Moderation (statistics)
புள்ளியியல் மற்றும் பின்னடைவு பகுப்பாய்வில், இரண்டு மாறிகளுக்கு இடையிலான உறவு மூன்றாவது மாறியைப் பொறுத்து இருக்கும்போது மிதமான தன்மை (விளைவு மாற்றம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) ஏற்படுகிறது. மூன்றாவது மாறி மதிப்பீட்டாளர் மாறி (அல்லது விளைவு மாற்றியமைப்பாளர்) அல்லது வெறுமனே மதிப்பீட்டாளர் (அல்லது மாற்றியமைப்பாளர்) என்று குறிப்பிடப்படுகிறது. மிதமான மாறியின் விளைவு புள்ளிவிவர ரீதியாக ஒரு தொடர்பு என வகைப்படுத்தப்படுகிறது; அதாவது, ஒரு வகைப்படுத்தப்பட்ட (எ. கா., பாலினம், இனம், வர்க்கம்) அல்லது தொடர்ச்சியான (எ. கா., வயது, வெகுமதியின் நிலை) மாறி, இது சார்பு மற்றும் சுயாதீன மாறிகளுக்கு இடையிலான உறவின் திசை மற்றும்/அல்லது அளவுடன் தொடர்புடையது. குறிப்பாக ஒரு தொடர்பியல் பகுப்பாய்வு கட்டமைப்பிற்குள், ஒரு மதிப்பீட்டாளர் என்பது மூன்றாவது மாறி ஆகும், இது மற்ற இரண்டு மாறிகளுக்கு இடையிலான பூஜ்ஜிய-வரிசை தொடர்பை அல்லது சுயாதீன மாறியின் மீது சார்ந்த மாறியின் சாய்வின் மதிப்பை பாதிக்கிறது. மாறுபாடு (ஏ. என். ஓ. வி. ஏ) சொற்களின் பகுப்பாய்வில், ஒரு அடிப்படை மதிப்பீட்டாளர் விளைவை ஒரு குவிய சுயாதீன மாறி மற்றும் அதன் செயல்பாட்டிற்கான பொருத்தமான நிலைமைகளைக் குறிப்பிடும் ஒரு காரணிக்கு இடையிலான தொடர்பாகக் குறிப்பிடலாம். நடத்தை அறிவியலில் மிதமான பகுப்பாய்வு என்பது நேரியல் பல பின்னடைவு பகுப்பாய்வு அல்லது காரண மாதிரியைப் பயன்படுத்துவதை உள்ளடக்கியது. பல பின்னடைவு பகுப்பாய்வுகளில் மிதமான மாறியின் விளைவை அளவிட, X இல் சீரற்ற மாறி Y ஐ பின்னோக்கி அழுத்துவதன் மூலம், மாதிரியில் ஒரு கூடுதல் சொல் சேர்க்கப்படுகிறது. இந்த சொல் X க்கும் முன்மொழியப்பட்ட மிதமான மாறிக்கும் இடையிலான தொடர்பு ஆகும். எனவே, ஒரு பதிலுக்கு Y மற்றும் இரண்டு மாறிகள் x1 மற்றும் மிதமான மாறி x2,: இந்த விஷயத்தில், ஒரு மிதமான மாறியாக x2 இன் பங்கு b3 ஐ மதிப்பிடுவதன் மூலம் நிறைவேற்றப்படுகிறது, இது தொடர்பு காலத்திற்கான அளவுரு மதிப்பீடாகும். பின்னடைவு பகுப்பாய்வுகளில் அளவுரு மதிப்பீடுகளின் புள்ளிவிவர மதிப்பீட்டின் விவாதத்திற்கு நேரியல் பின்னடைவைப் பார்க்கவும். மிதமான பின்னடைவு பகுப்பாய்வில், ஒரு புதிய தொடர்பு முன்கணிப்பு () கணக்கிடப்படுகிறது. இருப்பினும், புதிய தொடர்பு சொல் அதைக் கணக்கிடப் பயன்படுத்தப்படும் இரண்டு முக்கிய விளைவுகள் சொற்களுடன் தொடர்புபடுத்தப்படலாம். இது மிதமான பின்னடைவில் பன்முகத்தன்மைக்கான சிக்கலாகும். பன்முகத்தன்மை