SIC-POVM
குவாண்டம் இயக்கவியல் மற்றும் குவாண்டம் தகவல் கோட்பாட்டின் சூழலில், சமச்சீர், தகவல் ரீதியாக முழுமையான, நேர்மறை ஆபரேட்டர்-மதிப்புள்ள அளவீடுகள் (எஸ். ஐ. சி-பிஓவிஎம்) ஒரு குறிப்பிட்ட வகை பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட அளவீடு (பிஓவிஎம்) ஆகும். (1) தகவல் ரீதியாக முழுமையானது; (2) தகவல் முழுமையுடன் இணக்கமான குறைந்தபட்ச எண்ணிக்கையிலான விளைவுகளைக் கொண்டிருப்பது, மற்றும் (3) அதிக சமச்சீர் கொண்டிருப்பது போன்ற வரையறுக்கப்பட்ட அம்சங்களுக்கு எஸ். ஐ. சி-பி. ஓ. வி. எம். க்கள் குறிப்பாக குறிப்பிடத்தக்கவை. இந்த சூழலில், தகவல் முழுமை என்பது அளவீட்டுத் தரவுகளிலிருந்து உள்ளீட்டு நிலைகளை முழுமையாக மறுகட்டமைக்க அனுமதிக்கும் ஒரு பிஓவிஎம்-இன் பண்பு ஆகும். SIC-POVM களின் பண்புகள் அவற்றை ஒரு "நிலையான குவாண்டம் அளவீட்டிற்கான" ஒரு சுவாரஸ்யமான வேட்பாளராக ஆக்குகின்றன, இது அடித்தள குவாண்டம் இயக்கவியல் ஆய்வில் பயன்படுத்தப்படுகிறது, குறிப்பாக கியூபிசத்தில். குவாண்டம் நிலை டோமோகிராஃபி மற்றும் குவாண்டம் கிரிப்டோகிராஃபி ஆகியவற்றின் பின்னணியில் SIC-POVM கள் பல பயன்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளன, மேலும் ஹில்பர்ட்டின் பன்னிரண்டாவது சிக்கலுடன் ஒரு சாத்தியமான தொடர்பு கண்டுபிடிக்கப்பட்டுள்ளது. வரையறை ஒரு பரிமாண ஹில்பர்ட் இடத்தின் மீது ஒரு பி. ஓ. வி. எம் என்பது அடையாளத்தை கூட்டும் நேர்மறை-அரைக்கோள இயக்கிகளின் தொகுப்பாகும்ஃ ஒரு பி. ஓ. வி. எம் குறைந்தபட்சம் சுய-இணை ஆபரேட்டர்களின் இடத்தை பரப்பும் ஆபரேட்டர்களைக் கொண்டிருந்தால், அது ஒரு தகவல் ரீதியாக முழுமையான பி. ஓ. வி. எம் (ஐ. சி-பி. ஓ. வி. எம்) என்று கூறப்படுகிறது. சரியாக கூறுகளைக் கொண்ட ஐசி-பிஓவிஎம்கள் குறைந்தபட்சம் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. ஹில்பர்ட்-ஷ்மிட் உட்புற தயாரிப்புகளை சமமாக இணைக்கும் தரவரிசை-1 ப்ரொஜெக்டர்களின் தொகுப்பு, SIC-POVM எனப்படும் கூறுகளுடன் கூடிய குறைந்தபட்ச IC-POVM ஐ வரையறுக்கிறது. பண்புகள் சமச்சீர் ஒரு பிஓவிஎம் போன்ற தரவரிசை-1 ப்ரொஜெக்டர்களின் தன்னிச்சையான தொகுப்பைக் கவனியுங்கள், எனவே. ப்ரொஜெக்டர்களை சமமான ஜோடி வாரியான உள் தயாரிப்புகளைக் கொண்டிருக்கச் சொல்வது, அனைவருக்கும், இன் மதிப்பை நிர்ணயிக்கிறது. இதைப் பார்க்க, அதைக் குறிக்கிறது என்பதைக் கவனியுங்கள். எனவே, இந்த பண்பு தான் SIC-POVMகளை