Murnaghan equation of state
முர்ணகன் நிலைச் சமன்பாடு என்பது ஒரு பொருளின் அளவிற்கும் அது உட்படுத்தப்படும் அழுத்தத்திற்கும் இடையிலான உறவாகும். புவி அறிவியல் மற்றும் அதிர்ச்சி இயற்பியலில் உயர் அழுத்த நிலைமைகளின் கீழ் பொருளின் நடத்தையை மாதிரியாக்க பயன்படுத்தப்படும் பல நிலை சமன்பாடுகளில் இதுவும் ஒன்றாகும். 1944 ஆம் ஆண்டில் ஒரு சோதனை ரீதியாக நிறுவப்பட்ட உண்மையை பிரதிபலிக்கும் வகையில் முடிந்தவரை பரந்த அழுத்த வரம்பின் கீழ் பொருள் நடத்தையை பிரதிபலிக்க முன்மொழிந்த பிரான்சிஸ் டி. முர்னாகனுக்கு இது அதன் பெயரைக் கடன்பட்டுள்ளதுஃ ஒரு திடப்பொருள் எவ்வளவு சுருக்கப்படுகிறதோ, அதை மேலும் சுருக்குவது மிகவும் கடினம். முர்னாகன் சமன்பாடு, சில அனுமானங்களின் கீழ், தொடர்ச்சியான இயக்கவியலின் சமன்பாடுகளிலிருந்து பெறப்படுகிறது. இது இரண்டு சரிசெய்யக்கூடிய அளவுருக்களை உள்ளடக்கியதுஃ சுருக்கமின்மை K0 இன் மாடுலஸ் மற்றும் அழுத்தத்தைப் பொறுத்தவரை அதன் முதல் வழித்தோன்றல், K′0, இரண்டும் சுற்றுப்புற அழுத்தத்தில் அளவிடப்படுகின்றன. பொதுவாக, இந்த குணகங்கள் P அழுத்தத்தின் செயல்பாடாக தொகுதி V இன் சோதனை ரீதியாக பெறப்பட்ட மதிப்புகளின் பின்னடைவால் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன. இந்த சோதனைத் தரவுகளை எக்ஸ்ரே விலகல் அல்லது அதிர்ச்சி சோதனைகள் மூலம் பெறலாம். ஏபி-தொடக்க மற்றும் மூலக்கூறு இயக்கவியல் கணக்கீடுகளிலிருந்து பெறப்பட்ட அளவின் செயல்பாடாக ஆற்றலின் மதிப்புகளில் பின்னடைவு செய்யப்படலாம். முனகன் நிலைச் சமன்பாடு பொதுவாக பின்வருமாறு வெளிப்படுத்தப்படுகிறதுஃ சுருக்கத்தின் கீழ் அளவின் குறைப்பு குறைவாக இருந்தால், அதாவது, V/V0 க்கு சுமார் 90 சதவீதத்திற்கும் அதிகமாக இருந்தால், முனகன் சமன்பாடு திருப்திகரமான துல்லியத்துடன் சோதனைத் தரவை மாதிரியாக்க முடியும். மேலும், முன்மொழியப்பட்ட பல நிலைச் சமன்பாடுகளைப் போலல்லாமல், இது அழுத்தம் V (P) இன் செயல்பாடாக தொகுதியின் வெளிப்படையான வெளிப்பாட்டை அளிக்கிறது. ஆனால் அதன் செல்லுபடியின் வரம்பு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது மற்றும் இயற்பியல் விளக்கம் போதுமானதாக இல்லை. இருப்பினும், இந்த நிலைச் சமன்பாடு திட வெடிபொருட்களின் மாதிரிகளில் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. நிலையின் மிகவும் விரிவான சமன்பாடுகளில், புவி இயற்பியலில் மிகவும் பயன்படுத்தப்படுவது நிலையின் பிர்ச்-முர்னகன் சமன்பாடு ஆகும். உலோகங்கள் மற்றும் உலோகக்கலவைகளின் அதிர்ச்சி இயற்பியலில், பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படும் மற்றொரு