Alexander duality
கணிதத்தில், அலெக்சாண்டர் டூயலிட்டி என்பது 1915 இல் ஜே. டபிள்யூ அலெக்சாண்டரின் விளைவாக தொடங்கப்பட்ட ஒரு டூயலிட்டி கோட்பாட்டைக் குறிக்கிறது, பின்னர் மேலும் குறிப்பாக பாவெல் அலெக்ஸாண்ட்ரோவ் மற்றும் லெவ் பொண்ட்ரியாகின் ஆகியோரால் உருவாக்கப்பட்டது. இது யூக்ளிடியன் இடைவெளி, ஒரு கோளம் அல்லது பிற பன்மடங்கு ஆகியவற்றில் ஒரு சப்ஸ்பேஸ் X இன் நிரப்பின் ஹோமோலஜி கோட்பாட்டு பண்புகளுக்கு பொருந்தும். இது ஸ்பானியர்-ஒயிட்ஹெட் இரட்டைத்தன்மையால் பொதுமைப்படுத்தப்படுகிறது. கோளங்களுக்கான பொதுவான கூற்று n பரிமாண கோளத்தின் சுருக்கமான, உள்ளூரில் சுருங்கக்கூடிய துணை இடமாக இருக்கட்டும். கொடுக்கப்பட்ட அபெலியன் குழுவில் உள்ள குணகங்களுடன் குறைக்கப்பட்ட ஒத்திசைவு அல்லது குறைக்கப்பட்ட ஒத்திசைவைக் குறிக்கிறது என்றால், அனைவருக்கும் ஒரு ஐசோமார்பிசம் உள்ளது. உள்ளூர் நோய்களைக் கையாள வடிவமைக்கப்பட்ட செக் கோஹோமோலஜியைப் பயன்படுத்தினால், கருதுகோளின் ஒரு பகுதியாக உள்ளூர் சுருக்கத்தை நாம் கைவிட முடியும் என்பதை நினைவில் கொள்க. பயன்பாடுகள் இது முடிச்சு மற்றும் இணைப்பு நிரப்புகளின் ஒத்திசைவைக் கணக்கிட பயனுள்ளதாக இருக்கும். ஒரு முடிச்சு ஒரு உட்பொதிப்பு மற்றும் ஒரு இணைப்பு என்பது போரோமியன் வளையங்கள் போன்ற முடிச்சுகளின் வேறுபட்ட ஒன்றிணைப்பு என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள். பின்னர், நாம் இணைப்பு/முடிச்சை எழுதினால், நம்மிடம் உள்ளது, இது கோஹோமோலஜி குழுக்களைக் கணக்கிடுவதற்கான ஒரு முறையை வழங்குகிறது. பின்னர், மாஸ்ஸி தயாரிப்புகளைப் பயன்படுத்தி வெவ்வேறு இணைப்புகளுக்கு இடையில் வேறுபடுத்திக் காட்ட முடியும். எடுத்துக்காட்டாக, போரோமியன் வளையங்களைப் பொறுத்தவரை, ஹோமோலஜி குழுக்கள் கட்டமைக்கக்கூடிய உறைகளுக்கான அலெக்சாண்டர் டூயலிட்டி ஆகும் மென்மையான பன்மடங்கு, அலெக்சாண்டர் டூயலிட்டி என்பது அபெலியன் குழுக்களின் உறைகளுக்கான வெர்டியர் டூயலிட்டியின் முறையான விளைவாகும். இன்னும் துல்லியமாக, ஒரு மென்மையான பன்மடங்கு குறிக்க நாம் அனுமதித்தால், சேர்ப்பதன் மூலம் குறிக்கப்படும் ஒரு மூடிய துணை இடமாக (ஒரு சுழற்சியைக் குறிக்கும் ஒரு துணை இடம் அல்லது ஒரு சப்மேனிஃபோல்ட் போன்றவை) நாம் அனுமதித்தால், ஒரு புலம் என்றால்,-வெக்டர் இடைவெளிகளின் ஒரு உறையாக இருந்தால், பின்வரும் ஐசோமார்பிசம் உள்ளது, அங்கு இடதுபுறத்தில் உள்ள கோஹோமோலஜி குழு சுருக்கமாக ஆதரிக்கப்படுகிறது. இதன் பொருள் என்ன என்பதை நன்கு புரிந்துகொள்ள இந்த அறிக்கையை நாம் மேலும் தொகுக்கலாம். முதலாவதாக, நிலையான சீஃப் மற்றும் ஒரு மென்மையான சப்மேனிஃபோல்ட் என்றால், வலதுபுறத்தில் உள்ள கோஹோமோலஜி குழு உள்ளூர் கோஹோமோலஜியை ஆதரிக்கிறது. மேலும் குறைப்புகளின் மூலம், கோஹோமோலஜியுடன் இன் ஹோமோலஜியை