Householder's method
கணிதத்தில், மேலும் குறிப்பாக எண் பகுப்பாய்வில், ஹவுஸ்ஹோல்டர்ஸ் முறைகள் என்பது ரூட்-ஃபைண்டிங் வழிமுறைகளின் ஒரு வகுப்பாகும், அவை ஒரு உண்மையான மாறியின் செயல்பாடுகளுக்கு சில வரிசை வரை தொடர்ச்சியான வழித்தோன்றல்களுடன் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. இந்த முறைகள் ஒவ்வொன்றும் எண்ணால் வகைப்படுத்தப்படுகின்றன, இது முறையின் வரிசை என்று அழைக்கப்படுகிறது. வழிமுறை மறு செய்கை மற்றும் ஒருங்கிணைப்பு விகிதத்தைக் கொண்டுள்ளது. இந்த முறைகள் அமெரிக்க கணிதவியலாளர் ஆல்ஸ்டன் ஸ்காட் ஹவுஸ்ஹோல்டரின் பெயரால் அழைக்கப்படுகின்றன. முறை ஹவுஸ்ஹோல்டர்ஸ் முறை என்பது சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான ஒரு எண் வழிமுறை ஆகும். இந்த வழக்கில், செயல்பாடு ஒரு உண்மையான மாறியின் செயல்பாடாக இருக்க வேண்டும். இந்த முறை ஒரு ஆரம்ப யூகத்துடன் தொடங்கும் மறு செய்கைகளின் வரிசையைக் கொண்டுள்ளது. ஒரு முறை தொடர்ச்சியாக வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாடு மற்றும் அதன் வழித்தோன்றலின் பூஜ்ஜியமாக இருந்தாலும், அதன் சுற்றுப்புறத்தில், மறு செய்கைகள் திருப்தி அளிக்கின்றனஃ, சிலருக்கு இதன் பொருள் ஆரம்ப யூகம் போதுமான அளவு நெருக்கமாக இருந்தால் மறு செய்கைகள் பூஜ்ஜியத்திற்கு ஒன்றிணைகின்றன, மேலும் ஒருங்கிணைப்பு வரிசை அல்லது சிறந்ததைக் கொண்டுள்ளது. மேலும், போதுமான நெருக்கமாக இருக்கும்போது, சிலருக்கு இது பொதுவாக நிகழ்கிறது. குறிப்பாக, சமமாக இருந்தால், பின்னர் ஒருங்கிணைப்பு வலதுபுறத்தில் இருந்து இருக்கும்; சமமாக இருந்தால், பின்னர் ஒருங்கிணைப்பு இடதுபுறத்தில் இருந்து இருக்கும்; ஒற்றைப்படை என்றால், பின்னர் ஒருங்கிணைப்பு அது தொடங்கும் பக்கத்திலிருந்து இருக்கும்; ஒற்றைப்படை என்றால், பின்னர் ஒருங்கிணைப்பு மாற்று பக்கங்களில் இருக்கும். அவற்றின் ஒருங்கிணைப்பு வரிசை இருந்தபோதிலும், இந்த முறைகள் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுவதில்லை, ஏனெனில் துல்லியத்தில் ஆதாயம் பெரிய முயற்சியின் உயர்வுக்கு ஏற்ப இல்லை. ஓஸ்ட்ரோவ்ஸ்கி குறியீடு மறு செய்கை எண்ணிக்கைக்கு பதிலாக செயல்பாட்டு மதிப்பீடுகளின் எண்ணிக்கையில் பிழை குறைப்பை வெளிப்படுத்துகிறது. பல்லுறுப்புக்கோவைகளைப் பொறுத்தவரை, ஹார்னர் முறையைப் பயன்படுத்துவதன் முதல் வழித்தோன்றல்களின் மதிப்பீடு பல்லுறுப்புக்கோவை மதிப்பீடுகளின் முயற்சியைக் கொண்டுள்ளது. மறு செய்கைகள் மீதான மதிப்பீடுகள் ஒரு பிழை அடுக்கைக் கொடுப்பதால், ஒரு செயல்பாட்டு மதிப்பீட்டிற்கான அடுக்கானது, எண்ணியல் ரீதியாக,,,, மற்றும் அதற்குப் பிறகு விழுகிறது. இந்த அளவுகோலால், வழக்கு (ஹாலியின் முறை) இன் உகந்த மதிப்பாகும். பொது