Homography
ப்ரொஜெக்டிவ் வடிவவியலில், ஹோமோகிராஃபி என்பது ப்ரொஜெக்டிவ் ஸ்பேஸ்களின் ஐசோமார்பிசம் ஆகும், இது ப்ரொஜெக்டிவ் ஸ்பேஸ்கள் பெறப்படும் திசையன் ஸ்பேஸ்களின் ஐசோமார்பிசத்தால் தூண்டப்படுகிறது. இது ஒரு பைஜெக்ஷன் ஆகும், இது கோடுகளுக்கு கோடுகளை வரைபடமாக்குகிறது, இதனால் ஒரு கொலினேஷன். பொதுவாக, சில கொலினேஷன்கள் ஹோமோகிராஃபிகள் அல்ல, ஆனால் ப்ரொஜெக்டிவ் வடிவவியலின் அடிப்படை தேற்றம் குறைந்தபட்சம் இரண்டு பரிமாணங்களின் உண்மையான ப்ரொஜெக்டிவ் இடைவெளிகளின் விஷயத்தில் அவ்வாறு இல்லை என்று வலியுறுத்துகிறது. ஒத்த சொற்களில் புரொஜெக்டிவிட்டி, புரொஜெக்டிவ் ட்ரான்ஸ்பர்மேஷன் மற்றும் புரொஜெக்டிவ் கொலினேஷன் ஆகியவை அடங்கும். வரலாற்று ரீதியாக, யூக்ளிடிய வடிவவியலில் முன்னோக்கு மற்றும் கணிப்புகளைப் படிக்க ஹோமோகிராஃபிகள் (மற்றும் ப்ரொஜெக்டிவ் ஸ்பேஸ்கள்) அறிமுகப்படுத்தப்பட்டுள்ளன, மேலும் ஹோமோகிராஃபி என்ற சொல், சொற்பிறப்பியல் ரீதியாக, தோராயமாக "ஒத்த வரைதல்" என்று பொருள்படும், இந்த காலத்திலிருந்து தொடங்குகிறது. 19 ஆம் நூற்றாண்டின் இறுதியில், யூக்ளிடியன் அல்லது அஃபைன் இடைவெளிகளை முடிவிலியில் புள்ளிகளைச் சேர்ப்பதன் மூலம் விரிவுபடுத்துவதிலிருந்து வேறுபடும் திட்ட இடைவெளிகளின் முறையான வரையறைகள் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டன. "திட்டவட்டமான மாற்றம்" என்ற சொல் இந்த சுருக்கமான கட்டுமானங்களில் இருந்து உருவானது. இந்த கட்டுமானங்கள் இரண்டு வகுப்புகளாகப் பிரிக்கப்பட்டுள்ளன, அவை சமமானவை என்று நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளன. கொடுக்கப்பட்ட புலத்தின் மீது ஒரு திசையன் இடத்தின் கோடுகளின் தொகுப்பாக ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் ஸ்பேஸ் கட்டமைக்கப்படலாம் (மேலே உள்ள வரையறை இந்த பதிப்பை அடிப்படையாகக் கொண்டது); இந்த கட்டுமானம் ப்ரொஜெக்டிவ் ஆயத்தொகுதிகளின் வரையறையை எளிதாக்குகிறது மற்றும் ஹோமோகிராஃபிக்களின் ஆய்வுக்கு நேரியல் இயற்கணிதத்தின் கருவிகளைப் பயன்படுத்த அனுமதிக்கிறது. மாற்று அணுகுமுறை என்பது திட்டவட்டமான இடத்தை கோட்பாடுகளின் தொகுப்பின் மூலம் வரையறுப்பதில் உள்ளது, அவை வெளிப்படையாக எந்த புலத்தையும் உள்ளடக்குவதில்லை (நிகழ்வு வடிவியல், செயற்கை வடிவவியலையும் பார்க்கவும்); இந்த சூழலில், கொலினேஷன்களை ஹோமோகிராஃபிகளை விட வரையறுப்பது எளிது, மேலும் ஹோமோகிராஃபிகள் குறிப்பிட்ட கொலினேஷன்களாக வரையறுக்கப்படுகின்றன, இதனால் அவை "ப்ரொஜெக்டிவ் கொலினேஷன்கள்" என்று அழைக்கப்படுகின்றன. எளிமையின் பொருட்டு, வேறுவிதமாகக் கூறப்படாவிட்டால், இந்த கட்டுரையில் கருதப்படும் திட்ட இடைவெளிகள் ஒரு (பரிமாற்ற) புலத்தின் மீது வரையறுக்கப்பட வேண்டும். சமமாக பாப்பஸின் அறுகோண தேற்றம் மற்றும் டெசார்க்யூஸின் தேற்றம் ஆகியவை உண்மையாக இருக்க வேண்டும். முடிவுகளில் பெரும்பகுதி உண்மையாகவே உள்ளது, அல்லது இந்த கோட்பாடுகள் இல்லாத திட்ட வடிவவியலுக்கு பொதுமைப்படுத்தப்படலாம். வடிவியல் உந்துதல் வரலாற்று