History of the Church–Turing thesis
சர்ச்-டூரிங் ஆய்வறிக்கையின் ("ஆய்வறிக்கை") வரலாறு, அதன் மதிப்புகள் திறம்பட கணக்கிடக்கூடிய செயல்பாடுகளின் தன்மை பற்றிய ஆய்வின் வளர்ச்சியின் வரலாற்றை உள்ளடக்கியது; அல்லது, நவீன சொற்களில், அவற்றின் மதிப்புகள் வழிமுறையாக கணக்கிடக்கூடிய செயல்பாடுகள். இது நவீன கணிதக் கோட்பாடு மற்றும் கணினி அறிவியலில் ஒரு முக்கியமான தலைப்பாகும், குறிப்பாக அலோன்சோ சர்ச் மற்றும் ஆலன் டூரிங் ஆகியோரின் பணிகளுடன் தொடர்புடையது. "கணக்கீடு" மற்றும் "மறுநிகழ்வு" என்பதன் பொருள் பற்றிய விவாதமும் கண்டுபிடிப்பும் நீண்ட மற்றும் சர்ச்சைக்குரியதாக உள்ளது. இந்தக் கட்டுரை 1889 ஆம் ஆண்டில் பீனோவின் கோட்பாடுகளிலிருந்து அந்த விவாதம் மற்றும் கண்டுபிடிப்பு பற்றிய விவரங்களை "கோட்பாடு" என்பதன் பொருள் பற்றிய சமீபத்திய விவாதத்தின் மூலம் வழங்குகிறது. பீனோவின் எண்கணிதத்தின் ஒன்பது கோட்பாடுகள் 1889 ஆம் ஆண்டில், கியூசெப் பீனோ தனது எண்கணிதத்தின் கொள்கைகளை வழங்கினார், இது டெடெகிண்டின் பணியின் அடிப்படையில் ஒரு புதிய முறையால் வழங்கப்பட்டது. பத்தொன்பதாம் நூற்றாண்டுக்கு முன்பே கணிதவியலாளர்கள் தூண்டல் மூலம் ஒரு செயல்பாட்டை வரையறுக்கும் கொள்கையைப் பயன்படுத்தினாலும், "பழமையான மறுசுழற்சி" இன் தோற்றம் முறைப்படி பீனோவின் கோட்பாடுகளுடன் தொடங்கியது என்று சோரே முன்மொழிகிறார். டெடெகிண்ட் 1888, ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட கோட்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி, அத்தகைய வரையறை ஒரு தனித்துவமான செயல்பாட்டை வரையறுக்கிறது என்பதை நிரூபித்தது, மேலும் அவர் அதை m + n, m x n மற்றும் mn செயல்பாடுகளின் வரையறைக்கு பயன்படுத்தினார். டெடெகிண்டின் இந்த படைப்பின் அடிப்படையில், பீனோ 1889 மற்றும் 1891 ஆகியவை நேர்மறை முழு எண்களுக்கான பழக்கமான ஐந்து [sic] கோட்பாடுகளை எழுதின. அவரது ஐந்தாவது [sic] கோட்பாட்டு கோட்பாட்டின் துணை, கணித தூண்டல், பீனோ தூண்டல் மூலம் வரையறையைப் பயன்படுத்தினார், இது பழமையான மறுசுழற்சி என்று அழைக்கப்படுகிறது (பீட்டர் 1934 மற்றும் க்ளீன் 1936 முதல்). "என்று பதிவிட்டுள்ளார். உண்மையில் பீனோவின் கோட்பாடுகள் 9 எண்ணிக்கையில் உள்ளன மற்றும் கோட்பாடு 9 என்பது மறுநிகழ்வு/தூண்டல் கோட்பாடு என்பதைக் கவனியுங்கள். "பின்னர் 9 ஐ 5 ஆகக் குறைக்கப்பட்டது, ஏனெனில்" அடையாளத்தைக் கையாளும் 2,3,4 மற்றும் 5 கோட்பாடுகள் அடிப்படை தர்க்கத்தைச் சேர்ந்தவை. இது "பீனோ கோட்பாடுகள்" என்று உலகளவில் அறியப்பட்ட ஐந்து கோட்பாடுகளை விட்டுச்செல்கிறது. பீனோ தனது கோட்பாடுகள் டெடெகிண்டிலிருந்து வந்தவை என்பதை ஒப்புக்கொள்கிறார் (1891பி, பக்கம் 93). "என்று பதிவிட்டுள்ளார். 1900 ஆம் ஆண்டில் பாரிஸில் நடந்த சர்வதேச கணிதவியலாளர்களின் மாநாட்டில் (ஐ. சி. எம்) புகழ்பெற்ற கணிதவியலாளர் டேவிட் ஹில்பர்ட் இருபதாம் நூற்றாண்டின் கணிதவியலாளர்களுக்கான வழியை ஒளிரச் செய்யும் சிக்கல்களின் தொகுப்பை முன்வைத்தார்-இப்போது ஹில்பர்ட்டின் சிக்கல்கள் என்று அழைக்கப்படுகிறார். ஹில்பர்ட்டின் 2 வது மற்றும் 10 வது சிக்கல்கள் ("முடிவு சிக்கல்") அறிமுகப்படுத்தப்பட்டன. தனது 2 வது சிக்கலில் அவர் "எண்கணிதம்" என்பது "சீரான" என்பதற்கு ஒரு ஆதாரத்தைக் கேட்டார். கர்ட் கோடல் 1931 ஆம் ஆண்டில் நிரூபித்தார், அவர் "பி" (இப்போதெல்லாம் பீனோ எண்கணிதம் என்று அழைக்கப்படுகிறார்) என்று அழைத்ததற்குள், "தீர்மானிக்க முடியாத வாக்கியங்கள் [முன்மொழிவுகள்] உள்ளன". இதன் காரணமாக, "P இன் நிலைத்தன்மை P இல் நிரூபிக்க முடியாதது, P சீராக இருந்தால்". கோடலின் ஆதாரம் அலோன்சோ சர்ச் மற்றும் ஆலன் டூரிங் தீர்க்க தேவையான கருவிகளைக் காண்பிக்கும் அதே வேளையில், அவரே அதற்கு பதிலளிக்க மாட்டார். இது ஹில்பர்ட்டின் 10 வது சிக்கலுக்குள் உள்ளது, அங்கு ஒரு கேள்வி உண்மையில் தோன்றுகிறது. பொருளின் இதயம் பின்வரும் கேள்வியாக இருந்ததுஃ "ஒரு செயல்பாடு 'திறம்பட கணக்கிடக்கூடியது' என்று நாம் கூறும்போது என்ன அர்த்தம்? இதற்கு பதில் என்னவென்றால்ஃ "செயல்பாடு ஒரு இயந்திர செயல்முறை (செயல்முறை, முறை) மூலம் கணக்கிடப்படும் போது". இப்போதெல்லாம் எளிதில் கூறப்பட்டாலும், கேள்வி (மற்றும் பதில்) துல்லியமாக வடிவமைக்கப்படுவதற்கு முன்பு கிட்டத்தட்ட 30 ஆண்டுகளுக்கு மிதக்கும். சிக்கல் 10 பற்றிய ஹில்பர்ட்டின் அசல் விளக்கம் பின்வருமாறு தொடங்குகிறதுஃ "10. ஒரு டயோஃபாண்டைன் சமன்பாட்டின் தீர்க்கக்கூடிய தன்மையை தீர்மானித்தல். எந்த எண்ணிக்கையிலான அறியப்படாத அளவுகள் மற்றும் விகிதமுறு ஒருங்கிணைந்த குணகங்களுடன் ஒரு டயோஃபாண்டைன் சமன்பாட்டைக் கொடுத்தால்ஃ விகிதமுறு முழு எண்களில் சமன்பாடு தீர்க்கக்கூடியதா என்பதை வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான செயல்பாடுகளில் தீர்மானிக்கக்கூடிய ஒரு செயல்முறையை உருவாக்குவது. 1922 வாக்கில், டயோஃபாண்டைன் சமன்பாடுகளுக்கு பயன்படுத்தப்படும் ஒரு குறிப்பிட்ட கேள்வி எந்தவொரு கணித சூத்திரத்திற்கும் ஒரு "முடிவு முறை" பற்றிய பொதுவான கேள்வியாக வளர்ந்தது. மார்ட்டின் டேவிஸ் இதை இவ்வாறு விளக்குகிறார்ஃ (1) கோட்பாடுகளின் தொகுப்பு மற்றும் (2) முதல் வரிசை தர்க்கத்தில் எழுதப்பட்ட ஒரு தர்க்கரீதியான முடிவு ஆகியவற்றைக் கொண்ட ஒரு "கணக்கீட்டு செயல்முறை" நமக்கு வழங்கப்பட்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம், அதாவது-டேவிஸ் "ஃப்ரீஜின் விலக்கு விதிகள்" (அல்லது பூலியன் தர்க்கத்தின் நவீன சமமான) என்று அழைப்பதில் எழுதப்பட்டுள்ளது. கோடலின் முனைவர் பட்ட ஆய்வுக் கட்டுரை ஃப்ரெஜின் விதிகள் முழுமையானவை என்பதை நிரூபித்தது. "ஒவ்வொரு செல்லுபடியாகும் சூத்திரமும் நிரூபிக்கக்கூடியது என்ற பொருளில்". அந்த ஊக்கமளிக்கும் உண்மையைப் பொறுத்தவரை, ஒரு பொதுப்படுத்தப்பட்ட "கணக்கீட்டு நடைமுறை" இருக்க முடியுமா, அது அதன் வளாகத்திலிருந்து ஒரு முடிவைப் பெற முடியுமா என்பதை நமக்குத் தெரிவிக்கும்? டேவிஸ் இத்தகைய கணக்கீட்டு நடைமுறைகளை "வழிமுறைகள்" என்று அழைக்கிறார். இது ஒரு வழிமுறையாகவும் இருக்கும். "கொள்கையளவில், [தி] க்கான ஒரு வழிமுறை அனைத்து மனித விலக்கு பகுத்தறிவையும் முரட்டுத்தனமான கணக்கீட்டிற்கு குறைத்திருக்கும்". வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால்ஃ ஏதேனும் சூத்திரம் "உண்மை" என்றால் நமக்குச் சொல்லக்கூடிய ஒரு "வழிமுறை" இருக்கிறதா (அதாவது. "உண்மை" அல்லது "பொய்" என்ற தீர்ப்பை எப்போதும் சரியாக வழங்கும் ஒரு வழிமுறை?) ". இந்த சிக்கலின் தீர்வுடன், என்ட்ஷீடங்ஸ் பிராப்ளம், அனைத்து கணித கேள்விகளையும் முற்றிலும் இயந்திர முறையில் தீர்ப்பது கொள்கையளவில் சாத்தியமாக இருக்க வேண்டும் என்பது ஹில்பர்டுக்கு தெளிவாகத் தோன்றியது. எனவே, தீர்க்க முடியாத பிரச்சினைகளைப் பொறுத்தவரை, ஹில்பர்ட் சரியாக இருந்தால், என்ட்செய்டங்ஸ் சிக்கலே தீர்க்க முடியாததாக இருக்க வேண்டும் ". உண்மையில்ஃ நமது அல்காரிதம் பற்றி என்ன? ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான படிகளில், அது தானாகவே "வெற்றிகரமானது" மற்றும் "உண்மை" என்பதை தீர்மானிக்க முடியுமா (அதாவது, அது ஒரு முடிவற்ற "வட்டம்" அல்லது "சுழற்சியில்" தொங்கவிடப்படுவதில்லை, மேலும் அது அதன் சொந்த நடத்தை மற்றும் முடிவுகளைப் பற்றி "உண்மை" அல்லது "பொய்" என்ற தீர்ப்பை சரியாகத் தருகிறது)? ஹில்பர்ட்டின் 2 வது மற்றும் 10 வது சிக்கல்களில் இருந்து மூன்று சிக்கல்கள் 1928 காங்கிரஸில் [இத்தாலியின் போலோக்னாவில்] ஹில்பர்ட் கேள்வியை மூன்று பகுதிகளாக மிகவும் கவனமாக செம்மைப்படுத்துகிறார். பின்வருவது ஸ்டீபன் ஹாக்கிங்கின் சுருக்கம்ஃ "1. அனைத்து உண்மையான கணித அறிக்கைகளும், அதாவது கணிதத்தின் முழுமையை நிரூபிக்க முடியும் என்பதை நிரூபிக்க. "2. உண்மையான கணித அறிக்கைகள் மட்டுமே நிரூபிக்க முடியும் என்பதை நிரூபிக்க, அதாவது கணிதத்தின் நிலைத்தன்மை, "3. கணிதத்தின் தீர்க்கமான தன்மையை நிரூபிக்க, அதாவது, கொடுக்கப்பட்ட எந்தவொரு கணித முன்மொழிவிலும் உண்மை அல்லது பொய்யை தீர்மானிக்க ஒரு முடிவு செயல்முறை இருப்பது. கேப்ரியல் சூடான் (1927) மற்றும் வில்ஹெல்ம் அக்கர்மேன் (1928) ஆகியோருக்கு பகுக்கமுடியாத எளிய எண்கணித செயல்பாடுகள் பழமையான மறுநிகழ்வு அல்லாத மறுநிகழ்வு செயல்பாடுகளைக் காட்டுகின்றனஃ "பழமையான மறுநிகழ்வுக்கு