செயல்பாடுகளுக்கு தானியங்கி வேறுபாட்டின் டெய்லர் எண்கணிதத்தைப் பயன்படுத்தி வழித்தோன்றல் மதிப்பீட்டிற்கு செயல்பாட்டு மதிப்பீடுகளுக்கு சமமான தேவைப்படுகிறது. ஒரு செயல்பாட்டு மதிப்பீடு இவ்வாறு நியூட்டனின் முறைக்கான ஒரு அடுக்கின் மூலம் பிழையைக் குறைக்கிறது, இது ஹாலியின் முறைக்கு மற்றும் உயர் வரிசை முறைகளுக்கு 1 அல்லது நேரியல் ஒருங்கிணைப்பை நோக்கி விழுகிறது. உந்துதல் முதல் அணுகுமுறை மற்றும் ஒரு சுற்றுப்புறத்தில் பகுப்பாய்வு செய்யப்படுகிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் ஒரு டெய்லர் தொடர் உள்ளது மற்றும் அதன் நிலையான சொல் பூஜ்ஜியமாகும். இந்த நிலையான சொல் பூஜ்ஜியமாக இருப்பதால், செயல்பாடு ஒரு டெய்லர் தொடரைக் கொண்டிருக்கும், எப்போது, அதன் நிலையான சொல் பூஜ்ஜியமாக இருக்காது. அந்த நிலையான சொல் பூஜ்ஜியமாக இல்லாததால், பரஸ்பரம் ஒரு டெய்லர் தொடரைக் கொண்டுள்ளது, அதை நாம் எழுதுவோம், அதன் நிலையான சொல் பூஜ்ஜியமாக இருக்காது. அந்த டெய்லர் தொடரைப் பயன்படுத்தி நாம் எழுதலாம் அதன்-th வழித்தோன்றலைக் கணக்கிடும்போது, பெரிய O குறியீட்டைப் பயன்படுத்துவதற்கான சொற்கள் வசதியாக மறைந்துவிடுகின்றன என்பதைக் கவனிக்கவும். அதன் பூஜ்ஜியம் அதற்கு மிக அருகில் இருந்தால், இரண்டாவது காரணி முடிவிலிக்குச் செல்லும்போது 1 க்குச் செல்கிறது. இரண்டாவது அணுகுமுறை ஒரு எளிய வேர் என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் அருகில், ஒரு மெரோமார்பிக் செயல்பாடு. நம்மிடம் டெய்லர் விரிவாக்கம் உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம்ஃ வேறு எந்த பூஜ்ஜியத்தையும் விட நெருக்கமாக இருக்கும் ஒரு புள்ளியைச் சுற்றி. கோனிக் கோட்பாட்டின் படி, நம்மிடம் பின்வருவன உள்ளனஃ ஹவுஸ்ஹோல்டரின் மறு செய்கை ஒரு நல்ல ஒருங்கிணைந்த மறு செய்கையாக இருக்கலாம் என்று இவை தெரிவிக்கின்றன. ஒருங்கிணைப்பின் உண்மையான ஆதாரமும் இந்த கருத்துக்களை அடிப்படையாகக் கொண்டது. லோயர் ஆர்டர் ஹவுஸ்ஹோல்டரின் ஆர்டர் 1 முறையின் முறைகள் நியூட்டனின் முறையாகும், ஏனெனில்ஃ ஹவுஸ்ஹோல்டரின் ஆர்டர் 2 முறையைப் பொறுத்தவரை ஹாலியின் முறையைப் பெறுகிறது, ஏனெனில் அடையாளங்கள் மற்றும் முடிவு கடைசி வரியில், புள்ளியில் நியூட்டன் மறு செய்கையின் புதுப்பிப்பாகும். நியூட்டனின் எளிய முறையின் வேறுபாடு எங்கு உள்ளது என்பதை நிரூபிக்க இந்த வரி சேர்க்கப்பட்டது. மூன்றாம் வரிசை முறை மூன்றாம் வரிசை வழித்தோன்றலின் அடையாளத்திலிருந்து பெறப்படுகிறது மற்றும் சூத்திரம் மற்றும் பலவற்றைக் கொண்டுள்ளது. நியூட்டன்-ராப்சன்-சிம்ப்சன் முறையால் நியூட்டன் தீர்த்த முதல் சிக்கல் பல்லுறுப்புக்கோவை சமன்பாடு ஆகும். 