Polynomial greatest common divisor
இயற்கணிதத்தில், இரண்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் மிகப் பெரிய பொதுவான வகுத்தி (அடிக்கடி சுருக்கமாக ஜி. சி. டி) ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும், இது இரண்டு அசல் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் காரணியாகும். இந்த கருத்து இரண்டு முழு எண்களின் மிகப்பெரிய பொதுவான வகுத்திக்கு ஒத்ததாகும். ஒரு புலத்தின் மீது உள்ள மாறாத பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் முக்கியமான விஷயத்தில், பல்லுறுப்புக்கோவை ஜி. சி. டி. ஐ முழு எண் ஜி. சி. டி. யைப் போலவே, நீண்ட பிரிவைப் பயன்படுத்தி யூக்ளிடியன் வழிமுறையால் கணக்கிடப்படலாம். பல்லுறுப்புக்கோவை ஜி. சி. டி ஒரு தலைகீழ் மாறிலியால் பெருக்கப்படும் வரை மட்டுமே வரையறுக்கப்படுகிறது. முழு எண் ஜி. சி. டி மற்றும் பல்லுறுப்புக்கோவை ஜி. சி. டி ஆகியவற்றுக்கு இடையிலான ஒற்றுமை யூக்ளிடியன் வழிமுறை மற்றும் யூக்ளிடியன் பிரிவிலிருந்து கணிக்கக்கூடிய அனைத்து பண்புகளையும் ஒரு மாறுபட்ட பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கு விரிவுபடுத்த அனுமதிக்கிறது. மேலும், பல்லுறுப்புக்கோவை ஜி. சி. டி குறிப்பிட்ட பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது, இது இயற்கணிதத்தின் பல்வேறு பகுதிகளில் ஒரு அடிப்படை கருத்தை உருவாக்குகிறது. பொதுவாக, இரண்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் ஜி. சி. டி. யின் வேர்கள் இரண்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் பொதுவான வேர்களாகும், மேலும் இது அவற்றைக் கணக்கிடாமல் வேர்களைப் பற்றிய தகவல்களை வழங்குகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் பல வேர்கள் பல்லுறுப்புக்கோவையின் ஜி. சி. டி மற்றும் அதன் வழித்தோன்றலின் வேர்கள் ஆகும், மேலும் ஜி. சி. டி கணக்கீடுகள் பல்லுறுப்புக்கோவையின் சதுரம் இல்லாத காரணியாக்கத்தை கணக்கிட அனுமதிக்கின்றன, இது பல்லுறுப்புக்கோவைகளை வழங்குகிறது, அதன் வேர்கள் அசல் பல்லுறுப்புக்கோவையின் கொடுக்கப்பட்ட பெருக்கத்தின் வேர்கள் ஆகும். மிகப் பெரிய பொதுவான வகுத்தி வரையறுக்கப்பட்டு, பொதுவாக, ஒரு புலம் அல்லது முழு எண்களின் வளையத்தின் மீது உள்ள பன்முக பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கும், மேலும் ஒரு தனித்துவமான காரணிமயமாக்கல் களத்திற்கும் இருக்கலாம். குணகங்களின் வளையத்தில் ஒரு ஜி. சி. டி வழிமுறை உள்ளவுடன் அவற்றைக் கணக்கிட வழிமுறைகள் உள்ளன. இந்த வழிமுறைகள் யூக்ளிடியன் வழிமுறையின் ஒரு மாறுபாட்டிற்கு சிக்கலைக் குறைக்க மாறிகளின் எண்ணிக்கையை மறுபரிசீலனை செய்வதன் மூலம் தொடர்கின்றன. அவை கணினி இயற்கணிதத்தில் ஒரு அடிப்படை கருவியாகும், ஏனென்றால் கணினி இயற்கணித அமைப்புகள் பின்னங்களை எளிமைப்படுத்த அவற்றை முறையாகப் பயன்படுத்துகின்றன. இதற்கு நேர்மாறாக, கணினி இயற்கணித அமைப்புகளின் செயல்திறனுக்கான தேவையை பூர்த்தி செய்வதற்காக பல்லுறுப்புக்கோவை GCD இன் நவீன கோட்பாட்டின் பெரும்பகுதி உருவாக்கப்பட்டுள்ளது. பொதுவான வரையறை ஒரு ஒருங்கிணைந்த களத்தில் குணகங்களைக் கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவைகளாக இருக்கட்டும், பொதுவாக ஒரு புலம் அல்லது முழு எண்கள். மற்றும் இன் மிகப் பெரிய பொதுவான வகுத்தி என்பது மற்றும் ஐ வகுக்கும் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும், மேலும் ஒவ்வொரு பொதுவான வகுத்தி யும் வகுக்கும். ஒவ்வொரு ஜோடி பல்லுறுப்புக்கோவைகளும் (பூஜ்ஜியம் இரண்டும் அல்ல) ஒரு தனித்துவமான காரணிமயமாக்கல் களமாக இருந்தால் மட்டுமே ஒரு GCD ஐக் கொண்டுள்ளன. ஒரு புலம் மற்றும் இரண்டும் பூஜ்ஜியமாக இல்லாவிட்டால், ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை இரண்டையும் வகுத்தால் மட்டுமே அது மிகப்பெரிய பொதுவான வகுத்தி ஆகும், மேலும் இந்த பண்பு கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவைகளில் இது மிகப்பெரிய டிகிரியைக் கொண்டுள்ளது. இருந்தால், GCD 0 ஆகும். இருப்பினும், சில எழுத்தாளர்கள் இந்த விஷயத்தில் இது வரையறுக்கப்படவில்லை என்று கருதுகின்றனர். மற்றும் இன் மிகப் பெரிய பொதுவான வகுத்தி பொதுவாக குறிக்கப்படுகிறது ". மிகப் பெரிய பொதுவான வகுத்தி தனித்துவமானது அல்லஃ மற்றும் ஒரு GCD என்றால், அத்தகைய மற்றும் ஒரு தலைகீழ் உறுப்பு இருந்தால் மட்டுமே பல்லுறுப்புக்கோவை மற்றொரு GCD ஆகும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஜி. சி. டி ஒரு தலைகீழ் மாறிலி மூலம் பெருக்கம் வரை தனித்துவமானது. முழு எண்களைப் பொறுத்தவரை, இந்த நிச்சயமற்ற தன்மை ஜி. சி. டி. யாக, நேர்மறையான தனித்துவமான ஒன்றைத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம் தீர்க்கப்பட்டுள்ளது (மற்றொரு ஒன்று உள்ளது, இது அதற்கு நேர்மாறானது). இந்த மரபுடன், இரண்டு முழு எண்களின் ஜி. சி. டி மிகப் பெரிய (வழக்கமான வரிசைக்கு) பொதுவான வகுத்தி ஆகும். இருப்பினும், ஒரு ஒருங்கிணைந்த களத்தில் பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கு இயற்கையான மொத்த வரிசை இல்லாததால், ஒருவர் இங்கே அதே வழியில் தொடர முடியாது. ஒரு புலத்தின் மீது மாறாத பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கு, ஜி. சி. டி மோனிக் ஆக இருக்க வேண்டும் (அதாவது அதன் மிக உயர்ந்த டிகிரியின் குணகமாக 1 ஐக் கொண்டிருக்க வேண்டும்), ஆனால் மிகவும் பொதுவான சந்தர்ப்பங்களில் பொதுவான மரபு இல்லை. எனவே, சமத்துவங்கள் போன்றவை அல்லது குறியீட்டின் பொதுவான துஷ்பிரயோகங்களாகும், அவை "ஒரு GCD மற்றும்" மற்றும் "மற்றும் அதே GCD களின் தொகுப்பைக் கொண்டுள்ளன". குறிப்பாக, தலைகீழ் மாறிலிகள் மட்டுமே பொதுவான வகுத்திகள் என்று பொருள். இந்த