நிலைச் சமன்பாடு மை-க்ரூனீஸென் நிலைச் சமன்பாடு ஆகும். பின்னணி கிரகத்தின் உள் அடுக்குகளின் கூறுகளின் இயந்திர பண்புகள் பற்றிய அறிவின் மூலம் பூமியின் உள் அமைப்பு பற்றிய ஆய்வு தீவிர நிலைமைகளை உள்ளடக்கியது; அழுத்தத்தை நூற்றுக்கணக்கான ஜிகபாஸ்கல் மற்றும் ஆயிரக்கணக்கான டிகிரிகளில் வெப்பநிலையில் கணக்கிடலாம். இந்த நிலைமைகளின் கீழ் பொருளின் பண்புகள் பற்றிய ஆய்வு நிலையான அழுத்தங்களுக்கு வைர அன்வில் செல் போன்ற சாதனங்கள் மூலம் சோதனை ரீதியாக செய்யப்படலாம் அல்லது பொருளை அதிர்ச்சி அலைகளுக்கு உட்படுத்துவதன் மூலம் செய்யப்படலாம். இது நிலைச் சமன்பாட்டைத் தீர்மானிப்பதற்கான தத்துவார்த்தப் பணிகளுக்கும் வழிவகுத்தது, அதாவது இந்த விஷயத்தில் பொருளின் நிலையை வரையறுக்கும் வெவ்வேறு அளவுருக்களுக்கு இடையிலான உறவுகள்ஃ அளவு (அல்லது அடர்த்தி), வெப்பநிலை மற்றும் அழுத்தம். இரண்டு அணுகுமுறைகள் உள்ளனஃ இடைநிலை ஆற்றல்களிலிருந்து பெறப்பட்ட நிலை சமன்பாடுகள், அல்லது ஏபி தொடக்க கணக்கீடுகள்; நிலை சமன்பாடுகளின் இயக்கவியல் மற்றும் வெப்ப இயக்கவியலின் பொதுவான உறவுகளிலிருந்து பெறப்பட்டது. முர்னாகன் சமன்பாடு இந்த இரண்டாவது வகையைச் சேர்ந்தது. பல்வேறு எழுத்தாளர்களால் டஜன் கணக்கான சமன்பாடுகள் முன்மொழியப்பட்டுள்ளன. இவை அனுபவ ரீதியான உறவுகள், தரம் மற்றும் பொருத்தப்பாடு அதன் பயன்பாட்டைப் பொறுத்தது மற்றும் வெவ்வேறு அளவுகோல்களால் தீர்மானிக்கப்படலாம்ஃ சம்பந்தப்பட்ட சுயாதீன அளவுருக்களின் எண்ணிக்கை, இந்த அளவுருக்களுக்கு ஒதுக்கக்கூடிய இயற்பியல் பொருள், சோதனைத் தரவுகளின் தரம் மற்றும் அதிக சுருக்கத்தில் திடப்பொருட்களின் நடத்தையை விரிவுபடுத்தும் திறனை அடிப்படையாகக் கொண்ட கோட்பாட்டு அனுமானங்களின் நிலைத்தன்மை. நிலைச் சமன்பாட்டிற்கான வெளிப்பாடுகள் பொதுவாக, நிலையான வெப்பநிலையில், மொத்த மாடுலஸ் பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறதுஃ P மற்றும் V ஐ இணைக்கும் நிலைச் சமன்பாட்டைப் பெறுவதற்கான எளிதான வழி K நிலையானது என்று கருதுவதாகும், அதாவது, திண்மத்தின் அழுத்தம் மற்றும் சிதைவிலிருந்து சுயாதீனமாக, பின்னர் நாம் ஹூக்கின் விதியைக் காண்கிறோம். இந்த விஷயத்தில், அழுத்தத்துடன் தொகுதி அதிவேகமாக குறைகிறது. இது திருப்திகரமான முடிவு அல்ல, ஏனெனில் ஒரு திடப்பொருள் சுருக்கப்பட்டால், சுருக்குவது மிகவும் கடினம் என்று சோதனை ரீதியாக நிறுவப்பட்டுள்ளது. மேலும் செல்ல, அழுத்தத்துடன் திடப்பொருளின் நெகிழ்வான பண்புகளின் மாறுபாடுகளை