Hasse–Witt matrix
கணிதத்தில், ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட புலம் F மீது ஒரு ஒற்றை அல்லாத இயற்கணித வளைவு C இன் ஹாஸ்-விட் மேட்ரிக்ஸ் H என்பது ஃப்ரோபீனியஸ் மேப்பிங்கின் மேட்ரிக்ஸ் ஆகும் (p-th பவர் மேப்பிங் இதில் F q உறுப்புகளைக் கொண்டுள்ளது, q பகா எண் p இன் சக்தி) முதல் வகையான வேறுபாடுகளுக்கான அடிப்படையைப் பொறுத்தவரை. இது ஒரு g × g மேட்ரிக்ஸ் ஆகும், இதில் C க்கு g பேரினம் உள்ளது. ஹாஸ்-விட் மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை ஹாஸ் அல்லது ஹாஸ்-விட் மாறாதது. வரையறைக்கான அணுகுமுறை இந்த வரையறை, அறிமுகத்தில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளபடி, பாரம்பரிய சொற்களில் இயற்கையானது, இது ஹெல்மட் ஹாஸ் மற்றும் எர்ன்ஸ்ட் விட் (1936) காரணமாகும். இது சி இன் ஜாகோபியன் வகை ஜே இன் பி-தரவரிசை பற்றிய கேள்விக்கு ஒரு தீர்வை வழங்குகிறது; பி-தரவரிசை எச் தரவரிசையால் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது, குறிப்பாக இது ஃப்ரோபீனியஸ் வரைபடத்தின் தரவரிசையாகும். இது கொள்கையளவில் அல்காரிதம் கொண்ட ஒரு வரையறையாகும். சி ஒரு ஹைப்பர்லிப்டிக் வளைவின் விஷயத்தில், குறியாக்கவியலுக்கான நடைமுறை பயன்பாடு என இதில் கணிசமான சமீபத்திய ஆர்வம் உள்ளது. H = 0 என்றால் வளைவு C சூப்பர் ஸ்பெஷலாகும். அந்த வரையறைக்கு குறைந்தபட்சம் இரண்டு எச்சரிக்கைகள் தேவை. முதலாவதாக, ஃப்ரோபீனியஸ் வரைபடங்களைப் பற்றி ஒரு மரபு உள்ளது, மேலும் நவீன புரிதலின் கீழ் எச் க்கு என்ன தேவை என்பது ஃப்ரோபீனியஸின் இடமாற்றமாகும் (மேலும் விவாதத்திற்கு எண்கணிதம் மற்றும் வடிவியல் ஃப்ரோபீனியஸைப் பார்க்கவும்). இரண்டாவதாக, ஃப்ரோபீனியஸ் மேப்பிங் என்பது எஃப்-லீனியர் அல்ல; இது எஃப் இல் உள்ள Z/pZ பகா புலத்தின் மீது லீனியர் ஆகும். சீஃப் கோஹோமோலஜிக்கான விளக்கம் இதுஃ பி-பவர் வரைபடம் எச் 1 (சி, ஓ. சி) இல் செயல்படுகிறது, அல்லது வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், சி இன் முதல் கோஹோமோலஜி அதன் கட்டமைப்பு உறையில் உள்ள குணகங்களுடன் செயல்படுகிறது. இது இப்போது பியர் கார்டியர் மற்றும் யூரி மேனின் ஆகியோருக்கு கார்டியர்-மேனின் ஆபரேட்டர் (சில நேரங்களில் கார்டியர் ஆபரேட்டர்) என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஹாஸ்-விட் வரையறையுடனான தொடர்பு செர்ரே இரட்டைத்தன்மையின் மூலம் உள்ளது, இது ஒரு வளைவுக்கு அந்த குழுவை H0 (C, ωC) உடன் தொடர்புபடுத்துகிறது, அங்கு ωC = ωC என்பது