Polyhedral combinatorics
பாலிஹெட்ரல் காம்பினடோரிக்ஸ் என்பது கணிதத்தின் ஒரு கிளையாகும், இது காம்பினடோரிக்ஸ் மற்றும் தனித்துவமான வடிவவியலுக்குள் உள்ளது, இது குவிந்த பாலிஹெட்ரா மற்றும் உயர் பரிமாண குவிந்த பாலிடோப்புகளின் முகங்களை எண்ணுவதற்கும் விவரிப்பதற்கும் உள்ள சிக்கல்களை ஆய்வு செய்கிறது. பாலிஹெட்ரல் காம்பினடோரிக்ஸ் ஆராய்ச்சியில் இரண்டு தனித்துவமான பகுதிகள் உள்ளன. இந்த பகுதியில் உள்ள கணிதவியலாளர்கள் பாலிடோப்புகளின் ஒருங்கிணைப்பை ஆய்வு செய்கிறார்கள்; உதாரணமாக, அவர்கள் தன்னிச்சையான பாலிடோப்புகளில் அல்லது பாலிடோப்புகளின் சில முக்கியமான துணைப்பிரிவுகளில் உயர் பரிமாணங்களின் செங்குத்துகள், விளிம்புகள் மற்றும் முகங்களின் எண்ணிக்கைகளுக்கு இடையிலான உறவுகளை விவரிக்கும் ஏற்றத்தாழ்வுகளை நாடுகிறார்கள், மேலும் பாலிடோப்புகளின் இணைப்பு மற்றும் விட்டம் (வேறு எந்த உச்சியிலிருந்து எந்த உச்சியையும் அடைய தேவையான படிகளின் எண்ணிக்கை) போன்ற பிற ஒருங்கிணைந்த பண்புகளை ஆய்வு செய்கிறார்கள். கூடுதலாக, பல கணினி விஞ்ஞானிகள் முழு எண் நிரலாக்க சிக்கல்களிலிருந்து எழும் சில குறிப்பிட்ட பாலிடோப்புகளின் (குறிப்பாக 0-1 பாலிடோப்புகள், அவற்றின் செங்குத்துகள் ஹைபர்கியூபின் துணைக்குழுக்களாக உள்ளன) முகங்களின் துல்லியமான விளக்கங்களைப் பற்றிய ஆராய்ச்சியை விவரிக்க "பாலிஹெட்ரல் காம்பினடோரிக்ஸ்" என்ற சொற்றொடரைப் பயன்படுத்துகின்றனர். முகங்கள் மற்றும் முகத்தை எண்ணும் திசையன்கள் ஒரு குவிந்த பாலிடோப் P இன் ஒரு முகத்தை P மற்றும் ஒரு மூடிய அரைவெளி H இன் குறுக்குவெட்டு என்று வரையறுக்கலாம், அதாவது H இன் எல்லையில் P இன் உட்புற புள்ளி இல்லை. 0 பரிமாண முகங்கள் செங்குத்துகளாகும், மேலும் 1 பரிமாண முகங்கள் (விளிம்புகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன) செங்குத்துகளின் ஜோடிகளை இணைக்கும் கோடு பிரிவுகளாகும். இந்த வரையறை வெற்று தொகுப்பு மற்றும் முழு பாலிடோப் பி முகங்களையும் உள்ளடக்கியது என்பதை நினைவில் கொள்க. P க்கு பரிமாணம் d இருந்தால், பரிமாணம் d−1 கொண்ட P இன் முகங்கள் P இன் முகங்கள் என்றும், பரிமாணம் d−2 கொண்ட முகங்கள் முகடுகள் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன. P இன் முகங்கள் சேர்ப்பதன் மூலம் ஓரளவு வரிசைப்படுத்தப்படலாம், இது ஒரு முக ஜன்னலை உருவாக்குகிறது, இது அதன் மேல் உறுப்பு P ஆகவும், அதன் கீழ் உறுப்பு வெற்று தொகுப்பாகவும் உள்ளது. பாலிஹெட்ரல் ஒருங்கிணைப்பில் ஒரு முக்கிய கருவி ஒரு பாலிடோப்பின் f-வெக்டர் ஆகும், திசையன் (f0, f1,., fd−1) இதில் ஃபை என்பது பாலிடோப்பின் i-பரிமாண அம்சங்களின் எண்ணிக்கை. உதாரணமாக, ஒரு கனசதுரம் எட்டு செங்குத்துகள், பன்னிரண்டு