Steinitz's theorem
பாலிஹெட்ரல் காம்பினடோரிக்கில், கணிதத்தின் ஒரு கிளை, ஸ்டெய்னிட்ஸின் தேற்றம் என்பது முப்பரிமாண குவிந்த பாலிஹெட்ராவின் விளிம்புகள் மற்றும் செங்குத்துகளால் உருவாக்கப்பட்ட திசைதிருப்பப்படாத வரைபடங்களின் குணாதிசயமாகும்ஃ அவை சரியாக 3-வெர்டெக்ஸ்-இணைக்கப்பட்ட பிளானர் வரைபடங்கள். அதாவது, ஒவ்வொரு குவிந்த பாலிஹெட்ரானும் 3-இணைக்கப்பட்ட பிளானர் வரைபடத்தை உருவாக்குகிறது, மேலும் ஒவ்வொரு 3-இணைக்கப்பட்ட பிளானர் வரைபடத்தையும் ஒரு குவிந்த பாலிஹெட்ரானின் வரைபடமாக குறிப்பிடலாம். இந்த காரணத்திற்காக, 3-இணைக்கப்பட்ட பிளானர் வரைபடங்கள் பாலிஹெட்ரல் வரைபடங்கள் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன. இந்த முடிவு முப்பரிமாண குவிந்த பாலிஹெட்ராவுக்கான வகைப்பாட்டு தேற்றத்தை வழங்குகிறது, இது உயர் பரிமாணங்களில் அறியப்படாத ஒன்று. இது இந்த பாலிஹெட்ராவின் வரைபடங்களைப் பற்றிய முழுமையான மற்றும் முற்றிலும் ஒருங்கிணைந்த விளக்கத்தை வழங்குகிறது, இது கொடுக்கப்பட்ட வகையான முகங்களுடன் பாலிஹெட்ராவை உணர்ந்து கொள்வதற்கான எபர்ஹார்டின் தேற்றம் போன்ற பிற முடிவுகளை இந்த வடிவங்களின் வடிவவியலைப் பற்றி குறிப்பிடாமல் மிக எளிதாக நிரூபிக்க அனுமதிக்கிறது. கூடுதலாக, சுருக்க வரைபடங்களின் முப்பரிமாண காட்சிப்படுத்தல்களை உருவாக்குவதற்கான ஒரு வழியாக இது வரைபட வரைபடத்தில் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது. பிராங்கோ க்ரூன்பாம் இந்த தேற்றத்தை "3-பாலிட்டோப்புகளில் மிக முக்கியமான மற்றும் ஆழமான அறியப்பட்ட முடிவு" என்று அழைத்துள்ளார். இந்த தேற்றம் 1922 ஆம் ஆண்டு வெளியிடப்பட்ட எர்ன்ஸ்ட் ஸ்டெய்னிட்ஸின் வெளியீட்டில் தோன்றுகிறது, அவரது பெயரால் இது பெயரிடப்பட்டுள்ளது. கணிதத் தூண்டல் மூலம் (ஸ்டெய்னிட்ஸ் செய்ததைப் போல), இரு பரிமாண வசந்த அமைப்பின் குறைந்தபட்ச-ஆற்றல் நிலையைக் கண்டறிந்து, முடிவை மூன்று பரிமாணங்களாக உயர்த்துவதன் மூலம் அல்லது வட்ட பொதி கோட்பாட்டைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் இதை நிரூபிக்க முடியும். தேற்றத்தின் பல நீட்டிப்புகள் அறியப்படுகின்றன, இதில் கொடுக்கப்பட்ட வரைபடத்தை உணரும் பாலிஹெட்ரான் கூடுதல் கட்டுப்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளது; எடுத்துக்காட்டாக, ஒவ்வொரு பாலிஹெட்ரல் வரைபடமும் முழு எண் ஆயத்தொகுதிகளைக் கொண்ட ஒரு குவிந்த பாலிஹெட்ரானின் வரைபடம் அல்லது ஒரு குவிந்த பாலிஹெட்ரானின் வரைபடம், அதன் விளிம்புகள் அனைத்தும் ஒரு பொதுவான நடுக்கோளத்திற்கு தொடுகோடு கொண்டவை. கோட்பாட்டின் வரையறைகள் மற்றும் அறிக்கை ஒரு திசைதிருப்பப்படாத வரைபடம் என்பது செங்குத்துகள் மற்றும் விளிம்புகளின் அமைப்பாகும், ஒவ்வொரு விளிம்பும் இரண்டு செங்குத்துகளை இணைக்கிறது. வரைபடக் கோட்பாட்டில் பொதுவானது போல, ஸ்டெய்னிட்ஸ் தேற்றத்தின் நோக்கங்களுக்காக இந்த வரைபடங்கள் வரையறுக்கப்பட்டவை (செங்குத்துகள் மற்றும் விளிம்புகள் வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்புகள்) மற்றும் எளிமையானவை (இரண்டு விளிம்புகள் ஒரே இரண்டு செங்குத்துகளை இணைக்கவில்லை, எந்த விளிம்பும் ஒரு உச்சியை அதனுடன் இணைக்கவில்லை). எந்தவொரு பாலிஹெட்ரானிலிருந்தும் ஒருவர் ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்கலாம், வரைபடத்தின் செங்குத்துகள் பாலிஹெட்ரானின் செங்குத்துகளுடன் ஒத்திருக்க அனுமதிப்பதன் மூலமும், தொடர்புடைய இரண்டு பாலிஹெட்ரான் செங்குத்துகள் பாலிஹெட்ரானின் விளிம்பின் இறுதிப் புள்ளிகளாக இருக்கும்போதெல்லாம் ஏதேனும் இரண்டு வரைபட செங்குத்துகளை ஒரு விளிம்பால் இணைப்பதன் மூலமும். இந்த வரைபடம் பாலிஹெட்ரானின் எலும்புக்கூடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு வரைபடத்தை அதன் செங்குத்துகளுடன் யூக்ளிடியன் தளத்தில் புள்ளிகளாக வரைய முடிந்தால் அது சமதளமாக இருக்கும், மேலும் அதன் விளிம்புகள் இந்த புள்ளிகளை இணைக்கும் வளைவுகளாக இருக்கும், அதாவது இரண்டு விளிம்பு வளைவுகள் ஒன்றையொன்று கடக்காது, மேலும் ஒரு உச்சியைக் குறிக்கும் புள்ளி வளைவில் உள்ளது விளிம்பைக் குறிக்கும் போது மட்டுமே விளிம்பு விளிம்பின் இறுதிப் புள்ளியாக இருக்கும். ஃபேரியின் தேற்றத்தின் படி, ஒவ்வொரு பிளானர் வரைபடத்தையும் நேராக்க