Atom (measure theory)
கணிதத்தில், மேலும் துல்லியமாக அளவீட்டுக் கோட்பாட்டில், ஒரு அணு என்பது அளவிடக்கூடிய தொகுப்பாகும், இது நேர்மறை அளவீட்டைக் கொண்டுள்ளது மற்றும் சிறிய நேர்மறை அளவீட்டின் தொகுப்பைக் கொண்டிருக்கவில்லை. அணுக்கள் இல்லாத ஒரு அளவீடு அணு அல்லாத அல்லது அணு இல்லாதது என்று அழைக்கப்படுகிறது. வரையறை அளவிடக்கூடிய இடைவெளி மற்றும் அந்த இடத்தில் ஒரு அளவீடு கொடுக்கப்பட்டால், ஒரு தொகுப்பு ஒரு அணு என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் தொகுப்புடன் எந்த அளவிடக்கூடிய துணைக்குழுவிற்கும் பூஜ்ஜிய அளவீடு இருந்தால், அதாவது. . ஒரு அணு என்றால்,-சமன்பாடு வகுப்பில் உள்ள அனைத்து துணைக்குழுக்களும் அணுக்கள், மேலும் இது அணு வகுப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு-எல்லையற்ற அளவீடு என்றால், எண்ணற்ற பல அணு வகுப்புகள் உள்ளன. எடுத்துக்காட்டுகள் X = {1,2,., 9,10} என்ற தொகுப்பைக் கருத்தில் கொண்டு, சிக்மா-இயற்கணிதம் X இன் சக்தி தொகுப்பாக இருக்கட்டும். ஒரு தொகுப்பின் அளவை அதன் கார்டினாலிட்டி, அதாவது தொகுப்பில் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை என்று வரையறுக்கவும். பின்னர், i = 1,2,., 9,10 என்பவற்றின் சிங்கிள்டான்கள் ஒவ்வொன்றும் ஒரு அணு. உண்மையான கோட்டில் லெபெஸ்கூ அளவைக் கவனியுங்கள். இந்த அளவீட்டில் அணுக்கள் இல்லை. அளவிடக்கூடிய ஒவ்வொரு நேர்மறை அளவும் ஒரு அணுவைக் கொண்டிருந்தால், அளவிடக்கூடிய இடத்தில் ஒரு-எல்லைக்குட்பட்ட அளவீடு அணு அல்லது முற்றிலும் அணு என்று அழைக்கப்படுகிறது. இது ஒரு பூஜ்ய தொகுப்பு வரை அணுக்களால் உருவாக்கப்பட்ட ஒரு எண்ணக்கூடிய பகிர்வு உள்ளது என்று சொல்லுவதற்கு சமம். - ஃபினிட்டியூட் என்ற அனுமானம் அவசியம். இல்லையெனில் எண்ணும் அளவைக் குறிக்கும் இடத்தை கருத்தில் கொள்ளுங்கள். இந்த இடைவெளி அணு, அனைத்து அணுக்களும் ஒற்றை அணுக்களாக இருந்தாலும், அந்த இடத்தை எண்ணற்ற பல வேறுபட்ட அணுக்களின் இணைந்த ஒன்றிணைப்பாகப் பிரிக்க முடியாது, மேலும் ஒற்றை எண்களின் எண்ணக்கூடிய ஒன்றிணைப்பு ஒரு கணக்கிடக்கூடிய தொகுப்பாக இருப்பதால் ஒரு பூஜ்ய தொகுப்பாகவும், உண்மையான எண்களின் எண்ணற்ற தன்மை நிரப்பு எண்ணற்றதாக இருக்க வேண்டும் என்பதைக் காட்டுகிறது, எனவே அதன் அளவீடு எல்லையற்றதாக இருக்கும், இது ஒரு பூஜ்ய தொகுப்பாக இருப்பதற்கு மாறாக. எண்ணக்கூடிய தொழிற்சங்கங்களின் எண்ணக்கூடிய ஒன்றிணைப்பு மீண்டும் ஒரு எண்ணக்கூடிய ஒன்றிணைப்பு என்றும், பூஜ்ய தொகுப்புகளின் எண்ணக்கூடிய தொழிற்சங்கங்கள் பூஜ்யம் என்றும் கவனிப்பதன் மூலம்-எல்லையற்ற இடைவெளிகளின் முடிவின் செல்லுபடியாகும் தன்மை வரையறுக்கப்பட்ட அளவீட்டு இடைவெளிகளின் ஆதாரத்திலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது. எந்தவொரு அணு வகுப்பின் அணுக்களின் குறுக்குவெட்டும் காலியாக இல்லாவிட்டால் தனித்துவமான அளவீடுகள் A-எல்லையற்ற அணு அளவீடு தனித்துவமானது என்று அழைக்கப்படுகிறது. இது எண்ணற்ற பல டைராக் அளவீடுகளின் எடையுள்ள கூட்டுத்தொகை என்று