Von Neumann paradox
கணிதத்தில், ஜான் வான் நியூமனின் பெயரால் பெயரிடப்பட்ட வான் நியூமன் முரண்பாடு, அலகு சதுரம் போன்ற ஒரு சமதள உருவத்தை புள்ளிகளின் தொகுப்புகளாக உடைத்து, ஒவ்வொரு தொகுப்புக்கும் ஒரு பரப்பளவைப் பாதுகாக்கும் அஃபைன் மாற்றத்திற்கு உட்படுத்தலாம், இதன் விளைவாக ஒரே அளவிலான இரண்டு சமதள உருவங்கள் அசல். இது 1929 ஆம் ஆண்டில் ஜான் வான் நியூமனால் நிரூபிக்கப்பட்டது, இது விருப்பத்தின் கோட்பாட்டைக் கருதுகிறது. இது முந்தைய பானாச்-டார்ஸ்கி முரண்பாட்டை அடிப்படையாகக் கொண்டது, இது ஹவுஸ்டோர்ஃப் முரண்பாட்டை அடிப்படையாகக் கொண்டது. ஐசோமெட்ரிக் உருமாற்றங்களைப் பயன்படுத்தி, இரு பரிமாண உருவத்தைப் பிரித்து மீண்டும் இணைப்பதன் விளைவாக அசல் உருவத்தின் அதே பரப்பளவு இருக்க வேண்டும் என்பதை பானாச் மற்றும் டார்ஸ்கி நிரூபித்தனர். இது ஒன்றிலிருந்து இரண்டு அலகு சதுரங்களை உருவாக்குவது சாத்தியமற்றதாக இருக்கும். ஆனால் வான் நியூமன், முரண்பாடான சிதைவுகள் என்று அழைக்கப்படுபவற்றின் தந்திரம், இரண்டு ஜெனரேட்டர்களைக் கொண்ட ஒரு இலவச குழுவை ஒரு துணைக்குழுவாக உள்ளடக்கிய மாற்றங்களின் குழுவைப் பயன்படுத்துவதாகும் என்பதை உணர்ந்தார். பரப்பளவைப் பாதுகாக்கும் உருமாற்றங்களின் குழு (சிறப்பு நேரியல் குழு அல்லது சிறப்பு அஃபைன் குழு) அத்தகைய துணைக்குழுக்களைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் இது அவற்றைப் பயன்படுத்தி முரண்பாடான சிதைவுகளைச் செய்வதற்கான வாய்ப்பைத் திறக்கிறது. முறையின் வரைபடம் பின்வருபவை வான் நியூமன் கண்டுபிடித்த முறையின் முறைசாரா விளக்கமாகும். σ மற்றும் τ ஆகிய இரண்டு உருமாற்றங்களால் உருவாக்கப்படும் பகுதி-பாதுகாக்கும் நேரியல் மாற்றங்களின் இலவச குழு H நம்மிடம் உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம், அவை அடையாள உறுப்பிலிருந்து வெகு தொலைவில் இல்லை. ஒரு இலவச குழுவாக இருப்பது என்பது அதன் அனைத்து உறுப்புகளும் சில n க்கான வடிவத்தில் தனித்துவமாக வெளிப்படுத்தப்படலாம், அங்கு s மற்றும் s அனைத்தும் பூஜ்ஜியமற்ற முழு எண்கள், முதல் மற்றும் கடைசி தவிர. இந்த குழுவை நாம் இரண்டு பகுதிகளாகப் பிரிக்கலாம்ஃ இடதுபுறத்தில் σ உடன் தொடங்கி சில பூஜ்ஜியமற்ற சக்திக்கு (இந்த தொகுப்பை A என்று அழைக்கிறோம்) மற்றும் τ உடன் தொடங்கி சில சக்திக்கு (அதாவது, பூஜ்ஜியம்-இந்த தொகுப்பை B என்று அழைக்கிறோம், மேலும் இது அடையாளத்தை உள்ளடக்கியது). யூக்ளிடியன் 2-இடத்தில் உள்ள எந்தப் புள்ளியிலும் H இன் பல்வேறு கூறுகளால் நாம் செயல்பட்டால், அந்த புள்ளியின் சுற்றுப்பாதை என்று அழைக்கப்படுவதைப் பெறுகிறோம். இவ்வாறு தளத்தில் உள்ள அனைத்து புள்ளிகளையும் சுற்றுப்பாதைகளாக