Interval finite element
எண் பகுப்பாய்வில், இடைவெளி வரையறுக்கப்பட்ட உறுப்பு முறை (இடைவெளி FEM) என்பது இடைவெளி அளவுருக்களைப் பயன்படுத்தும் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட உறுப்பு முறையாகும். கட்டமைப்பின் நம்பகமான நிகழ்தகவு பண்புகளைப் பெற முடியாத சூழ்நிலைகளில் இடைவெளி FEM ஐப் பயன்படுத்தலாம். கான்கிரீட் கட்டமைப்புகள், மர கட்டமைப்புகள், புவி இயக்கவியல், கலப்பு கட்டமைப்புகள், உயிர் இயக்கவியல் மற்றும் பல பகுதிகளில் இது முக்கியமானது. இடைவேளை வரையறுக்கப்பட்ட கூறுகளின் குறிக்கோள் மாதிரியின் வெவ்வேறு பண்புகளின் மேல் மற்றும் கீழ் வரம்புகளைக் கண்டறிவதாகும் (எ. கா. மன அழுத்தம், இடப்பெயர்வுகள், விளைச்சல் மேற்பரப்பு போன்றவை) வடிவமைப்பு செயல்பாட்டில் இந்த முடிவுகளைப் பயன்படுத்துங்கள். இது மோசமான வழக்கு வடிவமைப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது, இது வரம்பு நிலை வடிவமைப்புடன் நெருக்கமாக தொடர்புடையது. மோசமான வழக்கு வடிவமைப்புக்கு நிகழ்தகவு வடிவமைப்பை விட குறைவான தகவல்கள் தேவைப்படுகின்றன, இருப்பினும் முடிவுகள் மிகவும் பழமைவாதமானவை [கோயிலூக்லு மற்றும் எலிஷாகோஃப் 1998]. நிச்சயமற்ற தன்மையை மாதிரியாக்குவதற்கான இடைவெளி அளவுருக்களின் பயன்பாடுகள் பின்வரும் சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள்ஃ இங்கு a மற்றும் b ஆகியவை உண்மையான எண்கள், மற்றும். பெரும்பாலும், a மற்றும் b அளவுருக்களின் சரியான மதிப்புகள் தெரியவில்லை. அதை மற்றும் என்று வைத்துக்கொள்வோம். இந்த விஷயத்தில், பின்வரும் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது அவசியம் இடைவெளி அளவுருக்களுடன் இந்த சமன்பாட்டின் தீர்வு தொகுப்புக்கு பல வரையறைகள் உள்ளன. இந்த அணுகுமுறையில் தீர்வு பின்வரும் தொகுப்பாகும் இது இடைவெளி சமன்பாட்டின் மிகவும் பிரபலமான தீர்வு தொகுப்பாகும், மேலும் இந்த தீர்வு தொகுப்பு இந்த கட்டுரையில் பயன்படுத்தப்படும். பன்முக விஷயத்தில் ஒருங்கிணைந்த தீர்வுகள் தொகுப்பு மிகவும் சிக்கலானது. பின்வரும் நேரியல் இடைவெளி சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் தீர்வு தொகுப்பு பின்வரும் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது சரியான தீர்வு தொகுப்பு மிகவும் சிக்கலானது, எனவே சரியான தீர்வு தொகுப்பைக் கொண்ட மிகச்சிறிய இடைவெளியைக் கண்டுபிடிப்பது அவசியம் அல்லது வெறுமனே இடைவேளை நேரியல் அமைப்பின் அளவுரு தீர்வு தொகுப்பைப் பார்க்கவும் இடைவெளி வரையறுக்கப்பட்ட உறுப்பு முறைக்கு அளவுரு-சார்ந்த சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் தீர்வு தேவைப்படுகிறது (பொதுவாக ஒரு சமச்சீர் நேர்மறை திட்டவட்டமான மேட்ரிக்ஸுடன்). சமன்பாடுகளின் பொது அளவுரு சார்ந்த அமைப்பின் தீர்வு தொகுப்பின் எடுத்துக்காட்டு கீழே உள்ள படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது. இந்த அணுகுமுறையில் x என்பது சமன்பாடு திருப்தி அடையும் ஒரு இடைவெளி எண். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், சமன்பாட்டின் இடது பக்கம் சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்திற்கு சமம். இந்த குறிப்பிட்ட விஷயத்தில் தீர்வு என்னவென்றால், நிச்சயமற்ற தன்மை அதிகமாக இருந்தால், அதாவது. , ஏனென்றால் நிச்சயமற்ற தன்மை இன்னும் அதிகமாக இருந்தால், அதாவது. , பின்னர் தீர்வு இல்லை. இயற்கணித இடைவெளி தீர்வு தொகுப்பின் இயற்பியல் விளக்கத்தைக் கண்டுபிடிப்பது மிகவும் சிக்கலானது. எனவே, பயன்பாடுகளில், ஒருங்கிணைந்த கரைசல் தொகுப்பு பொதுவாக பயன்படுத்தப்படுகிறது. முறை PDE ஐ இடைவெளி அளவுருக்களுடன் கருத்தில் கொள்ளுங்கள், அங்கு கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளிகளைச் சேர்ந்த அளவுருக்களின் திசையன் உள்ளது எடுத்துக்காட்டாக, வெப்ப பரிமாற்ற சமன்பாடு இடைவெளி அளவுருக்கள் (அதாவது. ). சமன்பாடு () இன் தீர்வை பின்வரும் வழியில் வரையறுக்கலாம் எடுத்துக்காட்டாக, வெப்ப பரிமாற்ற சமன்பாட்டின் விஷயத்தில் தீர்வு மிகவும் சிக்கலானது, ஏனெனில் நடைமுறையில் சரியான தீர்வு தொகுப்பைக் கொண்ட மிகச்சிறிய இடைவெளியைக் கண்டுபிடிப்பது மிகவும் சுவாரஸ்யமானது. எடுத்துக்காட்டாக, வெப்ப பரிமாற்ற சமன்பாட்டின் விஷயத்தில் ஃபைனைட் உறுப்பு முறை பின்வரும் அளவுரு சார்ந்த இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்புக்கு வழிவகுக்கிறது, அங்கு ஒரு விறைப்பு அணி மற்றும் வலது கை பக்கமாகும். இடைவெளி தீர்வை ஒரு பன்முக செயல்பாடாக வரையறுக்கலாம் மேலே உள்ள எளிய வழக்கில் அமைப்பை நேரியல் இடைவெளி சமன்பாடுகளின் அமைப்பாகக் கருதலாம். பின்வரும் உகப்பாக்கம் சிக்கலின் தீர்வாக இடைவெளி தீர்வை வரையறுக்க முடியும் பன்முக வழக்கில் இடைவெளி தீர்வை இடைவெளி தீர்வு மற்றும் நிகழ்தகவு தீர்வு என்று எழுதலாம். இடைவெளி அளவுரு அனைத்து சாத்தியமான நிகழ்தகவு விநியோகங்களையும் (for) கணக்கில் எடுத்துக்கொள்கிறது. இடைவெளி அளவுருவை வரையறுக்க, மேல் மற்றும் கீழ் வரம்பை மட்டுமே தெரிந்து கொள்ள வேண்டும். நிகழ்தகவு பண்புகளின் கணக்கீடுகளுக்கு நிறைய சோதனை முடிவுகளின் அறிவு தேவைப்படுகிறது. n இடைவெளி எண்களின் கூட்டுத்தொகை பொருத்தமான பொதுவாக விநியோகிக்கப்பட்ட சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டுத்தொகையை விட பல மடங்கு அகலமானது என்பதைக் காட்ட முடியும். n இடைவெளி எண்ணின் கூட்டுத்தொகை அந்த இடைவெளியின் அகலத்திற்கு சமம் பொதுவாக விநியோகிக்கப்பட்ட சீரற்ற மாறி X ஐக் கருத்தில் கொள்ளுங்கள், அதாவது பொதுவாக