Homogeneous relation
கணிதத்தில், ஒரு தொகுப்பு X இல் ஒரு ஒரே மாதிரியான உறவு (எண்டோரிலேஷன் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) என்பது X க்கும் தனக்கும் இடையிலான பைனரி உறவு, அதாவது. இது கார்ட்டீசியன் உற்பத்தியின் துணைக்குழுவாகும். இது பொதுவாக "எக்ஸ் மீது ஒரு உறவு" அல்லது "எக்ஸ் மீது ஒரு (பைனரி) உறவு" என்று சொல்லப்படுகிறது. ஒரே மாதிரியான உறவுக்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு உறவின் உறவு, அங்கு உறவு மக்களிடையே உள்ளது. எண்டோரிலேஷன்களின் பொதுவான வகைகளில் வரிசைகள், வரைபடங்கள் மற்றும் சமநிலைகள் அடங்கும். வரிசைக் கோட்பாடு மற்றும் வரைபடக் கோட்பாட்டின் சிறப்பு ஆய்வுகள் எண்டோரிலேஷன்களைப் பற்றிய புரிதலை உருவாக்கியுள்ளன. வரைபடக் கோட்பாட்டிற்கான குறிப்பிட்ட சொற்களஞ்சியம் விளக்கத்திற்கு பயன்படுத்தப்படுகிறது, ஒரு சாதாரண (திசைதிருப்பப்படாத) வரைபடம் ஒரு சமச்சீர் உறவுடன் ஒத்திருப்பதாகக் கருதப்படுகிறது, மேலும் ஒரு இயக்கப்படும் வரைபடத்துடன் தொடர்புடைய பொதுவான எண்டோரிலேஷன். ஒரு எண்டோரிலேஷன் ஆர் 0s மற்றும் 1s இன் தர்க்கரீதியான மேட்ரிக்ஸுடன் ஒத்திருக்கிறது, அங்கு xRy வெளிப்பாடு வரைபடத்தில் x மற்றும் y க்கு இடையிலான விளிம்புக்கும், R இன் சதுர மேட்ரிக்ஸில் 1 க்கும் ஒத்திருக்கிறது. இது வரைபட சொற்களில் ஒரு அருகாமை மேட்ரிக்ஸ் என்று அழைக்கப்படுகிறது. குறிப்பிட்ட ஒரே மாதிரியான உறவுகள் ஒரு தொகுப்பு X மீது சில குறிப்பிட்ட ஒரே மாதிரியான உறவுகள் (தன்னிச்சையான கூறுகளுடன்,): வெற்று உறவு; அதாவது, ஒருபோதும் வைத்திருக்காது; உலகளாவிய உறவு; அதாவது, எப்போதும் வைத்திருக்கிறது; அடையாள உறவு (அடையாள செயல்பாட்டையும் பார்க்கவும்)}; அதாவது, இருந்தால் மட்டுமே வைத்திருக்கிறது. எடுத்துக்காட்டாக, பூமியின் மேலோட்டத்தின் பதினைந்து பெரிய டெக்டோனிக் தகடுகள் ஒரே மாதிரியான உறவில் ஒருவருக்கொருவர் தொடர்பு கொள்கின்றன. இந்த உறவை ஒரு தர்க்கரீதியான மேட்ரிக்ஸாக வெளிப்படுத்தலாம், இதில் 1 என்பது தொடர்பைக் குறிக்கிறது மற்றும் 0 என்பது தொடர்பு இல்லை. இந்த உதாரணம் ஒரு சமச்சீர் உறவை வெளிப்படுத்துகிறது. பண்புகள் ஒரு தொகுப்பின் மீது ஒரு ஒரே மாதிரியான உறவு கொண்டிருக்கக்கூடிய சில முக்கியமான பண்புகள்ஃ அனைவருக்கும்,. எடுத்துக்காட்டாக, ω என்பது ஒரு பிரதிபலிப்பு உறவு, ஆனால்> இல்லை. (அல்லது) அனைவருக்கும், இல்லை. எடுத்துக்காட்டாக,> என்பது ஒரு நெகிழ்வான உறவு, ஆனால் ω இல்லை. அப்படியானால் அனைவருக்காகவும். எடுத்துக்காட்டாக, ஒவ்வொரு