Zolotarev's lemma
எண் கோட்பாட்டில், சோலோட்டரேவின் லெம்மா, ஒரு முழு எண் a மாடுலோ ஒரு ஒற்றைப்படை பகா எண் p க்கான லெஜெண்ட்ரே சின்னம், p a ஐ வகுக்காத இடத்தில், ஒரு வரிசைமாற்றத்தின் அடையாளமாக கணக்கிடப்படலாம் என்று கூறுகிறதுஃ இங்கு ε ஒரு வரிசைமாற்றத்தின் கையொப்பத்தைக் குறிக்கிறது மற்றும் πa என்பது பூஜ்ஜியமற்ற எச்ச வகுப்புகளின் வரிசைமாற்றமாகும். எடுத்துக்காட்டாக, a = 2 மற்றும் p = 7 ஐ எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். பூஜ்ஜியமற்ற வர்க்கங்கள் மட்டு 7 என்பது 1,2 மற்றும் 4 ஆகும், எனவே (2|7) = 1 மற்றும் (6|7) = −1 ஆகும். பூஜ்ஜியமற்ற எண்கள் மட்டு 7 இல் 2 ஆல் பெருக்கப்படுவது சுழற்சி சிதைவு (1,2,4) (3,6,5) ஐக் கொண்டுள்ளது, எனவே இந்த வரிசைமாற்றத்தின் அடையாளம் 1 ஆகும், இது (2|7). பூஜ்ஜியமற்ற எண்கள் மட்டு 7 இல் 6 ஆல் பெருக்கப்படுவது சுழற்சி சிதைவு (1,6) (2,5) (3,4) ஐக் கொண்டுள்ளது, அதன் அடையாளம்-1 ஆகும், இது (6|7). சான்று பொதுவாக, n வரிசையின் எந்த வரையறுக்கப்பட்ட குழு G க்கும், G இன் உறுப்பு g ஆல் இடது பெருக்கத்தால் செய்யப்பட்ட வரிசைமாற்றத்தின் கையொப்பத்தை தீர்மானிப்பது நேரடியானது. வரிசைமாற்ற πg சமமாக இருக்கும், ஒற்றைப்படை எண்ணிக்கையிலான சம அளவு கொண்ட சுற்றுப்பாதைகள் இல்லையென்றால். எனவே, n சமம் என்று கருதினால், πg ஒரு ஒற்றைப்படை வரிசைமாற்றமாக இருக்க வேண்டும், g க்கு k வரிசை இருக்கும்போது, n/k ஒற்றைப்படை இருக்க வேண்டும், அல்லது g ஆல் உருவாக்கப்படும் துணைக்குழு <g> ஒற்றைப்படை குறியீட்டைக் கொண்டிருக்க வேண்டும். பூஜ்ஜியமற்ற எண்களின் குழுவிற்கு இதைப் பயன்படுத்துவோம், இது p−1 வரிசையின் சுழற்சி குழுவாகும். ஒரு பழமையான மூல மாடுலோ p இன் jth சக்தி குறியீட்டின் மிகப்பெரிய பொதுவான வகுத்தி i = (j, p−1) ஐக் கொண்டிருக்கும். பூஜ்ஜியமற்ற எண் மோட் p ஒரு இருபடி எச்சமற்றதாக இருக்க வேண்டும் என்ற நிபந்தனை ஒரு பழமையான மூலத்தின் ஒற்றைப்படை சக்தியாக இருக்க வேண்டும். எனவே லெம்மா, j ஒற்றைப்படை ஆக இருக்கும்போது i ஒற்றைப்படை என்றும், இது ஒரு ஃபோர்டியோரி என்றும், i ஒற்றைப்படை ஆக இருக்கும்போது j ஒற்றைப்படை என்றும் கூறுகிறது, இது உண்மை, ஏனெனில் p−1 இரட்டைப்படை (p ஒற்றைப்படை). மற்றொரு சான்று சோலோடரேவின் லெம்மாவை காஸின் லெம்மாவிலிருந்தும் அதற்கு நேர்மாறாகவும் எளிதில் யூகிக்க முடியும். உதாரணத்திற்கு, அதாவது. a = 3 மற்றும் p = 11 கொண்ட லெஜெண்ட்ரே சின்னம் (a/p), ஆதாரம் எவ்வாறு செல்கிறது என்பதை விளக்கும். {1,2,.... என்ற தொகுப்புடன் தொடங்குங்கள். எந்தவொரு நெடுவரிசையிலும் உள்ள இரண்டு உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகை பூஜ்ஜிய மட்டு p ஆக இருக்கும் வகையில் இரண்டு வரிசைகளின் மேட்ரிக்ஸாக அமைக்கப்பட்ட p − 