Tate conjecture
எண் கோட்பாடு மற்றும் இயற்கணித வடிவவியலில், டேட் அனுமானம் என்பது ஜான் டேட்டின் 1963 ஆம் ஆண்டின் அனுமானமாகும், இது இயற்கணித சுழற்சிகளை மிகவும் கணக்கிடக்கூடிய மாறுபாட்டின் அடிப்படையில் விவரிக்கும், இது ஏட்டேல் கோஹோமோலஜியில் காலோயிஸ் பிரதிநிதித்துவம். இயற்கணித சுழற்சிகளின் கோட்பாட்டில் அனுமானம் ஒரு மையப் பிரச்சினையாகும். இது ஹோட்ஜ் அனுமானத்தின் எண்கணித ஒப்புமையாகக் கருதப்படலாம். அனுமானத்தின் கூற்று V என்பது ஒரு புலம் k மீது ஒரு மென்மையான ப்ரொஜெக்டிவ் வகையாக இருக்கட்டும், இது அதன் பிரதான புலத்தின் மீது இறுதியாக உருவாக்கப்படுகிறது. ks என்பது k இன் பிரிக்கக்கூடிய மூடல் என்று வைத்துக்கொள்வோம், மேலும் G என்பது k இன் முழுமையான காலோயிஸ் குழு கால் (ks/k) ஆக இருக்கட்டும். k இல் தலைகீழாக இருக்கும் ஒரு பகா எண் l ஐ சரிசெய்யவும். L-adic ஒத்திசைவியல் குழுக்களைக் கவனியுங்கள் (l-adic முழு எண்களில் உள்ள குணகங்கள் Zl, அளவீடுகள் பின்னர் l-adic எண்கள் Ql வரை நீட்டிக்கப்படுகின்றன) V இன் அடிப்படை நீட்டிப்பின் ks க்கு; இந்த குழுக்கள் G இன் பிரதிநிதித்துவங்களாகும். எந்த i ≤ 0 க்கும், V இன் கோடிமென்ஷன்-i துணை மாறுபாடு (k க்கு மேல் வரையறுக்கப்படுவதைப் புரிந்துகொள்வது) G ஆல் நிர்ணயிக்கப்பட்ட கோஹோமோலஜி குழுவின் ஒரு உறுப்பை தீர்மானிக்கிறது. இங்கே Ql (i) என்பது ith டேட் திருப்பத்தைக் குறிக்கிறது, இது காலோயிஸ் குழு G ஆல் நிர்ணயிக்கப்பட்ட W இன் துணைவெளி WG ஒரு Ql-வெக்டர் இடமாக, V இன் கோடிமென்ஷன்-i துணை வகைகளின் வகுப்புகளால் பரவியுள்ளது என்று டேட் அனுமானம் கூறுகிறது. ஒரு இயற்கணித சுழற்சி என்பது துணை வகைகளின் வரையறுக்கப்பட்ட நேரியல் கலவையைக் குறிக்கிறது; எனவே ஒரு சமமான கூற்று என்னவென்றால், WG இன் ஒவ்வொரு உறுப்பும் Ql குணகங்களுடன் V இல் ஒரு இயற்கணித சுழற்சியின் வகுப்பாகும். அறியப்பட்ட நிகழ்வுகள் வகுத்திகளுக்கான டேட் அனுமானம் (கோடிமென்ஷன் 1 இன் இயற்கணித சுழற்சிகள்) ஒரு பெரிய திறந்த சிக்கலாகும். எடுத்துக்காட்டாக, f: X → C என்பது ஒரு மென்மையான ப்ரொஜெக்டிவ் மேற்பரப்பிலிருந்து ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட புலத்தின் மீது ஒரு மென்மையான ப்ரொஜெக்டிவ் வளைவின் மீது ஒரு உருவகமாக இருக்கட்டும். f இன் பொதுவான நார் F, இது k (C) செயல்பாட்டு புலத்தின் மீது ஒரு வளைவு, k (C) க்கு மேல் மென்மையானது என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் X இல் உள்ள வகுத்திகளுக்கான டேட் அனுமானம் ஜாகோபியன் வகை F க்கான பிர்ச் மற்றும் ஸ்வின்னர்டன்-டையர் அனுமானத்திற்கு சமம். இதற்கு மாறாக, எந்தவொரு மென்மையான சிக்கலான ப்ரொஜெக்டிவ் வகையிலும் வகுத்திகளுக்கான ஹோட்ஜ் அனுமானம் அறியப்படுகிறது (லெஃப்ஷெட்ஸ் (1,1)-கோட்பாடு). அநேகமாக மிக முக்கியமான அறியப்பட்ட வழக்கு என்னவென்றால், டேட் அனுமானம் அபெலியன் வகைகளில் உள்ள வகுத்திகளுக்கு உண்மை. இது வரையறுக்கப்பட்ட புலங்களில் உள்ள அபெலியன் வகைகளுக்கான டேட்டின் தேற்றமாகும், மேலும் எண் புலங்களில் உள்ள அபெலியன் வகைகளுக்கான ஃபால்டிங்ஸின் தேற்றமாகும், இது