Filter (set theory)
கணிதத்தில், ஒரு தொகுப்பில் உள்ள வடிகட்டி என்பது பின்வரும் துணைக்குழுக்களின் குடும்பமாகும்ஃ மற்றும் என்றால் மற்றும், பின்னர் என்றால், மற்றும், பின்னர் ஒரு தொகுப்பில் உள்ள ஒரு வடிகட்டி "பெரிய துணைக்குழுக்களின் தொகுப்பை" குறிக்கிறது என்று கருதப்படலாம், ஒரு உள்ளுணர்வு எடுத்துக்காட்டு அண்டை வடிகட்டி ஆகும். வடிகட்டிகள் வரிசைக் கோட்பாடு, மாதிரிக் கோட்பாடு மற்றும் தொகுப்புக் கோட்பாடு ஆகியவற்றில் தோன்றும், ஆனால் அவை தோன்றிய இடவியலில் காணலாம். வடிகட்டியின் இரட்டைக் கருத்து ஒரு சிறந்த கருத்தாகும். 1937 ஆம் ஆண்டில் ஹென்றி கார்டனால் வடிகட்டிகள் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டன, மேலும் இடவியல் வடிப்பான்களுக்கு அர்ப்பணிக்கப்பட்ட கட்டுரையில் விவரிக்கப்பட்டுள்ளபடி, அவை பின்னர் நிக்கோலஸ் போர்பாகியால் தங்கள் புத்தகமான டோபோலாஜி ஜெனரல் இல் 1922 ஆம் ஆண்டில் ஈ. எச். மூர் மற்றும் ஹெர்மன் எல் ஸ்மித் ஆகியோரால் உருவாக்கப்பட்ட வலை தொடர்பான கருத்துக்கு மாற்றாக பயன்படுத்தப்பட்டன. வரிசை வடிப்பான்கள் என்பது தொகுப்புகளிலிருந்து தன்னிச்சையான ஓரளவு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட தொகுப்புகள் வரை வடிப்பான்களின் பொதுமைப்படுத்தல்கள் ஆகும். குறிப்பாக, ஒரு தொகுப்பில் உள்ள வடிகட்டி என்பது சிறப்பு வழக்கில் ஒரு சரியான வரிசை வடிகட்டியாகும், அங்கு ஓரளவு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட தொகுப்பு தொகுப்பு சேர்ப்பதன் மூலம் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட சக்தி தொகுப்பைக் கொண்டுள்ளது. முதற்கட்டங்கள், குறியீடு மற்றும் அடிப்படை கருத்துக்கள் இந்த கட்டுரையில், மேல் வழக்கு ரோமானிய எழுத்துக்கள் செட்களைக் குறிக்கின்றன (ஆனால் வேறுவிதமாகக் குறிப்பிடப்படாவிட்டால் குடும்பங்கள் அல்ல) மற்றும் ஒரு பவர் செட்டின் ஒரு துணைக்குழுவின் பவர் செட்டைக் குறிக்கும் (அல்லது வெறுமனே,) இது செட்களின் குடும்பங்களின் துணைக்குழுவாக இருந்தால் அப்பர் கேஸ் கையெழுத்து எழுத்துக்களால் குறிக்கப்படும், அதாவது இந்த அனுமானங்கள் தேவைப்படும் போதெல்லாம், அது காலியாக இல்லை மற்றும் அது போன்றவை என்று கருதப்பட வேண்டும். "முன் வடிகட்டி" மற்றும் "வடிகட்டி அடிப்படை" என்ற சொற்கள் ஒத்த சொற்கள் மற்றும் ஒன்றுக்கொன்று மாற்றாகப் பயன்படுத்தப்படும். போட்டி வரையறைகள் மற்றும் குறியீடு பற்றிய எச்சரிக்கை துரதிர்ஷ்டவசமாக வடிகட்டிகளின் கோட்பாட்டில் பல சொற்கள் உள்ளன, அவை வெவ்வேறு ஆசிரியர்களால் வித்தியாசமாக வரையறுக்கப்படுகின்றன. இவற்றில் "வடிகட்டி" போன்ற மிக முக்கியமான சில சொற்களும் அடங்கும். அதே வார்த்தையின் வெவ்வேறு வரையறைகள் பொதுவாக குறிப்பிடத்தக்க ஒன்றுடன் ஒன்று இருந்தாலும், வடிப்பான்களின் தொழில்நுட்ப தன்மை (மற்றும் புள்ளி-தொகுப்பு இடவியல்) காரணமாக, வரையறைகளில் உள்ள இந்த வேறுபாடுகள் பெரும்பாலும் முக்கியமான விளைவுகளை ஏற்படுத்துகின்றன. கணித இலக்கியங்களைப் படிக்கும்போது, வடிப்பான்கள் தொடர்பான சொற்கள் ஆசிரியரால் எவ்வாறு வரையறுக்கப்படுகின்றன என்பதை வாசகர்கள் சரிபார்க்க பரிந்துரைக்கப்படுகிறார்கள். இந்த காரணத்திற்காக, இந்த கட்டுரை அனைத்து வரையறைகளையும் அவை பயன்படுத்தப்படுவதை தெளிவாக குறிப்பிடும். துரதிர்ஷ்டவசமாக, வடிப்பான்கள் தொடர்பான அனைத்து குறியீடுகளும் நன்கு நிறுவப்படவில்லை மற்றும் சில குறியீடுகள் இலக்கியம் முழுவதும் பெரிதும் மாறுபடுகின்றன (எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு தொகுப்பில் உள்ள அனைத்து முன் வடிப்பான்களின் தொகுப்புக்கான குறியீடு) எனவே இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில் இந்த கட்டுரை எந்த குறியீட்டை மிகவும் சுயமாக விவரிக்கிறது அல்லது எளிதில் நினைவில் கொள்கிறது. வடிகட்டிகள் மற்றும் முன் வடிப்பான்களின் கோட்பாடு நன்கு வளர்ந்துள்ளது மற்றும் ஏராளமான வரையறைகள் மற்றும் குறியீடுகளைக் கொண்டுள்ளது, அவற்றில் பல இப்போது இந்த கட்டுரையை புரோளிக்ஸ் ஆக மாற்றுவதைத் தடுக்கவும், குறியீடு மற்றும் வரையறைகளை எளிதாக பார்க்கவும் அனுமதிக்கும் வகையில் பட்டியலிடப்பட்டுள்ளன. அவற்றின் முக்கிய பண்புகள் பின்னர் விவரிக்கப்பட்டுள்ளன. செட் செயல்பாடுகளை அமைக்கிறது செட் குடும்பத்தின் அல்லது இன் என்பது மற்றும் இதேபோல் இன் என்பது முழுவதும், ஒரு வரைபடம் மற்றும் ஒரு தொகுப்பாகும். நெட்கள் மற்றும் அவற்றின் வால்கள் A என்பது ஒரு முன்கூட்டிய வரிசையுடன் கூடிய ஒரு தொகுப்பாகும், இது (வெளிப்படையாக வேறுவிதமாகக் குறிப்பிடப்படாவிட்டால்) குறிக்கப்படும், இது ஒரு () ஆக மாறும்; இதன் பொருள் என்னவென்றால், அனைத்திற்கும் சில குறியீடுகள் உள்ளன, அதாவது எந்த குறியீடுகளுக்கும் குறியீடு என்பது வைத்திருப்பதைக் குறிக்கும் போது வரையறுக்கப்படுகிறது, ஆனால் அது உண்மை (சமச்சீரற்றதாக இருந்தால் இது சமம்). A என்பது காலியாக இல்லாத திசையில் உள்ள தொகுப்பிலிருந்து ஒரு வரைபடம் இந்த குறியீடு டொமைன் எச்சரிக்கையுடன் ஒரு வலையைக் குறிக்கப் பயன்படுத்தப்படும், இது ஒரு வலையாக இருந்தால், பின்னர் அழைக்கப்படும் தொகுப்பு காலியாக இருக்க முடியும் (எடுத்துக்காட்டாக, இது இயக்கப்பட்ட தொகுப்பின் மேல் வரம்பாக இருந்தால்). இந்த வழக்கில், குடும்பம் வெற்று தொகுப்பைக் கொண்டிருக்கும், இது ஒரு முன் வடிகட்டியாக இருப்பதைத் தடுக்கும் (பின்னர் வரையறுக்கப்படுகிறது). இந்த காரணத்திற்காகவே, பொதுவாக, ஒரு வலையின் வால்களின் முன் வடிகட்டியைக் கையாளும் போது, கடுமையான சமத்துவமின்மை சமத்துவமின்மை வடிகட்டிகள் மற்றும் முன் வடிகட்டிகளுடன் ஒன்றுக்கொன்று மாற்றாகப் பயன்படுத்தப்படாது. பின்வருபவை ஒரு தொகுப்புகளின் குடும்பம் கொண்டிருக்கக்கூடிய பண்புகளின் பட்டியலாகும், மேலும் அவை வடிப்பான்கள், முன் வடிகட்டிகள் மற்றும் வடிகட்டி துணைத் தளங்களின் வரையறுக்கும் பண்புகளை உருவாக்குகின்றன. அது தேவைப்படும் போதெல்லாம், "சரியானது" மற்றும் "கீழ்நோக்கி இயக்கப்பட்டது" போன்ற மேலேயும் கீழேயும் வரையறுக்கப்பட்ட பல பண்புகள், அத்தகைய சொற்களைப் பயன்படுத்தும் போது தொகுப்பைக் குறிப்பிடுவது விருப்பமானது என்பதைச் சார்ந்து இல்லை என்று கருத வேண்டும். "பில்டர் ஆன்" போன்ற "மேல்நோக்கி மூடப்பட்டிருக்கும்" வரையறைகள் சூழலிலிருந்து தெளிவாக இல்லாவிட்டால் செட்டைக் குறிப்பிட வேண்டும். முன்கூட்டிய வடிகட்டிகள் எதுவும் இல்லை (அல்லது மதிப்புமிக்க வலைகள் எதுவும் இல்லை), அதனால்தான் இந்த கட்டுரை, பெரும்பாலான ஆசிரியர்களைப் போலவே, இந்த அனுமானம் தேவைப்படும் போதெல்லாம் கருத்து தெரிவிக்காமல் தானாகவே கருதும். அடிப்படை எடுத்துக்காட்டுகள் பெயரிடப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள் சிங்கிள்டன் தொகுப்பு அல்லது இது தனித்துவமான வடிகட்டி என்று அழைக்கப்படுகிறது, ஏனெனில் இது ஒவ்வொரு வடிப்பானின் துணைக்குழுவாகும்; இருப்பினும், இது ஒவ்வொரு முன் வடிகட்டியின் துணைக்குழுவாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை இரட்டை இலட்சியம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது (உண்மையில் வடிகட்டியாக இல்லாவிட்டாலும்). இது ஒரு இடவியல் இடமாக இருந்தால், பின்னர் அருகிலுள்ள வடிகட்டி ஒரு வடிகட்டியாக இருந்தால், அது ஒரு வடிகட்டி அல்ல. வரையறையின்படி, ஒரு குடும்பம் a (ரெஸ்ப்) என்று அழைக்கப்படுகிறது. அ) முன் வடிப்பானாக இருந்தால் மட்டுமே (ரெஸ்ப். ஒரு வடிகட்டி துணைத் தளம்) மற்றும் அது உருவாக்கும் வடிகட்டி அண்டை வடிகட்டிக்கு சமம் திறந்த சுற்றுப்புறங்களின் துணைக்குடும்பம் இரு முன் வடிகட்டிகளுக்கும் ஒரு வடிகட்டி தளமாகும், மேலும் உருவாக்கப்படும் இடவியல் கரடுமுரடானதாக இருப்பதால் இடவியல் தளங்களுக்கு ஒரு தளத்தை உருவாக்குகிறது. இறுதியில் நிலையானதாக இல்லாத ஒரு வரிசையால் உருவாக்கப்படும் வால்களின் வடிகட்டி ஒரு அல்ட்ராஃபில்டராக இருக்க வேண்டும். எண்ணக்கூடிய தொகுப்பில் உள்ள ஒவ்வொரு முதன்மை வடிகட்டியும் எண்ணற்ற எண்ணற்ற தொகுப்பில் உள்ள ஒவ்வொரு கோஃபைனைட் வடிப்பானைப் போலவே வரிசைப்படுத்தப்படுகிறது. இறுதியாக பல தொடர்ச்சியான வடிப்பான்களின் குறுக்குவெட்டு மீண்டும் தொடர்ச்சியானது. எல்லையற்றதாக இருந்தால் (அல்லது அதற்கு சமமாக, எல்லையற்றதாக இருந்தால்) மட்டுமே அனைத்து கோஃபைனைட் துணைக்குழுக்களின் தொகுப்பும் சரியானது, இந்த விஷயத்தில் தி அல்லது தி ஆன் என்று அழைக்கப்படும் வடிகட்டியாக இருந்தால் மட்டுமே. எல்லையற்றதாக இருந்தால், சிங்கிள்டன் செட்டுகளின் முழுமைகளின் குடும்பம் ஒரு வடிகட்டி துணைத் தளமாகும், இது ஃப்ரெசெட் வடிப்பானை உருவாக்குகிறது ஃப்ரெசெட் வடிப்பானின் கர்னலைக் கொண்ட எந்தவொரு செட் குடும்பத்தையும் போலவே வெற்று தொகுப்பாகும்ஃ எந்தவொரு காலியாக இல்லாத குடும்பத்திலும் உள்ள அனைத்து உறுப்புகளின் குறுக்குவெட்டும் ஒரு வடிகட்டி என்று அழைக்கப்படுகிறது அல்லது அதனாலேயே அதை வேறு விதமாக சொல்லலாம், ஏனெனில் ஒவ்வொரு வடிப்பானும் ஒரு துணைக்குழுவாக இருப்பதால், இந்த குறுக்குவெட்டு ஒருபோதும் காலியாக இருக்காது. வரையறையின்படி, ஒவ்வொரு உறுப்பினரின் துணைக்குழுவிலும் உள்ள மிகச்சிறந்த/மிகப்பெரிய (தொடர்புடைய) வடிகட்டி, வடிகட்டிகள் என்றால் அவற்றின் முடிவற்றது வடிகட்டி ஆகும். இந்த இரட்டை இலட்சியம் என்பது-அமைப்பு உருவாக்கப்படும் இடமாகும், எந்தவொரு காலியாக இல்லாத தொகுப்புகளின் குடும்பத்தைப் போலவே, இது ஒரு வடிகட்டி துணைத் தளமாக இருந்தால் மட்டுமே வடிகட்டியில் உள்ளது, அல்லது அதற்கு சமமாக, ஒரு வடிகட்டியாக இருந்தால் மட்டுமே, இந்த குடும்பம் ஒரு துணைக்குழுவாக உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பையும் கொண்டிருப்பதில் மிகச்சிறிய (தொடர்புடைய) வடிப்பானாக இருந்தால், அது இருந்தால், வரையறையின்படி ஒரு துணைக்குழுவாக உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பையும் கொண்ட மிகச்சிறிய (தொடர்புடைய) வடிப்பானாக இருக்கும். அது இருந்தால் அவசியம் (மேலே வரையறுக்கப்பட்டுள்ளபடி) மற்றும் அனைத்து வடிப்பான்களின் குறுக்குவெட்டிற்கும் சமமாக இருக்கும் இந்த மேல்நிலை உள்ளது மற்றும் இரட்டை இலட்சியம் குறைந்தபட்ச மேல் வரம்பில் ஒரு வடிகட்டியாக இருந்தால் மட்டுமே. உண்மையில், குறைந்தது 2 தனித்துவமான கூறுகளைக் கொண்டிருந்தால், இரண்டையும் கொண்ட ஒரு வடிகட்டி இருக்கும் வடிப்பான்கள் உள்ளன. இது ஒரு வடிகட்டி துணைத் தளம் இல்லையென்றால், அதன் மேல்நிலை இல்லை மற்றும் அதன் மேல்நிலைக்கு இது பொருந்தும், ஆனால் அனைத்து இரட்டை இலட்சியங்களின் தொகுப்பிலும் அவற்றின் மேல்நிலை இருக்கும் (இது சீரழிந்த வடிகட்டி). முன் வடிப்பான்கள் இருந்தால் (ரெஸ்ப். வடிகட்டிகள்) பின்னர் ஒரு முன் வடிகட்டி (ரெஸ்ப். ஒரு வடிகட்டி) அது சிதைக்கப்படாததாக இருந்தால் மட்டுமே (அல்லது வேறுவிதமாகக் கூறப்பட்டால், மெஷ் இருந்தால் மட்டுமே), இந்த விஷயத்தில் அது கரடுமுரடான முன் வடிகட்டிகள் (ரெஸ்ப். கரடுமுரடான வடிகட்டி) ஆன் (ஐப் பொறுத்தவரை) இது இரண்டையும் விட சிறந்தது (ஐப் பொறுத்தவரை) இதன் பொருள் ஏதேனும் முன் வடிகட்டி இருந்தால் (ரெஸ்ப்). எந்தவொரு வடிப்பானும்) பின்னர் அது-காலியாக இல்லாத தொகுப்புகளாக இருக்கட்டும், ஒவ்வொருவருக்கும் இரட்டை இலட்சியமாக இருக்கட்டும். வழக்கமான கணக்கிட முடியாத கார்டினலின் கிளப் வடிகட்டி என்பது கிளப் துணைக்குழுவைக் கொண்ட அனைத்து தொகுப்புகளின் வடிகட்டியாகும் இது மூலைவிட்ட குறுக்குவெட்டின் கீழ் மூடப்பட்ட ஒரு முழுமையான வடிகட்டியாகும். மற்ற எடுத்துக்காட்டுகள் வரையறுக்கப்பட்ட குறுக்குவெட்டுகளின் கீழ் மூடப்படாத ஒரு முன் வடிகட்டி மற்றும் வடிகட்டி துணை தளத்தை உருவாக்குகிறது. ஏனெனில் இது ஒரு முன் வடிகட்டியாகும், இதில் உள்ள மிகச்சிறிய முன் வடிகட்டி-அமைப்பு உருவாக்கப்படுகிறது-அமைப்பு குறிப்பாக, வடிகட்டி துணை தளத்தைக் கொண்ட மிகச்சிறிய முன் வடிகட்டி அனைத்து வரையறுக்கப்பட்ட குறுக்குவெட்டுகளின் தொகுப்புக்கு சமம் இதில் உருவாக்கப்படும் வடிகட்டி மூன்று-அமைப்பும் உருவாக்குகிறது, மேலும் நிலையான, முதன்மை, அல்ட்ரா முன் வடிப்பான்களின் எடுத்துக்காட்டுகளாகும், அவை புள்ளியில் முதன்மையானவை, மேலும் ஒரு அல்ட்ராஃபில்டரிலும் உள்ளன. சிதைக்கப்படாத, வடிகட்டி துணைத் தளம், முன்கூட்டிய வடிகட்டி, வரையறுக்கப்பட்ட தொழிற்சங்கங்களின் கீழ் மூடப்பட்டிருக்கும்) எனவே இது பொருந்தும். இடைவெளி ஒரு பேயர் இடமாக இருந்தால், அடர்த்தியான திறந்த துணைக்குழுக்களின் அனைத்து