Phase space crystals
கட்ட இடைவெளி படிகமானது ஒரு இயற்பியல் அமைப்பின் நிலையாகும், இது உண்மையான இடத்திற்குப் பதிலாக கட்ட இடத்தில் தனித்துவமான சமச்சீர்மையைக் காட்டுகிறது. ஒற்றை-துகள் அமைப்பைப் பொறுத்தவரை, கட்ட இடைவெளி படிக நிலை என்பது ஒரு மூடிய குவாண்டம் அமைப்புக்கு ஹாமில்டோனியனின் ஐகென் ஸ்டேட் அல்லது திறந்த குவாண்டம் அமைப்புக்கு லியோவில்லியனின் ஐகென் ஆபரேட்டரைக் குறிக்கிறது. பல-உடல் அமைப்பைப் பொறுத்தவரை, கட்டம் விண்வெளி படிகமானது கட்ட இடத்தில் திட போன்ற படிக நிலை ஆகும். கட்ட விண்வெளி படிகங்களின் பொதுவான கட்டமைப்பு திட நிலை இயற்பியல் மற்றும் அமுக்கப்பட்ட பொருள் இயற்பியல் பற்றிய ஆய்வை இயக்கவியல் அமைப்புகளின் கட்ட இடத்திற்குள் விரிவுபடுத்துவதாகும். ரியல் ஸ்பேஸ் யூக்ளிடியன் வடிவவியலைக் கொண்டிருந்தாலும், ஃபேஸ் ஸ்பேஸ் கிளாசிக்கல் சிம்ப்லெக்டிக் வடிவியல் அல்லது குவாண்டம் அல்லாத பரிமாற்ற வடிவவியலுடன் உட்பொதிக்கப்பட்டுள்ளது. ஜான் வான் நியூமன் தனது புகழ்பெற்ற புத்தகமான குவாண்டம் மெக்கானிக்ஸின் கணித அடித்தளங்களில், இரண்டு பரிமாற்ற அடிப்படை இடப்பெயர்ச்சி ஆபரேட்டர்களால் முறையே நிலை மற்றும் வேக திசைகளில் ஒரு கட்ட விண்வெளி லட்டிஸை உருவாக்கினார், இது இப்போதெல்லாம் வான் நியூமன் லட்டிஸ் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. கட்ட இடைவெளி ஒரு அதிர்வெண்-நேர தளத்திற்கு மாற்றப்பட்டால், வான் நியூமன் லட்டிஸ் கபோர் லட்டிஸ் என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் சமிக்ஞை செயலாக்கத்திற்கு பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது கட்ட இடைவெளி லட்டிஸ் அடிப்படையில் உண்மையான விண்வெளி லட்டிஸிலிருந்து வேறுபடுகிறது, ஏனெனில் கட்ட இடத்தின் இரண்டு ஆயத்தொலைவுகளும் குவாண்டம் இயக்கவியலில் பரிமாற்றமற்றவை. இதன் விளைவாக, கட்ட இடைவெளியில் ஒரு மூடிய பாதையில் நகரும் ஒரு ஒத்திசைவான நிலை ஒரு கூடுதல் கட்ட காரணியைப் பெறுகிறது, இது காந்தப்புலத்தில் நகரும் ஒரு சார்ஜ் செய்யப்பட்ட துகள் அஹரோனோவ்-போம் விளைவைப் போன்றது. கட்ட இடத்திற்கும் காந்தப்புலத்திற்கும் இடையே ஆழமான தொடர்பு உள்ளது. உண்மையில், இயக்கத்தின் நியதிச் சமன்பாடு பாரம்பரிய கட்ட இடத்தின் சிம்ப்லெக்டிக் வடிவவியலைப் பிரதிபலிக்கும் லோரென்ஸ்-விசை வடிவத்திலும் மீண்டும் எழுதப்படலாம். இயக்கவியல் அமைப்புகளின் கட்ட இடத்தில், நிலையான புள்ளிகள் அவற்றின் அண்டை பகுதிகளுடன் சேர்ந்து குழப்பமான கடலில் பாயின்கேர்-பிர்காஃப் தீவுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, அவை கட்ட