Moduli of algebraic curves
இயற்கணித வடிவவியலில், (இயற்கணித) வளைவுகளின் மாடுலி இடைவெளி என்பது ஒரு வடிவியல் இடைவெளி (பொதுவாக ஒரு திட்டம் அல்லது ஒரு இயற்கணித அடுக்கு) ஆகும், அதன் புள்ளிகள் இயற்கணித வளைவுகளின் ஐசோமார்பிசம் வகுப்புகளைக் குறிக்கின்றன. எனவே இது ஒரு மாடுலி இடத்தின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு. கருதப்படும் இயற்கணித வளைவுகளின் வகுப்புகளுக்கு பயன்படுத்தப்படும் கட்டுப்பாடுகளைப் பொறுத்து, தொடர்புடைய மாடுலி சிக்கல் மற்றும் மாடுலி இடைவெளி வேறுபட்டது. அதே மாடுலி சிக்கலுக்கான நுண்ணிய மற்றும் கரடுமுரடான மாடுலி இடைவெளிகளை வேறுபடுத்துகிறது. மிகவும் அடிப்படை சிக்கல் ஒரு நிலையான இனத்தின் மென்மையான முழுமையான வளைவுகளின் மாடுலியாகும். சிக்கலான எண்களின் துறையில் இவை கொடுக்கப்பட்ட இனத்தின் கச்சிதமான ரீமன் மேற்பரப்புகளுடன் துல்லியமாக ஒத்திருக்கின்றன, இதற்காக பெர்ன்ஹார்ட் ரீமன் மாடுலி இடைவெளிகள் பற்றிய முதல் முடிவுகளை நிரூபித்தார், குறிப்பாக அவற்றின் பரிமாணங்கள் ("சிக்கலான அமைப்பு சார்ந்துள்ள அளவுருக்களின் எண்ணிக்கை"). நிலையான வளைவுகளின் மாடுலி அடுக்குகள் மாடுலி அடுக்கு மென்மையான ப்ரொஜெக்டிவ் வளைவுகளின் குடும்பங்களை அவற்றின் ஐசோமார்பிசங்களுடன் வகைப்படுத்துகிறது. எப்போது, நிலையான நோடல் வளைவுகளுடன் (அவற்றின் ஐசோமார்பிசம்களுடன்) ஒத்திருக்கும் புதிய "எல்லை" புள்ளிகளைச் சேர்ப்பதன் மூலம் இந்த அடுக்கை சுருக்கலாம். ஒரு வளைவு முழுமையானதாகவும், இணைக்கப்பட்டதாகவும், இரட்டை புள்ளிகளைத் தவிர வேறு ஒற்றுமைகளைக் கொண்டிருக்கவில்லை என்றும், வரையறுக்கப்பட்ட தன்னியக்கக் குழுவை மட்டுமே கொண்டதாகவும் இருந்தால் அது நிலையானது. இதன் விளைவாக வரும் அடுக்கு குறிக்கப்படுகிறது. இரண்டு மாடுலி அடுக்குகளும் உலகளாவிய வளைவுகளின் குடும்பங்களைக் கொண்டுள்ளன. மேலே உள்ள இரண்டு அடுக்குகளும் பரிமாணத்தைக் கொண்டுள்ளன; எனவே ஒரு நிலையான நோடல் வளைவை அளவுருக்களின் மதிப்புகளைத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம் முழுமையாகக் குறிப்பிடலாம். கீழ் இனத்தில், தானியங்கி உருமாற்றங்களின் மென்மையான குடும்பங்களின் இருப்பைக் கணக்கிட வேண்டும், அவற்றின் எண்ணிக்கையைக் கழிப்பதன் மூலம். பூஜ்ஜிய பேரினத்தின் ஒரு சிக்கலான வளைவு உள்ளது, ரீமன் கோளம், மற்றும் அதன் ஐசோமார்பிசங்களின் குழு பி. ஜி. எல் (2) ஆகும். இதேபோல், பேரினம் 1 இல், வளைவுகளின் ஒரு பரிமாண இடைவெளி உள்ளது, ஆனால் அத்தகைய ஒவ்வொரு வளைவும் ஒரு பரிமாண தானியங்கி