Inductive dimension
இடவியல் கணிதத் துறையில், ஒரு இடவியல் இடைவெளி X இன் தூண்டல் பரிமாணம் இரண்டு மதிப்புகளில் ஒன்றாகும், சிறிய தூண்டல் பரிமாணம் ind (X) அல்லது பெரிய தூண்டல் பரிமாணம் ind (X). இவை, n-பரிமாண யூக்ளிடியன் இடைவெளி Rn இல், (n−1)-பரிமாண கோளங்கள் (அதாவது, n-பரிமாண பந்துகளின் எல்லைகள்) பரிமாணம் n−1 ஐக் கொண்டுள்ளன என்ற அவதானிப்பை அடிப்படையாகக் கொண்டவை. எனவே பொருத்தமான திறந்த தொகுப்புகளின் எல்லைகளின் பரிமாணங்களின் அடிப்படையில் ஒரு இடத்தின் பரிமாணத்தை தூண்டக்கூடிய வகையில் வரையறுக்க முடியும். சிறிய மற்றும் பெரிய தூண்டல் பரிமாணங்கள் ஒரு இடவியல் இடத்திற்கான "பரிமாணம்" என்ற கருத்தை கைப்பற்றுவதற்கான மூன்று மிகவும் வழக்கமான வழிகளில் இரண்டு ஆகும், இது இடவியலை மட்டுமே சார்ந்துள்ளது (ஒரு மெட்ரிக் இடத்தின் பண்புகளில் அல்ல). மற்றொன்று லெபெஸ்கூ கவரிங் பரிமாணம். "இடவியல் பரிமாணம்" என்ற சொல் பொதுவாக லெபெஸ்கூ மூடும் பரிமாணத்தைக் குறிக்கும் வகையில் புரிந்து கொள்ளப்படுகிறது. "போதுமான அளவு நல்ல" இடைவெளிகளுக்கு, பரிமாணத்தின் மூன்று அளவீடுகள் சமமாக இருக்கும். முறையான வரையறை ஒரு புள்ளியின் பரிமாணம் 0 ஆக இருக்க வேண்டும் என்று நாம் விரும்புகிறோம், மேலும் ஒரு புள்ளிக்கு வெற்று எல்லை உள்ளது, எனவே நாம் அதனுடன் தொடங்குகிறோம் பின்னர், இண்டக்டிவ் (X) என்பது மிகச்சிறிய n ஆகும், அதாவது, x ஐக் கொண்ட ஒவ்வொரு திறந்த தொகுப்பு U க்கும், x ஐக் கொண்ட ஒரு திறந்த தொகுப்பு V உள்ளது, அதாவது V இன் மூடல் U இன் துணைக்குழுவாகும், மேலும் V இன் எல்லை n−1 ஐ விட குறைவாகவோ அல்லது சமமாகவோ சிறிய தூண்டல் பரிமாணத்தைக் கொண்டுள்ளது. (X ஒரு யூக்ளிடியன் n-பரிமாண இடைவெளி என்றால், V ஐ x ஐ மையமாகக் கொண்ட ஒரு n-பரிமாண பந்தாக தேர்வு செய்யலாம்.) பெரிய தூண்டல் பரிமாணத்திற்கு, V இன் தேர்வை இன்னும் கட்டுப்படுத்துகிறோம்; Ind (X) என்பது மிகச்சிறிய n ஆகும், அதாவது, X இன் ஒவ்வொரு திறந்த துணைக்குழுவின் F இன் ஒவ்வொரு மூடிய துணைக்குழுவிற்கும், இடையில் ஒரு திறந்த V உள்ளது (அதாவது, F என்பது V இன் துணைக்குழுவாகும் மற்றும் V இன் மூடல் U இன் துணைக்குழுவாகும்), அதாவது V இன் எல்லை n−1 ஐ விட குறைவாகவோ அல்லது சமமாகவோ பெரிய தூண்டல் பரிமாணத்தைக் கொண்டுள்ளது. பரிமாணங்களுக்கிடையேயான உறவு லெபெஸ்கூ உள்ளடக்கிய பரிமாணமாக இருக்கட்டும். எந்தவொரு இடவியல் இடைவெளி X க்கும், யூரிசோனின் தேற்றம் X ஒரு எண்ணக்கூடிய அடித்தளத்துடன் ஒரு இயல்பான இடைவெளி என்று கூறும்போது, அத்தகைய இடைவெளிகள் சரியாக பிரிக்கக்கூடிய மற்றும் அளவிடக்கூடிய