இடத்தில் ஒரு சங்கிலி அல்லது சில வழக்கமான இரு பரிமாண லட்டீஸ் கட்டமைப்புகளை உருவாக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, உதைக்கப்பட்ட ஹார்மோனிக் ஆஸிலேட்டரின் (கே. எச். ஓ) பயனுள்ள ஹாமில்டோனியன், உதைக்கும் எண்ணின் விகிதத்தைப் பொறுத்து கட்ட இடத்தில் சதுர லட்டிஸ், முக்கோண லட்டிஸ் மற்றும் அரை-படிக கட்டமைப்புகளைக் கூட கொண்டிருக்கலாம். உண்மையில், கே. எச். ஓ கட்ட விண்வெளி படிகங்களுக்கு (பி. எஸ். சி) பொருத்தமான உதைக்கும் வரிசையைத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம் எந்தவொரு தன்னிச்சையான கட்ட விண்வெளி லட்டிஸையும் வடிவமைக்க முடியும் கட்ட விண்வெளி படிகத்தின் கருத்து குவோ மற்றும் பலர் முன்மொழிந்தது மற்றும் முதலில் அவ்வப்போது இயக்கப்படும் (ஃப்ளோக்வெட்) இயக்கவியல் அமைப்பின் பயனுள்ள ஹாமில்டோனியனின் ஐகென்ஸ்டேடைக் குறிக்கிறது. இடைவினை விளைவு சேர்க்கப்பட்டுள்ளதா என்பதைப் பொறுத்து, கட்ட இடைவெளி படிகங்களை ஒற்றை-துகள் பி. எஸ். சி மற்றும் பல-உடல் பி. எஸ். சி என வகைப்படுத்தலாம். ஒற்றை-துகள் கட்ட இடைவெளி படிகங்கள் கட்ட இடைவெளியில் உள்ள சமச்சீர்மையைப் பொறுத்து, கட்ட இடைவெளி படிகமானது ஒரு பரிமாண (1டி) நிலையாக இருக்கலாம், கட்ட இடைவெளியில்-மடிப்பு சுழற்சி சமச்சீர்மை அல்லது முழு கட்ட இடத்திலும் நீட்டிக்கப்பட்ட இரு பரிமாண (2டி) லட்டிஸ் நிலை. ஒரு மூடிய அமைப்புக்கான கட்ட விண்வெளி படிகத்தின் கருத்து திறந்த குவாண்டம் அமைப்புகளில் நீட்டிக்கப்பட்டுள்ளது, மேலும் இது சிதறல் கட்ட விண்வெளி படிகங்கள் என்று அழைக்கப்படுகிறது. Zn PSC கட்ட இடைவெளி உண்மையான இடத்திலிருந்து அடிப்படையில் வேறுபட்டது, ஏனெனில் கட்ட இடத்தின் இரண்டு ஆயத்தொலைவுகளும் பயணிக்காது, அதாவது, பரிமாணமற்ற பிளாங்க் மாறிலி எங்கே. லேடர் ஆபரேட்டர் அவ்வாறு வரையறுக்கப்படுகிறது. ஒரு இயற்பியல் அமைப்பின் ஹாமில்டோனியனை லேடர் ஆபரேட்டர்களின் செயல்பாட்டிலும் எழுதலாம். சுழற்சி இயக்கியை கட்ட இடைவெளியில் வரையறுப்பதன் மூலம், ஒரு நேர்மறை முழு எண்ணுடன், ஹாமில்டோனியன் சுழற்சி இயக்ககத்துடன் பரிமாற்றப்பட்டால், அமைப்பு-மடிப்பு சுழற்சி சமச்சீர் அல்லது சமச்சீர் உள்ளது, அதாவது, இந்த விஷயத்தில், ஒருவர்-மடிப்பு சமச்சீர் ஹாமில்டோனியனுக்கு ப்ளோச் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தலாம் மற்றும் பேண்ட் கட்டமைப்பைக் கணக்கிடலாம். ஹாமில்டோனியனின் தனித்துவமான சுழற்சி சமச்சீர் அமைப்பு கட்ட விண்வெளி ஜாலகம் என்றும் அதனுடன் தொடர்புடைய ஐகென்ஸ்டேட்கள் கட்ட விண்வெளி