நாம் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும். மொத்த மாடுலஸ் என்பது அழுத்தத்தின் ஒரு நேரியல் செயல்பாடு என்று முர்நகன் அனுமானிக்கிறார்ஃ முர்நகன் சமன்பாடு வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்பின் விளைவாகும்ஃ அழுத்தத்தைப் பொறுத்து அளவையும் நாம் வெளிப்படுத்தலாம்ஃ இருப்பினும் இந்த எளிமைப்படுத்தப்பட்ட விளக்கக்காட்சியை பாயியர் கடுமையாக விமர்சிக்கிறார். மாடுலஸ் மற்றும் வெப்ப விரிவாக்க குணகத்தின் உற்பத்தியின் சுருக்கமின்மை கொடுக்கப்பட்ட பொருளின் அழுத்தத்தைப் பொறுத்தது அல்ல என்ற உண்மையிலிருந்து அதே உறவை வேறு வழியில் காட்ட முடியும். இந்த நிலைச் சமன்பாடு பழைய பாலிட்ரோப் உறவின் பொதுவான நிகழ்வாகும், இது ஒரு நிலையான சக்தி உறவையும் கொண்டுள்ளது. சில சூழ்நிலைகளில், குறிப்பாக ab initio கணக்கீடுகள் தொடர்பாக, அளவின் செயல்பாடாக ஆற்றலின் வெளிப்பாடு விரும்பப்படும், இது மேலே உள்ள சமன்பாட்டை உறவின் படி ஒருங்கிணைப்பதன் மூலம் பெறப்படலாம். இது 3 இலிருந்து வேறுபட்ட K′0 க்கு எழுதப்படலாம், நன்மைகள் மற்றும் வரம்புகள் அதன் எளிமை இருந்தபோதிலும், முர்னாகன் சமன்பாடு K0/2 வரிசையில், மிகவும் பெரியதாக இருக்கக்கூடிய அழுத்தங்களின் வரம்பிற்கு சோதனை தரவை மீண்டும் உருவாக்க முடியும். V/V0 விகிதம் சுமார் 90 சதவீதத்திற்கு மேல் இருப்பதால் இது திருப்திகரமாக உள்ளது. இந்த வரம்பில், அழுத்தத்தின் செயல்பாடாக அளவை வெளிப்படுத்த விரும்பினால், பிற நிலை சமன்பாடுகளுடன் ஒப்பிடும்போது முர்னாகன் சமன்பாடு ஒரு நன்மையைக் கொண்டுள்ளது. ஆயினும்கூட, பிற சமன்பாடுகள் சிறந்த முடிவுகளை வழங்கக்கூடும், மேலும் பல கோட்பாட்டு மற்றும் சோதனை ஆய்வுகள் முர்னாகன் சமன்பாடு பல சிக்கல்களுக்கு திருப்திகரமாக இல்லை என்பதைக் காட்டுகின்றன. எனவே, V/V0 விகிதம் மிகவும் குறைவாக இருக்கும் அளவிற்கு, K′ 5/3 க்கு செல்கிறது என்று கோட்பாடு கணித்துள்ளது, இது தாமஸ்-ஃபெர்மி வரம்பாகும். இருப்பினும், முர்னாகன் சமன்பாட்டில், K′ நிலையானது மற்றும் அதன் ஆரம்ப மதிப்புக்கு அமைக்கப்பட்டுள்ளது. குறிப்பாக, K′0 = 5/3 மதிப்பு சில சூழ்நிலைகளில் கோட்பாட்டுடன் பொருந்தாது. உண்மையில், எக்ஸ்ட்ராபோலேட் செய்யப்படும்போது, முர்னகன் சமன்பாட்டால் கணிக்கப்பட்ட நடத்தை மிக விரைவாக சாத்தியமற்றதாகிவிடும். இந்த தத்துவார்த்த வாதத்தைப் பொருட்படுத்தாமல், K′ அழுத்தத்துடன் குறைகிறது என்பதை அனுபவம் தெளிவாகக் காட்டுகிறது, அல்லது வேறுவிதமாகக் கூறினால், சுருக்கமின்மை மாடுலஸ் K′′ இன் இரண்டாவது வழித்தோன்றல் கண்டிப்பாக எதிர்மறையாக உள்ளது. அதே கொள்கையை அடிப்படையாகக் கொண்ட