Construction of t-norms
கணிதத்தில், டி-நெறிமுறைகள் என்பது உண்மையான அலகு இடைவெளியில் [0,1] ஒரு சிறப்பு வகையான பைனரி செயல்பாடுகள் ஆகும். டி-நெறிமுறைகளின் பல்வேறு கட்டமைப்புகள், வெளிப்படையான வரையறையின் மூலம் அல்லது முன்னர் அறியப்பட்ட செயல்பாடுகளிலிருந்து மாற்றுவதன் மூலம், டி-நெறிமுறைகளின் எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் வகுப்புகளின் நிறைவை வழங்குகின்றன. இது முக்கியமானது, எ. கா., எதிர்-எடுத்துக்காட்டுகளைக் கண்டுபிடிப்பதற்கு அல்லது தெளிவற்ற தர்க்கத்தின் பொறியியல் பயன்பாடுகளில் பயன்படுத்த குறிப்பிட்ட பண்புகளுடன் டி-விதிமுறைகளை வழங்குவதற்கு. டி-நெறிமுறைகளை உருவாக்குவதற்கான முக்கிய வழிகளில் ஜெனரேட்டர்களைப் பயன்படுத்துதல், டி-விதிமுறைகளின் அளவுரு வகுப்புகள், சுழற்சிகள் அல்லது டி-விதிமுறைகளின் வரிசை கூட்டுத்தொகைகளை வரையறுத்தல் ஆகியவை அடங்கும். தொடர்புடைய பின்னணியை டி-நெறிமுறைகள் குறித்த கட்டுரையில் காணலாம். டி-நார்ம்களின் ஜெனரேட்டர்கள் ஜெனரேட்டர்களால் டி-நார்ம்களை உருவாக்கும் முறை ஒரு யூனரி செயல்பாட்டை (ஜெனரேட்டர்) பயன்படுத்தி அறியப்பட்ட சில பைனரி செயல்பாட்டை (பெரும்பாலும், கூட்டல் அல்லது பெருக்கம்) டி-நார்மாக மாற்றுவதைக் கொண்டுள்ளது. தலைகீழ் செயல்பாடு இல்லாத புறநிலை அல்லாத ஜெனரேட்டர்களைப் பயன்படுத்த அனுமதிக்கும் பொருட்டு, போலி-தலைகீழ் செயல்பாட்டின் பின்வரும் கருத்து பயன்படுத்தப்படுகிறதுஃ f: [a, b] → [c, d] நீட்டிக்கப்பட்ட உண்மையான கோட்டின் இரண்டு மூடிய துணை இடைவெளிகளுக்கு இடையில் ஒரு மோனோடோன் செயல்பாடாக இருக்கட்டும். சேர்க்கை ஜெனரேட்டர்கள் மூலம் t-நெறிமுறைகளின் கட்டுமானம் பின்வரும் தேற்றத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டதுஃ f: [0,1] → [0, + ≤] கண்டிப்பாக குறைந்து வரும் செயல்பாடாக இருக்கட்டும், அதாவது f (1) = 0 மற்றும் f (x) + f (y) f வரம்பில் அல்லது f (0 +) அல்லது + ≤ க்கு சமமாக இருக்கும். பின்னர் T (x, y) = f (-1) (f (x) + f (y)) என வரையறுக்கப்படும் செயல்பாடு T: [0,1] 2 → [0,1] ஒரு t-நெறிமுறை ஆகும். மாற்றாக, போலி-தலைகீழ் செயல்பாடு என்ற கருத்தை பயன்படுத்துவதை ஒருவர் தவிர்க்கலாம். அதனுடன் தொடர்புடைய எச்சத்தை இவ்வாறு வெளிப்படுத்தலாம். மற்றும் பைரசிடியம் போன்றது. ஒரு t-நெறிமுறை T என்பது 0 இல் வலது-தொடர்ச்சியான ஒரு செயல்பாட்டின் f இன் பிந்தைய கட்டமைப்பிலிருந்து விளைந்தால், f என்பது T இன் சேர்க்கை ஜெனரேட்டர் என்று அழைக்கப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டுகள்ஃ [0,1] இல் x க்கு f (x) = 1-x என்ற செயல்பாடு Îukaseevicz t-நெறிமுறையின் சேர்க்கை ஜெனரேட்டராகும். 