CAT(k) space
கணிதத்தில், ஒரு இடைவெளி, ஒரு உண்மையான எண், ஒரு குறிப்பிட்ட வகை மெட்ரிக் இடைவெளி. உள்ளுணர்வாக, ஒரு இடத்தில் உள்ள முக்கோணங்கள் நிலையான வளைவின் நிலையான இடத்தில் தொடர்புடைய "மாதிரி முக்கோணங்களை" விட "மெலிதானவை". ஒரு இடத்தில், வளைவு மேலே இருந்து வரம்புக்குட்பட்டது. ஒரு குறிப்பிடத்தக்க சிறப்பு வழக்கு; பிரெஞ்சு கணிதவியலாளர் ஜாக் ஹடாமார்ட்டின் நினைவாக முழு இடைவெளிகள் "ஹடாமார்ட் இடைவெளிகள்" என்று அழைக்கப்படுகின்றன. முதலில், அலெக்ஸாண்ட்ரோவ் இந்த இடங்களை "களம்" என்று அழைத்தார். 1987 ஆம் ஆண்டில் மிகைல் குரோமோவ் என்பவரால் இந்த சொல் உருவாக்கப்பட்டது, இது எலி கார்டன், அலெக்ஸாண்டர் டானிலோவிச் அலெக்ஸாண்ட்ரோவ் மற்றும் விக்டர் ஆண்ட்ரீவிச் டோபோனோகோவ் ஆகியோரின் சுருக்கமாகும் (இருப்பினும் டோபோனோகோவ் ஒருபோதும் மேலே வரையறுக்கப்பட்ட வளைவை வெளியீடுகளில் ஆராயவில்லை). வரையறைகள் ஒரு உண்மையான எண்ணுக்கு, நிலையான வளைவுடன் தனித்துவமான முழுமையான எளிய இணைக்கப்பட்ட மேற்பரப்பை (உண்மையான 2 பரிமாண ரீமானியன் பன்மடங்கு) குறிக்கலாம். விட்டம் மூலம் குறிக்கவும், இது என்றால் மற்றும் என்றால். ஒரு ஜியோடெசிக் மெட்ரிக் இடமாக இருக்கட்டும், அதாவது. ஒவ்வொரு இரண்டு புள்ளிகளையும் ஒரு புவியியல் பிரிவால் இணைக்கக்கூடிய ஒரு மெட்ரிக் இடைவெளி, ஒரு வளைவு நீளம் அளவுரு தொடர்ச்சியான வளைவு, அதன் நீளம் துல்லியமாக உள்ளது. புவியியல் பிரிவுகளை அதன் பக்கங்களாகக் கொண்ட ஒரு முக்கோணமாக இருக்கட்டும். மாதிரி இடத்தில் ஒரு ஒப்பீட்டு முக்கோணம் இருந்தால் சமத்துவமின்மையை திருப்திப்படுத்துவதாகக் கூறப்படுகிறது, பக்கங்களின் அதே நீளமுள்ள பக்கங்களுடன், புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரங்கள் தொடர்புடைய புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரத்தை விட குறைவாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்கும். சுற்றளவு குறைவாக உள்ள ஒவ்வொரு புவியியல் முக்கோணமும் சமத்துவமின்மையை திருப்திப்படுத்தினால் புவியியல் மெட்ரிக் இடைவெளி ஒரு இடைவெளி என்று கூறப்படுகிறது. ஒவ்வொரு புள்ளியும் புவியியல் ரீதியாக குவிந்த சுற்றுப்புறத்தைக் கொண்டிருந்தால், ஒரு (தேவையற்ற-புவியியல்) மெட்ரிக் இடைவெளி வளைவு கொண்ட ஒரு இடைவெளி என்று கூறப்படுகிறது. வளைவு கொண்ட ஒரு இடம் நேர்மறை அல்லாத வளைவைக் கொண்டிருப்பதாகக் கூறலாம். எடுத்துக்காட்டுகள் எந்த இடமும் அனைவருக்கும் ஒரு இடமாகும். உண்மையில், இதற்கு நேர்மாறாக உள்ளதுஃ அனைவருக்கும் ஒரு இடம் என்றால், அது ஒரு இடம். அதன் வழக்கமான