Undefined (mathematics)
கணிதத்தில், வரையறுக்கப்படாத சொல் பெரும்பாலும் ஒரு விளக்கம் அல்லது மதிப்பு ஒதுக்கப்படாத ஒரு வெளிப்பாட்டைக் குறிக்கப் பயன்படுத்தப்படுகிறது (ஒரு நிச்சயமற்ற வடிவம் போன்றவை, இது வெவ்வேறு மதிப்புகளைக் கருதுவதற்கான வாய்ப்பைக் கொண்டுள்ளது). இந்த சொல் சூழலைப் பொறுத்து பல்வேறு அர்த்தங்களை எடுக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாகஃ கணிதத்தின் பல்வேறு பிரிவுகளில், சில கருத்துக்கள் பழமையான கருத்துகளாக அறிமுகப்படுத்தப்படுகின்றன (எ. கா., வடிவவியலில் "புள்ளி", "கோடு" மற்றும் "தளம்" என்ற சொற்கள்). இந்த சொற்கள் மற்ற கருத்தாக்கங்களின் அடிப்படையில் வரையறுக்கப்படாததால், அவை "வரையறுக்கப்படாத சொற்கள்" என்று குறிப்பிடப்படலாம். ஒரு செயல்பாடு அதன் களத்திற்கு வெளியே உள்ள புள்ளிகளில் "வரையறுக்கப்படாதது" என்று கூறப்படுகிறது, எடுத்துக்காட்டாக, உண்மையான மதிப்புள்ள செயல்பாடு எதிர்மறைக்கு வரையறுக்கப்படவில்லை (அதாவது, இது எதிர்மறை வாதங்களுக்கு எந்த மதிப்பையும் ஒதுக்காது). இயற்கணிதத்தில், சில எண்கணித செயல்பாடுகள் அதன் செயல்பாடுகளின் சில மதிப்புகளுக்கு ஒரு பொருளை ஒதுக்காமல் இருக்கலாம் (எ. கா., பூஜ்ஜியத்தால் வகுத்தல்). இந்த விஷயத்தில், அத்தகைய செயல்பாடுகளை உள்ளடக்கிய வெளிப்பாடுகள் "வரையறுக்கப்படாதவை" என்று அழைக்கப்படுகின்றன. வர்க்கமூலங்களில், எந்தவொரு எதிர்மறை எண்ணின் வர்க்கமூலங்களும் வரையறுக்கப்படவில்லை, ஏனெனில் நீங்கள் ஒரு எதிர்மறை எண்ணைப் பெறுவதற்கு ஒரே நேர்மறை அல்லது எதிர்மறை எண்ணில் 2 ஐ பெருக்க முடியாது, அதாவது ρ-4, ρ-9, ρ-16 போன்றவை. (எடுத்துக்காட்டாகஃ 6x6 = 36 மற்றும்-6x-6 = 36). வரையறுக்கப்படாத சொற்கள் பண்டைய காலங்களில், வடிவவியலாளர்கள் ஒவ்வொரு சொல்லையும் வரையறுக்க முயன்றனர். உதாரணமாக, யூக்ளிட் ஒரு புள்ளியை "எந்தப் பகுதியும் இல்லாதது" என்று வரையறுத்தார். நவீன காலங்களில், ஒவ்வொரு வார்த்தையையும் வரையறுக்க முயற்சிப்பது தவிர்க்க முடியாமல் வட்ட வரையறைகளுக்கு வழிவகுக்கிறது என்பதை கணிதவியலாளர்கள் அங்கீகரிக்கிறார்கள், எனவே சில சொற்களை ("புள்ளி" போன்றவை) வரையறுக்காமல் விட்டுவிடுகிறார்கள் (மேலும் பழமையான கருத்தைப் பார்க்கவும்). இந்த மிகவும் சுருக்கமான அணுகுமுறை பலனளிக்கும் பொதுமைப்படுத்தல்களை அனுமதிக்கிறது. இடவியலில், ஒரு இடவியல் இடத்தை சில பண்புகளைக் கொண்ட புள்ளிகளின் தொகுப்பாக வரையறுக்கலாம், ஆனால் பொதுவான அமைப்பில், இந்த "புள்ளிகளின்" தன்மை முற்றிலும் வரையறுக்கப்படாமல் விடப்படுகிறது. அதேபோல், வகைக் கோட்பாட்டில், ஒரு வகை "பொருள்கள்" மற்றும் "அம்புகள்" ஆகியவற்றைக் கொண்டுள்ளது, அவை மீண்டும் பழமையான, வரையறுக்கப்படாத சொற்கள். இது போன்ற சுருக்க கணிதக் கோட்பாடுகளை மிகவும் மாறுபட்ட உறுதியான சூழ்நிலைகளுக்கு பயன்படுத்த அனுமதிக்கிறது. எண்கணிதத்தில் வெளிப்பாடு