Ideal (set theory)
தொகுப்புக் கோட்பாட்டின் கணிதத் துறையில், ஒரு இலட்சியம் என்பது "சிறியது" அல்லது "மிகக் குறைவானது" என்று கருதப்படும் தொகுப்புகளின் ஓரளவு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட தொகுப்பாகும். இலட்சியத்தின் ஒரு உறுப்பின் ஒவ்வொரு துணைக்குழுவும் இலட்சியத்தில் இருக்க வேண்டும் (இது ஒரு இலட்சியம் என்பது சிறிய தன்மை பற்றிய கருத்து என்ற கருத்தை தொகுக்கிறது), மேலும் இலட்சியத்தின் எந்த இரண்டு கூறுகளின் சங்கமமும் இலட்சியத்தில் இருக்க வேண்டும். மேலும் முறைப்படி, ஒரு செட் கொடுக்கப்பட்டால் ஒரு ஐடியல் ஆன் என்பது பவர் செட்டின் ஒரு காலியாக இல்லாத துணைக்குழுவாகும்ஃ என்றால், பின்னர், பின்னர் சில ஆசிரியர்கள் நான்காவது நிபந்தனையைச் சேர்க்கின்றனர், அது இல்லை; இந்த கூடுதல் பண்பு கொண்ட ஐடியல்கள் அழைக்கப்படுகின்றன. செட்-கோட்பாட்டு அர்த்தத்தில் உள்ள இலட்சியங்கள் வரிசை-கோட்பாட்டு அர்த்தத்தில் சரியாக இலட்சியங்கள், அங்கு தொடர்புடைய வரிசை சேர்க்கை அமைக்கப்பட்டுள்ளது. மேலும், அவை அடிப்படை தொகுப்பின் அதிகார தொகுப்பால் உருவாக்கப்பட்ட பூலியன் வளையத்தின் வளைய-கோட்பாட்டு அர்த்தத்தில் சரியாக இலட்சியங்கள். ஒரு இலட்சியத்தின் இரட்டைக் கருத்து ஒரு வடிகட்டியாகும். சொற்களஞ்சியம் ஒரு இலட்சியத்தின் ஒரு உறுப்பு அல்லது, அல்லது வெறுமனே அல்லது இலட்சியம் சூழலில் இருந்து புரிந்து கொள்ளப்பட்டால் என்று கூறப்படுகிறது. அனைத்து நேர்மறை துணைக்குழுக்களின் தொகுப்பு குறிக்கப்படுகிறது என்றால் மற்றும் ஒவ்வொன்றிற்கும் ஒரு சரியான சீர்மம் அல்லது பின்னர் a ஆகும். இலட்சியங்களின் எடுத்துக்காட்டுகள் பொதுவான எடுத்துக்காட்டுகள் எந்தவொரு தொகுப்புக்கும் மற்றும் தன்னிச்சையாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட எந்தவொரு துணைக்குழுவிற்கும் ஒரு இலட்சியத்தின் வடிவத்தின் துணைக்குழுக்கள் வரையறுக்கப்பட்ட அனைத்து இலட்சியங்களும் இந்த வடிவத்தில் உள்ளன. எந்தவொரு தொகுப்பின் வரையறுக்கப்பட்ட துணைக்குழுக்களும் ஒரு இலட்சியத்தை உருவாக்குகின்றன எந்த அளவீட்டு இடத்திற்கும், பூஜ்ஜிய அளவீட்டு தொகுப்புகளின் துணைக்குழுக்கள். எந்தவொரு அளவீட்டு இடத்திற்கும், வரையறுக்கப்பட்ட அளவின் தொகுப்புகள். இது வரையறுக்கப்பட்ட துணைக்குழுக்கள் (எண்ணும் அளவீட்டைப் பயன்படுத்தி) மற்றும் கீழே உள்ள சிறிய தொகுப்புகளை உள்ளடக்கியது. ஒரு தொகுப்பில் ஒரு பிறப்புக் கோட்பாடு என்பது உட்பொருள்களின் ஒரு காலியாக இல்லாத குடும்பத்தை உள்ளடக்கிய ஒரு இலட்சியமாகும், இது குறிக்கப்பட்டு வரையறுக்கப்படும் போது சரியான வடிகட்டியாக இருந்தால் மட்டுமே சரியான இலட்சியமாகும் (ஒரு வடிகட்டி சமமாக இல்லாவிட்டால்). பவர் செட்டின் டூயல் தானே; அதாவது, ஒரு காலியாக இல்லாத குடும்பம் அதன் டூயல் ஒரு டூயல் ஐடியலாக இருந்தால் மட்டுமே ஒரு ஐடியல் ஆகும் (இது வரையறையின்படி பவர் செட் அல்லது முறையான வடிகட்டி). இயற்கையான எண்களின் இலட்சியங்கள் இயற்கையான எண்களின் அனைத்து வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்புகளின் இலட்சியம் ஃபின் என்று குறிக்கப்படுகிறது. இயற்கையான எண்களின் மீது, குறிக்கப்படுவது