Fair division among groups
குழுக்களிடையே (அல்லது குடும்பங்களிடையே) நியாயமான பிரிவினை என்பது நியாயமான பிரிவினை பிரச்சினைகளின் ஒரு வகுப்பாகும், இதில் வளங்கள் தனிப்பட்ட முகவர்களிடையே அல்லாமல் முகவர்களின் குழுக்களிடையே ஒதுக்கப்படுகின்றன. பிரிவினைக்குப் பிறகு, ஒவ்வொரு குழுவிலும் உள்ள அனைத்து உறுப்பினர்களும் ஒரே பங்கை பயன்படுத்துகிறார்கள், ஆனால் அவர்களுக்கு வெவ்வேறு விருப்பத்தேர்வுகள் இருக்கலாம்; எனவே, ஒரே குழுவில் உள்ள வெவ்வேறு உறுப்பினர்கள் ஒதுக்கீடு நியாயமானதா இல்லையா என்பதில் கருத்து வேறுபாடு இருக்கலாம். குழு நியாயமான பிரிவு அமைப்புகளின் சில எடுத்துக்காட்டுகள்ஃ பல உடன்பிறப்புகள் தங்கள் பெற்றோரிடமிருந்து சில வீடுகளை மரபுரிமையாகப் பெற்று அவற்றைப் பிரிக்க வேண்டும். ஒவ்வொரு உடன்பிறப்புக்கும் ஒரு குடும்பம் உள்ளது, அதன் உறுப்பினர்கள் எந்த வீடு சிறந்தது என்பது குறித்து வெவ்வேறு கருத்துக்களைக் கொண்டிருக்கலாம். ஒரு கூட்டாண்மை கலைக்கப்பட்டு, அதன் சொத்துக்கள் பங்குதாரர்களிடையே பிரிக்கப்பட வேண்டும். பங்குதாரர்கள் நிறுவனங்கள்; ஒவ்வொரு நிறுவனத்திலும் பல பங்குதாரர்கள் உள்ளனர், அவர்கள் எந்த சொத்து மிகவும் முக்கியமானது என்பதில் கருத்து வேறுபாடு இருக்கலாம். பல்கலைக்கழக நிர்வாகம் அதன் துறைகளுக்கு இடையில் சில கூட்ட அறைகளை ஒதுக்க விரும்புகிறது. ஒவ்வொரு துறையிலும் பல ஆசிரிய உறுப்பினர்கள் உள்ளனர், எந்த அறைகள் சிறந்தவை என்பது குறித்து மாறுபட்ட கருத்துக்கள் உள்ளன. இரண்டு அண்டை நாடுகள் தங்களுக்கு இடையே ஒரு சர்ச்சைக்குரிய பிராந்தியத்தை பிரிக்க விரும்புகின்றன. ஒவ்வொரு நாட்டிலும் உள்ள குடிமக்கள் பிராந்தியத்தின் எந்தப் பகுதிகள் மிகவும் முக்கியமானவை என்பதில் வேறுபடுகிறார்கள். சர்வதேச மோதல்களைத் தீர்ப்பதற்கு இது ஒரு பொதுவான தடையாக உள்ளது. "முகவர்களின் குழு" ஒரு நபரின் வெவ்வேறு முரண்பட்ட விருப்பங்களையும் பிரதிநிதித்துவப்படுத்தலாம். நடத்தை பொருளாதாரத்தில் காணப்படுவது போல், மக்கள் பெரும்பாலும் வெவ்வேறு மனநிலைகள் அல்லது வெவ்வேறு மனநிலைகளுக்கு ஏற்ப தங்கள் விருப்பங்களை மாற்றிக்கொள்கிறார்கள். அத்தகைய நபர்களை முகவர்களின் குழுவாக பிரதிநிதித்துவப்படுத்தலாம், அவர்களில் ஒவ்வொருவருக்கும் வெவ்வேறு விருப்பம் உள்ளது. மேற்கூறிய அனைத்து எடுத்துக்காட்டுகளிலும், குழுக்கள் முன்கூட்டியே சரிசெய்யப்படுகின்றன. சில அமைப்புகளில், குழுக்களை தற்காலிகமாக தீர்மானிக்க முடியும், அதாவது, மக்களை அவர்களின் விருப்பங்களின் அடிப்படையில் தொகுக்கலாம். அத்தகைய அமைப்புக்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டுஃ சுமார் 30 பேர் உள்ளூர் கூடைப்பந்து மைதானத்தைப் பயன்படுத்த விரும்புகிறார்கள். ஒவ்வொரு