Mathematics of apportionment
வெவ்வேறு உரிமைகளைக் கொண்ட கட்சிகளிடையே ஒரே மாதிரியான பொருட்களை நியாயமான முறையில் ஒதுக்குவதற்கான கணிதக் கொள்கைகள் மற்றும் வழிமுறைகளை கணிதப் பிரிவின் கணிதம் விவரிக்கிறது. கூட்டாட்சி மாநிலங்கள் அல்லது அரசியல் கட்சிகளுக்கு இடையே நாடாளுமன்றங்களில் இடங்களைப் பிரிக்க இத்தகைய கொள்கைகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. பகிர்வு தொடர்பான மேலும் உறுதியான கொள்கைகள் மற்றும் சிக்கல்களுக்கு பகிர்வு (அரசியல்) மற்றும் உலகெங்கிலும் பயன்படுத்தப்படும் நடைமுறை முறைகளுக்கான நாட்டின் பகிர்வு ஆகியவற்றைப் பார்க்கவும். கணித ரீதியாக, ஒரு பகிர்வு முறை என்பது பின்னங்களை முழு எண்களுக்கு வட்டமிடுவதற்கான ஒரு முறையாகும். இது எளிமையானதாகத் தோன்றினாலும், வட்டமிடுவதற்கான ஒவ்வொரு முறையும் ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட முரண்பாடுகளால் பாதிக்கப்படுகிறது. பகுப்பாய்வின் கணிதக் கோட்பாடு என்ன முரண்பாடுகளைத் தவிர்க்க முடியும் என்பதைத் தீர்மானிப்பதை நோக்கமாகக் கொண்டுள்ளது, அல்லது வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒரு பகிர்வு முறையிலிருந்து என்ன பண்புகளை எதிர்பார்க்கலாம். கணிதப் பிரிவின் கணிதக் கோட்பாடு 1907 ஆம் ஆண்டின் முற்பகுதியில் கணிதவியலாளர் அக்னர் க்ராருப் எர்லாங் என்பவரால் ஆய்வு செய்யப்பட்டது. இது பின்னர் கணிதவியலாளர் மைக்கேல் பாலின்ஸ்கி மற்றும் பொருளாதார நிபுணர் பெய்டன் யங் ஆகியோரால் ஒரு பெரிய விவரமாக உருவாக்கப்பட்டது. அரசியல் கட்சிகளுக்கு இது பொருந்தும் என்பதைத் தவிர, முகவர்களுக்கு வெவ்வேறு உரிமைகள் இருக்கும்போது நியாயமான பொருள் ஒதுக்கீட்டிற்கும் இது பொருந்தும். இது மனிதவள திட்டமிடல்-தொழிலாளர் தொகுப்பின் பண்புகள், புள்ளிவிவரங்கள் ஆகியவற்றின் விகிதத்தில் வேலைகள் ஒதுக்கப்பட வேண்டும்-அங்கு அறிக்கையிடப்பட்ட வட்ட எண்ணிக்கையிலான சதவீதங்கள் 100% வரை கூட்டப்பட வேண்டும், மற்றும் திவால் பிரச்சினைகள் ஆகியவற்றிலும் பொருத்தமானது. வரையறைகள் உள்ளீடு ஒரு பகிர்வு முறையின் உள்ளீடுகள் பின்வருமாறுஃ ஒதுக்க வேண்டிய மொத்த உருப்படிகளின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கும் ஒரு நேர்மறை முழு எண். இது வீட்டின் அளவு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது, ஏனெனில் பல சந்தர்ப்பங்களில், ஒதுக்க வேண்டிய பொருட்கள் பிரதிநிதிகள் சபையில் இருக்கைகள். உருப்படிகள் ஒதுக்கப்பட வேண்டிய முகவர்களின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கும் ஒரு நேர்மறை முழு எண். எடுத்துக்காட்டாக, இவை கூட்டாட்சி மாநிலங்கள் அல்லது அரசியல் கட்சிகளாக இருக்கலாம். உரிமைகளைக் குறிக்கும் எண்களின் திசையன்-முகவரின் உரிமையைக் குறிக்கிறது, அதாவது, உரிமையுள்ள பொருட்களின் அளவு (மொத்தத்தில்). இந்த உரிமைகள் பெரும்பாலும் இயல்பாக்கப்படுகின்றன. மாற்றாக, அவற்றின் கூட்டுத்தொகை இருக்கும் வகையில் அவற்றை இயல்பாக்கலாம்; இந்த விஷயத்தில் உரிமைகள் ஒதுக்கீடுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, மேலும் அவை, எங்கே மற்றும் மூலம் குறிக்கப்படுகின்றன. மாற்றாக, ஒருவருக்கு மக்கள்தொகையின் திசையன் வழங்கப்படுகிறது; இங்கே, முகவரின் உரிமை. வெளியீடு வெளியீடு என்பது முழு எண்களின் திசையன் ஆகும், இது ஒரு பகிர்வு என்று அழைக்கப்படுகிறது, அங்கு முகவர் i க்கு ஒதுக்கப்பட்ட உருப்படிகளின் எண்ணிக்கை. ஒவ்வொரு முகவருக்கும், உண்மையான எண் ஒதுக்கீடு என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் கொடுக்கப்பட வேண்டிய