Complex torus
கணிதத்தில், ஒரு சிக்கலான டோரஸ் என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட வகையான சிக்கலான பன்மடங்கு எம் ஆகும், அதன் அடிப்படை மென்மையான பன்மடங்கு வழக்கமான அர்த்தத்தில் ஒரு டோரஸ் ஆகும் (அதாவது. சில எண் N வட்டங்களின் கார்ட்டீசியன் பெருக்கல்). இங்கே N என்பது இரட்டை எண் 2n ஆக இருக்க வேண்டும், அங்கு n என்பது M இன் சிக்கலான பரிமாணமாகும். அத்தகைய அனைத்து சிக்கலான கட்டமைப்புகளையும் பின்வருமாறு பெறலாம்ஃ ஒரு திசையன் இடைவெளி V ஐசோமார்பிக் இல் ஒரு லட்டிஸ் λ ஐ உண்மையான திசையன் இடமாகக் கருதப்படும் Cn க்கு எடுத்துக் கொள்ளுங்கள்; பின்னர் ஈவுக் குழு ஒரு சிறிய சிக்கலான பன்மடங்கு ஆகும். ஐசோமார்பிசம் வரை அனைத்து சிக்கலான டோரிகளும் இந்த வழியில் பெறப்படுகின்றன. n = 1 க்கு இது நீள்வட்ட வளைவுகளின் கிளாசிக்கல் கால லட்டீஸ் கட்டுமானமாகும். n> 1 பெர்ன்ஹார்ட் ரீமன் ஒரு சிக்கலான டோரஸ் ஒரு இயற்கணித வகையாக இருக்க தேவையான மற்றும் போதுமான நிபந்தனைகளைக் கண்டறிந்தார்; வகைகள் சிக்கலான ப்ரொஜெக்டிவ் இடத்தில் உட்பொதிக்கப்படலாம், மேலும் அவை அபெலியன் வகைகள். n> 1 ஆக இருக்கும்போது உண்மையான ப்ரொஜெக்டிவ் உட்பொதிப்புகள் சிக்கலானவை (அபெலியன் வகைகளை வரையறுக்கும் சமன்பாடுகளைப் பார்க்கவும்), மேலும் அவை உண்மையில் பல சிக்கலான மாறிகளின் (நிலையான மாடுலஸுடன்) தீட்டா-செயல்பாடுகளின் கோட்பாட்டுடன் இணைந்து விரிவடைகின்றன. n = 1 க்கான கன வளைவு விளக்கத்தைப் போல எளிமையான எதுவும் இல்லை. கணினி இயற்கணிதம் சிறிய n க்கான நிகழ்வுகளை நியாயமான முறையில் கையாள முடியும். சோவின் தேற்றத்தின் படி, அபெலியன் வகைகளைத் தவிர வேறு எந்த சிக்கலான டோரஸும் ப்ரொஜெக்டிவ் ஸ்பேஸில் 'பொருந்த முடியாது'. வரையறை சிக்கலான டோரியை வரையறுப்பதற்கான ஒரு வழி ஒரு சிறிய இணைக்கப்பட்ட சிக்கலான லை குழுவாகும். இவை லை குழுக்கள், அங்கு கட்டமைப்பு வரைபடங்கள் சிக்கலான பன்மடங்கு ஹோலோமார்பிக் வரைபடங்களாகும். அத்தகைய சிறிய இணைக்கப்பட்ட லை குழுக்கள் அனைத்தும் பரிமாற்றமானவை, மேலும் அவற்றின் லை இயற்கணிதத்தின் ஒரு ஈவு விகிதத்திற்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும், அதன் உள்ளடக்கிய வரைபடம் ஒரு லை இயற்கணிதத்தின் அதிவேக வரைபடமாகும். இந்த வரைபடத்தின் கர்னல் ஒரு லட்டிஸ் மற்றும். மாறாக, ஒரு சிக்கலான திசையன் இடம் மற்றும் அதிகபட்ச தரவரிசை கொண்ட ஒரு