Infinity
முடிவிலி என்பது எல்லையற்ற, முடிவற்ற அல்லது எந்தவொரு இயற்கை எண்ணையும் விட பெரியது. இது பெரும்பாலும் முடிவிலி சின்னத்தால் குறிக்கப்படுகிறது. பண்டைய கிரேக்கர்களின் காலத்திலிருந்தே, முடிவிலியின் தத்துவ இயல்பு தத்துவவாதிகளிடையே பல விவாதங்களுக்கு உட்பட்டது. 17 ஆம் நூற்றாண்டில், முடிவிலி சின்னம் மற்றும் எல்லையற்ற கால்குலஸ் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டதன் மூலம், கணிதவியலாளர்கள் எல்லையற்ற தொடர்களுடன் வேலை செய்யத் தொடங்கினர், மேலும் சில கணிதவியலாளர்கள் (எல் ஹோபிடல் மற்றும் பெர்னௌலி உட்பட) எல்லையற்ற சிறிய அளவுகள் என்று கருதினர், ஆனால் முடிவிலி முடிவற்ற செயல்முறைகளுடன் தொடர்ந்து தொடர்புடையது. கணிதவியலாளர்கள் கால்குலஸின் அடித்தளத்துடன் போராடியதால், முடிவிலியை ஒரு எண் அல்லது அளவு என்று கருத முடியுமா என்பது தெளிவாகத் தெரியவில்லை, அப்படியானால், இதை எவ்வாறு செய்ய முடியும். 19 ஆம் நூற்றாண்டின் இறுதியில், ஜார்ஜ் கேன்டர் எல்லையற்ற தொகுப்புகள் மற்றும் எல்லையற்ற எண்களைப் படிப்பதன் மூலம் முடிவிலியைப் பற்றிய கணித ஆய்வை விரிவுபடுத்தினார், அவை பல்வேறு அளவுகளில் இருக்கக்கூடும் என்பதைக் காட்டுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு கோடு அதன் அனைத்து புள்ளிகளின் தொகுப்பாகக் கருதப்பட்டால், அவற்றின் எல்லையற்ற எண் (அதாவது, கோட்டின் கார்டினாலிட்டி) முழு எண்களின் எண்ணிக்கையை விட பெரியது. இந்த பயன்பாட்டில், முடிவிலி என்பது ஒரு கணிதக் கருத்தாகும், மேலும் எல்லையற்ற கணிதப் பொருள்களை வேறு எந்த கணிதப் பொருளையும் போலவே ஆய்வு செய்யலாம், கையாளலாம் மற்றும் பயன்படுத்தலாம். முடிவிலியின் கணிதக் கருத்து பழைய தத்துவக் கருத்தை செம்மைப்படுத்துகிறது மற்றும் விரிவுபடுத்துகிறது, குறிப்பாக எல்லையற்ற பல வெவ்வேறு அளவிலான எல்லையற்ற தொகுப்புகளை அறிமுகப்படுத்துவதன் மூலம். நவீன கணிதத்தின் பெரும்பகுதியை உருவாக்கக்கூடிய ஜெர்மெலோ-ஃப்ரான்கெல் தொகுப்புக் கோட்பாட்டின் கோட்பாடுகளில் ஒன்று, எல்லையற்ற தொகுப்புகளின் இருப்பை உறுதிசெய்யும் முடிவிலியின் கோட்பாடு ஆகும். முடிவிலி பற்றிய கணிதக் கருத்தும், எல்லையற்ற தொகுப்புகளின் கையாளுதலும் கணிதத்தில் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, அவற்றுடன் எந்த தொடர்பும் இல்லை என்று தோன்றக்கூடிய காம்பினடோரிக்ஸ் போன்ற பகுதிகளிலும் கூட. எடுத்துக்காட்டாக, ஃபெர்மாட்டின் கடைசி தேற்றம் பற்றிய வைல்சின் ஆதாரம், அடிப்படை எண்கணிதத்தின் அடிப்படையில் கூறப்படும் நீண்டகால சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கு, கிரோதெண்டிக் பிரபஞ்சங்கள், மிகப் பெரிய எல்லையற்ற தொகுப்புகள் இருப்பதை மறைமுகமாக நம்பியுள்ளது. இயற்பியல் மற்றும் அண்டவியலில், பிரபஞ்சம் இடஞ்சார்ந்த எல்லையற்றதா என்பது ஒரு திறந்த கேள்வி. வரலாறு பண்டைய கலாச்சாரங்கள் முடிவிலியின் தன்மை குறித்து பல்வேறு கருத்துக்களைக் கொண்டிருந்தன. பண்டைய இந்தியர்களும் கிரேக்கர்களும் நவீன கணிதத்தைப் போல துல்லியமான சம்பிரதாயத்தில் முடிவிலியை வரையறுக்கவில்லை, அதற்கு பதிலாக முடிவிலியை ஒரு தத்துவக் கருத்தாக அணுகினர். கிரேக்கத்தில் முடிவிலியைப் பற்றி முதன்முதலில் பதிவு செய்யப்பட்ட யோசனை அனக்ஸிமாண்டர் (கி. மு. 610-கி. மு. 546) சோசலிசத்திற்கு முந்தைய கிரேக்க தத்துவஞானி. அவர் அபீரன் என்ற வார்த்தையைப் பயன்படுத்தினார், இதன் பொருள் "வரம்பற்றது", "காலவரையற்றது", ஒருவேளை "எல்லையற்றது" என்று மொழிபெயர்க்கப்படலாம். அரிஸ்டாட்டில் (கிமு 350) சாத்தியமான முடிவிலியை உண்மையான முடிவிலியிலிருந்து வேறுபடுத்தினார், இது பல்வேறு முரண்பாடுகளை உருவாக்குவதாகத் தோன்றியதால் சாத்தியமற்றது என்று அவர் கருதினார். இந்தக் கண்ணோட்டத்திற்கு ஏற்ப, கிரேக்க கிரேக்கர்கள் "எல்லையற்ற திகிலை" கொண்டிருந்தனர் என்று வாதிடப்பட்டுள்ளது, எடுத்துக்காட்டாக, யூக்ளிட் (கிமு 300) ஏன் பகா எண்களின் முடிவிலி இருப்பதாகக் கூறவில்லை, மாறாக "பகா எண்கள் ஒதுக்கப்பட்ட பகா எண்களின் எண்ணிக்கையை விட அதிகம்" என்று விளக்கினார். பகா எண்களின் முடிவிலியை நிரூபிப்பதில், யூக்ளிட் தான் "எல்லையற்ற