Discontinuous Galerkin method
பயன்பாட்டு கணிதத்தில், தொடர்ச்சியற்ற கேலர்கின் முறைகள் (டி. ஜி முறைகள்) வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான எண் முறைகளின் ஒரு வகுப்பை உருவாக்குகின்றன. அவை வரையறுக்கப்பட்ட உறுப்பு மற்றும் வரையறுக்கப்பட்ட தொகுதி கட்டமைப்பின் அம்சங்களை இணைக்கின்றன, மேலும் பரந்த அளவிலான பயன்பாடுகளிலிருந்து எழும் ஹைபர்போலிக், நீள்வட்ட, பரவளைய மற்றும் கலப்பு வடிவ சிக்கல்களுக்கு வெற்றிகரமாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. டிஜி முறைகள் குறிப்பாக ஒரு மேலாதிக்க முதல்-வரிசை பகுதியுடன் உள்ள சிக்கல்களுக்கு கணிசமான ஆர்வத்தைப் பெற்றுள்ளன, எ. கா. மின்னாற்றல் இயக்கவியல், திரவ இயக்கவியல் மற்றும் பிளாஸ்மா இயற்பியல் ஆகியவற்றில். தொடர்ச்சியற்ற கேலர்கின் முறைகள் முதன்முதலில் 1970 களின் முற்பகுதியில் பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகளை எண்ணியல் ரீதியாக தீர்ப்பதற்கான ஒரு நுட்பமாக முன்மொழியப்பட்டு பகுப்பாய்வு செய்யப்பட்டன. 1973 ஆம் ஆண்டில் ரீட் மற்றும் ஹில் ஹைபர்போலிக் நியூட்ரான் போக்குவரத்து சமன்பாட்டைத் தீர்க்க டி. ஜி முறையை அறிமுகப்படுத்தினர். நீள்வட்ட சிக்கல்களுக்கான டி. ஜி முறையின் தோற்றத்தை ஒரு வெளியீட்டில் இருந்து கண்டுபிடிக்க முடியாது, ஏனெனில் நவீன அர்த்தத்தில் ஜம்ப் அபராதம் போன்ற அம்சங்கள் படிப்படியாக உருவாக்கப்பட்டன. இருப்பினும், ஆரம்பகால செல்வாக்குமிக்க பங்களிப்பாளர்களில் பாபுஸ்கா, ஜே. எல். லயன்ஸ், ஜோச்சிம் நிட்சே மற்றும் மிலோஸ் ஸ்லாமல் ஆகியோர் அடங்குவர். நீள்வட்ட சிக்கல்களுக்கான டி. ஜி முறைகள் ஏற்கனவே 1977 ஆம் ஆண்டில் 4 வது வரிசை சமன்பாடுகளின் அமைப்பில் கார்த் பேக்கரால் ஒரு காகிதத்தில் உருவாக்கப்பட்டன. ஆர்னால்ட், பிரெஸ்ஸி, காக்பர்ன் மற்றும் மரினி ஆகியோரின் வெளியீட்டில் நீள்வட்ட சிக்கல்களுக்கான வரலாற்று வளர்ச்சி மற்றும் டி. ஜி முறைகள் பற்றிய முழுமையான விவரம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. காக்பர்ன், கர்னியாடகிஸ் மற்றும் ஷு ஆகியோரால் தொகுக்கப்பட்ட செயல்முறை தொகுதிகளில் டி. ஜி முறைகள் குறித்த பல ஆராய்ச்சி திசைகள் மற்றும் சவால்கள் சேகரிக்கப்பட்டுள்ளன. தொடர்ச்சியான கேலர்கின் (சிஜி) முறையைப் போலவே, தொடர்ச்சியற்ற கேலர்கின் (டிஜி) முறையும் ஒரு குறிப்பிட்ட மாதிரி அமைப்பின் பலவீனமான சூத்திரத்துடன் ஒப்பிடுகையில் வடிவமைக்கப்பட்ட ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட உறுப்பு முறையாகும். இணக்கமாக இருக்கும் பாரம்பரிய சிஜி முறைகளைப் போலல்லாமல், டி. ஜி முறை துண்டுகளாக மட்டுமே தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளின் சோதனை