குழுவைக் கொண்டுள்ளது. எனவே, அடுக்குக்கு பரிமாணம் 0 உள்ளது. கட்டுமானம் மற்றும் பகுக்கமுடியாத தன்மை இது ஒரு அற்பமான தேற்றமாகும், இது பியர் டெலிக்னே மற்றும் டேவிட் மம்ஃபோர்ட் ஆகியோரால் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது, மாடுலி அடுக்கு பகுக்கமுடியாதது, அதாவது இரண்டு சரியான அடி மூலக்கூறுகளின் சங்கமமாக வெளிப்படுத்த முடியாது. ஹில்பர்ட் பல்லுறுப்புக்கோவை கொண்ட முக்கோண வடிவில் உட்பொதிக்கப்பட்ட வளைவுகளின் ஹில்பர்ட் திட்டத்தில் நிலையான வளைவுகளின் இருப்பிடத்தை பகுப்பாய்வு செய்வதன் மூலம் அவர்கள் இதை நிரூபிக்கிறார்கள். பின்னர், அடுக்கு என்பது மாடுலி இடத்தின் கட்டுமானமாகும். சிதைவுக் கோட்பாட்டைப் பயன்படுத்தி, டிலிக்னே மற்றும் மம்ஃபோர்ட் இந்த அடுக்கு மென்மையானது என்பதைக் காட்டுகிறது மற்றும் நிலையான வளைவுகளுக்கு இடையில் ஐசோமார்பிசங்களின் அடுக்கைப் பயன்படுத்துகிறது, இது வரையறுக்கப்பட்ட நிலைப்படுத்திகளைக் கொண்டுள்ளது என்பதைக் காட்டுகிறது, எனவே இது ஒரு டிலிக்னே-மம்ஃபோர்ட் அடுக்கு. மேலும், அவை ஒரு அடுக்குப்படுத்தலைக் காண்கின்றன, மென்மையான நிலையான வளைவுகளின் சப்ஷீம் எங்கே மற்றும் இது ஒரு பகுக்கமுடியாத கூறு ஆகும். அவர்கள் (ஒரு ஜிஐடி விகிதமாக) கூறுகளை பகுப்பாய்வு செய்கிறார்கள். பல கூறுகள் இருந்தால், அவற்றில் எதுவும் முழுமையடையாது. மேலும், எந்தவொரு கூறுகளும் ஒற்றை அல்லாத வளைவுகளைக் கொண்டிருக்க வேண்டும். இதன் விளைவாக, ஒருமை இருப்பிடம் இணைக்கப்பட்டுள்ளது, எனவே இது ஒரு ஒற்றை கூறுக்குள் உள்ளது. மேலும், ஒவ்வொரு கூறுகளும் வெட்டுவதால், அனைத்து கூறுகளும் ஒரே கூறுக்குள் இருக்க வேண்டும், எனவே கரடுமுரடான இடம் பகுக்கமுடியாதது. இயற்கணித அடுக்குகளின் பொதுவான கோட்பாட்டிலிருந்து, இது அடுக்கின் அளவு பகுக்கமுடியாதது என்பதைக் குறிக்கிறது. வளைவுகளில் நிலையான குறைப்பு குறித்த ஒரு தேற்றத்திலிருந்து சரியான சரியான தன்மை அல்லது சுற்றுப்பாதை மடிப்புகளுக்கான சுருக்கத்தன்மை பின்பற்றப்படுகிறது. அபெலியன் வகைகளின் நிலையான குறைப்பு தொடர்பான கிரோதெண்டீக்கின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி இதைக் காணலாம், மேலும் curves.section 5.2 கரடுமுரடான மாடுலி இடைவெளிகளின் நிலையான குறைப்புக்கு அதன் சமநிலையைக் காட்டுகிறது, மென்மையான அல்லது நிலையான வளைவுகளின் ஐசோமார்பிசம் வகுப்புகளைக் குறிக்கும் கரடுமுரடான மாடுலி இடைவெளிகளையும் கருத்தில் கொள்ளலாம். இந்த கரடுமுரடான மாடுலி இடைவெளிகள் உண்மையில் மாடுலி அடுக்கு என்ற கருத்து