Fano variety
இயற்கணித வடிவவியலில், ஜினோ ஃபானோவால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட ஃபானோ வகை, ஒரு முழுமையான வகை X ஆகும், அதன் ஆன்டிகானோனிக்கல் மூட்டை KX * போதுமானதாக உள்ளது. இந்த வரையறையில், எக்ஸ் ஒரு புலத்தின் மீது மென்மையானது என்று ஒருவர் கருதலாம், ஆனால் குறைந்தபட்ச மாதிரி நிரல் முனையம் அல்லது கில்ட் ஒற்றுமைகள் போன்ற பல்வேறு வகையான ஒற்றுமைகளைக் கொண்ட ஃபானோ வகைகளின் ஆய்வுக்கு வழிவகுத்துள்ளது. சிக்கலான எண்களின் மீது ஃபானோ வகைகளின் ஆய்வுக்கு சமீபத்தில் வேறுபட்ட வடிவவியலில் நுட்பங்கள் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளன, மேலும் ஃபானோ வகைகளின் மாடுலி இடைவெளிகளை உருவாக்குவதிலும், ஃபானோ வகைகளின் கே-ஸ்திரத்தன்மை பற்றிய ஆய்வின் மூலம் அவற்றில் கோஹ்லர்-ஐன்ஸ்டீன் அளவீடுகள் இருப்பதை நிரூபிப்பதிலும் வெற்றி காணப்பட்டுள்ளது. எடுத்துக்காட்டுகள் ஃபானோ வகைகளின் அடிப்படை எடுத்துக்காட்டு ப்ரொஜெக்டிவ் ஸ்பேஸ்கள் ஆகும்ஃ ஒரு புலம் k மீது Pn இன் ஆன்டிகானோனிக்கல் கோடு மூட்டை O (n + 1) ஆகும், இது மிகவும் போதுமானதாகும் (சிக்கலான எண்களுக்கு மேல், அதன் வளைவு ஃபுபினி-ஸ்டடி சிம்ப்ளெக்டிக் வடிவத்தின் n + 1 மடங்கு ஆகும்). D என்பது Pn இல் ஒரு மென்மையான கோடிமென்ஷன்-1 துணை வகையாக இருக்கட்டும். இணைப்பு சூத்திரம் KD = (KX + D) |D = (− (n + 1) H + டிகிரி (D) H) |D என்பதைக் குறிக்கிறது, இதில் H என்பது ஒரு ஹைப்பர்பிளேனின் வகுப்பாகும். எனவே டிகிரி (டி) <என் + 1 என்றால் மட்டுமே ஹைப்பர்சர்ஃபேஸ் டி ஃபானோ ஆகும். மேலும் பொதுவாக, n-பரிமாண ப்ரொஜெக்டிவ் இடத்தில் ஹைப்பர்சர்ஃபேஸ்களின் மென்மையான முழுமையான குறுக்குவெட்டு ஃபானோ ஆகும், அவற்றின் டிகிரிகளின் கூட்டுத்தொகை அதிகபட்சமாக n ஆக இருந்தால் மட்டுமே. எடை கொண்ட ப்ரொஜெக்டிவ் ஸ்பேஸ் P (a0,., an) ஒரு ஒற்றை (klt) ஃபானோ வகையாகும். இது ஒரு தரப்படுத்தப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவை வளையத்துடன் தொடர்புடைய திட்டமாகும், அதன் ஜெனரேட்டர்கள் டிகிரி a0,., an ஐக் கொண்டுள்ளன. இது நன்கு உருவாக்கப்பட்டிருந்தால், எண்களில் எந்த n க்கும் 1 ஐ விட பெரிய பொதுவான காரணி இல்லை என்ற பொருளில், அவற்றின் டிகிரிகளின் கூட்டுத்தொகை a0 + + an ஐ விட குறைவாக இருக்கும் ஹைப்பர்சர்ஃபேஸ்களின் முழுமையான குறுக்கீடு ஒரு ஃபானோ வகையாகும். நேரியல் இயற்கணிதக் குழுவின் கீழ் ஒரே மாதிரியான பண்பு பூஜ்ஜியத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு திட்டவட்டமான வகையும் ஃபானோ ஆகும். சில பண்புகள் எக்ஸ் மீது சில ஏராளமான வரி மூட்டை இருப்பது எக்ஸ் ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் வகையாக இருப்பதற்கு சமம், எனவே ஒரு ஃபானோ வகை எப்போதும் ப்ரொஜெக்டிவ் ஆகும். சிக்கலான எண்களுக்கு மேல் உள்ள ஒரு ஃபானோ வகை X க்கு, கோடெய்ரா மறைந்துபோகும் தேற்றம் என்பது கட்டமைப்பு உறையின் உறையின் சீஃப் கோஹோமோலஜி குழுக்கள் மறைந்து போவதைக் குறிக்கிறது. குறிப்பாக, டாட் பேரினம் தானாகவே 1 க்கு சமம். இந்த மறைந்து வரும் அறிக்கையின் நிகழ்வுகள் முதல் செர்ன் வகுப்பு ஒரு ஐசோமார்பிசத்தைத் தூண்டுகிறது என்பதையும் நமக்குச் சொல்கின்றன. கலாபி அனுமானத்தின் யாவின் தீர்வால், ஒரு மென்மையான