Higher-order singular value decomposition
பன்முக இயற்கணிதத்தில், ஒரு டென்சரின் உயர்-வரிசை ஒற்றை மதிப்பு சிதைவு (HOSVD) ஒரு குறிப்பிட்ட ஆர்த்தோகனல் டக்கர் சிதைவு ஆகும். இது மேட்ரிக்ஸ் ஒருமை மதிப்பு சிதைவின் ஒரு வகை பொதுமைப்படுத்தலாகக் கருதப்படலாம். இது கணினி பார்வை, கணினி கிராபிக்ஸ், இயந்திர கற்றல், அறிவியல் கணினி மற்றும் சமிக்ஞை செயலாக்கம் ஆகியவற்றில் பயன்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளது. 1928 ஆம் ஆண்டில் எஃப். எல். ஹிட்ச்காக் வரை சில அம்சங்களைக் கண்டறியலாம், ஆனால் எல். ஆர். டக்கர் தான் 1960 களில் மூன்றாம் வரிசை டென்சர்களுக்காக ஜெனரல் டக்கர் சிதைவை உருவாக்கினார், மேலும் எல். டி லாத்தவர் மற்றும் பலர் வாதிட்டனர். சக்தி முறையைப் பயன்படுத்தும் அவர்களின் பன்முக SVD வேலையில், அல்லது மாட்ரிக்ஸ் SVD ஐப் பயன்படுத்தும் ஒரு இணையான வழிமுறையான M-மோட் SVD ஐ உருவாக்கிய வாஸிலெஸ்கு மற்றும் டெர்சோபோலோஸ் ஆகியோரால் பரிந்துரைக்கப்பட்டது. உயர் வரிசை ஒற்றை மதிப்பு சிதைவு (எச். ஓ. எஸ். வி. டி) என்ற சொல் டெலாத்தாவர் என்று உருவாக்கப்பட்டது, ஆனால் இலக்கியத்தில் பொதுவாக எச். ஓ. எஸ். வி. டி என்று குறிப்பிடப்படும் வழிமுறை மற்றும் டக்கர் அல்லது டெலாத்தாவர் என்று கூறப்படும் வழிமுறை வசிலெஸ்கு மற்றும் டெர்சோபோலோஸால் உருவாக்கப்பட்டது. HOSVD இன் வலுவான மற்றும் L1-விதிமுறை அடிப்படையிலான வகைகளும் முன்மொழியப்பட்டுள்ளன. வரையறை இந்த கட்டுரையின் நோக்கத்திற்காக, சுருக்க டென்சர் ஒரு எம்-வே வரிசையாக சில அடிப்படைகளைப் பொறுத்து ஆயத்தொகுப்புகளில் கொடுக்கப்பட்டதாகக் கருதப்படுகிறது, மேலும் குறிக்கப்படுகிறது, இதில் எம் என்பது முறைகளின் எண்ணிக்கை மற்றும் டென்சரின் வரிசை. இது சிக்கலான எண்கள் மற்றும் இது உண்மையான எண்கள் மற்றும் தூய கற்பனை எண்கள் இரண்டையும் உள்ளடக்கியது. நிலையான முறை-m தட்டையான இடது ஒருமை திசையன்களின் அடிப்படையைக் கொண்ட ஒரு ஒற்றையாட்சி மேட்ரிக்ஸாக இருக்கட்டும், அதாவது j வது நெடுவரிசை j வது மிகப்பெரிய ஒருமை மதிப்புக்கு ஒத்திருக்கிறது. முறை/காரணி மேட்ரிக்ஸ் முறை m தட்டையான குறிப்பிட்ட வரையறையைப் பொறுத்தது அல்ல என்பதைக் கவனியுங்கள். மல்டி லீனியர் பெருக்கத்தின் பண்புகளால், எங்காவது கான்ஜுகேட் டிரான்ஸ்போஸைக் குறிக்கிறது. இரண்டாவது சமத்துவம் என்னவென்றால், அவை யூனிட்டரி மேட்ரிக்ஸ்கள். இப்போது கோர் டென்சரை வரையறுக்கவும் பின்னர், HOSVD என்பது சிதைவு ஆகும் மேலே உள்ள கட்டுமானம் ஒவ்வொரு டென்சருக்கும் ஒரு HOSVD இருப்பதை காட்டுகிறது. சுருக்கமான HOSVD ஒரு மேட்ரிக்ஸின் சுருக்கமான ஒற்றை மதிப்பு சிதைவு விஷயத்தில், ஒரு சிறிய HOSVD ஐக் கருத்தில் கொள்ள முடியும், இது பயன்பாடுகளில் மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும். இது நிலையான காரணி-m