Proebsting's paradox
நிகழ்தகவுக் கோட்பாட்டில், ப்ரோப்ஸ்டிங்கின் முரண்பாடு என்பது கெல்லி அளவுகோல் அழிவுக்கு வழிவகுக்கும் என்பதைக் காட்டும் ஒரு வாதமாகும். இதை கணித ரீதியாக தீர்க்க முடியும் என்றாலும், இது கெல்லியின் நடைமுறை பயன்பாடு, குறிப்பாக முதலீட்டில் சில சுவாரஸ்யமான சிக்கல்களை எழுப்புகிறது. இது 2008 ஆம் ஆண்டில் எட்வர்ட் ஓ. தோர்ப் என்பவரால் பெயரிடப்பட்டு முதன்முதலில் விவாதிக்கப்பட்டது. முரண்பாடு அதன் படைப்பாளரான டாட் ப்ரோப்ஸ்டிங்கின் பெயரால் பெயரிடப்பட்டது. முரண்பாட்டின் அறிக்கை ஒரு பந்தயம் சமமாக வெற்றி பெறவோ அல்லது இழக்கவோ வாய்ப்பிருந்தால், மற்றும் ஒரு வெற்றிக்கான பங்கை இரு மடங்கு செலுத்துகிறது என்றால், கெல்லி பந்தயம்ஃ மடங்கு செல்வம். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு 50/50 பந்தயம் 2 முதல் 1 வரை செலுத்துகிறது என்றால், கெல்லி 25 சதவீத செல்வத்தை பந்தயம் கட்டுவதாகக் கூறுகிறார். ஒரு 50/50 பந்தயம் 5 முதல் 1 வரை செலுத்துகிறது என்றால், கெல்லி 40 சதவீத செல்வத்தை பந்தயம் கட்டுவதாக கூறுகிறார். இப்போது ஒரு சூதாட்டக்காரருக்கு 2 முதல் 1 பணம் செலுத்துதல் மற்றும் 25 சதவீதம் சவால் வழங்கப்படுகிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம். புதிய பந்தயங்களுக்கான பணம் 5 முதல் 1 ஆக மாறினால் அவர் என்ன செய்ய வேண்டும்? அவர் f * ஐ அதிகப்படுத்த தேர்வு செய்ய வேண்டும்ஃ ஏனென்றால் அவர் வெற்றி பெற்றால் அவருக்கு 1.5 இருக்கும் (25 சதவீத பந்தயத்தை 2 முதல் 1 முரண்பாடுகளில் வெல்வதிலிருந்து 0.5) மேலும் 5f *; அவர் தோற்றால் அவர் முதல் பந்தயத்திலிருந்து 0.25 செலுத்த வேண்டும், இரண்டாவது பந்தயத்திலிருந்து f * செலுத்த வேண்டும். f * ஐப் பொறுத்தவரை வழித்தோன்றலை எடுத்து அதை பூஜ்ஜியமாக அமைப்பது பின்வருவனவற்றை வழங்குகிறதுஃ இதை மீண்டும் எழுதலாம்ஃ எனவே f * = 0.225. முரண்பாடு என்னவென்றால், ஆரம்பத்தில் இருந்தே 5 முதல் 1 முரண்பாடுகள் வழங்கப்பட்டால், மொத்த பந்தயம், 0.25 + 0.225 = 0.475,0 கெல்லி பந்தயத்தை விட பெரியது. சில பந்தயங்கள் சாதகமற்ற முரண்பாடுகளில் இருக்கும்போது நீங்கள் அதிக பந்தயம் கட்டுவது எதிர்மறையாக இருக்கிறது. டாட் ப்ரோப்ஸ்டிங் இதைப் பற்றி கேட்டு எட் தோர்புக்கு மின்னஞ்சல் அனுப்பினார். கெல்லி பந்தயம் கட்டுபவருக்கு அழிக்கப்படுவதற்கான பூஜ்ஜியமற்ற நிகழ்தகவை வழங்க இந்த யோசனையை நீட்டிக்க முடியும் என்பதை எட் தோர்ப் உணர்ந்தார். ஒரு சூதாட்டக்காரருக்கு 2 முதல் 1 முரண்பாடுகள் வழங்கப்பட்டால், பின்னர் 4 முதல் 1 வரை, பின்னர் 8 முதல் 1 வரை மற்றும் பல (n = 1 முதல் முடிவிலிக்கு 