Characteristic function (probability theory)
நிகழ்தகவுக் கோட்பாடு மற்றும் புள்ளிவிவரங்களில், எந்தவொரு உண்மையான மதிப்புள்ள சீரற்ற மாறியின் சிறப்பியல்பு செயல்பாடு அதன் நிகழ்தகவு விநியோகத்தை முழுமையாக வரையறுக்கிறது. ஒரு சீரற்ற மாறி ஒரு நிகழ்தகவு அடர்த்தி செயல்பாட்டை ஏற்றுக்கொண்டால், அதன் சிறப்பியல்பு செயல்பாடு நிகழ்தகவு அடர்த்தி செயல்பாட்டின் ஃபோரியர் உருமாற்றம் ஆகும். எனவே இது நிகழ்தகவு அடர்த்தி செயல்பாடுகள் அல்லது ஒட்டுமொத்த விநியோக செயல்பாடுகளுடன் நேரடியாக வேலை செய்வதோடு ஒப்பிடும்போது பகுப்பாய்வு முடிவுகளுக்கு ஒரு மாற்று வழியை வழங்குகிறது. சீரற்ற மாறிகளின் எடையுள்ள தொகைகளால் வரையறுக்கப்பட்ட விநியோகங்களின் சிறப்பியல்பு செயல்பாடுகளுக்கு குறிப்பாக எளிய முடிவுகள் உள்ளன. மாறுபட்ட விநியோகங்களுக்கு கூடுதலாக, பண்புக்கூறு செயல்பாடுகளை திசையன்-அல்லது மேட்ரிக்ஸ்-மதிப்புள்ள சீரற்ற மாறிகளுக்கு வரையறுக்கலாம், மேலும் பொதுவான நிகழ்வுகளுக்கும் நீட்டிக்கப்படலாம். கணத்தை உருவாக்கும் செயல்பாட்டைப் போலல்லாமல், உண்மையான மதிப்புள்ள வாதத்தின் செயல்பாடாகக் கருதப்படும்போது சிறப்பியல்பு செயல்பாடு எப்போதும் உள்ளது. ஒரு விநியோகத்தின் சிறப்பியல்பு செயல்பாட்டின் நடத்தைக்கும், விநியோகத்தின் பண்புகளுக்கும் இடையே உறவுகள் உள்ளன, அதாவது தருணங்களின் இருப்பு மற்றும் அடர்த்தி செயல்பாட்டின் இருப்பு போன்றவை. சிறப்பியல்பு செயல்பாடு என்பது ஒரு சீரற்ற மாறியை விவரிக்கும் ஒரு வழியாகும். t இன் செயல்பாடான சிறப்பியல்பு செயல்பாடு, சீரற்ற மாறி X இன் நிகழ்தகவு விநியோகத்தின் நடத்தை மற்றும் பண்புகளை முழுமையாக தீர்மானிக்கிறது. சிறப்பியல்பு செயல்பாடு ஒட்டுமொத்த விநியோக செயல்பாட்டைப் போன்றது, (இங்கு 1 {X ≤ x} என்பது காட்டி செயல்பாடு-இது 1 க்கு சமம், இல்லையெனில் பூஜ்ஜியம்), இது சீரற்ற மாறி X இன் நிகழ்தகவு விநியோகத்தின் நடத்தை மற்றும் பண்புகளை முழுமையாக தீர்மானிக்கிறது. இரண்டு அணுகுமுறைகளும் சமமானவை, அதாவது ஒரு செயல்பாட்டை அறிந்தால் மற்றொன்றைக் கண்டுபிடிப்பது எப்போதும் சாத்தியமாகும், இருப்பினும் அவை சீரற்ற மாறியின் அம்சங்களைப் புரிந்துகொள்வதற்கான வெவ்வேறு நுண்ணறிவுகளை வழங்குகின்றன. மேலும், குறிப்பிட்ட சந்தர்ப்பங்களில், இந்த செயல்பாடுகளை எளிய நிலையான செயல்பாடுகளை உள்ளடக்கிய வெளிப்பாடுகளாக பிரதிநிதித்துவப்படுத்த முடியுமா என்பதில் வேறுபாடுகள் இருக்கலாம். ஒரு சீரற்ற மாறி ஒரு அடர்த்தி செயல்பாட்டை ஏற்றுக்கொண்டால், அதன் சிறப்பியல்பு செயல்பாடு அதன் ஃபோரியர் டூயல் ஆகும், அதாவது அவை ஒவ்வொன்றும் மற்றொன்றின் ஃபோரியர் உருமாற்றம். ஒரு சீரற்ற மாறி ஒரு கணத்தை