குணகங்களை அதிக தரமான பிழைகளுடன் மதிப்பிடுவதற்கு காரணமாகிறது, எனவே அதிக நிச்சயமற்ற தன்மை உள்ளது. சராசரி-மையப்படுத்தல் (சராசரியிலிருந்து மூல மதிப்பெண்களைக் கழிப்பது) பன்முகத்தன்மையைக் குறைக்கலாம், இதன் விளைவாக அதிக விளக்கக்கூடிய பின்னடைவு குணகங்கள் ஏற்படலாம். இருப்பினும், இது ஒட்டுமொத்த மாடல் பொருத்தத்தை பாதிக்காது. அனோவாவில் எளிய பிரதான விளைவு பகுப்பாய்வு போல, பின்னடைவில் உள்ள தொடர்புகளை பிந்தைய தற்காலிக விசாரணையில், மற்ற சுயாதீன மாறியின் குறிப்பிட்ட மதிப்புகளில் ஒரு சுயாதீன மாறியின் எளிய சாய்வை ஆராய்கிறோம். இரு வழி தொடர்புகளை ஆராய்வதற்கான ஒரு எடுத்துக்காட்டு கீழே உள்ளது. பின்வருவனவற்றில் A மற்றும் B என்ற இரண்டு மாறிகள் கொண்ட பின்னடைவு சமன்பாடு மற்றும் A * B என்ற இடைவினை சொல் பரிசீலிக்கப்படும். இரண்டு வகைப்படுத்தப்பட்ட சுயாதீன மாறிகள் இரண்டு சுயாதீன மாறிகளும் வகைப்படுத்தப்பட்ட மாறிகள் என்றால், ஒரு சுயாதீன மாறிக்கான பின்னடைவின் முடிவுகளை மற்ற சுயாதீன மாறியின் ஒரு குறிப்பிட்ட மட்டத்தில் பகுப்பாய்வு செய்யலாம். எடுத்துக்காட்டாக, ஏ மற்றும் பி இரண்டும் ஒற்றை போலி குறியிடப்பட்ட (0,1) மாறிகள் என்று வைத்துக்கொள்வோம், மேலும் ஏ இனத்தை குறிக்கிறது (0 = ஐரோப்பிய அமெரிக்கர்கள், 1 = கிழக்கு ஆசியர்கள்) மற்றும் பி ஆய்வில் உள்ள நிலையை குறிக்கிறது (0 = கட்டுப்பாடு, 1 = சோதனை). பின்னர் தொடர்பு விளைவு சார்பு மாறி ஒய் மீதான நிலையின் விளைவு ஐரோப்பிய அமெரிக்கர்கள் மற்றும் கிழக்கு ஆசியர்களுக்கு வேறுபட்டதா என்பதையும், இரண்டு நிபந்தனைகளுக்கு இன அந்தஸ்தின் விளைவு வேறுபட்டதா என்பதையும் காட்டுகிறது. A இன் குணகம் கட்டுப்பாட்டு நிலைக்கு Y மீது இன விளைவைக் காட்டுகிறது, அதே நேரத்தில் B இன் குணகம் ஐரோப்பிய அமெரிக்க பங்கேற்பாளர்களுக்கு சோதனை நிபந்தனையை திணிப்பதன் விளைவைக் காட்டுகிறது. சோதனை நிலையில் ஐரோப்பிய அமெரிக்கர்களுக்கும் கிழக்கு ஆசியர்களுக்கும் இடையில் ஏதேனும் குறிப்பிடத்தக்க வேறுபாடு உள்ளதா என்று ஆராய, நாம் வெறுமனே மாறுபடும் தலைகீழ்-குறியிடப்பட்ட நிபந்தனையுடன் பகுப்பாய்வை இயக்கலாம் (0 = சோதனை, 1 = கட்டுப்பாடு), இதனால் இனத்திற்கான குணகம் சோதனை நிலையில் Y மீது இனத்தின் விளைவைக் குறிக்கிறது. இதேபோல், கிழக்கு ஆசிய பங்கேற்பாளர்களுக்கு சிகிச்சை ஒரு விளைவை ஏற்படுத்துகிறதா என்று பார்க்க விரும்பினால், இன மாறுபாட்டை நாம் மாற்றியமைக்கலாம் (0 = கிழக்கு ஆசியர்கள், 1 = ஐரோப்பிய அமெரிக்கர்கள்). முதல் சுயாதீன மாறி ஒரு வகைப்பாட்டு