திகிலை முதலில் வென்றவர்" என்றும் பராமரிக்கப்பட்டுள்ளது. யூக்ளிடின் இணையான அனுமானம் குறித்து இதேபோன்ற சர்ச்சை உள்ளது, சில நேரங்களில் மொழிபெயர்க்கப்பட்டுள்ளதுஃ இருப்பினும், மற்ற மொழிபெயர்ப்பாளர்கள், "இரண்டு நேர் கோடுகள், காலவரையின்றி தயாரிக்கப்பட்டால்" என்ற மொழிபெயர்ப்பை விரும்புகிறார்கள், இதனால் யூக்ளிட் முடிவிலி என்ற கருத்துடன் வசதியாக இருந்தார் என்ற உட்பொருளைத் தவிர்க்கிறார். இறுதியாக, முடிவிலி பற்றிய ஒரு பிரதிபலிப்பு, "எல்லையற்ற திகிலை" வெளிப்படுத்துவதற்குப் பதிலாக, ஆரம்பகால கிரேக்க தத்துவம் முழுவதையும் அடிக்கோடிட்டுக் காட்டுகிறது என்றும், அரிஸ்டாட்டிலின் "சாத்தியமான முடிவிலி" இந்த காலகட்டத்தின் பொதுவான போக்கில் இருந்து ஒரு பிறழ்வு என்றும் பராமரிக்கப்படுகிறது. ஜெனோஃ அகில்ஸ் மற்றும் எலியாவின் ஆமை ஜெனோ (கிமு 495-430) எல்லையற்றதைப் பற்றி எந்தக் கருத்தையும் முன்வைக்கவில்லை. ஆயினும்கூட, அவரது முரண்பாடுகள், குறிப்பாக "அகில்ஸ் மற்றும் ஆமை", பிரபலமான கருத்தாக்கங்களின் போதாமையை தெளிவுபடுத்துவதில் முக்கியமான பங்களிப்புகளாகும். முரண்பாடுகளை பெர்ட்ராண்ட் ரஸ்ஸல் "அளவிட முடியாத அளவிற்கு நுட்பமான மற்றும் ஆழமான" என்று விவரித்தார். அகில்ஸ் ஒரு ஆமையை ஓட்டுகிறது, பிந்தையது ஒரு தலைசிறந்த தொடக்கத்தை அளிக்கிறது. படி #1: ஆமை முன்னோக்கி நடந்து செல்லும்போது அகில்ஸ் ஆமையின் தொடக்க புள்ளிக்கு ஓடுகிறார். படி #2: ஆமை இன்னும் மேலே செல்லும் போது ஆமை படி #1 இன் முடிவில் இருந்த இடத்திற்கு அகில்ஸ் முன்னேறுகிறார். படி #3: ஆமை இன்னும் மேலே செல்லும் போது ஆமை படி #2 இன் முடிவில் இருந்த இடத்திற்கு அகில்ஸ் முன்னேறுகிறார். படி #4: ஆமை இன்னும் மேலே செல்லும் போது ஆமை படி #3 இன் முடிவில் இருந்த இடத்திற்கு அகில்ஸ் முன்னேறுகிறார். போன்றவை. வெளிப்படையாக, அகில்ஸ் ஒருபோதும் ஆமையை முந்துவதில்லை, ஏனெனில் அவர் எத்தனை படிகள் எடுத்தாலும், ஆமை அவருக்கு முன்னால் உள்ளது. ஜெனோ முடிவிலியைப் பற்றி ஒரு கருத்தை முன்வைக்க முயற்சிக்கவில்லை. இயக்கத்தை ஒரு மாயை என்று கருதிய எலடிக்ஸ் பள்ளியின் உறுப்பினராக, அகில்ஸ் ஓட முடியும் என்று நினைப்பது ஒரு தவறாக அவர் கருதினார். அடுத்தடுத்த சிந்தனையாளர்கள், இந்த தீர்வை ஏற்றுக்கொள்ள முடியாததாகக் கண்டறிந்தனர், வாதத்தில் உள்ள பிற பலவீனங்களைக் கண்டறிய இரண்டு ஆயிரம் ஆண்டுகளுக்கும் மேலாக போராடினர். இறுதியாக, 1821 ஆம் ஆண்டில், அகஸ்டின்-லூயிஸ் காச்சி ஒரு வரம்பின் திருப்திகரமான வரையறையையும், ஒரு ஆதாரத்தையும் வழங்கினார், ஏனெனில், அகில்ஸ் வினாடிக்கு 10 மீட்டர் வேகத்தில் ஓடுகிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம், ஆமை வினாடிக்கு 0.1 மீட்டர் வேகத்தில் இயங்குகிறது, பிந்தையது 100 மீட்டர் தலை தொடக்கத்தைக் கொண்டுள்ளது. துரத்தலின் காலம் காச்சியின் வடிவத்துடன் மற்றும் பொருந்துகிறது. அகில்ஸ் ஆமையை முந்துகிறார்; அது அவரை ஆரம்பகால இந்தியனாக எடுத்துக்கொள்கிறது சமண கணித உரை சூர்யா பிரஜ்னப்தி (கிமு 4ஆம்-3ஆம் நூற்றாண்டு) அனைத்து எண்களையும் மூன்று தொகுப்புகளாக வகைப்படுத்துகிறார்ஃ எண்ணற்ற, எண்ணற்ற மற்றும் எல்லையற்ற. இவை ஒவ்வொன்றும் மேலும் மூன்று வரிசைகளாக பிரிக்கப்பட்டனஃ எண்ணற்றவை-மிகக் குறைந்த, இடைநிலை மற்றும் மிக உயர்ந்த எண்ணற்றவை-கிட்டத்தட்ட எண்ணற்றவை, உண்மையிலேயே எண்ணற்றவை, எண்ணற்ற எண்ணற்ற எண்ணற்றவை-கிட்டத்தட்ட எல்லையற்றவை, உண்மையிலேயே எல்லையற்றவை, எல்லையற்ற எண்ணற்றவை-17 ஆம் நூற்றாண்டில், ஐரோப்பிய கணிதவியலாளர்கள் எண்ணற்ற எண்களையும் எல்லையற்ற வெளிப்பாடுகளையும் முறையான முறையில் பயன்படுத்தத் தொடங்கினர். 1655 ஆம் ஆண்டில், ஜான் வாலிஸ் முதன்முதலில் தனது டி செக்சனிபஸ் கோனிசிஸில் அத்தகைய எண்ணுக்கான குறியீட்டைப் பயன்படுத்தினார், மேலும் பிராந்தியத்தை அகலத்தின் எண்ணற்ற கீற்றுகளாகப் பிரிப்பதன் மூலம் பரப்பளவு கணக்கீடுகளில் அதைப் பயன்படுத்தினார். ஆனால் அரித்மெடிகா இன்ஃபினிட்டோரம் (1656) இல், அவர் ஒரு சில சொற்கள் அல்லது காரணிகளை எழுதி, பின்னர் "1,6,12,18,24, & c" இல் உள்ளதைப் போல "& c" ஐச் சேர்ப்பதன் மூலம் எல்லையற்ற தொடர், எல்லையற்ற விளைபொருள்கள் மற்றும் எல்லையற்ற தொடர்ச்சியான பின்னங்களைக் குறிப்பிடுகிறார். 