Peridynamics
பெரிடைனமிக்ஸ் என்பது தொடர்ச்சியான இயக்கவியலின் ஒரு உள்ளூர் அல்லாத சூத்திரமாகும், இது இடைநிறுத்தங்களுடன், குறிப்பாக எலும்பு முறிவுகளுடன் சிதைவுகளை நோக்கமாகக் கொண்டுள்ளது. முதலில், பிணைப்பு அடிப்படையிலான பெரிடைனமிக் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டுள்ளது, இதில், ஒரு பொருள் புள்ளிக்கும் அது தொடர்பு கொள்ளக்கூடிய மற்ற அனைத்திற்கும் இடையிலான உள் தொடர்புகள் ஒரு மைய விசைகள் புலமாக வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளன. இந்த வகை விசைகள் புலத்தை ஒரு குறிப்பிட்ட தூரத்திற்குள் உடலின் ஒவ்வொரு புள்ளியையும் மற்ற ஒவ்வொரு தொடர்பு புள்ளிகளுடன் இணைக்கும் பிணைப்புகளின் கண்ணி என்று கற்பனை செய்யலாம், இது பெரிடைனமிக் அடிவானம் என்று அழைக்கப்படும் பொருள் பண்பைப் பொறுத்தது. பின்னர், பொருள் பாய்சானின் விகிதத்திற்கான பிணைப்பு அடிப்படையிலான கட்டமைப்பு வரம்புகளை சமாளிக்க (விமான அழுத்தத்திற்கு மற்றும் இரு பரிமாண உள்ளமைவுகளில் விமான திரிபுக்கு; முப்பரிமாணங்களுக்கு), நிலை-அடிப்படை பெரிடைனமிக்ஸ் வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது. அதன் சிறப்பியல்பு என்னவென்றால், ஒரு புள்ளிக்கும் மற்றொரு புள்ளிக்கும் இடையில் பரிமாற்றப்படும் விசை அதன் தொடர்பு மண்டலத்துடன் தொடர்புடைய மற்ற அனைத்து பிணைப்புகளின் சிதைவு நிலையால் பாதிக்கப்படுகிறது. கிளாசிக்கல் லோக்கல் மெக்கானிக்ஸிலிருந்து வேறுபடச் செய்யும் பெரிடைனமிக்ஸின் சிறப்பியல்பு அம்சம், பொருள் உடலின் எந்த இரண்டு புள்ளிகளுக்கும் இடையில் வரையறுக்கப்பட்ட-வரம்பு பிணைப்பு இருப்பதுஃ இது பொருளின் தனித்துவமான மெசோ-ஸ்கேல் கோட்பாடுகளுக்கு அத்தகைய சூத்திரங்களை அணுகும் ஒரு அம்சமாகும். சொற்பிறப்பியல் பேரிடைனமிக் என்ற சொல், ஒரு பெயர்ச்சொல்லாக, 2000 ஆம் ஆண்டில் முன்மொழியப்பட்டது மற்றும் பெரி என்ற முன்னொட்டிலிருந்து வருகிறது, அதாவது சுற்றிலும், அருகில் அல்லது சுற்றியுள்ள; மற்றும் வேர் டைனா, அதாவது சக்தி அல்லது சக்தி. பேரிடைனமிக்ஸ் என்ற சொல், ஒரு பெயர்ச்சொல்லாக, திட இயக்கவியலின் பெரிடைனமிக் மாடல் என்ற சொற்றொடரின் சுருக்கமான வடிவமாகும். ஒரு எலும்பு முறிவு என்பது தொடர்ச்சியான இயக்கவியலின் பாரம்பரிய சமன்பாடுகளை நேரடியாகப் பயன்படுத்த முடியாத ஒரு கணித ஒற்றுமை ஆகும். எலாஸ்டிக் பொருட்களில் எலும்பு முறிவுகள் உருவாக்கம் மற்றும் மாறும் கணித மாதிரிகளின் நோக்கத்துடன் பெரிடைனமிக் கோட்பாடு முன்மொழியப்பட்டுள்ளது. இது ஒருங்கிணைந்த சமன்பாடுகளில் நிறுவப்பட்டுள்ளது, கிளாசிக்கல் தொடர்ச்சியான