படிகங்கள் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன. லட்டிஸ் பி. எஸ். சி தனித்துவமான சுழற்சி சமச்சீர் முழு கட்ட இடத்திலும் தனித்துவமான மொழிபெயர்ப்பு சமச்சீர் வரை நீட்டிக்கப்படலாம். அத்தகைய நோக்கத்திற்காக, கட்ட இடத்தில் இடப்பெயர்ச்சி ஆபரேட்டர் வரையறுக்கப்படுகிறது, இதன் மூலம் பண்பு உள்ளது, அங்கு கட்ட இடத்தில் இடப்பெயர்ச்சி திசையனுடன் தொடர்புடைய ஒரு சிக்கலான எண். ஹாமில்டோனியன் மொழிபெயர்ப்பு இயக்ககத்துடன் பரிமாற்றப்பட்டால் இந்த அமைப்பு தனித்துவமான மொழிபெயர்ப்பு சமச்சீர்மையைக் கொண்டுள்ளது, அதாவது, இரண்டு அடிப்படை இடப்பெயர்வுகள் இருந்தால், மேலே உள்ள நிபந்தனையை ஒரே நேரத்தில் பூர்த்தி செய்தால், ஹாமில்டோனியன் கட்ட இடைவெளி கட்ட இடைவெளியில் 2 டி லட்டிஸ் சமச்சீர்மையைக் கொண்டுள்ளது. இருப்பினும், இரண்டு இடப்பெயர்ச்சி இயக்கிகளும் பொதுவாக பரிமாற்றமாக இல்லை. பரிமாற்றமற்ற கட்ட இடத்தில், ஒரு "புள்ளி" என்ற கருத்து அர்த்தமற்றது. அதற்கு பதிலாக, ஒரு ஒத்திசைவான நிலை என்பது வழியே குறைக்கும் ஆபரேட்டரின் ஐகென்ஸ்டேட் என வரையறுக்கப்படுகிறது. இடப்பெயர்ச்சி இயக்குபவர் ஒத்திசைவான நிலையை ஒரு கூடுதல் கட்டத்துடன் இடமாற்றம் செய்கிறார், அதாவது. ஒரு மூடப்பட்ட பாதையில் நகர்த்தப்படும் ஒரு ஒத்திசைவான நிலை, எ. கா., கட்ட இடைவெளியில் கொடுக்கப்பட்ட மூன்று விளிம்புகளைக் கொண்ட ஒரு முக்கோணம், ஒரு வடிவியல் கட்டக் காரணியைப் பெறுகிறது, அங்கு மூடப்பட்ட பகுதி. இந்த வடிவியல் கட்டம் காந்தப்புலத்தில் உள்ள சார்ஜ் செய்யப்பட்ட துகள்களின் அஹரோனோவ்-போம் கட்டத்திற்கு ஒத்ததாகும். காந்த அலகு செல் மற்றும் லட்டிஸ் அலகு செல் ஒப்பிடத்தக்கதாக இருந்தால், அதாவது, இரண்டு முழு எண்கள் உள்ளன, மேலும் 2 டி ப்ரில்லூயினில் வரையறுக்கப்பட்ட பேண்ட் கட்டமைப்பைக் கணக்கிட முடியும். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு சதுர கட்ட விண்வெளி லட்டிஸின் ஸ்பெக்ட்ரம் ஹாமில்டோனியன் ஹோஃப்ஸ்டாடரின் பட்டாம்பூச்சி பட்டை கட்டமைப்பைக் காட்டுகிறது, இது ஒரு காந்தப்புலத்தில் இறுக்கமான பிணைப்பு லட்டிஸ் தளங்களுக்கு இடையில் சார்ஜ் செய்யப்பட்ட துகள்களின் தாவலை விவரிக்கிறது. இந்த வழக்கில், ஐகென்ஸ்டேட்கள் 2 டி லட்டிஸ் கட்ட விண்வெளி படிகங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. மூடிய குவாண்டம் அமைப்பிற்கான கட்ட விண்வெளி படிகங்களின் கருத்து திறந்த குவாண்டம் அமைப்புக்கு நீட்டிக்கப்பட்டுள்ளது. சுற்று கியூஇடி அமைப்புகளில், ஒரு மைக்ரோவேவ் ரெசனேட்டருடன் ஜோசஃப்சன் சந்திப்புகள் மற்றும்-ஃபோட்டான் அதிர்வுகளின் கீழ் மின்னழுத்த