Dehn function
வடிவியல் குழு கோட்பாட்டின் கணித பாடத்தில், மேக்ஸ் டெஹ்னின் பெயரிடப்பட்ட டெஹ்ன் செயல்பாடு, ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட குழு விளக்கக்காட்சியுடன் தொடர்புடைய ஒரு உகந்த செயல்பாடாகும், இது அந்த குழுவில் உள்ள ஒரு உறவின் பரப்பளவை (அதாவது குழுவின் அடையாள உறுப்பைக் குறிக்கும் ஜெனரேட்டர்களில் சுதந்திரமாக குறைக்கப்பட்ட சொல்) அந்த உறவின் நீளத்தின் அடிப்படையில் (pp ஐப் பார்க்கவும். 79-80 in). டெஹ்ன் செயல்பாட்டின் வளர்ச்சி வகை என்பது இறுதியாக வழங்கப்பட்ட குழுவின் அரை-ஐசோமெட்ரி மாறிலி ஆகும். இறுதியாக வழங்கப்பட்ட குழுவின் டெஹ்ன் செயல்பாடு குழுக்களில் உள்ள சொல் சிக்கலின் தீர்மானிக்கப்படாத வழிமுறை சிக்கலுடன் நெருக்கமாக இணைக்கப்பட்டுள்ளது. குறிப்பாக, இந்த குழுவின் வரையறுக்கப்பட்ட விளக்கக்காட்சிக்கான டெஹ்ன் செயல்பாடு மறுநிகழ்வாக இருந்தால் மட்டுமே இறுதியாக வழங்கப்பட்ட குழுவில் தீர்க்கக்கூடிய சொல் சிக்கல் உள்ளது (தேற்றம் 2 இன் பார்க்கவும்). ஒரு டெஹ்ன் செயல்பாட்டின் கருத்து யூக்ளிடியன் தளத்திற்கான கிளாசிக் ஐசோபெரிமெட்ரிக் சமத்துவமின்மை போன்ற வடிவவியலில் உள்ள ஐசோபெரிமெட்ரிக் சிக்கல்களால் உந்தப்படுகிறது, மேலும் பொதுவாக, ஒரு ரீமானியன் பன்மடங்கு ஒரு குறைந்தபட்ச மேற்பரப்பின் பரப்பளவை மதிப்பிடும் ஒரு நிரப்புதல் பகுதி செயல்பாட்டின் கருத்து அந்த மேற்பரப்பின் எல்லை வளைவின் நீளத்தின் அடிப்படையில். ஒரு இறுதியாக வழங்கப்பட்ட குழுவிற்கான ஒரு ஐசோபெரிமெட்ரிக் செயல்பாட்டின் யோசனை 1910 களில் மேக்ஸ் டெஹ்னின் பணிக்கு செல்கிறது. குறைந்தபட்சம் இரண்டு பேரினத்தின் மூடிய நோக்குடைய மேற்பரப்பின் அடிப்படை குழுவின் நிலையான விளக்கக்காட்சிக்கான சொல் சிக்கல் இப்போது டெஹ்னின் வழிமுறை என்று அழைக்கப்படுவதன் மூலம் தீர்க்கக்கூடியது என்பதை டெஹ்ன் நிரூபித்தார். இந்த உண்மையின் நேரடி விளைவு என்னவென்றால், இந்த விளக்கக்காட்சிக்கு டெஹ்ன் செயல்பாடு டெஹ்ன் (n) ≤ n ஐ திருப்திப்படுத்துகிறது. இந்த முடிவு 1960 களில் மார்ட்டின் கிரீன்ட்லிங்கரால் சி '(1/6) சிறிய ரத்துசெய்யும் நிபந்தனையை திருப்திப்படுத்தும் குழுக்களுக்கு நீட்டிக்கப்பட்டது. ஒரு ஐசோபெரிமெட்ரிக் செயல்பாடு மற்றும் இன்று பயன்படுத்தப்படும் ஒரு டெஹ்ன் செயல்பாடு பற்றிய முறையான கருத்து 1980 களின் பிற்பகுதியில் தோன்றியது-1990 களின் முற்பகுதியில் சொல்-ஹைபர்போலிக் குழுக்களின் கோட்பாட்டின் அறிமுகம் மற்றும் வளர்ச்சியுடன் சேர்ந்து. குரோமோவ் தனது 1987 மோனோகிராஃப் "ஹைபர்போலிக் குழுக்கள்" இல், ஒரு