Modular multiplicative inverse
கணிதத்தில், குறிப்பாக எண்கணிதப் பகுதியில், ஒரு முழு எண்ணின் மாடுலர் பெருக்கல் தலைகீழ் என்பது மாடுலஸைப் பொறுத்தவரை 1 க்கு இணையாக இருக்கும் ஒரு முழு எண் ஆகும். மட்டு எண்கணிதத்தின் நிலையான குறியீட்டில் இந்த ஒற்றுமை எழுதப்படுகிறது, இது அளவை (சமமாக) வகுக்கும் அறிக்கையை எழுதுவதற்கான சுருக்கெழுத்து வழியாகும், அல்லது, வேறுவிதமாகக் கூறினால், முழு எண்ணால் வகுத்த பிறகு மீதமுள்ளவை 1 ஆகும். ஒரு தலைகீழ் மாடுலோ இருந்தால், இந்த ஒற்றுமைக்கு எண்ணற்ற தீர்வுகள் உள்ளன, அவை இந்த மாடுலஸைப் பொறுத்தவரை ஒரு ஒற்றுமை வகுப்பை உருவாக்குகின்றன. மேலும், (அதாவது, அதன் ஒற்றுமை வகுப்பில்) ஒத்திருக்கும் எந்த முழு எண்ணும் அதன் ஒற்றுமை வகுப்பின் எந்த உறுப்பையும் ஒரு மட்டு பெருக்கல் தலைகீழாக கொண்டுள்ளது. ஒற்றுமை வகுப்பைக் குறிக்க இன் குறியீட்டைப் பயன்படுத்தி, ஒற்றுமை வகுப்பின் மாடுலோ பெருக்கல் தலைகீழ் என்பது ஒற்றுமை வகுப்பாகும் என்று கூறுவதன் மூலம் இதை வெளிப்படுத்தலாம்ஃ இங்கு சின்னம் சமநிலை வகுப்புகளின் மாடுலோவின் பெருக்கத்தைக் குறிக்கிறது. இந்த வழியில் எழுதப்பட்ட, விகிதமுறு அல்லது உண்மையான எண்களின் தொகுப்பில் ஒரு பெருக்கல் தலைகீழ் என்ற வழக்கமான கருத்துடன் ஒப்புமை தெளிவாக குறிப்பிடப்படுகிறது, எண்களை ஒற்றுமை வகுப்புகளால் மாற்றுகிறது மற்றும் பைனரி செயல்பாட்டை சரியான முறையில் மாற்றுகிறது. உண்மையான எண்களில் ஒத்த செயல்பாட்டைப் போலவே, இந்த செயல்பாட்டின் அடிப்படை பயன்பாடும் தீர்ப்பதில் உள்ளது, முடிந்தவரை, வடிவத்தின் நேரியல் ஒற்றுமைகள் மாடுலர் பெருக்க தலைகீழ்களைக் கண்டுபிடிப்பது குறியாக்கவியல் துறையில் நடைமுறை பயன்பாடுகளையும் கொண்டுள்ளது, எ. கா. பொது-விசை குறியாக்கவியல் மற்றும் ஆர்எஸ்ஏ வழிமுறை. இந்த பயன்பாடுகளின் கணினி செயல்பாட்டிற்கு ஒரு நன்மை என்னவென்றால், மிகவும் வேகமான வழிமுறை (நீட்டிக்கப்பட்ட யூக்ளிடியன் வழிமுறை) உள்ளது, இது மாடுலர் பெருக்க தலைகீழ் கணக்கீட்டிற்கு பயன்படுத்தப்படலாம். மாடுலர் எண்கணிதம் கொடுக்கப்பட்ட நேர்மறை முழு எண்ணுக்கு, இரண்டு முழு எண்கள், மற்றும், அவற்றின் வேறுபாட்டை வகுத்தால் அவை ஒத்த மாடுலோ என்று கூறப்படுகிறது. இந்த பைனரி உறவு குறிக்கப்படுகிறது, இது முழு எண்களின் தொகுப்பில் ஒரு சமநிலை உறவு, மற்றும் சமநிலை வகுப்புகள் ஒற்றுமை வகுப்புகள் மாடுலோ அல்லது எஞ்சிய வகுப்புகள் மாடுலோ என்று அழைக்கப்படுகின்றன. முழு எண்ணைக் கொண்ட ஒற்றுமை வகுப்பைக் குறிக்கலாம், பின்னர் ஒரு நேரியல் ஒற்றுமை என்பது வடிவத்தின் ஒரு மட்டு ஒற்றுமை ஆகும். ஒரு நேரியல் ஒற்றுமையின் தீர்வாக இருந்தால், அதில் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பும் ஒரு தீர்வாகும், எனவே, ஒரு நேரியல் ஒற்றுமையின் தீர்வுகளின் எண்ணிக்கையைப் பற்றி பேசும்போது, தீர்வுகளைக் கொண்ட வெவ்வேறு ஒற்றுமை வகுப்புகளின் எண்ணிக்கையைக் குறிப்பிடுகிறோம். இதன் மிகப் பெரிய பொதுவான வகுத்தி என்றால், வகுத்தால் மட்டுமே நேரியல் ஒற்றுமை தீர்வுகளைக் கொண்டிருக்கும். பிரிந்தால், சரியான தீர்வுகள் உள்ளன. மாடுலஸைப் பொறுத்தவரை ஒரு முழு எண்ணின் மட்டு பெருக்க தலைகீழ் என்பது நேரியல் ஒற்றுமையின் தீர்வாகும் முந்தைய முடிவு, ஒரு தீர்வு இருந்தால் மட்டுமே, அதாவது, மற்றும் ஒப்பீட்டளவில் பகா எண்ணாக இருக்க வேண்டும் (அதாவது. இணை). மேலும், இந்த நிபந்தனை இருக்கும்போது, சரியாக ஒரு தீர்வு உள்ளது, அதாவது, அது இருக்கும்போது, ஒரு மாடுலர் பெருக்கல் தலைகீழ் தனித்துவமானதுஃ மற்றும் இரண்டும் மாடுலஸைப் பொறுத்தவரை மாடுலர் பெருக்கல் தலைகீழிகளாக இருந்தால், எனவே என்றால், பின்னர், மற்றும் ஒரு மாடுலர் பெருக்கல் தலைகீழ் கூட இருக்காது. எனவே, {{math|b ஷ்ண b (மாட் m)}}. ஒரு தீர்வு இருக்கும்போது அது பெரும்பாலும் இந்த வழியில் குறிக்கப்படுகிறது-ஆனால் இது குறியீட்டின் துஷ்பிரயோகமாகக் கருதப்படலாம், ஏனெனில் இது பரஸ்பரமாக தவறாகப் புரிந்து கொள்ளப்படலாம் (இது, மாடுலர் பெருக்க தலைகீழுக்கு மாறாக, 1 அல்லது-1 ஆக இருக்கும்போது தவிர ஒரு முழு எண் அல்ல). ஒரு ஒற்றுமை வகுப்பின் பெருக்கல் தலைகீழ் என்பது அடுத்த பிரிவில் வரையறுக்கப்பட்ட பெருக்கத்துடன் ஒரு ஒற்றுமை வகுப்பாக இருப்பதால், ஒற்றுமை வகுப்புக்கு ஒரு டோக்கன் நிலைப்பாடாக விளக்கப்பட்டால் குறியீடு சரியானதாக இருக்கும். ஒருங்கிணைப்புகள் மாடுலோ ஒருங்கிணைப்பு உறவு, மாடுலோ, முழு எண்களின் தொகுப்பை ஒருங்கிணைப்பு வகுப்புகளாகப் பிரிக்கிறது. கூட்டல் மற்றும் பெருக்கத்தின் செயல்பாடுகளை இந்த பொருள்களில் பின்வரும் வழியில் வரையறுக்கலாம்ஃ இரண்டு ஒற்றுமை வகுப்புகளைச் சேர்க்க அல்லது பெருக்க, முதலில் ஒவ்வொரு வகுப்பிலிருந்தும் ஒரு பிரதிநிதியைத் தேர்ந்தெடுங்கள் (எந்த வகையிலும்), பின்னர் இரண்டு பிரதிநிதிகளில் முழு எண்களுக்கான வழக்கமான செயல்பாட்டைச் செய்யுங்கள், இறுதியாக முழு எண் செயல்பாட்டின் விளைவாக இருக்கும் ஒற்றுமை வகுப்பை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். குறியீடுகளில், ஒற்றுமை வகுப்புகளில் செயல்பாடுகளைக் குறிக்கும் மற்றும் பிரதிநிதித்துவப்படுத்தும், இந்த வரையறைகள் மற்றும் இந்த செயல்பாடுகள் நன்கு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளன, அதாவது