Excellent ring
பரிமாற்ற இயற்கணிதத்தில், ஒரு அரை-சிறந்த வளையம் என்பது ஒரு நொய்தேரியன் பரிமாற்ற வளையமாகும், இது முடிவின் செயல்பாட்டைப் பொறுத்தவரை நன்றாக செயல்படுகிறது, மேலும் இது உலகளவில் கேட்டனரியாக இருந்தால் ஒரு சிறந்த வளையம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. எண் கோட்பாடு மற்றும் இயற்கணித வடிவவியலில் நிகழும் பெரும்பாலான வளையங்களைக் கொண்ட "நன்கு நடந்துகொள்ளும்" வளையங்களின் இயற்கையான வகுப்பைக் கண்டுபிடிப்பதில் உள்ள சிக்கலுக்கு சிறந்த வளையங்கள் ஒரு பதிலாகும். ஒரு காலத்தில் நொய்தேரியன் வளையங்களின் வகுப்பு இந்த சிக்கலுக்கு ஒரு பதிலாக இருக்கலாம் என்று தோன்றியது, ஆனால் மசாயோஷி நாகாட்டாவும் மற்றவர்களும் பல விசித்திரமான எதிர் உதாரணங்களைக் கண்டறிந்தனர், இது பொதுவாக நொய்தேரியன் வளையங்கள் நன்கு நடந்து கொள்ள வேண்டியதில்லை என்பதைக் காட்டுகிறதுஃ எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு சாதாரண நொய்தேரியன் உள்ளூர் வளையம் பகுப்பாய்வு ரீதியாக இயல்பானதாக இருக்க வேண்டியதில்லை. சிறந்த வளையங்களின் வகுப்பை அலெக்சாண்டர் கிரோதெண்டிக் (1965) நன்கு நடந்து கொள்ளும் வளையங்களின் ஒரு வகுப்புக்கு ஒரு வேட்பாளராக வரையறுத்தார். அரை-சிறந்த வளையங்கள் ஒற்றைத்தன்மையின் தீர்மானத்தின் சிக்கலைத் தீர்க்கக்கூடிய அடிப்படை வளையங்களாகக் கருதப்படுகின்றன; இது பண்பு 0 இல் காட்டப்பட்டுள்ளது, ஆனால் நேர்மறை பண்பு வழக்கு (2016 நிலவரப்படி) இன்னும் ஒரு பெரிய திறந்த சிக்கலாக உள்ளது. இயற்கணித வடிவியல் அல்லது எண் கோட்பாட்டில் இயற்கையாக நிகழும் அனைத்து நொய்தேரியன் வளையங்களும் சிறந்தவை; உண்மையில், சிறந்ததாக இல்லாத நொய்தேரியன் வளையங்களின் எடுத்துக்காட்டுகளை உருவாக்குவது மிகவும் கடினம். வரையறைகள் சிறந்த வளையங்களின் வரையறை மிகவும் தொடர்புடையது, எனவே அது திருப்திப்படுத்தும் தொழில்நுட்ப நிலைமைகளின் வரையறைகளை நாம் நினைவுகூர்கிறோம். இது நிபந்தனைகளின் நீண்ட பட்டியல் போல் தோன்றினாலும், நடைமுறையில் பெரும்பாலான வளையங்கள் சிறந்தவை, அதாவது புலங்கள், பல்லுறுப்புக்கோவை வளையங்கள், முழுமையான நொய்தேரியன் வளையங்கள், சிறப்பியல்பு 0 (போன்றவை) மீது உள்ள டெடெக்கிண்ட் களங்கள் மற்றும் இந்த வளையங்களின் ஈவு மற்றும் உள்ளூர்மயமாக்கல் வளையங்கள். நினைவுகூரப்பட்ட