Jeep problem
ஜீப் சிக்கல், பாலைவன குறுக்குவெட்டு சிக்கல் அல்லது ஆய்வு சிக்கல் என்பது ஒரு கணித சிக்கலாகும், இதில் ஒரு ஜீப் ஒரு குறிப்பிட்ட அளவு எரிபொருளுடன் பாலைவனத்திற்குள் பயணிக்கக்கூடிய தூரத்தை அதிகரிக்க வேண்டும். ஜீப் ஒரு நிலையான மற்றும் வரையறுக்கப்பட்ட அளவு எரிபொருளை மட்டுமே எடுத்துச் செல்ல முடியும், ஆனால் அது எரிபொருளை விட்டுச் சென்று பாலைவனத்தில் எங்கும் எரிபொருள் குப்பைகளில் எரிபொருளை சேகரிக்க முடியும். இந்த சிக்கல் முதன்முதலில் 9 ஆம் நூற்றாண்டின் தொகுப்பான முன்மொழிவுகள் அட் அக்யூண்டோஸ் ஜுவென்ஸ் (இளைஞர்களை கூர்மைப்படுத்துவதில் சிக்கல்கள்) இல் தோன்றியது, இது அல்குயினுக்குக் காரணம், புதிர் ஒரு பயண ஒட்டகம் தானியத்தை சாப்பிடுவதைப் பற்றியது. லூகா பாசியோலியின் டி விரிபஸ் குவாண்டிடாட்டிஸும் (கி. பி. 1500) இந்தப் பிரச்சினையைப் பற்றி விவாதிக்கிறது. ஒரு நவீன சிகிச்சையை என். ஜே. வழங்கினார். 1947 இல் நன்றாக இருந்தது. ஒரு வணிகர் வாழைப்பழங்களை உண்ணும் ஒட்டகத்தைப் பயன்படுத்தி சந்தைக்கு கொண்டு செல்லப்படும் வாழைப்பழங்களின் எண்ணிக்கையை அதிகரிக்க வேண்டிய ஒட்டகம் மற்றும் வாழைப்பழங்கள் பிரச்சினை, பாலைவனப் பிரச்சினையைச் சுற்றியுள்ள பயணிகள், அங்கு ஏராளமான பயணிகள் அனைவரும் ஒரு இலக்கை அடைய வேண்டும், அவற்றை விட்டு வெளியேறுவதை விட பொருட்களை மட்டுமே பரிமாறிக்கொள்ள முடியும், மற்றும் பாலைவனப் பிரச்சினையின் குறுக்கே உள்ள கார்கள் மீண்டும் தங்கள் எரிபொருளை மட்டுமே பரிமாறிக்கொள்ள முடியும், ஆனால் வெற்று கார்களை கைவிட முடியும். இந்த இறுதி சிக்கல் பல நிலை ராக்கெட்டின் செயல்பாட்டுடன் ஒற்றுமையைக் கொண்டுள்ளது. சிக்கல் ஒரு நிலையான அடித்தளத்தில் சேமிக்கப்படும் எரிபொருளின் n அலகுகள் உள்ளன. ஜீப் எந்த நேரத்திலும் அதிகபட்சமாக 1 யூனிட் எரிபொருளை எடுத்துச் செல்ல முடியும், மேலும் 1 யூனிட் எரிபொருளில் 1 யூனிட் தூரத்தை பயணிக்க முடியும் (ஜீப்பின் எரிபொருள் நுகர்வு நிலையானதாக கருதப்படுகிறது). ஒரு பயணத்தின் எந்த நேரத்திலும் ஜீப் எரிபொருள் தொட்டியில் எடுத்துச் செல்லும் எந்த அளவு எரிபொருளையும் விட்டுச் செல்லலாம் அல்லது முந்தைய பயணத்தில் எரிபொருள் தொட்டியில் எஞ்சியிருக்கும் எந்த அளவு எரிபொருளையும் சேகரிக்கலாம், அதன் எரிபொருள் சுமை ஒருபோதும் 1 யூனிட்டுக்கு மிகாமல் இருக்கும் வரை. சிக்கலின் இரண்டு வகைகள் உள்ளனஃ பாலைவனத்தில் ஆராய்வது ஒவ்வொரு பயணத்தின் முடிவிலும் ஜீப் தளத்திற்குத் திரும்ப வேண்டும். பாலைவனத்தைக் கடக்கும் போது, கடைசி பயணத்தைத் தவிர ஒவ்வொரு பயணத்தின் முடிவிலும் ஜீப் தளத்திற்குத் திரும்ப வேண்டும், ஜீப் எரிபொருள் தீர்ந்துவிடுவதற்கு முன்பு தன்னால் முடிந்தவரை பயணிக்கும் போது. எந்தவொரு சந்தர்ப்பத்திலும், ஜீப் அதன் இறுதி பயணத்தில் பயணித்த