Fractional approval voting
பின்ன ஒப்புதல் வாக்களிப்பு என்பது ஒப்புதல் வாக்குகளைப் பயன்படுத்தும் ஒரு தேர்தல் முறையாகும் (ஒவ்வொரு வாக்காளரும் ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட வேட்பாளர் மாற்றுகளைத் தேர்ந்தெடுக்கிறார்கள்), இதில் முடிவு பின்னமாக இருக்கும்ஃ ஒவ்வொரு மாற்று j க்கும் 0 மற்றும் 1 க்கு இடையில் ஒரு பின்னம் pj உள்ளது, அதாவது pj இன் கூட்டுத்தொகை 1 ஆகும். இது ஒப்புதல் வாக்களிப்பின் பொதுமைப்படுத்தலாகக் காணலாம்ஃ பிந்தையதில், ஒரு வேட்பாளர் வெற்றி பெறுகிறார் (pj = 1) மற்றும் மற்ற வேட்பாளர்கள் இழக்கிறார்கள் (pj = 0). பின்னங்கள் pj அமைப்பைப் பொறுத்து பல்வேறு வழிகளில் விளக்கப்படலாம். எடுத்துக்காட்டுகள்ஃ நேரம் பகிர்வுஃ ஒவ்வொரு மாற்று ஜே நேரத்தின் ஒரு பின்னம் pj செயல்படுத்தப்படுகிறது (எ. கா. ஒவ்வொரு வேட்பாளரும் பதவியில் பதவிக்காலத்தின் ஒரு பகுதியளவு pj இல் பணியாற்றுகிறார்). வரவுசெலவுத் திட்டப் பகிர்வுஃ ஒவ்வொரு மாற்று வரவுசெலவுத் திட்டமும் மொத்த வரவுசெலவுத் திட்டத்தில் ஒரு பகுதியைப் பெறுகிறது. நிகழ்தகவுகள்ஃ பின்ன முடிவுகள் கணக்கிடப்பட்ட பிறகு, ஒரு வேட்பாளரைத் தேர்ந்தெடுப்பதற்கு ஒரு லாட்டரி உள்ளது, அங்கு ஒவ்வொரு வேட்பாளரும் நிகழ்தகவு pj உடன் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகிறார்கள். உரிமைகள்ஃ பகுதியளவு முடிவுகள் பகிர்வு விதிகளில் உரிமைகளாக (எடைகள் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன) அல்லது வெவ்வேறு உரிமைகளுடன் நியாயமான பிரிவின் வழிமுறைகளில் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. பின்ன ஒப்புதல் வாக்களிப்பு என்பது பின்ன சமூகத் தேர்வின் ஒரு சிறப்பு நிகழ்வாகும், இதில் அனைத்து வாக்காளர்களும் இருவேறு விருப்பங்களைக் கொண்டுள்ளனர். இது இலக்கியத்தில் பல்வேறு சொற்களின் கீழ் தோன்றுகிறதுஃ லாட்டரி, பகிர்வு, பகிர்வு, கலவை மற்றும் விநியோகம். முறையான வரையறைகள் வேட்பாளர்களின் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்பு சி உள்ளது (மேலும் அழைக்கப்படுகிறதுஃ முடிவுகள் அல்லது மாற்று), மற்றும் n வாக்காளர்களின் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்பு என் (மேலும் அழைக்கப்படுகிறதுஃ முகவர்கள்). ஒவ்வொரு வாக்காளரும் சி இன் துணைக்குழுவைக் குறிப்பிடுகிறார்கள், இது வாக்காளர் அங்கீகரிக்கும் வேட்பாளர்களின் தொகுப்பைக் குறிக்கிறது. ஒரு பின்ன ஒப்புதல் வாக்களிப்பு விதி AI தொகுப்புகளின் தொகுப்பை உள்ளீடாக எடுத்து, வெளியீடாக ஒரு கலவையை (விநியோகம் அல்லது லாட்டரி என்றும் அழைக்கப்படுகிறது)-[0,1] இல் உள்ள உண்மையான எண்களின் ஒரு திசையன் p, ஒவ்வொரு வேட்பாளருக்கும் ஒரு எண், அதாவது எண்களின் கூட்டுத்தொகை 1 ஆகும். ஒவ்வொரு முகவரும் தனது ஒப்புதல் தொகுப்பான AI இல் ஒவ்வொரு வேட்பாளரிடமிருந்தும் 1 பயன்பாட்டையும், AI இல் இல்லாத ஒவ்வொரு வேட்பாளரிடமிருந்தும் 0 பயன்பாட்டையும் பெறுகிறார்கள் என்று கருதப்படுகிறது. எனவே, முகவர் i ஒவ்வொரு கலவையிலிருந்தும் பெறுகிறார், p இன் பயன்பாடு. எடுத்துக்காட்டாக, கலவை p ஒரு