இறுதி முடிவு முடிவைப் பெறுவதற்காக செய்யப்பட்ட பிரதிநிதிகளின் தேர்வுகளைப் பொறுத்தது அல்ல. இந்த இரண்டு வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாடுகளுடன் கூடிய ஒற்றுமை வகுப்புகள் ஒரு வளையத்தை உருவாக்குகின்றன, இது முழு எண்களின் மாடுலோ வளையம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த இயற்கணிதப் பொருட்களுக்கு பல குறியீடுகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, பெரும்பாலும் அல்லது, ஆனால் பல அடிப்படை நூல்கள் மற்றும் பயன்பாட்டு பகுதிகள் மற்ற இயற்கணிதப் பொருட்களுடன் குழப்பம் ஏற்பட வாய்ப்பில்லாதபோது எளிமைப்படுத்தப்பட்ட குறியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்றன. முழு எண்களின் மாடுலோவின் ஒற்றுமை வகுப்புகள் பாரம்பரியமாக எஞ்சிய வகுப்புகள் மாடுலோ எம் என்று அழைக்கப்பட்டன, இது ஒரு ஒற்றுமை வகுப்பின் அனைத்து உறுப்புகளும் வகுக்கப்படும்போது ஒரே மீதியை (அதாவது, "எஞ்சியவை") கொண்டுள்ளன என்ற உண்மையை பிரதிபலிக்கிறது. தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட எந்த முழு எண்களின் தொகுப்பும், ஒவ்வொன்றும் வெவ்வேறு ஒற்றுமை வகுப்பு மாடுலோ m இலிருந்து வருவதால், எஞ்சியுள்ள மாடுலோவின் முழுமையான அமைப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது. டிவிஷன் அல்காரிதம் முழு எண்களின் தொகுப்பு, ரெசிடியூஸ் மாடுலோவின் முழுமையான அமைப்பை உருவாக்குகிறது என்பதைக் காட்டுகிறது, இது லீஸ்ட் ரெசிடியூ சிஸ்டம் மாடுலோ என்று அழைக்கப்படுகிறது. எண்கணித சிக்கல்களுடன் பணிபுரிவதில் சில நேரங்களில் எச்சங்களின் முழுமையான அமைப்புடன் வேலை செய்வது மற்றும் ஒற்றுமைகளின் மொழியைப் பயன்படுத்துவது மிகவும் வசதியானது, மற்ற நேரங்களில் வளையத்தின் ஒற்றுமை வகுப்புகளின் பார்வை மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும். முழு எண்களின் மடுலோவின் பெருக்கக் குழு ஒரு முழுமையான எச்ச அமைப்பு மாடுலோவின் ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் ஒரு மாடுலர் பெருக்க தலைகீழ் இல்லை, எடுத்துக்காட்டாக, பூஜ்ஜியம் ஒருபோதும் இல்லை. ஒப்பீட்டளவில் முதன்மையானதாக இல்லாத ஒரு முழுமையான எச்ச அமைப்பின் கூறுகளை அகற்றிய பிறகு, எஞ்சியிருப்பது குறைக்கப்பட்ட எச்ச அமைப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது, அதன் அனைத்து கூறுகளும் மட்டு பெருக்க தலைகீழ்களைக் கொண்டுள்ளன. குறைக்கப்பட்ட எச்ச அமைப்பில் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை, யூலர் டோசியன்ட் செயல்பாடு