விஷயத்தில், முழு எண் வழக்குடன் ஒப்புமை செய்வதன் மூலம், ஒருவர் அதை மற்றும் என்று கூறுகிறார். மேலே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, குணகங்கள் ஒரு புலம், முழு எண்களின் வளையம் அல்லது பொதுவாக ஒரு தனித்துவமான காரணிமயமாக்கல் களத்தைச் சேர்ந்தவை என்றால் இரண்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் ஜி. சி. டி உள்ளது. மற்றும் இன் பொதுவான வகுத்தி இருந்தால், அவற்றின் GCD ஐ வகுக்கிறது. எந்த பல்லுறுப்புக்கோவைக்கும். இந்த பண்பு யூக்ளிடியன் வழிமுறையின் ஆதாரத்தின் அடிப்படையில் உள்ளது. குணகங்களின் வளையத்தின் எந்த தலைகீழ் உறுப்புக்கும்,. எனவே தலைகீழ் போன்ற எந்த அளவீடுகளுக்கும். அப்படியானால். அப்படியானால். இரண்டு மாறுபட்ட பல்லுறுப்புக்கோவைகள் மற்றும் ஒரு புலத்தின் மீது, பல்லுறுப்புக்கோவைகள் உள்ளன மற்றும் அவை மற்றும் (பெஸௌட்டின் அடையாளம்) போன்ற ஒவ்வொரு நேரியல் கலவையையும் வகுக்கிறது. மூன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் மிகப் பெரிய பொதுவான வகுத்தி இரண்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகளைப் போலவே வரையறுக்கப்படலாம். இரண்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் GCD-களிலிருந்து அடையாளங்கள் மூலம் இது மீண்டும் மீண்டும் கணக்கிடப்படலாம்ஃ மற்றும் கை கணக்கீடு மூலம் GCD இரண்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் மிகப்பெரிய பொதுவான வகுத்தியைக் கண்டறிய பல வழிகள் உள்ளன. அவற்றில் இரண்டுஃ பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் காரணிமயமாக்கல், இதில் ஒவ்வொரு வெளிப்பாட்டின் காரணிகளையும் ஒருவர் கண்டுபிடித்து, பின்னர் ஒவ்வொரு காரணிகளின் தொகுப்பிலிருந்தும் அனைவராலும் வைத்திருக்கும் பொதுவான காரணிகளின் தொகுப்பைத் தேர்ந்தெடுக்கிறார். இந்த முறை எளிய சந்தர்ப்பங்களில் மட்டுமே பயனுள்ளதாக இருக்கும், ஏனெனில் காரணியாக்கம் பொதுவாக மிகப் பெரிய பொதுவான வகுத்தியைக் கணக்கிடுவதை விட மிகவும் கடினம். யூக்ளிடியன் வழிமுறை, இரண்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் ஜி. சி. டி. யை இரண்டு எண்களுக்கான அதே முறையில் கண்டுபிடிக்க பயன்படுத்தப்படலாம். காரணியாக்கத்தைப் பயன்படுத்தி இரண்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் ஜி. சி. டி. யைக் கண்டறிய, இரண்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகளையும் முழுமையாகக் காரணியாக்குங்கள். பின்னர், அனைத்து பொதுவான காரணிகளின் விளைபொருளையும் எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். இந்த கட்டத்தில், நம்மிடம் ஒரு மோனிக் பல்லுறுப்புக்கோவை இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை, எனவே இறுதியாக இதை ஒரு மாறிலியால் பெருக்கி மோனிக் பல்லுறுப்புக்கோவை ஆக்குங்கள். இது இரண்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் GCD ஆக இருக்கும், ஏனெனில் இது அனைத்து பொதுவான வகுத்திகளையும் உள்ளடக்கியது மற்றும் மோனிக் ஆகும். எடுத்துக்காட்டு ஒன்றுஃ மற்றும் இன் GCD ஐக் கண்டறியவும். எனவே, அவர்களின் ஜி. சி. டி. யூக்ளிடியன் வழிமுறை காரணி பல்லுறுப்புக்கோவைகள் கடினமாக இருக்கலாம், குறிப்பாக பல்லுறுப்புக்கோவைகள் பெரிய அளவைக் கொண்டிருந்தால். யூக்ளிடியன் வழிமுறை என்பது எந்த ஜோடி பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கும் வேலை செய்யும் ஒரு முறையாகும். இது யூக்ளிடியன் பிரிவை மீண்டும் மீண்டும் பயன்படுத்துகிறது. இரண்டு எண்களில் இந்த வழிமுறையைப் பயன்படுத்தும் போது, ஒவ்வொரு கட்டத்திலும் எண்களின் அளவு குறைகிறது. பல்லுறுப்புக்கோவைகளுடன், ஒவ்வொரு கட்டத்திலும் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் அளவு குறைகிறது. கடைசி பூஜ்ஜியமற்ற எஞ்சிய, தேவைப்பட்டால் மோனிக் செய்யப்படுகிறது, இரண்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் GCD ஆகும். மேலும் குறிப்பாக, இரண்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் ஜி. சி. டி. யைக் கண்டுபிடிப்பதற்கு, ஒருவர் (இல்லையெனில், ஜி. சி. டி.), யூக்ளிடியன் பிரிவு இரண்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகளை வழங்குகிறது, அதாவது ஈவு மற்றும் மீதமுள்ளவை, அதாவது ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை இரண்டையும் வகுக்கிறது மற்றும் அது மற்றும் இரண்டையும் வகுத்தால் மட்டுமே. இவ்வாறு அமைப்பது புதிய பல்லுறுப்புக்கோவைகள் மற்றும் பலவற்றைப் பெற யூக்ளிடியன் பிரிவை மீண்டும் செய்யலாம். ஒவ்வொரு கட்டத்திலும் நம்மிடம் உள்ளது, எனவே வரிசை இறுதியில் ஒரு கட்டத்தை எட்டும் மற்றும் ஒருவர் GCD ஐப் பெறுவார்ஃ எடுத்துக்காட்டுஃ GCD ஐக் கண்டுபிடிப்பது மற்றும்ஃ கடைசி பூஜ்ஜியமற்ற மீதமுள்ளதால், இது அசல் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் GCD ஆகும், மேலும் மோனிக் GCD ஆகும். இந்த எடுத்துக்காட்டில், இரண்டாவது படிநிலைக்கு முன் 12 ஐக் காரணியாக்குவதன் மூலம் வகுப்புகளை அறிமுகப்படுத்துவதைத் தவிர்ப்பது கடினம் அல்ல. இது எப்போதும் போலி-எஞ்சிய வரிசைகளைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் செய்யப்படலாம், ஆனால், அக்கறை இல்லாமல், இது கணக்கீட்டின் போது மிகப் பெரிய முழு எண்களை அறிமுகப்படுத்தலாம். எனவே, கணினி கணக்கீட்டிற்கு, பிற வழிமுறைகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, அவை கீழே விவரிக்கப்பட்டுள்ளன. கணக்கீட்டின் போது ஏற்படும் குணகங்களின் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமத்துவத்தை சோதிக்க முடிந்தால் மட்டுமே இந்த முறை செயல்படுகிறது. எனவே, நடைமுறையில், குணகங்கள் முழு எண்கள், விகிதமுறு எண்கள், ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட புலத்தின் கூறுகளாக இருக்க வேண்டும் அல்லது முந்தைய புலங்களில் ஒன்றின் இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட புலம் நீட்டிப்பைச் சேர்ந்ததாக இருக்க வேண்டும். குணகங்கள் தோராயமாக மட்டுமே அறியப்பட்ட உண்மையான எண்களைக் குறிக்கும் மிதக்கும்-புள்ளி எண்களாக இருந்தால், நன்கு வரையறுக்கப்பட்ட கணக்கீட்டு முடிவைக் கொண்டிருப்பதற்கான GCD இன் அளவை ஒருவர் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும் (இது ஒரு எண் ரீதியாக நிலையான முடிவு; இந்த சந்தர்ப்பங்களில் மற்ற நுட்பங்கள் பயன்படுத்தப்படலாம், பொதுவாக ஒற்றை மதிப்பு சிதைவின் அடிப்படையில். ஒரு புலத்தில் உள்ள குணகங்களுடன் மாறாத பல்லுறுப்புக்கோவைகள் ஒரு புலத்தின் மீது மாறாத பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் வழக்கு பல காரணங்களுக்காக குறிப்பாக முக்கியமானது. முதலாவதாக, இது மிகவும் அடிப்படை வழக்கு, எனவே இயற்கணிதத்தில் பெரும்பாலான முதல் படிப்புகளில் தோன்றுகிறது. இரண்டாவதாக, இது முழு எண்களின் விஷயத்துடன் மிகவும் ஒத்திருக்கிறது, மேலும் இந்த ஒப்புமை யூக்ளிடியன் களத்தின் கருத்தின் ஆதாரமாகும். மூன்றாவது காரணம் என்னவென்றால், மல்டிவேரியேட் வழக்கு மற்றும் ஒரு தனித்துவமான காரணிமயமாக்கல் களத்தில் உள்ள குணகங்களுக்கான கோட்பாடு மற்றும் வழிமுறைகள் இந்த குறிப்பிட்ட வழக்கை வலுவாக அடிப்படையாகக் கொண்டவை. கடைசியாக, பல்லுறுப்புக்கோவை ஜி. சி. டி வழிமுறைகள் மற்றும் பெறப்பட்ட வழிமுறைகள் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை வேர்களைப் பற்றிய பயனுள்ள தகவல்களைப் பெற அனுமதிக்கின்றன, அவற்றைக் கணக்கிடாமல். ஜி. சி. டி. க்களைக் கணக்கிடுவதற்கான யூக்ளிடின் வழிமுறையில் பயன்படுத்தப்படும் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் யூக்ளிடியன் பிரிவு, யூக்ளிடியன் முழு எண்களின் பிரிவுக்கு மிகவும் ஒத்திருக்கிறது. அதன் இருப்பு பின்வரும் தேற்றத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டதுஃ ஒரு புலத்தின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட இரண்டு மாறுபட்ட பல்லுறுப்புக்கோவைகள் a மற்றும் b ≤ 0 கொடுக்கப்பட்டால், இரண்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகள் q (ஈவு) மற்றும் r (மீதமுள்ளவை) உள்ளன, அவை பூர்த்தி செய்கின்றன, மேலும் "டிகிரி (.)" என்பது டிகிரியைக் குறிக்கிறது மற்றும் பூஜ்ஜிய பல்லுறுப்புக்கோவையின் டிகிரி எதிர்மறையாக வரையறுக்கப்படுகிறது. மேலும், q மற்றும் r ஆகியவை இந்த உறவுகளால் தனித்துவமாக வரையறுக்கப்படுகின்றன. முழு எண்களின் யூக்ளிடியன் பிரிவின் வேறுபாடு என்னவென்றால், முழு எண்களுக்கு, டிகிரி முழுமையான மதிப்பால் மாற்றப்படுகிறது, மேலும் தனித்துவத்தைக் கொண்டிருக்க ஒருவர் r என்பது எதிர்மறை அல்லாதது என்று கருத வேண்டும். அத்தகைய தேற்றம் இருக்கும் வளையங்கள் யூக்ளிடியன் களங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. முழு எண்களைப் போலவே, பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் யூக்ளிடியன் பிரிவையும் நீண்ட பிரிவு வழிமுறையால் கணக்கிடலாம். இந்த வழிமுறை பொதுவாக காகிதம் மற்றும் பென்சில் கணக்கீட்டிற்கு வழங்கப்படுகிறது, ஆனால் பின்வருமாறு முறைப்படுத்தப்படும்போது இது கணினிகளில் நன்றாக வேலை செய்கிறது (மாறிகளின் பெயர்கள் நீண்ட பிரிவின் பென்சில் மற்றும் காகிதக் கணக்கீட்டில் காகிதத் தாளின் பகுதிகளுடன் சரியாக ஒத்திருக்கின்றன என்பதைக் கவனியுங்கள்). பின்வரும் கணக்கீட்டில் "டிஜ்" என்பது அதன் வாதத்தின் அளவைக் குறிக்கிறது (மரபுடன்), மேலும் "எல். சி" என்பது முன்னணி குணகம், மாறியின் மிக உயர்ந்த டிகிரியின் குணகம். இந்த வழிமுறையின் செல்லுபடியின் ஆதாரம், முழு "போது" சுழற்சியின் போது, நம்மிடம் உள்ளது மற்றும் ஒவ்வொரு மறு செய்கையிலும் குறைக்கும் ஒரு எதிர்மறை அல்லாத முழு எண். இவ்வாறு இந்த வழிமுறையின் செல்லுபடியின் சான்றும் யூக்ளிடியன் பிரிவின் செல்லுபடியை நிரூபிக்கிறது. யூக்ளிடின் வழிமுறை முழு எண்களைப் பொறுத்தவரை, யூக்ளிடியன் பிரிவு ஜி. சி. டி. களைக் கணக்கிடுவதற்கான யூக்ளிடின் வழிமுறை வரையறுக்க அனுமதிக்கிறது. a மற்றும் b என்ற இரண்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகளில் தொடங்கி, யூக்ளிடின் வழிமுறையானது b = 0 வரை இந்த ஜோடியை மீண்டும் மீண்டும் மாற்றுவதைக் கொண்டுள்ளது (இங்கு "" என்பது யூக்ளிடியன் பிரிவின் எஞ்சிய பகுதியைக் குறிக்கிறது, இது முந்தைய பிரிவின் வழிமுறையால் கணக்கிடப்படுகிறது). GCD என்பது கடைசி பூஜ்ஜியமற்ற மீதமுள்ளதாகும். யூக்ளிடின் வழிமுறை மறுசுழற்சி நிரலாக்க பாணியில் முறைப்படுத்தப்படலாம்ஃ கட்டாய நிரலாக்க பாணியில், அதே வழிமுறை ஆகிறது, ஒவ்வொரு இடைநிலை மீதத்திற்கும் ஒரு பெயரைக் கொடுக்கிறதுஃ டிகிரிகளின் வரிசை கண்டிப்பாக குறைந்து வருகிறது. எனவே, அதிகபட்சமாக, படிகளுக்குப் பிறகு, ஒருவர் பூஜ்ய மீதியைப் பெறுகிறார், சொல்லுங்கள். அதே வகுத்திகளைப் போலவே, பொதுவான வகுத்திகளின் தொகுப்பும் யூக்ளிடின் வழிமுறையால் மாற்றப்படுவதில்லை, எனவே அனைத்து ஜோடிகளும் ஒரே பொதுவான வகுத்திகளைக் கொண்டுள்ளன. மற்றும் இன் பொதுவான வகுத்திகள் எனவே மற்றும் 0 இன் பொதுவான வகுத்திகள் ஆகும். எனவே மற்றும் ஒரு GCD ஆகும். இது யூக்ளிடின் வழிமுறை GCDகளை கணக்கிடுகிறது என்பதை நிரூபிப்பது மட்டுமல்லாமல், GCDகள் உள்ளன என்பதையும் நிரூபிக்கிறது. பெஸௌட்டின் அடையாளம் மற்றும் நீட்டிக்கப்பட்ட ஜி. சி. டி வழிமுறை பெஸௌட்டின் அடையாளம் ஒரு ஜி. சி. டி தொடர்பான தேற்றம் ஆகும், இது ஆரம்பத்தில் முழு எண்களுக்கு நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது, இது ஒவ்வொரு முதன்மை இலட்சிய களத்திற்கும் செல்லுபடியாகும். ஒரு