Stein's method
ஸ்டெய்னின் முறை என்பது நிகழ்தகவு கோட்பாட்டில் ஒரு நிகழ்தகவு மெட்ரிக் தொடர்பாக இரண்டு நிகழ்தகவு விநியோகங்களுக்கு இடையிலான தூரத்தின் வரம்புகளைப் பெறுவதற்கான ஒரு பொதுவான முறையாகும். இது சார்லஸ் ஸ்டெய்ன் என்பவரால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது, அவர் 1972 இல் அதை முதன்முதலில் வெளியிட்டார், சீரற்ற மாறிகளின்-சார்பு வரிசையின் விநியோகம் மற்றும் கொல்மோகோரோவ் (சீரான) மெட்ரிக் இல் ஒரு நிலையான இயல்பான விநியோகம் ஆகியவற்றுக்கு இடையே ஒரு வரம்பைப் பெறுவதற்காக, எனவே ஒரு மைய வரம்பு தேற்றத்தை நிரூபிக்க மட்டுமல்லாமல், கொடுக்கப்பட்ட மெட்ரிக்க்கான ஒருங்கிணைப்பு விகிதங்களின் வரம்புகளையும் நிரூபிக்க. 1960 களின் இறுதியில், ஒரு குறிப்பிட்ட மத்திய வரம்பு தேற்றத்தின் அப்போது அறியப்பட்ட ஆதாரங்களில் திருப்தி அடையாத சார்லஸ் ஸ்டீன், தனது புள்ளிவிவர விரிவுரைக்கு தேற்றத்தை நிரூபிக்கும் ஒரு புதிய வழியை உருவாக்கினார். அவரது ஆரம்பக் கட்டுரை 1970 ஆம் ஆண்டில் ஆறாவது பெர்க்லி சிம்போசியத்தில் வழங்கப்பட்டது மற்றும் அதனுடன் தொடர்புடைய நடவடிக்கைகளில் வெளியிடப்பட்டது. பின்னர், அவரது Ph. D. மாணவர் லூயிஸ் சென் சியாவோ யுன் பாய்சான் விநியோகத்திற்கான தோராயமான முடிவுகளைப் பெறுவதற்காக முறையை மாற்றியமைத்தார்; எனவே பாய்சான் தோராயத்தின் சிக்கலுக்கு பயன்படுத்தப்படும் ஸ்டெய்ன் முறை பெரும்பாலும் ஸ்டெய்ன்-சென் முறை என்று குறிப்பிடப்படுகிறது. அநேகமாக மிக முக்கியமான பங்களிப்புகள் ஸ்டீன் (1986) எழுதிய மோனோகிராஃப் ஆகும், அங்கு அவர் முறை மற்றும் துணை சீரற்றமயமாக்கல் பற்றிய தனது பார்வையை முன்வைக்கிறார், குறிப்பாக பரிமாற்றக்கூடிய ஜோடிகளைப் பயன்படுத்துகிறார், மேலும் ஜெனரேட்டர் விளக்கம் என்று அழைக்கப்படுவதை அறிமுகப்படுத்திய பார்பர் (1988) மற்றும் கோட்ஸே (1991) ஆகியோரின் கட்டுரைகள், இது பல பிற நிகழ்தகவு விநியோகங்களுக்கு முறையை எளிதில் மாற்றியமைக்க முடிந்தது. ஒருங்கிணைந்த மைய வரம்பு தேற்றம் என்று அழைக்கப்படுவதைப் பற்றி போல்ட்ஹவுசன் (1984) எழுதிய ஒரு கட்டுரையும் ஒரு முக்கியமான பங்களிப்பாகும். 1990 களில் இந்த முறை பார்பர் (1990) காஸியன் செயல்முறைகள், எஹ்ம் (1991) பைனாமியல் விநியோகம், பார்பர் மற்றும் பிரவுன் (1992) பாய்சன் செயல்முறைகள், லுக் (1994) காமா விநியோகம் போன்ற பல்வேறு விநியோகங்களுக்கு ஏற்றது. கணக்கிடக்கூடிய ஸ்டீன் முரண்பாடுகள் மற்றும் அவற்றின் அடிப்படையில் மாறுபட்ட பயன்பாடுகள் மற்றும் வழிமுறைகளின் வளர்ச்சியைத் தொடர்ந்து, 2010 களின் நடுப்பகுதியில் இயந்திர கற்றல் சமூகத்தில் இந்த முறை மேலும் பிரபலமடைந்தது. அடிப்படை அணுகுமுறை நிகழ்தகவு