Mutually unbiased bases
குவாண்டம் தகவல் கோட்பாட்டில், ஹில்பர்ட் ஸ்பேஸ் சி. டி. யில் உள்ள தளங்களின் தொகுப்பு பரஸ்பர பக்கச்சார்பற்றது என்று கூறப்படுகிறது, அதாவது, ஒரு அமைப்பு ஒரு தளத்தின் ஐகென் நிலையில் தயாரிக்கப்பட்டால், மற்ற அடிப்படையைப் பொறுத்தவரை அளவீட்டின் அனைத்து விளைவுகளும் சமமான நிகழ்தகவுடன் நிகழும் என்று கணிக்கப்பட்டுள்ளது. பரஸ்பர பக்கச்சார்பற்ற தளங்கள் என்ற கருத்து முதன்முதலில் 1960 இல் ஷ்விங்கரால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது, மேலும் பரஸ்பர பக்கச்சார்பற்ற தளங்களின் பயன்பாடுகளைக் கருத்தில் கொண்ட முதல் நபர் குவாண்டம் நிலை தீர்மானத்தின் சிக்கலில் இவானோவிக் ஆவார். எம்யூபிகள் மற்றும் அவற்றின் இருப்பு சிக்கல், இப்போது கணிதம் மற்றும் குவாண்டம் அறிவியலின் பல கிளைகளில் பல நெருக்கமான தொடர்புடைய சிக்கல்கள் மற்றும் சமமான அவதாரங்களைக் கொண்டிருப்பதாக அறியப்படுகிறது, அதாவது எஸ்ஐசி-பிஓவிஎம்கள், வரையறுக்கப்பட்ட ப்ரொஜெக்டிவ்/அஃபைன் பிளேன்கள், சிக்கலான ஹடாமார்ட் மெட்ரிக்குகள் போன்றவை. [விவரங்களுக்கு கீழே உள்ள தொடர்புடைய சிக்கல்கள் மற்றும் கட்டுமானங்கள் பிரிவுகளைப் பார்க்கவும்] குவாண்டம் விசை விநியோகத்திற்கு எம். யு. பி. க்கள் முக்கியமானவை, குறிப்பாக பாதுகாப்பான குவாண்டம் விசை பரிமாற்றத்தில். பரஸ்பர பக்கச்சார்பற்ற தளங்கள் பல நெறிமுறைகளில் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, ஏனெனில் ஒரு அளவீடு மாநிலம் தயாரிக்கப்பட்டதற்கு பக்கச்சார்பற்ற அடிப்படையில் செய்யப்படும்போது முடிவு சீரற்றதாக இருக்கும். இரண்டு தொலைதூரக் கட்சிகள் இரண்டு ஆர்த்தோகனல் அல்லாத குவாண்டம் நிலைகளைப் பகிர்ந்து கொள்ளும்போது, அளவீடுகள் மூலம் இவற்றை வேறுபடுத்திக் காட்ட ஒரு ஈவ்ஸ்ட்ராப்பர் முயற்சிகள் அமைப்பை பாதிக்கும், இதைக் கண்டறிய முடியும். பல குவாண்டம் கிரிப்டோகிராஃபி நெறிமுறைகள் 1-குவிட் தொழில்நுட்பங்களை நம்பியிருந்தாலும், குத்ரிட்ஸ் போன்ற உயர் பரிமாண நிலைகளைப் பயன்படுத்துவது, உளவு பார்ப்பதற்கு எதிராக சிறந்த பாதுகாப்பை அனுமதிக்கிறது. இது உயர் பரிமாண இடைவெளிகளில் பரஸ்பர பக்கச்சார்பற்ற தளங்களைப் பற்றிய ஆய்வை ஊக்குவிக்கிறது. பரஸ்பர பக்கச்சார்பற்ற தளங்களின் பிற பயன்பாடுகளில் குவாண்டம் நிலை புனரமைப்பு, குவாண்டம் பிழை திருத்தக் குறியீடுகள், குவாண்டம் சிக்கலைக் கண்டறிதல் மற்றும் "சராசரி ராஜாவின் சிக்கல்" என்று அழைக்கப்படுபவை அடங்கும். வரையறை