Elliptic surface
கணிதத்தில், ஒரு நீள்வட்ட மேற்பரப்பு என்பது ஒரு நீள்வட்ட இழையைக் கொண்ட ஒரு மேற்பரப்பாகும், வேறுவிதமாகக் கூறினால், ஒரு இயற்கணித வளைவுடன் இணைக்கப்பட்ட இழைகளுடன் சரியான உருவகம், அதாவது கிட்டத்தட்ட அனைத்து இழைகளும் பேரினம் 1 இன் மென்மையான வளைவுகளாக இருக்கும். (சிக்கலான எண்கள் போன்ற இயற்கணித ரீதியாக மூடப்பட்ட புலத்தின் மீது, இந்த இழைகள் நீள்வட்ட வளைவுகளாகும், ஒருவேளை தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட தோற்றம் இல்லாமல் இருக்கலாம்.) இது பொதுவான நார் ஒரு பேரினத்தின் மென்மையான வளைவாக இருப்பதற்கு சமம். இது முறையான அடிப்படை மாற்றத்திலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது. மேற்பரப்பு மற்றும் அடிப்படை வளைவு ஆகியவை ஒற்றை அல்லாதவை (சிக்கலான பன்மடங்கு அல்லது வழக்கமான திட்டங்கள், சூழலைப் பொறுத்து) என்று கருதப்படுகிறது. நீள்வட்ட வளைவுகள் அல்லாத இழைகள் ஒற்றை இழைகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, அவை குனிஹிகோ கோடைராவால் வகைப்படுத்தப்பட்டன. நீள்வட்ட மற்றும் ஒற்றை இழைகள் இரண்டும் சரம் கோட்பாட்டில், குறிப்பாக எஃப்-கோட்பாட்டில் முக்கியமானவை. நீள்வட்ட மேற்பரப்புகள் ஒரு பெரிய வகை மேற்பரப்புகளை உருவாக்குகின்றன, அவை மேற்பரப்புகளின் பல சுவாரஸ்யமான எடுத்துக்காட்டுகளைக் கொண்டுள்ளன, மேலும் அவை சிக்கலான பன்மடங்கு மற்றும் மென்மையான 4-பன்மடங்கு கோட்பாடுகளில் ஒப்பீட்டளவில் நன்கு புரிந்து கொள்ளப்படுகின்றன. அவை எண் புலங்களில் நீள்வட்ட வளைவுகளுக்கு ஒத்தவை (ஒப்புமைகளைக் கொண்டுள்ளன, அதாவது). எடுத்துக்காட்டுகள் எந்தவொரு வளைவையும் கொண்ட எந்தவொரு நீள்வட்ட வளைவின் பெருக்கல் ஒரு நீள்வட்ட மேற்பரப்பாகும் (ஒற்றை இழைகள் இல்லாமல்). கொடைரா பரிமாணம் 1 இன் அனைத்து மேற்பரப்புகளும் நீள்வட்ட மேற்பரப்புகளாகும். ஒவ்வொரு சிக்கலான என்ரிக்ஸ் மேற்பரப்பும் நீள்வட்டமானது, மேலும் ப்ரொஜெக்டிவ் கோட்டின் மீது ஒரு நீள்வட்ட இழையைக் கொண்டுள்ளது. கோடெய்ரா மேற்பரப்பு டோல்காச்சேவ் மேற்பரப்பு ஷியோடா மட்டு மேற்பரப்பு கோடெய்ராவின் ஒற்றை இழைகளின் அட்டவணை நீள்வட்ட இழைகளின் பெரும்பாலான இழைகள் (ஒற்றை அல்லாத) நீள்வட்ட வளைவுகளாகும். மீதமுள்ள இழைகள் ஒற்றை இழைகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றனஃ அவற்றில் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கை