வகைப்படுத்தலாம், அவற்றில் தொடர்ச்சியின் கார்டினாலிட்டியுடன் எல்லையற்ற எண் உள்ளது. விருப்பத்தின் கோட்பாட்டைப் பயன்படுத்தி, ஒவ்வொரு சுற்றுப்பாதையிலிருந்தும் ஒரு புள்ளியைத் தேர்ந்தெடுத்து, இந்த புள்ளிகளின் தொகுப்பை எம் என்று அழைக்கலாம். எச் இல் ஒரு நிலையான புள்ளியாக இருக்கும் தோற்றத்தை நாம் விலக்குகிறோம். பின்னர் எச் இன் அனைத்து உறுப்புகளாலும் எம் இல் செயல்பட்டால், ஒவ்வொரு புள்ளியையும் (தோற்றத்தைத் தவிர) சரியாக ஒரு முறை உருவாக்குகிறோம். A அல்லது B இன் அனைத்து உறுப்புகளாலும் நாம் M இல் செயல்பட்டால், இரண்டு வேறுபட்ட தொகுப்புகளைப் பெறுகிறோம், அதன் ஒன்றிணைப்பு அனைத்தும் புள்ளிகள் ஆனால் தோற்றம். இப்போது யூனிட் ஸ்கொயர் அல்லது யூனிட் டிஸ்க் போன்ற சில எண்ணிக்கையை எடுத்துக்கொள்கிறோம். அதன் தோற்றத்தை மையமாகக் கொண்ட ஒரு சிறிய சதுரம் போன்ற மற்றொரு உருவத்தை அதற்குள் தேர்வு செய்கிறோம். சில புள்ளிகள் இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட பிரதிகளால் மூடப்பட்டிருந்தாலும், சிறிய உருவத்தின் பல பிரதிகளுடன் பெரிய உருவத்தை நாம் மறைக்க முடியும். பெரிய உருவத்தின் ஒவ்வொரு புள்ளியையும் சிறிய உருவத்தின் நகல்களில் ஒன்றுக்கு நாம் ஒதுக்கலாம். ஒவ்வொரு நகலுக்கும் தொடர்புடைய தொகுப்புகளை அழைப்போம். இப்போது பெரிய உருவத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு புள்ளியையும் அதன் உட்புறத்தில் ஒரு புள்ளிக்கு ஒன்றுக்கு ஒன்று வரைபடமாக்குவோம், பரப்பளவைப் பாதுகாக்கும் மாற்றங்களை மட்டுமே பயன்படுத்துவோம். சதுரத்தின் மையம் தோற்றத்தில் இருக்கும் வகையில் நாம் சொந்தமான புள்ளிகளை எடுத்து அவற்றை மொழிபெயர்க்கிறோம். மேலே வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்பு A இல் உள்ள புள்ளிகளை எடுத்து, பகுதி-பாதுகாக்கும் செயல்பாடு στ மூலம் அவற்றின் மீது செயல்படுகிறோம். இது அவர்களை செட் பி-க்குள் வைக்கிறது. பின்னர் நாம் B க்கு சொந்தமான புள்ளிகளை எடுத்து அவற்றின் மீது σ2 உடன் செயல்படுகிறோம். அவை இப்போது B இல் இருக்கும், ஆனால் இந்த புள்ளிகளின் தொகுப்பு முந்தைய தொகுப்பிலிருந்து வேறுபட்டதாக இருக்கும். C2 இலிருந்து A புள்ளிகளில் σ3τ ஐப் பயன்படுத்தி (அதை மையப்படுத்திய பிறகு) மற்றும் அதன் B புள்ளிகளில் σ4 ஐப் பயன்படுத்தி இந்த முறையில் தொடர்கிறோம். இந்த வழியில், பெரிய உருவத்திலிருந்து (சில நிலையான புள்ளிகளைத் தவிர) அனைத்து புள்ளிகளையும் ஒன்றுக்கு ஒன்று முறையில் மையத்திலிருந்து வெகு தொலைவில் இல்லாத பி வகை புள்ளிகளுக்கு வரைபடமாக்கியுள்ளோம். பின்னர் நாம் ஏ வகை புள்ளிகளுக்கு இரண்டாவது வரைபடத்தை உருவாக்கலாம். இந்த