Euler method
கணிதம் மற்றும் கணக்கீட்டு அறிவியலில், யூலர் முறை (முன்னோக்கி யூலர் முறை என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) என்பது கொடுக்கப்பட்ட ஆரம்ப மதிப்புடன் சாதாரண வேறுபட்ட சமன்பாடுகளை (ODE கள்) தீர்ப்பதற்கான முதல் வரிசை எண் செயல்முறையாகும். இது சாதாரண வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் எண் ஒருங்கிணைப்புக்கான மிக அடிப்படையான வெளிப்படையான முறையாகும், மேலும் இது மிகவும் எளிமையான ரங்கே-குட்டா முறையாகும். யூலர் முறை லியோன்ஹார்ட் யூலரின் பெயரால் அழைக்கப்படுகிறது, அவர் தனது புத்தகமான இன்ஸ்டிடியூஷனம் கால்குலி இன்டெக்ராலிஸ் (வெளியிடப்பட்ட 1768-1770) இல் இதை முதன்முதலில் முன்மொழிந்தார். யூலர் முறை ஒரு முதல் வரிசை முறையாகும், அதாவது உள்ளூர் பிழை (ஒரு படிக்கு பிழை) படி அளவின் சதுரத்திற்கு விகிதாசாரமாகும், மேலும் உலகளாவிய பிழை (ஒரு குறிப்பிட்ட நேரத்தில் பிழை) படி அளவிற்கு விகிதாசாரமாகும். ஆய்லர் முறை பெரும்பாலும் மிகவும் சிக்கலான முறைகளை உருவாக்குவதற்கான அடிப்படையாக செயல்படுகிறது, எ. கா., முன்கணிப்பு-திருத்தும் முறை. வடிவியல் விளக்கம் நோக்கம் மற்றும் அது ஏன் செயல்படுகிறது ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில் தொடங்கி கொடுக்கப்பட்ட வேறுபாடு சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்தும் அறியப்படாத வளைவின் வடிவத்தை கணக்கிடுவதில் உள்ள சிக்கலைக் கவனியுங்கள். இங்கே, ஒரு வேறுபட்ட சமன்பாட்டை ஒரு சூத்திரமாக கருதலாம், இதன் மூலம் வளைவின் தொடுகோட்டின் சாய்வு வளைவின் எந்த புள்ளியிலும் கணக்கிடப்படலாம், அந்த புள்ளியின் நிலை கணக்கிடப்பட்டவுடன். யோசனை என்னவென்றால், வளைவு ஆரம்பத்தில் அறியப்படவில்லை என்றாலும், நாம் குறிக்கும் அதன் தொடக்க புள்ளி அறியப்படுகிறது (படம் 1 ஐப் பார்க்கவும்). பின்னர், வேறுபட்ட சமன்பாட்டிலிருந்து, வளைவின் சாய்வைக் கணக்கிடலாம், எனவே, தொடுகோட்டு கோடு. இந்த சிறிய படியில், சாய்வு அதிகமாக மாறாது, எனவே வளைவுக்கு அருகில் இருக்கும். அது இன்னும் வளைவில் இருப்பதாக நாம் பாசாங்கு செய்தால், மேலே உள்ள புள்ளிக்கு அதே பகுத்தறிவைப் பயன்படுத்தலாம். பல படிகளுக்குப் பிறகு, ஒரு பலகோண வளைவு () கணக்கிடப்படுகிறது. பொதுவாக, இந்த வளைவு அசல் அறியப்படாத வளைவிலிருந்து வெகு தொலைவில் வேறுபடாது, மேலும் படி அளவு போதுமான அளவு சிறியதாகவும், கணக்கீட்டின் இடைவெளி வரையறுக்கப்பட்டதாகவும் இருந்தால் இரண்டு வளைவுகளுக்கும் இடையிலான பிழையை சிறியதாக மாற்றலாம். முதல்-வரிசை செயல்முறை மற்றும் மற்றும் அதன் வழித்தோன்றலுக்கான மதிப்புகள் கொடுக்கப்படும்போது கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாடு மற்றும் குறிக்கப்படுகிறது. அமைப்பதன் மூலம் செயல்முறையைத் தொடங்குங்கள். அடுத்து, டி-அச்சில் ஒவ்வொரு படியின் அளவிற்கும் ஒரு மதிப்பைத் தேர்ந்தெடுத்து, அமைக்கவும் (அல்லது