Quartic reciprocity
குவார்டிக் அல்லது பிக்வாட்ராடிக் ரெசிப்ரொசிட்டி என்பது அடிப்படை மற்றும் இயற்கணித எண் கோட்பாட்டில் உள்ள கோட்பாடுகளின் தொகுப்பாகும், அவை x4 ஷ்ண p (மாட் q) தீர்க்கக்கூடிய நிபந்தனைகளைக் குறிப்பிடுகின்றன; "ரெசிப்ரொசிட்டி" என்ற சொல் இந்த கோட்பாடுகளில் சிலவற்றின் வடிவத்திலிருந்து வருகிறது, அதில் அவை x4 ஷ்ண p (மாட் q) இன் ஒத்த தன்மையின் தீர்க்கக்கூடிய தன்மையை x4 ஷ்ண q (மாட் p) உடன் தொடர்புபடுத்துகின்றன. வரலாறு ஆய்லர் இருதரப்பு பரஸ்பர பரிமாற்றத்தைப் பற்றி முதல் யூகங்களை முன்வைத்தார். காஸ் பிகுவாட்ராடிக் பரஸ்பரம் குறித்து இரண்டு மோனோகிராஃப்களை வெளியிட்டார். முதல் ஒன்றில் (1828) அவர் 2 இன் இருதரப்பு தன்மை பற்றிய ஆய்லரின் அனுமானத்தை நிரூபித்தார். இரண்டாவதாக (1832) அவர் காஸியன் முழு எண்களுக்கான பிகுவாட்ராடிக் ரெசிப்ரொசிட்டி சட்டத்தை குறிப்பிட்டார் மற்றும் துணை சூத்திரங்களை நிரூபித்தார். பொதுக் கோட்பாட்டின் ஆதாரத்துடன் மூன்றாவது மோனோகிராஃப் வரும் என்று அவர் கூறினார், ஆனால் அது ஒருபோதும் தோன்றவில்லை. ஜாகோபி தனது கோனிக்ஸ்பெர்க் விரிவுரைகளில் 1836-37 இன் ஆதாரங்களை வழங்கினார். முதன்முதலில் வெளியிடப்பட்ட சான்றுகள் ஐன்ஸ்டைனால் செய்யப்பட்டவை. அப்போதிருந்து கிளாசிக்கல் (காஸியன்) பதிப்பின் பல சான்றுகளும், மாற்று அறிக்கைகளும் கண்டுபிடிக்கப்பட்டுள்ளன. 1970 களில் இருந்து பகுத்தறிவு பரஸ்பர சட்டங்களில் ஆர்வம் அதிகரித்துள்ளதாக லெம்மர்மேயர் கூறுகிறார். ஒரு குவார்டிக் அல்லது பிக்வாட்ராடிக் ரெசிடுயு (மாட் p) என்பது ஒரு முழு எண்ணின் (மாட் p) நான்காவது சக்திக்கு ஒத்த எந்த எண்ணையும் குறிக்கிறது. x4 ஷ்ண a (மட்டு p) ஒரு முழு எண் தீர்வை கொண்டிருக்கவில்லை என்றால், a என்பது ஒரு குவார்டிக் அல்லது பிக்வாட்ராடிக் அல்லாத ரெசிடியூ (மட்டு p) ஆகும். எண் கோட்பாட்டில் பெரும்பாலும், மாடுலோ பகா எண்களை வேலை செய்வது எளிதானது, எனவே இந்த பிரிவில் அனைத்து மாடுலி p, q, போன்றவை நேர்மறை, ஒற்றைப்படை பகா எண்களாக கருதப்படுகின்றன. காஸ் முழு எண்களின் Z வளையத்திற்குள் வேலை செய்யும் போது கவனிக்க வேண்டிய முதல் விஷயம் என்னவென்றால், பகா எண் q என்பது ஷ்ண 3 (மட்டு 4) ஆக இருந்தால், ஒரு ரெசிடுயு r ஒரு இருபடி ரெசிடுயு (மட்டு q) ஆகும், அது ஒரு இருபடி ரெசிடுயு (மட்டு q) ஆக இருந்தால் மட்டுமே. உண்மையில், இருபடிம