Banach–Tarski paradox
பானாச்-டார்ஸ்கி முரண்பாடு என்பது செட்-கோட்பாட்டு வடிவவியலில் ஒரு தேற்றமாகும், இது பின்வருவனவற்றைக் கூறுகிறதுஃ முப்பரிமாண இடத்தில் ஒரு திடமான பந்து கொடுக்கப்பட்டால், ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான வேறுபட்ட துணைக்குழுக்களாக பந்து சிதைவடைகிறது, பின்னர் அசல் பந்தின் இரண்டு ஒத்த நகல்களை வழங்க வேறு வழியில் மீண்டும் ஒன்றாக இணைக்கப்படலாம். உண்மையில், மறுசீரமைப்பு செயல்முறையில் துண்டுகளை நகர்த்துவதும் அவற்றின் வடிவத்தை மாற்றாமல் சுழற்றுவதும் மட்டுமே அடங்கும். இருப்பினும், துண்டுகள் வழக்கமான அர்த்தத்தில் "திடமானவை" அல்ல, ஆனால் எல்லையற்ற புள்ளிகளின் சிதறல்கள். மறுசீரமைப்பு ஐந்து துண்டுகள் வரை வேலை செய்ய முடியும். எந்தவொரு இரண்டு "நியாயமான" திடமான பொருட்களையும் (ஒரு சிறிய பந்து மற்றும் ஒரு பெரிய பந்து போன்றவை) கொடுத்தால், ஒன்றின் வெட்டு துண்டுகளை மற்றொன்றுடன் மீண்டும் இணைக்க முடியும் என்று தேற்றத்தின் மாற்று வடிவம் கூறுகிறது. இது பெரும்பாலும் முறைசாரா முறையில் "ஒரு பட்டாணியை வெட்டி சூரியனில் மீண்டும் இணைக்கலாம்" என்றும் "பட்டாணி மற்றும் சூரிய முரண்பாடு" என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. இந்த தேற்றம் ஒரு முரண்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது, ஏனெனில் இது அடிப்படை வடிவியல் உள்ளுணர்வுக்கு முரணானது. பந்தை பகுதிகளாகப் பிரிப்பதன் மூலமும், சுழற்சி மற்றும் மொழிபெயர்ப்புகள் மூலம் அவற்றை நகர்த்துவதன் மூலமும், நீட்டுதல், வளைத்தல் அல்லது புதிய புள்ளிகளைச் சேர்க்காமல், "பந்தை இரட்டிப்பாக்குவது" சாத்தியமற்றது என்று தோன்றுகிறது, ஏனெனில் இந்த செயல்பாடுகள் அனைத்தும், உள்ளுணர்வாக பேசுகையில், அளவைப் பாதுகாக்க வேண்டும். இத்தகைய செயல்பாடுகள் தொகுதிகளைப் பாதுகாக்கின்றன என்ற உள்ளுணர்வு கணித ரீதியாக அபத்தமானது அல்ல, மேலும் இது தொகுதிகளின் முறையான வரையறையில் கூட சேர்க்கப்பட்டுள்ளது. இருப்பினும், இது இங்கே பொருந்தாது, ஏனெனில் இந்த விஷயத்தில் கருதப்படும் துணைக்குழுக்களின் தொகுதிகளை வரையறுக்க முடியாது. அவற்றை மறுசீரமைப்பது ஒரு அளவைக் கொண்ட ஒரு தொகுப்பை மீண்டும் உருவாக்குகிறது, இது ஆரம்பத்தில் இருந்த அளவை விட வித்தியாசமாக இருக்கும். வடிவவியலில் உள்ள பெரும்பாலான கோட்பாடுகளைப் போலல்லாமல், இந்த முடிவின் கணித ஆதாரம் ஒரு முக்கியமான வழியில் தொகுப்புக் கோட்பாட்டிற்கான கோட்பாடுகளின் தேர்வைப் பொறுத்தது. அளவிட முடியாத தொகுப்புகளை உருவாக்க அனுமதிக்கும் விருப்பத்தின் கோட்பாட்டைப் பயன்படுத்தி இதை நிரூபிக்க முடியும், அதாவது, சாதாரண அர்த்தத்தில் தொகுதி இல்லாத புள்ளிகளின் தொகுப்புகள் மற்றும் அதன் கட்டுமானத்திற்கு எண்ணற்ற தேர்வுகள் தேவைப்படுகின்றன. 2005 ஆம் ஆண்டில் சிதைவில் உள்ள துண்டுகள் ஒருவருக்கொருவர் ஓடாமல் தொடர்ந்து நகர்த்தக்கூடிய வகையில் தேர்ந்தெடுக்கப்படலாம் என்று காட்டப்பட்டது. லெரோய் மற்றும் சிம்ப்சன் ஆகியோரால் சுயாதீனமாக நிரூபிக்கப்பட்டபடி, பானாச்-டார்ஸ்கி முரண்பாடு ஒருவர் இடவியல் இடங்களைக் காட்டிலும் இடங்களுடன் பணிபுரிந்தால் தொகுதிகளை மீறாது. இந்த சுருக்க அமைப்பில், புள்ளி இல்லாமல் துணை இடங்களைக் கொண்டிருக்க முடியும், ஆனால் இன்னும் காலியாக இல்லை. முரண்பாடான சிதைவின் பகுதிகள் லோக்கல்களின் அர்த்தத்தில் நிறைய வெட்டுகின்றன, இதனால் இந்த குறுக்குவெட்டுகளில் சிலவற்றுக்கு நேர்மறையான நிறை கொடுக்கப்பட வேண்டும். இந்த மறைக்கப்பட்ட வெகுஜனத்தை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வதற்கு அனுமதிக்கும் வகையில், யூக்ளிடியன் இடத்தின் அனைத்து துணைக்குழுக்களையும் (மற்றும் அனைத்து துணை இடங்களையும் கூட) திருப்திகரமாக அளவிட இடங்களின் கோட்பாடு அனுமதிக்கிறது. பானாச் மற்றும் டார்ஸ்கி வெளியீடு 1924 இல் வெளியிடப்பட்ட ஒரு கட்டுரையில், ஸ்டீபன் பானாச் மற்றும் ஆல்பிரட் டார்ஸ்கி ஆகியோர் அத்தகைய முரண்பாடான சிதைவின் கட்டுமானத்தை வழங்கினர், இது யூசெப் விட்டாலியின் முந்தைய படைப்பின் அடிப்படையில் அலகு இடைவெளி மற்றும் ஃபெலிக்ஸ் ஹவுஸ்டோர்ஃப் கோளத்தின் முரண்பாடான சிதைவுகள் குறித்து, யூக்ளிடியன் இடைவெளிகளின் துணைக்குழுக்களை பல்வேறு பரிமாணங்களில் சிதைப்பது தொடர்பான பல தொடர்புடைய கேள்விகளைப் பற்றி விவாதித்தது. பானாச்-டார்ஸ்கி முரண்பாட்டின் வலுவான வடிவமான பின்வரும் பொதுவான கூற்றை அவர்கள் நிரூபித்தனர்ஃ குறைந்தபட்சம் மூன்று பரிமாணங்களில் ஏதேனும் இரண்டு வரம்புக்குட்பட்ட துணைக்குழுக்கள் மற்றும் ஒரு யூக்ளிடியன் இடைவெளி கொடுக்கப்பட்டால், இவை இரண்டும் காலியாக இல்லாத உட்புறத்தைக் கொண்டுள்ளன, வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான பிளவுபட்ட துணைக்குழுக்களில், (சில முழு எண் k க்கு) பகிர்வுகள் உள்ளன, அதாவது ஒவ்வொன்றிற்கும் (முழு எண்) மற்றும் இடையே, தொகுப்புகள் மற்றும் ஒத்தவை. இப்போது அசல் பந்தாக இருக்கட்டும், அசல் பந்தின் இரண்டு மொழிபெயர்க்கப்பட்ட