Hyperbolic group
குழுக் கோட்பாட்டில், மிகவும் துல்லியமாக வடிவியல் குழுக் கோட்பாட்டில், ஒரு ஹைபர்போலிக் குழு, ஹைபர்போலிக் குழு அல்லது குரோமோவ் ஹைபர்போலிக் குழு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது, இது கிளாசிக்கல் ஹைபர்போலிக் வடிவவியலில் இருந்து சுருக்கமாக சில பண்புகளை திருப்திப்படுத்தும் ஒரு சொல் மெட்ரிக் பொருத்தப்பட்ட ஒரு இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட குழு ஆகும். ஒரு ஹைபர்போலிக் குழுவின் கருத்து அறிமுகப்படுத்தப்பட்டு உருவாக்கப்பட்டது. தற்போதுள்ள பல்வேறு கணிதக் கோட்பாடுகளிலிருந்து உத்வேகம் வந்ததுஃ ஹைபர்போலிக் வடிவியல் ஆனால் குறைந்த பரிமாண இடவியல் (குறிப்பாக ஹைபர்போலிக் ரீமன் மேற்பரப்பின் அடிப்படை குழுவைப் பற்றிய மேக்ஸ் டெஹ்னின் முடிவுகள் மற்றும் முப்பரிமாண இடவியலில் மிகவும் சிக்கலான நிகழ்வுகள்) மற்றும் ஒருங்கிணைந்த குழு கோட்பாடு. 1987 முதல் மிகவும் செல்வாக்குமிக்க (1000 க்கும் மேற்பட்ட மேற்கோள்கள்) அத்தியாயத்தில், குரோமோவ் ஒரு பரந்த அளவிலான ஆராய்ச்சி திட்டத்தை முன்மொழிந்தார். ஹைபர்போலிக் குழுக்களின் கோட்பாட்டில் உள்ள கருத்துக்கள் மற்றும் அடித்தளப் பொருட்களும் ஜார்ஜ் மோஸ்டோ, வில்லியம் தர்ஸ்டன், ஜேம்ஸ் டபிள்யூ. கேனன், எலியாஹு ரிப்ஸ் மற்றும் பலரின் படைப்புகளிலிருந்து உருவாகின்றன. வரையறை ஒரு இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட குழுவாக இருக்கட்டும், மேலும் சில வரையறுக்கப்பட்ட ஜெனரேட்டர்களின் தொகுப்பைப் பொறுத்தவரை அதன் கெய்லி வரைபடமாக இருக்கட்டும். தொகுப்பு அதன் வரைபட அளவீட்டைக் கொண்டுள்ளது (இதில் விளிம்புகள் நீளம் ஒன்று மற்றும் இரண்டு செங்குத்துகளுக்கு இடையிலான தூரம் அவற்றை இணைக்கும் பாதையில் குறைந்தபட்ச விளிம்புகளின் எண்ணிக்கையாகும்) இது அதை ஒரு நீள இடமாக மாற்றுகிறது. குரோமோவ் என்ற அர்த்தத்தில் ஒரு ஹைபர்போலிக் இடமாக இருந்தால் குழு ஹைபர்போலிக் என்று கூறப்படுகிறது. விரைவில், இதன் பொருள் என்னவென்றால், வலதுபுறத்தில் உள்ள படத்தில் விளக்கப்பட்டுள்ளபடி, எந்த புவியியல் முக்கோணமும்-மெல்லியதாக இருக்கும் (இடைவெளி பின்னர்-ஹைபர்போலிக் என்று கூறப்படுகிறது). ஒரு முன்னுரிமை இந்த வரையறை ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட உருவாக்கும் தொகுப்பின் தேர்வைப் பொறுத்தது. இது பின்வரும் இரண்டு உண்மைகளிலிருந்து பின்வருமாறு பின்பற்றப்படுகிறதுஃ இரண்டு வரையறுக்கப்பட்ட உருவாக்கும் தொகுப்புகளுடன் தொடர்புடைய கெய்லி வரைபடங்கள் எப்போதும் ஒன்றுக்கு மற்றொன்று அரை-ஐசோமெட்ரிக் ஆகும்; ஒரு ஜியோடெசிக் குரோமோவ்-ஹைபர்போலிக் இடத்திற்கு அரை-ஐசோமெட்ரிக் ஆகும் எந்த