End (graph theory)
எல்லையற்ற வரைபடங்களின் கணிதத்தில், ஒரு வரைபடத்தின் முடிவு, உள்ளுணர்வாக, வரைபடம் முடிவிலி வரை விரிவடையும் திசையைக் குறிக்கிறது. முடிவுகளை கணித ரீதியாக எல்லையற்ற பாதைகளின் சமநிலை வகுப்புகளாக முறைப்படுத்தலாம், வரைபடத்தில் பின்தொடர்தல்-தவிர்ப்பு விளையாட்டுகளுக்கான உத்திகளை விவரிக்கும் புகலிடங்கள் அல்லது (உள்ளூரில் வரையறுக்கப்பட்ட வரைபடங்களைப் பொறுத்தவரை) வரைபடத்துடன் தொடர்புடைய இடவியல் இடைவெளிகளின் இடவியல் முனைகளாக இருக்கலாம். வரையறுக்கப்பட்ட குழுக்களின் முனைகளை வரையறுக்க வரைபடங்களின் முனைகள் (கெய்லி வரைபடங்கள் வழியாக) பயன்படுத்தப்படலாம். இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட எல்லையற்ற குழுக்கள் ஒன்று, இரண்டு அல்லது எல்லையற்ற பல முனைகளைக் கொண்டுள்ளன, மேலும் குழுக்களின் முனைகளைப் பற்றிய ஸ்டாலிங்ஸ் தேற்றம் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட முனைகளைக் கொண்ட குழுக்களுக்கு ஒரு சிதைவை வழங்குகிறது. வரையறை மற்றும் குணாதிசயங்கள் வரைபடங்களின் முடிவுகள் எல்லையற்ற பாதைகளின் சமநிலை வகுப்புகளின் அடிப்படையில் வரையறுக்கப்பட்டன. எல்லையற்ற வரைபடத்தில் உள்ள ஏ என்பது அரை எல்லையற்ற எளிய பாதையாகும்; அதாவது, இது உச்சிகளின் எல்லையற்ற வரிசையாகும், இதில் ஒவ்வொரு உச்சியும் வரிசையில் ஒரு முறை தோன்றும் மற்றும் வரிசையில் ஒவ்வொரு இரண்டு தொடர்ச்சியான உச்சிகளும் வரைபடத்தில் ஒரு விளிம்பின் இரண்டு இறுதிப் புள்ளிகளாகும். ஹாலினின் வரையறையின்படி, இரண்டு கதிர்கள் மற்றும் ஒவ்வொன்றிலும் எண்ணற்ற பல செங்குத்துகளைக் கொண்ட ஒரு கதிர் (கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு கதிர்களில் ஒன்றுக்கு சமமாக இருக்கலாம்) இருந்தால் அவை சமமானவை. இது ஒரு சமநிலை உறவுஃ ஒவ்வொரு கதிரும் தனக்குத்தானே சமமானது, இரண்டு கதிர்களின் வரிசையைப் பொறுத்தவரை வரையறை சமச்சீராக உள்ளது, மேலும் இது இடைநிலை என்று காட்டப்படலாம். எனவே, இது அனைத்து கதிர்களின் தொகுப்பையும் சமநிலை வகுப்புகளாகப் பிரிக்கிறது, மேலும் ஹாலின் ஒரு முடிவை இந்த சமநிலை வகுப்புகளில் ஒன்றாக வரையறுத்தார். ஒரே சமநிலை உறவின் மாற்று வரையறையும் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளதுஃ இரண்டு கதிர்கள் மற்றும் எண்ணற்ற பல செங்குத்துகளிலிருந்து எண்ணற்ற பல செங்குத்துகளை பிரிக்கும் உச்சிகளின் வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்பு இல்லையென்றால் அவை சமமானவை. இது ஹாலினின் வரையறைக்கு சமமானதுஃ ஹாலினின் வரையறையிலிருந்து