Kinematics of the cuboctahedron
ஒரு கியூபோக்டாஹெட்ரானின் எலும்புக்கூடு, அதன் விளிம்புகளை அதன் செங்குத்துகளில் நெகிழ்வான மூட்டுகளில் இணைக்கப்பட்ட கடினமான கற்றைகளாக கருதுகிறது, ஆனால் அதன் முகங்களைத் தவிர்த்து, கட்டமைப்பு விறைப்புத்தன்மையைக் கொண்டிருக்கவில்லை, இதன் விளைவாக அதன் செங்குத்துகளை விளிம்புகள் மற்றும் முக மூலைவிட்டங்களில் மடிப்பதன் மூலம் (டைஹெட்ரல் கோணத்தை மாற்றுவதன் மூலம்) மாற்றலாம். கியூபோக்டாஹெட்ரானின் இயக்கவியல் குறிப்பிடத்தக்கது, அதன் செங்குத்துகள் வழக்கமான ஐகோசாஹெட்ரான், ஜெஸ்ஸனின் ஐகோசாஹெட்ரான் மற்றும் வழக்கமான எண்முகத்தின் உச்சநிலை நிலைகளுக்கு மாற்றப்படலாம், ஐகோசாஹெட்ரானின் பைரிட்டோஹெட்ரல் சமச்சீர் படி. கடினமான மற்றும் இயக்கவியல் கியூபோக்டாஹெட்ரா கடினமான தட்டையான முகங்களின் கட்டமைப்பாக விளக்கப்பட்டால், விளிம்புகளில் கீல்கள் மூலம் இணைக்கப்பட்டால், கியூபோக்டாஹெட்ரான் ஒரு கடினமான கட்டமைப்பாகும், காச்சியின் தேற்றத்தால் அனைத்து குவிந்த பாலிஹெட்ராவும் உள்ளன. இருப்பினும், முகங்கள் அகற்றப்படும்போது, செங்குத்துகளில் நெகிழ்வான மூட்டுகளால் இணைக்கப்பட்ட கடினமான விளிம்புகளை மட்டுமே விட்டுவிடும்போது, இதன் விளைவாக ஒரு கடினமான அமைப்பு அல்ல (பாலிஹெட்ராவைப் போலல்லாமல், அதன் முகங்கள் அனைத்தும் முக்கோணங்களாக உள்ளன, இதற்கு காச்சியின் தேற்றம் பொருந்தும் முகங்கள் காணாமல் போன போதிலும்). மற்ற அனைத்து செங்குத்துகளுடனும் கடினமான விளிம்புகளால் இணைக்கப்பட்ட ஒரு மைய உச்சியை சேர்ப்பது, மைய உச்சியில் சந்தித்து, சதுர பிரமிடுகள் மற்றும் டெட்ராஹெட்ராவாக கியூபோக்டாஹெட்ரானை பிரிக்கிறது. கியூபோக்டாஹெட்ரானைப் போலல்லாமல், இதன் விளைவாக வரும் விளிம்புகள் மற்றும் மூட்டுகளின் அமைப்பு கடினமானது, மேலும் இது எல்லையற்ற ஆக்செட் டிரஸ் கட்டமைப்பின் ஒரு பகுதியாகும். சுழற்சி கியூபோக்டாஹெட்ரான் உருமாற்றங்கள் கியூபோக்டாஹெட்ரானை நான்கு பாலிஹெட்ரா மூலம் சுழற்சி முறையில் மாற்றலாம், சுழற்சியை முடிவில்லாமல் மீண்டும் செய்யலாம். இடவியல் ரீதியாக மாற்றம் ஒரு மோபியஸ் சுழற்சியைப் பின்பற்றுகிறதுஃ இது எண்முகத்தின் நோக்குநிலை இரட்டை மறைப்பாகும். அவற்றின் இடஞ்சார்ந்த உறவுகளில் கியூபோக்டாஹெட்ரான், ஐகோசாஹெட்ரான், ஜெஸ்ஸனின் ஐகோசாஹெட்ரான் மற்றும் ரஷ்ய