1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯
கணிதத்தில், எல்லையற்ற தொடர் என்பது முற்றிலும் ஒன்றிணைக்கும் வடிவியல் தொடரின் ஒரு அடிப்படை எடுத்துக்காட்டு ஆகும். இந்தத் தொடரின் கூட்டுத்தொகை 1 ஆகும். சுருக்கக் குறியீட்டில், இந்தத் தொடர் பழங்காலத்தில் கருதப்பட்ட தத்துவக் கேள்விகளுடன், குறிப்பாக ஜெனோவின் முரண்பாடுகளுடன் தொடர்புடையது என்பதால் இது வெளிப்படுத்தப்படலாம். எந்தவொரு எல்லையற்ற தொடரையும் போலவே, தொகை என்பது முடிவிலியை நெருங்கும்போது முதல் சொற்களின் பகுதி கூட்டுத்தொகையின் வரம்பைக் குறிக்கும் வகையில் வரையறுக்கப்படுகிறது. பல்வேறு வாதங்கள் மூலம், இந்த வரையறுக்கப்பட்ட தொகை முடிவிலியை நெருங்கும்போது, சொல் 0 ஐ நெருங்குகிறது, எனவே 1 க்கு முனைகிறது. ஜெனோவின் முரண்பாடு இந்த தொடர் ஜெனோவின் பல முரண்பாடுகளின் பிரதிநிதித்துவமாக பயன்படுத்தப்பட்டது. உதாரணமாக, அகில்ஸ் மற்றும் ஆமை முரண்பாட்டில், போர்வீரர் அகில்ஸ் ஒரு ஆமைக்கு எதிராக பந்தயத்தில் ஈடுபட வேண்டும். இந்த பாதை 100 மீட்டர் நீளம் கொண்டது. அகில்ஸ் 10 மீ/வி வேகத்தில் ஓட முடியும், அதே நேரத்தில் ஆமை 5 மட்டுமே. ஆமை, 10 மீட்டர் சாதகத்துடன், ஜெனோ வாதிட்டார், வெற்றி பெறுவார். ஆமையைப் பிடிக்க அகில்ஸ் 10 மீட்டர் நகர வேண்டியிருக்கும், ஆனால் அதற்குள் ஆமை ஏற்கனவே மேலும் ஐந்து மீட்டர் நகர்ந்திருக்கும். அகில்ஸ் பின்னர் 5 மீட்டர் நகர வேண்டும், அங்கு ஆமை 2.5 மீட்டர் நகரும், மற்றும் பல. ஆமை எப்போதும் அகில்லஸை விட முன்னால் இருக்கும் என்று ஜெனோ வாதிட்டார். ஒரு குறிப்பிட்ட தூரத்தை நகர்த்த, நீங்கள் அதில் பாதியை நகர்த்த வேண்டும், பின்னர் மீதமுள்ள தூரத்தில் பாதியை நகர்த்த வேண்டும், எனவே எண்ணற்ற நேர இடைவெளிகளைக் கொண்டிருக்க வேண்டும் என்றும் இருவகையியல் முரண்பாடு கூறுகிறது. ஒவ்வொரு நேர இடைவெளியும் எல்லையற்ற வடிவியல் தொடரின் ஒரு சொல் என்பதைக் குறிப்பிடுவதன் மூலம் இதை எளிதாக தீர்க்க முடியும், மேலும் இது ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணாக இருக்கும். ஹோரஸின் கண் ஹோரஸின் கண்ணின் பகுதிகள் இந்தத் தொடரின் முதல் ஆறு சுருக்கங்களைக் குறிக்கும் என்று ஒரு காலத்தில் கருதப்பட்டது. எண்ணற்ற யுகங்களில் அது தீர்ந்துவிடாது இந்தத் தொடரின் ஒரு பதிப்பு பண்டைய தாவோயிஸ்ட் புத்தகமான ஜுவாங்ஸியில் தோன்றுகிறது. "சொர்க்கத்தின் கீழ் உள்ள அனைத்தும்" என்ற பல்வேறு அத்தியாயங்களில் பின்வரும் வாக்கியம் அடங்கும்ஃ "ஒரு சி நீண்ட குச்சியை எடுத்து ஒவ்வொரு நாளும் பாதியை அகற்றவும், எண்ணற்ற யுகங்களில் அது தீர்ந்துவிடாது". மேலும் பார்க்கவும் 0.999.1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ꯘꯥ உண்மையான முடிவிலி குறிப்புகள் குறிப்புகள் வடிவியல் தொடர் 1 (எண்)