Stack (mathematics)
கணிதத்தில் ஒரு அடுக்கு அல்லது 2-ஷீஃப் என்பது, தோராயமாக பேசுகையில், செட்களை விட வகைகளில் மதிப்புகளை எடுக்கும் ஒரு ஷீஃப் ஆகும். இறங்கு கோட்பாட்டின் சில முக்கிய கட்டமைப்புகளை முறைப்படுத்தவும், சிறந்த மாடுலி இடைவெளிகள் இல்லாதபோது சிறந்த மாடுலி அடுக்குகளை உருவாக்கவும் அடுக்குகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. வம்சக் கோட்பாடு ஐசோமார்பிக், இணக்கமான வடிவியல் பொருள்கள் (இடவியல் இடைவெளிகளில் திசையன் மூட்டைகள் போன்றவை) இடவியல் அடிப்படையின் கட்டுப்பாட்டிற்குள் "ஒன்றாக ஒட்டக்கூடிய" சூழ்நிலைகளின் பொதுமைப்படுத்தல்களுடன் தொடர்புடையது. மிகவும் பொதுவான அமைப்பில் கட்டுப்பாடுகள் புல்பேக்குகளால் மாற்றப்படுகின்றன; ஃபைபர் வகைகள் பின்னர் அத்தகைய க்ளூயிங்கின் சாத்தியக்கூறுகளைப் பற்றி விவாதிக்க ஒரு நல்ல கட்டமைப்பை உருவாக்குகின்றன. ஒரு அடுக்கின் உள்ளுணர்வு பொருள் என்னவென்றால், இது ஒரு ஃபைபர் வகை, அதாவது "சாத்தியமான அனைத்து க்ளூயிங்குகளும் வேலை செய்கின்றன". க்ளூயிங்குகளின் விவரக்குறிப்புக்கு க்ளூயிங்குகளைக் கருத்தில் கொள்ளக்கூடிய உறைகளின் வரையறை தேவைப்படுகிறது. இந்த மறைப்புகளை விவரிப்பதற்கான பொதுவான மொழி கிரோதெண்டிக் இடவியல் என்று மாறிவிடும். இவ்வாறு ஒரு அடுக்கு முறைப்படி மற்றொரு அடிப்படை வகைக்கு மேல் ஒரு ஃபைப்ரெட் வகையாக வழங்கப்படுகிறது, அங்கு அடித்தளம் ஒரு கிரோதெண்டிக் இடவியல் மற்றும் ஃபைப்ரெட் வகை கிரோதெண்டிக் இடவியல் தொடர்பாக சில பளபளப்புகளின் இருப்பு மற்றும் தனித்துவத்தை உறுதி செய்யும் சில கோட்பாடுகளை திருப்திப்படுத்துகிறது. சுருக்கமான அடுக்குகள் என்பது இயற்கணித அடுக்குகள் (ஆர்ட்டின் அடுக்குகள் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன) மற்றும் டிலிக்னே-மம்ஃபோர்ட் அடுக்குகளின் அடிப்படை கட்டமைப்பாகும், அவை திட்டங்கள் மற்றும் இயற்கணித இடைவெளிகளை பொதுமைப்படுத்துகின்றன, மேலும் அவை மாடுலி இடைவெளிகளைப் படிப்பதில் குறிப்பாக பயனுள்ளதாக இருக்கும். சேர்ப்புகள் உள்ளனஃ திட்டங்கள்-இயற்கணித இடைவெளிகள்-டிலிக்னே-மம்ஃபோர்ட் அடுக்குகள்-இயற்கணித அடுக்குகள் (ஆர்ட்டின் அடுக்குகள்)-அடுக்குகள். அடுக்குகள் பற்றிய சுருக்கமான அறிமுகக் குறிப்புகளைக் கொடுங்கள், மேலும் விரிவான அறிமுகங்களைக் கொடுங்கள், மேலும் மேம்பட்ட கோட்பாட்டை விவரிக்கவும். உந்துதல் மற்றும் வரலாறு அடுக்குகளின் கருத்து பயனுள்ள வம்சாவளித் தரவுகளின் வரையறையில் அதன் தோற்றத்தைக் கொண்டுள்ளது. 1959 ஆம் ஆண்டு செர்ரிக்கு எழுதிய கடிதத்தில், கிரோதெண்டிக், நல்ல மாடுலி இடைவெளிகளை உருவாக்குவதற்கு ஒரு அடிப்படை தடையாக இருப்பது ஆட்டோமார்ஃபிஸம்களின் இருப்பு என்று குறிப்பிட்டார். அடுக்குகளுக்கான ஒரு முக்கிய உந்துதல் என்னவென்றால், தானியங்கி உருமாற்றங்கள் இருப்பதால் சில சிக்கல்களுக்கு ஒரு மாடுலி இடம் இல்லை என்றால், ஒரு மாடுலி அடுக்கை உருவாக்க இன்னும் சாத்தியமாகும். அடுக்குகள் வரையறுக்கப்படுவதற்கு முன்பு, நீள்வட்ட வளைவுகளின் மாடுலி அடுக்கின் பிகார்ட் குழுவை ஆய்வு செய்தனர். அடுக்குகள் முதலில் வரையறுக்கப்பட்டன, மேலும் "ஸ்டாக்" என்ற சொல் "புலம்" என்று பொருள்படும் அசல் பிரெஞ்சு வார்த்தையான "சாம்பியன்" என்பதற்கு அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. இந்த கட்டுரையில் அவர்கள் டிலிக்னே-மம்ஃபோர்ட் அடுக்குகளையும் அறிமுகப்படுத்தினர், அவை இயற்கணித அடுக்குகள் என்று அழைக்கப்பட்டன, இருப்பினும் "இயற்கணித