Fréchet distance
கணிதத்தில், ஃப்ரெச்செட் தூரம் என்பது வளைவுகளுக்கு இடையிலான ஒற்றுமையின் அளவீடு ஆகும், இது வளைவுகளில் உள்ள புள்ளிகளின் இருப்பிடம் மற்றும் வரிசையை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்கிறது. இது மாரிஸ் ஃப்ரெச்செட்டின் பெயரால் அழைக்கப்படுகிறது. உள்ளுணர்வு வரையறை ஒரு நபர் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட வளைந்த பாதையில் பயணிப்பதை கற்பனை செய்து பாருங்கள், அதே நேரத்தில் நாய் ஒரு தனி வரையறுக்கப்பட்ட வளைந்த பாதையில் பயணிக்கிறது. ஒவ்வொன்றும் லீஷில் மந்தமாக இருக்க அவற்றின் வேகத்தை மாற்றலாம், ஆனால் பின்னோக்கி நகர முடியாது. இரண்டு வளைவுகளுக்கும் இடையிலான ஃப்ரெச்செட் தூரம் என்பது தொடக்கத்திலிருந்து இறுதி வரை தனித்தனி பாதைகளை கடக்க போதுமான குறுகிய லீஷின் நீளம் ஆகும். இரண்டு வளைவுகளையும் பொறுத்து வரையறை சமச்சீராக உள்ளது என்பதை நினைவில் கொள்க-நாய் அதன் உரிமையாளருடன் நடந்து சென்றால் ஃப்ரெச்செட் தூரம் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும். முறையான வரையறை ஒரு மெட்ரிக் இடமாக இருக்கட்டும். ஒரு வளைவு என்பது அலகு இடைவெளியில் இருந்து, அதாவது, ஒரு தொடர்ச்சியான வரைபடமாகும். ஒரு மறுசீரமைப்பு என்பது தொடர்ச்சியான, குறையாத, மேற்பரப்பு ஆகும். கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு வளைவுகளாக இருக்கட்டும். பின்னர், மற்றும் இடையே உள்ள ஃப்ரெச்செட் தூரம் அனைத்து மறுசீரமைப்புகளிலும் முடிவிலியாகவும், மற்றும் இடையே உள்ள அனைத்து தூரங்களிலும் அதிகபட்சமாகவும் வரையறுக்கப்படுகிறது. கணிதக் குறியீட்டில், ஃப்ரெச்செட் தூரம் என்பது தூரத்தின் செயல்பாடு ஆகும். முறைசாரா முறையில், அளவுருவை "நேரம்" என்று நாம் நினைக்கலாம். பின்னர், நாயின் நிலை மற்றும் அந்த நேரத்தில் நாயின் உரிமையாளரின் நிலை (அல்லது நேர்மாறாகவும்). நேரத்தில் அவற்றுக்கிடையேயான லீஷின் நீளம் மற்றும் இடையே உள்ள தூரமாகும். சாத்தியமான அனைத்து மறுசீரமைப்புகளுக்கும் மேலாக முடிவிலியை எடுத்துக்கொள்வது அதிகபட்ச லீஷ் நீளம் குறைக்கப்படும் கொடுக்கப்பட்ட பாதைகளில் நடைபயணத்தைத் தேர்ந்தெடுப்பதற்கு ஒத்திருக்கிறது. குறைக்கப்படாத கட்டுப்பாடு என்பது நாயும் அதன் உரிமையாளரும் பின்வாங்க முடியாது என்பதாகும். ஃப்ரெசெட் மெட்ரிக் இரண்டு வளைவுகளின் ஓட்டத்தை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்கிறது, ஏனெனில் அந்தந்த வளைவுகளில் ஃப்ரெசெட் தூரத்தை தொடர்ந்து துடைக்க பங்களிக்கும் புள்ளிகளின் ஜோடி. இது தன்னிச்சையான புள்ளி தொகுப்புகளுக்கு ஹவுஸ்டோர்ஃப் தூரம் போன்ற மாற்றுகளை விட வளைவுகளுக்கு ஃப்ரெச்செட் தூரத்தை சிறந்த ஒற்றுமையின் அளவுகோலாக ஆக்குகிறது. இரண்டு வளைவுகளுக்கு சிறிய ஹவுஸ்டோர்ஃப் தூரம் ஆனால் பெரிய ஃப்ரெசெட் தூரம் இருக்க