Biharmonic equation
கணிதத்தில், பிஹார்மோனிக் சமன்பாடு என்பது நான்காவது வரிசை பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடாகும், இது தொடர்ச்சியான இயக்கவியலின் பகுதிகளில் எழுகிறது, இதில் நேரியல் நெகிழ்ச்சி கோட்பாடு மற்றும் ஸ்டோக்ஸ் ஓட்டங்களின் தீர்வு ஆகியவை அடங்கும். குறிப்பாக, வெளிப்புற சக்திகளுக்கு நெகிழ்ச்சியுடன் வினைபுரியும் மெல்லிய கட்டமைப்புகளின் மாதிரியில் இது பயன்படுத்தப்படுகிறது. குறிப்பு இது அல்லது அல்லது எங்கே என்று எழுதப்படுகிறது, இது டெல் ஆபரேட்டரின் நான்காவது சக்தி மற்றும் லாப்லாசியன் ஆபரேட்டரின் (அல்லது) சதுரம், பீஹார்மோனிக் ஆபரேட்டர் அல்லது பிலாப்லாசியன் ஆபரேட்டர் என்று அழைக்கப்படுகிறது. கார்ட்டீசியன் ஆயத்தொகுப்புகளில், இதை பரிமாணங்களில் இவ்வாறு எழுதலாம்ஃ இங்குள்ள சூத்திரம் குறியீடுகளின் கூட்டுத்தொகையைக் கொண்டிருப்பதால், பல கணிதவியலாளர்கள் குறியீட்டை விட குறியீட்டை விரும்புகிறார்கள், ஏனெனில் நான்கு நப்லா ஆபரேட்டர்களின் குறியீடுகளில் எது சுருக்கப்பட்டுள்ளது என்பதை முந்தையது தெளிவுபடுத்துகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, முப்பரிமாண கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்புகளில் பீஹார்மோனிக் சமன்பாடு வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது மற்றொரு எடுத்துக்காட்டாக, n-பரிமாண ரியல் ஒருங்கிணைப்பு இடத்தில் தோற்றம் இல்லாமல், இது காட்டுகிறது, n = 3 மற்றும் n = 5 க்கு மட்டுமே, பீஹார்மோனிக் சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு. பீஹார்மோனிக் சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு பீஹார்மோனிக் செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. எந்தவொரு ஹார்மோனிக் செயல்பாடும் பீஹார்மோனிக் ஆகும், ஆனால் இதற்கு நேர்மாறானது எப்போதும் உண்மையாக இருக்காது. இரு பரிமாண துருவ ஆயத்தொகுப்புகளில், பிஹார்மோனிக் சமன்பாடு என்பது மாறிகளைப் பிரிப்பதன் மூலம் தீர்க்கப்படலாம். இதன் விளைவாக மைக்கேல் கரைசல் உள்ளது. 2 பரிமாண இடைவெளி 2 பரிமாண வழக்கு பொதுவான தீர்வு எங்கே, மற்றும் ஹார்மோனிக் செயல்பாடுகள் மற்றும் ஒரு ஹார்மோனிக் இணை ஆகும். 2 மாறிகளில் உள்ள ஹார்மோனிக் செயல்பாடுகள் சிக்கலான பகுப்பாய்வு செயல்பாடுகளுடன் நெருக்கமாக தொடர்புடையது போலவே, 2 மாறிகளில் உள்ள பீஹார்மோனிக் செயல்பாடுகளும் உள்ளன. 2 மாறிகளில் ஒரு பீஹார்மோனிக் செயல்பாட்டின் பொதுவான வடிவத்தை எங்கே மற்றும் பகுப்பாய்வு செயல்பாடுகள் என்றும் எழுதலாம். மேலும் காண்க ஹார்மோனிக் செயல்பாடு குறிப்புகள் எரிக் டபிள்யூ வெய்ஸ்டீன், சி. ஆர். சி கணிதத்தின் சுருக்கமான கலைக்களஞ்சியம், சி. ஆர். சி பிரஸ், 2002. எஸ் ஐ ஹாயக், அறிவியல் மற்றும் பொறியியலில் மேம்பட்ட கணித முறைகள், மார்செல் டெக்கர், 2000. வெளிப்புற இணைப்புகள் நீள்வட்ட பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகள்