Gelfand pair
கணிதத்தில், கெல்ஃபாண்ட் ஜோடி என்பது ஒரு ஜோடி (ஜி, கே) ஒரு குழு ஜி மற்றும் ஒரு துணைக்குழு கே (ஜி இன் ஆய்லர் துணைக்குழு என்று அழைக்கப்படுகிறது) கட்டுப்படுத்தப்பட்ட பிரதிநிதித்துவங்களில் ஒரு குறிப்பிட்ட பண்பை திருப்திப்படுத்துகிறது. கெல்ஃபாண்ட் ஜோடிகளின் கோட்பாடு சிறப்பு செயல்பாடுகளின் கிளாசிக்கல் கோட்பாட்டில் கோள செயல்பாடுகளின் தலைப்புடனும், வேறுபட்ட வடிவவியலில் ரீமானியன் சமச்சீர் இடைவெளிகளின் கோட்பாட்டுடனும் நெருக்கமாக தொடர்புடையது. பரவலாகப் பார்த்தால், இந்த கோட்பாடுகளிலிருந்து அவற்றின் உள்ளடக்கத்தை ஹார்மோனிக் பகுப்பாய்வு மற்றும் பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாட்டின் அடிப்படையில் சுருக்கமாகக் கூற இந்தக் கோட்பாடு உள்ளது. G ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட குழுவாக இருக்கும்போது, எளிமையான வரையறை, தோராயமாக பேசுகையில், G பயணத்தில் (K, K)-இரட்டை கொசெட்டுகள். மேலும் துல்லியமாக, ஹெக் இயற்கணிதம், G இல் உள்ள செயல்பாடுகளின் இயற்கணிதம், K ஆல் இருபுறமும் மொழிபெயர்ப்பின் கீழ் மாறாதவை, G இல் உள்ள சுழற்சிக்கு பரிமாற்றமாக இருக்க வேண்டும். பொதுவாக, கெல்ஃபாண்ட் ஜோடியின் வரையறை தோராயமாக G இன் எந்தவொரு பகுக்கமுடியாத பிரதிநிதித்துவத்தின் K க்கு கட்டுப்பாடு 1 க்கு மிகாமல் பெருக்கத்துடன் K இன் அற்பமான பிரதிநிதித்துவத்தைக் கொண்டுள்ளது. ஒவ்வொரு சந்தர்ப்பத்திலும் ஒருவர் கருதப்படும் பிரதிநிதித்துவங்களின் வகையையும் உள்ளடக்கியவற்றின் அர்த்தத்தையும் குறிப்பிட வேண்டும். வரையறைகள் ஒவ்வொரு பகுதியிலும், பிரதிநிதித்துவங்களின் வகை மற்றும் பிரதிநிதித்துவங்களுக்கான கட்டுப்பாட்டின் வரையறை சற்று வேறுபட்டது. இதுபோன்ற பல சந்தர்ப்பங்களில் தெளிவான வரையறைகள் இங்கே கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. வரையறுக்கப்பட்ட குழு வழக்கு G ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட குழுவாக இருக்கும்போது பின்வருபவை சமமானவை (G, K) ஒரு கெல்ஃபாண்ட் ஜோடி. (K, K) இன் இயற்கணிதம்-G இல் இரட்டை மாறாத செயல்பாடுகள் மற்றும் பெருக்கத்தால் வரையறுக்கப்பட்ட பெருக்கம் பரிமாற்றமாகும். G இன் எந்தவொரு பகுக்கமுடியாத பிரதிநிதித்துவத்திற்கும், π இல் உள்ள K-மாறுபட்ட திசையன்களின் இடைவெளி πK என்பது 1-ஐ விட அதிக பரிமாணமாக இருக்காது. G இன் எந்தவொரு பகுக்கமுடியாத பிரதிநிதித்துவத்திற்கும், HomK (π, C) இன் பரிமாணம் 1 ஐ விட குறைவாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்கும், இதில் C என்பது அற்பமான பிரதிநிதித்துவத்தைக் குறிக்கிறது. K இன் கோசெட்களில் G இன் வரிசைமாற்ற பிரதிநிதித்துவம் பெருக்கம் இல்லாதது, அதாவது, இது பண்பு பூஜ்ஜியத்தில் தனித்துவமான முற்றிலும் பகுக்கமுடியாத பிரதிநிதித்துவங்களின் நேரடி கூட்டுத்தொகையாக சிதைகிறது. வரிசைமாற்ற பிரதிநிதித்துவத்தின் மையப்படுத்தப்பட்ட இயற்கணிதம் (ஷுர் இயற்கணிதம்) பரிமாற்றமாகும். (G/N, K/N) என்பது ஒரு கெல்ஃபாண்ட் ஜோடி, இதில் N என்பது K இல் உள்ள G இன் இயல்பான துணைக்குழுவாகும். சுருக்க குழு வழக்கு G ஒரு சிறிய இடவியல் குழுவாக இருக்கும்போது பின்வருபவை சமமானவைஃ (G, K) ஒரு கெல்ஃபாண்ட் ஜோடி. (K, K) இன் இயற்கணிதம்-இரட்டை மாறாதது G இல் சுருக்கமாக ஆதரிக்கப்படும் தொடர்ச்சியான அளவீடுகள் பெருக்கத்தால் வரையறுக்கப்பட்ட பெருக்கத்துடன் பரிமாற்றமாகும். G