அளவீடுகள் ஸ்டீனின் முறை ஒரு குறிப்பிட்ட நிகழ்தகவு அளவீட்டைப் பயன்படுத்தி இரண்டு நிகழ்தகவு விநியோகங்களுக்கு இடையிலான தூரத்தை பிணைப்பதற்கான ஒரு வழியாகும். மெட்ரிக் இங்கே வடிவத்தில் கொடுக்கப்பட வேண்டும், மேலும் அளவிடக்கூடிய இடத்தில் நிகழ்தகவு அளவீடுகள் மற்றும் விநியோகத்துடன் சீரற்ற மாறிகள் மற்றும் முறையே, வழக்கமான எதிர்பார்ப்பு ஆபரேட்டர் மற்றும் உண்மையான எண்களின் தொகுப்பிலிருந்து செயல்பாடுகளின் தொகுப்பாகும். செட் போதுமான அளவு பெரியதாக இருக்க வேண்டும், இதனால் மேலே உள்ள வரையறை உண்மையில் ஒரு மெட்ரிக் தருகிறது. முக்கியமான எடுத்துக்காட்டுகள் மொத்த மாறுபாடு மெட்ரிக், அங்கு அளவிடக்கூடிய தொகுப்புகளின் அனைத்து காட்டி செயல்பாடுகளையும் நாம் கொண்டிருக்க அனுமதிக்கிறோம், உண்மையான எண்களில் நிகழ்தகவு நடவடிக்கைகளுக்கான கோல்மோகோரோவ் (சீரான) மெட்ரிக், அங்கு அனைத்து அரை-வரி காட்டி செயல்பாடுகளையும் நாம் கருதுகிறோம், மற்றும் லிப்ஸிட்சிஸ் (முதல் வரிசை வாஸெர்ஸ்டீன்; கான்டோரோவிச்) மெட்ரிக், அங்கு அடிப்படை இடம் ஒரு மெட்ரிக் இடமாகும், மேலும் தொகுப்பை லிப்ஸிட்ச்-நிலையான 1 உடன் அனைத்து லிப்ஸிட்ச்-தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளாகவும் எடுத்துக்கொள்கிறோம். இருப்பினும், ஒவ்வொரு அளவீட்டையும் (1.1) வடிவத்தில் குறிப்பிட முடியாது என்பதை நினைவில் கொள்க. பின்வருவது ஒரு சிக்கலான விநியோகம் (எ. கா., சார்பு சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டுத்தொகையின் விநியோகம்), இது மிகவும் எளிமையான மற்றும் கையாளக்கூடிய விநியோகத்தால் தோராயமாக மதிப்பிட விரும்புகிறது (எ. கா., நிலையான இயல்பான விநியோகம்). ஸ்டெய்ன் ஆபரேட்டர் இப்போது விநியோகம் ஒரு நிலையான விநியோகம் என்று நாம் கருதுகிறோம்; பின்வருவனவற்றில் நிலையான இயல்பான விநியோகம் எங்கே என்பதை குறிப்பாகக் கருத்தில் கொள்வோம், இது ஒரு பாரம்பரிய எடுத்துக்காட்டாக செயல்படுகிறது. முதலாவதாக, நமக்கு ஒரு ஆபரேட்டர் தேவை, இது உண்மையான எண்களின் தொகுப்பிலிருந்து செயல்பாடுகளில் செயல்படுகிறது மற்றும் பின்வரும் சமநிலை வைத்திருக்கும் அர்த்தத்தில் விநியோகத்தை 'வகைப்படுத்துகிறது': அத்தகைய ஆபரேட்டரை ஸ்டெய்ன் ஆபரேட்டர் என்று அழைக்கிறோம். நிலையான இயல்பான விநியோகத்திற்கு, ஸ்டீனின் லெம்மா அத்தகைய ஆபரேட்டரை வழங்குகிறதுஃ எனவே, நாம் எடுக்க முடியும் பொதுவாக எண்ணற்ற அத்தகைய ஆபரேட்டர்கள் உள்ளன, அது இன்னும் ஒரு திறந்த கேள்வியாக உள்ளது, எதைத் தேர்ந்தெடுப்பது. இருப்பினும், பல விநியோகங்களுக்கு ஒரு குறிப்பிட்ட நன்மை இருப்பதாகத் தெரிகிறது, சாதாரண விநியோகத்திற்கு (2.3) போன்றது. ஸ்டெய்ன் ஆபரேட்டர்களைக் கண்டறிய பல்வேறு வழிகள் உள்ளன. (1.1) இல் உள்ள