இயக்கவியலுக்கு மாறாக, இது பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகளை அடிப்படையாகக் கொண்டது. விரிசல் மேற்பரப்புகள் மற்றும் பிற வடிவியல் ஒற்றுமைகளில் பகுதி வழித்தோன்றல்கள் இல்லாததால், தொடர்ச்சியான இயக்கவியலின் பாரம்பரிய சமன்பாடுகளை ஒரு சிதைவில் இத்தகைய அம்சங்கள் இருக்கும்போது நேரடியாகப் பயன்படுத்த முடியாது. பெரிடைனமிக் கோட்பாட்டின் ஒருங்கிணைந்த சமன்பாடுகள் ஒருமைப்பாடுகளிலும் உண்மையாக உள்ளன, மேலும் அவை நேரடியாகப் பயன்படுத்தப்படலாம், ஏனெனில் அவற்றுக்கு பகுதி வழித்தோன்றல்கள் தேவையில்லை. ஒரு சிதைவு கட்டமைப்பின் கணித மாதிரியில் அனைத்து புள்ளிகளிலும் ஒரே சமன்பாடுகளை நேரடியாகப் பயன்படுத்தும் திறன் xFEM போன்ற எலும்பு முறிவு இயக்கவியலின் சிறப்பு நுட்பங்களின் தேவையைத் தவிர்க்க பெரிடைனமிக் அணுகுமுறைக்கு உதவுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, பெரிடைனமிக்ஸில், மன அழுத்த தீவிரக் காரணியின் அடிப்படையில் ஒரு தனி விரிசல் வளர்ச்சி விதி தேவையில்லை. வரையறை மற்றும் அடிப்படை சொற்களஞ்சியம் பெரிடைனமிக் கோட்பாட்டின் சூழலில், இயற்பியல் உடல்கள் ஒரு தொடர்ச்சியான புள்ளிகள் கண்ணி மூலம் உருவாக்கப்பட்டதாகக் கருதப்படுகின்றன, அவை அதிகபட்ச மற்றும் நன்கு நிறுவப்பட்ட தூரத்திற்குள் நீண்ட தூர பரஸ்பர தொடர்பு சக்திகளை பரிமாறிக்கொள்ள முடியும்ஃ பெரிடைனமிக் அடிவானம் ஆரம். இந்த முன்னோக்கு மேக்ரோஸ்கோபிக் உடல்களை விட மூலக்கூறு இயக்கவியலை மிகவும் அணுகுகிறது, இதன் விளைவாக, அழுத்த டென்சர் (இது ஒரு உள்ளூர் கருத்து) என்ற கருத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டிருக்கவில்லை, மேலும் ஒரு பொருள் புள்ளி அதன் பெரிடைனமிக் அடிவானத்திற்குள் பரிமாறிக்கொள்ளும் ஜோடி வாரியான விசை என்ற கருத்தை நோக்கி நகர்கிறது. சிறிய இடப்பெயர்வுகளுக்கு பொருத்தமான ஒரு லாக்ராஞ்சியன் கண்ணோட்டத்தில், பெரிடைனமிக் அடிவானம் குறிப்பு உள்ளமைவில் நிலையானதாகக் கருதப்படுகிறது, பின்னர், உடலுடன் சிதைகிறது. 1, 2 அல்லது 3 ஆக இருக்கக்கூடிய ஒரு பொருள் பொருளைக் கவனியுங்கள். உடல் ஒரு நேர்மறை அடர்த்தியைக் கொண்டுள்ளது. ஆரம்ப நேரத்தில் அதன் குறிப்பு உள்ளமைவு குறிக்கப்படுகிறது. குறிப்பு உள்ளமைவு மன அழுத்தம் இல்லாத உள்ளமைவாகவோ அல்லது ஒரு குறிப்பாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட உடலின் குறிப்பிட்ட உள்ளமைவாகவோ இருக்கலாம் என்பதைக் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். பெரிடைனமிக்ஸ் சூழலில், உள்ள ஒவ்வொரு புள்ளியும் ஒரு குறிப்பிட்ட