பொம்மைகளைப் போன்ற எண்முகக் கூடு ஆகியவை ஒரு சுழல் சுருக்கத்தால் தொடர்புடையவை. கியூபோக்டாஹெட்ரானின் சதுர முகங்கள் அவற்றின் மூலைவிட்டங்களுடன் உள்நோக்கி மடிந்து ஜோடி முக்கோணங்களை உருவாக்குவதன் மூலம் சுருக்கம் தொடங்குகிறது. கியூபோக்டாஹெட்ரான் சுழற்சியின் 12 செங்குத்துகள் உள்நோக்கி (மையத்தை நோக்கி) மற்றும் அவை ஒரு வழக்கமான ஐகோசாஹெட்ரானை உருவாக்கும் புள்ளிகளை அடையும் வரை ஒன்றாக நெருக்கமாக நகர்கின்றன; அவை ஜெஸ்ஸனின் ஐகோசாஹெட்ரானை உருவாக்கும் வரை சற்று நெருக்கமாக நகர்கின்றன; மேலும் அவை எண்முகத்தின் 6 செங்குத்துகளாக ஜோடிகளாக ஒத்துப்போகும் வரை ஒருவருக்கொருவர் சுழல்கின்றன. பொதுவான கியூபோக்டாஹெட்ரான் உருமாற்றத்தை இரண்டு வரம்பு-நிகழ்வுகளுடன் சிறப்பு-வழக்கு மாற்றங்களின் தொடர்ச்சியுடன் அளவிட முடியும்ஃ ஒன்று கியூபோக்டாஹெட்ரானின் விளிம்புகள் கடினமானவை, மற்றொன்று அவை நெகிழ்வானவை. கடினமான-விளிம்பு மாற்றம் கடினமான-விளிம்பு கியூபோக்டாஹெட்ரான் மாற்றம் கியூபோக்டாஹெட்ரானை சமச்சீராக ஒரு வழக்கமான ஐகோசாஹெட்ரான், ஜெஸ்ஸனின் ஐகோசாஹெட்ரான் மற்றும் ஒரு வழக்கமான எண்முகமாக மாற்றுகிறது, அதாவது பாலிஹெட்ரானின் செங்குத்துகள் அந்த பாலிஹெட்ராவின் உச்சிகளை தொடர்ச்சியாக எடுத்துக்கொள்கின்றன. கியூபோக்டாஹெட்ரான் உண்மையில் அந்த மற்ற பாலிஹெட்ராவாக மாறாது, மேலும் அவை ஒருவருக்கொருவர் மாற்ற முடியாது (அவை கடினமான விளிம்புகளைக் கொண்டிருந்தால்), ஏனெனில் கியூபோக்டாஹெட்ரானைப் போலல்லாமல் அவை முக்கோண முகங்களைக் கொண்டிருப்பதன் விளைவாக கட்டமைப்பு விறைப்புத்தன்மையைக் கொண்டுள்ளன. கடினமான விளிம்புகளைக் கொண்ட கியூபோக்டாஹெட்ரான் உண்மையில் 6 விளிம்புகள் இல்லாத ஒரு வழக்கமான ஐகோசாஹெட்ரான் (ஒரு சூடோயிகோசாஹெட்ரான்), 6 ரிஃப்ளெக்ஸ் விளிம்புகள் இல்லாத அல்லது நெகிழ்வான ஜெஸ்ஸனின் ஐகோசாஹெட்ரான் மற்றும் ஒவ்வொரு ஜோடி செங்குத்துகளையும் இணைக்கும் இரண்டு தற்செயலான கடினமான விளிம்புகளைக் கொண்ட எண்முகத்தின் இரட்டை உறை (ஜோடி கியூபோக்டாஹெட்ரான் செங்குத்துகளை இணைப்பதன் மூலம் உருவாகிறது). நெகிழ்வான-விளிம்பு மாற்றம் ஒரு டென்ஸ்கிரிட்டி பாலிஹெட்ரான் உள்ளது, இது நெருக்கமாக தொடர்புடைய நெகிழ்வான-விளிம்பு கியூபோக்டாஹெட்ரான் மாற்றத்தை