அதற்கு சமமாக). இப்போது, யூலர் முறை மற்றும் இருந்து கண்டுபிடிக்க பயன்படுத்தப்படுகிறதுஃ இன் மதிப்பு நேரத்தில் தீர்வின் தோராயமாகும், அதாவது.,. யூலர் முறை வெளிப்படையானது, அதாவது. தீர்வு என்பது ஒரு வெளிப்படையான செயல்பாடாகும். உயர்-வரிசை செயல்முறை யூலர் முறை முதல்-வரிசை ODE ஐ ஒருங்கிணைக்கிறது, எந்த ODE வரிசையையும் முதல்-வரிசை ODE களின் அமைப்பாக குறிப்பிடலாம். வரையறுக்கப்பட்ட வரிசையின் ODE கொடுக்கப்படும்போது, மற்றும், விரும்பிய நேரத்தில் ODE க்கான தீர்வின் தோராயத்தை அடையும் வரை பின்வரும் சூத்திரத்தை நாங்கள் செயல்படுத்துகிறோம்ஃ இந்த முதல்-வரிசை அமைப்புகளை யூலரின் முறையால் அல்லது உண்மையில், முதல்-வரிசை அமைப்புகளுக்கான வேறு எந்த திட்டத்தாலும் கையாள முடியும். முதல் வரிசை உதாரணம் ஆரம்ப மதிப்பு சிக்கலைக் கருத்தில் கொண்டு, தோராயமாக யூலர் முறையைப் பயன்படுத்த விரும்புகிறோம். 1 () க்கு சமமான படி அளவைப் பயன்படுத்துவது ஆய்லர் முறை எனவே முதலில் நாம் கணக்கிட வேண்டும். இந்த எளிய வேறுபாடு சமன்பாட்டில், செயல்பாடு வரையறுக்கப்படுகிறது. மேலே உள்ள படிநிலையைச் செய்வதன் மூலம், புள்ளியில் உள்ள தீர்வு வளைவுக்கு தொடுகோடாக இருக்கும் கோட்டின் சாய்வைக் கண்டறிந்தோம். சாய்வு என்பது அல்லது மாற்றத்தால் வகுக்கப்படும் மாற்றமாக வரையறுக்கப்படுகிறது என்பதை நினைவில் கொள்க. அடுத்த படி மேலே உள்ள மதிப்பை படி அளவால் பெருக்குவதாகும், அதை நாம் இங்கே ஒன்றுக்கு சமமாக எடுத்துக்கொள்கிறோம்ஃ படி அளவு என்பது மாற்றம் என்பதால், படி அளவு மற்றும் தொடுகோட்டின் சாய்வை பெருக்கும்போது, மதிப்பில் மாற்றத்தைப் பெறுகிறோம். இந்த மதிப்பு பின்னர் கணக்கீடுகளுக்கு பயன்படுத்தப்பட வேண்டிய அடுத்த மதிப்பைப் பெற ஆரம்ப மதிப்புடன் சேர்க்கப்படுகிறது. மேலே உள்ள படிகள் கண்டுபிடிக்க மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்பட வேண்டும், மற்றும். இந்த வழிமுறையின் தொடர்ச்சியான தன்மை காரணமாக, பிழைகள் செய்வதைத் தவிர்ப்பதற்காக, கீழே காணப்படுவது போல், ஒரு விளக்கப்பட வடிவத்தில் கணக்கீடுகளை ஒழுங்கமைப்பது உதவியாக இருக்கும். {| வகுப்பு = "விக்கி செய்யக்கூடியது" |-! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! |-| 0 | | 1 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | வேறுபாடு சமன்பாட்டின் சரியான தீர்வு, எனவே. இந்த குறிப்பிட்ட விஷயத்தில் யூலர் முறையின் தோராயமானது மிகவும் துல்லியமாக இல்லை என்றாலும், குறிப்பாக ஒரு பெரிய மதிப்பு படி அளவு காரணமாக, அதன் நடத்தை படம் காட்டுவது போல் தரமான முறையில் சரியானது. அறிமுகத்தில் பரிந்துரைக்கப்பட்டபடி, படி அளவு சிறியதாக இருந்தால் யூலர் முறை மிகவும் துல்லியமானது. கீழே உள்ள அட்டவணை வெவ்வேறு படி அளவுகளுடன் முடிவைக் காட்டுகிறது. மேல் வரிசை முந்தைய பிரிவில் உள்ள எடுத்துக்காட்டுடன் ஒத்திருக்கிறது, இரண்டாவது வரிசை