Chaotic scattering
குழப்பம் சிதறல் என்பது ஆரம்ப நிலைமைகளுக்கு வலுவான உணர்திறனைக் காட்டும் சிதறல் அமைப்புகளைக் கையாளும் குழப்பம் கோட்பாட்டின் ஒரு கிளை ஆகும். ஒரு பாரம்பரிய சிதறல் அமைப்பில் ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட தாக்க அளவுருக்கள் இருக்கும், b, இதில் ஒரு துகள் சிதறலுக்குள் அனுப்பப்படுகிறது. துகள் முடிவிலியை நோக்கி வெளியேறும்போது இது ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட வெளியேறும் அளவுருக்கள், y க்கு வழிவகுக்கிறது. துகள் அமைப்பில் பயணிக்கும்போது, ஒரு தாமத நேரமும் இருக்கலாம், T-துகள் அமைப்பில் இருந்து வெளியேற எடுக்கும் நேரம்-பயணித்த தூரத்திற்கு கூடுதலாக, s. சில அமைப்புகளில் (எ. கா. கடினமான, நிலையான பொருட்களுடன் துகள் இழப்பற்ற மோதல்களுக்கு உட்படும் "பில்லியர்ட் போன்ற" அமைப்புகள் இரண்டும் சமமாக இருக்கும்-கீழே காண்க. ஒரு குழப்பமான சிதறல் அமைப்பில், தாக்க அளவுருவில் ஒரு நிமிட மாற்றம், வெளியேறும் அளவுருக்களில் மிகப் பெரிய மாற்றத்திற்கு வழிவகுக்கும். காஸ்பர்ட்-ரைஸ் அமைப்பு ஒரு சிறந்த எடுத்துக்காட்டு அமைப்பு "காஸ்பர்ட்-ரைஸ்" (ஜி. ஆர்) சிதறல் அமைப்பு-இது வெறுமனே "மூன்று-வட்டு" அமைப்பு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது-இது குழப்பமான சிதறலில் பல முக்கியமான கருத்துக்களை உள்ளடக்கியது, அதே நேரத்தில் எளிமையாகவும் புரிந்துகொள்ளவும் உருவகப்படுத்தவும் எளிதானது. கருத்து மிகவும் எளிதானதுஃ எங்களிடம் மூன்று கடினமான வட்டுகள் சில முக்கோண உருவாக்கத்தில் அமைக்கப்பட்டுள்ளன, ஒரு புள்ளி துகள் அனுப்பப்பட்டு முடிவிலியை நோக்கி வெளியேறும் வரை சரியான, நெகிழ்வான மோதல்களுக்கு உட்படுகிறது. இந்த விவாதத்தில், ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தின் புள்ளிகளைச் சுற்றி சமமாக இடைவெளி கொண்ட சம அளவிலான வட்டுகளைக் கொண்ட GR அமைப்புகளை மட்டுமே கருத்தில் கொள்வோம். படம் 1 இந்த அமைப்பை விளக்குகிறது, அதே நேரத்தில் படம் 2 இரண்டு எடுத்துக்காட்டு பாதைகளைக் காட்டுகிறது. இறுதியாக வெளியேறும் முன் பாதைகள் அமைப்பைச் சுற்றி சிறிது நேரம் துள்ளுகின்றன என்பதை முதலில் நினைவில் கொள்க. மேலும், தாக்க அளவுருக்களை இடதுபுறத்தில் உள்ள இரண்டு முழுமையான கிடைமட்ட கோடுகளின் தொடக்கமாக நாம் கருதினால் (அமைப்பு முற்றிலும் மாற்றியமைக்கக்கூடியதுஃ வெளியேறும் புள்ளியும் நுழைவு புள்ளியாக இருக்கலாம்), இரண்டு பாதைகளும் ஆரம்பத்தில் கிட்டத்தட்ட ஒரே மாதிரியாக இருக்கும் அளவுக்கு நெருக்கமாக