Small cancellation theory
குழுக் கோட்பாட்டின் கணிதப் பாடத்தில், சிறிய ரத்துசெய்தல் கோட்பாடு சிறிய ரத்துசெய்தல் நிபந்தனைகளை திருப்திப்படுத்தும் குழு விளக்கக்காட்சிகளால் வழங்கப்பட்ட குழுக்களைப் படிக்கிறது, அங்குதான் உறவுகளை வரையறுப்பது ஒருவருக்கொருவர் "சிறிய ஒன்றுடன் ஒன்று" உள்ளது. சிறிய ரத்துசெய்யும் நிபந்தனைகள் குழுவின் இயற்கணித, வடிவியல் மற்றும் வழிமுறை பண்புகளைக் குறிக்கின்றன. போதுமான வலுவான சிறிய ரத்துசெய்யும் நிபந்தனைகளை திருப்திப்படுத்தும் இறுதியாக வழங்கப்பட்ட குழுக்கள் சொல் ஹைபர்போலிக் மற்றும் டெஹ்னின் வழிமுறையால் தீர்க்கக்கூடிய சொல் சிக்கலைக் கொண்டுள்ளன. டார்ஸ்கி அரக்கர்களை உருவாக்குவதற்கும், பர்ன்சைட்டின் சிக்கலுக்கான தீர்வுகளுக்கும் சிறிய ரத்து முறைகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. சிறிய ரத்துசெய்தல் கோட்பாட்டின் அடிப்படையிலான சில கருத்துக்கள் 1910 களில் மேக்ஸ் டெஹ்னின் பணிக்கு செல்கின்றன. குறைந்தபட்சம் இரண்டு பேரினத்தின் மூடிய நோக்குநிலை மேற்பரப்புகளின் அடிப்படை குழுக்கள் இப்போது டெஹ்னின் வழிமுறை என்று அழைக்கப்படுவதன் மூலம் தீர்க்கக்கூடிய சொல் சிக்கலைக் கொண்டுள்ளன என்பதை டெஹ்ன் நிரூபித்தார். அவரது ஆதாரம் ஹைபர்போலிக் தளத்தில் அத்தகைய குழுவின் கெய்லி வரைபடத்தை வரைவதையும், கெய்லி வரைபடத்தில் ஒரு மூடிய வளையத்திற்கான காஸ்-பானெட் தேற்றம் வழியாக வளைவு மதிப்பீடுகளைச் செய்வதையும் உள்ளடக்கியது, அத்தகைய வளையம் ஒரு வரையறுக்கும் உறவின் பெரிய பகுதியை (பாதிக்கும் மேற்பட்ட) கொண்டிருக்க வேண்டும் என்று முடிவு செய்கிறது. 1949 ஆம் ஆண்டு டார்டகோவ்ஸ்கியின் ஒரு கட்டுரை சிறிய ரத்துசெய்தல் கோட்பாட்டின் உடனடி முன்னோடியாக இருந்ததுஃ இந்த கட்டுரை ஒரு சிக்கலான ஒருங்கிணைந்த நிலைமைகளை திருப்திப்படுத்தும் குழுக்களின் ஒரு வகுப்பிற்கான சொல் சிக்கலின் தீர்வை வழங்கியது, அங்கு சிறிய ரத்துசெய்தல் வகை அனுமானங்கள் முக்கிய பங்கு வகித்தன. சிறிய ரத்துசெய்தல் கோட்பாட்டின் நிலையான பதிப்பு, இன்று பயன்படுத்தப்படுவது போல, மார்ட்டின் கிரீன்ட்லிங்கரால் 1960 களின் முற்பகுதியில் தொடர்ச்சியான ஆவணங்களில் உருவாக்கப்பட்டது, அவர் முதன்மையாக "மெட்ரிக்" சிறிய ரத்துசெய்தல் நிபந்தனைகளைக் கையாண்டார். குறிப்பாக, C′ (1/6) சிறிய ரத்துசெய்யும் நிபந்தனையை திருப்திப்படுத்தும் இறுதியாக வழங்கப்பட்ட குழுக்கள் டெஹ்னின் வழிமுறையால் தீர்க்கக்கூடிய சொல் சிக்கலைக் கொண்டுள்ளன என்பதை கிரீன்ட்லிங்கர் நிரூபித்தார். லிண்டன், ஷப் மற்றும் லிண்டன்-ஷப் ஆகியோரின் அடுத்தடுத்த பணிகளில் இந்தக் கோட்பாடு மேலும் சுத்திகரிக்கப்பட்டு முறைப்படுத்தப்பட்டது, அவர்கள் மெட்ரிக் அல்லாத சிறிய ரத்துசெய்யும் நிலைமைகளின் விஷயத்தையும் கையாண்டனர் மற்றும் ஒருங்கிணைந்த இலவச தயாரிப்புகள் மற்றும் எச்என்என்-நீட்டிப்புகளுக்கான சிறிய ரத்துசெய்யும் கோட்பாட்டின் பதிப்பை உருவாக்கினர். சிறிய ரத்துசெய்தல் கோட்பாடு அலெக்சாண்டர் ஓல்ஷான்ஸ்கியால் மேலும் பொதுமைப்படுத்தப்பட்டது, அவர் கோட்பாட்டின் "தரப்படுத்தப்பட்ட" பதிப்பை உருவாக்கினார், அங்கு வரையறுக்கும் உறவுகளின் தொகுப்பு ஒரு வடிகட்டுதலுடன் பொருத்தப்பட்டுள்ளது மற்றும் ஒரு குறிப்பிட்ட