பரஸ்பர பரிமாற்றத்தின் முதல் சப்ளிமெண்ட், −1 என்பது ஒரு இருபடிம மீள் (மட்டு q) என்று கூறுகிறது, எனவே எந்த முழு எண் x க்கும், x மற்றும் −x இல் ஒன்று இருபடிம எச்சமாகவும் மற்றொன்று மீல் அல்லாததாகவும் இருக்கும். எனவே, r ஷ்ண a2 (மட்டு q) ஒரு இருபடி எச்சமாக இருந்தால், a ஷ்ண b2 ஒரு எச்சமாக இருந்தால், r ஷ்ண a2 ஷ்ண b4 (மட்டு q) ஒரு இருபடி எச்சமாகும், மேலும் a ஒரு மறுசுழற்சி இல்லையென்றால், − a ஒரு எச்சமாகும், − a ஷ்ண b2, மீண்டும், r ஷ்ண (−a) 2 ஷ்ண b4 (மட்டு q) ஒரு இருபடி எச்சமாகும். எனவே, ஒரே சுவாரஸ்யமான வழக்கு மாடுலஸ் p ஷ்ண 1 (மட்டு 4) ஆகும். p ஷ்ண 1 (மட்டு 4) என்றால், பூஜ்ஜியமற்ற எச்ச வகுப்புகளை (மட்டு p) நான்கு தொகுப்புகளாகப் பிரிக்கலாம், ஒவ்வொன்றும் (p−1)/4 எண்களைக் கொண்டிருக்கும் என்பதை காஸ் நிரூபித்தார். e ஒரு இருபடி மீள் இல்லாததாக இருக்கட்டும். முதல் தொகுப்பு குவார்டிக் ரெசிடுஸ்கள் ஆகும்; இரண்டாவது ஒன்று முதல் தொகுப்பில் உள்ள எண்களின் ஈ மடங்கு, மூன்றாவது முதல் தொகுப்பில் உள்ள எண்களின் ஈ 2 மடங்கு, நான்காவது ஒன்று முதல் தொகுப்பில் உள்ள எண்களின் ஈ 3 மடங்கு ஆகும். இந்த பிரிவை விவரிப்பதற்கான மற்றொரு வழி g ஒரு பழமையான மூலமாக (மட்டு p) இருக்கட்டும்; பின்னர் முதல் தொகுப்பு இந்த மூலத்தைப் பொறுத்தவரை குறியீடுகள் ஷ்ணுவம் 0 (மட்டு 4) ஆக இருக்கும் அனைத்து எண்களாகும், இரண்டாவது தொகுப்பு குறியீடுகள் ஷ்ணுவம் 1 (மட்டு 4), போன்றவை. குழுக் கோட்பாட்டின் சொற்களஞ்சியத்தில், முதல் தொகுப்பு குறியீடு 4 இன் துணைக்குழுவாகும் (பெருக்கக் குழு Z/pZ × இன்), மற்ற மூன்று அதன் கொசெட்டுகளாகும். முதல் தொகுப்பு பைக்காட்ராடிக் ரெசிடுஸ்கள் ஆகும், மூன்றாவது தொகுப்பு குவார்டிக் ரெசிடுஸ்கள் அல்லாத இருபடி ரெசிடுஸ்கள் ஆகும், இரண்டாவது மற்றும் நான்காவது தொகுப்புகள் இருபடி ரெசிடுஸ்கள் அல்ல. காஸ், p ஷ்ணம் 1 (மட்டு 8) என்றால் −1 என்பது ஒரு இருபடிம எச்சம் என்றும், p ஷ்ணம் 5 (மட்டு 8) என்றால் இருபடிம, ஆனால் இருபடிம, எச்சம் அல்ல என்றும் நிரூபித்தார். p ஷ்ண ±1 (மட்டு 8) என்றால் மட்டுமே 2 என்பது ஒரு இருபடி எச்சம் மட்டு p ஆகும். p என்பது ஷ்ண 1 (மட்டு 4) என்பதால், இது p ஷ்ண 1 (மட்டு 8) என்று பொருள்படும். அத்தகைய ஒவ்வொரு பகா எண்களும் ஒரு சதுரத்தின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் ஒரு