சொல்வதற்கு சமம், அதாவது, புள்ளிகளின் வரிசை மற்றும் நேர்மறை உண்மையான எண்களின் வரிசை (எடைகள்) உள்ளது, அதாவது ஒவ்வொன்றிற்கும். - வது அணு வகுப்பில் உள்ள அணுக்களின் பொதுவான புள்ளியாக ஒவ்வொரு புள்ளியையும் நாம் தேர்வு செய்யலாம். ஒரு தனித்த அளவீடு அணு, ஆனால் தலைகீழ் உட்பொருள் தோல்வியடைகிறதுஃ எண்ணக்கூடிய மற்றும் இணை கணக்கிடக்கூடிய துணைக்குழுக்களின்-இயற்கணிதத்தை, எண்ணக்கூடிய துணைக்குழுக்களிலும் இணை கணக்கிடக்கூடிய துணைக்குழுக்களிலும் எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். பின்னர் ஒரு ஒற்றை அணு வகுப்பு உள்ளது, இது இணை கணக்கிடக்கூடிய துணைக்குழுக்களால் உருவாக்கப்பட்டது. அளவீடு அணு, ஆனால் தனித்துவமான அணு வகுப்பில் உள்ள அணுக்களின் குறுக்குவெட்டு காலியாக உள்ளது, மேலும் டைராக் அளவீடுகளின் கூட்டுத்தொகையாக வைக்க முடியாது. ஒவ்வொரு அணுவும் ஒரு சிங்கிள்டனுக்கு சமமாக இருந்தால், அது அணு என்றால் தனித்துவமானது. இந்த விஷயத்தில் மேலே உள்ளவை அணு சிங்கிள்டான்கள், எனவே அவை தனித்துவமானவை. போரெல் தொகுப்புகளுடன் வழங்கப்பட்ட பிரிக்கக்கூடிய மெட்ரிக் இடத்தில் எந்த வரையறுக்கப்பட்ட அளவும் இந்த நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்கிறது. அணு அல்லாத அளவீடுகள் அணுக்கள் இல்லாத ஒரு அளவீடு அல்லது a என்று அழைக்கப்படுகிறது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், குறைந்தபட்சம் ஒரு நேர்மறை மதிப்பைக் கொண்ட ஒரு அணு அல்லாத அளவீடு எண்ணற்ற எண்ணிக்கையிலான தனித்துவமான மதிப்புகளைக் கொண்டிருந்தால் ஒரு அளவீடு அணு அல்லாதது, ஏனெனில் ஒரு தொகுப்பில் தொடங்கி அளவிடக்கூடிய தொகுப்புகளின் குறைந்து வரும் வரிசையை உருவாக்க முடியும் அணுக்களைக் கொண்ட அளவீடுகளுக்கு இது உண்மையாக இருக்காது; மேலே உள்ள முதல் உதாரணத்தைப் பார்க்கவும். அணு அல்லாத நடவடிக்கைகள் உண்மையில் தொடர்ச்சியான மதிப்புகளைக் கொண்டுள்ளன என்று மாறிவிடும். அணு அல்லாத அளவீடு மற்றும் அளவிடக்கூடிய தொகுப்பாக இருந்தால், திருப்திப்படுத்தும் எந்தவொரு உண்மையான எண்ணுக்கும் அளவிடக்கூடிய துணைக்குழு உள்ளது என்பதை நிரூபிக்க முடியும். இது தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளுக்கான இடைநிலை மதிப்பு தேற்றத்தை நினைவூட்டுகிறது. அணு அல்லாத அளவீடுகள் குறித்த சியர்பின்ஸ்கியின் தேற்றத்தின் ஆதாரத்தின் வரைபடம். இருப்பினும், ஒரு சற்றே வலுவான கூற்று, இது ஆதாரத்தை எளிதாக்குகிறது, இது ஒரு அணு அல்லாத அளவீட்டு இடமாகும், மேலும் சேர்ப்பது தொடர்பாக மோனோடோன் என்ற செயல்பாடு இருந்தால், அதற்கு வலது-தலைகீழ் என்றால், அளவிடக்கூடிய தொகுப்புகளின் ஒரு அளவுரு குடும்பம் உள்ளது, அதாவது அனைத்திற்கும். மேலும் காண்க அணு (வரிசைக் கோட்பாடு)-வரிசைக் கோட்பாட்டில் ஒரு ஒத்த கருத்து டிராக் டெல்டா செயல்பாடு அடிப்படை நிகழ்வு, இது ஒரு அணு நிகழ்வு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது குறிப்புகள் குறிப்புகள் வெளிப்புற இணைப்புகள் அணு கணித அளவீட்டுக் கோட்பாட்டின் கலைக்களஞ்சியத்தில்