முடியும். ஃப்ரெச்செட் தூரமும் அதன் மாறுபாடுகளும் மார்ஃபிங் மற்றும் கையெழுத்து அங்கீகாரம் முதல் புரத அமைப்பு சீரமைப்பு வரை பல சிக்கல்களில் பயன்பாட்டைக் காண்கின்றன. அளவுரு தேடல் கொள்கையின் அடிப்படையில் யூக்ளிடியன் இடத்தில் இரண்டு பலகோண வளைவுகளுக்கு இடையிலான ஃப்ரெச்செட் தூரத்தை கணக்கிட ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை-நேர வழிமுறையை ஆல்ட் மற்றும் கோடாவ் முதன்முதலில் விவரித்தனர். அவற்றின் வழிமுறையின் இயங்கும் நேரம் m மற்றும் n பிரிவுகளைக் கொண்ட இரண்டு பலகோண வளைவுகளுக்கானது. ஃப்ரீ-ஸ்பேஸ் வரைபடம் இரண்டு வளைவுகளின் ஃப்ரெசெட் தூரத்தை கணக்கிடுவதற்கான ஒரு முக்கியமான கருவி ஃப்ரீ-ஸ்பேஸ் வரைபடமாகும், இது ஆல்ட் மற்றும் கோடாவ் ஆகியோரால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. கொடுக்கப்பட்ட தூர வரம்பு ε க்கான இரண்டு வளைவுகளுக்கு இடையிலான ஃப்ரீ-ஸ்பேஸ் வரைபடம் அளவுரு இடத்தில் ஒரு இரு பரிமாண பகுதியாகும், இது இரண்டு வளைவுகளில் உள்ள அனைத்து புள்ளி ஜோடிகளையும் அதிகபட்ச தூரத்தில் கொண்டுள்ளது ε: ஃப்ரீ-ஸ்பேஸ் வரைபடம் கீழ் இடது மூலையில் இருந்து மேல் வலது மூலையில் ஒரு பாதையைக் கொண்டிருந்தால் மட்டுமே ஃப்ரெச்செட் தூரம் அதிகபட்சமாக ε ஆகும், இது கிடைமட்டத்திலும் செங்குத்து திசையிலும் மோனோடோன் ஆகும். நிகழ்தகவு விநியோகங்களுக்கு இடையிலான தூரமாக (எஃப்ஐடி மதிப்பெண்) வளைவுகளுக்கு இடையிலான தூரத்தை அளவிடுவதோடு மட்டுமல்லாமல், நிகழ்தகவு விநியோகங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டை அளவிட ஃப்ரெச்செட் தூரத்தையும் பயன்படுத்தலாம். வழிமுறைகள் மற்றும் கோவேரியன்ஸ் மேட்ரிக்ஸ்கள் கொண்ட இரண்டு பன்முக காஸியன் டிஸ்ட்ரிபியூஷன்களுக்கு, இந்த டிஸ்ட்ரிபியூஷன்களுக்கு இடையிலான ஃப்ரெச்செட் தூரம். இந்த தூரம் ஃப்ரெச்செட் தொடக்க தூரத்திற்கு (எஃப். ஐ. டி) அடிப்படையாகும், இது ஒரு உற்பத்தி எதிர் நெட்வொர்க்கால் தயாரிக்கப்பட்ட படங்களை பயிற்சிக்கு பயன்படுத்தப்பட்ட உண்மையான படங்களுடன் ஒப்பிட பயன்படுகிறது. மாறுபாடுகள் பலவீனமான ஃப்ரெச்செட் தூரம் என்பது கிளாசிக்கல் ஃப்ரெச்செட் தூரத்தின் ஒரு மாறுபாடு ஆகும், இறுதிப் புள்ளிகள் அந்தந்த வளைவுகளில் சலிப்பாக நகர வேண்டும் என்ற தேவை இல்லாமல்-நாயும் அதன் உரிமையாளரும் அவற்றுக்கிடையேயான லீஷை குறுகியதாக வைத்திருக்க பின்வாங்க அனுமதிக்கப்படுகிறார்கள். தொடர்புடைய கட்ட வரைபடத்தில் மினிமேக்ஸ் பாதைகளை கணக்கிடுவதன் அடிப்படையில், பலகோண வளைவுகளுக்கு இடையிலான பலவீனமான ஃப்ரெச்செட் தூரத்தை கணக்கிடுவதற்கான எளிய வழிமுறையை ஆல்ட் மற்றும் கோடாவ் விவரிக்கின்றனர். தனித்துவமான ஃப்ரெச்செட் தூரம், இணைப்பு தூரம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது, இது பலகோண வளைவுகளுக்கான ஃப்ரெச்செட் அளவீட்டின் தோராயமாகும், இது