Small Latin squares and quasigroups
லத்தீன் சதுரங்கள் மற்றும் குவாசி குழுக்கள் சமமான கணிதப் பொருட்களாகும், இருப்பினும் முந்தையது ஒரு ஒருங்கிணைந்த தன்மையைக் கொண்டுள்ளது, அதே நேரத்தில் பிந்தையது மிகவும் இயற்கணிதமானது. கீழே உள்ள பட்டியல் சில மிகச் சிறிய வரிசைகளின் எடுத்துக்காட்டுகளைக் கருத்தில் கொள்ளும், இது சதுரத்தின் பக்க நீளம் அல்லது சமமான குவாசி குழுவில் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை. கூறுகளுடன் ஒரு குவாசிகிரூப் கொடுக்கப்பட்டால், அதன் கெய்லி அட்டவணை (கிட்டத்தட்ட உலகளவில் அதன் பெருக்க அட்டவணை என்று அழைக்கப்படுகிறது) எல்லைகளை உள்ளடக்கிய ஒரு அட்டவணையாகும்; நெடுவரிசை தலைப்புகளின் மேல் வரிசை மற்றும் வரிசை தலைப்புகளின் இடது நெடுவரிசை. எல்லைகளை அகற்றுவது லத்தீன் சதுரமான ஒரு வரிசையை விட்டுச்செல்கிறது. இந்த செயல்முறையை மாற்றியமைக்கலாம், ஒரு லத்தீன் சதுரத்தில் தொடங்கி, ஒரு குவாசி குழுவின் பெருக்க அட்டவணையைப் பெற ஒரு எல்லை வரிசை மற்றும் நெடுவரிசையை அறிமுகப்படுத்தலாம். இந்த எல்லை எவ்வாறு செய்யப்படுகிறது என்பதில் முழுமையான தன்னிச்சையான தன்மை இருந்தாலும், வெவ்வேறு தேர்வுகளால் பெறப்பட்ட குவாசிகூப்கள் சில நேரங்களில் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள அர்த்தத்தில் சமமானவை. ஐசோடோபி மற்றும் ஐசோமார்பிசம் இரண்டு லத்தீன் சதுரங்கள், 1 மற்றும் 2 அளவு, 1 இன் வரிசைகள், நெடுவரிசைகள் மற்றும் சின்னங்களிலிருந்து முறையே 2 இன் வரிசைகள், நெடுவரிசைகள் மற்றும் சின்னங்களில் மூன்று பைஜெக்சன்கள் இருந்தால், அவை 1 முதல் 2 வரை வரைபடமாக இருக்கும். ஐசோடோபி என்பது ஒரு சமநிலை உறவு மற்றும் சமநிலை வகுப்புகள் ஐசோடோபி வகுப்புகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. சமநிலையின் வலுவான வடிவம் உள்ளது. இரண்டு லத்தீன் சதுரங்கள், பொதுவான குறியீடு தொகுப்புடன் பக்கத்தின் 1 மற்றும் 2, இது ஒவ்வொரு சதுரத்தின் வரிசைகள் மற்றும் நெடுவரிசைகளுக்கான குறியீட்டு தொகுப்பாகும், அனைவருக்கும் ஒரு பைஜெக்ஷன் இருந்தால், அவை ஐசோமார்பிக் ஆகும். ஐசோடோபிக் லத்தீன் சதுரங்களை வரையறுப்பதற்கான ஒரு மாற்று வழி என்னவென்றால், ஒரு ஜோடி ஐசோடோபிக் லத்தீன் சதுரங்கள் ஐசோடோபிக் என்று காட்டப் பயன்படுத்தப்படும் மூன்று