சார்பு ஆகியவை மேலே விவரிக்கப்பட்ட கட்ட இடைவெளி சமச்சீர் கொண்ட சுழலும் அலை தோராயமான (ஆர். டபிள்யூ. ஏ) ஹாமில்டோனியன் மூலம் விவரிக்கப்படலாம். ஒற்றை-ஃபோட்டான் இழப்பு ஆதிக்கம் செலுத்தும்போது, அதிர்வெண்ணின் சிதறல் இயக்கவியல் பின்வரும் முதன்மை சமன்பாட்டால் (லிண்ட்ப்லேட் சமன்பாடு) விவரிக்கப்படுகிறது, அங்கு இழப்பு விகிதம் மற்றும் சூப்பர் ஆப்பரேட்டர் லியோவில்லியன் என்று அழைக்கப்படுகிறது. அமைப்பின் லியோவில்லியனின் ஐகென்ஸ்பெக்ட்ரம் மற்றும் அதனுடன் தொடர்புடைய ஐகென் ஆபரேட்டர்களை ஒருவர் கணக்கிடலாம். ஹாமில்டோனியன் மட்டுமல்ல, லியோவில்லியன் இரண்டுமே-மடிப்பு சுழற்சி செயல்பாட்டின் கீழ் மாறாதவை என்பதைக் கவனியுங்கள், அதாவது, மற்றும் உடன். கட்ட இடைவெளி படிகங்களின் கருத்தை திறந்த குவாண்டம் அமைப்புக்கு விரிவுபடுத்துவதில் இந்த சமச்சீர் முக்கிய பங்கு வகிக்கிறது. இதன் விளைவாக, லியோவில்லியன் ஐகென் ஆபரேட்டர்கள் கட்ட இடத்தில் ஒரு ப்ளோச் பயன்முறை கட்டமைப்பைக் கொண்டுள்ளன, இது ஒரு சிதறல் கட்ட விண்வெளி படிகமாக அழைக்கப்படுகிறது. பல-உடல் கட்ட விண்வெளி படிகங்கள் கட்ட விண்வெளி படிகத்தின் கருத்தை ஊடாடும் துகள்களின் அமைப்புகளுக்கு நீட்டிக்க முடியும், அங்கு இது கட்ட இடத்தில் திடமான போன்ற படிக அமைப்பைக் கொண்ட பல-உடல் நிலையைக் குறிக்கிறது. இந்த விஷயத்தில், துகள்களின் தொடர்பு முக்கிய பங்கு வகிக்கிறது. உண்மையான இடத்தில், பல-உடல் ஹாமில்டோனியன் ஒரு இடையூறு கால இயக்கத்திற்கு (காலத்துடன்) உட்படுத்தப்படுகிறது பொதுவாக, தொடர்பு ஆற்றல் என்பது உண்மையான இடத்தில் இரண்டு துகள்களின் தூரத்தின் செயல்பாடாகும். ஓட்டுநர் அதிர்வெண்ணுடன் சுழலும் சட்டகத்திற்கு மாற்றுவதன் மூலமும், சுழலும் அலை தோராயத்தை (ஆர். டபிள்யூ. ஏ) மாற்றியமைப்பதன் மூலமும், ஒருவர் பயனுள்ள ஹாமில்டோனியனைப் பெறலாம். கட்ட இடைவெளியில் படிக கட்டமைப்பைக் கொண்டிருக்க, கட்ட இடைவெளியில் பயனுள்ள தொடர்பு கட்ட இடைவெளியில் தனித்துவமான சுழற்சி அல்லது மொழிபெயர்ப்பு செயல்பாடுகளின் கீழ் மாறாமல் இருக்க வேண்டும். கிளாசிக்கல் இயக்கவியலில், முன்னணி வரிசைக்கு, கட்ட இடத்தில் பயனுள்ள தொடர்பு திறன் என்பது ஒரு ஓட்டுநர் காலத்தில் நேர சராசரி உண்மையான விண்வெளி தொடர்பு ஆகும். முழு எண்கள் மற்றும் அரை முழு எண்களுடன் மாதிரி சக்தி-விதி தொடர்பு ஆற்றலுக்கு, மேலே உள்ள நேர-சராசரி சூத்திரத்தால் வழங்கப்பட்ட நேரடி ஒருங்கிணைப்பு வேறுபட்டது, அதாவது, வேறுபாட்டை அகற்ற ஒரு மறுசீரமைப்பு நடைமுறை அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது மற்றும் சரியான