Homotopy category of chain complexes
கணிதத்தில் ஹோமோலாஜிக்கல் அல்ஜீப்ராவில், சேர்க்கை வகை A இல் சங்கிலி வளாகங்களின் ஹோமோடாபி வகை K (A) என்பது சங்கிலி ஹோமோடாபிகள் மற்றும் ஹோமோடாபி சமநிலைகளுடன் வேலை செய்வதற்கான ஒரு கட்டமைப்பாகும். இது A இன் கொம் (A) மற்றும் A இன் பெறப்பட்ட வகை D (A) ஆகியவற்றின் சங்கிலி வளாகங்களின் வகைக்கு இடையில் இடைநிலையில் உள்ளது, A அபெலியன் ஆக இருக்கும்போது; முந்தையதைப் போலல்லாமல் இது ஒரு முக்கோண வகை, பிந்தையதைப் போலல்லாமல் அதன் உருவாக்கம் A என்பது அபெலியன் என்று தேவையில்லை. தத்துவ ரீதியாக, டி (ஏ) ஐசோமார்பிசங்களாக மாறும் போது, கோம் (ஏ) இல் அரை-ஐசோமார்பிசங்களாக இருக்கும் வளாகங்களின் எந்த வரைபடமும், கே (ஏ) ஒரு "நல்ல காரணத்திற்காக" அரை-ஐசோமார்பிசங்களாக இருப்பவர்களுக்கு மட்டுமே அவ்வாறு செய்கிறது, அதாவது உண்மையில் ஹோமோடோபி சமநிலைக்கு நேர்மாறாக உள்ளது. எனவே, டி (ஏ) ஐ விட கே (ஏ) மிகவும் புரிந்துகொள்ளக்கூடியது. வரையறைகள் A ஒரு சேர்க்கை வகையாக இருக்கட்டும். ஹோமோடாபி வகை K (A) பின்வரும் வரையறையை அடிப்படையாகக் கொண்டதுஃ நம்மிடம் சிக்கல்கள் A, B மற்றும் வரைபடங்கள் f, g A முதல் B வரை இருந்தால், f முதல் g வரை ஒரு சங்கிலி ஹோமோடாபி என்பது வரைபடங்களின் தொகுப்பாகும் (சிக்கல்களின் வரைபடம் அல்ல) அல்லது வெறுமனே இதை இவ்வாறு சித்தரிக்கலாம்ஃ f மற்றும் g சங்கிலி ஹோமோடோபிக் அல்லது பூஜ்ய-ஹோமோடோபிக் அல்லது 0 க்கு ஹோமோடோபிக் என்று நாம் கூறுகிறோம். பூஜ்ய-ஹோமோடோபிக் சிக்கல்களின் வரைபடங்கள் கூட்டலின் கீழ் ஒரு குழுவை உருவாக்குகின்றன என்பது வரையறையிலிருந்து தெளிவாகிறது. சங்கிலி வளாகங்களின் ஹோமோடாபி வகை K (A) பின்னர் பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறதுஃ அதன் பொருள்கள் கொம் (A) இன் பொருள்களைப் போலவே உள்ளன, அதாவது சங்கிலி வளாகங்கள். அதன் உருவங்கள் "சிக்கல்களின் வரைபடங்கள் மாடுலோ ஹோமோடாபி": அதாவது, f என்பது g க்கு ஹோமோடோபிக் என்றால் ஒரு சமநிலை உறவை வரையறுக்கிறோம், மேலும் இந்த உறவின் மூலம் ஈவு என வரையறுக்கிறோம். இது பூஜ்ய-ஹோமோடோபிக் வரைபடங்களின் துணைக்குழுவால் ஈவு எடுத்துக்கொள்வதற்கு சமம் என்று ஒருவர் குறிப்பிட்டால் இது ஒரு சேர்க்கை வகைக்கு வழிவகுக்கிறது என்பது தெளிவாகிறது. வரையறையின் பின்வரும் வகைகளும் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றனஃ ஒருவர் வரம்பற்றவைகளுக்கு பதிலாக வரம்புக்குட்பட்ட-கீழ் (n <<0 க்கு an = 0), வரம்புக்குட்பட்ட-மேல் (n>> 0 க்கு an = 0), அல்லது வரம்புக்குட்பட்ட (|n |>> 0 க்கு an = 0) வளாகங்களை மட்டுமே எடுத்துக் கொண்டால், ஒருவர் வரம்புக்குட்பட்ட-கீழ் ஒரே மாதிரியான வகை போன்றவற்றைப் பற்றி பேசுகிறார். அவை முறையே K + (A), K − (A) மற்றும் Kb (A) ஆல் குறிக்கப்படுகின்றன. கே (ஏ) இல் ஒரு