Pivot element
பிவோட் அல்லது பிவோட் உறுப்பு என்பது ஒரு மேட்ரிக்ஸ் அல்லது ஒரு வரிசையின் உறுப்பு ஆகும், இது முதலில் ஒரு வழிமுறையால் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகிறது (எ. கா. காஸியன் நீக்குதல், சிம்ப்ளக்ஸ் வழிமுறை போன்றவை. ), சில கணக்கீடுகளை செய்ய. மேட்ரிக்ஸ் வழிமுறைகளைப் பொறுத்தவரை, ஒரு பிவோட் உள்ளீடு பொதுவாக பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டதாகவும், பெரும்பாலும் அதிலிருந்து தொலைவில் இருக்க வேண்டும்; இந்த விஷயத்தில் இந்த உறுப்பைக் கண்டுபிடிப்பது பிவோட்டிங் என்று அழைக்கப்படுகிறது. பிவோட்டிங்கை ஒரு நிலையான நிலைக்கு கொண்டு வருவதற்கும், வழிமுறை வெற்றிகரமாக தொடர அனுமதிப்பதற்கும், ரவுண்ட்-ஆஃப் பிழையைக் குறைப்பதற்கும் வரிசைகள் அல்லது நெடுவரிசைகளின் பரிமாற்றத்தைத் தொடர்ந்து பிவோட்டிங் செய்யப்படலாம். இது பெரும்பாலும் வரிசை ஈச்சலோன் வடிவத்தை சரிபார்க்க பயன்படுத்தப்படுகிறது. பிவோட்டிங் என்பது ஒரு மேட்ரிக்ஸில் வரிசைகள் அல்லது நெடுவரிசைகளை மாற்றுவது அல்லது வரிசைப்படுத்துவது என்று கருதப்படலாம், எனவே இது வரிசைமாற்ற மேட்ரிக்ஸால் பெருக்கப்படும். இருப்பினும், வழிமுறைகள் அரிதாகவே மேட்ரிக்ஸ் கூறுகளை நகர்த்துகின்றன, ஏனெனில் இதற்கு அதிக நேரம் எடுக்கும்; அதற்கு பதிலாக, அவை வரிசைமாற்றங்களைக் கண்காணிக்கின்றன. ஒட்டுமொத்தமாக, பிவோட்டிங் ஒரு வழிமுறையின் கணக்கீட்டு செலவில் அதிக செயல்பாடுகளைச் சேர்க்கிறது. இந்த கூடுதல் செயல்பாடுகள் சில நேரங்களில் வழிமுறை வேலை செய்ய அவசியம். மற்ற நேரங்களில் இந்த கூடுதல் செயல்பாடுகள் பயனுள்ளதாக இருக்கும், ஏனெனில் அவை இறுதி முடிவுக்கு எண் ஸ்திரத்தன்மையை சேர்க்கின்றன. மையப்படுத்தல் தேவைப்படும் அமைப்புகளின் எடுத்துக்காட்டுகள் காஸியன் நீக்குதல் விஷயத்தில், வழிமுறைக்கு மையக்கரு கூறுகள் பூஜ்ஜியமாக இருக்கக்கூடாது. பூஜ்ஜிய மைய உறுப்பு விஷயத்தில் வரிசைகள் அல்லது நெடுவரிசைகளை மாற்றுவது அவசியம். கீழே உள்ள அமைப்புக்கு நீக்குதலைச் செய்ய வரிசைகள் 2 மற்றும் 3 இன் பரிமாற்றம் தேவைப்படுகிறது. பிவோட்டிங்கின் விளைவாக ஏற்படும் அமைப்பு பின்வருமாறு உள்ளது, மேலும் நீக்குதல் வழிமுறை மற்றும் பின்னோக்கிய மாற்றீடு அமைப்புக்கு தீர்வை வெளியிட அனுமதிக்கும். மேலும், காஸியன் நீக்குதலில் பெரிய முழுமையான மதிப்புடன் ஒரு மைய உறுப்பைத் தேர்ந்தெடுப்பது பொதுவாக விரும்பத்தக்கது. இது எண் நிலைத்தன்மையை மேம்படுத்துகிறது. காஸியன் நீக்குதல் மற்றும் பின்னோக்கி மாற்றீடு செய்யப்படும்போது பின்வரும் அமைப்பு