Classical mechanics
கிளாசிக்கல் மெக்கானிக்ஸ் என்பது விண்கலங்கள் முதல் இயந்திரங்களின் பகுதிகள் மற்றும் விண்கலம், கிரகங்கள், நட்சத்திரங்கள் மற்றும் விண்மீன் திரள்கள் போன்ற வானியல் பொருட்களின் இயக்கத்தை விவரிக்கும் ஒரு இயற்பியல் கோட்பாடாகும். கிளாசிக்கல் இயக்கவியலால் நிர்வகிக்கப்படும் பொருள்களுக்கு, தற்போதைய நிலை தெரிந்தால், அது எதிர்காலத்தில் எவ்வாறு நகரும் (நிர்ணயம்), கடந்த காலத்தில் அது எவ்வாறு நகர்ந்தது (தலைகீழ்) என்பதைக் கணிக்க முடியும். "கிளாசிக்கல் மெக்கானிக்ஸ்" இல் உள்ள "கிளாசிக்கல்" என்பது கிளாசிக்கல் கட்டிடக்கலையில் கூறுவது போல் கிளாசிக்கல் பழங்காலத்தைக் குறிக்கவில்லை. மாறாக, பாரம்பரிய இயக்கவியலின் வளர்ச்சி இயற்பியலின் முறைகள் மற்றும் தத்துவத்தில் கணிசமான மாற்றத்தை உள்ளடக்கியது. அதற்கு பதிலாக, தகுதி 20 ஆம் நூற்றாண்டின் முற்பகுதியில் ஏற்பட்ட புரட்சிகளுக்குப் பிறகு உருவாக்கப்பட்ட இயற்பியலிலிருந்து பாரம்பரிய இயக்கவியலை வேறுபடுத்துகிறது, இது பாரம்பரிய இயக்கவியலின் வரம்புகளை வெளிப்படுத்தியது. பாரம்பரிய இயக்கவியலின் ஆரம்பகால உருவாக்கம் பெரும்பாலும் நியூட்டனின் இயக்கவியல் என்று குறிப்பிடப்படுகிறது. இது சர் ஐசக் நியூட்டனின் அடித்தளப் படைப்புகளை அடிப்படையாகக் கொண்ட இயற்பியல் கருத்துகளையும், 17 ஆம் நூற்றாண்டில் கோட்ஃபிரைட் வில்ஹெல்ம் லீப்னிஸ், ஜோசப்-லூயிஸ் லாக்ராஞ்ச், லியோன்ஹார்ட் யூலர் மற்றும் பிற சமகாலத்தவர்களால் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட கணித முறைகளையும் கொண்டுள்ளது. பின்னர், மேலும் சுருக்கமான முறைகள் உருவாக்கப்பட்டன, இது லக்ராஞ்சியன் இயக்கவியல் மற்றும் ஹாமில்டோனியன் இயக்கவியல் எனப்படும் பாரம்பரிய இயக்கவியலின் சீர்திருத்தங்களுக்கு வழிவகுத்தது. 18 மற்றும் 19 ஆம் நூற்றாண்டுகளில் முக்கியமாக செய்யப்பட்ட இந்த முன்னேற்றங்கள், முந்தைய படைப்புகளுக்கு அப்பால், குறிப்பாக பகுப்பாய்வு இயக்கவியலைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் கணிசமாக விரிவடைகின்றன. அவை, சில மாற்றங்களுடன், நவீன இயற்பியலின் அனைத்து பகுதிகளிலும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. மிகவும் பெரியதாக இல்லாத பெரிய பொருள்களையும், ஒளியின் வேகத்தை நெருங்காத வேகங்களையும் படிக்கும்போது கிளாசிக்கல் மெக்கானிக்ஸ் துல்லியமான முடிவுகளை வழங்குகிறது. பரிசோதிக்கப்படும் பொருள்கள் ஒரு அணு விட்டத்தின் அளவைப் பற்றி இருக்கும்போது, இயக்கவியலின் மற்ற முக்கிய துணைத் துறையை அறிமுகப்படுத்துவது அவசியம்ஃ குவாண்டம் இயக்கவியல். ஒளியின் வேகத்துடன் ஒப்பிடும்போது சிறியதாக இல்லாத வேகங்களை விவரிக்க, சிறப்பு சார்பியல் தேவைப்படுகிறது. பொருள்கள் மிகப் பெரியதாக மாறும் சந்தர்ப்பங்களில், பொது சார்பியல் பொருந்தும். இருப்பினும், பல நவீன ஆதாரங்களில் கிளாசிக்கல் இயற்பியலில் சார்பியல் இயக்கவியல் அடங்கும், இது அவர்களின் பார்வையில் கிளாசிக்கல் இயக்கவியலை அதன் மிகவும் வளர்ந்த மற்றும் துல்லியமான வடிவத்தில் குறிக்கிறது. கோட்பாட்டின் விளக்கம் பின்வரும் கருத்துக்கள் பாரம்பரிய இயக்கவியலின் அடிப்படை கருத்துக்களை அறிமுகப்படுத்துகின்றன. எளிமைக்காக, இது பெரும்பாலும் நிஜ உலக பொருட்களை புள்ளி துகள்களாக (மிகக் குறைந்த அளவு கொண்ட பொருள்கள்) மாதிரியாகக் காட்டுகிறது. ஒரு புள்ளி துகள்களின் இயக்கம் ஒரு சிறிய எண்ணிக்கையிலான அளவுருக்களால் தீர்மானிக்கப்படுகிறதுஃ அதன் நிலை, நிறை மற்றும் அதற்கு பயன்படுத்தப்படும் சக்திகள். உண்மையில், கிளாசிக்கல் மெக்கானிக்ஸ் விவரிக்கக்கூடிய பொருள்களின் வகை எப்போதும் பூஜ்ஜியமற்ற அளவைக் கொண்டிருக்கும். (எலக்ட்ரான் போன்ற மிகச் சிறிய துகள்களின் நடத்தை குவாண்டம் இயக்கவியலால் மிகவும் துல்லியமாக விவரிக்கப்படுகிறது.) பூஜ்ஜியமற்ற அளவு கொண்ட பொருள்கள் கற்பனையான புள்ளி துகள்களை விட மிகவும் சிக்கலான நடத்தையைக் கொண்டுள்ளன, ஏனெனில் கூடுதல் அளவு சுதந்திரம் இருப்பதால், எ. கா., ஒரு பேஸ்பால் நகரும் போது சுழல முடியும். இருப்பினும், புள்ளி துகள்களுக்கான முடிவுகள் அத்தகைய பொருட்களை ஆய்வு செய்ய பயன்படுத்தப்படலாம், அவை கலப்பு பொருள்களாக கருதப்படுகின்றன, அவை அதிக எண்ணிக்கையிலான கூட்டாக செயல்படும் புள்ளி துகள்களால் ஆனவை. ஒரு கலப்பு பொருளின் நிறை மையம் ஒரு புள்ளி துகள் போல செயல்படுகிறது. பண்டைய இயக்கவியல் பொருள் மற்றும் ஆற்றல் ஆகியவை