அடையாளம் காண முடியும். இது இயற்கணித வடிவவியலில் புரொஜெக்டிவ் வகைகளின் கோஹோமோலஜி குழுக்களைக் கணக்கிடுவதற்கு பயனுள்ளதாக இருக்கும், மேலும் ஜாகோபியன் வளையத்தைப் பயன்படுத்தி டிகிரியின் ஹைப்பர்சர்ஃபேஸ்களின் ஹாட்ஜ் கட்டமைப்பின் அடிப்படையை உருவாக்க பயன்படுத்தப்படுகிறது. அலெக்சாண்டரின் 1915 ஆம் ஆண்டின் முடிவு அலெக்சாண்டரின் அசல் படைப்பைக் குறிப்பிடுகையில், எக்ஸ் ஒரு எளிய சிக்கலானது என்று கருதப்படுகிறது. அலெக்சாண்டரிடம் நவீன கருவிகள் குறைவாகவே இருந்தன, மேலும் அவரது முடிவு பெட்டி எண்களுக்கு மட்டுமே இருந்தது, குணகங்கள் மாடுலோ 2 ஆக எடுக்கப்பட்டன. எதை எதிர்பார்க்க வேண்டும் என்பது உதாரணங்களிலிருந்து வருகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, 3-கோளத்தில் உள்ள கிளிஃபோர்ட் டோரஸ் கட்டுமானம் ஒரு திடமான டோரஸின் நிரப்பு மற்றொரு திடமான டோரஸ் என்பதைக் காட்டுகிறது; மற்றொன்று மூடப்பட்டால் அது திறந்திருக்கும், ஆனால் இது அதன் ஒத்த தன்மையை பாதிக்காது. திடமான தோரி ஒவ்வொன்றும் ஹோமோடாபி பார்வையில் ஒரு வட்டமாகும். வட்டத்தின் பெட்டி எண்கள் 1,1,0,0 ஐ நாம் எழுதினால் (நாம் 3-கோளத்தில் இருப்பதால்), பின்னர் 0,0,1,1 என தலைகீழாக மாறி, பின்னர் ஒன்றை இடதுபுறமாக மாற்றி 0,1,0 ஐப் பெறுவது ஒரு சிரமம், ஏனென்றால் நாம் தொடங்கியதைப் பெறவில்லை. மறுபுறம், குறைக்கப்பட்ட பெட்டி எண்களுக்கு பயன்படுத்தப்படும் அதே செயல்முறை, இதற்காக ஆரம்ப பெட்டி எண் 1 ஆல் குறைக்கப்படுகிறது, இது 0,1,0,0 இல் தொடங்கி 0,0,1,0 ஐக் கொடுக்கிறது. இது வேலை செய்கிறது, நிரப்பின் குறைக்கப்பட்ட பெட்டி எண்களை முன்னறிவிக்கிறது. இங்குள்ள முன்மாதிரி ஜோர்டான் வளைவு தேற்றம் ஆகும், இது ரீமன் கோளத்தில் ஒரு வட்டத்தின் நிரப்பு குறித்து இடவியல் ரீதியாக அக்கறை கொண்டுள்ளது. அவரும் அதே கதையைச் சொல்கிறார். நம்மிடம் வட்டத்தின் நேர்மையான பெட்டி எண்கள் 1,1,0 உள்ளன, எனவே 0,1,1 ஐ புரட்டுவதன் மூலமும், 1,1,0 ஐ இடதுபுறமாக மாற்றுவதன் மூலமும். இது ஜோர்டான் தேற்றம் கூறுவதிலிருந்து வேறுபட்ட ஒன்றைத் தருகிறது, அதாவது இரண்டு கூறுகள் உள்ளன, ஒவ்வொன்றும் சுருங்கக்கூடியவை (ஸ்கோன்ஃப்ளைஸ் தேற்றம், இங்கே பயன்படுத்தப்படுவதைப் பற்றி துல்லியமாக இருக்க வேண்டும்). அதாவது, நேர்மையான பெட்டி எண்களில் சரியான பதில் 2,0,0 ஆகும். மீண்டும், குறைந்த பெட்டி எண்களே வேலை செய்கின்றன. அவற்றுடன், நாம் 0,1,0 உடன் தொடங்கி 1,0,0 உடன் முடிக்கிறோம். இந்த இரண்டு எடுத்துக்காட்டுகளிலிருந்தும், அலெக்சாண்டரின் சூத்திரத்தை ஊகிக்க முடியும்ஃ குறைக்கப்பட்ட பெட்டி எண்கள் மூலம் நிரப்புகளுடன் தொடர்புடையவை. குறிப்புகள் மேலும் வாசிப்பு இயற்கணித இடவியல் இரட்டைத்தன்மை கோட்பாடுகள்