Kuiper's theorem
கணிதத்தில், கைப்பரின் தேற்றம் (நிக்கோலாஸ் கைப்பருக்குப் பிறகு) என்பது எல்லையற்ற பரிமாண, சிக்கலான ஹில்பர்ட் இடைவெளி எச் இல் உள்ள ஆபரேட்டர்களின் இடவியலின் விளைவாகும். இது எச் இன் தலைகீழ் வரம்புக்குட்பட்ட எண்டோமார்பிசங்களின் இடைவெளி ஜி. எல் (எச்) எந்த வரையறுக்கப்பட்ட சிக்கலான ஒய் முதல் ஜி. எல் (எச்) வரையிலான அனைத்து வரைபடங்களும் ஒரு மாறிலிக்கு ஹோமோடோபிக் ஆகும் என்று கூறுகிறது. கைப்பரின் தேற்றம் என்றும் குறிப்பிடப்படும் ஒரு குறிப்பிடத்தக்க விளைவு என்னவென்றால், இந்த குழு பலவீனமாக சுருங்கக்கூடியது, அதாவது. அதன் அனைத்து ஹோமோடாபி குழுக்களும் அற்பமானவை. இந்த முடிவு இடவியல் கே-கோட்பாட்டில் முக்கியமான பயன்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளது. பொது நேரியல் குழுவின் பொது இடவியல் வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண H க்கு, இந்த குழு ஒரு சிக்கலான பொது நேரியல் குழுவாக இருக்கும், மேலும் சுருக்கமாக இருக்காது. உண்மையில் இது அதன் அதிகபட்ச சுருக்கமான துணைக்குழுவிற்கு சமமான ஹோமோடாபி ஆகும், H இன் யூனிட்டரி குழு. சிக்கலான பொது நேரியல் குழு மற்றும் யூனிட்டரி குழு ஒரே ஹோமோடாபி வகையைக் கொண்டுள்ளன என்பதற்கான சான்று கிராம்-ஷ்மிட் செயல்முறையால் அல்லது மேட்ரிக்ஸ் துருவ சிதைவு மூலம், மேலும் பிரிக்கக்கூடிய ஹில்பர்ட் இடத்தின் எல்லையற்ற பரிமாண வழக்குக்கு கொண்டு செல்கிறது, ஏனெனில் அடிப்படையில் மேல் முக்கோண மேட்ரிக்ஸின் இடைவெளி மிகவும் வெளிப்படையாகக் காணலாம். அடிப்படை நிகழ்வு என்னவென்றால், எல்லையற்ற பல பரிமாணங்களுக்குச் செல்வது யூனிட்டரி குழுக்களின் இடவியல் சிக்கலின் பெரும்பகுதியை மறைக்க காரணமாகிறது; ஆனால் பாட்டின் யூனிட்டரி குழுவில் உள்ள பகுதியைப் பார்க்கவும், அங்கு முடிவிலிக்கான பாதை மிகவும் கட்டுப்படுத்தப்பட்டுள்ளது, இதன் விளைவாக வரும் குழுவில் அற்பமான ஹோமோடோபி குழுக்கள் உள்ளன. கோளங்களின் வரலாற்றுச் சூழல் மற்றும் இடவியல் ஒரு ஆச்சரியமான உண்மை என்னவென்றால், அலகுக் கோளம், சில நேரங்களில் S ≤ எனக் குறிக்கப்படுகிறது, எல்லையற்ற பரிமாண ஹில்பர்ட் இடத்தில் H ஒரு சுருங்கக்கூடிய இடமாகும், அதே நேரத்தில் வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண கோளங்கள் எதுவும் சுருங்காது. இந்த முடிவு, நிச்சயமாக கைப்பரின் பல தசாப்தங்களுக்கு முன்னர் அறியப்பட்டது, கணித நாட்டுப்புறக் கதைகளின் அந்தஸ்தைக் கொண்டிருக்கலாம், ஆனால் இது பெரும்பாலும் மேற்கோள் காட்டப்படுகிறது. உண்மையில் இது மிகவும் உண்மைஃ S φ என்பது H க்கு வேறுபட்டதாகும், இது நிச்சயமாக அதன் குவிந்த தன்மையால் சுருங்கக்கூடியது. ஒரு விளைவு என்னவென்றால், எச் இல் உள்ள அலகு பந்துக்கு ப்ரூவர் நிலையான-புள்ளி தேற்றத்தின் விரிவாக்கத்திற்கு மென்மையான எதிர் எடுத்துக்காட்டுகள் உள்ளன. ஹோமியோமார்பிசம்களான இத்தகைய எதிர்-எடுத்துக்காட்டுகளின் இருப்பு 1943 இல் ஷிஜுவோ ககுடானியால் காட்டப்பட்டது, அவர் முதலில் ஒரு ஆதாரத்தை எழுதியிருக்கலாம் அலகு கோளத்தின் சுருக்கம். ஆனால் முடிவு எப்படியும் அடிப்படையில் அறியப்பட்டது (1935 ஆம் ஆண்டில் ஆண்ட்ரி நிகோலாயேவிச் டைச்சோனோஃப் அலகு கோளம் அலகு பந்தின் பின்வாங்கல் என்பதைக் காட்டினார்). எல்லைக்குட்பட்ட இயக்கிகளின் குழுவின் விளைவாக டச்சு கணிதவியலாளர் நிக்கோலாஸ் கைப்பர் நிரூபித்தார், ஒரு பிரிக்கக்கூடிய ஹில்பர்ட் இடத்தைப் பொறுத்தவரை; பிரிவின் கட்டுப்பாடு பின்னர் நீக்கப்பட்டது. அதே