மற்றும் எடுத்துக்காட்டுகள் ஒரு ஜோடி ஆர்த்தோனார்மல் தளங்கள் மற்றும் ஹில்பர்ட் இடத்தில் சி. டி பரஸ்பர பக்கச்சார்பற்றவை என்று கூறப்படுகிறது, ஏதேனும் அடிப்படை நிலைகளுக்கு இடையிலான உள் உற்பத்தியின் அளவின் சதுரம் மற்றும் பரிமாணத்தின் தலைகீழ் சமமாக இருந்தால் மட்டுமே d: இந்த தளங்கள் பின்வரும் அர்த்தத்தில் பக்கச்சார்பற்றவைஃ ஒரு அமைப்பு அடித்தளங்களில் ஒன்றைச் சேர்ந்த நிலையில் தயாரிக்கப்பட்டால், மற்ற அடிப்படையைப் பொறுத்தவரை அளவீட்டின் அனைத்து விளைவுகளும் சமமான நிகழ்தகவுடன் நிகழும் என்று கணிக்கப்பட்டுள்ளது. d = 2 க்கான எடுத்துக்காட்டு C2 இல் உள்ள பரஸ்பர பக்கச்சார்பற்ற தளங்களுக்கு மூன்று தளங்களும் எளிய உதாரணத்தை வழங்குகின்றன. மேற்கண்ட தளங்கள் முறையே பாலி சுழல் மேட்ரிக்ஸின் ஐகென் வெக்டர்கள் மற்றும் அவற்றின் பெருக்கல் ஆகியவற்றால் ஆனவை. d = 4 க்கான எடுத்துக்காட்டு d = 4 க்கு, ஒவ்வொரு அடிப்படையும் Mj, 0 ≤ j ≤ 4 ஆல் குறிக்கப்படும் d + 1 = 5 பரஸ்பர பக்கச்சார்பற்ற தளங்களின் எடுத்துக்காட்டு பின்வருமாறு கொடுக்கப்பட்டுள்ளதுஃ இருப்பு சிக்கல் d-பரிமாண ஹில்பர்ட் இடைவெளி Cd இல் பரஸ்பர பக்கச்சார்பற்ற தளங்களின் அதிகபட்ச எண்ணிக்கையைக் குறிக்கலாம். இது ஒரு திறந்த கேள்வி, தன்னிச்சையான d க்கு, Cd இல் எத்தனை பரஸ்பர பக்கச்சார்பற்ற தளங்களைக் காணலாம். பொதுவாக, d இன் முதன்மை-சக்தி காரணிமயமாக்கல் என்றால், கட்டமைக்கப்படக்கூடிய பரஸ்பர பக்கச்சார்பற்ற தளங்களின் அதிகபட்ச எண்ணிக்கை திருப்தி அளிக்கிறது. இதை முந்தைய சமன்பாட்டில் காணலாம், ஏனெனில் d இன் பகா எண் சிதைவு வெறுமனே உள்ளது. எனவே, இவ்வாறு, பரஸ்பர சார்பற்ற தளங்களின் அதிகபட்ச எண்ணிக்கை d ஒரு பகா எண்ணின் முழு எண் சக்தியாக இருக்கும்போது அறியப்படுகிறது, ஆனால் அது தன்னிச்சையான d க்கு அறியப்படவில்லை. தொடர்புடைய சிக்கல்கள் எம். யு. பி. களின் சிக்கல் இயற்கையில் SIC _ POVM களின் சமச்சீர் பண்புக்கு ஒத்ததாகத் தெரிகிறது. ஒரு முழுமையான பக்கச்சார்பற்ற தளங்களின் தொகுப்பு ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட ப்ரொஜெக்டிவ் பிளேன் எனப்படும் வடிவியல் கட்டமைப்பை வழங்குகிறது, அதே நேரத்தில் ஒரு SIC-POVM (எந்த பரிமாணத்திலும் ஒரு பிரைம் பவர்) ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட அஃபைன் பிளேனை வழங்குகிறது, இது ஒரு வகை அமைப்பு, அதன் வரையறை புள்ளிகள் மற்றும் கோடுகள் பரிமாற்றத்தின் பாத்திரங்களுடன் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட ப்ரொஜெக்டிவ் பிளேனுக்கு ஒத்ததாகும். இந்த அர்த்தத்தில், எஸ். ஐ. சி-பி. ஓ. வி. எம்-களின் பிரச்சினைகள் மற்றும் பரஸ்பர பக்கச்சார்பற்ற தளங்கள் ஒருவருக்கொருவர் இரட்டை. பரிமாணத்தில், ஒப்புமையை மேலும் எடுத்துக் கொள்ளலாம்ஃ பரஸ்பர பக்கச்சார்பற்ற தளங்களின் முழுமையான தொகுப்பை ஒரு SIC-POVM இலிருந்து நேரடியாக உருவாக்க முடியும். SIC-POVM இன் 9 திசையன்கள், பரஸ்பர பக்கச்சார்பற்ற தளங்களின் 12 திசையன்களுடன் சேர்ந்து, கோசென்-ஸ்பெக்கர் ஆதாரத்தில் பயன்படுத்தக்கூடிய ஒரு தொகுப்பை உருவாக்குகின்றன. இருப்பினும், 6 பரிமாண ஹில்பர்ட் இடத்தில், ஒரு SIC-POVM அறியப்படுகிறது, ஆனால் பரஸ்பர பக்கச்சார்பற்ற தளங்களின் முழுமையான தொகுப்பு இன்னும் கண்டுபிடிக்கப்படவில்லை, மேலும் அத்தகைய தொகுப்பு எதுவும் இல்லை என்று பரவலாக நம்பப்படுகிறது. பரஸ்பர பக்கச்சார்பற்ற தளங்களைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான முறைகள் வேய்ல் குழு முறை சில கட்டக் காரணிகளுக்கு ஹில்பர்ட் ஸ்பேஸ் சிடி இல் இரண்டு யூனிட்டரி ஆபரேட்டர்களாக இருக்கட்டும். ஒற்றுமையின் ஒரு பழமையான வேர் என்றால், எடுத்துக்காட்டாக, மற்றும் ஈஜென்பேஸ்கள் பரஸ்பரம் பக்கச்சார்பற்றவை. நிலையான அடிப்படையாக ஐகன்பேஸைத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம், ஃபோரியர் மேட்ரிக்ஸைப் பயன்படுத்தி அதற்கு பக்கச்சார்பற்ற மற்றொரு அடிப்படையை உருவாக்க முடியும். ஃபோரியர் மேட்ரிக்ஸின் கூறுகள் நிலையான அடிப்படை மற்றும் ஃபோரியர் மேட்ரிக்ஸால் உருவாக்கப்படும் அடிப்படை ஆகிய இரண்டிற்கும் பக்கச்சார்பற்ற பிற தளங்களால் வழங்கப்படுகின்றன, அவை வேய்ல் குழுக்களைப் பயன்படுத்தி உருவாக்கப்படலாம். வேய்ல் குழுக்களைப் பயன்படுத்தி பரஸ்பரம் பக்கச்சார்பற்ற தளங்களின் தொகுப்புகளை உருவாக்கும் போது ஹில்பர்ட் இடத்தின் பரிமாணம் முக்கியமானது. d ஒரு பகா எண்ணாக இருக்கும்போது, வழக்கமான d + 1 பரஸ்பர பக்கச்சார்பற்ற தளங்களை வேய்ல் குழுக்களைப் பயன்படுத்தி உருவாக்க முடியும். d ஒரு பகா எண்ணாக இல்லாதபோது, இந்த முறையைப் பயன்படுத்தி உருவாக்கக்கூடிய பரஸ்பர சார்பற்ற தளங்களின் அதிகபட்ச எண்ணிக்கை 3 ஆக இருக்கலாம். வரையறுக்கப்பட்ட புலங்களைப் பயன்படுத்தி யூனிடரி ஆபரேட்டர்கள் முறை d = p பகா எண்ணாக இருக்கும்போது, யூனிடரி ஆபரேட்டர்களை வரையறுக்கிறோம், மேலும் நிலையான அடிப்படை எங்கே மற்றும் ஒற்றுமையின் வேர். பின்னர் பின்வரும் d + 1 இயக்கிகளின் ஈஜென்பேஸ்கள் பரஸ்பரம் பக்கச்சார்பற்றவைஃ ஒற்றைப்படை d க்கு, இயக்கியின் t-வது ஈஜென்வெக்டர் வெளிப்படையாக வழங்கப்படுகிறது. Cd இன் கணக்கீட்டு அடிப்படையின் கூறுகளை வரையறுக்கப்பட்ட புலத்தைப் பயன்படுத்தி பெயரிடுகிறோம்ஃ ஆபரேட்டர்களை நாம் வரையறுக்கிறோம், பின்வரும் வழியில் புலத்தின் மீது ஒரு சேர்க்கை எழுத்து மற்றும் கெட்டுகளில் கூட்டல் மற்றும் பெருக்கம் மற்றும் அது ஆகும். பின்னர் நாம் டி + 1 பயண யூனிட்டரி ஆபரேட்டர்களின் தொகுப்புகளை உருவாக்குகிறோம்ஃ மேலும் ஒவ்வொன்றிற்கும் ஒரு தொகுப்பில் உள்ள ஆபரேட்டர்களின் கூட்டு ஐகென்பேஸ்கள் வேறு எந்த தொகுப்பிற்கும் பரஸ்பரம் பக்கச்சார்பற்றவை. எனவே நம்மிடம் d + 1 பரஸ்பர பக்கச்சார்பற்ற தளங்கள் உள்ளன. ஹடாமார்ட் மேட்ரிக்ஸ் முறை ஒரு ஹில்பர்ட் இடத்தில் ஒரு அடிப்படை நிலையான அடிப்படையாக இருப்பதால், இந்த அடிப்படையைப் பொறுத்தவரை பக்கச்சார்பற்ற அனைத்து தளங்களையும் ஒரு சிக்கலான ஹடாமார்ட் மேட்ரிக்ஸின் நெடுவரிசைகளால் ஒரு இயல்பாக்குதல் காரணியால் பெருக்கலாம். d = 3 க்கு இந்த மேட்ரிக்ஸ்கள் வடிவத்தைக் கொண்டிருக்கும் k + 1 பரஸ்பர பக்கச்சார்பற்ற தளங்களின் தொகுப்பைக் கண்டுபிடிப்பதில் உள்ள சிக்கல் எனவே k பரஸ்பர பக்கச்சார்பற்ற சிக்கலான ஹடாமார்ட் மேட்ரிக்ஸ்களைக் கண்டுபிடிப்பதற்கு ஒத்திருக்கிறது. 4 பரிமாண ஹில்பர்ட் இடத்தில் ஹடாமார்ட் மேட்ரிக்ஸின் ஒரு அளவுரு குடும்பத்திற்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு d = 6 ஆக இருக்கும்போது அதிகபட்ச எம். யு. பி. க்களைக் கண்டுபிடிப்பதில் உள்ள சிக்கல் ஒரு பகா எண்ணை முழு எண் சக்தியாக இல்லாத மிகச்சிறிய பரிமாணம் d = 6 ஆகும். இது பரஸ்பர பக்கச்சார்பற்ற தளங்களின் எண்ணிக்கை அறியப்படாத மிகச்சிறிய பரிமாணமாகும். d ஒரு பகா எண்ணின் முழு எண் சக்தியாக இருக்கும்போது பரஸ்பர பக்கச்சார்பற்ற தளங்களின் எண்ணிக்கையை தீர்மானிக்கப் பயன்படுத்தப்படும் முறைகள் இந்த விஷயத்தில் பயன்படுத்தப்பட முடியாது. ஹடாமார்ட் மேட்ரிக்ஸ்கள் மற்றும் எண் முறைகளைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் d = 6 ஆக இருக்கும்போது பரஸ்பரம் பக்கச்சார்பற்ற நான்கு தளங்களின் தொகுப்புக்கான தேடல்கள் தோல்வியடைந்துள்ளன. பொதுவான நம்பிக்கை என்னவென்றால், d = 6 க்கான பரஸ்பர பக்கச்சார்பற்ற தளங்களின் அதிகபட்ச எண்ணிக்கை. என்ட்ரோபிக் நிச்சயமற்ற உறவுகள் மற்றும் எம். யு. பி. க்கள் பரஸ்பர பக்கச்சார்பற்ற தளங்களின் மாற்று