Proof that π is irrational
1760 களில், ஜோஹன் ஹென்ரிச் லம்பேர்ட் முதன்முதலில் இந்த எண் பகுத்தறிவற்றது என்பதை நிரூபித்தார், அதாவது இது ஒரு பின்னமாக வெளிப்படுத்த முடியாது, எங்கே மற்றும் இரண்டும் முழு எண்கள். 19 ஆம் நூற்றாண்டில், சார்லஸ் ஹெர்மைட் ஒரு ஆதாரத்தைக் கண்டுபிடித்தார், அதற்கு அடிப்படை கணக்கீட்டிற்கு அப்பால் எந்த முன்நிபந்தனை அறிவும் தேவையில்லை. ஹெர்மைட்டின் ஆதாரத்தின் மூன்று எளிமைப்படுத்தல்கள் மேரி கார்ட்ரைட், இவான் நிவேன் மற்றும் நிக்கோலஸ் போர்பாக்கி ஆகியோரின் காரணமாகும். மற்றொரு ஆதாரம், இது லம்பேர்ட்டின் ஆதாரத்தின் எளிமைப்படுத்தலாகும், இது மிக்லோஸ் லாஸ்கோவிச்சின் காரணமாகும். இவற்றில் பல முரண்பாடுகளின் மூலம் சான்றுகளாக உள்ளன. 1882 ஆம் ஆண்டில், ஃபெர்டினாண்ட் வான் லிண்டேமன் இது பகுத்தறிவற்றது மட்டுமல்ல, தெய்வீகமானது என்பதையும் நிரூபித்தார். 1761 ஆம் ஆண்டில், லம்பேர்ட் இந்த தொடர்ச்சியான பின்ன விரிவாக்கம் உள்ளது என்பதை முதலில் காட்டுவதன் மூலம் அது பகுத்தறிவற்றது என்பதை நிரூபித்தார்ஃ பின்னர் லம்பேர்ட் பூஜ்ஜியமற்ற மற்றும் பகுத்தறிவுள்ளவராக இருந்தால், இந்த வெளிப்பாடு பகுத்தறிவற்றதாக இருக்க வேண்டும் என்பதை நிரூபித்தார். ஏனெனில், இது பகுத்தறிவற்றது, எனவே பகுத்தறிவற்றது. லம்பேர்ட்டின் ஆதாரத்தின் எளிமைப்படுத்தல் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. ஹெர்மைட்டின் ஆதாரம் 1873 இல் எழுதப்பட்டது, இந்த ஆதாரம் மிகச்சிறிய நேர்மறை எண்ணாக வகைப்படுத்தப்படுவதைப் பயன்படுத்துகிறது, அதன் பாதி கொசைன் செயல்பாட்டின் பூஜ்ஜியமாகும், மேலும் இது உண்மையில் பகுத்தறிவற்றது என்பதை நிரூபிக்கிறது. பகுத்தறிவற்ற தன்மையின் பல சான்றுகளைப் போலவே, இது முரண்பாட்டின் மூலம் ஒரு சான்றாகும். உண்மையான செயல்பாடுகளின் வரிசைகளைக் கருத்தில் கொள்ளுங்கள் மற்றும் வரையறுக்கஃ தூண்டலைப் பயன்படுத்தி நாம் அதை நிரூபிக்க முடியும், எனவே நம்மிடம் உள்ளதுஃ எனவே இது சமமானது வரிசையின் வரையறையைப் பயன்படுத்துதல் மற்றும் தூண்டலைப் பயன்படுத்துதல் ஆகியவை முழு எண் குணகங்களைக் கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவை செயல்பாடுகள் மற்றும் டிகிரி சிறியது அல்லது சமம் என்பதைக் காட்ட முடியும். முதலாவதாக, இந்த கூற்று தூண்டல், எடுத்தல் மற்றும் தூண்டல் படிநிலைக்கு சமம், எந்தவொரு இயற்கையான