Azumaya algebra
கணிதத்தில், ஒரு அசுமயா இயற்கணிதம் என்பது ஒரு புலமாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லாத மைய எளிய ஆல்ஜிப்ராக்களை-ஆல்ஜிப்ராக்களாக பொதுமைப்படுத்துவதாகும். அத்தகைய கருத்து 1951 ஆம் ஆண்டு கோரோ அசுமாயாவின் காகிதத்தில் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது, இது ஒரு பரிமாற்ற உள்ளூர் வளையமாகும். இந்த கருத்து வளையக் கோட்பாட்டிலும், இயற்கணித வடிவவியலிலும் மேலும் உருவாக்கப்பட்டது, அங்கு அலெக்சாண்டர் கிரோதெண்டிக் 1964-65 இலிருந்து போர்பாக்கி கருத்தரங்குகளில் பிராவர் குழுவின் வடிவியல் கோட்பாட்டிற்கு அடிப்படையாக அமைந்தார். அடிப்படை வரையறைகளை அணுக பல புள்ளிகள் இப்போது உள்ளன. ஒரு வளையத்தின் மீது ஒரு பரிமாற்ற வளையத்தின் மீது ஒரு அசுமயா இயற்கணிதம் என்பது பின்வரும் சமமான நிபந்தனைகளுக்குக் கீழ்ப்படும் ஒரு-இயற்கணிதம் ஆகும்ஃ-ஆல்ஜிப்ராக்களின் டென்சர் பெருக்கல் மோரிட்டாவுக்கு சமமாக இருக்கும் வகையில் ஒரு-அல்ஜிப்ரா உள்ளது. - இயற்கணிதம் என்பது மோரிட்டாவுக்கு சமமானது, இதற்கு எதிர் இயற்கணிதம் எங்கே உள்ளது. இன் மையம், மற்றும் பிரிக்கக்கூடியது. ஒரு-தொகுதியாக இறுதியாக உருவாக்கப்படுகிறது, விசுவாசமானது மற்றும் திட்டவட்டமானது, மேலும் டென்சர் பெருக்கல் ஐசோமார்பிக் ஆகும் வரைபடத்தின் வழியாக அதன் எண்டோமார்ஃபிஸத்திற்கு அனுப்பப்படுகிறது. ஒரு புலத்தின் மீது எடுத்துக்காட்டுகள், அசுமயா ஆல்ஜிப்ராக்கள் ஆர்ட்டின்-வெடர்பர்ன் தேற்றத்தால் முழுமையாக வகைப்படுத்தப்படுகின்றன, ஏனெனில் அவை மைய எளிய ஆல்ஜிப்ராக்களைப் போலவே உள்ளன. இவை சில பிரிவு இயற்கணிதத்திற்கான மேட்ரிக்ஸ் வளையத்திற்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும், அதன் மையம் நியாயமானது. எடுத்துக்காட்டாக, குவாட்டர்னியன் ஆல்ஜிப்ராக்கள் மைய எளிய ஆல்ஜிப்ராக்களின் எடுத்துக்காட்டுகளை வழங்குகின்றன. ஒரு உள்ளூர் பரிமாற்ற வளையத்தைப் பொறுத்தவரை, ஒரு-இயற்கணிதம் ஒரு-தொகுதியாக நேர்மறை வரையறுக்கப்பட்ட தரவரிசை இல்லாமல் இருந்தால் மட்டுமே அது அசுமயா ஆகும், மேலும் இயற்கணிதம் ஒரு மைய எளிய இயற்கணிதம் என்றால், எனவே அனைத்து எடுத்துக்காட்டுகளும் மைய எளிய ஆல்ஜிப்ராக்களிலிருந்து வருகின்றன. சுழற்சி ஆல்ஜிப்ராக்கள் என்று அழைக்கப்படும் அசுமயா ஆல்ஜிப்ராக்களின் ஒரு வகை உள்ளது, இது ஒரு புலத்தின் மீது அசுமயா ஆல்ஜிப்ராக்களின் அனைத்து ஒற்றுமை வகுப்புகளையும் உருவாக்குகிறது, எனவே பிராயர் குழுவில் உள்ள அனைத்து உறுப்புகளும் (கீழே வரையறுக்கப்பட்டுள்ளன). டிகிரியின் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட சுழற்சி காலோயிஸ் புலம் நீட்டிப்பைக் கருத்தில் கொண்டால், ஒவ்வொரு மற்றும் எந்த ஜெனரேட்டருக்கும் ஒரு முறுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவை வளையம் உள்ளது, இது குறிக்கப்படுகிறது, இது ஒரு உறுப்பால் உருவாக்கப்படுகிறது, மேலும் பின்வரும் பரிமாற்ற பண்பு உள்ளதுஃ ஒரு திசையன் இடைவெளியில், ஒரு வடிவியல் ஒருங்கிணைந்த வகையைக் கொடுக்கும் குறிப்பால் கொடுக்கப்பட்ட பெருக்கத்துடன் அடிப்படையைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் ஈவு புலம் நீட்டிப்புக்கு தொடர்புடைய சுழற்சி இயற்கணிதமும் உள்ளது. ஒரு வளையத்தின் பிராவர் குழு புலங்களுக்கு மேல், எட்டேல் கோஹோமோலஜியைப் பயன்படுத்தி அசுமயா ஆல்ஜிப்ராக்களின் கோஹோமோலாஜிக்கல் வகைப்பாடு உள்ளது. உண்மையில், பிராவர் குழு என்று அழைக்கப்படும் இந்த குழுவை, ஒரு வளையத்தின் மீது உள்ள அசுமயா ஆல்ஜிப்ராக்களின் ஒற்றுமை வகுப்புகள் என்றும் வரையறுக்கலாம், அங்கு சில இயற்கை எண்களுக்கு வளையங்களின் ஐசோமார்பிசம் இருந்தால் வளையங்கள் ஒத்திருக்கும். பின்னர், இந்த சமநிலை உண்மையில் ஒரு சமநிலை உறவு, மற்றும் என்றால், பின்னர், காட்டுவது நன்கு வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாடாகும். இது ப்ராவர் குழு என்று அழைக்கப்படும் அத்தகைய சமநிலை வகுப்புகளின் தொகுப்பில் ஒரு குழு கட்டமைப்பை உருவாக்குகிறது, இது குறிக்கப்படுகிறது. மற்றொரு வரையறை ஈட்டேல் கோஹோமோலஜி குழுவின் முறுக்கு துணைக்குழுவால் வழங்கப்படுகிறது, இது கோஹோமோலாஜிக்கல் பிராயர் குழு என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த இரண்டு வரையறைகளும் ஒரு புலம் எப்போது என்பதை ஒப்புக்கொள்கின்றன. கலோயிஸ் கோஹோமோலஜியைப் பயன்படுத்தும் பிராயர் குழு கலோயிஸ் கோஹோமோலஜியைப் பயன்படுத்தும் பிராயர் குழுவிற்கு மற்றொரு சமமான வரையறை உள்ளது. ஒரு புலம் விரிவாக்கத்திற்கு ஒரு கோஹோமோலாஜிக்கல் பிராயர் குழு வரையறுக்கப்படுகிறது மற்றும் கோஹோமோலாஜிக்கல் பிராயர் குழு அனைத்து வரையறுக்கப்பட்ட கலோயிஸ் புலம் நீட்டிப்புகளிலும் கோலிமிட் எடுக்கப்பட்ட இடத்தில் வரையறுக்கப்படுகிறது. ஒரு உள்ளூர் புலத்திற்கான கணக்கீடு p-adic எண்கள் போன்ற ஒரு உள்ளூர் ஆர்க்கிமீடியன் அல்லாத புலத்தின் மீது, உள்ளூர் வகுப்பு புலக் கோட்பாடு அபெலியன் குழுக்களின் ஐசோமார்பிசத்தை வழங்குகிறதுஃ pg 193 இது அபெலியன் புலம் நீட்டிப்புகள் கொடுக்கப்பட்டதால் கலோயிஸ் குழுக்களின் ஒரு குறுகிய துல்லியமான வரிசை உள்ளது மற்றும் உள்ளூர் வகுப்பு புலக் கோட்பாட்டிலிருந்து, பின்வரும் பரிமாற்ற வரைபடம் உள்ளதுஃ செங்குத்து வரைபடங்கள் ஐசோமார்பிசங்கள் மற்றும் கிடைமட்ட வரைபடங்கள் ஊசி ஆகும். ஒரு புலத்திற்கான n-முறிவு ஒரு புலத்திற்கான ஒத்திசைவியலில் ஒரு நீண்ட துல்லியமான வரிசையை வழங்கும் கும்மர் வரிசை உள்ளது என்பதை நினைவில் கொள்க. ஹில்பர்ட்டின் தேற்றம் 90 குறிக்கிறது என்பதால், ஒற்றுமையின் th வேர்களில் குணகங்களைக் கொண்ட இரண்டாவது