Abstract algebra
கணிதத்தில், இன்னும் குறிப்பாக இயற்கணிதம், சுருக்க இயற்கணிதம் அல்லது நவீன இயற்கணிதம் என்பது இயற்கணித கட்டமைப்புகளைப் பற்றிய ஆய்வு ஆகும். இயற்கணித கட்டமைப்புகள் ஒரு புலத்தின் மீது குழுக்கள், வளையங்கள், புலங்கள், தொகுதிகள், திசையன் இடைவெளிகள், லட்டிஸ்கள் மற்றும் ஆல்ஜிப்ராக்களை உள்ளடக்கியது. சுருக்க இயற்கணிதம் என்ற சொல் 20 ஆம் நூற்றாண்டின் முற்பகுதியில் இயற்கணிதத்தின் பழைய பகுதிகளிலிருந்து வேறுபடுத்துவதற்காக உருவாக்கப்பட்டது, மேலும் குறிப்பாக அடிப்படை இயற்கணிதத்திலிருந்து, கணக்கீடு மற்றும் பகுத்தறிவில் எண்களைக் குறிக்க மாறிகளின் பயன்பாடு. இயற்கணிதத்தின் சுருக்க முன்னோக்கு மேம்பட்ட கணிதத்திற்கு மிகவும் அடிப்படையானதாகிவிட்டது, இது வெறுமனே "இயற்கணிதம்" என்று அழைக்கப்படுகிறது, அதே நேரத்தில் "சுருக்க இயற்கணிதம்" என்ற சொல் கற்பித்தலில் தவிர அரிதாகவே பயன்படுத்தப்படுகிறது. இயற்கணித கட்டமைப்புகள், அவற்றுடன் தொடர்புடைய ஒத்த உருவங்களுடன், கணித வகைகளை உருவாக்குகின்றன. வகைக் கோட்பாடு பல்வேறு கட்டமைப்புகளுக்கு ஒத்த பண்புகள் மற்றும் கட்டமைப்புகளைப் படிக்க ஒரு ஒருங்கிணைந்த கட்டமைப்பை வழங்குகிறது. உலகளாவிய இயற்கணிதம் என்பது இயற்கணித கட்டமைப்புகளின் வகைகளை ஒற்றை பொருள்களாக ஆய்வு செய்யும் ஒரு தொடர்புடைய பாடமாகும். எடுத்துக்காட்டாக, குழுக்களின் அமைப்பு என்பது உலகளாவிய இயற்கணிதத்தில் ஒரு ஒற்றைப் பொருளாகும், இது குழுக்களின் வகை என்று அழைக்கப்படுகிறது. பத்தொன்பதாம் நூற்றாண்டுக்கு முன்பு, இயற்கணிதம் என்பது பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் ஆய்வு என்று வரையறுக்கப்பட்டது. பத்தொன்பதாம் நூற்றாண்டில் மிகவும் சிக்கலான சிக்கல்கள் மற்றும் தீர்வு முறைகள் உருவாக்கப்பட்டதால் சுருக்க இயற்கணிதம் உருவானது. உறுதியான சிக்கல்கள் மற்றும் எடுத்துக்காட்டுகள் எண் கோட்பாடு, வடிவியல், பகுப்பாய்வு மற்றும் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் தீர்வுகள் ஆகியவற்றிலிருந்து வந்தன. இப்போது சுருக்க இயற்கணிதத்தின் பகுதிகளாக அங்கீகரிக்கப்பட்ட பெரும்பாலான கோட்பாடுகள் கணிதத்தின் பல்வேறு கிளைகளிலிருந்து வேறுபட்ட உண்மைகளின் தொகுப்புகளாகத் தொடங்கின, பல்வேறு முடிவுகள் தொகுக்கப்பட்ட ஒரு மையமாக பணியாற்றிய ஒரு பொதுவான கருப்பொருளைப் பெற்றன, இறுதியாக ஒரு பொதுவான தொகுப்பின் அடிப்படையில் ஒருங்கிணைக்கப்பட்டன கருத்துக்கள். இந்த ஒருங்கிணைப்பு 20 ஆம் நூற்றாண்டின் ஆரம்ப தசாப்தங்களில் நிகழ்ந்தது, இதன் விளைவாக குழுக்கள், வளையங்கள் மற்றும் புலங்கள் போன்ற பல்வேறு இயற்கணித கட்டமைப்புகளின் முறையான கோட்பாட்டு வரையறைகள் ஏற்பட்டன. இந்த வரலாற்று வளர்ச்சி வான் டெர் வேர்டனின் நவீன இயற்கணிதம் போன்ற பிரபலமான பாடப்புத்தகங்களில் காணப்படும் சிகிச்சைக்கு நேர்மாறானது, இது ஒவ்வொரு அத்தியாயத்தையும் ஒரு கட்டமைப்பின் முறையான வரையறையுடன் தொடங்கி பின்னர் உறுதியான எடுத்துக்காட்டுகளுடன் பின்பற்றுகிறது. அடிப்படை இயற்கணிதம் பல்லுறுப்புக்கோவை சமன்பாடுகள் அல்லது இயற்கணித சமன்பாடுகள் பற்றிய ஆய்வு ஒரு நீண்ட வரலாற்றைக் கொண்டுள்ளது. , பாபிலோனியர்களால் சொல் சிக்கல்கள் என குறிப்பிடப்பட்ட இருபடி சமன்பாடுகளை தீர்க்க முடிந்தது. இந்த சொல் சிக்கல் நிலை சொல்லாட்சிக் கலை இயற்கணிதம் என வகைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது மற்றும் 16 ஆம் நூற்றாண்டு வரை மேலாதிக்க அணுகுமுறையாக இருந்தது. முஹம்மது இப்னு மூசா அல்-க்வாரிஸ்மி கிபி 830 இல் "இயற்கணிதம்" என்ற