படத்தில் விளக்கப்பட்டுள்ளது. {| வகுப்பு = "விக்கி செய்யக்கூடியது" |-! படி அளவு! ! யூலரின் முறையின் விளைவு! ! பிழை |-| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | அட்டவணையின் அடிப்பகுதியில், படி அளவு முந்தைய வரிசையில் படி அளவு பாதி, மற்றும் பிழை முந்தைய வரிசையில் பிழை பாதி தோராயமாக உள்ளது. பிழை படி அளவு தோராயமாக விகிதாசாரமாக உள்ளது என்று இது கூறுகிறது, குறைந்தபட்சம் படி அளவு மிகவும் சிறிய மதிப்புகள். இது பொதுவாக, மற்ற சமன்பாடுகளுக்கும் பொருந்தும்; மேலும் விவரங்களுக்கு உலகளாவிய துண்டித்தல் பிழையைப் பார்க்கவும். புள்ளிவிவரங்களில் விளக்கப்பட்டுள்ள நடுப்புள்ளி முறை போன்ற பிற முறைகள், மிகவும் சாதகமாக செயல்படுகின்றனஃ நடுப்புள்ளி முறையின் உலகளாவிய பிழை படி அளவின் சதுரத்திற்கு தோராயமாக விகிதாசாரமாகும். இந்த காரணத்திற்காக, ஆய்லர் முறை முதல் வரிசை முறை என்றும், நடுப்புள்ளி முறை இரண்டாவது வரிசை என்றும் கூறப்படுகிறது. மேலே உள்ள அட்டவணையில் இருந்து மூன்று தசம இடங்களுக்கு சரியான பதிலைப் பெற தேவையான படி அளவு தோராயமாக 0.00001 ஆகும், அதாவது நமக்கு 400,000 படிகள் தேவை. இந்த அதிக எண்ணிக்கையிலான படிகள் அதிக கணக்கீட்டு செலவை உள்ளடக்கியது. இந்த காரணத்திற்காக, குறிப்பாக அதிக துல்லியம் தேவைப்பட்டால், ரங்கே-குட்டா முறைகள் அல்லது நேரியல் பல படி முறைகள் போன்ற உயர்-வரிசை முறைகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. உயர்-வரிசை உதாரணம் இந்த மூன்றாம்-வரிசை உதாரணத்திற்கு, பின்வரும் தகவல்கள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன என்று வைத்துக்கொள்வோம்ஃ இதிலிருந்து சமன்பாட்டைப் பெற நாம் y 'ஐ தனிமைப்படுத்தலாம்ஃ இதைப் பயன்படுத்தி நாம் தீர்வைப் பெறலாம்ஃ மேலும் தீர்வைப் பயன்படுத்தி, தீர்வைப் பெறலாம்ஃ நாம் விரும்பும் ஒன்றைக் கண்டுபிடிக்க தேவைப்படும் வரை அதே சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி இந்த செயல்முறையைத் தொடரலாம். யூலர் முறையை பல வழிகளில் பெறலாம். (1) முதலாவதாக, மேலே உள்ள வடிவியல் விளக்கம் உள்ளது. (2) மற்றொரு சாத்தியக்கூறு என்னவென்றால், சுற்றியுள்ள சார்பின் டெய்லர் விரிவாக்கத்தை கருத்தில் கொள்வதுஃ வேறுபாடு சமன்பாடு இவ்வாறு கூறுகிறது. இது டெய்லர் விரிவாக்கத்தில் மாற்றப்பட்டு, இருபடி மற்றும் உயர்-வரிசை சொற்கள் புறக்கணிக்கப்பட்டால், யூலர் முறை எழுகிறது. யூலர் முறையால் ஏற்பட்ட பிழையை பகுப்பாய்வு செய்ய டெய்லர் விரிவாக்கம் கீழே பயன்படுத்தப்படுகிறது, மேலும் இது ரங்கே-குட்டா முறைகளை உருவாக்க நீட்டிக்கப்படலாம். (3) வேறுபட்ட சமன்பாட்டில், வழித்தோன்றலுக்கான முன்னோக்கி வரையறுக்கப்பட்ட வேறுபாடு சூத்திரத்தை மாற்றுவது ஒரு நெருக்கமான தொடர்புடைய வழித்தோன்றலாகும். மீண்டும், இது யூலர் முறையை வழங்குகிறது. இதே போன்ற கணக்கீடு நடுப்புள்ளி முறை மற்றும் பின்தங்கிய ஆய்லர் முறைக்கு வழிவகுக்கிறது. (4) இறுதியாக, வேறுபட்ட