Probability bounds analysis
நிகழ்தகவு வரம்பு பகுப்பாய்வு (பிபிஏ) என்பது பல்வேறு வகையான நிச்சயமற்ற தன்மைகளை எதிர்கொண்டு தரமான மற்றும் அளவு கணக்கீடுகளைச் செய்வதற்கான நிச்சயமற்ற பிரச்சார முறைகளின் தொகுப்பாகும். கணித வெளிப்பாடுகள் மூலம் சீரற்ற மாறிகள் மற்றும் பிற அளவுகள் பற்றிய பகுதியளவு தகவல்களை திட்டமிட இது பயன்படுத்தப்படுகிறது. உதாரணமாக, இது ஒரு தொகை, தயாரிப்பு அல்லது மிகவும் சிக்கலான செயல்பாட்டின் விநியோகத்தில் குறிப்பிட்ட வரம்புகளைக் கணக்கிடுகிறது, உள்ளீடுகளின் விநியோகங்களில் மட்டுமே உறுதியான வரம்புகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. இத்தகைய எல்லைகள் நிகழ்தகவு பெட்டிகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, மேலும் ஒட்டுமொத்த நிகழ்தகவு விநியோகங்களை கட்டுப்படுத்துகின்றன (அடர்த்தி அல்லது வெகுஜன செயல்பாடுகளை விட). இந்த எல்லை அணுகுமுறை பகுப்பாய்வாளர்களை அளவுரு மதிப்புகள், மாறிகளுக்கிடையேயான சார்பு அல்லது விநியோக வடிவம் பற்றிய அதிகப்படியான துல்லியமான அனுமானங்கள் தேவையில்லாமல் கணக்கீடுகளைச் செய்ய அனுமதிக்கிறது. நிகழ்தகவு வரம்பு பகுப்பாய்வு என்பது அடிப்படையில் நிலையான இடைவெளி பகுப்பாய்வு மற்றும் பாரம்பரிய நிகழ்தகவு கோட்பாட்டின் முறைகளின் கலவையாகும். சாத்தியக்கூறு வரம்புகள் பகுப்பாய்வு வரம்புத் தகவல்கள் மட்டுமே கிடைக்கும்போது இடைவெளி பகுப்பாய்வு செய்யும் அதே பதிலை வழங்குகிறது. உள்ளீட்டு விநியோகங்கள் மற்றும் அவற்றின் சார்புநிலைகளை துல்லியமாக குறிப்பிடுவதற்கு போதுமான தகவல்கள் ஏராளமாக இருக்கும்போது மான்டே கார்லோ உருவகப்படுத்துதல் செய்யும் அதே பதில்களையும் இது வழங்குகிறது. எனவே, இது இடைவெளி பகுப்பாய்வு மற்றும் நிகழ்தகவு கோட்பாடு ஆகிய இரண்டின் பொதுமைப்படுத்தலாகும். நிகழ்தகவு வரம்புகள் பகுப்பாய்வை உள்ளடக்கிய பல்வேறு முறைகள் உள்ளீட்டு மதிப்புகள், அவற்றின் சார்புகள் அல்லது கணித வெளிப்பாட்டின் வடிவம் குறித்து கூட நிச்சயமற்ற தன்மை இருக்கும்போது கணித வெளிப்பாடுகளை மதிப்பிடுவதற்கான வழிமுறைகளை வழங்குகின்றன. உள்ளீட்டு p-பெட்டிகளும் அந்தந்த விநியோகங்களை இணைப்பது உறுதி என்றால், வெளியீட்டு மாறியின் சாத்தியமான அனைத்து விநியோகங்களையும் இணைக்க உத்தரவாதம் அளிக்கப்பட்ட கணக்கீடுகள் முடிவுகளைத் தருகின்றன. சில சந்தர்ப்பங்களில், சாத்தியமான சில விநியோகங்களைத் தவிர்த்து வரம்புகள் இறுக்கமாக இருக்க முடியாது என்ற அர்த்தத்தில் கணக்கிடப்பட்ட பி-பாக்ஸும் சிறந்ததாக