Matrix differential equation
ஒரு வேறுபட்ட சமன்பாடு என்பது ஒன்று அல்லது பல மாறிகளின் அறியப்படாத செயல்பாட்டிற்கான கணித சமன்பாடாகும், இது செயல்பாட்டின் மதிப்புகளையும் பல்வேறு வரிசைகளின் அதன் வழித்தோன்றல்களையும் தொடர்புபடுத்துகிறது. ஒரு மேட்ரிக்ஸ் வேறுபாடு சமன்பாடு ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட செயல்பாடுகளை திசையன் வடிவத்தில் அடுக்கி, செயல்பாடுகளை அவற்றின் வழித்தோன்றல்களுடன் தொடர்புபடுத்தும் மேட்ரிக்ஸுடன் கொண்டுள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு முதல்-வரிசை அணி சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடு என்பது ஒரு அடிப்படை மாறியின் செயல்பாடுகளின் திசையன், இந்த செயல்பாடுகளின் முதல் வழித்தோன்றல்களின் திசையன் மற்றும் குணகங்களின் அணி ஆகும். மாறிலி மற்றும் n நேரியல் சுயாதீனமான ஐகென் வெக்டர்களைக் கொண்ட விஷயத்தில், இந்த வேறுபட்ட சமன்பாடு பின்வரும் பொதுவான தீர்வைக் கொண்டுள்ளது, A இன் ஐகென் மதிப்புகள் எங்கே; A இன் அந்தந்த ஐகென் வெக்டர்கள்; மற்றும் மாறிலிகள். மேலும் பொதுவாக, அதன் ஒருங்கிணைப்புடன் பயணித்தால், மேக்னஸ் விரிவாக்கம் முன்னணி வரிசைக்கு குறைகிறது, மேலும் வேறுபாடு சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வு ஒரு நிலையான திசையன். கெய்லி-ஹாமில்டன் தேற்றம் மற்றும் வாண்டர்மண்டே-வகை மேட்ரிக்ஸ்களைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், இந்த முறையான மேட்ரிக்ஸ் எக்ஸ்பொனென்ஷியல் தீர்வை ஒரு எளிய வடிவமாகக் குறைக்கலாம். கீழே, இந்த தீர்வு புட்ஸரின் வழிமுறையின் அடிப்படையில் காட்டப்படுகிறது. மேட்ரிக்ஸ் அமைப்பின் நிலைத்தன்மை மற்றும் நிலையான நிலை n × 1 அளவுரு நிலையான திசையன் b உடன் மேட்ரிக்ஸ் சமன்பாடு நிலையான மேட்ரிக்ஸ் A இன் அனைத்து ஐகென் மதிப்புகளும் எதிர்மறை உண்மையான பகுதியைக் கொண்டிருந்தால் மட்டுமே நிலையானது. நிலையான நிலையில் இருந்தால் அது ஒன்றிணைக்கும் நிலையான நிலை x * அமைப்பதன் மூலம் கண்டறியப்படுகிறது, இதனால் A என்பது தலைகீழ் என்று கருதுகிறது. எனவே, அசல் சமன்பாட்டை நிலையான நிலையில் இருந்து விலகல்களின் அடிப்படையில் ஒரே மாதிரியான வடிவத்தில் எழுதலாம், இதை வெளிப்படுத்த ஒரு சமமான வழி என்னவென்றால், x * என்பது ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டிற்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வாகும், அதே நேரத்தில் அனைத்து தீர்வுகளும் ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டிற்கு (b = 0) ஒரு தீர்வைக் கொண்ட வடிவத்தில் உள்ளன. n = 2 வழக்கில் (இரண்டு நிலை மாறிகளுடன்), மாற்றம் மேட்ரிக்ஸ் A இன் இரண்டு ஐகென் மதிப்புகள் ஒவ்வொன்றும் எதிர்மறை உண்மையான பகுதியைக் கொண்டுள்ளன என்ற நிலைத்தன்மை நிபந்தனைகள் A இன் சுவடு எதிர்மறையாகவும் அதன் தீர்மானிப்பவர் நேர்மறையாகவும் இருக்கும் நிபந்தனைகளுக்கு சமம். மேட்ரிக்ஸ் வடிவத்தில் தீர்வு முறையான தீர்வு மேட்ரிக்ஸ் எக்ஸ்பொனென்ஷியல் வடிவத்தை பல நுட்பங்களைப் பயன்படுத்தி மதிப்பீடு செய்கிறது. கணக்கீட்டிற்கான புட்ஜர் அல்காரிதம் ஐகென் மதிப்புகளுடன் ஒரு மேட்ரிக்ஸ் A கொடுக்கப்பட்டுள்ளது, இங்கு சமன்பாடுகள் எளிய முதல் வரிசை ஒரே மாதிரியான ODE களாகும். வழிமுறைக்கு மேட்ரிக்ஸ் ஏ மூலைவிட்டமாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை மற்றும் பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படும் ஜோர்டான் நியம வடிவங்களின் சிக்கல்களைத் தவிர்க்கிறது. ஒரு மேட்ரிக்ஸ் சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாட்டின் மறுசீரமைக்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டு ஒரு முதல்-வரிசை ஒரே மாதிரியான மேட்ரிக்ஸ் சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடு, இரண்டு செயல்பாடுகளில் x (t) மற்றும் y (t), மேட்ரிக்ஸ் வடிவத்திலிருந்து எடுக்கப்படும்போது, பின்வரும் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளதுஃ எங்கே,, மற்றும் ஏதேனும் தன்னிச்சையான அளவீடுகளாக இருக்கலாம். உயர் வரிசை மேட்ரிக்ஸ் ODE கள் மிகவும் சிக்கலான வடிவத்தைக் கொண்டிருக்கலாம். மறுசீரமைக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸ் சாதாரண வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது மேற்கண்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் செயல்முறை மற்றும் இந்த குறிப்பிட்ட வரிசை மற்றும் வடிவத்தின் தேவையான செயல்பாடுகளைக் கண்டுபிடிப்பது 3 முக்கிய படிகளைக் கொண்டுள்ளது. இந்த படிகள் ஒவ்வொன்றின் சுருக்கமான விளக்கங்களும் கீழே பட்டியலிடப்பட்டுள்ளனஃ ஐகென் மதிப்புகளைக் கண்டறிதல் ஐகென் திசையன்களைக் கண்டறிதல் தேவையான செயல்பாடுகளைக் கண்டறிதல் இந்த வகையான சாதாரண வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான இறுதி, மூன்றாவது படி பொதுவாக முந்தைய இரண்டு படிகளில் கணக்கிடப்பட்ட மதிப்புகளை ஒரு சிறப்பு பொது வடிவ சமன்பாட்டிற்குள் செருகுவதன் மூலம் செய்யப்படுகிறது, பின்னர் இந்த கட்டுரையில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது. மேட்ரிக்ஸ் ODE இன் தீர்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டு மேலே விவரிக்கப்பட்ட மூன்று படிகளின் படி ஒரு மேட்ரிக்ஸ் ODE ஐத் தீர்க்க, செயல்பாட்டில் எளிய மேட்ரிக்ஸ்களைப் பயன்படுத்தி, முதல் வரிசையின் பின்வரும் ஒரே மாதிரியான நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாட்டில், ஒற்றை சுயாதீன மாறியின் அடிப்படையில் ஒரு செயல்பாடு மற்றும் ஒரு செயல்பாடு இரண்டையும் கண்டுபிடிப்போம், இந்த குறிப்பிட்ட சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாட்டு முறையை தீர்க்க, தீர்வு செயல்முறையின் ஒரு கட்டத்தில், நமக்கு இரண்டு ஆரம்ப மதிப்புகளின் தொகுப்பு தேவைப்படும் (தொடக்க புள்ளியில் உள்ள இரண்டு நிலை மாறிகளுடன் தொடர்புடையது). இந்த வழக்கில், நாம் தேர்வு செய்வோம். முதல் படி ஏற்கனவே மேலே குறிப்பிட்டுள்ள முதல் படி, வழித்தோன்றல் குறியீடு x′ போன்றவற்றில் A இன் ஐகென் மதிப்புகளைக் கண்டுபிடிப்பதாகும். மேலே உள்ள திசையன்களில் ஒன்றில் காணப்படும் இது லாக்ரேஞ்சின் குறியீடு என்று அழைக்கப்படுகிறது (முதலில் ஜோசப் லூயிஸ் லாக்ரேஞ்சால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. இது முந்தைய சமன்பாட்டில் பயன்படுத்தப்பட்ட