தட்டையான பூஜ்ஜியமற்ற ஒற்றை மதிப்புகளுடன் தொடர்புடைய இடது ஒற்றை திசையன்களின் அடிப்படையைக் கொண்ட ஒற்றையாட்சி நெடுவரிசைகளைக் கொண்ட ஒரு அணி என்று வைத்துக்கொள்வோம். பத்திகள் வரிசைப்படுத்தப்பட வேண்டும், அதாவது பத்தாவது நெடுவரிசை பத்தாவது மிகப்பெரிய பூஜ்ஜியமற்ற ஒருமை மதிப்புக்கு ஒத்திருக்கிறது. உருவத்தின் உருவத்திற்கு நெடுவரிசைகள் ஒரு அடிப்படையாக இருப்பதால், முதல் சமத்துவம் ஆர்த்தோகனல் கணிப்புகளின் பண்புகளால் (ஹெர்மிடியன் உள் விளைபொருளில்) மற்றும் கடைசி சமத்துவம் பன்முக பெருக்கத்தின் பண்புகளால் ஏற்படுகிறது. தட்டையானவை புறநிலை வரைபடங்கள் மற்றும் மேலே உள்ள சூத்திரம் அனைவருக்கும் செல்லுபடியாகும் என்பதால், கோர் டென்சர் இப்போது அளவில் இருப்பதை நாம் முன்பு போலவே காண்கிறோம். பன்முக தரவரிசை என்பது பன்முக தரவரிசையுடன் குறிக்கப்படுகிறது-. மல்டி லீனியர் தரவரிசை என்பது எங்கே ஒரு டப்பிள் ஆகும். அனைத்து டப்பிள்களும் பன்முக தரவரிசையில் இல்லை. பன்முக வரிசைகள் வரம்புக்குட்பட்டவை மற்றும் அது வைத்திருக்க வேண்டிய தடையை பூர்த்தி செய்கிறது. சிறிய HOSVD என்பது அதன் மைய டென்சரின் பரிமாணங்கள் டென்சரின் பன்முக தரவரிசையின் கூறுகளுடன் ஒத்திருக்கின்றன என்ற பொருளில் ஒரு தரவரிசை-வெளிப்படுத்தும் சிதைவு ஆகும். பின்வரும் வடிவியல் விளக்கம் முழு மற்றும் கச்சிதமான HOSVD இரண்டிற்கும் செல்லுபடியாகும். டென்சரின் பன்முக தரவரிசையாக இருக்கட்டும். இது ஒரு பன்முக வரிசை என்பதால், அதை பின்தொடர்தலாக விரிவுபடுத்தலாம், அங்கு அதன் th நிலையான அடிப்படை திசையன் உள்ளது. பன்முக பெருக்கத்தின் வரையறையின்படி, நெடுவரிசைகள் எங்கு உள்ளன என்பதை அது வைத்திருக்கிறது. இது ஒரு ஆர்த்தோனார்மல் டென்சர்களின் தொகுப்பு என்பதை சரிபார்க்க எளிதானது. இதன் பொருள் என்னவென்றால், பன்முக வரிசையாக கொடுக்கப்பட்ட குணகங்களுடன் குறிப்பாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட ஆர்த்தோனார்மல் அடிப்படையைப் பொறுத்து டென்சரை வெளிப்படுத்துவதற்கான ஒரு வழியாக HOSVD ஐ விளக்க முடியும். கணக்கீடு ஒரு தரவரிசையுடன் ஒரு டென்சராக இருக்கட்டும்-, அங்கு ஒரு துணைக்குழுவாக யதார்த்தங்களைக் கொண்டுள்ளது. கிளாசிக் கணக்கீடு மல்டி லீனியர் எஸ். வி. டி மற்றும் எம்-மோட் எஸ். வி. டி ஆகியவற்றைக் கணக்கிடுவதற்கான மூலோபாயம் 1960 களில் எல். ஆர். டக்கர் என்பவரால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது, மேலும் எல். டி லாத்தவர் மற்றும் பலர், வசிலெஸ்கு மற்றும் டெர்சோபுலஸ் ஆகியோரால் பரிந்துரைக்கப்பட்டது. HOSVD என்ற சொல் லீவன் டி லாத்தாவர் என்பவரால் உருவாக்கப்பட்டது, ஆனால் பொதுவாக இலக்கியத்தில் HOSVD என்று குறிப்பிடப்படும் வழிமுறை வாஸிலேஸ்கு மற்றும் டெர்சோபோலோஸ் ஆகியோரால் M-முறை SVD என்ற பெயரில் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. இது