Weierstrass–Enneper parameterization
கணிதத்தில், குறைந்தபட்ச மேற்பரப்புகளின் வீயர்ஸ்ட்ராஸ்-எனெப்பர் அளவுரு என்பது வேறுபட்ட வடிவவியலின் ஒரு பாரம்பரிய பகுதியாகும். ஆல்ஃபிரட் எனெப்பர் மற்றும் கார்ல் வியர்ஸ்ட்ராஸ் ஆகியோர் 1863 வரை குறைந்தபட்ச மேற்பரப்புகளை ஆய்வு செய்தனர். முழு சிக்கலான தளத்திலோ அல்லது அலகு வட்டிலோ செயல்பாடுகளாக இருக்கட்டும், அங்கு மெரோமார்பிக் மற்றும் பகுப்பாய்வு ஆகும், அதாவது வரிசையின் துருவத்தைக் கொண்ட இடங்களில், பூஜ்ஜிய வரிசையைக் கொண்டிருக்கும் (அல்லது அதற்கு சமமாக, பெருக்கல் ஹோலோமார்பிக்), மற்றும் மாறிலிகளாக இருக்கட்டும். பின்னர் ஆயத்தொகுதிகளைக் கொண்ட மேற்பரப்பு குறைவாக உள்ளது, அங்கு அவை ஒரு சிக்கலான ஒருங்கிணைப்பின் உண்மையான பகுதியைப் பயன்படுத்தி வரையறுக்கப்படுகின்றன, பின்வருமாறுஃ நேர்மாறும் உண்மைதான்ஃ வெறுமனே இணைக்கப்பட்ட களத்தில் வரையறுக்கப்பட்ட ஒவ்வொரு பிளானர் அல்லாத குறைந்தபட்ச மேற்பரப்புக்கும் இந்த வகையின் அளவுருவை வழங்க முடியும். எடுத்துக்காட்டாக, எனெப்பரின் மேற்பரப்பு உள்ளது,. சிக்கலான மாறிகளின் அளவுரு மேற்பரப்பு வீயர்ஸ்ட்ராஸ்-எனெப்பர் மாதிரி ஒரு சிக்கலான தளத்தில் () குறைந்தபட்ச மேற்பரப்பை () வரையறுக்கிறது. மேற்பரப்பின் ஜாகோபியன் மேட்ரிக்ஸை சிக்கலான உள்ளீடுகளின் நெடுவரிசையாக எழுதலாம்ஃ எங்கே மற்றும் ஹோலோமார்பிக் செயல்பாடுகள். ஜாகோபியன் மேற்பரப்பின் இரண்டு ஆர்த்தோகனல் தொடுகோடு திசையன்களைக் குறிக்கிறதுஃ மேற்பரப்பு இயல்பானது ஜாகோபியன் பல முக்கியமான பண்புகளுக்கு வழிவகுக்கிறதுஃ,,,. சான்றுகளை ஷர்மாவின் கட்டுரையில் காணலாம்ஃ வியர்ஸ்ட்ராஸ் பிரதிநிதித்துவம் எப்போதும் குறைந்தபட்ச மேற்பரப்பை வழங்குகிறது. முதல் அடிப்படை வடிவ மேட்ரிக்ஸை உருவாக்க வழித்தோன்றல்களைப் பயன்படுத்தலாம்ஃ மற்றும் இரண்டாவது அடிப்படை வடிவ மேட்ரிக்ஸ் இறுதியாக, சிக்கலான விமானத்தில் ஒரு புள்ளி குறைந்தபட்ச மேற்பரப்பில் ஒரு புள்ளிக்கு வரைபடமாக்குகிறது, கோஸ்டாவின் குறைந்தபட்ச மேற்பரப்பைத் தவிர இந்த காகிதம் முழுவதும் அனைத்து குறைந்தபட்ச மேற்பரப்புகளுக்கும் எங்கே. உட்பொதிக்கப்பட்ட குறைந்தபட்ச மேற்பரப்புகள் மற்றும் எடுத்துக்காட்டுகள் வரையறுக்கப்பட்ட இடவியலுடன் உட்பொதிக்கப்பட்ட முழுமையான குறைந்தபட்ச மேற்பரப்புகளின் பாரம்பரிய எடுத்துக்காட்டுகளில் தளம், கேடனாய்டு, ஹெலிகோயிட் மற்றும் கோஸ்டாவின் குறைந்தபட்ச மேற்பரப்பு ஆகியவை அடங்கும். கோஸ்டாவின் மேற்பரப்பு வீயர்ஸ்ட்ராஸின் நீள்வட்ட செயல்பாட்டை உள்ளடக்கியதுஃ ஒரு மாறிலி எங்கே. ஹெலிக்கேட்டினாய்டு செயல்பாடுகளைத் தேர்ந்தெடுப்பது மற்றும், குறைந்தபட்ச மேற்பரப்புகளின் ஒரு அளவுரு குடும்பம் பெறப்படுகிறது. மேற்பரப்பின் அளவுருக்களை இவ்வாறு தேர்ந்தெடுப்பதுஃ உச்சத்தில், மேற்பரப்பு ஒரு கேடனாய்டு அல்லது ஹெலிகோய்டு ஆகும். இல்லையெனில், ஒரு கலவை கோணத்தைக் குறிக்கிறது. இதன் விளைவாக வரும் மேற்பரப்பு, சுய-குறுக்குவெட்டைத் தடுக்க தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட களத்துடன், ஒரு சுழல் பாணியில் அச்சைச் சுற்றி சுழற்றப்படும் ஒரு கேடனரி ஆகும். வளைவின் கோடுகள் இரண்டாவது அடிப்படை மேட்ரிக்ஸின் ஒவ்வொரு உறுப்பையும் ஒரு செயல்பாடாக மீண்டும் எழுதலாம், எடுத்துக்காட்டாக, இதன் விளைவாக இரண்டாவது அடிப்படை வடிவ மேட்ரிக்ஸை எளிமைப்படுத்தலாம், ஏனெனில் அதன் ஈஜென்வெக்டர்களில் ஒன்று சிக்கலான களத்தில் முக்கிய திசையைக் குறிக்கிறது. எனவே, விண்வெளியில் உள்ள இரண்டு முக்கிய திசைகளும் சீ அசோசியேட் குடும்ப பிரையன்ட் மேற்பரப்பாக மாறும், இது ஹைபர்போலிக் விண்வெளி குறிப்புகளில் ஒத்த அளவுரு மூலம் காணப்படுகிறது வேறுபட்ட வடிவியல் மேற்பரப்புகள் குறைந்தபட்ச மேற்பரப்புகள்