2n முதல் 1 வரை) கெல்லி பந்தயம் கட்ட கூறுகிறார்ஃ ஒவ்வொரு முறையும். இந்த அனைத்து பந்தயங்களின் கூட்டுத்தொகையும் 1 ஆகும். எனவே ஒரு கெல்லி சூதாட்டக்காரர் தனது முழு செல்வத்தையும் இழக்க 50 சதவீதம் வாய்ப்பு உள்ளது. பொதுவாக, ஒரு பந்தயம் கட்டுபவர் கெல்லியை ஒரு 50/50 முன்மொழிவில் b1 செலுத்துதலுடன் பந்தயம் கட்டி, பின்னர் b2 வழங்கப்பட்டால், அவர் மொத்தம் பந்தயம் கட்டுவார்ஃ ஆரம்பத்தில் b2 வழங்கப்பட்டால் பந்தயம் கட்டுபவர் பந்தயம் கட்டுவார். எஃப் 2> எஃப் 1 என்றால் இரண்டாவது பதவிக்காலம் நேர்மறையானது, அதாவது பணம் செலுத்துதல் மேம்பட்டால், கெல்லி பந்தயம் கட்டுபவர் இரண்டாவது செலுத்துதலை வழங்கினால் அவர் செய்வதை விட அதிகமாக பந்தயம் கட்டுவார், அதே நேரத்தில் பணம் செலுத்துதல் மோசமாகினால் அவர் இரண்டாவது செலுத்துதலை மட்டுமே வழங்கினால் அவர் செய்வதை விட குறைவாக பந்தயம் கட்டுவார். நடைமுறை பயன்பாடு பல பந்தயங்கள் முடிவு தீர்மானிக்கப்படுவதற்கு முன்பு கொடுப்பனவுகள் மற்றும் நிகழ்தகவுகள் மாறக்கூடும் என்ற அம்சத்தைக் கொண்டுள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக, விளையாட்டு பந்தயத்தில், நிகழ்வு நடைபெறுவதற்கு முன்பு வரிசை பல முறை மாறக்கூடும், மேலும் செய்தி வெளிவரலாம் (காயம் அல்லது வானிலை முன்னறிவிப்பு போன்றவை) இது ஒரு முடிவின் நிகழ்தகவை மாற்றுகிறது. முதலீட்டில், முதலில் ஒரு பங்குக்கு $20 என்ற விலையில் வாங்கப்பட்ட ஒரு பங்கு இப்போது $10 அல்லது $30 அல்லது வேறு எந்த விலையிலும் கிடைக்கக்கூடும். சில விளையாட்டு பந்தய வீரர்கள் நிகழ்வு முடிவுகளை கணிப்பதை விட வரி மாற்றங்களை எதிர்பார்ப்பதன் மூலம் வருமானம் ஈட்ட முயற்சிக்கின்றனர். சில வர்த்தகர்கள் ஒரு பத்திரத்தின் நீண்டகால அடிப்படை வாய்ப்புகளை விட குறுகிய கால விலை நகர்வுகளில் கவனம் செலுத்துகிறார்கள். ஒரு உன்னதமான முதலீட்டு உதாரணம், வெளிப்பாடு வரம்புகளைக் கொண்ட ஒரு வர்த்தகர், எந்த ஒரு பங்கிலும் $1 மில்லியனுக்கும் அதிகமான ஆபத்தை வைத்திருக்க அனுமதிக்கப்படவில்லை என்று கூறுகிறார். அவர் ஒரு மில்லியன் டாலருக்கு மேல் இழக்க முடியாது என்று அர்த்தமல்ல. அவர் பங்குகளில் 1 மில்லியன் டாலர்களை 20 டாலருக்கு வாங்கி, அது 10 டாலருக்குச் சென்றால், அவர் மேலும் 500,000 டாலர்களை வாங்க முடியும். அது $5 க்குச் சென்றால், அவர் மேலும் $500,000 வாங்க முடியும். அது பூஜ்ஜியத்திற்குச் சென்றால், அவர் ஒருபோதும் $1 மில்லியனுக்கும் அதிகமான ஆபத்தில் இல்லாவிட்டாலும், எல்லையற்ற தொகையை இழக்க நேரிடும். தீர்வு எந்த முரண்பாடும் இல்லை. கெல்லியின் அளவுகோல் எதிர்பார்க்கப்படும் வளர்ச்சி