நகல்களின் சங்கமமாக இருக்கட்டும். பின்னர் முன்மொழிவு என்னவென்றால், நீங்கள் அசல் பந்தை ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான துண்டுகளாகப் பிரிக்கலாம், பின்னர் இந்த துண்டுகளை சுழற்றி மொழிபெயர்க்கலாம், இதன் விளைவாக முழு தொகுப்பும் இருக்கும், இதில் இரண்டு பிரதிகள் உள்ளன. பானாச்-டார்ஸ்கி முரண்பாட்டின் வலுவான வடிவம் ஒன்று மற்றும் இரண்டு பரிமாணங்களில் தவறானது, ஆனால் பானாச் மற்றும் டார்ஸ்கி எண்ணற்ற பல துணைக்குழுக்கள் அனுமதிக்கப்பட்டால் ஒரு ஒத்த அறிக்கை உண்மையாக இருப்பதைக் காட்டியது. ஒருபுறம் 1 மற்றும் 2 பரிமாணங்களுக்கும், மறுபுறம் 3 மற்றும் அதற்கு மேற்பட்ட பரிமாணங்களுக்கும் இடையிலான வேறுபாடு, 3 பரிமாணங்களில் உள்ள யூக்ளிடியன் இயக்கங்களின் குழுவின் பணக்கார கட்டமைப்பின் காரணமாகும். குழுவிற்கு தீர்க்கக்கூடியது, ஆனால் அதற்கு இரண்டு ஜெனரேட்டர்களுடன் ஒரு இலவச குழு உள்ளது. ஜான் வான் நியூமன் ஒரு முரண்பாடான சிதைவை சாத்தியமாக்கும் சமநிலைகளின் குழுவின் பண்புகளை ஆய்வு செய்தார், மேலும் இணக்கமான குழுக்களின் கருத்தை அறிமுகப்படுத்தினார். வழக்கமான ஒற்றுமைகளுக்கு பதிலாக பகுதி-பாதுகாக்கும் இணைப்பு மாற்றங்களைப் பயன்படுத்தும் விமானத்தில் முரண்பாட்டின் ஒரு வடிவத்தையும் அவர் கண்டறிந்தார். இணக்கமான குழுக்கள் துல்லியமாக முரண்பாடான சிதைவுகள் இல்லாதவை என்பதை டார்ஸ்கி நிரூபித்தார். பானாச்-டார்ஸ்கி முரண்பாட்டில் இலவச துணைக்குழுக்கள் மட்டுமே தேவைப்படுவதால், இது நீண்டகாலமாக வான் நியூமன் அனுமானத்திற்கு வழிவகுத்தது, இது 1980 இல் நிராகரிக்கப்பட்டது. முறையான சிகிச்சை பானாச்-டார்ஸ்கி முரண்பாடு, சாதாரண யூக்ளிடியன் இடத்தில் ஒரு பந்தை துணைக்குழுக்களாகப் பிரிப்பது, ஒரு தொகுப்பை ஒத்த தொகுப்புடன் மாற்றுவது மற்றும் மீண்டும் இணைப்பது போன்ற செயல்பாடுகளை மட்டுமே பயன்படுத்தி இரட்டிப்பாக்க முடியும் என்று கூறுகிறது. யூக்ளிடிய இயக்கங்களின் குழுவால் வகிக்கப்படும் பங்கை வலியுறுத்துவதன் மூலமும், சமமான இணக்கமான தொகுப்புகள் மற்றும் முரண்பாடான தொகுப்புகளின் கருத்துக்களை அறிமுகப்படுத்துவதன் மூலமும் அதன் கணித அமைப்பு பெரிதும் தெளிவுபடுத்தப்படுகிறது. அது ஒரு தொகுப்பில் செயல்படும் ஒரு குழு என்று வைத்துக்கொள்வோம். மிக முக்கியமான சிறப்பு வழக்கில், ஒரு பரிமாண யூக்ளிடியன் இடைவெளி (ஒருங்கிணைந்த n க்கு), மற்றும் அனைத்து ஐசோமெட்ரிகளையும் கொண்டுள்ளது, அதாவது. பொதுவாக குறிக்கப்படும் தூரங்களைப் பாதுகாக்கும் தன்னைத்தானே மாற்றுவது. ஒருவருக்கொருவர் மாற்றக்கூடிய இரண்டு வடிவியல் உருவங்கள் ஒத்தவை என்று அழைக்கப்படுகின்றன, மேலும் இந்த சொல் பொதுவான செயலுக்கு நீட்டிக்கப்படும். இரண்டு துணைக்குழுக்கள் மற்றும் அவை-சமமான இணக்கமானவை, அல்லது சமமான இணக்கமானவை, என்றால் மற்றும் முறையே ஒரே வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான-இணக்கமான துண்டுகளாக பிரிக்கப்படலாம். இது அனைத்து துணைக்குழுக்களுக்கும் இடையிலான சமநிலை உறவை வரையறுக்கிறது. முறைப்படி, காலியாக இல்லாத தொகுப்புகள் இருந்தால், அது போன்ற கூறுகள் இருந்தால், துண்டுகளைப் பயன்படுத்தி சமமாக இருக்கும் என்று கூறலாம். ஒரு தொகுப்பில் இரண்டு வேறுபட்ட துணைக்குழுக்கள் இருந்தால், மற்றும், அதே போல் மற்றும், சமமாக இணக்கமாக இருந்தால், அது முரண்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த சொற்களைப் பயன்படுத்தி, பானாச்-டார்ஸ்கி முரண்பாட்டை பின்வருமாறு மறுசீரமைக்கலாம்ஃ ஒரு முப்பரிமாண யூக்ளிடியன் பந்து அதன் இரண்டு நகல்களுடன் சமமாக உள்ளது. உண்மையில், இந்த விஷயத்தில் ஒரு கூர்மையான முடிவு உள்ளது, ஏனெனில் ரபேல் எம். ராபின்சன்ஃ பந்தை இரட்டிப்பாக்குவது ஐந்து துண்டுகளுடன் சாதிக்கப்படலாம், மேலும் ஐந்து துண்டுகளுக்கு குறைவாக இருந்தால் போதாது. முரண்பாட்டின் வலுவான பதிப்பு கூறுகிறதுஃ வெற்றிடமற்ற உட்புறங்களுடன் முப்பரிமாண யூக்ளிடியன் இடத்தின் எந்த இரண்டு வரம்புக்குட்பட்ட துணைக்குழுக்களும் சமமானவை. வெளிப்படையாக மிகவும் பொதுவானதாக இருந்தாலும், இந்த அறிக்கை பானாச் காரணமாக பெர்ன்ஸ்டீன்-ஷ்ரோடர் தேற்றத்தின் பொதுமைப்படுத்தலைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் ஒரு பந்தை இரட்டிப்பாக்குவதிலிருந்து ஒரு எளிய வழியில் பெறப்படுகிறது, இது ஒரு துணைக்குழுவுடன் சமமாக இணக்கமாக இருந்தால் மற்றும் ஒரு துணைக்குழுவுடன் சமமாக இணக்கமாக இருந்தால், பின்னர் மற்றும் சமமாக இணக்கமாக இருக்கும். முரண்பாட்டின் வலுவான வடிவத்தில் உள்ள இரண்டு தொகுப்புகளுக்கு, புள்ளிகளை ஒரு வடிவத்தில் மற்றொன்றுக்கு ஒரு பாணியில் வரைபடமாக்கக்கூடிய ஒரு புறநிலை செயல்பாடு எப்போதும் இருக்கும் என்பதை சுட்டிக்காட்டுவதன் மூலம் பானாச்-டார்ஸ்கி முரண்பாட்டை சூழலில் வைக்கலாம். ஜார்ஜ் கான்டரின் தொகுப்புக் கோட்பாட்டின் மொழியில், இந்த இரண்டு தொகுப்புகளும் சமமான கார்டினாலிட்டியைக் கொண்டுள்ளன. எனவே, தன்னிச்சையான பைஜெக்ஷன்களை அனுமதிக்க ஒருவர் குழுவை விரிவுபடுத்தினால், காலியாக