இடத்தில் செயல்படுகிறது, இதனால் பெரும்பாலும் இணக்கமான முறைகளில் பயன்படுத்தப்படும் வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண உள் தயாரிப்பு துணை இடங்களை விட அதிக உள்ளடக்கிய செயல்பாட்டு இடங்களைக் கொண்டுள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, "ஆதாரங்கள்" அல்லது "மூழ்கி" இல்லாமல் ஒரு இடஞ்சார்ந்த களத்தில் அறியப்படாத ஒரு அளவிடலுக்கான தொடர்ச்சியான சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள்ஃ இதன் பாய்வு எங்கே? இப்போது ஒரு தனித்துவமான முக்கோணத்திற்கு கட்டுப்படுத்தப்பட்ட இடஞ்சார்ந்த களத்தின் மீது தொடர்ச்சியற்ற துண்டு துண்டாக பல்லுறுப்புக்கோவை செயல்பாடுகளின் வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண இடைவெளியைக் கவனியுங்கள், இது குறியிடப்பட்ட உறுப்புக்கு மேல் டிகிரிக்கு குறைவாகவோ அல்லது சமமாகவோ உள்ள பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் இடத்தைப் பொறுத்தவரை எழுதப்படுகிறது. பின்னர் வரையறுக்கப்பட்ட உறுப்பு வடிவ செயல்பாடுகளுக்கு தீர்வு குறிக்கப்படுகிறது பின்னர் இதேபோல் தொடர்ச்சியான சமன்பாட்டைப் பெருக்கி, விண்வெளியில் உள்ள பகுதிகளால் ஒருங்கிணைக்கும் ஒரு சோதனை செயல்பாட்டைத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம், செமிடிஸ்கிரீட் டி. ஜி சூத்திரம் ஆகிறதுஃ ஸ்கேலார் ஹைபர்போலிக் கன்சர்வேஷன் லா ஒரு ஸ்கேலார் ஹைபர்போலிக் கன்சர்வேஷன் லா என்பது அறியப்படாத ஸ்கேலார் செயல்பாட்டிற்கு ஒருவர் தீர்க்க முயற்சிக்கும் வடிவமாகும், மேலும் செயல்பாடுகள் பொதுவாக வழங்கப்படுகின்றன. மேலும், செயல்பாட்டு இடத்திற்கான பின்வரும் வரையறைகள் தேவை, நமது தீர்வின் செயல்பாட்டு இடத்திற்கான அடிப்படை பிரதிநிதித்துவத்தை நாம் பெறுகிறோம். செயல்பாட்டு இடைவெளி என்பது இடைவெளியின் மீதான கட்டுப்பாட்டைக் குறிக்கும் இடமாக வரையறுக்கப்படுகிறது, மேலும் அதிகபட்ச டிகிரியின் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் இடத்தை குறிக்கிறது. குறியீடு ஒரு அடிப்படை டிஸ்க்ரீடைசேஷனுடன் கொடுக்கப்பட்ட தொடர்பைக் காட்ட வேண்டும். குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளில் தனித்துவமாக வரையறுக்கப்படவில்லை என்பதை இங்கே கவனிக்கவும். முதலில் நாம் இடைவெளியில் ஒரு குறிப்பிட்ட பல்லுறுப்புக்கோவை அடிப்படையைப் பயன்படுத்துகிறோம், லெஜெண்டர் பல்லுறுப்புக்கோவைகள், அதாவது, குறிப்பாக ஆர்த்தோகோனாலிட்டி உறவுகள் இடைவெளியில் மாற்றம் என்பதைக் கவனியுங்கள், மேலும் இயல்பாக்கம் என்பது செயல்பாடுகளால் அடையப்படுகிறது, இது ஆர்த்தோனார்மாலிட்டி உறவை பூர்த்தி செய்கிறது. இறுதியாக, நமது தீர்வுகளின் அடிப்படை பிரதிநிதித்துவத்தை