எங்கே, அதாவது, அதை விட குறைவான நேர்மறை முழு எண்களின் எண்ணிக்கை ஒப்பீட்டளவில் முதன்மையானது. ஒற்றுமை கொண்ட ஒரு பொதுவான வளையத்தில் ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் பெருக்கல் தலைகீழ் இல்லை, அவ்வாறு செய்பவை அலகுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. இரண்டு அலகுகளின் பெருக்கல் ஒரு அலகு என்பதால், ஒரு வளையத்தின் அலகுகள் ஒரு குழுவை உருவாக்குகின்றன, வளையத்தின் அலகுகளின் குழு மற்றும் பெரும்பாலும் வளையத்தின் பெயர் என்றால் குறிக்கப்படுகிறது. முழு எண்களின் மாடுலோ வளையத்தின் அலகுகளின் குழு முழு எண்களின் மாடுலோவின் பெருக்கக் குழு என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் இது குறைக்கப்பட்ட எச்ச அமைப்புக்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும். குறிப்பாக, இது வரிசை (அளவு), உள்ளது. ஒரு பகா எண்ணாக இருந்தால், பூஜ்ஜியமற்ற அனைத்து உறுப்புகளும் பெருக்க நேர்மாறுகளைக் கொண்டுள்ளன, எனவே இது ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட புலமாகும். இந்த வழக்கில், முழு எண்களின் மடுலோவின் பெருக்கக் குழு ஒரு சுழற்சி வரிசையின் குழுவை உருவாக்குகிறது. எடுத்துக்காட்டு எந்தவொரு முழு எண்ணுக்கும், இது எப்போதும் மாடுலஸைப் பொறுத்தவரை மாடுலர் பெருக்க தலைகீழ் ஆகும், ஏனெனில். உதாரணங்கள், மற்றும் பல. பின்வரும் உதாரணம் மாடுலஸ் 10 ஐப் பயன்படுத்துகிறதுஃ இரண்டு முழு எண்கள் அவற்றின் வேறுபாடு 10 ஆல் வகுக்கப்பட்டால் மட்டுமே, எடுத்துக்காட்டாக 10 என்பது 32−2 = 30 ஐ வகுக்கிறது, மேலும் 10 என்பது 111−1 = 110 ஐ வகுக்கிறது. இந்த மாடுலஸைப் பொறுத்தவரை பத்து ஒற்றுமை வகுப்புகளில் சில பின்வருமாறுஃ மற்றும் 5 (அதாவது, உள்ளவை) உடன் ஒத்திருக்கும் முழு எண்கள் அனைத்தும் ஒற்றைப்படை என்றாலும் எப்போதும் சமமாக இருப்பதால் நேரியல் ஒற்றுமைக்கு தீர்வுகள் இல்லை. இருப்பினும், நேரியல் ஒற்றுமை இரண்டு தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது, அதாவது, மற்றும். தி மற்றும் 2 ஆனது 5 ஐ வகுக்காது, ஆனால் 6 ஐ வகுக்கிறது. நேரியல் ஒற்றுமை தீர்வுகளைக் கொண்டிருக்கும் என்பதால், அதாவது 3 மாடுலோ 10 இன் மாடுலர் பெருக்கல் தலைகீழ்கள் இருக்கும். உண்மையில், 7 இந்த ஒற்றுமையை திருப்திப்படுத்துகிறது (அதாவது, 21−1 = 20). இருப்பினும், பிற முழு எண்களும் ஒற்றுமையை பூர்த்தி செய்கின்றன, எடுத்துக்காட்டாக 17 மற்றும் −3 (அதாவது, 3 (17) −1 = 50 மற்றும் 3 (−3) −1 = −10). குறிப்பாக, ஒவ்வொரு முழு எண்ணும் ஒற்றுமையை திருப்திப்படுத்தும், ஏனெனில் இந்த முழு