Morass (set theory)
தன்னியக்க தொகுப்புக் கோட்பாட்டில், ஒரு கணித ஒழுக்கத்தில், ஒரு சதுப்பு நிலமானது ஒரு எல்லையற்ற ஒருங்கிணைந்த கட்டமைப்பாகும், இது ஒரு "சிறிய" எண்ணிக்கையிலான "சிறிய" தோராயங்களிலிருந்து "பெரிய" கட்டமைப்புகளை உருவாக்க பயன்படுகிறது. கார்டினல் டிரான்ஸ்பர் கோட்பாடுகள் கட்டமைப்புத்திறனின் கோட்பாட்டின் கீழ் உள்ளன என்பதற்கான சான்றுக்காக ரொனால்ட் ஜென்சன் அவற்றைக் கண்டுபிடித்தார். எளிமைப்படுத்தப்பட்ட சதுப்புநிலம் என்று அழைக்கப்படும் மிகவும் குறைவான சிக்கலான ஆனால் சமமான மாறுபாடு வெல்லேமனால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது, மேலும் சதுப்புநிலம் என்ற சொல் இப்போது பெரும்பாலும் இந்த எளிய கட்டமைப்புகளைக் குறிக்கப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. கண்ணோட்டம் n> 1 க்கான இடைவெளி-n முரண்பாடுகள் என்று அழைக்கப்படுவதை வரையறுக்க முடியும் என்றாலும், அவை மிகவும் சிக்கலானவை, குறிப்பிட்ட பயன்பாடுகளைத் தவிர, இடைவெளி-1 வழக்கில் கவனம் பொதுவாக கட்டுப்படுத்தப்படுகிறது. "இடைவெளி" என்பது அடிப்படையில் பயன்படுத்தப்படும் "சிறிய தோராயங்களின்" அளவிற்கும் இறுதி கட்டமைப்பின் அளவிற்கும் இடையிலான முக்கிய வேறுபாடாகும். கணக்கிட முடியாத வழக்கமான கார்டினல் κ (a (κ, 1)-மொராஸ் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) மீது உள்ள ஒரு (இடைவெளி-1) சதுப்பு நிலத்தில் κ + 1 உயரமுள்ள ஒரு மரம் உள்ளது, அதன் மேல் மட்டத்தில் κ +-பல முனைகள் உள்ளன. முனைகள் ஆர்டினல்களாக எடுத்துக் கொள்ளப்படுகின்றன, மேலும் இந்த ஆர்டினல்களுக்கு இடையிலான செயல்பாடுகள் மர வரிசையில் உள்ள விளிம்புகளுடன் தொடர்புடையவை. மேல் நிலை முனைகளின் வரிசை அமைப்பு π வரைபடங்கள் மூலம் அந்த முனைக்கு கிளையில் உள்ள வரிசைமுறைகளின் நேரடி வரம்பாக "கட்டமைக்கப்பட வேண்டும்", எனவே கீழ் நிலை முனைகளை (பெரிய) மேல் நிலை முனையின் தோராயங்களாகக் கருதலாம். இது குறிப்பாக "நல்ல" வழியில் நடக்க வேண்டும் என்று மேலும் கோட்பாடுகளின் நீண்ட பட்டியல் விதிக்கப்படுகிறது. மாறுபாடுகள் மற்றும் சமமான வெல்லேமன் மற்றும் ஷெலா மற்றும் ஸ்டான்லி ஆகியோர் நிபுணர்கள் அல்லாதவர்களால் அவற்றின் பயன்பாட்டை எளிதாக்குவதற்காக, சதுப்புநிலங்களின் இருப்புக்கு சமமான கட்டாய கோட்பாடுகளை சுயாதீனமாக உருவாக்கினர். மேலும், வெல்லேமன், சதுப்பு நிலங்களின் இருப்பு எளிமைப்படுத்தப்பட்ட சதுப்பு நிலங்களுக்கு சமம் என்பதைக் காட்டினார், அவை மிகவும் எளிமையான கட்டமைப்புகள். இருப்பினும், கோடலின் கட்டமைக்கக்கூடிய பிரபஞ்சத்தில் ஒரு எளிமைப்படுத்தப்பட்ட சதுப்பு நிலத்தின் ஒரே அறியப்பட்ட கட்டுமானம் சதுப்பு நிலங்கள் மூலம் மட்டுமே, எனவே அசல் கருத்து ஆர்வத்தைத் தக்க வைத்துக் கொள்கிறது. சதுப்பு நிலங்களில் உள்ள பிற வகைகளும், பொதுவாக கூடுதல் கட்டமைப்புடன், பல ஆண்டுகளாக தோன்றியுள்ளன. இவற்றில் உலகளாவிய சதுப்பு நிலங்கள் அடங்கும், இதன் மூலம் κ இன் ஒவ்வொரு துணைக்குழுவும் சதுப்பு நிலங்களின் கிளைகள் வழியாக கட்டமைக்கப்படுகிறது, சதுப்பு நிலங்கள், அவை ஒவ்வொரு கிளையிலும் ஒரு முனை இருக்க வேண்டிய நிலைகளாக (மங்கள்கள்) அடுக்கி வைக்கப்படுகின்றன, மேலும் சதுப்பு நிலங்கள். எளிமைப்படுத்தப்பட்ட சதுப்பு நில வெல்லேமேன் இடைவெளி-1 எளிமைப்படுத்தப்பட்ட சதுப்பு நிலங்களை வரையறுத்தார், அவை இடைவெளி-1 சதுப்பு நிலங்களை விட மிகவும் எளிமையானவை, மேலும் இடைவெளி-1 சதுப்பு நிலங்களின் இருப்பு இடைவெளி-1 எளிமைப்படுத்தப்பட்ட சதுப்பு நிலங்களின் இருப்புக்கு சமம் என்பதைக் காட்டியது. தோராயமாக கூறுவதானால்ஃ a (κ, 1)-எளிமைப்படுத்தப்பட்ட மொராஸ் M = <φ →, F ணி> என்பது φ → = <φβ: β ≤ κ> வரிசை வரிசைகளைக் கொண்டுள்ளது, அதாவது φβ <κ மற்றும் φκ = κ + க்கு φβ <κ, மற்றும் இரட்டை வரிசை F ணி = <Fα, β: α <β ≤ κ> இதில் Fα, β என்பது குறிப்பிட்ட (எளிதான ஆனால் முக்கியமான) நிபந்தனைகளுடன் α <β ≤ κ க்கான φα முதல் φβ வரை மோனோடோன் வரைபடங்களின் தொகுப்பாகும். வெல்லேமேனின் தெளிவான வரையறையை இங்கு காணலாம், அங்கு அவர் ZFC இல் (ω0,1) எளிமைப்படுத்தப்பட்ட சதுப்பு நிலங்களையும் உருவாக்கினார். இல் அவர் இடைவெளி-2 எளிமைப்படுத்தப்பட்ட சதுப்பு நிலங்களுக்கு ஒத்த எளிய வரையறைகளை வழங்கினார், மேலும் இல் அவர் ZFC இல் (ω0,2) எளிமைப்படுத்தப்பட்ட சதுப்பு நிலங்களை உருவாக்கினார். மோர்கன் மற்றும் ஸ்சால்காய் ஆகியோரால் எந்த n ±1 க்கும் அதிக இடைவெளி எளிமைப்படுத்தப்பட்ட சதுப்பு நிலங்கள் வரையறுக்கப்பட்டன. தோராயமாக கூறுவதானால்ஃ a (κ, n + 1)-எளிமைப்படுத்தப்பட்ட மொராஸ் (ஸ்ஸால்காயின்) M = <M →, F ணி> ஒரு வரிசையைக் கொண்டுள்ளது M → = <Mβ: β ≤ κ> இன் (<κ, n)-எளிமைப்படுத்தப்பட்ட மொராஸ் போன்ற கட்டமைப்புகள் β <κ மற்றும் Mκ a (κ +, n)-எளிமைப்படுத்தப்பட்ட மொராஸ், மற்றும் இரட்டை வரிசை F ணி = <Fα, β: α <β ≤ κ> இதில் Fα, β என்பது குறிப்பிட்ட நிபந்தனைகளுடன் α <β ≤ κ க்கான Mα முதல் Mβ வரையிலான வரைபடங்களின் தொகுப்பாகும். குறிப்புகள் மரங்கள் (தொகுப்புக் கோட்பாடு)