அடுக்கு" என்ற சொல் இப்போது பொதுவாக அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட பொதுவான ஆர்ட்டின் அடுக்குகளைக் குறிக்கிறது. திட்டங்களின் விகிதங்களை குழு நடவடிக்கைகளால் வரையறுக்கும் போது, விகிதத்தை ஒரு திட்டமாக மாற்றுவது பெரும்பாலும் சாத்தியமற்றது, மேலும் ஒரு விகிதத்திற்கு விரும்பத்தக்க பண்புகளை திருப்திப்படுத்துகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு சில புள்ளிகள் அற்பமான நிலைப்படுத்திகளைக் கொண்டிருந்தால், திட்டங்களிடையே வகைப்படுத்தப்பட்ட அளவு இருக்காது, ஆனால் அது ஒரு அடுக்காக இருக்கும். அதே வழியில், வளைவுகள், திசையன் மூட்டைகள் அல்லது பிற வடிவியல் பொருட்களின் மாடுலி இடைவெளிகள் பெரும்பாலும் திட்டங்களுக்கு பதிலாக அடுக்குகளாக வரையறுக்கப்படுகின்றன. மாடுலி இடைவெளிகளின் கட்டுமானங்கள் பெரும்பாலும் முதலில் கேள்விக்குரிய பொருள்களை அளவீடு செய்து ஒரு பெரிய இடத்தை உருவாக்குவதன் மூலம் தொடர்கின்றன, பின்னர் குழு நடவடிக்கை மூலம் மேற்கோள் காட்டப்பட்டு, மிகைப்படுத்தப்பட்ட தானியங்கி உருவகங்களைக் கொண்ட பொருள்களைக் கணக்கிடுகின்றன. வரையறைகள் சுருக்கம் அடுக்குகள் ஒரு வகைக்கு ஒரு ஃபங்க்டருடன் ஒரு வகை ஒரு ஃபைபர் வகை என்று அழைக்கப்படுகிறது, ஏதேனும் உருவவியல் மற்றும் படத்துடன் எந்த பொருளுக்கும் (ஃபங்க்டரின் கீழ்), பை இன் புல்பேக் இருந்தால். இதன் பொருள் படத்துடன் கூடிய ஒரு உருவகம், இது போன்ற படத்துடன் கூடிய எந்தவொரு உருவகத்தையும் ஒரு தனித்துவமான உருவகத்தால் காரணியாகக் கருதலாம், இது செயல்பாட்டாளர் வரைபடமாக்குகிறது. இந்த உறுப்பு புல்பேக் ஆஃப் அலங் என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் நியதி ஐசோமார்பிசம் வரை தனித்துவமானது. சி மீது ஃபைபர் செய்யப்பட்டிருந்தால், கிரோதெண்டிக் இடவியல் கொண்ட சி வகை சி வகைக்கு மேல் ஒரு பிரெஸ்டாக் என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் சி இன் யு பொருள் மற்றும் யு படத்துடன் சி இன் x, y பொருள்களுக்கு, சி/யு வகைக்கு மேல் உள்ள செயல்பாட்டாளர் எஃப்ஃ வி → யு முதல் ஹோம் (எஃப் * எக்ஸ், எஃப் * ஒய்) வரை ஒரு உறையாகும். இந்த சொற்கள் சீவ்களுக்கான சொற்களுடன் ஒத்துப்போகவில்லைஃ ப்ரீஸ்டாக்குகள் என்பது ப்ரீஷீவ்களை விட பிரிக்கப்பட்ட ப்ரீஷீவ்களின் ஒப்புமைகள் ஆகும். சில எழுத்தாளர்களுக்கு இது பிரிஸ்டாக்குகளை விட அடுக்குகளின் சொத்தாக தேவைப்படுகிறது. சி வகைக்கு மேல் கிரோதெண்டிக் இடவியல் கொண்ட சி வகை ஒரு அடுக்கு என்று அழைக்கப்படுகிறது, இது சி மீது ஒரு பிரெஸ்டாக் மற்றும் ஒவ்வொரு வம்சாவளி தரவுகளும் பயனுள்ளதாக இருந்தால். ஒரு வழித்தோன்றல் தரவுத்தொகுப்பு தோராயமாக ஒரு சி பொருள் V இன் ஒரு குடும்பத்தால் மூடப்பட்டிருக்கும், vi மீது இழையில் உள்ள உறுப்புகள் xi, மற்றும் xi மற்றும் xj இன் கட்டுப்பாடுகளுக்கு இடையில் உள்ள உருவகங்கள் விஜ் = விஐ × விவிஜே பொருந்தக்கூடிய நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்கிறது fki = fkjfj. xi என்ற உறுப்புகள் அடிப்படையில் V படத்துடன் ஒரு உறுப்பு x இன் புல்பேக்குகளாக இருந்தால் வம்சாவளி தரவு பயனுள்ளதாக இருக்கும் என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு அடுக்கு குரூபாய்டுகளில் ஒரு அடுக்கு அல்லது குரூபாய்டுகளிலும் ஃபைபர் செய்யப்பட்டிருந்தால் (2,1)-ஷீஃப் என்று அழைக்கப்படுகிறது, அதாவது அதன் இழைகள் (C இன் பொருட்களின் தலைகீழ் படங்கள்) குரூபாய்டுகள். சில