கதிர் இருந்தால், எந்தவொரு பிரிப்பானும் எண்ணற்ற பல புள்ளிகளைக் கொண்டிருக்க வேண்டும், எனவே வரையறுக்கப்பட முடியாது, இதற்கு நேர்மாறாக இல்லை என்றால், முடிந்தவரை பல முறை மாறி மாறி ஒரு பாதை மற்றும் விரும்பிய வரையறுக்கப்பட்ட பிரிப்பானை உருவாக்க வேண்டும். ஒரு வரைபடத்தில் பின்தொடர்தல்-தப்பிக்கும் விளையாட்டுகளுக்கு தப்பிக்கும் உத்திகளை விவரிக்கும் செயல்பாடுகள், புகலிடங்களின் அடிப்படையில் முடிவுகளும் மிகவும் உறுதியான தன்மையைக் கொண்டுள்ளன. கேள்விக்குரிய விளையாட்டில், ஒரு கொள்ளையன் ஒரு போலீஸ் குழுவைத் தவிர்க்க முயற்சிக்கிறான், அதன் விளிம்புகளில் உச்சியிலிருந்து உச்சிக்கு நகர்கிறான். காவல்துறையிடம் ஹெலிகாப்டர்கள் உள்ளன, எனவே விளிம்புகளைப் பின்பற்ற வேண்டிய அவசியமில்லை; இருப்பினும் கொள்ளையன் போலீசார் வருவதைக் காணலாம், மேலும் ஹெலிகாப்டர்கள் தரையிறங்குவதற்கு முன்பு அடுத்து எங்கு செல்வது என்பதைத் தேர்வு செய்யலாம். ஹெவன் என்பது ஒவ்வொரு போலீஸ் இருப்பிடங்களையும் நீக்குவதன் மூலம் உருவாக்கப்பட்ட துணை வரைபடத்தின் இணைக்கப்பட்ட கூறுகளில் ஒன்றுடன் வரைபடமாக்கும் ஒரு செயல்பாடாகும்; ஒரு கொள்ளையன் விளையாட்டின் ஒவ்வொரு சுற்றிலும் இந்த கூறுக்குள் ஒரு உச்சிக்குச் செல்வதன் மூலம் காவல்துறையைத் தவிர்க்க முடியும். ஹேவன்ஸ் ஒரு நிலைத்தன்மை சொத்தை பூர்த்தி செய்ய வேண்டும் (கொள்ளையன் ஏற்கனவே போலீசார் தரையிறங்கிய செங்குத்துகள் வழியாக நகர முடியாது என்ற தேவைக்கு ஏற்ப): இது ஒரு துணைக்குழுவாக இருந்தால், மற்றும் இரண்டும் கொடுக்கப்பட்ட போலீஸ் குழுவிற்கான செல்லுபடியாகும் இடங்களின் தொகுப்பாக இருந்தால், பின்னர் ஒரு சூப்பர்செட் ஆக இருக்க வேண்டும். தப்பிக்கும் மூலோபாயத்தை வழங்கும் போலீஸ் இருப்பிடங்களின் தொகுப்பு வரைபடத்தில் உள்ள செங்குத்துகளை விட குறைவான அனைத்து துணைக்குழுக்களையும் உள்ளடக்கியிருந்தால் ஒரு புகலிடத்திற்கு வரிசை உள்ளது; குறிப்பாக, செங்குத்துகளின் ஒவ்வொரு வரையறுக்கப்பட்ட துணைக்குழுவையும் ஒரு கூறுக்கு வரைபடமாக்கினால் அதற்கு வரிசை (மிகச்சிறிய அலெஃப் எண்) உள்ளது. ஒவ்வொரு கதிரும் வரிசையின் ஒரு புகலிடத்துடன் ஒத்திருக்கிறது, அதாவது செயல்பாடு; ஒவ்வொரு வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்பையும் அதன் தனித்துவமான கூறுக்கு வரைபடமாக்குகிறது, அதில் கதிர்களின் எண்ணற்ற செங்குத்துகள் உள்ளன. மாறாக, வரிசையின் ஒவ்வொரு புகலிடத்தையும் ஒரு கதிர் மூலம் இந்த வழியில் வரையறுக்க முடியும். இரண்டு கதிர்கள் ஒரே புகலிடத்தை வரையறுத்தால் மட்டுமே அவை