சமன்பாட்டை ஒருங்கிணைத்து, கால்குலஸின் அடிப்படை தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தலாம்ஃ இப்போது இடது கை செவ்வக முறையால் ஒருங்கிணைப்பை தோராயமாக மதிப்பிடுங்கள் (ஒரே ஒரு செவ்வகத்துடன்): இரண்டு சமன்பாடுகளையும் இணைத்தால், ஒருவர் மீண்டும் ஆய்லர் முறையைக் காணலாம். இந்த சிந்தனை தொடர்ந்து பல்வேறு நேரியல் பல படி முறைகளை அடைய முடியும். உள்ளூர் துண்டித்தல் பிழை யூலர் முறையின் உள்ளூர் துண்டித்தல் பிழை என்பது ஒரு படியில் செய்யப்பட்ட பிழையாகும். இது ஒரு படிநிலைக்குப் பிறகு எண்ணியல் தீர்வுக்கும், சரியான நேரத்தில் சரியான தீர்வுக்கும் உள்ள வித்தியாசம் ஆகும். சரியான தீர்வுக்கு, மேலே உள்ள வழித்தோன்றல் பிரிவில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ள டெய்லர் விரிவாக்கத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்ஃ யூலர் முறையால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட உள்ளூர் துண்டித்தல் பிழை (எல். டி. இ) இந்த சமன்பாடுகளுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டால் வழங்கப்படுகிறதுஃ வரம்புக்குட்பட்ட மூன்றாவது வழித்தோன்றலைக் கொண்டிருந்தால் இந்த முடிவு செல்லுபடியாகும். சிறிய, உள்ளூர் துண்டித்தல் பிழை தோராயமாக விகிதாசாரமாக உள்ளது என்பதை இது காட்டுகிறது. இது ரன்ஜ்-குட்டா முறைகள் மற்றும் நேரியல் பல படி முறைகள் போன்ற உயர் வரிசை நுட்பங்களை விட யூலர் முறையை குறைவான துல்லியமாக ஆக்குகிறது, இதற்காக உள்ளூர் துண்டித்தல் பிழை படி அளவின் அதிக சக்திக்கு விகிதாசாரமாக உள்ளது. டெய்லரின் தேற்றத்தில் மீதமுள்ள காலத்திற்கு லாக்ரேஞ்ச் வடிவத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் உள்ளூர் துண்டிக்கப்பட்ட பிழையின் சற்று வித்தியாசமான சூத்திரத்தைப் பெறலாம். தொடர்ச்சியான இரண்டாவது வழித்தோன்றல் இருந்தால், பிழையின் மேலே உள்ள வெளிப்பாடுகளில், அறியப்படாத சரியான தீர்வின் இரண்டாவது வழித்தோன்றலை வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் வலது புறத்தை உள்ளடக்கிய ஒரு வெளிப்பாட்டால் மாற்ற முடியும். உண்மையில், உலகளாவிய துண்டித்தல் பிழை என்ற சமன்பாட்டிலிருந்து இது பின்பற்றப்படுகிறது உலகளாவிய துண்டித்தல் பிழை என்பது ஒரு நிலையான நேரத்தில் உள்ள பிழையாகும், ஆரம்ப நேரத்திலிருந்து அந்த நேரத்தை அடைய முறை எடுக்க வேண்டிய பல படிகளுக்குப் பிறகு. உலகளாவிய துண்டித்தல் பிழை என்பது ஒவ்வொரு கட்டத்திலும் செய்யப்படும் உள்ளூர் துண்டித்தல் பிழைகளின் ஒட்டுமொத்த விளைவு ஆகும். படிகளின் எண்ணிக்கை எளிதில் தீர்மானிக்கப்படுகிறது, இது விகிதாசாரமாகும், மேலும் ஒவ்வொரு படியிலும் செய்யப்படும் பிழை விகிதாசாரமாகும் (முந்தைய பகுதியைப் பார்க்கவும்). எனவே, உலகளாவிய துண்டித்தல் பிழை இதற்கு விகிதாசாரமாக இருக்கும் என்று எதிர்பார்க்கப்படுகிறது. இந்த உள்ளுணர்வு பகுத்தறிவை துல்லியமாக செய்ய