எழுத்தாளர்கள் "அடுக்கு" என்ற வார்த்தையை குழுமங்களில் ஒரு அடுக்கைப் பற்றிய மிகவும் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட கருத்தைக் குறிக்கப் பயன்படுத்துகின்றனர். இயற்கணித அடுக்குகள் ஒரு இயற்கணித அடுக்குகள் அல்லது ஆர்ட்டின் அடுக்குகள் என்பது fppf தளத்தின் மீது உள்ள X குழுக்களில் உள்ள ஒரு அடுக்காகும், அதாவது X இன் மூலைவிட்ட வரைபடம் குறிப்பிடக்கூடியது மற்றும் ஒரு திட்டத்திலிருந்து (அதனுடன் தொடர்புடைய அடுக்கிலிருந்து) X க்கு ஒரு மென்மையான சர்ஜெக்ஷன் உள்ளது. அடுக்குகளின் ஒரு உருவகப்படுத்துதல் Y X குறிக்கப்படுகிறது, ஒவ்வொரு உருவகப்படுத்துதல் S X க்கும் (தொடர்புடைய அடுக்கு) ஒரு திட்டத்திலிருந்து X க்கு, நார் தயாரிப்பு Y × X S ஒரு இயற்கணித இடத்திற்கு (தொடர்புடைய அடுக்கு) ஐசோமார்பிக் ஆகும். அடுக்குகளின் நார் தயாரிப்பு வழக்கமான உலகளாவிய பண்பைப் பயன்படுத்தி வரையறுக்கப்படுகிறது, மேலும் வரைபடங்கள் 2-பயணத்தின் தேவைக்கு பயணிக்கும் தேவையை மாற்றுகின்றன. மேலும் தகவல்களுக்கு இயற்கணித அடுக்குகளின் உருவகத்தையும் பார்க்கவும். மூலைவிட்டத்தின் பிரதிநிதித்துவத்தின் பின்னணியில் உள்ள உந்துதல் பின்வருமாறுஃ இயற்கணித இடைவெளிகளின் எந்த ஜோடி உருவகங்களுக்கும், அவற்றின் நார் தயாரிப்பு பிரதிநிதித்துவமாக இருந்தால் மட்டுமே மூலைவிட்ட உருவகம் பிரதிநிதித்துவம் செய்யப்படுகிறது. ஒரு டெலிக்னே-மம்ஃபோர்ட் அடுக்கு என்பது ஒரு இயற்கணித அடுக்கு X ஆகும், இது ஒரு திட்டத்திலிருந்து X க்கு ஒரு அடுக்கு மேற்பரப்பு உள்ளது. தோராயமாக கூறுவதானால், டிலிக்னே-மம்ஃபோர்ட் அடுக்குகளை இயற்கணித அடுக்குகளாகக் கருதலாம், அவற்றின் பொருள்களுக்கு எல்லையற்ற தானியங்கி உருவங்கள் இல்லை. இயற்கணித அடுக்குகளின் உள்ளூர் அமைப்பு இயற்கணித அடுக்குகளின் தொடக்கத்திலிருந்து அவை ஒரு நேரியல் குறைப்பு இயற்கணிதக் குழுவாக இருக்கும் வடிவத்தின் உள்ளூரில் ஈவு அடுக்குகளாக இருக்கும் என்று எதிர்பார்க்கப்பட்டது. இது சமீபத்தில் நிரூபிக்கப்பட்டதுஃ ஒரு இயற்கணித மூடிய புலத்தின் மீது உள்ளூரில் வரையறுக்கப்பட்ட வகையின் அரை பிரிக்கப்பட்ட இயற்கணித அடுக்கைக் கொடுத்தால், அதன் நிலைப்படுத்திகள் அஃபைன் ஆகும், மேலும் நேரியல் குறைப்பு நிலைப்படுத்துபவர் குழுவுடன் ஒரு மென்மையான மற்றும் மூடிய புள்ளி, ஜிஐடி ஈட்டலின் ஒரு ஈட்டேல் கவர் உள்ளது, அங்கு, வரைபடம் கார்ட்டீசியன் போன்றது, மற்றும் மற்றும் நிலைப்படுத்துபவர் குழுக்களின் ஐசோமார்பிசத்தைத் தூண்டும் ஒரு ஈட்டேல் மார்ஃபிஸ்மிஸ் உள்ளது. எடுத்துக்காட்டுகள் அடிப்படை எடுத்துக்காட்டுகள் கிரோதெண்டிக் இடவியல் கொண்ட ஒரு வகையைச் சேர்ந்த ஒவ்வொரு உறையையும் ஒரு அடுக்காக மாற்றலாம். ஒரு பொருளைப் பொறுத்தவரை, ஒரு தொகுப்புக்குப் பதிலாக ஒரு குழுமம் உள்ளது, அதன் பொருள்கள் கூறுகள் மற்றும் அம்புகள் அடையாள உருவகம். மேலும் திட்டவட்டமாக, ஒரு மாறுபட்ட செயல்பாட்டாளராக இருக்கட்டும் பின்னர், இந்த செயல்பாட்டாளர் பின்வரும் வகையை தீர்மானிக்கிறார் ஒரு பொருள் ஒரு திட்டத்தை உள்ளடக்கிய ஒரு ஜோடி மற்றும் ஒரு உறுப்பு ஒரு மார்ஃபிஸம் அத்தகைய ஒரு மார்ஃபிஸத்தைக் கொண்டுள்ளது. மறக்கமுடியாத செயல்பாட்டாளர் மூலம், வகை ஒரு வகை மீது ஃபைபர் உள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு திட்டம் இருந்தால், அது மாறுபட்ட செயல்பாட்டை தீர்மானிக்கிறது மற்றும் அதனுடன் தொடர்புடைய ஃபைபர் வகை ஆகும். அடுக்குகள் (அல்லது பிரிஸ்டாக்குகள்) இந்த கட்டுமானத்தின் ஒரு