Leibniz harmonic triangle
லீப்னிஸ் ஹார்மோனிக் முக்கோணம் என்பது அலகு பின்னங்களின் முக்கோண அமைப்பாகும், இதில் வெளிப்புற மூலைவிட்டங்கள் வரிசை எண்களின் பரஸ்பரங்களைக் கொண்டுள்ளன, மேலும் ஒவ்வொரு உள் உயிரணுவும் மேலே மூலைவிட்டமாகவும், இடதுபுறத்தில் இடதுபுறத்தில் உள்ள உயிரணுவை கழித்தல். இயற்கணித ரீதியாகச் சொல்வதானால், (1 இலிருந்து தொடங்கும் வரிசையின் எண்ணிக்கை எங்கே, மற்றும் நெடுவரிசை எண், r ஐ விட ஒருபோதும் அதிகமாக இல்லை) மற்றும் மதிப்புகள் முதல் எட்டு வரிசைகள் பின்வருமாறுஃ வகுப்புகள் பட்டியலிடப்பட்டுள்ளன, அதே நேரத்தில் எண்கள் அனைத்தும் 1s ஆகும். சொற்கள் சொற்கள் மறுநிகழ்வுகளால் வழங்கப்படுகின்றன மற்றும் வெளிப்படையாக ஒரு இருமக் குணகம் எங்கே என்பதன் மூலம் வழங்கப்படுகின்றன. பாஸ்கலின் முக்கோணத்துடன் தொடர்பு பாஸ்கலின் முக்கோணத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு உள்ளீடும் மேலே உள்ள வரிசையில் உள்ள இரண்டு உள்ளீடுகளின் கூட்டுத்தொகையாகும், லீப்னிஸ் முக்கோணத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு உள்ளீடும் அதற்குக் கீழே உள்ள வரிசையில் உள்ள இரண்டு உள்ளீடுகளின் கூட்டுத்தொகையாகும். எடுத்துக்காட்டாக, 5 வது வரிசையில், உள்ளீடு (1/30) என்பது 6 வது வரிசையில் உள்ள இரண்டு (1/60) களின் கூட்டுத்தொகையாகும். பாஸ்கலின் முக்கோணத்தை இருமக் குணகங்களைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடுவது போல, லீப்னிஸின்ஃ மேலும், இந்த முக்கோணத்தின் உள்ளீடுகளை பாஸ்கலின் பின்வருவனவற்றிலிருந்து கணக்கிடலாம்ஃ "ஒவ்வொரு வரிசையிலும் உள்ள சொற்கள் தொடர்புடைய பாஸ்கல் முக்கோண உள்ளீடுகளால் வகுக்கப்பட்ட ஆரம்ப சொல்". உண்மையில், ஒவ்வொரு மூலைவிட்டமும் அதனுடன் தொடர்புடைய பாஸ்கல் முக்கோண மூலைவிட்டங்களுடன் தொடர்புடையதுஃ முதல் லீப்னிஸ் மூலைவிட்டம் 1/(1x இயற்கை எண்கள்), 1/(2x முக்கோண எண்களில் இரண்டாவது), 1/(3x நாற்கர எண்களில் மூன்றாவது) மற்றும் பலவற்றைக் கொண்டுள்ளது. மேலும், ஹார்மோனிக் முக்கோணத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு நுழைவும் பாஸ்கலின் முக்கோணத்தில் உள்ள அந்தந்த நுழைவின் பரஸ்பரத்திற்கு சமம், அந்தந்த வரிசையின் பரஸ்பரத்தால் பெருக்கப்படுகிறது, ஹார்மோனிக் முக்கோணத்தில் உள்ள நுழைவு எங்கே மற்றும் பாஸ்கலின் முக்கோணத்தில் அந்தந்த நுழைவு எல்லையற்ற தொடர் எந்த மூலைவிட்டத்திலும் உள்ள அனைத்து சொற்களின் எல்லையற்ற கூட்டுத்தொகையும் முந்தைய மூலைவிட்டத்தில் உள்ள முதல் சொல்லுக்கு சமம், ஏனென்றால் தொடர்ச்சியை தொலைநோக்கி எங்கு தொலைநோக்கி பயன்படுத்த முடியும். எடுத்துக்காட்டாக, குணகங்களுக்கான சூத்திரத்தை மாற்றுவதன் மூலம் நாம் எல்லையற்ற தொடரைப் பெறுகிறோம், இங்கே கொடுக்கப்பட்ட முதல் எடுத்துக்காட்டு முதலில் 1694 பண்புகளைச் சுற்றி லீப்னிஸின் வேலையில் தோன்றியது. எடுத்துக்காட்டாக, 3 வது வரிசைக்கு, நம்மிடம் 3 + 6 + 3 = 12 = 3 × 22 உள்ளது. பாஸ்கலின் விதி ஹாக்கி-குச்சி அடையாள குறிப்புகள் கோட்பிரைட் வில்ஹெல்ம் லீப்னிஸ் எண்களின் முக்கோணங்களையும் நாம் பார்த்தோம்.