பொருட்களின் சரியான எண்ணிக்கையைக் குறிக்கிறது. பொதுவாக, ஒரு "நியாயமான" பகிர்வு என்பது ஒவ்வொரு ஒதுக்கீடும் ஒதுக்கீட்டிற்கு முடிந்தவரை நெருக்கமாக இருக்கும். ஒரு பகிர்வு முறை பகிர்வு திசையன்களின் தொகுப்பைத் திருப்பித் தரலாம் (வேறுவிதமாகக் கூறினால்ஃ இது ஒரு பன்முக செயல்பாடு). சில சந்தர்ப்பங்களில் இரண்டு சாத்தியமான தீர்வுகளை வேறுபடுத்துவதற்கு நியாயமான வழி இல்லை என்பதால் இது தேவைப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, (அல்லது வேறு ஏதேனும் ஒற்றைப்படை எண்) மற்றும் (50,51) மற்றும் (51,50) இரண்டும் சமமான நியாயமான தீர்வுகளாக இருந்தால், ஒன்றுக்கு மேல் ஒன்றை தேர்வு செய்ய கணித வழி இல்லை. இத்தகைய உறவுகள் நடைமுறையில் மிகவும் அரிதானவை என்றாலும், கோட்பாடு அவற்றைக் கணக்கிட வேண்டும் (நடைமுறையில், ஒரு பகிர்வு முறை பல வெளியீடுகளைத் திருப்பும்போது, அவற்றில் ஒன்று சில வெளிப்புற முன்னுரிமை விதிகளால் தேர்ந்தெடுக்கப்படலாம், அல்லது நாணயம் புரட்டுவதன் மூலம், ஆனால் இது கணிதப் பகிர்வு கோட்பாட்டின் எல்லைக்கு அப்பாற்பட்டது). ஒரு பகிர்வு முறை ஒரு பன்முக செயல்பாட்டால் குறிக்கப்படுகிறது; ஒரு குறிப்பிட்ட-தீர்வு என்பது ஒரு ஒற்றை மதிப்புள்ள செயல்பாடாகும், இது ஒரு ஒற்றை பகிர்வைத் தேர்ந்தெடுக்கிறது. ஒரு பகுதி பகிர்வு முறை என்பது குறிப்பிட்ட நிலையான மதிப்புகளுக்கான ஒரு பகிர்வு முறையாகும் மற்றும் இது ஒரு-திசையன்களை மட்டுமே ஏற்றுக்கொள்ளும் பல மதிப்புள்ள செயல்பாடாகும். மாறுபாடுகள் சில நேரங்களில், உள்ளீட்டில் குறைந்தபட்ச தேவைகளைக் குறிக்கும் முழு எண்களின் திசையனும் உள்ளது-அதன் உரிமையைப் பொருட்படுத்தாமல் முகவர் பெற வேண்டிய மிகச்சிறிய எண்ணிக்கையிலான உருப்படிகளைக் குறிக்கிறது. எனவே வெளியீட்டில் ஒரு கூடுதல் தேவை உள்ளதுஃ அனைவருக்கும். முகவர்கள் அரசியல் கட்சிகளாக இருக்கும்போது, இந்த எண்கள் பொதுவாக 0 ஆக இருக்கும், எனவே இந்த திசையன் தவிர்க்கப்படுகிறது. ஆனால் முகவர்கள் மாநிலங்கள் அல்லது மாவட்டங்களாக இருக்கும்போது, அனைவரும் பிரதிநிதித்துவம் செய்யப்படுவதை உறுதி செய்வதற்காக இந்த எண்கள் பெரும்பாலும் நேர்மறையாக இருக்கும். அவை அனைத்து முகவர்களுக்கும் ஒரே மாதிரியாக இருக்கலாம் (எ. கா. அமெரிக்க மாநிலங்களுக்கு 1, பிரான்ஸ் மாவட்டங்களுக்கு 2), அல்லது வேறு (எ. கா. கனடாவில் அல்லது ஐரோப்பிய நாடாளுமன்றத்தில்). சில நேரங்களில் அதிகபட்ச தேவைகளின் திசையனும் உள்ளது, ஆனால் அது குறைவாகவே உள்ளது. அடிப்படை தேவைகள் எந்தவொரு நியாயமான பகிர்வு முறையாலும் திருப்திப்படுத்தப்பட வேண்டிய அடிப்படை பண்புகள் உள்ளன. அவர்களுக்கு வெவ்வேறு எழுத்தாளர்களால் வெவ்வேறு பெயர்கள் வழங்கப்பட்டனஃ இடதுபுறத்தில் உள்ள பெயர்கள் புக்கெல்ஷீமிலிருந்து வந்தவை; வலதுபுறத்தில் உள்ள அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள பெயர்கள் பாலின்ஸ்கி மற்றும் யங் ஆகியோரிடமிருந்து வந்தவை. அநாமதேயத்தின் (= சமச்சீர்) பொருள் என்னவென்றால், பகிர்வு முகவர்களின் பெயர்கள் அல்லது குறியீடுகளைப் பொறுத்தது அல்ல. முறைப்படி, ஏதேனும் வரிசைமாற்றங்கள் இருந்தால், அதில் உள்ள பகிர்வுகள் சரியாக உள்ள பகிர்வுகளின் தொடர்புடைய வரிசைமாற்றங்களாகும். குறைந்தபட்ச தேவைகள் இல்லாதபோது அல்லது தேவைகள் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும்போது இந்த தேவை அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கிறது; அவை ஒரே மாதிரியாக இல்லாவிட்டால், தேவைகள் பூர்த்தி செய்யப்படுவதற்கு உட்பட்டு அநாமதேயத்தை வைத்திருக்க வேண்டும். சமநிலை (= சமநிலை) என்பது இரண்டு முகவர்களுக்கு சமமான உரிமைகள் இருந்தால், அவற்றின் ஒதுக்கீடு அதிகபட்சம் 1 ஆல் வேறுபட வேண்டும்ஃ குறிக்கிறது. இணக்கம் (= பலவீனமான மக்கள்தொகை மோனோடோனிசிட்டி) என்பது கண்டிப்பாக அதிக உரிமையைக் கொண்ட ஒரு முகவர் குறைந்தபட்சம் பல பொருட்களைப் பெறுகிறார் என்பதைக் குறிக்கிறதுஃ ஒழுக்கம் (= ஒரேமாதிரி) என்பது உரிமை திசையனை அளவிடுவது முடிவை மாற்றாது என்பதாகும். முறைப்படி, ஒவ்வொரு மாறிலி c க்கும் (பகிர்வு முறையின் உள்ளீடு இயல்பாக்கப்பட்டால் இது தானாகவே திருப்தி அடையும்). துல்லியம் (= பலவீனமான விகிதாசாரம்) என்றால் ஒரு சரியான தீர்வு இருந்தால், அது தேர்ந்தெடுக்கப்பட வேண்டும். முறைப்படி, ஒவ்வொரு முகவரின் ஒதுக்கீடும் ஒரு முழு எண் என்றால், ஒரு தனித்துவமான திசையன் இருக்க வேண்டும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒரு எச்-பகிர்வு சரியாக விகிதாசாரமாக இருந்தால், அது அதன் தனித்துவமான உறுப்பாக இருக்க வேண்டும். வலுவான துல்லியம் என்பது துல்லியமும் "வரம்பில்" உள்ளது என்பதாகும். அதாவது, உரிமை திசையன்களின் வரிசை ஒரு முழு எண் ஒதுக்கீட்டு திசையனுடன் ஒன்றிணைந்தால், வரிசையின் அனைத்து கூறுகளிலும் உள்ள ஒரே ஒதுக்கீடு திசையன். பலவீனமான துல்லியத்திலிருந்து வித்தியாசத்தைக் காண, பின்வரும் விதியைக் கவனியுங்கள். (அ) ஒவ்வொரு முகவருக்கும் அதன் ஒதுக்கீட்டைச் சுருக்கிக் கொடுங்கள்; (ஆ) மீதமுள்ள இடங்களை மீண்டும் மீண்டும் மிகப்பெரிய கட்சிகளுக்கு வழங்குங்கள். இந்த விதி பலவீனமாக துல்லியமானது, ஆனால் வலுவாக துல்லியமானது அல்ல. எடுத்துக்காட்டாக, h = 6 என்று வைத்துக்கொள்வோம் மற்றும் ஒதுக்கீடு திசையன்களின் வரிசையைக் கவனியுங்கள் (4 + 1/k, 2-1/k). மேலே உள்ள விதி அனைத்து k க்கும் ஒதுக்கீட்டை (5,1) தருகிறது, k → φ முழு எண் திசையன் (4,2) ஆக இருக்கும் போது வரம்பு கூட. வலுவான விகிதாசாரம் என்பது, கூடுதலாக, என்றால், மற்றும், மற்றும் சில எச்-பகிர்வு சரியாக விகிதாசாரமாக உள்ளது, பின்னர் அது தனித்துவமான உறுப்பாக இருக்க வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, உள்ள ஒரு தீர்வு (3,3) என்றால், உள்ள ஒரே தீர்வு (2,2) ஆக இருக்க வேண்டும். முழுமை என்பது, உரிமை திசையன்களின் ஒருங்கிணைந்த வரிசைக்கு சில பகிர்வு திருப்பித் தரப்பட்டால், அவற்றின் வரம்பு திசையனுக்கும் திருப்பித் தரப்படுகிறது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், தொகுப்பு-சாத்தியமான பகிர்வாக இருக்கும் உரிமை திசையன்களின் தொகுப்பு-இடவியல் ரீதியாக மூடப்பட்டுள்ளது. ஒரு முழுமையற்ற முறை எந்தவொரு வரம்பு உரிமையிலும் ஒதுக்கீட்டைச் சேர்ப்பதன் மூலம் "முடிக்கப்படலாம்", அது வரிசையில் உள்ள ஒவ்வொரு உரிமையையும் சேர்ந்தால் மட்டுமே. ஒரு சமச்சீர் மற்றும் விகிதாசார பகிர்வு முறையை நிறைவு செய்வது முழுமையானது, சமச்சீர் மற்றும் விகிதாசாரமாகும். நடைமுறையில் பல நாடுகள் செய்வது போல, வெளிப்புற டை-பிரேக்கிங் விதியைப் பயன்படுத்தும் முறைகளால் முழுமை மீறப்படுகிறது. டை-பிரேக்கிங் விதி வரம்பு வழக்கில் மட்டுமே பொருந்தும், எனவே அது முழுமையை உடைக்கலாம். முழுமை மற்றும் பலவீனம்-துல்லியம் ஆகியவை ஒன்றாக வலுவான-துல்லியத்தை குறிக்கின்றன. பொருத்தமான டை-பிரேக்கிங் விதியைச் சேர்ப்பதன் மூலம் ஒரு முழுமையான மற்றும் பலவீனமான-துல்லியமான முறை மாற்றியமைக்கப்பட்டால், இதன் விளைவாக வரும் விதி இனி முழுமையடையாது, ஆனால் அது இன்னும் வலுவாக-துல்லியமாக இருக்கும். பிற பரிசீலனைகள் இடங்களுக்கு இடையேயான வாக்குகள் விகிதம் மற்றும் கல்லாகர் குறியீடு