புலத்தின் மீது உள்ள மாறாத பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் விஷயத்தில், அதை பின்வருமாறு குறிப்பிடலாம். பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் விஷயத்தில் இந்த முடிவின் ஆர்வம் என்னவென்றால், பல்லுறுப்புக்கோவைகளை கணக்கிட ஒரு திறமையான வழிமுறை உள்ளது, மேலும் இந்த வழிமுறை யூக்ளிடின் வழிமுறையிலிருந்து வளையத்தின் ஒவ்வொரு மறு செய்கையிலும் செய்யப்படும் இன்னும் சில கணக்கீடுகளால் வேறுபடுகிறது. எனவே இது நீட்டிக்கப்பட்ட GCD வழிமுறை என்று அழைக்கப்படுகிறது. யூக்ளிடின் வழிமுறையுடன் மற்றொரு வேறுபாடு என்னவென்றால், இது மீதமுள்ளவற்றுக்கு பதிலாக யூக்ளிடியன் பிரிவின் "குவோ" என்று குறிக்கப்படும் ஈவுப்பொருளையும் பயன்படுத்துகிறது. இந்த வழிமுறை பின்வருமாறு செயல்படுகிறது. வழிமுறை அதன் வெளியீட்டு விவரக்குறிப்பை திருப்திப்படுத்துகிறது என்பதற்கான சான்று, ஒவ்வொருவருக்கும் நம்மிடம் பிந்தைய சமத்துவம் உள்ளது என்ற உண்மையை நம்பியுள்ளது. இந்த வழிமுறையின் ஒரு சுவாரஸ்யமான அம்சம் என்னவென்றால், பெஸௌட்டின் அடையாளத்தின் குணகங்கள் தேவைப்படும்போது, ஒருவர் உள்ளீட்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் அளவை அவற்றின் ஜி. சி. டி மூலம் இலவசமாகப் பெறுகிறார். இயற்கணித விரிவாக்கங்களின் எண்கணிதம் நீட்டிக்கப்பட்ட GCD வழிமுறையின் ஒரு முக்கியமான பயன்பாடு என்னவென்றால், இது இயற்கணித புலம் நீட்டிப்புகளில் பிரிவைக் கணக்கிட அனுமதிக்கிறது. ஒரு புலத்தின் இயற்கணித நீட்டிப்பு, குறைந்தபட்ச பல்லுறுப்புக்கோவை டிகிரியைக் கொண்ட ஒரு உறுப்பால் உருவாக்கப்படுகிறது. இதன் உறுப்புகள் பொதுவாக ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட மாறுபட்ட பல்லுறுப்புக்கோவைகளால் குறிக்கப்படுகின்றன. கூட்டல் என்பது வெறுமனே பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் கூட்டல் ஆகும்ஃ பெருக்கல் என்பது பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் பெருக்கமாகும், அதைத் தொடர்ந்து வகுத்தல்ஃ பூஜ்ஜியமற்ற தனிமத்தின் தலைகீழ் என்பது பெஸௌட்டின் அடையாளத்தில் உள்ள குணகம், இது நீட்டிக்கப்பட்ட ஜி. சி. டி வழிமுறையால் கணக்கிடப்படலாம். (குறைந்தபட்ச பல்லுறுப்புக்கோவை பகுக்கமுடியாதது என்பதால் GCD 1 ஆகும்). நீட்டிக்கப்பட்ட ஜி. சி. டி வழிமுறையின் விவரக்குறிப்பில் உள்ள டிகிரி சமத்துவமின்மை, டிகிரி () <டிகிரி () பெற மேலும் வகுத்தல் தேவையில்லை என்பதைக் காட்டுகிறது. ஒற்றை மாறுபடும் பல்லுறுப்புக்கோவைகளைப் பொறுத்தவரை, மிகப் பெரிய பொதுவான வகுத்திகளுக்கும் விளைபொருள்களுக்கும் இடையே ஒரு வலுவான உறவு உள்ளது. இன்னும் துல்லியமாக, இரண்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் விளைவாக P, Q என்பது P மற்றும் Q இன் குணகங்களின் பல்லுறுப்புக்கோவை செயல்பாடாகும், இது P மற்றும் Q இன் GCD நிலையானதாக இல்லாவிட்டால் மட்டுமே பூஜ்ஜிய மதிப்பைக் கொண்டுள்ளது. துணை விளைவுகள் கோட்பாடு என்பது இந்த பண்பின் பொதுமைப்படுத்தலாகும், இது இரண்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் GCD ஐ பொதுவாக வகைப்படுத்த அனுமதிக்கிறது, இதன் விளைவாக 0-வது துணை விளைவு பல்லுறுப்புக்கோவை உள்ளது. இரண்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகள் P மற்றும் Q இன் i-th துணை விளைவு பல்லுறுப்புக்கோவை Si (P, Q) என்பது அதிகபட்சம் i டிகிரியின் பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும், அதன் குணகங்கள் P மற்றும் Q இன் குணகங்களின் பல்லுறுப்புக்கோவை செயல்பாடுகளாகும், மேலும் i-th முதன்மை துணை விளைவு குணகம் si (P, Q) என்பது Si (P, Q) இன் டிகிரி i இன் குணகம் ஆகும். P மற்றும் Q இன் GCD க்கு ஒரு பட்டம் d இருந்தால் மட்டுமே இருக்கும் பண்பு அவர்களுக்கு உள்ளது. இந்த வழக்கில், Sd (P, Q) என்பது P மற்றும் Q இன் GCD ஆகும், மேலும் துணை விளைவு பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் ஒவ்வொரு குணகமும் P மற்றும் Q இன் சில்வெஸ்டர் மேட்ரிக்ஸின் துணை மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானகராக வரையறுக்கப்படுகிறது. இது துணை முடிவுகள் நன்கு "நிபுணத்துவம் பெற்றவை" என்பதைக் குறிக்கிறது. மேலும் துல்லியமாக, எந்தவொரு பரிமாற்ற வளையத்திலும் உள்ள பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கு துணை விளைவுகள் வரையறுக்கப்படுகின்றன, மேலும் பின்வரும் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன. φ என்பது R இன் மற்றொரு பரிமாற்ற வளையம் S இன் வளைய ஒத்த உருவகமாக இருக்கட்டும். இது மற்றொரு ஒத்த உருவகத்திற்கு விரிவடைகிறது, இது R மற்றும் S இன் மீது உள்ள பல்லுறுப்புக்கோவைகள் வளையங்களுக்கு இடையில் φ ஐக் குறிக்கிறது. பின்னர், P மற்றும் Q ஆகியவை R இல் உள்ள குணகங்களைக் கொண்ட ஒரு மாறுபட்ட பல்லுறுப்புக்கோவைகளாக இருந்தால், பின்னர் துணை விளைவு பல்லுறுப்புக்கோவைகள் மற்றும் φ (P) மற்றும் φ (Q) இன் முதன்மை துணை விளைவு குணகங்கள் ஆகியவை P மற்றும் Q இன் φ இன் படமாகும். துணை விளைவுகள் இரண்டு முக்கியமான பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன, அவை முழு எண் குணகங்களைக் கொண்ட இரண்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் GCD இன் கணினிகளில் கணக்கிடுவதற்கு அடிப்படையாக அமைகின்றன. முதலாவதாக, தீர்மானிப்பவர்கள் மூலம் அவற்றின் வரையறை ஹடாமார்ட் சமத்துவமின்மை மூலம், ஜி. சி. டி. யின் குணகங்களின் அளவைக் கட்டுப்படுத்த அனுமதிக்கிறது. இரண்டாவதாக, இந்த பிணைப்பு மற்றும் நல்ல நிபுணத்துவத்தின் பண்பு இரண்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் GCD ஐ முழு எண் குணகங்களுடன் மட்டு கணக்கீடு மற்றும் சீன எஞ்சிய தேற்றம் (கீழே