பைஜெக்சன்கள் உண்மையில் சமமாக இருந்தால் அவை ஐசோடோபிக் ஆகும். ஐசோமார்பிசமும் ஒரு சமநிலை உறவு மற்றும் அதன் சமநிலை வகுப்புகள் ஐசோமார்பிசம் வகுப்புகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. ஒரு லத்தீன் சதுரத்தின் மாற்று பிரதிநிதித்துவம் ஒரு ஆர்த்தோகனல் வரிசையால் வழங்கப்படுகிறது. வரிசையின் ஒரு லத்தீன் சதுரத்திற்கு இது பெயரிடப்பட்ட நெடுவரிசைகளைக் கொண்ட 2 × 3 மேட்ரிக்ஸ் ஆகும், மேலும் அதன் வரிசைகள் லத்தீன் சதுரத்தின் ஒற்றை நிலைக்கு ஒத்திருக்கின்றன, அதாவது, நிலையின் வரிசை, நிலையின் நெடுவரிசை மற்றும் நிலையில் உள்ள சின்னம். எனவே மூன்று லத்தீன் சதுர வரிசைக்கு, ஆர்த்தோகனல் வரிசை பின்வருமாறு வழங்கப்படுகிறதுஃ ஒரு லத்தீன் சதுரத்தைக் குறிக்க பொருத்தமான அளவிலான மேட்ரிக்ஸின் நிபந்தனை என்னவென்றால், எந்த இரண்டு நெடுவரிசைகளுக்கும் அந்த நெடுவரிசைகளில் உள்ள வரிசைகளால் தீர்மானிக்கப்படும் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட ஜோடிகள் அனைத்தும் 1 ≤ உடன் () ஜோடிகளாக இருக்கும், ஒவ்வொன்றும் ஒரு முறை. மூன்று நெடுவரிசைகளை வரிசைப்படுத்துவதன் மூலம் இந்த பண்பு இழக்கப்படுவதில்லை (ஆனால் லேபிள்கள் அல்ல), எனவே மற்றொரு ஆர்த்தோகனல் வரிசை (இதனால், மற்றொரு லத்தீன் சதுரம்) பெறப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, முதல் இரண்டு நெடுவரிசைகளை வரிசைப்படுத்துவதன் மூலம், இது சதுரத்தை மாற்றுவதற்கு ஒத்திருக்கிறது (அதன் முக்கிய மூலைவிட்டத்தைப் பற்றி பிரதிபலிக்கிறது) மற்றொரு லத்தீன் சதுரத்தை அளிக்கிறது, இது அசலுக்கு ஐசோடோபிக் ஆக இருக்கலாம் அல்லது இல்லாமலும் இருக்கலாம். இந்த வழக்கில், இந்த லத்தீன் சதுரத்துடன் தொடர்புடைய குவாசிகிரூப் பரிமாற்ற விதியை திருப்திப்படுத்தினால், புதிய லத்தீன் சதுரம் அசல் ஒன்றைப் போலவே இருக்கும். மொத்தத்தில் "எதுவும் செய்யாதீர்கள்" உட்பட ஆறு சாத்தியக்கூறுகள் உள்ளன, இது அசல் சதுரத்தின் கான்ஜுகேட்டுகள் (மேலும் பாராஸ்ட்ராப்கள்) என்று அழைக்கப்படும் அதிகபட்சம் ஆறு லத்தீன் சதுரங்களைக் கொடுக்கிறது. இரண்டு லத்தீன் சதுரங்கள் பாராடோபிக் என்று கூறப்படுகிறது, அவற்றில் ஒன்று மற்றொன்றின் இணைப்புக்கு ஐசோடோபிக் ஆக இருந்தால், முக்கிய வகுப்பு ஐசோடோபிக் ஆகும். முக்கிய வகுப்புகள், இனங்கள் அல்லது