Cluster expansion
புள்ளியியல் இயக்கவியலில், கிளஸ்டர் விரிவாக்கம் (உயர் வெப்பநிலை விரிவாக்கம் அல்லது ஹோப்பிங் விரிவாக்கம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) என்பது ஒரு மாதிரியைச் சுற்றியுள்ள புள்ளிவிவர புலக் கோட்பாட்டின் பகிர்வு செயல்பாட்டின் சக்தி தொடர் விரிவாக்கம் ஆகும், இது 0-பரிமாண புலக் கோட்பாடுகளின் ஒன்றிணைப்பாகும். கிளஸ்டர் விரிவாக்கங்கள் வேலையில் தோன்றின. வழக்கமாக வேறுபட்ட அறிகுறியற்ற தொடருக்கு வழிவகுக்கும் வழக்கமான இடையூறு விரிவாக்கம் போலல்லாமல், கிளஸ்டர் விரிவாக்கம் ஒரு அற்பமான பகுதிக்குள் ஒன்றிணையக்கூடும், குறிப்பாக தொடர்பு சிறியதாகவும் குறுகிய தூரமாகவும் இருக்கும்போது. கிளாசிக்கல் வழக்கு பொதுக் கோட்பாடு புள்ளியியல் இயக்கவியலில், தொடர்பு கொள்ளாத துகள்களின் அமைப்பின் பண்புகள் பகிர்வு செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தி விவரிக்கப்படுகின்றன. N ஒன்றோடொன்று தொடர்புகொள்ளாத துகள்களுக்கு, அமைப்பு ஹாமில்டோனியனால் விவரிக்கப்படுகிறது, மேலும் பகிர்வு செயல்பாட்டை (கிளாசிக்கல் வழக்குக்கு) இவ்வாறு கணக்கிடலாம் பகிர்வு செயல்பாட்டிலிருந்து, ஒருவர் ஹெல்ம்ஹோல்ட்ஸ் இலவச ஆற்றலையும், அதிலிருந்து, அமைப்பின் அனைத்து வெப்ப இயக்கவியல் பண்புகளையும் கணக்கிடலாம், என்ட்ரோபி, உள் ஆற்றல், வேதியியல் ஆற்றல் போன்றவை. அமைப்பின் துகள்கள் தொடர்பு கொள்ளும்போது, பகிர்வு செயல்பாட்டின் சரியான கணக்கீடு பொதுவாக சாத்தியமில்லை. குறைந்த அடர்த்தியைப் பொறுத்தவரை, இடைவினைகளை இரண்டு-துகள் ஆற்றல்களின் கூட்டுத்தொகையுடன் தோராயமாக மதிப்பிடலாம்ஃ இந்த இடைவினை ஆற்றலுக்கு, பகிர்வு செயல்பாட்டை இவ்வாறு எழுதலாம், மேலும் இலவச ஆற்றல், இங்கு Q என்பது உள்ளமைவு ஒருங்கிணைப்புஃ உள்ளமைவு ஒருங்கிணைப்பின் கணக்கீடு ஒரு பொதுவான ஜோடி ஆற்றலுக்கான உள்ளமைவு ஒருங்கிணைப்பை பகுப்பாய்வு ரீதியாக கணக்கிட முடியாது. தோராயமாக ஆற்றலைக் கணக்கிடுவதற்கான ஒரு வழி மேயர் கிளஸ்டர் விரிவாக்கத்தைப் பயன்படுத்துவதாகும். இந்த விரிவாக்கம் சமன்பாட்டில் உள்ள அதிவேகத்தை வடிவத்தின் பெருக்கலாக எழுதலாம் என்ற அவதானிப்பை அடிப்படையாகக் கொண்டது. அடுத்து, மேயர் செயல்பாட்டை வரையறுக்கவும். மாற்றீட்டிற்குப் பிறகு, உள்ளமைவு ஒருங்கிணைப்புக்கான சமன்பாடு பின்வருமாறு மாறுகிறதுஃ மேலே உள்ள சமன்பாட்டில் உள்ள பெருக்கியின் கணக்கீடு தொடர்ச்சியான சொற்களுக்கு வழிவகுக்கிறது; முதலாவது ஒன்றுக்கு சமம், இரண்டாவது சொல் i மற்றும் j சொற்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம், மேலும் அனைத்து உயர் வரிசை சொற்களும் கணக்கிடப்படும் வரை செயல்முறை தொடர்கிறது. ஒவ்வொரு பதமும் ஒரு முறை மட்டுமே தோன்ற வேண்டும். இந்த விரிவாக்கத்தின் மூலம், சம்பந்தப்பட்ட துகள்களின் எண்ணிக்கையின் அடிப்படையில் வெவ்வேறு வரிசையின் சொற்களைக் கண்டறிய முடியும். முதல் சொல் தொடர்பு இல்லாத சொல் (துகள்களுக்கு இடையே எந்த தொடர்பும் இல்லை), இரண்டாவது சொல் இரண்டு துகள் தொடர்புகளுக்கு ஒத்திருக்கிறது, மூன்றாவது 4 துகள்களுக்கு இடையிலான இரண்டு துகள் தொடர்புகளுக்கு (வேறுபட்ட அவசியமில்லை), மற்றும் பல. இந்த இயற்பியல் விளக்கமே இந்த விரிவாக்கம் கிளஸ்டர் விரிவாக்கம் என்று அழைக்கப்படுவதற்கான காரணம்ஃ கூட்டுத்தொகையை மறுசீரமைக்க முடியும், இதனால் ஒவ்வொரு சொல்லும் ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான துகள்களின் கிளஸ்டர்களுக்குள் உள்ள தொடர்புகளைக் குறிக்கிறது. கட்டமைப்பு ஒருங்கிணைந்த வெளிப்பாட்டிற்குள் உற்பத்தியின் விரிவாக்கத்தை மீண்டும் மாற்றுவது ஒரு தொடர் விரிவாக்கத்தில் விளைகிறதுஃ இலவச ஆற்றலுக்கான சமன்பாட்டில் மாற்றீடு செய்தால், இடைவினை செய்யும் துகள்களின் அமைப்பிற்கான நிலை சமன்பாட்டைப் பெற முடியும். சமன்பாடு வைரியல் சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படும் வடிவத்தைக் கொண்டிருக்கும், மேலும் கூறுகள் வைரியல் குணகங்கள் ஆகும். வைரியல் குணகங்கள் ஒவ்வொன்றும் கொத்து விரிவாக்கத்திலிருந்து ஒரு சொல்லுக்கு ஒத்திருக்கின்றன (இரண்டு-துகள் தொடர்பு சொல், மூன்று-துகள் தொடர்பு சொல் மற்றும் பல). இரண்டு துகள் தொடர்பு காலத்தை மட்டுமே வைத்துக்கொண்டு, கொத்து விரிவாக்கம், சில தோராயங்களுடன், வான் டெர் வால்ஸ் சமன்பாட்டை அளிக்கிறது என்பதைக் காட்டலாம். இது வாயுக்கள் மற்றும் திரவக் கரைசல்களின் கலவைகளுக்கு மேலும் பயன்படுத்தப்படலாம். குறிப்புகள், அத்தியாயம் 9. புள்ளியியல் இயக்கவியல்