Oseen equations
1910 ஆம் ஆண்டில் கார்ல் வில்ஹெல்ம் ஓசீன் வகுத்தபடி, திரவ இயக்கவியலில், ஓசீன் சமன்பாடுகள் (அல்லது ஓசீன் ஓட்டம்) சிறிய ரெனால்ட்ஸ் எண்களில் பிசுபிசுப்பு மற்றும் சுருக்க முடியாத திரவத்தின் ஓட்டத்தை விவரிக்கின்றன. ஸ்டோக்ஸ் ஓட்டத்துடன் ஒப்பிடும்போது, வெப்பச்சலன முடுக்கத்தின் (பகுதி) சேர்ப்புடன், இந்த ஓட்டங்களின் மேம்பட்ட விளக்கமாக ஓசின் ஓட்டம் உள்ளது. ஓசீனின் பணி ஜி. ஜி. யின் சோதனைகளை அடிப்படையாகக் கொண்டது. ஸ்டோக்ஸ், ஒரு பிசுபிசுப்பு திரவத்தின் வழியாக ஒரு கோளத்தின் வீழ்ச்சியைப் படித்தவர். ஸ்டோக்ஸின் முரண்பாடு என்று அழைக்கப்படும் சிக்கலைத் தீர்க்க, ஸ்டோக்ஸின் கணக்கீடுகளில் பயன்படுத்தப்படும் ஓட்ட வேகத்திற்கு, மந்தமான காரணிகளை உள்ளடக்கிய ஒரு திருத்தச் சொல்லை அவர் உருவாக்கினார். அவரது தோராயமானது ஸ்டோக்ஸின் கணக்கீடுகளில் முன்னேற்றத்திற்கு வழிவகுக்கிறது. சமன்பாடுகள் ஓசின் சமன்பாடுகள், ஒரு பொருள் திரவத்தின் வழியாக நிலையான ஓட்ட வேகத்துடன் U நகரும் போது-இது பொருளிலிருந்து வெகு தொலைவில் உள்ளது-மற்றும் பொருளுடன் இணைக்கப்பட்ட குறிப்பு சட்டகத்தில்ஃ இங்கு u என்பது நகரும் பொருளால் தூண்டப்பட்ட ஓட்ட வேகத்தில் இடையூறு, அதாவது. பொருளுடன் நகரும் குறிப்பு சட்டகத்தின் மொத்த ஓட்ட வேகம் −U + u, p என்பது அழுத்தம், ρ என்பது திரவத்தின் அடர்த்தி, μ என்பது மாறும் பாகுத்தன்மை, ρ என்பது சாய்வு ஆபரேட்டர் மற்றும் ρ2 என்பது லாப்லேஸ் ஆபரேட்டர் ஆகும். ஒரு கடினமான பொருளைச் சுற்றி ஓசீன் ஓட்டத்திற்கான எல்லை நிபந்தனைகள் பின்வருமாறுஃ பொருளின் மையத்திலிருந்து r தூரத்துடன், மற்றும் p ≤ பொருளிலிருந்து தொலைதூரத்தில் உள்ள இடையூறு இல்லாத அழுத்தம். நீளமான மற்றும் குறுக்குவெட்டு அலைகள் ஓசனின் சமன்பாட்டின் ஒரு அடிப்படை பண்பு என்னவென்றால், பொதுவான தீர்வை நீளமான மற்றும் குறுக்குவெட்டு அலைகளாகப் பிரிக்கலாம். திசைவேகம் சுழற்சியற்றதாக இருந்தால் ஒரு தீர்வு ஒரு நீளமான அலை, எனவே பிசுபிசுப்பு சொல் வெளியேறுகிறது. இதன் விளைவாக, வேகம் சாத்தியக் கோட்பாட்டிலிருந்து பெறப்படுகிறது மற்றும் அழுத்தம் நேரியல் பெர்னோலியின் சமன்பாடுகளிலிருந்து பெறப்படுகிறது. அழுத்தம் ஒரே மாதிரியாக பூஜ்ஜியமாகவும், திசைவேக புலம் சோலெனாய்டலாகவும் இருந்தால் ஒரு தீர்வு ஒரு குறுக்குவெட்டு அலை ஆகும். சமன்பாடுகள் பின்னர் முழுமையான ஓசன் தீர்வு ஹொரேஸ் லாம்ப் காரணமாக ஒரு பிளவு தேற்றத்தால் வழங்கப்படுகிறது. முடிவிலியில் உள்ள நிபந்தனைகள் (சொல்லுங்கள்) குறிப்பிடப்பட்டால் பிளவு தனித்துவமானது. சில ஓசின் ஓட்டங்களுக்கு, குறுக்குவெட்டு அலைகளை இர்ரோட்டேஷனல் மற்றும் சுழற்சி கூறுகளாக மேலும் பிரிப்பது