Projective object
வகைக் கோட்பாட்டில், ஒரு திட்டவட்டமான பொருளின் கருத்து ஒரு திட்டவட்டமான தொகுதியின் கருத்தை பொதுமைப்படுத்துகிறது. அபெலியன் வகைகளில் உள்ள திட்டவட்டமான பொருள்கள் ஹோமோலாஜிக்கல் அல்ஜிப்ராவில் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. ஒரு உட்செலுத்தும் பொருளைப் பற்றிய இரட்டைக் கருத்து ஒரு உட்செலுத்தும் பொருளைப் பற்றியது. வரையறை ஒரு பிரிவில் உள்ள ஒரு பொருள், ஏதேனும் எபிமார்பிசம் மற்றும் மார்ஃபிஸத்திற்கு, ஒரு மார்ஃபிஸம் இருந்தால், அதாவது. பின்வரும் வரைபடம் பரிமாற்றுகிறதுஃ அதாவது, ஒவ்வொரு உருவவியல் காரணிகளும் ஒவ்வொரு எபிமார்பிசத்தின் மூலமும் ஏற்படுகின்றன. சி உள்ளூரில் சிறியதாக இருந்தால், அதாவது, குறிப்பாக சி இல் உள்ள எந்த பொருளுக்கும் ஒரு தொகுப்பாக இருந்தால், இந்த வரையறை ஹோம் ஃபங்க்டர் (கோர் பிரசன்டபிள் ஃபங்க்டர் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) எபிமார்பிசம்களைப் பாதுகாக்கும் நிபந்தனைக்கு சமம். வகை சி ஒரு அபெலியன் வகையாக இருந்தால், எடுத்துக்காட்டாக, அபெலியன் குழுக்களின் வகை, பின்னர் பி ஒரு துல்லியமான செயல்பாட்டாளராக இருந்தால் மட்டுமே, அங்கு ஏபி என்பது அபெலியன் குழுக்களின் வகையாகும். ஒரு அபெலியன் வகை, ஒவ்வொரு பொருளுக்கும், ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் பொருள் மற்றும் P முதல் A வரை ஒரு எபிமார்பிசம் அல்லது அதற்கு சமமாக, ஒரு குறுகிய துல்லியமான வரிசை இருந்தால் போதுமான ப்ரொஜெக்டிவ்ஸ் இருப்பதாகக் கூறப்படுகிறது. வரையறுக்கப்பட்ட வகுப்புகளைப் பொறுத்தவரை புரொஜெக்டிவிட்டி ஒரு இரு வகை என்று அழைக்கப்படுவதோடு தொடர்புடைய புரொஜெக்டிவ் (மற்றும் இருமுறை உட்செலுத்தும்) பொருள்களின் கருத்தை விவாதிக்கிறது, இது கொடுக்கப்பட்ட வகை சி இல் "ஊசி" மற்றும் "சர்ஜெக்ஷன்களின்" ஒரு ஜோடி துணைப்பிரிவுகளைக் கொண்டுள்ளது. இந்த துணைப்பிரிவுகள் சில முறையான பண்புகளுக்கு உட்பட்டவை, இதில் எந்தவொரு சர்ஜெக்ஷனும் ஒரு எபிமார்பிசம். ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் பொருள் (நிலையான வகை சர்ஜெக்ஷன்களுடன் தொடர்புடையது) பின்னர் ஒரு பொருள் பி ஆகும், இதனால் ஹோம் (பி,-) நிலையான வகை சர்ஜெக்ஷன்களை (அனைத்து எபிமார்பிசங்களுக்கும் மாறாக) செட்டுகளின் சர்ஜெக்ஷன்களாக (வழக்கமான அர்த்தத்தில்) மாற்றுகிறது. பண்புகள் இரண்டு திட்டவட்டமான பொருட்களின் இணை தயாரிப்பு திட்டவட்டமானது. ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் பொருளின் பின்வாங்கல் ப்ரொஜெக்டிவ் ஆகும். எடுத்துக்காட்டுகள் அனைத்து தொகுப்புகளும் திட்டவட்டமானவை என்ற கூற்று விருப்பத்தின் கோட்பாட்டிற்கு சமம். அபெலியன் குழுக்களின் பிரிவில் உள்ள திட்டவட்டமான பொருள்கள் ஃப்ரீ அபெலியன் குழுக்கள் ஆகும். அடையாளத்துடன் ஒரு வளையமாக இருக்கட்டும். (அபெலியன்) வகையைக் கவனியுங்கள்-இடது-தொகுதிகளின் மோட். - மோடில் உள்ள ப்ரொஜெக்டிவ் பொருள்கள் துல்லியமாக ப்ரொஜெக்டிவ் இடது ஆர்-தொகுதிகள் ஆகும். இதன் விளைவாக, இது-மோடில் ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் பொருளாகும். இரண்டாவதாக,-மோடில் உள்ள உட்செலுத்தும் பொருள்கள் சரியாக உட்செலுத்தும் இடது ஆர்-தொகுதிகள் ஆகும். இடது (வலது)-தொகுதிகளின் வகையும் போதுமான திட்டங்களைக் கொண்டுள்ளது. இது உண்மை, ஏனெனில் ஒவ்வொரு இடது (வலது) தொகுதிக்கும், ஒரு உருவாக்கும் தொகுப்பால் உருவாக்கப்படும் இலவச (எனவே ப்ரொஜெக்டிவ்) தொகுதி என்று நாம் எடுத்துக் கொள்ளலாம் (எடுத்துக்காட்டாக நாம் இருக்கலாம்). பின்னர் கனோனிக்கல் ப்ரொஜெக்ஷன் என்பது தேவையான சர்ஜெக்ஷன் ஆகும். கச்சிதமான ஹவுஸ்டோர்ஃப் இடைவெளிகளின் பிரிவில் உள்ள திட்டவட்டமான பொருள்கள் துல்லியமாக மிகவும் துண்டிக்கப்பட்ட இடைவெளிகள். இந்த முடிவு கொடுக்கப்பட்ட ஒரு எளிமைப்படுத்தப்பட்ட ஆதாரத்துடன் காரணமாகும். பானாச் இடைவெளிகள் மற்றும் சுருக்கங்களின் பிரிவில் (அதாவது, அதிகபட்சம் 1 ஆக இருக்கும் செயல்பாடுகள்), எபிமார்பிசம் துல்லியமாக அடர்த்தியான படத்துடன் வரைபடங்கள் ஆகும். பூஜ்ஜிய இடைவெளி மட்டுமே இந்த பிரிவில் உள்ள ஒரே ப்ரொஜெக்டிவ் பொருள் என்பதைக் காட்டுகிறது. இருப்பினும், அற்பமான இடைவெளிகள் இல்லை, அவை சர்ஜெக்டிவ் சுருக்கங்களின் வகுப்பைப் பொறுத்தவரை ப்ரொஜெக்டிவ் ஆகும். சுருக்கங்களைக் கொண்ட நெறிமுறை திசையன் இடைவெளிகளின் பிரிவில் (மற்றும் சர்ஜெக்டிவ் வரைபடங்கள் "சர்ஜெக்ஷன்கள்"), ப்ரொஜெக்டிவ் பொருள்கள் துல்லியமாக-இடைவெளிகள் ஆகும். குறிப்புகள் வெளிப்புற இணைப்புகள் 'ஹோமோலாஜிக்கல் அல்ஜிப்ரா பொருள்கள் (வகைக் கோட்பாடு)