வரையறைகள் வளையத்தின் எந்தவொரு வரையறுக்கப்பட்ட நீட்டிப்புக்கும் வழக்கமானதாக இருந்தால், ஒரு புலத்தைக் கொண்ட வளையம் வடிவியல் ரீதியாக வழக்கமான ஓவர் என்று அழைக்கப்படுகிறது. வளையங்களின் ஒத்த உருவம் அது தட்டையாக இருந்தால் வழக்கமான என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் ஒவ்வொரு இழையும் வடிவியல் ரீதியாக அதன் எஞ்சிய புலத்தின் மீது வழக்கமானதாக இருக்கும். ஒரு வளையம் நொய்தேரியன் மற்றும் அதன் முறையான இழைகள் வடிவியல் ரீதியாக வழக்கமானதாக இருந்தால் ஜி-ரிங் (அல்லது கிரோதெண்டிக் வளையம்) என்று அழைக்கப்படுகிறது; இதன் பொருள் என்னவென்றால், உள்ளூர் வளையத்திலிருந்து அதன் நிறைவு வரை வரைபடம் மேலே உள்ள அர்த்தத்தில் வழக்கமானதாகும். இறுதியாக, எந்தவொரு வரையறுக்கப்பட்ட வகை-இயற்கணிதம் J-1 ஆக இருந்தால், ஒரு வளையம் J-2 ஆகும், அதாவது வழக்கமான சந்தா திறந்திருக்கும். (அரை-) சிறப்பின் வரையறை ஒரு வளையம் ஜி-வளையம் மற்றும் ஜே-2 வளையமாக இருந்தால் அது அரை-சிறந்தது என்று அழைக்கப்படுகிறது. இது அரை-சிறந்த மற்றும் உலகளாவிய கேடனரியாக இருந்தால் அது சிறந்த pg 214 என்று அழைக்கப்படுகிறது. நடைமுறையில் கிட்டத்தட்ட அனைத்து நொய்தேரியன் வளையங்களும் உலகளவில் கேடெனரி ஆகும், எனவே சிறந்த மற்றும் அரை-சிறந்த வளையங்களுக்கு இடையே சிறிய வேறுபாடு உள்ளது. ஒரு திட்டம் சிறந்த அல்லது அரை-சிறந்த என்று அழைக்கப்படுகிறது, அதே சொத்துடன் திறந்த இணைப்பு சந்தாக்கள் மூலம் ஒரு கவர் இருந்தால், இது ஒவ்வொரு திறந்த இணைப்பு சந்தாக்கும் இந்த பண்பு உள்ளது என்பதைக் குறிக்கிறது. பண்புகள் ஒரு சிறந்த வளையம் ஜி-வளையம் என்பதால், அது வரையறையின்படி நொய்தேரியன் ஆகும். இது உலகளாவிய கேடெனரி என்பதால், பகா இலட்சியங்களின் ஒவ்வொரு அதிகபட்ச சங்கிலியும் ஒரே நீளத்தைக் கொண்டுள்ளன. அத்தகைய வளையங்களின் பரிமாணக் கோட்பாட்டைப் படிக்க இது பயனுள்ளதாக இருக்கும், ஏனெனில் அவற்றின் பரிமாணத்தை ஒரு நிலையான அதிகபட்ச சங்கிலியால் வரையறுக்க முடியும். நடைமுறையில், இதன் பொருள் எல்லையற்ற பரிமாண நொய்தேரியன் வளையங்கள், அவை பகா இலட்சியங்களின் அதிகபட்ச சங்கிலிகளின் தூண்டல் வரையறையைக் கொண்டுள்ளன, அவை எல்லையற்ற பரிமாண வளையத்தைக் கொடுக்கின்றன, அவற்றை உருவாக்க முடியாது. திட்டங்கள் ஒரு சிறந்த திட்டம் மற்றும் உள்ளூரில் வரையறுக்கப்பட்ட வகை