பாராடோபி வகுப்புகள் என்று அழைக்கப்படும் சமநிலை வகுப்புகளுடன் இது ஒரு சமநிலை உறவாகும். ஒவ்வொரு பிரதான வகுப்பிலும் ஆறு ஐசோடோபி வகுப்புகள் உள்ளன. ஒரு முக்கிய வகுப்பு என்பது ஐசோடோபி வகுப்புகளின் வேறுபட்ட ஒன்றியம் மற்றும் ஒரு ஐசோடோபி வகுப்பு என்பது ஐசோமார்பிசம் வகுப்புகளின் வேறுபட்ட ஒன்றியம் ஆகும். ஐசோடோபிக் குவாசி குழுக்கள் இரண்டு குவாசி குழுக்களாக இருக்கட்டும். ஒரு வரிசையில் இருந்து மூன்று மடங்கு பைஜெக்சன்கள் ஒரு ஐசோடோபிசம் ஆஃப் ஆன் டு ஆல் ஃபார் இன் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இத்தகைய குவாசி குழுக்கள் ஐசோடோபிக் என்று கூறப்படுகிறது. மேற்கண்ட வரையறையில் இருந்தால், குவாசிகுரூப்புகள் ஐசோமார்பிக் என்று கூறப்படுகிறது. லத்தீன் சதுரங்களின் நிலைமையைப் போலல்லாமல், இரண்டு ஐசோடோபிக் குவாசி குழுக்கள் கெய்லி அட்டவணைகளால் (எல்லைக்குட்பட்ட லத்தீன் சதுரங்கள்) குறிப்பிடப்படும்போது, வரிசைமாற்றங்கள் மற்றும் எல்லை தலைப்புகளில் மட்டுமே செயல்படுகின்றன, மேலும் நெடுவரிசைகள் மற்றும் வரிசைகளை நகர்த்துவதில்லை, அதே நேரத்தில் மேசையின் உடலில் செயல்படுகின்றன. ஒரு கெய்லி அட்டவணையின் வரிசைகள் மற்றும் நெடுவரிசைகளை (தலைப்புகள் உட்பட) வரிசைப்படுத்துவது அது வரையறுக்கும் குவாசி குழுவை மாற்றாது, இருப்பினும், இந்த அட்டவணையுடன் தொடர்புடைய லத்தீன் சதுரம் ஒரு ஐசோடோபிக் லத்தீன் சதுரமாக வரிசைப்படுத்தப்படும். எனவே, ஒரு கெய்லி அட்டவணையை இயல்பாக்குவது (தலைப்புகள் உட்பட வரிசைகள் மற்றும் நெடுவரிசைகளை வரிசைப்படுத்துவதன் மூலம் எல்லை தலைப்புகளை சில நிலையான முன்னரே தீர்மானிக்கப்பட்ட வரிசையில் வைப்பது) தொடர்புடைய லத்தீன் சதுரத்தின் ஐசோடோபி வகுப்பைப் பாதுகாக்கிறது. மேலும், இரண்டு இயல்பாக்கப்பட்ட கெய்லி அட்டவணைகள் ஐசோமார்பிக் குவாசி குழுக்களைக் குறிக்கின்றன என்றால், அவற்றின் தொடர்புடைய லத்தீன் சதுரங்களும் ஐசோமார்பிக் ஆகும். எனவே, கொடுக்கப்பட்ட வரிசையின் தனித்துவமான குவாசி குழுக்களின் எண்ணிக்கை அந்த வரிசையின் லத்தீன் சதுரங்களின் ஐசோமார்பிசம் வகுப்புகளின் எண்ணிக்கை ஆகும். குறிப்பு ஒரு லத்தீன் சதுரத்தில் (அல்லது குவாசிகிரூப்) பயன்படுத்தப்படும் சின்னங்களின் தொகுப்பு தன்னிச்சையானது மற்றும் தனிப்பட்ட சின்னங்கள் மற்ற சூழல்களில் ஒரு