சுற்றுப்புறத்திற்குள் உள்ள அனைத்து புள்ளிகளுடனும் தொடர்பு கொள்கிறது, இது வரையறுக்கப்படுகிறது, எங்கே மற்றும் பொருத்தமான தூர செயல்பாட்டைக் குறிக்கிறது. இந்த சுற்றுப்புறம் பெரும்பாலும் இலக்கியத்தில் குறிப்பிடப்படுகிறது. இது பொதுவாக அடிவானம் அல்லது குடும்பத்தின் குடும்பம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இன் இயக்கவியல் என்பது குறிப்பு நிலையில் இருந்து அதன் இடப்பெயர்ச்சி அடிப்படையில் விவரிக்கப்படுகிறது, இது குறிக்கப்படுகிறது. இதன் விளைவாக, ஒரு குறிப்பிட்ட நேரத்தில் நிலையின் நிலை இதன் மூலம் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. மேலும், ஒவ்வொரு ஜோடி இடைவினை புள்ளிகளுக்கும், ஆரம்ப கட்டமைப்புடன் தொடர்புடைய பிணைப்பின் நீளத்தில் ஏற்படும் மாற்றம் காலப்போக்கில் உறவினர் திரிபு மூலம் கண்காணிக்கப்படுகிறது, இது பின்வருமாறு வெளிப்படுத்தப்படலாம்ஃ எங்கே யூக்ளிடியன் நெறிமுறையைக் குறிக்கிறது மற்றும். எந்தவொரு மற்றும் இடையேயான தொடர்பு ஒரு பிணைப்பு என்று குறிப்பிடப்படுகிறது. இந்த ஜோடி வாரியான பிணைப்புகள் காலப்போக்கில் மாறுபட்ட நீளங்களைக் கொண்டுள்ளன, இது ஒரு யூனிட் தொகுதிக்கு விசைக்கு பதிலளிக்கும் வகையில் வர்க்கம், என குறிக்கப்படுகிறது. இந்த விசை பொதுவாக ஜோடி வாரியான விசை செயல்பாடு அல்லது பெரிடைனமிக் கர்னல் என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் இது அனைத்து அமைப்பு (பொருள் சார்ந்த) பண்புகளையும் உள்ளடக்கியது. உள் சக்திகள் சிதைவை எவ்வாறு சார்ந்துள்ளன என்பதை இது விவரிக்கிறது. குறியீட்டின் எளிமைக்காக சார்ந்திருத்தல் இங்கே தவிர்க்கப்பட்டுள்ளது என்பது கவனிக்கத்தக்கது. கூடுதலாக, ஒரு வெளிப்புற கட்டாயச் சொல் அறிமுகப்படுத்தப்படுகிறது, இது பின்வரும் இயக்கச் சமன்பாட்டை விளைவிக்கிறது, இது பெரிடைனமிக்ஸின் அடிப்படை சமன்பாட்டைக் குறிக்கிறதுஃ இங்கு ஒருங்கிணைந்த சொல் செயல்படும் உள் மற்றும் வெளிப்புற ஒரு அலகு-தொகுதி விசைகள் அனைத்தின் கூட்டுத்தொகையாகும்ஃ திசையன் மதிப்புள்ள செயல்பாடு என்பது செலுத்தும் விசை அடர்த்தி ஆகும். இந்த விசை அடர்த்தி மற்றும் இடையே உள்ள உறவினர் இடப்பெயர்ச்சி மற்றும் உறவினர் நிலை திசையன்களைப் பொறுத்தது. இதன் பரிமாணம். பிணைப்பு அடிப்படையிலான பெரிடைனமிக்ஸ் பெரிடைனமிக்ஸின் இந்த சூத்திரத்தில், கர்னல் உள் சக்திகளின் தன்மை மற்றும் இரண்டு பொருள் புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தொடர்புகளை மட்டுமே நிர்வகிக்கும் இயற்பியல் கட்டுப்பாடுகளால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. சுருக்கத்திற்காக, பின்வரும் அளவுகள் வரையறுக்கப்படுகின்றன, எனவே ஆக்சியோ எட் ரியாக்டியோ கொள்கை எந்தவொரு மற்றும் அக்கம்பக்கத்தைச் சேர்ந்தவர்களுக்கும், பின்வரும் உறவு உள்ளதுஃ இந்த வெளிப்பாடு பொதுவாக நியூட்டனின் மூன்றாம் விதி என்று அழைக்கப்படும் செயல் மற்றும் எதிர்வினை கொள்கையை பிரதிபலிக்கிறது. பரஸ்பரம் தொடர்பு கொள்ளும் துகள்களால் ஆன ஒரு அமைப்பில் நேரியல் வேகத்தின் பாதுகாப்பை இது உறுதி செய்கிறது. கோண உந்தம் பாதுகாப்பு எந்தவொரு மற்றும் அக்கம்பக்கத்தைச் சேர்ந்தவருக்கும், பின்வரும் நிபந்தனை உள்ளதுஃ ஒப்பீட்டளவில் சிதைந்த கதிர்-திசையனை இணைப்பது மற்றும் என கருதுவதன் மூலம் இந்த நிலை எழுகிறது. ஜோடி வாரியான விசை அடர்த்தி திசையன் ஒப்பீட்டளவில் சிதைந்த கதிர்-திசையனின் அதே திசையைக் கொண்டிருந்தால் மட்டுமே நிபந்தனை திருப்தி அடையும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், அனைவருக்கும் மற்றும், ஒரு அளவிடக்கூடிய மதிப்புள்ள செயல்பாடு எங்கே. ஹைப்பர்லாஸ்டிக் பொருள் ஒரு ஹைப்பர்லாஸ்டிக் பொருள் என்பது ஸ்டோக்ஸின் தேற்றத்தால்ஃ அல்லது, சமமாக, மற்றும், எனவே, மேலே உள்ள சமன்பாட்டில் அளவிடத்தக்க மதிப்புள்ள சாத்தியமான செயல்பாடு போன்ற அமைப்பு ரீதியான உறவைக் கொண்ட ஒரு பொருள் ஆகும். கோண உந்தம் பாதுகாப்பை திருப்திப்படுத்த வேண்டியதன் அவசியத்தின் காரணமாக, அளவிடுதல் மதிப்புள்ள செயல்பாட்டில் கீழே உள்ள நிபந்தனை ஒரு அளவிடுதல் மதிப்புள்ள செயல்பாடு எங்கே என்பதைப் பின்பற்றுகிறது. சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் ஒருங்கிணைத்து, ஒரு அளவிடக்கூடிய மதிப்புள்ள செயல்பாட்டிற்கு பின்வரும் நிபந்தனை பெறப்படுகிறது. அதன் நெகிழ்ச்சி தன்மை தெளிவாக உள்ளதுஃ இடைவினை விசை புள்ளிகள் மற்றும் அவற்றின் உறவினர் நிலையின் மாடுலஸ் இடையே ஆரம்ப உறவினர் நிலையை மட்டுமே சார்ந்துள்ளது, நேரத்தில் சிதைந்த உள்ளமைவில். ஐசோட்ரோபி கருதுகோளைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், திசையனைச் சார்ந்திருப்பதை அதன் மாடுலஸைச் சார்ந்திருப்பதன் மூலம் மாற்றலாம், எனவே, ஒவ்வொரு புள்ளியையும் ஜோடியாக இணைக்கும் ஒரு ஸ்ப்ரிங் வலையை மாடலிங் செய்வதாகக் கருதலாம். லீனியர் எலாஸ்டிக் மெட்டீரியல் என்றால், பெரிடைனமிக் கர்னலை சுற்றி லீனியர் செய்ய முடியும்ஃ பின்னர், இரண்டாவது வரிசை மைக்ரோ-மாடுலஸ் டென்சரை அடையாள டென்சர் எங்கே மற்றும் எங்கே என்று வரையறுக்கலாம். நேரியல் உந்த சமநிலை, நெகிழ்ச்சி மற்றும் ஐசோட்ரோபி நிலையின் பயன்பாட்டைத் தொடர்ந்து, மைக்ரோ-மாடுலஸ் டென்சரை இந்த