Finite potential well
ஃபைனைட் பொடென்ஷியல் வெல் (ஃபைனைட் ஸ்கொயர் வெல் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) என்பது குவாண்டம் மெக்கானிக்ஸின் ஒரு கருத்தாகும். இது எல்லையற்ற ஆற்றல் கிணற்றின் விரிவாக்கமாகும், இதில் ஒரு துகள் ஒரு "பெட்டியில்" மட்டுப்படுத்தப்பட்டுள்ளது, ஆனால் வரையறுக்கப்பட்ட ஆற்றல் "சுவர்கள்" உள்ளது. எல்லையற்ற ஆற்றல் கிணற்றைப் போலல்லாமல், பெட்டிக்கு வெளியே காணப்படும் துகள் தொடர்பான நிகழ்தகவு உள்ளது. குவாண்டம் மெக்கானிக்கல் விளக்கம் கிளாசிக்கல் விளக்கத்தைப் போலல்லாமல் உள்ளது, அங்கு துகள்களின் மொத்த ஆற்றல் சுவர்களின் சாத்தியமான ஆற்றல் தடையை விட குறைவாக இருந்தால் அதை பெட்டிக்கு வெளியே காண முடியாது. குவாண்டம் விளக்கத்தில், துகள்களின் ஆற்றல் சுவர்களின் ஆற்றல் தடையை விட குறைவாக இருக்கும்போது கூட துகள் பெட்டிக்கு வெளியே இருப்பதற்கான பூஜ்ஜியமற்ற நிகழ்தகவு உள்ளது (cf குவாண்டம் சுரங்கப்பாதை). x-அச்சில் உள்ள 1 பரிமாண வழக்கில், நேர-சுயாதீனமான ஷ்ரோடிங்கர் சமன்பாட்டை இவ்வாறு எழுதலாம்ஃ குறைக்கப்பட்ட பிளாங்கின் மாறிலி எங்கே, பிளாங்கின் மாறிலி, துகள் நிறை, நாம் கண்டுபிடிக்க விரும்பும் (சிக்கலான மதிப்புள்ள) அலை செயல்பாடு, ஒவ்வொரு புள்ளி x இல் உள்ள ஆற்றல் ஆற்றலை விவரிக்கும் ஒரு செயல்பாடு, மற்றும் ஆற்றல், ஒரு உண்மையான எண், சில நேரங்களில் ஈஜெனெர்ஜி என்று அழைக்கப்படுகிறது. எல் நீளமுள்ள 1 பரிமாண பெட்டியில் உள்ள துகள் விஷயத்தில், ஆற்றல் பெட்டிக்கு வெளியே உள்ளது, மற்றும் x க்கு பூஜ்ஜியம் மற்றும் இடையில் உள்ளது. அலை செயல்பாடு x பெட்டியின் உள்ளே உள்ளதா அல்லது வெளியே உள்ளதா என்பதைப் பொறுத்து x இன் வெவ்வேறு வரம்புகளில் வெவ்வேறு அலை செயல்பாடுகளால் ஆனது என்று கருதப்படுகிறது. எனவே, அலை செயல்பாடு பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறதுஃ பெட்டியின் உள்ளே உள்ள பகுதிக்கு, V (x) = 0 மற்றும் சமன்பாடு 1 குறைகிறது சமன்பாடு சமன்பாடாக மாற அனுமதிக்கிறது இது நன்கு ஆய்வு செய்யப்பட்ட வேறுபட்ட சமன்பாடு மற்றும் பொதுவான தீர்வுடன் கூடிய ஐகென் மதிப்பு சிக்கல் எனவே, இங்கே, A மற்றும் B எந்த சிக்கலான எண்களாகவும், k எந்த உண்மையான எண்ணாகவும் இருக்கலாம். பெட்டிக்கு வெளியே பெட்டிக்கு வெளியே உள்ள பகுதிக்கு, ஆற்றல் நிலையானது என்பதால், சமன்பாடு ஆகிறதுஃ தீர்வுகளின் இரண்டு சாத்தியமான குடும்பங்கள் உள்ளன, இது