Collinearity
வடிவவியலில், புள்ளிகளின் தொகுப்பின் கொலினியாரிட்டி என்பது ஒரு கோட்டில் அவை கிடக்கும் பண்பு ஆகும். இந்த பண்பு கொண்ட புள்ளிகளின் தொகுப்பு கொலினியர் (சில நேரங்களில் கொலினியர் என்று உச்சரிக்கப்படுகிறது) என்று கூறப்படுகிறது. பெரிய அளவில், இந்த சொல் சீரமைக்கப்பட்ட பொருட்களுக்கு பயன்படுத்தப்படுகிறது, அதாவது, விஷயங்கள் "ஒரு வரிசையில்" அல்லது "ஒரு வரிசையில்" உள்ளன. ஒரு கோட்டில் உள்ள புள்ளிகள் எந்தவொரு வடிவவியலிலும், ஒரு கோட்டில் உள்ள புள்ளிகளின் தொகுப்பு கொலினியர் என்று கூறப்படுகிறது. யூக்ளிடிய வடிவவியலில் இந்த உறவு ஒரு "நேர் கோட்டில்" ஒரு வரிசையில் உள்ள புள்ளிகளால் உள்ளுணர்வாக காட்சிப்படுத்தப்படுகிறது. இருப்பினும், பெரும்பாலான வடிவவியலில் (யூக்ளிடியன் உட்பட) ஒரு கோடு பொதுவாக ஒரு பழமையான (வரையறுக்கப்படாத) பொருள் வகையாகும், எனவே அத்தகைய காட்சிப்படுத்தல்கள் பொருத்தமானதாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை. வடிவவியலுக்கான ஒரு மாதிரி புள்ளிகள், கோடுகள் மற்றும் பிற பொருள் வகைகள் ஒருவருக்கொருவர் எவ்வாறு தொடர்புபடுத்துகின்றன என்பதற்கான விளக்கத்தை வழங்குகிறது, மேலும் கொலினியாரிட்டி போன்ற ஒரு கருத்து அந்த மாதிரியின் சூழலுக்குள் விளக்கப்பட வேண்டும். உதாரணமாக, கோள வடிவவியலில், ஒரு கோளத்தின் பெரிய வட்டங்களால் நிலையான மாதிரியில் கோடுகள் குறிப்பிடப்படும் இடத்தில், கோலினியர் புள்ளிகளின் தொகுப்புகள் ஒரே பெரிய வட்டத்தில் உள்ளன. இத்தகைய புள்ளிகள் யூக்ளிடியன் அர்த்தத்தில் ஒரு "நேர் கோட்டில்" இல்லை, மேலும் அவை ஒரு வரிசையில் இருப்பதாக கருதப்படுவதில்லை. கோடுகளுக்கு கோடுகளை அனுப்பும் ஒரு வடிவவியலின் வரைபடம் கொலினியேஷன் என்று அழைக்கப்படுகிறது; இது கொலினியாரிட்டி பண்பைப் பாதுகாக்கிறது. திசையன் இடைவெளிகளின் நேரியல் வரைபடங்கள் (அல்லது நேரியல் செயல்பாடுகள்), வடிவியல் வரைபடங்களாகப் பார்க்கப்படுகின்றன, கோடுகளுக்கு கோடுகளை வரைபடமாக்குகின்றன; அதாவது, அவை கொலினியர் புள்ளி தொகுப்புகளை கொலினியர் புள்ளி தொகுப்புகளுக்கு வரைபடமாக்குகின்றன, எனவே அவை கொலினேஷன்கள் ஆகும். ப்ரொஜெக்டிவ் வடிவவியலில் இந்த நேரியல் வரைபடங்கள் ஹோமோகிராஃபிகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, மேலும் அவை ஒரு வகை கொலினேஷன் மட்டுமே. யூக்ளிடிய வடிவியல் முக்கோணங்களில் உள்ள எடுத்துக்காட்டுகள் எந்தவொரு முக்கோணத்திலும் பின்வரும் புள்ளிகளின் தொகுப்புகள் கொலினியர் ஆகும்ஃ ஆர்த்தோசெண்டர், சுற்றளவு