Weak equivalence (homotopy theory)
கணிதத்தில், ஒரு பலவீனமான சமநிலை என்பது ஹோமோடாபி கோட்பாட்டின் ஒரு கருத்தாகும், இது ஏதோ ஒரு வகையில் ஒரே "வடிவம்" கொண்ட பொருட்களை அடையாளம் காட்டுகிறது. இந்த கருத்து ஒரு மாதிரி வகையின் தன்னியக்க வரையறையில் முறைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது. ஒரு மாதிரி வகை என்பது பலவீனமான சமநிலைகள், இழைகள் மற்றும் கோஃபைப்ரேஷன்கள் எனப்படும் உருவங்களின் வகைகளைக் கொண்ட ஒரு வகையாகும், இது பல கோட்பாடுகளை திருப்திப்படுத்துகிறது. ஒரு மாதிரி வகையின் தொடர்புடைய ஹோமோடாபி வகை அதே பொருள்களைக் கொண்டுள்ளது, ஆனால் பலவீனமான சமநிலைகளை ஐசோமார்பிசங்களாக மாற்றுவதற்காக மார்ஃபிஸம்கள் மாற்றப்படுகின்றன. தொடர்புடைய ஹோமோடாபி வகை பலவீனமான சமநிலைகளை மட்டுமே சார்ந்துள்ளது, இழைகள் மற்றும் கோஃபைப்ரேஷன்களை அல்ல என்பது ஒரு பயனுள்ள அவதானிப்பாகும். இடவியல் இடைவெளிகள் மாதிரி பிரிவுகள் குய்லனால் வரையறுக்கப்பட்டன, இது இடவியல் இடைவெளிகளுக்கு பொருந்தும் ஹோமோடோபி கோட்பாட்டின் ஒரு கோட்பாடாகும், ஆனால் இயற்கணிதம் மற்றும் வடிவவியலில் உள்ள பல பிரிவுகளுக்கும் பொருந்தும். இந்த விஷயத்தைத் தொடங்கிய எடுத்துக்காட்டு, செர் இழைகளுடன் கூடிய இடவியல் இடைவெளிகளின் வகை இழைகளாகவும், பலவீனமான ஹோமோடோபி சமநிலைகளை பலவீனமான சமநிலைகளாகவும் வகைப்படுத்துகிறது (இந்த மாதிரி கட்டமைப்பிற்கான கோஃபைப்ரேஷன்களை உறவினர் செல் வளாகங்களின் பின்வாங்கல்கள் என்று விவரிக்கலாம்). வரையறையின்படி, பாதை கூறுகளின் தொகுப்புகளில் தூண்டப்பட்ட செயல்பாடு புறநிலை என்றால், இடைவெளிகளின் தொடர்ச்சியான வரைபடம் f: X → Y ஒரு பலவீனமான ஹோமோடாபி சமநிலை என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் X இல் உள்ள ஒவ்வொரு புள்ளி x மற்றும் ஒவ்வொரு n ≤ 1 க்கும், ஹோமோடாபி குழுக்களில் தூண்டப்பட்ட ஹோமோமார்பிசம் புறநிலை ஆகும். (X மற்றும் Y பாதை இணைக்கப்பட்டதற்கு, முதல் நிபந்தனை தானாகவே இருக்கும், மேலும் X இல் ஒரு புள்ளி x க்கு இரண்டாவது நிபந்தனையை குறிப்பிட இது போதுமானது.) வெறுமனே இணைக்கப்பட்ட இடவியல் இடைவெளிகள் X மற்றும் Y க்கு, ஒரு வரைபடம் f: X → Y என்பது ஒரு பலவீனமான ஒரே மாதிரியான சமன்பாடாகும், f *: Hn (X, Z) → Hn (Y, Z) தூண்டப்பட்ட ஒரே மாதிரியான குழுக்கள் அனைத்து n க்கும் புறநிலை இருந்தால் மட்டுமே. அதேபோல், வெறுமனே இணைக்கப்பட்ட இடைவெளிகள் X மற்றும் Y க்கு, ஒரு வரைபடம் f: X → Y என்பது ஒரு பலவீனமான ஒரே மாதிரியான சமன்பாடாகும், மேலும் புல்பேக் ஹோமோமார்பிசம் f *: Hn (Y, Z) → Hn (X, Z) ஒற்றை கோஹோமோலஜியில் அனைத்து n க்கும் புறநிலை என்றால் மட்டுமே. எடுத்துக்காட்டுஃ X என்பது இயற்கை எண்களின் தொகுப்பாக இருக்கட்டும். நேர்மறை முழு எண்களுக்கு 0 முதல் 0 வரையிலும், n முதல் 1/n வரையிலும் வரைபடம் வரைவதன் மூலம் f: X → Y ஐ வரையறுக்கவும். இடவியல் இடங்களின் ஹோமோடாபி வகை (பலவீனமான ஹோமோடாபி சமன்பாடுகளை தலைகீழாக மாற்றுவதன் மூலம் பெறப்படுகிறது) இடவியல் இடங்களின் வகையை பெரிதும் எளிதாக்குகிறது. உண்மையில், இந்த ஹோமோடாபி வகை சி. டபிள்யூ வளாகங்களின் வகைக்கு சமமானது, மார்ஃபிஸம்கள் தொடர்ச்சியான வரைபடங்களின் ஹோமோடாபி வகுப்புகளாக உள்ளன. இடவியல் இடங்களின் பிரிவில் பல மாதிரி கட்டமைப்புகளும் பரிசீலிக்கப்பட்டுள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக, இடவியல் இடைவெளிகளில் உள்ள ஸ்ட்ரோம் மாதிரி கட்டமைப்பில், இழைகள் ஹூரெவிக்ஸ் இழைகள் மற்றும் பலவீனமான சமநிலைகள் ஹோமோடோபி சமநிலைகள் ஆகும். சங்கிலி வளாகங்கள் வேறு சில முக்கியமான மாதிரி பிரிவுகள் சங்கிலி வளாகங்களை உள்ளடக்கியது. A ஒரு கிரோதெண்டிக் அபெலியன் வகையாக இருக்கட்டும், எடுத்துக்காட்டாக ஒரு வளையத்தின் மீது உள்ள தொகுதிகளின் வகை அல்லது ஒரு இடவியல் இடத்தில் அபெலியன் குழுக்களின் உறைகளின் வகை. ஒரு வகை சி (ஏ) ஐ பொருள்களுடன் வரையறுக்கவும், ஏ இல் உள்ள பொருட்களின் சிக்கலான எக்ஸ், மற்றும் சங்கிலி வரைபடங்களை உருவகப்படுத்துகிறது. (இது A இன் பொருட்களின் "கோசெயின் காம்ப்ளக்ஸ்களை" கருத்தில் கொள்வதற்கு சமம், அங்கு எண்ணிக்கை வெறுமனே xi = x−i ஐ வரையறுப்பதன் மூலம் எழுதப்படுகிறது. சி (ஏ) வகை ஒரு மாதிரி கட்டமைப்பைக் கொண்டுள்ளது, இதில் கோஃபைப்ரேஷன்கள் மோனோமார்பிசம்களாகவும், பலவீனமான சமநிலைகள் அரை-ஐசோமார்பிசம்களாகவும் உள்ளன. வரையறையின்படி, ஒரு சங்கிலி வரைபடம் f: X → Y என்பது ஒரு அரை-ஐசோமார்பிசம் ஆகும், ஹோமோலஜியில் தூண்டப்பட்ட ஹோமோமார்பிசம் அனைத்து முழு எண்களுக்கும் ஒரு ஐசோமார்பிசமாக இருந்தால். இதன் விளைவாக வரும் ஹோமோடாபி வகை பெறப்பட்ட வகை டி (ஏ) என்று அழைக்கப்படுகிறது. முட்டாள்தனமான இழைகள் மற்றும் அற்பமான கோஃபைப்ரேஷன்கள் எந்தவொரு மாதிரி வகையிலும், பலவீனமான சமநிலையான ஒரு இழைநிலை ஒரு அற்பமான (அல்லது அசைக்ளிக்) இழைநிலை என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு கோஃபைப்ரேஷன், இது ஒரு பலவீனமான சமநிலையாகும், இது ஒரு அற்பமான (அல்லது அசிக்ளிக்) கோஃபைப்ரேஷன் என்று அழைக்கப்படுகிறது. குறிப்புகள் ஹோமோடோபி கோட்பாடு ஹோமோலாஜிக்கல் அல்ஜீப்ரா சமன்பாடு (கணிதம்)