Generic property
கணிதத்தில், "வழக்கமான" எடுத்துக்காட்டுகளைக் கொண்ட பண்புகள் பொதுவான பண்புகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, "ஒரு பொதுவான பல்லுறுப்புக்கோவை பூஜ்ஜியத்தில் ஒரு மூலத்தைக் கொண்டிருக்கவில்லை" அல்லது "ஒரு பொதுவான சதுர அணி தலைகீழாக உள்ளது" என்ற கூற்றுகளில் உள்ளதைப் போல, செயல்பாடுகளின் ஒரு வகுப்பின் பொதுவான பண்பு அந்த செயல்பாடுகளின் "கிட்டத்தட்ட அனைத்திற்கும்" பொருந்தும். மற்றொரு எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு இடத்தின் பொதுவான பண்பு என்பது இடத்தின் "கிட்டத்தட்ட அனைத்து" புள்ளிகளிலும் வைத்திருக்கும் ஒரு பண்பு, அறிக்கையில் உள்ளபடி, "மென்மையான பன்மடங்கு இடையே ஒரு மென்மையான செயல்பாடு என்றால், ஒரு பொதுவான புள்ளி ஒரு முக்கியமான மதிப்பு அல்ல". (இது சர்த் தேற்றத்தின் படி.) கணிதத்தில் "பொதுவான" ("கிட்டத்தட்ட அனைத்தும்" என்று பொருள்படும்) பல வேறுபட்ட கருத்துக்கள் உள்ளன, அதனுடன் தொடர்புடைய இரட்டை கருத்துக்கள் "கிட்டத்தட்ட எதுவும் இல்லை" (மிகக் குறைவான தொகுப்பு); இரண்டு முக்கிய வகுப்புகள்ஃ அளவீட்டுக் கோட்பாட்டில், ஒரு பொதுவான பண்பு என்பது கிட்டத்தட்ட எல்லா இடங்களிலும் உள்ளது, இரட்டைக் கருத்து பூஜ்ய தொகுப்பாக உள்ளது, அதாவது "நிகழ்தகவு 0 உடன்". இடவியல் மற்றும் இயற்கணித வடிவவியலில், ஒரு பொதுவான பண்பு என்பது ஒரு அடர்த்தியான திறந்த தொகுப்பில் அல்லது பொதுவாக ஒரு எஞ்சிய தொகுப்பில் வைத்திருக்கும் ஒன்று, இரட்டைக் கருத்து எங்கும் அடர்த்தியான தொகுப்பாகவோ அல்லது பொதுவாக ஒரு சிறிய தொகுப்பாகவோ இருக்கும். அந்த கருத்துக்கள் சமமாக இல்லாத பல இயற்கையான எடுத்துக்காட்டுகள் உள்ளன. உதாரணமாக, லியோவில்லே எண்களின் தொகுப்பு இடவியல் அர்த்தத்தில் பொதுவானது, ஆனால் லெபெஸ்கூ அளவீட்டு பூஜ்ஜியத்தைக் கொண்டுள்ளது. அளவீட்டுக் கோட்பாட்டில், ஒரு பொதுவான பண்பு என்பது கிட்டத்தட்ட எல்லா இடங்களிலும் உள்ளது. இரட்டைக் கருத்து ஒரு பூஜ்ய தொகுப்பாகும், அதாவது பூஜ்ஜிய அளவின் தொகுப்பாகும். நிகழ்தகவில், ஒரு பொதுவான பண்பு என்பது கிட்டத்தட்ட நிச்சயமாக நிகழும் ஒரு நிகழ்வாகும், அதாவது இது நிகழ்தகவு 1 உடன் நிகழ்கிறது. எடுத்துக்காட்டாக, பெரிய எண்களின் சட்டம் மாதிரி சராசரி கிட்டத்தட்ட நிச்சயமாக மக்கள்தொகை சராசரியுடன் இணைகிறது என்று கூறுகிறது. இது ஒரு நிகழ்தகவு இடத்திற்கு சிறப்பு அளவீட்டுக் கோட்பாட்டு வழக்கில் உள்ள வரையறையாகும். தனித்துவமான கணிதத்தில், ஒருவர் கிட்டத்தட்ட அனைத்து என்ற சொல்லையும் கோஃபைனைட் (அனைத்தும் ஆனால் இறுதியாக பல), கோகான்டபிள் (அனைத்தும் ஆனால் எண்ணக்கூடிய பல), போதுமான பெரிய எண்களுக்கு, அல்லது, சில நேரங்களில், அறிகுறியற்ற