Stable normal bundle
கணிதத்தின் ஒரு கிளையான அறுவைசிகிச்சைக் கோட்பாட்டில், வேறுபடுத்தக்கூடிய பன்மடங்கு நிலையான இயல்பான மூட்டை என்பது நிலையான இயல்பான (இரட்டை, தொடுகோடு) தரவைக் குறியாக்கம் செய்யும் ஒரு மாறாதது. பன்மடங்கு பொதுமைப்படுத்தல்களுக்கு ஒப்புமைகள் உள்ளன, குறிப்பாக பி. எல்-மேனிஃபோல்ட்ஸ் மற்றும் இடவியல் பன்மடங்கு. மைக்கேல் ஸ்பிவாக்கின் பெயரால் பெயரிடப்பட்ட ஸ்பிவாக் கோள இழையமைப்பு என்ற போயின்கேர் இடைவெளிகளின் ஹோமோடோபி கோட்பாட்டில் ஒரு அனலாக் உள்ளது. உட்பொதிப்புகள் மூலம் கட்டுமானம் யூக்ளிடியன் இடத்தில் ஒரு பன்மடங்கு உட்பொதிக்கப்பட்டால் (ஹாஸ்லர் விட்னியின் தேற்றத்தால் வழங்கப்பட்டது), இது ஒரு சாதாரண மூட்டை உள்ளது. உட்பொதிப்பது தனித்துவமானது அல்ல, ஆனால் யூக்ளிடியன் இடத்தின் உயர் பரிமாணத்திற்கு இது ஐசோடோபி வரை தனித்துவமானது, எனவே (வகுப்பின்) மூட்டை தனித்துவமானது, மேலும் நிலையான இயல்பான மூட்டை என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த கட்டுமானம் எந்த பாயின்கேர் ஸ்பேஸ் எக்ஸ்-க்கும் வேலை செய்கிறதுஃ ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட சி. டபிள்யூ-காம்ப்ளக்ஸ் யூக்ளிடியன் இடத்தில் பொதுவான நிலை வழியாக ஒரு தனித்துவமான (ஹோமோடாபி வரை) உட்பொதிப்பதை ஒப்புக்கொள்கிறது, மேலும் இந்த உட்பொதிப்பு எக்ஸ்-க்கு மேல் ஒரு கோள இழையை அளிக்கிறது. மேலும் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட இடங்களுக்கு (குறிப்பாக பி. எல்-மேனிஃபோல்ட்ஸ் மற்றும் டோபோலாஜிக்கல் பன்மடங்கு), ஒருவர் வலுவான தரவைப் பெறுகிறார். விவரங்கள் உட்பொதிப்புகள் மூலம் இரண்டு உட்பொதிப்புகள் ஹோமோடோபிக் ஆக இருந்தால் அவை ஐசோடோபிக் ஆகும். ஒரு பன்மடங்கு அல்லது பிற பொருத்தமான இடைவெளி X ஐப் பொறுத்தவரை, யூக்ளிடியன் இடத்தில் இரண்டு உட்பொதிப்புகளுடன் இவை பொதுவாக ஐசோடோபிக் ஆகவோ அல்லது ஒரே இடத்தில் வரைபடமாகவோ இருக்காது (சமமாக தேவையில்லை). இருப்பினும், கடைசி ஆயத்தொகுதிகள் 0: ஆக இருக்க அனுமதிப்பதன் மூலம் இவற்றை ஒரு பெரிய இடத்தில் உட்பொதிக்க முடியும். யூக்ளிடியன் இடத்தின் அருகிலுள்ள அற்பமான நகல்களின் இந்த செயல்முறை நிலைப்படுத்தல் என்று அழைக்கப்படுகிறது. எனவே யூக்ளிடியன் இடத்தில் ஏதேனும் இரண்டு உட்பொதிப்புகளை ஒரே