Approximation in algebraic groups
இயற்கணிதக் குழுக் கோட்பாட்டில், தோராயக் கோட்பாடுகள் என்பது சீன எஞ்சிய தேற்றத்தின் விரிவாக்கமாகும், இது உலகளாவிய புலங்கள் k மீது இயற்கணிதக் குழுக்களுக்கு G ஆகும். சில பாரம்பரிய குழுக்களுக்கு வலுவான தோராயத்தை வரலாறு நிரூபித்தது. உலகளாவிய புலங்களில் அரை எளிய எளிய-இணைக்கப்பட்ட இயற்கணித குழுக்களுக்கு, 1960கள் மற்றும் 1970களில் வலுவான தோராயமான மதிப்பீடு நிறுவப்பட்டது. எண் புலங்களுக்கான முடிவுகள் மற்றும் காரணமாக உள்ளன; செயல்பாட்டு புலம் வழக்கு, வரையறுக்கப்பட்ட புலங்களில், மற்றும் காரணமாக உள்ளது. எண் புலம் வழக்கில் பிளாட்டோனோவ் உள்ளூர் புலங்களில் ஒரு தொடர்புடைய முடிவை நிரூபித்தார், இது க்னீசர்-டிட்ஸ் அனுமானம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. முறையான வரையறைகள் மற்றும் பண்புகள் G ஒரு உலகளாவிய புலம் k இன் மீது ஒரு நேரியல் இயற்கணிதக் குழுவாகவும், A என்பது k இன் அடேல் வளையமாகவும் இருக்கட்டும். S என்பது k இன் இடங்களின் காலியாக இல்லாத வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்பாக இருந்தால், S-அடில்களின் வளையத்திற்கு AS ஐ எழுதுகிறோம், மேலும் ks இன் நிறைவுகளின் பெருக்கலுக்கு AS ஐ எழுதுகிறோம், வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்பில் உள்ள S க்கு. S இன் எந்தத் தேர்வுக்கும், G (k) G (AS) மற்றும் G (AS) இல் உட்பொதிக்கிறது. பலவீனமான தோராயத்தில் கேட்கப்படும் கேள்வி என்னவென்றால், G (AS) இல் G (k) இன் உட்பொதிப்பு அடர்த்தியான படத்தைக் கொண்டிருக்கிறதா என்பதுதான். குழு ஜி இணைக்கப்பட்ட மற்றும் கே-விகிதமுறு என்றால், அது எந்த செட் எஸ் பொறுத்தவரை பலவீனமான தோராயத்தை திருப்திப்படுத்துகிறது. மேலும் பொதுவாக, எந்தவொரு இணைக்கப்பட்ட குழு G க்கும், k இன் வரையறுக்கப்பட்ட இடங்களின் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்பு T உள்ளது, அதாவது T உடன் இணைந்திருக்கும் எந்த தொகுப்பு S ஐப் பொறுத்தவரை G பலவீனமான தோராயத்தை திருப்திப்படுத்துகிறது. குறிப்பாக, k ஒரு இயற்கணித எண் புலம் என்றால், எந்த இணைக்கப்பட்ட குழு G எல்லையற்ற இடங்களின் S = S ≤ தொகுப்பைப் பொறுத்தவரை பலவீனமான தோராயத்தை திருப்திப்படுத்துகிறது. வலுவான தோராயத்தில் கேட்கப்படும் கேள்வி என்னவென்றால், ஜி (ஏஎஸ்) இல் ஜி (கே) உட்பொதிப்பது அடர்த்தியான படத்தைக் கொண்டிருக்கிறதா, அல்லது அதற்கு சமமாக ஜி (கே) ஜி (ஏஎஸ்) தொகுப்பு ஜி (ஏ) இல் அடர்த்தியான துணைக்குழுவாக இருக்கிறதா என்பதுதான். வலுவான தோராயத்தின் முக்கிய தேற்றம், ஒரு உலகளாவிய புலம் k இன் மீது தீர்க்கமுடியாத நேரியல் இயற்கணிதக் குழு G வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்பு S க்கு வலுவான தோராயத்தைக் கொண்டுள்ளது என்று கூறுகிறது, அதன் தீவிர N ஒற்றை ஆற்றலாக இருந்தால் மட்டுமே, G/N வெறுமனே இணைக்கப்பட்டுள்ளது, மேலும் G/N இன் ஒவ்வொரு எளிமையான கூறு H க்கும் S இல் உள்ள சில s களுக்கு (H ஐப் பொறுத்து) ஒரு சுருக்கமற்ற கூறு Hs உள்ளது. வலுவான தோராயத்தின் சான்றுகள் இயற்கணிதக் குழுக்களுக்கான ஹாஸ் கொள்கையைப் பொறுத்தது, இது E8 வகை குழுக்களுக்கு பல ஆண்டுகளுக்குப் பிறகு மட்டுமே நிரூபிக்கப்பட்டது. அருகிலுள்ள குழுக்கள் மற்றும் செவால்லி குழுக்களின் உள் வடிவங்கள் உட்பட பரந்த அளவிலான குழுக்களுக்கு பலவீனமான தோராயமான தன்மை உள்ளது, இது வலுவான தோராயமான பண்பு கட்டுப்படுத்தப்பட்டுள்ளது என்பதைக் காட்டுகிறது. மேலும் காண்க சூப்பர் ஸ்ட்ராங் தோராய குறிப்புகள் இயற்கணித குழுக்கள் டயோஃபாண்டைன் வடிவியல்