Content (measure theory)
கணிதத்தில், குறிப்பாக அளவீட்டுக் கோட்பாட்டில், ஒரு உள்ளடக்கம் என்பது துணைக்குழுக்களின் தொகுப்பில் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு உண்மையான மதிப்புள்ள செயல்பாடாகும், அதாவது, ஒரு உள்ளடக்கம் என்பது ஒரு அளவின் பொதுமைப்படுத்தலாகும்ஃ பிந்தையது எண்ணற்ற சேர்க்கையாக இருக்க வேண்டும், முந்தையது மட்டுமே இறுதியாக சேர்க்கையாக இருக்க வேண்டும். பல முக்கியமான பயன்பாடுகளில் செட்டுகளின் வளையமாகவோ அல்லது குறைந்தபட்சம் செட்டுகளின் அரைகுறையாகவோ தேர்ந்தெடுக்கப்படுகிறது, இந்த விஷயத்தில் சில கூடுதல் பண்புகளைக் கண்டறியலாம், அவை கீழே விவரிக்கப்பட்டுள்ளன. இந்த காரணத்திற்காக சில எழுத்தாளர்கள் அரைகுறை அல்லது வளையங்களுக்கு மட்டுமே உள்ளடக்கங்களை வரையறுக்க விரும்புகிறார்கள். ஒரு உள்ளடக்கம் கூடுதலாக σ-கூட்டாக இருந்தால் அது முன் அளவீடு என்றும் மேலும் σ-இயற்கணிதமாக இருந்தால், உள்ளடக்கம் ஒரு அளவீடு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. எனவே ஒவ்வொரு (உண்மையான மதிப்புள்ள) அளவும் ஒரு உள்ளடக்கம், ஆனால் நேர்மாறாக அல்ல. உள்ளடக்கங்கள் ஒரு இடத்தில் வரம்புக்குட்பட்ட செயல்பாடுகளை ஒருங்கிணைப்பது பற்றிய நல்ல கருத்தை அளிக்கின்றன, ஆனால் வரம்பற்ற செயல்பாடுகளை ஒருங்கிணைக்கும்போது மோசமாக நடந்து கொள்ளலாம், அதே நேரத்தில் நடவடிக்கைகள் வரம்பற்ற செயல்பாடுகளை ஒருங்கிணைப்பது பற்றிய நல்ல கருத்தை அளிக்கின்றன. எடுத்துக்காட்டுகள் ஒரு பாரம்பரிய உதாரணம், அனைத்து அரை திறந்த இடைவெளிகளிலும் ஒரு உள்ளடக்கத்தை அவற்றின் உள்ளடக்கத்தை இடைவெளிகளின் நீளத்திற்கு அமைப்பதன் மூலம் வரையறுப்பது, அதாவது, இந்த உள்ளடக்கம் உண்மையில் σ-சேர்க்கை என்பதை ஒருவர் மேலும் காட்டலாம், இதனால் அனைத்து அரை-திறந்த இடைவெளிகளின் செமிரிங்கில் ஒரு முன் அளவீட்டை வரையறுக்கிறது. கராத்தியோடோரியின் விரிவாக்க தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி உண்மையான எண் வரிக்கான லெபெஸ்கூ அளவீட்டை உருவாக்க இதைப் பயன்படுத்தலாம். பொதுவான கட்டுமானத்தைப் பற்றிய கூடுதல் விவரங்களுக்கு லெபெஸ்கூ அளவீட்டு பற்றிய கட்டுரையைப் பார்க்கவும். σ-இயற்கணிதத்தில் அளவிடப்படாத ஒரு உள்ளடக்கத்தின் எடுத்துக்காட்டு, எந்தவொரு முழு எண்ணிலும் மதிப்பைக் கொண்ட நேர்மறை முழு எண்களின் அனைத்து துணைக்குழுக்களிலும் உள்ள உள்ளடக்கம் மற்றும் எந்த எல்லையற்ற துணைக்குழுவிலும் எல்லையற்றது. நேர்மறை முழு எண்களில் உள்ள ஒரு உள்ளடக்கத்தின் எடுத்துக்காட்டு எப்போதும் வரையறுக்கப்பட்ட ஆனால் ஒரு அளவீடு அல்ல என்பதை பின்வருமாறு கொடுக்கலாம். வரிசை ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான பூஜ்ஜியமற்ற உறுப்புகளை மட்டுமே கொண்டிருந்தால் மற்றும் வரிசையில் மதிப்பு 1 ஐ எடுத்துக் கொண்டால், வரம்புக்குட்பட்ட வரிசைகளில் ஒரு நேர்மறை நேரியல் செயல்பாட்டை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள், எனவே செயல்பாடு ஏதோ ஒரு வகையில் எந்த வரம்புக்குட்பட்ட வரிசையின் "சராசரி மதிப்பை" அளிக்கிறது. (அத்தகைய செயல்பாட்டை வெளிப்படையாக கட்டமைக்க