Quasicircle
கணிதத்தில், ஒரு குவாசிசர்கில் என்பது சிக்கலான தளத்தில் உள்ள ஒரு ஜோர்டான் வளைவு ஆகும், இது ஒரு வட்டத்தின் உருவமாகும், இது ஒரு குவாசிசோஃபார்மல் மேப்பிங்கின் கீழ் உள்ளது. முதலில் சுயாதீனமாக அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது மற்றும், பழைய இலக்கியத்தில் (ஜெர்மன் மொழியில்) அவை குவாசிகோஃபார்மல் வளைவுகள் என்று குறிப்பிடப்பட்டன, இது வளைவுகளுக்கும் பொருந்தும் ஒரு சொல். சிக்கலான பகுப்பாய்வு மற்றும் வடிவியல் செயல்பாட்டுக் கோட்பாட்டில், வட்டத்தின் குவாசிசிமெட்ரிக் ஹோமியோமார்பிசம் மூலம், உலகளாவிய டீச்முல்லர் இடத்தின் விளக்கத்தில் குவாசிசர்கில்கள் ஒரு அடிப்படை பாத்திரத்தை வகிக்கின்றன. சிக்கலான இயக்கவியல் அமைப்புகளிலும் குவாசி வட்டங்கள் முக்கிய பங்கு வகிக்கின்றன. வரையறைகள் ஒரு குவாசிசர்கில் என்பது நீட்டிக்கப்பட்ட சிக்கலான தளத்தின் குவாசிசோஃபார்மல் மேப்பிங்கின் கீழ் ஒரு வட்டத்தின் படம் என்று வரையறுக்கப்படுகிறது. குவாசிகோஃபார்மல் மேப்பிங் விரிவடைதல் K ஐக் கொண்டிருந்தால் இது ஒரு K-குவாசிஸர்கில் என்று அழைக்கப்படுகிறது. குவாசிஸர்கிலின் வரையறை ஒரு ஜோர்டான் வளைவின் குணாதிசயத்தை தளத்தின் ஹோமியோமார்பிசத்தின் கீழ் ஒரு வட்டத்தின் உருவமாக பொதுமைப்படுத்துகிறது. குறிப்பாக ஒரு அரை வட்டமானது ஒரு ஜோர்டான் வளைவு ஆகும். ஒரு குவாசி வட்டத்தின் உட்புறம் குவாசிடிஸ்க் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இதில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி, பழைய சொல் "குவாசிகோன்ஃபார்மல் வளைவு" பயன்படுத்தப்படும் இடத்தில், ஒரு ஜோர்டான் வளைவு வளைவின் சுற்றுப்புறத்தில் ஒரு குவாசிகோன்ஃபார்மல் வரைபடத்தின் கீழ் ஒரு வட்டத்தின் உருவமாக இருந்தால், அது நீட்டிக்கப்பட்ட தளத்தின் குவாசிகோன்ஃபார்மல் வரைபடத்தின் கீழ் ஒரு வட்டத்தின் உருவமாகும், இதனால் ஒரு குவாசிஸர்கில். திறந்த தொகுப்பில் அல்லது நீட்டிக்கப்பட்ட தளத்தில் சமமாக ஒரு வட்ட வளைவின் குவாசிகோன்ஃபார்மல் படங்கள் என்று வரையறுக்கக்கூடிய "குவாசிகோன்ஃபார்மல் வளைவுகளுக்கும்" இது பொருந்தும். வடிவியல் பண்புக்கூறுகள் அரை வட்டங்களின் வடிவியல் தன்மையை அந்த ஜோர்டான் வளைவுகளாகக் கொடுத்தன, இதற்காக சுழற்சி வரிசையில் எடுக்கப்பட்ட எந்த நான்கு புள்ளிகளின் குறுக்கு விகிதத்தின் முழுமையான மதிப்பு, ஒரு நேர்மறை மாறிலியால் கீழே வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. மூன்று புள்ளிகளுக்கு ஒரு