விநியோகிக்கப்பட்ட சீரற்ற மாறியின் கூட்டுத்தொகை பின்வரும் பண்புகளுடன் பொதுவாக விநியோகிக்கப்பட்ட சீரற்ற மாறி (சிக்ஸ் சிக்மாவைப் பார்க்கவும்) நிகழ்தகவு முடிவின் அகலம் 6 சிக்மாவுக்கு சமம் என்று நாம் கருதலாம் (சிக்ஸ் சிக்மாவை ஒப்பிடுக). இப்போது நாம் இடைவெளி முடிவின் அகலத்தையும் நிகழ்தகவு முடிவையும் ஒப்பிடலாம், இதன் காரணமாக இடைவெளி வரையறுக்கப்பட்ட உறுப்பின் முடிவுகள் (அல்லது பொதுவாக மோசமான-வழக்கு பகுப்பாய்வில்) சீரற்ற பெண் பகுப்பாய்வுடன் ஒப்பிடுகையில் மிகைப்படுத்தப்படலாம் (நிச்சயமற்ற தன்மையின் பரப்புதலையும் பார்க்கவும்). இருப்பினும், நிகழ்தகவு அல்லாத நிச்சயமற்ற நிலையில், தூய நிகழ்தகவு முறைகளைப் பயன்படுத்துவது சாத்தியமில்லை. ஏனெனில் அந்த வழக்கில் நிகழ்தகவு பண்பு சரியாக அறியப்படவில்லை (எலிஷாகோஃப் 2000). இடைவெளி அளவுருக்களுடன் சீரற்ற (மற்றும் தெளிவற்ற சீரற்ற மாறிகள்) கருத்தில் கொள்ள முடியும் (எ. கா. இடைவெளி சராசரி, மாறுபாடு போன்றவை). சில ஆராய்ச்சியாளர்கள் புள்ளிவிவரக் கணக்கீடுகளில் இடைவெளி அளவீடுகளைப் பயன்படுத்துகின்றனர் (எ. கா. ). இத்தகைய கணக்கீடுகளின் விளைவாக நாம் துல்லியமற்ற நிகழ்தகவு என்று அழைக்கப்படுவதைப் பெறுவோம். துல்லியமற்ற நிகழ்தகவு மிகவும் பரந்த அர்த்தத்தில் புரிந்து கொள்ளப்படுகிறது. கூர்மையான எண் நிகழ்தகவுகள் இல்லாமல் வாய்ப்பு அல்லது நிச்சயமற்ற தன்மையை அளவிடும் அனைத்து கணித மாதிரிகளையும் உள்ளடக்கும் பொதுவான சொல்லாக இது பயன்படுத்தப்படுகிறது. இது தரமான (ஒப்பீட்டு நிகழ்தகவு, பகுதி முன்னுரிமை வரிசைமுறைகள்) மற்றும் அளவு முறைகள் (இடைவெளி நிகழ்தகவுகள், நம்பிக்கை செயல்பாடுகள், மேல் மற்றும் கீழ் நடைமுறைகள்,) ஆகிய இரண்டையும் உள்ளடக்கியது. பொருத்தமான தகவல்கள் பற்றாக்குறையாகவோ, தெளிவற்றதாகவோ அல்லது முரண்பாடாகவோ இருக்கும் அனுமான சிக்கல்களிலும், விருப்பத்தேர்வுகள் முழுமையடையாத முடிவு சிக்கல்களிலும் துல்லியமற்ற நிகழ்தகவு மாதிரிகள் தேவைப்படுகின்றன. எளிய எடுத்துக்காட்டுஃ மாடலிங் டென்ஷன், கம்ப்ரஷன், ஸ்ட்ரெய்ன் மற்றும் ஸ்ட்ரெஸ்) 1-பரிமாண எடுத்துக்காட்டு டென்ஷன்-கம்ப்ரஷன் சிக்கலில், பின்வரும் சமன்பாடு இடப்பெயர்ச்சி மற்றும் விசைக்கு இடையிலான உறவைக் காட்டுகிறதுஃ எங்கே நீளம், குறுக்குவெட்டின் பரப்பளவு மற்றும் யங் மாடுலஸ் ஆகும். யங்கின் மாடுலஸ் மற்றும் விசை நிச்சயமற்றதாக இருந்தால், இடப்பெயர்ச்சியின் மேல் மற்றும் கீழ் வரம்புகளைக் கண்டறிய, பின்வரும் பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கணக்கிடுங்கள்ஃ இடப்பெயர்ச்சியின் தீவிர மதிப்புகளை பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடுங்கள்ஃ இடப்பெயர்ச்சிகளிலிருந்து வழித்தோன்றல்களைப் பயன்படுத்தி திரியின் வழித்தோன்றலைக் கணக்கிடுங்கள்ஃ இடப்பெயர்ச்சியின் தீவிர மதிப்புகளை பின்வருமாறு கணக்கிடுங்கள்ஃ இடப்பெயர்ச்சிகளைப் பயன்படுத்தி திரியின் தீவிர மதிப்புகளைக் கணக்கிடுவதும் சாத்தியமாகும். இடைவெளி FEM பன்முக நிகழ்வுகளில் மிகவும் ஒத்த முறையைப் பயன்படுத்துகிறது [Pownuk 2004]. இருப்பினும், பன்முக நிகழ்வுகளில் நிச்சயமற்ற அளவுருக்களுக்கும் தீர்வுக்கும் இடையிலான உறவு எப்போதும் மோனோடோன் அல்ல. அந்த சந்தர்ப்பங்களில், மிகவும் சிக்கலான தேர்வுமுறை முறைகள் பயன்படுத்தப்பட வேண்டும். பன்முக உதாரணம் பதற்றம்-சுருக்க சிக்கலின் விஷயத்தில் சமநிலை சமன்பாடு பின்வரும் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது, அங்கு இடப்பெயர்ச்சி, யங் மாடுலஸ், குறுக்குவெட்டு பகுதி மற்றும் விநியோகிக்கப்பட்ட சுமை. தனித்துவமான தீர்வைப் பெறுவதற்கு பொருத்தமான எல்லை நிபந்தனைகளைச் சேர்ப்பது அவசியம். எ. கா. யங்கின் மாடுலஸ் மற்றும் நிச்சயமற்றதாக இருந்தால், இடைவெளி தீர்வை பின்வரும் வழியில் வரையறுக்கலாம் ஒவ்வொரு FEM உறுப்புக்கும் சோதனை செயல்பாட்டால் சமன்பாட்டை பெருக்க முடியும், அங்கு பகுதிகளால் ஒருங்கிணைத்த பிறகு சமன்பாட்டை பலவீனமான வடிவத்தில் பெறுவோம், அங்கு ஒரு தொகுப்பை அறிமுகப்படுத்துவோம் கட்ட புள்ளிகள், அங்கு பல கூறுகள் உள்ளன, மேலும் ஒவ்வொரு FEM உறுப்புக்கும் நேரியல் வடிவ செயல்பாடுகள், உறுப்பின் இடது இறுதிப் புள்ளி, உறுப்பு எண் "e" இன் இடது இறுதிப் புள்ளி. "e"-th உறுப்பில் தோராயமான தீர்வு என்பது வடிவ செயல்பாடுகளின் நேரியல் கலவையாகும் சமன்பாட்டின் பலவீனமான வடிவத்திற்கு மாற்றாக பின்வரும் சமன்பாடுகளின் அமைப்பை அல்லது அணி வடிவத்தில் பெறுவோம். அதன் பிறகு சமன்பாடு பின்வரும் அணி வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது, அங்கு உலகளாவிய விறைப்பு அணி, தீர்வு திசையன், வலது புறம். பதற்றம்-சுருக்க சிக்கலின் விஷயத்தில் நாம் விநியோகிக்கப்பட்ட சுமையை புறக்கணித்தால், எல்லை நிலைமைகளை கணக்கில் எடுத்துக் கொண்ட பிறகு, விறைப்பு மேட்ரிக்ஸ் பின்வரும் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது வலது புறம் பின்வரும் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது யங் மாடுலஸ், குறுக்குவெட்டு பகுதி மற்றும் சுமை ஆகியவை நிச்சயமற்றவை மற்றும் சில இடைவெளிகளைச் சேர்ந்தவை என்று வைத்துக்கொள்வோம் இடைவெளி தீர்வை பின்வரும் வழியில் கணக்கிடலாம் இடைவெளி திசையனின் கணக்கீடு பொதுவாக NP-கடினமானது, இருப்பினும் குறிப்பிட்ட சந்தர்ப்பங்களில் பல பொறியியல் பயன்பாடுகளில் பயன்படுத்தக்கூடிய தீர்வை கணக்கிட முடியும். கணக்கீடுகளின் முடிவுகள் இடைவெளி இடப்பெயர்வுகள் ஆகும், நெடுவரிசையில் உள்ள இடப்பெயர்வுகள் கொடுக்கப்பட்ட சில மதிப்பை விட சிறியதாக இருக்க