நேரியல் ஐசோபெரிமெட்ரிக் சமத்துவமின்மையை திருப்திப்படுத்தினால் மட்டுமே ஒரு இறுதியாக வழங்கப்பட்ட குழு சொல்-ஹைபர்போலிக் என்று நிரூபித்தார், அதாவது, இந்த குழுவின் டெஹ்ன் செயல்பாடு f (n) = n செயல்பாட்டிற்கு சமமாக இருந்தால் மட்டுமே. ஐசோபெரிமெட்ரிக் மற்றும் டெஹ்ன் செயல்பாடுகளைப் பற்றிய ஆய்வு விரைவாக வடிவியல் குழுக் கோட்பாட்டில் ஒரு தனி முக்கிய கருப்பொருளாக வளர்ந்தது, குறிப்பாக இந்த செயல்பாடுகளின் வளர்ச்சி வகைகள் இறுதியாக வழங்கப்பட்ட குழுக்களின் இயற்கையான அரை-ஐசோமெட்ரி மாறிலிகள் என்பதால். இந்த பாடத்தின் முக்கிய முடிவுகளில் ஒன்று சபிர், பிர்ஜெட் மற்றும் ரிப்ஸ் ஆகியோரால் பெறப்பட்டது, அவர்கள் டூரிங் இயந்திரங்களின் பெரும்பாலான "நியாயமான" நேர சிக்கலான செயல்பாடுகளை இயற்கையான சமநிலை வரை, இறுதியாக வழங்கப்பட்ட குழுக்களின் டெஹ்ன் செயல்பாடுகளாக உணர முடியும் என்பதைக் காட்டினர். முறையான வரையறை ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட குழு விளக்கக்காட்சியாக இருக்கட்டும், அங்கு X என்பது ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட எழுத்துக்கள் மற்றும் R என்பது சுழற்சி ரீதியாக குறைக்கப்பட்ட சொற்களின் வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்பாகும். ஒரு உறவின் பரப்பளவு g இல் உள்ள ஒரு உறவாக இருக்கட்டும், அதாவது g இல் உள்ள w = 1 போன்ற ஒரு சுதந்திரமாக குறைக்கப்பட்ட வார்த்தையாக இருக்கட்டும். இது f (X) இல் உள்ள R இன் இயல்பான மூடுதலுக்கு w சொந்தமானது என்று சொல்வதற்கு சமம் என்பதை நினைவில் கொள்க, அதாவது, m ≤ 0 மற்றும் i = 1,, m க்கு r ≤ R ± 1 என w இன் பிரதிநிதித்துவம் உள்ளது. ஒரு சுதந்திரமாக குறைக்கப்பட்ட சொல் w ωF (X) G இல் w = 1 ஐ திருப்திப்படுத்துகிறது, G க்கான விளக்கக்காட்சி வளாகத்தில் w ஆல் பெயரிடப்பட்ட வளையம் பூஜ்ய-ஹோமோடோபிக் ஆக இருந்தால் மட்டுமே. ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட விளக்கக்காட்சிக்கான ஒரு ஐசோபெரிமெட்ரிக் செயல்பாடு ஒரு மோனோடோன் அல்லாத குறைபாடற்ற செயல்பாடாகும், அதாவது w ωF (X) என்பது G இல் w = 1 ஐ திருப்திப்படுத்தும் ஒரு சுதந்திரமாக குறைக்கப்பட்ட வார்த்தையாக இருக்கும் போதெல்லாம், பகுதி (w) ≤ f (|w |), அங்கு |w | என்பது வார்த்தையின் நீளம். டெஹ்ன் செயல்பாடு பின்னர் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட விளக்கக்காட்சியின் டெஹ்ன் செயல்பாடு (ற்றஂ) சமமாக வரையறுக்கப்படுகிறது, டெஹ்ன் (n) மிகச்சிறிய ஐசோபெரிம் ஆகும். செயல்பாடுகளின் வளர்ச்சி