முடியும், இதனால் விளிம்புகளைக் குறிக்கும் வளைவுகள் கோடு பிரிவுகளாக இருக்கும். ஒரு வரைபடம் மூன்று செங்குத்துகளுக்கு மேல் இருந்தால் அது 3-இணைக்கப்பட்டுள்ளது, மேலும் அதன் இரண்டு செங்குத்துகள் அகற்றப்பட்ட பிறகு, வேறு எந்த ஜோடி செங்குத்துகளும் ஒரு பாதையால் இணைக்கப்பட்டுள்ளன. முப்பரிமாண குவிந்த பாலிஹெட்ராவின் எலும்புக்கூடுகளை வகைப்படுத்த இந்த இரண்டு நிபந்தனைகளும் அவசியம் மற்றும் போதுமானவை என்று ஸ்டெய்னிட்ஸின் தேற்றம் கூறுகிறதுஃ கொடுக்கப்பட்ட வரைபடம் ஒரு குவிந்த முப்பரிமாண பாலிஹெட்ரானின் வரைபடமாகும், இது பிளானர் மற்றும் 3-வெர்டெக்ஸ்-இணைக்கப்பட்டிருந்தால் மட்டுமே. ஸ்டெய்னிட்ஸ் தேற்றத்தின் ஒரு திசை (நிரூபிக்க எளிதான திசை) ஒவ்வொரு குவிந்த பாலிஹெட்ரானின் வரைபடமும் சமதளமாகவும் 3-இணைக்கப்பட்டதாகவும் உள்ளது என்று கூறுகிறது. விளக்கப்படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி, ஷ்லெகல் வரைபடத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் சமதளத்தன்மையைக் காட்டலாம்ஃ பாலிஹெட்ரானின் ஒரு முகத்திற்கு அருகில் ஒரு ஒளி மூலத்தையும், மறுபுறம் ஒரு தளத்தையும் வைத்தால், பாலிஹெட்ரான் விளிம்புகளின் நிழல்கள் ஒரு சமதள வரைபடத்தை உருவாக்கும், விளிம்புகள் நேர் கோடு பிரிவுகளாக இருக்கும் வகையில் உட்பொதிக்கப்பட்டிருக்கும். பாலிஹெட்ரல் வரைபடத்தின் 3-இணைப்பு என்பது பாலின்ஸ்கியின் தேற்றத்தின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு, எந்தவொரு பரிமாண குவிந்த பாலிடோப்பின் வரைபடமும்-இணைக்கப்பட்டுள்ளது. ஒரு பாலிடோப்பின் வரைபடத்தின் இணைப்பு, அதன் எந்த செங்குத்துகளையும் அகற்றிய பிறகு, மேலும் ஒரு உச்சியைத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலமும், அதன் விளைவாக வரும் செங்குத்துகளின் தொகுப்பில் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் ஒரு நேரியல் செயல்பாட்டைக் கண்டறிவதன் மூலமும், சிம்ப்ளக்ஸ் முறையால் உருவாக்கப்பட்ட பாதைகளைப் பின்பற்றுவதன் மூலமும் நிரூபிக்க முடியும். ஸ்டெய்னிட்ஸ் தேற்றத்தின் மற்றொரு, மிகவும் கடினமான, திசை, ஒவ்வொரு பிளானர் 3-இணைக்கப்பட்ட வரைபடமும் ஒரு குவிந்த பாலிஹெட்ரானின் வரைபடம் என்று கூறுகிறது. இந்த பகுதிக்கு மூன்று நிலையான அணுகுமுறைகள் உள்ளனஃ தூண்டல் மூலம் சான்றுகள், மேக்ஸ்வெல்-கிரெமோனா கடிதத்தைப் பயன்படுத்தி இரு பரிமாண டட் உட்பொதிப்புகளை மூன்று பரிமாணங்களாக உயர்த்துதல் மற்றும் ஒரு நியதி பாலிஹெட்ரானை உருவாக்க வட்ட பொதி கோட்பாட்டைப் பயன்படுத்தும் முறைகள். இண்டக்ஷன் ஸ்டெய்னிட்ஸின் அசல் ஆதாரம் வரைபடக் கோட்பாட்டின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தப்படவில்லை என்றாலும், அது அந்த சொற்களில் மீண்டும் எழுதப்படலாம், மேலும் 3-இணைக்கப்பட்ட பிளானர் வரைபடத்தை டெட்ராஹெட்ரானின் வரைபடமாக குறைக்கும் α-Y மற்றும் Y-α உருமாற்றங்களின் வரிசையைக் கண்டுபிடிப்பதை உள்ளடக்கியது. ஒரு Y-α உருமாற்றம் ஒரு வரைபடத்திலிருந்து ஒரு டிகிரி-மூன்று உச்சியை நீக்குகிறது, அந்த விளிம்புகள் ஏற்கனவே இல்லையென்றால் அதன் முந்தைய அண்டை நாடுகளுக்கு இடையில் விளிம்புகளைச் சேர்க்கிறது; தலைகீழ் மாற்றம், ஒரு α-Y உருமாற்றம், ஒரு முக்கோணத்தின் விளிம்புகளை ஒரு வரைபடத்திலிருந்து அகற்றி, அதே மூன்று செங்குத்துகளுக்கு அருகில் ஒரு புதிய டிகிரி-மூன்று உச்சியால் மாற்றுகிறது. அத்தகைய வரிசை கண்டுபிடிக்கப்பட்டவுடன், அதை தலைகீழாக மாற்றலாம் மற்றும் வடிவியல் செயல்பாடுகளாக மாற்றலாம், இது ஒரு டெட்ராஹெட்ரானில் இருந்து தொடங்கி படிப்படியாக விரும்பிய பாலிஹெட்ரானை உருவாக்குகிறது. தலைகீழ் வரிசையில் உள்ள ஒவ்வொரு Y-δ உருமாற்றமும் ஒரு பாலிஹெட்ரானில் இருந்து ஒரு டிகிரி-மூன்று உச்சியை வெட்டுவதன் மூலம் வடிவியல் ரீதியாக செய்யப்படலாம். ஒரு பாலிஹெட்ரானில் இருந்து ஒரு முக்கோண முகத்தை அகற்றி, அதன் அண்டை முகங்களை அவை சந்திக்கும் புள்ளி வரை விரிவுபடுத்துவதன் மூலம் தலைகீழ் வரிசையில் ஒரு α-Y உருமாற்றத்தை வடிவியல் ரீதியாக செய்ய முடியும், ஆனால் மூன்று அண்டை முகங்களின் மூன்று குறுக்குவெட்டு புள்ளி பாலிஹெட்ரானில் இருந்து அகற்றப்பட்ட முகத்தின் தொலைதூரத்தில் இருக்கும்போது மட்டுமே. மூன்று குறுக்குவெட்டு புள்ளி இந்த முகத்தின் தொலைதூரத்தில் இல்லாதபோது, பாலிஹெட்ரானின் ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் மாற்றம் அதை சரியான பக்கத்திற்கு நகர்த்த போதுமானது. எனவே, கொடுக்கப்பட்ட வரைபடத்தைக் குறைக்கத் தேவையான α-Y மற்றும் Y-α உருமாற்றங்களின் எண்ணிக்கையைத் தூண்டுவதன் மூலம், ஒவ்வொரு பாலிஹெட்ரல் வரைபடத்தையும் ஒரு பாலிஹெட்ரானாக உணர முடியும். எபிஃபானோவின் பிற்காலப் பணி, ஒவ்வொரு பாலிஹெட்ரல் வரைபடத்தையும் α-Y மற்றும் Y-α உருமாற்றங்களால் குறைக்க முடியும் என்பதற்கான ஸ்டெய்னிட்ஸின் ஆதாரத்தை வலுப்படுத்தியது. ஒரு சமதள வரைபடத்தில் இரண்டு செங்குத்துகள் குறிப்பிடப்பட்டால், தொடர்-இணையான குறைப்புகளுடன் α-Y மற்றும் Y-α உருமாற்றங்களை இணைப்பதன் மூலம் அந்த முனையங்களுக்கு இடையில் ஒரு விளிம்பிற்கு வரைபடத்தை குறைக்க முடியும் என்பதை எபிஃபானோவ் நிரூபித்தார். எபிஃபானோவின் ஆதாரம் சிக்கலானது மற்றும் கட்டமைக்கப்படாதது, ஆனால் கிராஃப் மைனர்களை அடிப்படையாகக் கொண்ட முறைகளைப் பயன்படுத்தி ட்ரூம்பெரால் இது எளிமைப்படுத்தப்பட்டது. ஒவ்வொரு கட்ட வரைபடமும் இந்த வழியில் α-Y மற்றும் Y-α உருமாற்றங்களால் குறைக்கப்படுவதாகவும், இந்த குறைப்புத்திறன் வரைபட மைனர்களால் பாதுகாக்கப்படுவதாகவும், ஒவ்வொரு பிளானர் வரைபடமும் ஒரு கட்ட வரைபடத்தின் சிறியதாகவும் இருப்பதாகவும் ட்ரூம்பர் கவனித்தார். குறைப்பு வரிசை உள்ளது என்ற ஸ்டெய்னிட்ஸின் லெம்மாவை மாற்ற இந்த யோசனையை பயன்படுத்தலாம். இந்த மாற்றத்திற்குப் பிறகு, மீதமுள்ள ஆதாரத்தை ஸ்டெய்னிட்ஸின் அசல் ஆதாரத்தைப் போலவே தூண்டலைப் பயன்படுத்தி மேற்கொள்ளலாம். இந்த சான்றுகளுக்கு, α-Y மற்றும் Y-α உருமாற்றங்களின் வரிசைகளைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான எந்த வழிகளையும் பயன்படுத்தி மேற்கொள்ளப்படுகிறது, ஒரு நேரியல் அல்லாத எண்ணிக்கையிலான படிகள் தேவைப்படும் பாலிஹெட்ரல் வரைபடங்கள் உள்ளன. இன்னும் துல்லியமாக, ஒவ்வொரு சமதள வரைபடத்தையும் அதிகபட்ச விகிதாசாரத்தில் பல படிகளைப் பயன்படுத்தி குறைக்க முடியும், மேலும் எண்ணற்ற பல வரைபடங்களுக்கு குறைந்தபட்சம் விகிதாசாரத்தில் பல படிகள் தேவைப்படுகின்றன, வரைபடத்தில் செங்குத்துகளின் எண்ணிக்கை எங்கே. தூண்டல் ஆதாரத்தின் மாற்று வடிவம் விளிம்புகளை அகற்றுவது (மற்றும் இந்த அகற்றலுக்குப் பிறகு எஞ்சியிருக்கும் டிகிரி-இரண்டு செங்குத்துகளை சுருக்குவது) அல்லது விளிம்புகளை சுருக்கி, கொடுக்கப்பட்ட பிளானர் வரைபடத்தின் சிறிய பகுதியை உருவாக்குவது ஆகியவற்றை அடிப்படையாகக் கொண்டது. எந்தவொரு பாலிஹெட்ரல் வரைபடத்தையும் இந்த செயல்பாடுகளின் நேரியல் எண்ணிக்கையால் குறைக்க முடியும், மேலும் மீண்டும் செயல்பாடுகளை மாற்றியமைக்கலாம் மற்றும் தலைகீழ் செயல்பாடுகளை வடிவியல் ரீதியாக நிகழ்த்தலாம், இது வரைபடத்தின் பாலிஹெட்ரல் உணர்தலை வழங்குகிறது. இருப்பினும், இந்த வகை வாதத்திற்கு குறைப்பு வரிசை உள்ளது என்பதை நிரூபிப்பது எளிதானது மற்றும் குறைப்பு வரிசைமுறைகள் குறுகியவை என்றாலும், வரிசையை மாற்றியமைக்க தேவையான வடிவியல் படிகள் மிகவும் சிக்கலானவை. லிஃப்டிங் நேர் கோடு விளிம்புகள் கொண்ட தளத்தில் ஒரு வரைபடம் வரையப்பட்டால், சமநிலை அழுத்தம் என்பது விளிம்புகளுக்கு பூஜ்ஜியமற்ற உண்மையான எண்களை (எடைகள்) ஒதுக்குவது என்று வரையறுக்கப்படுகிறது, ஒவ்வொரு உச்சியும் அதன் அண்டை நாடுகளின் எடையுள்ள சராசரியால் கொடுக்கப்பட்ட நிலையில் உள்ளது. மேக்ஸ்வெல்-கிரெமோனா கடிதத்தின் படி, ஒரு சமநிலை அழுத்தத்தை ஒரு துண்டுப்பிரதியாக நேரியல் தொடர்ச்சியான முப்பரிமாண மேற்பரப்புக்கு உயர்த்தலாம், அதாவது மேற்பரப்பு திட்டத்தின் தட்டையான பகுதிகளுக்கு இடையிலான எல்லைகளை உருவாக்கும் விளிம்புகள் கொடுக்கப்பட்ட வரைபடத்திற்கு. ஒவ்வொரு விளிம்பின் எடையும் நீளமும் விளிம்பின் இருபுறமும் மேற்பரப்பின் சரிவுகளில் உள்ள வேறுபாட்டை தீர்மானிக்கிறது, மேலும் ஒவ்வொரு உச்சியும் அதன் அண்டை நாடுகளுடன் சமநிலையில் உள்ளது என்ற நிபந்தனை இந்த சாய்வு வேறுபாடுகள் மேற்பரப்பை சரியாகச் சந்திக்கச் செய்யும் நிபந்தனைக்கு சமம். நேர்மறை எடைகள் துண்டுப்பிரதியாக நேரியல் மேற்பரப்பின் இரண்டு முகங்களுக்கு இடையில் குவிந்த டைஹெட்ரல் கோணங்களாக மொழிபெயர்க்கப்படுகின்றன, மேலும் எதிர்மறை எடைகள் குழிவான டைஹெட்ரல் கோணங்களாக மொழிபெயர்க்கப்படுகின்றன. மாறாக, ஒவ்வொரு தொடர்ச்சியான துண்டு-நேரியல் மேற்பரப்பும் இந்த வழியில் ஒரு சமநிலை அழுத்தத்திலிருந்து வருகிறது. ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட பிளானர் வரைபடம் வரையப்பட்டு, வரைபடத்தின் அனைத்து உட்புற விளிம்புகளும் நேர்மறையான எடைகளைக் கொண்டிருக்கும் வகையில் ஒரு சமநிலை அழுத்தத்தைக் கொடுத்தால், அனைத்து வெளிப்புற விளிம்புகளும் எதிர்மறையான எடைகளைக் கொண்டிருந்தால், இந்த அழுத்தத்தை முப்பரிமாண மேற்பரப்பாக மாற்றுவதன் மூலம் இந்த வழியில், பின்னர் வரைபடத்தின் வெளிப்புறத்தைக் குறிக்கும் தட்டையான மேற்பரப்பை அதே தளத்தில் அதன் நிரப்பு மூலம் மாற்றுவதன் மூலம், ஒருவர் குவிந்த பாலிஹெட்ரானைப் பெறுகிறார், கூடுதல் பண்பு என்னவென்றால், விமானத்தில் அதன் செங்குத்தான திட்டத்திற்கு குறுக்குவெட்டுகள் இல்லை. டுட்டே உட்பொதிக்கும் டபிள்யூ. டி. டுட்டேவின் பிளானர் கிராஃப் வரைதல் முறையுடன் இணைப்பதன் மூலம் பாலிஹெட்ரல் வரைபடங்களின் பாலிஹெட்ரல் உணர்தல்களைப் பெற மேக்ஸ்வெல்-கிரெமோனா தொடர்பு பயன்படுத்தப்படுகிறது. துட்டேவின் முறை ஒரு பன்முக வரைபடத்தின் ஒரு முகத்தை விமானத்தில் குவிந்த நிலையில் சரிசெய்வதன் மூலம் தொடங்குகிறது. இந்த முகம் ஒரு வரைபடத்தின் வரைபடத்தின் வெளிப்புற முகமாக மாறும். முனைய ஆயத்தொகுப்புகளில் நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பை அமைப்பதன் மூலம் இந்த முறை தொடர்கிறது, அதன்படி மீதமுள்ள ஒவ்வொரு முனையும் அதன் அண்டை நாடுகளின் சராசரியில் வைக்கப்பட வேண்டும். பின்னர் டுட்டே காட்டியபடி, இந்த சமன்பாடுகளின் அமைப்பு ஒரு தனித்துவமான தீர்வைக் கொண்டிருக்கும், இதில் வரைபடத்தின் ஒவ்வொரு முகமும் குவிந்த பலகோணமாக வரையப்படும். உள்ளுணர்வாக, இந்த தீர்வு வரைபடத்தின் உட்புற விளிம்புகளை சிறந்த நீரூற்றுகளால் மாற்றுவதன் மூலமும், அவற்றின் குறைந்தபட்ச ஆற்றல் நிலைக்கு குடியேற அனுமதிப்பதன் மூலமும் பெறப்படும் வடிவத்தை விவரிக்கிறது. இதன் விளைவாக கிட்டத்தட்ட ஒரு சமநிலை அழுத்தமாகும்ஃ ஒவ்வொரு உட்புற விளிம்புக்கும் ஒருவர் எடையை ஒதுக்கினால், வரைபடத்தின் ஒவ்வொரு உட்புற முனையும் சமநிலையில் இருக்கும். இருப்பினும், எதிர்மறை எண்களை வெளிப்புற விளிம்புகளுக்கு ஒதுக்குவது எப்போதும் சாத்தியமில்லை, இதனால் அவையும் சமநிலையில் இருக்கும். வெளிப்புற முகம் ஒரு முக்கோணமாக இருக்கும்போது அத்தகைய பணி எப்போதும் சாத்தியமாகும், எனவே முக்கோண முகத்தைக் கொண்ட எந்தவொரு பாலிஹெட்ரல் வரைபடத்தையும் உணர இந்த முறையைப் பயன்படுத்தலாம். ஒரு பாலிஹெட்ரல் வரைபடம் ஒரு முக்கோண முகத்தைக் கொண்டிருக்கவில்லை என்றால், அதன் இரட்டை வரைபடம் ஒரு முக்கோணத்தைக் கொண்டுள்ளது மற்றும் பாலிஹெட்ரல் ஆகும், எனவே ஒருவர் இந்த வழியில் இரட்டை உணர்வை உணர முடியும், பின்னர் இரட்டை உணர்தலின் துருவ பாலிஹெட்ரானாக அசல் வரைபடத்தை உணர முடியும். லிஃப்டிங்ஸைப் பயன்படுத்தி பாலிஹெட்ராவை உணர்ந்து கொள்வதற்கான ஒரு மாற்று முறை, வெளிப்புற முகமாக அதிகபட்சம் ஐந்து செங்குத்துகளைக் கொண்ட எந்த முகத்தையும் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம் இரட்டைத்தன்மையைத் தவிர்க்கிறது. ஒவ்வொரு பாலிஹெட்ரல் வரைபடமும் அத்தகைய முகத்தைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் இந்த முகத்தின் நிலையான வடிவத்தை மிகவும் கவனமாக தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம், மீதமுள்ள வரைபடத்தின் டூட்டே உட்பொதிப்பை உயர்த்த முடியும். வட்ட பொதி செய்யும் கோட்பாட்டின் ஒரு மாறுபாட்டின் படி, ஒவ்வொரு பன்முக வரைபடத்திற்கும், தளத்திலோ அல்லது எந்த கோளத்திலோ வட்டங்களின் அமைப்பு உள்ளது, இது வரைபடத்தின் செங்குத்துகள் மற்றும் முகங்களைக் குறிக்கிறது, இதனால்ஃ வரைபடத்தின் ஒவ்வொரு இரண்டு அருகிலுள்ள செங்குத்துகளும் தொடுகோடு வட்டங்களால் குறிக்கப்படுகின்றன, வரைபடத்தின் ஒவ்வொரு இரண்டு அருகிலுள்ள முகங்களும் தொடுகோடு வட்டத்தால் குறிக்கப்படுகின்றன, ஒரு உச்சியின் ஒவ்வொரு ஜோடியும் அது தொடும் முகமும் சரியான கோணத்தில் கடக்கும் வட்டங்களால் குறிக்கப்படுகின்றன, மேலும் மற்ற அனைத்து ஜோடி வட்டங்களும் ஒருவருக்கொருவர் பிரிக்கப்பட்டுள்ளன. ஒரே வட்ட அமைப்பு செங்குத்துகளைக் குறிக்கும் வட்டங்களின் பாத்திரங்களையும், முகங்களைக் குறிக்கும் வட்டங்களையும் மாற்றுவதன் மூலம் இரட்டை வரைபடத்தின் பிரதிநிதித்துவத்தை