Associahedron
கணிதத்தில், அசோசியாஹெட்ரான் என்பது ஒரு பரிமாண குவிந்த பாலிடோப் ஆகும், இதில் ஒவ்வொரு முனையும் எழுத்துக்களின் சரத்தில் அடைப்புக்குறிகளைத் திறப்பதற்கும் மூடுவதற்கும் சரியாக செருகும் ஒரு வழிக்கு ஒத்திருக்கிறது, மேலும் விளிம்புகள் அசோசியேட்டி விதியின் ஒற்றைப் பயன்பாட்டிற்கு ஒத்திருக்கின்றன. சமமாக, ஒரு அசோசியாஹெட்ரானின் செங்குத்துகள் பக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு வழக்கமான பலகோணத்தின் முக்கோணங்களுடன் ஒத்திருக்கின்றன, மேலும் விளிம்புகள் விளிம்பு புரட்டல்களுடன் ஒத்திருக்கின்றன, இதில் ஒரு முக்கோணத்திலிருந்து ஒரு மூலைவிட்டம் அகற்றப்பட்டு வேறு மூலைவிட்டத்தால் மாற்றப்படுகிறது. 1960 களின் முற்பகுதியில் டோவ் தமாரியின் முந்தைய பணிகளுக்குப் பிறகு அவற்றை மீண்டும் கண்டுபிடித்த ஜிம் ஸ்டாஷெப்பின் பணிக்குப் பிறகு அசோசியாஹெட்ரா ஸ்டாஷெஃப் பாலிடோப்ஸ் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டுகள் ஒரு பரிமாண அசோசியாஹெட்ரான் K3 மூன்று சின்னங்களின் இரண்டு அடைப்புக்குறிகளை ((xy) z) மற்றும் (x (yz)) அல்லது ஒரு சதுரத்தின் இரண்டு முக்கோணங்களைக் குறிக்கிறது. இது ஒரு லைன் பிரிவு. இரு பரிமாண அசோசியாஹெட்ரான் K4 நான்கு சின்னங்களின் ஐந்து அடைப்புக்குறிகளை அல்லது ஒரு வழக்கமான ஐங்கோணத்தின் ஐந்து முக்கோணங்களைக் குறிக்கிறது. இது ஒரு ஐங்கோணமாகும், மேலும் இது ஒரு ஒற்றை வகை ஐங்கோண வரைபடத்துடன் தொடர்புடையது. முப்பரிமாண அசோசியாஹெட்ரான் K5 என்பது ஒன்பது முகங்கள் (மூன்று இணைந்த நாற்கரங்கள் மற்றும் ஆறு பெண்டகன்கள்) மற்றும் பதினான்கு செங்குத்துகளைக் கொண்ட ஒரு எனீஹெட்ரான் ஆகும், மேலும் அதன் இரட்டை முக்கோண முக்கோண ப்ரிஸம் ஆகும். உணர்தல் ஆரம்பத்தில் ஜிம் ஸ்டாஷெஃப் இந்த பொருட்களை வளைவான பாலிட்டோப்புகள் என்று கருதினார். அதைத் தொடர்ந்து, அவற்றுக்கு பல்வேறு வழிகளில் குவிந்த பாலிட்டோப்புகளாக ஆயத்தொலைவுகள் வழங்கப்பட்டன; ஒரு ஆய்வுக்கான அறிமுகத்தைப் பார்க்கவும். அசோசியாஹெட்ரானை உணர்ந்து கொள்வதற்கான ஒரு முறை வழக்கமான பலகோணத்தின் இரண்டாம் நிலை பாலிடோப்பாகும். இந்த கட்டமைப்பில், n + 1 பக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு வழக்கமான பலகோணத்தின் ஒவ்வொரு முக்கோணமும் (n + 1) பரிமாண யூக்ளிடியன் இடத்தில் ஒரு புள்ளிக்கு ஒத்திருக்கிறது, அதன் ith ஒருங்கிணைப்பு என்பது பலகோணத்தின் ith உச்சிக்கு முக்கோணங்களின் மொத்த பரப்பளவு ஆகும். உதாரணமாக, அலகு சதுரத்தின் இரண்டு முக்கோணங்கள் இந்த வழியில் ஆயத்தொகுதிகளுடன் (1,1/2,1,1/2) மற்றும் (1/2,1/2,1) இரண்டு நான்கு பரிமாண புள்ளிகளுக்கு வழிவகுக்கின்றன. இந்த இரண்டு புள்ளிகளின் குவிந்த மேலோடு அசோசியாஹெட்ரான் K3 இன் உணர்தல் ஆகும். இது 4 