1}, இவ்வாறு சொல்லுங்கள்ஃ வரிசைமாற்றத்தைப் பயன்படுத்துங்கள்ஃ நெடுவரிசைகள் இன்னும் ஒரு நெடுவரிசையில் உள்ள இரண்டு உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகை பூஜ்ஜிய மட்டு p என்ற பண்பைக் கொண்டுள்ளன. இப்போது ஒரு வரிசைமாற்ற V ஐப் பயன்படுத்தவும், இது எந்த ஜோடிகளையும் மாற்றுகிறது, இதில் மேல் உறுப்பினர் முதலில் குறைந்த உறுப்பினராக இருந்தார்ஃ இறுதியாக, ஒரு வரிசைமாற்ற W ஐப் பயன்படுத்தவும், இது அசல் மேட்ரிக்ஸை திரும்பப் பெறுகிறதுஃ எங்களிடம் W − 1 = VU உள்ளது. Solotarev இன் லெம்மா (a/p) = 1 என்று கூறுகிறது, U வரிசைமாற்றமானது சமமாக இருந்தால் மட்டுமே. காஸ் லெம்மா (a/p) = 1 என்றால் v சமம் என்று கூறுகிறது. ஆனால் W என்பது சமம், எனவே கொடுக்கப்பட்ட (ஆனால் தன்னிச்சையான) a மற்றும் p க்கு இரண்டு லெம்மாக்கள் சமமானவை. ஜாகோபி சின்னம் ஒரு வரிசைமாற்றத்தின் அடையாளமாக லெஜெண்டர் சின்னத்தின் இந்த விளக்கத்தை ஜாகோபி சின்னத்திற்கு நீட்டிக்க முடியும், அங்கு a மற்றும் n ஆகியவை ஒற்றைப்படை n> 0 உடன் ஒப்பீட்டளவில் பகா முழு எண்கள்ஃ a என்பது தலைகீழ் மோட் n ஆகும், எனவே Z/nZ இல் a ஆல் பெருக்குவது ஒரு வரிசைமாற்றமாகும், மேலும் ஜோலோடரேவின் லெம்மாவின் பொதுமைப்படுத்தல் என்பது மேலே உள்ள ஜாகோபி சின்னம் இந்த வரிசைமாற்றத்தின் அறிகுறியாகும். எடுத்துக்காட்டாக, Z/21Z இல் 2 ஆல் பெருக்கப்படுவது சுழற்சி சிதைவு (0) (1,2,4,8,16,11) (3,6,12) (5,10,20,19,17,13) (7,14) (9,18,15) ஐக் கொண்டுள்ளது, எனவே இந்த வரிசைமாற்றத்தின் அடையாளம் (1) (−1) (1) (−1) (1) = −1 மற்றும் ஜாகோபி சின்னம் (2|21) −1 ஆகும். (மாட் 21 அலகுகளில் 2 ஆல் பெருக்குவது இரண்டு 6-சுழற்சிகளின் பெருக்கல் என்பதை நினைவில் கொள்க, எனவே அதன் அடையாளம் 1 ஆகும். எனவே சரியான வரிசைமாற்றத்தை வரையறுக்க மாட் n அலகுகள் மட்டுமல்லாமல் அனைத்து முழு எண்களையும் மாட் n ஐப் பயன்படுத்துவது முக்கியம்.) n = p ஒரு ஒற்றைப்படை பகா எண் மற்றும் a ஐ p ஆல் வகுக்க முடியாதபோது, ஒரு திருத்தத்தால் பெருக்கல் 0 மட்டு p, எனவே அனைத்து எண்களிலும் a ஆல் பெருக்கப்படும் அடையாளம் மட்டு p மற்றும் அலகுகளில் மட்டு p ஒரே அடையாளத்தைக் கொண்டுள்ளன. ஆனால் மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டில் நாம் பார்ப்பது போல், கலப்பு n க்கு அப்படி இல்லை. இந்த லெம்மா 1872 ஆம் ஆண்டு யெகோர் இவானோவிச் சோலோடரேவ் என்பவரால் இருபடி பரஸ்பர பரிமாற்றத்தின் சான்றாக அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. குறிப்புகள் வெளிப்புற இணைப்புகள் சோலோடரேவின் லெம்மா பற்றிய பிளானட்மத் கட்டுரை; எண் கோட்பாட்டில் லெம்மாஸ் சான்றுகளைக் கொண்ட அவரது இருபடி பரஸ்பர சான்றுகள் அடங்கும் வரிசைமாற்றங்கள் எண் கோட்பாட்டில் இருபடி எச்சங்கள் சதுரங்கள்