Parallelizable manifold
கணிதத்தில், பன்மடங்கு மீது மென்மையான திசையன் புலங்கள் இருந்தால், பரிமாணம் n இன் வேறுபடுத்தக்கூடிய பன்மடங்கு இணையானதாக அழைக்கப்படுகிறது, அதாவது தொடுகோட்டு திசையன்களின் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் தொடுகோட்டு இடத்தின் அடிப்படையை வழங்குகிறது. சமமாக, தொடுகோட்டு மூட்டை ஒரு அற்பமான மூட்டை, இதனால் நேரியல் பிரேம்களின் தொடர்புடைய முதன்மை மூட்டை ஒரு உலகளாவிய பிரிவைக் கொண்டுள்ளது அத்தகைய திசையன் புலங்களின் ஒரு குறிப்பிட்ட தேர்வு ஒரு இணையான (அல்லது ஒரு முழுமையான இணையான) என்று அழைக்கப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டுகள் வட்டத்துடன் ஒரு எடுத்துக்காட்டுஃ நாம் V1 ஐ அலகு தொடுகோடு திசையன் புலமாக எடுத்துக் கொள்ளலாம், கடிகார எதிர் திசையில் சுட்டிக்காட்டுவதாகச் சொல்லலாம். பரிமாணத்தின் டோரஸும் இணையாக உள்ளது, அதை வட்டங்களின் கார்ட்டீசியன் தயாரிப்பு என்று வெளிப்படுத்துவதன் மூலம் காணலாம். எடுத்துக்காட்டாக, ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் இரண்டு தொடுகோட்டு திசைகளைப் பற்றிய ஒரு யோசனையைப் பெற, எதிர் விளிம்புகள் ஒன்றாக ஒட்டப்பட்ட வரைபட காகிதத்தின் சதுரத்திலிருந்து ஒரு டோரஸை எடுத்து கட்டமைக்கவும். மேலும் பொதுவாக, ஒவ்வொரு லை குழுவும் G இணையாக உள்ளது, ஏனெனில் அடையாள உறுப்பில் உள்ள தொடுகோடு இடத்திற்கான ஒரு அடிப்படையை G மீது G இன் மொழிபெயர்ப்புக் குழுவின் செயல்பாட்டின் மூலம் நகர்த்த முடியும் (ஒவ்வொரு மொழிபெயர்ப்பும் ஒரு டிப்ஃபோமார்பிசம் ஆகும், எனவே இந்த மொழிபெயர்ப்புகள் G இல் உள்ள புள்ளிகளின் தொடுகோடு இடங்களுக்கு இடையில் நேரியல் ஐசோமார்பிசம்களைத் தூண்டுகின்றன). Sn கோளங்களில் எந்த கோளங்கள் இணையாக உள்ளன என்பதை தீர்மானிப்பது ஒரு பாரம்பரிய சிக்கலாக இருந்தது. பூஜ்ஜிய பரிமாண வழக்கு S0 அற்பமாக இணையாக உள்ளது. வழக்கு S1 என்பது வட்டம், இது ஏற்கனவே விளக்கப்பட்டுள்ளபடி இணையாக உள்ளது. ஹேர் பந்து தேற்றம் S2 இணையாக இல்லை என்பதைக் காட்டுகிறது. இருப்பினும், எஸ் 3 இணையாக உள்ளது, ஏனெனில் இது லை குழு எஸ்யூ (2) ஆகும். மற்ற இணையான கோளம் S7 மட்டுமே; இது 1958 ஆம் ஆண்டில் ஃப்ரெட்ரிக் ஹிர்ஸெப்ரூச், மைக்கேல் கெர்வைர் மற்றும் ரவுல் பாட் மற்றும் ஜான் மில்னர் ஆகியோரால் சுயாதீனமான படைப்புகளில் நிரூபிக்கப்பட்டது. இணையான கோளங்கள் உண்மையான எண்கள், சிக்கலான எண்கள், குவாட்டர்னியன்கள் மற்றும் ஆக்டோனியன்களின் நெறிமுறை வகுத்தல் ஆல்ஜிப்ராக்களில் அலகு நெறிமுறையின் கூறுகளுடன் துல்லியமாக ஒத்திருக்கின்றன, இது ஒவ்வொன்றிற்கும் ஒரு இணையை உருவாக்க அனுமதிக்கிறது. மற்ற கோளங்கள் இணையாக இல்லை என்பதை நிரூபிப்பது மிகவும் கடினம், மேலும் இயற்கணித இடவியல் தேவைப்படுகிறது. இணையான பன்மடங்கு விளைபொருளின் பெருக்கல் இணையானதாகும். ஒவ்வொரு நோக்கக்கூடிய மூடிய முப்பரிமாண பன்மடங்கு இணையாக உள்ளது. குறிப்புகள் எந்த இணையான பன்மடங்கு நோக்குடையது. ஃப்ரேம் செய்யப்பட்ட பன்மடங்கு (எப்போதாவது ரிக்ட் செய்யப்பட்ட பன்மடங்கு) என்ற சொல் பொதுவாக சாதாரண மூட்டை கொடுக்கப்பட்ட அற்பமான ஒரு உட்பொதிக்கப்பட்ட பன்மடங்கு பயன்படுத்தப்படுகிறது, மேலும் ஒரு சுருக்க (அதாவது, உட்பொதிக்கப்படாத) தொடு மூட்டை கொடுக்கப்பட்ட நிலையான அற்பமான ஒரு பன்மடங்கு பயன்படுத்தப்படுகிறது. ஒரு தொடர்புடைய கருத்து ஒரு π-மேனிஃபோல்ட் கருத்து ஆகும். ஒரு உயர் பரிமாண யூக்ளிடியன் இடத்தில் உட்பொதிக்கப்படும்போது, அதன் இயல்பான மூட்டை அற்பமானதாக இருந்தால், ஒரு மென்மையான பன்மடங்கு ஒரு π-பன்மடங்கு என்று அழைக்கப்படுகிறது. குறிப்பாக, ஒவ்வொரு இணையான பன்மடங்கு ஒரு π-பன்மடங்கு ஆகும். மேலும் காண்க விளக்கப்படம் (இடவியல்) வேறுபடுத்தக்கூடிய பன்மடங்கு சட்டக மூட்டை கெர்வையர் மாறாத ஆர்த்தோனார்மல் சட்டக மூட்டை முதன்மை மூட்டை இணைப்பு (கணிதம்) ஜி-கட்டமைப்பு குறிப்புகள் குறிப்புகள் வேறுபட்ட இடவியல் ஃபைபர் மூட்டைகள் திசையன் மூட்டைகளை வெளிப்படுத்துகின்றன