வகைகள் சரியான டெஹ்ன் செயல்பாடு பொதுவாக விளக்கக்காட்சியைப் பொறுத்தது என்பதால், ஒருவர் வழக்கமாக அதன் அறிகுறியற்ற வளர்ச்சி வகையை ஆய்வு செய்கிறார், ஏனெனில் n முடிவிலிக்கு முனைகிறது, இது குழுவை மட்டுமே சார்ந்துள்ளது. இரண்டு மோனோடோன்-குறைக்கப்படாத செயல்பாடுகளுக்கு, ஒவ்வொரு முழு எண் n ≤ 0 க்கும் C ≤ 1 இருந்தால் f என்பது g ஆல் ஆதிக்கம் செலுத்துகிறது என்று ஒருவர் கூறுகிறார். f என்பது g ஆல் ஆதிக்கம் செலுத்துகிறது மற்றும் g என்பது f ஆல் ஆதிக்கம் செலுத்துகிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் ≈ ஒரு சமநிலை உறவு மற்றும் டெஹ்ன் செயல்பாடுகள் மற்றும் ஐசோபெரிமெட்ரிக் செயல்பாடுகள் பொதுவாக இந்த சமநிலை உறவு வரை ஆய்வு செய்யப்படுகின்றன. எனவே எந்தவொரு a, b> 1 க்கும் நம்மிடம் ஒரு ≈ bn உள்ளது. இதேபோல், f (n) என்பது எதிர்மறை அல்லாத குணகங்களுடன் டிகிரி d இன் பல்லுறுப்புக்கோவையாக இருந்தால் (இங்கு d ± 1 ஒரு உண்மையான எண்), பின்னர் f (n) ≈ nd. மேலும், 1 ≈ n. ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட குழு விளக்கக்காட்சி ஒரு ஐசோபெரிமெட்ரிக் செயல்பாட்டை f (n) ஐ ஏற்றுக்கொண்டால், அது ஒரு நேரியல் (முறையே, இருபடி, கனசதுர, பல்லுறுப்புக்கோவை, அதிவேக, முதலியன) சமம். n இல் உள்ள செயல்பாடு, விளக்கக்காட்சி ஒரு நேரியல் (முறையே, இருபடி, கனசதுர, பல்லுறுப்புக்கோவை, அதிவேக, முதலியன) பூர்த்தி செய்வதாகக் கூறப்படுகிறது. ஐசோபெரிமெட்ரிக் சமத்துவமின்மை. அடிப்படை பண்புகள் G மற்றும் H ஆகியவை அரை-ஐசோமெட்ரிக் இறுதியாக வழங்கப்பட்ட குழுக்களாக இருந்தால், G இன் சில வரையறுக்கப்பட்ட விளக்கக்காட்சி ஒரு ஐசோபெரிமெட்ரிக் செயல்பாடு f (n) ஐக் கொண்டிருந்தால், H இன் எந்தவொரு வரையறுக்கப்பட்ட விளக்கக்காட்சிக்கும் f (n) க்கு சமமான ஐசோபெரிமெட்ரிக் செயல்பாடு உள்ளது. குறிப்பாக, இந்த உண்மை G = H க்கு பொருந்தும், அங்கு ஒரே குழு இரண்டு வெவ்வேறு வரையறுக்கப்பட்ட விளக்கக்காட்சிகளால் வழங்கப்படுகிறது. இதன் விளைவாக, ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட குழுவிற்கு அதன் டெஹ்ன் செயல்பாட்டின் வளர்ச்சி வகை, மேலே உள்ள வரையறையின் அர்த்தத்தில், அந்த குழுவிற்கான வரையறுக்கப்பட்ட விளக்கக்காட்சியின் தேர்வைப் பொறுத்தது அல்ல. மேலும் பொதுவாக, இறுதியாக வழங்கப்பட்ட இரண்டு குழுக்கள் அரை-ஐசோமெட்ரிக் என்றால், அவற்றின் டெஹ்ன் செயல்பாடுகள் சமமானவை. ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட விளக்கக்காட்சியால் கொடுக்கப்பட்ட ஒரு இறுதியாக வழங்கப்பட்ட குழு G க்கு பின்வரும் நிபந்தனைகள் சமமானவைஃ G என்பது (ற்றஂ) ஐப் பொறுத்தவரை தொடர்ச்சியான டெஹ்ன் செயல்பாட்டைக் கொண்டுள்ளது. ஒரு மறுசுழற்சி ஐசோபெரிமெட்ரிக் செயல்பாடு உள்ளது f (n) க்கு (ஷ்மர்). G குழுவில் தீர்க்கக்கூடிய சொல் சிக்கல் உள்ளது. குறிப்பாக, சிக்கல் என்ற வார்த்தையின் தீர்க்கக்கூடிய தன்மை என்பது இறுதியாக வழங்கப்பட்ட குழுக்களுக்கு ஒரு அரை-ஐசோமெட்ரி மாறாதது என்பதை இது குறிக்கிறது. ஒரு உறவின் பரப்பளவு (w) ஐ அறிவது, |w | இன் அடிப்படையில், வரையறுக்கும் உறவுகளின் இணைப்புகளின் எண்ணிக்கை மட்டுமல்லாமல், இணைக்கும் உறுப்புகளின் நீளங்களும் பிணைக்க அனுமதிக்கிறது. இதன் விளைவாக, ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட விளக்கக்காட்சியால் (ற்றஂ) கொடுக்கப்பட்ட ஒரு இறுதியாக வழங்கப்பட்ட குழு G கணக்கிடக்கூடிய டெஹ்ன் செயல்பாட்டைக் கொண்டிருந்தால் டெஹ்ன் (n), பின்னர் G க்கான சொல் சிக்கல் தீர்மானிக்கப்படாத நேர சிக்கலான டெஹ்ன் (n) மற்றும் தீர்மானிக்கும் நேர சிக்கலான எக்ஸ்ப் (டெஹ்ன் (n)) உடன் தீர்க்கக்கூடியது. இருப்பினும், பொதுவாக சிக்கல் என்ற வார்த்தையின் தீர்மானகரமான நேர சிக்கலின் அடிப்படையில் இறுதியாக வழங்கப்பட்ட குழுவின் டெஹ்ன் செயல்பாட்டில் நியாயமான வரம்பு இல்லை மற்றும் இரண்டு செயல்பாடுகளுக்கும் இடையிலான இடைவெளி மிகவும் பெரியதாக இருக்கலாம். ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட குழு G இன் எந்தவொரு வரையறுக்கப்பட்ட விளக்கத்திற்கும் எடுத்துக்காட்டுகள் நம்மிடம் டெஹ்ன் (n) ≈ n உள்ளது. பேரினம் 2 இன் மூடிய நோக்குடைய மேற்பரப்புக்கு, அதன் அடிப்படை குழுவின் நிலையான விளக்கக்காட்சி டெஹ்ன் (n) ≤ n மற்றும் டெஹ்ன் (n) ≈ n ஐ திருப்திப்படுத்துகிறது. ஒவ்வொரு முழு எண் k ≤ 2 க்கும் இலவச அபெலியன் குழுவில் டெஹ்ன் (n) ≈ n2 உள்ளது. பாம்ஸ்லாக்-சோலிடார் குழுவில் டெஹ்ன் (n) ≈ 2n உள்ளது (பார்க்க). முப்பரிமாண தனித்த ஹைசன்பெர்க் குழு ஒரு கனசதுரத்தை திருப்திப்படுத்துகிறது, ஆனால் இருபடி ஐசோபெரிமெட்ரிக் சமத்துவமின்மை இல்லை. உயர் பரிமாண ஹைசன்பெர்க் குழுக்கள், இங்கு k ± 2, இருபடி ஐசோபெரிமெட்ரிக் ஏற்றத்தாழ்வுகளை பூர்த்தி செய்கிறது. ஜி ஒரு "நோவிகோவ்-பூன் குழு" என்றால், அதாவது தீர்க்க முடியாத சொல் சிக்கலைக் கொண்ட ஒரு இறுதியாக வழங்கப்பட்ட குழு என்றால், ஜி இன் டெஹ்ன் செயல்பாடு எந்த தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டையும் விட வேகமாக வளரும். தாம்சன் குழு F க்கு டெஹ்ன் செயல்பாடு இருபடி, அதாவது, n2 க்கு