எண்ணக்கூடிய குறுக்குவெட்டுகளின் தொகுப்பும் ஒரு-அமைப்பு மற்றும் ஒரு முன் வடிகட்டியாகும், இது (உடன்) இருந்தால், வரையறுக்கப்பட்ட லெபெஸ்கூ அளவீட்டைக் கொண்ட அனைத்தின் தொகுப்பும் ஒரு சரியான-அமைப்பு மற்றும் இலவச முன் வடிகட்டியாகும், இது முன் வடிகட்டிகளின் சரியான துணைக்குழுவாகும், மேலும் அவை சமமானவை, எனவே அதே வடிப்பானை உருவாக்குகின்றன. இந்த எடுத்துக்காட்டு ஒரு வடிகட்டி துணைத் தளங்களின் வழக்கத்திற்கு மாறான வகுப்பை விளக்குகிறது, அங்கு இரண்டிலும் உள்ள அனைத்து தொகுப்புகளையும் அதன் உருவாக்கப்பட்ட-அமைப்பை வடிவத்தின் தொகுப்புகளாக விவரிக்க முடியும், இதனால் குறிப்பாக, உருவாக்கப்பட்ட-அமைப்பை விவரிக்க இரண்டு மாறிகளுக்கு மேல் (குறிப்பாக,) தேவையில்லை. எல்லோருக்கும் எப்போதும் இருக்கட்டும், எனவே அனுமானத்தைச் சேர்ப்பதன் மூலம் எந்த பொதுவான தன்மையும் இழக்கப்படாது. பின்னர் ஒரு வடிகட்டி துணைத் தளம் ஆனால் ஒரு முன் வடிகட்டி அல்ல, எனவே அது உருவாக்கும்-அமைப்பு, எனவே அது கொண்டிருப்பதில் தனித்துவமான மிகச்சிறிய வடிகட்டியாகும் இருப்பினும், ஒரு வடிகட்டி (இது ஒரு முன் வடிகட்டி அல்ல, ஏனெனில் இது கீழ்நோக்கி இயக்கப்படவில்லை, இது ஒரு வடிகட்டி துணைத் தளம் என்றாலும்) மற்றும் வடிப்பானின் சரியான துணைக்குழுவாகும். அல்ட்ராஃபில்டர்களின் முக்கியமான பண்புகளும் அந்தக் கட்டுரையில் விவரிக்கப்பட்டுள்ளன. சிங்கிள்டன் தொகுப்பை ஒரு உறுப்பாகக் கொண்ட எந்தவொரு சிதைவடையாத குடும்பமும் அல்ட்ரா ஆகும், இந்த விஷயத்தில் அது ஒரு அல்ட்ரா ப்ரீஃபில்டராக இருக்கும், அது வரையறுக்கப்பட்ட குறுக்குவெட்டு பண்பையும் கொண்டிருந்தால் மட்டுமே. ஒரு சிங்கிள்டன் தொகுப்பாக இருந்தால் மட்டுமே அற்பமான வடிகட்டி அல்ட்ரா ஆகும். அல்ட்ராஃபில்டர் லெம்மா பின்வரும் முக்கியமான தேற்றம் ஆல்பிரட் டார்ஸ்கி (1930) காரணமாகும். அல்ட்ராஃபில்டர் லெம்மாவின் விளைவு என்னவென்றால், ஒவ்வொரு வடிப்பானும் அதைக் கொண்ட அனைத்து அல்ட்ராஃபில்டர்களின் குறுக்குவெட்டுக்கு சமமாக இருக்கும். ஜெர்மெலோ-ஃப்ரான்கெல் (ZF) இன் கோட்பாடுகளைக் கருதினால், அல்ட்ராஃபில்டர் லெம்மா விருப்பத்தின் கோட்பாட்டிலிருந்து (குறிப்பாக ஸோர்னின் லெம்மாவிலிருந்து) பின்பற்றுகிறது, ஆனால் அதை விட கண்டிப்பாக பலவீனமாக உள்ளது. அல்ட்ராஃபில்டர் லெம்மா என்பது வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்புகளுக்கான விருப்பத்தின் கோட்பாட்டைக் குறிக்கிறது. ஹவுஸ்டோர்ஃப் இடைவெளிகளைக் கையாண்டால், இடவியல் (சுருக்கமான ஹவுஸ்டோர்ஃப் இடைவெளிகளின் டைக்கோனோப்பின் தேற்றம் மற்றும் அலெக்சாண்டர் சப் பேஸ் தேற்றம் போன்றவை) மற்றும் செயல்பாட்டு பகுப்பாய்வில் (ஹான்-பானாக் தேற்றம் போன்றவை) பெரும்பாலான அடிப்படை முடிவுகளை அல்ட்ராஃபில்டர் லெம்மாவை மட்டுமே பயன்படுத்தி நிரூபிக்க முடியும்; விருப்பத்தின் கோட்பாட்டின் முழு வலிமையும் தேவையில்லை. முன்கூட்டிய வடிகட்டிகள் மற்றும் பிற தொகுப்புகளின் குடும்பங்களின் பண்புகளை வகைப்படுத்த கர்னல் பயனுள்ளதாக இருக்கும். அப்படியானால், கர்னல்களின் எந்தவொரு புள்ளிக்கும் பண்புகள் என்றால், இந்த தொகுப்பும்-அமைப்பின் கர்னலுக்கு சமமாக இருந்தால், குறிப்பாக, ஒரு வடிகட்டி துணை அடித்தளமாக இருந்தால், பின்வரும் அனைத்து தொகுப்புகளின் கர்னல்களும் சமமாக இருக்கும்ஃ (1) (2) உருவாக்கப்பட்ட-அமைப்பு மற்றும் (3) இஃப் ஒரு வரைபடத்தால் உருவாக்கப்பட்ட வடிகட்டி மற்றும் பின்னர் சமமானதாக இருந்தால், சமமான குடும்பங்கள் சமமான கர்னல்களைக் கொண்டுள்ளன. இரண்டு முதன்மைக் குடும்பங்கள் அவற்றின் கர்னல்கள் சமமாக இருந்தால் மட்டுமே சமமானவை; அதாவது, முதன்மையானவை என்றால், குடும்பங்களை அவற்றின் கர்னல்களால் வகைப்படுத்தினால் மட்டுமே அவை சமமானவை. குறிப்பாக, ஒரு வடிகட்டி துணைத் தளம் கணக்கிடக்கூடியதாக இருந்தால் (எடுத்துக்காட்டாக, பகா எண்கள்), வரையறுக்கப்பட்ட அளவின் தொகுப்பில் ஒரு சிறிய தொகுப்பு, அல்லது ஒரு வரம்புக்குட்பட்ட துணைக்குழு ஒரு சிங்கிள்டன் தொகுப்பாக இருந்தால், அது ஃப்ரெச்செட் வடிப்பானின் துணைத் தளமாகும். இந்த இரட்டை இலட்சியங்களில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று வடிகட்டியாக இருக்கும் இடத்தில் இரட்டை இலட்சியம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. முதன்மை என்றால், இல்லையெனில், மற்றும் ஒரு இலவச (சிதைக்கப்படாத) வடிகட்டி. ஃபைனைட் ப்ரீஃபில்டர்கள் மற்றும் ஃபைனைட் செட்டுகள் ஒரு வடிகட்டி சப் பேஸ் வரையறுக்கப்பட்டதாக இருந்தால் அது சரி செய்யப்படுகிறது (அதாவது, இலவசமாக இல்லை); ஏனென்றால் இது ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட குறுக்குவெட்டு மற்றும் வடிகட்டி சப் பேஸ் வரையறுக்கப்பட்ட குறுக்குவெட்டு பண்பைக் கொண்டுள்ளது. ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட முன் வடிகட்டி அவசியம் முதன்மையானது, இருப்பினும் அது வரையறுக்கப்பட்ட குறுக்குவெட்டுகளின் கீழ் மூடப்பட வேண்டியதில்லை. குறிப்பாக, ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்பில் இலவச வடிகட்டி துணைத் தளங்கள் இல்லை (எனவே இலவச முன் வடிகட்டிகள் இல்லை), அனைத்து முன் வடிகட்டிகளும் முதன்மையானவை, மேலும் அனைத்து வடிகட்டிகளும் அவற்றின் (காலியாக இல்லாத) கர்னல்களால் உருவாக்கப்படும் முதன்மை வடிப்பான்களாகும். அற்பமான வடிகட்டி எப்போதும் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட வடிகட்டியாக இருக்கும், மேலும் எல்லையற்றதாக இருந்தால் அது மட்டுமே வரையறுக்கப்பட்ட வடிகட்டியாகும், ஏனெனில் ஒரு தொகுப்பில் ஒரு அற்பமான வரையறுக்கப்படாத வடிகட்டி வரையறுக்கப்பட்டதாக இருந்தால் மட்டுமே சாத்தியமாகும். இருப்பினும், எந்த எல்லையற்ற தொகுப்பிலும் அற்பமான வடிகட்டி துணைத் தளங்கள் மற்றும் முன்கூட்டிய வடிகட்டிகள் உள்ளன, அவை வரையறுக்கப்பட்டவை (அவை வடிகட்டிகளாக இருக்க முடியாது என்றாலும்). ஒரு சிங்கிள்டன் தொகுப்பாக இருந்தால், அற்பமான வடிகட்டி மட்டுமே சரியான துணைக்குழுவாகும், மேலும், இந்த தொகுப்பு ஒரு முதன்மை அல்ட்ரா ப்ரீஃபில்டர் மற்றும் வரையறுக்கப்பட்ட குறுக்குவெட்டு பண்பு கொண்ட எந்த சூப்பர் செட்டும் (எங்கே) ஒரு முதன்மை அல்ட்ரா ப்ரீஃபில்டராக இருக்கும் (எல்லையற்றதாக