Affine manifold
வேறுபட்ட வடிவவியலில், ஒரு அஃபைன் பன்மடங்கு என்பது ஒரு தட்டையான, முறிவு இல்லாத இணைப்பைக் கொண்ட ஒரு வேறுபடுத்தக்கூடிய பன்மடங்கு ஆகும். சமமாக, இது ஒரு பன்மடங்கு (இணைக்கப்பட்டிருந்தால்) ஒரு திறந்த துணைக்குழுவால் மூடப்பட்டிருக்கும், மோனோட்ரோமி அஃபைன் மாற்றங்களால் செயல்படுகிறது. இந்த சமன்பாடு கார்டன்-அம்ப்ரோஸ்-ஹிக்ஸ் தேற்றத்தின் எளிதான விளைவாகும். சமமாக, இது ஒரு அட்லஸ் பொருத்தப்பட்ட ஒரு பன்மடங்கு ஆகும்-அஃபைன் அமைப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது-அதாவது விளக்கப்படங்களுக்கு இடையிலான அனைத்து மாற்றம் செயல்பாடுகளும் அஃபைன் உருமாற்றங்களாகும் (அதாவது, நிலையான ஜாகோபியன் மேட்ரிக்ஸைக் கொண்டுள்ளன); பன்மடங்கு இருவருக்கும் உட்படுத்தப்பட்ட ஒரு அட்லஸை ஏற்றுக்கொண்டால் இரண்டு அட்லஸ்கள் சமமானவை, இரண்டு அட்லஸ்களிலிருந்தும் ஒரு சிறிய அட்லஸுக்கு மாற்றங்கள் இணைக்கப்பட்டுள்ளன. ஒரு தனித்துவமான அஃபைன் கட்டமைப்பைக் கொண்ட ஒரு பன்மடங்கு அஃபைன் பன்மடங்கு என்றும், அஃபைன் கட்டமைப்புடன் தொடர்புடைய விளக்கப்படங்கள் அஃபைன் விளக்கப்படங்கள் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன. ஒவ்வொரு அஃபைன் ஒருங்கிணைப்பு களத்திலும் ஒருங்கிணைப்பு திசையன் புலங்கள் அந்த களத்தின் இணையை உருவாக்குகின்றன, எனவே ஒவ்வொரு களத்திலும் தொடர்புடைய இணைப்பு உள்ளது. இந்த உள்ளூரில் வரையறுக்கப்பட்ட இணைப்புகள் ஒன்றுடன் ஒன்று இணைக்கும் பகுதிகளில் ஒரே மாதிரியானவை, எனவே ஒரு அஃபைன் கட்டமைப்புடன் தொடர்புடைய ஒரு தனித்துவமான இணைப்பு உள்ளது. நேரியல் இணைப்புக்கும் (அஃபைன் இணைப்பு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) ஒரு வலைக்கும் இடையே ஒரு இணைப்பு உள்ளது என்பதை நினைவில் கொள்க. முறையான வரையறை ஒரு அஃபைன் பன்மடங்கு என்பது விளக்கப்படங்களைக் கொண்ட ஒரு உண்மையான பன்மடங்கு ஆகும், இது அனைவருக்கும் அஃபைன் மாற்றங்களின் லை குழுவைக் குறிக்கிறது. கற்பனையான வார்த்தைகளில் இது ஒரு (ஜி, எக்ஸ்)-மேனிஃபோல்ட் எங்கே மற்றும் அஃபைன் மாற்றங்களின் குழுவாகும். ஒரு அஃபைன் பன்மடங்கு அதன் உலகளாவிய உறை ஹோமோமார்பிக் என்றால் முழுமையானது என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு சிறிய அஃபைன் பன்மடங்கு விஷயத்தில், அதன் அடிப்படை குழுவாக இருக்கட்டும் மற்றும் அதன் உலகளாவிய மறைப்பாக இருக்கட்டும். ஒவ்வொரு பரிமாண அஃபைன் பன்மடங்கு ஒரு வளரும் வரைபடத்துடன் வருகிறது என்பதை ஒருவர் காட்டலாம், மேலும் ஒரு ஹோமோமார்பிசம், இது ஒரு