மாறுபாடாக கட்டமைக்கப்படலாம். உண்மையில், அரை-சுருக்க மூலைவிட்டம் கொண்ட எந்தவொரு திட்டமும் திட்டத்துடன் தொடர்புடைய ஒரு இயற்கணித அடுக்காகும். பொருட்களின் அடுக்குகள் ஒரு குழு அடுக்கு. திசையன் மூட்டைகளின் மாடுலி அடுக்குஃ திசையன் மூட்டைகளின் வகை V → S என்பது இடவியல் இடைவெளிகளின் வகை S மீது ஒரு அடுக்காகும். V → S முதல் W → T வரையிலான ஒரு உருவகம் S முதல் T வரையிலும், V முதல் W வரையிலும் (இழைகளில் நேரியல்) தொடர்ச்சியான வரைபடங்களைக் கொண்டுள்ளது, இது வெளிப்படையான சதுர பயணத்தை உருவாக்குகிறது. இது ஒரு ஃபைபர் வகை என்ற நிபந்தனை பின்வருமாறு, ஏனெனில் ஒருவர் இடவியல் இடைவெளிகளின் தொடர்ச்சியான வரைபடங்களில் திசையன் மூட்டைகளின் புல்பேக்குகளை எடுக்க முடியும், மேலும் ஒரு வம்சாவளி தரவு பயனுள்ளதாக இருக்கும் நிபந்தனை பின்வருமாறு, ஏனெனில் ஒரு வெக்டர் மூட்டைகளை ஒன்றாக இணைப்பதன் மூலம் ஒரு இடத்தில் ஒரு திசையன் மூட்டை உருவாக்க முடியும். திட்டங்களில் அரை-ஒத்திசைவான உறைகளின் அடுக்கு (எஃப். பி. கியூ. சி-இடவியல் மற்றும் பலவீனமான இடவியல் ஆகியவற்றைப் பொறுத்தவரை) ஒரு அடிப்படை திட்டத்தில் அஃபைன் திட்டங்களின் அடுக்கு (மீண்டும் எஃப். பி. கியூ. சி இடவியல் அல்லது பலவீனமான ஒன்றைப் பொறுத்தவரை) அடுக்குகளுடன் கட்டமைப்புகள் அடுக்கு மேற்கோள்கள் ஒரு திட்டமாகவும், ஒரு மென்மையான அஃபைன் குழு திட்டமாகவும் செயல்பட்டால், ஒரு ஈவு இயற்கணித அடுக்கு உள்ளது, இது-திட்டத்தின் மீது-டோர்சர்களின் குழுவிற்கு-சமமான வரைபடங்களுடன் ஒரு திட்டத்தை எடுத்துச் செல்கிறது. வெளிப்படையாக, ஒரு-செயலுடன் ஒரு இடைவெளி கொடுக்கப்பட்டால், அடுக்கை உருவாக்குகிறது, இது (உள்ளுணர்வாக பேசுகையில்) புல்பேக் வரைபடங்களின் குழுவிற்கு ஒரு இடத்தை அனுப்புகிறது, அங்கு இடைவெளிகளின் சமமான உருவகம் மற்றும் ஒரு முதன்மை-கட்டு. இந்த பிரிவில் உள்ள உருவகப்படுத்துதல்கள் வரைபடங்களின் உருவகப்படுத்துதல்கள் மட்டுமே, அங்கு வலது புறத்தில் உள்ள அம்புகள் சமமாகவும், இடது புறத்தில் உள்ள அம்புகள் முதன்மை-மூட்டைகளின் உருவகமாகவும் உள்ளன. அடுக்குகளை வகைப்படுத்துதல் X ஒரு புள்ளியாக இருக்கும்போது இதன் ஒரு சிறப்பு வழக்கு ஒரு மென்மையான அஃபைன் குழு திட்டத்தின் வகைப்படுத்தும் அடுக்கு BG ஐ வழங்குகிறது G: வகை, Y க்கு மேல் உள்ள நார், துல்லியமாக முதன்மை-மூட்டைகளின் வகையாக இருப்பதால் இது பெயரிடப்பட்டுள்ளது. Y இல் உள்ள முதன்மை G-மூட்டைகளின் மாடுலி அடுக்காக தன்னை ஒரு அடுக்காகக் கருதலாம் என்பதை நினைவில் கொள்க. இந்த கட்டமைப்பிலிருந்து ஒரு முக்கியமான துணை உதாரணம் முதன்மை-மூட்டைகளின் மாடுலி அடுக்கு ஆகும். ஒரு முதன்மை-மூட்டையின் தரவு ஒரு தரவரிசை திசையன் மூட்டையின் தரவுகளுக்கு சமமாக இருப்பதால், இது தரவரிசை திசையன் மூட்டைகளின் மாடுலி அடுக்குக்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும். வரி மூட்டைகளின் மாடுலி அடுக்கு வரி மூட்டைகளின் மாடுலி அடுக்கு ஒவ்வொரு வரி மூட்டையும் ஒரு முதன்மை-மூட்டைக்கு ஐசோமார்பிக் ஆக இருப்பதால் ஆகும். உண்மையில், ஒரு திட்டத்தின் மீது ஒரு வரி மூட்டை கொடுக்கப்பட்டால், உறவினர் ஒரு வடிவியல் கோடு மூட்டை குறிப்பிடுகிறார். பூஜ்ஜிய பிரிவின் உருவத்தை அகற்றுவதன் மூலம், ஒருவர் ஒரு முதன்மை-மூட்டை பெறுகிறார். மாறாக, பிரதிநிதித்துவத்திலிருந்து, தொடர்புடைய வரி மூட்டை புனரமைக்கப்படலாம். ஜெர்ப்ஸ் ஏ ஜெர்ப் என்பது குழுமங்களில் ஒரு அடுக்காகும், இது எப்போதும் ஒரு காலியாக இல்லாத