உருவவியல் கொடுக்கப்பட்டால், பின்னர் சிறந்தது pg 217 ஆகும். அரை-சிறப்பானது எந்தவொரு அரை-சிறந்த வளையமும் ஒரு நாகாடா வளையமாகும். எந்தவொரு மிகச்சிறந்த குறைக்கப்பட்ட உள்ளூர் வளையமும் பகுப்பாய்வு ரீதியாக குறைக்கப்படுகிறது. எந்தவொரு அரை-சிறந்த இயல்பான உள்ளூர் வளையமும் பகுப்பாய்வு ரீதியாக இயல்பானது. எடுத்துக்காட்டுகள் சிறந்த வளையங்கள் எண் கோட்பாடு அல்லது இயற்கணித வடிவவியலில் இயற்கையாக நிகழும் பரிமாற்ற வளையங்கள் மிகச் சிறந்தவை. குறிப்பாகஃ அனைத்து முழுமையான நொய்தேரியன் உள்ளூர் வளையங்களும், எடுத்துக்காட்டாக அனைத்து புலங்களும்-அடிக் முழு எண்களின் வளையமும் சிறந்தவை. சிறப்பியல்புகளின் அனைத்து டெடெக்கிண்ட் களங்களும் சிறந்தவை. குறிப்பாக முழு எண்களின் வளையம் சிறந்தது. தேவையை விட அதிகமான சிறப்பியல்புகளின் துறைகளில் டெடெக்கைண்ட் களங்கள் சிறந்ததாக இருக்க வேண்டியதில்லை. ஒன்றிணைந்த சக்தி தொடரின் வளையங்கள் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான மாறிகளில் அல்லது சிறந்தவை. ஒரு சிறந்த வளையத்தின் எந்தவொரு உள்ளூர்மயமாக்கலும் சிறந்தது. ஒரு சிறந்த வளையத்தின் மீது இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட எந்த இயற்கணிதமும் சிறந்தது. இதில் சிறந்த அனைத்து பல்லுறுப்புக்கோவைகளும் அடங்கும். இதன் பொருள் இயற்கணித வடிவவியலில் கருதப்படும் பெரும்பாலான வளையங்கள் சிறந்தவை. ஒரு ஜி-வளையம் அல்லாத ஒரு ஜே-2 வளையம் இங்கே பரிமாணம் மற்றும் பண்பு கொண்ட ஒரு தனித்துவமான மதிப்பீட்டு வளையத்திற்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு, இது ஒரு-வளையம் அல்ல, எனவே அரை-சிறந்தது அல்ல. வரையறுக்கப்பட்ட பவர் சீரிஸின் வளையத்துடன் எந்தவொரு சிறப்பியல்பு புலமும் இருந்தால், அதன் முறையான இழைகள் அனைத்தும் வடிவியல் ரீதியாக வழக்கமானவை அல்ல, எனவே ஒரு-வளையம் அல்ல. இது ஒரு வளையமாகும், ஏனெனில் அனைத்து நொய்தேரியன் உள்ளூர் வளையங்களும் அதிகபட்சமாக வளையங்களாகும். இது ஒரு டெடெக்கிண்ட் களமாக இருப்பதால் இது உலகளாவிய கேடனரியாகவும் உள்ளது. இங்கே ஃப்ரோபீனியஸ் மார்ஃபிஸத்தின் கீழ் உள்ள உருவத்தை குறிக்கிறது. ஒரு ஜே-2 வளையம் அல்லாத ஜி-வளையம் இங்கே ஒரு ஜி-வளையம், ஆனால் ஜே-2 வளையம் அல்ல, எனவே அரை-சிறந்தது அல்ல. அனைத்து ஜெனரேட்டர்களின் சதுரங்கள் மற்றும் க்யூப்களால் உருவாக்கப்படும் எண்ணற்ற