மையம், சென்ட்ராய்டு, எக்ஸிடெர் புள்ளி, டி லாங்சாம்ப்ஸ் புள்ளி மற்றும் ஒன்பது புள்ளி வட்டத்தின் மையம் ஆகியவை கொலினியர் ஆகும், இவை அனைத்தும் யூலர் கோடு எனப்படும் கோட்டில் விழுகின்றன. டி லாங்சாம்ப்ஸ் புள்ளியில் பிற கொலினியரிட்டிகளும் உள்ளன. முக்கோணத்தின் பிளவு என்று அழைக்கப்படும் ஒரு கோட்டில் எந்த முனையும், ஒரு வெளி வட்டத்துடன் எதிர் பக்கத்தின் தொடுகோடு மற்றும் நாகல் புள்ளி ஆகியவை கோலினியர் ஆகும். எந்தவொரு பக்கத்தின் நடுப்புள்ளியும், இரு திசைகளிலும் முக்கோணத்தின் எல்லையில் அதிலிருந்து சமமாக இருக்கும் புள்ளி (எனவே இந்த இரண்டு புள்ளிகளும் சுற்றளவை இரண்டாகப் பிரிக்கின்றன), மற்றும் ஸ்பைக்கர் வட்டத்தின் மையம் முக்கோணத்தின் பிளவு என்று அழைக்கப்படும் ஒரு கோட்டில் கோலினியர் ஆகும். (ஸ்பைக்கர் வட்டம் என்பது நடுத்தர முக்கோணத்தின் உள் வட்டமாகும், அதன் மையம் முக்கோணத்தின் சுற்றளவின் வெகுஜன மையமாகும்.) எந்த உச்சியும், உள் வட்டத்துடன் எதிர் பக்கத்தின் தொடுகோடு மற்றும் கெர்கோன் புள்ளி ஆகியவை கொலினியர் ஆகும். ஒரு முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்டாரத்தின் எந்தப் புள்ளியிலிருந்தும், முக்கோணத்தின் மூன்று நீட்டிக்கப்பட்ட பக்கங்களில் ஒவ்வொன்றிலும் அருகிலுள்ள புள்ளிகள் சுற்றுவட்டாரத்தில் உள்ள புள்ளியின் சிம்சன் கோட்டில் கொலினியர் ஆகும். உயரத்தின் அடிப்பகுதிகளை இணைக்கும் கோடுகள் எதிர் பக்கங்களை கொலினியர் புள்ளிகளில் வெட்டுகின்றன. ஒரு முக்கோணத்தின் தூண்டல், ஒரு உயரத்தின் நடுப்புள்ளி மற்றும் அந்த பக்கத்துடன் தொடர்புடைய வெளி வட்டத்துடன் தொடர்புடைய பக்கத்தின் தொடர்பு புள்ளி ஆகியவை கோலினியர் ஆகும். ஒரு முக்கோணத்தின் எதிர் முனைகளின் பக்கங்களில் (சில நீட்டிக்கப்பட்ட) மூன்று புள்ளிகள் முறையே முக்கோண நீளங்களின் பின்வரும் பெருக்குகள் சமமாக இருந்தால் மட்டுமே அவை முக்கோணமாக இருக்கும் என்று மெனலஸின் தேற்றம் கூறுகிறதுஃ தூண்டுபவர், மையப்பகுதி மற்றும் ஸ்பைக்கர் வட்டத்தின் மையம் ஆகியவை முக்கோணமாக இருக்கும். ஒரு முக்கோணத்தின் சுற்றளவு மையம், புரோக்கார்ட் நடுப்புள்ளி மற்றும் லெமோயின் புள்ளி ஆகியவை கொலினியர் ஆகும். ஒரு முக்கோணத்தின் ஆர்த்தோசெண்டரில் சந்திக்கும் இரண்டு செங்குத்தான கோடுகள் முக்கோணத்தின் நீட்டிக்கப்பட்ட பக்கங்களில் ஒவ்வொன்றையும் வெட்டுகின்றன. இந்த குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளின் மூன்று பக்கங்களிலும் உள்ள நடுப்புள்ளிகள் ட்ரோஸ்-ஃபார்னி கோட்டில் கோலினியர் ஆகும். ஒரு குவிந்த