Resolution of singularities
இயற்கணித வடிவவியலில், ஒருமைப்பாட்டின் தீர்மானத்தின் சிக்கல் ஒவ்வொரு இயற்கணித வகை V க்கும் ஒரு தீர்மானம் இருக்கிறதா என்று கேட்கிறது, இது ஒரு சரியான இருதரப்பு வரைபடத்துடன் கூடிய ஒரு ஒற்றை அல்லாத வகை W. பண்பு 0 புலங்களுக்கு மேல் உள்ள வகைகளுக்கு இது ஹிரொனகாவில் (1964) நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது, அதே நேரத்தில் பண்பு p புலங்களுக்கு மேல் உள்ள வகைகளுக்கு இது குறைந்தபட்சம் 4 பரிமாணங்களில் ஒரு திறந்த சிக்கலாகும். வரையறைகள் முதலில் ஒருமைப்பாட்டின் தீர்மானத்தின் சிக்கல் ஒரு வகை X இன் செயல்பாட்டு புலத்திற்கு ஒரு ஒற்றை அல்லாத மாதிரியைக் கண்டுபிடிப்பதாகும், வேறுவிதமாகக் கூறினால், ஒரே செயல்பாட்டு புலத்துடன் ஒரு முழுமையான ஒற்றை அல்லாத வகை X′. நடைமுறையில் வேறுபட்ட நிபந்தனையை பின்வருமாறு கேட்பது மிகவும் வசதியானதுஃ ஒற்றை அல்லாத வகை X′ மற்றும் X′ முதல் X வரை சரியான இருதரப்பு வரைபடத்தைக் கண்டுபிடிக்க முடிந்தால், ஒரு வகை X ஒருமைப்பாட்டின் தெளிவுத்திறனைக் கொண்டுள்ளது. X′ ஐ X இன் ஒற்றை அல்லாத புள்ளிகளின் துணை வகையாக எடுத்துக்கொள்வது போன்ற அற்பமான தீர்வுகளை விலக்க வரைபடம் சரியானது என்ற நிபந்தனை தேவைப்படுகிறது. மேலும் பொதுவாக, ஒரு பெரிய வகை W இல் உட்பொதிக்கப்பட்ட ஒரு வகை X இன் ஒற்றுமைகளைத் தீர்ப்பது பெரும்பாலும் பயனுள்ளதாக இருக்கும். ஒரு வழக்கமான வகை W இல் X இன் மூடிய உட்பொதிப்பு எங்களிடம் உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். X இன் வலுவான டிசிங்குலரைசேஷன் பின்வரும் சில நிபந்தனைகளுக்கு உட்பட்டு ஒரு வழக்கமான வகை W′ முதல் W வரை சரியான பைரேஷனல் மார்ஃபிஸத்தால் வழங்கப்படுகிறது (நிபந்தனைகளின் சரியான தேர்வு ஆசிரியரைப் பொறுத்தது): X இன் கடுமையான உருமாற்றம் X′ வழக்கமானதாகும், மேலும் தெளிவுத்திறன் மார்ஃபிஸத்தின் விதிவிலக்கான இருப்பிடத்திற்கு குறுக்கே உள்ளது (எனவே குறிப்பாக இது X இன் ஒற்றுமைகளைத் தீர்க்கிறது). X′ இன் கடுமையான உருமாற்றத்திலிருந்து X க்கு மாறும் வரைபடம் X இன் ஒருமை புள்ளிகளிலிருந்து விலகி ஒரு ஐசோமார்பிசம் ஆகும். W இன் வழக்கமான மூடிய துணை வகைகளை மீண்டும் மீண்டும் வீசுவதன் மூலம் அல்லது X இன் மிகவும் வலுவாக வழக்கமான துணை வகைகளை மீண்டும் மீண்டும் வீசுவதன் மூலம் கட்டப்பட்டுள்ளது, இது முந்தைய வெடிப்புகளின் விதிவிலக்கான இருப்பிடத்திற்கு குறுக்கே உள்ளது. W′ இன் கட்டுமானம் W க்கு மென்மையான உருவகப்படுத்துதல்களுக்கும், W ஐ ஒரு பெரிய வகையாக உட்பொதிப்பதற்கும் செயல்பாடாகும். (எந்தவொரு நியாயமான வழியிலும் இது அனைத்திற்கும் (மென்மையானதாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை) செயல்பாட்டு ரீதியாக இருக்க முடியாது.) X′ முதல் X வரையிலான உருவகம் W இல் X இன் உட்பொதிப்பைப் பொறுத்தது அல்ல. அல்லது பொதுவாக, மென்மையான உருவகங்களைப் பொறுத்தவரை வெடிப்புகளின் வரிசை செயல்பாடாக உள்ளது. சிறப்பியல்பு 0 இன் புலத்தின் மீது X வரையறுக்கப்படும் போதெல்லாம் மேலே உள்ள முதல் மூன்று நிபந்தனைகளை திருப்திப்படுத்தும் ஒரு வலுவான டிசிங்குலரைசேஷன் உள்ளது என்பதை ஹிரொனாகா காட்டினார், மேலும் அவரது கட்டுமானம் பல ஆசிரியர்களால் மேம்படுத்தப்பட்டது (கீழே காண்க) இதனால் அது மேலே உள்ள அனைத்து நிபந்தனைகளையும் பூர்த்தி செய்கிறது. வளைவுகளின் ஒற்றுமைகளின் தீர்மானம் ஒவ்வொரு இயற்கணித வளைவும் ஒரு தனித்துவமான ஒற்றை அல்லாத ப்ரொஜெக்டிவ் மாதிரியைக் கொண்டுள்ளது, அதாவது அனைத்து தெளிவுத்திறன் முறைகளும் அடிப்படையில் ஒரே மாதிரியானவை, ஏனெனில் அவை அனைத்தும் இந்த மாதிரியை உருவாக்குகின்றன. உயர் பரிமாணங்களில் இது இனி உண்மையல்லஃ வகைகள் பல வேறுபட்ட நான்சுங்குலர் ப்ரொஜெக்டிவ் மாதிரிகளைக் கொண்டிருக்கலாம். வளைவுகளின் ஒற்றுமைகளின் தீர்மானத்தை நிரூபிப்பதற்கான சுமார் 20 வழிகளை பட்டியலிடுகிறது. வளைவுகளின் ஒருமைப்பாட்டின் நியூட்டனின் முறை தீர்மானம் அடிப்படையில் முதன்முதலில் நிரூபிக்கப்பட்டது, அவர் ஒரு வளைவுக்கு புய்செக்ஸ் தொடர் இருப்பதைக் காட்டினார், அதில் இருந்து தீர்மானம் எளிதில் பின்பற்றப்படுகிறது. ரீமனின் முறை ரீமன் ஒரு சிக்கலான இயற்கணித வளைவின் செயல்பாட்டு புலத்திலிருந்து ஒரு மென்மையான ரீமன் மேற்பரப்பை உருவாக்கினார், இது அதன் ஒற்றுமைகளின் தீர்மானத்தை