Theories of iterated inductive definitions
தொகுப்புக் கோட்பாடு மற்றும் தர்க்கத்தில், புச்சோல்ஸின் ஐடி படிநிலை என்பது முதல் வரிசை எண்கணிதத்தின் துணை அமைப்புகளின் படிநிலையாகும். அமைப்புகள்/கோட்பாடுகள் "ν-மடங்கு மறு செய்கை தூண்டல் வரையறைகளின் முறையான கோட்பாடுகள்" என்று குறிப்பிடப்படுகின்றன. மோனோடோன் ஆபரேட்டர்களின் ν மறு செய்கை செய்யப்பட்ட குறைந்தபட்ச நிலையான புள்ளிகளால் IDν PA ஐ நீட்டிக்கிறது. வரையறை அசல் வரையறை முறையான கோட்பாடு IDω (மற்றும் பொதுவாக IDν) என்பது பின்வரும் கோட்பாடுகளால் LID மொழியில் வகுக்கப்பட்ட பீனோ எண்கணிதத்தின் விரிவாக்கமாகும்ஃ ஒவ்வொரு LID-சூத்திரத்திற்கும் F (x) உடன் கூடிய கோட்பாடு IDν பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறதுஃ ஒவ்வொரு LID-சூத்திரத்திற்கும் F (x) மற்றும் ஒவ்வொரு u <ν விளக்கம்/மாற்று வரையறை ID1 ஒரு தொகுப்பு தூண்டல் வரையறுக்கப்படுகிறது, சில மோனோடோனிக் ஆபரேட்டருக்கு, மிகக் குறைந்த நிலையான புள்ளியைக் குறிக்கும். ஐடி1 இன் மொழி, முதல் வரிசை எண் கோட்பாட்டிலிருந்து பெறப்படுகிறது, எல்என் [எக்ஸ்] இல் உள்ள ஒவ்வொரு எக்ஸ்-பாசிட்டிவ் சூத்திரம் ஏ (எக்ஸ், எக்ஸ்) க்கும் ஒரு தொகுப்பு (அல்லது முன்கணிப்பு) மாறிலி ஐஏ சேர்ப்பதன் மூலம் எக்ஸ் (ஒரு புதிய தொகுப்பு மாறி) மற்றும் எக்ஸ் (ஒரு எண் மாறி) இலவச மாறிகளாக மட்டுமே உள்ளது. எக்ஸ்-பாசிட்டிவ் என்ற சொல் எக்ஸ் என்பது ஏ இல் மட்டுமே நேர்மறையாக நிகழ்கிறது (எக்ஸ் ஒருபோதும் ஒரு உட்குறிப்பின் இடதுபுறத்தில் இல்லை). நாம் ஒரு பிட் செட்-கோட்பாட்டு குறியீட்டை அனுமதிக்கிறோம்ஃ அதாவது இரண்டு சூத்திரங்களுக்கு மற்றும், பொருள். பின்னர் ஐடி 1 முதல் வரிசை எண் கோட்பாட்டின் (பிஏ) கோட்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளது, இதில் தூண்டல் திட்டம் புதிய மொழிக்கும் இந்த கோட்பாடுகளுக்கும் நீட்டிக்கப்பட்டுள்ளதுஃ கணித ரீதியாக வரையறுக்கக்கூடிய செட் ஆபரேட்டரின் கீழ் மூடப்பட்டிருப்பதை வெளிப்படுத்தும் குறிப்பு, அதே நேரத்தில் அது குறைந்தபட்சம் அத்தகையது (குறைந்தபட்சம் வரையறுக்கக்கூடிய செட்களில்). எனவே, இது குறைந்தபட்ச முன் நிர்ணயிக்கப்பட்ட புள்ளியாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஆபரேட்டரின் குறைந்தபட்ச நிலையான புள்ளியாகும். IDν ν-முறை மறு செய்கை தூண்டல் வரையறைகளின் அமைப்பை வரையறுக்க, ν ஒரு வரிசை, வரிசை