உருவாக்கும் செயல்பாட்டைக் கொண்டிருந்தால், சிறப்பியல்பு செயல்பாட்டின் களத்தை சிக்கலான தளத்திற்கு நீட்டிக்க முடியும், இருப்பினும் ஒரு விநியோகத்தின் சிறப்பியல்பு செயல்பாடு எப்போதும் உள்ளது என்பதைக் கவனியுங்கள், நிகழ்தகவு அடர்த்தி செயல்பாடு அல்லது கணத்தை உருவாக்கும் செயல்பாடு இல்லை. சுயாதீனமான சீரற்ற மாறிகளின் நேரியல் சேர்க்கைகளின் பகுப்பாய்வில் சிறப்பியல்பு செயல்பாட்டு அணுகுமுறை குறிப்பாக பயனுள்ளதாக இருக்கும்ஃ மத்திய வரம்பு தேற்றத்தின் ஒரு பாரம்பரிய ஆதாரம் சிறப்பியல்பு செயல்பாடுகள் மற்றும் லெவியின் தொடர்ச்சித் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துகிறது. சீரற்ற மாறிகளின் சிதைவு கோட்பாட்டிற்கு மற்றொரு முக்கியமான பயன்பாடு உள்ளது. வரையறை ஒரு அளவிடக்கூடிய சீரற்ற மாறி X க்கு சிறப்பியல்பு செயல்பாடு eitX இன் எதிர்பார்க்கப்பட்ட மதிப்பாக வரையறுக்கப்படுகிறது, அங்கு i என்பது கற்பனை அலகு மற்றும் சிறப்பியல்பு செயல்பாட்டின் வாதமாகும்ஃ இங்கே FX என்பது X இன் ஒட்டுமொத்த விநியோக செயல்பாடு, fX என்பது தொடர்புடைய நிகழ்தகவு அடர்த்தி செயல்பாடு, QX (p) என்பது தொடர்புடைய தலைகீழ் ஒட்டுமொத்த விநியோக செயல்பாடு, இது அளவீட்டு செயல்பாடு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் ஒருங்கிணைப்புகள் ரீமன்-ஸ்டீல்ட்ஜெஸ் வகையைச் சேர்ந்தவை. ஒரு சீரற்ற மாறி X ஒரு நிகழ்தகவு அடர்த்தி செயல்பாட்டைக் கொண்டிருந்தால், அதன் சிறப்பியல்பு செயல்பாடு சிக்கலான அதிவேகத்தில் அடையாளம் தலைகீழாக அதன் ஃபோரியர் உருமாற்றமாகும். சிறப்பியல்பு செயல்பாட்டின் வரையறையில் தோன்றும் மாறிலிகளுக்கான இந்த மரபு ஃபோரியர் உருமாற்றத்திற்கான வழக்கமான மரபிலிருந்து வேறுபடுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, சில ஆசிரியர்கள் வரையறுக்கிறார்கள், இது அடிப்படையில் அளவுருவின் மாற்றமாகும். இலக்கியத்தில் பிற குறியீடுகள் எதிர்கொள்ளப்படலாம்ஃ நிகழ்தகவு அளவீட்டு p க்கான சிறப்பியல்பு செயல்பாடாக, அல்லது அடர்த்தி f உடன் தொடர்புடைய சிறப்பியல்பு செயல்பாடாக. பொதுமைப்படுத்தல்கள் சிறப்பியல்பு செயல்பாடுகளின் கருத்து பல மாறுபடும் சீரற்ற மாறிகள் மற்றும் மிகவும் சிக்கலான சீரற்ற கூறுகளுக்கு பொதுமைப்படுத்துகிறது. சிறப்பியல்பு செயல்பாட்டின் வாதம் எப்போதும் சீரற்ற மாறி X அதன் மதிப்புகளை எடுக்கும் இடத்தின் தொடர்ச்சியான இரட்டைக்கு சொந்தமானது. பொதுவான நிகழ்வுகளுக்கு இத்தகைய வரையறைகள் கீழே பட்டியலிடப்பட்டுள்ளனஃ எக்ஸ் ஒரு கே-பரிமாண சீரற்ற திசையன் என்றால், திசையனின் இடமாற்றம் எங்கே, எக்ஸ் ஒரு கே × பி-பரிமாண சீரற்ற மேட்ரிக்ஸ் என்றால், பின்னர் சுவடு ஆபரேட்டர் எங்கே, எக்ஸ் ஒரு சிக்கலான சீரற்ற மாறி என்றால், சிக்கலான