விளிம்புகள் மற்றும் ஆறு அம்சங்களைக் கொண்டுள்ளது, எனவே அதன் f-வெக்டர் (8,12,6) ஆகும். இரட்டை பாலிடோப்பில் தலைகீழ் வரிசையில் ஒரே எண்களைக் கொண்ட ஒரு f-வெக்டர் உள்ளது; எனவே, எடுத்துக்காட்டாக, வழக்கமான எண்முகத்தில், ஒரு கனசதுரத்திற்கு இரட்டை, f-வெக்டர் (6,12,8) உள்ளது. உள்ளமைவு மேட்ரிக்ஸ்களில் வழக்கமான பாலிடோப்புகளின் f-திசையன்கள் மூலைவிட்ட கூறுகளாக அடங்கும். நீட்டிக்கப்பட்ட f-திசையன், f-திசையனின் ஒவ்வொரு முனையிலும் எண் ஒன்றை இணைப்பதன் மூலம் உருவாகிறது, முக ஜாலகத்தின் அனைத்து நிலைகளிலும் உள்ள பொருட்களின் எண்ணிக்கையை எண்ணுகிறது; திசையனின் இடது பக்கத்தில், f−1 = 1 வெற்று தொகுப்பை ஒரு முகமாக கணக்கிடுகிறது, அதே நேரத்தில் வலது பக்கத்தில், fd = 1 P ஐ கணக்கிடுகிறது. கனசதுரத்திற்கு நீட்டிக்கப்பட்ட f-வெக்டர் (1,8,12,6,1) மற்றும் எண்முகத்திற்கு இது (1,6,12,8,1) ஆகும். இந்த எடுத்துக்காட்டு பாலிஹெட்ராவுக்கான திசையன்கள் ஒரே மாதிரியானவை என்றாலும் (குணகங்கள், இடமிருந்து வலது வரிசையில் எடுக்கப்பட்டு, அதிகபட்சமாக அதிகரித்து பின்னர் குறைகின்றன), இது உண்மையல்லாத உயர் பரிமாண பாலிடோப்புகள் உள்ளன. எளிமையான பாலிடோப்புகளுக்கு (ஒவ்வொரு அம்சமும் ஒரு சிம்ப்ளக்ஸாக இருக்கும் பாலிடோப்புகள்), இந்த திசையன்களை மாற்றுவது பெரும்பாலும் வசதியானது, இது எச்-வெக்டர் எனப்படும் வேறு திசையனை உருவாக்குகிறது. f-திசையனின் சொற்களை (இறுதி 1 ஐத் தவிர்த்து) ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் குணகங்களாகப் பிரித்தால் (எடுத்துக்காட்டாக, எண்முகத்திற்கு இது பல்லுறுப்புக்கோவையை வழங்குகிறது f (x) = x3 + 6x2 + 12x + 8), பின்னர் h-திசையன் பல்லுறுப்புக்கோவையின் குணகங்களை பட்டியலிடுகிறது h (x) = f (x−1) (மீண்டும், எண்முகத்திற்கு, h (x) = x3 + 3x2 + 3x + 1). ஜீக்லர் எழுதுவது போல், "எளிமையான பாலிடோப்புகளைப் பற்றிய பல்வேறு சிக்கல்களுக்கு, f-திசையன்களைக் காட்டிலும் முக எண்களைப் பற்றிய தகவல்களைக் குறியாக்கம் செய்ய h-திசையன்கள் மிகவும் வசதியான மற்றும் சுருக்கமான வழியாகும்". சமத்துவங்களும் ஏற்றத்தாழ்வுகளும் ஒரு பாலிடோப்பின் f-திசையனின் குணகங்களுக்கிடையேயான மிக முக்கியமான உறவு யூலரின் சூத்திரம் β (−1) iffi = 0 ஆகும், இதில் கூட்டுத்தொகையின் விதிமுறைகள் நீட்டிக்கப்பட்ட f-திசையனின் குணகங்களுக்கு மேல் இருக்கும். மூன்று பரிமாணங்களில், நீட்டிக்கப்பட்ட f-திசையனின் (1, v, e, f, 1) இடது மற்றும் வலது முனைகளில் இரண்டு 1களை சமன்பாட்டின் வலது புறத்திற்கு நகர்த்துவது இந்த அடையாளத்தை மிகவும் பழக்கமான வடிவமாக மாற்றுகிறது v − e + f = 2. முப்பரிமாண பாலிஹெட்ரானின் ஒவ்வொரு அம்சமும் குறைந்தது