உள்ளடக்கியது மற்றும் செயல்படுத்துகிறது. டென்ஸ்கிரிட்டி ஐகோசாஹெட்ரான் எல்லையற்ற இயக்கம் என்று அழைக்கப்படும் ஒரு மாறும் கட்டமைப்பு விறைப்புத்தன்மையைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் கியூபோக்டாஹெட்ரான் முதல் ஆக்டா ஹெட்ரான் வரை அந்த நிறமாலையில் சமச்சீர் பாலிஹெட்ராவாக மட்டுமே சிதைக்க முடியும். இது டென்ஸ்கிரிட்டி ஐகோசாஹெட்ரான் என்று அழைக்கப்படுகிறது, ஏனெனில் அதன் சராசரி நிலையான வடிவம் ஜெஸ்ஸனின் ஐகோசாஹெட்ரான் ஆகும். இந்த மாற்றம் கியூபோக்டாஹெட்ரானின் சுருக்கம் என்று மேலே விவரிக்கப்பட்டாலும், டென்ஸ்கிரிட்டியின் நிலையான சமநிலைப் புள்ளி ஜெஸ்ஸனின் ஐகோசாஹெட்ரான் ஆகும்; டென்ஸ்கிரிட்டி ஐகோசாஹெட்ரான் அந்த வடிவத்திலிருந்து சிதைக்கப்படுவதை எதிர்க்கிறது, மேலும் அதன் விளிம்புகள் நெகிழ்வான அளவிற்கு (பதற்றத்தின் கீழ் நீட்டிக்க முடியும்) அதிலிருந்து விரிவடையவோ அல்லது சுருங்கவோ கட்டாயப்படுத்தப்படலாம். பாலிஹெட்ரானை அதன் நிலையான ஓய்வு வடிவத்திலிருந்து (இரு திசைகளிலும்) விலக்குவது என்பது அதன் 24 குறுகிய விளிம்புகளை சற்றே சமமாக நீட்டுவதை உள்ளடக்கியது. எந்த ஜோடி இணையான நீண்ட விளிம்புகளுக்கும் பயன்படுத்தப்படும் விசை, அவற்றை ஒன்றோடொன்று நெருக்கமாக அல்லது தொலைவில் நகர்த்த, அனைத்து குறுகிய விளிம்புகளையும் ஒரே மாதிரியாக நீட்டிக்க தானாகவே மாற்றப்படுகிறது, பாலிஹெட்ரானை அதன் நடுத்தர அளவிலான ஜெஸ்ஸனின் ஐகோசாஹெட்ரானில் இருந்து சிறிய எண்முகத்தை நோக்கி சுருக்குகிறது, அல்லது அதை முறையே பெரிய வழக்கமான ஐகோசாஹெட்ரான் மற்றும் இன்னும் பெரிய கியூபோக்டாஹெட்ரானை நோக்கி விரிவுபடுத்துகிறது. சக்தியை வெளியிடுவதால் பாலிஹெட்ரான் அதன் ஜெஸ்ஸனின் ஐகோசாஹெட்ரான் ஓய்வு வடிவத்திற்குத் திரும்புகிறது. எலாஸ்டிக்-எட்ஜ் மாற்றத்தில் கியூபோக்டாஹெட்ரான் விளிம்புகள் கடினமானவை அல்ல (ஜெஸ்ஸனின் ஐகோசாஹெட்ரானின் 6 நீண்ட விளிம்புகள் இருந்தாலும்). கியூபோக்டாஹெட்ரான் உண்மையில் குறுகிய ஆரம் மற்றும் குறுகிய விளிம்பு நீளம் கொண்ட ஒரு வழக்கமான ஐகோசாஹெட்ரான், இன்னும் குறுகிய ஆரம் மற்றும் (குறைந்தபட்ச) விளிம்பு நீளம் கொண்ட ஜெஸ்ஸனின் ஐகோசாஹெட்ரான், இறுதியாக இன்னும் குறுகிய ஆரம் கொண்ட ஒரு எண்முகம், ஆனால் கியூபோக்டாஹெட்ரானின் அதே (அதிகபட்ச) விளிம்பு