C. அபெலியன் வகைகள் மற்றும் அவற்றின் p-தரவரிசையில் உள்ள காலர் வேறுபாடுகளின் உறையாகும். இது A இன் பரிமாணமான 0 முதல் d வரை எந்த மதிப்பையும் எடுக்கலாம்; வேறு எந்த பகா எண்ணுக்கும் மாறாக, A [l] இல் l2d புள்ளிகள் உள்ளன. p-தரவரிசை குறைவாக இருப்பதற்கான காரணம் என்னவென்றால், A இல் p ஆல் பெருக்கப்படுவது ஒரு பிரிக்க முடியாத ஐசோஜெனி ஆகும்ஃ வேறுபாடு p என்பது K இல் 0 ஆகும். கர்னலை ஒரு குழு திட்டமாகப் பார்ப்பதன் மூலம் ஒருவர் மிகவும் முழுமையான கட்டமைப்பைப் பெற முடியும் (குறிப்பு டேவிட் மம்ஃபோர்ட் அபெலியன் வகைகள் pp. 146-7); ஆனால் எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு பிரிவு சமன்பாட்டின் குறைப்பு முறை p ஐப் பார்த்தால், தீர்வுகளின் எண்ணிக்கை குறைய வேண்டும். கார்டியர்-மேனின் ஆபரேட்டர் அல்லது ஹாஸ்-விட் மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை, எனவே பி-தரவரிசைக்கு மேல் வரம்பைக் கொடுக்கிறது. பி-தரவரிசை என்பது ஃப்ரோபீனியஸ் ஆபரேட்டரின் தரவரிசையாகும், இது ஜி முறை மூலம் உருவாக்கப்பட்டது. ஹாஸ் மற்றும் விட்டின் அசல் கட்டுரையில் சிக்கல் J ஐ நம்பாமல், C க்கு உள்ளார்ந்த சொற்களில் சொல்லப்பட்டுள்ளது. செயல்பாட்டு புலம் F (C) இன் சாத்தியமான ஆர்டின்-ஷ்ரியர் நீட்டிப்புகளை வகைப்படுத்துவது பற்றிய கேள்வி உள்ளது (கும்மர் கோட்பாட்டின் இந்த விஷயத்தில் அனலாக்). பேரினம் 1 இன் வழக்கு நீள்வட்ட வளைவுகளின் வழக்கு 1934 இல் ஹாஸ்ஸால் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது. இந்த பேரினம் 1 ஆக இருப்பதால், H மேட்ரிக்ஸின் சாத்தியக்கூறுகள் பின்வருமாறுஃ H என்பது பூஜ்ஜியம், ஹாஸ் மாறாதது 0, p-தரவரிசை 0, மேற்பூச்சு வழக்கு; அல்லது H பூஜ்ஜியமற்றது, ஹாஸ் மாறாதது 1, p-தரவரிசை 1, சாதாரண வழக்கு. இங்கே ஒரு ஒத்திசைவு சூத்திரம் உள்ளது, இது H என்பது சி மீது உள்ள புள்ளிகளின் எண் N க்கு இணையான மாடுலோ p என்று கூறுகிறது, குறைந்தபட்சம் q = p ஆக இருக்கும்போது. நீள்வட்ட வளைவுகளில் ஹாஸ்ஸின் தேற்றத்தின் காரணமாக, N மாடுலோ p ஐ அறிந்துகொள்வது p ≤ 5 க்கு N ஐ தீர்மானிக்கிறது. உள்ளூர் ஜீட்டா செயல்பாடுகளுடனான இந்த தொடர்பு ஆழமாக ஆராயப்பட்டுள்ளது. f கனசதுரம் (X, Y, Z) = 0 ஆல் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு தள வளைவுக்கு, fp−1 இல் (XYZ) p−1 இன் குணகம் பூஜ்ஜியமாக இருந்தால் மட்டுமே ஹாஸ் மாறாதது பூஜ்ஜியமாகும். குறிப்புகள் குறிப்புகள் (ரஷ்ய அசலின் ஆங்கில மொழிபெயர்ப்பு) இயற்கணித வளைவுகள் வரையறுக்கப்பட்ட புலங்கள் மெட்ரிஸஸ் காம்ப்ளக்ஸ் பன்மடங்கு