Spin-1/2
குவாண்டம் இயக்கவியலில், சுழற்சி என்பது அனைத்து அடிப்படை துகள்களின் உள்ளார்ந்த பண்பு ஆகும். அறியப்பட்ட அனைத்து ஃபெர்மியன்களும், சாதாரண பொருளை உருவாக்கும் துகள்கள், ஒரு சுழற்சியைக் கொண்டுள்ளன. சுழல் எண் ஒரு முழு சுழற்சியில் ஒரு துகள் எத்தனை சமச்சீர் அம்சங்களைக் கொண்டுள்ளது என்பதை விவரிக்கிறது; ஒரு சுழல் என்பது துகள் தொடங்கியபோது இருந்த அதே கட்டமைப்பைக் கொண்டிருப்பதற்கு முன்பு இரண்டு முழு திருப்பங்களால் (720 டிகிரி வழியாக) சுழற்றப்பட வேண்டும் என்பதாகும். புரோட்டான், நியூட்ரான், எலக்ட்ரான், நியூட்ரினோ மற்றும் குவார்க்குகள் ஆகியவை நிகர சுழற்சியைக் கொண்ட துகள்களில் அடங்கும். சுழல் பொருட்களின் இயக்கவியலை கிளாசிக்கல் இயற்பியலைப் பயன்படுத்தி துல்லியமாக விவரிக்க முடியாது; அவை குவாண்டம் இயக்கவியல் தேவைப்படும் எளிய அமைப்புகளில் ஒன்றாகும். எனவே, சுழல் அமைப்புகளின் நடத்தை பற்றிய ஆய்வு குவாண்டம் இயக்கவியலின் மையப் பகுதியாகும். ஸ்டெர்ன்-கெர்லாக் பரிசோதனை அரை முழு எண் சுழற்சியை அறிமுகப்படுத்த வேண்டியதன் அவசியம் ஸ்டெர்ன்-கெர்லாக் பரிசோதனையின் முடிவுகளுக்கு சோதனை ரீதியாக செல்கிறது. அணுக்களின் கற்றை ஒரு வலுவான பன்முக காந்தப்புலத்தின் வழியாக இயக்கப்படுகிறது, பின்னர் அவை அணுக்களின் உள்ளார்ந்த கோண உந்தத்தைப் பொறுத்து N பகுதிகளாகப் பிரிகின்றன. வெள்ளி அணுக்களுக்கு, கற்றை இரண்டாகப் பிரிக்கப்பட்டது என்று கண்டறியப்பட்டது-எனவே தரை நிலை ஒரு முழு எண்ணாக இருக்க முடியாது, ஏனென்றால் அணுக்களின் உள்ளார்ந்த கோண உந்தம் சாத்தியமான மிகச்சிறிய (பூஜ்ஜியமற்ற) முழு எண்ணாக இருந்தாலும், 1, கற்றை 3 பகுதிகளாகப் பிரிக்கப்படும், இது Lz = −1, + 1 மற்றும் 0 கொண்ட அணுக்களுடன் தொடர்புடையது, 0 என்பது வெறுமனே −1 மற்றும் + 1 க்கு இடையில் வரும் என்று அறியப்பட்ட மதிப்பாகும், அதே நேரத்தில் ஒரு முழு-முழு எண்ணாகவும் இருக்கும், இதனால் இந்த விஷயத்தில் செல்லுபடியாகும் அளவு சுழற்சி எண். இரண்டு துருவப்படுத்தப்பட்ட குவாண்டம் நிலைகளுக்கு இடையில் இந்த கற்பனையான "கூடுதல் படி" இருப்பதற்கு மூன்றாவது குவாண்டம் நிலை தேவைப்படும்; மூன்றாவது கற்றை, இது பரிசோதனையில் காணப்படவில்லை. வெள்ளி அணுக்கள் நிகர உள்ளார்ந்த கோண உந்தத்தைக் கொண்டிருந்தன என்பது இதன் முடிவு. பொதுவான பண்புகள் சுழல் பொருள்கள் அனைத்தும் ஃபெர்மியன்கள் (சுழல்-புள்ளிவிவரக் கோட்பாட்டால் விளக்கப்பட்ட ஒரு உண்மை) மற்றும் பாலி விலக்கு கொள்கையை பூர்த்தி செய்கின்றன. சுழல் துகள்கள் அவற்றின் சுழற்சியின் திசையில் ஒரு நிரந்தர காந்த தருணத்தைக் கொண்டிருக்கலாம், மேலும் இந்த காந்த தருணம் சுழற்சியைப் பொறுத்து மின்காந்த தொடர்புகளுக்கு வழிவகுக்கிறது. சுழற்சியைக் கண்டுபிடிப்பதில் முக்கியமான