Riemann–Roch theorem for smooth manifolds
கணிதத்தில், மென்மையான பன்மடங்கு ரீமன்-ரோச் தேற்றம் என்பது ஹிர்ஸெப்ரூச்-ரீமன்-ரோச் தேற்றம் அல்லது கிரோதெண்டிக்-ரீமன்-ரோச் தேற்றம் (ஜி. ஆர். ஆர்) போன்ற முடிவுகளின் ஒரு பதிப்பாகும், இதில் ஒரு கருதுகோள் இல்லாமல் மென்மையான பன்மடங்கு ஒரு சிக்கலான கட்டமைப்பைக் கொண்டுள்ளன. இந்த வகையான முடிவுகளை 1959 ஆம் ஆண்டில் மைக்கேல் அதியா மற்றும் ஃப்ரெட்ரிக் ஹிர்ஸெப்ரூச் ஆகியோர் பெற்றனர், இது தேவைகளை ஒரு சுழல் அமைப்பு போன்ற ஒன்றாகக் குறைத்தது. உருவாக்கம் எக்ஸ் மற்றும் ஒய் ஆகியவை மென்மையான மூடிய பன்மடங்கு நோக்குடையதாகவும், எஃப்ஃ எக்ஸ் → ஒய் ஒரு தொடர்ச்சியான வரைபடமாகவும் இருக்கட்டும். கே-குழுவான கே (எக்ஸ்) இல் விஎஃப் = எஃப் * (டிஒய்) − டிஎக்ஸ் என்று வைத்துக்கொள்வோம். மங்கலான (X) ஷ்ணம் (Y) மட்டு 2 என்றால், அங்கு ch என்பது செர்ன் எழுத்து, d (vf) ஒருங்கிணைந்த கோஹோமோலஜி குழுவின் ஒரு உறுப்பு H2 (Y, Z) திருப்திப்படுத்தும் d (vf) ஷ்ணம் f * w2 (TY)-w2 (TX) மட்டு 2, fK * K-கோட்பாட்டிற்கான கைசின் ஹோமோமார்பிசம், மற்றும் fH * கோஹோமோலஜிக்கான கைசின் ஹோமோமார்பிசம். இந்த தேற்றம் முதலில் அதியா மற்றும் ஹிர்ஸெப்ரூச் ஆகியோரால் நிரூபிக்கப்பட்டது. இந்த தேற்றம் பல சிறப்பு நிகழ்வுகளைக் கருத்தில் கொண்டு நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. X க்கு மேல் ஒரு திசையன் மூட்டை V இன் தாம் இடமாக Y இருந்தால், கைசின் வரைபடங்கள் தாம் ஐசோமார்பிசம் மட்டுமே. பின்னர், பிரிப்புக் கொள்கையைப் பயன்படுத்தி, வரி மூட்டைகளுக்கான வெளிப்படையான கணக்கீடு மூலம் தேற்றத்தை சரிபார்க்க போதுமானது. f: X → Y ஒரு உட்பொதிப்பாக இருந்தால், Y இல் X இன் சாதாரண மூட்டையின் தாம் இடத்தை Y இல் X இன் குழாய் சுற்றுப்புறமாக பார்க்க முடியும், மேலும் பிரித்தல் ஒரு வரைபடத்தை வழங்குகிறது மற்றும். கே-கோட்பாடு/ஒத்திசைவியலுக்கான கைசின் வரைபடம் இந்த வரைபடங்களுடன் தாம் ஐசோமார்பிசத்தின் கலவையாக வரையறுக்கப்படுகிறது. இந்த தேற்றம் X இலிருந்து N இன் தாம் இடம் வரையிலான வரைபடத்தை வைத்திருப்பதால், செர்ன் எழுத்து u மற்றும் v உடன் பயணிப்பதால், உட்பொதிப்புகளுக்கும் இந்த தேற்றம் பொருந்தும். f: X → Y. இறுதியாக, நாம் ஒரு பொதுவான வரைபடத்தை f: X → Y ஒரு உட்பொதிப்பு மற்றும் திட்டத்திற்குள் காரணியாக்கலாம் உட்பொதிப்புக்கு தேற்றம் உண்மை. திட்டத்திற்கான கைசின் வரைபடம் பாட்-பீரியடிசிட்டி ஐசோமார்பிசம் ஆகும், இது செர்ன் எழுத்துடன் பரிமாற்றுகிறது, எனவே இந்த பொதுவான விஷயத்திலும் தேற்றம் உள்ளது. கொரோலரிகள் அதியா மற்றும் ஹிர்ஸெப்ரூச் பின்னர் எக்ஸ் = ஒரு புள்ளியில் சிறப்பு மற்றும் சுத்திகரிக்கப்பட்டது, அங்கு நிபந்தனை ஒய் மீது ஒரு சுழல் கட்டமைப்பின் இருப்பாக மாறுகிறது. கொரோலரிகள் பொண்ட்ரியாகின் வகுப்புகள் மற்றும் ஜே-ஹோமோமார்பிசத்தில் உள்ளன. வேறுபட்ட வடிவவியலில் குறிப்புகள் தேற்றங்கள் இயற்கணித மேற்பரப்புகள் பெர்ன்ஹார்ட் ரீமன்