Second derivative
கால்குலஸில், ஒரு செயல்பாட்டின் இரண்டாவது வழித்தோன்றல் அல்லது இரண்டாவது வரிசை வழித்தோன்றல், இன் வழித்தோன்றலின் வழித்தோன்றலாகும். முறைசாரா முறையில், இரண்டாவது வழித்தோன்றலை "மாற்ற விகிதத்தின் மாற்ற விகிதம்" என்று சொல்லலாம்; எடுத்துக்காட்டாக, நேரத்தைப் பொறுத்து ஒரு பொருளின் நிலையின் இரண்டாவது வழித்தோன்றல் பொருளின் உடனடி முடுக்கம் அல்லது நேரத்தைப் பொறுத்து பொருளின் திசைவேகம் மாறும் விகிதம் ஆகும். லீப்னிஸ் குறியீட்டில்ஃ எங்கே முடுக்கம், வேகம், நேரம், நிலை, மற்றும் d என்பது உடனடி "டெல்டா" அல்லது மாற்றம். கடைசி வெளிப்பாடு நேரத்தைப் பொறுத்தவரை நிலை () இன் இரண்டாவது வழித்தோன்றலாகும். ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்தில், இரண்டாவது வழித்தோன்றல் வரைபடத்தின் வளைவு அல்லது குழிவான தன்மைக்கு ஒத்திருக்கிறது. நேர்மறை இரண்டாவது வழித்தோன்றல் கொண்ட ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடம் மேல்நோக்கி குழிவானது, அதே நேரத்தில் எதிர்மறை இரண்டாவது வழித்தோன்றல் வளைவுகளுடன் ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடம் எதிர் வழியில் உள்ளது. இரண்டாவது வழித்தோன்றல் சக்தி விதி முதல் வழித்தோன்றலுக்கான சக்தி விதி, இரண்டு முறை பயன்படுத்தப்பட்டால், இரண்டாவது வழித்தோன்றல் சக்தி விதியை பின்வருமாறு உருவாக்கும்ஃ குறிப்பு ஒரு செயல்பாட்டின் இரண்டாவது வழித்தோன்றல் பொதுவாக குறிக்கப்படுகிறது. அதாவதுஃ வழித்தோன்றல்களுக்கான லீப்னிஸின் குறியீட்டைப் பயன்படுத்தும் போது, ஒரு சுயாதீன மாறியைப் பொறுத்தவரை ஒரு சார்பு மாறியின் இரண்டாவது வழித்தோன்றல் பின்வரும் சூத்திரத்திலிருந்து பெறப்படுகிறதுஃ எடுத்துக்காட்டாக, செயல்பாட்டைக் கருத்தில் கொண்டால், அதன் வழித்தோன்றல் செயல்பாடு ஆகும். இரண்டாவது வழித்தோன்றல் நேர்மறையாக இருக்கும் ஒரு செயல்பாடு குழிவானதாக இருக்கும் (குவிந்ததாகவும் குறிப்பிடப்படுகிறது), அதாவது தொடுகோட்டு கோடு செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு கீழே இருக்கும். இதேபோல், இரண்டாவது வழித்தோன்றல் எதிர்மறையாக இருக்கும் ஒரு செயல்பாடு குழிவானதாக இருக்கும் (வெறுமனே குழிவானது என்றும் அழைக்கப்படுகிறது), மேலும் அதன் தொடுகோட்டு கோடுகள் செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு மேலே இருக்கும். ஒரு செயல்பாட்டின் இரண்டாவது வழித்தோன்றல் அடையாளத்தை மாற்றினால், செயல்பாட்டின் வரைபடம் குழிவான இடத்திலிருந்து குழிவான நிலைக்கு மாறும், அல்லது நேர்மாறாகவும் மாறும். இது நிகழும் ஒரு புள்ளி ஊடுருவல் புள்ளி என்று அழைக்கப்படுகிறது. இரண்டாவது வழித்தோன்றல் தொடர்ச்சியானது என்று