Tensor product of modules
கணிதத்தில், தொகுதிகளின் டென்சர் தயாரிப்பு என்பது இருமுனை வரைபடங்களைப் பற்றிய வாதங்களை அனுமதிக்கும் ஒரு கட்டுமானமாகும் (எ. கா. பெருக்கல்) நேரியல் வரைபடங்களின் அடிப்படையில் மேற்கொள்ளப்பட வேண்டும். தொகுதி கட்டுமானம் திசையன் இடைவெளிகளின் டென்சர் உற்பத்தியின் கட்டுமானத்திற்கு ஒத்ததாக இருக்கிறது, ஆனால் மூன்றாவது தொகுதியின் விளைவாக ஒரு பரிமாற்ற வளையத்தின் மீது ஒரு ஜோடி தொகுதிகளுக்கு மேற்கொள்ளப்படலாம், மேலும் ஒரு ஜோடி வலது-தொகுதி மற்றும் ஒரு ஜோடிக்கு இடது-தொகுதி எந்த வளையத்தின் மீதும், இதன் விளைவாக ஒரு அபெலியன் குழு. சுருக்க இயற்கணிதம், ஹோமோலாஜிக்கல் இயற்கணிதம், இயற்கணித இடவியல், இயற்கணித வடிவியல், ஆபரேட்டர் ஆல்ஜிப்ராக்கள் மற்றும் பரிமாற்றமற்ற வடிவியல் ஆகிய துறைகளில் டென்சர் தயாரிப்புகள் முக்கியமானவை. திசையன் இடைவெளிகளின் டென்சர் பெருக்கலின் உலகளாவிய பண்பு சுருக்க இயற்கணிதத்தில் மிகவும் பொதுவான சூழ்நிலைகளுக்கு விரிவடைகிறது. ஒரு இயற்கணிதம் மற்றும் ஒரு தொகுதியின் டென்சர் பெருக்கல் அளவீடுகளின் நீட்டிப்புக்கு பயன்படுத்தப்படலாம். ஒரு பரிமாற்ற வளையத்தைப் பொறுத்தவரை, தொகுதிகளின் டென்சர் பெருக்கல் ஒரு தொகுதியின் டென்சர் இயற்கணிதத்தை உருவாக்க மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்படலாம், இது தொகுதியின் பெருக்கத்தை உலகளாவிய வழியில் வரையறுக்க அனுமதிக்கிறது. ஒரு வளையம் R, ஒரு வலது R-தொகுதி M, ஒரு இடது R-தொகுதி N, மற்றும் ஒரு அபெலியன் குழு G க்கு, ஒரு வரைபடம் R-சமநிலையான, R-நடுத்தர-நேரியல் அல்லது R-சமநிலையான தயாரிப்பு என்று கூறப்படுகிறது, அனைத்து m க்கும், m′ M இல், n, n′ N இல், மற்றும் r இல் பின்வரும் பிடிப்பு இருந்தால்ஃ R முதல் G வரை உள்ள அனைத்து சீரான தயாரிப்புகளின் தொகுப்பும் குறிக்கப்படுகிறது. φ, si சமநிலையான விளைபொருள்களாக இருந்தால், ஒவ்வொரு செயல்பாடும் மற்றும்-φ புள்ளிவழியாக வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு சமநிலையான விளைபொருளாகும். இது தொகுப்பை ஒரு அபெலியன் குழுவாக மாற்றுகிறது. M மற்றும் N நிலையானதற்கு, வரைபடம் அபெலியன் குழுக்களின் வகையிலிருந்து தனக்குத்தானே ஒரு செயல்பாட்டாளராகும். செயல்பாட்டிற்கு ஒரு குழு ஹோமோமார்பிசத்தை வரைபடமாக்குவதன் மூலம் உருவவியல் பகுதி வழங்கப்படுகிறது, இது முதல் வரை செல்கிறது. குறிப்புகள் பண்புகள் (டிஎல்) மற்றும் (டாக்டர்) φ இன் உயிரியக்கச் சேர்க்கையை வெளிப்படுத்துகின்றன, இது கூட்டல் மீது φ இன் விநியோகமாகக் கருதப்படலாம். சொத்து (ஏ) φ இன் சில துணை பண்புகளை ஒத்திருக்கிறது. ஒவ்வொரு வளையமும் ஒரு ஆர்-இரு மடங்கு ஆகும். எனவே R இல் உள்ள வளைய பெருக்கம் ஒரு R-சமநிலையான தயாரிப்பு ஆகும். வரையறை ஒரு வளையத்திற்கு R, ஒரு வலது R-தொகுதி M, ஒரு இடது R-தொகுதி N, R க்கு மேல் உள்ள இழுவிசை பெருக்கல் என்பது ஒரு சமநிலையான பெருக்கல் (மேலே வரையறுக்கப்பட்டுள்ளபடி) உடன் ஒரு அபெலியன் குழுவாகும், இது பின்வரும் அர்த்தத்தில் உலகளாவியதுஃ ஒவ்வொரு அபெலியன் குழுவிற்கும் G மற்றும் ஒவ்வொரு சமநிலையான பெருக்கலுக்கும் ஒரு தனித்துவமான குழு ஹோமோமார்பிசம் உள்ளது, அதாவது அனைத்து உலகளாவிய பண்புகளைப் போலவே, மேலே உள்ள பண்பு ஒரு தனித்துவமான ஐசோமார்பிசம் வரை தனித்துவமாக இழுவிசை பெருக்கத்தை வரையறுக்கிறதுஃ வேறு எந்த அபெலியன் குழுவும் அதே பண்புகளைக் கொண்ட சமநிலையான பெருக்கல் ஐசோமார்பிக் மற்றும் ′ ஆக இருக்கும். உண்மையில், வரைபடம் கனோனிக்கல் என்று அழைக்கப்படுகிறது, அல்லது இன்னும் வெளிப்படையாகஃ டென்சர் உற்பத்தியின் கனோனிக்கல் மேப்பிங் (அல்லது சீரான தயாரிப்பு). வரையறை இருப்பதை நிரூபிக்கவில்லை; ஒரு கட்டுமானத்திற்கு கீழே பார்க்கவும். டென்சர் பெருக்கல் செயல்பாட்டிற்கான