காண்க) மூலம் கணக்கிட அனுமதிக்கிறது. தொழில்நுட்ப வரையறை K புலத்தில் குணகங்களைக் கொண்ட இரண்டு மாறுபட்ட பல்லுறுப்புக்கோவைகளாக இருக்கட்டும். i ஐ விட குறைவான டிகிரி கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் பரிமாணம் i இன் K திசையன் இடத்தால் குறிக்கலாம். எதிர்மறை அல்லாத முழு எண் i க்கு, i ≤ m மற்றும் i ≤ n, நேரியல் வரைபடமாக இருக்கட்டும், அதாவது P மற்றும் Q இன் விளைவாக சில்வெஸ்டர் மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பவர், இது X இன் சக்திகளின் அடிப்படையில் (சதுர) மேட்ரிக்ஸ் ஆகும். இதேபோல், i-சப்-ரிசல்டன்ட் பல்லுறுப்புக்கோவை என்பது மேட்ரிக்ஸின் துணை மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பவர்களின் அடிப்படையில் வரையறுக்கப்படுகிறது இந்த மேட்ரிக்ஸ்களை இன்னும் துல்லியமாக விவரிப்போம்; i <0 அல்லது i> m க்கு π = 0 ஆகவும், i <0 அல்லது i> n க்கு qi = 0 ஆகவும் இருக்கட்டும். முதன்மை துணை விளைவு குணகம் என்பது Ti இன் m + n − 2i முதல் வரிசைகளின் தீர்மானிப்பாகும். Vi என்பது (m + n − 2i) × (m + n − i) மேட்ரிக்ஸாக பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது. முதலில் நாம் (m + n − 2i − 1) × (m + n − 2i − 1) அடையாள மேட்ரிக்ஸின் வலதுபுறத்தில் பூஜ்ஜியங்களின் (i + 1) நெடுவரிசைகளை சேர்க்கிறோம். பின்னர் நாம் (m + n − i − 1) பூஜ்ஜியங்களைக் கொண்ட ஒரு வரிசையால் விளைந்த மேட்ரிக்ஸின் அடிப்பகுதியை எல்லையாகக் கொண்டுள்ளோம், அதைத் தொடர்ந்து xi, xi − 1,., x, 1: இந்த குறியீட்டுடன், i-th துணை விளைவு பல்லுறுப்புக்கோவை மேட்ரிக்ஸ் தயாரிப்பு viti இன் தீர்மானிப்பதாகும். அதன் டிகிரி ஜே குணகம் அதன் m + n−2i−1 முதல் வரிசைகள் மற்றும் (m + n−i−j)-வது வரிசையில் உள்ள Ti இன் சதுர துணை மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பாகும். ஆதாரத்தின் வரைபடம் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளபடி, துணை விளைவுகள் விரும்பிய பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன என்பது தெளிவாகத் தெரியவில்லை. ஆயினும்கூட, நேரியல் இயற்கணிதத்தின் பண்புகளையும் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் பண்புகளையும் ஒன்றாக இணைத்தால் ஆதாரம் மிகவும் எளிமையானது. வரையறுக்கப்பட்டபடி, மேட்ரிக்ஸ் Ti இன் நெடுவரிசைகள் சில பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் குணகங்களின் திசையன்கள் ஆகும். i-th துணை விளைவு பல்லுறுப்புக்கோவை Si இன் வரையறை அதன் குணகங்களின் திசையன் இந்த நெடுவரிசை திசையன்களின் நேரியல் கலவையாகும் என்பதைக் காட்டுகிறது, இதனால் Si இன் படத்திற்கு சொந்தமானது GCD இன் டிகிரி i ஐ விட அதிகமாக இருந்தால், பின்னர் பெஸௌட்டின் அடையாளம் படத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு பூஜ்ஜியமற்ற பல்லுறுப்புக்கோவை i ஐ விட பெரிய டிகிரியைக் கொண்டுள்ளது என்பதைக் காட்டுகிறது. இது Si = 0 என்பதைக் குறிக்கிறது. மறுபுறம், GCD இன் டிகிரி i ஆக இருந்தால், m + n−i ஐ விட குறைவான டிகிரியைக் கொண்ட GCD இன் மடங்குகள் இன் படத்தில் உள்ளன என்பதை நிரூபிக்க பெஸௌட்டின் அடையாளம் மீண்டும் அனுமதிக்கிறது. இந்த மடங்குகளின் திசையன் இடைவெளி m + n − 2i பரிமாணத்தைக் கொண்டுள்ளது மற்றும் i ஐ விட சிறியதாக இல்லாத ஜோடி வாரியாக வெவ்வேறு டிகிரிகளின் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் தளத்தைக் கொண்டுள்ளது. இது Ti இன் நெடுவரிசை எசெலான் வடிவத்தின் m + n − 2i முதல் வரிசைகளின் துணை மேட்ரிக்ஸ் அடையாள மேட்ரிக்ஸ் என்பதைக் குறிக்கிறது, இதனால் si 0 அல்ல. எனவே சி என்பது படத்தில் உள்ள ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை, இது ஜி. சி. டி. யின் பெருக்கமாகும் மற்றும் அதே டிகிரியைக் கொண்டுள்ளது. எனவே இது மிகப் பெரிய பொதுவான வகுத்தி ஆகும். GCD மற்றும் ரூட் ஃபைண்டிங் ஸ்கொயர்-ஃப்ரீ காரணிமயமாக்கல் பெரும்பாலான ரூட்-ஃபைண்டிங் வழிமுறைகள் பல வேர்களைக் கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவைகளுடன் மோசமாக செயல்படுகின்றன. எனவே ரூட்-ஃபைண்டிங் அல்காரிதம் என்று அழைப்பதற்கு முன்பு அவற்றைக் கண்டறிந்து அகற்றுவது பயனுள்ளதாக இருக்கும். ஒரு GCD கணக்கீடு பல வேர்கள் இருப்பதைக் கண்டறிய அனுமதிக்கிறது, ஏனெனில் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் பல வேர்கள் பல்லுறுப்புக்கோவையின் GCD இன் வேர்கள் மற்றும் அதன் வழித்தோன்றல் ஆகும். பல்லுறுப்புக்கோவையின் GCD மற்றும் அதன் வழித்தோன்றல்களைக் கணக்கிட்ட பிறகு, மேலும் GCD கணக்கீடுகள் பல்லுறுப்புக்கோவையின் முழுமையான சதுரம் இல்லாத காரணியாக்கத்தை வழங்குகின்றன, இது ஒரு காரணியாக்கமாகும், இதில் ஒவ்வொரு i க்கும், பல்லுறுப்புக்கோவையின் ஃபை f பெருக்கத்தின் எந்த மூலமும் இல்லை என்றால் 1 அல்லது சதுரம் இல்லாத பல்லுறுப்புக்கோவை (அதாவது பல மூலங்கள் இல்லாத பல்லுறுப்புக்கோவை) அதன் வேர்கள் சரியாக f இன் பெருக்கம் i இன் வேர்கள் (யூனின் வழிமுறையைப் பார்க்கவும்). இவ்வாறு சதுரம் இல்லாத காரணிமயமாக்கல் பல வேர்களைக் கொண்ட ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர்-கண்டுபிடிப்பை குறைந்த டிகிரியின் பல சதுரம் இல்லாத பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் வேர்-கண்டுபிடிப்புக்கு குறைக்கிறது. பெரும்பாலான பல்லுறுப்புக்கோவைக் காரணியாக்க வழிமுறைகளில் சதுரம் இல்லாத காரணியாக்கமும் முதல் படியாகும். ஸ்டர்ம் வரிசை உண்மையான குணகங்களைக் கொண்ட ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் ஸ்டர்ம் வரிசை என்பது பல்லுறுப்புக்கோவை மற்றும் அதன் வழித்தோன்றலுக்கு பயன்படுத்தப்படும் யூக்ளிடின் வழிமுறையின் மாறுபாட்டால் வழங்கப்பட்ட எஞ்சிய