Gauss–Legendre quadrature
எண் பகுப்பாய்வில், காஸ்-லெஜெண்டர் நாற்கரமானது ஒரு செயல்பாட்டின் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பை தோராயமாக மதிப்பிடுவதற்கான காஸியன் நாற்கரத்தின் ஒரு வடிவமாகும். இடைவெளியில் ஒருங்கிணைக்க, விதி வடிவத்தை எடுக்கிறதுஃ இங்கு n என்பது பயன்படுத்தப்படும் மாதிரி புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை, wi என்பது நாற்கர எடைகள், மற்றும் xi என்பது n வது லெஜெண்டர் பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர்கள். நாற்கர எடைகள் மற்றும் நாற்கர முனைகள் xi ஆகியவற்றின் இந்த தேர்வு தனித்துவமான தேர்வாகும், இது நாற்கர விதியை டிகிரி பல்லுறுப்புக்கோவைகளை சரியாக ஒருங்கிணைக்க அனுமதிக்கிறது. காஸ்-லெஜெண்டர் நாற்கர விதிகளை கணக்கிட பல வழிமுறைகள் உருவாக்கப்பட்டுள்ளன. 1969 ஆம் ஆண்டில் வழங்கப்பட்ட கோலப்-வெல்ச் வழிமுறை முனைகள் மற்றும் எடைகளின் கணக்கீட்டை ஒரு ஐகென் மதிப்பு சிக்கலாகக் குறைக்கிறது, இது கியூஆர் வழிமுறையால் தீர்க்கப்படுகிறது. இந்த வழிமுறை பிரபலமாக இருந்தது, ஆனால் கணிசமாக மிகவும் திறமையான வழிமுறைகள் உள்ளன. நியூட்டன்-ராப்சன் முறையை அடிப்படையாகக் கொண்ட வழிமுறைகள் கணிசமாக பெரிய சிக்கல் அளவுகளுக்கு நாற்கர விதிகளைக் கணக்கிட முடியும். 2014 ஆம் ஆண்டில், இக்னேஸ் போகர்ட் காஸ்-லெஜெண்ட்ரே நாற்கர எடைகள் மற்றும் முனைகளுக்கான வெளிப்படையான அறிகுறியற்ற சூத்திரங்களை வழங்கினார், அவை இரட்டை துல்லியமான இயந்திர எப்சிலோனுக்குள் துல்லியமாக உள்ளன. இது ஒரு பில்லியனுக்கும் அதிகமான n மதிப்புகளுக்கான முனைகள் மற்றும் எடைகளை கணக்கிட அனுமதிக்கிறது. வரலாறு கார்ல் ஃபிரெட்ரிக் காஸ் முதன்முதலில் காஸ்-லெஜெண்டர் நாற்கர விதியைப் பெற்றார், 1814 ஆம் ஆண்டில் தொடர்ச்சியான பின்னங்களுடன் ஒரு கணக்கீட்டின் மூலம் அவ்வாறு செய்தார். கையால் n = 7 ஐ வரிசைப்படுத்த 16 இலக்கங்கள் வரை முனைகள் மற்றும் எடைகளை அவர் கணக்கிட்டார். கார்ல் குஸ்டாவ் ஜேக்கப் ஜாகோபி நாற்கர விதிக்கும் லெஜெண்டர் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் ஆர்த்தோகனல் குடும்பத்திற்கும் இடையிலான தொடர்பைக் கண்டுபிடித்தார். நாற்கர எடைகள் மற்றும் முனைகளுக்கு மூடிய வடிவ சூத்திரம் இல்லாததால், பல தசாப்தங்களாக மக்கள் அவற்றை சிறிய n க்கு மட்டுமே கையால் கணக்கிட முடிந்தது, மேலும் எடை மற்றும் முனை மதிப்புகளைக் கொண்ட அட்டவணைகளைக் குறிப்பிடுவதன் மூலம் நாற்கரத்தை கணக்கிட வேண்டியிருந்தது. 