Lonely runner conjecture
எண் கோட்பாட்டில், குறிப்பாக டயோஃபாண்டைன் தோராயத்தைப் பற்றிய ஆய்வில், தனிமையான ரன்னர் அனுமானம் என்பது ஒரு வட்டப் பாதையில் ஓட்டப்பந்தய வீரர்களின் நீண்டகால நடத்தை பற்றிய ஒரு அனுமானமாகும். அலகு நீளத்தின் பாதையில் ஓட்டப்பந்தய வீரர்கள், ஒருவருக்கொருவர் வேறுபட்ட நிலையான வேகத்துடன், ஒவ்வொருவரும் சில நேரங்களில் தனிமையாக இருப்பார்கள்-குறைந்தபட்சம் மற்றவர்களிடமிருந்து அலகுகள் தொலைவில் இருப்பார்கள் என்று அது கூறுகிறது. இந்த அனுமானம் முதன்முதலில் 1967 ஆம் ஆண்டில் ஜெர்மன் கணிதவியலாளர் ஜோர்க் எம். வில்ஸ் என்பவரால் முற்றிலும் எண்-கோட்பாட்டு சொற்களிலும், 1974 ஆம் ஆண்டில் டி. டபிள்யூ. குசிக் என்பவரால் சுயாதீனமாகவும் முன்வைக்கப்பட்டது; அதன் விளக்கப்படம் மற்றும் இப்போது பிரபலமான சூத்திரம் 1998 ஆம் ஆண்டைச் சேர்ந்தது. 7 ஓட்டப்பந்தய வீரர்கள் அல்லது அதற்கும் குறைவானவர்களுக்கு இந்த அனுமானம் உண்மை என்று அறியப்படுகிறது, ஆனால் பொதுவான வழக்கு தீர்க்கப்படாமல் உள்ளது. அனுமானத்தின் தாக்கங்களில் பார்வை-தடை சிக்கல்களுக்கான தீர்வுகள் மற்றும் சில வரைபடங்களின் நிற எண்கள் தொடர்பான பண்புகளின் வரம்புகள் ஆகியவை அடங்கும். உருவாக்கம் அலகு நீளத்தின் வட்டப் பாதையில் ஓட்டப்பந்தய வீரர்களைக் கவனியுங்கள். ஆரம்ப நேரத்தில், அனைத்து ஓட்டப்பந்தய வீரர்களும் ஒரே நிலையில் உள்ளனர் மற்றும் ஓடத் தொடங்குகிறார்கள்; ஓட்டப்பந்தய வீரர்களின் வேகம் நிலையானது, அனைத்தும் தனித்துவமானது மற்றும் எதிர்மறையாக இருக்கலாம். ஒரு ஓட்டப்பந்தய வீரர் ஒவ்வொரு ஓட்டப்பந்தய வீரரிடமிருந்தும் குறைந்தபட்சம் ஒரு தூரத்தில் (வட்டத்தில் அளவிடப்பட்டால்) இருந்தால் அந்த நேரத்தில் தனிமையாக இருப்பதாகக் கூறப்படுகிறது. தனிமையான ஓட்டப்பந்தய வீரர் அனுமானம் ஒவ்வொரு ஓட்டப்பந்தய வீரரும் வேகத்தின் தேர்வைப் பொருட்படுத்தாமல் சில நேரங்களில் தனிமையாக இருப்பதாகக் கூறுகிறது. இந்த அனுமானத்தின் காட்சி உருவாக்கம் முதன்முதலில் 1998 இல் வெளியிடப்பட்டது. ஜோர்க் எம். வில்ஸின் அசல் உட்பட பல சூத்திரங்களில், சில எளிமைப்படுத்தல்கள் செய்யப்படுகின்றன. தனியாக இருக்க வேண்டிய ஓட்டப்பந்தய வீரர் 0 இல் (பூஜ்ஜிய வேகத்துடன்) நிலையானவர், எனவே பூஜ்ஜியமற்ற வேகத்துடன் மற்ற ஓட்டப்பந்தய வீரர்கள் கருதப்படுகிறார்கள். நகரும் ஓட்டப்பந்தய வீரர்கள் மேலும் நேர்மறை வேகங்களுக்கு மட்டுமே கட்டுப்படுத்தப்படலாம்ஃ சமச்சீர் மூலம், வேகத்துடன் ஓட்டப்பந்தய வீரர்கள் மற்றும் எல்லா நேரங்களிலும் 0 இலிருந்து ஒரே தூரத்தைக் கொண்டுள்ளனர், எனவே