Bring radical
இயற்கணிதத்தில், ஒரு யதார்த்த எண்ணின் ரேடிக்கல் அல்லது அல்ட்ரா ரேடிக்கலைக் கொண்டு வாருங்கள் என்பது பல்லுறுப்புக்கோவையின் தனித்துவமான உண்மையான மூலமாகும். ஒரு சிக்கலான எண்ணின் ரேடிக்கலைக் கொண்டு வாருங்கள் a என்பது மேலே உள்ள பல்லுறுப்புக்கோவையின் ஐந்து வேர்களில் ஏதேனும் ஒன்று (எனவே இது பல மதிப்புடையது), அல்லது ஒரு குறிப்பிட்ட வேர், இது பொதுவாக தேர்ந்தெடுக்கப்படுகிறது, இதனால் யதார்த்தத்தை கொண்டு வாருங்கள் ரேடிக்கல் யதார்த்தத்திற்கு உண்மையான மதிப்புடையது மற்றும் யதார்த்த கோட்டின் சுற்றுப்புறத்தில் ஒரு பகுப்பாய்வு செயல்பாடாகும். நான்கு கிளை புள்ளிகள் இருப்பதால், முழு சிக்கலான தளத்திலும் தொடர்ச்சியான ஒரு செயல்பாடாக ரேடிக்கலை கொண்டு வாருங்கள் என்று வரையறுக்க முடியாது, மேலும் அதன் தொடர்ச்சியின் களம் நான்கு கிளை வெட்டுக்களை விலக்க வேண்டும். எர்லேண்ட் பிரிங் அறிமுகப்படுத்திய ரேடிக்கல்கள் மற்றும் பிரிங் ரேடிக்கல்களைப் பயன்படுத்தி சில குவிண்டிக் சமன்பாடுகளை மூடிய வடிவத்தில் தீர்க்க முடியும் என்று ஜார்ஜ் ஜெரார்ட் காட்டினார். இந்த கட்டுரையில், a இன் கொண்டு வாருங்கள் தீவிரம் குறிக்கப்படுகிறது உண்மையான வாதத்திற்கு, இது ஒற்றைப்படை, சலிப்பாக குறைந்து, வரம்பற்றது, பெரியதுக்கு அறிகுறியற்ற நடத்தை உள்ளது. இயல்பான வடிவங்கள் குவிண்டிக் சமன்பாடு அதன் மிகவும் பொதுவான வடிவத்தில் ஐந்து சுயாதீன குணகங்களுடன் நேரடியாக தீர்வுகளைப் பெறுவது கடினம்ஃ குவிண்டிக்கைத் தீர்ப்பதற்கான பல்வேறு முறைகள் பொதுவாக உருவாக்கப்பட்டுள்ளன, அவை சுயாதீன குணகங்களின் எண்ணிக்கையைக் குறைக்க சிர்ன்ஹாஸ் உருமாற்றங்களைப் பயன்படுத்தி குவிண்டிக்கை எளிமைப்படுத்த முயற்சிக்கின்றன. முதன்மை குவிண்டிக் வடிவம் பொதுவான குவிண்டிக்கை முதன்மை குவிண்டிக் வடிவமாக குறைக்கலாம், குவார்டிக் மற்றும் கியூபிக் சொற்கள் அகற்றப்படலாம்ஃ ஒரு பொதுவான குவிண்டிக் மற்றும் ஒரு முதன்மை குவிண்டிக்கின் வேர்கள் இருபடி சிர்ன்ஹாஸ் மாற்றத்தால் தொடர்புடையதாக இருந்தால், α மற்றும் β குணகங்கள் விளைவாகப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் அல்லது வேர்களின் சக்தித் தொகைகள் மற்றும் நியூட்டனின் அடையாளங்கள் மூலம் தீர்மானிக்கப்படலாம். இது α மற்றும் β இல் இருபடி மற்றும் நேரியல் சமன்பாட்டைக் கொண்ட சமன்பாடுகளின் அமைப்புக்கு வழிவகுக்கிறது, மேலும் இரண்டு தொகுப்பு தீர்வுகளில் ஏதேனும் ஒன்று முதன்மை குவிண்டிக் வடிவத்தின் தொடர்புடைய மூன்று குணகங்களைப் பெற பயன்படுத்தப்படலாம். இந்த வடிவம் ஃபெலிக்ஸ் க்ளீனின் குவிண்டிக் கரைசலால் பயன்படுத்தப்படுகிறது. ஜெரார்ட் இயல்பான