ஒரு விளைவு ஜீமான் விளைவு ஆகும், இது ஒரு நிலையான காந்தப்புலத்தின் முன்னிலையில் ஒரு நிறமாலைக் கோட்டை பல கூறுகளாகப் பிரிப்பதாகும். மிகவும் சிக்கலான குவாண்டம் இயந்திர அமைப்புகளைப் போலல்லாமல், ஒரு சுழல் துகள் சுழற்சியை இரண்டு ஐகென்ஸ்டேட்கள் அல்லது ஐகென்ஸ்பைனர்களின் நேரியல் கலவையாக வெளிப்படுத்தலாம். இவை பாரம்பரியமாக ஸ்பின் அப் மற்றும் ஸ்பின் டவுன் என்று பெயரிடப்பட்டுள்ளன. இதன் காரணமாக, குவாண்டம்-மெக்கானிக்கல் ஸ்பின் ஆபரேட்டர்களை எளிய 2 × 2 மேட்ரிக்ஸ்களாக குறிப்பிடலாம். இந்த மேட்ரிக்ஸ்கள் பாலி மேட்ரிக்ஸ்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. சுழல் பொருள்களுக்கு உருவாக்கம் மற்றும் அழிப்பு இயக்கிகள் கட்டமைக்கப்படலாம்; இவை மற்ற கோண உந்த இயக்கிகளைப் போலவே அதே பரிமாற்ற உறவுகளுக்குக் கீழ்ப்படிகின்றன. நிச்சயமற்ற கொள்கையுடன் தொடர்பு பொதுவான நிச்சயமற்ற கொள்கையின் ஒரு விளைவு என்னவென்றால், சுழல் ப்ரொஜெக்ஷன் ஆபரேட்டர்கள் (x, y, அல்லது z போன்ற கொடுக்கப்பட்ட திசையில் சுழற்சியை அளவிடும்) ஒரே நேரத்தில் அளவிட முடியாது. இயற்பியல் ரீதியாக, இதன் பொருள் என்னவென்றால், ஒரு துகள் சுழலும் அச்சு சரியாக வரையறுக்கப்படவில்லை. சுழற்சியின் z-கூறுகளின் அளவீடு முன்பு பெறப்பட்ட x-மற்றும் y-கூறுகள் பற்றிய எந்த தகவலையும் அழிக்கிறது. கணித விளக்கம் ஒரு சுழல் துகள் என்பது சுழற்சிக்கான கோண உந்த குவாண்டம் எண்ணால் வகைப்படுத்தப்படுகிறது. ஷ்ரோடிங்கர் சமன்பாட்டின் தீர்வுகளில், கோண உந்தம் இந்த எண்ணுக்கு ஏற்ப அளவிடப்படுகிறது, இதனால் மொத்த சுழற்சி கோண உந்தம் இருப்பினும், z-அச்சு போன்ற ஒரு அச்சில் எலக்ட்ரான் கவனிக்கப்படும்போது கவனிக்கப்படும் சிறந்த அமைப்பு ஒரு காந்த குவாண்டம் எண்ணின் அடிப்படையில் அளவிடப்படுகிறது, இது இந்த மொத்த கோண உந்தத்தின் ஒரு திசையன் கூறுகளின் அளவீடாகக் கருதப்படலாம், இது மதிப்புகளை மட்டுமே கொண்டிருக்கலாம். கோண உந்தத்திற்கான இந்த மதிப்புகள் குறைக்கப்பட்ட பிளாங்க் மாறிலியின் (எந்த ஃபோட்டானின் கோண உந்தம்) செயல்பாடுகள் மட்டுமே என்பதை நினைவில் கொள்க, நிறை அல்லது கட்டணத்தை சார்ந்து இல்லை. சிக்கலான கட்ட கணித ரீதியாக, குவாண்டம் இயந்திர சுழற்சி ஒரு திசையன் மூலம் பாரம்பரிய கோண உந்தத்தில் விவரிக்கப்படவில்லை. இது ஒரு சுழல் எனப்படும் இரண்டு கூறுகளைக் கொண்ட ஒரு சிக்கலான மதிப்புள்ள திசையனால் விவரிக்கப்படுகிறது. ஒருங்கிணைந்த சுழற்சிகளின் கீழ் சுழல்கள் மற்றும் திசையன்களின் நடத்தைக்கு இடையே நுட்பமான வேறுபாடுகள் உள்ளன, இது ஒரு சிக்கலான புலத்தின் மீது ஒரு திசையன் இடத்தின் நடத்தையிலிருந்து உருவாகிறது. ஒரு சுழற்சியை 360 டிகிரி (ஒரு முழு திருப்பம்) சுழற்றும்போது, அது அதன் எதிர்மறையாக