Topological order
இயற்பியலில், இடவியல் வரிசை என்பது பொருளின் பூஜ்ஜிய-வெப்பநிலை கட்டத்தில் (குவாண்டம் பொருள் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) ஒரு வகையான வரிசையாகும். மேக்ரோஸ்கோபிக் ரீதியாக, இடவியல் வரிசை வலுவான தரை நிலை சீரழிவு மற்றும் சீரழிந்த தரை நிலைகளின் அபெலியன் அல்லாத வடிவியல் கட்டங்களால் வரையறுக்கப்பட்டு விவரிக்கப்படுகிறது. நுண்ணோக்கியியல் ரீதியாக, இடவியல் வரிசைகள் நீண்ட தூர குவாண்டம் சிக்கலின் வடிவங்களுடன் ஒத்திருக்கின்றன. வெவ்வேறு இடவியல் வரிசைகளைக் கொண்ட நிலைகள் (அல்லது நீண்ட தூர சிக்கல்களின் வெவ்வேறு வடிவங்கள்) ஒரு கட்ட மாற்றம் இல்லாமல் ஒருவருக்கொருவர் மாற முடியாது. பல்வேறு இடவியல் ரீதியாக வரிசைப்படுத்தப்பட்ட நிலைகள் சுவாரஸ்யமான பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன, அதாவது (1) இடவியல் சீரழிவு மற்றும் பின்ன புள்ளிவிவரங்கள் அல்லது ஒரு இடவியல் குவாண்டம் கணினியை உணரப் பயன்படுத்தக்கூடிய அபெலியன் அல்லாத புள்ளிவிவரங்கள்; (2) முக்கியமான சாதனப் பயன்பாடுகளைக் கொண்ட சரியான கடத்தும் விளிம்பு நிலைகள்; (3) அடிப்படை துகள்களின் குவாண்டம் தகவல் தோற்றத்தைக் குறிக்கும் எமர்ஜென்ட் கேஜ் புலம் மற்றும் ஃபெர்மி புள்ளிவிவரங்கள்; (4) இடவியல் வரிசையின் சிக்கல் தோற்றத்தை வெளிப்படுத்தும் இடவியல் சிக்கல் என்ட்ரோபி போன்றவை. சுழல் திரவங்கள் மற்றும் குவாண்டம் ஹால் விளைவு போன்ற பல இயற்பியல் அமைப்புகளின் ஆய்வில் இடவியல் வரிசை முக்கியமானது, மேலும் தவறு-சகிப்புத்தன்மை கொண்ட குவாண்டம் கணக்கீட்டிற்கான சாத்தியமான பயன்பாடுகளுடன். இடவியல் மின்கடத்திகள் மற்றும் இடவியல் சூப்பர் கண்டக்டர்கள் (1D க்கு அப்பால்) மேலே வரையறுக்கப்பட்டுள்ளபடி இடவியல் வரிசையைக் கொண்டிருக்கவில்லை, அவற்றின் சிக்கல்கள் குறுகிய தூரத்தில் மட்டுமே உள்ளன. அணுக்களால் ஆன பின்னணி பொருள் வெவ்வேறு பண்புகளைக் கொண்டிருக்கலாம் மற்றும் திட, திரவ, சூப்பர்ஃப்ளூயிட் போன்ற பல்வேறு வடிவங்களில் தோன்றலாம். இந்த பல்வேறு வகையான பொருட்கள் பெரும்பாலும் பொருளின் நிலைகள் அல்லது கட்டங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. அமுக்கப்பட்ட பொருள் இயற்பியல் மற்றும் தோற்றத்தின் கொள்கையின்படி, பொருட்களின் வெவ்வேறு பண்புகள் பொதுவாக பொருட்களில் அணுக்கள் ஒழுங்கமைக்கப்பட்டுள்ள வெவ்வேறு வழிகளில் இருந்து எழுகின்றன. அணுக்களின் வெவ்வேறு அமைப்புகள் (அல்லது பிற துகள்கள்) முறைப்படி பொருட்களில் உள்ள வரிசைகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. அணுக்கள் பல வழிகளில் ஒழுங்கமைக்க முடியும், இது பல்வேறு வரிசைகள் மற்றும் பல்வேறு வகையான பொருட்களுக்கு வழிவகுக்கிறது. லாண்டாவ் சமச்சீர் உடைக்கும் கோட்பாடு இந்த வெவ்வேறு வரிசைகளைப் பற்றிய பொதுவான புரிதலை வழங்குகிறது. வெவ்வேறு வரிசைகள் உண்மையில் உறுப்பு அணுக்களின் அமைப்புகளில் வெவ்வேறு சமச்சீர்மைகளுடன் ஒத்திருக்கின்றன என்பதை இது சுட்டிக்காட்டுகிறது. ஒரு