Ice-type model
புள்ளியியல் இயக்கவியலில், பனி-வகை மாதிரிகள் அல்லது ஆறு-வெர்டெக்ஸ் மாதிரிகள் ஹைட்ரஜன் பிணைப்புகளுடன் படிக லட்டிஸ்களுக்கான உச்சி மாதிரிகளின் குடும்பமாகும். அத்தகைய முதல் மாதிரி 1935 ஆம் ஆண்டில் லினஸ் பாலிங் என்பவரால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது, இது நீர் பனியின் எஞ்சிய என்ட்ரோபியைக் கணக்கிடுகிறது. சில ஃபெரோ எலக்ட்ரிக் மற்றும் ஆன்டிஃபெரோ எலக்ட்ரிக் படிகங்களின் மாதிரிகளாக மாறுபாடுகள் முன்மொழியப்பட்டுள்ளன. 1967 ஆம் ஆண்டில், எலியட் எச். லீப் "சதுர பனி" என்று அழைக்கப்படும் இரு பரிமாண பனி மாதிரிக்கு சரியான தீர்வை கண்டுபிடித்தார். மூன்று பரிமாணங்களில் உள்ள சரியான தீர்வு ஒரு சிறப்பு "உறைந்த" நிலைக்கு மட்டுமே அறியப்படுகிறது. விளக்கம் ஒரு பனி வகை மாதிரி என்பது ஒருங்கிணைப்பு எண் 4 இன் ஜாலகத்தில் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு ஜாலக மாதிரி ஆகும். அதாவது, ஜல்லின் ஒவ்வொரு முனையும் ஒரு விளிம்பால் நான்கு "அருகிலுள்ள அண்டை நாடுகளுடன்" இணைக்கப்பட்டுள்ளது. மாதிரியின் ஒரு நிலையில் ஜாலகத்தின் ஒவ்வொரு விளிம்பிலும் ஒரு அம்பு உள்ளது, அதாவது ஒவ்வொரு முனையிலும் உள்நோக்கி சுட்டிக்காட்டும் அம்புகளின் எண்ணிக்கை 2 ஆகும். அம்பு உள்ளமைவுகளில் இந்த கட்டுப்பாடு பனி விதி என்று அழைக்கப்படுகிறது. வரைபட கோட்பாட்டு சொற்களில், நிலைகள் ஒரு அடிப்படை 4-ஒழுங்கற்ற திசைதிருப்பப்படாத வரைபடத்தின் யூலேரியன் நோக்குநிலைகள் ஆகும். பகிர்வு செயல்பாடு எங்கும் பூஜ்ஜிய 3-ஓட்டங்களின் எண்ணிக்கையையும் கணக்கிடுகிறது. இரு பரிமாண மாதிரிகளுக்கு, லட்டிஸ் சதுர லட்டிஸாக கருதப்படுகிறது. மிகவும் யதார்த்தமான மாதிரிகளுக்கு, ஒருவர் பரிசீலிக்கப்படும் பொருளுக்கு பொருத்தமான முப்பரிமாண ஜன்னலைப் பயன்படுத்தலாம்; எடுத்துக்காட்டாக, பனிக்கட்டியை பகுப்பாய்வு செய்ய அறுகோண பனி ஜன்னல் பயன்படுத்தப்படுகிறது. எந்தவொரு உச்சியிலும், அம்புகளின் ஆறு உள்ளமைவுகள் உள்ளன, அவை பனி விதியை பூர்த்தி செய்கின்றன ("சிக்ஸ்-வெர்டெக்ஸ் மாடல்" என்ற பெயரை நியாயப்படுத்துகின்றன). (இரு பரிமாண) சதுர லட்டிஸின் செல்லுபடியாகும் உள்ளமைவுகள் பின்வருமாறுஃ ஒரு நிலையின் ஆற்றல் ஒவ்வொரு முனையிலும் உள்ள