Supersingular elliptic curve
இயற்கணித வடிவவியலில், மேல்நிலை நீள்வட்ட வளைவுகள் வழக்கத்திற்கு மாறாக பெரிய எண்டோமார்பிசம் வளையங்களுடன் p> 0 என்ற சிறப்பியல்பு புலத்தின் மீது ஒரு குறிப்பிட்ட வகை நீள்வட்ட வளைவுகளை உருவாக்குகின்றன. மேல்நிலை அல்லாத புலங்களின் மீது நீள்வட்ட வளைவுகள் சாதாரணமானவை என்று அழைக்கப்படுகின்றன, மேலும் இந்த இரண்டு வகை நீள்வட்ட வளைவுகளும் பல அம்சங்களில் அடிப்படையில் வித்தியாசமாக செயல்படுகின்றன. நீள்வட்ட வளைவுகளுக்கான ரீமன் கருதுகோள் குறித்த தனது பணியின் போது சூப்பர் சிங்குலர் நீள்வட்ட வளைவுகளைக் கண்டுபிடித்தார், நேர்மறையான சிறப்பியல்பு நீள்வட்ட வளைவுகள் வழக்கத்திற்கு மாறாக பெரிய தரவரிசை 4 இன் எண்டோமார்பிசம் வளையங்களைக் கொண்டிருக்கலாம் என்பதைக் கவனித்து, அவற்றின் அடிப்படை கோட்பாட்டை உருவாக்கினார். "சூப்பர் சிங்குலர்" என்ற சொல்லுக்கு வளைவுகளின் ஒற்றை புள்ளிகளுடன் எந்த தொடர்பும் இல்லை, மேலும் அனைத்து சூப்பர் சிங்குலர் நீள்வட்ட வளைவுகளும் ஒற்றை அல்லாதவை. இது ஒரு சிக்கலான நீள்வட்ட வளைவு சிக்கலான பெருக்கத்தைக் கொண்ட ஜே-மாறுபாட்டின் மதிப்புகளுக்கு பயன்படுத்தப்படும் "ஜே-மாறுபாட்டின் ஒருமை மதிப்புகள்" என்ற சொற்றொடரிலிருந்து வருகிறது. சிக்கலான பெருக்கத்துடன் கூடிய சிக்கலான நீள்வட்ட வளைவுகள் எண்டோமார்பிசம் வளையத்திற்கு அதிகபட்ச சாத்தியமான தரவரிசை 2 ஐக் கொண்டுள்ளன. நேர்மறை பண்புகளில் எண்டோமார்பிசம் வளையம் இன்னும் பெரியதாக இருக்க முடியும்ஃ இது பரிமாணம் 4 இன் குவாட்டர்னியன் இயற்கணிதத்தில் ஒரு வரிசையாக இருக்கலாம், இந்த விஷயத்தில் நீள்வட்ட வளைவு மேலோட்டமாக இருக்கும். பகா எண்கள் p என்பது பண்புக்கூறு p இல் உள்ள ஒவ்வொரு மேலோட்டமான நீள்வட்ட வளைவையும் மேலோட்டமான பகா எண்கள் என்று அழைக்கப்படுவதை விட பகா துணைப்புலத்தின் மீது வரையறுக்க முடியும். வரையறை சூப்பர் சிங்குலர் நீள்வட்ட வளைவுகளை வரையறுக்க பல வேறுபட்ட ஆனால் சமமான வழிகள் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளன. அவற்றை வரையறுக்கும் சில வழிகள் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. இயற்கணித மூடல் கொண்ட ஒரு புலமாகவும், K க்கு மேல் E ஒரு நீள்வட்ட வளைவாகவும் இருக்கட்டும்.