Moser spindle
வரைபடக் கோட்பாட்டில், கணிதத்தின் ஒரு கிளையான மோசர் சுழல் (மோசர்ஸ் சுழல் அல்லது மோசர் வரைபடம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) என்பது ஏழு செங்குத்துகள் மற்றும் பதினொரு விளிம்புகளைக் கொண்ட கணிதவியலாளர்களான லியோ மோசர் மற்றும் அவரது சகோதரர் வில்லியம் ஆகியோரின் பெயரிடப்பட்ட ஒரு திசைதிருப்பப்படாத வரைபடமாகும். இது எந்தவொரு வரைபட நிறத்திலும் நான்கு வண்ணங்கள் தேவைப்படும் ஒரு அலகு தூர வரைபடமாகும், மேலும் தளத்தின் நிற எண் குறைந்தது நான்கு என்பதை நிரூபிக்க அதன் இருப்பைப் பயன்படுத்தலாம். மோஜர் சுழல் ஜியோர்கி ஹாஜோஸுக்குப் பிறகு ஹாஜோஸ் வரைபடம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது, ஏனெனில் இது ஹாஜோஸ் கட்டுமானத்தின் ஒரு எடுத்துக்காட்டு என்று கருதப்படலாம். இருப்பினும், "ஹாஜோஸ் வரைபடம்" என்ற பெயர் ஒரு அறுகோணத்திற்குள் பொறிக்கப்பட்ட முக்கோணத்தின் வடிவத்தில் வேறு வரைபடத்திற்கும் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது. ஒரு அலகு தூர வரைபடமாக, மோசர் சுழல் 60 மற்றும் 120 டிகிரி கோணங்களுடன் இரண்டு ரோம்பிகளால் உருவாகிறது, இதனால் ரோம்பியின் பக்கங்களும் குறுகிய மூலைவிட்டங்களும் சமபக்க முக்கோணங்களை உருவாக்குகின்றன. இரண்டு ரோம்பிகளும் விமானத்தில் வைக்கப்பட்டு, அவற்றின் கடுமையான கோண செங்குத்துகளில் ஒன்றைப் பகிர்ந்து கொள்கின்றன, மீதமுள்ள இரண்டு கடுமையான கோண செங்குத்துகள் ஒருவருக்கொருவர் ஒரு அலகு தூரத்தில் இருக்கும் வகையில். வரைபடத்தின் பதினொரு விளிம்புகள் எட்டு ரோம்பஸ் பக்கங்கள், ரோம்பியின் இரண்டு குறுகிய மூலைவிட்டங்கள் மற்றும் அலகு-தூர ஜோடி கடுமையான கோண செங்குத்துகளுக்கு இடையிலான விளிம்பு ஆகும். நான்கு செங்குத்துகளில் இரண்டு முழுமையான வரைபடங்களுடன் தொடங்கும் ஹாஜோஸ் கட்டுமானத்தைப் பயன்படுத்தி, வடிவியல் உட்பொதிப்பைக் குறிப்பிடாமல், மோசர் சுழல் கோட்பாட்டளவில் வரைபடமாகவும் கட்டப்படலாம். இந்த கட்டுமானம் ஒவ்வொரு முழுமையான வரைபடத்திலிருந்தும் ஒரு விளிம்பை நீக்குகிறது, அகற்றப்பட்ட விளிம்புகளின் இரண்டு இறுதிப் புள்ளிகளை இரு கிளிக்குகளாலும் பகிரப்பட்ட ஒற்றை உச்சியில் இணைக்கிறது, மேலும் அகற்றப்பட்ட விளிம்பின் மீதமுள்ள இரண்டு இறுதிப் புள்ளிகளை இணைக்கும் புதிய விளிம்பை சேர்க்கிறது. மோசர் சுழற்சியை உருவாக்குவதற்கான மற்றொரு வழி, பயன்பாட்டு வரைபடம் K3,3 இலிருந்து அதன் விளிம்புகளில் ஒன்றைப் பிரிப்பதன் மூலம் உருவாக்கப்பட்ட வரைபடத்தின் நிரப்பு வரைபடமாகும். ஹேடிவிகர்-நெல்சன் சிக்கலுக்கான பயன்பாடு ஹேடிவிகர்-நெல்சன் சிக்கல் யூக்ளிடியன் தளத்தின் புள்ளிகளை வண்ணமயமாக்க எத்தனை வண்ணங்கள் தேவை என்று கேட்கிறது, இதனால் ஒருவருக்கொருவர் அலகு தூரத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு ஜோடி புள்ளிகளுக்கும் வெவ்வேறு வண்ணங்கள் ஒதுக்கப்படுகின்றன. அதாவது, எல்லையற்ற