CR manifold
கணிதத்தில், ஒரு சி. ஆர் பன்மடங்கு அல்லது காச்சி-ரீமன் பன்மடங்கு என்பது ஒரு சிக்கலான திசையன் இடத்தில் ஒரு உண்மையான ஹைப்பர்சர்ஃபேஸின் மாதிரியில் வடிவமைக்கப்பட்ட வடிவியல் கட்டமைப்புடன் சேர்ந்து வேறுபடுத்தக்கூடிய பன்மடங்கு ஆகும், அல்லது பொதுவாக ஒரு வெட்ஜின் விளிம்பில் வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது. முறைப்படி, ஒரு சி. ஆர் பன்மடங்கு என்பது ஒரு விரும்பத்தக்க சிக்கலான விநியோகம் எல் உடன் ஒரு வேறுபடுத்தக்கூடிய பன்மடங்கு எம், அல்லது வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், சிக்கலான தொடுகோடு மூட்டையின் ஒரு சிக்கலான துணை மூட்டை (எல் முறையாக ஒருங்கிணைக்கக்கூடியது). உட்பண்டில் எல் பன்மடங்கு எம் மீது ஒரு சி. ஆர் அமைப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது. சுருக்கமாக சி. ஆர் என்பது "காச்சி-ரீமான்" அல்லது "காம்ப்ளக்ஸ்-ரியல்" என்பதைக் குறிக்கிறது. அறிமுகம் மற்றும் உந்துதல் ஒரு சி. ஆர் கட்டமைப்பின் கருத்து, ஹைப்பர்சர்ஃபேஸிற்கு தொடுகோடாக இருக்கும் ஹோலோமார்பிக் திசையன் புலங்களின் பண்புகளைப் படிப்பதன் மூலம் சிக்கலான இடத்தில் ஒரு ஹைப்பர்சர்ஃபேஸ் (அல்லது உயர் கோடிமென்ஷனின் சில உண்மையான சப்மேனிஃபோல்ட்ஸ்) என்ற பண்புகளை உள்ளார்ந்த முறையில் விவரிக்க முயற்சிக்கிறது. உதாரணமாக, M என்பது சமன்பாட்டால் கொடுக்கப்பட்ட ஹைப்பர்சர்பேஸ் என்று வைத்துக்கொள்வோம், அங்கு z மற்றும் w வழக்கமான சிக்கலான ஆயத்தொலைவுகள் ஆகும். L இன் ஹோலோமார்பிக் தொடுகோட்டு மூட்டை திசையன்களின் அனைத்து நேரியல் சேர்க்கைகளையும் கொண்டுள்ளது. M இல் L என்ற விநியோகம் M க்கு தொடுகோட்டு கொண்ட இந்த திசையன்களின் அனைத்து சேர்க்கைகளையும் கொண்டுள்ளது. தொடுகோட்டு திசையன்கள் M க்கான வரையறுக்கும் சமன்பாட்டை அழிக்க வேண்டும், எனவே L இன் சிக்கலான அளவிடுதல் பெருக்கிகளைக் கொண்டுள்ளது. குறிப்பாக, L என்பது F ஐ அழிக்கும் ஹோலோமார்பிக் திசையன் புலங்களைக் கொண்டுள்ளது. L என்பது M இல் ஒரு CR கட்டமைப்பைக் கொடுக்கிறது என்பதைக் கவனியுங்கள், [L, L] = 0 க்கு (L ஒரு பரிமாணமாக இருப்பதால்) மற்றும் ஷ்ணல்/ஷ்ணல் மற்றும் ஷ்ணல்/ஷ்ணல் ஆகியவை அவற்றின் சிக்கலான இணைப்புகளிலிருந்து நேர்கோட்டில் சுயாதீனமாக இருப்பதால். மேலும் பொதுவாக, M என்பது F (z1,., zn) = 0 என்ற சமன்பாட்டை வரையறுக்கும் ஒரு உண்மையான ஹைப்பர்சர்பேஸ் என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் சி. ஆர் அமைப்பு எல் அடிப்படை ஹோலோமார்பிக் திசையன்களின் நேரியல் சேர்க்கைகளைக் கொண்டுள்ளதுஃ இது வரையறுக்கும் செயல்பாட்டை அழிக்கிறது. இந்த விஷயத்தில், முன்பு இருந்த அதே காரணத்திற்காக. மேலும், F ஐ அழிக்கும் ஹோலோமார்பிக் திசையன் புலங்களின் கம்யூட்டேட்டர் மீண்டும் F ஐ அழிக்கும் ஒரு ஹோலோமார்பிக் திசையன் புலம் என்பதால் உட்பொதிக்கப்பட்ட மற்றும் சுருக்கமான CR பன்மடங்கு உட்பொதிக்கப்பட்ட CR பன்மடங்கு (ஹைப்பர்சர்ஃபேஸ் மற்றும் சிக்கலான இடத்தில் வெட்ஜ்களின் விளிம்புகள்) மற்றும் சுருக்கமான CR பன்மடங்கு (சிக்கலான விநியோகம் L ஆல் வழங்கப்பட்டவை) கோட்பாடுகளுக்கு இடையே ஒரு கூர்மையான வேறுபாடு உள்ளது. முறையான வடிவியல் அம்சங்கள் பல