Dual cone and polar cone
இரட்டை கூம்பு மற்றும் துருவ கூம்பு ஆகியவை கணிதத்தின் ஒரு கிளையான குவிந்த பகுப்பாய்வில் நெருக்கமாக தொடர்புடைய கருத்துகளாகும். ஒரு திசையன் இடத்தில் இரட்டை கூம்பு ஒரு துணைக்குழு C இன் இரட்டை கூம்பு C ஒரு நேரியல் இடத்தில் X யதார்த்தங்களுக்கு மேல், எ. கா. யூக்ளிடியன் இடைவெளி Rn, இரட்டை இடைவெளி X உடன் X மற்றும் X க்கு இடையிலான இரட்டைத்தன்மை இணைப்பாக இருக்கும் தொகுப்பாகும், அதாவது. . சி எப்போதும் ஒரு குவிந்த கூம்பு, சி குவிந்த அல்லது கூம்பு இல்லையென்றாலும் கூட. ஒரு இடவியல் திசையன் இடத்தில் X என்பது உண்மையான அல்லது சிக்கலான எண்களின் மீது ஒரு இடவியல் திசையன் இடைவெளி என்றால், ஒரு துணைக்குழு C′X இன் இரட்டை கூம்பு என்பது X: இல் பின்வரும் தொடர்ச்சியான நேரியல் செயல்பாடுகளின் தொகுப்பாகும், இது தொகுப்பின் துருவமாகும்-C. C எதுவாக இருந்தாலும், அது ஒரு குவிந்த கூம்பாக இருக்கும். சி என்றால் ஷ் {0} பின்னர். ஒரு ஹில்பர்ட் இடத்தில் (உள் இரட்டை கூம்பு) மாற்றாக, பல எழுத்தாளர்கள் இரட்டை கூம்பை ஒரு உண்மையான ஹில்பர்ட் இடத்தின் (யூக்ளிடியன் உள் தயாரிப்பு பொருத்தப்பட்ட Rn போன்றவை) சூழலில் வரையறுக்கிறார்கள், இது சில நேரங்களில் உள் இரட்டை கூம்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது. C க்கான இந்த பிந்தைய வரையறையைப் பயன்படுத்தி, C ஒரு கூம்பு இருக்கும்போது, பின்வரும் பண்புகள் உள்ளனஃ பின்வரும் இரண்டு நிபந்தனைகளும் இருந்தால் மட்டுமே ஒரு பூஜ்ஜியமற்ற திசையன் y C இல் இருக்கும்ஃ y என்பது ஒரு ஹைப்பர்பிளேனின் தோற்றத்தில் ஒரு இயல்பானது C. y மற்றும் C ஐ ஆதரிக்கும் ஹைப்பர்பிளேனின் ஒரே பக்கத்தில் உள்ளது. சி மூடப்பட்ட மற்றும் குவிந்த உள்ளது. குறிக்கிறது. C இன் உட்புறம் காலியாக இல்லாவிட்டால், C சுட்டிக்காட்டப்படுகிறது, அதாவது. சி * முழுமையாக எந்த வரியையும் கொண்டிருக்கவில்லை. சி ஒரு கூம்பு மற்றும் சி இன் மூடல் சுட்டிக்காட்டப்பட்டிருந்தால், சி வெற்று உட்புறத்தைக் கொண்டுள்ளது. C என்பது C ஐக் கொண்ட மிகச்சிறிய குவிந்த கூம்பின் மூடல் ஆகும் (ஹைப்பர்பிளேன் பிரிப்பு தேற்றத்தின் விளைவாகும்) ஒரு திசையன் இடத்தில் A கூம்பு C ஒரு உள் விளைபொருளான ± θ கொண்டு X ஐ பொருத்த முடிந்தால் அது சுய-இரட்டை என்று கூறப்படுகிறது, இந்த உள் விளைபொருளுடன் தொடர்புடைய உள் இரட்டை கூம்பு C க்கு சமமாக இருக்கும். ஒரு உண்மையான ஹில்பர்ட் இடத்தில் இரட்டை கூம்பை உள் இரட்டை கூம்பாக வரையறுக்கும் எழுத்தாளர்கள் பொதுவாக ஒரு கூம்பு அதன் உள் இரட்டைக்கு சமமாக இருந்தால் அது சுய-இரட்டை என்று கூறுகிறார்கள். இது மேலே உள்ள வரையறையிலிருந்து சற்று வேறுபட்டது, இது உள் உற்பத்தியின் மாற்றத்தை அனுமதிக்கிறது. எடுத்துக்காட்டாக, மேற்கண்ட வரையறை Rn இல் நீள்வட்ட அடித்தள சுய-இரட்டை கொண்ட ஒரு கூம்பை உருவாக்குகிறது, ஏனெனில் உள் விளைபொருளை அடிப்படை கோளமாக மாற்றலாம், மேலும் Rn இல் கோள அடித்தளத்துடன் கூடிய கூம்பு அதன் உள் இரட்டைக்கு சமம். Rn இன் எதிர்மறை அல்லாத ஆர்த்தன்ட் மற்றும் அனைத்து நேர்மறை அரை வரையறுக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸின் இடைவெளி ஆகியவை சுய-இரட்டை ஆகும், அதே போல் நீள்வட்ட அடித்தளத்துடன் கூடிய கூம்புகளும் (பெரும்பாலும் "கோள கூம்புகள்", "லோரென்ட்ஸ் கூம்புகள்" அல்லது சில நேரங்களில் "ஐஸ்கிரீம் கூம்புகள்" என்று அழைக்கப்படுகின்றன). R3 இல் உள்ள அனைத்து கூம்புகளும் ஒற்றைப்படை எண்ணிக்கையிலான செங்குத்துகளுடன் ஒரு வழக்கமான பலகோணத்தின் குவிந்த மேலோடு ஆகும். குறைவான வழக்கமான உதாரணம் R3 இல் உள்ள கூம்பு ஆகும், அதன் அடிப்பகுதி "வீடு" ஆகும்ஃ ஒரு சதுரத்தின் குவிந்த மேலோடு மற்றும் சதுரத்திற்கு வெளியே ஒரு புள்ளி சதுரத்தின் பக்கங்களில் ஒன்றுடன் ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தை (பொருத்தமான உயரம்) உருவாக்குகிறது. துருவ கூம்பு X இல் உள்ள ஒரு தொகுப்பு C க்கு, C இன் துருவ கூம்பு தொகுப்பாகும். துருவ கூம்பு இரட்டை கூம்பின் எதிர்மறைக்கு சமமாக இருப்பதைக் காணலாம், அதாவது. கோ =-சி. X இல் உள்ள ஒரு மூடிய குவிந்த கூம்பு C க்கு, துருவ கூம்பு C க்கான துருவ தொகுப்புக்கு சமம். மேலும் காண்க இருமுனை தேற்றம் துருவ தொகுப்பு குறிப்புகள் நூலியல் கண்வெக்ஸ் பகுப்பாய்வு கண்வெக்ஸ் வடிவியல் நேரியல் நிரலாக்கம்