எதிர்பார்ப்புகளின் வேறுபாடு 0 க்கு அருகில் இருந்தால் ஸ்டீன் சமன்பாடு நெருக்கமாக இருக்கும். ஆபரேட்டர் அதே நடத்தையை வெளிப்படுத்துவார் என்று நாங்கள் இப்போது நம்புகிறோம்ஃ அப்படியானால், எங்களிடம் இருந்தால். (3.1) ஸ்டீன் சமன்பாடு என்று நாம் அழைக்கும் ஒரு செயல்பாட்டை வரையறுப்பது பொதுவாக சாத்தியமாகும். இப்போது வலது புறத்தை விட (3.2) இன் இடது புறம் பிணைக்க எளிதாக இருந்தால் மட்டுமே அனைத்து முயற்சிகளும் பயனுள்ளதாக இருக்கும். ஆச்சரியம் என்னவென்றால், இது பெரும்பாலும் நிகழ்கிறது. நிலையான இயல்பான விநியோகம் மற்றும் நாம் (2.3) ஐப் பயன்படுத்தினால், அதனுடன் தொடர்புடைய ஸ்டீன் சமன்பாடு நிகழ்தகவு விநியோகம் Q முற்றிலும் தொடர்ச்சியான (லெபெஸ்கூ அளவீட்டைப் பொறுத்தவரை) அடர்த்தி q ஐக் கொண்டிருந்தால், பின்னர் ஸ்டீன் சமன்பாடு பகுப்பாய்வு முறைகளைத் தீர்ப்பது. சமன்பாடு (3.3) எளிதில் வெளிப்படையாக தீர்க்கப்படலாம்ஃ ஜெனரேட்டர் முறை. ஒரு மார்கோவ் செயல்முறையின் ஜெனரேட்டர் என்றால் (பார்பர் (1988), கோட்ஸே (1991) ஐப் பார்க்கவும்), பின்னர் (3.2) க்கான தீர்வு தொடங்கப்படும் செயல்முறையைப் பொறுத்தவரை எதிர்பார்ப்பைக் குறிக்கிறது. இருப்பினும், விரும்பிய அனைத்து செயல்பாடுகளுக்கும் தீர்வு (4.2) உள்ளது என்பதை ஒருவர் இன்னும் நிரூபிக்க வேண்டும். ஸ்டெய்ன் சமன்பாட்டிற்கான தீர்வின் பண்புகள் பொதுவாக, ஒருவர் வரம்புகள் மற்றும் அதன் வழித்தோன்றல்கள் (அல்லது வேறுபாடுகள்) மற்றும் அதன் வழித்தோன்றல்கள் (அல்லது வேறுபாடுகள்) அடிப்படையில் கொடுக்க முயற்சிக்கிறார், அதாவது, சில குறிப்பிட்ட (பொதுவாக அல்லது, முறையே, ஸ்டெய்ன் ஆபரேட்டரின் வடிவத்தைப் பொறுத்து) வடிவத்தின் ஏற்றத்தாழ்வுகள், அங்கு பெரும்பாலும் மேல்நிலை நெறிமுறை. இங்கே, வேறுபட்ட ஆபரேட்டரைக் குறிக்கிறது, ஆனால் தனித்துவமான அமைப்புகளில் இது பொதுவாக ஒரு வேறுபட்ட ஆபரேட்டரைக் குறிக்கிறது. மாறிலிகள் விநியோகத்தின் அளவுருக்களைக் கொண்டிருக்கலாம். ஏதேனும் இருந்தால், அவை பெரும்பாலும் ஸ்டீன் காரணிகள் என்று குறிப்பிடப்படுகின்றன. (4.1) விஷயத்தில், கடைசி வரம்பு வேறுபடுத்தக்கூடியதாக இருந்தால் மட்டுமே பொருந்தும் என்பதை மேல்நிலை நெறிமுறைக்கு ஒருவர் நிரூபிக்க முடியும் (அல்லது குறைந்தபட்சம் லிப்ஸிட்ஸ்-தொடர்ச்சியானது, எடுத்துக்காட்டாக, மொத்த மாறுபாடு மெட்ரிக் அல்லது கொல்மோகோரோவ் மெட்ரிக்!). நிலையான இயல்பான விநியோகத்தில் கூடுதல் அளவுருக்கள் இல்லாததால், இந்த குறிப்பிட்ட விஷயத்தில் மாறிலிகள் கூடுதல் அளவுருக்கள் இல்லாமல் உள்ளன. பொதுவான வடிவத்தில் வரம்புகள் இருந்தால் (5.1), நாம் பொதுவாக பல நிகழ்தகவு அளவீடுகளை ஒன்றாக சிகிச்சையளிக்க