ஐசோமார்பிசமாக இருக்கும் ஒரு மார்ஃபிஸம் ஒரு ஹோமோடோபி சமநிலை என்று அழைக்கப்படுகிறது. விரிவாக, இதன் பொருள் மற்றொரு வரைபடம் உள்ளது, அதாவது இரண்டு கலவைகளும் அடையாளங்களுக்கு ஒரே மாதிரியானவைஃ மற்றும். இடவியல் இடைவெளிகளின் ஹோமோடோபிக் வரைபடங்கள் ஒற்றைச் சங்கிலிகளின் ஹோமோடோபிக் (மேலே உள்ள அர்த்தத்தில்) வரைபடங்களைத் தூண்டுகின்றன என்பதிலிருந்து "ஹோமோடோபி" என்ற பெயர் வருகிறது. குறிப்புகள் இரண்டு சங்கிலி ஹோமோடோபிக் வரைபடங்கள் f மற்றும் g ஆகியவை ஒரே மாதிரியான வரைபடங்களைத் தூண்டுகின்றன, ஏனெனில் (f−g) சுழற்சிகளை எல்லைகளுக்கு அனுப்புகிறது, அவை ஹோமோலஜியில் பூஜ்ஜியமாக உள்ளன. குறிப்பாக ஒரு ஹோமோடோபி சமநிலை என்பது ஒரு அரை-ஐசோமார்பிசம் ஆகும். (இதற்கு நேர்மாறானது பொதுவாக தவறானது.) பெறப்பட்ட வகைக்கு ஒரு நியமன செயல்பாட்டாளர் இருப்பதை இது காட்டுகிறது (A என்பது அபெலியன் என்றால்). முக்கோண அமைப்பு ஒரு சிக்கலான A இன் மாற்றம் A [1] பின்வரும் சிக்கலானது (கவனிக்கவும்), அங்கு வேறுபாடு உள்ளது. ஒரு மார்ஃபிஸம் f இன் கூம்புக்கு நாம் மேப்பிங் கூம்பை எடுத்துக்கொள்கிறோம். இயற்கை வரைபடங்கள் உள்ளன இந்த வரைபடம் முக்கோணம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. தனித்துவமான முக்கோணங்களை ஐசோமார்பிக் (K (A) இல்) என்று வரையறுத்தால், ஹோமோடாபி வகை K (A) ஒரு முக்கோண வகை ஆகும். மேலே உள்ள முக்கோணங்களுக்கு சமமான) ஹோமோடாபி, தன்னிச்சையான A, B மற்றும் f. K + (A), K− (A) மற்றும் Kb (A) ஆகிய வரம்புக்குட்பட்ட மாறுபாடுகளுக்கும் இது பொருந்தும். முக்கோணங்கள் கோம் (ஏ) இல் அர்த்தமுள்ளதாக இருந்தாலும், இந்த வேறுபட்ட முக்கோணங்களைப் பொறுத்தவரை அந்த வகை முக்கோணமாக இல்லை; எடுத்துக்காட்டாக, அடையாள வரைபடத்தின் கூம்பு சிக்கலான 0 க்கு ஐசோமார்பிக் அல்ல என்பதால் வேறுபடுத்தப்படவில்லை (இருப்பினும், பூஜ்ஜிய வரைபடம் ஒரு ஹோமோடோபி சமநிலையாகும், இதனால் இந்த முக்கோணம் கே (ஏ) இல் வேறுபடுகிறது). மேலும், ஒரு தனித்துவமான முக்கோணத்தின் சுழற்சி வெளிப்படையாக கோம் (ஏ) இல் வேறுபடுத்தப்படவில்லை, ஆனால் (குறைவாக வெளிப்படையாக) கே (ஏ) இல் வேறுபடுத்தப்பட்டுள்ளது. விவரங்களுக்கு குறிப்புகளைப் பார்க்கவும். பொதுமைப்படுத்தல் மேலும் பொதுவாக, ஒரு வேறுபட்ட தரப்படுத்தப்பட்ட வகை சி இன் ஹோமோடாபி வகை ஹோ (சி) சி போன்ற அதே பொருள்களைக் கொண்டிருப்பதாக வரையறுக்கப்படுகிறது, ஆனால் உருவங்கள் வரையறுக்கப்படுகின்றன. (சி என்பது சிக்கல்களின் வகையாக இருந்தால், அதன் உருவங்கள் வேறுபாடுகளை மதிக்க வேண்டியதில்லை என்றால் இது சங்கிலி வளாகங்களின் ஹோமோடாபி வரை கொதிக்கிறது). சி ஒரு பொருத்தமான அர்த்தத்தில் கூம்புகள் மற்றும் மாற்றங்களைக் கொண்டிருந்தால், ஹோ (சி) ஒரு முக்கோண வகையாகும். குறிப்புகள் ஹோமோலாஜிக்கல் அல்ஜிப்ரா சேர்க்கை வகைகள்