Analytic function of a matrix
கணிதத்தில், ஒவ்வொரு பகுப்பாய்வு செயல்பாடும் ஒரு மேட்ரிக்ஸ் செயல்பாட்டை வரையறுக்க பயன்படுத்தப்படலாம், இது சதுர மேட்ரிக்ஸ்களை ஒரே அளவிலான சதுர மேட்ரிக்ஸ்களுக்கு சிக்கலான உள்ளீடுகளுடன் வரைபடமாக்குகிறது. நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளின் மூடிய வடிவ தீர்வில் ஈடுபடும் ஒரு மேட்ரிக்ஸின் அதிவேகத்தை வரையறுக்க இது பயன்படுத்தப்படுகிறது. மேட்ரிக்ஸ் செயல்பாடுகளுக்கு அளவிடுதல் செயல்பாட்டை விரிவுபடுத்துவது ஒரு உண்மையான செயல்பாட்டை ஒரு சதுர மேட்ரிக்ஸ் செயல்பாட்டிற்கு உயர்த்துவதற்கான பல நுட்பங்கள் உள்ளன, அதாவது சுவாரஸ்யமான பண்புகள் பராமரிக்கப்படுகின்றன. பின்வரும் நுட்பங்கள் அனைத்தும் ஒரே மேட்ரிக்ஸ் செயல்பாட்டை வழங்குகின்றன, ஆனால் செயல்பாடு வரையறுக்கப்பட்ட களங்கள் வேறுபடலாம். பவர் சீரிஸ் பகுப்பாய்வு செயல்பாட்டில் டெய்லர் விரிவாக்கம் இருந்தால், ஒரு மேட்ரிக்ஸ் செயல்பாட்டை ஒரு சதுர மேட்ரிக்ஸ் மூலம் மாற்றுவதன் மூலம் வரையறுக்க முடியும்ஃ சக்திகள் மேட்ரிக்ஸ் சக்திகளாக மாறுகின்றன, சேர்த்தல்கள் மேட்ரிக்ஸ் தொகைகளாக மாறுகின்றன மற்றும் குணகங்களால் பெருக்கல்கள் அளவிடக்கூடிய பெருக்கங்களாக மாறுகின்றன. தொடர் ஒன்றிணைந்தால், அதனுடன் தொடர்புடைய மேட்ரிக்ஸ் தொடர் மேட்ரிக்ஸ்களுக்கு ஒன்றிணைகிறது, இது சில மேட்ரிக்ஸ் நெறிமுறைகளுக்கு திருப்தி அளிக்கிறது. மூலைவிட்டமாக்கக்கூடிய மேட்ரிக்ஸ் ஒரு சதுர மேட்ரிக்ஸ் மூலைவிட்டமாக்கக்கூடியது, ஒரு மூலைவிட்ட மேட்ரிக்ஸ் போன்ற ஒரு தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸ் இருந்தால், அதாவது, வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது அமைப்பது இயற்கையானது என்பதால் மேட்ரிக்ஸ் ஒரு குறிப்பிட்ட தேர்வைச் சார்ந்தது அல்ல என்பதை சரிபார்க்க முடியும். எடுத்துக்காட்டாக, சூத்திரத்தின் பயன்பாட்டிற்காக ஒருவர் ஒன்றைத் தேடுகிறார் என்று வைத்துக்கொள்வோம், பின்னர் வெறுமனே விளைகிறது அதேபோல், ஜோர்டான் சிதைவு அனைத்து சிக்கலான மேட்ரிக்ஸ்களும், அவை மூலைவிட்டமாக இருந்தாலும் இல்லாவிட்டாலும், ஜோர்டான் இயல்பான வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளன, அங்கு மேட்ரிக்ஸ் J ஜோர்டான் தொகுதிகளைக் கொண்டுள்ளது. இந்த தொகுதிகளை தனித்தனியாகக் கருத்தில் கொண்டு, ஒரு ஜோர்டான் தொகுதிக்கு சக்தி தொடரைப் பயன்படுத்துங்கள்ஃ இந்த வரையறையைப் பயன்படுத்தி மேட்ரிக்ஸ் செயல்பாட்டின் களத்தை மேட்ரிக்ஸின் தொகுப்புக்கு அப்பால் நீட்டிக்க முடியும், ஸ்பெக்ட்ரல் ஆரம் பவர் சீரிஸின் ஒருங்கிணைப்பின் ஆரத்தை விட சிறியது. பிரிக்கப்பட்ட வேறுபாடுகளுக்கும் ஒரு தொடர்பு உள்ளது என்பதை நினைவில் கொள்க. ஒரு தொடர்புடைய கருத்து ஜோர்டான்-செவல்லி சிதைவு ஆகும், இது ஒரு மேட்ரிக்ஸை ஒரு மூலைவிட்ட மற்றும் நில்போட்டன்ட் பகுதியின் கூட்டுத்தொகையாக