Data transformation (statistics)
புள்ளிவிவரங்களில், தரவு மாற்றம் என்பது ஒரு தரவு தொகுப்பில் உள்ள ஒவ்வொரு புள்ளிக்கும் ஒரு தீர்மானகரமான கணித செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்துவதாகும்-அதாவது, ஒவ்வொரு தரவு புள்ளியும் மாற்றப்பட்ட மதிப்பு yi = f (zi) உடன் மாற்றப்படுகிறது, அங்கு f என்பது ஒரு செயல்பாடு. உருமாற்றங்கள் வழக்கமாக பயன்படுத்தப்படுகின்றன, இதனால் தரவு பயன்படுத்தப்பட வேண்டிய புள்ளிவிவர அனுமான நடைமுறையின் அனுமானங்களை மிகவும் நெருக்கமாக பூர்த்தி செய்வதாகத் தோன்றுகிறது, அல்லது வரைபடங்களின் விளக்கத்தன்மை அல்லது தோற்றத்தை மேம்படுத்துகிறது. கிட்டத்தட்ட எப்போதும், தரவை மாற்றப் பயன்படுத்தப்படும் செயல்பாடு தலைகீழாக இருக்கும், மேலும் பொதுவாக தொடர்ச்சியானது. இந்த மாற்றம் பொதுவாக ஒப்பிடக்கூடிய அளவீடுகளின் தொகுப்புக்கு பயன்படுத்தப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, சில நாணய அலகுகளில் மக்களின் வருமானம் குறித்த தரவுகளுடன் நாம் பணிபுரிகிறோம் என்றால், ஒவ்வொரு நபரின் வருமான மதிப்பையும் மடக்கை செயல்பாட்டால் மாற்றுவது பொதுவானதாக இருக்கும். தரவை எவ்வாறு மாற்ற வேண்டும் என்பதற்கான உந்துதல் வழிகாட்டல், அல்லது ஒரு மாற்றத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டுமா என்பது, செய்யப்பட வேண்டிய குறிப்பிட்ட புள்ளிவிவர பகுப்பாய்விலிருந்து வர வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, மக்கள்தொகை சராசரிக்கு தோராயமாக 95 சதவீதம் நம்பிக்கை இடைவெளியை உருவாக்குவதற்கான ஒரு எளிய வழி, மாதிரி சராசரி கூட்டல் அல்லது கழித்தல் இரண்டு நிலையான பிழை அலகுகளை எடுத்துக்கொள்வதாகும். இருப்பினும், இங்கு பயன்படுத்தப்படும் நிலையான காரணி 2 இயல்பான விநியோகத்திற்கு குறிப்பிட்டது, மேலும் மாதிரி சராசரி தோராயமாக பொதுவாக மாறுபடும் போது மட்டுமே பொருந்தும். மைய வரம்பு தேற்றம் பல சூழ்நிலைகளில், மாதிரி அளவு நியாயமான அளவில் பெரியதாக இருந்தால் மாதிரி சராசரி பொதுவாக மாறுபடும் என்று கூறுகிறது. இருப்பினும், மக்கள் தொகை கணிசமாக வளைந்திருந்தால் மற்றும் மாதிரி அளவு மிகவும் மிதமானதாக இருந்தால், மத்திய வரம்பு தேற்றத்தால் வழங்கப்பட்ட தோராயமானது மோசமாக இருக்கலாம், இதன் விளைவாக ஏற்படும் நம்பிக்கை இடைவெளி தவறான பாதுகாப்பு நிகழ்தகவைக் கொண்டிருக்கும். எனவே, தரவுகளில் கணிசமான வளைவு இருப்பதற்கான சான்றுகள் இருக்கும்போது, நம்பிக்கை இடைவெளியை உருவாக்குவதற்கு முன்பு தரவை சமச்சீர் விநியோகமாக மாற்றுவது பொதுவானது. விரும்பியிருந்தால், தரவுகளில் பயன்படுத்தப்பட்ட மாற்றத்தின் தலைகீழ் பயன்படுத்தி நம்பிக்கை இடைவெளியை மீண்டும் அசல் அளவுகோலாக