மாறி என்றால் (எ. கா. பாலினம்) மற்றும் இரண்டாவது ஒரு தொடர்ச்சியான மாறி (எ. கா. வாழ்க்கைத் திருப்தி அளவுகோலில் (எஸ். டபிள்யூ. எல். எஸ்) உள்ள மதிப்பெண்கள், பின்னர் பி 1 என்பது வாழ்க்கைத் திருப்தி பூஜ்ஜியமாக இருக்கும்போது ஆண்களுக்கும் பெண்களுக்கும் இடையிலான சார்பு மாறியின் வித்தியாசத்தைக் குறிக்கிறது. இருப்பினும், வாழ்க்கையுடன் திருப்தி அளவுகோலில் பூஜ்ஜிய மதிப்பெண் என்பது அர்த்தமற்றது, ஏனெனில் மதிப்பெண்ணின் வரம்பு 7 முதல் 35 வரை இருக்கும். இங்குதான் மையப்படுத்தல் வருகிறது. ஒவ்வொரு பங்கேற்பாளரின் மதிப்பெண்ணிலிருந்தும் மாதிரிக்கான எஸ். டபிள்யூ. எல். எஸ் மதிப்பெண்ணின் சராசரியை நாம் கழித்தால், இதன் விளைவாக மையப்படுத்தப்பட்ட எஸ். டபிள்யூ. எல். எஸ் மதிப்பெண்ணின் சராசரி பூஜ்ஜியமாகும். பகுப்பாய்வு மீண்டும் இயக்கப்படும்போது, பி 1 இப்போது மாதிரியின் எஸ். டபிள்யூ. எல். எஸ் மதிப்பெண்ணின் சராசரி மட்டத்தில் ஆண்களுக்கும் பெண்களுக்கும் இடையிலான வேறுபாட்டைக் குறிக்கிறது. கோஹன் மற்றும் பலர். (2003) தொடர்ச்சியான சுயாதீன மாறியின் மூன்று நிலைகளில் சார்பு மாறி (ஒய்) மீது பாலினத்தின் எளிய விளைவை ஆராய பின்வருவனவற்றைப் பயன்படுத்த பரிந்துரைக்கிறதுஃ உயர் (சராசரியை விட ஒரு நிலையான விலகல்), மிதமான (சராசரியாக), மற்றும் குறைந்த (சராசரியை விட ஒரு நிலையான விலகல்). தொடர்ச்சியான மாறியின் மதிப்பெண்கள் தரப்படுத்தப்படாவிட்டால், அசல் மதிப்பெண்களின் ஒரு நிலையான விலகலைச் சேர்ப்பதன் மூலமோ அல்லது கழிப்பதன் மூலமோ இந்த மூன்று மதிப்புகளைக் கணக்கிடலாம்; தொடர்ச்சியான மாறியின் மதிப்பெண்கள் தரப்படுத்தப்பட்டால், பின்வரும் மூன்று மதிப்புகளைக் கணக்கிடலாம்ஃ உயர் = தரப்படுத்தப்பட்ட மதிப்பெண் கழித்தல் 1, மிதமான (சராசரி = 0), குறைந்த = தரப்படுத்தப்பட்ட மதிப்பெண் கூட்டல் 1. பின்னர் ஒருவர் எஸ். டபிள்யூ. எல். எஸ் மதிப்பெண்ணின் உயர், மிதமான மற்றும் குறைந்த மட்டங்களில் சார்பு மாறி (ஒய்) மீது பாலினத்தின் விளைவுகளை ஆராயலாம். இரண்டு வகைப்படுத்தப்பட்ட சுயாதீன மாறிகளைப் போலவே, பி 2 என்பது பெண்களின் சார்பு மாறியின் மீது எஸ். டபிள்யூ. எல். எஸ் மதிப்பெண்ணின் விளைவைக் குறிக்கிறது. பாலின மாறியை தலைகீழாக குறியிடுவதன் மூலம், ஆண்களுக்கான சார்பு மாறியின் மீது எஸ். டபிள்யூ. எல். எஸ் மதிப்பெண்ணின் விளைவைப் பெறலாம். மிதமான பின்னடைவில் குறியீடு இனக் குழுக்கள் மற்றும் சோதனை சிகிச்சைகள் போன்ற வகைப்படுத்தப்பட்ட மாறிகளை மிதமான பின்னடைவில் சுயாதீன மாறிகளாக கருதும்போது, ஒவ்வொரு