Cohomological dimension
சுருக்க இயற்கணிதத்தில், கோஹோமோலாஜிக்கல் பரிமாணம் என்பது ஒரு குழுவின் மாறாதது, இது அதன் பிரதிநிதித்துவங்களின் ஒரே மாதிரியான சிக்கலை அளவிடுகிறது. இது வடிவியல் குழு கோட்பாடு, இடவியல் மற்றும் இயற்கணித எண் கோட்பாட்டில் முக்கியமான பயன்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளது. ஒரு குழுவின் கோஹோமோலாஜிக்கல் பரிமாணம் பெரும்பாலான கோஹோமோலாஜிக்கல் மாறுபாடுகளாக, கோஹோமோலாஜிக்கல் பரிமாணம் ஒரு "குணகங்களின் வளையம்" R இன் தேர்வை உள்ளடக்கியது, R = Z ஆல் வழங்கப்பட்ட ஒரு முக்கிய சிறப்பு வழக்கு, முழு எண்களின் வளையம். ஜி ஒரு தனித்துவமான குழுவாகவும், ஆர் ஒரு அலகு கொண்ட பூஜ்ஜியமற்ற வளையமாகவும், ஆர்ஜி குழு வளையமாகவும் இருக்கட்டும். அற்பமான ஆர்ஜி-தொகுதி ஆர் நீளம் n இன் ப்ரொஜெக்டிவ் தெளிவுத்திறனைக் கொண்டிருந்தால், ஜி குழு n ஐ விட குறைவாகவோ அல்லது சமமாகவோ உள்ளது, இது சிடிஆர் (ஜி) ≤ n ஐக் குறிக்கிறது, அதாவது. திட்டவட்டமான RG-தொகுதிகள் P0,., Pn மற்றும் RG-தொகுதி ஒத்த உருவங்கள் dk: PkPk−1 (k = 1,., n) மற்றும் d0: P0R உள்ளன, அதாவது dk இன் படம் k = 1,., n க்கு dk−1 இன் கர்னலுடன் ஒத்துப்போகிறது மற்றும் dn இன் கர்னல் அற்பமானது. சமமாக, ஒரு தன்னிச்சையான RG-தொகுதி M க்கு, M இல் உள்ள குணகங்களுடன் G இன் ஒத்திசைவு k> n டிகிரிகளில் மறைந்துவிட்டால், அதாவது k> n போது Hk (G, M) = 0. பகா p க்கான p-ஆல்ககாலஜிக்கல் பரிமாணம் இதேபோல் p-முறிவு குழுக்கள் Hk (G, M) {p} அடிப்படையில் வரையறுக்கப்படுகிறது. G இன் ஒத்திசைவு பரிமாணம் n ஐ விட குறைவாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்கும் மிகச்சிறிய n என்பது G இன் ஒத்திசைவு பரிமாணமாகும் (குணகங்கள் R உடன்), இது குறிக்கப்படுகிறது. ஒரு சுருக்கமான இடவியல் இடம் X இல் குழு G இன் இலவச நடவடிக்கையிலிருந்து ஒரு இலவச தீர்மானத்தைப் பெறலாம். குறிப்பாக, X என்பது செல்களை ஊடுருவிச் செல்லும் ஒரு தனித்துவமான குழு G இன் இலவச நடவடிக்கையுடன் பரிமாணம் n இன் சுருங்கக்கூடிய CW வளாகமாக இருந்தால், பின்னர். எடுத்துக்காட்டுகள் எடுத்துக்காட்டுகளின் முதல் குழுவில், குணகங்களின் வளையம் R ஆக இருக்கட்டும். ஒரு இலவச குழு கோஹோமோலாஜிக்கல் பரிமாணத்தைக் கொண்டுள்ளது. ஜான் ஸ்டாலிங்ஸ் (இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட குழுவிற்கு) மற்றும் ரிச்சர்ட் ஸ்வான் (முழு பொதுத்தன்மைக்கு) காட்டியபடி, இந்த பண்பு