Diffusion map
பரவல் வரைபடங்கள் என்பது கோஃப்மேன் மற்றும் லாஃபோன் ஆகியோரால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட ஒரு பரிமாணக் குறைப்பு அல்லது அம்ச பிரித்தெடுத்தல் வழிமுறையாகும், இது யூக்ளிடியன் இடத்தில் (பெரும்பாலும் குறைந்த பரிமாணத்தில்) அமைக்கப்பட்ட தரவின் உட்பொதிப்புகளின் குடும்பத்தை கணக்கிடுகிறது, அதன் ஆயத்தொலைவுகளை ஐஜென்வெக்டர்கள் மற்றும் ஐஜென்வெல்யூக்களிலிருந்து கணக்கிட முடியும். உட்பொதிக்கப்பட்ட இடத்தில் உள்ள புள்ளிகளுக்கு இடையிலான யூக்ளிடியன் தூரம் அந்த புள்ளிகளை மையமாகக் கொண்ட நிகழ்தகவு விநியோகங்களுக்கு இடையிலான "பரவல் தூரத்திற்கு" சமம். முதன்மை கூறு பகுப்பாய்வு (பிசிஏ) போன்ற நேரியல் பரிமாணக் குறைப்பு முறைகளிலிருந்து வேறுபட்ட, பரவல் வரைபடங்கள் நேரியல் அல்லாத பரிமாணக் குறைப்பு முறைகளின் குடும்பத்தின் ஒரு பகுதியாகும், அவை தரவு மாதிரியாக எடுக்கப்பட்ட அடிப்படை பன்மடங்கு கண்டுபிடிப்பதில் கவனம் செலுத்துகின்றன. வெவ்வேறு அளவுகளில் உள்ளூர் ஒற்றுமைகளை ஒருங்கிணைப்பதன் மூலம், பரவல் வரைபடங்கள் தரவு-தொகுப்பு பற்றிய உலகளாவிய விளக்கத்தை அளிக்கின்றன. மற்ற முறைகளுடன் ஒப்பிடும்போது, பரவல் வரைபட வழிமுறை சத்தம் இடையூறுக்கு வலுவானது மற்றும் கணக்கீட்டு ரீதியாக மலிவானது. பரவல் வரைபடங்களின் வரையறை பின்வரும் மற்றும் பரவல் வரைபடங்களை நான்கு படிகளில் வரையறுக்கலாம். இணைப்பு பரவல் வரைபடங்கள் வெப்பப் பரவலுக்கும் சீரற்ற நடை மார்க்கோவ் சங்கிலிக்கும் இடையிலான உறவைப் பயன்படுத்துகின்றன. அடிப்படை அவதானிப்பு என்னவென்றால், தரவுகளில் நாம் சீரற்ற நடைபயிற்சி மேற்கொண்டால், அருகிலுள்ள தரவு-புள்ளிக்கு நடந்து செல்வது தொலைதூரத்தில் உள்ள மற்றொரு இடத்திற்கு நடந்து செல்வதை விட அதிக வாய்ப்புள்ளது. ஒரு அளவீட்டு இடமாக இருக்கட்டும், தரவு தொகுப்பு எங்கே மற்றும் புள்ளிகளின் விநியோகத்தை குறிக்கிறது. இதன் அடிப்படையில், இரண்டு தரவு புள்ளிகளுக்கு இடையிலான இணைப்பு, மற்றும், சீரற்ற நடைப்பயணத்தின் ஒரு கட்டத்தில் இருந்து நடந்து செல்வதற்கான நிகழ்தகவு என வரையறுக்கப்படலாம். வழக்கமாக, இந்த நிகழ்தகவு இரண்டு புள்ளிகளின் கர்னல் செயல்பாட்டின் அடிப்படையில் குறிப்பிடப்படுகிறதுஃ எடுத்துக்காட்டாக, பிரபலமான காஸியன் கர்னல்ஃ பொதுவாக, கர்னல் செயல்பாடு பின்வரும் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது (சமச்சீர்) (நேர்மறை பாதுகாப்பு). கர்னல் என்பது தரவு-தொகுப்பின் உள்ளூர் வடிவவியலின் முன் வரையறையாகும். கொடுக்கப்பட்ட கர்னல் தரவுத் தொகுப்பின் ஒரு