Symmetric derivative
கணிதத்தில், சமச்சீர் வழித்தோன்றல் என்பது சாதாரண வழித்தோன்றலை பொதுமைப்படுத்தும் ஒரு செயல்பாடாகும். இது வரையறுக்கப்படுகிறது வரம்பின் கீழ் உள்ள வெளிப்பாடு சில நேரங்களில் சமச்சீர் வேறுபாடு அளவு என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு செயல்பாடு அதன் சமச்சீர் வழித்தோன்றல் அந்த கட்டத்தில் இருந்தால் x புள்ளியில் சமச்சீராக வேறுபடுத்தக்கூடியது என்று கூறப்படுகிறது. ஒரு செயல்பாடு ஒரு புள்ளியில் வேறுபடுத்தக்கூடியதாக (வழக்கமான அர்த்தத்தில்) இருந்தால், அது சமச்சீர் ரீதியாக வேறுபடுத்தக்கூடியது, ஆனால் எதிர் உண்மை அல்ல. ஒரு நன்கு அறியப்பட்ட எதிர் உதாரணம் முழுமையான மதிப்பு செயல்பாடு ஆகும், இது வேறுபடுத்தக்கூடியது அல்ல, ஆனால் சமச்சீர் வழித்தோன்றல் 0 உடன் சமச்சீர் ரீதியாக வேறுபடுத்தக்கூடியது. வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாடுகளுக்கு, சமச்சீர் வேறுபாடு அளவு வழக்கமான வேறுபாடு அளவை விட வழித்தோன்றலின் சிறந்த எண் தோராயத்தை வழங்குகிறது. ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில் சமச்சீர் வழித்தோன்றல் அந்த கட்டத்தில் இடது மற்றும் வலது வழித்தோன்றல்களின் எண்கணித சராசரிக்கு சமம், பிந்தைய இரண்டும் இருந்தால். ரோலின் தேற்றமோ அல்லது சராசரி-மதிப்பு தேற்றமோ சமச்சீர் வழித்தோன்றலுக்கு பொருந்தாது; சில ஒத்த ஆனால் பலவீனமான அறிக்கைகள் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளன. எடுத்துக்காட்டுகள் முழுமையான மதிப்பு செயல்பாடு முழுமையான மதிப்பு செயல்பாட்டிற்கு, சமச்சீர் வழித்தோன்றலுக்கான குறியீட்டைப் பயன்படுத்தி, நம்மிடம் உள்ளது எனவே முழுமையான மதிப்பு செயல்பாட்டின் சமச்சீர் வழித்தோன்றல் உள்ளது மற்றும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம், அதன் சாதாரண வழித்தோன்றல் அந்த கட்டத்தில் இல்லை என்றாலும் (வளைவில் ஒரு "கூர்மையான" திருப்பத்தின் காரணமாக). இந்த எடுத்துக்காட்டில் 0 இல் இடது மற்றும் வலது வழித்தோன்றல்கள் இரண்டும் உள்ளன, ஆனால் அவை சமமற்றவை (ஒன்று −1, மற்றொன்று + 1); அவற்றின் சராசரி எதிர்பார்த்தபடி 0 ஆகும். x − 2 செயல்பாட்டிற்கு, நம்மிடம் உள்ளது மீண்டும், இந்த செயல்பாட்டிற்கு சமச்சீர் வழித்தோன்றல் உள்ளது, அதே நேரத்தில் அதன் சாதாரண வழித்தோன்றல் அங்குள்ள வளைவில் உள்ள இடைநிறுத்தம் காரணமாக இல்லை. மேலும், இடது அல்லது வலது வழித்தோன்றல் 0 இல் வரையறுக்கப்படவில்லை, அதாவது. இது ஒரு அத்தியாவசிய இடைநிறுத்தமாகும். டிரிச்லெட் செயல்பாடு டிரிச்லெட் செயல்பாடு, ஒவ்வொன்றிலும் ஒரு சமச்சீர் வழித்தோன்றலைக் கொண்டுள்ளது என்று வரையறுக்கப்படுகிறது, ஆனால் எந்த நேரத்திலும் சமச்சீராக வேறுபடுத்த முடியாது; அதாவது. சமச்சீர் வழித்தோன்றல் விகிதமுறு எண்களில் உள்ளது, ஆனால் விகிதமுறு எண்களில் இல்லை. அரை-பொருள்-மதிப்பு தேற்றம் சமச்சீர் வழித்தோன்றல் வழக்கமான சராசரி-மதிப்பு தேற்றத்திற்கு (லாக்ரேஞ்சின்) கீழ்ப்படியவில்லை. ஒரு எதிர் எடுத்துக்காட்டாக, சமச்சீர் வழித்தோன்றலின் உருவம் உள்ளது, ஆனால் f