ஒத்தவை. இவற்றில் பின்வருவன அடங்கும்ஃ குவிந்த தன்மை பற்றிய ஒரு கருத்து (லெவி வடிவத்தால் வழங்கப்படுகிறது) ஒரு வேறுபட்ட ஆபரேட்டர், டால்பீல்ட் ஆபரேட்டருக்கு ஒத்த, மற்றும் ஒரு தொடர்புடைய கோஹோமோலஜி (டான்ஜென்ஷியல் காச்சி-ரீமன் காம்ப்ளக்ஸ்). உட்பொதிக்கப்பட்ட சி. ஆர் பன்மடங்கு சில கூடுதல் கட்டமைப்பைக் கொண்டுள்ளன, இருப்பினும்ஃ காச்சி-ரீமன் சமன்பாடுகளுக்கான நியூமன் மற்றும் டிரிக்லெட் சிக்கல். இந்த கட்டுரை முதலில் உட்பொதிக்கப்பட்ட சி. ஆர் பன்மடங்கு வடிவவியலைக் கையாள்கிறது, இந்த கட்டமைப்புகளை உள்ளார்ந்த முறையில் எவ்வாறு வரையறுப்பது என்பதைக் காட்டுகிறது, பின்னர் இவற்றை சுருக்க அமைப்புக்கு பொதுமைப்படுத்துகிறது. உட்பொதிக்கப்பட்ட சி. ஆர் பன்மடங்கு உட்பொதிக்கப்பட்ட சி. ஆர் பன்மடங்கு, முதன்மையாக, சிக்கலான தொடுகோடு மூட்டையின் ஒரு ஜோடி சப் பண்டில்களை வரையறுக்கவும்ஃ இது ஆன்டிஹோலோமார்பிக் செயல்பாடுகளை அழிக்கும் சிக்கலான திசையன்களைக் கொண்டுள்ளது. ஹோலோமார்பிக் ஆயத்தொகுதிகளில்ஃ ஹோலோமார்பிக் செயல்பாடுகளை அழிக்கும் சிக்கலான திசையன்களைக் கொண்டுள்ளது. ஆயத்தொகுப்புகளில்ஃ டால்பீல்ட் வளாகத்திலிருந்து வரும் சிறப்பியல்பு அனிஹிலேட்டர்களும் பொருத்தமானவைஃ ஆயத்தொகுப்புகளில், ஆயத்தொகுப்புகளில், இவற்றின் வெளிப்புற விளைபொருள்கள் சுய-தெளிவான குறியீடு ω (p, q) ஆல் குறிக்கப்படுகின்றன, மேலும் டால்பீல்ட் ஆபரேட்டர் மற்றும் இந்த இடங்களுக்கு இடையில் அதன் சிக்கலான இணை வரைபடம்ஃ மேலும், வழக்கமான வெளிப்புற வழித்தோன்றலின் சிதைவு வழியாக உள்ளது. சிக்கலான இடத்தின் உண்மையான சப்மேனிஃபோல்ட்ஸ் ஒரு உண்மையான சப்மேனிஃபோல்ட் ஆக இருக்கட்டும், இது மென்மையான உண்மையான மதிப்புள்ள செயல்பாடுகளின் அமைப்பின் இருப்பிடம் என்று உள்ளூரில் வரையறுக்கப்படுகிறது, இந்த அமைப்பின் வேறுபாடுகளின் சிக்கலான-நேரியல் பகுதி அதிகபட்ச தரவரிசையைக் கொண்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம், வேறுபாடுகள் பின்வரும் சுதந்திர நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்கின்றனஃ இந்த நிபந்தனை மறைமுக செயல்பாட்டு தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தத் தேவையானதை விட கண்டிப்பாக வலுவானதுஃ குறிப்பாக, எம் என்பது உண்மையான பரிமாணத்தின் பன்மடங்கு. எம் என்பது சி. ஆர் கோடிமென்ஷன் கே இன் பொதுவான உட்பொதிக்கப்பட்ட சி. ஆர் சப்மேனிஃபோல்ட் என்று நாம் கூறுகிறோம். பெரும்பாலான பயன்பாடுகளில், k = 1, இந்த விஷயத்தில் பன்மடங்கு ஹைப்பர்சர்பேஸ் வகை என்று கூறப்படுகிறது. வரையறுக்கும் செயல்பாடுகள் அனைத்தையும் அழிக்கும் திசையன்களின் துணைக்குழுவாக இருக்கட்டும், ஹைப்பர்சர்ஃபேஸ்களில் ஒருங்கிணைந்த விநியோகங்களுக்கான வழக்கமான பரிசீலனைகளால், எல் இன்வோலுவெடிவ் ஆகும். மேலும், சுதந்திர நிபந்தனை L என்பது நிலையான தரவரிசை n − k இன் ஒரு மூட்டை என்பதைக் குறிக்கிறது. இனிமேல், k = 1 (எனவே CR பன்மடங்கு ஹைப்பர்சர்பேஸ் வகையைச் சேர்ந்தது) என்று வைத்துக்கொள்வோம், இல்லையெனில் குறிப்பிடப்படாவிட்டால். லெவி வடிவம் எம் என்பது ஒற்றை வரையறுக்கும் செயல்பாடு எஃப் = 0 உடன் ஹைப்பர்சர்ஃபேஸ் வகையின் சி. ஆர் பன்மடங்கு என்று