வடிவத்தில் வெளிப்படுத்தலாம் எனவே ஒரு நேரியல் ஹைப்பர் எலாஸ்டிக் பொருளுக்கு, அதன் பெரிடினமிக் கர்னல் பின்வரும் கட்டமைப்பைக் கொண்டுள்ளது பெரிடினமிக் கர்னலுக்கான வெளிப்பாடுகள் பெரிடினமிக் கர்னல் என்பது பெரிடினமிக் கோட்பாட்டின் கட்டமைப்பிற்குள் உள்ள பொருட்களின் அமைப்பு நடத்தையை வகைப்படுத்தும் ஒரு பல்துறை செயல்பாடாகும். கர்னலின் பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படும் ஒரு சூத்திரம் முன்மாதிரி மைக்ரோ-எலாஸ்டிக் உடையக்கூடிய (பி. எம். பி) பொருட்கள் எனப்படும் பொருட்களின் ஒரு வகுப்பை விவரிக்கப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. ஐசோட்ரோபிக் பி. எம். பி பொருட்களின் விஷயத்தில், ஜோடி வாரியான விசை பொருள் அனுபவிக்கும் வரையறுக்கப்பட்ட நீட்சிக்கு நேரியல் விகிதாசாரமாக கருதப்படுகிறது, இவ்வாறு வரையறுக்கப்படுகிறது, இதனால் அளவிடுதல் செயல்பாடு எங்கு, எங்கு வரையறுக்கப்படுகிறது மைக்ரோ-மாடுலஸ் மாறிலி என்று குறிப்பிடப்படுகிறது, மேலும் ஒரு குறிப்பிட்ட நேரத்தில், ஜோடியுடன் தொடர்புடைய பிணைப்பு நீட்சி முக்கியமான மதிப்பை மீறியுள்ளதா என்பதைக் குறிக்க செயல்பாடு உதவுகிறது. முக்கியமான மதிப்பைத் தாண்டியிருந்தால், பிணைப்பு உடைந்ததாகக் கருதப்படுகிறது, மேலும் பூஜ்ஜியத்தின் ஜோடி வாரியான விசை அனைவருக்கும் ஒதுக்கப்படுகிறது. ஐசோட்ரோபிக் நீட்டிப்பின் கீழ் பெறப்பட்ட திரிபு ஆற்றல் அடர்த்தி மதிப்பை முறையே பெரிடைனமிக்ஸ் மற்றும் கிளாசிக்கல் தொடர்ச்சியான கோட்பாட்டு கட்டமைப்பைப் பயன்படுத்தி ஒப்பிட்டுப் பார்த்த பிறகு, மைக்ரோ-மாடுலஸின் இயற்பியல் ஒத்திசைவான மதிப்பை பொருள் மொத்த மாடுலஸ் எங்கே என்பதைக் காணலாம். அதே அணுகுமுறையைப் பின்பற்றி மைக்ரோ-மாடுலஸ் மாறிலியை நீட்டிக்க முடியும், அங்கு இப்போது ஒரு மைக்ரோ-மாடுலஸ் செயல்பாடு உள்ளது. இந்த செயல்பாடு பெரிடைனமிக் அடிவானத்தில் ஜோடி வாரியான சக்திகளின் தீவிரம் எவ்வாறு விநியோகிக்கப்படுகிறது என்பதற்கான விரிவான விளக்கத்தை வழங்குகிறது. உள்ளுணர்வாக, இடையேயான தூரம் மற்றும் அதிகரிக்கும் போது சக்திகளின் தீவிரம் குறைகிறது, ஆனால் இந்த குறைப்பு ஏற்படும் குறிப்பிட்ட முறை மாறுபடும். மைக்ரோ-மாடுலஸ் செயல்பாடு கிளாசிக்கல் மெக்கானிக்கல் கோட்பாடுகளுடன் பெரிடைனமிக் திரிபு அடர்த்தியை ஒப்பிடுவதன் மூலம் மாறிலி பெறப்படும் இடத்தில் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது; இது பின்வரும் பண்புகளுடன் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு செயல்பாடாகும் (உந்தம் பாதுகாப்பு மற்றும் ஐசோட்ரோபி