Non-positive curvature
கணிதத்தில், நேர்மறை அல்லாத வளைவின் இடைவெளிகள் பல சூழல்களில் நிகழ்கின்றன மற்றும் ஹைபர்போலிக் வடிவவியலின் பொதுமைப்படுத்தலை உருவாக்குகின்றன. ரீமானியன் பன்மடங்கு பிரிவில், ஒருவர் பன்மடங்கு பிரிவின் வளைவைக் கருத்தில் கொள்ளலாம், மேலும் இந்த வளைவு எல்லா இடங்களிலும் பூஜ்ஜியத்திற்கு குறைவாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்க வேண்டும். வளைவு என்ற கருத்து புவியியல் மெட்ரிக் இடைவெளிகளின் வகைக்கு விரிவடைகிறது, அங்கு ஒரு இடத்தின் வளைவை அளவிட ஒப்பீட்டு முக்கோணங்களைப் பயன்படுத்தலாம்; இந்த சூழலில், நேர்மறை அல்லாத வளைந்த இடைவெளிகள் (உள்ளூரில்) சிஏடி (0) இடைவெளிகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. ரீமன் மேற்பரப்புகள் ஒரு மூடிய, நோக்குநிலை ரீமன் மேற்பரப்பு என்றால், அது சீரான கோட்பாட்டைப் பின்பற்றுகிறது, இது நிலையான காஸியன் வளைவுடன் முழுமையான ரீமனியன் மெட்ரிக் வழங்கப்படலாம், அல்லது. காஸ்-பானெட் தேற்றத்தின் விளைவாக, நிலையான வளைவின் ரீமானியன் மெட்ரிக் கொண்ட மேற்பரப்புகளை ஒருவர் தீர்மானிக்க முடியும். நேர்மறை அல்லாத நிலையான வளைவின் முழுமையான, ரீமானியன் மெட்ரிக் கொண்ட ரீமானின் மேற்பரப்புகள், குறைந்தபட்சம் அதன் இனத்தைச் சேர்ந்தவை. சீரான கோட்பாடு மற்றும் காஸ்-பானெட் கோட்பாடு ஆகிய இரண்டையும் எல்லையுடன் நோக்கக்கூடிய ரீமன் மேற்பரப்புகளுக்கு பயன்படுத்தலாம், இது ஒரு நேர்மறை அல்லாத ஆய்லர் பண்பு கொண்ட மேற்பரப்புகள் சரியாக நேர்மறை அல்லாத வளைவின் ரீமனியன் மெட்ரிக் ஐ ஒப்புக்கொள்கின்றன என்பதைக் காட்டுகிறது. எனவே அத்தகைய மேற்பரப்புகளின் ஹோமோமார்பிசம் வகைகளின் எல்லையற்ற குடும்பம் உள்ளது, அதே நேரத்தில் ரீமன் கோளம் நிலையான காஸியன் வளைவின் ஒரே மூடிய, நோக்குநிலை ரீமன் மேற்பரப்பாகும். மேலே உள்ள வளைவின் வரையறை ஒரு ரீமானியன் மெட்ரிக் இருப்பதைப் பொறுத்தது, எனவே வடிவியல் துறையில் உள்ளது. இருப்பினும் காஸ்-பானெட் தேற்றம் ஒரு மேற்பரப்பின் இடவியல் முழுமையான ரீமானியன் அளவீடுகளில் கட்டுப்பாடுகளை வைக்கிறது என்பதை உறுதி செய்கிறது, அவை ஒரு மேற்பரப்பில் விதிக்கப்படலாம், எனவே நேர்மறை அல்லாத வளைவின் மெட்ரிக் இடைவெளிகள் பற்றிய ஆய்வு வடிவியல் மற்றும் இடவியல் ஆகிய இரண்டு கணிதத் துறைகளிலும் முக்கிய ஆர்வமாக உள்ளது. நேர்மறை அல்லாத வளைவின் மேற்பரப்புகளின் பாரம்பரிய எடுத்துக்காட்டுகள் யூக்ளிடியன் தளம் மற்றும் தட்டையான டோரஸ் (வளைவுக்கு) மற்றும் ஹைபர்போலிக் தளம் மற்றும் சூடோஸ்பியர் (வளைவுக்கு) ஆகும். இந்த காரணத்திற்காக இந்த அளவீடுகள் மற்றும் ரீமன் மேற்பரப்புகள் அவை முழுமையான அளவீடுகளாக இருக்கும் முறையே யூக்ளிடியன் மற்றும் ஹைபர்போலிக் என்று குறிப்பிடப்படுகின்றன. பொதுமைப்படுத்தல்கள் நேர்மறை அல்லாத வளைந்த ரீமன் மேற்பரப்புகளின் வடிவவியலின் சிறப்பியல்பு அம்சங்கள் ரீமன் மேற்பரப்புகளின் ஆய்வுக்கு அப்பால் நேர்மறை அல்லாத கருத்தை பொதுமைப்படுத்த பயன்படுத்தப்படுகின்றன. உயர் பரிமாணத்தின் பன்மடங்கு அல்லது சுற்றுப்பாதைகள் பற்றிய ஆய்வில், பிரிவு வளைவு என்ற கருத்து பயன்படுத்தப்படுகிறது, இதில் ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில் தொடுகோட்டு இடத்தின் இரு பரிமாண துணை இடங்களுக்கு ஒருவரின் கவனத்தை கட்டுப்படுத்துகிறது. மோஸ்டோ-பிரசாத் கடினத்தன்மை தேற்றத்தை விட பெரிய பரிமாணங்களில், வரையறுக்கப்பட்ட பகுதியின் ஹைபர்போலிக் பன்மடங்கு ஒரு தனித்துவமான முழுமையான ஹைபர்போலிக் மெட்ரிக் இருப்பதை உறுதி செய்கிறது, எனவே இந்த அமைப்பில் ஹைபர்போலிக் வடிவியல் ஆய்வு இடவியல் ஆய்வுக்கு ஒருங்கிணைந்ததாகும். ஒரு தன்னிச்சையான புவியியல் அளவீட்டு இடத்தில் குரோமோவ் ஹைபர்போலிக் அல்லது கேட் (0) இடைவெளி என்ற கருத்துக்கள் நேர்மறை அல்லாத வளைவின் ரீமன் மேற்பரப்பில், புவியியல் கோட்பாட்டின் பக்கங்களைக் கொண்ட முக்கோணங்கள் மெல்லியதாகத் தோன்றும், அதே நேரத்தில் நேர்மறை வளைவின் அமைப்புகளில் அவை கொழுப்பாகத் தோன்றும் என்ற கருத்தை பொதுமைப்படுத்துகின்றன. நேர்மறை அல்லாத வளைவு பற்றிய இந்த கருத்து நேர்மறை அல்லாத வளைவு என்ற கருத்தை பொதுவாக வரைபடங்களுக்கு பயன்படுத்த அனுமதிக்கிறது, எனவே ஒருங்கிணைப்பு மற்றும் வடிவியல் குழு கோட்பாட்டின் துறைகளில் இது மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும். மேலும் காண்கஃ மார்குலிஸ் லெம்மா குறிப்புகள் வளைவு (கணிதம்) ஹைபர்போலிக் வடிவியல் மெட்ரிக் வடிவியல்