தலைகீழ் முக்கோண சமத்துவமின்மையின் அடிப்படையில் குவாசிசர்கில்களை வகைப்படுத்தலாம் என்பதையும் அஹ்ல்போர்ஸ் நிரூபித்தார்ஃ ஒரு நிலையான சி இருக்க வேண்டும், அதாவது வளைவில் இரண்டு புள்ளிகள் z1 மற்றும் z2 தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டு, z3 விளைவாக வரும் வளைவுகளின் குறுகிய பகுதியில் இருந்தால், இந்த பண்பு வரம்புக்குட்பட்ட திருப்பம் அல்லது வளைவு நிலை என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. φ வழியாகச் செல்லும் நீட்டிக்கப்பட்ட தளத்தில் உள்ள ஜோர்டான் வளைவுகளுக்கு, ஒரு அரை வட்டமாக இருக்க ஒரு எளிய தேவையான மற்றும் போதுமான நிபந்தனையை வழங்கியது. ஒரு நிலையான சி> 0 உள்ளது, அதாவது z1, z2 வளைவில் ஏதேனும் புள்ளிகள் மற்றும் அவற்றுக்கு இடையிலான பிரிவில் z3 இருந்தால், இந்த மெட்ரிக் பண்புக்கூறுகள் ஒரு வளைவு அல்லது மூடிய வளைவு ஒரு இடைவெளி அல்லது வட்டத்தின் உருவமாக எழும் போதெல்லாம் குவாசிகோஃபார்மல் என்பதைக் குறிக்கிறது. நேர்மறை மாறிலிகள் சிஐக்கு திருப்திகரமாக உள்ளது. φ என்பது வட்டத்தின் குவாசிசிமெட்ரிக் ஹோமியோமார்பிசம் என்றால், f மற்றும் g இன் படங்களின் நிரப்பு ஒரு ஜோர்டான் வளைவாக இருக்கும் வகையில், [z | <1 இன் f மற்றும் |z |> 1 இன் g இன் இணக்கமான வரைபடங்கள் வேறுபட்ட பகுதிகளாக உள்ளன. வரைபடங்கள் f மற்றும் g தொடர்ந்து வட்டத்திற்கு |z | = 1 வரை நீட்டிக்கப்படுகின்றன மற்றும் தையல் சமன்பாடு உள்ளது. வட்டத்தின் உருவம் ஒரு அரை வட்டமாகும். இதற்கு நேர்மாறாக, ரீமன் மேப்பிங் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, ஒரு குவாசிசர்கிலின் வெளிப்புறத்தை சீராக்கும் இணக்கமான வரைபடங்கள் f மற்றும் g மேற்கண்ட சமன்பாட்டின் மூலம் ஒரு குவாசிசிமெட்ரிக் ஹோமியோமார்பிசத்திற்கு வழிவகுக்கின்றன. மோபியஸ் உருமாற்றங்களின் துணைக்குழுவால் குவாசிசிமெட்ரிக் ஹோமியோமார்பிசம்களின் குழுவின் ஈவு இடைவெளி உலகளாவிய டீச்முல்லர் இடத்தின் மாதிரியை வழங்குகிறது. மேற்கண்ட கடிதங்கள் அரை வட்டங்களின் இடத்தையும் ஒரு மாதிரியாக எடுத்துக் கொள்ளலாம் என்பதைக் காட்டுகிறது. ஒரு ஜோர்டான் வளைவில் ஒரு குவாசிகோன்ஃபார்மல் பிரதிபலிப்பு என்பது காலம் 2 இன் நோக்குநிலை-தலைகீழ் குவாசிகோன்ஃபார்மல் வரைபடமாகும், இது வளைவின் மீது வளைவு சரிசெய்தல் புள்ளிகளின் உட்புறத்தையும் வெளிப்புறத்தையும் மாற்றுகிறது. வரைபடம் அலகு வட்டத்திற்கு அத்தகைய பிரதிபலிப்பை வழங்குவதால், எந்த அரை வட்டமும் ஒரு அரை இயல்பான