The Fifty-Nine Icosahedra
ஐம்பத்தொன்பது ஐகோசாஹெட்ரா என்பது எச். எஸ். எம். காக்செட்டர், பி. டு வால், எச். டி. பிளாதர் மற்றும் ஜே. எஃப். பெட்ரி ஆகியோரால் எழுதப்பட்டு விளக்கப்பட்ட ஒரு புத்தகமாகும். ஜே. சி. பி. மில்லர் முன்வைத்த விதிகளின் தொகுப்பின் படி, வழக்கமான குவிந்த அல்லது பிளாட்டோனிக் ஐகோசாஹெட்ரானின் சில முத்திரைகளை இது கணக்கிடுகிறது. 1938 ஆம் ஆண்டில் டொராண்டோ பல்கலைக்கழகத்தால் முதன்முதலில் வெளியிடப்பட்டது, 1982 ஆம் ஆண்டில் ஸ்பிரிங்கர்-வெர்லாக் இரண்டாவது பதிப்பை மறுபதிப்பு செய்தார். டார்க்வினின் 1999 மூன்றாம் பதிப்பில் கே. மற்றும் டி. கிரெனெல் ஆகியோரின் புதிய குறிப்பு பொருள் மற்றும் புகைப்படங்கள் இருந்தன. மில்லரின் விதிகள் மில்லர் புத்தகத்திற்கு நேரடியாக பங்களிக்கவில்லை என்றாலும், அவர் காக்செட்டர் மற்றும் பெட்ரியின் நெருங்கிய சக ஊழியராக இருந்தார். எந்த விண்மீன் தொகுப்பு வடிவங்கள் "சரியாக குறிப்பிடத்தக்கவை மற்றும் தனித்துவமானவை" என்று கருதப்பட வேண்டும் என்பதை வரையறுப்பதற்கான அவரது விதிகளின் தொகுப்பில் அவரது பங்களிப்பு அழியாததாக உள்ளதுஃ (i) முகங்கள் இருபது தளங்களில் இருக்க வேண்டும், அதாவது வழக்கமான ஐகோசாஹெட்ரானின் எல்லை தளங்கள். (ii) முகங்களை உருவாக்கும் அனைத்து பகுதிகளும் ஒவ்வொரு தளத்திலும் ஒரே மாதிரியாக இருக்க வேண்டும், இருப்பினும் அவை மிகவும் துண்டிக்கப்பட்டிருக்கலாம். (iii) எந்த ஒரு தளத்திலும் சேர்க்கப்பட்டுள்ள பாகங்கள் பிரதிபலிப்பு இல்லாமல் அல்லது பிரதிபலிப்புடன் முக்கோண சமச்சீர் கொண்டிருக்க வேண்டும். இது முழு திண்மத்திற்கும் ஐகோசாஹெட்ரல் சமச்சீர்மையைப் பாதுகாக்கிறது. (iv) எந்தவொரு தளத்திலும் சேர்க்கப்பட்டுள்ள பாகங்கள் அனைத்தும் முடிக்கப்பட்ட திடப்பொருளில் "அணுகக்கூடியதாக" இருக்க வேண்டும். அவர்கள் "வெளியில்" இருக்க வேண்டும். சில சந்தர்ப்பங்களில் வெளிப்புறம் முழுவதையும் பார்க்க மகத்தான அளவிலான மாதிரிகள் தேவை. சாதாரண அளவிலான ஒரு மாதிரியுடன், "வெளிப்புறத்தின்" சில பகுதிகளை ஊர்ந்து செல்லும் பூச்சியால் மட்டுமே ஆராய முடியும்). (v) பகுதிகளை இரண்டு தொகுப்புகளாகப் பிரிக்கக்கூடிய நிகழ்வுகளைக் கருத்தில் கொள்வதிலிருந்து நாம் விலக்குகிறோம், ஒவ்வொன்றும் முழு உருவத்தைப் போலவே சமச்சீர் கொண்ட திண்மத்தைக் கொடுக்கின்றன. ஆனால் பொதுவான பகுதி இல்லாத ஒரு எனாண்டியோமார்பஸ் ஜோடியின் கலவையை நாம் அனுமதிக்கிறோம் (இது உண்மையில் ஒரு வழக்கில் மட்டுமே நிகழ்கிறது). விதிகள் (i) முதல் (iii) வரை முகத் தளங்களுக்கான சமச்சீர் தேவைகள் ஆகும். விதி (iv) புதைக்கப்பட்ட துளைகளை விலக்குகிறது, எந்த இரண்டு ஸ்டெலேஷன்களும் வெளிப்புறமாக ஒரே மாதிரியாக இருப்பதை உறுதிசெய்கிறது. விதி (வி) எளிய ஸ்டெலேஷன்களின் எந்தவொரு துண்டிக்கப்பட்ட கலவையையும் தடுக்கிறது. காக்செட்டர் காக்செட்டர் இந்த வேலையின் பின்னணியில் உள்ள முக்கிய உந்து சக்தியாக இருந்தார். மில்லரின் விதிகளை அடிப்படையாகக் கொண்ட அசல் பகுப்பாய்வை அவர் மேற்கொண்டார், ஒருங்கிணைப்பு மற்றும் சுருக்க வரைபடக் கோட்பாடு போன்ற பல நுட்பங்களை ஏற்றுக்கொண்டார், அதன் வடிவியல் சூழலில் பயன்பாடு அப்போது புதுமையாக இருந்தது. விண்மீன் தொகுப்பு வரைபடம் பல கோடு பிரிவுகளைக் கொண்டிருப்பதை அவர் கவனித்தார். மில்லரின் விதிகளின் கீழ் அனுமதிக்கப்பட்ட சேர்க்கைகளை முறையாக கணக்கிட, அருகிலுள்ள விமானப் பகுதிகளின் சேர்க்கைகளை கையாளுவதற்கான நடைமுறைகளை அவர் உருவாக்கினார். இங்கே மறுஉருவாக்கம் செய்யப்பட்ட அவரது வரைபடம், விண்மீன் தொகுப்பு வரைபடத்தில் அடையாளம் காணப்பட்ட பல்வேறு முகங்களின் இணைப்பைக் காட்டுகிறது (கீழே காண்க). கிரேக்க சின்னங்கள் சாத்தியமான மாற்றுகளின் தொகுப்புகளைக் குறிக்கின்றனஃ λ என்பது 3 அல்லது 4 μ ஆக இருக்கலாம் 7 அல்லது 8 ν ஆக இருக்கலாம் 11 அல்லது 12 டு வால் டு வால் அவை அசல் ஐகோசாஹெட்ரானைச் சுற்றியுள்ள "குண்டுகளில்" உள்ளன என்ற அவதானிப்பின் அடிப்படையில், ஒத்த உயிரணுக்களின் தொகுப்புகளை அடையாளம் காண ஒரு குறியீட்டு குறியீட்டை உருவாக்கியது. இதன் அடிப்படையில் அவர் மில்லரின் விதிகளுக்கு எதிராக சாத்தியமான அனைத்து சேர்க்கைகளையும் சோதித்தார், காக்செட்டரின் அதிக பகுப்பாய்வு அணுகுமுறையின் முடிவை உறுதிப்படுத்தினார். பிளாதர் பிளாதரின் பங்களிப்பு மறைமுகமாக இருந்ததுஃ அவர் அனைத்து 59 அட்டைகளின் மாதிரிகளையும் உருவாக்கினார். அவர் காக்செட்டரை முதன்முதலில் சந்தித்தபோது, அவர் ஏற்கனவே சில "மில்லர் அல்லாத" எடுத்துக்காட்டுகள் உட்பட பல முத்திரைகளை உருவாக்கியிருந்தார். இங்கிலாந்தின் கேம்பிரிட்ஜ் பல்கலைக்கழகத்தின் கணித