Quadrature of the Parabola
பரவளையத்தின் நாற்கர வடிவம் (Quadrature of the Parabola) என்பது வடிவியல் பற்றிய ஒரு கட்டுரையாகும், இது கிமு 3 ஆம் நூற்றாண்டில் ஆர்க்கிமிடீஸ் எழுதியது மற்றும் அவரது அலெக்ஸாண்ட்ரிய அறிமுகமான டோசிதியஸுக்கு உரையாற்றியது. இது பரவளையங்கள் தொடர்பான 24 முன்மொழிவுகளைக் கொண்டுள்ளது, இது ஒரு பரவளையப் பிரிவின் பரப்பளவு (ஒரு பரவளையமும் ஒரு கோடும் சூழப்பட்ட பகுதி) ஒரு குறிப்பிட்ட பொறிக்கப்பட்ட முக்கோணத்தின் பரப்பளவு என்பதைக் காட்டும் இரண்டு சான்றுகளில் உச்சக்கட்டத்தை அடைகிறது. இது ஆர்க்கிமிடீஸின் நன்கு அறியப்பட்ட படைப்புகளில் ஒன்றாகும், குறிப்பாக சோர்வு முறையின் புத்திசாலித்தனமான பயன்பாட்டிற்காகவும், வடிவியல் தொடரின் இரண்டாம் பகுதியிலும் உள்ளது. ஆர்க்கிமிடீஸ் இப்பகுதியை எண்ணற்ற முக்கோணங்களாகப் பிரிக்கிறது, அதன் பகுதிகள் வடிவியல் முன்னேற்றத்தை உருவாக்குகின்றன. இதன் விளைவாக வரும் வடிவியல் தொடரின் கூட்டுத்தொகையை அவர் கணக்கிடுகிறார், மேலும் இது பரவளைய பிரிவின் பரப்பளவு என்பதை நிரூபிக்கிறார். இது பண்டைய கிரேக்க கணிதத்தில் ஒரு குறைப்பு மற்றும் அபத்தமான வாதத்தின் மிகவும் அதிநவீன பயன்பாட்டைக் குறிக்கிறது, மேலும் 17 ஆம் நூற்றாண்டில் ஒருங்கிணைந்த கால்குலஸ் உருவாகும் வரை ஆர்க்கிமிடீஸின் தீர்வு ஈடு இணையற்றதாக இருந்தது, அதைத் தொடர்ந்து காவலேரியின் நாற்கர சூத்திரம் வந்தது. பிரதான தேற்றம் ஒரு பரவளையப் பிரிவு என்பது ஒரு பரவளையம் மற்றும் கோடு ஆகியவற்றால் சூழப்பட்ட பகுதியாகும். ஒரு பரவளையப் பிரிவின் பரப்பளவைக் கண்டறிய, ஆர்க்கிமிடீஸ் ஒரு குறிப்பிட்ட பொறிக்கப்பட்ட முக்கோணத்தைக் கருதுகிறார். இந்த முக்கோணத்தின் அடிப்பகுதி பரவளையத்தின் கொடுக்கப்பட்ட நாணல் ஆகும், மேலும் மூன்றாவது முனை பரவளையத்தின் மீது உள்ள புள்ளியாகும், அதாவது அந்த கட்டத்தில் பரவளையத்திற்கான தொடுகோடு நாணலுக்கு இணையாக இருக்கும். அச்சுக்கு இணையாக வரையப்பட்ட மூன்றாவது முனையிலிருந்து ஒரு கோடு நாணலை சம பிரிவுகளாகப் பிரிக்கிறது என்று படைப்பின் முன்மொழிவு 1 கூறுகிறது. பரவளையப் பிரிவின் பரப்பளவு பொறிக்கப்பட்ட முக்கோணத்தின் பரப்பளவு என்று முக்கிய தேற்றம் கூறுகிறது. பரவளையம் போன்ற கோனிக் பிரிவுகளின் உரை அமைப்பு ஆர்க்கிமிடீஸின் காலத்தில் ஏற்கனவே நன்கு அறியப்பட்டிருந்தது, ஒரு நூற்றாண்டுக்கு முன்பு மெனக்மஸுக்கு நன்றி. இருப்பினும், வேறுபட்ட மற்றும் ஒருங்கிணைந்த கால்குலஸ் வருவதற்கு