முடியும். தீர்வு ஒரு வரம்புக்குட்பட்ட இரண்டாவது வழித்தோன்றலைக் கொண்டிருந்தால், அதன் இரண்டாவது வாதத்தில் லிப்ஸிட்ச் தொடர்ச்சியாக இருந்தால், உலகளாவிய துண்டித்தல் பிழை (என குறிக்கப்படுகிறது) கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் இரண்டாவது வழித்தோன்றலின் மேல் வரம்பாக இருக்கும் இடத்தால் வரையறுக்கப்படுகிறது மற்றும் லிப்ஸிட்ச் மாறிலி ஆகும். அல்லது இன்னும் எளிமையாக, எப்போது, மதிப்பு (இது ஒரு மாறிலியாகக் கருதப்படுகிறது). இதற்கு மாறாக, செயல்பாடு என்பது மாறியை மட்டுமே கொண்ட சரியான தீர்வாகும். இந்த பிணைப்பின் துல்லியமான வடிவம் நடைமுறை முக்கியத்துவம் வாய்ந்தது அல்ல, ஏனெனில் பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில் பிணைப்பு யூலர் முறையால் செய்யப்பட்ட உண்மையான பிழையை மிகைப்படுத்தி மதிப்பிடுகிறது. முக்கியமானது என்னவென்றால், உலகளாவிய துண்டித்தல் பிழை (தோராயமாக) விகிதாசாரமாக உள்ளது என்பதை இது காட்டுகிறது. இந்த காரணத்திற்காக, ஆய்லர் முறை முதல் வரிசை என்று கூறப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டு நம்மிடம் வேறுபட்ட சமன்பாடு மற்றும் சரியான தீர்வு இருந்தால், எதைக் கண்டுபிடிப்பது, எப்போது கண்டுபிடிப்பது. இவ்வாறு t = 2.5 மற்றும் h = 0.5 இல் பிணைக்கப்பட்ட பிழையைக் காணலாம்ஃ t0 என்பது 2 க்கு சமம் என்பதைக் கவனியுங்கள், ஏனெனில் இது t இன் கீழ் வரம்பாகும். இயுலர் முறை எண்ணியல் ரீதியாக நிலையற்றதாகவும் இருக்கலாம், குறிப்பாக கடினமான சமன்பாடுகளுக்கு, அதாவது துல்லியமான தீர்வு இல்லாத சமன்பாடுகளுக்கு எண் தீர்வு மிகப் பெரியதாக வளரும். நேரியல் சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தி இதை விளக்கலாம் சரியான தீர்வு, இது பூஜ்ஜியமாக சிதைகிறது. இருப்பினும், யூலர் முறை படி அளவுடன் இந்த சமன்பாட்டிற்கு பயன்படுத்தப்பட்டால், எண் தீர்வு தர ரீதியாக தவறானதுஃ இது ஊசலாடுகிறது மற்றும் வளர்கிறது (படத்தைப் பார்க்கவும்). நிலையற்றவராக இருப்பதன் அர்த்தம் இதுதான். உதாரணமாக, ஒரு சிறிய படி அளவு பயன்படுத்தப்பட்டால், எண் தீர்வு பூஜ்ஜியத்திற்கு சிதைகிறது. யூலர் முறை நேரியல் சமன்பாட்டிற்கு பயன்படுத்தப்பட்டால், பெருக்கல் வலதுபுறத்தில் விளக்கப்பட்ட பகுதிக்கு வெளியே இருந்தால் எண் தீர்வு நிலையற்றதாக இருக்கும். இந்தப் பகுதி (நேரியல்) நிலைத்தன்மை பகுதி என்று அழைக்கப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டில், எனவே இது நிலைத்தன்மை பகுதிக்கு வெளியே இருந்தால், எனவே எண் தீர்வு நிலையற்றது. இந்த வரம்பு-பிழையின் மெதுவான ஒருங்கிணைப்புடன்-யூலர் முறை பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுவதில்லை என்பதைக் குறிக்கிறது, இது எண் ஒருங்கிணைப்புக்கு ஒரு எளிய எடுத்துக்காட்டு. யூலர் முறையின் படி, ரவுண்டிங் பிழை தோராயமாக இயந்திரம் எப்சிலான் இருக்கும் அளவு ஆகும். ரவுண்டிங் பிழைகள் சுயாதீனமான