Pseudo-arc
பொது இடவியலில், போலி-வளைவு என்பது பரம்பரை ரீதியாக ஒருங்கிணைக்க முடியாத எளிமையான தொடர்ச்சியாகும். போலி-வளைவு ஒரு வளைவு போன்ற ஒரே மாதிரியான தொடர்ச்சியாகும், மேலும் ஒரே மாதிரியான பிளானர் தொடர்ச்சியின் வகைப்பாட்டில் முக்கிய பங்கு வகித்தது. ஆர். எச். பிங், ஒரு குறிப்பிட்ட நன்கு வரையறுக்கப்பட்ட அர்த்தத்தில், ஆர்என் இல் உள்ள பெரும்பாலான கான்டினுவா, n ≤ 2, போலி-வளைவுக்கு ஹோமியோமார்பிக் என்று நிரூபித்தார். 1920 ஆம் ஆண்டில், ப்ரோனிஸ்லா நாஸ்டர் மற்றும் காசிமியர்ஸ் குராடோவ்ஸ்கி ஆகியோர் யூக்ளிடியன் தளம் R2 இல் ஒரு மரபணு மாற்றப்படாத ஒரே மாதிரியான தொடர்ச்சியானது ஒரு ஜோர்டான் வளைவாக இருக்க வேண்டுமா என்று கேட்டனர். 1921 ஆம் ஆண்டில், ஸ்டீபன் மசூர்கீவிக்ஸ், ஆர் 2 இல் உள்ள ஒரு மரபணு மாற்றப்படாத தொடர்ச்சியானது அதன் ஒவ்வொரு மரபணு மாற்றப்படாத துணைக்கண்டத்திற்கும் ஒரு வளைவாக இருக்க வேண்டுமா என்று கேட்டார். 1922 ஆம் ஆண்டில், பரம்பரை ரீதியாக ஒருங்கிணைக்க முடியாத தொடர்ச்சியான K இன் முதல் உதாரணத்தை நாஸ்டர் கண்டுபிடித்தார், பின்னர் இது சூடோ-ஆர்க் என்று பெயரிடப்பட்டது, இது ஒரு மசூர்கீவிக்ஸ் கேள்விக்கு எதிர்மறையான பதிலைக் கொடுத்தது. 1948 ஆம் ஆண்டில், ஆர். எச். பிங் நாஸ்டரின் தொடர்ச்சியானது ஒரே மாதிரியானது என்பதை நிரூபித்தார், அதாவது. அதன் எந்த இரண்டு புள்ளிகளுக்கும் ஒன்றை மற்றொன்றுக்கு எடுத்துச் செல்லும் ஒரு ஹோமியோமார்பிசம் உள்ளது. இருப்பினும் 1948 ஆம் ஆண்டிலும், எட்வின் மோயிஸ், நாஸ்டரின் தொடர்ச்சியானது அதன் சிதைவு இல்லாத துணைக் கண்டங்கள் ஒவ்வொன்றிற்கும் ஹோமியோமார்பிக் என்று காட்டினார். வளைவின் அடிப்படை பண்புடன் அதன் ஒற்றுமை காரணமாக, அதாவது, அதன் அனைத்து மரபணு பிறழ்வற்ற துணைக்கண்டங்களுக்கும் ஹோமியோமார்பிக் என்பதால், மொயிஸ் தனது உதாரணத்தை எம் ஒரு போலி-வளைவு என்று அழைத்தார். பிங்கின் கட்டுமானம் என்பது மொய்சின் எம் கட்டுமானத்தின் மாற்றமாகும், இது ஒரு சொற்பொழிவில் முதன்முதலில் விவரிக்கப்பட்டதாக அவர் கேள்விப்பட்டார். 1951 ஆம் ஆண்டில், பிங் அனைத்து பரம்பரை ரீதியாக ஒருங்கிணைக்க முடியாத வளைவு போன்ற தொடர்ச்சிகளும் ஹோமியோமார்பிக் என்பதை நிரூபித்தது-இது நாஸ்டரின் கே, மொய்சின் எம் மற்றும் பிங்கின் பி அனைத்தும் ஹோமியோமார்பிக் என்பதைக் குறிக்கிறது. குறைந்தபட்சம் 2 பரிமாணம் கொண்ட யூக்ளிடியன் இடத்தில் அல்லது எல்லையற்ற பரிமாணத்தில் பிரிக்கக்கூடிய ஹில்பர்ட் இடத்தில் போலி-வளைவு கான்டினுவாவில் பொதுவானது என்பதையும் பிங் நிரூபித்தார். பிங் மற்றும் எஃப். பர்டன் ஜோன்ஸ் ஒரு சிதைக்கக்கூடிய பிளானர் தொடர்ச்சியை உருவாக்கினர், இது வட்டத்தில் ஒரு திறந்த வரைபடத்தை ஏற்றுக்கொள்கிறது, ஒவ்வொரு புள்ளியும் போலி-வளைவுக்கு ஹோமியோமார்பிக் முன் தோற்றத்துடன், போலி-வளைவுகளின் வட்டம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. பிங் மற்றும் ஜோன்ஸ் ஆகியோரும் இது ஒரே மாதிரியானது என்பதைக் காட்டினர். 