Higher-dimensional algebra
கணிதத்தில், குறிப்பாக (உயர்) வகைக் கோட்பாட்டில், உயர் பரிமாண இயற்கணிதம் என்பது வகைப்படுத்தப்பட்ட கட்டமைப்புகளின் ஆய்வு ஆகும். இது நபிலியன் அல்லாத இயற்கணித இடவியலில் பயன்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் சுருக்க இயற்கணிதத்தை பொதுமைப்படுத்துகிறது. உயர் பரிமாண வகைகளை வரையறுப்பதற்கான முதல் படி உயர் வகை கோட்பாட்டின் 2-வகை கருத்தாகும், அதைத் தொடர்ந்து இரட்டை வகைக்கான அதிக 'வடிவியல்' கருத்தாகும். ஒரு உயர் நிலைக் கருத்து இவ்வாறு வகைகளின் ஒரு வகை அல்லது சூப்பர்-வகை என வரையறுக்கப்படுகிறது, இது வகையின் கருத்தை உயர் பரிமாணங்களுக்கு பொதுமைப்படுத்துகிறது-இது சுருக்க வகைகளின் அடிப்படை கோட்பாட்டின் (ஈ. டி. ஏ. சி) லாவேரின் கோட்பாடுகளின் விளக்கமாக இருக்கும் எந்தவொரு கட்டமைப்பாகவும் கருதப்படுகிறது. எனவே, ஒரு சூப்பர் வகை மற்றும் ஒரு சூப்பர் வகை, மெட்டா வகை, பல வகை மற்றும் பல கிராஃப், கே-பார்டைட் கிராஃப் அல்லது வண்ண வரைபடம் ஆகியவற்றின் கருத்தாக்கங்களின் இயற்கையான நீட்டிப்புகளாகக் கருதப்படலாம் (ஒரு வண்ண உருவம் மற்றும் வரைபடக் கோட்பாட்டில் அதன் வரையறையையும் பார்க்கவும்). சூப்பர் பிரிவுகள் முதன்முதலில் 1970 இல் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டன, பின்னர் அவை கோட்பாட்டு இயற்பியல் (குறிப்பாக குவாண்டம் புலம் கோட்பாடு மற்றும் இடவியல் குவாண்டம் புலம் கோட்பாடு) மற்றும் கணித உயிரியல் அல்லது கணித உயிர் இயற்பியல் ஆகியவற்றில் பயன்பாடுகளுக்காக உருவாக்கப்பட்டன. உயர் பரிமாண இயற்கணிதத்தில் உள்ள பிற பாதைகள் பின்வருவனவற்றை உள்ளடக்குகின்றனஃ இரு பிரிவுகள், இரு பிரிவுகளின் ஒத்த உருவங்கள், மாறி பிரிவுகள் (குறியீட்டு அல்லது அளவுருக்கள் கொண்ட பிரிவுகள் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன), டோபோய், பயனுள்ள வம்சாவளி மற்றும் செறிவூட்டப்பட்ட மற்றும் உள் பிரிவுகள். உயர் பரிமாண இயற்கணிதத்தில் (எச். டி. ஏ), இரட்டைக் குழுமம் என்பது இரு பரிமாணங்களுக்கு ஒரு பரிமாணக் குழுமத்தின் பொதுமைப்படுத்தலாகும், மேலும் பிந்தைய குழுமம் அனைத்து தலைகீழ் அம்புகள் அல்லது உருவகங்களைக் கொண்ட ஒரு வகையின் சிறப்பு நிகழ்வாகக் கருதப்படலாம். உயர் பரிமாண பன்மடங்கு (அல்லது n-பரிமாண பன்மடங்கு) போன்ற வடிவியல் பொருள்களைப் பற்றிய தகவல்களைப் பிடிக்க இரட்டைக் குழுக்கள் பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. பொதுவாக, ஒரு n-பரிமாண பன்மடங்கு என்பது உள்ளூரில் ஒரு n-பரிமாண யூக்ளிடியன் இடத்தைப் போல தோற்றமளிக்கும் ஒரு இடமாகும், ஆனால் அதன் உலகளாவிய அமைப்பு யூக்ளிடியன் அல்லாததாக இருக்கலாம். இரட்டை குழுக்கள் முதன்முதலில் ரொனால்ட் பிரவுனால் இரட்டை குழுக்கள் மற்றும் குறுக்கு தொகுதிகளில் (1976) அறிமுகப்படுத்தப்பட்டன, மேலும் அவை நபேலியன் அல்லாத இயற்கணித இடவியலில் பயன்பாடுகளை நோக்கி மேலும் உருவாக்கப்பட்டன. ஒரு தொடர்புடைய, 'இரட்டை' கருத்து இரட்டை ஆல்ஜிபிராய்டு, மற்றும் ஆர்-ஆல்ஜிபிராய்டு மிகவும் பொதுவான கருத்து. நோன்பேலியன் இயற்கணித இடவியல் பார்க்க நோன்பேலியன் இயற்கணித இடவியல் பயன்பாடுகள் கோட்பாட்டு இயற்பியல் குவாண்டம் புலக் கோட்பாட்டில், குவாண்டம் பிரிவுகள் உள்ளன. மற்றும் குவாண்டம் இரட்டை