விளையாட்டிலும் எந்த நேரம் சிறந்தது என்பது குறித்து வெவ்வேறு விருப்பங்களைக் கொண்ட 10 வீரர்கள் உள்ளனர். நாளின் நேரத்தை 3 பகுதிகளாகப் பிரித்து, வீரர்களை 3 குழுக்களாகப் பிரித்து, ஒவ்வொரு நேர இடத்திற்கும் ஒரு குழுவை ஒதுக்க வேண்டும். நியாயமான அளவுகோல்கள் விகிதாசாரம் மற்றும் பொறாமை-சுதந்திரம் போன்ற பொதுவான நியாயமான அளவுகோல்கள், ஒரு முகவரின் பார்வையில் இருந்து, ஒற்றை முன்னுரிமை உறவுடன் பிரிவை தீர்மானிக்கின்றன. குழுக்களிடையே நியாயமான பிரிவினைக்கு இந்த அளவுகோல்களை விரிவுபடுத்த பல வழிகள் உள்ளன. அனைத்து குழுக்களிலும் உள்ள அனைத்து முகவர்களின் பார்வையில் ஒதுக்கீடு நியாயமானதாக கருதப்பட வேண்டும் என்று ஒருமித்த நேர்மை தேவைப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாகஃ ஒவ்வொரு குழுவிலும் உள்ள ஒவ்வொரு முகவரும் அவரது/அவள் குழுவின் பங்கை மொத்த மதிப்பில் குறைந்தது 1/k ஆக மதிப்பிட்டால் ஒரு பிரிவு ஒருமனதாக-விகிதாசாரம் என்று அழைக்கப்படுகிறது, அங்கு k என்பது குழுக்களின் எண்ணிக்கை. ஒவ்வொரு குழுவிலும் உள்ள ஒவ்வொரு முகவரும் அவரது/அவள் குழுவின் பங்கை குறைந்தபட்சம் வேறு எந்த குழுவின் பங்கைப் போலவே மதிப்பிட்டால் ஒரு பிரிவு ஒருமனதாக பொறாமை இல்லாதது என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒருமித்த நேர்மை என்பது ஒரு வலுவான தேவையாகும், மேலும் பெரும்பாலும் திருப்திப்படுத்த முடியாது. மொத்த நேர்மை ஒவ்வொரு குழுவிற்கும் ஒரு குறிப்பிட்ட மொத்த செயல்பாட்டை ஒதுக்குகிறது, அதாவதுஃ கூட்டுத்தொகை, பெருக்கல், எண்கணித சராசரி அல்லது வடிவியல் சராசரி. இந்த மொத்த செயல்பாட்டின் படி ஒதுக்கீடு நியாயமானதாகக் கருதப்பட வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாகஃ ஒவ்வொரு குழுவிற்கும், குழு பங்குக்கான முகவர்களின் மதிப்புகளின் எண்கணித சராசரி மொத்த மதிப்பில் குறைந்தது 1/k ஆக இருந்தால், ஒரு பிரிவு சராசரி-விகிதாசாரம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒவ்வொரு குழுவிற்கும், குழு பங்கின் முகவர்களின் மதிப்புகளின் விளைபொருள் குறைந்தபட்சம் வேறு எந்த குழுவின் பங்கின் மதிப்புகளின் விளைபொருளாக இருந்தால், ஒரு பிரிவு தயாரிப்பு-பொறாமை இல்லாதது என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஜனநாயக நியாயத்திற்கு, ஒவ்வொரு குழுவிலும், முகவர்களில் ஒரு குறிப்பிட்ட பகுதியினர் பிரிவினை நியாயமானது என்பதை ஒப்புக்கொள்ள வேண்டும்; முன்னுரிமை இந்த பின்னம் குறைந்தது மூன்றில் ஒரு பங்காக இருக்க வேண்டும். இரண்டு ஜனநாயக நாடுகள் தங்களுக்குள் ஒரு குறிப்பிட்ட சர்ச்சைக்குரிய நிலத்தைப் பிரிக்க ஒப்புக்கொள்வதும், இரு நாடுகளிலும் ஒரு வாக்கெடுப்பு