இருக்கும். அவர்கள் வெளியேறும் நேரத்தில், அவை முற்றிலும் வேறுபட்டவை, இதனால் ஆரம்ப நிலைமைகளுக்கு வலுவான உணர்திறனை விளக்குகிறது. இந்த அமைப்பு கட்டுரை முழுவதும் ஒரு எடுத்துக்காட்டாக பயன்படுத்தப்படும். சிதைவு விகிதம் ஒரே சீராக விநியோகிக்கப்பட்ட தாக்க அளவுருக்களுடன் அதிக எண்ணிக்கையிலான துகள்களை நாம் அறிமுகப்படுத்தினால், அவை அமைப்பில் இருந்து வெளியேறும் விகிதம் சிதைவு விகிதம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. பல சோதனைகளில் அமைப்பை உருவகப்படுத்துவதன் மூலமும், தாமத நேரத்தின் ஹிஸ்டோகிராமை உருவாக்குவதன் மூலமும் சிதைவு விகிதத்தை நாம் கணக்கிடலாம், டி. ஜி. ஆர் அமைப்பைப் பொறுத்தவரை, தாமத நேரமும் துகள் பாதையின் நீளமும் சமமானவை என்பதைக் காண்பது எளிது, ஆனால் ஒரு பெருக்க குணகம். தாக்க அளவுருவிற்கான ஒரு பொதுவான தேர்வு y-ஒருங்கிணைப்பாகும், அதே நேரத்தில் பாதை கோணம் பூஜ்ஜிய டிகிரிகளில் நிலையானதாக வைக்கப்படுகிறது-கிடைமட்டமாக. இதற்கிடையில், துகள் அமைப்பின் மையத்திலிருந்து ஓரளவு தன்னிச்சையான, ஆனால் போதுமான அளவு பெரிய தூரத்தை கடந்து சென்றவுடன் "அமைப்பிலிருந்து வெளியேறியது" என்று நாம் கூறுகிறோம். அமைப்பில் மீதமுள்ள துகள்களின் எண்ணிக்கை, N (T), பின்வருமாறு மாறுபடும் என்று நாம் எதிர்பார்க்கிறோம்ஃ எனவே சிதைவு விகிதம், பின்வருமாறு வழங்கப்படுகிறதுஃ இங்கு n என்பது துகள்களின் மொத்த எண்ணிக்கை. படம் 3 சீரற்ற தாக்க அளவுருவான b உடன் தொடங்கிய ஒரு மில்லியன் (1e6) துகள்களின் உருவகப்படுத்துதலுக்கான துகள்களின் எண்ணிக்கைக்கு எதிரான பாதை நீளத்தின் ஒரு வரைபடத்தைக் காட்டுகிறது. எதிர்மறை சரிவின் பொருத்தப்பட்ட நேர் கோடு, மூடப்பட்டுள்ளது. பாதை நீளம், s, சிதைவு நேரம், T க்கு சமம், நாம் (நிலையான) வேகத்தை சரியான முறையில் அளவிட்டால். ஒரு அதிவேக சிதைவு விகிதம் என்பது குறிப்பாக ஹைபர்போலிக் குழப்பமான சிதறலின் ஒரு பண்பு என்பதை நினைவில் கொள்க. ஹைபர்போலிக் அல்லாத சிதறல்கள் ஒரு எண்கணித சிதைவு விகிதத்தைக் கொண்டிருக்கலாம். ஒரு சோதனை அமைப்பு மற்றும் நிலையான பன்மடங்கு படம் 4 ஒரு புள்ளி துகள்களுக்கு பதிலாக லேசரைப் பயன்படுத்தி காஸ்பர்ட்-ரைஸ் அமைப்பின் சோதனை உணர்தலைக் காட்டுகிறது. உண்மையில் இதை முயற்சித்த எவருக்கும் தெரியும், இது அமைப்பைச் சோதிப்பதற்கான மிகவும் பயனுள்ள முறை அல்ல-லேசர் கற்றை ஒவ்வொரு திசையிலும் சிதறடிக்கப்படுகிறது. ஸ்வீட், ஓட் மற்றும் யார்க் ஆகியோரால் காட்டப்பட்டுள்ளபடி, வட்டுகளுக்கு இடையிலான இடைவெளிகளின் வழியாக வண்ண ஒளியை இயக்குவது