Yamabe invariant
கணிதத்தில், வேறுபட்ட வடிவியல் துறையில், யமபே மாறாதது, சிக்மா மாறிலி என்றும் குறிப்பிடப்படுகிறது, இது ஒரு மென்மையான பன்மடங்கு தொடர்புடைய ஒரு உண்மையான எண் மாறாதது, இது டிஃபியோமார்பிசங்களின் கீழ் பாதுகாக்கப்படுகிறது. இது முதலில் ஓ. கோபயாஷி மற்றும் ஆர். ஷோன் ஆகியோரால் சுயாதீனமாக எழுதப்பட்டது மற்றும் எச். யமபேயின் பெயரிலிருந்து அதன் பெயரைப் பெற்றது. வின்சென்ட் மோன்கிரீஃப் மற்றும் ஆர்தர் பிஷ்ஷர் ஆகியோர் ஐன்ஸ்டீனின் சமன்பாடுகளுக்கான ஹாமில்டோனியனை குறைக்க பயன்படுத்தினர். வரையறை பரிமாணத்தின் ஒரு சிறிய மென்மையான பன்மடங்கு (எல்லை இல்லாமல்) இருக்கட்டும். இயல்பாக்கப்பட்ட ஐன்ஸ்டீன்-ஹில்பர்ட் செயல்பாடு ஒவ்வொரு ரீமானியன் மெட்ரிக்க்கும் ஒரு உண்மையான எண்ணில் பின்வருமாறு ஒதுக்குகிறதுஃ அளவிடுதல் வளைவு எங்கே மற்றும் மெட்ரிக் உடன் தொடர்புடைய தொகுதி அடர்த்தி. ஒவ்வொரு நேர்மறை உண்மையான மாறிலிக்கும், அது திருப்தி அடையும் வகையில், செயல்பாடு அளவுகோல்-மாறுபாடற்றதாக இருக்கும் வகையில் வகுப்பில் உள்ள அடுக்கு தேர்ந்தெடுக்கப்படுகிறது. சராசரி அளவிடுதல் வளைவை அளவிடுவதாக நாம் நினைக்கலாம். ஒவ்வொரு இணக்கமான அளவீடுகளும் நிலையான அளவிடுதல் வளைவின் அளவீட்டைக் கொண்டுள்ளன என்று யமபேவால் ஊகிக்கப்பட்டது (யமபே சிக்கல் என்று அழைக்கப்படுகிறது); யமபே, ட்ரூடிங்கர், ஆபின் மற்றும் ஷோன் ஆகியோரால் நிரூபிக்கப்பட்டது, ஒவ்வொரு இணக்கமான அளவீடுகளிலும் குறைந்தபட்ச மதிப்பு அடையப்படுகிறது, குறிப்பாக இந்த குறைந்தபட்சம் நிலையான அளவிடுதல் வளைவின் அளவீட்டால் அடையப்படுகிறது. மென்மையான உண்மையான மதிப்புள்ள செயல்பாடுகளின் மீது முடிவிலி எங்கு எடுக்கப்படுகிறது என்பதை நாம் வரையறுக்கிறோம். இந்த எல்லையற்றது வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது (இல்லை): ஹோல்டரின் சமத்துவமின்மை குறிக்கிறது. இந்த எண் சில நேரங்களில் இணக்கமான யமபே ஆற்றல் என்று அழைக்கப்படுகிறது (மேலும் இது இணக்கமான வகுப்புகளில் நிலையானது). ஆபின் காரணமாக ஒரு ஒப்பீட்டு வாதம், எந்தவொரு மெட்ரிக்க்கும், மேலே வரம்புக்குட்பட்டது,-கோளத்தில் நிலையான மெட்ரிக் எங்கே என்பதைக் காட்டுகிறது. இது பின்வருமாறு, அனைத்து அளவீடுகளுக்கும் மேலாக மேல்நிலை எங்கு எடுக்கப்படுகிறது என்பதை நாம் வரையறுத்தால், பின்னர் (மற்றும் குறிப்பாக வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது). உண்மையான எண் யமபே மாறாத எண் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இரண்டு பரிமாணங்களில் யமபே மாறாதது, (எனவே M ஒரு மூடிய மேற்பரப்பு என்பதால்) ஐன்ஸ்டீன்-ஹில்பர்ட் செயல்பாடு g இன் காஸ் வளைவு எங்குள்ளது என்பதன் மூலம் வழங்கப்படுகிறது. இருப்பினும், காஸ்-பானெட் தேற்றத்தால், காஸ் வளைவின் ஒருங்கிணைப்பு வழங்கப்படுகிறது, M இன் ஆய்லர் பண்பு எங்கே. குறிப்பாக, இந்த எண் மெட்ரிக் தேர்வைப் பொறுத்தது அல்ல. எனவே, மேற்பரப்புகளைப் பொறுத்தவரை, எடுத்துக்காட்டாக, 2-கோளம் சமமான யமபே மாறுபாட்டைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் 2-தோரஸ் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமான யமபே மாறுபாட்டைக் கொண்டுள்ளது. எடுத்துக்காட்டுகள் 1990 களின் பிற்பகுதியில், யமபே மாறாதது கிளாட் லெப்ரன் மற்றும் அவரது ஒத்துழைப்பாளர்களால் 4-மேனிஃபோல்டுகளின் பெரிய வகுப்புகளுக்கு கணக்கிடப்பட்டது. குறிப்பாக, பெரும்பாலான சிறிய சிக்கலான மேற்பரப்புகள் எதிர்மறையான, துல்லியமாக கணக்கிடக்கூடிய யமபே மாறுபாட்டைக் கொண்டுள்ளன என்றும், எதிர்மறை அளவிடுதல் வளைவின் எந்த கோஹ்லர்-ஐன்ஸ்டீன் மெட்ரிக் பரிமாணம் 4 இல் யமபே மாறுபாட்டை உணர்கிறது என்றும் காட்டப்பட்டது. யமபே மாறாதது ஃபுபினி-ஸ்டடி மெட்ரிக் மூலம் உணரப்படுகிறது என்றும், எனவே 4-கோளத்தை விட குறைவாக உள்ளது என்றும் காட்டப்பட்டது. இந்த வாதங்களில் பெரும்பாலானவை சைபர்க்-விட்டன் கோட்பாட்டை உள்ளடக்கியது, எனவே அவை பரிமாணம் 4 க்கு குறிப்பிட்டவை. பீட்டியன் காரணமாக ஒரு முக்கியமான முடிவு என்னவென்றால், வெறுமனே இணைக்கப்பட்டு பரிமாணத்தைக் கொண்டிருந்தால், பின்னர். பெரல்மேனின் போயின்கேர் அனுமானத்தின் தீர்வின் வெளிச்சத்தில், எளிமையாக இணைக்கப்பட்ட-மேனிஃபோல்ட் எதிர்மறை யமபே மாறுபாட்டை மட்டுமே கொண்டிருக்க முடியும் என்பதை இது பின்பற்றுகிறது. மறுபுறம், ஏற்கனவே சுட்டிக்காட்டப்பட்டபடி, வெறுமனே இணைக்கப்பட்ட-மேனிஃபோல்டுகள் உண்மையில் பெரும்பாலும் எதிர்மறை யமபே மாறிலிகளைக் கொண்டுள்ளன. அறியப்பட்ட யமபே மாறாத பரிமாணம் மூன்று கொண்ட சில மென்மையான பன்மடங்கு அட்டவணை கீழே உள்ளது. பரிமாணம் 3 இல், எண் சமம் மற்றும் பெரும்பாலும் குறிக்கப்படுகிறது. ஆண்டர்சன் காரணமாக