0 <x ≤ 1 மற்றும் f (0) = + ≤ என்பது t-நெறிமுறை பெருக்கலின் சேர்க்கை ஜெனரேட்டராக இருந்தால் f (x) =-log (x) என வரையறுக்கப்படும் செயல்பாடு. 0 ≤ x <1 மற்றும் f (1) = 0 என்றால் f (x) = 2-x என வரையறுக்கப்படும் செயல்பாடு கடுமையான t-நெறிமுறையின் சேர்க்கை ஜெனரேட்டராகும். சேர்க்கை ஜெனரேட்டர்களின் அடிப்படை பண்புகள் பின்வரும் தேற்றத்தால் சுருக்கமாகக் கூறப்படுகின்றனஃ f: [0,1] → [0, + φ] ஒரு t-நெறிமுறை T இன் சேர்க்கை ஜெனரேட்டராக இருக்கட்டும். f தொடர்ச்சியாக இருந்தால் மட்டுமே T தொடர்ச்சியானது. f (0) = + ν என்றால் மட்டுமே T கண்டிப்பாக மோனோடோன் ஆகும். (0,1) இன் ஒவ்வொரு உறுப்பும் t இன் நில்போட்டன்ட் உறுப்பாகும், f (0) <+ ν என்றால் மட்டுமே. ஒரு நேர்மறை மாறிலி மூலம் f இன் பெருக்கமும் T. T இன் ஒரு சேர்க்கை ஜெனரேட்டராகும். (இதன் விளைவாக, எ. கா., குறைந்தபட்ச டி-விதிமுறைக்கு சேர்க்கை ஜெனரேட்டர் இல்லை.) பெருக்கல் ஜெனரேட்டர்கள் மடக்கை மற்றும் அதிவேக செயல்பாட்டால் [0, + ν] இல் கூட்டல் மற்றும் [0,1] இல் பெருக்கலுக்கு இடையிலான ஐசோமார்பிசம் ஒரு t-நெறிமுறையின் சேர்க்கை மற்றும் பெருக்கல் ஜெனரேட்டர்களுக்கு இடையில் இருவழி மாற்றங்களை அனுமதிக்கிறது. f என்பது ஒரு t-விதிமுறை T இன் சேர்க்கை ஜெனரேட்டராக இருந்தால், h: [0,1] → [0,1] என்ற செயல்பாடு h (x) = e −f (x) என வரையறுக்கப்படுகிறது, இது T இன் பெருக்கல் ஜெனரேட்டராகும், அதாவது, ஒரு செயல்பாடு h என்பது கண்டிப்பாக h (1) = 1h (x)·h (y) ஐ அதிகரிப்பது என்பது h இன் வரம்பில் அல்லது 0 க்கு சமமாக அல்லது h (0 +) க்கு சமமாக இருக்கும், [0,1] h இல் y என்பது 0 T (x, y) = h (−1) (h (x)·h (y) இல் சரியான தொடர்ச்சியானது. இதற்கு நேர்மாறாக, h என்பது T இன் பெருக்கல் ஜெனரேட்டராக இருந்தால், f: [0,1] → [0, + ≤] என்பது f (x) = − log (h (x)) ஆல் வரையறுக்கப்படுகிறது, இது T இன் சேர்க்கை ஜெனரேட்டராகும். பின்வரும் வரையறைகள் பட்டியலில் பயன்படுத்தப்படும்ஃ அனைத்து x க்கும் Tp (x, y) ≤ Tq (x, y) என்றால் p ஆல் அளவிடப்படும் t-நெறிமுறைகளின் Tp குடும்பம் அதிகரிக்கிறது, p ≤ q (இதேபோல் குறைவதற்கும் கண்டிப்பாக அதிகரிப்பதற்கும் அல்லது குறைப்பதற்கும்). t-நெறிமுறைகளின் Tp குடும்பம் p அளவுருவைப் பொறுத்தவரை தொடர்ச்சியானது, அளவுருவின் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் p0 என்றால். ஷ்வெய்சர்-ஸ்க்லார் டி-நெறிமுறைகள் 