Dual curve
ப்ரொஜெக்டிவ் வடிவவியலில், கொடுக்கப்பட்ட பிளேன் வளைவின் இரட்டை வளைவு என்பது இரட்டை ப்ரொஜெக்டிவ் பிளேனில் உள்ள ஒரு வளைவு ஆகும். ஒரு வளைவிலிருந்து அதன் இரட்டை வரை ஒரு வரைபடம் உள்ளது, ஒவ்வொரு புள்ளியையும் அதன் தொடுகோட்டிற்கு இரட்டை புள்ளிக்கு அனுப்புகிறது. இயற்கணிதமாக இருந்தால், அதன் இரட்டை மற்றும் இரட்டை டிகிரி அசல் வளைவின் வகுப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது. இரட்டை சமன்பாடு, வரி ஆயத்தொகுப்புகளில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது, இன் தொடுகோட்டு சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. இரட்டைத்தன்மை என்பது ஒரு ஊடுருவல்ஃ இரட்டைத்தன்மையின் இரட்டை அசல் வளைவு ஆகும். இரட்டை வளைவின் கட்டுமானம் ஹாமில்டோனியன் இயக்கவியலின் சூழலில் லெஜெண்டர் மாற்றத்திற்கான வடிவியல் அடித்தளமாகும். சமன்பாடுகள் ப்ரொஜெக்டிவ் பிளேனில் ஒரே மாதிரியான ஆயத்தொகுப்புகளில் ஒரு வளைவின் சமன்பாடாக இருக்கட்டும். ஒரு கோட்டின் சமன்பாடாக இருக்கட்டும், அதன் கோடு ஆயத்தொலைவுகள் இரட்டை ப்ரொஜெக்டிவ் தளத்தில் குறிப்பிடப்படுகின்றன. கோடு வளைவுக்கு தொடுகோடு என்ற நிபந்தனையை வளைவின் தொடுகோடு சமன்பாட்டின் வடிவத்தில் வெளிப்படுத்தலாம். வளைவின் ஒரு புள்ளியில், தொடுகோடு கொடுக்கப்படுகிறது எனவே நீக்குதல் என்றால் வளைவுக்கு ஒரு தொடுகோடு,,, மற்றும் இந்த சமன்பாடுகளிலிருந்து, அதோடு, இரட்டை வளைவின் சமன்பாட்டையும் தருகிறது. உதாரணமாக, கூம்பு இருக்கட்டும். முதல் மூன்று சமன்பாடுகள்,,, க்கு எளிதில் தீர்க்கப்படுகின்றன, மேலும் கடைசி சமன்பாட்டில் மாற்றுவது வகுத்திகளிலிருந்து அழிக்கப்படுவதை உருவாக்குகிறது, இரட்டை சமன்பாடு ப்ரொஜெக்டிவ் ஆயத்தொகுதிகளில் ஒரு அளவுரு வரையறுக்கப்பட்ட வளைவைக் கருத்தில் கொள்ளுங்கள். அதன் திட்டவட்டமான தொடுகோட்டு கோடு தொடுகோட்டு புள்ளி மற்றும் தொடுகோட்டு திசையன் ஆகியவற்றால் பரவியிருக்கும் ஒரு நேரியல் தளமாகும், குறுக்கு விளைபொருளால் கொடுக்கப்பட்ட நேரியல் சமன்பாடு குணகங்களுடன்ஃ இது அஃபைன் ஆயத்தொகுதிகளில் உள்ளதுஃ ஒரு ஊடுருவல் புள்ளியின் இரட்டை ஒரு கூர்முனையைத் தரும் மற்றும் ஒரே தொடுகோட்டைப் பகிர்ந்து கொள்ளும் இரண்டு புள்ளிகள் இரட்டை மீது ஒரு சுய-குறுக்குவெட்டு புள்ளியைக் கொடுக்கும். ப்ரொஜெக்டிவ் விளக்கத்திலிருந்து, ஒருவர் டூயலின் டூயலை கணக்கிடலாம்ஃ இது அசல் வளைவுக்கு துல்லியமாக சமம். இரட்டை வளைவின் பண்புகள் அசல் வளைவின் பண்புகள் இரட்டை வளைவில் உள்ள இரட்டை பண்புகளுடன் ஒத்திருக்கின்றன. அறிமுகப் படத்தில், சிவப்பு வளைவு மூன்று ஒற்றுமைகளைக் கொண்டுள்ளது-மையத்தில் ஒரு முனை மற்றும் கீழ் வலது மற்றும் கீழ் இடதுபுறத்தில் இரண்டு கஸ்ப்கள். கருப்பு வளைவுக்கு ஒற்றைத்தன்மை இல்லை, ஆனால் நான்கு தனித்துவமான புள்ளிகள் உள்ளனஃ இரண்டு மேல்-மிக புள்ளிகள் முனை (இரட்டை புள்ளி) உடன் ஒத்திருக்கின்றன, ஏனெனில் அவை இரண்டும் ஒரே தொடுகோட்டைக் கொண்டுள்ளன, எனவே இரட்டை வளைவில் ஒரே புள்ளிக்கு வரைபடம், அதே நேரத்தில் இரண்டு ஊடுருவல் புள்ளிகள் ஒத்திருக்கின்றன, ஏனெனில் தொடுகோட்டு கோடுகள் முதலில் ஒரு வழியில் செல்கின்றன, பின்னர் மற்றவை (சாய்வு அதிகரித்து, பின்னர் குறைந்து). இதற்கு மாறாக, ஒரு மென்மையான, குவிந்த வளைவில் தொடுகோட்டின் கோணம் சலிப்பாக மாறுகிறது, இதன் விளைவாக வரும் இரட்டை வளைவும் மென்மையாகவும் குவிந்ததாகவும் இருக்கும். மேலும், மேலே உள்ள இரண்டு வளைவுகளும் ஒரு பிரதிபலிப்பு சமச்சீர்மையைக் கொண்டுள்ளனஃ ப்ரொஜெக்டிவ் டூயலிட்டி ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் ஸ்பேஸை சமச்சீர்மைகளைப் பாதுகாக்கிறது, எனவே இரட்டை வளைவுகள் ஒரே சமச்சீர்மைக் குழுவைக் கொண்டுள்ளன. இந்த விஷயத்தில் இரண்டு சமச்சீர்மைகளும் இடது-வலது பிரதிபலிப்பாக உணரப்படுகின்றன; இது இடைவெளி மற்றும் இரட்டை இடைவெளி எவ்வாறு அடையாளம் காணப்பட்டுள்ளன என்பதற்கான ஒரு கலைப்பொருளாகும்-பொதுவாக இவை வெவ்வேறு இடைவெளிகளின் சமச்சீர்மைகளாகும். டிகிரி என்பது ஒரு சமதள இயற்கணித வளைவாக இருந்தால், இரட்டைத் தளத்தின் டிகிரி என்பது இரட்டைத் தளத்தில் ஒரு கோடு குறுக்கிடும் புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை ஆகும். இரட்டை தளத்தில் உள்ள ஒரு கோடு தளத்தில் உள்ள ஒரு புள்ளிக்கு ஒத்திருப்பதால், இரட்டை டிகிரி என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியின் வழியாக வரையக்கூடிய தொடுகோடுகளின் எண்ணிக்கை ஆகும். இந்த தொடுகோடுகள் வளைவைத் தொடும் புள்ளிகள் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியைப் பொறுத்து வளைவுக்கும் துருவ வளைவுக்கும் இடையிலான குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளாகும். வளைவின் டிகிரி என்றால், துருவத்தின் டிகிரி ஆகும், எனவே கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியின் வழியாக வரையக்கூடிய தொடுகோடுகளின் எண்ணிக்கை அதிகபட்சமாக இருக்கும். ஒரு கோட்டின் இரட்டை (டிகிரி 1 இன் வளைவு) இதற்கு விதிவிலக்காகும், மேலும் இது இரட்டை இடத்தில் (அதாவது அசல் கோடு) ஒரு புள்ளியாக கருதப்படுகிறது. ஒரு புள்ளியின் இரட்டை என்பது புள்ளியாக இருந்தாலும் கோடுகளின் தொகுப்பாக எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது; இது இரட்டை இடத்தில் ஒரு கோட்டை உருவாக்குகிறது, இது அசல் புள்ளிக்கு ஒத்திருக்கிறது. மென்மையானதாக இருந்தால் (ஒருமை புள்ளிகள் இல்லை) இரட்டை அதிகபட்ச டிகிரியைக் கொண்டுள்ளது. இது ஒரு கூம்பின் இரட்டை ஒரு கூம்பு என்றும் குறிக்கிறது. வடிவியல் ரீதியாக, ஒரு கூம்பு முதல் அதன் இரட்டை வரைபடம் ஒன்றுக்கு ஒன்று ஆகும் (எந்தக் கோடும் ஒரு கூம்பின் இரண்டு புள்ளிகளுக்கு தொடுகோடு இல்லை, ஏனெனில் அதற்கு டிகிரி 4 தேவைப்படுகிறது), மேலும் தொடுகோடு கோடு சீராக மாறுபடும் (வளைவு குவிந்திருப்பதால், தொடுகோடு கோட்டின் சாய்வு ஒரே மாதிரியாக மாறுகிறதுஃ இரட்டையரில் உள்ள கஸ்ப்களுக்கு அசல் வளைவில் ஒரு ஊடுருவல் புள்ளி தேவைப்படுகிறது, இதற்கு டிகிரி 3 தேவைப்படுகிறது). ஒற்றைப் புள்ளிகளைக் கொண்ட வளைவுகளுக்கு, இந்த புள்ளிகள் வளைவு மற்றும் அதன் துருவத்தின் குறுக்குவெட்டிலும் இருக்கும், மேலும் இது சாத்தியமான தொடுகோட்டு கோடுகளின் எண்ணிக்கையைக் குறைக்கிறது. பிளக்கர் சூத்திரங்கள் d மற்றும் ஒருமை புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை மற்றும் வகைகளின் அடிப்படையில் இரட்டை அளவைக் கொடுக்கின்றன. துருவ பரஸ்பர இரட்டை துருவ பரஸ்பர வடிவத்தில் விமானத்தில் ஒரு இருப்பிடமாக காட்சிப்படுத்தப்படலாம். இது ஒரு நிலையான கூம்பு வளைவின் தொடுகோட்டு கோடுகளின் துருவங்களின் இருப்பிடமாக வரையறுக்கப்படுகிறது. கூம்பு கிட்டத்தட்ட எப்போதும் ஒரு வட்டமாக எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது, எனவே துருவ பரஸ்பரமானது பெடலின் தலைகீழ் ஆகும். பொதுமைப்படுத்தல்கள் உயர் பரிமாணங்கள் இதேபோல், உயர் பரிமாணங்களுக்கு பொதுமைப்படுத்துதல், ஒரு ஹைப்பர்சர்பேஸ் கொடுக்கப்பட்டால், ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் உள்ள தொடுகோடு இடம் ஹைப்பர்பிளேன்களின் குடும்பத்தை அளிக்கிறது, இதனால் இரட்டை இடத்தில் இரட்டை ஹைப்பர்சர்பேஸை வரையறுக்கிறது. ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் இடத்தில் உள்ள எந்தவொரு மூடிய துணை வகைகளுக்கும், ஒரு புள்ளியில் உள்ள அனைத்து ஹைப்பர்பிளேன்களின் தொடுகோடுகளின் தொகுப்பு ப்ரொஜெக்டிவ் இடத்தின் டூயலின் மூடிய துணை வகையாகும், இது டூயல் வகை என்று அழைக்கப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டுகள் ஒரு ஒரே மாதிரியான பல்லுறுப்புக்கோவை மூலம் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு ஹைப்பர்சர்ஃபேஸ் என்றால், இரட்டை வகை என்பது சாய்வு வரைபடத்தின் படமாகும், இது இரட்டை ப்ரொஜெக்டிவ் இடத்தில் இறங்குகிறது. ஒரு புள்ளியின் இரட்டை வகை ஹைப்பர்பிளேன் இரட்டை பலகோணம் வளைவு துண்டு துண்டாக நேரியல் அல்லது துண்டு துண்டாக வேறுபடுத்தக்கூடியதாக இருந்தாலும் இரட்டை வளைவு கட்டுமானம் செயல்படுகிறது, ஆனால் இதன் விளைவாக வரும் வரைபடம் சீரழிந்தது (நேரியல் கூறுகள் இருந்தால்) அல்லது சரியாக வரையறுக்கப்படவில்லை (ஒற்றை புள்ளிகள் இருந்தால்). ஒரு பலகோணத்தைப் பொறுத்தவரை, ஒவ்வொரு விளிம்பிலும் உள்ள அனைத்து புள்ளிகளும் ஒரே தொடுகோட்டைப் பகிர்ந்து கொள்கின்றன, இதனால் இரட்டை முனையின் ஒரே உச்சியில் வரைபடம், அதே நேரத்தில் ஒரு உச்சியின் தொடுகோட்டு கோடு சரியாக வரையறுக்கப்படவில்லை, மேலும் இரண்டு விளிம்புகளுக்கு இடையில் கோணத்துடன் அதன் வழியாகச் செல்லும் அனைத்து கோடுகளும் என்று விளக்கப்படலாம். இது ப்ரொஜெக்டிவ் டூயலிட்டி (புள்ளிகளுக்கு கோடுகள் வரைபடம் மற்றும் கோடுகளுக்கு புள்ளிகள்), மற்றும் நேரியல் கூறு இல்லாத மென்மையான வளைவுகளின் வரம்புடன் இரண்டையும் ஒருங்கிணைக்கிறதுஃ ஒரு வளைவு ஒரு விளிம்பிற்கு தட்டையாக இருக்கும்போது, அதன் தொடுகோட்டு கோடுகள் நெருக்கமான மற்றும் நெருக்கமான புள்ளிகளுக்கு வரைபடமாக்கப்படுகின்றன; ஒரு வளைவு ஒரு உச்சிக்கு கூர்மையாக இருக்கும்போது, அதன் தொடுகோட்டு கோடுகள் மேலும் பரவுகின்றன. மேலும் பொதுவாக, எந்தவொரு குவிந்த பாலிஹெட்ரான் அல்லது கூம்பு ஒரு பாலிஹெட்ரல் இரட்டை உள்ளது, மற்றும் எல்லை ஹைப்பர்சர்பேஸ் H உடன் எந்த குவிந்த தொகுப்பு X ஒரு குவிந்த இணை X * உள்ளது, அதன் எல்லை இரட்டை வகை H * ஆகும். மேலும் காண்க ஹாஃப் டிரான்ஸ்ஃபார்ம் காஸ் வரைபடம் குறிப்புகள் வளைவுகள் திட்ட வடிவியல் வேறுபட்ட வடிவியல்