இடம் மற்றும் வேகத்தில் இருப்பிடம் போன்ற திட்டவட்டமான, அறியக்கூடிய பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன என்று கருதுகிறது. சார்பற்ற இயக்கவியல் விசைகள் உடனடியாக செயல்படுகின்றன என்றும் கருதுகிறது (மேலும் தூரத்தில் உள்ள செயலைப் பார்க்கவும்). நிலை மற்றும் அதன் வழித்தோன்றல்கள் ஒரு புள்ளி துகள் நிலை தோற்றம் O என்று அழைக்கப்படும் இடத்தில் ஒரு தன்னிச்சையான நிலையான குறிப்பு புள்ளியை மையமாகக் கொண்ட ஒரு ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு தொடர்பாக வரையறுக்கப்படுகிறது. ஒரு எளிய ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு ஒரு துகள் P இன் நிலையை r என்று பெயரிடப்பட்ட ஒரு அம்பு மூலம் குறிக்கப்படும் ஒரு திசையனுடன் விவரிக்கலாம், இது தோற்றம் O முதல் புள்ளி P வரை சுட்டிக்காட்டுகிறது. பொதுவாக, புள்ளி துகள் O உடன் தொடர்புடையதாக இருக்க வேண்டியதில்லை. O உடன் ஒப்பிடுகையில் P நகரும் சந்தர்ப்பங்களில், r என்பது t, நேரத்தின் செயல்பாடாக வரையறுக்கப்படுகிறது. ஐன்ஸ்டீனுக்கு முந்தைய சார்பியலில் (கலிலியன் சார்பியல் என்று அழைக்கப்படுகிறது), நேரம் ஒரு முழுமையானதாகக் கருதப்படுகிறது, அதாவது, எந்தவொரு ஜோடி நிகழ்வுகளுக்கும் இடையில் கடந்து செல்வதைக் காணும் நேர இடைவெளி அனைத்து பார்வையாளர்களுக்கும் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும். முழுமையான நேரத்தை நம்பியிருப்பதைத் தவிர, கிளாசிக்கல் மெக்கானிக்ஸ் யூக்ளிடியன் வடிவவியலை இடத்தின் கட்டமைப்பிற்காக கருதுகிறது. திசைவேகம் மற்றும் வேகம் திசைவேகம், அல்லது நேரத்துடன் இடப்பெயர்ச்சி மாற்றத்தின் விகிதம், நேரத்தைப் பொறுத்து நிலையின் வழித்தோன்றலாக வரையறுக்கப்படுகிறதுஃ பாரம்பரிய இயக்கவியலில், வேகங்கள் நேரடியாக சேர்க்கை மற்றும் கழித்தல் ஆகும். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு கார் மணிக்கு 60 கிமீ வேகத்தில் கிழக்கு நோக்கிச் சென்று, அதே திசையில் மணிக்கு 50 கிமீ வேகத்தில் பயணிக்கும் மற்றொரு காரை கடந்து சென்றால், மெதுவான கார் வேகமான காரை கிழக்கு நோக்கி பயணிப்பதாக உணர்கிறது. இருப்பினும், வேகமான காரின் கண்ணோட்டத்தில், மெதுவான கார் 10 கிமீ/மணி மேற்கு நோக்கி நகர்கிறது, இது பெரும்பாலும்-10 கிமீ/மணி என்று குறிக்கப்படுகிறது, அங்கு அடையாளம் எதிர் திசையைக் குறிக்கிறது. திசைவேகங்கள் திசையன் அளவுகளாக நேரடியாக சேர்க்கப்படுகின்றன; அவை திசையன் பகுப்பாய்வைப் பயன்படுத்தி கையாளப்பட வேண்டும். கணித ரீதியாக, முந்தைய விவாதத்தில் முதல் பொருளின் திசைவேகம் திசையன் மற்றும் இரண்டாவது பொருளின் திசைவேகம் திசையன் மூலம் குறிக்கப்பட்டால், அங்கு u என்பது முதல் பொருளின் வேகம், v என்பது இரண்டாவது பொருளின் வேகம், மற்றும் d மற்றும் e முறையே ஒவ்வொரு பொருளின் இயக்கத்தின் திசைகளிலும் அலகு திசையன்கள், பின்னர் இரண்டாவது பொருளால் காணப்படுவது போல் முதல் பொருளின் திசைவேகம் பின்வருமாறுஃ இதேபோல், முதல் பொருள் இரண்டாவது பொருளின் வேகத்தை பின்வருமாறு பார்க்கிறதுஃ இரண்டு பொருள்களும் ஒரே திசையில் நகரும் போது, இந்த சமன்பாட்டை எளிமைப்படுத்தலாம்ஃ அல்லது, திசையை புறக்கணிப்பதன் மூலம், வித்தியாசத்தை வேகத்தின் அடிப்படையில் மட்டுமே கொடுக்க முடியும்ஃ முடுக்கம் அல்லது திசைவேக மாற்றத்தின் விகிதம், நேரத்தைப் பொறுத்து வேகத்தின் வழித்தோன்றலாகும் (இரண்டாவது பொருள்) வேகம் அளவு, திசை அல்லது இரண்டிலும் மாறலாம். எப்போதாவது, திசைவேகம் "v" இன் அளவு குறைவது வீழ்ச்சி என்று குறிப்பிடப்படுகிறது, ஆனால் பொதுவாக காலப்போக்கில் வேகத்தில் ஏற்படும் எந்த மாற்றமும், வீழ்ச்சி உட்பட, முடுக்கம் என்று குறிப்பிடப்படுகிறது. குறிப்புச் சட்டங்கள் ஒரு துகள் நிலை, வேகம் மற்றும் முடுக்கம் ஆகியவை எந்தவொரு இயக்க நிலையிலும் எந்தவொரு பார்வையாளரைப் பொறுத்து விவரிக்கப்படலாம் என்றாலும், இயற்கையின் இயந்திர விதிகள் ஒப்பீட்டளவில் எளிமையான வடிவத்தை எடுக்கும் குறிப்புச் சட்டங்களின் ஒரு சிறப்புக் குடும்பத்தின் இருப்பை பாரம்பரிய இயக்கவியல் கருதுகிறது. இந்த சிறப்பு குறிப்பு பிரேம்கள் மந்தமான பிரேம்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. ஒரு மந்தமான சட்டகம் என்பது ஒரு இலட்சியப்படுத்தப்பட்ட குறிப்பு சட்டகமாகும், அதில் பூஜ்ஜிய நிகர விசை கொண்ட ஒரு பொருள் ஒரு நிலையான வேகத்துடன் நகர்கிறது; அதாவது, அது