வழித்தோன்றல் குறியீடு dx/dt க்கு சமம், இது கோட்ஃபிரைட் லீப்னிஸின் பெயரைக் கௌரவிக்கும் லீப்னிஸின் குறியீடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. இரண்டு மாறிகளின் குணகங்கள் மேலே காட்டப்பட்டுள்ள மேட்ரிக்ஸ் வடிவம் A இல் எழுதப்பட்டவுடன், ஒருவர் ஐகென் மதிப்புகளை மதிப்பீடு செய்யலாம். அந்த நோக்கத்திற்காக, ஒரு அடையாள மேட்ரிக்ஸ், சில மாறிலிகளால் பெருக்கப்படும் போது, மேலே உள்ள குணக மேட்ரிக்ஸிலிருந்து கழிக்கப்பட்டு, அதன் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவையை வழங்கும்போது, அதன் பூஜ்ஜியங்களுக்குத் தீர்க்கும் போது உருவாகும் மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானகரைக் கண்டறியலாம். மேட்ரிக்ஸ் கூட்டல் விளைச்சலின் மேலும் எளிமைப்படுத்தல் மற்றும் அடிப்படை விதிகளைப் பயன்படுத்துவது ஒற்றை 2 × 2 மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயிப்பாளரைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான விதிகளைப் பயன்படுத்துவது, பின்வரும் அடிப்படை இருபடி சமன்பாட்டை அளிக்கிறது, இது மேற்கூறியவற்றின் எளிமையான பதிப்பைப் பெற மேலும் குறைக்கப்படலாம், இப்போது இரண்டு வேர்களைக் கண்டறிவது, மற்றும் காரணிமயமாக்கல் முறையைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் கொடுக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாட்டின் பெறுதல் மேலே கணக்கிடப்பட்ட மதிப்புகள் A இன் தேவையான ஐகென் மதிப்புகள் ஆகும். சில சந்தர்ப்பங்களில், மற்ற மேட்ரிக்ஸ் ODE இன் கூற்றுப்படி, ஐகென் மதிப்புகள் சிக்கலானதாக இருக்கலாம், இந்த விஷயத்தில் தீர்க்கும் செயல்முறையின் அடுத்த கட்டமும், இறுதி வடிவமும் தீர்வும் வியத்தகு முறையில் மாறக்கூடும். இரண்டாவது படி மேலே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, இந்த படி முதலில் வழங்கப்பட்ட தகவல்களிலிருந்து A இன் ஈஜென்வெக்டர்களைக் கண்டுபிடிப்பதை உள்ளடக்கியது. கணக்கிடப்பட்ட ஒவ்வொரு ஐகென் மதிப்புகளுக்கும், நம்மிடம் ஒரு தனிப்பட்ட ஐகென் வெக்டர் உள்ளது. முதல் ஐகென் மதிப்புக்கு, அதாவது, அடிப்படை மேட்ரிக்ஸ் பெருக்க விதிகளைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் மேலே உள்ள வெளிப்பாட்டை எளிமைப்படுத்தியுள்ளோம், இந்த கணக்கீடுகள் அனைத்தும் கடைசி வெளிப்பாட்டைப் பெற மட்டுமே செய்யப்பட்டுள்ளன, இது நம் விஷயத்தில் உள்ளது. இப்போது சில தன்னிச்சையான மதிப்பை எடுத்து, அநேகமாக, ஒரு சிறிய முக்கியமற்ற மதிப்பு, இது வேலை செய்ய மிகவும் எளிதானது, அல்லது (பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில், இது உண்மையில் ஒரு பொருட்டல்ல), நாம் அதை மாற்றிக்கொள்கிறோம். அவ்வாறு செய்வது ஒரு எளிய திசையனை உருவாக்குகிறது, இது இந்த குறிப்பிட்ட ஐகென் மதிப்பிற்கு தேவையான ஐகென் வெக்டர் ஆகும். எங்கள் விஷயத்தில், நாங்கள் தேர்வு செய்கிறோம், இது, அதைத் தீர்மானிக்கிறது, மேலும், நிலையான திசையன் குறியீட்டைப் பயன்படுத்தி, எங்கள் திசையன் நாம் கணக்கிட்ட இரண்டாவது ஐகென் மதிப்பைப் பயன்படுத்தி அதே செயல்பாட்டைச் செய்வது போல் தெரிகிறது, அதாவது, எங்கள் இரண்டாவது