நாற்கரத்தில், அதன் எதிர் பக்கங்கள் வெட்டுகின்றன மற்றும், அவற்றின் நடுப்புள்ளிகள் கொலினியர் மற்றும் அவற்றின் வழியாக செல்லும் கோடு நியூட்டன் கோடு என்று அழைக்கப்படுகிறது (சில நேரங்களில் நியூட்டன்-காஸ் கோடு என்று அழைக்கப்படுகிறது). நாற்கரமானது ஒரு தொடுகோட்டு நாற்கரமாக இருந்தால், அதன் தூண்டுதலும் இந்த கோட்டில் உள்ளது. ஒரு குவிந்த நாற்கரத்தில், குவாசியார்டோசெண்டர், "பகுதி மையப்பகுதி" மற்றும் குவாசிசர்கம்செண்டர் ஆகியவை இந்த வரிசையில் கொலினியர் ஆகும், மற்றும். (ஒரு குவிந்த நாற்கரத்தில் Quadrilateral#Remarkable புள்ளிகள் மற்றும் கோடுகளைப் பார்க்கவும்.) ஒரு டான்ஜென்ஷியல் நாற்கரத்தின் பிற கொலினியாரிட்டிகள் டான்ஜென்ஷியல் quadrilateral#Collinear புள்ளிகளில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. ஒரு சுழற்சி நாற்கரத்தில், சுற்றளவு மையம், உச்சி மையப்பகுதி (இரண்டு பைமெடியன்களின் குறுக்கீடு) மற்றும் எதிர் மையம் ஆகியவை கொலினியர் ஆகும். ஒரு சுழற்சி நாற்கரத்தில், பகுதி மையப்பகுதி, உச்சி மையப்பகுதி மற்றும் மூலைவிட்டங்களின் குறுக்குவெட்டு ஆகியவை கோலினியர் ஆகும். ஒரு தொடுகோட்டு ட்ரெப்சாய்டில், இரண்டு தளங்களுடனான உள் வட்டத்தின் தொடுகோள்கள் தூண்டுதலுடன் இணைக்கப்பட்டுள்ளன. ஒரு தொடுகோட்டு ட்ரெப்சாய்டில், கால்களின் நடுப்புள்ளிகள் தூண்டுதலுடன் இணைக்கப்பட்டுள்ளன. ஹெக்ஸாகன்ஸ் பாஸ்கலின் தேற்றம் (ஹெக்ஸாக்ராமம் மிஸ்டிகம் தேற்றம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) ஒரு கூம்பு பகுதியில் (அதாவது, நீள்வட்ட, பரவளையம் அல்லது ஹைப்பர்போலா) ஒரு தன்னிச்சையான ஆறு புள்ளிகள் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டு, ஒரு அறுகோணத்தை உருவாக்க எந்த வரிசையிலும் கோடு பிரிவுகளால் இணைக்கப்பட்டால், அறுகோணத்தின் மூன்று ஜோடி எதிர் பக்கங்கள் (தேவைப்பட்டால் நீட்டிக்கப்பட்டவை) மூன்று புள்ளிகளில் சந்திக்கின்றன, அவை ஒரு நேர் கோட்டில் உள்ளன, இது அறுகோணத்தின் பாஸ்கல் கோடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. இதற்கு நேர்மாறானதும் உண்மைதான்ஃ ஒரு அறுகோணத்தின் எதிர் பக்கங்கள் வழியாக மூன்று ஜோடி கோடுகளின் மூன்று குறுக்குவெட்டு புள்ளிகள் ஒரு கோட்டில் இருந்தால், அறுகோணத்தின் ஆறு செங்குத்துகள் ஒரு கூம்பு மீது அமைந்திருக்கும், இது பாப்பஸின் அறுகோண தேற்றத்தைப் போல சீரழிந்திருக்கலாம் என்று பிரைக்கென்ரிட்ஜ்-மாக்லரின் தேற்றம் கூறுகிறது. மோங்கேயின் தேற்றத்தின்படி, ஒரு சமதளத்தில் உள்ள எந்த மூன்று