Schröder–Bernstein theorems for operator algebras
செட் கோட்பாட்டின் ஷ்ரோடர்-பெர்ன்ஸ்டைன் தேற்றம் சூழல் ஆபரேட்டர் ஆல்ஜிப்ராக்களில் ஒப்புமைகளைக் கொண்டுள்ளது. இந்தக் கட்டுரை அத்தகைய இயக்குபவர்-இயற்கணித முடிவுகளைப் பற்றி விவாதிக்கிறது. வான் நியூமன் ஆல்ஜிப்ராக்களைப் பொறுத்தவரை, எம் ஒரு வான் நியூமன் அல்ஜிப்ரா மற்றும் ஈ, எஃப் ஆகியவை எம் இல் உள்ள கணிப்புகள் என்று வைத்துக்கொள்வோம். எம் மீது முர்ரே-வான் நியூமன் சமநிலை உறவைக் குறிக்கலாம். ஈ 'எஃப்' ≤ எஃப் என்றால் ஈ 'எஃப் மூலம் கணிப்புகளின் குடும்பத்தில் ஒரு பகுதி வரிசையை வரையறுக்கவும். வேறுவிதமாகக் கூறினால், யூ * யூ = ஈ மற்றும் யூ * ≤ எஃப் போன்ற ஒரு பகுதி ஐசோமெட்ரி இருந்தால் ஈ' எஃப். மூடிய துணை இடங்களுக்கு எம் மற்றும் என், முறையே எம் மற்றும் என் மீது பிஎம் மற்றும் பிஎன் கணிப்புகள் இருந்தால், எம், எம் 'என் இன் கூறுகளாகும். ஷ்ரோடர்-பெர்ன்ஸ்டைன் தேற்றம் M "N மற்றும் N" M என்றால், M ~ N. ஒரு ஆதாரம், ஒரு தொகுப்பு-கோட்பாட்டு வாதத்திற்கு ஒத்த ஒன்று, பின்வருமாறு வரையப்படலாம் என்று கூறுகிறது. பேச்சுவழக்கில், N "M என்றால் N ஐ ஐசோமெட்ரிக் முறையில் M இல் உட்பொதிக்கப்படலாம். எனவே N0 என்பது M இல் N இன் ஐசோமெட்ரிக் நகல். அனுமானத்தின் மூலம், N, எனவே N0, M இன் ஐசோமெட்ரிக் நகல் M1 ஐக் கொண்டுள்ளது என்பதும் உண்மை. எனவே, ஒருவர் தூண்டல் மூலம் எழுதலாம், எனவே, கவனிக்கவும். சி *-ஆல்ஜிப்ராக்களின் பிரதிநிதித்துவங்கள் சி *-ஆல்ஜிப்ராக்களின் பிரதிநிதித்துவங்களுக்கு ஷ்ரோடர்-பெர்ன்ஸ்டைனின் ஒப்புமையும் உள்ளது. A ஒரு C *-ஆல்ஜீப்ரா என்றால், A இன் பிரதிநிதித்துவம் ஒரு *-ஹோமோமார்பிசம் ஆகும், A இலிருந்து L (H) ஆக, சில ஹில்பர்ட் இடத்தில் எல்லைக்குட்பட்ட ஆபரேட்டர்கள் H. L (H) இல் ஒரு திட்டம் P இருந்தால், அங்கு P φ (a) = φ (a) P இல் A இல் உள்ள ஒவ்வொரு a க்கும், பின்னர் φ இன் ஒரு துணை பிரதிநிதித்துவத்தை இயற்கையான முறையில் வரையறுக்கலாம்ஃ σ (a) என்பது φ (a) P வரம்பிற்கு மட்டுப்படுத்தப்பட்டுள்ளது. எனவே φ பின்னர் இரண்டு துணை பிரதிநிதித்துவங்களின் நேரடி கூட்டுத்தொகையாக வெளிப்படுத்தப்படலாம் φ = φ 'σ. H1 மற்றும் H2 இல் முறையே φ1 மற்றும் φ2 என்ற இரண்டு பிரதிநிதித்துவங்கள், ஒவ்வொரு a க்கும் φ1 (a) U = Uφ2 (a) போன்ற ஒரு யூனிட்டரி ஆபரேட்டர் U: H2 → H1 இருந்தால், அவை யூனிட்டரி சமமானவை என்று கூறப்படுகிறது. இந்த அமைப்பில், ஷ்ரோடர்-பெர்ன்ஸ்டைன் தேற்றம் பின்வருமாறு கூறுகிறதுஃ ஹில்பர்ட் இடைவெளிகள் H மற்றும் G இல் முறையே இரண்டு பிரதிநிதித்துவங்கள் ρ மற்றும் σ, ஒவ்வொன்றும் மற்றொன்றின் துணை பிரதிநிதித்துவத்திற்கு ஒற்றையாக சமமாக இருந்தால், அவை ஒற்றையாக சமமானவை. முந்தைய வாதத்தை ஒத்த ஒரு ஆதாரத்தை கோடிட்டுக் காட்டலாம். H முதல் G வரையிலும், G முதல் H வரையிலும் சர்ஜெக்டிவ் பகுதி ஐசோமீட்டரிகள் உள்ளன என்பதை அனுமானம் குறிக்கிறது. வாதத்திற்கு அத்தகைய இரண்டு பகுதி ஐசோமீட்டரிகளை சரிசெய்யவும். ஒன்று, தூண்டல் மூலம், மற்றும் இப்போது நேரடி கூட்டுத்தொகையில் உள்ள ஒவ்வொரு கூடுதல் கூட்டுத்தொகையும் இரண்டு நிலையான பகுதி ஐசோமெட்ரிகளில் ஒன்றைப் பயன்படுத்தி பெறப்படுகிறது, எனவே இது தேற்றத்தை நிரூபிக்கிறது. மேலும் காண்க ஷ்ரோடர்-பெர்ன்ஸ்டைன் தேற்றம் அளவிடக்கூடிய இடைவெளிகள் ஷ்ரோடர்-பெர்ன்ஸ்டைன் பண்பு குறிப்புகள் பி. பிளாக்காடர், ஆபரேட்டர் ஆல்ஜிப்ராஸ், ஸ்பிரிங்கர், 2006. சி *-ஆல்ஜிப்ராக்கள் செயல்பாட்டு பகுப்பாய்வு ஆபரேட்டர் கோட்பாடு வான் நியூமன் ஆல்ஜிப்ராக்கள்