Peetre theorem
கணிதத்தில், ஜாக் பீட்டர் பெயரிடப்பட்ட (நேரியல்) பீட்டர் தேற்றம், செயல்பாட்டு பகுப்பாய்வின் விளைவாகும், இது பொதுவான செயல்பாட்டு இடைவெளிகளில் அவற்றின் விளைவின் அடிப்படையில் வேறுபட்ட இயக்கிகளின் தன்மையை வழங்குகிறது, மேலும் வெளிப்படையான சொற்களில் வேறுபாட்டைக் குறிப்பிடாமல். பீட்டர் தேற்றம் என்பது ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட வரிசை தேற்றத்திற்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு, இதில் ஒரு செயல்பாடு அல்லது ஒரு செயல்பாட்டாளர், மிகவும் பொதுவான முறையில் வரையறுக்கப்படுகிறது, உண்மையில் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை என்று காட்டப்படலாம், ஏனெனில் அதன் மீது சில வெளிப்புற நிபந்தனைகள் அல்லது சமச்சீர் விதிக்கப்படுகிறது. இந்தக் கட்டுரை பீட்டர் தேற்றத்தின் இரண்டு வடிவங்களை விவரிக்கிறது. முதலாவது அசல் பதிப்பாகும், இது அதன் சொந்த உரிமையில் மிகவும் பயனுள்ளதாக இருந்தாலும், உண்மையில் பெரும்பாலான பயன்பாடுகளுக்கு மிகவும் பொதுவானது. அசல் பீட்டர் தேற்றம் M ஒரு மென்மையான பன்மடங்கு இருக்கட்டும் மற்றும் E மற்றும் F இரண்டு திசையன் மூட்டைகளாக இருக்கட்டும். E மற்றும் F இன் மென்மையான பிரிவுகளின் இடைவெளிகள் இருக்கட்டும். ஒரு ஆபரேட்டர் என்பது உறைகளின் ஒரு உருவகமாகும், இது D இன் ஆதரவு அதிகரிக்காத பிரிவுகளில் நேரியல் ஆகும்ஃ E இன் ஒவ்வொரு மென்மையான பிரிவுக்கும் Ds என்று வைத்துக்கொள்வோம். அசல் பீட்டர் தேற்றம் வலியுறுத்துகிறது, M இல் உள்ள ஒவ்வொரு புள்ளி p க்கும், p இன் ஒரு சுற்று U மற்றும் ஒரு முழு எண் k (U ஐப் பொறுத்து) உள்ளது, அதாவது D என்பது U க்கு மேல் வரிசை k இன் வேறுபட்ட ஆபரேட்டர். இதன் பொருள் என்னவென்றால், E இன் பிரிவுகளின் k-ஜெட்டிலிருந்து F இன் மென்மையான பிரிவுகளின் இடைவெளியில் ஒரு நேரியல் மேப்பிங் iD மூலம் D காரணிகள்ஃ k-ஜெட் ஆபரேட்டர் எங்கே மற்றும் திசையன் மூட்டைகளின் நேரியல் மேப்பிங் ஆகும். ஆதாரம் சிக்கல் லோக்கல் டிஃபியோமார்பிசத்தின் கீழ் மாறாதது, எனவே Rn இல் M ஒரு திறந்த தொகுப்பாக இருக்கும்போது அதை நிரூபிக்க போதுமானது மற்றும் E மற்றும் F அற்பமான மூட்டைகள். இந்த கட்டத்தில், இது முதன்மையாக இரண்டு லெம்மாவை நம்பியுள்ளதுஃ லெம்மா 1. தேற்றத்தின் கருதுகோள்கள் திருப்தி அடைந்தால், ஒவ்வொரு x ωM மற்றும் C> 0 க்கும், x இன் ஒரு அண்டை V மற்றும் ஒரு நேர்மறை முழு எண் k உள்ளது, அதாவது எந்த y ωV\ {x} க்கும் மற்றும் E இன் எந்தப் பிரிவிற்கும் k-ஜெட் y (jks (y) = 0) இல் மறைந்துவிடும், நம்மிடம் |Ds (y) | <C உள்ளது. லெம்மா 2. தேற்றத்தை நிரூபிக்க முதல் லெம்மா போதுமானது. லெம்மா 1 இன் ஆதாரத்துடன் தொடங்குகிறோம். லெம்மா