Partition algebra
பகிர்வு இயற்கணிதம் என்பது தொகுப்பு-பகிர்வு வரைபடங்கள் மற்றும் வரைபட இணைப்பால் கொடுக்கப்பட்ட பெருக்கத்தின் அடிப்படையைக் கொண்ட ஒரு துணை இயற்கணிதம் ஆகும். இதன் சப்ஆல்ஜிப்ராக்களில் பிராவர் அல்ஜீப்ரா, டெம்பர்லி-லீப் அல்ஜீப்ரா அல்லது சமச்சீர் குழுவின் குழு அல்ஜீப்ரா போன்ற வரைபட ஆல்ஜிப்ராக்கள் அடங்கும். பகிர்வு இயற்கணிதத்தின் பிரதிநிதித்துவங்கள் வரைபடங்களின் தொகுப்புகளிலிருந்தும் சமச்சீர் குழுவின் பிரதிநிதித்துவங்களிலிருந்தும் கட்டப்பட்டுள்ளன. வரையறை வரைபடங்கள் பெயரிடப்பட்ட கூறுகளின் பகிர்வு ஒரு வரைபடமாக குறிப்பிடப்படுகிறது, அதே துணைக்குழுவில் உள்ள கூறுகளை இணைக்கும் கோடுகளுடன். பின்வரும் எடுத்துக்காட்டில், துணைக்குழு கோடுகளுக்கு வழிவகுக்கிறது, மேலும் கோடுகளால் சமமாக குறிப்பிடப்படலாம் (எடுத்துக்காட்டாக). மற்றும், பகிர்வு இயற்கணிதம் பகிர்வுகளால் செய்யப்பட்ட ஒரு-அடிப்படையால் வரையறுக்கப்படுகிறது, மேலும் வரைபட இணைப்பால் கொடுக்கப்பட்ட பெருக்கம். இணைக்கப்பட்ட வரைபடம் ஒரு காரணியுடன் வருகிறது, அங்கு மேல் மற்றும் கீழ் கூறுகளிலிருந்து துண்டிக்கப்பட்ட இணைக்கப்பட்ட கூறுகளின் எண்ணிக்கை. ஜெனரேட்டர்கள் மற்றும் உறவுகள் பகிர்வு இயற்கணிதம் வகையின் கூறுகளால் உருவாக்கப்படுகிறது இந்த ஜெனரேட்டர்கள் உட்பிரிவுகளை உருவாக்குவதற்கு பயனுள்ள பிற கூறுகளை உள்ளடக்கிய உறவுகளுக்குக் கீழ்ப்படிகின்றன அசல் ஜெனரேட்டர்களைப் பொறுத்தவரை, இந்த கூறுகள் பண்புகள் பகிர்வு இயற்கணிதம் ஒரு துணை இயற்கணிதம் ஆகும். இது ஒரு பெருக்க அடையாளத்தைக் கொண்டுள்ளது பகிர்வு இயற்கணிதம் இதற்கு அரை எளியதாகும். இந்த தொகுப்பில் உள்ள ஏதேனும் இரண்டுக்கு, ஆல்ஜிப்ராக்கள் மற்றும் ஐசோமார்பிக் ஆகும். பகிர்வு இயற்கணிதம் (ஒரு பெல் எண்) உடன் வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாணமாகும். உட்பிரிவுகள் பகிர்வு இயற்கணிதத்தின் எட்டு உட்பிரிவுகள் உட்பிரிவுகளை பின்வரும் பண்புகளால் வரையறுக்கலாம்ஃ அவை சமதளமாக உள்ளதா, அதாவது. கோடுகள் வரைபடங்களில் கடக்க முடியுமா. துணைக்குழுக்கள் ஏதேனும் அளவு, அல்லது அளவு அல்லது அளவு மட்டுமே இருக்க அனுமதிக்கப்படுகிறதா. நாம் மேல்-மேல் மற்றும் கீழ்-கீழ் கோடுகளை அனுமதிக்கிறோமா அல்லது மேல்-கீழ் கோடுகளை மட்டுமே அனுமதிக்கிறோமா. பிந்தைய வழக்கில், அளவுரு இல்லை, அல்லது மூலம் அகற்றப்படலாம். இந்த பண்புகளை இணைப்பது பகிர்வு இயற்கணிதத்திற்கு கூடுதலாக 8 அற்பமான சபால்ஜெப்ராக்களை உருவாக்குகிறதுஃ சமச்சீர் குழு இயற்கணிதம் என்பது சமச்சீர் குழுவின் குழு வளையமாகும். மோட்ஸ்கின் இயற்கணிதம் சில நேரங்களில் இயற்பியல் இலக்கியத்தில் நீர்த்த டெம்பர்லி-லீப் இயற்கணிதம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. பண்புகள் பட்டியலிடப்பட்ட சபால்ஜெப்ராக்கள் இதற்கு அரை எளியவை. பிளானர் அல்லாத ஆல்ஜிப்ராக்களில் பிளானரைச் சேர்ப்பதுஃ துணைக்குழு அளவில் உள்ள கட்டுப்பாடுகளிலிருந்து