நூலகத்தில் பாதுகாக்கப்பட்டுள்ள ஐம்பத்தொன்பது தொடர்களை அவர் முடித்தார். நூலகத்தில் சில மில்லர் அல்லாத மாதிரிகளும் உள்ளன, ஆனால் இவை ஃப்ளாடரால் செய்யப்பட்டதா அல்லது மில்லரின் பிற்கால மாணவர்களால் செய்யப்பட்டதா என்பது தெரியவில்லை. பெட்ரி ஜான் ஃப்ளிண்டர்ஸ் பெட்ரி காக்செட்டரின் வாழ்நாள் நண்பராக இருந்தார், மேலும் நான்கு பரிமாண வடிவவியலைக் காட்சிப்படுத்தும் குறிப்பிடத்தக்க திறனைக் கொண்டிருந்தார். அவரும் காக்செட்டரும் பல கணிதப் பிரச்சினைகளில் இணைந்து பணியாற்றியுள்ளனர். ஐம்பத்தொன்பது ஐகோசாஹெட்ராவுக்கு அவரது நேரடி பங்களிப்பு முப்பரிமாண வரைபடங்களின் நேர்த்தியான தொகுப்பாகும், இது வெளியிடப்பட்ட படைப்பின் பெரும்பகுதியை வழங்குகிறது. மூன்றாம் பதிப்பிற்கான கிரெனெல்ஸ், கேட் மற்றும் டேவிட் கிரெனெல் உரையை மீட்டமைத்து வரைபடங்களை மறுபரிசீலனை செய்தனர். அவர்கள் சில கேம்பிரிட்ஜ் மாதிரிகளின் அட்டவணைகள், வரைபடங்கள் மற்றும் புகைப்படங்களைக் கொண்ட ஒரு குறிப்பு பகுதியையும் சேர்த்தனர் (அவை அனைத்தும் அந்த நேரத்தில் ஃப்ளாட்டரின் என்று கருதப்பட்டன). இந்த பதிப்பின் திருத்தங்கள் ஆன்லைனில் வெளியிடப்பட்டுள்ளன. காக்செட்டருக்கு முன் ஐம்பத்தொன்பது ஐகோசாஹெட்ராவின் பட்டியல், புரூக்னர் மற்றும் வீலர் மட்டுமே குறிப்பிடத்தக்க ஸ்டெலேஷன்களைப் பதிவு செய்திருந்தனர், இருப்பினும் கிரேட் ஐகோசாஹெட்ரான் போன்ற சில நீண்ட காலமாக அறியப்பட்டன. தி 59 வெளியிடப்பட்டதிலிருந்து, வென்னிங்கர் சில மாதிரிகளை உருவாக்குவது குறித்த அறிவுறுத்தல்களை வெளியிட்டார்; அவர் ஒரு சில முத்திரைகளை மட்டுமே பதிவு செய்திருந்தாலும், அவரது புத்தகத்தில் பயன்படுத்தப்பட்ட எண் திட்டம் பரவலாக குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது. மற்றபடி குறிப்பிடப்படாவிட்டால் குறியீட்டு எண்களில் உள்ள குறிப்புகள் கிரெனெல்ஸ் ஆகும்ஃ கிரெனெல் கிரெனெல்ஸ் மூலம் மூன்றாவது பதிப்பில் சேர்க்கப்பட்ட குறியீட்டு எண்ணில், முதல் 32 வடிவங்கள் (குறியீடுகள் 1-32) பிரதிபலிப்பு மாதிரிகள், மற்றும் கடைசி 27 (குறியீடுகள் 33-59) வலது கை வடிவங்கள் மட்டுமே பட்டியலிடப்பட்டுள்ளன. இது புத்தகத்தில் ஸ்டெல்லேஷன்கள் சித்தரிக்கப்பட்ட வரிசையைப் பின்பற்றுகிறது. டு வால் குறியீட்டில், ஒவ்வொரு