மாற்றலாம். தரவைக் காட்சிப்படுத்துவதை எளிதாக்குவதற்கும் அவற்றை மாற்றலாம். எடுத்துக்காட்டாக, நம்மிடம் ஒரு சிதறல் இடம் உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம், அதில் புள்ளிகள் உலகின் நாடுகள், மேலும் திட்டமிடப்படும் தரவு மதிப்புகள் ஒவ்வொரு நாட்டின் நிலப்பரப்பு மற்றும் மக்கள் தொகை ஆகும். பிளாட் மாற்றப்படாத தரவைப் பயன்படுத்தி செய்யப்பட்டால் (எ. கா. பரப்பளவு மற்றும் மக்கள்தொகைக்கு சதுர கிலோமீட்டர்), பெரும்பாலான நாடுகள் வரைபடத்தின் கீழ் இடது மூலையில் இறுக்கமான புள்ளிகளின் தொகுப்பில் திட்டமிடப்படும். மிகப் பெரிய பரப்பளவு மற்றும்/அல்லது மக்கள்தொகை கொண்ட சில நாடுகள் வரைபடத்தின் பெரும்பாலான பகுதிகளைச் சுற்றி மெல்லிய அளவில் பரவியிருக்கும். வெறுமனே அலகுகளை மறுசீரமைப்பது (எ. கா., ஆயிரம் சதுர கிலோமீட்டர் அல்லது மில்லியன் கணக்கான மக்களுக்கு) இதை மாற்றாது. இருப்பினும், பரப்பளவு மற்றும் மக்கள் தொகை ஆகிய இரண்டின் மடக்கை மாற்றங்களைத் தொடர்ந்து, புள்ளிகள் வரைபடத்தில் மிகவும் ஒரே மாதிரியாக பரவும். முறையான புள்ளிவிவர பகுப்பாய்வு அல்லது காட்சிப்படுத்தல் செய்யப்படாவிட்டாலும், தரவு மாற்றத்தைப் பயன்படுத்துவதற்கான மற்றொரு காரணம், விளக்கத்தை மேம்படுத்துவதாகும். எடுத்துக்காட்டாக, கார்களை அவற்றின் எரிபொருள் சிக்கனம் அடிப்படையில் ஒப்பிடுகிறோம் என்று வைத்துக்கொள்வோம். இந்த தரவுகள் பொதுவாக "லிட்டருக்கு கிலோமீட்டர்கள்" அல்லது "கேலனுக்கு மைல்கள்" என வழங்கப்படுகின்றன. இருப்பினும், ஒரு காரை மற்றொரு காருடன் ஒப்பிடும்போது ஒரு நபர் ஒரு வருடத்தில் எவ்வளவு கூடுதல் எரிபொருளைப் பயன்படுத்துவார் என்பதை மதிப்பிடுவதே குறிக்கோள் என்றால், பரஸ்பர செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் மாற்றப்பட்ட தரவுகளுடன் வேலை செய்வது மிகவும் இயல்பானது, ஒரு கிலோமீட்டருக்கு லிட்டர்கள் அல்லது ஒரு மைலுக்கு கேலன்கள். பின்னடைவில், அசல் தரவு நேரியல் பின்னடைவின் ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட அனுமானங்களை மீறினால், நேரியல் பின்னடைவுடன் மாடலிங் செய்ய தரவை பொருத்தமானதாக மாற்றுவதற்கான ஒரு தீர்வு நடவடிக்கையாக தரவு மாற்றம் பயன்படுத்தப்படலாம். எடுத்துக்காட்டாக, எளிமையான நேரியல் பின்னடைவு மாதிரிகள் Y இன் எதிர்பார்க்கப்பட்ட மதிப்பு (கணிக்கப்பட வேண்டிய மறுமொழி மாறி) மற்றும் ஒவ்வொரு சுயாதீன மாறிக்கும் (மற்ற சுயாதீன மாறிகள் நிலையானதாக இருக்கும்போது) இடையே ஒரு நேரியல் உறவைக் கருதுகின்றன. லீனியாரிட்டி வைத்திருக்கத் தவறினால், தோராயமாக கூட, லீனியாரிட்டியை மேம்படுத்துவதற்காக பின்னடைவு மாதிரியில் சுயாதீனமான அல்லது சார்பு மாறிகளை மாற்றுவது சில நேரங்களில் சாத்தியமாகும். எடுத்துக்காட்டாக, அசல் சுயாதீன