எண்கள் சில முழு எண்களுக்கான வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளன, மேலும் அவை 10 ஆல் வகுக்கப்படுகின்றன. இந்த ஒற்றுமைக்கு ஒரே ஒரு ஒற்றுமை வகை தீர்வுகள் மட்டுமே உள்ளன. இந்த வழக்கில் தீர்வு சாத்தியமான அனைத்து நிகழ்வுகளையும் சரிபார்ப்பதன் மூலம் பெறப்பட்டிருக்கலாம், ஆனால் பெரிய மாடுலிக்கு முறையான வழிமுறைகள் தேவைப்படும், இவை அடுத்த பிரிவில் வழங்கப்படும். ஒற்றுமை வகுப்புகளின் பெருக்கல் மற்றும் ஒரு உறுப்பைத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம் பெறலாம், 25 என்று சொல்லுங்கள், மற்றும் ஒரு உறுப்பு, −2 என்று சொல்லுங்கள், மேலும் அவற்றின் பெருக்கல் (25) (−2) = −50 ஒற்றுமை வகுப்பில் உள்ளது என்பதைக் கவனிக்கவும். எனவே,. கூட்டல் இதேபோல் வரையறுக்கப்படுகிறது. பத்து ஒத்திசைவு வகுப்புகள், கூட்டல் மற்றும் ஒருங்கிணைப்பு வகுப்புகளின் பெருக்கத்தின் இந்த செயல்பாடுகளுடன் சேர்ந்து முழு எண்களின் வளையத்தை மாடுலோ 10, அதாவது, உருவாக்குகின்றன. ஒரு முழுமையான எச்ச அமைப்பு மாடுலோ 10 என்பது {10, −9,2,13,24, −15,26,37,8,9} தொகுப்பாக இருக்கலாம், அங்கு ஒவ்வொரு முழு எண்ணும் வேறுபட்ட ஒற்றுமை வகுப்பு மாடுலோ 10 இல் இருக்கும். தனித்துவமான குறைந்தபட்ச எச்ச அமைப்பு மாடுலோ 10 என்பது {0,1,2,., 9} ஆகும். குறைக்கப்பட்ட எச்ச அமைப்பு மாடுலோ 10 என்பது {1,3,7,9} ஆக இருக்கலாம். இந்த எண்களால் குறிப்பிடப்படும் எந்த இரண்டு ஒற்றுமை வகுப்புகளின் பெருக்கல் மீண்டும் இந்த நான்கு ஒற்றுமை வகுப்புகளில் ஒன்றாகும். இந்த நான்கு ஒற்றுமை வகுப்புகள் ஒரு குழுவை உருவாக்குகின்றன என்பதை இது குறிக்கிறது, இந்த விஷயத்தில் நான்காவது வரிசையின் சுழற்சி குழு, 3 அல்லது 7 ஐ (பெருக்க) ஜெனரேட்டராகக் கொண்டுள்ளது. பிரதிநிதித்துவப்படுத்தப்பட்ட ஒற்றுமை வகுப்புகள் வளையத்தின் அலகுகளின் குழுவை உருவாக்குகின்றன. இந்த ஒற்றுமை வகுப்புகள் துல்லியமாக மாடுலர் பெருக்க நேர்மாறுகளைக் கொண்டவை. கணக்கீட்டு நீட்டிக்கப்பட்ட யூக்ளிடியன் வழிமுறை நீட்டிக்கப்பட்ட யூக்ளிடியன் வழிமுறை பயன்படுத்துவதன் மூலம் மாடுலோவின் ஒரு மட்டு பெருக்க தலைகீழ் கண்டுபிடிக்க முடியும். யூக்ளிடியன் வழிமுறை இரண்டு முழு எண்களின் மிகப் பெரிய பொதுவான வகுத்தியை (ஜி. சி. டி) தீர்மானிக்கிறது. பெருக்கல் தலைகீழ் மாடுலோ இருந்தால், இந்த ஜி. சி. டி 1 ஆக இருக்க வேண்டும். வழிமுறையால் உருவாக்கப்பட்ட பல சமன்பாடுகளில் கடைசியாக இந்த ஜி. சி. டி. க்கு தீர்க்கப்படலாம். பின்னர், "பேக் சப்ஸ்டிட்யூஷன்" என்ற முறையைப் பயன்படுத்தி, அசல் அளவுருக்களையும் இந்த ஜி. சி. டி யையும் இணைக்கும் ஒரு வெளிப்பாட்டைப் பெறலாம். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், முழு எண்கள் மற்றும் பெஸௌட்டின் அடையாளத்தை திருப்திப்படுத்தக் காணலாம், மீண்டும் எழுதப்பட்டது, இது, எனவே, ஒரு மாடுலர் பெருக்க தலைகீழ் கணக்கிடப்பட்டுள்ளது. வழிமுறையின் மிகவும் திறமையான பதிப்பு நீட்டிக்கப்பட்ட யூக்ளிடியன் வழிமுறை ஆகும், இது துணை சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், வழிமுறை வழியாக இரண்டு பாஸ்களைக் குறைக்கிறது (பின் மாற்றீடு என்பது வழிமுறை வழியாக தலைகீழாக கடந்து செல்வதாக கருதப்படலாம்). பெரிய O குறியீட்டில், இந்த வழிமுறை சரியான நேரத்தில் இயங்குகிறது, மேலும் இது அதன் மாற்று, எக்ஸ்போனென்டியேஷனை விட மிக வேகமாகவும் பொதுவாக மிகவும் திறமையானதாகவும் கருதப்படுகிறது. யூலரின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி நீட்டிக்கப்பட்ட யூக்ளிடியன் வழிமுறைக்கு மாற்றாக, யூலரின் தேற்றத்தை மாடுலர் தலைகீழ்களைக் கணக்கிட பயன்படுத்தலாம். ஆய்லரின் தேற்றத்தின்படி, கோப்ரைம் என்றால், அதாவது, ஆய்லரின் டோசியன்ட் செயல்பாடு எங்கே. இது பெருக்கக் குழுவிற்குச் சொந்தமானது என்ற உண்மையிலிருந்து பின்தொடர்கிறது x என்றால் மற்றும் அதற்கு கோப்ரைம் இருந்தால் மட்டுமே. எனவே, ஒரு மாடுலர் பெருக்க தலைகீழ் நேரடியாகக் காணலாம்ஃ சிறப்பு வழக்கில் ஒரு பகா எண் மற்றும் ஒரு மாடுலர் தலைகீழ் வழங்கப்படுகிறது இந்த முறை பொதுவாக நீட்டிக்கப்பட்ட யூக்ளிடியன் வழிமுறையை விட மெதுவாக உள்ளது, ஆனால் சில நேரங்களில் மாடுலர் எக்ஸ்போனென்டியேஷனுக்கான செயல்படுத்தல் ஏற்கனவே கிடைக்கும்போது பயன்படுத்தப்படுகிறது. இந்த முறையின் சில குறைபாடுகள் பின்வருமாறுஃ மதிப்பு அறியப்பட வேண்டும் மற்றும் மிகவும் திறமையான அறியப்பட்ட கணக்கீட்டிற்கு காரணியாக்கம் தேவைப்படுகிறது. காரணிமயமாக்கல் என்பது கணக்கீட்டு ரீதியாக கடினமான பிரச்சினை என்று பரவலாக நம்பப்படுகிறது. இருப்பினும், முதன்மைக் காரணியாக்கம் அறியப்படும்போது கணக்கிடுவது நேரடியானது. எக்ஸ்போனென்டேஷனின் ஒப்பீட்டு செலவு. மாடுலர் எக்ஸ்போனென்டியேஷனைப் பயன்படுத்தி இதை மிகவும் திறமையாக செயல்படுத்த முடியும் என்றாலும், பெரிய மதிப்புகள் ஈடுபடும் போது இது மாண்ட்கோமெரி குறைப்பு முறையுடன் மிகவும் திறமையாக கணக்கிடப்படுகிறது, அந்த முறைக்கு, ஒரு மாடுலர் இன்வெர்ஸ் மோட் தேவைப்படுகிறது, இது முதலில் கணக்கிடப்பட வேண்டும். மாண்ட்கோமெரி முறை இல்லாமல், ஒவ்வொரு படியிலும் பிரிவு முறை தேவைப்படும் நிலையான பைனரி எக்ஸ்போனென்டியேஷன், பெரியதாக இருக்கும்போது