வெளிப்படுத்துகிறது. ஹெர்மிடியன் மேட்ரிக்ஸ் ஒரு ஹெர்மிடியன் மேட்ரிக்ஸ் அனைத்து உண்மையான ஐகென் மதிப்புகளையும் கொண்டுள்ளது மற்றும் ஸ்பெக்ட்ரல் தேற்றத்தின்படி எப்போதும் ஒரு யூனிட்டரி மேட்ரிக்ஸ் பி மூலம் மூலைவிட்டமாக்கப்படலாம். இந்த விஷயத்தில், ஜோர்டான் வரையறை இயற்கையானது. மேலும், இந்த வரையறை உண்மையான செயல்பாடுகளுக்கான நிலையான ஏற்றத்தாழ்வுகளை நீட்டிக்க அனுமதிக்கிறதுஃ அனைத்து ஐகென் மதிப்புகளுக்கும் என்றால், பின்னர். (ஒரு வழக்கமாக, ஒரு நேர்மறை-அரை வரையறுக்கப்பட்ட அணி.) ஆதாரம் வரையறையிலிருந்து நேரடியாகப் பின்தொடர்கிறது. சிக்கலான பகுப்பாய்விலிருந்து காச்சி ஒருங்கிணைந்த காச்சியின் ஒருங்கிணைந்த சூத்திரம் மேட்ரிக்ஸ் செயல்பாடுகளுக்கு அளவிடுதல் செயல்பாடுகளை பொதுமைப்படுத்தவும் பயன்படுத்தப்படலாம். காச்சியின் ஒருங்கிணைந்த சூத்திரம் ஒரு தொகுப்பில் வரையறுக்கப்பட்ட எந்தவொரு பகுப்பாய்வு செயல்பாட்டிற்கும், களத்திற்குள் ஒரு மூடிய எளிய வளைவு உள்ளது என்று கூறுகிறது. இப்போது, ஒரு மேட்ரிக்ஸால் மாற்றப்பட்டு, அதன் அனைத்து ஐகென் மதிப்புகளையும் உள்ளடக்கிய ஒரு பாதையை கருத்தில் கொள்ளுங்கள். இதை அடைவதற்கான ஒரு சாத்தியக்கூறு என்னவென்றால், ஒரு தன்னிச்சையான மேட்ரிக்ஸ் நெறிமுறையை விட ஆரம் பெரியதாக இருக்கும் தோற்றத்தைச் சுற்றி ஒரு வட்டமாக இருக்கட்டும். பின்னர், இதன் மூலம் வரையறுக்கப்படுகிறது இந்த ஒருங்கிணைப்பை ட்ரெபீசியம் விதியைப் பயன்படுத்தி எண்ணியல் ரீதியாக உடனடியாக மதிப்பீடு செய்யலாம், இது இந்த விஷயத்தில் அதிவேகமாக ஒருங்கிணைக்கிறது. அதாவது முனைகளின் எண்ணிக்கை இரட்டிப்பாகும்போது முடிவின் துல்லியம் இரட்டிப்பாகும். வழக்கமான சந்தர்ப்பங்களில், இது சில்வெஸ்டரின் சூத்திரத்தால் புறக்கணிக்கப்படுகிறது. இந்த யோசனை ஒரு பானாச் இடத்தில் வரம்புக்குட்பட்ட நேரியல் இயக்கிகளுக்கு பயன்படுத்தப்படுகிறது, இது எல்லையற்ற மெட்ரிக்குகளாகக் காணலாம், இது ஹோலோமார்பிக் செயல்பாட்டு கால்குலஸுக்கு வழிவகுக்கிறது. மேட்ரிக்ஸ் இடையூறுகள் மேலே உள்ள டெய்லர் சக்தி தொடர் அளவுகோலை மேட்ரிக்ஸால் மாற்ற அனுமதிக்கிறது. இது பொதுவாக சுமார் வரை விரிவடையும் போது பொருந்தாது. ஒரு எதிர் உதாரணம், இது ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட நீள டெய்லர் தொடரைக் கொண்டுள்ளது. இதை நாம் இரண்டு வழிகளில் கணக்கிடுகிறோம், டிஸ்ட்ரிபியூட்டிவ் லாஃ ஸ்கேலார் டெய்லர் விரிவாக்கத்தைப் பயன்படுத்துதல் மற்றும் இறுதியில் அளவுகோல்களை மேட்ரிக்ஸுடன் மாற்றுதல்ஃ அளவுகோல் வெளிப்பாடு பரிமாற்றத்தை எடுத்துக்கொள்கிறது, அதே நேரத்தில் மேட்ரிக்ஸ் வெளிப்பாடு இல்லை, எனவே அவற்றை நேரடியாக சமன் செய்ய முடியாது. சில f (x) க்கு இது ஸ்கேலார் டெய்லர் தொடரின் அதே முறையைப் பயன்படுத்தி