இல்லாத உட்புறத்துடன் கூடிய அனைத்து செட்களும் ஒத்ததாக மாறும். அதேபோல், ஒரு பந்தை நீட்டுவதன் மூலமோ அல்லது வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒற்றுமை மாற்றங்களைப் பயன்படுத்துவதன் மூலமோ பெரிய அல்லது சிறிய பந்தாக மாற்றலாம். எனவே, குழு போதுமான அளவு பெரியதாக இருந்தால்,-சமமான இணக்கமான செட்களைக் காணலாம், அவற்றின் "அளவு" வேறுபடுகிறது. மேலும், ஒரு எண்ணக்கூடிய தொகுப்பை இரண்டு பிரதிகளாக உருவாக்க முடியும் என்பதால், எண்ணற்ற பல துண்டுகளைப் பயன்படுத்துவது எப்படியாவது தந்திரத்தை செய்ய முடியும் என்று ஒருவர் எதிர்பார்க்கலாம். மறுபுறம், பானாச்-டார்ஸ்கி முரண்பாட்டில், துண்டுகளின் எண்ணிக்கை வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது மற்றும் அனுமதிக்கப்பட்ட சமநிலைகள் யூக்ளிடியன் ஒற்றுமைகள் ஆகும், அவை தொகுதிகளைப் பாதுகாக்கின்றன. இருப்பினும், எப்படியோ, அவர்கள் பந்தின் அளவை இரட்டிப்பாக்குகிறார்கள்! இது நிச்சயமாக ஆச்சரியமாக இருந்தாலும், முரண்பாடான சிதைவில் பயன்படுத்தப்படும் சில துண்டுகள் அளவிட முடியாத தொகுப்புகள், எனவே தொகுதி பற்றிய கருத்து (இன்னும் துல்லியமாக, லெபெஸ்கூ அளவீடு) அவற்றுக்கு வரையறுக்கப்படவில்லை, மேலும் பகிர்வை நடைமுறை வழியில் நிறைவேற்ற முடியாது. உண்மையில், பானாச்-டார்ஸ்கி முரண்பாடு யூக்ளிடியன் இயக்கங்களைப் பொறுத்தவரை மாறாத மற்றும் ஒரு அலகு கனசதுரத்தில் ஒன்றின் மதிப்பை எடுக்கும் மூன்று (மற்றும் பெரிய) பரிமாணங்களைக் கொண்ட யூக்ளிடியன் இடத்தின் அனைத்து துணைக்குழுக்களிலும் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு இறுதியான-சேர்க்கை அளவீட்டை (அல்லது பானாச் அளவீடு) கண்டுபிடிப்பது சாத்தியமில்லை என்பதை நிரூபிக்கிறது. தனது பிற்கால படைப்புகளில், தார்ஸ்கி, இதற்கு நேர்மாறாக, இந்த வகையின் முரண்பாடான சிதைவுகள் இல்லாதது ஒரு இறுதியான சேர்க்கை மாறாத அளவின் இருப்பைக் குறிக்கிறது என்பதைக் காட்டினார். கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள முரண்பாட்டின் "பந்தை இரட்டிப்பாக்குவது" வடிவத்தின் ஆதாரத்தின் இதயம் குறிப்பிடத்தக்க உண்மை என்னவென்றால், ஒரு யூக்ளிடியன் ஐசோமெட்ரி (மற்றும் உறுப்புகளின் மறுபெயரிடுதல்) மூலம், ஒருவர் ஒரு குறிப்பிட்ட தொகுப்பை (அடிப்படையில், ஒரு அலகு கோளத்தின் மேற்பரப்பு) நான்கு பகுதிகளாகப் பிரிக்கலாம், பின்னர் அவற்றில் ஒன்றை சுழற்றி மற்ற பகுதிகளில் இரண்டு பகுதிகளாக மாறலாம். இரண்டு ஜெனரேட்டர்களைக் கொண்ட இலவசக் குழுவின்-பாராடாக்ஸிகல் சிதைவிலிருந்து இது எளிதில் பின்பற்றப்படுகிறது. பானாச் மற்றும் டார்ஸ்கியின் சான்றுகள் சில ஆண்டுகளுக்கு முன்பு ஹவுஸ்டோர்ஃப் கண்டுபிடித்த ஒரு ஒத்த உண்மையை நம்பியிருந்தனஃ விண்வெளியில் ஒரு அலகு கோளத்தின் மேற்பரப்பு மூன்று தொகுப்புகளின் இணைந்த ஒன்றிணைப்பு மற்றும் ஒரு கணக்கிடக்கூடிய தொகுப்பாகும், இது ஒருபுறம், ஜோடி வாரியாக ஒத்திருக்கிறது, மறுபுறம், மற்றும் ஒன்றிணைப்புடன் ஒத்திருக்கிறது. இது பெரும்பாலும் ஹவுஸ்டோர்ஃப் முரண்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. முந்தைய படைப்புகளுடனான தொடர்பு மற்றும் விருப்பத்தின் கோட்பாட்டின் பங்கு பானாச் மற்றும் டார்ஸ்கி ஆகியோர் கியூசெப் விட்டாலியின் 1905 ஆம் ஆண்டு அவரது பெயரைக் கொண்ட செட் கட்டுமானத்தை வெளிப்படையாக ஒப்புக்கொள்கிறார்கள், ஹவுஸ்டோர்ப்பின் முரண்பாடு (1914), மற்றும் முந்தைய (1923) காகிதம் பானாச் அவர்களின் பணிக்கு முன்னோடிகளாக இருந்தது. விட்டாலி மற்றும் ஹவுஸ்டோர்ப்பின் கட்டுமானங்கள் ஜெர்மெலோவின் விருப்பத்தின் கோட்பாட்டை ("ஏசி") சார்ந்துள்ளது, இது பானாச்-டார்ஸ்கி காகிதத்திற்கும் முக்கியமானது, அவற்றின் முரண்பாட்டை நிரூபிப்பதற்கும் மற்றொரு முடிவின் ஆதாரத்திற்கும்ஃ இரண்டு யூக்ளிடியன் பலகோணங்கள், அவற்றில் ஒன்று கண்டிப்பாக மற்றொன்றைக் கொண்டுள்ளது, அவை சமமாக இணங்க முடியாது. இரண்டாவது முடிவு வடிவியல் உள்ளுணர்வுடன் முழுமையாக உடன்படுகிறது என்றாலும், அதன் ஆதாரம் முரண்பாட்டின் ஆதாரத்தை விட ஏ. சி. யை இன்னும் கணிசமான முறையில் பயன்படுத்துகிறது என்று அவர்கள் சுட்டிக்காட்டுகின்றனர். எனவே பானாச் மற்றும் டார்ஸ்கி ஆகியோர் ஏசி ஒரு முரண்பாடான சிதைவை உருவாக்குகிறது என்பதால் மட்டுமே நிராகரிக்கப்படக்கூடாது என்பதைக் குறிக்கிறது, ஏனெனில் அத்தகைய வாதம் வடிவியல் ரீதியாக உள்ளுணர்வு அறிக்கைகளின் ஆதாரங்களையும் குறைமதிப்பிற்கு உட்படுத்துகிறது. இருப்பினும், 1949 ஆம் ஆண்டில், ஏ. பி. மோர்ஸ் யூக்ளிடியன் பலகோணங்களைப் பற்றிய அறிக்கையை இசட்எஃப் செட் கோட்பாட்டில் நிரூபிக்க முடியும் என்றும் எனவே விருப்பத்தின் கோட்பாடு தேவையில்லை என்றும் காட்டினார். 