Intrinsic dimension
ஒரு தரவுத் தொகுப்பிற்கான உள்ளார்ந்த பரிமாணத்தை தரவின் குறைந்தபட்ச பிரதிநிதித்துவத்தில் தேவைப்படும் மாறிகளின் எண்ணிக்கையாக கருதலாம். இதேபோல், பன்முக சமிக்ஞைகளின் சமிக்ஞை செயலாக்கத்தில், சமிக்ஞையின் உள்ளார்ந்த பரிமாணம் சமிக்ஞையின் நல்ல தோராயத்தை உருவாக்க எத்தனை மாறிகள் தேவை என்பதை விவரிக்கிறது. இருப்பினும், உள்ளார்ந்த பரிமாணத்தை மதிப்பிடும்போது, பன்மடங்கு பரிமாணத்தை அடிப்படையாகக் கொண்ட சற்று பரந்த வரையறை பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது, அங்கு உள்ளார்ந்த பரிமாணத்தில் ஒரு பிரதிநிதித்துவம் உள்ளூரில் மட்டுமே இருக்க வேண்டும். இத்தகைய உள்ளார்ந்த பரிமாண மதிப்பீட்டு முறைகள் தரவுத் தொகுப்பின் வெவ்வேறு பகுதிகளில் வெவ்வேறு உள்ளார்ந்த பரிமாணங்களைக் கொண்ட தரவுத் தொகுப்புகளைக் கையாள முடியும். இது பெரும்பாலும் உள்ளூர் உள்ளார்ந்த பரிமாணம் என்று குறிப்பிடப்படுகிறது. பரிமாணக் குறைப்பின் மூலம் ஒரு தரவை எந்த பரிமாணத்தில் சுருக்க முடியும் என்பதற்கான குறைந்த வரம்பாக உள்ளார்ந்த பரிமாணத்தைப் பயன்படுத்தலாம், ஆனால் இது தரவுத் தொகுப்பு அல்லது சமிக்ஞையின் சிக்கலின் அளவீடாகவும் பயன்படுத்தப்படலாம். ஒரு தரவு தொகுப்பு அல்லது N மாறிகளின் சமிக்ஞைக்கு, அதன் உள்ளார்ந்த பரிமாணம் M 0 ≤ M ≤ N ஐ திருப்திப்படுத்துகிறது, இருப்பினும் மதிப்பீட்டாளர்கள் அதிக மதிப்புகளை வழங்கலாம். எடுத்துக்காட்டு இரண்டு மாறிகள் கொண்ட செயல்பாடு (அல்லது சமிக்ஞை) என்று வைத்துக்கொள்வோம், இது ஒரு மாறிகள் கொண்ட செயல்பாடு g இன் வடிவத்தில் உள்ளது, இது நிலையானது அல்ல. இதன் பொருள் என்னவென்றால், g க்கு ஏற்ப, முதல் மாறி அல்லது முதல் ஒருங்கிணைப்புடன் f மாறுபடுகிறது. மறுபுறம், இரண்டாவது மாறியைப் பொறுத்தவரை அல்லது இரண்டாவது ஒருங்கிணைப்பில் f நிலையானது. f இன் மதிப்பைத் தீர்மானிக்க, ஒன்றின் மதிப்பை, அதாவது முதல் மாறியின் மதிப்பைத் தெரிந்துகொள்வது மட்டுமே அவசியம். எனவே, இது இரண்டு மாறிகள் கொண்ட செயல்பாடு, ஆனால் அதன் உள்ளார்ந்த பரிமாணம் ஒன்று. ஒரு சிறிய சிக்கலான உதாரணம். f இன்னும் உள்ளார்ந்த ஒரு பரிமாணமாகும், இது ஒரு மாறி மாற்றத்தை செய்வதன் மூலம் காணலாம் மற்றும் இது கொடுக்கிறது. f இன் மாறுபாட்டை ஒற்றை மாறி y1 ஆல் விவரிக்க முடியும் என்பதால் அதன் உள்ளார்ந்த பரிமாணம் ஒன்று. f நிலையானது என்றால், அதன் உள்ளார்ந்த பரிமாணம் பூஜ்ஜியமாகும், ஏனெனில் மாறுபாட்டை