Structure theorem for finitely generated modules over a principal ideal domain
கணிதத்தில், சுருக்க இயற்கணிதத் துறையில், ஒரு முதன்மை இலட்சிய களத்தின் மீது இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட தொகுதிகளுக்கான கட்டமைப்புத் தேற்றம் என்பது இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட அபெலியன் குழுக்களின் அடிப்படை தேற்றத்தின் பொதுமைப்படுத்தலாகும், மேலும் ஒரு முதன்மை இலட்சிய களத்தின் (பிஐடி) மீது இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட தொகுதிகளை தனித்துவமாக சிதைக்க முடியும் என்று தோராயமாக கூறுகிறது. புலங்களின் மீது சதுர மேட்ரிக்ஸ்களுக்கான பல்வேறு நியதி வடிவ முடிவுகளைப் புரிந்துகொள்ள இந்த முடிவு ஒரு எளிய கட்டமைப்பை வழங்குகிறது. ஒரு புலம் F மீது ஒரு திசையன் இடைவெளி ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட உருவாக்கும் தொகுப்பைக் கொண்டிருக்கும்போது, அதிலிருந்து ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட எண் n திசையன்களைக் கொண்ட ஒரு அடிப்படையை ஒருவர் பிரித்தெடுக்கலாம், எனவே இடைவெளி Fn க்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும். ஒரு முதன்மை இலட்சிய களமான R க்கு பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட F உடன் தொடர்புடைய அறிக்கை இனி உண்மையல்ல, ஏனெனில் R க்கு மேல் இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட தொகுதிக்கு ஒரு அடிப்படை இருக்காது. இருப்பினும், அத்தகைய ஒரு தொகுதி இன்னும் n வரையறுக்கப்பட்ட சில தொகுதி Rn இன் விகிதத்திற்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும் (இதைப் பார்க்க, Rn இன் நியதி அடிப்படையின் கூறுகளை தொகுதியின் ஜெனரேட்டர்களுக்கு அனுப்பும் மார்ஃபிசத்தை உருவாக்க இது போதுமானது, மேலும் அதன் கர்னல் மூலம் அளவை எடுக்கும்). தொகுப்பை உருவாக்கும் விருப்பத்தை மாற்றுவதன் மூலம், ஒரு குறிப்பிட்ட எளிய துணை தொகுதியின் மூலம் சில Rn இன் ஈவு என தொகுதியை விவரிக்க முடியும், இது கட்டமைப்பு தேற்றம். ஒரு முதன்மை இலட்சிய களத்தின் மீது இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட தொகுதிகளுக்கான கட்டமைப்பு தேற்றம் பொதுவாக பின்வரும் இரண்டு வடிவங்களில் தோன்றும். மாறாத காரணி சிதைவு ஒரு முதன்மை இலட்சிய களத்தின் மீது இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட ஒவ்வொரு தொகுதிக்கும், சுழற்சி தொகுதிகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு ஐசோமார்பிக் போன்ற சரியான இலட்சியங்களின் தனித்துவமான குறைந்து வரும் வரிசை உள்ளதுஃ இலட்சியங்களின் ஜெனரேட்டர்கள் ஒரு அலகு மூலம் பெருக்கப்படும் வரை தனித்துவமானவை, மேலும் அவை M இன் மாறாத காரணிகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. இலட்சியங்கள் சரியானதாக இருக்க வேண்டும் என்பதால், இந்த காரணிகள் தாங்களாகவே தலைகீழாக இருக்கக்கூடாது (இது கூட்டுத்தொகையில் அற்பமான காரணிகளைத் தவிர்க்கிறது), மேலும் இலட்சியங்களைச் சேர்ப்பது என்பது ஒருவருக்கு வகுத்தல் உள்ளது என்பதாகும். காரணிகளுடன் தொடர்புடைய சிதைவின் பகுதியில் இலவச பகுதி தெரியும். இத்தகைய காரணிகள் ஏதேனும் இருந்தால், வரிசையின் முடிவில் நிகழ்கின்றன. நேரடி தொகை தனித்துவமாக தீர்மானிக்கப்படும் அதே வேளையில், சிதைவைக் கொடுக்கும் ஐசோமார்பிசம் பொதுவாக தனித்துவமானது அல்ல. உதாரணமாக, உண்மையில் ஒரு புலம் என்றால், நிகழும் அனைத்து இலட்சியங்களும் பூஜ்ஜியமாக இருக்க வேண்டும், மேலும் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண திசையன் இடத்தை ஒரு பரிமாண துணை இடங்களின் நேரடி கூட்டுத்தொகையாக சிதைப்பதை ஒருவர் பெறுகிறார்; அத்தகைய காரணிகளின் எண்ணிக்கை நிலையானது, அதாவது இடத்தின் பரிமாணம், ஆனால் துணை இடங்களைத் தேர்ந்தெடுப்பதற்கு நிறைய சுதந்திரம் உள்ளது (என்றால்). பூஜ்ஜியமற்ற உறுப்புகள், பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் எண்ணிக்கையுடன் சேர்ந்து, தொகுதிக்கான முழுமையான மாறிலிகளின் தொகுப்பை உருவாக்குகின்றன. வெளிப்படையாக, இதன் பொருள் என்னவென்றால், ஒரே மாறுபாடுகளின் தொகுப்பைப் பகிர்ந்து கொள்ளும் எந்த இரண்டு தொகுதிகளும் ஐசோமார்பிக் ஆகும். சிலர் M இன் இலவச பகுதியை தனித்தனியாக எழுத விரும்புகிறார்கள்ஃ இங்கு புலப்படும் பூஜ்ஜியமற்றது, மற்றும் f என்பது அசல் வரிசையில் உள்ள எண்களின் எண்ணிக்கை 0 ஆகும். முதன்மை சிதைவு ஒரு முதன்மை இலட்சிய களம் R மீது இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட ஒவ்வொரு தொகுதி M முதன்மை இலட்சியங்கள் இருக்கும் வடிவங்களில் ஒன்றுக்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும். இவை தனித்துவமானவை (அலகுகளால் பெருக்கப்படும் வரை). இந்த உறுப்புகள் M இன் அடிப்படை வகுத்திகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. ஒரு PID இல், பூஜ்ஜியமற்ற முதன்மை இலட்சியங்கள் பகா எண்களின் சக்திகளாகும், எனவே. எப்போது, இதன் விளைவாக உருவாக்க முடியாத தொகுதி தானாகவே இருக்கும், மேலும் இது ஒரு இலவச தொகுதியான M இன் பகுதிக்குள் உள்ளது. கூட்டுத்தொகைகள் ஒருங்கிணைக்க முடியாதவை, எனவே முதன்மை சிதைவு என்பது ஒருங்கிணைக்க முடியாத தொகுதிகளாக சிதைவு ஆகும், இதனால் ஒரு பிஐடி மீது இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட ஒவ்வொரு தொகுதியும் முற்றிலும் சிதைக்கக்கூடிய தொகுதியாகும். பிஐடிக்கள் நொய்தேரியன் வளையங்கள் என்பதால், இது லாஸ்கர்-நொய்தர் தேற்றத்தின் வெளிப்பாடாக பார்க்கப்படுகிறது. முன்பு போலவே, இலவச பகுதியை (எங்கே) தனித்தனியாக எழுதி, M ஐ இவ்வாறு வெளிப்படுத்தலாம்ஃ காணக்கூடியவை பூஜ்ஜியமற்றவை. ஆதாரங்கள் ஒரு ஆதாரம் பின்வருமாறு தொடர்கிறதுஃ ஒரு பிஐடி மீது இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட ஒவ்வொரு தொகுதியும் இறுதியாக வழங்கப்படுகிறது, ஏனெனில் ஒரு