லட்டிஸ் கொடுக்கப்பட்டால், ஈவு சிக்கலான பன்மடங்கு ஒரு சிக்கலான லை குழு கட்டமைப்பைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் இது கச்சிதமாகவும் இணைக்கப்பட்டும் உள்ளது. சிக்கலான டோரிக்கான இரண்டு வரையறைகளும் சமமானவை என்பதை இது குறிக்கிறது. ஒரு சிக்கலான டோரஸின் பீரியட் மேட்ரிக்ஸ் ஒரு ஜி-பரிமாண சிக்கலான டோரஸை விவரிக்க ஒரு வழி ஒரு மேட்ரிக்ஸைப் பயன்படுத்துவதாகும், அதன் நெடுவரிசைகள் ஒரு அடிப்படையைப் பயன்படுத்தி விரிவாக்கப்பட்ட லட்டிஸின் அடிப்படையுடன் ஒத்திருக்கின்றன. ஒரு மேட்ரிக்ஸைத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம் நாம் தலைகீழ் திசையில் சென்றால், சிக்கலான கான்ஜுகேட் மேட்ரிக்ஸை ஒட்டியுள்ள தொடர்புடைய மேட்ரிக்ஸ் கட்டப்பட்டால் மட்டுமே, அது ஒரு பீரியட் மேட்ரிக்ஸுடன் ஒத்திருந்தால், அது நான்சீங்குலர் ஆகும். இது ஒரு லட்டிஸின் நெடுவரிசை திசையன்களுக்கு உத்தரவாதம் அளிக்கிறது, எனவே அவை நேரியல் ரீதியாக சுயாதீனமான திசையன்களாக இருக்க வேண்டும். எடுத்துக்காட்டு இரு பரிமாண சிக்கலான டோரஸைப் பொறுத்தவரை, இது வடிவத்தின் ஒரு பீரியட் மேட்ரிக்ஸைக் கொண்டுள்ளது, எடுத்துக்காட்டாக, மேட்ரிக்ஸ் ஒரு பீரியட் மேட்ரிக்ஸை உருவாக்குகிறது, ஏனெனில் அதனுடன் தொடர்புடைய பீரியட் மேட்ரிக்ஸ் 4 ஐ தீர்மானிக்கிறது. இயல்பாக்கப்பட்ட கால மேட்ரிக்ஸ் பரிமாணத்தின் எந்தவொரு சிக்கலான டோரஸுக்கும் இது அடையாள மேட்ரிக்ஸ் எங்கே, எங்கே என்ற வடிவத்தின் கால மேட்ரிக்ஸைக் கொண்டுள்ளது. மேலே உள்ள வடிவத்தின் தொகுதி மேட்ரிக்ஸைக் கொடுக்கும் திசையன் இடத்தின் அடிப்படையை மாற்றுவதன் மூலம் இதைப் பெறலாம். தொடர்புடைய-மேட்ரிக்ஸைப் பார்ப்பதிலிருந்து பின்வருவனவற்றின் நிபந்தனை இது ஒரு ஒற்றை அல்லாத மேட்ரிக்ஸாக இருக்க வேண்டும் என்பதால். ஏனென்றால், பிளாக் மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயிப்பாளரை நாம் கணக்கிட்டால், இது வெறுமனே உட்பொருளைத் தருகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, 2 பரிமாண சிக்கலான டோரஸுக்கு ஒரு இயல்பாக்கப்பட்ட கால மேட்ரிக்ஸை நாம் எழுதலாம், ஏனெனில் அத்தகைய ஒரு எடுத்துக்காட்டு இயல்பாக்கப்பட்ட கால மேட்ரிக்ஸ் ஆகும், ஏனெனில் அதன் தீர்மானிப்பவர் பூஜ்ஜியமற்றது, சமம். அபெலியன் வகைகளின் பீரியட் மேட்ரிக்ஸ் ஒரு பீரியட் மேட்ரிக்ஸைப் பெறுவதற்கு, இது ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் காம்ப்ளக்ஸ் பன்மடங்கு, எனவே ஒரு இயற்கணித வகையை அளிக்கிறது, பீரியட் மேட்ரிக்ஸ் ரீமன் பைலினியர் உறவுகளை மேலும் திருப்திப்படுத்த வேண்டும். நம்மிடம் சிக்கலான டோரி மற்றும் பரிமாணங்கள் இருந்தால், சிக்கலான டோரியின் ஹோமோமார்பிசம் என்பது குழு அமைப்பு பாதுகாக்கப்படும் ஒரு செயல்பாடாகும். இது பல விளைவுகளைக் கொண்டுள்ளது, அதாவது ஒவ்வொரு ஹோமோமார்பிசமும் அவற்றின் மூடுபனி இடங்களின் வரைபடத்தைத் தூண்டுகிறது, இது அவற்றின் மூடுபனி வரைபடங்களுடன் இணக்கமானது. மேலும், ஒரு குழு ஹோமோமார்பிசத்தைத் தூண்டுவதால், அது லட்டிஸின் மார்ஃபிஸத்திற்கு மட்டுப்படுத்தப்பட வேண்டும் குறிப்பாக, ஊசிகள் உள்ளன, அவை ஹோமோமார்பிசங்களின் இடத்தின் பகுப்பாய்வு மற்றும் பகுத்தறிவு பிரதிநிதித்துவங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. பகுத்தறிவு பரிமாணத்தைக் கொண்ட எண்டோமார்பிசம் வளையத்தைப் பற்றிய சில தகவல்களைத் தீர்மானிக்க இவை பயனுள்ளதாக இருக்கும். சிக்கலான டோரியின் ஹோலோமார்பிக் வரைபடங்கள் சிக்கலான டோரிக்கு இடையிலான ஹோமோமார்பிக் வரைபடங்களின் வகை மிகவும் எளிமையான கட்டமைப்பைக் கொண்டுள்ளது. நிச்சயமாக, ஒவ்வொரு ஹோமோமார்பிசமும் ஒரு ஹோலோமார்பிக் வரைபடத்தைத் தூண்டுகிறது, ஆனால் ஒவ்வொரு ஹோலோமார்பிக் வரைபடமும் ஒரு ஹோமோமார்பிசத்துடன் ஒரு சிறப்பு வகையான ஹோலோமார்பிக் வரைபடத்தின் கலவையாகும். பின்னர், சிக்கலான டோரிக்கு இடையில் ஒரு ஹோலோமார்பிக் வரைபடமாக இருந்தால், ஒரு தனித்துவமான ஹோமோமார்பிசம் உள்ளது, அதாவது ஹோலோமார்பிக் வரைபடங்களைக் காண்பிப்பது சிக்கலான டோரியின் ஹோமோமார்பிசங்களின் தொகுப்பை விட பெரியதாக இருக்காது. ஐசோஜெனிகள் சிக்கலான டோரியின் ஒரு தனித்துவமான வகை ஹோமோமார்பிசம்கள் ஐசோஜெனிகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. இவை பூஜ்ஜியமற்ற கர்னலுடன் கூடிய சிக்கலான டோரியின் எண்டோமார்பிசம் ஆகும். எடுத்துக்காட்டாக, நாம் ஒரு முழு எண்ணாக இருந்தால், கர்னல் ஐசோமார்பிக் கொண்ட ஒரு தொடர்புடைய வரைபடம் அனுப்பப்படுகிறது. ஐசோமார்பிக் சிக்கலான டோரி உண்மையான திசையன் இடத்தில் சிக்கலான கட்டமைப்புகளின் ஐசோமார்பிசம் உள்ளது மற்றும் தொகுப்பு மற்றும் ஐசோமார்பிக் டோரி அவற்றின் லட்டிஸ்களின் அடிப்படையின் மாற்றத்தால் கொடுக்கப்படலாம், எனவே ஒரு அணி. இது பரிமாணத்தின் சிக்கலான டோரியின் ஐசோமார்பிசம் வகுப்புகளின் தொகுப்பை