மூலம் ஒப்பந்தம் அங்கீகரிக்கப்படுவதும் அத்தகைய தேவை பயனுள்ளதாக இருக்கும் ஒரு நடைமுறை சூழ்நிலை. ஒருமித்த-நியாயத்தன்மை என்பது ஒட்டுமொத்த-நியாயத்தன்மை மற்றும் ஜனநாயக-நியாயத்தன்மை ஆகிய இரண்டையும் குறிக்கிறது. ஒட்டுமொத்த நியாயமும் ஜனநாயக நியாயமும் சுயாதீனமானவை-அவற்றில் எதுவும் மற்றொன்றைக் குறிக்கவில்லை. பாரெட்டோ செயல்திறன் என்பது நியாயத்துடன் கூடுதலாக தேவைப்படும் மற்றொரு முக்கியமான அளவுகோலாகும். இது வழக்கமான வழியில் வரையறுக்கப்படுகிறதுஃ குறைந்தபட்சம் ஒரு தனிப்பட்ட முகவருக்கு எந்த ஒதுக்கீடும் சிறந்தது அல்ல, குறைந்தபட்சம் அனைத்து தனிப்பட்ட முகவர்களுக்கும் நல்லது. நியாயமான கேக் வெட்டும் சூழலில், பின்வரும் முடிவுகள் அறியப்படுகின்றன (இங்கு k என்பது குழுக்களின் எண்ணிக்கை, மற்றும் n என்பது அனைத்து குழுக்களிலும் உள்ள முகவர்களின் எண்ணிக்கை). ஒருமித்த நேர்மைஃ ஒருமித்த-விகிதாசார மற்றும் ஒருமித்த-பொறாமை இல்லாத ஒதுக்கீடுகள் எப்போதும் உள்ளன. இருப்பினும், அவை துண்டிக்கப்படலாம்ஃ குறைந்தபட்சம் n இணைக்கப்பட்ட கூறுகள் தேவைப்படலாம். இரண்டு குழுக்களுடன், n கூறுகள் எப்போதும் போதுமானவை. கே> 2 குழுக்களுடன், ஓ (என் லாக் கே) கூறுகள் எப்போதும் ஒருமித்த-விகிதாசார ஒதுக்கீட்டிற்கு போதுமானவை, மேலும் ஓ (என் கே) கூறுகள் எப்போதும் ஒருமித்த-பொறாமை இல்லாத ஒதுக்கீட்டிற்கு போதுமானவை. n கூறுகள் எப்போதும் போதுமானதா இல்லையா என்பது ஒரு திறந்த கேள்வி. மொத்த நேர்மைஃ சராசரி-விகிதாசார மற்றும் சராசரி-பொறாமை இல்லாத ஒதுக்கீடுகள் எப்போதும் உள்ளன, மேலும் k இணைக்கப்பட்ட கூறுகள் மட்டுமே தேவைப்படுகின்றன (அதாவது, ஒவ்வொரு குழுவும் இணைக்கப்பட்ட துண்டைப் பெறலாம்). இருப்பினும், ராபர்ட்சன்-வெப் வினவல் மாதிரியில் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட வழிமுறையைப் பயன்படுத்தி அவற்றைக் கண்டுபிடிக்க முடியாது. ஜனநாயக நியாயத்தன்மைஃ 1⁄2 ஜனநாயக விகிதாசார மற்றும் 1⁄2 ஜனநாயக பொறாமை இல்லாத ஒதுக்கீடுகள் எப்போதும் உள்ளன. இரண்டு குழுக்களுடன், அத்தகைய ஒதுக்கீடுகளும் இணைக்கப்பட்டுள்ளன, மேலும் அவை பல்லுறுப்புக்கோவை நேரத்தில் காணப்படுகின்றன. கே> 2 குழுக்களுடன், இணைக்கப்பட்ட 1/2 ஜனநாயக நியாயமான ஒதுக்கீடுகள் இல்லாமல் இருக்கலாம், ஆனால் தேவையான கூறுகளின் எண்ணிக்கை ஒருமித்த-விகிதாசார ஒதுக்கீடுகளை விட குறைவாக உள்ளது. நேர்மை மற்றும் செயல்திறன்ஃ விகிதாச்சாரத்தின் மூன்று வகைகளும் எத்தனை குழுக்களுக்கும் பாரேட்டோ-செயல்திறனுடன் இணக்கமாக உள்ளன. ஒருமித்த-பொறாமை-சுதந்திரம் 2 குழுக்களுக்கான பரேட்டோ-செயல்திறனுடன் இணக்கமானது, ஆனால் 3 அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட குழுக்களுக்கு அல்ல. 1/2 ஜனநாயக