சிக்கலான வகை ஃபானோவாக இருந்தால் மட்டுமே நேர்மறை ரிச்சி வளைவின் காலர் அளவீடுகளை ஒப்புக்கொள்கிறது. எனவே ஒரு ஃபானோ பன்மடங்கு உலகளாவிய கவர் கச்சிதமானது, எனவே ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட மறைப்பாக மட்டுமே இருக்க முடியும் என்று மையர்ஸ் தேற்றம் நமக்குச் சொல்கிறது. இருப்பினும், ஒரு ஃபானோ பன்மடங்கு டாட் இனமானது 1 க்கு சமமாக இருக்க வேண்டும் என்பதை நாம் இப்போதுதான் பார்த்தோம். இது பன்மடங்கு உலகளாவிய மறைப்புக்கும் பொருந்தும் என்பதால், டாட் பேரினம் வரையறுக்கப்பட்ட மறைப்புகளின் கீழ் பெருக்கப்படுவதால், எந்தவொரு ஃபானோ பன்மடங்கு வெறுமனே இணைக்கப்பட்டுள்ளது. மிகவும் எளிதான உண்மை என்னவென்றால், ஒவ்வொரு ஃபானோ வகையும் கோடெய்ரா பரிமாணத்தை − ≤ கொண்டுள்ளது. காம்பனா மற்றும் கொல்லர்-மியோகா-மோரி ஒரு இயற்கணித மூடிய புலத்தின் மீது ஒரு மென்மையான ஃபானோ வகை பகுத்தறிவுடன் சங்கிலி இணைக்கப்பட்டுள்ளது என்பதைக் காட்டியது; அதாவது, எந்த இரண்டு மூடிய புள்ளிகளையும் பகுத்தறிவு வளைவுகளின் சங்கிலியால் இணைக்க முடியும். கொல்லர்-மியோகா-மோரி, இயற்கணித ரீதியாக மூடப்பட்ட பூஜ்ஜிய புலத்தின் மீது கொடுக்கப்பட்ட பரிமாணத்தின் மென்மையான ஃபானோ வகைகள் ஒரு வரம்புக்குட்பட்ட குடும்பத்தை உருவாக்குகின்றன என்பதையும் காட்டியது, அதாவது அவை இறுதியாக பல இயற்கணித வகைகளின் புள்ளிகளால் வகைப்படுத்தப்படுகின்றன. குறிப்பாக, ஒவ்வொரு பரிமாணத்திலும் ஃபானோ வகைகளின் வரையறுக்கப்பட்ட பல சிதைவு வகுப்புகள் மட்டுமே உள்ளன. இந்த வகையில், ஃபானோ வகைகள் பொதுவான வகை வகைகள் போன்ற பிற வகை வகைகளை விட மிகவும் சிறப்பு வாய்ந்தவை. சிறிய பரிமாணங்களில் வகைப்படுத்துதல் பின்வரும் விவாதம் சிக்கலான எண்களின் மீது மென்மையான ஃபானோ வகைகளைப் பற்றியது. ஒரு ஃபானோ வளைவு என்பது ப்ரொஜெக்டிவ் கோட்டின் ஐசோமார்பிக் ஆகும். ஒரு ஃபானோ மேற்பரப்பு டெல் பெஸோ மேற்பரப்பு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. ஒவ்வொரு டெல் பெஸோ மேற்பரப்பும் P1 × P1 அல்லது அதிகபட்சம் எட்டு புள்ளிகளில் வீசப்பட்ட ப்ரொஜெக்டிவ் பிளேனுக்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும், இது பொதுவான நிலையில் இருக்க வேண்டும். இதன் விளைவாக, அவை அனைத்தும் பகுத்தறிவுடையவை. பரிமாணம் 3 இல், மென்மையான சிக்கலான ஃபானோ வகைகள் உள்ளன, அவை பகுத்தறிவற்றவை, எடுத்துக்காட்டாக பி 4 இல் கனசதுர 3-மடிப்புகள் (கிளெமென்ஸ்-கிரிஃபித்ஸ்) மற்றும் பி 4 இல் குவார்டிக் 3-மடிப்புகள் (இஸ்கோவ்ஸ்கிக்-மானின்). மென்மையான ஃபானோ 3 மடிப்புகளை இரண்டாவது பெட்டி எண் 1 உடன் 17 வகுப்புகளாக வகைப்படுத்தி, மென்மையானவற்றை இரண்டாவது பெட்டி எண் குறைந்தது 2 உடன் வகைப்படுத்தி, 88 சிதைவு வகுப்புகளைக் கண்டறிந்தது. மென்மையான ஃபானோ 3-மடிப்புகளின் வகைப்பாட்டின் விரிவான சுருக்கம் இதில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. அனைத்து ஃபானோ வகைகளையும் மூன்று, நான்கு மற்றும் ஐந்து பரிமாணங்களில் வகைப்படுத்த ஒரு திட்ட வடிவங்களின் கால அட்டவணையையும் பார்க்கவும். குறிப்புகள் வெளிப்புற இணைப்புகள் ஃபேனோகிராஃபி-முப்பரிமாண ஃபேனோ வகைகளின் வகைப்பாட்டை பார்வைக்கு ஆய்வு செய்வதற்கான ஒரு கருவி. குறிப்புகள் இயற்கணித வடிவியல் 3-மடிப்புகள்