குறிப்பிட்ட அம்சத்தைப் பிடிக்கும் என்பதால், அதன் தேர்வு ஒருவர் மனதில் வைத்திருக்கும் பயன்பாட்டால் வழிநடத்தப்பட வேண்டும். முதன்மை கூறு பகுப்பாய்வு போன்ற முறைகளுடன் இது ஒரு பெரிய வித்தியாசமாகும், அங்கு அனைத்து தரவு புள்ளிகளுக்கும் இடையிலான தொடர்புகள் ஒரே நேரத்தில் கணக்கில் எடுத்துக் கொள்ளப்படுகின்றன. கொடுக்கப்பட்டால், நாம் ஒரு தலைகீழ் தனித்த-நேர மார்கோவ் சங்கிலியை உருவாக்கலாம் (இயல்பாக்கப்பட்ட வரைபட லாப்லாசியன் கட்டுமானம் என்று அழைக்கப்படும் ஒரு செயல்முறை): மற்றும் வரையறுக்கஃ புதிய இயல்பாக்கப்பட்ட கர்னல் சமச்சீர் பண்பைப் பெறவில்லை என்றாலும், அது நேர்மறை-பாதுகாக்கும் பண்பைப் பெறுகிறது மற்றும் ஒரு பாதுகாப்பு பண்பைப் பெறுகிறதுஃ பரவல் செயல்முறை ஒரு மார்கோவ் சங்கிலியின் () ஒரு மாற்றம் மேட்ரிக்ஸை உருவாக்க முடியும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒரு படி மாற்றம் நிகழ்தகவை குறிக்கிறது, மேலும் டி-படி மாற்றம் மேட்ரிக்ஸை வழங்குகிறது. டிஃப்யூஷன் மேட்ரிக்ஸை நாம் வரையறுக்கிறோம் (இது கிராஃப் லாப்லாசியன் மேட்ரிக்ஸின் ஒரு பதிப்பாகும்) பின்னர் புதிய கர்னலை அல்லது அதற்கு சமமாக வரையறுக்கிறோம், அங்கு டி ஒரு மூலைவிட்ட மேட்ரிக்ஸ் மற்றும் இந்த புதிய கர்னலுக்கு கிராஃப் லாப்லாசியன் இயல்பாக்கத்தை நாம் பயன்படுத்துகிறோம்ஃ ஒரு மூலைவிட்ட மேட்ரிக்ஸ் எங்கே மற்றும் டிஃப்யூஷன் கட்டமைப்பின் முக்கிய யோசனைகளில் ஒன்று, சங்கிலியை நேரத்திற்கு முன்னோக்கி இயக்குவது (பெரிய மற்றும் பெரிய சக்திகளை எடுத்துக்கொள்வது) பெரிய மற்றும் பெரிய அளவுகளில் (டிஃப்யூஷன் செயல்முறை) வடிவியல் கட்டமைப்பை வெளிப்படுத்துகிறது. குறிப்பாக, தரவுத் தொகுப்பில் ஒரு கிளஸ்டர் பற்றிய கருத்து இந்த பிராந்தியத்திலிருந்து தப்பிக்கும் நிகழ்தகவு குறைவாக இருக்கும் ஒரு பிராந்தியமாக அளவிடப்படுகிறது (ஒரு குறிப்பிட்ட நேரத்திற்குள் t). எனவே, t ஒரு நேர அளவுருவாக செயல்படுவது மட்டுமல்லாமல், இது அளவுகோல் அளவுருவின் இரட்டைப் பாத்திரத்தையும் கொண்டுள்ளது. மேட்ரிக்ஸின் ஈஜென்டெகம்போசிஷன் விளைச்சல் முறையே பயோர்டோகனல் வலது மற்றும் இடது ஈஜென்வெக்டர்களின் ஈஜென்வெல்யூக்களின் வரிசை மற்றும் மற்றும் ஆகும். ஐகென் மதிப்புகளின் ஸ்பெக்ட்ரம் சிதைவு காரணமாக, இந்த தொகையில் கொடுக்கப்பட்ட ஒப்பீட்டு துல்லியத்தை அடைய ஒரு சில சொற்கள் மட்டுமே தேவை. அளவுரு α மற்றும் பரவல் ஆபரேட்டர் இயல்பாக்குதல் படிநிலையை அறிமுகப்படுத்துவதற்கான காரணம், பரவலின் எல்லையற்ற மாற்றத்தில் தரவு புள்ளி அடர்த்தியின் தாக்கத்தை