வழங்குகிறது, இரட்டை கொசெட் இடைவெளி ஒரு உண்மையான பன்மடங்கு, இது பரிமாணத்தைக் கொண்டுள்ளது என்பதைக் கவனியுங்கள், இது அபெலியன் வகைகளின் மாடுலியின் பரிமாணங்களைக் கருத்தில் கொள்ளும்போது முக்கியமானது, இது அபெலியன் வகைகளை விட மிகவும் சிக்கலான டோரிகள் இருப்பதை காட்டுகிறது. கோடு மூட்டைகள் மற்றும் தானியங்கி வடிவங்கள் சிக்கலான பன்மடங்கு, குறிப்பாக சிக்கலான டோரியில், ஹோலோமார்பிக் கோடு மூட்டைகள் தொடர்பான ஒரு கட்டுமானம் உள்ளது, அதன் புல்பேக் குழுவின் கோஹோமோலஜியைப் பயன்படுத்தி அற்பமானது. அதிர்ஷ்டவசமாக சிக்கலான டோரிக்கு, ஒவ்வொரு சிக்கலான வரி மூட்டையும் அற்பமானதாகிவிடும். ஆட்டோமொர்பியின் காரணிகள் முதல் குழு கோஹோமோலஜி குழுவிலிருந்து தொடங்கி அதன் கூறுகளை எவ்வாறு பிரதிநிதித்துவப்படுத்தலாம் என்பதை நினைவுகூருகிறோம். அதன் அனைத்து உறைகளிலும் ஒரு தூண்டப்பட்ட செயல் இருப்பதால், தி-ஆக்ஷனில் பின்னர் ஒரு ஹோலோமார்பிக் வரைபடமாக குறிப்பிடப்படலாம். இந்த வரைபடம் ஒவ்வொரு மற்றும் கோசைக்கிள் நிபந்தனையை திருப்திப்படுத்துகிறது. 1-சுழற்சிகளின் அபெலியன் குழு தானியங்கி வீக்கத்தின் காரணிகளின் குழு என்று அழைக்கப்படுகிறது. இத்தகைய செயல்பாடுகள் காரணிகள் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன என்பதை நினைவில் கொள்க. சிக்கலான டோரியில் சிக்கலான டோரிக்கு, இந்த செயல்பாடுகள் கோசைக்கிள் நிலையைப் பின்பற்றும் செயல்பாடுகளால் வழங்கப்படுகின்றன. இவை தானியங்கி செயல்பாடுகள், இன்னும் துல்லியமாக, தீட்டா செயல்பாடுகளுக்கான மாற்ற விதிகளில் பயன்படுத்தப்படும் தானியங்கி செயல்பாடுகள். மேலும், அத்தகைய எந்த வரைபடத்தையும் எழுதலாம், இது தொடர்புடைய வரி மூட்டை தொடர்பான மாறிலிகளைக் கணக்கிட பயனுள்ளதாக இருக்கும். ஆட்டோமொர்பியின் காரணிகளிலிருந்து வரி மூட்டைகள் கொடுக்கப்பட்ட ஆட்டோமொர்பியின் ஒரு காரணியைக் கருத்தில் கொண்டு, ஒரு வரி மூட்டையை பின்வருமாறு வரையறுக்கலாம்ஃ அற்பமான வரி மூட்டையில் காரணிக்கு ஒரு-செயல் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. இந்த செயல் சுதந்திரமானது மற்றும் ஒழுங்காக தொடர்ச்சியற்றது என்பதால், ஈவு மூட்டை ஒரு சிக்கலான பன்மடங்கு ஆகும். மேலும், கவரிங் ப்ரொஜெக்ஷனில் இருந்து தூண்டப்பட்ட ப்ரொஜெக்ஷன். இது விரும்பிய முடிவைக் கொடுக்கும் ஒரு ஐசோமார்பிசத்தைத் தூண்டும் ஒரு வரைபடத்தை வழங்குகிறது. சிக்கலான டோரியைப் பொறுத்தவரை, சிக்கலான