பட்ஜெட் விநியோகமாக விளக்கப்பட்டால், i இன் பயன்பாடு அவர் விரும்பும் விளைவுகளுக்கு ஒதுக்கப்பட்ட மொத்த பட்ஜெட் ஆகும். விரும்பிய பண்புகள் அடிப்படை பண்புகள் பொதுவாக வாக்களிப்பு விதிகளின் இரண்டு அடிப்படை பண்புகள் மற்றும் குறிப்பாக பகுதியளவு-ஒப்புதல்-வாக்களிப்பு விதிகள் பின்வருமாறுஃ அநாமதேய-வாக்காளர்களின் பெயர்கள் ஒரு பொருட்டல்ல; நடுநிலை-வேட்பாளர்களின் பெயர்கள் ஒரு பொருட்டல்ல; செயல்திறன் பண்புகள் பாரேட்டோ-செயல்திறன் (பிஇ) என்றால் எந்த கலவையும் ஒரு முகவருக்கு அதிக பயன்பாட்டை வழங்காது மற்றும் குறைந்தபட்சம் மற்ற அனைவருக்கும் அதிக பயன்பாட்டை அளிக்காது. எக்ஸ்-போஸ்ட் PE என்பது ஒரு பலவீனமான சொத்தாகும், இது ஒரு கலவையை லாட்டரியாக விளக்குவதற்கு மட்டுமே பொருத்தமானது. இதன் பொருள் என்னவென்றால், லாட்டரிக்குப் பிறகு, எந்த முடிவும் ஒரு முகவருக்கு அதிக பயன்பாட்டையும், குறைந்தபட்சம் மற்ற அனைவருக்கும் அதிக பயன்பாட்டையும் அளிக்காது (வேறுவிதமாகக் கூறினால், இது PE விளைவுகளின் கலவையாகும்). எடுத்துக்காட்டாக, 5 வேட்பாளர்கள் (a, b, c, d, e) மற்றும் ஒப்புதல் தொகுப்புகளுடன் 6 வாக்காளர்கள் (ac, ad, ae, bc, bd, be) உள்ளனர் என்று வைத்துக்கொள்வோம். எந்தவொரு வேட்பாளரையும் தேர்ந்தெடுப்பது பிஇ ஆகும், எனவே ஒவ்வொரு லாட்டரியும் எக்ஸ்-போஸ்ட் பிஇ ஆகும். ஆனால் சி, டி, இ ஆகியவற்றை மூன்றில் ஒரு பங்கு நிகழ்தகவுடன் தேர்ந்தெடுக்கும் லாட்டரி பிஇ அல்ல, ஏனெனில் இது ஒவ்வொரு வாக்காளருக்கும் மூன்றில் ஒரு பங்கு எதிர்பார்க்கப்படும் பயன்பாட்டை வழங்குகிறது, அதே நேரத்தில் மூன்றில் ஒரு பங்கு நிகழ்தகவுடன் ஏ, பி தேர்ந்தெடுக்கும் லாட்டரி ஒவ்வொரு வாக்காளருக்கும் மூன்றில் ஒரு பங்கு எதிர்பார்க்கப்படும் பயன்பாட்டை வழங்குகிறது. PE எப்போதும் முன்னாள்-பிந்தைய PE ஐக் குறிக்கிறது. பின்வரும் சந்தர்ப்பங்களிலும் இதற்கு நேர்மாறாக உள்ளதுஃ அதிகபட்சம் 4 வாக்காளர்கள் அல்லது அதிகபட்சம் 3 வேட்பாளர்கள் இருக்கும்போது. ஒவ்வொரு ஒப்புதல் தொகுப்பும் ஒரு இடைவெளி (ஒற்றை உச்சநிலை விருப்பங்களுக்கு ஒத்ததாக) இருக்கும் வகையில் வேட்பாளர்களை ஒரு வரிசையில் ஆர்டர் செய்ய முடியும். நியாயமான பண்புகள் நியாயமான தேவைகள் நியாயமான பங்கு (எஃப்எஸ்) கருத்தின் மாறுபாடுகளால் கைப்பற்றப்படுகின்றன. தனிநபர்-எஃப்எஸ் (நியாயமான நலன்புரி பகிர்வு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) என்பது ஒவ்வொரு வாக்காளரின் பயன்பாடு i குறைந்தபட்சம் 1/n ஆகும், அதாவது வரவுசெலவுத் திட்டத்தில் குறைந்தது 1/n என்பது i ஆல் அங்கீகரிக்கப்பட்ட வேட்பாளர்களுக்கு ஒதுக்கப்பட்டுள்ளது. தனிநபர்-வருகை-எஃப்எஸ் என்றால் ஒவ்வொரு வாக்காளரின் பயன்பாடும் i என்பது ஒரு லாட்டரியில் குறைந்தபட்சம் அவரது பயன்பாடாகும், இது ஒரு வேட்பாளரை தோராயமாக தேர்ந்தெடுக்கிறது, அதாவது குறைந்தபட்சம் k/|C |, இதில் k என்பது i ஆல் அங்கீகரிக்கப்பட்ட வேட்பாளர்களின் எண்ணிக்கை. தனிப்பட்ட-எஃப்எஸ் மற்றும் தனிநபர்-முடிவு-எஃப்எஸ் போதுமானதாக இல்லை, ஏனெனில் அவர்கள் வாக்காளர்களின் குழுக்களை புறக்கணிக்கிறார்கள். எடுத்துக்காட்டாக, 99 சதவீத