Mean curvature flow
கணிதத்தில் வேறுபட்ட வடிவியல் துறையில், சராசரி வளைவு ஓட்டம் என்பது ரீமானியன் பன்மடங்கு (எடுத்துக்காட்டாக, முப்பரிமாண யூக்ளிடியன் இடத்தில் மென்மையான மேற்பரப்புகள்) ஹைப்பர்சர்ஃபேஸ்களின் வடிவியல் ஓட்டத்திற்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு. மேற்பரப்பில் ஒரு புள்ளி நகரும் வேகத்தின் இயல்பான கூறு மேற்பரப்பின் சராசரி வளைவால் கொடுக்கப்பட்டால், உள்ளுணர்வாக, மேற்பரப்புகளின் குடும்பம் சராசரி வளைவு ஓட்டத்தின் கீழ் உருவாகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு வட்டக் கோளம் சராசரி வளைவு ஓட்டத்தின் கீழ் உள்நோக்கி ஒரே மாதிரியாக சுருங்குவதன் மூலம் உருவாகிறது (ஒரு கோளத்தின் சராசரி வளைவு திசையன் உள்நோக்கி சுட்டிக்காட்டுவதால்). சிறப்பு நிகழ்வுகளைத் தவிர, சராசரி வளைவு ஓட்டம் ஒருமைப்பாட்டை உருவாக்குகிறது. மூடப்பட்ட தொகுதி நிலையானது என்ற கட்டுப்பாட்டின் கீழ், இது மேற்பரப்பு பதற்றம் ஓட்டம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இது ஒரு பரவளைய பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடு, மேலும் "மென்மையாக்குதல்" என்று விளக்கப்படலாம். மைக்கேல் கேஜ் மற்றும் ரிச்சர்ட் எஸ். ஹாமில்டன் ஆகியோர் பரவளைய வடிவியல் ஓட்டங்களுக்கான ஹாமில்டனின் பொது இருப்பு தேற்றத்தின் பயன்பாடாக பின்வருவனவற்றைக் காட்டினர். ஒரு சிறிய மென்மையான பன்மடங்கு இருக்கட்டும், ஒரு முழுமையான மென்மையான ரீமானியன் பன்மடங்கு இருக்கட்டும், மற்றும் ஒரு மென்மையான மூழ்கும் இருக்கட்டும். பின்னர் ஒரு நேர்மறை எண் உள்ளது, இது எல்லையற்றதாக இருக்கலாம், மேலும் பின்வரும் பண்புகளைக் கொண்ட ஒரு வரைபடம்ஃ எந்தவொரு நபருக்கும் ஒரு மென்மையான மூழ்குதல், வளைவின் வழித்தோன்றல் at இன் சராசரி வளைவு திசையனுக்கு சமம். மேலே உள்ள நான்கு பண்புகளைக் கொண்ட வேறு ஏதேனும் வரைபடம் இருந்தால், பின்னர் மற்றும் எந்தவொரு அவசியத்திற்கும், வரம்பு உள்ளது. ஒன்று ஆரம்ப தரவுகளுடன் (அதிகபட்சமாக நீட்டிக்கப்பட்ட) சராசரி வளைவு ஓட்டத்தை குறிக்கிறது. ஒருங்கிணைப்புக் கோட்பாடுகள் ரிச்சி ஓட்டத்தில் ஹாமில்டனின் சகாப்த 1982 ஆராய்ச்சியைத் தொடர்ந்து, 1984 ஆம் ஆண்டில் கெர்ஹார்ட் ஹுஸ்கென் பின்வரும் ஒத்த முடிவை உருவாக்க சராசரி வளைவு ஓட்டத்திற்கு அதே முறைகளைப் பயன்படுத்தினார்ஃ யூக்ளிடியன் இடைவெளி என்றால், அதன் பரிமாணத்தைக் குறிக்கும், பின்னர் அது வரையறுக்கப்பட்டதாக இருக்க வேண்டும். 