ரீதியாக, காட்சி முன்னோக்கைப் புரிந்துகொள்வதற்கும், விளக்குவதற்கும், படிப்பதற்கும், குறிப்பாக, வெவ்வேறு கண்ணோட்டங்களில் பார்க்கப்படும் இரண்டு சமதளப் பொருட்களின் தோற்றத்தில் உள்ள வேறுபாட்டைப் புரிந்துகொள்வதற்கும் ஹோமோகிராஃபி என்ற கருத்து அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. முப்பரிமாண யூக்ளிடியன் இடத்தில், O (மையம்) என்ற புள்ளியில் இருந்து O அடங்காத ஒரு பி தளத்தின் மீது ஒரு மையத் திட்டம் என்பது OA கோடு மற்றும் பி தளத்தின் குறுக்குவெட்டுக்கு (அது இருந்தால்) ஒரு புள்ளியை அனுப்பும் வரைபடமாகும். ஒரு புள்ளி O வழியாகச் செல்லும் தளத்திற்குச் சொந்தமானது மற்றும் P க்கு இணையாக இருந்தால் திட்டம் வரையறுக்கப்படவில்லை. யூக்ளிடியன் இடத்தை விரிவுபடுத்துவதன் மூலம் ப்ரொஜெக்டிவ் ஸ்பேஸ் என்ற கருத்து முதலில் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது, அதாவது, O ஐத் தவிர ஒவ்வொரு புள்ளிக்கும் புள்ளிகளைச் சேர்ப்பதன் மூலம், திட்டத்தை வரையறுக்க. O ஐக் கொண்டிராத மற்றொரு தளமான Q ஐப் பொறுத்தவரை, மேலே உள்ள திட்டத்தின் Q க்கு கட்டுப்பாடு ஒரு கண்ணோட்டம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த வரையறைகளுடன், ஒரு கண்ணோட்டம் ஒரு பகுதி செயல்பாடு மட்டுமே, ஆனால் அது ப்ரொஜெக்டிவ் ஸ்பேஸ்களுக்கு நீட்டிக்கப்பட்டால் அது ஒரு பைஜெக்ஷனாக மாறும். எனவே, இந்த கருத்து பொதுவாக ப்ரொஜெக்டிவ் ஸ்பேஸ்களுக்கு வரையறுக்கப்படுகிறது. எந்தவொரு புலத்தின் மீதும் எந்தவொரு பரிமாணத்தின் திட்ட இடைவெளிகளுக்கும் இந்த கருத்து பின்வரும் வழியில் எளிதில் பொதுமைப்படுத்தப்படுகிறதுஃ f என்பது P முதல் Q வரையிலான ஒரு கண்ணோட்டமாகவும், g என்பது Q முதல் P வரையிலான ஒரு கண்ணோட்டமாகவும் இருந்தால், வேறு மையத்துடன், பின்னர் P இலிருந்து ஒரு ஹோமோகிராஃபி ஆகும், இது ஒரு மைய கொலினேஷன் என்று அழைக்கப்படுகிறது, P இன் பரிமாணம் குறைந்தது இரண்டு ஆக இருக்கும்போது. (கீழே மற்றும் பார்க்கவும்.) முதலில், ஒரு ஹோமோகிராஃபி என்பது வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான கண்ணோட்டங்களின் கலவையாக வரையறுக்கப்பட்டது. இது திட்ட வடிவவியலின் அடிப்படை தேற்றத்தின் ஒரு பகுதியாகும் (கீழே காண்க) இந்த வரையறை அறிமுகத்தில் வரையப்பட்ட மற்றும் கீழே விவரிக்கப்பட்டுள்ள மிகவும் இயற்கணித வரையறையுடன் ஒத்துப்போகிறது. ஒரே மாதிரியான ஆயத்தொகுதிகளில் வரையறை மற்றும் வெளிப்பாடு ஒரு புலம் K மீது பரிமாணம் n இன் ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் ஸ்பேஸ் P (V) பரிமாணத்தின் K-வெக்டர் ஸ்பேஸ் V இல் தோற்றத்தின் வழியாக கோடுகளின் தொகுப்பாக வரையறுக்கப்படலாம். V இன் அடிப்படை நிர்ணயிக்கப்பட்டிருந்தால், V இன் ஒரு புள்ளியை Kn + 1 புள்ளியால் குறிக்கலாம். P (V) இன் ஒரு புள்ளி, V இல் ஒரு கோடு என்பதால், இந்த கோட்டின் பூஜ்ஜியமற்ற புள்ளியின் ஆயத்தொகுதிகளால் குறிப்பிடப்படலாம், எனவே அவை ப்ரொஜெக்டிவ் புள்ளியின் ஒரே