Balance of angular momentum
கிளாசிக்கல் இயக்கவியலில் கோண உந்தத்தின் சமநிலை அல்லது ஆய்லரின் இரண்டாவது விதி என்பது இயற்பியலின் ஒரு சட்டமாகும், இது ஒரு பொருளின் கோண உந்தத்தை மாற்றுவதற்கு ஒரு முறுக்குவிசை பயன்படுத்தப்பட வேண்டும் என்று கூறுகிறது. படத்தில் உள்ள விளையாட்டு மைதானம் மெர்ரி-கோ-ரவுண்ட் பயன்பாட்டிற்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு. அதை சுழற்சியில் வைக்க அதை தள்ள வேண்டும். தொழில்நுட்ப ரீதியாக ஒருவர் மெர்ரி-கோ-ரவுண்டிற்கு கோண வேகத்தை வழங்கும் ஒரு முறுக்குவிசையை வரவழைக்கிறார். இருப்பினும், தாங்கி மற்றும் இழுத்தலில் உள்ள உராய்வு சக்திகளின் முறுக்கு ஒரு எதிர்ப்பு முறுக்குவிசையை உருவாக்குகிறது, இது படிப்படியாக கோண வேகத்தை குறைத்து இறுதியில் சுழற்சியை நிறுத்தும். ஒரு புள்ளியைப் பற்றிய கோண உந்தத்தின் மாற்ற விகிதம், அந்த புள்ளியைப் பற்றி அந்த உடலில் செயல்படும் வெளிப்புற டார்க்குகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம் என்று கணித சூத்திரம் கூறுகிறதுஃ புள்ளி என்பது ஒரு நிலைப்புத்தன்மை அமைப்பில் அல்லது உடலின் வெகுஜன மையத்தில் ஒரு நிலையான புள்ளியாகும். சிறப்பு வழக்கில், வெளிப்புற டார்க்குகள் மறைந்துவிடும் போது, கோண உந்தம் பாதுகாக்கப்படுவதை இது காட்டுகிறது. கோண உந்தத்தின் மாற்றத்தை எதிர்க்கும் டி 'அலம்பெர்ட் விசை ஒரு கைரோஸ்கோபிக் விளைவு என்று காட்டுகிறது. கோண உந்தத்தின் சமநிலையிலிருந்து தொடர்புடைய வெட்டு அழுத்தங்களின் சமத்துவம் அல்லது காச்சி அழுத்த டென்சரின் சமச்சீர் பின்பற்றப்படுகிறது. இது போல்ட்ஸ்மேன் கோட்பாட்டிலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது, அதன்படி ஒரு தொடர்ச்சியில் உள்ள உள் சக்திகள் முறுக்கு இல்லாதவை. எனவே கோண உந்தத்தின் சமநிலை, காச்சி அழுத்த டென்சரின் சமச்சீர் மற்றும் தொடர்ச்சியான இயக்கவியலில் போல்ட்ஸ்மேன் கோட்பாடு ஆகியவை தொடர்புடைய சொற்களாகும். குறிப்பாக மேல் கோட்பாட்டில் கோண உந்தத்தின் சமநிலை ஒரு முக்கிய பங்கைக் கொண்டுள்ளது. தொடர்ச்சியான இயக்கவியலில் இது அழுத்த இழுவிசையின் வளைவு-சமச்சீர் பகுதியை சரியாக தீர்மானிக்க உதவுகிறது. நியூட்டனின் விதிகளைத் தவிர, கோண உந்தத்தின் சமநிலை ஒரு அடிப்படை மற்றும் சுயாதீனமான கொள்கையாகும், இது 1775 ஆம் ஆண்டில் சுவிஸ் கணிதவியலாளரும் இயற்பியலாளருமான லியோன்ஹார்ட் ஆய்லர் என்பவரால் முதன்முதலில் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. சுவிஸ் கணிதவியலாளர் முதலாம் ஜாகோப் பெர்னௌலி 1703 ஆம் ஆண்டில் கோண உந்தத்தின் சமநிலையைப் பயன்படுத்தி-அதை வெளிப்படையாக உருவாக்காமல்-ஒரு ஊசல் ஊசலாட்டத்தின் மையத்தைக் கண்டுபிடிக்க, அவர் ஏற்கனவே 1686 ஆம் ஆண்டில் முதல், ஓரளவு தவறான முறையில் செய்திருந்தார். 1687 ஆம் ஆண்டில் முதன்முதலில் வெளியிடப்பட்ட நியூட்டனின் விதிகளுக்கு முன்னதாகவே கோண உந்தத்தின் சமநிலை இருந்தது. 1744 ஆம் ஆண்டில், ஒரு அமைப்பின் இயக்கத்தின் சமன்பாடுகளைக் குறிப்பிடுவதற்கு உந்தம் மற்றும் கோண உந்தத்தின் கொள்கைகளைப் பயன்படுத்திய முதல் நபர் ஆய்லர் ஆவார். 