உள்ளது, மேலும் ஒவ்வொன்றும் பகுத்தறிவு வளைவுகளின் சங்கமத்தைக் கொண்டுள்ளன, அவை ஒற்றைத்தன்மை அல்லது பூஜ்ஜியமற்ற பெருக்கங்களுடன் இருக்கலாம் (எனவே இழைகள் குறைக்கப்படாத திட்டங்களாக இருக்கலாம்). கோடைராவும் நெரோனும் சாத்தியமான இழைகளை சுயாதீனமாக வகைப்படுத்தினர், மேலும் டேட்டின் வழிமுறை ஒரு எண் புலத்தின் மீது ஒரு நீள்வட்ட வளைவின் இழைகளின் வகையைக் கண்டறிய பயன்படுத்தப்படலாம். பின்வரும் அட்டவணை குறைந்தபட்ச நீள்வட்ட இழைகளின் சாத்தியமான இழைகளை பட்டியலிடுகிறது. ("குறைந்தபட்சம்" என்பது தோராயமாக ஒரு "சிறிய" மூலம் காரணியாக்க முடியாத ஒன்று என்று பொருள்படும்; துல்லியமாக, ஒருமை இழைகள் சுய-வெட்டு எண்-1 உடன் மென்மையான பகுத்தறிவு வளைவுகளைக் கொண்டிருக்கக்கூடாது. இது பின்வருவனவற்றை வழங்குகிறதுஃ ஃபைபருக்கு கோடைராவின் சின்னம், ஃபைபருக்கு ஆண்ட்ரே நெரோனின் சின்னம், ஃபைபரின் பகுக்கமுடியாத கூறுகளின் எண்ணிக்கை (வகை I0 ஐத் தவிர அனைத்தும் பகுத்தறிவு) கூறுகளின் குறுக்குவெட்டு அணி. இது ஒரு 1 × 1 பூஜ்ஜிய அணி அல்லது ஒரு அஃபைன் கார்டன் அணி, அதன் டைன்கின் வரைபடம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. ஒவ்வொரு இழையின் பெருக்கமும் டைன்கின் வரைபடத்தில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது. இந்த அட்டவணையை பின்வருமாறு காணலாம். வடிவியல் வாதங்கள் இழையின் கூறுகளின் குறுக்குவெட்டு அணி எதிர்மறை அரை வரையறுக்கப்பட்ட, இணைக்கப்பட்ட, சமச்சீர் மற்றும்-1 க்கு சமமான மூலைவிட்ட உள்ளீடுகளைக் கொண்டிருக்கக்கூடாது என்பதைக் காட்டுகின்றன (குறைந்தபட்சத்தால்). அத்தகைய மேட்ரிக்ஸ் ADE வகையின் அஃபைன் டைன்கின் வரைபடத்தின் கார்டன் மேட்ரிக்ஸின் 0 அல்லது பல மடங்காக இருக்க வேண்டும். குறுக்குவெட்டு மேட்ரிக்ஸ் மூன்று விதிவிலக்குகளுடன் ஃபைபர் வகையை தீர்மானிக்கிறதுஃ குறுக்குவெட்டு மேட்ரிக்ஸ் 0 ஆக இருந்தால் ஃபைபர் ஒரு நீள்வட்ட வளைவாக (வகை I0) இருக்கலாம், அல்லது இரட்டை புள்ளி (வகை I1) அல்லது ஒரு கஸ்ப் (வகை II) இருக்கலாம். குறுக்குவெட்டு மேட்ரிக்ஸ் அஃபைன் A1 ஆக இருந்தால், குறுக்குவெட்டு பெருக்கம் 2 உடன் 2 கூறுகள் உள்ளன. அவை 2 புள்ளிகளில் வரிசை 1 (வகை I2) அல்லது ஒரு கட்டத்தில் வரிசை 2 (வகை III) உடன் சந்திக்கலாம். குறுக்குவெட்டு மேட்ரிக்ஸ் அஃபைன் A2 ஆக இருந்தால், 3 கூறுகள் உள்ளன, ஒவ்வொன்றும் மற்ற இரண்டையும் சந்திக்கின்றன. அவை 3 தனித்துவமான புள்ளிகளில் (வகை