Finite sphere packing
கணிதத்தில், வரையறுக்கப்பட்ட கோள பொதி கோட்பாடு ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான சம அளவிலான கோளங்களை எவ்வாறு மிகவும் திறமையாக நிரப்பி வைக்க முடியும் என்ற கேள்வியைப் பற்றியது. இறுதியாக பல கோளங்களை பொதி செய்வதற்கான கேள்வி சமீபத்திய தசாப்தங்களில் மட்டுமே விரிவாக ஆராயப்பட்டுள்ளது, பெரும்பாலான அடித்தளங்களை லாஸ்லோ ஃபெஜஸ் டோத் அமைத்துள்ளார். எண்ணற்ற பல கோளங்களுக்கான இதேபோன்ற சிக்கல் விசாரணையின் நீண்ட வரலாற்றைக் கொண்டுள்ளது, இதிலிருந்து கெப்லர் அனுமானம் மிகவும் நன்கு அறியப்பட்டதாகும். படிக கட்டமைப்புகளில் உள்ள அணுக்கள் எளிமையாக நெருக்கமாக நிரம்பிய கோளங்களாகக் கருதப்படலாம் மற்றும் அவற்றின் அதிக எண்ணிக்கையின் காரணமாக எல்லையற்ற கோள பொதிகளாக கருதப்படலாம். கொடுக்கப்பட்ட கொள்கலன்களில் பேக்கிங் செய்வதற்கும் இலவச பேக்கிங் செய்வதற்கும் இடையில் கோள பேக்கிங் சிக்கல்கள் வேறுபடுகின்றன. இந்தக் கட்டுரை முதன்மையாக இலவச பேக்கிங் பற்றி விவாதிக்கிறது. பேக்கிங் மற்றும் குவிந்த மேல்புறங்கள் பொதுவாக, பேக்கிங் என்பது இடஞ்சார்ந்த முறையில் இணைக்கப்பட்ட, வேறுபட்ட அளவிலான அல்லது வேறுபட்ட வடிவிலான பொருட்களின் தொகுப்பின் எந்தவொரு ஏற்பாட்டையும் குறிக்கிறது, அவை எதுவும் ஒன்றுடன் ஒன்று இணைக்கப்படுவதில்லை. வரையறுக்கப்பட்ட கோள பொதி சிக்கலின் விஷயத்தில், இந்த பொருள்கள் சம அளவிலான கோளங்களுக்கு மட்டுப்படுத்தப்பட்டுள்ளன. அத்தகைய கோளங்களின் பேக்கிங் பேக்கிங்கின் குவிந்த ஹல் எனப்படும் ஒரு குறிப்பிட்ட அளவை தீர்மானிக்கிறது, இது அனைத்து கோளங்களையும் உள்ளடக்கிய மிகச்சிறிய குவிந்த தொகுப்பாக வரையறுக்கப்படுகிறது. பேக்கிங் வடிவங்கள் கோளங்களை ஒழுங்கமைக்க பல சாத்தியமான வழிகள் உள்ளன, அவை மூன்று அடிப்படை குழுக்களாக வகைப்படுத்தப்படலாம்ஃ தொத்திறைச்சி, பீஸ்ஸா மற்றும் கிளஸ்டர் பேக்கிங். அனைத்து கோளங்களின் நடுப்பகுதி ஒரே நேர் கோட்டில் இருக்கும் ஒரு ஏற்பாடு தொத்திறைச்சி பொதி என்று அழைக்கப்படுகிறது, ஏனெனில் குவிந்த மேலோடு தொத்திறைச்சி போன்ற வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது. நிஜ வாழ்க்கையில் ஒரு தோராயமான உதாரணம் ஒரு குழாயில் டென்னிஸ் பந்துகளை பொதி செய்வது, இருப்பினும் குழாய் உண்மையான குவிந்த மேலோட்டத்துடன் ஒத்துப்போக முனைகள் வட்டமாக இருக்க வேண்டும். பீட்சா