சமம் (பார்க்க). பாம்ஸ்லாக்-கெர்ஸ்டன் குழு என்று அழைக்கப்படுபவை டெஹ்ன் செயல்பாட்டைக் கொண்டுள்ளன, இது எந்த நிலையான மறு செய்கை கோபுரத்தையும் விட வேகமாக வளர்ந்து வருகிறது. குறிப்பாக, இந்த குழுவிற்கு டெஹ்ன் (n) ≈ எக்ஸ்ப் (எக்ஸ்ப் (எக்ஸ்ப் (. (எக்ஸ்ப் (1)).))) அங்கு அதிவேகங்களின் எண்ணிக்கை லாக் 2 (என்) இன் ஒருங்கிணைந்த பகுதிக்கு சமம் (பார்க்க). அறியப்பட்ட முடிவுகள் ஒரு இறுதியாக வழங்கப்பட்ட குழு அதன் டெஹ்ன் செயல்பாடு n க்கு சமமாக இருந்தால் மட்டுமே சொல்-ஹைபர்போலிக் குழுவாகும், அதாவது, இந்த குழுவின் ஒவ்வொரு வரையறுக்கப்பட்ட விளக்கக்காட்சியும் ஒரு நேரியல் ஐசோபெரிமெட்ரிக் சமத்துவமின்மையை திருப்திப்படுத்தினால் மட்டுமே. ஐசோபெரிமெட்ரிக் இடைவெளிஃ ஒரு இறுதியாக வழங்கப்பட்ட குழு ஒரு துணை சதுர ஐசோபெரிமெட்ரிக் சமத்துவமின்மையை திருப்திப்படுத்தினால், அது சொல்-ஹைபர்போலிக் ஆகும். எனவே டெஹ்ன் செயல்பாடுகளைக் கொண்ட இறுதியாக வழங்கப்பட்ட குழுக்கள் எதுவும் இல்லை, இது d ω (1,2) உடன் nd க்கு சமம். தானியங்கி குழுக்கள் மற்றும், பொதுவாக, சண்டையிடக்கூடிய குழுக்கள் இருபடி ஐசோபெரிமெட்ரிக் ஏற்றத்தாழ்வுகளை பூர்த்தி செய்கின்றன. இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட நில்போட்டன்ட் குழு nd க்கு சமமான டெஹ்ன் செயல்பாட்டைக் கொண்டுள்ளது, அங்கு d ≤ 1 மற்றும் அனைத்து நேர்மறை முழு எண்களும் இந்த வழியில் உணரப்படுகின்றன. மேலும், இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட ஒவ்வொரு நில்பொடென்ட் குழுவும் ஜி என்பது டிகிரி சி + 1 இன் பல்லுறுப்புக்கோவை ஐசோபெரிமெட்ரிக் சமத்துவமின்மையை ஒப்புக்கொள்கிறது, அங்கு சி என்பது ஜி இன் நில்பொடென்சி வகுப்பாகும். இறுதியாக வழங்கப்பட்ட குழுவின் அனைத்து அறிகுறியற்ற கூம்புகளும் வெறுமனே இணைக்கப்பட்டிருந்தால், குழு ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை ஐசோபெரிமெட்ரிக் சமத்துவமின்மையை திருப்திப்படுத்துகிறது. இறுதியாக வழங்கப்பட்ட குழு ஒரு இருபடி ஐசோபெரிமெட்ரிக் சமத்துவமின்மையை திருப்திப்படுத்தினால், இந்த குழுவின் அனைத்து அறிகுறியற்ற கூம்புகளும் வெறுமனே இணைக்கப்பட்டுள்ளன. (எம், ஜி) ஒரு மூடிய ரீமானியன் பன்மடங்கு மற்றும் ஜி = π1 (எம்) என்றால், ஜி இன் டெஹ்ன் செயல்பாடு பன்மடங்கு நிரப்புதல் பகுதி செயல்பாட்டிற்கு சமம். G என்பது ஒரு சிஏடி (0) இடத்தில் ஐசோமீட்டரிகளால் ஒழுங்காக தொடர்ச்சியற்றதாகவும், ஒத்திசைவாகவும் செயல்படும் ஒரு குழுவாக இருந்தால், G ஒரு இருபடி ஐசோபெரிமெட்ரிக் சமத்துவமின்மையை