Möbius configuration
வடிவவியலில், மோபியஸ் உள்ளமைவு அல்லது மோபியஸ் டெட்ராட்ஸ் என்பது யூக்ளிடியன் இடைவெளி அல்லது ப்ரொஜெக்டிவ் இடத்தில் ஒரு குறிப்பிட்ட உள்ளமைவாகும், இது இரண்டு டெட்ராஹெட்ராவைக் கொண்டுள்ளது, அவை பரஸ்பரம் பொறிக்கப்பட்டுள்ளனஃ ஒரு டெட்ராஹெட்ரானின் ஒவ்வொரு முனையும் மற்ற டெட்ராஹெட்ரானின் முக தளத்திலும், நேர்மாறாகவும் உள்ளது. இவ்வாறு, எட்டு புள்ளிகள் மற்றும் எட்டு தளங்களின் விளைவாக வரும் அமைப்புக்கு, ஒவ்வொரு புள்ளியும் நான்கு தளங்களில் உள்ளது (மூன்று தளங்கள் அதை ஒரு டெட்ராஹெட்ரானின் உச்சி என்றும், அது இருக்கும் மற்ற டெட்ராஹெட்ரானிலிருந்து நான்காவது தளம் என்றும் வரையறுக்கின்றன), மேலும் ஒவ்வொரு தளமும் நான்கு புள்ளிகளைக் கொண்டுள்ளது (அதன் முகத்தின் மூன்று டெட்ராஹெட்ரான் செங்குத்துகள் மற்றும் அதன் மீது இருக்கும் மற்ற டெட்ராஹெட்ரானின் உச்சி). மோபியஸின் தேற்றம் ஆகஸ்டு ஃபெர்டினாண்ட் மோபியஸின் பெயரால் அழைக்கப்படுகிறது, அவர் 1828 ஆம் ஆண்டில் இரண்டு டெட்ராஹெட்ராக்கள் அவற்றின் ஏழு செங்குத்துகள் மற்ற டெட்ராஹெட்ரானின் தொடர்புடைய முக தளங்களில் உள்ளன என்ற பண்பை நிரூபித்தார், பின்னர் எட்டாவது உச்சியும் அதன் தொடர்புடைய முகத்தின் தளத்தில் உள்ளது, இது இந்த வகை கட்டமைப்பை உருவாக்குகிறது. பாப்பஸின் தேற்றம் அந்த இடத்தை (ரீடெமிஸ்டர், ஷோன்ஹார்ட்) வைத்திருந்தால் மட்டுமே இந்த நிகழ்வு தேற்றம் ஒரு முப்பரிமாண திட்ட இடைவெளியில் மிகவும் பொதுவாக உண்மை, மேலும் வளையம் பரிமாற்ற விதியை திருப்திப்படுத்தினால் மட்டுமே, ஒரு பிரிவு வளையத்தின் மாதிரியில் வடிவமைக்கப்பட்ட முப்பரிமாண இடைவெளிக்கு இது உண்மை, எனவே ஒரு புலம் (அல்-தாஹிர்). ப்ரொஜெக்டிவ் டூயலிட்டி மூலம், மோபியஸின் முடிவு, இரண்டு டெட்ராஹெட்ராவின் எட்டு முக தளங்களில் ஏழு மற்ற டெட்ராஹெட்ரானின் தொடர்புடைய செங்குத்துகளைக் கொண்டிருந்தால், எட்டாவது முக தளமும் அதே உச்சியைக் கொண்டுள்ளது என்ற கூற்றுக்கு சமம். கட்டமைப்பிற்கான ஒரு எளிய கட்டுமானத்தை கட்டுமானம் விவரிக்கிறது. யூக்ளிடியன் இடத்தில் ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளி p உடன் தொடங்கி, A, B, C மற்றும் D ஆகியவை p வழியாக நான்கு தளங்களாக இருக்கட்டும், அவற்றில் மூன்று பொதுவான குறுக்குவெட்டுக் கோட்டைப் பகிர்ந்து கொள்ளாது, மேலும் இந்த தளங்களின் ஜோடிவாரியான குறுக்குவெட்டால் உருவாக்கப்பட்ட ஆறு கோடுகளில் q, r, s, t, u மற்றும் v புள்ளிகளை வைக்கவும், இந்த புள்ளிகளில் நான்கு புள்ளிகளும் இணை தட்டுகளாக இருக்காது. ஏ, பி, சி மற்றும் டி தளங்களில் ஒவ்வொன்றிற்கும், ஏழு புள்ளிகளில் நான்கு பி, க்யூ, ஆர், எஸ், டி, யு மற்றும் வி