Mechanics of planar particle motion
பிளானர் துகள் இயக்கத்தின் இயக்கவியல் என்பது துகள்களின் இயக்கத்தின் பகுப்பாய்வு ஆகும், அவை நிலைப்புத்தன்மை அல்லாத குறிப்பு கட்டமைப்புகளிலிருந்து கவனிக்கப்படுகின்றன, அவை ஈர்ப்பு விசையால் ஒன்றுக்கொன்று ஈர்க்கப்படுகின்றன, மேலும் இந்த சிக்கலை கிரக இயக்கத்திற்கு பொதுமைப்படுத்துகின்றன. (மையவிலக்கு விசை, இரு-உடல் சிக்கல், சுற்றுப்பாதை மற்றும் கெப்லரின் கிரக இயக்க விதிகள் ஆகியவற்றைப் பார்க்கவும்.) இந்த சிக்கல்கள் கொடுக்கப்பட்ட விசை விதிகளிலிருந்து சுற்றுப்பாதைகளை தீர்மானிக்கும் பகுப்பாய்வு இயக்கவியலின் பொதுவான துறையில் வருகின்றன. இந்த கட்டுரை பிளானர் இயக்கத்தைச் சுற்றியுள்ள இயக்கவியல் சிக்கல்களில் அதிக கவனம் செலுத்துகிறது, அவை துகள் பாதையில் கொடுக்கப்பட்ட ஒரு குறிப்பிட்ட பாதையை விளைவிக்க தேவையான சக்திகளின் தீர்மானமாகும். கற்பனையான சக்திகளில் வழங்கப்படும் பொதுவான முடிவுகள் பல குறிப்பிட்ட நிலைத்தன்மை அல்லாத பிரேம்களிலிருந்து காணப்படுவது போல் நகரும் துகள்களின் அவதானிப்புகளுக்கு பயன்படுத்தப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு உள்ளூர் சட்டகம் (ஒன்று நகரும் துகள்களுடன் பிணைக்கப்பட்டு அது நிலையானதாகத் தோன்றும்), மற்றும் ஒரு இணை சுழலும் சட்டகம் (தன்னிச்சையாக அமைந்துள்ள ஆனால் நிலையான அச்சு மற்றும் சுழற்சி விகிதம் கொண்ட ஒன்று, துகள் ரேடியல் இயக்கத்தையும் பூஜ்ஜிய அசிமுத்தல் இயக்கத்தையும் மட்டுமே கொண்டிருப்பதாகத் தோன்றுகிறது). இதன் மூலம், கற்பனையான சக்திகளுக்கான லக்ராஞ்சியன் அணுகுமுறை அறிமுகப்படுத்தப்படுகிறது. மின்காந்த சக்திகள் போன்ற உண்மையான சக்திகளைப் போலல்லாமல், கற்பனையான சக்திகள் பொருட்களுக்கு இடையிலான இயற்பியல் தொடர்புகளிலிருந்து உருவாகாது. கற்பனையான சக்திகளைப் பயன்படுத்தி பகுப்பாய்வு கற்பனையான சக்திகளின் தோற்றம் பொதுவாக ஒரு மந்தமான குறிப்பு கட்டமைப்பைப் பயன்படுத்துவதோடு தொடர்புடையது, மேலும் அவை இல்லாதது ஒரு மந்தமான குறிப்பு கட்டமைப்பைப் பயன்படுத்துவதோடு தொடர்புடையது. மந்தமான கட்டமைப்புகளுக்கும் கற்பனையான சக்திகளுக்கும் (மந்தமான சக்திகள் அல்லது போலி-சக்திகள் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) இடையிலான தொடர்பை அர்னோல்ட் வெளிப்படுத்துகிறார்ஃ இந்த விஷயத்தில் சற்று வித்தியாசமான கருத்து இரோவால் வழங்கப்படுகிறதுஃ கற்பனையான சக்திகள் இயக்கத்தின் சமன்பாடுகளில் ஒரு மந்தமான கட்டமைப்பில் தோன்றாது. ஒரு மந்தமான சட்டகத்தில், ஒரு பொருளின் இயக்கம் உண்மையான ஈர்க்கப்பட்ட சக்திகளால் விளக்கப்படுகிறது. இருப்பினும், சுழலும் சட்டகம் போன்ற ஒரு மந்தநிலை அல்லாத சட்டகத்தில், நியூட்டனின் முதல் மற்றும் இரண்டாவது விதிகள் துல்லியமான இயற்பியல் கணிப்புகளைச் செய்ய இன்னும் பயன்படுத்தப்படலாம், கற்பனையான சக்திகள் உண்மையான சக்திகளுடன் சேர்க்கப்பட்டுள்ளன. மந்தநிலை அல்லாத குறிப்பு கட்டமைப்புகளில் இயக்கவியலின் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கு, கற்பனையான சக்திகளை உண்மையான சக்திகளைப் போலக் கருதி, ஒன்று மந்தநிலை கட்டமைப்பில் இருப்பதாகப் பாசாங்கு செய்யுங்கள். "கற்பனையான சக்திகளை உண்மையான சக்திகளைப் போல நடத்துவது" என்றால், ஒரு குறிப்பிட்ட நிலைத்தன்மை அல்லாத கட்டமைப்பில் காணப்படுவது போல், கற்பனையான சக்திகள், அந்த கட்டமைப்பிற்குள் செய்யப்பட்ட ஒருங்கிணைந்த மாற்றங்களின் கீழ் திசையன்களாக மாறுகின்றன, உண்மையான சக்திகளைப் போல. நகரும் பொருள்கள் மற்றும் அவதானிப்பு குறிப்பு கட்டமைப்புகள் அடுத்து, நேர மாறுபடும் ஆயத்தொலைவுகள் மந்தநிலை மற்றும் மந்தநிலை அல்லாத குறிப்பு கட்டமைப்புகள் இரண்டிலும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, எனவே நேர மாறுபடும் ஆயத்தொலைவுகளைப் பயன்படுத்துவது பார்வையாளரின் மாற்றத்துடன் குழப்பமடையக்கூடாது, மேலும் அவை மட்டுமே பார்வையாளரின் விளக்கத் தேர்வின் மாற்றம். குறிப்பு மற்றும் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பின் சட்டகம் குறிப்புச் சட்டகம் என்ற சொல் பெரும்பாலும் மிகவும் பரந்த அர்த்தத்தில் பயன்படுத்தப்படுகிறது, ஆனால் தற்போதைய விவாதத்திற்கு அதன் பொருள் ஒரு பார்வையாளரின் இயக்க நிலையைக் குறிக்க கட்டுப்படுத்தப்பட்டுள்ளது, அதாவது, ஒரு மந்தமான குறிப்புச் சட்டகம் அல்லது மந்தமற்ற குறிப்புச் சட்டகம். ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு என்ற சொல் இயக்கத்தை விவரிக்க மாறிகளின் தொகுப்பிற்கான வெவ்வேறு சாத்தியமான தேர்வுகளுக்கு இடையில் வேறுபடுத்துவதற்குப் பயன்படுத்தப்படுகிறது, எந்தவொரு பார்வையாளருக்கும் கிடைக்கும் தேர்வுகள், அவற்றின் இயக்க நிலையைப் பொருட்படுத்தாமல். கார்ட்டீசியன் ஆயத்தொலைவுகள், துருவ ஆயத்தொலைவுகள் மற்றும் (பொதுவாக) வளைவு ஆயத்தொலைவுகள் ஆகியவை எடுத்துக்காட்டுகளாகும். "இயக்க நிலை" மற்றும் "ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு" தொடர்பான இரண்டு மேற்கோள்கள் இங்கே உள்ளனஃ நேர மாறுபடும் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்புகள் ஒரு பொதுவான ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில், ஒருங்கிணைப்புகளுக்கான அடிப்படை திசையன்கள் நிலையான நிலைகளில் நேரத்திற்கு ஏற்ப மாறுபடலாம், அல்லது அவை நிலையான நேரங்களில் நிலையைப் பொறுத்து மாறுபடலாம், அல்லது இரண்டும். மந்தமான பிரேம்கள் மற்றும் மந்தமற்ற பிரேம்கள் ஆகிய இரண்டிலும் இணைக்கப்பட்ட ஒருங்கிணைப்பு அமைப்புகள் நேரம், இடம் அல்லது இரண்டிலும் மாறுபடும் அடிப்படை திசையன்களைக் கொண்டிருக்கலாம் என்பதைக் கவனத்தில் கொள்ளலாம். எடுத்துக்காட்டாக, துருவ ஆயத்தொகுதிகளில் ஒரு பாதையின் விளக்கம் ஒரு மந்தமான சட்டகத்திலிருந்து அல்லது சுழலும் சட்டகத்திலிருந்து பார்க்கப்படுகிறது. அவதானிப்புகளின் நேரத்தை சார்ந்த விளக்கம் அவதானிப்புகள் செய்யப்படும் மற்றும் பதிவு செய்யப்படும் குறிப்பு கட்டமைப்பை மாற்றாது. ஒரு உள்ளூர் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் கற்பனையான விசைகள் ஒரு வட்ட சுற்றுப்பாதையில் நகரும் ஒரு துகள் பற்றிய விவாதத்தில், ஒரு மந்தமான