தரத்தின் வரையறுக்கும் ரிலேட்டர் ஒரு உயர் தரத்தின் வரையறுக்கும் ரிலேட்டருடன் பெரிய ஒன்றுடன் ஒன்று இருக்க அனுமதிக்கப்படுகிறது. டார்ஸ்கி அசுரன் உட்பட பல்வேறு "அசுரன்" குழுக்களை உருவாக்க ஓல்ஷாஸ்கி தரப்படுத்தப்பட்ட சிறிய ரத்துசெய்யும் கோட்பாட்டைப் பயன்படுத்தினார், மேலும் பெரிய ஒற்றைப்படை அடுக்குகளின் இலவச பர்ன்சைட் குழுக்கள் எல்லையற்றவை என்பதற்கான புதிய ஆதாரத்தையும் வழங்கினார் (இந்த முடிவு முதலில் ஆடியன் மற்றும் நோவிகோவ் ஆகியோரால் 1968 இல் அதிக ஒருங்கிணைந்த முறைகளைப் பயன்படுத்தி நிரூபிக்கப்பட்டது). சிறிய ரத்துசெய்தல் கோட்பாடு சொல்-ஹைபர்போலிக் குழுக்களின் கோட்பாட்டிற்கான ஒரு அடிப்படை எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் யோசனைகளை வழங்கியது, இது க்ரோமோவ் 1987 ஆம் ஆண்டின் ஆரம்ப மோனோகிராஃப் "ஹைபர்போலிக் குழுக்கள்" இல் முன்வைக்கப்பட்டது. முக்கிய வரையறைகள் கீழே உள்ள விளக்கம் பெரும்பாலும் Ch ஐப் பின்பற்றுகிறது. லிண்டன் மற்றும் ஷப் புத்தகத்தின் வி. துண்டுகள் ஒரு குழு விளக்கக்காட்சியாக இருக்கட்டும், அங்கு R என்பது இலவச குழு F (X) இல் சுதந்திரமாக குறைக்கப்பட்ட மற்றும் சுழற்சி ரீதியாக குறைக்கப்பட்ட சொற்களின் தொகுப்பாகும், அதாவது R சமச்சீர், அதாவது சுழற்சி வரிசைமாற்றங்கள் மற்றும் தலைகீழ்களை எடுத்துக்கொள்வதன் கீழ் மூடப்படுகிறது. R இல் r1, r2 என்ற இரண்டு தனித்துவமான கூறுகள் இருந்தால், f (X) இல் உள்ள ஒரு அற்பமான சுதந்திரமாகக் குறைக்கப்படாத சொல் u என்பது r1, r2 ஐப் பொறுத்தவரை ஒரு துண்டு என்று அழைக்கப்படுகிறது, அவை u ஐ அதிகபட்ச பொதுவான ஆரம்ப பிரிவாகக் கொண்டுள்ளன. ரிலேட்டர்கள் S ஐ வரையறுக்கும் தொகுப்பு சமச்சீர் இல்லாத ஒரு குழு விளக்கக்காட்சியாக இருந்தால், நாம் எப்போதும் S இன் சமச்சீர் மூடல் R ஐ எடுக்கலாம், அங்கு R என்பது S மற்றும் S−1 இன் கூறுகளின் அனைத்து சுழற்சி வரிசைமாற்றங்களையும் கொண்டுள்ளது. பின்னர் R சமச்சீர் மற்றும் G இன் விளக்கக்காட்சியாகும். மெட்ரிக் சிறிய ரத்துசெய்தல் நிபந்தனைகள் 0 <λ <1 ஆக இருக்கட்டும். மேலே உள்ள விளக்கக்காட்சி (ற்றஂ) என்பது C′ (λ) சிறிய ரத்துசெய்யும் நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்வதாகக் கூறப்படுகிறது, u என்பது (ற்றஂ) ஐப் பொறுத்தவரை ஒரு துண்டாகவும், u என்பது சில r ωR இன் துணைச்சொல்லாகவும் இருந்தால், பின்னர் |u | <λ |r |. இங்கே |v | என்பது ஒரு வார்த்தையின் நீளம் v. C′ (λ) என்ற நிபந்தனை சில நேரங்களில் மெட்ரிக் சிறிய ரத்துசெய்தல் நிபந்தனை என்று அழைக்கப்படுகிறது. மெட்ரிக் அல்லாத சிறிய ரத்துசெய்யும் நிபந்தனைகள் p ± 3 ஒரு முழு எண்ணாக இருக்கட்டும். மேலே உள்ளபடி ஒரு குழு விளக்கக்காட்சி (ற்றஂ) சி (பி) சிறிய ரத்துசெய்யும் நிபந்தனையை திருப்திப்படுத்துவதாகக் கூறப்படுகிறது, r φ ஆர் மற்றும் யுஐ துண்டுகளாக இருக்கும்போது, மேலே உள்ள தயாரிப்பு எழுதப்பட்டபடி சுதந்திரமாக குறைக்கப்படும்போது, m ≤ p. அதாவது, எந்த வரையறுக்கப்பட்ட ரிலேட்டரையும் p துண்டுகளுக்குக் குறைவான குறைக்கப்பட்ட பெருக்கல் என்று எழுத முடியாது. q ≤ 3 ஒரு முழு எண்ணாக இருக்கட்டும். 