பேக்கிங் அனைத்து நடுப்புள்ளிகளும் ஒரு விமானத்தில் இருந்தால், பேக்கிங் ஒரு பீட்சா பேக்கிங் ஆகும். இந்த வகையான பேக்கிங்கின் தோராயமான நிஜ வாழ்க்கை எடுத்துக்காட்டுகளில் பில்லியர்ட் பந்துகள் ஒரு முக்கோணத்தில் பேக் செய்யப்படுவது அடங்கும். இது முப்பரிமாண யூக்ளிடியன் இடத்தில் பேக்கிங்குகளுக்கு பொருந்தும். கிளஸ்டர் பேக்கிங் கோளங்களின் நடுப்புள்ளிகள் 3D இடம் முழுவதும் ஏற்பாடு செய்யப்பட்டிருந்தால், பேக்கிங் ஒரு கிளஸ்டர் பேக்கிங் என்று அழைக்கப்படுகிறது. நிஜ வாழ்க்கை தோராயங்களில் ஒரு பெட்டியில் பல அடுக்குகளில் பழங்கள் அடைக்கப்படுவது அடங்கும். பேக்கிங் வகைகளுக்கு இடையிலான உறவுகள் கொடுக்கப்பட்ட வரையறைகளின்படி, எந்தவொரு தொத்திறைச்சி பேக்கிங் தொழில்நுட்ப ரீதியாக ஒரு பீட்சா பேக்கிங் ஆகும், மேலும் எந்த பீட்சா பேக்கிங் தொழில்நுட்ப ரீதியாகவும் ஒரு கிளஸ்டர் பேக்கிங் ஆகும். பரிமாணங்களின் மிகவும் பொதுவான விஷயத்தில், "தொத்திறைச்சிகள்" என்பது ஒரு பரிமாண ஏற்பாடுகளைக் குறிக்கிறது, "கிளஸ்டர்கள்" முதல் பரிமாண ஏற்பாடுகள் வரை, மற்றும் "பீஸ்ஸாக்கள்" இடையேயான எண்ணிக்கையிலான பரிமாணங்களைக் கொண்டவை. ஒன்று அல்லது இரண்டு கோளங்கள் எப்போதும் தொத்திறைச்சியை உருவாக்குகின்றன. மூன்றுடன், ஒரு பீட்சா பேக்கிங் (அது ஒரு தொத்திறைச்சி அல்ல) சாத்தியமாகும், மேலும் நான்கு அல்லது அதற்கு மேற்பட்டவற்றுடன், கிளஸ்டர்கள் (அவை பீஸ்ஸாக்கள் அல்ல) சாத்தியமாகும். உகந்த பேக்கிங் கோளங்களுக்கு இடையிலான வெற்று இடம் பேக்கிங் வகையைப் பொறுத்து மாறுபடும். வெற்று இடத்தின் அளவு பொதி அடர்த்தியில் அளவிடப்படுகிறது, இது கோளங்களின் அளவின் விகிதம் மற்றும் மொத்த குவிந்த மேலோட்டத்தின் அளவின் விகிதம் என வரையறுக்கப்படுகிறது. பேக்கிங் அடர்த்தி அதிகமாக இருந்தால், பேக்கிங்கில் குறைவான வெற்று இடம் இருக்கும், இதனால் மேலோட்டத்தின் அளவு சிறியதாக இருக்கும் (அதே எண்ணிக்கை மற்றும் கோளங்களின் அளவைக் கொண்ட மற்ற பேக்கிங்குகளுடன் ஒப்பிடுகையில்). கோளங்களை திறம்பட பேக் செய்ய, எந்த பேக்கிங் அதிக அடர்த்தியைக் கொண்டுள்ளது என்று கேட்கப்படலாம். அத்தகைய ஒரு பொதிக்கு கோளங்கள் ஒருவருக்கொருவர் அடுத்ததாக இருக்கும் பண்பு இருக்க வேண்டும் என்று பார்க்க எளிதானது, அதாவது, ஒவ்வொரு கோளமும் மேற்பரப்பில் மற்றொரு தொட வேண்டும். ஒவ்வொரு கோளத்திற்கும் ஒரு உச்சியை