வடிவத்தைக் கொண்டு வாருங்கள் குவிண்டிக்கை மேலும் எளிமைப்படுத்தி, இருபடி சொல்லை அகற்றி, பிரிங்-ஜெரார்ட் இயல்பான வடிவத்தை உருவாக்க முடியும்ஃ சிர்ன்ஹாஸ் முயற்சித்தபடி ஒரு கன உருமாற்றத்துடன் மீண்டும் சக்தி-தொகை சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துவது வேலை செய்யாது, ஏனெனில் இதன் விளைவாக ஏற்படும் சமன்பாடுகளின் அமைப்பு ஆறாவது டிகிரி சமன்பாட்டில் விளைகிறது. ஆனால் 1796 ஆம் ஆண்டில் ஒரு முக்கிய குவிண்டிக்கின் வேர்களை ஒரு பிரிங்-ஜெரார்ட் குவிண்டிக்குடன் தொடர்புபடுத்த ஒரு குவார்டிக் சிர்ன்ஹாஸ் மாற்றத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் இதைச் சுற்றி ஒரு வழியைக் கண்டுபிடித்தார்ஃ இந்த நான்காவது வரிசை மாற்றம் வழங்கும் கூடுதல் அளவுரு மற்ற அளவுருக்களின் அளவைக் குறைக்க அனுமதித்தது. இது ஆறு அறியப்படாதவற்றில் ஐந்து சமன்பாடுகளின் அமைப்புக்கு வழிவகுக்கிறது, இதற்கு ஒரு கனசதுர மற்றும் இருபடி சமன்பாட்டின் தீர்வு தேவைப்படுகிறது. இந்த முறை 1852 ஆம் ஆண்டில் ஜெரார்ட்டால் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது, ஆனால் இந்த பகுதியில் பிரிங்கின் முந்தைய பணி குறித்து அவருக்குத் தெரியாது என்று தெரிகிறது. கணிதம் அல்லது மேப்பிள் போன்ற கணினி இயற்கணித தொகுப்பைப் பயன்படுத்தி முழு மாற்றத்தையும் எளிதில் சாதிக்க முடியும். இந்த மாற்றங்களின் சிக்கலான தன்மையிலிருந்து எதிர்பார்க்கப்படலாம், இதன் விளைவாக ஏற்படும் வெளிப்பாடுகள் மகத்தானவையாக இருக்கலாம், குறிப்பாக குறைந்த டிகிரி சமன்பாடுகளுக்கான ரேடிக்கல்களில் உள்ள தீர்வுகளுடன் ஒப்பிடும்போது, குறியீட்டு குணகங்களுடன் ஒரு பொதுவான குவிண்டிக்கிற்கு பல மெகாபைட் சேமிப்பை எடுக்கும். ஒரு இயற்கணித செயல்பாடாக கருதப்படும், இரண்டு மாறிகள், d1 மற்றும் d0 ஐ உள்ளடக்கிய தீர்வுகள்; இருப்பினும், குறைப்பு உண்மையில் ஒரு மாறியின் இயற்கணித செயல்பாட்டிற்கு ஆகும், இது ரேடிக்கல்களில் உள்ள தீர்வுக்கு மிகவும் ஒத்திருக்கிறது, ஏனெனில் நாம் பிரிங்-ஜெரார்ட் வடிவத்தை மேலும் குறைக்கலாம். உதாரணமாக நாம் அமைத்தால், சமன்பாட்டை ஒரு ஒற்றை மாறியின் இயற்கணித செயல்பாடாக z ஐ உள்ளடக்கிய வடிவத்திற்கு குறைக்கிறோம், அங்கு. இந்த வடிவம் ஹெர்மைட்-க்ரோனக்கர்-பிரியோஷி முறை, கிளாஸரின் முறை மற்றும் கீழே விவரிக்கப்பட்டுள்ள வேறுபட்ட தீர்வுகளின் காக்கிள்-ஹார்லி முறை ஆகியவற்றால் தேவைப்படுகிறது. ஒரு மாற்று வடிவம் எங்கே அமைப்பதன் மூலம் பெறப்படுகிறது. கீழே உள்ள பிரிங் ரேடிக்கலை வரையறுக்க இந்த வடிவம் பயன்படுத்தப்படுகிறது. பிரியோஷி