குறைக்கப்படாத மறுநிகழ்வுகள் உள்ளனவா; குறிப்பாக பழமையான மறுநிகழ்வு இல்லாத ஒரு செயல்பாட்டை வரையறுக்க மறுநிகழ்வு பயன்படுத்தப்படலாம்? "இந்த கேள்வி 1926 ஆம் ஆண்டில் தொடர்ச்சியான சிக்கல் குறித்த ஹில்பர்ட்டின் ஒரு யூகத்திலிருந்து எழுந்தது, மேலும் அக்கர்மேன் 1928 ஆல் பதிலளிக்கப்பட்டது [ஆம்ஃ பழமையான மறுசுழற்சி இல்லாத தொடர்ச்சிகள் உள்ளன]". அடுத்தடுத்த ஆண்டுகளில் ரோசா பீட்டர் (1935) அக்கர்மேனின் உதாரணத்தை எளிமைப்படுத்தினார் என்று க்ளீன் கவனிக்கிறார். ஹில்பர்ட்-பெர்னேஸ் 1934 ") மற்றும் ரபேல் ராபின்சன் (1948). கான்டரின் மூலைவிட்ட வாதத்தைப் பயன்படுத்திய மற்றொரு உதாரணத்தை (1935) பீட்டர் வெளிப்படுத்தினார். பீட்டர் (1950) மற்றும் அக்கர்மேன் (1940) ஆகியோரும் "டிரான்ஸ்ஃபைனைட் ரெக்கர்ஷன்ஸ்" ஐக் காட்டினர், மேலும் இது க்ளீனை ஆச்சரியப்பட வைத்ததுஃ ". எந்தவொரு" ரெக்கர்ஷன் "கருத்தையும் அல்லது அனைத்து" ரெக்கர்ஷிவ் ஃபங்க்ஷன்களின் "வகுப்பையும் நாம் எந்த வகையிலும் சரியாக வகைப்படுத்த முடியுமா? அனைத்து "மறுசுழற்சிகளும்" (i) பழமையான மறுசுழற்சி செயல்பாடுகளின் தனது §54 முறையான கணக்கீடுகளில் அவர் முன்வைக்கும் முறையான பகுப்பாய்வு மற்றும் (ii) கணித தூண்டலின் பயன்பாடு ஆகியவற்றை உள்ளடக்கியது என்று க்ளீன் முடிக்கிறார். அவர் உடனடியாக கோடல்-ஹெர்பிராண்ட் வரையறை உண்மையில் "அனைத்து மறுநிகழ்வு செயல்பாடுகளையும் வகைப்படுத்துகிறது" என்று கூறுகிறார்-கீழே 1934 இல் மேற்கோளைப் பார்க்கவும். கோடலின் ஆதாரம் 1930 ஆம் ஆண்டில், ஹில்பர்டுக்கான கணிதக் கூட்டம் மற்றும் ஓய்வூதிய நிகழ்வுக்காக கணிதவியலாளர்கள் கூடினர். அதிர்ஷ்டம் அதைப் போலவே, "அதே கூட்டத்தில், ஒரு இளம் செக் கணிதவியலாளர் கர்ட் கோடல், முடிவுகளை அறிவித்தார், இது மூன்று பதில்களும் ஆம் என்ற ஹில்பர்ட்டின் கருத்தை ஒரு கடுமையான அடியாகக் கையாண்டது". 1928இல் ஹில்பெர்ட்டின் மூன்று கேள்விகளில் முதல் இரண்டு கேள்விகளுக்கான பதில் இல்லை என்று அவர் அறிவித்தார். அதைத் தொடர்ந்து 1931 ஆம் ஆண்டில் கோடல் தனது புகழ்பெற்ற கட்டுரையை வெளியிட்டார் பிரின்சிபியா கணிதத்தின் முறையான தீர்மானிக்க முடியாத முன்மொழிவுகள் மற்றும் தொடர்புடையது இந்த கட்டுரையின் முன்னுரையில் மார்ட்டின் டேவிஸ் ஒரு எச்சரிக்கையை வழங்குகிறார்ஃ "[இந்த குறிப்பிட்ட கட்டுரையில்] கோடல் மறுநிகழ்வு செயல்பாடுகள் என்று அழைப்பது இப்போது பழமையான மறுநிகழ்வு செயல்பாடுகள் என்று அழைக்கப்படுகிறது என்று வாசகர் எச்சரிக்கப்பட வேண்டும். (திருத்தப்பட்ட சொற்கள் க்ளீனால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டன). "பயனுள்ள கணக்கீட்டின்" கோடல் விரிவாக்கம் க்ளீனை (1952) மேற்கோள் காட்ட, "அனைத்து" மறுநிகழ்வு செயல்பாடுகளின் "குணாதிசயமும் ஹெர்பிராண்டின் ஆலோசனையின் பேரில் கட்டப்பட்ட கோடல் 1934 ஆல் 'பொது மறுநிகழ்வு செயல்பாடு' என்ற வரையறையில் நிறைவேற்றப்பட்டது" (க்ளீன் 1952:274). கோடல் பிரின்ஸ்டன் என். ஜே. வில் உள்ள மேம்பட்ட ஆய்வு நிறுவனத்தில் (ஐஏஎஸ்) தொடர்ச்சியான சொற்பொழிவுகளை நிகழ்த்தினார். மார்ட்டின் டேவிஸ் டேவிஸ் எழுதிய ஒரு முன்னுரையில், "டாக்டர் கோடல் ஒரு கடிதத்தில், இந்த சொற்பொழிவுகளின் போது, அவரது மறுபரிசீலனை பற்றிய கருத்து அனைத்து சாத்தியமான மறுபரிசீலனைகளையும் உள்ளடக்கியது என்று அவர் ஒப்புக் கொள்ளவில்லை" என்று குறிப்பிடுகிறார். டாசன் இந்த சொற்பொழிவுகள் "முழுமையற்ற கோட்பாடுகள் எப்படியாவது முறைப்படுத்தலின் சிறப்பியல்புகளைச் சார்ந்துள்ளன" என்ற கவலையை தெளிவுபடுத்துவதாகக் கூறுகிறார்ஃ "கோடல் தனது 1934 ஆய்வறிக்கையின் இறுதிப் பகுதியில் அக்கர்மேனின் உதாரணத்தை குறிப்பிட்டார், அவர் அங்கு வரையறுத்த" பொது மறுபரிசீலனை செயல்பாடு "என்ற கருத்தை ஊக்குவிக்கும் ஒரு வழியாக; ஆனால் முந்தைய அடிக்குறிப்பு 3 இல், அவர் ஏற்கனவே யூகித்திருந்தார் (" ஒரு ஹூரிஸ்டிக் கொள்கை ") அனைத்து இறுதியாக கணக்கிடக்கூடிய செயல்பாடுகளையும் பெற முடியும் என்று. "இந்த அனுமானம் பின்னர் பல கருத்துக்களை வெளிப்படுத்தியுள்ளது. குறிப்பாக, மார்ட்டின் டேவிஸ் கோடலின் 1934 விரிவுரைகளை [டேவிஸ் 1965:41 எஃப்எஃப் இல்] வெளியிட மேற்கொண்டபோது, அவர் அதை சர்ச்சின் ஆய்வறிக்கையின் ஒரு மாறுபாடு என்று எடுத்துக் கொண்டார்; ஆனால் டேவிஸுக்கு எழுதிய கடிதத்தில். கோடல் அது "உண்மை இல்லை" என்று உறுதியாகக் கூறினார், ஏனெனில் அந்த விரிவுரைகளின் போது அவரது மறுபரிசீலனை பற்றிய கருத்து "சாத்தியமான அனைத்து மறுபரிசீலனைகளையும்" உள்ளடக்கியது என்று அவர் "உறுதியாக நம்பவில்லை". மாறாக, "அங்கு கூறப்பட்ட அனுமானம் 'வரையறுக்கப்பட்ட (கணக்கீட்டு) நடைமுறை' மற்றும் 'மறுசுழற்சி செயல்முறை' ஆகியவற்றின் சமநிலையை மட்டுமே குறிக்கிறது" என்று அவர் கூறினார். இந்த சிக்கலை தெளிவுபடுத்துவதற்காக கோடல் விரிவுரைகளில் ஒரு போஸ்ட்ஸ்கிரிப்டை சேர்த்தார், அதில் அவர் உள்ளுணர்வாக கணக்கிடக்கூடிய செயல்பாடுகள் பொதுவான மறுநிகழ்வுடன் ஒத்துப்போனது ஆலன் டூரிங்கின் படைப்பு என்று இறுதியாக அவரை நம்ப வைத்தது என்று சுட்டிக்காட்டினார். "பொதுவான மறுசுழற்சி அல்லது λ-வரையறையை பயனுள்ள கணக்கீட்டின் முறைசாரா கருத்தின் போதுமான குணாதிசயமாக கருத கோடலின் தயக்கம் பல ஆசிரியர்களால் விரிவாக ஆராயப்பட்டுள்ளது [அடிக்குறிப்பு 248:" "குறிப்பாக டேவிஸ் 1982 ஐப் பார்க்கவும்; கேண்டி 1980 மற்றும் 1988; சீக் 1994" "]". உண்மையில், ஆலன் டூரிங்கின் பகுப்பாய்வைப் போல கோடலின் அல்லது சர்ச்சின் சம்பிரதாயங்கள் மிகவும் வெளிப்படையானவை அல்லது உள்ளார்ந்த இணக்கமானவை அல்ல என்று ஒருமித்த கருத்து உள்ளது, மேலும் வில்பிரைட் சீக் சர்ச்சின் ஆய்வறிக்கைக்கு ஆதரவாக "வெவ்வேறு கருத்துக்களின் சங்கமத்தால்" வழங்கப்பட்ட சான்றுகள் (சர்ச், கோடல், போஸ்ட் மற்றும் ஆலன் டூரிங் ஆகியோரால் முன்மொழியப்பட்ட அமைப்புகள் அனைத்தும் ஒரே நீட்டிப்பைக் கொண்டுள்ளன என்ற உண்மை) பொதுவாக கருதப்பட்டதை விட குறைவான கட்டாயமாகும் என்று வாதிட்டார். எனவே, கோடலின் உள்ளார்ந்த எச்சரிக்கையைத் தவிர, அவரது சந்தேகத்திற்கு நல்ல காரணங்கள் இருந்தன. ஆனால், பொது மறுசுழற்சி என்ற தனது கருத்தின் மூலம் அவர் எதை அடைய முயன்றார்? "மாறாக, ஹெர்பிராண்டின் கருத்துக்களை மாற்றியமைப்பதன் மூலம் கோடல் தனது வரையறையை [பொது மறுநிகழ்வு செயல்பாடுகளின் வர்க்கம்] பெற்றார். மேலும் வில்ஃபிரைட் சீக் 1934 ஆம் ஆண்டு ஆய்வறிக்கையின் இறுதிப் பகுதியில் [விரிவுரை குறிப்புகள்] தனது உண்மையான நோக்கம்" "சமன்பாடுகளைப் பெறுவதற்கான இயந்திர விதிகளைக் குறிப்பிடுவதன் மூலம் [ஹெர்பிராண்டின்] அறிவுசார் ரீதியாக கட்டுப்படுத்தப்பட்ட ஆதாரக் கருத்திலிருந்து மறுநிகழ்வு செயல்பாடுகளைப் பிரிப்பதாகும்" "என்று வாதிட்டார்". "பொது" மறுநிகழ்வு பற்றிய கோடலின் கருத்தைப் பற்றி மிகவும் பொதுவானது என்னவென்றால், சீக் கூறுகிறார், ஹெர்பிராண்ட் இறுதி வழிமுறைகளால் [250] மறுநிகழ்வு என்று நிரூபிக்கக்கூடிய செயல்பாடுகளை மட்டுமே வகைப்படுத்த விரும்பியது ". பிரின்ஸ்டன் க்ளீன் மற்றும் ரோஸர் ஆகியோரில் கோடலின் சொற்பொழிவுகள் பிரின்ஸ்டனில் கோடலின் 1934 விரிவுரைகளை படியெடுத்தன. இயற்கையான எண்களின் பொது தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகள் என்ற தனது கட்டுரையில் க்ளீன் இவ்வாறு கூறுகிறார்ஃ "இயற்கையான எண்களின் பொதுவான தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டின் வரையறையை ஹெர்பிராண்ட் கோடலுக்கு பரிந்துரைத்தார், மேலும் 1934 இல் பிரின்ஸ்டனில் நடந்த தொடர்ச்சியான விரிவுரைகளில் ஒரு முக்கியமான மாற்றத்துடன் கோடல் இதைப் பயன்படுத்தினார்". கோடலின் அர்த்தத்தில் ஒரு தொடர்ச்சியான செயல்பாடு (உறவு). இப்போது ஒரு பழமையான தொடர்ச்சியான செயல்பாடு (உறவு) என்று அழைக்கப்படும். "திறம்பட கணக்கிடக்கூடிய" சர்ச்சின் தேவாலய வரையறை அடிப்படை எண் கோட்பாட்டின் தீர்க்கமுடியாத சிக்கல் (1936) λ-கால்குலஸ் மற்றும் கோடல்-ஹெர்பிராண்டின் பொதுவான மறுபயன்பாட்டிற்குள் என்ட்ஷீடங்ஸ் சிக்கல் தீர்மானிக்க முடியாதது என்பதை நிரூபித்தது; மேலும் சர்ச் க்ளீனின் இரண்டு கோட்பாடுகளை மேற்கோள் காட்டுகிறது, இது λ-கால்குலஸில் வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாடுகள் பொதுவான மறுபயன்பாட்டால் வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாடுகளுக்கு ஒத்தவை என்பதை நிரூபித்ததுஃ "தேற்றம் XVI. நேர்மறை முழு எண்களின் ஒவ்வொரு தொடர்ச்சியான செயல்பாடும் λ-definable.16 தேற்றம் XVII ஆகும். நேர்மறை முழு எண்களின் ஒவ்வொரு λ-வரையறுக்கக்கூடிய செயல்பாடும் recursive.17 "16 ஆகும். இங்குள்ள வடிவத்தில் இது முதலில் க்ளீனால் பெறப்பட்டது.. 