ஒற்றைப்படை எண்ணும் தன்னுடன் தொடர்புடைய முழு எண்களின் மீதான உறவு ஒரு கோர்ஃப்ளெக்ஸிவ் உறவாகும். சமத்துவ உறவு என்பது ரிஃப்ளெக்ஸிவ் மற்றும் கோர்ஃப்ளெக்ஸிவ் உறவு இரண்டிற்கும் ஒரே எடுத்துக்காட்டு, மேலும் எந்தவொரு கோர்ஃப்ளெக்ஸிவ் உறவும் அடையாள உறவின் துணைக்குழுவாகும். அப்படியானால் அனைவருக்காகவும். அப்படியானால் அனைவருக்காகவும். அனைவருக்கும், பின்னர் மற்றும். ஒரு உறவு இடது மற்றும் வலது அரை-பிரதிபலிப்பாக இருந்தால் மட்டுமே அது அரை-பிரதிபலிப்பாக இருக்கும். முந்தைய 6 மாற்று வழிகள் முழுமையானவை அல்ல; எ. கா., வரையறுக்கப்பட்ட பைனரி உறவு முறையே ஜோடி மற்றும், ஆனால் இல்லை என்பதால், நெகிழ்வற்றது, கோர்ஃப்ளெக்ஸிவ் அல்லது ரிஃப்ளெக்ஸிவ் அல்ல. பிந்தைய இரண்டு உண்மைகளும் (எந்த வகையான) அரை-பிரதிபலிப்பையும் நிராகரிக்கின்றன. அப்படியானால் அனைவருக்காகவும். எடுத்துக்காட்டாக, "இரத்தத்தின் உறவினர்" என்பது ஒரு சமச்சீர் உறவாகும், ஏனெனில் இது இரத்தத்தின் உறவினர் என்றால் மற்றும் இருந்தால் மட்டுமே. அனைவருக்கும், என்றால் மற்றும் பின்னர். எடுத்துக்காட்டாக, ± என்பது ஒரு சமச்சீரற்ற உறவு; எனவே>, ஆனால் வெற்றிடமாக (வரையறையில் உள்ள நிபந்தனை எப்போதும் தவறானது). இல்லையென்றால், அனைவருக்கும். ஒரு உறவு சமச்சீரற்றதாகவும், நெகிழ்வானதாகவும் இருந்தால் மட்டுமே அது சமச்சீரற்றதாக இருக்கும். எடுத்துக்காட்டாக,> என்பது ஒரு சமச்சீரற்ற உறவு, ஆனால் ± இல்லை. மீண்டும், முந்தைய 3 மாற்று வழிகள் முழுமையானவை அல்ல; இயற்கையான எண்களை விட ஒரு எடுத்துக்காட்டாக, வரையறுக்கப்பட்ட உறவு சமச்சீர் அல்லது சமச்சீரற்றது அல்ல, சமச்சீரற்றது ஒருபுறம் இருக்கட்டும். அனைவருக்கும், என்றால் மற்றும் பின்னர். ஒரு இடைநிலை உறவு சமச்சீரற்றதாக இருந்தால் மட்டுமே அது நெகிழ்வானது. எடுத்துக்காட்டாக, "இன் மூதாதையர்" என்பது ஒரு இடைநிலை உறவு, அதே நேரத்தில் "இன் பெற்றோர்" அல்ல. அனைவருக்கும், என்றால், பின்னர் ஒருபோதும் இல்லை. R இன் நிரப்பு நிலையற்றதாக இருந்தால். அதாவது, அனைவருக்கும், என்றால், பின்னர் அல்லது. இது ஆக்கபூர்வமான கணிதத்தில் போலி வரிசைகளில் பயன்படுத்தப்படுகிறது. அனைவருக்கும், என்றால் மற்றும் ஆனால் இல்லை அல்லது இல்லை, பின்னர் ஆனால் இல்லை. அனைவருக்கும், என்றால் மற்றும் ஒப்பிடமுடியாதவை மற்றும் அதே உண்மை என்றால் மற்றும், பின்னர் மற்றும் பொறுத்தவரை ஒப்பிடமுடியாதவை. இது பலவீனமான வரிசையில் பயன்படுத்தப்படுகிறது. மீண்டும், முந்தைய 5 மாற்று வழிகள் முழுமையானவை