Corner transfer matrix
புள்ளியியல் இயக்கவியலில், மூலையில் இடமாற்ற மேட்ரிக்ஸ் ஒரு லட்டிஸில் ஒரு நாற்கரத்தைச் சேர்ப்பதன் விளைவை விவரிக்கிறது. 1968 ஆம் ஆண்டில் ரோட்னி பாக்ஸ்டரால் கிராமர்ஸ்-வானியர் வரிசை-க்கு-வரிசை பரிமாற்ற மேட்ரிக்ஸின் விரிவாக்கமாக அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது, இது லட்டிஸ் மாதிரிகளைப் படிப்பதற்கான ஒரு சக்திவாய்ந்த முறையை வழங்குகிறது. மூலையில் பரிமாற்ற மேட்ரிக்ஸ்கள் கொண்ட கணக்கீடுகள் 1980 ஆம் ஆண்டில் கடினமான அறுகோண மாதிரியின் சரியான தீர்வுக்கு பாக்ஸ்டரை வழிநடத்தியது. வரையறை ஒரு ஐஆர்எஃப் (தொடர்பு-சுற்று-ஒரு-முகம்) மாதிரியைக் கவனியுங்கள், அதாவது. ஒவ்வொரு தளத்திற்கும் ஒதுக்கப்பட்ட ஒரு சுழல் σi கொண்ட ஒரு சதுர லட்டிஸ் மாதிரி மற்றும் ஒரு பொதுவான முகத்தைச் சுற்றியுள்ள சுழல்களுக்கு மட்டுப்படுத்தப்பட்ட தொடர்புகள். ஒவ்வொரு முகத்திற்கும் சுற்றியுள்ள தளங்களான i, j, k மற்றும் l ஆகியவை பின்வருமாறு வரிசைப்படுத்தப்பட்டுள்ளன என்பதன் மூலம் மொத்த ஆற்றல் கொடுக்கப்படட்டும்ஃ N தளங்களைக் கொண்ட ஒரு லட்டிஸுக்கு, பகிர்வு செயல்பாடு என்பது மொத்த தொகை சாத்தியமான அனைத்து சுழல் உள்ளமைவுகளுக்கும் மேலாக இருக்கும் மற்றும் w என்பது போல்ட்ஸ்மேன் எடை குறியீட்டை எளிதாக்க, நாம் ஒரு ஃபெரோ காந்த ஐசிங் வகை லட்டிஸைப் பயன்படுத்துகிறோம், அங்கு ஒவ்வொரு சுழற்சியும் + 1 அல்லது-1 மதிப்பைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் தரை நிலை அனைத்து சுழல்களாலும் வழங்கப்படுகிறது (அதாவது. லட்டிஸில் உள்ள அனைத்து சுழல்களும் + 1) மதிப்பைக் கொண்டிருக்கும்போது மொத்த ஆற்றல் குறைக்கப்படுகிறது. ஜாலகம் 4 மடங்கு சுழற்சி சமச்சீர்மையைக் கொண்டுள்ளது (எல்லை நிபந்தனைகள் வரை) மற்றும் பிரதிபலிப்பு-மாறாதது என்றும் நாம் கருதுகிறோம். இந்த எளிமைப்படுத்தும் அனுமானங்கள் முக்கியமானவை அல்ல, மேலும் வரையறையை பொதுவான வழக்குக்கு விரிவுபடுத்துவது ஒப்பீட்டளவில் நேரடியானது. இப்போது கீழே காட்டப்பட்டுள்ள லட்டிஸ் நாற்கரத்தைக் கவனியுங்கள்ஃ முக்கோணங்களால் குறிக்கப்பட்ட வெளிப்புற எல்லை தளங்கள் அவற்றின் தரை நிலை சுழற்சிகளை ஒதுக்குகின்றன (இந்த விஷயத்தில் + 1). திறந்த வட்டங்களால் குறிக்கப்பட்ட தளங்கள் நாற்கரத்தின் உள் எல்லைகளை உருவாக்குகின்றன; அவற்றின் தொடர்புடைய சுழல் தொகுப்புகள் {σ1,., σm} மற்றும் {σ '1,., σ' m} என பெயரிடப்பட்டுள்ளன, இங்கு σ1 = σ '1. ஒவ்வொரு உள் எல்லைக்காகவும் 2 மீ சாத்தியமான உள்ளமைவுகள் உள்ளன, எனவே 2 மீ × 2 மீ மேட்ரிக்ஸ் நுழைவு வாரியாக வரையறுக்கிறோம் மேட்ரிக்ஸ் ஏ, பின்னர், கொடுக்கப்பட்ட லட்டிஸ் நாற்கரத்திற்கான மூலையில் பரிமாற்ற மேட்ரிக்ஸ் ஆகும். வெளிப்புற எல்லை சுழல்கள் நிலையானவை மற்றும் தொகை அனைத்து உள் சுழல்களிலும் இருப்பதால், A இன் ஒவ்வொரு நுழைவும் உள் எல்லை சுழல்களின் செயல்பாடாகும். சொற்றொடரில் உள்ள க்ரோனெக்கர் டெல்டா σ1 = σ '1 என்பதை உறுதி