Kloosterman sum
கணிதத்தில், ஒரு க்ளூஸ்டர்மேன் தொகை என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட வகையான அதிவேகத் தொகையாகும். அவை டச்சு கணிதவியலாளர் ஹென்ட்ரிக் க்ளூஸ்டர்மேனின் பெயரால் பெயரிடப்பட்டுள்ளன, அவர் 1926 ஆம் ஆண்டில் ஹார்டி-லிட்டில்வுட் வட்டம் முறையைத் தழுவி, நேர்மறை திட்டவட்டமான மூலைவிட்ட இருபடி வடிவங்களை உள்ளடக்கிய ஒரு சிக்கலைச் சமாளிக்க நான்கு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட மாறிகளுக்கு மாறாக, அவர் 1924 இல் தனது ஆய்வுக் கட்டுரையில் கையாண்டார். இயல்பான எண்களாக இருக்கட்டும். பின்னர் இங்கே x * என்பது மாடுலோவின் தலைகீழ். Kloosterman கூட்டுத்தொகை என்பது பெசல் செயல்பாடுகளின் வரையறுக்கப்பட்ட வளைய ஒப்புமை ஆகும். அவை மாடுலர் வடிவங்களின் ஃபோரியர் விரிவாக்கத்தில் (எடுத்துக்காட்டாக) நிகழ்கின்றன. ரீமன் ஜீட்டா செயல்பாடு, குறுகிய இடைவெளிகளில் பகா எண்கள், எண்கணித முன்னேற்றங்களில் பகா எண்கள், தானியங்கி செயல்பாடுகளின் நிறமாலைக் கோட்பாடு மற்றும் தொடர்புடைய தலைப்புகளை உள்ளடக்கிய மதிப்புகளைக் குறிக்க பயன்பாடுகள் உள்ளன. க்ளூஸ்டர்மேன் தொகையின் பண்புகள் என்றால் அல்லது பின்னர் க்ளூஸ்டர்மேன் தொகை ராமானுஜன் தொகையாக குறைகிறது. இது எஞ்சிய வகுப்பு மற்றும் மாடுலோவை மட்டுமே சார்ந்துள்ளது. மேலும் மற்றும் என்றால். லெட் அண்ட் கோப்ரைம். அது போன்றவற்றையும் தேர்ந்தெடுக்கவும். பின்னர் இது ஒரு பகா எண் மற்றும் ஒரு முழு எண்ணுக்கு க்ளூஸ்டர்மேன் தொகைகளின் மதிப்பீட்டைக் குறைக்கிறது. இதன் மதிப்பு எப்போதும் ஒரு இயற்கணித உண்மையான எண் ஆகும். உண்மையில் இது துணைப்புலத்தின் ஒரு உறுப்பாகும், இது புலங்களின் கலவையாகும், இது அனைத்து ஒற்றைப்படை பகா எண்கள் மற்றும் அவற்றுடன் இருக்கும். செல்பெர்க் அடையாளம் அட்லே செல்பெர்க் என்பவரால் கூறப்பட்டது மற்றும் மாடுலர் வடிவங்களின் நிறமாலைக் கோட்பாட்டைப் பயன்படுத்தி குஸ்நெட்ஸோவ் என்பவரால் முதலில் நிரூபிக்கப்பட்டது. இப்போதெல்லாம் இந்த அடையாளத்தின் அடிப்படை சான்றுகள் அறியப்படுகின்றன. ஒற்றைப்படை பகா எண்ணுக்கு, அறியப்பட்ட எளிய சூத்திரம் எதுவும் இல்லை, மேலும் சாட்டோ-டேட் அனுமானம் எதுவும் இல்லை என்று கூறுகிறது. இருப்பினும், கீழே உள்ள தூக்கும் சூத்திரங்கள் பெரும்பாலும் ஒரு வெளிப்படையான மதிப்பீட்டைப் போலவே சிறந்தவை. ஒருவர் முக்கியமான மாற்றத்தைக் கொண்டிருந்தால்ஃ அங்கு ஜாகோபி சின்னத்தைக் குறிக்கிறது. பகா எண்ணுடன் அனுமானிக்கவும். பின்னர்ஃ எங்கு தேர்ந்தெடுக்கப்படுகிறது மற்றும் பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது (ஒற்றைப்படை என்பதைக் கவனியுங்கள்): இந்த சூத்திரம் முதலில் ஹான்ஸ் சாலி என்பவரால் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது மற்றும் இலக்கியத்தில் பல எளிய சான்றுகள் உள்ளன. மதிப்பீடுகள் மட்டு வடிவங்களின் ஃபோரியர் விரிவாக்கத்தில் க்ளூஸ்டர்மேன் தொகைகள் ஏற்படுவதால், க்ளூஸ்டர்மேனுக்கான மதிப்பீடுகள் மட்டு வடிவங்களின் ஃபோரியர் குணகங்களுக்கான விளைச்சல் மதிப்பீடுகளையும் கூட்டுகின்றன. மிகவும் பிரபலமான மதிப்பீடு ஆண்ட்ரே வெயில் காரணமாகும் மற்றும் கூறுகிறதுஃ இங்கே நேர்மறை வகுத்திகளின் எண்ணிக்கை. க்ளூஸ்டர்மேன் தொகைகளின் பெருக்க பண்புகள் காரணமாக இந்த மதிப்பீடுகள் ஒரு பகா எண்ணாக இருந்தால் குறைக்கப்படலாம். வெயிலின் ஒரு அடிப்படை நுட்பம் உள்ளூர் ஜீட்டா-செயல்பாடுகளில் அவரது முடிவுகளுக்கு அப்சிவிக்ட் 0 ஆக இருக்கும் போது மதிப்பீட்டைக் குறைக்கிறது. வடிவியல் ரீதியாக தொகை ஒரு 'ஹைப்பர்போலா' XY = ab உடன் எடுக்கப்படுகிறது, மேலும் இது உறுப்புகளுடன் வரையறுக்கப்பட்ட புலத்தின் மீது ஒரு இயற்கணித வளைவை வரையறுப்பதாக நாம் கருதுகிறோம். இந்த வளைவு ஒரு விரிவான ஆர்ட்டின்-ஷ்ரியர் மறைப்பைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் உள்ளூர் ஜீட்டா-செயல்பாடு ஒரு காரணிமயமாக்கலைக் கொண்டுள்ளது என்பதை வெயில் காட்டினார்; இது செயல்பாட்டு புலங்களாக இருக்கும் உலகளாவிய புலங்களின் விஷயத்தில் ஆர்ட்டின் எல்-செயல்பாட்டுக் கோட்பாடு ஆகும், இதற்காக வெயில் 1938 ஆம் ஆண்டு ஜே. வெய்ஸிங்கரின் ஒரு கட்டுரையை குறிப்பாகக் கொடுக்கிறார் (அடுத்த ஆண்டு அவர் 1935 ஆம் ஆண்டு ஹாஸ்ஸின் ஒரு கட்டுரையை இந்த யோசனையின் முந்தைய குறிப்பாகக் கொடுத்தார்; பகுப்பாய்வு எண் கோட்பாட்டாளர்களின் திறன்கள் குறித்து வெயில் கூறிய இழிவுபடுத்தும் கருத்தைக் கருத்தில் கொண்டு, அவரது சேகரிக்கப்பட்ட ஆவணங்களில், இந்த கருத்துக்கள் மிகவும் நீண்ட காலத்திற்கு 'நாட்டுப்புறக் கதைகள்' என்று கருதப்படுகிறது). துருவமற்ற காரணிகள் வகைப்படுத்தப்படுகின்றன, அங்கு ஒரு க்ளூஸ்டர்மேன் தொகை உள்ளது. இந்த மதிப்பீடு 1940 ஆம் ஆண்டின் வெயிலின் அடிப்படை வேலையிலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது. பரிமாணம்> 1 இல் உள்ள வெயில் அனுமானங்களைப் பொறுத்து, முழுமையான அதிவேகத் தொகைகள் 'உடன்' இயற்கணித வகைகள் நல்ல மதிப்பீடுகளைக் கொண்டுள்ளன என்பதை இந்த நுட்பம் உண்மையில் மிகவும் பொதுவாகக் காட்டுகிறது. பியர் டிலிக்னே, ஜெரார்ட் லமோன் மற்றும் நிக்கோலஸ் காட்ஸ் ஆகியோரால் இது மேலும் தள்ளப்பட்டுள்ளது. குறுகிய க்ளூஸ்டர்மேன் தொகைகள் என்பது எண்களின் தொகுப்பின் வழியாகச் செல்லும் வடிவத்தின் முக்கோணவியல் தொகைகளாக வரையறுக்கப்படுகின்றன, கோப்ரைம், அடிப்படையில் சிறிய உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை, மற்றும் சின்னம் ஒற்றுமை வகுப்பைக் குறிக்கிறது, இது மாடுலோவுக்கு நேர்மாறாக உள்ளதுஃ 1990 களின் முற்பகுதி வரை, இந்த வகை தொகைகளுக்கான மதிப்பீடுகள் முக்கியமாக கூட்டுத்தொகைகளின் எண்ணிக்கை அதிகமாக இருந்த விஷயத்தில் அறியப்பட்டன. இத்தகைய மதிப்பீடுகள் எச். டி. க்ளூஸ்டர்மேன், ஐ. எம். வினோகிராடோவ், எச். சாலி, எல். கார்லிட்ஸ், எஸ். உசியாமா மற்றும் ஏ. வெயில் ஆகியோரால் செய்யப்பட்டன. வடிவத்தின் சிறப்பு தொகுதிகள் மட்டுமே விதிவிலக்குகளாக இருந்தன, அங்கு ஒரு நிலையான பகா எண் மற்றும் அடுக்கு முடிவிலிக்கு அதிகரிக்கிறது (இந்த வழக்கை ஏ. ஜி. போஸ்ட்னிகோவ் இவான் மாட்வேவிச் வினோகிராடோவின் முறையின் மூலம் ஆய்வு செய்தார்). 1990 களில் அனடோலி அலெக்ஸிவிட்ச் கரட்சுபா குறுகிய க்ளூஸ்டர்மேன் தொகைகளை மதிப்பிடுவதற்கான ஒரு புதிய முறையை உருவாக்கினார். கரட்சுபாவின் முறை க்ளூஸ்டர்மேனின் தொகைகளை மதிப்பிடுவதை சாத்தியமாக்குகிறது, இதில் கூட்டுத்தொகைகளின் எண்ணிக்கை அதிகமாக இல்லை, சில சந்தர்ப்பங்களில் கூட, ஒரு தன்னிச்சையாக சிறிய நிலையான எண் எங்கே. இந்த விஷயத்தில் ஏ. ஏ. கரட்சுபாவின் கடைசி கட்டுரை அவரது மரணத்திற்குப் பிறகு வெளியிடப்பட்டது. கரட்சுபா முறையின் பல்வேறு அம்சங்கள் பகுப்பாய்வு எண் கோட்பாட்டின் பின்வரும் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதில் பயன்பாடுகளைக் கண்டறிந்தனஃ வடிவத்தின் பின்னப் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகையின் அறிகுறிகளைக் கண்டறிதல்ஃ நிபந்தனையை திருப்திப்படுத்தும் முழு எண்கள் மூலம் ஒன்றன் பின் ஒன்றாக இயங்குகிறது, மேலும் தொகுதியைப் பிரிக்காத பகா எண்கள் வழியாக இயங்குகிறது (A.A.Karatsuba); வடிவத்தின் ஏற்றத்தாழ்வுகளின் தீர்வுகளின் எண்ணிக்கையின் கீழ் வரியைக் கண்டறிதல்ஃ முழு எண்களில், கோப்ரைம், (AA கரட்சுபா); வடிவத்தின் பின்னப் பகுதிகளால் பிரிவில் ஒரு தன்னிச்சையான உண்மையான எண்ணின் தோராயத்தின் துல்லியம்ஃ எங்கே (AA கரட்சுபா); ப்ரூன்-டிச்மார்ஷ் தேற்றத்தில் மிகவும் துல்லியமான மாறிலிஃ எங்கே (டி. ஆர். ஹீத்-பிரவுன்); வடிவத்தின் எண்ணற்ற பல பகா எண்கள் உள்ளன என்பதை நிரூபிக்கிறதுஃ (ஜே. ஃப்ரீட்லாண்டர், எச். இவானியேக்); எண்களின் தொகுப்பின் ஒருங்கிணைந்த பண்புகள் (A.A.Glibichuk): க்ளூஸ்டர்மேன் தொகைகளை உயர்த்துவது க்ளூஸ்டர்மேன் தொகைகளை பொதுவாக கணக்கிட முடியாவிட்டாலும் அவை இயற்கணித எண் புலங்களுக்கு "உயர்த்தப்படலாம்", இது பெரும்பாலும் மிகவும் வசதியான சூத்திரங்களை வழங்குகிறது. ஒரு சதுரம் இல்லாத முழு எண்ணாக இருக்கட்டும், நம்மிடம் உள்ள எந்தவொரு பகாக் காரணிக்கும் a, b என்ற அனைத்து முழு எண்களுக்கும் நம்மிடம் உள்ள கோப்ரைம் இங்கே பெருக்கத்தை எண்ணுவதற்கான பகாக் காரணிகளின் எண்ணிக்கை. வலதுபுறத்தில் உள்ள கூட்டுத்தொகையை புலத்தில் உள்ள இயற்கணித முழு எண்களின் கூட்டுத்தொகையாக மறுபரிசீலனை செய்யலாம் இந்த சூத்திரம் டான் ஜாகியரால் ஈர்க்கப்பட்ட யாங்போ யே காரணமாகும் மற்றும் ஹெர்வ் ஜாக்வெட் மற்றும் யே ஆகியோரின் பணியை தொடர்புடைய சுவடு சூத்திரத்தில் விரிவுபடுத்துகிறது. உண்மையில், மிகவும் பொதுவான அதிவேகத் தொகைகளை உயர்த்த முடியும். குஸ்நெட்சோவ் சுவடு சூத்திரம் குஸ்நெட்சோவ் அல்லது உறவினர் சுவடு சூத்திரம் க்ளூஸ்டர்மேன் தொகைகளை ஒரு ஆழமான மட்டத்தில் தானியங்கி வடிவங்களின் நிறமாலைக் கோட்பாட்டுடன் இணைக்கிறது. ஆரம்பத்தில் இது பின்வருமாறு கூறப்பட்டிருக்கலாம். போதுமான "நல்ல நடத்தை" கொண்ட செயல்பாடாக இருக்கட்டும். பின்னர் பின்வரும் வகை குஸ்நெட்சோவ் சுவடு சூத்திரத்தின் அடையாளங்களை ஒருவர் அழைக்கிறார்ஃ ஒருங்கிணைந்த உருமாற்றப் பகுதி g இன் சில ஒருங்கிணைந்த உருமாற்றமாகும், மேலும் நிறமாலைப் பகுதி ஃபோரியர் குணகங்களின் கூட்டுத்தொகையாகும், இது ஹோலோமார்பிக் மற்றும் ஹோலோமார்பிக் அல்லாத மட்டு வடிவங்களின் இடைவெளிகளில் g இன் சில ஒருங்கிணைந்த உருமாற்றத்துடன் முறுக்கப்படுகிறது. குஸ்நெட்சோவ் சுவடு சூத்திரம் எடை பூஜ்ஜிய தானியங்கி செயல்பாடுகளின் வளர்ச்சியைப் படிக்கும்போது குஸ்நெட்சோவால் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது. க்ளூஸ்டர்மேன் தொகைகளின் மதிப்பீடுகளைப் பயன்படுத்தி, பியரி டெலிக்னேவின் வெயில் அனுமானங்களின் ஆதாரம் பொருந்தாத சந்தர்ப்பங்களில் மாடுலர் வடிவங்களின் ஃபோரியர் குணகங்களுக்கான மதிப்பீடுகளைப் பெற முடிந்தது. இது பின்னர் ஜாக்வெட்டால் ஒரு பிரதிநிதித்துவ கோட்பாட்டு கட்டமைப்பிற்கு மொழிபெயர்க்கப்பட்டது. ஒரு எண் புலம் F மீது ஒரு குறைப்புக் குழுவாக இருங்கள் மற்றும் ஒரு