ஒரு பிரதிநிதித்துவ பொருளாகவும் வரையறுக்கப்படலாம்; வெளிப்படையாக, இதன் பொருள் ஒரு இயற்கையான ஐசோமார்பிசம் உள்ளதுஃ இது மேலே கொடுக்கப்பட்ட உலகளாவிய மேப்பிங் பண்பைக் குறிப்பிடுவதற்கான ஒரு சுருக்கமான வழியாகும். (ஒரு முன்னுரிமைக்கு இந்த இயற்கையான ஐசோமார்பிசம் வழங்கப்பட்டால், பின்னர் அடையாள வரைபடத்தை எடுத்து வரைபடமாக்குவதன் மூலம் மீட்டெடுக்க முடியும்.) இதேபோல், இயற்கையான அடையாளத்தைப் பொறுத்தவரை, ஒருவர் இந்த சூத்திரத்தால் வரையறுக்கலாம் இது டென்சர்-ஹோம் இணைப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது; மேலும் காண்க. M இல் உள்ள ஒவ்வொரு x க்கும், N இல் உள்ள y க்கும், நியமன வரைபடத்தின் கீழ் (x, y) படத்திற்கு ஒருவர் எழுதுகிறார். இது பெரும்பாலும் தூய டென்சர் என்று அழைக்கப்படுகிறது. கண்டிப்பாகச் சொல்வதானால், சரியான குறியீடு x′Ry ஆக இருக்கும், ஆனால் R ஐ இங்கே கைவிடுவது வழக்கமானதாகும். பின்னர், வரையறையிலிருந்து உடனடியாக, உறவுகள் உள்ளனஃ ஒரு டென்சர் பெருக்கலின் உலகளாவிய பண்பு பின்வரும் முக்கியமான விளைவைக் கொண்டுள்ளதுஃ ஆதாரம்ஃ முதல் அறிக்கைக்கு, L என்பது கேள்விக்குரிய வடிவத்தின் கூறுகளால் உருவாக்கப்பட்ட துணைக்குழுவாகவும், q என்பது Q க்கு ஈவு வரைபடமாகவும் இருக்கட்டும். நம்மிடம் உள்ளதுஃ அதே போல். எனவே, உலகளாவிய பண்பின் தனித்துவமான பகுதியால், q = 0. இரண்டாவது கூற்று என்னவென்றால், ஒரு தொகுதி ஹோமோமார்பிசத்தை வரையறுக்க, தொகுதியின் உருவாக்கும் தொகுப்பில் அதை வரையறுக்க போதுமானது. டென்சர் தயாரிப்புகளின் உலகளாவிய பண்பின் பயன்பாடு தொகுதிகளின் டென்சர் பெருக்கல் பூஜ்ஜியமா என்பதை தீர்மானிப்பது நடைமுறையில், ஆர்-தொகுதிகளின் டென்சர் பெருக்கல் 0 என்பதைக் காண்பிப்பதை விட பூஜ்ஜியமற்றது என்பதைக் காண்பிப்பது சில நேரங்களில் மிகவும் கடினம். உலகளாவிய பண்பு இதைச் சரிபார்க்க ஒரு வசதியான வழியை வழங்குகிறது. ஒரு டென்சர் பெருக்கல் பூஜ்ஜியமற்றது என்பதைச் சரிபார்க்க, ஒரு அபெலியன் குழுவிற்கு ஆர்-பில்லினியர் வரைபடத்தை உருவாக்கலாம். இது வேலை செய்கிறது, ஏனெனில் அப்படியானால். எடுத்துக்காட்டாக, அதைப் பார்க்க, பூஜ்ஜியமற்றது, மற்றும் என்று எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். இது பூஜ்ஜியமற்றதாக இருக்கும் வரை தூய டென்சர்கள் என்று கூறுகிறது. சமமான தொகுதிகளுக்கு ஒவ்வொரு முறையும் உலகளாவிய பண்புகளை நேரடியாக அழைப்பதற்குப் பதிலாக டென்சர் தயாரிப்புகளின் வெளிப்படையான கூறுகளுடன் ஒருவர் வேலை செய்யலாம் என்று முன்மொழிவு கூறுகிறது. இது நடைமுறையில் மிகவும் வசதியானது. எடுத்துக்காட்டாக, R என்பது பரிமாற்றமாக இருந்தால், தொகுதிகளில் R இன் இடது மற்றும் வலது செயல்கள் சமமானதாகக் கருதப்பட்டால், இயற்கையாகவே முந்தைய முன்மொழிவு மூலம் முழுமைக்கு விரிவுபடுத்துவதன் மூலம் R-அளவுகோல் பெருக்கத்துடன் வழங்கப்படலாம் (கண்டிப்பாகச் சொல்வதானால், தேவைப்படுவது ஒரு இரு மடங்கு அமைப்பு, பரிமாற்ற அல்ல; கீழே உள்ள ஒரு பத்தியைப் பார்க்கவும்). இந்த ஆர்-தொகுதி கட்டமைப்பைக் கொண்டிருப்பது, மேலே உள்ளதைப் போன்ற ஒரு உலகளாவிய பண்பை திருப்திப்படுத்துகிறதுஃ எந்தவொரு ஆர்-தொகுதி ஜி க்கும், ஒரு இயற்கையான ஐசோமார்பிசம் உள்ளதுஃ ஆர் என்பது பரிமாற்ற வேண்டிய அவசியமில்லை, ஆனால் எம் ஒரு வளையம் எஸ் மூலம் இடது செயலைக் கொண்டிருந்தால் (எடுத்துக்காட்டாக, ஆர்), பின்னர் இடது எஸ்-தொகுதி கட்டமைப்பைக் கொடுக்கலாம், மேலே உள்ளதைப் போலவே, ஒத்த சூத்திரத்தால், N ஒரு வளையம் எஸ் மூலம் வலது செயலைக் கொண்டிருந்தால், பின்னர் வலது எஸ்-தொகுதி ஆகிறது. நேரியல் வரைபடங்களின் இழுவிசை தயாரிப்பு மற்றும் அடிப்படை வளையத்தின் மாற்றம் ஒரு வளையம் ஆர் மற்றும் இடது தொகுதிகளின் மீது வலது தொகுதிகளின் நேரியல் வரைபடங்களைக் கொடுத்தால், ஒரு