நீளம் (ஆனால் விளிம்புகள் சுருங்கி மீண்டும் நீளமாகி, தற்செயலான ஜோடிகளில் ஒன்றாக வந்த பின்னரே). கடினமான-விளிம்பு மற்றும் நெகிழ்வான-விளிம்பு மாற்றங்களின் இரட்டைத்தன்மை கடினமான-விளிம்பு மற்றும் நெகிழ்வான-விளிம்பு கியூபோக்டாஹெட்ரான் மாற்றங்கள் பரஸ்பர அளவுருக்களைக் கொண்டிருப்பதில் மட்டுமே வேறுபடுகின்றனஃ நெகிழ்வான-விளிம்பு மாற்றத்தில் ஜெஸ்ஸனின் ஐகோசாஹெட்ரானின் குறுகிய விளிம்புகள் நீட்டிக்கப்படுகின்றன மற்றும் அதன் நீண்ட விளிம்புகள் கடினமானவை, மேலும் கடினமான-விளிம்பு மாற்றத்தில் அதன் நீண்ட விளிம்புகள் சுருங்குகின்றன மற்றும் அதன் குறுகிய விளிம்புகள் கடினமானவை. அளவீடுகளைத் தவிர மேலே உள்ள விளக்கங்களில் உள்ள அனைத்தும் அனைத்து கியூபோக்டாஹெட்ரான் மாற்றங்களுக்கும் பொருந்தும். குறிப்பாக, கியூபோக்டாஹெட்ரான் எண்முகமாக மாறும்போது செங்குத்துகள் எப்போதும் மையத்தை நோக்கி ஹெலிக்ஸ்களில் நகர்கின்றன, மேலும் ஜெஸ்ஸனின் ஐகோசாஹெட்ரான் (90 டிகிரி டைஹெட்ரல் கோணங்களுடன்) எப்போதும் நடுத்தர புள்ளியாக இருக்கும், இது நீட்சி அல்லது சுருக்கத்திற்கு எதிர்ப்பு இருக்கும் அளவிற்கு நிலையானது. எலாஸ்டிக்-எட்ஜ் கியூபோக்டாஹெட்ரான் மாற்றம் பொதுவாக டென்ஸ்கிரிட்டி ஐகோசாஹெட்ரானின் கணிதமாக வழங்கப்படுகிறது, ஏனெனில் இது பெரும்பாலான உண்மையான டென்ஸ்கிரிட்டி ஐகோசாஹெட்ரான் கட்டமைப்புகள் எவ்வாறு செயல்படுகின்றன என்பதை மாதிரியாக்குவதற்கு மிக நெருக்கமாக வருகிறது. இருப்பினும், ஒருவர் நிச்சயமாக ஒரு டென்ஸ்கிரிட்டி ஐகோசாஹெட்ரானை உருவாக்க முடியும், இதில் குறுகிய விளிம்புகள் (கேபிள்கள்) முற்றிலும் நெகிழ்வானவை, மேலும் நீண்ட விளிம்புகள் (ஸ்ட்ரட்ஸ்) அமுக்கக்கூடிய நீரூற்றுகளாக இருந்தன. அத்தகைய டென்ஸ்கிரிட்டி கடினமான-விளிம்பு கியூபோக்டாஹெட்ரான் மாற்றத்தை செய்யும். இறுதியாக, இரண்டு மாற்றங்களும் தூய சுருக்கங்களாகும், கியூபோக்டாஹெட்ரான் மாற்றங்களின் எல்லையற்ற குடும்பத்தின் இரண்டு வரம்பு நிகழ்வுகள் இதில் இரண்டு நெகிழ்ச்சி அளவுருக்கள் உள்ளன, அவற்றில் ஒன்று 0 ஆக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை. இரண்டு வரம்பு வழக்குகளும் பெரும்பாலான உண்மையான டென்ஸ்கிரிட்டி கட்டமைப்புகளுக்கு சரியாக பொருந்தாது, அவை பொதுவாக