3 ≤ t <q மற்றும் r1,., rt R இல் r1 ≤ r2−1,., rt ≤ r1−1 ஆக இருக்கும் போதெல்லாம், r1r2,., rt−1rt, rt1 ஆகிய பெருக்கங்களில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று எழுதப்பட்டபடி சுதந்திரமாக குறைக்கப்பட்டால், மேலே உள்ளபடி ஒரு குழு விளக்கக்காட்சி T (q) சிறிய ரத்துசெய்யும் நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்வதாகக் கூறப்படுகிறது. வடிவியல் ரீதியாக, நிபந்தனை T (q) அடிப்படையில் D என்பது (ற்றஂ) க்கு மேல் குறைக்கப்பட்ட வான் காம்பன் வரைபடமாக இருந்தால், குறைந்தபட்சம் மூன்று டிகிரி கொண்ட D இன் ஒவ்வொரு உட்புற முனையும் உண்மையில் குறைந்தபட்சம் q டிகிரியைக் கொண்டுள்ளது. எடுத்துக்காட்டுகள் தரவரிசை இரண்டின் இலவச அபெலியன் குழுவின் நிலையான விளக்கக்காட்சியாக இருக்கட்டும். பின்னர் இந்த விளக்கக்காட்சியின் சமச்சீர் மூடலுக்கு ஒரே துண்டுகள் 1 நீளம் கொண்ட சொற்கள். இந்த சமச்சீர் வடிவம் C (4)-T (4) சிறிய ரத்து நிபந்தனைகளையும், எந்த 1> λ> 1/4 க்கும் C′ (λ) நிபந்தனையையும் திருப்திப்படுத்துகிறது. இங்கு k ≤ 2 என்பது k பேரினத்தின் மூடிய நோக்குநிலை மேற்பரப்பின் அடிப்படை குழுவின் நிலையான விளக்கக்காட்சியாக இருக்கட்டும். பின்னர் இந்த விளக்கக்காட்சியின் சமச்சீர்ப்படுத்தலுக்கு 1 நீளமுள்ள சொற்கள் மட்டுமே உள்ளன, மேலும் இந்த சமச்சீர்ப்படுத்தல் C′ (1/7) மற்றும் C (8) சிறிய ரத்துசெய்யும் நிபந்தனைகளை திருப்திப்படுத்துகிறது. விடுங்கள். பின்னர், தலைகீழ் வரை, இந்த விளக்கக்காட்சியின் சமச்சீர் பதிப்பிற்கான ஒவ்வொரு பகுதியும் பியாப்ஜ் அல்லது பை வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது, அங்கு 0 ≤ i, j ≤ 100. இந்த சமச்சீர் C′ (1/20) சிறிய ரத்துசெய்யும் நிபந்தனையை திருப்திப்படுத்துகிறது. ஒரு சமச்சீர் விளக்கக்காட்சி C′ (1/m) நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்தால், அது C (m) நிபந்தனையையும் திருப்திப்படுத்துகிறது. r ωF (X) ஒரு அற்பமான சுழற்சி குறைக்கப்பட்ட வார்த்தையாக இருக்கட்டும், இது F (X) இல் சரியான சக்தி அல்ல மற்றும் n ω2 ஆக இருக்கட்டும். பின்னர் விளக்கக்காட்சியின் சமச்சீர் மூடல் C (2n) மற்றும் C′ (1/n) சிறிய ரத்துசெய்யும் நிபந்தனைகளை திருப்திப்படுத்துகிறது. சிறிய ரத்துசெய்தல் கோட்பாட்டின் அடிப்படை முடிவுகள் கிரீன்ட்லிங்கரின் லெம்மா மெட்ரிக் சிறிய ரத்துசெய்தல் நிபந்தனை தொடர்பான முக்கிய முடிவு பின்வரும் அறிக்கையாகும் (Ch இல் உள்ள தேற்றம் 4.4 ஐப் பார்க்கவும். V இன்) இது பொதுவாக கிரீன்ட்லிங்கரின் லெம்மா என்று அழைக்கப்படுகிறதுஃ மேலே உள்ளபடி ஒரு குழு விளக்கக்காட்சியாக இருக்கட்டும், இது C′ (λ) சிறிய ரத்துசெய்யும் நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்கிறது, அங்கு 0 ≤ λ ≤ 1/6. பின்னர் w இன் ஒரு துணைச்சொல் v மற்றும் ஒரு வரையறுக்கும் ரிலேட்டர் r Π R உள்ளது, அதாவது v என்பது r இன் துணைச்சொல்லாகும், மேலும் அனுமானம் λ ≤ 1/6 என்பது (1−3λ) ≤ 1/2 ஐக் குறிக்கிறது என்பதைக் கவனியுங்கள், இதனால் சில வரையறுக்கும் ரிலேட்டரில் பாதிக்கும் மேற்பட்ட துணைச்சொல்லைக் கொண்டுள்ளது. கிரீன்ட்லிங்கரின் லெம்மா பின்வரும் வடிவியல் அறிக்கையின் ஒரு இணைப்பாகப் பெறப்படுகிறதுஃ கிரீன்ட்லிங்கரின் லெம்மாவின் அனுமானங்களின் கீழ், டி குறைந்தது