மூன்று விளிம்புகளைக் கொண்டிருப்பதால், அது 2e ≤ 3f ஐ இருமுறை எண்ணுவதன் மூலம் பின்பற்றப்படுகிறது, மேலும் இந்த சமத்துவமின்மையைப் பயன்படுத்தி யூலரின் சூத்திரத்திலிருந்து e மற்றும் f ஐ அகற்றுவது மேலும் ஏற்றத்தாழ்வுகளுக்கு வழிவகுக்கிறது e ≤ 3v−6 மற்றும் f ≤ 2v−4. இரட்டைத்தன்மை மூலம், e ≤ 3f−6 மற்றும் v ≤ 2f−4. இந்த சமத்துவங்கள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளை பூர்த்தி செய்யும் எந்த முப்பரிமாண முழு எண் திசையனும் ஒரு குவிந்த பாலிஹெட்ரானின் f-திசையன் என்று ஸ்டெய்னிட்ஸின் தேற்றத்திலிருந்து இது பின்பற்றப்படுகிறது. உயர் பரிமாணங்களில், ஒரு பாலிடோப்பின் முகங்களின் எண்ணிக்கைகளுக்கு இடையிலான பிற உறவுகளும் முக்கியமானவையாக மாறுகின்றன, இதில் டெஹ்ன்-சோமர்வில் சமன்பாடுகள் அடங்கும், அவை எளிமையான பாலிடோப்புகளின் எச்-திசையன்களின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன, இது அனைத்து k க்கும் எளிய வடிவமான hk = hd − k ஐ எடுக்கிறது. k = 0 உடன் இந்த சமன்பாடுகளின் உதாரணம் ஆய்லரின் சூத்திரத்திற்கு சமம், ஆனால் d> 3 க்கு இந்த சமன்பாடுகளின் மற்ற நிகழ்வுகள் ஒருவருக்கொருவர் நேரியல் ரீதியாக சுயாதீனமானவை மற்றும் எச்-திசையன்களை (எனவே f-திசையன்களையும்) கூடுதல் வழிகளில் கட்டுப்படுத்துகின்றன. பாலிடோப் முக எண்ணிக்கையில் மற்றொரு முக்கியமான சமத்துவமின்மை மேல் பிணைப்பு தேற்றத்தால் வழங்கப்படுகிறது, இது முதலில் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது, இது n செங்குத்துகளைக் கொண்ட ஒரு d-பரிமாண பாலிடோப் மற்ற எந்த பரிமாணத்தின் பல முகங்களையும் ஒரே எண்ணிக்கையிலான செங்குத்துகளுடன் அண்டை பாலிடோப்பைப் போலவே கொண்டிருக்கலாம் என்று கூறுகிறது. அறிகுறியற்ற வகையில், அனைத்து பரிமாணங்களிலும் பெரும்பாலான முகங்கள் உள்ளன என்பதை இது குறிக்கிறது. நான்கு பரிமாணங்களில் கூட, குவிந்த பாலிட்டோப்புகளின் சாத்தியமான f-திசையன்களின் தொகுப்பு நான்கு பரிமாண முழு எண் லட்டிஸின் குவிந்த துணைக்குழுவை உருவாக்காது, மேலும் இந்த திசையன்களின் சாத்தியமான மதிப்புகள் குறித்து அதிகம் தெரியவில்லை. வரைபட-கோட்பாட்டு பண்புகள் பாலிடோப்புகளின் முகங்களின் எண்ணிக்கையை ஆராய்வதோடு, பாலிடோப்புகளின் செங்குத்துகள் மற்றும் விளிம்புகளிலிருந்து பெறப்பட்ட வரைபடங்களின் விளக்கங்கள் (அவற்றின் 1-ஸ்கெலிட்டா) போன்ற அவற்றின் பிற ஒருங்கிணைந்த பண்புகளையும் ஆராய்ச்சியாளர்கள் ஆய்வு செய்துள்ளனர். பாலின்ஸ்கியின் தேற்றம் எந்தவொரு டி-பரிமாண குவிந்த பாலிடோப்பிலிருந்தும் இந்த வழியில் பெறப்பட்ட வரைபடம் டி-வெர்டெக்ஸ்-இணைக்கப்பட்டுள்ளது என்று கூறுகிறது. முப்பரிமாண பாலிஹெட்ராவைப் பொறுத்தவரை, இந்த பண்பு