Staircase paradox
கணித பகுப்பாய்வில், படிக்கட்டு முரண்பாடு என்பது வளைவுகளின் வரம்புகள் அவற்றின் நீளத்தை பாதுகாக்க வேண்டிய அவசியமில்லை என்பதைக் காட்டும் ஒரு நோயியல் எடுத்துக்காட்டு ஆகும். இது ஒரு அலகு சதுரத்தில் "படிக்கட்டு" பலகோண சங்கிலிகளின் வரிசையைக் கொண்டுள்ளது, இது குறைந்து வரும் நீளத்தின் கிடைமட்ட மற்றும் செங்குத்து கோடு பிரிவுகளிலிருந்து உருவாகிறது, இதனால் இந்த படிக்கட்டுகள் சதுரத்தின் மூலைவிட்டத்திற்கு ஒரே மாதிரியாக இணைகின்றன. இருப்பினும், ஒவ்வொரு படிக்கட்டுக்கும் இரண்டு நீளம் உள்ளது, அதே நேரத்தில் மூலைவிட்டத்தின் நீளம் 2 இன் சதுர மூலமாகும், எனவே படிக்கட்டு நீளங்களின் வரிசை மூலைவிட்டத்தின் நீளத்திற்கு ஒன்றிணைக்காது. மார்ட்டின் கார்ட்னர் இதை "ஒரு பண்டைய வடிவியல் முரண்பாடு" என்று அழைக்கிறார். சீரான ஒருங்கிணைப்பின் கீழ் உள்ள வளைவுகளுக்கு, ஒரு வளைவின் நீளம் வளைவின் தொடர்ச்சியான செயல்பாடு அல்ல என்பதை இது காட்டுகிறது. எந்தவொரு மென்மையான வளைவுக்கும், பிரிவின் நீளம் பூஜ்ஜியமாகக் குறைந்து, வளைவின் தொடர்ச்சியான செங்குத்துகளை இணைக்கும் பலகோண சங்கிலிகள் எப்போதும் வளைவின் நீளத்துடன் இணைகின்றன. படிக்கட்டு வளைவுகள் சரியான நீளத்திற்கு ஒன்றிணைக்கத் தவறியதை அவற்றின் சில செங்குத்துகள் மூலைவிட்டத்தில் இல்லை என்பதன் மூலம் விளக்க முடியும். உயர்ந்த பரிமாணங்களில், ஸ்வார்ஸ் விளக்கு ஒரு ஒத்த உதாரணத்தை வழங்குகிறது, இது ஒரு வளைந்த மேற்பரப்பில் புள்ளி திசையில் ஒன்றிணைக்கும் பன்முக மேற்பரப்புகள் அதன் பரப்பளவில் ஒன்றிணைக்க வேண்டிய அவசியமில்லை, செங்குத்துகள் அனைத்தும் மேற்பரப்பில் இருக்கும்போது கூட. கணிதக் கல்வியில் வளைவு நீளத்தின் கவனமான வரையறைகளின் அவசியத்தை முன்னிலைப்படுத்துவதோடு, முரண்பாடு டிஜிட்டல் வடிவவியலில் பயன்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளது, அங்கு இது பிக்சல்களுக்கு இடையிலான எல்லைகளின் நீளங்களை மட்டும் கூட்டாமல் பிக்சல் செய்யப்பட்ட வடிவங்களின் சுற்றளவை மதிப்பிடுவதற்கான முறைகளை ஊக்குவிக்கிறது. ஒரு அலகு சதுர டாக்ஸிகாப் வடிவவியலின் மூலைவிட்டத்தில் ஒரு ஃப்ராக்டல் வளைவு, இதில் படிக்கட்டுகளின் நீளம் மற்றும் மூலைவிட்டத்தின் நீளம் சமமான குறிப்புகள் வெளிப்புற இணைப்புகள் ஒரு குறுகிய குறிப்புஃ படிக்கட்டு முரண்பாடு நீளம் கணித முரண்பாடுகள் வரம்புகளை விரிவுபடுத்துதல் (கணிதம்)