Hilbert modular variety
கணிதத்தில், ஹில்பர்ட் மாடுலர் மேற்பரப்பு அல்லது ஹில்பர்ட்-ப்ளுமெண்டல் மேற்பரப்பு என்பது ஒரு ஹில்பர்ட் மாடுலர் குழுவால் மேல் அரை தளத்தின் இரண்டு பிரதிகளின் பெருக்கலின் ஒரு ஈவு எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம் பெறப்பட்ட ஒரு இயற்கணித மேற்பரப்பு ஆகும். மேலும் பொதுவாக, ஒரு ஹில்பர்ட் மாடுலர் வகை என்பது ஒரு ஹில்பர்ட் மாடுலர் குழுவால் மேல் அரை தளத்தின் பல பிரதிகளின் பெருக்கலின் அளவை எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம் பெறப்படும் ஒரு இயற்கணித வகையாகும். ஹில்பர்ட் மாடுலர் மேற்பரப்புகள் முதன்முதலில் 10 ஆண்டுகளுக்கு முன்பு டேவிட் ஹில்பர்ட் எழுதிய சில வெளியிடப்படாத குறிப்புகளைப் பயன்படுத்தி விவரிக்கப்பட்டன. வரையறைகள் R என்பது ஒரு உண்மையான இருபடி புலத்தின் முழு எண்களின் வளையமாக இருந்தால், ஹில்பர்ட் மாடுலர் குழு SL2 (R) H × H பெருக்கல் மீது மேல் பாதி தளம் H இன் இரண்டு பிரதிகளின் மீது செயல்படுகிறது. இந்த செயல் தொடர்பான பல இருதரப்பு சமமான மேற்பரப்புகள் உள்ளன, அவற்றில் ஏதேனும் ஹில்பர்ட் மாடுலர் மேற்பரப்புகள் என்று அழைக்கப்படலாம்ஃ மேற்பரப்பு X என்பது SL2 (R) ஆல் H × H இன் ஈவு ஆகும்; இது கச்சிதமாக இல்லை மற்றும் பொதுவாக அற்பமான ஐசோட்ரோபி குழுக்கள் இல்லாத புள்ளிகளிலிருந்து வரும் ஈவு ஒற்றுமைகளைக் கொண்டுள்ளது. மேற்பரப்பு X * செயல்பாட்டின் கஸ்ப்ஸுடன் தொடர்புடைய வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான புள்ளிகளைச் சேர்ப்பதன் மூலம் X இலிருந்து பெறப்படுகிறது. இது சுருக்கமானது, மேலும் X இன் ஈவு ஒற்றுமைகளை மட்டுமல்லாமல், அதன் கஸ்ப்களில் ஒற்றுமைகளையும் கொண்டுள்ளது. மேற்பரப்பு Y என்பது X * இலிருந்து ஒருமைப்பாடுகளை குறைந்தபட்ச வழியில் தீர்ப்பதன் மூலம் பெறப்படுகிறது. இது ஒரு சிறிய மென்மையான இயற்கணித மேற்பரப்பு, ஆனால் பொதுவாக குறைந்தபட்சமாக இல்லை. சில விதிவிலக்கான-1 வளைவுகளை கீழே வீசுவதன் மூலம் Y இலிருந்து மேற்பரப்பு Y0 பெறப்படுகிறது. இது மென்மையானது மற்றும் கச்சிதமானது, மேலும் பெரும்பாலும் (ஆனால் எப்போதும் அல்ல) குறைவாக உள்ளது. இந்த கட்டமைப்பில் பல மாறுபாடுகள் உள்ளனஃ ஹில்பர்ட் மாடுலர் குழு ஒரு ஒற்றுமை துணைக்குழு போன்ற வரையறுக்கப்பட்ட குறியீட்டின் சில துணைக்குழுக்களால் மாற்றப்படலாம். ஒருவர் ஹில்பர்ட் மாடுலர் குழுவை வரிசை 2 இன் குழுவால் நீட்டிக்க முடியும், இது காலோயிஸ் நடவடிக்கை வழியாக ஹில்பர்ட் மாடுலர் குழுவில் செயல்படுகிறது, மேலும் மேல் பாதி தளத்தின் இரண்டு நகல்களையும் பரிமாறிக்கொள்ளலாம். ஒற்றுமைகள் ஈவு ஒற்றுமைகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதைக் காட்டின, மேலும் அவற்றின் கஸ்ப் ஒற்றுமைகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதைக் காட்டின. மேற்பரப்புகளின் வகைப்பாடு காகிதங்கள், மற்றும் இயற்கணித மேற்பரப்புகளின் வகைப்பாட்டில் அவற்றின் வகையை அடையாளம் கண்டது. அவற்றில் பெரும்பாலானவை பொதுவான வகை மேற்பரப்புகள், ஆனால் பல பகுத்தறிவு மேற்பரப்புகள் அல்லது கே 3 மேற்பரப்புகள் அல்லது நீள்வட்ட மேற்பரப்புகளை வீசுகின்றன. எடுத்துக்காட்டுகள் ஒரு நீண்ட அட்டவணையை வழங்குகின்றன. கிளெப்ஷ் மேற்பரப்பு அதன் 10 எக்கார்ட் புள்ளிகளில் வெடித்துச் சிதறியது ஒரு ஹில்பர்ட் மாடுலர் மேற்பரப்பு ஆகும். ஒரு இருபடி புலம் நீட்டிப்புடன் தொடர்புடையது, அதற்கு ஒரு இருபடி புலம் நீட்டிப்பு கொடுக்கப்பட்டால், ஒரு குறிப்பிட்ட ஈவு வகையை சுருக்குவதன் மூலமும் அதன் ஒருமைப்பாட்டைத் தீர்ப்பதன் மூலமும் பெறப்பட்ட ஒரு தொடர்புடைய ஹில்பர்ட் மாடுலர் வகை உள்ளது. மேல் பாதி தளத்தைக் குறிக்கலாம் மற்றும் கலோயிஸ் இணைப்புகள் இருக்கும் இடத்தின் வழியாக செயல்படட்டும். தொடர்புடைய ஈவு வகை குறிக்கப்படுகிறது மற்றும் கஸ்ப்ஸ் என்று அழைக்கப்படும் ஒரு வகையாக சுருக்கப்படலாம், அவை சிறந்த வகுப்புகளுடன் பைஜெக்ஷனில் உள்ளன. அதன் ஒருமைப்பாட்டைத் தீர்ப்பது புலம் விரிவாக்கத்தின் ஹில்பர்ட் மாடுலர் வகை என்று அழைக்கப்படும் வகையை வழங்குகிறது. பெய்லி-போரெல் சுருக்கக் கோட்பாட்டிலிருந்து, இந்த மேற்பரப்பை ஒரு திட்டவட்டமான இடத்தில் உட்பொதிக்கிறது. மேலும் காண்கஃ ஹில்பர்ட் மாடுலர் வடிவம் பிகார்ட் மாடுலர் மேற்பரப்பு சீகல் மாடுலர் வகை குறிப்புகள் வெளிப்புற இணைப்புகள் இயற்கணித மேற்பரப்புகள் சிக்கலான மேற்பரப்புகள்