நாம் வரையறுக்கலாம் குறிப்பு இங்கே, இது இடைமுக நிலைகளில் வரையறுக்கப்படவில்லை. தவிர, ப்ரிஸம் தளங்கள் பிளானர் போன்ற கட்டமைப்புகளுக்கு பயன்படுத்தப்படுகின்றன, மேலும் அவை 2-டி/3-டி கலப்பினத்திற்கு திறன் கொண்டவை. DG-திட்டம் பாதுகாப்புச் சட்டம் சோதனைச் செயல்பாடுகளுடன் பெருக்குவதன் மூலமும், சோதனை இடைவெளிகளில் ஒருங்கிணைப்பதன் மூலமும் அதன் பலவீனமான வடிவமாக மாற்றப்படுகிறது பகுதி ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் ஒன்று எஞ்சியுள்ளது இடைமுகங்களில் உள்ள ஃப்ளக்ஸ் இடது மற்றும் வலது புற வரம்புகளைக் குறிக்கும் எண்ணியல் ஃப்ளக்ஸ் மூலம் தோராயமாக மதிப்பிடப்படுகிறது. இறுதியாக, டி. ஜி-திட்டத்தை அளவீட்டு நீள்வட்ட சமன்பாடு என்று எழுதலாம் ஒரு அளவீட்டு நீள்வட்ட சமன்பாடு வடிவத்தில் உள்ளது இந்த சமன்பாடு நிலையான-நிலை வெப்ப சமன்பாடு, வெப்பநிலை எங்கே. விண்வெளி டிஸ்க்ரீடைசேஷன் மேலே உள்ளதைப் போன்றது. இடைவெளி நீள இடைவெளிகளாகப் பிரிக்கப்பட்டுள்ளது என்பதை நாம் நினைவுகூர்கிறோம். முனையில் ஜம்ப் மற்றும் செயல்பாடுகளின் சராசரியை அறிமுகப்படுத்துகிறோம்ஃ உட்புற பெனால்டி தொடர்ச்சியற்ற கேலர்கின் (ஐபிடிஜி) முறைஃ பைலினியர் வடிவங்கள் மற்றும் எங்கே திருப்திகரமாக உள்ளன என்பதைக் கண்டறியவும் மற்றும் நேரியல் வடிவங்கள் மற்றும் உள்ளன மற்றும் பெனால்டி அளவுரு ஒரு நேர்மறை மாறிலி. அதன் மதிப்பை அதிகரிப்பது தொடர்ச்சியற்ற கரைசலில் தாவல்களைக் குறைக்கும். சமச்சீர் உட்புற அபராதம் கேலர்கின் முறைக்கு சமமாக இருக்க இந்த சொல் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகிறது; இது சமச்சீர் அல்லாத உட்புற அபராதம் கேலர்கின் முறைக்கு சமம். நேரடி தொடர்ச்சியற்ற கேலர்கின் முறை நேரடி தொடர்ச்சியற்ற கேலர்கின் (டி. டி. ஜி) முறை என்பது பரவல் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான ஒரு புதிய தொடர்ச்சியற்ற கேலர்கின் முறையாகும். 2009 ஆம் ஆண்டில், லியு மற்றும் யான் முதன்முதலில் பரவல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான டி. டி. ஜி முறையை முன்மொழிந்தனர். தொடர்ச்சியற்ற கேலர்கின் முறையுடன் ஒப்பிடும்போது இந்த முறையின் நன்மைகள் என்னவென்றால், நேரடி தொடர்ச்சியற்ற கேலர்கின் முறை இடைநிலை மாறிகளை அறிமுகப்படுத்தாமல் செயல்பாட்டின் எண் பாய்வு மற்றும் முதல் வழித்தோன்றல் சொல்லை நேரடியாக எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம் எண் வடிவமைப்பைப் பெறுகிறது. இந்த முறையைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் நாம் இன்னும் நியாயமான எண் முடிவுகளைப் பெற முடியும், மேலும் வழித்தோன்றல் செயல்முறை மிகவும் எளிதானது, கணக்கீட்டின் அளவு பெரிதும் குறைக்கப்படுகிறது. நேரடி