Hilbert class field
இயற்கணித எண் கோட்பாட்டில், எண் புலம் K இன் ஹில்பர்ட் வகுப்பு புலம் E என்பது K இன் அதிகபட்ச அபெலியன் ரம்மியமற்ற நீட்டிப்பாகும். K க்கு மேல் அதன் டிகிரி K இன் வகுப்பு எண்ணுக்கு சமம் மற்றும் K க்கு மேல் E இன் கலோயிஸ் குழு K இன் முதன்மை இலட்சியங்களுக்கான ஃப்ரோபீனியஸ் கூறுகளைப் பயன்படுத்தி K இன் சிறந்த வகுப்புக் குழுவிற்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும். இந்த சூழலில், K இன் ஹில்பர்ட் வகுப்பு புலம் வரையறுக்கப்பட்ட இடங்களில் (கிளாசிக்கல் இலட்சிய கோட்பாட்டு விளக்கம்) ரம்மியமற்றது மட்டுமல்ல, K இன் எல்லையற்ற இடங்களிலும் கூட உள்ளது. அதாவது, K இன் ஒவ்வொரு உண்மையான உட்பொதிப்பும் E இன் உண்மையான உட்பொதிப்புக்கு (E இன் சிக்கலான உட்பொதிப்புக்கு பதிலாக) விரிவடைகிறது. எடுத்துக்காட்டுகள் K இன் முழு எண்களின் வளையம் ஒரு தனித்துவமான காரணிமயமாக்கல் களமாக இருந்தால், குறிப்பாக, K அதன் சொந்த ஹில்பர்ட் வகுப்பு புலமாகும். பாகுபாடு காட்டட்டும். புலம் பாகுபாட்டைக் கொண்டுள்ளது, எனவே இது எல்லா இடங்களிலும் K இன் தடையற்ற நீட்டிப்பாகும், மேலும் இது அபெலியன் ஆகும். மின்காவ்ஸ்கி பிணைப்பைப் பயன்படுத்தி, K க்கு வகுப்பு எண் 2 உள்ளது என்பதைக் காட்டலாம். எனவே, அதன் ஹில்பர்ட் வகுப்பு புலம். K இன் முதன்மை அல்லாத இலட்சியம் (2, (1 +)/2) ஆகும், மேலும் L இல் இது முதன்மை இலட்சியமாக ((1 +)/2) மாறுகிறது. களம் 3 ஆம் வகுப்பைக் கொண்டுள்ளது. அதன் ஹில்பர்ட் வகுப்பு புலம் x3-x-1 இன் மூலத்தை இணைப்பதன் மூலம் உருவாக்கப்படலாம், இது பாகுபாடு-23 ஐக் கொண்டுள்ளது. ஆர்க்கிமிடியன் பகா எண்களில் விரிவாக்கம் ஏன் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்பட வேண்டும் என்பதைப் பார்க்க, 3 முதல் Q வரையிலான வர்க்கமூலத்தை இணைப்பதன் மூலம் பெறப்பட்ட உண்மையான இருபடி புலம் K ஐக் கவனியுங்கள். இந்த புலம் வகுப்பு எண் 1 மற்றும் பாகுபாடு 12 ஐக் கொண்டுள்ளது, ஆனால் பாகுபாடு 9 = 32 இன் நீட்டிப்பு K (i)/K K இல் உள்ள அனைத்து பகா இலட்சியங்களிலும் வரிசைப்படுத்தப்படவில்லை, எனவே K 1 ஐ விட அதிகமான டிகிரியின் வரையறுக்கப்பட்ட அபெலியன் நீட்டிப்புகளை ஏற்றுக்கொள்கிறது, இதில் K இன் அனைத்து வரையறுக்கப்பட்ட பகா எண்களும் வரிசைப்படுத்தப்படவில்லை. இது K இன் ஹில்பர்ட் வகுப்பு புலம் K தானே என்பதற்கு முரணாக இல்லைஃ K இன் ஒவ்வொரு சரியான வரையறுக்கப்பட்ட அபெலியன் நீட்டிப்பும் ஏதோ ஒரு இடத்தில் விரிவடைய வேண்டும், மேலும் K (i)/K நீட்டிப்பில் ஆர்க்கிமிடியன் இடங்களில் விரிவாக்கம் உள்ளதுஃ K இன் உண்மையான உட்பொதிப்புகள் K (i) இன் சிக்கலான (உண்மையானதை விட) உட்பொதிப்புகளுக்கு நீட்டிக்கப்படுகின்றன. சிக்கலான பெருக்கக் கோட்பாட்டின் படி, ஒரு கற்பனையான