Hyperfinite equivalence relation
விளக்கமான தொகுப்புக் கோட்பாடு மற்றும் கணிதத்தின் தொடர்புடைய பகுதிகளில், ஒரு நிலையான போரெல் இடைவெளி X இல் ஒரு ஹைப்பர்ஃபைனைட் சமநிலை உறவு என்பது எண்ணக்கூடிய வகுப்புகளுடன் ஒரு போரெல் சமநிலை உறவு E ஆகும், இது ஒரு குறிப்பிட்ட அர்த்தத்தில், வரையறுக்கப்பட்ட வகுப்புகளைக் கொண்ட போரெல் சமநிலை உறவுகளால் தோராயமாக மதிப்பிடப்படலாம். வரையறை வரையறை 1. X ஒரு நிலையான போரெல் இடமாக இருக்கட்டும், அதாவது இது ஒரு அளவிடக்கூடிய இடமாகும், இது ஒரு போலிஷ் இடைவெளி X ஐ அதன் போரெல் துணைக்குழுக்களின் σ-இயற்கணிதத்துடன் சித்தப்படுத்துவதன் மூலம் எழுகிறது (மற்றும் இடவியலை மறந்துவிடுகிறது). E என்பது X இல் ஒரு சமநிலை உறவாக இருக்கட்டும். E என்பது X இன் கார்ட்டீசியன் பெருக்கலின் ஒரு போரெல் துணைக்குழுவாக இருந்தால், σ-இயற்கணிதத்தின் பெருக்கல் பொருத்தப்பட்டிருக்கும் போது, E என்பது போரெல் என்று நாம் கூறுவோம். E க்கு வரையறுக்கப்பட்ட (முறையே, கணக்கிடக்கூடிய) வகுப்புகள் இருந்தால் E என்பது வரையறுக்கப்பட்ட (முறையே, கணக்கிடக்கூடியது) என்று நாம் கூறுவோம். மேலே உள்ள பெயர்கள் தவறாக இருக்கலாம், ஏனெனில் X ஒரு கணக்கிட முடியாத நிலையான போரெல் இடைவெளி என்றால், X இலிருந்து வரிசைப்படுத்தப்பட்ட ஜோடிகளின் தொகுப்பாகக் கருதப்படும்போது சமநிலை உறவு கணக்கிடப்படாது. வரையறை 2. E ஒரு நிலையான போரெல் இடைவெளி X இல் எண்ணக்கூடிய போரெல் சமநிலை உறவாக இருக்கட்டும். X இல் வரையறுக்கப்பட்ட போரெல் சமநிலை உறவுகளின் அதிகரித்து வரும் வரிசை என்றால், E என்பது ஹைப்பர்ஃபைனைட் என்று நாம் கூறுவோம். உள்ளுணர்வாக, இதன் பொருள் X இல் ஒரு வரிசை வரையறுக்கப்பட்ட சமநிலை உறவுகள் உள்ளன, ஒவ்வொன்றும் அதன் முன்னோடிகளை விட நுணுக்கமானது, E ஐ தன்னிச்சையாக நன்கு மதிப்பிடுகிறது. விவரிப்பு தொகுப்புக் கோட்பாட்டில் ஆராய்ச்சியின் ஒரு முக்கிய பகுதி போரெல் சமநிலை உறவுகளின் வகைப்பாடு மற்றும் குறிப்பாக கணக்கிடக்கூடியவை ஆகும். இவற்றில், வரையறுக்கப்பட்ட சமநிலை உறவுகள் எளிமையானதாகக் கருதப்படுகின்றன (எடுத்துக்காட்டாக, அவை போரெல் குறுக்குவெட்டுகளை ஒப்புக்கொள்கின்றன). எனவே, வரையறுக்கப்படாத சில சமநிலை உறவுகளை வரையறுக்கப்பட்ட சமநிலை உறவுகளால் தோராயமாக மதிப்பிட முடியுமா என்று கேட்பது இயல்பானது. இது கணிதத்தில் தோன்றும் பல இயற்கையான சமநிலை உறவுகளை இணைக்கும் அளவுக்கு வளமான ஒரு கருத்தாக மாறிவிடும், ஆனால் ஆழமான கோட்பாடுகளை உருவாக்க அனுமதிக்கும் அளவுக்கு கட்டுப்படுத்தப்படுகிறது. எந்தவொரு கணக்கிடக்கூடிய சமநிலை உறவும் E என்பது வரையறுக்கப்பட்ட சமநிலை உறவுகளின் அதிகரித்து வரும் ஒன்றிணைப்பாக எழுதப்படலாம் என்பதையும் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். உதாரணமாக, ஒவ்வொரு வகுப்பையும் அளவு