மாறிகளின் இருபடி செயல்பாடுகளைச் சேர்ப்பது Y இன் எதிர்பார்க்கப்பட்ட மதிப்புடன் ஒரு நேரியல் உறவுக்கு வழிவகுக்கும், இதன் விளைவாக ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை பின்னடைவு மாதிரி, நேரியல் பின்னடைவின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு. நேரியல் பின்னடைவின் மற்றொரு அனுமானம் ஹோமோசெடாஸ்டிசிட்டி ஆகும், அதாவது பிழைகளின் மாறுபாடு முன்கணிப்பாளர்களின் மதிப்புகளைப் பொருட்படுத்தாமல் ஒரே மாதிரியாக இருக்க வேண்டும். இந்த அனுமானம் மீறப்பட்டால் (அதாவது. தரவு பன்முகத்தன்மை கொண்டதாக இருந்தால்), ஒய் மட்டும் ஒரு மாற்றத்தைக் கண்டறிய முடியும், அல்லது எக்ஸ் (முன்கணிப்பு மாறிகள்) மற்றும் ஒய் ஆகிய இரண்டின் மாற்றங்களையும் கண்டுபிடிக்க முடியும், அதாவது ஹோமோஸ்கெடாஸ்டிசிட்டி அனுமானம் (நேரியல் அனுமானத்திற்கு கூடுதலாக) மாற்றப்பட்ட மாறிகளில் உண்மையாக இருக்கும், எனவே நேரியல் பின்னடைவு இவற்றில் பயன்படுத்தப்படலாம். தரவு மாற்றத்தின் மற்றொரு பயன்பாடு பிழையின் அடிப்படையில் இயல்புநிலை இல்லாத பிரச்சினையை தீர்ப்பதாகும். பின்னடைவு அளவுருக்களின் குறைந்தபட்ச சதுர மதிப்பீடுகள் அர்த்தமுள்ளதாக இருக்க மாறுபட்ட இயல்புநிலை தேவையில்லை (காஸ்-மார்கோவ் தேற்றத்தைப் பார்க்கவும்). இருப்பினும், மாறிகள் பன்முக இயல்புநிலையை வெளிப்படுத்தினால் நம்பிக்கை இடைவெளிகள் மற்றும் கருதுகோள் சோதனைகள் சிறந்த புள்ளிவிவர பண்புகளைக் கொண்டிருக்கும். பிழை சொற்களின் மாறுபாட்டை நிலைநிறுத்தும் மாற்றங்கள் (அதாவது. பன்முகத்தன்மையை நிவர்த்தி செய்பவர்கள்) பெரும்பாலும் பிழை சொற்களை தோராயமாக இயல்பானதாக மாற்ற உதவுகிறார்கள். எடுத்துக்காட்டுகள் சமன்பாடுஃ பொருள்ஃ X இல் ஒரு அலகு அதிகரிப்பு Y இல் சராசரியாக b அலகுகள் அதிகரிப்புடன் தொடர்புடையது. சமன்பாடுஃ (சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் அடுக்கிலிருந்துஃ) பொருள்ஃ X இல் ஒரு அலகு அதிகரிப்பு என்பது b அலகுகளின் சராசரி அதிகரிப்புடன் தொடர்புடையது, அல்லது அதற்கு சமமாக, Y சராசரியாக ஒரு பெருக்கக் காரணியால் அதிகரிக்கிறது. எடுத்துக்காட்டு நோக்கங்களுக்காக, மேலே உள்ள மாற்றத்தில் இயற்கையான மடக்கைக்கு பதிலாக அடிப்படை-10 மடக்கை பயன்படுத்தப்பட்டு, அதே குறியீடுகள் (a மற்றும் b) பின்னடைவு குணகங்களைக் குறிக்கப் பயன்படுத்தப்பட்டால், X இல் ஒரு அலகு அதிகரிப்பு சராசரியாக Y இல் ஒரு மடங்கு அதிகரிப்புக்கு வழிவகுக்கும். b என்பது 1 ஆக இருந்தால், இது X சமன்பாட்டில் ஒரு அலகு அதிகரிப்புக்கு Y இல் 10 மடங்கு அதிகரிப்பைக் குறிக்கிறதுஃ அதாவதுஃ X இல் ஒரு k-மடங்கு அதிகரிப்பு Y இல் சராசரியாக அலகுகள் அதிகரிப்புடன் தொடர்புடையது. எடுத்துக்காட்டு