Noether normalization lemma
கணிதத்தில், நோதர் இயல்பாக்கம் லெம்மா என்பது 1926 ஆம் ஆண்டில் எம்மி நோதரால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட பரிமாற்ற இயற்கணிதத்தின் விளைவாகும். எந்தவொரு புலம் k க்கும், இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட எந்த பரிமாற்ற k-இயற்கணிதம் A க்கும், இயற்கணித ரீதியாக சுயாதீனமான கூறுகள் உள்ளன என்று அது கூறுகிறது y1, y2,., yd ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை வளையம் S = k [y1, y2,., yd] மீது இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட தொகுதி. முழு எண் d என்பது வளையம் A இன் க்ருல் பரிமாணத்திற்கு சமம்; மற்றும் A ஒரு ஒருங்கிணைந்த களமாக இருந்தால், d என்பது k க்கு மேல் A இன் பின்னங்களின் புலத்தின் மிகைப்படுத்தப்பட்ட டிகிரியும் ஆகும். A என்பது ஒரு அஃபைன் வகை X இன் ஒருங்கிணைப்பு வளையம் என்று வைத்துக்கொள்வோம், மேலும் S ஐ ஒரு d-பரிமாண அஃபைன் இடத்தின் ஒருங்கிணைப்பு வளையமாகக் கருதுங்கள். பின்னர் சேர்க்கை வரைபடம் அஃபைன் வகைகளின் ஒரு சர்ஜெக்டிவ் ஃபைனைட் மார்ஃபிசத்தைத் தூண்டுகிறதுஃ அதாவது, எந்தவொரு அஃபைன் வகையும் அஃபைன் இடத்தின் கிளை மூடுதலாகும். k எல்லையற்றதாக இருக்கும்போது, X ஐக் கொண்ட ஒரு அஃபைன் இடத்திலிருந்து ஒரு d-பரிமாண துணை இடத்திற்கு ஒரு பொதுவான திட்டத்தை எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம் அத்தகைய கிளை மூடுதல் வரைபடத்தை உருவாக்க முடியும். மேலும் பொதுவாக, திட்டங்களின் மொழியில், தேற்றத்தை சமமாக இவ்வாறு கூறலாம்ஃ ஒவ்வொரு அஃபைன் k-திட்டமும் (வரையறுக்கப்பட்ட வகை) X ஒரு அஃபைன் n-பரிமாண இடைவெளியில் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. R இன் இலட்சியங்களின் சங்கிலியை (சமமாக, X இன் மூடிய துணைக்குழுக்கள்) சேர்க்க இந்த தேற்றத்தை சுத்திகரிக்க முடியும், அவை தொடர்புடைய பரிமாணங்களின் அஃபைன் ஒருங்கிணைப்பு துணை இடங்களுக்கு மேல் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளன. பாரம்பரிய இயற்கணித வடிவவியலின் மிக அடிப்படையான முடிவுகளில் ஒன்றான ஹில்பர்ட்டின் நல்ஸ்டெல்லென்சாட்ஸை நிரூபிப்பதில் நோதர் இயல்பாக்கம் லெம்மாவை ஒரு முக்கியமான படியாகப் பயன்படுத்தலாம். k-ஆல்ஜிப்ராக்களுக்கான க்ருல் பரிமாணத்தின் கருத்துக்களை நிறுவுவதில் இயல்பாக்குதல் தேற்றம் ஒரு முக்கியமான கருவியாகும். ஆதாரம் மம்ஃபோர்டின் சிவப்பு புத்தகத்தைத் தொடர்ந்து, பின்வரும் ஆதாரம் நாகாட்டாவின் காரணமாகும். மேலும் ஒரு வடிவியல் சான்று சிவப்பு புத்தகத்தின் பக்கம் 127 இல் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. லெம்மாவில் உள்ள வளையம் A சில உறுப்புகளால் k-இயற்கணிதமாக உருவாக்கப்படுகிறது. எம் மீது நாம் தூண்டுவோம். என்றால், பின்னர் கூற்று அற்பமானது. இப்போது அனுமானியுங்கள். A இன் ஒரு துணை வளையம் S உள்ளது என்பதைக் காட்ட இது போதுமானது, இது உறுப்புகளால் உருவாக்கப்படுகிறது, அதாவது