Filling radius
ரீமானியன் வடிவவியலில், ஒரு ரீமானியன் பன்மடங்கு X இன் நிரப்புதல் ஆரம் X இன் மெட்ரிக் மாறிலி ஆகும். இது முதலில் 1983 ஆம் ஆண்டில் மிகைல் குரோமோவ் என்பவரால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது, அவர் அத்தியாவசிய பன்மடங்கு சிஸ்டாலிக் சமத்துவமின்மையை நிரூபிக்க இதைப் பயன்படுத்தினார், லோவ்னரின் டோரஸ் சமத்துவமின்மை மற்றும் உண்மையான ப்ரொஜெக்டிவ் பிளேனுக்கான பூவின் சமத்துவமின்மையை பரவலாக பொதுமைப்படுத்தி, சிஸ்டாலிக் வடிவவியலை அதன் நவீன வடிவத்தில் உருவாக்கினார். தளத்தில் உள்ள ஒரு எளிய வளைய C இன் நிரப்புதல் ஆரம் C க்குள் பொருந்தக்கூடிய ஒரு வட்டத்தின் மிகப்பெரிய ஆரம், R> 0 என வரையறுக்கப்படுகிறதுஃ சுற்றுப்புறங்கள் வழியாக இரட்டை வரையறை க்ரோமோவ் காட்டியபடி, இந்த கருத்தை மிகவும் பயனுள்ள வழியில் பொதுமைப்படுத்த அனுமதிக்கும் ஒரு வகையான இரட்டைக் கண்ணோட்டம் உள்ளது. அதாவது, வளையத்தின் சி-நெய்பர்ஹுட்களைக் கருத்தில் கொள்கிறோம், இது அதிகரிக்கும்போது குறிக்கப்படுகிறது,-நெய்பர்ஹுட் வளையத்தின் உட்புறத்தை மேலும் மேலும் விழுங்குகிறது. விழுங்கப்பட வேண்டிய கடைசி புள்ளி துல்லியமாக ஒரு மிகப்பெரிய பொறிக்கப்பட்ட வட்டத்தின் மையமாகும். எனவே, வளையம் சி ஒரு புள்ளிக்கு சுருங்கும் வகையில் வரம்பற்றது என்று வரையறுப்பதன் மூலம் மேற்கண்ட வரையறையை நாம் மறுசீரமைக்கலாம். யூக்ளிடியன் இடைவெளி E என்று சொல்லப்படும் ஒரு சிறிய பன்மடங்கு X இல் உட்பொதிக்கப்பட்டால், உட்பொதிப்புடன் தொடர்புடைய நிரப்புதல் ஆரத்தை நாம் வரையறுக்க முடியும், X ஐ சிறிய பரிமாணத்திற்கு ஒத்ததாக மாற்றக்கூடிய சுற்றுப்புறத்தின் அளவைக் குறைப்பதன் மூலம், எ. கா., குறைந்த பரிமாண பாலிஹெட்ரானுக்கு. தொழில்நுட்ப ரீதியாக ஒரு ஒத்த வரையறையுடன் வேலை செய்வது மிகவும் வசதியானது. ஹோமோலாஜிக்கல் வரையறை A ஆல் குணகம் வளையத்தைக் குறிக்கிறது அல்லது, X நோக்குடையதா இல்லையா என்பதைப் பொறுத்து. பின்னர் ஒரு சிறிய n-பரிமாண பன்மடங்கு X இன் [X] குறிக்கப்படும் அடிப்படை வகுப்பு, ஹோமோலஜி குழுவின் ஜெனரேட்டராகும், மேலும் சேர்க்கை ஹோமோமார்பிசம் எங்கே என்பதை அமைக்கிறோம். எக்ஸ் ஒரு ரீமானியன் மெட்ரிக் கிராம் பொருத்தப்பட்டிருக்கும் சூழ்நிலையில் ஒரு முழுமையான நிரப்புதல் ஆரத்தை வரையறுக்க, குரோமோவ் பின்வருமாறு தொடர்கிறார். ஒன்று குராடோவ்ஸ்கி உட்பொதிப்பதை சுரண்டுகிறது. ஒன்று பானாச் இடத்தில் X இல் வரம்புக்குட்பட்ட போரெல் செயல்பாடுகளின் X