வகையைக் கொண்டுள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, ஒவ்வொரு திட்டத்திற்கும் ஒதுக்கும் அற்பமான ஜெர்ப், சில குழுக்களுக்கு, திட்டத்தின் மீது முதன்மை-மூட்டைகளின் குழுவை ஒதுக்குகிறது. ஒரு திட்டம் S மீது ஒரு இயற்கணித அடுக்கு X இல் உள்ள ஆல்ஜிப்ராக்களின் அரை-ஒத்திசைவான உறையாக A இருந்தால், ஒரு பரிமாற்ற வளையம் A இன் ஸ்பெக்ட்ரம் ஸ்பெக் (A) கட்டுமானத்தை பொதுமைப்படுத்தும் ஒரு அடுக்கு ஸ்பெக் (A) உள்ளது. ஸ்பெக் (ஏ) இன் ஒரு பொருள் ஒரு எஸ்-திட்டம் டி, எக்ஸ் (டி) இன் ஒரு பொருள், மற்றும் எக்ஸ் * (ஏ) இலிருந்து டி இன் ஒருங்கிணைந்த வளையம் ஓ (டி) வரை ஆல்ஜிப்ராக்களின் உறைகளின் ஒரு உருவகம். ஏ ஒரு திட்டம் எஸ் மீது ஒரு இயற்கணித அடுக்கு எக்ஸ் இல் தரப்படுத்தப்பட்ட ஆல்ஜிப்ராக்களின் அரை-ஒத்திசைவான உறையாக இருந்தால், பின்னர் ஒரு அடுக்கு ப்ரோஜ் (ஏ) ஒரு தரப்படுத்தப்பட்ட வளையத்தின் ப்ரொஜெக்டிவ் திட்டத்தின் கட்டுமானத்தை பொதுமைப்படுத்துகிறது ஏ. மாடுலி அடுக்குகள் வளையங்களின் மாடுலி ஆய்வு செய்யப்பட்ட மாடுலி அடுக்கு எம் 1 1 நீள்வட்ட வளைவுகளின், மற்றும் அதன் பிகார்ட் குழு 12 வரிசையின் சுழற்சி என்பதைக் காட்டுகிறது. சிக்கலான எண்களின் மீது நீள்வட்ட வளைவுகளுக்கு தொடர்புடைய அடுக்கு மாடுலர் குழுவின் செயல்பாட்டின் மூலம் மேல் அரை தளத்தின் ஒரு ஈவு போன்றது. கொடுக்கப்பட்ட இனத்தின் மென்மையான வளைவுகளின் உலகளாவிய குடும்பமாக வரையறுக்கப்பட்ட இயற்கணித வளைவுகளின் மாடுலி இடைவெளி ஒரு இயற்கணித வகையாக இல்லை, ஏனெனில் குறிப்பாக அற்பமான தன்னியல்புகளை ஒப்புக்கொள்ளும் வளைவுகள் உள்ளன. இருப்பினும் ஒரு மாடுலி அடுக்கு உள்ளது, இது மென்மையான இன வளைவுகளின் இல்லாத நுண்ணிய மாடுலி இடத்திற்கு ஒரு நல்ல மாற்றாகும். மேலும் பொதுவாக குறிக்கப்பட்ட புள்ளிகளுடன் இன வளைவுகளின் மாடுலி அடுக்கு உள்ளது. பொதுவாக இது ஒரு இயற்கணித அடுக்காகும், மேலும் இது அல்லது அல்லது (வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், வளைவுகளின் தானியங்கி குழுக்கள் வரையறுக்கப்பட்டிருக்கும் போது) ஒரு டெலிக்னே-மம்ஃபோர்ட் அடுக்காகும். இந்த மாடுலி அடுக்கில் நிலையான வளைவுகளின் மாடுலி அடுக்கைக் கொண்ட ஒரு நிறைவு உள்ளது (கொடுக்கப்பட்ட மற்றும்) இது ஸ்பெக் இசட் மீது சரியானது. எடுத்துக்காட்டாக, இது ப்ரொஜெக்டிவ் ஜெனரல் லீனியர் குழுவின் வகைப்படுத்தும் அடுக்காகும். (வரையறுப்பதில் ஒரு நுணுக்கம் உள்ளது, ஏனெனில் ஒருவர் அதை உருவாக்க திட்டங்களைக் காட்டிலும் இயற்கணித இடைவெளிகளைப் பயன்படுத்த வேண்டும்.) கொன்ட்சேவிச் மாடுலி இடைவெளிகள் பரவலாக ஆய்வு செய்யப்பட்ட மற்றொரு வகை மாடுலி இடைவெளிகள் என்பது கொன்ட்சேவிச் மாடுலி இடைவெளிகள் ஆகும், இது ஒரு நிலையான இனத்தின் வளைவுகளுக்கு இடையில் நிலையான வரைபடங்களின் இடத்தை ஒரு நிலையான இடத்திற்கு அளவிடுகிறது, அதன் படம் ஒரு நிலையான ஒத்திசைவு வகுப்பைக் குறிக்கிறது. இந்த மாடுலி இடைவெளிகள் குறிக்கப்படுகின்றன மற்றும் காட்டுமிராண்டித்தனமான நடத்தையைக் கொண்டிருக்கலாம், அதாவது குறைக்கப்படக்கூடிய அடுக்குகள், அவற்றின் கூறுகள் சமமற்ற பரிமாணமாக இருக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, மாடுலி அடுக்கு ஒரு திறந்த துணைக்குழுவால் அளவுருவாக மென்மையான வளைவுகளைக் கொண்டுள்ளது. மாடுலி இடத்தின் எல்லையில், வளைவுகள் குறைக்கப்படக்கூடிய வளைவுகளாக சீரழியக்கூடும், ஒரு அடிப்பகுதி அளவுரு குறைக்கப்படக்கூடிய வளைவுகளுடன் ஒரு இனக் கூறு