Vietoris–Rips complex
இடவியலில், வியட்டோரிஸ்-ரிப்ஸ் வளாகம், வியட்டோரிஸ் வளாகம் அல்லது ரிப்ஸ் வளாகம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது, இது ஒரு புள்ளிகளின் தொகுப்பில் தூரத்திலிருந்து ஒரு இடவியல் இடத்தை உருவாக்கும் ஒரு வழியாகும். இது ஒரு சுருக்கமான எளிமையான சிக்கலானது, இது எந்த மெட்ரிக் இடைவெளி M மற்றும் தூரத்திலிருந்து வரையறுக்கப்படலாம் δ அதிகபட்சமாக விட்டம் கொண்ட ஒவ்வொரு வரையறுக்கப்பட்ட புள்ளிகளுக்கும் ஒரு சிம்ப்ளக்ஸை உருவாக்குவதன் மூலம். அதாவது, இது M இன் வரையறுக்கப்பட்ட துணைக்குழுக்களின் குடும்பமாகும், இதில் k புள்ளிகளின் துணைக்குழுவை ஒரு (k−1) பரிமாண சிம்ப்ளக்ஸ் (இரண்டு புள்ளிகளுக்கு ஒரு விளிம்பு, மூன்று புள்ளிகளுக்கு ஒரு முக்கோணம், நான்கு புள்ளிகளுக்கு ஒரு டெட்ராஹெட்ரான் போன்றவை) என்று நாம் கருதுகிறோம். ); ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்பு S க்கு S இல் உள்ள ஒவ்வொரு ஜோடி புள்ளிகளுக்கும் இடையிலான தூரம் அதிகபட்சமாக δ என்ற பண்பு இருந்தால், S ஐ காம்ப்ளக்ஸில் ஒரு சிம்ப்ளக்ஸாக சேர்க்கிறோம். வரலாறு வியட்டோரிஸ்-ரிப்ஸ் வளாகம் முதலில் வியட்டோரிஸ் வளாகம் என்று அழைக்கப்பட்டது, லியோபோல்ட் வியட்டோரிஸுக்காக, இது எளிமையான வளாகங்களிலிருந்து மெட்ரிக் இடைவெளிகள் வரை ஒத்த கோட்பாட்டை விரிவுபடுத்துவதற்கான ஒரு வழிமுறையாக அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. எலியாஹு ரிப்ஸ் ஹைபர்போலிக் குழுக்களின் ஆய்வுக்கு அதே சிக்கலைப் பயன்படுத்திய பிறகு, அதன் பயன்பாடு பிரபலப்படுத்தப்பட்டது, அவர் அதை ரிப்ஸ் காம்ப்ளக்ஸ் என்று அழைத்தார். "வியட்டோரிஸ்-ரிப்ஸ் காம்ப்ளக்ஸ்" என்ற பெயர் இதற்கு காரணமாகும். செக் வளாகத்துடன் தொடர்பு வியடோரிஸ்-ரிப்ஸ் வளாகம் பந்துகளின் தொகுப்பின் செக் வளாகத்துடன் (அல்லது நரம்பு) நெருக்கமாக தொடர்புடையது, இது ஒவ்வொரு வரையறுக்கப்பட்ட துணைக்குழுவிற்கும் ஒரு சிம்ப்ளக்ஸைக் கொண்டுள்ளது. புவியியல் ரீதியாக குவிந்த இடைவெளி Y இல், எந்தவொரு துணை இடத்தின் வியட்டோரிஸ்-ரிப்ஸ் காம்ப்ளக்ஸ் X′Y தூரத்திற்கு δ என்பது X இன் புள்ளிகளை மையமாகக் கொண்ட Y இல் உள்ள ஆரம் δ/2 கொண்ட பந்துகளின் தொகுப்பின் செக் காம்ப்ளக்ஸ் போன்ற புள்ளிகள் மற்றும் விளிம்புகளைக் கொண்டுள்ளது. இருப்பினும், செக் வளாகத்தைப் போலல்லாமல், X இன் வியட்டோரிஸ்-ரிப்ஸ் வளாகம் X இன் உள்ளார்ந்த வடிவவியலை