பொறாமை-சுதந்திரம் 2 குழுக்களுக்கு பரேட்டோ-செயல்திறனுடன் இணக்கமானது, ஆனால் 5 அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட குழுக்களுக்கு அல்ல. அவை 3 அல்லது 4 குழுக்களுக்கு இணக்கமாக உள்ளதா என்பது திறந்திருக்கும். முகவர்களை அவர்களின் விருப்பங்களின் அடிப்படையில் தற்காலிகமாக தொகுக்க முடியும் போது பிரிவு சிக்கல் எளிதானது. இந்த விஷயத்தில், எந்த எண்ணிக்கையிலான குழுக்களுக்கும் ஒவ்வொரு குழுவிலும் உள்ள எந்த எண்ணிக்கையிலான முகவர்களுக்கும் ஒருமித்த பொறாமை இல்லாத இணைக்கப்பட்ட ஒதுக்கீடு உள்ளது. ஒருமித்த விகிதாசாரம் மற்றும் சரியான பிரிவு ஒரு சரியான பிரிவில் (ஒருமித்த பிரிவு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது), n முகவர்கள் உள்ளனர், மேலும் கேக்கை k துண்டுகளாகப் பிரிப்பதே குறிக்கோள், இதனால் அனைத்து முகவர்களும் அனைத்து துண்டுகளையும் சரியாக 1/k என்று மதிப்பிடுகிறார்கள். n (k-1) உடன் ஒரு சரியான பிரிவு எப்போதும் இருக்கும் என்று அறியப்படுகிறது. இருப்பினும், k = 2 க்கு கூட, n வெட்டுக்களுடன் ஒரு சரியான பிரிவைக் கண்டுபிடிப்பது FIXP-கடினமானது, மேலும் n வெட்டுக்களுடன் தோராயமாக சரியான பிரிவைக் கண்டுபிடிப்பது PPA-முழுமையானது (மேலும் தகவலுக்கு சரியான பிரிவைப் பார்க்கவும்). பின்வரும் அர்த்தத்தில் ஒருமித்த-விகிதாச்சாரம் என்பது ஒருமித்த பிரிவினைக்கு சமம் என்பதை நிரூபிக்க முடியும்ஃ ஒவ்வொரு n மற்றும் k க்கும், k குடும்பங்களாக தொகுக்கப்பட்ட n (k-1) + 1 முகவர்களிடையே ஒருமித்த-விகிதாசார பிரிவிற்கான தீர்வு k துண்டுகளுடன் n முகவர்களிடையே ஒருமித்த பிரிவினைக்கு ஒரு தீர்வைக் குறிக்கிறது. குறிப்பாக, ஒருமித்த-விகிதாசாரப் பிரிவுக்கு குறைந்தபட்சம் n-1 வெட்டுக்கள் (n கூறுகள்) தேவைப்படுகிறது, n-1 வெட்டுக்களுடன் ஒருமித்த-விகிதாசாரப் பிரிவைக் கண்டுபிடிப்பது FIXP-கடினமானது, மேலும் n-1 வெட்டுக்களுடன் தோராயமாக ஒருமித்த-விகிதாசாரப் பிரிவைக் கண்டுபிடிப்பது PPA-கடினமானது. ஒவ்வொரு n மற்றும் k க்கும், n முகவர்கள் மற்றும் k துண்டுகள் இடையே துல்லியமான பிரிவிற்கான தீர்வு k குடும்பங்களாக தொகுக்கப்பட்ட n + 1 முகவர்களிடையே ஒருமித்த-விகிதாசார பிரிவிற்கான தீர்வைக் குறிக்கிறது. குறிப்பாக, (n-1) (k-1) வெட்டுக்களுடன் சரியான ஒருமித்த-விகிதாசாரப் பிரிவைச் செய்ய முடியும் என்பதையும், தோராயமான ஒருமித்த-விகிதாசாரப் பிரிவைக் கண்டுபிடிப்பது PPA இல் உள்ளது என்பதையும் இது குறிக்கிறது. வெட்டுக்களின் எண்ணிக்கை k = 2 குடும்பங்களுக்கு இறுக்கமானது, ஆனால் k> 2 க்கு அல்ல. பிரிக்க முடியாத பொருட்களுக்கான முடிவுகள் நியாயமான பொருள் ஒதுக்கீட்டின் பின்னணியில், பின்வரும் முடிவுகள் அறியப்படுகின்றன. ஒருமித்த