குழுக்கள். குவாண்டம் டபுள் குரூபாய்டுகளை 2-செயல்பாட்டாளர் மூலம் வரையறுக்கப்பட்ட அடிப்படை குரூபாய்டுகளாக ஒருவர் கருதலாம், இது இரு வகை ஸ்பான் (குரூபாய்டுகள்) அடிப்படையில் குவாண்டம் அடிப்படை குரூபாய்டுகளின் (க்யூ. எஃப். ஜி) உடல் ரீதியாக சுவாரஸ்யமான வழக்கைப் பற்றி சிந்திக்க அனுமதிக்கிறது, பின்னர் 2-ஹில்பர்ட் இடைவெளிகள் மற்றும் பன்மடங்கு மற்றும் கோபோர்டிஸம்களுக்கான 2-நேரியல் வரைபடங்களை உருவாக்குகிறது. அடுத்த கட்டத்தில், அத்தகைய 2-செயல்பாடுகளின் இயற்கையான மாற்றங்கள் மூலம் மூலைகளுடன் கூடிய கோபோர்டிஸம்களைப் பெறுகிறார். கேஜ் குழுவான எஸ்யூ (2) உடன், "நீட்டிக்கப்பட்ட டிகியூஎஃப்டி அல்லது ஈடிகியூஎஃப்டி, குவாண்டம் ஈர்ப்பு விசையின் பொன்சானோ-ரெக்ஜ் மாதிரிக்கு சமமான ஒரு கோட்பாட்டை வழங்குகிறது" என்று ஒரு கூற்று செய்யப்பட்டது; இதேபோல், துராஎவ்-வைரோ மாதிரியும் பின்னர் எஸ்யூக்யூ (2) இன் பிரதிநிதித்துவங்களுடன் பெறப்படும். எனவே, ஒரு கேஜ் கோட்பாட்டின் நிலை இடத்தை ஒருவர் விவரிக்கலாம்-அல்லது பல வகையான குவாண்டம் புலக் கோட்பாடுகள் (கியூஎஃப்டிகள்) மற்றும் உள்ளூர் குவாண்டம் இயற்பியல், சமச்சீர்களால் வழங்கப்பட்ட உருமாற்றக் குழுக்களின் அடிப்படையில், எடுத்துக்காட்டாக ஒரு கேஜ் கோட்பாட்டின் விஷயத்தில், இந்த விஷயத்தில், இணைப்புகள் இருக்கும் நிலைகளில் செயல்படும் கேஜ் உருமாற்றங்கள் மூலம். குவாண்டம் குழுக்கள் தொடர்பான சமச்சீர் விஷயத்தில், குழுமங்களின் பிரதிநிதித்துவ வகைகளாக இருக்கும் 2-வெக்டர் இடைவெளிகளுக்கு பதிலாக, குவாண்டம் குழுமங்களின் பிரதிநிதித்துவ வகைகளாக இருக்கும் கட்டமைப்புகளை ஒருவர் பெறுவார். குவாண்டம் இயற்பியல் மேலும் காண்க குறிப்புகள் மேலும் வாசிப்பு (பதிவிறக்கம் செய்யக்கூடிய PDF கிடைக்கிறது) இது குழுமங்களின் சில வரலாற்றைக் கொடுக்கிறது, அதாவது இருபடி வடிவங்களில் ஹென்ரிச் பிராண்ட்டின் பணியின் தோற்றம் மற்றும் 160 குறிப்புகளுடன் 1987 வரையிலான பிற்காலப் பணியின் அறிகுறி. குரூபாய்டு கருத்து எவ்வாறு உயர் பரிமாண குரூபாய்டுகளின் கருத்துக்களுக்கு வழிவகுத்தது என்பதை விளக்கும் பல குறிப்புகளுடன் ஒரு வலைக் கட்டுரை, குழுக் கோட்பாட்டில் கிடைக்கவில்லை, ஹோமோடோபி கோட்பாடு மற்றும் குழு கோஹோமோலஜியில் பயன்பாடுகளுடன். முன்பு 1968 மற்றும் 1988 இல் வெளியிடப்பட்ட ஒரு புத்தகத்தின் திருத்தப்பட்ட மற்றும் நீட்டிக்கப்பட்ட பதிப்பு. இணையதளத்தில் இருந்து மின்னணு பதிப்பு கிடைக்கிறது. கலோயிஸ் கோட்பாட்டின் பொதுமைப்படுத்தல்கள் கலோயிஸ் குழுக்களுக்கு எவ்வாறு வழிவகுக்கின்றன என்பதைக் காட்டுகிறது. . உயர் வகைக் கோட்பாடு வகைக் கோட்பாடு இயற்கணித இடவியல் இயற்கணிதக் கோட்பாடு வகைக் கோட்பாடு பகுத்தறிவு வகைக் கோட்பாடு வகைக் கோட்பாடு வகைக் கோட்பாடு வகைக் கோட்பாடு வகைக் கோட்பாடு வகைக் கோட்பாடு வகைக் கோட்பாடு வகைக் கோட்பாடு வகைக் கோட்பாடு வகைக் கோட்பாடு வகைக் கோட்பாடு வகைக் கோட்பாடு வகைக் கோட்பாடு வகைக் கோட்பாடு வகைக் கோட்பாடு வகைக் கோட்பாடு வகைக் கோட்பாடு வகைக் கோட்பாடு வகைக் கோட்பாடு வகைக் கோட்பாடு வகைக் கோட்பாடு வகைக் கோட்பாடு வகைக் கோட்பாடு வகைக் கோட்பாடு வகைக் கோட்பாடு வகைக் கோட்பாடு வகைக் கோட்பாடு வகைக் கோட்பாடு வகைக் கோட்பாடு வகைக் கோட்பாடு வகைக் கோட்பாடு வகைக் கோட்பாடு வகைக் கோட்பாடு வகைக் கோட்பாடு