தூரத்தை அதிகரிப்பதே நோக்கமாகும். மாற்றாக, ஒரு குறிப்பிட்ட தூரத்தின் இறுதி பயணத்தை உருவாக்கத் தேவையான குறைந்தபட்ச எரிபொருளைக் கண்டுபிடிப்பதே நோக்கமாக இருக்கலாம். மாறுபாடுகள் கிளாசிக் சிக்கலில் ஜீப்பில் உள்ள எரிபொருள் மற்றும் எரிபொருள் குப்பைகளில் உள்ள எரிபொருள் தொடர்ச்சியான அளவாகக் கருதப்படுகிறது. சிக்கலில் மிகவும் சிக்கலான மாறுபாடுகள் முன்மொழியப்பட்டுள்ளன, இதில் எரிபொருளை தனித்தனி அளவுகளில் மட்டுமே விட்டுவிடவோ அல்லது சேகரிக்கவோ முடியும். ஒட்டகம் மற்றும் வாழைப்பழப் பிரச்சினையில், வணிகரிடம் வாழைப்பழங்களின் n அலகுகள் உள்ளன. ஒட்டகம் எந்த நேரத்திலும் அதிகபட்சமாக 1 யூனிட் வாழைப்பழங்களை எடுத்துச் செல்ல முடியும், மேலும் 1 யூனிட் வாழைப்பழங்களில் 1 யூனிட் தூரத்தை பயணிக்க முடியும். சந்தை தூரத்தில் m அலகுகளில் உள்ளது. ஒரு பயணத்தின் எந்த நேரத்திலும் ஒட்டகம் ஒரு முகாமிடத்தில் எடுத்துச் செல்லும் எந்த அளவு வாழைப்பழங்களையும் விட்டுச் செல்லலாம் அல்லது முந்தைய பயணத்தில் ஒரு முகாமிடத்தில் எஞ்சியிருந்த எந்த அளவு வாழைப்பழங்களையும் அதன் வாழைப்பழ சுமை ஒரு யூனிட்டுக்கு மிகாமல் இருக்கும் வரை சேகரிக்கலாம். சந்தைக்கு கொண்டு செல்லக்கூடிய வாழைப்பழங்களின் அதிகபட்ச அலகுகளை சிக்கல் கேட்கிறது. பாலைவனப் பிரச்சினையைச் சுற்றியுள்ள பயணிகளில், தொடக்கத் தளம் வரம்பற்ற பொருட்களின் அலகுகளைக் கொண்டுள்ளது. ஒவ்வொரு பயணியும் எந்த நேரத்திலும் அதிகபட்சமாக 1 யூனிட் பொருட்களை எடுத்துச் செல்ல முடியும், மேலும் 1 யூனிட் பொருட்களில் 1 யூனிட் தூரத்தை பயணிக்க முடியும். மற்ற அடிப்பகுதி m அலகுகள் தொலைவில் உள்ளது. முந்தைய இரண்டு சிக்கல்களுக்கு மாறாக, பயணிகள் பாலைவனத்தில் பொருட்களை விட்டுச் செல்ல முடியாது; இருப்பினும், ஒரு பயணத்தின் எந்த கட்டத்திலும், ஒவ்வொரு பயணியும் 1 யூனிட்டுக்கு மேல் பொருட்களை எடுத்துச் செல்லாத வரை, பயணிகளுடன் வரும் பயணிகள் தங்களுக்குள் பொருட்களை மாற்றலாம். திரும்பி வரும் ஒவ்வொரு பயணியும் திரும்பி வரும் வழியில் போதுமான பொருட்களை வைத்திருக்க வேண்டும். மற்ற தளத்தை அடைய தேவையான குறைந்தபட்ச பயணிகளின் எண்ணிக்கையை சிக்கல் கேட்கிறது. இந்த சிக்கலின் ஒரு மாறுபாடு கிடைக்கக்கூடிய பயணிகளின் மொத்த எண்ணிக்கையை வழங்குகிறது, மேலும் அடையக்கூடிய அதிகபட்ச தூரத்தை கேட்கிறது. பாலைவனப் பிரச்சினையில் உள்ள கார்களில், தொடக்கத் தளம் வரம்பற்ற எரிபொருள் அலகுகளைக் கொண்டுள்ளது. ஒவ்வொரு காரும் எந்த நேரத்திலும் அதிகபட்சமாக 1 யூனிட் பொருட்களை எடுத்துச் செல்ல முடியும், மேலும் 1 யூனிட் எரிபொருளில் 1 யூனிட் தூரத்தை பயணிக்க முடியும். மற்ற அடிப்பகுதி m அலகுகள் தொலைவில் உள்ளது. கார்கள் பாலைவனத்தில் எரிபொருளை விட்டுச் செல்ல முடியாது; இருப்பினும், ஒரு பயணத்தின் எந்த