Development (differential geometry)
பாரம்பரிய வேறுபட்ட வடிவவியலில், வளர்ச்சி என்பது யூக்ளிடியன் இடத்தில் ஒரு மென்மையான மேற்பரப்பை மற்றொரு மேற்பரப்பின் மீது உருட்டுவதற்கான எளிய யோசனையைக் குறிக்கிறது. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு புள்ளியில் ஒரு மேற்பரப்புக்கு (கோளம் அல்லது உருளை போன்றவை) தொடுகோடு தளத்தை மேற்பரப்பைச் சுற்றி உருட்டலாம், மற்ற புள்ளிகளில் தொடுகோடு தளத்தைப் பெறலாம். பண்புகள் ஒருவருக்கொருவர் உருட்டப்படும் மேற்பரப்புகளுக்கு இடையிலான தொடுகோடு தொடர்பு இரண்டு மேற்பரப்புகளில் உள்ள புள்ளிகளுக்கு இடையே ஒரு உறவை வழங்குகிறது. இந்த உறவு (ஒருவேளை ஒரு உள்ளூர் அர்த்தத்தில் மட்டுமே) மேற்பரப்புகளுக்கு இடையிலான ஒரு பைஜெக்ஷன் என்றால், பின்னர் இரண்டு மேற்பரப்புகளும் ஒருவருக்கொருவர் வளர்ச்சியடையக்கூடியவை அல்லது ஒருவருக்கொருவர் முன்னேற்றங்கள் என்று கூறப்படுகிறது. வேறுவிதமாகக் கூறினால், இந்த தொடர்பு இரு மேற்பரப்புகளுக்கும் இடையில் உள்ளூரில் ஒரு ஐசோமெட்ரியை வழங்குகிறது. குறிப்பாக, மேற்பரப்புகளில் ஒன்று ஒரு தளமாக இருந்தால், மற்றொன்று வளர்ச்சியடையக்கூடிய மேற்பரப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறதுஃ எனவே வளர்ச்சியடையக்கூடிய மேற்பரப்பு என்பது ஒரு தளத்திற்கு உள்ளூரில் ஐசோமெட்ரிக் ஆகும். உருளை வளர்ச்சியடையக்கூடியது, ஆனால் கோளம் இல்லை. தட்டையான இணைப்புகள் மேம்பாட்டை தட்டையான இணைப்புகளைப் பயன்படுத்தி மேலும் பொதுமைப்படுத்தலாம். இந்தக் கண்ணோட்டத்தில், தொடுகோட்டு தளத்தை ஒரு மேற்பரப்பின் மீது உருட்டுவது மேற்பரப்பில் ஒரு இணைப்பு இணைப்பை வரையறுக்கிறது (இது ஒரு வளைவின் வழியாக இணையான போக்குவரத்துக்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு), மேலும் இந்த இணைப்பு தட்டையாக இருக்கும் ஒரு மேம்பட்ட மேற்பரப்பு ஆகும். பொதுவாக ஒரு பன்மடங்கு மீது எந்த தட்டையான கார்டன் இணைப்பும் மாதிரி இடத்தில் அந்த பன்மடங்கு வளர்ச்சியை வரையறுக்கிறது. ஒருவேளை மிகவும் பிரபலமான உதாரணம் இணக்கமான தட்டையான n-மேனிஃபோல்டுகளின் வளர்ச்சியாகும், இதில் மாதிரி-இடைவெளி n-கோளமாகும். ஒரு இணக்கமான தட்டையான பன்மடங்கு வளர்ச்சி என்பது பன்மடங்கு உலகளாவிய மறைப்பிலிருந்து n-கோளத்திற்கு ஒரு இணக்கமான உள்ளூர் வேறுபாடு ஆகும். வளர்ச்சியடையாத மேற்பரப்புகள் இரட்டை வளைந்த மேற்பரப்புகளின் வகை (வளர்ச்சியடையாத மேற்பரப்புகள்) வெறுமனே வெளிப்படுத்த முடியாத (வளர்ந்த) பொருட்களைக் கொண்டுள்ளது. இத்தகைய மேற்பரப்புகளை தோராயமாக நேரியல் மேற்பரப்பு கூறுகளின் சில சிதைவுகளுடன் மட்டுமே உருவாக்க முடியும் (நீட்டிக்கப்பட்ட கட்ட முறையைப் பார்க்கவும்) மேலும் காண்க உருவாக்கக்கூடிய மேற்பரப்பு ஆளப்பட்ட மேற்பரப்பு குறிப்புகள் வேறுபட்ட வடிவியல் இணைப்பு (கணிதம்)