வட்டங்களுக்கும், அவற்றில் எதுவும் மற்றவற்றில் ஒன்றிற்குள் முழுமையாக இல்லை, மூன்று ஜோடி கோடுகளின் மூன்று குறுக்குவெட்டு புள்ளிகள், ஒவ்வொன்றும் இரண்டு வட்டங்களுக்கு வெளிப்புறமாக தொடுகோடு, கொலினியர் ஆகும். ஒரு நீள்வட்டத்தில், மையம், இரண்டு மையங்கள் மற்றும் வளைவின் மிகச்சிறிய ஆரம் கொண்ட இரண்டு செங்குத்துகள் கொலினியர் ஆகும், மேலும் வளைவின் மிகப்பெரிய ஆரம் கொண்ட மையம் மற்றும் இரண்டு செங்குத்துகள் கொலினியர் ஆகும். ஒரு ஹைபர்போலாவில், மையம், இரண்டு மையங்கள் மற்றும் இரண்டு செங்குத்துகள் கொலினியர் ஆகும். கூம்புகள் ஒரே மாதிரியான அடர்த்தி கொண்ட கூம்பு திண்மத்தின் நிறை மையம் அடித்தளத்தின் மையத்திலிருந்து உச்சிக்கு செல்லும் பாதையில் நான்கில் ஒரு பங்கு, இரண்டையும் இணைக்கும் நேர் கோட்டில் உள்ளது. டெட்ராஹெட்ரான்கள் ஒரு டெட்ராஹெட்ரானின் மையப்புள்ளி அதன் மோங்கே புள்ளிக்கும் சுற்றளவு மையத்திற்கும் இடையிலான நடுப்புள்ளியாகும். இந்த புள்ளிகள் முக்கோணத்தின் யூலர் கோட்டை ஒத்திருக்கும் நாற்கரத்தின் யூலர் கோட்டை வரையறுக்கின்றன. நாற்கரத்தின் பன்னிரண்டு புள்ளிகள் கொண்ட கோளத்தின் மையமும் யூலர் கோட்டில் அமைந்துள்ளது. ஒருங்கிணைந்த வடிவவியலில், பரிமாண இடைவெளியில், மூன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட தனித்துவமான புள்ளிகளின் தொகுப்பு, இந்த திசையன்களின் ஆயத்தொலைவுகளின் அணி தரவரிசை 1 அல்லது அதற்கும் குறைவாக இருந்தால் மட்டுமே கொலினியர் ஆகும். எடுத்துக்காட்டாக, மேட்ரிக்ஸ் தரவரிசை 1 அல்லது அதற்கும் குறைவாக இருந்தால், மூன்று புள்ளிகள் கொடுக்கப்பட்டால், புள்ளிகள் கோலினியர் ஆகும். சமமாக, மேட்ரிக்ஸ் தரவரிசை 2 அல்லது அதற்கும் குறைவாக இருந்தால், ஒவ்வொரு துணைக்குழுவிற்கும் புள்ளிகள் கொலினியர் ஆகும். குறிப்பாக, தளம் () இல் உள்ள மூன்று புள்ளிகளுக்கு, மேலே உள்ள மேட்ரிக்ஸ் சதுரமாகவும், அதன் தீர்மானிப்பவர் பூஜ்ஜியமாக இருந்தால் மட்டுமே புள்ளிகள் கொலினியராகவும் இருக்கும்; அந்த 3 × 3 தீர்மானிப்பவர் ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவை விட இரண்டு மடங்கு கூட்டல் அல்லது கழித்தல் என்பதால், அந்த மூன்று புள்ளிகளை செங்குத்துகளாகக் கொண்ட முக்கோணம் பூஜ்ஜிய பரப்பளவைக் கொண்டிருந்தால் மட்டுமே மூன்று புள்ளிகள் கொலினியர் என்ற கூற்றுக்கு சமம். குறைந்தபட்சம் மூன்று தனித்துவமான புள்ளிகளின் தொகுப்பு நேராக அழைக்கப்படுகிறது, அதாவது அந்த புள்ளிகளில் ஒவ்வொரு மூன்று புள்ளிகளுக்கும், கெய்லி-மெங்கர் தீர்மானிப்பவரின் பின்வரும் தீர்மானிப்பவர் பூஜ்ஜியமாக