Sample mean and covariance
மாதிரி சராசரி (மாதிரி சராசரி) அல்லது அனுபவ சராசரி (அனுபவ சராசரி), மற்றும் மாதிரி சக மாறுபாடு அல்லது அனுபவ சக மாறுபாடு ஆகியவை ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட சீரற்ற மாறிகள் குறித்த தரவுகளின் மாதிரியிலிருந்து கணக்கிடப்படும் புள்ளிவிவரங்கள் ஆகும். மாதிரி சராசரி என்பது எண்களின் பெரிய மக்கள்தொகையிலிருந்து எடுக்கப்பட்ட எண்களின் மாதிரியின் சராசரி மதிப்பு (அல்லது சராசரி மதிப்பு) ஆகும், அங்கு "மக்கள்தொகை" என்பது நபர்களின் எண்ணிக்கையை அல்ல, ஆனால் சேகரிக்கப்பட்டாலும் இல்லாவிட்டாலும் தொடர்புடைய தரவுகளின் முழுமையையும் குறிக்கிறது. ஃபார்ச்சூன் 500 இல் இருந்து 40 நிறுவனங்களின் விற்பனையின் மாதிரி மக்கள்தொகையைப் பார்ப்பதற்குப் பதிலாக வசதிக்காகப் பயன்படுத்தப்படலாம், அனைத்து 500 நிறுவனங்களின் விற்பனையும். மாதிரி சராசரி மக்கள்தொகை சராசரிக்கு ஒரு மதிப்பீட்டாளராகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது, முழு மக்கள்தொகையிலும் சராசரி மதிப்பு, மதிப்பீடு மக்கள்தொகைக்கு நெருக்கமாக இருக்கக்கூடும் என்றால் மாதிரி பெரியதாகவும் பிரதிநிதியாகவும் இருந்தால். மாதிரி சராசரியின் நம்பகத்தன்மை நிலையான பிழையைப் பயன்படுத்தி மதிப்பிடப்படுகிறது, இது மாதிரியின் மாறுபாட்டைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது. மாதிரி சீரற்றதாக இருந்தால், நிலையான பிழை மாதிரியின் அளவுடன் விழுகிறது மற்றும் மாதிரி அளவு அதிகரிக்கும் போது மாதிரி சராசரியின் விநியோகம் இயல்பான விநியோகத்தை அணுகுகிறது. புள்ளிவிவர நிபுணர் மாதிரியில் உள்ள பல மாறிகளின் மதிப்புகளைப் பார்க்கும்போது சராசரி மதிப்புகளின் திசையனைக் குறிக்க "மாதிரி சராசரி" என்ற சொல்லைப் பயன்படுத்தலாம், எ. கா. ஃபார்ச்சூன் 500 நிறுவனங்களின் மாதிரியின் விற்பனை, இலாபம் மற்றும் ஊழியர்கள். இந்த விஷயத்தில், ஒவ்வொரு மாறிக்கும் ஒரு மாதிரி மாறுபாடு மட்டுமல்ல, ஒவ்வொரு ஜோடி மாறிகளுக்கும் இடையிலான உறவைக் காட்டும் மாதிரி மாறுபாடு-சக மாறுபாடு அணி (அல்லது வெறுமனே சக மாறுபாடு அணி) உள்ளது. 3 மாறிகள் பரிசீலிக்கப்படும்போது இது 3 × 3 மேட்ரிக்ஸாக இருக்கும். மாதிரி கோவேரியன்ஸ் மதிப்பீட்டாளர்களாக மாதிரி வழிமுறைகளின் நம்பகத்தன்மையை தீர்மானிக்க பயனுள்ளதாக இருக்கும், மேலும் மக்கள்தொகை கோவேரியன்ஸ் மேட்ரிக்ஸின் மதிப்பீட்டாகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும். கணக்கீட்டின் எளிமை மற்றும் பிற விரும்பத்தக்க பண்புகள் காரணமாக, மாதிரியில் உள்ள மதிப்புகளின் விநியோகத்தின் இருப்பிடம் மற்றும் சிதறல் ஆகியவற்றைக் குறிக்கவும், மக்கள்தொகைக்கான மதிப்புகளை மதிப்பிடவும் மாதிரி சராசரி மற்றும் மாதிரி கோவேரியன்ஸ் புள்ளிவிவரங்களில் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. மாதிரியின் சராசரி வரையறை