Free Boolean algebra
கணிதத்தில், ஒரு இலவச பூலியன் இயற்கணிதம் என்பது ஜெனரேட்டர்கள் என்று அழைக்கப்படும் தனித்துவமான கூறுகளின் தொகுப்பைக் கொண்ட ஒரு பூலியன் இயற்கணிதம் ஆகும், அதாவதுஃ பூலியன் இயற்கணிதத்தின் ஒவ்வொரு உறுப்பும் பூலியன் செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி ஜெனரேட்டர்களின் வரையறுக்கப்பட்ட கலவையாக வெளிப்படுத்தப்படலாம், மேலும் ஜெனரேட்டர்கள் முடிந்தவரை சுயாதீனமானவை, அதாவது அவற்றுக்கிடையே எந்த உறவும் இல்லை (மீண்டும் பூலியன் செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி வரையறுக்கப்பட்ட வெளிப்பாடுகளின் அடிப்படையில்) அவை ஒவ்வொரு பூலியன் இயற்கணிதத்திலும் எந்த உறுப்புகள் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டாலும் பிடிக்காது. ஒரு எளிய எடுத்துக்காட்டு ஒரு இலவச பூலியன் இயற்கணிதத்தின் ஜெனரேட்டர்கள் சுயாதீன முன்மொழிவுகளைக் குறிக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, "ஜான் உயரமானவர்" மற்றும் "மேரி பணக்காரர்" என்ற முன்மொழிவுகளைக் கவனியுங்கள். இவை நான்கு அணுக்களைக் கொண்ட பூலியன் இயற்கணிதத்தை உருவாக்குகின்றன, அதாவதுஃ ஜான் உயரமானவர், மேரி பணக்காரர்; ஜான் உயரமானவர், மேரி பணக்காரர் அல்ல; ஜான் உயரமானவர் அல்ல, மேரி பணக்காரர் அல்ல; ஜான் உயரமானவர் அல்ல, மேரி பணக்காரர் அல்ல. பூலியன் இயற்கணிதத்தின் பிற கூறுகள் அணுக்களின் தர்க்கரீதியான வேறுபாடுகளாகும், அதாவது "ஜான் உயரமானவர், மேரி பணக்காரர் அல்ல, அல்லது ஜான் உயரமானவர் அல்ல, மேரி பணக்காரர்". கூடுதலாக, FALSE என்ற மற்றொரு உறுப்பு உள்ளது, இது வெற்று விலகல் என்று கருதப்படலாம்; அதாவது, அணுக்களின் விலகல் இல்லை. இந்த உதாரணம் 16 உறுப்புகளுடன் கூடிய பூலியன் இயற்கணிதத்தை வழங்குகிறது; பொதுவாக, வரையறுக்கப்பட்ட n க்கு, n ஜெனரேட்டர்களுடன் கூடிய இலவச பூலியன் இயற்கணிதத்தில் 2n அணுக்கள் உள்ளன, எனவே உறுப்புகள் உள்ளன. எண்ணற்ற பல ஜெனரேட்டர்கள் இருந்தால், இப்போது அணுக்கள் இல்லை என்பதைத் தவிர இதேபோன்ற நிலைமை நிலவுகிறது. பூலியன் இயற்கணிதத்தின் ஒவ்வொரு உறுப்பும் இறுதியாக பல உருவாக்கும் முன்மொழிவுகளின் கலவையாகும், அத்தகைய இரண்டு கூறுகள் தர்க்கரீதியாக சமமாக இருந்தால் அவை ஒரே மாதிரியாகக் கருதப்படுகின்றன. ஒரு n-உறுப்பு தொகுப்பில் இலவச பூலியன் இயற்கணிதம் ஏன் உறுப்புகளைக் கொண்டுள்ளது என்பதைப் பார்ப்பதற்கான மற்றொரு வழி, ஒவ்வொரு உறுப்பும் n பிட்கள் முதல் ஒன்று வரை ஒரு செயல்பாடு என்பதைக் குறிப்பிடுவதாகும். அத்தகைய செயல்பாட்டிற்கு சாத்தியமான உள்ளீடுகள் உள்ளன, மேலும் செயல்பாடு ஒவ்வொரு உள்ளீட்டிற்கும் வெளியீட்டிற்கு 0 அல்லது 1 ஐத் தேர்ந்தெடுக்கும், எனவே சாத்தியமான செயல்பாடுகள் உள்ளன. வகை-கோட்பாட்டு வரையறை வகைக் கோட்பாட்டின் மொழியில், இலவச பூலியன் ஆல்ஜிப்ராக்களை