Opposite ring
கணிதத்தில், குறிப்பாக சுருக்க இயற்கணிதத்தில், ஒரு வளையத்தின் எதிர் என்பது அதே கூறுகள் மற்றும் கூட்டல் செயல்பாட்டைக் கொண்ட மற்றொரு வளையமாகும், ஆனால் தலைகீழ் வரிசையில் செய்யப்படும் பெருக்கத்துடன். இன்னும் வெளிப்படையாக, ஒரு வளையத்தின் எதிர் வளையம், அதன் பெருக்கம் R இல் உள்ள அனைத்திற்கும் வரையறுக்கப்படுகிறது. எதிர் வளையம் பல தொகுதிகளை வரையறுக்க பயன்படுத்தப்படலாம், இது இரு தொகுதிகளின் பொதுமைப்படுத்தல் ஆகும். அவை இடது மற்றும் வலது தொகுதிகளுக்கு இடையிலான உறவை தெளிவுபடுத்த உதவுகின்றன (பார்க்க). மோனாய்டுகள், குழுக்கள், வளையங்கள் மற்றும் ஆல்ஜிப்ராக்கள் அனைத்தையும் ஒரே பொருளைக் கொண்ட வகைகளாகக் காணலாம். எதிர் பிரிவின் கட்டுமானம் எதிர் குழு, எதிர் வளையம் போன்றவற்றை பொதுமைப்படுத்துகிறது. தானியங்கி உருமாற்றங்கள் மற்றும் ஆன்டியோடோமார்பிசம்களுடனான உறவு இந்த பிரிவில் எதிர் வளையத்தில் பெருக்கத்திற்கான சின்னம் நட்சத்திரத்திலிருந்து வைரத்திற்கு மாற்றப்படுகிறது, சில யூனரி செயல்பாடுகளுடன் குழப்பத்தைத் தவிர்க்க. ஐசோமார்பிக் எதிர் வளையத்தைக் கொண்ட ஒரு வளையம் சுய-எதிர் வளையம் என்று அழைக்கப்படுகிறது, இது அடிப்படையில் அதே வளையத்தைக் குறிக்கிறது. அனைத்து பரிமாற்ற வளையங்களும் சுய-எதிரெதிரானவை. ஆன்டிஐசோமார்பிசத்தை வரையறுப்போம், எங்கு. இது உண்மையில் ஒரு ஆன்டிஐசோமார்பிசம் ஆகும். ஆன்டிஐசோமார்பிசத்தை பொதுவாக அரை குழுக்கள், மோனாய்டுகள், குழுக்கள், வளையங்கள், ஆர்என்ஜிஎஸ், ஆல்ஜிப்ராக்கள் ஆகியவற்றிற்கு வரையறுக்கலாம். வளையங்கள் (மற்றும் rngs) விஷயத்தில் நாம் பொதுவான சமநிலையைப் பெறுகிறோம். ஒரு வளையத்திற்கு குறைந்தபட்சம் ஒரு ஆன்டியோடோமார்பிசம் இருந்தால் மட்டுமே அது சுய எதிர்ப்பாக இருக்கும். சான்றுஃஃ சுய எதிர்ப்பாக இருக்கட்டும். ஒரு ஐசோமார்பிசம் என்றால், ஆன்டிஐசோமார்பிசம் மற்றும் ஐசோமார்பிசத்தின் கலவையாக இருப்பதால், அது ஒரு ஆன்டிஐசோமார்பிசம் ஆகும், எனவே ஆன்டியோடோமார்பிசம். : ஒரு ஆன்டியோடோமார்பிசம் என்றால், இரண்டு ஆன்டிஐசோமார்பிசங்களின் கலவையாக ஒரு ஐசோமார்பிசம் ஆகும். எனவே இது சுய எதிர்ப்பாகும். சுய-எதிர் மற்றும் ஆட்டோமார்ஃபிஸம்களின் குழு வரையறுக்கப்பட்டதாக இருந்தால், ஆன்டியா ஆட்டோமார்ஃபிஸம்களின் எண்ணிக்கை ஆட்டோமார்ஃபிஸம்களின் எண்ணிக்கைக்கு சமம். ஆதாரம்ஃ அனுமானம் மற்றும் மேலே உள்ள சமநிலையின் மூலம் ஆன்டியோடோமார்பிசம்கள் உள்ளன. அவற்றில் ஒன்றைத் தேர்ந்தெடுத்து அதைக் குறித்தால், வரைபடம், ஓடும் இடத்தில், தெளிவாக உட்செலுத்தும் ஆனால் சர்ஜெக்டிவ் ஆகும், ஏனெனில் ஒவ்வொரு ஆட்டோமார்ஃபிஸத்திற்கும் சில ஆட்டோமார்ஃபிஸத்திற்கான ஆன்டியோடோமார்பிசம் உள்ளது. இதே போன்ற அனுமானங்களின் கீழ் ஐசோமார்பிசம்களின் எண்ணிக்கை ஆன்டியோடோமார்பிசம்களின் எண்ணிக்கைக்கு சமம் என்பதை