மாதிரியான ஆயத்தொகுதிகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. ஒரே பரிமாணத்தின் இரண்டு திட்ட இடைவெளிகள் பி (வி) மற்றும் பி (டபிள்யூ) கொடுக்கப்பட்டால், ஒரு ஹோமோகிராஃபி என்பது பி (வி) முதல் பி (டபிள்யூ) வரை ஒரு வரைபடமாகும், இது திசையன் இடைவெளிகளின் ஐசோமார்பிசத்தால் தூண்டப்படுகிறது. அத்தகைய ஐசோமார்பிசம் P (V) இலிருந்து P (W) க்கு ஒரு பைஜெக்ஷனைத் தூண்டுகிறது, ஏனெனில் f இன் நேரியல் காரணமாக. அத்தகைய இரண்டு ஐசோமார்பிசம்கள், f மற்றும் g, K இன் பூஜ்ஜியமற்ற உறுப்பு a இருந்தால் மட்டுமே அதே ஹோமோகிராஃபியை வரையறுக்கிறது. இது பின்வரும் வழியில் ஒரே மாதிரியான ஆயத்தொகுதிகளின் அடிப்படையில் எழுதப்படலாம்ஃ ஒரு ஹோமோகிராஃபி φ என்பது ஹோமோகிராஃபியின் மேட்ரிக்ஸ் என்று அழைக்கப்படும் ஒரு நான்சீங்குலர் மேட்ரிக்ஸ் [ஏஆஇ, ஜே] மூலம் வரையறுக்கப்படலாம். இந்த மேட்ரிக்ஸ் K இன் பூஜ்ஜியமற்ற உறுப்பால் பெருக்கப்படும் வரை வரையறுக்கப்படுகிறது. ஒரு புள்ளியின் ஒரே மாதிரியான ஆயத்தொலைவுகளும் அதன் படத்தின் ஆயத்தொலைவுகளும் φ ஆல் தொடர்புபடுத்தப்படுகின்றன. ப்ரொஜெக்டிவ் இடைவெளிகள் முடிவிலியில் புள்ளிகளை இணைப்பதன் மூலம் வரையறுக்கப்படும்போது, முந்தைய சூத்திரங்கள், அஃபைன் ஆயத்தொலைவுகளில், அடுத்த பிரிவின் ஹோமோகிராஃபிக் செயல்பாட்டின் வெளிப்பாட்டை பொதுமைப்படுத்துகின்றன. இது அஃபைன் ஸ்பேஸ்களுக்கு இடையில் ஒரு பகுதி செயல்பாட்டை மட்டுமே வரையறுக்கிறது, இது ஹைப்பர்பிளேனுக்கு வெளியே மட்டுமே வரையறுக்கப்படுகிறது, அங்கு டினாமினேட்டர் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும். ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் கோட்டின் ஹோமோகிராஃபிகள் K புலத்தின் மீது உள்ள ப்ரொஜெக்டிவ் கோடு K மற்றும் ஒரு புள்ளியின் இணைப்புடன் அடையாளம் காணப்படலாம், இது "முடிவிலியில் உள்ள புள்ளி" என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் φ ஆல் குறிக்கப்படுகிறது (ப்ரொஜெக்டிவ் கோட்டைப் பார்க்கவும்). ப்ரொஜெக்டிவ் கோட்டின் இந்த பிரதிநிதித்துவத்துடன், ஹோமோகிராஃபிகள் என்பது மேப்பிங்ஸ் ஆகும், அவை ஹோமோகிராஃபிக் செயல்பாடுகள் அல்லது லீனியர் ஃப்ராக்ஷனல் டிரான்ஸ்பர்மேஷன்ஸ் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. ரீமன் கோளத்துடன் அடையாளம் காணக்கூடிய சிக்கலான ப்ரொஜெக்டிவ் கோட்டின் விஷயத்தில், ஹோமோகிராஃபிகள் மோபியஸ் உருமாற்றங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. இவை ரீமன் கோளத்தின் அந்த பைஜெக்ஷன்களுடன் துல்லியமாக ஒத்திருக்கின்றன, அவை நோக்குநிலையைப் பாதுகாக்கின்றன மற்றும் இணக்கமானவை. கொலினேஷன்களின் ஆய்வில், சிறிய பரிமாணம் காரணமாக ப்ரொஜெக்டிவ் கோடுகளின் வழக்கு சிறப்பு வாய்ந்தது. கோடு தனிமைப்படுத்தப்பட்ட ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் இடமாக பார்க்கப்படும்போது, ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் கோட்டின் புள்ளிகளின் எந்த வரிசைமாற்றமும் ஒரு