வரிசைகளின் வரிசையாகும். ஸ்டர்ம் வரிசையைப் பெறுவதற்கு, யூக்ளிடின் வழிமுறையின் அறிவுறுத்தலை V (a) என்பது ஒரு புள்ளியில் மதிப்பீடு செய்யப்படும்போது, வரிசையில் உள்ள அறிகுறிகளின் மாற்றங்களின் எண்ணிக்கையாக இருக்கட்டும். ஸ்டர்மின் தேற்றம் V (a) − V (b) என்பது [a, b] இடைவெளியில் உள்ள பல்லுறுப்புக்கோவையின் உண்மையான வேர்களின் எண்ணிக்கை என்று வலியுறுத்துகிறது. எனவே ஸ்டர்ம் வரிசை ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளியில் உண்மையான வேர்களின் எண்ணிக்கையை கணக்கிட அனுமதிக்கிறது. ஒவ்வொரு துணை இடைவெளியிலும் அதிகபட்சம் ஒரு வேர் இருக்கும் வரை இடைவெளியைப் பிரிப்பதன் மூலம், இது தன்னிச்சையான சிறிய நீளத்தின் இடைவெளிகளில் உண்மையான வேர்களைக் கண்டுபிடிக்கும் ஒரு வழிமுறையை வழங்குகிறது. ஒரு வளையம் மற்றும் அதன் பின்னங்களின் புலத்தின் மீது GCD இந்த பிரிவில், ஒரு தனித்துவமான காரணிமயமாக்கல் களமான R மீது பல்லுறுப்புக்கோவைகளை நாம் கருதுகிறோம், பொதுவாக முழு எண்களின் வளையம் மற்றும் அதன் பின்னங்களின் புலம் F, பொதுவாக விகிதமுறு எண்களின் புலம், மேலும் இந்த வளையங்களின் மீது மாறிகளின் தொகுப்பில் உள்ள பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் வளையங்களை R [X] மற்றும் F [X] ஐக் குறிக்கிறோம். பழமையான பகுதி-உள்ளடக்கக் காரணியாக்கம் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை p ωR [X] இன் உள்ளடக்கம், "கான்ட் (p)" என்று குறிக்கப்படுகிறது, இது அதன் குணகங்களின் GCD ஆகும். ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை q ωF [X] ஐ p ωR [X] மற்றும் c ωR இல் எழுதலாம்ஃ q (எடுத்துக்காட்டாக அவற்றின் பெருக்கல்) மற்றும் p = cq இன் குணகங்களின் அனைத்து வகுப்புகளின் பெருக்கத்தையும் c க்கு எடுத்துக்கொள்வது போதுமானது. q இன் உள்ளடக்கம் பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறதுஃ இரண்டு நிகழ்வுகளிலும், உள்ளடக்கம் R இன் அலகு மூலம் பெருக்கப்படும் வரை வரையறுக்கப்படுகிறது. R [X] அல்லது F [X] இல் உள்ள ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் பழமையான பகுதி வரையறுக்கப்படுகிறது. எனவே R [X] அல்லது F [X] இல் உள்ள ஒவ்வொரு பல்லுறுப்புக்கோவையும் காரணியாக்கலாம், மேலும் இந்த காரணியாக்கம் R இன் ஒரு அலகு மூலம் உள்ளடக்கத்தின் பெருக்கம் மற்றும் இந்த அலகின் தலைகீழ் மூலம் பழமையான பகுதியின் பெருக்கம் வரை தனித்துவமானது. காஸின் லெம்மா இரண்டு பழமையான பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் பெருக்கல் பழமையானது என்பதைக் குறிக்கிறது. முந்தைய பிரிவின் உறவுகள் R [X] மற்றும் F [X] இல் உள்ள GCD களுக்கு இடையே ஒரு வலுவான உறவைக் குறிக்கின்றன. தெளிவற்ற தன்மைகளைத் தவிர்க்க, "ஜி. சி. டி" என்ற குறியீடு பின்வருவனவற்றில், ஜி. சி. டி கணக்கிடப்படும் வளையத்தால் குறியிடப்படும். q1 மற்றும் q2 ஆகியவை F [X] ஐச் சேர்ந்தவை என்றால், p1 மற்றும் p2 ஆகியவை R [X] ஐச் சேர்ந்தவை என்றால், எனவே பல்லுறுப்புக்கோவை GCD களின் கணக்கீடு அடிப்படையில் F [X] மற்றும் R [X] க்கு மேல் உள்ள அதே சிக்கலாகும். விகிதமுறு எண்களின் மீது மாறாத பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கு, ஜீ. சி. டி. யைக் கணக்கிட யூக்ளிடின் வழிமுறை ஒரு வசதியான முறை என்று ஒருவர் நினைக்கலாம். இருப்பினும், இது ஏராளமான முழு எண்களின் பின்னங்களை எளிமைப்படுத்துவதை உள்ளடக்கியது, இதன் விளைவாக வரும் வழிமுறை திறமையானதாக இல்லை. இந்த காரணத்திற்காக, முழு எண்களுக்கு மேல் உள்ள பல்லுறுப்புக்கோவைகளுடன் மட்டுமே வேலை செய்வதற்கான யூக்ளிடின் வழிமுறையை மாற்றியமைக்க முறைகள் வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளன. அவை யூக்ளிடியன் பிரிவை மாற்றுவதைக் கொண்டுள்ளன, இது பின்னங்களை அறிமுகப்படுத்துகிறது, இது போலி-பிரிவு என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் யூக்ளிடின் வழிமுறையின் மீதமுள்ள வரிசையை போலி-எஞ்சிய வரிசைமுறைகள் என்று அழைக்கப்படுகிறது (கீழே காண்க). மல்டிவேரியேட் பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கு ஜி. சி. டி உள்ளது என்பதற்கான சான்று முந்தைய பிரிவில், ஆர் [எக்ஸ்] இல் உள்ள பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் ஜி. சி. டி ஆர் மற்றும் எஃப் [எக்ஸ்] இல் உள்ள ஜி. சி. டி களிலிருந்து கழிக்கப்படலாம் என்பதைக் கண்டோம். ஆதாரத்தை உன்னிப்பாகப் பார்த்தால், R [X] மற்றும் F [X] இல் GCD கள் இருந்தால், அவை R [X] இல் இருப்பதை நிரூபிக்க இது அனுமதிக்கிறது என்பதைக் காட்டுகிறது. குறிப்பாக, ஜி. சி. டி. க்கள் ஆர் இல் இருந்தால், எக்ஸ் ஒரு மாறியாகக் குறைக்கப்பட்டால், இது ஆர் [எக்ஸ்] இல் ஜி. சி. டி. க்கள் இருப்பதை நிரூபிக்கிறது (யூக்ளிடின் வழிமுறை எஃப் [எக்ஸ்] இல் ஜி. சி. டி. க்கள் இருப்பதை நிரூபிக்கிறது). n மாறிகளில் உள்ள ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை (n−1) மாறிகளில் உள்ள பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் வளையத்தின் மீது ஒரு மாறுபட்ட பல்லுறுப்புக்கோவை என்று கருதப்படலாம். எனவே மாறிகளின் எண்ணிக்கையில் ஒரு மறுபரிசீலனை GCD கள் இருந்தால் மற்றும் R இல் கணக்கிடப்படலாம் என்றால், அவை உள்ளன மற்றும் R க்கு மேல் உள்ள ஒவ்வொரு பன்முக பல்லுறுப்புக்கோவை வளையத்திலும் கணக்கிடப்படலாம் என்பதைக் காட்டுகிறது. குறிப்பாக, R என்பது முழு எண்களின் வளையமாகவோ அல்லது ஒரு புலமாகவோ இருந்தால், GCD கள் R [x1,., xn] இல் உள்ளன, அதற்கு முந்தையவை அவற்றைக் கணக்கிட ஒரு வழிமுறையை வழங்குகின்றன. ஒரு தனித்துவமான காரணிமயமாக்கல் களத்தின் மீது ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை வளையமும் ஒரு தனித்துவமான