வார்த்தையை உருவாக்கினார், ஆனால் அவரது பணி முற்றிலும் சொல்லாட்சிக் கலை இயற்கணிதம். பிரான்சுவா வைட்டின் 1591 புதிய இயற்கணிதம் வரை முழு குறியீட்டு இயற்கணிதம் தோன்றவில்லை, மேலும் இது கூட டெஸ்கார்ட்டின் 1637 லா ஜியோமெட்ரியில் குறியீடுகள் வழங்கப்பட்ட சில உச்சரிக்கப்பட்ட சொற்களைக் கொண்டிருந்தது. குறியீட்டு சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறையான ஆய்வு லியோன்ஹார்ட் ஆய்லர் 18 ஆம் நூற்றாண்டின் பிற்பகுதியில் எதிர்மறை எண்கள் மற்றும் கற்பனை எண்கள் போன்ற "முட்டாள்தனமான" வேர்கள் என்று கருதப்பட்டதை ஏற்றுக்கொள்ள வழிவகுத்தது. இருப்பினும், ஐரோப்பிய கணிதவியலாளர்கள், பெரும்பாலும், 19 ஆம் நூற்றாண்டின் நடுப்பகுதி வரை இந்த கருத்துக்களை எதிர்த்தனர். ஜார்ஜ் மயிலின் 1830 ஆம் ஆண்டு இயற்கணிதம் பற்றிய ஆய்வுக் கட்டுரை இயற்கணிதத்தை கண்டிப்பாக குறியீட்டு அடிப்படையில் வைப்பதற்கான முதல் முயற்சியாகும். பழைய எண்கணித இயற்கணிதத்திலிருந்து வேறுபட்ட ஒரு புதிய குறியீட்டு இயற்கணிதத்தை அவர் வேறுபடுத்தினார். எண்கணித இயற்கணிதத்தில் வரையறுக்கப்பட்டிருந்தாலும், குறியீட்டு இயற்கணிதத்தில் அனைத்து செயல்பாட்டு விதிகளும் எந்த கட்டுப்பாடுகளும் இல்லாமல் உள்ளன. இந்த மயிலைப் பயன்படுத்துவது, உள்ளே அனுமதிப்பது போன்ற சட்டங்களைக் காட்டலாம். மயில் தனது வாதத்தை நியாயப்படுத்த சமமான வடிவங்களின் நிலைத்தன்மையின் கொள்கையை அவர் அழைத்ததைப் பயன்படுத்தியது, ஆனால் அவரது பகுத்தறிவு தூண்டல் சிக்கலால் பாதிக்கப்பட்டது. எடுத்துக்காட்டாக, எதிர்மறை அல்லாத உண்மையான எண்களுக்கு பொருந்தும், ஆனால் பொதுவான சிக்கலான எண்களுக்கு அல்ல. ஆரம்பகால குழு கோட்பாடு கணிதத்தின் பல பகுதிகள் குழுக்களின் ஆய்வுக்கு வழிவகுத்தன. குவிண்டிக் சமன்பாட்டின் தீர்வுகள் பற்றிய லாக்ராஞ்சின் 1770 ஆய்வு ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் கலோயிஸ் குழுவிற்கு வழிவகுத்தது. ஃபெர்மாட்டின் சிறிய தேற்றத்தைப் பற்றிய காஸின் 1801 ஆய்வு, முழு எண்களின் மாடுலோ n வளையத்திற்கும், முழு எண்களின் மாடுலோ n இன் பெருக்கக் குழுவிற்கும், சுழற்சி குழுக்கள் மற்றும் அபெலியன் குழுக்களின் பொதுவான கருத்துக்களுக்கும் வழிவகுத்தது. க்ளீனின் 1872 எர்லாங்கன் நிரல் வடிவவியலை ஆய்வு செய்தது மற்றும் யூக்ளிடியன் குழு மற்றும் திட்டவட்டமான மாற்றங்களின் குழு போன்ற சமச்சீர் குழுக்களுக்கு வழிவகுத்தது. 1874 ஆம் ஆண்டில் லை குழுக்களின் கோட்பாட்டை அறிமுகப்படுத்தினார், இது "வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் கலோயிஸ் கோட்பாட்டை" நோக்கமாகக் கொண்டது. 1876 ஆம் ஆண்டில் போயின்கரே மற்றும் க்ளீன் மோபியஸ் உருமாற்றங்களின் குழுவையும், அதன் துணைக்குழுக்களான மாடுலர் குழு மற்றும் ஃபுச்சியன் குழு போன்றவற்றையும் அறிமுகப்படுத்தினர், இது பகுப்பாய்வில் தானியங்கி செயல்பாடுகள் குறித்த பணியின் அடிப்படையில் இருந்தது. குழுவின் சுருக்கக் கருத்து பத்தொன்பதாம் நூற்றாண்டின் நடுப்பகுதியில் மெதுவாக வெளிப்பட்டது. 1832 ஆம் ஆண்டில் கலோயிஸ் முதன்முதலில் "குழு" என்ற வார்த்தையைப் பயன்படுத்தினார், இது கலவையின் கீழ் மூடப்பட்ட வரிசைமாற்றங்களின் தொகுப்பைக் குறிக்கிறது. ஆர்தர் கெய்லியின் 1854 ஆம் ஆண்டு ஆய்வறிக்கை குழுக்களின் கோட்பாட்டில் ஒரு குழுவை ஒரு துணை கலவை செயல்பாடு மற்றும் அடையாளம் 1 கொண்ட ஒரு தொகுப்பாக வரையறுத்தது, இது இன்று மோனாய்டு என்று அழைக்கப்படுகிறது. 