Kasch ring
வளையக் கோட்பாட்டில், சுருக்க இயற்கணிதத்தின் ஒரு துணைப்பகுதி, ஒரு வலது காஸ்க் வளையம் என்பது ஒரு வளையம் R ஆகும், இதற்காக ஒவ்வொரு எளிய வலது R தொகுதியும் R இன் வலது இலட்சியத்திற்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும். இதேபோல் இடது காஸ்க் வளையத்தின் கருத்து வரையறுக்கப்படுகிறது, மேலும் இரண்டு பண்புகளும் ஒருவருக்கொருவர் சுயாதீனமாக உள்ளன. காஸ்க் வளையங்கள் கணிதவியலாளர் ஃப்ரெட்ரிக் காஸ்க் நினைவாக பெயரிடப்பட்டுள்ளன. காஸ்க் முதலில் ஆர்டினியன் வளையங்கள் என்று அழைக்கப்பட்டது, அதன் சரியான இலட்சியங்கள் பூஜ்ஜியமற்ற அனிஹிலேட்டர்கள் எஸ்-வளையங்களைக் கொண்டுள்ளன. கீழே உள்ள குணாதிசயங்கள் காஸ்க் வளையங்கள் எஸ்-வளையங்களை பொதுமைப்படுத்துகின்றன என்பதைக் காட்டுகின்றன. வரையறை சமமான வரையறைகள் வலது கை பதிப்பிற்கு மட்டுமே அறிமுகப்படுத்தப்படும், இடது கை ஒப்புமைகளும் உண்மை என்ற புரிதலுடன். காஷ் நிபந்தனைகள் அனிஹிலேட்டர்கள் என்ற கருத்தைப் பயன்படுத்தி சில சமமான அறிக்கைகளைக் கொண்டுள்ளன, மேலும் இந்த கட்டுரை அனிஹிலேட்டர் கட்டுரையில் தோன்றும் அதே குறியீட்டைப் பயன்படுத்துகிறது. அறிமுகத்தில் கொடுக்கப்பட்ட வரையறைக்கு கூடுதலாக, பின்வரும் பண்புகள் ஒரு வளையம் R சரியானது என்பதற்கான சமமான வரையறைகளாகும். அவை பின்வருவனவற்றில் தோன்றும்ஃ ஒவ்வொரு எளிய வலது R தொகுதி M க்கும், M இலிருந்து R க்கு ஒரு பூஜ்ஜியமற்ற தொகுதி ஒத்த உருவகம் உள்ளது. R இன் அதிகபட்ச வலது இலட்சியங்கள் வளைய கூறுகளின் சரியான அழிப்பான்கள், அதாவது, ஒவ்வொன்றும் x என்பது R இல் இருக்கும் வடிவத்தில் உள்ளது. R இன் எந்த அதிகபட்ச வலது இலட்சிய T க்கும்,. R இன் சரியான ஐடியல் T க்கு,. R இன் எந்த அதிகபட்ச வலது ஐடியல் T க்கும்,. R க்கு R ஐத் தவிர அடர்த்தியான வலது இலட்சியங்கள் எதுவும் இல்லை. எடுத்துக்காட்டுகள் கீழே உள்ள உள்ளடக்கத்தை,, போன்ற குறிப்புகளில் காணலாம். R என்பது ஜேகோப்சன் ரேடிக்கல் J உடன் அரை முதன்மை வளையமாக இருக்கட்டும். R என்பது பரிமாற்றமாக இருந்தால், அல்லது R/J ஒரு எளிய வளையமாக இருந்தால், R என்பது வலது (மற்றும் இடது) காஸ்க் ஆகும். குறிப்பாக, பரிமாற்ற ஆர்டினியன் வளையங்கள் வலது மற்றும் இடது காஸ்க் ஆகும். ஒரு பிரிவு வளையம் k க்கு, k இலிருந்து உள்ளீடுகளுடன் நான்கு-ஆல்-நான்கு மேட்ரிக்ஸ் வளையத்தின் ஒரு குறிப்பிட்ட சபரிங் R ஐக் கவனியுங்கள். சபரிங் R பின்வரும் வடிவத்தின் மேட்ரிக்ஸ்களைக் கொண்டுள்ளதுஃ இது ஒரு வலது மற்றும் இடது ஆர்டினியன் வளையம், இது வலது காஸ்க், ஆனால் இடது காஸ்க் அல்ல. ஒரு புலம் F இன் குணகங்களுடன் இரண்டு பரிமாற்றமற்ற மாறிகள் X மற்றும் Y இல் சக்தி தொடரின் வளையமாக S இருக்கட்டும். ஈவு வளையம் S/A என்பது ஒரு உள்ளூர் வளையமாகும், இது வலது காஷ் ஆனால் இடது காஷ் அல்ல. ஆர் என்பது அக் என்று பெயரிடப்பட்ட எண்ணற்ற பூஜ்ஜியமற்ற பல வளையங்களின் வளைய நேரடி தயாரிப்பு என்று வைத்துக்கொள்வோம். இந்த இலட்சியத்தின் இடது மற்றும் வலது அனிஹிலேட்டர்கள் பூஜ்ஜியமாக உள்ளனவா என்பதை எளிதில் சரிபார்க்கப்படுகிறது, எனவே R என்பது வலது அல்லது இடது காஸ்க் அல்ல. இரண்டு-பை-இரண்டு மேல் (அல்லது கீழ்) முக்கோண அணி வளையம் வலது அல்லது இடது காஷ் அல்ல. வலது சொக்கிள் பூஜ்ஜியத்துடன் ஒரு வளையம் (அதாவது) வளையத்தில் குறைந்தபட்ச சரியான இலட்சியங்கள் இல்லாததால், அது சரியாக இருக்க முடியாது. எனவே, எடுத்துக்காட்டாக, பிரிவு வளையங்கள் இல்லாத களங்கள் வலது அல்லது இடது காஸ்க் அல்ல. குறிப்புகள் இயற்கணித கட்டமைப்புகள் வளையக் கோட்பாடு