-மதிப்புள்ள புள்ளிகள் ஒரு அபெலியன் குழுவின் கட்டமைப்பைக் கொண்டுள்ளன. ஒவ்வொரு n க்கும், நம்மிடம் ஒரு பெருக்கல் வரைபடம் உள்ளது. அதன் கர்னல் குறிக்கப்படுகிறது. இப்போது K இன் பண்பு p> 0 என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் r = 1,2,3, என்று ஒன்று காட்டலாம். முதல் வழக்கில், E சூப்பர் சிங்குலர் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இல்லையெனில் அது சாதாரணமானது என்று அழைக்கப்படுகிறது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், p வரிசையின் வடிவியல் புள்ளிகளின் குழு அற்பமானதாக இருந்தால் மட்டுமே ஒரு நீள்வட்ட வளைவு மேலோட்டமாக இருக்கும். சூப்பர் சிங்குலர் நீள்வட்ட வளைவுகள் இயற்கணித மூடுதலின் மீது பல எண்டோமார்பிசங்களைக் கொண்டுள்ளன, அதாவது ஒரு நீள்வட்ட வளைவு அதன் எண்டோமார்பிசம் இயற்கணிதம் (ஓவர்) ஒரு குவாட்டர்னியன் இயற்கணிதத்தில் ஒரு வரிசையாக இருந்தால் மட்டுமே அது சூப்பர் சிங்குலர் ஆகும். எனவே, அவற்றின் எண்டோமார்பிசம் இயற்கணிதம் (ஓவர்) தரவரிசை 4 ஐக் கொண்டுள்ளது, அதே நேரத்தில் ஒவ்வொரு நீள்வட்ட வளைவின் எண்டோமார்பிசம் குழுவும் தரவரிசை 1 அல்லது 2 ஐ மட்டுமே கொண்டுள்ளது. ஒரு மேல்நிலை நீள்வட்ட வளைவின் எண்டோமார்பிசம் வளையம் 4 க்கும் குறைவான தரவரிசையைக் கொண்டிருக்கலாம், மேலும் எண்டோமார்பிசம் வளையம் 4 இன் தரவரிசையை உருவாக்க அடிப்படை புலம் K இன் வரையறுக்கப்பட்ட நீட்டிப்பை எடுக்க வேண்டியிருக்கலாம். குறிப்பாக, நீள்வட்ட வளைவு மேலோட்டமாக இருந்தாலும், பகா வரிசையின் புலத்தின் மீது நீள்வட்ட வளைவின் எண்டோமார்பிசம் வளையம் ஒருபோதும் தரவரிசை 4 ஆக இருக்காது. G என்பது E உடன் தொடர்புடைய முறையான குழுவாக இருக்கட்டும். K என்பது நேர்மறையான பண்பு கொண்டிருப்பதால், அதன் உயரம் ht (G) ஐ வரையறுக்க முடியும், இது E என்பது மேலோட்டமாகவும், இல்லையெனில் 1 ஆகவும் இருந்தால் மட்டுமே 2 ஆகும். நம்மிடம் ஒரு ஃப்ரோபீனியஸ் மார்ஃபிஸம் உள்ளது, இது கோஹோமோலஜியில் ஒரு வரைபடத்தைத் தூண்டுகிறது. 0 க்கு சமமாக இருந்தால் மட்டுமே நீள்வட்ட வளைவு E மேலோட்டமாக இருக்கும். எங்களிடம் ஒரு வெர்சிபங் ஆபரேட்டர் உள்ளது, இது உலகளாவிய 1-வடிவங்களில் ஒரு வரைபடத்தைத் தூண்டுகிறது. 0 க்கு சமமாக இருந்தால் மட்டுமே நீள்வட்ட வளைவு E மேலோட்டமாக இருக்கும். ஒரு நீள்வட்ட வளைவு அதன் ஹாஸ் மாறிலி 0 ஆக இருந்தால் மட்டுமே அது மேலோட்டமாக இருக்கும். p வரிசையின் புள்ளிகளின் குழு திட்டம் இணைக்கப்பட்டிருந்தால் மட்டுமே ஒரு நீள்வட்ட வளைவு மேலோட்டமாக இருக்கும். ஃப்ரோபீனியஸ் வரைபடத்தின் இரட்டை முற்றிலும் பிரிக்க முடியாததாக இருந்தால் மட்டுமே ஒரு நீள்வட்ட வளைவு மேலோட்டமாக இருக்கும். "p ஆல் பெருக்கல்" வரைபடம் முற்றிலும் பிரிக்க