உருவாக்குகிறது. முப்பரிமாண யூக்ளிடியன் இடத்தில் உட்பொதிக்கப்பட்ட ஒரு கோளத்தில் உள்ள எந்தவொரு பிரதிநிதித்துவத்திலிருந்தும், ஒருவர் ஒரு குவிந்த பாலிஹெட்ரானை உருவாக்க முடியும், இது கொடுக்கப்பட்ட வரைபடத்திற்கு இணையாக உள்ளது, இது அரை இடைவெளிகளின் குறுக்குவெட்டு, அதன் எல்லைகள் முக வட்டங்கள் வழியாக செல்கின்றன. இந்த பாலிஹெட்ரானின் ஒவ்வொரு முனையிலிருந்தும், அந்த முனையிலிருந்து காணப்படும் கோளத்தின் அடிவானம், அதை குறிக்கும் வட்டமாகும். இந்த அடிவானம் பண்பு ஒவ்வொரு உச்சியின் முப்பரிமாண நிலையை தீர்மானிக்கிறது, மேலும் பாலிஹெட்ரானை இந்த வழியில் நிலைநிறுத்தப்பட்ட செங்குத்துகளின் குவிந்த மேலோடு என்று சமமாக வரையறுக்கலாம். கோளம் உணர்தலின் நடுக்கோளமாக மாறுகிறதுஃ பாலிஹெட்ரானின் ஒவ்வொரு விளிம்பும் கோளத்துடன் தொடுகோடு உள்ளது, இரண்டு தொடுகோடு உச்சி வட்டங்கள் இரண்டு தொடுகோடு முக வட்டங்களைக் கடக்கும் ஒரு கட்டத்தில். கூடுதல் பண்புகள் கொண்ட உணர்தல்கள் முழு எண் ஆயத்தங்கள் ஸ்டெய்னிட்ஸின் தேற்றத்தின் வலுவான வடிவத்தை நிரூபிக்க முடியும், எந்தவொரு பாலிஹெட்ரல் வரைபடத்தையும் ஒரு குவிந்த பாலிஹெட்ரான் மூலம் உணர முடியும், அதன் ஆயத்தங்கள் முழு எண்களாக இருக்கும். உதாரணமாக, ஸ்டெய்னிட்ஸின் அசல் தூண்டல் அடிப்படையிலான ஆதாரத்தை இந்த வழியில் வலுப்படுத்தலாம். இருப்பினும், ஸ்டெய்னிட்ஸின் கட்டுமானத்தின் விளைவாக ஏற்படும் முழு எண்கள் கொடுக்கப்பட்ட பாலிஹெட்ரல் வரைபடத்தின் செங்குத்துகளின் எண்ணிக்கையில் இரு மடங்கு அதிவேகமாக உள்ளன. பைனரி குறியீட்டில் இந்த அளவின் எண்களை எழுதுவதற்கு அதிவேக எண்ணிக்கையிலான பிட்கள் தேவைப்படும். வடிவியல் ரீதியாக, பாலிஹெட்ரானின் சில அம்சங்கள் மற்றவர்களை விட இரு மடங்கு அதிவேகமாக பெரியதாக இருக்கலாம், இதனால் இந்த முறையிலிருந்து பெறப்பட்ட உணர்தல்கள் வரைபட வரைபடத்தில் உள்ள பயன்பாடுகளுக்கு சிக்கலானவை. அடுத்தடுத்த ஆராய்ச்சியாளர்கள் தூக்குதல் அடிப்படையிலான உணர்தல் வழிமுறைகளைக் கண்டறிந்துள்ளனர், அவை ஒரு உச்சிக்கு நேரியல் எண்ணிக்கையிலான பிட்களை மட்டுமே பயன்படுத்துகின்றன. ஆயத்தொகுதிகள் முழு எண்களாக இருக்க வேண்டும் என்ற தேவையை தளர்த்தவும் முடியும், மேலும் உச்சிகளின்-ஆயத்தொகுதிகள் 0 முதல் வரம்பில் தனித்துவமான முழு எண்களாகவும், மற்ற இரண்டு ஆயத்தொகுதிகள் அலகு இடைவெளியில் உண்மையான எண்களாகவும் இருக்கும் வகையில் ஆயத்தொகுதிகளை ஒதுக்கலாம், இதனால் ஒவ்வொரு விளிம்பும் குறைந்தபட்சம் ஒரு நீளத்தைக் கொண்டிருக்கும், அதே நேரத்தில் ஒட்டுமொத்த பாலிஹெட்ரான் நேரியல் அளவைக் கொண்டிருக்கும். சில பாலிஹெட்ரல் வரைபடங்கள் பல்லுறுப்புக்கோவை அளவு கொண்ட கட்டங்களில் மட்டுமே உணரக்கூடியவை என்று அறியப்படுகிறது; குறிப்பாக இது பிரமிடுகள் (சக்கர வரைபடங்களின் உணர்தல்), ப்ரிஸம்கள் (ப்ரிஸம் வரைபடங்களின் உணர்தல்) மற்றும் அடுக்கப்பட்ட பாலிஹெட்ரா (அப்பல்லோனிய நெட்வொர்க்குகளின் உணர்தல்) ஆகியவற்றிற்கு பொருந்தும். முழு எண் உணர்தலின் இருப்பைக் குறிப்பிடுவதற்கான மற்றொரு வழி என்னவென்றால், ஒவ்வொரு முப்பரிமாண குவிந்த பாலிஹெட்ரானும் ஒருங்கிணைந்த சமமான முழு எண் பாலிஹெட்ரானைக் கொண்டுள்ளது. உதாரணமாக, வழக்கமான டோடெகாஹெட்ரான் அதன் வழக்கமான ஐங்கோண முகங்கள் காரணமாக ஒரு முழு எண் பாலிஹெட்ரான் அல்ல, ஆனால் அதை ஒரு சமமான முழு எண் பைரிட்டோஹெட்ரானாக உணர முடியும். உயர் பரிமாணங்களில் இது எப்போதும் சாத்தியமில்லை, அங்கு பாலிடோப்புகள் உள்ளன (பெர்ல்ஸ் உள்ளமைவிலிருந்து கட்டப்பட்டவை போன்றவை) அவை முழு எண்ணுக்கு சமமானவை அல்ல. சம சரிவுகள் ஒரு ஹாலின் வரைபடம் என்பது ஒரு பன்முக வரைபடத்தின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு ஆகும், இது மரத்தின் இலைகளை ஒரு சுழற்சியில் இணைப்பதன் மூலம் ஒரு பிளானர்-உட்பொதிக்கப்பட்ட மரத்திலிருந்து (டிகிரி-இரண்டு செங்குத்துகள் இல்லாமல்) உருவாகிறது. ஹாலின் வரைபடங்களைப் பொறுத்தவரை, ஒரு சிறப்பு வகையின் பாலிஹெட்ரல் உணர்தல்களை ஒருவர் தேர்வு செய்யலாம்ஃ வெளிப்புற சுழற்சி ஒரு கிடைமட்ட குவிந்த அடிப்படை முகத்தை உருவாக்குகிறது, மேலும் ஒவ்வொரு முகமும் நேரடியாக அடிப்படை முகத்திற்கு மேலே உள்ளது (தூக்குவதன் மூலம் உணரப்பட்ட பாலிஹெட்ராவைப் போல), இந்த மேல் முகங்கள் அனைத்தும் ஒரே