தனித்துவமான குழு ஒத்த உருவவியல் உள்ளது. இந்த கட்டுமானத்தின் விளைவாக இழுவிசைப்படுத்துதல் ஒரு செயல்பாட்டாளர்ஃ ஒவ்வொரு வலது ஆர்-தொகுதி எம் இடது தொகுதிகளின் வகையிலிருந்து N க்கு அனுப்பும் அபெலியன் குழுக்களின் வகைக்கு செயல்பாட்டாளரை தீர்மானிக்கிறது மற்றும் குழு ஒத்த உருவத்திற்கு ஒரு தொகுதி ஒத்த உருவவியல் f ஐ தீர்மானிக்கிறது. ஒரு வளைய ஹோமோமார்பிசம் என்றால், M ஒரு வலது S-தொகுதி மற்றும் N ஒரு இடது S-தொகுதி என்றால், பின்னர் நியதி சர்ஜெக்டிவ் ஹோமோமார்பிசம் உள்ளதுஃ இதன் விளைவாக வரும் வரைபடம் சர்ஜெக்டிவ் ஆகும், ஏனெனில் தூய டென்சர்கள் முழு தொகுதியையும் உருவாக்குகின்றன. குறிப்பாக, R ஐ இவ்வாறு எடுத்துக்கொள்வது தொகுதிகளின் ஒவ்வொரு டென்சர் பெருக்கமும் அபெலியன் குழுக்களின் டென்சர் பெருக்கலின் ஒரு ஈவு என்பதைக் காட்டுகிறது. பல தொகுதிகள் (இந்தப் பிரிவு புதுப்பிக்கப்பட வேண்டும். இப்போதைக்கு, மேலும் பொதுவான விவாதத்திற்கு பார்க்கவும்.) ஒரே பரிமாற்ற வளையத்தின் மீது எந்த எண்ணிக்கையிலான தொகுதிகளின் டென்சர் தயாரிப்புக்கும் வரையறையை நீட்டிக்க முடியும். எடுத்துக்காட்டாக, இதன் உலகளாவிய பண்பு என்னவென்றால், ஒவ்வொரு முக்கோண வரைபடமும் ஒரு தனித்துவமான நேரியல் வரைபடத்துடன் ஒத்திருக்கிறது. முக்கோண வரைபடங்களின் உலகளாவிய பண்பால் வரையறுக்கப்பட்ட மூன்று தொகுதிகளின் டென்சர் தயாரிப்பு இந்த இரண்டு மறு செய்கை டென்சர் தயாரிப்புகளுக்கும் ஐசோமார்பிக் ஆகும். பொது வளையங்களின் மீது பண்புகள் தொகுதிகள் R1, R2, R3, R வளையங்களாக இருக்கட்டும், பரிமாற்ற வேண்டிய அவசியமில்லை. ஒரு R1-R2-இருமுனை M12 மற்றும் ஒரு இடது R2-தொகுதி M20 க்கு, ஒரு இடது R1-தொகுதி ஆகும். ஒரு வலது R2-தொகுதி M02 மற்றும் ஒரு R2-R3-தொகுதி M23 க்கு, ஒரு வலது R3-தொகுதி ஆகும். (அசோசியேட்டிவிட்டி) ஒரு வலது R1-தொகுதி M01, ஒரு R1-R2-தொகுதி M12, மற்றும் ஒரு இடது R2-தொகுதி M20 ஆகியவற்றிற்கு நம்மிடம் உள்ளதுஃ R என்பது ஒரு R-R-தொகுதி என்பதால், வளைய பெருக்கத்தை அதன் நியதி சமச்சீர் பெருக்கலாகக் கொண்டுள்ளோம். பரிமாற்ற வளையங்களின் மீது உள்ள தொகுதிகள் R ஒரு பரிமாற்ற வளையமாகவும், M, N மற்றும் P ஆகியவை R-தொகுதிகளாகவும் இருக்கட்டும். பின்னர் ஐடென்ட்டிட்டி அசோசியேட்டிவிட்டி முதல் மூன்று பண்புகள் (மார்ஃபிஸம்களில் உள்ள அடையாளங்கள்) ஆர்-தொகுதிகளின் வகை, ஆர் கம்யூட்டேட்டிவ் உடன், ஒரு சமச்சீர் மோனாய்டல் வகையை உருவாக்குகிறது என்று கூறுகின்றன. எனவே இது நன்கு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. சமச்சீர் உண்மையில், {1,., n} தொகுப்பின் எந்த வரிசைமாற்றத்திற்கும், ஒரு தனித்துவமான ஐசோமார்பிசம் உள்ளதுஃ நேரடி தொகைகளுக்கு மேல் விநியோகம் உண்மையில், தன்னிச்சையான கார்டினாலிட்டி கொண்ட ஒரு குறியீட்டு தொகுப்பு I க்கு. வரையறுக்கப்பட்ட விளைபொருள்கள் வரையறுக்கப்பட்ட நேரடி தொகைகளுடன் ஒத்துப்போவதால், இந்த எடுத்துக்காட்டுகள்ஃ வரையறுக்கப்பட்ட விளைபொருள்களின் மீது விநியோகம் எந்த வரையறுக்கப்பட்ட பலவற்றிற்கும், அடிப்படை நீட்டிப்பு S ஒரு R-இயற்கணிதம் என்றால், எழுதுதல், cf. . ஒரு விளைவுஃ உள்ளூர்மயமாக்கலின் மீது விநியோகம் R இன் எந்தவொரு பெருக்க மூடிய துணைக்குழுவிற்கும் S, ஒரு-தொகுதியாக. ஏனெனில் இது ஒரு ஆர்-ஆல்ஜீப்ரா மற்றும், இது ஒரு சிறப்பு வழக்குஃ நேரடி வரம்புகளுடன் கம்யூட்டேஷன். ஆர்-தொகுதிகளின் எந்த நேரடியான அமைப்புக்கும் மி, அட்ஜங்ஷன் ஒரு இணக்கம்ஃ வலது-நடவடிக்கை ஆர்-தொகுதிகளின் சரியான வரிசை என்றால், பின்னர் ஆர்-தொகுதிகளின் சரியான வரிசை, அங்கு டென்சர்-ஹோம் உறவு ஒரு நியதி ஆர்-லீனியர் வரைபடம் உள்ளதுஃ இது ஒரு ஐசோமார்பிசம் ஆகும், இது எம் அல்லது பி ஒரு இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட ப்ரொஜெக்டிவ் தொகுதியாக இருந்தால் (பரிமாற்றமற்ற வழக்கைப் பார்க்கவும்); மேலும் பொதுவாக, ஒரு நியதி ஆர்-லீனியர் வரைபடம்ஃ இது ஒரு ஐசோமார்பிசம் என்றால் அல்லது ஒரு ஜோடி இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட ப்ரொஜெக்டிவ் தொகுதிகள். ஒரு நடைமுறை உதாரணம் கொடுக்க, எம், என் தளங்கள் மற்றும் இலவச தொகுதிகள் என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் M என்பது நேரடி தொகை மற்றும் N க்கு சமம். விநியோகச் சொத்தின் மூலம், ஒன்று உள்ளதுஃ அதாவது, R-அடிப்படையாகும். எம் இலவசமாக இல்லாவிட்டாலும், டென்சர் தயாரிப்புகளைக் கணக்கிட எம் இன் இலவச விளக்கக்காட்சியைப் பயன்படுத்தலாம். டென்சர் தயாரிப்பு, பொதுவாக, தலைகீழ் வரம்புடன் பயணிக்காதுஃ ஒருபுறம், (cf. "உதாரணங்கள்"). மறுபுறம், p-adic முழு எண்களின் வளையம் மற்றும் p-adic எண்களின் புலம் எங்கே? இதே போன்ற ஆவியில் ஒரு எடுத்துக்காட்டுக்கு "ப்ரோஃபைனைட் இன்டெஜர்" ஐப் பார்க்கவும். ஆர் பரிமாற்றமாக இல்லாவிட்டால், டென்சர் தயாரிப்புகளின் வரிசை பின்வரும் வழியில் முக்கியமானதுஃ டென்சர் தயாரிப்பை உருவாக்க எம் இன் வலது செயலை மற்றும் என் இன் இடது செயலை நாம் "பயன்படுத்துகிறோம்"; குறிப்பாக, வரையறுக்கப்படாது. M, N ஆகியவை இரு தொகுதிகளாக இருந்தால், M இன் இடது செயலில் இருந்து இடது செயலும், N இன் வலது செயலில் இருந்து வலது செயலும் வருகிறது; அந்த செயல்கள் M இன் இடது மற்றும் வலது செயல்களைப் போலவே இருக்க வேண்டியதில்லை. தொடர்புத்திறன் பொதுவாக பரிமாற்றமற்ற வளையங்களுக்கு அதிகமாக உள்ளதுஃ எம் ஒரு வலது ஆர்-தொகுதி, என்ஏ (ஆர், எஸ்)-தொகுதி மற்றும் பி ஒரு இடது எஸ்-தொகுதி என்றால், பின்னர் அபெலியன் குழுவாக. டென்சர் தயாரிப்புகளின் இணை உறவின் பொதுவான வடிவம் பின்வருமாறு கூறுகிறதுஃ R என்பது பரிமாற்ற வேண்டிய அவசியமில்லை என்றால், M என்பது ஒரு சரியான R-தொகுதி, N என்பது ஒரு (R, S)-தொகுதி, P என்பது ஒரு சரியான S-தொகுதி, பின்னர் அபெலியன் குழுவாக R-தொகுதியின் டென்சர் பெருக்கத்தால் பின்னப் புலத்துடன் வழங்கப்படுகிறது R என்பது பின்ன புலம் K உடன் ஒரு ஒருங்கிணைந்த களமாக இருக்கட்டும். N என்பது M இன் துணை தொகுதியாக இருந்தால், அது ஒரு முறுக்கு தொகுதியாகும், பின்னர் R-தொகுதிகள் மூலம். உள்ளே, இருந்தால் மற்றும் இருந்தால் மட்டுமே. குறிப்பாக, எங்கே. முதன்மை இலட்சியத்தில் உள்ள தொகுதியின் உள்ளூர்மயமாக்கல் எங்கே (அதாவது, பூஜ்ஜியமற்ற கூறுகளைப் பொறுத்தவரை உள்ளூர்மயமாக்கல்). அளவுகோல்களின் விரிவாக்கம் பொதுவான வடிவத்தில் இணைந்த உறவு ஒரு முக்கியமான சிறப்பு வழக்கைக் கொண்டுள்ளதுஃ எந்தவொரு ஆர்-இயற்கணிதம் எஸ், எம் ஒரு வலது ஆர்-தொகுதி, பி ஒரு வலது எஸ்-தொகுதி, பயன்படுத்துவதன் மூலம், நம்மிடம் இயற்கையான ஐசோமார்பிசம் உள்ளதுஃ இது செயல்பாட்டாளர் மறந்துபோகும் செயல்பாட்டுக்கு இடதுபுறம் உள்ளது என்று கூறுகிறது, இது ஒரு எஸ்-செயலை ஆர்-செயலுக்கு கட்டுப்படுத்துகிறது. இதன் காரணமாக, பெரும்பாலும் ஆர் முதல் எஸ் வரையிலான அளவீடுகளின் நீட்டிப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது. பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாட்டில், ஆர், எஸ் குழு ஆல்ஜிப்ராக்களாக இருக்கும்போது, மேலே உள்ள உறவு ஃப்ரோபீனியஸ் பரஸ்பரமாக மாறுகிறது. எந்தவொரு ஆர்-ஆல்ஜிப்ரா எஸ்-க்கும் எடுத்துக்காட்டுகள் (அதாவது, அளவீடுகளை விரிவுபடுத்திய பிறகு ஒரு இலவச தொகுதி இலவசமாக இருக்கும்.) ஒரு பரிமாற்ற வளையம் மற்றும் ஒரு பரிமாற்ற R-இயற்கணிதம் S க்கு, நம்மிடம் உள்ளதுஃ உண்மையில், பொதுவாக, ஒரு இலட்சியம் எங்கே. முந்தைய எடுத்துக்காட்டு மற்றும் சீன எஞ்சிய தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, நம்மிடம் வளையங்கள் உள்ளன இது