மற்றும் ஒரு கட்டத்தில் வெட்டப்படும் ஒரு இனக் கூறு உள்ளது, மேலும் வரைபடம் இன வளைவை ஒரு புள்ளிக்கு அனுப்புகிறது. அத்தகைய அனைத்து இன வளைவுகளும் அளவுருக்களால் அளவிடப்படுவதால், இந்த வளைவுகள் இன வளைவில் எங்கு வெட்டுகின்றன என்பதற்கான கூடுதல் பரிமாணத் தேர்வு இருப்பதால், எல்லை கூறு பரிமாணத்தைக் கொண்டுள்ளது. பிற மாடுலி அடுக்குகள் ஒரு பிகார்ட் அடுக்கு ஒரு பிகார்ட் வகையை பொதுமைப்படுத்துகிறது. முறையான குழுச் சட்டங்களின் மாடுலி அடுக்கு முறையான குழுச் சட்டங்களை வகைப்படுத்துகிறது. எல்லையற்ற ப்ரொஜெக்டிவ் ஸ்பேஸ் மற்றும் முறையான திட்டம் போன்ற ஒரு இண்ட்-திட்டம் ஒரு அடுக்கு ஆகும். வடிவியல் லாங்லேண்ட்ஸ் நிரலில் ஷுடுகாக்களின் மாடுலி அடுக்கு பயன்படுத்தப்படுகிறது. (மேலும் ஷுதுகாக்களைப் பார்க்கவும்.) வடிவியல் அடுக்குகள் எடை கொண்ட ப்ரொஜெக்டிவ் அடுக்குகளை உருவாக்குவது எடையுள்ள ப்ரொஜெக்டிவ் இடங்களை உருவாக்குவது என்பது சிலவற்றின் ஈவு வகையை ஒரு-செயல் மூலம் எடுத்துக்கொள்வதை உள்ளடக்கியது. குறிப்பாக, செயல் ஒரு டூப்ளேண்டை அனுப்புகிறது, இந்த செயலின் ஈவு எடை கொண்ட ப்ரொஜெக்டிவ் இடத்தை வழங்குகிறது. இதற்கு பதிலாக இதை ஒரு அடுக்கு விகிதமாக எடுத்துக் கொள்ள முடியும் என்பதால், எடையுள்ள ப்ரொஜெக்டிவ் ஸ்டேக் pg 30 என்பது ஒரு வரி மூட்டையில் எடையுள்ள பல்லுறுப்புக்கோவையின் மறைந்து வரும் இருப்பிடத்தை எடுத்துக்கொள்வது ஒரு அடுக்கு எடையுள்ள ப்ரொஜெக்டிவ் வகையை வழங்குகிறது. ஸ்டேக்கி வளைவுகள் அல்லது சுற்றுப்பாதை வளைவுகள், பொதுவான புள்ளிகளுக்கு மேல் அட்டையின் மோனோட்ரோமி குழுவால் வளைவுகளின் உருவத்தின் அடுக்கு அளவை எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம் கட்டமைக்கப்படலாம். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் மார்ஃபிசத்தை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள், இது பொதுவாக ஈட்டேல் ஆகும். மூலம் களத்தின் அடுக்கு அளவு-விளக்கப்படத்தில் ஒற்றுமையின் ஐந்தாவது வேர்களில் நிலைப்படுத்துபவர் குழுவைக் கொண்ட அடுக்கான புள்ளிகளுடன் ஒரு அடுக்கைக் கொடுக்கிறது. ஏனென்றால், இவை கவர் விரிவடையும் புள்ளிகள். அஃபைன் அல்லாத அடுக்குக்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு இரண்டு அடுக்கு தோற்றங்களுடன் அரை வரியால் வழங்கப்படுகிறது. இதை இரண்டு சேர்ப்புகளின் கோலிமிட்டாக கட்டமைக்க முடியும். இயற்கணித அடுக்குகளில் அரை-ஒத்திசைவான உறைகள் ஒரு இயற்கணித அடுக்கில் ஒருவர் ஒரு திட்டத்தின் மீது அரை-ஒத்திசைவான உறைகளின் வகையைப் போலவே அரை-ஒத்திசைவான உறைகளின் வகையை உருவாக்க முடியும். ஒரு அரை-ஒத்திசைவான சீஃப் என்பது தோராயமாக ஒரு வளையத்தின் மீது ஒரு தொகுதியின் சீஃப் போல இருக்கும். முதல் சிக்கல் என்னவென்றால், "உள்ளூரில்" என்பதன் பொருள் என்ன என்பதைத் தீர்மானிப்பதாகும்ஃ இது ஒரு கிரோதெண்டிக் இடவியலைத் தேர்ந்தெடுப்பதை உள்ளடக்கியது, மேலும் இதற்கு பல சாத்தியமான தேர்வுகள் உள்ளன, இவை அனைத்தும் சில சிக்கல்களைக் கொண்டுள்ளன, அவற்றில் எதுவும் முற்றிலும் திருப்திகரமாகத் தெரியவில்லை. கிரோதெண்டிக் இடவியல் போதுமான வலுவாக இருக்க வேண்டும், இதனால் அடுக்கு இந்த இடவியலில் உள்ளூரில் தொடர்புடையதாக இருக்கும்ஃ திட்டங்கள் ஜரிஸ்கி இடவியலில் உள்ளூரில் தொடர்புடையவை, எனவே செர்ரே கண்டுபிடித்தபடி திட்டங்களுக்கு இது ஒரு நல்ல தேர்வாகும், இயற்கணித இடைவெளிகள் மற்றும் டெலிக்னே-மம்ஃபோர்ட் அடுக்குகள் ஈட்டேல் இடவியலில் உள்ளூரில் தொடர்புடையவை, எனவே