Method of dominant balance
கணிதத்தில், மேலாதிக்க சமநிலையின் முறை சமன்பாட்டை முழுமையாக தீர்க்காமல் ஒரு சாதாரண வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகளின் அறிகுறியற்ற நடத்தையை தீர்மானிக்க பயன்படுத்தப்படுகிறது. செயல்முறை மீண்டும் மீண்டும் நிகழ்கிறது, அதில் ஒரு முறை முறையைச் செய்வதன் மூலம் பெறப்பட்ட முடிவை முறை மீண்டும் நிகழும்போது உள்ளீடாகப் பயன்படுத்தலாம், அறிகுறியற்ற விரிவாக்கத்தில் விரும்பிய அளவுக்கு பல சொற்களைப் பெறலாம். செயல்முறை பின்வருமாறு செல்கிறதுஃ அறிகுறியற்ற நடத்தை வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம் ODE இல் உள்ள எந்த சொற்கள் வட்டி வரம்பில் மிகக் குறைவாக இருக்கலாம் என்று ஒரு தகவலறிந்த யூகத்தை உருவாக்குங்கள். இந்த சொற்களைக் கைவிட்டு, இதன் விளைவாக வரும் எளிய ODE ஐத் தீர்க்கவும். தீர்வு படி 2 உடன் ஒத்துப்போகிறதா என்று சரிபார்க்கவும். அப்படியானால், ஒருவர் அறிகுறியற்ற நடத்தையின் கட்டுப்பாட்டு காரணியைக் கொண்டிருக்கிறார்; இல்லையெனில், அதற்கு பதிலாக, படி 2 இல் வெவ்வேறு சொற்களைக் கைவிட முயற்சிக்க வேண்டும். மேலே உள்ள முடிவை தீர்வில் முன்னணி சொல்லாக நம்பியபடி, உயர் ஆர்டர்களுக்கு செயல்முறையை மீண்டும் செய்யவும். எடுத்துக்காட்டுஃ பல்லுறுப்புக்கோவை சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது சிறிய வரம்பில் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, வடிவத்தின் தொடர் விரிவாக்கத்தை செய்வதைக் கருத்தில் கொள்ளலாம். எவ்வாறாயினும், இது சிக்கலை எதிர்கொள்கிறதுஃ எப்போது, சமன்பாடு ஒரே ஒரு மூலத்தைக் கொண்டுள்ளது. இருப்பினும் பூஜ்ஜியமற்ற சமன்பாட்டிற்கு 5 வேர்கள் உள்ளன. முக்கிய பிரச்சினை என்னவென்றால், இந்த வேர்களில் 4 வேர்கள் முடிவிலிக்கு தப்பிக்கின்றன. இது மேலாதிக்க சமநிலை முறையைப் பயன்படுத்துவதைக் குறிக்கிறது. அதாவது, சிறியதாக இருந்தால், நம்மிடம் இருக்க வேண்டும், எனவே சமன்பாட்டை தோராயமாக, கொடுப்பது போல் தீர்ப்போம். ஐந்து வேர்கள் உள்ளன, மேலும் ஒவ்வொரு ரூட்டையும் ஒரு பவர் சீரிஸாக விரிவுபடுத்துவதன் மூலம், நாம் ஐந்து தொடர்களைப் பெறுகிறோம்ஃ எடுத்துக்காட்டு தன்னிச்சையான மாறிலிகளுக்கு, இந்த வேறுபட்ட சமன்பாட்டை சரியாக தீர்க்க முடியாது என்று கருதுங்கள். இருப்பினும், தீர்வுகள் பெரிய அளவில் எவ்வாறு செயல்படுகின்றன என்பதைக் கருத்தில் கொள்வது பயனுள்ளதாக இருக்கும்ஃ இது x → φ போல செயல்படுகிறது என்று மாறிவிடும். இன்னும் கடுமையாக, நம்மிடம் இருக்கும், இல்லை. பெரிய வரம்பின் நடத்தையில் நாம் ஆர்வமாக இருப்பதால், மாறிகளை = exp (S (x)) ஆக மாற்றுகிறோம், மேலும் ODE ஐ S (x) அடிப்படையில் மீண்டும் வெளிப்படுத்துகிறோம், அல்லது அதன் வழித்தோன்றல்களை மதிப்பிடுவதற்கு தயாரிப்பு விதி மற்றும் சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்தினோம். இப்போது முதலில் இந்த ODE க்கான தீர்வு x → φ ஆக திருப்திப்படுத்துகிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம், எனவே x → φ ஆக இருக்கும். மேலே உள்ள அறிகுறியற்ற நிலைமைகளை திருப்திப்படுத்தினால், மேலே உள்ள அனுமானம் சீராக இருக்கும். நாங்கள் கைவிட்ட விதிமுறைகள் நாங்கள் வைத்திருப்பதைப் பொறுத்தவரை மிகக் குறைவாகவே இருந்திருக்கும். இது ODE க்கு ஒரு தீர்வு அல்ல, ஆனால் இது மேலாதிக்க அறிகுறியற்ற நடத்தையைக் குறிக்கிறது, இதில் தான் நாம் ஆர்வமாக உள்ளோம். இந்த தேர்வு சீராக இருக்கிறதா என்று சரிபார்க்கவும், எல்லாம் உண்மையில் சீராக உள்ளது. இவ்வாறு நமது ODE க்கு ஒரு தீர்வின் மேலாதிக்க அறிகுறியற்ற நடத்தை கண்டறியப்பட்டுள்ளது, வழக்கமாக, முழு அறிகுறியற்ற தொடர் எழுதப்படுகிறது, எனவே இந்த தொடரின் முதல் காலத்தைப் பெறுவதற்கு ஒரு சக்தி இருக்கிறதா என்று பார்க்க நாம் மேலும் ஒரு படி எடுக்க வேண்டும். ஒரு புதிய துணை முன்னணி சார்பு மாறியை அறிமுகப்படுத்துவதன் மூலம் தொடரவும், பின்னர் சி (எக்ஸ்) க்கான அறிகுறியற்ற தீர்வுகளைத் தேடுங்கள். மேலே உள்ள ODE இல் S (x) க்கு மாற்றாக, முன்பு போலவே அதே செயல்முறையை மீண்டும் செய்வதைக் காண்கிறோம், அதை வைத்துக்கொள்வோம் மற்றும் முன்னணி அறிகுறியற்ற நடத்தை பின்னர் அறிகுறியற்ற பகுப்பாய்வு குறிப்புகள் அறிகுறியற்ற பகுப்பாய்வு கணித தொடர் சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடுகளைப் பார்க்கவும்