Netto's theorem
கணித பகுப்பாய்வில், நெட்டோவின் தேற்றம் மென்மையான பன்மடங்கு தொடர்ச்சியான பைஜெக்சன்கள் பரிமாணத்தை பாதுகாக்கின்றன என்று கூறுகிறது. அதாவது, வெவ்வேறு பரிமாணங்களின் இரண்டு மென்மையான பன்மடங்கு இடையே ஒரு தொடர்ச்சியான பைஜெக்ஷன் இல்லை. இது யூஜென் நெட்டோவின் பெயரால் அழைக்கப்படுகிறது. உயர் பரிமாண பன்மடங்கு முதல் ஒரு பரிமாண பன்மடங்கு வரையிலான வரைபடங்களுக்கான வழக்கு 1878 ஆம் ஆண்டில் ஜேக்கப் லுரோத் என்பவரால் நிரூபிக்கப்பட்டது, இடைநிலை மதிப்பு தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, ஒரு இடவியல் வட்டத்தைக் கொண்ட எந்த பன்மடங்கு உண்மையான கோட்டிற்கு தொடர்ச்சியாகவும் புறநிலை ரீதியாகவும் வரைபடமாக்க முடியாது என்பதைக் காட்டுகிறது. 1878 இல் நெட்டோவும், 1879 இல் ஜார்ஜ் கான்டரும் பொதுக் கோட்பாட்டின் தவறான ஆதாரங்களை வழங்கினர். தவறுகள் பின்னர் அடையாளம் காணப்பட்டு சரி செய்யப்பட்டன. இந்த தேற்றத்தின் ஒரு முக்கியமான சிறப்பு வழக்கு, உண்மையான கோடு அல்லது அலகு இடைவெளி போன்ற ஒரு பரிமாண இடைவெளிகளிலிருந்து யூக்ளிடியன் தளம் அல்லது அலகு சதுரம் போன்ற இரு பரிமாண இடைவெளிகளுக்கு தொடர்ச்சியான பைஜெக்ஷன்கள் இல்லாதது பற்றியது. ஒரு பரிமாண இடைவெளிகளிலிருந்து இரு பரிமாண இடைவெளிகளுக்கு சுவாரஸ்யமான செயல்பாடுகளின் வகுப்புகளைப் பெறுவதற்கு தேற்றத்தின் நிபந்தனைகளை பல்வேறு வழிகளில் தளர்த்தலாம்ஃ விண்வெளி நிரப்புதல் வளைவுகள் என்பது ஒரு பரிமாண இடைவெளிகளிலிருந்து இரு பரிமாண இடைவெளிகள் வரை தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளாகும். அவை ஒரு கோடு அல்லது அலகு இடைவெளியின் உருவத்தால் தளத்தின் அல்லது ஒரு அலகு சதுரத்தின் ஒவ்வொரு புள்ளியையும் உள்ளடக்குகின்றன. எடுத்துக்காட்டுகளில் பீனோ வளைவு மற்றும் ஹில்பர்ட் வளைவு ஆகியவை அடங்கும். இந்த எடுத்துக்காட்டுகளில் எதுவுமே சுய குறுக்குவெட்டுகளைக் கொண்டிருக்கவில்லை, ஆனால் நெட்டோவின் தேற்றத்தின் படி சதுரத்தின் பல புள்ளிகள் இந்த வளைவுகளால் பல முறை மூடப்பட்டுள்ளன. ஓஸ்கூட் வளைவுகள் என்பது ஒரு பரிமாண இடைவெளிகளிலிருந்து பூஜ்ஜியமற்ற பகுதியைக் கொண்ட தளத்தின் துணைக்குழுக்கள் வரை தொடர்ச்சியான பைஜெக்ஷன்கள் ஆகும். அவை விமானத்தில் ஜோர்டான் வளைவுகளை உருவாக்குகின்றன. இருப்பினும், நெட்டோவின் தேற்றத்தின் படி, அவை முழு தளம், அலகு சதுரம் அல்லது வேறு எந்த இரு பரிமாண பகுதியையும் உள்ளடக்க முடியாது. தொடர்ச்சியின் தேவையை ஒருவர் தளர்த்தினால், எல்லைக்குட்பட்ட பரிமாணத்தின் அனைத்து மென்மையான பன்மடங்கு சமமான கார்டினாலிட்டி, தொடர்ச்சியின் கார்டினாலிட்டி ஆகியவற்றைக் கொண்டிருக்கும். எனவே, 1878 ஆம் ஆண்டில் ஜார்ஜ் கேன்டர் காட்டியபடி, அவற்றில் ஏதேனும் இரண்டிற்கும் இடையே தொடர்ச்சியற்ற பைஜெக்சன்கள் உள்ளன. கேன்டரின் முடிவு பல கணிதவியலாளர்களுக்கு ஆச்சரியத்தை ஏற்படுத்தியது மற்றும் விண்வெளி நிரப்புதல் வளைவுகள், ஓஸ்கூட் வளைவுகள் மற்றும் நெட்டோவின் தேற்றம் ஆகியவற்றிற்கு வழிவகுத்த ஆராய்ச்சியின் வரிசையை உதைத்தது. சதுரத்தில் உள்ள புள்ளிகளின் கார்ட்டீசியன் ஆயத்தொகுதிகளின் தசம பிரதிநிதித்துவங்களின் இலக்கங்களை ஒன்றோடொன்று இணைப்பதன் மூலம் அலகு சதுரத்திலிருந்து அலகு இடைவெளிக்கு ஒரு நெருக்கமான பிளவு பெறப்படலாம். 1 = 0.999 இன் இரண்டு தசம பிரதிநிதித்துவங்களால் எடுத்துக்காட்டப்பட்ட தசமத்தின் தெளிவின்மை, இது ஒரு பைஜெக்ஷனை விட ஒரு ஊசியாக இருக்க காரணமாகிறது, ஆனால் இந்த சிக்கலை ஷ்ரோடர்-பெர்ன்ஸ்டைன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி சரிசெய்ய முடியும். குறிப்புகள் பரிமாணக் கோட்பாடு இடவியல் கோட்பாடுகள்