தொடர்ச்சியற்ற வரையறுக்கப்பட்ட உறுப்பு முறை என்பது தொடர்ச்சியற்ற கேலர்கின் முறைகளின் ஒரு கிளை ஆகும். இதில் முக்கியமாக சிக்கலை மாறுபட்ட வடிவமாக மாற்றுவது, பிராந்திய அலகு பிரிப்பது, அடிப்படை செயல்பாடுகளை உருவாக்குவது, தொடர்ச்சியற்ற வரையறுக்கப்பட்ட உறுப்பு சமன்பாடுகளை உருவாக்குதல் மற்றும் தீர்ப்பது மற்றும் ஒருங்கிணைப்பு மற்றும் பிழை பகுப்பாய்வு ஆகியவை அடங்கும். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு நேரியல் அல்லாத பரவல் சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள், இது ஒரு பரிமாணம்ஃ, இதில் ஸ்பேஸ் டிஸ்க்ரிடைசேஷன் முதலில், வரையறுக்கவும், மற்றும். எனவே நாம் ஸ்பேஸ் டிஸ்க்ரீடைசேஷனை செய்துவிட்டோம். மேலும், வரையறுக்கவும். அதிகபட்சமாக டிகிரியுடன் கூடிய பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் இடைவெளி என்று ஒரு தோராயத்தைக் கண்டுபிடிக்க விரும்புகிறோம். ஃப்ளக்ஸ் திட்டத்தின் உருவாக்கம்ஃ : சமன்பாட்டின் சரியான தீர்வு. சமன்பாட்டை ஒரு மென்மையான செயல்பாட்டுடன் பெருக்கினால் பின்வரும் சமன்பாடுகளைப் பெறலாம்ஃ இங்கே தன்னிச்சையான, சமன்பாட்டின் சரியான தீர்வு தோராயமான தீர்வால் மாற்றப்படுகிறது, அதாவது, வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதன் மூலம் நமக்குத் தேவையான எண் தீர்வு பெறப்படுகிறது. டிடிஜி முறையின் துல்லியத்திற்கு சரியான எண் பாய்ச்சலைத் தேர்ந்தெடுப்பது முக்கியமானதாகும். எண் பாய்வு பின்வரும் நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்ய வேண்டும்ஃ இது ஒத்திருக்கிறது. இது-நிலைத்தன்மையைக் கொண்டுள்ளது; இது முறையின் துல்லியத்தை மேம்படுத்த முடியும். எனவே, எண் பாய்ச்சலுக்கான ஒரு பொதுவான திட்டம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளதுஃ இந்த பாய்ச்சலில், இரண்டு அண்டை கணினி அலகுகளில் உள்ள பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் அதிகபட்ச வரிசை. இது ஒரு செயல்பாட்டின் தாவல். சீரான கட்டங்களில், சீரான கட்டங்களில் இருக்க வேண்டும் என்பதை நினைவில் கொள்க. பிழை மதிப்பீடுகள் சரியான தீர்வுக்கும் எண் தீர்வுக்கும் இடையிலான பிழை என்பதைக் குறிக்கிறது. பின்வரும் நெறிமுறையுடன் பிழையை அளவிடுகிறோம்ஃ மேலும் கேலர்கின் முறை குறிப்புகள் டி. என். அர்னால்ட், எஃப். பிரெஸ்ஸி, பி. காக்பர்ன் மற்றும் எல். டி. மரினி, நீள்வட்ட சிக்கல்களுக்கான தொடர்ச்சியற்ற கேலர்கின் முறைகளின் ஒருங்கிணைந்த பகுப்பாய்வு, சியாம் ஜே. ந்யூமர். அனல். 39 (5): 1749-1779,2002. ஜி. பேக்கர், ஒத்துப்போகாத உறுப்புகளைப் பயன்படுத்தி நீள்வட்ட சமன்பாடுகளுக்கான வரையறுக்கப்பட்ட உறுப்பு முறைகள், கணிதம். கம்ப். 31 (1977), எண். 