மூலம் விகிதாசாரத்தை அளவிட முடியும். தேர்தல் வரம்புகளுடன் சேர்ந்து பகிர்வின் விகிதாசாரம் அரசியல் துண்டுப்பிரசுரத்தையும் அரசியல் போட்டிக்குள் நுழைவதற்கான தடையையும் பாதிக்கிறது. பொதுவான பகிர்வு முறைகள் பல பகிர்வு முறைகள் உள்ளன, அவற்றை பல அணுகுமுறைகளாக வகைப்படுத்தலாம். மிகப்பெரிய மீதமுள்ள முறைகள் மேற்கோள்களின் திசையனைக் கணக்கிடுவதன் மூலம் தொடங்குகின்றன, அதாவது,. இந்த வட்டமான மதிப்புகளின் கூட்டுத்தொகை சரியாக இருந்தால், இந்த திசையன் தனித்துவமான பகிர்வாக திருப்பித் தரப்படும். பொதுவாக, தொகை அதை விட சிறியதாக இருக்கும். இந்த வழக்கில், மீதமுள்ள பொருட்கள் முகவர்களிடையே அவற்றின் எஞ்சியிருப்பவர்களின் படி ஒதுக்கப்படுகின்றனஃ மிகப்பெரிய மீதமுள்ள முகவர் ஒரு இருக்கையைப் பெறுகிறார், பின்னர் இரண்டாவது பெரிய மீதமுள்ள முகவர் ஒரு இருக்கையைப் பெறுகிறார், மேலும் அனைத்து பொருட்களும் ஒதுக்கப்படும் வரை. எந்த ஒதுக்கீடு பயன்படுத்தப்படுகிறது என்பதைப் பொறுத்து எல்ஆர் முறையின் பல வகைகள் உள்ளனஃ எளிய ஒதுக்கீடு, ஹரே ஒதுக்கீடு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. ஹரே ஒதுக்கீட்டுடன் எல். ஆர் பயன்படுத்துவது ஹாமில்டனின் முறைக்கு வழிவகுக்கிறது. ஹேகன்பாக்-பிஷோஃப் ஒதுக்கீடு, சரியான ட்ரூப் ஒதுக்கீடு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. இந்த முறையில் உள்ள ஒதுக்கீடுகள் பெரியவை, எனவே குறைவான உருப்படிகள் உள்ளன. கோட்பாட்டில், ரவுண்ட்டு-டவுன் ஒதுக்கீடுகளின் கூட்டுத்தொகை அதை விட அதிகமாக இருக்கலாம், ஆனால் இது நடைமுறையில் அரிதாகவே நிகழ்கிறது. இம்பீரியல் ஒதுக்கீடு. இந்த ஒதுக்கீடு குறைவான பொதுவானது, ஏனெனில் ரவுண்டட்-டவுன் ஒதுக்கீடுகளின் கூட்டுத்தொகை அதை விட அதிகமாக இருக்கும். வகுத்தல் முறைகள், ஒதுக்கீட்டில் ஒரு நிலையான பெருக்கியைப் பயன்படுத்துவதற்குப் பதிலாக (அல்லது போன்றவை), வட்டமான ஒதுக்கீடுகளின் கூட்டுத்தொகை சரியாக சமமாக இருக்கும் வகையில் பெருக்கியைத் தேர்ந்தெடுக்கவும், எனவே ஒதுக்க மீதமுள்ள உருப்படிகள் எதுவும் இல்லை. முறைப்படி,. வகுத்தல் முறைகள் அவை வட்டமிடுவதற்கு பயன்படுத்தும் முறையைப் பொறுத்து வேறுபடுகின்றன. ஒரு வகுத்தி முறை ஒரு வகுத்தி செயல்பாட்டால் அளவிடப்படுகிறது, இது ஒவ்வொரு முழு எண்ணுக்கும், இடைவெளியில் ஒரு உண்மையான எண்ணைக் குறிப்பிடுகிறது. இதன் பொருள் என்னவென்றால், உள்ள அனைத்து எண்களும் வட்டமாக இருக்க வேண்டும், மேலும் உள்ள அனைத்து எண்களும் வட்டமாக இருக்க வேண்டும். வட்ட செயல்பாடு குறிக்கப்படுகிறது, மேலும் அது போன்ற ஒரு முழு எண்ணை வழங்குகிறது. எண்ணை மேலேயும் கீழேயும் வட்டமிடலாம், எனவே வட்ட செயல்பாடு பல மதிப்புடையது. எடுத்துக்காட்டாக, ஆடம்ஸின் முறை பயன்படுத்துகிறது, இது ரவுண்டிங் அப் உடன் ஒத்திருக்கிறது; டி 'ஹான்ட்/ஜெபர்சன் முறை பயன்படுத்துகிறது, இது ரவுண்டிங் டவுன் உடன் ஒத்திருக்கிறது; மற்றும் வெப்ஸ்டர்/செயின்ட்-லாகு முறை பயன்படுத்துகிறது, இது அருகிலுள்ள முழு எண்ணுடன் ரவுண்டிங் உடன் ஒத்திருக்கிறது. ஒரு வகுத்தி முறையை மீண்டும் மீண்டும் கணக்கிடலாம்ஃ ஆரம்பத்தில், அனைத்து தரப்பினருக்கும் 0 ஆக அமைக்கப்படுகிறது. பின்னர், ஒவ்வொரு மறு செய்கையிலும், அடுத்த இருக்கை விகிதத்தை அதிகரிக்கும் ஒரு கட்சிக்கு ஒதுக்கப்படுகிறது. தரவரிசை-குறியீட்டு முறைகள் குறைந்து வரும் ஒரு செயல்பாட்டால் அளவுருக்கள் செய்யப்படுகின்றன. இந்தப் பிரிவினை மீண்டும் மீண்டும் கணக்கிடப்படுகிறது. ஆரம்பத்தில், அனைத்து தரப்பினருக்கும் 0 என அமைக்கப்பட்டது. பின்னர், ஒவ்வொரு மறு செய்கையிலும், அடுத்த இருக்கையை ஒரு முகவருக்கு ஒதுக்குங்கள், இது அதிகபட்சமாகும். வகுத்தல் முறைகள் என்பது தரவரிசை-குறியீட்டு முறைகளின் ஒரு சிறப்பு வழக்குஃ வகுத்தல் செயல்பாட்டைக் கொண்ட ஒரு வகுத்தல் முறை என்பது தரவரிசை-குறியீட்டைக் கொண்ட தரவரிசை-குறியீட்டு முறைக்கு சமம். உகப்பாக்கம் அடிப்படையிலான முறைகள், ஒவ்வொரு நிகழ்வுக்கும், இந்த நிகழ்வுக்கு "முடிந்தவரை நியாயமான" ஒரு ஒதுக்கீட்டை அடைவதை நோக்கமாகக் கொண்டுள்ளன. அனைத்து முகவர்களுக்கும் ஒரு ஒதுக்கீடு "நியாயமானது"; இந்த விஷயத்தில், ஒதுக்கீட்டின் "நியாயமற்ற தன்மை" 0 என்று நாங்கள் கூறுகிறோம். இந்த சமத்துவம் மீறப்பட்டால், ஒருவர் "மொத்த நியாயமற்ற தன்மை" என்ற அளவை வரையறுத்து, அதைக் குறைக்க முயற்சி செய்யலாம். ஒருவர் நியாயமற்ற நிலைகளின் கூட்டுத்தொகையை அல்லது அதிகபட்ச நியாயமற்ற நிலையைக் குறைக்கலாம். ஒவ்வொரு உகப்பாக்கம் அளவுகோலும் வேறுபட்ட விதிக்கு வழிவகுக்கிறது. ஒதுக்கீட்டிற்குள் இருப்பது முகவரின் சரியான ஒதுக்கீடு. ஒரு பகிர்வு முறையின் ஒரு அடிப்படை தேவை என்னவென்றால், அது ஒரு முழு எண்ணாக இருந்தால் ஒவ்வொரு முகவருக்கும் அதன் ஒதுக்கீட்டை ஒதுக்க வேண்டும்; இல்லையெனில், அது சரியான ஒதுக்கீட்டிற்கு அருகிலுள்ள ஒரு முழு எண்ணை ஒதுக்க வேண்டும், அதாவது, அதன் குறைந்த ஒதுக்கீடு அல்லது அதன் மேல் ஒதுக்கீடு. ஒரு பகிர்வு முறை என்று நாம் கூறுகிறோம்-அனைவருக்கும் குறைந்த ஒதுக்கீட்டை திருப்திப்படுத்துகிறது (இது ஐ. எஃப். எஃப் ஐக் கொண்டுள்ளது). அனைவருக்கும் இருந்தால் மேல் ஒதுக்கீட்டை திருப்திப்படுத்துகிறது (இது ஐ. எஃப். எஃப் ஐ கொண்டுள்ளது). மேற்கூறிய இரண்டு நிபந்தனைகளும் இருந்தால் (இது ஐ. எஃப். எஃப் ஐக் கொண்டுள்ளது) இரண்டு ஒதுக்கீடுகளையும் திருப்திப்படுத்துகிறது. ஹாமில்டனின் மிகப்பெரிய-மீதமுள்ள முறை கட்டுமானத்தின் மூலம் குறைந்த ஒதுக்கீடு மற்றும் மேல் ஒதுக்கீடு இரண்டையும் திருப்திப்படுத்துகிறது. வகுப்பி முறைகளுக்கு இது பொருந்தாதுஃ 2 முகவர்கள் இருக்கும்போது அனைத்து வகுப்பி முறைகளும் இரு ஒதுக்கீடுகளையும் திருப்திப்படுத்துகின்றன; வெப்ஸ்டரின் முறை மட்டுமே 3 முகவர்களுக்கான இரு ஒதுக்கீடுகளையும் திருப்திப்படுத்தும் ஒரே வகுப்பி முறையாகும்; ஆடம்ஸின் முறை மட்டுமே எந்த எண்ணிக்கையிலான முகவர்களுக்கான மேல் ஒதுக்கீட்டை திருப்திப்படுத்தும் ஒரே வகுப்பி முறையாகும்; ஜெபர்சனின் முறை மட்டுமே எந்த எண்ணிக்கையிலான முகவர்களுக்கான குறைந்த ஒதுக்கீட்டை திருப்திப்படுத்தும் ஒரே வகுப்பி முறையாகும்; எந்த வகுப்பி முறையும் ஒரே நேரத்தில் ஒரு முகவருக்கான மேல் ஒதுக்கீட்டை மீறுவதில்லை மற்றும் மற்றொரு முகவருக்கான குறைந்த ஒதுக்கீட்டை மீறுகிறது. எனவே, எந்த வகுப்பி முறையும் எந்த எண்ணிக்கையிலான முகவர்களுக்கும் மேல் ஒதுக்கீடு மற்றும் குறைந்த ஒதுக்கீடு இரண்டையும் திருப்திப்படுத்தாது. ஜெபர்சன் மற்றும் ஆடம்ஸின் தனித்துவம் மிகப் பெரிய தரவரிசை-குறியீட்டு முறைகளில் கூட உள்ளது. இது வகுத்தல் முறைகளின் ஒரு குறைபாடாகக் கருதப்படலாம், ஆனால் இது ஒதுக்கீட்டு அளவுகோலின் ஒரு குறைபாடாகவும் கருதப்படலாம்ஃ "எடுத்துக்காட்டாக, அட்டவணை 10.1 இல் 25 இடங்களுக்கு பதிலாக டி 26 ஐ வழங்குவது என்பது சிறிய மாநிலங்களில் ஒன்றிலிருந்து ஒரு இருக்கையை எடுத்துக்கொள்வதைக் குறிக்கும் ஏ, பி அல்லது சி. அத்தகைய பரிமாற்றம் சிறிய மாநிலத்தின் தனிநபர் பிரதிநிதித்துவத்தை மிகவும் தண்டிக்கும்-முழுமையான மற்றும் தொடர்புடைய சொற்களில்-மாநில டி அதன் குறைந்த ஒதுக்கீட்டை விட ஒன்றைக் குறைப்பதன் மூலம் அபராதம் விதிக்கப்படுகிறது. இதே