1699 ஆம் ஆண்டில், ஐசக் நியூட்டன் தனது படைப்பான டி அனாலிசிஸ் பெர் ஈக்வேஷன்ஸ் நம்பர் டெர்மினோரம் இன்ஃபினிட்டாஸில் எண்ணற்ற சொற்களைக் கொண்ட சமன்பாடுகளைப் பற்றி எழுதினார். கணிதம் ஹெர்மன் வெயில் 1930 ஆம் ஆண்டில் கொடுக்கப்பட்ட ஒரு கணித-தத்துவார்த்த முகவரியைத் திறந்து வைத்தார்ஃ சின்னம் முடிவிலி சின்னம் (சில நேரங்களில் லெம்னிஸ்கேட் என்று அழைக்கப்படுகிறது) என்பது முடிவிலி என்ற கருத்தைக் குறிக்கும் ஒரு கணித சின்னமாகும். சின்னம் யூனிகோடில் மற்றும் லாடெக்ஸில் \இன்ஃப்டி என குறியிடப்பட்டுள்ளது. இது 1655 ஆம் ஆண்டில் ஜான் வாலிஸால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது, மேலும் அதன் அறிமுகத்திலிருந்து, இது நவீன மாயவாதம் மற்றும் இலக்கிய குறியீடுகளில் கணிதத்திற்கு வெளியே பயன்படுத்தப்படுகிறது. எண்ணற்ற கால்குலஸின் இணை கண்டுபிடிப்பாளர்களில் ஒருவரான கால்குலஸ் காட்ஃபிரைட் லீப்னிஸ், எண்ணற்ற எண்கள் மற்றும் கணிதத்தில் அவற்றின் பயன்பாடு பற்றி பரவலாக ஊகித்தார். லீப்னிஸைப் பொறுத்தவரை, எல்லையற்ற மற்றும் எல்லையற்ற அளவுகள் இரண்டும் சிறந்த நிறுவனங்களாகும், அவை பாராட்டத்தக்க அளவுகளுக்கு சமமான இயல்புடையவை அல்ல, ஆனால் தொடர்ச்சியின் சட்டத்தின்படி அதே பண்புகளை அனுபவிக்கின்றன. உண்மையான பகுப்பாய்வில், "முடிவிலி" என்று அழைக்கப்படும் சின்னம் வரம்பற்ற வரம்பைக் குறிக்கப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. குறியீடு என்பது பிணைப்பு இல்லாமல் அதிகரிக்கிறது, மேலும் பிணைப்பு இல்லாமல் குறைகிறது என்று பொருள். எடுத்துக்காட்டாக, ஒவ்வொன்றிற்கும் என்றால், அது ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட பகுதியை பிணைக்கவில்லை என்றால் கீழே உள்ள பகுதி எல்லையற்றது என்று அர்த்தம். இதன் பொருள் என்னவென்றால், கீழ் உள்ள மொத்த பரப்பளவு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது, மேலும் முடிவிலிக்கு சமமானது என்பது எல்லையற்ற தொடரை விவரிக்கவும் பயன்படுத்தப்படலாம், பின்வருமாறுஃ அதாவது எல்லையற்ற தொடரின் கூட்டுத்தொகை சில உண்மையான மதிப்புடன் இணைகிறது என்றால் எல்லையற்ற தொடரின் கூட்டுத்தொகை சரியாக வேறுபடுகிறது என்று அர்த்தம், அதாவது பகுதி தொகைகள் வரம்பில்லாமல் அதிகரிக்கின்றன. ஒரு வரம்பை வரையறுப்பதுடன், நீட்டிக்கப்பட்ட உண்மையான எண் அமைப்பில் முடிவிலியை ஒரு மதிப்பாகவும் பயன்படுத்தலாம். குறியிடப்பட்ட புள்ளிகள் மற்றும் உண்மையான எண்களின் இடவியல் இடத்தில் சேர்க்கப்படலாம், இது உண்மையான எண்களின் இரண்டு புள்ளி சுருக்கத்தை உருவாக்குகிறது. இதனுடன் இயற்கணித பண்புகளைச் சேர்ப்பது நீட்டிக்கப்பட்ட உண்மையான எண்களை நமக்குத் தருகிறது. உண்மையான எண்களின் ஒரு புள்ளி சுருக்கத்திற்கு வழிவகுக்கும், இது உண்மையான ப்ரொஜெக்டிவ் கோடு. திட்ட வடிவியல் என்பது விமான வடிவவியலில் முடிவிலியில் ஒரு கோடு, முப்பரிமாண இடத்தில் முடிவிலியில் ஒரு தளம் மற்றும் பொது பரிமாணங்களுக்கு முடிவிலியில் ஒரு ஹைப்பர்பிளேன் ஆகியவற்றைக் குறிக்கிறது, ஒவ்வொன்றும் முடிவிலியில் புள்ளிகளைக் கொண்டுள்ளன. சிக்கலான பகுப்பாய்வில் "முடிவிலி" என்று அழைக்கப்படும் சின்னம், கையொப்பமிடப்படாத எல்லையற்ற வரம்பைக் குறிக்கிறது. வெளிப்பாடு என்பது எந்த ஒதுக்கப்பட்ட மதிப்பிற்கும் அப்பால் வளரும் அளவு என்று பொருள். சிக்கலான தளத்தின் ஒரு புள்ளி சுருக்கத்தை வழங்கும் ஒரு இடவியல் இடமாக சிக்கலான தளத்தில் பெயரிடப்பட்ட ஒரு புள்ளியைச் சேர்க்கலாம். இதைச் செய்யும்போது, இதன் விளைவாக வரும் இடைவெளி ஒரு பரிமாண சிக்கலான பன்மடங்கு அல்லது ரீமன் மேற்பரப்பாகும், இது நீட்டிக்கப்பட்ட சிக்கலான தளம் அல்லது ரீமன் கோளம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. நீட்டிக்கப்பட்ட உண்மையான எண்களுக்கு மேலே கொடுக்கப்பட்டதைப் போன்ற எண்கணித செயல்பாடுகளையும் வரையறுக்க முடியும், இருப்பினும் அறிகுறிகளில் வேறுபாடு இல்லை (இது முடிவிலியை தன்னுடன் சேர்க்க முடியாது என்ற ஒரு விதிவிலக்கிற்கு