Hurwitz surface
ரீமன் மேற்பரப்பு கோட்பாடு மற்றும் ஹைபர்போலிக் வடிவவியலில், அடால்ஃப் ஹர்விட்ஸ் பெயரிடப்பட்ட ஒரு ஹர்விட்ஸ் மேற்பரப்பு, துல்லியமாக 84 (g−1) ஆட்டோமார்ஃபிஸம்களைக் கொண்ட ஒரு கச்சிதமான ரீமன் மேற்பரப்பாகும், இதில் g என்பது மேற்பரப்பின் இனமாகும். இந்த எண் ஹர்விட்ஸின் ஆட்டோமார்ஃபிஸம்களின் தேற்றத்தின் அடிப்படையில் அதிகபட்சமாகும். அவை ஹர்விட்ஸ் வளைவுகள் என்றும் குறிப்பிடப்படுகின்றன, அவற்றை சிக்கலான இயற்கணித வளைவுகள் (சிக்கலான பரிமாணம் 1 = உண்மையான பரிமாணம் 2) என்று விளக்குகின்றன. ஒரு ஹர்விட்ஸ் மேற்பரப்பின் ஃபுச்சியன் குழு என்பது (சாதாரண) (2,3,7) முக்கோணக் குழுவின் வரையறுக்கப்பட்ட குறியீட்டு முறிவு இல்லாத இயல்பான துணைக்குழுவாகும். வரையறுக்கப்பட்ட ஈவுக் குழு துல்லியமாக ஆட்டோமார்ஃபிஸம் குழுவாகும். சிக்கலான இயற்கணித வளைவுகளின் தன்னியல்புகள் அடிப்படை உண்மையான மேற்பரப்பின் நோக்குநிலை-பாதுகாக்கும் தன்னியல்புகளாகும்; நோக்குநிலை-தலைகீழ் ஐசோமீட்டரிகளை ஒருவர் அனுமதித்தால், இது 168 (g−1) வரிசையில் இரு மடங்கு பெரிய குழுவை வழங்குகிறது, இது சில நேரங்களில் ஆர்வமாக உள்ளது. சொற்களஞ்சியம் பற்றிய ஒரு குறிப்பு-இதிலும் பிற சூழல்களிலும், "(2,3,7) முக்கோணக் குழு" என்பது பெரும்பாலும் முழு முக்கோணக் குழுவை (2,3,7) (ஸ்வார்ஸ் முக்கோணத்துடன் (2,3,7) காக்செட்டர் குழு அல்லது ஒரு ஹைபர்போலிக் பிரதிபலிப்புக் குழுவாக ஒரு உணர்தல்) அல்ல, மாறாக சாதாரண முக்கோணக் குழுவை (வான் டைக் குழு) D (2,3,7) நோக்குநிலை-பாதுகாக்கும் வரைபடங்களின் (சுழற்சி குழு) குறியீடு 2 ஆகும். சிக்கலான தன்னியல்புகளின் குழு சாதாரண (நோக்குநிலை-பாதுகாக்கும்) முக்கோணக் குழுவின் ஒரு ஈவு ஆகும், அதே நேரத்தில் (நோக்குநிலை-தலைகீழ்) ஐசோமீட்டரிகளின் குழு முழு முக்கோணக் குழுவின் ஈவு ஆகும். ஒவ்வொரு இனத்திலும் இறுதியாக பல ஹர்விட்ஸ் மேற்பரப்புகள் மட்டுமே காணப்படுகின்றன. அதன் பெரும்பாலான மதிப்புகள் பூஜ்ஜியமாக இருந்தாலும், அந்த இனத்துடன் ஹர்விட்ஸ் மேற்பரப்புகளின் எண்ணிக்கையுடன் இனத்தை வரைபடமாக்கும் செயல்பாடு வரம்பற்றது. இந்த தொகை ஒன்றிணைகிறது, இது தோராயமான அர்த்தத்தில் ஹர்விட்ஸ் மேற்பரப்பின் பேரினம் குறைந்தபட்சம் ஒரு கன செயல்பாடாக வளரும் என்பதைக் குறிக்கிறது. குறைந்த பட்ச பேரினத்தின் ஹர்விட்ஸ் மேற்பரப்பு 3ஆம் பேரினத்தின் க்ளீன் குவார்டிக் ஆகும், இதில் தானியங்கி உருவம் கொண்ட குழுவான 84 (3−1) = 168 = 23·3·7 வரிசையின் ப்ரொஜெக்டிவ் சிறப்பு நேரியல் குழுவான பி. எஸ். எல் (2,7), இது ஒரு எளிய குழு; (அல்லது நோக்குநிலை-தலைகீழ் ஐசோமீட்டரிகளை ஒருவர் அனுமதித்தால் வரிசை 336). அடுத்த சாத்தியமான பேரினம் 7 ஆகும், இது மேக்பீத் மேற்பரப்பில் உள்ளது, தானியங்கி உருவம் குழு பி. எஸ். எல் (2,8), இது 84 (7−1) = 504 = 23·32·7 வரிசையின் எளிய குழுவாகும்; ஒன்று நோக்குநிலை-தலைகீழ் ஐசோமீட்டரிகளை உள்ளடக்கியிருந்தால், குழு 1,008 வரிசையில் உள்ளது. ஒரு சுவாரஸ்யமான நிகழ்வு அடுத்த சாத்தியமான இனத்தில் நிகழ்கிறது, அதாவது 14. இங்கே ஒரே மாதிரியான தானியங்கி உருவம் கொண்ட மூன்று தனித்துவமான ரீமன் மேற்பரப்புகள் உள்ளன (வரிசை 84 (14−1) = 1092 = 22·3·7·13). இந்த நிகழ்வுக்கான விளக்கம் எண்கணிதமாகும். அதாவது, பொருத்தமான எண் புலத்தின் முழு எண்களின் வளையத்தில், விகிதமுறு பகா எண் 13 மூன்று தனித்துவமான பகா இலட்சியங்களின் பெருக்கலாகப் பிரிகிறது. மூன்று பகா எண்களால் வரையறுக்கப்பட்ட முதன்மை ஒற்றுமை துணைக்குழுக்கள் முதல் ஹர்விட்ஸ் மும்மூர்த்தியுடன் தொடர்புடைய ஃபுச்சியன் குழுக்களை உருவாக்குகின்றன. ஒரு ஹர்விட்ஸ் மேற்பரப்பின் இனத்திற்கு அனுமதிக்கக்கூடிய மதிப்புகளின் வரிசை 3,7,14,17,118,129,146,385,411,474,687,769,1009,1025,1459,1537,2091, தொடங்குகிறது. மேலும் ஹர்விட்ஸ் குவாட்டர்னியன் வரிசை குறிப்புகள் எல்கிஸ், என்.: ஷிமுரா வளைவு கணக்கீடுகளையும் பார்க்கவும். அல்காரிதம் எண் கோட்பாடு (போர்ட்லேண்ட், OR, 1998), 1-47, கணினி அறிவியலில் விரிவுரை குறிப்புகள், 1423, ஸ்பிரிங்கர், பெர்லின், 1998. காட்ஜ், எம்.; ஷாப்ஸ், எம்.; விஷ்னே, யு.: ஒற்றுமை துணைக்குழுக்களுடன் எண்கணித ரீமன் மேற்பரப்புகளின் சிஸ்டோலின் மடக்கை வளர்ச்சி. ஜே. வேறுபட்ட ஜியோம். 76 (2007), எண். 3, 399-422. ரீமன் மேற்பரப்பில் சிஸ்டாலிக் வடிவவியலில் கிடைக்கிறது