இதேபோல் நிரூபிக்க முடியும். சில ஆன்டியோடோமார்பிசமும் ஒரு ஆட்டோமார்ஃபிஸமாக இருந்தால், ஒவ்வொன்றிற்கும் அது பைஜெக்டிவ், அனைவருக்கும் மற்றும், எனவே வளையம் கம்யூட்டேடிவ் மற்றும் அனைத்து ஆன்டியோடோமார்பிசங்களும் ஆட்டோமார்ஃபிஸம்களாகும். முரண்பாட்டின் மூலம், ஒரு வளையம் பரிமாற்றமற்றது (மற்றும் சுய-எதிர்) என்றால், எந்த ஆன்டியோடோமார்பிசமும் ஒரு ஆட்டோமார்ஃபிஸம் அல்ல. அனைத்து ஆட்டோமார்ஃபிஸம்களின் குழுவால் அனைத்து ஆன்டியோடோமார்பிஸம்களுடன் சேர்ந்து குறிக்கவும். மேற்கூறிய கருத்துக்கள், ஒரு வளையம் (அல்லது rng) பரிமாற்றமற்றது மற்றும் சுய எதிர்ப்பாக இருந்தால் என்பதைக் குறிக்கிறது. அது பரிமாற்றமாகவோ அல்லது சுய-எதிர்ப்பாகவோ இல்லாவிட்டால், பின்னர். எடுத்துக்காட்டுகள் ஒற்றுமையுடன் கூடிய மிகச்சிறிய பரிமாற்றமற்ற வளையம் அத்தகைய மிகச்சிறிய வளையத்தில் எட்டு உறுப்புகள் உள்ளன, மேலும் இது ஐசோமார்பிசம் வரை வரிசை 8 இன் ஒற்றுமையுடன் 11 வளையங்களில் உள்ள ஒரே பரிமாற்றமற்ற வளையமாகும். இதில் சேர்க்கைக் குழு உள்ளது. வெளிப்படையாக, எப்போதும் போலவே, இது ஐசோமார்பிக் ஆகும், ஆனால் இது ஐசோமார்பிக் ஆகும். சேர்க்கை மற்றும் பெருக்கம் மற்றும் எதிர் வளையத்தில் பெருக்கம் ஆகியவற்றின் அட்டவணைகள் கீழே உள்ளன, இது ஒரு மாற்றப்பட்ட அட்டவணையாகும். இரண்டு வளையங்களும் ஐசோமார்பிக் என்பதை நிரூபிக்க, அட்டவணையால் கொடுக்கப்பட்ட ஒரு வரைபடத்தை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள் வரைபடம் இரண்டு ஜோடிகளில் மட்டுமே உறுப்புகளை மாற்றுகிறதுஃ மற்றும். அதற்கேற்ப பெருக்கல் அட்டவணையில் உள்ள உறுப்புகளை (வாதங்கள் மற்றும் மதிப்புகள்) மறுபெயரிடுங்கள். அடுத்து, வாதங்களை மீண்டும் ஏறுவரிசைக்கு கொண்டு வர வரிசைகள் மற்றும் நெடுவரிசைகளை மறுசீரமைக்கவும். அட்டவணை சரியாக பெருக்கல் அட்டவணையாக மாறுகிறது. சேர்க்கைக் குழுவின் அட்டவணையில் இதே போன்ற மாற்றங்கள் அதே அட்டவணையை வழங்குகின்றன, எனவே இந்த குழுவின் ஒரு தானியங்கி வடிவமும், இது உண்மையில் ஒரு வளைய ஐசோமார்பிசம் ஆகும். வரைபடம் தன்னிச்சையானது, அதாவது. , எனவே = மற்றும் இது சமமாக ஒரு ஐசோமார்பிசம் ஆகும். எனவே, ஐசோமார்பிசத்தை வரையறுக்க வரிசைமாற்றத்தை மறுபரிசீலனை செய்யலாம், பின்னர் அதே வரிசைமாற்றத்தால் கொடுக்கப்பட்ட ஒரு ஆன்டியாடோமார்பிசம் ஆகும். வளையத்தில் சரியாக இரண்டு தானியங்கி உருவங்கள் உள்ளனஃ அடையாளம் மற்றும், அதாவது. எனவே அதன் முழு குழுவில் நான்கு கூறுகள் உள்ளன, அவற்றில் இரண்டு ஆன்டியோடோமார்பிசம் ஆகும். ஒன்று மற்றும் இரண்டாவது, அதைக் குறிக்கிறது, கணக்கிட முடியும் வரிசை 4 இன் உறுப்பு எதுவும் இல்லை, எனவே குழு சுழற்சி அல்ல மற்றும் குழுவாக (அல்லது க்ளீன் குழு) இருக்க வேண்டும், இது கணக்கீடு மூலம் உறுதிப்படுத்தப்படலாம். இந்த வளையத்தின் "சமச்சீர் குழு" செவ்வகத்தின் சமச்சீர் குழுவிற்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும். 