இரண்டு பகுதிகளைக் கொண்ட ஒரு சுழற்சி குறைக்கப்பட்ட எல்லை முத்திரையுடன் (ற்றஂ) மீது குறைக்கப்பட்ட வான் காம்பன் வரைபடமாக இருக்கட்டும். பின்னர் D இல் D1 மற்றும் D2 என்ற இரண்டு தனித்துவமான பகுதிகள் உள்ளன, அதாவது j = 1,2 க்கு, Dj பகுதி D இன் எல்லை சுழற்சியை ஒரு எளிய வளைவில் வெட்டுகிறது, அதன் நீளம் (1−3λ) | றென்ஜ் | ஐ விட பெரியது. டி-க்கான இரட்டை வரைபடத்தைக் கருத்தில் கொள்வதன் மூலம் இந்த முடிவு நிரூபிக்கப்படுகிறது. அங்கு ஒருவர் வளைவின் ஒருங்கிணைந்த கருத்தை வரையறுக்கிறார் (இது, சிறிய ரத்துசெய்தல் அனுமானங்களால், ஒவ்வொரு உள் முனையிலும் எதிர்மறையாக உள்ளது), பின்னர் ஒருவர் காஸ்-பானெட் தேற்றத்தின் ஒருங்கிணைந்த பதிப்பைப் பெறுகிறார். இந்த பகுப்பாய்வின் விளைவாக கிரீன்ட்லிங்கரின் லெம்மா நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது, மேலும் இந்த வழியில் ஆதாரம் மேற்பரப்பு குழுக்களின் விஷயத்தில் டெஹ்னின் அசல் ஆதாரத்தின் கருத்துக்களைத் தூண்டுகிறது. எந்தவொரு சமச்சீர் குழு விளக்கக்காட்சிக்கும், பின்வரும் சுருக்க செயல்முறை டெஹ்னின் வழிமுறை என்று அழைக்கப்படுகிறதுஃ எக்ஸ் ± 1 இல் சுதந்திரமாக குறைக்கப்பட்ட சொல் டபிள்யூ கொடுக்கப்பட்டால், இலவசமாக குறைக்கப்பட்ட சொற்களின் வரிசையை உருவாக்குங்கள் டபிள்யூ = டபிள்யூ 0, டபிள்யூ 1, டபிள்யூ 2, பின்வருமாறு. WJ ஏற்கனவே கட்டமைக்கப்பட்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். இது வெற்று வார்த்தையாக இருந்தால், வழிமுறையை நிறுத்தவும். இல்லையெனில், |v |> |r |// 2 போன்ற சில வரையறுக்கும் ரிலேட்டரின் துணைச்சொல்லாக இருக்கும் வகையில், v என்பது ஒரு துணைச்சொல்லைக் கொண்டிருக்கிறதா என்று சரிபார்க்கவும். இல்லையென்றால், அல்காரிதத்தை அவுட்புட் wj உடன் நிறுத்தவும். ஆம் என்றால், v ஐ u−1 ஆல் மாற்றவும், பின்னர் சுதந்திரமாக குறைக்கவும், இதன் விளைவாக சுதந்திரமாக குறைக்கப்பட்ட வார்த்தையை wj + 1 ஆல் குறிக்கவும், வழிமுறையின் அடுத்த கட்டத்திற்குச் செல்லவும். எங்களிடம் எப்போதும் |w 0 |> |w1 |> |w 2 |> உள்ளது என்பதை நினைவில் கொள்க. இது செயல்முறை அதிகபட்சமாக |w | படிகளில் முடிவடைய வேண்டும் என்பதைக் குறிக்கிறது. மேலும், அனைத்து சொற்களும் Wj என்பது W ஐப் போலவே G இன் அதே உறுப்பைக் குறிக்கிறது, எனவே செயல்முறை வெற்று வார்த்தையுடன் முடிவடைந்தால், W என்பது G இன் அடையாள உறுப்பைக் குறிக்கிறது. ஒரு சமச்சீர் விளக்கக்காட்சிக்கு டெஹ்னின் வழிமுறை G இல் உள்ள சொல் சிக்கலைத் தீர்க்கிறது என்று ஒருவர் கூறுகிறார், நேர்மாறும் உண்மையாக இருந்தால், அதாவது F (X) இல் சுதந்திரமாக குறைக்கப்பட்ட எந்த வார்த்தையும் W என்றால், டெஹ்னின் வழிமுறை, W இலிருந்து தொடங்கி, வெற்று வார்த்தையில் முடிவடைந்தால் மட்டுமே இந்த வார்த்தை G இன் அடையாள உறுப்பைக் குறிக்கிறது. கிரீன்ட்லிங்கரின் லெம்மா ஒரு சி ′ (1/6) விளக்கக்காட்சிக்கு டெஹ்னின் வழிமுறை சொல் சிக்கலைத் தீர்க்கிறது என்பதைக் குறிக்கிறது. ஒரு C′ (1/6) விளக்கக்காட்சி வரையறுக்கப்பட்டதாக இருந்தால் (அதாவது X மற்றும் R இரண்டும் வரையறுக்கப்பட்டவை), பின்னர் டெஹ்னின் வழிமுறை என்பது மறுநிகழ்வு கோட்பாட்டின் அர்த்தத்தில் ஒரு உண்மையான தீர்மானிக்கப்படாத