Rational number
கணிதத்தில், விகிதமுறு எண் என்பது இரண்டு முழு எண்கள், ஒரு எண் மற்றும் பூஜ்ஜியமற்ற வகுப்பின் ஈவு அல்லது பின்னமாக வெளிப்படுத்தக்கூடிய ஒரு எண் ஆகும். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு விகிதமுறு எண், ஒவ்வொரு முழு எண்ணையும் போலவே (எ. கா., அனைத்து விகிதமுறு எண்களின் தொகுப்பு, "விகிதமுறு எண்கள்" என்றும் குறிப்பிடப்படுகிறது, விகிதமுறு எண்களின் புலம் அல்லது விகிதமுறு எண்களின் புலம் பொதுவாக போல்ட்ஃபேஸ் அல்லது பிளாக்போர்டு போல்ட் மூலம் குறிக்கப்படுகிறது. பகுத்தறிவுள்ள உண்மையான எண்கள், அவற்றின் தசம விரிவாக்கம் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான இலக்கங்களுக்குப் பிறகு முடிவடைகிறது (எடுத்துக்காட்டுஃ), அல்லது இறுதியில் அதே வரையறுக்கப்பட்ட இலக்க வரிசையை மீண்டும் மீண்டும் செய்யத் தொடங்குகிறது (எடுத்துக்காட்டுஃ). இந்த கூற்று அடிப்படை 10 இல் மட்டுமல்லாமல், பைனரி மற்றும் ஹெக்ஸாடெசிமல் போன்ற ஒவ்வொரு முழு எண் அடித்தளத்திலும் உண்மை (பார்க்க). பகுத்தறிவற்ற ஒரு உண்மையான எண் பகுத்தறிவற்றது என்று அழைக்கப்படுகிறது. பகுத்தறிவற்ற எண்களில் 2 இன் வர்க்கமூலமும், தங்க விகிதமும் () அடங்கும். விகிதமுறு எண்களின் தொகுப்பு கணக்கிடக்கூடியது மற்றும் உண்மையான எண்களின் தொகுப்பு கணக்கிட முடியாதது என்பதால், கிட்டத்தட்ட அனைத்து உண்மையான எண்களும் பகுத்தறிவற்றவை. விகிதமுறு எண்களை முறைப்படி முழு எண்களின் ஜோடிகளின் சமநிலை வகுப்புகள் என்று வரையறுக்கலாம், பின்வருமாறு வரையறுக்கப்பட்ட சமநிலை உறவைப் பயன்படுத்திஃ பின்னம் பின்னர் அதன் சமநிலை வகுப்பைக் குறிக்கிறது. விகிதமுறு எண்கள் கூட்டல் மற்றும் பெருக்கத்துடன் சேர்ந்து முழு எண்களைக் கொண்ட ஒரு புலத்தை உருவாக்குகின்றன, மேலும் இது முழு எண்களைக் கொண்ட எந்த புலத்திலும் உள்ளது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், விகிதமுறு எண்களின் புலம் ஒரு பகா புலமாகும், மேலும் ஒரு புலம் விகிதமுறு எண்களை ஒரு துணை புலமாக வைத்திருந்தால் மட்டுமே அது பூஜ்ஜியத்தின் சிறப்பியல்புகளைக் கொண்டிருக்கும். இதன் வரையறுக்கப்பட்ட நீட்டிப்புகள் இயற்கணித எண் புலங்கள் என்றும், இயற்கணித மூடல் என்பது இயற்கணித எண்களின் புலம் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன. கணித பகுப்பாய்வில், விகிதமுறு எண்கள் உண்மையான எண்களின் அடர்த்தியான துணைக்குழுவை உருவாக்குகின்றன. காச்சி வரிசைகள், டெடெக்கிண்ட் வெட்டுக்கள் அல்லது எல்லையற்ற தசமங்களைப் பயன்படுத்தி விகிதமுறு எண்களிலிருந்து உண்மையான எண்களை உருவாக்க முடியும் (உண்மையான எண்களின் கட்டுமானத்தைப் பார்க்கவும்). சொற்களஞ்சியம் தொகுப்பைக் குறிக்கும் விகிதமுறு சொல் ஒரு விகிதமுறு எண் இரண்டு முழு எண்களின் விகிதத்தைக் குறிக்கிறது என்ற உண்மையைக் குறிக்கிறது. கணிதத்தில், "பகுத்தறிவு" என்பது பெரும்பாலும் "பகுத்தறிவு எண்" என்பதை சுருக்கமாகக் கொண்ட ஒரு பெயர்ச்சொல்லாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. பகுத்தறிவு என்ற பெயரடை சில நேரங்களில் குணகங்கள் விகிதமுறு எண்கள் என்று பொருள்படும். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு விகிதமுறு புள்ளி என்பது விகிதமுறு ஆயத்தொகுதிகளைக் கொண்ட ஒரு புள்ளியாகும் (அதாவது, விகிதமுறு எண்களின் ஆயத்தொகுதிகளைக் கொண்ட ஒரு புள்ளி); ஒரு விகிதமுறு அணி என்பது விகிதமுறு எண்களின் ஒரு அணி; ஒரு விகிதமுறு பல்லுறுப்புக்கோவை என்பது விகிதமுறு குணகங்களைக் கொண்ட ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையாக இருக்கலாம், இருப்பினும் "விகிதமுறு வெளிப்பாடு" மற்றும் "விகிதமுறு செயல்பாடு" (ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை என்பது ஒரு விகிதமுறு வெளிப்பாடு மற்றும் அதன் குணகங்கள் விகிதமுறு எண்களாக இல்லாவிட்டாலும் ஒரு விகிதமுறு செயல்பாட்டை வரையறுக்கிறது) இடையே குழப்பத்தைத் தவிர்ப்பதற்காக, விகிதமுறு குணகங்களை விட "பல்லுறுப்புக்கோவை" என்ற சொல் பொதுவாக விரும்பப்படுகிறது. இருப்பினும், ஒரு பகுத்தறிவு வளைவு என்பது பகுத்தறிவுகளின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட வளைவு அல்ல, ஆனால் பகுத்தறிவு செயல்பாடுகளால் அளவிடக்கூடிய ஒரு வளைவு. இப்போதெல்லாம் விகித எண்கள் விகிதங்களின் அடிப்படையில் வரையறுக்கப்பட்டாலும், விகிதமுறு சொல் விகிதத்தின் வழித்தோன்றல் அல்ல. மாறாக, விகிதமே பகுத்தறிவிலிருந்து பெறப்படுகிறதுஃ அதன் நவீன அர்த்தத்துடன் விகிதத்தின் முதல் பயன்பாடு ஆங்கிலத்தில் சுமார் 1660 இல் சான்றளிக்கப்பட்டது, அதே நேரத்தில் தகுதி எண்களுக்கு பகுத்தறிவைப் பயன்படுத்துவது கிட்டத்தட்ட ஒரு நூற்றாண்டுக்கு முன்பு, 1570 இல் தோன்றியது. பகுத்தறிவின் இந்த பொருள் பகுத்தறிவற்ற கணித அர்த்தத்திலிருந்து வந்தது, இது முதன்முதலில் 1551 இல் பயன்படுத்தப்பட்டது, மேலும் இது "யூக்ளிட்டின் மொழிபெயர்ப்புகளில் (அவரது விசித்திரமான பயன்பாட்டைத் தொடர்ந்து)" பயன்படுத்தப்பட்டது. இந்த அசாதாரண வரலாறு பண்டைய கிரேக்கர்கள் "அந்த [பகுத்தறிவற்ற] நீளங்களை எண்களாக நினைப்பதைத் தடுப்பதன் மூலம் மதச்சார்பின்மையை தவிர்த்தனர்" என்ற உண்மையிலிருந்து உருவானது. எனவே இத்தகைய நீளங்கள் பகுத்தறிவற்றவை, தர்க்கரீதியான அர்த்தத்தில், அதாவது "பற்றி பேசக்கூடாது" (கிரேக்கத்தில்). இந்த சொற்பிறப்பியல் கற்பனை எண்கள் மற்றும் உண்மையான எண்களைப் போன்றது. எண்கணிதக் குறைக்கமுடியாத பின்னம் ஒவ்வொரு விகிதமுறு எண்ணும் ஒரு தனித்துவமான வழியில் பகுக்கமுடியாத பின்னமாக வெளிப்படுத்தப்படலாம். இது பெரும்பாலும் விகிதமுறு எண்ணின் நியம வடிவம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு விகிதமுறு