Brauer's theorem on induced characters
தூண்டப்பட்ட எழுத்துக்கள் பற்றிய பிராவரின் தேற்றம், பெரும்பாலும் பிராவரின் தூண்டல் தேற்றம் என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் ரிச்சர்ட் பிராவரின் பெயரிடப்பட்டது, இது ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட குழுவின் பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாட்டிற்குள், எழுத்துக் கோட்பாடு என்று அழைக்கப்படும் கணிதத்தின் கிளையில் ஒரு அடிப்படை விளைவாகும். பின்னணி பிராவரின் தூண்டல் தேற்றத்தின் முன்னோடியாக ஆர்ட்டினின் தூண்டல் தேற்றம் இருந்தது, இது |G | மடங்கு G இன் அற்பமான எழுத்து என்பது எழுத்துக்களின் முழு எண் கலவையாகும், அவை ஒவ்வொன்றும் G இன் சுழற்சி துணைக்குழுக்களின் அற்பமான எழுத்துக்களிலிருந்து தூண்டப்படுகின்றன. பிராவரின் தேற்றம் |G | காரணியை நீக்குகிறது, ஆனால் பயன்படுத்தப்படும் துணைக்குழுக்களின் தொகுப்பை விரிவுபடுத்தும் செலவில். பிராவரின் தேற்றத்தின் ஆதாரம் தோன்றிய சில ஆண்டுகளுக்குப் பிறகு, ஜே. ஏ. பச்சை (1955 இல்) அத்தகைய தூண்டல் தேற்றம் (நேரியல் எழுத்துக்களிலிருந்து தூண்டப்பட்ட எழுத்துக்களின் முழு எண் சேர்க்கைகளுடன்) பிராவர் அடிப்படை துணைக்குழுக்களை விட சிறிய துணைக்குழுக்களின் தொகுப்புடன் நிரூபிக்க முடியாது என்பதைக் காட்டியது. ஆர்ட்டினின் தூண்டல் தேற்றத்திற்கும் பிராவரின் தூண்டல் தேற்றத்திற்கும் இடையிலான மற்றொரு முடிவு, பிராவரின் காரணமாகவும், பிராவரின் தேற்றம் அல்லது பிராவரின் லெம்மா என்றும் அழைக்கப்படுகிறது, G இன் வழக்கமான பிரதிநிதித்துவத்தை நேர்மறை பகுத்தறிவுகள் மற்றும் G இன் சுழற்சி துணைக்குழுக்களின் எழுத்துக்களிலிருந்து தூண்டப்படுகின்றன. ஆர்ட்டினின் தேற்றத்தில் எழுத்துக்கள் சுழற்சிக் குழுவின் அற்பமான தன்மையிலிருந்து தூண்டப்படுகின்றன, அதே நேரத்தில் இங்கே அவை தன்னிச்சையான எழுத்துக்களிலிருந்து தூண்டப்படுகின்றன (ஆர்ட்டினின் L செயல்பாடுகளுக்கான பயன்பாடுகளில் குழுக்கள் சுழற்சியாக இருப்பது முக்கியம், எனவே அனைத்து எழுத்துக்களும் நேரியல் ஆகும், இது தொடர்புடைய L செயல்பாடுகள் பகுப்பாய்வு செய்யப்படுகின்றன). கூற்று ஜி ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட குழுவாக இருக்கட்டும், மேலும் சார் (ஜி) என்பது பகுக்கமுடியாத எழுத்துக்களின் முழு எண் சேர்க்கைகளைக் கொண்ட ஜி இன் சிக்கலான மதிப்புள்ள வகுப்பு செயல்பாடுகளின் வளையத்தின் துணை வளையத்தைக் குறிக்கட்டும். சார் (ஜி) ஜி இன் எழுத்து வளையம் என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் அதன் கூறுகள் மெய்நிகர் எழுத்துக்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன (மாற்றாக, பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட எழுத்துக்கள் அல்லது சில நேரங்களில் வேறுபட்ட எழுத்துக்கள்). G இன் எழுத்துக்களின் பெருக்கல் மீண்டும் G இன் எழுத்தாகும் என்ற உண்மையின் காரணமாக இது ஒரு வளையமாகும். அதன் பெருக்கம் வகுப்பு செயல்பாடுகளின் உறுப்பு வாரியான பெருக்கலால் வழங்கப்படுகிறது. Brauer இன் தூண்டல் தேற்றம் எழுத்து வளையத்தை (ஒரு அபெலியன் குழுவாக) வடிவத்தின் தூண்டப்பட்ட எழுத்துக்களால் உருவாக்க முடியும் என்பதைக் காட்டுகிறது, அங்கு H என்பது G இன் துணைக்குழுக்களிலும், λ என்பது H இன் நேரியல் எழுத்துக்களிலும் (டிகிரி 1 கொண்ட) வரம்புகளைக் கொண்டுள்ளது. உண்மையில், H என்ற துணைக்குழுக்களை மிகவும் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட தொகுப்பிலிருந்து தேர்ந்தெடுக்க முடியும் என்பதை Brauer காட்டினார், இப்போது Brauer அடிப்படை துணைக்குழுக்கள் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இவை சுழற்சி குழுக்கள் மற்றும் குழுக்களின் நேரடி தயாரிப்புகளாகும், அவற்றின் வரிசை ஒரு பகாசனத்தின் சக்தியாகும். சான்றுகள் பிராவரின் தூண்டல் தேற்றத்தின் ஆதாரம் சார் (ஜி) இன் வளைய கட்டமைப்பைப் பயன்படுத்துகிறது (பெரும்பாலான சான்றுகள் சற்று பெரிய வளையமான சார் * (ஜி) ஐப் பயன்படுத்துகின்றன, இது பகுக்கமுடியாத எழுத்துக்களின்-கலவைகளைக் கொண்டுள்ளது, இதில் ω என்பது ஒரு பழமையான சிக்கலானது |G |-ஒற்றுமையின் வேர்). பிராவர் அடிப்படை துணைக்குழுக்களின் நேரியல் எழுத்துக்களிலிருந்து தூண்டப்பட்ட எழுத்துக்களின் முழு எண் சேர்க்கைகளின் தொகுப்பு சார் (ஜி) இன் ஒரு சிறந்த I (ஜி) ஆகும், எனவே ஆதாரம் அற்பமான எழுத்து I (ஜி) இல் உள்ளது என்பதைக் காட்டுகிறது. இந்தக் கோட்பாட்டின் பல சான்றுகள், பிராவர் மற்றும் ஜான் டேட் காரணமாக ஒரு ஆதாரத்துடன் தொடங்கி, ஒரு நேரத்தில் ஒரு பகா p மீது கவனத்தை மையப்படுத்துவதன் மூலமும், I * (G) இன் முழு எண் மதிப்புள்ள கூறுகளை உருவாக்குவதன் மூலமும் சரம் * (G) இன் ஒத்த வரையறுக்கப்பட்ட இலட்சியமான I * (G) இல் அற்பமான எழுத்து உள்ளது என்பதைக் காட்டுகின்றன, இது அற்பமான எழுத்திலிருந்து (உறுப்பு வாரியாக) வேறுபடுகிறது. இங்கே ஒரு துணை முடிவு என்னவென்றால், ஒரு மதிப்புள்ள வகுப்பு செயல்பாடு அதன் மதிப்புகள் அனைத்தும் |G | ஆல் (in) வகுக்கக்கூடியதாக இருந்தால் இலட்சியம் I * (G) இல் உள்ளது. பிராவரின் தூண்டல் தேற்றம் 1946 இல் நிரூபிக்கப்பட்டது, இப்போது பல மாற்று சான்றுகள் உள்ளன. 1986 ஆம் ஆண்டில், விக்டர் ஸ்னைத் முற்றிலும் மாறுபட்ட அணுகுமுறையின் மூலம் ஒரு ஆதாரத்தை வழங்கினார், இயற்கையில் இடவியல் (லெஃப்ஷெட்ஸ் நிலையான-புள்ளி தேற்றத்தின் பயன்பாடு). பிராவரின் தேற்றத்தின் இயற்கையான