தோராயமான அதிகபட்ச-பகிர்வு நேர்மைஃ இரண்டு குழுக்கள் இருக்கும்போது, குழுக்களில் உள்ள முகவர்களின் எண்ணிக்கை (1, n-1) அல்லது (2,2) அல்லது (2,3) ஆக இருந்தால் மட்டுமே, எம்எம்எஸ்-நியாயத்திற்கு ஒரு நேர்மறை பெருக்க தோராயத்தை உத்தரவாதம் செய்யலாம். நேர்மறையான முடிவுகளை பல்லுறுப்புக்கோவை-நேர வழிமுறைகள் மூலம் அடைய முடியும். மற்ற எல்லா நிகழ்வுகளிலும், நேர்மறையான எம்எம்எஸ் கொண்ட குறைந்தபட்சம் ஒரு முகவர் அனைத்து ஒதுக்கீடுகளிலும் பூஜ்ஜிய மதிப்பைப் பெறும் நிகழ்வுகள் உள்ளன. மூன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட குழுக்கள் இருக்கும்போது, கே-1 குழுக்கள் ஒரு முகவரைக் கொண்டிருந்தால் எம்எம்எஸ்-நியாயத்திற்கு ஒரு நேர்மறை பெருக்க தோராயத்தை அடைய முடியும்; மாறாக, அனைத்து குழுக்களும் 2 முகவர்களைக் கொண்டிருந்தால் மற்றும் ஒரு குழுவில் குறைந்தது 5 முகவர்கள் இருந்தால், நேர்மறை தோராயமானது சாத்தியமில்லை. ஒருமித்த தோராயமான பொறாமை-சுதந்திரம்ஃ பைனரி சேர்க்கை மதிப்பீடுகளுடன் இரண்டு குழுக்கள் இருக்கும்போது, குழு அளவுகள் (1,5) அல்லது (2,3) ஆக இருந்தால் ஒருமனதாக-EF1 ஒதுக்கீடு உள்ளது, ஆனால் குழு அளவுகள் (1,6) அல்லது (2,4) அல்லது (3,3) ஆக இருந்தால் இருக்காது. பொதுவாக, குழு அளவுகள் இருந்தால் ஒரு EFc ஒதுக்கீடு இருக்காது. பைனரி மதிப்பீடுகளுடன், EF1 என்பது EFX க்கு சமமானது, ஆனால் EFX0 ஐ விட பலவீனமானது என்பதை நினைவில் கொள்க. குழு அளவுகள் (1,2) ஆக இருந்தால் ஒருமனதாக-EFX0 ஒதுக்கீடு இருக்காது; இது தனிப்பட்ட முகவர்களின் நிலைமைக்கு மாறாக உள்ளது, அதாவது குழு அளவுகள் (1,1), மோனோடோன் மதிப்பீடுகளுக்கு கூட ஒரு EFX0 ஒதுக்கீடு எப்போதும் இருக்கும். கொடுக்கப்பட்ட நிகழ்வு ஒருமனதாக-EF1 ஒதுக்கீட்டை ஏற்றுக்கொள்கிறதா என்பதை தீர்மானிப்பது NP-கடினம். பதிலளிக்கக்கூடிய மதிப்பீடுகளைக் கொண்ட முகவர்களின் இரண்டு குழுக்கள் இருக்கும்போது (சேர்க்கை மதிப்பீடுகளின் மேற்பரப்பு), குழுவின் அளவுகள் (1,2) ஆக இருந்தால் ஒருமனதாக-EF1 சீரான ஒதுக்கீடு உள்ளது. நெசர் வரைபடங்களில் ஒரு குறிப்பிட்ட அனுமானம் உண்மையாக இருந்தால், குழு அளவுகள் (1,4), (2,3) மற்றும் தன்னிச்சையான மோனோடோன் மதிப்பீடுகளுக்கும் ஒருமனதாக-EF1 சீரான ஒதுக்கீடு உள்ளது. குழுவின் அளவுகள் (1,2) ஆக இருந்தால் ஒருமனதாக-ஈஎஃப்எக்ஸ் ஒதுக்கீடு இருக்காது. இரண்டு தற்காலிக குழுக்களுக்கு, தன்னிச்சையான மோனோடோன் மதிப்பீடுகளைக் கொண்ட எந்த எண்ணிக்கையிலான முகவர்களுடனும், ஒருமனதாக-EF1 ஒதுக்கீடு உள்ளது. முகவர்களின் சமநிலையான பகிர்வு மற்றும் பொருட்களின் ஒருமனதாக-EF1 சமநிலையான ஒதுக்கீடு ஆகியவையும் உள்ளன. சேர்க்கை மதிப்பீடுகளுடன் கூட EF1 ஐ EFX ஆக வலுப்படுத்த முடியாது. கே தற்காலிக குழுக்களுக்கு, சேர்க்கை மதிப்பீடுகளுடன் எந்த எண்ணிக்கையிலான முகவர்களுடனும், ஒருமனதாக-ப்ரோப் * 1 ஒதுக்கீடு உள்ளது. கே குழுக்களாக தன்னிச்சையாக பிரிக்கப்பட்ட n முகவர்களுக்கு, சி உருப்படிகள் வரை பொறாமை இல்லாத ஒரு ஒதுக்கீடு எப்போதும் உள்ளது, அங்கு. சி உருப்படிகள் வரையிலான விகிதாசாரத்திற்கும் இது பொருந்தும். ஒருமித்த பிரிவினைக்கு எல்லைகள் உள்ளன. குழுக்களின் எண்ணிக்கை நிலையானதாக இருக்கும்போது அனைத்து எல்லைகளும் அறிகுறியற்ற வகையில் இறுக்கமாக இருக்கும். சான்றுகள் முரண்பாடு கோட்பாட்டைப் பயன்படுத்துகின்றன. அதிக நிகழ்தகவுடன் ஒருமித்த பொறாமை-சுதந்திரம்ஃ அனைத்து கே குழுக்களும் ஒரே எண்ணிக்கையிலான முகவர்களைக் கொண்டிருக்கும்போது, அவற்றின் மதிப்பீடுகள் சீரற்ற முறையில் வரையப்படும்போது, பொருட்களின் எண்ணிக்கை இருந்தால் அதிக நிகழ்தகவுடன் பொறாமை இல்லாத ஒதுக்கீடு உள்ளது, மேலும் பயன்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகையை அதிகரிக்கும் பேராசை வழிமுறை மூலம் அடைய முடியும். முடிவுகளை வெவ்வேறு அளவுகளைக் கொண்ட இரண்டு குழுக்களுக்கு நீட்டிக்க முடியும். அதிக நிகழ்தகவுடன் தோராயமாக பொறாமை இல்லாத ஒதுக்கீட்டை அடையும் ஒரு உண்மையான பொறிமுறையும் உள்ளது. பொருட்களின் எண்ணிக்கை n க்கும் குறைவாக இருந்தால், அதிக நிகழ்தகவுடன், பொறாமை இல்லாத ஒதுக்கீடு இல்லை. ஜனநாயக நியாயத்தன்மைஃ பைனரி சேர்க்கை மதிப்பீடுகளைக் கொண்ட இரண்டு குழுக்களுக்கு (எந்த எண்ணிக்கையிலான முகவர்களுடனும்), எப்போதும் 1⁄2 ஜனநாயக பொறாமை இல்லாத-தவிர-1 ஒதுக்கீடு உள்ளது. எந்தவொரு மாறிலிக்கும் பொறாமை-இல்லாத-தவிர-சி ஒதுக்கீட்டை நாம் அனுமதித்தாலும் கூட 1⁄2 மாறிலி இறுக்கமாக இருக்கும். இது விகிதாசாரத்திற்கும் பொருந்தும்-தவிர-சி. ஒவ்வொரு குழுவிலும் உள்ள முகவர்களில் 1⁄2 க்கும் மேற்பட்டவர்களுக்கு உத்தரவாதம் அளிக்கக்கூடிய வேறுபட்ட நியாயமான கருத்து, வரிசை அதிகபட்ச-பகிர்வு தோராயமாகும். ஒவ்வொரு சி முழு எண்ணுக்கும், ஒரு ஜனநாயக 1-அவுட்-ஆஃப்-சி எம்எம்எஸ்-நியாயமான ஒதுக்கீடு உள்ளது. இந்த ஒதுக்கீடுகளை ரவுண்ட்-ராபின் உருப்படி ஒதுக்கீட்டின் ஒரு மாறுபாட்டைப் பயன்படுத்தி திறமையாகக் காணலாம், ஒவ்வொரு குழுவிலும் எடை ஒப்புதல் வாக்களிப்புடன். முகவர்களின் பகுதியின் மேல் வரம்பு அவர்களின் சிறந்த சி உருப்படிகளில் 1 க்கு உத்தரவாதம் அளிக்க முடியும் (1-அவுட்-ஆஃப்-சி எம். எம். எஸ்ஸை விட பலவீனமான ஒரு சொத்து). ஏனெனில், 1-அவுட்-ஆஃப்-பெஸ்ட்-சி ஒதுக்கீட்டிற்கான கீழ் வரம்பை 1/2 முதல் 3/5 வரை மேம்படுத்தலாம்; 3/4 இன் மேல் வரம்பை எப்போதும் அடைய முடியுமா என்பது ஒரு திறந்த கேள்வி. ஒவ்வொரு முகவருக்கும் ஒரு