(2,3,7) triangle group
ரீமன் மேற்பரப்புகள் மற்றும் ஹைபர்போலிக் வடிவவியலின் கோட்பாட்டில், முக்கோணக் குழு (2,3,7) ஹர்விட்ஸ் மேற்பரப்புகளுடன் அதன் தொடர்புக்கு குறிப்பாக முக்கியமானது, அதாவது ரீமன் மேற்பரப்புகள் அதன் தானியங்கி குழுவின் மிகப்பெரிய வரிசை, 84 (g−1) உடன். "(2,3,7) முக்கோணக் குழு" என்ற சொல் பெரும்பாலும் முழு முக்கோணக் குழுவைக் குறிக்காது (2,3,7) (ஸ்வார்ஸ் முக்கோணத்துடன் காக்செட்டர் குழு (2,3,7) அல்லது ஒரு ஹைபர்போலிக் பிரதிபலிப்புக் குழுவாக ஒரு உணர்தல்), மாறாக சாதாரண முக்கோணக் குழுவை (வான் டைக் குழு) டி (2,3,7) நோக்குநிலை-பாதுகாக்கும் வரைபடங்களின் (சுழற்சி குழு) குறியீடு 2 ஆகும். (2,3,7) முக்கோணக் குழுவின் முறிவு இல்லாத இயல்பான துணைக்குழுக்கள் ஹர்விட்ஸ் மேற்பரப்புகளுடன் தொடர்புடைய ஃபுச்சியன் குழுக்கள் ஆகும், அதாவது க்ளீன் குவார்டிக், மேக்பீத் மேற்பரப்பு மற்றும் ஃபர்ஸ்ட் ஹர்விட்ஸ் டிரிபிள். கட்டமைப்புகள் ஹைபர்போலிக் கட்டுமானம் முக்கோணக் குழுவை உருவாக்க, π/2, π/3 மற்றும் π/7 கோணங்களைக் கொண்ட ஹைபர்போலிக் முக்கோணத்துடன் தொடங்குங்கள். இந்த முக்கோணம், மிகச்சிறிய ஹைபர்போலிக் ஸ்வார்ஸ் முக்கோணம், அதன் பக்கங்களில் பிரதிபலிப்புகள் மூலம் தளத்தை இணைக்கிறது. முக்கோணத்தின் பக்கங்களில் பிரதிபலிப்புகளால் உருவாக்கப்படும் குழுவைக் கவனியுங்கள், இது (முக்கோண ஓடுகள் என்பதால்) யூக்ளிடியன் அல்லாத படிகவியல் குழு (ஹைபர்போலிக் ஐசோமெட்ரிகளின் தனித்துவமான துணைக்குழு) அடிப்படை களத்திற்கான இந்த முக்கோணத்துடன்; தொடர்புடைய ஓடுகள் வரிசை-3 இருமுனை ஹெப்டாகனல் ஓடுகள் ஆகும். (2,3,7) முக்கோணக் குழு என்பது குறியீடு 2 துணைக்குழுக்களாக வரையறுக்கப்படுகிறது, இது நோக்குநிலை-பாதுகாக்கும் ஐசோமீட்டரிகளைக் கொண்டுள்ளது, இது ஒரு ஃபுச்சியன் குழு (நோக்குநிலை-பாதுகாக்கும் NEC குழு) ஆகும். குழு விளக்கக்காட்சி இது ஒரு ஜோடி ஜெனரேட்டர்கள், g2, g3, மாடுலோ பின்வரும் உறவுகளின் அடிப்படையில் ஒரு விளக்கக்காட்சியைக் கொண்டுள்ளதுஃ வடிவியல் ரீதியாக, இவை ஸ்வார்ஸ் முக்கோணத்தின் செங்குத்துகள் மற்றும் சுழற்சிகளுடன் ஒத்திருக்கின்றன. குவாட்டர்னியன் இயற்கணிதம் (2,3,7) முக்கோணக் குழு ஒரு குவாட்டர்னியன் இயற்கணிதத்தில் பொருத்தமான வரிசையில் நெறிமுறை 1 இன் குவாட்டர்னியன் குழுவின் அடிப்படையில் ஒரு