இருந்தாலும் கூட). நிலையான அல்ட்ரா முன் வடிகட்டிகளை வகைப்படுத்துதல் செட்டுகளின் ஒரு குடும்பம் நிலையானதாக இருந்தால் (அதாவது,) அதன் சில உறுப்பு ஒரு சிங்கிள்டன் தொகுப்பாக இருந்தால் மட்டுமே அல்ட்ரா ஆகும், இந்த விஷயத்தில் அது ஒரு முன் வடிகட்டியாக இருக்க வேண்டும். ஒவ்வொரு முதன்மை முன் வடிகட்டியும் சரிசெய்யப்பட்டுள்ளது, எனவே ஒரு சிங்கிள்டன் தொகுப்பாக இருந்தால் மட்டுமே ஒரு முதன்மை முன் வடிகட்டி அல்ட்ரா ஆகும். ஒரு புள்ளியில் முதன்மையான ஒவ்வொரு வடிப்பானும் ஒரு அல்ட்ராஃபில்டர் ஆகும், மேலும் கூடுதலாக வரையறுக்கப்பட்டிருந்தால், இவற்றைத் தவிர வேறு எந்த அல்ட்ராஃபில்டர்களும் இல்லை. அடுத்த தேற்றம் ஒவ்வொரு அல்ட்ராஃபில்டரும் இரண்டு பிரிவுகளில் ஒன்றில் விழுகிறது என்பதைக் காட்டுகிறதுஃ ஒன்று அது இலவசம் அல்லது இல்லையெனில் அது ஒரு புள்ளியால் உருவாக்கப்படும் முதன்மை வடிகட்டி. ஃபைனர்/கோர்ஸ், அடிபணிதல் மற்றும் மெஷிங் கீழே வரையறுக்கப்பட்டுள்ள முன்கூட்டிய வரிசை இடவியலில் முன் வடிகட்டிகள் (மற்றும் வடிப்பான்கள்) பயன்படுத்துவதற்கு அடிப்படை முக்கியத்துவம் வாய்ந்தது. உதாரணமாக, இந்த முன்கூட்டிய வரிசைப்படுத்தல் "தொடர்ச்சிக்கு" சமமான முன் வடிகட்டியை வரையறுக்கப் பயன்படுகிறது, அங்கு "" என்பது ஒரு தொடர்ச்சியாகும் "என்று விளக்கப்படலாம் (எனவே" கீழ்ப்படிதல் "என்பது" தொடர்ச்சிக்கு "சமமான முன் வடிகட்டியாகும்). ஒரு இடவியல் இடத்தில் முன் வடிகட்டி ஒருங்கிணைப்பை வரையறுக்கவும் இது பயன்படுத்தப்படுகிறது. முன்கூட்டிய வரிசையுடன் நெருக்கமாக தொடர்புடைய மெஷ்களின் வரையறை கிளஸ்டர் புள்ளிகளை வரையறுக்க இடவியலில் பயன்படுத்தப்படுகிறது. செட்களின் இரண்டு குடும்பங்கள் மற்றும் அவை, மெஷ் செய்யாவிட்டால் அவை என்று எழுதுவதன் மூலம் குறிக்கப்படுகின்றன. மெஷ் என்றால், அல்லது அதற்கு சமமாக, அதில் குடும்பம் வெற்று தொகுப்பைக் கொண்டிருக்கவில்லை என்றால், அங்கு சுவடு எடுத்துக்காட்டு என்றும் அழைக்கப்படுகிறதுஃ அதன் தொடர்ச்சியானது சின்னங்களுக்குக் கீழ்ப்பட்டதுஃ மேலும் எளிய ஆங்கிலத்தில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது, ஒரு தொடர்ச்சியின் வால்களின் முன் வடிகட்டி எப்போதும் அசல் வரிசைக்கு கீழ்ப்பட்டிருக்கும். இதைப் பார்க்க, தன்னிச்சையாக இருக்கட்டும் (அல்லது அதற்கு சமமாக, தன்னிச்சையாக இருக்கட்டும்) மேலும் இந்த தொகுப்பில் சில உள்ளன என்பதைக் காட்ட இது உள்ளது. இதன் விளைவாக, இடது புறம் வலது புறத்தின் ஒரு துணைக்குழுவாக இருக்கும், (எடுத்துக்காட்டாக) ஒவ்வொரு புள்ளியும் தனித்துவமானது (அதாவது, ஊசி போடும் போது) மற்றும் சம குறியீட்டு தொடர்ச்சியாகும், ஏனெனில் இந்த நிபந்தனைகளின் கீழ், ஒவ்வொரு வால் (ஒவ்வொருவருக்கும்) தொடர்ச்சியின் வலது புற வடிப்பானுக்கு சொந்தமானது, ஆனால் இடது புற வடிப்பானுக்கு அல்ல. மற்றொரு எடுத்துக்காட்டுக்கு, ஏதேனும் குடும்பம் இருந்தால், எப்போதும் வைத்திருங்கள், மேலும், அவை திருப்திப்படுத்தும் தொகுப்புகளின் குடும்பங்கள் என்று வைத்துக்கொள்வோம். மேலும் பொதுவாக, இரண்டும் மற்றும் ஏதேனும் இரண்டு கூறுகளின் குறுக்குவெட்டு காலியாக இல்லாவிட்டால், மெஷ். ஒவ்வொரு வடிகட்டி துணை தளமும் அது உருவாக்கும்-அமைப்பு மற்றும் அது உருவாக்கும் வடிகட்டி ஆகிய இரண்டையும் விட கரடுமுரடானது. குடும்பம் மிகவும் தீவிரமானதாக இருந்தால், பின்னர் அது மிகவும் தீவிரமானதாக இருக்க வேண்டும். இது ஒரு அல்ட்ரா குடும்பத்திற்கு சமமான எந்தவொரு குடும்பமும் அல்ட்ரா ஆக இருக்க வேண்டும் என்பதைப் பின்பற்றுகிறது. குறிப்பாக, ஒரு முன் வடிப்பானாக இருந்தால், அது உருவாக்கும் வடிகட்டி இரண்டுமே அல்ட்ரா அல்லது அல்ட்ரா அல்ல. ஒரு வடிகட்டி சப் பேஸ் அல்ட்ரா என்றால், அது ஒரு முன் வடிகட்டியாக இருக்க வேண்டும், இந்த விஷயத்தில் அது உருவாக்கும் வடிப்பானும் அல்ட்ரா இருக்கும். முன்கூட்டிய வடிகட்டி இல்லாத வடிகட்டி துணைத் தளம் அல்ட்ரா ஆக இருக்க முடியாது, இருப்பினும் முன்கூட்டிய வடிகட்டி மற்றும் வடிகட்டி அல்ட்ரா ஆக இருக்க முடியும். மேல்நோக்கி மூடப்பட்டிருந்தால், கீழ்ப்படிதலின் உறவு பண்புகள் உறவு பிரதிபலிப்பு மற்றும் இடைநிலை, இது அதை ஒரு முன்கூட்டிய வரிசையில் ஆக்குகிறது உறவு சமச்சீரற்றது, ஆனால் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட புள்ளிகளைக் கொண்டிருந்தால் அது சமச்சீராக இருக்கும். : எனவே உறவு சமச்சீராக இருந்தால் மட்டுமே தொகுப்பு ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட புள்ளிகளைக் கொண்டுள்ளது. : ஆனால் எதிர் பொதுவாக பிடிக்கவில்லை என்றால், மேல்நோக்கி மூடப்பட்டிருந்தால் அது வைத்திருக்கும் (ஒரு வடிகட்டி என்றால்). இரண்டு வடிப்பான்கள் சமமாக இருந்தால் மட்டுமே அவை சமமாக இருக்கும், இது சமச்சீரற்ற தன்மையைக் கட்டுப்படுத்துகிறது. ஆனால் பொதுவாக, ஆன்டிசிமெட்ரிக் ஆன் அல்லது ஆன் ஆகும்; அதாவது, அவசியம் குறிக்கிறது; இரண்டும் முன் வடிகட்டிகளாக இருந்தாலும் கூட இல்லை. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு முன் வடிகட்டி ஆனால் ஒரு வடிகட்டி இல்லையென்றால், செட்டுகளின் சமமான குடும்பங்கள் பின்வரும் சமமான நிபந்தனைகளில் ஏதேனும் இருந்தால் அனைவருக்கும் எங்கு உள்ளது என்பதற்கான அதன் நியமன சமநிலை உறவை முன்கூட்டிய வரிசை தூண்டுகிறதுஃ இரண்டு மேல்நோக்கி மூடிய (இன்) துணைக்குழுக்கள் சமமாக இருந்தால் மட்டுமே அவை சமமாக இருக்கும். சமமான குடும்பங்களுக்கு இடையில் பாதுகாக்கப்பட்ட பண்புகளில் மேல்நோக்கி மூடப்பட்டிருக்கும் ஒரு தனித்துவமான பிரதிநிதியைக் (அதாவது, சமநிலை வகுப்பின் உறுப்பு) கொண்டிருப்பதைத் தவிர ஒவ்வொரு சமநிலை வகுப்பிற்கும் சமமாக இருந்தால், தன்னிச்சையாக இருக்கட்டும், எந்தவொரு தொகுப்புகளின் குடும்பமாகவும் இருக்கட்டும். சமமானவை என்றால் (இது அதைக் குறிக்கிறது), கீழே பட்டியலிடப்பட்டுள்ள ஒவ்வொரு அறிக்கைகள்/பண்புகளுக்கும், அது உண்மை அல்லது இல்லையெனில் அது தவறானதுஃ சரியானது காலியாக இல்லை (அதாவது, ஒரு உறுப்பு அல்ல) மேலும், ஏதேனும் இரண்டு சீரழிந்த குடும்பங்கள் அவசியம் சமமானவை. வடிகட்டி சப் பேஸ் முன் வடிகட்டி இந்த விஷயத்தில் அதே வடிப்பானை உருவாக்குகிறது (அதாவது, அவற்றின் மேல்நோக்கிய