Semi-implicit Euler method
கணிதத்தில், அரை-வெளிப்படையான ஆய்லர் முறை, சிம்ப்லெக்டிக் ஆய்லர், அரை-வெளிப்படையான ஆய்லர், ஆய்லர்-க்ரோமர் மற்றும் நியூட்டன்-ஸ்டோர்மர்-வெர்லெட் (என்எஸ்வி) என்றும் அழைக்கப்படுகிறது, இது ஹாமில்டனின் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான ஆய்லர் முறையின் மாற்றமாகும், இது கிளாசிக்கல் இயக்கவியலில் எழும் சாதாரண வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் அமைப்பாகும். இது ஒரு சிம்ப்லெக்டிக் ஒருங்கிணைப்பானது, எனவே இது நிலையான ஆய்லர் முறையை விட சிறந்த முடிவுகளைத் தருகிறது. அமைத்தல் அரை-உட்புகும் ஆய்லர் முறையை f மற்றும் g செயல்பாடுகள் கொடுக்கப்பட்ட வடிவத்தின் ஒரு ஜோடி வேறுபட்ட சமன்பாடுகளுக்கு பயன்படுத்தலாம். இங்கே, x மற்றும் v அளவீடுகள் அல்லது திசையன்களாக இருக்கலாம். ஹாமில்டோனியன் இயக்கவியலில் இயக்கத்தின் சமன்பாடுகள் ஹாமில்டோனியன் வடிவத்தில் இருந்தால் இந்த வடிவத்தை எடுக்கின்றன வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் ஆரம்ப நிபந்தனையுடன் தீர்க்கப்பட வேண்டும் முறை அரை-உட்புகும் யூலர் முறை ஒரு தோராயமான தனித்துவமான தீர்வை உருவாக்குகிறது, அங்கு δt என்பது நேர படி மற்றும் tn = t0 + nδt என்பது n படிகளுக்குப் பிந்தைய நேரம். நிலையான ஆய்லர் முறையுடன் உள்ள வேறுபாடு என்னவென்றால், அரை-மறைமுக ஆய்லர் முறை xn + 1 க்கான சமன்பாட்டில் vn + 1 ஐப் பயன்படுத்துகிறது, அதே நேரத்தில் ஆய்லர் முறை vn ஐப் பயன்படுத்துகிறது. இருந்து கணக்கிடுவதற்கும் மறுசீரமைப்பதற்கும் எதிர்மறை நேர படிநிலையுடன் முறையைப் பயன்படுத்துவது ஒத்த பண்புகளைக் கொண்ட அரை-மறைமுக ஆய்லர் முறையின் இரண்டாவது மாறுபாட்டிற்கு வழிவகுக்கிறது. அரை-உட்புகும் ஆய்லர் என்பது நிலையான ஆய்லர் முறையைப் போலவே முதல்-வரிசை ஒருங்கிணைப்பாளராகும். இதன் பொருள் இது Δt இன் வரிசையில் உலகளாவிய பிழையைச் செய்கிறது என்பதாகும். இருப்பினும், அரை-உட்புகும் ஆய்லர் முறை நிலையான முறையைப் போலல்லாமல் ஒரு சிம்ப்லெக்டிக் ஒருங்கிணைப்பாளராகும். இதன் விளைவாக, அரை-மறைமுக ஆய்லர் முறை கிட்டத்தட்ட ஆற்றலைப் பாதுகாக்கிறது (ஹாமில்டோனியன் நேரம்-சுயாதீனமாக இருக்கும்போது). பெரும்பாலும், நிலையான ஆய்லர் முறையைப் பயன்படுத்தும்போது ஆற்றல் சீராக அதிகரிக்கிறது, இது மிகவும் குறைவான துல்லியத்தை உருவாக்குகிறது. அரை-உட்புகும் யூலர் முறையின் இரண்டு வகைகளுக்கு இடையில் மாற்றுவது ஸ்டோர்மர்-வெர்லெட் ஒருங்கிணைப்புக்கு ஒரு எளிமைப்படுத்தலுக்கும், லீப்ஃப்ராக் ஒருங்கிணைப்புக்கு சற்று வித்தியாசமான எளிமைப்படுத்தலுக்கும் வழிவகுக்கிறது, இது பிழையின் வரிசை மற்றும் ஆற்றலைப் பாதுகாக்கும் வரிசை ஆகிய இரண்டையும் அதிகரிக்கிறது. அரை-உட்புகும் முறையின் நிலைத்தன்மை பகுதியை நீரானென் முன்வைத்தார், இருப்பினும் அரை-உட்புகும் ஆய்லர் தனது ஆய்வறிக்கையில் சமச்சீர் ஆய்லர் என்று தவறாக அழைக்கப்பட்டார். பண்புக்கூறு சமன்பாட்டின் சிக்கலான வேர்கள் கீழே காட்டப்பட்டுள்ள வட்டத்திற்குள் இருந்தால் அரை-மறைமுக முறை உருவகப்படுத்தப்பட்ட அமைப்பை சரியாக மாதிரியாக்குகிறது. உண்மையான வேர்களைப் பொறுத்தவரை, நிலைத்தன்மை பகுதி வட்டத்திற்கு வெளியே விரிவடைகிறது, அதற்காக அளவுகோல் உள்ளது, அரை-மறைமுக முறை இடது அரை தளத்தில் வேர்களைக் கொண்ட நிலையான அமைப்புகள் மற்றும் வலது அரை தளத்தில் வேர்களைக் கொண்ட நிலையற்ற அமைப்புகள் ஆகிய இரண்டையும் சரியாக உருவகப்படுத்த முடியும். இது முன்னோக்கி (நிலையான) ஆய்லர் மற்றும் பின்தங்கிய ஆய்லரை விட தெளிவான நன்மை. வேர்களின் எதிர்மறை உண்மையான பகுதிகள் கற்பனை அச்சுக்கு அருகில் வரும்போது முன்னோக்கி ஆய்லர் உண்மையான அமைப்பை விட குறைவான தணிப்பைக் கொண்டிருக்க முனைகிறார், மேலும் வேர்கள் வலது அரை தளத்தில் இருக்கும்போது கூட அமைப்பு நிலையானதாக இருப்பதை பின்தங்கிய ஆய்லர் காட்டலாம். இந்த சமன்பாட்டிற்கான அரை-உட்புகும் ஆய்லர் இரண்டாவது சமன்பாட்டில் முதல் சமன்பாட்டால் கொடுக்கப்பட்ட வெளிப்பாட்டுடன் மாற்றப்படுகிறார், மறு செய்கையை பின்வரும் மேட்ரிக்ஸ் வடிவத்தில் வெளிப்படுத்தலாம் மற்றும் மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பவர் 1 என்பதால் மாற்றம் பகுதி-பாதுகாப்பாகும். மறு செய்கை மாற்றியமைக்கப்பட்ட ஆற்றல் செயல்பாட்டை சரியாக பாதுகாக்கிறது, இது நிலையான கால சுற்றுப்பாதைகளுக்கு (போதுமான சிறிய படி அளவிற்கு) வழிவகுக்கிறது, அவை சரியான சுற்றுப்பாதைகளிலிருந்து விலகிச் செல்கின்றன. சரியான வட்ட அதிர்வெண் ஒரு காரணி மூலம் எண் தோராயத்தில் அதிகரிக்கிறது. குறிப்புகள் எண் வேறுபாடு சமன்பாடுகள்