1960 களின் முற்பகுதியில் பெர்த்தோல்ட் ஷ்வெய்சர் மற்றும் அபே ஸ்க்லார் ஆகியோரால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட ஷ்வெய்சர்-ஸ்க்லார் டி-நெறிமுறைகளின் குடும்பம், அளவுரு வரையறையால் வழங்கப்படுகிறது, ஒரு ஷ்வெய்சர்-ஸ்க்லார் டி-நெறிமுறை ஆர்க்கிமிடியன் என்றால், p> − ν தொடர்ந்தால் மட்டுமே, p <+ ν கண்டிப்பானால் மட்டுமே, − ν <p ≤ 0 (p = −1 க்கு இது ஹமாச்சர் தயாரிப்பு) நில்பொடென்ட் என்றால் மட்டுமே (p = 1 க்கு இது லுகாஸ்விவிக்ஸ் டி-நெறிமுறை). குடும்பம் p ≤ 0 க்கு கண்டிப்பாக குறைந்து வருகிறது மற்றும் p ஐப் பொறுத்தவரை [− ≤, + ≤] இல் தொடர்கிறது. 1970 களின் பிற்பகுதியில் ஹோர்ஸ்ட் ஹமாச்சரால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட ஹமாச்சர் டி-நெறிமுறைகளின் குடும்பம், 0 ≤ p ≤ + ≤ க்கான பின்வரும் அளவுரு வரையறையால் வழங்கப்படுகிறதுஃ டி-நெறிமுறை ஹமாச்சர் தயாரிப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஹமாச்சர் டி-நெறிமுறைகள் மட்டுமே டி-விதிமுறைகளாகும், அவை பகுத்தறிவு செயல்பாடுகளாகும். ஹமாச்சர் டி-நெறிமுறை p <+ ν என்றால் மட்டுமே கடுமையானது (p = 1 க்கு இது தயாரிப்பு t-நெறிமுறை). p ஐப் பொறுத்தவரை குடும்பம் கண்டிப்பாக குறைந்து வருகிறது மற்றும் தொடர்கிறது. p <+ φ க்கான ஒரு சேர்க்கை ஜெனரேட்டர் ஃபிராங்க் t-நெறிமுறைகள் ஆகும். 1970 களின் பிற்பகுதியில் எம். ஜே. ஃபிராங்க் அறிமுகப்படுத்திய ஃபிராங்க் t-நெறிமுறைகளின் குடும்பம், 0 ≤ p ≤ + φ க்கான அளவுரு வரையறையால் பின்வருமாறு வழங்கப்படுகிறதுஃ p <+ φ என்றால் ஃபிராங்க் t-நெறிமுறை கடுமையானது. குடும்பம் கண்டிப்பாக குறைந்து வருகிறது மற்றும் p ஐப் பொறுத்தவரை தொடர்கிறது. இதற்கு ஒரு சேர்க்கை ஜெனரேட்டர் யாகர் t-நெறிமுறைகள் ஆகும். 1980 களின் முற்பகுதியில் ரொனால்ட் ஆர். யாகர் அறிமுகப்படுத்திய யாகர் t-நெறிமுறைகளின் குடும்பம், 0 ≤ p ≤ + ≤ க்கு வழங்கப்படுகிறது. p ஐப் பொறுத்தவரை குடும்பம் கண்டிப்பாக அதிகரித்து வருகிறது மற்றும் தொடர்கிறது. 0 <p <+ ≤ க்கான யாகர் t-விதிமுறை அதன் சேர்க்கை ஜெனரேட்டரை p இன் சக்திக்கு உயர்த்துவதன் மூலம் Îukasievicz t-விதியிலிருந்து எழுகிறது. 0 <p <+ ≤ க்கான ஒரு சேர்க்கை ஜெனரேட்டர் Aczél-Alsina t-விதிமுறை ஆகும். 1980 களின் முற்பகுதியில் ஜானோஸ் அக்ஸெல் மற்றும் க்ளோடி அல்ஸினா ஆகியோரால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட அக்செல்-ஆல்ஸினா t-விதிகளின் குடும்பம், 0 ≤ p ≤ + ≤ க்கு வழங்கப்படுகிறது. p ஐப் பொறுத்தவரை குடும்பம் கண்டிப்பாக அதிகரித்து வருகிறது மற்றும் தொடர்கிறது. 