மெட்ரிக் கொண்ட-பரிமாண யூக்ளிடியன் இடைவெளி ஒரு இடைவெளி ஆகும். மேலும் பொதுவாக, எந்தவொரு உண்மையான உள் தயாரிப்பு இடமும் (முழுமையானதாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை) ஒரு இடைவெளி; மாறாக, ஒரு உண்மையான நெறிமுறைப்படுத்தப்பட்ட திசையன் இடம் சில உண்மையான இடமாக இருந்தால், அது ஒரு உள் தயாரிப்பு இடமாகும். அதன் வழக்கமான மெட்ரிக் கொண்ட-பரிமாண ஹைபர்போலிக் இடைவெளி ஒரு இடைவெளி, எனவே ஒரு இடமும் கூட. - பரிமாண அலகு கோளம் ஒரு இடைவெளி ஆகும். மேலும் பொதுவாக, நிலையான இடம் ஒரு இடமாகும். எனவே, எடுத்துக்காட்டாக, பரிமாணத்தைப் பொருட்படுத்தாமல், ஆரம் கொண்ட கோளம் (மற்றும் நிலையான வளைவு) ஒரு இடைவெளி. கோளத்தின் விட்டம் (கோளத்தின் மேற்பரப்பில் அளவிடப்படுகிறது) (கோளத்தின் மையத்தின் வழியாக செல்வதன் மூலம் அளவிடப்படுகிறது) அல்ல என்பதை நினைவில் கொள்க. பஞ்சர் செய்யப்பட்ட தளம் புவியியல் ரீதியாக குவிந்ததாக இல்லாததால் ஒரு இடைவெளி அல்ல (எடுத்துக்காட்டாக, புள்ளிகள் மற்றும் வளைவு நீளம் 2 உடன் ஒரு புவியியல் மூலம் இணைக்கப்பட முடியாது), ஆனால் ஒவ்வொரு புள்ளியும் புவியியல் ரீதியாக குவிந்த சுற்றுப்புறத்தைக் கொண்டுள்ளது, எனவே வளைவின் இடைவெளி. தூண்டப்பட்ட நீளம் அளவீட்டுடன் வழங்கப்பட்ட மூடிய துணைப்பகுதி எதற்கும் ஒரு இடம் அல்ல. இடைவெளிகளின் எந்தவொரு தயாரிப்பும். (இது எதிர்மறை வாதங்களுக்கு பொருந்தாது.) ஹடாமார்ட் இடைவெளிகள் ஒரு சிறப்பு நிகழ்வாக, ஒரு முழுமையான கேட் (0) இடைவெளி ஹடாமார்ட் இடைவெளி என்றும் அழைக்கப்படுகிறது; இது ஹடாமார்ட் பன்மடங்கு நிலைமையுடன் ஒப்புமைப்படுத்தப்படுகிறது. ஒரு ஹடாமார்ட் இடைவெளி சுருங்கக்கூடியது (இது ஒரு புள்ளியின் ஹோமோடாபி வகையைக் கொண்டுள்ளது) மற்றும், ஒரு ஹடாமார்ட் இடத்தின் எந்த இரண்டு புள்ளிகளுக்கும் இடையில், அவற்றை இணைக்கும் ஒரு தனித்துவமான புவியியல் பிரிவு உள்ளது (உண்மையில், இரண்டு பண்புகளும் பொதுவான, முழுமையற்ற, கேட் (0) இடங்களுக்கும் உள்ளன). மிக முக்கியமாக, ஹடாமார்ட் இடைவெளிகளில் உள்ள தூர செயல்பாடுகள் குவிந்தவையாகும்ஃ X இல் உள்ள இரண்டு புவியியல் ஒரே நேர இடைவெளியில் வரையறுக்கப்பட்டால், அதன் மூலம் வழங்கப்படும் செயல்பாடு t இல் குவிந்ததாகும். பின்னர் பின்வரும் பண்புகள் உள்ளனஃ ஏதேனும் இரண்டு புள்ளிகள் (இருந்தால்) கொடுக்கப்பட்டால், ஒரு தனித்துவமான புவியியல் பிரிவு இணைகிறது; மேலும், இந்த பிரிவு அதன் இறுதிப் புள்ளிகளின் செயல்பாடாக தொடர்ந்து மாறுபடும். ஒவ்வொரு உள்ளூர் புவியியல் நீளமும் அதிகபட்சமாக ஒரு புவியியல் ஆகும். ஆரம் குறைவாக