Aronszajn tree
தொகுப்புக் கோட்பாட்டில், அரோன்சாஜன் மரம் என்பது எண்ணற்ற கிளைகள் மற்றும் எண்ணற்ற நிலைகள் இல்லாத எண்ணற்ற உயரம் கொண்ட மரம் ஆகும். உதாரணமாக, ஒவ்வொரு சுஸ்லின் மரமும் ஒரு ஆரோன்ஸாஜன் மரமாகும். மேலும் பொதுவாக, ஒரு கார்டினல் κ, ஒரு κ-அரோன்சாஜன் மரம் என்பது உயரம் κ கொண்ட ஒரு மரமாகும், இதில் அனைத்து நிலைகளும் κ க்கும் குறைவான அளவைக் கொண்டுள்ளன, மேலும் அனைத்து கிளைகளும் κ க்கும் குறைவான உயரத்தைக் கொண்டுள்ளன (எனவே அரோன்சாஜன் மரங்கள்-அரோன்சாஜன் மரங்களைப் போலவே உள்ளன). 1934 ஆம் ஆண்டில் ஆரோன்ஸாஜன் மரத்தை கட்டிய நாச்மான் ஆரோன்ஸாஜனின் பெயரால் அவை பெயரிடப்பட்டுள்ளன. κ-அரோன்சாஜன் மரங்கள் இல்லாத ஒரு கார்டினல் κ மரச் சொத்தைக் கொண்டிருப்பதாகக் கூறப்படுகிறது (சில நேரங்களில் κ வழக்கமான மற்றும் கணக்கிட முடியாத நிபந்தனை சேர்க்கப்பட்டுள்ளது). κ-அரோன்சாஜன் மரங்களின் இருப்பு-அரோன்சாஜன் மரங்கள் இல்லை என்று கோனிக்கின் லெம்மா கூறுகிறது. அரோன்ஸாஜன் மரங்கள் (-அரோன்ஸாஜன் மரங்கள்) இருப்பது நாச்மேன் அரோன்ஸாஜனால் நிரூபிக்கப்பட்டது, மேலும் கோனிக்கின் லெம்மாவின் ஒப்புமை எண்ணற்ற மரங்களுக்கு பொருந்தாது என்பதைக் குறிக்கிறது. - அரோன்சாஜன் மரங்களின் இருப்பு ZFC இல் தீர்மானிக்க முடியாததுஃ இன்னும் துல்லியமாக, தொடர்ச்சியான கருதுகோள் ஒரு-அரோன்சாஜன் மரத்தின் இருப்பைக் குறிக்கிறது, மேலும் மிட்செல் மற்றும் சில்வர் இது நிலையானது என்பதைக் காட்டுகிறது (பலவீனமான கச்சிதமான கார்டினல் இருப்புடன் ஒப்பிடுகையில்)-அரோன்சாஜன் மரங்கள் இல்லை. V = L என்பது ஒவ்வொரு எல்லையற்ற வாரிசான கார்டினலுக்கும் ஒரு κ-அரோன்சாஜன் மரம் (உண்மையில் ஒரு κ-சுஸ்லின் மரம்) இருப்பதைக் குறிக்கிறது என்பதை ஜென்சன் நிரூபித்தார். (ஒரு பெரிய கார்டினல் கோட்பாட்டைப் பயன்படுத்தி) 1 ஐத் தவிர வேறு எந்த வரையறுக்கப்பட்ட n க்கும்-அரோன்சாஜன் மரங்கள் இல்லை என்பது சீராக உள்ளது என்பதைக் காட்டியது. κ பலவீனமாக கச்சிதமாக இருந்தால், κ-அரோன்சாஜன் மரங்கள் இல்லை. மாறாக, κ அணுக முடியாதது மற்றும் κ-அரோன்சாஜன் மரங்கள் இல்லை என்றால், κ பலவீனமாக கச்சிதமாக இருக்கும். சிறப்பு அரோன்சாஜன் மரங்கள் ஒரு அரோன்சாஜன் மரம் சிறப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது, மரத்திலிருந்து விகிதமுறு மரங்களுக்கு ஒரு செயல்பாடு இருந்தால், f (x) <f (y) x <y ஆக இருக்கும்போது. மார்ட்டினின் கோட்பாடு MA () அனைத்து அரோன்சாஜன் மரங்களும் சிறப்பு வாய்ந்தவை என்பதைக் குறிக்கிறது, இது சில நேரங்களில் EATS ஆல் சுருக்கப்படுகிறது. எந்தவொரு இரண்டு அரோன்சாஜன் மரங்களுக்கும் ஒரு கிளப் செட் நிலைகள் உள்ளன, அதாவது இந்த நிலைகளின் தொகுப்புக்கு மரங்களின் கட்டுப்பாடுகள் ஐசோமார்பிக் ஆகும், இது ஏதோ ஒரு வகையில் எந்த இரண்டு அரோன்சாஜன் மரங்களும் அடிப்படையில் ஐசோமார்பிக் என்று கூறுகிறது. மறுபுறம், சிறப்பு அல்லாத