Thrackle
ஒரு தடம் என்பது விமானத்தில் ஒரு வரைபடத்தின் உட்பொதிப்பாகும், இதில் ஒவ்வொரு விளிம்பும் ஒரு ஜோர்டான் வளைவாக இருக்கும், மேலும் ஒவ்வொரு ஜோடி விளிம்புகளும் சரியாக ஒரு முறை சந்திக்கின்றன. விளிம்புகள் ஒரு பொதுவான இறுதிப் புள்ளியில் சந்திக்கலாம், அல்லது அவற்றுக்கு பொதுவான இறுதிப் புள்ளிகள் இல்லையென்றால், அவற்றின் உட்புறத்தில் ஒரு கட்டத்தில் சந்திக்கலாம். பிந்தைய வழக்கில், அவர்கள் தங்கள் குறுக்குவெட்டு புள்ளியில் கடக்க வேண்டும்ஃ குறுக்குவெட்டு குறுக்கு இருக்க வேண்டும். ஒரு நேரியல் தடம் என்பது அதன் விளிம்புகள் நேர் கோடு பிரிவுகளாக இருக்கும் வகையில் வரையப்பட்ட ஒரு தடம் ஆகும். பால் எர்டாஸ் கவனித்தபடி, ஒவ்வொரு நேரியல் தடமும் உச்சிகள் போன்ற பல விளிம்புகளைக் கொண்டுள்ளது. ஒரு உச்சி v மூன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட விளிம்புகள் vw, vx மற்றும் vy உடன் இணைக்கப்பட்டிருந்தால், அந்த விளிம்புகளில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று (vw என்று சொல்லுங்கள்) மற்ற இரண்டு விளிம்புகளைப் பிரிக்கும் ஒரு கோட்டில் உள்ளது. பின்னர், டபிள்யூ-க்கு டிகிரி ஒன் இருக்க வேண்டும், ஏனென்றால் டபிள்யூ-இல் முடிவடையும் எந்த கோடு பிரிவும், வி. டபிள்யூ-ஐத் தவிர, விஎக்ஸ் மற்றும் விவை இரண்டையும் தொட முடியாது. W மற்றும் vw ஐ அகற்றுவது விளிம்புகள் மற்றும் செங்குத்துகளின் எண்ணிக்கைக்கு இடையிலான வேறுபாட்டை மாற்றாமல், ஒரு சிறிய தடையை உருவாக்குகிறது. இது போன்ற நீக்குதல்களுக்குப் பிறகு, ஒவ்வொரு உச்சிக்கும் அதிகபட்சம் இரண்டு அண்டை நாடுகள் இருக்கும் ஒரு தடத்திற்கு வழிவகுக்கிறது, கைகுலுக்கும் லெம்மாவால் விளிம்புகளின் எண்ணிக்கை அதிகபட்சமாக உச்சிகளின் எண்ணிக்கையாகும். எர்டாஸின் ஆதாரத்தின் அடிப்படையில், ஒவ்வொரு நேரியல் தடமும் ஒரு போலி காடு என்று ஒருவர் ஊகிக்க முடியும். ஒற்றைப்படை நீளமுள்ள ஒவ்வொரு சுழற்சியும் ஒரு நேரியல் தடத்தை உருவாக்க ஏற்பாடு செய்யப்படலாம், ஆனால் இது ஒரு சம நீள சுழற்சிக்கு சாத்தியமில்லை, ஏனென்றால் சுழற்சியின் ஒரு விளிம்பு தன்னிச்சையாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டால், மற்ற சுழற்சி செங்குத்துகள் கோட்டின் எதிர் பக்கங்களில் மாறி மாறி இருக்க வேண்டும். மைக்கா பெர்ல்ஸ் மற்றொரு எளிய சான்றை வழங்கினார், நேரியல் தடங்கள் அதிகபட்சம் n விளிம்புகளைக் கொண்டுள்ளன, ஒரு நேரியல் தடங்களில் ஒவ்வொரு விளிம்பும் ஒரு இறுதிப் புள்ளியைக் கொண்டுள்ளது, அதில் விளிம்புகள் அதிகபட்சம் 180 டிகிரி கோணத்தில் உள்ளன, மேலும் இது மிகவும் கடிகார