இன் எந்தவொரு தொடர்ச்சியான, உள்ளூரில் குவிந்த, பகுக்கமுடியாத பிரதிநிதித்துவம் π க்கு, π இல் உள்ள K-மாறுபட்ட திசையன்களின் இடைவெளி πK என்பது 1-ஐ விட அதிக பரிமாணமாக இருக்காது. G இன் எந்தவொரு தொடர்ச்சியான, உள்ளூரில் குவிந்த, பகுக்கமுடியாத பிரதிநிதித்துவத்திற்கு, HomK இன் பரிமாணம் (π, C) 1 ஐ விட குறைவாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்கும். G இன் பிரதிநிதித்துவம் L2 (G/K) பெருக்கம் இல்லாதது, அதாவது. இது தனித்துவமான ஒற்றையாட்சி பகுக்கமுடியாத பிரதிநிதித்துவங்களின் நேரடி கூட்டுத்தொகையாகும். ஜி ஒரு லை குழுவாகவும், கே ஒரு சிறிய துணைக்குழுவாகவும் இருக்கும்போது பின்வருபவை சமமானவைஃ (ஜி, கே) ஒரு கெல்ஃபேண்ட் ஜோடி. (K, K) இன் இயற்கணிதம்-இரட்டை மாறாதது G இல் சுருக்கமாக ஆதரிக்கப்படும் தொடர்ச்சியான அளவீடுகள் மற்றும் பெருக்கல் மூலம் வரையறுக்கப்பட்ட பெருக்கம் பரிமாற்றமாகும். G/K இல் உள்ள K-மாறுபட்ட வேறுபட்ட இயக்கிகளின் இயற்கணிதம் D (G/K) K என்பது பரிமாற்றமாகும். G இன் எந்தவொரு தொடர்ச்சியான, உள்ளூரில் குவிந்த, பகுக்கமுடியாத பிரதிநிதித்துவம் π க்கு, π இல் உள்ள K-மாறுபட்ட திசையன்களின் இடைவெளி πK என்பது 1-ஐ விட அதிக பரிமாணமாக இருக்காது. G இன் எந்தவொரு தொடர்ச்சியான, உள்ளூரில் குவிந்த, பகுக்கமுடியாத பிரதிநிதித்துவத்திற்கு, HomK இன் பரிமாணம் (π, C) 1 ஐ விட குறைவாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்கும். G இன் பிரதிநிதித்துவம் L2 (G/K) பெருக்கம் இல்லாதது, அதாவது. இது தனித்துவமான ஒற்றையாட்சி பகுக்கமுடியாத பிரதிநிதித்துவங்களின் நேரடி ஒருங்கிணைப்பாகும். அத்தகைய கெல்ஃபாண்ட் ஜோடிகளின் வகைப்பாட்டிற்கு பார்க்கவும். அத்தகைய கெல்ஃபேண்ட் ஜோடிகளின் பாரம்பரிய எடுத்துக்காட்டுகள் (ஜி, கே) ஆகும், இதில் ஜி ஒரு குறைப்பு லை குழு மற்றும் கே ஒரு அதிகபட்ச சிறிய துணைக்குழு ஆகும். சுருக்கமான துணைக்குழுவுடன் உள்ளூரில் கச்சிதமான இடவியல் குழு G என்பது உள்ளூரில் கச்சிதமான இடவியல் குழுவாகவும், K என்பது ஒரு கச்சிதமான துணைக்குழுவாகவும் இருக்கும்போது பின்வருபவை சமமானவைஃ (G, K) என்பது ஒரு கெல்ஃபாண்ட் ஜோடி. (K, K) இன் இயற்கணிதம்-இரட்டை மாறாதது G இல் சுருக்கமாக ஆதரிக்கப்படும் தொடர்ச்சியான அளவீடுகள் பெருக்கத்தால் வரையறுக்கப்பட்ட பெருக்கத்துடன் பரிமாற்றமாகும். G இன் எந்தவொரு தொடர்ச்சியான உள்ளூரில் குவிந்த பகுக்கமுடியாத பிரதிநிதித்துவத்திற்கும், π இல் உள்ள K-மாறுபட்ட திசையன்களின் இடைவெளி πK என்பது 1-ஐ விட அதிக பரிமாணமாக இருக்காது. G இன் எந்தவொரு தொடர்ச்சியான, உள்ளூரில் குவிந்த, பகுக்கமுடியாத பிரதிநிதித்துவத்திற்கு, HomK (π, C) இன் பரிமாணம் 1 ஐ விட குறைவாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்கும். G இன் பிரதிநிதித்துவம் L2 (G/K) பெருக்கம் இல்லாதது, அதாவது. இது தனித்துவமான ஒற்றையாட்சி பகுக்கமுடியாத பிரதிநிதித்துவங்களின் நேரடி ஒருங்கிணைப்பாகும். அந்த அமைப்பில், G ஒரு இவாசாவா-மோனோட் சிதைவைக் கொண்டுள்ளது, அதாவது G இன் சில இணக்கமான துணைக்குழு P க்கு G = K P. இது அரை எளிய லை குழுக்களின் இவாசாவா சிதைவின் சுருக்க ஒப்புமை ஆகும். G ஒரு லை குழுவாகவும், K ஒரு மூடிய துணைக்குழுவாகவும் இருக்கும்போது, ஹில்பர்ட் இடத்தில் G இன் எந்தவொரு பகுக்கமுடியாத யூனிட்டரி பிரதிநிதித்துவத்திற்கும் π க்கு HomK (π, C) இன் பரிமாணம் 1 ஐ விட குறைவாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருந்தால், இந்த ஜோடி (G, K) ஒரு பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட கெல்ஃபேண்ட் ஜோடி என்று அழைக்கப்படுகிறது, அங்கு π ν என்பது மென்மையான திசையன்களின் துணை பிரதிநிதித்துவத்தைக் குறிக்கிறது. G என்பது ஒரு உள்ளூர் புலத்தின் மீது ஒரு குறைப்புக் குழுவாகவும், K என்பது ஒரு மூடிய துணைக் குழுவாகவும் இருக்கும்போது, கெல்ஃபாண்ட் ஜோடியின் மூன்று (ஒருவேளை சமமற்ற) கருத்துக்கள் இலக்கியத்தில் தோன்றும். அவற்றை இங்கே ஜிபி1, ஜிபி2 மற்றும் ஜிபி3 என்று அழைப்போம். ஜிபி1) ஜி இன் எந்தவொரு பகுக்கமுடியாத ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய பிரதிநிதித்துவத்திற்கும் ஹோம்கே (π, சி) இன் பரிமாணம் 1 ஐ விட குறைவாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்கும். ஜிபி2) ஜி இன் எந்தவொரு பகுக்கமுடியாத ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய பிரதிநிதித்துவத்திற்கும் π நம்மிடம் உள்ளது, இது மென்மையான இரட்டைக் குறியீட்டைக் குறிக்கிறது. ஜிபி3) ஒரு ஹில்பர்ட் இடத்தில் ஜி இன் எந்தவொரு பகுக்கமுடியாத ஒற்றையாட்சி பிரதிநிதித்துவத்திற்கும் ஹோம்கே (π, சி) இன் பரிமாணம் 1 ஐ விட குறைவாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்கும். இங்கே, ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய பிரதிநிதித்துவம் என்பது உள்ளூர் புலம் ஆர்க்கிமீடியன் அல்லாததாக இருக்கும்போது ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய பிரதிநிதித்துவத்தின் வழக்கமான கருத்தாகும். உள்ளூர் புலம் ஆர்க்கிமிடியனாக இருக்கும்போது, ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய பிரதிநிதித்துவம் என்பது மிதமான வளர்ச்சியின் மென்மையான ஃப்ரெச்செட் பிரதிநிதித்துவத்தைக் குறிக்கிறது, இது தொடர்புடைய ஹரிஷ்-சந்திரா தொகுதி ஏற்றுக்கொள்ளத்தக்கது. உள்ளூர் புலம் ஆர்க்கிமிடியன் என்றால், ஜிபி 3 முந்தைய வழக்கில் வரையறுக்கப்பட்ட பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட கெல்ஃபாண்ட் பண்பு போன்றது. தெளிவாக, ஜி. பி. 1. ஜி. பி. 2. ஜி. பி. 3. வலுவான கெல்ஃபேண்ட் ஜோடிகள் ஒரு ஜோடி (G, K) ஒரு வலுவான கெல்ஃபேண்ட் ஜோடி என்று அழைக்கப்படுகிறது, இந்த ஜோடி (G × K, ΔK) ஒரு கெல்ஃபேண்ட் ஜோடியாக இருந்தால், இங்கு ΔK ≤ G × K என்பது மூலைவிட்ட துணைக்குழுவாகும்ஃ {(k, k) இல் G × K: k இல் K}. சில நேரங்களில், இந்த பண்பு பெருக்கம் ஒரு பண்பு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. மேற்கூறிய ஒவ்வொரு நிகழ்விலும் வலுவான கெல்ஃபாண்ட் ஜோடிகளுக்கு ஏற்றவாறு மாற்றியமைக்கப்படலாம். எடுத்துக்காட்டாக, G ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட குழுவாக இருக்கட்டும். பின்னர் பின்வருபவை சமமானவை. (ஜி, கே) ஒரு வலுவான கெல்ஃபாண்ட் ஜோடி. K இன் இணைப்பைப் பொறுத்தவரை G இன் மாறாத செயல்பாடுகளின் இயற்கணிதம் (பெருக்கத்தால் வரையறுக்கப்பட்ட பெருக்கத்துடன்) பரிமாற்றமாகும். G இன் எந்த பகுக்கமுடியாத பிரதிநிதித்துவத்திற்கும், K இன் τ க்கும், இடைவெளி HomK (τ, π) என்பது 1-ஐ விட அதிக பரிமாணம் கொண்டது அல்ல. G இன் எந்த பகுக்கமுடியாத பிரதிநிதித்துவத்திற்கும், K இன் τ க்கும், இடைவெளி HomK (π, τ) என்பது 1-ஐ விட அதிக பரிமாணம் கொண்டது அல்ல. கெல்ஃபாண்ட் பண்புக்கான அளவுகோல் சுருக்கமான