காரணிமயமாக்கல் களம் என்பதற்கான ஆதாரம் ஒத்திருக்கிறது, ஆனால் அது ஒரு வழிமுறையை வழங்காது, ஏனெனில் ஒரு புலத்தின் மீது ஒரு மாறுபட்ட பல்லுறுப்புக்கோவைகளை காரணி செய்ய பொதுவான வழிமுறை இல்லை (ஒரு மாறுபட்ட பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கு எந்த காரணிமயமாக்கல் வழிமுறை இல்லாத புலங்களின் எடுத்துக்காட்டுகள் உள்ளன). இந்த பிரிவில், ஒரு ஒருங்கிணைந்த களம் Z (பொதுவாக முழு எண்களின் வளையம் Z) மற்றும் அதன் பின்னங்களின் புலம் Q (பொதுவாக விகிதமுறு எண்களின் புலம் Q) ஆகியவற்றைக் கருத்தில் கொள்கிறோம். ஒரு மாறுபட்ட பல்லுறுப்புக்கோவை வளையமான Z [X] இல் இரண்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகள் A மற்றும் B கொடுக்கப்பட்டால், B ஆல் A இன் யூக்ளிடியன் பிரிவு (Q க்கு மேல்) ஒரு ஈவு மற்றும் மீதியை வழங்குகிறது, இது Z [X] க்கு சொந்தமானது அல்ல. ஏனெனில், பின்வரும் பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கு யூக்ளிடின் வழிமுறையைப் பயன்படுத்தினால், யூக்ளிடின் வழிமுறையின் அடுத்தடுத்த மீதமுள்ளவை, உள்ளீட்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் குணகங்களின் சிறிய அளவு மற்றும் சிறிய அளவு இருந்தபோதிலும், ஒருவர் பெரிய அளவிலான முழு எண் பின்னங்களை கையாள வேண்டும் மற்றும் எளிமைப்படுத்த வேண்டும். யூக்ளிடின் வழிமுறையின் ஒரு மாறுபாட்டை அனுமதிக்க போலி-பிரிவு அறிமுகப்படுத்தப்பட்டுள்ளது, இதற்காக அனைத்து எஞ்சிய வரிசைகளும் Z [X] ஐச் சேர்ந்தவை. மற்றும் a மற்றும் b ஆக இருந்தால், B ஆல் A இன் போலி-பிரிவின் போலி-எஞ்சியிருக்கும், இது முன் (A, B) ஆல் குறிக்கப்படுகிறது, அங்கு B இன் முன்னணி குணகம் (Xb இன் குணகம்) ஆகும். Z [X] இல் உள்ள இரண்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் போலி-பிரிவின் போலி-தக்கவைப்பு எப்போதும் Z [X] க்கு சொந்தமானது. ஒரு போலி-எஞ்சிய வரிசை என்பது யூக்ளிடின் வழிமுறையின் அறிவுறுத்தலை மாற்றுவதன் மூலம் பெறப்பட்ட (போலி) எஞ்சியவற்றின் வரிசை ஆகும், இதில் α என்பது Z இன் ஒரு உறுப்பு ஆகும், இது எண்களின் ஒவ்வொரு குணகத்தையும் சரியாக வகுக்கிறது. α இன் வெவ்வேறு தேர்வுகள் வெவ்வேறு போலி-எஞ்சிய வரிசைகளை வழங்குகின்றன, அவை அடுத்த உட்பிரிவுகளில் விவரிக்கப்பட்டுள்ளன. இரண்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் பொதுவான வகுத்திகள் மாற்றப்படாததால், பல்லுறுப்புக்கோவைகள் தலைகீழ் மாறிலிகளால் (Q இல்) பெருக்கப்பட்டால், ஒரு போலி-எஞ்சிய வரிசையில் கடைசி பூஜ்ஜியமற்ற சொல் உள்ளீட்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் GCD (Q [X] இல்) ஆகும். எனவே, போலி-எஞ்சிய வரிசைமுறைகள் Q இல் பின்னங்களை அறிமுகப்படுத்தாமல் GCD ஐ Q [X] இல் கணக்கிட அனுமதிக்கிறது. சில சூழல்களில், போலி-தக்கவைப்பின் முன்னணி குணகத்தின் அடையாளத்தைக் கட்டுப்படுத்துவது அவசியம். இது பொதுவாக விளைவுகள் மற்றும் துணை விளைவுகளைக் கணக்கிடும் போது அல்லது ஸ்டர்மின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தும்போது நிகழ்கிறது. இந்த கட்டுப்பாட்டை போலி-தக்கவைப்பின் வரையறையில் அதன் முழுமையான மதிப்பால் மாற்றுவதன் மூலமோ அல்லது அடையாளத்தைக் கட்டுப்படுத்துவதன் மூலமோ செய்யலாம் (மீதமுள்ள அனைத்து குணகங்களையும் வகுத்தால், அதுவே பொருந்தும்). எளிமையான (வரையறுக்க) மீதமுள்ள வரிசை எப்போதும் எடுத்துக்கொள்வதில் உள்ளது. உள்ளீட்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் அளவுடன் குணகங்களின் அளவு அதிவேகமாக வளர்வதால், நடைமுறையில், இது சுவாரஸ்யமானது அல்ல. இது முந்தைய பிரிவின் எடுத்துக்காட்டில் தெளிவாகத் தெரிகிறது, இதற்காக அடுத்தடுத்த போலி-மீதமுள்ளவை தொடர்ச்சியான மீதமுள்ள குணகங்களின் இலக்கங்களின் எண்ணிக்கை வழிமுறையின் ஒவ்வொரு மறு செய்கையிலும் இரு மடங்கிற்கும் அதிகமாக உள்ளது. இது அற்பமான போலி-எஞ்சிய வரிசைகளின் பொதுவான நடத்தை. பழமையான போலி-எஞ்சிய வரிசை பழமையான போலி-எஞ்சிய வரிசை எண் உள்ளடக்கத்தை α க்கு எடுத்துக்கொள்வதில் உள்ளது. எனவே அனைத்து ரி களும் பழமையான பல்லுறுப்புக்கோவைகளாகும். பழமையான போலி-எஞ்சிய வரிசை என்பது போலி-எஞ்சிய வரிசை ஆகும், இது மிகச்சிறிய குணகங்களை உருவாக்குகிறது. இருப்பினும் இது Z இல் உள்ள பல GCD களைக் கணக்கிட வேண்டும், எனவே நடைமுறையில் பயன்படுத்த போதுமான திறன் இல்லை, குறிப்பாக Z ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை வளையமாக இருக்கும்போது. முந்தைய பிரிவுகளில் உள்ள அதே உள்ளீட்டுடன், அடுத்தடுத்த மீதமுள்ளவை, அவற்றின் உள்ளடக்கத்தால் வகுக்கப்பட்ட பிறகு உள்ளன குணகங்களின் சிறிய அளவு பல முழு எண்கள் GCD மற்றும் GCD ஆல் வகுக்கப்பட்டுள்ளன என்ற உண்மையை மறைக்கிறது. துணை விளைவு போலி-எஞ்சிய வரிசை ஒரு துணை விளைவு வரிசையை போலி-எஞ்சியவர்களுடனும் கணக்கிடலாம். ஒவ்வொரு ரி ஒரு துணை விளைவு பல்லுறுப்புக்கோவையாக இருக்கும் வகையில் α ஐத் தேர்ந்தெடுப்பதில் செயல்முறை உள்ளது. ஆச்சரியப்படும் விதமாக, α இன் கணக்கீடு மிகவும் எளிதானது (கீழே காண்க). மறுபுறம், வழிமுறையின் சரியான தன்மைக்கான ஆதாரம் கடினம், ஏனென்றால் இது இரண்டு தொடர்ச்சியான மீதமுள்ள டிகிரிகளின் வேறுபாட்டிற்கான அனைத்து சாத்தியங்களையும் கணக்கில் எடுத்துக் கொள்ள வேண்டும். துணை விளைவு வரிசையில் உள்ள குணகங்கள் பழமையான போலி-எஞ்சிய வரிசையை விட அரிதாகவே மிகப் பெரியவை. Z இல் GCD கணக்கீடுகள் தேவையில்லை என்பதால், போலி-மீதமுள்ள துணை விளைவு வரிசை மிகவும் திறமையான கணக்கீட்டை வழங்குகிறது. முந்தைய பிரிவுகளில் உள்ள அதே உள்ளீட்டுடன், அடுத்தடுத்த மீதமுள்ளவை குணகங்கள் நியாயமான அளவைக் கொண்டுள்ளன. அவை எந்த ஜி. சி. டி கணக்கீடும் இல்லாமல் பெறப்படுகின்றன, துல்லியமான