அனைத்து இயற்கை எண்களின் தொகுப்புகளின் தொகுப்பாகும், அதாவது கூட்டுத்தொகை வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. சிறிய தொகுப்பைப் பார்க்கவும். இயற்கையான எண்களில், குறிக்கப்படுவது இயற்கையான எண்களின் அனைத்து தொகுப்புகளின் தொகுப்பாகும், அதாவது அதற்கும் குறைவான இயற்கையான எண்களின் பின்னம் பூஜ்ஜியத்திற்குச் செல்கிறது. (அதாவது, அறிகுறியற்ற அடர்த்தி பூஜ்ஜியமாகும்.) உண்மையான எண்களில் உள்ள இலட்சியங்கள் என்பது லெபெஸ்கூ அளவீட்டின் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் அனைத்து உண்மையான எண்களின் தொகுப்புகளின் தொகுப்பாகும். இது உண்மையான எண்களின் அனைத்து சிறிய தொகுப்புகளின் தொகுப்பாகும். மற்ற செட்களில் உள்ள இலட்சியங்கள் கணக்கிட முடியாத கோஃபைனாலிட்டியின் வரிசை எண்ணாக இருந்தால், ஆன் என்பது அனைத்து துணைக்குழுக்களின் தொகுப்பாகும், அவை நிலையான தொகுப்புகள் அல்ல. இந்த இலட்சியத்தை டபிள்யூ. ஹக் வூடின் விரிவாக ஆய்வு செய்துள்ளார். இலட்சியங்கள் மீதான செயல்பாடுகள் கொடுக்கப்பட்ட இலட்சியங்கள் மற்றும் அடிப்படை தொகுப்புகளில் மற்றும் முறையே, கார்ட்டீசியன் தயாரிப்பில் பின்வருமாறு விளைபொருளை உருவாக்குகிறதுஃ எந்தவொரு துணைக்குழுவிற்கும் அதாவது,-ஒருங்கிணைப்புகளின் மிகக் குறைவான தொகுப்பு மட்டுமே-திசையில் உள்ள ஒரு புறக்கணிக்க முடியாத துண்டுடன் ஒத்திருந்தால், விளைபொருள் இலட்சியத்தில் ஒரு தொகுப்பு மிகக் குறைவு. (ஒருவேளை தெளிவாக இருக்கலாம்ஃ நேர்மறையாக பல-ஒருங்கிணைப்புகள் நேர்மறை துண்டுகளுடன் ஒத்திருந்தால் ஒரு தொகுப்பு தயாரிப்பு இலட்சியத்தில் உள்ளது.) ஒரு தொகுப்பில் உள்ள ஒரு ஐடியல், சமச்சீர் வேறுபாடு மற்றும் ஒரு உறுப்பாக இருந்தால் மட்டுமே, பவர் செட்டில் ஒரு சமநிலை உறவைத் தூண்டுகிறது, கருத்தில் கொள்கிறது மற்றும் (துணைக்குழுக்களுக்கு) சமமாக இருக்கும். இந்த சமநிலை உறவின் ஈவு ஒரு பூலியன் இயற்கணிதம் ஆகும், இது குறிக்கப்படுகிறது ("மோடில் P" என்று படிக்கவும்). ஒவ்வொரு சீர்மத்திற்கும் அதனுடன் தொடர்புடைய வடிகட்டி உள்ளது, இது அதன் என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு ஐடியல் ஆன் என்றால், இரட்டை வடிகட்டி என்பது அனைத்து தொகுப்புகளின் தொகுப்பாகும், அங்கு ஒரு உறுப்பு உள்ளது. (இங்கே உள்ள ஒப்பீட்டு நிரப்பு குறிக்கிறது; அதாவது, அதில் உள்ள அனைத்து கூறுகளின் தொகுப்பு). இலட்சியங்களுக்கிடையேயான உறவுகள் என்றால் மற்றும் அவை முறையே இலட்சியங்கள் மற்றும் அவை ஒரே இலட்சியமாக இருந்தால், அவற்றின் அடிப்படை தொகுப்புகளின் கூறுகளை மறுபெயரிடுவதைத் தவிர (மிகக் குறைவான தொகுப்புகளைப் புறக்கணிப்பது). மேலும் முறைப்படி, தேவை என்னவென்றால், செட் மற்றும் உறுப்புகள் முறையே இருக்க வேண்டும், மேலும் எந்தவொரு துணைக்குழுவிற்கும் ஒரு பைஜெக்ஷன் இருந்தால், இஃப் மற்றும் கீழ் உள்ள உருவம் ரூடின்-கீஸ்லர் ஐசோமார்பிக் என்றால், பின்னர் பூலியன் ஆல்ஜிப்ராக்கள் போன்ற ஐசோமார்பிக் ஆகும். இலட்சியங்களின் ரூடின்-கீஸ்லர் ஐசோமார்பிசம்களால் தூண்டப்பட்ட ஈவு பூலியன் ஆல்ஜிப்ராக்களின் ஐசோமார்பிசம்கள் அழைக்கப்படுகின்றன. மேலும் காண்க குறிப்புகள் தொகுப்புக் கோட்பாடு