பொய்யானது என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் x க்கு ஒரு வரிசை xk உள்ளது, மேலும் xk ஐச் சுற்றி மிகவும் வேறுபட்ட பந்துகளின் வரிசை Bk உள்ளது (அதாவது அத்தகைய இரண்டு பந்துகளுக்கு இடையிலான புவியியல் தூரம் பூஜ்ஜியமற்றது), மற்றும் ஒவ்வொரு Bk க்கும் E இன் பிரிவுகள் sk அதாவது jksk (xk) = 0 ஆனால் |Dsk (xk) | ±C> 0. ρ (x) மூலத்தில் உள்ள அலகு பந்துக்கான ஒரு நிலையான பம்ப் செயல்பாட்டைக் குறிக்கட்டும்ஃ B1/2 (0) இல் 1 க்கு சமமான ஒரு மென்மையான உண்மையான மதிப்புள்ள செயல்பாடு, இது அலகு பந்தின் எல்லையில் எல்லையற்ற வரிசையில் மறைந்துவிடும். ஒவ்வொரு மற்ற பகுதியையும் s2k ஐக் கவனியுங்கள். x2k இல், இவை j2k2k (x2k) = 0 ஐ திருப்திப்படுத்துகின்றன. 2k கொடுக்கப்பட்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர், இந்த செயல்பாடுகள் மென்மையாகவும், ஒவ்வொன்றும் j2k (s2k) (x2k) = 0 ஐ திருப்திப்படுத்துவதாகவும் இருப்பதால், உயர் வரிசை வழித்தோன்றல்கள் பின்வரும் மதிப்பீட்டிற்குக் கீழ்ப்படும் வகையில் ஒரு சிறிய பந்தை B′ δ (x2k) ஐக் குறிப்பிட முடியும்ஃ இங்கு இப்போது B′ δ (x2k) இல் ஆதரிக்கப்படும் ஒரு நிலையான பம்ப் செயல்பாடு மற்றும் s2kρ2k பெருக்கத்தின் வழித்தோன்றல், பின்வரும் தொடர்கள் மற்றும் அதன் வழித்தோன்றல்களின் அனைத்து பகுதி தொகைகளும் ஒரே மாதிரியாக ஒன்றிணைவதால், x2k இன் சுற்றுப்புறத்தில் s2k மற்றும் 2ks2k சமமாக இருப்பதால், எனவே தொடர்ச்சியின் மூலம் <ID மறுபுறம், Dq (x2k + 1) = 0 என்பதால், ஏனெனில் q என்பது B2k + 1 இல் ஒரே மாதிரியாக பூஜ்ஜியமாகும், மேலும் D என்பது அதிகரிக்காததை ஆதரிக்கிறது. எனவே Dq (x) = 0. இது ஒரு முரண்பாடு. இப்போது நாம் லெம்மா 2 ஐ நிரூபிக்கிறோம். முதலில், முதல் லெம்மாவிலிருந்து மாறிலி C ஐ அகற்றுவோம். லெம்மா 1 போன்ற அதே கருதுகோள்களின் கீழ், |Ds (y) | = 0 என்பதைக் காட்டுகிறோம். V இல் ஒரு y ஐத் தேர்ந்தெடுங்கள், இதனால் jks (y) = 0 ஆனால் |Ds (y) | = g> 0. 2C/g என்ற காரணியால் s ஐ மீட்டெடுங்கள். பின்னர் g பூஜ்ஜியமற்றதாக இருந்தால், D இன் நேரியல் மூலம், |Ds (y) | = 2C> C, இது லெம்மா 1 ஆல் சாத்தியமற்றது. இது பஞ்சர் செய்யப்பட்ட சுற்றுப்புறமான V\ {x} இல் உள்ள தேற்றத்தை நிரூபிக்கிறது. இப்போது, பஞ்சர் செய்யப்பட்ட சுற்றுப்புறத்தில் உள்ள மைய புள்ளி x க்கு வேறுபட்ட ஆபரேட்டரை நாம் தொடர வேண்டும். டி என்பது மென்மையான குணகங்களைக் கொண்ட ஒரு நேரியல் வேறுபாடு ஆபரேட்டர் ஆகும். மேலும், இது x இல் மென்மையான செயல்பாடுகளின் கிருமிகளுக்கு மென்மையான செயல்பாடுகளின் கிருமிகளை அனுப்புகிறது. எனவே D இன் குணகங்களும் x இல் மென்மையாக இருக்கும். ஒரு சிறப்பு பயன்பாடு M