சீரற்ற மாறிகள் என்று கருதினால், எதிர்பார்க்கப்படும் மொத்த ரவுண்டிங் பிழை இதற்கு விகிதாசாரமாகும். எனவே, படி அளவின் மிகச் சிறிய மதிப்புகளுக்கு துண்டித்தல் பிழை சிறியதாக இருக்கும், ஆனால் ரவுண்டிங் பிழையின் விளைவு பெரியதாக இருக்கலாம். யூலர் முறைக்கான சூத்திரத்தில் ஈடுசெய்யப்பட்ட கூட்டுத்தொகை பயன்படுத்தப்பட்டால் ரவுண்டிங் பிழையின் பெரும்பாலான விளைவுகளை எளிதில் தவிர்க்க முடியும். மாற்றங்கள் மற்றும் நீட்டிப்புகள் மேலே குறிப்பிடப்பட்ட ஸ்திரத்தன்மை சிக்கல்களை நீக்கும் யூலர் முறையின் எளிய மாற்றம் பின்தங்கிய யூலர் முறையாகும்ஃ இது (நிலையான அல்லது முன்னோக்கி) யூலர் முறையிலிருந்து வேறுபடுகிறது, இதில் செயல்பாடு தொடக்க புள்ளிக்கு பதிலாக படியின் இறுதி கட்டத்தில் மதிப்பீடு செய்யப்படுகிறது. பின்தங்கிய ஆய்லர் முறை ஒரு மறைமுகமான முறையாகும், அதாவது பின்தங்கிய ஆய்லர் முறைக்கான சூத்திரம் இருபுறமும் உள்ளது, எனவே பின்தங்கிய ஆய்லர் முறையைப் பயன்படுத்தும்போது நாம் ஒரு சமன்பாட்டைத் தீர்க்க வேண்டும். இதன் மூலம் அதைச் செயல்படுத்துவதற்கு அதிக செலவு ஏற்படும். நிலைத்தன்மைக்கு உதவும் யூலர் முறையின் பிற மாற்றங்கள் அதிவேக யூலர் முறை அல்லது அரை-மறைமுக யூலர் முறையை வழங்குகின்றன. மிகவும் சிக்கலான முறைகள் ஒரு உயர் வரிசையை (மற்றும் அதிக துல்லியத்தை) அடைய முடியும். அதிக செயல்பாட்டு மதிப்பீடுகளைப் பயன்படுத்துவது ஒரு சாத்தியமாகும். இந்தக் கட்டுரையில் ஏற்கனவே குறிப்பிடப்பட்டுள்ள நடுப்புள்ளி முறையால் இது விளக்கப்பட்டுள்ளதுஃ இது ரங்கே-குட்டா முறைகளின் குடும்பத்திற்கு வழிவகுக்கிறது. இரண்டு படி ஆடம்ஸ்-பாஷ்ஃபோர்த் முறையால் விளக்கப்பட்டுள்ளபடி, கடந்த கால மதிப்புகளை அதிகம் பயன்படுத்துவது மற்றொரு சாத்தியமாகும்ஃ இது நேரியல் பல படி முறைகளின் குடும்பத்திற்கு வழிவகுக்கிறது. பிரபலமான கலாச்சாரத்தில் மறைக்கப்பட்ட புள்ளிவிவரங்கள் திரைப்படத்தில், கேத்ரின் கோபிள் பூமியின் சுற்றுப்பாதையில் இருந்து விண்வெளி வீரர் ஜான் க்ளென் மீண்டும் நுழைவதைக் கணக்கிடுவதில் ஆய்லர் முறையைப் பயன்படுத்துகிறார். மேலும் காண்க கிரான்க்-நிக்கோல்சன் முறை கிரேடியன்ட் வம்சாவளி இதேபோல் வரையறுக்கப்பட்ட படிகளைப் பயன்படுத்துகிறது, இங்கே செயல்பாடுகளின் மினிமாவைக் கண்டுபிடிக்க ரன்ஜ்-குட்டா முறைகளின் பட்டியல் நேரியல் பல படி முறை எண் ஒருங்கிணைப்பு (திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்புகளைக் கணக்கிடுவதற்கு) சாதாரண வேறுபட்ட சமன்பாடுகளுக்கான எண் முறைகள் குறிப்புகள் குறிப்புகள் வெளிப்புற இணைப்புகள் ஆய்லர் முறையை வெவ்வேறு மொழிகளில் ரோசெட்டா குறியீடு மூலம் செயல்படுத்துதல் எண் வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் ரன்ஜ்-குட்டா முறைகள் முதல் வரிசை முறைகள் லியோன்ஹார்ட் ஆய்லர் கட்டுரைகள் எடுத்துக்காட்டாக ஆர் குறியீடு கட்டுரைகள் எடுத்துக்காட்டாக MATLAB/ஆக்டேவ் குறியீடு