Regiomontanus' angle maximization problem
கணிதத்தில், ரெஜியோமண்டனஸின் கோண அதிகபட்சமாக்கல் சிக்கல், 15 ஆம் நூற்றாண்டின் ஜெர்மன் கணிதவியலாளர் ஜோஹன்னஸ் முல்லர் (ரெஜியோமண்டனஸ் என்றும் அழைக்கப்படுகிறார்) முன்வைத்த ஒரு பிரபலமான உகப்பாக்கம் சிக்கலாகும். சிக்கல் பின்வருமாறுஃ ஒரு ஓவியம் ஒரு சுவரில் தொங்குகிறது. பார்வையாளரின் கண் மட்டத்திற்கு மேலே ஓவியத்தின் மேல் மற்றும் கீழ் உயரங்களைக் கருத்தில் கொண்டு, ஓவியத்தால் உட்படுத்தப்பட்ட கோணத்தை அதிகரிக்க பார்வையாளர் சுவரில் இருந்து எவ்வளவு தூரம் நிற்க வேண்டும் மற்றும் பார்வையாளரின் கண்ணில் யாருடைய உச்சி உள்ளது? பார்வையாளர் சுவருக்கு மிக அருகில் அல்லது சுவரில் இருந்து வெகு தொலைவில் இருந்தால், கோணம் சிறியதாக இருக்கும்; இடையில் எங்காவது முடிந்தவரை பெரியதாக இருக்கும். ரக்பியில் பந்தை உதைக்க உகந்த இடத்தைக் கண்டுபிடிப்பதற்கும் இதே அணுகுமுறை பொருந்தும். அந்த விஷயத்தில், படத்தின் சீரமைப்பு சரியான கோணங்களில் இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லைஃ நாம் பீசாவின் சாய்ந்த கோபுரத்தின் ஒரு ஜன்னலைப் பார்த்துக் கொண்டிருக்கலாம் அல்லது ஒரு சாய்வான அறையின் கூரையில் வான ஒளியின் நன்மைகளைக் காட்டும் ஒரு ரியல் எஸ்டேட் உரிமையாளரைப் பார்த்துக் கொண்டிருக்கலாம். அடிப்படை வடிவியல் மூலம் தீர்வு ஓவியத்தின் மேல் மற்றும் கீழ் வழியாக செல்லும் ஒரு தனித்துவமான வட்டம் மற்றும் கண் நிலை கோடு தொடுகோடு உள்ளது. அடிப்படை வடிவவியலின் படி, பார்வையாளரின் நிலை வட்டத்தின் வழியாக நகர்ந்தால், ஓவியத்தால் உட்படுத்தப்பட்ட கோணம் நிலையானதாக இருக்கும். தொடுகோட்டு புள்ளியைத் தவிர கண்-நிலைக் கோட்டில் உள்ள அனைத்து நிலைகளும் வட்டத்திற்கு வெளியே உள்ளன, எனவே அந்த புள்ளிகளிலிருந்து ஓவியத்தால் உட்படுத்தப்பட்ட கோணம் சிறியது. a = கண் மட்டத்திற்கு மேலே ஓவியத்தின் அடிப்பகுதியின் உயரம்; b = கண் மட்டத்திற்கு மேலே ஓவியத்தின் மேற்புறத்தின் உயரம்; வட்டத்தின் மையத்திலிருந்து, படத்தின் மையம் மற்றும் படத்தின் அடிப்பகுதியில் இருந்து ஒரு வலது முக்கோணம் உருவாகிறது. ஹைபோடெனஸ் வட்டத்தின் ஆரம் a + (b-a)/2 இன் நீளத்தைக் கொண்டுள்ளது, இரண்டு கால்களின் நீளமும் சுவரில் இருந்து தொடுகோடு வரை உள்ள தூரம் மற்றும் (b-a)/2 ஆகும். பித்தகோரியன் தேற்றத்தின்படி, சுவரில் இருந்து தொடுகோட்டு புள்ளிக்கு உள்ள தூரம், அதாவது ஓவியத்தின் மேல் மற்றும் கீழ் உயரங்களின் வடிவியல் சராசரி ஆகும். கால்குலஸ் மூலம் தீர்வு இன்றைய காலகட்டத்தில், இந்த சிக்கல் பரவலாக அறியப்படுகிறது, ஏனெனில் இது பல முதல் ஆண்டு கால்குலஸ் பாடப்புத்தகங்களில் (எடுத்துக்காட்டாக ஸ்டீவர்ட்டின்) ஒரு பயிற்சியாகத் தோன்றுகிறது. a = கண் மட்டத்திற்கு மேலே உள்ள ஓவியத்தின் அடிப்பகுதி உயரம்; b = கண் மட்டத்திற்கு மேலே உள்ள ஓவியத்தின் மேற்புறத்தின் உயரம்; x = சுவரில் இருந்து பார்வையாளரின் தூரம்; α = பார்வையாளரின் நிலையில் இருந்து பார்க்கும் ஓவியத்தின் அடிப்பகுதி உயரத்தின் கோணம்; β = பார்வையாளரின் நிலையில் இருந்து பார்க்கும் ஓவியத்தின் மேற்புறத்தின் உயரத்தின் கோணம். நாம் அதிகரிக்க விரும்பும் கோணம் β − α ஆகும். கோணம் அதிகரிக்கும் போது கோணத்தின் தொடுகோட்டு அதிகரிக்கிறது; எனவே அது அதிகரிக்க போதுமானது b − a ஒரு நேர்மறை மாறிலி என்பதால், அதைப் பின்தொடரும் பின்னத்தை மட்டுமே நாம் அதிகரிக்க வேண்டும். எனவே x 0 இலிருந்து 0 க்குச் செல்லும்போது கோணம் அதிகரிக்கிறது மற்றும் x அதிகரிக்கும் போது குறைகிறது. எனவே x =, a மற்றும் b இன் வடிவியல் சராசரி இருக்கும்போது கோணம் முடிந்தவரை துல்லியமாக இருக்கும். இயற்கணிதத்தின் மூலம் தீர்வு அதிகபட்சம் செய்ய இது போதுமானது என்பதை நாம் கண்டோம் இது பரஸ்பரத்தை குறைப்பதற்கு சமம்ஃ இந்த கடைசி அளவு சமம் என்பதைக் கவனியுங்கள் இது வர்க்கம் 0 ஆக இருக்கும்போது துல்லியமாக முடிந்தவரை சிறியது, அது x = ஆக இருக்கும்போது நிகழ்கிறது. மாற்றாக, இதை எண்கணித மற்றும் வடிவியல் வழிமுறைகளுக்கு இடையிலான சமத்துவமின்மைக்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு என்று நாம் மேற்கோள் காட்டலாம். குறிப்புகள் முக்கோணவியல் வட்டங்கள் கணிதத்தின் வரலாறு கணித சிக்கல்கள்