எண்ணையும் கருத்தில் கொள்ளுங்கள், பின்னர், பாகங்கள் மற்றும் லீப்னிஸின் விதி மூலம் ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தி, ஒருவர் பெறுகிறார் என்றால், பின்னர், முழு எண்களின் குணகங்கள் மற்றும் அதன் டிகிரி சில முழு எண்களை விட சிறியதாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருப்பதால். ஹெர்மைட் தனது ஆதாரத்தை ஒரு முடிவாக முன்வைக்கவில்லை, ஆனால் அதை மீறியதற்கான ஆதாரத்திற்கான தனது தேடலுக்குள் ஒரு பின்னோக்கிய சிந்தனையாக அவர் மீண்டும் நிகழும் உறவுகளை ஊக்குவிப்பதற்கும் வசதியான ஒருங்கிணைந்த பிரதிநிதித்துவத்தைப் பெறுவதற்கும் விவாதித்தார். இந்த ஒருங்கிணைந்த பிரதிநிதித்துவம் பெறப்பட்டவுடன், ஒருங்கிணைப்பிலிருந்து தொடங்கி ஒரு சுருக்கமான மற்றும் தன்னிறைவு பெற்ற ஆதாரத்தை முன்வைக்க பல்வேறு வழிகள் உள்ளன (கார்ட்ரைட்டின், போர்பாகியின் அல்லது நிவேனின் விளக்கக்காட்சிகளைப் போல), இதை ஹெர்மைட் எளிதில் பார்க்க முடியும் (அவர் தனது ஆதாரத்தில் செய்ததைப் போல). மேலும், ஹெர்மைட்டின் ஆதாரம் லம்பேர்ட்டின் ஆதாரத்திற்கு நெருக்கமாக உள்ளது. உண்மையில், கார்ட்ரைட்டின் ஆதாரத்திற்காக லம்பேர்ட்டின் தொடர்ச்சியான பின்னத்தின் "எச்சம்" (அல்லது "எஞ்சிய") ஹரோல்ட் ஜெஃப்ரீஸ் இந்த ஆதாரம் 1945 ஆம் ஆண்டில் கேம்பிரிட்ஜ் பல்கலைக்கழகத்தில் மேரி கார்ட்ரைட் நடத்திய தேர்வில் ஒரு எடுத்துக்காட்டாக அமைக்கப்பட்டது, ஆனால் அதன் தோற்றத்தை அவர் கண்டுபிடிக்கவில்லை என்று எழுதினார். கேம்பிரிட்ஜ் பல்கலைக்கழகத்தில் பகுப்பாய்வு ஐஏ பாடத்திட்டத்திற்கான 4 வது சிக்கல் தாளில் இது இன்றும் உள்ளது. எதிர்மறை அல்லாத முழு எண் இருக்கும் இடத்தில் ஒருங்கிணைப்புகளைக் கவனியுங்கள். பகுதிகளால் இரண்டு ஒருங்கிணைப்புகள் மீண்டும் நிகழும் உறவைக் கொடுக்கின்றன என்றால் இது மேலும் ஆகிறது, எனவே எல்லா இடங்களுக்கும் மற்றும் டிகிரியின் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் மற்றும் முழு எண் குணகங்களுடன் (எடுத்துக்கொள்வதைப் பொறுத்து, முடிந்தால் எங்கே மற்றும் இயற்கை எண்கள் என்று வைத்துக்கொள்வோம் (அதாவது, அது பகுத்தறிவு என்று வைத்துக்கொள்வோம்). பின்னர் வலது பக்கம் ஒரு முழு எண். ஆனால் இடைவெளி நீளத்தைக் கொண்டிருப்பதால், ஒருங்கிணைக்கப்படும் செயல்பாடு மற்றும் இடையே உள்ள மதிப்புகளை மட்டுமே எடுக்கும் மறுபுறம், எனவே, போதுமான அளவு பெரியதாக