முன்பு, ஒரு கூம்பு பிரிவின் பரப்பளவைக் கண்டறிய எளிதான வழிகள் எதுவும் இல்லை. ஆர்க்கிமிடீஸ் ஒரு பரவளையம் மற்றும் ஒரு நாணல் ஆகியவற்றால் சூழப்பட்ட பகுதியில் குறிப்பாக கவனம் செலுத்துவதன் மூலம் இந்த சிக்கலுக்கு முதல் சான்றளிக்கப்பட்ட தீர்வை வழங்குகிறார். ஆர்க்கிமிடீஸ் முக்கிய தேற்றத்தின் இரண்டு சான்றுகளை வழங்குகிறார்ஃ ஒன்று சுருக்க இயக்கவியலைப் பயன்படுத்துகிறது, மற்றொன்று தூய வடிவவியலைப் பயன்படுத்துகிறது. முதல் சான்றில், ஆர்க்கிமிடீஸ் ஈர்ப்பு விசையின் செயல்பாட்டின் கீழ் சமநிலையில் ஒரு நெம்புகோலை கருதுகிறார், ஒரு பரவளையத்தின் எடையுள்ள பிரிவுகள் மற்றும் ஒரு முக்கோணம் ஒரு நெம்புகோலின் கைகளில் ஃபுல்க்ரமில் இருந்து குறிப்பிட்ட தூரத்தில் தொங்கவிடப்படுகிறது. முக்கோணத்தின் ஈர்ப்பு மையம் அறியப்படும்போது, நெம்புகோலின் சமநிலை முக்கோணத்தின் பரப்பளவின் அடிப்படையில் பரவளையத்தின் பரப்பளவைக் கொடுக்கிறது, இது ஒரே அடித்தளத்தையும் சம உயரத்தையும் கொண்டுள்ளது. இங்குள்ள ஆர்க்கிமிடீஸ் ஆன் தி ஈக்விலிப்ரியம் ஆஃப் பிளேன்ஸில் காணப்படும் செயல்முறையிலிருந்து விலகிச் செல்கிறார், ஏனெனில் அவர் சமநிலைக்கு கீழே ஒரு மட்டத்தில் ஈர்ப்பு மையங்களைக் கொண்டுள்ளார். இரண்டாவது மற்றும் மிகவும் பிரபலமான ஆதாரம் தூய வடிவவியலைப் பயன்படுத்துகிறது, குறிப்பாக ஒரு வடிவியல் தொடரின் கூட்டுத்தொகை. இருபத்தி நான்கு முன்மொழிவுகளில், முதல் மூன்று யூக்ளிடின் எலிமென்ட்ஸ் ஆஃப் கோனிக்ஸ் (கூம்பு பிரிவுகளில் யூக்ளிட் இழந்த படைப்பு) ஆதாரம் இல்லாமல் மேற்கோள் காட்டப்பட்டுள்ளன. முன்மொழிவுகள் 4 மற்றும் 5 பரவளையத்தின் அடிப்படை பண்புகளை நிறுவுகின்றன. முன்மொழிவுகள் 6-17 முக்கிய தேற்றத்தின் இயந்திர ஆதாரத்தை வழங்குகின்றன; முன்மொழிவுகள் 18-24 வடிவியல் ஆதாரத்தை வழங்குகின்றன. பரவளையப் பிரிவின் வடிவியல் சான்று பிரித்தல் ஆதாரத்தின் முக்கிய யோசனை, வலதுபுறத்தில் உள்ள படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி, பரவளையப் பிரிவை எண்ணற்ற முக்கோணங்களாகப் பிரிப்பதாகும். இந்த முக்கோணங்கள் ஒவ்வொன்றும் நீல முக்கோணம் பெரிய பிரிவில் பொறிக்கப்பட்டதைப் போலவே அதன் சொந்த பரவளையப் பிரிவில் பொறிக்கப்பட்டுள்ளன. முக்கோணங்களின் பரப்பளவு பதினெட்டு முதல் இருபத்தி ஒன்று வரையிலான முன்மொழிவுகளில், ஒவ்வொரு பச்சை முக்கோணத்தின் பரப்பளவு நீல முக்கோணத்தின் பரப்பளவு என்பதை ஆர்க்கிமிடீஸ் நிரூபிக்கிறார், இதனால் இரண்டு