முடியாது, ஆனால் ஹான்-பானாக் தேற்றத்தால் உள்ளது.) நேர்மறை முழு எண்களின் தொகுப்பின் உள்ளடக்கம் இந்த தொகுப்பில் 1 ஆகவும், வேறு இடங்களில் 0 ஆகவும் இருக்கும் வரிசையின் சராசரி மதிப்பாகும். முறைசாரா முறையில், முழு எண்களின் துணைக்குழுவின் உள்ளடக்கத்தை இந்த துணைக்குழுவில் தோராயமாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட முழு எண் இருக்கும் "வாய்ப்பு" என்று ஒருவர் நினைக்கலாம் (இது நிகழ்தகவு கோட்பாட்டில் வாய்ப்பின் வழக்கமான வரையறைகளுடன் இணக்கமாக இல்லை என்றாலும், இது எண்ணக்கூடிய சேர்க்கை என்று கருதுகிறது). பண்புகள் அடிக்கடி உள்ளடக்கங்கள் மேலும் கட்டுப்பாடுகளை பூர்த்தி செய்யும் தொகுப்புகளின் தொகுப்புகளில் வரையறுக்கப்படுகின்றன. இந்த விஷயத்தில் எந்தவொரு தொகுப்புகளின் தொகுப்புகளிலும் வரையறுக்கப்பட்ட உள்ளடக்கங்களுக்கு பொதுவாக வைத்திருக்கத் தவறும் கூடுதல் பண்புகளைக் கண்டறியலாம். செட்களின் செமிரிங் என்றால், பின்வரும் அறிக்கைகளை யூகிக்க முடியும்ஃ ஒவ்வொரு உள்ளடக்கமும் மோனோடோன் ஆகும், அதாவது ஒவ்வொரு உள்ளடக்கமும் துணைச்சேர்க்கை ஆகும், அதாவது வளையங்களில் உள்ளதைப் பொறுத்தவரை, மேலும் செட்களின் வளையமாக இருந்தால் ஒருவர் கூடுதலாகப் பெறுகிறார்ஃ கழித்தல்ஃ அதை திருப்திப்படுத்துவதற்கு துணைச்சேர்க்கை பின்பற்றுகிறதுஃ-சூப்பர் அடிட்டிவிட்டிஃ எந்தவொரு ஜோடி வாரியான இணைப்பிழப்பு திருப்தியளிப்பதற்கும் நம்மிடம் உள்ளது ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட உள்ளடக்கம் என்றால், அதாவது, சேர்ப்பு-விலக்கு கொள்கை பொருந்தும்ஃ அங்கு எல்லைக்குட்பட்ட செயல்பாடுகளின் அனைத்து ஒருங்கிணைப்புக்கும் ஒரு உள்ளடக்கத்தைப் பொறுத்தவரை செயல்பாடுகளின் பொதுவான ஒருங்கிணைப்பு சரியாக செயல்படாது. இருப்பினும், செயல்பாடு வரம்புக்குட்பட்டது மற்றும் இடத்தின் மொத்த உள்ளடக்கம் வரையறுக்கப்பட்டதாக இருந்தால், ஒருங்கிணைப்பு குறித்து நன்கு நடந்துகொள்ளும் கருத்து பின்வருமாறு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. ஒரு இடத்தின் மொத்த உள்ளடக்கம் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். யதார்த்தங்களின் எந்த திறந்த துணைக்குழுவின் தலைகீழ் படமும் ஒரு உள்ளடக்கத்தைக் கொண்டிருப்பது போன்ற இடத்தில் ஒரு வரம்புக்குட்பட்ட செயல்பாடு இருந்தால், உள்ளடக்கத்தைப் பொறுத்தவரை ஒருங்கிணைப்பை வரையறுக்க முடியும், அங்கு வேறுபட்ட அரை-திறந்த தொகுப்புகளின் வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்புகளின் வடிவம் அதன் ஒன்றிணைப்பு வரம்பை உள்ளடக்கியது மற்றும் எந்த உறுப்பு மற்றும் வரம்பு எங்கு எடுக்கப்படுகிறது செட்டுகளின் விட்டம் 0 ஆக இருக்கும். எல்லைக்குட்பட்ட செயல்பாடுகளின் இடைவெளிகளின் இரட்டையர்கள் அது ஒரு குறிப்பிட்ட இடத்தில் ஒரு அளவீடு என்று வைத்துக்கொள்வோம், உச்சநிலை நெறிமுறையைப் பொறுத்தவரை ஒரு பானாச் இடத்தை உருவாக்கும் வரம்புக்குட்பட்ட அளவிடக்கூடிய செயல்பாடுகள். இந்த இடத்தின் இரட்டை நேர்மறை கூறுகள் ஒருங்கிணைப்பால் கொடுக்கப்பட்ட மதிப்பின் வரம்புக்குட்பட்ட