ஈட்டர் மற்றும் மன்னிலாவால் வரையறுக்கப்படுகிறது. தனித்துவமான ஃப்ரெச்செட் தூரம் இரண்டு பலகோண வளைவுகளின் செங்குத்துகளில் அதன் இறுதிப் புள்ளிகள் அமைந்துள்ள இடத்தில் மட்டுமே லீஷின் நிலைகளைக் கருத்தில் கொள்கிறது, ஒரு விளிம்பின் உட்புறத்தில் ஒருபோதும் இல்லை. இந்த சிறப்பு அமைப்பு தனித்துவமான ஃப்ரெச்செட் தூரத்தை பல்லுறுப்புக்கோவை நேரத்தில் ஒரு எளிதான மாறும் நிரலாக்க வழிமுறையால் கணக்கிட அனுமதிக்கிறது. இரண்டு வளைவுகளும் யூக்ளிடியன் இடத்தைத் தவிர வேறு ஒரு மெட்ரிக் இடத்தில் உட்பொதிக்கப்படும்போது, அதாவது ஒரு பன்முக நிலப்பரப்பு அல்லது தடைகளுடன் கூடிய சில யூக்ளிடியன் இடைவெளி, வளைவுகளில் இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரம் மிகவும் இயற்கையாகவே அவற்றுக்கிடையேயான குறுகிய பாதையின் நீளம் என்று வரையறுக்கப்படுகிறது. லீஷ் அதன் இறுதிப் புள்ளிகளை இணைக்கும் ஒரு ஜியோடெசிக் ஆக இருக்க வேண்டும். வளைவுகளுக்கு இடையிலான விளைவாக வரும் மெட்ரிக் ஜியோடெசிக் ஃப்ரெச்செட் தூரம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. குக் மற்றும் வெங்க் ஒரு எளிய பலகோணத்தில் இரண்டு பலகோண வளைவுகளுக்கு இடையிலான புவியியல் ஃப்ரெச்செட் தூரத்தை கணக்கிட ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை-நேர வழிமுறையை விவரிக்கிறார்கள். சுற்றுப்புற மெட்ரிக் இடத்தில் லீஷ் தொடர்ந்து நகர வேண்டும் என்று நாம் மேலும் விரும்பினால், இரண்டு வளைவுகளுக்கு இடையிலான ஹோமோடோபிக் ஃப்ரெச்செட் தூரத்தின் கருத்தை நாம் பெறுகிறோம். லீஷ் ஒரு நிலையில் இருந்து இன்னொரு இடத்திற்கு இடைவிடாமல் மாற முடியாது-குறிப்பாக, லீஷ் தடைகளைத் தாண்ட முடியாது, மேலும் அது போதுமான நீளமாக இருந்தால் மட்டுமே ஒரு நிலப்பரப்பில் ஒரு மலையின் மீது துடைக்க முடியும். லீஷின் இயக்கம் இரண்டு வளைவுகளுக்கு இடையில் ஒரு ஹோமோடாபியை விவரிக்கிறது. சேம்பர்ஸ் மற்றும் பலர். யூக்ளிடியன் தளத்தில் உள்ள பலகோண வளைவுகளுக்கு இடையிலான ஹோமோடோபிக் ஃப்ரெச்செட் தூரத்தை தடைகளுடன் கணக்கிட ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை-நேர வழிமுறையை விவரிக்கவும். எடுத்துக்காட்டுகள் ஆரம் மற்றும் முறையே இரண்டு செறிவு வட்டங்களுக்கு இடையிலான ஃப்ரெச்செட் தூரம் உரிமையாளர் அமைதியாக நிற்கும்போது மற்றும் நாய் வட்டத்தின் எதிர் பக்கத்திற்கு பயணிக்கும்போது மிக நீளமான லீஷ் தேவைப்படுகிறது (), உரிமையாளரும் நாயும் வட்டத்தைச் சுற்றி நிலையான கோண வேகத்தில் நடக்கும்போது குறுகிய லீஷ் தேவைப்படுகிறது (). பயன்பாடுகள் ஃப்ரெச்செட் தூரம் காட்சி படிநிலையைப் படிக்கப் பயன்படுத்தப்படுகிறது, இது ஒரு கிராஃபிக் வடிவமைப்புக் கொள்கையாகும். ஃப்ரெச்செட் தொடக்க தூரம் ஃப்ரெச்செட் என்றால் குறிப்புகள் மேலும் வாசிப்பு என்பதையும் பார்க்கவும். . . மெட்ரிக் வடிவியல் தூர இடவியல் வடிவியல் வழிமுறைகள்