வாக்காளர்கள் எக்ஸ்-க்கு ஒப்புதல் அளித்தாலும், 1 சதவீதம் பேர் ஒய்-க்கு ஒப்புதல் அளித்தாலும், இரண்டு சொத்துக்களும் பட்ஜெட்டில் மூன்றில் ஒரு பங்கை எக்ஸ்-க்கும், இரண்டில் ஒரு பங்கை ஒய்-க்கும் வழங்க அனுமதிக்கின்றன. இது ஒய் ஆதரவாளர்களின் குழுவிற்கு நியாயமற்றது என்று வாதிடலாம். ஒற்றை-வாக்கு-எஃப்எஸ் (விசுவாசமானவர் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) என்றால், ஒவ்வொரு வாக்காளரும் ஒரு வேட்பாளரை அங்கீகரித்தால், ஒவ்வொரு வேட்பாளருக்கும் ஒதுக்கப்பட்ட பின்னம் ஜே ஐ n ஆல் வகுக்கும் வாக்காளர்களின் எண்ணிக்கைக்கு சமம். ஒற்றை-வாக்கு-எஃப்எஸ் ஒரு அடிப்படை தேவையாகும், ஆனால் வாக்காளர்கள் இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட வேட்பாளர்களை அங்கீகரிக்கக்கூடிய வழக்கைப் பற்றி எதுவும் சொல்லாததால் இது போதுமானதாக இல்லை. ஒருமித்த-எஃப்எஸ் என்றால், ஒரே மாதிரியான விருப்பங்களைக் கொண்ட வாக்காளர்களின் ஒவ்வொரு செட் எஸ்-க்கும், எஸ்-இல் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பினரின் பயன்பாடும் குறைந்தபட்சம் |S |// என் ஆகும். ஒருமித்த-எஃப்எஸ் என்பது ஒற்றை-வாக்கு-எஃப்எஸ் என்பதைக் குறிக்கிறது, ஆனால் அது இன்னும் போதுமானதாக இல்லை, ஏனெனில் இது ஒப்புதல்-தொகுப்புகள் ஒன்றுடன் ஒன்று இருக்கும் முகவர்களின் குழுக்களைப் பற்றி எதுவும் சொல்லவில்லை. குரூப்-எஃப்எஸ் (கால்டு விகிதாசார பகிர்வு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) என்பது, ஒவ்வொரு வாக்காளர் தொகுப்பு எஸ்-க்கும், எஸ்-இன் குறைந்தபட்சம் ஒரு உறுப்பினரால் அங்கீகரிக்கப்பட்ட வேட்பாளர்களுக்கு ஒதுக்கப்பட்ட மொத்த பட்ஜெட் குறைந்தபட்சம் |S |/என் ஆகும். குரூப்-எஃப்எஸ் என்பது ஒருமித்த-எஃப்எஸ், ஒற்றை-வாக்கு-எஃப்எஸ் மற்றும் தனிப்பட்ட-எஃப்எஸ் ஆகியவற்றைக் குறிக்கிறது. குரூப்-எஃப்எஸ் என்பது சிதைக்கக்கூடிய தன்மை என்று அழைக்கப்படும் ஒரு சொத்துக்கு சமம்ஃ 1/n தொகையின் n விநியோகங்களுக்கு விநியோகத்தை சிதைக்க முடியும், அதாவது முகவர் i க்கு பரிந்துரைக்கப்பட்ட விநியோகம் i ஆல் அங்கீகரிக்கப்பட்ட வேட்பாளர்களுக்கு மட்டுமே நேர்மறையாக இருக்கும். சராசரி-எஃப்எஸ் என்றால், குறைந்தபட்சம் ஒரு அங்கீகரிக்கப்பட்ட வேட்பாளரைக் கொண்ட ஒவ்வொரு வாக்காளர் தொகுப்பு S க்கும், S இல் உள்ள வாக்காளர்களின் சராசரி பயன்பாடு குறைந்தது |S |/n ஆகும். கோர்-எஃப்எஸ் என்றால், ஒவ்வொரு வாக்காளர் தொகுப்பு எஸ்-க்கும், அவர்களின் |S |/என் பட்ஜெட்டில் வேறு எந்த விநியோகமும் இல்லை, இது எஸ்-இன் அனைத்து உறுப்பினர்களுக்கும் அதிக பயன்பாட்டை வழங்குகிறது. கோர்-எஃப்எஸ் என்பது குரூப்-எஃப்எஸ் என்பதைக் குறிக்கிறது. மூலோபாய பண்புகள் வாக்களிப்பு விதிகளுக்காக மூலோபாயத்தன்மையின் (எஸ். பி.) பல மாறுபாடுகள் ஆய்வு செய்யப்பட்டுள்ளனஃ தனிநபர்-எஸ். பி என்றால், நேர்மையற்ற விருப்பங்களைப் புகாரளிக்கும் ஒரு தனிப்பட்ட வாக்காளர், அதிக பயன்பாட்டைப் பெற முடியாது. பலவீனமான குழு-எஸ். பி என்றால், ஒருங்கிணைப்பில் நேர்மையற்ற விருப்பங்களைப் புகாரளிக்கும் வாக்காளர்களின் குழு, அவர்கள் அனைவருக்கும் அதிக