சமமானவை, எனவே ஒரு வரைபடத்தின் முனைகள் அதன் வரிசையின் புகலிடங்களுடன் ஒன்றுக்கு ஒன்று ஒத்திருக்கும். எடுத்துக்காட்டுகள் எல்லையற்ற வரைபடமே ஒரு கதிர் என்றால், அது எண்ணற்ற பல கதிர் துணை வரைபடங்களைக் கொண்டுள்ளது, அவை ஒவ்வொன்றின் உச்சியிலிருந்து தொடங்குகின்றன. இருப்பினும், இந்த கதிர்கள் அனைத்தும் ஒன்றுக்கொன்று சமமானவை, எனவே ஒரு முனை மட்டுமே உள்ளது. ஒரு காடு என்றால் (அதாவது, வரையறுக்கப்பட்ட சுழற்சிகள் இல்லாத ஒரு வரைபடம்), எந்த இரண்டு கதிர்களின் குறுக்குவெட்டும் ஒரு பாதை அல்லது ஒரு கதிர் ஆகும்; அவற்றின் குறுக்குவெட்டு ஒரு கதிர் என்றால் இரண்டு கதிர்கள் சமமானவை. இணைக்கப்பட்ட ஒவ்வொரு கூறிலும் ஒரு அடிப்படை முனை தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டால், அதன் ஒவ்வொரு முனையிலும் அடிப்படை செங்குத்துகளில் ஒன்றிலிருந்து தொடங்கும் ஒரு தனித்துவமான கதிர் உள்ளது, எனவே முனைகள் இந்த நியமன கதிர்களுடன் ஒன்றுக்கு ஒன்று ஒத்த உறவில் வைக்கப்படலாம். எண்ணக்கூடிய ஒவ்வொரு வரைபடமும் ஒரே முனைகளைக் கொண்ட ஒரு பரவலான காடுகளைக் கொண்டுள்ளது. இருப்பினும், ஒரே ஒரு முனையுடன் எண்ணற்ற எல்லையற்ற வரைபடங்கள் உள்ளன, இதில் ஒவ்வொரு பரவலான மரமும் எண்ணற்ற பல முனைகளைக் கொண்டுள்ளன. எல்லையற்ற கட்ட வரைபடமாக இருந்தால், அது பல கதிர்களையும், தன்னிச்சையாக பெரிய வெர்டெக்ஸ்-டிஸ்ஜோயின்ட் கதிர்களையும் கொண்டுள்ளது. இருப்பினும், இதற்கு ஒரே ஒரு முடிவு மட்டுமே உள்ளது. புகலிடங்களின் அடிப்படையில் முனைகளின் குணாதிசயத்தைப் பயன்படுத்தி இதை மிகவும் எளிதாகக் காணலாம்ஃ எந்தவொரு வரையறுக்கப்பட்ட செங்குத்துகளின் தொகுப்பையும் அகற்றுவது சரியாக ஒரு எல்லையற்ற இணைக்கப்பட்ட கூறுகளை விட்டுச்செல்கிறது, எனவே ஒரே ஒரு புகலிடமே உள்ளது (ஒவ்வொரு வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்பையும் தனித்துவமான எல்லையற்ற இணைக்கப்பட்ட கூறுக்கு வரைபடமாக்கும் ஒன்று). இடவியல் முடிவுகளுடனான உறவு புள்ளி-தொகுப்பு இடவியலில், ஒரு முடிவைப் பற்றிய ஒரு கருத்து உள்ளது, இது வரைபடக் கோட்பாட்டில் ஒரு முடிவைப் பற்றிய கருத்தை ஒத்திருக்கிறது, ஆனால் மிகவும் ஒத்ததாக இல்லை, இது மிகவும் முந்தைய காலத்தைச் சேர்ந்தது. ஒரு இடவியல் இடத்தை சிறிய தொகுப்புகளின் தொகுக்கப்பட்ட வரிசையால் மூட முடிந்தால், இடத்தின் முனை என்பது சிறிய தொகுப்புகளின் முழுமைகளின் கூறுகளின் வரிசையாகும். இந்த வரையறை கச்சிதமான தொகுப்புகளின் தேர்வைப் பொறுத்தது அல்லஃ அத்தகைய ஒரு தேர்வால் வரையறுக்கப்பட்ட முனைகள் வேறு