I3) ஜோடிகளாக சந்திக்கலாம் அல்லது அனைத்தும் ஒரே புள்ளியில் (வகை IV) சந்திக்கலாம். மோனோட்ரோமி ஒவ்வொரு ஒற்றை இழையையும் சுற்றியுள்ள மோனோட்ரோமி என்பது 2 × 2 முழு எண் மேட்ரிக்ஸின் எஸ்எல் (2, இசட்) குழுவில் நன்கு வரையறுக்கப்பட்ட இணை வகுப்பு ஆகும். மோனோட்ரோமி ஒரு மென்மையான இழையின் முதல் ஹோமோலஜி குழு (இது Z2 க்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும்) ஒரு ஒற்றை இழையைச் சுற்றிச் செல்லும்போது மாறும் விதத்தை விவரிக்கிறது. ஒற்றை இழைகளுடன் தொடர்புடைய இந்த இணைவு வகுப்புகளுக்கான பிரதிநிதிகள் பின்வருமாறு கொடுக்கப்படுகிறார்கள்ஃ வகை II, III, IV, I0 *, IV *, III *, அல்லது II * இன் ஒற்றை இழைகளுக்கு, மோனோட்ரோமி SL (2, Z) இல் வரையறுக்கப்பட்ட வரிசையைக் கொண்டுள்ளது. இது ஒரு நீள்வட்ட இழைகள் அத்தகைய இழைகளில் நல்ல குறைப்பைக் கொண்டுள்ளன என்ற உண்மையை பிரதிபலிக்கிறது. அதாவது, அடிப்படை வளைவின் விரிவாக்கப்பட்ட வரையறுக்கப்பட்ட மறைப்புக்குப் பிறகு, ஒருமை நார் ஒரு மென்மையான நீள்வட்ட வளைவால் மாற்றப்படலாம். எந்த மென்மையான வளைவு தோன்றுகிறது என்பது அட்டவணையில் உள்ள ஜே-மாறுபாட்டால் விவரிக்கப்படுகிறது. சிக்கலான எண்களுக்கு மேல், ஜே-மாறுபாடு 0 கொண்ட வளைவு என்பது வரிசை 6 இன் தானியங்கி உருவம் குழுவுடன் தனித்துவமான நீள்வட்ட வளைவாகும், மேலும் ஜே-மாறுபாடு 1728 கொண்ட வளைவு என்பது வரிசை 4 இன் தானியங்கி உருவம் குழுவுடன் தனித்துவமான நீள்வட்ட வளைவாகும். (மற்ற அனைத்து நீள்வட்ட வளைவுகளும் வரிசை 2 இன் தானியங்கி உருமாற்றக் குழுவைக் கொண்டுள்ளன.) ஜாகோபியன் எலிப்டிக் ஃபைப்ரேஷன் என்று அழைக்கப்படும் ஒரு பகுதியுடன் கூடிய நீள்வட்ட இழைகளுக்கு, ஒவ்வொரு இழையின் மென்மையான இருப்பிடமும் ஒரு குழு கட்டமைப்பைக் கொண்டுள்ளது. ஒற்றை இழைகளுக்கு, மென்மையான இருப்பிடத்தில் உள்ள இந்த குழு அமைப்பு அட்டவணையில் விவரிக்கப்பட்டுள்ளது, அடிப்படை புலம் சிக்கலான எண்கள் என்று வசதியாக கருதுகிறது. (ஒரு அஃபைன் டைன்கின் வரைபடத்தால் கொடுக்கப்பட்ட குறுக்குவெட்டு மேட்ரிக்ஸ் கொண்ட ஒரு ஒற்றை இழைக்கு, மென்மையான இருப்பிடத்தின் கூறுகளின் குழு இங்கே பட்டியலிடப்பட்டுள்ளபடி, டைன்கின் வரைபடத்துடன் வெறுமனே இணைக்கப்பட்ட எளிய லை குழுவின் மையத்திற்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும்.) ஒற்றை இழைகளின் குழு கட்டமைப்பை அறிவது ஒரு நீள்வட்ட