நேர்மறையான பயன்பாட்டை வழங்கும் ஒரு ஒதுக்கீட்டை கொடுக்கப்பட்ட நிகழ்வு ஒப்புக்கொள்கிறதா என்பதை தீர்மானிப்பது NP-கடினம். பொதுவான மோனோடோன் மதிப்பீடுகளைக் கொண்ட இரண்டு குழுக்களுக்கு, எப்போதும் 1/2 ஜனநாயக பொறாமை இல்லாத-விதிவிலக்கு-1 ஒதுக்கீடு உள்ளது, மேலும் இது ஒரு திறமையான வழிமுறை மூலம் கண்டறியப்படலாம். பைனரி சேர்க்கை மதிப்பீடுகளைக் கொண்ட மூன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட குழுக்களுக்கு, எப்போதும் 1/கே-ஜனநாயக பொறாமை-இல்லாத-விதிவிலக்கு-1 ஒதுக்கீடு உள்ளது; பொதுவான மோனோடோன் மதிப்பீடுகளுடன், எப்போதும் 1/கே-ஜனநாயக பொறாமை-இல்லாத-விதிவிலக்கு-2 ஒதுக்கீடு உள்ளது. எந்தவொரு நிலையான சி-க்கும் பொறாமை-இல்லாத-தவிர-சி ஒதுக்கீட்டிற்கு 1/கே காரணி இறுக்கமானது. பொறாமை-சுதந்திரம் விகிதாசாரத்திற்கு அல்லது அதிகபட்ச-பகிர்வுக்கு தளர்த்தப்பட்டால், பல்லுறுப்புக்கோவை-நேர வழிமுறையைப் பயன்படுத்தி ஒத்த உத்தரவாதங்களை அடைய முடியும். சேர்க்கை மதிப்பீடுகளைக் கொண்ட குழுக்களுக்கு, 1/3 ஜனநாயக 1-அவுட்-ஆஃப்-பெஸ்ட்-கே ஒதுக்கீட்டைக் கண்டறிய ரவுண்ட்-ராபின் உருப்படி ஒதுக்கீட்டின் மாறுபாட்டைப் பயன்படுத்தலாம். பொருட்கள் மற்றும் பணத்தின் குழு நியாயமான பிரிவு வாடகை நல்லிணக்கத்தின் பின்னணியில் (அறைகள் மற்றும் வாடகையை பொறாமையின்றி பிரிப்பது), பின்வரும் முடிவுகள் அறியப்படுகின்றன. செலவு பகிர்வு கொள்கை சமமாகவோ அல்லது விகிதாசாரமாகவோ இருக்கும்போது ஒருமித்த பொறாமை-சுதந்திரம் (காகிதத்தில் வலுவான பொறாமை-சுதந்திரம் என்று அழைக்கப்படுகிறது) இருக்காது, ஆனால் எப்போதும் இலவச செலவு பகிர்வு கொள்கையுடன் இருக்கும். மேலும், மொத்த வாடகையை அதிகப்படுத்தும் இலவச செலவு பகிர்வுடன் ஒருமனதாக பொறாமை இல்லாத ஒதுக்கீட்டை பல்லுறுப்புக்கோவை நேரத்தில் காணலாம். தற்காலிக குழுக்களுடன், சமமான செலவு பகிர்வு கொள்கையுடன் கூட ஒருமித்த பொறாமை-சுதந்திரம் உள்ளது. செலவு பகிர்வு கொள்கை சமமாகவோ அல்லது விகிதாசாரமாகவோ அல்லது இலவசமாகவோ இருக்கும்போது சராசரி பொறாமை-சுதந்திரம் (காகிதத்தில் மொத்த பொறாமை-சுதந்திரம் என்று அழைக்கப்படுகிறது) எப்போதும் இருக்கும். டிக்கெட் லாட்டரிகளின் நியாயமான பிரிவு குழுக்களிடையே நியாயமான பிரிவின் நடைமுறை பயன்பாடு பூங்காக்கள் அல்லது வரையறுக்கப்பட்ட திறனுடன் பிற அனுபவங்களுக்கான டிக்கெட்டுகளைப் பிரிப்பதாகும். பெரும்பாலும், டிக்கெட்டுகள் சீரற்ற முறையில் பிரிக்கப்படுகின்றன. மக்கள் தாங்களாகவே வரும்போது, அனைத்து வேட்பாளர்களிடையேயும் ஒரு எளிய சீரான சீரற்ற லாட்டரி ஒரு நியாயமான தீர்வாகும். ஆனால் மக்கள் பெரும்பாலும் குடும்பங்கள் அல்லது நண்பர்கள் குழுக்களாக வருகிறார்கள், அவர்கள் ஒன்றாக