முறையில் கிட்டத்தட்ட நிச்சயமாக என்று பொருள்படும் வகையில் பயன்படுத்துகிறார். சீரற்ற வரைபடங்களின் ஆய்வில் இந்த கருத்து குறிப்பாக முக்கியமானது. இடவியல் மற்றும் இயற்கணித வடிவவியலில், ஒரு பொதுவான பண்பு என்பது ஒரு அடர்த்தியான திறந்த தொகுப்பில் அல்லது பொதுவாக ஒரு எஞ்சிய தொகுப்பில் (அடர்த்தியான திறந்த தொகுப்புகளின் எண்ணக்கூடிய குறுக்கீடு) வைத்திருக்கும் ஒன்று, இரட்டைக் கருத்து ஒரு மூடிய எங்கும் அடர்த்தியான தொகுப்பாகவோ அல்லது பொதுவாக ஒரு சிறிய தொகுப்பாகவோ (எங்கும் அடர்த்தியான மூடிய தொகுப்புகளின் எண்ணக்கூடிய ஒன்றிணைப்பு) இருக்கும். இருப்பினும், ஒரு பொதுவான பண்பை வகைப்படுத்த அடர்த்தி மட்டும் போதாது. விகிதமுறு எண்கள் மற்றும் அவற்றின் நிரப்பு, விகிதமுறு எண்கள் இரண்டும் அடர்த்தியாக இருக்கும் உண்மையான எண்களில் கூட இதைக் காணலாம். ஒரு தொகுப்பு மற்றும் அதன் நிரப்பு இரண்டும் வழக்கமான நடத்தையை வெளிப்படுத்துகின்றன என்று சொல்வதில் அர்த்தமில்லை என்பதால், பகுத்தறிவுகள் மற்றும் பகுத்தறிவற்றவை இரண்டும் பொதுவானதாக இருக்கும் அளவுக்கு பெரிய தொகுப்புகளுக்கு எடுத்துக்காட்டுகளாக இருக்க முடியாது. இதன் விளைவாக, மேலே உள்ள வலுவான வரையறையை நாம் நம்பியுள்ளோம், இது பகுத்தறிவற்றவை பொதுவானவை மற்றும் பகுத்தறிவுகள் இல்லை என்பதைக் குறிக்கிறது. பயன்பாடுகளைப் பொறுத்தவரை, ஒரு பண்பு ஒரு எஞ்சிய தொகுப்பில் இருந்தால், அது ஒவ்வொரு புள்ளிக்கும் பிடிக்காமல் போகலாம், ஆனால் அதை சற்று தொந்தரவு செய்வது பொதுவாக எஞ்சிய தொகுப்பிற்குள் ஒன்றை தரையிறக்கும் (அற்ப தொகுப்பின் கூறுகளின் அடர்த்தி எங்கும் இல்லை), எனவே இவை கோட்பாடுகள் மற்றும் வழிமுறைகளில் உரையாற்ற வேண்டிய மிக முக்கியமான வழக்கு. செயல்பாட்டு இடைவெளிகளில் ஒரு பண்பு என்பது சிஆர் இடவியலில் எஞ்சிய துணைக்குழுவைக் கொண்டிருந்தால் சிஆர் இல் பொதுவானது. இங்கே சி ஆர் என்பது செயல்பாட்டு இடமாகும், அதன் உறுப்பினர்கள் ஒரு பன்மடங்கு எம் முதல் பன்மடங்கு என் வரை தொடர்ச்சியான வழித்தோன்றல்களுடன் தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளாக உள்ளனர். எம் மற்றும் என் இடையே உள்ள சி ஆர் வரைபடங்களின் இடைவெளி சி ஆர் (எம், என்) ஒரு பைர் இடைவெளி, எனவே எந்த எஞ்சிய தொகுப்பும் அடர்த்தியானது. செயல்பாட்டு இடத்தின் இந்த பண்பு தான் பொதுவான பண்புகளை பொதுவானதாக ஆக்குகிறது. இயற்கணித வடிவவியலில் இயற்கணித வகைகள் ஒரு பகுக்கமுடியாத இயற்கணித வகை X இன் பண்பு, X இன் சரியான ஜாரிஸ்கி-மூடிய துணைக்குழுவைத் தவிர, பொதுவாக உண்மை என்று கூறப்படுகிறது, வேறுவிதமாகக் கூறினால், அது காலியாக இல்லாத ஜாரிஸ்கி-திறந்த துணைக்குழுவில் இருந்தால். இந்த வரையறை மேலே உள்ள