வைத்துக்கொள்வோம். எம் இன் லெவி வடிவம், யூஜெனியோ எலியா லெவியின் பெயரால் பெயரிடப்பட்டது, இது ஹெர்மிடியன் 2-வடிவமாகும் இது எல். எம் மீது ஒரு மெட்ரிக் தீர்மானிக்கிறது, இது கண்டிப்பாக சூடோகான்வெக்ஸ் என்று கூறப்படுகிறது (பக்கத்திலிருந்து எஃப் <0) எச் நேர்மறை திட்டவட்டமாக இருந்தால் (அல்லது சூடோகான்வெக்ஸ் வழக்கில் எச் நேர்மறை அரைகுறையாக இருந்தால்). சி. ஆர் பன்மடங்கு கோட்பாட்டில் பல பகுப்பாய்வு இருப்பு மற்றும் தனித்துவம் ஆகியவை சூடோகான்வெக்ஸிட்டியைப் பொறுத்தது. இந்த பெயரிடல் சூடோகான்வெக்ஸ் களங்களின் ஆய்விலிருந்து வருகிறதுஃ எம் என்பது ஒரு (கண்டிப்பாக) சூடோகான்வெக்ஸ் களத்தின் எல்லை, அது களத்தின் பக்கத்திலிருந்து ஒரு சி. ஆர் பன்மடங்கு போல (கண்டிப்பாக) சூடோகான்வெக்ஸாக இருந்தால் மட்டுமே. (ப்ளூரிசுபார்மோனிக் செயல்பாடுகள் மற்றும் ஸ்டீன் பன்மடங்கு ஆகியவற்றைப் பார்க்கவும்.) சுருக்கமான சி. ஆர் கட்டமைப்புகள் உண்மையான பரிமாணம் n இன் உண்மையான பன்மடங்கு எம் மீது ஒரு சுருக்கமான சி. ஆர் அமைப்பு சிக்கலான தொடுகோடு மூட்டையின் ஒரு சிக்கலான சப் பண்டில் எல் ஐக் கொண்டுள்ளது, இது முறையாக ஒருங்கிணைக்கக்கூடியது, அதாவது [எல், எல்] எல், அதன் சிக்கலான இணைப்புடன் பூஜ்ஜிய குறுக்குவெட்டைக் கொண்டுள்ளது. சி. ஆர் கட்டமைப்பின் சி. ஆர் கோடிமென்ஷன் என்பது டிம் எல் என்பது சிக்கலான பரிமாணமாகும். k = 1 என்றால், சி. ஆர் அமைப்பு ஹைப்பர்சர்ஃபேஸ் வகையைச் சேர்ந்தது என்று கூறப்படுகிறது. சுருக்கமான சி. ஆர் கட்டமைப்புகளின் பெரும்பாலான எடுத்துக்காட்டுகள் ஹைப்பர்சர்ஃபேஸ் வகையைச் சேர்ந்தவை. லெவி வடிவம் மற்றும் சூடோகான்வெக்ஸிட்டி எம் என்பது ஹைப்பர்சர்பேஸ் வகையின் சி. ஆர் பன்மடங்கு என்று வைத்துக்கொள்வோம். லெவி வடிவம் என்பது 2-வடிவம் மதிப்புள்ள திசையன் ஆகும், இது L இல் வரையறுக்கப்படுகிறது, h ஆல் கொடுக்கப்பட்ட வரி மூட்டையில் உள்ள மதிப்புகள் L இல் ஒரு செஸ்க்விலைனியர் வடிவத்தை வரையறுக்கிறது, ஏனெனில் இது ஒருங்கிணைப்பு நிபந்தனையால் L இன் பிரிவுகளுக்கு v மற்றும் w எவ்வாறு நீட்டிக்கப்படுகின்றன என்பதைப் பொறுத்தது அல்ல. இந்த வடிவம் அதே வெளிப்பாட்டின் மூலம் மூட்டையில் ஒரு ஹெர்மிடியன் வடிவத்திற்கு நீண்டுள்ளது. நீட்டிக்கப்பட்ட வடிவம் சில நேரங்களில் லெவி வடிவம் என்றும் குறிப்பிடப்படுகிறது. லெவி வடிவத்தை மாற்றாக இரட்டைத்தன்மையின் அடிப்படையில் வகைப்படுத்தலாம். சிக்கலான கோட்டான்ஜென்ட் மூட்டை அழிக்கும் V இன் கோடு சப் பண்டிலைக் கவனியுங்கள் ஒவ்வொரு உள்ளூர் பிரிவுக்கும் α ω (H0M), வடிவம் hα என்பது α உடன் தொடர்புடைய ஒரு சிக்கலான மதிப்புள்ள ஹெர்மிடியன் வடிவமாகும். லெவி வடிவத்தின் பொதுமைப்படுத்தல்கள் பன்மடங்கு ஹைப்பர்சர்ஃபேஸ் வகையாக இல்லாதபோது உள்ளன, இந்த விஷயத்தில் வடிவம் இனி ஒரு கோடு மூட்டையில் மதிப்புகளைக் கருதாது, மாறாக ஒரு திசையன் மூட்டையில். பின்னர் ஒருவர் ஒரு லெவி வடிவத்தைப் பற்றி அல்ல, ஆனால் கட்டமைப்பிற்கான லெவி வடிவங்களின் தொகுப்பைப் பற்றி பேசலாம். சுருக்கமான சி. ஆர் பன்மடங்கு, வலுவான போலி-குவிய வகை, லெவி வடிவம் ஒரு போலி-ஹெர்மிடியன் மெட்ரிக் உருவாகிறது. மெட்ரிக் ஹோலோமார்பிக் தொடுகோடு திசையன்களுக்கு மட்டுமே