ஒதுக்கும் ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்குவது மிகவும் துல்லியமான சொற்றொடராகும், மேலும் அவற்றின் மேற்பரப்புகள் தொட்டால் தொடர்புடைய கோளங்கள் வரும்போதெல்லாம் செங்குத்துகளை விளிம்புகளுடன் இணைக்கிறது. பின்னர் அதிக அடர்த்தி கொண்ட பேக்கிங் தொடர்புடைய வரைபடம் இணைக்கப்பட்டுள்ள பண்பை திருப்திப்படுத்த வேண்டும். சோசேஜ் பேரழிவு மூன்று அல்லது நான்கு கோளங்களுடன், தொத்திறைச்சி பொதி உகந்ததாக இருக்கும். இது எவருக்கும் பொருந்தும் என்று நம்பப்படுகிறது. 1992 ஆம் ஆண்டில் ஜோர்க் வில்ஸ் மற்றும் பியர் மரியோ காண்டினி ஆகியோரால் காட்டப்பட்டபடி, தொத்திறைச்சி பொதி செய்வதை விட மிகவும் திறமையான ஒரு கிளஸ்டர் பொதி உள்ளது. இந்த மிகவும் திறமையான கிளஸ்டர் பேக்கிங்குகள் எப்படி இருக்கும் என்பது தெரியவில்லை. எடுத்துக்காட்டாக, இந்த விஷயத்தில், உகந்த பேக்கிங் பீரங்கி பந்துகளின் கிளாசிக்கல் பேக்கிங் போன்ற ஒரு டெட்ராஹெட்ரல் பேக்கிங் அல்ல என்பது அறியப்படுகிறது, ஆனால் இது ஒருவித எண்முக வடிவமாக இருக்கலாம். உகந்த பொதி வடிவத்தில் திடீர் மாற்றம் சில கணிதவியலாளர்களால் தொத்திறைச்சி பேரழிவு என்று நகைச்சுவையாக அறியப்படுகிறது (வில்ஸ், 1985). உகந்த பேக்கிங் வடிவம் திடீரென்று ஒழுங்கான தொத்திறைச்சி பேக்கிங்கிலிருந்து ஒப்பீட்டளவில் ஒழுங்கற்ற கிளஸ்டர் பேக்கிங்கிற்கு மாறுகிறது என்பதிலிருந்தும், இதற்கு நேர்மாறாக ஒன்று ஒரு எண்ணிலிருந்து இன்னொரு எண்ணுக்குச் செல்லும்போது, இது ஏன் நிகழ்கிறது என்பதற்கான திருப்திகரமான விளக்கம் இல்லாமல் பெயரிடப்பட்ட பேரழிவு வருகிறது. அப்படியிருந்தும், மூன்று பரிமாணங்களில் மாற்றம் ஒப்பீட்டளவில் அடக்கமானது; பரிமாணங்களில் திடீர் மாற்றம் சுமார் 377000 கோளங்களில் நடக்கும் என்று ஊகிக்கப்படுகிறது. பரிமாணங்களைப் பொறுத்தவரை, உகந்த பேக்கிங் எப்போதும் ஒரு தொத்திறைச்சி அல்லது ஒரு கிளஸ்டர் ஆகும், ஒரு பீட்சா அல்ல. இது அனைத்து பரிமாணங்களுக்கும் பொருந்துமா என்பது ஒரு திறந்த பிரச்சினை. இந்த முடிவு கோளங்களை மட்டுமே பற்றியது, மற்ற குவிந்த உடல்களை அல்ல; உண்மையில் கிரிட்ஸ்மேன் மற்றும் அர்ஹெல்கர் எந்தவொரு பரிமாணத்திற்கும் ஒரு குவிந்த வடிவம் இருப்பதை கவனித்தனர், அதற்காக மிக நெருக்கமான பொதி ஒரு பீட்சா ஆகும். தொத்திறைச்சி பொதி உகந்ததல்ல என்பதற்கான எடுத்துக்காட்டு பின்வரும் பிரிவில் 455 