Hitchin's equations
கணிதத்தில், குறிப்பாக வேறுபட்ட வடிவியல் மற்றும் அளவீட்டுக் கோட்பாட்டில், ஹிட்சின் சமன்பாடுகள் என்பது 1987 ஆம் ஆண்டில் நிஜெல் ஹிட்சின் எழுதிய ரீமன் மேற்பரப்பில் ஒரு திசையன் மூட்டை அல்லது முதன்மை மூட்டை மீது ஒரு இணைப்பு மற்றும் ஹிக்ஸ் புலத்திற்கான பகுதி வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் அமைப்பாகும். ஹிட்சின் சமன்பாடுகள் அமைப்புக் குழுவிற்கு இரட்டை சமச்சீர் இடத்திற்குள் ஒரு மேற்பரப்புக்கான ஹார்மோனிக் வரைபட சமன்பாட்டிற்கு உள்நாட்டில் சமமானவை. அவை சுய-இரட்டை யாங்-மில்ஸ் சமன்பாடுகளை நான்கு பரிமாணங்களிலிருந்து இரண்டு பரிமாணங்களுக்கு குறைக்கும் பரிமாணமாகவும் தோன்றுகின்றன, மேலும் ஹிட்சின் சமன்பாடுகளுக்கான தீர்வுகள் ஹிக்ஸ் மூட்டைகள் மற்றும் ஹோலோமார்பிக் இணைப்புகளின் எடுத்துக்காட்டுகளை வழங்குகின்றன. ஒரு சிறிய ரீமன் மேற்பரப்பில் ஹிட்சின் சமன்பாடுகளுக்கான தீர்வுகளின் இருப்பு தொடர்புடைய ஹிக்ஸ் மூட்டை அல்லது தொடர்புடைய ஹோலோமார்பிக் இணைப்பின் ஸ்திரத்தன்மையிலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது, மேலும் இது நோனாபெலியன் ஹோட்ஜ் கடிதத்தின் எளிய வடிவமாகும். ஹிட்சின் சமன்பாடுகளுக்கான தீர்வுகளின் மாடுலி இடைவெளி ஹிட்சின் ஒரு சிறிய ரீமன் மேற்பரப்பில் தரவரிசை இரண்டு வழக்கில் கட்டப்பட்டது மற்றும் கட்டப்பட்ட ஹைபர்காஹ்லர் பன்மடங்கு முதல் எடுத்துக்காட்டுகளில் ஒன்றாகும். இது ஹிக்ஸ் மூட்டை மாடுலி இடத்திற்கும், ஹோலோமார்பிக் இணைப்புகளின் மாடுலி இடத்திற்கும் ஐசோமார்பிக் என்பதை நபிலியன் அல்லாத ஹோட்ஜ் கடிதங்கள் காட்டுகின்றன. ஹிட்சின் சமன்பாடுகளின் அடிப்படையில் அதன் விளக்கத்தால் வழங்கப்பட்ட ஹிக்ஸ் மூட்டை மாடுலி இடத்தில் மெட்ரிக் கட்டமைப்பைப் பயன்படுத்தி, ஹிட்சின் ஹிட்சின் அமைப்பை உருவாக்கினார், இது முற்றிலும் ஒருங்கிணைக்கக்கூடிய அமைப்பாகும், இதன் வரையறுக்கப்பட்ட புலத்தின் மீது முறுக்கப்பட்ட பொதுமைப்படுத்தல் நோ பாவோ சாவ் என்பவரால் லாங்லேண்ட்ஸ் திட்டத்தில் அடிப்படை லெம்மாவின் சான்றாக பயன்படுத்தப்பட்டது, அதற்காக அவருக்கு 2010 ஃபீல்ட்ஸ் பதக்கம் வழங்கப்பட்டது. வரையறை ஒரு திசையன் மூட்டை அல்லது முதன்மை மூட்டை மீது ஒரு இணைப்புக்கு வரையறை செய்யப்படலாம், இரண்டு முன்னோக்குகளும் அடிப்படையில் ஒன்றுக்கொன்று மாற்றத்தக்கவை. இங்கே முக்கிய மூட்டைகளின் வரையறை வழங்கப்படுகிறது, இது ஹிட்சின் படைப்புகளில் தோன்றும் வடிவமாகும். ஒரு கச்சிதமான ரீமன் மேற்பரப்பில் ஒரு கச்சிதமான உண்மையான லை குழுவிற்கு ஒரு முதன்மை-தொகுப்பாக இருக்கட்டும். எளிமைக்காக, சிறப்பு ஒற்றையாட்சி குழு அல்லது சிறப்பு ஆர்த்தோகனல் குழுவின் விஷயத்தை