1964 ஆம் ஆண்டில், பால் கோஹன் தேர்வு கோட்பாடு ZF இலிருந்து சுயாதீனமாக உள்ளது என்பதை நிரூபித்தார்-அதாவது, அதை ZF இலிருந்து நிரூபிக்க முடியாது. தேர்ந்தெடுக்கும் கோட்பாட்டின் பலவீனமான பதிப்பு சார்பு தேர்வு, டி. சி. யின் கோட்பாடாகும், மேலும் பானாச்-டார்ஸ்கி முரண்பாட்டை நிரூபிக்க டி. சி போதுமானது என்று நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது, அதாவது பானாச்-டார்ஸ்கி முரண்பாடு ZF இன் தேற்றம் அல்ல, அல்லது ZF + டி. சி. ஏராளமான கணிதங்கள் ஏ. சி. யைப் பயன்படுத்துகின்றன. ஸ்டான் வேகன் தனது மோனோகிராஃப்பின் முடிவில் சுட்டிக்காட்டியபடி, பானாச்-டார்ஸ்கி முரண்பாடு அடிப்படை கேள்விகளை விட தூய கணிதத்தில் அதன் பங்கிற்கு மிகவும் குறிப்பிடத்தக்கதாக உள்ளதுஃ இது ஆராய்ச்சிக்கு ஒரு பயனுள்ள புதிய திசையை ஊக்குவித்தது, குழுக்களின் வசதி, அடிப்படை கேள்விகளுடன் எந்த தொடர்பும் இல்லை. 1991 ஆம் ஆண்டில், மத்தேயு ஃபோர்மேன் மற்றும் ஃப்ரெட்ரிக் வெஹ்ரங் ஆகியோரின் சமீபத்திய முடிவுகளைப் பயன்படுத்தி, ஜானுஸ் பாவ்லிகோவ்ஸ்கி பானாச்-டார்ஸ்கி முரண்பாடு ZF பிளஸ் ஹான்-பானாச் தேற்றத்திலிருந்து பின்பற்றுகிறது என்பதை நிரூபித்தார். ஹான்-பானாக் தேற்றம் விருப்பத்தின் முழு கோட்பாட்டை நம்பவில்லை, ஆனால் அல்ட்ராஃபில்டர் லெம்மா எனப்படும் ஏ. சி. யின் பலவீனமான பதிப்பைப் பயன்படுத்தி நிரூபிக்க முடியும். எனவே பானாச்-டார்ஸ்கி முரண்பாட்டை நிரூபிக்கத் தேவையான தொகுப்புக் கோட்பாடு, ZF ஐ விட வலுவானது என்றாலும், முழு ZFC ஐ விட பலவீனமானது என்பதை பாவ்லிகோவ்ஸ்கி நிரூபித்தார். ஆதாரத்தின் ஒரு ஸ்கெட்ச் இங்கே ஒரு ஆதாரம் வரையப்பட்டுள்ளது, இது பானாச் மற்றும் டார்ஸ்கி வழங்கியதைப் போன்றது, ஆனால் ஒத்ததாக இல்லை. அடிப்படையில், பந்தின் முரண்பாடான சிதைவு நான்கு படிகளில் அடையப்படுகிறதுஃ இரண்டு ஜெனரேட்டர்களில் இலவச குழுவின் முரண்பாடான சிதைவைக் கண்டறியவும். இரண்டு ஜெனரேட்டர்களில் இலவச குழுவிற்கு 3-டி இடத்தில் ஐசோமார்பிக் சுழற்சிகளின் குழுவைக் கண்டறியவும். வெற்று அலகு கோளத்தின் முரண்பாடான சிதைவை உருவாக்க அந்த குழுவின் முரண்பாடான சிதைவு மற்றும் விருப்பத்தின் கோட்பாட்டைப் பயன்படுத்தவும். கோளத்தின் இந்த சிதைவை திட அலகு பந்தின் சிதைவுக்கு நீட்டிக்கவும். இந்த படிகள் கீழே மேலும் விரிவாக விவாதிக்கப்படுகின்றன. படி 1 இரண்டு ஜெனரேட்டர்கள் a மற்றும் b கொண்ட இலவச குழு a, a − 1, b மற்றும் b − 1 ஆகிய நான்கு சின்னங்களிலிருந்து உருவாக்கக்கூடிய அனைத்து வரையறுக்கப்பட்ட சரங்களையும் கொண்டுள்ளது, அதாவது a − 1 க்கு அருகில் நேரடியாகத் தோன்றாது மற்றும் b நேரடியாகத் தோன்றாது. அத்தகைய இரண்டு சரங்களை இணைத்து, "தடைசெய்யப்பட்ட" அடி மூலக்கூறுகளை வெற்று சரத்துடன் மீண்டும் மீண்டும் மாற்றுவதன் மூலம் இந்த வகை சரமாக மாற்றலாம். எடுத்துக்காட்டாகஃ அபாப் −1a−1, அபாப் −1a உடன் இணைக்கப்பட்டால் அபாப் −1a −1a கிடைக்கும், இது a−1a அடி மூலக்கூறைக் கொண்டுள்ளது, எனவே அபாப் −1பாப் −1a ஆகக் குறைக்கப்படுகிறது, இதில் b−1b அடி மூலக்கூறு உள்ளது, இது குறைக்கப்படுகிறது. இந்த செயல்பாட்டுடன் அந்த சரங்களின் தொகுப்பு அடையாள உறுப்பு வெற்று சரம் e உடன் ஒரு குழுவை உருவாக்குகிறது என்பதை ஒருவர் சரிபார்க்கலாம். இந்த குழுவை F2 என்று அழைக்கலாம். குழுவை பின்வருமாறு "முரண்பாடாக சிதைக்கலாம்": S (a) என்பது a உடன் தொடங்கும் அனைத்து சரங்களையும் உள்ளடக்கிய துணைக்குழுவாக இருக்கட்டும், மேலும் S (a−1), S (b) மற்றும் S (b−1) ஐ இதேபோல் வரையறுக்கலாம். தெளிவாக, ஆனால் aS (a−1) என்ற குறியீடு S (a−1) இல் உள்ள அனைத்து சரங்களையும் எடுத்து அவற்றை இடதுபுறத்தில் a உடன் இணைக்கிறது. இது ஆதாரத்தின் மையத்தில் உள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, தொகுப்பில் ஒரு சரம் இருக்கலாம், இது அடுத்ததாக தோன்றக்கூடாது என்ற விதியின் காரணமாக, சரத்திற்கு குறைகிறது. இதேபோல், தொடங்கும் அனைத்து சரங்களையும் கொண்டுள்ளது (எடுத்துக்காட்டாக, சுருங்கும் சரம்). இந்த வழியில், மற்றும் உடன் தொடங்கும் அனைத்து சரங்களையும், அதே போல் வெற்று சரத்தையும் கொண்டுள்ளது. குழு F2 நான்கு துண்டுகளாக வெட்டப்பட்டுள்ளது (பிளஸ் சிங்கிள்டன் {e}), பின்னர் அவற்றில் இரண்டு a அல்லது b உடன் பெருக்குவதன் மூலம் "மாற்றப்பட்டன", பின்னர் இரண்டு துண்டுகளாக "மீண்டும் இணைக்கப்பட்டன" ஒரு நகல் மற்றும் மற்ற இரண்டு மற்றொரு நகல் செய்ய. அதுவே பந்துக்கு செய்ய திட்டமிடப்பட்டுள்ளது. படி 2 3D இடத்தின் சுழற்சிகளின் இலவச குழுவைக் கண்டுபிடிப்பதற்காக, அதாவது. இலவச குழு F2 ஐப் போலவே (அல்லது "ஐசோமார்பிக்") செயல்படுகிறது, இரண்டு ஆர்த்தோகனல் அச்சுகள் எடுக்கப்படுகின்றன (எ. கா. x மற்றும் z அச்சுகள்). பின்னர், A என்பது x அச்சில் ஒரு சுழற்சியாகவும், B என்பது z அச்சில் ஒரு சுழற்சியாகவும் கருதப்படுகிறது (இங்கேயும் பயன்படுத்தக்கூடிய π இன் பகுத்தறிவற்ற மடங்குகளின் பல பொருத்தமான ஜோடிகள் உள்ளன). A மற்றும் B ஆல் உருவாக்கப்படும் சுழற்சிகளின் குழு H என்று அழைக்கப்படும், இது H இன் ஒரு உறுப்பாக இருக்கட்டும், இது z அச்சில் ஒரு நேர்மறை சுழற்சியுடன் தொடங்குகிறது, அதாவது, வடிவத்தின் ஒரு உறுப்பு. சிலருக்கு புள்ளியை வரைபடமாக்கும் தூண்டல் மூலம் இதைக் காட்டலாம். பகுப்பாய்வு