கோளங்களுக்கு தொத்திறைச்சி பொதி உகந்ததல்ல என்றும், அதற்கு பதிலாக ஒரு சிறிய அளவை ஆக்கிரமித்துள்ள ஒரு சிறப்பு கிளஸ்டர் பொதி உள்ளது என்றும் காட்டப்பட்டுள்ளது. ஆரம் கொண்ட கோளங்களுடன் ஒரு தொத்திறைச்சி பொதிகளின் குவிந்த மேலோட்டத்தின் அளவு அடிப்படை வடிவவியலுடன் கணக்கிடப்படுகிறது. மேல்புறத்தின் நடுப்பகுதி நீளத்துடன் ஒரு உருளை ஆகும், அதே நேரத்தில் முடிவில் உள்ள தொப்பிகள் ஆரம் கொண்ட அரை கோளங்களாக உள்ளன. எனவே மொத்த அளவு இதன் மூலம் வழங்கப்படுகிறது. இதேபோல், ஒரு நாற்கர அடுக்கின் குவிந்த மேலோட்டத்தின் அளவைக் கண்டறிய முடியும், இதில் கோளங்கள் ஒழுங்கமைக்கப்பட்டுள்ளன, இதனால் அவை ஒரு நாற்கர வடிவத்தை உருவாக்குகின்றன, இது குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான கோளங்களுக்கு மட்டுமே முழுமையாக நிரப்பப்பட்ட நாற்கரத்திற்கு வழிவகுக்கிறது. டெட்ராஹெட்ரானின் ஒரு விளிம்பில் கோளங்கள் இருந்தால், கோளங்களின் மொத்த எண்ணிக்கை பின்வருமாறு கொடுக்கப்படுகிறது. இப்போது பக்க நீளம் கொண்ட ஒரு நாற்கரத்தின் இன்ரேடியஸ் ஆகும். இதிலிருந்து நாம் பெற்றோம். டெட்ராஹெட்ரானின் அளவு பின்னர் சூத்திரத்தால் வழங்கப்படுகிறது ஒரு டெட்ராஹெட்ரானுக்குள் பல கோளங்கள் அமைக்கப்பட்டிருந்தால், ஒரு விளிம்பின் நீளம் ஒவ்வொரு புதிய அடுக்குக்கும் ஒரு கோளத்தின் ஆரத்தை விட இரண்டு மடங்கு அதிகரிக்கும், அதாவது அடுக்குகளுக்கு பக்க நீளம் மாறும். இந்த மதிப்பை டெட்ராஹெட்ரானுக்கான தொகுதி சூத்திரத்தில் மாற்றுவதன் மூலம், குவிந்த மேலோட்டத்தின் அளவு டெட்ராஹெட்ரானை விட சிறியதாக இருக்க வேண்டும் என்பதை நாம் அறிவோம். அடுக்குகளின் டெட்ராஹெட்ரானில் உள்ள கோளங்களின் எண்ணிக்கையை எடுத்து, அதே எண்ணிக்கையிலான கோளங்களுடன் ஒரு தொத்திறைச்சி பொதிகளின் குவிந்த மேலோட்டத்தின் அளவைப் பெற முந்தைய வெளிப்பாட்டிற்கு மாற்றாக, நம்மிடம் உள்ளது. ஏனெனில், இது கோளங்களாக மொழிபெயர்க்கப்பட்டுள்ளது, இதற்கு முன்னால் உள்ள குணகம் நாற்கர பொதிக்கு சுமார் 2845 ஆகவும், தொத்திறைச்சி பொதிக்கு 2856 ஆகவும் உள்ளது, இது இந்த எண்ணிக்கையிலான கோளங்களுக்கு நாற்கர பொதி மிகவும் நெருக்கமாக நிரம்பியுள்ளது என்பதைக் குறிக்கிறது. டெட்ராஹெட்ரானின் மூலைகள் மற்றும் விளிம்புகளில் அதிகப்படியான அளவைக் கழிப்பதை உள்ளடக்கிய டெட்ராஹெட்ரல் குவிந்த மேலோட்டத்தின் அளவிற்கான சரியான சூத்திரத்தைப் பெற