இரண்டு வகுப்புகளாகப் பிரிப்பதன் மூலம், பின்னர் ஒரே ஈ-வகுப்பிற்குள் இருக்கும் புதிய சமநிலை உறவில் இரண்டு வகுப்புகளைச் சேர்த்து, அளவு நான்கு வகுப்புகளுடன் ஒரு பகிர்வை உருவாக்குவதன் மூலம் இதைச் செய்யலாம். முக்கிய அவதானிப்பு என்னவென்றால், இந்த செயல்முறைக்கு பொதுவாக விருப்பத்தின் கோட்பாடு தேவைப்படுகிறது, எனவே இந்த செயல்முறை போரெல் தோராயங்களை உருவாக்குகிறது என்பது தெளிவாகத் தெரியவில்லை. உண்மையில், ஹைப்பர்ஃபைனைட் அல்லாத எண்ணக்கூடிய போரெல் சமநிலை உறவுகள் உள்ளன, எனவே குறிப்பாக மேலே விவரிக்கப்பட்ட செயல்முறை பெரிய சமநிலை உறவை தோராயமாக தோராயமாக போரெல் சமநிலை உறவுகளை உருவாக்கத் தவறும். எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் எடுத்துக்காட்டுகள் அல்லாத எந்தவொரு வரையறுக்கப்பட்ட போரெல் சமநிலை உறவும் ஹைப்பர்ஃபைனைட் ஆகும். உண்மையில், இது தன்னைப் பற்றிய ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட தோராயமாகும். ஒரு ஹைப்பர்ஃபைனைட் சமநிலை உறவின் துணை சமன்பாடு உறவு ஹைப்பர்ஃபைனைட் ஆகும். G என்பது ஒரு நிலையான போரெல் ஸ்பேஸ் X இல் போரெல்-அளவிடக்கூடிய வகையில் செயல்படும் உள்ளூரில் வரையறுக்கப்பட்ட குழு என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் வரையறுக்கப்பட்ட துணைக்குழுக்களில் ஒரு வடிகட்டுதல் இயற்கையாகவே X மீது G இன் செயல்பாட்டின் சுற்றுப்பாதை சமநிலை உறவை வரையறுக்கப்பட்ட போரெல் சமநிலை உறவுகளாக வடிகட்டுவதற்கு வழிவகுக்கிறது, இதன் மூலம் அதன் ஹைப்பர்ஃபினிட்டினஸை நிரூபிக்கிறது. E ஒரு எண்ணக்கூடிய சமநிலை உறவு மற்றும் ஹைப்பர்ஃபைனைட் மற்றும் வரையறுக்கப்பட்ட குறியீடாக இருந்தால் (அதாவது ஒவ்வொரு E-வகுப்பிலும் இறுதியாக பல E '-வகுப்புகள் உள்ளன), பின்னர் E ஹைப்பர்ஃபைனைட் ஆகும். ஒரு போரெல் குறுக்குவெட்டை ஒப்புக்கொள்ளும் எந்தவொரு எண்ணக்கூடிய போரெல் சமநிலை உறவும் ஹைப்பர்ஃபைனைட் ஆகும்; ஃபெல்ட்மேன்-மூர் தேற்றத்தின் எளிய பயன்பாட்டின் மூலம் இதைக் காட்டலாம். ஒரு நிலையான போரெல் இடத்தில் உள்ள முழு எண்களின் எந்த போரெல் செயலும் ஒரு ஹைப்பர்ஃபைனைட் சுற்றுப்பாதை சமநிலை உறவை உருவாக்குகிறது (ஒரு நிலையான போரெல் இடைவெளி X இல் எண்ணக்கூடிய குழு G இன் போரெல் நடவடிக்கை ஒரு போரெல்-அளவிடக்கூடிய செயலாகும் என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள், அங்கு G அதன் அனைத்து துணைக்குழுக்களின் σ-இயற்கணிதத்துடன் பொருத்தப்பட்டுள்ளது). மேலும், எந்தவொரு ஹைப்பர்ஃபைனைட் சமநிலை உறவும் முழு எண்களின் சில போரெல் நடவடிக்கையால் உருவாக்கப்பட்ட சுற்றுப்பாதை சமநிலை உறவுக்கு சமம் என்று மாறிவிடும், இது பெரும்பாலும் அணுகக்கூடிய ஹைப்பர்ஃபைனிட்டனஸிற்கு சமமான வரையறையாக அமைகிறது. மேலும் பொதுவாக, ஒரு நிலையான போரெல் இடத்தில் எண்ணக்கூடிய அபெலியன் குழுவின் எந்த