மாறுகிறது, பின்னர் 360 டிகிரி சுழற்சிக்குப் பிறகு அது மீண்டும் அதன் ஆரம்ப மதிப்புக்கு மாறுகிறது. ஏனென்றால், குவாண்டம் கோட்பாட்டில் ஒரு துகள் அல்லது அமைப்பின் நிலை ஒரு சிக்கலான நிகழ்தகவு வீச்சு (அலை செயல்பாடு) ± ஆல் குறிக்கப்படுகிறது, மேலும் அமைப்பு அளவிடப்படும்போது, ± நிலையில் உள்ள அமைப்பைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான நிகழ்தகவு, வீச்சின் முழுமையான சதுரத்திற்கு (முழுமையான மதிப்பின் சதுரம்) சமம். கணித சொற்களில், குவாண்டம் ஹில்பர்ட் இடைவெளி சுழற்சி குழு SO (3) இன் ஒரு திட்டவட்டமான பிரதிநிதித்துவத்தைக் கொண்டுள்ளது. சுழற்றக்கூடிய ஒரு டிடெக்டர் ஒரு துகள் அளவிடுகிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம், இதில் சில நிலைகளைக் கண்டறிவதற்கான நிகழ்தகவுகள் டிடெக்டரின் சுழற்சியால் பாதிக்கப்படுகின்றன. அமைப்பு 360 டிகிரி வழியாக சுழற்றப்படும்போது, கவனிக்கப்பட்ட வெளியீடும் இயற்பியலும் ஆரம்பத்தில் இருந்ததைப் போலவே இருக்கும், ஆனால் ஒரு சுழல் துகளுக்கான வீச்சுகள்-1 காரணி அல்லது 360 டிகிரியின் பாதி கட்ட மாற்றத்தால் மாற்றப்படுகின்றன. நிகழ்தகவுகள் கணக்கிடப்படும்போது, −1 என்பது வர்க்கம், (−1) 2 = 1, எனவே கணிக்கப்பட்ட இயற்பியல் தொடக்க நிலையில் இருப்பதைப் போலவே இருக்கும். மேலும், ஒரு சுழல் துகள்களில் இரண்டு சுழல் நிலைகள் மட்டுமே உள்ளன மற்றும் இரண்டிற்கும் வீச்சுகள் ஒரே-1 காரணியால் மாறுகின்றன, எனவே குறுக்கீடு விளைவுகள் ஒரே மாதிரியானவை, அதிக சுழற்சிகளைப் போலல்லாமல். சிக்கலான நிகழ்தகவு வீச்சுகள் ஒரு தத்துவார்த்த கட்டமைப்பின் ஒன்று, அதை நேரடியாகக் கவனிக்க முடியாது. நிகழ்தகவு வீச்சுகள் டிடெக்டரைப் போலவே அதே அளவு சுழற்றினால், உபகரணங்கள் 180 டிகிரி சுழற்றப்படும்போது அவை-1 என்ற காரணியால் மாறியிருக்கும், இது சதுரமாக இருக்கும்போது ஆரம்பத்தில் இருந்த அதே வெளியீட்டைக் கணிக்கும், ஆனால் சோதனைகள் இதைக் காட்டுகின்றன தவறானது. டிடெக்டரை 180 டிகிரி சுழற்றினால், சுழற்சித் துகள்களின் முடிவு சுழற்றப்படாவிட்டால் அது என்னவாக இருக்கும் என்பதிலிருந்து வேறுபட்டிருக்கலாம், எனவே கோட்பாட்டின் கணிப்புகள் சோதனைகளுடன் பொருந்துவதற்கு அரை காரணி அவசியம். மேலும் நேரடி சான்றுகளைப் பொறுத்தவரை, நியூட்ரான் இன்டர்ஃபெரோமெட்ரியில் உள்ள உன்னதமான சோதனைகளில் 720 டிகிரியுடன் ஒப்பிடும்போது 360 டிகிரி சுழற்சியின் சுழற்சிக்கு இடையிலான வேறுபாட்டின் இயற்பியல் விளைவுகள் சோதனை ரீதியாக காணப்படுகின்றன. குறிப்பாக, சுழல் சார்ந்த சுழல் துகள்களின் ஒரு கற்றை பிரிக்கப்பட்டு, அதன் இயக்க திசையின் அச்சில் ஒரு கற்றை மட்டுமே சுழற்றப்பட்டு, பின்னர் அசல் கற்றைடன் மீண்டும் இணைக்கப்பட்டால், சுழற்சியின் கோணத்தைப் பொறுத்து