Resolution (algebra)
கணிதத்தில், மேலும் குறிப்பாக ஹோமோலாஜிக்கல் அல்ஜீப்ராவில், ஒரு தீர்மானம் (அல்லது இடது தீர்மானம்; இருமுறை ஒரு ஒத்திசைவு அல்லது வலது தீர்மானம்) என்பது தொகுதிகளின் சரியான வரிசை (அல்லது, பொதுவாக, ஒரு அபெலியன் வகையின் பொருட்களின்), இது ஒரு குறிப்பிட்ட தொகுதி அல்லது இந்த வகையின் பொருளின் கட்டமைப்பை வகைப்படுத்தும் மாறிலிகளை வரையறுக்க பயன்படுகிறது. வழக்கமாக, அம்புகள் வலதுபுறம் இருக்கும்போது, வரிசை (இடது) தீர்மானங்களுக்கு இடதுபுறத்திலும், வலது தீர்மானங்களுக்கு வலதுபுறத்திலும் எல்லையற்றதாக இருக்க வேண்டும். இருப்பினும், ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட தீர்மானம் என்பது வரிசையில் உள்ள பல பொருள்கள் மட்டுமே பூஜ்ஜியமற்றவை; இது பொதுவாக ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட துல்லியமான வரிசையால் குறிக்கப்படுகிறது, இதில் இடதுபுற பொருள் (தீர்மானங்களுக்கு) அல்லது வலதுபுற பொருள் (கோரெசொல்யூஷன்களுக்கு) பூஜ்ஜிய பொருள். பொதுவாக, வரிசையில் உள்ள பொருள்கள் சில பண்பு P ஐக் கொண்டிருக்க கட்டுப்படுத்தப்படுகின்றன (எடுத்துக்காட்டாக இலவசமாக இருக்க வேண்டும்). இவ்வாறு ஒருவர் பி தீர்மானத்தைப் பற்றி பேசுகிறார். குறிப்பாக, ஒவ்வொரு தொகுதியிலும் இலவச தீர்மானங்கள், திட்டத் தீர்மானங்கள் மற்றும் தட்டையான தீர்மானங்கள் உள்ளன, அவை முறையே இலவச தொகுதிகள், திட்டத் தொகுதிகள் அல்லது தட்டையான தொகுதிகளைக் கொண்ட இடது தீர்மானங்கள் ஆகும். இதேபோல் ஒவ்வொரு தொகுதியிலும் ஊசி தீர்மானங்கள் உள்ளன, அவை ஊசி தொகுதிகளைக் கொண்ட சரியான தீர்மானங்கள் ஆகும். தொகுதிகளின் தீர்மானங்கள் வரையறைகள் ஒரு வளையம் R மீது ஒரு தொகுதி M கொடுக்கப்பட்டால், M இன் இடது தீர்மானம் (அல்லது வெறுமனே தீர்மானம்) என்பது R-தொகுதிகளின் சரியான வரிசை (ஒருவேளை எல்லையற்றது). வரைபடம் ε ஒரு அதிகரிப்பு வரைபடம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. சுருக்கத்திற்கு, மேலே உள்ள தீர்மானத்தை இவ்வாறு எழுதலாம் இரட்டைக் கருத்து என்பது சரியான தீர்மானம் (அல்லது ஒத்திசைவு, அல்லது வெறுமனே தீர்மானம்) ஆகும். குறிப்பாக, ஒரு வளையம் ஆர் மீது ஒரு தொகுதி எம் கொடுக்கப்பட்டால், ஒரு சரியான தீர்மானம் என்பது ஆர்-தொகுதிகளின் எல்லையற்ற துல்லியமான வரிசையாகும், அங்கு ஒவ்வொரு சிஐ ஒரு ஆர்-தொகுதியாகும் (தெளிவுத்திறனில் உள்ள பொருட்களின் மீது சூப்பர்ஸ்கிரிப்ட்களைப் பயன்படுத்துவது பொதுவானது மற்றும் அவற்றுக்கு இடையிலான வரைபடங்கள் அத்தகைய தீர்மானத்தின் இரட்டை தன்மையைக் குறிக்கின்றன). சுருக்கமாகப் பார்த்தால், மேலே உள்ள தெளிவுத்திறனை ஏ (கோ) தெளிவுத்திறன் என்று எழுதலாம், இதில் சம்பந்தப்பட்ட பல தொகுதிகள் மட்டுமே பூஜ்ஜியமற்றவை என்றால் அவை வரையறுக்கப்பட்டவை என்று கூறப்படுகிறது. ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட தெளிவுத்திறனின் நீளம் என்பது வரையறுக்கப்பட்ட தெளிவுத்திறனில் பூஜ்ஜியமற்ற தொகுதியை பெயரிடும் அதிகபட்ச குறியீடு n ஆகும். இலவச, திட்டவட்டமான, உட்செலுத்தும் மற்றும் தட்டையான தீர்மானங்கள் பல சூழ்நிலைகளில் கொடுக்கப்பட்ட தொகுதி எம் ஐத் தீர்க்கும் தொகுதிகளில் நிபந்தனைகள் விதிக்கப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு தொகுதி எம் இன் இலவச தீர்மானம் என்பது ஒரு இடது தீர்மானமாகும், இதில் அனைத்து தொகுதிகளும் இலவச ஆர்-தொகுதிகள். அதேபோல், திட்டவட்டமான மற்றும் தட்டையான தீர்மானங்கள் அனைத்தும் முறையே திட்டவட்டமான மற்றும் தட்டையான ஆர்-தொகுதிகளாக இருக்கும் வகையில் இடது தீர்மானங்கள் ஆகும். ஊசி தீர்மானங்கள் சரியான தீர்மானங்கள், அதன் சிஐ அனைத்தும் ஊசி தொகுதிகள். ஒவ்வொரு ஆர்-தொகுதியும் ஒரு இலவச இடது தெளிவுத்திறனைக் கொண்டுள்ளது. மேலும், ஒவ்வொரு தொகுதியும் திட்டவட்டமான மற்றும் தட்டையான தீர்மானங்களையும் ஏற்றுக்கொள்கிறது. ஆதார யோசனை என்னவென்றால், E0 ஐ M இன் கூறுகளால் உருவாக்கப்பட்ட இலவச R-தொகுதி என்றும், பின்னர் E1 இயற்கையான வரைபடத்தின் E0 → M போன்றவற்றின் கர்னலின் கூறுகளால் உருவாக்கப்பட்ட இலவச R-தொகுதி என்றும் வரையறுப்பது. இரட்டிப்பாக, ஒவ்வொரு ஆர்-தொகுதியும் ஒரு ஊசி தீர்மானத்தைக் கொண்டுள்ளது. டோர் செயல்பாடுகளைக் கணக்கிட திட்டவட்டமான தீர்மானங்கள் (மேலும், பொதுவாக, தட்டையான தீர்மானங்கள்) பயன்படுத்தப்படலாம். ஒரு தொகுதி M இன் திட்டவட்டமான தீர்மானம் ஒரு சங்கிலி ஹோமோடாபி வரை தனித்துவமானது, அதாவது, இரண்டு திட்டவட்டமான தீர்மானங்கள் P0 → M மற்றும் M இன் P1 → M கொடுக்கப்பட்டால், அவற்றுக்கிடையே ஒரு சங்கிலி ஹோமோடாபி உள்ளது. ஒத்த பரிமாணங்களை வரையறுக்க தீர்மானங்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. ஒரு தொகுதி M இன் வரையறுக்கப்பட்ட ப்ரொஜெக்டிவ் தீர்மானத்தின் குறைந்தபட்ச நீளம் அதன் ப்ரொஜெக்டிவ் பரிமாணம் என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் pd (M) குறிக்கப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு தொகுதி ஒரு திட்டவட்டமான தொகுதியாக இருந்தால் மட்டுமே அது திட்ட பரிமாண பூஜ்ஜியத்தைக் கொண்டுள்ளது. M ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட ப்ரொஜெக்டிவ் தீர்மானத்தை ஏற்றுக்கொள்ளவில்லை என்றால், ப்ரொஜெக்டிவ் பரிமாணம் எல்லையற்றது. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு பரிமாற்ற உள்ளூர் வளையம் R க்கு, R வழக்கமானதாக இருந்தால் மட்டுமே ப்ரொஜெக்டிவ் பரிமாணம் வரையறுக்கப்படுகிறது, இந்த விஷயத்தில் அது R இன் க்ரல் பரிமாணத்துடன் ஒத்துப்போகிறது. R இன் சரியான உலகளாவிய பரிமாணம் என்று அழைக்கப்படும் R க்கான ஒரே மாதிரியான பரிமாணத்தை வரையறுக்க சரியான R தொகுதிகளின் பிரிவில் ஊசி மற்றும் ப்ரொஜெக்டிவ் பரிமாணங்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. இதேபோல், பலவீனமான உலகளாவிய பரிமாணத்தை வரையறுக்க தட்டையான பரிமாணம் பயன்படுத்தப்படுகிறது. இந்த பரிமாணங்களின் நடத்தை வளையத்தின் பண்புகளை பிரதிபலிக்கிறது. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு வளையம் அரை எளிய வளையமாக இருந்தால் மட்டுமே சரியான உலகளாவிய பரிமாணம் 0 ஐக் கொண்டுள்ளது, மேலும் ஒரு வளையம் ஒரு வான் நியூமன் வழக்கமான வளையமாக இருந்தால் மட்டுமே பலவீனமான உலகளாவிய பரிமாணம் 0 ஐக் கொண்டுள்ளது. தரப்படுத்தப்பட்ட தொகுதிகள் மற்றும் ஆல்ஜிப்ராக்கள் எம் ஒரு தரப்படுத்தப்பட்ட இயற்கணிதத்தின் மீது ஒரு தரப்படுத்தப்பட்ட தொகுதியாக இருக்கட்டும், இது ஒரு புலத்தின் மீது அதன் நேர்மறை டிகிரி கூறுகளால் உருவாக்கப்படுகிறது. பின்னர் எம் ஒரு இலவச தெளிவுத்திறனைக் கொண்டுள்ளது, இதில் இலவச தொகுதிகள் ஐஐஐஐ மற்றும் ε ஆகியவை நேரியல் வரைபடங்களாக தரப்படுத்தப்படும் வகையில் தரப்படுத்தப்படலாம். இந்த தரப்படுத்தப்பட்ட இலவச தீர்மானங்களில், குறைந்தபட்ச இலவச தீர்மானங்கள் ஒவ்வொன்றின் அடிப்படை கூறுகளின் எண்ணிக்கை குறைவாக இருக்கும். ஒவ்வொரு Ei இன் அடிப்படை கூறுகளின் எண்ணிக்கை மற்றும் அவற்றின் டிகிரிகள் ஒரு தரப்படுத்தப்பட்ட தொகுதியின் அனைத்து குறைந்தபட்ச இலவச தீர்மானங்களுக்கும் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும். ஒரு புலத்தின் மீது ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை வளையத்தில் I ஒரு ஒரே மாதிரியான இலட்சியமாக இருந்தால், I ஆல் வரையறுக்கப்பட்ட ப்ரொஜெக்டிவ் இயற்கணித தொகுப்பின் காஸ்டெல்னுவோவோ-மம்ஃபோர்ட் ஒழுங்குமுறை குறைந்தபட்ச முழு எண் r ஆகும், அதாவது குறைந்தபட்ச இலவச தீர்மானத்தில் Ei இன் அடிப்படை கூறுகளின் டிகிரிகள் அனைத்தும் r-i ஐ விட குறைவாக இருக்கும். எடுத்துக்காட்டுகள் ஒரு இலவச தெளிவுத்திறனின் உன்னதமான எடுத்துக்காட்டு ஒரு உள்ளூர் வளையத்தில் ஒரு வழக்கமான வரிசையின் கோஸுல் வளாகத்தால் அல்லது ஒரு புலத்தின் மீது இறுதியாக உருவாக்கப்படும் தரப்படுத்தப்பட்ட இயற்கணிதத்தில் ஒரே மாதிரியான வழக்கமான