இருக்கும். பி-பெட்டிகள் பொதுவாக சாத்தியமான விநியோகங்களின் வரம்புகள் மட்டுமே. எல்லைகள் பெரும்பாலும் தங்களுக்கு சாத்தியமில்லாத விநியோகங்களையும் உள்ளடக்குகின்றன. உதாரணமாக, இரண்டு (துல்லியமான) விநியோகங்களிலிருந்து சுயாதீன அனுமானம் இல்லாமல் சீரற்ற மதிப்புகளைச் சேர்ப்பதன் விளைவாக ஏற்படக்கூடிய நிகழ்தகவு விநியோகங்களின் தொகுப்பு பொதுவாக தொகைக்கு கணக்கிடப்பட்ட p-பெட்டியால் மூடப்பட்ட அனைத்து விநியோகங்களின் சரியான துணைக்குழுவாகும். அதாவது, வெளியீட்டு p-பெட்டிக்குள் விநியோகங்கள் உள்ளன, அவை இரண்டு உள்ளீட்டு விநியோகங்களுக்கு இடையில் எந்த சார்பிலும் எழ முடியாது. இருப்பினும், உள்ளீட்டு p-பெட்டிகள் அந்தந்த அடிப்படை விநியோகங்களை இணைப்பது உறுதி செய்யப்படும் வரை, வெளியீட்டு p-பெட்டியில் எப்போதும் சாத்தியமான அனைத்து விநியோகங்களும் இருக்கும். இந்த பண்பு பெரும்பாலும் இடர் பகுப்பாய்வு மற்றும் நிச்சயமற்ற நிலையில் கணக்கீடுகள் தேவைப்படும் பிற துறைகளில் பயன்படுத்த போதுமானது. வரம்புக்குட்பட்ட நிகழ்தகவின் வரலாறு நிகழ்தகவு கோட்பாட்டின் வரலாறு முழுவதும் வரம்புக்குட்பட்ட நிகழ்தகவு பற்றிய யோசனை மிக நீண்ட பாரம்பரியத்தைக் கொண்டுள்ளது. உண்மையில், 1854 ஆம் ஆண்டில் ஜார்ஜ் பூல் தனது தி லாஸ் ஆஃப் தாட்டில் நிகழ்தகவின் மீது இடைவெளி வரம்புகள் என்ற கருத்தை பயன்படுத்தினார். 19 ஆம் நூற்றாண்டின் பிற்பகுதியில் இருந்து, செபிஷேவுக்குக் காரணமான சமத்துவமின்மை, மாறியின் சராசரி மற்றும் மாறுபாடு மட்டுமே அறியப்படும்போது ஒரு விநியோகத்தின் வரம்புகளை விவரிக்கிறது, மேலும் மார்கோவுக்குக் காரணமான தொடர்புடைய சமத்துவமின்மை சராசரி மட்டுமே அறியப்படும்போது ஒரு நேர்மறை மாறியின் வரம்புகளைக் கண்டறிந்தது. கிபர்க் இடைவெளி நிகழ்தகவுகளின் வரலாற்றை மதிப்பாய்வு செய்தார் மற்றும் 20 ஆம் நூற்றாண்டில் முக்கியமான கருத்துக்களின் வளர்ச்சியைக் கண்டறிந்தார், இதில் கெய்ன்ஸ் ஆதரித்த ஒப்பிடமுடியாத நிகழ்தகவுகளின் முக்கிய கருத்தும் அடங்கும். 1930 களில் சார்பு அனுமானங்கள் இல்லாமல் மொத்த நிகழ்தகவுகளை உள்ளடக்கிய கணக்கீடுகளின் வரம்புகளில் ஃப்ரெச்செட்டின் வழித்தோன்றல் குறிப்பாக கவனிக்கத்தக்கது. பிணைப்பு நிகழ்தகவுகள் இன்றுவரை தொடர்கின்றன (எ. கா., வாலியின் துல்லியமற்ற நிகழ்தகவு கோட்பாடு). இடர் மதிப்பீடுகளில் வழக்கமாக பயன்படுத்தக்கூடிய நிகழ்தகவு வரம்பு பகுப்பாய்வு முறைகள் 1980 களில் உருவாக்கப்பட்டன. பூலின் கருத்துக்களை விரிவுபடுத்தும் தர்க்கரீதியான