டோரியின் விஷயத்தில், தொடர்புடைய குழு கோஹோமோலஜியில் 1-கோசைல்களாக சிக்கலான டோரியின் மீது வரி மூட்டைகளைக் குறிக்கும் ஒரு ஐசோமார்பிசம் உள்ளது. குழுவை வரையறுக்கும் ஜாலகமாக எழுதுவது பொதுவானது, எனவே கோடு மூட்டைகளின் ஐசோமார்பிசம் வகுப்புகளைக் கொண்டுள்ளது. சிக்கலான டோரியில் முதல் செர்ன் வகை வரி மூட்டைகள் அதிவேக சரியான வரிசையில் இருந்து இணைக்கும் உருவவியல் முதல் செர்ன் வகுப்பு வரைபடமாகும், இது ஒரு வரி மூட்டையின் ஐசோமார்பிசம் வகுப்பை அதனுடன் தொடர்புடைய முதல் செர்ன் வகுப்பிற்கு அனுப்புகிறது. லட்டிஸில் உள்ள மாற்று வடிவங்களின் தொகுதிக்கும் இடையே ஒரு ஐசோமார்பிசம் உள்ளது என்று மாறிவிடும். எனவே, ஒரு மாற்று-மதிப்புள்ள 2-வடிவமாக கருதப்படலாம். தானியங்கி வீக்கத்தின் காரணி இருந்தால், மாற்று வடிவத்தை மற்றும் என வெளிப்படுத்தலாம். எடுத்துக்காட்டு நிலையான அடிப்படையைப் பயன்படுத்தி விரிவாக்கப்பட்ட ஒரு இயல்பாக்கப்பட்ட கால மேட்ரிக்ஸுக்கு, லட்டிஸை வரையறுக்கும் நெடுவரிசை திசையன்கள் எங்களிடம் உள்ளன. பின்னர், எந்த மாற்று படிவமும் பல பொருந்தக்கூடிய நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்ய வேண்டிய வடிவத்தில் உள்ளது. வரி மூட்டைகள் மற்றும் தீட்டா செயல்பாடுகளின் பிரிவுகள் தானியங்கி செயல்பாட்டின் ஒரு காரணியால் கொடுக்கப்பட்ட ஒரு வரி மூட்டைக்கு, எனவே, திறந்திருக்கும் இடங்களில் தொடர்புடைய பிரிவுகளின் உறை உள்ளது. பின்னர், உலகளாவிய பிரிவுகளில் மதிப்பீடு செய்யப்படுகிறது, இது ஹோலோமார்பிக் செயல்பாடுகளின் தொகுப்பாகும், அவை விமானத்தில் உள்ள தீட்டா செயல்பாடுகளாகும். மாறாக, தீட்டா செயல்பாட்டில் உள்ள தானியங்கி காரணி உண்மையில் ஒரு சிக்கலான டோரஸில் ஒரு கோடு மூட்டை வரையறுக்கும் தானியங்கி காரணியாக இருக்கும் இடத்தில் இந்த செயல்முறையை பின்னோக்கி செய்ய முடியும். ஹெர்மிடியன் வடிவங்கள் மற்றும் அப்பெல்-ஹம்பர்ட் தேற்றம் வரி மூட்டையுடன் தொடர்புடைய மாற்று-மதிப்புள்ள 2-வடிவத்திற்கு, அதை-மதிப்புள்ளதாக நீட்டிக்க முடியும். பின்னர், பின்வரும் நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்யும் எந்தவொரு மதிப்புள்ள மாற்று வடிவமும் ஒரு வரி மூட்டையின் சில முதல் செர்ன் வகுப்பின் நீட்டிப்பாகும். மேலும், எந்தவொரு நபருக்கும் திருப்திகரமான ஒரு தொடர்புடைய ஹெர்மிடியன் வடிவம் உள்ளது. ஒரு சிக்கலான டோரஸைப் பொறுத்தவரை, நெரோன்-செர்வேரி