செய்கிறது, எனவே உள்ளமைவுகளை சரியான முறையில் வரிசைப்படுத்துவதன் மூலம் A ஐ ஒரு தொகுதி மூலைவிட்ட மேட்ரிக்ஸாக வைக்கலாம்ஃ கார்னர் பரிமாற்ற மேட்ரிக்ஸ்கள் பகிர்வு செயல்பாட்டுடன் எளிமையான முறையில் தொடர்புடையவை. எங்கள் எளிமைப்படுத்தப்பட்ட எடுத்துக்காட்டில், ஜாலக நாற்கரத்தின் நான்கு சுழலும் நகல்களிலிருந்து முழு ஜாலகத்தை உருவாக்குகிறோம், அங்கு உள் எல்லை சுழற்சி தொகுப்புகள் σ, σ ', σ' மற்றும் σ 'வேறுபட அனுமதிக்கப்படுகிறதுஃ பகிர்வு செயல்பாடு பின்னர் மூலையில் பரிமாற்ற மேட்ரிக்ஸ் A இன் அடிப்படையில் எழுதப்படுகிறது விவாதம் மறுநிகழ்வு உறவு ஒரு மூலையில் பரிமாற்ற மேட்ரிக்ஸ் A2m (ஒரு m × m நாற்கரத்திற்கு வரையறுக்கப்படுகிறது) சிறிய மூலையில் பரிமாற்ற மேட்ரிக்ஸ்கள் A2m-1 மற்றும் A2m-2 (முறையே குறைக்கப்பட்ட (m-1) × (m-1) மற்றும் (m-2) × (m-2) நாற்கரங்களுக்கு வரையறுக்கப்படுகிறது) அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தப்படலாம். இந்த மறுநிகழ்வு உறவு, கொள்கையளவில், வரையறுக்கப்பட்ட அளவின் எந்த லட்டிஸ் நாற்கரத்திற்கும் மூலையில் பரிமாற்ற மேட்ரிக்ஸின் மறுசெய்கை கணக்கீட்டை அனுமதிக்கிறது. அவற்றின் வரிசை-க்கு-வரிசை சகாக்களைப் போலவே, மூலையில் பரிமாற்ற மேட்ரிக்ஸ்களும் முக பரிமாற்ற மேட்ரிக்ஸ்களில் காரணியாக இருக்கலாம், இது லட்டிஸில் ஒரு முகத்தைச் சேர்ப்பதற்கு ஒத்திருக்கிறது. முன்பு கொடுக்கப்பட்ட லட்டிஸ் நாற்கரத்திற்கு, முக பரிமாற்ற மேட்ரிக்ஸ்கள் 2 மீ × 2 மீ அளவு கொண்டவை மற்றும் 2 ≤ ஐ ≤ எம் + 1 மூலம் நுழைவு வாரியாக வரையறுக்கப்படுகின்றன. வெளிப்புற எல்லைக்கு அருகில், குறிப்பாக, எங்களிடம் உள்ளது, எனவே கார்னர் டிரான்ஸ்பர் மேட்ரிக்ஸ் A காரணியாக்கம் செய்யும் இடத்தில், இது ஒத்திருக்கிறதுஃ நமக்கு 2m × 2m மேட்ரிக்ஸ்கள் A * மற்றும் A * * தேவை, நுழைவு வாரியாக வரையறுக்கப்பட்ட A மேட்ரிக்ஸ்கள் RHS இல் தோன்றும் முறையே 2m-1 × 2m-1 மற்றும் 2m-2 × 2m-2 அளவு கொண்டவை. இப்போது A, A *, A * *, Ui மற்றும் Fj ஆகியவற்றின் வரையறைகளிலிருந்து, A2m-1 மற்றும் A2m-2 ஆகியவற்றின் அடிப்படையில் A2m க்கான மறுநிகழ்வு உறவைக் கொடுக்கிறது. மூலைவிட்ட வடிவம் கணக்கீடுகளைச் செய்ய மூலையில் பரிமாற்ற மேட்ரிக்ஸ்களைப் பயன்படுத்தும் போது, அதற்கு பதிலாக அவற்றின் மூலைவிட்ட வடிவங்களுடன் வேலை செய்வது பகுப்பாய்வு மற்றும் எண் ரீதியாக வசதியானது. இதை எளிதாக்க, மறுசுழற்சி உறவை ஏ, ஏ * மற்றும் ஏ * * இன் மூலைவிட்ட வடிவங்கள் மற்றும் ஐகென்வெக்டர் மேட்ரிக்ஸ்களின் அடிப்படையில் நேரடியாக மீண்டும் எழுதலாம். நமது எடுத்துக்காட்டில் உள்ள லட்டிஸ் பிரதிபலிப்பு-மாறாதது என்பதை நினைவுபடுத்துகிறது, அதாவது A ஒரு சமச்சீர் அணி (அதாவது. இது ஒரு ஆர்த்தோகனல் மேட்ரிக்ஸ் மூலம் மூலைவிட்டமாக உள்ளது). எனவே AD என்பது ஒரு மூலைவிட்ட மேட்ரிக்ஸ் (அதன் எண்ணியல் ரீதியாக மிகப்பெரிய நுழைவு 1 ஆக இருக்கும் வகையில் இயல்பாக்கப்பட்டது), αm என்பது