விவரிக்க எந்த மாறுபாடும் தேவையில்லை. பொதுவான விஷயத்தில், இரண்டு மாறிகள் கொண்ட சார்பான f இன் உள்ளார்ந்த பரிமாணம் பூஜ்ஜியமாகவோ அல்லது ஒன்றாகவோ இல்லாதபோது, அது இரண்டு ஆகும். இலக்கியத்தில், பூஜ்ஜியம், ஒன்று அல்லது இரண்டு உள்ளார்ந்த பரிமாணங்களைக் கொண்ட செயல்பாடுகள் சில நேரங்களில் முறையே i0D, i1D அல்லது i2D என குறிப்பிடப்படுகின்றன. சமிக்ஞைகளுக்கான முறையான வரையறை ஒரு N-மாறுபடும் சார்பு f க்கு, மாறிகளின் தொகுப்பை ஒரு N-பரிமாண திசையன் x: ஆக குறிப்பிடலாம். சில M-மாறுபடும் சார்பு g மற்றும் M × N மேட்ரிக்ஸ் A க்கு, அனைத்து x க்கும் M என்பது f மற்றும் g க்கு இடையிலான மேலே உள்ள தொடர்பைக் கண்டறியக்கூடிய மிகச்சிறிய எண் என்றால், f இன் உள்ளார்ந்த பரிமாணம் M ஆகும். அதாவது, மேலே உள்ள உறவு சில f, g மற்றும் A க்கு திருப்தி அடைந்தால், அது கொடுக்கப்பட்ட அதே f மற்றும் g′ மற்றும் A′ க்கும் திருப்தி அடைய வேண்டும், மேலும் B ஒரு ஒற்றை அல்லாத M × M மேட்ரிக்ஸ் ஆகும். குறைந்த உள்ளார்ந்த பரிமாணத்தின் சமிக்ஞைகளின் ஃபோரியர் உருமாற்றம் M <N உள்ளார்ந்த பரிமாணத்தைக் கொண்ட ஒரு N மாறி செயல்பாடு ஒரு சிறப்பியல்பு ஃபோரியர் உருமாற்றத்தைக் கொண்டுள்ளது. உள்ளுணர்வாக, இந்த வகை செயல்பாடு ஒன்று அல்லது பல பரிமாணங்களில் நிலையானதாக இருப்பதால், அதன் ஃபோரியர் உருமாற்றம் அதிர்வெண் களத்தில் அதே பரிமாணத்தில் ஒரு உந்துவிசை (ஒரு மாறியின் ஃபோரியர் உருமாற்றம்) போல தோன்ற வேண்டும். ஒரு எளிய எடுத்துக்காட்டு f என்பது i1D என்ற இரண்டு மாறிகள் கொண்ட செயல்பாடாக இருக்கட்டும். இதன் பொருள் ஒரு இயல்பாக்கப்பட்ட திசையன் மற்றும் அனைவருக்கும் ஒரு மாறுபடும் செயல்பாடு g உள்ளது. F என்பது f இன் ஃபோரியர் உருமாற்றமாக இருந்தால் (இரண்டும் இரண்டு மாறிகள் கொண்ட செயல்பாடுகள்) அது அவ்வாறு இருக்க வேண்டும். இங்கே G என்பது g இன் ஃபோரியர் உருமாற்றம் (இரண்டும் ஒரு மாறுபடும் செயல்பாடுகள்), δ என்பது டைராக் உந்துவிசை செயல்பாடு மற்றும் m என்பது n க்கு செங்குத்தாக ஒரு இயல்பாக்கப்பட்ட திசையன் ஆகும். இதன் பொருள் F என்பது அதிர்வெண் களத்தின் தோற்றம் வழியாகச் சென்று m க்கு இணையாக இருக்கும் ஒரு கோட்டைத் தவிர எல்லா இடங்களிலும் மறைந்துவிடும். இந்த கோட்டில் F G க்கு ஏற்ப மாறுபடும். பொதுவான வழக்கு f என்பது ஒரு N-மாறுபடும் செயல்பாடாக இருக்கட்டும், இது உள்ளார்ந்த பரிமாணம் M ஐக் கொண்டுள்ளது, அதாவது, ஒரு M-மாறுபடும் செயல்பாடு