Bolza surface
கணிதத்தில், போல்சா மேற்பரப்பு, மாற்றாக, சிக்கலான இயற்கணித போல்சா வளைவு (அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது), இந்த இனத்தில் உள்ள இணக்கமான தன்னியக்கக் குழுவின் மிக உயர்ந்த வரிசையைக் கொண்ட இனத்தின் ஒரு சிறிய ரீமன் மேற்பரப்பு ஆகும், அதாவது வரிசை 48 (வரையறுக்கப்பட்ட புலத்தின் மீது உள்ள மேட்ரிக்ஸின் பொதுவான நேரியல் குழு). முழு தானியங்கி உருவம் குழு (பிரதிபலிப்புகள் உட்பட) என்பது வரிசை 96 இன் அரை-நேரடி தயாரிப்பு ஆகும். போல்சா மேற்பரப்புக்கான ஒரு அஃபைன் மாதிரியை சமன்பாட்டின் இருப்பிடமாக பெறலாம். போல்சா மேற்பரப்பு என்பது அஃபைன் வளைவின் மென்மையான நிறைவு ஆகும். அனைத்து இன ஹைபர்போலிக் மேற்பரப்புகளிலும், போல்சா மேற்பரப்பு சிஸ்டோலின் நீளத்தை அதிகரிக்கிறது. ஒரு ஹைப்பர்லிப்டிக் ரீமன் மேற்பரப்பாக, இது ரீமன் கோளத்தின் விரிவாக்கப்பட்ட இரட்டை மறைப்பாக எழுகிறது, கோளத்தில் பொறிக்கப்பட்ட ஒரு வழக்கமான எண்முகத்தின் ஆறு செங்குத்துகளில் விரிவாக்க இருப்பிடத்துடன், மேலே உள்ள சமன்பாட்டிலிருந்து எளிதாகக் காணலாம். போல்சா மேற்பரப்பு இயற்பியலாளர்களின் கவனத்தை ஈர்த்துள்ளது, ஏனெனில் இது குவாண்டம் குழப்பத்திற்கு ஒப்பீட்டளவில் எளிய மாதிரியை வழங்குகிறது; இந்த சூழலில், இது பொதுவாக ஹடாமார்ட்-குட்ஸ்வில்லர் மாதிரி என்று குறிப்பிடப்படுகிறது. போல்சா மேற்பரப்பில் உள்ள செயல்பாடுகளில் செயல்படும் லாப்லேஸ்-பெல்ட்ராமி இயக்கியின் நிறமாலைக் கோட்பாடு கணிதவியலாளர்கள் மற்றும் இயற்பியலாளர்கள் இருவருக்கும் ஆர்வமாக உள்ளது, ஏனெனில் நிலையான எதிர்மறை வளைவு கொண்ட இனத்தின் அனைத்து சிறிய, மூடிய ரீமன் மேற்பரப்புகளிலும் லாப்லாசியனின் முதல் நேர்மறை ஐகென் மதிப்பை மேற்பரப்பு அதிகரிக்கும் என்று ஊகிக்கப்படுகிறது. முக்கோண மேற்பரப்பு போல்சா மேற்பரப்பு ஒரு முக்கோண மேற்பரப்பு-ஸ்வார்ஸ் முக்கோணத்தைப் பார்க்கவும். மேலும் குறிப்பாக, போல்சா மேற்பரப்பை வரையறுக்கும் ஃபுச்சியன் குழு என்பது கோணங்களுடன் கூடிய ஹைபர்போலிக் முக்கோணத்தின் பக்கங்களில் பிரதிபலிப்புகளால் உருவாக்கப்படும் குழுவின் துணைக்குழுவாகும். நோக்குநிலை பாதுகாக்கும் ஐசோமீட்டரிகளின் குழு என்பது பிரதிபலிப்புகளின் குழுவின் குறியீட்டு-இரண்டு துணைக்குழுவின் துணைக்குழுவாகும், இது சம எண்ணிக்கையிலான பிரதிபலிப்புகளின் தயாரிப்புகளைக் கொண்டுள்ளது, இது ஜெனரேட்டர்கள் மற்றும் உறவுகளின் அடிப்படையில் ஒரு