தன்மை உள்ளது, அவை நிச்சயமற்ற உறவுகளின் அடிப்படையில் கருதப்படுகின்றன. என்ட்ரோபிக் நிச்சயமற்ற உறவுகள் ஹைசன்பெர்க் நிச்சயமற்ற கொள்கைக்கு ஒத்தவை, மேலும் மாசன் மற்றும் உஃபிங்க் எந்த இரண்டு தளங்களுக்கும் மற்றும்ஃ எங்கே மற்றும் மற்றும் தளங்களின் அந்தந்த என்ட்ரோபி மற்றும், கொடுக்கப்பட்ட நிலையை அளவிடும்போது. என்ட்ரோபிக் நிச்சயமற்ற உறவுகள் பெரும்பாலும் ஹைசன்பெர்க் நிச்சயமற்ற கொள்கையை விட விரும்பத்தக்கவை, ஏனெனில் அவை அளவிடப்பட வேண்டிய நிலையின் அடிப்படையில் சொல்லப்படவில்லை, ஆனால் சி. குவாண்டம் விசை விநியோகம் போன்ற சூழ்நிலைகளில், ஒரு அடிப்படையைப் பொறுத்தவரை ஒரு நிலையைப் பற்றிய முழு அறிவும் மற்ற தளங்களைப் பொறுத்தவரை நிலையைப் பற்றிய குறைந்தபட்ச அறிவைக் குறிக்கும் அளவீட்டு தளங்களை நாங்கள் நோக்கமாகக் கொண்டுள்ளோம். இது அளவீட்டு விளைவுகளின் உயர் என்ட்ரோபியைக் குறிக்கிறது, எனவே இந்த வலுவான என்ட்ரோபிக் நிச்சயமற்ற உறவுகள் என்று அழைக்கிறோம். இரண்டு தளங்களைப் பொறுத்தவரை, அளவீட்டு தளங்கள் பரஸ்பரம் பக்கச்சார்பற்றதாக இருக்கும்போது நிச்சயமற்ற உறவின் கீழ் வரம்பு அதிகரிக்கப்படுகிறது, ஏனெனில் பரஸ்பரம் பக்கச்சார்பற்ற தளங்கள் அதிகபட்சமாக பொருந்தாதுஃ நிலை தயாரிக்கப்பட்டதற்கு பக்கச்சார்பற்ற அடிப்படையில் செய்யப்பட்ட அளவீட்டின் விளைவு முற்றிலும் சீரற்றது. உண்மையில், ஒரு டி-பரிமாண இடைவெளிக்கு, நம்மிடம் உள்ளதுஃ எந்த ஜோடி பரஸ்பர பக்கச்சார்பற்ற தளங்களுக்கும் மற்றும். இந்த எல்லை உகந்ததுஃ ஒரு தளத்திலிருந்து ஒரு நிலையை நாம் அளவிட்டால், விளைவு அந்த அடிப்படையில் என்ட்ரோபி 0 மற்றும் மற்றொன்றில் என்ட்ரோபி உள்ளது. இடத்தின் பரிமாணம் ஒரு பிரதான சக்தியாக இருந்தால், நாம் d + 1 எம். யு. பி. க்களை உருவாக்க முடியும், பின்னர் செட்டுகளை இணைப்பதன் மூலமும் பின்னர் மாஸென் மற்றும் உஃபிங்க் சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்துவதன் மூலமும் நாம் பெறும் உறவை விட வலுவானது எது என்று கண்டறியப்பட்டுள்ளது. இவ்வாறு நாம் டி + 1 பரஸ்பர பக்கச்சார்பற்ற தளங்களின் குணாதிசயத்தைக் கொண்டுள்ளோம், அவற்றுக்கு நிச்சயமற்ற உறவுகள் வலுவானவை. இரண்டு தளங்கள் மற்றும் d + 1 தளங்களுக்கான வழக்கு நன்கு ஆய்வு செய்யப்பட்டிருந்தாலும், மற்ற சூழ்நிலைகளில் பரஸ்பர பக்கச்சார்பற்ற தளங்களுக்கான நிச்சயமற்ற உறவுகள் பற்றி மிகக் குறைவாகவே அறியப்படுகிறது. இரண்டுக்கும் மேற்பட்ட மற்றும் அடித்தளங்களை விட