முடியாததாகவும், வளைவின் j-மாறுபாடு p2 வரிசையின் வரையறுக்கப்பட்ட புலமான K இன் முதன்மை புலத்தின் இருபடி நீட்டிப்பில் இருந்தால் மட்டுமே ஒரு நீள்வட்ட வளைவு மேலோட்டமாக இருக்கும். சமன்பாட்டால் வரையறுக்கப்பட்ட லெஜெண்டர் வடிவத்தில் E உள்ளது, மற்றும் p ஒற்றைப்படை என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர், கூட்டுத்தொகை மறைந்துவிட்டால் மட்டுமே, E என்பது மேலோட்டமாக இருக்கும். இந்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, K மீது (ஐசோமார்பிசம் வரை) இறுதியாக பல சூப்பர் சிங்குலர் நீள்வட்ட வளைவுகள் மட்டுமே உள்ளன என்பதைக் காட்டலாம். ஒரே மாதிரியான கன பல்லுறுப்புக்கோவை f (x, y, z) ஆல் கொடுக்கப்பட்ட ப்ரொஜெக்டிவ் பிளேனில் E ஒரு கன வளைவாக வழங்கப்படுகிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம். fp-1 இல் உள்ள (xyz) p-1 இன் குணகம் பூஜ்ஜியமாக இருந்தால் மட்டுமே E என்பது மேலோட்டமாக இருக்கும். புலம் K என்பது q வரிசையின் வரையறுக்கப்பட்ட புலமாக இருந்தால், q-சக்தி ஃப்ரோபீனியஸ் எண்டோமார்பிசத்தின் சுவடு பூஜ்ஜிய மாடுலோ p உடன் ஒத்திருந்தால் மட்டுமே K க்கு மேல் ஒரு நீள்வட்ட வளைவு மேலோட்டமாக இருக்கும். எடுத்துக்காட்டுகள் K என்பது சிறப்பியல்பு 2 கொண்ட புலம் என்றால், a3 பூஜ்ஜியமற்ற வடிவத்தின் சமன்பாட்டால் வரையறுக்கப்படும் ஒவ்வொரு வளைவும் ஒரு மேலோட்டமான நீள்வட்ட வளைவாகும், இதற்கு நேர்மாறாக ஒவ்வொரு மேலோட்டமான வளைவும் இந்த வடிவத்தில் ஒன்றுக்கு சமச்சீரமைப்பாக இருக்கும் (வாஷிங்டன் 2003, p. 122 ஐப் பார்க்கவும்). 2 உறுப்புகளுடன் புலத்தின் மீது எந்தவொரு மேல்தட்டு நீள்வட்ட வளைவும் 1,3 மற்றும் 5 புள்ளிகளைக் கொண்ட மேல்தட்டு நீள்வட்ட வளைவுகளில் ஒன்றிற்கு சமச்சீரமைப்பாகும். இது வெவ்வேறு எண்ணிக்கையிலான புள்ளிகளைக் கொண்ட ஒரு பகா புலத்தின் மீது மேலோட்டமான நீள்வட்ட வளைவுகளின் எடுத்துக்காட்டுகளை வழங்குகிறது. இயற்கணித ரீதியாக மூடப்பட்ட 2 என்ற பண்பு புலத்தின் மீது (ஐசோமார்பிசம் வரை) சரியாக ஒரு மேலோட்டமான நீள்வட்ட வளைவு உள்ளது, இது j-மாறுபாடு 0 உடன் வழங்கப்படுகிறது. அதன் எண்டோமார்பிசம் வளையம் ஹர்விட்ஸ் குவாட்டர்னியன்களின் வளையமாகும், இது இரண்டு தானியங்கிகளால் உருவாக்கப்படுகிறது மற்றும் ஒற்றுமையின் பழமையான கனசதுர வேர் எங்கே. அதன் தானியங்கி உருமாற்றங்களின் குழு ஹர்விட்ஸ் குவாட்டர்னியன்களின் அலகுகளின் குழுவாகும், இது 24 வது வரிசையைக் கொண்டுள்ளது, இது