2 க்கு அருகில் ஒரு தீர்வு இருக்க வேண்டும் என்று அவர் குறிப்பிட்டார். மாற்றுவது சமன்பாட்டை மாற்றுகிறது. பரஸ்பர செயல்பாட்டின் டெய்லர் தொடர் பல்வேறு ஆர்டர்களின் ஹவுஸ்ஹோல்டரின் முறைகளைப் பயன்படுத்துவதன் விளைவாக பிந்தைய சக்தி தொடரின் அண்டை குணகங்களைப் பிரிப்பதன் மூலமும் பெறப்படுகிறது. முதல் ஆர்டர்களுக்கு ஒருவர் ஒரு மறு செய்கை படிக்குப் பிறகு பின்வரும் மதிப்புகளைப் பெறுகிறார்ஃ எடுத்துக்காட்டாக, 3 வது வரிசையின் விஷயத்தில், ஒருவர் பார்க்கிறபடி, ஒவ்வொரு வரிசைக்கும் சரியான தசம இடங்களை விட சற்று அதிகமாக உள்ளன. சரியான தீர்வின் முதல் நூறு இலக்கங்கள். சில குறைந்த வரிசைக்கான மதிப்புகளைக் கணக்கிடுவோம், மேலும் பின்வரும் உறவுகளைப் பயன்படுத்தி, 1 வது வரிசை; 2 வது வரிசை; 3 வது வரிசை; வழித்தோன்றல் ஹவுஸ்ஹோல்டரின் முறைகளின் சரியான வழித்தோன்றல் செயல்பாட்டின் வரிசையின் பேட் தோராயத்திலிருந்து தொடங்குகிறது, அங்கு நேரியல் எண் கொண்ட தோராயமான தேர்வு செய்யப்படுகிறது. இதை அடைந்தவுடன், அடுத்த தோராயத்திற்கான புதுப்பிப்பு எண் கணக்கீட்டின் தனித்துவமான பூஜ்ஜியத்தை கணக்கிடுவதன் மூலம் விளைகிறது. பேட் தோராயமான வடிவம் உள்ளது விகிதமுறு செயல்பாடு ஒரு பூஜ்ஜியத்தைக் கொண்டுள்ளது. டிகிரியின் டெய்லர் பல்லுறுப்புக்கோவை செயல்பாட்டைப் பொறுத்து குணகங்களைக் கொண்டிருப்பதைப் போலவே, பேட் தோராயமும் அதன் வழித்தோன்றல்களைப் பொறுத்து குணகங்களைக் கொண்டுள்ளது. இன்னும் துல்லியமாக, எந்தவொரு பேட் தோராயத்திலும், எண் மற்றும் வகுத்தல் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் டிகிரிகள் தோராயத்தின் வரிசையில் சேர்க்க வேண்டும். எனவே, தக்கவைத்துக் கொள்ள வேண்டும். யூக்ளிடின் வழிமுறையைப் பயன்படுத்துவதற்கான டெய்லர் பல்லுறுப்புக்கோவையிலிருந்து தொடங்கி பேட் தோராயத்தை ஒருவர் தீர்மானிக்க முடியும். இருப்பினும், டெய்லர் பல்லுறுப்புக்கோவையிலிருந்து தொடங்கி குறுகியதாகவும், கொடுக்கப்பட்ட சூத்திரத்திற்கு நேரடியாக வழிவகுக்கும். விரும்பிய விகிதமுறு சார்பின் தலைகீழ் சமமாக இருக்க வேண்டும் என்பதால், சக்தியில் சமன்பாட்டுடன் பெருக்கிய பிறகு நாம் பெறுகிறோம். இப்போது, எண் பூஜ்ஜியத்திற்கான கடைசி சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது முடிவடைகிறது. இது மறு செய்கை சூத்திரத்தைக் குறிக்கிறது. நியூட்டனின் முறையுடன் உண்மையான மதிப்புள்ள செயல்பாட்டிற்கு பயன்படுத்தப்படும் ஹவுஸ்ஹோல்டரின் முறை நியூட்டனின் முறையைப் போலவே உள்ளதுஃ குறிப்பாக, நியூட்டனின் முறையை மாற்றாமல் கொடுக்கிறது மற்றும் ஹாலியின் முறையை வழங்குகிறது. குறிப்புகள் வெளிப்புற இணைப்புகள் குறிப்புஃ இந்த இணைப்பின் போஸ்ட்ஸ்கிரிப்ட் பதிப்பைப் பயன்படுத்தவும்; வலைத்தள பதிப்பு சரியாக தொகுக்கப்படவில்லை. வேர்-கண்டுபிடிப்பு வழிமுறைகள்