'ஆரம்ப மூழ்குதலின்' இரண்டாவது அடிப்படை வடிவம் கண்டிப்பாக நேர்மறையாக இருந்தால், மூழ்குதலின் இரண்டாவது அடிப்படை வடிவமும் ஒவ்வொன்றிற்கும் கண்டிப்பாக நேர்மறையாக இருக்கும், மேலும் ரீமானியன் பன்மடங்கு அளவின் அளவு சுயாதீனமாக இருக்கும் செயல்பாட்டை ஒருவர் தேர்வுசெய்தால், பின்னர் மூழ்குதல்கள் சுமூகமாக ஒரு நீரில் மூழ்குவதற்கு ஒன்றிணைகின்றன, அதன் உருவம் ஒரு வட்ட கோளமாகும். இரண்டாவது அடிப்படை வடிவம் நேர்மறையாக இருக்கும் ஒரு மென்மையான ஹைப்பர்சர்ஃபேஸ் இம்மர்ஷன் என்றால், காஸ் வரைபடம் ஒரு டிப்ஃபியோமார்பிசம் என்பதை நினைவில் கொள்க, எனவே தொடக்கத்திலிருந்தே டிப்ஃபியோமார்பிக் மற்றும் அடிப்படை வேறுபட்ட இடவியல் இருந்து, மேலே கருதப்பட்ட அனைத்து இம்மர்ஷன்களும் உட்பொதிப்புகள் என்பதை ஒருவர் அறிவார். கேஜ் மற்றும் ஹாமில்டன் ஆகியோர் ஹுயிஸ்கெனின் முடிவை இந்த வழக்குக்கு நீட்டித்தனர். மத்தேயு கிரேசன் (1987) ஏதேனும் மென்மையான உட்பொதிப்பு இருந்தால், ஆரம்ப தரவுகளுடன் சராசரி வளைவு ஓட்டம் இறுதியில் கண்டிப்பாக நேர்மறை வளைவுடன் உட்பொதிப்புகளை பிரத்தியேகமாக கொண்டுள்ளது என்பதைக் காட்டியது, இந்த கட்டத்தில் கேஜ் மற்றும் ஹாமில்டனின் முடிவு பொருந்தும். சுருக்கமாகஃ ஒரு மென்மையான உட்பொதிப்பு என்றால், ஆரம்ப தரவுகளுடன் சராசரி வளைவு ஓட்டத்தைக் கவனியுங்கள். பின்னர் ஒவ்வொன்றிற்கும் ஒரு மென்மையான உட்பொதிப்பு உள்ளது, மேலும் ஒவ்வொன்றிற்கும் நேர்மறை (வெளிப்புற) வளைவு உள்ளது. ஹ்யூஸ்கெனின் முடிவைப் போலவே ஒருவர் செயல்பாட்டைத் தேர்ந்தெடுத்தால், உட்பொதிப்புகள் ஒரு வட்ட வட்டமாக இருக்கும் ஒரு உட்பொதிப்புக்கு சீராக ஒன்றிணைகின்றன. பண்புகள் சராசரி வளைவு ஓட்டம் மேற்பரப்பு பகுதியை மிகைப்படுத்துகிறது, மேலும் குறைந்தபட்ச மேற்பரப்புகள் சராசரி வளைவு ஓட்டத்திற்கான முக்கியமான புள்ளிகள்; மினிமா ஐசோபெரிமெட்ரிக் சிக்கலை தீர்க்கிறது. ஒரு காலர்-ஐன்ஸ்டீன் பன்மடங்கு உட்பொதிக்கப்பட்ட பன்மடங்கு, மேற்பரப்பு ஒரு லாக்ராஞ்சியன் சப்மேனிஃபோல்ட் என்றால், சராசரி வளைவு ஓட்டம் லாக்ராஞ்சியன் வகையைச் சேர்ந்தது, எனவே மேற்பரப்பு லாக்ராஞ்சியன் சப்மேனிஃபோல்ட்ஸ் வகுப்பிற்குள் உருவாகிறது. ஹியூஸ்கெனின் மோனோடோனிசிட்டி சூத்திரம் சராசரி வளைவு ஓட்டத்திற்கு உட்பட்ட மேற்பரப்புடன் நேரத்தை மாற்றியமைத்த வெப்ப கர்னலின் சுழற்சியின் மோனோடோனிசிட்டி பண்பை வழங்குகிறது. தொடர்புடைய ஓட்டங்கள் பின்வருமாறுஃ வளைவு-சுருங்கும் ஓட்டம், சராசரி வளைவு