Hard hexagon model
புள்ளியியல் இயக்கவியலில், கடினமான அறுகோண மாதிரி என்பது ஒரு வாயுவின் இரு பரிமாண ஜல்லி மாதிரியாகும், இதில் துகள்கள் ஒரு முக்கோண ஜல்லின் செங்குத்துகளில் இருக்க அனுமதிக்கப்படுகிறது, ஆனால் இரண்டு துகள்கள் அருகில் இருக்கக்கூடாது. இந்த மாதிரி ரோஜர்ஸ்-ராமானுஜன் அடையாளங்களுடன் தொடர்புடையது என்பதைக் கண்டறிந்தவர் மூலம் தீர்க்கப்பட்டது. கடினமான அறுகோண மாதிரியின் பகிர்வு செயல்பாடு கடினமான அறுகோண மாதிரி கிராண்ட் கனோனிக்கல் குழுமத்தின் கட்டமைப்பிற்குள் நிகழ்கிறது, அங்கு மொத்த துகள்களின் எண்ணிக்கை ("அறுகோணங்கள்") இயற்கையாகவே மாறுபட அனுமதிக்கப்படுகிறது, மேலும் இது ஒரு வேதியியல் ஆற்றலால் சரி செய்யப்படுகிறது. கடினமான அறுகோண மாதிரியில், அனைத்து செல்லுபடியாகும் நிலைகளும் பூஜ்ஜிய ஆற்றலைக் கொண்டுள்ளன, எனவே ஒரே முக்கியமான வெப்ப இயக்கவியல் கட்டுப்பாட்டு மாறி வேதியியல் ஆற்றலுக்கும் வெப்பநிலைக்கும் உள்ள விகிதமாகும். இந்த விகிதத்தின் எக்ஸ்பொனென்ஷியல், z = exp (μ/(kT)) செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் பெரிய மதிப்புகள் தோராயமாக அடர்த்தியான உள்ளமைவுகளுக்கு ஒத்திருக்கின்றன. N தளங்களைக் கொண்ட ஒரு முக்கோண லட்டிஸுக்கு, பெரிய பகிர்வு செயல்பாடு என்பது g (n, N) என்பது 2 எண் அருகிலுள்ள தனித்துவமான லட்டிஸ் தளங்களில் n துகள்களை வைப்பதற்கான வழிகளின் எண்ணிக்கை ஆகும். செயல்பாடு κ வரையறுக்கப்படுகிறது, இதனால் பதிவு (κ) என்பது ஒரு யூனிட் தளத்திற்கு இலவச ஆற்றல் ஆகும். கடினமான அறுகோண மாதிரியைத் தீர்ப்பது என்பது (தோராயமாக) z இன் செயல்பாடாக κ க்கான சரியான வெளிப்பாட்டைக் கண்டுபிடிப்பதாகும். சிறிய z க்கு சராசரி அடர்த்தி ρ கொடுக்கப்பட்டுள்ளது லட்டிஸின் செங்குத்துகள் 1,2 மற்றும் 3 என்ற எண்ணைக் கொண்ட 3 வகுப்புகளாகப் பிரிக்கப்படுகின்றன, இது கடினமான அறுகோணங்களால் இடத்தை நிரப்ப 3 வெவ்வேறு வழிகளால் வழங்கப்படுகிறது. 3 வகையான தளங்களுடன் தொடர்புடைய 3 உள்ளூர் அடர்த்திகள் ρ1, ρ2, ρ3 உள்ளன. செயல்பாடு பெரியதாக இருக்கும்போது அமைப்பு இந்த 3 பொதிகளில் ஒன்றை தோராயமாக மதிப்பிடுகிறது, எனவே உள்ளூர் அடர்த்தி வேறுபடுகிறது, ஆனால் செயல்பாடு ஒரு முக்கியமான புள்ளிக்கு கீழே இருக்கும்போது மூன்று உள்ளூர் அடர்த்தி ஒரே மாதிரியாக இருக்கும். குறைந்த செயல்பாட்டு ஒரே மாதிரியான கட்டத்தை உயர் செயல்பாட்டு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட கட்டத்திலிருந்து பிரிக்கும் முக்கியமான புள்ளி தங்க விகிதம் φ உடன் உள்ளது. முக்கியமான புள்ளிக்கு மேலே உள்ள உள்ளூர் அடர்த்திகள் வேறுபடுகின்றன, மேலும் பெரும்பாலான அறுகோணங்கள் வகை 1 தளங்களில் இருக்கும் கட்டத்தில் தீர்வாக விரிவாக்கப்படலாம் z <zc இன் சிறிய மதிப்புகளுக்கு தீர்வு வழங்கப்படுகிறது, அங்கு பெரிய z> zc க்கு தீர்வு (பெரும்பாலான ஆக்கிரமிக்கப்பட்ட தளங்களில் வகை 1 உள்ள கட்டத்தில்) வழங்கப்படுகிறது. x = e2πiτ என்றால், x − 1/60 G (x), x 11/60 H (x), x − 1/24 P (x), z, κ, ρ, ρ1, ρ2, மற்றும் ρ3 ஆகியவை τ இன் மாடுலர் செயல்பாடுகளாகும், அதே நேரத்தில் x 1/24 Q (x) என்பது 1/2 எடையின் மாடுலர் வடிவமாகும். ஏதேனும் இரண்டு மாடுலர் செயல்பாடுகள் ஒரு இயற்கணித உறவால் தொடர்புடையவை என்பதால், இது κ, z, R, ρ செயல்பாடுகள் அனைத்தும் ஒருவருக்கொருவர் இயற்கணித செயல்பாடுகள் (மிகவும் உயர்ந்த டிகிரி) என்பதைக் குறிக்கிறது. குறிப்பாக, கடினமான அறுகோண என்ட்ரோபி மாறிலி என்று எரிக் வெய்ஸ்டீன் அழைத்த κ (1) இன் மதிப்பு, 1.395485972. () க்கு சமமான டிகிரி 24 இன் இயற்கணித எண் ஆகும். தொடர்புடைய மாதிரிகள் கடினமான அறுகோண மாதிரியை சதுர மற்றும் தேன்கூடு லட்டிஸ்களில் இதேபோல் வரையறுக்கலாம். இந்த மாதிரிகளில் எதற்கும் சரியான தீர்வு தெரியவில்லை, ஆனால் சதுர லட்டிஸ் மற்றும் தேன்கூடு லட்டிஸுக்கு முக்கியமான புள்ளி zc அருகில் உள்ளது; κ (1) தோராயமாக 1.503048082. () சதுர லட்டிஸுக்கு மற்றும் 1.546440708. தேன்கூடு லட்டிஸுக்கு. குறிப்புகள் எக்ஸ்டன், எச். (1983), க்யூ-ஹைப்பர்ஜியோமெட்ரிக் செயல்பாடுகள் மற்றும் பயன்பாடுகள், நியூயார்க்ஃ ஹால்ஸ்டெட் பிரஸ், சிச்செஸ்டர்ஃ எல்லிஸ் ஹார்வுட் வெளிப்புற இணைப்புகள் சரியாக தீர்க்கக்கூடிய மாதிரிகள் புள்ளியியல் இயக்கவியல் லாட்டிஸ் மாதிரிகள் மட்டு வடிவங்கள் இயற்கணித எண்கள்