அளிக்கிறது. ரீமன் மேற்பரப்புக்கு மாற்றாக புலத்தின் தனித்துவமான மதிப்பீட்டு வளையங்களின் தொகுப்பைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் இது மிகவும் பொதுவான புலங்களில் செய்யப்படலாம். அல்பனீஸ் முறை அல்பனீஸ் முறை போதுமான பெரிய பரிமாணம் (வளைவின் டிகிரியை விட இரண்டு மடங்கு அதிகமாக) ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் இடத்தை பரப்பும் ஒரு வளைவை எடுத்துக்கொள்வதையும், ஒற்றை புள்ளிகளிலிருந்து சிறிய பரிமாணத்தின் ப்ரொஜெக்டிவ் இடங்களுக்கு மீண்டும் மீண்டும் முன்வைப்பதையும் உள்ளடக்கியது. இந்த முறை உயர் பரிமாண வகைகளுக்கு விரிவடைகிறது, மேலும் எந்தவொரு n-பரிமாண வகையும் அதிகபட்சமாக n! இல் பெருக்கத்தின் ஒருமைப்பாடுகளுடன் ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் மாதிரியைக் கொண்டுள்ளது என்பதைக் காட்டுகிறது. ஒரு வளைவுக்கு, n = 1, எனவே ஒற்றை புள்ளிகள் இல்லை. இயல்பாக்கம் என்பது வளைவின் இயல்பாக்கத்தை எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம் ஒரு வளைவின் ஒற்றுமைகளைத் தீர்ப்பதற்கான ஒரு படி முறையைக் கொடுத்தது. இயல்பாக்கம் கோடிமென்ஷன் 1 இல் உள்ள அனைத்து ஒற்றுமைகளையும் நீக்குகிறது, எனவே இது வளைவுகளுக்கு வேலை செய்கிறது, ஆனால் அதிக பரிமாணங்களில் அல்ல. மதிப்பீடு வளையங்கள் ஒரு வளைவின் ஒற்றுமைகளைத் தீர்ப்பதற்கான மற்றொரு ஒரு படி முறை வளைவின் செயல்பாட்டு புலத்தின் மதிப்பீட்டு வளையங்களின் இடத்தை எடுத்துக்கொள்வதாகும். இந்த இடத்தை அசல் வளைவுக்கு இருதரப்பு ஒரு ஒற்றை அல்லாத ப்ரொஜெக்டிவ் வளைவாக மாற்றலாம். ஒரு வளைவின் ஒற்றைப் புள்ளிகளை மீண்டும் மீண்டும் வீசுவது இறுதியில் ஒற்றுமைகளைத் தீர்க்கும். இந்த முறையின் முக்கிய பணி ஒரு ஒற்றுமையின் சிக்கலை அளவிடுவதற்கான வழியைக் கண்டுபிடிப்பதும், ஊதுவது இந்த நடவடிக்கையை மேம்படுத்துகிறது என்பதைக் காண்பிப்பதும் ஆகும். இதைச் செய்ய பல வழிகள் உள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக, வளைவின் எண்கணித இனத்தை ஒருவர் பயன்படுத்தலாம். நோய்தரின் முறை நோய்தரின் முறை ஒரு சமதள வளைவை எடுத்து மீண்டும் மீண்டும் இருபடி மாற்றங்களைப் பயன்படுத்துகிறது (ஒரு ஒற்றைப் புள்ளி மற்றும் பொதுவான நிலையில் இரண்டு புள்ளிகளால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது). இறுதியில் இது ஒரு சமதள வளைவை உருவாக்குகிறது, அதன் ஒற்றைத்தன்மை சாதாரண பல புள்ளிகள் மட்டுமே (அனைத்து தொடுகோட்டுகளும் பெருக்கம் இரண்டைக் கொண்டுள்ளன). பெர்டினியின் முறை பெர்டினியின் முறை நோய்தரின் முறையைப் போன்றது. இது ஒரு பிளேன் வளைவில் தொடங்குகிறது, மேலும் வளைவை மேம்படுத்த பிளேனில் பைரேஷனல் உருமாற்றங்களை மீண்டும் மீண்டும் பயன்படுத்துகிறது. நொய்தரின் முறையில் பயன்படுத்தப்படும் இருபடி மாற்றங்களை விட பைரேஷனல் உருமாற்றங்கள் மிகவும் சிக்கலானவை, ஆனால் ஒற்றைத்தன்மை மட்டுமே சாதாரண இரட்டை புள்ளிகள் என்ற சிறந்த முடிவை உருவாக்குகின்றன. மேற்பரப்புகளின் ஒற்றுமைகளின் தீர்மானம் பல வேறுபட்ட ஒற்றை அல்லாத ப்ரொஜெக்டிவ் மாதிரிகளைக் கொண்டுள்ளது (ஒற்றை அல்லாத ப்ரொஜெக்டிவ் மாதிரி தனித்துவமாக இருக்கும் வளைவுகளின் விஷயத்தைப் போலல்லாமல்). இருப்பினும் ஒரு மேற்பரப்பு இன்னும் ஒரு தனித்துவமான குறைந்தபட்ச தெளிவுத்திறனைக் கொண்டுள்ளது, மற்ற அனைத்தும் காரணி (மற்ற அனைத்தும் அதன் தீர்மானங்கள்). அதிக பரிமாணங்களில் குறைந்தபட்ச தெளிவுத்திறன் இருக்க வேண்டியதில்லை. சிக்கலான எண்களின் மேற்பரப்புகளுக்கு,,, மற்றும் மூலம் தீர்மானத்தை நிரூபிக்க பல முயற்சிகள் மேற்கொள்ளப்பட்டன, ஆனால் இந்த ஆரம்ப முயற்சிகள் எதுவும் முழுமையடையவில்லை என்றும், வாதத்தின் சில முக்கியமான கட்டத்தில் அனைத்தும் தெளிவற்றவை (அல்லது தவறானவை) என்றும் சுட்டிக்காட்டுகின்றன. முதல் கடுமையான ஆதாரம் மூலம் வழங்கப்பட்டது, மற்றும் பண்பு 0 இன் அனைத்து புலங்களுக்கும் ஒரு இயற்கணித ஆதாரம் மூலம் வழங்கப்பட்டது. பூஜ்ஜியமற்ற பண்பு கொண்ட மேற்பரப்புகளுக்கு ஆதாரம் அளித்தார். அனைத்து சிறந்த இரு பரிமாண திட்டங்களுக்கும் (அனைத்து எண்கணித மேற்பரப்புகள் உட்பட) ஒருமைப்பாட்டின் தீர்மானம் காட்டப்பட்டுள்ளது. மேற்பரப்புகளுக்கான ஒருமைப்பாட்டைத் தீர்மானிப்பதற்கான ஜாரிஸ்கியின் முறை என்னவென்றால், மேற்பரப்பை இயல்பாக்குவதை (இது கோடிமென்ஷன் 1 ஒருமைப்பாட்டைக் கொல்கிறது) மீண்டும் மீண்டும் மாற்றுவதாகும் (இது கோடிமென்ஷன் 2 ஒருமைப்பாட்டை சிறப்பாக ஆக்குகிறது, ஆனால் புதிய கோடிமென்ஷன் 1 ஒருமைப்பாட்டை அறிமுகப்படுத்தலாம்). இது மேற்பரப்புகளின் ஒருமைப்பாட்டைத் தானே தீர்க்கும் என்றாலும், ஜாரிஸ்கி மேலும் வட்டமான முறையைப் பயன்படுத்தினார்ஃ ஒரு மேற்பரப்பின் ஒவ்வொரு மதிப்பீட்டையும் தீர்க்க முடியும் என்பதைக் காட்டும் ஒரு உள்ளூர் சீரான கோட்பாட்டை அவர் முதலில் நிரூபித்தார், பின்னர் ஜாரிஸ்கி-ரீமன் மேற்பரப்பின் சுருக்கத்தைப் பயன்படுத்தி, ஒவ்வொரு மதிப்பீட்டின் மையமும் குறைந்தபட்சம் இந்த மேற்பரப்புகளில் ஒன்றில் எளிமையாக இருக்கும் வகையில் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட மேற்பரப்புகளைக் கண்டுபிடிக்க முடியும் என்பதைக் காட்டுகிறது, இறுதியாக மேற்பரப்புகளுக்கு இடையிலான இருதரப்பு வரைபடங்களைப் படிப்பதன் மூலம் இந்த வரையறுக்கப்பட்ட மேற்பரப்புகளின் தொகுப்பை ஒற்றை அல்லாத மேற்பரப்பால் மாற்ற முடியும் என்பதைக் காட்டுகிறது. ஜங்கின் முறை வளைவுகளுக்கு வலுவான உட்பொதிக்கப்பட்ட தெளிவுத்திறனைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், சிறப்பு ஒற்றுமைகள் (அபெலியன் ஈவு ஒருமைப்பாடுகள்) மட்டுமே கொண்ட ஒரு மேற்பரப்புக்கு குறைகிறது, அவை பின்னர் வெளிப்படையாக கையாளப்படுகின்றன. இந்த முறையின் உயர் பரிமாண பதிப்பு டி ஜாங்கின் முறையாகும். பொதுவாக வளைவுகளுக்கான அல்பனீஸ் முறையின் அனலாக், எந்த வகையிலும் ஒருவர் அதிகபட்சமாக n! வரிசையில் ஒற்றைத்தன்மைக்கு குறைக்கலாம் என்பதைக் காட்டுகிறது, அங்கு n என்பது பரிமாணமாகும். மேற்பரப்புகளைப் பொறுத்தவரை இது வரிசை 2 இன் ஒருமைப்பாடுகளின் விஷயத்தில் குறைகிறது, அவை வெளிப்படையாக செய்ய போதுமானவை. அப்யங்கரின் முறை மதிப்பீட்டு வளையங்களுக்கான உள்ளூர் சீரான கோட்பாட்டை நிரூபிப்பதன் மூலம் எந்தவொரு சிறப்பியல்பு புலத்தின் மேற்பரப்புகளுக்கான ஒற்றுமைகளின் தீர்மானத்தை நிரூபித்தது. மிகவும் கடினமான வழக்கு தரவரிசை 1 இன் மதிப்பீட்டு வளையங்கள் ஆகும், அதன் மதிப்பீட்டுக் குழு விகிதமுறு எண்களின் தனித்துவமற்ற துணைக் குழுவாகும். மீதமுள்ள சான்றுகள் ஜரிஸ்கியின் முறையைப் பின்பற்றுகின்றன. தன்னிச்சையான பண்பு வகைகளுக்கான ஹிரொனகாவின் முறை மேற்பரப்புகளுக்கு ஒரு தெளிவுத்திறன் முறையை வழங்குகிறது, இதில் ஒற்றை தொகுப்பில் புள்ளிகள் அல்லது மென்மையான வளைவுகளை மீண்டும் மீண்டும் வீசுவது அடங்கும். லிப்மேனின் முறை ஒரு மேற்பரப்பு ஒய் (ஒரு 2 பரிமாண குறைக்கப்பட்ட நொய்தேரியன் திட்டம்) அதன் இயல்பாக்கம் ஒய் மீது வரையறுக்கப்பட்டதாகவும், பகுப்பாய்வு ரீதியாக இயல்பானதாகவும் இருந்தால் மட்டுமே (அதன் ஒருமை புள்ளிகளின் நிறைவு இயல்பானது) மற்றும் வரையறுக்கப்பட்ட பல ஒற்றை புள்ளிகளைக் கொண்டிருந்தால் மட்டுமே ஒரு டெசிங்குலரைசேஷனைக் கொண்டுள்ளது என்பதைக் காட்டியது. குறிப்பாக Y சிறந்தது என்றால் அது ஒரு டிசிங்குலரைசேஷனைக் கொண்டுள்ளது. அவரது முறை சாதாரண மேற்பரப்புகளை Z ஐ Y க்கு இருதரப்பு சரியான வரைபடத்துடன் கருத்தில் கொண்டு, குறைந்தபட்ச சாத்தியமான எண்கணித இனத்துடன் குறைந்தபட்சம் ஒன்று இருப்பதைக் காண்பிப்பதாகும். இந்த குறைந்தபட்ச Z இன் அனைத்து ஒற்றுமைகளும் போலி பகுத்தறிவு கொண்டவை என்பதை அவர் பின்னர் காட்டுகிறார், மேலும் போலி பகுத்தறிவு ஒற்றுமைகளை மீண்டும் மீண்டும் புள்ளிகளை வீசுவதன் மூலம் தீர்க்க முடியும் என்பதைக் காட்டுகிறார். உயர் பரிமாணங்களில் ஒற்றுமைகளின் தீர்மானம் உயர் பரிமாணங்களில் ஒற்றுமைகளின் தீர்வின் சிக்கல் பல தவறான வெளியிடப்பட்ட சான்றுகள் மற்றும் ஒருபோதும் தோன்றாத சான்றுகளின் அறிவிப்புகளுக்கு பெயர் பெற்றது. ஜாரிஸ்கியின் முறை 3-மடிப்புகளுக்கு ஒருமைப்பாடுகளின் தீர்மானம் 0 ஆல் சிறப்பியல்புகளில் நிரூபிக்கப்பட்டது. மதிப்பீட்டு வளையங்களின் உள்ளூர் சீரானமயமாக்கல் பற்றிய ஒரு தேற்றத்தை அவர் முதலில் நிரூபித்தார், இது எந்தவொரு பரிமாணத்தின் வகைகளுக்கும் செல்லுபடியாகும். பின்னர் அவர் ஜாரிஸ்கி-ரீமன் மதிப்பீடுகளின் இடம் அரை-சுருக்கமானது (எந்தவொரு துறையிலும் எந்த பரிமாணத்தின் எந்த வகையிலும்) என்பதைக் காட்டினார், இது எந்தவொரு திட்டவட்டமான வகையின் மாதிரிகளின் வரையறுக்கப்பட்ட குடும்பம் இருப்பதைக் குறிக்கிறது, அதாவது எந்தவொரு மதிப்பீடும் குறைந்தபட்சம் இந்த மாதிரிகளில் ஒன்றின் மீது ஒரு மென்மையான மையத்தைக் கொண்டுள்ளது. ஆதாரத்தின் இறுதி மற்றும் கடினமான பகுதி, இது வகை பரிமாணம் 3 ஐக் கொண்டுள்ளது, ஆனால் இது அனைத்து பண்புகளுக்கும் வேலை செய்கிறது என்ற உண்மையைப் பயன்படுத்துகிறது, கொடுக்கப்பட்ட 2 மாதிரிகள் கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு மாதிரிகள் ஒவ்வொன்றும் தீர்க்கும் தனித்துவங்களைத் தீர்க்கும் மூன்றில் ஒரு பங்கைக் கண்டுபிடிக்க முடியும் என்பதைக் காண்பிப்பதாகும். அப்யங்கரின் முறை 6 க்கும் அதிகமான பண்புகளில் 3 மடிப்புகளுக்கு ஒருமைப்பாட்டின் தீர்மானத்தை நிரூபித்தது. குணாதிசயத்தின் மீதான கட்டுப்பாடு எழுகிறது, ஏனெனில் பண்புக்கூறுகளை விட 3 மடங்கு குறைவான பெருக்கத்தின் எந்தவொரு ஒருமைப்பாட்டையும் தீர்க்க முடியும் என்பதை அப்யங்கர் காட்டுகிறார், பின்னர் ஆல்பனீஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி ஒருமைப்பாட்டை அதிகபட்சமாக பெருக்கத்திற்குக் குறைக்க முடியும் என்பதைக் காட்டுகிறார் (பரிமாணம்)! = 3! = 6. அப்யங்கரின் ஆதாரத்தின் எளிமைப்படுத்தப்பட்ட பதிப்பை வழங்கினார். அனைத்து பண்புகளிலும் 3-மடிப்புகளின் ஒருமைப்பாட்டின் தீர்மானத்தை நிரூபித்தது, அதிகபட்சம் 3 பரிமாணத்தில் உள்ளூர் சீரான தன்மையை நிரூபிப்பதன் மூலம், பின்னர் 3-மடிப்புகளுக்கான தீர்மானத்தை இது குறிக்கிறது என்பதற்கான ஜாரிஸ்கியின் ஆதாரம் இன்னும் நேர்மறையான பண்பு வழக்கில் செயல்படுகிறது என்பதைச் சரிபார்க்கிறது. ஹிரொனகாவின் முறை அனைத்து பரிமாணங்களிலும் பண்பு 0 இல் ஒருமைப்பாட்டின் தீர்மானம் முதலில் நிரூபிக்கப்பட்டது. பரிமாணத்தின் மீது தூண்டுவதன் மூலம் மிகவும் சிக்கலான வாதத்தைப் பயன்படுத்தி, ஒற்றை அல்லாத துணை வகைகளுடன் மீண்டும் மீண்டும் வீசுவதன் மூலம் பண்பு 0 புலங்களின் மீது வகைகளின் ஒற்றுமைகளைத் தீர்க்க முடியும் என்பதை அவர் நிரூபித்தார். அவரது வலிமையான ஆதாரத்தின் எளிமைப்படுத்தப்பட்ட பதிப்புகள்,,,,, உட்பட பலரால் வழங்கப்பட்டன. சமீபத்திய சான்றுகளில் சில ஹிரொனகாவின் அசல் ஆதாரத்தின் நீளத்தில் பத்தில் ஒரு பங்காகும், மேலும் ஒரு அறிமுக பட்டதாரி பாடத்திட்டத்தில் வழங்குவதற்கு போதுமானவை. கோட்பாட்டின் விளக்கக் கணக்கிற்கு, பார்க்கவும் மற்றும் ஒரு வரலாற்று விவாதத்திற்கு பார்க்கவும். டி ஜாங்கின் முறை ஒருமைப்பாட்டின் தீர்மானத்திற்கு ஒரு வித்தியாசமான அணுகுமுறையைக் கண்டறிந்தது, மேற்பரப்புகளுக்கான ஜங்கின் முறையை பொதுமைப்படுத்தியது, இது 0 என்ற பண்பு உள்ள ஒருமைப்பாட்டின் தீர்மானத்தை நிரூபிக்க பயன்படுத்தப்பட்டது. டி ஜாங்கின் முறை அனைத்து பரிமாணங்களின் வகைகளுக்கும் ஒரு பலவீனமான முடிவைக் கொடுத்தது, இது பல நோக்கங்களுக்காக தீர்மானத்திற்கு மாற்றாக செயல்பட போதுமான வலுவாக இருந்தது. ஒரு புலத்தின் மீது எந்த வகை X க்கும் ஒரு மேலாதிக்க சரியான உருவகம் உள்ளது என்பதை டி ஜாங் நிரூபித்தார், இது ஒரு வழக்கமான வகையிலிருந்து X க்கு பரிமாணத்தைப் பாதுகாக்கிறது. இது ஒரு இருதரப்பு வரைபடமாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை, எனவே இது ஒருமைப்பாட்டின் தீர்மானம் அல்ல, ஏனெனில் இது பொதுவாக ஒன்றுக்கு வரையறுக்கப்பட்டதாக இருக்கலாம், எனவே X இன் செயல்பாட்டு புலத்தின் வரையறுக்கப்பட்ட நீட்டிப்பை உள்ளடக்கியது. டி ஜாங்கின் யோசனை, வளைவுகளாக இருக்கும் இழைகளுடன் ஒரு சிறிய இடைவெளி Y மீது ஒரு இழையாக X ஐ பிரதிநிதித்துவப்படுத்த முயற்சிப்பதாகும் (இது X ஐ மாற்றியமைப்பதை உள்ளடக்கியிருக்கலாம்), பின்னர் பரிமாணத்தில் தூண்டுவதன் மூலம் Y இன் ஒருமைப்பாட்டை அகற்றி, பின்னர் இழைகளில் உள்ள ஒருமைப்பாட்டை அகற்ற வேண்டும். திட்டங்களுக்கான தீர்வு மற்றும் பிரச்சினையின் நிலை அனைத்து திட்டங்களுக்கும் தீர்வின் வரையறையை விரிவுபடுத்துவது எளிது. அனைத்து திட்டங்களும் அவற்றின் ஒருமைப்பாட்டின் தீர்மானங்களைக் கொண்டிருக்கவில்லைஃ X மீது எந்தவொரு வரையறுக்கப்பட்ட ஒருங்கிணைந்த திட்டத்தின் ஒருமைப்பாட்டைத் தீர்க்க முடியும் என்ற பண்பு உள்ளூரில் உள்ள நொய்தேரியன் திட்ட X க்கு இருந்தால், X அரை-சிறந்ததாக இருக்க வேண்டும் என்பதைக் காட்டுகிறது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், உள்ளூரில் உள்ள நொய்தேரியன் திட்டமான எக்ஸ் குறைக்கப்பட்டு அரை சிறந்தது என்றால், அதன் ஒற்றுமைகளைத் தீர்க்க முடியும். பண்புக்கூறு 0 மற்றும் நொய்தேரியன் புலத்தின் மீது எக்ஸ் வரையறுக்கப்படும்போது, இது ஹிரொனகாவின் தேற்றத்திலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது, மேலும் எக்ஸ் அதிகபட்சமாக 2 பரிமாணத்தைக் கொண்டிருக்கும்போது அது லிப்மேனால் நிரூபிக்கப்பட்டது. தீர்க்கப்படாத பண்பு p தெளிவுத்திறன் சிக்கலில் ஒரு கணக்கெடுப்பு அளித்தார். பண்பு பூஜ்ஜியத்தில் ஆதாரத்தின் முறை வலுவான டெசிங்குலரைசேஷனின் பல கட்டமைப்புகள் உள்ளன, ஆனால் அவை அனைத்தும் அடிப்படையில் ஒரே முடிவைக் கொடுக்கின்றன. ஒவ்வொரு சந்தர்ப்பத்திலும் உலகளாவிய பொருள் (தனிமைப்படுத்தப்பட வேண்டிய வகை) உள்ளூர் தரவுகளால் மாற்றப்படுகிறது (வகையின் சிறந்த உறை மற்றும் விதிவிலக்கான வகுத்திகள் மற்றும் அந்த படிநிலையில் இலட்சியத்தை எவ்வளவு தீர்க்க வேண்டும் என்பதைக் குறிக்கும் சில வரிசைகள்). இந்த உள்ளூர் தரவுகளுடன் ஊதுகுழல் மையங்கள் வரையறுக்கப்படுகின்றன. மையங்கள் உள்ளூரில் வரையறுக்கப்படும், எனவே அவை ஒரு உலகளாவிய மையத்துடன் பொருந்தும் என்று உத்தரவாதம் செய்வது ஒரு சிக்கலாகும். ஒவ்வொரு இலட்சியத்தையும் தீர்க்க என்ன ஊதுதல்கள் அனுமதிக்கப்படுகின்றன என்பதை வரையறுப்பதன் மூலம் இதைச் செய்யலாம். சரியான முறையில் செய்தால், இது மையங்கள் தானாகவே பொருந்தும். மற்றொரு வழி என்னவென்றால், தீர்மானத்தின் வகை மற்றும் வரலாற்றைப் பொறுத்து ஒரு உள்ளூர் மாறிலியை வரையறுப்பது (முந்தைய உள்ளூர் மையங்கள்), இதனால் மையங்கள் மாறிலியின் அதிகபட்ச இருப்பிடத்தைக் கொண்டிருக்கும். இதன் வரையறை இந்த தேர்வைச் செய்வது அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும் வகையில் செய்யப்படுகிறது, இது விதிவிலக்கான வகுத்திகளுக்கு மென்மையான மையங்களை குறுக்கிடுகிறது. இரண்டு சந்தர்ப்பங்களிலும், இலட்சிய உறை மற்றும் கூடுதல் தரவு (விதிவிலக்கான வகுத்திகள் மற்றும் அந்த இலட்சியத்திற்கு தீர்மானம் செல்ல வேண்டிய வரிசை, டி) ஆகியவற்றால் உருவாக்கப்பட்ட டுபிலின் ஒற்றுமைகளைத் தீர்க்க சிக்கல் குறைக்கப்படுகிறது. இந்த டுபில் ஒரு குறிக்கப்பட்ட ஐடியல் என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் ஐடியலின் வரிசை d ஐ விட பெரியதாக இருக்கும் புள்ளிகளின் தொகுப்பு அதன் இணை ஆதரவு என்று அழைக்கப்படுகிறது. குறிக்கப்பட்ட இலட்சியங்களுக்கு ஒரு தீர்மானம் உள்ளது என்பதற்கான சான்று பரிமாணத்தின் மீது தூண்டல் மூலம் செய்யப்படுகிறது. தூண்டல் இரண்டு படிநிலைகளில் உடைகிறதுஃ பரிமாணம் n−1 இன் குறிக்கப்பட்ட இலட்சியத்தின் செயல்பாட்டு டிஸ்ஸிங்குலரைசேஷன் என்பது பரிமாணம் n இன் அதிகபட்ச வரிசையின் குறிக்கப்பட்ட இலட்சியங்களின் செயல்பாட்டு டிஸ்ஸிங்குலரைசேஷனைக் குறிக்கிறது. பரிமாணம் n இன் அதிகபட்ச வரிசையின் குறிக்கப்பட்ட இலட்சியங்களின் செயல்பாட்டு டிஸ்ஸிங்குலரைசேஷன் என்பது பரிமாணத்தின் குறிக்கப்பட்ட இலட்சியத்தின் (ஒரு பொதுவான) செயல்பாட்டு டிஸ்ஸிங்குலரைசேஷனைக் குறிக்கிறது. இங்கே குறிக்கப்பட்ட இலட்சியம் அதன் இணை-ஆதரவின் ஒரு கட்டத்தில் இலட்சியத்தின் வரிசை d க்கு சமமாக இருந்தால் அதிகபட்ச வரிசையில் இருக்கும் என்று நாம் கூறுகிறோம். வலுவான தெளிவுத்திறனில் ஒரு முக்கிய மூலப்பொருள் ஹில்பர்ட்-சாமுவேல் செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்துவதாகும். இது தீர்மானம் மாறாத கூறுகளில் ஒன்றாகும். எடுத்துக்காட்டுகள் ஃப்ளோஅப்பின் கீழ் பெருக்கம் குறைய வேண்டியதில்லை ஒரு ஒற்றுமையின் மிகத் தெளிவான மாறாதது அதன் பெருக்கம் ஆகும். இருப்பினும், இது ஃப்ளோஅப்பின் கீழ் குறைய வேண்டியதில்லை, எனவே முன்னேற்றத்தை அளவிட மிகவும் நுட்பமான மாறிலிகளைப் பயன்படுத்துவது அவசியம். எடுத்துக்காட்டாக, ரம்பாய்டு கஸ்ப் y2 = x5 தோற்றத்தில் வரிசை 2 இன் ஒருமைப்பாட்டைக் கொண்டுள்ளது. அதன் ஒற்றைப் புள்ளியில் வெடித்த பிறகு அது சாதாரண கூம்பு y2 = x3 ஆகிறது, இது இன்னும் பெருக்கம் 2 ஐக் கொண்டுள்ளது. பல்லுறுப்புக்கோவையை வரையறுக்கும் அளவு குறைந்துவிட்டதால், ஒருமைப்பாடு மேம்பட்டுள்ளது என்பது தெளிவாகிறது. இது பொதுவாக நடக்காது. இது இல்லாத ஒரு எடுத்துக்காட்டு x2 + y3z + z3 = 0 இன் தனிமைப்படுத்தப்பட்ட ஒருமைப்பாட்டால் வழங்கப்படுகிறது. இதை ஊதினால் x2 + y2z + yz3 = 0 என்ற ஒற்றுமை கிடைக்கும். இந்த புதிய ஒருமைப்பாடு சிறந்தது என்பது உடனடியாகத் தெரியவில்லை, ஏனெனில் இரண்டு ஒருமைப்பாடுகளும் பெருக்கம் 2 ஐக் கொண்டுள்ளன, மேலும் அவை 2,3 மற்றும் 4 டிகிரிகளின் மோனாமியல்களின் கூட்டுத்தொகையால் வழங்கப்படுகின்றன. மிகவும் ஒற்றை புள்ளிகளை வீசுவது வேலை செய்யாது ஒருமைப்பாட்டை மேம்படுத்துவதற்கான இயற்கையான யோசனை "மோசமான" ஒற்றை புள்ளிகளின் இருப்பிடத்தை வெடிக்கச் செய்வதாகும். விட்னி குடை x2 = y2z ஒருமைப்படுத்தப்பட்ட z அச்சைக் கொண்டுள்ளது, அதன் பெரும்பாலான புள்ளிகள் சாதாரண இரட்டை புள்ளிகளாகும், ஆனால் தோற்றத்தில் மிகவும் சிக்கலான பிஞ்ச் புள்ளி ஒருமைப்பாடு உள்ளது, எனவே மோசமான ஒருமை புள்ளிகளை வீசுவது ஒருவர் தோற்றத்தை வெடிக்கச் செய்வதன் மூலம் தொடங்க வேண்டும் என்பதைக் குறிக்கிறது. இருப்பினும், தோற்றத்தை வெடிக்கச் செய்வது ஒருங்கிணைந்த விளக்கப்படங்களில் ஒன்றில் அதே ஒற்றுமையை மீண்டும் உருவாக்குகிறது. எனவே (வெளிப்படையாக) "மோசமான" ஒருமை புள்ளிகளை வீசுவது ஒருமைப்பாட்டை மேம்படுத்தாது. அதற்கு பதிலாக ஒருமைப்பாட்டை z-அச்சில் வீசுவதன் மூலம் தீர்க்க முடியும். சில அர்த்தங்களில் "மோசமான" ஒற்றை புள்ளிகளை ஊதுவதன் மூலம் செயல்படும் வழிமுறைகள் உள்ளன, ஆனால் இந்த எடுத்துக்காட்டு "மோசமான" புள்ளிகளின் வரையறை மிகவும் நுட்பமாக இருக்க வேண்டும் என்பதைக் காட்டுகிறது. x = yz = 0 உடன் ஒருமைப்பாடாக இருக்கும் x2 = ymzn போன்ற மிகவும் சிக்கலான ஒருமைப்பாடுகளுக்கு, தோற்றத்தில் மிக மோசமான ஒருமைப்பாட்டை வீசுவது x2 = ym + n − 2zn மற்றும் x2 = ymzm + n − 2 என்ற ஒருமைப்பாட்டை உருவாக்குகிறது, அவை m மற்றும் n இரண்டும் குறைந்தது 3 ஆக இருந்தால் அசல் ஒருமைப்பாட்டை விட மோசமாக இருக்கும். தீர்மானத்திற்குப் பிறகு, மொத்த உருமாற்றம் (கண்டிப்பான உருமாற்றம் மற்றும் விதிவிலக்கான வகுத்திகளின் ஒன்றிணைப்பு) எளிய இயல்பான குறுக்குவெட்டு வகையின் ஒருமைப்பாடுகளுடன் மாறுபடும். இந்த வகை ஒருமைப்பாடுகளைத் தீர்க்காமல் ஒருமைப்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான சாத்தியக்கூறுகளைக் கருத்தில் கொள்வது இயற்கையானது, இது மென்மையான மற்றும் எளிய இயல்பான குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளின் தொகுப்பின் மீது ஒரு ஐசோமார்பிசமாக இருக்கும் ஒரு தீர்மானத்தைக் கண்டுபிடிப்பதாகும். கண்டிப்பான உருமாற்றம் ஒரு வகுத்தியாக இருக்கும்போது (அதாவது, ஒரு குறியீடாக ஒரு மென்மையான வகைகளில் ஒரு துணை வகையாக உட்பொதிக்கப்படலாம்) எளிய இயல்பான குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளைத் தவிர்க்கும் வலுவான தீர்மானம் இருப்பதாக அறியப்படுகிறது. விட்னியின் குடை சாதாரண குறுக்குவெட்டு ஒற்றுமைகளை ஊதுவதைத் தவிர்ப்பதன் மூலம் ஒற்றுமைகளைத் தீர்ப்பது சாத்தியமில்லை என்பதைக் காட்டுகிறது. இன்க்ரிமெண்டல் ரெசல்யூஷன் செயல்முறைகளுக்கு நினைவகம் தேவை ஒருமைப்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான இயற்கையான வழி, சில நியதிப்படி தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட மென்மையான துணை வகைகளை மீண்டும் மீண்டும் வெடிக்கச் செய்வதாகும். இது பின்வரும் சிக்கலுக்கு வழிவகுக்கிறது. x2 = y2z2 இன் ஒருமை தொகுப்பு என்பது y மற்றும் z அச்சுகளால் கொடுக்கப்பட்ட கோடுகளின் ஜோடி ஆகும். வெடிக்கக்கூடிய ஒரே நியாயமான வகைகள் தோற்றம், இந்த இரண்டு அச்சுகளில் ஒன்று அல்லது முழு ஒருமை தொகுப்பு (இரண்டு அச்சுகளும்) ஆகும். இருப்பினும், முழு ஒருமை தொகுப்பும் மென்மையாக இல்லாததால் அதைப் பயன்படுத்த முடியாது, மேலும் இரண்டு அச்சுகளில் ஒன்றைத் தேர்ந்தெடுப்பது அவற்றுக்கிடையேயான சமச்சீர்மையை உடைக்கிறது, எனவே இது நியமனம் அல்ல. இதன் பொருள் என்னவென்றால், நாம் தோற்றத்தை வெடிக்கச் செய்வதன் மூலம் தொடங்க வேண்டும், ஆனால் இது அசல் ஒருமைப்பாட்டை மீண்டும் உருவாக்குகிறது, எனவே நாம் வட்டங்களில் சுற்றுவது போல் தெரிகிறது. இந்த சிக்கலுக்கான தீர்வு என்னவென்றால், தோற்றத்தை வெடிக்கச் செய்வது ஒருமைப்பாட்டின் வகையை மாற்றாது என்றாலும், அது ஒரு நுட்பமான முன்னேற்றத்தைக் கொடுக்கிறதுஃ இது இரண்டு ஒருமை அச்சுகளுக்கு இடையிலான சமச்சீர்மையை உடைக்கிறது, ஏனெனில் அவற்றில் ஒன்று முந்தைய வெடிப்புக்கு ஒரு விதிவிலக்கான வகுத்தி, எனவே இவற்றில் ஒன்றை மட்டுமே வெடிக்க இப்போது அனுமதிக்கப்படுகிறது. இருப்பினும், இதைப் பயன்படுத்திக் கொள்வதற்காக, தீர்மான செயல்முறை இந்த 2 ஒற்றுமைகளை உள்நாட்டில் ஒரே மாதிரியாக இருந்தாலும் வித்தியாசமாக நடத்த வேண்டும். இது சில நேரங்களில் தெளிவுத்திறன் செயல்முறைக்கு சில நினைவகத்தை வழங்குவதன் மூலம் செய்யப்படுகிறது, எனவே ஒவ்வொரு கட்டத்திலும் ஊதுதலின் மையம் ஒருமைப்பாட்டை மட்டுமல்ல, அதை உருவாக்க பயன்படுத்தப்பட்ட முந்தைய ஊதுதல்களைப் பொறுத்தது. தீர்மானங்கள் செயல்பாட்டில் இல்லை சில தீர்மான முறைகள் (பண்பு 0 இல்) அனைத்து மென்மையான உருமாற்றங்களுக்கும் செயல்பாட்டில் உள்ளன. இருப்பினும், அனைத்து (ஒருவேளை மென்மையானதல்லாத) உருவகங்களுக்கும் ஒரு வலுவான தெளிவுத்திறன் செயல்பாட்டைக் கண்டறிவது சாத்தியமில்லை. அஃபைன் தளம் A2 இலிருந்து கூம்பு ஒற்றுமை x2 + y2 = z2 வரை (X, Y) முதல் (2XY, X2 − Y2, X2 + Y2) வரை ஒரு எடுத்துக்காட்டு வரைபடத்தால் வழங்கப்படுகிறது. XY-தளம் ஏற்கனவே ஒற்றை அல்லாதது, எனவே தெளிவுத்திறனால் மாற்றப்படக்கூடாது, மேலும் கூம்பு ஒற்றைத்தன்மையின் எந்தவொரு தெளிவுத்திறனும் ஒரு புள்ளியை வீசுவதன் மூலம் கொடுக்கப்பட்ட குறைந்தபட்ச தெளிவுத்திறனின் மூலம் காரணியாக்குகிறது. இருப்பினும் XY-தளத்திலிருந்து இந்த வெடிப்பு வரை பகுத்தறிவு வரைபடம் வழக்கமான வரைபடத்திற்கு நீட்டிக்கப்படவில்லை. குறைந்தபட்ச தீர்மானங்கள் குறைந்தபட்ச தீர்மானங்கள் (அவற்றின் மூலம் ஒவ்வொரு தீர்மானக் காரணிகளும் போன்ற தீர்மானங்கள்) பரிமாணங்கள் 1 மற்றும் 2 இல் இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை, ஆனால் எப்போதும் அதிக பரிமாணங்களில் இருக்காது. அதியா தோல்வியானது குறைந்தபட்ச தீர்மானம் இல்லாத ஒருமைப்பாட்டின் 3 பரிமாணங்களில் ஒரு உதாரணத்தை அளிக்கிறது. A4 இல் xy = zw இன் பூஜ்ஜியங்களாக Y இருக்கட்டும், மேலும் V என்பது மூலத்தில் Y இன் வீழ்ச்சியாக இருக்கட்டும். இந்த வெடிப்பின் விதிவிலக்கான இடம் P1 × P1 க்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும், மேலும் 2 வெவ்வேறு வழிகளில் P1 க்கு கீழே வீசப்படலாம், இது Y இன் X1 மற்றும் X2 ஆகிய இரண்டு சிறிய தீர்மானங்களை அளிக்கிறது, இவை இரண்டையும் மேலும் கீழே வீச முடியாது. தீர்மானங்கள் தயாரிப்புகளுடன் பயணிக்கக்கூடாது என்பது பின்வரும் உதாரணத்தை வழங்குகிறது, இது தயாரிப்புகளுடன் பயணிக்க போதுமான நல்ல தெளிவுத்திறன் நடைமுறையை ஒருவர் எதிர்பார்க்க முடியாது என்பதைக் காட்டுகிறது. f: A → B என்பது அஃபைன் 3-இடத்தில் ஒரு நாற்கர கூம்பு B இன் தோற்றத்தின் வெடிப்பாக இருந்தால், f × f: A × A → B × B ஐ ஒரு அடில் லோக்கல் ரெசல்யூஷன் செயல்முறையால் உருவாக்க முடியாது, ஏனெனில் விதிவிலக்கான லோகஸ் 2 கூறுகளைக் கொண்டுள்ளது. டோரிக் வகைகளின் ஒற்றுமைகள் டோரிக் வகைகளின் ஒற்றுமைகள் உயர் பரிமாண ஒற்றுமைகளின் எடுத்துக்காட்டுகளை வழங்குகின்றன, அவை வெளிப்படையாக தீர்க்க எளிதானவை. ஒரு டோரிக் வகை ஒரு விசிறியால் வரையறுக்கப்படுகிறது, இது ஒரு லட்டிஸில் உள்ள கூம்புகளின் தொகுப்பாகும். ஒவ்வொரு கூம்பையும் கூம்புகளின் சங்கமமாக பிரிப்பதன் மூலம் ஒருமைப்பாட்டைத் தீர்க்க முடியும், அவை ஒவ்வொன்றும் லட்டிஸுக்கு ஒரு அடிப்படையால் உருவாக்கப்படுகின்றன, மேலும் அதனுடன் தொடர்புடைய டாரிக் வகையை எடுத்துக்கொள்கின்றன. X இன் வழக்கமான துணை வகைகளாக இருக்கும் மையங்களைத் தேர்ந்தெடுப்பது X இன் மென்மையான துணை வகைகளாக இருக்கும் வெடிப்புகளின் மையங்களை உருவாக்காது. ஒரு சுருக்கமான வகை X இன் டிஸ்ஸிங்குலரைசேஷனின் பல கட்டமைப்புகள் X ஐ ஒரு மென்மையான வகை W இல் உள்ளூரில் உட்பொதிப்பதன் மூலம் தொடர்கின்றன, W இல் அதன் இலட்சியத்தைக் கருத்தில் கொண்டு, இந்த இலட்சியத்தின் நியதி டிஸ்ஸிங்குலரைசேஷனை கணக்கிடுகின்றன. இலட்சியங்களின் டிசிங்குலரைசேஷன் இலட்சியத்தின் வரிசையை இலட்சியம் எவ்வளவு ஒருமை என்பதை அளவிடுகிறது. உள்ளூர் மையங்கள் ஒன்றிணைந்து உலகளாவிய மையங்களை வழங்குவதை நியாயப்படுத்தும் வகையில் இலட்சியத்தின் தனித்துவத்தை உருவாக்க முடியும். இந்த முறை ஹிரொனகாவின் அசல் ஆதாரத்துடன் ஒப்பிடும்போது, ஒப்பீட்டளவில் எளிமையான ஒரு ஆதாரத்திற்கு வழிவகுக்கிறது, இது ஹில்பர்ட்-சாமுவேல் செயல்பாட்டை எவ்வளவு மோசமான ஒற்றுமைகள் என்பதற்கான அளவீடாகப் பயன்படுத்துகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, உள்ள சான்றுகள், மற்றும் இந்த யோசனையைப் பயன்படுத்தவும். இருப்பினும், இந்த முறை டபிள்யூ இல் வழக்கமான வெடிப்புகளின் மையங்களை மட்டுமே உறுதி செய்கிறது. பின்வரும் எடுத்துக்காட்டு இந்த முறை எக்ஸ் இன் (கடுமையான மாற்றம்) உடன் மென்மையான அல்லாத குறுக்குவெட்டுகளைக் கொண்ட மையங்களை உருவாக்க முடியும் என்பதைக் காட்டுகிறது. எனவே, இதன் விளைவாக ஏற்படும் டிசிங்குலரைசேஷன், சுருக்க வகை X க்கு மட்டுப்படுத்தப்படும்போது, X இன் வழக்கமான துணை வகைகளை வெடிக்கச் செய்வதன் மூலம் பெறப்படுவதில்லை. y2-x3 மற்றும் x4 + xz2-w3 ஆல் உருவாக்கப்படும் x, y, z, w ஆயத்தொகுதிகளைக் கொண்ட நான்கு பரிமாண அஃபைன் தளத்தின் துணை வகையாக X இருக்கட்டும். இந்த ஜெனரேட்டர்களுடன் இலட்சியத்தின் நியதிச் சீர்மைப்படுத்தல் x = y = z = w = 0 ஆல் கொடுக்கப்பட்ட C0 மையத்தை ஊதிவிடும். x-y2 மற்றும் y2 (y2 + z2-w3) ஆல் உருவாக்கப்பட்டால் x-விளக்கப்படத்தில் உள்ள இலட்சியத்தின் உருமாற்றம். C1 ஐ வீசுவதற்கான அடுத்த மையம் x = y = 0 ஆல் வழங்கப்படுகிறது. இருப்பினும், X இன் கடுமையான உருமாற்றம் X1 ஆகும், இது x-y2 மற்றும் y2 + z2-w3 ஆல் உருவாக்கப்படுகிறது. இதன் பொருள் C1 மற்றும் X1 இன் குறுக்குவெட்டு x = y = 0 மற்றும் z2-w3 = 0 ஆல் வழங்கப்படுகிறது, இது வழக்கமானதல்ல. X இன் வழக்கமான துணை வகைகளாக இருக்கும் வெடிப்புகளின் மையங்களை உருவாக்க வலுவான சான்றுகள் X இன் உள்ளூர் வளையங்களின் ஹில்பர்ட்-சாமுவேல் செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்துகின்றன, W இல் உள்ள உள்ளூர் உட்பொதிப்பில் அதன் இலட்சியத்தின் வரிசையை விட. ஒற்றுமைகளின் தீர்மானங்களின் பிற மாறுபாடுகள் தீர்மானத்திற்குப் பிறகு மொத்த உருமாற்றம், கடுமையான உருமாற்றம், X மற்றும் விதிவிலக்கான வகுத்தியின் ஒன்றிணைப்பு, எளிமையான இயல்பான குறுக்கு ஒற்றுமைகளைக் கொண்டிருக்கக்கூடிய ஒரு வகையாகும். இந்த வகையான ஒற்றுமைகளைத் தீர்க்காமல் ஒருமைப்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான சாத்தியக்கூறுகளைக் கருத்தில் கொள்வது இயற்கையானது. மென்மையான மற்றும் எளிய இயல்பான குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளின் தொகுப்பின் மீது ஒரு ஐசோமார்பிசமாக இருக்கும் ஒரு தீர்மானத்தைக் கண்டுபிடிப்பதே சிக்கல். X ஒரு வகுத்தி என்றால், அதாவது. இது ஒரு கோடிமென்ஷனாக உட்பொதிக்கப்படலாம்-ஒரு மென்மையான வகைகளில் ஒரு துணை மாறுபாடு எளிய இயல்பான குறுக்கு புள்ளிகளைத் தவிர்க்கும் வலுவான தெளிவுத்திறனின் இருப்பு உண்மை என்று அறியப்படுகிறது. பல்வேறு வகையான ஒற்றுமைகளைத் தவிர்ப்பதற்கான பொதுவான வழக்கு அல்லது பொதுமைப்படுத்தல்கள் இன்னும் அறியப்படவில்லை. சில தனித்துவங்களைத் தவிர்ப்பது சாத்தியமற்றது. எடுத்துக்காட்டாக, சாதாரண குறுக்குவெட்டு ஒற்றுமைகளை ஊதுவதைத் தவிர்ப்பதன் மூலம் ஒருவரால் ஒருமைப்பாட்டைத் தீர்க்க முடியாது. உண்மையில், பிஞ்ச் பாயிண்ட் சிங்குலாரிட்டியைத் தீர்க்க, முழு சிங்குலர் லோகஸையும் சாதாரண குறுக்குவெட்டு சிங்குலாரிட்டிகள் இருக்கும் புள்ளிகள் உட்பட ஊதிவிட வேண்டும். குறிப்புகள் நூலியல் (1998 2 வது பதிப்பு) மற்றும் (அவரது ஒற்றுமைத் தீர்மானத்தைப் போலவே-சியாட்டில் சொற்பொழிவு. , வெளிப்புற இணைப்புகளில் மறுபதிப்பு செய்யப்பட்டது ஒற்றுமைகளின் தீர்மானம் I, ஹிரொனகாவின் பேச்சின் வீடியோ. இயற்கணித வடிவவியலில் ஒருமைப்பாட்டின் தீர்மானம், ஹிரொனகாவின் பேச்சின் வீடியோ. ஒருமைப்பாடுகளின் சில படங்கள் மற்றும் அவற்றின் தீர்மானங்கள் ஒற்றைஃ ஒருமைப்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான தொகுப்புகளுடன் கூடிய கணினி இயற்கணிதம் அமைப்பு. ஒற்றுமைகளின் தீர்மானம் குறித்த பணி வாரத்திற்கான குறிப்புகள் மற்றும் சொற்பொழிவுகள் டிரோல் 1997, செப்டம்பர் 7-14,1997, ஓபர்கர்ல், டிரோல், ஆஸ்திரியா சொற்பொழிவு ஒற்றுமைகளின் தீர்மானம் குறித்த கோடைகால பள்ளியின் குறிப்புகள், ஜூன் 2006, டிரிஸ்டே, இத்தாலி. தேசிங்-ஒருமைப்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான ஒரு கணினி நிரல் ஹவுசரின் முகப்புப் பக்கம், ஒருமைப்பாட்டைத் தீர்ப்பது குறித்த பல விளக்கக் கட்டுரைகளுடன் இயற்கணித வடிவியல் ஒற்றைத்தன்மை கோட்பாடு வடிவவியலில் தீர்க்கப்படாத சிக்கல்கள்