Riemann–Roch theorem for surfaces
கணிதத்தில், மேற்பரப்புகளுக்கான ரீமன்-ரோச் தேற்றம் ஒரு இயற்கணித மேற்பரப்பில் நேரியல் அமைப்புகளின் பரிமாணத்தை விவரிக்கிறது. அதன் கிளாசிக்கல் வடிவம் முதன்முதலில் வழங்கப்பட்டது, அதன் ஆரம்ப பதிப்புகள் மற்றும் மூலம் கண்டுபிடிக்கப்பட்டன. ஷீஃப்-கோட்பாட்டு பதிப்பு ஹிர்ஸெப்ரூச் காரணமாகும். ரீமன்-ரோச் தேற்றத்தின் ஒரு வடிவம், டி ஒரு ஒற்றை அல்லாத ப்ரொஜெக்டிவ் மேற்பரப்பில் ஒரு வகுத்தி என்றால், χ என்பது ஹோலோமார்பிக் ஆய்லர் பண்பு, புள்ளி என்று கூறுகிறது. இது குறுக்குவெட்டு எண், மற்றும் K என்பது நியமன வகுத்தி. மாறிலி χ (0) என்பது அற்பமான மூட்டையின் ஹோலோமார்பிக் ஆய்லர் பண்பு ஆகும், மேலும் இது 1 + பா க்கு சமம், இங்கு பா என்பது மேற்பரப்பின் எண்கணித இனமாகும். ஒப்பிடுகையில், ஒரு வளைவுக்கான ரீமன்-ரோச் தேற்றம் χ (D) = χ (0) + டிகிரி (D) என்று கூறுகிறது. நோதெரின் சூத்திரம் நோதெரின் சூத்திரம் χ = χ (0) என்பது ஹோலோமார்பிக் ஆய்லர் பண்பு, c12 = (K. K) என்பது ஒரு செர்ன் எண் மற்றும் நியதி வகுப்பு K இன் சுய-வெட்டு எண், மற்றும் e = c2 என்பது இடவியல் ஆய்லர் பண்பு என்று கூறுகிறது. ரீமன்-ரோச் தேற்றத்தில் உள்ள χ (0) என்ற சொல்லை இடவியல் சொற்களால் மாற்ற இது பயன்படுத்தப்படலாம்; இது மேற்பரப்புகளுக்கான ஹிர்ஸெப்ரூச்-ரீமன்-ரோச் தேற்றத்தை வழங்குகிறது. மேற்பரப்புகளுக்கு, ஹிர்ஸெப்ரூச்-ரீமன்-ரோச் தேற்றம் அடிப்படையில் நோதர் சூத்திரத்துடன் இணைந்த மேற்பரப்புகளுக்கான ரீமன்-ரோச் தேற்றம் ஆகும். இதைப் பார்க்க, ஒரு மேற்பரப்பில் உள்ள ஒவ்வொரு வகுத்தி D க்கும் ஒரு தலைகீழ் உறை L = O (D) உள்ளது என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள், அதாவது D இன் நேரியல் அமைப்பு L இன் பிரிவுகளின் இடைவெளி அதிகமாகவோ அல்லது குறைவாகவோ இருக்கும். மேற்பரப்புகளுக்கு டாட் வகுப்பு, மற்றும் உறை L இன் செர்ன் எழுத்து நியாயமானது, எனவே ஹிர்ஸெப்ரூச்-ரீமன்-ரோச் தேற்றம் அதிர்ஷ்டவசமாக இதை பின்வருமாறு தெளிவான வடிவத்தில் எழுத முடியும் என்று கூறுகிறது. முதலில் டி = 0 வைப்பது (நோதெரின் சூத்திரம்) தலைகீழ் உறைகளுக்கு (வரி மூட்டைகள்) இரண்டாவது செர்ன் வகுப்பு மறைந்துவிடும் என்பதைக் காட்டுகிறது. இரண்டாவது கோஹோமோலஜி வகுப்புகளின் தயாரிப்புகளை பிகார்ட் குழுவில் உள்ள குறுக்குவெட்டு எண்களுடன் அடையாளம் காணலாம், மேலும் மேற்பரப்புகளுக்கு ரீமன் ரோச்சின் மிகவும் பாரம்பரியமான பதிப்பைப் பெறுகிறோம்ஃ நாம் விரும்பினால், h2 (O (D)) ஐ h0 (O (K−D)) ஆக வெளிப்படுத்த செர்ரே டூயல்டிட்டியைப் பயன்படுத்தலாம், ஆனால் வளைவுகளின் விஷயத்தைப் போலல்லாமல் பொதுவாக h1 (O (D)) வார்த்தையை ஷீஃப் கோஹோமோலஜியை உள்ளடக்காத வடிவத்தில் எழுத எளிதான வழி இல்லை (நடைமுறையில் இது பெரும்பாலும் மறைந்துவிடும்). மேற்பரப்புகளுக்கான ரீமன்-ரோச் தேற்றத்தின் ஆரம்ப வடிவங்கள் பெரும்பாலும் சமத்துவத்தை விட சமத்துவமின்மை என்று கூறப்பட்டன, ஏனெனில் முதல் கோஹோமோலஜி குழுக்களின் நேரடி வடிவியல் விளக்கம் இல்லை. ஒரு பொதுவான எடுத்துக்காட்டு பின்வருமாறு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது, இதில் r என்பது ஒரு வகுத்தி D இன் முழுமையான நேரியல் அமைப்பின் பரிமாணம் |D | (எனவே r = h0 (O (D)) −1) n என்பது D இன் மெய்நிகர் டிகிரி, சுய-குறுக்குவெட்டு எண் (D. D) π என்பது D இன் மெய்நிகர் இனமாகும், இது 1 + (D. D + K. D) க்கு சமம்/2 பா என்பது மேற்பரப்பின் எண்கணித பேரினம் χ (OF) −1 ஆகும், இது D இன் சிறப்பு குறியீடாகும், இது மங்கலான H0 (O (K − D) க்கு சமம் (இது செர்ரே இருமையால் மங்கலான H2 (O (D)) க்கு சமம்). இந்த சமத்துவமின்மையின் இரு பக்கங்களுக்கும் இடையிலான வேறுபாடு வகுத்தி D இன் மிகுதியான s என்று அழைக்கப்பட்டது. இந்த சமத்துவமின்மையை ரீமன்-ரோச் தேற்றத்தின் உறை-கோட்பாட்டு பதிப்புடன் ஒப்பிடுகையில், D இன் மிகுதியான அளவு s = மங்கலான H1 (O (D)) ஆல் வழங்கப்படுகிறது என்பதைக் காட்டுகிறது. i = s = 0 (அல்லது வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், O (D) இன் அனைத்து உயர் கோஹோமோலஜி குழுக்களும் மறைந்துவிட்டால்) மற்றும் s> 0 என்றால் அதிகமாக இருந்தால் வகுத்தி D வழக்கமான என்று அழைக்கப்படுகிறது. குறிப்புகள் ஃப்ரெட்ரிக் ஹிர்ஸெப்ரூச் எழுதிய இயற்கணித வடிவவியலில் இடவியல் முறைகள் இயற்கணித வடிவவியலில் தேற்றங்கள் இயற்கணித மேற்பரப்புகள் இயற்கணித வடிவவியலின் இடவியல் முறைகள்