அறிமுகப்படுத்தப்படுவதற்கு முன்பு ஆய்வு செய்யப்பட்டன. உண்மையில், கரடுமுரடான மாடுலி இடைவெளிகளின் செயல்திறனை நிரூபிக்கும் முயற்சியில் டிலிக்னே மற்றும் மம்ஃபோர்ட் ஆகியோரால் மாடுலி அடுக்கின் யோசனை அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. சமீபத்திய ஆண்டுகளில், வளைவுகளின் அடுக்கு உண்மையில் மிகவும் அடிப்படை பொருள் என்பது தெளிவாகியுள்ளது. கரடுமுரடான மாடுலி இடைவெளிகள் அடுக்குகளின் அதே பரிமாணத்தைக் கொண்டுள்ளன; இருப்பினும், பூஜ்ஜிய இனத்தில் கரடுமுரடான மாடுலி இடைவெளி பரிமாண பூஜ்ஜியத்தைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் ஒரு இனத்தில், இது பரிமாணம் ஒன்றைக் கொண்டுள்ளது. குறைந்த பேரின மாடுலி இடைவெளிகளின் எடுத்துக்காட்டுகள் ஜீனஸ் 0 பேரின வளைவுகளின் மாடுலி இடத்தின் வடிவவியலை தீர்மானிப்பது சிதைவு கோட்பாட்டைப் பயன்படுத்தி நிறுவப்படலாம். ஒரு பேரின வளைவுக்கான மாடுலிகளின் எண்ணிக்கை, எ. கா. , கோஹோமோலஜி குழுவால் வழங்கப்படுகிறது. செர்ரே டூயலிட்டியுடன் இந்த கோஹோமோலஜி குழு டூயலைசிங் ஷீஃபுக்கான ஐசோமார்பிக் டோஃப் ஆகும். ஆனால், ரீமன்-ரோக்கைப் பயன்படுத்துவது நியதி மூட்டையின் அளவைக் காட்டுகிறது, எனவே அதன் அளவு, எனவே உலகளாவிய பிரிவுகள் எதுவும் இல்லை, அதாவது இன வளைவுகளின் சிதைவுகள் எதுவும் இல்லை என்பதைக் காட்டுகிறது. இது ஒரு புள்ளி மட்டுமே என்பதை நிரூபிக்கிறது, மேலும் ஒரே இன வளைவுகள் மட்டுமே கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. ஒரே தொழில்நுட்ப சிரமம் இயற்கணிதக் குழுவின் தானியங்கி குழுவாகும், இது மூன்று புள்ளிகள் சரிசெய்யப்பட்டவுடன் கடினப்படுத்துகிறது, எனவே பெரும்பாலான ஆசிரியர்கள் அர்த்தப்படுத்துகிறார்கள். மரபணு 1 பேரினம் 1 வழக்கு மாடுலி இடைவெளிகளின் முதல் நன்கு புரிந்துகொள்ளப்பட்ட நிகழ்வுகளில் ஒன்றாகும், குறைந்தபட்சம் சிக்கலான எண்களுக்கு மேல், ஏனெனில் நீள்வட்ட வளைவுகளின் ஐசோமார்பிசம் வகுப்புகள் ஜே-மாறுபாட்டால் வகைப்படுத்தப்படுகின்றன. இடவியல் ரீதியாக, இது அஃபைன் கோடு மட்டுமே, ஆனால் முடிவிலியில் ஒரு நிலையான வளைவைச் சேர்ப்பதன் மூலம் அடிப்படை இடவியல் இடத்துடன் ஒரு அடுக்குக்கு சுருக்கப்படலாம். இது ஒற்றை கூம்பு கொண்ட நீள்வட்ட வளைவு ஆகும். ஜெனரல் கேஸ் ஓவர் கட்டுமானம் முதலில் டிலிக்னே மற்றும் ராபோபோர்ட் ஆகியோரால் முடிக்கப்பட்டது. நீள்வட்ட வளைவுகள் ஒரு அபெலியன் குழு கட்டமைப்பைக் கொண்டிருப்பதால், ஒரு கற்பனையான மாடுலி இடத்தில் உள்ள ஸ்டெபிலைசர் குழு