துணைக்குழுவாக இருங்கள். வழக்கமான சுவடு சூத்திரம் ஜி மீது ஹார்மோனிக் பகுப்பாய்வைப் படிக்கும்போது, உறவினர் சுவடு சூத்திரம் சமச்சீர் இடத்தில் ஹார்மோனிக் பகுப்பாய்வைப் படிப்பதற்கான ஒரு கருவியாகும். ஒரு கண்ணோட்டம் மற்றும் ஏராளமான பயன்பாடுகளுக்கு குறிப்புகளைப் பார்க்கவும். வரலாறு வெயிலின் மதிப்பீட்டை இப்போது டபிள்யூ. எம். ஷ்மிட், வரையறுக்கப்பட்ட புலங்களின் மீதான சமன்பாடுகள்ஃ ஒரு அடிப்படை அணுகுமுறை, 2 வது பதிப்பில் படிக்க முடியும். (கென்ட்ரிக் பிரஸ், 2004). இங்குள்ள அடிப்படை கருத்துக்கள் எஸ். ஸ்டீபனோவ் காரணமாகும் மற்றும் டயோஃபாண்டைன் தோராயத்தில் ஆக்ஸல் துவேயின் படைப்புகளிலிருந்து உத்வேகம் பெறுகின்றன. க்ளூஸ்டர்மேன் தொகைக்கும் மட்டு வடிவங்களுக்கும் இடையே பல தொடர்புகள் உள்ளன. உண்மையில் தொகைகள் முதன்முதலில் (பெயரைக் கழித்தல்) 1912 ஆம் ஆண்டு ஹென்றி பாயின்கேரின் காகிதத்தில் மாடுலர் வடிவங்களில் தோன்றின. ஹன்ஸ் சாலி க்ளூஸ்டர்மேன் தொகையின் ஒரு வடிவத்தை அறிமுகப்படுத்தினார், இது ஒரு டிரிக்லெட் எழுத்தால் முறுக்கப்படுகிறதுஃ அத்தகைய சாலி தொகைகள் ஒரு அடிப்படை மதிப்பீட்டைக் கொண்டுள்ளன. 1979 ஆம் ஆண்டில் குஸ்நெட்ஸோவ் குளூஸ்டர்மேன் தொகைகளை ஹோலோமார்பிக் அல்லாத மட்டு வடிவங்களுடன் இணைக்கும் முக்கியமான சூத்திரங்களைக் கண்டுபிடித்த பிறகு, இது சதுர மூல மதிப்பீட்டை விட சில 'சராசரியாக சேமிப்புகளை' கொண்டிருந்தது, இன்வென்ஷன்ஸ் மேத்தமேடிகா (1982) இல் ஒரு ஆரம்பக் கட்டுரையில் இவானிக் மற்றும் டெஷூலர்ஸ் மேலும் முன்னேற்றங்களைக் கண்டனர். பகுப்பாய்வு எண் கோட்பாட்டிற்கான அடுத்தடுத்த பயன்பாடுகள் பல எழுத்தாளர்களால், குறிப்பாக பாம்பியேரி, ஃபூவ்ரி, ஃப்ரீட்லாண்டர் மற்றும் இவானிக் ஆகியோரால் உருவாக்கப்பட்டன. புலம் ஓரளவு அணுக முடியாததாக உள்ளது. குஸ்நெட்சோவ் சூத்திரங்களைப் புரிந்துகொள்ளத் தேவையான நிறமாலைக் கோட்பாட்டிற்கான விரிவான அறிமுகம் ஆர். சி. பேக்கர், க்ளூஸ்டர்மேன் சம்ஸ் மற்றும் மாஸ் ஃபார்ம்ஸ், தொகுதி ஆகியவற்றில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. ஐ (கென்ட்ரிக் பிரஸ், 2003). இந்தத் துறையில் ஆர்வமுள்ள மாணவர்கள் மற்றும் ஆராய்ச்சியாளர்களுக்கும் இது பொருத்தமானது. பகா எண்களுக்கு இடையிலான வரம்புக்குட்பட்ட இடைவெளிகளை நிரூபிப்பதில் யிடங் ஜாங் க்ளூஸ்டர்மேன் தொகைகளைப் பயன்படுத்தினார். ஹாஸ்ஸின் பிணைக்கப்பட்ட குறிப்புகள் குறிப்புகள் வெளிப்புற இணைப்புகள் பகுப்பாய்வு எண் கோட்பாட்டைப் பார்க்கவும்