உள்ள-பந்துகள் (புவியியல் ரீதியாக) குவிந்தவை. ஆரம் குறைவாக உள்ள பந்துகள் சுருங்கக்கூடியவை. தோராயமான நடுப்புள்ளிகள் பின்வரும் அர்த்தத்தில் நடுப்புள்ளிகளுக்கு அருகில் உள்ளனஃ ஒவ்வொன்றிற்கும் ஒரு புவியியல் பிரிவின் நடுப்புள்ளியாக இருந்தால், அதனுடன் பின்னர். இந்த பண்புகளிலிருந்து பின்வருமாறு, ஒவ்வொரு இடத்தின் உலகளாவிய மறைப்பும் சுருங்கக்கூடியது; குறிப்பாக, அத்தகைய இடத்தின் உயர் ஹோமோடாபி குழுக்கள் அற்பமானவை. - கோளத்தின் உதாரணம் காட்டுவது போல, பொதுவாக, ஒரு இடம் சுருங்கக்கூடியதாக இருக்கும் என்ற நம்பிக்கை இல்லை. நேர்மறை அல்லாத வளைவின் மேற்பரப்புகள் மேற்பரப்பின் வளைவு திருப்தி அடையும் ஒரு பகுதியில், புவியியல் முக்கோணங்கள் கார்டன், அலெக்ஸாண்ட்ரோவ் மற்றும் டோபோனோகோவ் ஆகியோரால் ஆய்வு செய்யப்பட்ட ஒப்பீட்டு வடிவவியலின் சிஏடி (0) ஏற்றத்தாழ்வுகளை பூர்த்தி செய்கின்றன, பின்னர் ப்ரூஹட் மற்றும் டிட்ஸால் வேறுபட்ட கண்ணோட்டத்தில் பரிசீலிக்கப்பட்டன; குரோமோவின் பார்வைக்கு நன்றி, அடிப்படை மெட்ரிக் இடத்தின் அடிப்படையில் நேர்மறை அல்லாத வளைவின் இந்த தன்மை நவீன வடிவியல் மற்றும் குறிப்பாக வடிவியல் குழு கோட்பாட்டில் ஆழமான தாக்கத்தை ஏற்படுத்தியுள்ளது. மென்மையான மேற்பரப்புகள் மற்றும் அவற்றின் புவியியலுக்காக அறியப்பட்ட பல முடிவுகள், பிர்காஃப்பின் வளைவு-சுருக்க செயல்முறையின் மூலம் புவியியலை உருவாக்கும் முறை அல்லது வான் மங்கோல்ட் மற்றும் ஹடாமார்ட்டின் தேற்றம், நேர்மறை அல்லாத வளைவின் வெறுமனே இணைக்கப்பட்ட மேற்பரப்பு தளத்திற்கு ஹோமியோமார்பிக் ஆகும், இந்த பொதுவான அமைப்பில் சமமாக செல்லுபடியாகும். அலெக்ஸாண்ட்ரோவின் ஒப்பீட்டு சமத்துவமின்மை ஒப்பீட்டு சமத்துவமின்மையின் எளிய வடிவம், 1940 ஆம் ஆண்டில் அலெக்ஸாண்ட்ரோவ் மேற்பரப்புகளுக்கு முதன்முதலில் நிரூபித்தது, சமத்துவமின்மை என்பது ஆர்க்லெங்த் மூலம் அளவிடப்பட்ட ஒரு ஜியோடெசிக் அளவுருவை விவரிக்கிறது மற்றும் ஒரு நிலையான புள்ளியாக இருந்தால், அது ஒரு குவிந்த செயல்பாடு, அதாவது. புவியியல் துருவ ஆயத்தொகுதிகளை தோற்றத்துடன் எடுத்துக்கொள்வதால், குவிந்த தன்மை இயல்பான ஆயத்தொகுப்புகளுக்கு மாறுவதற்கு சமம், இந்த சமத்துவமின்மை ஆகிறது, அங்கு அலகு திசையனுடன் ஒத்திருக்கிறது. இது சமத்துவமின்மையிலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது, இது ஸ்ட்ரோன்ஸ்கியன் மற்றும் ஸ்டர்ம்-லியோவில்லே கோட்பாட்டின் வழித்தோன்றலின் எதிர்மறை அல்லாத விளைவின் விளைவாகும். மேலும் காண்க கார்டன்-ஹடாமார்ட் தேற்றம் குறிப்புகள் மெட்ரிக் வடிவியல்