பொருள் ஒரு வரிசையில் இருந்து மற்றொரு வரிசைக்கு மாறும்போது (அதாவது, பொருள் ஒரு கட்ட மாற்றத்திற்கு உட்படும் போது), அணுக்களின் அமைப்பின் சமச்சீர் மாறுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, அணுக்கள் ஒரு திரவத்தில் சீரற்ற பரவலைக் கொண்டுள்ளன, எனவே ஒரு திரவம் நாம் ஒரு தன்னிச்சையான தூரத்தால் அணுக்களை இடமாற்றம் செய்வது போலவே இருக்கும். ஒரு திரவத்திற்கு தொடர்ச்சியான மொழிபெயர்ப்பு சமச்சீர் உள்ளது என்று நாம் கூறுகிறோம். ஒரு கட்ட மாற்றத்திற்குப் பிறகு, ஒரு திரவம் ஒரு படிகமாக மாறும். ஒரு படிகத்தில், அணுக்கள் ஒரு வழக்கமான வரிசையாக (ஒரு லட்டிஸ்) ஒழுங்கமைக்கப்படுகின்றன. ஒரு லட்டிஸ் ஒரு குறிப்பிட்ட தூரத்தால் இடமாற்றம் செய்யப்படும்போது மட்டுமே மாறாமல் இருக்கும் (முழு எண் முறை ஒரு லட்டிஸ் மாறிலி), எனவே ஒரு படிகத்திற்கு தனித்துவமான மொழிபெயர்ப்பு சமச்சீர் மட்டுமே உள்ளது. திரவத்திற்கும் படிகத்திற்கும் இடையிலான கட்ட மாற்றம் என்பது திரவத்தின் தொடர்ச்சியான மொழிபெயர்ப்பு சமச்சீர்மையை படிகத்தின் தனித்த சமச்சீர்மைக்கு குறைக்கும் ஒரு மாற்றமாகும். இத்தகைய சமச்சீர் மாற்றம் சமச்சீர் உடைப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது. திரவங்களுக்கும் படிகங்களுக்கும் இடையிலான வேறுபாட்டின் சாராம்சம் என்னவென்றால், அணுக்களின் அமைப்புகள் இரண்டு கட்டங்களிலும் வெவ்வேறு சமச்சீர்மைகளைக் கொண்டுள்ளன. லாண்டாவ் சமச்சீர் உடைக்கும் கோட்பாடு மிகவும் வெற்றிகரமான கோட்பாடாகும். நீண்ட காலமாக, லாண்டாவ் கோட்பாடு பொருட்களில் சாத்தியமான அனைத்து வரிசைகளையும், சாத்தியமான அனைத்து (தொடர்ச்சியான) கட்ட மாற்றங்களையும் விவரிக்கிறது என்று இயற்பியலாளர்கள் நம்பினர். இருப்பினும், 1980 களின் பிற்பகுதியில் இருந்து, லாண்டாவ் சமச்சீர் உடைக்கும் கோட்பாடு சாத்தியமான அனைத்து வரிசைகளையும் விவரிக்காது என்பது படிப்படியாக தெளிவாகியுள்ளது. உயர் வெப்பநிலை சூப்பர் கண்டக்டிவிட்டியை விளக்கும் முயற்சியில் சிரல் சுழற்சி நிலை அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. ஆரம்பத்தில், இயற்பியலாளர்கள் இன்னும் சைரல் சுழற்சி நிலையை விவரிக்க லாண்டாவ் சமச்சீர் உடைக்கும் கோட்பாட்டைப் பயன்படுத்த விரும்பினர். அவர்கள் சிரல் சுழற்சி நிலையை நேர தலைகீழ் மற்றும் சமநிலை சமச்சீர்மைகளை உடைக்கும் ஒரு நிலையாக அடையாளம் கண்டனர், ஆனால் சுழற்சி சுழற்சி சமச்சீர்மையை அல்ல. இது லாண்டாவின் சமச்சீர் உடைக்கும் வரிசைகளின் விளக்கத்தின்படி கதையின் முடிவாக இருக்க வேண்டும். இருப்பினும், ஒரே சமச்சீர்மையைக் கொண்ட பல வெவ்வேறு சிரல் சுழற்சி நிலைகள் உள்ளன என்பது விரைவாக உணரப்பட்டது, எனவே வெவ்வேறு சிரல் சுழற்சி நிலைகளை வகைப்படுத்த சமச்சீர்மை மட்டும் போதாது. இதன் பொருள் என்னவென்றால், சிரல் சுழல் நிலைகள் வழக்கமான சமச்சீர் விளக்கத்திற்கு அப்பாற்பட்ட ஒரு புதிய வகையான வரிசையைக் கொண்டுள்ளன. முன்மொழியப்பட்ட, புதிய வகையான வரிசைக்கு "இடவியல் வரிசை" என்று பெயரிடப்பட்டது. "இடவியல் வரிசை" என்ற பெயர் சிரல் சுழற்சி நிலைகளின் குறைந்த ஆற்றல் பயனுள்ள கோட்பாட்டால் உந்தப்படுகிறது, இது ஒரு இடவியல் குவாண்டம் புலம் கோட்பாடு (TQFT) ஆகும். புதிய குவாண்டம் எண்கள், அதாவது தரை நிலை சீரழிவு (இது ஒரு மூடிய இடத்தில் வரையறுக்கப்படலாம் அல்லது இடைவெளி எல்லைகளுடன் ஒரு திறந்தவெளியில் வரையறுக்கப்படலாம், இதில் அபெலியன் இடவியல் வரிசைகள் மற்றும் அபெலியன் அல்லாத இடவியல் வரிசைகள் இரண்டும் அடங்கும்) மற்றும் சீரழிந்த தரை நிலைகளின் அபெலியன் அல்லாத வடிவியல் கட்டம், சிரல் சுழற்சி நிலைகளில் வெவ்வேறு இடவியல் வரிசைகளை வகைப்படுத்தவும் வரையறுக்கவும் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டன. மிக சமீபத்தில், இடவியல் வரிசைகள் இடவியல் என்ட்ரோபி மூலம் வகைப்படுத்தப்படலாம் என்று காட்டப்பட்டது. ஆனால் சிரல் சுழற்சி நிலைகள் உயர் வெப்பநிலை சூப்பர் கண்டக்டர்களை விவரிக்கவில்லை என்பதை சோதனைகள் விரைவில் சுட்டிக்காட்டின, மேலும் இடவியல் வரிசையின் கோட்பாடு சோதனை உணர்தல் இல்லாத ஒரு கோட்பாடாக மாறியது. இருப்பினும், சிரல் சுழற்சி நிலைகளுக்கும் குவாண்டம் ஹால் நிலைகளுக்கும் இடையிலான ஒற்றுமை, வெவ்வேறு குவாண்டம் ஹால் நிலைகளை விவரிக்க இடவியல் வரிசையின் கோட்பாட்டைப் பயன்படுத்த அனுமதிக்கிறது. சிரல் சுழற்சி நிலைகளைப் போலவே, வெவ்வேறு குவாண்டம் ஹால் நிலைகளும் ஒரே சமச்சீர்மையைக் கொண்டுள்ளன, மேலும் அவை லாண்டாவ் சமச்சீர்மையை உடைக்கும் விளக்கத்திற்கு வெளியே உள்ளன. வெவ்வேறு குவாண்டம் ஹால் நிலைகளில் உள்ள வெவ்வேறு வரிசைகளை உண்மையில் இடவியல் வரிசைகளால் விவரிக்க முடியும் என்பதை ஒருவர் காண்கிறார், எனவே இடவியல் வரிசை சோதனை உணர்தல்களைக் கொண்டுள்ளது. பின்ன குவாண்டம் ஹால் (FQH) நிலை 1982 ஆம் ஆண்டில் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது, 1989 ஆம் ஆண்டில் இடவியல் வரிசை என்ற கருத்து அறிமுகப்படுத்தப்படுவதற்கு முன்பு. ஆனால் FQH நிலை சோதனை ரீதியாக கண்டுபிடிக்கப்பட்ட முதல் இடவியல் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட நிலை அல்ல. 1911 ஆம் ஆண்டில் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட சூப்பர் கண்டக்டர், சோதனை ரீதியாக கண்டுபிடிக்கப்பட்ட முதல் இடவியல் வரிசை நிலை; இது Z2 இடவியல் வரிசையைக் கொண்டுள்ளது. இடவியல் ரீதியாக வரிசைப்படுத்தப்பட்ட நிலைகள் பொதுவாக வலுவாக தொடர்பு கொள்ளும் போசான்/ஃபெர்மியன் அமைப்புகளில் தோன்றினாலும், ஒரு எளிய வகையான இடவியல் வரிசை இலவச ஃபெர்மியன் அமைப்புகளிலும் தோன்றலாம். இந்த வகையான இடவியல் வரிசை ஒருங்கிணைந்த குவாண்டம் ஹால் நிலைக்கு ஒத்திருக்கிறது, இது ஒரு லட்டிஸில் உள்ள முழு எண் குவாண்டம் ஹால் நிலையைக் கருத்தில் கொண்டால் நிரப்பப்பட்ட ஆற்றல் பட்டையின் செர்ன் எண்ணால் வகைப்படுத்தப்படலாம். கோட்பாட்டு கணக்கீடுகள் அத்தகைய செர்ன் எண்களை ஒரு இலவச ஃபெர்மியன் அமைப்புக்கு சோதனை ரீதியாக அளவிட