சதுரத்தின் இரு மடங்கு ஆகும். காஸ் நிரூபித்தார் q = a2 + 2b2 ஷ்ண 1 (மட்டு 8) ஒரு பகா எண்ணாக இருக்கட்டும். பின்னர் 2 என்பது ஒரு ஷ்ண ± 1 (மட்டு 8) ஆக இருந்தால் மட்டுமே, மற்றும் 2 ஒரு இருபடி, ஆனால் ஒரு இருபடி அல்ல, மீதம் (மட்டு q) ஒரு ஷ்ண ± 3 (மட்டு 8) ஆக இருந்தால் மட்டுமே. ஒவ்வொரு பகா p ஷ்ணமும் (மட்டு 4) இரண்டு வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகையாகும். a ஒற்றைப்படை மற்றும் b சமமாக இருக்கும் போது p = a2 + b2 என்றால், b ஷ்ணுத்தன்மை இருந்தால் மட்டுமே மேலே வரையறுக்கப்பட்ட முதல் (முறையே இரண்டாவது, மூன்றாவது அல்லது நான்காவது) வகுப்பிற்கு 2 சொந்தமானது என்பதை காஸ் நிரூபித்தார். 2, 4, அல்லது 6) (மட்டு 8). இதன் முதல் வழக்கு ஆய்லரின் அனுமானங்களில் ஒன்றாகும்ஃ p = a2 + 64b2 என்றால் மட்டுமே 2 என்பது ஒரு பகா p ஷ்ண 1 (மட்டு 4) இன் இருபடிம எச்சமாகும். டிரிச்லெட் ஒற்றைப்படை பகா எண் p மற்றும் இருபடி எச்சம் a (மட்டு p) க்கு, யூலரின் அளவுகோல் கூறுகிறது, எனவே p ஷ்ணம் 1 (மட்டு 4) என்றால், பகா எண் p ஷ்ணம் 1 (மட்டு 4) மற்றும் இருபடி எச்சம் a (மட்டு p) க்கான பகுத்தறிவு குவார்டிக் எச்ச சின்னத்தை வரையறுக்கவும். பின்னர் (i2 ஷ்ண −1 (மாட் p) என்பதைக் கவனியுங்கள்.) உண்மையில், p = a2 + b2 = c2 + 2d2 = e2 − 2f2 ஷ்ண 1 (மட்டு 8) பகா எண்ணாக இருக்கட்டும், மேலும் a ஒற்றைப்படை என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் சாதாரண லெஜெண்டர் சின்னம் எங்கே? 2 இன் எழுத்துக்கு அப்பால் சென்று, b சமமாக இருக்கும் இடத்தில் பகா எண் p = a2 + b2 ஆக இருக்கட்டும், மேலும் q ஒரு பகா எண்ணாக இருக்கட்டும், அதாவது இருபடி பரஸ்பரம் σ2 ஷ்ண p (மட்டு q) என்று சொல்லலாம். முதல் சில எடுத்துக்காட்டுகள் பின்வருமாறுஃ ஆய்லர் 2,3 மற்றும் 5 க்கான விதிகளை யூகித்திருந்தார், ஆனால் அவற்றில் எதையும் நிரூபிக்கவில்லை. p ஷ்ண 1 (மட்டு 4) பகா எண்ணாக இருந்தால், பின்னர் இது 17 முதல் 17,73,97 மற்றும் 193 வரை பிரவுன் மற்றும் லெஹ்மர் ஆகியோரால் நீட்டிக்கப்பட்டுள்ளது என்பதையும் டிரிச்லெட் நிரூபித்தார். பர்டேயின் பகுத்தறிவார்ந்த புவிசார் பரஸ்பரச் சட்டத்தை குறிப்பிடுவதற்கு பல சமமான வழிகள் உள்ளன. அவை அனைத்தும் p = a2 + b2 மற்றும் q = c2 + d2 ஆகியவை b மற்றும் d சமமாக இருக்கும் பகா எண்கள் என்றும், கோஸெட்டின் பதிப்பு