Subharmonic function
கணிதத்தில், சப்ஹார்மோனிக் மற்றும் சூப்பர்ஹார்மோனிக் செயல்பாடுகள் பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகள், சிக்கலான பகுப்பாய்வு மற்றும் சாத்தியக் கோட்பாடு ஆகியவற்றில் விரிவாகப் பயன்படுத்தப்படும் செயல்பாடுகளின் முக்கிய வகுப்புகள் ஆகும். உள்ளுணர்வாக, சப்ஹார்மோனிக் செயல்பாடுகள் பின்வருமாறு ஒரு மாறியின் குவிந்த செயல்பாடுகளுடன் தொடர்புடையவை. ஒரு குவிந்த சார்பு மற்றும் ஒரு கோட்டின் வரைபடம் இரண்டு புள்ளிகளில் வெட்டப்பட்டால், குவிந்த சார்பு அந்த புள்ளிகளுக்கு இடையிலான கோட்டின் கீழே இருக்கும். அதே வழியில், ஒரு சப்ஹார்மோனிக் செயல்பாட்டின் மதிப்புகள் ஒரு பந்தின் எல்லையில் ஒரு ஹார்மோனிக் செயல்பாட்டின் மதிப்புகளை விட பெரியதாக இல்லாவிட்டால், சப்ஹார்மோனிக் செயல்பாட்டின் மதிப்புகள் பந்துக்குள் உள்ள ஹார்மோனிக் செயல்பாட்டின் மதிப்புகளை விட பெரியதாக இருக்காது. சூப்பர்ஹார்மோனிக் செயல்பாடுகளை அதே விளக்கத்தால் வரையறுக்க முடியும், "பெரியது இல்லை" என்பதை "சிறியது இல்லை" என்று மட்டுமே மாற்றலாம். மாற்றாக, ஒரு சூப்பர்ஹார்மோனிக் செயல்பாடு என்பது ஒரு சப்ஹார்மோனிக் செயல்பாட்டின் எதிர்மறையாகும், மேலும் இந்த காரணத்திற்காக சப்ஹார்மோனிக் செயல்பாடுகளின் எந்தவொரு பண்பையும் எளிதாக சூப்பர்ஹார்மோனிக் செயல்பாடுகளுக்கு மாற்ற முடியும். முறையான வரையறை முறைப்படி, வரையறையை பின்வருமாறு கூறலாம். யூக்ளிடியன் இடத்தின் துணைக்குழுவாக இருக்கட்டும் மற்றும் மேல் அரை தொடர்ச்சியான செயல்பாடாக இருக்கட்டும். பின்னர், மையம் மற்றும் ஆரம் கொண்ட எந்தவொரு மூடிய பந்துக்கும், அதன் மீது உள்ள ஒவ்வொரு உண்மையான மதிப்புள்ள தொடர்ச்சியான செயல்பாடும் ஒத்திசைவாக இருந்தால் மற்றும் எல்லையில் உள்ள அனைவரையும் திருப்திப்படுத்தினால், சப்ஹார்மோனிக் என்று அழைக்கப்படுகிறது. சப்ஹார்மோனிக் என்றால் ஒரு செயல்பாடு சூப்பர்ஹார்மோனிக் என்று அழைக்கப்படுகிறது. பண்புகள் ஒரு செயல்பாடு சப்ஹார்மோனிக் மற்றும் சூப்பர்ஹார்மோனிக் ஆகிய இரண்டுமே இருந்தால் மட்டுமே அது ஹார்மோனிக் ஆகும். திறந்த செட்டில் C2 (இரண்டு முறை தொடர்ச்சியாக வேறுபடுத்தக்கூடிய) என்றால், ஒருவர் அணிந்திருந்தால் மட்டுமே, லாப்லாசியன் எங்கே என்றால் அது சப்ஹார்மோனிக் ஆகும். செயல்பாடு நிலையானதாக இல்லாவிட்டால், ஒரு சப்ஹார்மோனிக் செயல்பாட்டின் அதிகபட்சத்தை அதன் களத்தின் உட்புறத்தில் அடைய முடியாது, இது அதிகபட்ச கொள்கை என்று அழைக்கப்படுகிறது. இருப்பினும், குறைந்தபட்ச சப்ஹார்மோனிக் செயல்பாட்டை அதன் களத்தின் உட்புறத்தில் அடைய முடியும். சுபார்மோனிக் செயல்பாடுகள் ஒரு குவிந்த கூம்பை உருவாக்குகின்றன, அதாவது, நேர்மறை குணகங்களுடன் கூடிய சப்ஹார்மோனிக் செயல்பாடுகளின் நேரியல் கலவையும் சப்ஹார்மோனிக் ஆகும். இரண்டு சப்ஹார்மோனிக் செயல்பாடுகளின் புள்ளி