Octal game
ஆக்ட்டல் விளையாட்டுகள் என்பது இரண்டு வீரர்களின் விளையாட்டுகளின் ஒரு வகுப்பாகும், இது டோக்கன்களின் குவியல்களிலிருந்து டோக்கன்களை (விளையாட்டு துண்டுகள் அல்லது கற்கள்) அகற்றுவதை உள்ளடக்கியது. நிம், கெய்ல்ஸ் மற்றும் ஒத்த விளையாட்டுகளின் பொதுமைப்படுத்தலாக அவை ஒருங்கிணைந்த விளையாட்டு கோட்பாட்டில் ஆய்வு செய்யப்பட்டுள்ளன. ஆக்ட்டல் விளையாட்டுகள் பக்கச்சார்பற்றவை, அதாவது ஒரு வீரருக்கு கிடைக்கும் ஒவ்வொரு நகர்வும் மற்ற வீரருக்கும் கிடைக்கும். ஒரே நகர்வில் அகற்றப்படக்கூடிய டோக்கன்களின் எண்ணிக்கையிலும், (இந்த எண்ணைப் பொறுத்து) ஒரு முழு குவியலை அகற்றவோ, குவியலின் அளவைக் குறைக்கவோ அல்லது குவியலை இரண்டு குவியல்களாக பிரிக்கவோ அனுமதிக்கப்படுகிறதா என்பதிலும் அவை ஒருவருக்கொருவர் வேறுபடுகின்றன. இந்த விதி மாறுபாடுகளை ஆக்ட்டல் எண்களைப் பயன்படுத்தி ஒரு குறியீட்டு முறை மூலம் சுருக்கமாக விவரிக்கலாம். விளையாட்டு விவரக்குறிப்பு ஒரு ஆக்ட்டல் விளையாட்டு குவியல்களாக பிரிக்கப்பட்ட டோக்கன்களுடன் விளையாடப்படுகிறது. எந்த நகர்வுகளும் சாத்தியமில்லாத வரை இரண்டு வீரர்கள் மாறி மாறி நகர்கிறார்கள். ஒவ்வொரு நகர்விலும் குவியல்களில் ஒன்றைத் தேர்ந்தெடுப்பது, குவியலில் உள்ள அனைத்து டோக்கன்களையும் அகற்றுவது, குவியல் இல்லாமல் விடுவது, சிலவற்றை அகற்றுவது, ஆனால் அனைத்து டோக்கன்களையும் அகற்றுவது, ஒரு சிறிய குவியலை விட்டுச் செல்வது அல்லது சில டோக்கன்களை அகற்றுவது ஆகியவை அடங்கும். தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட குவியல்களைத் தவிர மற்ற குவியல்கள் மாறாமல் உள்ளன. சாதாரண விளையாட்டில் கடைசியாக நகரும் வீரர் வெற்றி பெறுகிறார். இந்த விளையாட்டை மிசெர் பிளேயிலும் விளையாடலாம், இதில் கடைசியாக நகரும் வீரர் இழக்கிறார். இந்த பாணியில் குவியல்களுடன் விளையாடப்படும் விளையாட்டுகள், இதில் ஒவ்வொரு குவியலுக்கும் அனுமதிக்கப்பட்ட நகர்வுகள் அசல் குவியலின் அளவால் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன, அவை இலக்கியத்தில் டேக்கிங் அண்ட் பிரேக்கிங் விளையாட்டுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. ஆக்ட்டல் விளையாட்டுகள் என்பது எடுக்கும் மற்றும் உடைக்கும் விளையாட்டுகளின் துணைக்குழுவாகும், இதில் அனுமதிக்கப்பட்ட நகர்வுகள் குவியலிலிருந்து அகற்றப்பட்ட டோக்கன்களின் எண்ணிக்கையால் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன. ஒரு