நேரத்திலும், ஒவ்வொரு காரும் ஒரு யூனிட்டுக்கு மேல் எரிபொருளை எடுத்துச் செல்லாத வரை, அதனுடன் வரும் கார்கள் தங்களுக்குள் எரிபொருளை மாற்றிக்கொள்ளலாம். எரிபொருள் இல்லாத காலியான கார்கள் பாலைவனத்தில் கைவிடப்படுகின்றன. சிக்கல் மற்ற தளத்தை அடைய தேவையான குறைந்தபட்ச எண்ணிக்கையிலான கார்களைக் கேட்கிறது. இந்த சிக்கலின் ஒரு மாறுபாடு கிடைக்கக்கூடிய மொத்த கார்களின் எண்ணிக்கையை வழங்குகிறது, மேலும் அடையக்கூடிய அதிகபட்ச தூரத்தை கேட்கிறது. தீர்வு "பாலைவனத்தை ஆராய்வதற்கான" மாறுபாட்டிற்கான இறுதி பயணத்தில் பயணித்த தூரத்தை அதிகரிக்கும் ஒரு உத்தி பின்வருமாறுஃ ஜீப் பயணங்களை மேற்கொள்கிறது. ஒவ்வொரு பயணத்திலும் இது 1 யூனிட் எரிபொருளுடன் அடித்தளத்திலிருந்து தொடங்குகிறது. முதல் பயணத்தில் ஜீப் 1/(2n) யூனிட் தூரம் பயணிக்கிறது மற்றும் எரிபொருள் குப்பையில் (n-1)/n யூனிட் எரிபொருளை விட்டுச் செல்கிறது. ஜீப்பில் இன்னும் 1/(2n) யூனிட் எரிபொருள் உள்ளது-இது தளத்திற்குத் திரும்ப போதுமானது. அடுத்தடுத்த n−1 பயணங்களில் ஒவ்வொன்றிலும் ஜீப் வெளியே செல்லும் வழியில் இந்த முதல் எரிபொருள் குப்பையிலிருந்து 1/(2n) யூனிட் எரிபொருளை சேகரிக்கிறது, இதனால் அது 1 யூனிட் எரிபொருளை சுமந்து செல்லும் எரிபொருள் குப்பையை விட்டு வெளியேறுகிறது. இது திரும்பி வரும் வழியில் இந்த முதல் எரிபொருள் குப்பையிலிருந்து 1/(2n) யூனிட் எரிபொருளையும் சேகரிக்கிறது, இது அடித்தளத்திற்குத் திரும்புவதற்கு போதுமான எரிபொருளாகும். இரண்டாவது பயணத்தில் ஜீப் முதல் எரிபொருள் குப்பை மற்றும் எரிபொருள் நிரப்புதலுக்கு பயணிக்கிறது. இது பின்னர் 1/(2n−2) அலகுகள் தூரம் பயணிக்கிறது மற்றும் இரண்டாவது எரிபொருள் குப்பையில் (n−2)/(n−1) அலகுகள் எரிபொருளை விட்டுச்செல்கிறது. ஜீப்பில் இன்னும் 1/(2n−2) யூனிட் எரிபொருள் உள்ளது, இது முதல் எரிபொருள் குப்பைக்குத் திரும்ப போதுமானது. இங்கே அது 1/(2n) யூனிட் எரிபொருளை சேகரிக்கிறது, இது அடித்தளத்திற்குத் திரும்புவதற்கு போதுமான எரிபொருளாகும். அடுத்தடுத்த n−2 பயணங்களில் ஒவ்வொன்றிலும் ஜீப் வெளியே செல்லும் வழியில் இந்த இரண்டாவது எரிபொருள் குப்பையிலிருந்து 1/(2n−2) யூனிட் எரிபொருளை சேகரிக்கிறது, இதனால் அது 1 யூனிட் எரிபொருளை சுமந்து செல்லும் எரிபொருள் குப்பையை விட்டு வெளியேறுகிறது. இது திரும்பி வரும் வழியில் இரண்டாவது எரிபொருள் குப்பையிலிருந்து 1/(2n−2) யூனிட் எரிபொருளையும் சேகரிக்கிறது, இது முதல் எரிபொருள் குப்பைக்குத் திரும்புவதற்கு போதுமான எரிபொருளாகும். ஜீப் இந்த வழியில் தொடர்கிறது, இதனால் டிரிப் k இல் இது முந்தைய எரிபொருள் குப்பையிலிருந்து 1/(2n−2k + 2) யூனிட் தூரத்தில் ஒரு புதிய kth எரிபொருள் குப்பையை நிறுவுகிறது மற்றும் (n−k)/(n−k + 1) யூனிட் எரிபொருளை