குவாட்டர்னியன் குழுவிற்கு 8 ஐசோமார்பிக் வரிசையின் இயல்பான துணைக்குழுவைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் இது பைனரி டெட்ராஹெட்ரல் குழுவாகும். K என்பது 3 இன் சிறப்பியல்பு புலம் என்றால், ஒவ்வொரு வளைவும் a4 பூஜ்ஜியமற்ற வடிவத்தின் சமன்பாட்டால் வரையறுக்கப்படுகிறது, இது ஒரு சூப்பர் சிங்குலர் நீள்வட்ட வளைவாகும், மேலும் ஒவ்வொரு சூப்பர் சிங்குலர் வளைவும் இந்த வடிவத்தில் ஒன்றுக்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும் (வாஷிங்டன் 2003, பக்கம் 122 ஐப் பார்க்கவும்). 3 தனிமங்களைக் கொண்ட புலத்தின் மீது எந்த ஒரு மேலோட்டமான நீள்வட்ட வளைவும் மேலோட்டமான நீள்வட்ட வளைவுகளில் ஒன்றிற்கு சமச்சீரமைப்பாக இருக்கும். அதன் எண்டோமார்பிசம் வளையம் a மற்றும் b ஐன்ஸ்டீன் முழு எண்களுடன் a + bj வடிவத்தின் குவாட்டர்னியன்களின் வளையமாகும். , இரண்டு தானியங்கிகளால் உருவாக்கப்படுகிறது மற்றும் இங்கு i என்பது ஒற்றுமையின் பழமையான நான்காவது வேர் ஆகும். அதன் தானியங்கி உருமாற்றங்களின் குழு இந்த குவாட்டர்னியன்களின் அலகுகளின் குழுவாகும், இது வரிசை 12 ஐக் கொண்டுள்ளது மற்றும் வரிசை 4 இன் சுழற்சி குழுவுடன் வரிசை 3 இன் சாதாரண துணைக்குழுவைக் கொண்டுள்ளது. p> 3 உடன், j-மாறுபாடு 0 உடன் வரையறுக்கப்பட்ட நீள்வட்ட வளைவு, j-மாறுபாடு 1728 உடன் வரையறுக்கப்பட்ட நீள்வட்ட வளைவு மேலோட்டமாக இருந்தால் மட்டுமே மேலோட்டமாக இருக்கும் (வாஷிங்டன் 2003,4.35 ஐப் பார்க்கவும்). இதன் மூலம் கொடுக்கப்பட்ட நீள்வட்ட வளைவு ஒற்றைப்பகுதி அல்லாதது. இது p = 23 க்கு மேலோட்டமாகவும், மற்ற அனைத்திற்கும் சாதாரணமாகவும் உள்ளது (ஹார்ட்ஷோர்ன் 1977,4.23.6 ஐப் பார்க்கவும்). மாடுலர் வளைவு X0 (11) இல் j-மாறுபாடு −2121 − 5313 உள்ளது, மேலும் இது y2 + y = x3 − x2 − 10x − 20 வளைவுக்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும். η (τ) 2η (11τ) 2 இல் உள்ள qp இன் குணகம் மாட் p ஐ மறைத்து, 1,19,29,199,569,809,1289,1439,2539,3319,3559,3919,5519,9419,9539,9929 ஆகிய பட்டியல்களால் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. பகுத்தறிவுகளின் மீது ஒரு நீள்வட்ட வளைவு சிக்கலான பெருக்கத்தைக் கொண்டிருந்தால், அது மேலோட்டமாக இருக்கும் பகா எண்களின் தொகுப்பு அடர்த்தி 1/2 ஐக் கொண்டுள்ளது. இது சிக்கலான பெருக்கத்தைக் கொண்டிருக்கவில்லை என்றால், அது மேலோட்டமாக இருக்கும் பகா எண்களின் தொகுப்பு அடர்த்தி