1870 ஆம் ஆண்டில் க்ரோனெக்கர் ஒரு சுருக்க பைனரி செயல்பாட்டை வரையறுத்தார், இது ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட அபெலியன் குழுவிற்கான நவீன சட்டங்களைப் போலவே மூடிய, பரிமாற்ற, துணை மற்றும் இடது ரத்துசெய்யும் பண்பைக் கொண்டிருந்தது. ஒரு குழுவைப் பற்றிய வெபரின் 1882 வரையறை ஒரு மூடிய பைனரி செயல்பாடாகும், இது துணை மற்றும் இடது மற்றும் வலது ரத்துசெய்தலைக் கொண்டிருந்தது. 1882 ஆம் ஆண்டில் வால்தர் வான் டைக் ஒரு குழுவின் வரையறையின் ஒரு பகுதியாக தலைகீழ் கூறுகளை முதன்முதலில் தேவைப்படுத்தினார். இந்த சுருக்கக் குழுக் கருத்து தோன்றியவுடன், இந்த சுருக்க அமைப்பில் முடிவுகள் மறுசீரமைக்கப்பட்டன. எடுத்துக்காட்டாக, சைலோவின் தேற்றம் 1887 ஆம் ஆண்டில் ஃப்ரோபீனியஸால் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட குழுவின் விதிகளிலிருந்து நேரடியாக மறுசீரமைக்கப்பட்டது, இருப்பினும் ஃப்ரோபீனியஸ் இந்த தேற்றம் காச்சியின் தேற்றத்திலிருந்து வரிசைமாற்றக் குழுக்கள் மற்றும் ஒவ்வொரு வரையறுக்கப்பட்ட குழுவும் ஒரு வரிசைமாற்றக் குழுவின் துணைக் குழு என்ற உண்மையைப் பின்பற்றியது என்று குறிப்பிட்டார். ஓட்டோ ஹோல்டர் இந்த பகுதியில் குறிப்பாக வளமானவராக இருந்தார், 1889 இல் ஈவுக் குழுக்களையும், 1893 இல் குழு தானியங்கிகளையும், அதே போல் எளிய குழுக்களையும் வரையறுத்தார். அவர் ஜோர்டான்-ஹோல்டர் தேற்றத்தையும் முடித்தார். டெடெகிண்ட் மற்றும் மில்லர் ஆகியோர் ஹாமில்டோனிய குழுக்களை சுயாதீனமாக வகைப்படுத்தினர் மற்றும் இரண்டு கூறுகளின் கம்யூட்டேட்டர் என்ற கருத்தை அறிமுகப்படுத்தினர். பர்ன்சைட், ஃப்ரோபீனியஸ் மற்றும் மோலியன் ஆகியோர் பத்தொன்பதாம் நூற்றாண்டின் இறுதியில் வரையறுக்கப்பட்ட குழுக்களின் பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாட்டை உருவாக்கினர். ஜே. ஏ. டி செகியரின் 1905 மோனோகிராஃப் சுருக்கக் குழுக்களின் கோட்பாட்டின் கூறுகள் இந்த முடிவுகளில் பலவற்றை ஒரு சுருக்கமான, பொதுவான வடிவத்தில் முன்வைத்தன, இது வரையறுக்கப்பட்ட குழுக்களுக்கு மட்டுப்படுத்தப்பட்டிருந்தாலும், "உறுதியான" குழுக்களை ஒரு பிற்சேர்க்கைக்கு தள்ளிவிட்டது. வரையறுக்கப்பட்ட மற்றும் எல்லையற்ற சுருக்கக் குழுக்கள் பற்றிய முதல் மோனோகிராஃப் ஓ. கே. ஷ்மிட்டின் 1916 குழுக்களின் சுருக்கக் கோட்பாடு ஆகும். ஆரம்பகால வளையக் கோட்பாடு பரிமாற்றமற்ற வளையக் கோட்பாடு சிக்கலான எண்களை ஹைபர்கம்ப்ளெக்ஸ் எண்களுக்கு நீட்டிப்பதன் மூலம் தொடங்கியது, குறிப்பாக 1843 இல் வில்லியம் ரோவன் ஹாமில்டனின் குவாட்டர்னியன்கள். வேறு பல எண் அமைப்புகள் விரைவில் பின்பற்றப்பட்டன. 1844 ஆம் ஆண்டில், ஹாமில்டன் பிகுவாட்டர்னியன்களை வழங்கினார், கெய்லி ஆக்டோனியன்களை அறிமுகப்படுத்தினார், கிராஸ்மேன் வெளிப்புற ஆல்ஜிப்ராக்களை அறிமுகப்படுத்தினார். ஜேம்ஸ் காக்கிள் 1848 இல் டெசரின்களையும், 1849 இல் கோக்வாடர்னியன்களையும் வழங்கினார். வில்லியம் கிங்டன் கிளிஃபோர்ட் 1873 இல் பிளவு-எங்கும் நிறைந்த பகுதிகளை அறிமுகப்படுத்தினார். கூடுதலாக, கெய்லி 1854 ஆம் ஆண்டில் உண்மையான மற்றும் சிக்கலான எண்களுக்கு மேல் குழு ஆல்ஜிப்ராக்களையும், 1855 மற்றும் 1858 ஆம் ஆண்டுகளில் இரண்டு தாள்களில் சதுர மெட்ரிக்குகளையும் அறிமுகப்படுத்தினார். போதுமான உதாரணங்கள் இருந்தபோது, அவற்றை வகைப்படுத்துவது இருந்தது. 1870 ஆம் ஆண்டு மோனோகிராஃபில், பெஞ்சமின் பியர்ஸ் 6 க்கும் குறைவான பரிமாணத்தின் 150 க்கும் மேற்பட்ட ஹைபர்கம்ப்ளக்ஸ் எண் அமைப்புகளை வகைப்படுத்தினார், மேலும் ஒரு துணை இயற்கணிதத்தின் வெளிப்படையான வரையறையை வழங்கினார். அவர் நில்பொடென்ட் மற்றும் ஐடிம்பொடென்ட் கூறுகளை வரையறுத்து, எந்தவொரு இயற்கணிதத்திலும் ஒன்று அல்லது மற்றொன்று இருப்பதை நிரூபித்தார். பியர்ஸ் சிதைவையும் அவர் வரையறுத்தார். 