க்கான செகண்டுகள் பரந்த அளவிலான சரிவுகளைக் கொண்டிருக்கலாம்; எடுத்துக்காட்டாக, இடைவெளியில், சராசரி-மதிப்பு தேற்றம் (சமச்சீர்) வழித்தோன்றல் மதிப்பை எடுக்கும் ஒரு புள்ளி இருப்பதை கட்டாயப்படுத்தும் ஒரு தேற்றம் ரோலின் தேற்றத்திற்கு ஓரளவு ஒத்திருக்கிறது, ஆனால் சமச்சீர் வழித்தோன்றலுக்காக 1967 இல் சி. இ. ஆல் என்பவரால் நிறுவப்பட்டது, அவர் அதற்கு அரை-ரோல் தேற்றம் என்று பெயரிட்டார். மூடிய இடைவெளியில் தொடர்ச்சியாகவும், திறந்த இடைவெளியில் சமச்சீராக வேறுபடுத்தக்கூடியதாகவும் இருந்தால், பின்னர் இரண்டு புள்ளிகள் உள்ளன, அதாவது, மற்றும். மூடிய இடைவெளியில் தொடர்ச்சியாகவும், திறந்த இடைவெளியில் சமச்சீராக வேறுபடுத்தக்கூடியதாகவும் இருந்தால், கூடுதலாக, சமச்சீர் வழித்தோன்றல் எதிர்மறையாக இல்லாத இடத்தில் அல்லது மேலே பயன்படுத்தப்பட்ட குறியீட்டுடன் ஒரு புள்ளி உள்ளது என்று இந்த தேற்றத்திற்கு ஒரு படிப்படியாக ஆல் நிறுவிய ஒரு லெம்மா கூறுகிறது. இதேபோல், என்றால், எங்கே ஒரு புள்ளி உள்ளது. ஒரு சமச்சீர் வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாட்டிற்கான அரை-பொருள்-மதிப்பு தேற்றம், மூடிய இடைவெளியில் தொடர்ச்சியாகவும், திறந்த இடைவெளியில் சமச்சீர் வேறுபடுத்தக்கூடியதாகவும் இருந்தால், ஒரு பயன்பாடாக, 0 ஐக் கொண்ட இடைவெளியில் அரை-பொருள்-மதிப்பு தேற்றம்-1 மற்றும் 1 க்கு இடையில் இருக்கும் என்று கணித்துள்ளது. சமச்சீர் வழித்தோன்றல் டார்பாக்ஸ் பண்பைக் கொண்டிருந்தால், வழக்கமான சராசரி-மதிப்பு தேற்றம் (லாக்ரேஞ்சின்), அதாவது. இதன் விளைவாக, ஒரு செயல்பாடு தொடர்ச்சியாகவும், அதன் சமச்சீர் வழித்தோன்றலும் தொடர்ச்சியாகவும் இருந்தால் (இதனால் டார்பாக்ஸ் பண்பு உள்ளது), செயல்பாடு வழக்கமான அர்த்தத்தில் வேறுபடுத்தக்கூடியது. பொதுமைப்படுத்தல்கள் இந்த கருத்து உயர்-வரிசை சமச்சீர் வழித்தோன்றல்கள் மற்றும் n-பரிமாண யூக்ளிடியன் இடைவெளிகள் ஆகியவற்றிற்கும் பொதுமைப்படுத்துகிறது. இரண்டாவது சமச்சீர் வழித்தோன்றல் இரண்டாவது சமச்சீர் வழித்தோன்றல் என வரையறுக்கப்படுகிறது (வழக்கமான) இரண்டாவது வழித்தோன்றல் இருந்தால், இரண்டாவது சமச்சீர் வழித்தோன்றல் உள்ளது மற்றும் அதற்கு சமம். இருப்பினும், (சாதாரண) இரண்டாவது வழித்தோன்றல் இல்லாதபோது கூட, இரண்டாவது சமச்சீர் வழித்தோன்றல் இருக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, சைன் செயல்பாட்டைக் கவனியுங்கள், இது சைன் செயல்பாட்டால் வரையறுக்கப்படுகிறது சைன் செயல்பாடு பூஜ்ஜியத்தில் தொடர்ச்சியாக இல்லை, எனவே இரண்டாவது வழித்தோன்றல் இல்லை. ஆனால் இரண்டாவது சமச்சீர் வழித்தோன்றல் இதற்கு உள்ளதுஃ மேலும் காண்கஃ மத்திய வேறுபாடு திட்டம் சமச்சீர் தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலின் அடர்த்தி புள்ளி பொதுமைப்படுத்தல்கள் குறிப்புகள் வெளிப்புற இணைப்புகள் சமச்சீர் வேறுபாடு விகிதத்தால் வழித்தோன்றலை தோராயமாக மதிப்பிடுதல் (வொல்ப்ராம் செயல்விளக்கங்கள் திட்டம்) வேறுபட்ட கால்குலஸ்