உள்ளமைவுகளின் செயல்பாடாக புரிந்து கொள்ளப்படுகிறது. சதுர லட்டிஸ்களைப் பொறுத்தவரை, சில மாறிலிகளுக்கு மொத்த ஆற்றல் வழங்கப்படுகிறது என்று ஒருவர் கருதுகிறார், இங்கு மேலே உள்ள படத்தில் இருந்து th உள்ளமைவுடன் செங்குத்துகளின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கிறது. மதிப்பு என்பது உச்சி உள்ளமைவு எண்ணுடன் தொடர்புடைய ஆற்றல் ஆகும். ஒரு பனி வகை மாதிரியின் பகிர்வு செயல்பாட்டைக் கணக்கிடுவதை ஒருவர் நோக்கமாகக் கொண்டுள்ளார், இது மாதிரியின் அனைத்து நிலைகளிலும் கூட்டுத்தொகை எடுக்கப்பட்ட சூத்திரத்தால் வழங்கப்படுகிறது, இது நிலையின் ஆற்றல், போல்ட்ஸ்மேன் மாறிலி மற்றும் அமைப்பின் வெப்பநிலை. பொதுவாக, செங்குத்துகளின் எண்ணிக்கை முடிவிலியை நெருங்கும் வெப்ப இயக்கவியல் வரம்பில் ஒருவர் ஆர்வமாக உள்ளார். அப்படியானால், அதற்கு பதிலாக ஒருவர் வரம்பில் ஒரு உச்சிக்கு இலவச ஆற்றலை மதிப்பீடு செய்கிறார், அங்கு சமமாக வழங்கப்படுகிறது, ஒருவர் வெப்ப இயக்கவியல் வரம்பில் ஒரு உச்சிக்கு பகிர்வு செயல்பாட்டை மதிப்பீடு செய்கிறார், அங்கு மதிப்புகள் மற்றும் இயற்பியல் நியாயப்படுத்தல் மூலம் தொடர்புடையவை ஹைட்ரஜன் பிணைப்புகளுடன் பல உண்மையான படிகங்கள் பனி மற்றும் பொட்டாசியம் டைஹைட்ரஜன் பாஸ்பேட் (கே. டி. பி) உட்பட பனி மாதிரியை திருப்திப்படுத்துகின்றன. உண்மையில், இத்தகைய படிகங்கள் பனி வகை மாதிரிகள் பற்றிய ஆய்வை ஊக்குவித்தன. பனியில், ஒவ்வொரு ஆக்ஸிஜன் அணுவும் மற்ற நான்கு ஆக்ஸிஜன்களுடன் ஒரு பிணைப்பால் இணைக்கப்பட்டுள்ளது, மேலும் ஒவ்வொரு பிணைப்பும் முனைய ஆக்ஸிஜன்களுக்கு இடையில் ஒரு ஹைட்ரஜன் அணுவைக் கொண்டுள்ளது. ஹைட்ரஜன் சமச்சீராக அமைந்துள்ள இரண்டு நிலைகளில் ஒன்றை ஆக்கிரமித்துள்ளது, இவை இரண்டும் பிணைப்பின் நடுவில் இல்லை. ஹைட்ரஜன் அணுக்களின் அனுமதிக்கப்பட்ட உள்ளமைவு என்னவென்றால், ஒவ்வொரு ஆக்ஸிஜனுக்கும் அருகில் எப்போதும் இரண்டு ஹைட்ரஜன்கள் இருக்கும், இதனால் உள்ளூர் சூழல் ஒரு நீர் மூலக்கூறைப் பின்பற்றுகிறது என்று பாலிங் வாதிட்டார். எனவே, ஆக்ஸிஜன் அணுக்களை லட்டிஸ் செங்குத்துகளாகவும், ஹைட்ரஜன் பிணைப்புகளை லட்டிஸ் விளிம்புகளாகவும் எடுத்துக் கொண்டால், ஹைட்ரஜன் அணு அமர்ந்திருக்கும் பிணைப்பின் பக்கத்தை சுட்டிக்காட்டும் ஒரு