சமச்சீராக ஆக்குகிறது; ஹில்பர்ட்-ஷ்மிட் உள் விளைபொருளைப் பொறுத்தவரை, எந்த ஜோடி உறுப்புகளும் வேறு எந்த ஜோடிக்கும் சமமானவை. எஸ். ஐ. சி-பி. ஓ. வி. எம் கூறுகளைப் பயன்படுத்துவதில், ஒரு சுவாரஸ்யமான சூப்பர் ஆபரேட்டரை உருவாக்க முடியும், இது எந்த வரைபடத்தைப் போன்றது. கோள டி-வடிவமைப்புகளுடன் எஸ். ஐ. சி-பி. ஓ. வி. எம்-களின் உறவைக் கருத்தில் கொள்வதில் இந்த ஆபரேட்டர் மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும். ஆனால் ஒரு SIC-POVM இன் கூறுகள் எந்தவொரு குவாண்டம் நிலையையும் முழுமையாகவும் தனித்துவமாகவும் தீர்மானிக்க முடியும் என்பதால், இந்த நேரியல் ஆபரேட்டரை எந்தவொரு நிலையின் சிதைவுக்கும் பயன்படுத்தலாம், இதன் விளைவாக பின்வருவனவற்றை எழுதும் திறன் ஏற்படுகிறதுஃ இங்கிருந்து, இடது தலைகீழ் கணக்கிடப்படலாம், எனவே, ஒரு நிலைக்கு ஒரு வெளிப்பாட்டை அரை-நிகழ்தகவு விநியோகத்தின் அடிப்படையில் உருவாக்க முடியும் என்ற அறிவுடன், பின்வருமாறுஃ ஹில்பர்ட் இடத்தில் பார்க்கப்படும் அடர்த்தி ஆபரேட்டருக்கான டைராக் குறியீடு எங்கே. SIC-POVM ஐ வரையறுக்கும் சமன்பாடுகளை கையால் தீர்க்க முடியும், இது ப்ளோச் கோளத்தில் ஒரு வழக்கமான டெட்ராஹெட்ரானின் செங்குத்துகளை உருவாக்கும் திசையன்களை வழங்குகிறது. SIC-POVM ஐ வரையறுக்கும் ப்ரொஜெக்டர்கள் இதன் மூலம் வழங்கப்படுகின்றன, மேலும் SIC-POVM இன் கூறுகள் இவ்வாறு உள்ளன. அதிக பரிமாணங்களுக்கு இது சாத்தியமற்றது, மேலும் அதிநவீன அணுகுமுறையைப் பயன்படுத்துவது அவசியம். குழு கோவேரியன்ஸ் பொது குழு கோவேரியன்ஸ் ஒரு எஸ். ஐ. சி-பி. ஓ. வி. எம் குழு கோவேரியன் என்று கூறப்படுகிறது, இது போன்ற ஒரு பரிமாண ஒற்றையாட்சி பிரதிநிதித்துவம் கொண்ட ஒரு குழு இருந்தால் குழு கோவேரியன்ஸின் பண்புகளை சுரண்டுவதன் மூலம் எஸ். ஐ. சி-பி. ஓ. வி. எம். க்கான தேடலை பெரிதும் எளிமைப்படுத்த முடியும். உண்மையில், சிக்கல் ஒரு இயல்பாக்கப்பட்ட நம்பகமான திசையனைக் கண்டுபிடிப்பதற்கு குறைக்கப்படுகிறது. எஸ். ஐ. சி-பி. ஓ. வி. எம் என்பது ஆன் இன் குழு நடவடிக்கையால் உருவாக்கப்படும் தொகுப்பாகும். Zd × Zd இன் வழக்கு இதுவரை, பெரும்பாலான SIC-POVM கள் கீழ் உள்ள குழு கோவேரியன்ஸைக் கருத்தில் கொண்டு கண்டறியப்பட்டுள்ளன. யூனிட்டரி பிரதிநிதித்துவத்தை உருவாக்க, டி-பரிமாணங்களில் யூனிட்டரி ஆபரேட்டர்களின் குழுவிற்கு வரைபடம் செய்கிறோம். பல ஆபரேட்டர்கள் முதலில் அறிமுகப்படுத்தப்பட