பொருளைக் கொண்டிருந்தாலும் அவை எந்த அர்த்தத்தையும் கொண்டிருக்கவில்லை. எனவே, குறியீட்டு தொகுப்புகள்} அல்லது} பயன்படுத்தப்படுவதைப் பார்ப்பது மிகவும் பொதுவானது என்பதால், இந்த சின்னங்களுக்கு எண் அர்த்தம் இல்லை என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும். இந்த புள்ளியை வலியுறுத்த, சிறிய லத்தீன் சதுரங்கள் சில நேரங்களில் எழுத்துக்களின் எழுத்துக்களை ஒரு குறியீட்டு தொகுப்பாகப் பயன்படுத்துகின்றன. ஒரு லத்தீன் சதுரம் ஒரு ஒருங்கிணைந்த பொருள் என்பதால், சதுரத்தை எழுத பயன்படுத்தப்படும் குறியீட்டு தொகுப்பு முக்கியமற்றது. எனவே, லத்தீன் சதுரங்களைப் பொறுத்தவரை, இவை ஒரே மாதிரியாகக் கருதப்பட வேண்டும்ஃ அதேபோல், அதே காரணத்திற்காகவும், ஒரே மாதிரியாகக் கருதப்பட வேண்டும். எனவே, மற்றும் வெவ்வேறு லத்தீன் சதுரங்களாக கருத முடியாது. இந்த உள்ளுணர்வு வாதத்தை இன்னும் துல்லியமாக செய்ய முடியும். லத்தீன் சதுரங்கள் மற்றும் பல வழிகளில் ஐசோடோபிக் ஆகும். () செட்டில் உள்ள இன்வோலூடோரியல் வரிசைமாற்றமாக இருக்கட்டும், அனுப்புதல் மற்றும் அனுப்புதல். பின்னர் ஐசோடோபி} முதல் சதுரத்தின் இரண்டு வரிசைகளையும் மாற்றி இரண்டாவது சதுரத்தைக் கொடுக்கும் (இது அடையாள வரிசைமாற்றமாகும்). ஆனால், இரண்டு நெடுவரிசைகளையும் ஒன்றோடொன்று மாற்றும் ஒரு ஐசோடோப்பியும் உள்ளது, இது இரண்டு சின்னங்களையும் ஒன்றோடொன்று மாற்றுகிறது. இருப்பினும்,} என்பது இரண்டு சதுரங்களுக்கு இடையில் ஒரு ஐசோடோபி ஆகும், எனவே, இந்த ஜோடி சதுரங்கள் ஐசோமார்பிக் ஆகும். குறைக்கப்பட்ட சதுரங்கள் கொடுக்கப்பட்ட லத்தீன் சதுரத்தின் ஐசோமார்பிசம் வகுப்பைக் கண்டுபிடிப்பது பெரிய வரிசையின் சதுரங்களுக்கு கடினமான கணக்கீட்டு சிக்கலாக இருக்கலாம். சிக்கலை ஓரளவு குறைக்க, ஒரு லத்தீன் சதுரத்தை எப்போதும் குறைக்கப்பட்ட சதுரம் எனப்படும் நிலையான வடிவத்தில் வைக்கலாம். ஒரு குறைக்கப்பட்ட சதுரத்தில் அதன் மேல் வரிசை கூறுகள் குறியீட்டு தொகுப்புக்கு இயற்கையான வரிசையில் எழுதப்பட்டுள்ளன (எடுத்துக்காட்டாக, அதிகரிக்கும் வரிசையில் முழு எண்கள் அல்லது அகர வரிசைப்படி எழுத்துக்கள்). இடது நெடுவரிசை உள்ளீடுகள் அதே வரிசையில் வைக்கப்படுகின்றன. வரிசை மற்றும் நெடுவரிசை வரிசைமாற்றங்கள் மூலம் இதைச் செய்ய முடியும் என்பதால், ஒவ்வொரு