பரிமாண இடைவெளியில் வாழ்ந்தாலும், அந்த இடத்திற்குள் ஒரு கோடு பிரிவை (1 பரிமாண பாலிடோப்) உருவாக்குகிறது. இதேபோல், அசோசியாஹெட்ரான் K4 ஐ ஐந்து பரிமாண யூக்ளிடியன் இடத்தில் ஒரு வழக்கமான ஐங்கோணமாக உணர முடியும், அதன் உச்சி ஆயத்தங்கள் திசையனின் (1,2 + φ, 1,1 + φ, 1 + φ) சுழற்சி வரிசைமாற்றங்களாகும், அங்கு φ தங்க விகிதத்தைக் குறிக்கிறது. ஒரு வழக்கமான அறுகோணத்திற்குள் சாத்தியமான முக்கோணங்கள் ஒருவருக்கொருவர் முழு எண் மடங்குகளாக இருக்கும் பகுதிகளைக் கொண்டிருப்பதால், முப்பரிமாண அசோசியாஹெட்ரான் K5 க்கு முழு எண் ஆயத்தொகுதிகளை (ஆறு பரிமாணங்களில்) கொடுக்க இந்த கட்டுமானத்தைப் பயன்படுத்தலாம்; இருப்பினும் (K4 இன் எடுத்துக்காட்டு ஏற்கனவே காட்டுகிறது) இந்த கட்டுமானம் பொதுவாக விகிதமுறு எண்களை ஆயத்தொகுப்புகளாக வழிநடத்துகிறது. மற்றொரு உணர்தல், ஜீன்-லூயிஸ் லோடே காரணமாக, n-இலை வேரூன்றிய பைனரி மரங்களுடன் அசோசியாஹெட்ரானின் உச்சிகளின் தொடர்புகளை அடிப்படையாகக் கொண்டது, மேலும் நேரடியாக (n−2) பரிமாண இடைவெளியில் முழு எண் ஆயங்களை உருவாக்குகிறது. லோடேயின் உணர்தலின் ஐத் ஒருங்கிணைப்பு ஐபி ஆகும், இதில் ஐ என்பது மரத்தின் ஐத் உள் முனையின் இடது குழந்தையின் இலை சந்ததியினரின் எண்ணிக்கை (இடது முதல் வலது வரிசையில்) மற்றும் பை என்பது வலது குழந்தையின் இலை சந்ததியினரின் எண்ணிக்கை. (n−2) பரிமாண இடைவெளியில் நேரடியாக அசோசியாஹெட்ரானை ஒரு பாலிடோப்பாக உணர முடியும், இதற்காக அனைத்து முக இயல்பான திசையன்களும் 0, + 1, அல்லது-1 என்ற ஆயத்தொகுதிகளைக் கொண்டுள்ளன. இதைச் செய்ய அதிவேகமாக பல ஒருங்கிணைந்த தனித்துவமான வழிகள் உள்ளன. K5 என்பது 3 விளிம்புகள் ஒன்றாக வரும் செங்குத்துகளைக் கொண்ட ஒரு பாலிஹெட்ரான் என்பதால், ஒரு ஹைட்ரோகார்பன் இருக்க முடியும் (பிளாட்டோனிக் ஹைட்ரோகார்பன்களைப் போன்றது) அதன் வேதியியல் அமைப்பு K5 இன் எலும்புக்கூடால் குறிக்கப்படுகிறது. இந்த "அசோசியாஹெட்ரேன்" C14H14 ஸ்மைல்ஸ் குறியீட்டைக் கொண்டிருக்கும்ஃ C12-C3-C4-C1-C5-C6-C2-C7-C3-C8-C4-C5-C6-C78. அதன் விளிம்புகள் தோராயமாக சம நீளமாக இருக்கும், ஆனால் ஒவ்வொரு முகத்தின் செங்குத்துகளும் கோப்ளானராக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை. உண்மையில், K5 ஒரு மிஸ் ஜான்சன் திடப்பொருள்ஃ சதுரங்கள் மற்றும் வழக்கமான பென்டகன்களிலிருந்து தயாரிக்க முடியும் என்று தெரிகிறது, ஆனால் அது இல்லை. ஒன்று செங்குத்துகள் மிகவும் கோப்ளானராக இருக்காது, அல்லது முகங்கள் வழக்கமானதிலிருந்து சற்று விலகி சிதைக்கப்பட வேண்டும். k-முகங்களின் எண்ணிக்கை n (Kn + 1) வரிசையின் அசோசியாஹெட்ரானின் (n−k) பரிமாண முகங்களின் எண்ணிக்கை வலதுபுறத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள எண் முக்கோணத்தால் (n, k) வழங்கப்படுகிறது. Kn + 1 இல் உள்ள செங்குத்துகளின் எண்ணிக்கை n-வது கட்டலான் எண் (முக்கோணத்தில் வலது மூலைவிட்டம்) ஆகும். Kn + 1 இல் உள்ள அம்சங்களின் எண்ணிக்கை n-வது முக்கோண எண் கழித்தல் ஒன்று (முக்கோணத்தில் இரண்டாவது நெடுவரிசை) ஆகும், ஏனெனில் ஒவ்வொரு அம்சமும் n பொருட்களின் 2-துணைக்குழுவுடன் ஒத்திருக்கிறது, அதன் குழுக்கள் தமாரி லட்டிஸ் Tn ஐ உருவாக்குகின்றன, முதல் மற்றும் கடைசி உறுப்பைக் கொண்ட 2-துணைக்குழுவைத் தவிர. அனைத்து பரிமாணங்களின் முகங்களின் எண்ணிக்கையும் (அசோசியாஹெட்ரான் ஒரு முகமாக உட்பட, ஆனால் வெற்று தொகுப்பு உட்பட) ஒரு ஷ்ரோடர்-ஹிப்பார்கஸ் எண் (முக்கோணத்தின் வரிசை கூட்டுத்தொகை) ஆகும். விட்டம் 1980 களின் பிற்பகுதியில், சுழற்சி தூரத்தின் சிக்கல் தொடர்பாக, டேனியல் ஸ்லீட்டர், ராபர்ட் டார்ஜன் மற்றும் வில்லியம் தர்ஸ்டன் ஆகியோர் n-பரிமாண அசோசியாஹெட்ரான் Kn + 2 இன் விட்டம் எல்லையற்ற பல n க்கு அதிகபட்சம் 2n−4 மற்றும் n இன் அனைத்து "பெரிய போதுமான" மதிப்புகளுக்கும் ஒரு ஆதாரத்தை வழங்கினர். இந்த அனுமானத்தை 2012 ஆம் ஆண்டில் லியோனல் போர்னின் நிரூபித்தார். சிதறல் வீச்சுகள் 2017 இல், மிஸெரா மற்றும் அர்கானி-ஹமேத் மற்றும் பலர். இரு-இணை கன அளவுகோல் கோட்பாட்டிற்கான சிதறல் வீச்சுகளின் கோட்பாட்டில் அசோசியாஹெட்ரான் ஒரு முக்கிய பங்கைக் கொண்டுள்ளது என்பதைக் காட்டியது. குறிப்பாக, சிதறல் இயக்கவியலின் இடத்தில் ஒரு அசோசியாஹெட்ரான் உள்ளது, மேலும் மர நிலை சிதறல் வீச்சு என்பது இரட்டை அசோசியாஹெட்ரானின் அளவு ஆகும். சரம் கோட்பாட்டில் திறந்த மற்றும் மூடிய சரங்களின் சிதறல் வீச்சுகளுக்கு இடையிலான உறவுகளை விளக்கவும் அசோசியாஹெட்ரான் உதவுகிறது. மேலும் பார்க்கவும் சைக்ளோஹெட்ரான், ஒரு பாலிடோப், அதன் வரையறை அடைப்புக்குறிகளை சுழற்சி வரிசையில் மூட அனுமதிக்கிறது. ஃபிளிப் கிராஃப், அசோசியாஹெட்ரானின் 1-எலும்புக்கூட்டின் பொதுமைப்படுத்தல். பெர்முடோஹெட்ரான், ஒரு பாலிடோப், இது இணைப்புத்திறனில் இருந்து அசோசியாஹெட்ரானின் வரையறைக்கு ஒத்த வழியில் பரிமாற்றத்திலிருந்து வரையறுக்கப்படுகிறது. பெர்முடோஆசோசியாஹெட்ரான், ஒரு பாலிடோப், அதன் செங்குத்துகள் அடைப்புக்குறிக்குள் வரிசைமாற்றங்களாக உள்ளன. தமாரி லட்டிஸ், ஒரு லட்டிஸ், அதன் வரைபடம் அசோசியாஹெட்ரானின் எலும்புக்கூடு ஆகும். குறிப்புகள் வெளிப்புற இணைப்புகள் விசித்திரமான சங்கங்கள்-அசோசியாஹெட்ரா ஜீக்லரின் அசோசியாஹெட்ரான் பற்றிய சொற்பொழிவு பற்றிய ஏஎம்எஸ் நெடுவரிசை. பார்சிலோனா தன்னாட்சி பல்கலைக்கழகத்தில் குண்டர் ஜீக்லரின் சொற்பொழிவில் இருந்து குறிப்புகள், 2009. அசோசியாஹெட்ரா மற்றும் சைக்ளோஹெட்ரா பற்றிய சொற்பொழிவு. எம். எஸ். ஆர். ஐ விரிவுரை குறிப்புகள். பாலிட்டோப்புகள்