Quantum t-design
குவாண்டம் டி-வடிவமைப்பு என்பது தூய குவாண்டம் நிலைகள் அல்லது யூனிட்டரி ஆபரேட்டர்கள் மீது நிகழ்தகவு விநியோகம் ஆகும், இது டிகிரி டி அல்லது அதற்கும் குறைவான பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கான ஹார் அளவின் மீது நிகழ்தகவு விநியோகத்தின் பண்புகளை நகலெடுக்க முடியும். குறிப்பாக, வடிவமைப்பை விட டிகிரி t இன் எந்தவொரு பல்லுறுப்புக்கோவை செயல்பாட்டின் சராசரியும் ஹார் அளவின் சராசரியைப் போலவே இருக்கும். இங்கே ஹார் அளவீடு என்பது அனைத்து குவாண்டம் நிலைகளிலும் அல்லது அனைத்து யூனிட்டரி ஆபரேட்டர்களிலும் ஒரே மாதிரியான நிகழ்தகவு விநியோகமாகும். குவாண்டம் டி-வடிவமைப்புகள் இவ்வாறு அழைக்கப்படுகின்றன, ஏனெனில் அவை கிளாசிக்கல் புள்ளிவிவரங்களில் டி-வடிவமைப்புகளுக்கு ஒத்தவை, அவை வரலாற்று ரீதியாக சோதனைகளின் வடிவமைப்பின் சிக்கல் தொடர்பாக எழுந்தன. குவாண்டம் இயக்கவியலில் இரண்டு முக்கியமான வகை டி-வடிவமைப்புகள் ப்ரொஜெக்டிவ் மற்றும் யூனிட்டரி டி-வடிவமைப்புகள் ஆகும். ஒரு கோள வடிவமைப்பு என்பது அலகு கோளத்தில் உள்ள புள்ளிகளின் தொகுப்பாகும், இதற்காக வரம்புக்குட்பட்ட டிகிரியின் பல்லுறுப்புக்கோவைகளை சராசரியாகக் கொண்டு கோளத்தில் மேற்பரப்பு அளவின் மீது ஒருங்கிணைப்பது கொடுக்கும் அதே மதிப்பைப் பெறலாம். கோள மற்றும் திட்டவட்டமான டி-வடிவமைப்புகள் 1970 களின் பிற்பகுதியில் டெல்ஸார்ட், கோய்தல்ஸ் மற்றும் சீடெல் ஆகியோரின் படைப்புகளிலிருந்து அவற்றின் பெயர்களைப் பெற்றன, ஆனால் இந்த பொருள்கள் எண் ஒருங்கிணைப்பு மற்றும் எண் கோட்பாடு உள்ளிட்ட கணிதத்தின் பல கிளைகளில் முந்தைய பாத்திரங்களை வகித்தன. இந்த பொருட்களின் குறிப்பிட்ட எடுத்துக்காட்டுகள் குவாண்டம் தகவல் கோட்பாடு, குவாண்டம் குறியாக்கவியல் மற்றும் பிற தொடர்புடைய துறைகளில் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. யூனிட்டரி டி-டிசைன்கள் கோள வடிவமைப்புகளுக்கு ஒத்தவை, அவை யூனிட்டரி மேட்ரிக்ஸின் வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்பின் மூலம் முழு யூனிட்டரி குழுவையும் இனப்பெருக்கம் செய்கின்றன. கேட்ஸ் என்று அழைக்கப்படும் குவாண்டம் கம்ப்யூட்டிங் செயல்பாடுகளில் உள்ள பிழைகளை மதிப்பிடுவதற்கு திறமையான மற்றும் அளவிடக்கூடிய சீரற்ற அளவுகோல்களின் நடைமுறை வழிமுறைகளை அடைய 2006 ஆம் ஆண்டில் யூனிட்டரி 2-டிசைன்களின் கோட்பாடு உருவாக்கப்பட்டது. அப்போதிருந்து யூனிட்டரி டி-டிசைன்கள் குவாண்டம் கம்ப்யூட்டிங்கின் பிற பகுதிகளிலும், குவாண்டம் தகவல் கோட்பாட்டிலும் மிகவும் பரவலாக பயனுள்ளதாகக் கண்டறியப்பட்டுள்ளன, மேலும் கருந்துளை தகவல் முரண்பாடு வரை அடையும் சிக்கல்களுக்கு பயன்படுத்தப்படுகின்றன. ஒற்றை