E ஐ விட குறைவாக உள்ளதா (துகள் ஆற்றலில் பிணைக்கப்பட்டுள்ளது) அல்லது E ஐ விட அதிகமாக உள்ளதா என்பதைப் பொறுத்து (துகள் இலவசம்). ஒரு இலவச துகள், மற்றும் உள்-கிணறு வழக்கைப் போலவே அதே கரைசல் வடிவத்துடன் உற்பத்தி செய்ய அனுமதிக்கிறதுஃ இந்த பகுப்பாய்வு பிணைக்கப்பட்ட நிலையில் கவனம் செலுத்தும், எங்கே. பொதுவான தீர்வு அதிவேகமாக இருக்கும் இடத்தில் லெட்டிங் உற்பத்தி செய்கிறதுஃ இதேபோல், பெட்டிக்கு வெளியே உள்ள மற்ற பகுதிக்குஃ இப்போது கையில் உள்ள சிக்கலுக்கான குறிப்பிட்ட தீர்வைக் கண்டறிய, பொருத்தமான எல்லை நிபந்தனைகளைக் குறிப்பிட வேண்டும் மற்றும் அந்த நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்யும் A, B, F, G, H மற்றும் I க்கான மதிப்புகளைக் கண்டறிய வேண்டும். ஷ்ரோடிங்கர் சமன்பாட்டிற்கான பிணைக்கப்பட்ட நிலை தீர்வுகளுக்கான அலை செயல்பாடுகளைக் கண்டுபிடிப்பது தொடர்ச்சியானதாகவும், தொடர்ந்து வேறுபடுத்தக்கூடியதாகவும் இருக்க வேண்டும். இந்த தேவைகள் முன்பு பெறப்பட்ட வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் எல்லை நிபந்தனைகள், அதாவது கிணற்றின் உள்ளேயும் வெளியேயும் உள்ள தீர்வுகளுக்கு இடையிலான பொருந்தும் நிபந்தனைகள். இந்த வழக்கில், வரையறுக்கப்பட்ட ஆற்றல் கிணறு சமச்சீர் ஆகும், எனவே தேவையான கணக்கீடுகளைக் குறைக்க சமச்சீர் பயன்படுத்தப்படலாம். முந்தைய பிரிவுகளை சுருக்கமாகக் கூறுவதுஃ நாம் எங்கு கண்டுபிடித்தோம், மற்றும் இருக்க வேண்டும்ஃ செல்லும்போது, இந்த சொல் முடிவிலிக்குச் செல்கிறது என்பதை நாம் காண்கிறோம். அதேபோல், இந்த சொல் முடிவிலிக்கு செல்கிறது. அலை செயல்பாடு சதுர ஒருங்கிணைப்பாக இருக்க, நாம் அமைக்க வேண்டும், மேலும் நம்மிடம் உள்ளதுஃ மற்றும் அடுத்து, ஒட்டுமொத்த செயல்பாடு தொடர்ச்சியானதாகவும் வேறுபடுத்தக்கூடியதாகவும் இருக்க வேண்டும் என்பதை நாம் அறிவோம். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், செயல்பாடுகள் மற்றும் அவற்றின் வழித்தோன்றல்களின் மதிப்புகள் வகுக்கும் புள்ளிகளில் பொருந்த வேண்டும்ஃ இந்த சமன்பாடுகள் இரண்டு வகையான தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளன, சமச்சீர், இதற்கு மற்றும், மற்றும் சமச்சீர் எதிர்ப்பு, இதற்கு மற்றும். சமச்சீர் வழக்கில் நாம் பெறுவது விகிதத்தை எடுத்துக்கொள்வது கொடுக்கிறது இதேபோல் சமச்சீர் எதிர்ப்பு