மாதிரி சராசரி என்பது ஒரு மாதிரியில் உள்ள மாறியின் மதிப்புகளின் சராசரி ஆகும், இது மதிப்புகளின் எண்ணிக்கையால் வகுக்கப்படும் அந்த மதிப்புகளின் கூட்டுத்தொகையாகும். கணிதக் குறியீட்டைப் பயன்படுத்தி, மாறி X மீது N அவதானிப்புகளின் மாதிரி மக்கள்தொகையிலிருந்து எடுக்கப்பட்டால், மாதிரி சராசரி பின்வருமாறுஃ இந்த வரையறையின் கீழ், மாதிரி (1,4,1) மக்கள்தொகையிலிருந்து எடுக்கப்பட்டால் (1,1,3,4,0,2,1,0), பின்னர் மாதிரி சராசரி, மக்கள்தொகை சராசரியுடன் ஒப்பிடும்போது. ஒரு மாதிரி சீரற்றதாக இருந்தாலும், அது அரிதாகவே சரியாக பிரதிநிதித்துவம் செய்கிறது, மேலும் மாதிரிகள் அனைத்தும் ஒரே மக்கள்தொகையிலிருந்து வந்திருந்தாலும் மற்ற மாதிரிகள் வேறு மாதிரி வழிமுறைகளைக் கொண்டிருக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, மாதிரி (2,1,0), 1 இன் மாதிரி சராசரியைக் கொண்டிருக்கும். புள்ளியியல் நிபுணர் ஒன்றுக்கு பதிலாக கே மாறிகளில் ஆர்வமாக இருந்தால், ஒவ்வொரு அவதானிப்பும் அந்த கே மாறிகள் ஒவ்வொன்றிற்கும் ஒரு மதிப்பைக் கொண்டுள்ளன, ஒட்டுமொத்த மாதிரி சராசரி தனிப்பட்ட மாறிகளுக்கான கே மாதிரி வழிமுறைகளைக் கொண்டுள்ளது. jth சீரற்ற மாறி (j = 1,., K) மீது சுயாதீனமாக வரையப்பட்ட அவதானிப்பு (i = 1,., N) ஆக இருக்கட்டும். இந்த அவதானிப்புகளை N நெடுவரிசை திசையன்களாக ஒழுங்கமைக்கலாம், ஒவ்வொன்றும் K உள்ளீடுகளுடன், K × 1 நெடுவரிசை திசையன் அனைத்து மாறிகளின் i-th அவதானிப்புகளையும் குறிக்கிறது (i = 1,., N). மாதிரி சராசரி திசையன் என்பது ஒரு நெடுவரிசை திசையன் ஆகும், அதன் ஜே-வது உறுப்பு ஜே-வது மாறியின் என் அவதானிப்புகளின் சராசரி மதிப்பாகும்ஃ எனவே, மாதிரி சராசரி திசையன் ஒவ்வொரு மாறியின் அவதானிப்புகளின் சராசரியைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் இது மாதிரி கோவேரியன்ஸின் வரையறை எழுதப்பட்டுள்ளது மாதிரி கோவேரியன்ஸ் மேட்ரிக்ஸ் என்பது ஒரு கே-பை-கே மேட்ரிக்ஸ் ஆகும், இதில் உள்ளீடுகள் உள்ளன, இது தரவுகளின் அடிப்படையிலான மக்கள்தொகையின் th மாறி மற்றும் th மாறிக்கு இடையிலான கோவேரியன்ஸின் மதிப்பீடாகும். கண்காணிப்பு திசையன்களைப் பொறுத்தவரை, மாதிரி கோவேரியன்ஸ் மாற்றாக, கண்காணிப்பு திசையன்களை ஒரு மேட்ரிக்ஸின் நெடுவரிசைகளாக ஏற்பாடு செய்கிறது, இதனால், இது கே வரிசைகள் மற்றும் என் நெடுவரிசைகளின் மேட்ரிக்ஸ் ஆகும். இங்கே, மாதிரி கோவேரியன்ஸ் மேட்ரிக்ஸை இவ்வாறு கணக்கிடலாம், அங்கு ஒன்றின் திசையன் மூலம் ஒரு N ஆகும். அவதானிப்புகள் நெடுவரிசைகளுக்கு பதிலாக வரிசைகளாக அமைக்கப்பட்டிருந்தால், இப்போது ஒரு 1 × கே வரிசை திசையன் மற்றும் ஒரு என் × கே மேட்ரிக்ஸ் ஆகும், அதன் நெடுவரிசை ஜே மாறி ஜே இல் என் அவதானிப்புகளின் திசையன் ஆகும், பின்னர் பொருத்தமான இடங்களில் இடமாற்றங்களைப் பயன்படுத்துவது கிடைக்கும் சீரற்ற திசையனுக்கான கோவேரியன்ஸ் மேட்ரிக்ஸ்களைப் போல, மாதிரி கோவேரியன்ஸ் மேட்ரிக்ஸ்கள் நேர்மறை அரை-திட்டவட்டமானவை. இதை நிரூபிக்க, எந்தவொரு மேட்ரிக்ஸுக்கும் மேட்ரிக்ஸ் நேர்மறை அரை-திட்டவட்டமானது என்பதை நினைவில் கொள்க. மேலும், திசையன்களின் தரவரிசை K. பக்கச்சார்பற்றதாக இருந்தால் மட்டுமே ஒரு கோவேரியன்ஸ் மேட்ரிக்ஸ் நேர்மறை திட்டவட்டமானது மாதிரி சராசரி மற்றும் மாதிரி கோவேரியன்ஸ் மேட்ரிக்ஸ் ஆகியவை சீரற்ற திசையனின் சராசரி மற்றும் கோவேரியன்ஸ் மேட்ரிக்ஸின் பக்கச்சார்பற்ற மதிப்பீடுகளாகும், இது ஒரு வரிசை திசையன், அதன் jth உறுப்பு (j = 1,., K) சீரற்ற மாறிகளில் ஒன்றாகும். மாதிரி கோவேரியன்ஸ் மேட்ரிக்ஸ் பெசலின் திருத்தத்தின் மாறுபாட்டின் காரணமாக அல்லாமல் வகுப்பில் உள்ளதுஃ சுருக்கமாக, மாதிரி கோவேரியன்ஸ் ஒவ்வொரு அவதானிப்புக்கும் மாதிரி சராசரிக்கும் இடையிலான வேறுபாட்டை நம்பியுள்ளது, ஆனால் மாதிரி சராசரி ஒவ்வொரு அவதானிப்புக்கும் சற்று தொடர்புபடுத்தப்பட்டுள்ளது, ஏனெனில் இது அனைத்து அவதானிப்புகளின் அடிப்படையில் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. மக்கள்தொகை சராசரி தெரிந்தால், மக்கள்தொகை சராசரியைப் பயன்படுத்தி ஒத்த பக்கச்சார்பற்ற மதிப்பீடு, வகுப்பில் உள்ளது. நிகழ்தகவு மற்றும் புள்ளிவிவரங்களில் சீரற்ற மாறிகள் (பெரிய வழக்கு எழுத்துக்கள்) மற்றும் சீரற்ற மாறிகளின் (சிறிய வழக்கு எழுத்துக்கள்) உணர்தல்களை வேறுபடுத்துவது ஏன் அவசியம் என்பதற்கு இது ஒரு எடுத்துக்காட்டு. காஸியன் டிஸ்ட்ரிபியூஷன் வழக்குக்கான கோவேரியன்ஸின் அதிகபட்ச சாத்தியக்கூறு மதிப்பீடு வகுப்பில் N ஐக் கொண்டுள்ளது. 1/N முதல் 1/(N−1) என்ற விகிதம் பெரிய N க்கு 1 ஐ அணுகுகிறது, எனவே மாதிரி பெரியதாக இருக்கும்போது அதிகபட்ச நிகழ்தகவு மதிப்பீடு தோராயமாக பக்கச்சார்பற்ற மதிப்பீட்டிற்கு சமம். ஒவ்வொரு சீரற்ற மாறிக்கும், மாதிரி சராசரி என்பது மக்கள்தொகை சராசரியின் ஒரு நல்ல மதிப்பீட்டாளர், அங்கு ஒரு "நல்ல" மதிப்பீட்டாளர் திறமையானவர் மற்றும் பக்கச்சார்பற்றவர் என்று வரையறுக்கப்படுகிறார். நிச்சயமாக மதிப்பீட்டாளர் மக்கள்தொகை சராசரியின் உண்மையான மதிப்பாக இருக்க மாட்டார், ஏனெனில் ஒரே விநியோகத்திலிருந்து எடுக்கப்பட்ட வெவ்வேறு மாதிரிகள் வெவ்வேறு மாதிரி வழிமுறைகளை வழங்கும், எனவே உண்மையான சராசரியின் வெவ்வேறு மதிப்பீடுகள். எனவே மாதிரி சராசரி ஒரு சீரற்ற மாறி, ஒரு மாறிலி அல்ல, இதன் விளைவாக அதன் சொந்த விநியோகத்தைக் கொண்டுள்ளது. jth சீரற்ற மாறி மீது N அவதானிப்புகளின் சீரற்ற மாதிரிக்கு, மாதிரி சராசரியின் விநியோகம் மக்கள்தொகை சராசரிக்கு சமமான சராசரி மற்றும் மாறுபாட்டிற்கு சமமாக உள்ளது, அங்கு மக்கள் தொகை மாறுபாடு உள்ளது. மக்கள்தொகையின் எண்கணித சராசரி, அல்லது மக்கள்தொகை சராசரி, பெரும்பாலும் குறிக்கப்படுகிறது. மாதிரி சராசரி (மக்கள்தொகையிலிருந்து பெறப்பட்ட