யூக்ளிடியன் இடத்தில் (எடுத்துக்கொள்வது) வரைபடமாக்க ஒருவர் ஏற்பாடு செய்யலாம், மேலும், போதுமான அளவு பெரியதாக இருந்தால், இந்த உட்பொதிப்புகள் ஐசோடோபிக் ஆகும், இது ஒரு தேற்றம். இவ்வாறு உட்பொதிப்பதற்கான ஒரு தனித்துவமான நிலையான ஐசோடோபி வகுப்பு உள்ளதுஃ இது ஒரு குறிப்பிட்ட உட்பொதிப்பு அல்ல (பல உட்பொதிப்புகள் இருப்பதால்), அல்லது ஒரு ஐசோடோபி வகுப்பு அல்ல (இலக்கு இடம் சரி செய்யப்படாததால்ஃ இது "போதுமான அளவு பெரிய யூக்ளிடியன் இடம்"), மாறாக ஒரு நிலையான ஐசோடோபி வகை வரைபடங்கள். இந்த (நிலையான வகை) உட்பொதிப்புகளுடன் தொடர்புடைய சாதாரண மூட்டை பின்னர் நிலையான சாதாரண மூட்டை ஆகும். ஹில்பர்ட் இடத்தை இலக்கு இடமாகப் பயன்படுத்துவதன் மூலமோ அல்லது (பன்மடங்கு நிலையான பரிமாணத்திற்கு) போதுமான அளவு பெரிய நிலையைப் பயன்படுத்துவதன் மூலமோ இலக்கு இடத்தை நிர்ணயம் செய்வதன் மூலம் இந்த நிலையான ஐசோடோபி வகுப்பை ஒரு உண்மையான ஐசோடோபி வகுப்புடன் மாற்றலாம், ஏனெனில் N என்பது n ஐ மட்டுமே சார்ந்துள்ளது, கேள்விக்குரிய பன்மடங்கு அல்ல. மேலும் சுருக்கமாக, உட்பொதிப்பை உறுதிப்படுத்துவதை விட, ஒருவர் எந்த உட்பொதிப்பையும் எடுத்து, பின்னர் போதுமான எண்ணிக்கையிலான அற்பமான வரி மூட்டைகளுடன் ஒரு திசையன் மூட்டை நேரடி தொகையை எடுக்கலாம்; இது உறுதிப்படுத்தப்பட்ட உட்பொதிப்பின் சாதாரண மூட்டையுடன் சரியாக ஒத்திருக்கிறது. இடங்களை வகைப்படுத்துவதன் மூலம் கட்டுமானம் ஒரு n-மேனிஃபோல்ட் M ஒரு தொடுகோடு மூட்டை உள்ளது, இது ஒரு வகைப்படுத்தும் வரைபடத்தைக் கொண்டுள்ளது (ஹோமோடாபி வரை) நிலையான தொடுகோடு மூட்டை சேர்க்கும் விளைச்சலுடன் (ஒரு வகைப்படுத்தும் வரைபடத்தின் ஹோமோடாபி வகுப்பு) அமைகிறது. உட்பொதிப்பின் (பெரிய) சாதாரண மூட்டை ஒரு தலைகீழ் ஆகும், அதாவது விட்னி தொகை அற்பமானது. கலவையின் ஹோமோடாபி வகுப்பு உட்பொதிக்கும் தேர்விலிருந்து சுயாதீனமாக உள்ளது, இது நிலையான இயல்பான மூட்டை வகைப்படுத்துகிறது. தூண்டுதல் தொடுகோட்டு அல்லது கோட்டாஞ்சென்ட் திசையன்களைப் போலல்லாமல், ஒரு பன்மடங்கு ஒரு இயல்பான திசையன் பற்றிய உள்ளார்ந்த கருத்து இல்லை-எடுத்துக்காட்டாக, இயல்பான இடைவெளி ஒருவர் எந்த பரிமாணத்தில் உட்பொதிக்கப்படுகிறார் என்பதைப் பொறுத்தது-எனவே நிலையான இயல்பான மூட்டை அதற்கு பதிலாக ஒரு நிலையான இயல்பான