குறிப்பு சட்டகத்தில், ஒருவர் மையப்பகுதி மற்றும் தொடுகோடு விசைகளை அடையாளம் காணலாம். பொதுவாக மையவிலக்கு மற்றும் ஆய்லர் விசை என்று அழைக்கப்படும் சில கற்பனையான விசைகள், சொற்களஞ்சியத்தில் இந்த மாற்றத்தை அடிக்கோடிட்டுக் காட்டுகின்றன, மேலும் இது மையவிலக்கு மற்றும் தொடுகோடு விசைகள் அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும் மந்தமான சட்டகத்திலிருந்து, துகள் அசைவற்றதாகவும் கற்பனையான மையவிலக்கு மற்றும் ஆய்லர் விசைகள் செயல்பாட்டிற்கு கொண்டு வரப்பட வேண்டிய சுழலும் குறிப்பு சட்டகத்திற்கு ஏற்படும் அவதானிப்பு கட்டமைப்பின் மாற்றமாகும். பாடப்புத்தகத்தில் பொதுவாக எழுப்பப்படும் ஒரு கேள்வி என்னவென்றால், "பொதுவான சமதள இயக்கத்தில் (ஒரு வட்ட சுற்றுப்பாதை மட்டுமல்ல) ஒரு துகள் மீது ஒருவர் அமர்ந்தால், கற்பனையான மையவிலக்கு மற்றும் ஆய்லர் சக்திகளை அறிமுகப்படுத்த தொப்பிகளை மாற்றுவதற்கு என்ன பகுப்பாய்வு அடித்தளமாக இருக்கிறது?" அந்த கேள்வியை ஆராய, ஒரு மந்தமான குறிப்பு கட்டமைப்பில் தொடங்குங்கள். பிளானர் இயக்கத்தில் பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படும் ஒரு ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், உள்ளூர் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு என்று அழைக்கப்படுபவை, படம் 1 இல் காட்டப்பட்டுள்ளபடி, பாதைக்கு இயல்பான மையப்பகுதி உள்நோக்கிய விசைக்கான சூத்திரங்களை அடையாளம் காண்பது எளிதானது (படம் 1 இல் உள்ள யுனுக்கு எதிரான திசையில்), மற்றும் பாதைக்கு இணையான தொடுகோட்டு விசை (திசையில் யுடி), அடுத்ததாக காட்டப்பட்டுள்ளது போல. படம் 1 இல் காட்டப்பட்டுள்ள உள்ளூர் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பின் அலகு திசையன்களை அறிமுகப்படுத்த, ஒரு அணுகுமுறை ஒரு மந்தமான கட்டமைப்பில் கார்ட்டீசியன் ஆயத்தொகுப்புகளில் தொடங்கி இந்த கார்ட்டீசியன் ஆயத்தொகுப்புகளின் அடிப்படையில் உள்ளூர் ஆயத்தொகுப்புகளை விவரிக்க வேண்டும். படம் 1 இல், வில் நீளம் s என்பது துகள் அதன் பாதையில் t நேரத்தில் பயணித்த தூரம். கார்ட்டீசியன் ஆயத்தொகுப்புகளில் x (t), y (t) கூறுகளுடன் r (t) பாதை வளைவு நீளம் s (t) ஐப் பயன்படுத்தி விவரிக்கப்படுகிறதுஃ s இன் பயன்பாட்டைப் பார்ப்பதற்கான ஒரு வழி, துகள் பாதையை விண்வெளியில் அமர்ந்திருப்பதைப் போல சிந்திப்பதாகும், ஒரு ஸ்கை ரைட்டர் விட்டுச் சென்ற பாதையைப் போல, நேரத்திலிருந்து சுயாதீனமாக. இந்த பாதையில் எந்த நிலையும் பாதையின் ஒரு தொடக்க புள்ளியில் இருந்து அதன் தூரத்தை குறிப்பிடுவதன் மூலம் விவரிக்கப்படுகிறது. பின்னர் ds பாதையில் ஒரு அதிகரிக்கும் இடப்பெயர்ச்சி பின்வருமாறு விவரிக்கப்படுகிறதுஃ இங்கு s ஐப் பொறுத்து வழித்தோன்றல்களைக் குறிக்க பகா எண்கள் அறிமுகப்படுத்தப்படுகின்றன. இந்த இடப்பெயர்ச்சியின் அளவு ds ஆகும், இது பின்வருவனவற்றைக் காட்டுகிறதுஃ இந்த இடப்பெயர்ச்சி s இல் உள்ள வளைவுக்கு தொடுகோடு அவசியம், இது வளைவுக்கு அலகு திசையன் தொடுகோடு என்பதைக் காட்டுகிறதுஃ அதே நேரத்தில் வளைவுக்கு இயல்பான வெளிப்புற அலகு திசையன் ஆர்த்தோகொனாலிட்டியை திசையன் புள்ளி பெருக்கல் பூஜ்ஜியத்தைக் காண்பிப்பதன் மூலம் சரிபார்க்கலாம். இந்த திசையன்களின் அலகு அளவு இதன் விளைவாகும். ஒருபுறம் இருக்க, கார்ட்டீசியன் xy-அச்சுகளில் சீரமைக்கப்படாத அலகு திசையன்களின் பயன்பாடு இனி ஒரு மந்தமான சட்டகத்தில் இல்லை என்று அர்த்தமல்ல என்பதைக் கவனியுங்கள். இதன் பொருள் என்னவென்றால், அந்த நபர் பாதையை விவரிக்க s உடன் மாறுபடும் அலகு திசையன்களைப் பயன்படுத்துகிறார், ஆனால் இன்னும் மந்தமான சட்டகத்திலிருந்து இயக்கத்தைக் கவனிக்கிறார். தொடுகோட்டு திசையனைப் பயன்படுத்தி, வளைவின் தொடுகோட்டின் கோணம், θ என்று சொல்லுங்கள், பின்வருமாறு வழங்கப்படுகிறதுஃ மற்றும் வளைவின் ஆரம் முற்றிலும் முறையாக அறிமுகப்படுத்தப்படுகிறது (வடிவியல் விளக்கம் தேவையில்லாமல்): θ இன் வழித்தோன்றலை sin θ க்கானவற்றிலிருந்து காணலாம்ஃ இப்போதுஃ இதில் வகுத்தல் என்பது Eq இன் படி ஒற்றுமை. 1. சைனின் வழித்தோன்றலுக்கான இந்த சூத்திரத்துடன், வளைவின் ஆரம் ஆகிறதுஃ இதில் வடிவங்களின் சமநிலை Eq இன் வேறுபாட்டிலிருந்து உருவாகிறது. 1: s க்கான தொடர்புடைய மதிப்பின் அடிப்படையில் பாதையில் உள்ள எந்தவொரு நிலையின் விளக்கத்தையும் அமைத்த பிறகு, இந்த விளக்கத்தின் அடிப்படையில் பாதையின் பண்புகளைக் கண்டறிந்த பிறகு, துகள் இயக்கம் எந்த நேரத்திலும் t இல் துகள் நிலையை குறிப்பிடுவதன் மூலம் அறிமுகப்படுத்தப்படுகிறது. பாதை பண்புகளுக்கான மேலே உள்ள முடிவுகளைப் பயன்படுத்தி s இன் அடிப்படையில், துகள் பாதைக்கு இயல்பான மற்றும் தொடுகோடு கூறுகளின் அடிப்படையில் விவரிக்கப்பட்டுள்ளபடி மந்தமான குறிப்பு சட்டகத்தில் முடுக்கம் s (t) செயல்பாட்டின் அடிப்படையில் காணலாம் மற்றும் அதன் பல்வேறு நேர வழித்தோன்றல்கள் (முன்பு போலவே, பகா எண்கள் s ஐப் பொறுத்தவரை வேறுபாட்டைக் குறிக்கின்றன) உடன்ஃ அலகு திசையன்களுடன் புள்ளி உற்பத்தியை எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம் சரிபார்க்கலாம் மற்றும். முடுக்கத்திற்கான இந்த முடிவு ஆரம் ρ ஐ அடிப்படையாகக் கொண்ட வட்ட இயக்கத்திற்கு சமம். நிலையான சட்டகத்தில் இந்த ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பைப் பயன்படுத்தி, பாதைக்கு இயல்பான விசையை மையமுனை விசையாகவும், பாதைக்கு இணையாக உள்ள விசையை தொடுகோடு விசையாகவும் அடையாளம் காண்பது எளிது. அடுத்து, ஒருவர் அவதானிப்பு கட்டமைப்புகளை மாற்ற வேண்டும். துகள் மீது உட்கார்ந்து, துகள் ஓய்வில் இருக்கும் இடத்தில் (பூஜ்ஜிய வேகம்) ஒரு நிலைத்தன்மை அல்லாத சட்டகத்தை ஒருவர் பின்பற்ற வேண்டும். இந்த சட்டகம் தொடர்ச்சியாக மாறிவரும் தோற்றத்தைக் கொண்டுள்ளது, இது நேரம் t இல் பாதையின் வளைவின் மையமாக (படம் 1 இல் ஊசலாடும் வட்டத்தின் மையமாக) உள்ளது, மேலும் அதன் சுழற்சி விகிதம் நேரம் t இல் அந்த தோற்றத்தைப் பற்றிய துகள் இயக்கத்தின் கோண விகிதமாகும். இந்த நிலைத்தன்மை அல்லாத சட்டகம் பாதைக்கு இயல்பான மற்றும் அதற்கு இணையான அலகு திசையன்களையும் பயன்படுத்துகிறது. இந்த சட்டகத்தின் கோண