வரையறுக்கப்படுகிறது, எனவே சீரழிந்துள்ளது. பின்னர் ஒரு இணைப்பு மற்றும் சுழற்சி மற்றும் தொடர்புடைய வளைவு இழுவிசைகளை வரையறுக்கலாம், எடுத்துக்காட்டாக இந்த அளவீட்டைப் பயன்படுத்தி ரிச்சி வளைவு மற்றும் அளவிடுதல் வளைவு. இது டேவிட் ஜெரிசன் மற்றும் ஜான் லீ ஆகியோரால் முதன்முதலில் ஆய்வு செய்யப்பட்ட ஒத்த சி. ஆர் யமபே சிக்கலுக்கு வழிவகுக்கிறது. சி. ஆர் பன்மடங்கு தொடர்புடைய இணைப்பு முதலில் சிட்னி எம். வெப்ஸ்டர் சமன்பாடு சிக்கல் பற்றிய ஆய்வு குறித்த தனது ஆய்வறிக்கையில் வரையறுக்கப்பட்டு ஆய்வு செய்யப்பட்டது, மேலும் தனக்காவால் சுயாதீனமாக வரையறுக்கப்பட்டு ஆய்வு செய்யப்பட்டது. இந்தக் கருத்துக்களின் பதிவுகளைக் கட்டுரைகளில் காணலாம். சி. ஆர் வடிவவியலின் அடிப்படை கேள்விகளில் ஒன்று, சுருக்கமான சி. ஆர் கட்டமைப்பைக் கொண்ட ஒரு மென்மையான பன்மடங்கு சிலவற்றில் உட்பொதிக்கப்பட்ட பன்மடங்கு என உணர முடியும். இவ்வாறு நாம் பன்மடங்கு உட்பொதிப்பது மட்டுமல்லாமல், சுருக்க பன்மடங்கு உட்பொதிக்கும் வரைபடம் உட்பொதிக்கப்பட்ட பன்மடங்கு தூண்டப்பட்ட சி. ஆர் கட்டமைப்பை பின்னோக்கி இழுக்க வேண்டும் என்றும் உலகளாவிய உட்பொதிப்பை நாங்கள் கோருகிறோம், இதனால் புல் பேக் சி. ஆர் அமைப்பு சுருக்கமான சி. ஆர் கட்டமைப்புடன் சரியாக உடன்படுகிறது. எனவே உலகளாவிய உட்பொதிப்பு என்பது இரண்டு பகுதி நிபந்தனையாகும். இங்கே கேள்வி இரண்டாகப் பிரிக்கப்படுகிறது. உள்ளூர் உட்பொதிப்பு அல்லது உலகளாவிய உட்பொதிப்பு ஆகியவற்றை ஒருவர் கேட்கலாம். சுருக்கமாக வரையறுக்கப்பட்ட, கச்சிதமான சி. ஆர் கட்டமைப்புகளுக்கு உலகளாவிய உட்பொதிப்பு எப்போதும் உண்மை, அவை வலுவாக சூடோகான்வெக்ஸ் ஆகும், அதாவது லெவி வடிவம் நேர்மறை திட்டவட்டமானது, லூயிஸ் பூட்டெட் டி மோன்வெலின் விளைவாக பன்மடங்கு உண்மையான பரிமாணம் 5 அல்லது அதற்கு மேல் இருக்கும்போது. பரிமாணம் 3 இல், உலகளாவிய உட்பொதிப்புக்கு தடைகள் உள்ளன. மூன்று கோளங்களில் நிலையான சி. ஆர் கட்டமைப்பின் சிறிய இடையூறுகளை ஏற்படுத்துவதன் மூலம் ஒருவர் பெறும் சுருக்க சி. ஆர் அமைப்பு, உலகளவில் உட்பொதிக்கத் தவறிவிட்டது. இது சில நேரங்களில் ரோஸ்ஸி உதாரணம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த உதாரணம் உண்மையில் ஹான்ஸ் கிராவர்டுக்குச் செல்கிறது, மேலும் ஆல்டோ ஆண்ட்ரோட்டி மற்றும் யும்-டாங் சியு ஆகியோரின் ஒரு கட்டுரையிலும் தோன்றுகிறது. ஜோசப் ஜே. கோனின் விளைவாக, உலகளாவிய உட்பொதிப்பு என்பது கோன் லாப்லாசியன் மூடிய வரம்பைக் கொண்ட நிபந்தனைக்கு சமம் என்று கூறுகிறது. மூடிய வரம்பின் இந்த நிலை ஒரு சி. ஆர் மாறாத நிலை அல்ல. பரிமாணம் 3 இல், சாகுன் சானில்லோ, ஹங்-லின் சியு மற்றும் பால் சி. யாங் ஆகியோரால் சிஆர் மாறாத ஒரு இடையூறு இல்லாத நிலைமைகளின் தொகுப்பு கண்டறியப்பட்டுள்ளது, இது சிறிய பன்மடங்கு வரையறுக்கப்பட்ட சுருக்கமான வலுவான போலி-குவியல் சிஆர் கட்டமைப்புகளுக்கான உலகளாவிய உட்பொதிப்புக்கு உத்தரவாதம் அளிக்கிறது. சிஆர் பனிட்ஸ் ஆபரேட்டர் எதிர்மறை அல்லாதது மற்றும் சிஆர் யமபே மாறிலி நேர்மறையானது என்ற கருதுகோளின் கீழ், ஒன்று உலகளாவிய உட்பொதிப்பைக் கொண்டுள்ளது. சுருக்க பன்மடங்கு வெப்ஸ்டர் வளைவை ஒரு நேர்மறை