எண்ணிலிருந்து தொடங்கி அதன் நியதி வடிவத்தை வகுப்பதன் மூலமும் அவற்றின் மிகப் பெரிய பொதுவான வகுப்பினால் பெறலாம், மேலும், இதன் விளைவாக வரும் எண் மற்றும் வகுப்பின் அடையாளத்தை மாற்றலாம். முழு எண்களின் உட்பொதிப்பு எந்தவொரு முழு எண்ணையும் விகிதமுறு எண்ணாக வெளிப்படுத்தலாம், இது ஒரு விகிதமுறு எண்ணாக அதன் நியதி வடிவமாகும். சமத்துவம் என்றால் மற்றும் இருந்தால் மட்டுமே இரண்டு பின்னங்களும் நியம வடிவத்தில் இருந்தால், பின்னர்ஃ இருந்தால் மற்றும் இருந்தால் மட்டுமே மற்றும் வரிசைப்படுத்துதல் இரண்டு வகுத்திகளும் நேர்மறையாக இருந்தால் (குறிப்பாக இரண்டு பின்னங்களும் நியம வடிவத்தில் இருந்தால்): இருந்தால் மற்றும் இருந்தால் மட்டுமே மறுபுறம், இரண்டு வகுத்திகளும் எதிர்மறையாக இருந்தால், எதிர்மறை வகுத்த ஒவ்வொரு பின்னமும் முதலில் ஒரு நேர்மறை வகுத்தலுடன் சமமான வடிவமாக மாற்றப்பட வேண்டும்-அதன் எண் மற்றும் வகுத்தியின் அறிகுறிகளை மாற்றுவதன் மூலம். கூட்டல் இரண்டு பின்னங்களும் பின்வருமாறு சேர்க்கப்படுகின்றனஃ இரண்டு பின்னங்களும் நியதி வடிவத்தில் இருந்தால், இணை முழு எண்களாக இருந்தால் மட்டுமே முடிவு நியதி வடிவத்தில் இருக்கும். கழித்தல் இரண்டு பின்னங்களும் நியம வடிவத்தில் இருந்தால், இணை முழு எண்களாக இருந்தால் மட்டுமே முடிவு நியம வடிவத்தில் இருக்கும். பெருக்கத்திற்கான விதிஃ இதன் விளைவாக ஒரு குறைக்கப்படக்கூடிய பின்னமாக இருக்கலாம்-இரண்டு அசல் பின்னங்களும் நியதி வடிவத்தில் இருந்தாலும் கூட. தலைகீழ் ஒவ்வொரு விகிதமுறு எண்ணுக்கும் ஒரு சேர்க்கை தலைகீழ் உள்ளது, இது பெரும்பாலும் அதன் எதிர் என்று அழைக்கப்படுகிறது, இது நியம வடிவத்தில் இருந்தால், அதன் எதிர்க்கும் இது பொருந்தும். ஒரு பூஜ்ஜியமற்ற விகிதமுறு எண் ஒரு பெருக்க தலைகீழ் எண்ணைக் கொண்டுள்ளது, இது அதன் பரஸ்பரம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது, இது நியம வடிவத்தில் இருந்தால், அதன் பரஸ்பரத்தின் நியம வடிவம் ஒன்று அல்லது அதன் அடையாளத்தைப் பொறுத்தது. வகுத்தல் பூஜ்ஜியமற்றதாக இருந்தால், பிரிவு விதி இவ்வாறு, வகுத்தல் என்பது முழு எண் சக்திக்கு எக்ஸ்போனென்டியேஷனின் பரஸ்பரத்தால் பெருக்குவதற்கு சமம் எதிர்மறை அல்லாத முழு எண் என்றால், முடிவு நியதி வடிவத்தில் இருக்கும், குறிப்பாக, நியதி வடிவத்தில் இருந்தால், முடிவின் நியதி வடிவம் இருந்தால் அல்லது சமமாக இருந்தால். இல்லையெனில், முடிவின் நியதி வடிவம் தொடர்ச்சியான பின்ன பிரதிநிதித்துவம் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட தொடர்ச்சியான பின்னம் என்பது முழு எண்கள் எங்கே என்பது போன்ற ஒரு வெளிப்பாடாகும். ஒவ்வொரு விகிதமுறு எண்ணையும் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட தொடர்ச்சியான பின்னமாக குறிப்பிடலாம், அதன் குணகங்களை