Singular integral
கணிதத்தில், ஒருமை ஒருங்கிணைப்புகள் ஹார்மோனிக் பகுப்பாய்விற்கு மையமாக உள்ளன மற்றும் பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் ஆய்வுடன் நெருக்கமாக இணைக்கப்பட்டுள்ளன. பரவலாகப் பார்த்தால், ஒரு ஒற்றை ஒருங்கிணைப்பு என்பது ஒரு ஒருங்கிணைந்த இயக்கியாகும், அதன் கர்னல் செயல்பாடு K: Rn × Rn → R என்பது x = y என்ற மூலைவிட்டத்தில் ஒருமை. குறிப்பாக, ஒற்றுமை என்பது |K (x, y) | அளவு |x −y | −n அறிகுறியற்ற வகையில் |x −y | → 0 ஆகும். இத்தகைய ஒருங்கிணைப்புகள் பொதுவாக முற்றிலும் ஒருங்கிணைக்க முடியாதவை என்பதால், ஒரு கடுமையான வரையறை அவற்றை |y −x |> ε க்கு மேல் உள்ள ஒருங்கிணைப்பின் வரம்பாக ε → 0 என வரையறுக்க வேண்டும், ஆனால் நடைமுறையில் இது ஒரு தொழில்நுட்பமாகும். பொதுவாக Lp (Rn) இல் அவற்றின் வரம்பு போன்ற முடிவுகளைப் பெற மேலும் அனுமானங்கள் தேவைப்படுகின்றன. ஹில்பர்ட் உருமாற்றம் ஹில்பர்ட் உருமாற்றம் H. இது R இல் x க்கு கர்னல் K (x) = 1/(πx) க்கு எதிரான சுழற்சியால் வழங்கப்படுகிறது. மேலும் துல்லியமாக, இவற்றில் மிகவும் நேரடியான உயர் பரிமாண ஒப்புமைகள் ரைஸ் உருமாற்றங்கள் ஆகும், இது K (x) = 1/x ஐ i = 1,., n உடன் மாற்றுகிறது மற்றும் Rn இல் x இன் i-வது கூறு ஆகும். இந்த இயக்கிகள் அனைத்தும் எல். பி. யில் வரம்புக்குட்பட்டவை மற்றும் பலவீனமான வகை (1,1) மதிப்பீடுகளை பூர்த்தி செய்கின்றன. கன்வொல்யூஷன் வகையின் ஒற்றை ஒருங்கிணைப்புகள் கன்வொல்யூஷன் வகையின் ஒரு ஒற்றை ஒருங்கிணைப்பு என்பது ஒரு ஆபரேட்டர் T ஆகும், இது ஒரு கர்னல் K உடன் கன்வொல்யூஷன் மூலம் வரையறுக்கப்படுகிறது, இது Rn\ {0} இல் உள்ளூரில் ஒருங்கிணைக்கப்படுகிறது, அதாவது கர்னல் திருப்தி அடைகிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம்ஃ K இன் ஃபோரியர் உருமாற்றத்தின் அளவு நிபந்தனை மென்மை நிலைஃ சில C> 0 க்கு, பின்னர் T Lp (Rn) இல் வரம்புக்குட்பட்டது மற்றும் பலவீனமான வகை (1,1) மதிப்பீட்டை திருப்திப்படுத்துகிறது என்பதைக் காட்டலாம். பண்புக்கூறு 1. பி. வி. மென்மையான விநியோகத்துடன் அந்த ஒருங்கிணைப்பை () உறுதி செய்ய வேண்டும். முதன்மை மதிப்பு ஒருங்கிணைப்பால் கொடுக்கப்பட்ட K என்பது L2 இல் நன்கு வரையறுக்கப்பட்ட ஃபோரியர் பெருக்கி ஆகும். 1. அல்லது 2. பண்புகளில் எதுவுமே சரிபார்க்க எளிதானது அல்ல, மேலும் பல்வேறு போதுமான நிபந்தனைகள் உள்ளன. பொதுவாக பயன்பாடுகளில், ஒரு ரத்துசெய்யும் நிபந்தனையும் உள்ளது, இது சரிபார்க்க மிகவும் எளிதானது. உதாரணமாக, K ஒரு ஒற்றைப்படை செயல்பாடாக இருந்தால் அது தானாகவே இருக்கும். கூடுதலாக, ஒருவர் 2. மற்றும் பின்வரும் அளவு நிபந்தனையை கருதினால், 1. பின்தொடர்கிறது என்பதைக் காட்டலாம். மென்மை நிலை 2. கொள்கையளவில் சரிபார்க்க கடினமாக உள்ளது, ஒரு கர்னல் K இன் பின்வரும் போதுமான நிபந்தனையை பயன்படுத்தலாம்ஃ ஹில்பர்ட் மற்றும் ரீஸ் உருமாற்றங்களுக்கு இந்த நிபந்தனைகள் திருப்தி அடைந்துள்ளன என்பதைக் கவனியுங்கள், எனவே இந்த முடிவு அந்த முடிவின் நீட்டிப்பாகும். கன்வொல்யூஷன் அல்லாத வகையின் ஒற்றை ஒருங்கிணைப்புகள் இவை