மாறிலியால் கீழே கட்டுப்படுத்த வேண்டும் என்று கோருவதன் மூலம் இரண்டாவது நிபந்தனையை சி. ஆர் அல்லாத மாறாத நிலைக்கு பலவீனப்படுத்தலாம். இது கோனின் லாப்லாசியனின் முதல் நேர்மறையான ஐகென் மதிப்பில் ஒரு கூர்மையான குறைந்த வரம்பைப் பெற ஆசிரியர்களை அனுமதிக்கிறது. கீழ் எல்லை என்பது ஆண்ட்ரே லிச்னெரோவிக்ஸின் சி. ஆர் வடிவவியலில் உள்ள அனலாக் ஆகும், இது ரீமானியன் வடிவவியலில் கச்சிதமான பன்மடங்கு லாப்லேஸ்-பெல்ட்ராமி ஆபரேட்டரின் முதல் நேர்மறை ஐகென் மதிப்பிற்கு பிணைக்கப்பட்டுள்ளது. பரிமாணம் 3 இல் உள்ள சி. ஆர். பனிட்ஸ் இயக்கியின் எதிர்மறை அல்லாத நிலை என்பது சி. ஆர் மாறாத நிபந்தனையாகும், இது உண்மையான பரிமாணம் 3 இன் சி. ஆர் பன்மடங்கு மீது சி. ஆர். பனிட்ஸ் இயக்கியின் இணக்கமான கோவேரியன்ட் பண்புகளால் பின்வருமாறு, முதலில் கெங்கோ ஹிரச்சியால் கவனிக்கப்பட்டது. சி. ஆர். பனிட்ஸ் ஆபரேட்டர் என்று அழைக்கப்படும் பனிட்ஸ் ஆபரேட்டரின் சி. ஆர் பதிப்பு முதன்முதலில் சி. ராபின் கிரஹாம் மற்றும் ஜான் லீ ஆகியோரின் படைப்புகளில் தோன்றுகிறது. இயக்கி உண்மையான பரிமாணம் 5 மற்றும் அதற்கு மேல் இணக்கமாக மாறுபடும் என்று அறியப்படவில்லை, ஆனால் உண்மையான பரிமாணம் 3 இல் மட்டுமே. இது எப்போதும் உண்மையான பரிமாணம் 5 மற்றும் அதற்கு மேல் ஒரு எதிர்மறை அல்லாத ஆபரேட்டர் ஆகும். அனைத்து சுருக்கமாக உட்பொதிக்கப்பட்ட சி. ஆர் பன்மடங்கு எதிர்மறை அல்லாத பனிட்ஸ் ஆபரேட்டர்களைக் கொண்டிருக்கிறதா என்று ஒருவர் கேட்கலாம். இது மேலே விவாதிக்கப்பட்ட உட்பொதிக்கும் கோட்பாடுகளுக்கு ஒரு வகையான எதிர் கேள்வி. இந்த திசையில் ஜெஃப்ரி கேஸ், சகுன் சானில்லோ மற்றும் பால் சி. யாங் ஆகியோர் ஒரு நிலைத்தன்மை தேற்றத்தை நிரூபித்துள்ளனர். அதாவது, ஒருவர் உட்பொதிக்கப்பட்ட கச்சிதமான சி. ஆர் பன்மடங்கு குடும்பத்துடன் தொடங்கி, குடும்பத்தின் சி. ஆர் அமைப்பு அளவுருவைப் பொறுத்தவரை உண்மையான பகுப்பாய்வு வழியில் மாறினால், பன்மடங்கு குடும்பத்தின் சி. ஆர் யமபே மாறிலி ஒரு நேர்மறை மாறிலியால் கீழே ஒரே மாதிரியாக பிணைக்கப்பட்டிருந்தால், சி. ஆர். பனிட்ஸ் ஆபரேட்டர் முழு குடும்பத்திற்கும் எதிர்மறையற்றவராக இருக்கிறார், குடும்பத்தின் ஒரு உறுப்பினர் அதன் சி. ஆர். பனிட்ஸ் ஆபரேட்டர் எதிர்மறையற்றவராக இருந்தால். எதிர் கேள்வி இறுதியாக யுயா டேகுச்சியால் தீர்க்கப்பட்டது. உட்பொதிக்கப்பட்ட, கச்சிதமான சி. ஆர்-3 பன்மடங்கு கண்டிப்பாக சூடோகான்வெக்ஸ் என்று அவர் நிரூபித்தார், இந்த உட்பொதிக்கப்பட்ட பன்மடங்கு தொடர்புடைய சி. ஆர். பனிட்ஸ் ஆபரேட்டர் எதிர்மறை அல்ல. டேனியல் பர்ன்ஸ் மற்றும் சார்லஸ் எப்ஸ்டீன் காரணமாக முப்பரிமாண கோளத்திற்கான நிலையான சி. ஆர் கட்டமைப்பின் சிறிய இடையூறுகளுக்கு உலகளாவிய உட்பொதிப்பின் முடிவுகளும் உள்ளன. இந்த முடிவுகள் இடையூறு காலத்தின் ஃபோரியர் குணகங்கள் குறித்த அனுமானங்களை கருதுகின்றன. சுருக்கமான சி. ஆர் பன்மடங்கு ஒரு மென்மையான பன்மடங்கு என சிலவற்றில் உணர்தல் பொதுவாக ஒருமைப்பாடுகளைக் கொண்ட ஒரு சிக்கலான வகையை பிணைக்கும். இது எஃப். ரீஸ் ஹார்வி மற்றும் எச். பிளேன் லாசன் ஆகியோரால் கட்டுரையில் ஆய்வு செய்யப்பட்ட சிக்கலான பீடபூமி பிரச்சினையின் உள்ளடக்கமாகும். ஸ்டீபன் எஸ். டி. யாவ் என்பவரால் சிக்கலான