டி-வடிவமைப்புகள் குவாண்டம் கம்ப்யூட்டிங்கில் சீரற்ற பணிகளுக்கு குறிப்பாக பொருத்தமானவை, ஏனெனில் சிறந்த செயல்பாடுகள் பொதுவாக ஒற்றையாட்சி ஆபரேட்டர்களால் குறிப்பிடப்படுகின்றன. உந்துதல் ஒரு டி-பரிமாண ஹில்பர்ட் இடத்தில் அனைத்து குவாண்டம் தூய நிலைகளிலும் சராசரியாக இருக்கும்போது இயற்கையான குழு எஸ்யூ (டி), பரிமாணத்தின் சிறப்பு ஒற்றையாட்சி குழு டி. ஹார் அளவீடு, வரையறையின்படி, தனித்துவமான குழு-மாறுபட்ட அளவீடு, எனவே இது அனைத்து நிலைகளிலும் அல்லது அனைத்து யூனிட்டரிகளிலும் ஒற்றையாக மாறாத பண்புகளின் சராசரிக்கு பயன்படுத்தப்படுகிறது. இதற்கு குறிப்பாக பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படும் உதாரணம் சுழல் அமைப்பு ஆகும். இந்த அமைப்புக்கு பொருத்தமான குழு எஸ்யூ (2) ஆகும், இது அனைத்து 2x2 யூனிட்டரி ஆபரேட்டர்களின் குழுவாகும். எஸ்யூ (2) இல் உள்ள ஒவ்வொரு இயக்கியும் ப்ளோச் கோளத்தின் சுழற்சியாக இருப்பதால், ப்ளோச் கோளத்தின் அனைத்து சுழற்சிகளிலும் சுழற்சி-1/2 துகள்களுக்கான ஹார் அளவீடு மாறாது. இது ஹார் அளவீடு என்பது ப்ளோச் கோளத்தில் சுழற்சி ரீதியாக மாறாத அளவீடு என்பதைக் குறிக்கிறது, இது கோளத்தின் மேற்பரப்பில் ஒரு நிலையான அடர்த்தி விநியோகமாக கருதப்படலாம். சிக்கலான ப்ரொஜெக்டிவ் டி-டிசைன்களின் ஒரு முக்கியமான வகை, சமச்சீர் தகவல் ரீதியாக முழுமையான நேர்மறை ஆபரேட்டர்-மதிப்புள்ள அளவீடுகள் பிஓவிஎம் ஆகும், அவை சிக்கலான ப்ரொஜெக்டிவ் 2-டிசைன் ஆகும். அத்தகைய 2-வடிவமைப்புகள் குறைந்தபட்சம் கூறுகளைக் கொண்டிருக்க வேண்டும் என்பதால், ஒரு எஸ். ஐ. சி-பி. ஓ. வி. எம் என்பது குறைந்தபட்ச அளவிலான சிக்கலான ப்ரொஜெக்டிவ் 2-வடிவமைப்புகள் ஆகும். கோள டி-டிசைன்கள் சிக்கலான ப்ரொஜெக்டிவ் டி-டிசைன்கள் குவாண்டம் தகவல் கோட்பாட்டில் குவாண்டம் டி-டிசைன்களாக ஆய்வு செய்யப்பட்டுள்ளன. இவை அலகு கோளத்தில் உள்ள திசையன்களின் கோள 2t-வடிவமைப்புகளுடன் நெருக்கமாக தொடர்புடையவை, இதில் இயற்கையாக உட்பொதிக்கப்படும்போது சிக்கலான ப்ரொஜெக்டிவ் டி-வடிவமைப்புகளுக்கு வழிவகுக்கிறது. முறைப்படி, குவாண்டம் நிலைகளின் மீது ஒரு நிகழ்தகவு விநியோகத்தை ஒரு சிக்கலான ப்ரொஜெக்டிவ் டி-டிசைனாக வரையறுக்கிறோம், இங்கே, ஒருங்கிணைந்த நிலைகள் குவாண்டம் நிலைகளின் மீது துல்லியமான டி-வடிவமைப்புகளில் அலகு கோளத்தில் ஹார் அளவீட்டை எடுத்துக் கொள்ளப்பட்டால், நிகழ்தகவு விநியோகத்திலிருந்து ஒரு நிலையின் டி நகல்களைப் பயன்படுத்தும் போது அனைத்து நிலைகளிலும் சீரான நிகழ்தகவு விநியோகத்திலிருந்து வேறுபடுத்த முடியாது. இருப்பினும் நடைமுறையில் டி-டிசைன்களைக் கணக்கிடுவது கூட கடினமாக இருக்கலாம். இந்த காரணத்திற்காக தோராயமான டி-வடிவமைப்புகள் பயனுள்ளதாக இருக்கும். திறம்பட செயல்படுத்தப்படும் திறன் காரணமாக