விளையாட்டின் ஆக்ட்டல் குறியீடு 0 என குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது. d1 d2 d3 d4., இதில் ஆக்ட்டல் இலக்க dn ஒரு குவியலில் இருந்து n டோக்கன்களை அகற்றிய பிறகு பூஜ்ஜியம், ஒன்று அல்லது இரண்டு குவியல்களை விட்டுச் செல்ல அனுமதிக்கப்படுகிறதா என்பதைக் குறிப்பிடுகிறது. பூஜ்ஜிய குவியல்களை விட்டுவிட்டால் 1 இன் கூட்டுத்தொகை டிஎன் ஆகும், இல்லையெனில் 0; ஒரு குவியலை விட்டுவிட்டால் 2 அனுமதிக்கப்படுகிறது, இல்லையெனில் 0; மற்றும் இரண்டு குவியல்களை விட்டுவிட்டால் 4 அனுமதிக்கப்படுகிறது, இல்லையெனில் 0. பூஜ்ஜிய டோக்கன்கள் ஒரு குவியலாக கணக்கிடப்படுவதில்லை. எனவே n டோக்கன்களின் குவியலை முழுவதுமாக அகற்றலாம், இல்லையென்றாலும் கூட, இலக்க டிஎன் ஒற்றைப்படை. டிஎன் இல் ஒரு-குவியல் முடிவுகளின் விவரக்குறிப்பு n க்கும் அதிகமான குவியலிலிருந்து n டோக்கன்களை அகற்றுவதற்கு பொருந்தும். டிஎன் இல் இரண்டு-குவியல் முடிவுகள் குறைந்தது n + 2 குவியலிலிருந்து n டோக்கன்களை அகற்றுவதற்கும், மீதமுள்ளவற்றை இரண்டு காலியாக இல்லாத குவியல்களாக பிரிப்பதற்கும் பொருந்தும். ஆக்ட்டல் விளையாட்டுகள் தசம புள்ளியின் இடதுபுறத்தில் உள்ள 4 இலக்கத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், எந்த டோக்கன்களையும் அகற்றாமல் ஒரு குவியலை இரண்டு பகுதிகளாகப் பிரிக்க அனுமதிக்கலாம். இது கிரண்டியின் விளையாட்டின் நகர்வுக்கு ஒத்ததாகும், இது ஒரு குவியலை இரண்டு சமமற்ற பகுதிகளாகப் பிரிப்பதாகும். இருப்பினும், நிலையான ஆக்ட்டல் விளையாட்டு குறியீட்டிற்கு சமமற்ற பகுதிகளின் தடையை வெளிப்படுத்தும் அதிகாரம் இல்லை. பூஜ்ஜியமற்ற இலக்கங்களின் வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையை மட்டுமே கொண்ட ஆக்டல் விளையாட்டுகள் வரையறுக்கப்பட்ட ஆக்டல் விளையாட்டுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. ஒருங்கிணைந்த விளையாட்டு கோட்பாட்டின் மிக அடிப்படையான விளையாட்டு நிம் ஆகும், இதில் பூஜ்ஜியம் அல்லது ஒரு குவியலை விட்டு, ஒரு குவியலிலிருந்து எத்தனை டோக்கன்களையும் அகற்றலாம். நிம்-க்கான ஆக்டல் குறியீடு 0.333., வெளியிடப்பட்ட இலக்கியத்தில் தோன்றும், இது மீண்டும் மீண்டும் வரும் பகுதியை மீண்டும் மீண்டும் வரும் தசமத்தில் குறிக்கிறது. இருப்பினும், திரும்பத் திரும்ப வரும் பகுதி ஆக்டல் பின்னங்களில் உள்ள அதே பாத்திரத்தை வகிக்கவில்லை என்பதை உணர வேண்டியது அவசியம், இதில் விளையாட்டுகளும் ஒரே