Sum of normally distributed random variables
நிகழ்தகவுக் கோட்பாட்டில், பொதுவாக விநியோகிக்கப்பட்ட சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டுத்தொகையைக் கணக்கிடுவது சீரற்ற மாறிகளின் எண்கணிதத்தின் ஒரு எடுத்துக்காட்டு ஆகும். இது ஒரு கலவை விநியோகத்தை உருவாக்கும் இயல்பான விநியோகங்களின் கூட்டுத்தொகையுடன் குழப்பமடையக்கூடாது. சுயாதீன சீரற்ற மாறிகள் எக்ஸ் மற்றும் ஒய் ஆகியவை பொதுவாக விநியோகிக்கப்படும் சுயாதீன சீரற்ற மாறிகளாக இருக்கட்டும் (எனவே கூட்டாகவும்), பின்னர் அவற்றின் கூட்டுத்தொகையும் பொதுவாக விநியோகிக்கப்படுகிறது. அதாவது, அப்படியானால், இதன் பொருள் என்னவென்றால், இரண்டு சுயாதீனமான பொதுவாக விநியோகிக்கப்பட்ட சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டுத்தொகை இயல்பானது, அதன் சராசரி இரண்டு வழிமுறைகளின் கூட்டுத்தொகையாகும், மேலும் அதன் மாறுபாடு இரண்டு மாறுபாடுகளின் கூட்டுத்தொகையாகும் (அதாவது, நிலையான விலகல்களின் வர்க்கம் என்பது நிலையான விலகல்களின் வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகையாகும்). இந்த முடிவை தக்கவைத்துக்கொள்வதற்காக, எக்ஸ் மற்றும் ஒய் சுயாதீனமானவை என்ற அனுமானத்தை கைவிட முடியாது, இருப்பினும் எக்ஸ் மற்றும் ஒய் தனித்தனியாக அல்ல, பொதுவாக விநியோகிக்கப்படுகின்றன என்ற அனுமானத்திற்கு பலவீனப்படுத்தப்படலாம். (உதாரணத்திற்கு இங்கே பார்க்கவும்.) சராசரி பற்றிய முடிவு எல்லா சந்தர்ப்பங்களிலும் பொருந்தும், அதே நேரத்தில் மாறுபாட்டின் முடிவுக்கு தொடர்பற்ற தன்மை தேவைப்படுகிறது, ஆனால் சுதந்திரம் அல்ல. இரண்டு சுயாதீனமான சீரற்ற மாறிகள் X மற்றும் Y இன் கூட்டுத்தொகையின் சிறப்பியல்பு செயல்பாடு இரண்டு தனித்தனி சிறப்பியல்பு செயல்பாடுகளின் பெருக்கமாகும்ஃ X மற்றும் Y இன். எனவே இது எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு மற்றும் மாறுபாட்டுடன் இயல்பான விநியோகத்தின் சிறப்பியல்பு செயல்பாடாகும் இறுதியாக, இரண்டு தனித்துவமான விநியோகங்கள் இரண்டும் ஒரே சிறப்பியல்பு செயல்பாட்டைக் கொண்டிருக்க முடியாது என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள், எனவே X + Y இன் விநியோகம் இந்த இயல்பான விநியோகமாக இருக்க வேண்டும். சுயாதீனமான சீரற்ற மாறிகள் X மற்றும் Y க்கு, Z = X + Y இன் விநியோகம் fZ என்பது fX மற்றும் fY இன் சுழற்சிக்கு சமம்ஃ fX மற்றும் fY ஆகியவை இயல்பான அடர்த்திகள் என்பதால், சுழற்சிக்கு மாற்றாகஃ வர்க்கத்தை வரையறுத்தல் மற்றும் நிறைவு செய்தல்ஃ ஒருங்கிணைப்பில் உள்ள வெளிப்பாடு x இல் ஒரு இயல்பான அடர்த்தி விநியோகம், எனவே ஒருங்கிணைப்பு 1 ஆக மதிப்பிடப்படுகிறது. விரும்பிய முடிவு பின்வருமாறுஃ கன்வொல்யூஷன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி ஒரு காஸியனின் ஃபோரியர் உருமாற்றம், என்று காட்டலாம் கன்வொல்யூஷன் தேற்றத்தின் படிஃ வடிவியல் ஆதாரம் முதலில் X, Y ~ N (0,1) ஆக இருக்கும்போது இயல்பாக்கப்பட்ட