வழக்கில் நாம் இரண்டையும் நினைவுகூர்கிறோம் மற்றும் ஆற்றலைப் பொறுத்தது. நாம் கண்டறிந்தது என்னவென்றால், ஆற்றலின் தன்னிச்சையான மதிப்புக்கு தொடர்ச்சியான நிபந்தனைகளை திருப்திப்படுத்த முடியாது; ஏனென்றால் அது எல்லையற்ற ஆற்றல் கிணற்றின் விளைவாகும். எனவே, இந்த இரண்டு சமன்பாடுகளில் ஒன்றுக்கு அல்லது ஒன்றுக்கு தீர்வாக இருக்கும் சில ஆற்றல் மதிப்புகள் மட்டுமே அனுமதிக்கப்படுகின்றன. எனவே கீழே உள்ள அமைப்பின் ஆற்றல் நிலைகள் தனித்துவமானவை என்பதை நாம் காண்கிறோம்; தொடர்புடைய ஐகென் செயல்பாடுகள் பிணைக்கப்பட்ட நிலைகள். (இதற்கு மாறாக, மேலே உள்ள ஆற்றல் நிலைகள் தொடர்ச்சியானவை.) ஆற்றல் சமன்பாடுகளை பகுப்பாய்வு முறையில் தீர்க்க முடியாது. ஆயினும்கூட, சமச்சீர் வழக்கில், கிணறு மிகவும் ஆழமற்றதாக இருந்தாலும், குறைந்தபட்சம் ஒரு பிணைப்பு நிலை எப்போதும் இருப்பதை நாம் காண்போம். ஆற்றல் சமன்பாடுகளுக்கான வரைகலை அல்லது எண் தீர்வுகள் அவற்றை சிறிது மீண்டும் எழுதுவதன் மூலம் உதவுகின்றன. பரிமாணமற்ற மாறிகளை நாம் அறிமுகப்படுத்தினால், மற்றும் அதன் வரையறைகளிலிருந்து கவனித்தால், எங்கே, மாஸ்டர் சமன்பாடுகள் படிக்கப்படுகின்றன வலதுபுறத்தில் உள்ள சதித்திட்டத்தில், நீல அரை வட்டமானது ஊதா அல்லது சாம்பல் வளைவுகளை (மற்றும்) வெட்டும்போது தீர்வுகள் உள்ளன. ஒவ்வொரு ஊதா அல்லது சாம்பல் வளைவும் வரம்பிற்குள் ஒரு சாத்தியமான தீர்வைக் குறிக்கிறது. தீர்வுகளின் மொத்த எண்ணிக்கை, (அதாவது, நீல வட்டத்தால் வெட்டப்படும் ஊதா/சாம்பல் வளைவுகளின் எண்ணிக்கை) எனவே நீல வட்டத்தின் ஆரத்தை, ஒவ்வொரு தீர்வின் வரம்பால் வகுப்பதன் மூலமும், தரை அல்லது கூரை செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்துவதன் மூலமும் தீர்மானிக்கப்படுகிறதுஃ இந்த விஷயத்தில் சரியாக மூன்று தீர்வுகள் உள்ளன, ஏனெனில். மேலும், தொடர்புடைய ஆற்றல்களுடன் நாம் விரும்பினால், நாம் திரும்பிச் சென்று இப்போது சமன்பாடுகளில் உள்ள மாறிலிகளின் மதிப்புகளைக் காணலாம் (இயல்பாக்குதல் நிபந்தனையையும் நாம் விதிக்க வேண்டும்). வலதுபுறத்தில் நாம் இந்த விஷயத்தில் ஆற்றல் நிலைகள் மற்றும் அலை செயல்பாடுகளைக் காட்டுகிறோம் (எங்கே): எவ்வளவு சிறியதாக இருந்தாலும் (கிணறு எவ்வளவு ஆழமற்றதாகவோ அல்லது குறுகியதாகவோ இருந்தாலும்), எப்போதும் குறைந்தபட்சம் ஒரு பிணைக்கப்பட்ட நிலை இருக்கும் என்பதை நாம் கவனிக்கிறோம். இரண்டு சிறப்பு வழக்குகள் கவனிக்கத்தக்கவை. ஆற்றலின் உயரம் பெரிதாகும்போது, அரை