வரிசையால் வழங்கப்படுகிறது. X ஒரு அஸ்பெரிகல் இடமாக இருக்கட்டும், அதாவது, அதன் உலகளாவிய கவர் E சுருங்கக்கூடியது. பின்னர் E இன் ஒவ்வொரு ஒற்றை (அல்லது எளிமையான) சங்கிலி வளாகமும் தொகுதி Z இன் இலவச தெளிவுத்திறனாக Z வளையத்தின் மீது மட்டுமல்லாமல் குழு வளையத்தின் Z [π1 (X)] மீதும் உள்ளது. அபெலியன் வகைகளில் உள்ள தீர்மானங்கள் அபெலியன் வகை A இல் உள்ள ஒரு பொருளின் M இன் தீர்மானங்களின் வரையறை மேலே உள்ளதைப் போன்றது, ஆனால் Ei மற்றும் Ci ஆகியவை A இல் உள்ள பொருள்கள், மேலும் இதில் சம்பந்தப்பட்ட அனைத்து வரைபடங்களும் A இல் உள்ள உருவங்கள். ப்ரொஜெக்டிவ் மற்றும் இன்ஜெக்டிவ் தொகுதிகளின் ஒத்த கருத்து ப்ரொஜெக்டிவ் மற்றும் இன்ஜெக்டிவ் பொருள்கள், அதன்படி, ப்ரொஜெக்டிவ் மற்றும் இன்ஜெக்டிவ் தீர்மானங்கள். இருப்பினும், அத்தகைய தீர்மானங்கள் ஒரு பொது அபெலியன் வகை ஏ இல் இருக்க வேண்டியதில்லை. A இன் ஒவ்வொரு பொருளுக்கும் ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் இருந்தால் (ரெஸ்ப். ஊசி) தீர்மானம், பின்னர் ஏ போதுமான ப்ரொஜெக்டிவ்ஸ் (ரெஸ்ப்) இருப்பதாகக் கூறப்படுகிறது. போதுமான ஊசி). அவை இருந்தபோதிலும், அத்தகைய தீர்மானங்கள் பெரும்பாலும் வேலை செய்வது கடினம். எடுத்துக்காட்டாக, மேலே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, ஒவ்வொரு ஆர்-தொகுதியும் ஒரு உட்செலுத்தும் தெளிவுத்திறனைக் கொண்டுள்ளது, ஆனால் இந்த தீர்மானம் செயல்பாட்டு அல்ல, அதாவது, ஒரு ஹோமோமார்பிசம் எம் → எம் 'கொடுக்கப்பட்டால், உட்செலுத்தும் தீர்மானங்களுடன் சேர்ந்து பொதுவாக மற்றும் இடையே ஒரு வரைபடத்தைப் பெறுவதற்கான செயல்பாட்டு வழி இல்லை. பொதுவாக திட்டவட்டமான தீர்மானங்கள் இல்லாத அபெலியன் பிரிவுகள் ஒரு வகுப்பில் திட்டவட்டமான தீர்மானங்கள் இல்லாத அபெலியன் வகைகளின் எடுத்துக்காட்டுகள் ஒரு திட்டத்தில் ஒத்திசைவான உறைகளின் வகைகளாகும். எடுத்துக்காட்டாக, ப்ரொஜெக்டிவ் ஸ்பேஸ் என்றால், எந்த ஒத்திசைவான உறையும் ஒரு சரியான வரிசையால் கொடுக்கப்பட்ட விளக்கக்காட்சியைக் கொண்டுள்ளது முதல் இரண்டு சொற்கள் பொதுவாக ப்ரொஜெக்டிவ் ஆக இல்லை. ஆனால், இரண்டு சொற்களும் உள்ளூரில் இலவசம் மற்றும் உள்ளூரில் தட்டையானது. இரண்டு வகை உறைகளையும் சில கணக்கீடுகளுக்கு பயன்படுத்தலாம், சில பெறப்பட்ட செயல்பாடுகளைக் கணக்கிடுவதற்கான ப்ரொஜெக்டிவ் தீர்மானங்களை மாற்றலாம். அசைக்லிக் தீர்மானம் பல சந்தர்ப்பங்களில் ஒருவர் ஒரு தீர்மானத்தில் தோன்றும் பொருட்களில் உண்மையில் ஆர்வம் காட்டுவதில்லை, ஆனால் கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டைப் பொறுத்தவரை