போன்ற உதாரணங்கள் கண்டுபிடிக்கப்படலாம், இதில் சில மாநிலங்கள் அதன் உயர் ஒதுக்கீட்டை விட அதிகமாக நியாயமான முறையில் பெறலாம். ஒதுக்கீட்டிற்குள் இருப்பது உண்மையில் விகிதாசாரத்தின் யோசனையுடன் பொருந்தாது என்று வாதிடலாம், ஏனெனில் இது பெரிய மாநிலங்களை விட சிறிய மாநிலங்களின் தனிநபர் பிரதிநிதித்துவத்தில் மிகப் பெரிய மாறுபாட்டை அனுமதிக்கிறது. மான்டே-கார்லோ உருவகப்படுத்துதல்களில், வெப்ஸ்டரின் முறை இரண்டு ஒதுக்கீடுகளையும் மிக அதிக நிகழ்தகவுடன் திருப்திப்படுத்துகிறது. மேலும், வெஸ்ப்டரின் முறை மட்டுமே ஒதுக்கீட்டிற்கு அருகில் திருப்திப்படுத்தும் ஒரே பிரிவு முறையாகும்ஃ ஒரு இருக்கையை நகர்த்துவது இருவரையும் தங்கள் ஒதுக்கீட்டிற்கு நெருக்கமாகக் கொண்டுவருவதற்கு எந்த முகவர்களும் இல்லைஃ. ஜெஃபர்சனின் முறை இரு ஒதுக்கீடுகளையும் பூர்த்தி செய்ய மாற்றியமைக்கப்படலாம், இது ஒதுக்கீடு-ஜெஃபர்சன் முறையை வழங்குகிறது. மேலும், இரண்டு ஒதுக்கீடுகளையும் பூர்த்தி செய்ய எந்த வகுத்தி முறையையும் மாற்றியமைக்கலாம். இது ஒதுக்கீடு-வெப்ஸ்டர் முறை, ஒதுக்கீடு-மலை முறை போன்றவற்றை வழங்குகிறது. இந்த முறைகளின் குடும்பம் பெரும்பாலும் குவாடோன் முறைகள் என்று அழைக்கப்படுகிறது, ஏனெனில் அவை ஒதுக்கீடுகள் மற்றும் ஹவுஸ்-மோனோடோனிசிட்டி ஆகிய இரண்டையும் பூர்த்தி செய்கின்றன. ஜோடி வாரியாக சமத்துவமின்மையைக் குறைத்தல் பகிர்வு முறைகளை மதிப்பிடுவதற்கான ஒரு வழி, அவை ஜோடி முகவர்களுக்கு இடையிலான சமத்துவமின்மையின் அளவைக் குறைக்கிறதா என்பதுதான். தெளிவாக, சமத்துவமின்மை வெவ்வேறு உரிமைகளை கணக்கில் எடுத்துக் கொள்ள வேண்டும்ஃ பின்னர் முகவர்கள் "சமமாக" நடத்தப்படுகிறார்கள் என்றால் (டபிள்யூ. ஆர். டி. அவர்களின் உரிமைகளுக்கு); இல்லையெனில், முகவர் விரும்பப்படுகிறார், பின்னர் முகவர் விரும்பப்படுகிறார். இருப்பினும், சமத்துவத்தை மறுசீரமைக்க 16 வழிகள் இருப்பதால், சமத்துவமின்மையை வரையறுக்க பல வழிகள் உள்ளன. . வெப்ஸ்டரின் முறை தனித்துவமான பகிர்வு முறையாகும், இதில் ஒவ்வொரு ஜோடி முகவர்களுக்கும், இந்த வேறுபாடு குறைக்கப்படுகிறது (அதாவது, ஒரு இருக்கையை நகர்த்துவது அல்லது நேர்மாறாக மாற்றுவது வித்தியாசத்தை சிறியதாக மாற்றாது). இது ஆடம்ஸின் முறைக்கு வழிவகுக்கிறது. க்காக. இது ஜெபர்சனின் முறைக்கு வழிவகுக்கிறது. . இது டீனின் முறைக்கு வழிவகுக்கிறது. . இது ஹன்டிங்டன்-ஹில் முறைக்கு வழிவகுக்கிறது. இந்த பகுப்பாய்வு 1920 களில் ஹன்டிங்டனால் செய்யப்பட்டது. சில சாத்தியக்கூறுகள் நிலையான தீர்வுக்கு வழிவகுக்காது. எடுத்துக்காட்டாக, சமத்துவமின்மையை நாம் வரையறுத்தால், எந்தவொரு ஒதுக்கீட்டிற்கும், ஒரு முகவரிடமிருந்து மற்றொரு முகவருக்கு ஒரு இருக்கையை நகர்த்துவது அவற்றின் ஜோடி வாரியான சமத்துவமின்மையைக் குறைக்கும் நிகழ்வுகள் உள்ளன. மக்கள் தொகை (737,534,329) மற்றும் 16 இடங்களைக் கொண்ட 3 மாநிலங்களுடன் ஒரு எடுத்துக்காட்டு உள்ளது. முகவர்கள் கூட்டாட்சி மாநிலங்களாக இருக்கும்போது, பெரிய மாநிலங்களுக்கும் சிறிய மாநிலங்களுக்கும் இடையிலான சார்புகளைத் தவிர்ப்பது மிகவும் முக்கியம். இந்த சார்பை முறையாக அளவிட பல வழிகள் உள்ளன. அனைத்து அளவீடுகளும் ஜெபர்சனின் முறை பெரிய நிலைகளுக்கு ஆதரவாக பக்கச்சார்பானது, ஆடம்ஸின் முறை சிறிய நிலைகளுக்கு ஆதரவாக பக்கச்சார்பானது மற்றும் வெப்ஸ்டரின் முறை குறைந்த பக்கச்சார்பான வகுத்தி முறை என்ற முடிவுக்கு வழிவகுக்கிறது. நிலைத்தன்மை பண்புகள் என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட பகிர்வை விட, ஒரு பகிர்வு முறையை