கொலினேஷன் ஆகும், ஏனெனில் ஒவ்வொரு புள்ளிகளின் தொகுப்பும் கொலினியர் ஆகும். இருப்பினும், ப்ரொஜெக்டிவ் கோடு ஒரு உயர் பரிமாண ப்ரொஜெக்டிவ் இடத்தில் உட்பொதிக்கப்பட்டிருந்தால், அந்த இடத்தின் வடிவியல் கட்டமைப்பை கோட்டில் ஒரு வடிவியல் கட்டமைப்பை திணிக்க பயன்படுத்தலாம். எனவே, செயற்கை வடிவவியலில், கருதப்படும் ஹோமோகிராஃபிகள் மற்றும் ப்ரொஜெக்டிவ் கோட்டின் கொலினேஷன்கள் ஆகியவை உயர் பரிமாண இடைவெளிகளின் கொலினேஷன்களின் கோடு மற்றும் ஹோமோகிராஃபிகளுக்கான கட்டுப்பாடுகளால் பெறப்படுகின்றன. இதன் பொருள் என்னவென்றால், திட்ட வடிவவியலின் அடிப்படை தேற்றம் (கீழே காண்க) ஒரு பரிமாண அமைப்பில் செல்லுபடியாகும். வரைபடம் குறுக்கு விகிதங்களைப் பாதுகாக்கிறது என்று வலியுறுத்துவதன் மூலம் ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் கோட்டின் ஹோமோகிராஃபியும் சரியாக வரையறுக்கப்படலாம். ப்ரொஜெக்டிவ் பிரேம் மற்றும் ஆயத்தங்கள் ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் பிரேம் அல்லது ப்ரொஜெக்டிவ் பேஸ் ஆஃப் எ ப்ரொஜெக்டிவ் ஸ்பேஸ் ஆஃப் டைமென்ஷன் என்பது ஒரு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட புள்ளிகளின் தொகுப்பாகும், அவை எந்த ஹைப்பர்பிளேனிலும் இல்லை. ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் பிரேம் சில நேரங்களில் சிம்ப்ளக்ஸ் என்று அழைக்கப்படுகிறது, இருப்பினும் பரிமாண இடைவெளியில் ஒரு சிம்ப்ளக்ஸ் பெரும்பாலான செங்குத்துகளைக் கொண்டுள்ளது. ஒரு பரிமாற்ற புலத்தின் மீது உள்ள திட்ட இடைவெளிகள் இந்த பிரிவில் கருதப்படுகின்றன, இருப்பினும் பெரும்பாலான முடிவுகள் ஒரு பிரிவு வளையத்தின் மீது உள்ள திட்ட இடைவெளிகளுக்கு பொதுமைப்படுத்தப்படலாம். பரிமாணத்தின் ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் இடமாக இருக்கட்டும், அங்கு பரிமாணத்தின் ஒரு-வெக்டர் இடைவெளி உள்ளது, மேலும் பூஜ்ஜியமற்ற திசையனை அதைக் கொண்ட திசையன் கோட்டிற்கு வரைபடமாக்கும் நியதி திட்டமாக இருக்கட்டும். ஒவ்வொரு சட்டகத்திற்கும், சட்டகத்திற்கு ஒரு அடிப்படை உள்ளது, மேலும் இந்த அடிப்படை அதன் அனைத்து உறுப்புகளையும் ஒரே பூஜ்ஜியமற்ற உறுப்பால் பெருக்கும் வரை தனித்துவமானது. இதற்கு நேர்மாறாக, ஒரு அடிப்படையாக இருந்தால், அதன் ஒரு சட்டகம் பின்வருமாறு, இரண்டு சட்டகங்களைக் கொடுத்தால், சரியாக ஒரு ஹோமோகிராஃபி முதல் ஒன்றை இரண்டாவது சட்டத்தில் வரைகிறது. குறிப்பாக, ஒரு சட்டகத்தின் புள்ளிகளை சரிசெய்யும் ஒரே ஹோமோகிராஃபி அடையாள வரைபடமாகும். செயற்கை வடிவவியலில் இந்த முடிவு மிகவும் கடினமானது (இங்கு திட்ட இடைவெளிகள் கோட்பாடுகளின் மூலம் வரையறுக்கப்படுகின்றன). இது சில நேரங்களில் ப்ரொஜெக்டிவ் வடிவவியலின் முதல் அடிப்படை தேற்றம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒவ்வொரு சட்டமும் ஒரே மாதிரியான ஆயத்தொகுதிகள் என்றும் அழைக்கப்படும் திட்ட ஆயத்தொகுதிகளை வரையறுக்க அனுமதிக்கிறதுஃ ஒவ்வொரு புள்ளியும் இவ்வாறு