திசைவேகம் என்பது t நேரத்தில் வளைவின் மையத்தைச் சுற்றியுள்ள துகள்களின் கோண திசைவேகமாகும். இதேபோல், மந்தமான சட்டகத்தில் காணப்படும் பாதையில் வேகத்தின் எந்த முடுக்கத்தையும் ஏற்படுத்தும் விசை துகள் ஓய்வில் இருக்கும் மந்தமற்ற சட்டகத்தில் ஆய்லர் விசையை கடக்க தேவையான சக்தியாக மாறுகிறது. இந்த சட்டகத்தில் துகள் பூஜ்ஜிய வேகத்தைக் கொண்டிருப்பதால் சட்டகத்தில் பூஜ்ஜிய கோரியோலிஸ் விசை உள்ளது. உதாரணமாக, ஒரு விமானத்தில் ஒரு விமானிக்கு, இந்த கற்பனையான சக்திகள் நேரடி அனுபவத்தின் விஷயமாகும். இருப்பினும், இந்த கற்பனையான சக்திகள் துகள் தவிர வேறு ஒரு எளிய அவதானிப்பு கட்டமைப்புடன் தொடர்புடையதாக இருக்க முடியாது, அது ஒரு வட்டத்தைப் போல குறிப்பாக எளிய பாதையில் இல்லாவிட்டால். ஒரு தரமான கண்ணோட்டத்தில், ஒரு விமானத்தின் பாதையை ஒரு குறிப்பிட்ட காலத்திற்கு ஒரு வட்டத்தின் வளைவால் தோராயமாக மதிப்பிட முடியும், மேலும் குறிப்பிட்ட காலத்திற்கு ஒரு குறிப்பிட்ட ஆரம் வளைவு பொருந்தும், மையவிலக்கு மற்றும் ஆய்லர் சக்திகளை பகுப்பாய்வு செய்யலாம் அந்த ஆரம் கொண்ட வட்ட இயக்கத்தின் அடிப்படையில் (ஒரு விமானத்தை திருப்புவது பற்றி விவாதிக்கும் கட்டுரையைப் பார்க்கவும்). அடுத்து, ஒரு நிலையான அச்சில் சுழலும் குறிப்பு பிரேம்கள் இன்னும் விரிவாக விவாதிக்கப்படுகின்றன. துருவ ஆயத்தொகுப்புகளில் கற்பனையான விசைகள் துகள் இயக்கத்தின் விளக்கம் பெரும்பாலும் கார்ட்டீசியன் அல்லாத ஆயத்தொகுப்பு அமைப்புகளில் எளிமையானது, எடுத்துக்காட்டாக, துருவ ஆயத்தொகுப்புகள். இயக்கத்தின் சமன்பாடுகள் எந்தவொரு வளைவு ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தப்படும்போது, கூடுதல் சொற்கள் தோன்றும், அவை ஆயத்தொலைவுகள் மாறும்போது அடிப்படை திசையன்கள் எவ்வாறு மாறுகின்றன என்பதைக் குறிக்கின்றன. இந்த சொற்கள் துருவ (அல்லது உருளை) ஆயத்தொகுதிகளாக மாறும்போது தானாகவே எழுகின்றன, எனவே அவை கற்பனையான சக்திகள் அல்ல, மாறாக துருவ ஆயத்தொகுதிகளில் முடுக்கத்தில் சேர்க்கப்பட்ட சொற்கள் ஆகும். இரண்டு சொற்கள் முற்றிலும் கணித சிகிச்சையில், ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு (மந்தநிலை அல்லது மந்தநிலை அல்லாத) உடன் தொடர்புடைய கட்டமைப்பைப் பொருட்படுத்தாமல், வளைந்த ஆயத்தொகுதிகளைப் பயன்படுத்தும் போது கவனிக்கப்பட்ட துகள்களின் முடுக்கத்தில் கூடுதல் சொற்கள் தோன்றும். எடுத்துக்காட்டாக, துருவ ஆயத்தொகுதிகளில் முடுக்கம் பின்வருமாறு வழங்கப்படுகிறது (விவரங்களுக்கு கீழே காண்க): இதில் ஆயத்தொகுதிகளின் இரட்டை நேர வழித்தோன்றல்கள் மட்டுமல்லாமல் கூடுதல் சொற்களும் உள்ளன. இந்த உதாரணம் துருவ ஆயத்தொகுதிகளைப் பயன்படுத்துகிறது, ஆனால் பொதுவாக சேர்க்கப்பட்ட சொற்கள் எந்த ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு தேர்ந்தெடுக்கப்படுகிறது என்பதைப் பொறுத்தது (அதாவது, துருவ, நீள்வட்ட அல்லது வேறு எந்த அமைப்பும்). சில நேரங்களில் இந்த ஒருங்கிணைப்பு-அமைப்பு சார்ந்த சொற்கள் "கற்பனையான சக்திகள்" என்றும் குறிப்பிடப்படுகின்றன, இந்த சொற்கள் விசைகளால் எதிர்பார்க்கப்படும் திசையன் மாற்ற பண்புகளைக் கொண்டிருக்கவில்லை என்ற போதிலும், "கற்பனையான சக்திகளுக்கு" இரண்டாவது பொருளை அறிமுகப்படுத்துகின்றன. உதாரணமாக, சங்கர் மற்றும் ஹில்டிப்ராண்ட் ஆகியவற்றைப் பார்க்கவும். இந்த சொற்களின்படி, கற்பனையான சக்திகள் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பால் ஓரளவு தீர்மானிக்கப்படுகின்றன, அது எந்த சட்டகத்துடன் இணைக்கப்பட்டுள்ளது என்பதைப் பொருட்படுத்தாமல், அதாவது, ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு ஒரு மந்தநிலை அல்லது மந்தநிலை அல்லாத குறிப்பு கட்டமைப்புடன் இணைக்கப்பட்டுள்ளதா என்பதைப் பொருட்படுத்தாமல். இதற்கு மாறாக, பார்வையாளரின் இயக்க நிலையின் அடிப்படையில் வரையறுக்கப்பட்ட கற்பனையான சக்திகள் மந்தமான குறிப்பு கட்டமைப்புகளில் மறைந்துவிடுகின்றன. இந்த இரண்டு சொற்களையும் வேறுபடுத்திப் பார்க்க, ஒரு மந்தமான குறிப்புச் சட்டகத்தில் மறைந்து போகும் கற்பனையான சக்திகள், நியூட்டனின் இயக்கவியலின் மந்தமான சக்திகள், இந்தக் கட்டுரையில் "இயக்கத்தின் நிலை" கற்பனையான சக்திகள் என்றும், குறிப்பிட்ட ஒருங்கிணைப்பு அமைப்புகளில் நேர வழித்தோன்றல்களின் விளக்கத்தில் உருவாகின்றன கற்பனையான சக்திகள் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன. "இயக்க நிலை" மற்றும் "ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு" வேறுபட்டவை என்று கருதினால், "இயக்க நிலை" மீது மையவிலக்கு விசையின் சார்பு (இந்த கட்டுரையில் உள்ளதைப் போல) மற்றும் "ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு" இலிருந்து அதன் சுதந்திரம், இது "ஒருங்கிணைப்பு" பதிப்போடு சரியாக முரண்படும் எதிர் சார்புகளுடன், இரண்டு வெவ்வேறு கருத்துக்கள் "கற்பனையான விசை" என்ற சொற்களால் குறிப்பிடப்படுகின்றன என்பதைக் குறிக்கிறது. தற்போதைய கட்டுரை இந்த இரண்டு கருத்துக்களில் ஒன்றை ("இயக்கத்தின் நிலை") வலியுறுத்துகிறது, இருப்பினும் மற்றொன்று விவரிக்கப்பட்டுள்ளது. கீழே, துருவ ஆயத்தொலைவுகள் (முதலில்) ஒரு மந்தமான குறிப்பு சட்டகத்திலும் பின்னர் (இரண்டாவது) சுழலும் குறிப்பு சட்டகத்திலும் பயன்படுத்த அறிமுகப்படுத்தப்படுகின்றன. "கற்பனையான சக்தி" என்ற வார்த்தையின் இரண்டு வெவ்வேறு பயன்பாடுகள் சுட்டிக்காட்டப்பட்டுள்ளன. இருப்பினும், முதலில், கற்பனையான சக்திக்கான "ஒருங்கிணைப்பு" சொல் எவ்வாறு உருவானது என்பதை மேலும் விளக்க ஒரு சுருக்கமான திசைதிருப்பலைப் பின்பற்றுகிறது. லாக்ராஞ்சியன் அணுகுமுறை "கணித வசதி" பற்றிய குறிப்பை விட "ஒருங்கிணைந்த" மந்தமான சக்திகளின் அறிமுகத்தை ஊக்குவிப்பதற்காக, பின்வருபவை சில எழுத்தாளர்களால் "பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட" கற்பனையான சக்திகள் அல்லது "பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட மந்தமான சக்திகள்" என்று அழைக்கப்படுவதை ஒத்திருப்பதைக் காண்பிப்பதற்கான ஒரு திசைதிருப்பல் ஆகும். இந்த விசைகள் பொதுவாக {qk} என