வகைப்படுத்தும் பண்புகளாகும். ஒவ்வொரு நிலைத்தன்மை பண்பும் வெவ்வேறு உள்ளீடுகளில் ஒரு குறிப்பிட்ட முறையின் விளைவுகளை ஒப்பிடுகிறது. இது போன்ற பல பண்புகள் ஆய்வு செய்யப்பட்டுள்ளன. மாநில மக்கள்தொகை ஒற்றுமை என்பது, ஒரு முகவரின் உரிமை அதிகரித்தால், அதன் பகிர்வு குறையக்கூடாது என்பதாகும். முகவர்கள் கூட்டாட்சி மாநிலங்களாக இருக்கும் அமைப்பிலிருந்து இந்த பெயர் வருகிறது, அதன் உரிமைகள் அவர்களின் மக்கள்தொகையால் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன. இந்த சொத்தின் மீறல் மக்கள்தொகை முரண்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த சொத்தின் பல வகைகள் உள்ளன. ஒரு மாறுபாடு-ஜோடி வாரியாக PM-வகுத்தி முறைகளால் பிரத்தியேகமாக திருப்தி அளிக்கப்படுகிறது. அதாவது, ஒரு பிரிப்பு முறை ஒரு வகுத்தி முறையாக இருந்தால்-மற்றும்-மட்டும்-ஜோடி வாரியாக PM ஆகும். எப்போது மற்றும், எந்த பகுதியளவு பகிர்வு முறையும் ஜோடி வாரியாக திருப்திப்படுத்தாது-PM, குறைந்த ஒதுக்கீடு மற்றும் மேல் ஒதுக்கீடு. முந்தைய அறிக்கைகளுடன் இணைந்து, எந்த வகுத்தி முறையும் இரண்டு ஒதுக்கீடுகளையும் திருப்திப்படுத்தாது என்பதை இது குறிக்கிறது. ஹவுஸ் மோனோடோனிசிட்டி என்றால், மொத்த இருக்கைகளின் எண்ணிக்கை அதிகரிக்கும் போது, எந்த முகவரும் ஒரு இருக்கையை இழக்க மாட்டார்கள். இந்த சொத்தின் மீறல் அலபாமா முரண்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒவ்வொரு பத்து வருடங்களுக்கும் காங்கிரஸ் அளவு அதிகரித்தபோது, அமெரிக்காவின் ஆரம்ப நாட்களில் இது குறிப்பாக முக்கியமானதாகக் கருதப்பட்டது. வீடு-ஒற்றுமை ஜோடி வாரியாக-பிரதமரை விட பலவீனமாக உள்ளது. அனைத்து தரவரிசை-குறியீட்டு முறைகளும் (எனவே அனைத்து வகுப்பி முறைகளும்) ஹவுஸ்-மோனோடோன் ஆகும்-இது மறு செய்கை செயல்முறையிலிருந்து தெளிவாக பின்பற்றப்படுகிறது. வகுப்பி முறைகளைத் தவிர, மற்ற வீட்டு-மோனோடோன் முறைகளும் உள்ளன, அவற்றில் சில இரு ஒதுக்கீடுகளையும் பூர்த்தி செய்கின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, பாலின்ஸ்கி மற்றும் யங்கின் ஒதுக்கீடு முறை கட்டுமானத்தின் மூலம் வீட்டு-ஒற்றுமை மற்றும் மேல்-ஒதுக்கீட்டை திருப்திப்படுத்துகிறது, மேலும் இது குறைந்த ஒதுக்கீட்டையும் திருப்திப்படுத்துகிறது என்பதை நிரூபிக்க முடியும். இதை பொதுமைப்படுத்தலாம்ஃ ஒரு பொதுவான வழிமுறை உள்ளது, இது அனைத்து பகிர்வு முறைகளையும் வழங்குகிறது, அவை ஹவுஸ்-மோனோடோன் மற்றும் இரண்டு ஒதுக்கீடுகளையும் திருப்திப்படுத்துகின்றன. இருப்பினும், இந்த ஒதுக்கீடு அடிப்படையிலான முறைகள் அனைத்தும் (ஒதுக்கீடு-ஜெஃபர்சன், ஒதுக்கீடு-ஹில் போன்றவை) ஜோடி வாரியாக மீறலாம்-பிரதமர்ஃ ஒரு முகவர் மக்கள்தொகையில் ஆதாயம் பெறுகிறார், ஆனால் இடங்களை இழக்கிறார் என்பதற்கு எடுத்துக்காட்டுகள் உள்ளன. சீரான தன்மை (ஒத்திசைவு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) என்றால், நாம் முகவர்களின் சில துணைக்குழுக்களை எடுத்து, அவற்றின் ஒருங்கிணைந்த ஒதுக்கீட்டிற்கு அதே முறையைப் பயன்படுத்தினால், இதன் விளைவாக திசையன் இருக்கும். அனைத்து தரவரிசை-குறியீட்டு முறைகளும் (எனவே அனைத்து வகுத்தி முறைகளும்) ஒரே மாதிரியானவை, ஏனெனில் அவை முன்கூட்டியே தீர்மானிக்கப்பட்ட முறையில் முகவர்களுக்கு இடங்களை ஒதுக்குகின்றன-இதன் மூலம் தீர்மானிக்கப்படுகிறது, மேலும் இந்த வரிசை மற்ற முகவர்களின் இருப்பு அல்லது இல்லாததைப் பொறுத்தது அல்ல. மேலும், அநாமதேயமாகவும் சமநிலையாகவும் இருக்கும் ஒவ்வொரு சீரான முறையும் ஒரு தரவரிசை-குறியீட்டு முறையாக இருக்க