Categorical distribution
நிகழ்தகவுக் கோட்பாடு மற்றும் புள்ளிவிவரங்களில், ஒரு வகைப்படுத்தப்பட்ட விநியோகம் (பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட பெர்னௌலி விநியோகம், மல்டினௌலி விநியோகம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) என்பது ஒரு தனித்துவமான நிகழ்தகவு விநியோகமாகும், இது ஒரு சீரற்ற மாறியின் சாத்தியமான முடிவுகளை விவரிக்கிறது, இது K சாத்தியமான வகைகளில் ஒன்றை எடுக்க முடியும், ஒவ்வொரு வகையின் நிகழ்தகவும் தனித்தனியாக குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது. இந்த விளைவுகளுக்கு உள்ளார்ந்த அடிப்படை வரிசைமுறை எதுவும் இல்லை, ஆனால் விநியோகத்தை விவரிப்பதில் வசதிக்காக எண் லேபிள்கள் பெரும்பாலும் இணைக்கப்படுகின்றன, (எ. கா. 1 முதல் கே). கே-பரிமாண வகைப்பாட்டு விநியோகம் என்பது கே-வே நிகழ்வின் மீது மிகவும் பொதுவான விநியோகமாகும்; ஒரு அளவு-கே மாதிரி இடத்தில் வேறு எந்த தனித்துவமான விநியோகமும் ஒரு சிறப்பு வழக்கு. ஒவ்வொரு சாத்தியமான முடிவின் நிகழ்தகவுகளையும் குறிப்பிடும் அளவுருக்கள் ஒவ்வொன்றும் 0 முதல் 1 வரம்பில் இருக்க வேண்டும் என்ற உண்மையால் மட்டுமே கட்டுப்படுத்தப்படுகின்றன, மேலும் அனைத்தும் 1 ஆக கூட்டப்பட வேண்டும். வகைப்பாட்டு விநியோகம் என்பது ஒரு வகைப்பாட்டு சீரற்ற மாறிக்கான பெர்னௌலி விநியோகத்தின் பொதுமைப்படுத்தலாகும், அதாவது. ஒரு பகடை சுருள் போன்ற இரண்டுக்கும் மேற்பட்ட சாத்தியமான விளைவுகளைக் கொண்ட ஒரு தனித்த மாறிக்கு. மறுபுறம், வகைப்படுத்தப்பட்ட விநியோகம் என்பது பன்முக விநியோகத்தின் ஒரு சிறப்பு நிகழ்வாகும், இதில் இது பல வரைபடங்களை விட ஒற்றை வரைபடத்தின் சாத்தியமான விளைவுகளின் நிகழ்தகவுகளை வழங்குகிறது. சொற்களஞ்சியம் எப்போதாவது, வகைப்படுத்தப்பட்ட விநியோகம் "தனித்துவமான விநியோகம்" என்று அழைக்கப்படுகிறது. இருப்பினும், இது ஒரு குறிப்பிட்ட விநியோகக் குடும்பத்தைக் குறிக்காது, ஆனால் ஒரு பொதுவான வகை விநியோகங்களைக் குறிக்கிறது. இயந்திர கற்றல் மற்றும் இயற்கை மொழி செயலாக்கம் போன்ற சில துறைகளில், வகைப்படுத்தப்பட்ட மற்றும் பன்முக விநியோகங்கள் ஒன்றோடொன்று இணைக்கப்பட்டுள்ளன, மேலும் ஒரு "வகைப்படுத்தப்பட்ட விநியோகம்" மிகவும் துல்லியமாக இருக்கும்போது "பன்முக விநியோகம்" பற்றி பேசுவது பொதுவானது. இந்த துல்லியமற்ற பயன்பாடு சில நேரங்களில் ஒரு வகைப்படுத்தப்பட்ட விநியோகத்தின் முடிவை 1 முதல் கே வரம்பில் ஒரு முழு எண்ணாக வெளிப்படுத்துவதை விட "1-ஆஃப்-கே" திசையன் (1 ஐக் கொண்ட ஒரு உறுப்பு மற்றும் 0 ஐக் கொண்ட மற்ற அனைத்து உறுப்புகளையும் கொண்ட ஒரு திசையன்) என்று வெளிப்படுத்துவது வசதியானது என்பதிலிருந்து உருவாகிறது; இந்த வடிவத்தில், ஒரு வகைப்படுத்தப்பட்ட விநியோகம் ஒரு ஒற்றை அவதானிப்புக்கான பன்முக விநியோகத்திற்கு சமம் (கீழே காண்க). இருப்பினும், வகைப்படுத்தப்பட்ட மற்றும் பன்முக விநியோகங்களை இணைப்பது சிக்கல்களுக்கு வழிவகுக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, இயற்கையான மொழி செயலாக்க மாதிரிகளில் பொதுவாக எழும் டிரிக்லெட்-மல்டினாமியல் விநியோகத்தில் (பொதுவாக இந்த பெயருடன் இல்லை என்றாலும்) கிப்ஸ் மாதிரியின் சரிவின் விளைவாக டிரிக்லெட் விநியோகங்கள் ஒரு படிநிலை பேய்சியன் மாதிரியிலிருந்து சிதைந்துவிட்டன, வகைப்பாட்டை மல்டினாமியலிலிருந்து வேறுபடுத்துவது மிகவும் முக்கியம். ஒரே டிரிக்லெட்-மல்டினாமியல் விநியோகத்துடன் ஒரே மாறிகளின் கூட்டு விநியோகம் இரண்டு வெவ்வேறு வடிவங்களைக் கொண்டுள்ளது, இது ஒரு விநியோகமாக வகைப்படுத்தப்படுகிறதா என்பதைப் பொறுத்து, அதன் களம் தனிப்பட்ட வகைப்படுத்தப்பட்ட முனைகளுக்கு மேல் அல்லது ஒவ்வொரு குறிப்பிட்ட வகையிலும் முனைகளின் மல்டினாமியல்-பாணி எண்ணிக்கையில் (பெர்னௌலி-விநியோகிக்கப்பட்ட முனைகளின் தொகுப்புக்கும் ஒற்றை இருமியல்-விநியோகிக்கப்பட்ட முனைகளுக்கும் இடையிலான வேறுபாட்டைப் போன்றது). இரண்டு வடிவங்களும் மிகவும் ஒத்த தோற்றமுடைய நிகழ்தகவு வெகுஜன செயல்பாடுகளை (பி. எம். எஃப்) கொண்டுள்ளன, இவை இரண்டும் ஒரு பிரிவில் உள்ள முனைகளின் பன்முக-பாணி எண்ணிக்கையைக் குறிக்கின்றன. இருப்பினும், பன்முக-பாணி பி. எம். எஃப் ஒரு கூடுதல் காரணியைக் கொண்டுள்ளது, இது ஒரு பன்முக குணகம், இது வகைப்படுத்தப்பட்ட-பாணி பி. எம். எஃப் இல் 1 க்கு சமமான மாறிலி. இரண்டையும் குழப்புவது எளிதில் தவறான முடிவுகளுக்கு வழிவகுக்கும், அங்கு இந்த கூடுதல் காரணி வட்டி விநியோகங்களைப் பொறுத்தவரை நிலையானதாக இருக்காது. கிப்ஸ் மாதிரியில் பயன்படுத்தப்படும் முழுமையான நிபந்தனைகள் மற்றும் மாறுபட்ட முறைகளில் உகந்த விநியோகங்களில் காரணி அடிக்கடி மாறாமல் இருக்கும். ஒரு வகைப்படுத்தப்பட்ட விநியோகம் என்பது ஒரு தனித்துவமான நிகழ்தகவு விநியோகமாகும், அதன் மாதிரி இடம் தனித்தனியாக அடையாளம் காணப்பட்ட k உருப்படிகளின் தொகுப்பாகும். இது ஒரு வகைப்படுத்தப்பட்ட சீரற்ற மாறிக்கான பெர்னௌலி விநியோகத்தின் பொதுமைப்படுத்தலாகும். விநியோகத்தின் ஒரு சூத்திரத்தில், மாதிரி இடம் முழு எண்களின் வரையறுக்கப்பட்ட வரிசையாக எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது. லேபிள்களாகப் பயன்படுத்தப்படும் சரியான முழு எண்கள் முக்கியமல்ல; அவை {0,1,., k−1} அல்லது {1,2,., k} அல்லது வேறு ஏதேனும் தன்னிச்சையான மதிப்புகளாக இருக்கலாம். பின்வரும் விளக்கங்களில், நாம் வசதிக்காக {1,2,., k} ஐப் பயன்படுத்துகிறோம், இருப்பினும் இது {0,1} ஐப் பயன்படுத்தும் பெர்னௌலி விநியோகத்திற்கான மரபுடன் உடன்படவில்லை. இந்த வழக்கில், நிகழ்தகவு வெகுஜன செயல்பாடு f: எங்கே, உறுப்பு i மற்றும் பார்க்கும் நிகழ்தகவு குறிக்கிறது. மிகவும் சிக்கலானதாகத் தோன்றும் ஆனால் கணித கையாளுதல்களை எளிதாக்கும் மற்றொரு சூத்திரம் பின்வருமாறு, ஐவர்சன் அடைப்புக்குறியைப் பயன்படுத்துகிறதுஃ அங்கு 1 என்றால், 0 இல்லையெனில் மதிப்பிடப்படுகிறது. இந்த சூத்திரத்தின் பல்வேறு நன்மைகள் உள்ளன, எ. கா. : சுயாதீனமாக ஒரே மாதிரியாக விநியோகிக்கப்பட்ட வகைப்பாட்டு மாறிகளின் தொகுப்பின் நிகழ்தகவு செயல்பாட்டை எழுதுவது எளிது. இது வகைப்படுத்தப்பட்ட விநியோகத்தை தொடர்புடைய மல்டினாமியல் விநியோகத்துடன் இணைக்கிறது. டிரிக்லெட் விநியோகம் ஏன் வகைப்படுத்தப்பட்ட விநியோகத்திற்கு முந்தைய இணைப்பாக இருக்கிறது என்பதை இது காட்டுகிறது, மேலும் அளவுருக்களின் பின்புற விநியோகத்தை கணக்கிட அனுமதிக்கிறது. மற்றொரு சூத்திரம் வகைப்படுத்தப்பட்ட மற்றும் பன்முக விநியோகங்களுக்கு இடையிலான தொடர்பை தெளிவுபடுத்துகிறது, இது வகைப்படுத்தப்பட்ட விநியோகத்தை பன்முக விநியோகத்தின் ஒரு சிறப்பு நிகழ்வாகக் கருதுகிறது, இதில் பன்முக விநியோகத்தின் அளவுரு n (மாதிரி உருப்படிகளின் எண்ணிக்கை) 1 ஆக நிர்ணயிக்கப்பட்டுள்ளது. இந்த சூத்திரத்தில், மாதிரி இடத்தை 1-இன்-கே குறியிடப்பட்ட சீரற்ற திசையன்கள் x பரிமாணம் k இன் தொகுப்பாகக் கருதலாம், இது ஒரு உறுப்பு சரியாக 1 மதிப்பைக் கொண்டுள்ளது மற்றும் மற்றவை 0 மதிப்பைக் கொண்டுள்ளன. மதிப்பு 1 ஐக் கொண்ட குறிப்பிட்ட உறுப்பு எந்த வகை தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டது என்பதைக் குறிக்கிறது. இந்த சூத்திரத்தில் நிகழ்தகவு வெகுஜன செயல்பாடு f: உறுப்பு i மற்றும் ஐப் பார்ப்பதற்கான நிகழ்தகவைக் குறிக்கிறது. இது பிஷப் ஏற்றுக்கொண்ட சூத்திரமாகும். பண்புகள் ஒவ்வொரு எண்ணுடனும் தொடர்புடைய நிகழ்தகவுகளால் விநியோகம் முழுமையாக வழங்கப்படுகிறது i:, i = 1,., k, எங்கே. சாத்தியமான நிகழ்தகவுகளின் தொகுப்புகள் துல்லியமாக நிலையான-பரிமாண சிம்ப்ளக்ஸில் உள்ளன; k = 2 க்கு இது பெர்னௌலி விநியோகம் 1-சிம்ப்ளக்ஸ் ஆக இருப்பதற்கான சாத்தியமான நிகழ்தகவுகளுக்கு குறைகிறது, விநியோகம் என்பது ஒரு "பன்முக பெர்னௌலி விநியோகத்தின்" ஒரு சிறப்பு நிகழ்வாகும், இதில் k 0-1 மாறிகளில் சரியாக ஒன்று மதிப்பை எடுக்கும். ஒரு வகைப்படுத்தப்பட்ட விநியோகத்திலிருந்து உணர்தல் இருக்கட்டும். சீரற்ற திசையன் Y ஐ உறுப்புகளால் ஆனதாக வரையறுக்கவும்ஃ இங்கு I என்பது காட்டி செயல்பாடு. பின்னர் Y க்கு ஒரு விநியோகம் உள்ளது, இது அளவுருவுடன் கூடிய மல்டினாமியல் விநியோகத்தின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு. அளவுருவுடன் ஒரு வகைப்படுத்தப்பட்ட விநியோகத்திலிருந்து கட்டமைக்கப்பட்ட சுயாதீனமான மற்றும் ஒரே மாதிரியாக விநியோகிக்கப்பட்ட சீரற்ற மாறிகள் Y இன் கூட்டுத்தொகை அளவுருக்களுடன் பன்முகமாக விநியோகிக்கப்படுகிறது மற்றும் ஒரு வகைப்படுத்தப்பட்ட விநியோகத்தின் இணை முன் விநியோகம் ஒரு டிரிச்லெட் விநியோகமாகும். மேலும் விவாதத்திற்கு கீழே உள்ள பகுதியைப் பார்க்கவும். n சுயாதீன அவதானிப்புகளிலிருந்து போதுமான புள்ளிவிவரம் என்பது ஒவ்வொரு பிரிவிலும் உள்ள அவதானிப்புகளின் எண்ணிக்கையின் (அல்லது, சமமாக, விகிதம்) தொகுப்பாகும், அங்கு மொத்த சோதனைகளின் எண்ணிக்கை (= n) நிர்ணயிக்கப்படுகிறது. ஐவர்சன் அடைப்புக்குறி செயல்பாடு அல்லது க்ரோனெக்கர் டெல்டா செயல்பாட்டிற்கு சமமான ஒரு மதிப்பு i கொண்ட ஒரு அவதானிப்பின் காட்டி செயல்பாடு பெர்னௌலி இணைப்பைப் பயன்படுத்தி அளவுரு பேய்சியன் அனுமானத்துடன் விநியோகிக்கப்படுகிறது. இதன் பொருள் என்னவென்றால், அறியப்படாத அளவுரு வெக்டர் p உடன் ஒரு வகைப்படுத்தப்பட்ட விநியோகத்தைக் கொண்ட ஒரு தரவு புள்ளியைக் கொண்ட ஒரு மாதிரியில், மற்றும் (நிலையான பேய்சியன் பாணியில்) இந்த அளவுருவை ஒரு சீரற்ற மாறியாகக் கருதவும், டிரிச்லெட் விநியோகத்தைப் பயன்படுத்தி வரையறுக்கப்பட்ட முன் விநியோகத்தை வழங்கவும் தேர்வு செய்கிறோம், பின்னர் அளவுருவின் பின்புற விநியோகம், கவனிக்கப்பட்ட தரவுகளிலிருந்து பெறப்பட்ட அறிவை இணைத்த பிறகு, ஒரு டிரிச்லெட்டாகும். உள்ளுணர்வாக, அத்தகைய சந்தர்ப்பத்தில், தரவு புள்ளியைக் கவனிப்பதற்கு முன்பு அளவுருவைப் பற்றி அறியப்பட்டதிலிருந்து தொடங்கி, தரவு புள்ளியின் அடிப்படையில் அறிவைப் புதுப்பிக்க முடியும், இது பழையதைப் போலவே அதே வடிவத்தின் புதிய விநியோகத்தை அளிக்கிறது. எனவே, கணித சிக்கல்களுக்கு ஆளாகாமல், ஒரு நேரத்தில் புதிய அவதானிப்புகளை இணைப்பதன் மூலம் ஒரு அளவுருவின் அறிவை தொடர்ச்சியாக புதுப்பிக்க முடியும். முறைப்படி, இதை பின்வருமாறு வெளிப்படுத்தலாம். ஒரு மாதிரியைப் பொறுத்தவரை பின்வருவன பின்வருமாறுஃ N மாதிரிகளின் தொகுப்பைக் கொடுக்கப்பட்ட ஒரு வகைப்பாட்டு விநியோகத்தின் அடிப்படை அளவுரு p ஐ மதிப்பிடுவதற்கு பேய்சியன் புள்ளிவிவரங்களில் இந்த உறவு பயன்படுத்தப்படுகிறது. உள்ளுணர்வாக, நாம் ஹைப்பர்பிரையர் திசையன் α ஐ போலி கணக்குகளாகக் காணலாம், அதாவது. நாம் ஏற்கனவே பார்த்த ஒவ்வொரு பிரிவிலும் உள்ள அவதானிப்புகளின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கிறது. பின்னர் பின்புற விநியோகத்தைப் பெறுவதற்காக அனைத்து புதிய அவதானிப்புகளுக்கும் (திசையன் சி) எண்ணிக்கையைச் சேர்க்கிறோம். மேலும் உள்ளுணர்வு பின்புற விநியோகத்தின் எதிர்பார்க்கப்பட்ட மதிப்பிலிருந்து வருகிறது (டிரிக்லெட் விநியோகம் குறித்த கட்டுரையைப் பார்க்கவும்): பின்புற விநியோகத்தால் உருவாக்கப்படும் பல்வேறு தனித்துவமான விநியோகங்களில் ஒரு வகை i ஐப் பார்ப்பதற்கான எதிர்பார்க்கப்படும் நிகழ்தகவு, முந்தைய விநியோகத்தில் உள்ள போலி கணக்குகள் உட்பட, தரவுகளில் உண்மையில் காணப்படும் அந்த வகையின் நிகழ்வுகளின் விகிதத்திற்கு சமம் என்று இது கூறுகிறது. இது ஒரு பெரிய உள்ளுணர்வு அர்த்தத்தை உருவாக்குகிறதுஃ எடுத்துக்காட்டாக, மூன்று சாத்தியமான பிரிவுகள் உள்ளன, மற்றும் வகை 1 கவனிக்கப்பட்ட தரவுகளில் 40 சதவீதம் நேரம் காணப்பட்டால், சராசரி நேரத்தின் வகை 1 40% ஐப் பார்க்க ஒருவர் எதிர்பார்க்கிறார். (இந்த உள்ளுணர்வு முன் விநியோகத்தின் விளைவை புறக்கணிக்கிறது. மேலும், பின்புறமானது விநியோகங்களின் மீது ஒரு விநியோகமாகும். பின்புற விநியோகம் பொதுவாக கேள்விக்குரிய அளவுருவை விவரிக்கிறது, மேலும் இந்த விஷயத்தில் அளவுரு ஒரு தனித்துவமான நிகழ்தகவு விநியோகமாகும், அதாவது. தரவை உருவாக்கிய உண்மையான வகைப்படுத்தப்பட்ட விநியோகம். எடுத்துக்காட்டாக, 40:5:55 விகிதத்தில் 3 பிரிவுகள் கவனிக்கப்பட்ட தரவுகளில் இருந்தால், முன் விநியோகத்தின் விளைவை புறக்கணித்து, உண்மையான அளவுரு-அதாவது. நமது கவனிக்கப்பட்ட தரவை உருவாக்கிய உண்மையான, அடிப்படை விநியோகம்-சராசரி மதிப்பு (0.40,0.05,0.55) இருக்கும் என்று எதிர்பார்க்கப்படுகிறது, இது உண்மையில் பின்புறத்தை வெளிப்படுத்துகிறது. இருப்பினும், உண்மையான விநியோகம் உண்மையில் (0.35,0.07,0.58) அல்லது (0.42,0.04,0.54) அல்லது பல்வேறு அருகிலுள்ள சாத்தியக்கூறுகளாக இருக்கலாம். இங்கு சம்பந்தப்பட்ட நிச்சயமற்ற தன்மையின் அளவு பின்புறத்தின் மாறுபாட்டால் குறிப்பிடப்படுகிறது, இது மொத்த அவதானிப்புகளின் எண்ணிக்கையால் கட்டுப்படுத்தப்படுகிறது-அதிக தரவு கவனிக்கப்படுகிறது, உண்மையான அளவுரு பற்றிய குறைவான நிச்சயமற்ற தன்மை.) (தொழில்நுட்ப ரீதியாக, முந்தைய அளவுரு உண்மையில் வகையின் முன் அவதானிப்புகளைக் குறிக்கும் வகையில் பார்க்கப்பட வேண்டும். பின்னர், புதுப்பிக்கப்பட்ட பின்புற அளவுரு பின்புற அவதானிப்புகளைக் குறிக்கிறது. இது ஒரு டிரிக்லெட் விநியோகம் முற்றிலும் தட்டையான வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது என்ற உண்மையை பிரதிபலிக்கிறது-அடிப்படையில், p இன் சாத்தியமான மதிப்புகளின் சிம்ப்ளக்ஸ் மீது ஒரு சீரான விநியோகம். தர்க்கரீதியாக, இந்த வகையின் தட்டையான விநியோகம் மொத்த அறியாமையைக் குறிக்கிறது, இது எந்த வகையான அவதானிப்புகளுக்கும் பொருந்தாது. இருப்பினும், நாம் இந்த வார்த்தையை புறக்கணித்து, α திசையனை நேரடியாக போலி கணக்குகளின் தொகுப்பைக் குறிக்கிறது என்று நினைத்தால், பின்புறத்தின் கணித புதுப்பித்தல் நன்றாக வேலை செய்கிறது. மேலும், இதைச் செய்வது 1 க்கும் குறைவான மதிப்புகளை விளக்கும் சிக்கலைத் தவிர்க்கிறது.) எம்ஏபி மதிப்பீடு மேற்கண்ட மாதிரியில் உள்ள அளவுரு p இன் அதிகபட்ச-ஒரு-பிந்தைய மதிப்பீடு வெறுமனே பின்புற டிரிக்லெட் விநியோகத்தின் முறையாகும், அதாவது, பல நடைமுறை பயன்பாடுகளில், அனைத்து i க்கும் அமைக்கப்பட வேண்டிய நிபந்தனையை உத்தரவாதம் செய்வதற்கான ஒரே வழி. மேற்கண்ட மாதிரியில், அவதானிப்புகளின் விளிம்பு நிகழ்தகவு (அதாவது. அவதானிப்புகளின் கூட்டு விநியோகம், முந்தைய அளவுரு ஓரங்கட்டப்பட்ட நிலையில்) ஒரு டிரிக்லெட்-மல்டினோமியல் விநியோகமாகும்ஃ இந்த விநியோகம் படிநிலை பேய்சியன் மாதிரிகளில் முக்கிய பங்கு வகிக்கிறது, ஏனெனில் கிப்ஸ் மாதிரி அல்லது மாறுபட்ட பேய்கள் போன்ற முறைகளைப் பயன்படுத்தி அத்தகைய மாதிரிகள் மீது அனுமானம் செய்யும்போது, டிரிக்லெட் முன் விநியோகங்கள் பெரும்பாலும் ஓரங்கட்டப்படுகின்றன. மேலும் விவரங்களுக்கு இந்த விநியோகம் குறித்த கட்டுரையைப் பார்க்கவும். மேற்கண்ட மாதிரியில் ஒரு புதிய அவதானிப்பின் பின்புற முன்கணிப்பு விநியோகம் என்பது N வகைப்படுத்தப்பட்ட அவதானிப்புகளின் தொகுப்பைக் கருத்தில் கொண்டு ஒரு புதிய அவதானிப்பு எடுக்கும் விநியோகமாகும். டிரிக்லெட்-மல்டினாமியல் டிஸ்ட்ரிபியூஷன் கட்டுரையில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி, இது மிகவும் எளிமையான வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளதுஃ இந்த சூத்திரத்திற்கும் முந்தையவற்றிற்கும் இடையில் பல்வேறு உறவுகள் உள்ளனஃ ஒரு குறிப்பிட்ட வகையைப் பார்ப்பதற்கான பிந்தைய முன்கணிப்பு நிகழ்தகவு அந்த பிரிவில் முந்தைய அவதானிப்புகளின் ஒப்பீட்டு விகிதத்திற்கு சமம் (முந்தைய போலி-அவதானிப்புகள் உட்பட). இது தர்க்கரீதியான அர்த்தத்தைத் தருகிறது-உள்ளுணர்வாக, அந்த வகையின் ஏற்கனவே காணப்பட்ட அதிர்வெண்ணின் படி ஒரு குறிப்பிட்ட வகையைப் பார்ப்போம் என்று எதிர்பார்க்கிறோம். பின்புற முன்கணிப்பு நிகழ்தகவு பின்புற விநியோகத்தின் எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பைப் போன்றது. இது மேலும் கீழே விளக்கப்பட்டுள்ளது. இதன் விளைவாக, இந்த சூத்திரத்தை வெறுமனே "ஒரு வகையைப் பார்ப்பதற்கான பிந்தைய முன்கணிப்பு நிகழ்தகவு அந்த வகையின் மொத்த கவனிக்கப்பட்ட எண்ணிக்கைக்கு விகிதாசாரமாக உள்ளது" அல்லது "ஒரு வகையின் எதிர்பார்க்கப்பட்ட எண்ணிக்கை வகையின் மொத்த கவனிக்கப்பட்ட எண்ணிக்கைக்கு சமம்" என்று வெளிப்படுத்தலாம், இதில் "கவனிக்கப்பட்ட எண்ணிக்கை" முந்தைய போலி-அவதானிப்புகளைச் சேர்க்க எடுக்கப்படுகிறது. பின்புற முன்கணிப்பு நிகழ்தகவுக்கும் p இன் பின்புற விநியோகத்தின் எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்புக்கும் இடையிலான சமநிலையின் காரணம் மேலே உள்ள சூத்திரத்தை மறுபரிசீலனை செய்வதன் மூலம் தெளிவாகிறது. பிந்தைய முன்கணிப்பு விநியோகக் கட்டுரையில் விளக்கப்பட்டுள்ளபடி, பிந்தைய முன்கணிப்பு நிகழ்தகவுக்கான சூத்திரம் பிந்தைய விநியோகத்தைப் பொறுத்தவரை எடுக்கப்பட்ட எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பின் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளதுஃ மேலே உள்ள முக்கியமான வரி மூன்றாவது. இரண்டாவது எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பின் வரையறையிலிருந்து நேரடியாகப் பின்பற்றுகிறது. மூன்றாவது வரி வகைப்படுத்தப்பட்ட விநியோகத்திற்கு குறிப்பாக உள்ளது, மேலும் வகைப்படுத்தப்பட்ட விநியோகத்தில் குறிப்பாக, ஒரு குறிப்பிட்ட மதிப்பைப் பார்ப்பதற்கான எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு நேரடியாக தொடர்புடைய அளவுரு பை மூலம் குறிப்பிடப்படுகிறது. நான்காவது வரி வெறுமனே மூன்றாவது வேறு குறியீட்டில் மீண்டும் எழுதுவதாகும், அளவுருக்களின் பின்புற விநியோகத்தைப் பொறுத்தவரை எடுக்கப்பட்ட எதிர்பார்ப்புக்கு மேலும் மேலே உள்ள குறியீட்டைப் பயன்படுத்துகிறது. தரவு புள்ளிகளை ஒவ்வொன்றாக கவனித்து, ஒவ்வொரு முறையும் தரவு புள்ளியைக் கவனித்து, பின்புறத்தைப் புதுப்பிப்பதற்கு முன்பு அவற்றின் முன்கணிப்பு நிகழ்தகவைக் கவனியுங்கள். கொடுக்கப்பட்ட எந்த தரவு புள்ளிக்கும், கொடுக்கப்பட்ட வகையைக் கருதி அந்த புள்ளியின் நிகழ்தகவு ஏற்கனவே அந்த பிரிவில் உள்ள தரவு புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையைப் பொறுத்தது. இந்த சூழ்நிலையில், ஒரு வகை நிகழ்வின் அதிக அதிர்வெண் இருந்தால், புதிய தரவு புள்ளிகள் அந்த பிரிவில் சேர அதிக வாய்ப்புள்ளது-அதே வகையை மேலும் வளப்படுத்துகிறது. இந்த வகை சூழ்நிலை பெரும்பாலும் ஒரு முன்னுரிமை இணைப்பு (அல்லது "பணக்காரர் பணக்காரராகிறார்") மாதிரி என்று அழைக்கப்படுகிறது. இது பல நிஜ உலக செயல்முறைகளை மாதிரியாகக் கொண்டுள்ளது, மேலும் இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில் முதல் சில தரவு புள்ளிகளால் செய்யப்பட்ட தேர்வுகள் மீதமுள்ள தரவு புள்ளிகளில் ஒரு பெரிய தாக்கத்தை ஏற்படுத்துகின்றன. பிந்தைய நிபந்தனை விநியோகம் கிப்ஸ் மாதிரியில், ஒருவர் பொதுவாக பல மாறிகள் கொண்ட பேயஸ் நெட்வொர்க்குகளில் நிபந்தனை விநியோகங்களிலிருந்து பெற வேண்டும், அங்கு ஒவ்வொரு மாறியும் மற்ற அனைத்திலும் நிபந்தனை செய்யப்படுகிறது. டிரிக்லெட் பிரியர்களுடன் வகைப்படுத்தப்பட்ட மாறிகளை உள்ளடக்கிய நெட்வொர்க்குகளில் (எ. கா. கலவை மாதிரிகள் மற்றும் கலவை கூறுகள் உள்ளிட்ட மாதிரிகள்), டிரிக்லெட் விநியோகங்கள் பெரும்பாலும் நெட்வொர்க்கிலிருந்து "சிதைந்துவிடுகின்றன" (ஓரங்கட்டப்படுகின்றன), இது கொடுக்கப்பட்ட முந்தையதைப் பொறுத்து பல்வேறு வகைப்படுத்தப்பட்ட முனைகளுக்கு இடையில் சார்புநிலைகளை அறிமுகப்படுத்துகிறது (குறிப்பாக, அவற்றின் கூட்டு விநியோகம் ஒரு டிரிக்லெட்-மல்டினாமியல் விநியோகம்). இதைச் செய்வதற்கான ஒரு காரணம் என்னவென்றால், அத்தகைய சந்தர்ப்பத்தில், மற்றவர்களுக்கு கொடுக்கப்பட்ட ஒரு வகைப்படுத்தப்பட்ட முனையின் விநியோகம் சரியாக மீதமுள்ள முனைகளின் பின்புற முன்கணிப்பு விநியோகமாகும். அதாவது, முனைகளின் தொகுப்பைப் பொறுத்தவரை, கேள்விக்குரிய முனை குறிக்கப்பட்டால் மற்றும் மீதமுள்ளவை குறிக்கப்பட்டால், முனை n ஐத் தவிர வேறு முனைகளில் வகை i ஐக் கொண்ட முனைகளின் எண்ணிக்கை எங்கே. மாதிரி பல முறைகள் உள்ளன, ஆனால் ஒரு வகைப்படுத்தப்பட்ட விநியோகத்திலிருந்து மாதிரி எடுப்பதற்கான மிகவும் பொதுவான வழி ஒரு வகை தலைகீழ் உருமாற்ற மாதிரியைப் பயன்படுத்துகிறதுஃ ஒரு விநியோகம் சில வெளிப்பாட்டிற்கு "விகிதாசாரமாக" வெளிப்படுத்தப்படுகிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம், அறியப்படாத இயல்பாக்குதல் மாறிலி. எந்தவொரு மாதிரிகளையும் எடுப்பதற்கு முன், ஒருவர் பின்வரும் சில மதிப்புகளைத் தயாரிக்கிறார்ஃ ஒவ்வொரு வகைக்கும் விநியோகத்தின் வழக்கத்திற்கு மாறான மதிப்பைக் கணக்கிடுங்கள். அவற்றைச் சுருக்கவும், அவற்றை இயல்பாக்குவதற்காக ஒவ்வொரு மதிப்பையும் இந்த தொகையால் வகுக்கவும். வகைகளில் ஒருவிதமான வரிசையை விதிக்கவும் (எ. கா. 1 முதல் k வரை இயங்கும் ஒரு குறியீட்டால், k என்பது வகைகளின் எண்ணிக்கை). ஒவ்வொரு மதிப்பையும் முந்தைய அனைத்து மதிப்புகளின் கூட்டுத்தொகையுடன் மாற்றுவதன் மூலம் மதிப்புகளை ஒட்டுமொத்த விநியோக செயல்பாடாக (சி. டி. எஃப்) மாற்றவும். இதை ஓ (கே) நேரத்தில் செய்ய முடியும். முதல் வகைக்கான விளைவாக வரும் மதிப்பு 0 ஆக இருக்கும். பின்னர், ஒவ்வொரு முறையும் ஒரு மதிப்பை மாதிரி செய்ய வேண்டும்ஃ 0 மற்றும் 1 க்கு இடையில் ஒரே மாதிரியாக விநியோகிக்கப்பட்ட எண்ணைத் தேர்ந்தெடுக்கவும். சி. டி. எஃப்-ல் மிகப் பெரிய எண்ணைக் கண்டறியவும், அதன் மதிப்பு இப்போது தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட எண்ணை விட குறைவாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்கும். இது O (log (k)) நேரத்தில், பைனரி தேடல் மூலம் செய்யப்படலாம். இந்த சி. டி. எஃப் மதிப்புடன் தொடர்புடைய வகையைத் திருப்பித் தரவும். ஒரே வகைப்படுத்தப்பட்ட விநியோகத்திலிருந்து பல மதிப்புகளை வரைய வேண்டிய அவசியம் இருந்தால், பின்வரும் அணுகுமுறை மிகவும் திறமையானது. இது ஓ (என்) நேரத்தில் n மாதிரிகளை ஈர்க்கிறது (இருமப் பகிர்விலிருந்து மதிப்புகளை வரைய ஓ (1) தோராயமாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம்). செயல்பாடு இழுக்க _ வகைப்படுத்தல் (n)// இதில் n என்பது வகைப்படுத்தல் விநியோகத்திலிருந்து வரைய வேண்டிய மாதிரிகளின் எண்ணிக்கை r = 1 s = 0 i க்கு 1 முதல் k// வரை k என்பது வகைகளின் எண்ணிக்கை v = ஒரு இருமியல் (n, p [i]/r) விநியோகத்திலிருந்து இழுக்கவும்// இங்கு p [i] என்பது 1 முதல் v z [s + +] = i/வரை j க்கான வகை i இன் நிகழ்தகவு, இதில் z என்பது முடிவுகள் சேமிக்கப்படும் ஒரு வரிசை n = n-v r = r-p [i] ஷஃபிள் (சீரற்ற மறு வரிசை) கம்பெல் விநியோகம் வழியாக z ரிட்டர்ன் z மாதிரியில் உள்ள கூறுகள் இயந்திர கற்றல் மூலம் வகைப்படுத்தல் விநியோகத்தை அளவுரு செய்வது பொதுவானது. இந்த பிரதிநிதித்துவத்தைப் பொறுத்தவரை, சாப்ட்மேக்ஸ் செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தி மீட்டெடுக்க முடியும், பின்னர் மேலே விவரிக்கப்பட்ட நுட்பங்களைப் பயன்படுத்தி மாதிரி எடுக்க முடியும். இருப்பினும் கும்பல் விநியோகத்திலிருந்து மாதிரிகளைப் பயன்படுத்தும் ஒரு நேரடி மாதிரி முறை உள்ளது. நிலையான கும்பல் விநியோகத்திலிருந்து k சுயாதீனமாக வரையப்பட்டதாக இருக்கட்டும், பின்னர் விரும்பிய வகைப்படுத்தப்பட்ட விநியோகத்திலிருந்து ஒரு மாதிரியாக இருக்கும். (நிலையான சீருடை விநியோகத்திலிருந்து ஒரு மாதிரி என்றால், நிலையான கும்பல் விநியோகத்திலிருந்து ஒரு மாதிரி.) மேலும் காண்க வகைப்படுத்தப்பட்ட மாறிகள் தொடர்பான விநியோகங்கள் டிரிச்லெட் விநியோகம் மல்டினாமியல் விநியோகம் பெர்னௌலி விநியோகம் டிரிச்லெட்-மல்டினாமியல் விநியோகம் குறிப்புகள் குறிப்புகள் வகைப்படுத்தப்பட்ட தரவு தனித்துவமான விநியோகங்கள் எக்ஸ்பொனென்ஷியல் குடும்ப விநியோகங்கள்