குறிக்கப்படும் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ஆயத்தொலைவுகளால் ஒரு அமைப்பை விவரிப்பதன் அடிப்படையில் இயக்கவியலுக்கான லாக்ராஞ்சியன் இயக்கவியல் அணுகுமுறை மூலம் அறிமுகப்படுத்தப்படுகின்றன. இந்த ஆயத்தொகுதிகளில் உள்ள ஒரே தேவை என்னவென்றால், அவை அமைப்பின் நிலையை தனித்துவமாக வகைப்படுத்த அவசியமானவை மற்றும் போதுமானவைஃ அவை அமைப்பில் உள்ள துகள்களின் ஆயத்தொகுதிகளாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை (இருப்பினும் அவை இருக்கலாம்). அதற்கு பதிலாக, அவை ஒரு ரோபோ கையில் உள்ள இணைப்புகளின் கோணங்கள் மற்றும் நீட்டிப்புகளாக இருக்கலாம். ஒரு இயந்திர அமைப்பு N துகள்களைக் கொண்டிருந்தால் மற்றும் m சுயாதீனமான இயக்கவியல் நிபந்தனைகள் விதிக்கப்பட்டிருந்தால், n = 3N-m சுயாதீனமான பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ஆயத்தொலைவுகள் {qk} மூலம் அமைப்பை தனித்துவமாக வகைப்படுத்த முடியும். கிளாசிக்கல் மெக்கானிக்ஸில், லாக்ராஞ்சியன் என்பது இயக்க ஆற்றல் என வரையறுக்கப்படுகிறது, அமைப்பின் மினடிக் ஆற்றல் கழித்தல் அதன் பொடென்ஷியல் ஆற்றல்,. குறியீடுகளில், லாக்ராஞ்சியன் இயக்கவியலில் கொடுக்கப்பட்டுள்ள நிபந்தனைகளின் கீழ், ஒரு அமைப்பின் லாக்ராஞ்சியன் அறியப்பட்டால், அமைப்பின் இயக்கத்தின் சமன்பாடுகளை லாக்ராஞ்சியனுக்கான வெளிப்பாட்டை யூலர்-லாக்ராஞ்சின் சமன்பாட்டிற்கு நேரடியாக மாற்றுவதன் மூலம் பெறலாம், இது பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் ஒரு குறிப்பிட்ட குடும்பமாகும். இங்கே சில வரையறைகள் உள்ளனஃ வரையறைஃ லாக்ரேஞ்ச் செயல்பாடு அல்லது லாக்ரேஞ்சியன், qi என்பது பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ஆயத்தொலைவுகள், பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட வேகங்கள், பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட மொமெண்டா, பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட சக்திகள், லாக்ரேஞ்சின் சமன்பாடுகள். லாக்ராஞ்சியன் இயக்கவியல் எவ்வாறு செயல்படுகிறது என்பதை கோடிட்டுக் காட்டுவது இங்கே நோக்கம் அல்ல. ஆர்வமுள்ள வாசகர் இந்த அணுகுமுறையை விளக்கும் பிற கட்டுரைகளைப் பார்க்கலாம். இப்போதைக்கு, லாக்ராஞ்சியன் அணுகுமுறை மந்தமான கட்டமைப்புகளில் மறைந்துவிடாத "பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட கற்பனை சக்திகளுக்கு" வழிவகுக்கும் என்பதைக் காண்பிப்பதே குறிக்கோள். இங்கு பொருத்தமானது என்னவென்றால், ஒரு ஒற்றைத் துகள் விஷயத்தில், லாக்ராஞ்சியன் அணுகுமுறையை இப்போது அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட "ஒருங்கிணைப்பு" கற்பனையான சக்திகளைப் பிடிக்க ஏற்பாடு செய்யலாம். தொடர்வதற்கு, ஒற்றைத் துகள் ஒன்றைக் கருத்தில் கொண்டு, பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ஆயத்தொகுதிகளை {qk} = (r, θ) என அறிமுகப்படுத்தவும். பின்னர் ஹில்டிப்ராண்ட் qk = (r, θ) உடன் துருவ ஆயத்தொகுப்புகளில் காட்டுகிறது "பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட மொமெண்டா": எடுத்துக்காட்டாக, பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட விசைக்கு வழிவகுக்கிறதுஃ Qr உடன் ஈர்க்கப்பட்ட ரேடியல் விசை. "பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட விசைகள்" மற்றும் நியூட்டனின் விசைகளுக்கு இடையிலான தொடர்பு ஆயத்தொகுதிகளின் தேர்வுக்கு ஏற்ப மாறுபடும். இந்த லாக்ராஞ்சியன் சூத்திரம் மேலே குறிப்பிடப்பட்ட கற்பனையான சக்திகளின் "ஒருங்கிணைப்பு" வடிவத்தை அறிமுகப்படுத்துகிறது, இது மந்தமான கட்டமைப்புகளில் "கற்பனையான" (பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட) சக்திகளை அனுமதிக்கிறது, எடுத்துக்காட்டாக, ஹில்டிப்ராண்டின் கவனமான வாசிப்பு என்ற சொல் அவர் "மந்தமான குறிப்பு கட்டமைப்புகளின்" பங்கைப் பற்றி விவாதிக்கவில்லை என்பதைக் காட்டுகிறது, மேலும் உண்மையில், "[மந்தமான சக்திகளின்] இருப்பு அல்லது இல்லாமை கையில் உள்ள குறிப்பிட்ட சிக்கலைப் பொறுத்தது அல்ல, தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பைப் பொறுத்தது" என்று கூறுகிறது. ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு மூலம் அநேகமாக {qk} இன் தேர்வு குறிக்கப்படுகிறது. பின்னர் அவர் கூறுகிறார், "பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ஆயத்தொகுதிகளுடன் தொடர்புடைய முடுக்கங்கள் முதன்மையான ஆர்வமாக இருக்க வேண்டும் என்றால் (வழக்கமாக உள்ளது போல), [முடுக்கிவிடப்படாத] சொற்கள் வசதியாக வலதுபுறத்திற்கு மாற்றப்படலாம். மேலும் கூடுதல் (பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட) மந்தநிலை சக்திகளாக கருதப்படலாம். இத்தகைய மந்தநிலை சக்திகள் பெரும்பாலும் கோரியோலிஸ் வகையைச் சேர்ந்தவை என்று கூறப்படுகிறது. சுருக்கமாக, சில எழுத்தாளர்கள் ஆயத்தொகுதிகள் மற்றும் அவற்றின் வழித்தோன்றல்களுக்கு முக்கியத்துவம் அளிப்பதும், மந்தமான குறிப்பு கட்டமைப்புகளில் மறைந்துவிடாத (பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட) கற்பனை சக்திகளை அறிமுகப்படுத்துவதும் லாக்ராஞ்சிய இயக்கவியலில் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ஆயத்தொகுதிகளின் பயன்பாட்டின் வளர்ச்சியாகும். எடுத்துக்காட்டாக, மெக்குவாரி ஹில்டிப்ராண்ட் மற்றும் வான் ஸ்வெரின் ஆகியவற்றைப் பார்க்கவும். ரோபோ கையாளிகளின் வடிவமைப்பில் பயன்படுத்தப்படும் இந்த பயன்பாட்டிற்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு கீழே உள்ளதுஃ ஒரு ரோபோ கையாளுபவரைப் பொறுத்தவரை, சமன்பாடுகளை கிறிஸ்டோஃபெல் சின்னங்களைப் பயன்படுத்தி ஒரு வடிவத்தில் எழுதலாம் (மேலும் கீழே விவாதிக்கப்பட்டுள்ளது): இங்கு M என்பது "கையாளுபவர் மந்தநிலை அணி" மற்றும் V என்பது ஈர்ப்பு விசை காரணமாக ஏற்படும் ஆற்றல் (எடுத்துக்காட்டாக), மற்றும் கூட்டு i இல் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட சக்திகள். எனவே கிறிஸ்டோஃபெல் சின்னங்களை உள்ளடக்கிய சொற்கள் "பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட மையவிலக்கு" மற்றும் "பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட கோரியோலிஸ்" சொற்களை தீர்மானிக்கின்றன. பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட கற்பனையான சக்திகளின் அறிமுகம் பெரும்பாலும் அறிவிப்பு இல்லாமல் மற்றும் "பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட" என்ற வார்த்தையைக் குறிப்பிடாமல் செய்யப்படுகிறது. சொற்களின் இந்த பயன்பாடு குழப்பத்திற்கு வழிவகுக்கும், ஏனெனில் பொதுவான கற்பனை சக்திகள், நிலையான "ஸ்டேட்-ஆஃப்-மோஷன்" கற்பனை சக்திகளைப் போலல்லாமல், மந்தமான குறிப்பு கட்டமைப்புகளில் மறைந்துவிடாது. கீழே, ஒரு துகள் முடுக்கம் துருவ ஆயத்தொகுப்புகளைப் பயன்படுத்தி ஒரு மந்த சட்டகத்தில் காணப்படுவது போல் பெறப்படுகிறது. வரையறையின்படி, ஒரு மந்தமான சட்டகத்தில் கற்பனையான சக்திகள் எதுவும் இல்லை. அந்த விளக்கக்காட்சியைத் தொடர்ந்து, "ஒருங்கிணைப்பு" கற்பனையான சக்திகளின் மாறுபட்ட சொற்கள் இந்த "சக்திகளின்" திசையன் அல்லாத மாற்ற நடத்தையின் அடிப்படையில் முன்வைக்கப்பட்டு விமர்சிக்கப்படுகின்றன. ஒரு மந்தமான சட்டகத்தில், நகரும் துகள்களின் நிலை திசையனாக இருக்கட்டும். அதன் கார்ட்டீசியன் கூறுகள் (x, y): துருவ ஆயத்தொலைவுகள் r மற்றும் θ உடன் நேரம் t ஐப் பொறுத்து. அலகு திசையன்கள் கதிரியக்க வெளிப்புற திசையில் வரையறுக்கப்படுகின்றனஃ மற்றும் சரியான கோணங்களில் உள்ள திசையில்ஃ இந்த அலகு திசையன்கள் நேரத்துடன் திசையில் வேறுபடுகின்றனஃ மற்றும்ஃ இந்த வழித்தோன்றல்களைப் பயன்படுத்தி, நிலையின் முதல் மற்றும் இரண்டாவது வழித்தோன்றல்கள்ஃ மற்றும் புள்ளி-குறிக்கோள்கள் நேர வேறுபாட்டைக் குறிக்கின்றன. முடுக்கத்திற்கான இந்த வடிவத்துடன், ஒரு மந்தமான குறிப்புச் சட்டத்தில் நியூட்டனின் இரண்டாவது விதி துருவ ஆயத்தொகுப்புகளில் வெளிப்படுத்தப்படுகிறதுஃ இங்கு F என்பது துகள் மீதான நிகர உண்மையான விசை. அனைத்து கற்பனையான சக்திகளும் ஒரு மந்தமான சட்டகத்தில் வரையறையின்படி பூஜ்ஜியமாக இருப்பதால் கற்பனையான சக்திகள் எதுவும் தோன்றவில்லை. இருப்பினும், ஒரு கணிதக் கண்ணோட்டத்தில், சில நேரங்களில் இந்த சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்தில் இரண்டாவது வரிசை வழித்தோன்றல்களை மட்டுமே வைப்பது எளிதானது; அதாவது மேற்கண்ட சமன்பாட்டை சொற்களை மறுசீரமைப்பதன் மூலம் இவ்வாறு எழுதுகிறோம்ஃ இங்கு "முடுக்கம்" இன் "ஒருங்கிணைப்பு" பதிப்பு அறிமுகப்படுத்தப்படுகிறதுஃ r மற்றும் θ ஆயத்தொகுதிகளின் இரண்டாவது வரிசை நேர வழித்தோன்றல்களை மட்டுமே கொண்டுள்ளது. சமன்பாட்டின் விசை பக்கத்திற்கு நகர்த்தப்பட்ட சொற்கள் இப்போது கூடுதல் "கற்பனையான சக்திகளாக" கருதப்படுகின்றன, மேலும் குழப்பமாக, இதன் விளைவாக வரும் சக்திகள் "மையவிலக்கு" மற்றும் "கோரியோலிஸ்" விசை என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன. இந்த புதிதாக வரையறுக்கப்பட்ட "சக்திகள்" ஒரு மந்தமான சட்டகத்தில் பூஜ்ஜியமற்றவை, எனவே நிச்சயமாக முன்பு அடையாளம் காணப்பட்ட கற்பனையான சக்திகளைப் போலவே இல்லை, அவை ஒரு மந்தமான சட்டகத்தில் பூஜ்ஜியமாகவும், மந்தமற்ற சட்டகத்தில் மட்டுமே பூஜ்ஜியமற்றதாகவும் இருக்கும். இந்தக் கட்டுரையில், புதிதாக வரையறுக்கப்பட்ட இந்த விசைகள் "ஒருங்கிணைந்த" மையவிலக்கு விசை என்றும் அவற்றை "இயக்கத்தின் நிலை" விசைகளிலிருந்து பிரிக்க "ஒருங்கிணைந்த" கோரியோலிஸ் விசை என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன. தோற்றத்தின் மாற்றம் இங்கே "மையவிலக்கு சொல்" ஒரு உண்மையான சக்தியாக மாறவில்லை என்பதைக் காட்டும் ஒரு எடுத்துக்காட்டு. S சட்டகத்தில் ஒரு துகள் ஒரு நிலையான வேகத்தில் தோற்றத்திலிருந்து கதிரியக்கமாக விலகி நகர்கிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம். படம் 2 ஐப் பார்க்கவும். நியூட்டனின் முதல் விதிப்படி துகள் மீது உள்ள விசை பூஜ்ஜியமாகும். இப்போது நாம் S 'சட்டகத்திலிருந்து அதே விஷயத்தைப் பார்க்கிறோம், இது ஒரே மாதிரியானது, ஆனால் தோற்றத்தில் இடம்பெயர்ந்தது. S 'இல் துகள் இன்னும் நிலையான வேகத்தில் நேர் கோடு இயக்கத்தில் உள்ளது, எனவே மீண்டும் விசை பூஜ்ஜியமாகும். இரண்டு பிரேம்களிலும் துருவ ஆயத்தொகுதிகளைப் பயன்படுத்தினால் என்ன ஆகும்? S சட்டகத்தில் ரேடியல் இயக்கம் நிலையானது மற்றும் கோண இயக்கம் இல்லை. எனவே, முடுக்கம் பின்வருமாறுஃ மேலும் ஒவ்வொரு சொல்லும் தனித்தனியாக பூஜ்ஜியமாகும், ஏனெனில் மற்றும். S சட்டகத்தில் "விசை" உட்பட எந்த விசையும் இல்லை. S 'சட்டகத்தில், இருப்பினும், நம்மிடம் உள்ளதுஃ இந்த விஷயத்தில் அசிமுத்தல் சொல் பூஜ்ஜியமாகும், இது கோண உந்தத்தின் மாற்ற விகிதமாகும். இருப்பினும், ரேடியல் திசையில் பூஜ்ஜிய முடுக்கத்தைப் பெற, நமக்குத் தேவைஃ வலது புறம் பூஜ்ஜியமற்றது, ஏனெனில் பூஜ்ஜியமும் இல்லை. அதாவது, நாம் முடுக்கமாக மட்டுமே தக்க வைத்துக் கொண்டால் பூஜ்ஜிய விசையை (பூஜ்ஜியம்) பெற முடியாது; நமக்கு இரண்டு சொற்களும் தேவை. மேற்கூறிய உண்மைகள் இருந்தபோதிலும், ஒருவர் துருவ ஆயத்தொகுதிகளை ஏற்றுக்கொண்டு, அதை "மையவிலக்கு விசை" என்று சொல்ல விரும்புகிறார் என்று வைத்துக்கொள்வோம், மேலும் "முடுக்கம்" என்று மறுபரிசீலனை செய்யுங்கள் (சாத்தியமான எந்த நியாயப்படுத்தலையும் கருத்தில் கொள்ளாமல்). இயற்பியலின் சரியான உருவாக்கம் வடிவியல் மற்றும் ஒருங்கிணைப்பு-சுயாதீனமானது என்று ஒருவர் கருதும்போது இந்த முடிவு எவ்வாறு செயல்படுகிறது? பொதுவான கோவேரியன்ஸ் பற்றிய கட்டுரையைப் பார்க்கவும். ஒரு மாறுபட்ட வெளிப்பாட்டை உருவாக்க முயற்சிக்க, இந்த மையவிலக்கு "விசை" என்று அழைக்கப்படுவதை திசையன் குறியீட்டில் பின்வருமாறு வைக்கலாம்ஃ உடன்ஃ மற்றும் இயக்க தளத்திற்கு ஒரு அலகு திசையன் இயல்பானது. துரதிர்ஷ்டவசமாக, இந்த வெளிப்பாடு முறையாக ஒரு திசையன் போல் தோன்றினாலும், ஒரு பார்வையாளர் மாற்றங்களின் மதிப்பை உருவாக்கும் போது (படம் 2 ஐப் பார்க்கவும்), எனவே வெவ்வேறு தெரு மூலைகளில் நிற்கும் ஒரே குறிப்பு சட்டகத்தில் உள்ள பார்வையாளர்கள் வெவ்வேறு "சக்திகளை" காண்கிறார்கள், இருப்பினும் அவர்கள் சாட்சியாக இருக்கும் உண்மையான நிகழ்வுகள் ஒரே மாதிரியானவை. ஒரு இயற்பியல் விசை (அது கற்பனையானதாகவோ அல்லது உண்மையானதாகவோ இருக்கலாம்) ஒரு