வாரியான அதிகபட்சம் சப்ஹார்மோனிக் ஆகும். எண்ணக்கூடிய எண்ணிக்கையிலான சப்ஹார்மோனிக் செயல்பாடுகளின் புள்ளி வாரியான அதிகபட்சம் மேல் அரை தொடர்ச்சியானதாக இருந்தால், அது சப்ஹார்மோனிக் ஆகும். சப்ஹார்மோனிக் செயல்பாடுகளின் குறைந்து வரும் வரிசையின் வரம்பு சப்ஹார்மோனிக் (அல்லது ஒரே மாதிரியாக சமம்) ஆகும். சுபார்மோனிக் செயல்பாடுகள் வழக்கமான இடவியலில் தொடர்ச்சியானவை அல்ல, இருப்பினும் அவற்றை தொடர்ச்சியானதாக மாற்றும் சிறந்த இடவியலை ஒருவர் அறிமுகப்படுத்தலாம். எடுத்துக்காட்டுகள் பகுப்பாய்வு என்றால் சப்ஹார்மோனிக் ஆகும். மேலே பட்டியலிடப்பட்டுள்ள பண்புகளைப் பயன்படுத்தி, அதிகபட்சம், குவிந்த சேர்க்கைகள் மற்றும் வரம்புகளை எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம் மேலும் எடுத்துக்காட்டுகளை உருவாக்க முடியும். பரிமாணம் 1 இல், அனைத்து சப்ஹார்மோனிக் செயல்பாடுகளையும் இந்த வழியில் பெறலாம். ரீஸ் பிரதிநிதித்துவ தேற்றம் ஒரு பிராந்தியத்தில் சப்ஹார்மோனிக் என்றால், யூக்ளிடியன் பரிமாண இடத்தில், ஹார்மோனிக் ஆகும், பின்னர் இது ஒரு ஹார்மோனிக் மேஜர் என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு ஹார்மோனிக் பிரதானமானது இருந்தால், குறைந்த ஹார்மோனிக் பிரதானமானது உள்ளது, பரிமாணம் 2 இல் இருக்கும்போது, குறைந்த ஹார்மோனிக் பிரதானமானது எங்கே, மற்றும் ஒரு போரெல் அளவீடு ஆகும். இது ரீஸ் பிரதிநிதித்துவ தேற்றம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. சிக்கலான தள சுபார்மோனிக் செயல்பாடுகளில் சுபார்மோனிக் செயல்பாடுகள் சிக்கலான பகுப்பாய்வில் ஒரு குறிப்பிட்ட முக்கியத்துவத்தைக் கொண்டுள்ளன, அங்கு அவை ஹோலோமார்பிக் செயல்பாடுகளுடன் நெருக்கமாக இணைக்கப்பட்டுள்ளன. ஒரு தொகுப்பில் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு சிக்கலான மாறியின் (அதாவது, இரண்டு உண்மையான மாறிகளின்) உண்மையான மதிப்புள்ள, தொடர்ச்சியான செயல்பாடு, மையம் மற்றும் ஆரம் கொண்ட எந்தவொரு மூடிய வட்டுக்கும் உள்ளுணர்வாக இருந்தால் மட்டுமே சப்ஹார்மோனிக் என்று ஒருவர் காட்ட முடியும், இதன் பொருள் ஒரு சப்ஹார்மோனிக் செயல்பாடு எந்த நேரத்திலும் அந்த புள்ளியைச் சுற்றியுள்ள வட்டத்தில் உள்ள மதிப்புகளின் சராசரியை விட அதிகமாக இல்லை, இது அதிகபட்ச கொள்கையைப் பெற பயன்படுத்தக்கூடிய ஒரு உண்மை. ஒரு ஹோலோமார்பிக் செயல்பாடு என்றால், இருக்க வேண்டிய பூஜ்ஜியங்களின் மதிப்பை நாம் வரையறுத்தால் அது ஒரு சப்ஹார்மோனிக் செயல்பாடாகும். இது ஒவ்வொரு α> 0 க்கும் சப்ஹார்மோனிக் ஆகும். இந்த அவதானிப்பு ஹார்டி இடைவெளிகளின் கோட்பாட்டில் ஒரு பங்கைக் கொண்டுள்ளது, குறிப்பாக 0 <p <1 ஆக இருக்கும்போது H பற்றிய ஆய்வுக்கு. சிக்கலான தளத்தின் சூழலில், குவிந்த செயல்பாடுகளுடனான தொடர்பை கற்பனையான திசையில் நிலையான ஒரு களத்தில் ஒரு சப்ஹார்மோனிக் செயல்பாடு