Homoscedasticity and heteroscedasticity
புள்ளிவிவரங்களில், சீரற்ற மாறிகளின் ஒரு வரிசை (அல்லது ஒரு திசையன்) அதன் சீரற்ற மாறிகள் அனைத்தும் ஒரே வரையறுக்கப்பட்ட மாறுபாட்டைக் கொண்டிருந்தால் ஹோமோசெடாஸ்டிக் () ஆகும்; இது மாறுபாட்டின் ஒரேமாதிரி என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. நிரப்பு கருத்து பன்முகத்தன்மை என்று அழைக்கப்படுகிறது, இது மாறுபாட்டின் பன்முகத்தன்மை என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. ஹோமோஸ்கெடாஸ்டிசிட்டி மற்றும் ஹெடெரோஸ்கெடாஸ்டிசிட்டி என்ற எழுத்துப்பிழைகளும் அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படுகின்றன. ஒரு மாறியை ஹோமோசெடாஸ்டிக் என்று வைத்துக்கொள்வது, உண்மையில் அது ஹீட்டோரோசெடாஸ்டிக் () பக்கச்சார்பற்ற ஆனால் திறமையற்ற புள்ளி மதிப்பீடுகள் மற்றும் நிலையான பிழைகளின் பக்கச்சார்பான மதிப்பீடுகளில் விளைகிறது, மேலும் பியர்சன் குணகத்தால் அளவிடப்படும் பொருத்தத்தின் நன்மையை மிகைப்படுத்தலாம். மாடலிங் பிழைகள் அனைத்தும் ஒரே மாறுபாட்டைக் கொண்டுள்ளன என்று கருதும் முக்கியத்துவம் வாய்ந்த புள்ளிவிவர சோதனைகளை இது செல்லாததாக்குவதால், பின்னடைவு பகுப்பாய்வு மற்றும் மாறுபாட்டின் பகுப்பாய்வில் ஹீட்டோரோஸ்கெடாஸ்டிசிட்டி இருப்பது ஒரு முக்கிய கவலையாக உள்ளது. சாதாரண குறைந்தபட்ச சதுர மதிப்பீட்டாளர் ஹெட்ரோஸ்கெடாஸ்டிசிட்டி முன்னிலையில் இன்னும் பக்கச்சார்பற்றவராக இருந்தாலும், அது திறமையற்றது மற்றும் ஹோமோஸ்கெடாஸ்டிசிட்டி அனுமானத்தின் அடிப்படையில் அனுமானம் தவறாக வழிநடத்துகிறது. அவ்வாறான நிலையில், கடந்த காலத்தில் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட குறைந்தபட்ச சதுரங்கள் (ஜி. எல். எஸ்) அடிக்கடி பயன்படுத்தப்பட்டன. இப்போதெல்லாம், பொருளாதார அளவீடுகளில் நிலையான நடைமுறை ஜி. எல். எஸ்ஸைப் பயன்படுத்துவதற்குப் பதிலாக ஹெட்டோரோஸ்கெடாஸ்டிசிட்டி-நிலையான நிலையான பிழைகளைச் சேர்ப்பதாகும், ஏனெனில் உண்மையான ஸ்கெடாஸ்டிக் செயல்பாடு தெரியவில்லை என்றால் ஜி. எல். எஸ் சிறிய மாதிரிகளில் வலுவான சார்பை வெளிப்படுத்த முடியும். ஹீட்டோரோஸ்கெடாஸ்டிசிட்டி பிழைகளின் இரண்டாவது தருணத்தின் எதிர்பார்ப்புகளைப் பற்றியது என்பதால், அதன் இருப்பு இரண்டாவது வரிசையின் தவறான விவரக்குறிப்பு என்று