சாத்தியமாகும், இது முடிவிலியில் திருப்தி அடைந்து மறைந்துவிடும் அளவிடுதல் செயல்பாடாக இருக்கட்டும், அதற்கு நேர்மாறாக கொடுக்கப்படட்டும், பின்னர் குறுக்குவெட்டு அலை எங்கிருந்து தீர்மானிக்கப்படுகிறது மற்றும் அலகு திசையன் ஆகும். இரண்டும் அல்லது தானாகவே குறுக்குவெட்டு அல்ல, ஆனால் குறுக்குவெட்டு ஆகும். எனவே, ஒரே சுழற்சி கூறு இருப்பது. அடிப்படை தீர்வுகள் ஒரு ஓசீன் ஓட்டத்தில் உட்பொதிக்கப்பட்ட ஒரு ஒற்றை புள்ளி விசை காரணமாக அடிப்படை தீர்வு ஓசீன்லெட் ஆகும். தன்னிச்சையான நேரத்தை சார்ந்த மொழிபெயர்ப்பு மற்றும் சுழற்சி இயக்கங்களுடன் தொடர்புடைய பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட நிலையற்ற ஸ்டோக்ஸ் மற்றும் ஓசீன் ஓட்டங்களுக்கான மூடிய வடிவ அடிப்படை தீர்வுகள் நியூட்டனின் மற்றும் மைக்ரோபோலார் திரவங்களுக்கு பெறப்பட்டுள்ளன. ஓசன் சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தி, ஹொரேஸ் லாம்ப் 1911 ஆம் ஆண்டில் ஒரு கோளத்தைச் சுற்றியுள்ள பிசுபிசுப்பு ஓட்டத்திற்கான மேம்பட்ட வெளிப்பாடுகளைப் பெற முடிந்தது, இது ஸ்டோக்ஸ் விதியை ஓரளவு அதிக ரெனால்ட்ஸ் எண்களை நோக்கி மேம்படுத்தியது. மேலும், ஆட்டுக்குட்டி-முதல் முறையாக-ஒரு வட்ட உருளைச் சுற்றியுள்ள பிசுபிசுப்பு ஓட்டத்திற்கான ஒரு தீர்வைப் பெற்றது. வெளிப்புற எல்லைகள் இல்லாதபோது ஒரு ஒற்றை விசையின் பதிலுக்கான தீர்வு இவ்வாறு எழுதப்பட வேண்டும், ஒரு புள்ளியில் செறிவூட்டப்பட்ட ஒரு ஒற்றை விசை மற்றும் ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளி மற்றும் கொடுக்கப்பட்ட திசையன், இது ஒருமை விசையின் திசையை அளிக்கிறது, பின்னர் எல்லைகள் இல்லாத நிலையில், திசைவேகமும் அழுத்தமும் அடிப்படை டென்சர் மற்றும் அடிப்படை திசையனிடமிருந்து பெறப்படுகிறது. தோற்றத்தில் எடுக்கப்பட்ட பொதுவான தன்மையை இழக்காமல் இரு பரிமாணம் மற்றும். பின்னர் அடிப்படை டென்சர் மற்றும் வெக்டர் ஆகியவை இரண்டாவது வகையான வரிசை பூஜ்ஜியத்தின் மாற்றியமைக்கப்பட்ட பெசல் செயல்பாடு எங்கே. தோற்றத்தில் எடுக்கப்பட்ட பொதுவான தன்மையை இழக்காமல் முப்பரிமாணம் மற்றும். பின்னர் அடிப்படை இழுவிசை மற்றும் திசையன் கணக்கீடுகள் ஓசீன் கோளத்தை நிலையானதாகவும், திரவம் கோளத்திலிருந்து எல்லையற்ற தூரத்தில் ஒரு ஓட்ட வேகத்துடன் () பாய்வதாகவும் கருதுகிறது. ஸ்டோக்ஸின் கணக்கீடுகளில் மந்தமான சொற்கள் புறக்கணிக்கப்பட்டன. ரெனால்ட்ஸ் எண் பூஜ்ஜியத்திற்குச் செல்லும்போது இது ஒரு வரம்புக்குட்பட்ட தீர்வாகும். 0. 