பச்சை முக்கோணங்களும் நீல முக்கோணத்தின் பரப்பளவை கூட்டுகின்றன. நவீன கண்ணோட்டத்தில், பச்சை முக்கோணம் நீல முக்கோணத்தின் அகலத்தையும் உயரத்தையும் கொண்டிருப்பதால் இது ஏற்படுகிறதுஃ அதே வாதத்தைப் பின்பற்றி, ஒவ்வொரு மஞ்சள் முக்கோணமும் பச்சை முக்கோணத்தின் பரப்பளவை அல்லது நீல முக்கோணத்தின் பரப்பளவைக் கொண்டுள்ளது, இது நீல முக்கோணத்தின் பரப்பளவைக் குறிக்கிறது; சிவப்பு முக்கோணங்கள் ஒவ்வொன்றும் மஞ்சள் முக்கோணத்தின் பரப்பளவைக் கொண்டுள்ளன, இது நீல முக்கோணத்தின் பரப்பளவைக் குறிக்கிறது. சோர்வு முறையைப் பயன்படுத்தி, பரவளையப் பிரிவின் மொத்த பரப்பளவு பின்வருமாறு கொடுக்கப்படுகிறது இங்கே T என்பது பெரிய நீல முக்கோணத்தின் பரப்பளவைக் குறிக்கிறது, இரண்டாவது சொல் இரண்டு பச்சை முக்கோணங்களின் மொத்த பரப்பளவைக் குறிக்கிறது, மூன்றாவது சொல் நான்கு மஞ்சள் முக்கோணங்களின் மொத்த பரப்பளவைக் குறிக்கிறது. இது தொடரின் கூட்டுத்தொகையை வழங்குவதை எளிதாக்குகிறது ஆதாரத்தை முடிக்க, ஆர்க்கிமிடீஸ் மேலே உள்ள சூத்திரம் ஒரு வடிவியல் தொடர் என்பதைக் காட்டுகிறது-ஒவ்வொரு தொடர்ச்சியான காலமும் முந்தைய காலத்தின் நான்கில் ஒரு பங்காகும். நவீன கணிதத்தில், அந்த சூத்திரம் ஒரு வடிவியல் தொடருக்கான கூட்டுத்தொகை சூத்திரத்தின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு ஆகும். ஆர்க்கிமிடீஸ் முற்றிலும் வடிவியல் முறையைப் பயன்படுத்தி கூட்டுத்தொகையை மதிப்பீடு செய்கிறார், இது அருகிலுள்ள படத்தில் விளக்கப்பட்டுள்ளது. இந்த படம் ஒரு அலகு சதுரத்தைக் காட்டுகிறது, இது சிறிய சதுரங்களின் முடிவிலியாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது. ஒவ்வொரு அடுத்தடுத்த ஊதா சதுரமும் முந்தைய சதுரத்தின் பரப்பளவில் நான்கில் ஒரு பங்கைக் கொண்டுள்ளது, மொத்த ஊதா பரப்பளவு கூட்டுத்தொகையாக உள்ளது இருப்பினும், ஊதா சதுரங்கள் மஞ்சள் சதுரங்களின் தொகுப்புக்கு ஒத்தவை, எனவே அலகு சதுரத்தின் பரப்பளவை உள்ளடக்கியது. மேலே உள்ள தொடர் (மேலும் பார்க்க நான்கு மடங்கு (வடிவியல்) கால்குலஸ் குறிப்புகளின் வரலாறு மேலும் வாசிப்பு. டிஜ்க்ஸ்டர்ஹுயிஸ், ஈ. ஜே. (1987) "ஆர்க்கிமிடீஸ்", பிரின்ஸ்டன் யு. அழுத்தவும். . . . வெளிப்புற இணைப்புகள் முழு உரை, டி. எல். ஹீத். . முன்மொழிவுகளின் உரை 1-3 மற்றும் 20-24, வர்ணனையுடன். http://planetmath.org/ArchimedesCalculus ஆர்க்கிமிடீஸின் பண்டைய கிரேக்க கணிதப் படைப்புகள் ஆர்க்கிமிடீஸின் கணித வரலாறு