Rotor (mathematics)
ரோட்டார் என்பது ஒரு திசையன் இடத்தின் வடிவியல் இயற்கணிதத்தில் (கிளிஃபோர்ட் இயற்கணிதம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) ஒரு பொருள், இது தோற்றத்தைப் பற்றிய சுழற்சியைக் குறிக்கிறது. இந்த சொல் வில்லியம் கிங்டன் கிளிஃபோர்டு என்பவரிடமிருந்து உருவானது, இது குவாட்டர்னியன் இயற்கணிதம் என்பது ஹெர்மன் கிராஸ்மேனின் "விரிவாக்கக் கோட்பாட்டின்" (ஆஸ்டெஹ்னுங்ஸ்லெர்) ஒரு சிறப்பு வழக்கு என்பதைக் காட்டுகிறது. ஹெஸ்டென்ஸ் ஒரு ரோட்டரை ஒரு வடிவியல் இயற்கணிதத்தின் எந்த உறுப்பாகவும் வரையறுத்தார், இது சம எண்ணிக்கையிலான அலகு திசையன்களின் பெருக்கலாக எழுதப்படலாம் மற்றும் திருப்தி அளிக்கிறது, அங்கு "தலைகீழ்"-அதாவது அதே திசையன்களின் பெருக்கல், ஆனால் தலைகீழ் வரிசையில். வரையறை கணிதத்தில், ஒரு திசையன் இடைவெளி V இன் வடிவியல் இயற்கணிதத்தில் ஒரு ரோட்டார் என்பது சுழல் குழுவின் (V) ஒரு உறுப்புக்கு சமம். இந்த குழுவை நாம் கீழே வரையறுக்கிறோம். V என்பது ஒரு நேர்மறை திட்டவட்டமான இருபடி வடிவம் q கொண்ட ஒரு திசையன் இடமாக இருக்கட்டும், மேலும் Cl (V) என்பது V உடன் தொடர்புடைய வடிவியல் இயற்கணிதமாக இருக்கட்டும். (சிஎல் (வி) இல் உள்ள டென்சர் பெருக்கல் வடிவியல் இயற்கணிதத்தில் வடிவியல் பெருக்கல் என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் இந்த கட்டுரையில் இது குறிக்கப்படுகிறது.) V இன் டென்சர் இயற்கணிதத்தில் உள்ள Z-தரப்படுத்தல் Cl (V) இல் ஒரு Z/2Z-தரப்படுத்தலுக்கு இறங்குகிறது, இதை நாம் இங்கே குறிக்கிறோம், கிளீவன் (V) சம-டிகிரி கத்திகளால் உருவாக்கப்படுகிறது மற்றும் க்ளோட் (V) ஒற்றைப்படை-டிகிரி கத்திகளால் உருவாக்கப்படுகிறது. கிள் (வி) இன் தனித்துவமான ஆன்டியோடோமார்பிசம் உள்ளது, இது வி மீது உள்ள அடையாளத்தை கட்டுப்படுத்துகிறதுஃ இது டிரான்ஸ்போஸ் என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் எந்த மல்டிவெக்டரின் இடமாற்றமும் குறிக்கப்படுகிறது. ஒரு பிளேடில் (அதாவது, ஒரு எளிய டென்சர்), இது வெறுமனே காரணிகளின் வரிசையை மாற்றியமைக்கிறது. சுழல் குழு சுழல் (V) என்பது கிளிவன் (V) இன் துணைக்குழுவாக வரையறுக்கப்படுகிறது, இது பன்முகத்தன்மை கொண்ட R ஐக் கொண்டுள்ளது, அதாவது, இது பன்முகத்தன்மை கொண்டவை, அவை சம எண்ணிக்கையிலான அலகு திசையன்களின் பெருக்கலாக எழுதப்படலாம். வடிவியல் இயற்கணிதத்தில் ஒரு திசையன் வழியாக சுழலும் செயல்பாடு பிரதிபலிப்பின் ஹைப்பர்பிளேனுக்கு செங்குத்தாக ஒரு பூஜ்யம் அல்லாத திசையன் v