தோராயமான டி-வடிவமைப்புகள் மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும். அதாவது. காலப்போக்கில் நிகழ்தகவு விநியோகத்திற்கு ஏற்ப விநியோகிக்கப்பட்ட குவாண்டம் நிலையை உருவாக்க முடியும். இந்த திறமையான கட்டுமானம் ஆபரேட்டர்களின் பிஓவிஎம் சரியான நேரத்தில் செயல்படுத்தப்படலாம் என்பதையும் குறிக்கிறது. தோராயமான டி-வடிவமைப்பின் தொழில்நுட்ப வரையறைஃ என்றால் மற்றும் பின்னர் ஒரு-அருகிலுள்ள டி-வடிவமைப்பு. ஒரு நிலையான t க்கு குவாண்டம் தூய நிலைகளைக் கொண்ட ஒரு-அருகாமை t-வடிவமைப்பைக் கண்டுபிடிப்பது சாத்தியம், ஒருவேளை திறமையற்றது என்றாலும். வசதிக்காக d என்பது 2 இன் சக்தியாக கருதப்படுகிறது. எந்தவொரு d க்கும் {0,., d-1} {0,., d-1} செயல்பாடுகளின் தொகுப்பு உள்ளது என்ற உண்மையைப் பயன்படுத்தி, எந்தவொரு தனித்துவமான {0,., d-1} க்கும் f இன் கீழ் உள்ள படம், இங்கு f என்பது S இலிருந்து சீரற்ற முறையில் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகிறது, இது {0,., d-1} இன் N உறுப்புகளின் டப்பிள்களின் மீது ஒரே சீரான விநியோகமாகும். ஹார் அளவீட்டிலிருந்து எடுக்கப்படட்டும். மற்றும் லெட் இன் நிகழ்தகவு விநியோகமாக இருக்கட்டும். நாம் நிகழ்தகவு மற்றும் நிகழ்தகவுடன் வரையறுத்தால்ஃ ஒற்றைப்படை j மற்றும் சமமான j க்கு. இதையும் காஸியன் நாற்கரத்தையும் பயன்படுத்தி நாம் கட்டமைக்க முடியும், எனவே இது ஒரு தோராயமான டி-வடிவமாகும். யூனிட்டரி டி-டிசைன்கள் யூனிட்டரி டி-டிசைன்கள் கோள வடிவமைப்புகளுக்கு ஒத்தவை, அவை யூனிட்டரி மேட்ரிக்ஸின் வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்பின் மூலம் முழு யூனிட்டரி குழுவையும் இனப்பெருக்கம் செய்கின்றன. கேட்ஸ் என்று அழைக்கப்படும் குவாண்டம் கம்ப்யூட்டிங் செயல்பாடுகளில் உள்ள பிழைகளை மதிப்பிடுவதற்கு திறமையான மற்றும் அளவிடக்கூடிய சீரற்ற அளவுகோல்களின் நடைமுறை வழிமுறைகளை அடைய 2006 ஆம் ஆண்டில் யூனிட்டரி 2-டிசைன்களின் கோட்பாடு உருவாக்கப்பட்டது. அப்போதிருந்து ஒற்றையாட்சி டி-வடிவமைப்புகள் குவாண்டம் கம்ப்யூட்டிங்கின் பிற பகுதிகளிலும், குவாண்டம் தகவல் கோட்பாட்டிலும், கருந்துளை இயற்பியல் வரை அடையும் துறைகளிலும் மிகவும் பரவலாக பயனுள்ளதாக இருப்பது கண்டறியப்பட்டுள்ளது. ஒற்றை டி-வடிவமைப்புகள் குவாண்டம் கம்ப்யூட்டிங்கில் சீரற்ற பணிகளுக்கு குறிப்பாக பொருத்தமானவை, ஏனெனில் சிறந்த செயல்பாடுகள் பொதுவாக ஒற்றையாட்சி ஆபரேட்டர்களால் குறிப்பிடப்படுகின்றன. ஒரு யூனிட்டரி டி-டிசைனின் கூறுகள் யூனிட்டரி குழுவின் கூறுகளாகும், யு (டி), யூனிட்டரி மேட்ரிக்ஸின் குழு. யூனிட்டரி ஆபரேட்டர்களின் டி-வடிவமைப்பு நிலைகளின் டி-வடிவமைப்பை உருவாக்கும். ஒரு ஒற்றையாட்சி டி-வடிவமைப்பு என்று