பல ஜெனரேட்டர்களில் உள்ள பல்லுறுப்புக்கோவை வளையத்தின் துணை வளையம் மற்றும் சிலவற்றால் உருவாக்கப்படும் எந்த இலட்சியங்களிலும் இல்லாத அனைத்து உறுப்புகளுக்கும் அருகிலுள்ள தலைகீழ்களால் பெறப்பட்டால், அது ஒரு 1 பரிமாண நொய்தேரியன் களமாகும், இது ஒரு வளையம் அல்ல, ஏனெனில் ஒவ்வொரு மூடிய புள்ளியிலும் ஒரு கஸ்ப் சிங்குலாரிட்டி உள்ளது, எனவே ஒற்றை புள்ளிகளின் தொகுப்பு ஒரு ஜி-வளையமாக இருந்தாலும் மூடப்படவில்லை. ஒவ்வொரு பிரைம் ஐடியலிலும் அதன் உள்ளூர்மயமாக்கல் ஒரு வழக்கமான வளையத்தின் ஈவு என்பதால் இந்த வளையம் உலகளவில் கேட்டனரியாகும். ஒரு அரை-சிறந்த வளையம், இது நாகட்டாவின் 2 பரிமாண நோய்தேரியன் உள்ளூர் வளையத்தின் சிறந்த எடுத்துக்காட்டு அல்ல, இது கேடெனரி ஆனால் உலகளவில் கேடெனரி அல்ல, இது ஒரு ஜி-வளையமாகும், மேலும் இது ஒரு ஜே-2 வளையமாகும், ஏனெனில் எந்த உள்ளூர் ஜி-வளையமும் ஒரு ஜே-2 வளையமாகும். எனவே இது ஒரு அரை-சிறந்த கேடனரி உள்ளூர் வளையம், இது சிறந்தது அல்ல. ஒற்றுமைகளின் தீர்மானம் அரை-சிறந்த வளையங்கள் ஒற்றுமைகளின் தீர்மானத்தின் சிக்கலுடன் நெருக்கமாக தொடர்புடையவை, மேலும் இது அவற்றை வரையறுப்பதற்கான கிரோதெண்டீக்கின் உந்துதல் pg 218 ஆக இருந்ததாகத் தெரிகிறது. கிரோதெண்டிக் (1965) அனைத்து முழுமையான ஒருங்கிணைந்த உள்ளூர் நொய்தேரியன் வளையங்களின் ஒற்றுமைகளைத் தீர்க்க முடிந்தால், குறைக்கப்பட்ட அனைத்து அரை-சிறந்த வளையங்களின் ஒற்றுமைகளையும் தீர்க்க முடியும் என்று குறிப்பிட்டார். ஹிரொனாகா (1964) 0 என்ற பண்பு புலத்தின் மீது உள்ள அனைத்து முழுமையான ஒருங்கிணைந்த நொய்தேரியன் உள்ளூர் வளையங்களுக்கும் இதை நிரூபித்தார், இது 0 என்ற பண்பு புலத்தின் மீது உள்ள சிறந்த திட்டங்களின் அனைத்து ஒற்றுமைகளையும் தீர்க்க முடியும் என்ற அவரது தேற்றத்தைக் குறிக்கிறது. இதற்கு நேர்மாறாக, அனைத்து ஒருங்கிணைந்த வரையறுக்கப்பட்ட ஆல்ஜிப்ராக்களின் ஸ்பெக்ட்ராவின் அனைத்து ஒற்றுமைகளையும் ஒரு நொய்தீரியன் வளையம் R மீது தீர்க்க முடிந்தால், R வளையம் அரை-சிறந்தது. மேலும் காண்க ஒற்றுமைகளின் தீர்மானம் குறிப்புகள் அலெக்ஸாண்ட்ரே கிரோதெண்டிக், ஜீன் டையுடோன், எலமென்ட்ஸ் டி ஜியோமெட்ரி அல்ஜெப்ரிக் IV பப்ளிகேஷன்ஸ் மேத்தேமாடிக்ஸ் டி எல் 'ஐஹெச்இஎஸ் 24 (1965), பிரிவு 7 இயற்கணித வடிவியல் பரிமாற்ற இயற்கணிதம்