நுழைய விரும்புகிறார்கள். இது லாட்டரியை எவ்வாறு சரியாக வடிவமைப்பது என்பதில் பல்வேறு பரிசீலனைகளுக்கு வழிவகுக்கிறது. பின்வரும் முடிவுகள் அறியப்படுகின்றனஃ அனைத்து குழு உறுப்பினர்களும் முன்கூட்டியே அடையாளம் காணப்பட்ட அமைப்புக்கு, குழு லாட்டரி பொறிமுறை சீரற்ற முறையில் குழுக்களை ஒரே மாதிரியாக ஆர்டர் செய்கிறது, மேலும் திறன் இருக்கும் வரை அவற்றை தொடர்ச்சியாக செயலாக்குகிறது. இந்த இயற்கையான பொறிமுறை நியாயமற்றதாகவும் திறமையற்றதாகவும் இருக்கலாம்; சில சிறந்த மாற்று வழிகள் உள்ளன. முகவர்கள் தங்கள் குழுவின் உறுப்பினர்களை அடையாளம் காணாமல் பல டிக்கெட்டுகளைக் கோரலாம் என்றால், தனிப்பட்ட லாட்டரி பொறிமுறை முகவர்களை சீரற்ற முறையில் ஒரே மாதிரியாக ஆர்டர் செய்கிறது மற்றும் திறன் இருக்கும் வரை ஒவ்வொருவரின் கோரிக்கையையும் வழங்குகிறது. இந்த பொதுவான பொறிமுறை தன்னிச்சையாக நியாயமற்ற மற்றும் திறமையற்ற முடிவுகளைத் தரக்கூடும். எடை கொண்ட தனிநபர் லாட்டரி என்பது ஒரு மாற்று பொறிமுறையாகும், இதில் செயலாக்க ஆர்டர் சிறிய கோரிக்கைகளைக் கொண்ட முகவர்களுக்கு சாதகமாக உள்ளது. இது தோராயமாக நியாயமானது மற்றும் தோராயமாக திறமையானது. இடைக்கணிப்பு நிகழ்தகவு அதிகபட்சமாக்கல் வழிமுறை ஒரு லாட்டரியைக் கண்டறிகிறது, இது மிகச்சிறிய பயன்பாட்டை அதிகரிக்கிறது (சமத்துவ விதி மற்றும் லெக்ஸிமின் வரிசையின் அடிப்படையில்). இது குழு மூலோபாயம் இல்லாதது, மேலும் அதிகபட்ச பயன்பாட்டின் 1/2 காரணி தோராயத்தை அடைகிறது. இது பரேட்டோ-திறமையானது, பொறாமை இல்லாதது மற்றும் அநாமதேயமானது. அதன் பண்புகள் அதிகபட்சமானவை, அதாவது ஒரு சொத்தை மற்றொரு சொத்துக்கு தீங்கு விளைவிக்காமல் மேம்படுத்துவது சாத்தியமில்லை. தொடர்புடைய கருத்துக்கள் குழு பொறாமை-சுதந்திரம் என்பது தனிப்பட்ட முகவர்களிடையே நியாயமான பிரிவினைக்கு ஒரு நியாயமான அளவுகோலாகும். ஒவ்வொரு தனிப்பட்ட முகவரும் தனது தனிப்பட்ட பங்கைப் பெற்ற பிறகு, முகவர்களின் எந்தவொரு கூட்டணியும் அதே அளவிலான மற்றொரு கூட்டணியை பொறாமைப்படுவதில்லை என்று அது கூறுகிறது. கிளப் குட் என்பது ஒரு குழுவில் ("கிளப்") உள்ள அனைத்து உறுப்பினர்களாலும் ஒரே நேரத்தில் நுகரப்படும் ஒரு வளமாகும், ஆனால் மற்ற குழுக்களின் உறுப்பினர்களிடமிருந்து விலக்கப்பட்டுள்ளது. குழு நியாயமான பிரிவு சிக்கலில், ஒதுக்கப்பட்ட அனைத்து பொருட்களும் அவை ஒதுக்கப்பட்ட குழுவில் கிளப் பொருட்களாகும். ஒப்புக்கொள்ளக்கூடிய துணைக்குழு என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட குழுவில் உள்ள அனைத்து மக்களாலும், குறைந்தபட்சம் அதன் நிரப்பு போலவே சிறந்ததாகக் கருதப்படும் பொருட்களின் துணைக்குழு ஆகும். குறிப்புகள் நியாயமான பிரிவு வாக்களிப்பு