Erdős–Anning theorem
அனைத்து புள்ளிகளும் ஒரு நேர் கோட்டில் இருந்தால் மட்டுமே தளத்தில் உள்ள எண்ணற்ற புள்ளிகள் பரஸ்பர முழு எண் தூரங்களைக் கொண்டிருக்க முடியும் என்று எர்டாஸ்-ஆனிங் தேற்றம் கூறுகிறது. 1945 ஆம் ஆண்டில் ஒரு ஆதாரத்தை வெளியிட்ட பால் எர்டாஸ் மற்றும் நார்மன் எச். ஆனிங் ஆகியோரின் பெயரால் இது பெயரிடப்பட்டுள்ளது. பகுத்தறிவுக்கு எதிராக ஒருங்கிணைப்பு முழு எண் தூரங்களுடன் எல்லையற்ற அல்லாத-கொலினியர் புள்ளிகளின் தொகுப்பு இருக்க முடியாது என்றாலும், எண்ணற்ற அல்லாத கொலினியர் புள்ளிகளின் தொகுப்புகள் உள்ளன, அவற்றின் தூரங்கள் விகிதமுறு எண்களாகும். உதாரணமாக, ஒரு அலகு வட்டத்தில் உள்ள புள்ளிகளின் துணைக்குழு ஒரு 3-4-5 வலது முக்கோணத்தில் கூர்மையான கோணத்தால் மீண்டும் மீண்டும் சுழற்றுவதன் மூலம் பெறப்படுகிறது. இது வட்டத்தில் ஒரு அடர்த்தியான தொகுப்பை உருவாக்குகிறது. (இன்னும் தீர்க்கப்படாத) எர்டாஸ்-உலாம் பிரச்சினை, முழு யூக்ளிடியன் தளத்திற்கும் ஒரு அடர்த்தியான தொகுப்பை உருவாக்கும் ஒருவருக்கொருவர் பகுத்தறிவு தூரங்களில் புள்ளிகளின் தொகுப்பு இருக்க முடியுமா என்று கேட்கிறது. எர்டாஸின் கூற்றுப்படி, எர்டாஸ்-அனிங் தேற்றத்தைப் பற்றி எர்டாஸிடமிருந்து கேள்விப்பட்ட பிறகு இந்த கேள்வியைக் கேட்க ஸ்டானிஸ்லா உலாம் தூண்டப்பட்டார். ஒருவருக்கொருவர் விகிதமுறு தூரங்களில் உள்ள புள்ளிகளின் எந்தவொரு வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்பு S க்கும், S இல் உள்ள தூரங்களின் குறைந்தபட்ச பொதுவான வகுப்பினால் S ஐ விரிவுபடுத்துவதன் மூலம், ஒருவருக்கொருவர் முழு எண் தூரங்களில் ஒத்த புள்ளிகளின் தொகுப்பைக் கண்டறிய முடியும். இந்த வழியில் அலகு வட்டம் கட்டமைப்பின் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட துணைக்குழுவை விரிவுபடுத்துவதன் மூலம், ஒருவர் தன்னிச்சையாக ஒருவருக்கொருவர் முழு எண் தூரங்களைக் கொண்ட கோலினியர் அல்லாத புள்ளிகளின் பெரிய வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்புகளை உருவாக்க முடியும். இருப்பினும், S இல் அதிக புள்ளிகளைச் சேர்ப்பது விரிவாக்கக் காரணியை அதிகரிக்கக்கூடும், எனவே இந்த கட்டுமானம் பகுத்தறிவு தூரங்களில் எல்லையற்ற புள்ளிகளின் தொகுப்புகளை முழு எண் தூரங்களில் எல்லையற்ற புள்ளிகளின் தொகுப்புகளாக மாற்ற அனுமதிக்காது. எர்டாஸ்-அனிங் தேற்றத்தின் அசல் வெளியீட்டிற்குப் பிறகு, எர்டாஸ் பின்வரும் எளிய ஆதாரத்தை வழங்கினார். ஆதாரம் வளைவுகளின் அமைப்பைக் கண்டுபிடிப்பதை உள்ளடக்கியது, இதனால் தொகுப்பின் ஒவ்வொரு புள்ளியும் இரண்டு வளைவுகளின் குறுக்குவெட்டில் உள்ளது. முழு எண் தூரங்களைக் கொண்ட புள்ளிகளின் தொகுப்பைப் பொறுத்தவரை, அனைத்தும் ஒரு கோட்டில் இல்லை, தன்னிச்சையாக மூன்று புள்ளிகளால் உருவாக்கப்பட்ட முக்கோணத்தைத் தேர்ந்தெடுக்கவும். யூக்ளிடியன் தூரச் சார்பைக் குறிக்கலாம். எந்தவொரு குறிப்பிட்ட புள்ளிக்கும், முக்கோண சமத்துவமின்மையால் முழு எண் அதிகபட்சமாக இருக்கும். எனவே, ஹைபர்போலாவில் ஒன்று உள்ளது, இது