ஷெல்லும் தடித்த வடிவத்தில் அடையாளம் காணப்படுகின்றன, வெளிப்புறமாக வேலை செய்கின்றன, a, b, c,., h ஆக அசல் ஐகோசாஹெட்ரான் ஆகும். சில குண்டுகள் இரண்டு வகையான உயிரணுக்களாகப் பிரிக்கப்படுகின்றன, எடுத்துக்காட்டாக e என்பது e1 மற்றும் e2 ஐக் கொண்டுள்ளது. செட் எஃப் 1 மேலும் வலது மற்றும் இடது கை வடிவங்களாக பிரிக்கிறது, முறையே எஃப் 1 (வெற்று வகை) மற்றும் எஃப் 1 (இடாலிக்). ஒரு விண்மீன் தொகுப்பில் வெளிப்புற ஷெல்லுக்குள் அனைத்து செல்களும் இருக்கும்போது, வெளிப்புற ஷெல் மூலதனமாக்கப்பட்டு, உட்புறம் தவிர்க்கப்படுகிறது, எடுத்துக்காட்டாக a + b + c + e1 என்பது Ce1 என எழுதப்படுகிறது. முகங்கள் அனைத்து முத்திரைகளையும் ஒரு முத்திரை வரைபடத்தால் குறிப்பிடலாம். இங்கே காட்டப்பட்டுள்ள வரைபடத்தில், முழு ஐகோசாஹெட்ரல் சமச்சீர் பராமரிக்கப்பட வேண்டுமானால், எண்கள் கொண்ட வண்ணங்கள் விண்மீன் தொகுப்பின் பகுதிகளைக் குறிக்கின்றன, அவை ஒரு தொகுப்பாக ஒன்றாக நிகழ வேண்டும். இந்த வரைபடத்தில் அத்தகைய 13 தொகுப்புகள் உள்ளன. இவற்றில் சில சுருள் ஜோடியாகப் பிரிக்கப்படுகின்றன (காட்டப்படவில்லை), இது சுழற்சி ஆனால் பிரதிபலிப்பு சமச்சீர் இல்லாத ஸ்டெலேஷன்களை அனுமதிக்கிறது. அட்டவணையில், கீழே இருந்து காணப்படும் முகங்கள் ஒரு அபாஸ்ட்ரஃபி மூலம் குறிக்கப்படுகின்றன, எடுத்துக்காட்டாக 3. குறியீட்டு எண்கள் மற்றும் எண்ணப்பட்ட பெயர்கள் வென்னிங்கரின் வெளியீட்டாளரால் அவரது பாலிஹெட்ரான் மாதிரிகள் என்ற புத்தகத்தில் அவற்றின் நிகழ்வுக்கு ஏற்ப தன்னிச்சையாக ஒதுக்கப்பட்டன, மேலும் எந்த கணித வரிசையுடனும் எந்த தொடர்பும் இல்லை. அவரது சில மாதிரிகள் மட்டுமே ஐகோசாஹெட்ராவைக் கொண்டிருந்தன. அவரது பெயர்கள் சுருக்கப்பட்ட வடிவத்தில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன, அதில் "ஐகோசாஹெட்ரானின்" விடுபட்டுள்ளது. வீலர் வீலர் தனது உருவங்களை அல்லது ஐகோசாஹெட்ரானின் "வடிவங்களை", விண்மீன் தொகுப்பு வரைபடத்திலிருந்து கோடு பிரிவுகளைத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம் கண்டறிந்தார். கெப்லரின் கிளாசிக்கல் ஸ்டெல்லேஷன் செயல்முறையிலிருந்து இதை அவர் கவனமாக வேறுபடுத்தினார். காக்செட்டர் மற்றும் பலர். இந்த வேறுபாட்டை புறக்கணித்து, அவை அனைத்தையும் ஸ்டெல்லேஷன்கள் என்று குறிப்பிட்டார். புரூக்னர் மேக்ஸ் புரூக்னர் பல பாலிஹெட்ராவின் மாதிரிகளை உருவாக்கி புகைப்படம் எடுத்தார், அவற்றில் சில மட்டுமே ஐகோசாஹெட்ராவாக இருந்தன. டாஃப். இது தட்டு என்பதற்கான ஜெர்மன் வார்த்தையான டாஃபெல் என்பதன் சுருக்கமாகும். குறிப்புகள் எண். 