Appell series
கணிதத்தில், அப்பெல் தொடர் என்பது இரண்டு மாறிகளின் நான்கு ஹைப்பர்ஜியோமெட்ரிக் தொடர்களான F1, F2, F3, F4 ஆகியவற்றின் தொகுப்பாகும், அவை அறிமுகப்படுத்தப்பட்டு காஸின் ஹைப்பர்ஜியோமெட்ரிக் தொடர் 2F1 ஐ ஒரு மாறியின் பொதுமைப்படுத்துகின்றன. இந்த செயல்பாடுகள் தீர்வுகளாக இருக்கும் பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் தொகுப்பை அப்பெல் நிறுவினார், மேலும் ஒரு மாறியின் ஹைப்பர்ஜியோமெட்ரிக் தொடரின் அடிப்படையில் இந்த தொடரின் பல்வேறு குறைப்பு சூத்திரங்கள் மற்றும் வெளிப்பாடுகளைக் கண்டறிந்தார். வரையறைகள் அப்பெல் தொடர் F1 என்பது |x | <1, |y | <1 க்கு இரட்டைத் தொடர்களால் வரையறுக்கப்படுகிறது, அங்கு போச்சாமர் சின்னம் உள்ளது. x மற்றும் y இன் பிற மதிப்புகளுக்கு F1 செயல்பாட்டை பகுப்பாய்வு தொடர்ச்சியால் வரையறுக்க முடியும். இதேபோல், F2 செயல்பாடு |x | + |y | <1 க்கு வரிசையால் வரையறுக்கப்படுகிறது, மேலும் |x | <1, |y | <1 க்கான செயல்பாடு F3 ஐ தொடரால் வரையறுக்கலாம் மற்றும் தொடர் மறுநிகழ்வு உறவுகளால் |x | 1⁄2 + |y | 1⁄2 <1 க்கான செயல்பாடு F1 ஐ வரையறுக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, அப்பெல்லின் F1 க்கான அத்தகைய உறவுகளின் அடிப்படை தொகுப்பு பின்வருமாறு வழங்கப்படுகிறதுஃ F1 க்கு செல்லுபடியாகும் வேறு எந்த உறவும் இந்த நான்கிலிருந்து பெறப்படலாம். இதேபோல், அப்பெல்லின் F3 க்கான அனைத்து மறுநிகழ்வு உறவுகளும் இந்த ஐந்து தொகுப்புகளிலிருந்து பின்பற்றப்படுகின்றனஃ அப்பெல்லின் F1 க்கு, பின்வரும் வழித்தோன்றல்கள் இரட்டைத் தொடர் வரையறையின் விளைவாகும்ஃ அதன் வரையறையிலிருந்து, அப்பெல்லின் F1 பின்வரும் இரண்டாவது வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் அமைப்பை திருப்திப்படுத்துவதாகக் கண்டறியப்பட்டுள்ளதுஃ F2 க்கான ஒரு அமைப்பு பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகள் அமைப்புக்கு தீர்வு உள்ளது இதேபோல், F3 க்கு பின்வரும் வழித்தோன்றல்கள் வரையறையின் விளைவாகப் பெறப்படுகின்றனஃ மேலும் F3 க்கு பின்வரும் வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் அமைப்புஃ F4 க்கான ஒரு அமைப்பு பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகள் அமைப்பு ஒருங்கிணைந்த பிரதிநிதித்துவங்களைக் கொண்டுள்ளது. இருப்பினும், அப்பெல்லின் F1 ஐ ஒரு பரிமாண ஆய்லர்-வகை ஒருங்கிணைப்பாகவும் எழுதலாம் என்று கண்டுபிடிக்கப்பட்டதுஃ இந்த பிரதிநிதித்துவத்தை ஒருங்கிணைப்பின் டெய்லர் விரிவாக்கத்தின் மூலம் சரிபார்க்க முடியும், அதைத் தொடர்ந்து சொல் வாரியான ஒருங்கிணைப்பு. சிறப்பு நிகழ்வுகளில் பிகார்ட்டின் ஒருங்கிணைந்த பிரதிநிதித்துவம், முழுமையற்ற நீள்வட்ட ஒருங்கிணைப்புகள் F மற்றும் E மற்றும் முழுமையான நீள்வட்ட ஒருங்கிணைப்பு Π ஆகியவை அப்பெல்லின் F1 இன் சிறப்பு நிகழ்வுகள் என்பதைக் குறிக்கிறதுஃ தொடர்புடைய தொடர் இரண்டு மாறிகளின் ஏழு தொடர்புடைய தொடர்கள் உள்ளன, φ1, φ2, φ3, χ1, χ2, χ1, மற்றும் χ2, இது ஒரு மாறியின் கும்மரின் ஒருங்கிணைந்த ஹைப்பர்ஜியோமெட்ரிக் செயல்பாடு 1F1 மற்றும் ஒரு மாறியின் ஒருங்கிணைந்த ஹைப்பர்ஜியோமெட்ரிக் வரம்பு செயல்பாடு 0F1 ஐ இதேபோன்ற முறையில் பொதுமைப்படுத்துகிறது. இவற்றில் முதலாவது 1920 ஆம் ஆண்டில் பியர் ஹம்பர்ட் என்பவரால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. அப்பெல் தொடரைப் போன்ற நான்கு செயல்பாடுகளை வரையறுத்தது, ஆனால் x மற்றும் y என்ற இரண்டு மாறிகளை விட பல மாறிகளைப் பொறுத்தது. இந்தத் தொடர்களையும் அப்பெல் ஆய்வு செய்தார். அவை சில பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகளை பூர்த்தி செய்கின்றன, மேலும் யூலர்-வகை ஒருங்கிணைப்புகள் மற்றும் விளிம்பு ஒருங்கிணைப்புகளின் அடிப்படையில் வழங்கப்படலாம். சி. ஆர். அகாட்டில் உள்ள குறிப்புகள் (மேலும் காண்க "ஸுர் லா செரி F3 (α, α ', β, β', γ; x, y)". அறிவியல். 90, பக். 977-980) (பக்கம் 14 ஐப் பார்க்கவும்) (பக்கம் 224 ஐப் பார்க்கவும்) (சி. ஆர். அகாட் ஐயும் பார்க்கவும். அறிவியல். 90 (1880), பக். 1119-1121 மற்றும் 1267-1269) (2008 காகிதத்துடன் உள்ளது) வெளிப்புற இணைப்புகள் ஹைப்பர்ஜியோமெட்ரிக் செயல்பாடுகள் கணிதத் தொடர்