பிணைப்பில் ஒரு அம்பை வரைந்தால், பனி மாதிரியை திருப்திப்படுத்துகிறது. கே. டி. பி. யும் பனி மாதிரியை திருப்திப்படுத்துகிறது என்பதைக் காட்ட இதே போன்ற பகுத்தறிவு பொருந்தும். சமீபத்திய ஆண்டுகளில், பனி-வகை மாதிரிகள் பைரோக்ளோர் சுழல் பனி மற்றும் செயற்கை சுழல் பனி அமைப்புகளின் விளக்கங்களாக ஆராயப்பட்டுள்ளன, இதில் இருமுனை காந்த தருணங்களுக்கு ("சுழல்கள்") இடையிலான தொடர்புகளில் வடிவியல் விரக்தி "பனி-விதி" சுழல் உள்ளமைவுகளுக்கு சாதகமாக வழிவகுக்கிறது. ரைஸ் எஃப்-மாதிரியால் சுழல்-பனி அமைப்புகளை துல்லியமாக விவரிக்கக்கூடிய சூழ்நிலைகளை ஆராய சமீபத்தில் இத்தகைய ஒப்புமைகள் நீட்டிக்கப்பட்டுள்ளன. உச்சி ஆற்றல்களின் குறிப்பிட்ட தேர்வுகள் சதுர லட்டிஸில், உச்சி உள்ளமைவுகள் 1-6 உடன் தொடர்புடைய ஆற்றல்கள் நிலைகளின் ஒப்பீட்டு நிகழ்தகவுகளை தீர்மானிக்கின்றன, இதனால் அமைப்பின் மேக்ரோஸ்கோபிக் நடத்தையை பாதிக்கலாம். இந்த உச்சி ஆற்றல்களுக்கான பொதுவான தேர்வுகள் பின்வருமாறு. ஐஸ் மாடல் பனியை மாடலிங் செய்யும் போது, ஒருவர் எடுத்துக்கொள்கிறார், ஏனெனில் அனைத்து அனுமதிக்கப்பட்ட உச்சி உள்ளமைவுகளும் சமமாக இருக்கக்கூடும் என்று புரிந்து கொள்ளப்படுகிறது. இந்த வழக்கில், பகிர்வு செயல்பாடு செல்லுபடியாகும் நிலைகளின் மொத்த எண்ணிக்கைக்கு சமம். இந்த மாதிரி பனி மாதிரி என்று அழைக்கப்படுகிறது (ஒரு பனி வகை மாதிரிக்கு மாறாக). ஃபெரோ எலக்ட்ரிக் ஸ்லேட்டரின் KDP மாதிரி KDP ஐ ஆற்றல்களுடன் கூடிய ஒரு பனி வகை மாதிரியால் பிரதிநிதித்துவப்படுத்த முடியும் என்று வாதிட்டது இந்த மாதிரிக்கு (KDP மாதிரி என்று அழைக்கப்படுகிறது), பெரும்பாலும் நிலை (குறைந்த ஆற்றல் நிலை) அனைத்து கிடைமட்ட அம்புகளையும் ஒரே திசையில் சுட்டிக்காட்டுகிறது, அதேபோல் அனைத்து செங்குத்து அம்புகளுக்கும். அத்தகைய நிலை ஒரு ஃபெரோ எலக்ட்ரிக் நிலை, இதில் அனைத்து ஹைட்ரஜன் அணுக்களும் அவற்றின் பிணைப்புகளின் ஒரு நிலையான பக்கத்திற்கு முன்னுரிமை அளிக்கின்றன. ஒரு ஆன்டிஃபெரோ எலக்ட்ரிக் ரைஸ் எஃப் மாடல் ரைஸ் மாடல் அமைப்பதன் மூலம் பெறப்படுகிறது இந்த மாடலின் குறைந்த ஆற்றல் நிலை 5 மற்றும் 6 வெர்டெக்ஸ் உள்ளமைவுகளால் ஆதிக்கம் செலுத்துகிறது. அத்தகைய நிலைக்கு, அருகிலுள்ள கிடைமட்ட