வழக்கைக் கவனியுங்கள், இதனால் அவற்றின் PDF கள் மற்றும் Z = X + Y ஆக இருக்கட்டும். பின்னர் Z க்கான CDF ஆக இருக்கும் இந்த ஒருங்கிணைப்பு x + y = z கோட்டின் கீழ் உள்ள அரை தளத்திற்கு மேல் உள்ளது. முக்கிய அவதானிப்பு என்னவென்றால், செயல்பாடு கதிரியக்க சமச்சீர் ஆகும். எனவே x + y = z என்ற கோடு வடிவியல் ரீதியாக தீர்மானிக்கப்படும் சமன்பாட்டால் விவரிக்கப்படும் வகையில் புதிய ஆயத்தொகுதிகளைத் தேர்ந்தெடுத்து, தோற்றத்தைப் பற்றிய ஒருங்கிணைப்பு தளத்தை சுழற்றுகிறோம். ரேடியல் சமச்சீர் காரணமாக, நம்மிடம் உள்ளது, மற்றும் Z க்கான CDF இது ஒருங்கிணைக்க எளிதானது என்பதைக் காண்கிறோம் Z க்கான CDF மதிப்பைத் தீர்மானிக்க, x + y = z கோடு இப்போது c க்கு சமமான x-குறுக்குவெட்டுடன் செங்குத்தாக இயங்குவதற்காக நாம் தளத்தை சுழற்றினோம் என்பதைக் கவனியுங்கள். எனவே தூரம், மற்றும் Z க்கான CDF, அதாவது, இப்போது, a, b ஏதேனும் உண்மையான மாறிலிகள் (பூஜ்ஜியம் இரண்டும் அல்ல) என்றால், மேலே உள்ள அதே ஒருங்கிணைப்பால் காணப்படும் நிகழ்தகவு, ஆனால் எல்லை கோடு. அதே சுழற்சி முறை செயல்படுகிறது, மேலும் இந்த பொதுவான விஷயத்தில் தோற்றத்திற்கான கோட்டில் மிக நெருக்கமான புள்ளி ஒரு (கையொப்பமிடப்பட்ட) தூரத்தில் அமைந்திருப்பதைக் காண்கிறோம், இதனால் உயர் பரிமாணங்களில் அதே வாதம் இப்போது நாம் அடிப்படையில் செய்தோம் என்பதைக் காட்டுகிறது, ஏனெனில் எனவே பொதுவாக, பின்னர் தொடர்புபடுத்தப்பட்ட சீரற்ற மாறிகள் X மற்றும் Y மாறிகள் பொதுவாக சீரற்ற மாறிகள் கூட்டாக விநியோகிக்கப்பட்டால், X + Y இன்னும் பொதுவாக விநியோகிக்கப்படுகிறது (மல்டிவேரியேட் இயல்பான விநியோகத்தைப் பார்க்கவும்) மற்றும் சராசரி என்பது வழிமுறைகளின் கூட்டுத்தொகை. இருப்பினும், தொடர்பு காரணமாக மாறுபாடுகள் சேர்க்கை அல்ல. உண்மையில், இங்கு ρ என்பது தொடர்பு ஆகும். குறிப்பாக, எப்போது ρ <0, பின்னர் மாறுபாடு X மற்றும் Y இன் மாறுபாடுகளின் கூட்டுத்தொகையை விட குறைவாக இருக்கும். இந்த முடிவின் நீட்டிப்புகள் கோவேரியன்ஸ் மேட்ரிக்ஸைப் பயன்படுத்தி இரண்டுக்கும் மேற்பட்ட சீரற்ற மாறிகளுக்கு செய்யப்படலாம். ஆதாரம் இந்த விஷயத்தில் (எக்ஸ் மற்றும் ஒய் பூஜ்ஜிய வழிமுறைகளைக் கொண்டிருப்பதால்), ஒருவர் கருத்தில் கொள்ள வேண்டும் மேலே உள்ளபடி, ஒருவர் மாற்றீடு செய்கிறார் இந்த ஒருங்கிணைப்பு பகுப்பாய்வு ரீதியாக எளிமைப்படுத்த மிகவும் சிக்கலானது, ஆனால் ஒரு குறியீட்டு கணித நிரலைப் பயன்படுத்தி எளிதாக செய்ய முடியும். இந்த விஷயத்தில் நிகழ்தகவு விநியோகம் fZ (z) வழங்கப்படுகிறது, அதற்கு பதிலாக ஒருவர் Z = X − Y ஐக் கருத்தில் கொண்டால், ஒருவர் அதைப் பெறுகிறார், அதையும் மீண்டும் எழுதலாம். குறிப்புகள் மேலும் காண்க நிச்சயமற்ற தன்மையின் பரப்புதல் சீரற்ற மாறிகளின் இயற்கணிதம் நிலையான விநியோகம் நிலையான பிழை (புள்ளிவிவரங்கள்) தயாரிப்பு விநியோகம் தயாரிப்பு விநியோகம் ஸ்லாஷ் விநியோகம் நிகழ்தகவு விநியோகங்களின் சுழற்சிகளின் பட்டியல் இயல்பான விநியோகம்