எழுதப்படலாம்; இந்த சட்டகத்தின் திட்ட ஆயத்தொகுதிகள் அடித்தளத்தின் ஆயத்தொகுதிகள் ஆகும் மற்றும், சட்டகத்தையோ அல்லது p (v) யையோ மாற்றாமல், திட்ட ஆயத்தொகுதிகளை K இன் அதே பூஜ்ஜியமற்ற உறுப்பால் பெருக்குவதில் விளைகிறது என்பதை சரிபார்க்க கடினமாக இல்லை. இந்த அடிப்படையில், ஒரே மாதிரியான ஆயத்தொலைவுகள் வெறுமனே டப்பிளின் உள்ளீடுகள் (குணகங்கள்) ஆகும். அதே பரிமாணத்தின் மற்றொரு ப்ரொஜெக்டிவ் இடமும், அதன் ஒரு சட்டமும் கொடுக்கப்பட்டால், அதன் நியதிச் சட்டகத்தின் மீது ஒரே ஒரு ஹோமோகிராஃபி மேப்பிங் உள்ளது. சட்டகத்தில் உள்ள ஒரு புள்ளியின் ப்ரொஜெக்டிவ் ஆயத்தொலைவுகள் அதன் நியமன சட்டகத்தின் ஒரே மாதிரியான ஆயத்தொலைவுகளாகும். மையக் கொலினேஷன்கள் மேற்கண்ட பிரிவுகளில், ஹோமோகிராஃபிகள் லீனியர் அல்ஜீப்ரா மூலம் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளன. செயற்கை வடிவவியலில், அவை பாரம்பரியமாக சென்ட்ரல் கொலினேஷன்ஸ் எனப்படும் ஒன்று அல்லது பல சிறப்பு ஹோமோகிராஃபிகளின் கலவையாக வரையறுக்கப்படுகின்றன. இரண்டு வரையறைகளும் சமமானவை என்பது திட்ட வடிவவியலின் அடிப்படை தேற்றத்தின் ஒரு பகுதியாகும். ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் ஸ்பேஸ், பி, பரிமாணத்தில், பி இன் கொலினேஷன் என்பது பி முதல் பி வரை ஒரு பைஜெக்ஷன் ஆகும், இது கோடுகள் மீது கோடுகளை வரைபடமாக்குகிறது. ஒரு மைய இணைவு (பாரம்பரியமாக இவை கண்ணோட்டங்கள் என்று அழைக்கப்பட்டன, ஆனால் இந்த சொல் குழப்பமாக இருக்கலாம், மற்றொரு பொருளைக் கொண்டுள்ளது; கண்ணோட்டத்தைப் பார்க்கவும்) என்பது P முதல் P வரை ஒரு பைஜெக்ஷன் ஆகும், அதாவது ஒரு ஹைப்பர்பிளேன் H உள்ளது (α இன் அச்சு என்று அழைக்கப்படுகிறது), இது α ஆல் புள்ளி வாரியாக நிர்ணயிக்கப்படுகிறது (அதாவது, H இல் உள்ள அனைத்து புள்ளிகளுக்கும் X) மற்றும் ஒரு புள்ளி O (α இன் மையம் என்று அழைக்கப்படுகிறது), இது α ஆல் வரிசை வாரியாக நிர்ணயிக்கப்படுகிறது (O வழியாக எந்த வரியும் α ஆல் வரைபடமாக்கப்படுகிறது, ஆனால் புள்ளி வாரியாக அவசியமில்லை). இரண்டு வகையான சென்ட்ரல் கொலினேஷன்கள் உள்ளன. எலெய்ஷன்கள் என்பது மையக் கொலினேஷன்களாகும், இதில் மையம் அச்சுடன் இன்சிடென்ட் ஆகும், மேலும் ஹோமோலாஜிகள் என்பது அச்சுடன் மையம் இன்சிடென்ட் ஆக இல்லாதவை. ஒரு மைய இணைவு அதன் மையம், அதன் அச்சு மற்றும் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளி P இன் படம் α (P) ஆகியவற்றால் தனித்துவமாக வரையறுக்கப்படுகிறது, இது மைய O இலிருந்து வேறுபடுகிறது மற்றும் அச்சுக்கு சொந்தமானது அல்ல. (வேறு எந்தப் புள்ளியான Q இன் படமும் O மற்றும் Q ஆல் வரையறுக்கப்பட்ட கோட்டின் குறுக்குவெட்டு மற்றும் α (P) வழியாகச் செல்லும் கோடு மற்றும் P மற்றும் Q ஆல் வரையறுக்கப்பட்ட கோட்டின் அச்சுடன் குறுக்குவெட்டு ஆகும்.) ஒரு மைய இணைவு என்பது ஒரு (n + 1) × (n + 1) மேட்ரிக்ஸால் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு ஹோமோகிராஃபி ஆகும், இது n பரிமாணத்தின் ஐகென்ஸ்பேஸைக் கொண்டுள்ளது. மேட்ரிக்ஸ் மற்றொரு ஐகென் மதிப்பைக் கொண்டிருந்தால், அது மூலைவிட்டமாக இருந்தால் அது ஒரு ஹோமோலஜி ஆகும். அனைத்து ஐகென் மதிப்புகளும் சமமாக இருந்தால், மேட்ரிக்ஸ் மூலைவிட்டமாக இல்லாவிட்டால் இது ஒரு மகிழ்ச்சியாகும். ஒரு மைய கொலினேஷனின் வடிவியல் பார்வை ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் பிளேனில் பார்க்க எளிதானது. ஒரு மைய கொலினேஷன் α கொடுக்கப்பட்டால், மைய O வழியாக செல்லாத ஒரு கோட்டைக் கவனியுங்கள், அதன் படம் α இன் கீழ் உள்ளது. அமைப்பில், α இன் அச்சு என்பது M முதல் R வரையிலான ஒரு கோடு ஆகும். α இன் கீழ் உள்ள எந்த புள்ளியின் படமும் OA இன் குறுக்குவெட்டு ஆகும். ஒரு புள்ளி B இன் படம் B′ பின்வரும் வழியில் கட்டமைக்கப்படலாம்ஃ இரண்டு மைய கொலினேஷன்களின் கலவை, பொதுவாக ஒரு ஹோமோகிராஃபி என்றாலும், ஒரு மைய கொலினேஷன் அல்ல. உண்மையில், ஒவ்வொரு ஹோமோகிராஃபியும் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான மைய கொலினேஷன்களின் கலவையாகும். செயற்கை வடிவவியலில், ப்ரொஜெக்டிவ் வடிவவியலின் அடிப்படை கோட்பாட்டின் ஒரு பகுதியாக இருக்கும் இந்த பண்பு, ஹோமோகிராஃபிகளின் வரையறையாக எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது. ப்ரொஜெக்டிவ் வடிவவியலின் அடிப்படை தேற்றம் ஹோமோகிராஃபிகளைத் தவிர கொலினேஷன்களும் உள்ளன. குறிப்பாக, ஒரு புலம் F இன் எந்த புல தானியங்கி உருமாற்றமும் ஒரு புள்ளியின் அனைத்து ஒரே மாதிரியான ஆயத்தொகுப்புகளுக்கும் (ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் சட்டகத்தின் மீது) σ ஐப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் F க்கு மேல் உள்ள ஒவ்வொரு ப்ரொஜெக்டிவ் இடத்தின் இணைப்பையும் தூண்டுகிறது. இந்த இணைப்புகள் தானியங்கி இணைப்புகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. திட்ட வடிவவியலின் அடிப்படை கோட்பாடு பின்வரும் மூன்று கோட்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளது. ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் ஸ்பேஸ் P இன் இரண்டு ப்ரொஜெக்டிவ் பிரேம்களைப் பொறுத்தவரை, P இன் சரியாக ஒரு ஹோமோகிராஃபி உள்ளது, இது முதல் பிரேம்களை இரண்டாவது பிரேம்களின் மீது வரைபடமாக்குகிறது. ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் ஸ்பேஸ் P இன் பரிமாணம் குறைந்தது இரண்டு என்றால், P இன் ஒவ்வொரு கொலினேஷனும் ஒரு தானியங்கி கொலினேஷன் மற்றும் ஒரு ஹோமோகிராஃபியின் கலவையாகும். குறிப்பாக, யதார்த்தங்களுக்கு மேல், குறைந்தபட்சம் இரண்டு பரிமாணங்களைக் கொண்ட ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் இடத்தின் ஒவ்வொரு இணைப்பும் ஒரு ஹோமோகிராஃபி ஆகும். ஒவ்வொரு ஹோமோகிராஃபியும் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான கண்ணோட்டங்களின் கலவையாகும். குறிப்பாக, குறிக்கப்பட்ட ப்ரொஜெக்டிவ் ஸ்பேஸின் பரிமாணம் குறைந்தது இரண்டாக இருந்தால், ஒவ்வொரு