பிரதிபலிப்பை ஏற்றுக்கொள்கிறது. இந்த பண்பு அரை வட்டங்களை வகைப்படுத்துகிறது என்பதை நிரூபித்தது. அலகு வட்டு D இல் உள்ள ஒரே மாதிரியான வரம்புக்குட்பட்ட ஹோலோமார்பிக் சமநிலையற்ற செயல்பாடுகள் f (z) க்கு இந்த முடிவைப் பயன்படுத்தலாம் என்று அஹ்ல்போர்ஸ் குறிப்பிட்டார். கராத்தியோடரி தனது பகா முனைகளின் கோட்பாட்டைப் பயன்படுத்தி நிரூபித்தபடி, ஷ்ணல் உள்ளூரில் இணைக்கப்பட்டிருந்தால் மட்டுமே f அலகு வட்டத்திற்கு தொடர்ந்து விரிவடைகிறது, அதாவது. தன்னிச்சையாக சிறிய விட்டம் கொண்ட இறுதியாக பல சிறிய இணைக்கப்பட்ட தொகுப்புகளால் ஒரு உறையை ஏற்றுக்கொள்கிறது. வட்டத்திற்கான நீட்டிப்பு 1-1 ஆக இருக்கும், மேலும் ஷ்ணுவிற்கு வெட்டு புள்ளிகள் இல்லையென்றால் மட்டுமே, அதாவது. புள்ளிகள், அவை நீக்கப்படும்போது ஒரு துண்டிக்கப்பட்ட தொகுப்பைத் தருகின்றன. கராத்தியோடோரியின் தேற்றம், வெட்டு புள்ளிகள் இல்லாமல் உள்ளூரில் அமைக்கப்படுவது ஒரு ஜோர்டான் வளைவு என்றும், துல்லியமாக இந்த விஷயத்தில் மூடிய அலகு வட்டுக்கு f இன் நீட்டிப்பு ஒரு ஹோமியோமார்பிசம் என்றும் காட்டுகிறது. நீட்டிக்கப்பட்ட சிக்கலான தளத்தின் குவாசிசோஃபார்மல் மேப்பிங் வரை f நீட்டிக்கப்பட்டால், வரையறையின்படி ஒரு குவாசிசர்கில் ஆகும். இதற்கு நேர்மாறாக, ஒரு குவாசிசர்கில் என்றால், R1 என்பது குவாசிசோஃபார்மல் பிரதிபலிப்பைக் குறிக்கிறது என்றால், |z |> 1 க்கான பணி நீட்டிக்கப்பட்ட சிக்கலான தளத்திற்கு f இன் குவாசிசோஃபார்மல் நீட்டிப்பை வரையறுக்கிறது. சிக்கலான இயக்கவியல் அமைப்புகள் குவாசி வட்டங்கள் R (z) பகுத்தறிவு வரைபடங்களின் ஜூலியா தொகுப்புகளாக எழுகின்றன என்று அறியப்பட்டது. R இன் ஃபாட்டோ தொகுப்பில் இரண்டு கூறுகள் இருந்தால், ஜூலியா தொகுப்பில் R இன் செயல்பாடு "ஹைபர்போலிக்", அதாவது. c> 0 மற்றும் A> 1 மாறிலிகள் உள்ளன, அதாவது ஜூலியா தொகுப்பில், ஜூலியா தொகுப்பு ஒரு அரை வட்டமாகும். பல எடுத்துக்காட்டுகள் உள்ளனஃ இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவைகள் R (z) = z2 + c ஒரு ஈர்க்கும் நிலையான புள்ளியுடன் டூடி முயல் (c =-0.122561 + 0.744862i, இங்கு c3 + 2 c2 + c + 1 = 0) இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவைகள் z2 + λz உடன் |λ | <1 கோச் ஸ்னோஃப்ளேக் குவாசி-ஃபுச்சியன் குழுக்கள் குவாசி-ஃபுச்சியன் குழுக்கள் ஃபுச்சியன் குழுக்களின் குவாசிகோஃபார்மல் சிதைவுகளாகப் பெறப்படுகின்றன. வரையறையின்படி அவற்றின் வரம்பு தொகுப்புகள் அரை