Class number formula
எண் கோட்பாட்டில், வகுப்பு எண் சூத்திரம் ஒரு எண் புலத்தின் பல முக்கியமான மாறிலிகளை அதன் டெடெகிண்ட் ஜீட்டா செயல்பாட்டின் சிறப்பு மதிப்புடன் தொடர்புபடுத்துகிறது. வகுப்பு எண் சூத்திரத்தின் பொதுவான அறிக்கை நாம் பின்வரும் தரவுகளுடன் தொடங்குகிறோம்ஃ இது ஒரு எண் புலம். , இங்கு உண்மையான உட்பொதிப்புகளின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கிறது, மேலும் இது சிக்கலான உட்பொதிப்புகளின் எண்ணிக்கையாகும். இது டெடெகிண்ட் ஜீட்டா செயல்பாடு ஆகும். வர்க்க எண், இலட்சிய வர்க்கக் குழுவில் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை. அதன் கட்டுப்பாட்டாளர். ஒற்றுமையின் வேர்களின் எண்ணிக்கை இதில் அடங்கியுள்ளது. இது நீட்டிப்பின் பாகுபாடு. பின்னர்ஃ தேற்றம் (வகுப்பு எண் சூத்திரம்). இது முற்றிலும் ஒருங்கிணைக்கிறது மற்றும் அனைத்து சிக்கலானவற்றிற்கும் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு மெரோமார்பிக் செயல்பாட்டிற்கு விரிவடைகிறது, ஒரே ஒரு எளிய துருவத்துடன், எச்சத்துடன் இது மிகவும் பொதுவான "வகுப்பு எண் சூத்திரம்" ஆகும். குறிப்பிட்ட சந்தர்ப்பங்களில், எடுத்துக்காட்டாக ஒரு சைக்ளோடோமிக் நீட்டிப்பு என்றால், குறிப்பிட்ட மற்றும் மிகவும் சுத்திகரிக்கப்பட்ட வகுப்பு எண் சூத்திரங்கள் உள்ளன. வகுப்பு எண் சூத்திரத்தின் ஆதாரம் பற்றிய யோசனை K = Q (i) இல் மிகவும் எளிதாக காணப்படுகிறது. இந்த வழக்கில், K இல் உள்ள முழு எண்களின் வளையம் காஸியன் முழு எண்கள் ஆகும். ஒரு அடிப்படை கையாளுதல், s = 1 இல் உள்ள டெடெகிண்ட் ஜீட்டா செயல்பாட்டின் எச்சம் என்பது டெடெகிண்ட் ஜீட்டா செயல்பாட்டின் டிரிச்லெட் தொடர் பிரதிநிதித்துவத்தின் குணகங்களின் சராசரி என்பதைக் காட்டுகிறது. டிரிக்லெட் தொடரின் n-th குணகம் அடிப்படையில் n இன் பிரதிநிதித்துவங்களின் எண்ணிக்கையாகும், இது எதிர்மறை அல்லாத முழு எண்களின் இரண்டு சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகையாகும். எனவே பிரதிநிதித்துவங்களின் சராசரி எண்ணிக்கையை கணக்கிடுவதன் மூலம் s = 1 இல் டெடெகிண்ட் ஜீட்டா செயல்பாட்டின் எச்சத்தை ஒருவர் கணக்கிடலாம். காஸ் வட்டம் சிக்கல் பற்றிய கட்டுரையில் உள்ளதைப் போல, தோற்றத்தை மையமாகக் கொண்ட ஒரு கால் வட்டத்திற்குள் உள்ள லட்டிஸ் புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையை தோராயமாக கணக்கிடுவதன் மூலம் இதைக் கணக்கிடலாம், எஞ்சியுள்ளவை பையின் கால் பகுதி என்று முடிவு செய்யலாம். K ஒரு தன்னிச்சையான கற்பனையான இருபடி எண் புலமாக இருக்கும் போது ஆதாரம் மிகவும் ஒத்திருக்கிறது. பொதுவாக, டிரிக்லெட்டின் அலகுத் தேற்றத்தின் படி, K இன் முழு எண்களின் வளையத்தில் உள்ள அலகுகளின் குழு எல்லையற்றது. இருப்பினும், உண்மையான மற்றும் சிக்கலான உட்பொதிப்புகளின் கிளாசிக்கல் கோட்பாட்டைப் பயன்படுத்தி எச்சத்தின் கணக்கீட்டை ஒரு லட்டிஸ் பாயிண்ட் எண்ணும் சிக்கலாகக் குறைக்கலாம் மற்றும் ஆதாரத்தை முடிக்க, ஒரு பிராந்தியத்தில் உள்ள லட்டிஸ் புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையை பிராந்தியத்தின் அளவால் தோராயமாக மதிப்பிடலாம். டிரிச்லெட் வகுப்பு எண் சூத்திரம் பீட்டர் குஸ்டாவ் லெஜூன் டிரிச்லெட் 1839 ஆம் ஆண்டில் இருபடி புலங்களுக்கான வகுப்பு எண் சூத்திரத்தின் ஆதாரத்தை வெளியிட்டார், ஆனால் இது இலட்சியங்களின் வகுப்புகளை விட இருபடி வடிவங்களின் மொழியில் கூறப்பட்டது. 