செட் மற்றும் செயல்பாடுகளின் வகை, செட் மற்றும் பூலியன் ஆல்ஜிப்ராக்கள் மற்றும் பூலியன் அல்ஜிப்ரா ஹோமோமார்பிசம்களின் வகை, பி. ஏ ஆகியவற்றுக்கு இடையிலான ஒரு இணைப்பின் அடிப்படையில் வரையறுக்கலாம். உண்மையில், இந்த அணுகுமுறை உலகளாவிய இயற்கணிதத்தின் கட்டமைப்பில் வரையறுக்கக்கூடிய எந்தவொரு இயற்கணித கட்டமைப்பிற்கும் பொதுமைப்படுத்துகிறது. மேலே, ஒரு இலவச பூலியன் இயற்கணிதம் என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட வழியில் செயல்படும் ஜெனரேட்டர்களின் தொகுப்பைக் கொண்ட ஒரு பூலியன் இயற்கணிதம் என்று நாங்கள் சொன்னோம்; மாற்றாக, ஒருவர் ஒரு தொகுப்புடன் தொடங்கி அது எந்த இயற்கணிதத்தை உருவாக்குகிறது என்று கேட்கலாம். ஒவ்வொரு தொகுப்பு X ஒரு இலவச பூலியன் இயற்கணித FX ஐ உருவாக்குகிறது, இது இயற்கணிதமாக வரையறுக்கப்படுகிறது, அதாவது ஒவ்வொரு இயற்கணிதம் B மற்றும் செயல்பாடு f: X → B க்கு, ஒரு தனித்துவமான பூலியன் இயற்கணிதம் ஹோமோமார்பிசம் f′: FX → B உள்ளது, இது f ஐ விரிவுபடுத்துகிறது. வரைபடமாக, iX என்பது சேர்க்கை, மற்றும் கோடு அம்பு தனித்துவத்தைக் குறிக்கிறது. யோசனை என்னவென்றால், எக்ஸ் இன் கூறுகளை எங்கு அனுப்ப வேண்டும் என்பதை ஒருவர் தேர்வுசெய்தவுடன், பூலியன் இயற்கணித காப்பமைவியலுக்கான விதிகள் இலவச இயற்கணித எஃப்எக்ஸ் இல் உள்ள எல்லாவற்றையும் எங்கு அனுப்ப வேண்டும் என்பதை தீர்மானிக்கின்றன. FX இல் X இன் கூறுகளின் கலவையாக விவரிக்க முடியாத கூறுகள் இருந்தால், f′ தனித்துவமாக இருக்காது, மேலும் X இன் கூறுகள் போதுமான அளவு சுயாதீனமாக இல்லாவிட்டால், f′ நன்கு வரையறுக்கப்படாது! எஃப்எக்ஸ் தனித்துவமானது (ஐசோமார்பிசம் வரை) என்று எளிதில் காட்டப்படுகிறது, எனவே இந்த வரையறை அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கிறது. செட் X ஐ உருவாக்கும் ஒரு இலவச பூலியன் இயற்கணிதம், முதலில் வரையறுக்கப்பட்டபடி, FX க்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும், எனவே இரண்டு வரையறைகளும் ஒப்புக்கொள்கின்றன. மேலே உள்ள வரையறையின் ஒரு குறைபாடு என்னவென்றால், வரைபடம் f′ ஒரு ஹோமோமார்பிசம் என்பதைப் பிடிக்கவில்லை; ஏனெனில் இது செட்டில் உள்ள ஒரு வரைபடம் என்பதால் ஒவ்வொரு அம்பும் வெறும் செயல்பாட்டைக் குறிக்கிறது. இதை இரண்டு வரைபடங்களாகப் பிரிப்பதன் மூலம் சரிசெய்யலாம், ஒன்று பி. ஏ. மற்றும் ஒன்று செட்டில். இரண்டையும் தொடர்புபடுத்த, இயற்கணித கட்டமைப்பை "மறந்துவிடுகிறது", ஆல்ஜிப்ராக்கள் மற்றும் ஹோமோமார்பிசம்களை அவற்றின் அடிப்படை தொகுப்புகள் மற்றும் செயல்பாடுகளுடன் வரைபடமாக்கும் ஒரு செயல்பாட்டாளரை அறிமுகப்படுத்துகிறோம். மேல் அம்புக்குறியை BA இல் ஒரு வரைபடமாகவும், கீழ் முக்கோணத்தை செட்டில் ஒரு வரைபடமாகவும் விளக்கினால், இந்த வரைபடம் ஒவ்வொரு செயல்பாடும் f: X → UB