கட்டத்தில் நாம் கேன்டர்-பெர்ன்ஸ்டீன்-ஷ்ரோடர் தேற்றத்தின் முறையைப் பயன்படுத்தலாம். இந்த கோட்பாடு நமக்குச் சொல்கிறது, செட் D இலிருந்து E ஐ அமைக்க ஒரு ஊசி இருந்தால் (பெரிய உருவத்திலிருந்து அதில் உள்ள A வகை புள்ளிகளுக்கு), மற்றும் E இலிருந்து D க்கு ஒரு ஊசி இருந்தால் (படத்தில் உள்ள A வகை புள்ளிகளிலிருந்து அடையாள வரைபடம் போன்றவை), பின்னர் D மற்றும் E க்கு இடையே ஒருவருக்கொருவர் தொடர்பு உள்ளது. வேறுவிதமாகக் கூறினால், பெரிய உருவத்திலிருந்து அதில் உள்ள A புள்ளிகளின் துணைக்குழுவிற்கு ஒரு வரைபடத்தைக் கொண்டிருப்பதால், பெரிய உருவத்திலிருந்து அதில் உள்ள அனைத்து A புள்ளிகளுக்கும் ஒரு வரைபடத்தை (ஒரு பைஜெக்ஷன்) உருவாக்க முடியும். (சில பிராந்தியங்களில் புள்ளிகள் தங்களைத் தாங்களே வரைபடமாக்கப்படுகின்றன, மற்றவற்றில் அவை முந்தைய பத்தியில் விவரிக்கப்பட்டுள்ள வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி வரைபடமாக்கப்படுகின்றன.) அதேபோல், பெரிய உருவத்திலிருந்து அதில் உள்ள அனைத்து பி புள்ளிகளுக்கும் ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்கலாம். எனவே இதை வேறு வழியில் பார்க்கும்போது, நாம் உருவத்தை அதன் ஏ மற்றும் பி புள்ளிகளாகப் பிரிக்கலாம், பின்னர் இவை ஒவ்வொன்றையும் முழு உருவத்திலும் மீண்டும் வரைபடமாக்கலாம் (அதாவது, இரண்டு வகையான புள்ளிகளையும் கொண்டுள்ளது)! நிலையான புள்ளிகளை எவ்வாறு கையாள்வது என்பது போன்ற சில விஷயங்களை இந்த ஸ்கெட்ச் விளக்குகிறது. இதைச் சுற்றி வேலை செய்ய அதிக வரைபடங்கள் மற்றும் அதிக செட்டுகள் தேவை என்று மாறிவிடும். விளைவுகள் சதுரத்திற்கான முரண்பாட்டை பின்வருமாறு வலுப்படுத்தலாம்ஃ யூக்ளிடியன் தளத்தின் எந்த இரண்டு வரம்புக்குட்பட்ட துணைக்குழுக்களும் காலியாக இல்லாத உட்புறங்களுடன் பகுதி-பாதுகாக்கும் இணைப்பு வரைபடங்களைப் பொறுத்தவரை சமமாக இணக்கமாக உள்ளன. இது அளவீட்டு சிக்கலைப் பற்றிய விளைவுகளைக் கொண்டுள்ளது. வான் நியூமன் குறிப்பிடுவது போல், "இன்ஃபோல்ஜெடெஸன் கிப்ட் எஸ் டெர் எபினே கெய்ன் நிக்ட்நெகேடிவ்ஸ் சேர்க்கைகள் மாஸ் (வோ தாஸ் ஐன்ஹீட்ஸ்கவாட்ராட் தாஸ் மாஸ் 1 ஹாட்), தாஸ் [sic] ஜெஜெனுபர் அலென் அபில்டுங்கன் வான் ஏ 2 மாறாத வேர்". இதற்கு இணங்க, ஏற்கனவே தளத்தில் எதிர்மறை அல்லாத சேர்க்கை அளவீடு எதுவும் இல்லை (இதற்காக அலகு சதுரம் 1 அளவைக் கொண்டுள்ளது), இது A2 [பரப்பளவைப் பாதுகாக்கும் அஃபைன் மாற்றங்களின் குழு] க்கு சொந்தமான அனைத்து மாற்றங்களுக்கும் மாறாதது. இதை இன்னும் கொஞ்சம் விளக்க, சில மாற்றங்களின் கீழ் பாதுகாக்கப்படும் ஒரு இறுதியான சேர்க்கை அளவீடு இருக்கிறதா என்ற கேள்வி, எந்த மாற்றங்கள் அனுமதிக்கப்படுகின்றன