Linear inequality
கணிதத்தில் ஒரு நேரியல் சமத்துவமின்மை என்பது ஒரு நேரியல் செயல்பாட்டை உள்ளடக்கிய ஒரு சமத்துவமின்மை ஆகும். ஒரு நேரியல் சமத்துவமின்மை சமத்துவமின்மையின் சின்னங்களில் ஒன்றைக் கொண்டுள்ளதுஃ <குறைவானது> ≤ ஐ விட அதிகமாகவோ அல்லது சமமாகவோ ≤ ஐ விட அதிகமாகவோ அல்லது சமமாகவோ இல்லை. உண்மையான எண்களின் நேரியல் ஏற்றத்தாழ்வுகள் இரு பரிமாண நேரியல் ஏற்றத்தாழ்வுகள் இரு பரிமாண நேரியல் ஏற்றத்தாழ்வுகள் வடிவத்தின் இரண்டு மாறிகளில் வெளிப்பாடுகளாகும்ஃ இதில் ஏற்றத்தாழ்வுகள் கடுமையானதாகவோ அல்லது இல்லாமலோ இருக்கலாம். அத்தகைய சமத்துவமின்மையின் தீர்வு தொகுப்பை யூக்ளிடியன் தளத்தில் ஒரு அரை தளத்தால் (ஒரு நிலையான கோட்டின் ஒரு பக்கத்தில் உள்ள அனைத்து புள்ளிகளும்) வரைபடமாக குறிப்பிடலாம். சமத்துவமின்மை கடுமையானதாக இருக்கும்போது அரை தளங்களை (அச்சு + ஆல் = சி) தீர்மானிக்கும் கோடு தீர்வு தொகுப்பில் சேர்க்கப்படவில்லை. தீர்வு தொகுப்பில் எந்த அரை தளம் உள்ளது என்பதைத் தீர்மானிப்பதற்கான ஒரு எளிய செயல்முறை, கோட்டில் இல்லாத ஒரு புள்ளியில் (x0, y0) மூலம் அச்சு + இன் மதிப்பைக் கணக்கிடுவதும், சமத்துவமின்மை திருப்தி அடைந்துள்ளதா இல்லையா என்பதைக் கவனிப்பதும் ஆகும். எடுத்துக்காட்டாக, x + 3y <9 இன் தீர்வு தொகுப்பை வரைய, ஒருவர் முதலில் x + 3y = 9 சமன்பாட்டுடன் ஒரு புள்ளியிடப்பட்ட கோடு வரைகிறார், சமத்துவமின்மை கடுமையானதாக இருப்பதால் தீர்வு தொகுப்பில் கோடு சேர்க்கப்படவில்லை என்பதைக் குறிக்கிறது. பின்னர், (0,0) போன்ற வரிசையில் இல்லாத ஒரு வசதியான புள்ளியைத் தேர்ந்தெடுக்கவும். 0 + 3 (0) = 0 <9 என்பதால், இந்த புள்ளி தீர்வு தொகுப்பில் உள்ளது, எனவே இந்த புள்ளியைக் கொண்ட அரை தளம் (அரை தளம் "கீழே" கோடு) இந்த நேரியல் சமத்துவமின்மையின் தீர்வு தொகுப்பாகும். பொது பரிமாணங்களில் உள்ள நேரியல் ஏற்றத்தாழ்வுகள் Rn நேரியல் ஏற்றத்தாழ்வுகள் என்பது வடிவத்தில் எழுதப்படக்கூடிய வெளிப்பாடுகள் அல்லது f ஒரு நேரியல் வடிவம் (ஒரு நேரியல் செயல்பாடு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது), மற்றும் b ஒரு நிலையான உண்மையான எண். இன்னும் திட்டவட்டமாக, இது எழுதப்படலாம் அல்லது இங்கே அறியப்படாதவை என்று அழைக்கப்படுகின்றன, மேலும் அவை குணகங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. மாற்றாக, இவை g என்பது ஒரு அஃபைன் செயல்பாடு என்று எழுதப்படலாம். அதாவது "பெரியது" அல்லது "பெரியது அல்லது சமமானது" என்ற அடையாளத்தைக் கொண்ட எந்தவொரு சமத்துவமின்மையும் "குறைவானது" அல்லது "குறைவானது அல்லது சமமானது" என்ற அடையாளத்துடன் மீண்டும் எழுதப்படலாம், எனவே அந்த அறிகுறிகளைப் பயன்படுத்தி நேரியல் ஏற்றத்தாழ்வுகளை வரையறுக்க வேண்டிய அவசியமில்லை. நேரியல் ஏற்றத்தாழ்வுகளின் அமைப்புகள் நேரியல் ஏற்றத்தாழ்வுகளின் அமைப்பு