பீடபூமி பிரச்சினையில் மேலும் வேலை செய்யப்பட்டுள்ளது. சுருக்கமான சி. ஆர் கட்டமைப்புகளின் உள்ளூர் உட்பொதிப்பு உண்மையான பரிமாணம் 3 இல் உண்மையல்ல, ஏனெனில் லூயிஸ் நிரன்பெர்க்கின் ஒரு எடுத்துக்காட்டு (கீழே குறிப்பிடப்பட்டுள்ள சென் மற்றும் மீ-சி ஷா ஆகியோரின் புத்தகமும் நிரன்பெர்க்கின் ஆதாரத்தின் விளக்கக்காட்சியைக் கொண்டுள்ளது). எல். நிரன்பெர்க்கின் உதாரணம் ஹான்ஸ் லெவியின் தீர்க்கமுடியாத சிக்கலான திசையன் புலத்தின் மென்மையான குழப்பமாக கருதப்படலாம். மேலே வரையறுக்கப்பட்ட திசையன் புலம் இரண்டு நேரியல் சுயாதீனமான முதல் ஒருங்கிணைப்புகளைக் கொண்டுள்ளது. அதாவது ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டிற்கு இரண்டு தீர்வுகள் உள்ளன, நாம் உண்மையான பரிமாணம் மூன்றில் இருப்பதால் முறையான ஒருங்கிணைப்பு நிலை எளிமையானது, இது தானியங்கி. ஒரு எளிய கணக்கீட்டில் லெவி வடிவம் கண்டிப்பாக நேர்மறை திட்டவட்டமானது என்பதைக் கவனியுங்கள், அங்கு ஹோலோமார்பிக் திசையன் புலம் எல் வழங்கப்படுகிறது, நேரியல் சுயாதீனமாக இருக்கும் முதல் ஒருங்கிணைப்புகள் சி. ஆர் கட்டமைப்பை ஒரு வரைபடமாக உணர அனுமதிக்கின்றன. நிரன்பெர்க் ஒரு ஒற்றை, மறைந்து போகாத சிக்கலான திசையன் புலத்தை உருவாக்குகிறார், அவர் தோற்றத்தின் சுற்றுப்புறத்தில் வரையறுக்கப்படுகிறார், பின்னர் அது ஒரு மாறிலியாக இருக்க வேண்டும் என்பதைக் காட்டுகிறது. எனவே திசையன் புலத்திற்கு முதல் ஒருங்கிணைப்புகள் இல்லை. மேலே காட்டப்பட்டுள்ள ஹைசன்பெர்க் குழுவிற்கான ஆன்டி-ஹோலோமார்பிக் திசையன் புலத்திலிருந்து திசையன் புலம் உருவாக்கப்படுகிறது, கீழே காட்டப்பட்டுள்ளபடி ஒரு மென்மையான சிக்கலான-மதிப்புள்ள செயல்பாட்டால் அதைத் தொந்தரவு செய்வதன் மூலம்ஃ எனவே இந்த புதிய திசையன் புலம் P, மாறிலிகளைத் தவிர வேறு முதல் ஒருங்கிணைப்புகளைக் கொண்டிருக்கவில்லை, எனவே இந்த குழப்பமான CR கட்டமைப்பை எந்த வகையிலும் ஒரு வரைபடமாக உணர முடியாது. உண்மையான பரிமாணம் 9 மற்றும் அதற்கு மேல், சுருக்கமாக கண்டிப்பாக போலி-குவியல் சி. ஆர் கட்டமைப்புகளின் உள்ளூர் உட்பொதிப்பு மசாதகே குரானிஷியின் பணிகளாலும், உண்மையான பரிமாணம் 7 இல் அகாஹோரியின் பணிகளாலும் உண்மை. உள்ளூர் உட்பொதிப்பின் சிக்கல் உண்மையான பரிமாணம் 5 இல் திறந்திருக்கும். குணாதிசய இலட்சியங்கள் டான்ஜென்ஷியல் காச்சி-ரீமன் காம்ப்ளக்ஸ் (கோன் லாப்லாசியன், கோன்-ரோஸி காம்ப்ளக்ஸ்) முதலில் ஒரு இணை எல்லை ஆபரேட்டரை வரையறுக்க வேண்டும். சிக்கலான பன்மடங்கு எல்லைகளாக எழும் சி. ஆர் பன்மடங்கு களுக்கு, இந்த ஆபரேட்டரை உட்புறத்திலிருந்து எல்லை வரை கட்டுப்பாடு என்று ஒருவர் கருதலாம். சந்தா b என்பது நாம் எல்லையில் இருக்கிறோம் என்பதை நினைவூட்டுவதாகும். இணை எல்லை ஆபரேட்டர் (0, p) படிவங்களை (0, p + 1) படிவங்களுக்கு எடுத்துக்கொள்கிறார். ஒரு சிக்கலான வகையின் எல்லையாக இல்லாவிட்டாலும் கூட, ஒரு சுருக்கமான சி. ஆர் பன்மடங்கு இணை எல்லை ஆபரேட்டரை வரையறுக்க முடியும். வெப்ஸ்டர் இணைப்பைப் பயன்படுத்தி இதைச் செய்யலாம். இணை எல்லை ஆபரேட்டர் ஒரு சிக்கலை உருவாக்குகிறது, அதாவது. இந்த வளாகம் டான்ஜென்ஷியல் காச்சி-ரீமன் வளாகம் அல்லது