சுதந்திர குழுக்களை வகைப்படுத்துகிறது. இந்த முடிவு ஸ்டாலிங்ஸ்-ஸ்வான் தேற்றம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. G குழுவிற்கான ஸ்டாலிங்ஸ்-ஸ்வான் தேற்றம், G இன் ஒவ்வொரு நீட்டிப்பும் அபெலியன் கர்னலுடன் பிரிக்கப்பட்டால் மட்டுமே G இலவசம் என்று கூறுகிறது. கோளத்தைத் தவிர ஒரு சிறிய, இணைக்கப்பட்ட, நோக்குநிலை ரீமன் மேற்பரப்பின் அடிப்படை குழு கோஹோமோலாஜிக்கல் பரிமாணம் இரண்டைக் கொண்டுள்ளது. மேலும் பொதுவாக, n பரிமாணத்தின் ஒரு மூடிய, இணைக்கப்பட்ட, நோக்கக்கூடிய அஸ்பெரிகல் பன்மடங்கு அடிப்படை குழு கோஹோமோலாஜிக்கல் பரிமாணத்தைக் கொண்டுள்ளது n. குறிப்பாக, ஒரு மூடிய நோக்கற்ற ஹைபர்போலிக் n-மேனிஃபோல்டின் அடிப்படை குழு கோஹோமோலாஜிக்கல் பரிமாணத்தைக் கொண்டுள்ளது n. நான்ட்ரிவியல் வரையறுக்கப்பட்ட குழுக்கள் எல்லையற்ற கோஹோமோலாஜிக்கல் பரிமாணத்தைக் கொண்டுள்ளன. மேலும் பொதுவாக, அற்பமான முறிவு இல்லாத குழுக்களுக்கும் இது பொருந்தும். ஒரு குழு ஜி அதன் குழு வளையம் ஆர்ஜி அரை எளிமையாக இருந்தால் மட்டுமே கோஹோமோலாஜிக்கல் பரிமாணம் 0 ஐக் கொண்டுள்ளது. எனவே ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட குழு அதன் வரிசை (அல்லது, அதற்கு சமமாக, அதன் உறுப்புகளின் வரிசைகள்) ஆர் இல் தலைகீழாக இருந்தால் மட்டுமே கோஹோமோலாஜிக்கல் பரிமாணம் 0 ஐக் கொண்டுள்ளது. ஸ்டாலிங்ஸ்-ஸ்வான் தேற்றத்தை பொதுமைப்படுத்தி, மார்ட்டின் டன்வுடி ஒரு குழு ஒரு தன்னிச்சையான வளையம் ஆர் மீது அதிகபட்சமாக ஒன்றைக் கொண்டுள்ளது என்பதை நிரூபித்தது, அது ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட குழுக்களின் இணைக்கப்பட்ட வரைபடத்தின் அடிப்படை குழுவாக இருந்தால் மட்டுமே, அதன் வரிசைகள் ஆர் இல் தலைகீழாக இருக்கும். ஒரு புலத்தின் கோஹோமோலாஜிக்கல் பரிமாணம் ஒரு புலத்தின் பி-ஆல்கோஹோலாஜிக்கல் பரிமாணம் கே என்பது கே இன் பிரிக்கக்கூடிய மூடலின் கலோயிஸ் குழுவின் பி-ஆல்கோஹோலாஜிக்கல் பரிமாணமாகும். ஒவ்வொரு வரையறுக்கப்பட்ட புலமும் முழுமையான காலோயிஸ் குழு ஐசோமார்பிக் மற்றும் கோஹோமோலாஜிக்கல் பரிமாணம் 1 ஐக் கொண்டுள்ளது. பூஜ்ஜியமற்ற பண்பு கொண்ட ஒரு இயற்கணித மூடிய புலம் k மீது முறையான லாரண்ட் தொடரின் புலம் முழுமையான காலோயிஸ் குழு ஐசோமார்பிக் மற்றும் எனவே கோஹோமோலாஜிக்கல் பரிமாணம் 1 ஐக் கொண்டுள்ளது. மேலும் காண்கஃ ஐலென்பெர்க்-கேனியா அனுமானம் குழு ஒத்திசைவு உலகளாவிய பரிமாண குறிப்புகள் குழு கோட்பாடு ஹோமோலாஜிக்கல் அல்ஜிப்ரா