இன்னும் சில முயற்சிகள் மூலம் சாத்தியமாகும். இது தொத்திறைச்சி பொதி சிறிய மதிப்புகளுக்கு உகந்ததல்ல என்பதை நிரூபிக்க அனுமதிக்கிறது. தொத்திறைச்சி என்ற சொல் கணிதவியலாளர் லாஸ்லோ ஃபெஜஸ் டோத் என்பவரிடமிருந்து வந்தது, அவர் 1975 ஆம் ஆண்டில் தொத்திறைச்சி அனுமானத்தை முன்வைத்தார், இது கோளங்கள், குவிந்த மேல்புறங்கள் மற்றும் அதிக பரிமாணங்களில் உள்ள தொகுதி ஆகியவற்றிற்கான சிக்கலின் பொதுவான பதிப்பைப் பற்றியது. பரிமாணங்களில் ஒரு பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட கோளம் என்பது ஒரு பரிமாண உடல் ஆகும், இதில் ஒவ்வொரு எல்லை புள்ளியும் நடுப்புள்ளியிலிருந்து சமமாக தொலைவில் உள்ளது. ஃபெஜஸ் டோத்தின் தொத்திறைச்சி அனுமானம் பின்னர் மேல்நோக்கி இருந்து கோளங்களை ஒரு நேர் கோட்டில் ஏற்பாடு செய்வது எப்போதும் உகந்ததாக இருக்கும் என்று கூறுகிறது. அதாவது, நாம் 4 பரிமாணங்களுக்கு மேல் சென்றவுடன் தொத்திறைச்சி பேரழிவு இனி ஏற்படாது. ஒட்டுமொத்த அனுமானம் திறந்த நிலையில் உள்ளது. 42 மற்றும் அதற்கு மேற்பட்ட பரிமாணங்களுக்கான அனுமானத்தை நிரூபித்த உல்ரிச் பெட்கே அண்ட் மார்ட்டின் ஹெங்க் இதுவரை சிறந்த முடிவுகளை அளித்துள்ளார். அளவுரு அடர்த்தி மற்றும் தொடர்புடைய முறைகள் தொத்திறைச்சி பொதி 56 கோளங்களுக்கு உகந்ததல்ல என்றும், உகந்த வேறு சில பொதிகள் இருக்க வேண்டும் என்றும் நிரூபிக்கப்பட்டாலும், உகந்த பொதி எப்படி இருக்கும் என்பது தெரியவில்லை. தன்னிச்சையாக வடிவமைக்கப்பட்ட கிளஸ்டரின் அளவிற்கு "எளிய" சூத்திரம் இல்லாததால் உகந்த பேக்கிங் கண்டுபிடிப்பது கடினம். ப்ரூன்-மின்காவ்ஸ்கி சமத்துவமின்மை, கலப்பு மின்காவ்ஸ்கி தொகுதிகள் மற்றும் ஸ்டெய்னரின் சூத்திரம் போன்ற குவிந்த வடிவவியலின் முறைகளைப் பயன்படுத்தி, அளவைப் பற்றிய பொருத்தமான மதிப்பீடுகள் மூலம் உகந்த தன்மை (மற்றும் உகந்த தன்மை இல்லாதது) காட்டப்படுகிறது. வரையறுக்கப்பட்ட மற்றும் எல்லையற்ற (லட்டிஸ் மற்றும் லட்டிஸ் அல்லாத) கோள பொதிகள் இரண்டின் ஒருங்கிணைந்த கோட்பாட்டை நோக்கிய ஒரு முக்கியமான படி 1992 இல் ஜோர்க் வில்ஸ் என்பவரால் அளவுரு அடர்த்திகளை அறிமுகப்படுத்தியது. அளவுரு அடர்த்தி பேக்கிங்கின் விளிம்புகளின் செல்வாக்கை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்கிறது. முன்பு பயன்படுத்தப்பட்ட அடர்த்தியின் வரையறை கோளங்களின் (அல்லது குவிந்த