1942 வாக்கில் இந்த மதிப்புகள் n = 16 வரை மட்டுமே அறியப்பட்டன. வரையறை f ஐ காஸ்-லெஜெண்டர் நாற்கரத்துடன் ஒருங்கிணைப்பதற்கு, தொடர்புடைய ஆர்த்தோகனல் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் லெஜெண்டர் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் ஆகும், அவை குறிக்கப்படுகின்றன. - th பல்லுறுப்புக்கோவை இயல்பாக்கப்பட்டதால்,-th காஸ் முனை,-th ரூட் மற்றும் எடைகள் சூத்திரத்தால் வழங்கப்படுகின்றன சில குறைந்த-வரிசை நாற்கர விதிகள் ஒருங்கிணைப்பதற்கு கீழே அட்டவணைப்படுத்தப்பட்டுள்ளன. ஒரு பொதுவான உண்மையான இடைவெளியில் ஒருங்கிணைக்க, இடைவெளியின் மாற்றத்தைப் பயன்படுத்தி சிக்கலை ஒருங்கிணைக்கும் ஒன்றாக மாற்றலாம். நியூட்டன்-ராப்சன் வழிமுறைகள் செயல்பாடுகளின் வேர்களைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான நியூட்டன்-ராப்சன் முறையின் அடிப்படையில் காஸ்-லெஜெண்டர் நாற்கர முனைகள் மற்றும் எடைகளைக் கணக்கிடுவதற்கான வழிமுறைகளை பல ஆராய்ச்சியாளர்கள் உருவாக்கியுள்ளனர். இந்த குறிப்பிட்ட சிக்கலுக்கான பல்வேறு உகப்பாக்கங்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. உதாரணமாக, இடைவேளையின் முனைகளுக்கு அருகில் வேர்களின் கிளஸ்டரிங் தொடர்பான சிக்கல்களைத் தவிர்க்க சில முறைகள் கணக்கிடப்படுகின்றன. சில முறைகள் எடைகளை தோராயமாக மதிப்பிடுவதற்கு சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துகின்றன, பின்னர் நியூட்டன்-ராப்சனின் சில மறு செய்கைகளைப் பயன்படுத்தி தோராயத்தின் பிழையை இயந்திரத் துல்லியத்திற்குக் குறைவாகக் குறைக்கின்றன. 1969 ஆம் ஆண்டில், கோலப் மற்றும் வெல்ஷ் ஆகியோர் காஸியன் நாற்கர விதிகளைக் கணக்கிடுவதற்கான தங்கள் முறையை வெளியிட்டனர், இது அடிப்படை ஆர்த்தோகனல் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் திருப்திப்படுத்தும் மூன்று சொல் மீண்டும் நிகழும் உறவைக் கொடுத்தது. அவை ஒரு காஸியன் நாற்கர விதியின் முனைகளை கணக்கிடுவதில் உள்ள சிக்கலை ஒரு குறிப்பிட்ட சமச்சீர் முக்கோண மேட்ரிக்ஸின் ஐகென் மதிப்புகளைக் கண்டுபிடிப்பதில் உள்ள சிக்கலுக்கு குறைக்கின்றன. இந்த மேட்ரிக்ஸின் ஐகென் மதிப்புகளைக் கண்டறிய கியூஆர் வழிமுறை பயன்படுத்தப்படுகிறது. சமச்சீர் முக்கோண கட்டமைப்பைப் பயன்படுத்திக் கொள்வதன் மூலம், ஒரு பொதுவான ஐகென் மதிப்பு சிக்கலுக்கு எதிர்பார்க்கப்படும் நேரத்திற்கு மாறாக, ஐகென் மதிப்புகளை சரியான நேரத்தில் கணக்கிட முடியும். அறிகுறியற்ற