வழிவகுக்கிறது). மறுபுறம், இந்த வகையான முடிவிலி பூஜ்ஜியத்தால் வகுக்க உதவுகிறது, அதாவது எந்த பூஜ்ஜியமற்ற சிக்கலான எண்ணுக்கும். இந்த சூழலில், மெரோமார்பிக் செயல்பாடுகளை ரீமன் கோளத்தின் வரைபடங்களாகக் கருதுவது பெரும்பாலும் பயனுள்ளதாக இருக்கும், இது துருவங்களின் மதிப்பை எடுக்கும். ஒரு சிக்கலான மதிப்புள்ள செயல்பாட்டின் களம் முடிவிலியில் உள்ள புள்ளியையும் சேர்க்க நீட்டிக்கப்படலாம். இத்தகைய செயல்பாடுகளின் ஒரு முக்கியமான எடுத்துக்காட்டு மோபியஸ் உருமாற்றங்களின் குழுவாகும் (மோபியஸ் உருமாற்றம் § கண்ணோட்டத்தைப் பார்க்கவும்). தரமற்ற பகுப்பாய்வு ஐசக் நியூட்டன் மற்றும் காட்ஃபிரைட் லீப்னிஸ் ஆகியோரால் வரையறுக்கப்படாத கால்குலஸின் அசல் உருவாக்கம் எண்ணற்ற அளவுகளைப் பயன்படுத்தியது. 20 ஆம் நூற்றாண்டின் இரண்டாம் பாதியில், மென்மையான எண்ணற்ற பகுப்பாய்வு மற்றும் தரமற்ற பகுப்பாய்வு உள்ளிட்ட பல்வேறு தர்க்கரீதியான அமைப்புகளின் மூலம் இந்த சிகிச்சையை கடுமையான நிலையில் வைக்க முடியும் என்று காட்டப்பட்டது. பிந்தையவற்றில், எல்லையற்றவை தலைகீழானவை, அவற்றின் தலைகீழ்கள் எல்லையற்ற எண்கள். இந்த அர்த்தத்தில் முடிவிலிகள் ஒரு ஹைபர்ரியல் புலத்தின் ஒரு பகுதியாகும்; கான்டோரியன் டிரான்ஸ்ஃபைனைட்டுகளைப் போல அவற்றுக்கிடையே எந்த சமநிலையும் இல்லை. எடுத்துக்காட்டாக, இந்த அர்த்தத்தில் H ஒரு எல்லையற்ற எண் என்றால், H + H = 2H மற்றும் H + 1 தனித்துவமான எல்லையற்ற எண்கள். தரமற்ற கால்குலஸுக்கான இந்த அணுகுமுறை முழுமையாக உருவாக்கப்பட்டது. தொகுப்புக் கோட்பாடு "முடிவிலியின்" வேறுபட்ட வடிவம் என்பது தொகுப்புக் கோட்பாட்டின் வரிசை மற்றும் கார்டினல் முடிவிலிகள் ஆகும்-இது ஜார்ஜ் கான்டரால் முதன்முதலில் உருவாக்கப்பட்ட எல்லையற்ற எண்களின் அமைப்பாகும். இந்த அமைப்பில், முதல் டிரான்ஸ்ஃபைனைட் கார்டினல் என்பது ஆல்ஃப்-நல் (α0) ஆகும், இது இயற்கையான எண்களின் தொகுப்பின் கார்டினாலிட்டி ஆகும். 19 ஆம் நூற்றாண்டின் பிற்பகுதியில் கேன்டர், கோட்லோப் ஃப்ரீஜ், ரிச்சர்ட் டெடெகிண்ட் மற்றும் பிறரின் படைப்புகளிலிருந்து அளவு எல்லையற்ற இந்த நவீன கணிதக் கருத்து உருவானது-சேகரிப்புகள் அல்லது தொகுப்புகளின் யோசனையைப் பயன்படுத்தி. டெடெகிண்டின் அணுகுமுறை அடிப்படையில் செட்டுகளின் அளவை ஒப்பிடுவதற்கான ஒரு தரநிலையாக ஒருவருக்கொருவர் கடிதப் பரிமாற்றத்தின் யோசனையை ஏற்றுக்கொள்வதும், கலிலியோவின் (யூக்ளிட்டில் இருந்து பெறப்பட்ட) கருத்தை நிராகரிப்பதும் ஆகும். (இருப்பினும், கலிலியோவின் முரண்பாட்டைப் பார்க்கவும், அங்கு கலிலியோ நேர்மறை முழு எண்களை நேர்மறை சதுர முழு எண்களின் துணைக்குழுவுடன் ஒப்பிட முடியாது என்று முடிவு செய்கிறார், ஏனெனில் இரண்டும் எல்லையற்ற தொகுப்புகள்.) ஒரு எல்லையற்ற தொகுப்பை அதன் சரியான பகுதிகளில் குறைந்தபட்சம் ஒன்றின் அதே அளவைக் கொண்ட ஒன்று என்று வரையறுக்கலாம்; முடிவிலி பற்றிய இந்த கருத்து டெடெகிண்ட் எல்லையற்றது என்று அழைக்கப்படுகிறது. வலதுபுறத்தில் உள்ள வரைபடம் ஒரு உதாரணத்தைக் கொடுக்கிறதுஃ கோடுகளை எல்லையற்ற புள்ளிகளின் தொகுப்புகளாகப் பார்ப்பது, கீழ் நீலக் கோட்டின் இடது பாதியை உயர் நீலக் கோட்டிற்கு ஒருவருக்கொருவர் (பச்சை தொடர்புகள்) வரைபடமாக்கலாம், இதையொட்டி, முழு கீழ் நீலக் கோடு (சிவப்பு தொடர்புகள்); எனவே முழு கீழ் நீலக் கோடு மற்றும் அதன் இடது பாதி ஒரே கார்டினாலிட்டியைக் கொண்டுள்ளன, அதாவது. "அளவு". கேன்டர் இரண்டு வகையான எல்லையற்ற எண்களை வரையறுத்தார்ஃ வரிசை எண்கள் மற்றும் கார்டினல் எண்கள். வரிசை எண்கள் நன்கு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட தொகுப்புகளை வகைப்படுத்துகின்றன, அல்லது எண்ணும் எந்த நிறுத்த புள்ளிக்கும் மேற்கொள்ளப்படுகிறது, இதில் ஒரு எல்லையற்ற எண்ணுக்குப் பிறகு புள்ளிகள் ஏற்கனவே கணக்கிடப்பட்டுள்ளன. நேர்மறை முழு எண்களிலிருந்து வரைபடங்களாக இருக்கும் வரையறுக்கப்பட்ட மற்றும் (சாதாரண) எல்லையற்ற வரிசைகளை பொதுமைப்படுத்துவது வரிசை எண்களிலிருந்து எல்லையற்ற வரிசைக்கு வரைபடங்களுக்கு வழிவகுக்கிறது. கார்டினல் எண்கள் செட்டுகளின் அளவை வரையறுக்கின்றன, அதாவது அவை