இழையின் (பிரிவுகளின் குழு) மோர்டெல்-வெயில் குழுவைக் கணக்கிடுவதற்கு பயனுள்ளதாக இருக்கும், குறிப்பாக அதன் முறிவு துணைக்குழு. நீள்வட்ட மேற்பரப்புகள் மேற்பரப்புகளின் வகைப்பாட்டிற்குள் எவ்வாறு பொருந்துகின்றன என்பதைப் புரிந்துகொள்ள, குறைந்தபட்ச நீள்வட்ட மேற்பரப்பின் நியமனக் கட்டியைக் கணக்கிடுவது முக்கியம் f: X → S. சிக்கலான எண்களின் மீது, கோடெய்ரா பின்வரும் நியமனக் கட்டை சூத்திரத்தை நிரூபித்தார்ஃ இங்கே f இன் பல இழைகள் (ஏதேனும் இருந்தால்) எழுதப்பட்டுள்ளன, ஒரு முழு எண் mi க்கு குறைந்தது 2 மற்றும் ஒரு வகுத்தி D க்கு அதன் குணகங்கள் 1 க்கு சமமான மிகப் பெரிய பொதுவான வகுத்தியைக் கொண்டுள்ளன, மேலும் L என்பது மென்மையான வளைவு S இல் சில வரி மூட்டை. நியதி மூட்டை சூத்திரம் KX என்பது S இல் உள்ள சில Q-வகுத்தியின் புல்பேக்கிற்கு சமமான Q-லீனியர் என்பதைக் குறிக்கிறது; நீள்வட்ட மேற்பரப்பு X → S குறைவாக இருப்பது இங்கே அவசியம். கெஞ்சி யுனோவின் பணியை அடிப்படையாகக் கொண்டு, தகாவோ புஜிட்டா (1986) நியதி மூட்டை சூத்திரத்தின் ஒரு பயனுள்ள மாறுபாட்டைக் கொடுத்தார், இது மென்மையான இழைகளின் மாறுபாட்டை KX எவ்வாறு சார்ந்துள்ளது என்பதைக் காட்டுகிறது. அதாவது, ஒரு க்யூ-லீனியர் சமநிலை உள்ளது, அங்கு பாகுபாடு வகுத்தி பிஎஸ் என்பது எஃப் இன் ஒருமை இழைகளுடன் தொடர்புடைய எஸ் மீது ஒரு வெளிப்படையான பயனுள்ள க்யூ-வகுத்தி, மற்றும் மாடுலி வகுத்தி எம்எஸ் ஆகும், அங்கு ஜேஃ எஸ் → பி 1 என்பது மென்மையான இழைகளின் ஜே-மாறுபாட்டைக் கொடுக்கும் செயல்பாடாகும். (எனவே எம்எஸ் என்பது கியூ-வகுப்பான்களின் கியூ-லீனியர் சமநிலை வகுப்பாகும், இது வகுப்பி வகுப்பு குழுவான சிஎல் (எஸ்) மற்றும் பிகார்ட் குழு பிக் (எஸ்) ஆகியவற்றுக்கு இடையிலான அடையாளத்தைப் பயன்படுத்துகிறது.) குறிப்பாக, எஸ் ப்ரொஜெக்டீவைப் பொறுத்தவரை, மாடுலி வகுத்தி எம்எஸ் எதிர்மறை டிகிரியைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் நீள்வட்ட மேற்பரப்பு ஐசோட்ரிவியலாக இருந்தால் மட்டுமே அது டிகிரி பூஜ்ஜியத்தைக் கொண்டுள்ளது, அதாவது அனைத்து மென்மையான இழைகளும் ஐசோமார்பிக் ஆகும். புஜிதாவின் சூத்திரத்தில் உள்ள பாகுபாடு வகுத்தி வரையறுக்கப்படுகிறது, இங்கு c (p) என்பது பதிவு நியம வரம்பாகும். இது ஒற்றை இழையின் வகையைப் பொறுத்து 0 மற்றும் 1 க்கு இடையிலான ஒரு வெளிப்படையான விகிதமுறு எண் ஆகும். வெளிப்படையாக, எல். சி. டி என்பது ஒரு மென்மையான நார் அல்லது