முடியும் என்று முன்மொழிந்துள்ளன. அத்தகைய செர்ன் எண்ணை விளிம்பு நிலைகளால் (மறைமுகமாக இருக்கலாம்) அளவிட முடியும் என்பதும் அனைவரும் அறிந்ததே. இடவியல் வரிசைகளின் மிக முக்கியமான தன்மை அடிப்படை பின்னமயமாக்கப்பட்ட கிளர்ச்சிகள் (அன்யோன்கள் போன்றவை) மற்றும் அவற்றின் இணைவு புள்ளிவிவரங்கள் மற்றும் பின்னல் புள்ளிவிவரங்கள் (இது போசான்கள் அல்லது ஃபெர்மியன்களின் குவாண்டம் புள்ளிவிவரங்களுக்கு அப்பால் செல்லலாம்). 3 + 1 பரிமாண இடைவெளி நேரத்தில் இடவியல் வரிசைகளுக்கு வளையம் மற்றும் சரம் போன்ற கிளர்ச்சிகள் உள்ளன என்பதை தற்போதைய ஆராய்ச்சி படைப்புகள் காட்டுகின்றன, மேலும் அவற்றின் பல-வளையம்/சரம்-பின்னல் புள்ளிவிவரங்கள் 3 + 1 பரிமாண இடவியல் வரிசைகளை அடையாளம் காண்பதற்கான முக்கியமான கையொப்பங்களாகும். 3 + 1 பரிமாண இடவியல் வரிசைகளின் பல-சுழல்/சரம்-பின்னல் புள்ளிவிவரங்களை 4 இடநேர பரிமாணங்களில் குறிப்பிட்ட இடவியல் குவாண்டம் புலக் கோட்பாட்டின் இணைப்பு மாறுபாடுகளால் பிடிக்க முடியும். 2 + 1டி இடவியல் வரிசைகளின் ஒரு பெரிய வகுப்பு சரம்-நிகர ஒடுக்கம் எனப்படும் ஒரு பொறிமுறையின் மூலம் உணரப்படுகிறது. இடவியல் வரிசைகளின் இந்த வகை ஒரு இடைவெளி விளிம்பைக் கொண்டிருக்கலாம் மற்றும் யூனிட்டரி இணைவு வகை (அல்லது மோனாய்டல் வகை) கோட்பாட்டால் வகைப்படுத்தப்படுகின்றன. சரம்-நிகர ஒடுக்கம் எண்ணற்ற பல்வேறு வகையான இடவியல் வரிசைகளை உருவாக்க முடியும் என்பதை ஒருவர் கண்டறிந்துள்ளார், இது கண்டுபிடிக்கப்பட வேண்டிய பல்வேறு புதிய வகையான பொருட்கள் உள்ளன என்பதைக் குறிக்கலாம். அமுக்கப்பட்ட சரங்களின் கூட்டு இயக்கங்கள் சரம்-நிகர அமுக்கப்பட்ட நிலைகளுக்கு மேலே கிளர்ச்சிகளை உருவாக்குகின்றன. அந்த கிளர்ச்சிகள் கேஜ் போசான்களாக மாறுகின்றன. சரங்களின் முனைகள் மற்றொரு வகை கிளர்ச்சிகளுடன் ஒத்திருக்கும் குறைபாடுகள் ஆகும். அந்த தூண்டுதல்கள் கேஜ் கட்டணங்கள் மற்றும் ஃபெர்மி அல்லது பின்ன புள்ளிவிவரங்களைக் கொண்டு செல்லலாம். "சவ்வுகள்", "மூளை-வலைகள்" மற்றும் எலும்பு முறிவுகள் போன்ற பிற நீட்டிக்கப்பட்ட பொருட்களின் ஒடுக்கங்களும் இடவியல் ரீதியாக வரிசைப்படுத்தப்பட்ட கட்டங்களுக்கும் "குவாண்டம் கண்ணாடித்தன்மைக்கும்" வழிவகுக்கின்றன. கணித சூத்திரம் குழுக் கோட்பாடு என்பது சமச்சீர்-உடைக்கும் வரிசைகளின் கணித அடித்தளம் என்பதை நாம் அறிவோம். இடவியல் வரிசையின் கணித அடித்தளம் என்ன? 2 + 1டி இடவியல் வரிசைகளின் துணைப்பிரிவு-அபெலியன் இடவியல் வரிசைகள்-கே-மேட்ரிக்ஸ் அணுகுமுறையால் வகைப்படுத்தப்படலாம் என்று கண்டறியப்பட்டது. சரம்-நிகர ஒடுக்கம் டென்சர் வகை (இணைவு வகை அல்லது மோனாய்டல் வகை போன்றவை) 2 + 1D இல் உள்ள இடவியல் வரிசையின் கணித அடித்தளத்தின் ஒரு பகுதியாகும் என்று கூறுகிறது. மிகவும் சமீபத்திய ஆராய்ச்சிகள் (பின்னப்பட்ட தூண்டுதல்கள் இல்லாத தலைகீழ் இடவியல் வரிசைகள் வரை): 2 + 1டி போசோனிக் இடவியல் வரிசைகள் யூனிட்டரி மாடுலர் டென்சர் வகைகளால் வகைப்படுத்தப்படுகின்றன. சமச்சீர் G