1878 ஆம் ஆண்டில் ஃப்ரோபீனியஸ் மற்றும் 1881 ஆம் ஆண்டில் சார்லஸ் சாண்டர்ஸ் பியர்ஸ் ஆகியோர் சுயாதீனமாக வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாணப் பிரிவு ஆல்ஜிப்ராக்கள் மட்டுமே உண்மையான எண்கள், சிக்கலான எண்கள் மற்றும் குவாட்டர்னியன்கள் என்பதை நிரூபித்தனர். 1880 களில் கில்லிங் மற்றும் கார்டன் அரை எளிய லை ஆல்ஜிப்ராக்களை எளியவையாக சிதைக்க முடியும் என்பதைக் காட்டியது, மேலும் அனைத்து எளிய லை ஆல்ஜிப்ராக்களையும் வகைப்படுத்தியது. இதிலிருந்து ஈர்க்கப்பட்ட கார்டன், ஃப்ரோபீனியஸ் மற்றும் மோலியன் 1890 களில் (சுயாதீனமாக) ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண துணை இயற்கணிதம் அல்லது தனித்துவமாக ஒரு நில்போட்டன்ட் இயற்கணிதம் மற்றும் ஒரு அரை எளிய இயற்கணிதம் ஆகியவற்றின் நேரடி தொகைகளாக சிதைகிறது என்பதை நிரூபித்தனர். நேரடி தொகை மற்றும் எளிய இயற்கணிதம் போன்ற கருத்துக்களை முதன்முதலில் கார்டன் வரையறுத்தார், மேலும் இந்த கருத்துக்கள் மிகவும் செல்வாக்கு செலுத்தியது. 1907 ஆம் ஆண்டில் வெடர்பர்ன் கார்டனின் முடிவுகளை ஒரு தன்னிச்சையான புலத்திற்கு விரிவுபடுத்தினார், அவை இப்போது வெடர்பர்ன் முதன்மை தேற்றம் மற்றும் ஆர்ட்டின்-வெடர்பர்ன் தேற்றம் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. பரிமாற்ற வளையங்களைப் பொறுத்தவரை, பல பகுதிகள் ஒன்றாக பரிமாற்ற வளையக் கோட்பாட்டிற்கு வழிவகுத்தன. 1828 மற்றும் 1832 ஆம் ஆண்டுகளில் இரண்டு ஆவணங்களில், காஸ் காஸியன் முழு எண்களை உருவாக்கி, அவை ஒரு தனித்துவமான காரணிமயமாக்கல் களத்தை (யுஎஃப்டி) உருவாக்குகின்றன என்பதைக் காட்டி, இருதரப்பு பரஸ்பர சட்டத்தை நிரூபித்தது. ஜாகோபியும் ஐசென்ஸ்டைனும் ஒரே நேரத்தில் ஐசென்ஸ்டைன் முழு எண்களுக்கு ஒரு கனமான பரஸ்பர விதியை நிரூபித்தனர். ஃபெர்மாட்டின் கடைசி தேற்றத்தைப் பற்றிய ஆய்வு இயற்கணித முழு எண்களுக்கு வழிவகுத்தது. 1847 ஆம் ஆண்டில், கேப்ரியல் லேம் தான் எஃப். எல். டி. யை நிரூபித்ததாக நினைத்தார், ஆனால் அனைத்து சைக்ளோடோமிக் புலங்களும் யுஎஃப்டிகள் என்று அவர் கருதியதால் அவரது ஆதாரம் தவறானது, இருப்பினும் கும்மர் சுட்டிக்காட்டியபடி, அது ஒரு யுஎஃப்டி அல்ல. 1846 மற்றும் 1847 ஆம் ஆண்டுகளில் கும்மர் சிறந்த எண்களை அறிமுகப்படுத்தினார் மற்றும் சைக்ளோடோமிக் புலங்களுக்கான சிறந்த பகா எண்களாக தனித்துவமான காரணிமயமாக்கலை நிரூபித்தார். இயற்கணித எண் புலத்தின் முழு எண்களின் களத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு பூஜ்ஜியமற்ற இலட்சியமும் பகா இலட்சியங்களின் தனித்துவமான பெருக்கல் என்பதைக் காண்பிப்பதற்காக 1871 ஆம் ஆண்டில் டெடெகிண்ட் இதை விரிவுபடுத்தினார், இது டெடெகிண்ட் களங்களின் கோட்பாட்டின் முன்னோடியாகும். ஒட்டுமொத்தமாக, டெடெகிண்டின் பணி இயற்கணித எண் கோட்பாட்டின் பொருளை உருவாக்கியது. 1850 களில், ரீமன் மேற்பரப்பு என்ற அடிப்படை கருத்தை ரீமன் அறிமுகப்படுத்தினார். ரீமானின் முறைகள் டிரிக்லெட்டின் கொள்கை என்று அவர் அழைத்த ஒரு அனுமானத்தை நம்பியிருந்தன, இது 1870 இல் வியர்ஸ்ட்ராஸால் கேள்வி எழுப்பப்பட்டது. வெகு காலத்திற்குப் பிறகு, 1900 ஆம் ஆண்டில், ஹில்பர்ட் மாறுபாடுகளின் கால்குலஸில் நேரடி முறையை உருவாக்கி ரீமானின் அணுகுமுறையை நியாயப்படுத்தினார். 