ரவுண்ட்-ஆஃப் பிழையால் வியத்தகு முறையில் பாதிக்கப்படுகிறது. இந்த அமைப்பு x1 = 10.00 மற்றும் x2 = 1.000 ஆகியவற்றின் சரியான தீர்வைக் கொண்டுள்ளது, ஆனால் நீக்குதல் வழிமுறை மற்றும் பின்னோக்கிய மாற்று நான்கு இலக்க எண்கணிதத்தைப் பயன்படுத்தி நிகழ்த்தப்படும்போது, a11 இன் சிறிய மதிப்பு சிறிய ரவுண்ட்-ஆஃப் பிழைகளை பரப்புகிறது. மையப்படுத்தல் இல்லாத வழிமுறை x1 ≈ 9873.3 மற்றும் x2 ≈ 4 ஆகியவற்றின் தோராயத்தை அளிக்கிறது. இந்த விஷயத்தில் நாம் இரண்டு வரிசைகளையும் பரிமாறிக்கொள்வது விரும்பத்தக்கது, இதனால் a21 மைய நிலையில் உள்ளது இந்த அமைப்பைக் கருத்தில் கொண்டு, நீக்குதல் வழிமுறை மற்றும் நான்கு இலக்க எண்கணிதத்தைப் பயன்படுத்தி பின்னோக்கி மாற்றுவது சரியான மதிப்புகளை x1 = 10.00 மற்றும் x2 = 1.000. பகுதி, ரூக் மற்றும் முழுமையான பிவோட்டிங் பகுதி பிவோட்டிங்கில், அல்காரிதம் தற்போது பிவோட் உறுப்பாகக் கருதப்படும் மேட்ரிக்ஸின் நெடுவரிசையிலிருந்து மிகப்பெரிய முழுமையான மதிப்புடன் உள்ளீட்டைத் தேர்ந்தெடுக்கிறது. மேலும் குறிப்பாக, ஒரு மேட்ரிக்ஸை வரிசை எசெலான் வடிவத்திற்குக் குறைக்கும்போது, நெடுவரிசையின் வரிசைக் குறைப்புக்கு முன் பகுதியளவு பிவோட்டிங் இடமாற்றங்கள், அதே நெடுவரிசையில் கீழே உள்ள உறுப்புகளுடன் ஒப்பிடும்போது பிவோட் உறுப்பு மிகப்பெரிய முழுமையான மதிப்பைக் கொண்டிருக்க வேண்டும். ரவுண்ட்-ஆஃப் பிழையை போதுமான அளவு குறைக்க பகுதி பிவோட்டிங் பொதுவாக போதுமானது. இருப்பினும், சில அமைப்புகள் மற்றும் வழிமுறைகளுக்கு, ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய துல்லியத்திற்கு முழுமையான பிவோட்டிங் (அல்லது அதிகபட்ச பிவோட்டிங்) தேவைப்படலாம். மேட்ரிக்ஸில் உள்ள மிகப்பெரிய (முழுமையான மதிப்பால்) உறுப்பை மையமாக பயன்படுத்துவதற்காக முழுமையான மையப்படுத்துதல் வரிசைகள் மற்றும் நெடுவரிசைகள் இரண்டையும் ஒன்றோடொன்று மாற்றுகிறது. எண் ஸ்திரத்தன்மையை உறுதிப்படுத்த முழுமையான பிவோட்டிங் பொதுவாக தேவையில்லை, மேலும் அதிகபட்ச உறுப்பைத் தேடுவதற்கான கூடுதல் செலவு காரணமாக, அது வழங்கும் எண் ஸ்திரத்தன்மையின் முன்னேற்றம் பொதுவாக மிகச்சிறிய மெட்ரிக்குகளைத் தவிர மற்ற அனைத்திற்கும் அதன் குறைக்கப்பட்ட செயல்திறனால் அதிகமாக இருக்கும். எனவே, இது அரிதாகவே பயன்படுத்தப்படுகிறது. ரூக் பிவோட்டிங் என்று அழைக்கப்படும் மற்றொரு உத்தி, வரிசைகள் மற்றும் நெடுவரிசைகள் இரண்டையும் ஒன்றோடொன்று மாற்றுகிறது, ஆனால் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட பிவோட் ஒரே