என்பது அதே மாறிகளில் உள்ள நேரியல் ஏற்றத்தாழ்வுகளின் தொகுப்பாகும்ஃ இங்கே அறியப்படாதவை, அமைப்பின் குணகங்கள் மற்றும் நிலையான சொற்கள். இதை மேட்ரிக்ஸ் சமத்துவமின்மையாக சுருக்கமாக எழுதலாம், அங்கு A என்பது ஒரு m × n மேட்ரிக்ஸ், x என்பது மாறிகளின் n × 1 நெடுவரிசை திசையன், மற்றும் b என்பது மாறிலிகளின் m × 1 நெடுவரிசை திசையன். மேற்கண்ட அமைப்புகளில் கடுமையான மற்றும் கடுமையான ஏற்றத்தாழ்வுகள் இரண்டும் பயன்படுத்தப்படலாம். நேரியல் ஏற்றத்தாழ்வுகளின் அனைத்து அமைப்புகளுக்கும் தீர்வுகள் இல்லை. ஃபோரியர்-மோட்ஸ்கின் நீக்குதலைப் பயன்படுத்தி நேரியல் ஏற்றத்தாழ்வுகளின் அமைப்புகளிலிருந்து மாறிகள் அகற்றப்படலாம். பயன்பாடுகள் பாலிஹெட்ரா ஒரு உண்மையான நேரியல் சமத்துவமின்மையின் தீர்வுகளின் தொகுப்பு 'n' பரிமாண உண்மையான இடத்தின் அரை-இடத்தை உருவாக்குகிறது, இது தொடர்புடைய நேரியல் சமன்பாட்டால் வரையறுக்கப்பட்ட இரண்டில் ஒன்றாகும். நேரியல் ஏற்றத்தாழ்வுகளின் அமைப்பின் தீர்வுகளின் தொகுப்பு தனிப்பட்ட ஏற்றத்தாழ்வுகளால் வரையறுக்கப்பட்ட அரை இடைவெளிகளின் குறுக்குவெட்டுக்கு ஒத்திருக்கிறது. இது ஒரு குவிந்த தொகுப்பாகும், ஏனெனில் அரை இடைவெளிகள் குவிந்த தொகுப்புகள், மேலும் குவிந்த தொகுப்புகளின் தொகுப்பின் குறுக்குவெட்டும் குவிந்ததாக இருக்கும். சிதைவடையாத சந்தர்ப்பங்களில் இந்த குவிந்த தொகுப்பு ஒரு குவிந்த பாலிஹெட்ரான் ஆகும் (ஒருவேளை வரம்பற்றது, எ. கா., ஒரு அரை-இடைவெளி, இரண்டு இணையான அரை-இடைவெளிகள் அல்லது ஒரு பாலிஹெட்ரல் கூம்பு இடையே ஒரு ஸ்லாப்). இது காலியாக இருக்கலாம் அல்லது n-பரிமாண இடைவெளி Rn இன் அஃபைன் துணை இடத்துடன் மட்டுப்படுத்தப்பட்ட குறைந்த பரிமாணத்தின் குவிந்த பாலிஹெட்ரானாக இருக்கலாம். நேரியல் நிரலாக்கம் ஒரு நேரியல் நிரலாக்க சிக்கல் பொதுவாக நேரியல் ஏற்றத்தாழ்வுகளாக இருக்கும் மாறிகளின் மீது பல கட்டுப்பாடுகளுக்கு உட்பட்டு ஒரு செயல்பாட்டை (புறநிலை செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது) உகந்ததாக்க (அதிகபட்ச அல்லது குறைந்தபட்ச மதிப்பைக் கண்டறிய) முயல்கிறது. கட்டுப்பாடுகளின் பட்டியல் நேரியல் ஏற்றத்தாழ்வுகளின் ஒரு அமைப்பாகும். பொதுமைப்படுத்தல் மேற்கண்ட வரையறைக்கு கூட்டல், பெருக்கம் மற்றும் ஒப்பீடு ஆகியவற்றின் நன்கு வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாடுகள் தேவைப்படுகின்றன; எனவே, ஒரு நேரியல் சமத்துவமின்மை பற்றிய கருத்து வரிசைப்படுத்தப்பட்ட வளையங்களுக்கும், குறிப்பாக வரிசைப்படுத்தப்பட்ட புலங்களுக்கும் நீட்டிக்கப்படலாம். குறிப்புகள் ஆதாரங்கள் வெளிப்புற இணைப்புகள் கான் அகாடமிஃ நேரியல் ஏற்றத்தாழ்வுகள், இலவச ஆன்லைன் மைக்ரோ விரிவுரைகள் நேரியல் இயற்கணிதம் நேரியல் நிரலாக்க பாலிஹெட்ரா