17 இந்த முடிவு தற்போதைய எழுத்தாளர் மற்றும் எஸ். சி. க்ளீன் ஆகியோரால் சுமார் ஒரே நேரத்தில் சுயாதீனமாக பெறப்பட்டது. காகிதம் மிக நீண்ட அடிக்குறிப்புடன் தொடங்குகிறது, 3. மற்றொரு அடிக்குறிப்பு, 9, சுவாரஸ்யமானது. மார்ட்டின் டேவிஸ் கூறுகிறார், "ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட வழிமுறையால் கணக்கிடக்கூடிய செயல்பாடுகள் துல்லியமாக மறுநிகழ்வு செயல்பாடுகள் என்றும், அதன் விளைவாக ஒரு வெளிப்படையான தீர்க்கமுடியாத சிக்கலை கொடுக்க முடியும் என்றும் அதன் வெளிப்படையான அறிக்கைக்கு (சர்ச்சின் ஆய்வறிக்கை என்று அழைக்கப்படுவதால்) இந்த கட்டுரை முக்கியமாக முக்கியமானது": "3 தோன்றுவது போல், பயனுள்ள கணக்கீட்டின் இந்த வரையறையை இரண்டு சமமான வடிவங்களில் ஏதேனும் ஒன்றில் கூறலாம், (1). λ-வரையறுக்கக்கூடியது. 2). மறுநிகழ்வு. λ-வரையறை என்ற கருத்து தற்போதைய எழுத்தாளருக்கும் எஸ். சி. க்ளீனுக்கும் கூட்டாக உள்ளது, அதை நோக்கிய அடுத்தடுத்த படிகள் தற்போதைய எழுத்தாளரால் கணிதத்தின் அன்னல்ஸ், தொகுதி. 34 (1933), பக்கம் 863, மற்றும் அமெரிக்கன் ஜர்னல் ஆஃப் மேத்தமேட்டிக்ஸ் இல் க்ளீன், தொகுதி. 57 (1935), பக்கம் 219. கீழே உள்ள § 4 இன் அர்த்தத்தில் மறுநிகழ்வு என்ற கருத்து ஜாக் ஹெர்பிராண்ட் மற்றும் கர்ட் கோடல் ஆகியோரால் கூட்டாக உள்ளது, அங்கு விளக்கப்பட்டுள்ளது. இரண்டு கருத்தாக்கங்களின் சமநிலையின் ஆதாரம் முக்கியமாக க்ளீனுக்குக் காரணம், ஆனால் ஓரளவு தற்போதைய எழுத்தாளருக்கும் ஜே. பி. ரோசர். பயனுள்ள கணக்கீடு பற்றிய உள்ளுணர்வு கருத்துடன் இந்த கருத்துக்களை அடையாளம் காணும் முன்மொழிவு முதலில் தற்போதைய காகிதத்தில் செய்யப்படுகிறது (ஆனால் கீழே உள்ள §7 இன் முதல் அடிக்குறிப்பைப் பார்க்கவும்). க்ளீனின் (அமெரிக்கன் ஜர்னல் ஆஃப் மேத்தமேட்டிக்ஸ், 1935) முறைகளின் உதவியுடன், தற்போதைய காகிதத்தின் பரிசீலனைகள், ஒப்பீட்டளவில் சிறிய மாற்றங்களுடன், λ-வரையறையின் அடிப்படையில் முற்றிலும் மேற்கொள்ளப்படலாம், மறுநிகழ்வு என்ற கருத்தை பயன்படுத்தாமல். மறுபுறம், தற்போதைய ஆய்வறிக்கையின் முடிவுகள் பெறப்பட்டதிலிருந்து, க்ளீன் (அவரது வரவிருக்கும் ஆய்வறிக்கையைப் பார்க்கவும், "இயற்கை எண்களின் பொது மறுநிகழ்வு செயல்பாடுகள்") ஒத்த முடிவுகளை λ-வரையறையைப் பயன்படுத்தாமல், மறுபயன்பாட்டின் அடிப்படையில் முழுமையாகப் பெற முடியும் என்பதைக் காட்டியுள்ளார். எவ்வாறாயினும், இத்தகைய இரண்டு பரவலாக வேறுபட்டவை மற்றும் (ஆசிரியரின் கருத்துப்படி) பயனுள்ள கணக்கீட்டின் சமமான இயற்கையான வரையறைகள் சமமாக மாறுகின்றன என்ற உண்மை, அவை இந்த கருத்தின் பொதுவான ஒரு குணாதிசயமாக அமைகின்றன என்று நம்புவதற்கு கீழே சேர்க்கப்பட்ட காரணங்களின் வலிமையை சேர்க்கிறது. அடிக்குறிப்பு 9 பிரிவு §4 மறுசுழற்சி செயல்பாடுகளில் உள்ளதுஃ "9 இந்த வரையறை [" மறுசுழற்சி "] நெருக்கமாக தொடர்புடையது, மேலும் இது மறுசுழற்சி செயல்பாடுகளின் வரையறையால் பரிந்துரைக்கப்பட்டது, இது கர்ட் கோடல், பிரின்ஸ்டன், என். ஜே., 1934 இல் விரிவுரைகளில் முன்மொழியப்பட்டது, மேலும் ஜாக் ஹெர்பிராண்டின் வெளியிடப்படாத ஆலோசனையின் ஒரு பகுதியாக அவரால் பாராட்டப்பட்டது. கோடலில் இருந்து தற்போதைய வரையறை வேறுபடும் முக்கிய அம்சங்கள் எஸ். சி. க்ளீன் காரணமாகும். "இயற்கை எண்களின் பொது மறுநிகழ்வு செயல்பாடுகள்" என்ற தலைப்பில் க்ளீனின் வரவிருக்கும் ஆய்வறிக்கையில், தற்போதைய அர்த்தத்தில் ஒவ்வொரு மறுநிகழ்வு செயல்பாடும் கோடல் (1934) மற்றும் அதற்கு நேர்மாறாக மறுநிகழ்வு ஆகும். "அல்காரிதம்" மற்றும் "பயனுள்ள கணக்கீடு" என்ற கருத்தாக்கத்தின் வரையறைக்கு λ-வரையறை போதுமானதா இல்லையா என்பது குறித்து கோடல் மற்றும் சர்ச்சுக்கு இடையே ஒரு உரையாடல் தேவாலயத்தின் முதன்மை எண் கோட்பாட்டின் தீர்க்கமுடியாத சிக்கல் (1936) என்ற கட்டுரைக்கு சில காலத்திற்கு முன்பு ஏற்பட்டது. சர்ச்சில் (1936), §7 அத்தியாயத்தின் கீழ், பயனுள்ள கணக்கீடு பற்றிய கருத்து, பின்வருவனவற்றைக் குறிப்பிடும் ஒரு அடிக்குறிப்பு 18 ஐ நாம் காண்கிறோம்ஃ "18 பயனுள்ள கணக்கீடு மற்றும் மறுநிகழ்வு ஆகியவற்றுக்கு இடையிலான உறவு பற்றிய கேள்வி (இரண்டு கருத்துக்களை அடையாளம் காண்பதன் மூலம் பதிலளிக்க இங்கே முன்மொழியப்பட்டுள்ளது) ஆசிரியருடன் உரையாடலில் கோடல் எழுப்பினார். பயனுள்ள கணக்கீட்டுத்திறனுக்கும் λ-வரையறைக்கும் இடையிலான உறவு குறித்த தொடர்புடைய கேள்வி முன்பு எழுத்தாளரால் சுயாதீனமாக முன்மொழியப்பட்டது. தேவாலயத்தை "அடையாளம் காண்பது" என்றால்-"அடையாளத்தை நிறுவுவது" அல்ல-மாறாக "ஒரே மாதிரியாக இருக்கச் செய்வது அல்லது ஒரே மாதிரியாக மாறுவது", "ஒன்றுபட்டதாக கருதுவது" (ஆவி, கண்ணோட்டம் அல்லது கொள்கையைப் போல) (vt வடிவம்), மற்றும் (vi வடிவம்) "ஒரே மாதிரியாக இருப்பது அல்லது மாறுவது". "இயற்கையான சட்டமாக" பிந்தைய மற்றும் "பயனுள்ள கணக்கீடு" மறுசுழற்சி என்பது "பயனுள்ள கணக்கீடு" என்பதற்கான போதுமான வரையறையா இல்லையா என்ற போஸ்டின் சந்தேகங்களும், சர்ச்சின் கட்டுரையை வெளியிடுவதும், 1936 ஆம் ஆண்டின் இலையுதிர்காலத்தில் "உளவியல் நம்பகத்தன்மை" உடன் ஒரு "சூத்திரத்தை" முன்மொழிய அவரை ஊக்குவித்ததுஃ ஒரு தொழிலாளி ஒவ்வொரு பெட்டியிலும் உள்ள காகிதத் தாளில் இயந்திரம் போன்ற "பழமையான செயல்களை" நிகழ்த்தும் "இடைவெளிகள் அல்லது பெட்டிகளின் வரிசை" வழியாக நகர்கிறார். தொழிலாளிக்கு "ஒரு நிலையான மாற்ற முடியாத திசைகளின் தொகுப்பு" பொருத்தப்பட்டுள்ளது. ஒவ்வொரு அறிவுறுத்தலும் மூன்று அல்லது நான்கு குறியீடுகளைக் கொண்டுள்ளதுஃ (1) அடையாளம் காணும் முத்திரை/எண், (2) ஒரு செயல்பாடு, (3) அடுத்த அறிவுறுத்தல் ஜி; இருப்பினும், அறிவுறுத்தல் வகை (இ) மற்றும் உறுதிப்பாடு "ஆம்" என்று இருந்தால், பின்னர் அறிவுறுத்தல் ஜி 'இல்லை "அறிவுறுத்தல் என்றால் மற்றது. "பழமையான செயல்கள்" 5 வகைகளில் 1 மட்டுமே உள்ளனஃ (அ) அவர் உள்ள பெட்டியில் காகிதத்தைக் குறிக்கவும் (அல்லது ஏற்கனவே உள்ள ஒரு அடையாளத்தை மிகைப்படுத்தவும்), (ஆ) அடையாளத்தை அழிக்கவும் (அல்லது மிகைப்படுத்தவும்), (இ) ஒரு அறையை வலதுபுறம் நகர்த்தவும், (ஈ) ஒரு அறையை இடதுபுறம் நகர்த்தவும், (ஈ) காகிதம் குறிக்கப்பட்டுள்ளதா அல்லது காலியாக உள்ளதா என்பதைத் தீர்மானிக்கவும். தொழிலாளி தொடக்க அறையில் படி 1 இல் தொடங்கி, அறிவுறுத்தல்கள் அவர்களுக்கு அறிவுறுத்துவதைச் செய்கிறார். (போஸ்ட்-டூரிங் இயந்திரத்தில் மேலும் காண்க.) "உள்ளுணர்வு கோட்பாடுகள்" பற்றிய அறிமுகத்தில் குறிப்பிடப்பட்ட இந்த விஷயம், போஸ்ட் தேவாலயத்தில் ஒரு சக்திவாய்ந்த தாக்குதலை எடுக்க காரணமாக அமைந்ததுஃ "தற்போதைய சூத்திரம் கோடல்-சர்ச் development.7 இன் அர்த்தத்தில் தர்க்கரீதியாக மறுபயன்பாட்டிற்கு சமமாக மாறும் என்று எழுத்தாளர் எதிர்பார்க்கிறார், இருப்பினும், அதன் நோக்கம் ஒரு குறிப்பிட்ட தர்க்கரீதியான ஆற்றலின் அமைப்பை வழங்குவது மட்டுமல்லாமல், அதன் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட துறையில், உளவியல் நம்பகத்தன்மையையும் வழங்குவதாகும். பிந்தைய அர்த்தத்தில் பரந்த மற்றும் பரந்த சூத்திரங்கள் பரிசீலிக்கப்படுகின்றன. மறுபுறம், இவை அனைத்தும் சூத்திரம் 1 க்கு தர்க்கரீதியாக குறைக்கப்படக்கூடியவை என்பதைக் காண்பிப்பதே எங்கள் நோக்கமாக இருக்கும். தற்போதைய தருணத்தில் இந்த முடிவை ஒரு செயல்பாட்டு கருதுகோளாக வழங்குகிறோம். நமது மனதைப் பொறுத்தவரை, பயனுள்ள கணக்கீட்டை recursiveness.8 "(அசல் இடாலிக்ஸ்) 7 [அவர் ஒரு ஆதாரத்திற்கான அணுகுமுறையை வரைகிறார்] 8" Cf. தேவாலயம், பூட்டு. சிட், பிபி. 