வேண்டும் என்று வைத்துக்கொள்வோம் (பாதுகாப்பு காரணமாக). இடைவெளி தீர்வு அனைத்து பாதுகாப்பு நிபந்தனைகளையும் பூர்த்தி செய்தால் நிச்சயமற்ற அமைப்பு பாதுகாப்பானது. இந்த குறிப்பிட்ட வழக்கில் அல்லது எளிமையான பின் செயலாக்கத்தில், இடைவெளி அழுத்தம், இடைவெளி திரிபு மற்றும் இடைவெளி வரம்பு நிலை செயல்பாடுகளைக் கணக்கிடலாம் மற்றும் வடிவமைப்பு செயல்பாட்டில் இந்த மதிப்புகளைப் பயன்படுத்தலாம். கட்டமைப்புகளின் நம்பகமான நிகழ்தகவு பண்புகளை உருவாக்க போதுமான தகவல்கள் இல்லாத சிக்கல்களின் தீர்வுக்கு இடைவெளி வரையறுக்கப்பட்ட உறுப்பு முறையைப் பயன்படுத்தலாம் (எலிஷாகோஃப் 2000). இடைவெளி வரையறுக்கப்பட்ட உறுப்பு முறையை துல்லியமற்ற நிகழ்தகவு கோட்பாட்டிலும் பயன்படுத்தலாம். இறுதிப் புள்ளிகள் சேர்க்கை முறை இடைவெளியின் இறுதிப் புள்ளிகளின் சாத்தியமான அனைத்து சேர்க்கைகளுக்கும் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க முடியும். இடைவெளியின் அனைத்து செங்குத்துகளின் பட்டியலையும் இவ்வாறு எழுதலாம். தீர்வின் மேல் மற்றும் கீழ் வரம்பை பின்வரும் வழியில் கணக்கிடலாம் எண்ட்பாயிண்ட்ஸ் காம்பினேஷன் முறை பொதுவாக துல்லியமான தீர்வை வழங்குகிறது; துரதிர்ஷ்டவசமாக இந்த முறை அதிவேக கணக்கீட்டு சிக்கலைக் கொண்டுள்ளது மற்றும் பல இடைவெளி அளவுருக்கள் கொண்ட சிக்கல்களுக்கு பயன்படுத்த முடியாது. டெய்லர் விரிவாக்க முறை டெய்லர் தொடரைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் செயல்பாட்டை விரிவுபடுத்தலாம். எளிமையான வழக்கில் டெய்லர் தொடர் நேரியல் தோராயத்தை மட்டுமே பயன்படுத்துகிறது பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி தீர்வின் மேல் மற்றும் கீழ் வரம்பைக் கணக்கிட முடியும் முறை மிகவும் திறமையானது, இருப்பினும் இது மிகவும் துல்லியமானது அல்ல. துல்லியத்தை மேம்படுத்துவதற்காக உயர் வரிசை டெய்லர் விரிவாக்கம் [Pownuk 2004] பயன்படுத்த முடியும். இந்த அணுகுமுறையை இடைவெளி வரையறுக்கப்பட்ட வேறுபாடு முறை மற்றும் இடைவெளி எல்லை உறுப்பு முறை ஆகியவற்றிலும் பயன்படுத்தலாம். சாய்வு முறை வழித்தோன்றல்களின் அடையாளம் நிலையானதாக இருந்தால், செயல்பாடுகள் மோனோடோன் மற்றும் சரியான தீர்வை மிக வேகமாக கணக்கிட முடியும். அப்படியானால், தீர்வின் தீவிர மதிப்புகளை பின்வரும் வழியில் கணக்கிட முடியும் பல கட்டமைப்பு பொறியியல் பயன்பாடுகளில் முறை சரியான தீர்வை வழங்குகிறது. தீர்வு மோனோடோன் இல்லையென்றால், தீர்வு பொதுவாக நியாயமானது. முறையின் துல்லியத்தை மேம்படுத்துவதற்காக மோனோடோனிசிட்டி சோதனைகள் மற்றும் உயர் வரிசை உணர்திறன் பகுப்பாய்வு ஆகியவற்றைப் பயன்படுத்த முடியும். கணக்கீட்டு இயக்கவியலின் நேரியல் மற்றும் நேரியல் அல்லாத சிக்கல்களின் தீர்வுக்கு இந்த