லெட்டிங் i2 ஷ்ண −1 (மாட் p) மற்றும் j2 ஷ்ண −1 (மாட் q) என்றும் கருதுகின்றன. பின்னர் e2 = p f2 + q g2 அற்பமான முழு எண் தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் p ஷ்ண q ஷ்ண 1 (மட்டு 4) பகா எண்களாக இருக்கட்டும் மற்றும் p = r2 + q s2 என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் p = 1 + 4x2 பகா எண்ணாக இருக்கட்டும், a என்பது x ஐ வகுக்கும் எந்த ஒற்றைப்படை எண்ணாகவும் இருக்கட்டும், பின்னர் a * என்பது ஒரு பைக்காட்ராடிக் ரெசிடுயு (மாட் p) ஆகும். p = a2 + 4b2 = c2 + 2d2 ஷ்ண 1 (மட்டு 8) பகா எண்ணாக இருக்கட்டும். பின்னர் c4 − p a2 இன் அனைத்து வகுத்திகளும் பிகுவாட்ராடிக் எச்சங்கள் (மாட் p) ஆகும். d4 − p b2 இன் அனைத்து வகுத்திகளுக்கும் இது பொருந்தும். காஸியன் முழு எண்கள் பின்னணி பிகுவாட்ராடிக் பரஸ்பரம் குறித்த தனது இரண்டாவது மோனோகிராஃபில் காஸ் சில எடுத்துக்காட்டுகளைக் காட்டுகிறார் மற்றும் சிறிய பகா எண்களின் பிகுவாட்ராடிக் தன்மைக்கு மேலே பட்டியலிடப்பட்டுள்ள கோட்பாடுகளைக் குறிக்கும் யூகங்களை உருவாக்குகிறார். அவர் சில பொதுவான கருத்துக்களை தெரிவிக்கிறார், மேலும் வேலையில் வெளிப்படையான பொதுவான விதி எதுவும் இல்லை என்று ஒப்புக்கொள்கிறார். எண்கணித புலம் கற்பனை எண்களுக்கு நீட்டிக்கப்படும்போது மட்டுமே இருதரப்பு எச்சங்கள் பற்றிய கோட்பாடுகள் மிகப் பெரிய எளிமையுடனும் உண்மையான அழகுடனும் ஒளிரும், இதனால் கட்டுப்பாடு இல்லாமல், a + b வடிவத்தின் எண்கள் ஆய்வின் பொருளாக அமைகின்றன. அத்தகைய எண்களை ஒருங்கிணைந்த சிக்கலான எண்கள் என்று அழைக்கிறோம். இந்த எண்கள் இப்போது காஸியன் முழு எண்களின் வளையம் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, அவை Z [i] ஆல் குறிக்கப்படுகின்றன. i என்பது 1 இன் நான்காவது வேர் என்பதை நினைவில் கொள்க. ஒரு அடிக்குறிப்பில் அவர் மேலும் கூறுகிறார், கன எச்சங்களின் கோட்பாடு a + bh வடிவத்தின் எண்களைக் கருத்தில் கொண்டு இதேபோல் அடிப்படையாகக் கொண்டிருக்க வேண்டும், அங்கு h என்பது h3 = 1 என்ற சமன்பாட்டின் கற்பனையான மூலமாகும். அதேபோல் உயர் சக்திகளின் எச்சங்களின் கோட்பாடும் பிற கற்பனை அளவுகளின் அறிமுகத்திற்கு வழிவகுக்கிறது. ஒற்றுமையின் கன மூலத்திலிருந்து உருவாக்கப்பட்ட எண்கள் இப்போது ஐன்ஸ்டீன் முழு