346, 356-358. உண்மையில் சர்ச் மற்றும் பிறரால் ஏற்கனவே செய்யப்பட்ட பணிகள் இந்த அடையாளத்தை செயல்பாட்டு கருதுகோள் கட்டத்திற்கு அப்பால் கணிசமாக கொண்டு செல்கின்றன. ஆனால் ஒரு வரையறையின் கீழ் இந்த அடையாளத்தை மறைப்பது, ஹோமோ சேபியன்ஸின் கணிதமயமாக்கல் சக்தியின் வரம்புகளில் ஒரு அடிப்படை கண்டுபிடிப்பு செய்யப்பட்டுள்ளது என்ற உண்மையை மறைக்கிறது, மேலும் அதன் தொடர்ச்சியான சரிபார்ப்பின் தேவைக்கு நம்மைக் குருடாக்குகிறது ". வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், போஸ்ட் "நீங்கள் அதை வரையறுத்ததால் அது உண்மையிலேயே அவ்வாறு செய்யவில்லை; உங்கள் வரையறை ஒரு உள்ளுணர்வைத் தவிர வேறு எதையும் அடிப்படையாகக் கொண்டதல்ல" என்று கூறுகிறது. போஸ்ட் ஒரு வரையறையை விட அதிகமாக தேடினார்ஃ "மேற்கண்ட திட்டத்தின் வெற்றி, எங்களைப் பொறுத்தவரை, இந்த கருதுகோளை ஒரு வரையறையாகவோ அல்லது ஒரு கோட்பாடாகவோ மாற்றாது, ஆனால் ஒரு இயற்கை சட்டமாக மாற்றும். அவ்வாறு இருந்தால் மட்டுமே, கோடலின் தேற்றத்தையும், சர்ச்சின் முடிவுகளையும் அனைத்து குறியீட்டு தர்க்கங்கள் மற்றும் தீர்க்கக்கூடிய அனைத்து முறைகள் பற்றிய முடிவுகளாக மாற்ற முடியும் என்று எழுத்தாளருக்குத் தோன்றுகிறது. இந்த சர்ச்சைக்குரிய நிலைப்பாடு ஆலன் டூரிங் 1939 இல் கோபமான வெளிப்பாட்டைக் காண்கிறது, மேலும் இது கோடல், கேண்டி மற்றும் சீக் ஆகியோருடன் மீண்டும் தோன்றும். டூரிங் மற்றும் கணக்கீட்டு திறன் ஏ. எம். டூரிங்கின் கணக்கீட்டு எண்கள் குறித்த ஆய்வுக் கட்டுரை, என்ட்செய்டங்ஸ் சிக்கலுக்கான ஒரு பயன்பாட்டுடன் நவம்பர் 1936 இல் லண்டன் கணித சங்கத்திற்கு வழங்கப்பட்டது. மீண்டும் வாசகர் ஒரு எச்சரிக்கையை மனதில் கொள்ள வேண்டும்ஃ டூரிங் பயன்படுத்தியபடி, "கணினி" என்ற சொல் ஒரு மனிதர், மேலும் அவர் "கம்ப்யூட்டிங்" என்று அழைக்கும் "கணினி" யின் செயல்பாடு; எடுத்துக்காட்டாக, "கம்ப்யூட்டிங் பொதுவாக சில சின்னங்களை காகிதத்தில் எழுதுவதன் மூலம் செய்யப்படுகிறது" (பக்கம் 135). ஆனால் அவர் தனது இயந்திர வரையறையின் பின்னணியில் "கணக்கீடு" என்ற வார்த்தையைப் பயன்படுத்துகிறார், மேலும் "கணக்கிடக்கூடிய" எண்கள் பற்றிய அவரது வரையறை பின்வருமாறுஃ "கணக்கிடக்கூடிய" எண்களை உண்மையான எண்களாக சுருக்கமாக விவரிக்கலாம், அவற்றின் தசம வெளிப்பாடுகள் வரையறுக்கப்பட்ட வழிமுறைகளால் கணக்கிடப்படுகின்றன. எனது வரையறையின்படி, ஒரு எண்ணை அதன் தசமத்தை ஒரு இயந்திரத்தால் எழுத முடிந்தால் கணக்கிட முடியும் ". அவரது "இயந்திரம்" பற்றிய டூரிங்கின் வரையறை என்ன? டூரிங் இரண்டு வரையறைகளை வழங்குகிறார், முதலாவது §1 கம்ப்யூட்டிங் இயந்திரங்களில் சுருக்கமாகவும், மற்றொன்று §9 இல் மிகவும் ஒத்ததாகவும் உள்ளது. அவரது வரையறை §1 ஐப் பொறுத்தவரை, "மனித நினைவாற்றல் அவசியம் குறைவாக உள்ளது என்ற உண்மையில் நியாயப்படுத்துதல் உள்ளது" என்று அவர் கூறுகிறார், மேலும் அவர் "அனைத்தும்" என்ற வார்த்தையைப் பயன்படுத்தி தனது முன்மொழியப்பட்ட இயந்திரத்தின் வழுக்கை வலியுறுத்தலுடன் §1 ஐ முடிக்கிறார் "இந்த செயல்பாடுகள் [நாடா-சதுரத்தில் சின்னத்தை எழுதுங்கள், சின்னத்தை அழிக்கவும், ஒரு சதுரத்தை இடதுபுறம் மாற்றவும், ஒரு சதுரத்தை வலதுபுறம் மாற்றவும், சின்னத்திற்கு சதுரத்தை ஸ்கேன் செய்யவும், ஒரு ஸ்கேன் செய்யப்பட்ட சின்னத்தின் விளைவாக இயந்திர-உள்ளமைவை மாற்றவும்] ஒரு எண்ணின் கணக்கீட்டில் பயன்படுத்தப்படும் அனைத்தையும் உள்ளடக்கியது". மேற்கண்ட அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள ஒரு வார்த்தையின் முக்கியத்துவம் வேண்டுமென்றே உள்ளது. §9. I ஐப் பொறுத்தவரை அவர் இயந்திரத்தை அதிக சதுரங்களை ஆராய அனுமதிக்கிறது; இது ஒரு கணினியின் (நபரின்) செயல்களை வகைப்படுத்துவதாக அவர் கூறும் இந்த அதிக சதுர வகையான நடத்தை ஆகும்ஃ "இயந்திரம் கணினியால் கவனிக்கப்படும் B சதுரங்களுடன் தொடர்புடைய B சதுரங்களை ஸ்கேன் செய்கிறது. எந்த நகர்விலும் இயந்திரம் ஸ்கேன் செய்யப்பட்ட சதுரத்தில் ஒரு சின்னத்தை மாற்றலாம் அல்லது ஸ்கேன் செய்யப்பட்ட சதுரங்களில் ஏதேனும் ஒன்றை ஸ்கேன் செய்யப்பட்ட மற்ற சதுரங்களில் ஒன்றிலிருந்து எல் சதுரங்களுக்கு மிகாமல் மற்றொரு சதுரத்திற்கு மாற்றலாம். இப்போது விவரிக்கப்பட்ட இயந்திரங்கள் §2 [sic] இல் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளபடி கணினி இயந்திரங்களிலிருந்து மிகவும் அடிப்படையில் வேறுபடுவதில்லை, மேலும் இந்த வகை எந்த இயந்திரத்திற்கும் ஒத்த ஒரு கணினி இயந்திரத்தை அதே வரிசையை கணக்கிட கட்டமைக்க முடியும், அதாவது கணினியால் கணக்கிடப்பட்ட வரிசை என்று சொல்லலாம். டூரிங் ஒரு "கணினி இயந்திரத்தை" §2 இல் வரையறுக்கிறார் (i) "ஒரு இயந்திரம்" ("தானியங்கி இயந்திரம்") §1 இல் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளபடி கூடுதல் கட்டுப்பாட்டுடன் (ii): (ii) இது இரண்டு வகையான சின்னங்களை அச்சிடுகிறது-புள்ளிவிவரங்கள் 0 மற்றும் 1-மற்றும் பிற சின்னங்கள். 0 மற்றும் 1 எண்கள் "இயந்திரத்தால் கணக்கிடப்பட்ட வரிசையை" குறிக்கும். மேலும், எண்ணை "கணக்கிடக்கூடியதாக" கருத வேண்டுமா என்பதை வரையறுக்க, இயந்திரம் 0 மற்றும் 1 இன் எல்லையற்ற எண்ணிக்கையை அச்சிட வேண்டும்; இல்லையென்றால் அது "வட்டமாக" கருதப்படுகிறது; இல்லையெனில் அது "வட்டம் இல்லாததாக" கருதப்படுகிறதுஃ "ஒரு வட்டம் இல்லாத இயந்திரத்தால் கணக்கிடப்பட்ட எண்ணிலிருந்து ஒரு முழு எண்ணால் வேறுபட்டால் ஒரு எண் கணக்கிடக்கூடியது". அவர் அதை தனது "ஆய்வறிக்கை" என்று அழைக்கவில்லை என்றாலும், டூரிங் தனது "கணக்கீட்டு திறன்" தேவாலயத்தின் "பயனுள்ள கணக்கீட்டிற்கு" சமம் என்பதற்கான ஆதாரத்தை முன்மொழிகிறார்ஃ "சமீபத்திய ஆய்வறிக்கையில் அலோன்சோ சர்ச்" பயனுள்ள கணக்கீட்டு திறன் "பற்றிய ஒரு யோசனையை அறிமுகப்படுத்தியுள்ளது, இது எனது" கணக்கீட்டிற்கு "சமம், ஆனால் மிகவும் வித்தியாசமாக வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. "கணக்கீட்டு" மற்றும் "பயனுள்ள கணக்கீட்டு" ஆகியவற்றுக்கு இடையிலான சமநிலையின் ஆதாரம் தற்போதைய காகிதத்தின் ஒரு இணைப்பில் கோடிட்டுக் காட்டப்பட்டுள்ளது. பிற்சேர்க்கைஃ கணக்கீடு மற்றும் பயனுள்ள கணக்கீடு பின்வரும் முறையில் தொடங்குகிறது; அவர் இங்கே மறுநிகழ்வைக் குறிப்பிடவில்லை என்பதைக் கவனியுங்கள், உண்மையில் அவரது ஆதார வரைபடத்தில் அவரது இயந்திரம் λ-கால்குலஸ் மற்றும் அவரது இயந்திரத்தின் கால்குலஸ் மஞ்ச் "முழுமையான உள்ளமைவுகளில்" குறியீடுகளின் சரங்களைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் மறுநிகழ்வு எங்கும் குறிப்பிடப்படவில்லை. இயந்திர-கணக்கீட்டு மற்றும் மறுசுழற்சியின் சமநிலையின் ஆதாரம் க்ளீன் 1943 மற்றும் 1952 க்கு காத்திருக்க வேண்டும்ஃ "அனைத்து திறம்பட கணக்கிடக்கூடிய (λ-வரையறுக்கக்கூடிய) வரிசைகளும் கணக்கிடக்கூடியவை மற்றும் அதன் நேர்மாறானவை கீழே கோடிட்டுக் காட்டப்பட்டுள்ளன". கேண்டி (1960) இந்த தைரியமான ஆதார வரைபடத்தை சர்ச்சின் ஆய்வறிக்கையுடன் குழப்புவதாகத் தெரிகிறது; கீழே உள்ள 1960 மற்றும் 1995 ஐப் பார்க்கவும். மேலும், டூரிங்கின் வரையறைகளை கவனமாக வாசிப்பது, §1 இல் உள்ள அவரது முன்மொழியப்பட்ட இயந்திரத்தின் "செயல்பாடுகள்" எந்தவொரு கணக்கிடக்கூடிய எண்ணையும் கணக்கிட போதுமானது என்றும், §9 இல் வழங்கப்பட்டபடி ஒரு மனித "கணினியின்" செயல்பாட்டைப் பின்பற்றும் இயந்திரம் என்றும் டூரிங் வலியுறுத்தியதை வாசகர் கவனிக்க வழிவகுக்கிறது. இந்த கருத்தை 1939இல் டூரிங் மீண்டும் வலியுறுத்துவார். இயந்திரக் கணக்கீட்டுடன் பயனுள்ள கணக்கீட்டை டூரிங் அடையாளம் காட்டுகிறார் ஆலன் டூரிங்கின் பிரம்மாண்டமான பிரின்ஸ்டன் பிஎச்டி ஆய்வறிக்கை (அலோன்சோ சர்ச்சின் கீழ்) சிஸ்டம்ஸ் ஆஃப் லாஜிக் அடிப்படையிலான ஆர்டினல்களாக தோன்றுகிறது. அதில் அவர் "திறம்பட கணக்கிடக்கூடிய" வரையறைக்கான தேடலை சுருக்கமாகக் கூறுகிறார். தடித்த முகப்பில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி அவர் ஒரு வரையறையை முன்மொழிகிறார், இது "இயந்திரக் கணக்கீடு" மற்றும் "திறம்பட கணக்கிடக்கூடிய" கருத்துக்களை குறிப்பாக அடையாளம் காட்டுகிறது (ஒரே மாதிரியாக வழங்குகிறது). "ஒரு செயல்பாட்டை அதன் மதிப்புகளை சில முற்றிலும் இயந்திர செயல்முறையால் கண்டுபிடிக்க முடிந்தால்" திறம்பட கணக்கிடக்கூடியது "என்று கூறப்படுகிறது. இந்த யோசனையைப் பற்றிய உள்ளுணர்வு புரிதலைப் பெறுவது மிகவும் எளிதானது என்றாலும், இன்னும் சில திட்டவட்டமான, கணித ரீதியாக வெளிப்படுத்தக்கூடிய வரையறையைக் கொண்டிருப்பது விரும்பத்தக்கது. அத்தகைய வரையறையை முதன்முதலில் கோடல் 1934 இல் பிரின்ஸ்டனில் வழங்கினார். இந்த செயல்பாடுகள் கோடால் "பொது மறுநிகழ்வு" என்று விவரிக்கப்படுகின்றன. பயனுள்ள கணக்கீட்டின் மற்றொரு வரையறையை சர்ச் வழங்கியுள்ளது. அவர் அதை