137, 45-59. ஏ. காங்கியானி, இசட். டோங், ஈ. எச். ஜார்ஜூலிஸ், மற்றும் பி. ஹூஸ்டன், எச். பி.-பதிப்பு தொடர்ச்சியற்ற கேலர்கின் முறைகள் பலகோண மற்றும் பன்முக மெஷ்கள், கணிதத்தில் ஸ்ப்ரிங்கர் சுருக்கங்கள், (டிசம்பர் 2017). டபிள்யூ. மாய், ஜே. ஹு, பி. லி, மற்றும் எச். சாவோ, "சிதறல் இணையான-தட்டு ஜோடியில் தன்னிச்சையாக வடிவமைக்கப்பட்ட ஆன்டிபேட்களுக்கான தகவமைப்பு அளவுகோலுடன் ஒரு திறமையான மற்றும் நிலையான 2-டி/3-டி கலப்பின தொடர்ச்சியற்ற கேலர்கின் நேர-கள பகுப்பாய்வு", ஐ. இ. இ. இ டிரான்ஸ். மைக்ரோ. கோட்பாடு தொழில்நுட்பம், தொகுதி. 65, இல்லை. 10, பக். 3671-3681, அக்டோபர் 2017. டபிள்யூ. மாய் மற்றும் பலர், "ஒப்பீட்டு பிழையைக் கட்டுப்படுத்தும் 2-டி/3-டி கலப்பின தொடர்ச்சியற்ற கேலர்கின் நேர-கள முறைக்கான நேரடியான புதுப்பிப்பு அளவுகோல்", ஐ. இ. இ. இ டிரான்ஸ். மைக்ரோ. கோட்பாடு தொழில்நுட்பம், தொகுதி. 66, இல்லை. 4, பக். 1713-1722, ஏப்ரல். 2018 ஆம் ஆண்டு. பி. காக்பர்ன், ஜி. இ. கர்னியடகிஸ் மற்றும் சி. டபிள்யூ. ஷு (பதிப்புகள். ), தொடர்ச்சியற்ற கேலர்கின் முறைகள். கோட்பாடு, கணக்கீடு மற்றும் பயன்பாடுகள், கணக்கீட்டு அறிவியல் மற்றும் பொறியியலில் விரிவுரை குறிப்புகள், 11. ஸ்ப்ரிங்கர்-வெர்லாக், பெர்லின், 2000. பி. லெசென்ட் மற்றும் பி. ஏ. ரவியார்ட். "நியூட்ரான் போக்குவரத்து சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட உறுப்பு முறை". பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகளில் வரையறுக்கப்பட்ட கூறுகளின் கணித அம்சங்கள் 33 (1974): 89-123. டி. ஏ. டி பியட்ரோ மற்றும் ஏ. எர்ன், தொடர்ச்சியற்ற கேலர்கின் முறைகளின் கணித அம்சங்கள். கணிதம் மற்றும் பயன்பாடுகள், தொகுதி. 69, ஸ்பிரிங்கர்-வெர்லாக், பெர்லின், 2011. ஜே. எஸ். ஹெஸ்ட்ஹாவன் மற்றும் டி. வார்பர்டன், நோடல் டிஸ்கண்டின்யூஸ் கேலர்கின் முறைகள்ஃ வழிமுறைகள், பகுப்பாய்வு மற்றும் பயன்பாடுகள். பயன்பாட்டு கணிதத்தில் ஸ்ப்ரிங்கர் உரைகள் 54. ஸ்ப்ரிங்கர் வெர்லாக், நியூயார்க், 2008. பி. ரிவியர், நீள்வட்ட மற்றும் பரவளைய சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான தொடர்ச்சியற்ற கேலர்கின் முறைகள்ஃ கோட்பாடு மற்றும் செயல்படுத்தல். பயன்பாட்டு கணிதத்தில் சியாம் எல்லைகள், 2008. CFD விக்கி http://www.cfd-online.com/Wiki/Discontinuous_Galerkin W. H. ரீட் மற்றும் டி. ஆர். நியூட்ரான் போக்குவரத்து சமன்பாட்டிற்கான ஹில், முக்கோண வலை முறைகள், டெக். அறிக்கைஃ லா-யுஆர்-73-479, லாஸ் அலமோஸ் அறிவியல் ஆய்வகம், 1973. எண் வேறுபாடு சமன்பாடுகள் பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகள் வரையறுக்கப்பட்ட உறுப்பு முறை