Word (group theory)
குழுக் கோட்பாட்டில், ஒரு சொல் என்பது குழு கூறுகள் மற்றும் அவற்றின் நேர்மாறுகளின் எழுதப்பட்ட தயாரிப்பு ஆகும். எடுத்துக்காட்டாக, x, y மற்றும் z ஆகியவை G குழுவின் உறுப்புகள் என்றால், xy, z−1xzz மற்றும் y−1zx−1yz−1 ஆகியவை {x, y, z} தொகுப்பில் உள்ள சொற்கள். இரண்டு வெவ்வேறு சொற்கள் ஜி அல்லது ஒவ்வொரு குழுவிலும் கூட ஒரே மதிப்புக்கு மதிப்பீடு செய்யலாம். சுதந்திரக் குழுக்கள் மற்றும் விளக்கக்காட்சிகளின் கோட்பாட்டில் சொற்கள் முக்கிய பங்கு வகிக்கின்றன, மேலும் அவை ஒருங்கிணைந்த குழு கோட்பாட்டில் ஆய்வின் மையப் பொருட்களாகும். வரையறைகள் G ஒரு குழுவாக இருக்கட்டும், S என்பது G இன் துணைக்குழுவாக இருக்கட்டும். S இல் உள்ள ஒரு சொல் என்பது s1,., sn என்பது S இன் உறுப்புகள், ஜெனரேட்டர்கள் என்று அழைக்கப்படும் வடிவத்தின் எந்த வெளிப்பாடாகும், மேலும் ஒவ்வொரு εi யும் ±1 ஆகும். எண் n என்பது வார்த்தையின் நீளம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. S இல் உள்ள ஒவ்வொரு வார்த்தையும் G இன் ஒரு உறுப்பைக் குறிக்கிறது, அதாவது வெளிப்பாட்டின் பெருக்கல். மரபுப்படி, தனித்துவமான அடையாள உறுப்பை வெற்று வார்த்தையால் குறிப்பிடலாம், இது பூஜ்ஜிய நீளத்தின் தனித்துவமான வார்த்தையாகும். குறிப்பு சொற்களை எழுதும் போது, அதிவேக குறியீட்டை சுருக்கமாகப் பயன்படுத்துவது பொதுவானது. எடுத்துக்காட்டாக, இந்த வார்த்தையை இவ்வாறு எழுதலாம் இந்த பிந்தைய வெளிப்பாடு ஒரு சொல் அல்ல-இது வெறுமனே அசலுக்கான குறுகிய குறியீடாகும். நீண்ட சொற்களைக் கையாளும் போது, S இன் உறுப்புகளின் தலைகீழ்களைக் குறிக்க ஒரு மேலோட்டத்தைப் பயன்படுத்துவது உதவியாக இருக்கும். மேலோட்டமான குறியீட்டைப் பயன்படுத்தி, மேலே உள்ள சொல் பின்வருமாறு எழுதப்படும்ஃ குறைக்கப்பட்ட சொற்கள் ஒரு ஜெனரேட்டர் அதன் சொந்த தலைகீழ் (xx−1 அல்லது x−1x) க்கு அடுத்ததாக தோன்றும் எந்த வார்த்தையும் தேவையற்ற ஜோடியைத் தவிர்ப்பதன் மூலம் எளிமைப்படுத்தப்படலாம்ஃ இந்த செயல்பாடு குறைப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் இது வார்த்தையால் குறிப்பிடப்படும் குழு உறுப்பை மாற்றாது. குறைப்புகளை குழு கோட்பாடுகளிலிருந்து பின்பற்றப்படும் உறவுகள் (கீழே வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது) என்று கருதலாம். குறைக்கப்பட்ட சொல் என்பது தேவையற்ற ஜோடிகளைக் கொண்ட ஒரு சொல். குறைப்புகளின் வரிசையைச் செய்வதன் மூலம் எந்த வார்த்தையையும் குறைக்கப்பட்ட வார்த்தையாக எளிமைப்படுத்தலாம்ஃ இதன் விளைவாக குறைப்புகள் செய்யப்படும் வரிசையைப் பொறுத்தது அல்ல. வார்த்தையின் ஒவ்வொரு சுழற்சி வரிசைமாற்றமும் குறைக்கப்பட்டால் மட்டுமே ஒரு சொல் சுழற்சி முறையில் குறைக்கப்படுகிறது. சொற்களின் செயல்பாடுகள் இரண்டு சொற்களின் பெருக்கல் ஒருங்கிணைப்பு மூலம் பெறப்படுகிறதுஃ இரண்டு சொற்களும் குறைக்கப்பட்டாலும், பெருக்கல் இருக்காது. ஒரு வார்த்தையின் தலைகீழ் ஒவ்வொரு ஜெனரேட்டரையும் தலைகீழாக மாற்றுவதன் மூலமும், உறுப்புகளின் வரிசையை