பிணைப்புகள் எதிர் திசைகளிலும் இதேபோல் செங்குத்து பிணைப்புகளிலும் அம்புகளைக் கொண்டிருக்க வேண்டும், எனவே இந்த நிலை ஒரு ஆன்டிஃபெரோ எலக்ட்ரிக் நிலை. பூஜ்ஜிய புலம் அனுமானம் சுற்றுப்புற மின்சார புலம் இல்லையென்றால், ஒரு மாநிலத்தின் மொத்த ஆற்றல் ஒரு சார்ஜ் தலைகீழ் கீழ் மாறாமல் இருக்க வேண்டும், அதாவது. அனைத்து அம்புகளையும் புரட்டுவதன் கீழ். எனவே இந்த அனுமானம் பூஜ்ஜிய புலம் அனுமானம் என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் இது பனி மாதிரி, கே. டி. பி மாதிரி மற்றும் ரைஸ் எஃப் மாதிரி ஆகியவற்றிற்கு பொருந்தும் என்று ஒருவர் பொதுவாக இழக்காமல் கருதலாம். வில்லியம் எஃப். கியாக் மற்றும் ஜே. டபிள்யூ. ஸ்டவுட் ஆகியோரால் அளவிடப்பட்ட பனியின் எஞ்சிய என்ட்ரோபியைக் கணக்கிட 1935 ஆம் ஆண்டில் லினஸ் பாலிங் என்பவரால் பனி விதி அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. பனியின் எஞ்சிய என்ட்ரோபி, போல்ட்ஸ்மேன் மாறிலி எங்கே என்ற சூத்திரத்தால் வழங்கப்படுகிறது, இது பனிக்கட்டியில் உள்ள ஆக்ஸிஜன் அணுக்களின் எண்ணிக்கை, இது எப்போதும் பெரியதாக (வெப்ப இயக்கவியல் வரம்பு) கருதப்படுகிறது மற்றும் பாலிங்கின் பனி விதியின் படி ஹைட்ரஜன் அணுக்களின் உள்ளமைவுகளின் எண்ணிக்கை. பனி விதி இல்லாமல் ஹைட்ரஜன் அணுக்களின் எண்ணிக்கை மற்றும் ஒவ்வொரு ஹைட்ரஜனுக்கும் இரண்டு சாத்தியமான இடங்கள் இருப்பதால் நம்மிடம் இருக்கும். பனி விதி இதைக் குறைக்கிறது என்று பாலிங் மதிப்பிட்டார், இது ஜியோக்-ஸ்டவுட் அளவீட்டுடன் மிகவும் நன்றாக உடன்படும். பனிப்பொழிவுக்கான பாலிங்கின் கணக்கீடு இதுவரை தயாரிக்கப்பட்ட உண்மையான பொருட்களுக்கு புள்ளிவிவர இயக்கவியலின் எளிய, ஆனால் மிகவும் துல்லியமான பயன்பாடுகளில் ஒன்றாகும் என்று கூறலாம். மாதிரியைக் கருத்தில் கொண்டால், மிகவும் தோராயமாக இருந்த பாலிங்கின் கணக்கீடு ஒரு கடுமையான கணக்கீட்டால் நிலைநிறுத்தப்படுமா என்ற கேள்வி எஞ்சியிருந்தது. இது ஒருங்கிணைப்பில் ஒரு குறிப்பிடத்தக்க பிரச்சினையாக மாறியது. முப்பரிமாண மற்றும் இரு பரிமாண மாதிரிகள் இரண்டும் 1966 ஆம் ஆண்டில் ஜான் எஃப். நாக்லே என்பவரால் எண்ணியல் ரீதியாக கணக்கிடப்பட்டன, அவர் அதை முப்பரிமாணங்களிலும் இரு பரிமாணங்களிலும் கண்டறிந்தார். இவை இரண்டும் பாலிங்கின் தோராயமான 1.5 என்ற கணக்கீட்டிற்கு அதிசயமாக நெருக்கமாக உள்ளன. 1967 ஆம் ஆண்டில், மூன்று இரு பரிமாண பனி வகை மாதிரிகளின் சரியான தீர்வை லீப் கண்டுபிடித்தார்ஃ பனி மாதிரி, ரைஸ் மாதிரி மற்றும் கே. டி. பி மாதிரி. பனி மாதிரிக்கான தீர்வு இரண்டு பரிமாணங்களில் சரியான மதிப்பைக் கொடுத்தது, இது லீப் சதுர பனி மாறிலி என்று அழைக்கப்படுகிறது. பின்னர் 1967 ஆம் ஆண்டில், பில் சதர்லேண்ட் மூன்று குறிப்பிட்ட பனி வகை மாதிரிகளின் லீப்பின் தீர்வை பூஜ்ஜிய புலம் அனுமானத்தை திருப்திப்படுத்தும் சதுர-லட்டிஸ் பனி வகை மாதிரிகளுக்கான பொதுவான சரியான தீர்வுக்கு பொதுமைப்படுத்தினார். இன்னும் பின்னர் 1967 ஆம் ஆண்டில், சி. பி. யாங் ஒரு கிடைமட்ட மின்சார புலத்தில் சதுர-லட்டீஸ் பனி வகை மாதிரிகளுக்கான சரியான தீர்வுக்கான சதர்லேண்டின் தீர்வை பொதுமைப்படுத்தினார். 1969 ஆம் ஆண்டில், ஜான் நாக்லே ஒரு குறிப்பிட்ட அளவிலான வெப்பநிலைக்கு கே. டி. பி மாதிரியின் முப்பரிமாண பதிப்பிற்கான சரியான தீர்வை உருவாக்கினார். அத்தகைய வெப்பநிலைகளுக்கு, மாதிரி (வெப்ப இயக்கவியல் வரம்பில்) ஒரு உச்சிக்கு ஆற்றல் மற்றும் ஒரு உச்சிக்கு என்ட்ரோபி இரண்டும் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் என்ற பொருளில் "உறைந்துள்ளது". முப்பரிமாண பனி வகை மாதிரிக்கு இது மட்டுமே அறியப்பட்ட சரியான தீர்வாகும். எட்டு-வெர்டெக்ஸ் மாதிரியுடன் தொடர்பு எட்டு-வெர்டெக்ஸ் மாதிரியும் சரியாக தீர்க்கப்பட்டுள்ளது, இது (சதுர-லட்டிஸ்) ஆறு-வெர்டெக்ஸ் மாதிரியின் பொதுமைப்படுத்தலாகும்ஃ எட்டு-வெர்டெக்ஸ் மாதிரியிலிருந்து ஆறு-வெர்டெக்ஸ் மாதிரியை மீட்டெடுக்க, 7 மற்றும் 8 வெர்டெக்ஸ் உள்ளமைவுகளுக்கான ஆற்றல்களை முடிவிலிக்கு அமைக்கவும். எட்டு-வெர்டெக்ஸ் மாதிரியில் இல்லாத சில சந்தர்ப்பங்களில் ஆறு-வெர்டெக்ஸ் மாதிரிகள் தீர்க்கப்பட்டுள்ளன; எடுத்துக்காட்டாக, முப்பரிமாண கே. டி. பி மாதிரிக்கான நாக்லேவின் தீர்வு மற்றும் கிடைமட்ட புலத்தில் ஆறு-வெர்டெக்ஸ் மாதிரியின் யாங்கின் தீர்வு. எல்லை நிலைமைகள் இந்த பனி மாதிரி புள்ளிவிவர இயக்கவியலில் ஒரு முக்கியமான 'எதிர் உதாரணத்தை' வழங்குகிறதுஃ வெப்ப இயக்கவியல் வரம்பில் மொத்த இலவச ஆற்றல் எல்லை நிலைமைகளைப் பொறுத்தது. காலமுறை