ஈட்டேல் கோஹோமோலஜி குழுவைக் காட்டும் ஒரு குறுகிய துல்லியமான வரிசை உள்ளது, இது ஒரு புலத்தின் மீது பிராயர் குழுவில் உள்ள n-முறிவு வகுப்புகளின் ஜெனரேட்டர்கள் காலோயிஸ் சின்னம் அல்லது நெறிமுறை-எச்ச சின்னம்,-முறிவு மில்னர் கே-கோட்பாட்டுக் குழுவிலிருந்து ஈட்டேல் கோஹோமோலஜி குழுவிற்கான வரைபடமாகும், இது ஹில்பர்ட்டின் தேற்றம் 90 ஐசோமார்பிசத்துடன் ஈட்டேல் கோஹோமோலஜியில் உள்ள கப் உற்பத்தியின் கலவையிலிருந்து வருகிறது, எனவே இது இந்த வரைபடக் காரணிகளைத் திருப்புகிறது, அதன் வகுப்பு ஒரு சுழற்சி இயற்கணிதத்தால் குறிக்கப்படுகிறது. கும்மர் நீட்டிப்புக்கு, சுழற்சி குழுவின் ஜெனரேட்டரை எடுத்து, கட்டமைக்கவும். காலோயிஸ் கோஹோமோலஜி மற்றும் ஈட்டேல் கோஹோமோலஜி மூலம் ஒரு மாற்று, ஆனால் சமமான கட்டுமானம் உள்ளது. அற்பமான தொகுதிகளின் குறுகிய துல்லியமான வரிசையைக் கவனியுங்கள் நீண்ட துல்லியமான வரிசை ஒரு வரைபடத்தை அளிக்கிறது தனித்துவமான எழுத்துக்கு, ஒரு தனித்துவமான லிப்ட் உள்ளது மற்றும் வகுப்பு ஹில்பெர்ட்ஸ் தேற்றம் 90 வரைபடத்திலிருந்து வந்தது என்பதைக் கவனியுங்கள். பின்னர், ஒற்றுமையின் ஒரு பழமையான வேர் இருப்பதால், ஒரு வகுப்பும் உள்ளது இது துல்லியமாக வர்க்கம் என்று மாறிவிடும். நெறிமுறை எச்ச ஐசோமார்பிசம் தேற்றம் காரணமாக, ஒரு ஐசோமார்பிசம் மற்றும்-முறிவு வகுப்புகள் சுழற்சி ஆல்ஜிப்ராக்களால் உருவாக்கப்படுகின்றன. ஸ்கோலெம்-நோய்தர் தேற்றம் அசுமயா ஆல்ஜிப்ராக்களைப் பற்றிய முக்கியமான கட்டமைப்பு முடிவுகளில் ஒன்று ஸ்கோலெம்-நோய்தர் தேற்றம் ஆகும்ஃ ஒரு உள்ளூர் பரிமாற்ற வளையம் மற்றும் ஒரு அசுமயா இயற்கணிதம் கொடுக்கப்பட்டால், அவற்றின் ஒரே தானியங்கி வடிவங்கள் உள் ஆகும். இதன் பொருள் என்னவென்றால், பின்வரும் வரைபடம் சர்ஜெக்டிவ் ஆகும்ஃ இதில் உள்ள அலகுகளின் குழு எங்கே இது முக்கியமானது, ஏனெனில் இது ஒரு திட்டத்தின் மீது அசுமயா ஆல்ஜிப்ராக்களின் ஒற்றுமை வகுப்புகளின் கோஹோமோலாஜிக்கல் வகைப்பாட்டுடன் நேரடியாக தொடர்புடையது. குறிப்பாக, இது ஒரு அசுமயா இயற்கணிதம் சிலருக்கு கட்டமைப்புக் குழுவைக் கொண்டுள்ளது என்பதைக் குறிக்கிறது, மேலும் செக் கோஹோமோலஜி குழு அத்தகைய மூட்டைகளின் கோஹோமோலாஜிக்கல் வகைப்பாட்டை வழங்குகிறது. பின்னர், இது சரியான வரிசையைப் பயன்படுத்துவதோடு தொடர்புடையதாக இருக்கலாம், இது முறுக்கு துணைக்குழுவின் துணைக்குழுவின் படம் என்று மாறிவிடும். அசல் கிரோதெண்டிக் கருத்தரங்கின் படி, கட்டமைப்பு உறையுடன் எக்ஸ் திட்டத்தில் ஒரு அசுமயா இயற்கணிதம் என்பது-ஆல்ஜிப்ராக்களின் உறையாகும், இது ஒரு மேட்ரிக்ஸ் இயற்கணிதம் உறையுடன் உள்ளூரில் ஐசோமார்பிக் ஆகும்; இருப்பினும், ஒவ்வொரு மேட்ரிக்ஸ் இயற்கணிதம் உறையும் நேர்மறை தரவரிசையில் இருக்க வேண்டும் என்ற நிபந்தனையை ஒருவர் சேர்க்க