எந்தத் தேர்வாலும் வரையறுக்கப்பட்ட முனைகளுடன் ஒன்றுக்கு ஒன்று தொடர்புகளில் வைக்கப்படலாம். ஒரு எல்லையற்ற வரைபடத்தை இரண்டு வெவ்வேறு ஆனால் தொடர்புடைய வழிகளில் ஒரு இடவியல் இடத்தில் உருவாக்கலாம்ஃ வரைபடத்தின் ஒவ்வொரு முனையையும் ஒரு புள்ளியால் மாற்றுவது மற்றும் வரைபடத்தின் ஒவ்வொரு விளிம்பையும் ஒரு திறந்த அலகு இடைவெளி மூலம் மாற்றுவது வரைபடத்திலிருந்து ஒரு ஹவுஸ்டோர்ஃப் இடத்தை உருவாக்குகிறது, இதில் வரைபடத்தின் விளிம்புடன் ஒவ்வொரு குறுக்குவெட்டும் அலகு இடைவெளியின் திறந்த துணைக்குழுவாக இருக்கும்போதெல்லாம் ஒரு தொகுப்பு திறந்ததாக வரையறுக்கப்படுகிறது. வரைபடத்தின் ஒவ்வொரு முனையையும் ஒரு புள்ளியாலும், வரைபடத்தின் ஒவ்வொரு விளிம்பையும் ஒரு புள்ளியாலும் மாற்றுவது ஒரு ஹவுஸ்டோர்ஃப் அல்லாத இடத்தை உருவாக்குகிறது, இதில் திறந்த செட்டுகள் செட்களாக உள்ளன, அவை ஒரு உச்சிக்கு சொந்தமானவை என்றால், ஒவ்வொரு விளிம்பும் அதன் இறுதிப் புள்ளிகளில் ஒன்றாக இருக்கும். இரண்டு சந்தர்ப்பங்களிலும், ஒவ்வொரு வரையறுக்கப்பட்ட துணை வரைபடமும் இடவியல் இடத்தின் ஒரு சுருக்கமான துணை இடத்துடன் ஒத்திருக்கிறது, மேலும் ஒவ்வொரு சுருக்கமான துணை இடமும் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட துணை வரைபடத்துடன் ஒத்திருக்கிறது, ஹவுஸ்டோர்ஃப் வழக்கில், விளிம்புகளின் இறுதியாக பல கச்சிதமான சரியான துணைக்குழுக்கள். எனவே, ஒரு வரைபடம் ஒவ்வொரு முனையிலும் வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான விளிம்புகளைக் கொண்டிருந்தால், அது உள்ளூரில் வரையறுக்கப்பட்டதாக இருந்தால் மட்டுமே, சிறிய தொகுப்புகளின் உள்ளமைக்கப்பட்ட வரிசையால் மூடப்படலாம். ஒரு வரைபடம் இணைக்கப்பட்டு உள்ளூரில் வரையறுக்கப்பட்டிருந்தால், அது ஒரு சிறிய மறைப்பைக் கொண்டுள்ளது, இதில் தொகுப்பு சில தன்னிச்சையாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட தொடக்க உச்சியிலிருந்து அதிகபட்ச தூரத்தில் செங்குத்துகளின் தொகுப்பாகும். இந்த விஷயத்தில் எந்தவொரு புகலிடமும் இடவியல் இடத்தின் முடிவை வரையறுக்கிறது. இதற்கு நேர்மாறாக, வரையறுக்கப்பட்ட இடவியல் இடத்தின் முடிவு என்றால், அது ஒரு புகலிடத்தை வரையறுக்கிறது, அதில் உள்ள கூறு, எந்த எண்ணும் போதுமான அளவு பெரியதாக இருக்கும். எனவே, இணைக்கப்பட்ட மற்றும் உள்ளூரில் வரையறுக்கப்பட்ட வரைபடங்களுக்கு, இடவியல் முனைகள் வரைபட-கோட்பாட்டு முனைகளுடன் ஒன்றுக்கு ஒன்று தொடர்புபடுத்தப்படுகின்றன. உள்ளூரில் வரையறுக்கப்படாத வரைபடங்களுக்கு, வரைபடம் மற்றும் அதன் முனைகளிலிருந்து ஒரு