மற்றும் பிளானாரிட்டி பாலிஹெட்ராவின் வரைபடங்களை சரியாக வகைப்படுத்த பயன்படுத்தப்படலாம்ஃ ஸ்டெய்னிட்ஸின் தேற்றம் G என்பது முப்பரிமாண பாலிஹெட்ரானின் எலும்புக்கூடு என்று கூறுகிறது, G என்பது 3-வெர்டெக்ஸ்-இணைக்கப்பட்ட பிளானர் வரைபடமாக இருந்தால் மட்டுமே. ஒரு எளிய பாலிடோப்பின் முக அமைப்பை அதன் வரைபடத்திலிருந்து மறுகட்டமைக்க முடியும் என்று ஒரு தேற்றம் (முன்பு மைக்கா பெர்லஸால் ஊகிக்கப்பட்டது) கூறுகிறது. அதாவது, கொடுக்கப்பட்ட திசைதிருப்பப்படாத வரைபடம் ஒரு எளிய பாலிடோப்பின் எலும்புக்கூட்டாக இருந்தால், ஒரே ஒரு பாலிடோப் மட்டுமே உள்ளது (ஒருங்கிணைந்த சமநிலை வரை) இதற்கு இது உண்மை. இது (எளிய அல்லாத) அண்டை பாலிடோப்புகளுடன் முற்றிலும் மாறுபட்டது, அதன் வரைபடம் ஒரு முழுமையான வரைபடமாகும்; ஒரே வரைபடத்திற்கு பல வெவ்வேறு அண்டை பாலிடோப்புகள் இருக்கலாம். தனித்துவமான மடு நோக்குநிலைகளை அடிப்படையாகக் கொண்ட இந்த தேற்றத்தின் மற்றொரு ஆதாரம் வழங்கப்பட்டது, மேலும் இந்த தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை நேர வழிமுறையைப் பெறுவது எப்படி என்பதைக் காட்டியது, அவற்றின் வரைபடங்களிலிருந்து எளிய பாலிடோப்புகளின் முக லட்டிஸ்களை மறுகட்டமைக்க. இருப்பினும், கொடுக்கப்பட்ட வரைபடம் அல்லது ஜன்னலை ஒரு எளிய பாலிடோப்பின் முக ஜன்னலாக உணர முடியுமா என்பதைச் சோதிப்பது (துருவமுனைப்பு மூலம்) எளிய பாலிடோப்புகளின் உணர்தலுக்கு சமம், இது யதார்த்தங்களின் இருத்தலியல் கோட்பாட்டிற்கு முழுமையானது என்று காட்டப்பட்டது. நேரியல் நிரலாக்கத்திற்கான சிம்ப்ளக்ஸ் முறையின் சூழலில், ஒரு பாலிடோப்பின் விட்டத்தைப் புரிந்துகொள்வது முக்கியம், இது வேறு எந்த முனையிலிருந்தும் ஒரு பாதையின் மூலம் எந்த முனையையும் அடையத் தேவையான குறைந்தபட்ச விளிம்புகளின் எண்ணிக்கை. ஒரு நேரியல் நிரலின் நேரியல் ஏற்றத்தாழ்வுகளின் அமைப்பு நிரலுக்கு சாத்தியமான அனைத்து தீர்வுகளையும் குறிக்கும் பாலிடோப்பின் அம்சங்களை வரையறுக்கிறது, மேலும் சிம்ப்ளக்ஸ் முறை இந்த பாலிடோப்பில் ஒரு பாதையைப் பின்பற்றுவதன் மூலம் உகந்த தீர்வை கண்டறிகிறது. எனவே, விட்டம் இந்த முறைக்கு தேவைப்படும் படிகளின் எண்ணிக்கையில் குறைந்த வரம்பை வழங்குகிறது. இப்போது நிராகரிக்கப்பட்ட ஹிர்ஷ் அனுமானம், நிலையான பரிமாணம் மற்றும் அம்சங்களின் எண்ணிக்கையுடன் ஒரு பாலிடோப்பின் விட்டம் எவ்வளவு பெரியதாக இருக்க முடியும் என்பதற்கான வலுவான (நேரியல்) பிணைப்பை பரிந்துரைத்தது. அவற்றின் விட்டத்தில் உள்ள பலவீனமான (அரை-பல்லுறுப்புக்கோவை மற்றும்) மேல் வரம்புகள் அறியப்படுகின்றன, அதே போல் சிறப்பு வகை பாலிடோப்புகளுக்கான ஹிர்ஷ் அனுமானத்தின் சான்றுகளும் அறியப்படுகின்றன. கணக்கீட்டு பண்புகள் கொடுக்கப்பட்ட