உண்மையான திசையில் குவிந்ததாகவும், நேர்மாறாகவும் இருப்பதன் மூலமும் உணர முடியும். சப்ஹார்மோனிக் செயல்பாடுகளின் ஹார்மோனிக் பிரதானங்கள் சிக்கலான தளத்தின் ஒரு பகுதியில் சப்ஹார்மோனிக் ஆகவும், ஹார்மோனிக் ஆகவும் இருந்தால், அது இன் இன் இன் ஹார்மோனிக் பிரதானமாகும். இத்தகைய சமத்துவமின்மையை ஒரு வளர்ச்சி நிபந்தனையாக பார்க்க முடியும். அலகு வட்டில் சுபார்மோனிக் செயல்பாடுகள். மூடிய அலகு வட்டு D (0,1) ஐக் கொண்ட சிக்கலான தளத்தின் திறந்த துணைக்குழுவில் φ சப்ஹார்மோனிக், தொடர்ச்சியான மற்றும் எதிர்மறையற்றதாக இருக்கட்டும். செயல்பாட்டிற்கான ரேடியல் அதிகபட்ச செயல்பாடு φ (அலகு வட்டத்திற்கு மட்டுப்படுத்தப்பட்ட) அலகு வட்டத்தில் வரையறுக்கப்படுகிறது. Pr என்பது பாய்சான் கர்னலைக் குறிக்கிறது என்றால், அது சப்ஹார்மோனிசிட்டியிலிருந்து பின்தொடர்கிறது. ஹார்டி-லிட்டில்வுட் அதிகபட்ச செயல்பாட்டின் e இல் உள்ள மதிப்பை விட கடைசி ஒருங்கிணைப்பு குறைவாக உள்ளது என்பதைக் காட்டலாம். ஹார்டி-லிட்டில்வுட் இயக்குபவர் 1 <p <≤ போது Lp (T) இல் வரம்புக்குட்பட்டவர் என்று அறியப்படுகிறது. சில உலகளாவிய மாறிலி C க்கு, f என்பது ω மற்றும் 0 <p <φ இல் உள்ள ஒரு ஹோலோமார்பிக் செயல்பாடாக இருந்தால், முந்தைய சமத்துவமின்மை φ = |f | க்கு பொருந்தும். கிளாசிக்கல் ஹார்டி ஸ்பேஸ் Hp இல் உள்ள எந்தவொரு செயல்பாடும் F திருப்திப்படுத்துகிறது என்பதை இந்த உண்மைகளிலிருந்து யூகிக்க முடியும் அதிக வேலையுடன், அலகு வட்டத்தில் கிட்டத்தட்ட எல்லா இடங்களிலும் F (e) ரேடியல் வரம்புகளைக் கொண்டுள்ளது என்பதைக் காட்டலாம், மேலும் (ஆதிக்கம் செலுத்தும் ஒருங்கிணைப்பு தேற்றத்தால்) Fr, Fr (e) = F (ரீ) ஆல் வரையறுக்கப்படுகிறது Lp (T) இல் F க்கு முனைகிறது. ரீமானியன் பன்மடங்கு சுபார்மோனிக் செயல்பாடுகளில் சுபார்மோனிக் செயல்பாடுகளை ஒரு தன்னிச்சையான ரீமானியன் பன்மடங்கு அடிப்படையில் வரையறுக்கலாம். வரையறைஃ எம் ஒரு ரீமானியன் பன்மடங்கு மற்றும் ஒரு மேல் அரை தொடர்ச்சியான செயல்பாடாக இருக்கட்டும். எந்தவொரு திறந்த துணைக்குழுவிற்கும், U இல் உள்ள எந்தவொரு ஹார்மோனிக் செயல்பாட்டிற்கும், U இன் எல்லையில், சமத்துவமின்மை அனைத்து U யிலும் உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் f என்பது சப்ஹார்மோனிக் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த வரையறை மேலே கொடுக்கப்பட்ட வரையறைக்கு சமமானது. மேலும், இரண்டு முறை வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாடுகளுக்கு, சப்ஹார்மோனிசிட்டி என்பது சமத்துவமின்மைக்கு சமம், வழக்கமான லாப்லாசியன் எங்கே. மேலும் காண்க ப்ளூரிசுபார்மோனிக் செயல்பாடு-பல சிக்கலான மாறிகளுக்கு பொதுமைப்படுத்தல் கிளாசிக்கல் ஃபைன் டோபாலஜி குறிப்புகள் குறிப்புகள் சாத்தியமான கோட்பாடு சிக்கலான பகுப்பாய்வு செயல்பாடுகளின் வகைகள்