Erdős–Mordell inequality
யூக்ளிடிய வடிவவியலில், ஏர்டாஸ்-மோர்டெல் சமத்துவமின்மை, ஏபிசிக்குள் உள்ள எந்த முக்கோண ஏபிசி மற்றும் புள்ளி பி ஆகியவற்றிற்கும், பி-யிலிருந்து பக்கங்களுக்கு உள்ள தூரங்களின் கூட்டுத்தொகை பி-யிலிருந்து செங்குத்துகளுக்கு உள்ள தூரங்களின் கூட்டுத்தொகையில் பாதிக்கும் குறைவாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்கும் என்று கூறுகிறது. இது பால் எர்டாஸ் மற்றும் லூயிஸ் மோர்டெல் ஆகியோரின் பெயரால் அழைக்கப்படுகிறது. சமத்துவமின்மையை நிரூபிப்பதில் சிக்கலை முன்வைத்தது; இரண்டு ஆண்டுகளுக்குப் பிறகு ஒரு ஆதாரம் வழங்கப்பட்டது. இருப்பினும், இந்த தீர்வு மிகவும் அடிப்படை அல்ல. அடுத்தடுத்த எளிய சான்றுகள் பின்னர், மற்றும் மூலம் கண்டுபிடிக்கப்பட்டன. பாரோவின் சமத்துவமின்மை என்பது எர்டாஸ்-மோர்டெல் சமத்துவமின்மையின் ஒரு வலுவான பதிப்பாகும், இதில் P இலிருந்து பக்கங்களுக்கான தூரங்கள் P இலிருந்து கோண இருமுனைகள் பக்கங்களைக் கடக்கும் புள்ளிகளுக்கு மாற்றப்படுகின்றன. மாற்றப்பட்ட தூரங்கள் நீளமாக இருந்தாலும், அவற்றின் கூட்டுத்தொகை இன்னும் செங்குத்துகளுக்கான தூரங்களின் கூட்டுத்தொகையில் பாதிக்கு குறைவாகவோ அல்லது சமமாகவோ உள்ளது. கூற்று கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணத்திற்குள் ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளி P ஆக இருக்கட்டும், மேலும் முக்கோணங்களின் பக்கங்களிலிருந்து செங்குத்தாக இருக்கட்டும். (முக்கோணம் குறுகலாக இருந்தால், இந்த செங்குத்துகளில் ஒன்று முக்கோணத்தின் வேறு பக்கத்தைக் கடந்து ஒரு பக்கத்தை ஆதரிக்கும் கோட்டில் முடிவடையும்.) பின்னர் சமத்துவமின்மை ஆதாரம் என்று கூறுகிறது ஏபிசியின் பக்கங்கள் எதிர் A, b எதிர் B, மற்றும் c எதிர் C ஆக இருக்கட்டும்; மேலும் PA = p, PB = q, PC = r, Dist (P; BC) = x, Dist (P; CA) = y, Dist (P; AB) = z ஆக இருக்கட்டும். வலது பக்கம் முக்கோண ABC இன் பரப்பளவு, ஆனால் இடது பக்கத்தில், r + z குறைந்தபட்சம் முக்கோணத்தின் உயரம்; இதன் விளைவாக, இடது பக்கம் வலது பக்கத்தை விட சிறியதாக இருக்க முடியாது. இப்போது C இல் கோண இருபகுதியில் P ஐ பிரதிபலிக்கவும். இதேபோல், bq ≤ az + cx மற்றும் ap ≤ bz + cy. r, q மற்றும் p க்கான இந்த ஏற்றத்தாழ்வுகளை நாம் தீர்க்கிறோம்ஃ மூன்றையும் சேர்த்து, நாம் பெறுகிறோம் ஒரு நேர்மறை எண் மற்றும் அதன் பரஸ்பர கூட்டுத்தொகை குறைந்தபட்சம் 2 ஆல் AM-GM சமத்துவமின்மை என்பதால், நாம் முடித்துவிட்டோம். சமபக்க முக்கோணத்திற்கு மட்டுமே சமத்துவம் உள்ளது, அங்கு பி அதன் மையக்கருவாக உள்ளது. மற்றொரு வலுவூட்டப்பட்ட பதிப்பு ஏபிசி ஒரு வட்டத்தில் (ஓ) பொறிக்கப்பட்ட முக்கோணமாகவும், பி ஏபிசிக்குள் ஒரு புள்ளியாகவும் இருக்கட்டும். D, E, F ஆகியவை BC, CA, AB மீது P இன் ஆர்த்தோகனல் திட்டங்களாக இருக்கட்டும். M, N, Q முறையே A, B, C இல் (O) தொடுகோட்டுகளில் P இன் ஆர்த்தோகனல் கணிப்புகளாக இருக்கும், பின்னர்ஃ முக்கோணம் ABC சமபக்கமாக இருந்தால் மட்டுமே சமத்துவம் இருக்கும் (;) ஒரு பொதுமைப்படுத்தல் ஒரு குவிந்த பலகோணமாக இருக்கட்டும், மற்றும் ஒரு உள் புள்ளியாக இருக்க வேண்டும். முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை இரண்டு சரியான கோணங்களுக்கு குறைவாகவோ அல்லது சமமாகவோ உள்ளது என்ற கூற்றில் நிரூபிக்கப்பட்டபடி, முழுமையான வடிவவியலில் எர்டாஸ்-மோர்டெல் சமத்துவமின்மை என்பது ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை இரண்டு சரியான கோணங்களுக்கு குறைவாகவோ அல்லது சமமாகவோ உள்ளது என்ற கூற்றுக்கு சமம். மேலும் காண்க முக்கோண ஏற்றத்தாழ்வுகளின் பட்டியல் குறிப்புகள். . . . . . . . . வெளிப்புற இணைப்புகள் அலெக்சாண்டர் போகோமோல்னி, "எர்டாஸ்-மோர்டெல் சமத்துவமின்மை", கட்-தி-முடிச்சிலிருந்து. முக்கோண ஏற்றத்தாழ்வுகள்