பயன்பாட்டைப் பெற முடியாது. குரூப்-எஸ். பி என்றால், ஒருங்கிணைப்பில் நேர்மையற்ற விருப்பங்களைப் புகாரளிக்கும் வாக்காளர்களின் குழு, அவர்களில் குறைந்தபட்சம் ஒன்றுக்கு அதிக பயன்பாட்டைப் பெற முடியாது, குறைந்தபட்சம் அவர்கள் அனைவருக்கும் அதிக பயன்பாட்டைப் பெற முடியாது. முன்னுரிமை-ஒற்றுமை என்பது, முன்பு ஒரு குறிப்பிட்ட வேட்பாளர் X ஐ ஆதரிக்காத ஒரு வாக்காளர், X ஐ ஆதரிக்கத் தொடங்கினால், மற்ற வேட்பாளர்களின் பங்குகள் அதிகரிக்காது. இது தனிப்பட்ட-எஸ். பி. யைக் குறிக்கிறது. எஸ். பி. யின் பலவீனமான மாறுபாடு விலக்கப்படக்கூடிய எஸ். பி. ஆகும். சில வேட்பாளர் மாற்றுகளைப் பயன்படுத்துவதில் இருந்து வாக்காளர்களை விலக்கக்கூடிய சூழ்நிலைகளில் இது பொருத்தமானது. எடுத்துக்காட்டாக, வேட்பாளர்கள் சந்திக்கும் நேரங்கள் என்றால், அவர்கள் அங்கீகரிக்காத நேரங்களில் வாக்காளர்களை கூட்டத்தில் பங்கேற்பதிலிருந்து விலக்க முடியும். இது கையாள்வதை கடினமாக்குகிறது, எனவே, தேவை பலவீனமாக உள்ளது. பங்கேற்பு சொத்துக்கள் விதிகள் வாக்காளர்களை வாக்களிக்கும் செயல்முறையில் பங்கேற்க ஊக்குவிக்க வேண்டும். பல பங்கேற்பு அளவுகோல்கள் ஆய்வு செய்யப்பட்டுள்ளனஃ பலவீனமான பங்கேற்புஃ ஒரு வாக்காளர் பங்கேற்கும்போது அவரது பயன்பாடு அவர் பங்கேற்காதபோது அவரது பயன்பாட்டை விட அதிகமாக இருக்கும் (இது நோ ஷோ முரண்பாட்டின் மறுப்பு). கடுமையான பங்கேற்புஃ ஒரு வாக்காளர் பங்கேற்கும்போது அவர் பங்கேற்காதபோது அவரது பயன்பாட்டை விட அவரது பயன்பாடு கண்டிப்பாக அதிகமாக இருக்கும். குறிப்பாக, ஒரு வாக்காளர் "குளோன்கள்"-ஒரே மாதிரியான விருப்பங்களைக் கொண்ட வாக்காளர்களைக் கொண்டிருந்தாலும் கூட பங்கேற்பதன் மூலம் ஆதாயம் பெறுகிறார். பங்கேற்பு வரவுசெலவுத் திட்ட அமைப்புகளில் ஒரு வலுவான சொத்து தேவைப்படுகிறது, இதில் விநியோகிக்க வேண்டிய வரவுசெலவுத் திட்டம் வாக்காளர்களால் தானாகவே நன்கொடையாக வழங்கப்படுகிறதுஃ ஒருங்கிணைந்த பங்கேற்புஃ ஒரு வாக்காளர் பொறிமுறையின் மூலம் நன்கொடை அளிக்கும்போது அவரது பயன்பாடு குறைந்தபட்சம் அவர் தானாக நன்கொடை அளிக்கும்போது அவரது பயன்பாட்டை விட அதிகமாக இருக்கும். பயன்பாட்டு விதி விதிகள் பயன்பாட்டு விதி பயன்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகையை அதிகரிப்பதை நோக்கமாகக் கொண்டுள்ளது, எனவே இது முழு வரவு செலவுத் திட்டத்தையும் அதிக எண்ணிக்கையிலான வாக்காளர்களால் அங்கீகரிக்கப்பட்ட வேட்பாளர்களிடையே விநியோகிக்கிறது. குறிப்பாக, அதிக எண்ணிக்கையிலான வாக்குகளைப் பெற்ற ஒரு வேட்பாளர் இருந்தால், இந்த வேட்பாளருக்கு 1 (அதாவது, அனைத்து வரவுசெலவுத் திட்டமும்) கிடைக்கும், மற்றவர்களுக்கு 0 கிடைக்கும், ஒற்றை வெற்றியாளர் ஒப்புதல் வாக்களிப்பில் உள்ளது போல. அதே அதிக எண்ணிக்கையிலான வாக்குகளைப் பெற்ற சில கே வேட்பாளர்கள் இருந்தால், பட்ஜெட் அவர்களிடையே சமமாக விநியோகிக்கப்படுகிறது, அத்தகைய ஒவ்வொரு வேட்பாளருக்கும் 1/கே மற்றும் மற்ற அனைவருக்கும் 0 வழங்கப்படுகிறது. பயன்பாட்டு விதி பல விரும்பத்தக்க பண்புகளைக் கொண்டுள்ளதுஃ இது அநாமதேயமானது, நடுநிலை, PE, தனிப்பட்ட-SP