கட்டுப்பாடுகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன) டைராக் டெல்டா செயல்பாடு எங்கே. உருளை மைக்ரோ-மாடுலஸ் மைக்ரோ-மாடுலஸ் செயல்பாட்டிற்கான எளிய வெளிப்பாடு, இங்கேஃ முக்கோண மைக்ரோ-மாடுலஸ் என வரையறுக்கப்படும் துணைக்குழுவின் காட்டி செயல்பாடு இது ஒரு நேரியல் செயல்பாடாக வகைப்படுத்தப்படுகிறது இயல்பான மைக்ரோ-மாடுலஸ் பெரும்பாலான பொதுவான தனித்துவமான இயற்பியல் அமைப்புகள் மேக்ஸ்வெல்-போல்ட்ஸ்மேன் விநியோகத்தால் வகைப்படுத்தப்படுகின்றன என்ற உண்மையை ஒருவர் பிரதிபலிக்க விரும்பினால், இந்த நடத்தையை பெரிடினமிக்ஸில் சேர்ப்பதற்காக, பின்வரும் வெளிப்பாட்டை குவார்டிக் மைக்ரோ-மாடுலஸ் பயன்படுத்தலாம் இலக்கியத்தில் செயல்பாட்டிற்கான பின்வரும் வெளிப்பாட்டையும் காணலாம் ஒட்டுமொத்தமாக, மைக்ரோ-மாடுலஸுக்கு பரந்த அளவிலான வெளிப்பாடு உள்ளது மற்றும் பொதுவாக, பெரிடினமிக் கர்னலுக்கு, குறிப்பிட்ட பொருள் பண்பைப் பொறுத்து, எனவே, மேற்கண்ட பட்டியல் முழுமையானது அல்ல. பிணைப்புகளின் நீளம் சில பரிந்துரைக்கப்பட்ட மதிப்பைத் தாண்டும்போது அவற்றை உடைக்க அனுமதிப்பதன் மூலம் ஜோடி வாரியான விசை செயல்பாட்டில் சேத சேதம் இணைக்கப்படுகிறது. ஒரு பிணைப்பு முறிந்த பிறகு, அது இனி எந்த சக்தியையும் தக்கவைக்காது, மேலும் இறுதிப் புள்ளிகள் ஒருவருக்கொருவர் திறம்பட துண்டிக்கப்படுகின்றன. ஒரு பிணைப்பு உடைக்கும்போது, அது சுமந்து செல்லும் விசை இன்னும் உடைக்கப்படாத பிற பிணைப்புகளுக்கு மறுவிநியோகம் செய்யப்படுகிறது. இந்த அதிகரித்த சுமை இந்த மற்ற பிணைப்புகள் உடைவதற்கான வாய்ப்பை அதிகரிக்கிறது. பிணைப்பு உடைப்பு மற்றும் சுமை மறுவிநியோக செயல்முறை, மேலும் உடைப்புக்கு வழிவகுக்கிறது, பெரிடைனமிக் மாதிரியில் விரிசல்கள் எவ்வாறு வளர்கின்றன. பகுப்பாய்வு ரீதியாக, பிணைப்பு பிரேக்கிங் பெரிடைனமிக் கர்னலின் வெளிப்பாட்டிற்குள் குறிப்பிடப்படுகிறது, செயல்பாட்டின் மூலம் எதிர் பிணைப்பு நீட்சி வரைபடம் திட்டமிடப்பட்டால், எலும்பு முறிவு உருவாக்கத்தில் பிணைப்பு பிரேக்கிங் செயல்பாட்டின் செயல்பாடு தெளிவாக உள்ளது. இருப்பினும் திடீர் எலும்பு முறிவு மட்டுமே பெரிடைனமிக் கட்டமைப்பில் மாதிரியாக இருக்க முடியும், மேலும் பொதுவான வெளிப்பாட்டைப் பயன்படுத்தலாம். நிலை அடிப்படையிலான பெரிடைனமிக்ஸ் மேலே விவரிக்கப்பட்ட கோட்பாடு ஒவ்வொரு பெரிடைனமிக் பிணைப்பும் மற்ற அனைவரிடமிருந்தும் சுயாதீனமாக பதிலளிக்கிறது என்று கருதுகிறது. இது பெரும்பாலான பொருட்களுக்கு ஒரு மிகைப்படுத்தப்பட்ட எளிமைப்படுத்தல் மற்றும் மாதிரியாக இருக்கக்கூடிய பொருட்களின் வகைகளில் கட்டுப்பாடுகளுக்கு