சாய்வைக் கொண்டுள்ளன. எந்தவொரு அடிப்படை பலகோணத்தின் மீதும் சம-சாய்வு முகங்களைக் கொண்ட பன்முக மேற்பரப்புகளை (குவிந்திருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை) பலகோணத்தின் நேரான எலும்புக்கூட்டில் இருந்து கட்டமைக்க முடியும், மேலும் இந்த உணர்வை விவரிப்பதற்கான சமமான வழி என்னவென்றால், அடி முகத்தின் மீது மரத்தின் இரு பரிமாணத் தோற்றம் அதன் நேரான எலும்புக்கூட்டை உருவாக்குகிறது. இந்த முடிவின் ஆதாரம் தூண்டலைப் பயன்படுத்துகிறதுஃ எந்த வேரூன்றிய மரமும் ஒரு உள் முனையிலிருந்து இலைகளை அகற்றுவதன் மூலம் ஒரு சிறிய மரமாக குறைக்கப்படலாம், அதன் குழந்தைகள் அனைத்தும் இலைகள், சிறிய மரத்திலிருந்து உருவாக்கப்பட்ட ஹாலின் வரைபடம் தூண்டல் கருதுகோள் மூலம் ஒரு உணர்தலைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் இந்த உணர்தலை மாற்றியமைக்க முடியும் அதன் குழந்தைகள் அகற்றப்பட்ட மர முனையில் எந்த எண்ணிக்கையிலான இலை குழந்தைகளையும் சேர்க்கும் பொருட்டு. ஒரு முகத்தின் வடிவத்தைக் குறிப்பிடுவது கொடுக்கப்பட்ட பாலிஹெட்ரல் வரைபடத்தைக் குறிக்கும் எந்தவொரு பாலிஹெட்ரானிலும், அதன் முகங்கள் சரியாக இரண்டு கூறுகளாகப் பிரிக்கப்படாத சுழற்சிகளாகும்ஃ அதாவது, முக சுழற்சியை அகற்றுவது மீதமுள்ளவற்றை இணைக்கப்பட்ட துணை வரைபடமாக விட்டு விடுகிறது. இத்தகைய சுழற்சிகள் புற சுழற்சிகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. எனவே, முகங்களின் ஒருங்கிணைந்த அமைப்பு (ஆனால் அவற்றின் வடிவியல் வடிவங்கள் அல்ல) வரைபட கட்டமைப்பிலிருந்து தனித்துவமாக தீர்மானிக்கப்படுகிறது. பார்னெட் மற்றும் க்ரூன்பாம் ஆகியோரால் ஸ்டெய்னிட்ஸின் தேற்றத்தின் மற்றொரு வலுப்படுத்தல், எந்தவொரு பன்முக வரைபடத்திற்கும், வரைபடத்தின் எந்த முகத்திற்கும், அந்த முகத்தைக் குறிக்கும் எந்தவொரு குவிந்த பலகோணத்திற்கும், நியமிக்கப்பட்ட முகத்திற்கு குறிப்பிட்ட வடிவத்தைக் கொண்ட முழு வரைபடத்தின் பன்முக உணர்தலைக் கண்டறிய முடியும் என்று கூறுகிறது. இது டுட்டேயின் ஒரு தேற்றத்துடன் தொடர்புடையது, எந்தவொரு பன்முக வரைபடத்தையும் அனைத்து முகங்கள் குவிந்த மற்றும் அதன் வெளிப்புற முகத்திற்கான எந்தவொரு குறிப்பிட்ட வடிவத்துடனும் தளத்தில் வரைய முடியும். இருப்பினும், டுட்டேவின் முறையால் தயாரிக்கப்பட்ட சமதள வரைபட வரைபடங்கள் குவிந்த பாலிஹெட்ராவுக்கு உயர்த்த வேண்டிய அவசியமில்லை. அதற்கு பதிலாக, பார்னெட் மற்றும் க்ரூன்பாம் ஒரு தூண்டல் முறையைப் பயன்படுத்தி இந்த முடிவை நிரூபிக்கின்றனர். ஒரு பாலிஹெட்ரல் வரைபடம் மற்றும் ஒரு தன்னிச்சையான சுழற்சியைக் கொடுத்தால், இணையான திட்டத்தின் கீழ் உணர்தலின் நிழற்படத்தை உருவாக்கும் ஒரு உணர்தலைக் கண்டறிவதும் எப்போதும் சாத்தியமாகும். வட்ட பொதி தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி பாலிஹெட்ராவின் உணர்தல் ஸ்டெய்னிட்ஸின் தேற்றத்தின் மற்றொரு வலுவூட்டலை வழங்குகிறதுஃ ஒவ்வொரு 3-இணைக்கப்பட்ட பிளானர் வரைபடமும் ஒரு குவிந்த பாலிஹெட்ரானாக குறிப்பிடப்படலாம், இதனால் அதன் விளிம்புகள் அனைத்தும் ஒரே அலகு கோளத்திற்கு, பாலிஹெட்ரானின் நடுக்கோளத்திற்கு தொடுகோடாக இருக்கும். கவனமாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட மோபியஸ் ஒரு வட்டம் பொதி செய்வதை ஒரு பாலிஹெட்ரானாக மாற்றுவதற்கு முன்பு மாற்றுவதன் மூலம், அடிப்படை வரைபடத்தின் அனைத்து சமச்சீர்மைகளையும் உணரும் ஒரு பாலிஹெட்ரல் உணர்தலை கண்டுபிடிக்க முடியும், ஒவ்வொரு வரைபட தானியங்கி உருமாற்றமும் பாலிஹெட்ரல் உணர்தலின் சமச்சீர் என்ற பொருளில். மேலும் பொதுவாக, ஒரு பாலிஹெட்ரல் வரைபடம் மற்றும் எந்த மென்மையான முப்பரிமாண குவிந்த உடலாக இருந்தால், அனைத்து விளிம்புகளும் தொடுகோடாக இருக்கும் ஒரு பாலிஹெட்ரல் பிரதிநிதித்துவத்தைக் கண்டறிய முடியும். வட்ட பொதி முறைகள் பாலிஹெட்ராவின் வரைபடங்களை வகைப்படுத்தவும் பயன்படுத்தப்படலாம், அவை அவற்றின் அனைத்து செங்குத்துகளிலும் ஒரு சுற்றளவு அல்லது அவற்றின் அனைத்து முகங்களுக்கும் ஒரு இன்ஸ்பியர் தொடுகோடு ஆகியவற்றைக் கொண்டுள்ளன. (ஒரு சுற்றளவு கொண்ட பாலிஹெட்ரா ஹைபர்போலிக் வடிவவியலில் சிறந்த பாலிஹெட்ராவாக குறிப்பிடத்தக்கதாகும்.) இரண்டு நிகழ்வுகளிலும், ஒரு கோளத்தின் இருப்பு என்பது வரைபடத்தின் ஒவ்வொரு விளிம்புடனும் தொடர்புடைய நேர்மறை