லத்தீன் சதுரமும் குறைக்கப்பட்ட சதுரத்திற்கு ஐசோடோபிக் ஆகும். எனவே, ஒவ்வொரு ஐசோடோபி வகுப்பிலும் குறைக்கப்பட்ட லத்தீன் சதுரம் இருக்க வேண்டும், இருப்பினும், ஒரு லத்தீன் சதுரத்தில் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட குறைக்கப்பட்ட சதுரம் இருக்கலாம், அது ஐசோடோபிக் ஆகும். உண்மையில், கொடுக்கப்பட்ட ஐசோமார்பிசம் வகுப்பில் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட குறைக்கப்பட்ட சதுரங்கள் இருக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, நான்காம் வரிசையின் குறைக்கப்பட்ட லத்தீன் சதுரங்கள் மற்றும் இரண்டும் ஐசோமார்பிசம் வகுப்பில் உள்ளன, அவை குறைக்கப்பட்ட சதுரத்தையும் கொண்டுள்ளன இதை முறையே ஐசோமார்பிசம்கள் {(3,4), (3,4), (3,4)} மற்றும் {(2,3), (2,3), (2,3)} மூலம் காட்டலாம். ஐசோடோபி வகுப்புகள் வேறுபட்டிருப்பதால், குறைக்கப்பட்ட லத்தீன் சதுரங்களின் எண்ணிக்கை ஐசோடோபி வகுப்புகளின் எண்ணிக்கையில் ஒரு உயர் வரம்பைக் கொடுக்கிறது. மேலும், லத்தீன் சதுரங்களின் மொத்த எண்ணிக்கை குறைக்கப்பட்ட சதுரங்களின் எண்ணிக்கையின் மடங்கு ஆகும். குறைக்கப்பட்ட லத்தீன் சதுரத்தைப் போலவே ஒரு குவாசிகுரூப்பின் கெய்லி அட்டவணையையும் இயல்பாக்கலாம். பின்னர் குறைக்கப்பட்ட லத்தீன் சதுரத்துடன் தொடர்புடைய குவாசிகிரூப் ஒரு (இரு பக்க) அடையாள உறுப்பைக் கொண்டுள்ளது (அதாவது, வரிசை தலைப்புகளில் முதல் உறுப்பு). இரு பக்க அடையாளத்தைக் கொண்ட ஒரு குவாசிகிரூப் ஒரு லூப் என்று அழைக்கப்படுகிறது. சில, ஆனால் அனைத்தும் அல்ல, சுழல்கள் குழுக்கள். ஒரு குழுவாக இருக்க, கூட்டுச் சட்டமும் இருக்க வேண்டும். ஐசோடோபி மாறிலிகள் ஒரு லத்தீன் சதுரத்தில் உள்ள பல்வேறு அடி மூலக்கூறுகளின் எண்ணிக்கை அவற்றை ஒருவருக்கொருவர் வேறுபடுத்துவதில் பயனுள்ளதாக இருக்கும். இந்த எண்ணிக்கைகளில் சில லத்தீன் சதுரத்தின் ஒவ்வொரு ஐசோடோப்புக்கும் ஒரே மாதிரியானவை மற்றும் அவை ஐசோடோபி மாறிலிகள் என்று குறிப்பிடப்படுகின்றன. அத்தகைய ஒரு மாறாதது இன்டர்கலேட்டுகள் என்று அழைக்கப்படும் 2 × 2 துணை சதுரங்களின் எண்ணிக்கை ஆகும். மற்றொன்று டிரான்ஸ்வெர்சல்களின் மொத்த எண்ணிக்கை, லத்தீன் சதுர வரிசையில் நிலைகளின் தொகுப்பு, ஒவ்வொரு வரிசையிலும் ஒன்று மற்றும் ஒவ்வொரு