இணைவு எங்கே மற்றும் சிக்கலான எண்ணின் உண்மையான பகுதியாகும், எக்ஸ் ஒரு கே-பரிமாண சிக்கலான சீரற்ற திசையன் என்றால், திசையனின் இணை இடமாற்றம் எங்கே, எக்ஸ் (கள்) ஒரு சீரற்ற செயல்முறையாக இருந்தால், பின்னர் அனைத்து செயல்பாடுகளுக்கும் டி (கள்) எக்ஸ் அனுபவங்களின் கிட்டத்தட்ட அனைத்து உணர்தல்களுக்கும் ஒருங்கிணைந்த ஒன்றிணைகிறது எடுத்துக்காட்டுகள் ஒபெர்ஹெட்டிங்கர் (1973) சிறப்பியல்பு செயல்பாடுகளின் விரிவான அட்டவணைகளை வழங்குகிறது. பண்புகள் ஒரு உண்மையான மதிப்புள்ள சீரற்ற மாறியின் சிறப்பியல்பு செயல்பாடு எப்போதும் உள்ளது, ஏனெனில் இது ஒரு இடைவெளியில் வரையறுக்கப்பட்ட தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்பாகும், அதன் அளவீடு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. ஒரு சிறப்பியல்பு செயல்பாடு முழு இடத்திலும் ஒரே சீராக தொடர்கிறது. இது பூஜ்ஜியத்தைச் சுற்றியுள்ள பகுதியில் மறைந்துவிடாதுஃ φ (0) = 1. இது வரம்புக்குட்பட்டதுஃ |φ (t) | ≤1. இது ஹெர்மிடியன்ஃ. குறிப்பாக, ஒரு சமச்சீர் (தோற்றத்தைச் சுற்றி) சீரற்ற மாறியின் சிறப்பியல்பு செயல்பாடு உண்மையான மதிப்புடையது மற்றும் சமமானது. நிகழ்தகவு விநியோகங்களுக்கும் சிறப்பியல்பு செயல்பாடுகளுக்கும் இடையில் ஒரு பைஜெக்ஷன் உள்ளது. அதாவது, ஏதேனும் இரண்டு சீரற்ற மாறிகள் X1, X2 க்கு, இரண்டும் ஒரே நிகழ்தகவு விநியோகத்தைக் கொண்டுள்ளன. ஒரு சீரற்ற மாறி X க்கு k-th வரிசை வரை தருணங்கள் இருந்தால், பின்னர் சிறப்பியல்பு செயல்பாடு φX முழு உண்மையான வரியிலும் தொடர்ந்து வேறுபடுத்தக்கூடிய k மடங்கு ஆகும். இந்த வழக்கில் ஒரு சிறப்பியல்பு சார்பு φX பூஜ்ஜியத்தில் k-th வழித்தோன்றலைக் கொண்டிருந்தால், சீரற்ற மாறி X க்கு k சமமாக இருந்தால் k வரை அனைத்து தருணங்களும் உள்ளன, ஆனால் k ஒற்றைப்படை என்றால் மட்டுமே. X1,., Xn ஆகியவை சுயாதீனமான சீரற்ற மாறிகள் மற்றும் a1,., an ஆகியவை சில மாறிலிகள் என்றால், xi இன் நேரியல் கலவையின் சிறப்பியல்பு செயல்பாடு ஒரு குறிப்பிட்ட வழக்கு இரண்டு சுயாதீனமான சீரற்ற மாறிகள் X1 மற்றும் X2 இன் கூட்டுத்தொகையாகும். மற்றும் இருந்தால் மட்டுமே சுயாதீனமாக இருக்கும். சிறப்பியல்பு செயல்பாட்டின் வால் நடத்தை தொடர்புடைய அடர்த்தி செயல்பாட்டின் மென்மையை தீர்மானிக்கிறது. சீரற்ற மாறி ஒரு சீரற்ற மாறியின் நேரியல் மாற்றமாக இருக்கட்டும். இதன் சிறப்பியல்பு செயல்பாடு. சீரற்ற திசையன்களுக்கு மற்றும் (இங்கு A ஒரு நிலையான அணி மற்றும் B ஒரு நிலையான திசையன்), நம்மிடம் உள்ளது. தொடர்ச்சி நிகழ்தகவு விநியோகங்கள் மற்றும் சிறப்பியல்பு செயல்பாடுகளுக்கு இடையில் மேலே கூறப்பட்ட பைஜெக்ஷன் தொடர்ச்சியாக