ஒரு சிறிய மென்மையான பன்மடங்கு (ஒருவேளை எல்லையுடன்), மற்றும் E மற்றும் F ஆகியவை M இல் வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண திசையன் மூட்டைகளாக இருக்கட்டும். E இன் மென்மையான பிரிவுகளின் தொகுப்பாக இருக்கட்டும். ஒரு ஆபரேட்டர் ஒரு மென்மையான செயல்பாடு (ஃப்ரெச்செட் பன்மடங்கு) இது இழைகளில் நேரியல் மற்றும் M இல் அடிப்படை புள்ளியை மதிக்கிறதுஃ பீட்டர் தேற்றம் ஒவ்வொரு ஆபரேட்டருக்கும் ஒரு முழு எண் k உள்ளது என்று வலியுறுத்துகிறது, அதாவது D என்பது k வரிசையின் வேறுபட்ட ஆபரேட்டர். குறிப்பாக, E இன் பிரிவுகளின் ஜெட் விமானங்களிலிருந்து F மூட்டைக்கு ஒரு வரைபடம் எங்கே என்பதை நாம் சிதைக்க முடியும். உள்ளார்ந்த வேறுபட்ட ஆபரேட்டர்களையும் பார்க்கவும். எடுத்துக்காட்டுஃ லாப்லாசியன் பின்வரும் இயக்கியைக் கவனியுங்கள்ஃ வட்டத்துடன் கோளம் மையமாக எங்கே உள்ளது. இது உண்மையில் லாப்லாசியன் ஆகும். பீட்டரின் தேற்றத்தால் ஒரு வேறுபட்ட ஆபரேட்டர் என்பதைக் காண்பிப்போம். முக்கிய யோசனை என்னவென்றால், அருகிலுள்ள நடத்தை அடிப்படையில் மட்டுமே வரையறுக்கப்படுவதால், அது இயல்பில் உள்ளூர்; குறிப்பாக, உள்ளூரில் பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், எனவே, எனவே ஆதரவு வளர முடியாது. தொழில்நுட்ப ஆதாரம் பின்வருமாறு செல்கிறது. தரவரிசை அற்பமான மூட்டைகளாக இருக்கட்டும். பின்னர் மற்றும் வெறுமனே மென்மையான செயல்பாடுகளின் இடம். ஒரு உறையாக, திறந்த தொகுப்பில் மென்மையான செயல்பாடுகளின் தொகுப்பாகும் மற்றும் கட்டுப்பாடு செயல்பாட்டு கட்டுப்பாடு ஆகும். பார்க்க உண்மையில் ஒரு உருவகம், திறந்த செட்களை நாம் சரிபார்க்க வேண்டும். இது தெளிவாக உள்ளது, ஏனெனில், இரண்டும் மற்றும் எளிமையானவை, ஏனெனில் இறுதியில் இரண்டிற்கும் உள்ளே மற்றும் எப்படியும் அமர்ந்திருக்கிறது. அது நேரியல் என்பதைச் சரிபார்க்க எளிதானதுஃ இறுதியாக, அது அந்த அர்த்தத்தில் உள்ளூர் என்பதைச் சரிபார்க்கிறோம். என்றால், பின்னர் ஆரம் கொண்ட பந்தில் மையமாக உள்ளது. எனவே, பொருட்டு, பொருட்டு, எனவே. எனவே, எனவே பீட்டர் தேற்றத்தின் படி, இது ஒரு வேறுபட்ட ஆபரேட்டர் ஆகும். மேற்கோள்கள் பீட்டர், ஜே., யுனே காரக்டெரிசேஷன் அப்ட்ரைட் டெஸ் ஓபிரேடர்ஸ் டிஃபெரென்டியல்ஸ், கணிதம். ஸ்காண்ட். 7 (1959), 211-218. பீட்டர், ஜே., ரெக்டிஃபிகேஷன் அண்ட் எல் ஆர்டிகல் யுனே காரக்டெரிசேஷன் அப்ச்ரேயிட் டெஸ் ஓபரேடர்ஸ் டிஃபெரென்டியல்ஸ், கணிதம். ஸ்காண்ட். 8 (1960), 116-120. டெர்ங், சி. எல்., இயற்கை திசையன் மூட்டைகள் மற்றும் இயற்கை வேறுபாடு ஆபரேட்டர்கள், ஆம். ஜே. கணிதம். 100 (1978), 775-828. சான்றுகளைக் கொண்ட கட்டுரைகள் வேறுபட்ட இயக்கிகள் செயல்பாட்டு பகுப்பாய்வில் கோட்பாடுகள்