நெடுவரிசையிலும் ஒன்று, இதில் இரண்டு முறை எந்த உறுப்பும் இல்லை. இந்த எண்ணிக்கைகளுக்கு வெவ்வேறு மதிப்புகளைக் கொண்ட லத்தீன் சதுரங்கள் வெவ்வேறு ஐசோடோபி வகுப்புகளில் இருக்க வேண்டும். இன்டர்கலேட்டுகளின் எண்ணிக்கையும் ஒரு முக்கிய வகுப்பு மாறாதது. வரிசை 1 க்கு குறியீடு 1 உடன் ஒரு லத்தீன் சதுரம் மற்றும் அடிப்படை தொகுப்பு {1} உடன் ஒரு குவாசிகிரூப் மட்டுமே உள்ளது; இது ஒரு குழு, அற்பமான குழு. வரிசை 2 இரண்டு வரிசையில் ஒரே ஒரு குறைக்கப்பட்ட லத்தீன் சதுரம் மட்டுமே உள்ளது (மொத்தம் இரண்டு மட்டுமே), அதாவது இந்த வரிசையில் ஒரே ஒரு குறைக்கப்பட்ட சதுரம் மட்டுமே இருப்பதால், ஒரே ஒரு ஐசோடோபி வகுப்பு மட்டுமே உள்ளது. உண்மையில், இந்த ஐசோடோபி வகுப்பும் ஒரு ஐசோமார்பிசம் வகுப்பாகும் (மேலே காட்டப்பட்டுள்ளது). லத்தீன் சதுரங்களில் ஒரே ஒரு ஐசோமார்பிசம் வகுப்பு இருப்பதால், வரிசை இரண்டு (ஐசோமார்பிசம் வரை) ஒரே ஒரு குவாசிகிரூப் மட்டுமே உள்ளது, மேலும் இது பொதுவாக Z/2Z ஆல் குறிக்கப்படும் குழு, வரிசை இரண்டு சுழற்சி குழு. வரிசை 3 மூன்று வரிசையில் (12 இல்) ஒரே ஒரு குறைக்கப்பட்ட லத்தீன் சதுரம் மட்டுமே உள்ளது, எனவே, ஒரே ஒரு ஐசோடோபி வகுப்பு மட்டுமே உள்ளது. இருப்பினும், இந்த ஐசோடோபி வகுப்பு ஐந்து ஐசோமார்பிசம் வகுப்புகளின் ஒன்றிணைப்பாகும். ஐந்து ஐசோமார்பிசம் வகுப்புகளில் மூன்றில் தலா மூன்று லத்தீன் சதுரங்கள் உள்ளன, ஒன்றில் இரண்டு உள்ளன, ஒன்றில் ஒன்று மட்டுமே உள்ளது. குறைக்கப்பட்ட சதுரம் மூன்று உறுப்புகளுடன் ஒரு ஐசோமார்பிசம் வகுப்பில் உள்ளது, எனவே தொடர்புடைய குவாசிகிரூப் ஒரு வளையமாகும், உண்மையில் இது ஒரு குழு, Z/3Z, மூன்று வரிசையின் சுழற்சி குழு. இந்த ஐசோமார்பிசம் வகுப்புகள் ஒவ்வொன்றிற்கும் ஒரு லத்தீன் சதுர பிரதிநிதி வழங்கப்படுகிறது (ஒவ்வொன்றிற்கும் கீழே உள்ள எண் தொடர்புடைய ஐசோமார்பிசம் வகுப்பில் உள்ள சதுரங்களின் எண்ணிக்கை): வரிசை 4 நான்கு வரிசையில் நான்கு குறைக்கப்பட்ட லத்தீன் சதுரங்கள் உள்ளன (576 சதுரங்களில்). இவை பின்வருமாறுஃ இவற்றில் கடைசி மூன்று ஐசோமார்பிக் ஆகும் (மேலே காண்க). இரண்டு முக்கிய வகுப்புகள் உள்ளன, இரண்டு ஐசோடோபி வகுப்புகள் மற்றும் 35 ஐசோமார்பிசம் வகுப்புகள். 