Functional-theoretic algebra
எந்தவொரு திசையன் இடத்தையும் இரண்டு நேரியல் செயல்பாடுகளின் அடிப்படையில் தயாரிப்புகளை வரையறுப்பதன் மூலம் செயல்பாட்டு-கோட்பாட்டு இயற்கணிதம் என்று அழைக்கப்படும் ஒரு ஒருங்கிணைந்த துணை இயற்கணிதமாக மாற்றலாம். பொதுவாக, இது ஒரு பரிமாற்றமற்ற இயற்கணிதம். இரண்டு செயல்பாடுகளும் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும்போது இது பரிமாற்றமாக மாறுகிறது. வரையறைஃ ஏஎஃப் ஒரு புலம் எஃப் மீது ஒரு திசையன் இடமாக இருக்கட்டும், மேலும் எல் 1 மற்றும் எல் 2 ஏஎஃப் இல் உள்ள சில ஈ க்கு எல் 1 (இ) = எல் 2 (இ) = 1 எஃப் என்ற பண்புடன் ஏஎஃப் இல் இரண்டு நேரியல் செயல்பாடுகளாக இருக்கட்டும். மேலே உள்ள பெருக்கம் துணை மற்றும் e இந்த பெருக்கத்தின் அடையாளம் என்பதை சரிபார்க்க முடியும். எனவே, ஏ. எஃப் அலகு ஈ உடன் ஒரு துணை இயற்கணிதத்தை உருவாக்குகிறது மற்றும் இது ஒரு செயல்பாட்டு கோட்பாட்டு இயற்கணிதம் (எஃப். டி. ஏ) என்று அழைக்கப்படுகிறது. இரண்டு நேரியல் செயல்பாடுகள் L1 மற்றும் L2 ஒரே மாதிரியானவை என்று வைத்துக்கொள்வோம், L என்று சொல்லுங்கள். பின்னர் எடுத்துக்காட்டு X ஆல் வரையறுக்கப்பட்ட பெருக்கத்துடன் ஒரு பரிமாற்ற இயற்கணிதமாக மாறுகிறது. எஃப்எக்ஸ் என்பது எக்ஸ் முதல் எஃப் வரையிலான செயல்பாடுகளின் தொகுப்பாகும். எஃப், ஜி எஃப்எக்ஸில் இருந்தால், எக்ஸ் இல் எக்ஸ் மற்றும் எஃப் இல் α இருந்தால், பின்னர் வரையறுக்கவும் கூட்டல் மற்றும் அளவிடுதல் பெருக்கத்துடன் இது வரையறுக்கப்படுகிறது, எஃப்எக்ஸ் என்பது எஃப் மீது ஒரு திசையன் இடைவெளி. L1 மற்றும் L2 ஐ FX முதல் F வரை L1 (f) = f (a) மற்றும் L2 (f) = f (b) ஆல் வரையறுக்கவும். பின்னர் L1 மற்றும் L2 ஆகியவை FX இல் உள்ள இரண்டு நேரியல் செயல்பாடுகளாகும், அதாவது L1 (e) = L2 (e) = 1F. சிக்கலான விமானத்தில் உள்ள வளைவுகளின் எஃப்டிஏ சி சிக்கலான எண்களின் புலத்தைக் குறிக்கட்டும் என்பதை நினைவில் கொள்க. உண்மையான எண்களின் மூடிய இடைவெளி [0,1] இலிருந்து புலம் C க்கு ஒரு தொடர்ச்சியான சார்பு γ ஒரு வளைவு என்று அழைக்கப்படுகிறது. சிக்கலான எண்கள் γ (0) மற்றும் γ (1) முறையே, வளைவின் ஆரம்ப மற்றும் இறுதி புள்ளிகள். அவை ஒத்துப்போனால், வளைவு ஒரு வளையம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. அனைத்து வளைவுகளின் தொகுப்பு V [0,1] என்பது C க்கு மேல் ஒரு திசையன் இடைவெளி ஆகும். மேலே உள்ளபடி பெருக்கத்தை வரையறுப்பதன் மூலம் வளைவுகளின் இந்த திசையன் இடத்தை இயற்கணிதமாக மாற்றலாம். நம்மிடம் உள்ள α, C [0,1] இல் உள்ள β ஐத் தேர்ந்தெடுப்பது, பின்னர், V [0,1] என்பது e ஐ ஒற்றுமையாகக் கொண்ட ஒரு பரிமாற்றமற்ற இயற்கணிதமாகும். இதை ஒரு எடுத்துக்காட்டு மூலம் விளக்குகிறோம். வளைவுகளின் f-உற்பத்தியின் எடுத்துக்காட்டு (1) புள்ளிகள் (1,0) மற்றும் (0,1) மற்றும் (2) மூலத்தில் மையத்துடன் அலகு வட்டத்தை இணைக்கும் கோடு பிரிவை எடுத்துக்கொள்வோம். V [0,1] இல் உள்ள வளைவுகளாக, அவற்றின் சமன்பாடுகளை பின்வருமாறு பெறலாம். கோடு பிரிவு f தொடங்குகிறதுஃ மற்றும் முடிவடைகிறது இப்போது, கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு f-தயாரிப்புகளைப் பெறுகிறோம் மற்றும் படத்தைப் பார்க்கவும். பெருக்கம் என்பது பரிமாற்றமற்றது என்பதைக் காட்டுவதைக் கவனியுங்கள். மேலும் இரண்டு தயாரிப்புகளும் செபாஸ்டியன் வட்டமட்டம் மற்றும் ஆர். சிவராமகிருஷ்ணன், கணித பகுப்பாய்வில் சமீபத்திய போக்குகள், அலைட் பப்ளிஷர்ஸ், 2003 இல் உள்ள கன்வொல்யூஷன் ஆல்ஜிப்ராஸ் பற்றிய குறிப்பு ஆகியவற்றிலிருந்து தொடங்குகின்றன. செபாஸ்டியன் வட்டமட்டம் மற்றும் ஆர். சிவராமகிருஷ்ணன், அசோசியேட்டிவ் ஆல்ஜிப்ராஸ் வழியாக லீனியர் ஃபங்ஷனல்ஸ், கே. எம். ஏ. வின் வருடாந்திர மாநாட்டின் நடவடிக்கைகள், ஜனவரி 17-19,2000, பக். 81-89 செபாஸ்டியன் வட்டமட்டம், அல்லாத பரிமாற்ற செயல்பாடு ஆல்ஜிப்ராஸ், கேரள கணித சங்கத்தின் புல்லட்டின், தொகுதி. 4, இல்லை. 2, டிசம்பர் 2007 செபாஸ்டியன் வட்டமட்டம், டிரான்ஸ்ஃபார்மிங் கர்வ்ஸ் பை என்-கர்விங், இன் புல்லட்டின் ஆஃப் கேரளா மேத்தமேட்டிக்ஸ் அசோசியேஷன், தொகுதி. 5, இல்லை. 1, டிசம்பர் 2008 செபாஸ்டியன் வட்டமட்டம், அழகான வளைவுகளின் புத்தகம், ஜனவரி 2015 அழகான வளைவுகளின் புத்தகம் ஆர். சிவராமகிருஷ்ணன், இயற்கணிதத்தில் குறிப்பிட்ட எண் கோட்பாட்டு அத்தியாயங்கள், சாப்மேன் மற்றும் ஹால்/சி. ஆர். சி இயற்கணிதத்தில் குறிப்பிட்ட எண் கோட்பாட்டு அத்தியாயங்கள்