இயல்பான வடிவம் குவிண்டிக் சமன்பாட்டிற்கு மற்றொரு ஒரு அளவுரு இயல்பான வடிவம் உள்ளது, இது பிரியோஷி இயல்பான வடிவம் என்று அழைக்கப்படுகிறது, இது ஒரு பொதுவான குவிண்டிக்கின் வேர்களை பிரியோஷி குவிண்டிக்குடன் தொடர்புபடுத்த பகுத்தறிவு சிர்ன்ஹாஸ் மாற்றத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் பெறப்படலாம். அளவுருக்களின் மதிப்புகள் மற்றும் ரீமன் கோளத்தில் பாலிஹெட்ரல் செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் பெறப்படலாம், மேலும் அவை ஐகோசாஹெட்ரல் சமச்சீர் கொண்ட ஒரு பொருளை நாற்கர சமச்சீர் கொண்ட ஐந்து பொருட்களாகப் பிரிப்பதோடு தொடர்புடையவை. இந்த சிர்ன்ஹாஸ் மாற்றம் ஒரு முதன்மை குவிண்டிக்கை பிரிங்-ஜெரார்ட் வடிவமாக மாற்ற பயன்படுத்தப்படும் கடினமானதை விட எளிமையானது. இந்த இயல்பான வடிவம் டாய்ல்-மெக்முல்லன் மறு செய்கை முறை மற்றும் கீபெர்ட் முறையால் பயன்படுத்தப்படுகிறது. தொடர் பிரதிநிதித்துவம் ரேடிக்கல்களைக் கொண்டுவருவதற்கான ஒரு டெய்லர் தொடர், அதே போல் ஹைப்பர்ஜியோமெட்ரிக் செயல்பாடுகளின் அடிப்படையில் ஒரு பிரதிநிதித்துவத்தை பின்வருமாறு பெறலாம். விரும்பிய தீர்வை அமைப்பதன் மூலம் சமன்பாட்டை மீண்டும் எழுதலாம், ஏனெனில் இது ஒற்றைப்படை. இதற்கு டெய்லர் தொடரை மாற்றியமைப்பதன் மூலம் தொடரைப் பெறலாம் (இது எளிமையானது), இது குணகங்களின் முழுமையான மதிப்புகள் OEIS இல் A002294 வரிசையை உருவாக்குகிறது. தொடரின் ஒருங்கிணைப்பின் ஆரம் ஹைப்பர்ஜியோமெட்ரிக் வடிவத்தில், பிரிங் ரேடிக்கலை இவ்வாறு எழுதலாம் கிளாஸரின் வழித்தோன்றல் மற்றும் வேறுபட்ட தீர்வுகளின் முறையில் கீழே எழும் ஹைப்பர்ஜியோமெட்ரிக் செயல்பாடுகளுடன் ஒப்பிடுவது சுவாரஸ்யமாக இருக்கலாம். பொது குவிண்டிக்கின் தீர்வு பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர்களை பிரிங் ரேடிக்கல் மற்றும் அதன் நான்கு இணைப்புகளின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தலாம். தீர்க்கக்கூடிய பல்லுறுப்புக்கோவை சமன்பாடுகளின் அடிப்படையில் சிக்கல் இப்போது பிரிங்-ஜெரார்ட் வடிவத்திற்கு குறைக்கப்பட்டுள்ளது, மேலும் வேர்களில் பல்லுறுப்புக்கோவை வெளிப்பாடுகளை உள்ளடக்கிய மாற்றங்களைப் பயன்படுத்தி நான்காவது டிகிரி வரை மட்டுமே பயன்படுத்தப்படுகிறது, அதாவது ரேடிக்கல்களில் தீர்க்கக்கூடிய ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை வேர்களைக் கண்டுபிடிப்பதன் மூலம் மாற்றத்தை தலைகீழாக மாற்றலாம். இந்த செயல்முறை வெளிப்புற தீர்வுகளை வழங்குகிறது, ஆனால் சரியானவை எண் வழிமுறைகளால் கண்டறியப்படும்போது, குவிண்டிக்கின் வேர்களை