35 குவாசி குழுக்களில், இரண்டு மட்டுமே சுழல்கள், அவை உண்மையில் குழுக்கள். மேலே உள்ள முதல் சதுரத்திற்கு ஒத்ததாக க்ளீன் நான்கு குழு உள்ளது, அதே நேரத்தில் மற்ற மூன்று சதுரங்களில் ஏதேனும் ஒன்றுக்கு ஒத்ததாக Z/4Z சுழற்சி குழு உள்ளது. முதல் சதுரத்தில் எட்டு டிரான்ஸ்வெர்சல்கள் மற்றும் 12 இன்டர்கலேட்டுகள் உள்ளன, அதே நேரத்தில் மற்றவற்றில் ஒவ்வொன்றும் டிரான்ஸ்வெர்சல்கள் மற்றும் நான்கு இன்டர்கலேட்டுகள் இல்லை. க்ளீன் நான்கு குழுவின் ஐசோமார்பிசம் வகுப்பில் நான்கு உறுப்பினர்களும், சுழற்சி குழுவின் ஐசோமார்பிசம் வகுப்பில் 12 உறுப்பினர்களும் உள்ளனர். 576 லத்தீன் சதுரங்களில், 288 சுடோகுவின் 4 × 4 பதிப்பின் தீர்வுகளாகும், சில நேரங்களில் ஷி டோகு என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஐந்தாம் வரிசையில் உள்ள 161,280 லத்தீன் சதுரங்களில், 56 குறைக்கப்பட்ட சதுரங்கள் உள்ளன. இரண்டு முக்கிய வகுப்புகள் மற்றும் இரண்டு ஐசோடோபி வகுப்புகள் மட்டுமே உள்ளன, ஆனால் 1,411 ஐசோமார்பிசம் வகுப்புகள் உள்ளன. குறைக்கப்பட்ட சதுரங்களைக் கொண்ட ஆறு ஐசோமார்பிசம் வகுப்புகள் உள்ளன, அதாவது, ஆறு சுழல்கள் உள்ளன, அவற்றில் ஒன்று மட்டுமே ஒரு குழு, ஐந்து வரிசையின் சுழற்சி குழு. ஐந்து வரிசையில் இரண்டு குறைக்கப்பட்ட லத்தீன் சதுரங்கள் கீழே உள்ளன, ஒவ்வொரு ஐசோடோபி வகுப்பிலிருந்தும் ஒன்று. முதல் சதுரத்தில் 15 குறுக்குவெட்டுகள் உள்ளன, இன்டர்கலேட்டுகள் இல்லை மற்றும் இது Z/5Z சுழற்சி குழுவின் வரம்பற்ற கெய்லி அட்டவணையாகும். இரண்டாவது சதுரத்தில் மூன்று குறுக்குவெட்டுகள் மற்றும் நான்கு இடைச்செருகல்கள் உள்ளன. இது ஒரு குழுவாக இல்லாத ஒரு வளையத்தைக் குறிக்கிறது, ஏனெனில், எடுத்துக்காட்டாக, 2 + (3 + 4) = 2 + 0 = 2, அதே நேரத்தில் (2 + 3) + 4 = 0 + 4 = 4, எனவே துணை விதி இல்லை. ஆர்டர்கள் 6 முதல் 10 வரை லத்தீன் சதுரங்களின் எண்ணிக்கை, வரிசை அதிகரிக்கும் போது, ஒருங்கிணைந்த வெடிப்பு எனப்படும் நிகழ்வை வெளிப்படுத்துகிறது; அளவில் சிறிய அதிகரிப்புகளுக்கு கூட வகைகளில் பெரிய அதிகரிப்பு உள்ளது. அடிப்படை எண்ணிக்கைகள் அடுத்த இரண்டு அட்டவணைகளில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன, மேலும் இங்கு வழங்கப்பட்டதை விட அதிகமாக துல்லியமாக அறியப்படவில்லை. வரலாறு இந்த பதிவு பின்வருமாறு. லத்தீன் சதுரங்களின் எண்ணிக்கை ஒரு நீண்ட வரலாற்றைக் கொண்டுள்ளது, ஆனால் வெளியிடப்பட்ட கணக்குகளில் பல பிழைகள் உள்ளன. 1782 இல் யூலர் மற்றும் 1890 இல் கெய்லி ஆகிய இருவரும் ஐந்து வரிசை வரை குறைக்கப்பட்ட லத்தீன் சதுரங்களின் எண்ணிக்கையை அறிந்திருந்தனர். 