வெவ்வேறு குறுக்கீடு விளைவுகள் காணப்படுகின்றன. 360 டிகிரி சுழற்சியில், ரத்துசெய்யும் விளைவுகள் காணப்படுகின்றன, அதேசமயம் 720 டிகிரி சுழற்சியில், கற்றைகள் பரஸ்பரம் வலுப்படுத்தப்படுகின்றன. NRQM (சார்பற்ற குவாண்டம் இயக்கவியல்) ஒரு சுழல் துகள்களின் குவாண்டம் நிலையை ஒரு சுழல் எனப்படும் இரண்டு-கூறு சிக்கலான-மதிப்புள்ள திசையன் மூலம் விவரிக்க முடியும். குவாண்டம் நிலைகளை விவரிக்க சுழல்கள் பயன்படுத்தப்படும்போது, மூன்று சுழல் இயக்கிகள் (Sx, Cy, Sz) 2 × 2 மேட்ரிக்ஸ்களால் விவரிக்கப்படலாம், அவை பாலி மேட்ரிக்ஸ்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, அவற்றின் ஐகென் மதிப்புகள். எடுத்துக்காட்டாக, சுழல் ப்ரொஜெக்ஷன் ஆபரேட்டர் Sz என்பது z திசையில் சுழற்சியின் அளவீட்டை பாதிக்கிறது. Sz இன் இரண்டு ஐகென் மதிப்புகள், பின்னர் பின்வரும் ஐகென்ஸ்பைனர்களுடன் ஒத்திருக்கின்றனஃ இந்த திசையன்கள் சுழல் துகள் விவரிக்கும் ஹில்பர்ட் இடத்திற்கு ஒரு முழுமையான அடிப்படையை உருவாக்குகின்றன. எனவே, இந்த இரண்டு நிலைகளின் நேரியல் சேர்க்கைகள் x-மற்றும் y-திசைகள் உட்பட சுழற்சியின் சாத்தியமான அனைத்து நிலைகளையும் பிரதிநிதித்துவப்படுத்தலாம். லேடர் ஆபரேட்டர்கள்ஃ ஏனெனில், அது அதைப் பின்பற்றுகிறது மற்றும். இவ்வாறுஃ அவற்றின் இயல்பாக்கப்பட்ட ஐகென்ஸ்பைனர்களை வழக்கமான வழியில் காணலாம். Sx ஐப் பொறுத்தவரை, அவை பின்வருமாறுஃ Cy ஐப் பொறுத்தவரை, அவைஃ RQM (சார்பியல் குவாண்டம் இயக்கவியல்) NRQM ஹில்பர்ட் இடத்தில் 2 பரிமாணங்களுடன் சுழற்சியை 3 பரிமாண இடைவெளி மற்றும் நேரத்தில் விவரிக்கப்படும் இயக்கவியலுடன் வரையறுக்கிறது, சார்பியல் குவாண்டம் இயக்கவியல் ஹில்பர்ட் இடத்தில் 4 பரிமாணங்களுடன் சுழற்சியை வரையறுக்கிறது மற்றும் 4 பரிமாண இடைவெளி நேரத்தால் விவரிக்கப்படும் இயக்கவியல். அவதானிப்புகள் சார்பியலில் விண்வெளி-நேரத்தின் நான்கு பரிமாண இயல்பின் விளைவாக, சார்பியல் குவாண்டம் இயக்கவியல் சுழல் இயக்கிகள் மற்றும் அவதானிப்புகளை விவரிக்க 4 × 4 மேட்ரிக்ஸ்களைப் பயன்படுத்துகிறது. குவாண்டம் கோட்பாடு மற்றும் சிறப்பு சார்பியல் ஆகியவற்றை இணைப்பதன் விளைவாக சுழற்சி இயற்பியலாளர் பால் டிராக் ஷ்ரோடிங்கர் சமன்பாட்டை மாற்றியமைக்க முயன்றபோது, அது ஐன்ஸ்டீனின் சார்பியல் கோட்பாட்டுடன் ஒத்துப்போகிறது, இதன் விளைவாக வரும் டிராக் சமன்பாட்டில் மேட்ரிக்ஸ்களைச் சேர்ப்பதன் மூலம் மட்டுமே இது சாத்தியமாகும் என்பதைக் கண்டறிந்தார், இது அலை சுழற்சிக்கு வழிவகுக்கும் பல கூறுகளைக் கொண்டிருக்க வேண்டும் என்பதைக் குறிக்கிறது. மேலும் காண்க திட்டவட்டமான பிரதிநிதித்துவ குறிப்புகள் மேலும் வாசிப்பு வெளிப்புற இணைப்புகள் மூன்று பரிமாணங்களில் சுழற்சி குவாண்டம் மாதிரிகள்