வழிமுறையாகும். இருப்பினும், (≤) ஒரு எல்லையற்ற C′ (1/6) விளக்கக்காட்சியாக இருந்தாலும், டெஹ்னின் வழிமுறை, ஒரு சுருக்கமான செயல்முறையாகப் புரிந்து கொள்ளப்பட்டாலும், ஜெனரேட்டர்களில் உள்ள ஒரு சொல் X±1 என்பது G இன் அடையாள உறுப்பைக் குறிக்கிறதா இல்லையா என்பதை சரியாக தீர்மானிக்கிறது. S இன் சமச்சீர் மூடல் R க்கு சமமாக இருக்கும் வகையில் R இன் குறைந்தபட்ச துணைக்குழுவைக் கவனியுங்கள். எனவே r மற்றும் s ஆகியவை S இன் தனித்துவமான கூறுகளாக இருந்தால், r என்பது s ± 1 இன் சுழற்சி வரிசைமாற்றமல்ல, G க்கான மற்றொரு விளக்கக்காட்சியாகும். இந்த விளக்கக்காட்சிக்கான விளக்கக்காட்சிக்கு Y சிக்கலானதாக இருக்கட்டும். பின்னர் (பார்க்கவும் மற்றும் தேற்றம் 13.3 அங்குலம்), மேலே உள்ள அனுமானங்களின் கீழ், Y என்பது G க்கு ஒரு வகைப்படுத்தும் இடமாகும், அதாவது G = π1 (Y) மற்றும் Y இன் உலகளாவிய கவர் சுருங்கக்கூடியது. குறிப்பாக, இது ஜி முறிவு இல்லாதது மற்றும் கோஹோமோலாஜிக்கல் பரிமாணம் இரண்டைக் கொண்டுள்ளது என்பதைக் குறிக்கிறது. மேலும் பொதுவாக, எந்தவொரு வான் காம்பன் வரைபடத்திலும் பல்வேறு வகையான உள்ளூர் "வளைவை" வரையறுக்க முடியும்-மிகவும் தோராயமாக-சராசரி அதிகப்படியான (இது, யூலரின் சூத்திரத்தால், மொத்தம் 2 ஆக இருக்க வேண்டும்) மற்றும், ஒரு குறிப்பிட்ட குழுவில், இது எப்போதும் நேர்மறை அல்லாதது (அல்லது-இன்னும் சிறந்தது-எதிர்மறை) என்பதைக் காட்டுவதன் மூலம், வளைவு அனைத்தும் எல்லையில் அல்லது அதற்கு அருகில் இருக்க வேண்டும் என்பதைக் காட்டுகிறது, இதன் மூலம் சிக்கல் என்ற வார்த்தையின் தீர்வைப் பெற முயற்சிக்கிறது. மேலும், ஒரே எல்லையுடன் ஒரு "சிறிய" பகுதி இருக்கும் வகையில் எந்த "பிராந்தியங்களின்" தொகுப்பையும் கொண்டிராத வரைபடங்களுக்கு ஒருவர் கவனத்தை கட்டுப்படுத்தலாம். சிறிய ரத்துசெய்யும் குழுக்களின் பிற அடிப்படை பண்புகள் ஒரு C′ (1/6) விளக்கக்காட்சியாக இருக்கட்டும். பின்னர் G இல் உள்ள ஒரு உறுப்பு n> 1 வரிசையைக் கொண்டுள்ளது, F (X) இல் r = sn வடிவத்தின் R இல் ஒரு ரிலேட்டர் r இருந்தால் மட்டுமே, g என்பது G இல் s உடன் இணைக்கப்படுகிறது. குறிப்பாக, R இன் அனைத்து உறுப்புகளும் F (X) இல் சரியான சக்திகளாக இல்லாவிட்டால், G முறிவு இல்லாதது. (ற்றஂ) ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட C′ (1/6) விளக்கக்காட்சியாக இருந்தால், G குழு சொல்-ஹைபர்போலிக் ஆகும். ஆர் மற்றும் எஸ் ஆகியவை எஃப் (எக்ஸ்) இல் சமமான இயல்பான மூடல்களுடன் எஃப் (எக்ஸ்) இன் வரையறுக்கப்பட்ட சமச்சீர் துணைக்குழுக்களாக இருந்தால், அவை இரண்டு விளக்கக்காட்சிகளும் சி ′ (1/6) நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்கின்றன, பின்னர் ஆர் = எஸ். ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட விளக்கக்காட்சி சி ′ (1/6), சி ′ (1/4)-டி (4), சி (6), சி (4)-டி (4), சி (3)-டி (6) ஆகியவற்றில் ஒன்றை திருப்திப்படுத்தினால், குழு ஜி தீர்க்கக்கூடிய சொல் சிக்கல் மற்றும் தீர்க்கக்கூடிய இணை சிக்கல் பயன்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளது சிறிய ரத்துசெய்யும் கோட்பாட்டின் பயன்பாடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள் பின்வருமாறுஃ மாறி மாறி முடிச்சுகளின் குழுக்களுக்கான இணை சிக்கலின் தீர்வு (அத்தியாயம் வி, தேற்றம் 8.5 இல் பார்க்கவும்) இறுதியாக வழங்கப்பட்ட சி ′ (1/6) சிறிய ரத்துசெய்யும் குழுக்கள் சொல்-ஹைபர்போலிக் குழுக்களின் அடிப்படை எடுத்துக்காட்டுகளாகும். சொல்-ஹைபர்போலிக் குழுக்களின் சமமான குணாதிசயங்களில் ஒன்று, டெஹ்னின் வழிமுறை சொல் சிக்கலைத் தீர்க்கும் வரையறுக்கப்பட்ட விளக்கக்காட்சிகளை ஒப்புக்கொள்வது. வரையறுக்கப்பட்ட சி (4)-டி (4) விளக்கக்காட்சிகளால் இறுதியாக வழங்கப்பட்ட குழுக்கள், ஒவ்வொரு பகுதியும் நீளத்தைக் கொண்டுள்ளன, அவை கேட் (0) குழுக்களின் அடிப்படை எடுத்துக்காட்டுகளாகும்ஃ அத்தகைய விளக்கக்காட்சிக்கு விளக்கக்காட்சி வளாகத்தின் உலகளாவிய அட்டை ஒரு கேட் (0) சதுர வளாகமாகும். சிறிய ரத்துசெய்தல் கோட்பாட்டின் ஆரம்பகால பயன்பாடுகள் பல்வேறு உட்பொதிப்பு முடிவுகளைப் பெறுவதை உள்ளடக்கியது. குறைந்தபட்சம் மூன்று ஜெனரேட்டர்களைக் கொண்ட ஒவ்வொரு ஒரு-ரிலேட்டர் குழுவும் SQ-யுனிவர்சல் என்பதற்கான ஆதாரத்துடன் 1974 ஆம் ஆண்டு Sacerdote மற்றும் Shupp இன் காகிதமும், ஒவ்வொரு எண்ணக்கூடிய குழுவையும் ஒரு எளிய குழுவில் உட்பொதிக்க முடியும் என்பதற்கான ஆதாரத்துடன் 1976 ஆம் ஆண்டு Shupp இன் காகிதமும் எடுத்துக்காட்டுகளில் அடங்கும். எலியாஹு ரிப்ஸ் காரணமாக ரிப்ஸ் கட்டுமானம் என்று அழைக்கப்படுவது, சொல்-ஹைபர்போலிக் குழுக்களின் பல்வேறு துணைக்குழு பண்புகள் தொடர்பான எதிர்-எடுத்துக்காட்டுகளின் வளமான ஆதாரத்தை வழங்குகிறதுஃ ஒரு தன்னிச்சையான இறுதியாக வழங்கப்பட்ட குழு Q ஐப் பொறுத்தவரை, கட்டுமானம் ஒரு குறுகிய துல்லியமான வரிசையை உருவாக்குகிறது, அங்கு K இரண்டு-உருவாக்கப்பட்டது மற்றும் G முறிவு இல்லாதது மற்றும் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட C′ (1/6)-விளக்கத்தால் வழங்கப்படுகிறது (இதனால் G என்பது சொல்-ஹைபர்போலிக்). துணைக்குழு உறுப்பினர் சிக்கல், தலைமுறை சிக்கல் மற்றும் தரவரிசை சிக்கல் உள்ளிட்ட சொல்-ஹைபர்போலிக் குழுக்களுக்கான பல வழிமுறை சிக்கல்களின் தீர்க்க முடியாததற்கான ஆதாரங்களை இந்த கட்டுமானம் வழங்குகிறது. மேலும், ஒரு சில விதிவிலக்குகளுடன், ரிப்ஸ் கட்டுமானத்தில் உள்ள குழு கே இறுதியாக வழங்க முடியாதது. ஒத்திசைவற்ற சொல்-ஹைபர்போலிக் குழுக்கள் உள்ளன என்பதை இது குறிக்கிறது, அவை இறுதியாக உருவாக்கப்படும் ஆனால் இறுதியாக வழங்க முடியாத துணைக்குழுக்களைக் கொண்டுள்ளன. டார்ஸ்கி அசுரன் உட்பட பல்வேறு "அசுரன்" குழுக்களை உருவாக்குவதற்கும், பெரிய ஒற்றைப்படை அடுக்குகளின் இலவச பர்ன்சைட் குழுக்கள் எல்லையற்றவை என்பதற்கான ஆதாரத்தை வழங்குவதற்கும் ஓல்ஷான்ஸ்கியால் சிறிய ரத்து முறைகள் (எல்லையற்ற விளக்கக்காட்சிகளுக்கு) பயன்படுத்தப்பட்டன (இதேபோன்ற முடிவு முதலில் ஆடியன் மற்றும் நோவிகோவ் ஆகியோரால் 1968 இல் அதிக ஒருங்கிணைந்த முறைகளைப் பயன்படுத்தி நிரூபிக்கப்பட்டது). இந்த முறைகளைப் பயன்படுத்தி ஓல்ஷான்ஸ்கியால் கட்டப்பட்ட வேறு சில "அசுரன்" குழுக்கள் பின்வருமாறுஃ எல்லையற்ற எளிய நொய்தேரியன் குழு; ஒவ்வொரு சரியான துணைக்குழுவும் முதன்மை வரிசையைக் கொண்ட ஒரு எல்லையற்ற குழு மற்றும் ஒரே வரிசையின் எந்த இரண்டு துணைக்குழுக்களும் இணைந்தவை; ஒவ்வொரு