சதுர வேர்கள், கன வேர்கள் மற்றும் கொண்டு வரும் ரேடிக்கல் ஆகியவற்றின் அடிப்படையில் எழுதலாம், எனவே இது ஒரு ஒற்றை மாறியின் இயற்கணித செயல்பாடுகளின் அடிப்படையில் ஒரு இயற்கணித தீர்வாகும் (ரேடிக்கல்களைக் கொண்டுவருவதற்கு பரவலாக வரையறுக்கப்படுகிறது)-பொதுவான குவிண்டிக்கின் இயற்கணித தீர்வு. பிற குணாதிசயங்கள் பிரிங் ரேடிக்கலின் பல பிற குணாதிசயங்கள் உருவாக்கப்பட்டுள்ளன, அவற்றில் முதலாவது 1858 ஆம் ஆண்டில் சார்லஸ் ஹெர்மைட் என்பவரால் "நீள்வட்ட மேலாடைகள்" (நீள்வட்ட மற்றும் மட்டு செயல்பாடுகளுடன் தொடர்புடையது) அடிப்படையில் உருவாக்கப்பட்டது, மேலும் பிற முறைகள் பின்னர் மற்ற கணிதவியலாளர்களால் உருவாக்கப்பட்டன. 1858 ஆம் ஆண்டில், சார்லஸ் ஹெர்மைட் "நீள்வட்ட வரம்புகள்" அடிப்படையில் பொதுவான குவிண்டிக் சமன்பாட்டிற்கான முதல் அறியப்பட்ட தீர்வை வெளியிட்டார், அதே நேரத்தில் பிரான்செஸ்கோ பிரியோச்சி மற்றும் லியோபோல்ட் க்ரோனெக்கர் ஆகியோர் சமமான தீர்வுகளைக் கண்டனர். முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் அடிப்படையில் கன சமன்பாட்டிற்கான நன்கு அறியப்பட்ட தீர்வை பொதுமைப்படுத்துவதன் மூலம் ஹெர்மைட் இந்த தீர்வை அடைந்தது மற்றும் பிரிங்-ஜெரார்ட் வடிவத்தில் ஒரு குவிண்டிக்கிற்கான தீர்வை கண்டறிந்ததுஃ இதில் எந்த குவிண்டிக் சமன்பாட்டையும் சிர்ன்ஹாஸ் உருமாற்றங்கள் மூலம் குறைக்கலாம். நீள்வட்ட செயல்பாடுகள் கனசதுரத்திற்கு முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளைப் போலவே பிரிங்-ஜெரார்ட் குவிண்டிக் கரைசலில் ஒத்த பங்கைக் கொண்டுள்ளன என்பதை அவர் கவனித்தார். முதல் வகையின் முழுமையான நீள்வட்ட ஒருங்கிணைப்புகளாக அவற்றை எழுதவும்ஃ அங்கு இரண்டு "நீள்வட்ட மேலானவற்றை" வரையறுக்கவும்ஃ அவை எல்லையற்ற தொடர்களால் சமமாக வரையறுக்கப்படலாம்ஃ n ஒரு பகா எண் என்றால், நாம் இரண்டு மதிப்புகளை பின்வருமாறு வரையறுக்கலாம்ஃ மற்றும் n ஒரு ஒற்றைப்படை பகா எண்ணாக இருக்கும்போது, அளவுருக்கள் மற்றும் n + 1 இன் டிகிரி சமன்பாட்டால் இணைக்கப்படுகின்றன, இது மாடுலர் சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது, அதன் n + 1 வேர்கள் பின்வருமாறு கொடுக்கப்படுகின்றனஃ மற்றும் எங்கே 1 அல்லது-1 என்பது 2 ஒரு இருபடி எச்சம் மாடுலோ n இல்லையா என்பதைப் பொறுத்து, முறையே, மற்றும். n = 5 க்கு, நம்மிடம் மட்டு சமன்பாடு உள்ளதுஃ மேலே காட்டப்பட்டுள்ளபடி ஆறு வேர்களுடன். n = 5 கொண்ட மாடுலர் சமன்பாடு மாடுலர் சமன்பாட்டின் ஆறு வேர்களின் பின்வரும் செயல்பாட்டின் மூலம் பிரிங்-ஜெரார்ட் குவிண்டிக்குடன் தொடர்புடையதாக