நோக்கங்களுக்காக, மேலே உள்ள மாற்றத்தில் இயற்கையான மடக்கைக்கு பதிலாக அடிப்படை-10 மடக்கைப் பயன்படுத்தினால், அதே குறியீடுகள் (a மற்றும் b) பின்னடைவு குணகங்களைக் குறிக்கப் பயன்படுத்தப்பட்டால், X இல் பத்து மடங்கு அதிகரிப்பு Y சமன்பாட்டில் அலகுகளின் சராசரி அதிகரிப்புக்கு வழிவகுக்கும்ஃ (சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் அடுக்கினால்ஃ) அதாவதுஃ X இல் k-மடங்கு அதிகரிப்பு சராசரியாக Y இல் பெருக்கத்துடன் தொடர்புடையது. எனவே X இரட்டிப்பாகும் என்றால், அது Y இன் பெருக்கக் காரணியால் மாறும். மாற்று பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட நேரியல் மாதிரிகள் (ஜி. எல். எம்) சாதாரண நேரியல் பின்னடைவின் நெகிழ்வான பொதுமைப்படுத்தலை வழங்குகின்றன, இது சாதாரண விநியோகத்தைத் தவிர பிழை விநியோக மாதிரிகளைக் கொண்ட மறுமொழி மாறிகளை அனுமதிக்கிறது. ஜிஎல்எம்கள் நேரியல் மாதிரியை ஒரு இணைப்பு செயல்பாட்டின் மூலம் மறுமொழி மாறியுடன் தொடர்புபடுத்த அனுமதிக்கின்றன, மேலும் ஒவ்வொரு அளவீட்டின் மாறுபாட்டின் அளவும் அதன் கணிக்கப்பட்ட மதிப்பின் செயல்பாடாக இருக்க அனுமதிக்கின்றன. பொதுவான நிகழ்வுகள் மடக்கை மாற்றம் மற்றும் வர்க்கமூல மாற்றம் பொதுவாக நேர்மறை தரவுகளுக்கு பயன்படுத்தப்படுகின்றன, மேலும் பூஜ்ஜியமற்ற தரவுகளுக்கு பெருக்க தலைகீழ் மாற்றம் (பரஸ்பர மாற்றம்) பயன்படுத்தப்படலாம். சக்தி மாற்றம் என்பது λ என்ற எதிர்மறை அல்லாத மதிப்பால் அளவிடப்படும் உருமாற்றங்களின் குடும்பமாகும், இதில் மடக்கை, வர்க்கமூலம் மற்றும் பெருக்கல் தலைகீழ் உருமாற்றங்கள் ஆகியவை சிறப்பு நிகழ்வுகளாக அடங்கும். தரவு மாற்றத்தை முறையாக அணுக, சக்தி மாற்றத்தில் அளவுரு λ ஐ மதிப்பிடுவதற்கு புள்ளிவிவர மதிப்பீட்டு நுட்பங்களைப் பயன்படுத்த முடியும், இதன் மூலம் கொடுக்கப்பட்ட அமைப்பில் தோராயமாக மிகவும் பொருத்தமான மாற்றத்தை அடையாளம் காணலாம். சக்தி மாற்றக் குடும்பமும் அடையாள மாற்றத்தை உள்ளடக்கியது என்பதால், இந்த அணுகுமுறை ஒரு மாற்றம் இல்லாமல் தரவை பகுப்பாய்வு செய்வது சிறந்ததா என்பதையும் குறிக்கலாம். பின்னடைவு பகுப்பாய்வில், இந்த அணுகுமுறை பாக்ஸ்-காக்ஸ் மாற்றம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. பரஸ்பர மாற்றம், யியோ-ஜான்சன் மாற்றம் போன்ற சில சக்தி மாற்றங்கள் மற்றும் தலைகீழ் ஹைபர்போலிக் சைனைப் பயன்படுத்துவது போன்ற வேறு சில மாற்றங்கள், நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை மதிப்புகள் இரண்டையும் உள்ளடக்கிய தரவுகளுக்கு அர்த்தமுள்ள வகையில் பயன்படுத்தப்படலாம் (λ ஒரு ஒற்றைப்படை முழு எண்ணாக இருந்தால் அனைத்து உண்மையான எண்களிலும் சக்தி மாற்றம் தலைகீழாக