நாம் பரிசீலிப்போம். ஒரு இணைப்பு என்று வைத்துக்கொள்வோம், மேலும் சிக்கலான திசையன் மூட்டையின் ஒரு பகுதியாக இருக்கட்டும், அங்கு இணைக்கப்பட்ட மூட்டையின் சிக்கலானது, லை இயற்கணிதத்தின் சிக்கலாக்கத்தால் கொடுக்கப்பட்ட இழையுடன். அதாவது, ஒரு சிக்கலான-மதிப்புள்ள-வடிவம். யாங்-மில்ஸ் கோட்பாட்டில் தோன்றும் துணை ஹிக்ஸ் புலத்துடன் ஒப்பிடுகையில் இது ஒரு ஹிக்ஸ் புலம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு ஜோடியைப் பொறுத்தவரை, ஹிட்சின் சமன்பாடுகள் வளைவு வடிவம் எங்கே, சிக்கலான இணைக்கப்பட்ட மூட்டையில் தூண்டப்பட்ட இணைப்பின்-பகுதி என்றும், லை இயற்கணித மதிப்புள்ள வேறுபட்ட வடிவங்களின் அர்த்தத்தில்-மதிப்புள்ள ஒரு வடிவங்களின் பரிமாற்றியாகும் என்றும் வலியுறுத்துகின்றன. இது வகை என்பதால், ஹிட்சின் சமன்பாடுகள்-கூறு என்று வலியுறுத்துகின்றன. ஏனெனில், இது ஒரு டால்பீல்ட் ஆபரேட்டர் என்பதைக் குறிக்கிறது மற்றும் இந்த லை இயற்கணித மூட்டைக்கு ஒரு ஹோலோமார்பிக் திசையன் மூட்டையின் கட்டமைப்பைக் கொடுக்கிறது. எனவே, நிபந்தனை என்பது ஒரு ஹோலோமார்பிக்-மதிப்புள்ள-வடிவம் என்று பொருள். ஹோலோமார்பிக் எண்டோமார்பிசம்-மதிப்புள்ள-வடிவத்துடன் ஒரு ஹோலோமார்பிக் திசையன் மூட்டை கொண்ட ஒரு ஜோடி ஹிக்ஸ் மூட்டை என்று அழைக்கப்படுகிறது, எனவே ஹிட்சின் சமன்பாடுகளுக்கான ஒவ்வொரு தீர்வும் ஹிக்ஸ் மூட்டைக்கு ஒரு உதாரணத்தை உருவாக்குகிறது. யாங்-மில்ஸ் சமன்பாடுகளை நான்கு பரிமாணங்களிலிருந்து இரண்டு பரிமாணங்களாகக் குறைப்பதன் மூலம் ஹிட்சின் சமன்பாடுகளைப் பெறலாம். ஒரு அற்பமான முதன்மை-கட்டு மீது ஒரு இணைப்பைக் கவனியுங்கள். பின்னர் நான்கு செயல்பாடுகள் உள்ளன, அதாவது நிலையான ஒருங்கிணைப்பு வேறுபட்ட வடிவங்கள் எங்கே உள்ளன. இணைப்புக்கான சுய-இரட்டை சமன்பாடுகள், யாங்-மில்ஸ் சமன்பாடுகளின் ஒரு குறிப்பிட்ட வழக்கு, வளைவு இரண்டு வடிவம் எங்கே என்று எழுதப்படலாம். பரிமாண ரீதியாக இரண்டு பரிமாணங்களாகக் குறைக்க, இணைப்பு வடிவங்கள் ஆயத்தொகுப்புகளிலிருந்து சுயாதீனமாக உள்ளன என்று ஒன்று விதிக்கிறது. இவ்வாறு கூறுகள் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட மூட்டையில் ஒரு இணைப்பை வரையறுக்கின்றன, மேலும் ஒரு மறுபெயரிடல் இருந்தால், இவை துணை மதிப்புள்ள புலங்கள். ஒருவர் இப்போது எழுதினால், நிலையான சிக்கலான வடிவம் எங்கே உள்ளது என்றால், மேலே உள்ள சுய-இரட்டை சமன்பாடுகள் துல்லியமாக ஹிட்சின் சமன்பாடுகளாக மாறும். இந்த சமன்பாடுகள் இணக்கமாக மாறாதவை என்பதால், அவை ஒரு ரீமன் மேற்பரப்பு தளத்தின் இணக்கமான சுருக்கத்தில் அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும். குறிப்புகள் வேறுபட்ட வடிவியல்