0 <p <+ ≤ க்கான Aczél-Alsina t-நெறிமுறை அதன் சேர்க்கை ஜெனரேட்டரை p இன் சக்திக்கு உயர்த்துவதன் மூலம் தயாரிப்பு t-நெறிமுறையிலிருந்து எழுகிறது. 0 <p <+ ≤ க்கான ஒரு சேர்க்கை ஜெனரேட்டர் டோம்பி t-நெறிமுறைகள். ஜோசெஃப் டோம்பி (1982) அறிமுகப்படுத்திய டோம்பி t-நெறிமுறைகளின் குடும்பம், 0 ≤ p ≤ + ≤ க்கு வழங்கப்படுகிறது. p ஐப் பொறுத்தவரை குடும்பம் கண்டிப்பாக அதிகரித்து வருகிறது மற்றும் தொடர்கிறது. 0 <p <+ φ க்கான டோம்பி t-விதிமுறை ஹமாச்சர் தயாரிப்பு t-விதியிலிருந்து அதன் சேர்க்கை ஜெனரேட்டரை p இன் சக்திக்கு உயர்த்துவதன் மூலம் எழுகிறது. 0 <p <+ φ க்கான ஒரு சேர்க்கை ஜெனரேட்டர் சுஜெனோ-வெபர் t-விதிகள் சுஜெனோ-வெபர் t-விதிகளின் குடும்பம் 1980 களின் முற்பகுதியில் சீக்ஃபிரைட் வெபரால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது; இரட்டை t-விதைகள் ஏற்கனவே 1970 களின் முற்பகுதியில் மிச்சியோ சுஜெனோவால் வரையறுக்கப்பட்டன. சுஜெனோ-வெபர் t-விதிமுறையானது −1 <p <+ φ (p = 0 க்கு இது Îukaseevicz t-விதிமுறை) என்றால் மட்டுமே நில்பொடென்ட் ஆகும். p ஐப் பொறுத்தவரை குடும்பம் கண்டிப்பாக அதிகரித்து வருகிறது மற்றும் தொடர்கிறது. 0 <p <+ φ [sic] க்கான ஒரு சேர்க்கை ஜெனரேட்டர் வரிசைத் தொகையாகும் வரிசைத் தொகை t-நெறிமுறைகளின் குடும்பத்திலிருந்து ஒரு t-நெறிமுறையை உருவாக்குகிறது, அவற்றை இடைவெளி [0,1] இன் வேறுபட்ட துணை இடைவெளிகளாக சுருக்கி, மீதமுள்ள அலகு சதுரத்தில் குறைந்தபட்சத்தைப் பயன்படுத்தி t-நெறிமுறையை நிறைவு செய்கிறது. இது பின்வரும் தேற்றத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டதுஃ ஒரு குறியீட்டு தொகுப்பில் i க்கு Ti என்பது t-நெறிமுறைகளின் குடும்பமாகவும், [0,1] இன் ஜோடி வாரியாக வேறுபட்ட (காலியாக இல்லாத) திறந்த துணை இடைவெளிகளின் குடும்பமாகவும் இருக்கட்டும். பின்னர் செயல்பாடு T: [0,1] 2 → [0,1] ஒரு t-விதிமுறை என வரையறுக்கப்படுகிறது.] இதன் விளைவாக வரும் t-நெறிமுறை I இல் உள்ள i க்கான கூட்டுத்தொகைகளின் (Ti, ஏஆஇ, பை) வரிசை கூட்டுத்தொகை என்று அழைக்கப்படுகிறது, இது I வரையறுக்கப்பட்டதாக இருந்தால் குறிக்கப்படுகிறது. டி-நெறிமுறைகளின் வரிசைத் தொகைகள் பின்வரும் பண்புகளை அனுபவிக்கின்றனஃ ஒவ்வொரு டி-நெறிமுறையும் முழு இடைவெளியில் [0,1] ஒரு அற்பமான வரிசைத் தொகையாகும். வெற்று வரிசை தொகை (வெற்று குறியீட்டு தொகுப்புக்கு) குறைந்தபட்ச டி-நெறிமுறை டி. எம். ஐ வழங்குகிறது. குறைந்தபட்ச