யூக்ளிடியன் வழிமுறையைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் தீர்மானிக்க முடியும். பிற பிரதிநிதித்துவங்கள் பொதுவான பின்னம்ஃ கலப்பு எண்ஃ வின்குலமைப் பயன்படுத்தி தசமத்தை மீண்டும் மீண்டும் செய்தல்ஃ அடைப்புக்குறிகளைப் பயன்படுத்தி தசமத்தை மீண்டும் மீண்டும் செய்தல்ஃ பாரம்பரிய அச்சுக்கலை பயன்படுத்தி தொடர்ச்சியான பின்னம்ஃ சுருக்கமான குறியீட்டில் தொடர்ச்சியான பின்னம்ஃ எகிப்திய பின்னம்ஃ முதன்மை சக்தி சிதைவுஃ மேற்கோள் குறியீடுஃ ஒரே விகிதமுறு மதிப்பைக் குறிக்க வெவ்வேறு வழிகள். முறையான கட்டுமானம் விகிதமுறு எண்கள் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட முழு எண்களின் ஜோடிகளின் சமநிலை வகுப்புகளாக கட்டமைக்கப்படலாம். இன்னும் துல்லியமாக, இது போன்ற முழு எண்களின் ஜோடிகளின் தொகுப்பாக இருக்கட்டும். கூட்டல் மூலம் இந்த தொகுப்பில் ஒரு சமநிலை உறவு வரையறுக்கப்படுகிறது மற்றும் பெருக்கத்தை பின்வரும் விதிகளால் வரையறுக்க முடியும்ஃ இந்த சமநிலை உறவு ஒரு ஒற்றுமை உறவு, அதாவது இது மேலே வரையறுக்கப்பட்ட கூட்டல் மற்றும் பெருக்கத்துடன் இணக்கமானது; விகிதமுறு எண்களின் தொகுப்பு இந்த சமநிலை உறவின் மூலம் தொகுக்கப்பட்ட ஈவு என வரையறுக்கப்படுகிறது, இது மேலே உள்ள செயல்பாடுகளால் தூண்டப்பட்ட கூட்டல் மற்றும் பெருக்கத்துடன் பொருத்தப்பட்டுள்ளது. (இந்த கட்டுமானம் எந்த ஒருங்கிணைந்த களத்துடனும் மேற்கொள்ளப்படலாம் மற்றும் அதன் பின்னங்களின் புலத்தை உருவாக்குகிறது.) ஒரு ஜோடியின் சமநிலை வகுப்பு இரண்டு ஜோடிகளைக் குறிக்கிறது மற்றும் ஒரே சமநிலை வகுப்பைச் சேர்ந்தது (அதாவது சமமானவை) என்றால் மட்டுமே இதன் பொருள் ஒவ்வொரு சமநிலை வகுப்பும் எண்ணற்ற பல ஜோடிகளால் குறிப்பிடப்படலாம் என்றால் மட்டுமே, ஒவ்வொரு சமநிலை வகுப்பும் ஒரு தனித்துவமான நியமன பிரதிநிதி உறுப்பைக் கொண்டுள்ளது. நியமன பிரதிநிதி என்பது சமநிலை வகுப்பில் உள்ள தனித்துவமான ஜோடியாகும் மற்றும் அவை கோப்ரைம், மற்றும். இது விகிதமுறு எண்ணின் மிகக் குறைந்த சொற்களில் பிரதிநிதித்துவம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. முழு எண்கள் விகிதமுறு எண்ணுடன் முழு எண்ணை அடையாளம் காணும் விகிதமுறு எண்களாக கருதப்படலாம், மொத்த வரிசை விகிதமுறு எண்களில் வரையறுக்கப்படலாம், இது முழு எண்களின் இயல்பான வரிசையை விரிவுபடுத்துகிறது. மேலே காட்டப்பட்டுள்ள கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல் செயல்பாடுகளுடன் அனைத்து விகிதமுறு எண்களின் தொகுப்பும் சேர்ந்து ஒரு புலத்தை உருவாக்குகிறது. அடையாளத்தைத் தவிர வேறு ஃபீல்ட் ஆட்டோமார்ஃபிஸம் இல்லை. (ஒரு புல தானியங்கி உருமாற்றம் 0 மற்றும் 1 ஐ சரிசெய்ய வேண்டும்; இது இரண்டு நிலையான உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகையையும் வேறுபாட்டையும் சரிசெய்ய வேண்டும் என்பதால், அது ஒவ்வொரு முழு