இடவியல் இடத்தை வரையறுப்பது இன்னும் சாத்தியமாகும். ஒவ்வொரு வரைபட விளிம்பும் ஒரு மூதாதையர்-வம்சாவளி ஜோடியை இணைக்கும் வகையில் வேரூன்றிய மரமான ஒரு சாதாரண பரவலான மரத்தை வரைபடம் கொண்டிருந்தால் மட்டுமே இந்த இடத்தை ஒரு மெட்ரிக் இடமாக குறிப்பிட முடியும். ஒரு சாதாரண பரவலான மரம் இருந்தால், அது கொடுக்கப்பட்ட வரைபடத்தைப் போலவே முடிவுகளின் தொகுப்பைக் கொண்டுள்ளதுஃ வரைபடத்தின் ஒவ்வொரு முனையும் மரத்தில் சரியாக ஒரு எல்லையற்ற பாதையைக் கொண்டிருக்க வேண்டும். சிறப்பு வகையான முனைகள் இலவச முனைகள் வரைபடத்தின் மற்ற எல்லா முனைகளிலிருந்தும் பிரியும் பண்புடன் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட செங்குத்துகள் இருந்தால் ஒரு வரைபடத்தின் முடிவு ஒரு இலவச முடிவாக வரையறுக்கப்படுகிறது. (அதாவது, புகலிடங்களைப் பொறுத்தவரை, மற்ற எல்லா முனைகளிலும் இருந்து வேறுபடுகிறது.) இறுதியாக பல முனைகளைக் கொண்ட ஒரு வரைபடத்தில், ஒவ்வொரு முனையும் சுதந்திரமாக இருக்க வேண்டும். எல்லையற்ற பல முனைகளைக் கொண்டிருந்தால், ஒன்று சுதந்திரமாக இல்லாத ஒரு முடிவு உள்ளது, அல்லது ஒரு பொதுவான தொடக்க உச்சியைப் பகிர்ந்து கொள்ளும் எல்லையற்ற கதிர்களின் குடும்பம் உள்ளது, இல்லையெனில் அவை ஒன்றுக்கொன்று வேறுபடுகின்றன என்பதை நிரூபிக்கிறது. தடிமனான முனைகள் ஒரு வரைபடத்தின் தடிமனான முனை என்பது எண்ணற்ற பல ஜோடி-வேறுபட்ட கதிர்களைக் கொண்ட ஒரு முனையாகும். ஹாலினின் கட்டத் தேற்றம் தடிமனான முனைகளைக் கொண்ட வரைபடங்களை வகைப்படுத்துகிறதுஃ அவை சரியாக அறுகோண ஓடுகளின் உட்பிரிவைக் கொண்ட வரைபடங்களாகும். சிறப்பு வகையான வரைபடங்கள் சமச்சீர் மற்றும் கிட்டத்தட்ட சமச்சீர் வரைபடங்கள் ஒரு இணைக்கப்பட்ட உள்ளூரில் வரையறுக்கப்பட்ட வரைபடத்தை "கிட்டத்தட்ட சமச்சீர்" என்று வரையறுக்கின்றன, ஒரு உச்சி மற்றும் ஒரு எண் இருந்தால், மற்ற ஒவ்வொரு உச்சிக்கும், வரைபடத்தின் ஒரு தானியங்கி உருவம் உள்ளது, அதற்காக அதன் படம் தூரத்திற்குள் உள்ளது; சமமாக, இணைக்கப்பட்ட உள்ளூரில் வரையறுக்கப்பட்ட வரைபடம் அதன் தானியங்கி உருவம் குழு இறுதியாக பல சுற்றுப்பாதைகளைக் கொண்டிருந்தால் கிட்டத்தட்ட சமச்சீர் ஆகும். அவர் காட்டுவது போல், ஒவ்வொரு இணைக்கப்பட்ட உள்ளூரில் வரையறுக்கப்பட்ட கிட்டத்தட்ட சமச்சீர் வரைபடத்திற்கும், முனைகளின் எண்ணிக்கை அதிகபட்சம் இரண்டு அல்லது கணக்கிட முடியாதது; அது கணக்கிட முடியாததாக இருந்தால், முனைகள் ஒரு கேன்டர் தொகுப்பின் இடவியலைக் கொண்டுள்ளன. கூடுதலாக, மொஹர் முனைகளின் எண்ணிக்கை சீகர் மாறிலியைக் கட்டுப்படுத்துகிறது