வளைவால் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியில் ஸ்டெபிலைசர் குழுவைக் கொண்டிருக்கும் என்பதால், பெரும்பாலான ஆசிரியர்கள் ஒரு குறிக்கப்பட்ட புள்ளியைக் கொண்ட ஒரு வளைவின் வழக்கைக் குழுவின் தோற்றமாகக் கருதுகிறார்கள் என்பதைக் கவனியுங்கள். இது இந்த கற்பனையான மாடுலி இடத்திற்கு தேவையற்ற தொழில்நுட்ப சிக்கலை சேர்க்கிறது. மறுபுறம், ஒரு மென்மையான டெலிக்னே-மம்ஃபோர்ட் அடுக்கு. ஜீனஸ் 2 அஃபைன் அளவுரு இடம் பேரினம் 2 இல் இது போன்ற அனைத்து வளைவுகளும் ஹைப்பர்லிப்டிக், pg 298 ஆக இருப்பது ஒரு பாரம்பரிய விளைவாகும், எனவே ரீமன்-ஹர்விட்ஸ் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி வளைவின் கிளை இடத்திலிருந்து மாடுலி இடத்தை முழுமையாக தீர்மானிக்க முடியும். ஒரு தன்னிச்சையான பேரினம் 2 வளைவு சில தனித்துவமாக வரையறுக்கப்பட்ட வடிவத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவையால் வழங்கப்படுவதால், அத்தகைய வளைவுகளுக்கான அளவுரு இடம் இருப்பிடத்துடன் ஒத்திருக்கும் இடத்தால் வழங்கப்படுகிறது. எடையுள்ள ப்ரொஜெக்டிவ் ஸ்பேஸ் ஒரு எடையுள்ள ப்ரொஜெக்டிவ் ஸ்பேஸ் மற்றும் ரீமன்-ஹர்விட்ஸ் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, ஒரு ஹைப்பர்லிப்டிக் வளைவை வடிவத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவையாக விவரிக்க முடியும், அங்கு பிரிவுகளுக்கான அளவுருக்கள் உள்ளன. பின்னர், மூன்று வேர் இல்லாத பிரிவுகளின் இருப்பிடம் ஒரு புள்ளியால் குறிக்கப்படும் ஒவ்வொரு வளைவையும் கொண்டுள்ளது. மரபணு 3 இது ஒரு ஹைப்பர்லிப்டிக் லோகஸ் மற்றும் ஹைப்பர்லிப்டிக் அல்லாத லோகஸ் ஆகிய இரண்டையும் கொண்ட வளைவுகளின் முதல் மாடுலி இடமாகும். ஹைப்பர்லிப்டிக் அல்லாத வளைவுகள் அனைத்தும் டிகிரி 4 இன் பிளேன் வளைவுகளால் கொடுக்கப்படுகின்றன (ஜெனஸ் டிகிரி சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி), அவை ஹைப்பர்சர்ஃபேஸ்களின் ஹில்பர்ட் திட்டத்தில் மென்மையான லோகஸால் அளவிடப்படுகின்றன. பின்னர், மாடுலி இடைவெளி அடி மூலக்கூறுகளால் அடுக்குப்படுத்தப்படுகிறது. முந்தைய அனைத்து நிகழ்வுகளிலும், மாடுலி இடைவெளிகள் ஒரே மாதிரியாக இருப்பதைக் காணலாம், அதாவது ஒரு மேலாதிக்க பகுத்தறிவு உருவவியல் உள்ளது, மேலும் இது அனைத்து இனங்களிலும் உண்மையாக இருக்கும் என்று நீண்ட காலமாக எதிர்பார்க்கப்பட்டது. உண்மையில், செவேரி இது வரை இனத்திற்கு இது உண்மை என்று நிரூபித்திருந்தார். இருப்பினும், இனத்தைப் பொறுத்தவரை அத்தகைய மாடுலி இடைவெளிகள் அனைத்தும் பொதுவான வகையைச் சேர்ந்தவை, அதாவது