துணைக்குழுவுடன் உள்ளூரில் கச்சிதமான இடவியல் குழு இந்த விஷயத்தில் கெல்ஃபாண்ட் காரணமாக ஜோடி (ஜி, கே) கெல்ஃபாண்டாக இருப்பதற்கு ஒரு கிளாசிக்கல் அளவுகோல் உள்ளதுஃ ஜி எஸ் டி இன் ஒரு தனித்துவமான ஆன்டி-ஆட்டோமார்ஃபிஸம் σ உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். எந்த (K, K) இரட்டை கொசெட்டும் σ மாறாதது. பின்னர் இந்த ஜோடி (ஜி, கே) ஒரு கெல்ஃபாண்ட் ஜோடி. இந்த அளவுகோல் பின்வருவனவற்றிற்கு சமமானதுஃ G இன் ஒரு தன்னிச்சையான ஆன்டி-ஆட்டோமார்ஃபிஸம் σ உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம், அதாவது K இன் வலது மற்றும் இடது மொழிபெயர்ப்புகளுடன் மாறாத G இன் எந்த செயல்பாடும் σ மாறாதது. பின்னர் இந்த ஜோடி (ஜி, கே) ஒரு கெல்ஃபாண்ட் ஜோடி. மூடிய துணைக்குழுவுடன் ஒரு உள்ளூர் புலத்தின் மீது குறைக்கும் குழு இந்த விஷயத்தில் ஜிபி 2 ஐ திருப்திப்படுத்த ஜோடிக்கு (ஜி, கே) கெல்ஃபாண்ட் மற்றும் கஜ்தான் காரணமாக ஒரு அளவுகோல் உள்ளது. G இல் உள்ள எந்த (K, K)-இரட்டை மாறாத பகிர்வும் σ-மாறாததாக இருக்கும் வகையில் G இன் ஒரு தன்னிச்சையான ஆன்டி-ஆட்டோமார்ஃபிசம் σ உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் இந்த ஜோடி (ஜி, கே) ஜிபி 2 ஐ திருப்திப்படுத்துகிறது. பாருங்கள். மேற்கண்ட கூற்று நேர்மறை திட்டவட்டமான விநியோகங்களுக்கு மட்டுமே பொருந்தினால், இந்த ஜோடி ஜிபி 3 ஐ திருப்திப்படுத்துகிறது (அடுத்த வழக்கைப் பார்க்கவும்). பண்பு ஜி. பி. 1 பெரும்பாலும் ஜி. பி. 2 இலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, K ஐப் பாதுகாக்கும் மற்றும் ஒவ்வொரு மூடிய கான்ஜுகேசி வகுப்பையும் பாதுகாக்கும் G இன் ஒரு தன்னிச்சையான ஆன்டி-ஆட்டோமார்ஃபிஸம் இருந்தால் இது பொருந்தும். G = GL (n) க்கு இடமாற்றம் அத்தகைய ஈடுபாட்டிற்கு உதவும். மூடிய துணைக்குழுவுடன் கூடிய லை குழு இந்த விஷயத்தில் ஜோடி (ஜி, கே) ஜெல்ஃபாண்ட் ஜோடியாக பொதுமைப்படுத்தப்படுவதற்கு பின்வரும் அளவுகோல் உள்ளது. G st இன் ஒரு தன்னிச்சையான ஆன்டி-ஆட்டோமார்ஃபிஸம் σ உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். G இல் உள்ள எந்தவொரு K × K மாறாத நேர்மறை திட்டவட்டமான விநியோகமும் σ-மாறாதது. பின்னர் இந்த ஜோடி (ஜி, கே) ஒரு பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட கெல்ஃபாண்ட் ஜோடி ஆகும். பாருங்கள். வலுவான கெல்ஃபேண்ட் பண்புக்கான அளவுகோல்கள் மேற்கூறிய அனைத்து அளவுகோல்களையும் வலுவான கெல்ஃபேண்ட் ஜோடிகளுக்கான அளவுகோல்களாக மாற்றலாம், கே × கே இன் இரு பக்க செயல்பாட்டை கே. முறுக்கப்பட்ட கெல்ஃபேண்ட் ஜோடிகள் இணைத்தல் நடவடிக்கையால் மாற்றலாம். ஒரு ஜோடி (ஜி, கே) ஒரு முறுக்கப்பட்ட கெல்ஃபேண்ட் ஜோடி என்று அழைக்கப்படுகிறது, இது குழு K இன் எழுத்து χ ஐப் பொறுத்தவரை, கெல்ஃபேண்ட் பண்பு உண்மை என்றால், அற்பமான பிரதிநிதித்துவம் χ எழுத்துடன் மாற்றப்படும். எடுத்துக்காட்டாக, K சுருக்கமாக இருக்கும்போது, HomK (π, χ) இன் பரிமாணம் 1 ஐ விட குறைவாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்கும் என்று அர்த்தம். கெல்ஃபேண்ட் ஜோடிகளுக்கான அளவுகோலை முறுக்கப்பட்ட கெல்ஃபேண்ட் ஜோடிகளுக்கு ஏற்ப மாற்றியமைக்கலாம். சமச்சீர் ஜோடிகள் கெல்ஃபாண்ட் பண்பு பெரும்பாலும் சமச்சீர் ஜோடிகளால் திருப்திப்படுத்தப்படுகிறது. ஒரு ஜோடி (G, K) ஒரு சமச்சீர் ஜோடி என்று அழைக்கப்படுகிறது, G இன் ஒரு தன்னிச்சையான