மூடல்கள் சமமாக இருக்கும்). இலவச முதன்மை அல்ட்ரா என்பது அற்பமான வடிப்பானுக்கு சமம், இதன் பொருள் என்னவென்றால், அதன் ஒரே துணைக்குழு அற்பமான வடிகட்டிக்கு சமம். பொதுவாக, சமத்துவத்தின் இந்த முடிவு-அற்பமான வடிகட்டிகளுக்கு நீட்டிக்கப்படுவதில்லை (இரண்டு குடும்பங்களும் வடிகட்டிகளாக இருக்கும்போது ஒரு விதிவிலக்கு). மேலே உள்ள பட்டியலில் இருந்து காணாமல் போனதற்கு சமமான மெஷ்கள் "வடிகட்டி" என்ற வார்த்தையாகும், ஏனெனில் இந்த பண்பு சமநிலையால் பாதுகாக்கப்படுகிறது. இருப்பினும், வடிகட்டிகள் இருந்தால், அவை சமமாக இருந்தால் மட்டுமே அவை சமமானவை; இந்த தன்மைப்படுத்தல் முன் வடிகட்டிகளுக்கு நீட்டிக்கப்படுகிறது. முன் வடிகட்டிகள் மற்றும் வடிகட்டி துணைத் தளங்களின் சமநிலை ஒரு முன் வடிகட்டியாக இருந்தால், பின்வரும் குடும்பங்கள் எப்போதும் ஒருவருக்கொருவர் சமமாக இருக்கும்ஃ உருவாக்கப்படும்-அமைப்பு; உருவாக்கப்படும் வடிகட்டி; மேலும், இந்த மூன்று குடும்பங்களும் ஒரே வடிகட்டியை உருவாக்குகின்றன (அதாவது, இந்த குடும்பங்களின் மேல்நோக்கிய மூடல்கள் சமமாக இருக்கும்). குறிப்பாக, ஒவ்வொரு முன் வடிப்பானும் அது உருவாக்கும் வடிப்பானுக்கு சமமானது. இரண்டு முன் வடிப்பான்கள் ஒரே வடிகட்டியை உருவாக்கினால் மட்டுமே அவை இடமாற்றத்தின் மூலம் சமமானவை. ஒவ்வொரு முன் வடிப்பானும் சரியாக ஒரு வடிப்பானுக்கு சமம், அதில் அது உருவாக்கும் வடிகட்டி (அதாவது, முன் வடிகட்டியின் மேல்நோக்கிய மூடல்). வேறுவிதமாகக் கூறினால், முன் வடிகட்டிகளின் ஒவ்வொரு சமநிலை வகுப்பிலும் சரியாக ஒரு பிரதிநிதி உள்ளது, அது ஒரு வடிகட்டி. இந்த வழியில், வடிப்பான்கள் முன் வடிகட்டிகளின் இந்த சமநிலை வகுப்புகளின் தனித்துவமான கூறுகளாக மட்டுமே கருதப்படலாம். ஒரு முன் வடிப்பானாக இருக்கும் வடிகட்டி துணைத் தளம் அது உருவாக்கும் முன் வடிகட்டிக்கு (அல்லது வடிகட்டிக்கு) சமமாக இருக்கலாம். இதற்கு மாறாக, ஒவ்வொரு முன் வடிப்பானும் அது உருவாக்கும் வடிப்பானுக்கு சமம். இதனால்தான் முன்கூட்டிய வடிகட்டிகள், பொதுவாக, அவை உருவாக்கும் வடிப்பான்களுடன் ஒன்றுக்கொன்று மாற்றாகப் பயன்படுத்தப்படலாம், அதே நேரத்தில் வடிகட்டி துணைத் தளங்கள் முடியாது. ஒவ்வொரு வடிப்பானும் ஒரு-அமைப்பு மற்றும் தொகுப்புகளின் வளையம் ஆகிய இரண்டும் ஆகும். சமநிலையை தீர்மானிப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்/சமநிலையற்ற எடுத்துக்காட்டுகள்ஃ முழு எண்களின் தொகுப்பாக (அல்லது தொகுப்பாக) இருக்கட்டும். செட்களை வரையறுக்கவும் மூன்று செட்களும் வடிகட்டி துணைத் தளங்கள், ஆனால் எந்த வடிகட்டிகளும் இல்லை மற்றும் முன் வடிகட்டி மட்டுமே (உண்மையில், இலவசமாகவும் வரையறுக்கப்பட்ட குறுக்குவெட்டுகளின் கீழ் மூடப்பட்டும் உள்ளது). இலவசமாக இருக்கும்போது செட் சரி செய்யப்படுகிறது (தவிர). அவை திருப்தி அளிக்கின்றன, ஆனால் இந்த இரண்டு குடும்பங்களும் சமமானவை அல்ல; மேலும், இந்த மூன்று வடிகட்டி துணைத் தளங்களால் உருவாக்கப்படும் இரண்டு வடிப்பான்கள் சமமானவை/சமமானவை அல்ல. அவை உருவாக்கும்-அமைப்புகள் சமமானவை அல்ல என்பதைக் காண்பிப்பதன் மூலம் இந்த முடிவை அடைய முடியும். - அமைப்பில் உள்ள ஒவ்வொரு தொகுப்பையும் போலல்லாமல், ஒரு துணைக்குழுவாக உள்ள உள்ளடக்கங்களால் உருவாக்கப்படுகிறது, இது அவற்றின் உருவாக்கப்பட்ட-அமைப்புகள் (எனவே அவற்றின் உருவாக்கப்பட்ட வடிப்பான்கள்) சமமாக இருப்பதை தடுக்கிறது. அதற்கு பதிலாக இருந்தால், மூன்று குடும்பங்களும் சுதந்திரமாக இருக்கும், செட்டுகள் ஒன்றுக்கொன்று சமமாக இருந்தாலும், அவற்றின் உருவாக்கப்பட்ட-அமைப்புகள் சமமாக இருக்கும், இதன் விளைவாக, அவை ஒரே வடிப்பானை உருவாக்கும்; இருப்பினும், இந்த பொதுவான வடிகட்டி செட் கோட்பாட்டு பண்புகள் மற்றும் கட்டுமானங்களால் உருவாக்கப்பட்ட வடிப்பானை விட கண்டிப்பாக கரடுமுரடானதாக இருக்கும். வடிகட்டி) பின்னர் குடும்பத்தின் சுவடு ஒரு முன் வடிகட்டி (ரெஸ்ப். ஒரு வடிகட்டி) என்றால் மற்றும் மெஷ் (அதாவது,) என்றால் மட்டுமே, இந்த விஷயத்தில் சுவடு என்று கூறப்படுகிறது. அல்ட்ரா மற்றும் மெஷ் என்றால் ட்ரேஸ் அல்ட்ரா ஆகும். எடுத்துக்காட்டாக, அது ஒரு வடிகட்டி என்று வைத்துக்கொள்வோம், பின்னர் மெஷ் மற்றும் அதன் மீது ஒரு வடிப்பானை உருவாக்குகிறது, இது முன் வடிகட்டிகள் மெஷ் கொடுக்கப்பட்ட காலியாக இல்லாத குடும்பங்களை திருப்திப்படுத்துவதை விட கண்டிப்பாக சிறந்தது மற்றும் சரியானது (ரெஸ்ப். ஒரு முன் வடிகட்டி, ஒரு வடிகட்டி சப் பேஸ்) பின்னர் இது இரண்டிற்கும் பொருந்தும் எந்தவொரு அர்த்தமுள்ள விலக்குகளையும் சரியானதாக இருக்க வேண்டும் (அதாவது, இது "மெஷ்" வரையறைக்கான உந்துதலாகும். இந்த வழக்கில், ஒரு முன் வடிகட்டி (ரெஸ்ப். வடிகட்டி சப் பேஸ்) இது இரண்டிற்கும் உண்மையாக இருந்தால் மட்டுமே சொல்லப்பட்டது வித்தியாசமாக இருந்தால், முன் வடிகட்டிகள் என்றால் அவை ஒரு முன் வடிகட்டியாக இருந்தால் மட்டுமே இணைக்கப்படுகின்றன. பொதுமைப்படுத்தல் முற்றிலும் அடிபணிதலின் அடிப்படையில் "மெஷ்" பற்றிய நன்கு அறியப்பட்ட குணாதிசயத்தை அளிக்கிறது (அதாவது,): இரண்டு முன் வடிகட்டிகள் (ரெஸ்ப். ஒரு முன் வடிகட்டி (ரெஸ்ப்) இருந்தால் மட்டுமே வடிகட்டி துணைத் தளங்கள்) கண்ணி. வடிகட்டி சப் பேஸ்) மற்றும் இரண்டு வடிப்பான்களின் குறைந்தபட்ச மேல் வரம்பு இருந்தால், இந்த குறைந்தபட்ச மேல் வரம்பு முழுவதும் செயல்பாடுகளின் கீழ் உள்ள படங்கள் மற்றும் முன் படங்களுக்கு சமம், காலியாக இல்லாத தொகுப்புகளுக்கு இடையிலான வரைபடங்களாக இருக்கும். முன் வடிகட்டிகளின் படங்கள் வரைபடங்களின் படங்களின் கீழ் பாதுகாக்கப்படலாம்; குறிப்பிடத்தக்க விதிவிலக்குகளில் மேல்நோக்கி மூடப்பட்டிருப்பது, வரையறுக்கப்பட்ட குறுக்குவெட்டுகளின் கீழ் மூடப்பட்டிருப்பது மற்றும் வடிகட்டியாக இருப்பது ஆகியவை அடங்கும், அவை பாதுகாக்கப்பட வேண்டிய அவசியமில்லை. வெளிப்படையாக, பின்வரும் பண்புகளில் ஒன்று உண்மையாக இருந்தால், அது கண்டிப்பாக உண்மையாக இருக்கும் (ஒருவேளை கோடமைனில் இல்லை என்றாலும் சர்ஜெக்டிவ் இல்லையென்றால்): வடிகட்டி பண்புகள்ஃ அல்ட்ரா, அல்ட்ராஃபில்டர், வடிகட்டி, முன் வடிகட்டி, வடிகட்டி சப் பேஸ், இரட்டை இலட்சியம், மேல்நோக்கி