Egalitarian cake-cutting
சமத்துவ கேக் வெட்டு என்பது ஒரு வகையான நியாயமான கேக் வெட்டு ஆகும், இதில் நியாயமான அளவுகோல் சமத்துவ விதியாகும். கேக் ஒரு தொடர்ச்சியான வளத்தைக் குறிக்கிறது (நிலம் அல்லது நேரம் போன்றவை), இது வளத்தின் சில பகுதிகளை விட வெவ்வேறு மதிப்பீடுகளைக் கொண்ட மக்களிடையே ஒதுக்கப்பட வேண்டும். சமத்துவ கேக் வெட்டுதலின் குறிக்கோள் ஒரு முகவரின் மிகச்சிறிய மதிப்பை அதிகரிப்பதாகும்; இதற்கு உட்பட்டு, அடுத்த சிறிய மதிப்பை அதிகரிக்கவும்; மற்றும் பல. பயன்பாடுகளின் திசையன்களில் லெக்ஸிமின் வரிசையைப் பயன்படுத்தி உகப்பாக்கம் செய்யப்படுவதால் இது லெக்ஸிமின் கேக் வெட்டு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. சமத்துவ கேக் வெட்டும் கருத்து முதலில் டபின்ஸ் மற்றும் ஸ்பானியர் ஆகியோரால் விவரிக்கப்பட்டது, அவர்கள் அதை "உகந்த பகிர்வு" என்று அழைத்தனர். ஒதுக்கீடுகளின் தொகுப்பு ஒரு சிறிய இடமாக இருக்கும்போதெல்லாம் லெக்ஸிமின்-உகந்த ஒதுக்கீடுகள் உள்ளன. தனித்துவமான பொருட்களை ஒதுக்கும்போது இது எப்போதும் நிகழ்கிறது, மேலும் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான தொடர்ச்சியான ஒரே மாதிரியான வளங்களை ஒதுக்கும்போது நிரூபிக்க எளிதானது. தொடர்ச்சியான பன்முக வளத்துடன் ("கேக்"), ஒதுக்கீடுகளின் தொகுப்பு கச்சிதமானது என்பதை டபின்ஸ் மற்றும் ஸ்பானியர் நிரூபித்தனர். எனவே, லெக்ஸிமின் உகந்த கேக் ஒதுக்கீடுகள் எப்போதும் உள்ளன. இந்த காரணத்திற்காக, லெக்ஸிமின் கேக்-ஒதுக்கீடு விதி சில நேரங்களில் டபின்ஸ்-ஸ்பானியர் விதி என்று அழைக்கப்படுகிறது. மாறுபாடுகள் முகவர்களின் மதிப்பீடுகள் இயல்பாக்கப்படாதபோது (அதாவது, வெவ்வேறு முகவர்கள் முழு கேக்கிற்கும் வேறுபட்ட மதிப்பை ஒதுக்கலாம்), ஒரு ஒதுக்கீட்டின் முழுமையான பயன்பாட்டு சுயவிவரத்திற்கும் (இங்கு உறுப்பு i என்பது முகவர் i இன் பயன்பாடு மட்டுமே), அதன் தொடர்புடைய பயன்பாட்டு சுயவிவரத்திற்கும் (இங்கு உறுப்பு i என்பது முகவரின் பயன்பாடு i ஐ முகவர் i க்கான மொத்த மதிப்பால் வகுத்தல்) வித்தியாசம் உள்ளது. முழுமையான லெக்ஸிமின் விதி ஒரு ஒதுக்கீட்டைத் தேர்ந்தெடுக்கிறது, இதில் முழுமையான பயன்பாட்டு சுயவிவரம் லெக்ஸிமின்-அதிகபட்சம், மற்றும் உறவினர் லெக்ஸிமின் விதி ஒரு ஒதுக்கீட்டைத் தேர்ந்தெடுக்கிறது, இதில் உறவினர் பயன்பாட்டு சுயவிவரம் லெக்ஸிமின்-அதிகபட்சம். பண்புகள் லெக்ஸிமின் விதியின் இரண்டு வகைகளும் பரேட்டோ-உகந்தவை மற்றும் மக்கள்தொகை மோனோடோனிக் ஆகும். இருப்பினும், அவை