வேண்டும். இதற்கு ஒரு அடிப்படையாக இருக்கட்டும், பின்னர் கட்ட ஆபரேட்டர் என்பது ஒற்றுமையின் வேர் மற்றும் ஷிப்ட் ஆபரேட்டர் இந்த இரண்டு ஆபரேட்டர்களையும் இணைப்பது வெய்ல் ஆபரேட்டரை வழங்குகிறது, இது ஹைசன்பெர்க்-வேய்ல் குழுவை உருவாக்குகிறது. இது ஒரு யூனிட்டரி ஆபரேட்டர், ஏனெனில் மேப்பிங் ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் யூனிட்டரி பிரதிநிதித்துவம் என்பதை சரிபார்க்கலாம். இது குழு கோவேரியன்ஸுக்கான அனைத்து பண்புகளையும் திருப்திப்படுத்துகிறது, மேலும் எஸ். ஐ. சி செட்களின் எண் கணக்கீட்டிற்கு பயனுள்ளதாக இருக்கும். SIC-POVM களின் சில பயனுள்ள பண்புகளைக் கருத்தில் கொண்டால், அத்தகைய செட்களை தன்னிச்சையான பரிமாணத்தின் ஹில்பர்ட் இடத்தில் கட்ட முடியுமா என்பது சாதகமாக தெரிந்தால் அது பயனுள்ளதாக இருக்கும். முதலில் Zauner இன் ஆய்வறிக்கையில் முன்மொழியப்பட்டது, தன்னிச்சையான பரிமாணங்களுக்கு ஒரு நம்பகமான திசையன் இருப்பதைப் பற்றிய ஒரு அனுமானம் கருதப்பட்டது. மேலும் குறிப்பாக, ஒவ்வொரு பரிமாணத்திற்கும் ஒரு SIC-POVM உள்ளது, அதன் கூறுகள் வேய்ல்-ஹைசன்பெர்க் குழுவின் கீழ் ஒரு நேர்மறையான தரவரிசை-ஒரு ஆபரேட்டரின் சுற்றுப்பாதையாகும். மேலும் என்னவென்றால், ஜாகோபி குழுவின் ஒரு உறுப்பு டி உடன் பயணிக்கிறது. மையத்தில் உள்ள மட்டு மீது T இன் செயல்பாடு மூன்று வரிசையைக் கொண்டுள்ளது. குழு கோவேரியன்ஸ் என்ற கருத்தைப் பயன்படுத்தி, இதை இவ்வாறு மறுபரிசீலனை செய்யலாம் எந்த பரிமாணத்திற்கும், ஒரு ஆர்த்தோனார்மல் அடிப்படையாக இருக்கட்டும், பின்னர் தொகுப்பு ஒரு SIC-POVM ஆகும். பகுதி முடிவுகள் தன்னிச்சையான பரிமாணங்களுக்கான எஸ். ஐ. சி-பி. ஓ. வி. எம்-கள் இருப்பதற்கான ஆதாரம் ஒரு திறந்த கேள்வியாகவே உள்ளது, ஆனால் இது குவாண்டம் தகவல் சமூகத்தில் தொடர்ந்து நடைபெற்று வரும் ஆராய்ச்சித் துறையாகும். SIC செட்களுக்கான துல்லியமான வெளிப்பாடுகள் ஹில்பர்ட் இடைவெளிகளின் அனைத்து பரிமாணங்களுக்கும் உட்பட, மற்றும் சில உயர் பரிமாணங்களில், மொத்தத்தில் 115 மதிப்புகளுக்கு காணப்படுகின்றன. மேலும், ஹைசன்பெர்க் குழு கோவேரியன்ஸைப் பயன்படுத்தி, அனைத்து முழு எண்களுக்கும் எண் தீர்வுகள் கண்டுபிடிக்கப்பட்டுள்ளன, மேலும் சில பெரிய பரிமாணங்களில். கோள டி-வடிவமைப்புகளுடனான உறவு ஒரு கோள டி-வடிவமைப்பு என்பது டி-பரிமாண பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ஹைப்பர்ஸ்பியரில் உள்ள