மிகவும் பயனுள்ள முறையாகும் (அல்லது இந்த விஷயத்தில், ஜோடி சிலிண்டர்களில் காகிதத்தின் நாடா வண்ண கீற்றுகள்) மற்றும் திறந்த இடைவெளி வழியாக பிரதிபலிப்புகளைப் பார்ப்பது. இதன் விளைவாக, கீழே காட்டப்பட்டுள்ளபடி, மாற்று நிறத்தின் கோடுகளின் சிக்கலான வடிவம், அதற்குக் கீழே உள்ள உருவகப்படுத்தப்பட்ட பதிப்பில் இன்னும் தெளிவாகக் காணப்படுகிறது. படம் 5 மற்றும் 6 ஒவ்வொரு தாக்க அளவுருவிற்கும் ஈர்ப்பு வடிநிலங்களைக் காட்டுகின்றன, அதாவது, கொடுக்கப்பட்ட மதிப்புக்கு b, எந்த இடைவெளி வழியாக துகள் வெளியேறுகிறது? வடிநில எல்லைகள் ஒரு கேன்டர் தொகுப்பை உருவாக்குகின்றன மற்றும் நிலையான பன்மடங்கு உறுப்பினர்களைக் குறிக்கின்றனஃ ஒருமுறை தொடங்கிய பாதைகள், ஒருபோதும் அமைப்பிலிருந்து வெளியேறாது. மாறாத தொகுப்பு மற்றும் குறியீட்டு இயக்கவியல் சமச்சீராக இருக்கும் வரை, அமைப்பை ஒரு மறு செய்கை செயல்பாட்டு வரைபடமாக நாம் எளிதாக நினைக்கலாம், இது ஒரு குழப்பமான, மாறும் அமைப்பைக் குறிக்கும் பொதுவான முறையாகும். படம் 7 மாறிகளின் ஒரு சாத்தியமான பிரதிநிதித்துவத்தைக் காட்டுகிறது, முதல் மாறி, ரீபவுண்டில் வட்டைச் சுற்றியுள்ள கோணத்தைக் குறிக்கிறது மற்றும் இரண்டாவது, வட்டு தொடர்பான தாக்கம்/ரீபவுண்ட் கோணத்தைக் குறிக்கிறது. மாறாத தொகுப்பு என்று அழைக்கப்படும் இந்த இரண்டு மாறிகளின் துணைக்குழு தங்களைத் தாங்களே வரைபடமாக்கும். இந்த தொகுப்பு, அவற்றில் நான்கு உறுப்பினர்கள் படங்கள் 8 மற்றும் 9 இல் காட்டப்பட்டுள்ளன, ஃப்ராக்டல், முற்றிலும் கவர்ச்சிகரமான மற்றும் பூஜ்ஜிய அளவீடு இருக்கும். இது பொதுவாக விவாதிக்கப்படும் குழப்பமான அமைப்புகளின் சுவாரஸ்யமான தலைகீழ் ஆகும், இதில் ஃப்ராக்டல் மாறாத தொகுப்பு ஈர்க்கிறது மற்றும் உண்மையில் ஈர்ப்பின் படுகை [களை] உள்ளடக்கியது. மாறாத தொகுப்பின் முற்றிலும் ஈர்க்காத தன்மை ஒரு ஹைபர்போலிக் குழப்பமான சிதறலின் மற்றொரு பண்பு என்பதை நினைவில் கொள்க. மாறாத தொகுப்பின் ஒவ்வொரு உறுப்பினரும் குறியீட்டு இயக்கவியலைப் பயன்படுத்தி வடிவமைக்கப்படலாம்ஃ பாதை அது ரீபவுண்ட் செய்யும் ஒவ்வொரு வட்டுகளையும் அடிப்படையாகக் கொண்டு பெயரிடப்பட்டுள்ளது. அத்தகைய அனைத்து வரிசைகளின் தொகுப்பும் ஒரு கணக்கிட முடியாத தொகுப்பை உருவாக்குகிறது. படம் 8 மற்றும் 9 இல் காட்டப்பட்டுள்ள நான்கு உறுப்பினர்களுக்கு, குறியீட்டு இயக்கவியல் பின்வருமாறு இருக்கும்ஃ. 1212121212.. 23232323.. 3131313131.. 