வட்டத்தின் ஆரம் பெரிதாகி, வேர்கள் மதிப்புகளுக்கு நெருக்கமாகவும் நெருக்கமாகவும் வருகின்றன, மேலும் எல்லையற்ற சதுரத்தின் வழக்கை நன்கு மீட்டெடுக்கிறோம். மற்ற வழக்கு மிகவும் குறுகிய, ஆழமான கிணறு-குறிப்பாக வழக்கு மற்றும் நிலையான. ஏனெனில் அது பூஜ்ஜியமாக இருக்கும், எனவே ஒரே ஒரு பிணைக்கப்பட்ட நிலை மட்டுமே இருக்கும். தோராயமான தீர்வு பின்னர், மற்றும் ஆற்றல் முனைகிறது. ஆனால் இது டெல்டா செயல்பாட்டின் வலிமையின் பிணைக்கப்பட்ட நிலையின் ஆற்றல் மட்டுமே, அது இருக்க வேண்டும். ஆற்றல் நிலைகளுக்கு ஒரு எளிய வரைகலை தீர்வை பெருக்கத்தின் மூலம் ஆற்றல் மற்றும் ஆற்றலை இயல்பாக்குவதன் மூலம் பெறலாம். இயல்பாக்கப்பட்ட அளவுகள் முறையே சம மற்றும் ஒற்றைப்படை சமநிலை அலை செயல்பாடுகளைப் பொறுத்தவரை அனுமதிக்கப்பட்ட ஜோடிகளுக்கு இடையிலான உறவை நேரடியாக வழங்குகின்றன. முந்தைய சமன்பாடுகளில் செயல்பாடுகளின் நேர்மறை வழித்தோன்றல் பகுதிகளை மட்டுமே கருத்தில் கொள்ள வேண்டும். அனுமதிக்கப்பட்ட தம்பதிகளை நேரடியாகக் காட்டும் விளக்கப்படம் படத்தில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது. வரம்பற்ற நிலைகள் ஒரு ஆற்றலுக்கான நேர-சுயாதீனமான ஷ்ரோடிங்கர் சமன்பாட்டை நாம் தீர்த்தால், தீர்வுகள் கிணற்றிற்கு உள்ளேயும் வெளியேயும் ஊசலாடும். எனவே, தீர்வு ஒருபோதும் சதுர ஒருங்கிணைப்பு அல்ல; அதாவது, இது எப்போதும் ஒரு இயல்பற்ற நிலை. எவ்வாறாயினும், ஒரு குவாண்டம் துகள் அதை விட அதிக ஆற்றலைக் கொண்டிருப்பது சாத்தியமில்லை என்று இது அர்த்தப்படுத்துவதில்லை, இதன் பொருள் அமைப்பு மேலே தொடர்ச்சியான நிறமாலையைக் கொண்டுள்ளது என்பதாகும். இயல்பாக்கமுடியாத ஐகென்ஸ்டேட்கள் சதுர ஒருங்கிணைப்புக்கு நெருக்கமாக இருப்பதால் அவை இன்னும் ஹாமில்டோனியனின் நிறமாலைக்கு வரம்பற்ற ஆபரேட்டராக பங்களிக்கின்றன. சமச்சீரற்ற கிணறு உள்ள ஆற்றலால் நன்கு கொடுக்கப்பட்ட ஒரு பரிமாண சமச்சீரற்ற ஆற்றலைக் கவனியுங்கள். பின்வரும் ஆழ்நிலைச் சமன்பாட்டின் மூலமாக தீர்க்கப்பட்டவுடன் ஆற்றல் நிலைகள் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன, அங்கு மேலே உள்ள சமன்பாட்டிற்கு மூலத்தின் இருப்பு எப்போதும் உத்தரவாதம் அளிக்கப்படுவதில்லை, எடுத்துக்காட்டாக, ஒருவர் எப்போதும் ஒரு சிறிய மதிப்பைக் காணலாம், கொடுக்கப்பட்ட மதிப்புகளுக்கு மற்றும், தனித்துவமான ஆற்றல் நிலை இல்லை. சமச்சீர் கிணற்றின் முடிவுகள் மேலே