கருதினால், அது எந்த ஊடுருவல் புள்ளியிலும் பூஜ்ஜியத்தின் மதிப்பை எடுக்க வேண்டும், இருப்பினும் இரண்டாவது வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் ஒவ்வொரு புள்ளியும் ஊடுருவல் புள்ளியாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை. இரண்டாவது வழித்தோன்றல் சோதனை இரண்டாவது வழித்தோன்றலுக்கும் வரைபடத்திற்கும் இடையிலான உறவை ஒரு செயல்பாட்டிற்கான நிலையான புள்ளி (அதாவது, ஒரு புள்ளி) ஒரு உள்ளூர் அதிகபட்சமா அல்லது உள்ளூர் குறைந்தபட்சமா என்பதை சோதிக்க பயன்படுத்தலாம். குறிப்பாக, என்றால், பின்னர் ஒரு உள்ளூர் அதிகபட்சம் உள்ளது. இருந்தால், உள்ளூர் குறைந்தபட்சம் உள்ளது. இரண்டாவது வழித்தோன்றல் சோதனை புள்ளியைப் பற்றி எதுவும் சொல்லவில்லை என்றால், சாத்தியமான ஊடுருவல் புள்ளி. இரண்டாவது வழித்தோன்றல் இந்த முடிவுகளை உருவாக்குவதற்கான காரணத்தை நிஜ உலக ஒப்புமையின் மூலம் காணலாம். முதலில் ஒரு பெரிய வேகத்தில், ஆனால் எதிர்மறை முடுக்கத்துடன் முன்னோக்கி நகரும் ஒரு வாகனத்தைக் கவனியுங்கள். வேகம் பூஜ்ஜியத்தை அடையும் இடத்தில் வாகனத்தின் நிலை தொடக்க நிலையில் இருந்து அதிகபட்ச தூரமாக இருக்கும் என்பது தெளிவாகிறது-இந்த நேரத்திற்குப் பிறகு, வேகம் எதிர்மறையாக மாறி வாகனம் தலைகீழாக மாறும். குறைந்தபட்சத்திற்கும் இது பொருந்தும், ஆரம்பத்தில் மிகவும் எதிர்மறை வேகத்தைக் கொண்ட ஆனால் நேர்மறை முடுக்கம் கொண்ட ஒரு வாகனத்துடன். வரம்பு இரண்டாவது வழித்தோன்றலுக்கு ஒரு வரம்பை எழுத முடியும்ஃ வரம்பு இரண்டாவது சமச்சீர் வழித்தோன்றல் என்று அழைக்கப்படுகிறது. (வழக்கமான) இரண்டாவது வழித்தோன்றல் இல்லாதபோது கூட இரண்டாவது சமச்சீர் வழித்தோன்றல் இருக்கலாம் என்பதை நினைவில் கொள்க. வலதுபுறத்தில் உள்ள வெளிப்பாட்டை வேறுபாடு மேற்கோள்களின் வேறுபாடு விகிதமாக எழுதலாம்ஃ இந்த வரம்பை வரிசைகளுக்கான இரண்டாவது வேறுபாட்டின் தொடர்ச்சியான பதிப்பாகக் காணலாம். இருப்பினும், மேற்கண்ட வரம்பின் இருப்பு என்பது செயல்பாட்டிற்கு இரண்டாவது வழித்தோன்றல் உள்ளது என்று அர்த்தமல்ல. மேலே உள்ள வரம்பு இரண்டாவது வழித்தோன்றலைக் கணக்கிடுவதற்கான வாய்ப்பை வழங்குகிறது-ஆனால் ஒரு வரையறையை வழங்கவில்லை. ஒரு எதிர் உதாரணம் சைன் செயல்பாடு ஆகும், இது பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறதுஃ சைன் செயல்பாடு பூஜ்ஜியத்தில் தொடர்ச்சியானது அல்ல, எனவே இரண்டாவது வழித்தோன்றல் இல்லை. ஆனால் மேலே உள்ள வரம்பு பின்வருவனவற்றிற்கு உள்ளதுஃ நாற்கர தோராயமானது முதல் வழித்தோன்றல் நேரியல் தோராயங்களுடன் தொடர்புடையது போலவே, இரண்டாவது வழித்தோன்றல் ஒரு செயல்பாட்டிற்கான சிறந்த நாற்கர தோராயத்துடன் தொடர்புடையது. இது