அடிப்படையில் சமமானவர்கள். எந்தவொரு நிலையான ஓட்டப்பந்தய வீரருக்கும் முடிவை நிரூபிப்பது அனைத்து ஓட்டப்பந்தய வீரர்களுக்கும் பொதுவான முடிவைக் குறிக்கிறது, ஏனெனில் அவர்கள் அனைத்து ஓட்டப்பந்தய வீரர்களிடமிருந்தும் தங்கள் வேகத்தைக் கழிப்பதன் மூலம் நிலையானதாக மாற்றப்படலாம், இதனால் அவர்கள் பூஜ்ஜிய வேகத்தில் விடப்படுவார்கள். எந்தவொரு நேர்மறை, தனித்துவமான வேகங்களின் தொகுப்புக்கும், அதன் பின்னப் பகுதியை குறிக்கும் வகையில் சில நேரம் உள்ளது என்று அனுமானம் கூறுகிறது. பார்வைக்கு விளக்கப்பட்டால், ஓட்டப்பந்தய வீரர்கள் எதிரெதிர் திசையில் ஓடுகிறார்கள் என்றால், சமத்துவமின்மையின் நடுத்தர காலம் என்பது அந்த நேரத்தில் தோற்றத்திலிருந்து பத்தாவது ஓட்டப்பந்தய வீரருக்கு உள்ள தூரமாகும், இது எதிரெதிர் திசையில் அளவிடப்படுகிறது. இந்த மரபு இந்த கட்டுரையின் எஞ்சிய பகுதிக்கு பயன்படுத்தப்படுகிறது. வில்லின் அனுமானம் டயோஃபாண்டைன் தோராயத்தில் அவரது பணியின் ஒரு பகுதியாகும், இது பின்னங்கள் பகுத்தறிவற்ற எண்களை எவ்வளவு நெருக்கமாக தோராயமாக மதிப்பிட முடியும் என்பதைப் பற்றிய ஆய்வு ஆகும். தாக்கங்கள்-பரிமாண இடைவெளி () இல் பக்க நீளத்தின்-ஹைபர்கியூப் என்று வைத்துக்கொள்வோம். ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் அரை முழு எண் ஆயத்தொகுப்புகளுடன் ஒரு மைய நகலை வைக்கவும். தோற்றத்திலிருந்து வரும் ஒரு கதிர் அனைத்து பிரதிகளையும் தவறவிடக்கூடும், இந்த விஷயத்தில் ஒரு (எல்லையற்ற) இடைவெளி உள்ளது, அல்லது குறைந்தது ஒரு பிரதியையாவது தாக்கலாம். இந்த சூழலில் தனிமையான ரன்னர் அனுமானத்தின் ஒரு சுயாதீனமான சூத்திரத்தை உருவாக்கியது; ஒருங்கிணைந்த ஹைப்பர்பிளேன்களில் ஒன்றில் உள்ள கதிர்களை புறக்கணித்தால் மட்டுமே இடைவெளிகள் உள்ளன என்பதை அனுமானம் குறிக்கிறது. எடுத்துக்காட்டாக, இரு பரிமாண இடைவெளியில் வைக்கப்படும், பக்க நீளத்தை விட சிறிய சதுரங்கள் காட்டப்பட்டுள்ளபடி இடைவெளிகளை விட்டுச்செல்லும், மேலும் பக்க நீளம் அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட சதுரங்கள் ஒரு அச்சுக்கு இணையாக இல்லாத ஒவ்வொரு கதிர்களையும் தடுக்கும். இந்த அனுமானம் இந்த அவதானிப்பை எத்தனை பரிமாணங்களிலும் பொதுமைப்படுத்துகிறது. வரைபடக் கோட்பாட்டில், முழு எண்களின் தொகுப்பில் ஒரு தூர வரைபடம், மற்றும் நேர்மறை முழு எண் தூரங்களின் சில வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்பைப் பயன்படுத்தி, இருந்தால் மற்றும் இருந்தால் மட்டுமே இடையே ஒரு விளிம்பைக் கொண்டுள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, ஒற்றைப்படை