வேண்டும். இந்த வரையறை ஒரு அசுமயா இயற்கணிதத்தை உறையின் 'முறுக்கப்பட்ட வடிவமாக' ஆக்குகிறது. மில்னே, எடேல் கோஹோமோலஜி, இது-ஆல்ஜிப்ராக்களின் ஒரு உறை என்று வரையறையிலிருந்து தொடங்குகிறது, அதன் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் உள்ள தண்டு மேலே கொடுக்கப்பட்ட அர்த்தத்தில் உள்ளூர் வளையத்தின் மீது ஒரு அசுமயா இயற்கணிதமாகும். இரண்டு அசுமயா ஆல்ஜிப்ராக்கள் மற்றும் உள்ளூரில் ஃப்ரீ ஷீவ்ஸ் மற்றும் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் வரையறுக்கப்பட்ட பாசிட்டிவ் தரவரிசை இருந்தால் அவை சமமானவை, அதாவது எண்டோமார்பிசம் ஷீஃப் எங்கே. பிராவர் குழு (ஒரு புலத்தின் பிராவர் குழுவின் அனலாக்) என்பது அசுமயா ஆல்ஜிப்ராக்களின் சமநிலை வகுப்புகளின் தொகுப்பாகும். குழு செயல்பாடு டென்சர் பெருக்கல் மூலம் வழங்கப்படுகிறது, மற்றும் தலைகீழ் எதிர் இயற்கணிதத்தால் வழங்கப்படுகிறது. இது கோஹோமோலாஜிக்கல் பிராயர் குழுவிலிருந்து வேறுபட்டது என்பதை நினைவில் கொள்க, இது என வரையறுக்கப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டு விவரக்குறிப்பு (Z [1/n]) ஒரு புலத்தின் மீது ஒரு குவாட்டர்னியன் இயற்கணிதத்தின் கட்டுமானத்தை உலகமயமாக்கலாம், இது பரிமாற்றமற்ற-இயற்கணிதத்தைக் கருத்தில் கொள்வதன் மூலம், பின்னர்,-ஆல்ஜிப்ராக்களின் உறையாக, ஒரு அசுமயா இயற்கணிதத்தின் கட்டமைப்பைக் கொண்டுள்ளது. திறந்த அஃபைன் தொகுப்புக்கு மட்டுப்படுத்தப்படுவதற்கான காரணம் என்னவென்றால், குவாட்டர்னியன் இயற்கணிதம் புள்ளிகள் மீது ஒரு பிரிவு இயற்கணிதம் மற்றும் ஹில்பர்ட் சின்னம் இருந்தால் மட்டுமே இது உண்மை ஆனால் இறுதியாக பல பகா எண்கள். ஒரு புலத்தின் மீது ஒரு அசுமயா இயற்கணிதத்தைப் போல Pn ஓவர் அசுமயா ஆல்ஜிப்ராக்களைக் கட்டமைக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, எண்டோமார்பிசம் ஷீஃப் என்பது மேட்ரிக்ஸ் ஷீஃப் ஆகும், எனவே ஒரு குவாட்டர்னியன் இயற்கணிதம் போன்ற ஒரு அசுமயா இயற்கணிதத்துடன் டென்சர் செய்யப்பட்ட இந்த ஷீஃபிலிருந்து ஒரு அசுமயா இயற்கணிதத்தை உருவாக்க முடியும். யூரி மானினின் பணியைத் தொடர்ந்து, டயோஃபாண்டைன் வடிவவியலில் அசுமயா ஆல்ஜிப்ராக்களின் குறிப்பிடத்தக்க பயன்பாடுகள் உள்ளன. ஹாஸ் கொள்கைக்கு மானின் தடை என்பது பிராவர் குழுவின் திட்டங்களைப் பயன்படுத்தி வரையறுக்கப்படுகிறது. ஜெர்ப் வகுப்பு களக் கோட்பாடு இயற்கணித கே-கோட்பாடு உந்துதல் கோஹோமோலஜி நார்ம் ரெசிடு ஐசோமார்பிசம் தேற்றம் குறிப்புகள் பிராயர் குழு மற்றும் அசுமயா ஆல்ஜிப்ராஸ் மில்னே, ஜான் ஆகியவற்றைப் பார்க்கவும். ஈட்டேல் கோஹோமோலஜி. "அசுமயா ஆல்ஜிப்ராக்களின் தெளிவான எடுத்துக்காட்டுகள்" பிரிவு ஆல்ஜிப்ராக்கள் வளையக் கோட்பாடு திட்டக் கோட்பாடு ஆல்ஜிப்ராக்கள் பற்றிய சி. எச். IV மாத்தோவர்ஃப்ளோ நூல்