வரைபடத்தின் நிற எண்ணைக் கேட்கிறது, அதன் செங்குத்துகள் தளத்தில் உள்ள அனைத்து புள்ளிகளாகவும், அதன் விளிம்புகள் அனைத்தும் அலகு தூரத்தில் உள்ள புள்ளிகளின் ஜோடிகளாகவும் உள்ளன. மோசர் சுழற்சிக்கு எந்த வரைபட நிறத்திலும் நான்கு வண்ணங்கள் தேவைப்படுகின்றனஃ அது உருவாகும் இரண்டு ரோம்பிகளில் ஒன்றின் எந்த மூன்று நிறத்திலும், ரோம்பியின் இரண்டு கடுமையான கோண செங்குத்துகள் ஒருவருக்கொருவர் ஒரே நிறத்தைக் கொண்டிருக்க வேண்டும். ஆனால் இரண்டு ரோம்பிகளின் பகிரப்பட்ட உச்சி இரண்டு எதிர் கடுமையான-கோண செங்குத்துகளின் அதே நிறத்தைக் கொண்டிருந்தால், இந்த இரண்டு செங்குத்துகளும் ஒன்றுக்கொன்று ஒரே நிறத்தைக் கொண்டுள்ளன, அவற்றை இணைக்கும் விளிம்பு வெவ்வேறு நிற இறுதிப் புள்ளிகளைக் கொண்டிருக்க வேண்டும் என்ற தேவையை மீறுகிறது. இந்த முரண்பாடு மூன்று வண்ணங்கள் சாத்தியமற்றது என்பதைக் காட்டுகிறது, எனவே குறைந்தது நான்கு வண்ணங்கள் தேவை. மோசர் சுழற்சிக்கு வண்ணம் பூச நான்கு வண்ணங்கள் போதுமானது, உதாரணமாக அதன் சீரழிவு மூன்று என்ற உண்மையிலிருந்து பின்வரும் உண்மை. மோஸர் சுழற்சிக்கு நான்கு வண்ணங்கள் தேவை என்பதற்கான மாற்று ஆதாரம் ஹாஜோஸ் கட்டுமானத்திலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது. மோஸர் சுழல் உருவாகும் இரண்டு முழுமையான வரைபடங்களுக்கும் நான்கு வண்ணங்கள் தேவைப்படுகின்றன, மேலும் ஹாஜோஸ் கட்டுமானம் இந்த பண்பைப் பாதுகாக்கிறது. இன்னும் நேரடியாக, மோஸர் சுழற்சியில் உள்ள ஒவ்வொரு சுயாதீன தொகுப்பும் அதிகபட்சம் இரண்டு செங்குத்துகளைக் கொண்டுள்ளன, எனவே ஏழு செங்குத்துகளையும் மறைக்க குறைந்தது நான்கு சுயாதீன தொகுப்புகள் தேவைப்படுகின்றன. மோசர் சுழல் என்பது தளத்தின் எல்லையற்ற அலகு தூர வரைபடத்தின் துணை வரைபடம் என்பதால், தளத்தின் வரைபடத்திற்கும் எந்த நிறத்திலும் குறைந்தது நான்கு வண்ணங்கள் தேவைப்படுகின்றன. டி ப்ரூய்ன்-எர்டாஸ் தேற்றத்தின் படி (விருப்பத்தின் கோட்பாடு உண்மை என்ற அனுமானத்துடன்), தளத்தின் நிற எண் அதன் எந்தவொரு வரையறுக்கப்பட்ட துணை வரைபடங்களின் மிகப்பெரிய நிற எண்ணுக்கு சமம்; 2018 ஆம் ஆண்டில் 5-நிற அலகு தூர வரைபடங்களின் குடும்பம் கண்டுபிடிக்கப்படும் வரை, எல்லையற்ற அலகு தூர வரைபடத்தின் எந்த துணை வரைபடமும் கண்டுபிடிக்கப்படவில்லை, இதற்கு மோசர் சுழற்சியை விட அதிக எண்ணிக்கையிலான வண்ணங்கள் தேவைப்படுகின்றன. இருப்பினும், தளத்தின் நிற எண்ணுக்கு சிறந்த மேல் வரம்பு ஏழு ஆகும், இது மோசர் சுழற்சிக்குத் தேவையான வண்ணங்களின் எண்ணிக்கையை விட கணிசமாக அதிகமாக உள்ளது. பிற பண்புகள் மற்றும் பயன்பாடுகள் மோசர் சுழல் ஒரு சமதள வரைபடமாகும், அதாவது விமானத்தில் குறுக்கிடாமல் அதை வரைய முடியும். இருப்பினும், நேர் கோடு விளிம்புகளுடன் அத்தகைய வரைபடத்தை உருவாக்க முடியாது, இது ஒரு அலகு தூர வரைபடமாகும்; அதாவது, இது ஒரு தீப்பெட்டி வரைபடம் அல்ல. மோசர் சுழலும் ஒரு