1860கள் மற்றும் 1870களில் கிளெப்ஷ், கோர்டான், பிரில் மற்றும் குறிப்பாக எம். நோதர் ஆகியோர் இயற்கணித செயல்பாடுகள் மற்றும் வளைவுகளை ஆய்வு செய்தனர். குறிப்பாக, பல்லுறுப்புக்கோவை வளையத்தில் இரண்டு இயற்கணித வளைவுகளால் உருவாக்கப்படும் இலட்சியத்தின் ஒரு உறுப்பாக ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு என்ன நிபந்தனைகள் தேவை என்பதை நோதர் ஆய்வு செய்தார், இருப்பினும் நோதர் இந்த நவீன மொழியைப் பயன்படுத்தவில்லை. 1882 ஆம் ஆண்டில் டெடெகிண்ட் மற்றும் வெபர், இயற்கணித எண் கோட்பாட்டில் டெடெகிண்டின் முந்தைய பணிக்கு ஒப்பாக, இயற்கணித செயல்பாட்டு புலங்களின் கோட்பாட்டை உருவாக்கினர், இது ஒரு ரீமன் மேற்பரப்பின் முதல் கடுமையான வரையறையையும், ரீமன்-ரோச் தேற்றத்தின் கடுமையான ஆதாரத்தையும் அனுமதித்தது. 1880 களில் க்ரோனெக்கர், 1890 இல் ஹில்பர்ட், 1905 இல் லாஸ்கர் மற்றும் 1913 இல் மக்காலி ஆகியோர் ஈ. நோதரின் படைப்புகளில் மறைமுகமாக உள்ள பல்லுறுப்புக்கோவை வளையங்களின் இலட்சியங்களை மேலும் ஆராய்ந்தனர். லாஸ்கர்-நோதர் தேற்றத்தின் ஒரு சிறப்பு வழக்கை லாஸ்கர் நிரூபித்தார், அதாவது ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை வளையத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு சீர்மமும் முதன்மை சீர்மங்களின் வரையறுக்கப்பட்ட குறுக்குவெட்டு ஆகும். இந்த சிதைவின் தனித்துவத்தை மக்காலி நிரூபித்தார். ஒட்டுமொத்தமாக, இந்த வேலை இயற்கணித வடிவவியலின் வளர்ச்சிக்கு வழிவகுத்தது. 1801 ஆம் ஆண்டில் காஸ் முழு எண்களுக்கு மேல் பைனரி இருபடி வடிவங்களை அறிமுகப்படுத்தி அவற்றின் சமநிலையை வரையறுத்தார். இந்த வடிவங்களின் பாகுபாட்டை அவர் மேலும் வரையறுத்தார், இது ஒரு பைனரி வடிவத்தின் மாறாதது. 1860 மற்றும் 1890 களுக்கு இடையில் மாறாத கோட்பாடு உருவானது மற்றும் இயற்கணிதத்தின் முக்கிய துறையாக மாறியது. கெய்லி, சில்வெஸ்டர், கோர்டன் மற்றும் பலர் பைனரி குவார்டிக் வடிவங்கள் மற்றும் கன வடிவங்களுக்கு ஜாகோபியன் மற்றும் ஹெஸியன் ஆகியவற்றைக் கண்டுபிடித்தனர். 1868 ஆம் ஆண்டில் கார்டன் சிக்கலான எண்களின் மீது ஒரு பைனரி வடிவத்தின் மாறுபாடுகளின் தரப்படுத்தப்பட்ட இயற்கணிதம் இறுதியாக உருவாக்கப்பட்டது, அதாவது, ஒரு அடிப்படையைக் கொண்டுள்ளது என்பதை நிரூபித்தார். ஹில்பர்ட் 1885 ஆம் ஆண்டில் மாறிலிகள் குறித்து ஒரு ஆய்வறிக்கையை எழுதினார், 1890 ஆம் ஆண்டில் எந்தவொரு டிகிரி அல்லது மாறிகளின் எண்ணிக்கையும் ஒரு அடிப்படையைக் கொண்டுள்ளன என்பதைக் காட்டியது. அவர் இதை 1890 இல் ஹில்பர்ட்டின் அடிப்படை தேற்றத்திற்கு மேலும் விரிவுபடுத்தினார். இந்த கோட்பாடுகள் உருவாக்கப்பட்டவுடன், ஒரு சுருக்க வளையக் கருத்து வெளிப்படும் வரை பல தசாப்தங்கள் இருந்தன. முதல் கோட்பாட்டு வரையறை 1914 இல் ஆபிரகாம் ஃப்ரான்கெல் என்பவரால் வழங்கப்பட்டது. அவரது வரையறை முக்கியமாக நிலையான கோட்பாடுகளாக இருந்ததுஃ இரண்டு செயல்பாட்டு கூட்டல் கொண்ட ஒரு தொகுப்பு, இது ஒரு குழுவை உருவாக்குகிறது (பரிமாற்ற வேண்டிய அவசியமில்லை), மற்றும் பெருக்கம், இது துணை, கூட்டல் மீது விநியோகிக்கிறது, மற்றும் ஒரு அடையாள உறுப்பு உள்ளது. கூடுதலாக, p-adic எண்களின் ஆராய்ச்சியால் ஈர்க்கப்பட்ட "வழக்கமான கூறுகள்" பற்றிய இரண்டு கோட்பாடுகளை அவர் கொண்டிருந்தார், இது முழு எண்களின் வளையம் போன்ற இப்போது பொதுவான வளையங்களைத் தவிர்த்தது. இவை கூட்டல் பரிமாற்றமானது என்பதை ஃப்ரான்கெல் நிரூபிக்க அனுமதித்தன. ஃபிரேன்கெலின் பணி ஸ்டெய்னிட்ஸின் 1910 வரையறையை வளையங்களுக்கு மாற்றுவதை நோக்கமாகக் கொண்டது, ஆனால் அது கான்கிரீட் அமைப்புகளில் தற்போதுள்ள வேலையுடன் இணைக்கப்படவில்லை. மசாஸோ சோனோவின் 1917 வரையறை தற்போதைய வரையறைக்கு சமமான முதல் வரையறையாகும். 