Köthe conjecture
கணிதத்தில், கோதே அனுமானம் என்பது வளையக் கோட்பாட்டில் ஒரு சிக்கலாகும். இது பல்வேறு வழிகளில் வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது. R ஒரு வளையம் என்று வைத்துக்கொள்வோம். அனுமானத்தைக் கூறுவதற்கான ஒரு வழி என்னவென்றால், R க்கு {0} ஐத் தவிர வேறு எந்த இலட்சியமும் இல்லை என்றால், அதற்கு {0} ஐத் தவிர வேறு எந்த ஒரு பக்க இலட்சியமும் இல்லை. இந்தக் கேள்வியை 1930 ஆம் ஆண்டில் கோட்ஃபிரைட் கோதே (1905-1989) முன்வைத்தார். பல்லுறுப்புக்கோவை அடையாள வளையங்கள் மற்றும் வலது நொய்தேரியன் வளையங்கள் போன்ற பல்வேறு வகை வளையங்களுக்கு கோதே அனுமானம் உண்மை என்று நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது, ஆனால் ஒரு பொதுவான தீர்வு மழுப்பலாக உள்ளது. சமமான சூத்திரங்கள் அனுமானம் பல்வேறு சூத்திரங்களைக் கொண்டுள்ளதுஃ (கோதே அனுமானம்) எந்த வளையத்திலும், இரண்டு பூஜ்ய இடது இலட்சியங்களின் கூட்டுத்தொகை பூஜ்யம் ஆகும். எந்த வளையத்திலும், இரண்டு ஒரு பக்க பூஜ்ய இலட்சியங்களின் கூட்டுத்தொகை பூஜ்யம் ஆகும். எந்தவொரு வளையத்திலும், வளையத்தின் ஒவ்வொரு பூஜ்யம் இடது அல்லது வலது இலட்சியம் வளையத்தின் மேல் பூஜ்ய மூலக்கூறில் உள்ளது. எந்த வளையத்திற்கும் R மற்றும் R இன் எந்த பூஜ்யம் கொண்ட J க்கு, மேட்ரிக்ஸ் ஐடியல் Mn (J) என்பது ஒவ்வொரு n க்கும் Mn (R) இன் பூஜ்யம் ஆகும். எந்தவொரு வளையத்திற்கும் R, Mn (R) இன் மேல் நில்ராடிக்கல் என்பது ஒவ்வொரு நேர்மறை முழு எண்ணுக்கும் R இன் மேல் நில்ராடிக்கலில் இருந்து உள்ளீடுகளைக் கொண்ட மேட்ரிக்ஸின் தொகுப்பாகும். எந்த வளையத்திற்கும் R மற்றும் R இன் எந்த பூஜ்யம் J க்கும், தீர்மானிக்கப்படாத x மற்றும் J இலிருந்து குணகங்களைக் கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவைகள் பல்லுறுப்புக்கோவை வளையத்தின் ஜேகோப்சன் ரேடிக்கலில் உள்ளன. எந்தவொரு வளையத்திற்கும் R, R [x] இன் ஜேக்கப்ஸன் ரேடிக்கல் R இன் மேல் நில்ராடிக்கலில் இருந்து குணகங்களைக் கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவைகளைக் கொண்டுள்ளது. தொடர்புடைய சிக்கல்கள் அமித்ஸரின் ஒரு அனுமானம் பின்வருமாறுஃ "J என்பது R இல் ஒரு பூஜ்ய இலட்சியமாக இருந்தால், J [x] என்பது பல்லுறுப்புக்கோவை வளையம் R [x] இன் பூஜ்ய இலட்சியமாகும்". இந்த அனுமானம் உண்மையாக இருந்தால், மேலே உள்ள சமமான அறிக்கைகள் மூலம் கோதே அனுமானத்தை நிரூபித்திருக்கும், இருப்பினும் ஒரு எதிர் உதாரணம் அகாட்டா ஸ்மோக்ட்டுனோவிக்ஸ் என்பவரால் தயாரிக்கப்பட்டது. கோதே அனுமானத்தின் மறுப்பு அல்ல என்றாலும், இது கோதே அனுமானம் பொய்யானதாக இருக்கலாம் என்ற சந்தேகத்தைத் தூண்டியது. இரண்டு நில்பொடென்ட் துணை வளையங்களின் நேரடி கூட்டுத்தொகையாக இருக்கும் ஒரு வளையமே நில்பொடென்ட் என்று கெகல் நிரூபித்தார். "நில்பொடென்ட்" என்பதை "உள்ளூரில் நில்பொடென்ட்" அல்லது "நில்" என்று மாற்ற முடியுமா இல்லையா என்ற கேள்வி எழுந்தது. கெலரேவ் ஒரு வளையத்தின் உதாரணத்தை உருவாக்கியபோது பகுதி முன்னேற்றம் ஏற்பட்டது, இது பூஜ்யம் அல்ல, ஆனால் இரண்டு உள்ளூரில் நில்பொடென்ட் வளையங்களின் நேரடி கூட்டுத்தொகையாகும். "நில்பொடென்ட்" என்பதற்கு பதிலாக "உள்ளூரில் நில்பொடென்ட்" என்ற கெகலின் கேள்விக்கு எதிர்மறையாக பதிலளிக்கப்படுகிறது என்பதை இது நிரூபிக்கிறது. ஒரு நில்போட்டன்ட் சபரிங் மற்றும் ஒரு நில் சபரிங் ஆகியவற்றின் கூட்டுத்தொகை எப்போதும் பூஜ்யமாக இருக்கும். குறிப்புகள் வெளிப்புற இணைப்புகள் PlanetMath பக்கம் கணக்கெடுப்பு தாள் (PDF) வளையக் கோட்பாடு கணிதத்தில் தீர்க்கப்படாத சிக்கல்களை ஊகிக்கிறது