என்பதைக் காட்டுகிறது, அங்கு வரைபடத்தின் அனைத்து வரையறுக்கப்பட்ட காலியாக இல்லாத செங்குத்துகளின் வரம்புகள் மற்றும் ஒரு இறுதிப் புள்ளியைக் கொண்ட விளிம்புகளின் தொகுப்பைக் குறிக்கிறது. எண்ணற்ற பல முனைகளைக் கொண்ட கிட்டத்தட்ட சமச்சீர் வரைபடங்களுக்கு, இருப்பினும், இரண்டு முனைகளைக் கொண்ட கிட்டத்தட்ட சமச்சீர் வரைபடங்களுக்கு,. கெய்லி வரைபடங்கள் குழுவிற்கான ஒவ்வொரு குழுவும் ஜெனரேட்டர்களின் தொகுப்பும் கெய்லி வரைபடத்தை தீர்மானிக்கின்றன, அதன் செங்குத்துகள் குழு கூறுகள் மற்றும் விளிம்புகள் ஜெனரேட்டர்களில் ஒன்றான உறுப்புகளின் ஜோடிகள். ஒரு இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட குழுவின் விஷயத்தில், குழுவின் முனைகள் வரையறுக்கப்பட்ட ஜெனரேட்டர்களின் தொகுப்பிற்கான கெய்லி வரைபடத்தின் முனைகளாக வரையறுக்கப்படுகின்றன; இந்த வரையறை ஜெனரேட்டர்களின் தேர்வின் கீழ் மாறாதது, அதாவது இரண்டு வெவ்வேறு வரையறுக்கப்பட்ட ஜெனரேட்டர்கள் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டால், இரண்டு கெய்லி வரைபடங்களின் முனைகள் ஒருவருக்கொருவர் தொடர்புபடுத்தப்படுகின்றன. உதாரணமாக, ஒவ்வொரு இலவச குழுவிலும் ஒரு கெய்லி கிராஃப் (அதன் இலவச ஜெனரேட்டர்களுக்கு) உள்ளது, அது ஒரு மரம். ஒரு ஜெனரேட்டரில் உள்ள இலவச குழு அதன் கெய்லி வரைபடத்தைப் போல இரு மடங்கு எல்லையற்ற பாதையைக் கொண்டுள்ளது, இரண்டு முனைகளுடன். ஒவ்வொரு இலவச குழுவிற்கும் எண்ணற்ற பல முனைகள் உள்ளன. இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட ஒவ்வொரு எல்லையற்ற குழுவிற்கும் 1,2 அல்லது எல்லையற்ற பல முனைகள் உள்ளன, மேலும் குழுக்களின் முனைகளைப் பற்றிய ஸ்டாலிங்ஸ் தேற்றம் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட முனைகளைக் கொண்ட குழுக்களின் சிதைவை வழங்குகிறது. குறிப்பாகஃ வரையறுக்கப்பட்ட குறியீட்டின் சுழற்சி துணைக்குழுவைக் கொண்டிருந்தால் மட்டுமே இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட எல்லையற்ற குழுவுக்கு 2 முனைகள் இருக்கும். ஒரு இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட எல்லையற்ற குழு ஒன்றிணைப்புடன் ஒரு அற்பமான இலவச தயாரிப்பு அல்லது வரையறுக்கப்பட்ட ஒருங்கிணைப்புடன் எச்என்என்-விரிவாக்கமாக இருந்தால் மட்டுமே எல்லையற்ற பல முனைகளைக் கொண்டுள்ளது. இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட மற்ற எல்லையற்ற குழுக்கள் அனைத்தும் சரியாக ஒரு முடிவைக் கொண்டுள்ளன. குறிப்புகள் வரைபடக் கோட்பாடு பொருள்கள் எல்லையற்ற வரைபடங்கள்