Group Hopf algebra
கணிதத்தில், கொடுக்கப்பட்ட குழுவின் குழு ஹோப்ஃப் இயற்கணிதம் என்பது குழு செயல்களின் சமச்சீர் தொடர்பான ஒரு குறிப்பிட்ட கட்டமைப்பாகும். குவாண்டம் குழுக்களின் கோட்பாட்டில் ஹோப்ஃப் ஆல்ஜிப்ராஸ் குழுவின் சிதைவுகள் அடித்தளமாக உள்ளன. வரையறை G ஒரு குழுவாகவும், k ஒரு புலமாகவும் இருக்கட்டும். G ஓவர் k இன் ஹோப்ஃப் இயற்கணிதம், kG (அல்லது k [G]) குறிக்கப்படுகிறது, இது ஒரு தொகுப்பாகும் (மற்றும் ஒரு திசையன் இடைவெளி) G ஓவர் k இல் உள்ள இலவச திசையன் இடைவெளி. ஒரு இயற்கணிதமாக, அதன் பெருக்கல் G இல் உள்ள குழு கலவையின் நேரியல் நீட்டிப்பால் வரையறுக்கப்படுகிறது, G இல் உள்ள பெருக்க அலகு அடையாளத்துடன்; இந்த பெருக்கல் கன்வொல்யூஷன் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட குழுவின் குழு இயற்கணிதத்தை குழுவில் உள்ள செயல்பாடுகளின் இடத்துடன் அடையாளம் காண முடியும் என்றாலும், ஒரு எல்லையற்ற குழுவிற்கு இவை வேறுபட்டவை என்பதை நினைவில் கொள்க. வரையறுக்கப்பட்ட தொகைகளைக் கொண்ட குழு இயற்கணிதம், குழுவில் உள்ள செயல்பாடுகளுடன் ஒத்திருக்கிறது, அவை இறுதியாக பல புள்ளிகளுக்கு மறைந்துவிடுகின்றன; இடவியல் ரீதியாக (தனித்துவமான இடவியலைப் பயன்படுத்தி), இவை ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்பில் மட்டுமே பூஜ்ஜியமற்ற செயல்பாடுகளுடன் ஒத்திருக்கின்றன. இருப்பினும், குழு இயற்கணிதம் மற்றும்-G இன் செயல்பாடுகளின் பரிமாற்ற இயற்கணிதம் k க்குள்-இரட்டைஃ குழு இயற்கணிதத்தின் ஒரு உறுப்பு மற்றும் குழுவில் ஒரு செயல்பாடு கொடுக்கப்பட்டால், இந்த ஜோடி k இன் ஒரு உறுப்பைக் கொடுக்கிறது, இதன் மூலம் நன்கு வரையறுக்கப்பட்ட கூட்டுத்தொகை ஏனெனில் அது வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. ஹோப்ஃப் இயற்கணிதம் கட்டமைப்பு ஜி இல் வரையறுக்கப்பட்டுள்ள பின்வரும் வரைபடங்களின் நேரியல் நீட்டிப்புகளாக இணை தயாரிப்பு, கவுண்டிட் மற்றும் ஆன்டிபோட் ஆகியவற்றை வரையறுப்பதன் மூலம் ஒரு இணைமாற்ற ஹோப்ஃப் இயற்கணிதத்தின் கட்டமைப்பை கே. ஜி. க்கு வழங்குகிறோம்ஃ தேவையான ஹோப்ஃப் இயற்கணிதம் பொருந்தக்கூடிய கோட்பாடுகள் எளிதில் சரிபார்க்கப்படுகின்றன. கே. ஜி. யின் குழு போன்ற கூறுகளின் தொகுப்பு (அதாவது. அத்தகைய கூறுகள் மற்றும்), துல்லியமாக ஜி. குழு செயல்களின் சமச்சீர்கள் ஜி ஒரு குழுவாகவும், எக்ஸ் ஒரு இடவியல் இடமாகவும் இருக்கட்டும். X மீது G இன் எந்தவொரு செயலும் ஒரு ஒத்த உருவத்தை அளிக்கிறது, அங்கு F (X) என்பது K-மதிப்புள்ள செயல்பாடுகளின் பொருத்தமான இயற்கணிதமாகும், அதாவது கெல்ஃபாண்ட்-நைமார்க் இயற்கணிதம் போன்ற தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகள் முடிவிலியில் மறைகின்றன. ஹோமோமார்பிசம் வரையறுக்கப்படுகிறது, அருகிலுள்ள வரையறுக்கப்படுகிறது, மற்றும். இது ஒரு நேரியல் வரைபடத்தால் விவரிக்கப்படலாம், அங்கு, ஜி இன் கூறுகள், மற்றும், இதில் குழு போன்ற கூறுகள் எஃப் (எக்ஸ்) இன் தானியங்கி உருமாற்றங்களுக்கு வழிவகுக்கும் பண்பைக் கொண்டுள்ளன. கீழே விவரிக்கப்பட்டுள்ள ஒரு முக்கியமான கூடுதல் கட்டமைப்புடன் F (X) ஐ வழங்குகிறது. ஹோப்ஃப் தொகுதி ஆல்ஜிப்ராக்கள் மற்றும் ஹோப்ஃப் ஸ்மாஷ் தயாரிப்பு எச் ஒரு ஹோப்ஃப் இயற்கணிதமாக இருக்கட்டும். ஒரு (இடது) ஹோப் எச்-தொகுதி இயற்கணிதம் ஏ என்பது ஒரு இயற்கணிதம் ஆகும், இது இயற்கணிதம் எச் மீது ஒரு (இடது) தொகுதியாகும், இது எப்போது வேண்டுமானாலும், மற்றும் தொகை இல்லாத ஸ்வீட்லர் குறியீட்டில் உள்ளது. முந்தைய பிரிவில் வரையறுக்கப்பட்டபோது, இது F (X) ஐ இடது ஹோப்ஃப் kG-தொகுதி இயற்கணிதமாக மாற்றுகிறது, இது பின்வரும் கட்டமைப்பை அனுமதிக்கிறது. H ஒரு ஹோப்ஃப் இயற்கணிதமாகவும், A ஒரு இடது ஹோப்ஃப் H-தொகுதி இயற்கணிதமாகவும் இருக்கட்டும். ஸ்மாஷ் தயாரிப்பு இயற்கணிதம் என்பது தயாரிப்புடன் கூடிய திசையன் இடமாகும், மேலும் இந்த சூழலில் நாம் எழுதுகிறோம். எங்கள் விஷயத்தில், மற்றும், மற்றும் எங்களிடம் உள்ளது. இந்த வழக்கில் ஸ்மாஷ் தயாரிப்பு இயற்கணிதமும் குறிக்கப்படுகிறது. ஹோப்ஃப் ஸ்மாஷ் தயாரிப்புகளின் சுழற்சி ஒத்திசைவு கணக்கிடப்பட்டுள்ளது. இருப்பினும், அங்கு ஸ்மாஷ் தயாரிப்பு ஒரு குறுக்கு தயாரிப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் குறிக்கப்படுகிறது-- டைனமிகல் அமைப்புகளிலிருந்து பெறப்பட்ட குறுக்கு தயாரிப்புடன் குழப்பமடையக்கூடாது. குறிப்புகள் ஹோப்ஃப் ஆல்ஜிப்ராக்கள் குவாண்டம் குழுக்கள்