குறிப்பிடப்படுகிறது. பொருளாதார நிபுணர் ராபர்ட் எங்கிலுக்கு 2003 ஆம் ஆண்டு பொருளாதாரத்திற்கான நோபல் நினைவு பரிசு வழங்கப்பட்டது, இது ஹெட்டோரோஸ்கெடாஸ்டிசிட்டி முன்னிலையில் பின்னடைவு பகுப்பாய்வு குறித்த அவரது ஆய்வுகளுக்காக வழங்கப்பட்டது, இது தன்னியக்க நிபந்தனை ஹெட்டோரோஸ்கெடாஸ்டிசிட்டி (ஏஆர்சிஹெச்) மாடலிங் நுட்பத்தை உருவாக்க வழிவகுத்தது. வரையறை நேரியல் பின்னடைவு சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள், அங்கு சார்பு சீரற்ற மாறி தீர்மானகரமான மாறி நேர குணகம் மற்றும் சராசரி பூஜ்ஜியத்தைக் கொண்ட சீரற்ற இடையூறு காலத்திற்கு சமம். மாறுபாடு ஒரு மாறிலி என்றால் இடையூறுகள் ஹோமோசெடாஸ்டிக் ஆகும்; இல்லையெனில், அவை ஹீட்டோரோசெடாஸ்டிக் ஆகும். குறிப்பாக, இன் மாறுபாடு அதன் மதிப்பைப் பொறுத்தது அல்லது சார்ந்திருந்தால் இடையூறுகள் எதிர்மறையானவை. அவை ஹெட்டோரோஸ்கெடாஸ்டிக்காக இருக்கக்கூடிய ஒரு வழி என்றால் (ஒரு ஸ்கெடாஸ்டிக் செயல்பாட்டிற்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு), எனவே மாறுபாடு இன் மதிப்புக்கு விகிதாசாரமாகும். மேலும் பொதுவாக, குறுக்கே உள்ள இடையூறுகளின் மாறுபாடு-கோவேரியன்ஸ் மேட்ரிக்ஸ் ஒரு நிலையான மூலைவிட்டத்தைக் கொண்டிருந்தால், இடையூறு ஹீட்டோரோஸ்கெடாஸ்டிக் ஆகும். காலப்போக்கில் மூன்று அவதானிப்புகள் மட்டுமே இருக்கும்போது கீழே உள்ள மேட்ரிக்ஸ்கள் கோவேரியன்ஸ்கள் ஆகும். மேட்ரிக்ஸ் A இல் உள்ள இடையூறு ஹோமோசெடாஸ்டிக் ஆகும்; இது OLS சிறந்த நேரியல் பக்கச்சார்பற்ற மதிப்பீட்டாளராக இருக்கும் எளிய வழக்கு. B மற்றும் C மேட்ரிக்ஸ்களில் உள்ள இடையூறுகள் பன்முகத்தன்மை கொண்டவை. மேட்ரிக்ஸ் B இல், மாறுபாடு நேரம் மாறுபடும், நேரம் முழுவதும் சீராக அதிகரிக்கும்; மேட்ரிக்ஸ் C இல், மாறுபாடு இன் மதிப்பைப் பொறுத்தது. மேட்ரிக்ஸ் டி இல் உள்ள இடையூறு ஹோமோசெடாஸ்டிக் ஆகும், ஏனெனில் மூலைவிட்ட மாறுபாடுகள் நிலையானவை, மூலைவிட்டமற்ற கோவேரியன்ஸ்கள் பூஜ்ஜியமற்றவை மற்றும் சாதாரண குறைந்தபட்ச சதுரங்கள் வேறு காரணத்திற்காக திறனற்றவை என்றாலும்ஃ தொடர் தொடர்பு. எடுத்துக்காட்டுகள் ஹெட்டோரோஸ்கெடாஸ்டிசிட்டி பெரும்பாலும் அவதானிப்புகளின் அளவுகளில் பெரிய வேறுபாடு இருக்கும்போது ஏற்படுகிறது. பன்முகத்தன்மைக்கு ஒரு உன்னதமான எடுத்துக்காட்டு