அல்ல. எடுத்துக்காட்டாக, (அல்லது) இந்த பண்புகளில் எதையும் திருப்திப்படுத்தவில்லை என்றால் உறவு. மறுபுறம், வெற்று உறவு அவர்கள் அனைவரையும் அற்பமாக திருப்திப்படுத்துகிறது. அத்தகைய அனைத்திற்கும், அத்தகைய சில உள்ளன மற்றும். இது அடர்த்தியான வரிசையில் பயன்படுத்தப்படுகிறது. அனைவருக்காகவும், பின்னர் அல்லது. இந்த பண்பு சில நேரங்களில் "மொத்த" என்று அழைக்கப்படுகிறது, இது கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள "இடது/வலது-மொத்த" வரையறைகளிலிருந்து வேறுபட்டது. அனைவருக்கும், அல்லது. இந்த பண்பு சில நேரங்களில் "மொத்த" என்று அழைக்கப்படுகிறது, இது கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள "இடது/வலது-மொத்த" வரையறைகளிலிருந்து வேறுபட்டது. அனைவருக்கும், சரியாக ஒன்று, அல்லது வைத்திருக்கிறது. எடுத்துக்காட்டாக,> என்பது ஒரு ட்ரைகோடோமஸ் உறவு, அதே நேரத்தில் இயற்கை எண்களின் மீது "வகுக்கிறது" என்ற உறவு இல்லை. (அல்லது வெறும்) அனைவருக்கும், என்றால் பின்னர். எடுத்துக்காட்டாக, = என்பது ஒரு யூக்ளிடியன் உறவு, ஏனெனில் என்றால் மற்றும் பின்னர். அனைவருக்கும், என்றால் மற்றும் பின்னர். ஒவ்வொரு காலியாக இல்லாத துணைக்குழுவும் குறைந்தபட்ச உறுப்பைக் கொண்டுள்ளது. நன்கு நிறுவப்பட்டிருப்பது இறங்கு சங்கிலி நிலையை குறிக்கிறது (அதாவது, எல்லையற்ற சங்கிலி இல்லை. இருக்க முடியும்). சார்பு தேர்வின் கோட்பாடு கருதப்பட்டால், இரண்டு நிபந்தனைகளும் சமமானவை. மேலும், பொதுவாக பைனரி உறவுகளின் அனைத்து பண்புகளும் ஒரே மாதிரியான உறவுகளுக்கும் பொருந்தும்ஃ அனைவருக்கும், அத்தகைய அனைத்தின் வகுப்பும் ஒரு தொகுப்பாகும். (முறையான வகுப்புகள் மீதான உறவுகள் அனுமதிக்கப்பட்டால் மட்டுமே இது அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும்.) அனைவருக்கும் மற்றும் அனைவருக்கும், என்றால் பின்னர். அனைவருக்கும் மற்றும் அனைவருக்கும், என்றால் பின்னர். (லெஃப்ட்-டோடல் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) அனைத்திற்கும் அத்தகைய ஒன்று உள்ளது. இந்த பண்பு இணைக்கப்பட்ட வரையறையிலிருந்து வேறுபட்டது (சில ஆசிரியர்களால் மொத்தம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது). (ரைட்-டோடல் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) அனைவருக்கும், xRy போன்ற ஒன்று உள்ளது. ஏ என்பது பிரதிபலிப்பு மற்றும் இடைநிலை உறவு. ஏ, அல்லது என்றும் அழைக்கப்படுகிறது, இது பிரதிபலிப்பு, இடைநிலை மற்றும் இணைக்கப்பட்ட ஒரு