இருந்தால் மட்டுமே அனைத்து புள்ளிகளும் கொலினியர் என்று பொருள்படும். ): இந்த தீர்மானிப்பவர், ஹெரானின் சூத்திரத்தால், பக்க நீளங்களுடன் ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவின் சதுரத்தின்-16 மடங்கிற்கு சமம்; எனவே இந்த தீர்மானிப்பவர் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமா என்பதைச் சரிபார்ப்பது செங்குத்துகளைக் கொண்ட முக்கோணத்தின் பரப்பளவு பூஜ்ஜியமா என்பதைச் சரிபார்ப்பதற்கு சமம் (எனவே செங்குத்துகள் கோலினியர்). சமமாக, குறைந்தது மூன்று தனித்துவமான புள்ளிகளின் தொகுப்பு, ஒவ்வொன்றையும் விட அதிகமாகவோ அல்லது சமமாகவோ உள்ள ஒவ்வொரு மூன்று புள்ளிகளுக்கும், முக்கோண சமத்துவமின்மை சமமாக இருந்தால் மட்டுமே கோலினியர் ஆகும். எண் கோட்பாடு இரண்டு எண்கள் மற்றும் அவை கோப்ரைம் அல்ல-அதாவது, அவை 1 ஐத் தவிர வேறு ஒரு பொதுவான காரணியைப் பகிர்ந்து கொள்கின்றன-செங்குத்துகளுடன் ஒரு சதுர லட்டிஸில் திட்டமிடப்பட்ட ஒரு செவ்வகத்திற்கு, குறைந்தபட்சம் ஒரு உட்புற புள்ளி மற்றும் உடன் இணைக்கப்பட்டிருந்தால் மட்டுமே. பல்வேறு சமதள வடிவவியல்களில் "புள்ளிகள்" மற்றும் "கோடுகள்" ஆகியவற்றுக்கு இடையேயான உறவைப் பாதுகாக்கும் போது அவற்றின் பாத்திரங்களை ஒன்றோடொன்று மாற்றுவதற்கான கருத்து சமதள இரட்டைத்தன்மை என்று அழைக்கப்படுகிறது. கொலினியர் புள்ளிகளின் தொகுப்பைப் பொறுத்தவரை, சமதள இருமை மூலம் நாம் ஒரு பொதுவான புள்ளியில் சந்திக்கும் கோடுகளின் தொகுப்பைப் பெறுகிறோம். இந்த கோடுகளின் தொகுப்பு (ஒரு பொதுவான புள்ளியில் சந்திக்கும்) பண்பு கான்குரன்சி என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் கோடுகள் கான்குரன்ட் கோடுகள் என்று கூறப்படுகிறது. எனவே, கான்குரன்சி என்பது கொலினியாரிட்டிக்கு சமதள இரட்டைக் கருத்தாகும். ஒரு பகுதி வடிவவியலைப் பொறுத்தவரை, இரண்டு புள்ளிகள் அதிகபட்சம் ஒரு வரியில் தீர்மானிக்கின்றன, ஒரு கொலினியாரிட்டி கிராஃப் என்பது ஒரு வரைபடமாகும், அதன் செங்குத்துகள் புள்ளிகளாகும், அங்கு இரண்டு செங்குத்துகள் ஒரு கோட்டைத் தீர்மானித்தால் மட்டுமே அவை அருகில் இருக்கும். புள்ளியியல் மற்றும் பொருளாதார அளவீடுகளில் பயன்பாடு புள்ளியியலில், கொலினியாரிட்டி என்பது இரண்டு விளக்கமளிக்கும் மாறிகளுக்கு இடையிலான நேரியல் உறவைக் குறிக்கிறது. இரண்டிற்கும் இடையே ஒரு சரியான நேரியல் உறவு இருந்தால் இரண்டு மாறிகள் சரியான கொலினியர் ஆகும், எனவே அவற்றுக்கிடையேயான தொடர்பு 1 அல்லது-1 க்கு சமமாக