குறியீடு மாறியும் வகைப்படுத்தப்பட்ட மாறியின் ஒரு குறிப்பிட்ட அமைப்பைக் குறிக்கும் வகையில் மாறிகளை குறியிட வேண்டும். குறியீட்டிற்கு மூன்று அடிப்படை வழிகள் உள்ளனஃ போலி-மாறி குறியீடு, விளைவுகள் குறியீடு மற்றும் மாறுபட்ட குறியீடு. இந்த குறியீட்டு முறைகளின் அறிமுகம் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. ஒரு குறிப்புக் குழு அல்லது குறிப்பாக ஒரு நிபந்தனை இருக்கும்போது டம்மி குறியீடு பயன்படுத்தப்படுகிறது (எ. கா. பரிசோதனையில் ஒரு கட்டுப்பாட்டுக் குழு) இது மற்ற சோதனைக் குழுக்களுடன் ஒப்பிடப்பட வேண்டும். இந்த விஷயத்தில், இடைமறிப்பு என்பது குறிப்புக் குழுவின் சராசரி, மேலும் தரமற்ற பின்னடைவு குணகங்கள் ஒவ்வொன்றும் சிகிச்சைக் குழுக்களில் ஒன்றிற்கும் குறிப்புக் குழுவின் (அல்லது கட்டுப்பாட்டுக் குழுவின்) சராசரிக்கும் இடையிலான சார்பு மாறியின் வேறுபாடு ஆகும். இந்த குறியீட்டு முறை ஏஎன்ஓவிஏ பகுப்பாய்வைப் போன்றது, மேலும் ஆராய்ச்சியாளர்கள் ஒரு குறிப்பிட்ட குறிப்புக் குழுவைக் கொண்டிருக்கும்போது பொருத்தமானது, மேலும் ஒவ்வொரு குழுவையும் அதனுடன் ஒப்பிட விரும்புகிறார்கள். ஒருவருக்கு ஒரு குறிப்பிட்ட ஒப்பீடு அல்லது கட்டுப்பாட்டுக் குழு இல்லாதபோது மற்றும் திட்டமிடப்பட்ட ஆர்த்தோகனல் முரண்பாடுகள் இல்லாதபோது விளைவுகள் குறியீடு பயன்படுத்தப்படுகிறது. இடைமறிப்பு என்பது பெரிய சராசரி (அனைத்து நிபந்தனைகளின் சராசரி). பின்னடைவு குணகம் என்பது ஒரு குழுவின் சராசரிக்கும் அனைத்து குழுக்களின் சராசரிக்கும் இடையிலான வேறுபாடு (எ. கா. குழு A இன் சராசரி கழித்தல் அனைத்து குழுக்களின் சராசரி). குழுக்கள் இயற்கையான வகைகளை பிரதிநிதித்துவப்படுத்தும் போது இந்த குறியீட்டு முறை பொருத்தமானது. ஒருவர் ஆராயப்பட வேண்டிய தொடர்ச்சியான ஆர்த்தோகனல் முரண்பாடுகள் அல்லது குழு ஒப்பீடுகளைக் கொண்டிருக்கும்போது மாறுபாடு குறியீடு பயன்படுத்தப்படுகிறது. இந்த வழக்கில், இடைமறிப்பு என்பது தனிப்பட்ட குழு வழிமுறையின் எடை இல்லாத சராசரி ஆகும். தரப்படுத்தப்படாத பின்னடைவு குணகம் ஒரு குழுவின் (ஏ) வழிமுறைகளின் எடை இல்லாத சராசரிக்கும் மற்றொரு குழுவின் (பி) எடை இல்லாத சராசரிக்கும் இடையிலான வேறுபாட்டைக் குறிக்கிறது, இதில் ஏ மற்றும் பி இதற்கு மாறாக இரண்டு குழுக்களின் தொகுப்பாகும். குழு வழிமுறைகளுக்கு இடையிலான குறிப்பிட்ட வேறுபாடுகள் குறித்து ஆராய்ச்சியாளர்கள் ஒரு முன்னுரிமை கருதுகோளைக் கொண்டிருக்கும்போது இந்த குறியீட்டு முறை பொருத்தமானது. இரண்டு தொடர்ச்சியான சுயாதீன