Oscillatory integral
கணித பகுப்பாய்வில் ஊசலாட்ட ஒருங்கிணைப்பு என்பது ஒரு வகை விநியோகம் ஆகும். அலைவு ஒருங்கிணைப்புகள் கடுமையான பல வாதங்களை செய்கின்றன, அவை ஒரு அப்பாவித்தனமான மட்டத்தில், மாறுபட்ட ஒருங்கிணைப்புகளைப் பயன்படுத்துவதாகத் தோன்றுகிறது. பல வேறுபட்ட சமன்பாடுகளுக்கான தோராயமான தீர்வு இயக்கிகளை ஊசலாட்ட ஒருங்கிணைப்புகளாக பிரதிநிதித்துவப்படுத்த முடியும். வரையறை ஒரு ஊசலாட்ட ஒருங்கிணைப்பு பின்வரும் பண்புகளுடன் வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாடுகள் எங்கே மற்றும் அவை என முறையாக எழுதப்படுகிறதுஃ செயல்பாடு உண்மையான மதிப்புடையது, நேர்மறை-ஒரே மாதிரியான டிகிரி 1, மற்றும் எல்லையற்ற வேறுபாடு. மேலும், ஆதரிப்பதில் எந்த முக்கியமான புள்ளிகளும் இல்லை என்று நாங்கள் கருதுகிறோம். அத்தகைய செயல்பாடு, பொதுவாக ஒரு கட்ட செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. சில சூழல்களில் இன்னும் பொதுவான செயல்பாடுகள் கருதப்படுகின்றன, இன்னும் அவை கட்ட செயல்பாடுகள் என்று குறிப்பிடப்படுகின்றன. இந்த செயல்பாடு சிலருக்கு குறியீட்டு வகுப்புகளில் ஒன்றைச் சேர்ந்தது. உள்ளுணர்வாக, இந்த குறியீட்டு வகுப்புகள் பட்டத்தின் நேர்மறையான ஒரே மாதிரியான செயல்பாடுகளைப் பற்றிய கருத்தை பொதுமைப்படுத்துகின்றன. கட்ட செயல்பாட்டைப் போலவே, சில சந்தர்ப்பங்களில் செயல்பாடு மிகவும் பொதுவானதாகவோ அல்லது வேறுபட்டதாகவோ இருக்கும். எப்போது, முறையான ஒருங்கிணைந்த வரையறை அனைவருக்கும் ஒருங்கிணைக்கிறது, மேலும் வரையறையைப் பற்றி மேலும் விவாதிக்க வேண்டிய அவசியமில்லை. இருப்பினும், ஒருங்கிணைப்பு ஒன்றிணைக்கப்படாவிட்டாலும், ஊசலாட்ட ஒருங்கிணைப்பு இன்னும் ஒரு விநியோகமாக வரையறுக்கப்படுகிறது. இந்த விஷயத்தில், அதிவேக சிதைவைக் கொண்ட செயல்பாடுகளால் தோராயமாக மதிப்பிடப்படலாம் என்ற உண்மையைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் விநியோகம் வரையறுக்கப்படுகிறது. இதைச் செய்வதற்கான ஒரு சாத்தியமான வழி, மிதமான விநியோகங்களின் அர்த்தத்தில் வரம்பு எங்கு எடுக்கப்படுகிறது என்பதை அமைப்பதன் மூலம். பாகங்கள் மூலம் ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தி, இந்த வரம்பு நன்கு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது என்பதையும், ஒரு வேறுபட்ட ஆபரேட்டர் இருப்பதாகவும் காட்ட முடியும், இதன் விளைவாக ஷ்வார்ட்ஸ் இடத்தில் ஏதேனும் செயல்படும் விநியோகம் இந்த ஒருங்கிணைப்பு முற்றிலும் ஒன்றிணைக்கும் இடத்தால் வழங்கப்படுகிறது. ஆபரேட்டர் தனித்துவமாக வரையறுக்கப்படவில்லை, ஆனால் கட்ட செயல்பாடு, சின்னத்தின் வரிசை மற்றும் ஆகியவற்றை மட்டுமே சார்ந்திருக்கும் வகையில் தேர்ந்தெடுக்கப்படலாம். உண்மையில், எந்தவொரு முழு எண்ணையும் கொடுத்தால், ஒரு ஆபரேட்டரைக் கண்டுபிடிக்க முடியும், இதனால் மேலே உள்ள ஒருங்கிணைப்பு போதுமான அளவு பெரியதாக இருக்கும். குறியீட்டு வகுப்புகளின் வரையறையின் முக்கிய நோக்கம் இதுதான். எடுத்துக்காட்டுகள் பல பழக்கமான விநியோகங்களை ஊசலாட்ட ஒருங்கிணைப்புகளாக எழுதலாம். ஃபோரியர் தலைகீழ் தேற்றம் டெல்டா செயல்பாடு சமம் என்பதைக் குறிக்கிறது மேலே இருந்து இந்த ஊசலாட்ட ஒருங்கிணைப்பை வரையறுக்கும் முதல் முறையையும், காஸியனின் ஃபோரியர் உருமாற்றத்தையும் நாம் பயன்படுத்தினால், டெல்டா செயல்பாட்டை தோராயமாக மதிப்பிடும் நன்கு அறியப்பட்ட செயல்பாடுகளின் வரிசையைப் பெறுகிறோம்ஃ இந்த விஷயத்தில் ஒரு ஆபரேட்டர் எடுத்துக்காட்டாக மாறிகளைப் பொறுத்தவரை லாப்லாசியன் எங்கே என்பதன் மூலம் வழங்கப்படுகிறது, மேலும் எந்த முழு எண்ணும் அதை விட பெரியது. உண்மையில், இதனுடன் நம்மிடம் உள்ளது மற்றும் இந்த ஒருங்கிணைப்பு முற்றிலும் ஒருங்கிணைக்கிறது. எந்தவொரு வேறுபட்ட இயக்கியின் ஸ்வார்ட்ஸ் கர்னலையும் ஊசலாட்ட ஒருங்கிணைப்பாக எழுதலாம். உண்மையில் எங்கே என்றால், அதன் கர்னல் லக்ராஞ்சியன் விநியோகங்களுடனான உறவின் மூலம் வழங்கப்படுகிறது எந்த லக்ராஞ்சியன் விநியோகத்தையும் ஊசலாட்ட ஒருங்கிணைப்புகளால் உள்ளூரில் குறிப்பிடலாம், பார்க்கவும். மாறாக, எந்த ஊசலாட்ட ஒருங்கிணைப்பும் ஒரு லக்ராஞ்சியன் விநியோகமாகும். இது அலைவு ஒருங்கிணைப்புகளாகக் குறிப்பிடப்படக்கூடிய விநியோகங்களின் வகைகளைப் பற்றிய துல்லியமான விளக்கத்தை வழங்குகிறது. மேலும் காண்க ரீமன்-லெபெஸ்க்யூ லெம்மா வான் டெர் கார்புட் லெம்மா குறிப்புகள் கணித பகுப்பாய்வு பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட செயல்பாடுகள் செயல்பாட்டு பகுப்பாய்வு ஷ்வார்ட்ஸ் விநியோகங்கள்