பிஐடி நொய்தேரியன் ஆகும், இது ஒத்திசைவை விட வலுவான நிலை. ஒரு விளக்கக்காட்சியை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள், இது ஒரு வரைபடம் (ஜெனரேட்டர்களுடனான உறவுகள்), அதை ஸ்மித் சாதாரண வடிவத்தில் வைக்கவும். இது மாறாத காரணி சிதைவை அளிக்கிறது, மேலும் ஸ்மித் இயல்பான வடிவத்தின் மூலைவிட்ட உள்ளீடுகள் மாறாத காரணிகளாகும். ஒரு ஆதாரத்தின் மற்றொரு அவுட்லைன்ஃ டிஎம் மூலம் எம் இன் முறுக்கு துணை தொகுதியைக் குறிக்கவும். பின்னர் எம்/டிஎம் ஒரு இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட முறிவு இல்லாத தொகுதி, மேலும் ஒரு பரிமாற்ற பிஐடி மீது அத்தகைய தொகுதி வரையறுக்கப்பட்ட தரவரிசையின் ஒரு இலவச தொகுதி, எனவே இது ஒரு நேர்மறை முழு எண் n க்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும். இந்த இலவச தொகுதி எம் இன் எஃப் துணை தொகுதியாக உட்பொதிக்கப்படலாம், அதாவது உட்பொதிக்கும் பிளவுகள் (சரியான தலைகீழ்) திட்ட வரைபடம்; இதன் விளைவாக எஃப் இன் ஒவ்வொரு ஜெனரேட்டர்களையும் எம் ஆக உயர்த்த இது போதுமானது. R இல் உள்ள ஒரு பகா உறுப்பு p க்கு நாம் பின்னர் பேசலாம். இது tM இன் துணை தொகுதியாகும், மேலும் ஒவ்வொரு Np யும் சுழற்சி தொகுதிகளின் நேரடி கூட்டுத்தொகையாகும், மேலும் tM என்பது வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான தனித்துவமான பகா எண்களுக்கு Np இன் நேரடி கூட்டுத்தொகையாகும். முந்தைய இரண்டு படிகளை ஒன்றாக இணைத்தால், M சுட்டிக்காட்டப்பட்ட வகைகளின் சுழற்சி தொகுதிகளாக சிதைக்கப்படுகிறது. கரோலரிகள் இது வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண திசையன் இடைவெளிகளின் வகைப்பாட்டை ஒரு சிறப்பு நிகழ்வாக உள்ளடக்கியது, அங்கு. புலங்களுக்கு அற்பமான இலட்சியங்கள் இல்லாததால், இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட ஒவ்வொரு திசையன் இடமும் இலவசம். முடிவாக உருவாக்கப்பட்ட அபெலியன் குழுக்களின் அடிப்படை தேற்றத்தை எடுத்துக்கொள்வது. T ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண திசையன் இடைவெளி V மீது K இல் ஒரு நேரியல் இயக்கியாக இருக்கட்டும். T இல் மதிப்பிடப்பட்ட K இல் உள்ள குணகங்களைக் கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் இயற்கணிதத்தை எடுத்துக் கொண்டால், T பற்றிய கட்டமைப்புத் தகவல்களை வழங்குகிறது. கடைசி மாறாத காரணி குறைந்தபட்ச பல்லுறுப்புக்கோவை, மற்றும் மாறாத காரணிகளின் பெருக்கல் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும். ஒரு நிலையான மேட்ரிக்ஸ் வடிவத்துடன் இணைந்து, இது பல்வேறு நியதி வடிவங்களை அளிக்கிறதுஃ மாறாத காரணிகள் + துணை மேட்ரிக்ஸ் விளைச்சல் ஃப்ரோபீனியஸ் இயல்பான வடிவம் (அதாவது, பகுத்தறிவு நியதி வடிவம்) முதன்மை சிதைவு + துணை மேட்ரிக்ஸ் விளைச்சல் முதன்மை பகுத்தறிவு நியதி வடிவம் முதன்மை சிதைவு + ஜோர்டான் தொகுதிகள் ஜோர்டான் நியதி வடிவத்தை அளிக்கிறது (இது பிந்தையது இயற்கணித ரீதியாக மூடிய புலத்தின் மீது மட்டுமே உள்ளது) தனித்துவம் மாறிலிகள் (தரவரிசை, மாறாத காரணிகள் மற்றும் அடிப்படை வகுத்திகள்) தனித்துவமானவை என்றாலும், எம் மற்றும் அதன் நியதி வடிவத்திற்கு இடையிலான ஐசோமார்பிசம் தனித்துவமானது அல்ல, மேலும் நேரடி தொகை சிதைவை கூட பாதுகாக்காது. இது பின்வருமாறு, ஏனெனில் இந்த தொகுதிகளில் அற்பமான தானியங்கி உருமாற்றங்கள் உள்ளன, அவை கூட்டுத்தொகைகளைப் பாதுகாக்காது. இருப்பினும், ஒன்று ஒரு நியதி முறுக்கு துணை தொகுதி டி மற்றும் ஒவ்வொரு (தனித்துவமான) மாறாத காரணியுடன் தொடர்புடைய ஒத்த நியதி துணை தொகுதிகளைக் கொண்டுள்ளது, இது ஒரு நியதி வரிசையை அளிக்கிறதுஃ ஜோர்டான்-ஹோல்டர் தேற்றத்தில் உள்ள கலவைத் தொடரை ஒப்பிடுக. எடுத்துக்காட்டாக, மற்றும் ஒரு அடிப்படையாக இருந்தால், அது மற்றொரு அடிப்படையாகும், மேலும் அடிப்படை மேட்ரிக்ஸின் மாற்றம் கூட்டுத்தொகையைப் பாதுகாக்காது. இருப்பினும், இது சுருக்கத்தைப் பாதுகாக்கிறது, ஏனெனில் இது முறுக்கு துணை தொகுதி (சமமாக இங்கே, 2-முறிவு கூறுகள்). பொதுமைப்படுத்தல் குழுக்கள் ஜோர்டான்-ஹோல்டர் தேற்றம் என்பது வரையறுக்கப்பட்ட குழுக்களுக்கு (அல்லது ஒரு தன்னிச்சையான வளையத்தின் மீது உள்ள தொகுதிகளுக்கு) மிகவும் பொதுவான விளைவாகும். இந்த பொதுவாக, ஒருவர் ஒரு நேரடி தொகையை விட ஒரு கலவை தொடரைப் பெறுகிறார். க்ருல்-ஷ்மிட் தேற்றம் மற்றும் தொடர்புடைய முடிவுகள் ஒரு தொகுதி ஒரு முதன்மை சிதைவு போன்ற ஒன்றைக் கொண்ட நிபந்தனைகளை வழங்குகின்றன, இது சுருக்கங்கள் வரிசைக்கு தனித்துவமாக இருக்கும் ஒருங்கிணைக்க முடியாத தொகுதிகளின் நேரடி கூட்டுத்தொகையாக சிதைவு ஆகும். முதன்மை சிதைவு முதன்மை சிதைவு பரிமாற்ற நொய்தேரியன் வளையங்களின் மீது இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட தொகுதிகளாக பொதுமைப்படுத்துகிறது, இதன் விளைவாக லாஸ்கர்-நொய்தர் தேற்றம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இதற்கு மாறாக, ஒருங்கிணைக்க முடியாத துணை தொகுதிகளாக தனித்துவமான சிதைவு இதுவரை பொதுமைப்படுத்தப்படுவதில்லை, மேலும் தோல்வி சிறந்த வகுப்பு குழுவால் அளவிடப்படுகிறது, இது PID களுக்கு மறைந்துவிடும். முதன்மை இலட்சிய களங்கள் அல்லாத வளையங்களுக்கு, தனித்துவமான சிதைவு இரண்டு உறுப்புகளால் உருவாக்கப்பட்ட வளையத்தின் மீது தொகுதிகளுக்கு கூட வைத்திருக்க வேண்டியதில்லை. R = Z [ρ−5] வளையத்திற்கு, 2 மற்றும் 1 + ρ−5 ஆல் உருவாக்கப்படும் தொகுதி R மற்றும் அதன் துணை தொகுதி M இரண்டும் ஒருங்கிணைக்க முடியாதவை. R என்பது M க்கு ஐசோமார்பிக் அல்ல என்றாலும், R ≤ R என்பது M ≤ M க்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும்; எனவே M கூட்டுத்தொகைகளின் படங்கள் L1, L2 <R ≤ R ஐக் கொடுக்கின்றன, இது R ≤ R இன் வேறுபட்ட சிதைவைக் கொடுக்கிறது. R ≤ R ஐ தனித்துவமாக காரணியாக்குவதில் தோல்வியுற்றது, R இன் கூறுகளை R