எத்தனை உறுப்பினர்களைக் கொண்டுள்ளன, மேலும் அந்த அளவின் கார்டினல் எண்ணைக் குறிக்க ஒரு குறிப்பிட்ட அளவின் முதல் வரிசை எண்ணைத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம் தரப்படுத்தப்படலாம். மிகச்சிறிய வரிசை முடிவிலி என்பது நேர்மறை முழு எண்களாகும், மேலும் முழு எண்களின் கார்டினாலிட்டியைக் கொண்ட எந்தவொரு தொகுப்பும் எண்ணற்ற எல்லையற்றது. நேர்மறை முழு எண்களுடன் ஒன்றுக்கு ஒன்று தொடர்புபடுத்துவதற்கு ஒரு தொகுப்பு மிகப் பெரியதாக இருந்தால், அது கணக்கிட முடியாதது என்று அழைக்கப்படுகிறது. கான்டரின் கருத்துக்கள் மேலோங்கின, நவீன கணிதம் உண்மையான முடிவிலியை ஒரு நிலையான மற்றும் ஒத்திசைவான கோட்பாட்டின் ஒரு பகுதியாக ஏற்றுக்கொள்கிறது. ஹைபர்ரியல் எண்கள் போன்ற சில நீட்டிக்கப்பட்ட எண் அமைப்புகள், சாதாரண (வரையறுக்கப்பட்ட) எண்களையும் வெவ்வேறு அளவுகளின் எல்லையற்ற எண்களையும் உள்ளடக்குகின்றன. கான்டரின் மிக முக்கியமான முடிவுகளில் ஒன்று, தொடர்ச்சியின் கார்டினாலிட்டி இயற்கையான எண்களை விட அதிகமாக உள்ளது; அதாவது, இயற்கையான எண்களை விட உண்மையான எண்கள் அதிகம் உள்ளன. அதாவது, கேன்டர் அதைக் காட்டினார். தொடர்ச்சியான கருதுகோள், உண்மையான எண்களின் கார்டினாலிட்டி மற்றும் இயற்கையான எண்களின் கார்டினாலிட்டி இடையே கார்டினல் எண் இல்லை என்று கூறுகிறது, அதாவது. இந்த கருதுகோளை பரவலாக ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட ஜெர்மெலோ-ஃப்ரான்கெல் செட் கோட்பாட்டிற்குள் நிரூபிக்கவோ நிரூபிக்கவோ முடியாது, விருப்பத்தின் கோட்பாட்டைக் கூட எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். கார்டினல் எண்கணிதத்தை ஒரு உண்மையான எண் கோட்டில் உள்ள புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை அந்த கோட்டின் எந்தப் பகுதியிலும் உள்ள புள்ளிகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமம் என்பதைக் காட்ட மட்டுமல்லாமல், இது ஒரு தளத்தில் உள்ள புள்ளிகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமம் என்பதையும், உண்மையில், எந்த வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண இடத்திலும். இந்த முடிவுகளில் முதலாவது, எடுத்துக்காட்டாக, இடைவெளி () and.The க்கு இடையில் ஒருவருக்கொருவர் தொடர்புகளை வழங்கும் தொடுகோடு செயல்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்வதன் மூலம் தெளிவாகத் தெரிகிறது, இரண்டாவது முடிவு 1878 இல் கான்டரால் நிரூபிக்கப்பட்டது, ஆனால் 1890 ஆம் ஆண்டில் மட்டுமே உள்ளுணர்வாக தெளிவாகத் தெரிந்தது, அப்போது கியூசெப் பீனோ விண்வெளி நிரப்புதல் வளைவுகளை அறிமுகப்படுத்தினார், வளைந்த கோடுகள் எந்த சதுரத்தையும், அல்லது கனசதுரத்தையும், அல்லது ஹைபர்கியூபையும் அல்லது வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண இடத்தையும் நிரப்ப போதுமான திருப்பத்தை அளிக்கின்றன. இந்த வளைவுகள் ஒரு சதுரத்தின் ஒரு பக்கத்தில் உள்ள புள்ளிகளுக்கும் சதுரத்தில் உள்ள புள்ளிகளுக்கும் இடையிலான ஒன்றுக்கு ஒன்று தொடர்பை வரையறுக்க பயன்படுத்தப்படலாம். 19 ஆம் நூற்றாண்டின் இறுதி வரை, எந்த வரம்பும் இல்லாமல் தொடரக்கூடிய செயல்முறைகளின் சூழலில் தவிர, வடிவவியலில் முடிவிலி அரிதாகவே விவாதிக்கப்பட்டது. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு கோடு இப்போது ஒரு கோடு பிரிவு என்று அழைக்கப்படுகிறது, ஒருவர் விரும்பும் அளவுக்கு அதை நீட்டிக்க முடியும் என்ற நிபந்தனையுடன்; ஆனால் அதை எல்லையற்ற வகையில் நீட்டிப்பது கேள்விக்குறியாக இருந்தது. இதேபோல், ஒரு கோடு பொதுவாக எண்ணற்ற பல புள்ளிகளால் ஆனது என்று கருதப்படவில்லை, ஆனால் ஒரு புள்ளியை வைக்கக்கூடிய இடமாக இருந்தது. எண்ணற்ற சாத்தியமான நிலைகள் இருந்தாலும், ஒரு வரியில் வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான புள்ளிகளை மட்டுமே வைக்க முடியும். இதற்கு ஒரு சாட்சி "சில பண்புகளை திருப்திப்படுத்தும் ஒரு புள்ளியின் இருப்பிடம்" (ஒருமை), அங்கு நவீன கணிதவியலாளர்கள் பொதுவாக "பண்புகளைக் கொண்ட புள்ளிகளின் தொகுப்பு" (பன்மை) என்று கூறுவார்கள். உண்மையான முடிவிலியை உள்ளடக்கிய