1 − 2 + 4 − 8 + ⋯
கணிதத்தில், எல்லையற்ற தொடர், அதன் சொற்கள் மாறி மாறி அறிகுறிகளுடன் இரண்டின் தொடர்ச்சியான சக்திகளாகும். ஒரு வடிவியல் தொடராக, இது அதன் முதல் சொல், 1 மற்றும் அதன் பொதுவான விகிதம்,-2 ஆல் வகைப்படுத்தப்படுகிறது. உண்மையான எண்களின் வரிசையாக இது வேறுபடுகிறது, எனவே வழக்கமான அர்த்தத்தில் அதற்கு கூட்டுத்தொகை இல்லை. மிகவும் பரந்த அர்த்தத்தில், இந்தத் தொடர் ν தவிர மற்றொரு மதிப்புடன் தொடர்புடையது, அதாவது, இது 2-அடிக் மெட்ரிக் பயன்படுத்தும் தொடரின் வரம்பாகும். வரலாற்று வாதங்கள் கோட்ஃபிரைட் லீப்னிஸ் 1673 ஆம் ஆண்டிலேயே மாறுபட்ட மாற்றுத் தொடரைக் கருதினார். இடது அல்லது வலதுபுறத்தில் கழிக்குவதன் மூலம், ஒருவர் நேர்மறை அல்லது எதிர்மறை முடிவிலியை உருவாக்க முடியும் என்று அவர் வாதிட்டார், எனவே இரண்டு பதில்களும் தவறானவை மற்றும் முழுமையும் வரையறுக்கப்பட்டதாக இருக்க வேண்டும்ஃ இப்போது பொதுவாக இயற்கை நடுத்தரத்தைத் தேர்ந்தெடுக்கிறது, இரண்டில் எதுவுமே அனுமதிக்கப்படவில்லை என்றால், அல்லது இரண்டில் எது அனுமதிக்கப்படுகிறது என்பதை தீர்மானிக்க முடியாவிட்டால், முழு அளவும் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட அளவிற்கு சமம் என்று லீப்னிஸ் தொடர் ஒரு கூட்டுத்தொகையைக் கொண்டிருப்பதாக வலியுறுத்தவில்லை, ஆனால் மெர்கேட்டரின் முறையைப் பின்பற்றுவதுடன் ஒரு தொடர்பை அவர் ஊகிக்கவில்லை. நவீன கணிதத்தில் வேறுபாடு எதுவும் செய்யப்படவில்லை என்றாலும், ஒரு தொடர் உண்மையில் ஒரு கூட்டுத்தொகையாக சேர்க்காமல் சில வரையறுக்கப்பட்ட அளவை சமன் செய்ய முடியும் என்ற அணுகுமுறை 18 ஆம் நூற்றாண்டில் பொதுவானதாக இருக்கும். கிறிஸ்டியன் வோல்ஃப் 1712 ஆம் ஆண்டின் நடுப்பகுதியில் கிராண்டியின் தொடர்களைப் பற்றிய லீப்னிஸின் சிகிச்சையைப் படித்த பிறகு, வோல்ஃப் இந்த தீர்வில் மிகவும் மகிழ்ச்சியடைந்தார், இதனால் அவர் எண்கணித சராசரி முறையை மிகவும் மாறுபட்ட தொடர்களுக்கு விரிவுபடுத்த முயன்றார். சுருக்கமாக, இந்த தொடரின் ஒரு பகுதி கூட்டுத்தொகையை ஒருவர் கடைசி காலத்தின் செயல்பாடாக வெளிப்படுத்தினால், ஒருவர் அல்லது ஒன்றைப் பெறுகிறார். இந்த மதிப்புகளின் சராசரி, மற்றும் முடிவிலியில் தொடரின் மதிப்பாக விளைச்சல் என்று கருதுகிறது. லீப்னிஸின் உள்ளுணர்வு