λ-வரையறையுடன் அடையாளம் காட்டுகிறார். ஆசிரியர் சமீபத்தில் உள்ளுணர்வு யோசனையுடன் மிகவும் நெருக்கமாக தொடர்புடைய ஒரு வரையறையை பரிந்துரைத்துள்ளார் (டூரிங் [1], போஸ்ட்டின் [1] ஐயும் பார்க்கவும்). "ஒரு செயல்பாட்டை அதன் மதிப்புகளை சில முற்றிலும் இயந்திர செயல்முறையால் கண்டுபிடிக்க முடிந்தால் திறம்பட கணக்கிட முடியும்" என்று மேலே கூறப்பட்டது. ஒரு இயந்திரத்தால் மேற்கொள்ளக்கூடிய முற்றிலும் இயந்திர செயல்முறையின் மூலம் புரிந்துகொள்வதன் மூலம் இந்த அறிக்கையை நாம் உண்மையில் எடுத்துக் கொள்ளலாம். இந்த இயந்திரங்களின் கட்டமைப்புகள் குறித்து ஒரு குறிப்பிட்ட இயல்பான வடிவத்தில் கணித விளக்கத்தை வழங்க முடியும். இந்த யோசனைகளின் வளர்ச்சி ஒரு கணக்கிடக்கூடிய செயல்பாட்டைப் பற்றிய ஆசிரியரின் வரையறைக்கும், பயனுள்ள கணக்கீட்டுடன் கணக்கீட்டை அடையாளம் காண்பதற்கும் வழிவகுக்கிறது. இந்த மூன்று வரையறைகளும் சமமானவை என்பதை நிரூபிப்பது சற்றே கடினம் என்றாலும் கடினம் அல்ல. "ஒரு இயந்திரத்தால் கணக்கிடக்கூடிய ஒரு செயல்பாட்டைக் குறிக்க" கணக்கிடக்கூடிய செயல்பாடு "என்ற வெளிப்பாட்டைப் பயன்படுத்துவோம், மேலும் இந்த வரையறைகளில் ஏதேனும் ஒன்றுடன் குறிப்பிட்ட அடையாளம் இல்லாமல் உள்ளுணர்வு யோசனையை" திறம்பட கணக்கிடக்கூடிய "என்று குறிப்பிட அனுமதிக்கிறோம். ஒரு கணக்கிடக்கூடிய செயல்பாட்டால் எடுக்கப்பட்ட மதிப்புகளை இயற்கையான எண்களாக நாம் கட்டுப்படுத்தவில்லை; உதாரணமாக நாம் கணக்கிடக்கூடிய முன்மொழிவு செயல்பாடுகளைக் கொண்டிருக்கலாம். இது ஒரு சக்திவாய்ந்த வெளிப்பாடு. "ஒற்றுமை" என்பது உண்மையில் தேவையான மற்றும் போதுமான நிபந்தனைகளின் ஒரு தெளிவான அறிக்கையாகும், வேறுவிதமாகக் கூறினால், "செயல்பாடு", "இயந்திரம்", "கணக்கிடக்கூடிய" மற்றும் "திறம்பட கணக்கிடக்கூடிய" என்ற சொற்களுக்கு என்ன விளக்கம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது என்பதைத் தவிர "அடையாளத்திற்கு வேறு தற்செயல்கள் எதுவும் இல்லைஃ அனைத்து செயல்பாடுகளுக்கும்ஃ" இந்த செயல்பாடு இயந்திரத்தால் கணக்கிடக்கூடியதாக இருந்தால் "பின்னர்" இந்த செயல்பாடு திறம்பட கணக்கிடக்கூடியது "மற்றும்" இந்த செயல்பாடு திறம்பட கணக்கிடக்கூடியதாக இருந்தால் "பின்னர்" இந்த செயல்பாடு ஒரு இயந்திரத்தால் கணக்கிடக்கூடியது ". ரோசர்ஃ மறுசுழற்சி, λ-கால்குலஸ் மற்றும் டூரிங்-மெஷின் கணக்கீட்டு அடையாளம் J. பி. ரோஸரின் ஆய்வுக் கட்டுரை அன் இன்ஃபார்மல் எக்ஸ்பொசிஷன் ஆஃப் ப்ரூஃப்ஸ் ஆஃப் கோடலின் தேற்றம் மற்றும் சர்ச்சின் தேற்றம் பின்வருமாறு கூறுகிறதுஃ "'பயனுள்ள முறை' இங்கே ஒரு முறையின் சிறப்பு அர்த்தத்தில் பயன்படுத்தப்படுகிறது, அதன் ஒவ்வொரு படியும் துல்லியமாக முன்கூட்டியே தீர்மானிக்கப்படுகிறது, மேலும் இது ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான படிகளில் பதிலை உருவாக்குவது உறுதி. இந்த சிறப்பு அர்த்தத்துடன், தேதி 5 க்கு மூன்று வெவ்வேறு துல்லியமான வரையறைகள் வழங்கப்பட்டுள்ளன. இவற்றில் எளிமையானவை (போஸ்ட் மற்றும் டூரிங் காரணமாக) அடிப்படையில் ஒரு குறிப்பிட்ட சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான ஒரு பயனுள்ள முறை உள்ளது என்று கூறுகிறது, ஒருவர் ஒரு இயந்திரத்தை உருவாக்க முடிந்தால், அது கேள்வியை செருகுவதைத் தவிர மனித தலையீடு இல்லாமல் தொகுப்பின் எந்தவொரு சிக்கலையும் தீர்க்கும். மூன்று வரையறைகளும் சமமானவை, எனவே எது பயன்படுத்தப்படுகிறது என்பது முக்கியமல்ல. மேலும், இவை மூன்றும் சமமானவை என்ற உண்மை எந்தவொரு ஒன்றின் சரியான தன்மைக்கும் மிகவும் வலுவான வாதமாகும். 5 ஒரு வரையறை I இல் தேவாலயத்தால் வழங்கப்படுகிறது. சர்ச் 1936 அடிப்படை எண் கோட்பாட்டின் தீர்க்கமுடியாத சிக்கல்]. மற்றொரு வரையறை ஜாக் ஹெர்பிராண்ட் மற்றும் கர்ட் கோடல் காரணமாகும். இது I, அடிக்குறிப்பு 3, பக்கம் 346 இல் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது. மூன்றாவது வரையறை ஈ. எல். போஸ்ட் மற்றும் ஏ. எம். டூரிங் ஆகியோரால் சற்று வித்தியாசமான இரண்டு வடிவங்களில் சுயாதீனமாக வழங்கப்பட்டது. முதல் இரண்டு வரையறைகளும் I இல் சமமாக நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளன. மூன்றாவது ஏ. எம். டூரிங், கம்ப்யூட்டபிலிட்டி அண்ட் λ-டெஃபினபிலிட்டி [ஜர்னல் ஆஃப் சிம்பாலிக் லாஜிக், தொகுதி] மூலம் முதல் இரண்டுக்கு சமமானது என்று நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. 2 (1937), பக். 153-163] ". க்ளீன் மற்றும் தீஸிஸ் I க்ளீன் ஆகியோர் "பொது மறுநிகழ்வு" செயல்பாடுகள் மற்றும் "பகுதி மறுநிகழ்வு செயல்பாடுகள்" ஆகியவற்றை அவரது ஆய்வறிக்கையான மறுநிகழ்வு முன்கணிப்புகள் மற்றும் அளவீடுகளில் வரையறுக்கிறார்கள். பிரதிநிதித்துவப்படுத்தும் செயல்பாடு, மு-ஆபரேட்டர் போன்றவை அவற்றின் தோற்றத்தை உருவாக்குகின்றன. அவர் §12 அல்காரிதம் கோட்பாடுகளில் தனது புகழ்பெற்ற ஆய்வறிக்கை I ஐக் குறிப்பிடுகிறார், இதை அவர் 1952 இல் சர்ச்சின் ஆய்வறிக்கை என்று அழைத்தார்ஃ "இந்த ஹூரிஸ்டிக் உண்மை, அதே போல் குறியீட்டு அல்காரிதம் செயல்முறைகளின் தன்மை குறித்த சில பிரதிபலிப்புகள், சர்ச் பின்வரும் ஆய்வறிக்கையை குறிப்பிட வழிவகுத்தது. கணினி இயந்திரங்கள் பற்றிய டூரிங்கின் விளக்கத்திலும் இதே ஆய்வறிக்கை மறைமுகமாக உள்ளது. "திஸ்ஸிஸ் I. திறம்பட கணக்கிடக்கூடிய ஒவ்வொரு செயல்பாடும் (திறம்பட தீர்மானிக்கக்கூடிய முன்கணிப்பு) பொதுவான மறுநிகழ்வு ஆகும். திறம்பட கணக்கிடக்கூடிய (திறம்பட தீர்மானிக்கக்கூடிய) வார்த்தையின் துல்லியமான கணித வரையறை தேவைப்படுவதால், இந்த ஆய்வறிக்கையை, ஏற்கனவே ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட கொள்கையுடன் சேர்ந்து, அதன் வரையறையாக எடுத்துக் கொள்ளலாம். ஆய்வறிக்கை ஒரு கருதுகோளின் தன்மையைக் கொண்டுள்ளது-போஸ்ட் மற்றும் சர்ச் 24 வலியுறுத்திய ஒரு புள்ளி. 22 சர்ச் [1] [அடிப்படை எண் கோட்பாட்டின் தீர்க்கமுடியாத சிக்கல்] 23 டூரிங் [1] [கணக்கிடக்கூடிய எண்களில், என்ட்சைடுங்ஸ் பிராப்ளம் (1936)] 24 போஸ்ட் [1, பக்கம் 105], மற்றும் சர்ச் [2] க்ளீனின் சர்ச், டூரிங் மற்றும் சர்ச்-டூரிங் ஆய்வறிக்கைகள் அவரது அத்தியாயம் § 60 இல், க்ளீன் "சர்ச்சின் ஆய்வறிக்கையை" பின்வருமாறு வரையறுக்கிறார்ஃ ". ஹூரிஸ்டிக் சான்றுகள் மற்றும் பிற கருத்தாய்வுகள் சர்ச் 1936 ஐ பின்வரும் ஆய்வறிக்கையை முன்மொழிய வழிவகுத்தன. "திஸ்ஸிஸ் I. திறம்பட கணக்கிடக்கூடிய ஒவ்வொரு செயல்பாடும் (திறம்பட தீர்மானிக்கக்கூடிய முன்கணிப்பு) பொதுவான மறுநிகழ்வு ஆகும். "இந்த ஆய்வறிக்கை டூரிங் 1936-7 மற்றும் போஸ்ட் 1936 ஆல் வடிவமைக்கப்பட்ட ஒரு கணினி இயந்திரத்தின் கருத்தாக்கத்திலும் மறைமுகமாக உள்ளது". பக்கம் 317 இல் அவர் மேற்கண்ட ஆய்வறிக்கையை "சர்ச்சின் ஆய்வறிக்கை" என்று வெளிப்படையாக அழைக்கிறார்ஃ "§ 62. திருச்சபையின் ஆய்வறிக்கை. இந்த மற்றும் அடுத்த அத்தியாயத்தின் முக்கிய நோக்கங்களில் ஒன்று சர்ச்சின் ஆய்வறிக்கைக்கான ஆதாரங்களை முன்வைப்பதாகும் (ஆய்வறிக்கை I § 60). டூரிங்கின் "சூத்திரம்" பற்றி க்ளீன் கூறுகிறார்ஃ "டூரிங்கின் சூத்திரம் எனவே சர்ச்சின் ஆய்வறிக்கையின் (சமமான சொற்களில்) ஒரு சுயாதீனமான அறிக்கையை உருவாக்குகிறது. 1936க்குப் பிந்தைய காலமும் இதே போன்ற ஒரு சூத்திரத்தைக் கொடுத்தது ". டூரிங் காட்டியதை க்ளீன் முன்மொழிகிறார்ஃ "டூரிங்கின் கணக்கிடக்கூடிய செயல்பாடுகள் (1936-1937) என்பது ஒரு வகையான இயந்திரத்தால் கணக்கிடக்கூடியவை, இது அவரது பகுப்பாய்வின்படி, ஒரு மனித கணினி செய்யக்கூடிய அனைத்து வகையான செயல்பாடுகளையும் இனப்பெருக்கம் செய்ய வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது, முன்கூட்டியே ஒதுக்கப்பட்ட அறிவுறுத்தல்களின்படி செயல்படுகிறது". டூரிங்கின் ஆய்வறிக்கையை க்ளீன் பின்வருமாறு வரையறுக்கிறார்ஃ "§70. டூரிங்கின் ஆய்வறிக்கை. டூரிங்கின் ஆய்வறிக்கை, அவரது வரையறையின் கீழ் இயற்கையாகவே கணக்கிடக்கூடியதாகக் கருதப்படும் ஒவ்வொரு செயல்பாடும், அதாவது அவரது இயந்திரங்களில் ஒன்றின் மூலம், தேற்றம் XXX இன் சர்ச்சின் ஆய்வறிக்கைக்கு சமம். உண்மையில் இந்த கூற்றுக்கு சற்று முன்பு, க்ளீன் XXX தேற்றத்தை இவ்வாறு குறிப்பிடுகிறார்ஃ "தேற்றம் XXX (= தேற்றங்கள் XXVIII + XXIX). பகுதி சார்புகளின் பின்வரும் வகுப்புகள் இணை விரிவாக்கம் கொண்டவை, அதாவது. ஒரே உறுப்பினர்களைக் கொண்டுள்ளனஃ (அ) பகுதி மறுநிகழ்வு செயல்பாடுகள், (ஆ) கணக்கிடக்கூடிய செயல்பாடுகள், (இ) 1/1 கணக்கிடக்கூடிய செயல்பாடுகள். இதேபோல் l [சிறிய-வழக்கு L] உடன் முழுமையாக வரையறுக்கப்பட்ட அனுமானிக்கப்பட்ட செயல்பாடுகள் ேட்சி ". கோடல், டூரிங் இயந்திரங்கள் மற்றும் திறம்பட கணக்கிடுதல் முறைப்படி தீர்மானிக்க முடியாத முன்மொழிவுகள் குறித்த அவரது 1931 கட்டுரையில், கோடல் 28 ஆகஸ்ட் 1963 அன்று ஒரு குறிப்பைச் சேர்த்தார், இது "ஒரு முறையான அமைப்பு" என்பதன் மாற்று வடிவங்கள்/வெளிப்பாடு பற்றிய அவரது கருத்தை தெளிவுபடுத்துகிறது. 