சூத்திரங்கள் முனைகளைக் கணக்கிட தோராயமான மூடிய வடிவ வெளிப்பாடுகளைப் பயன்படுத்தும் பல்வேறு முறைகள் உருவாக்கப்பட்டுள்ளன. மேலே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, சில முறைகளில் சூத்திரங்கள் முனைகளுக்கு தோராயமாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, அதன் பிறகு சில நியூட்டன்-ராப்சன் மறு செய்கைகள் தோராயத்தை செம்மைப்படுத்த செய்யப்படுகின்றன. ஒரு 2014 ஆய்வறிக்கையில், இக்னேஸ் போகர்ட் முனைகளுக்கான அறிகுறியற்ற சூத்திரங்களைப் பெறுகிறார், அவை இயந்திரத் துல்லியம் மற்றும் இயந்திரத் துல்லியம் வரை துல்லியமாக இருக்கும் எடைகளுக்கு துல்லியமாக இருக்கும். இந்த முறைக்கு மற்ற முறைகளைப் போல நியூட்டன்-ராப்சன் மறு செய்கைகள் அல்லது பெசல் செயல்பாடுகளின் மதிப்பீடுகள் தேவையில்லை. காகிதத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி, இந்த முறை 11 வினாடிகளில் ஒரு பில்லியன் சிக்கல் அளவில் முனைகளை கணக்கிட முடிந்தது. இறுதிப் புள்ளிகளுக்கு அருகிலுள்ள முனைகள் இந்த சிக்கல் அளவில் ஒருவருக்கொருவர் மிகவும் நெருக்கமாக இருப்பதால், முனைகளை கணக்கிடுவதற்கான இந்த முறை இரட்டை துல்லிய மிதக்கும் புள்ளியில் எந்தவொரு நடைமுறை பயன்பாட்டிற்கும் போதுமானது. உயர் துல்லியமான ஜோஹன்சன் மற்றும் மெசரோப்பா ஆகியோர் காஸ்-லெஜெண்டர் நாற்கர விதிகளை தன்னிச்சையான-துல்லியமான எண்கணிதத்தில் கணக்கிடுவதற்கான ஒரு மூலோபாயத்தை விவரிக்கின்றனர், இது சிறிய மற்றும் பெரிய இரண்டையும் அனுமதிக்கிறது. 1000 இலக்க துல்லியத்துடன் ஒரு வரிசை விதியை ஒரு வினாடிக்குள் கணக்கிட முடியும். அவர்களின் முறை நியூட்டன்-ராப்சன் மறு செய்கையை லெஜெண்டர் பல்லுறுப்புக்கோவைகளை மதிப்பிடுவதற்கு பல்வேறு நுட்பங்களுடன் பயன்படுத்துகிறது. இந்த வழிமுறை ஒரு சான்றளிக்கப்பட்ட பிழை வரம்பையும் வழங்குகிறது. கில், செகுரா மற்றும் டெம்மே ஆகியோர் காஸ்-ஜாகோபி நாற்கரங்களின் (மற்றும், குறிப்பாக, காஸ்-லெஜெண்டர்) கணக்கீட்டிற்கான நான்காவது வரிசை ஒருங்கிணைப்புடன் மறு செய்கை முறைகளை விவரிக்கின்றனர். இந்த முறைகளுக்கு முனைகளின் நான்காவது வரிசை ஒருங்கிணைப்புக்கு உத்தரவாதம் அளிக்க முன்னுரிமை மதிப்பீடுகள் தேவையில்லை. ஒரு வழக்கமான மடிக்கணினியில் கூட மில்லியன் கணக்கான முனைகள் மற்றும் ஆயிரக்கணக்கான இலக்கங்களுடன் நாற்கர விதிகளின் கணக்கீடுகள் சாத்தியமாகும். மற்ற நாற்கர விதிகளுடன் ஒப்பிடுகையில் காஸ்-லெஜெண்டர் நாற்கரமானது f