Modes of convergence
கணிதத்தில், ஒரு வரிசை அல்லது ஒரு தொடர் ஒன்றிணைந்ததாகக் கூறப்படும் பல புலன்கள் உள்ளன. இந்தக் கட்டுரை அவை வரையறுக்கப்பட்ட அமைப்புகளில் ஒன்றிணைவதற்கான பல்வேறு முறைகளை (புலன்கள் அல்லது இனங்கள்) விவரிக்கிறது. ஒருங்கிணைப்பு முறைகளின் பட்டியலுக்கு, பின்வரும் பொருள்கள் ஒவ்வொன்றும் அதற்கு முந்தைய வகைகளின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு என்பதைக் கவனியுங்கள்ஃ செட், இடவியல் இடைவெளிகள், சீரான இடைவெளிகள், டிஏஜி (இடவியல் அபெலியன் குழுக்கள்), நெறிமுறை இடைவெளிகள், யூக்ளிடியன் இடைவெளிகள் மற்றும் உண்மையான/சிக்கலான எண்கள். மேலும், எந்த மெட்ரிக் இடமும் ஒரு சீரான இடமாகும் என்பதை நினைவில் கொள்க. ஒரு இடவியல் இடைவெளி ஒருங்கிணைப்பின் கூறுகளை முதலில் கணக்கிடக்கூடிய இடைவெளிகளில் உள்ள வரிசைகளின் அடிப்படையில் வரையறுக்கலாம். வலை என்பது முதலில் கணக்கிட முடியாத இடங்களில் பயனுள்ளதாக இருக்கும் வரிசைகளின் பொதுமைப்படுத்தலாகும். வடிகட்டிகள் ஒருங்கிணைப்பு என்ற கருத்தை மேலும் பொதுமைப்படுத்துகின்றன. மெட்ரிக் இடைவெளிகளில், ஒருவர் காச்சி வரிசைகளை வரையறுக்க முடியும். காச்சி வலைகள் மற்றும் வடிப்பான்கள் சீரான இடங்களுக்கு பொதுமைப்படுத்தல்கள் ஆகும். இன்னும் பொதுவாக, காச்சி இடைவெளிகள் என்பது காச்சி வடிப்பான்களை வரையறுக்கக்கூடிய இடைவெளிகள் ஆகும். ஒருங்கிணைப்பு என்பது "காச்சி-ஒருங்கிணைப்பு" என்பதைக் குறிக்கிறது, மேலும் காச்சி-ஒருங்கிணைப்பு, ஒரு ஒருங்கிணைந்த தொடர்ச்சியின் இருப்புடன் இணைந்து ஒருங்கிணைப்பைக் குறிக்கிறது. மெட்ரிக் இடைவெளிகளின் முழுமை பற்றிய கருத்து மற்றும் அதன் பொதுமைப்படுத்தல்கள் காச்சி வரிசைகளின் அடிப்படையில் வரையறுக்கப்படுகின்றன. ஒரு இடவியல் அபெலியன் குழுவில் உள்ள கூறுகளின் தொடர் ஒரு இடவியல் அபெலியன் குழுவில், ஒரு தொடரின் ஒருங்கிணைப்பு பகுதி தொகைகளின் வரிசையின் ஒருங்கிணைப்பு என வரையறுக்கப்படுகிறது. தொடரைக் கருத்தில் கொள்ளும்போது ஒரு முக்கியமான கருத்து நிபந்தனையற்ற ஒருங்கிணைப்பு ஆகும், இது கூட்டுத்தொகைகளின் வரிசைமாற்றங்களின் கீழ் தொடரின் வரம்பு மாறாதது என்பதை உறுதிப்படுத்துகிறது. ஒரு நெறிமுறைப்படுத்தப்பட்ட திசையன் இடத்தில், முழுமையான ஒருங்கிணைப்பை நெறிமுறைகளின் தொடரின் ஒருங்கிணைப்பு () என வரையறுக்கலாம். முழுமையான ஒருங்கிணைப்பு என்பது பகுதி தொகைகளின் வரிசையின் காச்சி ஒருங்கிணைப்பைக் குறிக்கிறது (முக்கோண சமத்துவமின்மையால்), இது சில குழுக்களின் முழுமையான ஒருங்கிணைப்பைக் குறிக்கிறது (மறுசீரமைப்பு அல்ல). தொகுப்பதன் மூலம் பெறப்பட்ட பகுதி தொகைகளின் வரிசை அசல் தொடரின் பகுதி தொகைகளின் தொடர்ச்சியாகும். முற்றிலும் ஒன்றிணைந்த தொடரின் நெறிமுறை ஒருங்கிணைப்பு என்பது ஒரு நெறிமுறை