மற்ற பண்புகளில் வேறுபடுகின்றனஃ முழுமையான-லெக்ஸிமின் விதி வள மோனோடோனிக் ஆனால் விகிதாசார அல்ல; உறவினர்-லெக்ஸிமின் விதி விகிதாசாரமானது, ஆனால் வள-மோனோடோனிக் அல்ல. பொறாமை-சுதந்திரத்துடனான உறவு லெக்ஸிமின் விதியின் இரண்டு வகைகளும் பொறாமை இல்லாத ஒதுக்கீடுகளை வழங்கக்கூடும். எடுத்துக்காட்டாக, 5 முகவர்கள் இருப்பதாக வைத்துக்கொள்வோம், கேக் 3 பகுதிகளுடன் துண்டு துண்டாக-ஒரே மாதிரியானது, மற்றும் முகவர்களின் மதிப்பீடுகள் (காணாமல் போன மதிப்புகள் பூஜ்ஜியங்கள்): அனைத்து முகவர்களும் முழு கேக்கையும் 15 ஆக மதிப்பிடுகிறார்கள், எனவே முழுமையான-லெக்ஸிமின் மற்றும் உறவினர்-லெக்ஸிமின் சமமானவை. மிகப்பெரிய சாத்தியமான குறைந்தபட்ச மதிப்பு 5 ஆகும், எனவே ஒரு லெக்ஸிமின் ஒதுக்கீடு அனைத்து முகவர்களுக்கும் குறைந்தது 5 ஐ வழங்க வேண்டும். இதன் பொருள் என்னவென்றால், உரிமையை C, D, E முகவர்களிடையே சமமாகப் பிரிக்க வேண்டும், மேலும் நடுத்தரமானது முற்றிலும் முகவர் B க்கு வழங்கப்பட வேண்டும். ஆனால் பின்னர் ஏ பொறாமைகள் பி. டூபின்ஸ் மற்றும் ஸ்பானியர், அனைத்து மதிப்பு-நடவடிக்கைகளும் கண்டிப்பாக நேர்மறையாக இருக்கும்போது, ஒவ்வொரு உறவினர்-லெக்ஸிமின் ஒதுக்கீடும் பொறாமையற்றது என்பதை நிரூபித்தனர். வெல்லர் பொறாமை இல்லாத மற்றும் திறமையான கேக் ஒதுக்கீட்டைக் காட்டினார், அது உறவினர்-லெக்ஸிமின் அல்ல. கேக் [0,1], மூன்று முகவர்கள் உள்ளனர், அவற்றின் மதிப்பு அளவீடுகள் முறையே 1/4,1/2 மற்றும் 3/4 ஐ மையமாகக் கொண்ட முக்கோண விநியோகங்கள் ஆகும். ஒதுக்கீடு ([0,3/8], [3/8,5 8], [5/8,1]) பயன்பாட்டு சுயவிவரத்தைக் கொண்டுள்ளது (3/8,7 16,7/16). இது பொறாமை இல்லாதது மற்றும் பயன்பாட்டு உகந்தது, எனவே பரேட்டோ-திறமையானது. இருப்பினும், லெக்ஸிமின்-சிறந்த பயன்பாட்டு சுயவிவரத்துடன் மற்றொரு ஒதுக்கீடு ([0,5/16], [5/16,11 16], [11/16,1]) உள்ளது. கணக்கீட்டு டல்லாகிலியோ ஒரு லெக்ஸிமின்-உகந்த வள ஒதுக்கீட்டைக் கணக்கிடுவதற்கான ஒரு வழிமுறையை வழங்குகிறது. சமமான கேக் வெட்டும் முறையையும் பார்க்கவும்-ஒவ்வொரு முகவருக்கும் சமமான பயன்பாட்டை வழங்கும் ஒரு ஒதுக்கீடு. பெரும்பாலும், சமத்துவ ஒதுக்கீடு சமமான ஒதுக்கீட்டுடன் ஒத்துப்போகிறது, ஏனெனில் பயன்பாடுகள் வேறுபட்டிருந்தால், பெரிய பயன்பாட்டுடன் முகவரிடமிருந்து சில கேக்கை நகர்த்துவதன் மூலம் சிறிய பயன்பாட்டை மேம்படுத்த முடியும். சமத்துவ சமத்துவம்-ஒரே மாதிரியான வள ஒதுக்கீட்டின் சூழலில் இதேபோன்ற கருத்து. குறிப்புகள் சமத்துவவாத கேக் வெட்டு