்கோவைகளில் நேர்மறையாக விரிவடைகின்றன. குணகங்களுக்கான விதி லிட்டில்வுட்-ரிச்சர்ட்சன் விதியால் வழங்கப்படுகிறது. இரட்டை ஷூர் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் இரட்டை ஷூர் பல்லுறுப்புக்கோவைகளை மாற்றப்பட்ட ஷூர் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் பொதுமைப்படுத்தலாகக் காணலாம். இந்த பல்லுறுப்புக்கோவைகள் காரணி ஷுர் பல்லுறுப்புக்கோவைகளுடன் நெருக்கமாக தொடர்புடையவை. ஒரு பகிர்வு மற்றும் ஒரு வரிசை கொடுக்கப்பட்டால், இரட்டை ஷுர் பல்லுறுப்புக்கோவையை வரையறுக்க முடியும், அங்கு அனைத்து தலைகீழ் அரை தரமான இளம் அட்டவணை வடிவத்திலும், முழு எண் உள்ளீடுகளிலும் தொகை எடுக்கப்படுகிறது. இங்கே பெட்டியில் உள்ள மதிப்பைக் குறிக்கிறது மற்றும் பெட்டியின் உள்ளடக்கமாகும். லிட்டில்வுட்-ரிச்சர்ட்சன் குணகங்களுக்கான (அ வரிசையைப் பொறுத்து) ஒரு ஒருங்கிணைந்த விதி ஏ. ஐ. மோலேவ் என்பவரால் வழங்கப்பட்டது. குறிப்பாக, மாற்றப்பட்ட ஷுர் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் எதிர்மறை அல்லாத லிட்டில்வுட்-ரிச்சர்ட்சன் குணகங்களைக் கொண்டுள்ளன என்பதை இது குறிக்கிறது. மாற்றப்பட்ட ஷூர் பல்லுறுப்புக்கோவைகளை இரட்டை ஷூர் பல்லுறுப்புக்கோவைகளிலிருந்து மற்றும் சிறப்புப்படுத்துவதன் மூலம் பெறலாம். இரட்டை ஷூர் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் இரட்டை ஷுபர்ட் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் சிறப்பு நிகழ்வுகளாகும். காரணி ஷுர் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் காரணி ஷுர் பல்லுறுப்புக்கோவைகளை பின்வருமாறு வரையறுக்கலாம். ஒரு பகிர்வு λ மற்றும் இரட்டிப்பு எல்லையற்ற வரிசை கொடுக்கப்பட்டால்., a−1, a0, a1,. காரணி ஷூர் பல்லுறுப்புக்கோவை sλ (x|a) ஐ வரையறுக்கலாம், அங்கு கூட்டுத்தொகை அனைத்து அரை தரமான இளம் அட்டவணை T வடிவத்திலும் எடுக்கப்படுகிறது. ஒரு தீர்மானிக்கும் சூத்திரமும் உள்ளது, அங்கு (y|a) k = (y−a1). (y−ak). அனைத்து i க்கும் நாம் அனுமதித்தால், வழக்கமான ஷுர் பல்லுறுப்புக்கோவை sλ ஐ மீட்டெடுக்கிறோம் என்பது தெளிவாகிறது. இரட்டை ஷூர் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் மற்றும் n மாறிகளில் உள்ள காரணி ஷூர் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் ஆகியவை sλ (x | |a) = sλ (x|u) என்ற அடையாளத்தின் மூலம் தொடர்புடையவை, அங்கு ஒரு −i + 1 = ui. பிற பொதுமைப்படுத்தல்கள் ஷூர் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் ஏராளமான பொதுமைப்படுத்தல்கள் உள்ளனஃ ஹால்-லிட்டில்வுட் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் மாற்றப்பட்ட ஷூர் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் ஃபிளாக்ட் ஷூர் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் ஸ்கூபர்ட் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் ஸ்டான்லி சமச்சீர் செயல்பாடுகள் (நிலையான ஸ்கூபர்ட் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன) முக்கிய பல்லுறுப்புக்கோவைகள் (டிமேசர் எழுத்துக்கள் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன) அரை-சமச்சீர் ஷூர் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் வரிசை-கண்டிப்பான ஷூர் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் ஜாக் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் மாடுலர் ஷூர் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் லூப் ஷூர் செயல்பாடுகள் மெக்டொனால்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகள் சிம்ப்லெக்டிக் மற்றும் ஆர்த்தோகனல் குழுவிற்கான ஷூர் பல்லுறுப்புக்கோவைகள். k-ஷூர் செயல்பாடுகள் கிரோதெண்டிக் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் (ஷூர் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் K-கோட்பாட்டு ஒப்புமை) LLT பல்லுறுப்புக்கோவைகள் ஷூர் செயல்பாட்டாளர் லிட்டில்வுட்-ரிச்சர்ட்சன் விதியையும் பார்க்கவும், அங்கு ஷூர் பல்லுறுப்புக்கோவைகளை உள்ளடக்கிய சில அடையாளங்களைக் காணலாம். குறிப்புகள் ஒரே மாதிரியான பல்லுறுப்புக்கோவைகள் மாறாத கோட்பாடு வரையறுக்கப்பட்ட குழுக்களின் பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாடு சமச்சீர் செயல்பாடுகள் ஆர்த்தோகனல் பல்லுறுப்புக்கோவைகள்