எண்கணிதத்தில் வரையறுக்கப்படவில்லை, பூஜ்ஜியத்தால் வகுப்பதில் விளக்கப்பட்டுள்ளபடி (வெளிப்பாடு ஒரு நிச்சயமற்ற வடிவத்தைக் குறிக்க கால்குலஸில் பயன்படுத்தப்படுகிறது). கணிதவியலாளர்கள் 1 க்கு சமமாக வரையறுக்கப்பட வேண்டுமா அல்லது வரையறுக்கப்படாமல் விடப்பட வேண்டுமா என்பது குறித்து வெவ்வேறு கருத்துக்களைக் கொண்டுள்ளனர். எந்த செயல்பாடுகளுக்கான மதிப்புகள் வரையறுக்கப்படவில்லை ஒரு செயல்பாடு வரையறுக்கப்பட்ட எண்களின் தொகுப்பு செயல்பாட்டின் களம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு எண் ஒரு செயல்பாட்டின் களத்தில் இல்லையென்றால், அந்த செயல்பாடு அந்த எண்ணுக்கு "வரையறுக்கப்படாதது" என்று கூறப்படுகிறது. இரண்டு பொதுவான எடுத்துக்காட்டுகள், வரையறுக்கப்படாதவை, மற்றும், வரையறுக்கப்படாதவை (உண்மையான எண் அமைப்பில்) எதிர்மறைக்கு. முக்கோண அளவீட்டில், அனைவருக்கும், செயல்பாடுகள் மற்றும் அனைத்திற்கும் வரையறுக்கப்படவில்லை, அதே நேரத்தில் செயல்பாடுகள் மற்றும் அனைத்திற்கும் வரையறுக்கப்படவில்லை. சிக்கலான பகுப்பாய்வில், ஒரு ஹோலோமார்பிக் செயல்பாடு வரையறுக்கப்படாத ஒரு புள்ளி ஒரு ஒற்றுமை என்று அழைக்கப்படுகிறது. நீக்கக்கூடிய ஒருமைப்பாடுகள் (அதாவது, செயல்பாட்டை ஹோலோமார்பிக்கலாக நீட்டிக்க முடியும்), துருவங்கள் (அதாவது, செயல்பாட்டை மெரோமார்பிக்கலாக நீட்டிக்க முடியும்) மற்றும் அத்தியாவசிய ஒருமைப்பாடுகள் (அதாவது, எந்த மெரோமார்பிக் நீட்டிப்பும் இருக்க முடியாது) ஆகியவற்றுக்கு இடையே வேறுபடுகிறது. கணினி அறிவியலில், கணக்கீட்டு கோட்பாட்டில், ஒரு பகுதி செயல்பாடு மற்றும் ஒரு உறுப்பு என்றால், இது இவ்வாறு எழுதப்படுகிறது, மேலும் "f (a) வரையறுக்கப்படுகிறது" என்று படிக்கப்படுகிறது. களத்தில் இல்லையென்றால், இது இவ்வாறு எழுதப்பட்டு, "வரையறுக்கப்படவில்லை" என்று வாசிக்கப்படுகிறது. முடிவிலியின் சின்னங்கள் பகுப்பாய்வு, அளவீட்டுக் கோட்பாடு மற்றும் பிற கணிதத் துறைகளில், குறியீடு அதன் எதிர்மறையுடன், எல்லையற்ற போலி எண்ணைக் குறிக்க அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படுகிறது. சின்னத்திற்கு நன்கு வரையறுக்கப்பட்ட அர்த்தம் இல்லை, ஆனால் இது போன்ற ஒரு வெளிப்பாடு வேறுபட்ட வரிசைக்கான சுருக்கெழுத்து ஆகும், இது ஒரு கட்டத்தில் எந்தவொரு உண்மையான எண்ணையும் விட பெரியதாக இருக்கும். குறியீடுகளுடன் நிலையான எண்கணித செயல்பாடுகளைச் செய்வது வரையறுக்கப்படவில்லை. இருப்பினும், சில நீட்டிப்புகள் கூட்டல் மற்றும் பெருக்கத்தின் பின்வரும் மரபுகளை வரையறுக்கின்றனஃ அனைவருக்கும். எல்லோருக்கும். எல்லோருக்கும். பின்வரும் சந்தர்ப்பங்களில் கூட்டல் மற்றும் பெருக்கலின் விவேகமான நீட்டிப்பு எதுவும் இல்லை (அளவீட்டுக் கோட்பாட்டில், இது பெரும்பாலும் வரையறுக்கப்படுகிறது) மேலும் விவரங்களுக்கு, நீட்டிக்கப்பட்ட உண்மையான எண் வரியைப் பார்க்கவும். குறிப்புகள் மேலும் வாசிப்பு கணித சொற்களஞ்சியம் கால்குலஸ்