தீர்மானத்தின் நடத்தையில் ஆர்வம் காட்டுகிறார். எனவே, பல சூழ்நிலைகளில், அசிக்ளிக் தீர்மானங்கள் என்ற கருத்து பயன்படுத்தப்படுகிறதுஃ இரண்டு அபெலியன் வகைகளுக்கு இடையில் ஒரு இடது துல்லியமான செயல்பாட்டாளர் F: A → B கொடுக்கப்பட்டால், ஒரு பொருளின் M இன் தீர்மானம் F-அசிக்ளிக் என்று அழைக்கப்படுகிறது, பெறப்பட்ட செயல்பாட்டாளர்கள் RiF (En) அனைத்து i> 0 மற்றும் n ≤ 0 க்கும் மறைந்துவிட்டால். இரண்டாவதாக, ஒரு வலது துல்லியமான ஃபங்க்டரைப் பொறுத்தவரை ஒரு இடது தீர்மானம் அதன் பெறப்பட்ட ஃபங்க்டர்கள் தெளிவுத்திறனின் பொருட்களின் மீது மறைந்துவிட்டால் அது அசைக்லிக் ஆகும். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு ஆர் தொகுதி எம் கொடுக்கப்பட்டால், டென்சர் தயாரிப்பு ஒரு சரியான சரியான செயல்பாட்டாளர் மோட் (ஆர்) → மோட் (ஆர்) ஆகும். ஒவ்வொரு தட்டையான தெளிவுத்திறனும் இந்த ஃபங்க்டரைப் பொறுத்தவரை அசைக்லிக் ஆகும். ஒரு தட்டையான தெளிவுத்திறன் ஒவ்வொரு எம் மூலமும் டென்சர் தயாரிப்புக்கு அசைக்லிக் ஆகும். இதேபோல், அனைத்து ஃபங்க்டர்களுக்கும் அசைக்லிக் தீர்மானங்கள் ஹோம் (⋅, எம்) ப்ரொஜெக்டிவ் தீர்மானங்கள் மற்றும் ஃபங்க்டர்களுக்கு அசைக்லிக் தீர்மானங்கள் ஹோம் (எம், ⋅) ஊசி தீர்மானங்கள். எந்தவொரு உட்செலுத்தும் (திட்டவட்டமான) தெளிவுத்திறனும் எந்தவொரு இடது துல்லியமான (வலது துல்லியமான, முறையே) செயல்பாட்டிற்கும் எஃப்-அசிக்ளிக் ஆகும். அசிக்ளிக் ரெசல்யூஷன்களின் முக்கியத்துவம் என்னவென்றால், பெறப்பட்ட ஃபங்க்டர்கள் ஆர்ஐஎஃப் (ஒரு இடது சரியான ஃபங்க்டரின், அதேபோல் ஒரு வலது சரியான ஃபங்க்டரின் எல்ஐஎஃப்) எஃப்-அசிக்ளிக் ரெசல்யூஷன்களின் ஹோமோலஜி என்பதிலிருந்து பெறப்படலாம்ஃ ஒரு பொருளின் அசிக்ளிக் ரெசல்யூஷன் கொடுக்கப்பட்டால் எம், வலது புறம் என்பது வளாகத்தின் ஐ-வது ஹோமோலஜி பொருளாகும். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு வேறுபடுத்தக்கூடிய பன்மடங்கு M இல் நிலையான உறை R ஐ மென்மையான வேறுபட்ட வடிவங்களின் உறைகளால் தீர்க்க முடியும்ஃ உறைகள் சிறந்த உறைகள், அவை உலகளாவிய பிரிவு செயல்பாட்டைப் பொறுத்தவரை அசைக்ளிக் என்று அறியப்படுகின்றன. எனவே, உலகளாவிய பிரிவு செயல்பாட்டாளரின் பெறப்பட்ட செயல்பாட்டாளரான ஷீஃப் கோஹோமோலஜி, இதேபோல் கடவுளின் தீர்மானங்கள் உலகளாவிய பிரிவுகளின் செயல்பாட்டாளரைப் பொறுத்தவரை அசைக்லிக் ஆகும். மேலும் காண்க நிலையான தீர்மானம் ஹில்பர்ட்-பர்ச் தேற்றம் ஹில்பர்ட்டின் சிஜிகி தேற்றம் இலவச விளக்கக்காட்சி மேட்ரிக்ஸ் காரணியாக்கங்கள் (இயற்கணிதம்) குறிப்புகள் குறிப்புகள் ஹோமோலாஜிகல் இயற்கணிதம் தொகுதி கோட்பாடு