இருக்கும்). இருப்பினும், எதிர்மறை மற்றும் நேர்மறை மதிப்புகள் இரண்டும் கவனிக்கப்படும்போது, சில நேரங்களில் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் ஒரு மாறிலியைச் சேர்ப்பதன் மூலம் தொடங்குவது பொதுவானது, எந்தவொரு சக்தி மாற்றத்தையும் பயன்படுத்தக்கூடிய எதிர்மறை அல்லாத தரவுகளின் தொகுப்பை உருவாக்குகிறது. ஒரு தரவு மாற்றம் பயன்படுத்தப்படும் ஒரு பொதுவான சூழ்நிலை என்னவென்றால், வட்டி மதிப்பு பல அளவுகளில் மாறுபடும். பல இயற்பியல் மற்றும் சமூக நிகழ்வுகள் இத்தகைய நடத்தையை வெளிப்படுத்துகின்றன-வருமானங்கள், இனங்களின் மக்கள் தொகை, விண்மீன் மண்டல அளவுகள் மற்றும் மழை அளவு, ஒரு சில பெயர்களைக் குறிப்பிடலாம். சக்தி உருமாற்றங்கள், குறிப்பாக மடக்கை, பெரும்பாலும் அத்தகைய தரவுகளில் சமச்சீர்மையைத் தூண்ட பயன்படுத்தப்படலாம். மடக்கை பெரும்பாலும் விரும்பப்படுகிறது, ஏனெனில் அதன் முடிவை "மடிப்பு மாற்றங்கள்" அடிப்படையில் விளக்குவது எளிது. மடக்கை விகிதங்களிலும் ஒரு பயனுள்ள விளைவைக் கொண்டுள்ளது. நேர்மறை அளவுகளான X மற்றும் Y ஐ X/Y விகிதத்தைப் பயன்படுத்தி ஒப்பிட்டுப் பார்த்தால், X <Y என்றால், விகிதம் இடைவெளியில் (0,1) இருக்கும், அதேசமயம் X> Y என்றால், விகிதம் அரை கோட்டில் (1, φ) இருக்கும், அங்கு 1 இன் விகிதம் சமத்துவத்துடன் ஒத்திருக்கிறது. X மற்றும் Y சமச்சீராக கருதப்படும் ஒரு பகுப்பாய்வில், சமத்துவத்தின் விஷயத்தில் பதிவு-விகிதம் பதிவு (X/Y) பூஜ்ஜியமாகும், மேலும் X என்பது Y ஐ விட K மடங்கு அதிகமாக இருந்தால், பதிவு-விகிதம் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து சம தூரத்தில் இருக்கும், Y என்பது X ஐ விட K மடங்கு அதிகமாக இருக்கும் சூழ்நிலையில் (பதிவு-விகிதங்கள் இந்த இரண்டு சூழ்நிலைகளிலும் பதிவு (K) மற்றும் − பதிவு (K) ஆகும்). மதிப்புகள் இயல்பாகவே 0 முதல் 1 வரையிலான வரம்பில் வரையறுக்கப்பட்டிருந்தால், இறுதிப் புள்ளிகள் உட்பட, ஒரு லாஜிட் மாற்றம் பொருத்தமானதாக இருக்கலாம்ஃ இது வரம்பில் மதிப்புகளைத் தருகிறது (− ≤, ≤). இயல்பு நிலைக்கு மாறுதல் 1. ஒரு தரவுத் தொகுப்பை இயல்பான விநியோகத்தை ஒத்ததாக மாற்றுவது எப்போதும் அவசியமில்லை அல்லது விரும்பத்தக்கது அல்ல. இருப்பினும், சமச்சீர் அல்லது இயல்புநிலை விரும்பினால், அவை பெரும்பாலும் சக்தி மாற்றங்களில் ஒன்றின் மூலம் தூண்டப்படலாம். 2. ஒரு மொழியியல் சக்தி செயல்பாடு ஜிப்ஃப்-மாண்டல்பிரோட் சட்டத்தின்படி விநியோகிக்கப்படுகிறது. விநியோகம் மிகவும் ஸ்பைக்கி மற்றும் லெப்டோகூர்டிக் ஆகும், இதனால்தான் ஆராய்ச்சியாளர்கள் புள்ளிவிவரங்களுக்கு தங்கள் முதுகைத் திருப்ப வேண்டியிருந்தது. எ. கா. ஆசிரியர் பண்புக்கூறு சிக்கல்கள். ஆயினும்கூட, தரவு மாற்றத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் காஸியன் புள்ளிவிவரங்களைப் பயன்படுத்துவது முற்றிலும் சாத்தியமாகும். 