மற்றும் மாடுலோ 3, ஒருவர் அதைக் காட்டலாம். அதே வாதம் மீண்டும் மீண்டும் (சிக்கலின் சமச்சீர் மூலம்) z அச்சில் எதிர்மறை சுழற்சி அல்லது x அச்சில் சுழற்சியுடன் தொடங்கும் போது செல்லுபடியாகும். இது A மற்றும் B இல் ஒரு அற்பமான வார்த்தையால் கொடுக்கப்பட்டால், பின்னர். எனவே, எச் குழு ஒரு இலவச குழு, இது எஃப் 2 க்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும். இரண்டு சுழற்சிகளும் F2 குழுவில் உள்ள a மற்றும் b உறுப்புகளைப் போலவே செயல்படுகின்றனஃ இப்போது H இன் முரண்பாடான சிதைவு உள்ளது. இந்த படி மூன்று பரிமாணங்களில் சுழற்சிகளை உள்ளடக்கியது என்பதால் இரண்டு பரிமாணங்களில் செய்ய முடியாது. ஒரே அச்சில் இரண்டு சுழற்சிகள் எடுக்கப்பட்டால், இதன் விளைவாக வரும் குழு அபெலியன் வட்டக் குழுவாகும், மேலும் படி 1 இல் தேவையான பண்பு இல்லை. ஒருங்கிணைந்த குவாட்டர்னியன்களைப் பயன்படுத்தி சில சிறப்பு ஆர்த்தோகனல் குழுக்களில் இலவச குழுக்கள் இருப்பதற்கான மாற்று எண்கணித ஆதாரம் சுழற்சி குழுவின் முரண்பாடான சிதைவுகளுக்கு வழிவகுக்கிறது. படி 3 அலகு கோளம் S2 நமது குழு H இன் செயல்பாட்டின் மூலம் சுற்றுப்பாதைகளாக பிரிக்கப்படுகிறதுஃ H இல் ஒரு சுழற்சி இருந்தால் மட்டுமே இரண்டு புள்ளிகள் ஒரே சுற்றுப்பாதையைச் சேர்ந்தவை, இது முதல் புள்ளியை இரண்டாவது இடத்திற்கு நகர்த்துகிறது. (ஒரு புள்ளியின் சுற்றுப்பாதை S2 இல் ஒரு அடர்த்தியான தொகுப்பாகும் என்பதை நினைவில் கொள்க.) விருப்பத்தின் கோட்பாடு ஒவ்வொரு சுற்றுப்பாதையிலிருந்தும் சரியாக ஒரு புள்ளியைத் தேர்ந்தெடுப்பதற்குப் பயன்படுத்தப்படலாம்; இந்த புள்ளிகளை ஒரு தொகுப்பு M ஆகச் சேகரிக்கவும். கொடுக்கப்பட்ட சுற்றுப்பாதையில் H இன் செயல்பாடு சுதந்திரமானது மற்றும் நிலையற்றது, எனவே ஒவ்வொரு சுற்றுப்பாதையையும் H உடன் அடையாளம் காண முடியும். வேறுவிதமாகக் கூறினால், S2 இல் உள்ள ஒவ்வொரு புள்ளியையும் H இலிருந்து M இலிருந்து சரியான உறுப்புக்கு சரியான சுழற்சியைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் சரியாக ஒரு வழியில் அடைய முடியும். இதன் காரணமாக, H இன் முரண்பாடான சிதைவு S2 இன் முரண்பாடான சிதைவை பின்வருமாறு நான்கு துண்டுகளாக A1, A2, A3, A4 ஆகக் கொடுக்கிறதுஃ மற்ற செட்களுக்கு நாம் வரையறுக்கவும், அதேபோல் வரையறுக்கவும் (F2 இன் ஐந்து "முரண்பாடான" பகுதிகள் நேரடியாகப் பயன்படுத்தப்படவில்லை, ஏனெனில் அவை M ஐ ஒரு கூடுதல் பொருளாக விட்டுவிடுகின்றன. (பெரும்பாலான) கோளம் இப்போது நான்கு செட்களாகப் பிரிக்கப்பட்டுள்ளது (ஒவ்வொன்றும் கோளத்தில் அடர்த்தியாக உள்ளன), இவற்றில் இரண்டு சுழற்றப்படும்போது, முடிவு முன்பு இருந்ததை விட இரு மடங்கு அதிகமாக இருக்கும்ஃ படி 4 இறுதியாக, S2 இல் உள்ள ஒவ்வொரு புள்ளியையும் பாதி திறந்த பகுதியுடன் இணைக்கவும் தோற்றம்; S2 இன் முரண்பாடான சிதைவு பின்னர் திட அலகு பந்தின் முரண்பாடான சிதைவை அளிக்கிறது கழித்தல் பந்தின் மையத்தில் உள்ள புள்ளி. (இந்த மையப் புள்ளிக்கு இன்னும் கொஞ்சம் கவனிப்பு தேவை; கீழே காண்க.) என். பி. இந்த ஸ்கெட்ச் சில விவரங்களை மெருகூட்டுகிறது. H இல் சில சுழற்சியின் அச்சில் இருக்கும் கோளத்தில் உள்ள புள்ளிகளின் தொகுப்பைப் பற்றி ஒருவர் கவனமாக இருக்க வேண்டும். இருப்பினும், இதுபோன்ற பல புள்ளிகள் மட்டுமே உள்ளன, மேலும் பந்தின் மையத்தில் உள்ள புள்ளியின் விஷயத்தைப் போலவே, அவை அனைத்தையும் கணக்கிட ஆதாரத்தை இணைக்க முடியும். (கீழே காண்க.) சில விவரங்கள், படி 3 இல், கோளம் நமது குழு H இன் சுற்றுப்பாதைகளாக பிரிக்கப்பட்டது. ஆதாரத்தை நெறிப்படுத்த, சில சுழற்சியால் சரிசெய்யப்பட்ட புள்ளிகளின் விவாதம் தவிர்க்கப்பட்டது; F2 இன் முரண்பாடான சிதைவு சில துணைக்குழுக்களை மாற்றுவதை நம்பியிருப்பதால், சில புள்ளிகள் சரிசெய்யப்பட்டிருப்பது சில சிக்கல்களை ஏற்படுத்தக்கூடும். S2 இன் எந்த சுழற்சியும் (பூஜ்ய சுழற்சியைத் தவிர) சரியாக இரண்டு நிலையான புள்ளிகளைக் கொண்டிருப்பதால், F2 க்கு ஐசோமார்பிக் H ஆக இருப்பதால், கணக்கிடக்கூடியது என்பதால், H இல் சில சுழற்சியால் நிலையான S2 இன் பல புள்ளிகள் உள்ளன. இந்த நிலையான புள்ளிகளின் தொகுப்பை D என்று குறிக்கவும். படி 3 S2−D ஒரு முரண்பாடான சிதைவை ஒப்புக்கொள்கிறது என்பதை நிரூபிக்கிறது. காட்டப்பட வேண்டிய கூற்று என்னவென்றால்ஃ S2 − D என்பது S2 உடன் சமமாக உள்ளது. சான்று. D இல் எந்த புள்ளியையும் வெட்டாத தோற்றத்தின் வழியாக ஒரு கோடு λ ஆக இருக்கட்டும். D கணக்கிடக்கூடியதாக இருப்பதால் இது சாத்தியமாகும். J என்பது கோணங்களின் தொகுப்பாக இருக்கட்டும், அதாவது சில இயற்கை எண் n க்கு, மற்றும் D இல் சில P க்கு, r (nα) P என்பது D இல் உள்ளது, இங்கு r (nα) என்பது nα இன் λ ஐப் பற்றிய சுழற்சியாகும். பின்னர் J கணக்கிடத்தக்கது. எனவே J இல் இல்லாத ஒரு கோணம் θ உள்ளது. ρ என்பது λ பை θ சுழற்சியாக இருக்கட்டும். பின்னர் ρ என்பது D இல் நிலையான புள்ளிகள் இல்லாமல் S2 இல் செயல்படுகிறது, அதாவது, ρn (D) என்பது