Euler–Fokker genus
இசைக் கோட்பாடு மற்றும் ட்யூனிங்கில், லியோன்ஹார்ட் யூலர் மற்றும் அட்ரியான் ஃபோக்கர் ஆகியோரின் பெயரால் பெயரிடப்பட்ட ஒரு யூலர்-ஃபோக்கர் பேரினம் (பன்மைஃ ஜெனரா), வெறும் இசையில் ஒரு இசை அளவுகோலாகும், அதன் சுருதிகள் சில உறுப்பினர்களின் தயாரிப்புகளாக வெளிப்படுத்தப்படலாம். மனித காதுகள் ஆக்டேவ்களை சமமாக உணரும் விதத்தின் காரணமாக, இரண்டின் சக்திகள் பொதுவாக புறக்கணிக்கப்படுகின்றன. ஒரு x-பரிமாண தொனி-பரிமாணம் x காரணிகளைக் கொண்டுள்ளது. இரண்டு பரிமாணங்களைக் கொண்ட ஒரு யூலர்-ஃபோக்கர் இனத்தை இரு பரிமாண (செவ்வக) தொனி-கட்டத்தில் குறிப்பிடலாம், ஒன்று முப்பரிமாண (தொகுதி வடிவ) தொனி-ஜாலத்தில் மூன்று பரிமாணங்களைக் கொண்டுள்ளது. யூலர்-ஃபோக்கர் இனங்கள் ஒவ்வொரு பரிமாணத்திலும் உள்ள படிகளின் எண்ணிக்கையின் பட்டியலால் வகைப்படுத்தப்படுகின்றன. படிகளின் எண்ணிக்கை பரிமாணத்தை மீண்டும் மீண்டும் குறிப்பிடுவதன் மூலம் குறிக்கப்படுகிறது, இதனால் [3 3 5 5], [3 5 7], [3 3 5 5 7 7 11 11] போன்ற விளக்கங்கள் எழுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, மல்டிசெட் {3,3,7} யூலர்-ஃபோக்கர் இனத்தை [3,3,7] விளைவிக்கிறது, இதில் பின்வரும் பிட்ச்கள் உள்ளனஃ 1,3 = 3 7 = 7 3 × 3 = 9 3 × 7 = 21 3 × 3 × 7 = 63 ஒரு எண்மத்திற்குள் வருவதற்கு இயல்பாக்கப்பட்டது, இவை ஆகின்றனஃ 1/1,9/8,21/16,3/2,7/4,63/32. ஆய்லர் இனங்கள் 3 மற்றும் 5 முதன்மைக் காரணிகளிலிருந்து உருவாக்கப்படுகின்றன, அதேசமயம் ஆய்லர்-ஃபோக்கர் இனங்கள் 7 அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட பகா எண்ணைக் கொண்டிருக்கலாம். பட்டம் என்பது ஒரு இனத்தை உருவாக்கும் இடைவெளிகளின் எண்ணிக்கை. இருப்பினும், ஒரே அளவிலான அனைத்து இனங்களும் ஒரே எண்ணிக்கையிலான தொனிகளைக் கொண்டிருக்கவில்லை, ஏனெனில் [XXXYYY] மேலும் குறிப்பிடப்படலாம் [XxYy], "டிகிரி இவ்வாறு அடுக்குகளின் கூட்டுத்தொகை", மேலும் பிட்ச்களின் எண்ணிக்கை ஒவ்வொரு அடுக்குக்கும் ஒன்றைச் சேர்த்து பின்னர் அவற்றை ((X + 1) × (Y + 1) = Z) பெருக்குகிறது. அட்ரியான் ஃபோக்கர் தனது இசையின் பெரும்பகுதியை யூலர்-ஃபோக்கர் இனத்தில் எழுதினார், இது 31-தொனியில் சமமான மனோபாவத்தில் வெளிப்படுத்தப்பட்டது. ஆலன் ரிடவுட் யூலர்-ஃபோக்கர் இனத்தையும் பயன்படுத்தினார். யூலர்-ஃபோக்கர் பேரினம் ஒரு முழுமையான சுருக்கப்பட்ட நாணல் என்றும் அழைக்கப்படலாம். ஆய்லர் முழுமையான நாணல் என்ற வார்த்தையை உருவாக்கினார், அதே நேரத்தில் ஃபோக்கர் முழு வார்த்தையையும் உருவாக்கினார். ஒரு முழுமையான நாண் இரண்டு பிட்ச்களைக் கொண்டுள்ளது, அடிப்படை மற்றும் வழிகாட்டி தொனி, வழிகாட்டி தொனி அடிப்படையின் பெருக்கமாக உள்ளது. இடையில் மற்ற பிட்ச்கள் உள்ளன, அவை அடிப்படையின் மடங்குகளாகவோ அல்லது வழிகாட்டி தொனியின் வகுத்திகளாகவோ (ஓடோனாலிட்டி மற்றும் யூட்டானாலிட்டி) பார்க்கப்படலாம். எடுத்துக்காட்டாக, 1 ஐ அடிப்படையாகக் கொண்டு, 15 ஐ வழிகாட்டி தொனியாகத் தேர்ந்தெடுத்தால், ஒருவர் பெறுகிறார்ஃ 1:3:5:15 (பேரினம் [35]). அடிப்படை எண்ணால் வகுக்கப்படும் வழிகாட்டி தொனியின் அளவு "பதற்றம் எண்" அல்லது "அதிர்வெண்" (யூலர்ஃ எக்ஸ்போனென்ஸ் மெய்) ஆகும். எர்வ் வில்சன் தனது சொந்த கட்டமைப்புகளை உருவாக்கினார், அவை இந்த பிராந்தியத்தை ஒன்றுடன் ஒன்று இணைக்கின்றன, அவை சுருக்கமாக "காம்பினேஷன் ப்ராடக்ட் செட்" அல்லது சிபிஎஸ் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. இவை ஒரு தொடக்க புள்ளிக்கு மாறாக தொகுப்பின் உறுப்பினராக 1 ஐ உள்ளடக்கிய காரணிகளின் தொகுப்புகளின் தயாரிப்புகளை உருவாக்குவதன் மூலம் உருவாகின்றன. இது ஹெக்ஸனி, ஐகோசானி மற்றும் ஹெப்டோமெகொன்டனி போன்ற பல்வேறு மையப்படுத்தப்படாத கட்டமைப்புகளை சுட்டிக்காட்ட அவரை வழிநடத்தியது. ஆய்லர் இனங்களின் பட்டியல். மேலும் படிக்க ஹெக்ஸானி குறிப்புகள் ஃபிராங்க் ஜெட்ரெஜெவ்ஸ்கி (2006) ஐப் பார்க்கவும். இசையின் கணிதக் கோட்பாடு, பக்கம் 157. மியூசிக்கல் ஸ்கேல் மியூசிக்கல் ட்யூனிங்