27 உறுப்புகளுடன் கூடிய பரிமாற்றமற்ற வளையம் 3 உறுப்புகளுடன் புலத்தின் மேல் முக்கோண 2 x 2 மேட்ரிக்ஸின் வளையம் 27 உறுப்புகளைக் கொண்டுள்ளது மற்றும் இது ஒரு பரிமாற்றமற்ற வளையமாகும். இது ஐசோமார்பிசம் வரை தனித்துவமானது, அதாவது, ஒற்றுமை மற்றும் 27 உறுப்புகளுடன் அனைத்து பரிமாற்றமற்ற வளையங்களும் அதற்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும். "புக் ஆஃப் தி ரிங்க்ஸ்" இல் பட்டியலிடப்பட்டுள்ள மிகப்பெரிய பரிமாற்றமற்ற வளையம் 27 உறுப்புகளைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் இது ஐசோமார்பிக் ஆகும். இந்தப் பிரிவில் "புத்தகத்தின்" கூறுகளுக்கான குறியீடு பயன்படுத்தப்படுகிறது. இரண்டு விஷயங்களை மனதில் கொள்ள வேண்டும்ஃ இதன் மூலம் குறிக்கப்படும் உறுப்பு ஒற்றுமை, அது ஒற்றுமை அல்ல. இதன் சேர்க்கைக் குழு. அனைத்து தானியங்கி உருவகங்களின் குழுவும் 6 உறுப்புகளைக் கொண்டுள்ளதுஃ இது சுய-எதிர்ப்பாக இருப்பதால், இது 6 ஆன்டியோடோமார்பிசங்களையும் கொண்டுள்ளது. ஒரு ஐசோமார்பிசம் என்பது பெயர் மாற்றுவதன் மூலமும் மறுசீரமைப்பதன் மூலமும் முதல் எடுத்துக்காட்டில் உள்ளதைப் போல "தி புக்" இல் உள்ள செயல்பாட்டு அட்டவணைகளைப் பயன்படுத்தி சரிபார்க்கப்படலாம். இந்த முறை செயல்பாடுகளின் அசல் அட்டவணையில் மாற்றங்கள் செய்யப்பட வேண்டும். இதன் விளைவாக பெருக்கல் அட்டவணை மற்றும் கூட்டல் அட்டவணை மாறாமல் உள்ளது. எனவே, ஒரு ஆன்டியோடோமார்பிசம் அதே வரிசைமாற்றத்தால் வழங்கப்படுகிறது. மற்ற ஐந்தையும் கணக்கிடலாம் (பெருக்கக் குறியீட்டில் கலவைக் குறியீட்டைக் கைவிடலாம்): குழுவில் வரிசை 2 இன் 7 கூறுகள் உள்ளன (3 ஆட்டோமார்ஃபிஸம்கள் மற்றும் 4 ஆன்டியோடோமார்பிஸம்கள்) மற்றும் டைஹெட்ரல் குழுவாக அடையாளம் காணலாம் (சிறிய குழுக்களின் பட்டியலைப் பார்க்கவும்). வடிவியல் ஒப்புமையில் வளையம் 3-ஆன்டிபிரிஸத்தின் சமச்சீர் குழுவிற்கு "சமச்சீர் குழு" ஐசோமார்பிக் உள்ளது, இது ஸ்கோன்ஃப்ளைஸ் குறியீட்டில் உள்ள புள்ளி குழு அல்லது சுருக்கமாக 3 பரிமாண இடத்திற்கான ஹெர்மன்-மகுயின் குறியீடு ஆகும். ஒற்றுமை கொண்ட மிகச்சிறிய சுய-எதிர் வளையங்கள் 9 முதல் 15 வரையிலான வரிசைகளின் ஒற்றுமை கொண்ட அனைத்து வளையங்களும் பரிமாற்றமாக உள்ளன, எனவே அவை சுய-எதிர்ப்பாக உள்ளன. சுய-எதிர் அல்லாத வளையங்கள், முதல் முறையாக வரிசை 16 இன் வளையங்களுக்கு இடையில் தோன்றும். மொத்த 50 வளையங்களில் 4 வெவ்வேறு சுய-எதிர் வளையங்கள் உள்ளன, அவை 16 உறுப்புகளைக் கொண்ட ஒற்றுமையுடன் (37 பரிமாற்ற மற்றும் 13 பரிமாற்றமற்றவை) உள்ளன. வளையங்களின் ஆன்டிஐசோமார்பிசம் என்பது அவற்றின் சேர்க்கைக் குழுக்களின் ஐசோமார்பிசம் என்பதால், அவை ஒரு ஜோடியில் ஒருவருக்கொருவர் எதிரே இரண்டு ஜோடி வளையங்களாக