ஐ உட்பொதிக்கிறது, இது சூப் நெறிமுறையுடன் பொருத்தப்பட்டுள்ளது. அதாவது, அனைத்திற்கான சூத்திரத்தால் வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டிற்கு ஒரு புள்ளியை வரைகிறோம், அங்கு d என்பது மெட்ரிக் மூலம் வரையறுக்கப்பட்ட தூர செயல்பாடு. முக்கோண சமத்துவமின்மையால் நம்மிடம் உள்ளது, எனவே உட்பொதிப்பு வலுவாக ஐசோமெட்ரிக் ஆகும், துல்லியமான அர்த்தத்தில் உள் தூரமும் சுற்றுப்புற தூரமும் ஒத்துப்போகின்றன. X என்பது ரீமானியன் வட்டமாக இருந்தாலும் (எதிர் புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரம் 2 ஆக இருக்கக்கூடாது!), சுற்றுப்புற இடைவெளி ஒரு ஹில்பர்ட் இடமாக இருந்தால் அத்தகைய வலுவான ஐசோமெட்ரிக் உட்பொதிப்பு சாத்தியமற்றது. மேலே உள்ள சூத்திரத்தில் நாம் அமைக்கவும், பண்புகளை வரையறுக்கவும் நிரப்புதல் ஆரம் விட்டத்தின் மூன்றில் ஒரு பங்காகும் (காட்ஜ், 1983). நிலையான வளைவின் மெட்ரிக் கொண்ட உண்மையான ப்ரொஜெக்டிவ் இடத்தின் நிரப்புதல் ஆரம் அதன் ரீமானியன் விட்டத்தின் மூன்றில் ஒரு பங்காகும், பார்க்க (காட்ஸ், 1983). சமமாக, நிரப்புதல் ஆரம் இந்த சந்தர்ப்பங்களில் சிஸ்டோலின் ஆறில் ஒரு பகுதியாகும். 2π நீளமுள்ள ரீமானியன் வட்டத்தின் நிரப்புதல் ஆரம், அதாவது. தூண்டப்பட்ட ரீமானியன் தூரச் சார்புடன் கூடிய அலகு வட்டம், π/3 க்கு சமம், அதாவது. அதன் நீளத்தில் ஆறில் ஒரு பங்கு. இது சிஸ்டோலின் அடிப்படையில் மேலே குறிப்பிடப்பட்ட விட்டம் மேல் வரம்பை குரோமோவின் கீழ் வரம்புடன் இணைப்பதன் மூலம் பின்பற்றப்படுகிறது (குரோமோவ், 1983) ஒரு அத்தியாவசிய பன்மடங்கு எம் இன் சிஸ்டோல் அதன் நிரப்புதல் ஆரத்தை விட ஆறு மடங்கு அதிகமாகும், பார்க்க (குரோமோவ், 1983). சமத்துவத்தின் எல்லை வழக்கு மேலே உள்ள உண்மையான ப்ரொஜெக்டிவ் ஸ்பேஸ்களால் அடையப்படுகிறது என்ற பொருளில் சமத்துவமின்மை உகந்ததாகும். கச்சிதமான பன்மடங்கு ஊசி ஆரம் நிரப்புதல் ஆரத்தில் குறைந்த வரம்பைக் கொடுக்கிறது. அதாவது, அத்தியாவசிய பன்மடங்கு குரோமோவின் சிஸ்டாலிக் சமத்துவமின்மை பற்றிய பகுதி அனுமானத்தை நிரப்புவதையும் பார்க்கவும் குறிப்புகள் குரோமோவ், எம்.: ரீமானியன் பன்மடங்கு நிரப்புதல், ஜர்னல் ஆஃப் டிஃபரென்ஷியல் ஜியோமெட்ரி 18 (1983), 1-147. காட்ஜ், எம்.: இரண்டு புள்ளி ஒரே மாதிரியான இடைவெளிகளின் நிரப்புதல் ஆரம். வேறுபட்ட வடிவவியலின் இதழ் 18, எண் 3 (1983), 505-511. ரீமானியன் வடிவியல் வேறுபட்ட வடிவியல் சிஸ்டாலிக் வடிவியல்