வேண்டும். அநாமதேயமான, பலவீனமான-துல்லியமான மற்றும் ஒத்திசைவான (= குறிக்கிறது) ஒவ்வொரு சீரான முறையும் ஒரு வகுத்தி முறையாக இருக்க வேண்டும். மேலும், அனைத்து அநாமதேய முறைகளிலும்ஃ ஜெபர்சனின் முறை மட்டுமே குறைந்த ஒதுக்கீட்டை திருப்திப்படுத்தும் ஒரே சீரான முறையாகும்; ஆடம்ஸின் முறை மட்டுமே மேல் ஒதுக்கீட்டை திருப்திப்படுத்தும் ஒரே சீரான முறையாகும்; வெப்ஸ்டரின் முறை மட்டுமே ஒதுக்கீட்டை நெருங்கும் ஒரே சீரான முறையாகும்; எந்த சீரான முறையும் இரண்டு ஒதுக்கீடுகளையும் திருப்திப்படுத்தாது. குறிப்பாக, ஹாமில்டனின் முறையும் ஒதுக்கீடு முறையும் ஒரே மாதிரியானவை அல்ல. இருப்பினும், ஒதுக்கீடு முறை என்பது வீட்டு-ஒற்றுமை மற்றும் "ஒதுக்கீடு-நிலைத்தன்மை" ஆகியவற்றுடன் கூடுதலாக இரு ஒதுக்கீடுகளையும் திருப்திப்படுத்தும் தனித்துவமான முறையாகும், இது சீரான தன்மையின் பலவீனமான வடிவமாகும். கூட்டணிகளை ஊக்குவித்தல் முகவர்கள் அரசியல் கட்சிகளாக இருக்கும்போது, அவை பெரும்பாலும் பிளவுபடுகின்றன அல்லது ஒன்றிணைக்கப்படுகின்றன. இத்தகைய பிளவு/இணைத்தல் எவ்வாறு பகிர்வை பாதிக்கிறது என்பது அரசியல் துண்டுப்பிரசுரத்தை பாதிக்கும். ஒரு குறிப்பிட்ட பகிர்வு முறை இரண்டு முகவர்களுக்கு முறையே சில இடங்களைக் கொடுக்கிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம், பின்னர் இந்த இரண்டு முகவர்களும் ஒரு கூட்டணியை உருவாக்கி, முறை மீண்டும் செயல்படுத்தப்படுகிறது. கூட்டணி குறைந்தபட்சம் இடங்களைப் பெற்றால் ஒரு பகிர்வு முறை கூட்டணிகளை ஊக்குவிக்கிறது (வேறுவிதமாகக் கூறினால், அது பிளவு-ஆதாரம்-ஒரு கட்சி பிளவு மூலம் ஒரு இடத்தை பெற முடியாது). கூட்டணி பெரும்பாலான இடங்களைப் பெற்றால் ஒரு பகிர்வு முறை பிளவுகளை ஊக்குவிக்கிறது (வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், இது இணைப்பு-ஆதாரம்-இரண்டு கட்சிகள் இணைப்பதன் மூலம் ஒரு இடத்தை பெற முடியாது). வகுப்பி முறைகளில்ஃ ஜெபர்சனின் முறை கூட்டணிகளை ஊக்குவிக்கும் தனித்துவமான வகுப்பி முறையாகும்; ஆடம்ஸின் முறை என்பது பிளவுகளை ஊக்குவிக்கும் தனித்துவமான வகுப்பி முறையாகும். வெப்ஸ்டரின் முறை பிளவு-ஆதாரம் அல்லது இணைப்பு-ஆதாரம் அல்ல, ஆனால் அது "கூட்டணி நடுநிலை": வாக்குகள் தோராயமாக விநியோகிக்கப்படும்போது, ஒரு கூட்டணி ஒரு இடத்தை இழப்பதை விட ஒரு இடத்தை பெறுவதற்கு சமமாக வாய்ப்புள்ளது. இவை வெவ்வேறு முறைகள் என்பதால், எந்த வகுப்பி முறையும் ஒவ்வொரு கூட்டணிக்கும் துல்லியமான இடங்களை வழங்காது. மேலும், இந்த தனித்துவத்தை மிகப் பெரிய வகை தரவரிசை-குறியீட்டு முறைகளுக்கு விரிவுபடுத்தலாம். "கூட்டணி-ஸ்திரத்தன்மை" என்று அழைக்கப்படும் ஒரு பலவீனமான பண்பு என்னவென்றால், ஒவ்வொரு கூட்டணியும் இடங்களுக்கு இடையில் பெற வேண்டும், எனவே ஒரு கட்சி இணைத்தல்/பிரிப்பதன் மூலம் அதிகபட்சம் ஒரு இடத்தைப் பெற முடியும். ஹாமில்டன் முறை கூட்டணி ரீதியாக நிலையானது. வகுப்பி கொண்ட ஒரு வகுத்தி முறை கூட்டாக-நிலையான IFF ஆகும்; இது ஐந்து நிலையான வகுத்தி முறைகளுக்கும் பொருந்தும். மேலும், இரு ஒதுக்கீடுகளையும் திருப்திப்படுத்தும் ஒவ்வொரு முறையும் "கிட்டத்தட்ட கூட்டணி-நிலையானது"-இது ஒவ்வொரு கூட்டணிக்கும் இடங்களுக்கு இடையில் வழங்குகிறது. சுருக்க அட்டவணை மேலும் காண்க விகிதாசார பிரதிநிதித்துவம் பல பண்புக்கூறு விகிதாசார பிரதிநிதித்துவம். மக்கள்தொகை எண்ணிக்கையில் பிழைகள் இருக்கும்போது பகிர்வு. வெவ்வேறு உரிமைகளுடன் விகிதாசார கேக் வெட்டு நியாயமான பொருள் ஒதுக்கீடு குறிப்புகள் பகிர்வு (அரசியல்) கணிதக் கோட்பாடுகள் பகிர்வு முறை அளவுகோல்கள்