விகிதத்தை அதிகரிப்பதாகும்; கட்டுப்படுத்தப்பட்ட நிலைமைகளின் கீழ் மட்டுமே இது பதிவை அதிகரிப்பதற்கு ஒத்திருக்கிறது. முரண்பாட்டை நிராகரிப்பதற்கான ஒரு எளிதான வழி, நிகழ்தகவுகள் மாறாது என்று கெல்லி கருதுகிறார் என்பதைக் குறிப்பிடுவதாகும். முரண்பாடுகள் மாறக்கூடும் என்று அறிந்த ஒரு கெல்லி பந்தயம் கட்டுபவர் இதை மிகவும் சிக்கலான கெல்லி பந்தயமாக மாற்றலாம். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு கெல்லி பந்தயக்காரருக்கு 2 முதல் 1 என்ற வித்தியாசத்தில் ஒரு 50/50 முன்மொழிவை பந்தயம் கட்ட ஒரு முறை வாய்ப்பு வழங்கப்படுகிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம். 5 முதல் 1 வரை இரண்டாவது ஒரு முறை வாய்ப்பு வழங்கப்படுவதற்கு 50 சதவீதம் வாய்ப்பு உள்ளது என்பது அவருக்குத் தெரியும். இப்போது அவர் அதிகரிக்க வேண்டும்ஃ f1 மற்றும் f2 இரண்டையும் பொறுத்தவரை. பதில் 2 முதல் 1 வரை பூஜ்ஜிய பந்தயம் என்று மாறிவிடும், மேலும் 5 முதல் 1 வரை பந்தயம் கட்டும் வாய்ப்புக்காக காத்திருங்கள், இந்த விஷயத்தில் நீங்கள் 40 சதவீத செல்வத்தை பந்தயம் கட்டுகிறீர்கள். 5 முதல் 1 முரண்பாடுகள் வழங்கப்படுவதற்கான நிகழ்தகவு 50 சதவீதத்திற்கும் குறைவாக இருந்தால், பூஜ்ஜியத்திற்கும் 25 சதவீதத்திற்கும் இடையிலான சில தொகை 2 முதல் 1 வரை பந்தயம் கட்டப்படும். 5 முதல் 1 முரண்பாடுகள் வழங்கப்படும் நிகழ்தகவு 50 சதவீதத்திற்கும் அதிகமாக இருந்தால், கெல்லி பந்தயம் கட்டுபவர் உண்மையில் 2 முதல் 1 முரண்பாடுகளில் எதிர்மறையான பந்தயம் கட்டுவார் (அதாவது, அவர் வெற்றி பெற்றால் 1/2 செலுத்தும் மற்றும் அவர் தோற்றால் 1 செலுத்தும்). எந்தவொரு சந்தர்ப்பத்திலும், 5 முதல் 1 முரண்பாடுகளில் அவரது பந்தயம், வாய்ப்பு வழங்கப்பட்டால், 40 சதவீதம் கழித்தல் 0.7 மடங்கு அவரது 2 முதல் 1 பந்தயம். முரண்பாடு என்னவென்றால், அடிப்படையில், ஒரு கெல்லி பந்தயம் கட்டுபவருக்கு எதிர்கால பந்தயங்கள் என்ன வழங்கப்படலாம் என்பது குறித்து தவறான நம்பிக்கைகள் இருந்தால், அவர் குறைந்த விருப்பத் தேர்வுகளைச் செய்யலாம், மேலும் உடைந்து போகலாம். கெல்லி அளவுகோல் நீண்ட காலத்திற்கு எந்தவொரு அடிப்படையில் வேறுபட்ட மூலோபாயத்தையும் விட சிறப்பாக செயல்பட வேண்டும் மற்றும் அழிவுக்கான பூஜ்ஜிய வாய்ப்பு உள்ளது, பந்தயம் கட்டுபவர் சாத்தியக்கூறுகள் மற்றும் கொடுப்பனவுகளை அறிந்திருக்கும் வரை. ஆரோன் பிரவுன் இந்த பிரச்சினையை சுயாதீனமாக பரிசீலித்ததன் மூலம் பிரச்சினைகள் குறித்து மேலும் வெளிச்சம் போடப்பட்டது, மேலும் மின்னஞ்சல் மூலம் எட் தோர்புடன் தொடர்பு கொள்ளப்பட்டது. இந்த