வழிவகுக்கிறது. குறிப்பாக, இந்த அனுமானம் எந்தவொரு ஐசோட்ரோபிக் நேரியல் நெகிழ்வான திண்மமும் 1/4 என்ற பாய்சான் விகிதத்திற்கு மட்டுப்படுத்தப்பட்டுள்ளது என்பதைக் குறிக்கிறது. இந்த பொதுவான பற்றாக்குறையை நிவர்த்தி செய்ய, பெரிடைனமிக் நிலைகள் பற்றிய யோசனை அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. இது ஒவ்வொரு பிணைப்பிலும் உள்ள விசை அடர்த்தியை அதன் சொந்த நீட்சிக்கு கூடுதலாக, அதன் இறுதிப் புள்ளிகளுடன் இணைக்கப்பட்ட அனைத்து பிணைப்புகளிலும் உள்ள நீட்சிகளைப் பொறுத்து இருக்க அனுமதிக்கிறது. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு பிணைப்பில் உள்ள விசை இறுதிப் புள்ளிகளில் நிகர அளவு மாற்றங்களைப் பொறுத்தது. பிணைப்பு நீட்சியின் விளைவுடன் ஒப்பிடுகையில் இந்த தொகுதி மாற்றத்தின் விளைவு பாய்சான் விகிதத்தை தீர்மானிக்கிறது. பெரிடைனமிக் நிலைகளுடன், தொடர்ச்சியான இயக்கவியலின் நிலையான கோட்பாட்டிற்குள் மாதிரியாக இருக்கக்கூடிய எந்தவொரு பொருளையும் ஒரு பெரிடைனமிக் பொருளாக மாதிரியாக்கலாம், அதே நேரத்தில் எலும்பு முறிவுக்கான பெரிடைனமிக் கோட்பாட்டின் நன்மைகளைத் தக்க வைத்துக் கொள்ளலாம். கணித ரீதியாக பிணைப்பு அடிப்படையிலான சூத்திரங்களில் பயன்படுத்தப்படும் உள் மற்றும் வெளிப்புற விசை வார்த்தையின் சமன்பாடு விசை திசையன் நிலை புலம் எங்கு உள்ளது என்பதன் மூலம் மாற்றப்படுகிறது. ஒரு பொதுவான m-வரிசை நிலை என்பது ஒரு டென்சரைப் போன்ற ஒரு கணிதப் பொருளாகும், இது பொதுவாக நேரியல் அல்லாதது என்பதைத் தவிர; பொதுவாக தொடர்ச்சியற்றது; வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாணம் அல்ல. திசையன் நிலைகள் 2 க்கு சமமான வரிசையின் நிலைகள். எளிய பொருள் என்று அழைக்கப்படுவதற்கு, ஒரு ரீமன்-ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடு எங்கே என்று வரையறுக்கப்படுகிறது, மேலும் இது சிதைவு திசையன் நிலை புலம் என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் பின்வரும் தொடர்பால் வரையறுக்கப்படுகிறது, எனவே சிதைவின் கீழ் பிணைப்பின் படம் அதாவது இரண்டு தனித்துவமான துகள்கள் சிதைவு முன்னேறும்போது ஒரே புள்ளியை ஒருபோதும் ஆக்கிரமிக்காது. நேரியல் உந்தத்தின் சமநிலை வரையறையிலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது என்பதை நிரூபிக்க முடியும், அதே நேரத்தில், அமைப்பு உறவு விசை திசையன் நிலை புலம் கோண உந்தத்தின் சமநிலையை திருப்திப்படுத்தும் வகையில் இருந்தால். பயன்பாடுகள் பெரிடைனமிக்ஸில் வளர்ந்து வரும் ஆர்வம் என்பது பொருளின் அணுக் கோட்பாடுகளுக்கும் பாரம்பரிய