திருப்திப்படுத்துகிறது. குறிப்பாக, ஜி என்பது நேர்மறை அல்லாத பிரிவு வளைவின் மூடிய ரீமானியன் பன்மடங்கு அடிப்படைக் குழுவாக இருக்கும் விஷயத்தில் இது பொருந்தும் (நிலையானது அல்ல). SL (m, Z) இன் டெஹ்ன் செயல்பாடு எந்த m ≤ 3 க்கும் அதிகபட்ச அதிவேகமாக உள்ளது. எஸ்எல் (3, இசட்) க்கு இந்த எல்லை கூர்மையானது மற்றும் டெஹ்ன் செயல்பாடு ஒரு சப்எக்ஸ்போனென்ஷியல் மேல் வரம்பை அனுமதிக்காது என்பது அந்த விஷயத்தில் அறியப்படுகிறது. SL (m, Z) க்கான டெஹ்ன் செயல்பாடுகள், m> 4 இருபடி ஆகும். எஸ்எல் (4, இசட்) இன் டெஹ்ன் செயல்பாடு, துர்ஸ்டனால் இருபடி என்று அனுமானிக்கப்பட்டுள்ளது. இது மற்றும், பொதுவாக, உயர் தரவரிசை லை குழுக்களில் உள்ள லாட்டிஸ்கள் இருபடி டெஹ்ன் செயல்பாட்டைக் கொண்டுள்ளன என்ற குரோமோவின் அனுமானம் லியூசிங்கர் மற்றும் யங் ஆகியோரால் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. வரையறுக்கப்பட்ட வகை மேற்பரப்புகளின் வகை குழுக்களை வரைபடமாக்குவது தானாகவே இருக்கும் மற்றும் இருபடி ஐசோபெரிமெட்ரிக் ஏற்றத்தாழ்வுகளை திருப்திப்படுத்துகிறது. ஆட் (எஃப். கே) மற்றும் அவுட் (எஃப். கே) குழுக்களுக்கான டெஹ்ன் செயல்பாடுகள் ஒவ்வொரு கே ≤ 3 க்கும் அதிவேகமாக உள்ளன. ஆட் (எஃப். கே) மற்றும் அவுட் (எஃப். கே) க்கான எக்ஸ்போனென்ஷியல் ஐசோபெரிமெட்ரிக் ஏற்றத்தாழ்வுகள் கே ± 3 இல் ஹாட்சர் மற்றும் வோக்ட்மேன் ஆகியோரால் கண்டறியப்பட்டன. இந்த வரம்புகள் கூர்மையானவை, மேலும் பிரிட்சன் மற்றும் வோக்ட்மேன் ஆகியோரால் k = 3 க்கும், ஹேண்டல் மற்றும் மோஷர் ஆகியோரால் k ≤ 4 க்கும் காட்டப்பட்டுள்ளபடி, ஆட்ட (Fk) மற்றும் அவுட் (Fk) குழுக்கள் சப்எக்ஸ்போனென்ஷியல் ஐசோபெரிமெட்ரிக் ஏற்றத்தாழ்வுகளை பூர்த்தி செய்யவில்லை. ஃபைனிட்லி ஜெனரேட்டட் ஃப்ரீ குரூப் Fk இன் ஒவ்வொரு ஆட்டோமார்ஃபிஸத்திற்கும் φ இன் மேப்பிங் டோரஸ் குரூப் ஒரு இருபடி ஐசோபெரிமெட்ரிக் சமத்துவமின்மையை திருப்திப்படுத்துகிறது. n4 ஆக இருக்கும் பெரும்பாலான "நியாயமான" கணக்கிடக்கூடிய செயல்பாடுகளை, சமநிலை வரை, இறுதியாக வழங்கப்பட்ட குழுக்களின் டெஹ்ன் செயல்பாடுகளாக உணர முடியும். குறிப்பாக, f (n) ≤n4 என்பது ஒரு டூரிங் இயந்திரத்தால் காலப்போக்கில் கணக்கிடக்கூடிய பைனரி பிரதிநிதித்துவம் கொண்ட ஒரு கூடுதல் செயல்பாடாக இருந்தால், f (n) என்பது இறுதியாக வழங்கப்பட்ட குழுவின் டெஹ்ன் செயல்பாட்டிற்கு சமம். ஒரு குழுவின் டெக்ன் செயல்பாட்டை அதன் சொல் சிக்கலின் சிக்கலான தன்மையின் அடிப்படையில் நியாயமான முறையில் பிணைக்க முடியாது