வருமானம் மற்றும் உணவுக்கான செலவு ஆகும். ஒரு பணக்கார நபர் சில நேரங்களில் மலிவான உணவையும் மற்ற நேரங்களில் விலையுயர்ந்த உணவையும் சாப்பிடலாம். ஒரு ஏழை எப்போதும் மலிவான உணவை சாப்பிடுவார். எனவே, அதிக வருமானம் கொண்ட மக்கள் உணவுக்கான செலவினங்களில் அதிக மாறுபாட்டை வெளிப்படுத்துகிறார்கள். ஒரு ராக்கெட் ஏவுதலில், ஒரு பார்வையாளர் வினாடிக்கு ஒரு முறை ராக்கெட் பயணித்த தூரத்தை அளவிடுகிறார். முதல் இரண்டு வினாடிகளில், அளவீடுகள் அருகிலுள்ள சென்டிமீட்டருக்கு துல்லியமாக இருக்கலாம். ஐந்து நிமிடங்களுக்குப் பிறகு, அதிகரித்த தூரம், வளிமண்டல சிதைவு மற்றும் பல்வேறு காரணிகளால் அளவீடுகளின் துல்லியம் 100 மீட்டருக்கு மட்டுமே நன்றாக இருக்கலாம். எனவே தூரத்தின் அளவீடுகள் பன்முகத்தன்மையை வெளிப்படுத்தலாம். விளைவுகள் பாரம்பரிய நேரியல் பின்னடைவு மாதிரியின் அனுமானங்களில் ஒன்று, ஹீட்டோரோஸ்கெடாஸ்டிசிட்டி இல்லை. இந்த அனுமானத்தை உடைப்பது என்பது காஸ்-மார்கோவ் தேற்றம் பொருந்தாது என்பதாகும், அதாவது OLS மதிப்பீட்டாளர்கள் சிறந்த நேரியல் பக்கச்சார்பற்ற மதிப்பீட்டாளர்கள் (BLUE) அல்ல, மேலும் அவற்றின் மாறுபாடு மற்ற அனைத்து பக்கச்சார்பற்ற மதிப்பீட்டாளர்களிடமும் மிகக் குறைவாக இல்லை. ஹெட்டோரோஸ்கெடாஸ்டிசிட்டி சாதாரண குறைந்தபட்ச சதுர குணகம் மதிப்பீடுகளை பக்கச்சார்பானதாக மாற்றாது, இருப்பினும் இது குணகங்களின் மாறுபாட்டின் (எனவே, நிலையான பிழைகள்) சாதாரண குறைந்தபட்ச சதுர மதிப்பீடுகளை பக்கச்சார்பானதாக மாற்றக்கூடும், இது மக்கள்தொகை மாறுபாட்டின் உண்மைக்கு மேலே அல்லது கீழே இருக்கலாம். எனவே, ஹெட்ரோசெடாஸ்டிக் தரவைப் பயன்படுத்தி பின்னடைவு பகுப்பாய்வு இன்னும் முன்கணிப்பு மாறி மற்றும் விளைவுக்கு இடையிலான உறவுக்கான ஒரு பக்கச்சார்பற்ற மதிப்பீட்டை வழங்கும், ஆனால் நிலையான பிழைகள் மற்றும் எனவே தரவு பகுப்பாய்விலிருந்து பெறப்பட்ட அனுமானங்கள் சந்தேகத்திற்குரியவை. பக்கச்சார்பான நிலையான பிழைகள் பக்கச்சார்பான அனுமானத்திற்கு வழிவகுக்கின்றன, எனவே கருதுகோள் சோதனைகளின் முடிவுகள் தவறாக இருக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, OLS ஒரு பன்முகத்தன்மை கொண்ட தரவு தொகுப்பில் நிகழ்த்தப்பட்டால், பக்கச்சார்பான நிலையான பிழை மதிப்பீட்டைக் கொடுக்கிறது, ஒரு ஆராய்ச்சியாளர் கொடுக்கப்பட்ட