சுருக்கமான விளக்கக்காட்சியைக் கொண்டுள்ளது. போல்சா மேற்பரப்பை வரையறுக்கும் ஃபுச்சியன் குழுவும் (3,3,4) முக்கோணக் குழுவின் துணைக்குழுவாகும், இது முக்கோணக் குழுவில் உள்ள குறியீடு 2 இன் துணைக்குழுவாகும். குழுவிற்கு ஒரு குவாட்டர்னியன் இயற்கணிதத்தின் அடிப்படையில் ஒரு உணர்தல் இல்லை, ஆனால் குழு செய்கிறது. போயின்கேர் வட்டில் உள்ள செயல்பாட்டின் கீழ், போல்சா மேற்பரப்பின் அடிப்படை களம் கோணங்கள் மற்றும் மூலைகளைக் கொண்ட ஒரு வழக்கமான எண்கோணமாகும். ஃபுச்சியன் குழுவின் செயல்பாட்டின் கீழ் எண்கோணத்தின் எதிர் பக்கங்கள் அடையாளம் காணப்படுகின்றன. அதன் ஜெனரேட்டர்கள் மேட்ரிக்ஸ்கள் எங்கே மற்றும், அவற்றின் தலைகீழ்களுடன். ஜெனரேட்டர்கள் உறவை திருப்திப்படுத்துகின்றன இந்த ஜெனரேட்டர்கள் நீளம் நிறமாலையுடன் இணைக்கப்பட்டுள்ளன, இது ஜியோடெசிக் சுழல்களின் சாத்தியமான அனைத்து நீளங்களையும் வழங்குகிறது. அத்தகைய குறுகிய நீளம் மேற்பரப்பின் சிஸ்டோல் என்று அழைக்கப்படுகிறது. போல்சா மேற்பரப்பின் சிஸ்டோல் போல்சா மேற்பரப்புக்கான நீளம் நிறமாலையின் உறுப்பு நேர்மறை முழு எண்கள் வழியாக செல்லும் இடத்தால் வழங்கப்படுகிறது (ஆனால் 4,24,48,72,140 மற்றும் பல்வேறு உயர் மதிப்புகளைத் தவிர்த்து) மற்றும் தனித்துவமான ஒற்றைப்படை முழு எண் எங்கே குறைக்கிறது முக்கோணக் குழுவிலிருந்து நேரடியாக சிஸ்டோலின் சமமான மூடிய வடிவத்தைப் பெற முடியும். ஒரு (2,3,8) முக்கோணங்களின் பக்க நீளங்களை வெளிப்படையாகக் கணக்கிட சூத்திரங்கள் உள்ளன. சிஸ்டோல் ஒரு (2,3,8) முக்கோணத்தில் நடுத்தர நீளத்தின் பக்கத்தின் நீளத்தை விட நான்கு மடங்கு சமம், அதாவது, புவியியல் நீளங்கள் மேற்பரப்பின் ஃபென்செல்-நீல்ஸன் ஆயத்தொகுப்புகளிலும் தோன்றும். பேரினம் 2 இன் மேற்பரப்பிற்கான ஃபென்செல்-நீல்ஸன் ஆயத்தங்களின் தொகுப்பு மூன்று ஜோடிகளைக் கொண்டுள்ளது, ஒவ்வொரு ஜோடியும் நீளம் மற்றும் திருப்பமாக இருக்கும். போல்சா மேற்பரப்புக்கான எளிமையான ஒருங்கிணைப்புகளின் தொகுப்பு, எங்கே. ஒரு "சமச்சீர்" ஆயத்தொகுதிகளும் உள்ளன, இதில் மூன்று நீளங்களும் சிஸ்டோல் மற்றும் மூன்று திருப்பங்களும் மேற்பரப்பின் சமச்சீர்களால் வழங்கப்படுகின்றன போல்சா மேற்பரப்பின் அடிப்படை களம் போயின்கரே வட்டில் ஒரு வழக்கமான எண்கோணமாகும்; (முழு) சமச்சீர் குழுவை உருவாக்கும் நான்கு சமச்சீர் செயல்கள்ஃ ஆர்-எண்கோணத்தின் மையத்தைப் பற்றி வரிசை 