ஒருவர் வழக்கமாக இவற்றிற்கான ஈட்டேல் இடவியலில் பயன்படுத்துகிறார், அதே நேரத்தில் இயற்கணித அடுக்குகள் மென்மையான இடவியலில் உள்ளூரில் தொடர்புடையவை, எனவே இந்த விஷயத்தில் ஒருவர் மென்மையான இடவியலில் பயன்படுத்தலாம். பொதுவான இயற்கணித அடுக்குகளுக்கு ஈட்டேல் இடவியல் போதுமான திறந்த தொகுப்புகளைக் கொண்டிருக்கவில்லைஃ எடுத்துக்காட்டாக, G ஒரு மென்மையான இணைக்கப்பட்ட குழுவாக இருந்தால், வகைப்படுத்தும் அடுக்கு BG இன் ஒரே ஈட்டேல் அட்டைகள் BG இன் நகல்களின் தொழிற்சங்கங்களாகும், அவை சரியான கோட்பாட்டை வழங்க போதுமானவை அல்ல. இயற்கணித அடுக்குகளுக்கு மென்மையான இடவியலைப் பயன்படுத்துவதற்குப் பதிலாக ஒருவர் பெரும்பாலும் லிஸ்-எட் இடவியல் என்று அழைக்கப்படும் ஒரு மாற்றத்தைப் பயன்படுத்துகிறார் (லிஸ்-எடேல் என்பதன் சுருக்கம்ஃ லிஸ் என்பது மென்மையான பிரெஞ்சு சொல்), இது மென்மையான இடவியலைப் போலவே திறந்த தொகுப்புகளைக் கொண்டுள்ளது, ஆனால் திறந்த உறைகள் மென்மையான வரைபடங்களைக் காட்டிலும் ஈட்டேலால் வழங்கப்படுகின்றன. இது வழக்கமாக அரை-ஒத்திசைவான உறைகளின் சமமான வகைக்கு வழிவகுப்பதாகத் தெரிகிறது, ஆனால் பயன்படுத்த எளிதானதுஃ எடுத்துக்காட்டாக, இயற்கணித இடைவெளிகளில் உள்ள ஈட்டேல் இடவியலுடன் ஒப்பிடுவது எளிது. லிஸ்-எட் இடவியல் ஒரு நுட்பமான தொழில்நுட்ப சிக்கலைக் கொண்டுள்ளதுஃ அடுக்குகளுக்கு இடையிலான ஒரு உருவகப்படுத்துதல் பொதுவாக தொடர்புடைய டோபோய்களுக்கு இடையில் ஒரு உருவகப்படுத்துதலை வழங்காது. (சிக்கல் என்னவென்றால், டோபோயின் வடிவியல் உருவகத்திற்குத் தேவையான ஒரு ஜோடி அட்ஜாயின்ட் ஃபங்க்டர்கள் f *, f * ஐ ஒருவர் உருவாக்க முடியும் என்றாலும், ஃபங்க்டர் f * பொதுவாக துல்லியமாக விடப்படுவதில்லை. வெளியிடப்பட்ட கட்டுரைகள் மற்றும் புத்தகங்களில் சில பிழைகளை ஏற்படுத்தியதற்காக இந்த சிக்கல் பிரபலமானது). இதன் பொருள் என்னவென்றால், அடுக்குகளின் உருவகத்தின் கீழ் ஒரு குவாசிகோஹெரென்ட் உறையின் புல்பேக்கைக் கட்டுவதற்கு சில கூடுதல் முயற்சி தேவைப்படுகிறது. சிறந்த இடவியல் முறைகளையும் பயன்படுத்தலாம். மிகவும் நியாயமான "போதுமான அளவு பெரிய" கிரோதெண்டிக் இடவியல் சமமான வகை அரை-ஒத்திசைவான உறைகளுக்கு வழிவகுப்பதாகத் தெரிகிறது, ஆனால் பெரிய இடவியல் கையாள்வது கடினம், எனவே ஒருவர் பொதுவாக சிறிய இடவியல் பயன்படுத்த விரும்புகிறார் அவை போதுமான திறந்த தொகுப்புகளைக் கொண்டிருக்கும் வரை. எடுத்துக்காட்டாக, பெரிய fppf இடவியல் அடிப்படையில் லிஸ்-எட் இடவியல் போன்ற அரை-ஒத்திசைவான உறைகளின் அதே வகைக்கு வழிவகுக்கிறது, ஆனால் ஒரு நுட்பமான சிக்கலைக் கொண்டுள்ளதுஃ இந்த இடவியலில் OX தொகுதிகளில் அரை-ஒத்திசைவான உறைகளின் இயற்கையான உட்பொதிப்பு துல்லியமானது அல்ல (இது பொதுவாக கர்னல்களைப் பாதுகாக்காது). மற்ற வகை அடுக்குகள் வேறுபடுத்தக்கூடிய அடுக்குகள் மற்றும் இடவியல் அடுக்குகள் இயற்கணித அடுக்குகளைப் போலவே வரையறுக்கப்படுகின்றன, தவிர அஃபைன் திட்டங்களின் அடிப்படை வகை மென்மையான பன்மடங்கு அல்லது இடவியல் இடைவெளிகளின் வகையால் மாற்றப்படுகிறது. மேலும் பொதுவாக ஒருவர் ஒரு n-ஷீஃப் அல்லது n-1 அடுக்கின் கருத்தை வரையறுக்க முடியும், இது தோராயமாக n-1 பிரிவுகளில் மதிப்புகளை எடுக்கும் ஒரு வகையான ஷீஃப் ஆகும். இதைச் செய்ய பல சமத்துவமற்ற வழிகள் உள்ளன. 1-ஷீவ்ஸ் ஷீவ்ஸ் போலவே இருக்கும், மேலும் 2-ஷீவ்ஸ் அடுக்குகளைப் போலவே இருக்கும். அவை உயர் அடுக்குகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. மிகவும் ஒத்த