ஒரு இணையான கணக்கீடு ஆகும், இது ஆர்த்தோனார்மல் முறை மேட்ரிக்ஸ்களைக் கணக்கிட மேட்ரிக்ஸ் SVD ஐப் பயன்படுத்துகிறது. எம்-முறை எஸ். வி. டி.: இதற்கு, பின்வருவனவற்றைச் செய்யுங்கள்ஃ முறை-எம் தட்டையானதை உருவாக்குங்கள்; (கச்சிதமான) ஒருமை மதிப்பு சிதைவைக் கணக்கிடுங்கள், இடது ஒருமை திசையன்களைச் சேமிக்கவும்; பன்முனை பெருக்கம் இன்டர்லேசிங் கணக்கீடு மூலம் மைய டென்சரைக் கணக்கிடுங்கள் ஒரு மூலோபாயம், சில அல்லது அனைத்தும் மைய டென்சர் மற்றும் காரணி மேட்ரிக்ஸின் கணக்கீட்டை ஒன்றோடொன்று இணைக்கும் போது குறிப்பிடத்தக்க வகையில் வேகமாக இருக்கும், பின்வருமாறுஃ அமைக்கவும்; பின்வருவனவற்றைச் செய்யஃ நிலையான முறை-தட்டையானதை உருவாக்கவும்; (கச்சிதமான) ஒருமை மதிப்பு சிதைவைக் கணக்கிடவும், இடது ஒருமை திசையன்களைச் சேமிக்கவும்; அமைக்கவும் அல்லது, சமமாக, அமைக்கவும். HOSVD மைய டென்சரால் அசல் டென்சரை மேல் எழுதுவதன் மூலம் HOSVD ஐ இணைக்கப்பட்ட இடத்தில் வரிசைமுறையாக வெட்டப்பட்ட உயர் வரிசை ஒற்றை மதிப்பு சிதைவு (FIST-HOSVD) வழிமுறை மூலம் கணக்கிட முடியும், இது HOSVD ஐக் கணக்கிடுவதற்கான நினைவக நுகர்வை கணிசமாகக் குறைக்கிறது. தோராயப்படுத்தல் கீழே குறிப்பிடப்பட்டுள்ளதைப் போன்ற பயன்பாடுகளில், ஒரு பொதுவான சிக்கல் கொடுக்கப்பட்ட டென்சரை குறைக்கப்பட்ட பன்முக தரவரிசையுடன் தோராயமாக மதிப்பிடுவதாகும். முறைப்படி, மல்டி லீனியர் தரவரிசை குறிக்கப்பட்டால், கொடுக்கப்பட்ட குறைப்புக்கு தோராயமாக இருக்கும் உகந்ததைக் கணக்கிடுவது ஒரு நேரியல் அல்லாத கன்வெக்ஸ்-ஆப்டிமைசேஷன் சிக்கலாகும், அங்கு குறைக்கப்பட்ட மல்டி லீனியர் தரவரிசை உள்ளது, மேலும் நெறிமுறை ஃப்ரோபீனியஸ் நெறிமுறையாகும். இந்த உகப்பாக்கம் சிக்கலை தீர்க்க முயற்சிப்பதற்கான ஒரு எளிய யோசனை கிளாசிக் அல்லது இன்டர்லேஸ் செய்யப்பட்ட கணக்கீட்டின் படி 2 இல் (கச்சிதமான) எஸ். வி. டி. யை வெட்டுவதாகும். கிளாசிக் கணக்கீட்டில் படி 2 க்கு பதிலாக ஒரு தரவரிசை-துண்டிக்கப்பட்ட எஸ். வி. டி. யைக் கணக்கிடுவதன் மூலம் ஒரு கிளாசிக் முறையில் துண்டிக்கப்பட்ட எச். ஓ. எஸ். வி. டி பெறப்படுகிறது, மேலும் மேல் இடது ஒற்றை திசையன்களை சேமித்து வைக்கிறது; அதே நேரத்தில் தொடர்ச்சியான துண்டிக்கப்பட்ட எச். ஓ. எஸ். வி. டி (அல்லது தொடர்ச்சியாக துண்டிக்கப்பட்ட எச். ஓ. எஸ். வி. டி) இன்டர்லேஸ் செய்யப்பட்ட கணக்கீட்டில் படி 2 க்கு பதிலாக ஒரு தரவரிசை-துண்டிக்கப்பட்ட எஸ். வி. டி. யைக் கணக்கிடுவதன் மூலம் பெறப்படுகிறது, மேலும் மேல் இடது ஒற்றை திசையன்களை சேமிக்கிறது. துரதிர்ஷ்டவசமாக, வெட்டுதல் சிறந்த குறைந்த மல்டி லீனியர் தரவரிசை உகப்பாக்கம் சிக்கலுக்கு உகந்த தீர்வை ஏற்படுத்தாது. இருப்பினும், கிளாசிக்கல் மற்றும் இன்டர்லீவ் செய்யப்பட்ட துண்டிக்கப்பட்ட HOSVD இரண்டும் அரை உகந்த தீர்வை