Signed measure
கணிதத்தில், கையொப்பமிடப்பட்ட அளவீடு என்பது செட் செயல்பாட்டை எதிர்மறை மதிப்புகளை எடுக்க அனுமதிப்பதன் மூலம் (நேர்மறை) அளவீட்டு கருத்தாக்கத்தின் பொதுமைப்படுத்தலாகும், அதாவது, அடையாளத்தைப் பெற. வரையறை ஒரு கையொப்பமிடப்பட்ட நடவடிக்கைக்கு இரண்டு சற்றே மாறுபட்ட கருத்துக்கள் உள்ளன, இது எல்லையற்ற மதிப்புகளை எடுக்க ஒருவர் அனுமதிக்கிறாரா இல்லையா என்பதைப் பொறுத்து. கையொப்பமிடப்பட்ட நடவடிக்கைகள் பொதுவாக வரையறுக்கப்பட்ட உண்மையான மதிப்புகளை எடுக்க மட்டுமே அனுமதிக்கப்படுகின்றன, அதே நேரத்தில் சில பாடப்புத்தகங்கள் எல்லையற்ற மதிப்புகளை எடுக்க அனுமதிக்கின்றன. குழப்பத்தைத் தவிர்ப்பதற்காக, இந்தக் கட்டுரை இந்த இரண்டு நிகழ்வுகளையும் "வரையறுக்கப்பட்ட கையொப்பமிடப்பட்ட நடவடிக்கைகள்" மற்றும் "நீட்டிக்கப்பட்ட கையொப்பமிடப்பட்ட நடவடிக்கைகள்" என்று அழைக்கும். அளவிடக்கூடிய இடைவெளி கொடுக்கப்பட்டால் (அதாவது, அதன் மீது σ-இயற்கணிதம் கொண்ட ஒரு தொகுப்பு), நீட்டிக்கப்பட்ட கையொப்பமிடப்பட்ட அளவீடு என்பது ஒரு தொகுப்பு செயல்பாடாகும், இது σ-கூட்டுத்திறன் கொண்டது-அதாவது, இது எந்த வரிசை வேறுபட்ட தொகுப்புகளுக்கும் சமத்துவத்தை திருப்திப்படுத்துகிறது. ஒரு விளைவு என்னவென்றால், ஒரு நீட்டிக்கப்பட்ட கையொப்பமிடப்பட்ட நடவடிக்கை எடுக்கலாம் அல்லது ஒரு மதிப்பாக இருக்கலாம், ஆனால் இரண்டும் அல்ல. வெளிப்பாடு வரையறுக்கப்படவில்லை மற்றும் தவிர்க்கப்பட வேண்டும். ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட கையொப்பமிடப்பட்ட நடவடிக்கை (a. k. a. உண்மையான அளவீடு) அதே வழியில் வரையறுக்கப்படுகிறது, இது உண்மையான மதிப்புகளை மட்டுமே எடுக்க அனுமதிக்கப்படுகிறது என்பதைத் தவிர. அதாவது, அது ஒரு உண்மையான திசையன் இடத்தை உருவாக்க கையொப்பமிடப்பட்ட நடவடிக்கைகளை எடுக்கவோ அல்லது முடிக்கவோ முடியாது, அதே நேரத்தில் நீட்டிக்கப்பட்ட கையொப்பமிடப்பட்ட நடவடிக்கைகள் அவை கூட்டலின் கீழ் மூடப்படாததால் இல்லை. மறுபுறம், நடவடிக்கைகள் நீட்டிக்கப்பட்ட கையொப்பமிடப்பட்ட நடவடிக்கைகள், ஆனால் பொதுவாக வரையறுக்கப்பட்ட கையொப்பமிடப்பட்ட நடவடிக்கைகள் அல்ல. எடுத்துக்காட்டுகள் இடைவெளி (X,  நிஷ்பா) மீது ஒரு எதிர்மறை அளவீடு மற்றும் அளவிடக்கூடிய செயல்பாடு f: X → R ஐக் கவனியுங்கள், பின்னர், அனைத்து A க்கும் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட கையொப்ப அளவீடு வழங்கப்படுகிறது. இந்த கையொப்பமிடப்பட்ட நடவடிக்கை வரையறுக்கப்பட்ட மதிப்புகளை மட்டுமே எடுக்கும். இதை ஒரு மதிப்பாக எடுக்க அனுமதிக்க, f முற்றிலும் ஒருங்கிணைக்கக்கூடியது என்ற அனுமானத்தை மிகவும் நிதானமான நிபந்தனையுடன் மாற்ற வேண்டும், அங்கு f − (x) = அதிகபட்சம் (−f (x, 0) என்பது f இன் எதிர்மறைப் பகுதியாகும். பின்வரும் இரண்டு முடிவுகள், நீட்டிக்கப்பட்ட கையொப்பமிடப்பட்ட அளவீடு என்பது இரண்டு எதிர்மறை அல்லாத நடவடிக்கைகளின் வேறுபாடு மற்றும் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட கையொப்பமிடப்பட்ட அளவீடு என்பது இரண்டு வரையறுக்கப்பட்ட எதிர்மறை அல்லாத நடவடிக்கைகளின் வேறுபாடு என்பதைக் குறிக்கும். ஹான் சிதைவு தேற்றம் ஒரு கையொப்பமிடப்பட்ட அளவீடு கொடுக்கப்பட்டால், P மற்றும் N என இரண்டு அளவிடக்கூடிய தொகுப்புகள் உள்ளன என்று கூறுகிறதுஃ P ≤ N = X மற்றும் P ≤ N = φ; ஒவ்வொரு E க்கும் ≤ 0 அதாவது E ≤ P-வேறுவிதமாகக் கூறினால், P என்பது ஒரு நேர்மறை தொகுப்பு; ஒவ்வொரு E க்கும் ≤ 0 அதாவது E ≤ N-அதாவது, N ஒரு எதிர்மறை தொகுப்பு. மேலும், இந்த சிதைவு P மற்றும் N இலிருந்து μ-பூஜ்ய தொகுப்புகளைச் சேர்ப்பது/கழிப்பது வரை தனித்துவமானது. பின்னர் இரண்டு எதிர்மறை அல்லாத அளவீடுகளைக் கவனியுங்கள். ஒன்று வரையறுக்கப்பட்ட மதிப்புகளை மட்டுமே எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம், முறையே நேர்மறையான பகுதி மற்றும் எதிர்மறையான பகுதி என்று அழைக்கப்படும் எதிர்மறை அல்லாத அளவீடுகள் என்பதை ஒருவர் சரிபார்க்கலாம். ஒன்று அந்த μ = μ + − μ− ஐக் கொண்டுள்ளது. அளவீடு |μ | = μ + + μ − என்பது μ இன் மாறுபாடு என்றும், அதன் அதிகபட்ச சாத்தியமான மதிப்பு, | |μ | | = |μ | (X), என்பது μ இன் மொத்த மாறுபாடு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. ஹான் சிதைவு தேற்றத்தின் இந்த விளைவு ஜோர்டான் சிதைவு என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஹான் சிதைவு தேற்றத்தில் உள்ள P மற்றும் N இன் தேர்விலிருந்து சுயாதீனமான அளவீடுகள் μ +, μ − மற்றும் |μ | ஆகும். கையொப்பமிடப்பட்ட நடவடிக்கைகளின் இடைவெளி இரண்டு வரையறுக்கப்பட்ட கையொப்பமிடப்பட்ட நடவடிக்கைகளின் கூட்டுத்தொகை ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட கையொப்பமிடப்பட்ட அளவீடு ஆகும், இது ஒரு உண்மையான எண்ணால் வரையறுக்கப்பட்ட கையொப்பமிடப்பட்ட அளவின் பெருக்கலாகும்-அதாவது, அவை நேரியல் சேர்க்கைகளின் கீழ் மூடப்பட்டுள்ளன. அளவிடக்கூடிய இடத்தில் (X, β) வரையறுக்கப்பட்ட கையொப்பமிடப்பட்ட நடவடிக்கைகளின் தொகுப்பு ஒரு உண்மையான திசையன் இடைவெளி என்பதை இது பின்பற்றுகிறது; இது நேர்மறை நடவடிக்கைகளுக்கு மாறாக உள்ளது, அவை கூம்பு சேர்க்கைகளின் கீழ் மட்டுமே மூடப்பட்டுள்ளன, இதனால் ஒரு குவிந்த கூம்பு உருவாகிறது, ஆனால் ஒரு திசையன் இடைவெளி அல்ல. மேலும், மொத்த மாறுபாடு ஒரு நெறிமுறையை வரையறுக்கிறது, இது குறித்து வரையறுக்கப்பட்ட கையொப்பமிடப்பட்ட நடவடிக்கைகளின் இடைவெளி ஒரு பானாச் இடமாக மாறுகிறது. இந்த இடம் இன்னும் அதிக கட்டமைப்பைக் கொண்டுள்ளது, அதில் இது ஒரு டெடெக்கிண்ட் முழுமையான பானாச் லட்டிஸ் என்று காட்டப்படலாம், அவ்வாறு செய்யும்போது ரேடான்-நிகோடிம் தேற்றத்தை பிராயுடெந்தல் நிறமாலை தேற்றத்தின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு என்று காட்டலாம். X ஒரு சுருக்கமான பிரிக்கக்கூடிய இடமாக இருந்தால், ரைஸ்-மார்கோவ்-ககுடானி பிரதிநிதித்துவ தேற்றத்தின் படி, வரையறுக்கப்பட்ட கையொப்பமிடப்பட்ட பைர் அளவீடுகளின் இடைவெளி X இல் உள்ள அனைத்து தொடர்ச்சியான உண்மையான மதிப்புள்ள செயல்பாடுகளின் உண்மையான பானாச் இடத்தின் இரட்டை ஆகும். மேலும் காண்க கோண இடப்பெயர்ச்சி சிக்கலான அளவீட்டு ஸ்பெக்ட்ரல் அளவீட்டு திசையன் அளவீட்டு ரைஸ்-மார்கோவ்-ககுடானி பிரதிநிதித்துவ தேற்றம் கையொப்பமிடப்பட்ட வளைவு நீளம் கையொப்பமிடப்பட்ட பகுதி கையொப்பமிடப்பட்ட தூர கையொப்பமிடப்பட்ட தொகுதி மொத்த மாறுபாடு குறிப்புகள் குறிப்புகள் ஒருங்கிணைந்த கால்குலஸ் அளவீடுகள் (அளவீட்டுக் கோட்பாடு) விக்கிப்பீடியா கட்டுரைகள் பிளானட்மேத் சைன் (கணிதம்) இலிருந்து உரையை உள்ளடக்கியது