கணக்கீடுகளை கட்டுப்படுத்தும் ஒரு கணக்கீட்டு திட்டத்தை ஹைல்பெரின் விவரித்தார். சுதந்திரம் என்ற அனுமானத்தின் கீழ் சுழற்சிகளின் வரம்புகளை கணக்கிடக்கூடிய அடிப்படை நடைமுறைகளை யாகர் விவரித்தார். ஏறக்குறைய அதே நேரத்தில், மகரோவ் மற்றும் சுயாதீனமாக, ருஷென்டோர்ஃப் முதலில் கொல்மோகோரோவ் முன்வைத்த சிக்கலைத் தீர்த்தார், சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டுத்தொகையின் நிகழ்தகவு விநியோகத்திற்கான மேல் மற்றும் கீழ் வரம்புகளை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பது பற்றியது, அதன் விளிம்பு விநியோகங்கள், ஆனால் அவற்றின் கூட்டு விநியோகம் அல்ல, அறியப்படுகின்றன. ஃபிராங்க் மற்றும் பலர். மகரோவின் முடிவை பொதுமைப்படுத்தி, அதை கோபுலாக்களின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தினார். அப்போதிருந்து, தொகைகளுக்கான சூத்திரங்கள் மற்றும் வழிமுறைகள் பொதுமைப்படுத்தப்பட்டு வேறுபாடுகள், தயாரிப்புகள், மேற்கோள்கள் மற்றும் பிற பைனரி மற்றும் யூனரி செயல்பாடுகளுக்கு பல்வேறு சார்பு அனுமானங்களின் கீழ் நீட்டிக்கப்பட்டுள்ளன. எண்கணித வெளிப்பாடுகள் சேர்க்கைகள், கழித்தல், பெருக்கங்கள், பிரிவுகள், மினிமம், அதிகபட்சம், சக்திகள், அதிர்வெண்கள், மடக்கை, வர்க்கமூலங்கள், முழுமையான மதிப்புகள் போன்ற செயல்பாடுகளை உள்ளடக்கிய எண்கணித வெளிப்பாடுகள் பொதுவாக இடர் பகுப்பாய்வு மற்றும் நிச்சயமற்ற மாதிரியமைப்பில் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. கன்வொல்யூஷன் என்பது நிகழ்தகவு விநியோகங்களால் குறிப்பிடப்பட்ட சுயாதீனமான சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டுத்தொகையின் நிகழ்தகவு விநியோகத்தைக் கண்டுபிடிக்கும் செயல்பாடாகும். மற்ற கணித செயல்பாடுகளின் (தயாரிப்புகள், வேறுபாடுகள், மேற்கோள்கள் மற்றும் மிகவும் சிக்கலான செயல்பாடுகள்) விநியோகங்களைக் கண்டறிவதற்கும், இடைச்செருகக்கூடிய சார்புகளைப் பற்றிய பிற அனுமானங்களுக்கும் இந்த வார்த்தையை நாம் நீட்டிக்க முடியும். உள்ளீடுகளுக்கிடையேயான சார்பு பற்றிய பல்வேறு அனுமானங்களின் கீழ் இந்த பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட சுருள்களைக் கணக்கிட வசதியான வழிமுறைகள் உள்ளன. கணித விவரங்கள் உண்மையான எண்களில் விநியோக செயல்பாடுகளின் இடத்தை குறிக்கலாம், அதாவது, ஒரு p-பெட்டி என்பது ஒரு குவிண்டுபுல் ஆகும், அங்கு உண்மையான இடைவெளிகள் உள்ளன, மேலும் இந்த குவிண்டுபுல் என்பது விநியோக