Jacobi sum
கணிதத்தில், ஜாகோபி தொகை என்பது டிரிக்லெட் எழுத்துக்களால் உருவாக்கப்பட்ட ஒரு வகை எழுத்துத் தொகை ஆகும். எளிமையான எடுத்துக்காட்டுகள் டிரிச்லெட் எழுத்துக்களுக்கு ஜாகோபி கூட்டுத்தொகை J (χ, si), ஒரு பகா எண் p ஐ உருவகப்படுத்துதல், அனைத்து எச்சங்களுக்கும் மேல் கூட்டுத்தொகை எங்கு இயங்குகிறது என்பதன் மூலம் வரையறுக்கப்படுகிறது (இதற்கு a அல்லது 0 இல்லை). ஜாகோபி தொகைகள் பீட்டா செயல்பாட்டின் வரையறுக்கப்பட்ட புலங்களுக்கான ஒப்புமைகள் ஆகும். இத்தகைய தொகைகள் பத்தொன்பதாம் நூற்றாண்டின் தொடக்கத்தில் சி. ஜி. ஜே. ஜாகோபி என்பவரால் சைக்ளோடோமி கோட்பாடு தொடர்பாக அறிமுகப்படுத்தப்பட்டன. ஜாகோபி கூட்டுத்தொகை J ஐ காஸ் கூட்டுத்தொகை g இன் சக்திகளின் பெருக்கங்களாக பொதுவாகக் காரணியாக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, χsi எழுத்து அற்பமானதாக இல்லாதபோது, காமா செயல்பாடுகளின் அடிப்படையில் பீட்டா செயல்பாட்டிற்கான சூத்திரத்திற்கு ஒத்ததாக இருக்கும். அற்பமான காஸ் கூட்டுத்தொகை g முழுமையான மதிப்பு p ஐக் கொண்டிருப்பதால், இது χsi, χ, si எழுத்துக்கள் அற்பமானதாக இல்லாதபோது முழுமையான மதிப்பு p ஐக் கொண்டுள்ளது. சிறிய சைக்ளோடோமிக் புலங்களில் இருக்கும் J ஐ ஜேகோபி சுருக்குகிறது, இது அற்பமான காஸ் கூட்டுத்தொகை g ஐ விட சிறிய சைக்ளோடோமிக் புலங்களில் உள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, கூட்டுத்தொகைகள் ஒற்றுமையின் pth மூலத்தை உள்ளடக்குவதில்லை, மாறாக ஒற்றுமையின் வேர்களின் சைக்ளோடோமிக் புலத்தில் இருக்கும் மதிப்புகளை மட்டுமே உள்ளடக்கியது. காஸ் தொகைகளைப் போலவே, ஜாகோபி தொகைகளும் அவற்றின் சைக்ளோடோமிக் புலங்களில் முதன்மை இலட்சியக் காரணிகளை அறிந்துள்ளன; ஸ்டிக்கல்பெர்கரின் தேற்றத்தைப் பார்க்கவும். χ என்பது லெஜெண்ட்ரே சின்னமாக இருக்கும்போது, பொதுவாக ஜாகோபி தொகைகளின் மதிப்புகள் மூலைவிட்ட வடிவங்களின் உள்ளூர் ஜீட்டா-செயல்பாடுகளுடன் தொடர்புடையவை. லெஜெண்ட்ரே சின்னத்தின் முடிவு ஒரு கூம்பு பிரிவில் உள்ள புள்ளிகளின் எண்ணிக்கைக்கான சூத்திரத்திற்கு சமம், இது p உறுப்புகளின் புலத்தின் மீது ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் கோடு ஆகும். 1949 முதல் ஆண்ட்ரே வெயில் எழுதிய ஒரு கட்டுரை இந்த விஷயத்தை மிகவும் புதுப்பித்தது. உண்மையில், 20 ஆம் நூற்றாண்டின் பிற்பகுதியில் ஹாஸ்-டேவன்போர்ட் உறவின் மூலம், காஸ் தொகைகளின் அதிகாரங்களின் முறையான பண்புகள் மீண்டும் ஒரு முறை நடைமுறைக்கு வந்தன. பொதுவான ஜாகோபி தொகைகள் மூலம் மூலைவிட்ட ஹைப்பர்சர்ஃபேஸ்களுக்கான உள்ளூர் ஜீட்டா-செயல்பாடுகளை எழுதுவதற்கான சாத்தியக்கூறுகளை சுட்டிக்காட்டிய வெயில் (1952), ஜாகோபி தொகைகளின் பண்புகளை ஹெக் எழுத்துக்களாக நிரூபித்தார். அபெலியன் வகைகளின் சிக்கலான பெருக்கம் நிறுவப்பட்டவுடன் இது முக்கியமானதாக மாறியது. உதாரணமாக, கேள்விக்குரிய ஹெக் எழுத்துக்கள் ஃபெர்மாட் வளைவுகளின் ஹாஸ்-வெயில் எல்-செயல்பாடுகளை வெளிப்படுத்த வேண்டியவை. இந்த கதாபாத்திரங்களின் சரியான நடத்துனர்கள், வெயில் திறந்துவிட்ட ஒரு கேள்வி, பிற்கால படைப்புகளில் தீர்மானிக்கப்பட்டது. குறிப்புகள் சைக்ளோடோமிக் புலங்கள்