Gromov product
கணிதத்தில், குரோமோவ் தயாரிப்பு என்பது கணிதவியலாளர் மைக்கேல் குரோமோவின் பெயரிடப்பட்ட மெட்ரிக் இடைவெளிகளின் கோட்பாட்டில் ஒரு கருத்தாகும். குரோமோவ் என்ற அர்த்தத்தில் δ-ஹைபர்போலிக் மெட்ரிக் இடைவெளிகளை வரையறுக்க குரோமோவ் தயாரிப்பு பயன்படுத்தப்படலாம். வரையறை (X, d) ஒரு மெட்ரிக் இடமாக இருக்கட்டும் மற்றும் x, y, z ω X ஆக இருக்கட்டும். பின்னர் x இல் y மற்றும் z இன் குரோமோவ் பெருக்கல், குறிக்கப்படுகிறது (y, z) x, உந்துதலால் வரையறுக்கப்படுகிறது மெட்ரிக் ஸ்பேஸ் X இல் கொடுக்கப்பட்ட மூன்று புள்ளிகள் x, y, z, முக்கோண சமத்துவமின்மையால், எதிர்மறை அல்லாத எண்கள் a, b, c உள்ளன. பின்னர் குரோமோவ் தயாரிப்புகள். x, y, z புள்ளிகள் ஒரு முக்காலின் வெளிப்புற முனைகளாக இருந்தால், இந்த குரோமோவ் தயாரிப்புகள் விளிம்புகளின் நீளம். ஹைபர்போலிக், கோள அல்லது யூக்ளிடியன் தளத்தில், குரோமோவ் தயாரிப்பு (ஏ, பி) சி என்பது சி மற்றும் புவியியல் முக்கோணத்தின் ஏபிசியின் உள் வட்டமானது சிபி அல்லது சிஏ விளிம்பைத் தொடும் புள்ளிக்கு இடையிலான தூரத்திற்கு சமம். உண்மையில் வரைபடத்திலிருந்து, எனவே. எனவே எந்தவொரு மெட்ரிக் இடத்திற்கும், (ஏ, பி) சி இன் வடிவியல் விளக்கம் யூக்ளிடியன் தளத்தில் ஐசோமெட்ரிக் முறையில் (ஏ, பி, சி) உட்பொதிப்பதன் மூலம் பெறப்படுகிறது. பண்புகள் குரோமோவ் பெருக்கல் சமச்சீர்ஃ (y, z) x = (z, y) x. குரோமோவ் பெருக்கல் இறுதிப் புள்ளிகளில் சீரழிகிறதுஃ (y, z) y = (y, z) z = 0. எந்த புள்ளிகளுக்கும் p, q, x, y மற்றும் z, முடிவிலியில் உள்ள புள்ளிகள் ஹைபர்போலிக் இடைவெளி Hn ஐக் கவனியுங்கள். ஒரு அடிப்படை புள்ளி p ஐ சரிசெய்து, முடிவிலியில் இரண்டு தனித்துவமான புள்ளிகளாக இருக்கட்டும். பின்னர் வரம்பு உள்ளது மற்றும் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது, எனவே ஒரு பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட குரோமோவ் தயாரிப்பு என்று கருதலாம். இது உண்மையில் ஜியோடெசிக் கதிர்கள் மற்றும் இடையேயான கோணம் எங்கே என்ற சூத்திரத்தால் வழங்கப்படுகிறது. δ-ஹைபர்போலிக் இடைவெளிகள் மற்றும் புவியியலின் வேறுபாடு குரோமோவ் தயாரிப்பு குரோமோவ் என்ற அர்த்தத்தில் δ-ஹைபர்போலிக் இடைவெளிகளை வரையறுக்க பயன்படுத்தப்படலாம். : (X, d), X இல் உள்ள அனைத்து p, x, y மற்றும் z க்கும், இந்த விஷயத்தில், δ-ஹைபர்போலிக் என்று கூறப்படுகிறது. குரோமோவ் தயாரிப்பு புவியியல் எவ்வளவு காலம் ஒன்றாக நெருக்கமாக உள்ளது என்பதை அளவிடுகிறது. அதாவது, x, y மற்றும் z ஒரு δ-ஹைபர்போலிக் மெட்ரிக் இடைவெளியின் மூன்று புள்ளிகளாக இருந்தால், x முதல் y மற்றும் x முதல் z வரையிலான புவியியலின் நீளத்தின் (y, z) x இன் ஆரம்ப பிரிவுகள் 2δ க்கு மேல் இல்லை (மூடிய தொகுப்புகளுக்கு இடையிலான ஹவுஸ்டோர்ஃப் தூரத்தின் அர்த்தத்தில்). குறிப்புகள் அளவீட்டு வடிவியல் ஹைபர்போலிக் மெட்ரிக் இடைவெளி