தானியங்கி உருமாற்றம் இருந்தால், K என்பது θ-மாறுபட்ட உறுப்புகளின் குழுவின் இணைக்கப்பட்ட கூறுகளின் ஒன்றிணைப்பாகும்ஃ Gθ. G என்பது R க்கு மேல் இணைக்கப்பட்ட குறைப்புக் குழுவாகவும், K = Gθ ஒரு சிறிய துணைக்குழுவாகவும் இருந்தால் (G, K) ஒரு கெல்ஃபாண்ட் ஜோடியாகும். எடுத்துக்காட்டுஃ G = GL (n, R) மற்றும் K = O (n, R), ஆர்த்தோகனல் மேட்ரிக்ஸின் துணைக்குழு. பொதுவாக, ஒரு உள்ளூர் புலத்தின் மீது ஒரு குறைப்புக் குழுவின் சமச்சீர் ஜோடி கெல்ஃபாண்ட் பண்பைக் கொண்டிருக்கும்போது இது ஒரு சுவாரஸ்யமான கேள்வியாகும். தரவரிசை ஒன்றின் சமச்சீர் ஜோடிகளுக்கு இந்த கேள்வி ஆராயப்பட்டது மற்றும் உயர் தரவரிசை கெல்ஃபாண்ட் சமச்சீர் ஜோடிக்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு (GL (n + k), GL (n) × GL (k)) ஆகும். இது ஆர்க்கிமீடியா அல்லாத உள்ளூர் புலங்களிலும் பின்னர் பூஜ்ஜியத்தின் அனைத்து உள்ளூர் புலங்களிலும் நிரூபிக்கப்பட்டது. உயர் தரவரிசை சமச்சீர் ஜோடிகளுக்கு இந்த கேள்வியைப் பற்றிய கூடுதல் விவரங்களுக்கு பார்க்கவும். கோள ஜோடி இயற்கணித குழுக்களின் சூழலில் கெல்ஃபேண்ட் ஜோடிகளின் ஒப்புமைகள் கோள ஜோடி என்று அழைக்கப்படுகின்றன. அதாவது, பின்வரும் சமமான நிபந்தனைகளில் ஒன்று இருந்தால், இயற்கணித குழுக்களின் ஒரு ஜோடி (ஜி, கே) ஒரு கோள ஜோடி என்று அழைக்கப்படுகிறது. G இல் ஒரு திறந்த (B, K)-இரட்டை கொசெட் உள்ளது, அங்கு B என்பது G இன் போரெல் துணைக்குழுவாகும். G இல் வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான (B, K)-இரட்டை கொசெட் உள்ளது. இந்த வழக்கில் G/H இடைவெளி கோள இடைவெளி என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு உள்ளூர் புலத்தின் மீது எந்த கோள ஜோடியும் (G, K) கெல்ஃபாண்ட் பண்பின் பின்வரும் பலவீனமான பதிப்பை திருப்திப்படுத்துகிறது என்று ஊகிக்கப்படுகிறதுஃ G இன் எந்தவொரு ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய பிரதிநிதித்துவத்திற்கும் π, இடைவெளி HomK (π, C) வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாணமாகும். மேலும், இந்த பரிமாணத்திற்கான எல்லை π ஐப் பொறுத்தது அல்ல. இந்த அனுமானம் அனைத்து சமச்சீர் ஜோடிகளும் உட்பட ஒரு பெரிய வகை கோள ஜோடிகளுக்கு நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. பயன்பாடுகள் வகைப்பாடு கெல்ஃபேண்ட் ஜோடிகள் பெரும்பாலும் பின்வரும் வழியில் பகுக்கமுடியாத பிரதிநிதித்துவங்களை வகைப்படுத்த பயன்படுத்தப்படுகின்றனஃ (ஜி, கே) ஒரு கெல்ஃபேண்ட் ஜோடியாக இருக்கட்டும். HomK (π, C) 1 பரிமாணமாக இருந்தால் G இன் பகுக்கமுடியாத பிரதிநிதித்துவம் K-தனித்துவமானது என்று அழைக்கப்படுகிறது. பிரதிநிதித்துவம் Ind (C) என்பது அனைத்து K-தனித்துவமான பிரதிநிதித்துவங்களுக்கும் ஒரு மாதிரியாகும். எந்தவொரு கே-தனித்துவமான பிரதிநிதித்துவமும் சரியாக 1 பெருக்கத்துடன் அங்கு தோன்றுகிறது. முறுக்கப்பட்ட கெல்ஃபாண்ட் ஜோடிகளுக்கு இதேபோன்ற கருத்து உள்ளது. எடுத்துக்காட்டுஃ G என்பது ஒரு உள்ளூர் புலத்தின் மீது ஒரு குறைப்புக் குழுவாகவும், K என்பது அதன் அதிகபட்ச சிறிய துணைக்குழுவாகவும் இருந்தால், K தனித்துவமான பிரதிநிதித்துவங்கள் கோள வடிவமாக அழைக்கப்படுகின்றன, அத்தகைய பிரதிநிதித்துவங்களை சாட்டேக் கடிதத்தின் மூலம் வகைப்படுத்தலாம். கோள பிரதிநிதித்துவம் என்ற கருத்து ஹரிஷ்-சந்திரா தொகுதி என்ற கருத்தின் அடிப்படையில் உள்ளது. எடுத்துக்காட்டுஃ G என்பது ஒரு உள்ளூர் புலத்தின் மீது பிளவுபட்ட குறைப்புக் குழுவாகவும், K என்பது அதன் அதிகபட்ச ஒற்றை ஆற்றல் துணைக்குழுவாகவும் இருந்தால், அந்த ஜோடி (G, K) கெல்ஃபேண்ட் ஜோடி W. r. t. சிதைவடையாத எந்தவொரு எழுத்தும் (பார்க்க,). இந்த விஷயத்தில் கே-தனித்துவமான பிரதிநிதித்துவங்கள் பொதுவானவை (அல்லது சிதைக்கப்படாதவை) என்று அழைக்கப்படுகின்றன, மேலும் அவை வகைப்படுத்த எளிதானவை. கிட்டத்தட்ட எந்தவொரு பகுக்கமுடியாத பிரதிநிதித்துவமும் பொதுவானது. ஒரு பொதுவான பிரதிநிதித்துவத்தின் தனித்துவமான (அளவிடுதல் வரை) உட்பொதிப்பு Ind (si) ஒரு விட்டேகர் மாதிரி என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஜி = ஜிஎல் (என்) விஷயத்தில் மேலே உள்ள முடிவின் ஒரு சிறந்த பதிப்பு உள்ளது, அதாவது கி மற்றும் எழுத்துக்களின் வரையறுக்கப்பட்ட வரிசை உள்ளது. (ஜி, கி) என்பது கெல்ஃபாண்ட் ஜோடி டபிள்யூ. ஆர். டி. மற்றும் எந்தவொரு பகுக்கமுடியாத ஒற்றையாட்சி பிரதிநிதித்துவமும் சரியாக ஒரு i க்கு வேறுபடுகிறது (பார்க்க,) கெல்ஃபாண்ட்-ஜைட்லின் கட்டுமானம் ஒருவர் பகுக்கமுடியாத பிரதிநிதித்துவங்களுக்கான தளங்களை உருவாக்க கெல்ஃபாண்ட் ஜோடிகளையும் பயன்படுத்தலாம்ஃ நம்மிடம் ஒரு வரிசை {1} ′G1 ′ உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். (ஜி, ஜி-1) ஒரு வலுவான கெல்ஃபாண்ட் ஜோடி. எளிமைக்காக, Gn கச்சிதமானது என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் இது Gn இன் எந்தவொரு பகுக்கமுடியாத பிரதிநிதித்துவத்தையும் ஒரு பரிமாண துணை பிரதிநிதித்துவங்களுக்கு ஒரு நியதி சிதைவை வழங்குகிறது. Gn = U (n) (யூனிட்டரி குரூப்) என்றால் இந்த கட்டுமானம் கெல்ஃபாண்ட் சைட்லின் அடிப்படை என்று அழைக்கப்படுகிறது. U (n) இன் பிரதிநிதித்துவங்கள் GL (n) இன் இயற்கணித பிரதிநிதித்துவங்களைப் போலவே இருப்பதால், GL (n) இன் எந்தவொரு இயற்கணித பகுக்கமுடியாத பிரதிநிதித்துவத்தின் அடிப்படையையும் நாம் பெறுகிறோம். எவ்வாறாயினும், கட்டமைக்கப்பட்ட அடிப்படை நியமனம் அல்ல என்பதை ஒருவர் அறிந்திருக்க வேண்டும், ஏனெனில் இது உட்பொதிக்கப்பட்ட யு (ஐ) யு (ஐ + 1) இன் தேர்வைப் பொறுத்தது. தானியங்கி வடிவங்களின் காலங்களைப் பிரிப்பது கெல்ஃபாண்ட் ஜோடிகளின் மிக சமீபத்திய பயன்பாடு தானியங்கி வடிவங்களின் காலங்களைப் பிரிப்பதாகும். G ஒரு உலகளாவிய புலம் F மீது வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு குறைப்புக் குழுவாக இருக்கட்டும் மற்றும் K என்பது G இன் இயற்கணித துணைக்குழுவாக இருக்கட்டும். F இன் எந்த இடத்திற்கும் ஜோடி (G, K) ஒரு கெல்ஃபாண்ட் ஜோடி என்று வைத்துக்கொள்வோம். m என்பது G க்கு மேல் ஒரு தானியங்கி வடிவமாக இருக்கட்டும், பின்னர் அதன் H-காலம் உள்ளூர் காரணிகளின் விளைவாகப் பிரிகிறது (அதாவது. ஒவ்வொரு இடத்திலும் m இன் நடத்தையை மட்டுமே சார்ந்திருக்கும் காரணிகள்). இப்போது நமக்கு ஒரு சிக்கலான அளவுரு s உடன் தானியங்கி வடிவங்களின் குடும்பம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் அந்த வடிவங்களின் காலம் ஒரு பகுப்பாய்வு செயல்பாடாகும், இது உள்ளூர் காரணிகளின் பெருக்கலாக பிரிகிறது. பெரும்பாலும் இதன் பொருள் இந்த செயல்பாடு ஒரு குறிப்பிட்ட எல்-செயல்பாடு மற்றும் இது இந்த எல்-செயல்பாட்டிற்கான பகுப்பாய்வு தொடர்ச்சி மற்றும் செயல்பாட்டு சமன்பாட்டை வழங்குகிறது. குறிப்புஃ வழக்கமாக