இருபடி புலத்தின் ஹில்பர்ட் வகுப்பு புலம் முழு எண்களின் வளையத்திற்கான (Z-தொகுதியாக) ஒரு ஜெனரேட்டரில் நீள்வட்ட மட்டு செயல்பாட்டின் மதிப்பால் உருவாக்கப்படுகிறது. கொடுக்கப்பட்ட எண் புலம் K க்கு ஒரு (குறுகிய) ஹில்பர்ட் வகுப்பு புலத்தின் இருப்பு பிலிப் ஃபர்ட்ட்வாங்லர் என்பவரால் யூகிக்கப்பட்டு நிரூபிக்கப்பட்டது. ஹில்பர்ட் வகுப்பு புலத்தின் இருப்பு ஒரு குறிப்பிட்ட புலத்தின் சிறந்த வகுப்புக் குழுவின் கட்டமைப்பைப் படிப்பதில் ஒரு மதிப்புமிக்க கருவியாகும். கூடுதல் பண்புகள் ஹில்பர்ட் வகுப்பு புலம் E பின்வருவனவற்றையும் திருப்திப்படுத்துகிறதுஃ E என்பது K மற்றும் [E: K] = hK இன் வரையறுக்கப்பட்ட காலோயிஸ் நீட்டிப்பாகும், இங்கு hK என்பது K இன் வகுப்பு எண். K இன் சிறந்த வகுப்புக் குழு K க்கு மேல் E இன் காலோயிஸ் குழுவிற்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும். OK இன் ஒவ்வொரு இலட்சியமும் வளைய நீட்டிப்பு OE (முதன்மை இலட்சிய தேற்றம்) இன் முதன்மை இலட்சியத்திற்கு நீண்டுள்ளது. OK இன் ஒவ்வொரு பிரைம் ஐடியல் P யும் OE இல் உள்ள hK/f பிரைம் ஐடியல்களின் பெருக்கலாக சிதைகிறது, இங்கு f என்பது OK இன் ஐடியல் கிளாஸ் குழுவில் உள்ள [P] இன் வரிசையாகும். உண்மையில், E என்பது முதல், இரண்டாவது மற்றும் நான்காவது பண்புகளை திருப்திப்படுத்தும் தனித்துவமான புலமாகும். தெளிவான கட்டமைப்புகள் K என்பது கற்பனையான இருபடி மற்றும் A என்பது K இன் முழு எண்களின் வளையத்தால் சிக்கலான பெருக்கத்துடன் கூடிய நீள்வட்ட வளைவாக இருந்தால், பின்னர் A முதல் K வரையிலான j-மாறுபாட்டை ஒட்டியிருப்பது ஹில்பர்ட் வகுப்பு புலத்தை அளிக்கிறது. வகைப்புலக் கோட்பாட்டில், கொடுக்கப்பட்ட மாடுலஸைப் பொறுத்தவரை கதிர் வகுப்பு புலத்தைப் பற்றி ஒருவர் ஆய்வு செய்கிறார், இது பகா இலட்சியங்களின் (ஒருவேளை, ஆர்க்கிமீடியன் உட்பட) முறையான விளைபொருளாகும். கதிர் வகுப்பு புலம் என்பது மாடுலஸைப் பிரிக்கும் பகா எண்களுக்கு வெளியே ரம்மி செய்யப்படாத அதிகபட்ச அபெலியன் நீட்டிப்பாகும், மேலும் மாடுலஸைப் பிரிக்கும் பகா எண்களில் ஒரு குறிப்பிட்ட விரிவாக்க நிலையை திருப்திப்படுத்துகிறது. ஹில்பர்ட் வகுப்பு புலம் பின்னர் அற்பமான மாடுலஸ் 1 ஐப் பொறுத்தவரை கதிர் வகுப்பு புலமாகும். குறுகிய வகுப்பு புலம் என்பது அனைத்து எல்லையற்ற பகா எண்களையும் கொண்ட மாடுலஸைப் பொறுத்தவரை கதிர் வகுப்பு புலமாகும். எடுத்துக்காட்டாக, மேலே உள்ள வாதம் குறுகிய வர்க்க புலம் என்பதைக் காட்டுகிறது. குறிப்புகள் குறிப்புகள் ஜே. எஸ். மில்னே, கிளாஸ் ஃபீல்ட் தியரி (பாடநெறி குறிப்புகள் http://www.jmilne.org/math இல் கிடைக்கின்றன). குறிப்புகளின் அறிமுக அத்தியாயத்தைப் பார்க்கவும், குறிப்பாக பக்கம் 4. வகுப்பு களக் கோட்பாடு