இருக்கும். அதாவது, அனைத்து அவதானிப்புகளுக்கும், நம்மிடம் இருக்கும் அளவுருக்கள் இருந்தால் அவை சரியான கொலினியர் ஆகும் இதன் பொருள் என்னவென்றால், பல்வேறு அவதானிப்புகள் தளத்தில் திட்டமிடப்பட்டால், இந்த புள்ளிகள் இந்த கட்டுரையில் முன்பு வரையறுக்கப்பட்ட அர்த்தத்தில் கொலினியர் ஆகும். சரியான பன்முகத்தன்மை என்பது அனைத்து அவதானிப்புகளுக்கும் ஏற்ப, பல பின்னடைவு மாதிரியில் விளக்கமளிக்கும் மாறிகள் முற்றிலும் நேரியல் ரீதியாக தொடர்புடைய ஒரு சூழ்நிலையைக் குறிக்கிறது. நடைமுறையில், ஒரு தரவுத் தொகுப்பில் சரியான பன்முகத்தன்மையை நாம் அரிதாகவே எதிர்கொள்கிறோம். மிகவும் பொதுவாக, இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட சுயாதீன மாறிகளுக்கு இடையில் ஒரு "வலுவான நேரியல் உறவு" இருக்கும்போது பன்முகத்தன்மை பிரச்சினை எழுகிறது, அதாவது மாறுபாடு ஒப்பீட்டளவில் சிறியதாக இருக்கும். பக்கவாட்டு கொலினியாரிட்டி என்ற கருத்து இந்த பாரம்பரிய பார்வையில் விரிவடைகிறது, மேலும் விளக்கத்திற்கும் அளவுகோல்களுக்கும் (அதாவது, விளக்கப்பட்ட) மாறிகளுக்கு இடையிலான கொலினியாரிட்டியைக் குறிக்கிறது. தொலைத்தொடர்புகளில், ஒரு கொலினியர் (அல்லது இணை-நேரியல்) ஆண்டெனா வரிசை என்பது இருமுனை ஆண்டெனாக்களின் ஒரு வரிசையாகும், இது ஒவ்வொரு ஆண்டெனாவின் தொடர்புடைய கூறுகளும் இணையாகவும் சீரமைக்கப்பட்டும் இருக்கும் வகையில் பொருத்தப்பட்டுள்ளது, அதாவது அவை ஒரு பொதுவான கோடு அல்லது அச்சில் அமைந்துள்ளன. ஃபோட்டோகிராஃபி கொலினியாரிட்டி சமன்பாடுகள் என்பது ஃபோட்டோகிராமெட்ரி மற்றும் கம்ப்யூட்டர் ஸ்டீரியோ விஷனில் பயன்படுத்தப்படும் இரண்டு சமன்பாடுகளின் தொகுப்பாகும், இது ஒரு பட (சென்சார்) தளத்தில் (இரண்டு பரிமாணங்களில்) உள்ள ஆயங்களை பொருள் ஆயங்களுடன் (மூன்று பரிமாணங்களில்) தொடர்புபடுத்துகிறது. புகைப்பட அமைப்பில், படத்தின் (சென்சார்) தளத்தில் உள்ள படத்திற்கு கேமராவின் ஒளியியல் மையம் வழியாக பொருளின் ஒரு புள்ளியின் மையத் திட்டத்தைக் கருத்தில் கொண்டு சமன்பாடுகள் பெறப்படுகின்றன. மூன்று புள்ளிகள், பொருள் புள்ளி, பட புள்ளி மற்றும் ஒளியியல் மையம், எப்போதும் கொலினியர் ஆகும். இதைச் சொல்வதற்கான மற்றொரு வழி என்னவென்றால், பொருள் புள்ளிகளை அவற்றின் பட புள்ளிகளுடன் இணைக்கும் கோடு பிரிவுகள் அனைத்தும் ஒளியியல் மையத்தில் ஒரே நேரத்தில் உள்ளன. பாப்பஸின் அறுகோண தேற்றம் எண் மூன்று-இன்-லைன் சிக்கல் நிகழ்வு (வடிவியல்) #Collinearity கோப்ளானாரிட்டி குறிப்புகள் குறிப்புகள் நிகழ்வு வடிவியல்