1 போன்ற ரெனால்ட்ஸ் எண் சிறியதாகவும் வரையறுக்கப்பட்டதாகவும் இருக்கும்போது, மந்தநிலை காலத்திற்கான திருத்தம் தேவைப்படுகிறது. ஓசீன் பின்வரும் ஓட்ட திசைவேக மதிப்புகளை நேவியர்-ஸ்டோக்ஸ் சமன்பாடுகளில் மாற்றினார். நேவியர்-ஸ்டோக்ஸ் சமன்பாடுகளில் இவற்றைச் செருகுவதும், முதன்மையான அளவுகளில் இருபடி சொற்களைப் புறக்கணிப்பதும் ஓசீனின் தோராயத்தின் வழித்தோன்றலுக்கு வழிவகுக்கிறதுஃ இயக்கம் அச்சைப் பொறுத்தவரை சமச்சீராக இருப்பதால், வோர்டிஸிட்டி திசையனின் வேறுபாடு எப்போதும் பூஜ்ஜியமாக இருப்பதால் நாம் பெறுகிறோம்ஃ பொருத்தமான செயல்பாட்டைச் சேர்ப்பதன் மூலம் செயல்பாட்டை அகற்ற முடியும், இது வோர்டிஸிட்டி செயல்பாடு, முந்தைய செயல்பாட்டை இவ்வாறு எழுதலாம்ஃ மேலும் சில ஒருங்கிணைப்பின் மூலம் தீர்வு பின்வருமாறுஃ இதனால் அது உருவாக்கும் "சலுகை பெற்ற திசையாக" இருக்கட்டும்ஃ பின்னர் மூன்று எல்லை நிபந்தனைகளைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் புதிய மேம்பட்ட இழுவை குணகம் இப்போது ஆகிறதுஃ இறுதியாக, ஓசீனின் தோராயத்தின் அடிப்படையில் ஸ்டோக்ஸின் தீர்வு தீர்க்கப்பட்டபோது, அது காட்டுகிறது அதாவதுஃ மந்தநிலை சொல் இந்த வார்த்தையால் ஆதிக்கம் செலுத்துகிறதுஃ பிழை பின்னர் விகிதத்தால் வழங்கப்படுகிறதுஃ இது 1 க்கு வரம்பற்றதாகிவிடும், எனவே தொலைதூர புலத்தில் மந்தநிலையை புறக்கணிக்க முடியாது. சுருட்டை எடுப்பதன் மூலம், ஸ்டோக்ஸ் சமன்பாடு கொடுக்கிறது உடல் வளையத்தின் ஆதாரமாக இருப்பதால், பெரியதற்கு வரம்பற்ற மடக்கை ஆக மாறும் இது நிச்சயமாக இயற்பியல் அல்லாதது மற்றும் ஸ்டோக்ஸின் முரண்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. அழுத்த முடியாத திரவத்தில் நகரும் கோளத்திற்கான தீர்வு ஒரு திடமான கோளம் நிலையான வேகத்தில் ஒரு நிலையான திரவத்தில் நகரும் நிகழ்வைக் கவனியுங்கள். திரவம் ஒரு அமுக்க முடியாத திரவமாக வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது (அதாவது. நிலையான அடர்த்தியுடன்), மற்றும் நிலையானதாக இருப்பது என்பது கோளத்திலிருந்து தூரம் முடிவிலியை நெருங்கும்போது அதன் திசைவேகம் பூஜ்ஜியத்தை நோக்கிச் செல்வதைக் குறிக்கிறது. ஒரு உண்மையான பொருளைப் பொறுத்தவரை, அதன் இயக்கத்தைத் தொடங்கும்போது அதன் முடுக்கம் காரணமாக ஒரு நிலையற்ற விளைவு இருக்கும்; இருப்பினும் போதுமான நேரத்திற்குப் பிறகு அது பூஜ்ஜியத்தை நோக்கிச் செல்லும், இதனால் எல்லா இடங்களிலும் திரவ வேகம் ஏற்கனவே எண்ணற்ற நேரத்திற்கு நகரும் கற்பனை வழக்கில் பெறப்பட்டதை அணுகும். இவ்வாறு ஆரம் கொண்ட ஒரு கோளம் ஒரு நிலையான வேகத்தில் நகர்கிறது, ஒரு சுருக்க முடியாத திரவத்தில் முடிவிலியில் ஓய்வில் உள்ளது. கோளத்தின் மையத்தில் அமைந்துள்ள ஒருங்கிணைப்பு மையத்துடன் கோளத்துடன் நகரும் ஆயத்தொகுப்புகளில் வேலை செய்வோம். நம்மிடம் உள்ளதுஃ இந்த எல்லை நிபந்தனைகளும், இயக்கங்களின் சமன்பாடும் நேரம் மாறாதவை (அதாவது. நேரத்தை மாற்றுவதன் மூலம் அவை மாறாது) ஆயத்தொகுப்புகளில் வெளிப்படுத்தப்படும்போது, தீர்வு இந்த ஆயத்தொகுப்புகளின் மூலம் மட்டுமே நேரத்தைப் பொறுத்தது. இயக்கத்தின் சமன்பாடுகள் ஓய்வெடுக்கும் சட்டக ஆயத்தொகுதிகளில் வரையறுக்கப்பட்ட நேவியர்-ஸ்டோக்ஸ் சமன்பாடுகள் ஆகும். இரு ஒருங்கிணைப்பு அமைப்புகளிலும் இடஞ்சார்ந்த வழித்தோன்றல்கள் சமமாக இருக்கும்போது, சமன்பாடுகளில் தோன்றும் நேர வழித்தோன்றல் திருப்தி அளிக்கிறதுஃ இங்கு வழித்தோன்றல் நகரும் ஆயத்தொகுதிகளைப் பொறுத்தது. இனிமேல் எம் சப்ஸ்கிரிப்ட்டைத் தவிர்க்கிறோம். ஓசீனின் தோராயமானது நேரியல் அல்லாத வார்த்தையை புறக்கணிப்பதைக் குறிக்கிறது. இவ்வாறு அமுக்க முடியாத நேவியர்-ஸ்டோக்ஸ் சமன்பாடுகள் பின்வருமாறு ஆகின்றனஃ அடர்த்தி ρ மற்றும் இயக்கவியல் பாகுத்தன்மை ν = μ/ρ கொண்ட ஒரு திரவத்திற்கு (μ என்பது மாறும் பாகுத்தன்மை). p என்பது அழுத்தம். சுருக்க முடியாத திரவத்திற்கான தொடர்ச்சியான சமன்பாடு காரணமாக, ஒரு திசையன் ஆற்றலைப் பயன்படுத்தி தீர்வை வெளிப்படுத்தலாம். இது திசையில் இயக்கப்படுகிறது மற்றும் அதன் அளவு இரு பரிமாண சிக்கல்களில் பயன்படுத்தப்படும் ஸ்ட்ரீம் செயல்பாட்டிற்கு சமம். இது பின்வருமாறு மாறிவிடும்ஃ கோளத்திற்கு நெருக்கமான ஓட்டத்திற்கான ரெனால்ட்ஸ் எண் எங்கே. இரு பரிமாண வழக்கில் (துருவ ஆயத்தொகுப்புகளில்) ஸ்ட்ரீம் செயல்பாட்டிலிருந்து அதன் வழித்தோன்றலுக்கு மிகவும் ஒத்ததாக இருக்கும் வகையில் சில குறியீடுகளில் மாற்றப்படுகிறது என்பதை நினைவில் கொள்க. விரிவாக்கத்தை பின்வருமாறு வெளிப்படுத்தலாம்ஃ எங்கேஃ, அதனால். இந்த வகை திசையனின் திசையன் லாப்லாசியன் பின்வருமாறு கூறுகிறதுஃ இதை இவ்வாறு கணக்கிடலாம்ஃ எனவேஃ இவ்வாறு வோர்டிஸிட்டிஃ திசையன் லாப்லாசியன் மற்றும் இரட்டை சுருட்டை ஆகியவற்றை தொடர்புபடுத்துவதற்கு திசைதிருப்பலின் மறைவைப் பயன்படுத்தியுள்ளோம். இயக்கத்தின் இடது புறத்தின் சமன்பாடு பின்வருவனவற்றின் சுருள் ஆகும்ஃ ஒவ்வொரு சொல்லுக்கும் தனித்தனியாக வழித்தோன்றலைக் கணக்கிடுகிறோம். இதைக் கவனியுங்கள்ஃ மேலும்ஃ நம்மிடம் உள்ள அனைத்து சொற்களையும் இணைத்தல்ஃ சுருட்டை எடுத்துக்கொள்வது, பின்வரும் செயல்பாட்டின் சாய்வு மடங்குகளுக்கு சமமான ஒரு வெளிப்பாட்டைக் காண்கிறோம், இது அழுத்தமாகும்ஃ முடிவிலியில் அழுத்தம் எங்கே, துருவ கோணம் முன் தேக்கம் புள்ளியின் எதிர் பக்கத்திலிருந்து உருவானது (முன் தேக்கம் புள்ளி எங்கே). மேலும், வேகம் சுருட்டை எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம் பெறப்படுகிறதுஃ இந்த p மற்றும் u இயக்கத்தின் சமன்பாட்டை பூர்த்தி செய்கின்றன, இதனால் ஓசீனின் தோராயத்திற்கான தீர்வாக