Grothendieck–Katz p-curvature conjecture
கணிதத்தில், கிரோதெண்டிக்-காட்ஸ் p-வளைவு அனுமானம் என்பது நேரியல் சாதாரண வேறுபட்ட சமன்பாடுகளுக்கான ஒரு உள்ளூர்-உலகளாவிய கொள்கையாகும், இது வேறுபட்ட கலோயிஸ் கோட்பாட்டுடன் தொடர்புடையது மற்றும் ஒரு தளர்வான அர்த்தத்தில் செபோட்டரேவ் அடர்த்தி தேற்றத்தின் முடிவுடன் ஒத்திருக்கிறது. இது 1960 களின் பிற்பகுதியில் இருந்து அலெக்சாண்டர் கிரோதெண்டீக்கின் ஒரு அனுமானமாகும், மேலும் அவர் எந்த வடிவத்திலும் வெளியிடவில்லை. சமீபத்திய முன்னேற்றம் இருந்தபோதிலும், பொதுவான வழக்கு தீர்க்கப்படாமல் உள்ளது; இது இயற்கணித இலைகளுடன் தொடர்புடைய வடிவியல் விசாரணைகளுடன் இணைக்கப்பட்டுள்ளது. ஒரு எளிய சாத்தியமான அறிக்கையில், n அளவு கொண்ட திசையன் v மற்றும் இயற்கணித எண் குணகங்களைக் கொண்ட இயற்கணித செயல்பாடுகளின் n × n அணி A என எழுதப்பட்ட ஒரு திசையன் அமைப்பிற்கான அதன் அத்தியாவசியங்களில் அனுமானத்தை கூறலாம். கேள்வி என்னவென்றால், இயற்கணித செயல்பாட்டு தீர்வுகளின் முழு தொகுப்பு இருக்கும்போது ஒரு அளவுகோலை வழங்குவதாகும், அதாவது ஒரு அடிப்படை அணி (அதாவது. n திசையன் தீர்வுகள் ஒரு தொகுதி மேட்ரிக்ஸில் வைக்கப்படுகின்றன). எடுத்துக்காட்டாக, ஹைப்பர்ஜியோமெட்ரிக் சமன்பாட்டிற்கான ஒரு பாரம்பரிய கேள்விஃ அதன் அளவுருக்களின் அடிப்படையில் ஒரு ஜோடி இயற்கணித தீர்வுகள் எப்போது இருக்கும்? இந்த பதில் பாரம்பரியமாக ஸ்வார்ஸின் பட்டியல் என்று அழைக்கப்படுகிறது. மோனோட்ரோமி சொற்களில், வரையறுக்கப்பட்ட மோனோட்ரோமி குழுவின் நிகழ்வுகளை அடையாளம் காண்பதுதான் கேள்வி. மறுசீரமைப்பு மற்றும் ஒரு பெரிய அமைப்புக்கு அனுப்புவதன் மூலம், அத்தியாவசிய வழக்கு A மற்றும் விகிதமுறு எண் குணகங்களில் விகிதமுறு செயல்பாடுகளுக்கானது. பின்னர் ஒரு தேவையான நிபந்தனை என்னவென்றால், கிட்டத்தட்ட அனைத்து பகா எண்களுக்கும் p, குறைப்பு மாடுலோ p ஆல் வரையறுக்கப்பட்ட அமைப்பு, p உறுப்புகளுடன் வரையறுக்கப்பட்ட புலத்தின் மீது, இயற்கணித தீர்வுகளின் முழு தொகுப்பையும் கொண்டிருக்க வேண்டும். கிரோதெண்டீக்கின் அனுமானம் என்னவென்றால், இந்த தேவையான நிபந்தனைகள், கிட்டத்தட்ட அனைத்து p க்கும் போதுமானதாக இருக்க வேண்டும். பி-வளைவுடனான தொடர்பு என்னவென்றால், கூறப்பட்ட மோட் பி நிபந்தனை ஏ மீது மீண்டும் மீண்டும் செயல்பாட்டால் உருவாக்கப்பட்ட பி-வளைவு பூஜ்ஜியம் என்று சொல்வதற்கு சமம்; எனவே இதைச் சொல்வதற்கான மற்றொரு வழி என்னவென்றால், கிட்டத்தட்ட அனைத்து பி-க்கும் 0 இன் பி-வளைவு அசல் சமன்பாட்டின் போதுமான இயற்கணித தீர்வுகளைக் குறிக்கிறது. கலோயிஸ் குழுவிற்கான காட்ஸின் சூத்திரம் நிக்கோலஸ் காட்ஸ் இந்த அனுமானம் அடிப்படையில் வேறுபட்ட கலோயிஸ் குழு G (அல்லது கண்டிப்பாக இயற்கணிதக் குழு G இன் லை இயற்கணிதம் g ஐப் பேசுவது, இந்த விஷயத்தில் மோனோட்ரோமி