இணைக்கப்படலாம், மேலும் அவை ஒரே சேர்க்கைக் குழுவுடன் இருக்க வேண்டும். ஒரு ஜோடி வளையங்கள் மற்றும் சேர்க்கைக் குழுவையும் மற்ற ஜோடி மற்றும் குழுவையும் கொண்டுள்ளது. அவற்றின் செயல்பாட்டு அட்டவணைகள் இந்த கட்டுரையில் வழங்கப்படவில்லை, ஏனெனில் அவை மேற்கோள் காட்டப்பட்ட மூலத்தில் காணப்படுகின்றன, மேலும் அவை எதிர், ஆனால் ஐசோமார்பிக் அல்ல என்பதை சரிபார்க்க முடியும். இந்த ஜோடிக்கும் இது பொருந்தும், இருப்பினும், "தி புக் ஆஃப் தி ரிங்க்ஸ்" இல் பட்டியலிடப்பட்டுள்ள வளையம் சமமாக இல்லை, ஆனால் ஐசோமார்பிக் மட்டுமே. மீதமுள்ள 13−4 = 9 பரிமாற்றமற்ற வளையங்கள் சுய-எதிரெதிரானவை. இரண்டு ஜெனரேட்டர்கள் கொண்ட இலவச இயற்கணிதம் ஜெனரேட்டர்கள் கொண்ட ஒரு புலத்தின் மீது இலவச இயற்கணிதம் சொற்களின் பெருக்கத்திலிருந்து பெருக்கத்தைக் கொண்டுள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, எதிர் இயற்கணிதத்தில் சமமான உறுப்புகள் இல்லாத பெருக்கம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. குவாட்டர்னியன் இயற்கணிதம் ஒரு புலத்தின் மீது உள்ள குவாட்டர்னியன் இயற்கணிதம் என்பது ஒரு பிரிவு இயற்கணிதம் ஆகும், இது உறவுகளுடன் மூன்று ஜெனரேட்டர்களால் வரையறுக்கப்படுகிறது அனைத்து உறுப்புகளும் வடிவத்தில் உள்ளன, எடுத்துக்காட்டாக, என்றால், வழக்கமான குவாட்டர்னியன் இயற்கணிதம். பெருக்கல் குறிக்கப்பட்டால், அது பெருக்கல் அட்டவணையைக் கொண்டுள்ளது {| வகுப்பு = "விக்கி செய்யக்கூடிய" பாணி = "உரை-சீரமைப்புஃ மையம்" | +! ! ! ! |-! | | | |-! | | | |-! | | | | பின்னர் குறிக்கப்படும் பெருக்கத்துடன் எதிர் இயற்கணிதத்தில் அட்டவணை உள்ளது {| வகுப்பு = "விக்கி செய்யக்கூடிய" பாணி = "உரை-சீரமைப்புஃ மையம்" | +! ! ! ! |-! | | | |-! | | | |-! | | | பரிமாற்ற வளையம் ஒரு பரிமாற்ற வளையம் அதன் எதிர் வளையத்திற்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும். அவற்றின் செயல்பாடுகள் சமமாக இருப்பதால் அவை சமமானவை, அதாவது. . பண்புகள் இரண்டு வளையங்கள் R1 மற்றும் R2 ஆகியவை அவற்றின் தொடர்புடைய எதிர் வளையங்கள் ஐசோமார்பிக் ஆக இருந்தால் மட்டுமே அவை ஐசோமார்பிக் ஆகும். ஒரு வளையத்தின் எதிர் எதிர் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும், அதாவது ரோபோப் =. ஒரு வளையமும் அதன் எதிர் வளையமும் எதிர் ஐசோமார்பிக் ஆகும். ஒரு வளையம் அதன் செயல்பாடு அதன் எதிர் செயல்பாட்டுடன் ஒத்துப்போனால் மட்டுமே பரிமாற்றமாகும். ஒரு வளையத்தின் இடது இலட்சியங்கள் அதன் எதிர் வலது இலட்சியங்களாகும். ஒரு பிரிவு வளையத்தின் எதிர் வளையம் ஒரு பிரிவு வளையம் ஆகும். ஒரு வளையத்தின் மீது ஒரு இடது தொகுதி அதன் எதிர்புறத்தில் ஒரு வலது தொகுதி, மற்றும் நேர்மாறாகவும் உள்ளது. குறிப்புகள் மேற்கோள்கள் மேலும் காண்க எதிர் குழு எதிர் வகை வளையக் கோட்பாடு