செயல்பாடுகளின் தொகுப்பைக் குறிக்கிறதுஃ ஒரு செயல்பாடு மேலே உள்ள அனைத்து நிபந்தனைகளையும் பூர்த்தி செய்தால் அது p-பெட்டிக்குள் இருப்பதாகக் கூறப்படுகிறது. சில சந்தர்ப்பங்களில், பி-பாக்ஸின் விளிம்புகளை உருவாக்கும் இரண்டு விநியோக செயல்பாடுகளில் குறியிடப்பட்டதைத் தவிர தருணங்கள் அல்லது விநியோகக் குடும்பத்தைப் பற்றிய தகவல்கள் எதுவும் இருக்காது. பின்னர் p-பெட்டியைக் குறிக்கும் குயின்டுபில் மிகவும் சுருக்கமாக [B1, B2] என்று குறிக்கப்படலாம். இறுதிப் புள்ளிகள் புள்ளிகளை விட விநியோகங்கள் என்பதைத் தவிர, இந்த குறியீடு உண்மையான கோட்டில் உள்ள இடைவெளிகளைக் கவனிக்கிறது. விநியோக செயல்பாடு F ஆல் நிர்வகிக்கப்படும் ஒரு சீரற்ற மாறி என்ற உண்மையை குறியீடு குறிக்கிறது, அதாவது, p-பெட்டிகளுடன் பயன்படுத்த டில்டே குறியீட்டை பொதுமைப்படுத்துவோம். X என்பது ஒரு சீரற்ற மாறி என்பதைக் குறிக்க X ~ B ஐ எழுதுவோம், அதன் விநியோக செயல்பாடு B க்குள் உள்ளது என்பதைத் தவிர தெரியவில்லை. எனவே, விநியோகச் செயல்பாட்டை வெளிப்படையாகக் குறிப்பிடாமல் X ~ F ωB ஐ X ~ B உடன் சுருக்கலாம். எக்ஸ் மற்றும் ஒய் முறையே எஃப் மற்றும் ஜி விநியோகங்களுடன் சுயாதீனமான சீரற்ற மாறிகள் என்றால், எக்ஸ் + ஒய் = இசட் ~ எச் இந்த செயல்பாடு எஃப் மற்றும் ஜி மீது ஒரு சுழற்சி என்று அழைக்கப்படுகிறது. X மற்றும் Y அசாதாரணமாக சுயாதீனமாக இருந்தால், Z = X + Y இன் விநியோகம் p-பெட்டிக்குள் உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம், X மற்றும் Y க்கு இடையிலான சார்பு பற்றி எந்த அனுமானமும் செய்யாமல் Z = X + Y தொகைகளின் விநியோகத்தில் வரம்புகளைக் கண்டறிவது உண்மையில் சுதந்திரமாக கருதும் சிக்கலை விட எளிதானது. இந்த எல்லைகள் ஃப்ரெசெட்-ஹோஃப்டிங் கோபுலா எல்லைகளால் குறிக்கப்படுகின்றன என்பதை மகரோவ் காட்டினார். கணித நிரலாக்க முறைகளையும் பயன்படுத்தி இந்த சிக்கலை தீர்க்க முடியும். X மற்றும் Y நேர்மறை சார்ந்திருப்பதைக் கொண்டுள்ளன என்ற இடைநிலை அனுமானத்தின் கீழ் உள்ள சுழற்சியை கணக்கிடுவதும், X மற்றும் Y க்கு இடையிலான சரியான நேர்மறை அல்லது சரியான எதிர்மறை சார்பின் தீவிர அனுமானங்களின் கீழ் உள்ள சுழற்சியைப் போலவே எளிதானது. கழித்தல், பெருக்கம், பிரிவு போன்ற பிற செயல்பாடுகளுக்கான பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட சுழற்சிகளை உருமாற்றங்களைப் பயன்படுத்தி பெறலாம். உதாரணமாக, p-பெட்டி கழித்தல் A − B ஐ A + (−B) என வரையறுக்கலாம், அங்கு ஒரு p-பெட்டி B = [B1, B2] இன் எதிர்மறையானது [B2 (−x), B1 (−x)] ஆகும். இணைப்புகள் (மற்றும் செயல்பாடுகள்), இணைப்புகள் (அல்லது செயல்பாடுகள்), பிரத்யேக இணைப்புகள், சமநிலைகள், நிபந்தனைகள் போன்றவற்றை உள்ளடக்கிய தர்க்கரீதியான வெளிப்பாடுகள் தர்க்கரீதியான அல்லது பூலியன் வெளிப்பாடுகள். இடர் மதிப்பீடுகளில் பொதுவான பிளவு மரங்கள் மற்றும் நிகழ்வு மரங்களின் பகுப்பாய்வில் எழுகிறது. பூல் மற்றும் கெய்ன்ஸ் பரிந்துரைத்தபடி, நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகள் இடைவெளிகளால் வகைப்படுத்தப்பட்டால், இந்த பைனரி செயல்பாடுகள் மதிப்பீடு செய்ய நேரடியானவை. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு நிகழ்வு A இன் நிகழ்தகவு P (A) = a = [0.20,0.25] இடைவெளியில் இருந்தால், மற்றும் நிகழ்வு B இன் நிகழ்தகவு P (B) = b = [0.20,3] இல் இருந்தால், பின்னர் இணைப்பின் நிகழ்தகவு நிச்சயமாக P (A & B) = a × b = [0.20,0.25] × [0.20,0.3] = [0.20 × 0.1,0.25 × 0.3] = [0.02,0.075] இடைவெளியில் உள்ளது. அவை சுயாதீனமாக இல்லாவிட்டால், கிளாசிக்கல் ஃப்ரெச்செட் சமத்துவமின்மையைப் பயன்படுத்தி இணைப்பை நாம் இன்னும் பிணைக்க முடியும். இந்த விஷயத்தில், A & B கூட்டு நிகழ்வின் நிகழ்தகவு நிச்சயமாக P (A & B) = env (அதிகபட்சம் (0, a + b−1), குறைந்தபட்சம் (a, b)) = env (அதிகபட்சம் (0, [0,0.25] + [0.1,0.3] −1), குறைந்தபட்சம் ([0,0.25], [0.1,0.3]) = env ([அதிகபட்சம் (0,0 + 0.1-1), அதிகபட்சம் (0,0.25 + 0.3-1)], [குறைந்தபட்சம் (0.2,0.1), குறைந்தபட்சம் (0.25,0.3)] = env ([0,0], [0.1,0.25]) அதேபோல், A மற்றும் B ஆகியவை சுயாதீனமான நிகழ்வுகளாக இருந்தால், பிரிவின் நிகழ்தகவு நிச்சயமாக P (A v B) = a + b − a × b = 1 − (1 − a) × (1 − b) = 1 − (1 − [0.2,0.25]) × (1 − [0.1,3]) = 1 − [0.75,0.8] × [0.7,0.9] = 1 − [0.525,0.72] = [0.28,0.475] என்ற இடைவெளியில் இருக்கும். அவை சுயாதீனமாக இல்லாவிட்டால், ஃப்ரெச்செட் சமத்துவமின்மை P (A v B) = env (அதிகபட்சம் (a, b), குறைந்தபட்சம் (1, a + b)) = env (அதிகபட்சம் ([0.2,0.25], [0.1,0.3]), குறைந்தபட்சம் (1, [0.2,0.25] + [0.1,0.3]) = env ([0.2,0.3], [0.3,0.55]) = [0.2,0.55]. A மற்றும் B க்கு இடையிலான சார்பு பற்றிய பிற அனுமானங்களின் கீழ் இணைப்பு அல்லது பிரிவின் மீது இடைவெளி வரம்புகளைக் கணக்கிடவும் முடியும். உதாரணமாக, அவர்கள் நேர்மறையாக சார்ந்து இருப்பதாக ஒருவர் கருதலாம், இந்த விஷயத்தில் இதன் விளைவாக