Niven's theorem
கணிதத்தில், இவான் நிவேனின் பெயரால் பெயரிடப்பட்ட நிவேனின் தேற்றம், 0° ≤ θ ≤ 90° இடைவெளியில் θ இன் ஒரே விகிதமுறு மதிப்புகள், இதற்கு θ டிகிரிகளின் சைனும் ஒரு விகிதமுறு எண்ணாகும்ஃ ரேடியன்களில், 0 ≤ x ≤/2, அந்த x/விகிதமுறு, மற்றும் சின்க்ஸ் விகிதமுறு இருக்க வேண்டும். முடிவு என்னவென்றால், அத்தகைய மதிப்புகள் சைன் 0 = 0, சைன்/6 = 1/2, மற்றும் சைன்/2 = 1 மட்டுமே. பகுத்தறிவற்ற எண்கள் குறித்த நிவேனின் புத்தகத்தில் இந்த தேற்றம் கரோலரி 3.12 ஆக தோன்றுகிறது. இந்த தேற்றம் மற்ற முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளுக்கும் விரிவடைகிறது. θ இன் விகிதமுறு மதிப்புகளுக்கு, சைன் அல்லது கொசைனின் விகிதமுறு மதிப்புகள் 0, ±1/2, மற்றும் ±1 மட்டுமே; செகண்ட் அல்லது கொசெகண்டின் விகிதமுறு மதிப்புகள் ±1 மற்றும் ±2 மட்டுமே; மற்றும் தொடுகோடு அல்லது கோட்டாஞ்சென்ட்டின் விகிதமுறு மதிப்புகள் 0 மற்றும் ±1 மட்டுமே. அவரது தேற்றத்தின் வரலாறு நிவேனின் ஆதாரம் அவரது புத்தகமான பகுத்தறிவற்ற எண்களில் காணப்படுகிறது. முன்னதாக, இந்த தேற்றத்தை டி. எச். லெஹ்மர் மற்றும் ஜே. எம். எச். ஓல்ம்ஸ்டெட் ஆகியோர் நிரூபித்தனர். லெஹ்மர் தனது 1933 ஆய்வறிக்கையில், கொசைனுக்கான தேற்றத்தை மிகவும் பொதுவான முடிவை நிரூபிப்பதன் மூலம் நிரூபித்தார். அதாவது, லெஹ்மர் ஒப்பீட்டளவில் பகா முழு எண்கள் மற்றும் உடன், எண் ஒரு இயற்கணித எண் டிகிரி என்று காட்டியது, அங்கு யூலரின் டோசியன்ட் செயல்பாட்டைக் குறிக்கிறது. விகிதமுறு எண்களுக்கு படி 1 இருப்பதால், நம்மிடம் இருக்க வேண்டும், எனவே சாத்தியக்கூறுகள் 1,2,3,4 அல்லது 6 மட்டுமே. அடுத்து, முக்கோணவியல் அடையாளத்தைப் பயன்படுத்தி சைனுக்கான தொடர்புடைய முடிவை அவர் நிரூபித்தார். 1956 ஆம் ஆண்டில், நிவேன் லெஹ்மரின் முடிவை மற்ற முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளுக்கு விரிவுபடுத்தினார். பிற கணிதவியலாளர்கள் அடுத்தடுத்த ஆண்டுகளில் புதிய சான்றுகளை வழங்கியுள்ளனர். மேலும் காண்கஃ பித்தகோரிய முக்கோணங்கள் சரியான முக்கோணங்களை உருவாக்குகின்றன, அங்கு முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் எப்போதும் பகுத்தறிவு மதிப்புகளை எடுக்கும், இருப்பினும் கடுமையான கோணங்கள் பகுத்தறிவு முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் அல்ல முக்கோணவியல் எண் குறிப்புகள் மேலும் வாசிப்பு வெளிப்புற இணைப்புகள் வடிவவியலில் பகுத்தறிவு எண்கள் முக்கோணவியல் தேற்றம் இயற்கணிதத்தில் உள்ள தேற்றம்