ஓய்வில் உள்ளது அல்லது ஒரு நேர் கோட்டில் ஒரே மாதிரியாக நகர்கிறது. ஒரு மந்தமான சட்டகத்தில் நியூட்டனின் இயக்க விதி, செல்லுபடியாகும். நிலைத்தன்மை அல்லாத குறிப்பு பிரேம்கள் மற்றொரு நிலைத்தன்மை பிரேம் தொடர்பாக முடுக்கிவிடுகின்றன. ஒரு மந்தமான சட்டகத்தைப் பொறுத்து சுழலும் ஒரு பொருள் ஒரு மந்தமான சட்டகம் அல்ல. ஒரு மந்தமான சட்டகத்திலிருந்து பார்க்கும்போது, மந்தமற்ற சட்டகத்தில் உள்ள துகள்கள் குறிப்பு சட்டகத்தில் இருக்கும் புலங்களிலிருந்து வரும் சக்திகளால் விளக்கப்படாத வழிகளில் நகர்வதாகத் தெரிகிறது. எனவே, ஒப்பீட்டு முடுக்கத்தின் விளைவாக மட்டுமே இயக்கத்தின் சமன்பாடுகளுக்குள் நுழையும் பிற சக்திகள் இருப்பதாகத் தெரிகிறது. இந்த சக்திகள் கற்பனையான சக்திகள், மந்தமான சக்திகள் அல்லது போலி-சக்திகள் என்று குறிப்பிடப்படுகின்றன. S மற்றும் S 'என்ற இரண்டு குறிப்பு பிரேம்களைக் கவனியுங்கள். ஒவ்வொரு குறிப்பு கட்டமைப்பிலும் உள்ள பார்வையாளர்களுக்கு ஒரு நிகழ்வு S சட்டகத்தில் (x, y, z, t) மற்றும் S 'சட்டகத்தில் (x', y ', z', t ') இடைவெளி-நேர ஆயத்தொலைவுகளைக் கொண்டுள்ளது. நேரம் அனைத்து குறிப்பு சட்டகங்களிலும் ஒரே மாதிரியாக அளவிடப்படுகிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம், நமக்கு எப்போது தேவைப்பட்டால், குறிப்பு சட்டகங்கள் S 'மற்றும் S இலிருந்து காணப்பட்ட அதே நிகழ்வின் இட-நேர ஆயத்தொலைவுகளுக்கு இடையிலான உறவு, x திசையில் ஒரு ஒப்பீட்டு வேகத்தில் நகர்கிறது, இதுஃ இந்த சூத்திரங்களின் தொகுப்பு கலிலியன் மாற்றம் (முறைசாரா, கலிலியன் உருமாற்றம்) என்று அழைக்கப்படும் ஒரு குழு மாற்றத்தை வரையறுக்கிறது. இந்த குழு சிறப்பு சார்பியலில் பயன்படுத்தப்படும் போயின்கேர் குழுவின் வரம்புக்குட்பட்ட வழக்கு ஆகும். ஒளியின் வேகமான c உடன் ஒப்பிடும்போது u வேகம் மிகவும் சிறியதாக இருக்கும்போது வரம்புக்குட்பட்ட வழக்கு பொருந்தும். உருமாற்றங்கள் பின்வரும் விளைவுகளைக் கொண்டுள்ளனஃ v′ = v−u (S′ இன் கண்ணோட்டத்தில் ஒரு துகள் அதன் திசைவேகத்தை விட v′ இன் திசைவேகம் S இன் கண்ணோட்டத்தில் u ஆல் மெதுவாக உள்ளது) a′ = a (ஒரு துகள் முடுக்கம் எந்த மந்தமான குறிப்பு சட்டகத்திலும் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும்) F′ = F (ஒரு துகள் மீது உள்ள விசை எந்த மந்தமான குறிப்பு சட்டகத்திலும் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும்) கிளாசிக்கல் இயக்கவியலில் ஒளியின் வேகம் ஒரு மாறிலி அல்ல, அல்லது சார்பியல் இயக்கவியலில் ஒளியின் வேகத்திற்கு கொடுக்கப்பட்ட சிறப்பு நிலை கிளாசிக்கல் இயக்கவியலில் ஒரு எதிர்ப்பைக் கொண்டிருக்கவில்லை. சில சிக்கல்களுக்கு, சுழலும் ஆயத்தொகுப்புகளை (குறிப்பு பிரேம்கள்) பயன்படுத்துவது வசதியானது. இதன் மூலம் ஒருவர் ஒரு வசதியான மந்தமான சட்டகத்திற்கு ஒரு வரைபடத்தை வைத்திருக்கலாம் அல்லது கூடுதலாக ஒரு கற்பனையான மையவிலக்கு விசை மற்றும் கோரியோலிஸ் விசையை அறிமுகப்படுத்தலாம். விசைகள் மற்றும் நியூட்டனின் இரண்டாவது விதி இயற்பியலில் ஒரு விசை என்பது ஒரு பொருளின் திசைவேகத்தை மாற்றும் எந்தவொரு செயலும் ஆகும். மின்-நிலையான புலம் (நிலையான மின் கட்டணங்களால் ஏற்படுகிறது), மின்-காந்தப்புலம் (நகரும் கட்டணங்களால் ஏற்படுகிறது) அல்லது ஈர்ப்பு விசை (வெகுஜனத்தால் ஏற்படுகிறது) போன்ற ஒரு புலத்திற்குள் இருந்து ஒரு விசை உருவாகிறது. விசைக்கும் வேகத்திற்கும் இடையிலான உறவை கணித ரீதியாக முதன்முதலில் வெளிப்படுத்தியவர் நியூட்டன் ஆவார். சில இயற்பியலாளர்கள் நியூட்டனின் இரண்டாவது இயக்க விதியை விசை மற்றும் நிறை பற்றிய வரையறையாக விளக்குகிறார்கள், மற்றவர்கள் அதை ஒரு அடிப்படை அனுமானமாக, இயற்கையின் விதியாக கருதுகின்றனர். வரலாற்று ரீதியாக "நியூட்டனின் இரண்டாவது விதி" என்று அழைக்கப்படும் அதே கணித விளைவுகளை இரண்டு விளக்கங்களும் கொண்டுள்ளனஃ mv அளவு (நியமன) உந்தம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. எனவே ஒரு துகள் மீதான நிகர விசை காலப்போக்கில் துகள் வேகத்தை மாற்றும் விகிதத்திற்கு சமம். முடுக்கம் என்ற வரையறை இருப்பதால், இரண்டாவது விதியை எளிமையான மற்றும் மிகவும் பழக்கமான வடிவத்தில் எழுதலாம்ஃ ஒரு துகள் மீது செயல்படும் விசை அறியப்படும் வரை, நியூட்டனின் இரண்டாவது விதி ஒரு துகள் இயக்கத்தை விவரிக்க போதுமானது. ஒரு துகள் மீது செயல்படும் ஒவ்வொரு