உறவு. A, என்றும் அழைக்கப்படுகிறது, இது பிரதிபலிப்பு, சமச்சீரற்ற மற்றும் இடைநிலை உறவு. A, என்றும் அழைக்கப்படுகிறது, இது நெகிழ்வான, சமச்சீரற்ற மற்றும் இடைநிலை உறவாகும். ஏ, அல்லது என்றும் அழைக்கப்படுகிறது, இது பிரதிபலிப்பு, சமச்சீரற்ற, இடைநிலை மற்றும் இணைக்கப்பட்ட ஒரு உறவு. ஏ, அல்லது என்றும் அழைக்கப்படுகிறது, இது நெகிழ்வான, சமச்சீரற்ற, இடைநிலை மற்றும் இணைக்கப்பட்ட ஒரு உறவு. A என்பது சமச்சீர் மற்றும் இடைநிலை உறவு. ஒரு என்பது பிரதிபலிப்பு, சமச்சீர் மற்றும் இடைநிலை உறவு. இது சமச்சீர், இடைநிலை மற்றும் மொத்தமான ஒரு உறவாகும், ஏனெனில் இந்த பண்புகள் பிரதிபலிப்பைக் குறிக்கின்றன. செயல்பாடுகள் ஒரு தொகுப்பு X இன் மீது R ஒரு ஒரே மாதிரியான உறவாக இருந்தால், பின்வருவனவற்றில் ஒவ்வொன்றும் X இன் மீது ஒரு ஒரே மாதிரியான உறவாகும்ஃ, R = R ஐக் கொண்ட X இன் மீது வரையறுக்கப்பட்ட அல்லது மிகச்சிறிய பிரதிபலிப்பு உறவு. இது R ஐக் கொண்ட அனைத்து பிரதிபலிப்பு உறவுகளின் குறுக்குவெட்டுக்கு சமம் என்று நிரூபிக்கப்படலாம். R, R ≤ என வரையறுக்கப்படுகிறது. அல்லது R, R + இல் உள்ள X இன் மீது மிகப்பெரிய பிரதிபலிப்பு உறவு. R ஐக் கொண்ட X இன் மீது மிகச்சிறிய இடைநிலை உறவாக வரையறுக்கப்படுகிறது. இது R, R * ஐக் கொண்ட அனைத்து இடைநிலை உறவுகளின் குறுக்குவெட்டுக்கு சமமாக இருப்பதைக் காணலாம். {| வகுப்பு = "விக்கி செய்யக்கூடிய வரிசைப்படுத்தக்கூடிய" பாணி = "உரை-சீரமைப்புஃ மையம்" | + பண்புகளின் அடிப்படையில் ஒரே மாதிரியான உறவுகள் |-! ! சுறுசுறுப்பு! சமச்சீர்! போக்குவரத்து நெரிசல்! தொடர்பாடல்! சின்னம்! உதாரணம் |-! இயக்கப்பட்ட வரைபடம் | | | | | | | |-! திசைதிருப்பப்படாத வரைபடம் | | | | | | | |-! சார்பு | | | | | | |-! போட்டி | | | | | பெக்கிங் ஆர்டர் |-! முன்கூட்டிய ஆர்டர் | | | | | | | | முன்னுரிமை |-! மொத்த முன்கூட்டிய ஆர்டர் | | | | | | ≤ | |-! பகுதி வரிசை | | | | | ≤ | துணைக்குழு |-! கண்டிப்பான பகுதி வரிசை | | | | | | | | | கண்டிப்பான துணைக்குழு |-! மொத்த வரிசை | | | | | ≤ | அகர வரிசை |-! கண்டிப்பான மொத்த வரிசை | | | | | | | | கண்டிப்பான அகர வரிசை |-! பகுதி சமநிலை உறவு | | | | | | | |-! சமன்பாடு உறவு | | | |, சமத்துவம் |} கணக்கீடு ஒரு தொகுப்பு X இன் மீது உள்ள அனைத்து ஒரே மாதிரியான உறவுகளின் தொகுப்பாகும், இது ஒரு பூலியன் இயற்கணிதமாகும், இது அதன் எதிர் உறவுக்கான உறவின் வரைபடத்தின் ஈடுபாட்டின் ஈடுபாட்டுடன் அதிகரிக்கப்படுகிறது. உறவுகளின் கலவையை