Thue's lemma
மாடுலர் எண்கணிதத்தில், ஒவ்வொரு மாடுலர் முழு எண்ணையும் ஒரு "மாடுலர் பின்னம்" மூலம் குறிப்பிடப்படலாம் என்று துவேயின் லெம்மா தோராயமாக கூறுகிறது, அதாவது எண் மற்றும் வகுத்தல் ஆகியவை மாடுலஸின் வர்க்கமூலத்தை விட அதிகமாக இல்லாத முழுமையான மதிப்புகளைக் கொண்டுள்ளன. இன்னும் துல்லியமாக, இரண்டு நேர்மறை முழு எண்கள் கொடுக்கப்பட்ட ஒவ்வொரு ஜோடி முழு எண்களுக்கும், இரண்டு முழு எண்கள் உள்ளன மற்றும் பொதுவாக, ஒன்று வர்க்க மூலத்தை விட பெரிய சிறிய முழு எண்ணுக்கு சமமாக இருக்கும், ஆனால் பொதுவான வடிவம் சில நேரங்களில் பயனுள்ளதாக இருக்கும், மேலும் தனித்துவமான தேற்றத்தை (கீழே) கூறுவதை எளிதாக்குகிறது. முதல் அறியப்பட்ட ஆதாரம் புறா துளை வாதத்தை யார் பயன்படுத்தினார் என்பதாகும். இரண்டு வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகையில் ஃபெர்மாட்டின் தேற்றத்தை நிரூபிக்க m ஐ 1 மாடுலோ 4 க்கு ஒத்த ஒரு பகா p ஆக எடுத்துக்கொள்வதன் மூலமும், a ஐ a2 + 1 = 0 மாட் p ஐ பூர்த்தி செய்ய எடுத்துக்கொள்வதன் மூலமும் இதைப் பயன்படுத்தலாம். (அத்தகைய "a" வில்சனின் தேற்றத்தால் "p" க்கு உத்தரவாதம் அளிக்கப்படுகிறது.) தனித்துவம் பொதுவாக, துவேயின் லெம்மாவால் வலியுறுத்தப்படும் தீர்வு தனித்துவமானது அல்ல. எடுத்துக்காட்டாக, வழக்கமாக பல தீர்வுகள் இருக்கும்போது, அவை மிகவும் சிறியவை அல்ல. எனவே, விகிதமுறு எண்ணுக்கான தனித்துவத்தை மட்டுமே ஒருவர் எதிர்பார்க்கலாம், இது y மற்றும் m ஆகியவை கோப்ரைம் என்றால் ஒத்த மாடுலோ ஆகும். ஆயினும்கூட, இந்த விகிதமுறு எண் தனித்துவமாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை; எடுத்துக்காட்டாக, என்றால், மற்றும், ஒன்றுக்கு இரண்டு தீர்வுகள் உள்ளன. இருப்பினும், போதுமான அளவு சிறியதாகவும், ஒரு தீர்வு இருந்தால், அது தனித்துவமானது. மேலும் துல்லியமாக, மேலே உள்ள குறியீட்டுடன், என்றால் மற்றும், உடன் மற்றும் பின்னர் இந்த முடிவு விகிதமுறு புனரமைப்புக்கான அடிப்படையாகும், இது விகிதமுறு எண்களைக் கணக்கிடுவதற்கு மட்டு எண்கணிதத்தைப் பயன்படுத்த அனுமதிக்கிறது, இதற்காக எண்கள் மற்றும் வகுத்தலுக்கான வரம்புகளை ஒருவர் அறிவார். ஆதாரம் மிகவும் எளிதானதுஃ ஒவ்வொரு ஒற்றுமையையும் மற்றொன்றால் பெருக்கிக் கழிப்பதன் மூலம், ஒன்று கிடைக்கிறது. கருதுகோள்கள் ஒவ்வொரு சொல்லுக்கும் ஒரு முழுமையான மதிப்பு குறைவாக இருப்பதைக் குறிக்கிறது, இதனால் அவற்றின் வேறுபாட்டின் முழுமையான மதிப்பு அதை விட குறைவாக உள்ளது. இது, எனவே விளைவு என்பதைக் குறிக்கிறது. தீர்வுகளை கணக்கிடுவதற்கான எந்த விரைவான முறையையும் அது வழங்கவில்லை என்ற பொருளில், துயுவின் லெம்மாவின் அசல் ஆதாரம் திறமையானதல்ல. நீட்டிக்கப்பட்ட யூக்ளிடியன் வழிமுறை, யூக்ளிடியன் வழிமுறைக்கு ஒத்த கணக்கீட்டு சிக்கலைக் கொண்ட ஒரு திறமையான வழிமுறைக்கு வழிவகுக்கும் ஒரு ஆதாரத்தை வழங்க அனுமதிக்கிறது. மேலும் துல்லியமாக, இரண்டு முழு எண்கள் கொடுக்கப்பட்டு, தியூவின் லெம்மாவில் தோன்றும், நீட்டிக்கப்பட்ட யூக்ளிடியன் வழிமுறை முழு எண்களின் மூன்று வரிசைகளை கணக்கிடுகிறது, மேலும் அவை எதிர்மறை அல்லாதவை மற்றும் கண்டிப்பாக குறைந்து வருகின்றன. விரும்பிய தீர்வு, அடையாளம் வரை, முதல் ஜோடி அத்தகையது. பகுத்தறிவு செயல்பாடுகளால் டெய்லர் தொடரை தோராயமாக மதிப்பிடுவதற்கு இதேபோன்ற கோட்பாடான பேட் தோராயத்தையும் பார்க்கவும் எண் கோட்பாட்டில் லெம்மாஸ் குறிப்புகள் மாடுலர் எண்கணிதம்