போரெல் நடவடிக்கையும் ஒரு ஹைப்பர்ஃபைனைட் சுற்றுப்பாதை சமநிலை உறவைத் தூண்டுகிறது. F என்பது ஒரு நிலையான போரெல் இடைவெளி X இல் கணக்கிடக்கூடிய போரெல் சமநிலை உறவாக இருந்தால், E என்பது ஒரு நிலையான போரெல் இடைவெளி Y இல் ஒரு ஹைப்பர்ஃபைனைட் சமநிலை உறவாகும், மேலும் இது F முதல் E வரை போரெல் குறைப்பாகும், பின்னர் F என்பது ஹைப்பர்ஃபைனைட் ஆகும் (மேலே உள்ளபடி அது திருப்தி அடையும் போதெல்லாம் போரெல் குறைப்பு என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள்). எஃப் கணக்கிடக்கூடியது என்ற அனுமானத்தை நாம் அகற்றினால் மேலே உள்ளவை பொருந்தாது என்பதை நினைவில் கொள்க; ஒவ்வொரு இரண்டு புள்ளிகளையும் அடையாளம் காணும் உண்மையான கோட்டில் உள்ள சமநிலை உறவு போரெல் மற்றும் வேறு எந்த போரெல் சமநிலை உறவுக்கும் குறைக்கப்படலாம், குறிப்பாக எந்த ஹைப்பர்ஃபைனைட் போரெல் சமநிலை உறவுக்கும், ஆனால் அது ஒரு எண்ணற்ற வகுப்பைக் கொண்டுள்ளது, எனவே அது ஹைப்பர்ஃபைனைட்டாக இருக்க முடியாது. ஒரு நிலையான போரெல் இடத்தில் பல்லுறுப்புக்கோவை வளர்ச்சியுடன் இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட குழுவின் எந்தவொரு போரெல் செயலும் ஒரு ஹைப்பர்ஃபைனைட் சுற்றுப்பாதை சமநிலை உறவைத் தூண்டுகிறது. அதன் குரோமோவ் எல்லையில் இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட ஹைபர்போலிக் குழுவின் செயல்பாடு ஹைபர்ஃபைனைட் ஆகும். எந்தவொரு எண்ணக்கூடிய போரெல் சமநிலை உறவும் ஹைப்பர்ஃபைனைட் கொண்ட ஒரு காமேகர் தொகுப்புக்கு மட்டுப்படுத்தப்படலாம். வெளிப்படையாக, இதன் பொருள் என்னவென்றால், ஒருவர் மிகக் குறைந்த சமநிலை வகுப்புகளின் தொகுப்பை அகற்றலாம், மேலும் மீதமுள்ள இடத்தில் சமநிலை உறவு ஹைப்பர்ஃபைனைட் என்பதைப் பெறலாம். இணக்கமற்ற எந்தவொரு குழுவும் ஒரு நிலையான போரெல் இடத்தில் ஒரு போரெல் செயலை ஒப்புக்கொள்கிறது, இது ஹைப்பர்ஃபைனைட் அல்லாத ஒரு சமநிலை உறவைத் தூண்டுகிறது. ஷிப்ட் வரைபடங்கள் மூலம் விண்வெளியில் உள்ள இரண்டு ஜெனரேட்டர்களில் இலவச குழுவின் செயல்பாடு ஹைப்பர்ஃபைனைட் அல்ல. இந்த உண்மை பெரும்பாலும் பானாச்-டார்ஸ்கி முரண்பாட்டின் ஒருங்கிணைந்த மாறுபாடாக கருதப்படுகிறது. திறந்த சிக்கல்கள் வெயிஸின் அனுமானம் மேற்கண்ட எடுத்துக்காட்டுகள், "கட்டுப்படுத்தும்" எண்ணக்கூடிய குழுக்களின் போரெல் செயல்கள் ஹைப்பர்ஃபைனைட் சமநிலை உறவுகளைத் தூண்டுகின்றன என்பதைக் குறிக்கின்றன. ஒரு நிலையான போரெல் இடத்தில் எண்ணக்கூடிய இணக்கமான குழுவின் எந்தவொரு போரெல் செயலும் ஒரு ஹைப்பர்ஃபைனைட் சுற்றுப்பாதை சமநிலை உறவைத் தூண்டுகிறது என்று வெயிஸ் அனுமானித்தார். இது இன்னும் ஒரு திறந்த பிரச்சினையாக இருந்தாலும், சில பகுதி முடிவுகள் அறியப்படுகின்றன. யூனியன் சிக்கல் இப்பகுதியில் உள்ள மற்றொரு திறந்த சிக்கல் என்னவென்றால், ஹைப்பர்ஃபைனைட் சமநிலை