குழுவின் ஜாரிஸ்கி மூடல்) ஒரு குறிப்பிட்ட பரந்த வகை வேறுபாடு சமன்பாடுகளுக்கு, மோட் p தகவல்களால் தீர்மானிக்கப்படலாம் என்பதைக் காட்ட தனக்கியன் வகை நுட்பங்களைப் பயன்படுத்தியுள்ளது. முன்னேற்றம் பென்சன் ஃபார்ப் மற்றும் மார்க் கிசின் ஆகியோரால் ஒரு பரந்த வகை வழக்குகள் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளன; இந்த சமன்பாடுகள் சில குழு-கோட்பாட்டு நிலைமைகளுக்கு உட்பட்டு உள்ளூரில் சமச்சீர் வகை X இல் உள்ளன. இந்த வேலை பிகார்ட்-ஃபுக்ஸ் சமன்பாடுகளுக்கான காட்ஸின் முந்தைய முடிவுகளை அடிப்படையாகக் கொண்டது (காஸ்-மானின் இணைப்பின் சமகால அர்த்தத்தில்), ஆண்ட்ரே தன்னாக்கியன் திசையில் பெருக்கியது. இது குறிப்பிட்ட எண்கணிதக் குழுக்களுக்கு மிகைப்படுத்தலின் ஒரு பதிப்பையும் பயன்படுத்துகிறது. எண்கணித முறைகள் மூலம் மற்ற முன்னேற்றங்கள் ஏற்பட்டுள்ளன. வரலாறு நிக்கோலஸ் காட்ஸ் 1972 ஆம் ஆண்டில் சில நிகழ்வுகளை சிதைவுக் கோட்பாட்டுடன் தொடர்புபடுத்தினார், ஒரு கட்டுரையில் அனுமானம் வெளியிடப்பட்டது. அப்போதிருந்து, சீர்திருத்தங்கள் வெளியிடப்பட்டுள்ளன. வேறுபாடு சமன்பாடுகளுக்கான ஒரு q-அனலாக் முன்மொழியப்பட்டுள்ளது. 2009 கொலோக் கிரோதெண்டீக்கில் இந்த வேலை குறித்த கிசின் பேச்சுக்கு பதிலளிக்கும் வகையில், காட்ஸ் அனுமானத்தின் தோற்றம் பற்றிய தனிப்பட்ட அறிவிலிருந்து ஒரு சுருக்கமான கணக்கை வழங்கினார். கிரோதெண்டிக் அதை 1969 வசந்த காலத்தில் பொது விவாதத்தில் முன்வைத்தார், ஆனால் இந்த தலைப்பில் எதுவும் எழுதவில்லை. படிக ஒத்திசைவியல் துறையில் அடிப்படை உள்ளுணர்வுகளால் அவர் இந்த யோசனைக்கு வழிநடத்தப்பட்டார், அந்த நேரத்தில் அவரது மாணவர் பியர் பெர்டெலாட் உருவாக்கினார். இணைப்புகளின் கோட்பாட்டில் "நில்போட்டன்ஸ்" என்ற கருத்தை சமன் செய்ய விரும்பும் வகையில், படிகக் கோட்பாட்டில் தரமானதாக மாறிய பிளவுபட்ட சக்தி கட்டமைப்பு நுட்பத்துடன், கிரோதெண்டிக் ஒரு துணை தயாரிப்பாக அனுமானத்தை உருவாக்கினார். குறிப்புகள் மேற்கோள்கள் நிக்கோலஸ் எம். காட்ஸ், கடுமையான உள்ளூர் அமைப்புகள், அத்தியாயம் 9. மேலும் படிக்கஃ ஜீன்-பெனோயிட் போஸ்ட், எண் புலங்களின் மீது இயற்கணித இலைகளுக்கான இயற்கணித இலைகள், வெளியீடுகள் மாத்தமாட்டிக்ஸ் டி எல்ஐஹெச்இஎஸ், தொகுதி 93, எண் 1, செப்டம்பர் 2001 யவ்ஸ் ஆண்ட்ரே, சுர் லா கன்ஜெக்சர் டெஸ் பி-கோர்பர்ஸ் டி கிரோதெண்டிக்-காட்ஸ் எட் யுன் புரோப்லெம் டி டுவோர்க், டுவோர்க் கோட்பாட்டின் வடிவியல் அம்சங்களில் (2004), ஆசிரியர்கள் ஆலன் அடோல்ஃப்சன், பிரான்செஸ்கோ பால்டாஸரி, பியர் பெர்டெலாட், நிக்கோலஸ் காட்ஸ், பிரான்சுவா லோசர் ஆனந்த் பிள்ளை (2006), வேறுபட்ட இயற்கணிதம் மற்றும் நேரியல் வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் எண்கணிதம் குறித்த கிரோதெண்டிக்கின் அனுமானங்கள் இயற்கணிதம்