எண்களின் வளையம் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. "உயர் சக்திகளின் எச்சங்களின் கோட்பாட்டிற்கு" தேவையான "பிற கற்பனை அளவுகள்" சைக்ளோடோமிக் எண் புலங்களின் முழு எண்களின் வளையங்களாகும்; காஸியன் மற்றும் ஐன்ஸ்டீன் முழு எண்கள் இவற்றிற்கு எளிய எடுத்துக்காட்டுகளாகும். உண்மைகள் மற்றும் சொற்களஞ்சியம் காஸ் "ஒருங்கிணைந்த சிக்கலான எண்களின்" எண்கணிதக் கோட்பாட்டை உருவாக்கி, அது சாதாரண முழு எண்களின் எண்கணிதத்துடன் மிகவும் ஒத்திருப்பதைக் காட்டுகிறது. இங்குதான் அலகு, இணை, நெறிமுறை மற்றும் முதன்மை என்ற சொற்கள் கணிதத்தில் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டன. அலகுகள் என்பது 1 ஐ வகுக்கும் எண்கள் ஆகும். அவை 1, i, −1, மற்றும் −i ஆகும். அவை சாதாரண முழு எண்களில் 1 மற்றும்-1 ஐப் போலவே உள்ளன, அவை ஒவ்வொரு எண்ணையும் வகுக்கின்றன. அலகுகள் என்பது i இன் அதிகாரங்களாகும். λ = a + b என்ற எண்ணைக் கொடுத்தால், அதன் இணைவு a − b ஆகும் மற்றும் அதன் துணை எண்கள் λ = + a + b iλ = − b + i − λ = − a − b − iλ = + b − i ஆகும். λ மற்றும் μ இரண்டு காஸியன் முழு எண்களாக இருந்தால், Nλμ = Nλ Nμ; வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், நெறிமுறை பெருக்கமாகும். பூஜ்ஜியத்தின் நெறிமுறை பூஜ்ஜியமாகும், வேறு எந்த எண்ணின் நெறிமுறை ஒரு நேர்மறை முழு எண்ணாகும். Nε = 1 என்றால் மட்டுமே ε ஒரு அலகு. λ இன் நெறிமுறையின் வர்க்கமூலம், ஒரு காஸியன் முழு எண்ணாக இல்லாத ஒரு எதிர்மறை அல்லாத உண்மையான எண், லாம்ப்டாவின் முழுமையான மதிப்பாகும். Z [i] ஒரு தனித்துவமான காரணிமயமாக்கல் களம் என்பதை காஸ் நிரூபிக்கிறார், மேலும் பகா எண்கள் மூன்று வகுப்புகளாகப் பிரிக்கப்படுகின்றன என்பதைக் காட்டுகிறதுஃ 2 என்பது ஒரு சிறப்பு வழக்குஃ 2 = i3 (1 + i) 2. இது Z [i] இல் உள்ள ஒரு பகா எணத்தின் சதுரத்தால் வகுக்கக்கூடிய ஒரே பகா எண் ஆகும். இயற்கணித எண் கோட்பாட்டில், 2 என்பது Z [i] இல் விரிவடையும் என்று கூறப்படுகிறது. Z ஷ்ணம் 3 (மட்டு 4) இல் உள்ள நேர்மறை பகா எண்களும் Z [i] இல் உள்ள பகா எண்களாகும். இயற்கணித எண் கோட்பாட்டில், இந்த பகா எண்கள் Z [i] இல் செயலற்றதாக இருக்கும் என்று கூறப்படுகிறது. Z ஷ்ண 1 (மட்டு 4) இல் உள்ள நேர்மறை பகா எண்கள் Z [i] இல் உள்ள இரண்டு இணை பகா எண்களின் பெருக்கல் ஆகும். இயற்கணித எண் கோட்பாட்டில், இந்த பகா எண்கள் Z [i] இல் பிரிக்கப்படுகின்றன. எனவே, மந்த பகா எண்கள் 3,7,11,19 ஆகும். மேலும் பிளவு பகா எண்களின் காரணியாக்கம் 5 = (2 + i) × (2−i), 13 = (2 + 3i) × (2−3i), 17 = (4 + i) × (4−i), 29 = (2 + 5i) × (2−5i), ஆகும். ஒரு பகா எண்ணை இணைப்புகளும் இணைப்புகளும் பகா எண்களாகும். ஒரு மந்த பகா q இன் நெறிமுறை Nq = q2 ஷ்ண 1 (மட்டு 4) என்பதைக் கவனியுங்கள்; எனவே 1 + i மற்றும் அதன் கூட்டாளிகளைத் தவிர மற்ற அனைத்து பகா எண்களின் நெறிமுறை ஷ்ண 1 (மட்டு 4) ஆகும். காஸ் ஒரு எண்ணை அதன் நெறிமுறை ஒற்றைப்படை முழு எண்ணாக இருந்தால் Z [i] ஒற்றைப்படை என்று அழைக்கிறார். எனவே 1 + i மற்றும் அதன் துணை எண்களைத் தவிர அனைத்து பகா எண்களும் ஒற்றைப்படை. இரண்டு ஒற்றைப்படை எண்களின் பெருக்கல் ஒற்றைப்படை மற்றும் ஒற்றைப்படை எண்ணின் இணைப்புகளும் இணைப்புகளும் ஒற்றைப்படை. தனித்துவமான காரணிமயமாக்கல் தேற்றத்தைக் குறிப்பிட, ஒரு எண்ணின் கூட்டாளிகளில் ஒன்றை வேறுபடுத்துவதற்கான வழியைக் கொண்டிருப்பது அவசியம். காஸ் ஒரு ஒற்றைப்படை எண்ணை முதன்மை எண்ணாக வரையறுக்கிறார், அது ஷ்ண 1 (மட்டு (1 + i) 3) ஆக இருந்தால். ஒவ்வொரு ஒற்றைப்படை எண்ணுக்கும் சரியாக ஒரு முதன்மை இணை உள்ளது என்பதைக் காண்பிப்பது நேரடியானது. ஒரு ஒற்றைப்படை எண் λ = a + b ஷ்ண a − b ஷ்ண 1 (மட்டு 4) என்றால்; அதாவது, a ஷ்ண 1 மற்றும் b ஷ்ண 0, அல்லது a ஷ்ண 3 மற்றும் b ஷ்ண 2 (மட்டு 4). இரண்டு முதன்மை எண்களின் பெருக்கல் முதன்மையானது மற்றும் ஒரு முதன்மை எண்ணின் இணைப்பும் முதன்மையானது. Z [i] க்கான தனித்துவமான காரணிமயமாக்கல் தேற்றம் பின்வருமாறுஃ λ §0 என்றால், 0 ≤ μ ≤ 3, ν ≤ 0 இல், π என்பது முதன்மை பகா எண்கள் மற்றும் α என்பது ≤ 1 ஆகும், மேலும் இந்த பிரதிநிதித்துவம் காரணிகளின் வரிசை வரை தனித்துவமானது. ஒற்றுமை மற்றும் மிகப் பெரிய பொதுவான வகுத்தியின் கருத்துக்கள் சாதாரண முழு எண்களுக்கான Z ஐப் போலவே Z [i] இல் வரையறுக்கப்படுகின்றன. அலகுகள் அனைத்து எண்களையும் வகுப்பதால், ஒரு ஒற்றுமை (மட்டு λ) என்பது λ இன் எந்தவொரு கூட்டாளிக்கும் உண்மையான மட்டு ஆகும், மேலும் ஒரு GCD இன் எந்தவொரு கூட்டாளியும் ஒரு GCD ஆகும். குவார்டிக் எச்ச எழுத்து காஸ் ஃபெர்மாட்டின் தேற்றத்தின் ஒப்புமையை நிரூபிக்கிறதுஃ α ஒரு ஒற்றைப்படை பகா எண் π ஆல் வகுக்கப்படாவிட்டால், Nπ ஷ்ண 1 (மட்டு 