திசையன்களின் தொகுப்பாகும், அதாவது எந்த-வரிசை பல்லுறுப்புக்கோவையின் சராசரி மதிப்பும் அனைத்து இயல்பாக்கப்பட்ட திசையன்களின் சராசரிக்கு சமமாக இருக்கும். ஹில்பர்ட் இடைவெளிகளின் டி-மடிப்பு டென்சர் பெருக்கல் என்றும், டி-மடிப்பு டென்சர் தயாரிப்பு பிரேம் ஆபரேட்டர் என்றும் வரையறுத்தால், இயல்பாக்கப்பட்ட திசையன்களின் தொகுப்பு ஒரு கோள டி-வடிவமைப்பை உருவாக்குகிறது என்பதைக் காட்ட முடியும். டி-பரிமாண ஹில்பர்ட் இடத்தில், இரண்டு தனித்துவமான தளங்கள் பரஸ்பர பக்கச்சார்பற்றவை என்று கூறப்படுகிறது, இது இயற்கையில் SIC-POVM களின் சமச்சீர் பண்புக்கு ஒத்ததாகத் தோன்றினால். ஒரு முழுமையான பக்கச்சார்பற்ற தளங்களின் தொகுப்பு ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட ப்ரொஜெக்டிவ் பிளேன் எனப்படும் வடிவியல் கட்டமைப்பை வழங்குகிறது, அதே நேரத்தில் ஒரு SIC-POVM (எந்த பரிமாணத்திலும் ஒரு பிரைம் பவர்) ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட அஃபைன் பிளேனை வழங்குகிறது, இது ஒரு வகை அமைப்பு, அதன் வரையறை புள்ளிகள் மற்றும் கோடுகள் பரிமாற்றத்தின் பாத்திரங்களுடன் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட ப்ரொஜெக்டிவ் பிளேனுக்கு ஒத்ததாகும். இந்த அர்த்தத்தில், எஸ். ஐ. சி-பி. ஓ. வி. எம்-களின் பிரச்சினைகள் மற்றும் பரஸ்பர பக்கச்சார்பற்ற தளங்கள் ஒருவருக்கொருவர் இரட்டை. பரிமாணத்தில், ஒப்புமையை மேலும் எடுத்துக் கொள்ளலாம்ஃ பரஸ்பர பக்கச்சார்பற்ற தளங்களின் முழுமையான தொகுப்பை ஒரு SIC-POVM இலிருந்து நேரடியாக உருவாக்க முடியும். SIC-POVM இன் 9 திசையன்கள், பரஸ்பர பக்கச்சார்பற்ற தளங்களின் 12 திசையன்களுடன் சேர்ந்து, கோசென்-ஸ்பெக்கர் ஆதாரத்தில் பயன்படுத்தக்கூடிய ஒரு தொகுப்பை உருவாக்குகின்றன. இருப்பினும், 6 பரிமாண ஹில்பர்ட் இடத்தில், ஒரு SIC-POVM அறியப்படுகிறது, ஆனால் பரஸ்பர பக்கச்சார்பற்ற தளங்களின் முழுமையான தொகுப்பு இன்னும் கண்டுபிடிக்கப்படவில்லை, மேலும் அத்தகைய தொகுப்பு எதுவும் இல்லை என்று பரவலாக நம்பப்படுகிறது. மேலும் காண்க குவாண்டம் இயக்கவியலில் அளவீடு பரஸ்பர பக்கச்சார்பற்ற தளங்கள் பிஓவிஎம் கியூபிசம் குறிப்புகள் குறிப்புகள் குவாண்டம் அளவீடு இயற்பியலில் தீர்க்கப்படாத சிக்கல்கள் கணிதத்தில் தீர்க்கப்படாத சிக்கல்கள் ஹில்பர்ட் ஸ்பேஸ்கள் ஆபரேட்டர் கோட்பாடு நிகழ்வு வடிவியல் யூக்ளிடியன் விமான வடிவியல் இயற்கணித வடிவியல் கணினி உதவி ஆதாரங்கள்