கோன்-ரோஸி வளாகம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த வளாகத்தின் ஆய்வு மற்றும் இந்த வளாகத்தின் கோஹோமோலஜி குழுக்களின் ஆய்வு ஜோசப் ஜே. கோன் மற்றும் ஹ்யூகோ ரோஸி ஆகியோரால் ஒரு அடிப்படை ஆய்வறிக்கையில் செய்யப்பட்டது. டான்ஜென்ஷியல் சி. ஆர் காம்ப்ளக்ஸ் உடன் தொடர்புடையது சி. ஆர் வடிவியல் மற்றும் பல சிக்கலான மாறிகள், கோன் லாப்லாசியன் ஆகியவற்றில் ஒரு அடிப்படை பொருளாகும். இது பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறதுஃ சி. ஆர் கட்டமைப்புடன் தொடர்புடைய ஒரு தொடர்பு வடிவத்திலிருந்து தொகுதி வடிவம் எங்கு பெறப்படலாம் என்பதைப் பொறுத்தவரை முறையான இணைப்பைக் குறிக்கிறது. உதாரணத்திற்கு ஜே. எம். பத்திரிகையைப் பார்க்கவும். அமெரிக்கன் ஜே. இல் லீ கீழே குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது. கோன் லாப்லாசியன் (0, p) வடிவங்களை (0, p) வடிவங்களுக்கு எடுத்துக்கொள்கிறார் என்பதைக் கவனியுங்கள். கோன் லாப்லாசியனால் அழிக்கப்படும் செயல்பாடுகள் சி. ஆர் செயல்பாடுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. அவை ஹோலோமார்பிக் செயல்பாடுகளின் எல்லை ஒப்புமைகள். சிஆர் செயல்பாடுகளின் உண்மையான பகுதிகள் சிஆர் ப்ளூரிஹார்மோனிக் செயல்பாடுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. கோன் லாப்லாசியன் ஒரு எதிர்மறை அல்லாத, முறையாக சுய-இணை ஆபரேட்டர் ஆகும். இது சீரழிந்துள்ளது மற்றும் அதன் சின்னம் மறைந்துவிடும் ஒரு சிறப்பியல்பு தொகுப்பைக் கொண்டுள்ளது. ஒரு கச்சிதமான, வலுவான போலி-குவியல் சுருக்கமான சி. ஆர் பன்மடங்கு, இது தனித்துவமான நேர்மறை ஐகென் மதிப்புகளைக் கொண்டுள்ளது, அவை முடிவிலிக்குச் சென்று பூஜ்ஜியத்தை அணுகுகின்றன. கர்னல் சி. ஆர் செயல்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளது, எனவே எல்லையற்ற பரிமாணமாகும். கோன் லாப்லாசியனின் நேர்மறை ஐகென் மதிப்புகள் ஒரு நேர்மறை மாறிலியால் கீழே வரம்புக்குட்பட்டிருந்தால், கோன் லாப்லாசியன் மூடப்பட்ட வரம்பைக் கொண்டுள்ளது. இவ்வாறு மேலே கூறப்பட்ட கோனின் முடிவைப் பயன்படுத்தி உட்பொதிக்கப்பட்ட சி. ஆர் கட்டமைப்புகளுக்கு, கோன் லாப்லாசியன் ஒரு நேர்மறை மாறிலியால் கீழே வரையறுக்கப்பட்ட நேர்மறை ஐகென் மதிப்புகளைக் கொண்டிருந்தால் மட்டுமே வலுவான சூடோகான்வெக்ஸ் கொண்ட சிறிய சி. ஆர் அமைப்பு உட்பொதிக்கப்படும் என்று நாங்கள் முடிவு செய்கிறோம். கோன் லாப்லாசியன் எப்போதும் சி. ஆர் செயல்பாடுகளுடன் தொடர்புடைய ஐகென் மதிப்பு பூஜ்ஜியத்தைக் கொண்டுள்ளது. பல்வேறு அமைப்புகளில் பல்வேறு செயல்பாட்டு இடங்களில் பெறப்பட்ட மற்றும் பெறப்பட்ட மதிப்பீடுகள். பன்மடங்கு வலுவாக சூடோகான்வெக்ஸ் இருக்கும்போது இந்த மதிப்பீடுகளைப் பெறுவது எளிதானது, ஏனென்றால் ஒருவர் பன்மடங்கை ஹைசன்பெர்க் குழுவுடன் போதுமான உயர் வரிசையில் ஊசலாடுவதன் மூலம் மாற்றலாம். பின்னர் ஹைசன்பெர்க் குழுவின் குழு பண்பு மற்றும் உதவியாளர் ஒருங்கிணைப்பு கட்டமைப்பைப் பயன்படுத்தி, ஒருவர் தலைகீழ்/அளவுருக்கள் அல்லது உறவினர் அளவுருக்களை எழுதலாம். ஆபரேட்டரின் ஒரு உறுதியான உதாரணத்தை ஹைசன்பெர்க் குழுவில் வழங்கலாம். பொது ஹைசன்பெர்க் குழுவைக் கருத்தில் கொண்டு, குழு