தொடர்ச்சியானது. அதாவது, விநியோகச் சார்புகளின் ஒரு வரிசை Fj (x) சில பகிர்வு F (x) உடன் (பலவீனமாக) ஒன்றிணையும் போதெல்லாம், பண்புக்கூறுகள் சார்புகளின் தொடர்புடைய வரிசை φj (t) ஒன்றிணையும், மேலும் வரம்பு φ (t) விதி F இன் பண்புக்கூறுடன் ஒத்திருக்கும். மேலும் முறைப்படி, இது லெவியின் தொடர்ச்சித் தேற்றம் என்று குறிப்பிடப்படுகிறதுஃ n-மாறுபாட்டு சீரற்ற மாறிகளின் வரிசை Xj சீரற்ற மாறி X க்கு விநியோகத்தில் ஒருங்கிணைக்கிறது, மேலும் வரிசை φXj தோற்றத்தில் தொடர்ச்சியாக இருக்கும் ஒரு செயல்பாடு φ க்கு புள்ளிவழியாக ஒன்றிணைந்தால் மட்டுமே. இங்கு φ என்பது X இன் சிறப்பியல்பு செயல்பாடு ஆகும். பெரிய எண்களின் விதி மற்றும் மைய வரம்பு தேற்றத்தை நிரூபிக்க இந்த தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தலாம். தலைகீழ் சூத்திரம் ஒட்டுமொத்த விநியோக செயல்பாடுகளுக்கும் சிறப்பியல்பு செயல்பாடுகளுக்கும் இடையில் ஒருவருக்கொருவர் தொடர்பு உள்ளது, எனவே மற்றொன்றை நாம் அறிந்திருந்தால் இந்த செயல்பாடுகளில் ஒன்றைக் கண்டுபிடிக்க முடியும். சிறப்பியல்பு செயல்பாட்டின் வரையறையில் உள்ள சூத்திரம், விநியோக செயல்பாடு F (அல்லது அடர்த்தி f) ஐ நாம் அறியும்போது φ ஐ கணக்கிட அனுமதிக்கிறது. மறுபுறம், சிறப்பியல்பு செயல்பாடு φ ஐ நாம் அறிந்திருந்தால், அதனுடன் தொடர்புடைய விநியோக செயல்பாட்டைக் கண்டுபிடிக்க விரும்பினால், பின்வரும் தலைகீழ் கோட்பாடுகளில் ஒன்றைப் பயன்படுத்தலாம். தேற்றம். ஒரு சீரற்ற மாறி X இன் சிறப்பியல்பு செயல்பாடு φX ஒருங்கிணைந்ததாக இருந்தால், FX முற்றிலும் தொடர்ச்சியானது, எனவே X ஒரு நிகழ்தகவு அடர்த்தி செயல்பாட்டைக் கொண்டுள்ளது. மாறாத வழக்கில் (அதாவது. X அளவிடக்கூடிய மதிப்புடையதாக இருக்கும்போது) அடர்த்தி செயல்பாடு மூலம் வழங்கப்படுகிறது பன்முகத்தன்மை வழக்கில் அது புள்ளி தயாரிப்பு எங்கே. அடர்த்தி செயல்பாடு என்பது லெபெஸ்கூ அளவீட்டு λ: தேற்றம் (லெவி) ஐப் பொறுத்தவரை விநியோகத்தின் ரேடான்-நிகோடிம் வழித்தோன்றலாகும். φX என்பது விநியோகச் சார்பான FX இன் சிறப்பியல்பு செயல்பாடாக இருந்தால், இரண்டு புள்ளிகள் a <b என்பது ஒரு தொடர்ச்சியான தொகுப்பாகும் (மாறுபட்ட விஷயத்தில் இந்த நிபந்தனை a மற்றும் b புள்ளிகளில் FX இன் தொடர்ச்சிக்கு சமம்), பின்னர் X அளவிடக்கூடியது என்றால்ஃ இந்த சூத்திரத்தை எண் கணக்கீட்டிற்கு மிகவும் வசதியான வடிவத்தில் மீண்டும் குறிப்பிடலாம். X ஒரு திசையன் சீரற்ற மாறி என்றால்ஃ தேற்றம். a என்பது (அநேகமாக) X இன் அணுவாக இருந்தால் (மாறுபட்ட விஷயத்தில் இது FX இன் இடைநிறுத்தத்தின் ஒரு புள்ளியைக் குறிக்கிறது) பின்னர் X அளவிடத்தக்கதாக இருந்தால்ஃ X ஒரு திசையன் சீரற்ற மாறி என்றால்ஃ தேற்றம் (கில்-பெலஸ்). ஒரு மாறாத சீரற்ற மாறி X க்கு, x என்பது FX இன் தொடர்ச்சிப் புள்ளியாக இருந்தால், ஒரு சிக்கலான எண்ணின் கற்பனையான பகுதி இதன் மூலம் வழங்கப்படுகிறது. அதன் அடர்த்தி செயல்பாடுஃ ஒருங்கிணைப்பு லெபெஸ்கூ-ஒருங்கிணைந்ததாக இருக்காது; எடுத்துக்காட்டாக, எக்ஸ் எப்போதும் 0 ஆக இருக்கும் தனித்துவமான சீரற்ற மாறியாக இருக்கும்போது, அது டிரிக்லெட் ஒருங்கிணைப்பாக மாறுகிறது. பல்வேறுபட்ட விநியோகங்களுக்கான தலைகீழ் சூத்திரங்கள் கிடைக்கின்றன. சிறப்பியல்பு செயல்பாடுகளுக்கான அளவுகோல் அனைத்து சிறப்பியல்பு செயல்பாடுகளின் தொகுப்பும் சில செயல்பாடுகளின் கீழ் மூடப்பட்டுள்ளதுஃ ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட அல்லது எண்ணக்கூடிய எண்ணிக்கையிலான சிறப்பியல்பு செயல்பாடுகளின் குவிந்த நேரியல் கலவையும் (உடன்) ஒரு சிறப்பியல்பு செயல்பாடாகும். வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான சிறப்பியல்பு செயல்பாடுகளின் பெருக்கமும் ஒரு சிறப்பியல்பு செயல்பாடாகும். ஒரு எல்லையற்ற பெருக்கல் தோற்றத்தில் தொடர்ச்சியான செயல்பாடாக ஒன்றிணைந்தால் அதுவே பொருந்தும். φ ஒரு பண்பு சார்பாகவும், α ஒரு உண்மையான எண்ணாகவும் இருந்தால், Re (φ), |φ |2, மற்றும் φ (αt) ஆகியவையும் பண்பு சார்புகளாகும். வரம்புகள் F (− ≤) = 0, F (+ ≤) = 1 கொண்ட எந்தவொரு குறைக்கப்படாத காட்லக் செயல்பாடும் சில சீரற்ற மாறிகளின் ஒட்டுமொத்த விநியோக செயல்பாட்டிற்கு ஒத்திருக்கிறது என்பது அனைவரும் அறிந்ததே. கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாடு φ சில சீரற்ற மாறியின் சிறப்பியல்பு செயல்பாடாக இருக்கக்கூடும் என்பதற்கு ஒத்த எளிய அளவுகோல்களைக் கண்டுபிடிப்பதில் ஆர்வமும் உள்ளது. இங்குள்ள மைய முடிவு போச்னரின் தேற்றமாகும், இருப்பினும் அதன் பயன்பாடு குறைவாகவே உள்ளது, ஏனெனில் தேற்றத்தின் முக்கிய நிபந்தனை, எதிர்மறை அல்லாத வரையறையை சரிபார்க்க மிகவும் கடினமாக உள்ளது. கின்சின், மத்தியாஸ் அல்லது கிராமர் போன்ற பிற கோட்பாடுகளும் உள்ளன, இருப்பினும் அவற்றின் பயன்பாடு கடினமாக உள்ளது. போலியாவின் தேற்றம், மறுபுறம், மிகவும் எளிமையான குவிந்த நிலையை வழங்குகிறது, இது போதுமானது ஆனால் அவசியமில்லை. இந்த நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்யும் சிறப்பியல்பு செயல்பாடுகள் போலியா வகை என்று அழைக்கப்படுகின்றன. போச்னர் கோட்பாடு. ஒரு தன்னிச்சையான செயல்பாடு φ: Rn → C என்பது சில சீரற்ற மாறியின் சிறப்பியல்பு செயல்பாடாகும், φ நேர்மறை திட்டவட்டமானதாகவும், தோற்றத்தில் தொடர்ச்சியாகவும் இருந்தால், மற்றும் φ (0) = 1 ஆக இருந்தால் மட்டுமே. கின்சைனின் அளவுகோல். ஒரு சிக்கலான