g மற்றும் M × N மேட்ரிக்ஸ் A உள்ளது. அதன் ஃபோரியர் உருமாற்றம் F ஐ பின்வருமாறு விவரிக்கலாம்ஃ பரிமாணம் M இன் துணை இடத்தைத் தவிர மற்ற எல்லா இடங்களிலும் F மறைந்துவிடும். துணை இடத்தில் M என்பது அணி A இன் வரிசைகளால் பரவியுள்ளது. உள்ளூர் உள்ளார்ந்த பரிமாணம் (எல்ஐடி) என்பது தரவுகளின் அருகிலுள்ள துணைக்குழுவை மட்டுமே கருத்தில் கொள்ளும்போது பெரும்பாலும் தரவு குறைந்த பரிமாண பன்மடங்கு விநியோகிக்கப்படுகிறது என்ற அவதானிப்பைக் குறிக்கிறது. எடுத்துக்காட்டாக, y 0 க்கு அருகில் இருக்கும்போது ஒரு பரிமாணமாகவும் (ஒரு மாறி x உடன்), y 1 க்கு அருகில் இருக்கும்போது இரு பரிமாணமாகவும், y நேர்மறையாகவும், 1 ஐ விட மிகப் பெரியதாகவும் இருக்கும்போது மீண்டும் ஒரு பரிமாணமாகவும் (மாறி x + y உடன்) செயல்பாட்டைக் கருதலாம். உள்ளூர் உள்ளார்ந்த பரிமாணம் பெரும்பாலும் தரவைப் பொறுத்தவரை பயன்படுத்தப்படுகிறது. இது வழக்கமாக ஒரு தரவு புள்ளியின் k அருகிலுள்ள அண்டை நாடுகளின் அடிப்படையில் மதிப்பிடப்படுகிறது, இது பெரும்பாலும் கணிதத்தில் இரட்டை பரிமாணம் தொடர்பான ஒரு கருத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது. ஒரு டி-கோளத்தின் அளவு டி இல் அதிவேகமாக வளர்வதால், தேடல் ஆரம் அதிகரிக்கும் போது புதிய அண்டை நாடுகள் காணப்படும் விகிதம் உள்ளூர் உள்ளார்ந்த பரிமாணத்தை மதிப்பிட பயன்படுத்தப்படலாம் (எ. கா., ஜிஇடி மதிப்பீடு). இருப்பினும், மதிப்பீட்டின் மாற்று அணுகுமுறைகள் முன்மொழியப்பட்டுள்ளன, எடுத்துக்காட்டாக கோண அடிப்படையிலான மதிப்பீடு. உள்ளார்ந்த பரிமாண மதிப்பீடு தரவு பன்மடங்கு உள்ளக பரிமாணத்தை தரவு பன்மடங்கு அனுமானங்களைப் பொறுத்து பல முறைகளால் மதிப்பிடலாம். ஒரு 2016 மதிப்பாய்வு. இரண்டு அருகிலுள்ள அண்டை நாடுகள் (டூஎன்என்) முறை என்பது நீரில் மூழ்கிய ரீமானியன் பன்மடங்கு உள்ளார்ந்த பரிமாணத்தை மதிப்பிடுவதற்கான ஒரு முறையாகும். வழிமுறை பின்வருமாறுஃ பன்மடங்கு சில புள்ளிகளை சிதறடிக்கவும். பல புள்ளிகளுக்கான அளவீடு, புள்ளியின் இரண்டு நெருங்கிய அண்டை நாடுகளுக்கான தூரங்கள் எங்கே. அனுபவபூர்வமான சி. டி. எஃப்-ஐ பொருத்தவும். திரும்பிப் பாருங்கள். வரலாறு 1950 களில் சமூக அறிவியலில் "அளவிடுதல்" முறைகள் என்று அழைக்கப்படுபவை பல பரிமாண தரவுத் தொகுப்புகளை ஆராய்ந்து சுருக்கமாகக் கூற உருவாக்கப்பட்டன. 1962 ஆம் ஆண்டில் ஷெப்பர்ட் மெட்ரிக் அல்லாத பல பரிமாண அளவீட்டை அறிமுகப்படுத்திய பிறகு, பல