நேரத்தில் அதன் வரிசையில் மிகப்பெரிய சாத்தியமான நுழைவு மற்றும் அதன் நெடுவரிசையில் மிகப்பெரிய சாத்தியமான நுழைவு என்பதை மட்டுமே உத்தரவாதம் செய்கிறது, இது மீதமுள்ள முழு துணை மேட்ரிக்ஸிலும் மிகப்பெரிய சாத்தியத்திற்கு மாறாக உள்ளது. தொடர் கணினிகளில் செயல்படுத்தப்படும்போது, இந்த மூலோபாயம் பகுதி பிவோட்டிங்கை விட மூன்று மடங்கு மட்டுமே செலவாகும் என்று எதிர்பார்க்கப்படுகிறது, எனவே இது முழுமையான பிவோட்டிங்கை விட மலிவானது. கோட்பாட்டளவில் மற்றும் நடைமுறையில் பகுதி மையமாக இருப்பதை விட ரூக் மையமாக இருப்பது மிகவும் நிலையானது என்று நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. அளவிடப்பட்ட பிவோட்டிங் பகுதி பிவோட்டிங் மூலோபாயத்தின் மாறுபாடு பிவோட்டிங் அளவிடப்படுகிறது. இந்த அணுகுமுறையில், வழிமுறை அதன் வரிசையில் உள்ள உள்ளீடுகளுடன் ஒப்பிடுகையில் மிகப்பெரிய உள்ளீட்டை மைய உறுப்பாகத் தேர்ந்தெடுக்கிறது. உள்ளீடுகளின் பெரிய அளவிலான வேறுபாடுகள் ரவுண்ட்-ஆஃப் பிழையின் பரப்புதலுக்கு வழிவகுக்கும்போது இந்த உத்தி விரும்பத்தக்கது. ஒரு வரிசையின் உள்ளீடுகள் அளவில் பெரிதும் மாறுபடும் கீழே உள்ளதைப் போன்ற ஒரு அமைப்பில் அளவிடப்பட்ட பிவோட்டிங் பயன்படுத்தப்பட வேண்டும். கீழேயுள்ள எடுத்துக்காட்டில், இரண்டு வரிசைகளையும் மாற்றுவது விரும்பத்தக்கதாக இருக்கும், ஏனெனில் தற்போதைய மைய உறுப்பு 30 5.291 ஐ விட பெரியது, ஆனால் அதன் வரிசையில் உள்ள மற்ற உள்ளீடுகளுடன் ஒப்பிடும்போது இது ஒப்பீட்டளவில் சிறியது. இந்த விஷயத்தில் ரோ இன்டர்சேஞ்ச் இல்லாமல், முந்தைய உதாரணத்தைப் போலவே ரவுண்டிங் பிழைகள் பரப்பப்படும். ஒரு மேட்ரிக்ஸில் ஒரு மைய நிலை, A, என்பது மேட்ரிக்ஸில் உள்ள ஒரு நிலை, இது A இன் குறைக்கப்பட்ட வரிசை எசெலான் வடிவத்தில் ஒரு வரிசை-முன்னணி 1 உடன் ஒத்திருக்கிறது. A இன் குறைக்கப்பட்ட வரிசை ஈச்சலோன் வடிவம் தனித்துவமானது என்பதால், மையப்பகுதி நிலைகள் தனித்துவமாக தீர்மானிக்கப்படுகின்றன, மேலும் குறைப்பு செயல்பாட்டில் வரிசை இடைமாற்றங்கள் செய்யப்படுகிறதா இல்லையா என்பதைப் பொறுத்தது அல்ல. மேலும், ஒரு வரிசையின் மையப்பகுதி மேற்கண்ட வரிசையில் மையப்புள்ளியின் வலதுபுறத்தில் வரிசை ஈச்சலோன் வடிவத்தில் தோன்ற வேண்டும். குறிப்புகள் ஆர். எல். பர்டன், ஜே. டி. ஃபைர்ஸ், எண் பகுப்பாய்வு, 8 வது பதிப்பு, தாம்சன் ப்ரூக்ஸ்/கோல், 2005. ஜி. எச். கோலப், சி. எஃப். லோன், மேட்ரிக்ஸ் கம்ப்யூடேஷன்ஸ், 3 வது பதிப்பு, ஜான்ஸ் ஹாப்கின்ஸ், 1996. எண் நேரியல் இயற்கணிதம் பரிமாற்ற வழிமுறைகள் sv: மையக்கருத்து