பூஜ்ஜியத்தைக் கொண்டுள்ளது என்பதை செர்ரே காட்டியது. பகுத்தறிவுகளின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட எந்த நீள்வட்ட வளைவும் எல்லையற்ற எண்ணிக்கையிலான பகா எண்களுக்கு மேலோட்டமாக இருப்பதைக் காட்டியது. வகைப்பாடு ஒவ்வொரு நேர்மறை பண்புக்கும் மேற்புற நீள்வட்ட வளைவுகளின் சாத்தியமான ஜே-மாறுபாடுகளின் வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கை மட்டுமே உள்ளது. இயற்கணித ரீதியாக மூடப்பட்ட புலம் K இல் ஒரு நீள்வட்ட வளைவு அதன் ஜே-மாறுபாட்டால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது, எனவே ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான மேல்நிலை நீள்வட்ட வளைவுகள் மட்டுமே உள்ளன. அத்தகைய ஒவ்வொரு வளைவும் 1/|Aut (E) | ஆல் எடையிடப்பட்டால், மேற்புற வளைவுகளின் மொத்த எடை (p-1)/24 ஆகும். நீள்வட்ட வளைவுகள் அவற்றின் ஜே-மாறுபாடு 0 அல்லது 1728 ஆக இல்லாவிட்டால் வரிசை 2 இன் தானியங்கி குழுக்களைக் கொண்டுள்ளன, எனவே மேற்புற நீள்வட்ட வளைவுகள் பின்வருமாறு வகைப்படுத்தப்படுகின்றன. வரிசை 2 இன் தானியங்கி உருவகக் குழுக்களுடன் சரியாக θp/12 θ மேல்நிலை நீள்வட்ட வளைவுகள் உள்ளன. கூடுதலாக, p ஷ்ணம் 3 மட்டு 4 என்றால் ஒரு மேல்நிலை நீள்வட்ட வளைவு (j-மாறுபாட்டு 1728 உடன்) உள்ளது, அதன் தானியங்கி உருவம் குழு சுழற்சி அல்லது வரிசை 4 ஆகும், p = 3 இல்லையென்றால் அது வரிசை 12 ஐக் கொண்டுள்ளது, மேலும் p ஷ்ணம் 2 மட்டு 3 என்றால் ஒரு மேல்நிலை நீள்வட்ட வளைவு (j-மாறுபாட்டு 0 உடன்) உள்ளது, அதன் தானியங்கி உருவம் குழு p = 2 இல்லையென்றால் வரிசை 24 ஐக் கொண்டிருக்காவிட்டால் வரிசை 6 இன் சுழற்சியாக உள்ளது. 307 வரையிலான பகா எண்களுக்கான மேல்நிலை வளைவுகளின் அனைத்து j-மாறுபாடுகளின் அட்டவணையைக் கொடுங்கள். முதல் சில பகா எண்களுக்கு மேலோட்டமான நீள்வட்ட வளைவுகள் பின்வருமாறு கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. 0 அல்லது 1728 ஐத் தவிர j இன் மேல்நிலை மதிப்புகளின் எண்ணிக்கை (p−1)/12 இன் முழு எண் பகுதியாகும். சூப்பர்சங்குலர் பிரைம் (இயற்கணித எண் கோட்பாடு) சூப்பர்சங்குலர் பிரைம் (மூன்ஷைன் கோட்பாடு) சூப்பர்சங்குலர் வகை குறிப்புகள் ராபின் ஹார்ட்ஷோர்ன் (1977), இயற்கணித வடிவியல், ஸ்பிரிங்கர் ஆகியவற்றையும் பார்க்கவும். ஜோசப் எச். சில்வர்மேன் (2009), எலிப்டிக் வளைவுகளின் எண்கணிதம், ஸ்ப்ரிங்கர். லாரன்ஸ் சி. வாஷிங்டன் (2003), எலிப்டிக் வளைவுகள், சாப்மேன் & ஹால். நீள்வட்ட வளைவுகள்