3. மாற்றத்திற்குப் பிறகு இயல்புநிலை அடையப்பட்டதா என்பதை மதிப்பிடுவதற்கு, எந்தவொரு நிலையான இயல்புநிலை சோதனைகளும் பயன்படுத்தப்படலாம். ஒரு வரைகலை அணுகுமுறை பொதுவாக ஒரு முறையான புள்ளிவிவர சோதனையை விட மிகவும் தகவலறிந்ததாக இருக்கும், எனவே ஒரு சாதாரண அளவு பிளாட் பொதுவாக ஒரு சாதாரண மக்கள்தொகைக்கு ஒரு தரவு தொகுப்பின் பொருத்தத்தை மதிப்பிடுவதற்கு பயன்படுத்தப்படுகிறது. மாற்றாக, மாதிரி வளைவு மற்றும் குர்டோசிஸ் ஆகியவற்றின் அடிப்படையில் கட்டைவிரல் விதிகளும் முன்மொழியப்பட்டுள்ளன. ஒரு சீரான பகிர்வு அல்லது ஒரு தன்னிச்சையான பகிர்வுக்கு மாற்றுவது X1,., Xn ஆகிய n மதிப்புகளின் தொகுப்பை எந்த உறவுகளும் இல்லாமல் நாம் கவனித்தால் (அதாவது, n தனித்துவமான மதிப்புகள் உள்ளன), நாம் xi ஐ மாற்றக்கூடிய மதிப்பு y = k உடன் மாற்றலாம், அங்கு k என்பது அனைத்து X மதிப்புகளிலும் xi என்பது k வது பெரியது என்று வரையறுக்கப்படுகிறது. இது தரவரிசை மாற்றம் என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் ஒரு சீரான விநியோகத்திற்கு சரியான பொருத்தத்துடன் தரவை உருவாக்குகிறது. இந்த அணுகுமுறை மக்கள் தொகை ஒப்புமையைக் கொண்டுள்ளது. நிகழ்தகவு ஒருங்கிணைந்த உருமாற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, X என்பது ஏதேனும் சீரற்ற மாறி மற்றும் F என்பது X இன் ஒட்டுமொத்த விநியோக செயல்பாடு என்றால், F தலைகீழாக இருக்கும் வரை, சீரற்ற மாறி U = F (X) அலகு இடைவெளியில் ஒரு சீரான விநியோகத்தைப் பின்பற்றுகிறது. ஒரு சீரான விநியோகத்திலிருந்து, ஒரு தலைகீழ் ஒட்டுமொத்த விநியோக செயல்பாட்டைக் கொண்டு எந்த விநியோகத்திற்கும் மாற்றலாம். G ஒரு தலைகீழ் ஒட்டுமொத்த விநியோகச் செயல்பாடாகவும், U ஒரு சீரான விநியோகிக்கப்பட்ட சீரற்ற மாறியாகவும் இருந்தால், சீரற்ற மாறி G−1 (U) அதன் ஒட்டுமொத்த விநியோகச் செயல்பாடாக G ஐக் கொண்டுள்ளது. இரண்டையும் ஒன்றாக இணைத்தால், X என்பது ஏதேனும் சீரற்ற மாறி என்றால், F என்பது X இன் தலைகீழ் ஒட்டுமொத்த விநியோக செயல்பாடு மற்றும் G என்பது ஒரு தலைகீழ் ஒட்டுமொத்த விநியோக செயல்பாடு என்றால், சீரற்ற மாறி G−1 (F (X)) அதன் ஒட்டுமொத்த விநியோக செயல்பாடாக G ஐக் கொண்டுள்ளது. மாறுபாட்டை நிலைநிறுத்தும் மாற்றங்கள் பல வகையான புள்ளிவிவரத் தரவுகள் ஒரு "மாறுபாடு-மீது-பொருள் உறவை" வெளிப்படுத்துகின்றன, அதாவது வெவ்வேறு எதிர்பார்க்கப்பட்ட மதிப்புகளைக் கொண்ட தரவு மதிப்புகளுக்கு மாறுபாடு வேறுபட்டது. உதாரணமாக, உலகின் வெவ்வேறு மக்கள்தொகையை ஒப்பிடுகையில், வருமானத்தின் மாறுபாடு