Bilateral hypergeometric series
கணிதத்தில், இருதரப்பு ஹைப்பர்ஜியோமெட்ரிக் தொடர் என்பது அனைத்து முழு எண்கள் n க்கும் சுருக்கமாக ஒரு தொடர், மேலும் இரண்டு சொற்களின் விகிதம் an/an + 1 என்பது n இன் பகுத்தறிவு செயல்பாடாகும். பொதுவான ஹைப்பர்ஜியோமெட்ரிக் தொடரின் வரையறை ஒத்திருக்கிறது, எதிர்மறை n உடன் உள்ள சொற்கள் மறைந்துவிட வேண்டும் என்பதைத் தவிர; இருதரப்பு தொடர் பொதுவாக நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை n ஆகிய இரண்டிற்கும் பூஜ்ஜியமற்ற சொற்களின் எண்ணற்ற எண்ணிக்கையைக் கொண்டிருக்கும். இருதரப்பு ஹைப்பர்ஜியோமெட்ரிக் தொடர் பெரும்பாலான பகுத்தறிவு செயல்பாடுகளுக்கு ஒன்றிணைக்கத் தவறிவிட்டது, இருப்பினும் இது பகுப்பாய்வு ரீதியாக பெரும்பாலான பகுத்தறிவு செயல்பாடுகளுக்கு வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு செயல்பாட்டிற்குத் தொடரலாம். அது ஒன்றிணைக்கும் இடத்தில் சிறப்பு மதிப்புகளுக்கு அதன் மதிப்புகளை வழங்கும் பல கூட்டுத்தொகை சூத்திரங்கள் உள்ளன. வரையறை இருதரப்பு ஹைப்பர்ஜியோமெட்ரிக் தொடர் pHp என்பது உயரும் காரணி அல்லது போச்சாமர் சின்னம் எங்கு உள்ளது என்பதன் மூலம் வரையறுக்கப்படுகிறது. வழக்கமாக மாறி z 1 ஆக எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது, இந்த விஷயத்தில் அது குறியீட்டிலிருந்து தவிர்க்கப்படுகிறது. வெவ்வேறு p மற்றும் q உடன் pHq தொடரை இதேபோல் வரையறுக்க முடியும், ஆனால் இது ஒன்றிணைக்கத் தவறிவிட்டது அல்லது மாறிகளின் மாற்றங்களால் வழக்கமான ஹைப்பர்ஜியோமெட்ரிக் தொடருக்கு குறைக்கப்படலாம். ஒருங்கிணைப்பு மற்றும் பகுப்பாய்வு தொடர்ச்சி a அல்லது b மாறிகள் எதுவும் முழு எண்கள் அல்ல என்று வைத்துக்கொள்வோம், இதனால் தொடரின் அனைத்து சொற்களும் வரையறுக்கப்பட்டவை மற்றும் பூஜ்ஜியமற்றவை. பின்னர் n <0 கொண்ட சொற்கள் |z | <1 என்றால் வேறுபடுகின்றன, மேலும் n> 0 கொண்ட சொற்கள் |z |> 1 என்றால் வேறுபடுகின்றன, எனவே |z | = 1 தவிர தொடர் ஒன்றிணைக்க முடியாது. இருதரப்பு ஹைப்பர்ஜியோமெட்ரிக் தொடர் பகுப்பாய்வு ரீதியாக பல மாறிகளின் பன்முக மெரோமார்பிக் செயல்பாட்டிற்கு தொடர முடியும் என்றால், அதன் ஒருமைப்பாடுகள் z = 0 மற்றும் z = 1 இல் கிளை புள்ளிகளாகவும், ஆயி = −1, −2, மற்றும் பை = 0,1,2 இல் எளிய துருவங்களாகவும் இருந்தால் தொடர் ஒருங்கிணைக்கிறது. இதை பின்வருமாறு செய்யலாம். a அல்லது b மாறிகள் எதுவும் முழு எண்கள் அல்ல என்று வைத்துக்கொள்வோம். n நேர்மறை உள்ள சொற்கள் |z | <1 க்கு z = 0 மற்றும் z = 1 இல் ஒருமைப்பாடுகளுடன் ஒரு சமச்சீரற்ற நேரியல் சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்தும் ஒரு செயல்பாட்டிற்கு ஒன்றிணைகின்றன, எனவே இந்த புள்ளிகளை கிளை புள்ளிகளாக கொண்டு ஒரு பன்முக செயல்பாட்டிற்கு தொடரலாம். இதேபோல் n எதிர்மறை கொண்ட சொற்கள் |z |> 1 க்கு z = 0 மற்றும் z = 1 இல் ஒருமைப்பாடுகளுடன் ஒரு சமச்சீரற்ற நேரியல் சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்தும் ஒரு செயல்பாட்டிற்கு ஒன்றிணைகின்றன, எனவே இந்த புள்ளிகளை கிளை புள்ளிகளாக கொண்டு ஒரு பன்முக செயல்பாட்டிற்கு தொடரலாம். இந்த செயல்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகை 0 மற்றும் 1 ஐத் தவிர z இன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் இருதரப்பு ஹைப்பர்ஜியோமெட்ரிக் தொடரின் பகுப்பாய்வு தொடர்ச்சியை வழங்குகிறது, மேலும் ஹைப்பர்ஜியோமெட்ரிக் வேறுபாடு சமன்பாட்டைப் போலவே z இல் ஒரு நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்துகிறது. சுருக்க சூத்திரங்கள் டகோலின் இருதரப்பு கூட்டுத்தொகை இது சில நேரங்களில் பெய்லியின் சூத்திரம் டகோலின் சூத்திரத்தின் பின்வரும் பொதுமைப்படுத்தலை சமமான வடிவத்தில் எழுதப்படுகிறதுஃ இங்கு மேலும் காண்க அடிப்படை இருதரப்பு ஹைப்பர்ஜியோமெட்ரிக் தொடர் குறிப்புகள் (2008 காகிதத்துடன் உள்ளது) ஹைப்பர்ஜியோமெட்ரிக் செயல்பாடுகள்