1964 இல் அவர் தனது கருத்துக்களை இன்னும் தெளிவாக மீண்டும் வலியுறுத்துகிறார் (கீழே காண்க): "குறிப்பு ஆகஸ்ட் 28,1963 இல் சேர்க்கப்பட்டது. பிற்கால முன்னேற்றங்களின் விளைவாக, குறிப்பாக ஏ. எம். டூரிங்கின் பணி 69 காரணமாக முறையான அமைப்பு 70 இன் பொதுவான கருத்தின் துல்லியமான மற்றும் சந்தேகத்திற்கு இடமின்றி போதுமான வரையறையை இப்போது கொடுக்க முடியும் என்ற உண்மையின் காரணமாக, கோட்பாடுகள் VI மற்றும் XI இன் முற்றிலும் பொதுவான பதிப்பு இப்போது சாத்தியமாகும். அதாவது, ஒரு குறிப்பிட்ட அளவு ஃபைனிட்டரி எண் கோட்பாட்டைக் கொண்ட ஒவ்வொரு நிலையான முறையான அமைப்பிலும் தீர்மானிக்க முடியாத எண்கணித முன்மொழிவுகள் உள்ளன என்பதையும், மேலும், அத்தகைய எந்த அமைப்பின் நிலைத்தன்மையையும் அமைப்பில் நிரூபிக்க முடியாது என்பதையும் கடுமையாக நிரூபிக்க முடியும். "69 பார்க்கவும், பக்கம் 249. "70 எனது கருத்துப்படி," முறையான அமைப்பு "அல்லது" சம்பிரதாயவாதம் "என்ற சொல் இந்த கருத்தைத் தவிர வேறு எதற்கும் பயன்படுத்தப்படக்கூடாது. பிரின்ஸ்டனில் ஒரு சொற்பொழிவில் (பிரின்ஸ்டன் பல்கலைக்கழகம் 1946 இல் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது, பக்கம் 11 [டேவிஸ் 1965, பக்கங்களைப் பார்க்கவும். 84-88 [அதாவது. டேவிஸ் பி. 84-88]), சம்பிரதாயங்களின் சில எல்லையற்ற பொதுமைப்படுத்தல்களை நான் பரிந்துரைத்தேன், ஆனால் இவை முறையான அமைப்புகளிலிருந்து சரியான அர்த்தத்தில் முற்றிலும் வேறுபட்டவை, அவற்றின் சிறப்பியல்பு பண்பு என்னவென்றால், அவற்றில் உள்ள பகுத்தறிவு, கொள்கையளவில், இயந்திர சாதனங்களால் முழுமையாக மாற்றப்படலாம் ". கோடல் 1964-கோடலின் போஸ்ட்ஸ்கிரிப்டத்தில் 1934 ஆம் ஆண்டு பிரின்ஸ்டனில் உள்ள ஐ. ஏ. எஸ். இல் தனது சொற்பொழிவு குறிப்புகளுக்கு, அவர் மீண்டும் கூறுகிறார், ஆனால் இன்னும் தைரியமான சொற்களில் மீண்டும் வலியுறுத்துகிறார், தேவாலயத்தின் λ-வரையறை மற்றும் மறுநிகழ்வால் வரையறுக்கப்பட்டபடி கணக்கீட்டின் செயல்திறன் பற்றிய அவரது குறைவான ஒளிரும் கருத்தை (பின்வருவனவற்றில் பன்மை "வரையறைகளைப்" பயன்படுத்தியதால் இரண்டும் இழிவுபடுத்தப்படுகின்றன என்பதை நாம் ஊகிக்க வேண்டும்). இது மார்ட்டின் டேவிஸுக்கு எழுதிய கடிதத்தில் இருந்தது (அநேகமாக அவர் தி அன்டெசிடிபிளைத் திரட்டிக்கொண்டிருந்ததால்). சில சொற்றொடர்களை மீண்டும் கூறுவது வியக்க வைக்கிறதுஃ "பிற்கால முன்னேற்றங்களின் விளைவாக, குறிப்பாக, ஏ. எம். டூரிங்கின் பணி காரணமாக, முறையான அமைப்பின் பொதுவான கருத்தாக்கத்தின் துல்லியமான மற்றும் சந்தேகத்திற்கு இடமின்றி போதுமான வரையறையை இப்போது கொடுக்க முடியும், தீர்மானிக்க முடியாத எண்கணித முன்மொழிவுகளின் இருப்பு மற்றும் அதே அமைப்பில் ஒரு அமைப்பின் நிலைத்தன்மையின் தெளிவற்ற தன்மை ஆகியவை ஒரு குறிப்பிட்ட அளவு இறுதியான எண் கோட்பாட்டைக் கொண்ட ஒவ்வொரு நிலையான முறையான அமைப்பிற்கும் இப்போது கடுமையாக நிரூபிக்க முடியும். "டூரிங்கின் பணி" இயந்திர செயல்முறை "(அலியாஸ்" வழிமுறை "அல்லது" கணக்கீட்டு நடைமுறை "அல்லது" வரையறுக்கப்பட்ட ஒருங்கிணைந்த செயல்முறை ") என்ற கருத்தை பகுப்பாய்வு செய்கிறது. இந்த கருத்து ஒரு "டூரிங் இயந்திரத்திற்கு" சமமானதாக காட்டப்பட்டுள்ளது. ஒரு முறையான அமைப்பை வெறுமனே நிரூபிக்கக்கூடிய சூத்திரங்கள் என்று அழைக்கப்படும் சூத்திரங்களை உற்பத்தி செய்வதற்கான எந்தவொரு இயந்திர செயல்முறையாகவும் வரையறுக்கலாம். முறையான அமைப்பின் கருத்து, அதன் சாராம்சம் என்னவென்றால், தர்க்கம் முற்றிலும் சூத்திரங்களில் இயந்திர செயல்பாடுகளால் மாற்றப்படுகிறது. (எந்தவொரு வழிமுறையுடனும் சமமாக இல்லாத வரையறுக்கப்பட்ட இயந்திரமற்ற நடைமுறைகள் உள்ளனவா என்ற கேள்வி, "முறையான அமைப்பு" மற்றும் "இயந்திர செயல்முறை" ஆகியவற்றின் வரையறையின் போதுமான தன்மையுடன் எந்த தொடர்பும் இல்லை என்பதை நினைவில் கொள்க. "" "வரையறுக்கப்பட்ட செயல்முறை" "என்பது" "இயந்திர செயல்முறை" "என்று புரிந்து கொள்ளப்பட்டால், அடிக்குறிப்பு 3 இல் எழுப்பப்பட்ட கேள்விக்கு §9 இல் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளபடி மறுநிகழ்வுக்கு உறுதியுடன் பதிலளிக்க முடியும், இது இன்று வரையறுக்கப்பட்டுள்ளபடி பொதுவான மறுநிகழ்வுக்கு சமம் (எஸ். சி. க்ளீன் (1936 ஐப் பார்க்கவும்)". கணக்கீட்டின் முந்தைய சமமான வரையறைகளைப் பொறுத்தவரை, அவை நமது நோக்கத்திற்கு மிகவும் குறைவாகவே பொருத்தமானவை, A ஐப் பார்க்கவும். சர்ச் 1936. அடிக்குறிப்பு 3 1934 சொற்பொழிவில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளதுஃ "3 திட்டத்தின்படி மறுசுழற்சிகளைத் தவிர (2) மற்ற வடிவங்களின் மறுசுழற்சிகள் (எ. கா., ஒரே நேரத்தில் இரண்டு மாறிகளைப் பொறுத்தவரை) அனுமதிக்கப்பட்டால், எதிர் உண்மை என்று தோன்றுகிறது. இதை நிரூபிக்க முடியாது, ஏனெனில் வரையறுக்கப்பட்ட கணக்கீட்டு கருத்து வரையறுக்கப்படவில்லை, ஆனால் இது ஒரு ஹூரிஸ்டிக் கொள்கையாக செயல்படுகிறது ". டேவிஸ் "உண்மையில் அவரது [கோடலின்] வரையறைக்கும் [மறுபயன்பாடு] மற்றும் க்ளீனின் [1936] வரையறைக்கும் இடையிலான சமநிலை மிகவும் அற்பமானது அல்ல" என்று கவனிக்கிறார். எனவே, இதற்கு நேர்மாறாகத் தோன்றினாலும், இந்த விரிவுரைகளின் அடிக்குறிப்பு 3 தேவாலயத்தின் ஆய்வறிக்கையின் அறிக்கை அல்ல ". கேண்டிஃ "இயந்திரக் கணக்கீடு", தனித்துவமான, தீர்மானகரமான, மற்றும் ஒளி வேகத்தால் "உள்ளூர் காரணத்திற்கு" மட்டுப்படுத்தப்பட்ட ராபின் கேண்டியின் செல்வாக்குமிக்க கட்டுரை சர்ச்சின் ஆய்வறிக்கை மற்றும் பொறிமுறைகளுக்கான கோட்பாடுகள் என்ற தலைப்பில் பார்வைஸ் மற்றும் பலர். பின்வருமாறு வடிவமைக்கப்பட்ட சர்ச்சின் ஆய்வறிக்கையின் சாத்தியமற்ற வெளிப்பாட்டுடன் கேண்டி தொடங்குகிறார்ஃ "1. "இந்த கட்டுரை முழுவதும் உள்ளுணர்வாக கொடுக்கப்பட்ட சில கருத்துக்களைக் குறிக்க" கணக்கிடக்கூடிய "மற்றும்" ஒரு டூரிங் இயந்திரத்தால் கணக்கிடக்கூடிய "என்று பொருள்படும்" கணக்கிடக்கூடிய "ஆகியவற்றைப் பயன்படுத்துவோம்; நிச்சயமாக" கணக்கிடக்கூடிய "என்பதற்கான பல சமமான வரையறைகள் இப்போது கிடைக்கின்றன. "திருச்சபையின் ஆய்வறிக்கை. திறம்பட கணக்கிடக்கூடியது கணக்கிடக்கூடியது ". . சில இயந்திர உதவிகளைப் (காகிதம் மற்றும் பென்சில் போன்றவை) பயன்படுத்தி ஒரு சுருக்கமான மனிதனின் கணக்கீட்டை சர்ச் மற்றும் டூரிங் இருவரும் மனதில் வைத்திருந்தனர் "ராபர்ட் சோரே (1995, கீழே காண்க) இந்த கட்டமைப்பில் சிக்கல்களைக் கொண்டிருந்தார், டூரிங்கின்" பின் இணைப்பு ஆதாரம் "(1937) க்கு முன்பு வெளியிடப்பட்ட சர்ச்சின் காகிதத்தை (1936) கருத்தில் கொண்டு. கேண்டி "இயந்திர செயல்முறைகளை பகுப்பாய்வு செய்ய முயற்சிக்கிறார், எனவே பின்வருவனவற்றிற்கான வாதங்களை வழங்குகிறார்ஃ" ஆய்வறிக்கை எம். ஒரு இயந்திரத்தால் கணக்கிடக்கூடியது கணக்கிடக்கூடியது ". கேண்டி "அடிப்படையில் அனலாக் இயந்திரங்களாக இருக்கும் பரிசீலனை சாதனங்களிலிருந்து [களை] விலக்குகிறது. இயந்திர சாதனங்களைப் பற்றி செய்யப்பட்ட ஒரே இயற்பியல் முன்மொழிவுகள் (கீழே உள்ள Cf கோட்பாடு IV) சாதனத்தின் ஒவ்வொரு அணு பகுதியின் நேரியல் பரிமாணங்களிலும் குறைந்த வரம்பு உள்ளது மற்றும் மாற்றத்தின் பரவலின் வேகத்தில் ஒரு மேல் வரம்பு (ஒளியின் திசைவேகம்) உள்ளது". ஆனால் பின்னர் அவர் தனது இயந்திரங்களை மேலும் கட்டுப்படுத்துகிறார்ஃ "(2) இரண்டாவதாக, ஒரு இயந்திர சாதனத்தின் மூலம் கணக்கீட்டின் முன்னேற்றம் தனித்துவமான சொற்களில் விவரிக்கப்படலாம் என்று நாம் கருதுகிறோம், இதனால் கருதப்படும் சாதனங்கள், ஒரு தளர்வான அர்த்தத்தில், டிஜிட்டல் கணினிகள். (3) கடைசியாக, சாதனம் தீர்மானகரமானது என்று நாம் கருதுகிறோம்ஃ அதாவது, சாதனத்தின் ஆரம்ப நிலை பற்றிய முழுமையான விளக்கம் கொடுக்கப்பட்டவுடன் அதன் அடுத்தடுத்த நடத்தை தனித்துவமாக தீர்மானிக்கப்படுகிறது. உண்மையில் இந்த "கோட்பாடு எம்" க்கு அவர் ஒரு வாதத்தை முன்வைக்கிறார், அவர் தனது "தேற்றம்" என்று அழைக்கிறார், அதில் மிக முக்கியமான "கொள்கை" என்பது "கொள்கை IV: உள்ளூர் காரணத்தின் கொள்கை": "இப்போது நாம் நமது கொள்கைகளில் மிக முக்கியமானதற்கு வருவோம். டூரிங்கின் பகுப்பாய்வில், நடவடிக்கை என்பது பதிவின் வரம்புக்குட்பட்ட பகுதியை மட்டுமே சார்ந்திருக்க வேண்டும் என்ற தேவை மனித வரம்பை அடிப்படையாகக் கொண்டது. இதை ஒரு இயற்பியல் வரம்பால் மாற்றுகிறோம், இது உள்ளூர் காரணத்தின் கொள்கை என்று அழைக்கப்படுகிறது. அதன் நியாயப்படுத்தல் விளைவுகள் மற்றும் சமிக்ஞைகளின் பரவலின் வரையறுக்கப்பட்ட வேகத்தில் உள்ளதுஃ சமகால இயற்பியல் தூரத்தில் உடனடி நடவடிக்கையின் சாத்தியத்தை நிராகரிக்கிறது. 