4) என்பதால், அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கிறது, மேலும் ஒரு தனித்துவமான அலகு ik க்கு. இந்த அலகு α (மாட் π) இன் குவார்டிக் அல்லது பிக்வாட்ராடிக் ரெசிடுயு எழுத்து என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் இது லெஜெண்டர் சின்னத்தைப் போலவே முறையான பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது. சிக்கலான இணைப்பைக் குறிக்கும் இடத்தில் மட்டுமே Z [i] இல் ஒற்றுமை தீர்க்கப்படும். π மற்றும் θ ஆகியவை கூட்டாளிகளாக இருந்தால், α ஷ்ணம் β (மட்டு π) என்றால், லெஜெண்டர் சின்னம் ஜாகோபி சின்னமாக பொதுமைப்படுத்தப்பட்டதைப் போலவே "வகுத்தல்" இல் உள்ள ஒற்றைப்படை கலப்பு எண்களுக்கும் பிகுவாட்ராடிக் எழுத்தை நீட்டிக்க முடியும். அந்த விஷயத்தில், "வகுத்தல்" கலப்பு என்றால், குறியீடு ஒன்றிணைப்பு தீர்க்கப்படாமல் ஒன்றுக்கு சமமாக இருக்க முடியும்ஃ அங்கு a மற்றும் b சாதாரண முழு எண்களாக இருந்தால், a §0, |b |> 1, gcd (a, b) = 1, பின்னர் காஸ் தேற்றத்தின் அறிக்கைகள் இந்த வடிவத்தில் பிகுவாட்ராடிக் பரஸ்பர சட்டத்தின் விதியைக் குறிப்பிட்டனஃ π மற்றும் θ ஆகியவை Z [i] இன் தனித்துவமான முதன்மை பகா எண்களாக இருக்கட்டும். பின்னர் π அல்லது θ அல்லது இரண்டும் ஷ்ண 1 (மட்டு 4) ஆக இருந்தால், ஆனால் π மற்றும் θ இரண்டும் ஷ்ண 3 + 2i (மட்டு 4) ஆக இருந்தால், லெஜெண்டர் குறியீட்டிற்கான இருபடி பரஸ்பரச் சட்டம் ஜாகோபி குறியீட்டிற்கும் பொருந்தும், எண்கள் பகா எண்ணாக இருக்க வேண்டும் என்ற தேவை இல்லை; அவை ஒற்றைப்படை ஒப்பீட்டளவில் பகா அலகுகள் அல்லாதவையாக இருப்பது போதுமானது. அநேகமாக மிகவும் நன்கு அறியப்பட்ட கூற்றுஃ π மற்றும் θ ஆகியவை முதன்மை ஒப்பீட்டளவில் பகா அலகுகள் அல்லாதவையாக இருக்கட்டும். பின்னர் அலகுகள் மற்றும் அரை-சம பகா எண் 1 + i க்கு துணை கோட்பாடுகள் உள்ளன. π = a + b ஒரு முதன்மை பகா எண் என்றால், பின்னர் மற்றும் எனவே மேலும், π = a + b ஒரு முதன்மை பகா எண் என்றால், மற்றும் b § 0 என்றால் (b = 0 என்றால் சின்னம் 0). ஜாகோபி π = a + b ஐ a ஷ்ண 1 (மட்டு 4) என்றால் முதன்மை என்று வரையறுத்தார். இந்த இயல்பாக்குதலுடன், விதி α = a + b மற்றும் β = c + d என்ற வடிவத்தை எடுக்கிறது, அங்கு a ஷ்ண c ஷ்ண 1 (மட்டு 4) மற்றும் b மற்றும் d ஒப்பீட்டளவில் பகா அலகுகள் அல்லாதவையாக இருக்கும். பின்னர் பின்வரும் பதிப்பு காஸின் வெளியிடப்படாத