அந்த தளத்தில் உள்ளன, மேலும் மூன்று அதிலிருந்து பிரிக்கப்பட்டுள்ளன; முறையே ஏ, பி, சி மற்றும் டி ஆகியவற்றிலிருந்து பிரிந்த புள்ளிகளின் மூன்று மடங்குகள் வழியாக ஏ ', பி', சி 'மற்றும் டி' தளங்களை உருவாக்குகின்றன. பின்னர், மோபியஸ் தேற்றத்தின் இரட்டை வடிவத்தின் மூலம், இந்த நான்கு புதிய தளங்களும் ஒரே புள்ளியில் சந்திக்கின்றன. p, q, r, s, t, u, v, மற்றும் w ஆகிய எட்டு புள்ளிகள் மற்றும் எட்டு தளங்கள் A, B, C, D, A ', B', C ', மற்றும் D' ஆகியவை மோபியஸ் கட்டமைப்பிற்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு. தொடர்புடைய கட்டமைப்புகள் (குறிப்புகள் இல்லாமல்) எட்டு புள்ளிகள் கொண்ட ஐந்து கட்டமைப்புகள் மற்றும் ஒவ்வொரு தளத்திலும் நான்கு புள்ளிகள் கொண்ட எட்டு தளங்கள் மற்றும் முப்பரிமாண யூக்ளிடியன் இடத்தில் உணரக்கூடிய ஒவ்வொரு புள்ளியின் வழியாக நான்கு தளங்கள் உள்ளன என்று கூறுகின்றனஃ அத்தகைய கட்டமைப்புகள் சுருக்கெழுத்து குறியீட்டைக் கொண்டுள்ளன. அவர்கள் தங்கள் தகவல்களை கட்டுரையிலிருந்து பெற்றிருக்க வேண்டும். இது உண்மையில், முடிவுகளைப் பொறுத்து, மற்றும், அதிகபட்சம் இரண்டு விமானங்கள் பொதுவான இரண்டு புள்ளிகளைக் கொண்டுள்ளன, மேலும் இரு மடங்கு அதிகபட்சம் இரண்டு புள்ளிகள் இரண்டு விமானங்களுக்கு பொதுவானவை என்ற பண்புடன் ஐந்து உள்ளமைவுகள் உள்ளன என்று கூறுகிறது. (இந்த நிபந்தனை என்னவென்றால், ஒவ்வொரு மூன்று புள்ளிகளும் கொலினியர் அல்லாதவையாக இருக்கலாம் மற்றும் இருமுறை மூன்று விமானங்களுக்கு பொதுவான ஒரு கோடு இருக்காது.) இருப்பினும், இந்த நிபந்தனை இல்லாத வேறு பத்து உள்ளமைவுகளும் உள்ளன, மேலும் அனைத்து பதினைந்து உள்ளமைவுகளும் உண்மையான முப்பரிமாண இடத்தில் உணரக்கூடியவை. ஆர்வத்தின் உள்ளமைவுகள் இரண்டு டெட்ராஹெட்ராவைக் கொண்டவை, ஒவ்வொன்றும் மற்றொன்றைக் குறிக்கின்றன மற்றும் சுற்றிவளைக்கின்றன, இவை துல்லியமாக மேலே உள்ள பண்புகளை திருப்திப்படுத்துகின்றன. எனவே, டெட்ராஹெட்ராவுடன் ஐந்து உள்ளமைவுகள் உள்ளன, மேலும் அவை சமச்சீர் குழுவின் ஐந்து இணை வகுப்புகளுடன் ஒத்திருக்கின்றன. ஒரு நாற்கர S = ABCD இன் நான்கு புள்ளிகளிலிருந்து ஒருவர் பின்வருமாறு ஒரு வரிசைமாற்றத்தைப் பெறுகிறார்ஃ S இன் ஒவ்வொரு புள்ளியும் P இரண்டாவது நாற்கர T இன் மூன்று புள்ளிகளைக் கொண்ட ஒரு தளத்தின் மீது உள்ளது. இது T இன் மற்ற புள்ளியை விட்டுச் செல்கிறது, இது S இன் தளத்தின் மூன்று புள்ளிகளில் உள்ளது, S இன் மற்றொரு புள்ளியை விட்டுச் செல்கிறது, எனவே வரிசைமாற்ற வரைபடம் P → Q. ஐந்து இணை வகுப்புகள் e, (12) (34), (12), (123), (1234) பிரதிநிதிகளைக் கொண்டுள்ளன, இவற்றில், மோபியஸ் உள்ளமைவு