Height function
உயரச் செயல்பாடு என்பது கணிதப் பொருட்களின் சிக்கலை அளவிடும் செயல்பாடாகும். டயோஃபாண்டைன் வடிவவியலில், உயர செயல்பாடுகள் டயோஃபாண்டைன் சமன்பாடுகளுக்கான தீர்வுகளின் அளவை அளவிடுகின்றன, மேலும் அவை பொதுவாக இயற்கணித வகைகளின் (அல்லது இயற்கணித வகைகளின் தொகுப்பு) புள்ளிகளின் தொகுப்பிலிருந்து உண்மையான எண்கள் வரை செயல்படுகின்றன. உதாரணமாக, விகிதமுறு எண்களை விட பாரம்பரிய அல்லது அப்பாவித்தனமான உயரம் பொதுவாக ஆயத்தொகுதிகளின் எண்கள் மற்றும் வகுப்புகளின் அதிகபட்சமாக வரையறுக்கப்படுகிறது (எ. கா. ஆயத்தொகுதிகளுக்கு), ஆனால் ஒரு மடக்கை அளவில். குறிப்பிடத்தக்க உயர செயல்பாடுகள் கணிதவியலாளர்களை விகிதமுறு புள்ளிகள் போன்ற பொருள்களை எண்ண அனுமதிக்கின்றன, அவை அளவுகளில் எல்லையற்றவை. உதாரணமாக, விகிதமுறு எண்களின் தொகுப்பு எல்லையற்றதாக இருந்தபோதிலும், கொடுக்கப்பட்ட எந்த மாறிலிக்கும் கீழே உள்ள அப்பாவித்தனமான உயரத்தின் விகிதமுறு எண்களின் தொகுப்பு (எண் மற்றும் வகுப்பின் அதிகபட்சம் மிகக் குறைந்த சொற்களில் வெளிப்படுத்தப்படும் போது) வரையறுக்கப்பட்டதாகும். இந்த அர்த்தத்தில், ஆழ்நிலை எண் கோட்பாட்டில் பேக்கரின் தேற்றம் போன்ற அறிகுறியற்ற முடிவுகளை நிரூபிக்க உயர செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தலாம். மற்ற சந்தர்ப்பங்களில், உயர செயல்பாடுகள் சில பொருட்களை அவற்றின் சிக்கலின் அடிப்படையில் வேறுபடுத்திக் காட்டலாம். உதாரணமாக, நிரூபிக்கப்பட்ட சப்ஸ்பேஸ் தேற்றம் சிறிய உயரத்தின் புள்ளிகளை நிரூபிக்கிறது (அதாவது. சிறிய சிக்கலானது) திட்டவட்டமான இடத்தில் வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான ஹைப்பர்பிளேன்களில் உள்ளது மற்றும் S-அலகு சமன்பாட்டின் ஒருங்கிணைந்த புள்ளிகள் மற்றும் தீர்வு குறித்த சீகலின் தேற்றத்தை பொதுமைப்படுத்துகிறது. மோர்டெல்-வெயில் தேற்றம் மற்றும் ஃபால்டிங்ஸின் தேற்றம் ஆகியவற்றின் சான்றுகளுக்கு உயர செயல்பாடுகள் முறையே முக்கியமானவை. மானின் அனுமானம் மற்றும் வோஜ்தாவின் அனுமானம் போன்ற இயற்கணித வகைகளில் உள்ள பகுத்தறிவு புள்ளிகளின் உயரங்களைப் பற்றிய பல தீர்க்கப்படாத சிக்கல்கள், டயோஃபாண்டைன் தோராயப்படுத்தல், டயோஃபாண்டைன் சமன்பாடுகள், எண்கணித வடிவியல் மற்றும் கணித தர்க்கம் ஆகியவற்றில் உள்ள சிக்கல்களுக்கு நீண்டகால தாக்கங்களைக் கொண்டுள்ளன. உயர செயல்பாட்டின் ஆரம்ப வடிவம் ஜியாம்பட்டிஸ்டா பெனெடெட்டி (கி. பி. 1563) என்பவரால் முன்மொழியப்பட்டது, அவர் ஒரு இசை இடைவெளியின் இணையை அதன் எண் மற்றும் வகுப்பின் பெருக்கத்தால் (குறைக்கப்பட்ட வடிவத்தில்) அளவிட முடியும் என்று வாதிட்டார். டயோஃபாண்டைன் வடிவவியலில் உயரங்கள் ஆரம்பத்தில் ஆண்ட்ரே வெயில் மற்றும் டக்ளஸ் நார்த்காட் ஆகியோரால் 1920களின் தொடக்கத்தில் உருவாக்கப்பட்டன. 1960 களில் புதுமைகள் நெரான்-டேட் உயரம் மற்றும் இயற்கணித வடிவவியலின் பிற பகுதிகளில் ஏராளமான கோடு மூட்டைகள் இருப்பதைப் போலவே உயரங்கள் திட்டவட்டமான பிரதிநிதித்துவங்களுடன் இணைக்கப்பட்டுள்ளன என்பதை உணர்ந்தது. 