ஹோமோகிராஃபியும் வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான மைய கொலினேஷன்களின் கலவையாகும். திட்ட இடைவெளிகள் கோட்பாடுகளால் (செயற்கை வடிவியல்) வரையறுக்கப்பட்டால், மூன்றாவது பகுதி வெறுமனே ஒரு வரையறையாகும். மறுபுறம், ப்ரொஜெக்டிவ் ஸ்பேஸ்கள் நேரியல் இயற்கணிதத்தின் மூலம் வரையறுக்கப்பட்டால், முதல் பகுதி வரையறைகளின் எளிதான இணைப்பாகும். எனவே, செயற்கை வடிவவியலில் முதல் பகுதியின் ஆதாரமும், நேரியல் இயற்கணிதத்தின் அடிப்படையில் மூன்றாவது பகுதியின் ஆதாரமும், ப்ரொஜெக்டிவ் ஸ்பேஸ்களை வரையறுக்கும் இரண்டு வழிகளின் சமநிலையின் ஆதாரத்தின் அடிப்படை படிகளாகும். ஹோமோகிராஃபி குழுக்கள் ஒவ்வொரு ஹோமோகிராஃபியும் ஒரு தலைகீழ் வரைபடத்தைக் கொண்டிருப்பதால், இரண்டு ஹோமோகிராஃபிகளின் கலவை மற்றொன்று, கொடுக்கப்பட்ட ப்ரொஜெக்டிவ் இடத்தின் ஹோமோகிராஃபிகள் ஒரு குழுவை உருவாக்குகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, மோபியஸ் குழு என்பது எந்தவொரு சிக்கலான ப்ரொஜெக்டிவ் கோட்டின் ஹோமோகிராஃபி குழுவாகும். ஒரே புலத்தின் மீது ஒரே பரிமாணத்தின் அனைத்து ப்ரொஜெக்டிவ் ஸ்பேஸ்களும் ஐசோமார்பிக் என்பதால், அவற்றின் ஹோமோகிராஃபி குழுக்களுக்கும் இது பொருந்தும். எனவே அவை பல இடைவெளிகளில் செயல்படும் ஒரு குழுவாகக் கருதப்படுகின்றன, மேலும் பரிமாணம் மற்றும் புலம் மட்டுமே குறியீட்டில் தோன்றும், குறிப்பிட்ட திட்ட இடைவெளி அல்ல. புரொஜெக்டிவ் லீனியர் குழுக்கள் என்றும் அழைக்கப்படும் ஹோமோகிராஃபி குழுக்கள் ஒரு புலம் F மீது பரிமாணம் n இன் புரொஜெக்டிவ் இடத்தில் செயல்படும்போது குறிக்கப்படுகின்றன. ஹோமோகிராஃபிகளின் மேலே உள்ள வரையறையானது ஈவுக் குழுவிற்கு அடையாளம் காணப்படலாம் என்பதைக் காட்டுகிறது, இங்கு தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸின் பொதுவான லீனியர் குழு, மற்றும் F × I என்பது அளவின் அடையாள மேட்ரிக்ஸின் F இன் பூஜ்ஜியமற்ற உறுப்பால் தயாரிப்புகளின் குழு. F ஒரு காலோயிஸ் புலம் GF (q) ஆக இருக்கும்போது, ஹோமோகிராஃபி குழு எழுதப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, வரையறுக்கப்பட்ட புலம் GF (7) மீது ப்ரொஜெக்டிவ் கோட்டில் உள்ள எட்டு புள்ளிகளில் செயல்படுகிறது, அதே நேரத்தில், மாற்று குழு A5 க்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும், இது ஐந்து புள்ளிகளைக் கொண்ட ப்ரொஜெக்டிவ் கோட்டின் ஹோமோகிராஃபி குழுவாகும். ஹோமோகிராஃபி குழு என்பது பரிமாணம் n கொண்ட ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் இடத்தின் கொலினேஷன்களின் கொலினேஷன் குழுவின் துணைக்குழுவாகும். ப்ரொஜெக்டிவ் இடத்தின் புள்ளிகள் மற்றும் கோடுகள் ஒரு தொகுதி வடிவமைப்பாகக் கருதப்படும்போது, அதன் தொகுதிகள் ஒரு வரியில் உள்ள புள்ளிகளின் தொகுப்புகளாகும், கொலினேஷன் குழுவை வடிவமைப்பின் தானியங்கி குழு என்று அழைப்பது பொதுவானது. குறுக்கு விகிதம் நான்கு கொலினியர் புள்ளிகளின் குறுக்கு விகிதம் என்பது ஹோமோகிராஃபியின் கீழ் மாறாதது, இது