முறையைப் பயன்படுத்தலாம் [Pownuk 2004]. சிவில் பொறியியல் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான உணர்திறன் பகுப்பாய்வு முறையின் பயன்பாடுகளை பின்வரும் காகிதத்தில் காணலாம் [எம். வி. ராமராவ், ஏ. பௌனுக் மற்றும் ஐ. ஸ்கல்னா 2008]. இந்த அணுகுமுறையை இடைவெளி வரையறுக்கப்பட்ட வேறுபாடு முறை மற்றும் இடைவெளி எல்லை உறுப்பு முறை ஆகியவற்றிலும் பயன்படுத்தலாம். உறுப்பு முறை மூலம் உறுப்பு முஹன்னா மற்றும் முல்லன் இடைவெளி அளவுருக்களுடன் வரையறுக்கப்பட்ட உறுப்பு சமன்பாட்டின் தீர்வுக்கு உறுப்பு உருவாக்கம் மூலம் உறுப்பைப் பயன்படுத்தினர். அந்த முறையைப் பயன்படுத்தி டிரஸ் மற்றும் பிரேம் கட்டமைப்புகளின் விஷயத்தில் உத்தரவாதமான துல்லியத்துடன் தீர்வைப் பெற முடியும். இடையூறு முறைகள் தீர்வு விறைப்பு அணி மற்றும் சுமை திசையன் ஆகியவை இடையூறு கோட்பாட்டைப் பயன்படுத்தி விரிவுபடுத்தப்படலாம். இடையூறு கோட்பாடு இடைவெளி தீர்வின் தோராயமான மதிப்புக்கு வழிவகுக்கிறது. இந்த முறை மிகவும் திறமையானது மற்றும் கணக்கீட்டு இயக்கவியலின் பெரிய சிக்கல்களுக்கு பயன்படுத்தப்படலாம். மறுமொழி மேற்பரப்பு முறை மறுமொழி மேற்பரப்பைப் பயன்படுத்தி தீர்வை தோராயமாக மதிப்பிட முடியும். பின்னர் இடைவெளி தீர்வைப் பெற மறுமொழி மேற்பரப்பைப் பயன்படுத்த முடியும். மறுமொழி மேற்பரப்பு முறையைப் பயன்படுத்தி கணக்கீட்டு இயக்கவியலின் மிகவும் சிக்கலான சிக்கலைத் தீர்க்க முடியும். தூய இடைவெளி முறைகள் பல ஆசிரியர்கள் இடைவெளி அளவுருக்களுடன் வரையறுக்கப்பட்ட உறுப்பு சிக்கல்களின் தீர்வுக்கு தூய இடைவெளி முறைகளைப் பயன்படுத்த முயன்றனர். சில சந்தர்ப்பங்களில் மிகவும் சுவாரஸ்யமான முடிவுகளைப் பெற முடியும் எ. கா. [போபோவா, இயான்கோவ், போனிவ் 2008]. இருப்பினும், பொதுவாக இந்த முறை மிகவும் மிகைப்படுத்தப்பட்ட முடிவுகளை உருவாக்குகிறது. அளவுரு இடைவெளி அமைப்புகள் போபோவா மற்றும் ஸ்கால்னா ஆகியவை நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் தீர்வுக்கான முறைகளை அறிமுகப்படுத்தின, இதில் குணகங்கள் இடைவெளி அளவுருக்களின் நேரியல் சேர்க்கைகளாகும். இந்த விஷயத்தில் இடைவெளி சமன்பாடுகளின் மிகவும் துல்லியமான தீர்வை உத்தரவாதமான துல்லியத்துடன் பெற முடியும். இடைவெளி எல்லை உறுப்பு முறை இடைவெளி (கணிதம்) இடைவெளி எண்கணித துல்லியமற்ற நிகழ்தகவு பன்முக செயல்பாடு வேறுபட்ட சேர்க்கை அவதானிப்பு பிழை சீரற்ற சிறிய தொகுப்பு நம்பகத்தன்மை (புள்ளிவிவரங்கள்) நம்பிக்கை இடைவெளி சிறந்த, மோசமான மற்றும் சராசரி வழக்கு நிகழ்தகவு வடிவமைப்பு நிச்சயமற்ற தன்மையின் பரப்புதல் சோதனை நிச்சயமற்ற பகுப்பாய்வு உணர்திறன் பகுப்பாய்வு இடையூறு கோட்பாடு தொடர்ச்சியான இயக்கவியல் டிரஸ் விண்வெளி சட்டகம் பொருட்களின் நேரியல் நெகிழ்ச்சி