நேரியல் இடைவெளி பானாக் (அதாவது. : முழுமையானது). முழுமையான ஒருங்கிணைப்பு மற்றும் ஒருங்கிணைப்பு ஆகியவை நிபந்தனையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் குறிக்கின்றன, ஆனால் நிபந்தனையற்ற ஒருங்கிணைப்பு என்பது பொதுவாக முழுமையான ஒருங்கிணைப்பைக் குறிக்காது, இடைவெளி பானாக்காக இருந்தாலும் கூட, இதன் உட்பொருள் உள்ளது. ஒரு இடவியல் இடத்தில் செயல்பாடுகளின் வரிசையின் ஒருங்கிணைப்பு செயல்பாடுகளின் வரிசைக்கான மிக அடிப்படையான ஒருங்கிணைப்பு வகை (குறிப்பாக, செயல்பாடுகளின் களத்தில் எந்த இடவியல் கட்டமைப்பையும் இது கருதவில்லை) என்பது புள்ளி வாரியான ஒருங்கிணைப்பு ஆகும். இது ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் செயல்பாடுகளின் மதிப்புகளின் வரிசையின் ஒருங்கிணைப்பு என வரையறுக்கப்படுகிறது. செயல்பாடுகள் அவற்றின் மதிப்புகளை ஒரு சீரான இடத்தில் எடுத்துக் கொண்டால், புள்ளி வாரியாக காச்சி ஒருங்கிணைப்பு, சீரான ஒருங்கிணைப்பு மற்றும் வரிசையின் சீரான காச்சி ஒருங்கிணைப்பு ஆகியவற்றை வரையறுக்க முடியும். பாயிண்ட் வைஸ் ஒருங்கிணைப்பு என்பது பாயிண்ட் வைஸ் காச்சி-ஒருங்கிணைப்பைக் குறிக்கிறது, மேலும் செயல்பாடுகள் அவற்றின் மதிப்புகளை எடுக்கும் இடம் முழுமையாக இருந்தால் எதிர் பொருந்தும். சீரான ஒருங்கிணைப்பு என்பது புள்ளி வாரியாக ஒருங்கிணைப்பு மற்றும் சீரான காச்சி ஒருங்கிணைப்பைக் குறிக்கிறது. சீரான காச்சி ஒருங்கிணைப்பு மற்றும் ஒரு தொடர்ச்சியின் புள்ளி வாரியாக ஒருங்கிணைப்பு என்பது வரிசையின் சீரான ஒருங்கிணைப்பைக் குறிக்கிறது, மேலும் கோடமைன் முழுமையானதாக இருந்தால், சீரான காச்சி ஒருங்கிணைப்பு என்பது சீரான ஒருங்கிணைப்பைக் குறிக்கிறது. செயல்பாடுகளின் களம் ஒரு இடவியல் இடமாக இருந்தால், உள்ளூர் சீரான ஒருங்கிணைப்பு (அதாவது. ஒவ்வொரு புள்ளியின் அருகிலும் சீரான ஒருங்கிணைப்பு) மற்றும் கச்சிதமான (சீரான) ஒருங்கிணைப்பு (அதாவது. அனைத்து சிறிய துணைக்குழுக்களிலும் ஒரே சீரான ஒருங்கிணைப்பு) வரையறுக்கப்படலாம். "கச்சிதமான ஒருங்கிணைப்பு" என்பது எப்போதும் "கச்சிதமான சீரான ஒருங்கிணைப்புக்கு" குறுகியது என்பதை நினைவில் கொள்க, ஏனெனில் "கச்சிதமான புள்ளி வாரியாக ஒருங்கிணைப்பு" என்பது "புள்ளி வாரியாக ஒருங்கிணைப்பு" என்று பொருள்படும் (புள்ளிகள் எப்போதும் கச்சிதமாக இருக்கும்). சீரான ஒருங்கிணைப்பு என்பது உள்ளூர் சீரான ஒருங்கிணைப்பு மற்றும் சிறிய ஒருங்கிணைப்பு ஆகிய இரண்டையும் குறிக்கிறது, ஏனெனில் இரண்டும் உள்ளூர் கருத்துக்கள், அதே நேரத்தில் சீரான ஒருங்கிணைப்பு உலகளாவியது. X உள்ளூரில் சுருக்கமாக இருந்தால் (பலவீனமான அர்த்தத்தில் கூடஃ ஒவ்வொரு புள்ளியும் கச்சிதமான சுற்றுப்புறத்தைக் கொண்டுள்ளது), உள்ளூர் சீரான ஒருங்கிணைப்பு கச்சிதமான (சீரான) ஒருங்கிணைப்புக்கு