முடிவு, ஆனால் வழக்கமான இடவியல் அல்லாமல் வலுவான ஆபரேட்டர் இடவியல், 1963 இல் ஜாக் டிக்ஸ்மியர் மற்றும் அட்ரியன் டூடி ஆகியோரால் வெளியிடப்பட்டது. கோளம் மற்றும் இயக்கிகளின் குழுவின் வடிவியல் உறவு என்னவென்றால், அலகு கோளம் என்பது யூனிட்டரி குழுவிற்கான ஒரே மாதிரியான இடமாகும். அலகு கோளத்தின் ஒற்றை திசையன் v இன் நிலைப்படுத்துபவர் v இன் ஆர்த்தோகனல் நிரப்பின் ஒற்றையாட்சி குழுவாகும்; எனவே ஹோமோடாபி நீண்ட துல்லியமான வரிசை அலகு கோளத்தின் அனைத்து ஹோமோடாபி குழுக்களும் அற்பமானவை என்று கணித்துள்ளது. இது நெருக்கமான இடவியல் உறவைக் காட்டுகிறது, ஆனால் அது போதுமானதாக இல்லை, ஏனெனில் ஒரு புள்ளியை சேர்ப்பது ஒரு பலவீனமான ஹோமோடாபி சமநிலையாக மட்டுமே இருக்கும், மேலும் இது ஒரு சி. டபிள்யூ வளாகத்திற்கு மட்டுமே நேரடியாக சுருங்குவதைக் குறிக்கிறது. கைப்பரின் இரண்டு ஆண்டுகளுக்குப் பிறகு வெளியிடப்பட்ட ஒரு கட்டுரையில், ரிச்சர்ட் பாலாய்ஸ் இந்த சிக்கலைத் தீர்க்க போதுமான எல்லையற்ற பரிமாண பன்மடங்கு பற்றிய தொழில்நுட்ப முடிவுகளை வழங்கினார். பாட்டின் யூனிட்டரி குழு மற்றொரு எல்லையற்ற பரிமாண யூனிட்டரி குழு உள்ளது, இது ஹோமோடோபி கோட்பாட்டில் முக்கிய முக்கியத்துவம் வாய்ந்தது, இதற்கு பாட் பீரியடிசிட்டி தேற்றம் பொருந்தும். இது நிச்சயமாக ஒப்பந்தம் அல்ல. கைப்பரின் குழுவிலிருந்து உள்ள வேறுபாட்டை விளக்கலாம்ஃ பாட்டின் குழு என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட இயக்குபவர் ஒரு நிலையான ஆர்த்தோனார்மல் அடிப்படையின் முதல் N ஆல் பரப்பப்பட்ட ஒரு துணை இடத்தில் மட்டுமே அற்பமாக செயல்படுகிறது, சில N க்கு, மீதமுள்ள அடிப்படையிலான திசையன்களின் அடையாளமாக உள்ளது. பயன்பாடுகள் நார் மூட்டைகளின் பொதுவான கோட்பாட்டைப் பொறுத்தவரை, ஒரு உடனடி விளைவு என்னவென்றால், ஒவ்வொரு ஹில்பர்ட் மூட்டையும் ஒரு அற்பமான மூட்டை. இரண்டு கூறுகளைக் கொண்ட சுழற்சிக் குழு மற்றும் வட்டக் குழு போன்ற சுதந்திரமாக செயல்படும் சில குழுக்களுக்கான இடைவெளிகளை வகைப்படுத்துவதற்கான வடிவியல் கட்டமைப்பை S ≤ இன் சுருங்கக்கூடிய தன்மையின் விளைவாக வழங்குகிறது. பாட்டியின் அர்த்தத்தில் ஒற்றையாட்சி குழு U சிக்கலான திசையன் மூட்டைகளுக்கான வகைப்படுத்தும் இடத்தை BU கொண்டுள்ளது (U (n) க்கான வகைப்படுத்தும் இடத்தை பார்க்கவும்). கைப்பரின் தேற்றத்திலிருந்து வரும் ஒரு ஆழமான பயன்பாடு அதியா-ஜானிச் தேற்றத்தின் சான்றாகும் (கிளாஸ் ஜானிச் மற்றும் மைக்கேல் அதியா ஆகியோருக்குப் பிறகு), H இல் ஃப்ரெட்ஹோம் ஆபரேட்டர்களின் இடைவெளி, நெறிமுறை இடவியலுடன், செயல்பாட்டாளர் K ஐக் குறிக்கிறது (.) இடவியல் (சிக்கலான) கே-கோட்பாடு, ஹோமோடாபி கோட்பாட்டின் அர்த்தத்தில். இதை அதியா வழங்குகிறார். பானாச் இடைவெளிகளின் வழக்கு எல்லையற்ற பரிமாணத்தின் எந்த பானாச் இடத்திலும் தலைகீழ் இயக்கிகளைப் பற்றி இதே கேள்வி எழுப்பப்படலாம். இங்கே ஓரளவு முடிவுகள் மட்டுமே உள்ளன. சில கிளாசிக்கல் வரிசை இடைவெளிகள் ஒரே பண்பைக் கொண்டுள்ளன, அதாவது தலைகீழ் இயக்கிகளின் குழு சுருங்கக்கூடியது. மறுபுறம், இது இணைக்கப்பட்ட இடமாக இல்லாததற்கு அறியப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள் உள்ளன. அனைத்து ஹோமோடாபி குழுக்களும் அற்பமானவை என்று அறியப்பட்டால், சில சந்தர்ப்பங்களில் ஒப்பந்தத்தன்மை தெரியவில்லை. குறிப்புகள் கே-கோட்பாடு இயக்குபவர் கோட்பாடு ஹில்பர்ட் லை குழுக்களின் இடவியல் இடவியல் கோட்பாடுகளை இடுகிறார்