D இலிருந்து வேறுபடுகிறது, மேலும் இயற்கையான m <n க்கு, ρn (D) என்பது ρm (D) இலிருந்து வேறுபடுகிறது. E என்பது n = 0,1,2, க்கு மேல் ρn (D) இன் வேறுபட்ட ஒன்றிணைப்பாக இருக்கட்டும். பின்னர் S2 = E ≤ (S2 − E) ~ ρ (E) ≤ (S2 − E) = (E − D) ≤ (S2 − E) = S2 − D, இதில் ~ என்பது "சமமாக இணக்கமானது" என்பதைக் குறிக்கிறது. படி 4 ஐப் பொறுத்தவரை, பந்து கழித்தல் ஒரு புள்ளி ஒரு முரண்பாடான சிதைவை ஒப்புக்கொள்கிறது என்று ஏற்கனவே காட்டப்பட்டுள்ளது; பந்து கழித்தல் ஒரு புள்ளி பந்துக்கு சமமாக உள்ளது என்பதைக் காட்ட வேண்டும். பந்தின் மையத்தில் உள்ள புள்ளியைக் கொண்ட பந்துக்குள் ஒரு வட்டத்தைக் கவனியுங்கள். உரிமைகோரலை நிரூபிக்கப் பயன்படுத்தப்படும் ஒரு வாதத்தைப் பயன்படுத்தி, முழு வட்டமும் வட்டத்தை கழித்தல் பந்தின் மையத்தில் உள்ள புள்ளியுடன் சமமாக இருப்பதை ஒருவர் காணலாம். (அடிப்படையில், வட்டத்தில் எண்ணக்கூடிய புள்ளிகளின் தொகுப்பை சுழற்றி மேலும் ஒரு புள்ளியைக் கொடுக்கலாம்.) இது தோற்றத்தைத் தவிர வேறு ஒரு புள்ளியைப் பற்றிய சுழற்சியை உள்ளடக்கியது என்பதைக் கவனியுங்கள், எனவே பானாச்-டார்ஸ்கி முரண்பாடு வெறும் SO (3) ஐ விட யூக்ளிடியன் 3-இடத்தின் ஐசோமீட்டரிகளை உள்ளடக்கியது. A ~ B மற்றும் B ~ C என்றால், A ~ C. A ஐ B ஆக எடுத்துக்கொள்வதற்கும், B ஐ C ஆக எடுத்துக்கொள்வதற்கும் தேவையான எண்களின் பெருக்கத்திற்கு சமமான துண்டுகளின் எண்ணிக்கையைப் பயன்படுத்தி A ஐ C ஆக சிதைக்கலாம். மேலே வரையப்பட்ட ஆதாரத்திற்கு 2 × 4 × 2 + 8 = 24 துண்டுகள் தேவைப்படுகின்றன-நிலையான புள்ளிகளை அகற்ற 2 இன் காரணி, படி 1 இலிருந்து ஒரு காரணி 4, நிலையான புள்ளிகளை மீண்டும் உருவாக்க ஒரு காரணி 2, மற்றும் இரண்டாவது பந்தின் மைய புள்ளிக்கு 8. ஆனால் படி 1 இல் {e} மற்றும் வடிவத்தின் அனைத்து சரங்களையும் S (a−1) க்குள் நகர்த்தும்போது, ஒன்றைத் தவிர அனைத்து சுற்றுப்பாதைகளுக்கும் இதைச் செய்யுங்கள். இந்த கடைசி சுற்றுப்பாதையின் {e} ஐ இரண்டாவது பந்தின் மையப் புள்ளிக்கு நகர்த்தவும். இது மொத்தத்தை 16 + 1 துண்டுகளாகக் குறைக்கிறது. அதிக இயற்கணிதத்துடன், படி 1 இல் உள்ளதைப் போல நிலையான சுற்றுப்பாதைகளை 4 தொகுப்புகளாக சிதைக்கலாம். இது 5 துண்டுகளை வழங்குகிறது மற்றும் சிறந்த சாத்தியமாகும். பானாச்-டார்ஸ்கி முரண்பாட்டைப் பயன்படுத்தி, யூக்ளிடியன் n-இடத்தில் உள்ள ஒரு பந்தின் k நகல்களை ஒன்றிலிருந்து பெற முடியும், எந்த முழு எண்களுக்கும் n ≤ 3 மற்றும் k ≤ 1, அதாவது. ஒரு பந்தை கே துண்டுகளாக வெட்டலாம், இதனால் அவை ஒவ்வொன்றும் அசலின் அதே அளவிலான பந்துக்கு சமமாக இருக்கும். தரவரிசை 2 இன் இலவச குழு F2 எண்ணற்ற எல்லையற்ற தரவரிசையின் ஒரு இலவச துணைக்குழுவை ஏற்றுக்கொள்கிறது என்ற உண்மையைப் பயன்படுத்தி, Sn−1 அலகு கோளத்தை எண்ணற்ற எண்ணற்ற பல துண்டுகளாகப் பிரிக்க முடியும் என்பதற்கான ஒத்த ஆதாரம், அவை ஒவ்வொன்றும் சுழற்சிகளைப் பயன்படுத்தி Sn−1 க்கு சமமாக (இரண்டு துண்டுகளுடன்) உள்ளன. இணைக்கப்பட்ட பகுப்பாய்வு லை குழுவாக இருக்கும் சுழற்சி குழுவான SO (n) இன் பகுப்பாய்வு பண்புகளைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், Sn−1 கோளத்தை உண்மையான எண்கள் (அதாவது துண்டுகள்) உள்ள அளவுக்கு பல துண்டுகளாகப் பிரிக்க முடியும் என்பதை மேலும் நிரூபிக்க முடியும், இதனால் ஒவ்வொரு துண்டும் சுழற்சிகளைப் பயன்படுத்தி Sn−1 க்கு இரண்டு துண்டுகளுடன் சமமாக இருக்கும். இந்த முடிவுகள் பின்னர் தோற்றத்தை இழந்த அலகு பந்துக்கு நீட்டிக்கப்படுகின்றன. வலேரி சுர்கின் எழுதிய 2010 ஆம் ஆண்டு கட்டுரை பானாச்-டார்ஸ்கி முரண்பாட்டின் தொடர்ச்சியான பதிப்பின் புதிய ஆதாரத்தை வழங்குகிறது. யூக்ளிடியன் தளத்தில் வான் நியூமன் முரண்பாடு யூக்ளிடியன் தளத்தில், யூக்ளிடியன் இயக்கங்களின் குழுவைப் பொறுத்தவரை சமமாக பொருந்தக்கூடிய இரண்டு புள்ளிவிவரங்கள் ஒரே பரப்பளவைக் கொண்டிருக்க வேண்டும், எனவே, யூக்ளிடியன் ஒற்றுமைகளை மட்டுமே பயன்படுத்தும் பானாச்-டார்ஸ்கி வகையின் ஒரு சதுரம் அல்லது வட்டின் முரண்பாடான சிதைவு சாத்தியமற்றது. பிளானர் மற்றும் உயர் பரிமாண நிகழ்வுகளுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டின் கருத்தியல் விளக்கத்தை ஜான் வான் நியூமன் வழங்கினார்ஃ மூன்று பரிமாணங்களில் சுழற்சிகளின் குழு SO (3) ஐப் போலல்லாமல், தளத்தின் யூக்ளிடியன் இயக்கங்களின் குழு E (2) தீர்க்கக்கூடியது, இது மொழிபெயர்ப்புகள் மற்றும் சுழற்சிகளின் கீழ் மாறாத E (2) மற்றும் R2 இல் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட-சேர்க்கை அளவின் இருப்பைக் குறிக்கிறது, மேலும் புறக்கணிக்க முடியாத தொகுப்புகளின் முரண்பாடான சிதைவுகளை நிராகரிக்கிறது. வான் நியூமன் பின்வரும் கேள்வியை முன்வைத்தார்ஃ ஒரு பெரிய சமன்பாடுகளின் குழுவை ஒருவர் அனுமதித்தால் அத்தகைய முரண்பாடான சிதைவை உருவாக்க முடியுமா? ஒருவர் ஒற்றுமைகளை அனுமதித்தால், தளத்தில் உள்ள எந்த இரண்டு சதுரங்களும் மேலும் உட்பிரிவு இல்லாமல் கூட