கட்ட இடைவெளி தொடர்பு என்பது ஒரு செயல்பாடாகும் விமானத்தில் கட்ட இடைவெளி தூரம். கூலோம்ப் ஆற்றலைப் பொறுத்தவரை, இதன் விளைவாக கூலோம்ப் விதியின் வடிவத்தை ஒரு மடக்கை மறுசீரமைக்கப்பட்ட "சார்ஜ்" வரை வைத்திருக்கிறது, அங்கு யூலரின் எண் உள்ளது. ஏனெனில், மறுசீரமைக்கப்பட்ட கட்ட விண்வெளி தொடர்பு திறன் என்பது மோதல் காரணி எங்கே. சிறப்பு வழக்கில், கட்ட இடைவெளியில் பயனுள்ள தொடர்பு இல்லை, ஏனெனில் கட்ட இடைவெளி தூரத்தைப் பொறுத்தவரை இது ஒரு மாறிலி. பொதுவாக, கட்ட இடைவெளி இடைவினை கட்ட இடைவெளி தூரத்துடன் வளர்கிறது. கடினமான கோள இடைவினைக்கு (), கட்ட இடைவெளி இடைவினை குவாண்டம் குரோமோடைனமிக்ஸில் (கியூசிடி) குவார்க்குகளுக்கு இடையிலான அடைப்பு தொடர்பு போல செயல்படுகிறது. மேலே உள்ள கட்ட இடைவெளி தொடர்பு உண்மையில் கட்ட இடத்தில் தனித்துவமான சுழற்சி அல்லது மொழிபெயர்ப்பு செயல்பாடுகளின் கீழ் மாறாதது. வாகனம் ஓட்டுவதில் இருந்து கட்ட விண்வெளி லட்டிஸ் ஆற்றலுடன் இணைந்து, ஒரு நிலையான ஆட்சி உள்ளது, அங்கு துகள்கள் அவ்வப்போது கட்ட இடைவெளியில் தங்களை ஏற்பாடு செய்து பல உடல் கட்ட விண்வெளி படிகங்களுக்கு வழிவகுக்கின்றன. குவாண்டம் இயக்கவியலில், புள்ளி துகள் ஒரு குவாண்டம் அலை பாக்கெட்டால் மாற்றப்படுகிறது மற்றும் வேறுபாடு சிக்கல் இயற்கையாகவே தவிர்க்கப்படுகிறது. ஃப்ளோக்வெட் அமைப்பிற்கான மிகக் குறைந்த-வரிசை மேக்னஸ் விரிவாக்கத்திற்கு, இரண்டு துகள்களின் குவாண்டம் கட்ட விண்வெளி தொடர்பு என்பது காலமுறை இரண்டு-உடல் குவாண்டம் நிலையில் நேர சராசரி உண்மையான விண்வெளி தொடர்பு ஆகும். ஒத்திசைவான நிலை பிரதிநிதித்துவத்தில், குவாண்டம் கட்ட விண்வெளி தொடர்பு நீண்ட தூர வரம்பில் கிளாசிக்கல் கட்ட விண்வெளி தொடர்புகளை அணுகுகிறது. ஒரு ஊசலாடும் கண்ணாடியில் துள்ளும் விரட்டும் தொடர்பு தொடர்பு கொண்ட போசோனிக் அல்ட்ரா கோல்ட் அணுக்களுக்கு, கட்ட விண்வெளி ஜாலகத்தில் மோட் இன்சுலேட்டர் போன்ற நிலையை உருவாக்க முடியும். இந்த விஷயத்தில், ஒவ்வொரு சாத்தியமான தளத்திலும் நன்கு வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான துகள்கள் உள்ளன, அவை 1D பல உடல் கட்ட விண்வெளி படிகத்தின் எடுத்துக்காட்டாக பார்க்கப்படலாம். பிரித்தறிய முடியாத இரண்டு துகள்களும் சுழல்களைக் கொண்டிருந்தால், மொத்த கட்ட இடைவெளி தொடர்புகளை நேரடி தொடர்பு மற்றும் பரிமாற்ற தொடர்புகளின் கூட்டுத்தொகையில் எழுதலாம். இதன் பொருள் என்னவென்றால், இரண்டு துகள்களின் மோதலின் போது ஏற்படும் பரிமாற்ற விளைவு ஒரு பயனுள்ள சுழல்-சுழல் தொடர்புகளைத் தூண்டும் கட்டம் விண்வெளி படிக