அரோன்சாஜன் மரங்கள் உள்ளன என்பது நிலையானது, மேலும் இது பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட தொடர்ச்சியான கருதுகோள் மற்றும் சுஸ்லின் கருதுகோளுடன் ஒத்துப்போகிறது. ஒரு சிறப்பு ஆரோன்சாஜன் மரத்தின் கட்டுமானம் ஒரு சிறப்பு ஆரோன்சாஜன் மரத்தை பின்வருமாறு கட்டலாம். மரத்தின் உறுப்புகள் விகிதமுறு அல்லது − ≤ என்ற உச்சநிலையுடன் நன்கு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட விகிதமுறு எண்களின் தொகுப்புகளாகும். x மற்றும் y இந்த தொகுப்புகளில் இரண்டு என்றால், x என்பது வரிசைப்படுத்தப்பட்ட தொகுப்பு y இன் ஆரம்ப பிரிவு என்பதைக் குறிக்க x ≤ y ஐ (மர வரிசையில்) வரையறுக்கிறோம். ஒவ்வொரு கணக்கிடக்கூடிய வரிசை α க்கும் நாம் α நிலை மரத்தின் கூறுகளுக்கு Uα ஐ எழுதுகிறோம், இதனால் Uα இன் கூறுகள் வரிசை வகை α உடன் குறிப்பிட்ட விகிதமுறுப்புகளின் தொகுப்புகளாகும். சிறப்பு அரோன்சாஜன் மரம் T என்பது அனைத்து கணக்கிடக்கூடிய α க்கான Uα தொகுப்புகளின் ஒன்றிணைப்பாகும். U0 என்ற வெற்று தொகுப்பில் தொடங்கி α மீது எல்லையற்ற தூண்டல் மூலம் எண்ணக்கூடிய நிலைகளை Uα ஐ பின்வருமாறு உருவாக்குகிறோம்ஃ α + 1 ஒரு வாரிசாக இருந்தால், Uα + 1 என்பது Uα இல் உள்ள ஒரு வரிசை x இன் அனைத்து நீட்டிப்புகளையும் சூப்பரை விட பெரிய விகிதத்தால் கொண்டுள்ளது. Uα + 1 என்பது Uα இல் உள்ள எண்ணற்ற பல உறுப்புகளில் ஒவ்வொன்றின் எண்ணற்ற பல நீட்டிப்புகளைக் கொண்டிருப்பதால் கணக்கிடக்கூடியது. α ஒரு வரம்பாக இருந்தால், Tα என்பது α க்கும் குறைவான அனைத்து புள்ளிகளின் மரமாக இருக்கட்டும். Tα இல் உள்ள ஒவ்வொரு x க்கும், சூப்ப x ஐ விட பெரிய ஒவ்வொரு விகிதமுறு எண்ணுக்கும், மேல்நிலை q உடன் x ஐக் கொண்ட Tα இன் ஒரு நிலை α கிளையைத் தேர்ந்தெடுக்கவும். பின்னர் Uα இந்த கிளைகளைக் கொண்டுள்ளது. Tα இல் உள்ள எண்ணற்ற பல உறுப்புகளில் ஒவ்வொன்றிற்கும் எண்ணற்ற பல கிளைகளைக் கொண்டிருப்பதால் Uα கணக்கிடக்கூடியது. x <y என்றால் f (x) <f (y) என்ற பண்பு உள்ளது. T இல் உள்ள எந்த கிளையும் f வரைபடம் கிளைகளை − ≤ மற்றும் விகிதமுறு எண்களுக்கு உட்செலுத்துவதால் கணக்கிடப்படுகிறது. டி கணக்கிட முடியாதது, ஏனெனில் இது ஒவ்வொரு கணக்கிடக்கூடிய வரிசை α க்கும் காலியாக இல்லாத நிலை Uα ஐக் கொண்டுள்ளது, இது முதல் கணக்கிட முடியாத வரிசைமுறையை உருவாக்குகிறது. இது டி ஒரு சிறப்பு ஆரோன்சாஜன் மரம் என்பதை நிரூபிக்கிறது. κ ஒரு வழக்கமான கார்டினல் மற்றும் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட தொடர்ச்சியான கருதுகோளின் வாரிசாக இருக்கும்போதெல்லாம், விகிதமுறு எண்களை மிகவும் பொதுவான η தொகுப்பால் மாற்றுவதன் மூலம் இந்த கட்டுமானத்தை κ-அரோன்சாஜன் மரங்களை உருவாக்க பயன்படுத்தலாம். மேலும் காண்க குரேபா மரம் அரோன்சாஜன் வரி குறிப்புகள் வெளிப்புற இணைப்புகள் பிளானட்மேத் மரங்கள் (தொகுப்புக் கோட்பாடு) சுதந்திர முடிவுகள்