இடவியல் ஒன்றுடன் உடன்படுகிறது, ஏனென்றால் பகுக்கமுடியாத இயற்கணித வகைகளுக்கு எந்த வெற்று இல்லாத திறந்த தொகுப்பும் அடர்த்தியானது. எடுத்துக்காட்டாக, ஒழுங்குமுறைக்கான ஜாகோபியன் அளவுகோலால், பண்பு பூஜ்ஜியத்தின் புலத்தின் மீது ஒரு வகையின் பொதுவான புள்ளி மென்மையானது. (இந்த கூற்று பொதுவான மென்மை என்று அழைக்கப்படுகிறது.) இது உண்மை, ஏனென்றால் மென்மையான புள்ளிகளுக்கான சமன்பாடுகளைக் கண்டறிய ஜாகோபியன் அளவுகோலைப் பயன்படுத்தலாம்ஃ அவை சரியாக எக்ஸ் புள்ளியின் ஜாகோபியன் மேட்ரிக்ஸ் முழு தரவரிசையைக் கொண்டிருக்காத புள்ளிகள். பண்பு பூஜ்ஜியத்தில், இந்த சமன்பாடுகள் அற்பமானவை அல்ல, எனவே அவை வகையின் ஒவ்வொரு புள்ளிக்கும் உண்மையாக இருக்க முடியாது. இதன் விளைவாக, X இன் அனைத்து ஒழுங்கற்ற புள்ளிகளின் தொகுப்பும் X இன் சரியான ஜாரிஸ்கி-மூடிய துணைக்குழுவாகும். இதற்கு இன்னொரு உதாரணம். f: X → Y என்பது இரண்டு இயற்கணித வகைகளுக்கு இடையிலான வழக்கமான வரைபடமாக இருக்கட்டும். Y இன் ஒவ்வொரு புள்ளிக்கும், y க்கு மேல் f இன் இழையின் பரிமாணத்தைக் கவனியுங்கள், அதாவது மங்கலான f − 1 (y). பொதுவாக, இந்த எண் நிலையானது. இது எல்லா இடங்களிலும் நிலையானதாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை. X என்பது ஒரு புள்ளியில் Y இன் ஊதுகுழல் மற்றும் f என்பது இயற்கையான கணிப்பு என்று வைத்துக்கொள்வோம் என்றால், f இன் ஒப்பீட்டு பரிமாணம் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும், அது ஊதப்பட்ட புள்ளியைத் தவிர, அது மங்கலான Y-1 ஆக இருக்கும். சில சொத்துக்கள் மிகவும் பொதுவானவை என்று கூறப்படுகிறது. அடிக்கடி இதன் பொருள் என்னவென்றால், தரை புலம் கணக்கிட முடியாதது மற்றும் சரியான ஜாரிஸ்கி-மூடிய துணைக்குழுக்களின் (அதாவது, சொத்து அடர்த்தியான Gδ தொகுப்பில் உள்ளது) எண்ணக்கூடிய ஒன்றிணைப்பைத் தவிர பண்பு உண்மை. உதாரணமாக, பகுத்தறிவு இணைப்பைக் கருத்தில் கொள்ளும்போது மிகவும் பொதுவான இந்த கருத்து ஏற்படுகிறது. இருப்பினும், மிகவும் பொதுவான பிற வரையறைகள் மற்ற சூழல்களில் நிகழலாம் மற்றும் நிகழலாம். இயற்கணித வடிவவியலில், ஒரு இயற்கணித வகையின் பொதுவான புள்ளி என்பது அதன் ஆயத்தொலைவுகள் வகையின் ஒவ்வொரு புள்ளியாலும் திருப்தி அடைவதைத் தவிர வேறு எந்த இயற்கணித உறவையும் திருப்திப்படுத்தாத ஒரு புள்ளியாகும். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு புலத்தின் மீது ஒரு அஃபைன் இடத்தின் பொதுவான புள்ளி என்பது இயற்கணித ரீதியாக சுயாதீனமான ஒரு புள்ளியாகும். திட்டக் கோட்பாட்டில், புள்ளிகள் துணை வகைகளாக இருக்கும் இடத்தில், ஒரு வகையின் பொதுவான புள்ளி என்பது ஒரு புள்ளியாகும், அதன் மூடல் ஜரிஸ்கி இடவியல் முழு வகையாகும். ஒரு பொதுவான பண்பு என்பது பொதுவான புள்ளியின் பண்பு ஆகும். எந்தவொரு நியாயமான சொத்துக்கும், பொதுவான புள்ளியில் பண்பு உண்மையாக இருந்தால் மட்டுமே, துணை வகைகளில் (திறந்த அடர்த்தியான துணைக்குழுவில் உண்மை என்ற பொருளில்) பண்பு பொதுவாக உண்மை என்று மாறிவிடும். ஈஜிஏ IV 8 இல் உருவாக்கப்பட்ட அஃபைன் திட்டங்களின் வரம்புகளின் முறைகளைப் பயன்படுத்தி இத்தகைய முடிவுகள் அடிக்கடி நிரூபிக்கப்படுகின்றன. இயற்கணித வடிவவியலில் ஒரு தொடர்புடைய கருத்து பொது நிலை, அதன் துல்லியமான பொருள் சூழலைப் பொறுத்தது. எடுத்துக்காட்டாக, யூக்ளிடியன் தளத்தில், பொதுவான நிலையில் உள்ள மூன்று புள்ளிகள் கொலினியர் அல்ல. ஏனென்றால், கோலினியர் இல்லாத பண்பு என்பது R2 இல் உள்ள மூன்று புள்ளிகளின் உள்ளமைவு இடத்தின் பொதுவான பண்பு ஆகும். கணக்கீட்டில் கணக்கீட்டு மற்றும் வழிமுறை சீரற்ற தன்மையில், இயற்கையான எண்களின் எல்லையற்ற சரம் 1-ஜெனரிக் என்று அழைக்கப்படுகிறது. செட், ஒரு ஆரம்ப பிரிவைக் கொண்டுள்ளது, அல்லது ஒவ்வொரு நீட்டிப்பும் டபிள்யூ-இல் இல்லாத ஆரம்ப பிரிவைக் கொண்டுள்ளது. 1-ஜெனரிக்ஸ் கணக்கீட்டில் முக்கியம், ஏனெனில் பொருத்தமான 1-ஜெனரிக் கருத்தில் கொண்டு பல கட்டமைப்புகளை எளிமைப்படுத்தலாம். சில முக்கிய பண்புகள் பின்வருமாறுஃ ஒரு 1-ஜெனரிக் ஒவ்வொரு இயற்கையான எண்ணையும் ஒரு உறுப்பாகக் கொண்டுள்ளது; எந்த 1-ஜெனரிக் கணக்கிடக்கூடியது அல்ல (அல்லது கணக்கிடக்கூடிய செயல்பாட்டால் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது); அனைத்து 1-ஜெனரிக்ஸும் குறைவாக பொதுமைப்படுத்தப்படுகின்றனஃ 1-ஜெனரசிட்டி பின்வருமாறு "ஜெனரிக்" என்ற இடவியல் கருத்துடன் இணைக்கப்பட்டுள்ளது. பெய்ர் ஸ்பேஸ் இயற்கையான எண்களின் ஒவ்வொரு வரையறுக்கப்பட்ட சரத்திற்கும் அடிப்படை திறந்த தொகுப்புகளுடன் ஒரு இடவியல் உள்ளது. பின்னர், ஒரு உறுப்பு எந்த திறந்த தொகுப்பின் எல்லையிலும் இல்லாவிட்டால் மட்டுமே அது 1-ஜெனரிக் ஆகும். குறிப்பாக, ஒவ்வொரு அடர்த்தியான திறந்த தொகுப்பையும் சந்திக்க 1-ஜெனரிக்ஸ் தேவைப்படுகிறது (இது கண்டிப்பாக பலவீனமான பண்பு என்றாலும், பலவீனமான 1-ஜெனரிக் என்று அழைக்கப்படுகிறது). சார்ட் கோட்பாட்டின் விளைவுகள்ஃ மென்மையான பன்மடங்கு இடையே ஒரு மென்மையான செயல்பாடு என்றால், N இன் பொதுவான புள்ளி f இன் முக்கியமான மதிப்பு அல்ல-f இன் முக்கியமான மதிப்புகள் N இல் ஒரு பூஜ்ய தொகுப்பாகும். ஜாகோபியன் அளவுகோல்/பொதுவான மென்மைஃ பண்பு பூஜ்ஜியத்தின் புலத்தின் மீது ஒரு பொதுவான புள்ளி மென்மையானது. நேரியல் நேர மாறுபாடற்ற அமைப்புகளின் கட்டுப்பாடு மற்றும் அவதானிப்பு ஆகியவை இடவியல் மற்றும் அளவீட்டுக் கோட்பாட்டு அர்த்தத்தில் பொதுவானவை. குறிப்புகள் ஒற்றுமை கோட்பாடு இயற்கணித வடிவியல்