எண்ணையும் சரிசெய்ய வேண்டும்; இது இரண்டு நிலையான உறுப்புகளின் ஈவு விகிதத்தை சரிசெய்ய வேண்டும் என்பதால், அது ஒவ்வொரு விகிதமுறு எண்ணையும் சரிசெய்ய வேண்டும், எனவே இது அடையாளமாகும். ஒரு பகா புலம், இது தன்னைத் தவிர வேறு துணை புலம் இல்லாத ஒரு புலமாகும். பகுத்தறிவுகள் என்பது பண்பு பூஜ்ஜியத்துடன் கூடிய மிகச்சிறிய புலமாகும். மேலே வரையறுக்கப்பட்ட வரிசையில், தன்னைத் தவிர வேறு துணைப்புலம் இல்லாத ஒரு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட புலமாகும், மேலும் இது மிகச்சிறிய வரிசைப்படுத்தப்பட்ட புலமாகும், அதாவது ஒவ்வொரு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட புலமும் ஒரு தனித்துவமான துணைப்புல ஐசோமார்பிக் ஐ முழு எண்களின் பின்னங்களின் புலமாகும். விகிதமுறு பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் வேர்களின் புலம், இயற்கணித எண்களின் புலம் ஆகும். பகுத்தறிவுகள் ஒரு அடர்த்தியான வரிசைப்படுத்தப்பட்ட தொகுப்பாகும்ஃ எந்த இரண்டு பகுத்தறிவுகளுக்கு இடையில், மற்றொரு ஒன்று உள்ளது, எனவே, எண்ணற்ற பல உள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக, எந்தவொரு இரண்டு பின்னங்களுக்கும் (நேர்மறையாக இருக்கும் இடத்தில்), நம்மிடம் எந்தவொரு முற்றிலும் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட தொகுப்பும் உள்ளது, இது கணக்கிடக்கூடியது, அடர்த்தியானது (மேலே உள்ள அர்த்தத்தில்), மேலும் விகிதமுறு எண்களுக்கு வரிசை ஐசோமார்பிக் ஆக குறைந்தபட்சம் அல்லது மிகப்பெரிய உறுப்பு இல்லை. வலதுபுறத்தில் உள்ள படத்தில் விளக்கப்பட்டுள்ளபடி, அனைத்து விகிதமுறு எண்களின் தொகுப்பும் கணக்கிடக்கூடியது. ஒரு விகிதமுறு எண்ணை இரண்டு முழு எண்களின் விகிதமாக வெளிப்படுத்த முடியும் என்பதால், கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் உள்ளதைப் போல ஒரு சதுர லட்டிஸில் உள்ள எந்த புள்ளிக்கும் இரண்டு முழு எண்களை ஒதுக்க முடியும், அதாவது எந்த கட்ட புள்ளியும் ஒரு விகிதமுறு எண்ணுடன் ஒத்திருக்கும். இருப்பினும், இந்த முறை பணிநீக்கத்தின் ஒரு வடிவத்தை வெளிப்படுத்துகிறது, ஏனெனில் பல வெவ்வேறு கட்ட புள்ளிகள் ஒரே விகிதமுறு எண்ணுடன் ஒத்திருக்கும்; இவை வழங்கப்பட்ட வரைபடத்தில் சிவப்பு நிறத்தில் முன்னிலைப்படுத்தப்படுகின்றன. கீழே வலதுபுறம் குறுக்காக செல்லும் கோட்டில் ஒரு வெளிப்படையான உதாரணத்தைக் காணலாம்; அத்தகைய விகிதங்கள் எப்போதும் 1 க்கு சமமாக இருக்கும், ஏனெனில் பூஜ்ஜியமற்ற எந்த எண்ணையும் தானாகவே வகுத்தால் எப்போதும் ஒன்றுக்கு சமமாக இருக்கும். இத்தகைய பணிநீக்கங்கள் இல்லாமல் அனைத்து விகிதமுறு எண்களையும் உருவாக்க முடியும்ஃ எடுத்துக்காட்டுகளில் கால்கின்-வில்ஃப் மரம் மற்றும் ஸ்டெர்ன்-ப்ரோகோட் மரம் அடங்கும். அனைத்து விகிதமுறு எண்களின் தொகுப்பும் கணக்கிடக்கூடியது