ஒரு டென்சர் தயாரிப்பு ஒரு நேரடி தயாரிப்பு ஆகும் போது ஒரு உதாரணம் கொடுக்கிறது. எடுத்துக்காட்டுகள் மிகவும் சாதாரண தொகுதிகளின் டென்சர் உற்பத்தியின் அமைப்பு கணிக்க முடியாததாக இருக்கலாம். G ஒரு அபெலியன் குழுவாக இருக்கட்டும், இதில் ஒவ்வொரு உறுப்பும் வரையறுக்கப்பட்ட வரிசையைக் கொண்டுள்ளன (அதாவது G என்பது ஒரு முறுக்கு அபெலியன் குழு; எடுத்துக்காட்டாக G ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட அபெலியன் குழுவாக இருக்கலாம் அல்லது). பின்னர்ஃ உண்மையில், ஏதேனும் ஒரு வடிவத்தில் உள்ளது என்றால், நாம் கணக்கிடுகிறோம்ஃ இதேபோல், கணக்கீட்டிற்கு பயனுள்ள சில அடையாளங்கள் இங்கே உள்ளனஃ R ஒரு பரிமாற்ற வளையமாக இருக்கட்டும், I, J இலட்சியங்கள், M, NR-தொகுதிகள். பிறகு. M தட்டையாக இருந்தால்,. (ஏனெனில் இழுவிசைப்படுத்தல் அடிப்படை நீட்டிப்புகளுடன் பயணங்களை மேற்கொள்கிறது). எடுத்துக்காட்டுஃ G ஒரு அபெலியன் குழு என்றால், இது 1 இலிருந்து பின்தொடர்கிறது. எடுத்துக்காட்டுஃ இது 3 இலிருந்து பின்வருமாறு. குறிப்பாக, தனித்துவமான பகா எண்களுக்கு p, q, குழுக்களின் உறுப்புகளின் வரிசையைக் கட்டுப்படுத்த டென்சர் தயாரிப்புகளைப் பயன்படுத்தலாம். G ஒரு அபெலியன் குழுவாக இருக்கட்டும். பின்னர் 2 அங்குலத்தின் பெருக்கிகள் பூஜ்ஜியமாகும். எடுத்துக்காட்டுஃ ஒற்றுமையின் n-th வேர்களின் குழுவாக இருக்கட்டும். இது ஒரு சுழற்சி குழு மற்றும் சுழற்சி குழுக்கள் வரிசைகளால் வகைப்படுத்தப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, g என்பது n மற்றும் m இன் gcd ஆக இருக்கும்போது, நடுவில்-லீனியாரிட்டியை திணிப்பதன் மூலம் பெறப்படுவதால், r, s, x, u முழு எண்கள் மற்றும் s பூஜ்ஜியமற்றதாக இருக்கும் வடிவத்தின் கூறுகளால் அதன் கர்னல் உருவாக்கப்படும் சர்ஜெக்ஷன் உள்ளது. கர்னல் உண்மையில் மறைந்துவிடுவதால்; எனவே, இருப்பினும், மற்றும் கருத்தில் கொள்ளுங்கள். வெக்டர் இடமாக, பரிமாணம் 4 ஐக் கொண்டுள்ளது, ஆனால் பரிமாணம் 2 ஐக் கொண்டுள்ளது. எனவே, அவை ஐசோமார்பிக் அல்ல. எடுத்துக்காட்டுஃ மற்றும் ஒப்பிட முன்மொழிகிறோம். முந்தைய உதாரணத்தைப் போலவே, நம்மிடம் உள்ளதுஃ அபெலியன் குழுவாக மற்றும் இதனால்-வெக்டர் இடைவெளி (-வெக்டர் இடைவெளிகள் இடையே எந்த-நேரியல் வரைபடம்-நேரியல்). - வெக்டர் இடமாக, தொடர்ச்சியின் பரிமாணத்தை (ஒரு அடிப்படையின் கார்டினாலிட்டி) கொண்டுள்ளது. எனவே, தொடர்ச்சிகளின் பெருக்கல் மூலம் குறியிடப்பட்ட ஒரு-அடிப்படையைக் கொண்டுள்ளது; எனவே அதன்-பரிமாணம் தொடர்ச்சியாகும். எனவே, பரிமாண காரணத்திற்காக,-வெக்டர் இடைவெளிகளின் நியதி அல்லாத ஐசோமார்பிசம் உள்ளதுஃ பகுக்கமுடியாத பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கான தொகுதிகளைக் கவனியுங்கள். இந்த நிகழ்வின் நல்ல எடுத்துக்காட்டுகள் என்னவென்றால், கட்டுமானம் என்பது ஒரு இலவச அபெலியன் குழுவின் விகிதத்தை எடுத்துக்கொள்கிறது, குறியீடுகளின் அடிப்படையில், வரிசைப்படுத்தப்பட்ட ஜோடியைக் குறிக்க இங்கே பயன்படுத்தப்படுகிறது, M இல் m மற்றும் N இல் n க்கு, அனைத்து உறுப்புகளாலும் உருவாக்கப்பட்ட துணைக்குழுவால்-m ிறம் (n + n′) + m ிறம் n + m ிறம் n′ − (m + m′) ிறம் n + m ிறம் n + m′ ிறம் n (m·r) ிறம் n − ிறம் (r·n) இதில் m, m′ M இல், n இல், n′ N இல், மற்றும் r இல். ஒரு இலவச அபெலியன் குழு மற்றும் ஒரு ஈவு ஆகியவற்றின் உலகளாவிய பண்புகளிலிருந்து χ இன் உலகளாவிய பண்பு பின்பற்றப்படுகிறது. S என்பது ஒரு வளையம் R இன் துணை வளையமாக இருந்தால், அது உருவாக்கப்படும் துணைக்குழுவின் ஈவுக் குழுவாகும், குறிப்பாக கீழ் உள்ள படம் எங்கே. ஆர்-தொகுதிகளின் எந்த டென்சர் பெருக்கத்தையும், விரும்பினால், ஆர்-சமநிலையான தயாரிப்பு பண்புகளை திணிப்பதன் மூலம் அபெலியன் குழுக்களின் டென்சர் உற்பத்தியின் ஈவுக் கூறாக