மற்றும் முன்னுரிமை-மோனோடோன் ஆகும். இதைக் கணக்கிடுவதும் எளிது. இருப்பினும், இது சிறுபான்மையினருக்கு நியாயமானது அல்ல-இது தனிப்பட்ட-எஃப்எஸ் (அதே போல் எஃப்எஸ் இன் அனைத்து வலுவான வகைகளையும்) மீறுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, 51 சதவீத வாக்காளர்கள் X க்கு ஒப்புதல் அளித்தாலும், 49 சதவீத வாக்காளர்கள் Y க்கு ஒப்புதல் அளித்தாலும், பயன்பாட்டு விதி அனைத்து வரவுசெலவுத் திட்டத்தையும் X க்கு வழங்குகிறது, Y க்கு வரவுசெலவுத் திட்டம் எதுவும் இல்லை, எனவே Y க்கு வாக்களிக்கும் 49 சதவீதம் பேர் 0 என்ற பயன்பாட்டைப் பெறுகிறார்கள். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், இது பெரும்பான்மையினரின் கொடுங்கோன்மையை அனுமதிக்கிறது. பயன்பாட்டு ஆட்சியும் பலவீனமான குழு-எஸ். பி அல்ல (எனவே குழு-எஸ். பி அல்ல). எடுத்துக்காட்டாக, 3 வேட்பாளர்கள் (a, b, c) மற்றும் 3 வாக்காளர்கள் உள்ளனர் என்று வைத்துக்கொள்வோம், அவர்கள் ஒவ்வொருவரும் ஒரு வேட்பாளரை அங்கீகரிக்கிறார்கள். அவர்கள் நேர்மையாக வாக்களித்தால், பயன்பாட்டு கலவை (1/3,1/3,1/3) எனவே ஒவ்வொரு முகவரின் பயன்பாடும் 1/3 ஆகும். ஒரு வாக்காளர் நேர்மையற்ற முறையில் வாக்களித்தால் (உதாரணமாக, முதல் நபர் a மற்றும் b இரண்டிற்கும் வாக்களிக்கிறார்), பின்னர் கலவையானது (0,1,0), இது நேர்மையற்ற வாக்காளருக்கு மோசமானது. இருப்பினும், இரண்டு வாக்காளர்கள் ஒன்றிணைந்து நேர்மையற்ற முறையில் வாக்களித்தால் (முதல் இரண்டு வாக்காளர்கள் முதல் இரண்டு முடிவுகளுக்கு வாக்களிக்கிறார்கள் என்று வைத்துக்கொள்வோம்), பின்னர் பயன்பாட்டு கலவையானது (1/2,1/2,0), இது நேர்மையற்ற வாக்காளர்கள் இருவருக்கும் சிறந்தது. நாஷ்-உகந்த விதி நாஷ்-உகந்த விதி பயன்பாடுகளின் மடக்கை கூட்டுத்தொகையை அதிகரிக்கிறது. இது அநாமதேயமாகவும் நடுநிலையாகவும் உள்ளது, மேலும் பின்வரும் கூடுதல் பண்புகளை திருப்திப்படுத்துகிறதுஃ PE; குழு-FS (சிதைக்கக்கூடிய தன்மை), சராசரி-FS, கோர்-FS; பூலிங் பங்கேற்பு (மற்றும் கடுமையான பங்கேற்பு); வேறு எந்த மூலோபாய ஆதாரமும் இல்லை (விலக்கப்படக்கூடிய-SP கூட தோல்வியடைகிறது); நாஷ்-உகந்த விதியை ஒரு குவிந்த நிரலைத் தீர்ப்பதன் மூலம் கணக்கிட முடியும். நியாயமான பயன்பாட்டு என்று அழைக்கப்படும் மற்றொரு விதி உள்ளது, இது ஒத்த பண்புகளை (PE மற்றும் குழு-FS) திருப்திப்படுத்துகிறது, ஆனால் கணக்கிட எளிதானது. சமத்துவ ஆட்சி சமத்துவ (லெக்ஸிமின்) விதி மிகச்சிறிய பயன்பாட்டை அதிகரிக்கிறது, பின்னர் அடுத்தது-மிகச்சிறியது போன்றவை. இது அநாமதேயமாகவும் நடுநிலையாகவும் உள்ளது, மேலும் பின்வரும் கூடுதல் பண்புகளை திருப்திப்படுத்துகிறதுஃ PE; தனிநபர்-FS, ஆனால் ஒருமித்த-FS அல்ல; விலக்கப்பட்ட-தனிநபர்-SP, ஆனால் தனிநபர்-SP அல்ல; பலவீனமான-பங்கேற்பு, ஆனால் கடுமையான-பங்கேற்பு அல்ல ("குளோன்கள்"-ஒரே மாதிரியான விருப்பங்களைக் கொண்ட வாக்காளர்கள்-ஒற்றை வாக்காளராகக் கருதப்படுவதால்). பிற நலன்புரி விதிகள் எந்தவொரு சலிப்பான செயல்பாடு f க்கும், ஒருவர் f (ui) இன் கூட்டுத்தொகையை அதிகரிக்கலாம். பயன்பாட்டு