8 இன் சுழற்சி; எஸ்-உண்மையான கோட்டில் பிரதிபலிப்பு; டி-எண்கோணத்தை டெஸ்லேட் செய்யும் 16 (4,4,4) முக்கோணங்களில் ஒன்றின் பக்கத்தில் பிரதிபலிப்பு; யு-ஒரு (4,4,4) முக்கோணத்தின் மையத்தைப் பற்றி வரிசை 3 இன் சுழற்சி. இவை அருகிலுள்ள படத்தில் உள்ள தடித்த கோடுகளால் காட்டப்படுகின்றன. அவை பின்வரும் உறவுகளின் தொகுப்பை திருப்திப்படுத்துகின்றனஃ அற்பமான (அடையாளம்) நடவடிக்கை எங்கே? குழுவின் பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாடு பற்றிய தகவல்களை மீட்டெடுக்க ஒருவர் GAP இல் இந்த உறவுகளின் தொகுப்பைப் பயன்படுத்தலாம். குறிப்பாக, நான்கு 1 பரிமாண, இரண்டு 2 பரிமாண, நான்கு 3 பரிமாண, மற்றும் மூன்று 4 பரிமாண பகுக்கமுடியாத பிரதிநிதித்துவங்கள் உள்ளன, மற்றும் எதிர்பார்த்தபடி. ஸ்பெக்ட்ரல் கோட்பாடு இங்கே, ஸ்பெக்ட்ரல் கோட்பாடு லாப்லாசியனின் ஸ்பெக்ட்ரமைக் குறிக்கிறது. போல்சா மேற்பரப்பின் முதல் ஐகென்ஸ்பேஸ் (அதாவது, முதல் நேர்மறை ஐகென் மதிப்புடன் தொடர்புடைய ஐகென்ஸ்பேஸ்) முப்பரிமாணமாகவும், இரண்டாவது, நான்கு பரிமாணமாகவும் உள்ளது. டீச்முல்லர் இடத்தில் முதல் ஐகென்ஸ்பேஸ் செயல்பாடுகளின் நோடல் கோடுகளின் இடையூறுகளை ஆராய்வது அறிமுகத்தில் ஊகிக்கப்பட்ட முடிவை வழங்கும் என்று கருதப்படுகிறது. இந்த அனுமானம் மேற்பரப்பு மற்றும் பேரினம் 2 இன் பிற மேற்பரப்புகளின் ஐகென் மதிப்புகளின் விரிவான எண் கணக்கீடுகளை அடிப்படையாகக் கொண்டது. குறிப்பாக, போல்சா மேற்பரப்பின் நிறமாலை மிக அதிக துல்லியத்திற்கு அறியப்படுகிறது. பின்வரும் அட்டவணை போல்சா மேற்பரப்பின் முதல் பத்து நேர்மறையான ஐகென் மதிப்புகளை வழங்குகிறது. போல்சா மேற்பரப்பின் நிறமாலை தீர்மானிப்பவர் மற்றும் காசிமிர் ஆற்றல் முறையே, அனைத்து தசம இடங்களும் சரியானவை என்று நம்பப்படுகிறது. போல்சா மேற்பரப்பிற்கான பேரினம் 2 இல் நிறமாலை தீர்மானிப்பவர் அதிகரிக்கப்படுகிறார் என்று ஊகிக்கப்படுகிறது. குவாட்டர்னியன் இயற்கணிதம் மெக்லாக்லான் மற்றும் ரீட்டைத் தொடர்ந்து, குவாட்டர்னியன் இயற்கணிதம் ஒரு இணை இயற்கணிதமாக ஜெனரேட்டர்கள் i, j மற்றும் ஒரு வரிசையின் பொருத்தமான தேர்வுடன் உறவுகளால் உருவாக்கப்படும் இயற்கணிதம் என்று எடுத்துக் கொள்ளலாம். ஹைப்பர்லிப்டிக் வளைவு க்ளீன் குவார்டிக் மக்பீத் மேற்பரப்பைக் கொண்டு வாருங்கள் முதல் ஹர்விட்ஸ் மும்மடங்கு குறிப்புகள் குறிப்பிட்ட ரீமன் மேற்பரப்புகள் சிஸ்டாலிக் வடிவியல்