முடியும். படிவத்தின் வரம்புகள் (5.1) ஏற்கனவே இருந்தால் (இது பல விநியோகங்களுக்கு பொருந்தும்) ஒருவர் பெரும்பாலும் கீழே உள்ள அடுத்த கட்டத்துடன் தொடங்கலாம். ஒரு சுருக்கமான தோராய தேற்றம் நாம் இப்போது (3.1) இன் இடது புறத்தை பிணைக்கும் நிலையில் இருக்கிறோம். இந்த படி ஸ்டீன் ஆபரேட்டரின் வடிவத்தை பெரிதும் சார்ந்திருப்பதால், நிலையான இயல்பான விநியோகத்தின் வழக்கை நாங்கள் நேரடியாக கருதுகிறோம். இந்த கட்டத்தில் நாம் தோராயமாக மதிப்பிட விரும்பும் சீரற்ற மாறியை நேரடியாக செருகலாம், மேலும் மேல் வரம்புகளைக் கண்டுபிடிக்க முயற்சி செய்யலாம். இருப்பினும், மிகவும் பொதுவான தேற்றத்தை உருவாக்குவது பெரும்பாலும் பலனளிக்கிறது. இங்கு உள்ளூர் சார்பு வழக்கைக் கவனியுங்கள். இது மற்றும் மாறுபாடு போன்ற சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டுத்தொகை என்று வைத்துக்கொள்வோம். ஒவ்வொருவருக்கும், ஒரு தொகுப்பு உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம், இது அனைத்து சீரற்ற மாறிகளிலிருந்தும் சுயாதீனமாக உள்ளது. இந்த தொகுப்பை 'அக்கம்பக்கம்' என்று அழைக்கிறோம். அதேபோல் அனைவரும் அனைவரிடமிருந்தும் சுயாதீனமாக இருக்கும் வகையில் ஒரு தொகுப்பாக இருக்கட்டும். இரண்டாவது வரிசை சுற்றுப்புறத்தின் அண்டை நாடுகளாக நாம் நினைக்கலாம், எனவே பேசுவதற்கு. ஒரு தொகுப்புக்கு இப்போது கூட்டுத்தொகையை வரையறுக்கவும். டெய்லர் விரிவாக்கத்தைப் பயன்படுத்தி, அந்த வாதத்தை நிரூபிக்க முடியும், இந்த வாதத்தின் வரியைப் பின்பற்றினால், (5.2) இன் மூன்றாவது சமத்துவமின்மையின் காரணமாக வரம்புக்குட்பட்ட செயல்பாடுகளுக்கு மட்டுமே நாம் (1.1) பிணைக்க முடியும் (உண்மையில், இடைநிறுத்தங்கள் இருந்தால், எனவே இருக்கும்). (6.1) ஐப் போன்ற ஒரு வரியைப் பெறுவதற்கு, இது வெளிப்பாடுகளை மட்டுமே கொண்டுள்ளது மற்றும், வாதம் மிகவும் ஈடுபடுத்தப்பட்டுள்ளது மற்றும் முடிவு (6.1) ஐப் போல எளிமையானது அல்ல; இருப்பினும், அதைச் செய்ய முடியும். தேற்றம் A. மேலே விவரிக்கப்பட்டுள்ளபடி இருந்தால், லிப்ஸிட்ச் அளவீட்டிற்கான ஆதாரம் நம்மிடம் உள்ளது. லிப்ஸிட்ச் மெட்ரிக் என்பது (1.1) வடிவத்தில் உள்ளது என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள், அங்கு செயல்பாடுகள் லிப்ஸிட்ச்-தொடர்ச்சியான லிப்ஸிட்ச்-நிலையான 1 உடன் உள்ளன. இதை (6.1) மற்றும் (5.2) இல் உள்ள கடைசி வரியுடன் இணைப்பது தேற்றத்தை நிரூபிக்கிறது. எனவே, தோராயமாக பேசுகையில், லிப்ஸ்கிட்ஸ்-உள்ளூர் சார்பு அமைப்பு மற்றும் ஒரு நிலையான இயல்பான விநியோகத்திற்கு இடையிலான தூரத்தை கணக்கிட, நாம் மூன்றாவது தருணங்களையும், சுற்றுப்புறங்களின் அளவையும் மட்டுமே தெரிந்து கொள்ள வேண்டும் என்பதை