Equilateral pentagon
வடிவவியலில், ஒரு சமபக்க ஐங்கோணம் என்பது யூக்ளிடியன் தளத்தில் சம நீளமுள்ள ஐந்து பக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு பலகோணமாகும். அதன் ஐந்து உச்சி கோணங்கள் பலவிதமான மதிப்புகளின் தொகுப்புகளை எடுக்க முடியும், இதனால் இது பெண்டகன்களின் குடும்பத்தை உருவாக்க அனுமதிக்கிறது. இதற்கு மாறாக, வழக்கமான ஐங்கோணம் தனித்துவமானது, ஏனெனில் இது சமபக்கமானது மற்றும் மேலும் இது சமவெளியாக உள்ளது (அதன் ஐந்து கோணங்கள் சமமாக உள்ளன; அளவீடு 108 டிகிரி). ஒரு மூடிய சங்கிலியில் அமைக்கப்பட்ட நான்கு குறுக்குவெட்டு சம வட்டங்கள் ஒரு குவிந்த சமபக்க ஐங்கோணத்தை தீர்மானிக்க போதுமானது. ஒவ்வொரு வட்டத்தின் மையமும் ஐங்கோணத்தின் நான்கு செங்குத்துகளில் ஒன்றாகும். மீதமுள்ள உச்சி சங்கிலியின் முதல் மற்றும் கடைசி வட்டத்தின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளில் ஒன்றால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டுகள் குவிந்த சமபக்க ஐங்கோணத்தின் உள் கோணங்கள் ஒரு குவிந்த சமபக்க ஐங்கோணம் முக்கோணங்களாகப் பிரிக்கப்படும்போது, அவற்றில் இரண்டு ஐசோசில்களாக (ஆரஞ்சு மற்றும் நீல நிறத்தில் முக்கோணங்கள்) தோன்றும், மற்றொன்று மிகவும் பொதுவானது (பச்சை நிறத்தில் முக்கோணம்). நமக்கு அருகிலுள்ள கோணங்கள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன என்று கருதுகிறோம். சைன்களின் சட்டத்தின்படி பச்சை மற்றும் நீல முக்கோணங்களைப் பிரிக்கும் கோட்டின் நீளம் பின்வருமாறுஃ ஆரஞ்சு மற்றும் பச்சை முக்கோணங்களைப் பிரிக்கும் கோட்டின் நீளத்தின் சதுரம்ஃ கொசைன்களின் சட்டத்தின்படி, δ இன் கொசைனை உருவத்திலிருந்து காணலாம்ஃ எளிமைப்படுத்துவது, δ என்பது α மற்றும் β இன் செயல்பாடாக பெறப்படுகிறதுஃ ஐங்கோணத்தின் மீதமுள்ள கோணங்களை வடிவியல் ரீதியாகக் காணலாம்ஃ ஆரஞ்சு மற்றும் நீல முக்கோணங்களின் மீதமுள்ள கோணங்கள் ஒரு ஐசோசிலஸ் முக்கோணத்தின் இரண்டு கோணங்கள் சமமாகவும், மூன்று கோணங்களும் 180° ஆகவும் உள்ளன. பின்னர், பச்சை முக்கோணத்தின் மீதமுள்ள இரண்டு கோணங்களை நான்கு சமன்பாடுகளிலிருந்து காணலாம், இது ஐங்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 540° என்றும், பச்சை முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180° என்றும், கோணம் அதன் மூன்று கூறுகளின் கூட்டுத்தொகை என்றும், கோணம் அதன் இரண்டு கூறுகளின் கூட்டுத்தொகை என்றும் கூறுகிறது. ஒரு சுழற்சி ஐங்கோணம் சமமான பக்கங்களைக் கொண்டிருந்தால் மட்டுமே அது சமமாக இருக்கும், எனவே அது வழக்கமானதாக இருக்கும். அதேபோல், ஒரு தொடுகோட்டு ஐங்கோணம் சம கோணங்களைக் கொண்டிருந்தால் மட்டுமே அது சமபக்கமாக இருக்கும், எனவே அது வழக்கமானதாக இருக்கும். டைலிங் சமபக்க குவிந்த பென்டகன்களின் இரண்டு எல்லையற்ற குடும்பங்கள் உள்ளன, அவை தளத்தை டைல் செய்கின்றன, ஒன்று இரண்டு அருகிலுள்ள துணை கோணங்களைக் கொண்டுள்ளது, மற்றொன்று இரண்டு அருகிலுள்ள துணை கோணங்களைக் கொண்டுள்ளது. அந்த பெண்டகன்களில் சில ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட வழிகளில் ஓடு செய்ய முடியும், மேலும் ஒரு சமபக்க பெண்டகனுக்கு ஒரு அவ்வப்போது எடுத்துக்காட்டு உள்ளது, இது தளத்தை ஓடு செய்ய முடியும், ஆனால் அந்த இரண்டு குடும்பங்களிலும் சேராது; அதன் கோணங்கள் தோராயமாக 89°16 ', 144°32.5', 70°55 ', 135°22', மற்றும் 99°54.5 ', இரண்டு துணை இல்லை. இரு பரிமாண வரைபடம் சமபக்க பென்டகன்கள் தங்களைத் தாங்களே வெட்டிக்கொள்ளலாம், ஒரு முறை, இரண்டு முறை அல்லது ஐந்து முறை. தங்களைத் தாங்களே வெட்டிக்கொள்ளாதவை எளியவை என்று அழைக்கப்படுகின்றன, மேலும் அவை