இருந்தால், மற்றும் இடையே ஒரு முழு எண்ணைக் காணலாம். இந்த ஆதாரம் ஹெர்மைட்டின் ஆதாரத்தைப் போன்றது. உண்மையில், இருப்பினும், இது தெளிவாக எளிதானது. செயல்பாடுகளின் தூண்டல் வரையறையைத் தவிர்ப்பதன் மூலமும், அவற்றின் வெளிப்பாட்டை ஒரு ஒருங்கிணைந்த தொடக்க புள்ளியாக எடுத்துக்கொள்வதன் மூலமும் இது அடையப்படுகிறது. நிவேனின் சான்று இந்த சான்று சைன் செயல்பாட்டின் மிகச்சிறிய நேர்மறை பூஜ்ஜியத்தின் குணாதிசயத்தைப் பயன்படுத்துகிறது. அது நியாயமானது என்று வைத்துக்கொள்வோம், அதாவது. சில முழு எண்களுக்கு மற்றும் இரண்டிற்கும் பொதுவான தன்மையை இழக்காமல் நேர்மறையாக இருக்கலாம். எந்தவொரு நேர்மறை முழு எண்ணையும் நாம் பல்லுறுப்புக்கோவை செயல்பாட்டை வரையறுக்கிறோம்ஃ மேலும், ஒவ்வொருவருக்கும் உரிமைகோரல் 1: ஒரு முழு எண். சான்றுஃ மோனாமியல்களின் கூட்டுத்தொகையாக விரிவடைவதால், அதன் குணகம் ஒரு முழு எண் இருக்கும் வடிவத்தின் எண்ணாகும், இது என்றால் எனவே, ஒவ்வொரு விஷயத்திலும் எப்போது மற்றும் அது சமமாக இருந்தால், அது ஒரு முழு எண், எனவே இது ஒரு முழு எண். மறுபுறம், எனவே ஒவ்வொரு எதிர்மறை அல்லாத முழு எண்ணுக்கும் குறிப்பாக, எனவே, இது ஒரு முழு எண்ணாகும், எனவே இது ஒரு முழு எண்ணாகும் (உண்மையில், இது முழு எண்கள் என்பதால், அவற்றின் கூட்டுத்தொகையும் கூட என்று பார்ப்பது எளிது. கூற்று 2: ஆதாரம்ஃ பூஜ்ஜிய பல்லுறுப்புக்கோவை என்பதால், நம்மிடம் உள்ளது சைன் மற்றும் கொசைன் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்கள் சைன் '= காஸ் மற்றும் காஸ்' =-சைன் மூலம் வழங்கப்படுகின்றன. எனவே தயாரிப்பு விதி குறிக்கிறது கால்குலஸின் அடிப்படை தேற்றத்தின் மூலம் மற்றும் (இங்கே நாம் மேற்கூறிய குணாதிசயத்தை சைன் செயல்பாட்டின் பூஜ்ஜியமாக பயன்படுத்துகிறோம்), உரிமைகோரல் 2 பின்வருமாறு. முடிவுஃ ஏனெனில் மற்றும் க்கான (ஏனெனில் சைன் செயல்பாட்டின் மிகச்சிறிய நேர்மறை பூஜ்ஜியம்), உரிமைகோரல்கள் 1 மற்றும் 2 ஒரு நேர்மறை முழு எண் என்பதைக் காட்டுகின்றன. ஏனெனில் மற்றும் நம்மிடம் உள்ளது, இதன் அசல் வரையறையின்படி பெரியதை விட சிறியது, எனவே உரிமைகோரல் 2 மூலம் இவற்றிற்கு. நேர்மறை முழு எண்ணுக்கு இது சாத்தியமற்றது இது பகுத்தறிவுள்ள அசல் அனுமானம் ஒரு முரண்பாட்டிற்கு வழிவகுக்கிறது என்பதைக் காட்டுகிறது, இது ஆதாரத்தை முடிக்கிறது. மேற்கண்ட ஆதாரம் ஒரு மெருகூட்டப்பட்ட