ஒரு வாதத்தின் மூலம், ரிச்சி ஓட்டத்தில் பெரல்மேனின் முடிவுகள் எந்தவொரு ஹைபர்போலிக் 3-மேனிஃபோல்டிலும் நிலையான-வளைவு மெட்ரிக் யமபே மாறுபாட்டை உணர்கிறது என்பதைக் குறிக்கிறது. இது 3-மேனிஃபோல்டுகளின் எண்ணற்ற பல எடுத்துக்காட்டுகளை நமக்கு வழங்குகிறது, இதற்காக மாறாதது எதிர்மறையாகவும் துல்லியமாகவும் கணக்கிடக்கூடியது. இடவியல் முக்கியத்துவம் யமாபே மாறாத அடையாளம் முக்கியமான இடவியல் தகவல்களைக் கொண்டுள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, நேர்மறை அளவிடுதல் வளைவின் அளவீட்டை ஏற்றுக்கொண்டால் மட்டுமே அது நேர்மறையானது. இந்த உண்மையின் முக்கியத்துவம் என்னவென்றால், நேர்மறை அளவிடுதல் வளைவின் அளவீடுகளுடன் பன்மடங்கு இடவியல் பற்றி அதிகம் அறியப்படுகிறது. மேலும் காண்க யமபே ஓட்டம் யமபே சிக்கல் ஒபாடாவின் தேற்றம் குறிப்புகள் குறிப்புகள் எம். டி. ஆண்டர்சன், "3-மேனிஃபோல்டுகள் மற்றும் 4-மேனிஃபோல்டுகளில் நியதி அளவீடுகள்", ஆசிய ஜே. கணிதம். 10 127-163 (2006). கே. அகுதகாவா, எம். இஷிடா மற்றும் சி. லெப்ரன், "பெரெல்மேனின் மாறாத, ரிச்சி ஓட்டம் மற்றும் மென்மையான பன்மடங்கு யமபே மாறாதவை", ஆர்ச். கணிதம். 88, 71-76 (2007). எச். பிரே மற்றும் ஏ. நெவ்ஸ், "யமாபே மாறாததை விட பெரியதாக உள்ள பகா 3-மேனிஃபோல்டுகளின் வகைப்பாடு", ஆன். கணிதத்தில் இருந்து. 159, 407-424 (2004). எம். ஜே. குர்ஸ்கி மற்றும் சி. லெப்ரன், "யமபே மாறாத மற்றும் கட்டமைப்புகள்", ஜியோம். செயல்பாடு. அனல். 8965-977 (1998). ஓ. கோபயாஷி, "அலகு அளவுடன் ஒரு மெட்ரிக் அளவீட்டு வளைவு", கணிதம். ஆன். 279, 253-265,1987. சி. லெப்ரன், "ஐன்ஸ்டீன் அளவீடுகள் இல்லாத நான்கு-பன்மடங்கு", கணிதம். ரெஸ். விடுங்கள். 3 133-147 (1996). சி. லெப்ரன், "கோடேரா பரிமாணமும் யமபே பிரச்சனையும்", காம். அனல். ஜியோம். 7 133-156 (1999). ஜே. பீட்டியன், "எளிமையாக இணைக்கப்பட்ட பன்மடங்கு யமபே மாறாதது", ஜே. ரெய்ன் ஏஞ்ச்யூ. கணிதம். 523 225-231 (2000). ஆர். ஷோன், "ரீமானியன் அளவீடுகள் மற்றும் தொடர்புடைய தலைப்புகளுக்கான மொத்த அளவிடுதல் வளைவு செயல்பாட்டிற்கான மாறுபாடு கோட்பாடு", மாறுபாடுகளின் கால்குலஸில் தலைப்புகள், விரிவுரை. குறிப்புகள் கணிதம். 1365, ஸ்பிரிங்கர், பெர்லின், 120-154,1989. வேறுபட்ட வடிவியல் வேறுபட்ட இடவியல்