குழுவை ஹெர்மிடியன் வடிவங்களின் குழுவாக நாம் வரையறுக்கலாம், இது முதல் செர்ன் வகுப்பில் இருந்து ஹோமோமார்பிசத்தின் உருவமாகும். மாறி மாறி நிகழும் உண்மையான மதிப்புள்ள மாற்று வடிவங்களின் குழுவுடனும் நாம் அதை அடையாளம் காணலாம். நீள்வட்ட வளைவில் ஒரு ஹெர்மிடியன் வடிவத்தின் எடுத்துக்காட்டு ஜாலத்தால் கொடுக்கப்பட்ட ஒரு நீள்வட்ட வளைவுக்கு, ஒரு பொதுவான மாற்று மேட்ரிக்ஸைப் பார்த்து, அது எதிர்பார்த்தபடி செயல்படுவதற்கான சரியான பொருந்தக்கூடிய நிலைமைகளைக் கண்டறிவதன் மூலம் ஒருங்கிணைந்த வடிவத்தைக் காணலாம். நிலையான அடிப்படையை ஒரு உண்மையான திசையன் இடமாகப் பயன்படுத்தினால் (எனவே), நாம் ஒரு மாற்று மேட்ரிக்ஸை எழுதி, அதனுடன் தொடர்புடைய திசையன்களில் தொடர்புடைய தயாரிப்புகளைக் கணக்கிடலாம். இவை பின்னர், இந்த திசையன்களின் உள் விளைபொருள்களை (நிலையான உள் விளைபொருளுடன்) நாம் பெறும் திசையன்களுடன் எடுத்துக் கொண்டால், பின்னர் நாம் நேரடியாக சரிபார்க்கலாம், இது மேலே உள்ள மேட்ரிக்ஸுக்கு பொருந்தும். ஒரு நிலையானதற்கு, ஒருங்கிணைந்த வடிவத்தை இவ்வாறு எழுதுவோம். பின்னர், ஒரு தொடர்புடைய ஹெர்மிடியன் வடிவம் உள்ளது, அங்கு ஹெர்மிடியன் வடிவங்களுக்கான அரை-எழுத்து ஜோடிகள் ஒரு ஹெர்மிடியன் வடிவத்திற்கு ஒரு அரை-எழுத்து ஒரு வரைபடமாகும், எனவே வரைபடம் ஹெர்மிடியன் வடிவத்தால் முறுக்கப்பட்ட ஒரு எழுத்து போல செயல்படுகிறது. பூஜ்ஜிய உறுப்பு என்றால், அது அற்பமான வரி மூட்டைக்கு ஒத்திருந்தால், அதனுடன் தொடர்புடைய அரை எழுத்துக்கள் எழுத்துக்களின் குழுவாகும் என்பதை நினைவில் கொள்க. இது டிகிரி லைன் மூட்டைகளின் குழுவுடன் ஒத்திருக்கிறது, அல்லது அதற்கு சமமாக, அதன் இரட்டை டோரஸ், இது எழுத்துக்களின் குழுவைக் கணக்கிடுவதன் மூலம் காணலாம், அதன் கூறுகள் ஒரு எழுத்தைக் காட்டும் வரைபடங்களாக சில நிலையான இரட்டை லட்டிஸ் திசையனின் வடிவத்தில் உள்ளன. இது ஒரு உண்மையான டோரஸ் கொண்ட எழுத்துக்களின் தொகுப்பின் ஐசோமார்பிசத்தை வழங்குகிறது. அனைத்து ஜோடி அரை-எழுத்துக்கள் மற்றும் அவற்றுடன் தொடர்புடைய ஹெர்மிடியன் வடிவம் அல்லது அரை-எழுத்து ஜோடிகளின் தொகுப்பு ஒரு குழுவை உருவாக்குகிறது, அங்கு இந்த குழு அமைப்பு புதிய அரை-எழுத்துக்களுக்கு அரை-எழுத்துக்களுக்கான முந்தைய பரிமாற்றச் சட்டத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் வருகிறதுஃ இது மாறிவிடும் இந்த குழு