1920 ஆம் ஆண்டில், எம்மி நோதர், டபிள்யூ. ஷ்மெட்லருடன் இணைந்து, இலட்சியங்களின் கோட்பாட்டைப் பற்றி ஒரு கட்டுரையை வெளியிட்டார், அதில் அவர்கள் ஒரு வளையத்தில் இடது மற்றும் வலது இலட்சியங்களை வரையறுத்தனர். அடுத்த ஆண்டு அவர் ஐடியல்டியோரி இன் ரிங்பெரீச்சென் (வளையங்களில் சிறந்த கோட்பாடு) என்ற மைல்கல் கட்டுரையை வெளியிட்டார், (கணித) இலட்சியங்கள் தொடர்பாக ஏறும் சங்கிலி நிலைமைகளை பகுப்பாய்வு செய்தார். இந்த வெளியீடு "நொய்தேரியன் வளையம்" என்ற சொல்லுக்கு வழிவகுத்தது, மேலும் பல கணிதப் பொருட்கள் நொய்தேரியன் என்று அழைக்கப்பட்டன. புகழ்பெற்ற இயற்கணிதவியலாளர் இர்விங் கப்லான்ஸ்கி இந்த படைப்பை "புரட்சிகரமானது" என்று அழைத்தார்; பல்லுறுப்புக்கோவை வளையங்களின் பண்புகளுடன் பிரிக்க முடியாத வகையில் இணைக்கப்பட்டதாகத் தோன்றிய முடிவுகள் ஒற்றை கோட்பாட்டிலிருந்து பின்பற்றப்படுவதாகக் காட்டப்பட்டது. நோதெரின் படைப்புகளால் ஈர்க்கப்பட்ட ஆர்ட்டின், இறங்கு சங்கிலி நிலையை கொண்டு வந்தார். இந்த வரையறைகள் சுருக்க வளையக் கோட்பாட்டின் பிறப்பைக் குறித்தன. ஆரம்பகால புலக் கோட்பாடு 1801 ஆம் ஆண்டில் காஸ் முழு எண்கள் மோட் p ஐ அறிமுகப்படுத்தினார், அங்கு p ஒரு பகா எண். 1830 ஆம் ஆண்டில் காலோயிஸ் இதை உறுப்புகளுடன் வரையறுக்கப்பட்ட புலங்களுக்கு விரிவுபடுத்தினார். 1871 ஆம் ஆண்டில் ரிச்சர்ட் டெடெகிண்ட் நான்கு எண்கணித செயல்பாடுகளின் கீழ் மூடப்பட்டிருக்கும் உண்மையான அல்லது சிக்கலான எண்களின் தொகுப்பிற்காக, ஜெர்மன் வார்த்தையான கோர்பர் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது, அதாவது "உடல்" அல்லது "கார்பஸ்" (இயற்கையாக மூடிய நிறுவனத்தை பரிந்துரைக்க). "ஃபீல்ட்" என்ற ஆங்கிலச் சொல் 1893 ஆம் ஆண்டில் மூர் என்பவரால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. 1881 ஆம் ஆண்டில் லியோபோல்ட் க்ரோனெக்கர் பகுத்தறிவுத்திறனின் களம் என்று அவர் அழைத்ததை வரையறுத்தார், இது நவீன சொற்களில் பகுத்தறிவு பின்னங்களின் களமாகும். ஒரு சுருக்க புலத்தின் முதல் தெளிவான வரையறை 1893 ஆம் ஆண்டில் ஹென்ரிச் மார்ட்டின் வெபர் காரணமாக இருந்தது. இது பெருக்கத்திற்கான துணை விதியைக் காணவில்லை, ஆனால் வரையறுக்கப்பட்ட புலங்கள் மற்றும் இயற்கணித எண் கோட்பாடு மற்றும் இயற்கணித வடிவவியலின் புலங்களை உள்ளடக்கியது. 1910 ஆம் ஆண்டில் ஸ்டெய்னிட்ஸ் இதுவரை திரட்டப்பட்ட சுருக்க புலக் கோட்பாட்டின் அறிவை ஒருங்கிணைத்தார். நவீன வரையறையுடன் புலங்களை அவர் தன்னியக்கமாக வரையறுத்தார், அவற்றின் சிறப்பியல்புகளால் அவற்றை வகைப்படுத்தினார், மேலும் இன்று பொதுவாகக் காணப்படும் பல கோட்பாடுகளை நிரூபித்தார். நேரியல் இயற்கணிதத்திற்கு வழிவகுத்த நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பது நவீன இயற்கணிதம் 19 ஆம் நூற்றாண்டின் முடிவிலும் 20 ஆம் நூற்றாண்டின் தொடக்கத்திலும் கணித முறைகளில் ஒரு மாற்றத்தைக் கண்டது. சுருக்க இயற்கணிதம் 20 ஆம் நூற்றாண்டின் தொடக்கத்தில் நவீன இயற்கணிதம் என்ற பெயரில் உருவானது. அதன் ஆய்வு கணிதத்தில் அதிக அறிவார்ந்த கடுமைக்கு உந்துதலின் ஒரு பகுதியாக இருந்தது. ஆரம்பத்தில், முழு கணிதமும் (மற்றும் இயற்கை அறிவியலின் முக்கிய பகுதிகளும்) சார்ந்திருக்கும் பாரம்பரிய இயற்கணிதத்தில் உள்ள அனுமானங்கள், கோட்பாட்டு அமைப்புகளின் வடிவத்தை எடுத்தன. உறுதியான பொருட்களின் பண்புகளை