சமம். தோராயமாக கூறுவதானால், "உள்ளூர்" மற்றும் "கச்சிதமான" ஒரே விஷயத்தைக் குறிக்கின்றன. ஒரு இடவியல் அபெலியன் குழுவில் தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகள் புள்ளி வாரியாகவும், தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளின் சீரான ஒருங்கிணைப்பு பகுதியளவு தொகைகளின் வரிசையின் ஒருங்கிணைப்பின் அடிப்படையில் வரையறுக்கப்படுகின்றன. ஒரு நெறிமுறை நேரியல் இடத்தில் மதிப்புகளை எடுக்கும் செயல்பாடுகளுக்கு, முழுமையான ஒருங்கிணைப்பு என்பது நேர்மறை, உண்மையான மதிப்புள்ள செயல்பாடுகளின் தொடரின் ஒருங்கிணைப்பைக் குறிக்கிறது. "பாயிண்ட் வைஸ் அப்சல்யூட் கன்வெர்ஜென்ஸ்" என்பது வெறுமனே பாயிண்ட் வைஸ் கன்வெர்ஜென்ஸ் ஆகும். இயல்பான ஒருங்கிணைப்பு என்பது சீருடையை எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம் பெறப்பட்ட எதிர்மறை அல்லாத உண்மையான எண்களின் தொடரின் ஒருங்கிணைப்பு ஆகும் (அதாவது. தொடரில் உள்ள ஒவ்வொரு செயல்பாட்டின் நெறிமுறை (சீரான ஒருங்கிணைப்பு). பானாச் இடைவெளிகளில், புள்ளி வாரியாக முழுமையான ஒருங்கிணைப்பு என்பது புள்ளி வாரியாக ஒருங்கிணைப்பைக் குறிக்கிறது, மேலும் இயல்பான ஒருங்கிணைப்பு என்பது சீரான ஒருங்கிணைப்பைக் குறிக்கிறது. ஒரு இடவியல் இடத்தில் வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாடுகளுக்கு, தொடரின் பகுதி தொகைகளின் அடிப்படையில் உள்ளூர் சீரான ஒருங்கிணைப்பு மற்றும் கச்சிதமான (சீரான) ஒருங்கிணைப்பை (மேலே உள்ளபடி) வரையறுக்கலாம். கூடுதலாக, செயல்பாடுகள் ஒரு நெறிமுறை நேரியல் இடத்தில் மதிப்புகளை எடுத்துக் கொண்டால், உள்ளூர் இயல்பான ஒருங்கிணைப்பு (உள்ளூர், சீரான, முழுமையான ஒருங்கிணைப்பு) மற்றும் கச்சிதமான இயல்பான ஒருங்கிணைப்பு (கச்சிதமான தொகுப்புகளில் முழுமையான ஒருங்கிணைப்பு) ஆகியவற்றை வரையறுக்க முடியும். இயல்பான ஒருங்கிணைப்பு என்பது உள்ளூர் இயல்பான ஒருங்கிணைப்பு மற்றும் கச்சிதமான இயல்பான ஒருங்கிணைப்பு ஆகிய இரண்டையும் குறிக்கிறது. களம் உள்ளூரில் கச்சிதமாக இருந்தால் (பலவீனமான அர்த்தத்தில் கூட), உள்ளூர் இயல்பான ஒருங்கிணைப்பு என்பது கச்சிதமான இயல்பான ஒருங்கிணைப்பைக் குறிக்கிறது. ஒரு அளவீட்டு இடத்தில் வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாடுகள் அளவிடக்கூடிய செயல்பாடுகளின் வரிசைகளை ஒருவர் கருத்தில் கொண்டால், இடவியல் பண்புகளை மட்டுமே விட, அளவீட்டு-கோட்பாட்டைப் பொறுத்து பல ஒருங்கிணைப்பு முறைகள் எழுகின்றன. இதில் கிட்டத்தட்ட எல்லா இடங்களிலும் புள்ளி வாரியாக ஒருங்கிணைப்பு, p-அர்த்தத்தில் ஒருங்கிணைப்பு மற்றும் அளவீட்டில் ஒருங்கிணைப்பு ஆகியவை அடங்கும். இவை நிகழ்தகவு கோட்பாட்டில் குறிப்பாக ஆர்வமாக உள்ளன. மேலும் காண்க இடவியல் ஒருங்கிணைப்பு (கணிதம்)