உடன் 2 + 1D போசோனிக் இடவியல் வரிசைகள் G-குறுக்கு டென்சர் வகைகளால் வகைப்படுத்தப்படுகின்றன. சமச்சீர் G உடன் 2 + 1D போசோனிக்/ஃபெர்மியோனிக் இடவியல் வரிசைகள் ஒற்றை சடை இணைவு வகைகளால் வகைப்படுத்தப்படுகின்றன, அவை சமச்சீர் இணைவு வகையை விட வகைப்படுத்தப்படுகின்றன, அவை மட்டு நீட்டிப்புகளைக் கொண்டுள்ளன. சமச்சீர் இணைவு வகை ரெப் (ஜி) போசோனிக் அமைப்புகளுக்கு மற்றும் எஸ்ஆர்இபி (ஜி) ஃபெர்மியோனிக் அமைப்புகளுக்கு. உயர் பரிமாணங்களில் உள்ள இடவியல் வரிசை n-வகை கோட்பாட்டுடன் தொடர்புடையதாக இருக்கலாம். குவாண்டம் இயக்குபவர் இயற்கணிதம் இடவியல் வரிசைகளைப் படிப்பதில் மிக முக்கியமான கணிதக் கருவியாகும். இடவியல் வரிசை கணித ரீதியாக நீட்டிக்கப்பட்ட குவாண்டம் சமச்சீர் மூலம் விவரிக்கப்படுகிறது என்றும் சிலர் கூறுகின்றனர். பயன்பாடுகள் லாண்டாவ் சமச்சீர் உடைப்புக் கோட்பாட்டால் விவரிக்கப்பட்ட பொருட்கள் தொழில்நுட்பத்தில் கணிசமான தாக்கத்தை ஏற்படுத்தியுள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக, சுழற்சி சுழற்சி சமச்சீர்மையை உடைக்கும் ஃபெரோ காந்தப் பொருட்கள் டிஜிட்டல் தகவல் சேமிப்பகத்தின் ஊடகமாகப் பயன்படுத்தப்படலாம். ஃபெரோ காந்தப் பொருட்களால் செய்யப்பட்ட ஒரு ஹார்ட் டிரைவ் ஜிகாபைட் தகவல்களை சேமிக்க முடியும். மூலக்கூறுகளின் சுழற்சி சமச்சீர்மையை உடைக்கும் திரவ படிகங்கள் காட்சி தொழில்நுட்பத்தில் பரந்த பயன்பாட்டைக் காண்கின்றன. மொழிபெயர்ப்பு சமச்சீர்மையை உடைக்கும் படிகங்கள் நன்கு வரையறுக்கப்பட்ட மின்னணு பட்டைகளுக்கு வழிவகுக்கின்றன, அவை டிரான்சிஸ்டர்கள் போன்ற குறைக்கடத்தல் சாதனங்களை உருவாக்க அனுமதிக்கின்றன. பல்வேறு வகையான இடவியல் வரிசைகள் பல்வேறு வகையான சமச்சீர் உடைக்கும் வரிசைகளை விட பணக்காரமானவை. இது உற்சாகமான, புதுமையான பயன்பாடுகளுக்கான அவற்றின் திறனை பரிந்துரைக்கிறது. இடவியல் குவாண்டம் கம்ப்யூட்டிங் எனப்படும் நுட்பத்தில் குவாண்டம் கம்ப்யூட்டிங்கிற்கான ஊடகமாக இடவியல் ரீதியாக வரிசைப்படுத்தப்பட்ட நிலைகளைப் பயன்படுத்துவது ஒரு கோட்பாட்டு பயன்பாடாகும். இடவியல் ரீதியாக வரிசைப்படுத்தப்பட்ட நிலை என்பது சிக்கலான உள்ளூர் அல்லாத குவாண்டம் சிக்கலைக் கொண்ட ஒரு மாநிலமாகும். இருப்பிடமற்றது என்பது இடவியல் ரீதியாக வரிசைப்படுத்தப்பட்ட நிலையில் உள்ள குவாண்டம் சிக்கல் பல வேறுபட்ட துகள்களுக்கு இடையில் விநியோகிக்கப்படுகிறது என்பதாகும். இதன் விளைவாக, குவாண்டம் சிக்கல்களின் வடிவத்தை உள்ளூர் இடையூறுகளால் அழிக்க முடியாது. இது டிகோஹெரென்ஸ் விளைவை கணிசமாகக் குறைக்கிறது. குவாண்டம் தகவலை குறியாக்கம் செய்ய இடவியல் ரீதியாக வரிசைப்படுத்தப்பட்ட நிலையில் வெவ்வேறு குவாண்டம் சிக்கல்களைப் பயன்படுத்தினால், தகவல் மிக நீண்ட காலம் நீடிக்கும் என்று இது கூறுகிறது. இடவியல் குவாண்டம் சிக்கல்களால் குறியிடப்பட்ட குவாண்டம் தகவல்களும் ஒருவருக்கொருவர் இடவியல் குறைபாடுகளை இழுத்துச் செல்வதன் மூலம் கையாளப்படலாம். இந்த