விசைக்கும் சுயாதீன உறவுகள் கிடைத்தவுடன், அவை நியூட்டனின் இரண்டாவது விதிக்கு மாற்றாக ஒரு சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாட்டைப் பெறலாம், இது இயக்கத்தின் சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, துகள் மீது செயல்படும் ஒரே விசை உராய்வு என்றும், அது துகள் வேகத்தின் செயல்பாடாக மாதிரியாக இருக்கலாம் என்றும் வைத்துக்கொள்வோம், எடுத்துக்காட்டாகஃ λ ஒரு நேர்மறை மாறிலி என்றால், எதிர்மறை அடையாளம் விசை திசைவேகத்தின் உணர்வுக்கு எதிரானது என்று கூறுகிறது. பின்னர் இயக்கத்தின் சமன்பாடு v0 என்பது ஆரம்ப திசைவேகமாக இருக்கும் இடத்தைப் பெற இதை ஒருங்கிணைக்க முடியும். இதன் பொருள் என்னவென்றால், இந்த துகள் வேகம் நேரம் செல்லச் செல்ல பூஜ்ஜியத்திற்கு அதிவேகமாக சிதைகிறது. இந்த வழக்கில், ஒரு சமமான பார்வை என்னவென்றால், துகள் இயக்க ஆற்றல் உராய்வு மூலம் உறிஞ்சப்படுகிறது (இது ஆற்றல் பாதுகாப்புக்கு ஏற்ப வெப்ப ஆற்றலாக மாற்றுகிறது), மற்றும் துகள் மெதுவாக உள்ளது. நேரத்தின் செயல்பாடாக துகள்களின் நிலை r ஐப் பெற இந்த வெளிப்பாட்டை மேலும் ஒருங்கிணைக்க முடியும். முக்கியமான விசைகளில் ஈர்ப்பு விசை மற்றும் மின்காந்தத்திற்கான லோரெண்ட்ஸ் விசை ஆகியவை அடங்கும். கூடுதலாக, நியூட்டனின் மூன்றாவது விதி சில நேரங்களில் ஒரு துகள் மீது செயல்படும் சக்திகளைக் கண்டறிய பயன்படுத்தப்படலாம்ஃ துகள் A மற்றொரு துகள் B மீது ஒரு விசையை F செலுத்துகிறது என்று தெரிந்தால், B, A மீது சமமான மற்றும் எதிர் எதிர்வினை விசையை, −F, செலுத்த வேண்டும். நியூட்டனின் மூன்றாவது விதியின் வலுவான வடிவத்திற்கு F மற்றும்-F ஆகியவை A மற்றும் B ஐ இணைக்கும் கோட்டில் செயல்பட வேண்டும், அதே நேரத்தில் பலவீனமான வடிவம் செயல்படாது. நியூட்டனின் மூன்றாம் விதியின் பலவீனமான வடிவத்தின் எடுத்துக்காட்டுகள் பெரும்பாலும் காந்த சக்திகளுக்கு காணப்படுகின்றன. வேலை மற்றும் ஆற்றல் ஒரு நிலையான விசை F ஒரு இடப்பெயர்ச்சி செய்யும் ஒரு துகள் பயன்படுத்தப்படுகிறது என்றால், விசை மூலம் செய்யப்படும் வேலை விசை மற்றும் இடப்பெயர்ச்சி திசையன்களின் அளவிடுதல் தயாரிப்பு என வரையறுக்கப்படுகிறதுஃ மேலும் பொதுவாக, விசை ஒரு நிலை செயல்பாடு மாறுபடும் என்றால் துகள் ஒரு பாதை C இல் r1 இலிருந்து r2 க்கு நகரும் போது, துகள் மீது செய்யப்படும் வேலை கோடு ஒருங்கிணைப்பு மூலம் வழங்கப்படுகிறது துகள் r1 இலிருந்து r2 க்கு நகர்த்துவதில் செய்யப்படும் வேலை ஒரே மாதிரியாக இருந்தால், எந்த பாதை எடுக்கப்பட்டாலும், விசை பழமைவாதம் என்று கூறப்படுகிறது. ஈர்ப்பு விசை என்பது ஒரு பழமைவாத விசை, ஹூக்கின் சட்டத்தால் கொடுக்கப்பட்டபடி, ஒரு இலட்சியப்படுத்தப்பட்ட வசந்தத்தின் காரணமாக ஏற்படும் விசை. உராய்வு காரணமாக ஏற்படும் விசை பாதுகாப்பற்றது. பல துகள்களால் ஆன நீட்டிக்கப்பட்ட பொருட்களுக்கு, கலப்பு உடலின் இயக்க ஆற்றல் என்பது துகள்களின் இயக்க ஆற்றல்களின் கூட்டுத்தொகையாகும். வேலை-ஆற்றல் தேற்றம் கூறுகிறது, நிலையான நிறை m கொண்ட ஒரு துகள், r1 நிலையில் இருந்து r2 நிலைக்கு நகரும்போது துகள் மீது செய்யப்படும் மொத்த வேலை W என்பது துகள் இயக்க ஆற்றலில் ஏற்படும் மாற்றத்திற்கு சமம்ஃ கன்சர்வேடிவ் சக்திகளை ஒரு அளவிடுதல் செயல்பாட்டின் சாய்வாக வெளிப்படுத்தலாம், இது சாத்தியமான ஆற்றல் என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் குறிக்கப்படுகிறது EP: ஒரு துகள் மீது செயல்படும் அனைத்து சக்திகளும் பழமைவாதமாக இருந்தால், மற்றும் EP என்பது மொத்த சாத்தியமான ஆற்றல் (இது உடல்களின் பரஸ்பர நிலைகளை மறுசீரமைக்க சம்பந்தப்பட்ட சக்திகளின் வேலை என்று வரையறுக்கப்படுகிறது), ஒவ்வொரு விசையுடனும் தொடர்புடைய சாத்தியமான ஆற்றல்களைச் சுருக்குவதன் மூலம் பெறப்படுகிறது. இது பெரும்பாலும் பயனுள்ளதாக இருக்கும், ஏனென்றால் பொதுவாக எதிர்கொள்ளும் பல சக்திகள் பழமைவாதமானவை. நியூட்டனின் விதிகளுக்கு அப்பால் கிளாசிக்கல் மெக்கானிக்ஸ் நீட்டிக்கப்பட்ட புள்ளி அல்லாத பொருட்களின் மிகவும் சிக்கலான இயக்கங்களையும் விவரிக்கிறது. யூலரின் விதிகள் இந்த பகுதியில் நியூட்டனின் விதிகளுக்கு விரிவாக்கங்களை வழங்குகின்றன. கோண உந்தத்தின் கருத்துக்கள் ஒரு பரிமாண இயக்கத்தை விவரிக்கப் பயன்படுத்தப்படும் அதே கால்குலஸை நம்பியுள்ளன. ராக்கெட் சமன்பாடு ஒரு பொருளின் வேகத்தின் மாற்ற விகிதம் பற்றிய கருத்தை