மதிப்புள்ள, முற்றிலும் தொடர்ச்சியான செயல்பாடு φ, φ (0) = 1 உடன், ஒரு சிறப்பியல்பு செயல்பாடு, அது மத்தியாஸ் தேற்றத்தின் பிரதிநிதித்துவத்தை ஏற்றுக்கொண்டால் மட்டுமே. ஒரு உண்மையான மதிப்புள்ள, சமமான, தொடர்ச்சியான, முற்றிலும் ஒருங்கிணைக்கக்கூடிய செயல்பாடு φ, φ (0) = 1 உடன், n = 0,1,2,., மற்றும் அனைத்து p> 0 க்கும் இருந்தால் மட்டுமே ஒரு சிறப்பியல்பு செயல்பாடு ஆகும். இங்கே H2n என்பது 2n டிகிரியின் ஹெர்மைட் பல்லுறுப்புக்கோவையைக் குறிக்கிறது. போல்யாவின் தேற்றம். நிபந்தனைகளை திருப்திப்படுத்தும் ஒரு உண்மையான மதிப்புள்ள, சமமான, தொடர்ச்சியான செயல்பாடு, குவிந்ததாக இருந்தால், φ (t) என்பது 0 ஐப் பற்றிய முற்றிலும் தொடர்ச்சியான விநியோக சமச்சீரின் சிறப்பியல்பு செயல்பாடாகும். பயன்பாடுகள் தொடர்ச்சித் தேற்றத்தின் காரணமாக, மைய வரம்பு தேற்றத்தின் மிகவும் அடிக்கடி காணப்படும் ஆதாரத்தில் சிறப்பியல்பு செயல்பாடுகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. ஒரு சிறப்பியல்பு செயல்பாட்டுடன் கணக்கீடுகளைச் செய்வதில் ஈடுபடும் முக்கிய நுட்பம், ஒரு குறிப்பிட்ட விநியோகத்தின் சிறப்பியல்பு செயல்பாடாக செயல்பாட்டை அங்கீகரிப்பதாகும். விநியோகங்களின் அடிப்படை கையாளுதல்கள் சுயாதீனமான சீரற்ற மாறிகளின் நேரியல் செயல்பாடுகளைக் கையாள்வதற்கு சிறப்பியல்பு செயல்பாடுகள் குறிப்பாக பயனுள்ளதாக இருக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, சுயாதீனமான (மற்றும் ஒரே மாதிரியாக விநியோகிக்கப்பட வேண்டிய அவசியமில்லை) சீரற்ற மாறிகளின் வரிசையாகவும், ஆயி மாறிலிகளாக இருந்தால், Sn க்கான சிறப்பியல்பு செயல்பாடு குறிப்பாக வழங்கப்படுகிறது. இதைப் பார்க்க, சிறப்பியல்பு செயல்பாட்டின் வரையறையை எழுதுங்கள்ஃ மூன்றாவது மற்றும் நான்காவது வெளிப்பாடுகளின் சமத்துவத்தை நிறுவ எக்ஸ் மற்றும் ஒய் இன் சுதந்திரம் தேவைப்படுகிறது. ஒரே மாதிரியாக விநியோகிக்கப்பட்ட சீரற்ற மாறிகளுக்கான மற்றொரு சிறப்பு வழக்கு எப்போது, பின்னர் Sn என்பது மாதிரி சராசரி. இந்த வழக்கில், சராசரி, தருணங்கள் சிறப்பியல்பு செயல்பாடுகளை எழுதுவது ஒரு சீரற்ற மாறியின் தருணங்களைக் கண்டறியவும் பயன்படுத்தப்படலாம். n வது தருணம் இருந்தால், சிறப்பியல்பு செயல்பாட்டை n முறை வேறுபடுத்தலாம்ஃ இது டைராக் டெல்டா செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்களைப் பயன்படுத்தி முறையாக எழுதப்படலாம்ஃ இது தருணம் சிக்கலுக்கு முறையான தீர்வை அனுமதிக்கிறது. எடுத்துக்காட்டாக, எக்ஸ் ஒரு நிலையான காச்சி விநியோகத்தைக் கொண்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். பிறகு. இது t = 0 இல் வேறுபடுத்த முடியாது, இது காச்சி விநியோகத்திற்கு