முழு எண்கள் மற்றும் ஒற்றைப்படை முழு எண்களின் ஒவ்வொரு தொடர்ச்சியான ஜோடியும் அருகிலேயே இருந்தால், அனைத்தும் ஒன்றாக இணைக்கப்பட்ட இரண்டு கூறுகளை உருவாக்குகின்றன. படிப்படியான முழு எண்களின் ஒரு-ஒழுங்கான நிறம் ஒவ்வொரு முழு எண்ணுக்கும் மாடுலோவின் எச்சத்தின் அடிப்படையில் வண்ணங்களில் ஒன்றை ஒதுக்குகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, நிறம் ஒவ்வொரு முழு எண்களையும் மீண்டும் செய்தால், ஒவ்வொரு ஜோடி முழு எண்களும் ஒரே நிறத்தில் இருக்கும். எடுத்துக் கொண்டால், லோன்லி ரன்னர் அனுமானம் சில படி மதிப்பிற்கு சரியான-வழக்கமான நிறத்தை (அதாவது, ஒவ்வொரு முனையும் அதன் அருகாமைகளை விட வித்தியாசமாக வண்ணமயமாக்கப்படுகிறது) ஒப்புக்கொள்கிறது. எடுத்துக்காட்டாக, இதன் மூலம் உருவாக்கப்படும் தூர வரைபடத்தில் சரியான நிறத்தை உருவாக்குகிறது. (இது வழக்கமான நிற எண் என்று அழைக்கப்படுகிறது.) ஒரு வழிநடத்தப்பட்ட வரைபடத்தைப் பொறுத்தவரை, எங்கும் பூஜ்ஜிய ஓட்டம் ஒவ்வொரு விளிம்பிற்கும் ஒரு நேர்மறையான மதிப்பை இணைக்கிறது, அதாவது ஒவ்வொரு முனையிலிருந்தும் வெளிப்புறமாக ஓட்டம் உள்நோக்கிய ஓட்டத்திற்கு சமமாக இருக்கும். தனிமையான ரன்னர் அனுமானம், மிகவும் தனித்துவமான முழு எண் மதிப்புகளுடன் எங்கும்-பூஜ்ஜிய ஓட்டத்தைக் கொண்டிருந்தால், எங்கும்-பூஜ்ஜிய ஓட்டத்தைக் கொண்டுள்ளது, அதில் மட்டுமே மதிப்புகள் உள்ளன (சில வளைவுகளின் திசைகளை மாற்றியமைத்த பிறகு). இந்த முடிவு தனித்தனி முறைகள் மூலம் நிரூபிக்கப்பட்டது, மேலும் லோன்லி ரன்னர் அனுமானத்தின் சிறிய நிகழ்வுகள் தீர்க்கப்பட்டதால், முழு தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. அறியப்பட்ட முடிவுகள் ஓட்டப்பந்தய வீரர்களின் கொடுக்கப்பட்ட அமைப்புக்கு, ஓட்டப்பந்தய வீரர்களின் தனிமையின் அதிகபட்ச தூரங்களில் மிகச்சிறியதைக் குறிக்கலாம், மேலும் தனிமையின் இடைவெளி ஓட்டப்பந்தய வீரர்களுடன் அனைத்து அமைப்புகளிலும் குறைந்தபட்சத்தைக் குறிக்கிறது. இந்த குறியீட்டில், ஒரு வரியை, சரியாக இருந்தால், மேம்படுத்த முடியாது என்று அனுமானம் வலியுறுத்துகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, தனியாக இருக்க வேண்டிய ஓட்டப்பந்தய வீரர் நிலையானவராக இருந்தால், வேகம் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டால், அவர்கள் மற்ற அனைவரிடமிருந்தும் அலகுகளை விட கண்டிப்பாக அதிகமாக இருக்கும் நேரம் இல்லை, இது காட்டுகிறது. மாற்றாக, இந்த முடிவை டிரிக்லெட் தோராயக் கோட்பாட்டிலிருந்து விரைவாகப் பெறலாம். ஒரு எளிய கீழ் வரம்பை ஒரு நிகழ்தகவு வாதம் மூலம் பெறலாம். ஓட்டப்பந்தய வீரர்களின் வேகத்தை நேர்மறை முழு எண்களுக்கு மட்டுப்படுத்துவதற்கு இந்த அனுமானத்தை குறைக்கலாம்ஃ முழு எண் வேகத்துடன் ஓட்டப்பந்தய வீரர்களுக்கு இந்த அனுமானம் உண்மையாக இருந்தால், உண்மையான வேகத்துடன் ஓட்டப்பந்தய வீரர்களுக்கு இது உண்மை. இறுக்கமான வரம்புகள் கீழ் வரம்பில் லேசான மேம்பாடுகள் அறியப்படுகின்றன. அதற்குக் காட்டப்பட்டது என்றால் பகா எண், பின்னர், மற்றும் என்றால் பகா எண், பின்னர். போதுமான அளவு பெரியதாக நிபந்தனையின்றி காட்டப்பட்டது, இது தற்போதைய சிறந்த அறியப்பட்ட அறிகுறியற்ற முடிவை நிரூபித்ததுஃ போதுமான அளவு பெரியதாக, சில மாறிலிகளுக்கு. அளவின் முழு எண் வேகத்திற்கான அனுமானத்தை நிரூபிப்பதன் மூலம் முழு அனுமானமும் குறிக்கப்படுகிறது என்பதையும் அவர் காட்டினார் (பெரிய O குறியீட்டைப் பார்க்கவும்). இந்த உட்பொருள் கோட்பாட்டளவில் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட வழக்குகளின் தொகுப்பைச் சரிபார்ப்பதன் மூலம் கொடுக்கப்பட்ட யூகத்தை நிரூபிக்க அனுமதிக்கிறது, ஆனால் வழக்குகளின் எண்ணிக்கை நடைமுறைக்கு மிக விரைவாக வளரும். ஓட்டப்பந்தய வீரர்களின் வேகம் குறித்த குறிப்பிட்ட அனுமானங்களின் கீழ் இந்த அனுமானம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், வேகம் விரைவாக வளர்ந்தால், ஊகம் பெரியதாக இருந்தால் அது உண்மையாக இருக்கும். 22 என்ற மாறிலி 33 ஆல் மாற்றப்பட்டால், அந்த அனுமானம் இதற்கு பொருந்தும். போதுமான அளவு பெரியதாக இருந்தால் மட்டுமே இதே போன்ற முடிவுக்கு இதே போன்ற அனுமானம் தேவைப்படுகிறது. நிபந்தனையின்றி, அனுமானம் அனைவருக்கும் உண்மையாக இருந்தால். குறிப்பாக ஊகம் ஓட்டப்பந்தய வீரர்களுக்கு உண்மை. ஆதாரங்கள் அடிப்படை; இந்த வழக்கு 1972 இல் நிறுவப்பட்டது. வழக்குகள் முறையே 1984,2001 மற்றும் 2008 ஆம் ஆண்டுகளில் தீர்க்கப்பட்டன. முதல் ஆதாரம் கணினி உதவியுடன் இருந்தது, ஆனால் அனைத்து நிகழ்வுகளும் அடிப்படை முறைகள் மூலம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளன. சிலருக்கு, மேலே கொடுக்கப்பட்ட உதாரணத்தைத் தவிர அதிகபட்ச பிரிப்புடன் அவ்வப்போது எடுத்துக்காட்டுகள் உள்ளன. ஏனெனில், அறியப்பட்ட ஒரே உதாரணம் (ஷிப்ட் மற்றும் ஸ்கேலிங் வரை); அறியப்பட்ட ஒரே உதாரணம்; மற்றும் அறியப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகளுக்கு மற்றும். இத்தகைய தனித்தனி நிகழ்வுகளின் வெளிப்படையான எல்லையற்ற குடும்பம் உள்ளது. சமத்துவத்திற்கு அருகிலுள்ள வழக்குகளை நிவர்த்தி