Barnes integral
கணிதத்தில், பார்ன்ஸ் ஒருங்கிணைப்பு அல்லது மெலின்-பார்ன்ஸ் ஒருங்கிணைப்பு என்பது காமா செயல்பாடுகளின் பெருக்கல் உள்ளடக்கிய ஒரு விளிம்பு ஒருங்கிணைப்பாகும். அவர்களால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. அவை பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ஹைப்பர்ஜியோமெட்ரிக் தொடர்களுடன் நெருக்கமாக தொடர்புடையவை. ஒருங்கிணைப்பு பொதுவாக ஒரு விளிம்புடன் எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது, இது அனைத்து துருவங்களின் வலதுபுறத்தில் செல்லும் கற்பனை அச்சின் சிதைவு ஆகும், இது வடிவத்தின் காரணிகளின் அனைத்து துருவங்களின் வலதுபுறத்திலும் மற்றும் அனைத்து துருவங்களின் இடதுபுறத்திலும் உள்ளது. ஹைப்பர்ஜியோமெட்ரிக் தொடர் ஹைப்பர்ஜியோமெட்ரிக் செயல்பாடு பார்ன்ஸ் ஒருங்கிணைப்பாக வழங்கப்படுகிறது. இந்த சமத்துவத்தை s = 0,1,2, இல் உள்ள எச்சங்களை எடுக்கும்போது விளிம்பை வலதுபுறம் நகர்த்துவதன் மூலம் பெறலாம். மற்ற இடங்களில் பகுப்பாய்வு தொடர்ச்சியின் மூலம். சரியான ஒருங்கிணைப்பு நிலைமைகளைக் கருத்தில் கொண்டால், பார்ன்ஸின் ஒருங்கிணைப்புகள் மற்றும் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ஹைப்பர்ஜியோமெட்ரிக் செயல்பாடுகள் pFq ஐ இதேபோல் தொடர்புபடுத்தலாம். பார்ன்ஸ் லெம்மாஸ் முதல் பார்ன்ஸ் லெம்மா இது காஸின் 2F1 கூட்டுத்தொகை சூத்திரத்தின் அனலாக் என்றும், யூலரின் பீட்டா ஒருங்கிணைப்பின் நீட்டிப்பு என்றும் கூறுகிறது. அதில் உள்ள ஒருங்கிணைப்பு சில நேரங்களில் பார்ன்ஸ் பீட்டா ஒருங்கிணைப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது. இரண்டாவது பார்ன்ஸ் லெம்மா e = a + b + c − d + 1 என்று கூறுகிறது. இது சால்ஷூட்டின் கூட்டுத்தொகை சூத்திரத்தின் ஒப்புமை ஆகும். அடிப்படை ஹைப்பர்ஜியோமெட்ரிக் தொடர்களுக்கான பார்ன்ஸ் ஒருங்கிணைப்புகளின் ஒப்புமைகள் உள்ளன, மேலும் பல முடிவுகளையும் இந்த வழக்கில் நீட்டிக்க முடியும். குறிப்புகள் (ஒரு 2008 பேப்பர்பேக் உள்ளது) சிறப்பு செயல்பாடுகள் ஹைப்பர்ஜியோமெட்ரிக் செயல்பாடுகள்