இரண்டாவது வரிசை கோட்பாடு (அடுத்த பகுதியைப் பார்க்கவும்) இந்த அவதானிப்புக்கு காரணமாக இருக்கலாம், ஆனால் இந்த அணுகுமுறை இன்னும் திருப்திகரமாக இல்லை. உண்மையில், இது அழுத்தம் முடிவிலிக்குச் செல்லும் வரம்பில் எதிர்மறை மொத்த மாடுலஸுக்கு வழிவகுக்கிறது. உண்மையில், எந்த பல்லுறுப்புக்கோவை விரிவாக்கம் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டாலும் இது ஒரு தவிர்க்க முடியாத முரண்பாடாகும், ஏனெனில் எப்போதும் முடிவிலிக்கு மாறுபடும் ஒரு மேலாதிக்க சொல் இருக்கும். இந்த முக்கியமான வரம்புகள் முர்னாகன் சமன்பாட்டை கைவிட வழிவகுத்தன, இதை டபிள்யூ. ஹோல்ஸாபெல் "எந்தவொரு இயற்பியல் நியாயப்படுத்தலும் இல்லாத ஒரு பயனுள்ள கணித வடிவம்" என்று அழைக்கிறார். நடைமுறையில், சுருக்க தரவுகளின் பகுப்பாய்வு மிகவும் அதிநவீன நிலை சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி செய்யப்படுகிறது. அறிவியல் சமூகத்தில் மிகவும் பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படும் பிர்ச்-முர்னாகன் சமன்பாடு, சேகரிக்கப்பட்ட தரவுகளின் தரத்தில் இரண்டாவது அல்லது மூன்றாவது வரிசையில் உள்ளது. இறுதியாக, இந்த வகை நிலைச் சமன்பாட்டின் மிகவும் பொதுவான வரம்பு, உருகுவதன் அழுத்தம் மற்றும் வெப்பநிலையால் தூண்டப்பட்ட கட்ட மாற்றங்களை கணக்கில் எடுத்துக் கொள்ள இயலாமை, ஆனால் அடர்த்தி மற்றும் மொத்த மாடுலஸில் திடீர் மாற்றங்களை ஏற்படுத்தக்கூடிய பல திட-திட மாற்றங்களும் அழுத்தத்தின் அடிப்படையில். எடுத்துக்காட்டுகள் நடைமுறையில், முர்னாகன் சமன்பாடு ஒரு தரவுத் தொகுப்பில் பின்னடைவைச் செய்யப் பயன்படுத்தப்படுகிறது, அங்கு ஒருவர் குணகங்கள் K0 மற்றும் K′0 இன் மதிப்புகளைப் பெறுகிறார். பெறப்பட்ட இந்த குணகங்கள் மற்றும் சுற்றுப்புற நிலைமைகளுக்கு அளவின் மதிப்பை அறிந்தால், கொள்கையளவில் எந்த அழுத்தத்திற்கும் தொகுதி, அடர்த்தி மற்றும் மொத்த மாடுலஸைக் கணக்கிட முடியும். தரவுத் தொகுப்பு பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்பட்ட அழுத்தத்தின் வெவ்வேறு மதிப்புகளுக்கான தொகுதி அளவீடுகளின் தொடராகும், இது பெரும்பாலும் எக்ஸ்ரே விலகல் மூலம் பெறப்படுகிறது. கோட்பாட்டு தரவுகளில் வேலை செய்வதும் சாத்தியமாகும், ஏபி இன்ஷியோ முறைகள் மூலம் அளவின் வெவ்வேறு மதிப்புகளுக்கான ஆற்றலைக் கணக்கிடுவது, பின்னர் இந்த முடிவுகளைத் திரும்பப் பெறுவது. இது நெகிழ்ச்சித்தன்மையின் மாடுலஸின் தத்துவார்த்த மதிப்பை வழங்குகிறது, இது சோதனை முடிவுகளுடன் ஒப்பிடப்படலாம். பின்வரும் அட்டவணை வெவ்வேறு பொருட்களின் சில