கையெழுத்துப் பிரதிகளில் காணப்பட்டது. α = a + 2bi மற்றும் β = c + 2di ஆகியவை a மற்றும் c ஒற்றைப்படை நிலையில் ஒப்பீட்டளவில் பகா அலகுகள் அல்லாதவையாக இருக்கட்டும். பின்னர் முதன்மைக் கருத்தைப் பயன்படுத்தாமல் சட்டத்தைக் கூறலாம்ஃ λ ஒற்றைப்படை என்றால், ε (λ) என்பது λ (மட்டு (1 + i) 3) க்கு ஒத்த தனித்துவமான அலகாக இருக்கட்டும்; அதாவது, ε (λ) = ik ஷ்ண λ (மட்டு 2 + 2i), இங்கு 0 ≤ k ≤ 3. பின்னர் ஒற்றைப்படை மற்றும் ஒப்பீட்டளவில் பகா எண் α மற்றும் β க்கு, ஒன்று ஒரு அலகு அல்ல, ஒற்றைப்படை λ க்கு, இருக்கட்டும் பின்னர் λ மற்றும் μ ஒப்பீட்டளவில் பகா அலகு அல்லாதவை என்றால், ஐன்ஸ்டீன் நிரூபித்தார். யூலர், டிரிக்லெட் மற்றும் ஐன்ஸ்டீன் ஆகியோரின் அசல் ஆவணங்களைப் பற்றிய குறிப்புகள் லெம்மர்மேயர் மற்றும் காக்ஸ் ஆகிய நூல்களிலிருந்து நகலெடுக்கப்பட்டன, மேலும் அவை இந்தக் கட்டுரையைத் தயாரிப்பதில் பயன்படுத்தப்படவில்லை. யூலர் இது உண்மையில் 1748-1750 எழுதப்பட்டது, ஆனால் மரணத்திற்குப் பிறகு மட்டுமே வெளியிடப்பட்டது; இது தொகுதி V, pp இல் உள்ளது. காஸ்ஸின் 182-283 பிகுவாட்ராடிக் பரஸ்பரத்தில் வெளியிடப்பட்ட இரண்டு மோனோகிராஃப்கள் காஸ் தொடர்ச்சியாக எண்களைக் கொண்ட பிரிவுகளைக் கொண்டுள்ளனஃ முதல் §§ 1-23 மற்றும் இரண்டாவது §§ 24-76 ஆகியவற்றைக் கொண்டுள்ளது. இவற்றைக் குறிக்கும் அடிக்குறிப்புகள் "காஸ், BQ, §n" வடிவத்தில் உள்ளன. டிஸ்க்யூசிஷன்ஸ் எண்கணிதத்தைக் குறிக்கும் அடிக்குறிப்புகள் "காஸ், டிஏ, ஆர்ட்" வடிவத்தில் உள்ளன. என். " இவை காஸ் 'ஸ் வெர்கே, தொகுதி II, பக்கங்களில் உள்ளன. 65-92 மற்றும் 93-148 ஜெர்மன் மொழிபெயர்ப்புகள் pp இல் உள்ளன. பின்வருவனவற்றில் 511-533 மற்றும் 534-586, இதில் டிஸ்க்யூசிஷன்ஸ் எண்கணிதம் மற்றும் எண் கோட்பாடு குறித்த காஸின் பிற ஆவணங்களும் உள்ளன. ஐன்ஸ்டீன் இந்த ஆவணங்கள் அனைத்தும் அவரது வெர்கேயின் முதல் தொகுதியில் உள்ளன. இவை இரண்டும் டிரிக்லெட் தனது வெர்க்கின் முதல் தொகுதியில் உள்ளன. நவீன எழுத்தாளர்கள் வெளிப்புற இணைப்புகள் ஃபிரான்ஸ் லெம்மர்மேயர் எழுதிய இந்த இரண்டு ஆவணங்களும் பர்டியின் விதி மற்றும் தொடர்புடைய முடிவுகளின் சான்றுகளைக் கொண்டுள்ளனஃ பகுத்தறிவு குவார்டிக் ரெசிப்ரோசிட்டி பகுத்தறிவு குவார்டிக் ரெசிப்ரோசிட்டி II இயற்கணித எண் கோட்பாடு எண் கோட்பாட்டில் மாடுலர் எண்கணித தேற்றம்