1970 களில், சுரேன் அரகெலோவ் அரகெலோவ் கோட்பாட்டில் அரகெலோவ் உயரங்களை உருவாக்கினார். 1983 ஆம் ஆண்டில், ஃபால்டிங்ஸ் தனது ஃபால்டிங்ஸ் தேற்றத்தின் ஆதாரத்தில் ஃபால்டிங்ஸ் உயரங்கள் பற்றிய தனது கோட்பாட்டை உருவாக்கினார். டயோஃபாண்டைன் வடிவவியலில் உயர செயல்பாடுகள் நைவ் உயரம் கிளாசிக்கல் அல்லது நைவ் உயரம் ஒரே மாதிரியான ஆயத்தொகுப்புகளில் சாதாரண முழுமையான மதிப்பின் அடிப்படையில் வரையறுக்கப்படுகிறது. இது பொதுவாக ஒரு மடக்கை அளவுகோலாகும், எனவே இது "இயற்கணித சிக்கலானது" அல்லது ஒரு புள்ளியை சேமிக்கத் தேவையான பிட்களின் எண்ணிக்கைக்கு விகிதாசாரமாக கருதப்படுகிறது. இது பொதுவாக மிகக் குறைந்த பொதுவான வகுப்பினால் பெருக்குவதன் மூலம் பெறப்பட்ட கோப்ரைம் முழு எண்களின் திசையனின் அதிகபட்ச முழுமையான மதிப்பின் மடக்கை என வரையறுக்கப்படுகிறது. இது ஒரு புள்ளியின் உயரத்தை அதன் குறைந்தபட்ச பல்லுறுப்புக்கோவையின் உயரத்திலிருந்து வரையறுக்க பயன்படுத்தப்படலாம், அல்லது ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் உயரத்தை வரையறுக்க பயன்படுத்தப்படலாம், இது குணகங்களின் திசையன் அல்லது இயற்கணித எண்ணாக கருதப்படுகிறது. ஒரு விகிதமுறு எண் x = p/q (மிகக் குறைந்த சொற்களில்) இன் அப்பாவித்தனமான உயரம் பெருக்கல் உயர மடக்கை உயரமாகும்ஃ எனவே, இன் அப்பாவித்தனமான பெருக்கல் மற்றும் மடக்கை உயரங்கள் மற்றும், எடுத்துக்காட்டாக. நீள்வட்ட வளைவு E இன் அப்பாவித்தனமான உயரம் H என வரையறுக்கப்படுகிறது. நெரோன்-டேட் உயரம் என்பது உலகளாவிய புலத்தில் வரையறுக்கப்பட்ட அபெலியன் வகையின் விகிதமுறு புள்ளிகளின் மோர்டெல்-வெயில் குழுவில் உள்ள இருபடி வடிவமாகும். உள்ளூர் உயரங்களின் கூட்டுத்தொகை என்று முதலில் வரையறுத்த ஆண்ட்ரே நேரோன் மற்றும் வெளியிடப்படாத படைப்பில் உலகளவில் வரையறுத்த ஜான் டேட் ஆகியோரின் பெயரால் இது பெயரிடப்பட்டுள்ளது. வெயில் உயரம் X ஒரு எண் புலம் K மீது ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் வகையாக இருக்கட்டும். ஒன்று எல் ஐப் பொறுத்தவரை எக்ஸ் மீது வெயில் உயரத்தை பின்வருமாறு வரையறுக்கிறது. முதலில், எல் மிகவும் போதுமானதாக உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். உலகளாவிய பிரிவுகளின் இடத்தின் அடிப்படையில் ஒரு தேர்வு எக்ஸ் முதல் ப்ரொஜெக்டிவ் ஸ்பேஸ் வரை ஒரு மார்ஃபிசத்தை வரையறுக்கிறது, மேலும் எக்ஸ் மீது உள்ள அனைத்து புள்ளிகளுக்கும் p, ஒன்று வரையறுக்கிறது, அங்கு h என்பது ப்ரொஜெக்டிவ் ஸ்பேஸின் அப்பாவித்தனமான உயரம். நிலையான X மற்றும் L க்கு, உலகளாவிய பிரிவுகளின் வேறுபட்ட அடிப்படையைத் தேர்ந்தெடுப்பது மாறுகிறது, ஆனால் p