சரியான துணைக்குழுவும் சுழற்சியாக இருக்கும் ஒரு அசைக்க முடியாத குழு; மற்றும் பிற. இரண்டு-ஜெனரேட்டர் குழுக்களின் தொடர்ச்சியான பல அரை-ஐசோமெட்ரி வகைகள் உள்ளன என்பதை நிரூபிக்க பௌடிட்ச் எல்லையற்ற சிறிய ரத்துசெய்தல் விளக்கக்காட்சிகளைப் பயன்படுத்தினார். தாமஸ் மற்றும் வெலிகோவிக் ஆகியோர் சிறிய ரத்துசெய்தல் கோட்பாட்டைப் பயன்படுத்தி இரண்டு ஹோமியோமார்பிக் அல்லாத அறிகுறியற்ற கூம்புகளுடன் இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட குழுவை உருவாக்கினர், இதனால் குரோமோவின் கேள்விக்கு பதிலளித்தார். மெக்காமண்ட் மற்றும் வைஸ் ஆகியோர் ரிப்ஸ் கட்டுமானத்தால் ஏற்படும் சிரமங்களை எவ்வாறு சமாளிப்பது மற்றும் ஒத்திசைவான சிறிய ரத்துசெய்யும் குழுக்களின் பெரிய வகுப்புகளை எவ்வாறு உருவாக்குவது என்பதைக் காட்டினர் (அங்குதான் அனைத்து இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட துணைக்குழுக்களும் இறுதியாக வழங்கப்படுகின்றன) மேலும், உள்ளூரில் குவாசிகோன்வெக்ஸ் (அங்குதான் இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட அனைத்து துணைக்குழுக்களும் குவாசிகோன்வெக்ஸ்). சிறிய ரத்து முறைகள் "பொதுவான" அல்லது "சீரற்ற" இறுதியாக வழங்கப்பட்ட குழுக்களின் பல்வேறு மாதிரிகளின் ஆய்வில் முக்கிய பங்கு வகிக்கின்றன (பார்க்க). குறிப்பாக, ஜெனரேட்டர்களின் ஒரு நிலையான எண் m ≤ 2 மற்றும் உறவுகளை வரையறுக்கும் ஒரு நிலையான எண் t ≤ 1 மற்றும் எந்த λ <1 க்கும் ஒரு சீரற்ற m-ஜெனரேட்டர் t-ரிலேட்டர் குழு C′ (λ) சிறிய ரத்துசெய்யும் நிபந்தனையை திருப்திப்படுத்துகிறது. வரையறுக்கும் உறவுகளின் எண்ணிக்கை t நிலையானதாக இல்லாவிட்டாலும் (2m−1) εn ஆக வளர்ந்தாலும் (குரோமோவின் "சீரற்ற" குழுக்களின் அடர்த்தி மாதிரியில் நிலையான அடர்த்தி அளவுருவாக ε ±0 உள்ளது, வரையறுக்கும் உறவுகளின் நீளம் எங்கே), பின்னர் ஒரு ε-சீரற்ற குழு ε <1/12 வழங்கப்பட்ட C′ (1/6) நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்கிறது. குரோமோவ் ஒரு வரைபடத்தைப் பொறுத்தவரை சிறிய ரத்துசெய்தல் கோட்பாட்டின் பதிப்பைப் பயன்படுத்தி ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்பின் இருப்பை நிரூபித்தார், இது (பொருத்தமான அர்த்தத்தில்) எல்லையற்ற விரிவாக்கங்களின் வரிசையைக் கொண்டுள்ளது, எனவே ஹில்பர்ட் இடத்தில் ஒரு சீரான உட்பொதிப்பை அனுமதிக்காது. இந்த முடிவு நோவிகோவ் யூகத்திற்கு எதிர் உதாரணங்களைத் தேடுவதற்கான ஒரு திசையை (இதுவரை கிடைத்த ஒரே ஒன்று) வழங்குகிறது. ஒப்பீட்டளவில் ஹைபர்போலிக் குழுக்களுக்கான தர்ஸ்டனின் ஹைபர்போலிக் டெஹ்ன் அறுவை சிகிச்சை தேற்றத்தின் ஒப்புமையைப் பெற ஓசின் சிறிய ரத்துசெய்தல் கோட்பாட்டின் பொதுமைப்படுத்தலைப் பயன்படுத்தினார். பொதுமைப்படுத்தல்கள் ஒருங்கிணைக்கப்பட்ட இலவச தயாரிப்புகள் மற்றும் எச்என்என் நீட்டிப்புகளின் ஈவுக் குழுக்களுக்கான சிறிய ரத்துசெய்யும் கோட்பாட்டின் ஒரு பதிப்பு சேசர்டோட் மற்றும் ஷப்பின் காகிதத்திலும் பின்னர் லிண்டன் மற்றும் ஷப்பின் புத்தகத்திலும் உருவாக்கப்பட்டது. ரிப்புகள் மற்றும் ஓல்ஷான்ஸ்கி ஆகியோர் சிறிய ரத்துசெய்தல் கோட்பாட்டின் ஒரு "அடுக்கு" பதிப்பை உருவாக்கினர், அங்கு ரிலேட்டர்களின் தொகுப்பு