ஓட்டத்தின் ஒரு பரிமாண வழக்கு மேற்பரப்பு பதற்றம் பாய்கிறது லாக்ராஞ்சியன் சராசரி வளைவு ஓட்டம் தலைகீழ் சராசரி வளைவு ஓட்டம் ஒரு முப்பரிமாண மேற்பரப்பின் சராசரி வளைவு ஓட்டம் ஒரு மேற்பரப்பின் சராசரி வளைவு ஓட்டத்திற்கான வேறுபாடு சமன்பாடு வளைவு மற்றும் மேற்பரப்பு இயல்பான வேகத்துடன் தொடர்புடைய ஒரு மாறிலியாக இருப்பதால் வழங்கப்படுகிறது, மேலும் சராசரி வளைவு வரம்புகளில் உள்ளது, இதனால் மேற்பரப்பு அதன் இயல்புடன் கிட்டத்தட்ட சமதளமாக உள்ளது அச்சுக்கு இணையாக உள்ளது, இது ஒரு பரவல் சமன்பாடாக குறைகிறது வழக்கமான பரவல் சமன்பாடு ஒரு நேரியல் பரவளைய பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடாகும் மற்றும் ஒருமைப்பாட்டை உருவாக்காது (நேரத்தில் முன்னோக்கி ஓடும்போது). சராசரி வளைவு ஓட்டங்களின் கீழ் ஒருமைப்பாடுகளைத் தடுக்க பொதுவாக கூடுதல் கட்டுப்பாடுகள் ஒரு மேற்பரப்பில் வைக்கப்பட வேண்டும். ஒவ்வொரு மென்மையான குவிந்த மேற்பரப்பும் சராசரி-வளைவு ஓட்டத்தின் கீழ் ஒரு புள்ளியில் இடிந்து விழுகிறது, மற்ற ஒற்றுமைகள் இல்லாமல், அது அவ்வாறு செய்யும்போது ஒரு கோளத்தின் வடிவத்தில் இணைகிறது. இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட பரிமாணங்களின் மேற்பரப்புகளுக்கு இது கெர்ஹார்ட் ஹுயிஸ்கெனின் தேற்றம்; ஒரு பரிமாண வளைவு-சுருக்க ஓட்டத்திற்கு இது கேஜ்-ஹாமில்டன்-கிரேசன் தேற்றம் ஆகும். இருப்பினும், கோளத்தைத் தவிர இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட பரிமாணங்களைக் கொண்ட உட்பொதிக்கப்பட்ட மேற்பரப்புகள் உள்ளன, அவை ஏஞ்செனென்ட் டோரஸ் உட்பட சராசரி-வளைவு ஓட்டத்தின் கீழ் ஒரு புள்ளிக்கு சுருங்கும்போது சுயமாக ஒத்திருக்கின்றன. எடுத்துக்காட்டுஃ m-பரிமாண கோளங்களின் சராசரி வளைவு ஓட்டம் சராசரி வளைவு ஓட்டத்திற்கு ஒரு எளிய எடுத்துக்காட்டு மைய வட்ட ஹைப்பர்ஸ்பியர்களின் குடும்பத்தால் வழங்கப்படுகிறது. ஆரம் கொண்ட ஒரு பரிமாண கோளத்தின் சராசரி வளைவு. கோளத்தின் சுழற்சி சமச்சீர் காரணமாக (அல்லது பொதுவாக, ஐசோமெட்ரிகளின் கீழ் சராசரி வளைவின் மாறாத தன்மை காரணமாக) சராசரி வளைவு ஓட்ட சமன்பாடு சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாட்டிற்கு குறைகிறது, ஆரம் கொண்ட ஒரு ஆரம்ப கோளத்திற்கு, இந்த ODE இன் தீர்வு (பெறப்பட்டது, எ. கா., மாறிகளைப் பிரிப்பதன் மூலம்), இது உள்ளது. குறிப்புகள். . . குறிப்பாக 3a மற்றும் 3b சமன்பாடுகளைப் பார்க்கவும். வடிவியல் ஓட்டம் வேறுபட்ட வடிவியல்