ஒரு கணிதக் கருத்தின் அரிய விதிவிலக்குகளில் ஒன்று ப்ரொஜெக்டிவ் வடிவியல் ஆகும், இதில் முடிவிலியில் உள்ள புள்ளிகள் யூக்ளிடியன் இடத்தில் சேர்க்கப்படுகின்றன, இது "முடிவிலியில்" வெட்டப்படும் இணையான கோடுகளைக் காட்டும் முன்னோக்கு விளைவை மாதிரியாக்குகிறது. கணித ரீதியாக, முடிவிலியில் உள்ள புள்ளிகள் சில சிறப்பு நிகழ்வுகளை கருத்தில் கொள்ளாமல் இருக்க அனுமதிக்கும் நன்மையைக் கொண்டுள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் பிளேனில், இரண்டு தனித்துவமான கோடுகள் சரியாக ஒரு புள்ளியில் வெட்டுகின்றன, அதேசமயம் முடிவிலியில் புள்ளிகள் இல்லாமல், இணையான கோடுகளுக்கு குறுக்குவெட்டு புள்ளிகள் இல்லை. எனவே, இணையான மற்றும் இணையற்ற கோடுகள் கிளாசிக்கல் வடிவவியலில் தனித்தனியாக ஆய்வு செய்யப்பட வேண்டும், அதே நேரத்தில் அவை ப்ரொஜெக்டிவ் வடிவவியலில் வேறுபடுத்தப்பட வேண்டியதில்லை. கணிதத்தின் அடித்தளத்திற்கு தொகுப்புக் கோட்பாட்டைப் பயன்படுத்துவதற்கு முன்பு, புள்ளிகள் மற்றும் கோடுகள் தனித்துவமான நிறுவனங்களாகக் கருதப்பட்டன, மேலும் ஒரு புள்ளியை ஒரு கோட்டில் அமைக்க முடியும். கணிதத்தில் தொகுப்புக் கோட்பாட்டின் உலகளாவிய பயன்பாட்டுடன், கண்ணோட்டம் வியத்தகு முறையில் மாறிவிட்டதுஃ ஒரு கோடு இப்போது அதன் புள்ளிகளின் தொகுப்பாகக் கருதப்படுகிறது, மேலும் ஒரு புள்ளி ஒரு கோட்டில் அமைந்திருப்பதற்குப் பதிலாக ஒரு கோட்டிற்கு சொந்தமானது என்று ஒருவர் கூறுகிறார் (இருப்பினும், பிந்தைய சொற்றொடர் இன்னும் பயன்படுத்தப்படுகிறது). குறிப்பாக, நவீன கணிதத்தில், கோடுகள் எல்லையற்ற தொகுப்புகள் ஆகும். எல்லையற்ற பரிமாணம் பாரம்பரிய வடிவவியலில் நிகழும் திசையன் இடைவெளிகள் எப்போதும் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாணத்தைக் கொண்டுள்ளன, பொதுவாக இரண்டு அல்லது மூன்று. இருப்பினும், இது ஒரு திசையன் இடத்தின் சுருக்க வரையறையால் குறிக்கப்படவில்லை, மேலும் எல்லையற்ற பரிமாணத்தின் திசையன் இடங்களைக் கருத்தில் கொள்ளலாம். செயல்பாட்டு பகுப்பாய்வில் இது பொதுவாக நிகழ்கிறது, அங்கு செயல்பாட்டு இடைவெளிகள் பொதுவாக எல்லையற்ற பரிமாணத்தின் திசையன் இடைவெளிகள் ஆகும். இடவியலில், சில கட்டமைப்புகள் எல்லையற்ற பரிமாணத்தின் இடவியல் இடைவெளிகளை உருவாக்க முடியும். குறிப்பாக, இது மறுசுழற்சி செய்யப்பட்ட சுழல் இடைவெளிகளின் வழக்கு. எலும்பு முறிவுகள் ஒரு எலும்பு முறிவு பொருளின் அமைப்பு அதன் உருப்பெருக்கங்களில் மீண்டும் வலியுறுத்தப்படுகிறது. முறிவுகள் அவற்றின் கட்டமைப்பை இழந்து "மென்மையாக" மாறாமல் காலவரையின்றி பெரிதாக்கப்படலாம்; அவை எல்லையற்ற சுற்றளவைக் கொண்டுள்ளன, மேலும் அவை எல்லையற்ற அல்லது வரையறுக்கப்பட்ட பகுதிகளைக் கொண்டிருக்கலாம். எல்லையற்ற சுற்றளவு மற்றும் வரையறுக்கப்பட்ட பரப்பளவு கொண்ட அத்தகைய ஒரு ஃப்ராக்டல் வளைவு கோச் ஸ்னோஃப்ளேக் ஆகும். முடிவிலி இல்லாத கணிதம் குறித்து லியோபோல்ட் க்ரோனெக்கர் சந்தேகம் கொண்டிருந்தார், மேலும் 1870 மற்றும் 1880 களில் அவரது சக கணிதவியலாளர்கள் அதை எவ்வாறு பயன்படுத்தினர் என்பதில் சந்தேகம் கொண்டிருந்தார். இந்த சந்தேகவாதம் ஃபினிட்டிசம் எனப்படும் கணிதத்தின் தத்துவத்தில் உருவாக்கப்பட்டது, இது ஆக்கபூர்வவாதம் மற்றும் உள்ளுணர்வுவாதத்தின் பொது தத்துவ மற்றும் கணிதப் பள்ளிகளில் கணிதத் தத்துவத்தின் தீவிர வடிவமாகும். இயற்பியலில், உண்மையான எண்களின் தோராயங்கள் தொடர்ச்சியான அளவீடுகளுக்கும், இயற்கை எண்கள் தனித்துவமான அளவீடுகளுக்கும் (அதாவது, எண்ணுவதற்கும்) பயன்படுத்தப்படுகின்றன. எல்லையற்ற விமான அலை போன்ற எல்லையற்ற விஷயங்களின் கருத்துக்கள் உள்ளன, ஆனால் அவற்றை உருவாக்க எந்த சோதனை வழிகளும் இல்லை. பிரபஞ்சம் எல்லையற்றது என்ற முதல் வெளியிடப்பட்ட முன்மொழிவு 1576 இல் தாமஸ் டிக்ஜஸ் என்பவரிடமிருந்து வந்தது. எட்டு ஆண்டுகளுக்குப் பிறகு, 1584 ஆம் ஆண்டில், இத்தாலிய தத்துவஞானியும் வானியலாளருமான ஜியோர்டானோ புருனோ எல்லையற்ற பிரபஞ்சம் மற்றும் உலகங்களில் ஒரு வரம்பற்ற பிரபஞ்சத்தை முன்மொழிந்தார்ஃ "எண்ணற்ற சூரியர்கள் உள்ளனர்; எண்ணற்ற பூமிகள் இந்த சூரியன்களைச் சுற்றி