விட்டுச்செல்கிறது. அடுத்தடுத்த n−k பயணங்களில் ஒவ்வொன்றிலும் அது வெளியே செல்லும் வழியில் kth குப்பையிலிருந்து 1/(2n−2k + 2) யூனிட் எரிபொருளையும், திரும்பி வரும் வழியில் மற்றொரு 1/(2n−2k + 2) யூனிட் எரிபொருளையும் சேகரிக்கிறது. ஜீப் அதன் இறுதி பயணத்தைத் தொடங்கும் போது, n-1 எரிபொருள் குப்பைகள் உள்ளன. மிகத் தொலைவில் ஒரு யூனிட் எரிபொருளில் மூன்றில் ஒரு பங்கு உள்ளது, அடுத்த தூரத்தில் மூன்றில் ஒரு பங்கு எரிபொருள் உள்ளது, மேலும் அருகிலுள்ள எரிபொருள் குப்பையில் வெறும் ஒன்றரை யூனிட் எரிபொருள் மட்டுமே உள்ளது. அடித்தளத்திலிருந்து தொடங்கும் 1 யூனிட் எரிபொருளுடன் சேர்ந்து, இதன் பொருள் ஜீப் அதன் இறுதி பயணத்தில் மொத்த சுற்று பயண தூரத்தை பயணிக்க முடியும் (பாலைவனத்திற்குள் பயணித்த அதிகபட்ச தூரம் இதில் பாதி). இது வெளியே செல்லும் வழியில் ஒவ்வொரு குப்பையிலும் மீதமுள்ள எரிபொருளில் பாதியை சேகரிக்கிறது, இது அதன் தொட்டியை நிரப்புகிறது. மிகத் தொலைவில் உள்ள எரிபொருள் குப்பையை விட்டு வெளியேறிய பிறகு, அது ஒன்றரை யூனிட் பாலைவனத்தில் பயணிக்கிறது, பின்னர் மிகத் தொலைவில் உள்ள எரிபொருள் குப்பைக்குத் திரும்புகிறது. இது திரும்பி வரும் வழியில் ஒவ்வொரு எரிபொருள் குப்பையிலிருந்தும் மீதமுள்ள எரிபொருளை சேகரிக்கிறது, இது அடுத்த எரிபொருள் குப்பையை அடைய அல்லது இறுதி கட்டத்தில், தளத்திற்குத் திரும்புவதற்கு போதுமானது. கடைசி பயணத்தில் பயணித்த தூரம் n வது ஹார்மோனிக் எண், Hn ஆகும். ஹார்மோனிக் எண்கள் வரம்பற்றவை என்பதால், அடித்தளத்தில் போதுமான எரிபொருள் இருப்பதால், இறுதி பயணத்தில் கொடுக்கப்பட்ட எந்த தூரத்தையும் மீற முடியும். இருப்பினும், தேவைப்படும் எரிபொருளின் அளவு மற்றும் எரிபொருள் குப்பைகளின் எண்ணிக்கை இரண்டும் பயணிக்க வேண்டிய தூரத்துடன் அதிவேகமாக அதிகரிக்கின்றன. "பாலைவனத்தைக் கடக்கும்" மாறுபாட்டை இதேபோன்ற மூலோபாயத்துடன் தீர்க்க முடியும், தவிர, இறுதிப் பயணத்தில் திரும்பும் வழியில் எரிபொருளை சேகரிக்க வேண்டிய அவசியமில்லை. எனவே டிரிப் k இல் ஜீப் முந்தைய எரிபொருள் குப்பையிலிருந்து 1/(2n−2k + 1) யூனிட் தூரத்தில் ஒரு புதிய kth எரிபொருள் குப்பையை நிறுவுகிறது மற்றும் அங்கு (2n−2k−1)/(2n−2k + 1) யூனிட் எரிபொருளை விட்டுச்செல்கிறது. அடுத்த n−k−1 பயணங்களில் ஒவ்வொன்றிலும் அது வெளியே செல்லும் வழியில் kth குப்பையிலிருந்து 1/(2n−2k + 1) யூனிட் எரிபொருளையும், திரும்பி வரும் வழியில் மற்றொரு 1/(2n−2k + 1) யூனிட் எரிபொருளையும் சேகரிக்கிறது. இப்போது ஜீப் அதன் இறுதி பயணத்தைத் தொடங்கும் போது, n−1 எரிபொருள் குப்பைகள் உள்ளன. மிகத் தொலைவில் ஒரு யூனிட் எரிபொருளின் மூன்றில் ஒரு பங்கும், அடுத்த தூரத்தில் ஒரு யூனிட் எரிபொருளின் ஐந்தில் ஒரு பங்கும் உள்ளன, மேலும் அருகிலுள்ள எரிபொருள் குப்பையில் 