அந்த காலகட்டங்கள் ஒன்றிணைக்கப்படுவதில்லை, அவற்றை ஒருவர் ஒழுங்குபடுத்த வேண்டும். பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாட்டின் பொதுமைப்படுத்தல் பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாட்டிற்கான ஒரு சாத்தியமான அணுகுமுறை, ஜி குழுவின் பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாட்டை ஜி டபிள்யூ. ஆர். டி குழுவின் இணக்கமான பகுப்பாய்வாக கருதுவதாகும். உண்மையில், G இன் பகுக்கமுடியாத அனைத்து பிரதிநிதித்துவங்களையும் அறிவது, G இல் உள்ள செயல்பாடுகளின் இடத்தை G × G பிரதிநிதித்துவமாக சிதைப்பதை அறிவதற்கு சமம். இந்த அணுகுமுறையில் பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாட்டை (G × G, G) எந்த கோள ஜோடியாலும் (G, K) மாற்றுவதன் மூலம் பொதுமைப்படுத்தலாம். பின்னர் ஜி/கே டபிள்யூ. ஆர். டி இடத்தில் ஹார்மோனிக் பகுப்பாய்வு பற்றிய கேள்விக்கு நாம் வழிநடத்தப்படுவோம். இப்போது ஜோடிக்கான (ஜி, கே) கெல்ஃபாண்ட் பண்பு ஷுர்ஸ் லெம்மாவின் ஒப்புமை ஆகும். இந்த அணுகுமுறையைப் பயன்படுத்தி ஒருவர் பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாட்டின் எந்தவொரு கருத்தையும் எடுத்து அவற்றை கோள ஜோடியின் விஷயத்தில் பொதுமைப்படுத்தலாம். எடுத்துக்காட்டாக, இந்த செயல்முறையின் மூலம் சுவடு சூத்திரத்திலிருந்து உறவினர் சுவடு சூத்திரம் பெறப்படுகிறது. கெல்ஃபேண்ட் ஜோடிகளுக்கு சில பொதுவான எடுத்துக்காட்டுகள்ஃ (சிம் (n + 1), சிம் (n)), n + 1 புள்ளிகளில் செயல்படும் சமச்சீர் குழு மற்றும் n புள்ளிகளில் இயற்கையாகவே ஐசோமார்பிக் ஆக இருக்கும் ஒரு புள்ளி நிலைப்படுத்துபவர். (ஏஜிஎல் (என், க்யூ), ஜிஎல் (என், க்யூ)), அஃபைன் (பொது நேரியல்) குழு மற்றும் பொது நேரியல் குழுவிற்கு இயற்கையாகவே ஐசோமார்பிக் கொண்ட ஒரு புள்ளி நிலைப்படுத்துபவர். (G, K) ஒரு கெல்ஃபாண்ட் ஜோடியாக இருந்தால், (G/N, K/N) என்பது K இன் ஒவ்வொரு G-இயல்பான துணைக்குழு N க்கும் ஒரு கெல்ஃபாண்ட் ஜோடியாகும். பல நோக்கங்களுக்காக, அத்தகைய அடையாளமற்ற இயல்பான துணைக்குழுக்கள் இல்லாமல் K ஐக் கருத்தில் கொள்வது போதுமானது. எனவே K இன் கோசெட்களில் G இன் செயல்பாடு நம்பகமானது, எனவே ஒருவர் புள்ளி நிலைப்படுத்திகளுடன் G இன் வரிசைமாற்றக் குழுக்களைப் பார்க்கிறார். ஃப்ரோபீனியஸ் பரஸ்பரம் மற்றும் வரிசைமாற்ற நடவடிக்கையின் தன்மை என்பதால், வரிசைமாற்றக் குழு ஒரு கெல்ஃபாண்ட் ஜோடியை வரையறுக்கிறது, வரிசைமாற்றக் தன்மை பெருக்கம் இல்லாத வரிசைமாற்றக் தன்மை என்று அழைக்கப்பட்டால் மட்டுமே. இத்தகைய பெருக்கம் இல்லாத வரிசைமாற்ற எழுத்துக்கள் அவ்வப்போது குழுக்களுக்கு தீர்மானிக்கப்பட்டன. இது கெல்ஃபாண்ட் ஜோடிகளுடன் வரையறுக்கப்பட்ட குழுக்களின் எடுத்துக்காட்டுகளின் ஒரு வகுப்பை உருவாக்குகிறதுஃ 2-இடைநிலை குழுக்கள். ஒரு புள்ளியின் நிலைப்படுத்துபவர் K மீதமுள்ள புள்ளிகளில் இடைநிலை ரீதியாக செயல்பட்டால் ஒரு வரிசைமாற்றக் குழு G 2-இடைநிலை ஆகும். குறிப்பாக, n + 1 புள்ளிகளில் உள்ள சமச்சீர் குழுவான G மற்றும் n புள்ளிகளில் உள்ள சமச்சீர் குழுவான K ஆகியவை ஒவ்வொரு n ≤ 1 க்கும் ஒரு கெல்ஃபாண்ட் ஜோடியை உருவாக்குகின்றன. இது பின்வருமாறு, ஏனெனில் 2-இடைநிலை வரிசைமாற்ற நடவடிக்கையின் தன்மை சில பகுக்கமுடியாத எழுத்து χ மற்றும் அற்பமான எழுத்து 1, க்கு 1 + χ வடிவத்தில் உள்ளது. உண்மையில், ஜி என்பது ஒரு இடைநிலை வரிசைமாற்றக் குழுவாக