2016 ஆம் ஆண்டில் லோகன் ஹோன் மற்றும் லெக்ஸ் ஓவர்ஸ்டீஜென் ஆகியோர் அனைத்து பிளானர் ஒரே மாதிரியான தொடர்ச்சியையும், ஒரு ஹோமியோமார்பிசம் வரை, வட்டம், போலி-வளைவு மற்றும் போலி-வளைவுகளின் வட்டம் என வகைப்படுத்தினர். 2019 ஆம் ஆண்டில் ஹோன் மற்றும் ஓவர்ஸ்டீஜென் ஆகியோர் போலி-வளைவு மட்டுமே இடவியல் ரீதியாக வளைவைத் தவிர, பரம்பரை ரீதியாக சமமான பிளானர் தொடர்ச்சி என்று காட்டினர், இதனால் 1921 முதல் மஸுர்கிவிக்ஸின் பிரச்சினையின் பிளானர் வழக்குக்கு ஒரு முழுமையான தீர்வை வழங்குகிறது. கட்டுமானம் போலி வளைவின் பின்வரும் கட்டுமானம் பின்வருமாறு. சங்கிலிகள் போலி-வளைவின் வரையறையின் மையத்தில் ஒரு சங்கிலியின் கருத்து உள்ளது, இது பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறதுஃ ஒரு சங்கிலி என்பது ஒரு மெட்ரிக் இடத்தில் திறந்த தொகுப்புகளின் வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்பாகும், அதாவது ஒரு சங்கிலியின் கூறுகள் அதன் இணைப்புகள் என்று அழைக்கப்பட்டால் மட்டுமே, அதன் ஒவ்வொரு இணைப்புகளும் விட்டம் குறைவாக இருந்தால் ஒரு சங்கிலி ε-சங்கிலி என்று அழைக்கப்படுகிறது. மேலே பட்டியலிடப்பட்ட இடைவெளிகளின் வகைகளில் எளிமையானதாக இருந்தாலும், போலி-வளைவு உண்மையில் மிகவும் சிக்கலானது. ஒரு சங்கிலி வளைந்திருக்கும் கருத்து (கீழே வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது) போலி-வளைவை அதன் சிக்கலான தன்மையுடன் இணைக்கிறது. முறைசாரா முறையில், மற்றொரு சங்கிலியில் ஒரு குறிப்பிட்ட தொடர்ச்சியான ஜிக்-ஜாக் வடிவத்தைப் பின்பற்ற ஒரு சங்கிலி தேவைப்படுகிறது. பெரிய சங்கிலியின் mth இணைப்பிலிருந்து nth க்கு 'நகர்த்த', சிறிய சங்கிலி முதலில் mth இணைப்பிலிருந்து (n−1) வது இணைப்புக்கு வளைந்த முறையில் நகர வேண்டும், பின்னர் வளைந்த முறையில் (m + 1) வது இணைப்புக்கு, பின்னர் இறுதியாக nth இணைப்புக்கு செல்ல வேண்டும். மேலும் முறைப்படிஃ ஒவ்வொரு இணைப்பும் ஒரு இணைப்பின் துணைக்குழுவாக இருக்கும் வகையில் சங்கிலிகளாக இருக்கட்டும், மேலும் எந்த குறியீடுகளுக்கும் i, j, m, மற்றும் n உடன், மற்றும், குறியீடுகள் உள்ளன மற்றும் (அல்லது) மற்றும் பின்னர் போலி-வளைவில் வளைந்திருக்கும். பின்னர் பி ஒரு போலி-வளைவு என்று வைத்துக்கொள்வோம். குறிப்புகள் தொடர்ச்சி கோட்பாடு