முக்கியத்துவம் மட்டத்தில் ஒரு பூஜ்ய கருதுகோளை நிராகரிக்கத் தவறிவிடலாம், அந்த பூஜ்ய கருதுகோள் உண்மையில் உண்மையான மக்கள்தொகையின் இயல்பற்றதாக இருக்கும்போது (வகை II பிழையை உருவாக்குகிறது). சில அனுமானங்களின் கீழ், OLS மதிப்பீட்டாளர் ஒழுங்காக இயல்பாக்கப்பட்ட மற்றும் மையப்படுத்தப்படும்போது (தரவு ஒரு சாதாரண விநியோகத்திலிருந்து வராவிட்டாலும் கூட) ஒரு சாதாரண அறிகுறியற்ற பரவலைக் கொண்டுள்ளது. இந்த முடிவு ஒரு கருதுகோள் சோதனையை நடத்தும்போது ஒரு சாதாரண விநியோகம் அல்லது ஒரு சி சதுர விநியோகத்தைப் பயன்படுத்துவதை நியாயப்படுத்த பயன்படுத்தப்படுகிறது (சோதனை புள்ளிவிவரம் எவ்வாறு கணக்கிடப்படுகிறது என்பதைப் பொறுத்து). இது ஹீட்டோரோஸ்கெடாஸ்டிசிட்டியின் கீழ் கூட உள்ளது. இன்னும் துல்லியமாக, ஹேட்டோரோஸ்கெடாஸ்டிசிட்டி முன்னிலையில் OLS மதிப்பீட்டாளர் அறிகுறியற்ற இயல்பானவர், சரியாக இயல்பாக்கப்பட்ட மற்றும் மையமாக இருக்கும்போது, ஹோமோஸ்கெடாஸ்டிசிட்டி விஷயத்தில் இருந்து வேறுபடும் மாறுபாடு-கோவேரியன்ஸ் மேட்ரிக்ஸுடன். 1980 ஆம் ஆண்டில், ஒயிட் OLS மதிப்பீட்டாளரின் அறிகுறியற்ற விநியோகத்தின் மாறுபாடு-சக மாறுபாடு மேட்ரிக்ஸுக்கு ஒரு நிலையான மதிப்பீட்டாளரை முன்மொழிந்தார். இது OLS மதிப்பீட்டாளர்களைப் பயன்படுத்தி கருதுகோள் சோதனையின் பயன்பாட்டை சரிபார்க்கிறது மற்றும் ஹெட்ரோஸ்கெடாஸ்டிசிட்டியின் கீழ் ஒயிட்டின் மாறுபாடு-கோவேரியன்ஸ் மதிப்பீட்டாளர். ஹெட்டோரோஸ்கெடாஸ்டிசிட்டி என்பது ஏஎன்ஓவிஏ சிக்கல்களில் எதிர்கொள்ளும் ஒரு முக்கிய நடைமுறைப் பிரச்சினையாகும். எஃப் சோதனை இன்னும் சில சூழ்நிலைகளில் பயன்படுத்தப்படலாம். இருப்பினும், பொருளாதார அளவீட்டில் உள்ள மாணவர்கள் பன்முகத்தன்மைக்கு அதிக எதிர்வினையாற்றக்கூடாது என்று கூறப்படுகிறது. ஒரு எழுத்தாளர் எழுதினார், "சமமற்ற பிழை மாறுபாடு சிக்கல் கடுமையானதாக இருக்கும்போது மட்டுமே சரிசெய்யப்பட வேண்டும்". கூடுதலாக, எச்சரிக்கையின் மற்றொரு சொல் வடிவத்தில் இருந்தது, "ஹெட்ரோஸ்கெடாஸ்டிசிட்டி ஒருபோதும் ஒரு நல்ல மாதிரியை வெளியேற்ற ஒரு காரணமாக இருந்ததில்லை". பிழைக் காலத்தின் நிபந்தனைக்குட்பட்ட இரண்டாவது தருணத்தைக் குறிப்பிடாமல் அனுமானத்தை அனுமதிக்கும் ஹீட்டோரோஸ்கெடாஸ்டிசிட்டி-நிலையான நிலையான பிழைகளின் வருகையுடன், நிபந்தனைக்குட்பட்ட