Square root of 5
5 இன் வர்க்கமூலம் என்பது நேர்மறையான உண்மையான எண், இது தானாகவே பெருக்கப்படும்போது, பகா எண் 5 ஐ வழங்குகிறது. அதே பண்பு கொண்ட எதிர்மறை எண்ணிலிருந்து வேறுபடுத்துவதற்காக இது 5 இன் முதன்மை வர்க்கமூலம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த எண் தங்க விகிதத்திற்கான பின்ன வெளிப்பாட்டில் தோன்றுகிறது. இதை சர்ட் வடிவத்தில் பின்வருமாறு குறிப்பிடலாம்ஃ இது ஒரு பகுத்தறிவற்ற இயற்கணித எண். அதன் தசம விரிவாக்கத்தின் முதல் அறுபது குறிப்பிடத்தக்க இலக்கங்கள் பின்வருமாறுஃ இதை 2.236 முதல் 99.99% துல்லியம் வரை வட்டமிடலாம். ஐந்தின் வர்க்கமூலத்திற்கான தோராயத்தை (≈ 2.23611) பயன்படுத்தலாம். 72 என்ற வகுப்பினைக் கொண்டிருந்தாலும், அது சரியான மதிப்பிலிருந்து (தோராயமாக) குறைவாக வேறுபடுகிறது. ). ஜனவரி 2022 நிலவரப்படி, தசமத்தில் அதன் எண் மதிப்பு குறைந்தது 2,250,000,000,000 இலக்கங்களாக கணக்கிடப்பட்டுள்ளது. பகுத்தறிவு தோராயங்கள் 5 இன் வர்க்கமூலத்தை தொடர்ச்சியான பின்னமாக வெளிப்படுத்தலாம் தொடர்ச்சியான பின்னத்தின் தொடர்ச்சியான பகுதி மதிப்பீடுகள், அவை அதன் ஒருங்கிணைப்புகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, அணுகுமுறைஃ அவற்றின் எண்கள் 2,9,38,161, மற்றும் அவற்றின் வகுப்புகள் 1,4,17,72, ஆகும். இவை ஒவ்வொன்றும் ஒரு சிறந்த விகிதமுறு தோராயமாகும்; வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், இது ஒரு சிறிய வகுப்பைக் கொண்ட எந்தவொரு விகிதமுறு எண்ணையும் விட நெருக்கமாக உள்ளது. பாபிலோனிய முறையுடன் தோராயமாக மதிப்பிடப்படும்போது, தொடங்கும் மற்றும் பயன்படுத்தும் போது, th தோராயமானது தொடர்ச்சியான பின்னத்தின் th ஒருங்கிணைப்புக்கு சமம்ஃ பாபிலோனிய முறை பல்லுறுப்புக்கோவையில் பயன்படுத்தப்படும் வேர் கண்டுபிடிப்புக்கான நியூட்டனின் முறைக்கு சமம். நியூட்டனின் முறை புதுப்பிப்பு, எப்போது என்பதற்கு சமம். எனவே இந்த முறை நான்கு மடங்காக ஒருங்கிணைக்கிறது. தங்க விகிதம் மற்றும் ஃபிபோனாச்சி எண்களுடனான உறவு தங்க விகிதம் என்பது 1 மற்றும் 1 இன் எண்கணித சராசரி ஆகும். தங்க விகிதத்திற்கும் தங்க விகிதத்தின் இணைப்புக்கும் இடையிலான இயற்கணித உறவு பின்வரும் சூத்திரங்களில் வெளிப்படுத்தப்படுகிறதுஃ (செவ்வகத்தின் சிதைவுகளாக அவற்றின் வடிவியல் விளக்கத்திற்கு கீழே உள்ள பகுதியைப் பார்க்கவும்.) பின்னர் இயற்கையாகவே ஃபைபோனாச்சி எண்களுக்கான மூடிய வடிவ வெளிப்பாட்டில் உள்ள எண்கள், பொதுவாக தங்க விகிதத்தின் அடிப்படையில் எழுதப்படும் ஒரு சூத்திரம்ஃ மற்றும் (அல்லது மற்றும்) இன் பெருக்கல் மற்றும் அதன் பரஸ்பரம், தொடர்ச்சியான பின்னங்களின் ஒரு சுவாரஸ்யமான வடிவத்தை வழங்குகிறது மற்றும் ஃபைபோனாச்சி எண்கள் மற்றும் லூகாஸ் எண்களுக்கு இடையிலான