என்பதால், அனைத்து உண்மையான எண்களின் தொகுப்பும் (அதே போல் விகிதமுறு எண்களின் தொகுப்பும்) கணக்கிட முடியாதது என்பதால், விகிதமுறு எண்களின் தொகுப்பு ஒரு பூஜ்ய தொகுப்பாகும், அதாவது, கிட்டத்தட்ட அனைத்து உண்மையான எண்களும் விகிதமுறு எண்கள், லெபெஸ்கூ அளவீட்டின் அர்த்தத்தில். உண்மையான எண்கள் மற்றும் இடவியல் பண்புகள் விகிதமுறு எண்கள் என்பது உண்மையான எண்களின் அடர்த்தியான துணைக்குழுவாகும்; ஒவ்வொரு உண்மையான எண்ணும் தன்னிச்சையாக அதற்கு நெருக்கமான விகிதமுறு எண்களைக் கொண்டுள்ளது. ஒரு தொடர்புடைய பண்பு என்னவென்றால், விகிதமுறு எண்கள் மட்டுமே வழக்கமான தொடர்ச்சியான பின்னங்களாக வரையறுக்கப்பட்ட விரிவாக்கங்களைக் கொண்ட எண்கள். உண்மையான எண்களின் வழக்கமான இடவியலில், விகிதங்கள் ஒரு திறந்த தொகுப்பாகவோ அல்லது மூடிய தொகுப்பாகவோ இல்லை. அவற்றின் வரிசையின் அடிப்படையில், பகுத்தறிவுகள் ஒரு வரிசை இடவியல் கொண்டுள்ளன. விகிதமுறு எண்கள், உண்மையான எண்களின் துணைவெளியாக, ஒரு துணைவெளி இடவியலையும் கொண்டுள்ளன. விகிதமுறு எண்கள் முழுமையான வேறுபாடு அளவீட்டைப் பயன்படுத்தி ஒரு மெட்ரிக் இடத்தை உருவாக்குகின்றன, மேலும் இது மூன்று இடவியல்களிலும் மூன்றாவது இடவியல் தருகிறது மற்றும் பகுத்தறிவுகளை ஒரு இடவியல் புலமாக மாற்றுகிறது. விகிதமுறு எண்கள் உள்ளூரில் சுருக்கமாக இல்லாத ஒரு இடத்திற்கு ஒரு முக்கியமான எடுத்துக்காட்டு. பகுத்தறிவுகள் இடவியல் ரீதியாக தனிமைப்படுத்தப்பட்ட புள்ளிகள் இல்லாமல் தனித்துவமான கணக்கிடக்கூடிய அளவிடக்கூடிய இடமாக வகைப்படுத்தப்படுகின்றன. இடமும் முற்றிலும் துண்டிக்கப்பட்டுள்ளது. விகிதமுறு எண்கள் ஒரு முழுமையான அளவீட்டு இடத்தை உருவாக்குவதில்லை, மேலும் உண்மையான எண்கள் மேலே உள்ள அளவீட்டின் கீழ் முடிவடைகின்றன. p-adic எண்கள் மேலே குறிப்பிட்டுள்ள முழுமையான மதிப்பு அளவீட்டிற்கு கூடுதலாக, ஒரு இடவியல் புலமாக மாறும் பிற அளவீடுகளும் உள்ளனஃ ஒரு பகா எண்ணாக இருக்கட்டும், பூஜ்ஜியமற்ற எந்த முழு எண்ணுக்கும், வகுக்கும் மிக உயர்ந்த சக்தி எங்கே என்று வைத்துக்கொள்வோம். மெட்ரிக் இடைவெளி முழுமையடையவில்லை, அதன் நிறைவு-அடிக் எண் புலம் ஓஸ்ட்ரோவ்ஸ்கியின் தேற்றம், விகிதமுறு எண்களில் உள்ள எந்தவொரு அற்பமான முழுமையான மதிப்பும் வழக்கமான உண்மையான முழுமையான மதிப்பு அல்லது-அடிக் முழுமையான மதிப்புக்கு சமம் என்று கூறுகிறது. டயாடிக் ரேஷனல் ஃப்ளோட்டிங் பாயிண்ட் ஃபோர்டு வட்டங்கள் காஸியன் ரேஷனல் நைவ் உயரம்-மிகக் குறைந்த காலத்தில் ஒரு ரேஷனல் எண்ணின் உயரம் நிவேனின் தேற்றம் ரேஷனல் தரவு வகை தெய்வீக விகிதங்கள்ஃ ரேஷனல் டிரிகோனோமெட்ரி முதல் யுனிவர்சல் ஜியோமெட்ரி குறிப்புகள் வெளிப்புற இணைப்புகள் "ரேஷனல் எண்" கணித உலகத்திலிருந்து-ஒரு வொல்ஃப்ராம் வலை வளம் தொடக்க கணித களம் (கணிதம்) பின்னங்கள் (கணிதம்) உண்மையான எண்களின் தொகுப்புகள்