Ramanujan's master theorem
கணிதத்தில், ஸ்ரீனிவாச ராமானுஜனின் பெயரிடப்பட்ட ராமானுஜனின் மாஸ்டர் தேற்றம், ஒரு பகுப்பாய்வு செயல்பாட்டின் மெலின் உருமாற்றத்திற்கான பகுப்பாய்வு வெளிப்பாட்டை வழங்கும் ஒரு நுட்பமாகும். இதன் விளைவாக பின்வருமாறு குறிப்பிடப்பட்டுள்ளதுஃ ஒரு சிக்கலான மதிப்புள்ள செயல்பாடு வடிவத்தின் விரிவாக்கத்தை கொண்டிருந்தால், காமா செயல்பாடு எங்குள்ளது என்பதன் மூலம் மெலின் உருமாற்றம் வழங்கப்படுகிறது. திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்புகள் மற்றும் எல்லையற்ற தொடர்களைக் கணக்கிட ராமானுஜனால் இது பரவலாகப் பயன்படுத்தப்பட்டது. இந்த தேற்றத்தின் உயர் பரிமாண பதிப்புகள் குவாண்டம் இயற்பியலிலும் (ஃபேய்ன்மேன் வரைபடங்கள் மூலம்) காணப்படுகின்றன. இதேபோன்ற முடிவை க்ளைஷரும் பெற்றார். மாற்று சம்பிரதாயம் ராமானுஜனின் முதன்மை தேற்றத்தின் ஒரு மாற்று சூத்திரம் பின்வருமாறுஃ இது காமா செயல்பாட்டிற்கான செயல்பாட்டு சமன்பாட்டை மாற்றி பயன்படுத்திய பிறகு மேலே உள்ள வடிவத்திற்கு மாற்றப்படுகிறது. மேலே உள்ள ஒருங்கிணைப்பு வளர்ச்சி நிலைமைகளுக்கு உட்பட்டு ஒருங்கிணைந்ததாகும். ஆதாரம் ராமானுஜனின் மாஸ்டர் தேற்றத்திற்கு "இயற்கையான" அனுமானங்களுக்கு உட்பட்ட ஒரு ஆதாரம் (பலவீனமான தேவையான நிபந்தனைகள் அல்ல என்றாலும்) ஜி. எச். ஹார்டியால் (அத்தியாயம் XI) எஞ்சிய தேற்றம் மற்றும் நன்கு அறியப்பட்ட மெல்லின் தலைகீழ் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி வழங்கப்பட்டது. பெர்னௌலி பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கான பயன்பாடு பெர்னௌலி பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் உருவாக்கும் செயல்பாடு பின்வருமாறு வழங்கப்படுகிறதுஃ இந்த பல்லுறுப்புக்கோவைகள் ஹர்விட்ஸ் ஜீட்டா செயல்பாட்டின் அடிப்படையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளனஃ for. ராமானுஜன் மாஸ்டர் தேற்றம் மற்றும் பெர்னௌலி பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் உருவாக்கும் செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தி பின்வரும் ஒருங்கிணைந்த பிரதிநிதித்துவத்தைக் கொண்டுள்ளதுஃ இது செல்லுபடியாகும். காமா செயல்பாட்டிற்கான பயன்பாடு காமா செயல்பாட்டைப் பற்றிய வியர்ஸ்ட்ராஸின் வரையறை ரீமன் ஜீட்டா செயல்பாடு எங்கே என்ற வெளிப்பாட்டிற்கு சமம். பின்னர் ராமானுஜன் மாஸ்டர் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துவது நம்மிடம் உள்ளதுஃ இதற்கு செல்லுபடியாகும். ராமானுஜனின் மாஸ்டர் தேற்றத்தின் படி, காமா செயல்பாடு மற்றும் மறுசீரமைப்புக்கான சில அடையாளங்களுடன், முதல் வகையான பெசல் செயல்பாடு சக்தி தொடரைக் கொண்டுள்ளது, இதற்கு செல்லுபடியாகும் ஒருங்கிணைப்பை நாம் மதிப்பீடு செய்யலாம். சமமாக, கோள பெசல் செயல்பாடு விரும்பப்பட்டால், சூத்திரம் செல்லுபடியாகும். காமா செயல்பாட்டிற்கான முக்கிய அடையாளங்களில் இடைக்கணிப்பு செய்ய முடியும் என்பதால் தீர்வு குறிப்பிடத்தக்கது. குறிப்பாக, இன் தேர்வு காமா செயல்பாட்டின் சதுரத்தை அளிக்கிறது, நகல் சூத்திரத்தை அளிக்கிறது, பிரதிபலிப்பு சூத்திரத்தை அளிக்கிறது, மற்றும் மதிப்பீடு செய்யப்பட்டதை சரிசெய்கிறது அல்லது காமா செயல்பாட்டை தானாகவே பிரதிபலிப்பு மற்றும் அளவிடுதல் வரை வழங்குகிறது. பிராக்கெட் ஒருங்கிணைப்பு முறை பிராக்கெட் ஒருங்கிணைப்பு முறை (பிராக்கெட்டுகளின் முறை) ராமானுஜனின் மாஸ்டர் தேற்றத்தை பரந்த அளவிலான ஒருங்கிணைப்புகளுக்கு பயன்படுத்துகிறது. அடைப்புக்குறி ஒருங்கிணைப்பு முறை ஒரு தொடர் விரிவாக்கத்தின் ஒருங்கிணைப்பை உருவாக்குகிறது, எளிமையான குறியீடுகளை