Theta divisor
கணிதத்தில், தீட்டா வகுத்தி என்பது இயற்கணித வடிவவியலின் அர்த்தத்தில் வகுத்தி ஆகும், இது தொடர்புடைய ரீமன் தீட்டா-செயல்பாட்டின் பூஜ்ஜிய இருப்பிடத்தால் சிக்கலான எண்கள் (மற்றும் முக்கியமாக துருவப்படுத்தப்பட்ட) மீது ஒரு அபெலியன் வகை A இல் வரையறுக்கப்படுகிறது. எனவே இது பரிமாணம் மங்கலான A−1 கொண்ட A இன் இயற்கணித துணை மாறுபாடு ஆகும். கிளாசிக்கல் கோட்பாடு பெர்ன்ஹார்ட் ரீமானின் கிளாசிக்கல் முடிவுகள் மற்றொரு வழியில் விவரிக்கின்றன, A என்பது ஒரு இயற்கணித வளைவின் (கச்சிதமான ரீமான் மேற்பரப்பு) C இன் ஜாகோபியன் வகை J. C இல் அடிப்படை புள்ளி P ஐத் தேர்ந்தெடுப்பதற்கு, C முதல் J வரை ஒரு நிலையான வரைபடம் உள்ளது. பின்னர் J ஒரு இயற்கணிதக் குழு என்பதால், C என்பது J இல் k முறை சேர்க்கப்படலாம், இது Wk என்ற துணை வகைகளை உருவாக்குகிறது. g என்பது C யின் பேரினம் என்றால், ரீமன், Wg−1 இன் J இல் மொழிபெயர்க்கப்பட்ட ஒரு மொழிபெயர்ப்பு என்று நிரூபித்தார். Wg−1 இல் உள்ள எந்த புள்ளிகள் ஒற்றை அல்லாதவை என்பதையும் அவர் விவரித்தார்ஃ அவை மாறிலிகளைத் தவிர வேறு எந்த இணைக்கப்பட்ட மெரோமார்பிக் செயல்பாடுகளும் இல்லாமல் டிகிரி g−1 இன் பயனுள்ள வகுத்திகள் D உடன் ஒத்திருக்கின்றன. மேலும் பாரம்பரிய மொழியில், இந்த டி சி மீது வகுத்திகளின் நேரியல் அமைப்பில் நகரவில்லை, அதாவது அவை ஒரு மாறாத செயல்பாட்டின் துருவ வகுத்தியில் ஆதிக்கம் செலுத்துவதில்லை. ரீமன் சிங்குலாரிட்டி தேற்றத்தை ரீமன் மேலும் நிரூபித்தார், Wg−1 இல் ஒரு புள்ளி p = வகுப்பு (D) இன் பெருக்கத்தை D ஆதிக்கம் செலுத்தும் துருவ வகுப்பி கொண்ட நேரியல் சுயாதீன மெரோமார்பிக் செயல்பாடுகளின் எண்ணிக்கை அல்லது அதற்கு சமமாக h0 (O (D)) என அடையாளம் காட்டினார், இது C இல் கார்டியர் வகுத்தியாக D உடன் தொடர்புடைய ஹோலோமார்பிக் கோடு மூட்டையின் நேரியல் சுயாதீனமான உலகளாவிய பிரிவுகளின் எண்ணிக்கை. பிற்காலப் படைப்பு ரீமன் சிங்குலாரிட்டி தேற்றத்தை 1973 இல் ஜார்ஜ் கெம்ப்ஃப் விரிவுபடுத்தினார், டேவிட் மம்ஃபோர்ட் மற்றும் ஆண்ட்ரூட்டி-மேயர் ஆகியோரின் படைப்புகளை அடிப்படையாகக் கொண்டு, 1 ≤ k ≤ g−1 க்கு Wk இல் p = வகுப்பு (D) புள்ளிகளின் சிங்குலாரிட்டிகளின் விளக்கத்திற்கு. குறிப்பாக டி (ரீமன்-கெம்ப்ஃப் ஒற்றுமை தேற்றம்) உடன் தொடர்புடைய சுயாதீன மெரோமார்பிக் செயல்பாடுகளின் எண்ணிக்கையின் அடிப்படையில் அவற்றின் பெருக்கங்களையும் அவர் கணக்கிட்டார். இன்னும் துல்லியமாக, கெம்ப்ஃப் p க்கு அருகில் உள்ள மேட்ரிக்ஸின் குடும்பத்திற்கு J ஐ வரைபடமாக்கியது, இது ஒரு சரியான வரிசையிலிருந்து வருகிறது, இது h0 (O (D)) ஐக் கணக்கிடுகிறது, இது Wk அதிகபட்ச தரவரிசையை விட குறைவான மேட்ரிக்ஸின் இருப்பிடத்துடன் ஒத்திருக்கிறது. பெருக்கம் பின்னர் தொடர்புடைய தரவரிசை இருப்பிடத்தில் உள்ள புள்ளியுடன் ஒத்துப்போகிறது. வெளிப்படையாக, h0 (O (D)) = r + 1 என்றால், வகுப்பு (D) இல் Wk இன் பெருக்கம் இருமக் குணகம் k = g−1 ஆக இருக்கும்போது, இது r + 1, ரீமானின் சூத்திரம். குறிப்புகள் தீட்டா செயல்பாடுகள் இயற்கணித வளைவுகள் பெர்ன்ஹார்ட் ரீமன்