உள்ளூர் தொடர்ச்சியான இயக்கவியலுக்கும் இடையிலான இடைவெளியை நிரப்புவதற்கான அதன் திறனிலிருந்து வருகிறது. விரிசல் உருவாக்கம் மற்றும் பரப்புதல், அலை சிதறல், உள்விழி எலும்பு முறிவு போன்ற நுண் அளவிலான நிகழ்வுகளுக்கு இது திறம்பட பயன்படுத்தப்படுகிறது. இந்த நிகழ்வுகளை பெரிடைனமிக் அடிவான ஆரத்தை சரியான முறையில் சரிசெய்வதன் மூலம் விவரிக்க முடியும், இது பொருளுக்குள் உள்ள புள்ளிகளுக்கு இடையிலான உள்ளூர் அல்லாத தொடர்புகளின் அளவிற்கு நேரடியாக இணைக்கப்பட்டுள்ளது. மேற்கூறிய ஆராய்ச்சித் துறைகளுக்கு கூடுதலாக, இடைநிறுத்தங்களுக்கான பெரிடைனமிக்ஸின் உள்ளூர் அல்லாத அணுகுமுறை பல்வேறு பிற பகுதிகளில் பயன்பாடுகளைக் கண்டறிந்துள்ளது. புவி-இயந்திரவியலில், தண்ணீரால் தூண்டப்பட்ட மண் விரிசல்கள், புவி-பொருள் செயலிழப்பு, பாறைகள் துண்டு துண்டுகள் மற்றும் பலவற்றை ஆய்வு செய்ய இது பயன்படுத்தப்படுகிறது. உயிரியலில், உயிருள்ள திசுக்களில் நீண்ட தூர இடைவினைகள், செல்லுலார் சிதைவுகள், உயிர் சவ்வுகளின் விரிசல் மற்றும் பலவற்றை மாதிரியாக்க பெரிடைனமிக்ஸ் பயன்படுத்தப்படுகிறது. மேலும், பெரிடைனமிக்ஸ் வெப்பப் பரவல் கோட்பாட்டிற்கு நீட்டிக்கப்பட்டுள்ளது, இது இடைநிறுத்தங்கள், குறைபாடுகள், சமச்சீரற்ற தன்மைகள் மற்றும் விரிசல்கள் கொண்ட பொருட்களில் வெப்ப கடத்தலை மாதிரியாக்க உதவுகிறது. பல கட்ட திரவங்களில் அட்வெக்ஷன்-டிஃப்யூஷன் நிகழ்வுகளைப் படிப்பதற்கும், நிலையற்ற அட்வெக்ஷன்-டிஃப்யூஷன் சிக்கல்களுக்கான மாதிரிகளை உருவாக்குவதற்கும் இது பயன்படுத்தப்படுகிறது. அதன் பன்முகத்தன்மையுடன், மைக்ரோ-கட்டமைப்பு பகுப்பாய்வு, கலப்பு பொருட்களில் சோர்வு மற்றும் வெப்ப கடத்தல், உலோகங்களில் கால்வனிக் அரிப்பு, மின்கடத்தா பொருட்களில் மின்சாரத்தால் தூண்டப்பட்ட விரிசல்கள் மற்றும் பலவற்றை உள்ளடக்கிய பல்வேறு பல இயற்பியல் பகுப்பாய்வுகளில் பெரிடைனமிக்ஸ் பயன்படுத்தப்படுகிறது. மேலும் காண்க கான்டினியம் மெக்கானிக்ஸ் ஃப்ராக்சர் மெக்கானிக்ஸ் நகரும் செல்லுலார் தானியங்கி மூலக்கூறு இயக்கவியல் உள்ளூர் அல்லாத ஆபரேட்டர் ஒற்றுமை குறிப்புகள் மேலும் வாசிப்பு வெளிப்புற இணைப்புகள் வரையறுக்கப்பட்ட உறுப்பு மற்றும் வரையறுக்கப்பட்ட வேறுபாடு தோராயத்தை செயல்படுத்துதல் உள்ளூர் அல்லாத மாதிரிகள் பெரிடிக்ம், ஒரு திறந்த மூல கணக்கீட்டு பெரிடினமிக்ஸ் குறியீடு பெரிடினமிக்ஸ் மற்றும் அதன் ஆவணப்படுத்தலுக்கான சாண்டியா ஆய்வகம்-பெரிடினமிக்ஸ் திறந்த மூல களஞ்சியம் பெரிடினமிக்ஸ் கான்டினியம் மெக்கானிக்ஸ் ஃப்ராக்சர் மெக்கானிக்ஸ் வலைத்தளம்