டி-விதிமுறை கொண்ட சுருக்கங்கள் தன்னிச்சையாக சேர்க்கப்படலாம் அல்லது விளைவாக டி-விதியை மாற்றாமல் தவிர்க்கப்படலாம். குறியீட்டு தொகுப்பு கணக்கிடக்கூடியது என்று பொதுவான இழப்பு இல்லாமல் கருதலாம், ஏனெனில் உண்மையான கோடு அதிகபட்சமாக பல வேறுபட்ட உட்பிரிவுகளை மட்டுமே கொண்டிருக்க முடியும். ஒவ்வொரு கூட்டுத்தொகையும் தொடர்ச்சியான டி-நெறிமுறையாக இருந்தால் மட்டுமே டி-நெறிமுறையின் வரிசை கூட்டுத்தொகை தொடர்ச்சியானது. (இதேபோல் இடது-தொடர்ச்சி.) முழு அலகு இடைவெளியில் ஒரு ஆர்க்கிமிடியன் டி-நார்மின் அற்பமான கூட்டுத்தொகையாக இருந்தால் மட்டுமே ஒரு வரிசை கூட்டுத்தொகை ஆர்க்கிமிடியன் ஆகும். ஒரு வரிசை கூட்டுத்தொகைக்கு பூஜ்ஜிய வகுத்திகள் உள்ளன, சில குறியீட்டெண் i க்கு, ai = 0 மற்றும் Ti பூஜ்ஜிய வகுத்திகளைக் கொண்டிருந்தால் மட்டுமே. (நில்போட்டன்ட் உறுப்புகளுக்கு ஒத்ததாக.) ஒரு இடது-தொடர்ச்சியான t-நெறிமுறை என்றால், அதன் எஞ்சிய R பின்வருமாறு கொடுக்கப்படுகிறதுஃ இங்கு Ri என்பது Ti இன் எச்சமாகும், I இல் உள்ள ஒவ்வொரு i க்கும். தொடர்ச்சியான t-நெறிமுறைகளின் வரிசை கூட்டுத்தொகை தொடர்ச்சியான t-நெறிமுறைகளின் குடும்பத்தின் வரிசை கூட்டுத்தொகை ஒரு தொடர்ச்சியான t-நெறிமுறை ஆகும். மோஸ்டர்ட்-ஷீல்ட்ஸ் தேற்றத்தின் படி, ஒவ்வொரு தொடர்ச்சியான டி-விதியும் ஆர்க்கிமிடியன் தொடர்ச்சியான டி-விதிகளின் வரிசை கூட்டுத்தொகையாக வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. பிந்தையது நில்போட்டன்ட் (பின்னர் லுகாசுவிக்ஸ் டி-நெறிமுறைக்கு ஐசோமார்பிக்) அல்லது கண்டிப்பான (பின்னர் தயாரிப்பு டி-நெறிமுறைக்கு ஐசோமார்பிக்) என்பதால், ஒவ்வொரு தொடர்ச்சியான டி-நெறிமுறை லுகாசுவிக்ஸ் மற்றும் தயாரிப்பு டி-நெறிமுறைகளின் வரிசை கூட்டுத்தொகைக்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும். தொடர்ச்சியான டி-நெறிமுறைகளின் வரிசைத் தொகைகளின் முக்கியமான எடுத்துக்காட்டுகள் பின்வருமாறுஃ 1980 களின் முற்பகுதியில் டிடியர் டுபோயிஸ் மற்றும் ஹென்றி பிரேடு ஆகியோரால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட டுபோயிஸ்-பிரேடு டி-நெறிமுறைகள், [0, p] இல் உள்ள ஒரு அளவுரு p இன் [0,1] மற்றும் மீதமுள்ள அலகு இடைவெளியில் (இயல்புநிலை) குறைந்தபட்ச டி-நெறிமுறைக்கான தயாரிப்பு t-நெறிமுறையின் வரிசைத் தொகைகள் ஆகும். 