நிரூபித்தோம். தேற்றத்தின் பயன்பாடு சுயாதீனமான மற்றும் ஒரே மாதிரியாக விநியோகிக்கப்பட்ட சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டுத்தொகையை நாம் தேற்றம் A உடன் கையாளலாம். அதை அனுமானியுங்கள், மற்றும். நாம் எடுக்கலாம். சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு ஸ்டெய்ன்ஸ் முறை தொடர்பான மற்றொரு அணுகுமுறை பூஜ்ஜிய சார்பு மாற்றம் என்று அழைக்கப்படுகிறது என்பதை A தேற்றத்திலிருந்து நாம் பெறுகிறோம். லிண்டெபெர்க்கின் சாதனத்தின் பிற முறைகளுக்கான இணைப்புகள். லிண்ட்பெர்க் (1922) ஒரு சாதனத்தை அறிமுகப்படுத்தினார், அதில் வேறுபாடு படிப்படியான வேறுபாடுகளின் கூட்டுத்தொகையாக குறிப்பிடப்படுகிறது. திகோமிரோவின் முறை. தெளிவாக (1.1) மற்றும் (3.1) வழியாக அணுகுமுறை சிறப்பியல்பு செயல்பாடுகளை உள்ளடக்குவதில்லை. இருப்பினும், டிகோமிரோவ் (1980) சிறப்பியல்பு செயல்பாடுகள் மற்றும் (2.3) போன்ற ஒரு வேறுபட்ட இயக்கியின் அடிப்படையில் ஒரு மைய வரம்பு தேற்றத்தின் ஆதாரத்தை முன்வைத்தார். அடிப்படை அவதானிப்பு என்னவென்றால், நிலையான இயல்பான விநியோகத்தின் சிறப்பியல்பு செயல்பாடு அனைத்திற்கும் வேறுபட்ட சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்துகிறது. எனவே, அதன் சிறப்பியல்பு செயல்பாடு நாம் அதை எதிர்பார்க்கிறோம், எனவே அது இயல்பான விநியோகத்திற்கு அருகில் உள்ளது. ஸ்டெய்னின் ஆரம்பக் கட்டுரையால் தான் ஈர்க்கப்பட்டதாக திகோமிரோவ் தனது கட்டுரையில் குறிப்பிடுகிறார். ஸ்டெய்னின் லெம்மா ஸ்டெய்ன் முரண்பாடு குறிப்புகள் இலக்கியத்தில் ஆங்கில மொழிபெயர்ப்பு பின்வரும் உரை மேம்பட்டது, மேலும் சாதாரண வழக்கு பற்றிய விரிவான கண்ணோட்டத்தை அளிக்கிறது மற்றொரு மேம்பட்ட புத்தகம், ஆனால் சில அறிமுகப் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது, இது ஒரு நிலையான குறிப்பு ஸ்டெய்ன் எழுதிய புத்தகம், இதில் நிறைய சுவாரஸ்யமான விஷயங்கள் உள்ளன, ஆனால் முதல் வாசிப்பில் புரிந்துகொள்வது கொஞ்சம் கடினமாக இருக்கலாம். அதன் வயது இருந்தபோதிலும், ஸ்டீனின் முறையைப் பற்றிய சில நிலையான அறிமுக புத்தகங்கள் உள்ளன. பின்வரும் சமீபத்திய பாடப்புத்தகத்தில் ஸ்டீனின் முறையை அறிமுகப்படுத்த அர்ப்பணிக்கப்பட்ட ஒரு அத்தியாயம் (அத்தியாயம் 2) உள்ளதுஃ இந்த புத்தகம் பாய்சன் தோராயத்தைப் பற்றிய பெரிய பகுதிகளாக இருந்தாலும், ஜெனரேட்டர் அணுகுமுறை பற்றிய நிறைய தகவல்கள் உள்ளன, குறிப்பாக பாய்சன் செயல்முறை தோராயத்தின் சூழலில். பின்வரும் பாடப்புத்தகத்தில் பாய்சன் தோராயத்தின் ஸ்டீனின் முறையை அறிமுகப்படுத்த அர்ப்பணிக்கப்பட்ட ஒரு அத்தியாயம் (அத்தியாயம் 10) உள்ளதுஃ நிகழ்தகவு விநியோகங்களின் புள்ளிவிவர தூரக் கோட்பாடு.