இணை வகுப்புக்கு ஒத்திருக்கிறது. கே இன் நிரப்பு டெட்ராஹெட்ராவில் இரண்டு இருந்தால், பின்னர் எட்டு தளங்கள் ஒற்றைப்படை மூலம் கொடுக்கப்படுகின்றன, அதே நேரத்தில் சம தொகைகள் மற்றும் அவற்றின் நிரப்புகள் அனைத்து ஜோடி நிரப்பு டெட்ராஹெட்ராவுடன் ஒத்திருக்கின்றன, அவை கே இன் மாதிரியில் உள்ள மற்றும் சுற்றுவட்டாரமாக உள்ளன. ஒரு வடிவியல் தேற்றம் மட்டுமே மோபியஸ் உள்ளமைவு என்றும் ஸ்டெய்னிட்ஸ் கூறினார். இருப்பினும் அது சர்ச்சைக்குரியதுஃ ஒரு கணினி தேடலைப் பயன்படுத்தி காட்டுகிறது மற்றும் துல்லியமாக இரண்டு கோட்பாடுகள் உள்ளன என்பதற்கான சான்றுகள் உண்மையில் உள்ளனஃ மோபியஸ் உள்ளமைவு மற்றும் மற்றொன்று. பிந்தையது (இது மேலே உள்ள இணை வகுப்பு (12) (34) உடன் ஒத்திருக்கிறது) ஒரு புலத்தின் மீது உள்ள அனைத்து முப்பரிமாண திட்ட இடைவெளிகளுக்கும் ஒரு தேற்றம், ஆனால் ஒரு பொதுவான பிரிவு வளையத்தின் மீது அல்ல. இரண்டு உள்ளமைவுகளுக்கும் இடையே மற்ற நெருங்கிய ஒற்றுமைகள் உள்ளன, இதில் இரண்டும் மேட்ராய்டு இரட்டைத்தன்மையின் கீழ் சுய-இரட்டை என்ற உண்மை அடங்கும். சுருக்கமான சொற்களில், பிந்தைய உள்ளமைவு "புள்ளிகள்" 0,., 7 மற்றும் "தளங்கள்" 0125 + i, (i = 0,., 7) ஆகியவற்றைக் கொண்டுள்ளது, இதில் இந்த முழு எண்கள் மாடுலோ எட்டு ஆகும். இந்த அமைப்பு, மோபியஸைப் போலவே, இரண்டு டெட்ராஹெட்ராவாகவும் குறிப்பிடப்படலாம், அவை பரஸ்பரம் பொறிக்கப்பட்டவை மற்றும் சுற்றமைக்கப்பட்டுள்ளனஃ முழு எண் பிரதிநிதித்துவத்தில் டெட்ராஹெட்ரா 0347 மற்றும் 1256 ஆக இருக்கலாம். இருப்பினும், இந்த இரண்டு உள்ளமைவுகளும் ஐசோமார்பிக் அல்லாதவை, ஏனெனில் மோபியஸ் நான்கு ஜோடி வேறுபட்ட தளங்களைக் கொண்டுள்ளது, அதே நேரத்தில் பிந்தையது வேறுபட்ட தளங்களைக் கொண்டிருக்கவில்லை. இதே போன்ற காரணத்திற்காக (மற்றும் ஜோடி விமானங்கள் சீரழிந்த இருபடி மேற்பரப்புகள் என்பதால்), மோபியஸ் உள்ளமைவு பிந்தைய கட்டமைப்பை விட முப்பரிமாண இடத்தின் இருபடி மேற்பரப்புகளில் உள்ளது. மோபியஸ் கட்டமைப்பின் லெவி வரைபடம் 16 செங்குத்துகளைக் கொண்டுள்ளது, ஒவ்வொரு புள்ளி அல்லது கட்டமைப்பின் தளத்திற்கு ஒன்று, ஒவ்வொரு சம்பவ புள்ளி-தள ஜோடிக்கும் ஒரு விளிம்புடன். இது 16-வெர்டெக்ஸ் ஹைபர்கியூப் கிராஃப் Q4 க்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும். நெருக்கமாக தொடர்புடைய உள்ளமைவு, மோபியஸ்-கான்டோர் உள்ளமைவு இரண்டு பரஸ்பரம் பொறிக்கப்பட்ட நாற்கரங்களால் உருவாக்கப்பட்டது, மோபியஸ்-கான்டோர் வரைபடம், Q4 இன் துணை வரைபடம், அதன் லெவி வரைபடமாக உள்ளது. குறிப்புகள். . . . . . . கெசாமெல்டே வெர்கே (1886), தொகுதி. 1, pp. 439-446. . . . . கட்டமைப்புகள் (வடிவியல்)