மதிப்புகளின் மாதிரியின் எண்கணித சராசரி) மக்கள்தொகை சராசரியை ஒரு நல்ல மதிப்பீட்டாளராக ஆக்குகிறது, ஏனெனில் அதன் எதிர்பார்க்கப்பட்ட மதிப்பு மக்கள்தொகை சராசரிக்கு சமம் (அதாவது, இது ஒரு பக்கச்சார்பற்ற மதிப்பீட்டாளர்). மாதிரி சராசரி ஒரு சீரற்ற மாறி, ஒரு மாறிலி அல்ல, ஏனெனில் அதன் கணக்கிடப்பட்ட மதிப்பு மக்கள்தொகையில் எந்த உறுப்பினர்கள் மாதிரி எடுக்கப்படுகிறார்கள் என்பதைப் பொறுத்து தோராயமாக மாறுபடும், இதன் விளைவாக அது அதன் சொந்த விநியோகத்தைக் கொண்டிருக்கும். n சுயாதீன அவதானிப்புகளின் சீரற்ற மாதிரியைப் பொறுத்தவரை, மாதிரி சராசரியின் எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு மற்றும் மாதிரி சராசரியின் மாறுபாடு மாதிரிகள் சுயாதீனமாக இல்லை, ஆனால் தொடர்புபடுத்தப்பட்டிருந்தால், போலி நகலெடுப்பு சிக்கலைத் தவிர்ப்பதற்காக சிறப்பு கவனம் செலுத்தப்பட வேண்டும். மக்கள்தொகை பொதுவாக விநியோகிக்கப்பட்டால், மாதிரி சராசரி பொதுவாக பின்வருமாறு விநியோகிக்கப்படுகிறதுஃ மக்கள் தொகை பொதுவாக விநியோகிக்கப்படாவிட்டால், n பெரியதாகவும், σ2/n <+ φ ஆகவும் இருந்தால் மாதிரி சராசரி தோராயமாக பொதுவாக விநியோகிக்கப்படும். இது மைய வரம்பு தேற்றத்தின் விளைவாகும். எடையுள்ள மாதிரிகள் ஒரு எடையுள்ள மாதிரியில், ஒவ்வொரு திசையனுக்கும் (கே சீரற்ற மாறிகள் ஒவ்வொன்றிலும் ஒற்றை அவதானிப்புகளின் ஒவ்வொரு தொகுப்பும்) ஒரு எடை ஒதுக்கப்படுகிறது. பொதுவான தன்மையை இழக்காமல், எடைகள் இயல்பாக்கப்பட்டுள்ளன என்று வைத்துக்கொள்வோம்ஃ (அவை இல்லையென்றால், எடைகளை அவற்றின் கூட்டுத்தொகையால் வகுக்கவும்). பின்னர் எடையுள்ள சராசரி திசையன் வழங்கப்படுகிறது மற்றும் எடையுள்ள கோவேரியன்ஸ் மேட்ரிக்ஸின் கூறுகள் உள்ளன அனைத்து எடைகளும் ஒரே மாதிரியாக இருந்தால், எடையுள்ள சராசரி மற்றும் கோவேரியன்ஸ் மேலே குறிப்பிட்டுள்ள (பக்கச்சார்பான) மாதிரி சராசரி மற்றும் கோவேரியன்ஸுக்கு குறைகிறது. விமர்சனம் மாதிரி சராசரி மற்றும் மாதிரி சக மாறுபாடுகள் வலுவான புள்ளிவிவரங்கள் அல்ல, அதாவது அவை வெளிப்புறங்களுக்கு உணர்திறன் கொண்டவை. வலுவான தன்மை பெரும்பாலும் விரும்பத்தக்க பண்பு என்பதால், குறிப்பாக நிஜ உலக பயன்பாடுகளில், வலுவான மாற்று வழிகள் விரும்பத்தக்கவை என்று நிரூபிக்கலாம், குறிப்பாக இருப்பிடத்திற்கான மாதிரி சராசரி மற்றும் சிதறலுக்கான இன்டர்க்வார்டைல் ரேஞ்ச் (IQR) போன்ற அளவு அடிப்படையிலான புள்ளிவிவரங்கள். மற்ற மாற்றுகளில் டிரிம்மிங் மற்றும் வின்சோரைசிங் ஆகியவை அடங்கும், டிரிம் செய்யப்பட்ட சராசரி மற்றும் வின்சரைஸ் செய்யப்பட்ட சராசரி போல. மேலும் காண்க கோவேரியன்ஸ் மேட்ரிக்ஸின் மதிப்பீடு சிதறல் மேட்ரிக்ஸ் நிலையான விலகல் குறிப்புகளின் பக்கச்சார்பற்ற மதிப்பீடு கோவேரியன்ஸ் மற்றும் தொடர்பு மதிப்பீட்டு முறைகள் சுருக்கம் புள்ளிவிவரங்கள் மெட்ரிஸ் யு-புள்ளிவிவரங்கள்