விரிவுபடுத்துகிறது, இது ஒரு பொருளின் "வெகுஜனத்தை இழக்கும்" விளைவுகளை உள்ளடக்கியது. (இந்த பொதுமைப்படுத்தல்கள்/நீட்டிப்புகள் நியூட்டனின் விதிகளிலிருந்து பெறப்படுகின்றன, அதாவது, ஒரு திடமான பொருளை புள்ளிகளின் தொகுப்பாக சிதைப்பதன் மூலம்.) பாரம்பரிய இயக்கவியலில் இரண்டு முக்கியமான மாற்று சூத்திரங்கள் உள்ளனஃ லக்ராஞ்சியன் இயக்கவியல் மற்றும் ஹாமில்டோனியன் இயக்கவியல். இவை மற்றும் பிற நவீன சூத்திரங்கள், பொதுவாக "விசை" என்ற கருத்தை புறக்கணிக்கிறது, அதற்கு பதிலாக ஆற்றல், வேகம் மற்றும் வேகம் போன்ற பிற இயற்பியல் அளவுகளைக் குறிப்பிடுகிறது, இயந்திர அமைப்புகளை பொதுவான ஆயத்தொகுப்புகளில் விவரிக்கிறது. இவை அடிப்படையில் நியூட்டனின் விதிகளின் கணித மறு எழுத்துக்கள், ஆனால் சிக்கலான இயந்திர சிக்கல்களை இந்த வடிவங்களில் தீர்ப்பது மிகவும் எளிதானது. மேலும், குவாண்டம் இயக்கவியலுடன் ஒப்புமை ஹாமில்டோனியன் சம்பிரதாயத்தில் மிகவும் வெளிப்படையானது. உந்தம் மற்றும் இயக்க ஆற்றலுக்காக மேலே கொடுக்கப்பட்ட வெளிப்பாடுகள் குறிப்பிடத்தக்க மின்காந்த பங்களிப்பு இல்லாதபோது மட்டுமே செல்லுபடியாகும். மின்காந்தவியலில், நியூட்டனின் மின்னோட்டத்தை சுமந்து செல்லும் கம்பிகளுக்கான இரண்டாவது விதி சிதைகிறது, சி 2 ஆல் வகுக்கப்பட்ட போயின்டிங் திசையன் வெளிப்படுத்தியபடி அமைப்பின் வேகத்திற்கு மின்காந்த புலத்தின் பங்களிப்பை ஒருவர் சேர்க்காவிட்டால், அங்கு சி என்பது இலவச இடத்தில் ஒளியின் வேகம். செல்லுபடியின் வரம்புகள் பாரம்பரிய இயக்கவியலின் பல கிளைகள் மிகவும் துல்லியமான வடிவங்களின் எளிமைப்படுத்தல்கள் அல்லது தோராயங்கள் ஆகும்; மிகவும் துல்லியமான இரண்டு பொது சார்பியல் மற்றும் சார்பியல் புள்ளிவிவர இயக்கவியல் ஆகும். வடிவியல் ஒளியியல் என்பது ஒளியின் குவாண்டம் கோட்பாட்டின் தோராயமாகும், மேலும் இது ஒரு உயர்ந்த "கிளாசிக்கல்" வடிவத்தைக் கொண்டிருக்கவில்லை. குவாண்டம் இயக்கவியல் மற்றும் கிளாசிக்கல் இயக்கவியல் ஆகிய இரண்டும் பயன்படுத்த முடியாதபோது, குவாண்டம் மட்டத்தில் பல டிகிரி சுதந்திரத்துடன், குவாண்டம் புலம் கோட்பாடு (கியூஎஃப்டி) பயன்படுத்தப்படுகிறது. க்யூஎஃப்டி சிறிய தூரங்கள் மற்றும் பல அளவிலான சுதந்திரத்துடன் கூடிய பெரிய வேகம் மற்றும் தொடர்பு முழுவதும் துகள்களின் எண்ணிக்கையில் ஏதேனும் மாற்றம் ஏற்படுவதற்கான சாத்தியக்கூறுகள் ஆகியவற்றைக் கையாள்கிறது. மேக்ரோஸ்கோபிக் மட்டத்தில் பெரிய அளவிலான சுதந்திரத்திற்கு சிகிச்சையளிக்கும் போது, புள்ளிவிவர இயக்கவியல் பயனுள்ளதாக இருக்கும். புள்ளிவிவர இயக்கவியல் பெரிய (ஆனால் கணக்கிடக்கூடிய) எண்ணிக்கையிலான துகள்களின் நடத்தை மற்றும் மேக்ரோஸ்கோபிக் மட்டத்தில் ஒட்டுமொத்தமாக அவற்றின் தொடர்புகளை விவரிக்கிறது. புள்ளியியல் இயக்கவியல் முக்கியமாக வெப்ப இயக்கவியலில் கிளாசிக்கல் வெப்ப இயக்கவியலின் அனுமானங்களின் எல்லைக்கு வெளியே உள்ள அமைப்புகளுக்கு பயன்படுத்தப்படுகிறது. ஒளியின் வேகத்தை நெருங்கும் அதிக வேகமான பொருட்களின் விஷயத்தில், கிளாசிக்கல் மெக்கானிக்ஸ் சிறப்பு சார்பியல் மூலம் மேம்படுத்தப்படுகிறது. பொருள்கள் மிகவும் கனமாக மாறினால் (அதாவது, கொடுக்கப்பட்ட பயன்பாட்டிற்கு அவற்றின் ஸ்வார்ஸ்ஷைல்ட் ஆரம் மிகக் குறைவாக இல்லை), நியூட்டனின் இயக்கவியலில் இருந்து விலகல்கள் வெளிப்படையாகத் தெரியும், மேலும் நியூட்டனின் பிந்தைய சம்பிரதாயத்தைப் பயன்படுத்தி அளவிட முடியும். அவ்வாறான நிலையில், பொது சார்பியல் (GR) பொருந்தும். இருப்பினும், இப்போது வரை GR மற்றும் QFT ஐ ஒருங்கிணைக்கும் குவாண்டம் ஈர்ப்பு கோட்பாடு எதுவும் இல்லை, அதாவது பொருள்கள் மிகவும் சிறியதாகவும் கனமாகவும் இருக்கும்போது அதைப் பயன்படுத்தலாம். [4] [5] சிறப்பு சார்பியலுக்கான நியூட்டனின் தோராயமானது, சிறப்பு சார்பியலில், ஒரு துகள் வேகத்தை m என்பது துகள் ஓய்வு நிறை, v அதன் திசைவேகம், v என்பது v இன் மாடுலஸ் மற்றும் c என்பது ஒளியின் வேகம். c உடன் ஒப்பிடும்போது v மிகவும் சிறியதாக இருந்தால், v2/c2 தோராயமாக பூஜ்ஜியமாகும், எனவே நியூட்டனின் சமன்பாடு ஒளியின் வேகத்துடன் ஒப்பிடும்போது குறைந்த வேகத்தில் நகரும் பொருட்களுக்கான சார்பியல் சமன்பாட்டின் தோராயமாகும். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு சைக்ளோட்ரான், கைரோட்ரான் அல்லது உயர் மின்னழுத்த மேக்னட்ரானின் சார்பியல் சைக்ளோட்ரான் அதிர்வெண் என்பது fc என்பது இயக்க ஆற்றல் T மற்றும் (ஓய்வு) நிறை m0 உடன் ஒரு எலக்ட்ரானின் (அல்லது பிற சார்ஜ் செய்யப்பட்ட துகள்) கிளாசிக்கல் அதிர்வெண் ஆகும். ஒரு எலக்ட்ரானின் (மீதமுள்ள) நிறை 511 கே. வி ஆகும். எனவே 5.11 கே. வி நேரடி மின்னோட்ட முடுக்கம் மின்னழுத்தத்துடன் கூடிய காந்த வெற்றிடக் குழாய்க்கு அதிர்வெண் திருத்தம் 1 சதவீதம் ஆகும். குவாண்டம் இயக்கவியலுக்கான கிளாசிக்கல் தோராயமானது டி ப்ரோக்லி அலைநீளம் அமைப்பின் மற்ற பரிமாணங்களை விட மிகவும் சிறியதாக இல்லாதபோது கிளாசிக்கல் இயக்கவியலின் கதிர் தோராயமானது உடைகிறது. சார்பற்ற துகள்களுக்கு, இந்த அலைநீளம் அங்கு h என்பது பிளாங்கின் மாறிலி மற்றும் p என்பது உந்தம். மீண்டும், இது கனமான துகள்களுடன் ஏற்படுவதற்கு முன்பு எலக்ட்ரான்களுடன் நிகழ்கிறது. எடுத்துக்காட்டாக, 1927 ஆம் ஆண்டில் கிளிண்டன் டேவிசன் மற்றும் லெஸ்டர் ஜெர்மர் ஆகியோரால் பயன்படுத்தப்பட்ட எலக்ட்ரான்கள், 54 V ஆல் துரிதப்படுத்தப்பட்டு, 0.167 nm அலைநீளத்தைக் கொண்டிருந்தன, இது 0.215 nm அணு இடைவெளியுடன் ஒரு நிக்கல் படிகத்தின் முகத்திலிருந்து பிரதிபலிக்கும்போது ஒற்றை விலகல் பக்க மடலை வெளிப்படுத்த போதுமானதாக இருந்தது. ஒரு பெரிய வெற்றிட அறையுடன், ரேடியனைச் சுற்றியுள்ள கோணத் தெளிவுத்திறனை ஒரு மில்லிரேடியனுக்கு அதிகரிப்பது ஒப்பீட்டளவில் எளிதானது என்று தோன்றுகிறது, மேலும் ஒருங்கிணைந்த சுற்று கணினி நினைவகத்தின் காலமுறை வடிவங்களிலிருந்து குவாண்டம் விலகலைக் காணலாம். சுரங்கப்பாதை டையோட்களில் குவாண்டம் சுரங்கப்பாதை மற்றும் ஒருங்கிணைந்த சுற்றுகளில் மிகவும் குறுகிய டிரான்சிஸ்டர் வாயில்கள் மூலம் கடத்தல் ஒரு பொறியியல் அளவில் கிளாசிக்கல் இயக்கவியலின் தோல்விக்கு மிகவும் நடைமுறை எடுத்துக்காட்டுகள் ஆகும். கிளாசிக்கல் மெக்கானிக்ஸ் என்பது வடிவியல் ஒளியியலின் அதே தீவிர உயர் அதிர்வெண் தோராயமாகும். இது பெரும்பாலும் துல்லியமானது, ஏனெனில் இது துகள்கள் மற்றும் உடல்களை ஓய்வு வெகுஜனத்துடன் விவரிக்கிறது. இவை அதிக வேகத்தைக் கொண்டுள்ளன, எனவே அதே இயக்க ஆற்றல்களுடன் ஒளி போன்ற வெகுஜனமற்ற துகள்களை விட குறுகிய டி ப்ரோக்லி அலைநீளங்களைக் கொண்டுள்ளன. உடல்களின் இயக்கம் பற்றிய ஆய்வு ஒரு பண்டைய ஒன்றாகும், இது கிளாசிக்கல் மெக்கானிக்ஸ் அறிவியல், பொறியியல் மற்றும் தொழில்நுட்பத்தில் பழமையான மற்றும் மிகப்பெரிய பாடங்களில் ஒன்றாகும். பழங்காலத்தின் சில கிரேக்க தத்துவவாதிகள், அவர்களில் அரிஸ்டாட்டிலிய இயற்பியலின் நிறுவனர் அரிஸ்டாட்டில், "எல்லாம் ஒரு காரணத்திற்காகவே நடக்கிறது" என்ற கருத்தை முதன்முதலில் பராமரித்திருக்கலாம், மேலும் இயற்கையைப் புரிந்துகொள்ள கோட்பாட்டு கொள்கைகள் உதவும். ஒரு நவீன வாசகருக்கு, இந்த பாதுகாக்கப்பட்ட கருத்துக்களில் பல வெளிப்படையாக நியாயமானவை என்று தோன்றினாலும், கணிதக் கோட்பாடு மற்றும் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட பரிசோதனை ஆகிய இரண்டிலும் வெளிப்படையான பற்றாக்குறை உள்ளது, நாம் அறிந்தபடி. இவை பின்னர் நவீன அறிவியலை உருவாக்குவதில் தீர்க்கமான காரணிகளாக மாறியது, மேலும் அவற்றின் ஆரம்பகால பயன்பாடு கிளாசிக்கல் மெக்கானிக்ஸ் என்று அறியப்பட்டது. இடைக்கால கணிதவியலாளர் ஜோர்டானஸ் டி நெமோர் தனது எலிமெண்டா சூப்பர் டெமோன்ஸ்ட்ரேமெம் போண்டெரமில் "நிலை ஈர்ப்பு" மற்றும் கூறு சக்திகளின் பயன்பாடு என்ற கருத்தை அறிமுகப்படுத்தினார். கிரகங்களின் இயக்கங்களைப் பற்றிய முதல் வெளியிடப்பட்ட காரண விளக்கம் ஜோஹன்னஸ் கெப்லரின் அஸ்ட்ரோனோமியா நோவா ஆகும், இது 1609 இல் வெளியிடப்பட்டது. செவ்வாய் கிரகத்தின் சுற்றுப்பாதையில் டைகோ பிராஹேயின் அவதானிப்புகளின் அடிப்படையில், கிரகத்தின் சுற்றுப்பாதைகள் நீள்வட்டங்கள் என்று அவர் முடிவு செய்தார். பண்டைய சிந்தனையுடன் இந்த முறிவு அதே நேரத்தில் நடந்தது, கலிலியோ பொருட்களின் இயக்கத்திற்கான சுருக்க கணித விதிகளை முன்மொழிந்தார். பீசா கோபுரத்திலிருந்து வெவ்வேறு எடைகளைக் கொண்ட இரண்டு பீரங்கி குண்டுகளை வீசிய புகழ்பெற்ற பரிசோதனையை அவர் செய்திருக்கலாம் (அல்லது செய்யாமல் இருக்கலாம்), அவை இரண்டும் ஒரே நேரத்தில் தரையில் விழுந்தன என்பதைக் காட்டுகிறது. அந்த குறிப்பிட்ட பரிசோதனையின் யதார்த்தம் சர்ச்சைக்குரியது, ஆனால் அவர் சாய்ந்த விமானத்தில் பந்துகளை உருட்டுவதன் மூலம் அளவு சோதனைகளை மேற்கொண்டார். அவரது துரிதப்படுத்தப்பட்ட இயக்கக் கோட்பாடு அத்தகைய சோதனைகளின் முடிவுகளிலிருந்து பெறப்பட்டது மற்றும் பாரம்பரிய இயக்கவியலின் ஒரு மூலக்கல்லாக அமைந்தது. 