எல்லை நிலைமைகள், காலமுறை எதிர்ப்பு, ஃபெரோ காந்த மற்றும் கள சுவர் எல்லை நிலைமைகளுக்கு இந்த மாதிரி பகுப்பாய்வு ரீதியாக தீர்க்கப்பட்டது. ஒரு சதுர லட்டிஸில் கள சுவர் எல்லை நிலைமைகளைக் கொண்ட ஆறு உச்சி மாதிரி ஒருங்கிணைப்பில் குறிப்பிட்ட முக்கியத்துவத்தைக் கொண்டுள்ளது, இது மாற்று அடையாள மேட்ரிக்ஸ்களைக் கணக்கிட உதவுகிறது. இந்த விஷயத்தில் பகிர்வு செயல்பாட்டை ஒரு மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பவராகக் குறிப்பிடலாம் (அதன் பரிமாணம் லட்டிஸின் அளவிற்கு சமம்), ஆனால் மற்ற சந்தர்ப்பங்களில் கணக்கீடு அத்தகைய எளிய மூடிய வடிவத்தில் வெளிவராது. தெளிவாக, மிகப்பெரியது இலவச எல்லை நிபந்தனைகளால் வழங்கப்படுகிறது (எல்லையில் உள்ள உள்ளமைவுகளில் எந்த தடையும் இல்லை), ஆனால் வெப்ப இயக்கவியல் வரம்பில், குறிப்பிட்ட கால எல்லை நிபந்தனைகளுக்கு, முதலில் பெற பயன்படுத்தப்படுவது போல் நிகழ்கிறது. ஒரு லட்டிஸின் 3-நிறங்கள் ஒரு பனி வகை மாதிரியின் உள் விளிம்புகளில் ஒரு லட்டிஸின் சதுரங்களின் வரையறுக்கப்பட்ட வெறுமனே இணைக்கப்பட்ட சங்கமத்தின் நிலைகளின் எண்ணிக்கை சதுரங்களை 3-நிறமாக்குவதற்கான வழிகளின் எண்ணிக்கையில் மூன்றில் ஒரு பங்கிற்கு சமம், இரண்டு அருகிலுள்ள சதுரங்கள் ஒரே நிறத்தைக் கொண்டிருக்கவில்லை. மாநிலங்களுக்கிடையேயான இந்த கடிதப் பரிமாற்றம் ஆண்ட்ரூ லெனார்டின் காரணமாகும், இது பின்வருமாறு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. ஒரு சதுரத்திற்கு i = 0,1 அல்லது 2 நிறம் இருந்தால், அருகிலுள்ள சதுரத்தின் விளிம்பில் உள்ள அம்பு இடது அல்லது வலதுபுறம் செல்கிறது (சதுரத்தில் உள்ள பார்வையாளரின் கூற்றுப்படி) அருகிலுள்ள சதுரத்தில் உள்ள நிறம் i + 1 அல்லது i−1 மட்டு 3 என்பதைப் பொறுத்து. ஒரு நிலையான ஆரம்ப சதுரத்திற்கு வண்ணம் பூச 3 சாத்தியமான வழிகள் உள்ளன, மேலும் இந்த ஆரம்ப நிறம் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டவுடன் இது பனி வகை நிலையை திருப்திப்படுத்தும் வண்ணங்கள் மற்றும் அம்புகளின் ஏற்பாடுகளுக்கு இடையே 1:1 தொடர்பை அளிக்கிறது. மேலும் காண்க எட்டு-வெர்டெக்ஸ் மாதிரி குறிப்புகள் மேலும் வாசிப்பு சரியாக தீர்க்கக்கூடிய மாதிரிகள் புள்ளியியல் இயக்கவியல் லாட்டிஸ் மாதிரிகள் பனி