உண்மையான மாறிகளில் நேரியல் ஏற்றத்தாழ்வுகளின் அமைப்பின் தீர்க்கக்கூடிய தன்மைக்கு சமம். இன்ஸ்பியர் விஷயத்தில், இந்த மாறிகள் வரைபடத்தின் ஒவ்வொரு முக சுழற்சியிலும் சரியாக ஒன்றாகவும், ஒவ்வொரு முகமற்ற சுழற்சியிலும் ஒன்றுக்கு மேற்பட்டதாகவும் இருக்க வேண்டும். இருபுறமும், சுற்றளவுக்கு, மாறிகள் ஒவ்வொரு முனையிலும் ஒன்றாகவும், வெட்டலின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட செங்குத்துகளுடன் ஒவ்வொரு வெட்டிலும் ஒன்றுக்கு மேற்பட்டதாகவும் இருக்க வேண்டும். பூர்த்தி செய்ய அதிவேகமாக பல நேரியல் ஏற்றத்தாழ்வுகள் இருந்தாலும், நீள்வட்ட முறையைப் பயன்படுத்தி பல்லுறுப்புக்கோவை நேரத்தில் ஒரு தீர்வை (ஒன்று இருந்தால்) காணலாம். ஒரு கரைசலில் இருந்து வரும் மாறிகளின் மதிப்புகள் ஒரு வட்டப் பொதியில் உள்ள ஜோடி வட்டங்களுக்கு இடையிலான கோணங்களைத் தீர்மானிக்கின்றன, அதனுடன் தொடர்புடைய பாலிஹெட்ரான் அதன் கோளத்துடன் விரும்பிய தொடர்பைக் கொண்டுள்ளது. தொடர்புடைய முடிவுகள் மூன்றுக்கு மேல் உள்ள எந்த பரிமாணத்திலும், அல்காரிதம் ஸ்டெய்னிட்ஸ் சிக்கல் கொடுக்கப்பட்ட லட்டிஸ் ஒரு குவிந்த பாலிடோப்பின் முக லட்டிஸ் என்பதை தீர்மானிப்பதைக் கொண்டுள்ளது. இது பல்லுறுப்புக்கோவை நேர சிக்கலைக் கொண்டிருக்க வாய்ப்பில்லை, ஏனெனில் இது NP-கடினமானது மற்றும் ரிக்டர்-கெபர்ட்டின் உலகளாவிய தேற்றத்தின் மூலம், நான்கு பரிமாண பாலிட்டோப்புகளுக்கும் கூட, யதார்த்தங்களின் இருத்தலியல் கோட்பாட்டிற்கு மிகவும் வலுவாக முழுமையானது. இங்கே, யதார்த்தங்களின் இருத்தலியல் கோட்பாடு என்பது கணக்கீட்டு சிக்கல்களின் ஒரு வகுப்பாகும், அவை கொடுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவை சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளின் அமைப்பை திருப்திப்படுத்தும் உண்மையான மாறிகளைக் கண்டுபிடிப்பதன் அடிப்படையில் வடிவமைக்கப்படலாம். வழிமுறை ஸ்டெய்னிட்ஸ் சிக்கலைப் பொறுத்தவரை, அத்தகைய சிக்கலின் மாறிகள் ஒரு பாலிடோப்பின் உச்சி ஆயத்தொகுதிகளாக இருக்கலாம், மேலும் கொடுக்கப்பட்ட முக ஜன்னலில் உள்ள ஒவ்வொரு முகத்தின் தட்டையான தன்மையையும் முகங்களுக்கிடையே உள்ள ஒவ்வொரு கோணத்தின் குவிந்த தன்மையையும் குறிப்பிட சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளைப் பயன்படுத்தலாம். முழுமை என்பது இந்த வகுப்பில் உள்ள ஒவ்வொரு சிக்கலையும் பல்லுறுப்புக்கோவை நேரத்தில் வழிமுறை ஸ்டெய்னிட்ஸ் சிக்கலுக்கு சமமான நிகழ்வாக மாற்ற முடியும் என்பதாகும். அத்தகைய மாற்றத்தின் இருப்பு, வழிமுறை ஸ்டெய்னிட்ஸ் சிக்கலுக்கு ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை நேர தீர்வு இருந்தால், உண்மையான இருப்பு கோட்பாட்டில் உள்ள ஒவ்வொரு சிக்கலும், NP இல் உள்ள ஒவ்வொரு சிக்கலும் அவ்வாறு செய்கிறது என்பதைக் குறிக்கிறது. இருப்பினும், கொடுக்கப்பட்ட வரைபடம் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட முக ஜன்னல்களுடன் ஒத்திருப்பதால், இந்த முழுமையான முடிவை 4-பாலிட்டோப்புகளின் வரைபடங்களை அங்கீகரிக்கும் சிக்கலுக்கு நீட்டிக்க கடினமாக உள்ளது. இந்த வரைபட அங்கீகார சிக்கலின் கணக்கீட்டு சிக்கலைத் தீர்மானிப்பது திறந்த நிலையில் உள்ளது. முப்பரிமாண அல்லாத குவிந்த பாலிஹெட்ரா மற்றும் நான்கு பரிமாண குவிந்த பாலிட்டோப்புகளின் சில சிறப்பு வகுப்புகளின் வரைபடங்களின் வரைபட-கோட்பாட்டு குணாதிசயங்களையும் ஆராய்ச்சியாளர்கள் கண்டறிந்துள்ளனர். இருப்பினும், இரண்டு நிகழ்வுகளிலும், பொதுவான பிரச்சினை தீர்க்கப்படாமல் உள்ளது. உண்மையில், எந்த முழுமையான வரைபடங்கள் கன்வெக்ஸ் அல்லாத பாலிஹெட்ராவின் வரைபடங்கள் என்பதை தீர்மானிப்பதில் உள்ள சிக்கல் கூட (டெட்ராஹெட்ரான் மற்றும் சாஸ்ஸர் பாலிஹெட்ரானைத் தவிர) தீர்க்கப்படாமல் உள்ளது. எபர்ஹார்டின் தேற்றம் ஒரு குவிந்த பாலிஹெட்ரானின் முகங்களை உருவாக்க இணைக்கக்கூடிய பலகோணங்களின் பல தொகுப்புகளை ஓரளவு வகைப்படுத்துகிறது. கொடுக்கப்பட்ட பலகோண முகங்களின் தொகுப்புடன் 3-இணைக்கப்பட்ட சமதள வரைபடத்தை உருவாக்குவதன் மூலமும், பின்னர் அந்த வரைபடத்தின் பன்முக உணர்தலைக் கண்டறிய ஸ்டெய்னிட்ஸின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலமும் இதை நிரூபிக்க முடியும். அதே வரைபடங்களின் கொலின் டி வெர்டியர் வரைபட மாறிலிகளை உணர்ந்து