Plücker formula
கணிதத்தில், ஜூலியஸ் பிளக்கரின் பெயரால் பெயரிடப்பட்ட பிளக்கர் சூத்திரம், 1830 களில் பிளக்கரால் முதன்முதலில் உருவாக்கப்பட்ட ஒரு வகை சூத்திரங்களின் குடும்பத்தில் ஒன்றாகும், இது இயற்கணித வளைவுகளின் சில எண் மாறிலிகளை அவற்றின் இரட்டை வளைவுகளின் தொடர்புடைய மாறிலிகளுடன் தொடர்புபடுத்துகிறது. வளைவு மற்றும் அதன் இரட்டை இரண்டிற்கும் பொதுவான பேரினம் என்று அழைக்கப்படும் மாறாதது, ஒத்த சூத்திரங்களால் மற்ற மாறுபாடுகளுடன் இணைக்கப்பட்டுள்ளது. இந்த சூத்திரங்கள் மற்றும் மாறிலிகள் ஒவ்வொன்றும் ஒரு நேர்மறை முழு எண்ணாக இருக்க வேண்டும் என்ற உண்மை, அவற்றின் சாத்தியமான மதிப்புகளுக்கு மிகவும் கடுமையான வரம்புகளை வைக்கிறது. பிளக்கர் மாறிலிகள் மற்றும் அடிப்படை சமன்பாடுகள் இந்த சூழலில் ஒரு வளைவு சிக்கலான ப்ரொஜெக்டிவ் தளத்தில் சிதைக்கப்படாத இயற்கணித சமன்பாட்டால் வரையறுக்கப்படுகிறது. இந்த தளத்தில் உள்ள கோடுகள் இரட்டை ப்ரொஜெக்டிவ் தளத்தில் உள்ள புள்ளிகளுடன் ஒத்திருக்கின்றன மற்றும் கொடுக்கப்பட்ட இயற்கணித வளைவு C க்கு தொடுகோடுகள் இரட்டை வளைவு எனப்படும் இயற்கணித வளைவு C * இல் உள்ள புள்ளிகளுடன் ஒத்திருக்கின்றன. ப்ரொஜெக்டிவ் பிளேனுக்கும் அதன் டூயலுக்கும் இடையிலான தொடர்புகளில், C இல் உள்ள புள்ளிகள் தொடுகோட்டு C * கோடுகளுடன் ஒத்திருக்கின்றன, எனவே C * இன் டூயலை C உடன் அடையாளம் காணலாம். பிளக்கர் சூத்திரங்களால் மூடப்பட்ட முதல் இரண்டு மாறிலிகள் வளைவு C இன் டிகிரி d மற்றும் டிகிரி d * ஆகும், இது கிளாசிக்கலாக C இன் வகுப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது. வடிவியல் ரீதியாக, d என்பது கொடுக்கப்பட்ட கோடு C ஐ சரியாக கணக்கிடப்பட்ட பெருக்கங்களுடன் வெட்டுகிறது. (வளைவுகள் சிக்கலான ப்ரொஜெக்டிவ் பிளேனின் துணைக்குழுக்களாக கருதப்படுவதால் இது சிக்கலான புள்ளிகள் மற்றும் முடிவிலியில் உள்ள புள்ளிகளை உள்ளடக்கியது.) இதேபோல், d * என்பது தளத்தில் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியின் வழியாக கோடுகளாக இருக்கும் C க்கு தொடுகோடுகளின் எண்ணிக்கை; எனவே எடுத்துக்காட்டாக ஒரு கூம்பு பிரிவில் டிகிரி மற்றும் வகுப்பு இரண்டும் உள்ளன. சி க்கு ஒருமைப்பாடுகள் இல்லையென்றால், முதல் பிளக்கர் சமன்பாடு கூறுகிறது, ஆனால் இது ஒருமை வளைவுகளுக்கு சரிசெய்யப்பட வேண்டும். C இன் இரட்டைப் புள்ளிகளில், δ என்பது சாதாரணமான எண்ணாக இருக்கட்டும், அதாவது. தனித்துவமான தொடுகோடுகளைக் கொண்டவை (இவை முனைகள் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன) அல்லது தனிமைப்படுத்தப்பட்ட புள்ளிகள், மேலும் κ என்பது கஸ்ப்கள், அதாவது. ஒற்றை தொடுகோடு (ஸ்பினோட்கள்) கொண்டவை. சி உயர் வரிசை ஒற்றுமைகளைக் கொண்டிருந்தால், இவை ஒருமைப்பாட்டின் தன்மையின் பகுப்பாய்வின்படி பல இரட்டை புள்ளிகளாக கணக்கிடப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு சாதாரண மூன்று புள்ளிகள் 3 இரட்டை புள்ளிகளாக கணக்கிடப்படுகின்றன. மீண்டும், முடிவிலியில் உள்ள சிக்கலான புள்ளிகள் மற்றும் புள்ளிகள் இந்த எண்ணிக்கையில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளன. இதேபோல், δ * என்பது சாதாரண இரட்டை புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையாகவும், κ * என்பது C * இன் கஸ்ப்களின் எண்ணிக்கையாகவும் இருக்கட்டும். பின்னர் இரண்டாவது பிளக்கர் சமன்பாடு கூறுகிறது சி * இன் ஒரு சாதாரண இரட்டை புள்ளியின் வடிவியல் விளக்கம் என்பது இரண்டு புள்ளிகளில் (இரட்டை தொடுகோடு) வளைவுக்கு தொடுகோடு கொண்ட ஒரு கோடு மற்றும் சி * இன் கூற்றின் வடிவியல் விளக்கம் ஊடுருவல் புள்ளியாகும் (நிலையான தொடுகோடு). உதாரணமாக, ஒரு மென்மையான கனசதுரத்தின் வழக்கைக் கவனியுங்கள்ஃ மேலே உள்ள சூத்திரம் அது ஊடுருவல்களைக் கொண்டிருப்பதைக் காட்டுகிறது. கனசதுரம் சீரழிந்து இரட்டைப் புள்ளியைப் பெற்றால், 6 புள்ளிகள் ஒற்றைப் புள்ளியில் ஒன்றிணைகின்றன, மேலும் 3 ஊடுருவல் மட்டுமே ஒற்றை வளைவில் உள்ளது. கனசதுரம் சிதைந்து ஒரு கூம்பைப் பெற்றால், ஒரு ஊடுருவல் மட்டுமே எஞ்சியிருக்கும். முதல் இரண்டு பிளக்கர் சமன்பாடுகள் இரட்டை பதிப்புகளைக் கொண்டுள்ளன என்பதைக் கவனியுங்கள்ஃ இதுவரை கொடுக்கப்பட்ட நான்கு சமன்பாடுகள் உண்மையில் சார்ந்தவை, எனவே மீதமுள்ள ஒன்றைப் பெற ஏதேனும் மூன்று பயன்படுத்தப்படலாம். அவற்றிலிருந்து, d, d *, δ, δ *, κ, κ * ஆகிய ஆறு மாறுபாடுகளில் ஏதேனும் மூன்றைக் கொடுத்தால், மீதமுள்ள மூன்றைக் கணக்கிடலாம். இறுதியாக, C இன் குறைபாடு என்று பாரம்பரியமாக அழைக்கப்படும் C இன் இனத்தை இது இரட்டை அளவிற்கு சமம் மற்றும் ஒரு நேர்மறை முழு எண் என்று வரையறுக்கலாம். மொத்தத்தில் 7 அறியப்படாதவற்றில் நான்கு சுயாதீன சமன்பாடுகள் உள்ளன, அவற்றுடன் இந்த மாறுபாடுகளில் ஏதேனும் மூன்று மீதமுள்ள நான்கைக் கணக்கிட பயன்படுத்தப்படலாம். ஒற்றை அல்லாத வளைவுகள் ஒரு முக்கியமான சிறப்பு வழக்கு வளைவு சி ஒற்றை அல்லாத போது, அல்லது சமமாக δ மற்றும் κ 0 ஆகும், எனவே மீதமுள்ள மாறிலிகள் d அடிப்படையில் மட்டுமே கணக்கிட முடியும். இந்த வழக்கில் முடிவுகள் பின்வருமாறுஃ எனவே, எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு ஒற்றை அல்லாத குவார்டிக் பிளேன் வளைவு 3 இனத்தைச் சேர்ந்தது மற்றும் 28 பிடாஞ்சென்ட்கள் மற்றும் 24 புள்ளிகள் ஊடுருவலைக் கொண்டுள்ளது. வளைவு வகைகள் வளைவுகள் அவற்றின் பிளக்கர் மாறுபாடுகளுக்கு ஏற்ப வகைகளாக வகைப்படுத்தப்படுகின்றன. பிளக்கர் மாறிலிகள் அனைத்தும் இயற்கையான எண்களாக இருக்க வேண்டும் என்ற கட்டுப்பாட்டுடன் பிளக்கர் சமன்பாடுகள் ஒரு குறிப்பிட்ட டிகிரியின் வளைவுகளுக்கு சாத்தியமான வகைகளின் எண்ணிக்கையை பெரிதும் கட்டுப்படுத்துகின்றன. திட்டவட்டமாக சமமான வளைவுகள் ஒரே வகையைக் கொண்டுள்ளன, இருப்பினும் ஒரே வகையான வளைவுகள் பொதுவாக திட்டவட்டமாக சமமானவை அல்ல. படி 2, கூம்பு பிரிவுகளின் வளைவுகள், d = d * = 2, δ = δ * = κ = κ * = g = 0 ஆல் கொடுக்கப்பட்ட ஒற்றை வகையைக் கொண்டுள்ளன. டிகிரி 3 வளைவுகளுக்கு மூன்று சாத்தியமான வகைகள் உள்ளன, அவை பின்வருமாறு கொடுக்கப்பட்டுள்ளனஃ வகைகளின் வளைவுகள் (ii) மற்றும் (iii) விகிதமுறு கனசதுரங்கள் மற்றும் அவை முறையே நோடல் மற்றும் குஸ்பிடல் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. வகை (i) வளைவுகள் ஒருமுனை அல்லாத கனசதுரங்கள் (நீள்வட்ட வளைவுகள்) ஆகும். படி 4 வளைவுகளுக்கு 10 சாத்தியமான வகைகள் உள்ளன, அவை பின்வருமாறு கொடுக்கப்பட்டுள்ளனஃ குறிப்புகள் சால்மன், ஜார்ஜ் (1879) உயர் விமான வளைவுகளின் மீது ஒரு ஆய்வுக் கட்டுரை pp. 64ff. இயற்கணித வளைவுகள்