மெதுவான செயல்பாடாகும். இந்த நுட்பத்தின் ஒரு குறிப்பிடத்தக்க நன்மை என்னவென்றால், மதிப்பைப் பொறுத்து நிபந்தனைக்குட்பட்ட கிளைகள் எதுவும் இல்லை, இதனால் பொது-விசை குறியாக்கவியலில் ஒரு முக்கியமான ரகசியமாக இருக்கக்கூடிய மதிப்பை பக்க-சேனல் தாக்குதல்களிலிருந்து பாதுகாக்க முடியும். இந்த காரணத்திற்காக, வளைவு 25519 இன் நிலையான செயல்படுத்தல் ஒரு தலைகீழ் கணக்கிட இந்த நுட்பத்தைப் பயன்படுத்துகிறது. பல நேர்மாறுகள் யூக்ளிடியன் வழிமுறையின் ஒற்றை அழைப்பு மற்றும் கூடுதல் உள்ளீட்டிற்கு மூன்று பெருக்கங்களுடன், பல எண்களின் நேர்மாறுகளைக் கணக்கிட முடியும். அடிப்படை யோசனை என்னவென்றால், அனைத்தின் பெருக்கத்தையும் உருவாக்கி, அதை தலைகீழாக மாற்றி, பின்னர் விரும்பியதை மட்டுமே விட்டுச்செல்ல அனைவராலும் பெருக்கவும். மேலும் குறிப்பாக, வழிமுறை (அனைத்து எண்கணித செயல்திறன் மாடுலோ): அனைத்திற்கும் முன்னொட்டு தயாரிப்புகளைக் கணக்கிடுங்கள். கிடைக்கக்கூடிய எந்த வழிமுறையையும் பயன்படுத்தி கணக்கிடுங்கள். கீழே இருந்து 2 வரை, மற்றும் கணக்கிடுங்கள். இறுதியாக, இணையான கணக்கீட்டைப் பயன்படுத்துவதற்கு நேரியல் முறையில் அல்லாமல் ஒரு மர கட்டமைப்பில் பெருக்கங்களைச் செய்ய முடியும். பயன்பாடுகள் ஒரு மட்டு பெருக்கல் தலைகீழ் கண்டுபிடிப்பது மட்டு எண்கணிதக் கோட்பாட்டை நம்பியிருக்கும் வழிமுறைகளில் பல பயன்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளது. உதாரணமாக, குறியாக்கவியலில் மட்டு எண்கணிதத்தின் பயன்பாடு சில செயல்பாடுகளை விரைவாகவும் குறைவான சேமிப்புத் தேவைகளுடனும் மேற்கொள்ள அனுமதிக்கிறது, அதே நேரத்தில் மற்ற செயல்பாடுகள் மிகவும் கடினமாகின்றன. இந்த இரண்டு அம்சங்களும் பயனுள்ளதாக இருக்கும். குறிப்பாக, ஆர்எஸ்ஏ வழிமுறையில், ஒரு செய்தியை குறியாக்கம் செய்வதும் குறியாக்கம் செய்வதும் கவனமாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட மாடுலஸைப் பொறுத்தவரை பெருக்க நேர்மாறாக இருக்கும் ஒரு ஜோடி எண்களைப் பயன்படுத்தி செய்யப்படுகிறது. இந்த எண்களில் ஒன்று பகிரங்கப்படுத்தப்பட்டு விரைவான குறியாக்க நடைமுறையில் பயன்படுத்தப்படலாம், அதே நேரத்தில் மறைகுறியாக்க நடைமுறையில் பயன்படுத்தப்படும் மற்றொன்று மறைத்து வைக்கப்படுகிறது. பொது எண்ணிலிருந்து மறைக்கப்பட்ட எண்ணை தீர்மானிப்பது கணக்கீட்டு ரீதியாக சாத்தியமற்றதாகக் கருதப்படுகிறது, மேலும் இது தனியுரிமையை உறுதிப்படுத்த அமைப்பை செயல்பட வைக்கிறது. வேறொரு சூழலில் மற்றொரு எடுத்துக்காட்டாக, கணினி அறிவியலில் உள்ள சரியான பிரிவு சிக்கலைக் கவனியுங்கள், அங்கு