மற்றும் வெளிப்படையான வடிவங்களைக் கண்டுபிடிப்பது குறித்த கேள்வியில் தொடர்புடைய சமீபத்திய ஆராய்ச்சி உள்ளது, குறிப்பாக ராபர்ட் போல்ட்ஜே. ஃப்ரோபீனியஸ் பரஸ்பரத்தைப் பயன்படுத்தும் பயன்பாடுகள், பிராவரின் தூண்டல் தேற்றம் எழுத்துக்களின் அடிப்படை தன்மைக்கு எளிதில் வழிவகுக்கிறது, இது G இன் ஒவ்வொரு பிராவர் அடிப்படை துணைக்குழுவிற்கும் அதன் கட்டுப்பாடு ஒரு மெய்நிகர் எழுத்தாக இருந்தால் மட்டுமே G இன் சிக்கலான மதிப்புள்ள வகுப்பு செயல்பாடு ஒரு மெய்நிகர் எழுத்து என்று வலியுறுத்துகிறது. இந்த முடிவு, θ (1)> 0 மற்றும் (சிக்கலான மதிப்புள்ள வகுப்பு செயல்பாடுகளின் வளையத்தில் வழக்கமான உள் பெருக்கல் எங்கே) இருந்தால் மட்டுமே ஒரு மெய்நிகர் எழுத்து θ ஒரு பகுக்கமுடியாத எழுத்து என்ற உண்மையுடன் சேர்ந்து, தொடர்புடைய பிரதிநிதித்துவங்களை வெளிப்படையாக உருவாக்காமல் பகுக்கமுடியாத எழுத்துக்களை உருவாக்குவதற்கான ஒரு வழிமுறையை வழங்குகிறது. ப்ராஉயரின் தூண்டல் தேற்றத்திற்கான ஆரம்ப உந்துதல் ஆர்ட்டின் எல்-செயல்பாடுகளுக்கான பயன்பாடாகும். அவை டிரிக்லெட் எல்-செயல்பாடுகள் அல்லது பொதுவான ஹெக் எல்-செயல்பாடுகளிலிருந்து கட்டமைக்கப்பட்டுள்ளன என்பதை இது காட்டுகிறது. G இன் ஒவ்வொரு எழுத்தும் துணைக்குழுக்களின் நேரியல் எழுத்துக்களிலிருந்து தூண்டப்பட்ட எழுத்துக்களின் எதிர்மறை அல்லாத முழு எண் கலவையாக இருக்கிறதா என்பது அந்த பயன்பாட்டிற்கு மிகவும் குறிப்பிடத்தக்கதாகும். பொதுவாக, இது அப்படி இல்லை. உண்மையில், டாகெட்டாவின் ஒரு தேற்றத்தின் படி, G இன் அனைத்து எழுத்துக்களும் மிகவும் வெளிப்படையானவை என்றால், G ஒரு தீர்க்கக்கூடிய குழுவாக இருக்க வேண்டும் (இருப்பினும் தீர்க்கக்கூடிய தன்மை மட்டுமே அத்தகைய வெளிப்பாடுகளுக்கு உத்தரவாதம் அளிக்காது-எடுத்துக்காட்டாக, தீர்க்கக்கூடிய குழு SL (2,3) டிகிரி 2 இன் பகுக்கமுடியாத சிக்கலான தன்மையைக் கொண்டுள்ளது, இது துணைக்குழுக்களின் நேரியல் எழுத்துக்களிலிருந்து தூண்டப்பட்ட எழுத்துக்களின் எதிர்மறை அல்லாத முழு எண் கலவையாக வெளிப்படுத்த முடியாது). பிராவரின் தூண்டல் தேற்றத்தின் ஆதாரத்தின் ஒரு மூலப்பொருள் என்னவென்றால், G ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட நில்போட்டன்ட் குழுவாக இருக்கும்போது, G இன் ஒவ்வொரு சிக்கலான பகுக்கமுடியாத தன்மையும் சில துணைக்குழுவின் நேரியல் தன்மையிலிருந்து தூண்டப்படுகிறது. கல்வியியல் அச்சகத்தால் வெளியிடப்பட்ட 1976 ஆம் ஆண்டின் அசலின் திருத்தப்பட்ட மறுபதிப்பு. மேலும் வாசிப்பு குறிப்புகள் வரையறுக்கப்பட்ட குழுக்களின் பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாடு பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாட்டில் கோட்பாடுகள்