Proth's theorem
எண் கோட்பாட்டில், புரோத்தின் தேற்றம் என்பது புரோத் எண்களுக்கான முதன்மை சோதனை ஆகும். p ஒரு முதல் எண் என்றால், k2n + 1 வடிவத்தில் k ஒற்றைப்படை மற்றும் k <2n உடன், மற்றும் ஒரு முழு எண் இருந்தால், அதற்கு p பகா எண் என்று அது கூறுகிறது. இந்த வழக்கில் p ஒரு புரோத் பிரைம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இது ஒரு நடைமுறை சோதனை, ஏனெனில் p பகா எண்ணாக இருந்தால், தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட எந்த a க்கும் வேலை செய்ய 50 சதவீதம் வாய்ப்பு உள்ளது, மேலும், கணக்கீடு மோட் p என்பதால், p ஐ விட சிறிய மதிப்புகள் மட்டுமே கவனத்தில் கொள்ளப்பட வேண்டும். எவ்வாறாயினும், நடைமுறையில், p இன் இருபடி மீள் இல்லாதது ஒரு மாற்றியமைக்கப்பட்ட யூக்ளிடின் வழிமுறை மூலம் கண்டறியப்பட்டு a இன் மதிப்பாக எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது, ஏனெனில் a ஒரு இருபடி மீள் இல்லாத மாடுலோ p என்றால், எதிர்ப்பும் உண்மை, மேலும் சோதனை உறுதியானது. எனவே, பல மான்டே கார்லோ முதன்மை சோதனைகளுக்கு மாறாக (தவறான நேர்மறையைத் திருப்பித் தரக்கூடிய சீரற்ற வழிமுறைகள்), புரோத்தின் தேற்றத்தை அடிப்படையாகக் கொண்ட முதன்மை சோதனை வழிமுறை ஒரு லாஸ் வேகாஸ் வழிமுறையாகும், இது எப்போதும் சரியான பதிலைத் தருகிறது, ஆனால் சீரற்ற முறையில் மாறுபடும் இயக்க நேரத்துடன். மேலே விவரிக்கப்பட்டுள்ளபடி a ஒரு இருபடி மீள் இல்லாததாகத் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டால், இயக்க நேரம் நிலையானது, அத்தகைய இருபடி மீல் இல்லாததைக் கண்டுபிடிப்பதில் செலவழிக்கும் நேரத்திற்கு பாதுகாப்பானது என்பதை நினைவில் கொள்க. உண்மையான சோதனையுடன் ஒப்பிடும்போது அத்தகைய மதிப்பைக் கண்டுபிடிப்பது மிகவும் விரைவானது. இந்த தேற்றத்தின் எடுத்துக்காட்டுகளில் பின்வருவன அடங்கும்ஃ p = 3 = 1 (21) + 1 க்கு, 2 (3-1)/2 + 1 = 3 என்பது 3 ஆல் வகுபடும், எனவே 3 பகா எண் ஆகும். p = 5 = 1 (22) + 1 க்கு, 3 (5-1)/2 + 1 = 10 ஐ 5 ஆல் வகுக்க முடியும், எனவே 5 பகா எண் ஆகும். p = 13 = 3 (22) + 1 க்கு, 5 (13-1)/2 + 1 = 15626 ஐ 13 ஆல் வகுக்க முடியும், எனவே 13 பகா எண் ஆகும். பகா எண் அல்லாத p = 9க்கு, a (9-1)/2 + 1 என்பது 9 ஆல் வகுபடும் வகையில் இல்லை. முதல் முதல் பகா எண்கள்ஃ 3,5,13,17,41,97,113,193,241,257,353,449,577,641,673,769,929,1153. அறியப்பட்ட மிகப் பெரிய முதல் பகா எண், 9,383,761 இலக்கங்கள் நீளமானது. இது 2016 நவம்பர் 6 அன்று பிரைம் கிரிட் தன்னார்வ கம்ப்யூட்டிங் திட்டத்தில் பீட்டர் ஸ்சாபோல்க்ஸால் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது. இது மெர்சென் அல்லாத மிகப்பெரிய பகா எண்ணாகவும், மிகப்பெரிய கோல்பர்ட் எண்ணாகவும் அறியப்படுகிறது. இரண்டாவது மிகப்பெரிய அறியப்பட்ட முதல் பகா எண், பிரைம் கிரிட் மூலம் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது. இந்த தேற்றத்திற்கான ஆதாரம் போக்லிங்டன்-லெஹ்மர் முதன்மை சோதனையைப் பயன்படுத்துகிறது, மேலும் இது பெபினின் சோதனையின் ஆதாரத்தை நெருக்கமாக ஒத்திருக்கிறது. ரிபன்போயிம் எழுதிய புத்தகத்தின் பக்கம் 52 இல் சான்றுகளைக் காணலாம். வரலாறு பிரான்சுவா புரோத் (1852-1879) இந்த தேற்றத்தை 1878 இல் வெளியிட்டார். பெபினின் சோதனையையும் பார்க்கவும் (சிறப்பு வழக்கு k = 1, அங்கு ஒருவர் a = 3 ஐத் தேர்வு செய்கிறார்) சியர்பின்ஸ்கி எண் குறிப்புகள் வெளிப்புற இணைப்புகள் முதன்மைச் சோதனைகள் பகா எண்களைப் பற்றிய கோட்பாடுகள் டிஃ புரோத்ஷ் ப்ரிம்சால் என்எல்ஃ புரோத்ஜெடல்