முடிவுகளை பட்டியலிடுகிறது, முர்நகன் சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தி செய்யப்பட்ட சில எண் பகுப்பாய்வுகளை விளக்கும் ஒரே நோக்கத்துடன், பெறப்பட்ட மாதிரிகளின் தரத்திற்கு பாராபட்சம் இல்லாமல். முர்னாகன் சமன்பாட்டின் இயற்பியல் பொருள் குறித்து முந்தைய பகுதியில் கூறப்பட்ட விமர்சனங்களைப் பொறுத்தவரை, இந்த முடிவுகளை எச்சரிக்கையுடன் பரிசீலிக்க வேண்டும். விரிவாக்கங்கள் மற்றும் பொதுமைப்படுத்தல்கள் மாதிரிகளை மேம்படுத்த அல்லது மேலே கோடிட்டுக் காட்டப்பட்ட விமர்சனங்களைத் தவிர்க்க, முர்னாகன் சமன்பாட்டின் பல பொதுமைப்படுத்தல்கள் முன்மொழியப்பட்டுள்ளன. அவை வழக்கமாக ஒரு எளிமைப்படுத்தும் அனுமானத்தை கைவிட்டு, மற்றொரு சரிசெய்யக்கூடிய அளவுருவைச் சேர்க்கின்றன. இது சுத்திகரிப்பின் குணங்களை மேம்படுத்தலாம், ஆனால் சிக்கலான வெளிப்பாடுகளுக்கும் வழிவகுக்கும். இந்த கூடுதல் அளவுருக்களின் இயற்பியல் பொருள் பற்றிய கேள்வியும் எழுப்பப்படுகிறது. முந்தைய வளர்ச்சியில் ஒரு கூடுதல் சொல் பி 2 ஐச் சேர்ப்பதே ஒரு சாத்தியமான உத்தி, அதற்கு இது தேவைப்படுகிறது. இந்த வேறுபட்ட சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது இரண்டாவது வரிசை முர்னகனின் சமன்பாட்டை வழங்குகிறதுஃ எங்கே. முதல் வரிசை சமன்பாடு எடுப்பதில் இயற்கையாகவே காணப்படுகிறது. 2 க்கும் அதிகமான வரிசையில் வளர்ச்சிகள் கொள்கையளவில் சாத்தியமாகும், ஆனால் ஒவ்வொரு காலத்திற்கும் ஒரு சரிசெய்யக்கூடிய அளவுருவைச் சேர்க்கும் செலவில். பிற பொதுமைப்படுத்தல்களை மேற்கோள் காட்டலாம்ஃ குமாரி மற்றும் தாஸ் ஆகியோர் K = 0 என்ற நிபந்தனையை கைவிட்டு ஒரு பொதுமைப்படுத்தலை முன்மொழிந்துள்ளனர், ஆனால் K/K′ என்ற அறிக்கையை அழுத்தத்திலிருந்து சுயாதீனமாக கருதுகின்றனர்; ஆண்டர்சன் அளவுருவை அளவின் செயல்பாடாக சார்ந்திருப்பதைக் கருத்தில் கொண்டு குமார் ஒரு பொதுமைப்படுத்தலை முன்மொழிந்தார். இந்த பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட சமன்பாடு புதியது அல்ல, மாறாக டைட் சமன்பாட்டிற்கு குறைக்கப்படக்கூடியது என்று பின்னர் காட்டப்பட்டது. குறிப்புகள் மற்றும் குறிப்புகள் நூலியல் மேலும் காண்க நிலை பாலிட்ரோப் வெளிப்புற இணைப்புகளின் ரோஸ்-வினேட் சமன்பாட்டின் நிலை பிர்ச்-முர்னகன் சமன்பாட்டின் சமன்பாடு EosFit, இது முர்நகன் சமன்பாடு உட்பட வெவ்வேறு நிலை சமன்பாடுகளுக்கான சோதனை தரவு மற்றும் கணக்கீட்டு உறவுகள் P (V) ஐச் செம்மைப்படுத்துவதற்கான ஒரு நிரலாகும். தொடர்ச்சியான இயக்கவியல் இயற்பியலின் பெயரளவிலான சமன்பாடுகள் நிலையின் சமன்பாடுகள்