வலிமை குறிப்புகள் டெம்ப்ஸ்டர், ஏ. பி. (1967). "பல மதிப்புள்ள வரைபடத்தால் தூண்டப்பட்ட மேல் மற்றும் கீழ் நிகழ்தகவுகள்". கணித புள்ளியியல் வரலாறு 38 (2): 325-339. . டபிள்யூ. ஃபெலின், எச். லெஸ்மேன், எம். ஒபெர்குஜென்பெர்கர் மற்றும் ஆர். வைடர் ஆகியோரால் சிவில் பொறியியலில் நிச்சயமற்ற தன்மையை பகுப்பாய்வு செய்தல் (பதிப்புகள். ), ஸ்பிரிங்கர்-வெர்லாக், பெர்லின், 2005 ஐ. எலிஷாகோஃப், பொறியியலில் நிகழ்தகவு முறைகளின் சாத்தியமான வரம்புகள். அப்ளைடு மெக்கானிக்ஸ் ரிவ்யூஸ், Vol.53, எண். 2, pp. 19-25,2000. ஹ்லாவாசெக், ஐ., சிலெபவுன், ஜே., பாபஸ்கா, ஐ.: நிச்சயமற்ற உள்ளீட்டு தரவு சிக்கல்கள் மற்றும் மோசமான சூழ்நிலை முறை. எல்செவியர், ஆம்ஸ்டர்டாம் (2004) கோயிலூக்லு, யு., ஐசக் எலிஷாகோஃப்; நிச்சயமற்ற விறைப்பு பண்புகள் கொண்ட வெட்டு சட்டங்களுக்கு பயன்படுத்தப்படும் சீரற்ற மற்றும் இடைவெளி வரையறுக்கப்பட்ட கூறுகளின் ஒப்பீடு, கணினிகள் மற்றும் கட்டமைப்புகள் தொகுதிஃ 67, இதழ்ஃ 1-3, ஏப்ரல் 1,1998, பக். 91-98 D. மோன்ஸ் மற்றும் டி. வாண்டெபிட்டே, இடைவெளி உணர்திறன் கோட்பாடு மற்றும் நிச்சயமற்ற கட்டமைப்புகளின் அதிர்வெண் மறுமொழி உறை பகுப்பாய்விற்கான அதன் பயன்பாடு. அப்ளைடு மெக்கானிக்ஸ் அண்ட் இன்ஜினியரிங் தொகுதி கணினி முறைகள். 196, எண். 21-24,1 ஏப்ரல் 2007, pp. 2486-2496. முல்லர், பி., பீர், எம்., தெளிவற்ற சீரற்ற தன்மை-சிவில் இன்ஜினியரிங் மற்றும் கம்ப்யூடேஷனல் மெக்கானிக்ஸில் நிச்சயமற்ற தன்மை, ஸ்பிரிங்கர், பெர்லின், 2004. ஈ. போபோவா, ஆர். இயான்கோவ், இசட். போனெவ்ஃ அனைத்து அளவுருக்களிலும் உள்ள நிச்சயமற்ற தன்மைகளுடன் இயந்திர கட்டமைப்புகளின் பதிலை இணைத்தல். R.L.Muhannah, R.L.Mullen (Eds): நம்பகமான பொறியியல் கம்ப்யூட்டிங் (REC) குறித்த NSF பட்டறையின் நடவடிக்கைகள், ஸ்வன்னா, ஜார்ஜியா அமெரிக்கா, பிப்ரவரி. 22-24,2006,245-265 A. பௌனுக், தெளிவற்ற பகுதி வேறுபாடு சமன்பாட்டின் எண் தீர்வுகள் மற்றும் கணக்கீட்டு இயக்கவியலில் அதன் பயன்பாடு, தெளிவற்ற பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகள் மற்றும் உறவு சமன்பாடுகள்ஃ நீர்த்தேக்க தன்மை மற்றும் மாடலிங் (எம். நிக்ரவேஷ், எல். சாதே மற்றும் வி. கோரோட்கிக், பதிப்புகள். ), ஸ்டடீஸ் இன் ஃப்ஸினஸ் அண்ட் சாஃப்ட் கம்ப்யூட்டிங், பிசிகா-வெர்லாக், 2004, பக். 308-347 ஏ. போவுனுக், உணர்திறன் பகுப்பாய்வின் அடிப்படையில் இடைவெளி அளவுருக்களுடன் பெரிய அளவிலான பொறியியல் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான திறமையான முறை, நம்பகமான பொறியியல் கம்ப்யூட்டிங் குறித்த என்எஸ்எஃப் பட்டறையின் செயல்முறை, செப்டம்பர் 15-17,2004, சவன்னா, ஜார்ஜியா, அமெரிக்கா, பக். 