1985 ஆம் ஆண்டில் "தீஸிஸ் எம்" குவாண்டம் டூரிங் இயந்திரத்திற்கு மாற்றியமைக்கப்பட்டது, இதன் விளைவாக சர்ச்-டூரிங்-டாய்ச் கொள்கை உருவானது. சோரே சோரேயின் கணக்கீடு மற்றும் மறுசுழற்சி பற்றிய முழுமையான ஆய்வு தோன்றுகிறது. "மிகவும் குறைவான பொருத்தமான" கணக்கீட்டு வரையறையைப் பொறுத்தவரை கோடலின் 1964 கருத்தை (மேலே) அவர் மேற்கோள் காட்டுகிறார், மேலும் மேலும் கூறுகிறார்ஃ "க்ளீன் எழுதினார் [1981பி, பக்கம் 49]," டூரிங்கின் கணக்கீட்டு தன்மை உள்ளார்ந்த முறையில் இணக்கமானது "ஆனால்" λ-வரையறை உள்ளார்ந்த முறையில் நம்பத்தகுந்ததாக இல்லை "மற்றும்" பொதுவான மறுபயன்பாடு அரிதாகவே உள்ளது (அதன் ஆசிரியர் கோடல் அந்த நேரத்தில் நம்பவில்லை). இன்று பெரும்பாலான மக்கள் டூரிங்கின் ஆய்வறிக்கையை ஏற்றுக்கொள்கிறார்கள் "சோரேயின் அடிக்குறிப்பு 7 (1995) கேண்டியின்" குழப்பத்தை "பிடிக்கிறது, ஆனால் வெளிப்படையாக அது கேண்டி (1988) வரை தொடர்கிறது. இந்த குழப்பம் ஆராய்ச்சி மற்றும்/அல்லது சிந்தனையின் கடுமையான பிழையைக் குறிக்கிறது மற்றும் அவரது முழு திட்டத்திலும் ஒரு மேகமாக உள்ளதுஃ "7 கேண்டி உண்மையில்" சர்ச்சின் ஆய்வறிக்கையை "இங்கே எழுதப்பட்டபடி" டூரிங்கின் ஆய்வறிக்கை "அல்ல, ஆனால் நிச்சயமாக கேண்டி பிந்தையதைக் குறிக்கிறார், குறைந்தபட்சம் உள்நோக்கத்துடன், ஏனெனில் டூரிங் 1936 இல் அல்லது பொது மறுநிகழ்வு செயல்பாடுகளைப் பற்றி வேறு எங்கும் எதையும் நிரூபிக்கவில்லை". பிரெகர் மற்றும் மறைமுக கோட்பாடுகளின் சிக்கல் ஒருவர் ஒரு கருத்தை "கோட்பாட்டளவில்" அணுகும்போது ஒரு சிக்கலை சுட்டிக்காட்டுகிறார், அதாவது, ஒரு "கோட்பாட்டு அமைப்பு" அதில் ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட மறைமுக கோட்பாடுகளை உட்பொதித்திருக்கலாம், அவை கோட்பாட்டு தொகுப்பு வழங்கப்படும் போது பேசப்படுவதில்லை. எடுத்துக்காட்டாக, அறிவு (மற்றும் திறன்) கொண்ட ஒரு செயலில் உள்ள முகவர் எந்தவொரு கோட்பாட்டு அமைப்பிலும் ஒரு (சாத்தியமான) அடிப்படை கோட்பாடாக இருக்கலாம்ஃ "ஒரு மனிதனின் அறிவு எப்படி அவசியம்-கோட்பாடுகளில் முறைப்படுத்தப்படாத ஒரு அறிவு. Â. குறியீடுகளுடன் கூடிய அறிவை கொண்ட ஒரு மனிதர் இல்லாமல் குறியீடுகளின் முற்றிலும் முறையான அமைப்பாக கணிதம் சாத்தியமற்றது "என்று அவர் ஹில்பர்ட்டை மேற்கோள் காட்டுகிறார்ஃ" 1905 இல் வழங்கப்பட்ட ஒரு பல்கலைக்கழக சொற்பொழிவில், ஹில்பர்ட் தர்க்கத்தில் கோட்பாடுகளைக் குறிப்பிடுவதற்கு முன்பு "சிந்தனையின் கோட்பாடு" அல்லது "ஒரு நுண்ணறிவின் இருப்பின் கோட்பாடு" இருப்பது "முற்றிலும் அவசியம்" என்று கருதினார். ஸ்கிரிப்ட்டின் விளிம்பில், ஹில்பர்ட் பின்னர் மேலும் கூறினார்ஃ "தத்துவவாதிகளின் முன்னுரிமை". அவர் இந்த கோட்பாட்டை பின்வருமாறு வகுத்தார்ஃ "பொருட்களைப் பற்றி சிந்திக்கும் திறன் எனக்கு உள்ளது, மேலும் அவற்றை a, b,., x, y, போன்ற எளிய சின்னங்கள் மூலம் குறிக்கும் திறன் எனக்கு உள்ளது, இதனால் அவற்றை சந்தேகத்திற்கு இடமின்றி அடையாளம் காண முடியும். எனது சிந்தனை சில விதிகளின்படி இந்த பொருட்களுடன் ஒரு குறிப்பிட்ட வழியில் செயல்படுகிறது, மேலும் இந்த விதிகளை என்னைக் கவனிப்பதன் மூலமும், இந்த விதிகளை முழுமையாக விவரிப்பதன் மூலமும் இந்த விதிகளைக் கண்டறிய முடியும் "[(ஹில்பர்ட் 1905,219); மேலும் காண்க (பெக்காஸ் 1990,62 எஃப் மற்றும் 227)]. கியூசெப் வெரோனீஸ் (1891) மற்றும் ஹெர்மன் வெயில் (1930-1) ஆகியோரின் உதாரணங்களுடன் பிரெகர் தனது வாதத்தை மேலும் ஆதரிக்கிறார். அவர் ஒரு குறிப்பிட்ட மொழியில் ஒரு கோட்பாட்டு தொகுப்பின் வெளிப்பாட்டின் சிக்கலைப் பற்றி விவாதிக்கிறார்ஃ அதாவது. முகவரியால் அறியப்பட்ட மொழி, எ. கா. ஜெர்மன். அல்காரிதம் குணாதிசயங்களில் இதைப் பற்றி மேலும் காண்க, குறிப்பாக எந்தவொரு கணக்கீட்டிற்கும் வெளியே பயன்படுத்தப்படும் சின்னங்களுக்கு அர்த்தம் தரும் ஒரு பார்வையாளர் இருக்க வேண்டும் என்ற சியர்லின் கருத்து. "ஃபெஃபெர்ஃபெஸ்டில்"-சாலமன் ஃபெஃபெர்மனின் 70 வது பிறந்த நாள்-வில்ஃபிரைட் சீக் முதன்முதலில் இரண்டு ஆண்டுகளுக்கு முன்பு எழுதப்பட்ட ஒரு கட்டுரையை "மனிதனும் இயந்திரமும் கணக்கீடுகள்ஃ கருத்தியல் பகுப்பாய்வு" என்ற தலைப்பில் வழங்குகிறார், இது (சீக் மற்றும் பலர். 2002:390-409). முன்னதாக சீக் "இயந்திர நடைமுறைகள் மற்றும் கணித அனுபவத்தை" வெளியிட்டார் (ஜார்ஜ் 1994, பக்கம் 71எஃப்) ரிச்சர்ட் டெடெகிண்டில் தொடங்கி 1950 களில் ஆலன் டூரிங் மற்றும் ஸ்டீபன் கோல் க்ளீனின் பிற்கால ஆவணங்களுடன் முடிவடைந்த "கணக்கீட்டு" வரலாற்றை முன்வைத்தார். ஃபெஃபெர்ஃபெஸ்ட் காகிதம் முந்தைய காகிதத்தை அதன் முக்கிய புள்ளிகளுக்கு வடிகட்டுகிறது மற்றும் முதன்மையாக ராபின் காண்டியின் 1980 ஆம் ஆண்டின் காகிதத்தில் உள்ளது. டூரிங்கின் "ஸ்ட்ரிங் மெஷின் மூலம் கணக்கிடும் திறன்" (மனித "கம்ப்யூட்டர்") கேண்டியின் இணையான இயந்திரங்களுக்கு "லெட்டர் மெஷின் மூலம் கணக்கிடும் திறன்" என்ற பொறிமுறையாக குறைக்கப்பட்டுள்ளது. "கொல்மோகோரோவ் மற்றும் உஸ்பென்ஸ்கியின் வழிமுறைகள் குறித்த பணி" மற்றும் (டி பிசாபியா 2000), குறிப்பாக, கே. யூ-பாயிண்டர் இயந்திர மாதிரி), மற்றும் செயற்கை நரம்பியல் நெட்வொர்க்குகள் உள்ளிட்ட சமீபத்திய படைப்புகளை சீக் மேற்கோள் காட்டுகிறார், மேலும் வலியுறுத்துகிறார்ஃ "டூரிங்கின் ஆய்வறிக்கையின் (பொதுவாக எடுக்கப்பட்ட) சரியான தன்மை இரண்டு தூண்களில் உள்ளது என்பதை அங்கீகரிக்க முறைசாரா கருத்தியல் பகுப்பாய்வு மற்றும் கணித சமநிலை ஆதாரத்தைப் பிரிப்பது அவசியம்; அதாவது கணினிகளுக்கான வரம்புகள் மற்றும் இருப்பிட நிலைமைகளின் சரியான தன்மை மற்றும் பொருத்தமான மைய ஆய்வறிக்கையின் சரியான தன்மை ஆகியவற்றில். ஒரு கணினியின் கணக்கீடுகளை ஒரு குறிப்பிட்ட வகையான இயந்திரத்தால் நேரடியாகப் பிரதிபலிக்க முடியும் என்று பிந்தையது வெளிப்படையாக வலியுறுத்துகிறது. பகுப்பாய்வு வாதத்தின் இந்த வரியை ஒருவர் திருப்திகரமாகக் கண்டாலும், இரண்டு பலவீனமான புள்ளிகள் உள்ளனஃ கட்டுப்பாட்டு நிபந்தனைகளின் தளர்வு (குறியீட்டு உள்ளமைவுகள் என்றால் என்ன? இயந்திர செயல்பாடுகளில் என்ன மாற்றங்கள் ஏற்படலாம்?) மற்றும் மத்திய ஆய்வறிக்கையின் தொடர்புடைய தெளிவற்ற தன்மை. நாம் எப்படி மாறினாலும், முறைப்படி இன்னும் திருப்தியற்ற நிலையில் இருக்கிறோம். "என்று பதிவிட்டுள்ளார். அவர் "மிகவும் திருப்திகரமான நிலைப்பாட்டை நோக்கி அடியெடுத்து வைக்கிறார். குறிப்பிட்ட வகையான உள்ளமைவுகள் மற்றும் செயல்பாடுகளிலிருந்து மேலும் விலகிச் செல்வதன் மூலம்". "டூரிங் இயந்திரங்களின் கணக்கீடுகளை பகுப்பாய்வு செய்ததாக அடிக்கடி கூறப்படுகிறது. இது வரலாற்று ரீதியாகவும் முறையாகவும் துல்லியமற்றது, ஏனெனில் எனது விளக்கம் மிகவும் தெளிவுபடுத்தப்பட்டிருக்க வேண்டும். 