எந்த எதிர்பார்ப்பும் இல்லை என்பதைக் காட்டுகிறது. மேலும், n சுயாதீன அவதானிப்புகளின் மாதிரி சராசரியின் சிறப்பியல்பு செயல்பாடு முந்தைய பிரிவின் முடிவைப் பயன்படுத்தி சிறப்பியல்பு செயல்பாட்டைக் கொண்டுள்ளது. இது நிலையான காச்சி விநியோகத்தின் சிறப்பியல்பு செயல்பாடாகும்ஃ எனவே, மாதிரி சராசரி மக்கள்தொகைக்கு சமமான பரவலைக் கொண்டுள்ளது. மேலும் ஒரு எடுத்துக்காட்டாக, X ஒரு காஸியன் பரவலைப் பின்பற்றுகிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம். . பின்னர் மற்றும் இதேபோன்ற கணக்கீடு எதிர்பார்ப்பின் வரையறையைப் பயன்படுத்துவதையும், மதிப்பீடு செய்ய பகுதிகளால் ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்துவதையும் விட காட்டுகிறது மற்றும் செயல்படுத்த எளிதானது. ஒரு சிறப்பியல்புச் சார்பின் மடக்கை என்பது ஒரு ஒட்டுமொத்தத்தை உருவாக்கும் செயல்பாடாகும், இது ஒட்டுமொத்தங்களைக் கண்டுபிடிப்பதற்கு பயனுள்ளதாக இருக்கும்; சிலர் அதற்கு பதிலாக ஒட்டுமொத்தத்தை உருவாக்கும் செயல்பாட்டை தருணத்தை உருவாக்கும் செயல்பாட்டின் மடக்கை என வரையறுக்கிறார்கள், மேலும் சிறப்பியல்புச் சார்பின் மடக்கை இரண்டாவது ஒட்டுமொத்தத்தை உருவாக்கும் செயல்பாடு என்று அழைக்கிறார்கள். தரவுகளின் மாதிரிகளுக்கு நிகழ்தகவு விநியோகங்களைப் பொருத்துவதற்கான நடைமுறைகளின் ஒரு பகுதியாக தரவு பகுப்பாய்வு சிறப்பியல்பு செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தலாம். மற்ற சாத்தியக்கூறுகளுடன் ஒப்பிடும்போது இது ஒரு நடைமுறை விருப்பத்தை வழங்கும் சந்தர்ப்பங்களில் நிலையான விநியோகத்தைப் பொருத்துவது அடங்கும், ஏனெனில் அடர்த்திக்கான மூடிய வடிவ வெளிப்பாடுகள் கிடைக்கவில்லை, இது அதிகபட்ச நிகழ்தகவு மதிப்பீட்டை செயல்படுத்துவதை கடினமாக்குகிறது. மதிப்பீட்டு நடைமுறைகள் கிடைக்கின்றன, அவை தரவுகளிலிருந்து கணக்கிடப்பட்ட அனுபவ சிறப்பியல்பு செயல்பாட்டுடன் கோட்பாட்டு சிறப்பியல்பு செயல்பாட்டுடன் பொருந்துகின்றன. பால்சன் மற்றும் பலர். (1975) மற்றும் ஹீத்கோட் (1977) ஆகியவை அத்தகைய மதிப்பீட்டு நடைமுறைக்கு சில தத்துவார்த்த பின்னணியை வழங்குகின்றன. கூடுதலாக, யூ (2004) சாத்தியக்கூறு நடைமுறைகள் நடைமுறைக்கு சாத்தியமற்றதாக இருக்கும் நேரத் தொடர் மாதிரிகளைப் பொருத்துவதற்கு அனுபவபூர்வமான பண்பு செயல்பாடுகளின் பயன்பாடுகளை விவரிக்கிறது. அன்சாரி மற்றும் பலர் அனுபவபூர்வமான சிறப்பியல்பு செயல்பாடுகளையும் பயன்படுத்தியுள்ளனர். (2020) மற்றும் லீ மற்றும் பலர். (2020) உற்பத்தி எதிர் நெட்வொர்க்குகளுக்கு பயிற்சி அளிப்பதற்காக. எடுத்துக்காட்டு அளவுகோல் அளவுரு θ மற்றும் ஒரு வடிவ அளவுரு k கொண்ட காமா விநியோகம் சிறப்பியல்பு