Wagner's theorem
வரைபடக் கோட்பாட்டில், வாக்னரின் தேற்றம் என்பது பிளானர் வரைபடங்களின் கணித தடைசெய்யப்பட்ட வரைபடக் குணாதிசயமாகும், இது கிளாஸ் வாக்னரின் பெயரால் பெயரிடப்பட்டது, ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட வரைபடம் அதன் மைனர்களில் K5 (ஐந்து செங்குத்துகளில் முழுமையான வரைபடம்) அல்லது K3,3 (பயன்பாட்டு வரைபடம், ஆறு செங்குத்துகளில் ஒரு முழுமையான இருதரப்பு வரைபடம்) ஆகியவற்றைக் கொண்டிருக்காவிட்டால் மட்டுமே அது பிளானர் ஆகும். இது வரைபட மைனர்களின் கோட்பாட்டின் ஆரம்ப முடிவுகளில் ஒன்றாகும், மேலும் இது ராபர்ட்சன்-சீமோர் தேற்றத்தின் முன்னோடியாகக் கருதப்படுகிறது. வரையறைகள் மற்றும் அறிக்கை கொடுக்கப்பட்ட வரைபடத்தின் ஒரு சமதள உட்பொதிப்பு என்பது யூக்ளிடியன் தளத்தில் உள்ள வரைபடத்தின் வரைபடமாகும், அதன் செங்குத்துகளுக்கான புள்ளிகள் மற்றும் அதன் விளிம்புகளுக்கான வளைவுகளுடன், இரண்டு விளிம்புகளின் பொதுவான இறுதிப் புள்ளியில் ஜோடி விளிம்புகளுக்கு இடையிலான குறுக்குவெட்டுகள் மட்டுமே இருக்கும் வகையில். கொடுக்கப்பட்ட வரைபடத்தின் சிறியது செங்குத்துகளை நீக்குவதன் மூலமும், விளிம்புகளை நீக்குவதன் மூலமும், விளிம்புகளை சுருக்குவதன் மூலமும் உருவாக்கப்பட்ட மற்றொரு வரைபடமாகும். ஒரு விளிம்பு சுருங்கும் போது, அதன் இரண்டு இறுதிப் புள்ளிகள் ஒன்றிணைந்து ஒற்றை உச்சியை உருவாக்குகின்றன. வரைபட சிறு கோட்பாட்டின் சில பதிப்புகளில், சுருக்கத்தின் விளைவாக ஏற்படும் வரைபடம் சுய-சுழல்கள் மற்றும் பல அருகாமைகளை அகற்றுவதன் மூலம் எளிமைப்படுத்தப்படுகிறது, அதே நேரத்தில் பிற பதிப்புகளில் பன்முக எழுத்துக்கள் அனுமதிக்கப்படுகின்றன, ஆனால் இந்த மாறுபாடு வாக்னரின் தேற்றத்திற்கு எந்த வித்தியாசத்தையும் ஏற்படுத்தாது. வாக்னரின் தேற்றம் ஒவ்வொரு வரைபடத்திலும் ஒரு பிளானர் உட்பொதிப்பு அல்லது இரண்டு வகைகளில் ஒரு சிறிய வகை, முழுமையான வரைபடம் K5 அல்லது முழுமையான இருதரப்பு வரைபடம் K3,3 உள்ளது என்று கூறுகிறது. (ஒரு ஒற்றை வரைபடத்தில் இரண்டு வகையான சிறியவையும் இருக்க முடியும்.) கொடுக்கப்பட்ட வரைபடம் சமதளமாக இருந்தால், அதன் அனைத்து சிறிய பகுதிகளும்ஃ உச்சி மற்றும் விளிம்பு நீக்குதல் வெளிப்படையாக சமதளத்தன்மையைப் பாதுகாக்கின்றன, மேலும் விளிம்பு சுருக்கத்தையும் ஒரு சமதளத்தன்மையைப் பாதுகாக்கும் வழியில் செய்யலாம், சுருக்கப்பட்ட விளிம்பின் இரண்டு இறுதிப் புள்ளிகளில் ஒன்றை விட்டுவிட்டு, சுருக்கப்பட்ட விளிம்பின் பாதையில் மற்ற இறுதிப் புள்ளிக்கு நிகழ்ந்த அனைத்து விளிம்புகளையும் வழிநடத்துவதன் மூலம். ஒரு சிறிய-குறைந்தபட்ச பிளானர் அல்லாத வரைபடம் என்பது பிளானர் அல்லாத ஒரு வரைபடமாகும், ஆனால் இதில் அனைத்து சரியான மைனர்களும் (குறைந்தபட்சம் ஒரு நீக்குதல் அல்லது சுருக்கத்தால் உருவாக்கப்பட்ட மைனர்கள்) பிளானர் ஆகும். வாக்னரின் தேற்றத்தைக் குறிப்பிடுவதற்கான மற்றொரு வழி என்னவென்றால், K5 மற்றும் K3,3 ஆகிய இரண்டு சிறிய-குறைந்தபட்ச பிளானர் அல்லாத வரைபடங்கள் மட்டுமே உள்ளன. சில நேரங்களில் வாக்னரின் தேற்றம் என்றும் அழைக்கப்படும் மற்றொரு முடிவு, நான்கு இணைக்கப்பட்ட வரைபடம் K5 மைனர் இல்லையென்றால் மட்டுமே பிளானர் என்று கூறுகிறது. அதாவது, உயர் மட்ட இணைப்பைக் கருதுவதன் மூலம், K3,3 வரைபடத்தை