இருக்கலாம் (ஹெர்மைட்டின் ஸுர் லா தியோரி டெஸ் ஈக்வேஷன்ஸ் மாடுலையர்ஸ் எட் லா ரெசல்யூஷன் டி எல் 'ஈக்வேஷன் டு சின்குவேம் டிக்ரே, முதல் காரணி தவறாக கொடுக்கப்பட்டுள்ளது): மாற்றாக, இந்த சூத்திரம் எண் மதிப்பீட்டிற்கு பயனுள்ளதாக இருக்கும். ஹெர்மைட்டின் கூற்றுப்படி, விரிவாக்கத்தின் குணகம் ஒவ்வொன்றிற்கும் பூஜ்ஜியமாகும். ஐந்து அளவுகள்,,,, விகிதமுறு குணகங்களைக் கொண்ட ஒரு குவிண்டிக் சமன்பாட்டின் வேர்கள்ஃ அவை மாற்றீட்டின் மூலம் உடனடியாக பிரிங்-ஜெரார்ட் வடிவமாக மாற்றப்படலாம்ஃ பிரிங்-ஜெரார்ட் குவிண்டிக்கிற்கு வழிவகுக்கிறதுஃ இங்கு ஹெர்மைட்-க்ரோனெக்கர்-பிரியோஷி முறை அதன் மதிப்பிற்கு ஒத்த ஒரு மதிப்பைக் கண்டுபிடிப்பதற்கு சமம், பின்னர் அந்த மதிப்பைப் பயன்படுத்தி தொடர்புடைய மாடுலர் சமன்பாட்டின் வேர்களைப் பெறுகிறது. சமன்பாட்டிலிருந்து கண்டுபிடிக்க வேர் கண்டுபிடிப்பு வழிமுறைகளைப் பயன்படுத்தலாம் (அதாவது. ஒரு பகுதியளவு நேர்மாறாக கணக்கிடுங்கள்). ஸ்கொயர் (*) என்பது (பயன்படுத்தி) மட்டுமே ஒரு குவார்டிக் கொடுக்கிறது. (*) இன் ஒவ்வொரு தீர்வும் (இன்) குவார்டிக்கின் தீர்வாகும், ஆனால் குவார்டிக்கின் ஒவ்வொரு தீர்வும் (*) இன் தீர்வாக இருக்காது. பிரிங்-ஜெரார்ட் குவிண்டிக்கின் வேர்கள் பின்னர் பின்வருமாறு கொடுக்கப்படுகின்றனஃ for. ஒரு மாற்று, "ஒருங்கிணைந்த" அணுகுமுறை பின்வருமாறுஃ சமன்பாட்டின் வேர்கள் எங்கே என்பதற்கான தீர்வு எங்கே என்பதைக் கவனியுங்கள்ஃ எங்கே (சில முக்கியமான குறிப்புகள் அதை தவறாகக் கொடுக்கின்றன என்பதைக் கவனியுங்கள்). இந்த வேர்களில் ஒன்று நீள்வட்ட மாடுலஸாக பயன்படுத்தப்படலாம். பிரிங்-ஜெரார்ட் குவிண்டிக்கின் வேர்கள் பின்னர் பின்வருமாறு கொடுக்கப்படுகின்றனஃ for. இந்த செயல்முறை n வது மூலத்தின் பொதுமைப்படுத்தலைப் பயன்படுத்துகிறது என்பதைக் காணலாம், இது பின்வருமாறு வெளிப்படுத்தப்படலாம்ஃ அல்லது அதற்கு மேல், ஹெர்மைட்-க்ரோனெக்கர்-பிரியோஷி முறை அடிப்படையில் அதிவேகத்தை ஒரு "நீள்வட்ட மிகை" மற்றும் ஒருங்கிணைந்த (அல்லது உண்மையான கோட்டின் தலைகீழ்) ஒரு நீள்வட்ட ஒருங்கிணைப்பால் (அல்லது ஒரு "நீள்வட்ட மிகை" இன் பகுதி தலைகீழ்) மாற்றுகிறது. இந்த பொதுமைப்படுத்தல் இன்னும் பொதுவான தேற்றத்தின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு என்று க்ரோனெக்கர் நினைத்தார், இது தன்னிச்சையாக உயர் டிகிரி சமன்பாடுகளுக்கு பொருந்தும். தோமாவின் சூத்திரம் என்று அழைக்கப்படும் இந்த தேற்றம், 1984 ஆம் ஆண்டில் ஹிரோஷி உமேமுராவால் முழுமையாக வெளிப்படுத்தப்பட்டது, அவர் அதிவேக/நீள்வட்ட மேலாடைகளுக்கு பதிலாக சீகல் மட்டு