கோடுகளின் ஹோமோகிராஃபிகளைப் படிப்பதற்கு அடிப்படையாகும். மூன்று தனித்துவமான புள்ளிகள், மற்றும் ஒரு புலத்தின் மீது ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் கோட்டில் இந்த கோட்டின் ப்ரொஜெக்டிவ் சட்டகத்தை உருவாக்குகிறது. எனவே இந்த வரைபடத்தில் 0 மற்றும் 1 க்கு ஒரு தனித்துவமான ஹோமோகிராஃபி உள்ளது. அதே கோட்டில் நான்காவது புள்ளியைப் பொறுத்தவரை, நான்கு புள்ளிகளின் குறுக்கு விகிதம், மற்றும், குறிக்கப்படுகிறது, இதன் உறுப்பு ஆகும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ப்ரொஜெக்டிவ் சட்டகத்தின் மீது ஒரே மாதிரியான ஆயத்தொலைவுகள் இருந்தால், பின்னர். ஒரு வளையத்தின் மீது A என்பது ஒரு வளையம் மற்றும் U என்பது அதன் அலகுகளின் குழு என்று வைத்துக்கொள்வோம். ஹோமோகிராஃபிகள் ஏ மீது ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் கோட்டில் செயல்படுகின்றன, எழுதப்பட்ட பி (ஏ), இது ப்ரொஜெக்டிவ் ஆயத்தொகுப்புகளுடன் புள்ளிகளைக் கொண்டுள்ளது. பி (ஏ) இல் உள்ள ஹோமோகிராஃபிகள் மேட்ரிக்ஸ் வரைபடங்களால் விவரிக்கப்படுகின்றன, ஏ ஒரு பரிமாற்ற வளையமாக இருக்கும்போது, ஹோமோகிராஃபி எழுதப்படலாம், இல்லையெனில் நேரியல் பின்ன மாற்றம் ஒரு சமநிலையாக பார்க்கப்படுகிறதுஃ முழு எண்களின் Z வளையத்தின் ஹோமோகிராஃபி குழு மாடுலர் குழுவாகும். வளைய ஹோமோகிராஃபிகள் குவாட்டர்னியன் பகுப்பாய்விலும், திருகு கோட்பாட்டை எளிதாக்க இரட்டை குவாட்டர்னியன்களுடனும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. விண்வெளி நேரத்தின் இணக்கமான குழுவை ஹோமோகிராஃபிகளுடன் குறிப்பிடலாம், அங்கு A என்பது பைக்காடர்னியன்களின் கலவை இயற்கணிதம். வளையம் Z/nZ (முழு எண்கள் மாடுலோ n) ஆக இருக்கும்போது ஹோமோகிராஃபி என்பது காலமுறை ஆகும், அப்போதிருந்து ஆர்தர் கெய்லி 1879 ஆம் ஆண்டில் மறு செய்கைகளை கணக்கிடும்போது கால இடைவெளியில் ஆர்வமாக இருந்தார். ஹோமோகிராஃபிகளின் காலமுறைக்கு ஒரு முரட்டுத்தனமான சக்தி அணுகுமுறை பற்றிய தனது மதிப்பாய்வில், எச். எஸ். எம். காக்செட்டர் இந்த பகுப்பாய்வை வழங்கினார்ஃ ஒரு உண்மையான ஹோமோகிராஃபி இயல்பற்றது (காலம் 2 இன்) இருந்தால் மட்டுமே. இது காலத்துடன் அவ்வப்போது இருந்தால், அது நீள்வட்டமானது, மேலும் அதை அனுமானிப்பதன் மூலம் பொதுவான இழப்பு ஏற்படாது. சிறப்பியல்பு வேர்கள் ex (±hπi/m) என்பதால், அங்கு, சுவடு உள்ளது. எம். கோல் மற்றும் எஸ். லெவி ஆகியோரால் 1977 ஆம் ஆண்டு பிரெஞ்சு மூலத்திலிருந்து மொழிபெயர்க்கப்பட்ட டபிள்யூ-வளைவு குறிப்புகள் குறிப்புகள், 1987 ஆம் ஆண்டின் ஆங்கில மொழிபெயர்ப்பின் நான்காவது அச்சிடல் மேலும் படிக்க பேட்ரிக் டு வால் (1964) ஹோமோகிராஃபிகள், குவாட்டர்னியன்ஸ் மற்றும் சுழற்சிகள், ஆக்ஸ்போர்டு கணித மோனோகிராஃப்கள், கிளாரெண்டன் பிரஸ், ஆக்ஸ்போர்டு ஆகியவற்றைப் பார்க்கவும். குண்டர் எவால்ட் (1971) வடிவியல்ஃ ஒரு அறிமுகம், பக்கம் 263, பெல்மாண்ட்ஃ வாட்ஸ்வொர்த் பப்ளிஷிங். வெளிப்புற இணைப்புகள் திட்ட வடிவியல் மாற்றம் (செயல்பாடு)