சமமாக மாறும் என்பது தெளிவாகிறது. இது ஒருவரின் கவனத்தை பகுதி-பாதுகாக்கும் இணைப்பு மாற்றங்களின் SA2 குழுவில் கட்டுப்படுத்த ஊக்குவிக்கிறது. இப்பகுதி பாதுகாக்கப்படுவதால், இந்த குழுவைப் பொறுத்தவரை ஒரு சதுரத்தின் எந்தவொரு முரண்பாடான சிதைவும் ஒரு பந்தின் பானாச்-டார்ஸ்கி சிதைவு போன்ற அதே காரணங்களுக்காக எதிர்மறையாக இருக்கும். உண்மையில், SA2 குழுவில் ஒரு துணைக்குழுவாக சிறப்பு நேரியல் குழு SL (2, R) உள்ளது, இது ஒரு துணைக்குழுவாக இரண்டு ஜெனரேட்டர்களுடன் இலவச குழு F2 ஐக் கொண்டுள்ளது. இது பானாச்-டார்ஸ்கி முரண்பாட்டின் ஆதாரத்தை விமானத்தில் பின்பற்ற முடியும் என்பதை நம்பத்தகுந்ததாக ஆக்குகிறது. இங்கே முக்கிய சிரமம் என்னவென்றால், நேரியல் குழு SL (2, R) இன் செயல்பாட்டின் கீழ் அலகு சதுரம் மாறாதது, எனவே ஒருவர் வெறுமனே ஒரு முரண்பாடான சிதைவை குழுவிலிருந்து சதுரத்திற்கு மாற்ற முடியாது, பானாச்-டார்ஸ்கி முரண்பாட்டின் மேலே உள்ள ஆதாரத்தின் மூன்றாவது படிநிலையில் உள்ளது போல. மேலும், குழுவின் நிலையான புள்ளிகள் சிரமங்களை முன்வைக்கின்றன (எடுத்துக்காட்டாக, அனைத்து நேரியல் மாற்றங்களின் கீழ் தோற்றம் சரி செய்யப்படுகிறது). இதனால்தான் வான் நியூமன் மொழிபெயர்ப்புகள் உட்பட பெரிய குழு SA2 ஐப் பயன்படுத்தினார், மேலும் அவர் விரிவாக்கப்பட்ட குழுவைப் பொறுத்தவரை அலகு சதுரத்தின் முரண்பாடான சிதைவை உருவாக்கினார் (1929 இல்). பானாச்-டார்ஸ்கி முறையைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், சதுரத்திற்கான முரண்பாட்டை பின்வருமாறு வலுப்படுத்தலாம்ஃ யூக்ளிடியன் தளத்தின் எந்த இரண்டு வரம்புக்குட்பட்ட துணைக்குழுக்களும் காலியாக இல்லாத உட்புறங்களுடன் பரப்பளவைப் பாதுகாக்கும் இணைப்பு வரைபடங்களைப் பொறுத்தவரை சமமாக இணக்கமாக உள்ளன. வான் நியூமன் குறிப்பிடுவது போல்ஃ "இன்ஃபோல்ஜெடெசென் கிப்ட் எஸ் டெர் எபினே கெய்ன் நிக்ட் நெகட்டிவ் சேர்க்கைகள் மாஸ் (வோ டாஸ் ஐன்ஹீட்ஸ்க்வாட்ராட் தாஸ் மாஸ் 1 ஹாட்), தாஸ் ஜெஜென்யூபர் அலென் அபில்டுங்கன் வான் ஏ 2 மாறாத வேர்". "இதற்கு இணங்க, ஏற்கனவே தளத்தில் எதிர்மறை அல்லாத சேர்க்கை அளவீடு இல்லை (இதற்காக அலகு சதுரம் 1 அளவைக் கொண்டுள்ளது), இது A2 [பரப்பளவைப் பாதுகாக்கும் அஃபைன் மாற்றங்களின் குழு] க்கு சொந்தமான அனைத்து மாற்றங்களுக்கும் மாறாதது". மேலும் விளக்குவதற்கு, ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட சேர்க்கை அளவீடு (சில மாற்றங்களின் கீழ் பாதுகாக்கப்படுவது) இருக்கிறதா இல்லையா என்ற கேள்வி என்ன மாற்றங்கள் அனுமதிக்கப்படுகின்றன என்பதைப் பொறுத்தது. மொழிபெயர்ப்புகள் மற்றும் சுழற்சிகளால் பாதுகாக்கப்படும் விமானத்தில் உள்ள செட்டுகளின் பானாச் அளவீடு, பலகோணங்களின் பரப்பளவைப் பாதுகாக்கும்போது கூட ஐசோமெட்ரிக் அல்லாத மாற்றங்களால் பாதுகாக்கப்படுவதில்லை. தளத்தின் புள்ளிகளை (தோற்றத்தைத் தவிர) இரண்டு அடர்த்தியான தொகுப்புகளாகப் பிரிக்கலாம், அவை ஏ மற்றும் பி என்று அழைக்கப்படலாம். கொடுக்கப்பட்ட பலகோணத்தின் ஏ புள்ளிகள் ஒரு குறிப்பிட்ட பகுதி-பாதுகாக்கும் மாற்றத்தால் மாற்றப்பட்டு, பி புள்ளிகள் மற்றொரு மாற்றத்தால் மாற்றப்பட்டால், இரண்டு தொகுப்புகளும் இரண்டு புதிய பலகோணங்களில் ஏ புள்ளிகளின் துணைக்குழுக்களாக மாறும். புதிய பலகோணங்கள் பழைய பலகோணத்தின் அதே பரப்பளவைக் கொண்டுள்ளன, ஆனால் மாற்றப்பட்ட இரண்டு தொகுப்புகளும் முன்பு இருந்த அதே அளவைக் கொண்டிருக்க முடியாது (அவை ஏ புள்ளிகளின் ஒரு பகுதியை மட்டுமே கொண்டிருப்பதால்), எனவே "வேலை செய்யும்" அளவீடு எதுவும் இல்லை. பானாச்-டார்ஸ்கி நிகழ்வைப் பற்றிய ஆய்வின் போது வான் நியூமனால் தனிமைப்படுத்தப்பட்ட குழுக்களின் வகை கணிதத்தின் பல பகுதிகளுக்கு மிகவும் முக்கியமானதாக மாறியதுஃ இவை இணக்கமான குழுக்கள் அல்லது மாறாத சராசரி கொண்ட குழுக்கள், மேலும் அனைத்து வரையறுக்கப்பட்ட மற்றும் அனைத்து தீர்க்கக்கூடிய குழுக்களையும் உள்ளடக்கியது. பொதுவாகச் சொல்வதானால், சமநிலை இணக்கத்தின் வரையறையில் சமநிலைகளுக்கு பயன்படுத்தப்படும் குழு இணக்கமாக இல்லாதபோது முரண்பாடான சிதைவுகள் எழுகின்றன. சமீபத்திய முன்னேற்றம் 2000: வான் நியூமனின் ஆய்வறிக்கை நேரியல் குழு SL (2, R) (வேகன், கேள்வி 7.4) ஐப் பொறுத்தவரை அலகு சதுரத்தின் உட்புறத்தின் முரண்பாடான சிதைவுக்கான சாத்தியத்தைத் திறந்து வைத்தது. 2000 ஆம் ஆண்டில், மிக்லோஸ் லாக்ஸ்கோவிச் அத்தகைய சிதைவு இருப்பதை நிரூபித்தார். இன்னும் துல்லியமாக, ஏ என்பது வெற்று உட்புறத்துடன் மற்றும் தோற்றத்திலிருந்து நேர்மறையான தூரத்தில் உள்ள தளத்தின் அனைத்து வரம்புக்குட்பட்ட துணைக்குழுக்களின் குடும்பமாக இருக்கட்டும், மேலும் பி என்பது அனைத்து பிளானர் தொகுப்புகளின் குடும்பமாகும், இது எஸ். எல் (2, ஆர்) இன் சில கூறுகளின் கீழ் வரையறுக்கப்பட்ட பலவற்றின் ஒன்றிணைப்பு தோற்றத்தின் ஒரு பஞ்சர் செய்யப்பட்ட சுற்றுப்புறத்தைக் கொண்டுள்ளது. பின்னர் A குடும்பத்தில் உள்ள அனைத்து செட்களும் SL (2, R)-சமமானவை, அதேபோல் B இல் உள்ள செட்களுக்கும். இது இரு குடும்பங்களும் முரண்பாடான தொகுப்புகளைக் கொண்டுள்ளன என்பதைப் பின்பற்றுகிறது. 