Free Lie algebra
கணிதத்தில், ஒரு புலம் K மீது ஒரு இலவச லை இயற்கணிதம் என்பது ஒரு தொகுப்பு X ஆல் உருவாக்கப்படும் ஒரு லை இயற்கணிதம் ஆகும், இது மாறி மாறி K-பில்லினியாரிட்டி மற்றும் ஜாகோபி அடையாளத்தின் வரையறுக்கும் உறவுகளைத் தவிர வேறு எந்த திணிக்கப்பட்ட உறவுகளும் இல்லை. வரையறை ஒரு தொகுப்பு X ஆல் உருவாக்கப்படும் இலவச லை இயற்கணிதத்தின் வரையறை பின்வருமாறுஃ X என்பது ஒரு தொகுப்பாகவும், X இலிருந்து ஒரு லை இயற்கணிதத்திற்கு (செயல்பாடு) ஒரு உருவகமாகவும் இருக்கட்டும். லை இயற்கணிதம் L என்பது உலகளாவிய உருவகமாக இருந்தால் X இல் இலவசமாக அழைக்கப்படுகிறது; அதாவது, தொகுப்புகளின் உருவகத்துடன் கூடிய எந்தவொரு லை இயற்கணிதம் A க்கும், ஒரு தனித்துவமான லை இயற்கணிதம் உருவகம் இருந்தால், அது போன்றது. ஒரு தொகுப்பு X ஐப் பொறுத்தவரை, X ஆல் உருவாக்கப்பட்ட ஒரு தனித்துவமான இலவச லை இயற்கணிதம் இருப்பதை ஒருவர் காட்டலாம். வகைக் கோட்பாட்டின் மொழியில், X ஆல் உருவாக்கப்பட்ட லை இயற்கணிதத்திற்கு ஒரு தொகுப்பு X ஐ அனுப்பும் செயல்பாட்டாளர், தொகுப்புகளின் வகையிலிருந்து லை ஆல்ஜிப்ராக்களின் வகைக்கு இலவச செயல்பாட்டாளர் ஆவார். அதாவது, அது மறந்துபோன ஃபங்க்டருக்கு அருகில் விடப்படுகிறது. ஒரு தொகுப்பு X இல் உள்ள இலவச லை இயற்கணிதம் இயற்கையாகவே தரப்படுத்தப்படுகிறது. இலவச லை இயற்கணிதத்தின் 1-தரப்படுத்தப்பட்ட கூறு அந்த தொகுப்பில் உள்ள இலவச திசையன் இடைவெளி மட்டுமே. ஒரு திசையன் இடைவெளி V இல் ஒரு இலவச லை இயற்கணிதத்தை K புலத்தின் மீது உள்ள லை ஆல்ஜிப்ராக்களிலிருந்து K புலத்தின் மீது உள்ள திசையன் இடைவெளிகள் வரை மறக்கமுடியாத ஃபங்க்டருக்கு இடதுபுறம் வரையறுக்கலாம்-லை இயற்கணித கட்டமைப்பை மறந்து, ஆனால் திசையன் இடைவெளி கட்டமைப்பை நினைவில் கொள்ளுங்கள். ஒரு தொகுப்பு X இல் ஒரு இலவச லை இயற்கணிதத்தின் உலகளாவிய உறை இயற்கணிதம் என்பது X ஆல் உருவாக்கப்படும் இலவச துணை இயற்கணிதம் ஆகும். போயின்கேர்-பிர்காஃப்-விட் தேற்றத்தின் படி இது இலவச லை இயற்கணிதத்தின் சமச்சீர் இயற்கணிதத்தின் "அதே அளவு" ஆகும் (அதாவது எக்ஸ் டிகிரி 1 இன் கூறுகளைக் கொடுப்பதன் மூலம் இரு பக்கங்களும் தரப்படுத்தப்பட்டால், அவை தரப்படுத்தப்பட்ட திசையன் இடைவெளிகளாக ஐசோமார்பிக் ஆகும்). எந்தவொரு குறிப்பிட்ட டிகிரியின் இலவச லை இயற்கணிதத்தின் பகுதியின் பரிமாணத்தை விவரிக்க இதைப் பயன்படுத்தலாம். ஒரு m-உறுப்பு தொகுப்பில் இலவச லை இயற்கணிதத்தில் டிகிரி k இன் அடிப்படை கம்யூட்டேட்டர்களின் எண்ணிக்கை நெக்லஸ் பல்லுறுப்புக்கோவையால் வழங்கப்படுகிறது என்று எர்ன்ஸ்ட் விட் காட்டினார்ஃ மோபியஸ் செயல்பாடு எங்கே. ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்பில் ஒரு இலவச லை இயற்கணிதத்தின் உலகளாவிய உறை இயற்கணிதத்தின் தரப்படுத்தப்பட்ட இரட்டை என்பது ஷஃபிள் இயற்கணிதம் ஆகும். இது அடிப்படையில் பின்பற்றப்படுகிறது, ஏனெனில் உலகளாவிய உறை அலஜிப்ராக்கள் ஒரு ஹோப்ஃப் இயற்கணிதத்தின் கட்டமைப்பைக் கொண்டுள்ளன, மேலும் ஷஃபிள் தயாரிப்பு இந்த இயற்கணிதத்தில் கூட்டுத்திறனின் செயல்பாட்டை விவரிக்கிறது. ஷஃபிள் புரொடக்ட் மற்றும் காம்ள்டிப்லிகேஷன் ஆகியவற்றுக்கு இடையிலான உறவின் விரிவான விளக்கத்திற்கு டென்சர் அல்ஜிப்ராவைப் பார்க்கவும். ஹால் தொகுப்புகள் இலவச லை இயற்கணிதத்தின் ஒரு வெளிப்படையான அடிப்படையை ஒரு ஹால் தொகுப்பின் அடிப்படையில் கொடுக்கலாம், இது X இல் உள்ள இலவச மாக்மாவிற்குள் ஒரு குறிப்பிட்ட வகையான துணைக்குழுவாகும். இலவச மாக்மாவின் கூறுகள் பைனரி மரங்கள், அவற்றின் இலைகள் X இன் கூறுகளால் பெயரிடப்பட்டுள்ளன. குழுக்களில் பிலிப் ஹாலின் பணியின் அடிப்படையில் ஹால் செட்டுகள் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டன. அதைத் தொடர்ந்து, வில்ஹெல்ம் மேக்னஸ் கீழ் மையத் தொடரால் வழங்கப்பட்ட ஒரு இலவசக் குழுவில் வடிகட்டுதலுடன் தொடர்புடைய தரப்படுத்தப்பட்ட லை இயற்கணிதமாக அவை எழுகின்றன என்பதைக் காட்டினார். பிலிப் ஹால் மற்றும் விட் காரணமாக குழு கோட்பாட்டில் கம்யூட்டேட்டர் அடையாளங்களால் இந்த கடிதப் பரிமாற்றம் உந்தப்பட்டது. லிண்டன் சொற்கள் ஹால் சொற்களின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு, எனவே குறிப்பாக லிண்டன் சொற்களுடன் தொடர்புடைய இலவச லை இயற்கணிதத்திற்கு ஒரு அடிப்படை உள்ளது. இது லிண்டன் அடிப்படை என்று அழைக்கப்படுகிறது, இது ரோஜர் லிண்டனின் பெயரால் அழைக்கப்படுகிறது. (இது சென்-ஃபாக்ஸ்-லிண்டன் அடிப்படை அல்லது லிண்டன்-ஷிர்ஷோவ் அடிப்படை என்றும் அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் இது அடிப்படையில் ஷிர்ஷோவ் அடிப்படையைப் போன்றது.) ஒரு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட எழுத்துக்களில் உள்ள லிண்டன் சொற்களிலிருந்து பின்வருமாறு வரையறுக்கப்பட்ட இந்த எழுத்துக்களில் இலவச லை இயற்கணிதத்தின் அடிப்படையில் ஒரு பைஜெக்ஷன் γ உள்ளதுஃ ஒரு வார்த்தைக்கு 1 நீளம் இருந்தால் (இலவச லை இயற்கணிதத்தின் ஜெனரேட்டராக கருதப்படுகிறது). W க்கு குறைந்தபட்சம் 2 நீளம் இருந்தால், லிண்டன் சொற்களான u, v க்கு முடிந்தவரை v உடன் எழுதுங்கள் ("நிலையான காரணியாக்கம்"). பிறகு. ஷிர்ஷோவ்-விட் தேற்றம் மற்றும் ஒரு இலவச லை இயற்கணிதத்தின் எந்தவொரு லை துணை இயற்கணிதமும் ஒரு இலவச லை இயற்கணிதமாகும் என்பதைக் காட்டியது. பயன்பாடுகள் அரை எளிய லை இயற்கணிதத்தில் செர்ரேயின் தேற்றம் ஒரு இலவச லை இயற்கணிதத்தைப் பயன்படுத்தி ஜெனரேட்டர்கள் மற்றும் உறவுகளிலிருந்து அரை எளிய இயற்கணிதத்தை உருவாக்குகிறது. ஒரு இணைப்பு குழுவின் மில்னர் மாறிலிகள் அந்த கட்டுரையில் விவாதிக்கப்பட்டபடி, இணைப்பின் கூறுகளில் உள்ள இலவச லை இயற்கணிதத்துடன் தொடர்புடையவை. ஓபராட்டின் கட்டுமானத்தில் ஒரு இலவச லை இயற்கணிதத்தைப் பயன்படுத்துவதற்கு லை ஓபராட்டைப் பார்க்கவும். மேலும் காண்க இலவச பொருள் இலவச இயற்கணிதம் இலவச குழு குறிப்புகள் லை ஆல்ஜிப்ராக்களின் இலவச இயற்கணித கட்டமைப்புகளின் பண்புகள்