8 சில நேரங்களில் எகிட்னாஹெட்ரான் என்று அழைக்கப்படுகிறது, இது ஸ்பைனி ஆன்டீட்டர் அல்லது எகிட்னாவுடன் கற்பனையான ஒற்றுமையின் காரணமாகும். இந்த பயன்பாடு கெப்லரின் வழக்கமான நட்சத்திர பாலிஹெட்ராவை அவரது எகிட்னே என்று விவரிப்பதில் இருந்து சுயாதீனமாக உள்ளது. ஐம்பத்தொன்பது ஐகோசாஹெட்ராவின் அட்டவணை சில படங்கள் கண்ணாடி-உருவ ஐகோசாஹெட்ரானை எஃப் 1 செல்லுக்கு பதிலாக எஃப் 1 உடன் விளக்குகின்றன. வென்னிங்கர் பாலிஹெட்ரான் மாதிரிகளின் பட்டியலையும் பார்க்கவும்-வென்னிங்கரின் புத்தகமான பாலிஹெட்ரான் மாதிரிகள் இந்த 21 முத்திரைகளை உள்ளடக்கியது. ஐகோசாஹெட்ரல் சமச்சீர் கொண்ட திடப்பொருட்கள் குறிப்புகள் குறிப்புகள் புரூக்னர், மேக்ஸ் (1900). கோட்பாடுகளும் கோட்பாடுகளும் உள்ளன. லீப்சிக்ஃ பி. ஜி. ட்ரெப்னர். . உலக கேட் ஆங்கிலம்ஃ பலகோணங்களும் பாலிஹெட்ராவும்ஃ கோட்பாடும் வரலாறும். மாதிரிகளின் புகைப்படங்கள்ஃ டஃபெல் VIII (பிளேட் VIII) போன்றவை. உயர் ரெஸ். ஸ்கேன். எச். எஸ். எம். காக்செட்டர், பேட்ரிக் டு வால், எச். டி. ஃப்ளாட்டர், ஜே. எஃப். பெட்ரி (1938) ஐம்பத்தொன்பது ஐகோசாஹெட்ரா, டொராண்டோ பல்கலைக்கழகம் ஆய்வுகள், கணிதத் தொடர் 6:1-26. மூன்றாம் பதிப்பு (1999) டார்க்வின் வென்னிங்கர், மேக்னஸ் ஜே. (1983) பாலிஹெட்ரான் மாதிரிகள்; கேம்பிரிட்ஜ் பல்கலைக்கழக அச்சகம், பேப்பர்பேக் பதிப்பு (2003). . ஏ. எச். வீலர் (1924) "ஐகோசாஹெட்ரானின் சில வடிவங்கள் மற்றும் உயர் பாலிஹெட்ராவைப் பெறுவதற்கும் நியமிப்பதற்கும் ஒரு முறை", கணிதவியலாளர்களின் சர்வதேச காங்கிரஸின் நடவடிக்கைகள், டொராண்டோ, தொகுதி. 1, pp 701-708. வெளிப்புற இணைப்புகள் ஐகோசாஹெட்ரானின் எடுத்துக்காட்டு ஸ்டெல்லேஷன்கள் ஐகோசாஹெட்ரானின் வழக்கமான ஐகோசாஹெட்ரான் ஸ்டெல்லேஷன்களின் ஐம்பத்தொன்பது ஸ்டெல்லேஷன்கள் ஜார்ஜ் ஹார்ட், ஐகோசாஹெட்ரானின் 59 ஸ்டெல்லேஷன்கள்-வி. ஆர். எம். எல் 3டி கோப்புகள். பாலிஹெட்ரல் ஸ்டெல்லேஷன் கணித புத்தகங்கள்