உள்ளடக்கங்களுடன் ஒத்திருக்கின்றன. இதேபோல் ஒருவர் அடிப்படையில் வரம்புக்குட்பட்ட செயல்பாடுகளின் இடத்தை உருவாக்க முடியும், அத்தியாவசிய மேலாதிக்கத்தால் கொடுக்கப்பட்ட நெறிமுறையுடன், இந்த இடத்தின் இரட்டை நேர்மறை கூறுகள் வரம்புக்குட்பட்ட உள்ளடக்கங்களால் வழங்கப்படுகின்றன, அவை 0 அளவின் தொகுப்புகளில் மறைந்துவிடும். ஒரு உள்ளடக்கத்திலிருந்து ஒரு அளவின் கட்டுமானம் ஒரு இடவியல் இடத்தில் ஒரு உள்ளடக்கத்திலிருந்து ஒரு அளவீட்டை உருவாக்க பல வழிகள் உள்ளன. இந்த பிரிவு உள்ளூரில் கச்சிதமான ஹவுஸ்டோர்ஃப் இடங்களுக்கு அத்தகைய ஒரு முறையை வழங்குகிறது, அதாவது அனைத்து கச்சிதமான துணைக்குழுக்களிலும் உள்ளடக்கம் வரையறுக்கப்படுகிறது. பொதுவாக இந்த அளவீடு உள்ளடக்கத்தின் நீட்டிப்பு அல்ல, ஏனெனில் உள்ளடக்கம் எண்ணற்ற சேர்க்கையாக இருக்கத் தவறிவிடலாம், மேலும் உள்ளடக்கம் இல்லையென்றாலும் அளவீடு ஒரே மாதிரியாக பூஜ்ஜியமாக இருக்கலாம். முதலில் உள்ளடக்கத்தை சிறிய தொகுப்புகளுக்கு மட்டுப்படுத்துங்கள். இது பின்வரும் பண்புகளைக் கொண்ட சிறிய செட்டுகளின் செயல்பாட்டை வழங்குகிறதுஃ அனைத்து ஜோடி காம்பாக்ட் செட்களுக்கும் அனைத்து ஜோடி காம்பாக்ட் செட்களுக்கும் அனைத்து காம்பாக்ட் செட்களுக்கும். உள்ளடக்கங்களிலிருந்து கட்டமைக்கப்படாத மேற்கூறிய செயல்பாடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகளும் உள்ளன. உள்ளூரில் கச்சிதமான குழுவில் ஹார் அளவின் கட்டுமானத்தால் ஒரு எடுத்துக்காட்டு வழங்கப்படுகிறது. அத்தகைய ஹார் அளவீட்டை உருவாக்குவதற்கான ஒரு முறை, குழுவின் சிறிய துணைக்குழுக்களில் மேலே உள்ளபடி இடது-மாறுபட்ட செயல்பாட்டை உருவாக்குவதாகும், பின்னர் அதை இடது-மாறுபட்ட அளவீட்டிற்கு நீட்டிக்க முடியும். திறந்த தொகுப்புகளின் வரையறை மேலே கொடுக்கப்பட்டுள்ளபடி, அனைத்து திறந்த தொகுப்புகளிலும் ஒரு செயல்பாட்டை நாம் வரையறுக்கிறோம் இது பின்வரும் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளதுஃ வேறுபட்ட திறந்த தொகுப்புகளின் எந்தவொரு தொகுப்பிற்கும் திறந்த தொகுப்புகளின் எந்தவொரு தொகுப்புக்கும். மேலே குறிப்பிட்டுள்ளபடி கொடுக்கப்பட்ட அனைத்து தொகுப்புகளிலும் வரையறை, இடவியல் இடத்தின் அனைத்து துணைக்குழுக்களுக்கும் நாம் செயல்பாட்டை விரிவுபடுத்துகிறோம் இது ஒரு வெளிப்புற அளவீடு, வேறுவிதமாகக் கூறினால் இது பின்வரும் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளதுஃ எந்த எண்ணக்கூடிய தொகுப்புகளுக்கும். ஒரு அளவின் கட்டுமானம் மேலே உள்ள செயல்பாடு அனைத்து துணைக்குழுக்களின் குடும்பத்தின் வெளிப்புற அளவீடு ஆகும். எனவே வெளிப்புற அளவிற்கான அளவிடக்கூடிய துணைக்குழுக்களுக்கு மட்டுப்படுத்தப்படும்போது இது ஒரு அளவுகோலாக மாறுகிறது, அவை அனைத்து துணைக்குழுக்களுக்கும் உட்பொருள்களாகும். இந்த அளவீடு கச்சிதமான செட்களில் உள்ள உள்ளடக்கத்துடன் ஒத்துப்போக வேண்டிய அவசியமில்லை, இருப்பினும் எந்தவொரு கச்சிதமானதும் அவற்றின் உட்புறங்களில் உள்ள கச்சிதமான செட்களுக்கான தகவல் என்ற பொருளில் வழக்கமானதாக இருந்தால் அது செய்கிறது. மேலும் காண்க குறிப்புகள் அளவீட்டுக் கோட்பாடு தொகுப்புகளின் குடும்பங்கள்