இன் பகுக்கமுடியாத கூறுகளாக தனித்துவமான காரணியாக்குவதில் தோல்வியடைவதற்கு நேரடியாக (சிறந்த வகுப்புக் குழு வழியாக) தொடர்புடையது. இருப்பினும், ஒரு டெடெக்கிண்ட் களத்தின் மீது சிறந்த வகுப்புக் குழு மட்டுமே தடையாக உள்ளது, மேலும் கட்டமைப்பு தேற்றம் சிறிய மாற்றங்களுடன் ஒரு டெடெக்கிண்ட் களத்தின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட தொகுதிகளாக உருவாக்கப்படுகிறது. ஒரு தனித்துவமான முறுக்கு பகுதி இன்னும் உள்ளது, ஒரு முறுக்கு இல்லாத நிரப்பு (ஐசோமார்பிசம் வரை தனித்துவமானது), ஆனால் ஒரு டெடெக்கிண்ட் களத்தின் மீது ஒரு முறுக்கு இல்லாத தொகுதி இனி இலவசமாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை. ஒரு டெடெகிண்ட் களத்தில் உள்ள முறிவு இல்லாத தொகுதிகள் தரவரிசை மற்றும் ஸ்டெய்னிட்ஸ் வகுப்பால் (ஐசோமார்பிசம் வரை) தீர்மானிக்கப்படுகின்றன (இது சிறந்த வகுப்புக் குழுவில் மதிப்பை எடுக்கும்), மேலும் ஆர் (தரவரிசை ஒரு இலவச தொகுதிகள்) நகல்களின் நேரடி கூட்டுத்தொகையாக சிதைவு ஒரு நேரடி கூட்டுத்தொகையால் தரவரிசை ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் தொகுதிகளாக மாற்றப்படுகிறதுஃ தனிப்பட்ட கூட்டுத்தொகைகள் தனித்தனியாக தீர்மானிக்கப்படுவதில்லை, ஆனால் ஸ்டெய்னிட்ஸ் வகுப்பு (கூட்டுத்தொகை) ஆகும். இறுதியாக உருவாக்கப்படாத தொகுதிகள் இதேபோல் இறுதியாக உருவாக்கப்படாத தொகுதிகளுக்கு, இதுபோன்ற ஒரு நல்ல சிதைவை ஒருவர் எதிர்பார்க்க முடியாதுஃ காரணிகளின் எண்ணிக்கை கூட மாறுபடலாம். Q4 இன் Z-துணை தொகுதிகள் உள்ளன, அவை ஒரே நேரத்தில் இரண்டு ஒருங்கிணைக்க முடியாத தொகுதிகளின் நேரடி கூட்டுத்தொகையாகவும், மூன்று ஒருங்கிணைக்க முடியாத தொகுதிகளின் நேரடி கூட்டுத்தொகையாகவும் உள்ளன, இது முதன்மை சிதைவின் அனலாக் முடிவிலியாக உருவாக்கப்பட்ட தொகுதிகளுக்கு, முழு எண்களுக்கு மேல் கூட, Z ஐ வைத்திருக்க முடியாது என்பதைக் காட்டுகிறது. இறுதியாக உருவாக்கப்படாத தொகுதிகளுடன் எழும் மற்றொரு சிக்கல் என்னவென்றால், முறிவு இல்லாத தொகுதிகள் இலவசமாக இல்லை. உதாரணமாக, முழு எண்களின் Z வளையத்தைக் கவனியுங்கள். பின்னர் Q என்பது முறிவு இல்லாத Z-தொகுதி, இது இலவசம் அல்ல. அத்தகைய தொகுதியின் மற்றொரு பாரம்பரிய எடுத்துக்காட்டு பேயர்-ஸ்பெக்கர் குழு ஆகும், இது சொல் வாரியான கூட்டலின் கீழ் உள்ள முழு எண்களின் அனைத்து வரிசைகளின் குழுவாகும். பொதுவாக, எந்த எல்லையற்ற உருவான முறிவு இல்லாத அபெலியன் குழுக்கள் சுதந்திரமாக உள்ளன என்ற கேள்வி எந்த பெரிய கார்டினல்கள் உள்ளன என்பதைப் பொறுத்தது. ஒரு விளைவு என்னவென்றால், எல்லையற்ற உருவாக்கப்பட்ட தொகுதிகளுக்கான எந்தவொரு கட்டமைப்பு தேற்றமும் தொகுப்புக் கோட்பாட்டு கோட்பாடுகளின் தேர்வைப் பொறுத்தது மற்றும் வேறு தேர்வின் கீழ் செல்லுபடியாகாது. குறிப்புகள் சுருக்க இயற்கணிதத்தில் உள்ள தேற்றங்கள் தொகுதி கோட்பாடு டிஃ Hauptidealring#Moduln über ஹாப்டிடியாலிங்கன்