சேர்ப்பதுஃ மேல்-மேல் மற்றும் கீழ்-கீழ் கோடுகளை அனுமதிப்பதில் இருந்து சேர்ப்பதுஃ நம்மிடம் ஐசோமார்பிசம் உள்ளதுஃ மேலும் சபால்ஜிப்ராக்கள் மேலே விவரிக்கப்பட்ட எட்டு சபால்ஜிப்ராக்களுக்கு கூடுதலாக, பிற சபால்ஜிப்ராக்கள் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளனஃ முற்றிலும் பரவும் பகிர்வு சபால்ஜிப்ரா வரைபடங்களால் உருவாக்கப்படுகிறது, அதன் தொகுதிகள் அனைத்தும் பரவுகின்றன, அதாவது. அனைத்து துணைக்குழுக்களும் மேல் மற்றும் கீழ் கூறுகளைக் கொண்ட பகிர்வுகள். இந்த வரைபடங்கள் இரட்டை சமச்சீர் தலைகீழ் மோனாய்டிலிருந்து உருவாக்கப்படுகின்றன. அரை-பகிர்வு இயற்கணிதம் குறைந்தது இரண்டு அளவு கொண்ட துணைக்குழுக்களால் உருவாக்கப்படுகிறது. அதன் ஜெனரேட்டர்கள் மற்றும் அதன் பரிமாணம். சீரான தொகுதி வரிசைமாற்ற இயற்கணிதம் கீழ் உறுப்புகளைப் போலவே பல மேல் உறுப்புகளுடன் கூடிய துணைக்குழுக்களால் உருவாக்கப்படுகிறது. இதன் மூலம் உருவாக்கப்படுகிறது. அரை முழு எண் குறியீட்டைக் கொண்ட ஒரு இயற்கணிதம் கூறுகளின் பகிர்வுகளிலிருந்து வரையறுக்கப்படுகிறது, அவை ஒரே துணைக்குழுவில் உள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக, அதனால் உருவாக்கப்படுகிறது, மற்றும். காலமுறை சபால்ஜெப்ராக்கள் கோடு கடக்காமல் ஒரு வருடாந்திரத்தில் வரையக்கூடிய வரைபடங்களால் உருவாக்கப்படுகின்றன. அத்தகைய சபால்ஜெப்ராக்கள் ஒரு மொழிபெயர்ப்பு உறுப்பை உள்ளடக்கியது. மொழிபெயர்ப்பு உறுப்பு மற்றும் அதன் சக்திகள் மட்டுமே காலமுறை சபால்ஜெப்ராக்களைச் சேர்ந்தவை. பிரதிநிதித்துவங்கள் அமைப்பு ஒரு முழு எண்ணுக்கு, உறுப்புகளின் பகிர்வுகளின் தொகுப்பாக (கீழ்) மற்றும் (மேல்) இருக்கட்டும், அதாவது இரண்டு மேல் உறுப்புகள் ஒரே துணைக்குழுவில் இல்லை, மேலும் எந்த மேல் உறுப்பும் தனியாக இல்லை. இத்தகைய பகிர்வுகள் மேல்-மேல் கோடுகள் இல்லாத வரைபடங்களால் குறிப்பிடப்படுகின்றன, ஒவ்வொரு மேல் உறுப்புக்கும் குறைந்தது ஒரு வரி இருக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, விஷயத்தில்ஃ பகிர்வு வரைபடங்கள் கீழே இருந்து செயல்படுகின்றன, அதே நேரத்தில் சமச்சீர் குழு மேலே இருந்து செயல்படுகிறது. இந்த பிரதிநிதித்துவத்தின் பரிமாணம் இரண்டாவது வகையின் ஸ்டிர்லிங் எண், ஒரு இருமியல் குணகம் மற்றும் கொக்கி நீளம் சூத்திரத்தால் வழங்கப்படுகிறது. ஒரு அடிப்படையை தொகுப்பு-பகிர்வு அட்டவணையின் அடிப்படையில் ஒருங்கிணைந்து விவரிக்க முடியும்ஃ ஒரு தொகுப்பு பகிர்வின் தொகுதிகளால் பெட்டிகள் நிரப்பப்பட்ட இளம் அட்டவணைகள். இது அரை எளிமையானது என்று வைத்துக்கொள்வோம், பிரதிநிதித்துவம் பகுக்கமுடியாதது, மற்றும் பகிர்வு இயற்கணிதத்தின் பகுக்கமுடியாத வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண பிரதிநிதித்துவங்களின் தொகுப்பு சபால்ஜெப்ராக்களின் பிரதிநிதித்துவங்கள் பிளானர் அல்லாத சபால்ஜெப்ராக்களின் பிரதிநிதித்துவங்கள் பகிர்வு