பாலிடோப்பின் செங்குத்துகளின் எண்ணிக்கை சில இயற்கை எண் k ஆல் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளதா என்பதை தீர்மானிப்பது கணக்கீட்டு ரீதியாக கடினமான சிக்கலாகும் மற்றும் சிக்கலான வகுப்பு PP க்கு முழுமையானது. முழு எண் நிரலாக்கத்திற்கான வெட்டு-தள முறைகளின் சூழலில், ஒருங்கிணைந்த உகப்பாக்கம் சிக்கல்களின் தீர்வுகளுடன் தொடர்புடைய செங்குத்துகளைக் கொண்ட பாலிடோப்புகளின் அம்சங்களை துல்லியமாக விவரிக்க முடியும் என்பது முக்கியம். பெரும்பாலும், இந்த சிக்கல்கள் பைனரி திசையன்களால் விவரிக்கக்கூடிய தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளன, மேலும் தொடர்புடைய பாலிடோப்புகள் அனைத்தும் பூஜ்ஜியமாகவோ அல்லது ஒன்றாகவோ இருக்கும் உச்சி ஆயத்தொகுதிகளைக் கொண்டுள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக, பிர்காஃப் பாலிடோப்பை கருத்தில் கொள்ளுங்கள், இது n × n மேட்ரிக்ஸின் தொகுப்பாகும், இது வரிசைமாற்ற மேட்ரிக்ஸின் குவிந்த சேர்க்கைகளிலிருந்து உருவாகலாம். சமமாக, அதன் செங்குத்துகள் ஒரு முழுமையான இருதரப்பு வரைபடத்தில் அனைத்து சரியான பொருத்தங்களையும் விவரிப்பதாகக் கருதப்படலாம், மேலும் இந்த பாலிடோப்பில் ஒரு நேரியல் தேர்வுமுறை சிக்கலை இருதரப்பு குறைந்தபட்ச எடை சரியான பொருத்தம் சிக்கலாக விளக்கலாம். பிர்காஃப்-வான் நியூமன் தேற்றம் இந்த பாலிடோப்பை இரண்டு வகையான நேரியல் சமத்துவமின்மை அல்லது சமத்துவத்தால் விவரிக்க முடியும் என்று கூறுகிறது. முதலாவதாக, ஒவ்வொரு மேட்ரிக்ஸ் செல்லுக்கும், இந்த செல் எதிர்மறை அல்லாத மதிப்பைக் கொண்டிருப்பதில் ஒரு தடை உள்ளது. இரண்டாவதாக, மேட்ரிக்ஸின் ஒவ்வொரு வரிசை அல்லது நெடுவரிசைக்கும், அந்த வரிசை அல்லது நெடுவரிசையில் உள்ள செல்களின் கூட்டுத்தொகை ஒன்றுக்கு சமம் என்று ஒரு கட்டுப்பாடு உள்ளது. வரிசை மற்றும் நெடுவரிசை கட்டுப்பாடுகள் n2−2n + 1 பரிமாணத்தின் ஒரு நேரியல் துணை இடத்தை வரையறுக்கின்றன, இதில் பிர்காஃப் பாலிடோப் உள்ளது, மேலும் எதிர்மறை அல்லாத கட்டுப்பாடுகள் அந்த துணை இடத்திற்குள் பிர்காஃப் பாலிடோப்பின் அம்சங்களை வரையறுக்கின்றன. இருப்பினும், பிர்காஃப் பாலிடோப் அசாதாரணமானது, அதன் அம்சங்களைப் பற்றிய முழுமையான விளக்கம் கிடைக்கிறது. பல 0-1 பாலிட்டோப்புகளுக்கு, அதிவேகமாக பல அல்லது சூப்பர்எக்ஸ்போனெனியல் ரீதியாக பல அம்சங்கள் உள்ளன, மேலும் அவற்றின் அம்சங்களின் பகுதி விளக்கங்கள் மட்டுமே கிடைக்கின்றன. சுருக்க பாலிடோப் ஒருங்கிணைந்த பரிமாற்ற இயற்கணிதம் மேட்ராய்டு பாலிடோப் வரிசை பாலிடோப் எளிய கோளம் நிலையான பொருந்தும் பாலிடோப் குறிப்புகள் குறிப்புகளைப் பார்க்கவும். . . . . . . . . . . . . . . வெளி இணைப்புகள்.