Random measure
நிகழ்தகவுக் கோட்பாட்டில், ஒரு சீரற்ற அளவீடு என்பது அளவீட்டு மதிப்புள்ள சீரற்ற உறுப்பு ஆகும். எடுத்துக்காட்டாக, சீரற்ற செயல்முறைகளின் கோட்பாட்டில் சீரற்ற நடவடிக்கைகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, அங்கு அவை பாய்சான் புள்ளி செயல்முறைகள் மற்றும் காக்ஸ் செயல்முறைகள் போன்ற பல முக்கியமான புள்ளி செயல்முறைகளை உருவாக்குகின்றன. வரையறை சீரற்ற நடவடிக்கைகளை மாற்றம் கர்னல்கள் அல்லது சீரற்ற கூறுகள் என வரையறுக்கலாம். இரண்டு வரையறைகளும் சமமானவை. வரையறைகளுக்கு, ஒரு பிரிக்கக்கூடிய முழுமையான மெட்ரிக் இடமாக இருக்கட்டும், அதன் போரெல்-இயற்கணிதமாக இருக்கட்டும். (பிரிக்கக்கூடிய முழுமையான மெட்ரிக் இடத்தின் மிகவும் பொதுவான எடுத்துக்காட்டு) ஒரு மாற்றம் கர்னலாக ஒரு சீரற்ற அளவீடு ஒரு (a. s.) உள்ளூரில் வரையறுக்கப்பட்ட மாற்றம் கர்னல் ஒரு (சுருக்க) நிகழ்தகவு இடத்திலிருந்து. ஒரு மாற்றம் கர்னலாக இருப்பது என்பது எந்தவொரு நிலையானவற்றிற்கும், வரைபடம் முதல் வரை அளவிடக்கூடியது என்பதைக் குறிக்கிறது ஒவ்வொரு நிலையானவற்றிற்கும், வரைபடம் என்பது உள்ளூரில் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு அளவீடு ஆகும், அதாவது அனைத்து வரம்புக்குட்பட்ட அளவிடக்கூடிய தொகுப்புகளுக்கும், சில-பூஜ்ய தொகுப்புகளைத் தவிர மற்ற அனைத்திற்கும் அளவீடுகள் திருப்தி அளிக்கின்றன. ஒரு சீரற்ற உறுப்பாக வரையறுக்கவும் மற்றும் உள்ளூரில் வரையறுக்கப்பட்ட நடவடிக்கைகளின் துணைக்குழுவாகவும் அளவிடக்கூடிய அனைத்து வரம்புகளுக்கும், வரைபடங்களை வரையறுக்கவும். மேப்பிங் மூலம் தூண்டப்பட்ட-இயற்கணிதம் மற்றும் மேப்பிங் மூலம் தூண்டப்பட்ட-இயற்கணிதம் என்று வைத்துக்கொள்வோம். என்பதைக் கவனத்தில் கொள்ளுங்கள். ஒரு சீரற்ற அளவீடு என்பது ஒரு சீரற்ற உறுப்பு ஆகும், இது அடிப்படை தொடர்புடைய கருத்துக்களில் கிட்டத்தட்ட நிச்சயமாக மதிப்புகளை எடுக்கிறது தீவிரம் அளவீடு ஒரு சீரற்ற அளவீட்டுக்கு, ஒவ்வொரு நேர்மறை அளவிடக்கூடிய செயல்பாட்டிற்கும் திருப்திகரமான அளவீடு இன் தீவிரம் அளவீடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒவ்வொரு சீரற்ற அளவிற்கும் தீவிர அளவீடு உள்ளது மற்றும் இது ஒரு s-எல்லையற்ற அளவீடு ஆகும். ஒரு சீரற்ற அளவீட்டிற்கு, அனைத்து நேர்மறை அளவிடக்கூடிய செயல்பாடுகளுக்கும் திருப்திகரமான அளவீடு ஆதரவு அளவீடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. அனைத்து