இயற்கணிதத்தின் பிரதிநிதித்துவங்களைப் போலவே ஒத்த கட்டமைப்புகளைக் கொண்டுள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக, பிராவர் இயற்கணிதத்தின் பிராவர்-ஸ்பெக்ட் தொகுதிகள் ஸ்பெக்ட் தொகுதிகள் மற்றும் சில பகிர்வுகளின் தொகுப்புகளிலிருந்து கட்டப்பட்டுள்ளன. பிளானர் சபால்ஜெப்ராக்களைப் பொறுத்தவரை, பிளானாரிட்டி அற்பமான வரிசைமாற்றங்களைத் தடுக்கிறது, மேலும் ஸ்பெக்ட் தொகுதிகள் தோன்றாது. எடுத்துக்காட்டாக, டெம்பர்லி-லீப் இயற்கணிதத்தின் ஒரு நிலையான தொகுதி ஒரு முழு எண்ணால் அளவிடப்படுகிறது, மேலும் ஒரு அடிப்படை வெறுமனே பகிர்வுகளின் தொகுப்பால் வழங்கப்படுகிறது. பின்வரும் அட்டவணை பகிர்வு இயற்கணிதத்தின் பகுக்கமுடியாத பிரதிநிதித்துவங்கள் மற்றும் எட்டு சபால்ஜெப்ராக்களை பட்டியலிடுகிறது. பகுக்கமுடியாத பிரதிநிதித்துவங்கள் அத்தகைய பகிர்வுகளால் குறியிடப்படுகின்றன மற்றும் அவற்றின் பரிமாணங்கள். பகுக்கமுடியாத பிரதிநிதித்துவங்கள் அத்தகைய பகிர்வுகளால் குறியிடப்படுகின்றன. பகுக்கமுடியாத பிரதிநிதித்துவங்கள் பகிர்வுகளின் வரிசைகளால் குறியிடப்படுகின்றன. ஷுர்-வெயில் இரட்டைத்தன்மை அனுமானிக்கவும். அடிப்படையுடன் கூடிய ஒரு பரிமாண திசையன் இடத்திற்கு, திசையன் இடத்தில் பகிர்வு இயற்கணிதத்தின் இயற்கையான செயல்பாடு உள்ளது. இந்த செயல் ஒரு பகிர்வின் மேட்ரிக்ஸ் கூறுகளால் அடிப்படையாக வரையறுக்கப்படுகிறதுஃ கொடுக்கப்பட்ட பகிர்வின் துணைக்குழுவுடன் தொடர்புடைய அனைத்து குறியீடுகளும் ஒத்துப்போனால் இந்த மேட்ரிக்ஸ் உறுப்பு ஒன்று, இல்லையெனில் பூஜ்ஜியம். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு டெம்பர்லி-லீப் ஜெனரேட்டரின் செயல்பாடு பகிர்வு இயற்கணிதத்திற்கும் சமச்சீர் குழுவிற்கும் இடையிலான இரட்டைத்தன்மை ஆகும். சமச்சீர் குழுவின் இயற்கையான வரிசைமாற்ற பிரதிநிதித்துவமாக எடுத்துக்கொள்வோம். இந்த பரிமாண பிரதிநிதித்துவம் இரண்டு பகுக்கமுடியாத பிரதிநிதித்துவங்களின் கூட்டுத்தொகையாகும்ஃ நிலையான மற்றும் அற்பமான பிரதிநிதித்துவங்கள். பின்னர் பகிர்வு இயற்கணிதம் என்பது டென்சர் தயாரிப்பு இடத்தின் செயல்பாட்டின் மையப்படுத்தியாகும், மேலும், ஒரு பைமடூலாக, டென்சர் தயாரிப்பு இடம் பகுக்கமுடியாத பிரதிநிதித்துவங்களாக சிதைகிறது, அங்கு முதல் வரிசையைச் சேர்ப்பதன் மூலம் கட்டப்பட்ட அளவின் இளம் வரைபடம் உள்ளது, மேலும் இது தொடர்புடைய ஸ்பெக்ட் தொகுதியாகும். சமச்சீர் குழுவிற்கும் பகிர்வு இயற்கணிதத்திற்கும் இடையிலான இரட்டைத்தன்மை பொது நேரியல் குழுவிற்கும் சமச்சீர் குழுவிற்கும் இடையிலான அசல் ஷுர்-வெயில் இரட்டைத்தன்மையை பொதுமைப்படுத்துகிறது. பிற பொதுமைப்படுத்தல்கள் உள்ளன. தொடர்புடைய டென்சர் தயாரிப்பு இடைவெளிகளில், முதல் குழு அல்லது இயற்கணிதத்தின் பகுக்கமுடியாத பரிமாண பிரதிநிதித்துவத்திற்காக எழுதுகிறோம்ஃ குறிப்புகள் மேலும் வாசிப்பு பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாடு வரைபடம் ஆல்ஜிப்ராக்கள்