Carathéodory kernel theorem
கணிதத்தில், கராத்தியோடரி கர்னல் தேற்றம் என்பது 1912 ஆம் ஆண்டில் கிரேக்க கணிதவியலாளர் கான்ஸ்டான்டின் கராத்தியோடரி நிறுவிய சிக்கலான பகுப்பாய்வு மற்றும் வடிவியல் செயல்பாட்டுக் கோட்பாட்டின் விளைவாகும். சிக்கலான தளத்தில் உள்ள அலகு வட்டில் வரையறுக்கப்பட்ட மற்றும் 0 ஐ சரிசெய்யும் ஹோலோமார்பிக் சமநிலையற்ற செயல்பாடுகளின் வரிசையின் சிறிய தொகுப்புகளின் சீரான ஒருங்கிணைப்பு, செயல்பாடுகளின் படங்களின் வரம்புக்குட்பட்ட நடத்தையின் அடிப்படையில் முற்றிலும் வடிவியல் ரீதியாக வடிவமைக்கப்படலாம். கர்னல் தேற்றம் சமநிலையற்ற செயல்பாடுகளின் கோட்பாட்டில் பரந்த பயன்பாட்டைக் கொண்டுள்ளது மற்றும் குறிப்பாக லோவ்னர் வேறுபாடு சமன்பாட்டிற்கான வடிவியல் அடிப்படையை வழங்குகிறது. திறந்த தொகுப்புகளின் வரிசையின் கர்னல் 0 ஐக் கொண்ட C இல் திறந்த தொகுப்புகளின் வரிசையாக இருக்கட்டும். 0 ஐக் கொண்ட உட்புறத்தின் இணைக்கப்பட்ட கூறாக Vn இருக்கட்டும். வரிசையின் கர்னல் Vn இன் ஒன்றிணைப்பாக வரையறுக்கப்படுகிறது, அது காலியாக இல்லாவிட்டால்; இல்லையெனில் அது வரையறுக்கப்படுகிறது. எனவே கர்னல் என்பது 0 அல்லது ஒரு புள்ளி தொகுப்பைக் கொண்ட இணைக்கப்பட்ட திறந்த தொகுப்பாகும். ஒவ்வொரு தொடர்ச்சியும் ஒரே கர்னலைக் கொண்டிருந்தால் இந்த வரிசை ஒரு கர்னலாக இணைகிறது என்று கூறப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டுகள் யுன் என்பது 0 ஐக் கொண்ட இணைக்கப்பட்ட திறந்த தொகுப்புகளின் அதிகரித்து வரும் வரிசையாக இருந்தால், கர்னல் வெறும் யூனியன் ஆகும். யுன் என்பது 0 ஐக் கொண்ட இணைக்கப்பட்ட திறந்த தொகுப்புகளின் குறைந்து வரும் வரிசையாக இருந்தால், 0 என்பது யு 1 θ யு 2 θ இன் உட்புற புள்ளியாக இருந்தால், வரிசை 0 ஐக் கொண்ட உட்புறத்தின் கூறுடன் இணைகிறது. இல்லையெனில், 0 ஒரு உள் புள்ளி இல்லையென்றால், வரிசை ஒன்றிணைக்கிறது. கர்னல் தேற்றம் fn (z) என்பது அலகு வட்டு D இல் உள்ள ஹோலோமார்பிக் சமநிலையற்ற செயல்பாடுகளின் வரிசையாக இருக்கட்டும், இதனால் fn (0) = 0 மற்றும் f 'n (0)> 0 என இயல்பாக்கப்படுகிறது. Un = fn (D) அதன் கர்னலுடன் ஒன்றிணைந்து இந்த கர்னல் C ஆக இல்லாவிட்டால் மட்டுமே fn, D இல் உள்ள சுருக்கங்களில் ஒரே சீராக f செயல்பாட்டிற்கு இணைகிறது. கர்னல் என்றால், f = 0. இல்லையெனில் கர்னல் ஒரு இணைக்கப்பட்ட திறந்த தொகுப்பு U ஆகும், f என்பது D இல் சமநிலையற்றது மற்றும் f (D) = U. ஆதாரம் ஹர்விட்ஸின் தேற்றம் மற்றும் மான்டலின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, fn காம்பாக்டாவில் f க்கு ஒரே மாதிரியாக சாய்ந்தால், Un இன் ஒவ்வொரு தொடர்ச்சியும் கர்னல் U = f (D) ஐக் கொண்டுள்ளது என்பதைச் சரிபார்க்க நேரடியானது. இதற்கு நேர்மாறாக, யுன் சி க்கு சமமாக இல்லாத ஒரு கர்னலாக ஒன்றிணைந்தால், கோய்பே காலாண்டு தேற்றத்தின் படி யுன் மையம் 0 உடன் f 'n (0)/4 ஆரம் கொண்ட வட்டைக் கொண்டுள்ளது. இந்த ஆரங்கள் ஒரே சீராக வரையறுக்கப்பட்டுள்ளன என்பதை U ஷ்ண C குறிக்கிறது என்ற அனுமானம் குறிக்கிறது. கோய்பே விலகல் தேற்றத்தின் படி எனவே fn வரிசை ஒரே மாதிரியாக சிறிய தொகுப்புகளில் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. இரண்டு தொடர்ச்சிகள் ஹோலோமார்பிக் வரம்புகள் f மற்றும் g உடன் ஒன்றிணைந்தால், f (0) = g (0) மற்றும் f '(0), g' (0) ≤ 0 உடன். முதல் பகுதி மற்றும் அனுமானங்கள் மூலம் அது f (D) = g (D) ஐப் பின்பற்றுகிறது. ரீமன் மேப்பிங் தேற்றத்தில் உள்ள தனித்துவம் f = g ஐ கட்டாயப்படுத்துகிறது, எனவே அசல் வரிசை f "n கச்சிதமான தொகுப்புகளில் ஒரே மாதிரியாக ஒன்றிணைகிறது. சிக்கலான பகுப்பாய்வில் குறிப்புகள் கோட்பாடுகள்