மேல்நோக்கிச் செல்கிறது மற்றும் கர்னலைக் கொண்டுள்ளது, இது ஒரு குறுகிய சரியான வரிசையைக் கொடுக்கிறது ஒவ்வொரு அரை-எழுத்து ஜோடியுடனும் ஒரு வரி மூட்டை இணைப்பதன் மூலம் இந்த மேற்பரப்பை உருவாக்க முடியும். அரை-எழுத்து ஜோடிகள் மற்றும் வரி மூட்டைகள் ஒரு அரை-எழுத்து ஜோடிக்கு நாம் ஒரு 1-சுழற்சியை வரைபடமாக வரையறுக்கலாம். எனவே கோசைக்கிள் ஒரு வரி மூட்டையை தீர்மானிக்கிறது, அங்கு-செயல்பாடு வழங்கப்படுகிறது குறிப்பு இந்த செயல்பாட்டை வரி மூட்டையின் பிரிவுகள் தானியங்கி செயலிழப்பு காரணியுடன் தீட்டா செயல்பாடுகளால் வழங்கப்படுகின்றன என்பதைக் காட்ட பயன்படுத்தலாம். சில நேரங்களில், இது தானியங்கியின் நியதிக் காரணி என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒவ்வொரு வரி மூட்டையும் ஒரு தொடர்புடைய ஹெர்மிடியன் வடிவத்தைக் கொண்டிருப்பதால், தானியங்குத்தன்மை காரணியைப் பயன்படுத்தி ஒரு அரை-எழுத்தை உருவாக்க முடியும் என்பதால், நாம் ஒரு சர்ஜெக்ஷன் பெறுகிறோம். இந்த உண்மைகள் அனைத்தையும் பின்வரும் பரிமாற்ற வரைபடத்தில் சுருக்கமாகக் கூறலாம், அங்கு செங்குத்து அம்புகள் ஐசோமார்பிசம் அல்லது சமத்துவம் ஆகும். இந்த வரைபடம் பொதுவாக அப்பெல்-ஹம்பர்ட் தேற்றம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இரட்டை சிக்கலான டோரஸ் முன்பு குறிப்பிட்டபடி, லட்டிஸில் உள்ள ஒரு எழுத்தை சில நிலையான இரட்டை திசையனுக்கான செயல்பாடாக வெளிப்படுத்தலாம். அனைத்து எழுத்துக்களின் உண்மையான டோரஸில் ஒரு சிக்கலான கட்டமைப்பை வைக்க விரும்பினால், அதில் உட்பொதிக்கப்பட்ட ஒரு சிக்கலான திசையன் இடத்துடன் தொடங்க வேண்டும். சிக்கலான ஆன்டிலினியர் வரைபடங்களின் சிக்கலான திசையன் இடம், உண்மையான இரட்டை திசையன் இடத்திற்கு ஐசோமார்பிக் என்று மாறிவிடும், இது எழுத்துக்களை எழுதுவதற்கான காரணியாக்கத்தின் ஒரு பகுதியாகும். மேலும், டூயல் லட்டிஸ் ஆஃப் என்று அழைக்கப்படும் ஒரு தொடர்புடைய லட்டிஸ் உள்ளது. பின்னர், இரட்டை சிக்கலான டோரஸை நாம் உருவாக்கலாம், இது இரட்டை சிக்கலான டோரஸின் இரட்டை அசல் சிக்கலான டோரஸ் என்ற சிறப்பு பண்பைக் கொண்டுள்ளது. மேலும், மேலே உள்ள விவாதத்திலிருந்து, இரட்டை சிக்கலான டோரஸை பிகார்ட் குழுவுடன் அடையாளம் காண முடியும், இரட்டை சிக்கலான டோரஸ் வழியாக எந்த காரணிகளை வரைபடத்திற்கு வழங்குவதற்கு ஒரு எதிர்-நேரியல் இரட்டை திசையனை