செயல்முறை குவாண்டம் கணக்கீடுகளைச் செய்வதற்கான ஒரு இயற்பியல் கருவியை வழங்கக்கூடும். எனவே, இடவியல் ரீதியாக வரிசைப்படுத்தப்பட்ட நிலைகள் குவாண்டம் நினைவகம் மற்றும் குவாண்டம் கணக்கீடு ஆகிய இரண்டிற்கும் இயற்கை ஊடகங்களை வழங்கலாம். குவாண்டம் நினைவகம் மற்றும் குவாண்டம் கணக்கீட்டின் இத்தகைய உணர்தல்கள் தவறுகளை சகிப்புத்தன்மை கொண்டதாக மாற்றப்படலாம். இடவியல் ரீதியாக வரிசைப்படுத்தப்பட்ட மாநிலங்கள் பொதுவாக ஒரு சிறப்புச் சொத்தைக் கொண்டுள்ளன, அவை அற்பமான எல்லை நிலைகளைக் கொண்டுள்ளன. பல சந்தர்ப்பங்களில், அந்த எல்லை நிலைகள் வெப்பத்தை உருவாக்காமல் மின்சாரத்தை கடத்தும் சரியான கடத்தும் சேனலாக மாறும். இது மின்னணு சாதனங்களில் இடவியல் வரிசையின் மற்றொரு சாத்தியமான பயன்பாடாக இருக்கலாம். இடவியல் வரிசையைப் போலவே, இடவியல் மின்கடத்திகளும் இடைவெளி இல்லாத எல்லை நிலைகளைக் கொண்டுள்ளன. இடவியல் மின்கடத்திகளின் எல்லை நிலைகள் இடவியல் மின்கடத்திகளைக் கண்டறிவதிலும் பயன்படுத்துவதிலும் முக்கிய பங்கு வகிக்கின்றன. இந்த அவதானிப்பு இயற்கையாகவே ஒரு கேள்விக்கு வழிவகுக்கிறதுஃ இடவியல் மின்கடத்திகள் இடவியல் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட நிலைகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்தானா? உண்மையில் இடவியல் மின்கடத்திகள் இந்த கட்டுரையில் வரையறுக்கப்பட்ட இடவியல் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட நிலைகளிலிருந்து வேறுபட்டவை. இடவியல் மின்கடத்திகள் குறுகிய தூர சிக்கல்களை மட்டுமே கொண்டுள்ளன மற்றும் இடவியல் வரிசை இல்லை, அதே நேரத்தில் இந்த கட்டுரையில் வரையறுக்கப்பட்ட இடவியல் வரிசை நீண்ட தூர சிக்கலின் ஒரு வடிவமாகும். இடவியல் வரிசை எந்தவொரு இடையூறுகளுக்கும் எதிராக வலுவானது. இது எமர்ஜென்ட் கேஜ் கோட்பாடு, எமர்ஜென்ட் ஃப்ராக்ஷனல் சார்ஜ் மற்றும் ஃப்ராக்ஷனல் ஸ்டாடிஸ்டிக்ஸ் ஆகியவற்றைக் கொண்டுள்ளது. இதற்கு மாறாக, இடவியல் மின்கடத்திகள் நேரம்-தலைகீழ் மற்றும் யு (1) சமச்சீர்மைகளை மதிக்கும் இடையூறுகளுக்கு எதிராக மட்டுமே வலுவானவை. அவற்றின் அரை-துகள் தூண்டுதல்கள் பின்ன மின்னூட்டம் மற்றும் பின்ன புள்ளிவிவரங்களைக் கொண்டிருக்கவில்லை. கண்டிப்பாகச் சொல்வதானால், இடவியல் இன்சுலேட்டர் என்பது சமச்சீர்-பாதுகாக்கப்பட்ட இடவியல் (எஸ்பிடி) வரிசைக்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு, அங்கு எஸ்பிடி வரிசையின் முதல் எடுத்துக்காட்டு சுழல்-1 சங்கிலியின் ஹால்டேன் கட்டமாகும். ஆனால் சுழல்-2 சங்கிலியின் ஹால்டேன் கட்டத்திற்கு எஸ்பிடி வரிசை இல்லை. சாத்தியமான தாக்கம் லாண்டாவ் சமச்சீர் உடைக்கும் கோட்பாடு அமுக்கப்பட்ட பொருள் இயற்பியலின் ஒரு மூலக்கல்லாகும். அமுக்கப்பட்ட பொருள் ஆராய்ச்சியின் நிலப்பரப்பை வரையறுக்க இது பயன்படுத்தப்படுகிறது. நிலப்பரப்பு ஒழுங்கின் இருப்பு, லாண்டாவ் சமச்சீர் உடைக்கும் கோட்பாடு இதுவரை சுட்டிக்காட்டியதை விட இயற்கை மிகவும் பணக்காரமானது என்பதைக் குறிக்கிறது. எனவே