1/ (2n−1) யூனிட் எரிபொருள் மட்டுமே உள்ளது. அடித்தளத்திலிருந்து தொடங்கும் 1 யூனிட் எரிபொருளுடன் சேர்ந்து, ஜீப் அதன் இறுதி பயணத்தில் மொத்த யூனிட் தூரத்தை பயணிக்க முடியும் என்று அர்த்தம். இது வெளியே செல்லும் வழியில் ஒவ்வொரு குப்பையிலும் மீதமுள்ள எரிபொருளை சேகரிக்கிறது, இது அதன் தொட்டியை நிரப்புகிறது. மிகத் தொலைவில் உள்ள எரிபொருள் குப்பையை விட்டு வெளியேறிய பிறகு அது மேலும் 1 யூனிட் தூரம் பயணிக்கிறது. எனவே கோட்பாட்டில் அடித்தளத்தில் போதுமான எரிபொருள் கொடுக்கப்பட்ட எந்த அளவிலான பாலைவனத்தையும் கடக்க முடியும் என்பதை நினைவில் கொள்க. முன்பு போலவே, தேவைப்படும் எரிபொருளின் அளவு மற்றும் எரிபொருள் குப்பைகளின் எண்ணிக்கை இரண்டும் பயணிக்க வேண்டிய தூரத்துடன் அதிவேகமாக அதிகரிக்கின்றன. சுருக்கமாக, ஜீப் மூலம் அடையக்கூடிய அதிகபட்ச தூரம் (எந்த நேரத்திலும் 1 யூனிட் தூரத்திற்கு எரிபொருள் திறன் கொண்ட) n பயணங்களில் (n-1 நடுத்தர எரிபொருள் குப்பைகளுடன் மற்றும் மொத்தம் n யூனிட் எரிபொருளை பயன்படுத்துகிறது), பாலைவனத்தை ஆராய்வதற்காக, ஒவ்வொரு பயணத்தின் முடிவிலும் ஜீப் அடிப்பகுதிக்கு திரும்ப வேண்டும்;, பாலைவனத்தைக் கடப்பதற்கு, இறுதி பயணத்தைத் தவிர ஒவ்வொரு பயணத்தின் முடிவிலும் ஜீப் அடிப்பகுதிக்கு திரும்ப வேண்டும், ஜீப் எரிபொருள் தீர்ந்துவிடுவதற்கு முன்பு முடிந்தவரை பயணிக்கும் போது. இங்கே n வது ஹார்மோனிக் எண். எரிபொருளின் தொடர்ச்சியான அளவு அடிப்பகுதியில் கிடைக்கும் எரிபொருள் அலகுகளின் எண்ணிக்கை ஒரு முழு எண்ணாக இருக்க வேண்டியதில்லை. பொதுவாக, எரிபொருள் அலகுகளுடன் "பாலைவனத்தை ஆராயுங்கள்" சிக்கலுக்கு அடையக்கூடிய அதிகபட்ச தூரம், முதல் எரிபொருள் டம்ப் தொடக்க தளத்திலிருந்து தூரத்தில் உள்ள அலகுகளில் அமைந்துள்ளது, இரண்டாவது முதல் எரிபொருள் டம்பிலிருந்து தூரத்தில் உள்ள அலகுகளில், மூன்றாவது இரண்டாவது எரிபொருள் டம்பிலிருந்து தூரத்தில் உள்ள அலகுகளில், மற்றும் பல. இங்கே இதன் பின்னப் பகுதி உள்ளது. எரிபொருள் அலகுகளுடன் "பாலைவனத்தைக் கடக்கும்" சிக்கலுக்கு அடையக்கூடிய அதிகபட்ச தூரம், முதல் எரிபொருள் டம்ப் தொடக்க தளத்திலிருந்து தூரத்தில் உள்ள அலகுகளில் அமைந்துள்ளது, இரண்டாவது முதல் எரிபொருள் டம்பிலிருந்து தூரத்தில் உள்ள அலகுகளில், மூன்றாவது இரண்டாவது எரிபொருள் டம்பிலிருந்து தூரத்தில் உள்ள அலகுகளில், மற்றும் பல. இங்கே இதன் பின்னப் பகுதி உள்ளது. சிக்கலின் பிற வகைகள் ஒட்டகம் மற்றும் வாழைப்பழப் பிரச்சினையில், வணிகர் தொடக்கத் தளத்தில் மொத்தம் n = 7/3 அலகுகள் வாழைப்பழங்களைக் கொண்டிருப்பதாகவும், சந்தை m அலகுகள் தொலைவில் இருப்பதாகவும் கருதினால்ஃ இந்த சிக்கலுக்கு எந்தத் தீர்வும் இல்லை என்றால்; போக்குவரத்துக்கு இடைப்பட்ட முகாம் போஸ்ட் தேவையில்லை