மூடப்பட்டது, சரியான/சிதைக்கப்படாதது. சிறந்த பண்புகள்ஃ சிறந்த, வரையறுக்கப்பட்ட தொழிற்சங்கங்களின் கீழ் மூடப்பட்டது, கீழ்நோக்கி மூடப்பட்டது, மேல்நோக்கி இயக்கப்பட்டது. ஒரு அல்ட்ரா செட்டின் வரைபடத்தின் கீழ் உள்ள படம் மீண்டும் அல்ட்ரா மற்றும் அல்ட்ரா ப்ரீஃபில்டராக இருந்தால், அதேபோல் ஒரு வடிகட்டி என்றால் வரம்பில் ஒரு வடிகட்டி, ஆனால் அது கோடமைனில் ஒரு வடிகட்டி என்றால் மற்றும் சர்ஜெக்டிவ் என்றால் மட்டுமே. இல்லையெனில் இது ஒரு முன் வடிகட்டி மட்டுமே மற்றும் ஒரு வடிப்பானைப் பெற அதன் மேல்நோக்கிய மூடல் எடுக்கப்பட வேண்டும். மேல்நோக்கிய மூடல் என்பது மேல்நோக்கி மூடப்பட்டால் (அதாவது, ஒரு வடிகட்டி) இது பின்வருமாறு எளிதாக்குகிறதுஃ பின்னர் சேர்க்கை வரைபடமாக எடுத்துக் கொண்டால் எந்தவொரு முன் வடிகட்டியும் (ரெஸ்ப்) இருப்பதைக் காட்டுகிறது. அல்ட்ரா ப்ரீஃபில்டர், பில்டர் சப் பேஸ்) ஒரு ப்ரீஃபில்டர் (ரெஸ்ப்) ஆகும். அல்ட்ரா ப்ரீஃபில்டர், ஃபில்டர் சப் பேஸ்) ப்ரீஃபில்டர்களின் முன் படங்களின் மீது அனுமானத்தின் கீழ் இது ஒரு முன் வடிகட்டி (ரெஸ்ப். வடிகட்டி சப் பேஸ்,-சிஸ்டம், வரையறுக்கப்பட்ட யூனியன்களின் கீழ் மூடப்பட்டது, சரியானது) இது உண்மையாக இருந்தால் மட்டுமே) இருப்பினும், ஒரு அல்ட்ராஃபில்டர் இயக்கத்தில் இருந்தால், சர்ஜெக்டிவ் (இது ஒரு முன் வடிகட்டியை உருவாக்கும்) என்றாலும், முன் வடிகட்டி அல்ட்ரா அல்லது வடிகட்டியாக இருக்க முடியாது (எடுத்துக்காட்டாக இந்த அடிக்குறிப்பைப் பார்க்கவும்). சர்ஜெக்டிவ் இல்லையென்றால், இந்த விஷயத்தில் குறிப்பிட்ட வழக்கில் சுவடு திருப்தி அடையும் இடத்தின் சுவடுகளைக் குறிக்கவும்ஃ இதன் விளைவாகஃ இந்த கடைசி சமத்துவமும், சுவடு ஒரு செட் குடும்பமாகும் என்ற உண்மையும் என்னவென்றால், சுவடுகளைப் பற்றிய முடிவுகளை எடுப்பதற்கு பயன்படுத்தப்படலாம் மற்றும் அதற்கு பதிலாக பயன்படுத்தப்படலாம் எடுத்துக்காட்டாகஃ ஒரு முன் வடிகட்டியாகும் (ரெஸ்ப். வடிகட்டி சப் பேஸ்,-சிஸ்டம், சரியானது) இது உண்மையாக இருந்தால் மட்டுமே இந்த வழியில், (அவசியம்) சர்ஜெக்டிவ் இல்லாத விஷயத்தில் ஒரு சர்ஜெக்டிவ் செயல்பாட்டின் விஷயத்தில் குறைக்கப்படலாம் (இது இந்த உட்பிரிவின் தொடக்கத்தில் விவரிக்கப்பட்ட ஒரு வழக்கு). ஒரு அல்ட்ராஃபில்டர் இயக்கப்பட்டிருந்தாலும், அது சர்ஜெக்டிவ் இல்லையென்றால், அது சீரழிவையும் ஏற்படுத்தும். அடுத்த வகைப்படுத்தல் சீரழிவு மட்டுமே தடையாக உள்ளது என்பதைக் காட்டுகிறது. ஒரு முன் வடிகட்டியாக இருந்தால், பின்வருபவை சமமானவைஃ ஒரு முன் வடிகட்டியாகும்; ஒரு முன் வடிகட்டியாகும்; மெஷ் மற்றும் மேலும், ஒரு முன் வடிகட்டியாக இருந்தால், அதேபோல் அடங்கும் வரைபடத்தைக் குறிக்கிறது என்றால், அதன் சுவடு சமமாக இருக்கும். பிஜெக்சன்கள், ஊசிகள் மற்றும் சர்ஜெக்சன்கள் வடிகட்டிகள் சம்பந்தப்பட்ட அனைத்து பண்புகளும் பிஜெக்சன்களின் கீழ் பாதுகாக்கப்படுகின்றன. இதன் பொருள் ஒரு பைஜெக்ஷன் என்றால், அது ஒரு ப்ரீஃபில்டர் (ரெஸ்ப்) ஆகும். அல்ட்ரா, அல்ட்ரா முன் வடிகட்டி, வடிகட்டி துணை தளத்தில் அல்ட்ராஃபில்டரில் வடிகட்டி,-சிஸ்டம், ஐடியல் ஆன் போன்றவை) அனைத்து முன் வடிகட்டிகளுக்கும் சமமாக இருந்தால் மட்டுமே ஒரு வரைபடம் உட்செலுத்தப்படும். ஒரு ஊசியின் கீழ் உள்ள செட்டுகளின் அல்ட்ரா குடும்பத்தின் படம் மீண்டும் அல்ட்ரா ஆகும். ஒரு முன் வடிகட்டி எப்போது வேண்டுமானாலும் இருந்தால் மட்டுமே வரைபடம் ஒரு சர்ஜெக்ஷன் ஆகும் (இந்த முடிவுக்கு அல்ட்ராஃபில்டர் லெம்மா தேவையில்லை). அடிபணிதல் படங்கள் மற்றும் முன் உருவங்களால் பாதுகாக்கப்படுகிறது உறவு செட் குடும்பங்களின் படங்கள் மற்றும் முன் உருவங்கள் ஆகிய இரண்டின் கீழ் பாதுகாக்கப்படுகிறது. இதன் பொருள் என்னவென்றால், குடும்பங்களைப் பொறுத்தவரை மேலும், பின்வரும் உறவுகள் எப்போதும் செட் குடும்பங்களுக்கு பொருந்தும்ஃ அங்கு சமத்துவம் மேலோட்டமாக இருந்தால் இருக்கும். மேலும், ஊசி போட்டால் சமத்துவம் எங்கே இருக்கும். முன் வடிகட்டிகளின் தயாரிப்புகள் ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட காலியாக இல்லாத தொகுப்புகளின் குடும்பம் என்று வைத்துக்கொள்வோம், அதன் தயாரிப்பு குறிக்கப்படும் மற்றும் ஒவ்வொரு குறியீட்டிற்கும் நியதி திட்டத்தைக் குறிக்கலாம். காலியாக இல்லாத குடும்பங்களாக இருக்கட்டும், மேலும் ஒவ்வொரு குடும்பங்களுக்கும் தயாரிப்பு இடவியலின் அடிப்படை திறந்த துணைக்குழுக்கள் எவ்வாறு வரையறுக்கப்படுகின்றன என்பதற்கு ஒரே மாதிரியாக வரையறுக்கப்படுகிறது (இவை அனைத்தும் இடவியங்களாக இருந்திருந்தால்). அதாவது, இரண்டு குறியீடுகளும் அனைத்து உருளை துணைக்குழுக்களின் குடும்பத்தையும் குறிக்கின்றன, அதாவது எல்லாருக்கும் ஆனால் இறுதியாக பல மற்றும் இவற்றில் ஏதேனும் ஒன்றுக்கு இறுதியாக பல விதிவிலக்குகள் உள்ளன (அதாவது, அத்தகைய எந்தவொரு கட்டாயத்திற்கும்). ஒவ்வொன்றும் ஒரு வடிகட்டி துணைத் தளமாக இருக்கும்போது, குடும்பம் ஒரு வடிகட்டி துணைத் தளத்தால் உருவாக்கப்படும் வடிகட்டிக்கான வடிகட்டி துணைத் தளமாகும். இருப்பினும், செட் கழித்தல் மற்றும் சில எடுத்துக்காட்டுகள் கர்னலின் ஒரு துணைக்குழுவைக் கழித்தல் ஒரு முன் வடிகட்டியாக இருந்தால் கூட, ஒரு வடிகட்டியாக இருக்கத் தவறிவிடலாம், பின்னர் ஒரு முன் வடிகட்டியாக இருந்தால், இந்த பிந்தைய தொகுப்பு ஒரு வடிகட்டியாக இருந்தால் மட்டுமே வடிகட்டியாக இருக்கும், குறிப்பாக, குறைந்தபட்சம் 2 புள்ளிகளைக் கொண்ட ஒரு இடவியல் இடத்தில் ஒரு புள்ளியில் ஒரு சுற்றுப்புற அடிப்படையாக இருந்தால், பின்னர் ஒரு முன் வடிகட்டியாக இருக்கும். இலட்சியங்களுக்கும் இரட்டை இலட்சியங்களுக்கும் இடையில் இரட்டைத்தன்மையைப் பயன்படுத்துவது ஒரு இரட்டை உறவு உள்ளது அல்லது இது ஒவ்வொன்றிற்கும் சில வெளிப்படையாக உள்ளது என்று வரையறுக்கப்படுகிறது, இதன் பொருள் என்னவென்றால், ஒவ்வொருவருக்கும், இது போன்ற சில உள்ளன. இந்த இரட்டைத்தன்மையைப் பயன்படுத்தும் ஒரு எடுத்துக்காட்டுக்கு, ஒரு வரைபடம் என்று வைத்துக்கொள்வோம் மற்றும் வெற்று தொகுப்பைக் கொண்டிருந்தால் மட்டுமே வரையறுக்கவும். ஒரு அல்ட்ராஃபில்டராக இருப்பது மற்றும் காலியாக இருப்பது அல்லது வரையறுக்கப்பட்ட குறுக்குவெட்டுகளின் கீழ் மூடப்படாமல் இருப்பது