ஜியோடெசிக் இடமும் குரோமோவ்-ஹைபர்போலிக் ஆகும். எனவே ஒரு உற்பத்தி செய்யும் தொகுப்பைக் குறிப்பிடாமல் இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட குழு ஹைபர்போலிக் என்று நாம் சட்டப்பூர்வமாக பேசலாம். மறுபுறம், ஒரு-ஹைபர்போலிக் இடத்திற்கு அரை-ஐசோமெட்ரிக் ஒரு இடைவெளி சிலருக்கு-ஹைபர்போலிக் ஆகும், ஆனால் பிந்தையது அசல் மற்றும் அரை-ஐசோமெட்ரி இரண்டையும் சார்ந்துள்ளது, எனவே-ஹைபர்போலிக் என்று பேசுவதில் அர்த்தமில்லை. குறிப்புகள் ஸ்வார்க்-மில்னர் லெம்மா கூறுகிறது, ஒரு குழு சரியான நீள இடத்தில் ஒழுங்காக இடைவிடாமல் மற்றும் கச்சிதமான விகிதத்துடன் (அத்தகைய செயல் பெரும்பாலும் வடிவியல் என்று அழைக்கப்படுகிறது) செயல்பட்டால், அது இறுதியாக உருவாக்கப்படுகிறது, மேலும் எந்த கெய்லி வரைபடமும் அரை-சமச்சீர் ஆகும். எனவே ஒரு குழு சரியான ஹைபர்போலிக் இடத்தில் ஒரு வடிவியல் செயலைக் கொண்டிருந்தால் மட்டுமே (இறுதியாக உருவாக்கப்பட்டு) ஹைபர்போலிக் ஆகும். வரையறுக்கப்பட்ட குறியீட்டைக் கொண்ட ஒரு துணைக்குழுவாக இருந்தால் (அதாவது, தொகுப்பு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது), சேர்ப்பது எந்தவொரு உள்ளூரில் வரையறுக்கப்பட்ட கெய்லி வரைபடத்தின் செங்குத்துகளில் ஒரு அரை-ஐசோமெட்ரியைத் தூண்டுகிறது. அப்படியானால், தானாகவே இருந்தால் மட்டுமே ஹைபர்போலிக் ஆகும். மேலும் பொதுவாக, இரண்டு குழுக்கள் ஒப்பிடத்தக்கதாக இருந்தால், மற்றொன்று இருந்தால் மட்டுமே ஒன்று ஹைபர்போலிக் ஆகும். எடுத்துக்காட்டுகள் அடிப்படை ஹைபர்போலிக் குழுக்கள் ஹைபர்போலிக் குழுக்களின் எளிய எடுத்துக்காட்டுகள் வரையறுக்கப்பட்ட குழுக்கள் (அவற்றின் கெய்லி வரைபடங்கள் வரையறுக்கப்பட்ட விட்டம் கொண்டவை, எனவே-இந்த விட்டத்திற்கு சமமான ஹைபர்போலிக்). மற்றொரு எளிய உதாரணம் எல்லையற்ற சுழற்சி குழுவால் வழங்கப்படுகிறதுஃ உருவாக்கும் தொகுப்பைப் பொறுத்தவரை கெய்லி வரைபடம் ஒரு கோடு, எனவே அனைத்து முக்கோணங்களும் கோடு பிரிவுகள் மற்றும் வரைபடம்-ஹைபர்போலிக் ஆகும். கிட்டத்தட்ட சுழற்சியாக இருக்கும் எந்தவொரு குழுவும் (வரையறுக்கப்பட்ட குறியீட்டின் நகலைக் கொண்டுள்ளது) ஹைபர்போலிக் ஆகும், எடுத்துக்காட்டாக எல்லையற்ற டைஹெட்ரல் குழு. இந்த வகை குழுக்களில் உள்ள உறுப்பினர்கள் பெரும்பாலும் அடிப்படை ஹைபர்போலிக் குழுக்கள் என்று அழைக்கப்படுகிறார்கள் (சொற்களஞ்சியம் ஹைபர்போலிக் தளத்தில் உள்ள செயல்களிலிருந்து தழுவப்படுகிறது). மரங்களில் செயல்படும் இலவச குழுக்கள் மற்றும் குழுக்கள் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்பாக இருக்கட்டும் மற்றும் தொகுப்பை உருவாக்கும் இலவச குழுவாக