மாறிகள் இரண்டு சுயாதீன மாறிகளும் தொடர்ச்சியாக இருந்தால், எக்ஸ் மற்றும் இசட் என்ற சுயாதீன மாறிகளை மையப்படுத்தவோ அல்லது தரப்படுத்தவோ இது உதவியாக இருக்கும். (மையப்படுத்துதல் என்பது ஒட்டுமொத்த மாதிரி சராசரி மதிப்பெண்ணை அசல் மதிப்பெண்ணிலிருந்து கழிப்பதை உள்ளடக்கியது; தரப்படுத்துதல் ஒட்டுமொத்த மாதிரி நிலையான விலகலால் வகுப்பதன் மூலம் அதைத் தொடர்ந்து செய்கிறது.) சுயாதீன மாறிகளை மையப்படுத்துவதன் மூலம் அல்லது தரப்படுத்துவதன் மூலம், X அல்லது Z இன் குணகம் மற்ற சுயாதீன மாறியின் சராசரி மட்டத்தில் Y மீது அந்த மாறியின் விளைவு என்று விளக்கப்படலாம். இடைவினை விளைவை ஆராய, Y மீது X இன் விளைவை Z இன் குறைந்த மற்றும் உயர் மதிப்புகளில் திட்டமிடுவது பெரும்பாலும் உதவியாக இருக்கும் (சிலர் Z இன் மிதமான மதிப்புகளில் விளைவை திட்டமிட விரும்புகிறார்கள், ஆனால் இது தேவையில்லை). பெரும்பாலும் Z இன் மதிப்புகள் சராசரிக்கு மேலேயும் கீழேயும் ஒரு நிலையான விலகல் இதற்குத் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகின்றன, ஆனால் எந்தவொரு விவேகமான மதிப்புகளையும் பயன்படுத்தலாம் (சில சந்தர்ப்பங்களில் தேர்வு செய்ய அதிக அர்த்தமுள்ள மதிப்புகள் உள்ளன). X மற்றும் Z ஆகிய இரண்டின் உயர் மற்றும் குறைந்த மதிப்புகளுக்கு Y இன் மதிப்புகளை மதிப்பிடுவதன் மூலமும், Z இன் இரண்டு மதிப்புகளில் Y மீது X இன் விளைவைக் குறிக்க இரண்டு வரிகளை உருவாக்குவதன் மூலமும் பிளாட் பொதுவாக வரையப்படுகிறது. சில நேரங்களில் இது எளிய சாய்வு பகுப்பாய்வால் நிரப்பப்படுகிறது, இது Y மீது X இன் விளைவு Z இன் குறிப்பிட்ட மதிப்புகளில் புள்ளிவிவர ரீதியாக குறிப்பிடத்தக்கதா என்பதை தீர்மானிக்கிறது. எளிய சாய்வு பகுப்பாய்விற்கான ஒரு பொதுவான நுட்பம் ஜான்சன்-நெய்மன் அணுகுமுறை ஆகும். இத்தகைய இருவழி தொடர்புகளைத் திட்டமிடவும் விளக்கவும் ஆராய்ச்சியாளர்களுக்கு உதவ பல்வேறு இணைய அடிப்படையிலான கருவிகள் உள்ளன. உயர் நிலை தொடர்புகள் இரு வழி தொடர்புகளுக்கான கொள்கைகள் நாம் மூன்று வழி அல்லது உயர் நிலை தொடர்புகளை ஆராய விரும்பும் போது பொருந்தும். உதாரணமாக, ஏ, பி மற்றும் சி இடையே மூன்று வழி தொடர்பு இருந்தால், பின்னடைவு சமன்பாடு பின்வருமாறு இருக்கும்ஃ போலி உயர்-வரிசை விளைவுகள் உயர்-வரிசை சொற்களின் நம்பகத்தன்மை குறைந்த-வரிசை சொற்களின் நம்பகத்தன்மையைப் பொறுத்தது என்பதைக் குறிப்பிடுவது மதிப்பு. எடுத்துக்காட்டாக, மாறி A க்கான நம்பகத்தன்மை 0.7 ஆக இருந்தால், மாறி B க்கான நம்பகத்தன்மை 0.80 ஆகவும், அவற்றின் தொடர்பு