1673 ஆம் ஆண்டில் கிறிஸ்டியன் ஹைஜென்ஸ் தனது ஹொரோலோகியம் ஆஸிலேட்டோரியத்தில் இயக்கத்தின் முதல் இரண்டு விதிகளை விவரித்தார். ஒரு இயற்பியல் சிக்கல் (விழும் பொருளின் துரிதப்படுத்தப்பட்ட இயக்கம்) ஒரு அளவுருக்களின் தொகுப்பால் இலட்சியப்படுத்தப்பட்டு பின்னர் கணித ரீதியாக பகுப்பாய்வு செய்யப்பட்டு பயன்பாட்டு கணிதத்தின் அடிப்படை படைப்புகளில் ஒன்றாகும். நியூட்டன் தனது இயற்கை தத்துவக் கொள்கைகளை மூன்று முன்மொழியப்பட்ட இயக்க விதிகளின் அடிப்படையில் நிறுவினார்ஃ மந்தநிலை விதி, அவரது இரண்டாவது முடுக்கம் விதி (மேலே குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது), மற்றும் செயல் மற்றும் எதிர்வினை விதி; எனவே பாரம்பரிய இயக்கவியலுக்கு அடித்தளம் அமைத்தது. நியூட்டனின் இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது விதிகள் இரண்டிற்கும் நியூட்டனின் தத்துவஞானி நேச்சுரலிஸ் பிரின்சிபியா கணிதத்தில் சரியான அறிவியல் மற்றும் கணித சிகிச்சை வழங்கப்பட்டது. முழுமையற்ற, தவறான அல்லது சிறிய துல்லியமான கணித வெளிப்பாடு கொடுக்கப்பட்ட ஒத்த நிகழ்வுகளை விளக்கும் முந்தைய முயற்சிகளிலிருந்து அவை இங்கே வேறுபடுகின்றன. வேகத்தையும் கோண வேகத்தையும் பாதுகாக்கும் கொள்கைகளையும் நியூட்டன் விளக்கினார். இயக்கவியலில், நியூட்டனின் உலகளாவிய ஈர்ப்பு விதியில் ஈர்ப்பு விசையின் முதல் சரியான அறிவியல் மற்றும் கணித சூத்திரத்தை முதன்முதலில் வழங்கியவர் நியூட்டன் ஆவார். நியூட்டனின் இயக்கம் மற்றும் ஈர்ப்பு விதிகளின் கலவையானது பாரம்பரிய இயக்கவியலின் முழுமையான மற்றும் மிகவும் துல்லியமான விளக்கத்தை வழங்குகிறது. இந்த சட்டங்கள் அன்றாடப் பொருட்களுக்கும், வானப் பொருட்களுக்கும் பொருந்தும் என்பதை அவர் நிரூபித்தார். குறிப்பாக, அவர் கெப்லரின் கிரகங்களின் இயக்க விதிகள் பற்றிய தத்துவார்த்த விளக்கத்தைப் பெற்றார். நியூட்டன் முன்பு கணிதத்தின் கால்குலஸைக் கண்டுபிடித்து, கணிதக் கணக்கீடுகளைச் செய்ய அதைப் பயன்படுத்தினார். ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய வகையில், அவரது புத்தகமான பிரின்சிபியா, நீண்டகாலமாக நிறுவப்பட்ட வடிவியல் முறைகளின் அடிப்படையில் முற்றிலும் வடிவமைக்கப்பட்டது, அவை விரைவில் அவரது கணக்கீட்டால் மறைக்கப்பட்டன. இருப்பினும், லீப்னிஸ் தான் இன்று விரும்பப்படும் வழித்தோன்றல் மற்றும் ஒருங்கிணைப்பின் குறியீட்டை உருவாக்கினார். நியூட்டன் மற்றும் அவரது சமகாலத்தவர்களில் பெரும்பாலோர், ஹைஜென்ஸைத் தவிர, ஒளி உட்பட அனைத்து நிகழ்வுகளையும் வடிவியல் ஒளியியல் வடிவத்தில் விளக்க முடியும் என்ற அனுமானத்தில் பணியாற்றினர். நியூட்டனின் வளையங்கள் (ஒரு அலை குறுக்கீடு நிகழ்வு) என்று அழைக்கப்படுவதைக் கண்டுபிடித்தபோதும் அவர் ஒளியின் தனது சொந்த கார்பஸ்குலர் கோட்பாட்டை பராமரித்தார். நியூட்டனுக்குப் பிறகு, கிளாசிக்கல் மெக்கானிக்ஸ் கணிதம் மற்றும் இயற்பியலில் ஒரு முக்கிய ஆய்வுத் துறையாக மாறியது. கணித சூத்திரங்கள் படிப்படியாக அதிக எண்ணிக்கையிலான சிக்கல்களுக்கு தீர்வுகளைக் கண்டறிய அனுமதித்தன. முதல் குறிப்பிடத்தக்க கணித சிகிச்சை 1788 ஆம் ஆண்டில் ஜோசப் லூயிஸ் லாக்ராஞ்சால் செய்யப்பட்டது. 1833 ஆம் ஆண்டில் வில்லியம் ரோவன் ஹாமில்டன் என்பவரால் லக்ராஞ்சியன் இயக்கவியல் மீண்டும் உருவாக்கப்பட்டது. 19 ஆம் நூற்றாண்டின் பிற்பகுதியில் சில சிக்கல்கள் கண்டுபிடிக்கப்பட்டன, அவை நவீன இயற்பியலால் மட்டுமே தீர்க்கப்பட முடியும். இந்த சிக்கல்களில் சில மின்காந்தக் கோட்பாடு மற்றும் புகழ்பெற்ற மைக்கேல்சன்-மோர்லி பரிசோதனையுடன் பொருந்தக்கூடிய தன்மை தொடர்பானவை. இந்த சிக்கல்களைத் தீர்ப்பது சிறப்பு சார்பியல் கோட்பாட்டிற்கு வழிவகுத்தது, இது பெரும்பாலும் பாரம்பரிய இயக்கவியலின் ஒரு பகுதியாகக் கருதப்படுகிறது. இரண்டாவது சிக்கல்கள் வெப்ப இயக்கவியலுடன் தொடர்புடையவை. வெப்ப இயக்கவியலுடன் இணைக்கும்போது, கிளாசிக்கல் இயக்கவியல் கிப்ஸ் முரண்பாட்டிற்கு வழிவகுக்கிறது கிளாசிக்கல் புள்ளியியல் இயக்கவியல், இதில் என்ட்ரோபி நன்கு வரையறுக்கப்பட்ட அளவு அல்ல. குவாண்டா அறிமுகப்படுத்தப்படாமல் கருப்பு-உடல் கதிர்வீச்சு விளக்கப்படவில்லை. சோதனைகள் அணு மட்டத்தை அடைந்தபோது, அணுக்களின் ஆற்றல் நிலைகள் மற்றும் அளவுகள் மற்றும் ஒளி-மின்சார விளைவு போன்ற அடிப்படை விஷயங்களை கிளாசிக்கல் மெக்கானிக்ஸ் விளக்கத் தவறிவிட்டது. இந்த சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான முயற்சி குவாண்டம் இயக்கவியலின் வளர்ச்சிக்கு வழிவகுத்தது. 