குறைவானவற்றைக் கருத்தில் கொள்ளும்போது, பரஸ்பர பக்கச்சார்பற்ற தளங்களின் பெரிய தொகுப்புகள் உள்ளன என்பது அறியப்படுகிறது, அவை மிகக் குறைந்த நிச்சயமற்ற தன்மையை வெளிப்படுத்துகின்றன. இதன் பொருள் என்னவென்றால், பரஸ்பர பக்கச்சார்பற்றதாக இருப்பது அதிக நிச்சயமற்ற தன்மைக்கு வழிவகுக்காது, அளவீடுகளை இரண்டு தளங்களில் மட்டுமே கருத்தில் கொள்ளும்போது தவிர. ஆயினும்கூட மிகவும் நிச்சயமற்ற பிற அளவீடுகள் உள்ளன. எல்லையற்ற பரிமாணத்தில் பரஸ்பர பக்கச்சார்பற்ற தளங்கள் ஹில்பர்ட் இடைவெளிகள் எல்லையற்ற பரிமாண ஹில்பர்ட் இடைவெளியில் பரஸ்பர பக்கச்சார்பற்ற தளங்கள் குறித்து விசாரணை நடந்திருந்தாலும், அவற்றின் இருப்பு ஒரு திறந்த கேள்வியாகவே உள்ளது. ஒரு தொடர்ச்சியான ஹில்பர்ட் இடத்தில், இரண்டு ஆர்த்தோனார்மல் தளங்கள் மற்றும் பரஸ்பர பக்கச்சார்பற்றவை என்று கூறப்படுகிறது என்றால் பொதுவான நிலை மற்றும் வேக ஐஜென்ஸ்டேட்களுக்கு மற்றும், k இன் மதிப்பு தொடர்ச்சியான ஹில்பர்ட் இடத்தில் பரஸ்பர பக்கச்சார்பற்ற தளங்களின் இருப்பு விவாதத்திற்கு திறந்திருக்கும், ஏனெனில் எந்தவொரு முடிவுகளையும் எட்டுவதற்கு முன்பு அவற்றின் இருப்பு குறித்து மேலும் ஆராய்ச்சி தேவைப்படுகிறது. நிலை நிலைகள் மற்றும் வேக நிலைகள் முறையே ஹெர்மிடியன் ஆபரேட்டர்களின் ஐகென் வெக்டர்கள் மற்றும். இந்த இயக்கிகளின் நேரியல் கலவையும் ஐகென்பேஸ்களைக் கொண்டிருப்பதை வெய்கர்ட் மற்றும் வில்கின்சன் முதலில் கவனித்தனர், அவை பரஸ்பர பக்கச்சார்பற்ற தளங்களுக்கு பொதுவான சில அம்சங்களைக் கொண்டுள்ளன. ஒரு ஆபரேட்டர் உடன் விகிதாசாரமாக ஐகென் செயல்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளது மற்றும் அதனுடன் தொடர்புடைய ஐகென் மதிப்புகள் உள்ளன. நாம் அளவுரு மற்றும் மற்றும் என இருந்தால், நேரியல் கலவையின் எந்தவொரு ஐகென்ஸ்டேடுக்கும் மற்றும் நிலை ஆபரேட்டரின் எந்தவொரு ஐகென்ஸ்டேடுக்கும் (இரண்டு நிலைகளும் டைராக் டெல்டாவுக்கு இயல்பாக்கப்பட்டுள்ளன) இடையேயான ஒன்றுடன் ஒன்று நிலையானது, ஆனால் இதைப் பொறுத்ததுஃ எங்கே மற்றும் மற்றும் இன் ஐகென்ஃபங்க்ஷன்களைக் குறிக்கிறது. மேலும் காண்க குவாண்டம் இயக்கவியலில் அளவீடு POVM SIC-POVM கியூபிசம் குறிப்புகள் குவாண்டம் அளவீடு இயற்பியலில் தீர்க்கப்படாத சிக்கல்கள் கணிதத்தில் தீர்க்கப்படாத சிக்கல்கள் ஹில்பர்ட் இடைவெளிகள் இயக்குபவர் கோட்பாடு நிகழ்வு வடிவியல் யூக்ளிடியன் விமான வடிவியல் இயற்கணித ஹைபர் கிராஃப்ஸ் கணினி உதவி ஆதாரங்கள்