குணாதிசயத்தில் தேவையற்றதாக மாற்றலாம், தடைசெய்யப்பட்ட ஒரு சிறிய, K5 ஐ மட்டுமே விட்டுவிடலாம். அதற்கேற்ப, கெல்மேன்ஸ்-சீமோர் அனுமானம், 5-இணைக்கப்பட்ட வரைபடம் ஒரு இடவியல் சிறியதாக K5 இல்லையென்றால் மட்டுமே அது சமதளமானது என்று கூறுகிறது. குரடோவ்ஸ்கியின் தேற்றத்துடன் வரலாறு மற்றும் உறவு வாக்னர் 1937 ஆம் ஆண்டில் இரண்டு கோட்பாடுகளையும் வெளியிட்டார், 1930 ஆம் ஆண்டு குரடோவ்ஸ்கியின் தேற்றத்தின் வெளியீட்டைத் தொடர்ந்து, ஒரு வரைபடம் ஒரு துணை வரைபடமாக அதே இரண்டு தடைசெய்யப்பட்ட வரைபடங்களில் ஒன்றான K5 மற்றும் K3,3 இன் உட்பிரிவைக் கொண்டிருக்காவிட்டால் மட்டுமே அது சமதளமாக இருக்கும். ஒரு வகையில், குரடோவ்ஸ்கியின் தேற்றம் வாக்னரின் தேற்றத்தை விட வலுவானதுஃ உட்பிரிவு செயல்முறையால் உருவாக்கப்பட்ட ஒவ்வொரு பாதையிலும் ஒரு விளிம்பைத் தவிர மற்ற அனைத்தையும் சுருக்குவதன் மூலம் ஒரு உட்பிரிவை ஒரே வகையின் சிறியதாக மாற்ற முடியும், ஆனால் ஒரு சிறியதை ஒரே வகையின் உட்பிரிவாக மாற்றுவது எப்போதும் சாத்தியமில்லை. இருப்பினும், K5 மற்றும் K3,3 ஆகிய இரண்டு வரைபடங்களைப் பொறுத்தவரை, இந்த இரண்டு வரைபடங்களில் குறைந்தபட்சம் ஒன்றையாவது ஒரு சிறிய வரைபடமாகக் கொண்ட ஒரு வரைபடம் அவற்றில் குறைந்தபட்சம் ஒன்றையாவது ஒரு உட்பிரிவாகக் கொண்டுள்ளது என்பதை நிரூபிப்பது நேரடியானது, எனவே இரண்டு கோட்பாடுகளும் சமமானவை. தாக்கங்கள் நான்கு இணைக்கப்பட்ட வரைபடங்களுக்கான வாக்னரின் தேற்றத்தின் வலுவான பதிப்பின் ஒரு விளைவு K5 மைனர் இல்லாத வரைபடங்களை வகைப்படுத்துவதாகும். அத்தகைய ஒவ்வொரு வரைபடமும் சமதளமானது அல்லது எளிமையான துண்டுகளாக சிதைக்கப்படலாம் என்று இந்த தேற்றத்தை மறுபரிசீலனை செய்யலாம். இந்த யோசனையைப் பயன்படுத்தி, K5-மைனர்-ஃப்ரீ கிராஃப்களை பிளானர் கிராஃப்கள் மற்றும் எட்டு-வெர்டெக்ஸ் வாக்னர் கிராஃப் ஆகியவற்றின் கலவையாக உருவாக்கக்கூடிய கிராஃப்களாக வகைப்படுத்தலாம், அவை கிளைக்-சம் செயல்பாடுகளால் ஒன்றாக ஒட்டப்படுகின்றன. உதாரணமாக, K3,3 ஐ இந்த வழியில் மூன்று சமதள வரைபடங்களின் தொகுப்பு-கூட்டுத்தொகையாக உருவாக்க முடியும், அவை ஒவ்வொன்றும் நாற்கர வரைபடம் K4 இன் நகலாகும். வாக்னரின் தேற்றம் கிராஃப் மைனர்களின் கோட்பாட்டின் ஒரு முக்கியமான முன்னோடியாகும், இது இரண்டு ஆழமான மற்றும் தொலைநோக்கு முடிவுகளின் சான்றுகளில் உச்சக்கட்டத்தை அடைந்ததுஃ கிராஃப் கட்டமைப்பு தேற்றம் (வாக்னரின் கிளைக்-சம் சிதைவின் K5-மைனர்-ஃப்ரீ கிராஃப்ஸின் பொதுமைப்படுத்தல்) மற்றும் ராபர்ட்சன்-சீமோர் தேற்றம் (பிளானர் கிராஃப்ஸின் தடைசெய்யப்பட்ட சிறிய குணாதிசயத்தின் பொதுமைப்படுத்தல், மைனர்களை எடுக்கும் செயல்பாட்டின் கீழ் மூடப்பட்ட ஒவ்வொரு கிராஃப் குடும்பமும் வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான தடைசெய்யப்பட்ட மைனர்களால் ஒரு குணாதிசயத்தைக் கொண்டுள்ளது என்று கூறுகிறது). வாக்னரின் தேற்றத்தின் ஒப்புமைகள் மேட்ராய்டுகளின் கோட்பாட்டிற்கும் நீட்டிக்கப்படலாம்ஃ குறிப்பாக, அதே இரண்டு வரைபடங்கள் K5 மற்றும் K3,3 (மற்ற மூன்று தடைசெய்யப்பட்ட உள்ளமைவுகளுடன்) தடைசெய்யப்பட்ட மேட்ராய்டு மைனர்களால் கிராஃபிக் மேட்ராய்டுகளின் குணாதிசயத்தில் தோன்றும். குறிப்புகள் பிளானர் வரைபடங்கள் வரைபடம் சிறு கோட்பாடு வரைபடக் கோட்பாட்டில் உள்ள தேற்றங்கள்