குவிந்த அல்லது குழிவானவை என்று வகைப்படுத்தப்படலாம். இரண்டு முறை அல்லது ஐந்து முறை தங்களைத் தாங்களே வெட்டிக்கொள்பவர்களைக் குறிக்க "ஸ்டெல்லேட்டட்" என்ற வார்த்தையை இங்கே பயன்படுத்துகிறோம். இந்தப் பிரிவில், தங்களைத் தாங்களே துல்லியமாக ஒரு முறை வெட்டிக்கொள்ளும் சமபக்க பென்டகன்களை நாம் நிராகரிக்கிறோம். ஒரு முறை தங்களைத் தாங்களே வெட்டிக்கொள்ளும் பென்டகன்களை நாம் நிராகரிப்பதால், மீதமுள்ளவற்றை இரு பரிமாண தளத்தில் இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாடாக நாம் திட்டமிடலாம். ஒவ்வொரு ஜோடி மதிப்புகளும் (α, β) தளத்தின் ஒரு புள்ளியை வரைபடமாக்குகின்றன, மேலும் ஒரு ஐங்கோணத்தையும் வரைபடமாக்குகின்றன. α மற்றும் β இன் மதிப்புகளின் கால அளவு மற்றும் நிபந்தனை α ≤ β ≤ δ வரைபடத்தின் அளவை மட்டுப்படுத்த அனுமதிக்கிறது. ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகள் α மற்றும் β கொண்ட தளத்தில், சமன்பாடு α = β என்பது தளத்தை இரண்டு பகுதிகளாகப் பிரிக்கும் ஒரு கோடு (வரைபடத்தில் ஆரஞ்சு நிறத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள தெற்கு எல்லை). சமன்பாடு δ = β ஒரு வளைவாக தளத்தை வெவ்வேறு பிரிவுகளாகப் பிரிக்கிறது (வடக்கு எல்லை நீல நிறத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது). இரண்டு எல்லைகளும் தளத்தின் தொடர்ச்சியான பகுதியை உள்ளடக்கியது, அதன் புள்ளிகள் தனித்துவமான சமபக்க பென்டகன்களை வரைபடமாக்குகின்றன. இப்பகுதிக்கு வெளியே உள்ள புள்ளிகள் மீண்டும் மீண்டும் பெண்டகன்களை வரைபடமாக்குகின்றன-அதாவது, சுழற்றப்படும்போது அல்லது பிரதிபலிக்கும்போது ஏற்கனவே விவரிக்கப்பட்ட மற்றவற்றுடன் பொருந்தக்கூடிய பெண்டகன்கள். அந்த எல்லைகளில் சரியாக வரைபடமாக்கும் பென்டகன்கள் ஒரு சமச்சீர் கோட்டைக் கொண்டுள்ளன. தனித்துவமான வரைபடங்களின் பகுதிக்குள் மூன்று வகையான பென்டகன்கள் உள்ளனஃ புதிய எல்லைகளால் பிரிக்கப்பட்ட ஸ்டெல்லேட்டட், குழிவான மற்றும் குவிந்தவை. ஸ்டெல்லேட்டட் பென்டகன்கள் மற்றவற்றால் வெட்டப்பட்ட பக்கங்களைக் கொண்டுள்ளன. இந்த வகை ஐங்கோணத்திற்கு ஒரு பொதுவான எடுத்துக்காட்டு பென்டகிராம் ஆகும். ஒரு ஐங்கோணத்தை செங்குத்தாக அல்லது சுயமாக வெட்டுவதற்கான நிபந்தனை 2α + β ≤ 180° ஆக இருக்க வேண்டும். எனவே, வரைபடத்தில், கோடு 2α + β = 180° (வடக்கில் ஆரஞ்சு நிறத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது) என்பது ஸ்டெல்லேட்டட் மற்றும் ஸ்டெல்லேட்டட் அல்லாத பென்டகன்களின் பகுதிகளுக்கு இடையிலான எல்லையாகும். இந்த எல்லையை சரியாக வரைபடமாக்கும் பென்டகன்கள் மற்றொரு பக்கத்தைத் தொடும் உச்சியைக் கொண்டுள்ளன. குழிவான பென்டகன்கள் குறைந்தபட்சம் ஒரு கோணம் 180 டிகிரிக்கு மேல் கொண்ட ஸ்டெல்லேட்டட் அல்லாத பென்டகன்கள் ஆகும். 180 டிகிரியை விட அகலமாகத் திறக்கும் முதல் கோணம் γ ஆகும், எனவே சமன்பாடு γ = 180 டிகிரி (வலதுபுறத்தில் பச்சை நிறத்தில் காட்டப்படும் எல்லை) என்பது ஒரு வளைவு ஆகும், இது குழிவான பென்டகன்கள் மற்றும் பிற பகுதிகளின் எல்லையாகும், இது குவிந்தது என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த எல்லையை சரியாக வரைபடமாக்கும் பென்டகன்கள் குறைந்தபட்சம் இரண்டு தொடர்ச்சியான பக்கங்களை இரட்டை நீள பக்கமாக காட்டுகின்றன, இது ஒரு நாற்கரத்திற்கு சீரழிந்த ஒரு ஐங்கோணத்தை ஒத்திருக்கிறது. குவிந்த பென்டகன்கள் அவற்றின் ஐந்து கோணங்களும் 180 டிகிரியை விட சிறியவை மற்றும் மற்றவற்றை வெட்ட எந்த பக்கமும் இல்லை. இந்த வகை ஐங்கோணத்திற்கு ஒரு பொதுவான எடுத்துக்காட்டு வழக்கமான ஐங்கோணம் ஆகும். குறிப்புகள் பலகோணங்களின் வகைகள்