இருந்தால், அதன் புள்ளி நிலைப்படுத்துபவர் கே அதிகபட்சம் நான்கு சுற்றுப்பாதைகளைக் கொண்டிருந்தால் (நிலைப்படுத்தப்பட்ட புள்ளியை மட்டுமே கொண்ட அற்பமான சுற்றுப்பாதை உட்பட), அதன் ஷுர் வளையம் பரிமாற்றமாகவும் (ஜி, கே) ஒரு கெல்ஃபாண்ட் ஜோடியாகவும் இருக்கும். G என்பது புள்ளி நிலைப்படுத்துபவர் K உடன் இரு மடங்கு பகா எண் கொண்ட ஒரு பழமையான டிகிரி குழுவாக இருந்தால், மீண்டும் (G, K) ஒரு கெல்ஃபாண்ட் ஜோடி,. கெல்ஃபாண்ட் ஜோடிகள் (சிம் (என்), கே) என வகைப்படுத்தப்பட்டன. தோராயமாக கூறுவதானால், n என்பது 18 ஐ விட சிறியதாக இல்லாவிட்டால் பின்வரும் குழுக்களில் ஒன்றில் சிறிய குறியீட்டின் துணைக்குழுவாக K இருக்க வேண்டும்ஃ சிம் (n-k) × சிம் (k), சிம் (n/2) r சிம் (2), சிம் (2) r சிம் (n/2) n ஈவன், சிம் (n-5) × ஏஜிஎல் (1,5), சிம் (n-6) × பிஜிஎல் (2,5), அல்லது சிம் (n-9) × பிஜுஎல் (2,8). கிளாசிக்கல் குழுக்களுக்கான கெல்ஃபேண்ட் ஜோடிகளும் ஆராயப்பட்டுள்ளன. சுருக்கமான K (GL (n, R), O (n, R)) (GL (n, C), U (n)) (O (n + k, R), O (n, R) × O (k, R)) (U (n + k), U (n) × U (k)) (G, K) உடன் சமச்சீர் ஜோடிகள் G என்பது ஒரு குறைப்பு லை குழு மற்றும் K என்பது அதிகபட்ச சுருக்கமான துணைக்குழு. சமச்சீர் கெல்ஃபேண்ட் ஜோடி தரவரிசை ஒன்று எஃப் என்பது பூஜ்ஜியத்தின் பண்பு கொண்ட ஒரு உள்ளூர் புலமாக இருக்கட்டும். (SL (n + 1, F), GL (n, F)) n> 5 க்கு. (sp (2n + 2, F), sp (2n, F)) × sp (2, F)) n> 4 க்கு. (SO (V ≤ F), SO (V)) இதில் V என்பது F மீது ஒரு திசையன் இடைவெளி, இது சிதைக்கப்படாத இருபடி வடிவத்துடன் உள்ளது. உயர் தரவரிசையின் சமச்சீர் ஜோடிகள் எஃப் என்பது பூஜ்ஜியத்தின் பண்பு கொண்ட ஒரு உள்ளூர் புலமாக இருக்கட்டும். பின்வருவன உயர் தரவரிசையில் உள்ள சமச்சீர் கெல்ஃபேண்ட் ஜோடிகளுக்கு எடுத்துக்காட்டுகளாகும்ஃ (G × G, ΔG): இது ஷுரின் லெம்மாவிலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது. (ஜிஎல் (என் + கே, எஃப்), ஜிஎல் (என், எஃப்) × ஜிஎல் (கே, எஃப்)). (GL (2n, F), Sp (2n, F)). (ஓ (என் + கே, சி), ஓ (என், சி) × ஓ (கே, சி)). (ஜிஎல் (என், சி), ஓ (என், சி)). (GL (n, E), GL (n, F)), இதில் E என்பது F இன் இருபடி விரிவாக்கமாகும். வலுவான கெல்ஃபேண்ட் ஜோடிகள் பின்வரும் ஜோடிகள் வலுவான கெல்ஃபேண்ட் ஜோடிகள்ஃ (சிம் (n + 1), சிம் (n)), இது தன்னியக்க எதிர்ப்பு g′g−1 ஐப் பயன்படுத்தி நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. (ஜிஎல் (என் + 1, எஃப்), ஜிஎல் (என், எஃப்)) இதில் எஃப் என்பது பூஜ்ஜியத்தின் பண்பு கொண்ட ஒரு உள்ளூர் புலமாகும். (O (V ≤ F), O (V)) இதில் V என்பது F மீது ஒரு திசையன் இடைவெளி, இது சிதைக்கப்படாத இருபடி வடிவத்துடன் உள்ளது. E என்பது F இன் இருபடி விரிவாக்கம் மற்றும் V என்பது E க்கு மேல் ஒரு திசையன் இடைவெளி, இது சிதைக்கப்படாத ஹெர்மிடியன் வடிவத்துடன் உள்ளது. அந்த நான்கு எடுத்துக்காட்டுகள் பின்வரும் கெல்ஃபாண்ட் ஜோடிகள் என்ற கூற்றாக மறுபரிசீலனை செய்யப்படலாம்ஃ (சிம் (என் + 1) × சிம் (என்), Δ சிம் (என்)). (GL (n + 1, F) × GL (n, F), α GL (n, F)) (O (V ≤ F) × O (V), α O (V) (U (V ≤ E) × U (V), α U (V)) மேலும் காண்க கோள செயல்பாடு சமச்சீர் ஜோடி கோள ஜோடி குறிப்புகள் குறிப்புகள் குழுக்களின் பிரதிநிதித்துவ கோட்பாடு லை குழுக்களின் ஹார்மோனிக் பகுப்பாய்வு கோட்பாடு