ஒரு பைனரி செயல்பாடாகக் கருத்தில் கொண்டு, இது அடையாள உறுப்பு அடையாள உறவாக இருக்கும் இடத்தில் ஈடுபாட்டுடன் ஒரு மோனாய்டை உருவாக்குகிறது. ஒரு n-உறுப்பு தொகுப்பின் மீது தனித்துவமான ஒரே மாதிரியான உறவுகளின் எண்ணிக்கை பின்வருமாறுஃ குறிப்புகள்ஃ பிரதிபலிப்பு உறவுகளின் எண்ணிக்கை பிரதிபலிப்பு உறவுகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமம். கடுமையான பகுதி வரிசைகளின் எண்ணிக்கை (நெகிழ்வான இடைநிலை உறவுகள்) பகுதி வரிசைகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமம். கடுமையான பலவீனமான ஆர்டர்களின் எண்ணிக்கை மொத்த முன்கூட்டிய ஆர்டர்களின் எண்ணிக்கைக்கு சமம். மொத்த ஆர்டர்கள் பகுதி ஆர்டர்கள் ஆகும், அவை மொத்த முன்கூட்டிய ஆர்டர்களாகும். ஒரு பகுதி வரிசை அல்லது மொத்த முன்கூட்டிய வரிசை அல்லாத முன்கூட்டிய ஆர்டர்களின் எண்ணிக்கை, எனவே, முன்கூட்டிய ஆர்டர்களின் எண்ணிக்கை, கழித்தல் பகுதி ஆர்டர்களின் எண்ணிக்கை, கழித்தல் மொத்த முன்கூட்டிய ஆர்டர்களின் எண்ணிக்கை, மேலும் மொத்த ஆர்டர்களின் எண்ணிக்கைஃ முறையே 0,0,0,3 மற்றும் 85. சமநிலை உறவுகளின் எண்ணிக்கை என்பது பகிர்வுகளின் எண்ணிக்கை, இது பெல் எண். ஒரே மாதிரியான உறவுகளை ஜோடிகளாக (உறவு, நிரப்பு) வகைப்படுத்தலாம், தவிர உறவுக்கு அதன் சொந்த நிரப்பு. சமச்சீர் அல்லாதவற்றை நான்கு பிரிவுகளாக வகைப்படுத்தலாம் (உறவு, நிரப்பு, தலைகீழ், தலைகீழ் நிரப்பு). கடுமையான வரிசைகள் உட்பட வரிசை உறவுகள் எடுத்துக்காட்டுகள்ஃ சமன்பாடு உறவுகளின் (சமமாக) துணைக்குழுவை விட அதிகமாகவோ அல்லது சமமாகவோ வகுக்கிறது (சமமாக) சமன்பாடு உறவுகளின் துணைக்குழுவை விட அதிகமாகவோ அல்லது சமமாகவோ வகுக்கிறது (சமமாகவோ சமமாகவோ) சமன்பாடு சமன்பாடு சமன்பாடு சமன்பாடு சமன்பாடு சமன்பாடு சமன்பாடு சமன்பாடு சமன்பாடு சமன்பாடு சமன்பாடு சமன்பாடு சமன்பாடு சமன்பாடு சமன்பாடு சமன்பாடு சமன்பாடு சமன்பாடு சமன்பாடு சமன்பாடு சமன்பாடு சமன்பாடு சமன்பாடு சமன்பாடு சமன்பாடு சமன்பாடு சமன்பாடு சமன்பாடு சமன்பாடு சமன்பாடு சமன்பாடு சமன்பாடு சமன்பாடு சமன்பாடு சமன்பாடு சமன்பாடு சமன்பாடு சமன்பாடு சமன்பாடு சமன்பாடு சமன்பாடு சமன்பாடு சமன்பாடு சமன்பாடு சமன்பாடு சமன்பாடு ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட உறவு என்பது சில இயற்கை எண் n மற்றும் தன்னிச்சையான தொகுப்புகள் X1,., Xn க்கு ஒரு துணைக்குழு ஆகும், இது ஒரு n-ஆரி உறவு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. குறிப்புகள் பைனரி உறவுகள்