அனுப்புவதன் மூலம். அபெலியன் வகைகளின் கோட்பாட்டின் நுட்பங்களைப் பயன்படுத்தி இரட்டை சிக்கலான டோரஸின் பிற கட்டமைப்புகள் உள்ளன. அடிப்படையில், ஒரு சிக்கலான டோரஸ் (அல்லது அபெலியன் வகை) மீது ஒரு வரி மூட்டை எடுத்து, அவற்றின் மொழிபெயர்ப்புகள் மாறாத இடங்களின் புள்ளிகளாக வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு மூடிய துணைக்குழு உள்ளது, அதாவது. பின்னர், இரட்டை சிக்கலான டோரஸை ஒரு ஐசோஜெனியாக முன்வைக்கும் வகையில் கட்டமைக்க முடியும். இந்த வழியை வரையறுப்பது உலகளாவிய பண்புகளை திருப்திப்படுத்தியது என்பதைக் காட்டலாம், எனவே உண்மையில் இரட்டை சிக்கலான டோரஸ் (அல்லது அபெலியன் வகை) ஆகும். இரட்டை சிக்கலான டோரஸின் கட்டுமானத்திலிருந்து, டோரஸின் பெருக்கல் மற்றும் அதன் இரட்டை மீது ஒரு வரி மூட்டை இருக்க வேண்டும் என்று பரிந்துரைக்கப்படுகிறது, இது டிகிரி 0 வரி மூட்டைகளின் அனைத்து ஐசோமார்பிசம் வகுப்புகளையும் வழங்க பயன்படுத்தப்படலாம். இந்த நடத்தையை பின்வரும் இரண்டு பண்புகளுடன் நாம் குறியாக்கம் செய்யலாம், எந்தவொரு புள்ளிக்கும் வரி மூட்டை ஒரு அற்பமான வரி மூட்டை ஆகும், இதில் முதல் மேலே விவாதிக்கப்பட்ட பண்பு, இரண்டாவது இயல்பாக்குதல் பண்பாக செயல்படுகிறது. பின்வரும் ஹெர்மிடியன் வடிவத்தையும் அரை-எழுத்தையும் பயன்படுத்தி நாம் கட்டமைக்க முடியும். இந்த தரவைக் காண்பிப்பது விரும்பிய பண்புகளுடன் ஒரு வரி மூட்டை உருவாக்குகிறது, இது தொடர்புடைய நியதிக் காரணியைப் பார்ப்பதிலிருந்தும், பல்வேறு கட்டுப்பாடுகளில் அதன் நடத்தையைக் கவனிப்பதிலிருந்தும் பின்பற்றப்படுகிறது. மேலும் பார்க்கவும் பாயின்கேர் மூட்டை காம்ப்ளக்ஸ் லை குழு தானியங்கி செயல்பாடு காம்ப்ளக்ஸ் காம்ப்ளக்ஸ் இன்டர்மீடியட் ஜாகோபியன் எலிப்டிக் காமா செயல்பாடு குறிப்புகள் காம்ப்ளக்ஸ் 2 பரிமாண டோரி-சிக்கலான டோரி மீது அபெலியன் வகைகள் ஜெர்ப்ஸ் அல்லாத சிக்கலான டோரியைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான கருவிகளைக் கொடுக்கிறது-ஜன்னலில் மாறி மாறி வடிவங்களைப் பயன்படுத்துவதற்கான யோசனையை விரிவுபடுத்துகிறது, ஒரு சிக்கலான டோரஸில் கெர்ப்ஸை உருவாக்குகிறது-சிக்கலான டோரியில் கெர்ப்ஸின் எடுத்துக்காட்டுகளை உள்ளடக்கியது-சிக்கலான டோரி பி-அடிக் டோரி பி-அடிக் அபெலியன் ஒருங்கிணைப்புகளுக்கு நீட்டிக்கப்படலாம்ஃ கோட்பாட்டிலிருந்து ப்ராக்டீஸ் காம்ப்ளக்ஸ் வரை சிக்கலான மேற்பரப்புகள் பன்மடங்கு ஆபெலியன் வகைகள்