சட்டகம் S இல் பூஜ்ஜியமாக இருக்க முடியும், ஆனால் மற்றொரு சட்டகத்தில் பூஜ்ஜியமற்றது S 'ஒத்த, ஆனால் ஒரு சில அடி தொலைவில் இருக்க முடியும்? ஒரே துகள் நடத்தைக்கு கூட ஒவ்வொரு குறிப்பு சட்டகத்திலும் வெளிப்பாடு வேறுபட்டது, சட்டகங்களுக்கு இடையிலான மிகவும் அற்பமான வேறுபாடுகளுக்கு கூட. சுருக்கமாக, நாம் "மையவிலக்கு விசையாக" எடுத்துக் கொண்டால், அதற்கு உலகளாவிய முக்கியத்துவம் இல்லைஃ அது இயற்பியல் சார்ந்தது அல்ல. இந்த சிக்கலுக்கு அப்பால், உண்மையான ஈர்க்கப்பட்ட நிகர சக்தி பூஜ்ஜியமாகும். (நிலையான வேகத்தில் நேரான கோடு இயக்கத்தில் உண்மையான ஈர்க்கப்பட்ட விசை இல்லை). ஒருவர் துருவ ஆயத்தொகுதிகளை ஏற்றுக்கொண்டு, அதை "மையவிலக்கு விசை" என்று கூறி, "முடுக்கம்" என்று மறுபரிசீலனை செய்ய விரும்பினால், ஒற்றைப்படைத்தன்மை S 'சட்டகத்தில் விளைகிறது, நிலையான வேகத்தில் நேரான கோடு இயக்கத்திற்கு துருவ ஆயத்தொகுப்புகளில் ஒரு நிகர விசை தேவைப்படுகிறது, ஆனால் கார்ட்டீசியன் ஆயத்தொகுப்புகளில் அல்ல. மேலும், இந்த குழப்பம் S சட்டகத்தில் பொருந்தும், ஆனால் S சட்டகத்தில் அல்ல. இன் நடத்தை அது மையவிலக்கு விசை அல்ல, ஆனால் முடுக்கத்தில் உள்ள இரண்டு சொற்களில் ஒன்று என்று ஒருவர் சொல்ல வேண்டும் என்பதைக் குறிக்கிறது. இந்த பார்வை, முடுக்கம் இரண்டு சொற்களால் ஆனது, சட்டகம்-சுயாதீனமானதுஃ எந்தவொரு மற்றும் ஒவ்வொரு மந்தமான சட்டகத்திலும் பூஜ்ஜிய மையவிலக்கு விசை உள்ளது. இது ஒருங்கிணைப்பு-அமைப்பு சுயாதீனமானது, அதாவது கார்ட்டீசியன், துருவ அல்லது வேறு எந்த வளைவு அமைப்பையும் பயன்படுத்தலாம், ஏனெனில் அவை அனைத்தும் பூஜ்ஜியத்தை உற்பத்தி செய்கின்றன. மேலே உள்ள இயற்பியல் வாதங்களைத் தவிர, நிச்சயமாக, மேலே உள்ள வழித்தோன்றல், வேறுபாட்டின் கணித விதிகளைப் பயன்படுத்துவதை அடிப்படையாகக் கொண்டது, ரேடியல் முடுக்கம் உண்மையில் இரண்டு சொற்களைக் கொண்டுள்ளது என்பதைக் காட்டுகிறது. அடுத்த உட்பிரிவு இந்த மையவிலக்கு மற்றும் கோரியோலிஸ் சொற்களுக்கும் ஒரு குறிப்பிட்ட சுழலும் குறிப்பு சட்டகத்துடன் தொடர்புடைய கற்பனையான சக்திகளுக்கும் (ஒரு மந்தமான சட்டகத்திலிருந்து வேறுபட்டது) இடையே ஒரு தொடர்பு இருப்பதைக் காட்டுகிறது. இணை சுழலும் சட்டகம் ஒரு துகள் பிளானர் இயக்கத்தைப் பொறுத்தவரை, ஒரு மந்தமான சட்டகத்தில் பூஜ்ஜியமற்றதாக மேலே காணப்படும் "ஒருங்கிணைந்த" மையவிலக்கு மற்றும் கோரியோலிஸ் முடுக்கம் சொற்கள் ஒரு குறிப்பிட்ட மந்தமற்ற இணை சுழலும் சட்டகத்தில் தோன்றும் "இயக்கத்தின் நிலை" மையவிலக்கு மற்றும் கோரியோலிஸ் சொற்களின் எதிர்மறைகளாக காட்டப்படலாம் (அடுத்த உட்பிரிவைப் பார்க்கவும்). படம் 3 ஐப் பார்க்கவும். ஒரு இணை சுழலும் சட்டகத்தை வரையறுக்க, முதலில் ஒரு தோற்றம் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகிறது, அதில் இருந்து துகள் r (t) தூரம் வரையறுக்கப்படுகிறது. சுழற்சியின் அச்சு அமைக்கப்பட்டுள்ளது, இது துகள்களின் இயக்க தளத்திற்கு செங்குத்தாக உள்ளது, மேலும் இந்த தோற்றத்தின் வழியாக செல்கிறது. பின்னர், தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட கணம் t இல், இணை சுழலும் சட்டகத்தின் சுழற்சி விகிதம் இந்த அச்சில் உள்ள துகள் சுழற்சி விகிதத்துடன் பொருந்துகிறது, dθ/dt. இணை சுழலும் சட்டகம் ஒரு கணத்திற்கு மட்டுமே பொருந்தும், மேலும் துகள் நகரும்போது தொடர்ந்து மீண்டும் தேர்ந்தெடுக்கப்பட வேண்டும். மேலும் விவரங்களுக்கு, துருவ ஆயத்தொலைவுகள், மையவிலக்கு மற்றும் கோரியோலிஸ் சொற்களைப் பார்க்கவும். சுழலும் குறிப்பு சட்டகத்தில் துருவ ஆயத்தங்கள் அடுத்து, அதே அணுகுமுறை ஒரு (மந்தநிலை அல்லாத) சுழலும் சட்டகத்தின் கற்பனையான சக்திகளைக் கண்டறிய பயன்படுத்தப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, சுழலும் கண்காணிப்புச் சட்டகத்தில் பயன்படுத்த ஒரு சுழலும் துருவ ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்டால், இரண்டும் ஒரே நிலையான எதிரெதிர் கடிகார திசையில் சுழல்கின்றன, இந்த சட்டகத்தில் இயக்கத்தின் சமன்பாடுகளை பின்வருமாறு காணலாம்ஃ சுழலும் சட்டகத்தில் ரேடியல் ஒருங்கிணைப்பு r ஆக எடுக்கப்படுகிறது, ஆனால் சுழலும் சட்டகத்தில் θ 'கோணம் நேரத்துடன் மாறுகிறதுஃ இதன் விளைவாக, முந்தைய பிரிவின் அலகு திசையன்களைப் பயன்படுத்தி இந்த முடிவை முடுக்கத்தில் செருகுவதுஃ முன்னணி இரண்டு சொற்கள் மந்தமான சட்டகத்தில் உள்ள அதே வடிவமாகும், மேலும் அவை சட்டகம் சுழலவில்லை என்றால் அவை மட்டுமே சொற்கள், அதாவது, ω = 0 என்றால். இருப்பினும், இந்த சுழலும் சட்டகத்தில் நமக்கு கூடுதல் சொற்கள் உள்ளனஃ ரேடியல் சொல் ω2 r என்பது ஒரு அலகு வெகுஜனத்திற்கு மையவிலக்கு விசை ஆகும், ஏனெனில் அமைப்பின் சுழற்சி விகிதம் ω மற்றும் ரேடியல் சொல் ஒரு அலகு வெகுஜனத்திற்கு கோரியோலிஸ் விசையின் ரேடியல் கூறு ஆகும், இங்கு சுழலும் சட்டகத்தில் காணப்படுவது போல் துகள் வேகத்தின் தொடுகோடு கூறு ஆகும். இந்த சொல் ஒரு அலகு வெகுஜனத்திற்கு கோரியோலிஸ் விசையின் அசிமுத்தல் கூறு என்று அழைக்கப்படுகிறது. உண்மையில், இந்த கூடுதல் சொற்கள் ω ஐ அளவிட பயன்படுத்தப்படலாம் மற்றும் ஒரே மாதிரியான கோளங்களை சுழற்றுவதற்கான எடுத்துக்காட்டில் விளக்கப்பட்டுள்ளபடி, சட்டகம் சுழல்கிறதா இல்லையா என்பதைப் பார்க்க ஒரு சோதனையை வழங்கலாம். துகள் இயக்கத்தை நியூட்டனின் இயக்க விதிகளைப் பயன்படுத்தி பார்வையாளரால் விவரிக்க முடிந்தால், பார்வையாளர் ஒரு மந்தமான குறிப்பு சட்டகத்தில் இருக்கிறார், அங்கு ω = 0. துகள் முடுக்கத்தில் இந்த "கூடுதல் சொற்கள்" இந்த சுழலும் சட்டகத்திற்கான "இயக்க நிலை" கற்பனையான சக்திகள், கோண விகிதத்தில் சட்டகத்தின் சுழற்சி மூலம் அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட சக்திகள். இந்த சுழலும் சட்டகத்தில், கற்பனையான "ஒருங்கிணைப்பு" சக்திகள் யாவை? முன்பு போலவே, நியூட்டனின் விதியின் வலது பக்கத்தில் இரண்டாவது வரிசை நேர வழித்தோன்றல்களை மட்டுமே வைக்க நாம் தேர்வு செய்கிறோம் என்று வைத்துக்கொள்வோம்ஃ ஒருவர் வசதிக்காக, "முடுக்கம்" என்று கருத விரும்பினால், அந்த சொற்கள் "கற்பனையான விசை" என்று