இருக்கட்டும். பின்னர் கெய்லி வரைபடம் உள்ளூரில் வரையறுக்கப்பட்ட மரமாகும், எனவே 0-ஹைபர்போலிக் இடைவெளி. எனவே இது ஒரு ஹைபர்போலிக் குழு. மேலும் பொதுவாக, உள்ளூரில் வரையறுக்கப்பட்ட மரத்தின் மீது ஒழுங்காக இடைவிடாமல் செயல்படும் எந்தவொரு குழுவும் (இந்த சூழலில் இதன் பொருள் செங்குத்துகளில் உள்ள நிலைப்படுத்திகள் வரையறுக்கப்பட்டவை) ஹைபர்போலிக் ஆகும். உண்மையில், இது ஒரு மாறாத துணை மரத்தைக் கொண்டுள்ளது, அதில் அது கச்சிதமான விகிதத்துடன் செயல்படுகிறது, மேலும் ஸ்வார்க்-மில்னர் லெம்மா. இத்தகைய குழுக்கள் உண்மையில் கிட்டத்தட்ட இலவசம் (அதாவது. வரையறுக்கப்பட்ட குறியீட்டின் இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட இலவச துணைக்குழுவைக் கொண்டுள்ளது), இது அவற்றின் ஹைபர்போலிசிக்கு மற்றொரு ஆதாரத்தை அளிக்கிறது. ஒரு சுவாரஸ்யமான உதாரணம் மாடுலர் குழுஃ இது ஹைபர்போலிக் தளத்தின் தொடர்புடைய டெஸ்லேஷனின் 1-எலும்புக்கூடு வழங்கிய மரத்தின் மீது செயல்படுகிறது, மேலும் இது குறியீட்டு 6 இன் வரையறுக்கப்பட்ட குறியீட்டு இல்லாத துணைக்குழுவை (இரண்டு ஜெனரேட்டர்களில்) கொண்டுள்ளது (எடுத்துக்காட்டாக, அடையாள மாடுலோ 2 க்கு குறைக்கப்படும் மேட்ரிக்ஸின் தொகுப்பு அத்தகைய குழுவாகும்). இந்த உதாரணத்தின் ஒரு சுவாரஸ்யமான அம்சத்தைக் கவனியுங்கள்ஃ இது ஒரு ஹைபர்போலிக் இடத்தில் (ஹைபர்போலிக் தளம்) ஒழுங்காக இடைவிடாமல் செயல்படுகிறது, ஆனால் செயல் கோ-காம்பாக்ட் அல்ல (உண்மையில் ஹைபர்போலிக் தளத்திற்கு அரை-ஐசோமெட்ரிக் அல்ல). ஃபுச்சியன் குழுக்கள் ஒரு ஃபுச்சியன் குழுவின் மாடுலர் குழுவின் உதாரணத்தை பொதுமைப்படுத்துவது ஹைபர்போலிக் தளத்தில் (சமமாக, ஒரு தனித்துவமான துணைக்குழு) சரியாக தொடர்ச்சியற்ற செயலை ஒப்புக்கொள்ளும் ஒரு குழுவாகும். ஹைபர்போலிக் தளம் ஒரு-ஹைபர்போலிக் இடைவெளி, எனவே ஸ்வார்க்-மில்னார் லெம்மா கோகோம்பாக்ட் ஃபுச்சியன் குழுக்கள் ஹைபர்போலிக் என்று நமக்குச் சொல்கிறது. எதிர்மறை ஆய்லர் பண்பு கொண்ட மூடிய மேற்பரப்புகளின் அடிப்படை குழுக்கள் இதற்கு எடுத்துக்காட்டுகளாகும். உண்மையில், இந்த மேற்பரப்புகளை ஹைபர்போலிக் தளத்தின் மேற்கோள்களாக பெறலாம், இது போயின்கேர்-கோய்பே சீரான கோட்பாட்டால் குறிக்கப்படுகிறது. கொக்காம்பாக்ட் ஃபுச்சியன் குழுக்களின் எடுத்துக்காட்டுகளின் மற்றொரு குடும்பம் முக்கோணக் குழுக்களால் வழங்கப்படுகிறதுஃ இறுதியாக பலவற்றைத் தவிர அனைத்தும் ஹைபர்போலிக் ஆகும். எதிர்மறை வளைவு மூடிய மேற்பரப்புகளின் உதாரணத்தை பொதுமைப்படுத்துவது, கண்டிப்பாக எதிர்மறையான பிரிவு வளைவுடன் கூடிய சிறிய ரீமானியன் பன்மடங்கு அடிப்படைக் குழுக்கள் ஹைபர்போலிக் ஆகும். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு வகையான கையொப்பத்தின் ஆர்த்தோகனல் அல்லது யூனிட்டரி குழுவில் உள்ள கொக்காம்பாக்ட் லாட்டிஸ்கள் ஹைபர்போலிக் ஆகும். ஒரு கேட் (கே) இடத்தில் ஒரு வடிவியல் செயலை ஒப்புக்கொள்ளும் குழுக்களால் மேலும் பொதுமைப்படுத்தல் வழங்கப்படுகிறது. முந்தைய எந்த கட்டுமானங்களுக்கும் இணங்காத எடுத்துக்காட்டுகள் உள்ளன (எடுத்துக்காட்டாக, ஹைபர்போலிக் கட்டிடங்களில் வடிவியல் ரீதியாக செயல்படும் குழுக்கள்). சிறிய ரத்துசெய்யும் குழுக்கள் சிறிய ரத்துசெய்யும் நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்யும் விளக்கக்காட்சிகளைக் கொண்ட குழுக்கள் மிகைப்படுத்தப்பட்டவை. மேலே கொடுக்கப்பட்டுள்ளதைப் போல வடிவியல் தோற்றம் இல்லாத எடுத்துக்காட்டுகளின் ஆதாரத்தை இது வழங்குகிறது. உண்மையில் ஹைபர்போலிக் குழுக்களின் ஆரம்ப வளர்ச்சிக்கான உந்துதல்களில் ஒன்று, சிறிய ரத்துசெய்தலின் அதிக வடிவியல் விளக்கத்தை வழங்குவதாகும். சீரற்ற குழுக்கள் ஒருவிதத்தில், பெரிய வரையறுக்கப்பட்ட உறவுகளைக் கொண்ட "பெரும்பாலான" குழுக்கள் மிகைப்படுத்தப்பட்டவை. இதன் பொருள் என்ன என்பதற்கான அளவு அறிக்கைக்கு சீரற்ற குழுவைப் பார்க்கவும். எடுத்துக்காட்டுகள் அல்லாதவை ஹைபர்போலிக் அல்லாத ஒரு குழுவின் எளிய எடுத்துக்காட்டு ஃப்ரீ ரேங்க் 2 அபெலியன் குழுவாகும். உண்மையில், இது யூக்ளிடியன் தளத்திற்கு அரை-ஐசோமெட்ரிக் ஆகும், இது ஹைபர்போலிக் அல்ல என்று எளிதில் காணப்படுகிறது (எடுத்துக்காட்டாக, ஓரினச்சேர்க்கைகள் இருப்பதால்). மேலும் பொதுவாக, ஒரு துணைக்குழுவாக இருக்கும் எந்தவொரு குழுவும் ஹைபர்போலிக் அல்ல. குறிப்பாக, உயர் தரவரிசை அரை எளிய லை குழுக்களில் உள்ள லட்டிஸ்கள் மற்றும் அற்பமான முடிச்சு நிரப்புகளின் அடிப்படை குழுக்கள் இந்த வகைக்குள் வருகின்றன, எனவே அவை ஹைபர்போலிக் அல்ல. மூடிய ஹைபர்போலிக் மேற்பரப்புகளின் கிளாஸ் குழுக்களை மேப்பிங் செய்வதற்கும் இது பொருந்தும். பாம்ஸ்லாக்-சாலிட்டர் குழுக்கள் பி (எம், என்) மற்றும் சில பி (எம், என்) க்கு ஒரு துணைக்குழு ஐசோமார்பிக் கொண்ட எந்தவொரு குழுவும் ஹைபர்போலிக் ஆக இருக்கத் தவறிவிடுகின்றன (பி (1,1) = என்பதால், இது முந்தைய உதாரணத்தை பொதுமைப்படுத்துகிறது). ஒரு தரவரிசை 1 எளிய லை குழுவில் ஒரு சீரான லட்டிஸ் ஹைபர்போலிக் என்றால், குழு ஐசோஜெனஸ் என்றால் மட்டுமே (சமமாக தொடர்புடைய சமச்சீர் இடைவெளி ஹைபர்போலிக் தளம்). இதற்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு ஹைபர்போலிக் முடிச்சு குழுக்களால் வழங்கப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, மற்றொன்று பியான்சி குழுக்கள். பண்புகள் இயற்கணித