பிரிவுகள் மட்டுமே. இது இந்த வழிமுறையை பழமையான போலி-எஞ்சிய வரிசைகளை விட மிகவும் திறமையானதாக ஆக்குகிறது. போலி-எஞ்சியுள்ளவற்றுடன் துணை விளைவு வரிசையை கணக்கிடும் வழிமுறை கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. இந்த வழிமுறையில், உள்ளீடு என்பது Z [X] இல் உள்ள ஒரு ஜோடி பல்லுறுப்புக்கோவைகள் ஆகும். இவை Z [X] இல் அடுத்தடுத்த போலி எஞ்சியவை, மாறிகள் i மற்றும் எதிர்மறை அல்லாத முழு எண்கள், மற்றும் கிரேக்க எழுத்துக்கள் Z இல் உள்ள உறுப்புகளைக் குறிக்கின்றன. டிஜ் () மற்றும் ரெம் () செயல்பாடுகள் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் அளவையும் யூக்ளிடியன் பிரிவின் எஞ்சிய பகுதியையும் குறிக்கின்றன. வழிமுறையில், இந்த மீதமுள்ளவை எப்போதும் Z [X] இல் இருக்கும். இறுதியாக குறிக்கப்படும் பிரிவுகள் எப்போதும் துல்லியமானவை மற்றும் அவற்றின் முடிவை Z [X] அல்லது Z இல் கொண்டுள்ளன. குறிப்புஃ "lc" என்பது முன்னணி குணகம், மாறியின் மிக உயர்ந்த டிகிரியின் குணகம். இந்த வழிமுறை மிகப் பெரிய பொதுவான வகுத்தியை (கடைசி பூஜ்ஜியமற்றது) மட்டுமல்லாமல், அனைத்து துணை விளைவு பல்லுறுப்புக்கோவைகளையும் கணக்கிடுகிறதுஃ மீதமுள்ளவை-th துணை விளைவு பல்லுறுப்புக்கோவையாகும். என்றால்,-th துணை விளைவு பல்லுறுப்புக்கோவை. மற்ற அனைத்து துணை விளைவு பல்லுறுப்புக்கோவைகளும் பூஜ்ஜியமாகும். போலி-எஞ்சியுள்ள ஸ்டர்ம் வரிசை ஒன்று ஸ்டர்ம் வரிசைகளின் அதே பண்புகளைக் கொண்ட வரிசைகளை உருவாக்க போலி-எஞ்சியுள்ளவற்றைப் பயன்படுத்தலாம். ஸ்டர்ம் வரிசையில் உள்ள அதே அறிகுறிகளைக் கொண்டிருப்பதற்காக, அடுத்தடுத்த போலி-மீதமுள்ள அறிகுறிகளைக் கட்டுப்படுத்த இது தேவைப்படுகிறது. மாற்றியமைக்கப்பட்ட போலி-தக்கவைப்பை பின்வருமாறு வரையறுப்பதன் மூலம் இதைச் செய்யலாம். மற்றும் a மற்றும் b ஆக இருந்தால், B ஆல் A இன் போலி-பிரிவின் மாற்றியமைக்கப்பட்ட போலி-எஞ்சிய முன் 2 (A, B), அங்கு |lc (B) | என்பது B இன் முன்னணி குணகத்தின் முழுமையான மதிப்பு (Xb இன் குணகம்). முழு எண் குணகங்களைக் கொண்ட உள்ளீட்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கு, இது முழு எண் குணகங்களைக் கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவைகளைக் கொண்ட ஸ்டர்ம் வரிசைகளை மீட்டெடுக்க அனுமதிக்கிறது. துணை விளைவு போலி-எஞ்சிய வரிசை இதேபோல் மாற்றியமைக்கப்படலாம், இந்த விஷயத்தில் எஞ்சியவற்றின் அறிகுறிகள் பகுத்தறிவுகளின் மீது கணக்கிடப்பட்டவற்றுடன் ஒத்துப்போகின்றன. மேலே கொடுக்கப்பட்ட சப்-ரிசல்டன்ட் சூடோ-ரிமைண்டர் வரிசையை கணக்கிடுவதற்கான வழிமுறை, அதற்கு பதிலாக ஒருவர் பயன்படுத்தினால் தவறான சப்-ரிசல்டன்ட் பல்லுறுப்புக்கோவைகளை கணக்கிடும் என்பதை நினைவில் கொள்க. மட்டு GCD வழிமுறை f மற்றும் g ஆகியவை F [x] இல் உள்ள பல்லுறுப்புக்கோவைகளாக இருந்தால், அவற்றின் GCD ஐக் கணக்கிட யூக்ளிடியன் வழிமுறை மிகவும் இயற்கையான வழியாகும். இருப்பினும், நவீன கணினி இயற்கணித அமைப்புகள் இடைநிலை வெளிப்பாடு வீக்கம் எனப்படும் ஒரு நிகழ்வின் காரணமாக F வரையறுக்கப்பட்டதாக இருந்தால் மட்டுமே அதைப் பயன்படுத்துகின்றன. யூக்ளிடியன் வழிமுறையின் போது டிகிரிகள் குறைந்து கொண்டே இருந்தாலும், எஃப் வரையறுக்கப்படவில்லை என்றால், பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் பிட் அளவு கணக்கீடுகளின் போது அதிகரிக்கலாம் (சில நேரங்களில் வியத்தகு முறையில்) ஏனெனில் எஃப் இல் மீண்டும் மீண்டும் எண்கணித செயல்பாடுகள் பெரிய வெளிப்பாடுகளுக்கு வழிவகுக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, b ஆல் வரையறுக்கப்பட்ட இரண்டு விகிதமுறு எண்களைச் சேர்ப்பது ஒரு விகிதமுறு எண்ணுக்கு வழிவகுக்கிறது, அதன் வகுத்தல் b2 ஆல் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது, எனவே மோசமான நிலையில், பிட் அளவு ஒரு செயல்பாட்டின் மூலம் கிட்டத்தட்ட இரட்டிப்பாகும். கணக்கீட்டை விரைவுபடுத்த, f மற்றும் g ஆகியவை D [x] இல் இருக்கும் ஒரு வளையத்தை எடுத்து, D/I ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட வளையமாக இருக்கும் வகையில் ஒரு இலட்சியம் I ஐ எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். பின்னர் யூக்ளிடியன் அல்காரிதம் மூலம் இந்த வரையறுக்கப்பட்ட வளையத்தின் மீது GCD ஐக் கணக்கிடுங்கள். புனரமைப்பு நுட்பங்களைப் பயன்படுத்துதல் (சீன எஞ்சிய தேற்றம், பகுத்தறிவு புனரமைப்பு போன்றவை) f மற்றும் g இன் GCD ஐ அதன் பட மாடுலோவிலிருந்து பல இலட்சியங்கள் I ஐ மீட்டெடுக்க முடியும். குறைந்தபட்சம் அல்லாத டிகிரிகளுடன் மாடுலர் படங்களை ஒருவர் நிராகரிக்கிறார், மேலும் ஒரு முன்னணி குணகம் மறைந்துவிடும் இலட்சியங்கள் I மாடுலோவைத் தவிர்க்கிறார் என்பதை இந்த வேலை செய்கிறது என்பதை ஒருவர் நிரூபிக்க முடியும். , மற்றும் என்று வைத்துக்கொள்வோம். நாம் எடுத்துக் கொண்டால் அது ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட வளையம் (அதிகபட்சமாக இல்லாததால் ஒரு புலம் அல்ல). இன் வெற்றிகளின் படங்களுக்கு பயன்படுத்தப்படும் யூக்ளிடியன் வழிமுறை 1 ஐத் திருப்பித் தருகிறது. இதன் GCD யும் 1 ஆக இருக்க வேண்டும் என்பதை இது குறிக்கிறது. வெளிப்பாடு வீக்கம் ஏற்படுவதற்கு டிகிரிகள் மிகவும் சிறியதாக இருந்ததால் இந்த உதாரணத்தை எந்த முறையிலும் எளிதில் கையாள முடியும் என்பதை நினைவில் கொள்க, ஆனால் இரண்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகள் ஜி. சி. டி 1 ஐக் கொண்டிருந்தால், மாடுலர் வழிமுறை ஒற்றை இலட்சியத்திற்குப் பிறகு முடிவடையும் என்று இது விளக்குகிறது. மேலும் காண்க பல்லுறுப்புக்கோவை தலைப்புகளின் பட்டியல் பன்முகப் பிரிவு வழிமுறை குறிப்புகள் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் கணினி இயற்கணிதம்