சரிசெய்வதாகும். சில பயன்பாடுகளில், தரவின் மாதிரி பொதுவாக நாம் விவரிக்க விரும்பும் பன்மடங்கு வடிவவியலுடன் தொடர்புடையது அல்ல. இந்த வழக்கில், நாம் அமைக்க முடியும் மற்றும் பரவல் ஆபரேட்டர் லாப்லேஸ்-பெல்ட்ராமி ஆபரேட்டரை தோராயமாக மதிப்பிடுகிறது. புள்ளிகளின் விநியோகத்தைப் பொருட்படுத்தாமல் தரவுத் தொகுப்பின் ரீமானியன் வடிவவியலை மீட்டெடுக்கிறோம். சீரற்ற வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் புள்ளி விநியோகத்தின் நீண்டகால நடத்தையை விவரிக்க, நாம் பயன்படுத்தலாம் மற்றும் இதன் விளைவாக வரும் மார்கோவ் சங்கிலி ஃபோக்கர்-பிளாங்க் பரவலை தோராயமாக மதிப்பிடுகிறது. உடன், இது கிளாசிக்கல் கிராஃப் லாப்லாசியன் இயல்பாக்கத்திற்கு குறைகிறது. பரவல் தூரம் இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையிலான நேரத்தில் பரவல் தூரத்தை கண்காணிப்பு இடத்தில் உள்ள இரண்டு புள்ளிகளின் ஒற்றுமையையும் அவற்றுக்கிடையேயான இணைப்பையும் அளவிட முடியும். மார்கோவ் சங்கிலியின் நிலையான விநியோகம் எங்குள்ளது என்பதன் மூலம் இது வழங்கப்படுகிறது, இது முதல் இடது ஐகென் வெக்டரால் வழங்கப்படுகிறது. வெளிப்படையாகஃ உள்ளுணர்வாக, இணைக்கும் மற்றும் இணைக்கும் குறுகிய பாதைகள் அதிக எண்ணிக்கையில் இருந்தால் சிறியது. பரவல் தூரத்துடன் தொடர்புடைய பல சுவாரஸ்யமான அம்சங்கள் உள்ளன, இது நமது முந்தைய விவாதத்தின் அடிப்படையில் ஒரு அளவுகோல் அளவுருவாகவும் செயல்படுகிறதுஃ புள்ளிகள் வரைபடத்தில் மிகவும் இணைக்கப்பட்டிருந்தால் கொடுக்கப்பட்ட அளவில் (குறிப்பிட்டுள்ளபடி) நெருக்கமாக இருக்கும், எனவே ஒரு கிளஸ்டர் என்ற கருத்தை வலியுறுத்துகிறது. இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரம் புள்ளிகளுக்கு இடையிலான நீளத்தின் சாத்தியமான அனைத்து பாதைகளையும் சார்ந்திருப்பதால், இந்த தூரம் சத்தத்திற்கு வலுவானது. ஒரு இயந்திர கற்றல் கண்ணோட்டத்தில், தூரம் இணைக்கப்பட்டுள்ள அனைத்து ஆதாரங்களையும் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்கிறது, இது பெரும்பாலான முன்னுரிமைகளின் அடிப்படையில் அனுமான வழிமுறைகளின் வடிவமைப்பிற்கு இந்த தூரம் பொருத்தமானது என்று முடிவு செய்ய அனுமதிக்கிறது. பரவல் செயல்முறை மற்றும் குறைந்த பரிமாண உட்பொதிப்பு பரவல் தூரத்தை ஈஜென்வெக்டர்களைப் பயன்படுத்தி கணக்கிட முடியும் எனவே ஈஜென்வெக்டர்களை தரவுகளுக்கான புதிய ஆயத்தொகுப்புகளின் தொகுப்பாகப் பயன்படுத்தலாம். பரவல் வரைபடம் பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறதுஃ ஸ்பெக்ட்ரம் சிதைவு