விகிதங்களுடன் தொடர்புடையதுஃ இந்த மதிப்புகளுக்கான ஒருங்கிணைப்புகளின் தொடர் ஃபைபோனாச்சி எண்களின் தொடர் மற்றும் லூகாஸ் எண்களின் வரிசையை எண்கள் மற்றும் வகுப்பாகக் கொண்டுள்ளது, மேலும் நேர்மாறாகவும்ஃ உண்மையில், லூகாஸ் எண் மற்றும் ஃபைபோனாச்சி எண்ணின் ஈவு வரம்பு நேரடியாக வர்க்க மூலத்திற்கு சமம்ஃ வடிவியல் வடிவியல் அத்தகைய செவ்வகத்தை ஒரு சதுரத்தை பாதியாகக் குறைப்பதன் மூலமோ அல்லது இரண்டு சமமான சதுரங்களை அருகருகே வைப்பதன் மூலமோ பெறலாம். இது ஒரு சதுர கட்டத்தை ஐந்து மடங்கு சதுரங்களுடன் சாய்ந்த சதுர கட்டமாக பிரிக்க பயன்படுத்தப்படலாம், இது ஒரு உட்பிரிவு மேற்பரப்புக்கான அடிப்படையை உருவாக்குகிறது. மற்றும் இடையேயான இயற்கணித உறவுடன் சேர்ந்து, இது ஒரு சதுரத்திலிருந்து ஒரு தங்க செவ்வகத்தின் வடிவியல் கட்டுமானத்திற்கும், அதன் பக்கத்தைக் கொடுக்கப்பட்ட ஒரு வழக்கமான ஐங்கோணத்தின் கட்டுமானத்திற்கும் அடிப்படையாக அமைகிறது (ஒரு வழக்கமான ஐங்கோணத்தில் பக்க-மூலைவிட்ட விகிதம் என்பதால்). ஒரு கனசதுரத்தின் இரண்டு அருகிலுள்ள முகங்கள் 1:2 செவ்வகமாக விரிவடையும் என்பதால், கனசதுரத்தின் மேற்பரப்பில் பயணிக்கும்போது, கனசதுரத்தின் விளிம்பின் நீளம் மற்றும் அதன் செங்குத்துகளில் ஒன்றிலிருந்து எதிர் திசையில் உள்ள குறுகிய தூரத்திற்கு இடையிலான விகிதம். இதற்கு மாறாக, கனசதுரத்தின் உட்புறத்தில் பயணிக்கும்போது மிகக் குறுகிய தூரம் கனசதுர மூலைவிட்டத்தின் நீளத்திற்கு ஒத்திருக்கிறது, இது விளிம்பின் மூன்று மடங்கு சதுர மூலமாகும். பக்க விகிதங்கள் 1: கொண்ட ஒரு செவ்வகம் ரூட்-ஐந்து செவ்வகம் என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் இது ரூட் செவ்வகங்களின் தொடரின் ஒரு பகுதியாகும், இது மாறும் செவ்வகங்களின் துணைக்குழுவாகும், அவை முந்தைய ரூட் செவ்வகத்தின் மூலைவிட்டத்தைப் பயன்படுத்தி ஒரு சதுரத்திலிருந்து தொடங்கி தொடர்ச்சியாக கட்டப்படுகின்றன. ஒரு வேர்-5 செவ்வகம் குறிப்பாக குறிப்பிடத்தக்கது, இது ஒரு சதுரம் மற்றும் இரண்டு சமமான தங்க செவ்வகங்களாக (பரிமாணங்களின்) அல்லது வெவ்வேறு அளவுகளில் (பரிமாணங்கள் மற்றும்) இரண்டு தங்க செவ்வகங்களாக பிரிக்கப்படலாம். இது இரண்டு சமமான தங்க செவ்வகங்களின் (பரிமாணங்களின்) சங்கமமாகவும் சிதைக்கப்படலாம், அதன் குறுக்குவெட்டு ஒரு சதுரத்தை உருவாக்குகிறது. இவை அனைத்தையும், மேலே குறிப்பிட்டுள்ளவற்றுக்கு இடையிலான இயற்கணித உறவுகளின் வடிவியல் விளக்கமாக காணலாம். வேர்-5 செவ்வகத்தை 1:2 செவ்வகத்திலிருந்து (வேர்-4 செவ்வகம்) அல்லது ஒரு சதுரத்திலிருந்து நேரடியாக விளக்கப்படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள தங்க செவ்வகத்தைப் போலவே கட்டமைக்கலாம், ஆனால் நீளத்தின் வளைவை இருபுறமும் நீட்டிக்கலாம். முக்கோணவியல் மற்றும், 