என்பதைப் பொறுத்தது. மொழிபெயர்ப்புகள் மற்றும் சுழற்சிகளால் பாதுகாக்கப்படும் விமானத்தில் உள்ள செட்டுகளின் பானாச் அளவீடு, பலகோணங்களின் பரப்பளவைப் பாதுகாக்கும்போது கூட ஐசோமெட்ரிக் அல்லாத மாற்றங்களால் பாதுகாக்கப்படுவதில்லை. மேலே விளக்கப்பட்டபடி, தளத்தின் புள்ளிகளை (தோற்றத்தைத் தவிர) இரண்டு அடர்த்தியான தொகுப்புகளாகப் பிரிக்கலாம், அவற்றை நாம் ஏ மற்றும் பி என்று அழைக்கலாம். கொடுக்கப்பட்ட பலகோணத்தின் ஏ புள்ளிகள் ஒரு குறிப்பிட்ட பகுதி-பாதுகாக்கும் மாற்றத்தால் மாற்றப்பட்டு, பி புள்ளிகள் மற்றொன்றால் மாற்றப்பட்டால், இரண்டு தொகுப்புகளும் இரண்டு புதிய பலகோணங்களில் பி புள்ளிகளின் துணைக்குழுக்களாக மாறும். புதிய பலகோணங்கள் பழைய பலகோணத்தின் அதே பரப்பளவைக் கொண்டுள்ளன, ஆனால் மாற்றப்பட்ட இரண்டு தொகுப்புகளும் முன்பு இருந்த அதே அளவைக் கொண்டிருக்க முடியாது (அவை பி புள்ளிகளின் ஒரு பகுதியை மட்டுமே கொண்டிருப்பதால்), எனவே "வேலை செய்யும்" அளவீடு எதுவும் இல்லை. பானாச்-டார்ஸ்கி நிகழ்வைப் பற்றிய ஆய்வின் போது வான் நியூமனால் தனிமைப்படுத்தப்பட்ட குழுக்களின் வகை கணிதத்தின் பல பகுதிகளுக்கு மிகவும் முக்கியமானதாக மாறியதுஃ இவை இணக்கமான குழுக்கள் அல்லது மாறாத சராசரி கொண்ட குழுக்கள், மேலும் அனைத்து வரையறுக்கப்பட்ட மற்றும் அனைத்து தீர்க்கக்கூடிய குழுக்களையும் உள்ளடக்கியது. பொதுவாகச் சொல்வதானால், சமநிலை இணக்கத்தின் வரையறையில் சமநிலைகளுக்கு பயன்படுத்தப்படும் குழு இணக்கமாக இல்லாதபோது முரண்பாடான சிதைவுகள் எழுகின்றன. சமீபத்திய முன்னேற்றம் வான் நியூமனின் ஆய்வறிக்கை நேரியல் குழு எஸ்எல் (2, ஆர்) (வேகன், கேள்வி 7,4) ஐப் பொறுத்தவரை அலகு சதுரத்தின் உட்புறத்தின் முரண்பாடான சிதைவுக்கான சாத்தியத்தைத் திறந்து வைத்தது. 2000 ஆம் ஆண்டில், மிக்லோஸ் லாக்ஸ்கோவிச் அத்தகைய சிதைவு இருப்பதை நிரூபித்தார். இன்னும் துல்லியமாக, ஏ என்பது வெற்று உட்புறத்துடன் மற்றும் தோற்றத்திலிருந்து நேர்மறையான தூரத்தில் உள்ள தளத்தின் அனைத்து வரம்புக்குட்பட்ட துணைக்குழுக்களின் குடும்பமாக இருக்கட்டும், மேலும் பி என்பது அனைத்து பிளானர் தொகுப்புகளின் குடும்பமாகும், இது எஸ். எல் (2, ஆர்) இன் சில கூறுகளின் கீழ் வரையறுக்கப்பட்ட பலவற்றின் ஒன்றிணைப்பு தோற்றத்தின் ஒரு பஞ்சர் செய்யப்பட்ட சுற்றுப்புறத்தைக் கொண்டுள்ளது. பின்னர் A குடும்பத்தில் உள்ள அனைத்து செட்களும் SL (2, R)-சமமானவை, அதேபோல் B இல் உள்ள செட்களுக்கும். இது இரு குடும்பங்களும் முரண்பாடான தொகுப்புகளைக் கொண்டுள்ளன என்பதைப் பின்பற்றுகிறது. மேலும் காண்க குறிப்புகள் குழு கோட்பாடு அளவீட்டுக் கோட்பாடு கணித முரண்பாடுகள் கணிதத்தின் அடித்தளங்களில் உள்ள தேற்றம்