அழைக்கப்படுவதில் சேர்க்கப்படுகின்றன, அவை "இயக்கத்தின் நிலை" கற்பனையான விசைகள் அல்ல, ஆனால் உண்மையில் விசையின் கூறுகளாகும், அவை ω = 0 ஆக இருக்கும்போது கூட நீடிக்கின்றன, அதாவது கற்பனையான ஆதாரங்கள் ஒரு மந்தமான குறிப்பு கட்டமைப்பில் கூட நீடிக்கின்றன. இந்த கூடுதல் சொற்கள் சேர்க்கப்பட்டுள்ளதால், "ஒருங்கிணைப்பு" கற்பனையான சக்தி "இயக்கத்தின் நிலை" கற்பனையான சக்தியைப் போன்றது அல்ல. இந்த கூடுதல் சொற்களின் காரணமாக, "ஒருங்கிணைப்பு" கற்பனையான விசை ஒரு மந்தமான குறிப்பு கட்டமைப்பில் கூட பூஜ்ஜியமாக இல்லை. இருப்பினும், ஒரு சுழலும் சட்டகத்தின் வழக்கு துகள் அதே கோண விகிதத்தைக் கொண்டிருக்கும், இதனால் ஒரு குறிப்பிட்ட தருணத்தில் ω = dθ/dt (அதாவது, துருவ ஆயத்தொலைவுகள் படம் 3 இன் உடனடி, நிலைத்தன்மை அல்லாத இணை சுழற்சி சட்டகத்தில் அமைக்கப்பட்டுள்ளன). இந்த வழக்கில், இந்த நேரத்தில், dθ '/dt = 0. இந்த இணை-சுழலும் நிலைத்தன்மை அல்லாத சட்டகத்தில் இந்த நேரத்தில் "ஒருங்கிணைந்த" கற்பனை சக்திகள் சட்டகத்தின் இயக்கத்தின் காரணமாக மட்டுமே உள்ளன, அதாவது அவை முந்தைய பிரிவில் படம் 3 இன் இணை-சுழலும் சட்டகத்தைப் பற்றிய கருத்துக்களில் விவாதிக்கப்பட்டபடி, அவை "இயக்கத்தின் நிலை" கற்பனை சக்திகளைப் போலவே உள்ளன. புல்லோ மற்றும் லூயிஸ் மேற்கோள் காட்டுகஃ "விதிவிலக்கான சூழ்நிலைகளில் மட்டுமே லாக்ராஞ்சியன் அமைப்பின் உள்ளமைவை ஒரு திசையன் இடத்தில் ஒரு திசையன் மூலம் விவரிக்க முடியும். இயற்கையான கணித அமைப்பில், அமைப்பின் உள்ளமைவு இடம் ஒரு வளைந்த இடைவெளி அல்லது மிகவும் துல்லியமாக ஒரு வேறுபடுத்தக்கூடிய பன்மடங்கு என விவரிக்கப்படுகிறது. கார்ட்டீசியன் ஆயத்தொகுதிகளுக்குப் பதிலாக, இயக்கத்தின் சமன்பாடுகள் ஒரு வளைந்த ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் வெளிப்படுத்தப்படும்போது, கிறிஸ்டோஃபெல் சின்னங்கள் இந்த ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் வெளிப்படுத்தப்படும் ஒரு துகள் முடுக்கத்தில் தோன்றும், மேலும் விரிவாக கீழே விவரிக்கப்பட்டுள்ளது. வளைவான ஆயத்தொகுதிகளில் ஒரு மந்தமான குறிப்புச் சட்டகத்தின் கண்ணோட்டத்தில் ஒரு துகள் இயக்கத்தின் விளக்கத்தைக் கவனியுங்கள். கார்ட்டீசியன் ஆயத்தொகுப்புகளில் ஒரு புள்ளி P இன் நிலை (x, y, z) மற்றும் வளைவு ஆயத்தொகுப்புகளில் (q1, q2) என்று வைத்துக்கொள்வோம். q3). பின்னர் இந்த விளக்கங்களை தொடர்புபடுத்தும் செயல்பாடுகள் உள்ளனஃ மற்றும் பல. (பரிமாணங்களின் எண்ணிக்கை மூன்றை விட அதிகமாக இருக்கலாம்.) இத்தகைய ஒருங்கிணைப்பு அமைப்புகளின் ஒரு முக்கியமான அம்சம் வளைவு நீளத்தின் உறுப்பு ஆகும், இது தூரங்களை தீர்மானிக்க அனுமதிக்கிறது. வளைவு முனையங்கள் ஒரு ஆர்த்தோகனல் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பை உருவாக்கினால், வில் நீளம் ds இன் உறுப்பு பின்வருமாறு வெளிப்படுத்தப்படுகிறதுஃ இங்கு அளவுகள் hk அளவுகோல் காரணிகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. qk இல் ஒரு மாற்றம் dqk என்பது qk க்கான ஒருங்கிணைப்புக் கோட்டில் ஒரு இடப்பெயர்ச்சியை ஏற்படுத்துகிறது. ஒரு புள்ளி P இல், அலகு திசையன்களை ஒவ்வொரு தொடுகோடையும் ஒரு மாறி qk இன் ஒருங்கிணைப்புக் கோட்டிற்கு வைக்கிறோம். பின்னர் எந்தவொரு திசையனையும் இந்த அடிப்படை திசையன்களின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தலாம், எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு மந்தமான குறிப்பு சட்டகத்திலிருந்து, P நிலையில் t நேரத்தில் அமைந்துள்ள ஒரு நகரும் துகள் r இன் நிலை திசையன் ஆகிறதுஃ இங்கு qk என்பது r மற்றும் ek இன் திசையன் புள்ளி தயாரிப்பு ஆகும். P இல் உள்ள ஒரு துகள் v இன் திசைவேகத்தை P இல் இவ்வாறு வெளிப்படுத்தலாம்ஃ இங்கு vk என்பது v மற்றும் ek இன் திசையன் புள்ளி பெருக்கல், மேலும் புள்ளிகளுக்கு மேல் நேரம் வேறுபாட்டைக் குறிக்கிறது. அடிப்படை திசையன்களின் நேர வழித்தோன்றல்களை மேலே அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட அளவுகோல் காரணிகளின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தலாம். எடுத்துக்காட்டாகஃ அல்லது, பொதுவாக இதில் அலகு திசையன்களின் குணகங்கள் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பிற்கான கிறிஸ்டோஃபெல் சின்னங்களாகும். கிறிஸ்டோஃபெல் சின்னங்களுக்கான பொதுவான குறியீடு மற்றும் சூத்திரங்கள் பின்வருமாறுஃ மேலும் அனைத்து குறியீடுகளும் வேறுபட்டிருக்கும்போது சின்னம் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும். இதற்கு நேர்மாறாக தோன்றினாலும், கிறிஸ்டோஃபெல் சின்னங்கள் ஒரு டென்சரின் கூறுகளை உருவாக்கவில்லை. எடுத்துக்காட்டாக, அவை கார்ட்டீசியன் ஆயத்தொகுப்புகளில் பூஜ்ஜியமாக உள்ளன, ஆனால் துருவ ஆயத்தொகுப்புகளில் இல்லை. இது போன்ற உறவுகளைப் பயன்படுத்துவது, இது எல்லா நேரத்திலும் வழித்தோன்றல்களை மதிப்பீடு செய்ய அனுமதிக்கிறது. எடுத்துக்காட்டாக, வேகத்திற்குஃ பிராக்கெட் குறியீட்டை மாற்றும் கிறிஸ்டோஃபெல் சின்னங்களுக்கான γ-குறியீட்டுடன். அதே அணுகுமுறையைப் பயன்படுத்தி, முடுக்கம் பின்னர் முடுக்கத்திற்கான உறவைப் பார்க்கும்போது, முதல் கூட்டுத்தொகையில் வேகத்தின் நேர வழித்தோன்றல்கள் உள்ளன, இவை கார்ட்டீசியன் ஆயத்தொகுதிகளாக இருந்தால் முடுக்கத்துடன் தொடர்புடையதாக இருக்கும், மேலும் இரண்டாவது கூட்டுத்தொகை (கிறிஸ்டோஃபெல் சின்னங்களுடன் ஒன்று) அலகு திசையன்கள் நேரத்துடன் மாறும் விதம் தொடர்பான சொற்களைக் கொண்டுள்ளது. "ஸ்டேட்-ஆஃப்-மோஷன்" மற்றும் "ஒருங்கிணைந்த" கற்பனையான சக்திகள் முன்னதாக இந்த கட்டுரையில் இரண்டு சொற்களுக்கு இடையே ஒரு வேறுபாடு அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது, ஒரு மந்தமான குறிப்பு கட்டமைப்பில் மறைந்துவிடும் கற்பனையான சக்திகள் இந்த கட்டுரையில் "ஸ்டேட்-ஆஃப்-மோஷன்" கற்பனையான சக்திகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, மேலும் ஒரு குறிப்பிட்ட ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் உள்ள வேறுபாட்டிலிருந்து உருவாகும் சக்திகள் "ஒருங்கிணைந்த" கற்பனையான சக்திகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. மேலே