திசையில் விளிம்பாகும் இந்த இடைவெளியில். ஏனென்றால், இல்லையென்றால், இரண்டு விளிம்புகள் இருக்கும், அவை விளிம்பின் எதிர் இறுதிப் புள்ளிகளுக்குச் சென்று, விளிம்பின் வழியாக கோட்டின் எதிர் பக்கங்களில் கிடக்கும், அவை ஒன்றையொன்று கடக்க முடியாது. ஆனால் ஒவ்வொரு முனையிலும் ஒரு விளிம்பைப் பொறுத்தவரை மட்டுமே இந்த பண்பு இருக்க முடியும், எனவே விளிம்புகளின் எண்ணிக்கை உச்சிகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமமாக இருக்கும். எர்டாஸ் மேலும் கவனித்தபடி, ஒரு புள்ளி தொகுப்பின் விட்டத்தை உணரும் ஜோடி புள்ளிகளின் தொகுப்பு ஒரு நேரியல் தடத்தை உருவாக்க வேண்டும்ஃ எந்த இரண்டு விட்டங்களும் ஒருவருக்கொருவர் வேறுபட முடியாது, ஏனென்றால் அவை இருந்தால் அவற்றின் நான்கு இறுதிப் புள்ளிகள் இரண்டு வேறுபட்ட விளிம்புகளை விட தொலைதூர தூரத்தில் ஒரு ஜோடியைக் கொண்டிருக்கும். இந்த காரணத்திற்காக, விமானத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு செட் n புள்ளிகளும் அதிகபட்சமாக n விட்டம் கொண்ட ஜோடிகளைக் கொண்டிருக்கலாம், 1934 இல் ஹெய்ன்ஸ் ஹோப் மற்றும் எரிகா பான்விட்ஸ் முன்வைத்த கேள்விக்கு பதிலளிக்கும். ஆண்ட்ரூ வாஸ்ஸோனி அதிக பரிமாணங்களில் உள்ள விட்டம் ஜோடிகளின் எண்ணிக்கையின் வரம்புகளை ஊகிக்கிறார், இந்த சிக்கலை பொதுமைப்படுத்துகிறார். கணக்கீட்டு வடிவவியலில், சுழலும் காலிபர்களின் முறை குவிந்த நிலையில் உள்ள எந்த புள்ளிகளின் தொகுப்பிலிருந்தும் ஒரு நேரியல் தடத்தை உருவாக்க பயன்படுத்தப்படலாம், புள்ளிகளின் குவிந்த மேலோட்டத்திற்கு இணையான கோடுகளை ஆதரிக்கும் ஜோடி புள்ளிகளை இணைப்பதன் மூலம். இந்த வரைபடம் ஒரு துணை வரைபடமாக விட்டம் ஜோடிகளின் முத்திரையைக் கொண்டுள்ளது. ரெய்ன்ஹார்ட் பலகோணங்களின் விட்டம் நேரியல் தடங்களை உருவாக்குகிறது. அதன் விட்டத்துடன் தொடர்புடைய அதிகபட்ச பரப்பளவைக் கொண்ட ஒரு n-கோனைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான மிகப்பெரிய சிறிய பலகோணப் பிரச்சினையைத் தீர்க்க நேரியல் இழைகளின் கணக்கீடு பயன்படுத்தப்படலாம். ஜான் எச். கான்வே என்ற திராக்கிள் அனுமானம், எந்தவொரு திராக்கிளிலும், விளிம்புகளின் எண்ணிக்கை உச்சிகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமமாக இருக்கும் என்று அனுமானித்தது. கான்வே தானே சொற்களஞ்சிய பாதைகள் மற்றும் புள்ளிகளைப் பயன்படுத்தினார் (முறையே விளிம்புகள் மற்றும் செங்குத்துகளுக்கு), எனவே கான்வேயின் தந்திரமான அனுமானம் முதலில் ஒவ்வொரு தந்திரத்திற்கும் குறைந்தபட்சம் பாதைகள் போன்ற பல புள்ளிகள் இருக்கும் வடிவத்தில் கூறப்பட்டது. கான்வேயின் 