வருகின்றன, ஏழு கிரகங்கள் நமது சூரியனைச் சுற்றி வருவதைப் போலவே. உயிரினங்கள் இந்த உலகங்களில் வாழ்கின்றன ". நமது இயற்பியல் பிரபஞ்சத்தில் முடிவிலி இருக்கிறதா என்பதைக் கண்டறிய அண்டவியலாளர்கள் நீண்ட காலமாக முயன்று வருகின்றனர்ஃ எண்ணற்ற நட்சத்திரங்கள் உள்ளனவா? பிரபஞ்சத்திற்கு எல்லையற்ற அளவு இருக்கிறதா? விண்வெளி "என்றென்றும் செல்கிறதா"? இது இன்னும் அண்டவியல் பற்றிய ஒரு திறந்த கேள்வி. எல்லையற்றவர் என்ற கேள்வி தர்க்கரீதியாக எல்லைகளைக் கொண்டிருப்பதை விட வேறுபட்டது. உதாரணமாக, பூமியின் இரு பரிமாண மேற்பரப்பு வரையறுக்கப்பட்டதாக இருந்தாலும், அதற்கு விளிம்பு இல்லை. பூமியின் வளைவைப் பொறுத்தவரை ஒரு நேர் கோட்டில் பயணிப்பதன் மூலம், ஒருவர் இறுதியில் தொடங்கிய சரியான இடத்திற்குத் திரும்புவார். பிரபஞ்சம், குறைந்தபட்சம் கொள்கையளவில், இதேபோன்ற இடவியல் கொண்டிருக்கலாம். அப்படியானால், பிரபஞ்சத்தின் வழியாக ஒரு நேர் கோட்டில் நீண்ட நேரம் பயணம் செய்த பிறகு ஒருவர் இறுதியில் தனது தொடக்க புள்ளிக்குத் திரும்பலாம். பிரபஞ்சத்தின் வளைவை அண்ட பின்னணி கதிர்வீச்சின் நிறமாலையில் உள்ள பல துருவ தருணங்கள் மூலம் அளவிட முடியும். இன்றுவரை, டபிள்யூ. எம். ஏ. பி விண்கலத்தால் பதிவு செய்யப்பட்ட கதிர்வீச்சு வடிவங்களின் பகுப்பாய்வு பிரபஞ்சம் ஒரு தட்டையான நிலப்பரப்பைக் கொண்டுள்ளது என்பதைக் குறிக்கிறது. இது எல்லையற்ற இயற்பியல் பிரபஞ்சத்துடன் ஒத்துப்போகும். இருப்பினும், பிரபஞ்சம் அதன் வளைவு தட்டையாக இருந்தாலும், வரையறுக்கப்பட்டதாக இருக்கலாம். இதைப் புரிந்துகொள்வதற்கான ஒரு எளிதான வழி, திரையின் ஒரு விளிம்பை விட்டு வெளியேறும் உருப்படிகள் மறுபுறம் மீண்டும் தோன்றும் வீடியோ கேம்கள் போன்ற இரு பரிமாண எடுத்துக்காட்டுகளைக் கருத்தில் கொள்வதாகும். இத்தகைய விளையாட்டுகளின் இடவியல் டோராய்டல் மற்றும் வடிவியல் தட்டையானது. முப்பரிமாண இடத்திற்கான பல சாத்தியமான வரம்புக்குட்பட்ட, தட்டையான சாத்தியங்களும் உள்ளன. முடிவிலி என்ற கருத்து பல்லுயிர் கருதுகோள் வரை விரிவடைகிறது, இது மிச்சியோ காகு போன்ற வானியற்பியலாளர்களால் விளக்கப்பட்டபோது, எல்லையற்ற எண்ணிக்கை மற்றும் பல்வேறு பிரபஞ்சங்கள் உள்ளன என்று கூறுகிறது. மேலும், சுழற்சி மாதிரிகள் எல்லையற்ற அளவிலான பிக் பேங்க்ஸை நிலைநிறுத்துகின்றன, இதன் விளைவாக ஒவ்வொரு பிக் பேங் நிகழ்வுக்குப் பிறகும் எல்லையற்ற சுழற்சியில் எண்ணற்ற பல்வேறு பிரபஞ்சங்கள் உருவாகின்றன. தர்க்கத்தில், ஒரு எல்லையற்ற பின்னடைவு வாதம் என்பது "ஒரு ஆய்வறிக்கை குறைபாடுடையது என்பதைக் காட்டும் ஒரு தனித்துவமான தத்துவ ரீதியான வாதமாகும், ஏனெனில் இது ஒரு எல்லையற்ற தொடரை உருவாக்குகிறது, ஏனெனில் (படிவம் ஏ) அத்தகைய தொடர் இல்லை அல்லது (படிவம் பி) அது இருந்தால், ஆய்வறிக்கையில் அது வகிக்க வேண்டிய பங்கு (எ. கா., நியாயப்படுத்துதல்) இருக்காது". IEEE மிதக்கும்-புள்ளி தரநிலை (IEEE 754) ஒரு நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை முடிவிலி மதிப்பை (மேலும் காலவரையற்ற மதிப்புகளையும்) குறிப்பிடுகிறது. எண்கணித ஓட்டம், பூஜ்ஜியத்தால் வகுத்தல் மற்றும் பிற விதிவிலக்கான செயல்பாடுகளின் விளைவாக இவை வரையறுக்கப்படுகின்றன. ஜாவா மற்றும் ஜே போன்ற சில நிரலாக்க மொழிகள், நிரலாளருக்கு மொழி மாறிலிகளாக நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை முடிவிலி மதிப்புகளுக்கு வெளிப்படையான அணுகலை அனுமதிக்கின்றன. இவை மற்ற அனைத்து மதிப்புகளையும் விட (முறையே) அதிகமாகவோ அல்லது குறைவாகவோ ஒப்பிடுவதால், இவை மிகப் பெரிய மற்றும் மிகக் குறைந்த உறுப்புகளாகப் பயன்படுத்தப்படலாம். வரிசைப்படுத்துதல், தேடுதல் அல்லது சாளரத்தை உள்ளடக்கிய வழிமுறைகளில் அவை சென்டினல் மதிப்புகளாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. மிகச்சிறந்த மற்றும் குறைந்த உறுப்புகள் இல்லாத மொழிகளில், ஆனால் ரிலேஷனல் ஆபரேட்டர்களை அதிக சுமை ஏற்ற அனுமதிக்கும் மொழிகளில், ஒரு புரோகிராமர் மிகப்பெரிய மற்றும் குறைந்த உறுப்புகளை உருவாக்க முடியும். நிரலின் ஆரம்ப நிலையிலிருந்து அத்தகைய மதிப்புகளுக்கு வெளிப்படையான அணுகலை