அதிர்வுகள் திட படிகங்கள் உண்மையான இடத்தில் அணுக்களின் காலமுறை ஏற்பாட்டால் வரையறுக்கப்படுகின்றன, நேர-கால இயக்கத்திற்கு உட்பட்ட அணுக்களும் கட்ட இடைவெளியில் படிகங்களை உருவாக்கலாம். இந்த அணுக்களுக்கு இடையிலான தொடர்புகள் திடமான படிகங்களில் உள்ள ஃபோனான்களைப் போன்ற கூட்டு அதிர்வு முறைகளுக்கு வழிவகுக்கின்றன. தேன்கூடு கட்ட விண்வெளி படிகமானது குறிப்பாக சுவாரஸ்யமானது, ஏனெனில் அதிர்வு பட்டை அமைப்பு இரண்டு துணை-லட்டிஸ் பட்டைகளைக் கொண்டுள்ளது, அவை அற்பமான இடவியல் இயற்பியலைக் கொண்டிருக்கலாம். ஏதேனும் இரண்டு அணுக்களின் அதிர்வுகள் உள்ளார்ந்த சிக்கலான இணைப்புகளுடன் இணைக்கும் தொடர்பு மூலம் இணைக்கப்படுகின்றன. அவற்றின் சிக்கலான கட்டங்கள் ஒரு எளிய வடிவியல் விளக்கத்தைக் கொண்டுள்ளன, மேலும் ஒரு கேஜ் மாற்றத்தால் அகற்ற முடியாது, இது அற்பமான செர்ன் எண்கள் மற்றும் கட்ட இடத்தில் சிரல் விளிம்பு நிலைகளுடன் ஒரு அதிர்வு இசைக்குழு கட்டமைப்பிற்கு வழிவகுக்கிறது. உண்மையான இடத்தில் உள்ள அனைத்து இடவியல் போக்குவரத்து காட்சிகளுக்கும் மாறாக, கட்ட விண்வெளி ஃபோனான்களுக்கான சிரல் போக்குவரத்து இயற்பியல் நேர-தலைகீழ் சமச்சீர்மையை உடைக்காமல் எழலாம். நேர படிகங்களுடனான தொடர்பு நேர படிகங்களும் கட்ட விண்வெளி படிகங்களும் நெருக்கமாக தொடர்புடையவை, ஆனால் வெவ்வேறு கருத்துக்கள். அவை இரண்டும் அவ்வப்போது இயக்கப்படும் அமைப்புகளில் வெளிப்படும் சப்ஹார்மோனிக் முறைகளைப் படிக்கின்றன. நேர படிகங்கள் தனித்துவமான நேர மொழிபெயர்ப்பு சமச்சீர் (டி. டி. டி. எஸ்) இன் தன்னிச்சையான சமச்சீர் உடைக்கும் செயல்முறை மற்றும் குவாண்டம் பல உடல் அமைப்புகளில் சப்ஹார்மோனிக் முறைகளின் பாதுகாப்பு பொறிமுறையில் கவனம் செலுத்துகின்றன. இதற்கு மாறாக, கட்ட இடைவெளி படிகத்தின் ஆய்வு கட்ட இடைவெளியில் உள்ள தனித்த சமச்சீர்மைகளில் கவனம் செலுத்துகிறது. ஒரு கட்ட விண்வெளி படிகத்தை உருவாக்கும் அடிப்படை முறைகள் பல-உடல் நிலை அல்ல, மேலும் ஒற்றை-துகள் கட்ட விண்வெளி படிகங்களைப் பொறுத்தவரை டி. டி. டி. எஸ்ஸை உடைக்க வேண்டிய அவசியமில்லை. பல உடல் அமைப்புகளுக்கு, கட்ட இடைவெளி படிகங்கள் கட்ட இடைவெளியில் அவ்வப்போது ஏற்பாடு செய்யப்படும் சாத்தியமான சப்ஹார்மோனிக் முறைகளின் இடைவினையை ஆய்வு செய்கின்றன. பல நேர படிகங்களின் இடைவினையைப் படிக்கும் போக்கு உள்ளது, இது நேர படிகங்களில் அமுக்கப்பட்ட பொருள் இயற்பியல் என்று அழைக்கப்படுகிறது குறிப்புகள் இயற்பியலில் கருத்துக்கள் ஹாமில்டோனிய இயக்கவியல் பரிமாண பகுப்பாய்வு இயக்கவியல் அமைப்புகள் குவாண்டம் இயக்கவியல்