விதி என்பது ஒரு சிறப்பு வழக்கு, இதில் f (x) = x, மற்றும் நாஷ் விதி ஒரு சிறப்பு வழக்கு, இதில் f (x) = log (x). ஒவ்வொரு f-அதிகபட்சப்படுத்தும் விதியும் PE ஆகும், மேலும் பின்வரும் கூடுதல் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளதுஃ f என்பது பதிவின் ஏதேனும் குழிவான செயல்பாடாக இருந்தால், அது தனிப்பட்ட-FS க்கு உத்தரவாதம் அளிக்கிறது. f என்பது பதிவுச் செயல்பாடாக இருந்தால், அது குழு-FS மற்றும் ஒருமித்த-FS க்கு உத்தரவாதம் அளிக்கிறது (இது நாஷ்-உகந்த விதிக்கு ஒத்திருக்கிறது). f ஒரு நேரியல் செயல்பாடாக இருந்தால், அது தனிப்பட்ட-எஸ். பி. (இது பயன்பாட்டு விதிக்கு ஒத்திருக்கிறது). அது பயன்பாட்டு அல்லது சமத்துவ ஆட்சியாக இருந்தால் மட்டுமே, அது விலக்கப்படக்கூடிய-எஸ். பி. யை திருப்திப்படுத்துகிறது; அது பயன்பாட்டு அல்லது சமத்துவ ஆட்சி இல்லையென்றால் மட்டுமே, அது கடுமையான பங்கேற்பை திருப்திப்படுத்துகிறது. முன்னுரிமை விதிகள் ஒரு முன்னுரிமை விதி (தொடர் சர்வாதிகாரம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) வாக்காளர்களின் வரிசைமாற்றத்தால் அளவிடப்படுகிறது, இது முன்னுரிமை வரிசையைக் குறிக்கிறது. இது மிக உயர்ந்த முன்னுரிமை முகவரின் பயன்பாட்டை அதிகரிக்கும் ஒரு முடிவைத் தேர்ந்தெடுக்கிறது; அதற்கு உட்பட்டு, இரண்டாவது மிக உயர்ந்த முன்னுரிமை முகவரின் பயன்பாட்டை அதிகரிக்கிறது; மற்றும் பல. ஒவ்வொரு முன்னுரிமை விதியும் நடுநிலை, பிஇ, பலவீனமான-குழு-எஸ்பி மற்றும் முன்னுரிமை-மோனோடோன் ஆகும். இருப்பினும், இது அநாமதேயமானது அல்ல மற்றும் எந்தவொரு நியாயமான கருத்தையும் திருப்திப்படுத்தாது. சீரற்ற முன்னுரிமை விதி வாக்காளர்களின் வரிசைமாற்றத்தை சீரற்ற முறையில் ஒரே மாதிரியாகத் தேர்ந்தெடுக்கிறது, பின்னர் அந்த வரிசைமாற்றத்திற்கான முன்னுரிமை விதியை செயல்படுத்துகிறது. இது அநாமதேயமானது, நடுநிலையானது மற்றும் பின்வரும் கூடுதல் பண்புகளை திருப்திப்படுத்துகிறதுஃ எக்ஸ்-போஸ்ட் PE, ஆனால் (எக்ஸ்-ஆன்டே) PE அல்ல. ஒற்றை-உச்ச முன்னுரிமைகளின் ஒப்புமையுடன் (வேட்பாளர்கள் ஒரு வரிசையில் வரிசைப்படுத்தப்படுகிறார்கள், ஒவ்வொரு வாக்காளரும் ஒரு இடைவெளியை அங்கீகரிக்கிறார்கள்), சீரற்ற-முன்னுரிமை PE ஆகும். பலவீனமான குழு-எஸ். பி. குழு-எஃப். எஸ். இந்த விதியின் ஒரு குறைபாடு என்னவென்றால், துல்லியமான நிகழ்தகவுகளைக் கண்டுபிடிப்பது கணக்கீட்டு ரீதியாக கடினம் (டிக்டேட்டர்ஷிப் mechanism#Computation ஐப் பார்க்கவும்). நிபந்தனைக்குட்பட்ட பயன்பாட்டு விதி நிபந்தனைக்குட்பட்ட பயன்பாட்டு விதியில், ஒவ்வொரு முகவரும் மொத்த வரவுசெலவுத் திட்டத்தில் 1/n பெறுகிறார்கள். ஒவ்வொரு முகவரும் தான் அங்கீகரிக்கும் வேட்பாளர்களில், அதிக எண்ணிக்கையிலான பிற முகவர்களால் ஆதரிக்கப்படுபவர்களைக் கண்டுபிடித்து, தனது வரவுசெலவுத் திட்டத்தை அவர்களிடையே சமமாகப் பிரிக்கிறார். இது அநாமதேயமாகவும் நடுநிலையாகவும் உள்ளது, மேலும் பின்வரும் கூடுதல் பண்புகளை திருப்திப்படுத்துகிறதுஃ தனிப்பட்ட-எஸ். பி., குரூப்-எஃப். எஸ்., எக்ஸ்-போஸ்ட் பி. இ. ஆனால் (எக்ஸ்-ஆன்டே) பி. இ. அல்ல. கோட்பாடு