ஹோமோஸ்கெடாஸ்டிசிட்டியை சோதிப்பது கடந்த காலத்தைப் போல முக்கியமல்ல. எவ்வாறாயினும், எந்தவொரு நேரியல் அல்லாத மாதிரிக்கும் (எடுத்துக்காட்டாக லாஜிட் மற்றும் ப்ரோபிட் மாதிரிகள்), ஹீட்டோரோஸ்கெடாஸ்டிசிட்டி மிகவும் கடுமையான விளைவுகளைக் கொண்டுள்ளதுஃ அளவுருக்களின் அதிகபட்ச நிகழ்தகவு மதிப்பீடுகள் (எம். எல். இ) பொதுவாக பக்கச்சார்பானதாகவும், சீரற்றதாகவும் இருக்கும் (நிகழ்தகவு செயல்பாடு சரியாக கணக்கில் எடுத்துக் கொள்ள மாற்றியமைக்கப்படாவிட்டால் ஹெட்டோரோஸ்கெடாஸ்டிசிட்டியின் துல்லியமான வடிவம் அல்லது விநியோகம் நேரியல் அதிவேக குடும்பத்தின் உறுப்பினர் மற்றும் நிபந்தனைக்குட்பட்ட எதிர்பார்ப்பு செயல்பாடு சரியாக குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது). ஆயினும்கூட, பைனரி தேர்வு மாதிரிகளின் (லாஜிட் அல்லது ப்ரோபிட்) சூழலில், ஹெட்ரோஸ்கெடாஸ்டிசிட்டி என்பது தவறாக குறிப்பிடப்பட்ட எம். எல். இ (அதாவது. ஹீட்டோரோஸ்கெடாஸ்டிசிட்டியை புறக்கணிக்கும் மாதிரி). இதன் விளைவாக, தவறாக குறிப்பிடப்பட்ட எம்எல்இ-ஐ அடிப்படையாகக் கொண்ட கணிப்புகள் சரியாகவே இருக்கும். கூடுதலாக, தவறாக குறிப்பிடப்பட்ட ப்ரோபிட் மற்றும் லாஜிட் எம்எல்இ அறிகுறியற்ற முறையில் பொதுவாக விநியோகிக்கப்படும், இது வழக்கமான முக்கியத்துவ சோதனைகளை (பொருத்தமான மாறுபாடு-கோவேரியன்ஸ் மேட்ரிக்ஸுடன்) செய்ய அனுமதிக்கிறது. இருப்பினும், பொது கருதுகோள் சோதனையைப் பொறுத்தவரை, கிரீன் சுட்டிக்காட்டியபடி, "இல்லையெனில் சீரற்ற மதிப்பீட்டாளருக்கு ஒரு வலுவான கோவேரியன்ஸ் மேட்ரிக்ஸை வெறுமனே கணக்கிடுவது அதற்கு மீட்பை வழங்காது. இதன் விளைவாக, இந்த அமைப்பில் ஒரு வலுவான கோவேரியன்ஸ் மேட்ரிக்ஸின் நல்லொழுக்கம் தெளிவாக இல்லை. "திருத்தம் ஹீட்டோரோஸ்கெடாஸ்டிசிட்டிக்கு பல பொதுவான திருத்தங்கள் உள்ளன. அவை பின்வருமாறுஃ தரவுகளின் ஸ்திரப்படுத்தும் மாற்றம், எ. கா. மடக்கை தரவு. அதிவேகமாக வளர்ந்து வரும் மடக்கை அல்லாத தொடர்கள் பெரும்பாலும் காலப்போக்கில் தொடர் உயரும்போது அதிகரிக்கும் மாறுபாட்டைக் கொண்டிருப்பதாகத் தெரிகிறது. இருப்பினும், சதவீத அடிப்படையில் மாறுபாடு நிலையானதாக இருக்கலாம். மாதிரிக்கு வேறுபட்ட விவரக்குறிப்பைப் பயன்படுத்தவும் (வெவ்வேறு எக்ஸ் மாறிகள், அல்லது எக்ஸ் மாறிகளின் நேரியல் அல்லாத மாற்றங்கள்). ஒரு