உங்களிடம் ஒற்றைப்படை சொல் அளவிலான எண்களின் பட்டியல் உள்ளது, அவை ஒவ்வொன்றும் வகுக்கப்படுகின்றன, மேலும் அவை அனைத்தையும் வகுக்க விரும்புகிறீர்கள். ஒரு தீர்வு பின்வருமாறுஃ கணக்கிட நீட்டிக்கப்பட்ட யூக்ளிடியன் வழிமுறையைப் பயன்படுத்தவும், ஒரு வார்த்தையில் உள்ள பிட்களின் எண்ணிக்கை எங்கே என்பதன் மட்டு பெருக்க தலைகீழ். எண்கள் ஒற்றைப்படை மற்றும் மாடுலஸுக்கு ஒற்றைப்படை காரணிகள் இல்லாததால் இந்த தலைகீழ் இருக்கும். பட்டியலில் உள்ள ஒவ்வொரு எண்ணுக்கும், அதை பெருக்கி, முடிவில் மிகக் குறைந்த குறிப்பிடத்தக்க வார்த்தையை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். பல இயந்திரங்களில், குறிப்பாக பிரிவினைக்கு வன்பொருள் ஆதரவு இல்லாதவற்றில், வகுத்தல் என்பது பெருக்கத்தை விட மெதுவான செயல்பாடாகும், எனவே இந்த அணுகுமுறை கணிசமான வேகத்தை அளிக்க முடியும். முதல் படி ஒப்பீட்டளவில் மெதுவாக உள்ளது, ஆனால் ஒரு முறை மட்டுமே செய்ய வேண்டும். சீன எஞ்சிய தேற்றத்தால் உத்தரவாதம் அளிக்கப்பட்ட நேரியல் ஒற்றுமைகளின் அமைப்பின் தீர்வை பெற மாடுலர் பெருக்க தலைகீழ்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, 5,7 மற்றும் 11 ஆகியவை ஜோடி வாரியாக கோப்ரைம் என்பதால், அமைப்பு ஷ்ணல் 4 (மட்டு 5) ஷ்ணல் 4 (மட்டு 7) ஷ்ணல் 6 (மட்டு 11) பொதுவான தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது. ஒரு தீர்வு = (7 × 11) × 4 + (5 × 11) × 4 + (5 × 7) × 6 ஆல் வழங்கப்படுகிறது, அங்கு = 3 என்பது 7 × 11 (மட்டு 5) இன் மட்டு பெருக்கல் தலைகீழ், = 6 என்பது 5 × 11 (மட்டு 7) இன் மட்டு பெருக்கல் தலைகீழ் மற்றும் = 6 என்பது 5 × 7 (மட்டு 11) இன் மட்டு பெருக்கல் தலைகீழ் ஆகும். எனவே, = 3 × (7 × 11) × 4 + 6 × (5 × 11) × 4 + 6 × (5 × 7) × 6 = 3504 மற்றும் அதன் தனித்துவமான குறைக்கப்பட்ட வடிவத்தில் ஷ்ண 3504 ஷ்ண 39 (மட்டு 385) ஏனெனில் 385 என்பது 5,7 மற்றும் 11 இன் எல். சி. எம் ஆகும். மேலும், க்ளூஸ்டர்மேன் கூட்டுத்தொகையின் வரையறையில் மாடுலர் பெருக்க தலைகீழ் புள்ளிவிவரங்கள் முக்கியமாக உள்ளன. மேலும் காண்கஃ இன்வெர்ஸிவ் காங்க்ரூயென்ஷியல் ஜெனரேட்டர்-ஒரு போலி சீரற்ற எண் ஜெனரேட்டர், இது மாடுலர் பெருக்க தலைகீழ் பகுத்தறிவு புனரமைப்பைப் பயன்படுத்துகிறது (கணிதம்) குறிப்புகள் குறிப்புகள் வெளிப்புற இணைப்புகள் குவேரா வாஸ்குவேஸ், பெர்னாண்டோ யூக்ளிட்டின் அல்காரிதம் மாடுலர் எண்கணித பைனரி செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி மாடுலோ பெருக்க தலைகீழ் தீர்ப்பதற்கான ஒரு தீர்க்கப்பட்ட உதாரணத்தை வழங்குகிறது.