5 இன் வர்க்கமூலம் துல்லியமான முக்கோணவியல் மாறிலிகளுக்கான சூத்திரங்களில் விரிவாகத் தோன்றுகிறது, இதில் ஒவ்வொரு கோணத்தின் சைன்கள் மற்றும் கொசைன்களும் அடங்கும், அவற்றின் டிகிரிகளில் அளவீடு 3 ஆல் வகுக்கப்படுகிறது, ஆனால் 15 ஆல் அல்ல. இவற்றில் எளிமையானவை முக்கோணவியல் அட்டவணைகளை உருவாக்குவதற்கு அதன் மதிப்பைக் கணக்கிடுவது முக்கியம். வடிவியல் ரீதியாக அரை சதுர செவ்வகங்கள் மற்றும் பெண்டகன்களுடன் இணைக்கப்பட்டிருப்பதால், அவற்றிலிருந்து பெறப்பட்ட புள்ளிவிவரங்களின் வடிவியல் பண்புகளுக்கான சூத்திரங்களிலும் இது அடிக்கடி தோன்றுகிறது, இது ஒரு டோடெகாஹெட்ரானின் தொகுதிக்கான சூத்திரத்தில் உள்ளது. டயோஃபாண்டைன் தோராயங்களில் உள்ள ஹர்விட்ஸின் தேற்றம், ஒவ்வொரு பகுத்தறிவற்ற எண்ணையும் எல்லையற்ற பல விகிதமுறு எண்களால் மிகக் குறைந்த சொற்களில் தோராயமாக மதிப்பிட முடியும் என்று கூறுகிறது, மேலும் இது சிறந்த சாத்தியமாகும், அதாவது எந்த பெரிய மாறிலிக்கும், சில பகுத்தறிவற்ற எண்கள் உள்ளன, அவற்றுக்கு இதுபோன்ற பல தோராயங்கள் மட்டுமே உள்ளன. இதனுடன் நெருங்கிய தொடர்புடைய கோட்பாடு என்னவென்றால், ஒரு எண்ணின் எந்தவொரு மூன்று தொடர்ச்சியான ஒருங்கிணைப்புகளிலும், குறைந்தபட்சம் மூன்று ஏற்றத்தாழ்வுகளில் ஒன்று உள்ளதுஃ மேலும் தங்க விகிதத்தின் ஒருங்கிணைப்புகள் இடது புறத்தில் உள்ள வேறுபாட்டை வலது புறத்தில் உள்ள மதிப்புக்கு தன்னிச்சையாக நெருக்கமாக மாற்றுவதால், வகுப்பில் உள்ள வேறுபாடு சிறந்த பிணைப்பாகும். குறிப்பாக, நான்கு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட தொடர்ச்சியான ஒருங்கிணைப்புகளின் வரிசைகளைக் கருத்தில் கொண்டு ஒருவர் இறுக்கமான பிணைப்பைப் பெற முடியாது. இயற்கணிதம் வளையம் வடிவத்தின் எண்களைக் கொண்டுள்ளது, எங்கே மற்றும் முழு எண்கள் மற்றும் கற்பனை எண். இந்த வளையம் ஒரு தனித்துவமான காரணிமயமாக்கல் களமாக இல்லாத ஒரு ஒருங்கிணைந்த களத்திற்கு அடிக்கடி மேற்கோள் காட்டப்படும் எடுத்துக்காட்டு ஆகும். எண் 6 இந்த வளையத்திற்குள் இரண்டு சமமற்ற காரணிமயமாக்கல்களைக் கொண்டுள்ளதுஃ மற்ற இருபடி புலத்தைப் போலவே புலமும் விகிதமுறு எண்களின் அபெலியன் நீட்டிப்பாகும். எனவே க்ரோனெக்கர்-வெபர் தேற்றம் ஐந்தின் வர்க்கமூலத்தை ஒற்றுமையின் வேர்களின் பகுத்தறிவு நேரியல் கலவையாக எழுத முடியும் என்று உத்தரவாதம் அளிக்கிறதுஃ ராமானுஜனின் அடையாளங்கள் ஸ்ரீனிவாச ராமானுஜன் கண்டுபிடித்த பல்வேறு அடையாளங்களில் 5 இன் வர்க்கமூலம் தொடர்ந்து பின்னங்களை உள்ளடக்கியது. எடுத்துக்காட்டாக, ரோஜர்ஸ்-ராமானுஜன் தொடர்ச்சியான பின்னத்தின் இந்த வழக்குஃ மேலும் காண்கஃ தங்க விகிதம் சதுர வேர் சதுர வேர் 2 சதுர வேர் 3 சதுர வேர் 6 சதுர வேர் 7 குறிப்புகள் கணித மாறிலிகள் நாற்கர பகுத்தறிவற்ற எண்கள்