சராசரி வருமானத்துடன் அதிகரிக்கிறது. பல சிறிய பரப்பளவு அலகுகளை (எ. கா., அமெரிக்காவில் உள்ள மாவட்டங்கள்) நாம் கருத்தில் கொண்டு, ஒவ்வொரு மாவட்டத்திலும் உள்ள வருமானங்களின் சராசரி மற்றும் மாறுபாட்டைப் பெற்றால், அதிக சராசரி வருமானம் கொண்ட மாவட்டங்களும் அதிக மாறுபாடுகளைக் கொண்டிருப்பது பொதுவானது. ஒரு மாறுபாடு-நிலைப்படுத்துதல் மாற்றம் ஒரு மாறுபாடு-மீது-பொருள் உறவை அகற்றுவதை நோக்கமாகக் கொண்டுள்ளது, இதனால் மாறுபாடு சராசரியுடன் தொடர்புடைய நிலையானதாக மாறும். மாதிரி தொடர்பு குணகத்திற்கான ஃபிஷர் மாற்றம், பாய்சான் தரவுகளுக்கான சதுர வேர் மாற்றம் அல்லது அன்ஸ்கோம் உருமாற்றம் (எண்ணிக்கை தரவு), பின்னடைவு பகுப்பாய்விற்கான பாக்ஸ்-காக்ஸ் மாற்றம் மற்றும் விகிதங்களுக்கான ஆர்க்சின் சதுர வேர் மாற்றம் அல்லது கோண மாற்றம் (இருமியல் தரவு) ஆகியவை மாறுபாட்டை உறுதிப்படுத்துவதற்கான மாற்றங்களின் எடுத்துக்காட்டுகளாகும். விகிதாசார தரவுகளின் புள்ளிவிவர பகுப்பாய்விற்கு பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்பட்டாலும், ஆர்க்சின் சதுர வேர் மாற்றம் பரிந்துரைக்கப்படவில்லை, ஏனெனில் லாஜிஸ்டிக் பின்னடைவு அல்லது லாஜிக் மாற்றம் முறையே பைனாமியல் அல்லது பைனாமியல் அல்லாத விகிதாச்சாரங்களுக்கு மிகவும் பொருத்தமானது, குறிப்பாக வகை-II பிழை குறைவதால். பன்முகத் தரவுகளுக்கான உருமாற்றங்கள் பன்முகத் தரவுகளுக்கு அவற்றின் விளிம்பு விநியோகங்களை மாற்றியமைக்க பன்முகத் தரவுகளுக்கு புள்ளி வாரியாகப் பயன்படுத்தப்படலாம். பொருத்தமாக கட்டமைக்கப்பட்ட மாற்றத்தைப் பயன்படுத்தி பல்வகை விநியோகத்தின் சில பண்புகளை மாற்றியமைக்கவும் முடியும். எடுத்துக்காட்டாக, நேரத் தொடர் மற்றும் பிற வகையான தொடர்ச்சியான தரவுகளுடன் பணிபுரியும் போது, நிலையான தன்மையை மேம்படுத்த தரவை வேறுபடுத்துவது பொதுவானது. ஒரு சீரற்ற திசையன் X ஆல் உருவாக்கப்பட்ட தரவு கோவேரியன்ஸ் மேட்ரிக்ஸ் உடன் அவதானிப்புகளின் திசையன்களாக காணப்பட்டால், தரவை அலங்கரிக்க ஒரு நேரியல் மாற்றத்தைப் பயன்படுத்தலாம். இதைச் செய்ய, சோல்ஸ்கி சிதைவு σ = A "'ஐ வெளிப்படுத்த பயன்படுத்தப்படுகிறது. பின்னர் மாற்றப்பட்ட திசையன் Yi = A − 1X "i அதன் கோவேரியன்ஸ் மேட்ரிக்ஸாக அடையாள மேட்ரிக்ஸைக் கொண்டுள்ளது. ஆர்சின் அம்ச பொறியியல் லாஜிட் பியர்சன் தொடர்பு குணகம் சக்தி மாற்றம் (பாக்ஸ்-காக்ஸ்) வில்சன்-ஹில்ஃபெர்டி மாற்றம் வெண்மை மாற்றம் குறிப்புகள் வெளிப்புற இணைப்புகள் வளைந்த மற்றும் பரந்த விநியோகங்களுக்கான பதிவு மாற்றங்கள்-பதிவு மற்றும் "கையொப்பமிடப்பட்ட மடக்கை" மாற்றங்களைப் பற்றி விவாதித்தல் ("ஆர் உடன் நடைமுறை தரவு அறிவியல்" என்பதிலிருந்து ஒரு அத்தியாயம்). புள்ளிவிவர அனுமானம்