சாத்தியமாகும் (எடுத்துக்காட்டாக அடிக்குறிப்பைப் பார்க்கவும்). வடிகட்டிகளின் பண்புகளை நன்கு பாதுகாக்கவில்லை என்றாலும், கீழ்நோக்கி மூடப்பட்டிருந்தால் (ரெஸ்ப். வரையறுக்கப்பட்ட தொழிற்சங்கங்களின் கீழ் மூடப்பட்டது, ஒரு இலட்சியம்) பின்னர் இது இலட்சியங்களுக்கும் இரட்டை இலட்சியங்களுக்கும் இடையிலான இரட்டைத்தன்மையைப் பயன்படுத்துவதற்கும் உண்மையாக இருக்கும், இது பின்வரும் வடிப்பானை உருவாக்க அனுமதிக்கிறது. ஒரு வடிகட்டி இயக்கத்தில் உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம் மற்றும் அதன் இரட்டை இருக்கட்டும் என்றால் இரட்டை ஒரு வடிப்பானாக இருக்கும். பிற எடுத்துக்காட்டுகள் எடுத்துக்காட்டுஃ ஒரு இடவியல் இடத்தின் அனைத்து அடர்த்தியான திறந்த துணைக்குழுக்களின் தொகுப்பு ஒரு சரியான அமைப்பு மற்றும் ஒரு முன் வடிகட்டி ஆகும். இடம் ஒரு பைர் இடமாக இருந்தால், அடர்த்தியான திறந்த துணைக்குழுக்களின் அனைத்து எண்ணக்கூடிய குறுக்குவெட்டுகளின் தொகுப்பும் ஒரு-அமைப்பு மற்றும் முன் வடிகட்டியாகும், இது உதாரணத்தை விட சிறந்ததுஃ வரையறுக்கப்பட்ட லெபெஸ்கூ அளவீட்டைக் கொண்ட அனைத்து அடர்த்தியான திறந்த தொகுப்புகளின் குடும்பமும் ஒரு சரியான அமைப்பு மற்றும் ஒரு இலவச முன் வடிகட்டியாகும். முன்கூட்டிய வடிகட்டி அனைத்து அடர்த்தியான திறந்த துணைக்குழுக்களையும் கொண்ட முன்கூட்டிய வடிகட்டியில் சரியாக உள்ளது, அதற்கு சமமானதல்ல, ஏனெனில் இது ஒரு பைர் இடைவெளி என்பதால், செட்டுகளின் ஒவ்வொரு எண்ணக்கூடிய குறுக்குவெட்டும் அடர்த்தியாக உள்ளது (மேலும் கமாகர் மற்றும் மீஜர் அல்லாதது) எனவே உறுப்புகளின் அனைத்து எண்ணக்கூடிய குறுக்குவெட்டுகளின் தொகுப்பும் ஒரு முன்கூட்டிய வடிகட்டி மற்றும் அமைப்பு; இது வடிகட்டிகள் மற்றும் வலைகளை விட நுணுக்கமானது மற்றும் சமமானதல்ல இந்த பிரிவு முன்கூட்டிய வடிகட்டிகள் மற்றும் வலைகளுக்கு இடையிலான உறவுகளை மிகவும் விரிவாக விவரிக்கும், ஏனெனில் இந்த விவரங்கள் டோபோலஜிக்கு வடிப்பான்களைப் பயன்படுத்துகின்றன-குறிப்பாக வலைகளைப் பயன்படுத்துவதிலிருந்து வடிப்பான்கள் மற்றும் துணை வசனங்களைப் பயன்படுத்துவதற்கு மாறுவதில்-மேலும் இது ஏன் துணை நெட்வொர்க்குகளைப் பயன்படுத்துகிறது என்பதை பின்னர் புரிந்துகொள்வதை எளிதாக்குகிறது (அவற்றின் மிகவும் பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படும் வரையறைகளுடன்) ஒரு வரைபடம் மற்றும் வலையாக இருந்தால், வலையின் முன் வடிகட்டிகள் ஏ என்பது காலியாக இல்லாத தொகுப்பு மற்றும் ஒரு உறுப்பைக் கொண்ட ஒரு ஜோடி. எந்தவொரு குடும்பத்திற்கும் இந்த முன்கூட்டிய ஆர்டர் சமச்சீரற்றதாக இல்லாவிட்டாலும், எந்தவொரு செட் குடும்பத்திற்கும் வழங்கப்பட்டால், ஒற்றை சிங்கிள்டன் செட்களைக் கொண்டிருந்தால் மட்டுமே ஓரளவு ஆர்டர் செய்யப்படுகிறது. ஒரு அதிகபட்ச உறுப்பு என்றால்; மேலும், அனைத்து அதிகபட்ச உறுப்புகளும் இந்த வடிவத்தில் உள்ளன. அனைத்து மிகச்சிறந்த கூறுகளின் தொகுப்பாக இருந்தால் மட்டுமே அது ஒரு மிகப்பெரிய உறுப்பு. இருப்பினும், அதிகபட்சம் மற்றும் மிகப் பெரியதாக இருக்கும் ஒரு உறுப்பு இருந்தால் மட்டுமே ஒரு மிகப்பெரிய உறுப்பு அதிகபட்ச உறுப்பாகும். பொதுவாக, ஓரளவு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட தொகுப்பு அல்ல என்றாலும், (மற்றும் இருந்தால் மட்டுமே) ஒரு முன் வடிகட்டியாக இருந்தால் அது ஒரு இயக்கப்படும் தொகுப்பாகும். எனவே "முன்கூட்டிய வடிகட்டியால் தூண்டப்பட்ட வலையில்" என்ற வரையறைக்கான மிக உடனடி தேர்வு, ஒரு முன் வடிகட்டியை இயக்குவது ஒரு வலையில் உள்ளது மற்றும் அதனுடன் தொடர்புடைய முன்கூட்டிய வடிகட்டி; அதாவதுஃ இது ஒரு சரியான துணைக்குழுவில் வரையறுக்கப்பட்டிருந்தால் இது உண்மையாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை. அதற்கு பதிலாக சிங்கிள்டன் தொகுப்பில் வரையறுக்கப்பட்டிருந்தால், கட்டுப்பாடு தற்காலிகமாக குறிக்கப்படும், அதற்குள் தொடர்புடைய வால்களின் முன் வடிகட்டி அசல் வடிப்பானைக் காட்டிலும் முதன்மையான முன் வடிகட்டியாக இருக்கும்; இதன் பொருள் சமத்துவம், எனவே முன் வடிகட்டியைப் போலல்லாமல் மோசமான நிலையிலிருந்து மீட்டெடுக்க முடியும், அதே நேரத்தில் முன் வடிகட்டியில் உள்ள தனித்துவமான வடிகட்டி அதற்கு பதிலாக ஒரு வடிப்பானை (அதாவது, ஒரு அல்ட்ராஃபில்டர்) உருவாக்குகிறது. அல்ட்ரானெட்டுகள் மற்றும் அல்ட்ரா ப்ரீஃபில்டர்கள் ஒவ்வொரு துணைக்குழுவிற்கும் இறுதியில் இருந்தால் அல்லது அது இறுதியில் இருந்தால் ஒரு வலை ஒரு அல்லது இன் என்று அழைக்கப்படுகிறது; இது ஒரு அல்ட்ரா ப்ரீஃபில்டராக இருந்தால் மட்டுமே நடக்கும். பகுதி வரிசைப்படுத்தப்பட்ட வலையில் ஒரு அல்ட்ரானெட் இருந்தால் மட்டுமே ப்ரீஃபில்டர் ஒரு அல்ட்ரா ப்ரீஃபில்டர் ஆகும். இருப்பினும், 1955 ஆம் ஆண்டில் ப்ரூன்ஸ் மற்றும் ஷ்மிட் ஆகியோர் ஒரு கட்டுமானத்தைக் கண்டுபிடித்தனர், இது நியதி வலையில் ஓரளவு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட மற்றும் இயக்கப்பட்ட ஒரு களத்தைக் கொண்டிருக்க அனுமதிக்கிறது; இது 1970 ஆம் ஆண்டில் ஆல்பர்ட் விலன்ஸ்கியால் சுயாதீனமாக மீண்டும் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது. இது கடுமையான பகுதி வரிசைகளின் அகராதியியல் வரிசையைப் போலவே இருக்கும் அதன் துணைக்குழுவில் ஒரு கடுமையான பகுதி வரிசையை (ஒரு இடைநிலை மற்றும் முரண்பாடான உறவு என்று பொருள்படும்) கட்டமைப்பதில் தொடங்குகிறது, எந்தவொரு நபருக்கும், இந்த வரையறைகளை அவிழ்ப்பது பின்வரும் குணாதிசயத்தை அளிக்கிறது என்று அறிவிப்பதன் மூலம் குறிக்கப்படாத பகுதி வரிசை வரையறுக்கப்பட்டால் மட்டுமேஃ இது சமத்துவத்தால் ஓரளவு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட இடத்தில் தூண்டப்பட்ட அகராதியியல் வரிசை மட்டுமே என்பதைக் காட்டுகிறது. முன் வடிப்பானாக இருந்தால், அதன் களத்தில் ஓரளவு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட தொகுப்பு மற்றும் மேலும், அதன் வால்கள் ஒரே மாதிரியாக இருப்பதால் (இரண்டும் முன் வடிகட்டிக்கு சமமாக இருப்பதால்), ஒரு முன் வடிகட்டியுடன் தொடர்புடைய வலையின் களம் ஓரளவு வரிசைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது என்று கருதுவதன் மூலம் பொதுவாக