க்கும் அந்த திசையனின் தலைகீழ் v−1: க்கும் இடையில் ஒரு மல்டிவெக்டர் M ஐ (மைனஸ்) சாண்ட்விச்சிங் செய்வதாக குறிப்பிடப்படலாம் மற்றும் அவை சம தரத்தில் உள்ளன. ரோட்டார் R ஆல் உருவாக்கப்படும் சுழற்சியின் கீழ், ஒரு பொதுவான மல்டிவெக்டர் M இரட்டை பக்கமாக மாறும், ஏனெனில் இந்த செயல் ஸ்பின் (V) ஐ SO (V) இன் இரட்டை மறைப்பாக முன்வைக்கும் ஒரு சர்ஜெக்டிவ் ஹோமோமார்பிசத்தை வழங்குகிறது. (மேலும் விவரங்களுக்கு ஸ்பின் குழுவைப் பார்க்கவும்.) கட்டுப்படுத்தப்பட்ட மாற்று சூத்திரம் ஒரு யூக்ளிடியன் இடத்திற்கு, ஒரு மாற்று சூத்திரத்தைக் கருத்தில் கொள்வது வசதியாக இருக்கலாம், மேலும் சில ஆசிரியர்கள் பிரதிபலிப்பின் செயல்பாட்டை (கழித்தல்) ஒரு யூனிட்டின் சாண்ட்விச்சிங் (அதாவது. இயல்பாக்கப்பட்ட) மல்டிவெக்டர்ஃ தானாக இயல்பாக்கப்பட்ட ரோட்டர்களை உருவாக்குதல்ஃ பெறப்பட்ட ரோட்டார் நடவடிக்கை பின்னர் ஒரு சாண்ட்விச் தயாரிப்பாக தலைகீழாக வெளிப்படுத்தப்படுகிறதுஃ ஒரு பிரதிபலிப்புக்கு தொடர்புடைய திசையன் ஒரு எதிர்மறை அளவிடுதலுடன் சதுரமாக இருக்கும், இது ஒரு போலி-யூக்ளிடியன் இடத்தைப் போலவே இருக்கலாம், அத்தகைய திசையனை அதன் சதுரத்தின் அடையாளம் வரை மட்டுமே இயல்பாக்க முடியும், மேலும் பயன்பாட்டின் அடையாளத்தின் கூடுதல் கணக்கீடு ரோட்டார் அவசியம். மேலே உள்ள தலைகீழ் கொண்ட சாண்ட்விச் தயாரிப்பின் அடிப்படையில் உருவாக்கம் அத்தகைய குறைபாட்டை ஏற்படுத்தாது. பல உந்துசக்திகள் மற்றும் சுழற்சிகளின் சுழற்சிகள் இருப்பினும், பல உந்துசக்திகளும் இரட்டை பக்கமாக மாறுகின்றன என்றாலும், சுழற்சிகளை இணைத்து ஒரு குழுவை உருவாக்கலாம், எனவே பல சுழற்சிகள் ஒற்றை பக்கமாக உருவாகின்றன. மேலே உள்ள மாற்று சூத்திரம் சுய-இயல்பாக்கம் அல்ல, மேலும் வடிவியல் இயற்கணிதத்தில் ஸ்பின்னரின் வரையறையை ஒற்றை பக்கமாக மாற்றும் ஒரு பொருளாக ஊக்குவிக்கிறது-அதாவது, ஸ்பின்னர்கள் இயல்பற்ற ரோட்டர்களாக கருதப்படலாம், இதில் சாண்ட்விச் தயாரிப்பில் தலைகீழ் பதிலாக தலைகீழ் பயன்படுத்தப்படுகிறது. ஒரே மாதிரியான பிரதிநிதித்துவ ஆல்ஜிப்ராக்கள் இணக்கமான வடிவியல் இயற்கணிதம் போன்ற ஒரே மாதிரியான பிரதிநிதித்துவ ஆல்ஜிப்ராக்களில், பிரதிநிதித்துவ இடத்தில் ஒரு ரோட்டார் ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளியைப் பற்றிய சுழற்சிக்கு ஒத்திருக்கிறது, ஒரு மொழிபெயர்ப்பு அல்லது அடிப்படை இடத்தில் மற்றொரு மாற்றம். மேலும் காண்க இரட்டை சுழற்சி லை குழு ஆய்லரின் சூத்திரம் ஜெனரேட்டர் (கணிதம்) வெர்சர் குறிப்புகள் வடிவியல் இயற்கணிதம்