Baum–Sweet sequence
கணிதத்தில் பாம்-ஸ்வீட் வரிசை என்பது 0 கள் மற்றும் 1 களின் எல்லையற்ற தானியங்கி வரிசையாகும், இது விதியால் வரையறுக்கப்படுகிறதுஃ n இன் பைனரி பிரதிநிதித்துவம் ஒற்றைப்படை நீளத்தின் தொடர்ச்சியான 0 களின் தொகுதியைக் கொண்டிருக்கவில்லை என்றால் bn = 1; இல்லையெனில் bn = 0; n ≤ 0 க்கு. எடுத்துக்காட்டாக, b4 = 1 ஏனெனில் 4 இன் பைனரி பிரதிநிதித்துவம் 100 ஆகும், இது 2 நீளத்தின் தொடர்ச்சியான 0s இன் ஒரு தொகுதியை மட்டுமே கொண்டுள்ளது; அதேசமயம் b5 = 0 ஏனெனில் 5 இன் பைனரி பிரதிநிதித்துவம் 101 ஆகும், இது 1 நீளத்தின் தொடர்ச்சியான 0s இன் தொகுதியைக் கொண்டுள்ளது. n = 0 இல் தொடங்கி, பாம்-இனிப்பு வரிசையின் முதல் சில சொற்கள்ஃ 1,1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,1,0,0,0,0,1. இந்த வரிசையின் பண்புகள் முதன்முதலில் லியோனார்ட் ஈ. பாம் மற்றும் மெல்வின் எம். ஸ்வீட் ஆகியோரால் 1976 இல் ஆய்வு செய்யப்பட்டன. 1949 ஆம் ஆண்டில், கின்சின் அதன் தொடர்ச்சியான பின்ன விரிவாக்கத்தில் வரம்புக்குட்பட்ட பகுதி மேற்கோள்களைக் கொண்ட ஒரு சதுரமற்ற இயற்கணித உண்மையான எண் இல்லை என்று ஊகித்தார். இந்த அனுமானத்திற்கு ஒரு எதிர் உதாரணம் இன்னும் தெரியவில்லை. பாம் மற்றும் ஸ்வீட்டின் ஆய்வறிக்கை இயற்கணித சக்தி தொடர்களுக்கு அதே எதிர்பார்ப்பு பூர்த்தி செய்யப்படவில்லை என்பதைக் காட்டியது. அவர்கள் கன மின் தொடருக்கு ஒரு உதாரணம் கொடுத்தனர், அதன் பகுதி அளவீடுகள் வரம்புக்குட்பட்டவை. (பாம் மற்றும் ஸ்வீட்டின் முடிவில் உள்ள சக்தி தொடரின் அளவு கிஞ்சினின் அனுமானத்தில் இயற்கணித யதார்த்தத்துடன் தொடர்புடைய புல விரிவாக்கத்தின் அளவிற்கு ஒத்திருக்கிறது.) பாம் மற்றும் ஸ்வீட்டின் காகிதத்தில் கருதப்படும் தொடர்களில் ஒன்று ஹென்சலின் லெம்மாவால், அத்தகைய ஒரு தனித்துவமான வேர் உள்ளது என்பதை ஆசிரியர்கள் காட்டுகிறார்கள், ஏனெனில் மாடுலோவின் வரையறுக்கும் சமன்பாட்டைக் குறைப்பதன் மூலம், இந்த தனித்துவமான வேர் டிகிரியின் பகுதியளவு மேற்கோள்களைக் கொண்டுள்ளது என்பதை நிரூபிக்க அவர்கள் செல்லும் காரணிகள். அவ்வாறு செய்வதற்கு முன்பு, (தேற்றம் 2, p 598 ஐப் பின்தொடரும் குறிப்பில்) பைனரி விரிவாக்கம் s இன் சம நீளத் தொகுதிகளை மட்டுமே கொண்டிருந்தால் மட்டுமே மூலத்தை எங்கே, எதற்கு மற்றும் எதற்கு என்ற வடிவத்தில் எழுத முடியும் என்று அவர்கள் கூறுகிறார்கள். இது பாம்-ஸ்வீட் வரிசையின் தோற்றம் ஆகும். மேலே உள்ள தொடர்ச்சியான பின்னத்தின் பகுதியளவு மேற்கோள்கள் ஒரு தானியங்கி வரிசையை உருவாக்கவில்லை என்பதை மகாவர் மற்றும் யாவோ நிரூபித்தனர். இருப்பினும், பகுதி மேற்கோள்களின் வரிசையை ஒரு சீரான உருவமயமாக்கல் மூலம் உருவாக்க முடியும். பண்புகள் பாம்-இனிப்பு வரிசையை 3-நிலை தானியங்கி மூலம் உருவாக்க முடியும். பாம்-ஸ்வீட் வரிசையில் bn என்ற வார்த்தையின் மதிப்பை பின்வருமாறு மீண்டும் மீண்டும் காணலாம். n = m·4k என்றால், m ஐ 4 ஆல் வகுக்க முடியாது (அல்லது 0 ஆக இருந்தால்), எனவே b76 = b9 = b4 = b0 = 1, இது 76 இன் பைனரி பிரதிநிதித்துவம், இது 1001100, ஒற்றைப்படை நீளத்துடன் 0 களின் தொடர்ச்சியான தொகுதிகளைக் கொண்டிருக்கவில்லை என்பதைக் கவனிப்பதன் மூலம் சரிபார்க்கலாம். பாம்-இனிப்பு சொல் 1101100101001001., பாம்-இனிப்பு வரிசையின் விதிமுறைகளை இணைப்பதன் மூலம் உருவாக்கப்பட்டது, இது உருவகப்படுத்துதல் அல்லது சரம் மாற்று விதிகளின் ஒரு நிலையான புள்ளியாகும் 00 → 0000 01 → 1001 10 → 0100 11 → 1101 பின்வருமாறுஃ 11 → 1101 → 11011001 → 1101100101001001 → 1101100101001001000001001001. உருவக விதிகளிலிருந்து பாம்-இனிப்பு சொல் எந்த நீளத்திலும் தொடர்ச்சியான 0 களின் தொகுதிகளைக் கொண்டிருப்பதைக் காணலாம் (2k ≤ n <6.2k வரம்பில் உள்ள அனைத்து 2k முழு எண்களுக்கும் bn = 0). இன்னும் சுருக்கமாக, கோபமின் சிறிய தேற்றத்தால் பாம்-ஸ்வீட் வார்த்தையை ஒரு சீரான உருவகத்தின் நிலையான புள்ளியில் பயன்படுத்தப்படும் குறியீடாக வெளிப்படுத்தலாம். உண்மையில், மார்ஃபிஸமும் குறியீடும் அந்த வழியில் வார்த்தையை உருவாக்குகின்றன. குறிப்புகள் குறிப்புகள் பைனரி வரிசைகள்