A இன் மிகப்பெரிய ஐகென் மதிப்பு, மற்றும் PTP = I. இதேபோல் A * மற்றும் A * * க்கு, விளம்பரம் *, விளம்பரம் * *, P * மற்றும் P * * ஆகியவை A * மற்றும் A * * க்கு ஒத்த பாணியில் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளன, அதாவது. A2m-1 மற்றும் A2m-2 இன் சிறிய (இயல்பாக்கப்பட்ட) மூலைவிட்ட வடிவங்கள் மற்றும் (ஆர்த்தோகனல்) ஐகென்வெக்டர் மேட்ரிக்ஸ்களைப் பொறுத்தவரை. இந்த மூலைவிட்டங்களை மறுநிகழ்வு உறவில் மாற்றுவதன் மூலம், இப்போது அட் சமச்சீர், மேலும் அட் *, அட் * * மற்றும் ஆர் * தெரிந்தால் கணக்கிடப்படலாம்; மூலைவிட்டம் அட் பின்னர் அதன் இயல்பாக்கப்பட்ட மூலைவிட்ட வடிவமான அட், அதன் மிகப்பெரிய ஐகென் மதிப்பு κ மற்றும் அதன் ஆர்த்தோகனல் ஐகென் வெக்டர் மேட்ரிக்ஸ் ஆர். பயன்பாடுகள் ஸ்பின் எதிர்பார்ப்பு மதிப்பு கார்னர் பரிமாற்ற மேட்ரிக்ஸ்கள் (அல்லது அவற்றின் மூலைவிட்ட வடிவங்கள்) போன்ற அளவுகளைக் கணக்கிட பயன்படுத்தப்படலாம். முன்பு கொடுக்கப்பட்ட முழு லட்டிஸுக்கு, மைய தளத்தில் சுழல் எதிர்பார்ப்பு மதிப்பு பின்வருமாறு வழங்கப்படுகிறது முன்பு போலவே A தொகுதி மூலைவிட்டமாக இருக்கும் வகையில் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட உள்ளமைவுகளுடன், ஒரு தளத்திற்கு பகிர்வு செயல்பாடு போன்ற 2m × 2m மூலைவிட்ட மேட்ரிக்ஸை நாம் வரையறுக்கலாம் லட்டிஸ் மாதிரிகளுக்கான மற்றொரு முக்கியமான அளவு ஒரு தளத்திற்கு பகிர்வு செயல்பாடு ஆகும், இது வெப்ப இயக்கவியல் வரம்பில் மதிப்பீடு செய்யப்பட்டு எழுதப்படுகிறது. மேலும், 2m (m + 1) முகங்களின் எண்ணிக்கை வெப்ப இயக்கவியல் வரம்பில் உள்ள N தளங்களின் எண்ணிக்கையை நெருங்குகிறது, எனவே இது முந்தைய சமன்பாட்டுடன் ஒத்துப்போகிறது, இது அடுக்கு மிகப்பெரிய ஐகென் மதிப்பாக κ ஐக் கொடுக்கிறது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒரு தளத்திற்கான பகிர்வு செயல்பாடு வெப்ப இயக்கவியல் வரம்பில் மூலையில் பரிமாற்ற மேட்ரிக்ஸ்களுக்கான மூலைவிட்ட மறுசுழற்சி உறவால் சரியாக வழங்கப்படுகிறது; இது ஒரு பெரிய லட்டிஸுக்கான விளம்பரத்தை கணக்கிடும் மறு செய்கை செயல்முறையின் மூலம் κ ஐ தோராயமாக மதிப்பிட அனுமதிக்கிறது. இருப்பினும், சம்பந்தப்பட்ட மெட்ரிக்குகள் அளவில் அதிவேகமாக வளரும், மேலும் உண்மையான எண் கணக்கீடுகளில் அவை ஒவ்வொரு கட்டத்திலும் துண்டிக்கப்பட வேண்டும். இதைச் செய்வதற்கான ஒரு வழி, ஒவ்வொரு படியிலும் n மிகப்பெரிய ஐகென் மதிப்புகளை வைத்திருப்பது, சில நிலையான n க்கு. பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில், n = 1,2,3 ஐ எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம் பெறப்பட்ட தோராயங்களின் வரிசை,. விரைவாகவும், சரியான மதிப்புடனும் (சரியாக தீர்க்கக்கூடிய மாதிரிக்கு) ஒருங்கிணைக்கிறது. மேலும் காண்க டிரான்ஸ்ஃபர்-மேட்ரிக்ஸ் முறை குறிப்புகள் சரியாக தீர்க்கக்கூடிய மாதிரிகள் லட்டிஸ் மாதிரிகள் மெட்ரிஸ் புள்ளியியல் இயக்கவியல்