Embedding problem
கணிதத்தின் ஒரு கிளையான கலோயிஸ் கோட்பாட்டில், உட்பொதிக்கும் சிக்கல் என்பது தலைகீழ் கலோயிஸ் சிக்கலின் பொதுமைப்படுத்தலாகும். தோராயமாக கூறுவதானால், கொடுக்கப்பட்ட கலோயிஸ் நீட்டிப்பை ஒரு கலோயிஸ் நீட்டிப்பில் உட்பொதிக்க முடியுமா என்று அது கேட்கிறது, இதனால் தொடர்புடைய கலோயிஸ் குழுக்களுக்கு இடையிலான கட்டுப்பாட்டு வரைபடம் வழங்கப்படுகிறது. வரையறை ஒரு புலம் K மற்றும் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட குழு H கொடுக்கப்பட்டால், ஒருவர் பின்வரும் கேள்வியை முன்வைக்கலாம் (தலைகீழ் கலோயிஸ் சிக்கல் என்று அழைக்கப்படுகிறது). உட்பொதிக்கும் சிக்கல் இந்த சிக்கலின் பொதுமைப்படுத்தலாகும்ஃ L/K என்பது காலோயிஸ் குழு G உடன் ஒரு காலோயிஸ் நீட்டிப்பாக இருக்கட்டும் மற்றும் f: H → G ஒரு எபிமார்பிசமாக இருக்கட்டும். காலோயிஸ் குழு H உடன் ஒரு காலோயிஸ் நீட்டிப்பு F/K மற்றும் ஒரு உட்பொதிக்கப்பட்ட α: L → F ஃபிக்ஸிங் K உள்ளதா, இதன் கீழ் F/K இன் காலோயிஸ் குழுவிலிருந்து L/K இன் காலோயிஸ் குழுவிற்கு கட்டுப்பாடு வரைபடம் f உடன் ஒத்துப்போகிறதா? இதேபோல், ஒரு வரம்பற்ற குழு F க்கான உட்பொதிக்கும் சிக்கல் பின்வரும் தரவுகளைக் கொண்டுள்ளதுஃ இரண்டு வரம்பற்ற குழுக்கள் H மற்றும் G மற்றும் இரண்டு தொடர்ச்சியான எபிமார்பிசம்கள் φ: F → G மற்றும் f: H → G. குழு H என்றால் உட்பொதிக்கும் சிக்கல் வரையறுக்கப்பட்டதாகக் கூறப்படுகிறது. அத்தகைய உட்பொதிக்கும் சிக்கலின் ஒரு தீர்வு (சில நேரங்களில் பலவீனமான தீர்வு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) ஒரு தொடர்ச்சியான ஒத்தமைவு γ: F → H ஆகும், அதாவது φ = f γ. தீர்வு சர்ஜெக்டிவ் என்றால், அது சரியான தீர்வு என்று அழைக்கப்படுகிறது. பண்புகள் வரையறுக்கப்பட்ட உட்பொதிக்கும் சிக்கல்கள் எல்லையற்ற குழுக்களை வகைப்படுத்துகின்றன. பின்வரும் தேற்றம் இந்தக் கொள்கைக்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டை வழங்குகிறது. தேற்றம். F ஒரு எண்ணற்ற (இடவியல் ரீதியாக) உருவாக்கப்பட்ட வரம்பற்ற குழுவாக இருக்கட்டும். F க்கான ஏதேனும் வரையறுக்கப்பட்ட உட்பொதிப்பு சிக்கல் தீர்க்கக்கூடியதாக இருந்தால் மட்டுமே F ப்ரொஜெக்டிவ் ஆகும். F க்கான எந்தவொரு வரையறுக்கப்பட்ட உட்பொதிப்பு சிக்கலும் சரியாக தீர்க்கப்பட்டால் மட்டுமே F கணக்கிடக்கூடிய தரவரிசையில் இருந்து விடுபடும். மேற்கோள்கள் வாஹித் ஷிர்பிஷே, கலோயிஸ் எக்ஸ்போனன்ட் பி. வி. டி. எம் வெர்லாக் டாக்டர் முல்லரின் அபெலியன் கர்னல்களுடன் சிக்கல்களை உட்பொதிக்கிறது, (2009). குழு கோட்பாடு கலோயிஸ் கோட்பாடு