சூத்திரத்தில், பந்தயம் கட்டுபவர் முதலில் ஆரம்ப பந்தயத்தை விற்கிறார், பின்னர் இரண்டாவது செலுத்துதலில் ஒரு புதிய பந்தயம் கட்டுகிறார். இந்த வழக்கில் அவரது மொத்த பந்தயம்ஃ இது புரோப்ஸ்டிங் சூத்திரத்திற்கான மேலே உள்ள சூத்திரத்திற்கு மிகவும் ஒத்ததாகத் தெரிகிறது, இரண்டாவது பதத்தில் அடையாளம் தலைகீழாக மாறி, அது கூடுதல் பதத்தால் பெருக்கப்படுகிறது என்பதைத் தவிர. எடுத்துக்காட்டாக, 2 முதல் 1 செலுத்துதல் மற்றும் 5 முதல் 1 செலுத்துதல் ஆகியவற்றின் அசல் உதாரணத்தைக் கொடுத்தால், இந்த சூத்திரத்தில் பந்தயம் கட்டுபவர் முதலில் 25 சதவீத செல்வத்தை 2 முதல் 1 வரை பந்தயம் கட்டுகிறார். 5 முதல் 1 செலுத்துதல் வழங்கப்படும் போது, பந்தயம் கட்டுபவர் 0.125 இழப்புக்கு அசல் பந்தயத்தை விற்கலாம். அவரது 2 முதல் 1 பந்தயம் அவர் வெற்றி பெற்றால் 0.5 செலுத்துகிறது மற்றும் அவர் தோற்றால் 0.25 செலவாகும். புதிய 5 முதல் 1 செலுத்துதலில், அவர் வெற்றி பெற்றால் 0.625 செலுத்தும் ஒரு பந்தயத்தைப் பெறலாம், மேலும் அவர் தோற்றால் 0.125 செலவாகும், இது இரு மாநிலங்களிலும் அவரது அசல் பந்தயத்தை விட 0.125 சிறந்தது. எனவே அவரது அசல் பந்தயம் இப்போது-0.125 மதிப்பைக் கொண்டுள்ளது. அவரது புதிய செல்வ மட்டமான 0.875 ஐப் பொறுத்தவரை, அவரது 40 சதவீத பந்தயம் (5 முதல் 1 செலுத்துதலுக்கான கெல்லி தொகை) 0.35 ஆகும். இரண்டு சூத்திரங்களும் சமமானவை. அசல் சூத்திரத்தில், பந்தயம் கட்டுபவர் 2 முதல் 1 வரை 0.25 பந்தயத்தையும், 5 முதல் 1 வரை 0.225 பந்தயத்தையும் வைத்திருக்கிறார். அவர் வெற்றி பெற்றால், அவருக்கு 2.625 கிடைக்கும், அவர் தோற்றால் அவருக்கு 0.525 கிடைக்கும். இரண்டாவது சூத்திரத்தில், பந்தயம் கட்டுபவர் 0.875 மற்றும் 0.35 பந்தயம் 5 முதல் 1 வரை உள்ளது. அவர் வெற்றி பெற்றால், அவருக்கு 2.625 கிடைக்கும், அவர் தோற்றால் அவருக்கு 0.525 கிடைக்கும். இரண்டாவது சூத்திரம், புதிய பணம் செலுத்துதல் வழங்கப்படும் போது முதலீட்டாளர் அனுபவிக்கும் சந்தை இழப்பின் விளைவாக நடத்தையில் மாற்றம் ஏற்படுகிறது என்பதை தெளிவுபடுத்துகிறது. இது நிதியில் சிந்திக்க ஒரு இயற்கையான வழி, ஒரு சூதாட்டக்காரருக்கு குறைவான இயல்பானது. இந்த விளக்கத்தில், வரம்பற்ற இரட்டை கொடுப்பனவுகளின் தொடர் கெல்லி பந்தயம் கட்டுபவரை அதிகப்படியான சூதாட்டத்திற்கு வற்புறுத்துவதன் மூலம் அழிக்காது, அது அவரது கட்டுப்பாட்டிற்கு அப்பாற்பட்ட மாற்றங்களின் மூலம் அவரது அனைத்து செல்வத்தையும் பிரித்தெடுக்கிறது. குறிப்புகள் சூதாட்ட கணித தகவல் கோட்பாடு புள்ளியியல் முரண்பாடுகள் பயன்பாட்டுக் கோட்பாட்டில் முரண்பாடுகள்