Weak Hopf algebra
கணிதத்தில், பலவீனமான பியல்ஜெப்ராக்கள் என்பது பியல்ஜெப்ராக்களின் பொதுமைப்படுத்தலாகும், அவை ஆல்ஜெப்ராக்கள் மற்றும் கோல்ஜெப்ராக்கள் ஆகும், ஆனால் இதற்காக இரண்டு கட்டமைப்புகளுக்கும் இடையிலான பொருந்தக்கூடிய நிலைமைகள் "பலவீனமடைந்துள்ளன". அதே உணர்வில், பலவீனமான ஹோப்ஃப் ஆல்ஜிப்ராக்கள் ஒரு நேரியல் வரைபடம் எஸ் உடன் சேர்ந்து குறிப்பிட்ட நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்கின்றன; அவை ஹோப்ஃப் ஆல்ஜிப்ராக்களின் பொதுமைப்படுத்தல்கள். இந்த பொருள்கள் போம், நில் மற்றும் ஸ்லச்சானி ஆகியோரால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டன. அவற்றைப் படிப்பதற்கான முதல் உந்துதல்கள் குவாண்டம் புலக் கோட்பாடு மற்றும் ஆபரேட்டர் ஆல்ஜிப்ராக்களிலிருந்து வந்தன. பலவீனமான ஹோப்ஃப் ஆல்ஜிப்ராக்கள் மிகவும் சுவாரஸ்யமான பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாட்டைக் கொண்டுள்ளன; குறிப்பிட்ட தொகுதிகளில் அரை எளிய வரையறுக்கப்பட்ட பலவீனமான ஹோப்ஃப் அல்ஜிப்ரா ஒரு இணைவு வகையாகும் (இது கூடுதல் பண்புகளைக் கொண்ட ஒரு மோனாய்டல் வகையாகும்). எந்தவொரு இணைவு வகையும் பலவீனமான ஹோப்ஃப் இயற்கணிதத்தின் மீது தொகுதிகளின் வகைக்கு சமம் என்றும் எட்டிங்கோஃப், நிக்ஷிச் மற்றும் ஆஸ்ட்ரிக் ஆகியோரால் காட்டப்பட்டது. வரையறை ஒரு புலத்தின் மீது ஒரு பலவீனமான இருமுனை இயற்கணிதம் என்பது ஒரு திசையன் இடைவெளி ஆகும், இது பெருக்கல் மற்றும் அலகு கொண்ட ஒரு துணை இயற்கண்பாட்டை உருவாக்குகிறது, பெருக்கல் மற்றும் கவுண்டிட்டுடன் ஒரு ஒருங்கிணைந்த நிலக்கரி இயற்கண்பாட்டை உருவாக்குகிறது, இதற்காக பின்வரும் பொருந்தக்கூடிய நிபந்தனைகள் உள்ளனஃ கூட்டுத்திறனின் பெருக்கம்ஃ, கவுண்டிட்டின் பலவீனமான பெருக்கம்ஃ, அலகின் பலவீனமான பெருக்கம்ஃ, அங்கு இரண்டு இழுவிசை காரணிகளை புரட்டுகிறது. மேலும் இது எதிர் பெருக்கம் மற்றும் எதிர் பெருக்கம் ஆகும். திசையன் இடைவெளிகளின் மோனாய்டல் வகைக்கு மேக் லேனின் ஒத்திசைவு தேற்றத்தையும் நாம் மறைமுகமாகப் பயன்படுத்துகிறோம் என்பதை நினைவில் கொள்க. இந்த வரையறை ஒரு இருவேறு இயற்கணிதத்தின் இயற்கணிதம் மற்றும் நிலவள இயற்கண கட்டமைப்புகளுக்கு இடையிலான பொருந்தக்கூடிய தன்மையை பலவீனப்படுத்துகிறது. மேலும் குறிப்பாக, அலகு மற்றும் கவுண்டி பலவீனமடைந்துள்ளன. இது ஒரு பலவீனமான ஹோப்ஃப் இயற்கணிதத்தின் கோட்பாடுகளில் உண்மையாகவே உள்ளது. ஒரு பலவீனமான ஹோப்ஃப் இயற்கணிதம் என்பது ஒரு நேரியல் வரைபடத்துடன் ஒரு பலவீனமான இருமுனை இயற்கணிதம் ஆகும், இது ஆன்டிபோட் என்று அழைக்கப்படுகிறது, இது திருப்திப்படுத்துகிறதுஃ,,. எடுத்துக்காட்டுகள் ஹோப்ஃப் இயற்கணிதம். நிச்சயமாக எந்தவொரு ஹோப்ஃப் இயற்கணிதமும் ஒரு பலவீனமான ஹோப்ஃப் இயற்கணிதமாகும். குரூபாய்டு இயற்கணிதம். ஒரு குரூபாய்டு மற்றும் குரூபாய்டு இயற்கணிதமாக இருக்கட்டும் என்று வைத்துக்கொள்வோம், வேறுவிதமாகக் கூறினால், மார்ஃபிஸம்களால் உருவாக்கப்படும் இயற்கணிதம். நாம் வரையறுத்தால் இது ஒரு பலவீனமான ஹோப்ஃப் இயற்கணிதமாக மாறும். இந்த இரண்டாவது உதாரணம் ஒரு பலவீனமான ஹோப்ஃப் இயற்கணிதம், ஆனால் ஹோப்ஃப் இயற்கணிதம் அல்ல என்பதை நினைவில் கொள்க. பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாடு H ஒரு அரை எளிய வரையறுக்கப்பட்ட பலவீனமான ஹோப்ஃப் இயற்கணிதமாக இருக்கட்டும், பின்னர் H க்கு மேல் உள்ள தொகுதிகள் வரையறுக்கப்பட்ட பல எளிய பொருட்களுடன் அரை எளிய கடினமான மோனாய்டல் வகையை உருவாக்குகின்றன. மேலும் ஹோமோமார்பிசம் இடைவெளிகள் வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண திசையன் இடைவெளிகள் மற்றும் எளிய பொருட்களின் எண்டோமார்பிசம் இடைவெளி ஒரு பரிமாணமாகும். இறுதியாக, மோனாய்டல் அலகு ஒரு எளிய பொருள். அத்தகைய வகை ஒரு இணைவு வகை என்று அழைக்கப்படுகிறது. சில மோனாய்டல் வகை ஒரு ஹோப்ஃப் இயற்கணிதத்தின் மீது தொகுதிகள் அல்ல என்பதைக் காட்டலாம். இணைவு வகைகளைப் பொறுத்தவரை (இவை கூடுதல் நிபந்தனைகளுடன் மோனாய்டல் பிரிவுகள் மட்டுமே), எந்தவொரு இணைவு வகையும் பலவீனமான ஹோப்ஃப் இயற்கணிதத்தின் மீது தொகுதிகளின் வகைக்கு சமம் என்பதை எட்டிங்கோஃப், நிக்ஷிச் மற்றும் ஆஸ்ட்ரிக் நிரூபித்தனர். குறிப்புகள் குறிப்புகள் ஹோப்ஃப் ஆல்ஜிப்ராக்கள்