அவரது தீர்வை இவ்வளவு தூரம் சிரமப்படுத்துவதைத் தடுத்தது, மேலும் வோல்ஃப்பின் யோசனை சுவாரஸ்யமானது, ஆனால் பல காரணங்களால் செல்லாது என்று அவர் மீண்டும் எழுதினார். அண்டை பகுதி தொகைகளின் எண்கணித வழிமுறைகள் எந்தவொரு குறிப்பிட்ட மதிப்புடனும் ஒன்றிணைக்கப்படுவதில்லை, மேலும் அனைத்து வரையறுக்கப்பட்ட நிகழ்வுகளுக்கும் ஒன்று இல்லை. பொதுவாக, ஒரு கூட்டுத்தொகைத் தொடரின் சொற்கள் பூஜ்ஜியமாகக் குறைய வேண்டும்; அத்தகைய தொடரின் வரம்பாக கூட வெளிப்படுத்தப்படலாம். லீப்னிஸ் வோல்ஃப்பை மறுபரிசீலனை செய்யுமாறு அறிவுறுத்துகிறார், இதனால் அவர் "அறிவியலுக்கும் தனக்கும் தகுதியான ஒன்றை உருவாக்க முடியும்". நவீன முறைகள் வடிவியல் தொடர் ஒழுங்குமுறை, நேரியல் மற்றும் ஸ்திரத்தன்மை ஆகியவற்றின் பண்புகளைக் கொண்ட எந்தவொரு கூட்டுத்தொகை முறையும் ஒரு வடிவியல் தொடரை கூட்டும். தனது 1755 இன்ஸ்டிடியூஷன்ஸ் இல், லியோன்ஹார்ட் ஆய்லர் இப்போது ஆய்லர் உருமாற்றம் என்று அழைக்கப்படுவதை திறம்பட எடுத்து, ஒருங்கிணைந்த தொடருக்கு வந்தார். பிந்தையது கூட்டுத்தொகையாக இருப்பதால், ஆய்லர் அதை முடிவு செய்தார். எல்லையற்ற தொடர் பற்றிய அவரது கருத்துக்கள் நவீன அணுகுமுறையைப் பின்பற்றவில்லை; இன்று ஒருவர் அது ஆய்லர் கூட்டுத்தொகை என்றும் அதன் ஆய்லர் கூட்டுத்தொகை என்றும் கூறுகிறார். ஆய்லர் உருமாற்றம் நேர்மறை சொற்களின் வரிசையுடன் தொடங்குகிறதுஃ a0 = 1, a1 = 2, a2 = 4, a3 = 8,. முன்னோக்கி வேறுபாடுகளின் வரிசை பின்னர் α0 = a1 − a0 = 2 − 1 = 1, α1 = a2 − a1 = 4 − 2 = 2, α2 = a3 − a2 = 8 − 4 = 4, α3 = a4 − a3 = 16 − 8 = 8, இது ஒரே வரிசை. எனவே ஒவ்வொரு n க்கும் திரும்பத் திரும்ப வரும் முன்னோக்கி வேறுபாடு வரிசைகள் அனைத்தும் தொடங்குகின்றன. ஆய்லர் உருமாற்றம் என்பது தொடர் இது ஒரு ஒருங்கிணைந்த வடிவியல் தொடர், அதன் கூட்டுத்தொகை வழக்கமான சூத்திரத்தால் இருக்கும். போரெல் கூட்டுத்தொகை போரெல் கூட்டுத்தொகையும் ஆகும்; எமில் போரெல் 1896 இல் போரெல் கூட்டுத்தொகையின் வரம்பு சூத்திரத்தை அறிமுகப்படுத்தியபோது, இது 1−1 + 1−1 + ꯘꯥ-adic எண்களுக்குப் பிறகு அவரது முதல் எடுத்துக்காட்டுகளில் ஒன்றாகும். இவ்வாறு. மேலும் காண்கஃ 1 + 2 + 4 + 8 + ꯘꯥ குறிப்புகள் வேறுபட்ட தொடர் வடிவியல் தொடர் பி-அடிக் எண்கள்