என்றால், ஒட்டகத்தால் தூரம் m மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்படும், எனவே சந்தைக்கு அனுப்பப்படும் வாழைப்பழங்களின் அதிகபட்ச அளவு; அந்த அதிகபட்ச அளவு வாழைப்பழங்களை கொண்டு செல்வதற்கு உகந்த தீர்வு சில இடைப்பட்ட முகாம் இடுகைகள் தேவைப்பட்டால்ஃ m = 1/4 <(1/3+1 15), தொடக்கத் தளத்திலிருந்து 1/15 அலகுகள் தொலைவில் ஒரு இடைப்பட்ட முகாம் இடுகை மட்டுமே தேவை, அங்கு மொத்தம் 2 அலகுகள் வாழைப்பழங்கள் உள்ளன. முகாமிடத்திலிருந்து சந்தைக்கு உள்ள தூரம் (1/4-1 15), இது ஒட்டகத்தால் 3 முறை மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்படும், மேலும் சந்தைக்கு அனுப்பப்படும் வாழைப்பழங்களின் அதிகபட்ச அளவு 2-(1/4-1 15) * 3 = 1.45 அலகுகள் ஆகும்; மீ = 1/2> (1/3+1 15) க்கு, முதல் முகாமிடத்திலிருந்து மூன்றில் ஒரு அலகு தூரத்தில் மற்றொரு இடைப்பட்ட முகாமிடல் தேவைப்படுகிறது, அங்கு மொத்தம் 1 அலகு வாழைப்பழங்கள் கிடைக்கும். இரண்டாவது முகாமிடத்திலிருந்து சந்தைக்கு உள்ள தூரம் [1/2 (1/3+1 15)], இது ஒட்டகத்தால் ஒரு முறை மட்டுமே பயணிக்கப்படும், மேலும் சந்தைக்கு அனுப்பப்படும் வாழைப்பழங்களின் அதிகபட்ச அளவு 1-[1/2 (1/3+1 15)] * 1 = 0.9 அலகுகள் ஆகும். ஒட்டகம் இறுதியில் தொடக்கத் தளத்திற்குத் திரும்ப வேண்டியிருந்தால், செயல்பாடு பொருந்தும் (இன்னும் n = 7/3 என்று வைத்துக்கொள்வோம்): இந்த சிக்கலுக்கு எந்த தீர்வும் இல்லை என்றால்; போக்குவரத்துக்கு இடைப்பட்ட முகாம் இடுகை தேவையில்லை என்றால், ஒட்டகத்தால் தூரம் m மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்படும், எனவே சந்தைக்கு அனுப்பப்படும் வாழைப்பழங்களின் அதிகபட்ச அளவு; அந்த அதிகபட்ச அளவு வாழைப்பழங்களை கொண்டு செல்வதற்கான உகந்த தீர்வுக்கு சில இடைப்பட்ட முகாம் இடுகைகள் தேவைப்பட்டால்ஃ m = 1/4 <(1/4+1 18), தொடக்கத் தளத்திலிருந்து 1/18 அலகுகள் தொலைவில் ஒரு இடைப்பட்ட முகாம் இடுகை மட்டுமே தேவைப்படுகிறது, அங்கு ஒட்டகத்தின் இறுதி திரும்புவதற்கு மொத்தம் 2 அலகுகள் வாழைப்பழங்கள் (பிளஸ் 1/18 அலகுகள்) உள்ளன. முகாமிடத்திலிருந்து சந்தைக்கு உள்ள தூரம் (1/4-1 18), இது ஒட்டகத்தால் 4 முறை மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்படும், மேலும் சந்தைக்கு அனுப்பப்படும் வாழைப்பழங்களின் அதிகபட்ச அளவு 2-(1/4-1 18) * 4 = 1.22 அலகுகள் ஆகும்; மீ = 1/2> (1/4+1 18) க்கு, முதல் முகாமிடத்திலிருந்து 1/4 அலகுகள் தொலைவில் மற்றொரு இடைப்பட்ட முகாமிடல் தேவைப்படுகிறது, அங்கு மொத்தம் 1 அலகு வாழைப்பழங்கள் (ஒட்டகத்தின் இறுதி திரும்புவதற்கு 1/4 அலகுகள் கூடுதலாக) கிடைக்கும். இரண்டாவது முகாமிடத்திலிருந்து சந்தைக்கு உள்ள தூரம் [1/2 (1/4+1 18)], இது ஒட்டகத்தால் இரண்டு முறை மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்படும், மேலும் சந்தைக்கு அனுப்பப்படும் வாழைப்பழங்களின் அதிகபட்ச அளவு 1-[1/2 (1/4+1 18)] * 2 = 0.61 அலகுகள் ஆகும். பாலைவனப் பிரச்சினையைச் சுற்றியுள்ள பயணிகளில், n பயணிகள் தொடக்க தளத்திலிருந்து n யூனிட் பொருட்களுடன் புறப்படுகிறார்கள் என்று வைத்துக்கொள்வோம். 