இன் வரம்புக்குட்பட்ட செயல்பாட்டால் மட்டுமே. எனவே O (1) என்ற செயல்பாட்டைச் சேர்க்கும் வரை நன்கு வரையறுக்கப்படுகிறது. பொதுவாக, எக்ஸ் மீது எல் 1 மற்றும் எல் 2 என்ற இரண்டு மிக அதிகமான வரி மூட்டைகளின் வித்தியாசமாக எல் எழுதலாம் மற்றும் ஓ (1) வரை நன்கு வரையறுக்கப்பட்டதை மீண்டும் வரையறுக்கலாம். அரகெலோவ் உயரம் இயற்கணித எண்களின் புலத்தின் மீது ஒரு திட்ட இடத்தில் அரகெலோவ் உயரம் என்பது உலகளாவிய உயர செயல்பாடாகும், இது ஆர்க்கிமிடியன் புலங்களில் ஃபுபினி-ஸ்டடி அளவீடுகளிலிருந்தும், ஆர்க்கிமிடியன் அல்லாத புலங்களில் வழக்கமான அளவீட்டிலிருந்தும் வரும் உள்ளூர் பங்களிப்புகளுடன் உள்ளது. இது வேறு மெட்ரிக் பொருத்தப்பட்ட வழக்கமான வெயில் உயரம் ஆகும். ஃபால்டிங்ஸ் உயரம் ஒரு எண் புலத்தின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட அபெலியன் வகையின் ஃபால்டிங்ஸ் உயரம் அதன் எண்கணித சிக்கலின் அளவீடு ஆகும். இது ஒரு அளவிடப்பட்ட வரி மூட்டையின் உயரத்தின் அடிப்படையில் வரையறுக்கப்படுகிறது. மோர்டெல் அனுமானத்தின் சான்றில் இது அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. இயற்கணிதத்தில் உயர செயல்பாடுகள் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் உயரம் H (P) உயரத்தால் கொடுக்கப்பட்ட n டிகிரி கொண்ட ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு P என்பது அதன் குணகங்களின் அளவுகளின் அதிகபட்சம் என்று வரையறுக்கப்படுகிறதுஃ ஒருவர் இதேபோல் L (P) நீளத்தை குணகங்களின் அளவுகளின் கூட்டுத்தொகையாக வரையறுக்கலாம்ஃ மஹ்லர் அளவிற்கான உறவு P இன் மஹ்லர் அளவீட்டு M (P) என்பது P இன் சிக்கலான அளவீட்டின் அளவீடு ஆகும். H (P), L (P) மற்றும் M (P) ஆகிய மூன்று செயல்பாடுகள் இருமக் குணகம் இருக்கும் சமத்துவமின்மைகளால் தொடர்புடையவை. தானியங்கி வடிவங்களில் உயர செயல்பாடுகள் அடலிக் இயற்கணிதக் குழுவின் பொதுவான நேரியல் குழுவில் ஒரு தானியங்கி வடிவத்தின் வரையறையில் உள்ள நிபந்தனைகளில் ஒன்று மிதமான வளர்ச்சி ஆகும், இது பொதுவான நேரியல் குழுவில் உயர செயல்பாட்டின் வளர்ச்சியில் ஒரு அறிகுறியற்ற நிபந்தனையாகும். பிற உயர செயல்பாடுகள் பகுக்கமுடியாத விகிதமுறு எண் x = p/q, q> 0 இன் உயரம் (இந்த செயல்பாடு மற்றும் இடையே ஒரு பைஜெக்ஷனை உருவாக்க பயன்படுகிறது). மேலும் காண்க ஏபிசி அனுமானம் பிர்ச் மற்றும் ஸ்வின்னர்டன்-டயர் அனுமானம் எலிப்டிக் லெஹ்மர் அனுமானம் ஹீத்-பிரவுன்-மொரோஸ் நிலையான உயரம் ஒரு முறையான குழு சட்டத்தின் உயரம் ஜீட்டா செயல்பாடு ரேனாட்டின் ஐசோஜெனி தேற்றம் மர உயரம் குறிப்புகள் ஆதாரங்கள் → கணித உலக பல்லுறுப்புக்கோவைகளில் வெளிப்புற இணைப்புகளின் பல்லுறுப்புக்கோவை உயரத்தின் ஆங்கில மொழிபெயர்ப்பைக் கொண்டுள்ளது ஆபெலியன் வகைகள் எலிப்டிக் வளைவுகள் டயோஃபாண்டைன் வடிவியல் இயற்கணித எண் கோட்பாடு இயற்கணிதம்