இருபடி சார்பு, அதன் முதல் மற்றும் இரண்டாவது வழித்தோன்றல்கள் ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில் உள்ளதைப் போலவே இருக்கும். புள்ளியைச் சுற்றியுள்ள செயல்பாட்டிற்கான சிறந்த இருபடி தோராயத்திற்கான சூத்திரம் இந்த இருபடி தோராயமானது மையப்படுத்தப்பட்ட செயல்பாட்டிற்கான இரண்டாவது வரிசை டெய்லர் பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும். இரண்டாவது வழித்தோன்றலின் ஐகென் மதிப்புகள் மற்றும் ஐகென் வெக்டர்கள் எல்லை நிபந்தனைகளின் பல சேர்க்கைகளுக்கு இரண்டாவது வழித்தோன்றலின் ஐகென் மதிப்புகள் மற்றும் ஐகென் வெக்டர்களுக்கான வெளிப்படையான சூத்திரங்களைப் பெறலாம். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரே மாதிரியான டிரிக்லெட் எல்லை நிபந்தனைகளைக் கருதி (அதாவது, ஐகென் வெக்டர் எங்கே), ஐகென் மதிப்புகள் மற்றும் அதனுடன் தொடர்புடைய ஐகென் திசையன்கள் (ஐகென் செயல்பாடுகள் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன) இங்கே உள்ளன, மற்ற நன்கு அறியப்பட்ட நிகழ்வுகளுக்கு, இரண்டாவது வழித்தோன்றலின் ஐகென் மதிப்புகள் மற்றும் ஐகென் திசையன்களைப் பார்க்கவும். உயர் பரிமாணங்களுக்கு பொதுமைப்படுத்தல் ஹெஸியன் இரண்டாவது வழித்தோன்றல் இரண்டாவது பகுதி வழித்தோன்றல்கள் என்ற கருத்தின் மூலம் உயர் பரிமாணங்களுக்கு பொதுமைப்படுத்துகிறது. ஒரு செயல்பாட்டைப் பொறுத்தவரை, இவற்றில் மூன்று இரண்டாவது வரிசை பாகங்கள் மற்றும் கலப்பு பாகங்கள் அடங்கும் செயல்பாட்டின் படம் மற்றும் களம் இரண்டும் ஒரு ஆற்றலைக் கொண்டிருந்தால், இவை ஹெஸியன் எனப்படும் சமச்சீர் மேட்ரிக்ஸில் ஒன்றாக பொருந்துகின்றன. இந்த மேட்ரிக்ஸின் ஐகென் மதிப்புகள் இரண்டாவது வழித்தோன்றல் சோதனையின் பன்முகத்தன்மை கொண்ட அனலாக்கை செயல்படுத்த பயன்படுத்தப்படலாம். (இரண்டாவது பகுதி வழித்தோன்றல் சோதனையையும் பார்க்கவும்.) இரண்டாவது வழித்தோன்றலின் மற்றொரு பொதுவான பொதுமைப்படுத்தல் லாப்லாசியன் ஆகும். ஒரு சார்பின் லாப்லாசியன் சாய்வின் வேறுபாடு மற்றும் ஹெஸியன் மேட்ரிக்ஸின் தடயத்திற்கு சமம் என்று வரையறுக்கப்பட்ட வேறுபட்ட ஆபரேட்டர் (அல்லது) இது. சிர்பைனஸ், உடனடி கட்டம் ஃபைனைட் வேறுபாட்டின் இரண்டாவது வழித்தோன்றல், இரண்டாவது வழித்தோன்றலின் தோராயமாக பயன்படுத்தப்படுகிறது இரண்டாவது பகுதி வழித்தோன்றல் சோதனை இரண்டாவது வழித்தோன்றல்களின் சமச்சீர் குறிப்புகள் மேலும் வாசிப்பு அச்சு ஆன்லைன் புத்தகங்கள் வெளிப்புற இணைப்புகள் சமமற்ற இடைவெளி புள்ளிகளிலிருந்து இரண்டாவது வழித்தோன்றலை விவரிக்கவும் கணக்கீட்டில் கணித பகுப்பாய்வு வேறுபட்ட கால்குலஸ் செயல்பாடுகள் மற்றும் வரைபடங்கள் நேரியல் ஆபரேட்டர்கள்