வடிவங்களைப் பயன்படுத்தினார், மேலும் ஒருங்கிணைப்பை ஒரு ஹைப்பர்லிப்டிக் ஒருங்கிணைப்பால் மாற்றினார். கிளாஸரின் வழித்தோன்றல் எம். எல். கிளாஸர் காரணமாக இந்த வழித்தோன்றல் இந்த கட்டுரையில் முன்பு வழங்கப்பட்ட தொடர் முறையை பொதுமைப்படுத்துகிறது, இது வடிவத்தின் எந்த முக்கோண சமன்பாட்டிற்கும் ஒரு தீர்வைக் கண்டறிகிறதுஃ குறிப்பாக, மேலே காட்டப்பட்டுள்ளபடி சிர்ன்ஹாஸ் உருமாற்றங்களைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் குவிண்டிக் சமன்பாட்டை இந்த வடிவத்திற்குக் குறைக்கலாம். பொதுவான வடிவம் பின்வருமாறு ஆகிவிடும்ஃ இதில் லாக்ரேஞ்ச் காரணமாக ஏற்படும் ஒரு சூத்திரம், எந்தவொரு பகுப்பாய்வு செயல்பாட்டிற்கும், மாற்றப்பட்ட பொது சமன்பாட்டின் மூலத்தின் சுற்றுப்புறத்தில், மேலே உள்ளவற்றின் அடிப்படையில் ஒரு எல்லையற்ற தொடராக வெளிப்படுத்தப்படலாம் என்று கூறுகிறதுஃ இந்த சூத்திரத்தை நாம் அனுமதித்தால், நாம் மூலத்தைக் கொண்டு வரலாம்ஃ காஸ் பெருக்கல் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் மேலே உள்ள எல்லையற்ற தொடரை ஹைப்பர்ஜியோமெட்ரிக் செயல்பாடுகளின் வரையறுக்கப்பட்ட தொடராக பிரிக்கலாம்ஃ மேலும் வடிவத்தின் முக்கோணத்திற்கு வேர்கள் உள்ளன சமன்பாட்டின் ஒரு மூலத்தை அதிகபட்சமாக N−1 ஹைப்பர்ஜியோமெட்ரிக் செயல்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகையாக வெளிப்படுத்தலாம். குறைக்கப்பட்ட பிரிங்-ஜெரார்ட் குவிண்டிக்கிற்கு இந்த முறையைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், பின்வரும் செயல்பாடுகளை வரையறுக்கவும்ஃ மேலே உள்ள தொடர் சூத்திரத்தில் தோன்றும் ஹைப்பர்ஜியோமெட்ரிக் செயல்பாடுகள் இவை. குவிண்டிக்கின் வேர்கள் பின்வருமாறுஃ இது அடிப்படையில் பின்வரும் முறையால் பெறப்பட்ட அதே விளைவாகும். 1860 ஆம் ஆண்டில், ஜேம்ஸ் காக்கிள் மற்றும் ராபர்ட் ஹார்லி ஆகியோர் வேறுபட்ட தீர்வுகளின் முறையை உருவாக்கினர், இது வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் மூலம் குவிண்டிக்கைத் தீர்ப்பதற்கான ஒரு முறையாகும். அவை வேர்களை குணகங்களின் செயல்பாடுகளாகக் கருதுகின்றன, மேலும் இந்த சமன்பாடுகளின் அடிப்படையில் ஒரு வேறுபட்ட தீர்வைக் கணக்கிடுகின்றன. பிரிங்-ஜெரார்ட் குவிண்டிக் ஒரு செயல்பாடாக வெளிப்படுத்தப்படுகிறதுஃ மேலும் ஒரு செயல்பாட்டை பின்வரும் நான்கு வேறுபட்ட சமன்பாடுகளையும் பூர்த்தி செய்ய வேண்டும்ஃ இவற்றை விரிவுபடுத்தி அவற்றை ஒன்றாக இணைப்பது வேறுபட்ட தீர்வைக் கொடுக்கிறதுஃ வேறுபட்ட தீர்வின் தீர்வு, நான்காவது வரிசை சாதாரண வேறுபட்ட சமன்பாடாக இருப்பதால், ஒருங்கிணைப்பின் நான்கு