உருவாக்க முடியும். மேலும் வகை-கோட்பாட்டளவில், M மீது R இன் கொடுக்கப்பட்ட சரியான செயலாக σ இருக்கட்டும்; அதாவது, N இன் R இன் இடது செயலாக σ (m, r) = m·r மற்றும் τ. பின்னர், அபெலியன் குழுக்களின் டென்சர் பெருக்கல் ஏற்கனவே வரையறுக்கப்பட்டிருந்தால், R க்கு மேல் M மற்றும் N இன் டென்சர் பெருக்கல் கோ ஈக்குவலைசராக வரையறுக்கப்படலாம்ஃ இங்கு சந்தா இல்லாமல் அபெலியன் குழுக்களின் டென்சர் பெருக்கல் குறிக்கிறது. ஒரு பரிமாற்ற வளையம் ஆர் மீது டென்சர் தயாரிப்பின் கட்டுமானத்தில், ஆர்-தொகுதி கட்டமைப்பை தொடக்கத்திலிருந்தே ஒரு இலவச ஆர்-தொகுதியின் ஈவு விகிதத்தை உருவாக்குவதன் மூலம் உருவாக்க முடியும், பொதுவான கட்டுமானத்திற்காக மேலே கொடுக்கப்பட்ட கூறுகளால் உருவாக்கப்பட்ட துணை தொகுதியால், கூறுகளால் அதிகரிக்கப்படுகிறது. மாற்றாக, அளவிடுதல் செயல்பாட்டை நன்கு வரையறுக்கும் போது வரையறுப்பதன் மூலம் பொதுவான கட்டமைப்பை ஒரு Z (R)-தொகுதி கட்டமைப்பைக் கொடுக்கலாம், இது துல்லியமாக R இன் மையமான r Π Z (R) ஆகும். M மற்றும் N இன் நேரடி பெருக்கல் M மற்றும் N இன் டென்சர் பெருக்கலுக்கு அரிதாகவே ஐசோமார்பிக் ஆகும். R பரிமாற்றமாக இல்லாதபோது, டென்சர் பெருக்கலுக்கு M மற்றும் N எதிரெதிர் பக்கங்களில் தொகுதிகளாக இருக்க வேண்டும், அதே நேரத்தில் நேரடி பெருக்கல் அவை ஒரே பக்கத்தில் தொகுதிகளாக இருக்க வேண்டும். அனைத்து நிகழ்வுகளிலும் G முதல் நேரியல் மற்றும் இரு நேரியல் வரையிலான ஒரே செயல்பாடு பூஜ்ஜிய வரைபடமாகும். நேரியல் வரைபடங்களாக பொதுவாக, திசையன் இடைவெளிகளின் டென்சர் உற்பத்தியின் அனைத்து பண்புகளும் தொகுதிகளுக்கு நீட்டிக்கப்படுவதில்லை. ஆயினும்கூட, டென்சர் உற்பத்தியின் சில பயனுள்ள பண்புகள், தொகுதி ஹோமோமார்பிசம்களாகக் கருதப்படுகின்றன. இரட்டை தொகுதி வலது ஆர்-தொகுதி E இன் இரட்டை தொகுதி, நியமன இடது ஆர்-தொகுதி கட்டமைப்புடன் வரையறுக்கப்படுகிறது, மேலும் இது E ற்றஂ குறிக்கப்படுகிறது. நியம அமைப்பு என்பது கூட்டல் மற்றும் அளவிடுதல் பெருக்கத்தின் புள்ளி வாரியான செயல்பாடுகளாகும். எனவே, இடது ஆர்-தொகுதியின் இரட்டை ஒரே குறியீட்டுடன் ஒத்ததாக வரையறுக்கப்படுகிறது, இது செயல்பாடுகளுடன் அனைத்து ஆர்-நேரியல் வரைபடங்களின் (நேரியல் வடிவங்கள் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) தொகுப்பாகும். E முதல் அதன் இரண்டாவது இரட்டை வரை எப்போதும் ஒரு நியதி ஒத்த உருவம் உள்ளது. E என்பது வரையறுக்கப்பட்ட தரவரிசையின் ஒரு இலவச தொகுதியாக இருந்தால் அது ஒரு ஐசோமார்பிசம் ஆகும். கனோனிக்கல் ஹோமோமார்பிசம் ஒரு ஐசோமார்பிசமாக இருந்தால் பொதுவாக, E ஒரு பிரதிபலிப்பு தொகுதி என்று அழைக்கப்படுகிறது. இரட்டைத்தன்மை இணைத்தல் அதன் இரட்டை E ≤ மற்றும் ஒரு வலது R-தொகுதி E இன் இயற்கையான இணைப்பைக் குறிக்கிறது, அல்லது ஒரு இடது R-தொகுதி F மற்றும் அதன் இரட்டை F ≤ இணைத்தல் அதன் இடது வாதத்தில் இடது R-நேரியல் மற்றும் அதன் வலது வாதத்தில் வலது R-நேரியல்ஃ ஒரு (இரு) நேரியல் வரைபடமாக ஒரு உறுப்பு பொதுவாக, தொகுதிகளின் டென்சர் உற்பத்தியின் ஒவ்வொரு உறுப்பும் இடது R-நேரியல் வரைபடத்திற்கும், வலது R-நேரியல் வரைபடத்திற்கும், ஒரு R-பைலினியர் வடிவத்திற்கும் வழிவகுக்கிறது. பரிமாற்ற வழக்கு போலல்லாமல், பொதுவான வழக்கில் டென்சர் தயாரிப்பு ஒரு ஆர்-தொகுதி அல்ல, எனவே அளவிடுதல் பெருக்கத்தை ஆதரிக்காது. வலது ஆர்-தொகுதி ஈ மற்றும் வலது ஆர்-தொகுதி எஃப் கொடுக்கப்பட்டால், வரைபடம் போன்ற ஒரு நியமன காப்பமைவியம் உள்ளது. கொடுக்கப்பட்ட இடது ஆர்-தொகுதி ஈ மற்றும் வலது ஆர்-தொகுதி எஃப், ஒரு நியமன காப்பமைவியம் உள்ளது, அது வரைபடம். இரண்டு நிகழ்வுகளும் பொதுவான தொகுதிகளைக் கொண்டுள்ளன, மேலும் தொகுதிகள் E மற்றும் F ஆகியவை இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட ப்ரொஜெக்டிவ் தொகுதிகளாக (குறிப்பாக வரையறுக்கப்பட்ட அணிகளின் இலவச தொகுதிகளில்) கட்டுப்படுத்தப்பட்டால் அவை ஐசோமார்பிசங்களாக மாறும். எனவே, ஒரு வளையத்தின் மீது உள்ள தொகுதிகளின் டென்சர் உற்பத்தியின் ஒரு உறுப்பு ஆர்-லீனியர் வரைபடத்தில் நியமனமாக வரைபடமாக்கப்படுகிறது, இருப்பினும் திசையன் இடைவெளிகளைப் போலவே, இது போன்ற நேரியல் வரைபடங்களின் முழு இடத்திற்கு சமமாக இருக்க தொகுதிகளுக்கு கட்டுப்பாடுகள் பொருந்தும். வலது ஆர்-தொகுதி ஈ மற்றும் இடது ஆர்-தொகுதி எஃப் கொடுக்கப்பட்டால், வரைபடம் போன்ற ஒரு நியமன காப்பமைவியம் உள்ளது. எனவே, ஒரு இழுவிசை பெருக்கலின் ஒரு உறுப்பு r-பில்லினியர் வரைபடத்திற்கு வழிவகுக்கிறது அல்லது செயல்படுகிறது என்று கருதப்படலாம். R ஒரு பரிமாற்ற வளையமாகவும், E ஒரு R-தொகுதியாகவும் இருக்கட்டும். பின்னர் ஒரு நியமன ஆர்-லீனியர் வரைபடம் உள்ளதுஃ இது இயற்கையான இணைப்புடன் தொடர்புடைய தனித்துவமான ஆர்-லீனியர் வரைபடமாகும். E என்பது இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட திட்டவட்டமான R-தொகுதியாக இருந்தால், மேலே குறிப்பிட்டுள்ள நியதிச் சமச்சீரமை மூலம் ஒருவர் அடையாளம் காண முடியும், பின்னர் மேற்கூறியது சுவடு வரைபடமாகும்ஃ R ஒரு புலமாக இருக்கும்போது, இது ஒரு நேரியல் மாற்றத்தின் வழக்கமான தடயமாகும். வேறுபட்ட வடிவவியலில் இருந்து எடுத்துக்காட்டுஃ டென்சர் புலம் வேறுபட்ட வடிவவியலில் உள்ள தொகுதிகளின் டென்சர் பெருக்கலின் மிக முக்கியமான எடுத்துக்காட்டு திசையன் புலங்கள் மற்றும் வேறுபட்ட வடிவங்களின் இடைவெளிகளின் டென்சர் பெருக்கல் ஆகும். இன்னும் துல்லியமாக, R என்பது ஒரு மென்மையான பன்மடங்கு M இல் மென்மையான செயல்பாடுகளின் (பரிமாற்ற) வளையமாக இருந்தால், γ என்பது பிரிவுகளின் இடைவெளி மற்றும் சூப்பர்ஸ்கிரிப்ட் என்பது R க்கு மேல் p மடங்கு இழுவிசை என்று பொருள்படும். ஆர்-தொகுதிகளாக, குறியீட்டை இலகுவாக்க, வைக்க மற்றும் பலவற்றின் இரட்டை தொகுதி ஆகும். 1 ≤ k ≤ p, 1 ≤ l ≤ q கொண்ட ஒவ்வொரு (k, l) க்கும் p, q ≤ 1 என்ற போது, ஒரு R-பன்முக வரைபடம் உள்ளதுஃ இங்கு பொருள் மற்றும் தொப்பி என்பது ஒரு சொல் நீக்கப்பட்டது என்று பொருள். உலகளாவிய பண்பு மூலம், இது ஒரு தனித்துவமான ஆர்-லீனியர் வரைபடத்துடன் ஒத்திருக்கிறதுஃ இது குறியீட்டில் (கே, எல்) உள்ள டென்சர்களின் சுருக்கம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. உலகளாவிய பண்பு என்ன சொல்கிறது என்பதை ஒருவர் பார்க்கிறார்ஃ குறிப்புஃ முந்தைய விவாதம் வேறுபட்ட வடிவியல் குறித்த பாடப்புத்தகங்களில் நிலையானது (எ. கா., ஹெல்காசன்). ஒரு வகையில், சீஃப்-கோட்பாட்டு கட்டுமானம் (அதாவது, தொகுதிகளின் சீப்பின் மொழி) மிகவும் இயற்கையானது மற்றும் பெருகிய முறையில் மிகவும் பொதுவானது; அதற்காக, பிரிவைப் பார்க்கவும். தட்டையான தொகுதிகளுடனான உறவு பொதுவாக, ஒரு வலது மற்றும் இடது ஆர் தொகுதி ஜோடியை உள்ளீடாக ஏற்றுக்கொண்டு, அவற்றை அபெலியன் குழுக்களின் பிரிவில் டென்சர் தயாரிப்புக்கு ஒதுக்கும் ஒரு இரு செயல்பாட்டாளர் ஆகும். வலது ஆர் தொகுதி எம் ஐ சரிசெய்வதன் மூலம், ஒரு ஃபங்க்டர் எழுகிறது, மேலும் சமச்சீராக ஒரு இடது ஆர் தொகுதி என் ஒரு ஃபங்க்டரை உருவாக்க சரிசெய்யப்படலாம் ஹோம் பைஃபங்க்டரைப் போலல்லாமல் டென்சர் ஃபங்க்டர் இரண்டு உள்ளீடுகளிலும் மாறுபடுகிறது. இதைக் காட்டலாம் மற்றும் எப்போதும் சரியான துல்லியமான செயல்பாடுகளாகும், ஆனால் அவை துல்லியமாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை (முதல் வரைபடம் பெருக்கப்படும் இடத்தில், துல்லியமானது, ஆனால் டென்சரை எடுத்துக் கொண்ட பிறகு அல்ல). வரையறையின்படி, ஒரு தொகுதி டி ஒரு தட்டையான தொகுதி என்றால் அது ஒரு