எடையுள்ள குறைந்தபட்ச சதுர மதிப்பீட்டு முறையைப் பயன்படுத்துங்கள், இதில் எக்ஸ் மற்றும் ஒய் இன் மாற்றப்பட்ட அல்லது எடையுள்ள மதிப்புகளுக்கு ஓஎல்எஸ் பயன்படுத்தப்படுகிறது. வழக்கமாக மாறிவரும் பிழை மாறுபாடுகளைப் பொறுத்து, எடைகள் அவதானிப்புகளைப் பொறுத்து மாறுபடும். ஒரு மாறுபாட்டில் எடைகள் சார்பு மாறியின் அளவுடன் நேரடியாக தொடர்புடையவை, மேலும் இது குறைந்தபட்ச சதுர சதவீத பின்னடைவுக்கு ஒத்திருக்கிறது. ஹெட்டோரோஸ்கெடாஸ்டிசிட்டி-நிலையான நிலையான பிழைகள் (எச். சி. எஸ். இ), இன்னும் பக்கச்சார்பானவை என்றாலும், ஓ. எல். எஸ் மதிப்பீடுகளில் மேம்படுகின்றன. எச். சி. எஸ். இ என்பது ஹெட்ரோசெடாஸ்டிசிட்டியுடன் கூடிய பின்னடைவு மாதிரிகளில் நிலையான பிழைகளின் நிலையான மதிப்பீட்டாளராகும். இந்த முறை குணகங்களின் மதிப்புகளை மாற்றாமல் ஹீட்டோரோஸ்கெடாஸ்டிசிட்டியை சரிசெய்கிறது. இந்த முறை வழக்கமான OLS ஐ விட உயர்ந்ததாக இருக்கலாம், ஏனெனில் ஹீட்டோரோஸ்கெடாஸ்டிசிட்டி இருந்தால் அது அதை சரிசெய்கிறது, இருப்பினும், தரவு ஹோமோஸ்கெடாஸ்டிக் என்றால், நிலையான பிழைகள் OLS ஆல் மதிப்பிடப்பட்ட வழக்கமான நிலையான பிழைகளுக்கு சமம். ஹெட்ரோசெடாஸ்டிசிட்டி-நிலையான நிலையான பிழைகளை கணக்கிடும் வெள்ளை முறையின் பல மாற்றங்கள் உயர்ந்த வரையறுக்கப்பட்ட மாதிரி பண்புகளுடன் திருத்தங்களாக முன்மொழியப்பட்டுள்ளன. பிழைச் சொல்லின் நிபந்தனை மாறுபாட்டில் உள்ள வேறுபாடுகளை மதிக்கும் மறுவடிவமைப்பு முறையாக வைல்ட் பூட்ஸ்ட்ராப்பிங் பயன்படுத்தப்படலாம். பிழைகளுக்கு பதிலாக அவதானிப்புகளை மறுபரிசீலனை செய்வது ஒரு மாற்றாகும். கவனிப்பின் இணைக்கப்பட்ட மதிப்புகளை மதிக்காமல் மறுபரிசீலனை பிழைகள் ஹோமோஸ்கெடாஸ்டிசிட்டியை செயல்படுத்துகிறது, இதனால் தவறான அனுமானத்தை அளிக்கிறது. MINQUE அல்லது வழக்கமான மதிப்பீட்டாளர்களைப் பயன்படுத்தவும் (ஒவ்வொன்றும் அவதானிப்புகளுடன் சுயாதீன மாதிரிகளுக்கு), ஒரு மாதிரியின் அவதானிப்புகளின் எண்ணிக்கை அதிகமாக இருக்கும்போது அதன் செயல்திறன் இழப்புகள் கணிசமாக இல்லை (), குறிப்பாக சிறிய எண்ணிக்கையிலான சுயாதீன மாதிரிகளுக்கு. சோதனை எச்சங்கள் புரூஷ்-பேகன் சோதனையைப் பயன்படுத்தி ஓரினச்சேர்க்கைக்கு சோதிக்கப்படலாம், இது சுயாதீன மாறிகளில் சதுர எஞ்சியுள்ளவற்றின் துணை பின்னடைவைச் செய்கிறது. இந்த