மாறிலிகளைப் பொறுத்தது, அவை அசல் குவிண்டிக்கை திருப்திப்படுத்தும் வகையில் தேர்ந்தெடுக்கப்பட வேண்டும். இது ஹைப்பர்ஜியோமெட்ரிக் வகையின் ஃபுச்சியன் சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடாகும், இதன் தீர்வு மேலே கிளாஸரின் வழித்தோன்றலில் எழுந்த ஹைப்பர்ஜியோமெட்ரிக் செயல்பாடுகளின் தொடருக்கு ஒத்ததாக இருக்கும். இந்த முறை தன்னிச்சையாக உயர் டிகிரி சமன்பாடுகளுக்கும் பொதுமைப்படுத்தப்படலாம், வேறுபட்ட தீர்வுகளுடன் அவை பகுதி வேறுபட்ட சமன்பாடுகளாகும், அவற்றின் தீர்வுகள் பல மாறிகளின் ஹைப்பர்ஜியோமெட்ரிக் செயல்பாடுகளை உள்ளடக்கியது. தன்னிச்சையான ஒரு மாறுபட்ட பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் வேறுபட்ட தீர்வுகளுக்கான பொதுவான சூத்திரம் நஹாயின் பவர்சம் சூத்திரத்தால் வழங்கப்படுகிறது. 1989 ஆம் ஆண்டில், பீட்டர் டாய்ல் மற்றும் கர்ட் மெக்முல்லன் ஆகியோர் பிரியோஷி இயல்பான வடிவத்தில் ஒரு குவிண்டிக்கைத் தீர்க்கும் ஒரு மறு செய்கை முறையைப் பெற்றனர்ஃ மறு செய்கை வழிமுறை பின்வருமாறு தொடர்கிறதுஃ பகுத்தறிவு செயல்பாட்டைக் கணக்கிடுங்கள், இது கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை செயல்பாடாகும், மேலும் இது ஒரு சீரற்ற தொடக்க யூகத்தில் இடரேட்டைப் பொறுத்தவரை அதன் வழித்தோன்றலாகும். வரம்பு புள்ளியை அழைத்து விடுங்கள். கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை செயல்பாட்டைக் கணக்கிடுங்கள். இருவருக்கும் இதைச் செய்யுங்கள். இறுதியாக, கணக்கிடுங்கள். இவை பிரியோச்சி குவிண்டிக்கின் இரண்டு வேர்கள் ஆகும். இரண்டு பல்லுறுப்புக்கோவை செயல்பாடுகள் மற்றும் பின்வருமாறுஃ இந்த மறு செய்கை முறை குவிண்டிக்கின் இரண்டு வேர்களை உருவாக்குகிறது. மீதமுள்ள மூன்று வேர்களை செயற்கை பிரிவைப் பயன்படுத்தி இரண்டு வேர்களைப் பிரித்து, ஒரு கன சமன்பாட்டை உருவாக்குவதன் மூலம் பெறலாம். மறு செய்கை வடிவமைக்கப்பட்ட விதத்தின் காரணமாக, அனைத்து குவிண்டிக் குணகங்களும் உண்மையானவை மற்றும் தொடக்க யூகம் உண்மையானது என்றாலும் கூட, இந்த முறை எப்போதும் குவிண்டிக்கின் இரண்டு சிக்கலான இணை வேர்களைக் கண்டுபிடிப்பதாகத் தெரிகிறது. இந்த மறு செய்கை முறை ஐகோசாஹெட்ரானின் சமச்சீர்மைகளிலிருந்து பெறப்பட்டது மற்றும் ஃபெலிக்ஸ் க்ளீன் தனது புத்தகத்தில் விவரிக்கும் முறையுடன் நெருக்கமாக தொடர்புடையது. மேலும் காண்க சமன்பாடுகளின் கோட்பாடு குறிப்புகள் பிற ஆதாரங்கள் வெளிப்புற இணைப்புகள் சமன்பாடுகள் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் சிறப்பு ஹைப்பர்ஜியோமெட்ரிக் செயல்பாடுகள்