அவை ஒரே மாதிரியானவை அல்ல. கரடுமுரடான மாடுலி இடைவெளிகளின் கோடெய்ரா பரிமாணத்தை ஆய்வு செய்வதன் மூலம் அவர்கள் இதைச் சாதித்தனர். உண்மையில், for, மற்றும் எனவே பொதுவான வகையாகும். வடிவியல் உட்பொருள் இது வடிவியல் ரீதியாக குறிப்பிடத்தக்கது, ஏனெனில் இது ஒரு விதிக்கப்பட்ட வகையின் மீது எந்த நேரியல் அமைப்பும் உலகளாவிய வளைவைக் கொண்டிருக்க முடியாது என்பதைக் குறிக்கிறது. எல்லையின் படிநிலைப்படுத்தல் மாடுலி இடைவெளி எல்லையில் இயற்கையான அடுக்குப்படுத்தலைக் கொண்டுள்ளது, அதன் புள்ளிகள் ஒற்றை இன வளைவுகளைக் குறிக்கின்றன. இது அடுக்குகளாக சிதைகிறது, எங்கு. அங்கு நடவடிக்கை இரண்டு குறிக்கப்பட்ட புள்ளிகளை ஊடுருவிச் செல்கிறது. எப்பொழுது சமமாக இருக்கும். இந்த இடங்களுக்கு மேலே உள்ள வளைவுகள் இரட்டை புள்ளியில் இணைக்கப்பட்ட ஒரு ஜோடி வளைவுகளுடன் ஒத்திருக்கின்றன. ஒற்றை இரட்டை புள்ளி ஒருமைப்பாட்டில் ஒரு பேரின வளைவின் இயல்பாக்கம். ஒரே இனத்தைச் சேர்ந்த ஒரு ஜோடி வளைவுகள் இரட்டைப் புள்ளியில் வரிசைமாற்றத்திற்கு இணைக்கப்பட்டுள்ளன. பேரினம் 2 க்கான அடுக்கு வகைப்படுத்தல் பேரினத்தின் விஷயத்தில், ஒரு அடுக்கு வகைப்படுத்தல் உள்ளது. இந்த அடுக்குகளின் மேலும் பகுப்பாய்வு சோ வளைய முன்மொழிவு 9.1 இன் ஜெனரேட்டர்களை வழங்க பயன்படுத்தப்படலாம். குறிக்கப்பட்ட வளைவுகளின் தொகுதிகள் n குறிக்கப்பட்ட புள்ளிகளுடன் ஜி நோடல் வளைவுகளின் மாடுலி அடுக்கைக் கருத்தில் கொள்வதன் மூலம் சிக்கலை வளப்படுத்தலாம், ஜோடி வாரியாக வேறுபட்ட மற்றும் முனைகளிலிருந்து வேறுபட்டவை. குறிக்கப்பட்ட புள்ளிகளை சரிசெய்யும் வளைவு தானியங்கி உருமாற்றங்களின் துணைக்குழு வரையறுக்கப்பட்டதாக இருந்தால் அத்தகைய குறிக்கப்பட்ட வளைவுகள் நிலையானவை என்று கூறப்படுகிறது. n குறிக்கப்பட்ட புள்ளிகளைக் கொண்ட மென்மையான (அல்லது நிலையான) பேரின ஜி வளைவுகளின் விளைவாக வரும் மாடுலி அடுக்குகள் குறிக்கப்படுகின்றன (அல்லது), மேலும் அவை பரிமாணத்தைக் கொண்டுள்ளன. ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியைக் கொண்ட பேரினம் 1 வளைவுகளின் மாடுலி அடுக்கு ஒரு குறிப்பிட்ட ஆர்வத்தின் வழக்கு. இது நீள்வட்ட வளைவுகளின் அடுக்கு. நிலை 1 மாடுலர் வடிவங்கள் இந்த அடுக்கில் உள்ள வரி மூட்டைகளின் பிரிவுகளாகும், மேலும் நிலை N மாடுலர் வடிவங்கள் என்பது நிலை N கட்டமைப்பைக் கொண்ட நீள்வட்ட வளைவுகளின் அடுக்கில் உள்ள வரி மூட்டைகளின் பிரிவுகளாகும் (தோராயமாக வரிசை N இன் புள்ளிகளைக் குறிக்கும்). எல்லை வடிவியல் சுருக்கப்பட்ட மாடுலி இடைவெளிகளின் ஒரு