ஐகென் வெக்டரைப் பெறுகிறோம். இந்த திசையனை செயல்படுத்தும் செயல்முறை காட்டப்படவில்லை, ஆனால் இறுதி முடிவு மூன்றாவது படி இந்த இறுதி படி முதலில் நமக்கு வழங்கப்பட்ட வழித்தோன்றல்களுக்குப் பின்னால் 'மறைக்கப்பட்ட' தேவையான செயல்பாடுகளைக் கண்டறிகிறது. இரண்டு செயல்பாடுகள் உள்ளன, ஏனென்றால் நமது வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் இரண்டு மாறிகளைக் கையாள்கின்றன. நாம் முன்பு கண்டறிந்த அனைத்து தகவல்களையும் உள்ளடக்கிய சமன்பாடு பின்வரும் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளதுஃ ஐகென் மதிப்புகள் மற்றும் ஐகென் வெக்டர்களின் மதிப்புகளை மாற்றுவது விளைச்சல் மேலும் எளிமைப்படுத்துதல், மேலும் எளிமைப்படுத்துதல் மற்றும் செயல்பாடுகளுக்கான சமன்பாடுகளை எழுதுதல் மற்றும் தனித்தனியாக, மேலே உள்ள சமன்பாடுகள், உண்மையில், கோரப்பட்ட பொதுவான செயல்பாடுகள், ஆனால் அவை அவற்றின் பொதுவான வடிவத்தில் உள்ளன (மற்றும் குறிப்பிடப்படாத மதிப்புகளுடன்), அதே நேரத்தில் அவற்றின் சரியான வடிவங்களையும் தீர்வுகளையும் நாம் உண்மையில் கண்டுபிடிக்க விரும்புகிறோம். எனவே இப்போது சிக்கலின் கொடுக்கப்பட்ட ஆரம்ப நிபந்தனைகளை நாம் கருதுகிறோம் (கொடுக்கப்பட்ட ஆரம்ப நிபந்தனைகள் உட்பட சிக்கல் ஆரம்ப மதிப்பு சிக்கல் என்று அழைக்கப்படுகிறது). நமக்கு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம், இது நமது சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாட்டிற்கான தொடக்க புள்ளியின் பாத்திரத்தை வகிக்கிறது; இந்த நிபந்தனைகளின் பயன்பாடு மாறிலிகளைக் குறிப்பிடுகிறது, மற்றும். நிபந்தனைகளிலிருந்து நாம் பார்ப்பது போல், மேலே உள்ள சமன்பாடுகளின் இடது பக்கங்கள் 1 க்கு சமமாக இருக்கும். இவ்வாறு நாம் பின்வரும் நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பை உருவாக்கலாம், இந்த சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும்போது, மாறிலிகள் மற்றும் சமமான மூன்றில் இரண்டையும் நாம் காணலாம். எனவே இந்த மதிப்புகளை இந்த இரண்டு செயல்பாடுகளின் பொதுவான வடிவத்தில் மாற்றுவது அவற்றின் சரியான வடிவங்களைக் குறிப்பிடுகிறது, இரண்டு செயல்பாடுகளும் கோரப்படுகின்றன. மேட்ரிக்ஸ் எக்ஸ்பொனென்ஷியனைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் மேற்கண்ட சிக்கலை மேட்ரிக்ஸ் எக்ஸ்பொனென்ஷியலின் நேரடி பயன்பாட்டின் மூலம் தீர்க்க முடியும். அதாவது, (இது MATLAB இன் எக்ஸ்ப்ம் கருவி போன்ற பொருத்தமான கருவியைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படலாம், அல்லது மேட்ரிக்ஸ் மூலைவிட்டமாக்கலைச் செய்வதன் மூலமும், ஒரு மூலைவிட்ட மேட்ரிக்ஸின் மேட்ரிக்ஸ் எக்ஸ்பொனென்ஷியல் அதன் கூறுகளின் உறுப்பு வாரியான எக்ஸ்போனென்ஷியேஷனுக்கு சமம் என்ற பண்பைப் பயன்படுத்துவதன் மூலமும்) இறுதி முடிவு இது முன்பு காட்டப்பட்ட ஐகென்வெக்டர் அணுகுமுறையைப் போன்றது என்று நாம் கூறலாம். நியூட்டனின் குளிர் விதி ஃபிபோனாச்சி வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடு வேறுபாடு சமன்பாடு அலை சமன்பாடு தன்னாட்சி அமைப்பு (கணிதம்) குறிப்புகள் சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடுகள்