Tangent developable
மேற்பரப்புகளின் வேறுபட்ட வடிவவியலின் கணித ஆய்வில், ஒரு தொடுகோடு வளர்ச்சியடையக்கூடிய மேற்பரப்பு என்பது யூக்ளிடியன் இடத்தில் ஒரு வளைவிலிருந்து பெறப்பட்ட ஒரு குறிப்பிட்ட வகையான வளர்ச்சியடையக்கூடிய மேற்பரப்பாகும், ஏனெனில் மேற்பரப்பு தொடுகோடுகளால் வளைவுக்கு வெளியேற்றப்படுகிறது. அத்தகைய மேற்பரப்பு வளைவுக்கு தொடுகோடு தளங்களின் உறை ஆகும். அளவுரு ஒரு மென்மையான இடைவெளி வளைவின் அளவுருவாக இருக்கட்டும். அதாவது, அதன் வாதத்தை (ஒரு உண்மையான எண்) விண்வெளியில் ஒரு புள்ளிக்கு வரைபடமாக்கும் எங்கும் மறைந்துவிடாத வழித்தோன்றலுடன் இரண்டு முறை வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாடு ஆகும்; வளைவு என்பது அதன் உருவம். பின்னர் ஒரு இரு பரிமாண மேற்பரப்பு, வளர்ச்சியடையக்கூடிய தொடுகோட்டு, வரைபடத்தால் அளவுருவாக இருக்கலாம் அசல் வளைவு வளர்ச்சியடையக்கூடிய தொடுகோட்டின் எல்லையை உருவாக்குகிறது, மேலும் இது அதன் டைரக்ட்ரிக்ஸ் அல்லது பின்னடைவின் விளிம்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த வளைவு முதலில் மேற்பரப்பை தளத்திற்குள் உருவாக்குவதன் மூலமும், பின்னர் மேற்பரப்பில் ஆளும் ஜெனரேட்டர்களின் தளத்தில் உள்ள படத்தை கருத்தில் கொள்வதன் மூலமும் பெறப்படுகிறது. இந்த கோடுகளின் குடும்பத்தின் உறை ஒரு சமதள வளைவு ஆகும், அதன் வளர்ச்சியின் கீழ் உள்ள தலைகீழ் படம் பின்னடைவின் விளிம்பாகும். உள்ளுணர்வாக, இது ஒரு வளைவு, இது விமானத்தில் வளரும் செயல்பாட்டின் போது மேற்பரப்பை மடிக்க வேண்டும். பண்புகள் வளர்ச்சியடையக்கூடிய தொடுகோடு ஒரு வளர்ச்சியடையக்கூடிய மேற்பரப்பு ஆகும்; அதாவது, இது பூஜ்ஜிய காஸியன் வளைவு கொண்ட மேற்பரப்பு ஆகும். இது வளர்ச்சியடையக்கூடிய மேற்பரப்பின் மூன்று அடிப்படை வகைகளில் ஒன்றாகும்; மற்ற இரண்டும் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட கூம்புகள் (ஒரு நிலையான புள்ளியின் மூலம் கோடுகளின் ஒரு பரிமாண குடும்பத்தால் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மேற்பரப்பு), மற்றும் சிலிண்டர்கள் (இணையான கோடுகளின் ஒரு பரிமாண குடும்பத்தால் கண்டறியப்பட்ட மேற்பரப்புகள்). (தளம் சில நேரங்களில் நான்காவது வகையாக வழங்கப்படுகிறது, அல்லது இந்த இரண்டு வகைகளில் ஒன்றின் சிறப்பு நிகழ்வாக பார்க்கப்படலாம்.) முப்பரிமாண இடத்தில் வளர்ச்சியடையக்கூடிய ஒவ்வொரு மேற்பரப்பும் இந்த மூன்று வகைகளின் துண்டுகளை ஒன்றாக இணைப்பதன் மூலம் உருவாகலாம்; இதிலிருந்து ஒவ்வொரு வளர்ச்சியடையக்கூடிய மேற்பரப்பும் ஒரு ஆளும் மேற்பரப்பு, ஒரு பரிமாண குடும்ப கோடுகளின் ஒன்றிணைப்பு என்பதை இது பின்பற்றுகிறது. இருப்பினும், ஒவ்வொரு மேற்பரப்பும் வளர்ச்சியடையாது; ஹெலிகோயிட் ஒரு எதிர் உதாரணத்தை வழங்குகிறது. பூஜ்ஜிய சுழற்சியின் புள்ளியைக் கொண்ட ஒரு வளைவின் தொடுகோடு ஒரு சுய-குறுக்குவெட்டைக் கொண்டிருக்கும். டான்ஜென்ட் வளர்ச்சிகள் முதன்முதலில் லியோன்ஹார்ட் யூலர் என்பவரால் 1772 இல் ஆய்வு செய்யப்பட்டது. அதுவரை, அறியப்பட்ட வளர்ச்சியடையக்கூடிய மேற்பரப்புகள் பொதுவான கூம்புகள் மற்றும் சிலிண்டர்கள் மட்டுமே. தொடுகோடு வளர்ச்சியடையக்கூடியவை என்றும், வளர்ச்சியடையக்கூடிய ஒவ்வொரு மேற்பரப்பும் இந்த வகைகளில் ஒன்றாகும் என்றும் ஆய்லர் காட்டினார். குறிப்புகள் குறிப்புகள். வெளிப்புற இணைப்புகள் மேற்பரப்புகளின் வேறுபட்ட வடிவியல்