மட்டுமே சார்ந்துள்ளது, மேலும் சில பெரிய இடத்திற்குள் X ஐ உட்பொதிப்பதில் அல்ல. எடுத்துக்காட்டாக, மூன்று புள்ளிகளைக் கொண்ட சீரான மெட்ரிக் இடைவெளி M3 ஐக் கவனியுங்கள், ஒவ்வொன்றும் ஒருவருக்கொருவர் அலகு தூரத்தில் உள்ளன. M3 இன் வியட்டோரிஸ்-ரிப்ஸ் காம்ப்ளக்ஸ், δ = 1 க்கு, M3 இல் உள்ள புள்ளிகளின் ஒவ்வொரு துணைக்குழுவிற்கும் ஒரு சிம்ப்ளக்ஸை உள்ளடக்கியது, இதில் M3 க்கு ஒரு முக்கோணம் அடங்கும். யூக்ளிடியன் தளத்தில் M3 ஐ ஒரு சமபக்க முக்கோணமாக உட்பொதிந்தால், M3 இன் புள்ளிகளை மையமாகக் கொண்ட ஆரம்-1/2 பந்துகளின் செக் வளாகம் வியட்டோரிஸ்-ரிப்ஸ் வளாகத்தின் மற்ற அனைத்து சிம்ப்ளக்ஸ்களையும் கொண்டிருக்கும், ஆனால் இந்த முக்கோணத்தைக் கொண்டிருக்காது, ஏனெனில் மூன்று பந்துகளிலும் தளத்தின் புள்ளி இல்லை. இருப்பினும், M3 க்கு பதிலாக M3 இன் மூன்று புள்ளிகளில் ஒவ்வொன்றிலிருந்தும் 1/2 தூரத்தில் நான்காவது புள்ளியைக் கொண்ட ஒரு மெட்ரிக் இடத்தில் உட்பொதிக்கப்பட்டால், இந்த இடத்தில் உள்ள ஆரம்-1/2 பந்துகளின் செக் வளாகம் முக்கோணத்தைக் கொண்டிருக்கும். எனவே, M3 ஐ மையமாகக் கொண்ட நிலையான ஆரம் கொண்ட பந்துகளின் செக் வளாகம் எந்த பெரிய இடத்தில் M3 உட்பொதிக்கப்படலாம் என்பதைப் பொறுத்து வேறுபடுகிறது, அதே நேரத்தில் வியட்டோரிஸ்-ரிப்ஸ் வளாகம் மாறாமல் உள்ளது. ஏதேனும் மெட்ரிக் இடைவெளி X ஒரு உட்செலுத்தும் மெட்ரிக் இடைவெளி Y இல் உட்பொதிக்கப்பட்டிருந்தால், தூரம் δ மற்றும் X க்கான வியட்டோரிஸ்-ரிப்ஸ் வளாகம் Y இல் X இன் புள்ளிகளை மையமாகக் கொண்ட δ/2 ஆரம் கொண்ட பந்துகளின் செக் வளாகத்துடன் ஒத்துப்போகிறது. எனவே, எந்த மெட்ரிக் இடைவெளி M இன் வியட்டோரிஸ்-ரிப்ஸ் வளாகமும் M இன் இறுக்கமான இடைவெளியில் உள்ள பந்துகளின் அமைப்பின் செக் வளாகத்திற்கு சமம். அலகு வட்டு வரைபடங்கள் மற்றும் கிளைக் வளாகங்களுடனான உறவு δ = 1 க்கான வியட்டோரிஸ்-ரிப்ஸ் வளாகம் கொடுக்கப்பட்ட மெட்ரிக் இடத்தில் அலகு தூரத்தில் அல்லது அதற்கும் குறைவான ஒவ்வொரு ஜோடி புள்ளிகளுக்கும் ஒரு விளிம்பைக் கொண்டுள்ளது. எனவே, அதன் 1-எலும்புக்கூடு அதன் புள்ளிகளின் அலகு வட்டு வரைபடமாகும். இது அலகு வட்டு வரைபடத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு கிளிக்கிற்கும் ஒரு சிம்ப்ளக்ஸைக் கொண்டுள்ளது, எனவே இது அலகு வட்டு வரைபடத்தின் கிளிக்கு காம்ப்ளக்ஸ் அல்லது கொடி காம்ப்ளக்ஸ் ஆகும். மேலும் பொதுவாக, எந்த வரைபடம் G