கையாளப்படலாம். உதாரணமாக,. இருந்திருந்தால். முதல் காலத்தின் விரிவாக்கம் பின்னர் மேலே கொடுக்கப்பட்ட சக்தி தொடரைப் பின்பற்றுகிறது, சக்தி தொடரின் ஒருங்கிணைப்பு அளவுகோல்கள் பின்னர் பொருந்தும், பொருத்தமான அணி நெறிமுறையின் கீழ் போதுமான அளவு சிறியதாக இருக்க வேண்டும். இரண்டு மேட்ரிக்ஸ்கள் பயணிக்கும் வகையில் மீண்டும் எழுத முடியாத பொதுவான சிக்கல்களுக்கு, லீப்னிஸ் விதியை மீண்டும் மீண்டும் பயன்படுத்துவதன் மூலம் உற்பத்தி செய்யப்படும் மேட்ரிக்ஸ் தயாரிப்புகளின் வரிசையை கண்காணிக்க வேண்டும். 2 × 2 மேட்ரிக்ஸின் தன்னிச்சையான செயல்பாடு ஒரு 2 × 2 மேட்ரிக்ஸ் A இன் தன்னிச்சையான செயல்பாடு f (A) அதன் சில்வெஸ்டரின் சூத்திரத்தை அதன் சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டின் ஐகென் மதிப்புகள் எங்கு உள்ளன என்பதை எளிதாக்குகிறது, மேலும் அவை எடுத்துக்காட்டுகளால் வழங்கப்படுகின்றன மேட்ரிக்ஸ் பல்லுறுப்புக்கோவை மேட்ரிக்ஸ் ரூட் மேட்ரிக்ஸ் மடக்கை மேட்ரிக்ஸ் எக்ஸ்பொனென்ஷியல் மேட்ரிக்ஸ் அடையாளம் செயல்பாடு மேட்ரிக்ஸ் செயல்பாடுகளின் வகுப்புகள் அரை வரையறுக்கப்பட்ட வரிசையைப் பயன்படுத்தி (நேர்மறை-அரை வரையறுக்கப்பட்ட மற்றும் நேர்மறை திட்டவட்டமானது), அளவிடுதல் செயல்பாடுகளின் சில வகுப்புகள் ஹெர்மிடியன் மேட்ரிக்ஸின் மேட்ரிக்ஸ் செயல்பாடுகளுக்கு நீட்டிக்கப்படலாம். இயக்குபவர் மோனோடோன் ஒரு செயல்பாடு இயக்குபவர் மோனோடோன் என்று அழைக்கப்படுகிறது, ஸ்பெக்ட்ராவின் களத்தில் உள்ள அனைத்து சுய-இணைவு மேட்ரிக்ஸ்களுக்கும் மட்டுமே. இது ஸ்கேலார் வழக்கில் மோனோடோன் செயல்பாட்டிற்கு ஒத்ததாகும். இயக்குபவர் குழிவான/குவிந்த ஒரு செயல்பாடு மற்றும் மற்றும் களத்தில் ஸ்பெக்ட்ராவுடன் கூடிய அனைத்து சுய-இணைவு மேட்ரிக்ஸ்களுக்கும் இருந்தால் மட்டுமே ஆபரேட்டர் குழிவானது என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த வரையறை ஒரு குழிவான அளவிடுதல் செயல்பாட்டிற்கு ஒத்ததாகும். மேலே உள்ள வரையறையில் ஒரு ஆபரேட்டர் குவிந்த செயல்பாட்டை மாற்றுவதாக வரையறுக்கலாம். எடுத்துக்காட்டுகள் மேட்ரிக்ஸ் பதிவு ஆபரேட்டர் மோனோடோன் மற்றும் ஆபரேட்டர் குழிவானது ஆகும். மேட்ரிக்ஸ் சதுரம் ஆபரேட்டர் குவிந்ததாகும். மேட்ரிக்ஸ் எக்ஸ்பொனென்ஷியல் இவற்றில் எதுவுமில்லை. லோவ்னரின் தேற்றம் ஒரு திறந்த இடைவெளியில் ஒரு செயல்பாடு ஆபரேட்டர் மோனோடோன் என்று கூறுகிறது, அது மேல் மற்றும் கீழ் சிக்கலான அரை தளங்களுக்கு ஒரு பகுப்பாய்வு நீட்டிப்பைக் கொண்டிருந்தால் மட்டுமே, இதனால் மேல் பாதி தளம் தனக்குத்தானே வரைபடமாக்கப்படுகிறது. மேலும் பார்க்கவும் இயற்கணித ரிச்சாட்டி சமன்பாடு சில்வெஸ்டரின் சூத்திரம் லோவ்னர் வரிசை மேட்ரிக்ஸ் கால்குலஸ் ட்ரேஸ் ஏற்றத்தாழ்வுகள் மேட்ரிக்ஸின் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் குறிப்புகள் குறிப்புகள் மேட்ரிக்ஸ் கோட்பாடு கணித இயற்பியல்