A என்பது S ஐ விட வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. உண்மையில், தூண்டல் கருதுகோள் மூலம், S இன் இயற்கணித ரீதியாக சுயாதீனமான கூறுகளைக் காணலாம், அதாவது S என்பது வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. இல்லையெனில் நிரூபிக்க எதுவும் இருக்காது என்பதால், k க்கு மேல் m மாறிகளில் பூஜ்ஜியமற்ற பல்லுறுப்புக்கோவை f உள்ளது என்றும் நாம் கருதலாம். பின்னர் தீர்மானிக்கப்படும் ஒரு முழு எண் r கொடுக்கப்பட்டால், அமைக்கவும் பின்னர் முந்தையது பின்வருமாறுஃ இப்போது, மேலே உள்ள சமன்பாட்டின் இடது புறத்தில் குணகத்துடன் ஒரு மோனோமியல் தோன்றினால், உற்பத்தியை விரிவுபடுத்திய பிறகு மிக உயர்ந்த சொல், மேலே உள்ள எக்ஸ்போனன்ட் வேறு சில மோனோமியலால் உற்பத்தி செய்யப்படும் மிக உயர்ந்த எக்ஸ்போனென்ட்டுடன் உடன்படும்போதெல்லாம், மிக உயர்ந்த சொல் மேலே உள்ள வடிவத்தில் இருக்காது, ஏனெனில் அது ரத்துசெய்யப்படுவதால் பாதிக்கப்படலாம். இருப்பினும், f இல் தோன்றும் எந்த அடுக்கையும் விட r பெரியதாக இருந்தால், ஒவ்வொன்றும் ஒரு தனித்துவமான அடிப்படை r எண்ணை குறியாக்கம் செய்கின்றன, எனவே இது ஏற்படாது. எனவே இது ஒருங்கிணைந்ததாகும். அவை அந்த வளையத்தின் மீது ஒருங்கிணைந்தவை என்பதால், A என்பது S இன் மீது ஒருங்கிணைந்ததாகும். இது பின்வருமாறு A என்பது S இன் மீது வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது, மேலும் S என்பது m-1 உறுப்புகளால் உருவாக்கப்படுவதால், தூண்டல் கருதுகோள் மூலம் நாம் செய்கிறோம். A ஒரு ஒருங்கிணைந்த களமாக இருந்தால், d என்பது அதன் பின்னங்களின் புலத்தின் மிகை நிலை. உண்மையில், A மற்றும் A இன் பின்னங்களின் புலம் S இன் புலத்தை விட இயற்கணிதமாக இருப்பதால் (அதாவது, பின்னங்களின் புலத்தின் அளவு) அதே மிகைப்படுத்தல் டிகிரியைக் கொண்டுள்ளன (ஏனெனில் A என்பது S இன் மீது ஒருங்கிணைந்ததாக இருப்பதால்) மற்றும் S என்பது மிகைப்படுத்தல் டிகிரி d ஐக் கொண்டுள்ளது. வழக்கு அற்பமானதாக இருப்பதால், நாம் டி மீது தூண்டுகிறோம். பகா இலட்சியங்களின் சங்கிலி என்பதால், பரிமாணம் குறைந்தபட்சம் d ஆகும். தலைகீழ் மதிப்பீட்டைப் பெற, பகா இலட்சியங்களின் சங்கிலியாக இருக்கட்டும். விடுங்கள். நாம் நொதர் இயல்பாக்கலைப் பயன்படுத்துகிறோம் மற்றும் பெறுகிறோம் (இயல்பாக்குதல் செயல்பாட்டில், முதல் மாறியைத் தேர்வுசெய்ய நாம் சுதந்திரமாக இருக்கிறோம்) அதாவது எஸ் டி மீது ஒருங்கிணைந்ததாகும். தூண்டல் கருதுகோள் மூலம், பரிமாணம் டி-1 உள்ளது. ஒப்பிடமுடியாத தன்மையால், நீளத்தின் சங்கிலி, பின்னர், அது நீளத்தின் சங்கிலியாக மாறுகிறது. அப்போதிருந்து, எங்களிடம் உள்ளது. எனவே, நாகதாவின் கருத்தை அடிப்படையாகக் கொண்ட ஐசென்பூட்டின் புத்தகத்தில் பின்வரும் சுத்திகரிப்பு காணப்படுகிறதுஃ வடிவியல் ரீதியாகப் பேசுகையில், எந்தவொரு பொதுவான நேரியல் திட்டத்திற்கும் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட உருவகத்தைத் தூண்டுகிறது என்று தேற்றத்தின் கடைசி பகுதி கூறுகிறது (cf. லெட்); ஐசென்பட் தவிர, மேலும் பார்க்கவும். எடுத்துக்காட்டு பயன்பாடுஃ பொதுவான சுதந்திரம் இயல்பாக்குதல் லெம்மாவின் ஒரு பொதுவான அற்பமான பயன்பாடு பொதுவான சுதந்திர தேற்றம் ஆகும்ஃ இது ஒரு நொய்தேரியன் ஒருங்கிணைந்த களம் போன்ற வளையங்களாக இருக்கட்டும், மேலும் ஒரு வளைய ஹோமோமார்பிசம் உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம், இது இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட இயற்கணிதமாக வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. பின்னர் ஒரு இலவச-தொகுதி போன்ற சில உள்ளன. இதை நிரூபிக்க, பின்ன புலத்தின் பின்னமாக இருக்கட்டும். இன் க்ருல் பரிமாணத்தில் தூண்டல் மூலம் வாதிடுகிறோம். அடிப்படை வழக்கு என்பது க்ரல் பரிமாணம் இருக்கும் போது; அதாவது, அதாவது, அது போன்ற சில இருக்கும்போது, அது ஒரு-தொகுதியாக இலவசமாக இருக்கும். தூண்டல் படிநிலைக்கு, இது இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட-இயற்கணிதம் என்பதைக் கவனியுங்கள். எனவே நோதர் இயல்பாக்குதல் லெம்மாவின் மூலம், பல்லுறுப்புக்கோவை வளையத்தின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட இயற்கணித ரீதியாக சுயாதீனமான கூறுகளைக் கொண்டுள்ளது. ஒவ்வொன்றையும் கூறுகளால் பெருக்கினால், அவை உள்ளன என்று நாம் கருதலாம். இப்போது நாம் கருத்தில் கொள்கிறோம்ஃ இப்போது வரையறுக்கப்பட்டதாக இருக்காது, ஆனால் பின்வருமாறு ஒரு உறுப்பை தலைகீழாக மாற்றிய பிறகு அது வரையறுக்கப்படும். ஒரு உறுப்பு என்றால், பின்னர், ஒரு உறுப்பாக, அது ஒருங்கிணைந்த ஓவர்; அதாவது, சிலருக்கு. எனவே, சில குணகங்களின் அனைத்து வகுத்திகளையும் கொல்கின்றன, எனவே ஒருங்கிணைந்தவை. ஒரு-இயற்கணிதத்தின் சில வரையறுக்கப்பட்ட பல ஜெனரேட்டர்களைத் தேர்ந்தெடுத்து, ஒவ்வொரு ஜெனரேட்டருக்கும் இந்த அவதானிப்பைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், ஒருங்கிணைந்த (எனவே வரையறுக்கப்பட்ட) சிலவற்றைக் காண்கிறோம். மூலம் மாற்றவும், பின்னர் நாம் வரையறுக்கப்பட்டதாக கருதலாம். முடிக்க, பகா இலட்சியங்களுக்கு (அத்தகைய வடிகட்டுதல் தொடர்புடைய பகா எண்களின் கோட்பாட்டால் உள்ளது)-துணை தொகுதிகளால் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட வடிகட்டலைக் கவனியுங்கள். ஒவ்வொரு i க்கும், தூண்டல் கருதுகோள் மூலம், ஒரு-தொகுதியாக இலவசமாக இருக்கும் சிலவற்றை நாம் தேர்வு செய்யலாம், அதே நேரத்தில் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை வளையம் மற்றும் எனவே இலவசமாக இருக்கும். எனவே, ஒரு இலவச தொகுதி முடிந்துவிட்டது. குறிப்புகள் குறிப்புகள். என். பி. லெம்மா புதுப்பிக்கப்பட்ட கருத்துகளில் உள்ளது. ராபர்ட்ஸ், டி.: மோனோமியல் கூம்பு சிதைவுகளால் வழிநடத்தப்படும் நோதர் இயல்பாக்கம். ஜே. குறியீட்டு கணக்கீடு. 44 (10), 1359-1373 (2009) பரிமாற்ற இயற்கணிதம் இயற்கணித வகைகள் இயற்கணித வடிவவியலில் லெம்மாஸ்