Local flatness
கணிதத்தின் ஒரு கிளையான இடவியலில், உள்ளூர் தட்டையான தன்மை என்பது ஒரு மென்மையான நிலை, இது இடவியல் சப்மேனிஃபோல்டுகளில் விதிக்கப்படலாம். இடவியல் பன்மடங்கு வகைகளில், உள்ளூரில் தட்டையான சப்மேனிஃபோல்டுகள் மென்மையான பன்மடங்கு வகைகளில் உட்பொதிக்கப்பட்ட சப்மேனிஃபோல்டுகளைப் போலவே ஒரு பாத்திரத்தை வகிக்கின்றன. உள்ளூர் தட்டையான மீறல்கள் ரிட்ஜ் நெட்வொர்க்குகள் மற்றும் நொறுங்கிய கட்டமைப்புகளை விவரிக்கின்றன, பொருட்கள் செயலாக்கம் மற்றும் இயந்திர பொறியியலுக்கான பயன்பாடுகளுடன். வரையறை ஒரு d பரிமாண பன்மடங்கு N ஒரு n பரிமாண பன்மடங்கு M இல் உட்பொதிக்கப்பட்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம் (இங்கு d <n). இடவியல் ஜோடி ஜோடிக்கு ஹோமியோமார்பிக் ஆக இருக்கும் வகையில் x இன் அக்கம் இருந்தால், x இல் உள்ளூரில் N தட்டையானது என்று நாம் சொன்னால், அதன் நிலையான சேர்ப்புடன், ஒரு ஹோமியோமார்பிசம் உள்ளது, அதாவது அதன் படம் ஒத்துப்போகிறது. வரைபட அடிப்படையில், பின்வரும் சதுரம் பயணிக்க வேண்டும்ஃ ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் N உள்ளூரில் தட்டையாக இருந்தால் M இல் உள்ளூரில் N ஐ தட்டையானது என்று அழைக்கிறோம். இதேபோல், ஒரு வரைபடம் உள்ளூரில் தட்டையானது என்று அழைக்கப்படுகிறது, அது உட்பொதிக்கப்படாவிட்டாலும் கூட, N இல் உள்ள ஒவ்வொரு x க்கும் ஒரு அண்டை U இருந்தால், அதன் படம் உள்ளூரில் M இல் தட்டையானது. பன்மடங்கு எல்லையுடன் மேலே உள்ள வரையறை, M க்கு ஒரு எல்லை இருந்தால், x என்பது M இன் எல்லை புள்ளி அல்ல என்று கருதுகிறது. இடவியல் ஜோடி ஜோடிக்கு ஹோமியோமார்பிக் ஆக இருக்கும் வகையில் x இன் அக்கம் இருந்தால், M இன் எல்லை புள்ளி x இல் N உள்ளூரில் தட்டையானது என்று நாம் கூறுகிறோம், அங்கு ஒரு நிலையான அரை-இடைவெளி மற்றும் அதன் எல்லையின் நிலையான துணை இடமாக சேர்க்கப்பட்டுள்ளது. விளைவுகள் உட்பொதிப்பின் உள்ளூர் தட்டையானது அனைத்து உட்பொதிப்புகளாலும் பகிரப்படாத வலுவான பண்புகளைக் குறிக்கிறது. பிரவுன் (1962), d = n−1 என்றால், N காலர் என்று நிரூபித்தார்; அதாவது, அது N × [0,1] க்கு ஒத்த உருவத்தைக் கொண்ட ஒரு சுற்றுப்புறத்தைக் கொண்டுள்ளது, N என்பது N × 1/2 (N என்பது M இன் உட்புறத்தில் இருந்தால்) அல்லது N × 0 (N என்பது M இன் எல்லையில் இருந்தால்) உடன் தொடர்புடையது. யூக்ளிடியன் விண்வெளி நேர்த்தியான சப்மேனிஃபோல்ட் குறிப்புகள் பிரவுன், மோர்டன் (1962), இடவியல் பன்மடங்கு உள்ளூரில் தட்டையான உட்பொருள்கள் ஆகியவற்றைப் பார்க்கவும். அனல்ஸ் ஆஃப் மேத்தமேட்டிக்ஸ், இரண்டாவது தொடர், தொகுதி. 75 (1962), pp. 331-341. மசூர், பாரி. கோளங்களின் உட்பொதிப்புகளில். புல்லட்டின் ஆஃப் தி அமெரிக்கன் மேத்தமேட்டிக்கல் சொசைட்டி, தொகுதி. 65 (1959), எண். 2, pp. 59-65. http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183523034. இடவியல் வடிவியல் இடவியல்