பதிப்பாகும், இது முன்நிபந்தனைகளைப் பொறுத்தவரை முடிந்தவரை எளிமையாக வைக்கப்படுகிறது, இது பகுதிகளால் ஒருங்கிணைப்பதன் மூலம் பெறப்படும் சூத்திரத்தின் பகுப்பாய்வு ஆகும். உரிமைகோரல் 2 அடிப்படையில் இந்த சூத்திரத்தை நிறுவுகிறது, அங்கு பயன்பாடு பகுதிகளால் மீண்டும் மீண்டும் ஒருங்கிணைப்பை மறைக்கிறது. பூஜ்ஜிய பல்லுறுப்புக்கோவை என்பதால் கடைசி ஒருங்கிணைப்பு மறைந்துவிடும். உரிமைகோரல் 1 மீதமுள்ள தொகை ஒரு முழு எண் என்பதைக் காட்டுகிறது. நிவேனின் ஆதாரம் கார்ட்ரைட்டின் (எனவே ஹெர்மைட்டின்) ஆதாரத்திற்கு நெருக்கமாக உள்ளது, இது முதல் பார்வையில் தோன்றுவதை விட. குறிப்பாக, சான்றுகளுக்கு இடையிலான மற்றொரு தொடர்பு என்னவென்றால், ஹெர்மைட் ஏற்கனவே ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை செயல்பாடு என்று குறிப்பிடுகிறார், பின்னர் அது போர்பாகியின் ஆதாரம் போர்பாகியின் ஆதாரம் அவரது கால்குலஸ் கட்டுரையில் ஒரு பயிற்சியாக கோடிட்டுக் காட்டப்பட்டுள்ளது. ஒவ்வொரு இயற்கையான எண்ணுக்கும் b மற்றும் ஒவ்வொரு எதிர்மறை அல்லாத முழு எண்ணுக்கும் வரையறுக்கப்படுகிறது, ஏனெனில் இது வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு செயல்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்பாகும், இது மதிப்பை எடுக்கும் மற்றும் மற்றவர்களை விட பெரியது, தவிர, ஒவ்வொரு இயற்கை எண்ணுக்கும் போதுமான அளவு பெரியதாக இருந்தால், ஏனெனில் மற்றும் எனவே மறுபுறம், பகுதிகளால் மீண்டும் மீண்டும் ஒருங்கிணைப்பு என்பது இயற்கையான எண்களாக இருந்தால் மற்றும் அதற்குள் வரையறுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவை செயல்பாடாகும் என்பதைக் கண்டுபிடிக்க அனுமதிக்கிறதுஃ இந்த கடைசி ஒருங்கிணைப்பு பூஜ்ய செயல்பாடாகும் (ஏனெனில் இது டிகிரியின் பல்லுறுப்புக்கோவை செயல்பாடாகும்) ஏனெனில் ஒவ்வொரு செயல்பாடும் (முழு எண் மதிப்புகளை எடுத்துக்கொள்வது மற்றும் அதே விஷயம் சைன் மற்றும் கொசைன் செயல்பாடுகளுடன் நிகழ்கிறது என்பதால், இது ஒரு முழு எண் என்பதை நிரூபிக்கிறது. இதுவும் அதை விட பெரியதாக இருப்பதால் அது ஒரு இயல் எண்ணாக இருக்க வேண்டும். ஆனால் அது போதுமான அளவு பெரியதாக இருந்தால், அதன் மூலம் ஒரு முரண்பாட்டை அடைகிறது என்பதும் நிரூபிக்கப்பட்டது. இந்த ஆதாரம் நிவேனின் ஆதாரத்திற்கு மிகவும் நெருக்கமாக உள்ளது, அவற்றுக்கிடையேயான முக்கிய வேறுபாடு