Graph pebbling
வரைபட கூழாங்கல் என்பது ஒரு வரைபடத்தில் அதன் ஒவ்வொரு செங்குத்திலும் பூஜ்ஜியம் அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட கூழாங்கற்களுடன் விளையாடப்படும் ஒரு கணித விளையாட்டு ஆகும். 'கேம் பிளே' என்பது தொடர்ச்சியான கூழாங்கல் நகர்வுகளால் ஆனது. ஒரு வரைபடத்தில் ஒரு கூழாங்கல் நகர்வு குறைந்தது இரண்டு கூழாங்கற்களைக் கொண்ட ஒரு உச்சியைத் தேர்ந்தெடுப்பது, அதிலிருந்து இரண்டு கூழாங்கற்களை அகற்றுவது மற்றும் அருகிலுள்ள உச்சியில் ஒன்றைச் சேர்ப்பது (இரண்டாவது அகற்றப்பட்ட கூழாங்கல் விளையாட்டிலிருந்து நிராகரிக்கப்படுகிறது). π (G), G வரைபடத்தின் கூழாங்கல் எண், பின்வரும் நிபந்தனையை திருப்திப்படுத்தும் மிகக் குறைந்த இயற்கையான எண் n ஆகும்ஃ வரைபடத்தில் உள்ள எந்த இலக்கு அல்லது 'ரூட்' உச்சி மற்றும் வரைபடத்தில் உள்ள n கூழாங்கற்களின் ஆரம்ப உள்ளமைவு ஆகியவற்றைக் கருத்தில் கொண்டால், தொடர்ச்சியான கூழாங்கற்கள் நகர்வுகளுக்குப் பிறகு, நியமிக்கப்பட்ட வேர் உச்சியில் ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட கூழாங்கற்களைக் கொண்ட ஒரு புதிய கட்டமைப்பை அடைய முடியும். எடுத்துக்காட்டாக, 2 செங்குத்துகள் மற்றும் 1 விளிம்பைக் கொண்ட ஒரு வரைபடத்தில் அவற்றை இணைக்கும் கூழாங்கல் எண் 2 ஆகும். வரைபடத்தின் உச்சிகளில் இரண்டு கூழாங்கற்கள் எப்படி வைக்கப்பட்டிருந்தாலும், வரைபடத்தில் உள்ள எந்த உச்சிக்கும் ஒரு கூழாங்கற்களை நகர்த்துவது எப்போதும் சாத்தியமாகும். கிராஃப் பெப்ளிங்கின் மைய கேள்விகளில் ஒன்று கொடுக்கப்பட்ட கிராஃப் ஜி க்கான π (ஜி) இன் மதிப்பு ஆகும். பெப்ளிங்கில் உள்ள பிற தலைப்புகளில் கவர் பெப்ளிங், உகந்த பெப்ளிங், டொமினேஷன் கவர் பெப்ளிங், எல்லைகள் மற்றும் பெப்ளிங் எண்களுக்கான வரம்புகள் மற்றும் ஆழமான கிராஃப்கள் ஆகியவை அடங்கும். π (G)-ஒரு வரைபடத்தின் கூழாங்கல் எண் கூழாங்கல் விளையாட்டை முதன்முதலில் லகாரியாஸ் மற்றும் சாக்ஸ் ஆகியோர் பரிந்துரைத்தனர், இது எண் கோட்பாட்டில் ஒரு குறிப்பிட்ட சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான ஒரு கருவியாகும். 1989இல் எஃப். ஆர். கே. சுங் இந்த கருத்தை இலக்கியத்தில் அறிமுகப்படுத்தினார் மற்றும் கூழாங்கல் எண், π (G) ஐ வரையறுத்தார். n செங்குத்துகளில் ஒரு முழுமையான வரைபடத்திற்கான கூழாங்கல் எண் n என்று எளிதில் சரிபார்க்கப்படுகிறதுஃ வரைபடத்தில் வைக்க நம்மிடம் (n−1) கூழாங்கற்கள் இருந்தால், இலக்கைத் தவிர ஒவ்வொரு உச்சியிலும் ஒரு கூழாங்கற்களை வைக்கலாம். எந்த முனையிலும் இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட கூழாங்கற்கள் இல்லாததால், எந்த நகர்வுகளும் சாத்தியமில்லை, எனவே