துணை பின்னடைவிலிருந்து, வர்க்கங்களின் விளக்கப்பட்ட கூட்டுத்தொகை தக்கவைக்கப்பட்டு, இரண்டால் வகுக்கப்படுகிறது, பின்னர் சுயாதீன மாறிகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமமான சுதந்திரத்தின் அளவுகளுடன் ஒரு சிஐ-வர்க்க விநியோகத்திற்கான சோதனை புள்ளிவிவரமாக மாறுகிறது. இந்த சி-ஸ்கொயர் சோதனையின் பூஜ்ய கருதுகோள் ஹோமோசெடாஸ்டிசிட்டி ஆகும், மேலும் மாற்று கருதுகோள் ஹீட்டோரோசெடாஸ்டிசிட்டியைக் குறிக்கும். ப்ரூஷ்-பேகன் சோதனை இயல்பான அல்லது சிறிய மாதிரி அளவுகளிலிருந்து புறப்படுவதற்கு உணர்திறன் கொண்டிருப்பதால், அதற்கு பதிலாக கோயன்கர்-பாசெட் அல்லது 'பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ப்ரூஷ்-பேகன்' சோதனை பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. துணை பின்னடைவிலிருந்து, இது ஆர்-ஸ்கொயர் மதிப்பைத் தக்க வைத்துக் கொள்கிறது, இது பின்னர் மாதிரி அளவால் பெருக்கப்படுகிறது, பின்னர் ஒரு சி-ஸ்கொயர் விநியோகத்திற்கான சோதனை புள்ளிவிவரமாக மாறுகிறது (மேலும் அதே அளவிலான சுதந்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறது). கொயென்கர்-பாஸெட் சோதனைக்கு இது அவசியமில்லை என்றாலும், ப்ரூஷ்-பேகன் சோதனைக்கு ஸ்கொயர் ரெசிடுயல்களையும் மாதிரி அளவால் வகுக்கப்பட்ட மீதமுள்ள வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகையால் வகுக்க வேண்டும். குழு வாரியாக பன்முகத்தன்மைக்கான சோதனை கோல்ட்ஃபெல்ட்-குவாண்ட் சோதனை மூலம் செய்யப்படலாம். ஹெட்ரோஸ்கெடாஸ்டிசிட்டி-நிலையான நிலையான பிழைகளின் நிலையான பயன்பாடு மற்றும் முன் சோதனையின் சிக்கல் காரணமாக, பொருளாதார வல்லுநர்கள் இப்போதெல்லாம் நிபந்தனைக்குட்பட்ட ஹெட்ரோஸ்கெடாஸ்டிசிட்டிக்கு சோதனைகளை அரிதாகவே பயன்படுத்துகின்றனர். சோதனைகளின் பட்டியல் குழுக்களுக்கு இடையிலான பன்முகத்தன்மைக்கான சோதனைகள் முறைப்படி பின்னடைவு மாதிரிகளுக்குள் சோதனை செய்வதற்கான ஒரு சிறப்பு நிகழ்வாக கருதப்படலாம் என்றாலும், சில சோதனைகள் இந்த நிகழ்வுக்கு குறிப்பிட்ட கட்டமைப்புகளைக் கொண்டுள்ளன. பின்னடைவு லெவெனின் சோதனை கோல்ட்ஃபெல்ட்-குவாண்ட்ட் சோதனை பார்க் சோதனை க்ளெஜ்சர் சோதனை பிரவுன்-ஃபோர்சி-சோதனை ஹாரிசன்-மெக்கேப் சோதனை ப்ரூஷ்-பேகன் சோதனை வெள்ளை சோதனை குக்-வெய்ஸ்பெர்க் சோதனை குழும தரவுகளுக்கான