பண்புகள் ஹைபர்போலிக் குழுக்கள் டிட்ஸ் மாற்றீட்டை திருப்திப்படுத்துகின்றனஃ அவை கிட்டத்தட்ட தீர்க்கக்கூடியவை (இந்த சாத்தியம் அடிப்படை ஹைபர்போலிக் குழுக்களால் மட்டுமே திருப்தி அளிக்கப்படுகிறது) அல்லது அவை ஒரு நபேலியன் அல்லாத இலவச குழுவிற்கு ஒரு துணைக்குழு ஐசோமார்பிக் கொண்டுள்ளன. உறுப்பு அல்லாத ஹைபர்போலிக் குழுக்கள் மிகவும் வலுவான அர்த்தத்தில் எளிமையானவை அல்லஃ உறுப்பு அல்லாத ஹைபர்போலிக் என்றால், அது போன்ற எல்லையற்ற துணைக்குழு உள்ளது மற்றும் இரண்டும் எல்லையற்றவை. எஞ்சியபடி வரையறுக்கப்படாத ஒரு ஹைபர்போலிக் குழு இருக்கிறதா என்பது தெரியவில்லை. வடிவியல் பண்புகள் அல்லாத உறுப்பு (எல்லையற்ற மற்றும் கிட்டத்தட்ட சுழற்சி அல்ல) ஹைபர்போலிக் குழுக்கள் எப்போதும் அதிவேக வளர்ச்சி விகிதத்தைக் கொண்டுள்ளன (இது டிட்ஸ் மாற்றீட்டின் விளைவாகும்). ஹைபர்போலிக் குழுக்கள் ஒரு நேரியல் ஐசோபெரிமெட்ரிக் சமத்துவமின்மையை பூர்த்தி செய்கின்றன. ஹோமோலாஜிக்கல் பண்புகள் ஹைபர்போலிக் குழுக்கள் எப்போதும் இறுதியாக வழங்கப்படுகின்றன. உண்மையில் ஒருவர் வெளிப்படையாக ஒரு சிக்கலான (ரிப்ஸ் காம்ப்ளக்ஸ்) கட்டமைக்க முடியும், இது சுருங்கக்கூடியது மற்றும் அதன் மீது குழு வடிவியல் ரீதியாக செயல்படுகிறது, எனவே இது வகை F ≤ ஆகும். குழு முறிவு இல்லாததாக இருக்கும்போது, செயல் இலவசம், இது குழுவிற்கு வரையறுக்கப்பட்ட ஒத்திசைவு பரிமாணத்தைக் கொண்டுள்ளது என்பதைக் காட்டுகிறது. 2002 ஆம் ஆண்டில், ஐ. மினியேவ் ஹைபர்போலிக் குழுக்கள் சரியாக வரையறுக்கப்பட்ட குழுக்கள் என்று காட்டினார், இதற்காக எல்லைக்குட்பட்ட கோஹோமோலஜி மற்றும் சாதாரண கோஹோமோலஜி ஆகியவற்றுக்கு இடையிலான ஒப்பீட்டு வரைபடம் அனைத்து டிகிரிகளிலும், அல்லது அதற்கு சமமாக, டிகிரி 2 இல் சர்ஜெக்டிவ் ஆகும். வழிமுறை பண்புகள் ஹைபர்போலிக் குழுக்கள் தீர்க்கக்கூடிய சொல் சிக்கலைக் கொண்டுள்ளன. அவை இரு தானியங்கி மற்றும் தானியங்கி. உண்மையில், அவை வலுவாக புவியியல் ரீதியாக தானியங்கி, அதாவது, குழுவில் ஒரு தானியங்கி அமைப்பு உள்ளது, அங்கு ஏற்றுக்கொள்ளும் வார்த்தையால் ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட மொழி அனைத்து புவியியல் சொற்களின் தொகுப்பாகும். 2010 ஆம் ஆண்டில் ஹைபர்போலிக் குழுக்கள் ஒரு தீர்க்கமான குறிக்கப்பட்ட ஐசோமார்பிசம் சிக்கலைக் கொண்டுள்ளன என்று காட்டப்பட்டது. இதன் பொருள் ஐசோமார்பிசம் சிக்கல், சுற்றுப்பாதை சிக்கல்கள் (குறிப்பாக கான்ஜுகேசி சிக்கல்) மற்றும் வைட்ஹெட்டின் சிக்கல் அனைத்தும் தீர்மானிக்கக்கூடியவை என்பது குறிப்பிடத்தக்கது. முடிவிலியில் 2-கோளத்தைக் கொண்ட ஹைபர்போலிக் குழுக்கள் இயற்கையான உட்பிரிவு விதியைக் கொண்டுள்ளன என்பதை