வகை ν இன் பழமையான மறு செய்கை நன்கு வரிசைப்படுத்துவதாக இருக்கட்டும். புலத்தின் கூறுகளைக் குறிக்க கிரேக்க எழுத்துக்களைப் பயன்படுத்துகிறோம். ஐடிஎன்ஓவின் மொழி, ஒவ்வொரு எக்ஸ்-பாசிட்டிவ் சூத்திரத்திற்கும் ஒரு பைனரி முன்கணிப்பு மாறிலி ஜேஏவைச் சேர்ப்பதன் மூலம் பெறப்படுகிறது, இது அதிகபட்சமாக காட்டப்பட்ட இலவச மாறிகளைக் கொண்டுள்ளது, இதில் எக்ஸ் மீண்டும் ஒரு யூனரி (செட்) மாறி, மற்றும் ஒய் ஒரு புதிய பைனரி முன்கணிப்பு மாறி. அதற்கு பதிலாக, x ஐ பிந்தைய சூத்திரத்தில் ஒரு தனித்துவமான மாறி என்று நினைத்து எழுதுகிறோம். ஐடிஎன் அமைப்பு இப்போது முதல்-வரிசை எண் கோட்பாட்டின் (பிஏ) அமைப்பிலிருந்து தூண்டல் திட்டத்தை புதிய மொழிக்கு விரிவுபடுத்துவதன் மூலமும், ஒரு தன்னிச்சையான சூத்திரம் மற்றும் கோட்பாடுகளுக்காக எல்லையற்ற தூண்டலை வெளிப்படுத்தும் திட்டத்தை சேர்ப்பதன் மூலமும் பெறப்படுகிறதுஃ ஒரு தன்னிச்சையான சூத்திரம் எங்கே. மற்றும் நாம் சூத்திரத்திற்கான சுருக்கத்தைப் பயன்படுத்தினோம், வேறுபடுத்தப்பட்ட மாறி எங்கே. இவை ஒவ்வொன்றும், ஏனெனில், ஆபரேட்டருக்கு மிகக் குறைந்த நிலையான புள்ளி (வரையறுக்கக்கூடிய தொகுப்புகளில்) என்பதை வெளிப்படுத்துவதை நாம் காண்கிறோம். முந்தைய அனைத்து செட்களும், for, எவ்வாறு அளவுருக்களாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன என்பதைக் கவனியுங்கள். பின்னர் நாம் வரையறுக்கிறோம். மாறுபாடுகள்-ஒரு பலவீனமான பதிப்பாகும். அமைப்பில், சில மோனோடோனிக் ஆபரேட்டர்களுக்கு, குறைந்தபட்ச நிலையான புள்ளியைக் காட்டிலும் ஒரு நிலையான புள்ளியாக இருந்தால், அதற்கு பதிலாக ஒரு தொகுப்பு தூண்டல் வரையறுக்கப்படுகிறது. இந்த நுட்பமான வேறுபாடு அமைப்பை கணிசமாக பலவீனமாக்குகிறதுஃ, அதே நேரத்தில். இது மேலும் பலவீனமடைகிறது. இதில், இது குறைந்தபட்ச நிலையான புள்ளிகளை விட நிலையான புள்ளிகளைப் பயன்படுத்துவது மட்டுமல்லாமல், நேர்மறை சூத்திரங்களுக்கு மட்டுமே தூண்டலைக் கொண்டுள்ளது. இந்த நுட்பமான வேறுபாடு மீண்டும் அமைப்பை இன்னும் பலவீனமாக்குகிறதுஃ, அதே நேரத்தில். இது W-வகைகளின் அடிப்படையில் அனைத்து வகைகளிலும் பலவீனமானது. வழக்கமான மறு செய்கை தூண்டல் வரையறைகளுடன் ஒப்பிடும்போது பலவீனமடைவதன் அளவு இரண்டாவது வரிசை எண்கணிதத்தின் ஒரு குறிப்பிட்ட துணை அமைப்பைக் கொடுக்கப்பட்ட பார் தூண்டலை அகற்றுவதற்கு ஒத்ததாகும். , அதே நேரத்தில். இது ஒரு "வெளிப்படும்" வலுவூட்டலாகும். இது சரியாக ஒரு முதல்-வரிசை எண்கணித அமைப்பு அல்ல, ஆனால் ν-முறை மறு செய்கை செய்யப்பட்ட பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட தூண்டல் வரையறைகளின் அடிப்படையில் முன்கணிப்பு பகுத்தறிவு மூலம் ஒருவர் பெறக்கூடியதைப் பிடிக்கிறது. வலிமையின் அதிகரிப்பின் அளவு இருந்து அதிகரிப்புக்கு ஒத்ததுஃ, அதே நேரத்தில். முடிவுகள் ν> 0 ஆக இருக்கட்டும். ஒரு ω T0 இல் ω <ω உடன் எந்த குறியீடும் இல்லை என்றால், "aω W0" என்பது IDν இல் நிரூபிக்கப்படுகிறது. IDω இதில் உள்ளது. ஒரு-வாக்கியம் IDν இல் நிரூபிக்கக்கூடியதாக இருந்தால், அது போன்ற ஒன்று உள்ளது. வாக்கியம் A என்பது அனைத்து ν <ω க்கும் IDν இல் நிரூபிக்கக்கூடியதாக இருந்தால், k ω N உள்ளது. ஆதார-கோட்பாட்டு வரிசைமுறைகள் ஐடி <ν இன் ஆதார-கோட்பாட்டு வரிசைமுறைக்கு சமம். IDν இன் ஆதார-கோட்பாட்டு வரிசை இதற்கு சமம். இன் ஆதார-கோட்பாட்டு வரிசை இதற்கு சமம். for இன் ஆதார-கோட்பாட்டு வரிசை இதற்கு சமம். இன் ஆதார-கோட்பாட்டு வரிசை இதற்கு சமம். for இன் ஆதார-கோட்பாட்டு வரிசை இதற்கு சமம். for இன் ஆதார-கோட்பாட்டு வரிசை இதற்கு சமம். இன் ஆதார-கோட்பாட்டு வரிசை இதற்கு சமம். இன் ஆதார-கோட்பாட்டு வரிசை இதற்கு சமம். இன் ஆதார-கோட்பாட்டு வரிசை இதற்கு சமம். இன் ஆதார-கோட்பாட்டு வரிசை இதற்கு சமம். இன் ஆதார-கோட்பாட்டு வரிசை இதற்கு சமம். இன் ஆதார-கோட்பாட்டு வரிசை இதற்கு சமம். ID1 இன் ஆதார-கோட்பாட்டு வரிசை (பச்மேன்-ஹோவர்ட் வரிசை), மற்றும் இன் ஆதார-கோட்பாட்டு வரிசை ஆகும். W-IDω () இன் ஆதார-கோட்பாட்டு வரிசைமுறையும் இதன் ஆதார-கோட்பாட்டு வரிசைமுறையாகும். IDω இன் ஆதார-கோட்பாட்டு வரிசை (டேகுட்டி-ஃபெஃபெர்மன்-புச்சோல்ஸ் வரிசை), மற்றும் இன் ஆதார-கோட்பாட்டு வரிசை ஆகும். ID <ω ^ ω () இன் ஆதார-கோட்பாட்டு வரிசைமுறையும் இதன் ஆதார-கோட்பாட்டு வரிசைமுறையாகும். ஐடி <ε0 () இன் ஆதார-கோட்பாட்டு வரிசை மற்றும் இன் ஆதார-கோட்பாட்டு வரிசை ஆகும். குறிப்புகள் தொடர்ச்சியான தூண்டல் வரையறைகள் மற்றும் பகுப்பாய்வின் துணை அமைப்புகளுக்கான ஒரு சுயாதீன முடிவுஃ சமீபத்திய ஆதார-கோட்பாட்டு ஆய்வுகள் தொடர்ச்சியான தூண்டல் வரையறைகளின் உள்ளுணர்வு கோட்பாட்டிற்கான nLab லெம்மாவில் தொடர்ச்சியான தூண்டல் வரையறைகள் மறு செய்கை தூண்டல் வரையறைகள் மற்றும் பெரிய எண்ணிக்கையிலான வரிசைப்படுத்தல்கள் மற்றும் எண்களில் உள்ள எண்கள்.