மற்றும் உருவகப்படுத்துதல்களில் சீரற்ற-முன்னுரிமையை விட இது மிகவும் திறமையானது. இது எப்போதும் குழு-எஃப்எஸ் விநியோகங்களின் துணைக்குழுவில் PE என்ற விநியோகத்தைக் காண்கிறது. பெரும்பான்மை ஆட்சி பெரும்பான்மை ஆட்சி ஒரு சில வேட்பாளர்களின் கைகளில் முடிந்தவரை அதிக அதிகாரத்தை மையப்படுத்துவதை நோக்கமாகக் கொண்டுள்ளது, அதே நேரத்தில் நியாயத்திற்கு உத்தரவாதம் அளிக்கிறது. இது சுற்றுகளில் தொடர்கிறது. ஆரம்பத்தில், அனைத்து வேட்பாளர்களும் வாக்காளர்களும் சுறுசுறுப்பாக உள்ளனர். ஒவ்வொரு சுற்றிலும், விதி ஒரு செயலில் உள்ள வேட்பாளரை சி தேர்ந்தெடுக்கிறது, அவர் செயலில் உள்ள வாக்காளர்களின் மிகப்பெரிய தொகுப்பான என். சி. யால் அங்கீகரிக்கப்படுகிறார். பின்னர், விதி இந்த வாக்காளர்களை என்சி முதல் சி வரை "ஒதுக்குகிறது", அதாவது, என்சியில் உள்ள வாக்காளர்கள் சி க்கு மட்டுமே வாக்களித்ததாக கருதுகிறது, மேலும் சி பின்னத்தை |Nc |/என் ஒதுக்குகிறது. பின்னர், வேட்பாளர் சி மற்றும் என். சி. யில் உள்ள வாக்காளர்கள் செயலற்றவர்களாக மாறுகிறார்கள், மேலும் விதி அடுத்த சுற்றுக்கு செல்கிறது. என். சி. யில் உள்ள வாக்காளர்கள் செயலற்றவர்களாக மாறுவதில்லை என்பதைத் தவிர, நிபந்தனை-பயன்பாட்டு விதி ஒத்திருக்கிறது என்பதை நினைவில் கொள்க. பெரும்பான்மை விதி அநாமதேயமானது, நடுநிலை, தனிநபர்-எஃப்எஸ் மற்றும் ஒற்றை-வாக்கு-எஃப்எஸ் உத்தரவாதம் அளிக்கிறது. சாத்தியமற்ற விளைவுகள் பண்புகளின் சில சேர்க்கைகளை ஒரே நேரத்தில் அடைய முடியாது. முன்னாள் பிந்தைய பி. இ மற்றும் குழு-எஸ். பி ஆகியவை பொருந்தாது (3 வாக்காளர்கள் மற்றும் 3 வேட்பாளர்களுக்கு). அநாமதேய, நடுநிலை, முன்னாள் பிந்தைய பிஇ மற்றும் பலவீனமான குழு-எஸ். பி ஆகியவை பொருந்தாது (4 வாக்காளர்கள் மற்றும் 6 வேட்பாளர்களுக்கு). இந்த பண்புகளில் ஒன்றை நாம் அகற்றினால், மீதமுள்ள மூன்றை அடைய முடியும். முன்னாள் பிந்தைய பிஇ, தனிநபர்-எஸ். பி மற்றும் தனிநபர்-முடிவு-எஃப்எஸ் ஆகியவை பொருந்தாது (3 வாக்காளர்கள் மற்றும் 3 வேட்பாளர்களுக்கு). இந்த பண்புகளில் ஒன்றை நாம் அகற்றினால், மீதமுள்ள இரண்டையும் அடைய முடியும். இருப்பினும், ஒவ்வொரு முகவருக்கும் அவரது நியாயமான-முடிவு-பங்கை விட ε மடங்கு மட்டுமே கொடுக்க அனுமதிப்பதன் மூலம் தனிப்பட்ட-முடிவு-FS ஐ நாம் பலவீனப்படுத்தினால், சில ε> 0 க்கு, சாத்தியமற்றது உள்ளது. அநாமதேய, நடுநிலை, பிஇ, தனிநபர்-எஸ். பி மற்றும் தனிநபர்-எஃப்எஸ் ஆகியவை பொருந்தாது (5 வாக்காளர்கள் மற்றும் 17 வேட்பாளர்களுக்கு). நாம் PE அல்லது தனிப்பட்ட-SP அல்லது தனிப்பட்ட-FS ஐ அகற்றினால், மீதமுள்ள நான்கு பண்புகளை அடைய முடியும். நாம் அநாமதேயத்தையும் நடுநிலைமையையும் அகற்றினால், சாத்தியமற்றது இன்னும் உள்ளது, ஆனால் நிரூபிக்க மிகவும் கடினமாக உள்ளது. இதற்கு மாறாக, ஒற்றை-சிகர விருப்பங்களின் அனலாக்கில் (வேட்பாளர்கள் ஒரு வரிசையில் வரிசைப்படுத்தப்படுகிறார்கள், ஒவ்வொரு வாக்காளரும் ஒரு இடைவெளியை அங்கீகரிக்கிறார்கள்), அனைத்து பண்புகளும் சீரற்ற-முன்னுரிமையால் அடையப்படுகின்றன. தனிநபர்-எஸ். பி. யை