20 ஆம் நூற்றாண்டின் இறுதியில் இருந்து, இயற்பியலில் கிளாசிக்கல் மெக்கானிக்ஸ் இனி ஒரு சுயாதீனமான கோட்பாடாக இல்லை. அதற்கு பதிலாக, கிளாசிக்கல் மெக்கானிக்ஸ் இப்போது மிகவும் பொதுவான குவாண்டம் மெக்கானிக்ஸின் தோராயமான கோட்பாடாக கருதப்படுகிறது. நிலையான மாதிரியைப் போலவே இயற்கையின் அடிப்படை சக்திகளைப் புரிந்துகொள்வதற்கும், அதன் நவீன விரிவாக்கங்கள் எல்லாவற்றையும் பற்றிய ஒருங்கிணைந்த கோட்பாட்டிற்கும் முக்கியத்துவம் மாறியுள்ளது. பாரம்பரிய இயக்கவியல் என்பது பலவீனமான ஈர்ப்பு விசைகளில் அளவு அல்லாத இயந்திர, குறைந்த ஆற்றல் துகள்களின் இயக்கத்தைப் பற்றிய ஆய்வுக்கு பயனுள்ள ஒரு கோட்பாடாகும். மேலும், இது சிக்கலான களத்திற்குள் விரிவுபடுத்தப்பட்டுள்ளது, அங்கு சிக்கலான பாரம்பரிய இயக்கவியல் குவாண்டம் இயக்கவியலுக்கு மிகவும் ஒத்த நடத்தைகளை வெளிப்படுத்துகிறது. கிளைகள் கிளாசிக்கல் மெக்கானிக்ஸ் பாரம்பரியமாக மூன்று முக்கிய கிளைகளாக பிரிக்கப்பட்டனஃ ஸ்டேட்டிக்ஸ், சமநிலை பற்றிய ஆய்வு மற்றும் இயக்கவியல் சக்திகளுடனான அதன் உறவு, இயக்கம் பற்றிய ஆய்வு மற்றும் இயக்கவியல் சக்திகளுடனான அதன் உறவு, அவை ஏற்படுத்தும் சூழ்நிலைகளைப் பொருட்படுத்தாமல் கவனிக்கப்பட்ட இயக்கங்களின் தாக்கங்களைக் கையாள்வது மற்றொரு பிரிவு கணித சம்பிரதாயத்தின் தேர்வை அடிப்படையாகக் கொண்டதுஃ நியூட்டனின் இயக்கவியல் லாக்ராஞ்சியன் இயக்கவியல் ஹாமில்டோனியன் இயக்கவியல் மாற்றாக, பயன்பாட்டின் பகுதியால் ஒரு பிரிவை உருவாக்க முடியும்ஃ வான இயக்கவியல், நட்சத்திரங்கள், கிரகங்கள் மற்றும் பிற வான உடல்கள் தொடர்ச்சி இயக்கவியல், ஒரு தொடர்ச்சியாக வடிவமைக்கப்பட்ட பொருட்களுக்கு, எ. கா., திடப்பொருட்கள் மற்றும் திரவங்கள் (அதாவது, திரவங்கள் மற்றும் வாயுக்கள்). சார்பியல் இயக்கவியல் (அதாவது. சிறப்பு மற்றும் பொது சார்பியல் கோட்பாடுகள் உட்பட), ஒளியின் வேகத்திற்கு நெருக்கமாக இருக்கும் உடல்களுக்கு. புள்ளிவிவர இயக்கவியல், இது தனிப்பட்ட அணுக்கள் மற்றும் மூலக்கூறுகளின் நுண்ணோக்கி பண்புகளை பொருட்களின் மேக்ரோஸ்கோபிக் அல்லது மொத்த வெப்ப இயக்கவியல் பண்புகளுடன் தொடர்புபடுத்துவதற்கான ஒரு கட்டமைப்பை வழங்குகிறது. கிளாசிக்கல் இயக்கவியலில் சமன்பாடுகளின் பட்டியல் கிளாசிக்கல் இயக்கவியலில் வெளியீடுகளின் பட்டியல் கிளாசிக்கல் இயக்கவியல் மற்றும் குவாண்டம் இயக்கவியல் பற்றிய பாடப்புத்தகங்களின் பட்டியல் நியூட்டனின் இயக்க விதிகள் சிறப்பு சார்பியல் இயக்கவியல் குவாண்டம் புலக் கோட்பாடு குறிப்புகள் மேலும் வாசிப்பு வெளிப்புற இணைப்புகள் க்ரோவெல், பெஞ்சமின். ஒளி மற்றும் பொருள் (ஒரு அறிமுக உரை, கால்குலஸை உள்ளடக்கிய விருப்பப் பிரிவுகளுடன் இயற்கணிதத்தைப் பயன்படுத்துகிறது) ஃபிட்ஸ்பாட்ரிக், ரிச்சர்ட். கிளாசிக்கல் மெக்கானிக்ஸ் (கால்குலஸ் பயன்படுத்துகிறது) ஹோய்லாண்ட், பால் (2004). முன்னுரிமை ஃப்ரேம்ஸ் ஆஃப் ரெஃபரன்ஸ் அண்ட் ரிலேட்டிவிட்டி ஹார்பாட்ச், மார்கோ, "கிளாசிக்கல் மெக்கானிக்ஸ் கோர்ஸ் நோட்ஸ்". ரோசு, ஹரேட் சி., "கிளாசிக்கல் மெக்கானிக்ஸ்". இயற்பியல் கல்வி. 1999 ஆம் ஆண்டு. [arxiv.org: இயற்பியல்/9909035] ஷாபிரோ, ஜோயல் ஏ. (2003). கிளாசிக்கல் மெக்கானிக்ஸ் சுஸ்மான், ஜெரால்ட் ஜே & விஸ்டம், ஜாக் & மேயர், மெயின்ஹார்ட் ஈ. (2001). கிளாசிக்கல் மெக்கானிக்ஸ் அமைப்பு மற்றும் விளக்கம் டோங், டேவிட். கிளாசிக்கல் டைனமிக்ஸ் (கேம்பிரிட்ஜ் விரிவுரை குறிப்புகள் லாக்ராஞ்சியன் மற்றும் ஹாமில்டோனியன் சம்பிரதாயம்) வடிவமைப்பு டிஜிட்டல் நூலகத்திற்கான இயக்கவியல் மாதிரிகள் (கே. எம். ஓ. டி. டி. எல்) கார்னெல் பல்கலைக்கழகத்தில் நூற்றுக்கணக்கான வேலை செய்யும் இயந்திர-அமைப்பு மாதிரிகளின் திரைப்படங்கள் மற்றும் புகைப்படங்கள். இயந்திர வடிவமைப்பு மற்றும் பொறியியல் குறித்த உன்னதமான நூல்களின் மின் புத்தக நூலகமும் இதில் அடங்கும். எம்ஐடி ஓபன்கோர்ஸ்வேர் 8.01: கிளாசிக்கல் மெக்கானிக்ஸ் விரிவுரை குறிப்புகள், பணிகள் மற்றும் தேர்வுகளுக்கான இணைப்புகளுடன் உண்மையான பாடநெறி விரிவுரைகளின் இலவச வீடியோக்கள். அலெஜான்ட்ரோ ஏ. டோராசா, கிளாசிக்கல் மெக்கானிக்ஸ் மீது