உள்ள முடுக்கத்திற்கான வெளிப்பாட்டைப் பயன்படுத்தி, நியூட்டனின் இயக்க விதி மந்தமான குறிப்பு சட்டத்தில் பின்வருமாறு மாறுகிறதுஃ இங்கு F என்பது துகள் மீதான நிகர உண்மையான விசை. கட்டமைப்பானது நிலைத்தன்மை கொண்டிருப்பதால் கற்பனையான இயக்கத்தின் நிலை சக்திகள் எதுவும் இல்லை, மேலும் வரையறையின்படி, ஒரு நிலைத்தன்மை கட்டமைப்பில் "இயக்கத்தின் நிலை" கற்பனையான சக்திகள் பூஜ்ஜியமாக உள்ளன. மேற்கண்ட நியூட்டனின் விதியின் "ஒருங்கிணைப்பு" அணுகுமுறை, இந்த சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்தில் உள்ள இரண்டாவது வரிசை நேர வழித்தோன்றல்களை மட்டுமே இந்த சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்தில் தக்கவைத்துக்கொள்வதாகும், இது இயற்பியலை விட கணித வசதியால் அதிகம் உந்தப்படுகிறது. அந்த நோக்கத்திற்காக, விசை விதியை மீண்டும் எழுதலாம், இரண்டாவது கூட்டுத்தொகையை சமன்பாட்டின் விசை பக்கத்திற்கு இவ்வாறு எடுத்துச் செல்லலாம்ஃ "முடுக்கம்" இப்போது என்ற மரபுடன்ஃ மேலே உள்ள வெளிப்பாட்டில், சமன்பாட்டின் விசை பக்கத்திற்கு சேர்க்கப்பட்ட கூட்டுத்தொகை இப்போது சேர்க்கப்பட்ட "சக்திகள்" இருப்பது போல் கருதப்படுகிறது. இந்த கூட்டுத்தொகை சொற்கள் வழக்கமாக இந்த "ஒருங்கிணைப்பு" அணுகுமுறைக்குள் கற்பனையான சக்திகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, இருப்பினும் இந்த மந்தமான கட்டமைப்பில் அனைத்து "இயக்கத்தின் நிலை" கற்பனையான சக்திகளும் ஒரே மாதிரியாக பூஜ்ஜியமாக உள்ளன. மேலும், இந்த "சக்திகள்" ஒருங்கிணைந்த மாற்றங்களின் கீழ் திசையன்களாக மாறுவதில்லை. எனவே, கூட்டுத்தொகையின் சொற்களை "கற்பனையான சக்திகள்" என்று குறிப்பிடுவது எந்தவொரு உண்மையான சக்தியிலிருந்தும் முற்றிலும் வேறுபட்ட பங்களிப்புகளுக்கும், கற்பனையான சக்திகளிலிருந்தும் இந்த சொற்களைப் பயன்படுத்துகிறது. இந்த குழப்பத்தை மேலும் அதிகரிப்பது என்னவென்றால், இந்த "ஒருங்கிணைந்த" கற்பனையான சக்திகள் இரண்டு குழுக்களாகப் பிரிக்கப்பட்டு, "ஸ்டேட்-ஆஃப்-மோஷன்" கற்பனையான சக்திகளின் அதே பெயர்கள் வழங்கப்படுகின்றன, அதாவது, அவை "மையவிலக்கு" மற்றும் "கோரியோலிஸ்" சொற்களாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளன, அவை "ஸ்டேட்-ஆஃப்-மோஷன்" மையவிலக்கு மற்றும் கோரியோலிஸ் சொற்கள் அல்லாத சொற்களைச் சேர்த்திருந்தாலும். எடுத்துக்காட்டாக, இந்த "ஒருங்கிணைந்த" மையவிலக்கு மற்றும் கோரியோலிஸ் சொற்கள் ஒரு மந்தமான குறிப்பு கட்டமைப்பில் கூட பூஜ்ஜியமற்றதாக இருக்கலாம், அங்கு "இயக்கத்தின் நிலை" மையவிலக்கு விசை (இந்த கட்டுரையின் பொருள்) மற்றும் கோரியோலிஸ் விசை எப்போதும் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும். சட்டகம் நிலைத்தன்மையற்றதாக இல்லாவிட்டால், எடுத்துக்காட்டாக, சுழலும் குறிப்புச் சட்டத்தில், கற்பனையான சக்திகள் மேற்கூறிய "ஒருங்கிணைந்த" கற்பனையான விசை வெளிப்பாட்டிற்குள் சேர்க்கப்பட்டுள்ளன. மேலும், வேகத்தின் முதல்-வரிசை நேர வழித்தோன்றல்களின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தப்படும் "முடுக்கம்" காலப்போக்கில் உள்ள ஆயத்தொகுதிகளின் (qk) இரண்டாவது-வரிசை வழித்தோன்றல்கள் மட்டுமல்ல, இரண்டாவது-வரிசை அல்லாத இந்த சொற்களும் சமன்பாட்டின் விசை-பக்கத்திற்கு கொண்டு வரப்பட்டு கற்பனையான சக்திகளுடன் சேர்க்கப்படுகின்றன. ஒரு லக்ராஞ்சியன் சூத்திரத்தின் கண்ணோட்டத்தில், அவை பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட கற்பனை சக்திகள் என்று அழைக்கப்படலாம். உதாரணமாக, ஹில்டிப்ராண்டைப் பார்க்கவும். கிறிஸ்டோஃபெல் சின்னங்களின் அடிப்படையில் இயக்கவியலின் உருவாக்கம் மற்றும் கற்பனையான சக்திகளின் "ஒருங்கிணைப்பு" பதிப்பு ஆகியவை இயக்கத்தின் சமன்பாடுகளின் லக்ராஞ்சியன் உருவாக்கம் தொடர்பாக ரோபோக்களின் வடிவமைப்பில் பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. குறிப்புகள் மற்றும் குறிப்புகள் நியூட்டனின் விளக்கத்தை பிரின்சிபியா மையவிலக்கு எதிர்வினை சக்தி-கொலம்பியா மின்னணு கலைக்களஞ்சியம் எம். அலோன்சோ மற்றும் ஈ. ஜே. ஃபின், அடிப்படை பல்கலைக்கழக இயற்பியல், அடிசன்-வெஸ்லி மையவிலக்கு விசை மற்றும் மையவிலக்கு விசை-ஒஸ்வேகோ நகரப் பள்ளி மாவட்ட மையவிலக்கு விசை மூலம் ஒரு ஆன்லைன் ரீஜண்ட்ஸ் தேர்வு இயற்பியல் பயிற்சியில் இருந்து ஹைப்பர்ஃபிசிக்ஸ் கருத்துகள் தளத்தில் ஒரு கருந்துளை மையவிலக்கு விசைக்கு அருகில் உள்நோக்கி செயல்படுகிறது பிரையன் ஃபீட்லர் (ஓக்லஹோமா பல்கலைக்கழகத்தின் வானிலைப் பள்ளியில் இருந்து) கற்பனையான சக்திகளை விளக்கும் ஒரு தட்டையான மேற்பரப்பு ஜாவா பிசிலெட்டின் மீது வெளிப்புற இணைப்புகளின் பட்டியல். சுழற்சி மற்றும் சுழற்சி அல்லாத கண்ணோட்டத்தில் பார்க்கும் கண்ணோட்டம் இரண்டையும் பிசிலெட் காட்டுகிறது. பிரையன் ஃபீட்லர் (ஓக்லஹோமா பல்கலைக்கழகத்தின் வானிலைப் பள்ளியில் இருந்து) கற்பனையான சக்திகளை விளக்கும் ஒரு பரவளைய மேற்பரப்பு ஜாவா பிசிலெட்டின் மீது இயக்கம். சுழற்சியில் இருந்து பார்க்கும் கண்ணோட்டம் மற்றும் சுழற்சி அல்லாத கண்ணோட்டத்தில் பார்க்கும் கண்ணோட்டம் ஆகிய இரண்டையும் பிசிலெட் காட்டுகிறது. ஒரு மந்தமான சட்டகம் மற்றும் சுழலும் குறிப்பு சட்டகம் இரண்டிலிருந்தும் பார்க்கும் காட்சிகளைக் காட்டும் அனிமேஷன் கிளிப், கோரியோலிஸ் மற்றும் மையவிலக்கு சக்திகளைக் காட்சிப்படுத்துகிறது. H2g2 இல் உள்ள மையப்பகுதி மையவிலக்கு விசையில் மையப்பகுதி மற்றும் மையவிலக்கு விசைகள் ஜான் பெய்ஸ்ஃ மையவிலக்கு விசை சந்திரனை மேலே வைத்திருக்கிறதா? மேலும் காண்கஃ சார்பான மையவிலக்கு விசையை கணக்கிடுதல் சுற்றோட்ட விசை கோரியோலிஸ் விளைவு (புலனுணர்வு) சமநிலைக் கோட்பாடு பக்கெட் வாதம் குறிப்பின் கட்டமைப்பின் மந்த அமைப்பு கோண சுழற்சி விசை ஆய்லர் விசை-கட்டமைப்பின் கோண சுழற்சி விகிதம் மாறும்போது தோன்றும் விசை மையவிலக்கு விசை எதிர்வினை மையவிலக்கு விசை-ஒரு மையவிலக்கு விசை மையவிலக்கு விசை கற்பனை விசை காரணமாக எதிர்வினையாக ஏற்படும் விசை-குறிப்பு ஜி-விசை ஆர்த்தோகனல் ஆயத்தங்களின் கட்டமைப்பை மாற்றுவதன் மூலம் மறைந்துவிடும் ஒரு விசை.