இடத்தைப் பற்றிய கருத்தை வழங்குகிறதுஃ அற்பமான கூட்டுத்தொகை வரை ஒரு இயல்பான இடைவெளி (மற்றும் இயல்பான திசையன்கள்). நிலையான தொடுகோடுக்கு பதிலாக நிலையான இயல்பானது ஏன்? நிலையற்ற தொடுகோட்டு தரவுகளுக்குப் பதிலாக நிலையான இயல்பான தரவு பயன்படுத்தப்படுகிறது, ஏனெனில் பன்மடங்கு பொதுமைப்படுத்தல்கள் இயற்கையான நிலையான இயல்பான வகை கட்டமைப்புகளைக் கொண்டுள்ளன, அவை குழாய் சுற்றுப்புறங்கள் மற்றும் பொதுமைப்படுத்தல்களிலிருந்து வருகின்றன, ஆனால் நிலையற்ற தொடுகோட்டு கட்டமைப்புகள் அல்ல, ஏனெனில் உள்ளூர் அமைப்பு மென்மையாக இல்லை. ஒரு இடைவெளி X இல் உள்ள கோள இழைகள் வரைபடங்களின் ஹோமோடாபி வகுப்புகளால் ஒரு வகைப்படுத்தும் இடத்திற்கு வகைப்படுத்தப்படுகின்றன, ஹோமோடாபி குழுக்கள் கோளங்களின் நிலையான ஹோமோடாபி குழுக்களுடன். மறக்கமுடியாத வரைபடம் ஒரு ஃபைப்ரேஷன் வரிசை வரை நீண்டுள்ளது. ஒரு போயின்கேர் ஸ்பேஸ் எக்ஸ் ஒரு தொடுகோடு மூட்டை இல்லை, ஆனால் அது ஒரு நன்கு வரையறுக்கப்பட்ட நிலையான கோள இழையைக் கொண்டுள்ளது, இது ஒரு வேறுபடுத்தக்கூடிய பன்மடங்கு நிலையான இயல்பான மூட்டையுடன் தொடர்புடைய கோள இழையாகும்; எனவே ஒரு வேறுபடுத்தக்கூடிய பன்மடங்கு ஹோமோடாபி வகையைக் கொண்ட எக்ஸ்-க்கு ஒரு முதன்மைத் தடை என்னவென்றால், கோள இழுவிசை ஒரு திசையன் மூட்டைக்கு உயர்த்தப்படுகிறது, அதாவது, ஸ்பிவாக் கோள இழுவிசை உயர்த்தப்பட வேண்டும், இது வரைபடம் பூஜ்ய ஹோமோடோபிக் என்பதற்கு சமம், எனவே ஒரு (மென்மையான) பன்மடங்கு கட்டமைப்பின் இருப்புக்கு மூட்டைத் தடை வகுப்பாகும். இரண்டாம் தடையாக இருப்பது சுவர் அறுவைசிகிச்சை தடையாக உள்ளது. பயன்பாடுகள் அறுவைசிகிச்சைக் கோட்பாட்டில் நிலையான இயல்பான மூட்டை ஒரு முதன்மைத் தடையாக அடிப்படையாக உள்ளதுஃ ஒரு பாயின்கேர் ஸ்பேஸ் எக்ஸ் ஒரு மென்மையான பன்மடங்கு ஒத்த நகல் வகையைக் கொண்டிருக்க, வரைபடம் பூஜ்ய ஹோமோடோபிக் ஆக இருக்க வேண்டும் இரண்டு பன்மடங்கு இடையே ஒரு ஹோமோடோபி சமநிலை ஒரு டிஃபியோமார்பிசத்திற்கு ஹோமோடோபிக் ஆக இருக்க, அது N இல் நிலையான இயல்பான மூட்டை M இல் நிலையான இயல்பான மூட்டைக்கு பின்னோக்கி இழுக்க வேண்டும். மேலும் பொதுவாக, அதன் பொதுமைப்படுத்தல்கள் (நிலையற்ற) தொடுகோடு மூட்டைக்கு மாற்றாக செயல்படுகின்றன. குறிப்புகள் வேறுபட்ட வடிவியல் அறுவை சிகிச்சை கோட்பாடு