மாதிரியானவை அல்ல, ஆக்டல் பின்னங்களாக அவை சமமாக இருந்தாலும். கெய்ல்ஸ் விளையாட்டு வழக்கமாக n ஊசிகளின் வரிசையுடன் விளையாடுவதைப் போல காட்சிப்படுத்தப்படுகிறது, ஆனால் n கவுண்டர்களின் குவியலால் மாதிரியாக இருக்கலாம். ஒரு குவியலில் இருந்து ஒன்று அல்லது இரண்டு டோக்கன்களை அகற்றி, மீதமுள்ளவற்றை பூஜ்ஜியம், ஒன்று அல்லது இரண்டு குவியல்களாக ஏற்பாடு செய்ய ஒருவர் அனுமதிக்கப்படுகிறார். கெய்ல்ஸுக்கான ஆக்ட்டல் குறியீடு 0.77 ஆகும். டாசனின் செஸ் டாசனின் செஸ் என்பது 1938 ஆம் ஆண்டு கெய்ஸாவின் வைல்ட் ரோஸஸில் தாமஸ் ரேனர் டாசன் முன்வைத்த சதுரங்க புதிரிலிருந்து எழும் ஒரு விளையாட்டு ஆகும். இந்த புதிர் ஒற்றை தரத்தால் பிரிக்கப்பட்ட எதிர் வரிசை சிப்பாய்களை உள்ளடக்கியது என்று முன்வைக்கப்பட்டது. புதிர் ஒரு பக்கச்சார்பற்ற விளையாட்டாக முன்வைக்கப்படவில்லை என்றாலும், பிடிப்புகள் கட்டாயமானது என்ற அனுமானம், ஒரு வீரர் எந்தவொரு கோப்பிலும் நகர்வது அந்த கோப்பையும் அதன் அண்டை நாடுகளையும் (ஏதேனும் இருந்தால்) மேலும் பரிசீலனையிலிருந்து அகற்றுவதில் மட்டுமே விளைகிறது, எதிர் வீரர் நகர வேண்டும். இதை n டோக்கன்களின் குவியலாக வடிவமைத்து, ஒரு வீரர் ஒன்று, இரண்டு அல்லது மூன்று டோக்கன்களின் முழு குவியலையும் அகற்றலாம், எந்த குவியலையும் இரண்டு அல்லது மூன்று டோக்கன்களால் குறைக்கலாம் அல்லது மூன்று டோக்கன்களை அகற்றிய பிறகு ஒரு குவியலை இரண்டு பகுதிகளாகப் பிரிக்கலாம். டாசனின் சதுரங்கம் இவ்வாறு ஆக்ட்டல் குறியீடு 0.137 ஆல் குறிக்கப்படுகிறது. டாசனின் கெய்ல்ஸ் என்று அழைக்கப்படும் 0.07 என்ற விளையாட்டில், ஒரு குவியலில் இருந்து சரியாக இரண்டு டோக்கன்களை அகற்றி, மீதமுள்ளவற்றை பூஜ்ஜியம், ஒன்று அல்லது இரண்டு குவியல்களாக விநியோகிப்பதே ஒரு நடவடிக்கையாகும். டாசனின் கெய்ல்ஸ் டாசனின் சதுரங்கத்துடன் அதன் (வெளிப்படையான) ஒற்றுமைக்காக பெயரிடப்பட்டுள்ளது, இதில் டாசனின் கெய்ல்ஸ் குவியல் n + 1 டோக்கன்கள் டாசனின் சதுரங்க குவியல் n டோக்கன்களைப் போலவே செயல்படுகின்றன. டாசனின் கெய்ல்ஸ் டாசனின் சதுரங்கத்தின் முதல் உறவினர் என்று கூறப்படுகிறது. ஒவ்வொரு நகர்வும் ஒரு குவியலை பூஜ்ஜியமாகவோ அல்லது ஒரு குவியலாகவோ மாற்றும் நிம் போன்ற ஆக்ட்டல் விளையாட்டுகளின் பிற தளங்களுக்கான பொதுமைப்படுத்தல், குவாட்டர்னரி விளையாட்டுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, ஏனெனில் 0,1,2 மற்றும் 3 என்ற இலக்கங்கள் மட்டுமே