வழங்காத, ஆனால் மிதக்கும்-புள்ளி தரவு வகையை செயல்படுத்தும் மொழிகளில், சில செயல்பாடுகளின் விளைவாக முடிவிலி மதிப்புகள் இன்னும் அணுகக்கூடியதாகவும் பயன்படுத்தக்கூடியதாகவும் இருக்கலாம். நிரலாக்கத்தில், ஒரு எல்லையற்ற வளையம் என்பது ஒரு வளையம், அதன் வெளியேறும் நிலை ஒருபோதும் திருப்தி அடையாது, இதனால் காலவரையின்றி செயல்படுத்தப்படுகிறது. கலை, விளையாட்டு மற்றும் அறிவாற்றல் அறிவியல் முன்னோக்கு கலைப்படைப்பு பார்வையாளரிடமிருந்து எல்லையற்ற தூரத்தில் அமைந்துள்ள முடிவிலியில் உள்ள கணித புள்ளிகளுடன் தோராயமாக ஒத்திருக்கும் புள்ளிகள் மறைந்துவிடும் கருத்தை பயன்படுத்துகிறது. இது கலைஞர்களுக்கு இடம், தூரம் மற்றும் வடிவங்களை யதார்த்தமாக வழங்கக்கூடிய ஓவியங்களை உருவாக்க அனுமதிக்கிறது. கலைஞர் எம். சி. எஷர் தனது படைப்புகளில் முடிவிலி என்ற கருத்தை இதிலும் பிற வழிகளிலும் பயன்படுத்தியதற்காக குறிப்பாக அறியப்படுகிறார். வரம்பற்ற பலகையில் விளையாடப்படும் சதுரங்கத்தின் மாறுபாடுகள் எல்லையற்ற சதுரங்கம் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. அறிவாற்றல் விஞ்ஞானி ஜார்ஜ் லாகோஃப் கணிதம் மற்றும் அறிவியலில் முடிவிலி என்ற கருத்தை ஒரு உருவகமாக கருதுகிறார். இந்த முன்னோக்கு முடிவிலியின் அடிப்படை உருவகத்தை (பிஎம்ஐ) அடிப்படையாகக் கொண்டது, இது எப்போதும் அதிகரித்து வரும் வரிசை <1,2,3,.> என வரையறுக்கப்படுகிறது. மேலும் காண்க 0.999. அலெஃப் எண் அனந்தா எக்ஸ்போனென்டியேஷன் இன்டெடர்மினேட் வடிவம் எல்லையற்ற குரங்கு தேற்றம் எல்லையற்ற தொகுப்பு முடிவிலியின் எல்லையற்ற முரண்பாடுகள் சூப்பர் டாஸ்க் சூர்ரியல் எண் குறிப்புகள் நூலியல் ஆதாரங்கள் டி. பி. அகர்வால் (2000). பண்டைய சமண கணிதம்-ஒரு அறிமுகம், முடிவிலி அடித்தளம். பெல், ஜே. எல். : தொடர்ச்சி மற்றும் எல்லையற்றவை. ஸ்டான்போர்ட் தத்துவ கலைக்களஞ்சியம். 2009 இல் திருத்தப்பட்டது. ஜெயின், எல். சி. (1973). "சமண கணிதப் பள்ளியில் கோட்பாட்டை அமைக்கவும்", இந்திய அறிவியல் வரலாற்றின் இதழ். எச். ஜெரோம் கெய்ஸ்லர்ஃ அடிப்படை கால்குலஸ்ஃ எல்லையற்றவற்றைப் பயன்படுத்தும் ஒரு அணுகுமுறை. முதல் பதிப்பு 1976; 2 வது பதிப்பு 1986. இந்த புத்தகம் இப்போது அச்சில் இல்லை. வெளியீட்டாளர் பதிப்புரிமையை ஆசிரியரிடம் திருப்பிவிட்டார், அவர் 2 வது பதிப்பை. பி. டி. எஃப் வடிவத்தில் பதிவிறக்கம் செய்ய http://www.math.wisc.edu ~ கெய்ஸ்லர்/கால்க். எச். டி. எம். எல் ஓ 'கானர், ஜான் ஜே. மற்றும் எட்மண்ட் எஃப். ராபர்ட்சன் (1998). 'ஜார்ஜ் ஃபெர்டினாண்ட் லுட்விக் பிலிப் கேன்டர்', மேக்டூடர் கணிதத்தின் வரலாறு காப்பகம். ஓ 'கானர், ஜான் ஜே மற்றும் எட்மண்ட் எஃப். ராபர்ட்சன் (2000). 'ஜெய்னா கணிதம்', மேக்டூடர் கணிதத்தின் வரலாறு காப்பகம். பியர்ஸ், இயன். (2002). 'ஜைனிசம்', மேக்டூடர் கணிதத்தின் வரலாறு காப்பகம். வெளிப்புற இணைப்புகள் பீட்டர் சூபர் எழுதிய எல்லையற்ற தொகுப்புகளின் கணிதத்தில் ஒரு க்ராஷ் பாடநெறி. செயின்ட் ஜான்ஸ் ரிவியூவிலிருந்து, XLIV, 2 (1998) 1-59. எல்லையற்ற பிரதிபலிப்புகளுக்கான தனித்துவமான பிற்சேர்க்கை, கீழே. கான்டரின் எல்லையற்ற தொகுப்புகளின் கணிதத்திற்கு ஒரு சுருக்கமான அறிமுகம். பீட்டர் சூபர் எழுதிய எல்லையற்ற பிரதிபலிப்புகள். கான்டரின் எல்லையற்ற கணிதம் எப்படி எல்லையற்ற ஒரு சில பண்டைய தத்துவ சிக்கல்களைத் தீர்க்கிறது. செயின்ட் ஜான்ஸ் ரிவியூவிலிருந்து, XLIV, 2 (1998) 1-59. ஹோட்டல் இன்பினிட்டி ஜான் ஜே. ஓ 'கானர் மற்றும் எட்மண்ட் எஃப். ராபர்ட்சன் (1998). 'ஜார்ஜ் ஃபெர்டினாண்ட் லுட்விக் பிலிப் கேன்டர்', மேக்டூடர் கணிதத்தின் வரலாறு காப்பகம். ஜான் ஜே ஓ 'கானர் மற்றும் எட்மண்ட் எஃப். ராபர்ட்சன் (2000). 'ஜெய்னா கணிதம்', மேக்டூடர் கணிதத்தின் வரலாறு காப்பகம். இயன் பியர்ஸ் (2002). 'ஜைனிசம்', மேக்டூடர் கணிதத்தின் வரலாறு காப்பகம். அலெப்பின் மர்மம்ஃ கணிதம், கபாலா மற்றும் எல்லையற்ற முடிவிலி அகராதிக்கான தேடல் (இயற்பியல், கணிதம் மற்றும் தத்துவத்தில் முடிவிலி பற்றிய கட்டுரைகளின் தொகுப்பு) தர்க்கத்தின் கருத்துக்கள் கணிதத்தின் கணிதப் பொருட்களின் தத்துவம்