துல்லியமான செயல்பாட்டாளர். முறையே M மற்றும் N க்கான செட்களை உருவாக்கினால், பின்னர் டென்சர் ஃபங்க்டரை சில நேரங்களில் துல்லியமாக விடத் தவறியதால், அசல் உருவாக்கும் செட்டுகள் குறைவாக இருந்தாலும், இது குறைந்தபட்ச உருவாக்கும் செட்டாக இருக்காது. M ஒரு தட்டையான தொகுதியாக இருந்தால், ஒரு தட்டையான தொகுதியின் வரையறையின்படி செயல்பாட்டாளர் துல்லியமாக இருக்கிறார். டென்சர் தயாரிப்புகள் ஒரு புலம் F க்கு மேல் எடுத்துக் கொள்ளப்பட்டால், மேலே உள்ள திசையன் இடைவெளிகளின் விஷயத்தில் நாம் இருக்கிறோம். அனைத்து F தொகுதிகளும் தட்டையானவை என்பதால், இரு செயல்பாட்டாளர் இரு நிலைகளிலும் துல்லியமாக இருப்பார், மேலும் கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு உருவாக்கும் தொகுப்புகளும் தளங்களாகும், பின்னர் உண்மையில் கூடுதல் கட்டமைப்பிற்கு ஒரு அடிப்படையை உருவாக்குகிறது S மற்றும் T ஆகியவை பரிமாற்ற R-ஆல்ஜிப்ராக்களாக இருந்தால், பின்னர், #For சமமான தொகுதிகளைப் போலவே, ஒரு பரிமாற்ற R-ஆல்ஜிபிராவாகவும் இருக்கும், பெருக்கல் வரைபடத்தால் வரையறுக்கப்பட்டு நேரியல் மூலம் நீட்டிக்கப்படும். இந்த அமைப்பில், டென்சர் தயாரிப்பு பரிமாற்ற ஆர்-ஆல்ஜிப்ராக்களின் பிரிவில் ஒரு ஃபைபர் இணை தயாரிப்பாக மாறுகிறது. (ஆனால் இது ஆர்-ஆல்ஜிப்ராக்களின் பிரிவில் ஒரு இணை தயாரிப்பு அல்ல.) M மற்றும் N இரண்டும் ஒரு பரிமாற்ற வளையத்தின் மீது R-தொகுதிகளாக இருந்தால், அவற்றின் டென்சர் தயாரிப்பு மீண்டும் ஒரு R-தொகுதியாகும். R ஒரு வளையமாக இருந்தால், RM ஒரு இடது R-தொகுதி, மற்றும் R இன் r மற்றும் s ஆகிய இரண்டு கூறுகளின் கம்யூட்டேட்டர் M இன் அனிஹிலேட்டரில் இருந்தால், ஒரு ஈவு பரிமாற்ற வளையத்தின் செயல்பாட்டின் மூலம் M காரணிகளின் மீது R இன் செயல்பாட்டை அமைப்பதன் மூலம் M ஐ வலது R தொகுதியாக மாற்றலாம். இந்த வழக்கில் R க்கு மேல் M இன் டென்சர் பெருக்கல் மீண்டும் ஒரு R-தொகுதி ஆகும். இது பரிமாற்ற இயற்கணிதத்தில் மிகவும் பொதுவான நுட்பமாகும். X, Y ஆகியவை R-தொகுதிகளின் (R ஒரு பரிமாற்ற வளையம்) வளாகங்களாக இருந்தால், அவற்றின் இழுவிசை பெருக்கல் பின்வருவனவற்றால் கொடுக்கப்பட்ட வேறுபாட்டால் வழங்கப்படும் சிக்கலாகும்ஃ x க்கு x இல் x மற்றும் y க்கு Yj இல், எடுத்துக்காட்டாக, C என்பது தட்டையான அபெலியன் குழுக்களின் சங்கிலி வளாகமாகவும், G ஒரு அபெலியன் குழுவாகவும் இருந்தால், G இல் உள்ள குணகங்களைக் கொண்ட C இன் ஹோமோலஜி குழுவாகும் (மேலும் காண்கஃ உலகளாவிய குணகம் தேற்றம்). தொகுதிகளின் சீவ்களின் டென்சர் தயாரிப்பு தொகுதிகளின் சீவ்களின் டென்சர் தயாரிப்பு என்பது திறந்த துணைக்குழுக்களில் உள்ள தொகுதிகளின் தொகுதிகளின் டென்சர் தயாரிப்புகளின் முன்-ஷீஃப் உடன் தொடர்புடைய ஷீஃப் ஆகும். எடுத்துக்காட்டாக, இந்த அமைப்பில், ஒரு மென்மையான பன்மடங்கு M இல் ஒரு டென்சர் புலத்தை டென்சர் உற்பத்தியின் (உலகளாவிய அல்லது உள்ளூர்) பிரிவு (டென்சர் மூட்டை என்று அழைக்கப்படுகிறது) என வரையறுக்கலாம், அங்கு O என்பது M இல் மென்மையான செயல்பாடுகளின் வளையங்களின் உறையாகும் மற்றும் மூட்டைகள் M இல் உள்ளூரில் இலவச உறைகளாக பார்க்கப்படுகின்றன. வெளிப்புற மூட்டையின் பிரிவுகள் எம் மீது வேறுபட்ட வடிவங்களாகும். டி-தொகுதிகளின் கோட்பாட்டில், பரிமாற்றமற்ற வளையங்களின் உறையின் மீது ஒரு டென்சர் தயாரிப்பை உருவாக்கும் போது ஒரு முக்கியமான வழக்கு தோன்றும்; அதாவது, வேறுபட்ட ஆபரேட்டர்களின் உறையின் மீது டென்சர் தயாரிப்புகள். மேலும் பார்க்கவும் டோர் ஃபங்க்ட்டர் டென்சர் ஆல்ஜெப்ராஸின் தயாரிப்பு டென்சர் புலங்களின் தயாரிப்பு பெறப்பட்ட டென்சர் தயாரிப்பு குறிப்புகள் குறிப்புகள். . தொகுதிக் கோட்பாடு பன்முக இயற்கணிதம் கட்டமைப்புகளில் ஒத்தயியல் இயற்கணிதம் செயல்பாடுகள்