நிறுவுவதில் இனி திருப்தி அடையவில்லை, கணிதவியலாளர்கள் பொதுக் கோட்பாட்டில் தங்கள் கவனத்தைத் திருப்பத் தொடங்கினர். சில இயற்கணித கட்டமைப்புகளின் முறையான வரையறைகள் 19 ஆம் நூற்றாண்டில் வெளிவரத் தொடங்கின. எடுத்துக்காட்டாக, வரிசைமாற்றங்களின் பல்வேறு குழுக்களைப் பற்றிய முடிவுகள் ஒரு சுருக்கக் குழுவின் பொதுவான கருத்தைப் பற்றிய பொதுவான கோட்பாடுகளின் நிகழ்வுகளாகக் காணப்பட்டன. பல்வேறு கணிதப் பொருட்களின் கட்டமைப்பு மற்றும் வகைப்பாடு குறித்த கேள்விகள் முன்னுக்கு வந்தன. இந்த செயல்முறைகள் அனைத்து கணிதத்திலும் நிகழ்ந்தன, ஆனால் இயற்கணிதத்தில் குறிப்பாக உச்சரிக்கப்பட்டன. குழுக்கள், வளையங்கள் மற்றும் புலங்கள் போன்ற பல அடிப்படை இயற்கணித கட்டமைப்புகளுக்கு பழமையான செயல்பாடுகள் மற்றும் கோட்பாடுகள் மூலம் முறையான வரையறை முன்மொழியப்பட்டது. எனவே குழுக் கோட்பாடு மற்றும் வளையக் கோட்பாடு போன்ற விஷயங்கள் தூய கணிதத்தில் தங்கள் இடத்தைப் பிடித்தன. எர்ன்ஸ்ட் ஸ்டெய்னிட்ஸ் மற்றும் டேவிட் ஹில்பர்ட், எமில் ஆர்ட்டின் மற்றும் எம்மி நோதர் ஆகியோரின் பொதுவான புலங்கள் பற்றிய இயற்கணித ஆய்வுகள், பரிமாற்ற வளையங்களில் இலட்சியங்களைக் கருத்தில் கொண்ட எர்ன்ஸ்ட் கும்மர், லியோபோல்ட் க்ரோனெக்கர் மற்றும் ரிச்சர்ட் டெடெகிண்ட் ஆகியோரின் படைப்புகளை அடிப்படையாகக் கொண்டு, குழுக்களின் பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாட்டைப் பற்றி ஜார்ஜ் ஃப்ரோபீனியஸ் மற்றும் ஐசாய் ஷூர் ஆகியோரின் படைப்புகள் சுருக்க இயற்கணிதத்தை வரையறுக்க வந்தன. 19 ஆம் நூற்றாண்டின் கடைசி காலாண்டு மற்றும் 20 ஆம் நூற்றாண்டின் முதல் காலாண்டின் இந்த முன்னேற்றங்கள் பார்டல் வான் டெர் வேர்டேனின் நவீன இயற்கணிதத்தில் முறையாக அம்பலப்படுத்தப்பட்டன, இது 1930-1931 இல் வெளியிடப்பட்ட இரண்டு தொகுதி மோனோகிராஃப் ஆகும், இது இயற்கணிதத்தின் கருத்தை சமன்பாடுகளின் கோட்பாட்டிலிருந்து இயற்கணித கட்டமைப்புகளின் கோட்பாட்டிற்கு மாற்றியமைத்தது. பல்வேறு அளவிலான விவரங்களை சுருக்குவதன் மூலம், கணிதவியலாளர்கள் கணிதத்தின் பல பகுதிகளில் பயன்படுத்தப்படும் பல்வேறு இயற்கணித கட்டமைப்புகளை வரையறுத்துள்ளனர். உதாரணமாக, ஆய்வு செய்யப்பட்ட கிட்டத்தட்ட அனைத்து அமைப்புகளும் தொகுப்புகளாகும், இதற்கு தொகுப்புக் கோட்பாட்டின் கோட்பாடுகள் பொருந்தும். அவற்றில் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு குறிப்பிட்ட பைனரி செயல்பாட்டைக் கொண்ட செட்டுகள் மாக்மாக்களை உருவாக்குகின்றன, இதற்கு மாக்மாக்களைப் பற்றிய கருத்துகளும், செட்களைப் பற்றிய கருத்துகளும் பொருந்தும். இயற்கணித கட்டமைப்பில் நாம் கூடுதல் கட்டுப்பாடுகளைச் சேர்க்கலாம், அதாவது அசோசியேட்டிவிட்டி (அரை குழுக்களை உருவாக்க); அடையாளம், மற்றும் தலைகீழ்கள் (குழுக்களை உருவாக்க); மற்றும் பிற சிக்கலான கட்டமைப்புகள். கூடுதல் கட்டமைப்புடன், அதிக கோட்பாடுகளை நிரூபிக்க முடியும், ஆனால் பொதுவான தன்மை குறைகிறது. இயற்கணிதப் பொருட்களின் "படிநிலை" (பொதுவான அடிப்படையில்) தொடர்புடைய கோட்பாடுகளின் படிநிலையை உருவாக்குகிறதுஃ எடுத்துக்காட்டாக, வளையங்களைப் படிக்கும்போது குழுக் கோட்பாட்டின் கோட்பாடுகள் பயன்படுத்தப்படலாம் (சில கோட்பாடுகளுடன் இரண்டு பைனரி செயல்பாடுகளைக் கொண்ட இயற்கணிதப் பொருள்கள்) ஏனெனில் ஒரு வளையம் அதன் செயல்பாடுகளில் ஒன்றின் மீது ஒரு குழு. பொதுவாக பொதுவான தன்மைக்கும் கோட்பாட்டின் செழுமைக்குமிடையே ஒரு சமநிலை உள்ளதுஃ மிகவும் பொதுவான கட்டமைப்புகள் பொதுவாக குறைவான அற்பமான கோட்பாடுகளையும் குறைவான