305-316 எம். வி. ராமா ராவ், ஏ. பௌனுக் மற்றும் ஐ. ஸ்கல்னா, நிச்சயமற்ற கட்டமைப்பு அளவுருக்களுடன் ஒற்றை வலுவூட்டப்பட்ட கான்கிரீட் பீமின் மன அழுத்த பகுப்பாய்வு, நம்பகமான பொறியியல் கம்ப்யூட்டிங் குறித்த என்எஸ்எஃப் பட்டறை, பிப்ரவரி 20-22,2008, சவன்னா, ஜார்ஜியா, அமெரிக்கா, பக். 459-478 பெர்னார்டினி, ஆல்பர்டோ, டோனன், ஃபுல்வியோ, பௌண்டிங் அன்சர்டென்டி இன் சிவில் இன்ஜினியரிங், ஸ்பிரிங்கர் 2010 பென்-ஹைம் ஒய்., எலிஷாகோஃப் I., 1990, கன்வெக்ஸ் மாடல்கள் ஆஃப் அன்சர்டென்டி இன் அப்ளைடு மெக்கானிக்ஸ். எல்செவியர் அறிவியல் வெளியீட்டாளர்கள், நியூயார்க் வள்ளியப்பன் எஸ்., ஃபாம் டி. டி., 1993, நெகிழ்வான மண் நடுத்தரத்தின் அடித்தளத்தின் தெளிவற்ற வரையறுக்கப்பட்ட உறுப்பு பகுப்பாய்வு. ஜியோமெக்கானிக்ஸில் எண் மற்றும் பகுப்பாய்வு முறைகளுக்கான சர்வதேச இதழ், Vol.17, pp. எலிஷாகோஃப் I., லி ஒய். டபிள்யூ., ஸ்டார்ன்ஸ் ஜே. எச்., 1994, கலப்பு கட்டமைப்புகளின் பிணைப்பில் அறியப்படாத ஆனால் எல்லைக்குட்பட்ட மீள் மாடுலியின் விளைவைக் கணிப்பதற்கான ஒரு தீர்மானகரமான முறை. பயன்பாட்டு இயக்கவியல் மற்றும் பொறியியலில் கணினி முறைகள், Vol.111, pp. 155-167 வள்ளியப்பன் எஸ். பாம் டி. டி., 1995, தெளிவற்ற அளவுருக்களுடன் எலாஸ்டோ-பிளாஸ்டிக் ஃபைனைட் எலிமெண்ட் அனாலிசிஸ். பொறியியலில் எண் முறைகளுக்கான சர்வதேச இதழ், 38, பக். ராவ் எஸ். எஸ்., சாயர் ஜே. பி., 1995, தெளிவற்ற வரையறுக்கப்பட்ட அமைப்புகளின் பகுப்பாய்விற்கான தெளிவற்ற வரையறுக்கப்பட்ட உறுப்பு அணுகுமுறை. AIAA ஜர்னல், Vol.33, No.12, pp. 2364-2370 Köylüoglu H. U., காக்மாக் ஏ., நீல்சன் எஸ். ஆர். கே., 1995, கட்டமைப்பு இயக்கவியலில் இடைவெளி வரைபடம். இல்ஃ ஸ்பானோஸ், பதிப்பு. கணக்கீட்டு தற்செயல் இயந்திரவியல். 125-133. பால்கேமா, ராட்டர்டாம் முஹன்னா, ஆர். எல். மற்றும் ஆர். எல். முல்லன் (1995). வட அமெரிக்க தெளிவற்ற தகவல் செயலாக்க சங்கத்தின் (ஐ. எஸ். யு. எம். ஏ-என். ஏ. எஃப். ஐ. பி. எஸ் '95) வருடாந்திர மாநாடு மற்றும் நிச்சயமற்ற மாடலிங் மற்றும் பகுப்பாய்வு குறித்த 3 வது சர்வதேச சிம்போசியத்தின் நடவடிக்கைகளில் "தொடர்ச்சியான இயக்கவியலில் தெளிவற்ற தன்மைக்கான இடைவெளி அடிப்படையிலான முறைகளின் மேம்பாடு", ஐ. இ. இ. இ, 705-710 வெளிப்புற இணைப்புகள் நம்பகமான பொறியியல் கம்ப்யூட்டிங், ஜார்ஜியா இன்ஸ்டிடியூட் ஆஃப் டெக்னாலஜி, சவன்னா, அமெரிக்கா இடைவெளி கணக்கீடுகள் நம்பகமான கம்ப்யூட்டிங் (ஜர்னல்) இடைவெளி சமன்பாடுகள் (குறிப்புகளின் தொகுப்புகள்) இடைவெளி வரையறுக்கப்பட்ட உறுப்பு வலை பயன்பாடுகள் ஈ. போபோவா, இடைவெளி நேரியல் அமைப்பின் அளவுரு தீர்வு தொகுப்பு முறையற்ற நிகழ்தகவுக்கான சமூகம்ஃ கோட்பாடுகள் மற்றும் பயன்பாடுகள் வரையறுக்கப்பட்ட உறுப்பு முறை