எண்கள் முழு எண்கள் என்பதை நிரூபிக்கும் வழியாகும். லாக்ஸ்கோவிச்சின் சான்று மிக்லோஸ் லாக்ஸ்கோவிச்சின் சான்று லம்பேர்ட்டின் அசல் ஆதாரத்தின் எளிமைப்படுத்தலாகும். உரிமைகோரல் 1 ஐத் தவிர எந்தவொரு உண்மையான எண்ணுக்கும் இந்த செயல்பாடுகள் தெளிவாக வரையறுக்கப்படுகின்றனஃ பின்வரும் மறுநிகழ்வு உறவு எந்தவொரு உண்மையான எண் ஆதாரத்திற்கும் பொருந்தும்ஃ உரிமைகோரல் 2 இன் அதிகாரங்களின் குணகங்களை ஒப்பிடுவதன் மூலம் இதை நிரூபிக்க முடியும்ஃ ஒவ்வொரு உண்மையான எண்ணுக்கும் ஆதாரம்ஃ உண்மையில், வரிசை வரம்புக்குட்பட்டது (இது ஒரு மேல் வரம்பாக இருப்பதால் மற்றும் இருந்தால், உரிமைகோரல் 3: பகுத்தறிவு என்றால், பின்னர் ஆதாரம்ஃ இல்லையெனில், ஒரு எண் மற்றும் முழு எண்கள் இருக்கும், மேலும் ஏன், எடுக்கவும் இல்லையென்றால், முழு எண்களைத் தேர்ந்தெடுத்து வரையறுக்கவும் ஒவ்வொரு விஷயத்திலும், உரிமைகோரல் 1 இலிருந்து ஒவ்வொரு () உரிமைகோரல் 2 க்கு முரணாக இருக்கும். இப்போது, மூன்று எண்களும் முழு எண்களாக இருக்கும் ஒரு இயற்கையான எண்ணை எடுத்து வரிசையைக் கவனியுங்கள் பின்னர் மறுபுறம், இது உரிமைகோரல் 1 இலிருந்து பின்தொடர்கிறது, இது முழு எண் குணகங்களின் நேரியல் கலவையாகும். எனவே, ஒவ்வொன்றும் பகுத்தறிவற்ற கூற்று 3 ஐப் பின்பற்றுகிறது, எனவே அது பகுத்தறிவற்றது, எனவே அது பகுத்தறிவற்றது. மறுபுறம், உரிமைகோரல் 3 இன் மற்றொரு விளைவு என்னவென்றால், அது பகுத்தறிவற்றது. லாக்ஸ்கோவிச்சின் ஆதாரம் உண்மையில் ஹைப்பர்ஜியோமெட்ரிக் செயல்பாட்டைப் பற்றியது. உண்மையில், மற்றும் காஸ் அதன் செயல்பாட்டு சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தி ஹைப்பர்ஜியோமெட்ரிக் செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சியான பின்ன விரிவாக்கத்தை கண்டறிந்தார். இது லம்பேர்ட் கண்டுபிடித்த தொடர்ச்சியான பின்ன விரிவாக்கத்தை தொடுகோடு செயல்பாடு கொண்டுள்ளது என்பதற்கான புதிய மற்றும் எளிமையான ஆதாரத்தைக் கண்டறிய லாஸ்கோவிச்சை அனுமதித்தது. லாக்ஸ்கோவிச்சின் முடிவை முதல் வகையான பெசல் செயல்பாடுகளிலும் வெளிப்படுத்தலாம். உண்மையில், (காமா செயல்பாடு எங்கே). எனவே லாக்ஸ்கோவிச்சின் முடிவு இதற்கு சமமானதுஃ பகுத்தறிவு என்றால், பின்னர் e என்பது பகுத்தறிவற்ற ஆதாரம் என்பதற்கான ஆதாரத்தையும் பார்க்கவும், இது ஆழ்நிலை குறிப்புகள் பை கட்டுரை ஆதாரங்கள் பகுத்தறிவற்ற எண்கள்.