1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯
கணிதத்தில், எல்லையற்ற தொடர் என்பது கணித வரலாற்றில் சுருக்கப்படும் முதல் எல்லையற்ற தொடர்களில் ஒன்றாகும்; இது ஆர்க்கிமிடீஸ் சுமார் கிமு 250-200 ஆல் பயன்படுத்தப்பட்டது. இது முதல் சொல் மற்றும் பொதுவான விகிதத்துடன் ஒரு வடிவியல் தொடர் என்பதால், அதன் கூட்டுத்தொகை காட்சி செயல்விளக்கங்கள் இந்தத் தொடர் சில குறிப்பாக எளிய காட்சி செயல்விளக்கங்களுக்கு தன்னைக் கொடுக்கிறது, ஏனெனில் ஒரு சதுரம் மற்றும் ஒரு முக்கோணம் இரண்டும் நான்கு ஒத்த துண்டுகளாகப் பிரிக்கப்பட்டுள்ளன, அவை ஒவ்வொன்றும் அசலின் பரப்பளவைக் கொண்டுள்ளன. இடதுபுறத்தில் உள்ள படத்தில், பெரிய சதுரத்தின் பரப்பளவு 1 என்று எடுத்துக் கொண்டால், மிகப்பெரிய கருப்பு சதுரத்தின் பரப்பளவு × = ஆகும். அதேபோல், இரண்டாவது பெரிய கருப்பு சதுரம் பரப்பளவைக் கொண்டுள்ளது, மூன்றாவது பெரிய கருப்பு சதுரம் பரப்பளவைக் கொண்டுள்ளது. எனவே அனைத்து கருப்பு சதுரங்களும் ஒன்றாக எடுத்துக் கொள்ளும் பகுதி, சாம்பல் சதுரங்கள் மற்றும் வெள்ளை சதுரங்களால் எடுக்கப்பட்ட பகுதியும் இதுதான். இந்த மூன்று பகுதிகளும் அலகு சதுரத்தை உள்ளடக்கியது என்பதால், ஆர்க்கிமிடீஸின் சொந்த விளக்கப்படம், மேலே தழுவி, சற்று வித்தியாசமாக இருந்தது என்பதை இந்த படம் நிரூபிக்கிறது, இது சமன்பாட்டிற்கு நெருக்கமாக உள்ளது ஆர்க்கிமிடீஸின் விளக்கம் குறித்த விவரங்களுக்கு கீழே காண்க. அதே வடிவியல் மூலோபாயம் முக்கோணங்களுக்கும் வேலை செய்கிறது, வலதுபுறத்தில் உள்ள படத்தில் உள்ளதைப் போலஃ பெரிய முக்கோணத்திற்கு பரப்பளவு 1 இருந்தால், மிகப்பெரிய கருப்பு முக்கோணத்திற்கு பரப்பளவு மற்றும் பல உள்ளன. ஒட்டுமொத்த உருவமும் பெரிய முக்கோணத்திற்கும் அதன் மேல் துணை முக்கோணத்திற்கும் இடையில் ஒரு சுய ஒற்றுமையைக் கொண்டுள்ளது. ஒரு தொடர்புடைய கட்டுமானம் அதன் மூன்று மூலையில் உள்ள துண்டுகளைப் போலவே உருவத்தை உருவாக்குகிறது சியர்பின்ஸ்கி முக்கோணத்தை உருவாக்குகிறது. ஆர்க்கிமிடீஸ் ஆர்க்கிமிடீஸ் தனது படைப்பான குவாட்ரச்சர் ஆஃப் தி பரபோலாவில் இந்தத் தொடரை எதிர்கொள்கிறார். சோர்வு முறை மூலம் ஒரு பரவளையத்திற்குள் உள்ள பகுதியை அவர் காண்கிறார், மேலும் அவர் தொடர்ச்சியான முக்கோணங்களைப் பெறுகிறார்; கட்டுமானத்தின் ஒவ்வொரு கட்டமும் முந்தைய கட்டத்தின் பரப்பளவைப் போல ஒரு பரப்பளவைச் சேர்க்கிறது. அவர் விரும்பிய முடிவு என்னவென்றால், மொத்த பரப்பளவு முதல் கட்டத்தின் பரப்பளவு மடங்கு ஆகும். அங்கு செல்ல, அவர் ஒரு இயற்கணித லெம்மாவை அறிமுகப்படுத்த பரவளையங்களிலிருந்து ஒரு இடைவெளி எடுக்கிறார்ஃ முன்மொழிவு 23. தொடர்ச்சியான பகுதிகளைப் பொறுத்தவரை, அவற்றில் A மிகப் பெரியது, ஒவ்வொன்றும் அடுத்த வரிசையில் நான்கு மடங்குக்கு சமம், பின்னர் ஆர்க்கிமிடீஸ் முதலில் கணக்கிடுவதன் மூலம் முன்மொழிவை நிரூபிக்கிறார். மறுபுறம், முந்தைய சமன்பாட்டிலிருந்து இந்த சமன்பாட்டைக் கழித்து, இருபுறமும் A ஐச் சேர்ப்பது விரும்பிய முடிவை அளிக்கிறது. இன்று, ஆர்க்கிமிடீஸின் முன்மொழிவுக்கு மிகவும் நிலையான சொற்றொடர் என்னவென்றால், தொடரின் பகுதி கூட்டுத்தொகை பின்வருமாறுஃ இரு பக்கங்களையும் 1 ஆல் பெருக்குவதன் மூலமும், சமன்பாட்டின் இடது புறத்தில் உள்ள முதல் மற்றும் கடைசி சொற்களைத் தவிர மற்ற அனைத்தும் ஜோடியாக ரத்து செய்யப்படுவதைக் கவனிப்பதன் மூலமும் இந்த வடிவத்தை நிரூபிக்க முடியும். அதே மூலோபாயம் எந்த வரையறுக்கப்பட்ட வடிவியல் தொடர்களுக்கும் வேலை செய்கிறது. ஆர்க்கிமிடீஸின் முன்மொழிவு 24 வரம்பு முன்மொழிவு 23 இல் உள்ள வரையறுக்கப்பட்ட (ஆனால் தீர்மானிக்கப்படாத) கூட்டுத்தொகையை ஒரு பரவளையத்திற்குள் உள்ள பகுதிக்கு இரட்டை குறைப்பு மற்றும் அபத்தத்தால் பயன்படுத்துகிறது. மேற்கூறிய பகுதி தொகைகளின் வரம்பை அவர் சரியாக எடுக்கவில்லை, ஆனால் நவீன கால்குலஸில் இந்த படி எளிதானதுஃ ஒரு எல்லையற்ற தொடரின் கூட்டுத்தொகை அதன் பகுதி தொகைகளின் வரம்பாக வரையறுக்கப்படுவதால், குறிப்புகள் குறிப்புகள் வடிவியல் தொடரில் புள்ளிவிவரங்கள் மற்றும் வர்ணனைகளுடன் எச். டி. எம். எல் இல் பக்க படங்கள் சொற்கள் இல்லாத ஆதாரம்