வரைபடங்கள் மற்றும் மேட்ரிக்ஸின் பன்முக பிரதிநிதித்துவங்களுக்கு இடையிலான தொடர்பை லாஸ்லோ லோவாஸ் காட்டியுள்ளார். பாலிஹெட்ரல் வரைபடங்களுக்கு பொருத்தமற்ற சில கூடுதல் நிபந்தனைகளின் கீழ், கோலின் டி வெர்டியர் மாறாதது வரைபடத்தின் எடையுள்ள அருகாமை மேட்ரிக்ஸின் அதிகபட்ச கொராங்க் ஆகும். இவை செங்குத்துகளால் குறியிடப்பட்ட சதுர சமச்சீர் மேட்ரிக்ஸ்கள், மூலைவிட்டக் குணகத்தில் உச்சியின் எடை மற்றும் மூலைவிட்டக் குணகங்களில் விளிம்பின் எடை மற்றும். செங்குத்துகள் மற்றும் அருகில் இல்லாதபோது, குணகம் பூஜ்ஜியமாக இருக்க வேண்டும். வரைபடம் ஒரு சமதள வரைபடமாக இருந்தால் மட்டுமே இந்த மாறாதது அதிகபட்சம் மூன்று ஆகும். லோவாஸ் காட்டுவது போல், வரைபடம் பாலிஹெட்ரலாக இருக்கும்போது, கொராங்க் மூன்றின் எடையுள்ள அருகாமை மேட்ரிக்ஸைக் கண்டுபிடிப்பதன் மூலமும், அதன் பூஜ்ய இடத்திற்கு ஒரு அடிப்படையை உருவாக்கும் மூன்று திசையன்களைக் கண்டுபிடிப்பதன் மூலமும், இந்த திசையன்களின் குணகங்களைப் பயன்படுத்துவதன் மூலமும் அதை ஒரு பாலிஹெட்ரான் என்று பிரதிநிதித்துவப்படுத்தலாம். ஸ்டெய்னிட்ஸ் தேற்றத்தின் வரலாறு விவரிக்கப்பட்டுள்ளது, அவர் முதலில் 1916 இல் எழுதப்பட்ட எர்ன்ஸ்ட் ஸ்டெய்னிட்ஸ் வெளியீட்டில் ஒரு மறைமுக வடிவத்தில் அதன் முதல் தோற்றத்தைக் குறிப்பிடுகிறார். ஸ்டெய்னிட்ஸ் தனது 1928 மரணத்திற்குப் பிறகு வெளியிடப்பட்ட பிற்கால விரிவுரைக் குறிப்புகளில் கூடுதல் விவரங்களை வழங்கினார். ஸ்டெய்னிட்ஸ் தேற்றத்தின் நவீன சிகிச்சைகள் இதை பாலிஹெட்ராவின் வரைபட-கோட்பாட்டு தன்மை என்று கூறினாலும், ஸ்டெய்னிட்ஸ் வரைபடங்களின் மொழியைப் பயன்படுத்தவில்லை. தேற்றத்தின் வரைபட-கோட்பாட்டு உருவாக்கம் 1960 களின் முற்பகுதியில் பிராங்கோ க்ரூன்பாம் மற்றும் தியோடர் மோட்ஸ்கின் ஆகியோரால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது, அதன் ஆதாரம் க்ரூன்பாமின் 1967 உரை கான்வெக்ஸ் பாலிடோப்ஸில் வரைபடக் கோட்பாடாக மாற்றப்பட்டது. ஸ்டெய்னிட்ஸின் ஆதாரத்தை வலுப்படுத்தும் α-Y மற்றும் Y-α உருமாற்றங்கள் குறித்த எபிஃபானோவின் பணி, பாலிஹெட்ராவின் குணாதிசயத்தைத் தவிர மற்ற சிக்கல்களால் உந்தப்பட்டது. ஸ்டெய்னிட்ஸ் தேற்றத்திற்கு இந்த படைப்பின் பொருத்தத்தைக் கவனித்ததற்காக க்ரூன்பாம் பாராட்டுகிறார். அழுத்த வரைபடங்கள் மற்றும் பாலிஹெட்ரல் லிப்டிங் ஆகியவற்றுக்கு இடையிலான மேக்ஸ்வெல்-கிரெமோனா தொடர்பு 1864 முதல் 1870 வரை ஜேம்ஸ் கிளார்க் மேக்ஸ்வெல் என்பவரால் தொடர்ச்சியான ஆவணங்களில் உருவாக்கப்பட்டது, இது பியர் வரிக்னான், வில்லியம் ராங்கின் மற்றும் பிறரின் முந்தைய படைப்புகளை அடிப்படையாகக் கொண்டது, மேலும் 19 ஆம் நூற்றாண்டின் பிற்பகுதியில் லுய்கி கிரெமோனாவால் பிரபலப்படுத்தப்பட்டது. ஸ்டெய்னிட்ஸின் தேற்றத்தை நிரூபிக்க டூட்டே உட்பொதிப்புடன் இந்த கடிதத்தைப் பயன்படுத்தலாம் என்ற அவதானிப்பு இதிலிருந்து வருகிறது; மேலும் காண்க. வட்டம் பொதி செய்யும் தேற்றம் 1936 இல் பால் கோய்பேயாலும் (சுயாதீனமாக) 1970 இல் ஈ. எம். ஆண்ட்ரீவாலும் நிரூபிக்கப்பட்டது; இது 1980 களின் நடுப்பகுதியில் வில்லியம் தர்ஸ்டனால் பிரபலப்படுத்தப்பட்டது, அவர் (கோய்பே மற்றும் ஆண்ட்ரீவை மேற்கோள் காட்டிய போதிலும்) அதன் கண்டுபிடிப்பாளர்களில் ஒருவராக பெரும்பாலும் பாராட்டப்படுகிறார். ஆண்ட்ரீவின் தேற்றத்தின் பதிப்பு ஏற்கனவே ஹைபர்போலிக் இடத்தில் சில பாலிஹெட்ராவுக்கான ஸ்டெய்னிட்ஸ் போன்ற குணாதிசயமாக வடிவமைக்கப்பட்டது, மேலும் நடுக்கோளங்களுடன் பாலிஹெட்ராவை உணர வட்ட பொதி பயன்படுத்துவது தர்ஸ்டனின் படைப்புகளிலிருந்து வருகிறது. பொறிக்கப்பட்ட அல்லது சுற்றப்பட்ட கோளங்களுடன் பாலிஹெட்ராவை வகைப்படுத்தும் சிக்கல், இறுதியில் வட்ட பொதி உணர்தல்களை அடிப்படையாகக் கொண்ட ஒரு முறையைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கப்பட்டது, சுமார் 1630 இல் ரெனே டெஸ்கார்ட்ஸ் மற்றும் 1832 இல் ஜாகோப் ஸ்டெய்னரின் வெளியிடப்படாத படைப்புகளுக்குச் செல்கிறது; ஒரு சுற்றளவு அல்லது கோளத்துடன் உணர்தல் இல்லாத பாலிஹெட்ராவின் முதல் எடுத்துக்காட்டுகள் 1928 இல் ஸ்டெய்னிட்ஸால் வழங்கப்பட்டன. குறிப்புகள் பிளானர் வரைபடங்கள் வடிவியல் வரைபடக் கோட்பாடு பாலிஹெட்ரல் காம்பினடோரிக்ஸ் வரைபடக் கோட்பாட்டில் தேற்றம் தனித்துவமான வடிவவியலில் தேற்றம்