1915 ஆம் ஆண்டில், மெக்மோகன் இந்த சிக்கலை வேறு வழியில் அணுகினார், ஆனால் ஆரம்பத்தில் ஐந்தாவது வரிசைக்கு தவறான மதிப்பைப் பெற்றார். 1890 இல் M.Frolov, மற்றும் 1901 இல் டாரி, ஆறாவது வரிசையில் குறைக்கப்பட்ட சதுரங்களின் எண்ணிக்கையைக் கண்டறிந்தனர். எம். ஃப்ரோலோவ் ஏழாவது வரிசையில் குறைக்கப்பட்ட வர்க்கங்களின் தவறான எண்ணிக்கையை வழங்கினார். ஆர். ஏ. ஃபிஷர் மற்றும் எஃப். யேட்ஸ், ஈ. ஷோன்ஹார்ட்டின் முந்தைய படைப்புகளைப் பற்றி அறியாமல், ஆறு வரையிலான ஐசோடோபி வரிசைகளின் எண்ணிக்கையைக் கொடுத்தனர். 1939 ஆம் ஆண்டில், எச். டபிள்யூ. நார்டன் 562 ஐசோடோபி வகுப்புகளின் வரிசையை கண்டுபிடித்தார், ஆனால் அவரது முறை முழுமையடையவில்லை என்று ஒப்புக் கொண்டார். 1951 ஆம் ஆண்டில் ஏ. சேட், ஆனால் 1948 ஆம் ஆண்டின் தொடக்கத்தில் தனிப்பட்ட முறையில் வெளியிடப்பட்டது, மேலும் பி. என். சக்சேனா அதிக வகுப்புகளைக் கண்டுபிடித்தார், மேலும் 1966 ஆம் ஆண்டில், டி. ஏ. ப்ரீஸ் நார்டனின் முடிவை 564 ஐசோடோபி வகுப்புகளுக்கு சரிசெய்ததாகக் குறிப்பிட்டார். இருப்பினும், 1968 ஆம் ஆண்டில், ஜே. டபிள்யூ. பிரவுன் 563 என்ற தவறான மதிப்பை அறிவித்தார், இது அடிக்கடி மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்படுகிறது. எட்டு வரிசையின் ஐசோடோபி வகுப்புகளின் தவறான எண்ணிக்கையையும் அவர் வழங்கினார். எட்டாவது வரிசையின் குறைக்கப்பட்ட வர்க்கங்களின் சரியான எண்ணிக்கை ஏற்கனவே எம். பி. ஆல் கண்டறியப்பட்டது. 1967 இல் வெல்ஸ், மற்றும் ஐசோடோபி வகுப்புகளின் எண்ணிக்கை, 1990 இல், ஜி. கோலேசோவா, சி. டபிள்யூ. எச். லாம் மற்றும் எல். தீல். ஒன்பதாவது வரிசைக்கு குறைக்கப்பட்ட சதுரங்களின் எண்ணிக்கை எஸ். இ. பம்மல் மற்றும் ஜே. ரோத்ஸ்டீன் ஆகியோராலும், பி. டி. மெக்கே மற்றும் ஈ. ரோகாய்ஸ்கி ஆகியோரால் 10 வது வரிசைக்கும், பி. டி. மெக்கே மற்றும் ஐ. எம். வான்லெஸ் ஆகியோரால் 11 வது வரிசைக்கும் பெறப்பட்டது. மேலும் காண்க சிறிய குழுக்களின் பட்டியல் குறிப்புகள் குறிப்புகள் தொடர்பற்ற இயற்கணிதம் லத்தீன் சதுரங்கள்