பரிமாண அளவீட்டிற்குள் (எம். டி. எஸ்) உள்ள முக்கிய ஆராய்ச்சி பகுதிகளில் ஒன்று உள்ளார்ந்த பரிமாணத்தை மதிப்பிடுவதாகும். இந்த தலைப்பு தகவல் கோட்பாட்டிலும் ஆய்வு செய்யப்பட்டது, 1965 ஆம் ஆண்டில் பென்னட் முன்னோடியாக இருந்தார், அவர் "உள்ளார்ந்த பரிமாணம்" என்ற வார்த்தையை உருவாக்கி அதை மதிப்பிட ஒரு கணினி நிரலை எழுதினார். 1970 களில் எம். டி. எஸ் போன்ற பரிமாணக் குறைப்புகளைச் சார்ந்து இல்லாத உள்ளார்ந்த பரிமாண மதிப்பீட்டு முறைகள் கட்டப்பட்டனஃ உள்ளூர் ஐகென் மதிப்புகளின் அடிப்படையில், தூர விநியோகங்களின் அடிப்படையில், மற்றும் பிற பரிமாண-சார்ந்த வடிவியல் பண்புகளின் அடிப்படையில் செட் மற்றும் நிகழ்தகவு நடவடிக்கைகளின் உள்ளார்ந்த பரிமாணத்தை மதிப்பிடுவது 1980 ஆம் ஆண்டிலிருந்து இயக்கவியல் அமைப்புகளில் விரிவாக ஆய்வு செய்யப்பட்டுள்ளது, அங்கு (விசித்திரமான) கவர்ச்சிகளின் பரிமாணங்கள் ஆர்வத்திற்கு உட்பட்டவை. விசித்திரமான ஈர்ப்பாளர்களுக்கு பன்மடங்கு அனுமானம் இல்லை, மேலும் அளவிடப்படும் பரிமாணம் ஃப்ராக்டல் பரிமாணத்தின் சில பதிப்பாகும்-இது முழு எண் அல்லாததாகவும் இருக்கலாம். இருப்பினும், ஃப்ராக்டல் பரிமாணத்தின் வரையறைகள் பன்மடங்கு பன்மடங்கு பரிமாணத்தை அளிக்கின்றன. 2000 களில் உள்ளார்ந்த பரிமாணத்தை மதிப்பிடுவதற்கு "பரிமாணத்தின் சாபம்" பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது. பயன்பாடுகள் i1D என்ற இரண்டு மாறிகள் கொண்ட சமிக்ஞையின் வழக்கு கணினி பார்வை மற்றும் பட செயலாக்கத்தில் அடிக்கடி தோன்றும் மற்றும் கோடுகள் அல்லது விளிம்புகளைக் கொண்ட உள்ளூர் படப் பகுதிகளின் யோசனையைப் பிடிக்கிறது. இத்தகைய பிராந்தியங்களின் பகுப்பாய்வு ஒரு நீண்ட வரலாற்றைக் கொண்டுள்ளது, ஆனால் அத்தகைய செயல்பாடுகளின் முறையான மற்றும் தத்துவார்த்த சிகிச்சை தொடங்கும் வரை, பெயர் மாறுபட்டிருந்தாலும், உள்ளார்ந்த பரிமாணத்தின் கருத்து நிறுவப்பட்டது. எடுத்துக்காட்டாக, இங்கே உள்ளார்ந்த பரிமாணம் 1 அல்லது i1D சுற்றுப்புறத்தின் பட சுற்றுப்புறம் என்று குறிப்பிடப்படும் கருத்து நட்ஸன் (1982) ஆல் 1 பரிமாணம் என்றும், பிகன் & கிரான்லண்ட் (1987) மூலம் நேரியல் சமச்சீர் என்றும், கிரான்லண்ட் & நட்ஸனில் (1995) எளிய சுற்றுப்புறம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. மேலும் காண்க பரிமாணம் பிராக்டல் பரிமாணம் ஹவுஸ்டோர்ஃப் பரிமாணம் இடவியல் பரிமாண குறிப்புகள் கணினி பார்வை பட செயலாக்கம்