பயன்பாடுகளையும் கொண்டுள்ளன. ஒற்றை பைனரி செயல்பாட்டுடன் கூடிய இயற்கணித கட்டமைப்புகளின் எடுத்துக்காட்டுகள் பின்வருமாறுஃ மாக்மா குவாசிகிரூப் மோனாய்டு செமிகிரூப் குழு பல செயல்பாடுகளை உள்ளடக்கிய எடுத்துக்காட்டுகள் பின்வருமாறுஃ ரிங் ஃபீல்ட் மாட்யூல் வெக்டர் ஸ்பேஸ் ஆல்ஜிப்ரா ஒரு புலத்தின் மீது அசோசியேட்டிவ் அல்ஜிப்ரா லை அல்ஜிப்ரா லாட்டிஸ் பூலியன் அல்ஜிப்ரா சுருக்க இயற்கணிதத்தின் கிளைகள் குழு கோட்பாடு ஒரு குழு என்பது ஒரு "குழு தயாரிப்பு", ஒரு பைனரி செயல்பாட்டுடன் கூடிய தொகுப்பாகும். குழு பின்வரும் வரையறுக்கும் கோட்பாடுகளை திருப்திப்படுத்துகிறதுஃ அடையாளம்ஃ ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும், அது வைத்திருக்கும் ஒரு உறுப்பு உள்ளது. நேர்மாறாகஃ ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும், ஒரு உறுப்பு உள்ளது, இதனால். அசோசியேட்டிவிட்டி ': ஒவ்வொரு மூன்று உறுப்புகளுக்கும், அது வைத்திருக்கிறது. வளையக் கோட்பாடு ஒரு வளையம் என்பது இரண்டு பைனரி செயல்பாடுகளைக் கொண்ட ஒரு தொகுப்பாகும், கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல்ஃ பின்வரும் கோட்பாடுகளை திருப்திப்படுத்துகிறது. இது கூட்டலின் கீழ் உள்ள ஒரு பரிமாற்றக் குழுவாகும். பெருக்கத்தின் கீழ் ஒரு மோனாய்டு. கூட்டலைப் பொறுத்தவரை பெருக்கம் என்பது விநியோகிக்கப்படுகிறது. பயன்பாடுகள் அதன் பொதுவான தன்மை காரணமாக, சுருக்க இயற்கணிதம் கணிதம் மற்றும் அறிவியலின் பல துறைகளில் பயன்படுத்தப்படுகிறது. உதாரணமாக, இயற்கணித இடவியல், இயற்கணிதப் பொருட்களைப் பயன்படுத்தி இடவியலைப் படிக்கிறது. 2003 ஆம் ஆண்டில் நிரூபிக்கப்பட்ட போயின்கேர் அனுமானம், இணைப்பைப் பற்றிய தகவல்களைக் குறியாக்கம் செய்யும் ஒரு பன்மடங்கு அடிப்படை குழு, ஒரு பன்மடங்கு ஒரு கோளமா இல்லையா என்பதை தீர்மானிக்க பயன்படுத்தப்படலாம் என்று வலியுறுத்துகிறது. இயற்கணித எண் கோட்பாடு முழு எண்களின் தொகுப்பை பொதுமைப்படுத்தும் பல்வேறு எண் வளையங்களை ஆய்வு செய்கிறது. இயற்கணித எண் கோட்பாட்டின் கருவிகளைப் பயன்படுத்தி, ஆண்ட்ரூ வைல்ஸ் ஃபெர்மாட்டின் கடைசி தேற்றத்தை நிரூபித்தார். இயற்பியலில், சமச்சீர் செயல்பாடுகளைக் குறிக்க குழுக்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, மேலும் குழுக் கோட்பாட்டின் பயன்பாடு வேறுபட்ட சமன்பாடுகளை எளிதாக்கும். கேஜ் கோட்பாட்டில், ஒரு அமைப்பை விவரிக்கும் சமன்பாடுகளைக் கண்டறிய உள்ளூர் சமச்சீரின் தேவையைப் பயன்படுத்தலாம். அந்த சமச்சீர்மைகளை விவரிக்கும் குழுக்கள் லை குழுக்கள் ஆகும், மேலும் லை குழுக்கள் மற்றும் லை ஆல்ஜிப்ராக்களின் ஆய்வு இயற்பியல் அமைப்பைப் பற்றி நிறைய வெளிப்படுத்துகிறது; எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு கோட்பாட்டில் விசை கேரியர்களின் எண்ணிக்கை லை அல்ஜிப்ராவின் பரிமாணத்திற்கு சமம், மேலும் இந்த போசான்கள் லை அல்ஜிப்ரா அல்லாததாக இருந்தால் அவை மத்தியஸ்தம் செய்யும் விசையுடன் தொடர்பு கொள்கின்றன. குறியீட்டு கோட்பாடு குழு கோட்பாடு சுருக்க இயற்கணிதத்தில் வெளியீடுகளின் பட்டியல் குறிப்புகள் நூலியல் மேலும் வாசிப்பு டபிள்யூ. கீத் நிக்கல்சன் (2012) சுருக்க இயற்கணிதத்திற்கான அறிமுகம், 4 வது பதிப்பு, ஜான் வில்லி & சன்ஸ். ஜான் ஆர். டர்பின் (1992) நவீன இயற்கணிதம்ஃ ஒரு அறிமுகம், ஜான் வில்லி & சன்ஸ் வெளிப்புற இணைப்புகள் சார்லஸ் சி. பிண்டர் (1990) [1982] சுருக்க இயற்கணிதத்தின் ஒரு புத்தகம், இரண்டாவது பதிப்பு, மேரிலாந்து பல்கலைக்கழகத்திலிருந்து