மற்றும் ஒத்த நீட்டிப்பு என்பது தனித்துவமற்ற பொருட்களின் மீது அடுக்கு கோட்பாட்டை உருவாக்குவதாகும் (அதாவது, ஒரு இடைவெளி உண்மையில் இயற்கணித இடவியலில் ஒரு நிறமாலையாகும்). இதன் விளைவாக வரும் அடுக்குகள் பெறப்பட்ட அடுக்குகள் (அல்லது நிறமாலை அடுக்குகள்) என்று அழைக்கப்படுகின்றன. ஜேக்கப் லூரியின் கட்டுமானத்தில் உள்ள புத்தகம் ஸ்பெக்ட்ரல் அல்ஜிப்ராயிக் ஜியோமெட்ரி ஒரு பொதுமைப்படுத்தலைப் பற்றி ஆய்வு செய்கிறது, அதை அவர் ஸ்பெக்ட்ரல் டிலிக்னே-மம்ஃபோர்ட் அடுக்கு என்று அழைக்கிறார். வரையறையின்படி, இது ஒரு வளையமான ν-டோபோஸ் ஆகும், இது ஒரு E ν-வளையத்தின் இடைக்கால ஸ்பெக்ட்ரம் ஆகும் (இந்த கருத்து குறைந்தபட்சம் பண்பு பூஜ்ஜியத்தில் ஒரு பெறப்பட்ட திட்டத்தின் உட்பொருளாக உள்ளது.) செட்-கோட்பாட்டு சிக்கல்கள் அடுக்குகளின் கோட்பாட்டின் வழக்கமான அடித்தளத்துடன் சில சிறிய தொகுப்பு கோட்பாட்டு சிக்கல்கள் உள்ளன, ஏனென்றால் அடுக்குகள் பெரும்பாலும் செட் வகைகளுக்கு சில செயல்பாடுகளாக வரையறுக்கப்படுகின்றன, எனவே அவை செட் அல்ல. இந்த சிக்கலைச் சமாளிக்க பல வழிகள் உள்ளனஃ கிரோதெண்டிக் பிரபஞ்சங்களுடன் ஒருவர் வேலை செய்யலாம்ஃ ஒரு அடுக்கு பின்னர் சில நிலையான கிரோதெண்டிக் பிரபஞ்சத்தின் வகுப்புகளுக்கு இடையில் ஒரு செயல்பாட்டாளராக இருக்கும், எனவே இந்த வகுப்புகளும் அடுக்குகளும் ஒரு பெரிய கிரோதெண்டிக் பிரபஞ்சத்தில் அமைக்கப்பட்டுள்ளன. இந்த அணுகுமுறையின் குறைபாடு என்னவென்றால், போதுமான கிரோதெண்டிக் பிரபஞ்சங்கள் இருப்பதாக ஒருவர் கருத வேண்டும், இது அடிப்படையில் ஒரு பெரிய கார்டினல் கோட்பாடாகும். ஒருவர் அடுக்குகளை போதுமான அளவு பெரிய தரவரிசையின் தொகுப்புகளின் செயல்பாடுகளாக வரையறுக்கலாம், மேலும் ஒருவர் பயன்படுத்தும் பல்வேறு தொகுப்புகளின் தரவரிசைகளை கவனமாக கண்காணிக்கலாம். இதில் உள்ள சிக்கல் என்னவென்றால், இது சில கூடுதல் சோர்வூட்டும் கணக்குப் பராமரிப்பை உள்ளடக்கியது. அனைத்து தொகுப்புகளின் பிரபஞ்சத்திற்கு போதுமான நெருக்கமான தோராயங்களைக் கொண்ட தொகுப்புகளை தானாகவே கண்டுபிடிக்க முடியும் என்பதைக் காட்ட ZFC இன் கோட்பாடுகளின் எந்தவொரு வரையறுக்கப்பட்ட துண்டின் தொகுப்பு மாதிரிகளையும் ஒருவர் கண்டுபிடிக்க முடியும் என்று குறிப்பிடும் தொகுப்புக் கோட்பாட்டின் பிரதிபலிப்புக் கொள்கைகளைப் பயன்படுத்தலாம். ஒருவர் பிரச்சினையை வெறுமனே புறக்கணிக்கலாம். இது பல எழுத்தாளர்களால் எடுக்கப்பட்ட அணுகுமுறை. ஒரு அடுக்கின் இயற்கணித அடுக்கு சௌ குழுவைப் பார்க்கவும் டெலிக்னே-மம்ஃபோர்ட் அடுக்கு இயற்கணித வடிவவியலின் சொற்களஞ்சியம் அடுக்குகளைப் பின்தொடர்வது ஒரு இயற்கணித அடுக்கின் அளவு இடைவெளி மட்டு வடிவங்களின் வளையம் எளிய முன்னமைவு அடுக்குகள் திட்டம் டாரிக் அடுக்கு குறிப்புகள் கல்வியியல் என்பது அடுக்குகளின் அடிப்படைகளை எடுத்துக்காட்டுகளுடன் விவரிக்கும் ஒரு விளக்கக் கட்டுரையாகும். இலக்கியத்திற்கு வழிகாட்டுகிறது https://maths-people.anu.edu.au ~ ஆல்பெர்ஜ்/காகிதங்கள்/அடுக்குகள்-guide.pdf http://stacks.math.columbia.edu/tag/03B0 குறிப்புகள் துரதிர்ஷ்டவசமாக இந்த புத்தகம் இயற்கணித அடுக்குகளின் உருவகங்கள் லிஸ்ஸே-எடேல் டோபோயின் உருவகங்களைத் தூண்டுகின்றன என்ற தவறான கூற்றைப் பயன்படுத்துகிறது. இவற்றில் சில பிழைகள் சரிசெய்யப்பட்டன. மேலும் படிக்க வெளிப்புற இணைப்புகள் "இயற்கணித அடுக்குகளில் நல்ல அறிமுக குறிப்புகள்?" இயற்கணித வடிவியல் வகைக் கோட்பாடு