இன் கிளைக் காம்ப்ளக்ஸ் என்பது மெட்ரிக் இடத்திற்கான ஒரு வியட்டோரிஸ்-ரிப்ஸ் காம்ப்ளக்ஸ் ஆகும், இது G இன் செங்குத்துகளை புள்ளிகளாக கொண்டுள்ளது மற்றும் G இல் குறுகிய பாதைகளின் நீளங்களை அதன் தூரங்களாகக் கொண்டுள்ளது. பிற முடிவுகள் M ஒரு மூடிய ரீமானியன் பன்மடங்கு என்றால், δ இன் போதுமான சிறிய மதிப்புகளுக்கு M இன் வியட்டோரிஸ்-ரிப்ஸ் காம்ப்ளக்ஸ் அல்லது M க்கு போதுமான நெருக்கமான இடைவெளிகள், M க்கு சமமான ஹோமோடாபி ஆகும். யூக்ளிடியன் தளத்தில் அமைக்கப்பட்ட எந்தவொரு வரையறுக்கப்பட்ட புள்ளியின் ரிப்ஸ் காம்ப்ளக்ஸில் கொடுக்கப்பட்ட சுழற்சி சுருங்குகிறதா என்பதை தீர்மானிக்க திறமையான வழிமுறைகளை விவரிக்கவும். அலகு வட்டு வரைபடங்களைப் போலவே, வியட்டோரிஸ்-ரிப்ஸ் வளாகமும் கணினி அறிவியலில் தற்காலிக வயர்லெஸ் தகவல்தொடர்பு நெட்வொர்க்குகளின் இடவியலை மாதிரியாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. இந்த பயன்பாட்டில் வியட்டோரிஸ்-ரிப்ஸ் வளாகத்தின் ஒரு நன்மை என்னவென்றால், தகவல்தொடர்பு முனைகளுக்கு இடையிலான தூரத்திலிருந்து மட்டுமே அவற்றின் சரியான இயற்பியல் இருப்பிடங்களை ஊகிக்காமல் தீர்மானிக்க முடியும். ஒரு குறைபாடு என்னவென்றால், செக் வளாகத்தைப் போலல்லாமல், வியட்டோரிஸ்-ரிப்ஸ் வளாகம் தகவல்தொடர்பு கவரேஜில் உள்ள இடைவெளிகளைப் பற்றிய தகவல்களை நேரடியாக வழங்கவில்லை, ஆனால் இரண்டு வியட்டோரிஸ்-ரிப்ஸ் வளாகங்களுக்கு இடையில் செக் வளாகத்தை δ இன் வெவ்வேறு மதிப்புகளுக்கு சாண்ட்விச் செய்வதன் மூலம் இந்த குறைபாட்டை மேம்படுத்த முடியும். வியட்டோரிஸ்-ரிப்ஸ் வளாகங்களின் செயல்பாட்டை TDAstats R தொகுப்பில் காணலாம். வியட்டோரிஸ்-ரிப்ஸ் வளாகங்கள் டிஜிட்டல் படத் தரவுகளில் அம்சம்-பிரித்தெடுப்பதற்கும் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளன; இந்த பயன்பாட்டில், வளாகம் ஒரு உயர் பரிமாண மெட்ரிக் இடத்திலிருந்து கட்டப்பட்டுள்ளது, இதில் புள்ளிகள் குறைந்த அளவிலான பட அம்சங்களைக் குறிக்கின்றன. அனைத்து வியட்டோரிஸ்-ரிப்ஸ் வளாகங்களின் சேகரிப்பு என்பது தொடர்ச்சியான ஒத்திசைவு மற்றும் இடவியல் தரவு பகுப்பாய்வில் பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படும் கட்டமைப்பாகும், மேலும் இது ரிப்ஸ் வடிகட்டுதல் என்று அழைக்கப்படுகிறது. குறிப்புகள் குறிப்புகள். . . . . . . . . . . இயற்கணித இடவியல் வடிவியல் வரைபடக் கோட்பாடு எளிய தொகுப்புகள்