Limit point compact
கணிதத்தில், ஒவ்வொரு எல்லையற்ற துணைக்குழுவிற்கும் ஒரு வரம்பு புள்ளி இருந்தால், ஒரு இடவியல் இடைவெளி வரம்பு புள்ளி சுருக்கமாக அல்லது பலவீனமாக எண்ணக்கூடிய வகையில் சுருக்கமாக இருக்கும் என்று கூறப்படுகிறது. ஒரு மெட்ரிக் இடத்தில், வரம்பு புள்ளி சுருக்கத்தன்மை, சுருக்கத்தன்மை மற்றும் தொடர்ச்சியான சுருக்கத்தன்மை அனைத்தும் சமமானவை. இருப்பினும், பொதுவான இடவியல் இடங்களைப் பொறுத்தவரை, சுருக்கத்தின் இந்த மூன்று கருத்துக்களும் சமமானவை அல்ல. பண்புகள் மற்றும் எடுத்துக்காட்டுகள் ஒரு இடவியல் இடத்தில், வரம்பு புள்ளி இல்லாத துணைக்குழுக்கள் சரியாக துணைப்பகுதி இடவியலில் மூடப்பட்ட மற்றும் தனித்துவமானவை. எனவே ஒரு இடைவெளி அதன் அனைத்து மூடிய தனித்துவமான துணைக்குழுக்களும் வரையறுக்கப்பட்டதாக இருந்தால் மட்டுமே வரம்பு புள்ளி கச்சிதமாக இருக்கும். ஒரு இடைவெளி எல்லையற்ற மூடிய தனித்துவமான துணை இடத்தை கொண்டிருந்தால் மட்டுமே அது வரம்பு புள்ளி சுருக்கமாக இருக்கும். ஒரு மூடிய தனித்துவமான துணைக்குழுவின் எந்தவொரு துணைக்குழுவும் மூடப்பட்ட மற்றும் தனித்துவமானதாக இருப்பதால், இது எண்ணற்ற எல்லையற்ற மூடிய தனித்துவமான துணை இடத்தை கொண்ட தேவைக்கு சமம். வரையறுக்கப்பட்ட புள்ளி சுருக்கமாக இல்லாத இடைவெளிகளின் சில எடுத்துக்காட்டுகள்ஃ (1) முழு எண்கள் எல்லையற்ற தொகுப்பாக இருந்தாலும் வரம்பு புள்ளியைக் கொண்டிருக்காததால், அதன் வழக்கமான இடவியல் கொண்ட அனைத்து உண்மையான எண்களின் தொகுப்பு; (2) தனித்துவமான இடவியல் கொண்ட எல்லையற்ற தொகுப்பு; (3) எண்ணற்ற தொகுப்பில் எண்ணக்கூடிய நிரப்பு இடவியல். ஒவ்வொரு எண்ணற்ற கச்சிதமான இடமும் (எனவே ஒவ்வொரு கச்சிதமான இடமும்) வரம்பு புள்ளி கச்சிதமானது. T1 இடைவெளிகளைப் பொறுத்தவரை, வரம்பு புள்ளி சுருக்கமானது கணக்கிடக்கூடிய சுருக்கத்திற்கு சமம். எண்ணிக்கையில் கச்சிதமாக இல்லாத வரம்பு புள்ளி சுருக்க இடத்தின் ஒரு எடுத்துக்காட்டு "முழு எண்களை இரட்டிப்பாக்குவதன்" மூலம் பெறப்படுகிறது, அதாவது, தனித்துவமான இடவியல் மற்றும் கண்மூடித்தனமான இடவியல் கொண்ட அனைத்து முழு எண்களின் தொகுப்பாக இருக்கும் விளைபொருளை எடுத்துக்கொள்வது. இந்த இடைவெளி ஒற்றைப்படை-இரட்டை நிலை இடவியல்க்கு ஒத்த வடிவமானது. இந்த இடம் T0 அல்ல. ஒவ்வொரு காலியாக இல்லாத துணைக்குழுவிற்கும் ஒரு வரம்பு புள்ளி இருப்பதால் இது வரம்பு புள்ளி கச்சிதமானது. T0 இடத்தின் ஒரு எடுத்துக்காட்டு, வரம்பு புள்ளி கச்சிதமானது மற்றும் எண்ணற்ற கச்சிதமாக இல்லாதது, அனைத்து உண்மையான எண்களின் தொகுப்பாகும், சரியான வரிசை இடவியல், அதாவது, அனைத்து இடைவெளிகளாலும் உருவாக்கப்படும் இடவியல் இடைவெளி வரம்பு புள்ளி கச்சிதமானது, ஏனெனில் எந்த புள்ளியும் கொடுக்கப்பட்டால் ஒவ்வொன்றும் ஒரு வரம்பு புள்ளியாகும் அளவிடக்கூடிய இடைவெளிகள், கச்சிதத்தன்மை, எண்ணக்கூடிய கச்சிதத்தன்மை, வரம்பு புள்ளி கச்சிதத்தன்மை மற்றும் தொடர்ச்சியான கச்சிதத்தன்மை அனைத்தும் சமமானவை. ஒரு வரம்பு புள்ளி கச்சிதமான இடத்தின் மூடப்பட்ட துணை இடங்கள் வரம்பு புள்ளி கச்சிதமானவை. ஒரு வரம்பு புள்ளி சுருக்க இடத்தின் தொடர்ச்சியான படம் வரம்பு புள்ளி சுருக்கமாக இருக்க வேண்டியதில்லை. எடுத்துக்காட்டாக, மேலே உள்ள உதாரணத்தைப் போல தனித்துவமான மற்றும் தனித்துவமற்றதாக இருந்தால், முதல் ஒருங்கிணைப்பில் திட்டத்தால் கொடுக்கப்பட்ட வரைபடம் தொடர்ச்சியானது, ஆனால் வரம்பு புள்ளி சுருக்கமாக இல்லை. ஒரு வரம்பு புள்ளி கச்சிதமான இடம் போலி காம்பாக்ட் ஆக இருக்க வேண்டியதில்லை. ஒரு உதாரணம் கண்மூடித்தனமான இரண்டு-புள்ளி இடத்துடன் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது, மேலும் ஒரு போலி காம்பாக்ட் இடத்தில் வரம்புக்குட்பட்ட படம் இல்லாத வரைபடம் வரம்பு புள்ளி கச்சிதமாக இருக்க வேண்டியதில்லை. கணக்கிட முடியாத இடவியல் கொண்ட கணக்கிட முடியாத தொகுப்பால் ஒரு எடுத்துக்காட்டு வழங்கப்படுகிறது. ஒவ்வொரு சாதாரண சூடோ காம்பாக்ட் இடமும் வரம்பு புள்ளி compact.Proof: வரம்பு புள்ளி கச்சிதமாக இல்லாத ஒரு சாதாரண இடம் என்று வைத்துக்கொள்வோம். டைட்ஸ் விரிவாக்க தேற்றத்தால் வரையறுக்கப்பட்ட தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டை அனைத்திலும் (வரம்பற்ற) உண்மையான மதிப்புள்ள தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டிற்கு நீட்டிக்க முடியும். வரம்பு புள்ளி சிறிய இடைவெளிகள் எண்ணக்கூடிய அளவைக் கொண்டுள்ளன. இடவியல் இடைவெளிகள் மிகச்சிறந்தவை மற்றும் வரம்பு புள்ளி கச்சிதமாக இருந்தால், அதேபோல் இதுவும் பார்க்கவும் இடவியல் இடைவெளிகளின் குறிப்புகள் பண்புகள் சுருக்கமாக (கணிதம்)