Dual polygon
வடிவவியலில், பலகோணங்கள் டூயல்கள் எனப்படும் ஜோடிகளாக தொடர்புடையவை, இதில் ஒன்றின் செங்குத்துகள் மற்றொன்றின் விளிம்புகளுடன் ஒத்திருக்கின்றன. பண்புகள் வழக்கமான பலகோணங்கள் சுய-இரட்டை ஆகும். ஒரு ஐசோகோனல் (உச்சி-இடைநிலை) பலகோணத்தின் இரட்டை ஒரு ஐசோடாக்சல் (விளிம்பு-இடைநிலை) பலகோணமாகும். எடுத்துக்காட்டாக, (ஐசோகோனல்) செவ்வகம் மற்றும் (ஐசோடாக்சல்) ரோம்பஸ் ஆகியவை இரட்டை ஆகும். ஒரு சுழற்சி பலகோணத்தில், நீண்ட பக்கங்கள் இரட்டை (ஒரு தொடுகோட்டு பலகோணத்தில்) பெரிய வெளிப்புற கோணங்களுக்கும், சிறிய பக்கங்கள் சிறிய கோணங்களுக்கும் ஒத்திருக்கின்றன. மேலும், அசல் பலகோணத்தில் உள்ள ஒத்த பக்கங்கள் இரட்டை மற்றும் அதற்கு நேர்மாறாக ஒத்த கோணங்களை அளிக்கின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, மிகவும் கடுமையான ஐசோசிலஸ் முக்கோணத்தின் இரட்டை ஒரு பரவலான ஐசோசிலஸ் முக்கோணமாகும். டோர்மன் லூக் கட்டுமானத்தில், இரட்டை பாலிஹெட்ரானின் ஒவ்வொரு முகமும் தொடர்புடைய உச்சி உருவத்தின் இரட்டை பலகோணமாகும். நாற்கரங்களில் உள்ள இரட்டைத்தன்மை பலகோணங்களின் பக்க-கோண இரட்டைத்தன்மைக்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டாக, சுழற்சி மற்றும் தொடுகோடு நாற்கரங்களின் பண்புகளை ஒப்பிடுகிறோம். ஒரு ஐசோசிலஸ் ட்ரெப்சாய்டை ஒரு காத்தாடியுடன் ஒப்பிடும்போது இந்த இரட்டைத்தன்மை இன்னும் தெளிவாகத் தெரிகிறது. இரட்டைத்தன்மை திருத்தத்தின் வகைகள் இரட்டைப் பலகோணத்தின் எளிமையான தரமான கட்டுமானம் ஒரு திருத்த செயல்பாடாகும், இதில் ஒரு பலகோணத்தின் விளிம்புகள் ஒவ்வொரு அசல் விளிம்பின் மையத்திலும் செங்குத்துகளாக வெட்டப்படுகின்றன. இந்த புதிய செங்குத்துகளுக்கு இடையில் புதிய விளிம்புகள் உருவாகின்றன. இந்த கட்டுமானம் திரும்பப்பெறக்கூடியது அல்ல. அதாவது, அதை இரண்டு முறை பயன்படுத்துவதன் மூலம் உருவாக்கப்படும் பலகோணம் பொதுவாக அசல் பலகோணத்தைப் போன்றது அல்ல. இரட்டை பாலிஹெட்ராவைப் போலவே, ஒருவர் ஒரு வட்டத்தை எடுத்து (அது பொறிக்கப்பட்ட வட்டமாக இருந்தாலும், சுற்றப்பட்ட வட்டமாக இருந்தாலும், அல்லது இரண்டும் இருந்தால், அவற்றின் நடு வட்டமாக இருந்தாலும்) அதில் துருவ பரிமாற்றத்தைச் செய்யலாம். திட்டவட்டமான இரட்டைத்தன்மை திட்டவட்டமான இரட்டைத்தன்மையின் கீழ், ஒரு புள்ளியின் இரட்டை ஒரு கோடு, ஒரு கோட்டின் இரட்டை ஒரு புள்ளி-எனவே ஒரு பலகோணத்தின் இரட்டை ஒரு பலகோணமாகும், இதன் அசல் விளிம்புகள் இரட்டை மற்றும் அதற்கு நேர்மாறாக செங்குத்துகளுடன் தொடர்புடையவை. இரட்டை வளைவின் பார்வையில், ஒரு வளைவின் ஒவ்வொரு புள்ளியும் இரட்டை புள்ளியை அதன் தொடுகோட்டுடன் அந்த கட்டத்தில் தொடர்புபடுத்தும் போது, ப்ரொஜெக்டிவ் டூயலை இவ்வாறு விளக்கலாம்ஃ ஒரு பலகோணத்தின் ஒரு பக்கத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு புள்ளியும் ஒரே தொடுகோட்டைக் கொண்டுள்ளது, இது பக்கத்துடன் ஒத்துப்போகிறது-எனவே அவை அனைத்தும் ஒரு உச்சியில் இரட்டை பலகோணத்தில் ஒரே உச்சிக்கு வரைபடம் செய்கின்றன, அந்த உச்சிக்கு "தொடுகோட்டு கோடுகள்" இரண்டு விளிம்புகளுக்கு இடையிலான கோணத்துடன் அந்த புள்ளியின் வழியாக செல்லும் கோடுகள்-இந்த கோடுகளின் இரட்டை புள்ளிகள் பின்னர் இரட்டை பலகோணத்தில் விளிம்பாகும். ஒருங்கிணைந்த முறையில், ஒரு பலகோணத்தை செங்குத்துகளின் தொகுப்பு, விளிம்புகளின் தொகுப்பு மற்றும் ஒரு நிகழ்வு உறவு (செங்குத்துகள் மற்றும் விளிம்புகள் தொடும்) என வரையறுக்கலாம்ஃ இரண்டு அருகிலுள்ள செங்குத்துகள் ஒரு விளிம்பை தீர்மானிக்கின்றன, மேலும் இருபுறமும், இரண்டு அருகிலுள்ள விளிம்புகள் ஒரு உச்சியை தீர்மானிக்கின்றன. பின்னர் செங்குத்துகள் மற்றும் விளிம்புகளை மாற்றுவதன் மூலம் இரட்டை பலகோணம் பெறப்படுகிறது. எனவே செங்குத்துகள் {A, B, C} மற்றும் விளிம்புகள் {AB, BC, CA} கொண்ட முக்கோணத்திற்கு, இரட்டை முக்கோணத்தில் செங்குத்துகள் {AB, BC, CA} மற்றும் விளிம்புகள் {B, C, A} உள்ளன, அங்கு B, AB மற்றும் BC ஐ இணைக்கிறது. இது ஒரு குறிப்பாக பலனளிக்கும் வழி அல்ல, ஏனெனில் ஒருங்கிணைந்த முறையில், பலகோணங்களின் ஒற்றை குடும்பம் உள்ளது (பக்கங்களின் எண்ணிக்கையால் வழங்கப்படுகிறது); பலகோணங்களின் வடிவியல் இரட்டைத்தன்மை மிகவும் மாறுபட்டது, அதே போல் ஒருங்கிணைந்த இரட்டை பாலிஹெட்ராவும் உள்ளது. மேலும் காண்க இரட்டை வளைவு இரட்டை பாலிஹெட்ரான் சுய-இரட்டை பலகோண குறிப்புகள் வெளிப்புற இணைப்புகள் இரட்டை பலகோண ஆப்பிள் டான் ஹட்ச் பலகோணங்கள்