r = 0.2 ஆகவும் இருந்தால், தொடர்பு மாறி A * B க்கான நம்பகத்தன்மை. இந்த விஷயத்தில், இடைவினை வார்த்தையின் குறைந்த நம்பகத்தன்மை குறைந்த சக்திக்கு வழிவகுக்கிறது; எனவே, உண்மையில் இருக்கும் A மற்றும் B க்கு இடையிலான இடைவினை விளைவுகளை நம்மால் கண்டுபிடிக்க முடியாமல் போகலாம். இந்த சிக்கலுக்கான தீர்வு ஒவ்வொரு சுயாதீன மாறிக்கும் மிகவும் நம்பகமான நடவடிக்கைகளை பயன்படுத்துவதாகும். இடைவினை விளைவுகளைப் புரிந்துகொள்வதற்கான மற்றொரு எச்சரிக்கை என்னவென்றால், மாறி A மற்றும் மாறி B மிகவும் தொடர்புபடுத்தப்படும்போது, A * B சொல் நீக்கப்பட்ட மாறி A2 உடன் மிகவும் தொடர்புபடுத்தப்படும்; இதன் விளைவாக குறிப்பிடத்தக்க மிதமான விளைவு என்று தோன்றுவது உண்மையில் A இன் குறிப்பிடத்தக்க நேரியல் அல்லாத விளைவாக இருக்கலாம். அப்படியானால், இடைவினைகள் குறிப்பிடத்தக்கதாக இருக்கிறதா என்று பார்க்க மிதமான பின்னடைவு பகுப்பாய்வில் தனிப்பட்ட மாறிகளில் நேரியல் அல்லாத சொற்களைச் சேர்ப்பதன் மூலம் ஒரு நேரியல் அல்லாத பின்னடைவு மாதிரியை சோதிப்பது மதிப்புக்குரியது. இடைவினை விளைவு A * B இன்னும் குறிப்பிடத்தக்கதாக இருந்தால், உண்மையில் ஒரு மிதமான விளைவு இருப்பதாகச் சொல்வதில் நாம் அதிக நம்பிக்கையுடன் இருப்போம்; இருப்பினும், நேரியல் அல்லாத சொல்லைச் சேர்த்த பிறகு இடைவினை விளைவு இனி குறிப்பிடத்தக்கதாக இல்லாவிட்டால், மிதமான விளைவு இருப்பதைப் பற்றி நாம் குறைவாகவே உறுதியாக இருப்போம், மேலும் நேரியல் அல்லாத மாதிரி விரும்பப்படும், ஏனெனில் அது மிகவும் பார்சிமோனியஸ் ஆகும். மிதமான பின்னடைவு பகுப்பாய்வுகள் கூடுதல் மாறிகளையும் உள்ளடக்க முனைகின்றன, அவை வட்டி இல்லாத கோவேரியேட்டுகளாக கருதப்படுகின்றன. இருப்பினும், இந்த கோவேரியேட்டுகளின் இருப்பு (1) கோவேரியேட் (சி) ஆர்வத்தின் முதன்மை மாறிகளில் ஒன்றுடன் தொடர்புபடுத்தப்படும்போது (எ. கா. மாறி A அல்லது B), அல்லது (2) கோவேரியேட் தானே Y உடன் A அல்லது B க்கு இடையிலான தொடர்புக்கு ஒரு மதிப்பீட்டாளராக இருக்கும்போது. ஒவ்வொரு குழப்பத்திற்கும் முதன்மை மாறிகளுக்கும் இடையிலான தொடர்புக்கு, மாதிரியில் கூடுதல் தொடர்பு சொற்களை பின்வருமாறு சேர்ப்பதே தீர்வுஃ மேலும் காண்க நீக்கப்பட்ட-மாறி சார்பு குறிப்புகள் ஹேய்ஸ், ஏ. எஃப்., & மேத்தேஸ், ஜே. (2009). "OLS மற்றும் தளவாட பின்னடைவில் உள்ள தொடர்புகளை ஆராய்வதற்கான கணக்கீட்டு நடைமுறைகள்ஃ SPSS மற்றும் SAS செயல்படுத்தல்கள்". நடத்தை ஆராய்ச்சி முறைகள், தொகுதி. 41, pp. 924-936. பின்னடைவு பகுப்பாய்வு