இடவியல் வரிசை அமுக்கப்பட்ட பொருள் இயற்பியலில் ஒரு புதிய திசையைத் திறக்கிறது-அதிக சிக்கலான குவாண்டம் பொருளின் புதிய திசை. பொருளின் குவாண்டம் நிலைகள் (அதாவது. பொருளின் பூஜ்ஜிய-வெப்பநிலை நிலைகளை) இரண்டு பிரிவுகளாகப் பிரிக்கலாம்ஃ நீண்ட தூர சிக்கலான நிலைகள் மற்றும் குறுகிய தூர சிக்கலான நிலைகள். இடவியல் வரிசை என்பது நீண்ட தூர சிக்கலான நிலைகளை விவரிக்கும் கருத்தாகும்ஃ இடவியல் வரிசை = நீண்ட தூர சிக்கல்களின் முறை. குறுகிய தூர சிக்கலான நிலைகள் அனைத்தும் ஒரே கட்டத்தைச் சேர்ந்தவை என்ற பொருளில் அற்பமானவை. இருப்பினும், சமச்சீர் முன்னிலையில், குறுகிய தூர சிக்கலான நிலைகள் கூட அற்பமானவை அல்ல, அவை வெவ்வேறு கட்டங்களைச் சேர்ந்தவை. அந்த கட்டங்கள் எஸ்பிடி வரிசையைக் கொண்டிருப்பதாகக் கூறப்படுகிறது. எஸ். பி. டி வரிசை தொடர்பு அமைப்புகளுக்கு இடவியல் இன்சுலேட்டர் என்ற கருத்தை பொதுமைப்படுத்துகிறது. உள்ளூர் போசோனிக் (சுழற்சி) மாதிரிகளில் உள்ள இடவியல் வரிசை (அல்லது இன்னும் துல்லியமாக, சரம்-நிகர ஒடுக்கம்) நமது பிரபஞ்சத்தில் உள்ள ஃபோட்டான்கள், எலக்ட்ரான்கள் மற்றும் பிற அடிப்படை துகள்களுக்கு ஒரு ஒருங்கிணைந்த தோற்றத்தை வழங்கும் திறனைக் கொண்டுள்ளன என்று சிலர் கூறுகின்றனர். மேலும் காண்கஃ ஏ. கே. எல். டி மாடல் ஃப்ராக்ஷனலைசேஷன் ஹெர்பர்ட்ஸ்மித்தைட் இம்ப்லிகேட் ஆர்டர் குவாண்டம் டோபாலஜி ஸ்பின் லீகுய்ட் ஸ்ட்ரிங்-நெட் லீகுய்ட் சிம்மெட்ரி-பாதுகாக்கப்பட்ட டோபாலஜிக்கல் ஆர்டர் டோபாலஜிக்கல் டிஜெனரசி டோபாலஜிக்கல் என்ட்ரோபி இன் இயற்பியல் டோபாலஜிக்கல் குவாண்டம் ஃபீல்ட் தியரி டோபாலஜிக்கல் குவாண்டம் நம்பர் டோபாலஜிக்கல் ஸ்ட்ரிங் தியரி குறிப்புகள் ஃப்ராக்ஷனல் குவாண்டம் ஹால் மாநிலங்களின் குறிப்புகள் ஃப்ராக்ஷனல் குவாண்டம் ஹால் மாநிலங்களின் குறிப்புகள் எஃப். க்யூ. எச் நிலைகளின் ஆரம்ப வகைப்படுத்தல் ஆஃப்-டையகோனல் நீண்ட தூர வரிசை, சாய்ந்த அடைப்பு மற்றும் ஃப்ராக்ஷனல் குவாண்டம் ஹால் விளைவு, எஸ். எம். கிர்வின் ரெவ். , 58,1252 (1987) பின்ன குவாண்டம் ஹால் விளைவுக்கான பயனுள்ள-புலம்-கோட்பாடு மாதிரி, எஸ். சி. ஜாங் மற்றும் டி. எச். ஹான்சன் மற்றும் எஸ். கிவெல்சன், இயற்பியல். ரெவ். லெட்., 62,82 (1989) இடவியல் வரிசை சியாவோ-காங் வென், இயற்பியல். ரெவ். பி, 40,7387 (1989), "சுருக்கமான இடங்களில் சிரல் சுழல் நிலையின் வெற்றிட சீரழிவு" சியாவோ-காங் வென், பல உடல் அமைப்புகளின் குவாண்டம் ஃபீல்ட் கோட்பாடு-ஒலியின் தோற்றம் முதல் ஒளி மற்றும் எலக்ட்ரான்களின் தோற்றம் வரை, ஆக்ஸ்போர்டு பல்கலைக்கழகம். பிரஸ், ஆக்ஸ்போர்டு, 2004. இடவியல் வரிசையின் தன்மை டி. அரோவாஸ் மற்றும் ஜே. ஆர். ஷ்ரிஃபர் மற்றும் எஃப். வில்செக், பிசிஸ். ரெவ். , 53,722 (1984), "பின்ன புள்ளிவிவரங்கள் மற்றும் குவாண்டம் ஹால் விளைவு" இடவியல் வரிசை பொறிமுறையின் பயனுள்ள கோட்பாடு குவாண்டம் கம்ப்யூட்டிங்கின் இடவியல் வரிசை சேத்தன் நாயக், ஸ்டீவன் எச். சைமன், அடி ஸ்டெர்ன், மைக்கேல் ஃப்ரீட்மேன், சங்கர் தாஸ் சர்மா, http://www.arxiv.org/abs/0707.1889,2007, "அபெலியன் அல்லாத அனான்கள் மற்றும் இடவியல் குவாண்டம் கம்ப்யூடேஷன்", ரெவ். மோட். இயற்பியல். 