என்றாலும், பிர்ஜெட், ஓல்ஷான்ஸ்கி, ரிப்ஸ் மற்றும் சாபிர் பின்வரும் முடிவைப் பெற்றனர், இது ஹிக்மேனின் உட்பொதிக்கும் தேற்றத்தின் தொலைநோக்கு பொதுமைப்படுத்தலை வழங்குகிறதுஃ ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட குழுவின் சொல் சிக்கல் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை ஐசோபெரிமெட்ரிக் செயல்பாட்டுடன் இறுதியாக வழங்கப்பட்ட குழுவில் உட்பொதிக்கப்பட்டால் மட்டுமே வரையறுக்கப்படாத பல்லுறுப்புக்கோவை நேரத்தில் தீர்மானிக்கக்கூடியது. மேலும், T (n) நேரத்தில் தீர்க்கக்கூடிய சிக்கல் என்ற வார்த்தையைக் கொண்ட ஒவ்வொரு குழுவும் n2T (n2) 4 க்கு சமமான ஐசோபெரிமெட்ரிக் செயல்பாட்டைக் கொண்ட ஒரு குழுவில் உட்பொதிக்கப்படலாம். பொதுமைப்படுத்தல்கள் ஒரு ஐசோபெரிமெட்ரிக் செயல்பாட்டின் கருத்துடன் நெருக்கமாக தொடர்புடைய பல துணை கருத்துக்கள் உள்ளன. எனவே ஒரு ஐசோடயாமெட்ரிக் செயல்பாடு ஒரு குறிப்பிட்ட உறவுக்கான வான் காம்பன் வரைபடத்தின் மிகச்சிறிய விட்டத்தை (ஒவ்வொரு விளிம்பும் நீளம் ஒன்றைக் கொண்ட எளிய அளவீட்டைப் பொறுத்தவரை) w இன் நீளத்தின் அடிப்படையில் கட்டுப்படுத்துகிறது. ஒரு நிரப்புதல் நீளம் செயல்பாடு ஒரு குறிப்பிட்ட உறவுக்கான வான் காம்பன் வரைபடத்தின் மிகச்சிறிய நிரப்புதல் நீளம் w இன் நீளத்தின் அடிப்படையில். இங்கே ஒரு வரைபடத்தின் நிரப்புதல் நீளம் குறைந்தபட்சம், வரைபடத்தின் அனைத்து ஒருங்கிணைந்த பூஜ்ய-மோட்டோபிகளின் மீது, இடைநிலை சுழல்களின் அதிகபட்ச நீளம், அத்தகைய பூஜ்ய-மோட்டோபிகளுடன் இடைப்பட்ட இடைநிலை வரைபடங்களை பிணைக்கிறது. நிரப்புதல் நீளம் செயல்பாடு இறுதியாக வழங்கப்பட்ட குழுக்களுக்கான சொல் சிக்கலின் தீர்மானிக்கப்படாத இட சிக்கலுடன் நெருக்கமாக தொடர்புடையது. டெஹ்ன் செயல்பாடு, உகந்த ஐசோடயாமெட்ரிக் செயல்பாடு மற்றும் உகந்த நிரப்புதல் நீளம் செயல்பாடு ஆகியவற்றை இணைக்கும் பல பொதுவான ஏற்றத்தாழ்வுகள் உள்ளன, ஆனால் அவற்றுக்கிடையேயான துல்லியமான உறவு இன்னும் புரிந்து கொள்ளப்படவில்லை. ஐசோபெரிமெட்ரிக் மற்றும் டெஹ்ன் செயல்பாடுகளின் உயர் பரிமாண பொதுமைப்படுத்தல்களும் உள்ளன. ஒரு குழுவின் k-பரிமாண ஐசோபெரிமெட்ரிக் செயல்பாடு k-கோளங்களின் (k + 1)-பரிமாண பந்து-நிரப்புதலின் குறைந்தபட்ச ஒருங்கிணைந்த அளவை ஒரு k-இணைக்கப்பட்ட இடத்தில் வரைபடமாக்குகிறது, அதில் குழு சரியாக மற்றும் ஒத்திசைவாக செயல்படுகிறது; k-கோளத்தின் ஒருங்கிணைந்த அளவின் செயல்பாடாக பிணைப்பு வழங்கப்படுகிறது. ஒரு ஐசோபெரிமெட்ரிக் செயல்பாட்டின் நிலையான கருத்து வழக்கு k = 1 உடன் ஒத்திருக்கிறது. கிளாசிக்கல் வழக்குடன் ஒப்பிடும்போது