அடுக்குகளின் ஏறும் சங்கமமாக வடிகட்டப்படுகிறது (ஒவ்வொரு அடுக்கும் ஒரு சிறிய ரத்துசெய்யும் நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்கிறது) மற்றும் சில அடுக்குகளிலிருந்து ஒரு ரிலேட்டர் r மற்றும் ஒரு உயர் அடுக்கிலிருந்து ஒரு ரிலேட்டர் s க்கு அவற்றின் ஒன்றுடன் ஒன்று |s | ஐப் பொறுத்தவரை சிறியதாக இருக்க வேண்டும், ஆனால் |r | ஐப் பொறுத்தவரை பெரியதாக இருக்க அனுமதிக்கப்படுகிறது. இந்தக் கோட்பாடு ஒல்ஷான்ஸ்கியை டார்ஸ்கி அசுரன் உட்பட பல்வேறு "அசுரன்" குழுக்களை உருவாக்கவும், பெரிய ஒற்றைப்படை அடுக்குகளின் இலவச பர்ன்சைட் குழுக்கள் எல்லையற்றவை என்பதற்கு ஒரு புதிய ஆதாரத்தை வழங்கவும் அனுமதித்தது. ஓல்ஷான்ஸ்கி மற்றும் டெல்ஸான்ட் பின்னர் சொல்-ஹைபர்போலிக் குழுக்களின் மேற்கோள்களுக்கான சிறிய ரத்துசெய்தல் கோட்பாட்டின் பதிப்புகளை உருவாக்கினர். மெக்காமண்ட் சிறிய ரத்துசெய்தல் கோட்பாட்டின் உயர் பரிமாண பதிப்பை வழங்கினார். மெக்காமண்ட் மற்றும் வைஸ் ஆகியோர் வான் காம்பன் வரைபடங்களின் வடிவியல் தொடர்பான நிலையான சிறிய ரத்துசெய்தல் கோட்பாட்டின் (கிரீன்ட்லிங்கரின் லெம்மா போன்றவை) அடிப்படை முடிவுகளை சிறிய ரத்துசெய்தல் விளக்கக்காட்சிகளில் கணிசமாக மேலும் முன்வைத்தனர். குரோமோவ் ஒரு வரைபடத்தைப் பொறுத்தவரை சிறிய ரத்துசெய்தல் கோட்பாட்டின் பதிப்பைப் பயன்படுத்தி ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்பின் இருப்பை நிரூபித்தார், இது (பொருத்தமான அர்த்தத்தில்) எல்லையற்ற விரிவாக்கங்களின் வரிசையைக் கொண்டுள்ளது, எனவே ஹில்பர்ட் இடத்தில் ஒரு சீரான உட்பொதிப்பை அனுமதிக்காது. ஒசின் ஒப்பீட்டளவில் ஹைபர்போலிக் குழுக்களின் மேற்கோள்களுக்கான சிறிய ரத்துசெய்யும் கோட்பாட்டின் ஒரு பதிப்பை வழங்கினார், மேலும் தர்ஸ்டனின் ஹைபர்போலிக் டெஹ்ன் அறுவை சிகிச்சை தேற்றத்தின் ஒப்பீட்டளவில் ஹைபர்போலிக் பொதுமைப்படுத்தலைப் பெற அதைப் பயன்படுத்தினார். அடிப்படை குறிப்புகள் ரோஜர் லிண்டன் மற்றும் பால் ஷப், ஒருங்கிணைந்த குழு கோட்பாடு. 1977 ஆம் ஆண்டின் பதிப்பின் மறுபதிப்பு. கணிதத்தில் கிளாசிக். ஸ்ப்ரிங்கர்-வெர்லாக், பெர்லின், 2001. அலெக்சாண்டர் யூ. ஓல்ஷான்ஸ்கி, குழுக்களில் உறவுகளை வரையறுக்கும் வடிவியல். யூ எழுதிய 1989 ரஷ்ய அசல் மொழியிலிருந்து மொழிபெயர்க்கப்பட்டது. ஏ. பக்துரின். கணிதமும் அதன் பயன்பாடுகளும் (சோவியத் தொடர்), 70. க்ளூவர் கல்வி வெளியீட்டாளர்கள் குழு, டோர்ட்ரெக்ட், 1991. ரால்ப் ஸ்ட்ரெபல், பின் இணைப்பு. சிறிய ரத்துசெய்யும் குழுக்கள். சர் லெஸ் குரூப்ஸ் ஹைபர்போலிக் டி அப்ரெஸ் மைக்கேல் குரோமோவ் (பெர்ன், 1988), பக். 227-273, கணிதத்தில் முன்னேற்றம், 83, பிர்குசர் பாஸ்டன், பாஸ்டன், மாசசூசெட்ஸ், 1990. மிலே க்ராஜ்சேவ்ஸ்கி, விமானத்தின் டிலிங்ஸ், ஹைபர்போலிக் குழுக்கள் மற்றும் சிறிய ரத்துசெய்யும் நிபந்தனைகள். அமெரிக்க கணிதச் சங்கத்தின் நினைவுகள், தொகுதி. 154 (2001), எண். 733 ஆகும். மேலும் காண்க வடிவியல் குழு கோட்பாடு சொல்-ஹைபர்போலிக் குழு டார்ஸ்கி அசுரன் குழு பர்ன்சைட் சிக்கல் இறுதியாக வழங்கப்பட்ட குழு வார்த்தை குழுக்களுக்கான சிக்கல் வான் காம்பன் வரைபடம் குறிப்புகள் குழு கோட்பாடு வடிவியல் குழு கோட்பாடு சொற்களில் ஒருங்கிணைப்பு