1990 களின் முற்பகுதியில் காஸ்பர் மேயர் மற்றும் ஜோன் டோரன்ஸ் ஆகியோரால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட மேயர்-டோரன்ஸ் டி-நெறிமுறைகள், [0,1] இல் உள்ள ஒரு அளவுரு p மற்றும் மீதமுள்ள அலகு இடைவெளியில் (இயல்புநிலை) குறைந்தபட்ச டி-நெறிமுறைக்கு [0, p] இல் உள்ள லுகாசீவிக்ஸ் டி-நெறிமுறையின் வரிசை கூட்டுத்தொகையாகும். மேயர்-டோரன்ஸ் டி-விதிமுறைகளின் குடும்பம் குறைந்து வருகிறது மற்றும் பி. சுழற்சிகளைப் பொறுத்தவரை தொடர்கிறது சுழற்சி மூலம் டி-விதிமுறைகளின் கட்டுமானம் சாண்டோர் ஜெனீ (2000) என்பவரால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. இது பின்வரும் தேற்றத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டதுஃ T என்பது பூஜ்ஜிய வகுத்திகள் இல்லாத இடது-தொடர்ச்சியான t-நெறிமுறையாக இருக்கட்டும், N: [0,1] → [0,1] 1 − x ஐ x க்கு ஒதுக்கும் செயல்பாடு மற்றும் t = 0.5. T1 என்பது T இன் நேரியல் மாற்றமாக [t, 1] ஆக இருக்கட்டும், பின்னர் செயல்பாடு ஒரு இடது-தொடர்ச்சியான t-விதியாகும், இது t-விதிமுறை T இன் சுழற்சி என்று அழைக்கப்படுகிறது. வடிவியல் ரீதியாக, கட்டுமானத்தை முதலில் t-விதிமுறை T ஐ இடைவெளிக்கு [0.5,1] சுருக்கி, பின்னர் புள்ளிகளை (0,0,1) மற்றும் (1,1,0) இணைக்கும் கோட்டைச் சுற்றி இரு திசைகளிலும் 2π/3 கோணத்தால் சுழற்றுவதாக விவரிக்கலாம். [0,1] இல் உள்ள அனைத்து x, y, z க்கும் T (y, N (z)) ≤ N (x) இருந்தால் மட்டுமே, இதன் விளைவாக வரும் t-நெறிமுறை N ஐப் பொறுத்தவரை பின்வரும் சுழற்சி மாறாத பண்பைப் பெறுகிறதுஃ ட்ரோட்டால் தூண்டப்படும் எதிர்மறையானது N செயல்பாடாகும், அதாவது, அனைத்து x க்கும் N (x) = Rrot (x, 0), இதில் ரோட் என்பது ட்ரோட்டின் எச்சமாகும். மேலும் காண்க டி-நார்ம் டி-நார்ம் தெளிவற்ற தர்க்கங்கள் குறிப்புகள் கிளெமென்ட், எரிக் பீட்டர்; மெஸியர், ராட்கோ; மற்றும் பாப், எண்ட்ரே (2000), முக்கோண நெறிமுறைகள். டோர்ட்ரெக்ட்ஃ க்ளூவர். . ஃபோடோர், ஜானோஸ் (2004), "தெளிவற்ற தர்க்கத்தில் இடது-தொடர்ச்சியான டி-விதிமுறைகள்ஃ ஒரு கண்ணோட்டம்". ஆக்டா பாலிடெக்னிகா ஹங்கரிகா 1 (2), ஐஎஸ்எஸ்என் 1785-8860 டோம்பி, ஜோசெஃப் (1982), "ஒரு பொது வகை தெளிவற்ற ஆபரேட்டர்கள், தெளிவற்ற ஆபரேட்டர்களின் டிமோர்கன் வகுப்பு மற்றும் தெளிவற்ற ஆபரேட்டர்களால் தூண்டப்பட்ட தெளிவற்ற நடவடிக்கைகள்". தெளிவற்ற அமைப்புகள் மற்றும் அமைப்புகள் 8,149-163. ஜெனீ, சாண்டோர் (2000), "வலுவான தூண்டப்பட்ட மறுப்புகளுடன் இடது-தொடர்ச்சியான டி-நெறிமுறைகளின் அமைப்பு. (I) சுழற்சி கட்டுமானம் ". ஜர்னல் ஆஃப் அப்ளைடு நான்-கிளாசிக்கல் லாஜிக் 10,83-92. நவாரா, மிர்கோ (2007), "முக்கோண விதிமுறைகள் மற்றும் கூர்முனைகள்", ஸ்காலர்பேடியா. தெளிவற்ற தர்க்கம்