அறிமுகப்படுத்துகிறது, நேரியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கிறது மற்றும் ராமானுஜனின் மாஸ்டர் தேற்றத்திலிருந்து எழும் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி ஒருங்கிணைப்பை நிறைவு செய்கிறது. ஒரு தொடர் விரிவாக்கத்தின் ஒருங்கிணைப்பை உருவாக்குங்கள் இந்த முறை M மாறிகள், மற்றும் S கூட்டுத்தொகை அளவுருக்களை உள்ளடக்கிய ஒரு தொடர் விரிவாக்கத்தின் ஒருங்கிணைப்புக்கு ஒருங்கிணைப்பை மாற்றுகிறது. ஒரு பன்முக ஒருங்கிணைப்பு இந்த வடிவத்தை எடுக்கலாம். பிராக்கெட் (), இண்டிகேட்டர் () மற்றும் மோனோமியல் பவர் குறியீடுகள் தொடர் விரிவாக்கத்தில் உள்ள சொற்களை மாற்றுகின்றன. இந்த குறியீடுகளின் பயன்பாடு ஒருங்கிணைந்த பி அடைப்புக்குறிகளைக் கொண்ட ஒரு அடைப்புக்குறி தொடராக மாற்றுகிறது. ஒவ்வொரு அடைப்புக்குறித் தொடரிலும் குறியீடு = தொகைகளின் எண்ணிக்கை-அடைப்புகளின் எண்ணிக்கை என வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு குறியீடு உள்ளது. ஒரு ஒருங்கிணைப்பின் அனைத்து அடைப்புக்குறி தொடர் பிரதிநிதித்துவங்களிலும், குறைந்தபட்ச குறியீட்டைக் கொண்ட பிரதிநிதித்துவம் விரும்பப்படுகிறது. நேரியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கவும் குணகங்களின் வரிசை பின்வரும் நேரியல் சமன்பாடுகளின் தொகுப்பைத் தீர்க்க அதிகபட்ச தரவரிசை, நேரியல் சுயாதீனமான முன்னணி நெடுவரிசைகளைக் கொண்டிருக்க வேண்டும். குறியீடு எதிர்மறையாக இல்லாவிட்டால், ஒவ்வொன்றிற்கும் இந்த சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும். சொற்கள் நேரியல் செயல்பாடுகளாக இருக்கலாம். குறியீடு பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், சமன்பாடு () ஒவ்வொருவருக்கும் இந்த சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கு எளிதாக்குகிறது குறியீடு எதிர்மறையாக இருந்தால், ஒருங்கிணைப்பை தீர்மானிக்க முடியாது. குறியீடு எதிர்மறையாக இல்லாவிட்டால், ஒருங்கிணைப்புக்கான சூத்திரம் இந்த வடிவமாகும். இந்த விதிகள் பொருந்தும். இலவச கூட்டுத்தொகை அளவுருக்களின் ஒவ்வொரு தேர்வுக்கும் ஒரு தொடர் உருவாக்கப்படுகிறது. ஒரு பொதுவான பிராந்தியத்தில் தொடர் ஒருங்கிணைப்பு சேர்க்கப்படுகிறது. ஒரு தேர்வு வேறுபட்ட தொடர் அல்லது பூஜ்யத் தொடரை (பூஜ்ஜிய மதிப்புள்ள சொற்களைக் கொண்ட தொடர்) உருவாக்கினால், தொடர் நிராகரிக்கப்படும். எதிர்மறை குறியீட்டின் ஒரு அடைப்புக்குறி தொடர் எந்த மதிப்பையும் ஒதுக்கவில்லை. அனைத்து தொடர்களும் நிராகரிக்கப்பட்டால், முறையைப் பயன்படுத்த முடியாது. குறியீடு பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், சூத்திரம் இந்த சூத்திரத்திற்கு எளிதாக்குகிறது மற்றும் தொகை எதுவும் ஏற்படாது. கணித அடிப்படை இந்த மாறி மாற்றத்தை பொது ஒருங்கிணைந்த வடிவத்திற்கு () பயன்படுத்தவும். . இது மாற்றப்பட்ட ஒருங்கிணைப்பு () மற்றும் ராமானுஜனின் மாஸ்டர் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துவதன் விளைவாகும். அடைப்புகளின் எண்ணிக்கை (B) என்பது ஒருங்கிணைப்புகளின் எண்ணிக்கை (M) () க்கு சமம். வழிமுறையின் சூத்திரங்களை (,) உருவாக்குவதோடு மட்டுமல்லாமல், மாறி மாற்றம் வழிமுறையின் நேரியல் சமன்பாடுகளையும் (,) உருவாக்குகிறது. எடுத்துக்காட்டு அடைப்புக்குறி ஒருங்கிணைப்பு முறை இந்த ஒருங்கிணைப்புக்கு பயன்படுத்தப்படுகிறது. தொடர் விரிவாக்கத்தின் () ஒருங்கிணைப்பை உருவாக்குங்கள். சிறப்பு குறியீடுகளைப் பயன்படுத்துங்கள் (,). நேரியல் சமன்பாடு () ஐத் தீர்க்கவும். () என்ற சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துங்கள். குறிப்புகள் வெளிப்புற இணைப்புகள் ஸ்ரீனிவாச ராமானுஜன் கோட்பாடுகள் பகுப்பாய்வு எண் கோட்பாட்டில்