வைத்துக்கொள்வோம் (அதாவது. ஒற்றையாட்சி இயக்கிகளின் தொகுப்பு). பின்னர் எந்த தூய்மையான நிலையிலும் இருக்கட்டும். பின்னர் எப்போதும் மாநிலங்களுக்கு ஒரு டி-டிசைனாக இருக்கும். ஒரு யூனிட்டரி டி-டிசைனை முறைப்படி வரையறுக்கவும், எக்ஸ், யு இன் அனைத்து தேர்வுகளுக்கும் மேட்ரிக்ஸ்களால் நேரியல் ரீதியாக பரவியிருக்கும் இடைவெளி கட்டுப்பாட்டிற்கு ஒத்ததாக இருப்பதைக் கவனித்தால், இந்த அவதானிப்பு யூனிட்டரி டிசைன்கள் மற்றும் யூனிட்டரி குறியீடுகளுக்கு இடையிலான இரட்டைத்தன்மை பற்றிய முடிவுக்கு வழிவகுக்கிறது. வரிசைமாற்ற வரைபடங்களைப் பயன்படுத்தி யூனிட்டரி மேட்ரிக்ஸின் தொகுப்பு ஒரு டி-வடிவமைப்பை உருவாக்குகிறது என்பதை நேரடியாக சரிபார்க்க முடியும். இதன் ஒரு நேரடி விளைவு என்னவென்றால், X ஒரு t-வடிவமைப்பாக இருந்தால் மட்டுமே சமத்துவத்துடன் எந்த வரையறுக்கப்பட்டதும். 1 மற்றும் 2 வடிவமைப்புகள் சில விரிவாக ஆராயப்பட்டுள்ளன மற்றும் X இன் பரிமாணத்திற்கான முழுமையான வரம்புகள், |X |, பெறப்பட்டுள்ளன. ஒற்றையாட்சி வடிவமைப்புகளுக்கான எல்லைகள் டிகிரி t இன் ஒரே மாதிரியான மற்றும் டிகிரி t இன் ஒரே மாதிரியான செயல்பாடுகளின் தொகுப்பாக வரையறுக்கவும், பின்னர் ஒவ்வொன்றிற்கும்ஃ பின்னர் X என்பது ஒரு ஒற்றையாட்சி t-வடிவமைப்பு. செயல்பாடுகளுக்கான உள் விளைபொருளை மேலும் வரையறுக்கிறோம் மற்றும் சராசரி மதிப்பாகஃ மற்றும் எந்த வரையறுக்கப்பட்ட துணைக்குழுவின் சராசரி மதிப்பாகவும் வரையறுக்கிறோம். இது எக்ஸ் என்பது ஒரு யூனிட்டரி டி-டிசைன் என்றால் மற்றும் இருந்தால் மட்டுமே என்பதைப் பின்பற்றுகிறது. மேலே உள்ளவற்றிலிருந்து, எக்ஸ் ஒரு டி-டிசைனாக இருந்தால், அது வடிவமைப்பிற்கு ஒரு முழுமையான கட்டுப்பாடு என்பதை நிரூபிக்க முடியும். இது ஒரு ஒற்றையாட்சி வடிவமைப்பின் அளவில் ஒரு மேல் வரம்பை விதிக்கிறது. இந்த எல்லை என்பது முழுமையான பொருள், இது வடிவமைப்பின் வலிமை அல்லது குறியீட்டின் அளவை மட்டுமே சார்ந்துள்ளது, மேலும் துணைக்குழுவில் உள்ள தூரங்கள், எக்ஸ் அல்ல. ஒரு யூனிட்டரி குறியீடு என்பது யூனிட்டரி குழுவின் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட துணைக்குழுவாகும், இதில் உறுப்புகளுக்கு இடையில் ஒரு சில உள் தயாரிப்பு மதிப்புகள் நிகழ்கின்றன. குறிப்பாக, X இல் உள்ள அனைத்திற்கும் தனித்துவமான மதிப்புகளை மட்டுமே எடுத்துக் கொண்டால், ஒரு ஒற்றையாட்சி குறியீடு ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட துணைக்குழுவாக வரையறுக்கப்படுகிறது. இது பின்வருமாறு மற்றும் U மற்றும் M ஆர்த்தோகனல் என்றால்ஃ மேலும் காண்க கோள வடிவமைப்பு ஈக்வியங்குலர் கோடுகள் வெல்ச் வரம்புகள் குறிப்புகள் குவாண்டம் தகவல் அறிவியல் தகவல் கோட்பாடு குவாண்டம் தகவல் கோட்பாடு