விலக்கக்கூடிய-எஸ். பி. யாக நாம் பலவீனப்படுத்தினால், சொத்துக்கள் சமத்துவ விதியால் திருப்தி அடைகின்றன. பிஇ மற்றும் விலக்கப்படக்கூடிய-எஸ். பி ஆகியவை கடுமையான-பங்கேற்பு மற்றும்/அல்லது ஒருமித்த-எஃப்எஸ் உடன் இணக்கமாக உள்ளதா என்பது திறந்திருக்கும். PE, முன்னுரிமை-ஒற்றுமை மற்றும் நேர்மறை-பகிர்வு (தனிப்பட்ட-FS ஐ விட பலவீனமான ஒரு சொத்து) பொருந்தாது (6 வாக்காளர்கள் மற்றும் 6 வேட்பாளர்களுக்கு). அநாமதேய, நடுநிலை, பிஇ, தனிநபர்-எஸ். பி மற்றும் குழு-எஃப்எஸ் ஆகியவை பொருந்தாது (5 வாக்காளர்கள் மற்றும் 4 வேட்பாளர்களுக்கு). நாம் PE அல்லது தனிப்பட்ட-SP அல்லது குழு-FS ஐ அகற்றினால், மீதமுள்ள நான்கு பண்புகளை அடைய முடியும். நாம் அநாமதேயத்தையும் நடுநிலைமையையும் அகற்றினால், சாத்தியமற்றது இன்னும் உள்ளது, ஆனால் நிரூபிக்க மிகவும் கடினமாக உள்ளது. அதிகபட்சம் 4 வாக்காளர்கள் அல்லது அதிகபட்சம் 3 வேட்பாளர்கள் இருக்கும்போது, சீரற்ற சர்வாதிகாரத்தின் ஒரு எளிய மாறுபாடு அனைத்து 5 பண்புகளையும் அடைகிறதுஃ ஒரு சர்வாதிகாரி சீரற்ற முறையில் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகிறார், மேலும் அவர் விரும்பும் மிகவும் பிரபலமான முடிவு தேர்ந்தெடுக்கப்படுகிறது. இந்த விதி அநாமதேயமானது, நடுநிலை, முன்னாள்-பதவி PE, தனிநபர்-SP, குழு-FS மற்றும் முன்னாள்-பதவி PE ஆகும்; ஆனால் அதிகபட்சம் 4 வாக்காளர்கள் அல்லது அதிகபட்சம் 3 வேட்பாளர்களுடன், முன்னாள்-பதவி PE என்பது PE ஐ குறிக்கிறது. பிஇ, தனிநபர்-எஸ். பி மற்றும் பாசிட்டிவ்-ஷேர் ஆகியவை பொருந்தாது (6 வாக்காளர்கள் மற்றும் 4 வேட்பாளர்களுக்கு). இது 386 வெவ்வேறு சுயவிவரங்களைப் பயன்படுத்தி ஒரு SAT தீர்க்கும் கருவியின் உதவியுடன் நிரூபிக்கப்பட்டது-இது சமூகத் தேர்வில் மிக நீண்ட சான்றாக இருக்கலாம். அநாமதேயமும் நடுநிலைமையும் கூடுதல் பண்புகளாக இருப்பதால், பொருந்தாத தன்மை ஏற்கனவே 5 வாக்காளர்கள் மற்றும் 4 வேட்பாளர்களுக்கு உள்ளது, மேலும் ஆதாரம் மிகவும் எளிமையானது. கீழே உள்ள அட்டவணையில், ஒவ்வொரு கலத்திலும் உள்ள எண் சொத்தின் "வலிமையை" குறிக்கிறதுஃ 0 என்றால் எதுவும் இல்லை (பண்பு திருப்தி அடையவில்லை); 1 என்பது சொத்தின் பலவீனமான மாறுபாட்டை ஒத்திருக்கிறது; 2 ஒரு வலுவான மாறுபாட்டை ஒத்திருக்கிறது; போன்றவை. நியாயப்படுத்தப்பட்ட பிரதிநிதித்துவத்தையும் பார்க்கவும்-நியாயமான பகிர்வுக்கு ஒத்த ஒரு சொத்து, ஆனால் தனித்துவமான விளைவுகளுக்கு. கட்சி-ஒப்புதல் வாக்களிப்பு-வேட்பாளர்கள் கட்சிகள், மேலும் ஒவ்வொரு கட்சிக்கும் ஒதுக்கப்பட்ட பின்னம் பாராளுமன்றத்தில் அது பெற வேண்டிய இடங்களின் பின்னத்திற்கு ஒத்திருக்கிறது. பங்கேற்பு வரவுசெலவுத் திட்ட வழிமுறைகள்-ஒரு வரவுசெலவுத் திட்டத்தை நியாயமாக விநியோகிப்பதற்கான பிற அணுகுமுறைகள். சில எழுத்தாளர்கள் பல்வேறு விநியோக விதிகளின் நியாயத்தின் விலையை ஆய்வு செய்தனர். விநியோக சிக்கல் மிகவும் சவாலான அமைப்பில் ஆய்வு செய்யப்பட்டுள்ளது, இதில் முகவர்கள் சேர்க்கை பயன்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளனர். குறிப்புகள் சமூக தேர்வு கோட்பாடு ஒப்புதல் வாக்களிப்பு