கேபிள்கள் மற்றும் ஸ்ட்ரட்கள் இரண்டிலும் சில நெகிழ்ச்சித்தன்மையைக் கொண்டுள்ளன, அவற்றின் உண்மையான நடத்தை அளவீடுகளை கணக்கிட அற்பமானவை அல்ல. பொறியியல் நடைமுறையில், குறிப்பிடத்தக்க அளவிலான இயக்கத்தை அனுமதிக்க ஒரு சிறிய அளவு நெகிழ்ச்சி மட்டுமே தேவைப்படுகிறது, எனவே பெரும்பாலான டென்ஸ்கிரிட்டி கட்டமைப்புகள் கிட்டத்தட்ட நெகிழ்ச்சியற்ற ஸ்ட்ரட்கள் மற்றும் கேபிள்களைப் பயன்படுத்தி "டிரம்-இறுக்கமாக" கட்டப்பட்டுள்ளன. ஒரு டென்ஸ்கிரிட்டி ஐகோசாஹெட்ரான் மாற்றம் என்பது பரஸ்பர சிறிய நெகிழ்ச்சி அளவுருக்களுடன் ஒரு இயக்கவியல் கியூபோக்டாஹெட்ரான் மாற்றமாகும். ஜிட்டர்பக் உருமாற்றங்கள் இந்த பாலிஹெட்ராவுக்கு இடையிலான முறுக்கு, விரிவான-சுருக்கமான மாற்றங்கள் பக்மின்ஸ்டர் ஃபுல்லரால் ஜிட்டர்பக் உருமாற்றங்கள் என்று பெயரிடப்பட்டன. ஃபுல்லர் எந்த கணிதத்தையும் கொடுக்கவில்லை; அவருக்கு முன்பு இருந்த பல சிறந்த வடிவவியலாளர்களைப் போலவே (எடுத்துக்காட்டாக அலிசியா பூல் ஸ்டாட்) அவரிடம் கொடுக்க எந்த கணிதமும் இல்லை. ஆனால் கியூபோக்டாஹெட்ரானின் ரேடியல் சமபக்க சமச்சீர்மையின் முக்கியத்துவத்தை முதன்முதலில் வலியுறுத்தியவர் அவர்தான், அவர் ஆக்செட் ட்ரஸ் என கட்டமைப்பு ரீதியாக (மற்றும் காப்புரிமை) பயன்படுத்தினார், இது கட்டமைப்பு ஒருமைப்பாட்டிற்கு மட்டுமல்ல, பாலிடோப்புகளுக்கிடையேயான பரிமாண உறவுகளிலும் ஒரு அடிப்படை பாத்திரத்தை வகிக்கிறது என்பதை உள்ளுணர்வுடன் கூறினார். கியூபோக்டாஹெட்ரானின் இயக்கவியல் மாற்றத்தை அவர் கண்டுபிடித்தார், டென்ஸ்கிரிட்டி ஐகோசாஹெட்ரானுடனான அதன் உறவைப் புரிந்து கொண்டார், மேலும் பார்வையாளர்களுக்கு முன் (கணினி வழங்கிய அனிமேஷன்களுக்கு முந்தைய நாட்களில்) கடினமான-விளிம்பு கியூபோக்டாஹெட்ரான் மாற்றத்தின் செயல்விளக்கங்களையும் வழங்கினார். கியூபோக்டாஹெட்ரான் என்று அவர் அழைத்தபடி, "திசையன் சமநிலை" பற்றிய வர்ணனையுடன் அவரது ஆர்ப்பாட்டம், இந்த கட்டுரையில் உள்ள அனிமேஷன்களை விட இன்னும் மிகவும் பிரகாசமாக உள்ளது. குறிப்புகள் குறிப்புகள் நூலியல்; வீடியோவைப் பார்க்கவும் "தி போரோமியன் ரிங்க்ஸ்ஃ ஐ. எம். யுவிற்கான ஒரு புதிய லோகோ", சர்வதேச கணித ஒன்றிய வெளிப்புற இணைப்புகள் ஆர்க்கிமிடியன் திடப்பொருட்கள் குவாசிரெகுலர் பாலிஹெட்ரா இழுவிசை கட்டிடக்கலை