விளைவிக்கின்றனஃ கிளாசிக்கல் அல்லது தொடர்ச்சியான துண்டிக்கப்பட்ட HOSVD ஐக் குறிக்கிறது மற்றும் சிறந்த குறைந்த மல்டி லீனியர் தரவரிசை தோராய சிக்கலுக்கான உகந்த தீர்வைக் குறிக்கிறது என்றால், நடைமுறையில் இதன் பொருள் ஒரு சிறிய பிழையுடன் உகந்த தீர்வு இருந்தால், துண்டிக்கப்பட்ட HOSVD பல நோக்கங்களுக்காக போதுமான நல்ல தீர்வைத் தரும். பயன்பாடுகள் HOSVD பொதுவாக பல வழி வரிசைகளிலிருந்து பொருத்தமான தகவல்களைப் பிரித்தெடுப்பதற்கு பயன்படுத்தப்படுகிறது. 2000 களின் முற்பகுதியில் தொடங்கி, தரவு பகுப்பாய்வு, அங்கீகாரம் மற்றும் தொகுப்பு சிக்கல்களை பன்முக இழுவிசை சிக்கல்களாக மறுசீரமைப்பதன் மூலம் வாஸிலெஸ்கு காரண கேள்விகளுக்கு பதிலளித்தார். நடை அங்கீகாரம், முகம் அங்கீகாரம்-டென்சர் முகங்கள் மற்றும் கணினி கிராபிக்ஸ்-டென்சர் டெக்ஸ்டர்கள் ஆகியவற்றிற்கான மனித இயக்க கையொப்பங்களின் சூழலில், தரவு உருவாக்கத்தின் காரண காரணிகளின் அடிப்படையில் ஒரு படத்தை சிதைத்து பிரதிநிதித்துவப்படுத்துவதன் மூலம் டென்சர் கட்டமைப்பின் சக்தி காட்சிப்படுத்தப்பட்டது. சிக்னல் செயலாக்கம் மற்றும் பெரிய தரவுகளுக்கு HOSVD வெற்றிகரமாக பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது, எ. கா., மரபணு சிக்னல் செயலாக்கத்தில். இந்த பயன்பாடுகள் உயர்-வரிசை ஜி. எஸ். வி. டி (ஹோ ஜி. எஸ். வி. டி) மற்றும் டென்சர் ஜி. எஸ். வி. டி ஆகியவற்றிற்கும் உத்வேகம் அளித்தன. நோய் கண்காணிப்பில் சிக்கலான தரவு நீரோடைகளிலிருந்து (இடம் மற்றும் நேர பரிமாணங்களுடன் பன்முகத் தரவு) நிகழ்நேர நிகழ்வைக் கண்டறிய HOSVD மற்றும் SVD ஆகியவற்றின் கலவையும் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது. இது டென்சர் தயாரிப்பு மாதிரி மாற்றம் அடிப்படையிலான கட்டுப்படுத்தி வடிவமைப்பிலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது. எச். ஓ. எஸ். வி. டி என்ற கருத்தாக்கம் டி. பி மாடல் மாற்றம் மூலம் பரணி மற்றும் யாம் ஆகியோரால் செயல்பாடுகளுக்கு கொண்டு செல்லப்பட்டது. இந்த நீட்டிப்பு HOSVD-அடிப்படையிலான டென்சர் தயாரிப்பு செயல்பாடுகள் மற்றும் லீனியர் அளவுரு மாறுபடும் அமைப்பு மாதிரிகள் மற்றும் குவிந்த ஹல் கையாளுதல் அடிப்படையிலான கட்டுப்பாட்டு உகப்பாக்கம் கோட்பாட்டின் வரையறைக்கு வழிவகுத்தது, கட்டுப்பாட்டு கோட்பாடுகளில் TP மாதிரி மாற்றத்தைப் பார்க்கவும். பல பார்வை தரவு பகுப்பாய்விற்கு HOSVD பயன்படுத்த முன்மொழியப்பட்டது மற்றும் மரபணு வெளிப்பாட்டிலிருந்து சிலிகோ மருந்து கண்டுபிடிப்புக்கு வெற்றிகரமாக பயன்படுத்தப்பட்டது. வலுவான எல் 1-நார்ம் மாறுபாடு எல் 1-டக்கர் என்பது எல் 1-நார்ம் அடிப்படையிலான, டக்கர் சிதைவின் வலுவான மாறுபாடு ஆகும். L1-HOSVD என்பது L1-டக்கருக்கான தீர்வுக்கான HOSVD ஐ ஒத்ததாகும். குறிப்புகள் பன்முக இயற்கணிதம் டென்சர்கள்