செய்யும் அனுமானத்தின் கூர்மையான பதிப்பை உருவாக்கியது. இன்னும் குறிப்பாக, கொடுக்கப்பட்ட வேகங்களின் தொகுப்புக்கு, சில நேர்மறை முழு எண்ணுக்கு, அல்லது, அந்த அமைப்பின் தனிமையின் இடைவெளி எங்கே என்று அவர் ஊகிக்கிறார். இந்த அனுமானத்தையும் ஒரு சில சிறப்பு வழக்குகளையும் அவர் உறுதிப்படுத்தினார். ஒரு ஓட்டப்பந்தய வீரர் தனிமையாக இருப்பதற்குத் தேவையான நேரத்தின் அளவு குறித்த கேள்வியை அவர் உரையாற்றினார். ஒவ்வொரு முழு எண்ணுக்கும் ஒரு நேர்மறை முழு எண் உள்ளது என்று அவர் ஒரு வலுவான அனுமானத்தை உருவாக்கினார், அதாவது எந்தவொரு நேர்மறை, தனித்துவமான வேகங்களின் தொகுப்புக்கும், ரிஃபோர்ட் இந்த அனுமானத்தை உறுதிப்படுத்திய சில நேரம் உள்ளது, மேலும் ஒவ்வொரு விஷயத்திலும் குறைந்தபட்சம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது என்பதைக் காட்டியது. பிந்தைய முடிவு (for) ஆறு ஓட்டப்பந்தய வீரர்களை நிலையான வேகத்துடன் தொடங்கி தனித்துவமான மற்றும் நேர்மறையான நேரத்துடன் கருத்தில் கொண்டால், நிலையான ஓட்டப்பந்தய வீரர் மெதுவான நிலையான அல்லாத ஓட்டப்பந்தய வீரரின் முதல் இரண்டு சுற்றுகளில் (ஆனால் முதல் சுற்றில் தேவையில்லை) மற்றவர்களிடமிருந்து குறைந்தபட்சம் ஒரு தூரத்தால் பிரிக்கப்படுகிறார் என்பதைக் காட்டுகிறது. பிற முடிவுகள் சீரற்ற முறையில் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட வேகங்களுக்கு மிகவும் வலுவான முடிவு உள்ளதுஃ நிலையான-ரன்னர் நடைமுறையைப் பயன்படுத்தி, பூஜ்ஜியமற்ற வேகங்களைக் கொண்ட ஓட்டப்பந்தய வீரர்கள் சீரற்ற முறையில் ஒரே மாதிரியாகத் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டால், பின்னர். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், சீரற்ற வேகத்தைக் கொண்ட ஓட்டப்பந்தய வீரர்கள் ஒரு கட்டத்தில் "மிகவும் தனிமையாக" இருக்கக்கூடும்-அருகிலுள்ள மற்ற ஓட்டப்பந்தய வீரர்களிடமிருந்து கிட்டத்தட்ட அலகுகள். "தனிமை" என்பது "கிட்டத்தட்ட தனிமையாக" மாற்றப்பட்டால் முழு யூகமும் உண்மை, அதாவது அதிகபட்சம் மற்றொரு ஓட்டப்பந்தய வீரர் கொடுக்கப்பட்ட ஓட்டப்பந்தய வீரருக்குள் இருக்கிறார். இந்த அனுமானம் இயற்கணித செயல்பாட்டு புலங்களில் ஒரு அனலாக் என்று பொதுமைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது. குறிப்புகள் மற்றும் குறிப்புகள் குறிப்புகள் மேற்கோள்கள் படைப்புகள் திறந்த சிக்கல் தோட்டம் எண் வெளிப்புற இணைப்புகள் கட்டுரையை மேற்கோள் காட்டின. 4, 551-562. டயோஃபாண்டைன் சமன்பாடுகள் எண் கோட்பாட்டில் தீர்க்கப்படாத சிக்கல்களை ஊகிக்கின்றன