வரும் இடைவெளி சுதந்திரத்தை கருதும் பதிலைப் போல இறுக்கமாக இல்லை, ஆனால் ஃப்ரெச்செட் சமத்துவமின்மையால் வழங்கப்பட்ட பதிலை விட இறுக்கமாக உள்ளது. எதிர்மறை, பிரத்யேக விலகல் போன்ற பிற தர்க்கரீதியான செயல்பாடுகளுக்கு ஒப்பிடக்கூடிய கணக்கீடுகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. மதிப்பீடு செய்யப்பட வேண்டிய பூலியன் வெளிப்பாடு சிக்கலானதாக மாறும்போது, வெளிப்பாட்டின் மீது சிறந்த வரம்புகளைப் பெற கணித நிரலாக்க முறைகளைப் பயன்படுத்தி அதை மதிப்பீடு செய்வது அவசியமாக இருக்கலாம். இதே போன்ற ஒரு சிக்கலை ஒருவர் நிகழ்தகவு தர்க்க விஷயத்தில் முன்வைக்கிறார் (எடுத்துக்காட்டாக கெர்லா 1994 ஐப் பார்க்கவும்). நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகள் இடைவெளிகளைக் காட்டிலும் நிகழ்தகவு விநியோகங்கள் அல்லது பி-பாக்ஸ்களால் வகைப்படுத்தப்பட்டால், சிறந்த நிகழ்வின் நிகழ்தகவைக் குறிக்கும் விநியோக அல்லது பி-பாக்ஸ் முடிவுகளைப் பெற ஒத்த கணக்கீடுகள் செய்யப்படலாம். அளவு ஒப்பீடுகள் ஒரு p-பெட்டி D ஆல் குறிக்கப்படும் ஒரு நிச்சயமற்ற எண் பூஜ்ஜியத்தை விட குறைவாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு Pr (D <0) = [F (0), F (0)] இடைவெளி ஆகும், இதில் F n (0) என்பது நிகழ்தகவு பெட்டியின் இடது வரம்பாகும் D மற்றும் F (0) அதன் வலது வரம்பாகும், இவை இரண்டும் பூஜ்ஜியத்தில் மதிப்பிடப்படுகின்றன. நிகழ்தகவு பெட்டிகளால் குறிப்பிடப்படும் இரண்டு நிச்சயமற்ற எண்களை பின்வரும் குறியீடுகளுடன் எண் அளவிற்கு ஒப்பிடலாம்ஃ A <B = Pr (A − B <0), A> B = Pr (B − A <0), A ≤ B = Pr (A − B ≤ 0), மற்றும் A ≤ B = Pr (B − A ≤ 0). எனவே A என்பது B ஐ விட குறைவாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு அவற்றின் வேறுபாடு பூஜ்ஜியத்தை விட குறைவாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவுக்கு சமம், மேலும் இந்த நிகழ்தகவு A <B என்ற வெளிப்பாட்டின் மதிப்பு என்று கூறலாம். எண்கணித மற்றும் தர்க்கரீதியான செயல்பாடுகளைப் போலவே, இந்த அளவிலான ஒப்பீடுகளும் பொதுவாக A மற்றும் B க்கு இடையிலான சீரற்ற சார்பைப் பொறுத்தது, மேலும் குறியாக்கத்தில் கழித்தல் அந்த சார்பைப் பிரதிபலிக்க வேண்டும். அவற்றின் சார்பு தெரியவில்லை என்றால், ஃப்ரெசெட் செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தி எந்த அனுமானமும் செய்யாமல் வேறுபாட்டைக் கணக்கிட முடியும். மாதிரி அடிப்படையிலான கணக்கீடு சில ஆய்வாளர்கள் மான்டே