ஓவர் செயல்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்புகளைக் கணக்கிடுவதற்கு மிகவும் குறுகிய அர்த்தத்தில் உகந்ததாகும், ஏனெனில் வேறு எந்த நாற்கர விதியும் n மாதிரி புள்ளிகளைப் பயன்படுத்தும் போது அனைத்து டிகிரி பல்லுறுப்புக்கோவைகளையும் சரியாக ஒருங்கிணைக்காது. இருப்பினும், துல்லியத்தின் இந்த அளவீடு பொதுவாக மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்காது---பல்லுறுப்புக்கோவைகளை ஒருங்கிணைக்க மிகவும் எளிதானது மற்றும் இந்த வாதம் மற்ற செயல்பாடுகளை ஒருங்கிணைப்பதில் சிறந்த துல்லியத்திற்கு உத்தரவாதம் அளிக்காது. க்ளென்ஷா-கர்டிஸ் நாற்கரமானது செபிஷேவ் முனைகளில் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை இடைக்கணிப்பு மூலம் தோராயமாக f ஐ அடிப்படையாகக் கொண்டது மற்றும் n மாதிரிகள் கொடுக்கப்படும்போது சரியாக n வரை டிகிரி பல்லுறுப்புக்கோவைகளை ஒருங்கிணைக்கிறது. இது ஒரு பெரிய சுற்றுப்புறத்திலும் காஸ்-லெஜெண்டர் நாற்கரத்திலும் பகுப்பாய்வு செய்யும் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் அல்லது பிற செயல்பாடுகளை ஒருங்கிணைக்கவில்லை என்றாலும், க்ளென்ஷா-கர்டிஸ் பெரும்பாலான (பகுப்பாய்வு அல்லாத) ஒருங்கிணைப்புகளுக்கு காஸ்-லெஜெண்டர் நாற்கரத்தின் அதே விகிதத்தில் ஒருங்கிணைக்கிறது. மேலும், க்ளென்ஷா-கர்டிஸ் காஸ்-லெஜெண்டர் நாற்கரமானது அனைத்து தொடர்ச்சியான ஒருங்கிணைப்புகளுக்கும் ஒருங்கிணைப்பு மற்றும் எண் வட்ட பிழைகளுக்கு வலுவான தன்மையை அனுபவிக்கும் பண்புகளைப் பகிர்ந்து கொள்கிறது. க்ளென்ஷா-கர்டிஸ் எஃப்எஃப்டி அடிப்படையிலான முறைகள் மூலம் சரியான நேரத்தில் செயல்படுத்த எளிதானது. நியூட்டன்-கோட்ஸ் நாற்கரமானது சமமான இடைவெளியில் உள்ள புள்ளிகளில் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை இடைக்கணிப்பானால் f ஐ தோராயமாக மதிப்பிடுவதை அடிப்படையாகக் கொண்டது, மேலும் க்ளென்ஷா-கர்டிஸைப் போலவே n மாதிரிகள் கொடுக்கப்படும்போது சரியாக n வரை டிகிரி பல்லுறுப்புக்கோவைகளை ஒருங்கிணைக்கிறது. இருப்பினும், n அதிகரிக்கும் போது இது ரன்ஜின் நிகழ்வால் பாதிக்கப்படுகிறது; நியூட்டன்-கோட்ஸ் சில தொடர்ச்சியான ஒருங்கிணைப்புகள் f க்கு ஒன்றிணைக்கவில்லை, மேலும் அது ஒன்றிணையும் போது அது எண் வட்ட பிழைகளால் பாதிக்கப்படலாம். எனவே, க்ளென்ஷா-கர்டிஸ் மற்றும் காஸ்-லெஜெண்டர் ஆகிய இரண்டும் நியூட்டன்-கோட்டுகளை விட மிதமான முதல் பெரிய n க்கு கணிசமான நன்மைகளைப் பெறுகின்றன. குறிப்புகள் ஆதாரங்கள் எண் ஒருங்கிணைப்பு (நாற்கர)