மூழ்குதல் மற்றும் சமமானதாகும். ஒரு சிறிய முழுமையான தட்டையான அஃபைன் பன்மடங்கு ஒரு அடிப்படை குழு ஒரு அஃபைன் படிகவியல் குழு என்று அழைக்கப்படுகிறது. அஃபைன் படிகவியல் குழுக்களை வகைப்படுத்துவது ஒரு கடினமான பிரச்சினையாகும், இது தீர்க்கப்படுவதில்லை. டேவிட் ஹில்பர்ட் எழுப்பிய கேள்விக்கு பதிலளிக்கும் வகையில், ரீமானியன் படிகவியல் குழுக்கள் (பீபர்பாக் குழுக்கள் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன) லுட்விக் பீபர்பாக் என்பவரால் வகைப்படுத்தப்பட்டன. ஹில்பர்ட்டின் 18-வது சிக்கல் குறித்த தனது படைப்பில், எந்தவொரு ரீமானியன் படிகவியல் குழுவும் வரையறுக்கப்பட்ட குறியீட்டின் அபெலியன் துணைக்குழுவைக் கொண்டுள்ளது என்பதை பீபர்பாக் நிரூபித்தார். முக்கியமான நீண்டகால அனுமானங்கள் அஃபைன் பன்மடங்கு வடிவியல் அடிப்படையில் நீண்டகால அனுமானங்களின் வலையமைப்பாகும்; அவற்றில் பெரும்பாலானவை குறைந்த பரிமாணத்திலும் வேறு சில சிறப்பு நிகழ்வுகளிலும் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளன. அவற்றில் மிக முக்கியமானவைஃ மார்கஸ் அனுமானம் (1962) ஒரு சிறிய அஃபைன் பன்மடங்கு இணையான அளவைக் கொண்டிருந்தால் மட்டுமே முழுமையடைகிறது என்று கூறுகிறது. பரிமாணம் 2 இல் அறியப்படுகிறது. அவுஸ்லாண்டர் அனுமானம் (1964) எந்தவொரு அஃபைன் படிகவியல் குழுவும் வரையறுக்கப்பட்ட குறியீட்டின் பாலிசைக்ளிக் துணைக்குழுவைக் கொண்டுள்ளது என்று கூறுகிறது. 6 வரை பரிமாணங்களில் அறியப்படுகிறது, மேலும் தட்டையான இணைப்பின் ஹோலனோமி ஒரு லோரெண்ட்ஸ் மெட்ரிக் ஐப் பாதுகாக்கும் போது. கிட்டத்தட்ட ஒவ்வொரு பாலிசைக்ளிக் படிகவியல் குழுவும் ஒரு தொகுதி வடிவத்தைப் பாதுகாப்பதால், ஆஸ்லேண்டர் அனுமானம் மார்கஸ் அனுமானத்தின் "இருந்தால் மட்டுமே" பகுதியைக் குறிக்கிறது. செர்ன் அனுமானம் (1955) ஒரு அஃபைன் பன்மடங்கு ஆய்லர் வர்க்கம் மறைந்துவிடும். குறிப்புகள் குறிப்புகள் குழு கோட்பாடு இணைப்பு வடிவியல் பன்மடங்கு வடிவியல் கட்டமைப்புகள் வேறுபட்ட வடிவியல் பன்மடங்கு பன்மடங்கு பன்மடங்கு பன்மடங்கு பன்மடங்கு பன்மடங்கு பன்மடங்கு பன்மடங்கு பன்மடங்கு பன்மடங்கு பன்மடங்கு பன்மடங்கு பன்மடங்கு பன்மடங்கு பன்மடங்கு பன்மடங்கு பன்மடங்கு பன்மடங்கு பன்மடங்கு பன்மடங்கு பன்மடங்கு பன்மடங்கு பன்மடங்கு பன்மடங்கு பன்மடங்கு பன்மடங்கு பன்மடங்கு பன்மடங்கு பன்மடங்கு பன்மடங்கு பன்மடங்கு பன்மடங்கு பன்மடங்கு பன்மடங்கு பன்மடங்கு பன்மடங்கு பன்மடங்கு பன்மடங்கு பன்மடங்கு பன்மடங்கு பன்மடங்கு பன்மடங்கு பன்மடங்கு பன்மடங்கு