உள்ள சமன்பாட்டிலிருந்து அமைப்பதன் மூலம் பெறப்படுகின்றன. ஒரு பரிமாண வழக்கைப் பொறுத்தவரை, ஒரு கோளக் குழியில் இரண்டு பிணைக்கப்பட்ட நிலைகள் உள்ளன என்பதைக் காட்ட மேலே உள்ள முடிவுகளைப் பயன்படுத்தலாம், ஏனெனில் கோள ஆயத்தொலைவுகள் எந்த திசையிலும் ஆரத்தை சமமாக்குகின்றன. ஒரு கோள சமச்சீர் ஆற்றலின் தரை நிலை (n = 1) எப்போதும் பூஜ்ஜிய சுற்றுப்பாதை கோண உந்தத்தை (l = n−1) கொண்டிருக்கும், மேலும் குறைக்கப்பட்ட அலை செயல்பாடு அலை செயல்பாட்டின் ரேடியல் பகுதி இருக்கும் சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்துகிறது. (n = 1) கோணப் பகுதிக்கு நிலையானது (l = 0) என்பதைக் கவனியுங்கள். இது எல்லை நிபந்தனைகளைத் தவிர, ஒரு பரிமாண சமன்பாட்டிற்கு ஒத்ததாகும். முன்பு போலவே, பின்வரும் ஆழ்நிலை சமன்பாட்டின் மூலமாக தீர்க்கப்பட்டவுடன் ஆற்றல் நிலைகள் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன, அங்கு மேற்கண்ட சமன்பாட்டிற்கு வேர் இருப்பது எப்போதும் உத்தரவாதம் அளிக்கப்படுகிறது. முடிவுகள் எப்போதும் கோள சமச்சீர் கொண்டவை. கோளத்திற்குள் அலை எந்த ஆற்றலையும் காணவில்லை என்ற நிபந்தனையை இது பூர்த்தி செய்கிறதுஃ வெவ்வேறு வகையீட்டுச் சமன்பாடு l §0 இல் இருக்கும் போது, மேலே உள்ள தலைப்புகளைப் போலவே, இங்கே இதுஃ மாறுபடும் மற்றும் செயல்பாட்டின் சில மாற்றங்களால் தீர்வு பகுத்தறிவூட்டப்படலாம், இது வேறுபட்ட சமன்பாடு போன்ற ஒரு பெசலை உயர்த்துகிறது, இது தீர்வுஃ முறையே பெசல் மற்றும் நியூமன் கோள செயல்பாடுகள், மற்றும் நிலையான பெசல் செயல்பாட்டின் செயல்பாடாக மறுபரிசீலனை செய்யப்படலாம். பின்வரும் ஆழ்நிலை சமன்பாட்டின் மூலமாக தீர்க்கப்பட்டவுடன் ஆற்றல் நிலைகள் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன, அங்கு ரூட் முதல் மேலே உள்ள சமன்பாடு எப்போதும் உத்தரவாதம் அளிக்கப்படுகிறது. முடிவுகள் எப்போதும் கோள சமச்சீர் கொண்டவை. அலை கோளத்திற்குள் எந்த ஆற்றலையும் காணவில்லை என்ற நிபந்தனையை இது பூர்த்தி செய்கிறதுஃ, ஆனால் பின்வரும் ஆழ்நிலை சமன்பாட்டின் மூலமாக தீர்க்கப்படுகிறது, அங்குஃ சாத்தியமான கிணறு டெல்டா செயல்பாட்டு சாத்தியமான எல்லையற்ற சாத்தியமான கிணறு அரை வட்ட சாத்தியமான கிணறு குவாண்டம் சுரங்கப்பாதை செவ்வக சாத்தியமான தடை மேலும் படிக்க. குவாண்டம் இயந்திர ஆற்றல்கள் குவாண்டம் மாதிரிகள் சரியாக தீர்க்கக்கூடிய மாதிரிகள்