இன்னும் பொதுவான ஆபரேட்டர்கள் ஆகும். இருப்பினும், எங்கள் அனுமானங்கள் மிகவும் பலவீனமாக இருப்பதால், இந்த ஆபரேட்டர்கள் Lp இல் பிணைக்கப்பட்டிருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை. கால்டெரோன்-ஜைக்மண்ட் கர்னல்கள் ஒரு செயல்பாடு சில மாறிலிகள் C> 0 மற்றும் δ> 0 க்கு பின்வரும் நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்தால் கால்டெரோன்-ஜைக்மண்ட் கர்னல் என்று கூறப்படுகிறது. கலவை அல்லாத வகை T இன் ஒற்றை ஒருங்கிணைப்புகள் கால்டெரோன்-ஜைக்மண்ட் கர்னல் K உடன் தொடர்புடைய கலவை அல்லாத வகையின் ஒரு ஒற்றை ஒருங்கிணைந்த ஆபரேட்டர் என்று கூறப்படுகிறது, f மற்றும் g மென்மையாகவும், வேறுபட்ட ஆதரவையும் கொண்டிருந்தால். அத்தகைய ஆபரேட்டர்கள் எல்பி கால்டெரோன்-ஜைக்மண்ட் ஆபரேட்டர்களுடன் பிணைக்கப்பட வேண்டியதில்லை கால்டெரோன்-ஜைக்மண்ட் கர்னல் கே உடன் தொடர்புடைய கன்வொல்யூஷன் அல்லாத வகை டி இன் ஒரு ஒற்றை ஒருங்கிணைப்பு கால்டெரோன்-ஜைக்மண்ட் ஆபரேட்டர் என்று அழைக்கப்படுகிறது, இது எல் 2 இல் பிணைக்கப்பட்டிருக்கும் போது, அதாவது, ஒரு சி> 0 உள்ளது, இது அனைத்து மென்மையான கச்சிதமாக ஆதரிக்கப்படும் f. அத்தகைய இயக்கிகள், உண்மையில், அனைத்து Lp யிலும் 1 <p <ν உடன் பிணைக்கப்பட்டுள்ளன என்பதை நிரூபிக்க முடியும். டி (பி) தேற்றம் டி (பி) தேற்றம் ஒரு ஒற்றை ஒருங்கிணைந்த இயக்குபவர் கால்டெரோன்-ஜைக்மண்ட் இயக்குபவராக இருக்க போதுமான நிபந்தனைகளை வழங்குகிறது, அதாவது கால்டெரோன்-ஜைக்மண்ட் கர்னலுடன் தொடர்புடைய ஒரு ஒற்றை ஒருங்கிணைந்த இயக்குபவர் எல் 2 இல் பிணைக்கப்பட வேண்டும். முடிவைக் கூறுவதற்கு நாம் முதலில் சில சொற்களை வரையறுக்க வேண்டும். ஒரு இயல்பாக்கப்பட்ட பம்ப் என்பது 1 ஆரம் கொண்ட பந்தில் ஆதரிக்கப்படும் Rn இல் ஒரு மென்மையான செயல்பாடு φ ஆகும், மேலும் அனைத்து பல குறியீடுகளுக்கும் |α | ≤ n + 2. Rn மற்றும் r> 0 இல் உள்ள அனைத்து x க்கும் τx (φ) (y) = φ (y−x) மற்றும் φr (x) = r−nφ (x/r) ஆல் குறிக்கவும். அனைத்து இயல்பாக்கப்பட்ட புடைப்புகளுக்கும் φ மற்றும் si போன்ற ஒரு மாறிலி C இருந்தால் ஒரு ஆபரேட்டர் பலவீனமாக பிணைக்கப்பட்டதாகக் கூறப்படுகிறது. R இல் உள்ள அனைத்து x க்கும் Re (b) (x) ≤ c என்ற மாறிலி c> 0 இருந்தால் ஒரு செயல்பாடு அக்ரெடிவ் என்று கூறப்படுகிறது. b செயல்பாட்டால் பெருக்கப்படும் ஆபரேட்டரை Mb ஆல் குறிக்கவும். டி (பி) தேற்றம் ஒரு கால்டெரோன்-ஜைக்மண்ட் கர்னலுடன் தொடர்புடைய ஒரு ஒற்றை ஒருங்கிணைந்த ஆபரேட்டர் டி எல் 2 இல் வரம்புக்குட்பட்டது என்று கூறுகிறது, இது சில வரம்புக்குட்பட்ட அக்ரெடிவ் செயல்பாடுகள் பி 1 மற்றும் பி 2 க்கு பின்வரும் மூன்று நிபந்தனைகளையும் பூர்த்தி செய்தால்ஃ பலவீனமாக வரம்புக்குட்பட்டது; பி. எம். ஓ இல் உள்ளது; பி. எம். ஓ இல் உள்ளது, அங்கு டி. டி என்பது டி இன் இடமாற்ற ஆபரேட்டர். மூடிய வளைவுகளில் ஒற்றை ஒருங்கிணைந்த ஆபரேட்டர்களையும் பார்க்கவும் குறிப்புகள் குறிப்புகள். . . (ரஷ்ய மொழியில்). . , (ஐரோப்பிய பதிப்புஃ). வெளிப்புற இணைப்புகள் ஹார்மோனிக் பகுப்பாய்வு உண்மையான பகுப்பாய்வு