வகைக்கு 1 ஆகும், மேலும் இது பல இழைகளுக்கு 1/மீ, 1/2 க்கு, II க்கு 5/6, III க்கு 3/4, IV க்கு 2/3, IV * க்கு 1/3, III * க்கு 1/4, மற்றும் II * க்கு 1/6 ஆகும். நியமன மூட்டை சூத்திரம் (புஜிதாவின் வடிவத்தில்) யுஜிரோ கவாமட்டா மற்றும் பிறரால் எந்தவொரு பரிமாணத்திலும் காலாபி-யூ வகைகளின் குடும்பங்களுக்கு பொதுமைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது. மடக்கை உருமாற்றங்கள் ஒரு நீள்வட்ட மேற்பரப்பு அல்லது இழையின் மடக்கை உருமாற்றம் (மையம் p உடன் வரிசை m) அடிப்படை இடத்தின் ஒரு புள்ளி p க்கு மேல் பெருக்கம் 1 கொண்ட இழையை பெருக்கம் m கொண்ட இழையாக மாற்றுகிறது. இதை மாற்றியமைக்கலாம், எனவே அதிக பெருக்கம் கொண்ட இழைகள் அனைத்தையும் பெருக்கம் 1 கொண்ட இழைகளாக மாற்றலாம், மேலும் இது அனைத்து பல இழைகளையும் அகற்ற பயன்படுத்தப்படலாம். மடக்கை உருமாற்றங்கள் மிகவும் வன்முறையாக இருக்கலாம்ஃ அவை கோடெய்ரா பரிமாணத்தை மாற்றலாம், மேலும் இயற்கணித மேற்பரப்புகளை இயற்கணிதமற்ற மேற்பரப்புகளாக மாற்றலாம். எடுத்துக்காட்டுஃ L என்பது C இன் லட்டிஸ் Z + iZ ஆகவும், E என்பது நீள்வட்ட வளைவு C/L ஆகவும் இருக்கட்டும். பின்னர் E × C முதல் C வரையிலான திட்ட வரைபடம் ஒரு நீள்வட்ட இழையாகும். 0 க்கு மேல் உள்ள இழையை பெருக்கம் 2 கொண்ட இழையுடன் எவ்வாறு மாற்றுவது என்பதைக் காண்பிப்போம். (c, s) ஐ (c + 1/2, −s) வரை வரைபடமாக்கும் வரிசை 2 இன் E × C இன் தானியங்கி உருமாற்றம் உள்ளது. இந்த குழு நடவடிக்கையால் E × C இன் ஈவு X ஆக இருக்க அனுமதிக்கிறோம். (c, s) முதல் s2 வரை வரைபடமாக்குவதன் மூலம் X ஐ C க்கு மேல் ஒரு ஃபைபர் இடமாக மாற்றுகிறோம். (c, s) முதல் (c-log (s)/2πi, s2) வரை வரைபடமாக்குவதன் மூலம் X மைனஸ் ஃபைபர் 0 முதல் E × C மைனஸ் ஃபைபர் 0 வரை ஒரு ஐசோமார்பிசத்தை உருவாக்குகிறோம். (0 க்கு மேல் உள்ள இரண்டு இழைகள் ஐசோமார்பிக் அல்லாத நீள்வட்ட வளைவுகளாகும், எனவே ஃபைப்ரேஷன் X நிச்சயமாக C முழுவதும் உள்ள ஃபைப்ரேஷன் E × C க்கு ஐசோமார்பிக் அல்ல. மையம் 0 உடன் வரிசை 2 முதல் E × C வரை மடக்கை மாற்றத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் X பெறப்படுகிறது என்று நாம் கூறுகிறோம். என்ரிக்ஸ்-கோடேரா வகைப்பாடு நெரான் குறைந்தபட்ச மாதிரி குறிப்புகள் குறிப்புகள் சிக்கலான மேற்பரப்புகள் பைரேஷனல் வடிவியல் இயற்கணித மேற்பரப்புகள் கணித வகைப்பாடு அமைப்புகளைப் பார்க்கவும்