விளக்கக்காட்சியை ஏற்றுக்கொள்கிறது. மேலும் குறிப்பாக, முக்கோணக் குழு என்பது அதன் மையமான ±1 ஆல் உள்ள குவாட்டர்னியன்களின் குழுவின் ஈவு ஆகும். η = 2cos (2π/7) என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் அடையாளத்திலிருந்து Q (η) என்பது Q இன் முற்றிலும் உண்மையான கன விரிவாக்கம் என்பதைக் காண்கிறோம். (2,3,7) ஹைபர்போலிக் முக்கோணக் குழு என்பது குவாட்டர்னியன் இயற்கணிதத்தில் உள்ள இயல்பான 1 உறுப்புகளின் குழுவின் துணைக்குழுவாகும், இது i, j மற்றும் உறவுகள் ஜோடி ஜெனரேட்டர்கள் i2 = j2 = η, ij = −i ஆல் ஒரு துணை இயற்கணிதமாக உருவாக்கப்படுகிறது. ஒருவர் குவாட்டர்னியன் இயற்கணிதத்தில் பொருத்தமான ஹர்விட்ஸ் குவாட்டர்னியன் வரிசையைத் தேர்வு செய்கிறார். இங்கே வரிசை கூறுகளால் உருவாக்கப்படுகிறது உண்மையில், வரிசை அடிப்படையில் ஒரு இலவச Z [η]-தொகுதி ஆகும். இங்கே ஜெனரேட்டர்கள் மையத்தால் மேற்கோள் காட்டிய பிறகு, முக்கோணக் குழுவில் பொருத்தமான உறவுகளுக்கு இறங்கும் உறவுகளை திருப்திப்படுத்துகின்றன. எஸ்எல் (2, ஆர்) உடன் தொடர்பு அளவீடுகளை க்யூ (η) இலிருந்து ஆர் (நிலையான உட்பொதிப்பு வழியாக) வரை விரிவுபடுத்துவதன் மூலம், ஒருவர் குவாட்டர்னியன் இயற்கணிதத்திற்கும் உண்மையான 2 ஆல் 2 மேட்ரிக்ஸின் எம் (2, ஆர்) இயற்கணிதத்திற்கும் இடையில் ஒரு ஐசோமார்பிசத்தைப் பெறுகிறார். ஒரு கான்கிரீட் ஐசோமார்பிசத்தைத் தேர்ந்தெடுப்பது (2,3,7) முக்கோணக் குழுவை SL (2, R) இல் ஒரு குறிப்பிட்ட ஃபுச்சியன் குழுவாக வெளிப்படுத்த அனுமதிக்கிறது, குறிப்பாக மாடுலர் குழுவின் ஒரு ஈவு. வலதுபுறத்தில் சித்தரிக்கப்பட்டுள்ளபடி, தொடர்புடைய சாய்வுகளால் இதைக் காட்சிப்படுத்தலாம்ஃ போயின்கேர் வட்டில் உள்ள (2,3,7) ஓடுகள் மேல் அரை விமானத்தில் உள்ள மட்டு ஓடுகளின் ஒரு பகுதியாகும். பல நோக்கங்களுக்காக, வெளிப்படையான ஐசோமார்பிசம்கள் தேவையற்றவை. எனவே, குழு உறுப்புகளின் தடயங்கள் (எனவே மேல் அரை-தளத்தில் செயல்படும் ஹைபர்போலிக் கூறுகளின் மொழிபெயர்ப்பு நீளங்கள், அதே போல் ஃபுச்சியன் துணைக்குழுக்களின் சிஸ்டோல்கள்) குவாட்டர்னியன் இயற்கணிதத்தில் குறைக்கப்பட்ட தடயத்தின் மூலம் கணக்கிடப்படலாம், மேலும் சூத்திரம் குறிப்புகள் மேலும் வாசிப்பு வடிவியல் குழு கோட்பாடு ரீமன் மேற்பரப்புகள் ஹைபர்போலிக் சாய்வு சிஸ்டாலிக் வடிவியல் க்ளீனியன் குழுக்கள்