1801 ஆம் ஆண்டில் காஸ் ஏற்கனவே இந்த சூத்திரத்தை அறிந்திருந்தார் என்று தெரிகிறது. இந்த கண்காட்சி டேவன்போர்ட்டைப் பின்தொடர்கிறது. d ஒரு அடிப்படை டிஸ்கிரிமினன்ட் ஆக இருக்கட்டும், மேலும் டிஸ்கிரிமினன்ட் d உடன் இருபடி வடிவங்களின் சமநிலை வகுப்புகளின் எண்ணிக்கைக்கு h (d) என்று எழுதவும். பின்னர் ஒரு டிரிக்லெட் கதாபாத்திரம். டிரிக்லெட் எல்-தொடரை அடிப்படையாகக் கொண்டு எழுதுங்கள். d> 0 ஐப் பொறுத்தவரை, t> 0, u> 0 என்பது பெல் சமன்பாட்டிற்கான தீர்வாக இருக்கட்டும், இதற்கு u மிகச்சிறியது, மேலும் எழுதவும் (பின்னர் இது உண்மையான இருபடி புலத்தின் அடிப்படை அலகு அல்லது ஒரு அடிப்படை அலகின் சதுரம். d <0 ஐப் பொறுத்தவரை, பாகுபாடு காட்டும் d இன் இருபடி வடிவங்களின் தானியங்கிகளின் எண்ணிக்கையை எழுதவும்; அதாவது, பின்னர் டிரிக்லெட் இது மேலே உள்ள தேற்றம் 1 இன் ஒரு சிறப்பு வழக்கு என்பதைக் காட்டியதுஃ ஒரு இருபடி புலம் K க்கு, டெடெகிண்ட் ஜீட்டா செயல்பாடு நியாயமானது, மற்றும் எச்சம். எல்-தொடரை ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட வடிவத்தில் எழுத முடியும் என்பதையும் டிரிச்லெட் காட்டினார், இது வகுப்பு எண்ணுக்கு ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட வடிவத்தை அளிக்கிறது. பிரைம் கண்டக்டருடன் பழமையானது என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் பகுத்தறிவுகளின் காலோயிஸ் விரிவாக்கங்கள் K என்பது Q இன் காலோயிஸ் விரிவாக்கமாக இருந்தால், ஆர்ட்டின் எல்-செயல்பாடுகளின் கோட்பாடு இதற்கு பொருந்தும். இது ரீமன் ஜீட்டா செயல்பாட்டின் ஒரு காரணியைக் கொண்டுள்ளது, இது எஞ்சிய ஒன்றின் துருவத்தைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் ஈவு s = 1 இல் வழக்கமானதாகும். இதன் பொருள் என்னவென்றால், வகுப்பு எண் சூத்திரத்தின் வலது புறத்தை இடது புறம் ΠL (1, ρ) மங்கலான ρ உடன் சமன் செய்யலாம், இது ρ பரிமாண மங்கலான (ρ) இன் கால் (கே/க்யூ) இன் பகுக்கமுடியாத அற்பமான சிக்கலான நேரியல் பிரதிநிதித்துவங்களின் வகுப்புகளின் மீது இயங்குகிறது. இது வழக்கமான பிரதிநிதித்துவத்தின் நிலையான சிதைவுக்கு ஏற்ப உள்ளது. பகுத்தறிவுகளின் அபெலியன் நீட்டிப்புகள் மேற்கூறியவற்றின் வழக்கு இது, கால் (கே/க்யூ) ஒரு அபெலியன் குழுவுடன், இதில் அனைத்து ρ ஐயும் டிரிக்லெட் எழுத்துக்களால் (கிளாஸ் ஃபீல்ட் கோட்பாட்டின் மூலம்) கண்டக்டர் என்று அழைக்கப்படும் சில மாடுலஸ் f க்கு மாற்றலாம். எனவே அனைத்து எல் (1) மதிப்புகளும் டிரிக்லெட் எல்-செயல்பாடுகளுக்கு நிகழ்கின்றன, இதற்காக மடக்கை உள்ளடக்கிய ஒரு கிளாசிக்கல் சூத்திரம் உள்ளது. க்ரோனெக்கர்-வெபர் தேற்றத்தின்படி, ஒரு பகுப்பாய்வு வகுப்பு எண் சூத்திரத்திற்குத் தேவையான அனைத்து மதிப்புகளும் சைக்ளோடோமிக் புலங்களைக் கருத்தில் கொள்ளும்போது ஏற்கனவே நிகழ்கின்றன. அப்படியானால், கும்மர் காட்டியபடி மேலும் ஒரு சூத்திரம் சாத்தியமாகும். சைக்ளோடோமிக் புலத்தின் அலகுகளின் மடக்கை மூலம் வகுக்கப்படும் 'மடக்கை இடத்தில்' அளவின் கணக்கீடான ரெகுலேட்டரை, சைக்ளோடோமிக் அலகுகளின் மடக்கை என அடையாளம் காணக்கூடிய எல் (1) இலிருந்து அளவுகளுக்கு எதிராக அமைக்கலாம். முழு அலகுகளின் குழுவிலும் உள்ள சைக்ளோடோமிக் அலகுகளின் குறியீட்டால் வகுப்பு எண் தீர்மானிக்கப்படுகிறது என்று குறிப்பிடும் முடிவு சூத்திரங்கள் உள்ளன. இவாசாவா கோட்பாட்டில், இந்த கருத்துக்கள் ஸ்டிக்கல்பெர்கரின் தேற்றத்துடன் மேலும் இணைக்கப்பட்டுள்ளன. புரூமர்-ஸ்டார்க் அனுமானம் ஸ்மித்-மின்காவ்ஸ்கி-சீகல் வெகுஜன சூத்திரம் குறிப்புகள் குறிப்புகள் இயற்கணித எண் கோட்பாடு நாற்கர வடிவங்களையும் பார்க்கவும்