Category of manifolds
கணிதத்தில், பன்மடங்கு வகை, பெரும்பாலும் மேன்ப் என்று குறிக்கப்படுகிறது, அதன் பொருள்கள் மென்மையான வகுப்பு சிபி இன் பன்மடங்கு மற்றும் அதன் உருவங்கள் பி-மடங்கு தொடர்ச்சியாக வேறுபடுத்தக்கூடிய வரைபடங்கள் ஆகும். இது ஒரு வகை, ஏனெனில் இரண்டு Cp வரைபடங்களின் கலவை மீண்டும் தொடர்ச்சியானது மற்றும் வகுப்பு Cp ஆகும். ஒருவர் பெரும்பாலும் ஒரு நிலையான வகை A இல் உள்ள இடைவெளிகளில் வடிவமைக்கப்பட்ட Cp-மேனிஃபோல்டுகளில் மட்டுமே ஆர்வமாக உள்ளார், மேலும் அத்தகைய பன்மடங்கு வகைகளின் வகை மேன்ப் (A) என்று குறிக்கப்படுகிறது. இதேபோல், ஒரு நிலையான இடைவெளி E இல் வடிவமைக்கப்பட்ட Cp-மேனிஃபோல்டுகளின் வகை மேன்ப் (E) என்று குறிக்கப்படுகிறது. மென்மையான பன்மடங்கு வகையைப் பற்றியும் ஒருவர் பேசலாம், மேன் φ, அல்லது பகுப்பாய்வு பன்மடங்கு வகையைப் பற்றியும் பேசலாம், மேன் ω. மேன்ப் என்பது ஒரு கான்கிரீட் வகை, பல பிரிவுகளைப் போலவே, மேன்ப் வகையும் ஒரு கான்கிரீட் வகை, அதாவது அதன் பொருள்கள் கூடுதல் கட்டமைப்பைக் கொண்ட தொகுப்புகள் (அதாவது. ஒரு இடவியல் மற்றும் ஒரு சி. பி-வேறுபடுத்தக்கூடிய கட்டமைப்பை வரையறுக்கும் விளக்கப்படங்களின் அட்லஸ்களின் சமநிலை வகுப்பு) மற்றும் அதன் உருவங்கள் இந்த கட்டமைப்பைப் பாதுகாக்கும் செயல்பாடுகளாகும். இடவியல் இடைவெளிகளின் வகைக்கு ஒரு இயற்கையான மறக்கமுடியாத செயல்பாட்டாளர் U: Manp → Top உள்ளது, இது ஒவ்வொன்றிற்கும் அடிப்படை இடவியல் இடத்தை பன்மடங்கு ஒதுக்குகிறது மற்றும் ஒவ்வொரு p-நேரங்களுக்கும் தொடர்ந்து வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாடு இடவியல் இடைவெளிகளின் அடிப்படை தொடர்ச்சியான செயல்பாடு. இதேபோல், ஒரு இயற்கையான மறக்கமுடியாத செயல்பாட்டாளர் U′ உள்ளதுஃ Manp → செட்டுகளின் வகைக்கு அமைக்கப்பட்டுள்ளது, இது ஒவ்வொன்றிற்கும் அடிப்படை தொகுப்பை பன்மடங்கு ஒதுக்குகிறது மற்றும் ஒவ்வொரு p-நேரங்களுக்கும் தொடர்ந்து வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாடு அடிப்படை செயல்பாடு. சுட்டிக்காட்டப்பட்ட பன்மடங்கு மற்றும் தொடுகோடு விண்வெளி செயல்பாட்டாளர் ஒரு தனித்துவமான புள்ளியுடன் பன்மடங்கு வகையுடன் வேலை செய்வது பெரும்பாலும் வசதியானது அல்லது அவசியம்ஃ மேன் பி மேல் ஒத்த-சுட்டிக்காட்டப்பட்ட இடைவெளிகளின் வகை. Man·p இன் பொருள்கள் ஜோடிகள், அங்கு ஒரு அடிப்படை புள்ளியுடன் பன்மடங்கு உள்ளது மற்றும் அதன் உருவங்கள் அடிப்படை-பாதுகாக்கும் p-நேரங்கள் தொடர்ந்து வேறுபடுத்தக்கூடிய வரைபடங்கள்ஃ எ. கா. சுட்டிக்காட்டப்பட்ட பன்மடங்கு வகை ஒரு கமா வகைக்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு-மேன் பி என்பது ஒரு தன்னிச்சையான சிங்கிள்டன் தொகுப்பைக் குறிக்கும் இடமாகும், மேலும் அந்த சிங்கிள்டனில் இருந்து மேன்பின் ஒரு உறுப்புக்கு ஒரு வரைபடத்தைக் குறிக்கிறது, ஒரு அடிப்படை புள்ளியைத் தேர்ந்தெடுக்கிறது. தொடுகோடு இடைவெளி கட்டுமானத்தை Man·p முதல் VectR வரை பின்வருமாறு ஒரு செயல்பாட்டாளராகக் காணலாம்ஃ கொடுக்கப்பட்ட கூர்மையான பன்மடங்கு மற்றும் அவற்றுக்கிடையே ஒரு வரைபடத்துடன், நாம் திசையன் இடைவெளிகளை ஒதுக்கலாம் மற்றும் அவற்றுக்கிடையே ஒரு நேரியல் வரைபடத்துடன் புஷ்ஃபார்வர்டு (வேறுபாடு) வழங்கப்படுகிறதுஃ இந்த கட்டுமானம் ஒரு உண்மையான செயல்பாட்டாளராகும், ஏனெனில் அடையாள வரைபடத்தின் புஷ்ஃபார்வர்டு திசையன் இடைவெளி ஐசோமார்பிசம் மற்றும் சங்கிலி விதி குறிப்புகள் மேனிஃபோல்ட்ஸ் மேனிஃபோல்ட்ஸ் என்பதை உறுதி செய்கிறது