தோன்றும். எக்ஸ்டல் குறியீடு ஹெக்ஸாடெசிமல் விளையாட்டுகளைச் சேர்க்க நீட்டிக்கப்படலாம், இதில் இலக்கங்கள் ஒரு குவியலை மூன்று பகுதிகளாகப் பிரிக்க அனுமதிக்கின்றன. உண்மையில், தன்னிச்சையாக பெரிய தளங்கள் சாத்தியமாகும். குவாட்டர்னரி, ஆக்டல் மற்றும் ஹெக்ஸாடெசிமல் விளையாட்டுகளின் பகுப்பாய்வு, இந்த வகை விளையாட்டுகள் ஒருவருக்கொருவர் குறிப்பிடத்தக்க வகையில் வேறுபடுகின்றன என்பதையும், பெரிய தளங்களின் நடத்தை அதிக ஆய்வைப் பெறவில்லை என்பதையும் காட்டுகிறது. நிம்-வரிசை ஸ்ப்ரேக்-கிரண்டி தேற்றம் என்பது n அளவு குவியல் என்பது கொடுக்கப்பட்ட அளவின் நிம் குவியலுக்கு சமம் என்பதைக் குறிக்கிறது, பொதுவாக G (n) என்று குறிப்பிடப்படுகிறது. ஒரு ஆக்ட்டல் விளையாட்டின் பகுப்பாய்வு பின்னர் அதிகரித்து வரும் அளவின் குவியல்களுக்கான நிம்-மதிப்புகளின் வரிசையைக் கண்டறிவதில் உள்ளது. இந்த வரிசை ஜி (0), ஜி (1), ஜி (2). பொதுவாக விளையாட்டின் நிம்-வரிசை என்று அழைக்கப்படுகிறது. இதுவரை பகுப்பாய்வு செய்யப்பட்ட அனைத்து வரையறுக்கப்பட்ட ஒக்டல் விளையாட்டுகளும் ஒரு நிம்-வரிசையை இறுதியில் குறிப்பிட்ட கால இடைவெளியில் காட்டியுள்ளன, மேலும் அனைத்து வரையறுக்கப்பட்ட ஒக்டல் விளையாட்டுகளும் இறுதியில் குறிப்பிட்ட கால இடைவெளியில் உள்ளதா என்பது ஒரு திறந்த கேள்வி. இது ரிச்சர்ட் கயால் ஒருங்கிணைந்த விளையாட்டுகளின் துறையில் ஒரு முக்கியமான பிரச்சினையாக பட்டியலிடப்பட்டுள்ளது. கணக்கீட்டு பதிவுகள் ஒரு ஆக்ட்டல் விளையாட்டின் முழுமையான பகுப்பாய்வு அதன் காலம் மற்றும் அதன் நிம்-வரிசையின் முன்கூட்டிய காலத்தைக் கண்டுபிடிப்பதில் விளைகிறது. இது உங்கள் கணித நாடகங்களுக்கான வெற்றி வழிகளில் காட்டப்பட்டுள்ளது, ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட ஆக்ட்டல் விளையாட்டு காலமுறை என்பதை நிரூபிக்க நிம்-வரிசையின் வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான மதிப்புகள் மட்டுமே தேவை, இது கணினிகளுடன் கணக்கீடுகளுக்கு கதவைத் திறந்தது. அதிகபட்சம் 3 ஆக்டல்-இலக்கங்களைக் கொண்ட ஆக்டல் விளையாட்டுகள் பல ஆண்டுகளாக பகுப்பாய்வு செய்யப்பட்டுள்ளன. 79 அற்பமான ஆக்ட்டல் விளையாட்டுகள் உள்ளன, அவற்றில் 14 தீர்க்கப்பட்டுள்ளனஃ 1967 இல் ஜாக் கென்யனால்............................................................................................ குறிப்புகள் ஒருங்கிணைந்த விளையாட்டு கோட்பாடு கணித விளையாட்டுகள்