இலக்கில் ஒரு கூழாங்கற்களை வைப்பது சாத்தியமற்றது. எனவே, கூழாங்கல் எண் n−1 ஐ விட அதிகமாக இருக்க வேண்டும். கொடுக்கப்பட்ட n கூழாங்கற்கள், இரண்டு சாத்தியமான நிகழ்வுகள் உள்ளன. ஒவ்வொரு முனையிலும் ஒரு கூழாங்கல் இருந்தால், நகர்வுகள் தேவையில்லை. எந்தவொரு உச்சியும் வெற்று என்றால், குறைந்தபட்சம் மற்றொரு உச்சியில் இரண்டு கூழாங்கற்கள் இருக்க வேண்டும், மேலும் ஒரு கூழாங்கற்கள் நகர்வு முழுமையான வரைபடத்தில் உள்ள எந்த இலக்கு உச்சியிலும் ஒரு கூழாங்கற்களைச் சேர்க்க அனுமதிக்கிறது. π (G) வரைபடங்களின் குடும்பங்களுக்கு கூழாங்கல் எண் பின்வரும் வரைபடங்களின் குடும்பங்களுக்கு அறியப்படுகிறதுஃ, இங்கே n செங்குத்துகளில் ஒரு முழுமையான வரைபடம் உள்ளது. , n செங்குத்துகளில் ஒரு பாதை வரைபடம் எங்கே. , n செங்குத்துகளில் ஒரு சக்கர வரைபடம் எங்கே. கிரஹாமின் கூழாங்கல் அனுமானம் ரொனால்ட் கிரஹாமின் வரைபடங்களின் கார்ட்டீசியன் உற்பத்தியின் கூழாங்கல் எண்ணிக்கை உற்பத்தியில் உள்ள காரணிகளின் கூழாங்கல் எண்களின் பெருக்கலுக்கு சமம் என்ற அனுமானத்தை பாராட்டியது. இது கிரஹாமின் கூழாங்கல் அனுமானம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. சிறப்பு வழக்குகள் அறியப்பட்டிருந்தாலும், இது தீர்க்கப்படாமல் உள்ளது. γ (G)-கிராஃப் க்ரல் மற்றும் பலவற்றின் கவர் பெப்ளிங் எண். கவர் பெப்ளிங் என்ற கருத்தை அறிமுகப்படுத்தினார். γ (G), ஒரு வரைபடத்தின் கவர் கூழாங்கல் எண் என்பது கூழாங்கற்களின் குறைந்தபட்ச எண்ணிக்கையாகும், இதனால் கூழாங்கற்களின் எந்தவொரு ஆரம்ப ஏற்பாட்டிலிருந்தும், தொடர்ச்சியான கூழாங்கற்கள் நகர்வுகளுக்குப் பிறகு, வரைபடம் மூடப்பட்டிருக்கும்ஃ ஒவ்வொரு உச்சியிலும் குறைந்தது ஒரு கூழாங்கற்கள் இருக்கும். அடுக்குதல் தேற்றம் என்று அழைக்கப்படும் ஒரு முடிவு எந்தவொரு வரைபடத்திற்கும் கவர் கூழாங்கல் எண்ணைக் கண்டறிகிறது. அடுக்குதல் தேற்றத்தின் படி, அனைத்து கூழாங்கற்களும் ஒரே உச்சியில் வைக்கப்படும்போது, மிக அதிகமான கூழாங்கற்கள் தீர்க்கப்பட வேண்டிய கூழாங்கற்களின் ஆரம்ப உள்ளமைவு நிகழ்கிறது. இந்த அவதானிப்பின் அடிப்படையில், G இல் உள்ள ஒவ்வொரு உச்சிக்கும் v ஐ வரையறுக்கவும், அங்கு d (u, v) என்பது u முதல் v வரையிலான தூரத்தைக் குறிக்கிறது. வரைபடங்களின் குடும்பங்களுக்கு γ (G) கவர் பெப்ளிங் எண் பின்வரும் வரைபடங்களின் குடும்பங்களுக்கு அறியப்படுகிறதுஃ, இங்கு n செங்குத்துகளில் ஒரு முழுமையான வரைபடம் உள்ளது. , n செங்குத்துகளில் ஒரு பாதை எங்கே. , n செங்குத்துகளில் ஒரு சக்கர வரைபடம் எங்கே. மேலும் காண்க பெப்பிள் விளையாட்டு விண்வெளி குறிப்புகளின் சான்று மேலும் வாசிப்பு வரைபட மாறிலிகள்