காரணமாக, முதல் k ஈஜென்வெக்டர்கள் மற்றும் ஈஜென்வெல்யூக்களை மட்டுமே பயன்படுத்த போதுமானது. இவ்வாறு அசல் தரவுகளிலிருந்து ஒரு கே-பரிமாண இடத்திற்கு பரவல் வரைபடத்தைப் பெறுகிறோம், இது அசல் இடத்தில் உட்பொதிக்கப்பட்டுள்ளது. எனவே பரவல் ஆயத்தொகுதிகளில் உள்ள யூக்ளிடியன் தூரம் பரவல் தூரத்தை தோராயமாக மதிப்பிடுகிறது என்பது நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. வழிமுறை பரவல் வரைபடத்தின் அடிப்படை வழிமுறை கட்டமைப்பு பின்வருமாறுஃ படி 1. கொடுக்கப்பட்ட ஒற்றுமை மேட்ரிக்ஸ் எல். படி 2. அளவுருவின் படி மேட்ரிக்ஸை இயல்பாக்குங்கள்ஃ. படி 3. இயல்பாக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸை உருவாக்கவும். படி 4. k இன் மிகப்பெரிய ஐகென் மதிப்புகள் மற்றும் அதனுடன் தொடர்புடைய ஐகென் வெக்டர்களை கணக்கிடுங்கள். படி 5. உட்பொதிப்பைப் பெற பரவல் வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தவும். காகிதத்தில் பயன்பாடு நாட்லர் மற்றும் பலர். ஃபோக்கர்-பிளாங்க் சமன்பாட்டால் தூண்டப்பட்ட பரவலை இனப்பெருக்கம் செய்யும் கர்னலை எவ்வாறு வடிவமைப்பது என்பதைக் காட்டியது. தரவு ஒரு பன்மடங்கு தோராயமாக இருக்கும்போது, லாப்லேஸ்-பெல்ட்ராமி ஆபரேட்டரின் தோராயத்தை கணக்கிடுவதன் மூலம் இந்த பன்மடங்கு வடிவவியலை மீட்டெடுக்க முடியும் என்றும் அவர்கள் விளக்கினர். இந்த கணக்கீடு புள்ளிகளின் விநியோகத்திற்கு முற்றிலும் உணர்ச்சியற்றது, எனவே புள்ளிவிவரங்கள் மற்றும் தரவுகளின் வடிவவியலைப் பிரிப்பதை வழங்குகிறது. பரவல் வரைபடங்கள் தரவு-தொகுப்பின் உலகளாவிய விளக்கத்தை வழங்குவதால், அவை தரவு உட்பொதிக்கப்பட்டுள்ள பன்மடங்கு மாதிரி புள்ளிகளின் ஜோடிக்கு இடையிலான தூரத்தை அளவிட முடியும். பரவலான வரைபடங்களை அடிப்படையாகக் கொண்ட பயன்பாடுகளில் முக அங்கீகாரம், நிறமாலை கிளஸ்டரிங், படங்களின் குறைந்த பரிமாண பிரதிநிதித்துவம், படப் பிரிவு, 3டி மாதிரி பிரிவு, பேச்சாளர் சரிபார்ப்பு மற்றும் அடையாளம், பன்மடங்கு மாதிரிகள், ஒழுங்கின்மை கண்டறிதல், பட ஓவியம் வரைதல், மூளை ஓய்வெடுக்கும் நிலை நெட்வொர்க்குகள் அமைப்பை வெளிப்படுத்துதல் மற்றும் பல அடங்கும். மேலும், பரவல் வரைபடக் கட்டமைப்பு சிக்கலான நெட்வொர்க்குகளுக்கு ஆக்கப்பூர்வமாக விரிவுபடுத்தப்பட்டுள்ளது, இது முற்றிலும் இடவியல் அல்லது கட்டமைப்பு ஒன்றிலிருந்து வேறுபடும் நெட்வொர்க்குகளின் செயல்பாட்டு அமைப்பை வெளிப்படுத்துகிறது. மேலும் காண்க நேரியல் அல்லாத பரிமாண குறைப்பு ஸ்பெக்ட்ரல் கிளஸ்டரிங் குறிப்புகள் இயந்திர கற்றல் வழிமுறைகள்