99-கிராஃப் சிக்கல், டான்சர் செட்டுகளின் குறைந்தபட்ச இடைவெளி மற்றும் நகர்வுக்குப் பிறகு சில்வர் நாணயத்தின் வெற்றியாளர் உள்ளிட்ட பரிசு சிக்கல்களின் ஒரு பகுதியாக, இந்த யூகத்தை நிரூபித்ததற்காக அல்லது நிரூபிக்காததற்காக கான்வே $1000 பரிசை வழங்கினார். சமமாக, ஒவ்வொரு தடாகமும் ஒரு போலி காடு என்பதால் தடாக ஊகத்தை கூறலாம். மேலும் குறிப்பாக, முணுமுணுப்பு அனுமானம் உண்மையாக இருந்தால், முணுமுணுப்புகள் உடாலின் விளைவாக சரியாக வகைப்படுத்தப்படலாம்ஃ அவை போலி காடுகளாகும், இதில் நீளம் நான்கு மற்றும் அதிகபட்சம் ஒரு ஒற்றைப்படை சுழற்சி இல்லை. C4 ஐத் தவிர மற்ற ஒவ்வொரு சுழற்சி வரைபடத்திலும் ஒரு திராக்கிள் உட்பொதிப்பு உள்ளது என்பது நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது, இது அனுமானம் கூர்மையானது என்பதைக் காட்டுகிறது. அதாவது, பாதைகளின் அதே எண்ணிக்கையிலான புள்ளிகளைக் கொண்ட தடங்கள் உள்ளன. மறுபுறம், மோசமான சூழ்நிலை என்னவென்றால், இடங்களின் எண்ணிக்கை பாதைகளின் எண்ணிக்கையை விட இரண்டு மடங்கு ஆகும்; இதுவும் அடையக்கூடியது. ஒவ்வொரு விளிம்பும் ஒரு x-மோனோடோன் வளைவு, ஒவ்வொரு செங்குத்து கோட்டாலும் அதிகபட்சம் ஒரு முறை கடக்கும் வகையில் வரையப்பட்ட திராக்கிள்களுக்கு திராக்கிள் அனுமானம் உண்மை என்று அறியப்படுகிறது. அறியப்பட்ட எல்லைகள் ஒவ்வொரு இருதரப்பு தடமும் ஒரு சமதள வரைபடம் என்பதை நிரூபித்தன, இருப்பினும் ஒரு சமதள வழியில் வரையப்படவில்லை. இதன் விளைவாக, n செங்குத்துகளைக் கொண்ட ஒவ்வொரு இழுக்கக்கூடிய வரைபடமும் அதிகபட்சம் 2n−3 விளிம்புகளைக் கொண்டிருப்பதை அவை காட்டுகின்றன. அப்போதிருந்து, இந்த வரம்பு பல முறை மேம்படுத்தப்பட்டுள்ளது. முதலில், இது 3 (n−1)/2 ஆக மேம்படுத்தப்பட்டது, மற்றொரு முன்னேற்றம் தோராயமாக 1.428n வரம்பிற்கு வழிவகுத்தது. மேலும், பிந்தைய முடிவை நிரூபிக்கப் பயன்படுத்தப்படும் முறை எந்தவொரு ε> 0 க்கும் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட வழிமுறையை அளிக்கிறது, இது (1 + ε) n க்கு வரம்பை மேம்படுத்துகிறது அல்லது அனுமானத்தை நிராகரிக்கிறது. தற்போதைய பதிவு காரணமாக உள்ளது, அவர் 1.3984n இன் வரம்பை நிரூபித்தார். அனுமானம் தவறாக இருந்தால், ஒரு குறைந்தபட்ச எதிர் உதாரணம் ஒரு உச்சியைப் பகிர்ந்து கொள்ளும் இரண்டு சம சுழற்சிகளின் வடிவத்தைக் கொண்டிருக்கும். எனவே, அனுமானத்தை நிரூபிக்க, இந்த வகை வரைபடங்களை முத்திரைகளாக வரைய முடியாது என்பதை நிரூபிக்க போதுமானது. குறிப்புகள் வெளிப்புற இணைப்புகள் thrackle.org-சிக்கலைப் பற்றிய வலைத்தளம் இடவியல் வரைபடக் கோட்பாடு வடிவியல் குறுக்கீடு