இடது மாறாத ஆன்டிஹோலோமார்பிக் திசையன் புலங்களைக் கருத்தில் கொள்ளுங்கள், பின்னர் ஒரு செயல்பாட்டிற்கு u க்கு நம்மிடம் (0,1) வடிவம் உள்ளது. மேலே உள்ள கோன் லாப்லாசியனுக்கான வெளிப்பாட்டை பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதலாம். எனவே ஒரு அடிப்படை கணக்கீட்டின் மூலம் நாம் எளிதாக சரிபார்க்க முடியும்ஃ வலதுபுறத்தில் உள்ள முதல் ஆபரேட்டர் ஒரு உண்மையான ஆபரேட்டர் மற்றும் உண்மையில் இது கோன் லாப்லாசியனின் உண்மையான பகுதியாகும். இது சப்-லாப்லாசியன் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இது ஹார்மண்டர் கூட்டுத்தொகை வர்க்க ஆபரேட்டர் என்று அழைக்கப்படுவதற்கு ஒரு முதன்மை எடுத்துக்காட்டு. இது வெளிப்படையாக எதிர்மறை அல்லாதது, இது பகுதிகளின் ஒருங்கிணைப்பு மூலம் காணலாம். சில எழுத்தாளர்கள் துணை-லாப்லாசியனை எதிர் அடையாளத்துடன் வரையறுக்கிறார்கள். எங்கள் விஷயத்தில் எங்களிடம் குறிப்பாக உள்ளதுஃ அங்கு சின்னம் துணை-லாப்லாசியனின் பாரம்பரிய சின்னமாகும். எனவே எடுத்துக்காட்டுகள் ஒரு கச்சிதமான சி. ஆர் பன்மடங்கு ஒரு நியதி உதாரணம் ஒரு submanifold என உண்மையான கோளம் ஆகும். மேலே விவரிக்கப்பட்ட மூட்டை ஹோலோமார்பிக் திசையன்களின் மூட்டை எங்கே என்பதன் மூலம் வழங்கப்படுகிறது. இதன் உண்மையான வடிவம், சிக்கலான கட்டமைப்பின் அடிப்படையில் ஒரு புள்ளியில் உறுதியுடன் கொடுக்கப்பட்ட மூட்டை, மூலம் மற்றும் கிட்டத்தட்ட சிக்கலான அமைப்பு அதன் கட்டுப்பாடு மட்டுமே. நிலையான நேர்மறை வெப்ஸ்டர் வளைவு மற்றும் பூஜ்ஜிய வெப்ஸ்டர் சுழற்சியைக் கொண்ட ஒரு சி. ஆர் பன்மடங்கு கோளத்திற்கு கோளம் ஒரு எடுத்துக்காட்டு. ஹைசன்பெர்க் குழு பூஜ்ஜிய வெப்ஸ்டர் முறிவு மற்றும் பூஜ்ஜிய வெப்ஸ்டர் வளைவு கொண்ட ஒரு சுருக்கமற்ற சி. ஆர் பன்மடங்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு ஆகும். 1 ஐ விட கண்டிப்பாக பெரிய பேரினத்துடன் கூடிய சிறிய ரீமன் மேற்பரப்புகளில் உள்ள அலகு வட்டம் மூட்டை சி. ஆர் பன்மடங்கு எடுத்துக்காட்டுகளையும் வழங்குகிறது, அவை வலுவாக சூடோகான்வெக்ஸ் மற்றும் பூஜ்ஜிய வெப்ஸ்டர் முறிவு மற்றும் நிலையான எதிர்மறை வெப்ஸ்டர் வளைவு ஆகியவற்றைக் கொண்டுள்ளன. இந்த இடைவெளிகள் புவியியலைப் படிப்பதில் ஒப்பீட்டு இடங்களாகப் பயன்படுத்தப்படலாம் மற்றும் சி. ஆர் பன்மடங்கு மீது தொகுதி ஒப்பீட்டு கோட்பாடுகள் பூஜ்ஜிய வெப்ஸ்டர் முறுக்குடன் எச். இ. ரீமானியன் வடிவவியலில் ரௌச் ஒப்பீட்டு தேற்றம். சமீப ஆண்டுகளில், ஹைசன்பெர்க் குழுவில் உள்ள குறைந்தபட்ச மேற்பரப்புகள், ஹைசன்பெர்க் குழுவில் உள்ள பெர்ன்ஸ்டைன் சிக்கல் மற்றும் வளைவு ஓட்டங்கள் போன்ற ஹைசன்பெர்க் குழுவின் பகுப்பாய்வின் பிற அம்சங்களும் ஆய்வு செய்யப்பட்டுள்ளன. யூஜெனியோ எலியா லெவி சூடோகான்வெக்ஸிட்டி குறிப்புகள் குறிப்புகளையும் பார்க்கவும். பல சிக்கலான மாறிகளின் செயல்பாடுகளின் கோட்பாட்டில் ஒரு முக்கியமான கட்டுரை. தலைப்பின் ஆங்கில மொழிபெயர்ப்பு பின்வருமாறுஃ "இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட சிக்கலான மாறிகளின் பகுப்பாய்வு செயல்பாடுகளின் அத்தியாவசிய ஒற்றை புள்ளிகளைப் பற்றிய ஆய்வுகள்". மென்மையான பன்மடங்கு சிக்கலான பன்மடங்கு