உறவுகளின் எண்ணக்கூடிய அதிகரிக்கும் ஒன்றியம் ஹைப்பர்ஃபைனைட் ஆகும். இது பெரும்பாலும் தொழிற்சங்கப் பிரச்சினை என்று குறிப்பிடப்படுகிறது. சில நிபந்தனைகளின் கீழ், ஹைப்பர்ஃபைனைட் சமநிலை உறவுகளின் எண்ணக்கூடிய அதிகரிக்கும் ஒன்றிணைப்பு ஹைப்பர்ஃபைனைட் என்று அறியப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, சமநிலை உறவுகளின் ஒன்றிணைப்பு "போரெல்-எல்லை" என்று அழைக்கப்படும் ஒரு பண்பைக் கொண்டிருந்தால் (அதாவது தோராயமாக, இடைவெளியில் உள்ள புள்ளிகளுக்கு செயல்பாடுகளின் எந்த போரெல் ஒதுக்கீடும் அத்தகைய போரெல் ஒதுக்கீட்டால் "இறுதியில் பிணைக்கப்படலாம்", இது சமநிலை வகுப்புகளில் நிலையானது), பின்னர் அது ஹைப்பர்ஃபைனைட் ஆகும். இருப்பினும், அத்தகைய ஒவ்வொரு தொழிற்சங்கமும் இந்த சொத்தை திருப்திப்படுத்துகிறதா என்பது தெரியவில்லை. அளவீட்டு-கோட்பாட்டு முடிவுகள் அடிப்படை இடைவெளி X ஒரு போரெல் நிகழ்தகவு அளவீட்டு μ உடன் பொருத்தப்பட்டுள்ளது மற்றும் பூஜ்ஜிய அளவீட்டு தொகுப்புகளை அகற்ற ஒருவர் தயாராக இருக்கிறார் என்ற அனுமானத்தின் கீழ், கோட்பாடு மிகவும் நன்கு புரிந்து கொள்ளப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, கணக்கிடக்கூடிய இணக்கமான குழுவின் போரெல் நடவடிக்கையால் சமநிலை உறவு உருவாக்கப்பட்டால், இதன் விளைவாக வரும் சுற்றுப்பாதை சமநிலை உறவு "μ-ஹைப்பர்ஃபைனைட்" ஆகும், அதாவது இது முழு அளவின் இடத்தின் துணைக்குழுவில் ஹைப்பர்ஃபைனைட் ஆகும் (நடவடிக்கை அளவீடு-பாதுகாப்பாகவோ அல்லது அரை-அளவீடு பாதுகாப்பாகவோ இருக்க வேண்டியதில்லை என்பதைக் குறிப்பிடுவது பயனுள்ளது). ஒவ்வொரு எண்ணக்கூடிய போரெல் சமநிலை உறவு E ஒரு நிலையான அணு அல்லாத போரெல் நிகழ்தகவு இடத்தில் (X,) ஒரு போரெல் குறுக்குவெட்டை ஏற்றுக்கொள்வது முழு அளவின் துணைக்குழுவில் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட சமநிலை உறவாக இருப்பதால் (இது அடிப்படையில் ஃபெல்ட்மேன்-மூர் ஆகும், இது விடாலியின் வாதத்துடன் இணைந்து உண்மையான கோட்டின் அனைத்து துணைக்குழுக்களின்-இயற்கணிதத்தில் ஒரு அற்பமான மாறாத அளவீடு இல்லை என்பதற்கான அவரது பாரம்பரிய ஆதாரம்), மேலே உள்ளவை குறுக்குவெட்டுகளை ஏற்றுக்கொள்ளும் சமநிலை உறவுகளைப் போலல்லாமல், எர்கோடிக் கோட்பாட்டில் இயற்கையாகத் தோன்றும் குழு செயல்களின் பல எடுத்துக்காட்டுகள் ஹைப்பர்ஃபைனைட் சுற்றுப்பாதை சமநிலை உறவுகளுக்கு வழிவகுக்கின்றன (குறிப்பாக, அடிப்படை இடைவெளி ஒரு நிலையான போரெல் இடைவெளி இருக்கும்போதெல்லாம்) இதேபோல், அத்தகைய இடத்தில் ஹைப்பர்ஃபைனைட் சமநிலை உறவுகளின் எண்ணக்கூடிய அதிகரிக்கும் தொழிற்சங்கமும் μ "-ஹைப்பர்ஃபைனைட் ஆகும். ஹைப்பர்ஃபைனைட் வகை II காரணி போரெல் சமநிலை உறவு குறிப்புகள் குறிப்புகள் விளக்க தொகுப்புக் கோட்பாடு சமநிலை (கணிதம்)