இந்த உயர் பரிமாண நிரப்புதல் செயல்பாடுகளைப் பற்றி மிகக் குறைவாகவே அறியப்படுகிறது. ஒரு முக்கிய விளைவு என்னவென்றால், உயர் தரவரிசை அரை எளிய லை குழுக்களில் உள்ள லட்டிஸ்கள் தரவரிசைக்கு கீழே உள்ள பரிமாணங்களில் பட்டியலிடப்படவில்லை, அதாவது. அவை அவற்றின் தொடர்புடைய சமச்சீர் இடத்தைப் போலவே அதே நிரப்புதல் செயல்பாடுகளை பூர்த்தி செய்கின்றன. க்ரோமோவ் தனது மோனோகிராஃபில் எல்லையற்ற குழுக்களின் அறிகுறியற்ற மாறிலிகள் டெஹ்ன் செயல்பாட்டின் நிகழ்தகவு அல்லது சராசரி பதிப்பை முன்மொழிந்தார், மேலும் பல குழுக்களுக்கு சராசரி டெஹ்ன் செயல்பாடுகள் நிலையான டெஹ்ன் செயல்பாடுகளை விட மெதுவான அறிகுறியற்ற தன்மையைக் கொண்டிருக்க வேண்டும் என்று பரிந்துரைத்தார். சராசரி டெஹ்ன் செயல்பாடு அல்லது சராசரி டெஹ்ன் செயல்பாடு என்ற கருத்தின் துல்லியமான சிகிச்சைகள் பின்னர் பிற ஆராய்ச்சியாளர்களால் வழங்கப்பட்டன, அவர்கள் உண்மையில் சராசரி டெஹ்ன் செயல்பாடுகள் பல சந்தர்ப்பங்களில் நிலையான டெஹ்ன் செயல்பாடுகளுக்கு துணை அறிகுறியாகும் என்பதை நிரூபித்தனர் (நில்போட்டன்ட் மற்றும் அபெலியன் குழுக்கள் போன்றவை). ஒரு ஐசோபெரிமெட்ரிக் செயல்பாட்டின் கருத்தின் ஒப்பீட்டு பதிப்பு ஒப்பீட்டளவில் ஹைபர்போலிக் குழுக்களுக்கு ஓசின் அணுகுமுறையில் முக்கிய பங்கு வகிக்கிறது. கிரிகோர்ச்சுக் மற்றும் இவானோவ் ஆகியோர் டெஹ்ன் செயல்பாட்டின் பல இயற்கையான பொதுமைப்படுத்தல்களை குழு விளக்கக்காட்சிகளுக்காக இறுதியாக பல ஜெனரேட்டர்களில் ஆராய்ந்தனர், ஆனால் எண்ணற்ற பல வரையறுக்கும் உறவுகளுடன். வான் காம்பன் வரைபடத்தையும் பார்க்கவும் சொல்-ஹைபர்போலிக் குழு தானியங்கி குழு சிறிய ரத்து கோட்பாடு வடிவியல் குழு கோட்பாடு குறிப்புகள் மேலும் வாசிப்பு நோயல் பிராடி, டிம் ரிலே மற்றும் ஹாமிஷ் ஷார்ட். இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட குழுக்களுக்கான சொல் சிக்கலின் வடிவியல். கணிதத்தில் மேம்பட்ட படிப்புகள் சி. ஆர். எம் பார்சிலோனா, பிர்குசர், பாசெல், 2007. மார்ட்டின் ஆர். பிரிட்சன். சிக்கல் என்ற வார்த்தையின் வடிவியல். வடிவியல் மற்றும் இடவியல் அழைப்புகள், pp. 29-91, கணிதத்தில் ஆக்ஸ்போர்டு பட்டதாரி உரைகள், 7, ஆக்ஸ்போர்டு பல்கலைக்கழக அச்சகம், ஆக்ஸ்போர்டு, 2002. வெளிப்புற இணைப்புகள் SL (n, Z) க்கான ஐசோபெரிமெட்ரிக் சமத்துவமின்மை. அமெரிக்க கணித நிறுவனத்தில் செப்டம்பர் 2008 பட்டறை. பிரிட்சனின் கட்டுரையின் PDF சிக்கல் என்ற வார்த்தையின் வடிவியல். வடிவியல் குழு கோட்பாடு வடிவியல் இடவியல் சொற்களின் ஒருங்கிணைப்பு