கேனான் மற்றும் ஸ்வென்சன் காட்டியுள்ளனர். இது பீரங்கியின் அனுமானத்துடன் தொடர்புடையது. பொதுமைப்படுத்தல்கள் ஒப்பீட்டளவில் ஹைபர்போலிக் குழுக்கள் ஒப்பீட்டளவில் ஹைபர்போலிக் குழுக்கள் ஒரு வகை பொதுமைப்படுத்தும் ஹைபர்போலிக் குழுக்கள் ஆகும். மிகவும் தோராயமாக ஹைபர்போலிக் என்பது துணைக்குழுக்களின் தொகுப்புடன் தொடர்புடையது, இது ஒரு சரியான ஹைபர்போலிக் இடத்தில் சரியாக தொடர்ச்சியற்ற செயலை ஏற்றுக்கொண்டால், இது எல்லையில் "நல்லது" மற்றும் எல்லையில் உள்ள புள்ளிகளின் நிலைப்படுத்திகள் துணைக்குழுக்களாக இருக்கும். இது சுவாரஸ்யமானது, இரண்டுமே அடிப்படை செயல்பாடாக இல்லாதபோது (குறிப்பாக எல்லையற்றதுஃ எடுத்துக்காட்டாக, ஒவ்வொரு குழுவும் ஒரு புள்ளியில் அதன் செயல்பாட்டின் மூலம் ஒப்பீட்டளவில் ஹைபர்போலிக் ஆகும்!). இந்த வகுப்பில் உள்ள சுவாரஸ்யமான எடுத்துக்காட்டுகளில் குறிப்பாக தரவரிசை 1 அரை எளிய லை குழுக்களில் உள்ள சீரான அல்லாத லட்டிஸ்கள் அடங்கும், எடுத்துக்காட்டாக வரையறுக்கப்பட்ட அளவின் சுருக்கமற்ற ஹைபர்போலிக் பன்மடங்கு அடிப்படை குழுக்கள். எடுத்துக்காட்டுகள் அல்லாதவை உயர் தரவரிசை லை குழுக்கள் மற்றும் மேப்பிங் கிளாஸ் குழுக்களில் உள்ள லாட்டிஸ்கள் ஆகும். அசைலிண்ட்ரிக்கல் ஹைபர்போலிக் குழுக்கள் இன்னும் பொதுவான கருத்து அசைலிண்ட்ரிக்கல் ஹைபர்போலிக் குழுவின் கருத்தாகும். ஒரு மெட்ரிக் இடத்தில் ஒரு குழுவின் செயலின் அமிலத்தன்மை என்பது செயலின் சரியான இடைநிறுத்தத்தை பலவீனப்படுத்துவதாகும். குரோமோவ்-ஹைபர்போலிக் இடத்தில் (சரியானதாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை) ஒரு உறுப்பு அல்லாத அசைலிண்ட்ரிகல் செயலை ஏற்றுக்கொண்டால் ஒரு குழு அசைலிண்ட்ரிகல் ஹைபர்போலிக் என்று கூறப்படுகிறது. இந்த கருத்து வளைவு வளாகங்களில் அவற்றின் செயல்களின் மூலம் வர்க்கக் குழுக்களை வரைபடமாக்குவதை உள்ளடக்கியது. உயர் தரவரிசை லை குழுக்களில் உள்ள லாட்டிஸ்கள் (இன்னும்!) அசைலிண்ட்ரிக்கல் ஹைபர்போலிக் அல்ல. மற்றொரு திசையில் மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டுகளில் வளைவு பற்றிய அனுமானத்தை ஒருவர் பலவீனப்படுத்தலாம்ஃ ஒரு கேட் (0) குழு என்பது கேட் (0) இடத்தில் ஒரு வடிவியல் செயலை ஒப்புக்கொள்ளும் ஒரு குழுவாகும். இதில் யூக்ளிடியன் படிகவியல் குழுக்கள் மற்றும் உயர் தரவரிசை லை குழுக்களில் உள்ள சீரான லட்டிஸ்கள் அடங்கும். கேட் (0) அல்லாத ஒரு ஹைபர்போலிக் குழு இருக்கிறதா என்பது தெரியவில்லை. குறிப்புகள் மேலும் வாசிப்பு வடிவியல் குழு கோட்பாடு மெட்ரிக் வடிவியல் குழுக்களின் பண்புகள் சொற்களில் ஒருங்கிணைப்பு ஹைபர்போலிக் மெட்ரிக் ஸ்பேஸ் ஹைபர்போலிக் வடிவியல்