1/(n + 1) யூனிட் தூரத்திற்குப் பிறகு, அவர்கள் ஏற்கனவே n/(n + 1) யூனிட் பொருட்களை உட்கொண்டிருப்பார்கள்; இந்த கட்டத்தில், பயணிகளில் ஒருவர் 1/(n + 1) யூனிட் பொருட்களுடன் திரும்ப வேண்டும், குழுவை சரியாக (n-1) யூனிட் பொருட்களுடன் விட்டுவிட வேண்டும், இதனால் மீதமுள்ள ஒவ்வொரு பயணியும் சரியாக ஒரு யூனிட் பொருட்களை எடுத்துச் செல்கிறார். குழு பின்னர் மற்றொரு 1/(n + 1) யூனிட் தூரத்தை பயணிக்கிறது, (n-1)/(n + 1) யூனிட் பொருட்களை உட்கொள்கிறது; இந்த கட்டத்தில், மீதமுள்ள பயணிகளில் ஒருவர் 2/(n + 1) யூனிட் பொருட்களுடன் திரும்பி வர வேண்டும். ஒரு பயணி மட்டுமே சரியாக ஒரு யூனிட் பொருட்களை எடுத்துச் செல்லும் வரை, குழு 1/(n + 1) யூனிட் தூரத்தை நகர்த்துகிறது மற்றும் ஒரு பயணியைக் குறைக்கிறது. இறுதியாக, இந்த பயணி தூரத்தை அடைய ஒரு யூனிட் தூரத்தை பயணிக்க முடியும். மொத்தத்தில், n பயணிகள் அடையக்கூடிய மிக நீண்ட தூரம் இதை m க்கு சமன் செய்வது, m யூனிட் தூரத்தை பயணிக்கத் தேவையான குறைந்தபட்ச பயணிகளின் எண்ணிக்கையை ஒருவர் தீர்க்கலாம். m <2 க்கு மட்டுமே தீர்வுகள் உள்ளன என்பதை நினைவில் கொள்க. கடைசி மற்றும் இறுதி பயணி தொடக்க தளத்திற்குத் திரும்ப வேண்டியிருந்தால், அவர் 1/(n + 1) யூனிட் மட்டுமே பயணம் செய்வார், இதனால் அவர் திரும்புவதற்கு n/(n + 1) யூனிட் சப்ளை இருக்கும், எனவே n பயணிகள் அடையக்கூடிய மிக நீண்ட தூரம் இதை m உடன் சமன் செய்வது, m யூனிட் தூரத்தை பயணிக்கத் தேவையான குறைந்தபட்ச பயணிகளின் எண்ணிக்கையை ஒருவர் தீர்க்கலாம். m <1 க்கு மட்டுமே தீர்வுகள் உள்ளன என்பதை நினைவில் கொள்க. பாலைவனப் பிரச்சினையின் குறுக்கே உள்ள கார்களில், n கார்கள் தொடக்க தளத்திலிருந்து n யூனிட் எரிபொருளுடன் புறப்படுகின்றன என்று வைத்துக்கொள்வோம். 1/n யூனிட் தூரத்திற்குப் பிறகு, குழு ஏற்கனவே சரியாக ஒரு யூனிட் எரிபொருளை உட்கொண்டிருக்கும்; இந்த கட்டத்தில், அவர்கள் தங்களுக்கு இடையே எரிபொருளை மாற்ற வேண்டும், ஒரு வெற்று காரை விட்டுச் செல்ல வேண்டும், மேலும் (n-1) கார்களுக்கு இடையில் (n-1) யூனிட் எரிபொருளை எடுத்துச் செல்ல வேண்டும். மற்றொரு 1/(n-1) யூனிட் தூரத்திற்குப் பிறகு, குழு மற்றொரு ஒரு யூனிட் எரிபொருளை உட்கொண்டிருக்கும்; மீண்டும், அவர்கள் எரிபொருளை மாற்ற வேண்டும், ஒரு வெற்று காரை விட்டுச் செல்ல வேண்டும், மேலும் (n-2) கார்களுக்கு இடையில் (n-2) யூனிட் எரிபொருளை எடுத்துச் செல்ல வேண்டும். சரியாக