கார்லோ உருவகப்படுத்துதல், லத்தீன் ஹைபர்கியூப் முறைகள் அல்லது முக்கியத்துவம் மாதிரி உள்ளிட்ட நிகழ்தகவு வரம்புகளை கணக்கிடுவதற்கு மாதிரி அடிப்படையிலான அணுகுமுறைகளைப் பயன்படுத்துகின்றனர். இந்த அணுகுமுறைகள் முடிவில் கணித கடுமையை உறுதிப்படுத்த முடியாது, ஏனெனில் இத்தகைய உருவகப்படுத்துதல் முறைகள் தோராயமானவை, இருப்பினும் உருவகப்படுத்துதலில் உள்ள நகல்களின் எண்ணிக்கையை அதிகரிப்பதன் மூலம் அவற்றின் செயல்திறனை பொதுவாக மேம்படுத்த முடியும். எனவே, கணித நிரலாக்கத்தை அடிப்படையாகக் கொண்ட பகுப்பாய்வுக் கோட்பாடுகள் அல்லது முறைகளைப் போலல்லாமல், மாதிரி அடிப்படையிலான கணக்கீடுகள் பொதுவாக சரிபார்க்கப்பட்ட கணக்கீடுகளை உருவாக்க முடியாது. இருப்பினும், கணக்கீட்டு ரீதியாக பகுப்பாய்வு ரீதியாகவோ அல்லது கடுமையாக பிணைக்கப்பட்டோ தீர்க்க கடினமாக இருக்கும் பல்வேறு சிக்கல்களைத் தீர்க்க மாதிரி அடிப்படையிலான முறைகள் மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும். உயர் பரிமாண சிக்கல்கள் மூலம் இடைவெளி நிச்சயமற்ற தன்மையை பரப்புவதில் பரிமாணத்தின் சாபத்தைத் தவிர்க்க காச்சி-விலகல் மாதிரியைப் பயன்படுத்துவது ஒரு முக்கியமான எடுத்துக்காட்டு. பிற நிச்சயமற்ற பரவலாக்க அணுகுமுறைகளுடனான உறவு பிபிஏ ஒரு வகை முறைகளைச் சேர்ந்தது, இது துல்லியமற்ற நிகழ்தகவுகளைப் பயன்படுத்தி ஒரே நேரத்தில் அலைவரிசை மற்றும் அறிவாற்றல் நிச்சயமற்ற தன்மைகளைக் குறிக்கிறது. பி. பி. ஏ என்பது மான்டே கார்லோ உருவகப்படுத்துதலுடன் பொதுவாக செயல்படுத்தப்படும் இடைவெளி பகுப்பாய்வு மற்றும் நிகழ்தகவு சுருக்கம் ஆகிய இரண்டின் பொதுமைப்படுத்தலாகும். பிபிஏ வலுவான பேயஸ் பகுப்பாய்வுடன் நெருக்கமாக தொடர்புடையது, இது சில நேரங்களில் பேய்சியன் உணர்திறன் பகுப்பாய்வு என்று அழைக்கப்படுகிறது. பிபிஏ என்பது இரண்டாவது வரிசை மான்டே கார்லோ உருவகப்படுத்துதலுக்கு மாற்றாகும். பயன்பாடுகள் மேலும் காண்க நிகழ்தகவு பெட்டி வலுவான பேயஸ் பகுப்பாய்வு துல்லியமற்ற நிகழ்தகவு இரண்டாவது வரிசை மான்டே கார்லோ உருவகப்படுத்துதல் மான்டே கார்லோ உருவகப்படுத்துதல் இடைவெளி பகுப்பாய்வு நிகழ்தகவு கோட்பாடு இடர் பகுப்பாய்வு குறிப்புகள் மேலும் குறிப்புகள் வெளிப்புற இணைப்புகள் சுற்றுச்சூழல் இடர் மதிப்பீடுகளில் நிகழ்தகவு வரம்புகள் பகுப்பாய்வு இடைவெளிகள் மற்றும் நிகழ்தகவு விநியோகங்கள் தொற்றுநோய் நிச்சயமற்ற திட்டம் துல்லியமற்ற நிகழ்தகவுக்கான சங்கம்ஃ கோட்பாடுகள் மற்றும் பயன்பாடுகள் கணித பகுப்பாய்வு