1980 ஆம் ஆண்டில் மட்டுமே டூரிங்கின் மாணவரான ராபின் கேண்டி இயந்திரக் கணக்கீடுகளை வகைப்படுத்தினார். மேற்கண்ட கூற்று உண்மையா இல்லையா என்பது வாசகருக்கு சிந்திக்க விடப்படுகிறது. கேண்டியின் பகுப்பாய்வை சீக் விவரிக்கிறார் (மேலே 1980 ஐப் பார்க்கவும்). அவ்வாறு செய்வதன் மூலம் அவர் "கேண்டி இயந்திரங்கள்" என்று அழைப்பதை முறைப்படுத்த முயற்சிக்கிறார் (ஒரு பிற்சேர்க்கையில் விரிவான பகுப்பாய்வுடன்). கேண்டி இயந்திரங்களைப் பற்றிஃ ". கேண்டி இயந்திரத்தின் வரையறை என்பது ஒரு சுருக்கமான கணித வரையறையாகும், இது இணையான கணக்கீடுகளின் பண்புகளை உள்ளடக்கியது. இரண்டாவதாக, கேண்டி இயந்திரங்கள் குழுக்கள் மற்றும் இடவியல் இடைவெளிகளுடன் சுருக்கமான கோட்பாட்டு வரையறைகளின் பொதுவான அம்சத்தைப் பகிர்ந்து கொள்கின்றன, அதாவது அவை பல்வேறு வகையான வெவ்வேறு விளக்கங்களை ஏற்றுக்கொள்கின்றன. மூன்றாவதாக, எந்தவொரு கேண்டி இயந்திரத்தின் கணக்கீடுகளையும் ஒரு எழுத்து இயந்திரத்தால் உருவகப்படுத்தலாம், [மேலும்] இது தன்னியக்க கருத்துக்கான பிரதிநிதித்துவ தேற்றமாக நன்கு புரிந்து கொள்ளப்படுகிறது. [போல்ட்ஃபேஸ் சேர்க்கப்பட்டது] "தன்னியக்க அணுகுமுறை கணக்கீட்டு செயல்முறைகளின் அத்தியாவசிய தன்மையை ஒரு சுருக்கமான வழியில் பிடிக்கிறது. நான் விவரிக்கும் இரண்டு வகையான கால்குலேட்டர்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு, டூரிங் கம்ப்யூட்டர்கள் ஒரு நிலையின் ஒரு வரம்புக்குட்பட்ட பகுதியை மாற்றியமைக்கின்றன, அதேசமயம் கேண்டி இயந்திரங்கள் தன்னிச்சையாக பல வரம்புக்குட்பட்ட பகுதிகளில் இணையாக செயல்படுகின்றன. பிரதிநிதித்துவ கோட்பாடுகள் கோட்பாட்டின் மாதிரிகள் அவற்றின் எழுத்து வகைகளில் டூரிங் இயந்திரங்களுக்கு சமமானவை என்று உத்தரவாதம் அளிக்கின்றன. குறிப்புகள் பார்வைஸ், ஜான், எச். ஜே. கெய்ஸ்லர், மற்றும் கே. குனென், எடிட்டர்ஸ், 1980, தி க்ளீன் சிம்போசியம், 426 பக்கங்கள், நார்த்-ஹாலண்ட் பப்ளிஷிங் கம்பெனி, ஆம்ஸ்டர்டாம், சர்ச், ஏ., 1936ஏ, இன் (டேவிஸ் 1965:88 எஃப்எஃப்), "அடிப்படை எண் கோட்பாட்டின் தீர்க்கமுடியாத சிக்கல்" சர்ச், ஏ., 1936பி, இன் (டேவிஸ் 1965:108 எஃப்எஃப்), "என்ட்ஷீடங்ஸ் சிக்கல் குறித்த குறிப்பு" சர்ச், ஏ., 1938, ஆக்கபூர்வமான இரண்டாவது எண் வகுப்பு, புல். அமீர். கணிதம். சொ. வால்யூ. 44, எண் 4,1938, பக். டேவிஸ், மார்ட்டின் எடிட்டர், 1965, தி அன்டிசிடிபிள், பேசிக் பேப்பர்ஸ் ஆன் அன்டிசிடிபிள் பிரபோசிஷன்ஸ், அன்சால்வபிள் பிராப்ளம்ஸ் அண்ட் கம்ப்யூட்டபிள் ஃபங்ஷன்ஸ், ரேவன் பிரஸ், நியூயார்க். இந்த கட்டுரையில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ள கோடல், சர்ச், டூரிங், ரோசர், க்ளீன் மற்றும் போஸ்ட் உள்ளிட்ட அனைத்து அசல் ஆவணங்களும் இங்கே உள்ளன. டேவிஸின் மதிப்புமிக்க வர்ணனை பெரும்பாலான ஆவணங்களுக்கு முன்னுரிமை அளிக்கிறது. டேவிஸ், மார்ட்டின், 2001, என்ஜின்ஸ் ஆஃப் லாஜிக்ஃ கணிதவியலாளர்கள் மற்றும் கணினியின் தோற்றம், டபிள்யூ. டபிள்யூ. நார்டன் & கம்பெனி, நியூயார்க், பிபிகே. டாசன், ஜான் வில்லியம், ஜூனியர், 1997, லாஜிக்கல் டிலேமாஸ்ஃ தி லைஃப் அண்ட் வொர்க் ஆஃப் கர்ட் கோடல், 361 பக்கங்கள், ஏ. கே. பீட்டர்ஸ், வெல்லெஸ்லி, எம்ஏ, QA29.058D39. டாசன், ஜான் வில்லியம் மற்றும் ஜான் வில்லியம் டாசன், ஜூனியர், 2005, லாஜிக்கல் டிலேமாஸ்ஃ தி லைஃப் அண்ட் வொர்க் ஆஃப் கர்ட் கோடல், 362 பக்கங்கள், ஏ. கே. பீட்டர்ஸ், வெல்லெஸ்லி, எம்ஏ, டி பிசாபியா, என், 2000, கேண்டி மெஷின்ஸ்ஃ டூரிங் மெஷின்கள், கேம் ஆஃப் லைஃப் மற்றும் செயற்கை நரம்பியல் நெட்வொர்க்குகளுக்கான இணையான கணக்கீட்டின் ஒரு சுருக்க மாதிரி, எம். எஸ். ஆய்வறிக்கை, கார்னகி மெலன் பல்கலைக்கழகம், பிட்ஸ்பர்க். டெர்ஷோவிட்ஸ், நாச்சும் மற்றும் குரெவிச், யூரி, 2007, தேவாலயத்தின் ஆய்வறிக்கையின் இயற்கையான கோட்பாடு, http://research.microsoft.com ~ குரெவிச்/ஓபரா/188. பிடிஎஃப் கேண்டி, ராபின், 1978, தேவாலயத்தின் ஆய்வறிக்கை மற்றும் வழிமுறைகளுக்கான கோட்பாடுகள், இல் (பார்வைஸ் மற்றும் பலர். 1980:123-148) ஜார்ஜ், அலெக்சாண்டர் (+ பதிப்பு. ), 1994, கணிதம் மற்றும் மனம், 216 பக்கங்கள், நியூயார்க், ஆக்ஸ்போர்டு யுனிவர்சிட்டி பிரஸ், கோடல், கே., 1930, இல் (வான் ஹைஜெனூர்ட் 1967:592 எஃப்எஃப்), முழுமை மற்றும் நிலைத்தன்மை குறித்த சில உருமாற்றவியல் முடிவுகள் கோடல், கே., 1931ஏ, இல் (டேவிஸ் 1965:4-38), பிரின்சிபியா கணிதம் மற்றும் தொடர்புடைய அமைப்புகளின் முறையான தீர்மானிக்க முடியாத முன்மொழிவுகள். ஐ. கோடல், கே., 1931பி, இன் (வான் ஹெய்ஜெனூர்ட் 1976:616 எஃப்எஃப்) முழுமை மற்றும் நிலைத்தன்மை குறித்து கோடல், கே., 1934, இன் (டேவிஸ் 1965:39-74), முறையான கணித அமைப்புகளின் தீர்க்கமுடியாத முன்மொழிவுகள் குறித்து கோடல், கே., 1936, இன் (டேவிஸ் 1965:82 எஃப்எஃப்), ஆதாரங்களின் நீளம் குறித்து, எர்கென்பினிஸ் ஐன்ஸ் கணிதவியல், ஹெஃப்ட் 7 (1936) இல் உள்ள அசல் கட்டுரையிலிருந்து ஆசிரியரால் மொழிபெயர்க்கப்பட்டது. 23-24 ". கிளீன் (1952) என்பவரால் எர்ஜெபினிஸ் ஈன்ஸ் கணிதத்தில் "über die Lāange von Beweisen" என்று மேற்கோள் காட்டப்பட்டது. கோல், முதலியன. கோடல், கே., 1964, இன் (டேவிஸ் 1965:71 எஃப்எஃப்), போஸ்ட்ஸ்கிரிப்டம் க்ரோஷோஸ், எமிலி மற்றும் பிரெகர், ஹெர்பர்ட், 2000, கணித அறிவின் வளர்ச்சி, 416 பக்கங்கள், க்ளூவர் அகாடமிக் வெளியீட்டாளர்கள், டோர்ட்ரெக்ட், தி நெதர்லாந்து,. ஹாக்கிங், ஸ்டீபன், 2005, காட் கிரியேட்டட் தி இன்டெஜெர்ஸ்ஃ தி மேத்தமெட்டிக்கல் பிரேக்த்ரூஸ் தட் சேஞ்சட் ஹிஸ்டரி, எடிட்டட், வித் கமெண்டரி ஆஃப் ஸ்டீபன் ஹாக்கிங், ரன்னிங் பிரஸ், பிலடெல்பியா, ஹோட்ஜஸ், ஆண்ட்ரூ, 1983, ஆலன் டூரிங்ஃ தி எனிக்மா, 1 வது பதிப்பு, சைமன் அண்ட் ஷஸ்டர், நியூயார்க், க்ளீன், எஸ். சி., 1935, இன் (டேவிஸ் 1965:236 எஃப்எஃப்) நேச்சுரல் நம்பர்ஸ் க்ளீனின் பொது தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகள், எஸ். சி., 1971,1952 (10 வது தோற்றம் 1991) மெட்டாமெத்தமேட்டிக்ஸ் அறிமுகம், 550 பக்கங்கள், நார்த்-ஹாலண்ட் பப்ளிஷிங் கம்பெனி (வோல்டர்ஸ்-நூர்டாஃப் பப்ளிஷிங்) மெரியம்-வெப்ஸ்டர் இன்க். 1, இல்லை. 3 (செப்டம்பர், 1936), pp. 103-105. ரோசர். ஜே. பி., 1939, கோடலின் தேற்றம் மற்றும் சர்ச்சின் தேற்றம் ஆகியவற்றின் சான்றுகளின் முறைசாரா விளக்கம், தி ஜர்னல் ஆஃப் சிம்பாலிக் லாஜிக். தொகுதி. 4. (1939), பக். 53-60 மற்றும் (டேவிஸ் 1967:223-230) இல் மறுபதிப்பு செய்யப்பட்டது. சீக், வில்ஃபிரைட், ரிச்சர்ட் சோமர் மற்றும் கரோலின் டால்காட் (பதிப்புகள். ), 2002, கணிதத்தின் அடித்தளங்கள் பற்றிய பிரதிபலிப்புகள்ஃ சாலமன் ஃபெஃபெர்மனின் மரியாதைக்குரிய கட்டுரைகள், தர்க்கத்தில் சொற்பொழிவு குறிப்புகள் 15,444 பக்கங்கள், ஏ. கே. பீட்டர்ஸ், லிமிடெட், சோரே, ராபர்ட், 1996, கணக்கீடு மற்றும் மறுசுழற்சி, "குறியீட்டு தர்க்கத்தின் புல்லட்டின் 2", தொகுதி 2, எண் 3, செப்டம்பர் 1996, பக்கங்கள். மேலும் (மேலும் காண்கஃ டேவிஸ் 1965:115 ff) டூரிங், ஏ., 1939, இன் (டேவிஸ் 1965:154 ff), சிஸ்டம்ஸ் ஆஃப் லாஜிக் அடிப்படையிலான ஆர்டினல்ஸ் வான் ஹைஜெனூர்ட், ஜீன், 1976, ஃப்ரம் ஃப்ரீஜ் டு கோடல்ஃ கணித தர்க்கத்தில் ஒரு மூல புத்தகம், 116 பக்கங்கள், 1879-1931,3 வது அச்சிடுதல், அசல் அச்சிடுதல் 1967, ஹார்வர்ட் யுனிவர்சிட்டி பிரஸ், கேம்பிரிட்ஜ் மாசசூசெட்ஸ், (pbk.). வெளிப்புற இணைப்புகள் குறியீட்டு தர்க்கத்தின் செய்தித்தாள் அனைத்து தொகுதிகளுக்கும் இணைப்புகளை ஆன்லைனில் காகிதங்களுடன் கொண்டுள்ளது. அலோன்சோ சர்ச், 1938, தி கன்ஸ்ட்ரக்டிவ் செகண்ட் நம்பர் கிளாஸ் "டிசம்பர் 29,1937 அன்று நடந்த இண்டியானாபோலிஸ் சங்கக் கூட்டத்தில் திட்டக் குழுவின் அழைப்பின் பேரில் வழங்கப்பட்ட உரை". கர்ட் கோடல், 1931, பிரின்சிபியா கணிதம் மற்றும் தொடர்புடைய அமைப்புகளின் முறையாக தீர்மானிக்க முடியாத முன்மொழிவுகள் I. மார்ட்டின் ஹிர்ஸல் மொழிபெயர்த்தது, 27 நவம்பர் 2000. எமில் எல். போஸ்ட், 1946, ஒரு தொடர்ச்சியான தீர்க்கமுடியாத சிக்கலின் மாறுபாடு வில்ஃபிரைட் சீக், 2005, டாக்மா இல்லாமல் சர்ச்ஃ கணக்கீட்டிற்கான கோட்பாடுகள், கார்னகி மெலன் பல்கலைக்கழகம் வில்ஃபிரைட் சீக், 2000, மனிதர் மற்றும் இயந்திரத்தின் கணக்கீடுகள்ஃ கருத்தியல் பகுப்பாய்வு, கார்னகி மெலன் பல்கலைக்கழகம் ராபர்ட் ஐ. சோரே, 1995, கணக்கீட்டு மற்றும் மறுசுழற்சி ராபர்ட் ஐ. சோரே, 1996, தி புல்லட்டின் ஆஃப் சிம்போலிக் லாஜிக், தொகுதி 2, தொகுதி 2, எண் 3, செப்டம்பர் 1996 இல் தோன்றியபடி கணக்கீடு மற்றும் மறுசுழற்சி. மசாகோ தகாஹாஷி, 2004, பொது மறுநிகழ்வு செயல்பாடுகளில், சர்வதேச கிறிஸ்தவ பல்கலைக்கழகம் குறிப்பாக, குறிப்புகளைப் பார்க்கவும். ஏ. எம். டூரிங், 1936, கணக்கிடக்கூடிய எண்கள் மீது, என்ட்ஷீடங்ஸ் சிக்கலுக்கான ஒரு பயன்பாட்டுடன் சர்ச்-டூரிங் ஆய்வறிக்கை கணக்கீட்டு கோட்பாடு ஆலன் டூரிங் கணக்கீட்டு கோட்பாடு