மொர்டெல் யூகத்தின் ஃபால்டிங்ஸின் தீர்வின் ஒரு பகுதியாகும். ஜார்ஹின் இந்த முடிவுகளை இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட எந்த அடிப்படை புலத்திற்கும் விரிவுபடுத்தினார். அபெலியன் வகைகளின் வகுத்திகளுக்கான டேட் அனுமானம் C1 ×. × Cn வளைவுகளின் எந்தவொரு பெருக்கிலும் வகுத்திகளுக்கான டேட் அனுமானத்தைக் குறிக்கிறது. அபெலியன் வகைகளின் வகுத்திகளுக்கான (அறியப்பட்ட) டேட் அனுமானம் அபெலியன் வகைகளுக்கு இடையிலான ஒத்த உருவங்களைப் பற்றிய ஒரு சக்திவாய்ந்த அறிக்கைக்கு சமம். அதாவது, இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட புலம் k க்கு மேல் உள்ள எந்த அபெலியன் வகைகளுக்கும், இயற்கையான வரைபடம் ஒரு ஐசோமார்பிசம் ஆகும். குறிப்பாக, ஒரு அபெலியன் வகை A ஐசோஜெனி வரை அதன் டேட் தொகுதி H1 (அக்ஸ், Zl) இல் உள்ள கலோயிஸ் பிரதிநிதித்துவத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. டேட் அனுமானம் K3 மேற்பரப்புகளுக்கு 2 அல்ல என்ற சிறப்பியல்புகளின் இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட புலங்களுக்கு மேல் உள்ளது. (ஒரு மேற்பரப்பில், அனுமானத்தின் அற்பமான பகுதி வகுத்திகளைப் பற்றியது.) பண்பு பூஜ்ஜியத்தில், கே3 மேற்பரப்புகளுக்கான டேட் அனுமானம் ஆண்ட்ரே மற்றும் டான்கீவ் ஆகியோரால் நிரூபிக்கப்பட்டது. 2 அல்ல என்ற வரையறுக்கப்பட்ட புலங்களின் மீது K3 மேற்பரப்புகளைப் பொறுத்தவரை, டேட் அனுமானம் நைகார்ட், ஓகஸ், சார்லஸ், மடபுசி பெரா மற்றும் மௌலிக் ஆகியோரால் நிரூபிக்கப்பட்டது. டேட் அனுமானத்தின் அறியப்பட்ட நிகழ்வுகளை ஆய்வு செய்கிறது. தொடர்புடைய அனுமானங்கள் X ஒரு இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட புலம் k மீது ஒரு மென்மையான ப்ரொஜெக்டிவ் வகையாக இருக்கட்டும். அரை எளிமை அனுமானம் X இன் l-adic கோஹோமோலஜியில் காலோயிஸ் குழு G = Gal (ks/k) இன் பிரதிநிதித்துவம் அரை எளிமையானது (அதாவது, பகுக்கமுடியாத பிரதிநிதித்துவங்களின் நேரடி கூட்டுத்தொகை) என்று கணித்துள்ளது. q வரிசையின் k வரையறைக்கு, டேட் அனுமானம் மற்றும் அரை எளிமை அனுமானம் ஆகியவை வலுவான டேட் அனுமானத்தைக் குறிக்கும் என்பதைக் காட்டியது, அதாவது t = q−j இல் உள்ள ஜீட்டா சார்பு Z (X, t) இன் துருவத்தின் வரிசை கோடிமென்ஷன் j மாடுலோ எண் சமநிலையின் இயற்கணித சுழற்சிகளின் குழுவின் தரவரிசைக்கு சமம். ஹோட்ஜ் அனுமானத்தைப் போலவே, டேட் அனுமானமும் இயற்கணித சுழற்சிகள் குறித்த கிரோதெண்டீக்கின் பெரும்பாலான நிலையான அனுமானங்களைக் குறிக்கும். அதாவது, இது லெஃப்ஷெட்ஸ் நிலையான அனுமானத்தை குறிக்கும் (லெஃப்ஷெட்ஸ் ஐசோமார்பிசத்தின் தலைகீழ் ஒரு இயற்கணித தொடர்புகளால் வரையறுக்கப்படுகிறது); மூலைவிட்டத்தின் குன்னெத் கூறுகள் இயற்கணிதமானவை; மற்றும் இயற்கணித சுழற்சிகளின் எண் சமநிலை மற்றும் ஒரே மாதிரியான சமநிலை ஆகியவை ஒரே மாதிரியானவை. குறிப்புகள் குறிப்புகள் வெளிப்புற இணைப்புகள் ஜேம்ஸ் மில்னே, வரையறுக்கப்பட்ட புலங்கள் மீது டேட் அனுமானம் (AIM பேச்சு). இயற்கணித வடிவவியலின் இடவியல் முறைகள் டயோஃபாண்டைன் வடிவியல் எண் கோட்பாட்டில் தீர்க்கப்படாத சிக்கல்களை ஊகிக்கிறது