ஒரு யூனிட் எரிபொருளை சுமந்து செல்லும் ஒரு கார் மட்டுமே இருக்கும் வரை குழு ஒரு காரை நகர்த்துகிறது மற்றும் குறைக்கிறது. இறுதியாக, இந்த கார் ஒரு யூனிட் தூரத்தை கடந்து தொலைதூர புள்ளியை அடைய முடியும். மொத்தத்தில், n கார்கள் அடையக்கூடிய மிக நீண்ட தூரம் n வது ஹார்மோனிக் எண் ஆகும்ஃ இதை m க்கு சமன் செய்தால், m யூனிட் தூரத்தை பயணிக்கத் தேவையான குறைந்தபட்ச கார்களின் எண்ணிக்கையை ஒருவர் தீர்க்கலாம். ஆர்டர் சுதந்திரம் ஜீப் பயணங்களின் வரிசை நிர்ணயிக்கப்படவில்லை என்பதை நினைவில் கொள்க. எடுத்துக்காட்டாக, பிரச்சினையின் "பாலைவனத்தை ஆராய்வது" பதிப்பில், ஜீப் அடித்தளத்திற்கும் முதல் எரிபொருள் குப்பைகளுக்கும் இடையில் சுற்றுப்பயணங்களை மேற்கொள்ளலாம், ஒவ்வொரு முறையும் எரிபொருள் குப்பையில் எரிபொருள் அலகுகளை விட்டு விட்டு, பின்னர் முதல் எரிபொருள் குப்பைக்கு ஒரு வழி பயணத்தை மேற்கொள்ளலாம், இதனால் மொத்தம் எரிபொருள் அலகுகள் கிடைக்கும். அலகுகள் இறுதியில் தளத்திற்கு திரும்பும் பயணத்திற்காக சேமிக்கப்படுகின்றன, மேலும் மற்ற எரிபொருள் அலகுகள் முதல் மற்றும் இரண்டாவது எரிபொருள் குப்பைகளுக்கு இடையில் எரிபொருளை நகர்த்த பயன்படுத்தப்படுகின்றன, சுற்று பயணங்களைப் பயன்படுத்தி, பின்னர் இரண்டாவது எரிபொருள் குப்பைக்கு ஒரு வழி பயணம் செய்கின்றன. மற்றும் பல. நடைமுறை பயன்பாடுகள் சிக்கல் போர்க்கால சூழ்நிலைகளில் ஒரு நடைமுறை பயன்பாட்டைக் கொண்டிருக்கலாம், குறிப்பாக எரிபொருள் செயல்திறனைப் பொறுத்தவரை. இரண்டாம் உலகப் போரில் பி-29 விமானங்களால் ஜப்பான் மீது குண்டுவீசப்பட்ட சூழலில், ராபர்ட் மெக்னமாரா தி ஃபாக் ஆஃப் வார் என்ற திரைப்படத்தில், எரிபொருளை முன்னோக்கி தளங்களுக்கு கொண்டு செல்வதால் ஏற்படும் எரிபொருள் செயல்திறன் சிக்கலைப் புரிந்துகொள்வதே தீவு ஹோப்பிங் மூலோபாயத்திற்கு ஆதரவாக சீனாவின் பிரதான நிலப்பரப்பிலிருந்து குண்டுவீச்சு சோதனைகளைத் தொடங்குவதற்கான மூலோபாயம் கைவிடப்பட்டதற்கு முக்கிய காரணம் என்று கூறுகிறார்ஃ (இரண்டாம் உலகப் போரின் முடிவில் அணு குண்டுவீச்சு பணிகள் வடக்கு மரியானாஸ் தீவுகளில் உள்ள பசிபிக் தீவான டினியனில் இருந்து பி-29 சூப்பர்ஃபோர்ட்ரெஸ்ஸைப் பயன்படுத்தி பறக்கவிடப்பட்டன.) இந்த யோசனைகளின் பயன்பாட்டிற்கு ஆபரேஷன் பிளாக் பக் ஐப் பார்க்கவும். ஃபாக்லேண்ட்ஸ் போரின் போது நடத்தப்பட்ட இந்த பணிகளில், ராயல் விமானப்படை, அஸென்ஷன் தீவை தளமாகக் கொண்ட வல்கன் குண்டுவீச்சு விமானங்கள் ஃபாக்லேண்ட் தீவுகளில் உள்ள இலக்குகளை குண்டு வீசுவதற்கு உதவும் வகையில் டேங்கர்களை நிலைநிறுத்துவதன் மூலம் காற்றிலிருந்து காற்றுக்கு எரிபொருள் நிரப்புவதைப் பயன்படுத்தியது. மேலும் காண்க ஹார்மோனிக் தொடர் (கணிதம்) உகப்பாக்கம் (கணிதம்) குறிப்புகள் கணித உகப்பாக்கம் பொழுதுபோக்கு கணிதம்