முக்கியமான பண்பு என்னவென்றால், அவற்றின் எல்லையை இனத்திற்கான மாடுலி இடைவெளிகளின் அடிப்படையில் விவரிக்க முடியும். குறிக்கப்பட்ட, நிலையான, நோடல் வளைவைப் பொறுத்தவரை, ஒருவர் அதன் இரட்டை வரைபடத்தை தொடர்புபடுத்தலாம், எதிர்மறை அல்லாத முழு எண்களால் பெயரிடப்பட்ட செங்குத்துகளுடன் ஒரு வரைபடம் மற்றும் சுழல்கள், பல விளிம்புகள் மற்றும் எண்ணற்ற அரை விளிம்புகளைக் கொண்டிருக்க அனுமதிக்கப்படுகிறது. இங்கே வரைபடத்தின் செங்குத்துகள் நோடல் வளைவின் பகுக்கமுடியாத கூறுகளுடன் ஒத்திருக்கின்றன, ஒரு உச்சியின் பெயரிடுதல் என்பது தொடர்புடைய கூறுகளின் எண்கணித இனமாகும், விளிம்புகள் வளைவின் முனைகளுடன் ஒத்திருக்கின்றன மற்றும் அரை முனைகள் அடையாளங்களுடன் ஒத்திருக்கின்றன. கொடுக்கப்பட்ட இரட்டை வரைபடத்துடன் வளைவுகளின் இருப்பிடத்தை மூடுவது ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட குழுவால் வளைவுகளின் சுருக்கப்பட்ட மாடுலி இடைவெளிகளின் பெருக்கலின் அடுக்கு விகிதத்திற்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும். உற்பத்தியில் ஒரு உச்சி v உடன் தொடர்புடைய காரணி பெயரிடுதலில் இருந்து எடுக்கப்பட்ட ஜிவி இனத்தைக் கொண்டுள்ளது மற்றும் v இல் வெளியேறும் விளிம்புகள் மற்றும் அரை விளிம்புகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமமான அடையாளங்களின் எண்ணிக்கை உள்ளது. மொத்த பேரினம் g என்பது gv இன் கூட்டுத்தொகையும் வரைபடத்தில் மூடிய சுழற்சிகளின் எண்ணிக்கையும் ஆகும். நிலையான வளைவுகளின் இரட்டை வரைபடம் பெயரிடப்பட்ட ஒரு உச்சியைக் கொண்டுள்ளது (எனவே மற்ற அனைத்து செங்குத்துகளும் உள்ளன மற்றும் வரைபடம் ஒரு மரம்) "விகிதமுறு வால்" என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் அவற்றின் மாடுலி இடைவெளி குறிக்கப்படுகிறது. இரட்டை வரைபடம் ஒரு மரமாக இருக்கும் நிலையான வளைவுகள் "கச்சிதமான வகை" என்று அழைக்கப்படுகின்றன (ஏனெனில் ஜாகோபியன் கச்சிதமானது) மற்றும் அவற்றின் மாடுலி இடைவெளி குறிக்கப்படுகிறது. குறிக்கப்பட்ட வளைவுகளின் மாடுலியையும் பார்க்கவும் விட்டன் அனுமானம் டாட்டாலஜிக்கல் ரிங் கிரோதெண்டிக்-ரீமன்-ரோச் தேற்றம் குறிப்புகள் கிளாசிக் குறிப்புகள் வளைவுகளின் மாடுலி பற்றிய புத்தகங்கள் கோஹோமோலஜி மற்றும் குறுக்குவெட்டு கோட்பாடு வெளிப்புற இணைப்புகள் "வளைவுகளின் மாடுலி இடத்தின் இடவியல் மற்றும் வடிவியல்" "நிலையான வரைபடங்களின் மாடுலி, குரோமோவ்-விட்டன் மாறிலிகள் மற்றும் குவாண்டம் கோஹோமோலஜி" மாடுலி கோட்பாடு இயற்கணித வகைகள்