மாற்றியமைப்பதன் மூலமும் பெறப்படுகிறதுஃ அதன் தலைகீழ் கொண்ட ஒரு வார்த்தையின் பெருக்கல் வெற்று வார்த்தையாக குறைக்கப்படலாம்ஃ நீங்கள் ஒரு ஜெனரேட்டரை ஒரு வார்த்தையின் தொடக்கத்திலிருந்து இறுதி வரை இணைப்பதன் மூலம் நகர்த்தலாம்ஃ ஒரு குழுவின் தொகுப்பை உருவாக்குவது G இன் ஒவ்வொரு உறுப்பும் S இல் உள்ள ஒரு வார்த்தையால் குறிப்பிடப்பட முடிந்தால் G இன் துணைக்குழு S ஐ உருவாக்குவது என்று அழைக்கப்படுகிறது. S என்பது G க்கு உருவாக்கும் தொகுப்பாக இல்லாதபோது, S இல் உள்ள சொற்களால் குறிக்கப்படும் உறுப்புகளின் தொகுப்பு G இன் துணைக்குழு ஆகும், இது S ஆல் உருவாக்கப்பட்ட G இன் துணைக்குழு என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் பொதுவாக குறிக்கப்படுகிறது. இது S இன் கூறுகளைக் கொண்ட G இன் மிகச்சிறிய துணைக்குழுவாகும். இயல்பான வடிவங்கள் தொகுப்பு S ஐ உருவாக்கும் G குழுவிற்கான ஒரு இயல்பான வடிவம் என்பது G இன் ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் S இல் ஒரு குறைக்கப்பட்ட வார்த்தையின் தேர்வாகும். எடுத்துக்காட்டாகஃ 1, i, j, ij என்ற சொற்கள் க்ளீன் நான்கு குழுவிற்கான ஒரு இயல்பான வடிவம் மற்றும் 1 என்பது வெற்று வார்த்தையைக் குறிக்கிறது (குழுவிற்கான அடையாள உறுப்பு). 1, r, r2,., rn-1, s, sr,., srn-1 என்ற சொற்கள் டைஹெட்ரல் குழுவிற்கு ஒரு சாதாரண வடிவமாகும். m க்கான xmyn வடிவத்தின் சொற்களின் தொகுப்பு, n ω Z என்பது சுழற்சி குழுக்களின் நேரடி பெருக்கலுக்கான ஒரு இயல்பான வடிவமாகும் மற்றும் உடன். எஸ் இல் உள்ள குறைக்கப்பட்ட சொற்களின் தொகுப்பு எஸ் மீது இலவச குழுவிற்கான தனித்துவமான இயல்பான வடிவமாகும் உறவுகள் மற்றும் விளக்கக்காட்சிகள் எஸ் ஒரு குழு ஜி க்கு உருவாக்கும் தொகுப்பாக இருந்தால், ஒரு உறவு என்பது எஸ் இல் உள்ள ஒரு ஜோடி சொற்கள் ஆகும், அவை ஜி இன் அதே உறுப்பைக் குறிக்கின்றன. இவை பொதுவாக சமன்பாடுகளாக எழுதப்படுகின்றன, எ. கா. G இல் உள்ள ஒவ்வொரு உறவும் ஒரு குழுவிற்கான கோட்பாடுகளைப் பயன்படுத்துபவர்களிடமிருந்து தர்க்கரீதியாகப் பின்பற்றினால் உறவுகளின் தொகுப்பு G ஐ வரையறுக்கிறது. G க்கான விளக்கக்காட்சி ஒரு ஜோடி, இதில் S என்பது G க்கான உருவாக்கும் தொகுப்பாகும் மற்றும் இது உறவுகளின் வரையறுக்கும் தொகுப்பாகும். எடுத்துக்காட்டாக, க்ளீன் நான்கு-குழுவை விளக்கக்காட்சியால் வரையறுக்க முடியும் இங்கே 1 என்பது வெற்று வார்த்தையைக் குறிக்கிறது, இது அடையாள உறுப்பைக் குறிக்கிறது. இலவச குழுக்கள் எஸ் ஏதேனும் தொகுப்பாக இருந்தால், எஸ் மீது இலவச குழு என்பது விளக்கக்காட்சியுடன் கூடிய குழுவாகும். அதாவது, S க்கு மேல் உள்ள இலவச குழு என்பது S இன் கூறுகளால் உருவாக்கப்பட்ட குழுவாகும், கூடுதல் உறவுகள் இல்லை. இலவச குழுவின் ஒவ்வொரு உறுப்பும் எஸ் இல் குறைக்கப்பட்ட வார்த்தையாக தனித்துவமாக எழுதப்படலாம். மேலும் காண்க குழுக்களுக்கான சொல் சிக்கல் (கணிதம்) குறிப்புகள் குறிப்புகளுக்கான சொல் சிக்கல். ஒருங்கிணைந்த குழு கோட்பாடு குழு கோட்பாடு சொற்களின் ஒருங்கிணைப்பு