வட்டங்கள் ஆகும். முதல் வகையின் ஃபுச்சியன் குழுவாக இருக்கட்டும்ஃ அலகு வட்டத்தைப் பாதுகாக்கும் மோபியஸ் குழுவின் தனித்துவமான துணைக்குழு. அலகு வட்டு டி மீது ஒழுங்காக இடைவிடாமல் செயல்படுகிறது மற்றும் வரம்புடன் அலகு வட்டத்தை அமைக்கவும். μ (z) என்பது D இல் அளவிடக்கூடிய செயல்பாடாக இருக்கட்டும், அதாவது μ என்பது γ-மாறுபடும், அதாவது. ஒவ்வொரு g க்கும் γ. (இதனால் ரீமன் மேற்பரப்பு D/ஜாதில் உள்ள "பெல்ட்ராமி வேறுபாடு" ஆகும்.) D இல் இருந்து μ (z) = 0 ஐ அமைப்பதன் மூலம் C இல் உள்ள ஒரு செயல்பாட்டிற்கு μ ஐ நீட்டிக்கவும். பெல்ட்ராமி சமன்பாடு ஒரு மோபியஸ் மாற்றத்துடன் கலவை வரை தனித்துவமான தீர்வை ஏற்றுக்கொள்கிறது. இது நீட்டிக்கப்பட்ட சிக்கலான தளத்தின் குவாசிகோன்ஃபார்மல் ஹோமியோமார்பிசம் ஆகும். g என்பது ஒரு உறுப்பு என்றால், f (g (z)) பெல்ட்ராமி சமன்பாட்டின் மற்றொரு தீர்வைத் தருகிறது, எனவே இது ஒரு மோபியஸ் மாற்றமாகும். அலகு வட்டத்தின் படத்தால் f. ஹவுஸ்டோர்ஃப் பரிமாணத்தின் கீழ் கொடுக்கப்பட்ட அரை வட்டத்தால் வரையறுக்கப்பட்ட வரம்பைக் கொண்ட ஒரு அரை-ஃபுச்சியன் குழுவாக α குழு உள்ளது. அரை வட்டங்களின் ஹவுஸ்டோர்ஃப் பரிமாணம் முதலில் ஆராயப்பட்டது, அவர் அனைத்து மதிப்புகளையும் இடைவெளியில் [1,2] எடுக்க முடியும் என்பதை நிரூபித்தார். , "ஹோலோமார்பிக் இயக்கங்கள்" என்ற புதிய நுட்பத்தைப் பயன்படுத்தி, ஒரு குவாசிகோஃபார்மல் வரைபடத்தின் கீழ் எந்த பிளானர் செட்டின் ஹவுஸ்டோர்ஃப் பரிமாணத்திலும் ஏற்படும் மாற்றத்தை விரிவடைதல் K உடன் மதிப்பிட முடிந்தது. குவாசிஸர்கில்கள் C ஐப் பொறுத்தவரை, ஹவுஸ்டோர்ஃப் பரிமாணத்திற்கு ஒரு கச்சா மதிப்பீடு இருந்தது, மறுபுறம், ஜூலியா செட்களுக்கான ஹவுஸ்டோர்ஃப் பரிமாணம் Jc பகுத்தறிவு வரைபடங்களின் மறு செய்கைகளின் விளைவாக மதிப்பிடப்பட்டது, இது ரூஃபஸ் போவன் மற்றும் டேவிட் ரூய்ல் ஆகியோரின் பணியின் விளைவாக மதிப்பிடப்பட்டது, இவை ஒரு விரிவடைதலுடன் தொடர்புடைய குவாசிஸ்கில்கள் என்பதால், இது k சிறியது என்பதைக் காட்ட வழிவகுத்தது. ஒரு அரை-ஃபுச்சியன் குழுவிற்கு மற்றும் வரம்பு தொகுப்பின் ஹவுஸ்டோர்ஃப் பரிமாணம் d எப்போதும் 1 ஐ விட அதிகமாக இருக்கும் என்பதைக் காட்டியது. d <2 ஆக இருக்கும்போது, அளவு என்பது தொடர்புடைய ஹைபர்போலிக் 3-மேனிஃபோல்டின் லாப்லாசியனின் மிகக் குறைந்த ஐகென் மதிப்பாகும். குறிப்புகள், பிரிவு 13.2, அரை வட்டங்களின் பரிமாணம் ". + சிக்கலான பகுப்பாய்வு இயக்கவியல் அமைப்புகள் முறிவுகள்