80, 1083 (2008). ஆதி ஸ்டெர்ன் மற்றும் பெர்ட்ராண்ட் I. ஹால்பெரின், இயற்பியல். ரெவ். லெட்., 96,016802 (2006), அபெலியன் அல்லாத நியூ = 5/2 குவாண்டம் ஹால் ஸ்டேட் எமர்ஜென்ஸ் ஆஃப் எலிமெண்டரி துகள்களை ஆராய முன்மொழியப்பட்ட சோதனைகள் சியாவோ-காங் வென், ஃபிசி. ரெவ். D68,024501 (2003), சரம்-நிகர ஒடுக்கங்கள் மற்றும் ஒளி மற்றும் நிறை இல்லாத ஃபெர்மியன்களின் தோற்றத்திலிருந்து குவாண்டம் வரிசை மேலும் காண்க ஜெங்-செங் கு மற்றும் சியாவோ-காங் வென், Gr-qc/0606100, ஈர்ப்பு விசையின் குவாண்டம் கோட்பாடாக ஒரு லட்டிஸ் போசோனிக் மாதிரி, குவாண்டம் ஆபரேட்டர் இயற்கணிதம் லேண்ட்ஸ்மேன் என். பி. மற்றும் ரமலான் பி., லை ஆல்ஜ்பிராய்டுகளுடன் தொடர்புடைய பாய்சான் ஆல்ஜிப்ராக்களின் அளவு, புரோக்கில். கான்ஃப். இயற்பியல், பகுப்பாய்வு மற்றும் வடிவவியலில் குழுமங்கள் (போல்டர் சிஓ, 1999) ', எடிட்டர்ஸ் ஜே. கமிங்கர் மற்றும் பலர், 159 {192 சிந்தனை. கணிதம். 282, ஆமேர். கணிதம். Soc., பிராவிடன்ஸ் RI, 2001, (மேலும் கணிதம் {ph/001005.) அபெலியன் அல்லாத குவாண்டம் இயற்கணித இடவியல் (NAQAT) 20 நவம்பர் (2008), 87 பக்கங்கள், பயானு, ஐ. சி. லெவின் ஏ. மற்றும் ஓல்ஷானெட்ஸ்கி எம்., ஹாமில்டோனியன் ஆல்ஜ்பிராய்டுகள் மற்றும் ரீமன் வளைவுகளில் சிக்கலான கட்டமைப்புகளின் சிதைவுகள், ஹெப்-th/0301078v1. சியாவோ-காங் வென், யோங்-ஷி வு மற்றும் ஒய். ஹட்சுகாய்., சிரல் ஆபரேட்டர் தயாரிப்பு இயற்கணிதம் மற்றும் ஒரு FQH நீர்த்துளியின் (பி. டி. எஃப்) விளிம்பு கிளர்ச்சிகள், நியூக். இயற்பியல். B422,476 (1994): மொத்த அலை செயல்பாட்டை உருவாக்கவும், இடவியல் வரிசைகளை வகைப்படுத்தவும், சில அபெலியன் அல்லாத FQH நிலைகளுக்கான விளிம்பு நிலைகளைக் கணக்கிடவும் பயன்படுத்தப்பட்ட சிரல் ஆபரேட்டர் தயாரிப்பு இயற்கணிதம். சியாவோ-காங் வென் மற்றும் யோங்-ஷி வு., சில எஃப். க்யூ. எச் நிலைகளில் (பி. டி. எஃப்) மறைக்கப்பட்ட சிரல் ஆபரேட்டர் தயாரிப்பு இயற்கணிதம், நியூக்ல். இயற்பியல். B419,455 (1994): அபெலியன் அல்லாத இடவியல் வரிசைகள் சிரல் ஆபரேட்டர் தயாரிப்பு இயற்கணிதத்துடன் (இணக்கமான புலக் கோட்பாட்டிற்கு பதிலாக) நெருக்கமாக தொடர்புடையவை என்பதை நிரூபித்தது. அபெலியன் அல்லாத கோட்பாடு. . ஆர். பிரவுன், பிஜே. ஹிக்கின்ஸ், பி. ஜே. மற்றும் ஆர். சிவேரா, "நோன்பேலியன் ஆல்ஜீப்ராயிக் டோபாலஜிஃ வடிகட்டப்பட்ட இடைவெளிகள், குறுக்கு வளாகங்கள், க்யூபிகல் ஹோமோடோபி குழுமங்கள்" கணிதத்தில் ஈ. எம். எஸ் டிராக்ட்ஸ் தொகுதி 15 (2011), கோட்பாட்டு இயற்பியலில் குவாண்டம் ஆல்ஜீப்ராயிக் டோபோலஜி (கியூஏடி) குவாண்டம் கட்டங்கள் சுருக்கப்பட்ட பொருள் இயற்பியல் புள்ளியியல் இயக்கவியலில் பிரிவுகள் மற்றும் அல்ஜீப்ராயிக் டோபோலஜி பயன்பாடுகளுக்கான நூலியல்