அமைகிறது. ஓசீனின் தோராயத்திற்கு மாற்றங்கள் எவ்வாறாயினும், திருத்தச் சொல் தற்செயலாகத் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டதா என்று ஒருவர் கேள்வி எழுப்பலாம், ஏனென்றால் கோளத்துடன் நகரும் குறிப்புச் சட்டகத்தில், கோளத்திற்கு அருகிலுள்ள திரவம் கிட்டத்தட்ட ஓய்வில் உள்ளது, மேலும் அந்த பிராந்தியத்தில் மந்தமான விசை மிகக் குறைவு மற்றும் ஸ்டோக்ஸின் சமன்பாடு நன்கு நியாயமானது. கோளத்திலிருந்து வெகு தொலைவில், ஓட்ட வேகம் u ஐ அணுகுகிறது மற்றும் ஓசீனின் தோராயமானது மிகவும் துல்லியமானது. ஆனால் ஓசீனின் சமன்பாடு முழு ஓட்ட புலத்திற்கும் சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தி பெறப்பட்டது. இந்த கேள்விக்கு 1957 ஆம் ஆண்டில் பிரவுட்மேன் மற்றும் பியர்சன் ஆகியோர் பதிலளித்தனர், அவர்கள் நேவியர்-ஸ்டோக்ஸ் சமன்பாடுகளைத் தீர்த்து, கோளத்தின் சுற்றுப்புறத்தில் ஸ்டோக்ஸின் மேம்பட்ட தீர்வையும், முடிவிலியில் ஓசீனின் மேம்பட்ட தீர்வையும் வழங்கினர், மேலும் இரண்டு தீர்வுகளையும் அவற்றின் செல்லுபடியின் பொதுவான பகுதியில் பொருத்தினர். அவர்கள் பெற்றவைஃ பயன்பாடுகள் மிகக் குறைந்த ரெனால்ட்ஸ் எண்ணில் ஓட்டத்தை பகுப்பாய்வு செய்வதற்கான முறை மற்றும் உருவாக்கம் முக்கியம். ஒரு திரவத்தில் சிறிய துகள்களின் மெதுவான இயக்கம் உயிர் பொறியியலில் பொதுவானது. பல்வேறு சிறப்பு நிலைமைகளின் கீழ் திரவங்களின் ஓட்டம் தொடர்பாக ஓசீனின் இழுவை சூத்திரம் பயன்படுத்தப்படலாம், அதாவதுஃ துகள்களைக் கொண்டிருப்பது, துகள்களின் வண்டல், மையவிலக்கு அல்லது தொங்குதிரைகள், கொலாய்டுகள் மற்றும் இரத்தத்தின் அல்ட்ராசென்ட்ரிஃபிகேஷன் கட்டிகள் மற்றும் ஆன்டிஜென்களை தனிமைப்படுத்துவதன் மூலம். திரவம் ஒரு திரவமாக கூட இருக்க வேண்டியதில்லை, மேலும் துகள்கள் திடமாக இருக்க வேண்டியதில்லை. மூடுபனி உருவாக்கம் மற்றும் திரவங்களின் அணுமயமாக்கல் போன்ற பல பயன்பாடுகளில் இதைப் பயன்படுத்தலாம். தந்துகிகள் போன்ற சிறிய நாளங்களில் இரத்த ஓட்டம் சிறிய ரெனால்ட்ஸ் மற்றும் வோமர்ஸ்லி எண்களால் வகைப்படுத்தப்படுகிறது. இரத்த ஓட்டம், இரத்தத்தின் பாகுத்தன்மை, அடர்த்தி மற்றும் இதய துடிப்பு ஆகியவற்றைக் கொண்ட விட்டம் கொண்ட ஒரு பாத்திரம், 0.005 இன் ரெனால்ட்ஸ் எண்ணையும் 0.0126 இன் வோமர்ஸ்லி எண்ணையும் கொண்டிருக்கும். இந்த சிறிய ரெனால்ட்ஸ் மற்றும் வோமர்ஸ்லி எண்களில், திரவத்தின் பிசுபிசுப்பு விளைவுகள் பிரதானமாக மாறுகின்றன. இந்த துகள்களின் இயக்கத்தைப் புரிந்துகொள்வது மருந்து விநியோகத்திற்கும் புற்றுநோய்களின் மெட்டாஸ்டாசிஸ் இயக்கங்களைப் படிப்பதற்கும் அவசியம். குறிப்புகள் குறிப்புகள் திரவ இயக்கவியல் திரவ இயக்கவியல் சமன்பாடுகள்