சீரற்ற நடவடிக்கைகளுக்கும் துணை அளவீடு உள்ளது மற்றும் வரையறுக்கப்பட்டதாக இருக்க தேர்வு செய்யலாம். லாப்லாஸ் உருமாற்றம் ஒரு சீரற்ற அளவீட்டிற்கு, லாப்லாஸ் உருமாற்றம் ஒவ்வொரு நேர்மறை அளவிடக்கூடிய செயல்பாட்டிற்கும் வரையறுக்கப்படுகிறது. அடிப்படை பண்புகள் ஒருங்கிணைப்புகளின் அளவீடு ஒரு சீரற்ற அளவீட்டிற்கு, ஒருங்கிணைப்புகள் மற்றும் நேர்மறை அளவிடக்கூடியவை அளவிடக்கூடியவை, எனவே அவை சீரற்ற மாறிகள். தனித்துவம் ஒரு சீரற்ற அளவின் விநியோகம் தனித்துவமாக அனைத்து தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளுக்கும் சுருக்கமான ஆதரவுடன் விநியோகங்களால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. ஒரு நிலையான செமிரிங்கிற்கு, ஒரு சீரற்ற அளவின் விநியோகம் அனைத்து நேர்மறை எளிய-அளவிடக்கூடிய செயல்பாடுகளின் ஒருங்கிணைப்பால் தனித்துவமாக தீர்மானிக்கப்படுகிறது. சிதைவு ஒரு அளவீடு பொதுவாக இவ்வாறு சிதைக்கப்படலாம்ஃ இங்கே அணுக்கள் இல்லாத ஒரு பரவலான அளவீடு, அதே நேரத்தில் இது முற்றிலும் அணு அளவீடு ஆகும். சீரற்ற எண்ணும் அளவீடு படிவத்தின் சீரற்ற அளவீடுஃ டைராக் அளவீடு எங்கே, மற்றும் சீரற்ற மாறிகள், ஒரு புள்ளி செயல்முறை அல்லது சீரற்ற எண்ணும் அளவீடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த சீரற்ற அளவீடு N துகள்களின் தொகுப்பை விவரிக்கிறது, அவற்றின் இருப்பிடங்கள் (பொதுவாக திசையன் மதிப்புள்ள) சீரற்ற மாறிகளால் வழங்கப்படுகின்றன. ஒரு எண்ணும் அளவீட்டுக்கு பரவலான கூறு பூஜ்யமாகும். மேலே உள்ள முறையான குறியீட்டில் ஒரு சீரற்ற எண்ணும் அளவீடு என்பது ஒரு நிகழ்தகவு இடத்திலிருந்து அளவிடக்கூடிய இடத்திற்கு ஒரு வரைபடமாகும். எல்லைக்குட்பட்ட அனைத்து வரையறுக்கப்பட்ட முழு எண் மதிப்புள்ள அளவீடுகளின் இடைவெளி இங்கே உள்ளது (எண்ணும் அளவீடுகள் என்று அழைக்கப்படுகிறது). எதிர்பார்ப்பு அளவீடு, லாப்லேஸ் செயல்பாடு, தருணம் அளவீடுகள் மற்றும் சீரற்ற நடவடிக்கைகளுக்கான நிலைத்தன்மை ஆகியவற்றின் வரையறைகள் புள்ளி செயல்முறைகளைப் பின்பற்றுகின்றன. மான்டே கார்லோ எண் நாற்கர மற்றும் துகள் வடிப்பான்கள் போன்ற மான்டே கார்லோ முறைகளின் விளக்கம் மற்றும் பகுப்பாய்வில் சீரற்ற நடவடிக்கைகள் பயனுள்ளதாக இருக்கும். மேலும் காண்கஃ பாய்சான் சீரற்ற அளவீட்டு திசையன் அளவீட்டு தொகுப்பு குறிப்புகள் அளவீடுகள் (அளவீட்டுக் கோட்பாடு) தற்செயலான செயல்முறைகள்