எதுவும் இழக்கப்படாது. தொகுப்பு நேர்மறை விகிதமுறு எண்களால் மாற்றப்பட்டால், கடுமையான பகுதி வரிசையும் அடர்த்தியான வரிசையாக இருக்கும். கீழ்நிலை வடிகட்டிகள் மற்றும் சப்நெட்டுகள் "கீழ்நிலை" (எழுதப்பட்ட) என்ற கருத்து வடிப்பான்கள் மற்றும் முன் வடிகட்டிகளுக்கானது, இது வரிசைகளுக்கு "ஒரு தொடர்ச்சியாகும்". எடுத்துக்காட்டாக, வால்களின் தொகுப்பைக் குறிக்கிறது மற்றும் தொடர்ச்சியின் வால்களின் தொகுப்பைக் குறிக்கிறது என்றால் (எங்கே) பின்னர் (அதாவது,) உண்மை ஆனால் பொதுவாக தவறானது. சப்நெட்டுகள் மற்றும் கீழ்நிலை வடிப்பான்களின் சமன்பாடு இல்லாதது முன்கூட்டியே வரிசைப்படுத்தப்பட்ட இடத்தின் ஒரு துணைக்குழு அல்லது ஒவ்வொன்றிற்கும் சில இருந்தால், அதன் வால் இருந்தால் அல்லது என்று கூறப்படுகிறது; வெளிப்படையாக, இதன் பொருள் சில உள்ளன (அதாவது,). ஒரு இறுதி தொகுப்பு காலியாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை. ஒரு துணைக்குழு அதன் நிரப்பு அடிக்கடி இல்லாவிட்டால் மட்டுமே இறுதியில் இருக்கும் (இது அழைக்கப்படுகிறது). வில்லார்ட் என்ற அர்த்தத்தில் சப்நெட்டுகள் மற்றும் கெல்லி என்ற அர்த்தத்தில் சப்நெட்டுகள் "சப்நெட்" என்பதன் மிகவும் பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படும் வரையறைகளாக இருந்தால், இரண்டு முன்கூட்டியே வரிசைப்படுத்தப்பட்ட தொகுப்புகளுக்கு இடையிலான வரைபடம் ஆகும். சப்நெட்டின் முதல் வரையறை 1955 இல் ஜான் எல். கெல்லி என்பவரால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. ஸ்டீபன் வில்லார்ட் 1970 ஆம் ஆண்டில் கெல்லியின் சப்நெட் வரையறையின் தனது சொந்த மாறுபாட்டை அறிமுகப்படுத்தினார். ஸ்மைலி (1957), ஆர்னஸ் அண்ட் ஆண்டேனஸ் (1972) மற்றும் முர்டேஷ்வர் (1983) ஆகியோரால் ஏஏ-சப்நெட்டுகள் சுயாதீனமாக அறிமுகப்படுத்தப்பட்டன; ஏஏ-சப்நெட்டுகள் ஆர்னஸ் மற்றும் ஆண்டேனஸால் மிகவும் விரிவாக ஆய்வு செய்யப்பட்டன, ஆனால் அவை பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுவதில்லை. கெல்லி வரைபடத்தை ஒழுங்காகப் பாதுகாக்க வேண்டிய அவசியமில்லை, அதே நேரத்தில் ஏஏ-சப்நெட்டின் வரையறை இரண்டு வலைகளின் களங்களுக்கு இடையிலான எந்த வரைபடத்தையும் முற்றிலுமாக அகற்றி, அதற்கு பதிலாக-வலைகளின் பொதுவான கோடமைனில் முழுமையாக கவனம் செலுத்துகிறது. ஒவ்வொரு வில்லார்ட்-சப்நெட்டும் ஒரு கெல்லி-சப்நெட் மற்றும் இரண்டும் ஏஏ-சப்நெட்டுகள். குறிப்பாக, ஒரு வில்லார்ட்-சப்நெட் அல்லது ஒரு கெல்லி-சப்நெட் என்றால் எடுத்துக்காட்டுஃ ஒரு நிலையான வரிசையாக இருக்கட்டும், என்று சொல்லுங்கள், அது ஒரு வலை என்று சொல்லுங்கள் பின்னர் ஒரு AA-சப்நெட் ஏனெனில் ஆனால் ஒரு வில்லார்ட்-சப்நெட் அல்ல, ஏனெனில் எந்த வரைபடமும் இல்லை, அதன் படம் ஒரு கோஃபைனல் துணைக்குழுவாக உள்ளது அல்லது ஒரு கெல்லி-சப்நெட் அல்ல, ஏனெனில் எந்த வரைபடமும் இருந்தால் அது ஒரு கோஃபைனல் துணைக்குழுவாகும், ஆனால் இறுதியில் AA-சப்நெட்களில் இல்லை, அவை துணை (ஆர்டினேட்) வடிப்பான்களுடன் முழுமையாக பரிமாறிக்கொள்ளக்கூடியவை என்பதை உடனடியாகக் காட்டும் வரையறுக்கப்பட்ட தன்மையைக் கொண்டுள்ளன. வெளிப்படையாக, இதன் பொருள் என்னவென்றால், AA-சப்நெட்களுக்கு பின்வரும் கூற்று உண்மைதான்ஃ முன் வடிகட்டிகள் என்றால், "AA-சப்நெட்" "வில்லார்ட்-சப்நெட்" அல்லது "கெல்லி-சப்நெட்" ஆல் மாற்றப்பட்டால், மேலே உள்ள கூற்று ஆகிறது. குறிப்பாக, சிக்கல் என்னவென்றால், பின்வரும் கூற்று பொதுவாக தவறானதுஃ கூற்றுஃ ஒவ்வொரு வில்லார்ட்-சப்நெட்டும் ஒரு கெல்லி-சப்நெட் என்பதால், "கெல்லி-சப்நெட்" என்ற வார்த்தைக்கு பதிலாக "வில்லார்ட்-சப்நெட்" என்று மாற்றப்பட்டால் இந்த கூற்று தவறானதாகவே இருக்கும். : அனைவருக்கும் இது ஒரு சரியான அமைப்பாக இருக்கட்டும், மேலும் இரு குடும்பங்களும் இயற்கையான எண்களில் முன்கூட்டியே வடிகட்டிகளாக இருக்கட்டும், ஏனெனில் இது ஒரு தொடர்ச்சியாகும். எனவே வெறுமனே, ஒரு துணை நெட்வொர்க்காக இருக்க வேண்டும், எனவே களம் ஒரு கோஃபைனல் துணைக்குழுவைக் கொண்டுள்ளது, இது வரிசை ஐசோமார்பிக் ஆகும், இதன் விளைவாக அதிகபட்ச அல்லது மிகப்பெரிய உறுப்பு எதுவும் இல்லை. வழிநடத்தப்பட்ட தொகுப்பில் ஒரு துணைக்குழுவும் உள்ளது, இது வரிசை ஐசோமார்பிக் ஆகும் (ஏனெனில் இது அத்தகைய துணைக்குழுவைக் கொண்டுள்ளது), ஆனால் அதிகபட்ச உறுப்பு காரணமாக அத்தகைய துணைக்குழுவை இணைக்க முடியாது இதன் விளைவாக, எந்தவொரு வரிசை-பாதுகாக்கும் வரைபடமும் இறுதியில் நிலையானதாக (மதிப்புடன்) இருக்க வேண்டும், இது பின்னர் வரம்பின் மிகப்பெரிய உறுப்பாகும். முரண்பாட்டின் பொருட்டு, இறுதியில் அனைவருக்காகவும் இருக்கும் ஒரு வரைபடம் உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம், ஏனெனில் ஒவ்வொருவருக்கும், ஏனெனில் இறுதியில் அதில் இருப்பது அவசியம், குறிப்பாக, வரையறையின்படி எது பொய்யானது என்பதற்கு சமமானதாக இருந்தால். வில்லார்ட்-சப்நெட் அல்லது கெல்லி-சப்நெட் என்று "சப்நெட்" வரையறுக்கப்பட்டால், வடிகட்டி-சப் (ஆர்டினேட்) வடிகட்டி உறவுகள் இருப்பதால் வலைகள் மற்றும் வடிப்பான்கள் முற்றிலும் பரிமாறிக்கொள்ள முடியாதவை, அவை இரண்டு தூண்டப்பட்ட வலைகளுக்கு இடையிலான நிகர-சப்நெட் உறவின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்த முடியாது. குறிப்பாக, கெல்லி-சப்நெட்டுகள் மற்றும் வில்லார்ட்-சப்நெட்டுகள் ஆகியவை துணை வடிப்பான்களுடன் முழுமையாக பரிமாறிக்கொள்ளக்கூடியவை. "சப்நெட்" என்ற கருத்து பயன்படுத்தப்படாவிட்டால் அல்லது "சப்நெட்" என்பது ஏஏ-சப்நெட்டைக் குறிக்கும் வகையில் வரையறுக்கப்பட்டால், இது ஒரு சிக்கலாக இருக்காது, எனவே வலைகள் மற்றும் வடிப்பான்கள் ஒன்றுக்கொன்று மாற்றத்தக்கவை என்று சொல்வது சரியானது. வில்லார்ட் மற்றும் கெல்லி துணை நெட்வொர்க்குகளில் உள்ள சிக்கலை ஏஏ-துணை நெட்வொர்க்குகள் கொண்டிருக்கவில்லை என்ற போதிலும், அவை பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுவதில்லை அல்லது அறியப்படுவதில்லை. மேலும் காண்க குறிப்புகள் ஆதாரங்கள் மேற்கோள்கள் குறிப்புகள் (இடவியல் மற்றும் மெட்ரிக் இடைவெளிகளில் உள்ள வடிப்பான்களின் அறிமுக மதிப்பாய்வை வழங்குகிறது.) பொது இடவியல் வரிசை கோட்பாடு தொகுப்புக் கோட்பாடு