உடல்கள்) குவிந்த மேலோட்டத்தின் அளவைப் பற்றியதுஃ கோளங்களின் நடுப்புள்ளிகளின் குவிந்த மேலோட்டம் எங்கே (கோளத்திற்கு பதிலாக, நாம் ஒரு தன்னிச்சையான குவிந்த உடலையும் எடுக்கலாம்). ஒரு நேரியல் ஏற்பாட்டிற்கு (தொத்திறைச்சி), குவிந்த மேலோடு என்பது கோளங்களின் அனைத்து நடுப்புள்ளிகள் வழியாக ஒரு கோடு பிரிவு ஆகும். சூத்திரத்தில் உள்ள பிளஸ் அடையாளம் மின்காவ்ஸ்கி செட்களைச் சேர்ப்பதைக் குறிக்கிறது, எனவே இது கோளங்களின் குவிந்த மேலோட்டத்தின் அளவைக் குறிக்கிறது. இந்த வரையறை இரண்டு பரிமாணங்களில் செயல்படுகிறது, அங்கு லாஸ்லோ ஃபெஜஸ்-டோத், கிளாட் ரோஜர்ஸ் மற்றும் பலர் வரையறுக்கப்பட்ட மற்றும் எல்லையற்ற பொதிகளின் ஒருங்கிணைந்த கோட்பாட்டை உருவாக்க இதைப் பயன்படுத்தினர். மூன்று பரிமாணங்களில், வில்ஸ் இந்த வரையறையின் அடிப்படையில் அத்தகைய ஒருங்கிணைந்த கோட்பாடு சாத்தியமில்லை என்று ஒரு எளிய வாதத்தை அளிக்கிறார்ஃ மூன்று பரிமாணங்களில் நாணயங்களின் அடர்த்தியான வரையறுக்கப்பட்ட ஏற்பாடு தொத்திறைச்சி ஆகும். இருப்பினும், உகந்த எல்லையற்ற ஏற்பாடு ஒரு அறுகோண ஏற்பாடாகும், எனவே எல்லையற்ற மதிப்பை வரையறுக்கப்பட்ட மதிப்புகளின் வரம்பாக பெற முடியாது. இந்த சிக்கலைத் தீர்க்க, வில்ஸ் ஒரு நேர்மறை அளவுருவைச் சேர்ப்பதன் மூலம் வரையறையில் ஒரு மாற்றத்தை அறிமுகப்படுத்துகிறார்ஃ விளிம்புகளின் செல்வாக்கைக் கருத்தில் கொள்ள அனுமதிக்கிறது (குவிந்த மேலோட்டத்திற்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தடிமன் கொடுக்கிறது). இது பின்னர் ஹெர்மன் மின்காவ்ஸ்கியின் கலப்பு தொகுதிகள் மற்றும் எண்களின் வடிவியல் கோட்பாட்டின் முறைகளுடன் இணைக்கப்பட்டுள்ளது. ஒவ்வொரு பரிமாணத்திற்கும் அளவுரு மதிப்புகள் உள்ளன, மேலும் தொத்திறைச்சிக்கு டென்சென்ஸ்ட் பேக்கிங் (அனைத்து முழு எண்களுக்கும்), அதே நேரத்தில் போதுமான அளவு பெரிய கொத்து அடர்த்தியானது. இந்த அளவுருக்கள் பரிமாண-குறிப்பிட்டவை. இரண்டு பரிமாணங்களில், இதனால் தொத்திறைச்சிகளிலிருந்து கொத்துக்களுக்கு (தொத்திறைச்சி பேரழிவு) மாற்றம் ஏற்படுகிறது. ஒரு சமத்துவமின்மை உள்ளதுஃ அங்கு அலகு பந்தின் அளவு பரிமாணங்களில் உள்ளது. ஏனெனில், நம்மிடம் உள்ளது மற்றும் இது அனைத்து பரிமாணங்களுக்கும் பொருந்தும் என்று கணிக்கப்பட்டுள்ளது, இந்த விஷயத்தில் அதன் மதிப்பை அதிலிருந்து காணலாம். குறிப்புகள் யூக்ளிடிய திட வடிவியல்