1750 ஆம் ஆண்டில், "இயக்கவியலின் ஒரு புதிய கொள்கையின் கண்டுபிடிப்பு" என்ற தனது கட்டுரையில் அவர் கடினமான உடல் இயக்கவியலின் ஆய்லரின் சமன்பாடுகளை வெளியிட்டார், அவை இன்று கோண உந்தத்தின் சமநிலையிலிருந்து பெறப்படுகின்றன, இருப்பினும், நியூட்டனின் இரண்டாவது விதியிலிருந்து கடினமான உடலுக்கு ஆய்லர் யூகிக்க முடியும். டார்க்குகளின் சமநிலைக்கு இன்றியமையாத விமான நெகிழ்வான தொடர்ச்சியைப் பற்றிய ஆய்வுகளுக்குப் பிறகு, ஆய்லர் 1775 ஆம் ஆண்டில் உடல்களின் இயக்கத்தைக் கணக்கிடுவதற்கான ஒரு சுயாதீனமான கொள்கைக்கு கோண உந்தத்தின் சமநிலையை உயர்த்தினார். 1822 ஆம் ஆண்டில், பிரெஞ்சு கணிதவியலாளர் அகஸ்டின்-லூயிஸ் காச்சி ஸ்ட்ரெஸ் டென்சரை அறிமுகப்படுத்தினார், அதன் சமச்சீர் நேரியல் உந்தத்தின் சமநிலையுடன் இணைந்து சிதைக்கக்கூடிய உடலின் பொதுவான விஷயத்தில் கோண உந்தத்தின் சமநிலையை நிறைவேற்றுவதை உறுதி செய்தது. கோண உந்தத்தின் சமநிலையின் விளக்கம் முதன்முதலில் 1851 ஆம் ஆண்டில் எம். பி. செயிண்ட்-கில்ஹெம் என்பவரால் குறிப்பிடப்பட்டது. சுழற்சியின் இயக்கவியல் இயக்கவியல் இயந்திர சமநிலையில் இல்லாத நிலைகளைக் கையாள்கிறது. நியூட்டனின் இரண்டாவது விதியின்படி, ஒரு புற விசை ஒரு பொருளின் வேகத்தில் (முடுக்கம்) மாற்றத்திற்கு வழிவகுக்கிறது. இதேபோல் ஒரு வெளிப்புற முறுக்கு என்பது கோண வேகத்தில் ஏற்படும் மாற்றத்தைக் குறிக்கிறது, இதன் விளைவாக கோண முடுக்கம் ஏற்படுகிறது. சுழற்சி தொடர்பான மந்தநிலை ஒரு பொருளின் வெகுஜனத்தை மட்டுமல்ல, அதன் இடஞ்சார்ந்த விநியோகத்தையும் சார்ந்துள்ளது. ஒரு கடினமான உடலுடன் இது மந்தநிலையின் தருணத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. ஒரு நிலையான அச்சைச் சுற்றி சுழற்றும்போது, முறுக்கு கோண முடுக்கத்திற்கு விகிதாசாரமாக இருக்கும், மந்தநிலையின் தருணம் விகிதாசாரக் காரணியாக இருக்கும். மந்தநிலையின் தருணம் சுழற்சி அச்சின் நிலையை மட்டும் சார்ந்தது அல்ல (ஸ்டெய்னர் தேற்றத்தைப் பார்க்கவும்), ஆனால் அதன் திசையையும் சார்ந்துள்ளது என்பதை இங்கே கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். மேற்கண்ட விதி எந்தவொரு சுழற்சி அச்சுக்கும் பொதுவாக வடிவமைக்கப்பட்டால், மந்தநிலை டென்சர் பயன்படுத்தப்பட வேண்டும். இரு பரிமாண சிறப்பு வழக்கில், ஒரு முறுக்கு ஒரு சுழற்சியின் முடுக்கம் அல்லது மெதுவாக மட்டுமே விளைகிறது. இருப்பினும், பொதுவான முப்பரிமாண வழக்கில், இது அச்சின் திசையையும் (முன்கூட்டியே) மாற்றலாம். கடினமான உடல் இயக்கவியலில் கோண உந்தத்தின் சமநிலை யூலரின் சமன்பாடுகளுக்கு வழிவகுக்கிறது. தொடர்ச்சியான இயக்கவியலில் கோண உந்தத்தின் சமநிலை காச்சியின் இரண்டாவது இயக்க விதிக்கு வழிவகுக்கிறது, இது காச்சி அழுத்த டென்சரின் சமச்சீர்மையைக் குறிப்பிடுகிறது. போல்ட்ஸ்மேன் கோட்பாடும் இதே விளைவைக் கொண்டுள்ளது. 