எஃப்-சோதனை மாறுபாடுகளின் சமத்துவம் கோச்ரானின் சி சோதனை ஹார்ட்லியின் சோதனை பார்ட்லெட்டின் சோதனை பொதுமைப்படுத்தல்கள் ஹோமோசெடாஸ்டிக் விநியோகங்கள் இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட சாதாரண விநியோகங்கள், அவை ஒரே மாதிரியானவை மற்றும் அவற்றின் கோவேரியன்ஸ் மேட்ரிக்ஸில் ஒரே மூலைவிட்டங்களைப் பகிர்ந்து கொண்டால் அவற்றின் மூலைவிட்டமற்ற உள்ளீடுகள் பூஜ்ஜியமாக இருந்தால் தொடர் தொடர்பு இல்லை. புள்ளியியல் முறை அங்கீகாரம் மற்றும் இயந்திர கற்றல் வழிமுறைகளைப் பெறுவதற்கு ஹோமோசெடாஸ்டிக் விநியோகங்கள் குறிப்பாக பயனுள்ளதாக இருக்கும். ஃபிஷரின் நேரியல் பாகுபாடு பகுப்பாய்வு ஹோமோசெடாஸ்டிசிட்டியை கருதும் ஒரு வழிமுறையின் ஒரு பிரபலமான எடுத்துக்காட்டு ஆகும். ஹோமோசெடாஸ்டிசிட்டி என்ற கருத்தை கோளங்களில் உள்ள விநியோகங்களுக்கு பயன்படுத்தலாம். மல்டிவேரியேட் தரவு ஹோம்ஸ்கெடாஸ்டிசிட்டி மற்றும் ஹெட்ரோஸ்கெடாஸ்டிசிட்டி பற்றிய ஆய்வு மல்டிவேரியேட் வழக்குக்கு பொதுமைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது, இது ஸ்கேலார் அவதானிப்புகளின் மாறுபாட்டிற்கு பதிலாக திசையன் அவதானிப்புகளின் கோவேரியன்ஸ்களைக் கையாள்கிறது. இதன் ஒரு பதிப்பு கோவேரியன்ஸ் மேட்ரிக்ஸ்களை சிதறலின் பன்முக அளவீடாகப் பயன்படுத்துவதாகும். பல எழுத்தாளர்கள் இந்த சூழலில், பின்னடைவு மற்றும் குழு-தரவு சூழ்நிலைகள் ஆகிய இரண்டிற்கும் சோதனைகளைக் கருத்தில் கொண்டுள்ளனர். தொகுக்கப்பட்ட தரவுகளுக்கு இடையிலான பன்முகத்தன்மைக்கான பார்ட்லெட்டின் சோதனை, பொதுவாக மாறுபட்ட வழக்கில் பயன்படுத்தப்படுகிறது, பல்வகை வழக்குக்கும் நீட்டிக்கப்பட்டுள்ளது, ஆனால் 2 குழுக்களுக்கு மட்டுமே ஒரு தடமறிதல் தீர்வு உள்ளது. இரண்டுக்கும் மேற்பட்ட குழுக்களுக்கு தோராயங்கள் உள்ளன, அவை இரண்டும் பாக்ஸின் எம் சோதனை என்று அழைக்கப்படுகின்றன. ஹெடெரோஜெனிட்டி கோள பிழை ஹெடெரோஸ்கெடாஸ்டிசிட்டி-நிலையான நிலையான பிழைகள் குறிப்புகள் மேலும் வாசிப்பு பெரும்பாலான புள்ளிவிவர பாடப்புத்தகங்களில் ஹோமோஸ்கெடாஸ்டிசிட்டி மற்றும் ஹெடெரோஸ்கெடாஸ்டிசிட்டி பற்றிய சில விஷயங்களாவது இருக்கும். சில எடுத்துக்காட்டுகள்ஃ மார்க் தோமா புள்ளியியல் விலகல் மற்றும் சிதறல் பின்னடைவு பகுப்பாய்வு மூலம் வெளிப்புற இணைப்புகள் ஜாஃ ஏஆர்சிஹெச் மாடல் #分散不均一性