ஒரு தனித்துவமான பூலியன் இயற்கணித காப்பமைவியலுக்கு f′: FX → B வரை விரிவடைகிறது என்பதை சரியாக வெளிப்படுத்துகிறது. ஃபன்க்டர் U ஐ f′ என்ற ஒத்த உருவகத்தை மீண்டும் செட்டிற்குள் இழுக்க ஒரு சாதனமாக கருதலாம், எனவே இது f உடன் தொடர்புடையதாக இருக்கலாம். இதன் குறிப்பிடத்தக்க அம்சம் என்னவென்றால், இரண்டு ஃபன்க்டர்கள் இணைக்கப்படும் போது பிந்தைய வரைபடம் பல்வேறு (சமமான) வரையறைகளில் ஒன்றாகும். நமது F எளிதில் ஒரு ஃபன்க்டர் செட் → BA வரை விரிவடைகிறது, மேலும் ஒரு இலவச பூலியன் இயற்கணிதம் FX ஐ உருவாக்கும் X பற்றிய நமது வரையறை துல்லியமாக U க்கு இடதுபுறம் இணைந்த F உள்ளது. இடவியல் உணர்தல் κ ஜெனரேட்டர்களுடன் கூடிய இலவச பூலியன் இயற்கணிதம், κ என்பது ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட அல்லது எல்லையற்ற கார்டினல் எண், {0,1} κ இன் அனைத்து க்ளோப்பன் துணைக்குழுக்களின் தொகுப்பாக உணரப்படலாம், இது தயாரிப்பு இடவியல் {0,1} தனித்துவமான இடவியலைக் கொண்டுள்ளது என்று கருதுகிறது. ஒவ்வொரு α <κ க்கும், αth ஜெனரேட்டர் என்பது {0,1} κ இன் அனைத்து உறுப்புகளின் தொகுப்பாகும், அதன் αth ஒருங்கிணைப்பு 1 ஆகும். குறிப்பாக, ஜெனரேட்டர்கள் கொண்ட இலவச பூலியன் இயற்கணிதம் என்பது ஒரு கேன்டர் இடத்தின் அனைத்து குளோப்பன் துணைக்குழுக்களின் தொகுப்பாகும், இது சில நேரங்களில் கேன்டர் இயற்கணிதம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த தொகுப்பு எண்ணற்றது. உண்மையில், n வரையறுக்கப்பட்ட ஜெனரேட்டர்கள் கொண்ட இலவச பூலியன் இயற்கணிதம் கார்டினாலிட்டியைக் கொண்டிருந்தாலும், ஜெனரேட்டர்கள் கொண்ட இலவச பூலியன் இயற்கணிதம், ஜெனரேட்டர்கள் மற்றும் எண்ணற்ற பல வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாடுகளைக் கொண்ட எந்தவொரு இலவச இயற்கணிதத்தையும் போலவே, கார்டினாலிட்டியைக் கொண்டுள்ளது. இலவச பூலியன் இயற்கணிதத்திற்கான இந்த இடவியல் அணுகுமுறையைப் பற்றி மேலும் அறிய, பூலியன் ஆல்ஜிப்ராக்களுக்கான ஸ்டோனின் பிரதிநிதித்துவ தேற்றத்தைப் பார்க்கவும். பூலியன் இயற்கணிதம் (கட்டமைப்பு) தொகுப்பு குறிப்புகளை உருவாக்குதல் ஸ்டீவ் அவோடி (2006) வகை கோட்பாடு (ஆக்ஸ்போர்டு லாஜிக் வழிகாட்டிகள் 49) ஐயும் பார்க்கவும். ஆக்ஸ்போர்டு பல்கலைக்கழகம் பிரஸ். பால் ஹால்மோஸ் மற்றும் ஸ்டீவன் கிவன்ட் (1998) லாஜிக் ஆல்ஜீப்ரா. அமெரிக்காவின் கணித சங்கம். சாண்டர்ஸ் மேக் லேன் (1998) உழைக்கும் கணிதவியலாளருக்கான பிரிவுகள். 2வது பதிப்பு. (கணிதத்தில் பட்டதாரி உரைகள் 5). ஸ்ப்ரிங்கர்-வெர்லாக். சாண்டர்ஸ் மேக் லேன் (1999) ஆல்ஜிப்ரா, 3d. எட். அமெரிக்க கணித சங்கம். . ராபர்ட் ஆர். ஸ்டோல், 1963. கோட்பாடு மற்றும் தர்க்கத்தை அமைக்கவும், chpt. 6. 7 ஆகும். டோவர் மறுபதிப்பு 1979. பூலியன் இயற்கணிதம் இலவச இயற்கணித கட்டமைப்புகள்