X ஆகும் (யூரிசோனின் அளவீட்டு தேற்றத்தைப் பார்க்கவும்). நோபெலிங்-பான்ட்ரியாகின் தேற்றம் பின்னர் வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாணங்களைக் கொண்ட அத்தகைய இடைவெளிகள் யூக்ளிடியன் இடைவெளிகளின் துணை இடங்களாக ஹோமியோமார்பிசம் வரை அவற்றின் வழக்கமான இடவியல் மூலம் வகைப்படுத்தப்படுகின்றன என்று கூறுகிறது. மெங்கர்-நோபெலிங் தேற்றம் (1932) சுருக்கமான மெட்ரிக் பிரிக்கக்கூடியதாகவும், பரிமாணமாகவும் இருந்தால், அது யூக்ளிடியன் பரிமாண இடத்தின் துணை இடமாக உட்பொதிக்கிறது என்று கூறுகிறது. (ஜார்ஜ் நோபெலிங் கார்ல் மெங்கரின் மாணவராக இருந்தார். அவர் நோபெலிங் இடத்தை அறிமுகப்படுத்தினார், குறைந்தபட்சம் ஒருங்கிணைப்புகள் பகுத்தறிவற்ற எண்களாக இருக்கும் புள்ளிகளைக் கொண்ட துணைப்பகுதி, இது பரிமாண இடைவெளிகளை உட்பொதிப்பதற்கான உலகளாவிய பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது. எக்ஸ் அளவீடு மட்டுமே நம்மிடம் உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம் (மிரோஸ்லாவ் கட்டேடோவ்) இண்டு எக்ஸ் ≤ இண்டு எக்ஸ் = டிம் எக்ஸ்; அல்லது எக்ஸ் காம்பாக்ட் மற்றும் ஹாஸ்டோர்ஃப் (பி. எஸ். அலெக்ஸாண்ட்ரோவ்) டிம் எக்ஸ் ≤ இண்டு எக்ஸ் ≤ இண்டு எக்ஸ் என்று வைத்துக்கொள்வோம். இங்கே சமத்துவமின்மை கடுமையானதாக இருக்கலாம்; விளாடிமிர் வி. பிலிப்போவின் ஒரு எடுத்துக்காட்டு இரண்டு தூண்டல் பரிமாணங்களும் வேறுபடலாம் என்பதைக் காட்டுகிறது. ஒரு பிரிக்கக்கூடிய மெட்ரிக் இடைவெளி X, இடத்தின் ஒவ்வொரு மூடிய துணை இடத்திற்கும், ஒவ்வொரு தொடர்ச்சியான வரைபடத்திற்கும் ஒரு தொடர்ச்சியான நீட்டிப்பு இருந்தால் மட்டுமே சமத்துவமின்மையை திருப்திப்படுத்துகிறது. கிரில்லி, டோனி, 2005, "பால் யூரிசோன் மற்றும் கார்ல் மெங்கர்ஃ பரிமாணக் கோட்பாடு குறித்த ஆவணங்கள்" கிரட்டன்-கின்னஸ், I., பதிப்பு, மேற்கத்திய கணிதத்தில் மைல்கல் எழுத்துக்கள். எல்செவியர்ஃ 844-55. ஆர். ஏங்கெல்கிங், பரிமாணங்களின் கோட்பாடு. ஃபைனைட் அண்ட் இன்ஃபைனைட், ஹெல்டர்மேன் வெர்லாக் (1995). வி. வி. ஃபெடோர்சுக், பரிமாணக் கோட்பாட்டின் அடிப்படைகள், கணித அறிவியல் கலைக்களஞ்சியம், தொகுதி 17, பொது இடவியல் I, (1993) ஏ. வி. ஆர்க்காஞ்சல்ஸ்கி மற்றும் எல். எஸ். பொண்ட்ரியாகின் (பதிப்புகள். ), ஸ்பிரிங்கர்-வெர்லாக், பெர்லின். வி. வி. பிலிப்போவ், பைக்காம்பாக்டாவின் உற்பத்தியின் தூண்டல் பரிமாணத்தில், சோவியத். கணிதம். , 13 (1972), N°1,250-254. ஏ. ஆர். பியர்ஸ், பொது இடங்களின் பரிமாணக் கோட்பாடு, கேம்பிரிட்ஜ் பல்கலைக்கழக அச்சகம் (1975). பரிமாணக் கோட்பாடு