Fredholm alternative
கணிதத்தில், ஐவர் ஃப்ரெட்ஹோம் பெயரிடப்பட்ட ஃப்ரெட்ஹோம் மாற்று, ஃப்ரெட்ஹோம் கோட்பாடுகளில் ஒன்றாகும், இது ஃப்ரெட்ஹோம் கோட்பாட்டின் விளைவாகும். இது நேரியல் இயற்கணிதத்தின் தேற்றம், ஒருங்கிணைந்த சமன்பாடுகளின் தேற்றம் அல்லது ஃப்ரெட்ஹோம் ஆபரேட்டர்கள் பற்றிய தேற்றம் என பல வழிகளில் வெளிப்படுத்தப்படலாம். ஒரு சிறிய இயக்கியின் நிறமாலையில் பூஜ்ஜியமற்ற சிக்கலான எண் ஒரு ஐகென் மதிப்பு என்று முடிவின் ஒரு பகுதி கூறுகிறது. V ஒரு n-பரிமாண திசையன் இடைவெளி மற்றும் ஒரு நேரியல் மாற்றமாக இருந்தால், பின்வருவனவற்றில் ஒன்று சரியாக இருக்கும்ஃ V இல் உள்ள ஒவ்வொரு திசையனுக்கும் V இல் ஒரு திசையன் u உள்ளது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால்ஃ டி என்பது சர்ஜெக்டிவ் (அதேபோல் பைஜெக்டிவ், ஏனெனில் வி என்பது வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாணம்). மேட்ரிக்ஸின் அடிப்படையில் மிகவும் அடிப்படை சூத்திரம் பின்வருமாறு. ஒரு m × n மேட்ரிக்ஸ் A மற்றும் ஒரு m × 1 நெடுவரிசை திசையன் b ஐப் பொறுத்தவரை, பின்வருவனவற்றில் ஒன்று சரியாக இருக்க வேண்டும்ஃ ஒன்றுஃ A x = b க்கு x தீர்வு உள்ளது அல்லதுஃ AT y = 0 க்கு y உடன் y தீர்வு உள்ளது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், AT y = 0 போன்ற எந்த y க்கும், அது yTb = 0 ஐப் பின்தொடர்ந்தால் மட்டுமே A x = b க்கு ஒரு தீர்வு உள்ளது. ஒருங்கிணைந்த சமன்பாடுகள் ஒரு ஒருங்கிணைந்த கர்னலாக இருக்கட்டும், மேலும் ஒரே மாதிரியான சமன்பாடு, ஃப்ரெட்ஹோம் ஒருங்கிணைந்த சமன்பாடு மற்றும் ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளுங்கள் ஃப்ரெட்ஹோம் மாற்று என்பது, பூஜ்ஜியமற்ற ஒவ்வொரு நிலையான சிக்கலான எண்ணுக்கும், முதல் சமன்பாடு ஒரு அற்பமான தீர்வைக் கொண்டுள்ளது, அல்லது இரண்டாவது சமன்பாடு அனைத்திற்கும் ஒரு தீர்வைக் கொண்டுள்ளது. இந்த கூற்று உண்மையாக இருக்க போதுமான நிபந்தனை செவ்வகத்தில் சதுர ஒருங்கிணைப்பாக இருக்க வேண்டும் (a மற்றும்/அல்லது b கழித்தல் அல்லது கூட்டல் முடிவிலியாக இருக்கலாம்). அத்தகைய K ஆல் வரையறுக்கப்பட்ட ஒருங்கிணைந்த ஆபரேட்டர் ஹில்பர்ட்-ஷ்மிட் ஒருங்கிணைந்த ஆபரேட்டர் என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஃப்ரெட்ஹோம் ஆபரேட்டர்கள் பற்றிய செயல்பாட்டு பகுப்பாய்வு முடிவுகள் இந்த முடிவுகளை எல்லையற்ற பரிமாணங்களின் நெறிமுறைப்படுத்தப்பட்ட திசையன் இடைவெளிகளை முடிக்க பொதுமைப்படுத்துகின்றன; அதாவது, பானாச் இடைவெளிகள். ஒருங்கிணைந்த சமன்பாட்டை ஆபரேட்டர் குறியீட்டின் அடிப்படையில் பின்வருமாறு மறுசீரமைக்கலாம். இரண்டு மாறிகளில் ஒரு விநியோகம் அல்லது பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட செயல்பாடாகக் கருதப்படும் டைராக் டெல்டா செயல்பாட்டைக் குறிக்க (ஓரளவு முறைசாரா முறையில்) எழுதுங்கள். இந்த மொழியில், ஒருங்கிணைந்த சமன்பாடுகளுக்கான ஃப்ரெட்ஹோம் மாற்று வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண நேரியல் இயற்கணிதத்திற்கான ஃப்ரெட்ஹோம் மாற்றீட்டிற்கு ஒத்ததாக இருப்பதைக் காணலாம். மேலே குறிப்பிட்டபடி, ஒரு கர்னலுடன் ஒருங்கிணைப்பு மூலம் கொடுக்கப்பட்ட ஆபரேட்டர், ஹில்பர்ட்-ஷ்மிட் ஒருங்கிணைந்த ஆபரேட்டர் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இத்தகைய ஆபரேட்டர்கள் எப்போதும் கச்சிதமாக இருப்பார்கள். மேலும் பொதுவாக, ஃப்ரெட்ஹோம் மாற்று எந்த காம்பாக்ட் ஆபரேட்டராகவும் இருக்கும்போது செல்லுபடியாகும். ஃப்ரெட்ஹோம் மாற்றீட்டை பின்வரும் வடிவத்தில் மறுபரிசீலனை செய்யலாம்ஃ ஒரு பூஜ்ஜியமற்றது என்பது தீர்க்கும் நீள்வட்ட பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் களத்தில் உள்ளது அல்லது ஒரு ஐகென் மதிப்பு ஆகும் ஃப்ரெட்ஹோம் மாற்றீட்டை நேரியல் நீள்வட்ட எல்லை மதிப்பு சிக்கல்களைத் தீர்க்க பயன்படுத்தலாம். இதன் அடிப்படை விளைவு என்னவென்றால்ஃ சமன்பாடு மற்றும் பொருத்தமான பானாச் இடைவெளிகள் சரியாக அமைக்கப்பட்டிருந்தால், (1) ஒரே மாதிரியான சமன்பாடு ஒரு அற்பமான தீர்வைக் கொண்டுள்ளது, அல்லது (2) ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டை ஒவ்வொரு தரவுத் தேர்வுக்கும் தனித்தனியாக தீர்க்க முடியும். வாதம் பின்வருமாறு செல்கிறது. ஒரு பொதுவான எளிமையான நீள்வட்ட ஆபரேட்டர் எல் லாப்லாசியன் மற்றும் சில கீழ் வரிசை சொற்களாக இருக்கும். பொருத்தமான எல்லை நிபந்தனைகளுடன் இணைந்து, பொருத்தமான பானாச் இடைவெளி X இல் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது (இது எல்லை நிபந்தனைகள் மற்றும் தீர்வின் விரும்பிய ஒழுங்குமுறை ஆகிய இரண்டையும் குறியாக்கம் செய்கிறது), L என்பது X இலிருந்து தனக்குத்தானே ஒரு வரம்பற்ற ஆபரேட்டராக மாறுகிறது, மேலும் f ω X என்பது தரவுகளாக செயல்படும் சில செயல்பாடு, இதற்கு நாம் ஒரு தீர்வை விரும்புகிறோம். ஃப்ரெட்ஹோம் மாற்று, நீள்வட்ட சமன்பாடுகளின் கோட்பாட்டுடன் சேர்ந்து, இந்த சமன்பாட்டின் தீர்வுகளை ஒழுங்கமைக்க உதவும். ஒரு உறுதியான எடுத்துக்காட்டு ஒரு நீள்வட்ட எல்லை-மதிப்பு சிக்கலாக இருக்கும், இது எல்லை நிபந்தனையுடன் கூடுதலாக இருக்கும், அங்கு ωRn என்பது மென்மையான எல்லையுடன் ஒரு வரம்புக்குட்பட்ட திறந்த தொகுப்பாகும் மற்றும் h (x) ஒரு நிலையான குணகம் செயல்பாடு (ஒரு ஷ்ரோடிங்கர் ஆபரேட்டரின் விஷயத்தில் ஒரு ஆற்றல்). சமன்பாட்டை நாம் தீர்க்க விரும்பும் மாறுபடும் தரவு f ω X செயல்பாடு ஆகும். இங்கே ஒருவர் X ஐ அனைத்து சதுர-ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடுகளின் இடைவெளி L2 (ω) ஆக எடுத்துக்கொள்வார், மேலும் டோம் (L) பின்னர் சோபோலேவ் இடைவெளி W 2,2 (ω) ωW (ω) ஆகும், இது ω இல் உள்ள அனைத்து சதுர-ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடுகளின் தொகுப்புக்கு சமம், அதன் பலவீனமான முதல் மற்றும் இரண்டாவது வழித்தோன்றல்கள் உள்ளன மற்றும் சதுர-ஒருங்கிணைந்தவை, மேலும் இது ω இல் பூஜ்ஜிய எல்லை நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்கிறது. X சரியாகத் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டிருந்தால் (இந்த எடுத்துக்காட்டில் உள்ளதைப் போல), பின்னர் μ0>> 0 க்கு ஆபரேட்டர் L + μ0 நேர்மறையானது, பின்னர் நீள்வட்ட மதிப்பீடுகளைப் பயன்படுத்தி, L + μ0: Dom (L) → X ஒரு பைஜெக்ஷன் என்பதை நிரூபிக்க முடியும், மேலும் அதன் தலைகீழ் ஒரு சிறிய, எல்லா இடங்களிலும் வரையறுக்கப்பட்ட ஆபரேட்டர் K X முதல் X வரை, படம் Dom (L) க்கு சமமாக இருக்கும். அத்தகைய ஒரு μ0 ஐ நாம் சரிசெய்கிறோம், ஆனால் அது ஒரு கருவி மட்டுமே என்பதால் அதன் மதிப்பு முக்கியமல்ல. சுருக்கமான ஆபரேட்டர்களுக்கு மேலே கூறப்பட்ட ஃப்ரெட்ஹோம் மாற்றீட்டை, எல்லை-மதிப்பு சிக்கலின் (*)-(* *) தீர்க்கக்கூடிய தன்மை பற்றிய அறிக்கையாக நாம் மாற்றலாம். ஃப்ரெட்ஹோம் மாற்று, மேலே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, வலியுறுத்துகிறதுஃ ஒவ்வொரு λ ωR க்கும், λ என்பது K இன் ஐகென் மதிப்பு, அல்லது ஆபரேட்டர் K−λ என்பது X இலிருந்து தனக்குத்தானே புறநிலை ஆகும். எல்லை-மதிப்பு சிக்கலுக்காக விளையாடும்போது இரண்டு மாற்று வழிகளையும் ஆராய்வோம். λ §0 என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் ஒன்று (A) λ என்பது K′ இன் ஈஜென்வெல்யூ ஆகும், அங்கு ஒரு தீர்வு உள்ளது (L + μ0) h = λ − 1h ′-μ0 + λ − 1 என்பது L இன் ஈஜென்வெல்யூ ஆகும். (B) ஆபரேட்டர் K − λ: X → X என்பது ஒரு பைஜெக்ஷன் ′ (K − λ) (L + μ0) = ID − λ (L + μ0): டோம் (L) → X என்பது ஒரு பைஜெக்ஷன் ′L + μ0 − λ−1: டோம் (L) → X என்பது ஒரு பைஜெக்ஷன் ஆகும். - μ0 + λ−1 ஐ λ ஆல் மாற்றுவது மற்றும் வழக்கு λ =-μ0 ஐ தனித்தனியாகக் கையாள்வது, இது ஒரு நீள்வட்ட எல்லை-மதிப்பு சிக்கலுக்கு பின்வரும் ஃப்ரெட்ஹோம் மாற்றீட்டை அளிக்கிறதுஃ ஒவ்வொரு λ ωR க்கும், ஒரே மாதிரியான சமன்பாடு (L − λ) u = 0 ஒரு அற்பமான தீர்வைக் கொண்டுள்ளது, அல்லது சமச்சீரற்ற சமன்பாடு (L − λ) u = f கொடுக்கப்பட்ட ஒவ்வொரு தரவுத்தளத்திற்கும் ஒரு தனித்துவமான தீர்வைக் கொண்டுள்ளது. பிந்தைய செயல்பாடு u, மேலே அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட எல்லை-மதிப்பு சிக்கலை (*)-(* *) தீர்க்கிறது. இது மேலே (1)-(2) இல் கூறப்பட்ட இருவகையாகும். சுருக்கமான இயக்கிகளுக்கான நிறமாலை தேற்றத்தின் மூலம், கரைப்பாற்றல் தோல்வியடையும் λ இன் தொகுப்பு R இன் தனித்துவமான துணைக்குழு (L இன் ஐகென் மதிப்புகள்) என்பதையும் ஒருவர் பெறுகிறார். ஈஜென் மதிப்புகளுடன் தொடர்புடைய ஈஜென் செயல்பாடுகளை சமன்பாட்டின் தீர்வுத்திறனைத் தடுக்கும் "அதிர்வுகள்" என்று கருதலாம். ஃபார்காஸின் லெம்மா குறிப்புகள் ஏ. ஜி. ராம், "ஃப்ரெட்ஹோம் மாற்றீட்டின் எளிய ஆதாரம் மற்றும் ஃப்ரெட்ஹோம் ஆபரேட்டர்களின் தன்மை", அமெரிக்க கணித மாதாந்திர, 108 (2001) பக்கம் 855 ஆகியவற்றின் ஸ்பெக்ட்ரல் கோட்பாட்டையும் பார்க்கவும். ஃப்ரெட்ஹோம் கோட்பாடு நேரியல் இயற்கணிதம்