2003: SA2 ஐப் பொறுத்தவரை முழு தளம் முரண்பாடாக இருப்பதாகவும், SA2 இன் உள்ளூரில் பரிமாற்ற இலவச துணைக்குழு இருந்தால் குறைந்தபட்ச எண்ணிக்கையிலான துண்டுகள் நான்குக்கு சமமாக இருக்கும் என்றும் நீண்ட காலமாக அறியப்பட்டது. 2003 ஆம் ஆண்டில் கென்சி சாட்டோ அத்தகைய ஒரு துணைக்குழுவை உருவாக்கி, நான்கு துண்டுகள் போதுமானது என்பதை உறுதிப்படுத்தியது. 2011: நிலையான புள்ளிகள் இல்லாமல் துளையிடப்பட்ட வட்டு D இல் செயல்படும் துண்டுகளாக்கப்பட்ட நேரியல் மாற்றங்களின் இலவச குழு F இருந்தால் லாக்ஸ்கோவிச்சின் காகிதம் சாத்தியத்தைத் திறந்து வைத்தது. கிரெஸ்கோர்ஸ் டோம்கோவிக்ஸ் அத்தகைய ஒரு குழுவை உருவாக்கினார், இது F மற்றும் D\ {0,0} மூலம் ஒற்றுமைகளின் அமைப்பை உணர முடியும் என்பதைக் காட்டுகிறது. 2017: ஹைபர்போலிக் தளமான H2 இல் ஒரு தொகுப்பு E உள்ளது என்பது நீண்ட காலமாக அறியப்படுகிறது, இது H2 இன் மூன்றாவது, நான்காவது மற்றும் ஒரு பகுதி. H2 இன் நோக்குநிலை-பாதுகாக்கும் ஐசோமீட்டரிகள் மூலம் தேவை பூர்த்தி செய்யப்பட்டது. இதே போன்ற முடிவுகளை ஜான் ஃபிராங்க் ஆடம்ஸ் மற்றும் ஜான் மைசியல்ஸ்கி ஆகியோர் பெற்றனர், அவர்கள் S2 அலகு கோளத்தில் S2 இன் அரை, மூன்றில் ஒரு பங்கு, நான்கில் ஒரு பங்கு மற்றும் ஒரு-வது பகுதி என்று ஒரு தொகுப்பு E ஐக் கொண்டிருப்பதைக் காட்டினர். ஆடம்ஸ் மற்றும் மைசில்ஸ்கி கட்டுமானத்தை S2 இல் உள்ள அதே பண்புகளுடன் H2 இன் தொகுப்பு E ஐப் பெறுவதற்கு பொதுமைப்படுத்தலாம் என்று கிரெஸ்கோர்ஸ் டோம்கோவிக்ஸ் காட்டினார். 2017: வான் நியூமனின் முரண்பாடு யூக்ளிடியன் தளத்தைப் பற்றியது, ஆனால் முரண்பாடுகள் சாத்தியமான பிற பாரம்பரிய இடங்களும் உள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக, ஹைபர்போலிக் தளமான H2 இல் பானாச்-டார்ஸ்கி முரண்பாடு உள்ளதா என்று ஒருவர் கேட்கலாம். இதை ஜான் மைசில்ஸ்கி மற்றும் கிரெஸ்கோர்ஸ் டாம்கோவிக்ஸ் ஆகியோர் காட்டினர். பெரும்பாலான பாரம்பரிய முரண்பாடுகள் ஒரு வரைபட கோட்பாட்டு முடிவின் எளிதான விளைவு என்றும், கேள்விக்குரிய குழுக்கள் போதுமான பணக்காரர்கள் என்ற உண்மையையும் டாம்கோவிக்ஸ் நிரூபித்தார். 2018: 1984 ஆம் ஆண்டில், ஜான் மைசில்ஸ்கி மற்றும் ஸ்டான் வேகன் ஆகியோர் போரெல் செட்டுகளைப் பயன்படுத்தும் ஹைபர்போலிக் தளமான எச் 2 இன் முரண்பாடான சிதைவை உருவாக்கினர். முரண்பாடு H2 இன் ஐசோமீட்டரிகளின் குழுவின் ஒழுங்காக தொடர்ச்சியற்ற துணைக்குழுவின் இருப்பைப் பொறுத்தது. இதேபோன்ற முரண்பாட்டை கிரெஸ்கோர்ஸ் டோம்கோவிக்ஸ் பெற்றார், அவர் அஃபைன் குழு எஸ்ஏ (3, இசட்) இன் ஒரு இலவச ஒழுங்கற்ற தொடர்ச்சியற்ற துணைக்குழுவை உருவாக்கினார். அத்தகைய குழுவின் இருப்பு Z3 இன் ஒரு துணைக்குழு E இன் இருப்பைக் குறிக்கிறது, அதாவது Z3 இன் எந்த வரையறுக்கப்பட்ட F க்கும் ஒரு உறுப்பு உள்ளது, இது மற்றும் சமச்சீர் வேறுபாட்டைக் குறிக்கிறது. 2019: பானாச்-டார்ஸ்கி முரண்பாடு நகலில் இறுதியாக பல துண்டுகளைப் பயன்படுத்துகிறது. எண்ணற்ற துண்டுகளைப் பொறுத்தவரை, காலியாக இல்லாத உட்புறங்களைக் கொண்ட எந்த இரண்டு செட்களும் மொழிபெயர்ப்புகளைப் பயன்படுத்தி சமமாக இணக்கமாக இருக்கும். ஆனால் லெபெஸ்கூ அளவிடக்கூடிய துண்டுகளை மட்டுமே ஒருவர் பெற அனுமதிக்கிறதுஃ ஏ மற்றும் பி ஆகியவை ஆர்என் இன் துணைக்குழுக்களாக இருந்தால், காலியாக இல்லாத உட்புறங்களுடன், அவை லெபெஸ்கூ அளவிடக்கூடிய துண்டுகளைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடத்தக்க வகையில் சமமாக இருந்தால் மட்டுமே அவை சமமான லெபெஸ்கூ அளவீடுகளைக் கொண்டுள்ளன. ஜான் மைசில்ஸ்கி மற்றும் கிரெஸ்கோர்ஸ் டாம்கோவிக்ஸ் ஆகியோர் இந்த முடிவை வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண லை குழுக்கள் மற்றும் இரண்டாவது எண்ணக்கூடிய உள்ளூரில் கச்சிதமான இடவியல் குழுக்களுக்கு விரிவுபடுத்தினர், அவை முற்றிலும் துண்டிக்கப்பட்டுள்ளன அல்லது எண்ணற்ற பல இணைக்கப்பட்ட கூறுகளைக் கொண்டுள்ளன. மேலும் காண்க குறிப்புகள் எட்வர்ட் காஸ்னர் & ஜேம்ஸ் நியூமன் (1940) கணிதமும் கற்பனையும், pp 205-7, சைமன் & ஷஸ்டர். வெளிப்புற இணைப்புகள் ஸ்டான் வேகன் (மக்கலேஸ்டர் கல்லூரி) எழுதிய பானாச்-டார்ஸ்கி முரண்பாடு, வொல்ப்ராம் ஆர்ப்பாட்டங்கள் திட்டம். ஒழுங்கற்ற வெப்காமிக்! டேவிட் மோர்கன்-மார் எழுதிய #2339 முரண்பாட்டின் தொழில்நுட்பமற்ற விளக்கத்தை வழங்குகிறது. ஒன்றிலிருந்து இரண்டு கோளங்களை எவ்வாறு உருவாக்குவது என்பதற்கான படிப்படியான செயல்விளக்கம் இதில் அடங்கும். முரண்பாட்டின் அடிப்படை அடிப்படைகள் பற்றிய ஒரு கண்ணோட்டத்தை வழங்குகிறது. பானாச்-டார்ஸ்கி மற்றும் எல்லையற்ற குளோனிங்கின் முரண்பாடு பெயரளவிலான முரண்பாடுகள் குழு கோட்பாடு அளவீட்டுக் கோட்பாடு கணித முரண்பாடுகள் கோட்பாடுகள் கணிதத்தின் அடித்தளங்களில் கோட்பாடுகள் வடிவியல் பிரிவு 1924 அறிமுகங்கள் முடிவிலியின் முரண்பாடுகள்