லேமான் வரைபடமாகும், அதாவது இது விமானத்தில் உட்பொதிக்கப்படும்போது குறைந்தபட்ச கடினமான அமைப்பை உருவாக்குகிறது. ஒரு பிளானர் லேமான் வரைபடமாக, இது ஒரு கூர்மையான சூடோட்ரியாங்குலேஷனின் வரைபடமாகும், அதாவது எல்லையற்ற முகம் உட்பொதிப்பின் குவிந்த மேலோட்டமாக இருக்கும் வகையில் விமானத்தில் உட்பொதிக்கப்படலாம் மற்றும் ஒவ்வொரு வரம்புக்குட்பட்ட முகமும் மூன்று குவிந்த செங்குத்துகளுடன் ஒரு சூடோட்ரியாங்கிள் ஆகும். மோசர் வரைபடத்தின் நிரப்பு வரைபடம் முக்கோணம் இல்லாத வரைபடமாகும். எனவே, மோசர் வரைபடத்தின் அலகு தூர உட்பொதிப்பு விமானத்தில் ஏழு புள்ளிகளை வைக்கும் சிக்கலைத் தீர்க்கப் பயன்படுத்தப்படலாம், இதனால் ஒவ்வொரு மூன்று புள்ளிகளும் ஒருவருக்கொருவர் அலகு தூரத்தில் குறைந்தது ஒரு ஜோடியைக் கொண்டிருக்கும். மோசர் சுழற்சியில் எந்த விளிம்பையும் சேர்ப்பது ஒரு அலகு தூர வரைபடமாக விமானத்தில் உட்பொதிக்க முடியாத ஒரு வரைபடத்தை விளைவிக்கிறது, மேலும் மோசர் சுழற்சியில் இருந்து எந்த சிறிய அலகு தூர வரைபடத்திற்கும் ஒரு வரைபட ஒத்திசைவு இல்லை. மோசர் சுழற்சியின் இந்த இரண்டு பண்புகளும் கொடுக்கப்பட்ட வரைபடத்தில் இரு பரிமாண அலகு தூர பிரதிநிதித்துவம் உள்ளதா என்பதை சோதிக்கும் NP-கடினத்தன்மையைக் காட்ட பயன்படுத்தப்பட்டன; ஆதாரம் 3SAT இலிருந்து குறைப்பைப் பயன்படுத்துகிறது, இதில் மோசர் சுழல் குறைப்பில் மைய உண்மை அமைக்கும் சாதனமாக பயன்படுத்தப்படுகிறது. யூக்ளிடியன் ராம்சே கோட்பாட்டில் ஒரு முடிவை நிரூபிக்க மோசர் சுழல் பயன்படுத்தப்படலாம்ஃ T என்பது தளத்தின் எந்த முக்கோணமாகவும், தளத்தின் புள்ளிகள் இரண்டு வண்ண கருப்பு மற்றும் வெள்ளை நிறமாகவும் இருந்தால், பின்னர் T இன் கருப்பு மொழிபெயர்ப்பு அல்லது ஒருவருக்கொருவர் அலகு தூரத்தில் ஒரு ஜோடி வெள்ளை புள்ளிகள் இருக்கும். ஏனெனில், M என்பது மோசர் சுழற்சியின் ஒரு அலகு-தூர உட்பொதிப்பாக இருக்கட்டும், M + T என்பது M மற்றும் T இன் மின்காவ்ஸ்கி கூட்டுத்தொகையாக இருக்கட்டும். M + T க்கு வெள்ளை அலகு-தூர ஜோடி இல்லையென்றால், M + T இல் உள்ள மோசர் சுழற்சியின் மூன்று பிரதிகளில் ஒவ்வொன்றும் அதிகபட்சம் இரண்டு வெள்ளை புள்ளிகளைக் கொண்டிருக்க வேண்டும், ஏனெனில் ஒவ்வொரு நகலிலும் உள்ள வெள்ளை புள்ளிகள் ஒரு சுயாதீனமான தொகுப்பை உருவாக்க வேண்டும் மற்றும் மோசர் சுழற்சியில் உள்ள மிகப்பெரிய சுயாதீனமான தொகுப்பு அளவு இரண்டைக் கொண்டுள்ளது. எனவே, மோசர் சுழற்சியின் ஏழு செங்குத்துகளில், எம் + டி இல் வெள்ளை நகல் கொண்ட அதிகபட்சம் ஆறு உள்ளன, எனவே ஏழு செங்குத்துகளில் ஒன்று இருக்க வேண்டும், அதன் அனைத்து நகல்களும் கருப்பு நிறத்தில் இருக்க வேண்டும். ஆனால் பின்னர் இந்த உச்சியின் மூன்று பிரதிகள் டி இன் மொழிபெயர்ப்பை உருவாக்குகின்றன. மேலும் காண்க கோலோம்ப் வரைபட குறிப்புகள் வெளிப்புற இணைப்புகள் தனிப்பட்ட வரைபடங்கள் பிளானர் வரைபடங்கள்