செயல்பாட்டைக் கொண்டுள்ளது இப்போது X மற்றும் Y ஒருவருக்கொருவர் சுயாதீனமாக உள்ளன என்று வைத்துக்கொள்வோம், மேலும் X + Y இன் விநியோகம் என்ன என்பதை அறிய விரும்புகிறோம். இது காமா விநியோக அளவுகோல் அளவுரு மற்றும் வடிவ அளவுரு k1 + k2 இன் சிறப்பியல்பு செயல்பாடாகும், எனவே நாம் முடிவு செய்கிறோம் இதன் விளைவாக அதே அளவுகோல் அளவுருவுடன் n சுயாதீனமான காமா விநியோகிக்கப்பட்ட சீரற்ற மாறிகளுக்கு விரிவாக்கப்படலாம் மற்றும் முழு சிறப்பியல்பு செயல்பாடுகளைப் பெறுகிறோம் மேலே வரையறுக்கப்பட்டுள்ளபடி, சிறப்பியல்பு செயல்பாட்டின் வாதம் ஒரு உண்மையான எண்ணாக கருதப்படுகிறதுஃ இருப்பினும், சிறப்பியல்பு செயல்பாடுகளின் கோட்பாட்டின் சில அம்சங்கள் பகுப்பாய்வு தொடர்ச்சியின் மூலம் சிக்கலான தளத்திற்குள் வரையறையை விரிவுபடுத்துவதன் மூலம் மேம்படுத்தப்படுகின்றன, இது சாத்தியமான சந்தர்ப்பங்களில். தொடர்புடைய கருத்துக்களில் தருணத்தை உருவாக்கும் செயல்பாடு மற்றும் நிகழ்தகவை உருவாக்கும் செயல்பாடு ஆகியவை அடங்கும். அனைத்து நிகழ்தகவு விநியோகங்களுக்கும் சிறப்பியல்பு செயல்பாடு உள்ளது. தருணத்தை உருவாக்கும் செயல்பாட்டிற்கு இது பொருந்தாது. சிறப்பியல்பு செயல்பாடு ஃபோரியர் உருமாற்றத்துடன் நெருக்கமாக தொடர்புடையதுஃ நிகழ்தகவு அடர்த்தி செயல்பாட்டின் சிறப்பியல்பு செயல்பாடு p (x) என்பது p (x) இன் தொடர்ச்சியான ஃபோரியர் உருமாற்றத்தின் சிக்கலான இணைப்பாகும் (வழக்கமான நடைமுறையின்படி; தொடர்ச்சியான ஃபோரியர் உருமாற்றத்தைப் பார்க்கவும்-பிற மரபுகள்). இங்கு P (t) என்பது நிகழ்தகவு அடர்த்தி சார்பான p (x) இன் தொடர்ச்சியான ஃபோரியர் உருமாற்றத்தைக் குறிக்கிறது. அதேபோல், p (x) ஐ φX (t) இலிருந்து தலைகீழ் ஃபோரியர் உருமாற்றத்தின் மூலம் மீட்டெடுக்கலாம்ஃ உண்மையில், சீரற்ற மாறிக்கு அடர்த்தி இல்லாவிட்டாலும், சீரற்ற மாறிக்கு ஒத்த அளவின் ஃபோரியர் உருமாற்றமாக பண்பு செயல்பாட்டைக் காணலாம். மற்றொரு தொடர்புடைய கருத்து, விநியோகங்களின் கர்னல் உட்பொதிப்பு வழியாக இனப்பெருக்கம் செய்யும் கர்னல் ஹில்பர்ட் இடத்தின் கூறுகளாக நிகழ்தகவு விநியோகங்களை பிரதிநிதித்துவப்படுத்துவதாகும். இந்த கட்டமைப்பை கர்னல் செயல்பாட்டின் குறிப்பிட்ட தேர்வுகளின் கீழ் சிறப்பியல்பு செயல்பாட்டின் பொதுமைப்படுத்தலாகக் கருதலாம். சுயாதீனத்தை விட பலவீனமான நிபந்தனையான துணை சுதந்திரத்தையும் பார்க்கவும், இது சிறப்பியல்பு செயல்பாடுகளின் அடிப்படையில் வரையறுக்கப்படுகிறது. குமுலன்ட், குமுலன்ட் உருவாக்கும் செயல்பாடுகளின் ஒரு சொல், அவை சிறப்பியல்பு செயல்பாடுகளின் பதிவுகள். குறிப்புகள் மேற்கோள்கள் ஆதாரங்கள் வெளிப்புற இணைப்புகள் நிகழ்தகவு விநியோகம் தொடர்பான செயல்பாடுகள்