1905 ஆம் ஆண்டில், ஆஸ்திரிய இயற்பியலாளர் லுட்விக் போல்ட்ஸ்மேன், ஒரு பொருளை எண்ணற்ற சிறிய தொகுதி கூறுகளாகக் குறைப்பதன் மூலம், உள் எதிர்வினைகள் இயந்திர சமநிலைக்கு அனைத்து நிலையான நிலைமைகளையும் பூர்த்தி செய்ய வேண்டும் என்று சுட்டிக்காட்டினார். காச்சியின் அழுத்தக் கோட்பாடு சமநிலையை விசையின் அடிப்படையில் கையாளுகிறது. முறுக்குவிசையின் அடிப்படையில் ஒத்த அறிக்கைக்கு, ஜெர்மன் கணிதவியலாளர் ஜார்ஜ் ஹேமல் போல்ட்ஸ்மேன் ஆக்ஸியம் என்ற பெயரை உருவாக்கினார். இந்த கோட்பாடு காச்சி அழுத்த டென்சரின் சமச்சீர் சமம். அழுத்தங்களின் விளைவாக தொகுதி உறுப்பில் ஒரு முறுக்குவிசையை செலுத்துவதில்லை, இதன் விளைவாக வரும் விசை தொகுதி உறுப்பின் மையத்தின் வழியாக வழிநடத்த வேண்டும். மந்தநிலை சக்திகளின் செயல்பாட்டுக் கோடு மற்றும் இயல்பான அழுத்த விளைவுகள் σxx·dy மற்றும் σyy·dx ஆகியவை தொகுதி தனிமத்தின் மையத்தின் வழியாக வழிநடத்துகின்றன. வெட்டு அழுத்தத்தின் விளைவாக τxy·dy மற்றும் τyx·dx ஆகியவை தொகுதி உறுப்பின் மையத்தின் வழியாக வழிநடத்தப்பட வேண்டும். இது உண்மையில் xy தளத்தில் தொடர்புடைய வெட்டு அழுத்தங்களின் சமத்துவத்தின் அறிக்கையாகும். ஒரு சமச்சீர் அழுத்த டென்சருடன் முறுக்கு இல்லாத கிளாசிக்கல் தொடர்ச்சியைத் தவிர, முறுக்கு இல்லாத கோசெராட் கான்டினுவாவும் (துருவ கான்டினுவ) வரையறுக்கப்பட்டுள்ளன. அத்தகைய தொடர்ச்சியின் ஒரு பயன்பாடு குண்டுகளின் கோட்பாடு ஆகும். கோசெராட் காண்டினுவா ஒரு வேகப் பாய்ச்சலை மட்டுமல்லாமல் ஒரு கோண வேகப் பாய்ச்சலையும் கொண்டு செல்லும் திறன் கொண்டது. எனவே, உடலுக்குள் உந்தம் மற்றும் கோண உந்தத்தின் ஆதாரங்களும் இருக்கலாம். இங்கே போல்ட்ஸ்மேன் கோட்பாடு பொருந்தாது மற்றும் அழுத்த டென்சர் வளைவு-சமச்சீராக இருக்கலாம். இந்த ஃப்ளக்ஸ்கள் தொடர்ச்சியான இயக்கவியலில் வழக்கம் போல் கருதப்பட்டால், புல சமன்பாடுகள் எழுகின்றன, இதில் அழுத்த டென்சரின் வளைவு-சமச்சீர் பகுதிக்கு ஆற்றல் முக்கியத்துவம் இல்லை. கோண உந்தத்தின் சமநிலை ஆற்றல் சமநிலையிலிருந்து சுயாதீனமாகிறது மற்றும் அழுத்த டென்சரின் வளைவு-சமச்சீர் பகுதியை தீர்மானிக்க பயன்படுத்தப்படுகிறது. அமெரிக்க கணிதவியலாளர் கிளிஃபோர்ட் ட்ரூஸ்டெல் இதில் "ஆய்லரின் இரண்டாவது விதியின் உண்மையான அடிப்படை அர்த்தத்தை" கண்டார். பரப்பளவு விதி என்பது கோண உந்தச் சட்டத்தின் ஒரு இணை வடிவமாகும்ஃ இதன் விளைவாக வரும் தருணம் இரு மடங்கு நிறை மற்றும் பகுதி வேகத்தின் நேர வழித்தோன்றலின் பெருக்கலுக்கு சமம். இது மாஸ் m கொண்ட ஒரு புள்ளி வெகுஜனத்திற்கு கதிர்களைக் குறிக்கிறது. இது திசைவேகம் மற்றும் வேகத்துடன் கோண உந்தத்தைக் கொண்டுள்ளது. எல்லையற்ற நேரம் dt இல் பாதை ஒரு முக்கோணத்தின் மீது பாய்கிறது, அதன் உள்ளடக்கம், படம், பகுதி திசைவேகம் மற்றும் குறுக்கு விளைபொருள் "x" ஐப் பார்க்கவும். இது இப்படி மாறிவிடும்ஃ ஆய்லரின் இரண்டாவது விதியுடன் இது பின்வருமாறு ஆகிறதுஃ தளத்தின் சிறப்பு வழக்கு, கணம் இல்லாத மைய விசை இயக்கம் கெப்லரின் இரண்டாவது சட்டத்தால் நடத்தப்படுகிறது, இது பகுதி விதி என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. குறிப்புகள் தொடர்ச்சியான இயக்கவியல் இயற்பியல் சமன்பாடுகள் அறிவியல் அவதானிப்பு