வடிவத்தின் சமன்பாடுகளால் வரையறுக்கப்படுகிறது. ஒரு சமச்சீர் வாதத்தின் மூலம், வடிவத்தின் சமன்பாடுகளால் வரையறுக்கப்பட்ட ஹைபர்போலாவில் ஒன்றிலும் இருக்க வேண்டும். இரண்டு ஹைப்பர்போலேக்கள் ஒரே நேரத்தில் இணைக்க முடியாது, எனவே அவை சந்திக்கும் இடத்தில் ஒரு புள்ளியாக இருக்க வேண்டும். பெஸௌட்டின் தேற்றத்தின் படி, ஒவ்வொரு தேர்வுக்கும் மற்றும் அதிகபட்சம் நான்கு குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளின் தேர்வுகள் உள்ளன. கொடுக்கப்பட்ட ஒவ்வொரு புள்ளியும் இந்த குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளில் ஒன்றாக இருக்க வேண்டும் என்பதால், கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகளின் தொகுப்பு அதிகபட்ச புள்ளிகளில் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணைக் கொண்டிருக்க வேண்டும். அதே ஆதாரம், முழு எண் தூரங்களைக் கொண்ட புள்ளிகளின் தொகுப்பின் விட்டம் இருக்கும்போது, பெரும்பாலான புள்ளிகள் உள்ளன என்பதைக் காட்டுகிறது. இந்த வரம்பின் இருபடி சார்ந்திருப்பதை மேம்படுத்தலாம், இதேபோன்ற ஆதாரத்தைப் பயன்படுத்தி, ஆனால் ஹைபர்போலாவின் குடும்பங்களை வரையறுக்கப் பயன்படுத்தப்படும் ஜோடி புள்ளிகளை மிகவும் கவனமாகத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம்ஃ முழு எண் தூரங்கள் மற்றும் விட்டம் கொண்ட ஒவ்வொரு புள்ளியும் அளவைக் கொண்டுள்ளது. இருப்பினும், புள்ளிகளுக்கு இடையிலான குறைந்தபட்ச தூரத்தால் மாற்ற முடியாதுஃ முழு எண் தூரங்கள் மற்றும் குறைந்தபட்ச தூரம் இரண்டுடன் தன்னிச்சையாக பெரிய அல்லாத கொலினியர் புள்ளி தொகுப்புகள் உள்ளன. ஒருங்கிணைந்த தூரங்களுடன் கூடிய அதிகபட்ச புள்ளி தொகுப்புகள் தேற்றத்தைக் குறிப்பிடுவதற்கான ஒரு மாற்று வழி என்னவென்றால், முழு எண் தூரங்களைக் கொண்ட சமதளத்தில் உள்ள ஒரு கொலினியர் அல்லாத புள்ளிகளின் தொகுப்பை மேலும் பல புள்ளிகளைச் சேர்ப்பதற்கு முன்பு, இறுதியாக பல கூடுதல் புள்ளிகளைச் சேர்ப்பதன் மூலம் மட்டுமே நீட்டிக்க முடியும். முழு எண் ஆயத்தொலைவுகள் மற்றும் முழு எண் தூரங்கள் ஆகிய இரண்டையும் கொண்ட புள்ளிகளின் தொகுப்பு, இரண்டு பண்புகளையும் பாதுகாக்கும் போது இனி சேர்க்க முடியாது, இது ஒரு எர்டாஸ்-டியோஃபாண்டைன் வரைபடத்தை உருவாக்குகிறது. எர்டாஸ்-அனிங் தேற்றத்தின் ஆதாரம் ஒரு வழிமுறையில் முழு எண் தூரங்களைக் கொண்ட முழு எண் புள்ளிகளின் தொகுப்பு எர்டாஸ்-டியோஃபாண்டைன் வரைபடத்தை உருவாக்குகிறதா என்பதைச் சரிபார்க்க பயன்படுத்தப்படலாம்ஃ ஆதாரத்தில் பயன்படுத்தப்படும் ஹைபர்போலாவின் அனைத்து குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளையும் கண்டுபிடித்து, அதன் விளைவாக வரும் புள்ளிகளில் ஏதேனும் கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பிலிருந்து முழு எண் ஆயத்தொலைவுகள் மற்றும் முழு எண் தூரங்களைக் கொண்டுள்ளனவா என்பதைச் சரிபார்க்கவும். குறிப்புகள் தள வடிவவியலின் எண்கணித சிக்கல்கள் தனித்துவமான கணிதத்தில் தேற்றங்கள் தனித்துவமான வடிவவியலில் தேற்றங்கள் ஆதாரங்களைக் கொண்ட கட்டுரைகள் ஆனிங் தேற்றம்