123123123123. ஒவ்வொரு வரிசைக்கும் ஒரு தொடக்க புள்ளி இருக்கும் என்பதைத் தவிர, நிலையான பன்மடங்கு உறுப்பினர்களும் இதேபோல் குறிப்பிடப்படலாம். மாறாத தொகுப்பின் ஒரு உறுப்பினர் ஈர்க்கும் இரண்டு வடிநிலங்களுக்கு இடையிலான எல்லைகளில் "பொருந்த வேண்டும்" என்று நீங்கள் கருதும்போது, குழப்பமடைந்தால், பாதை வரிசையில் எங்கிருந்தும் வெளியேறக்கூடும் என்பது தெளிவாகிறது. எனவே எந்தவொரு குறிப்பிட்ட எல்லைக்குமிடையேயும் மூன்று "வண்ணங்களின்" எண்ணற்ற மாற்று வடிநிலங்கள் இருக்கும் என்பதும் தெளிவாக இருக்க வேண்டும். அவற்றின் நிலையற்ற தன்மை காரணமாக, மாறாத தொகுப்பு அல்லது நிலையான பன்மடங்கு உறுப்பினர்களை நேரடியாக அணுகுவது கடினம். இந்த வகை அமைப்பின் ஃப்ராக்டல் பரிமாணத்தை அளவிடுவதற்கு நிச்சயமற்ற எக்ஸ்போனன்ட் சிறந்த முறையில் வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது. ஒற்றை தாக்க அளவுருவைப் பயன்படுத்தி, பி, சீரற்ற தாக்க அளவுருக்களுடன் பல சோதனைகளைச் செய்கிறோம், அவற்றை ஒரு நிமிடத் தொகையால் தொந்தரவு செய்கிறோம், மேலும் வட்டுகளில் இருந்து ரீபவுண்டுகளின் எண்ணிக்கை எவ்வளவு அடிக்கடி மாறுகிறது என்பதைக் கணக்கிடுகிறோம், அதாவது நிச்சயமற்ற பின்னம். அமைப்பு இரு பரிமாணமாக இருந்தாலும், நிலையான பன்மடங்கு எலும்பு முறிவு பரிமாணத்தை அளவிட ஒற்றை தாக்க அளவுரு போதுமானது என்பதை நினைவில் கொள்க. இது படம் 10 இல் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது, இது இரட்டை தாக்க அளவுருவின் செயல்பாடாக திட்டமிடப்பட்ட ஈர்ப்பின் வடிநிலங்களைக் காட்டுகிறது, மற்றும். வடிநிலங்களுக்கு இடையிலான எல்லைகளில் காணக்கூடிய நிலையான பன்மடங்கு, ஒரு பரிமாணத்தில் மட்டுமே ஃப்ராக்டல் ஆகும். உருவகப்படுத்தப்பட்ட காஸ்பர்ட்-ரைஸ் அமைப்பிற்கான நிச்சயமற்ற தன்மையின் செயல்பாடாக, படம் 11 நிச்சயமற்ற பின்னம், f ஐ சித்தரிக்கிறது. பொருத்தப்பட்ட வளைவின் சாய்வு நிச்சயமற்ற அடுக்கைத் தருகிறது, இதனால் நிலையான பன்மடங்கு பெட்டி-எண்ணும் பரிமாணம்,. மாறாத தொகுப்பு என்பது நிலையான மற்றும் நிலையற்ற பன்மடங்கு குறுக்குவெட்டு ஆகும். அமைப்பு முன்னோக்கி அல்லது பின்னோக்கி ஓட்டினாலும் ஒரே மாதிரியாக இருப்பதால், நிலையற்ற பன்மடங்கு வெறுமனே நிலையான பன்மடங்கு கண்ணாடி படம் மற்றும் அவற்றின் எலும்பு முறிவு பரிமாணங்கள் சமமாக இருக்கும். இந்த அடிப்படையில் மாறாத தொகுப்பின் ஃப்ராக்டல் பரிமாணத்தை நாம் கணக்கிடலாம்ஃ இங்கு டிஎஸ் மற்றும் டியு முறையே நிலையான மற்றும் நிலையற்ற பன்மடங்கு முறைகளின் ஃப்ராக்டல் பரிமாணங்கள் மற்றும் என் = 2 என்பது அமைப்பின் பரிமாணமாகும். மாறாத தொகுப்பின் ஃப்ராக்டல் பரிமாணம் டி = 1.24 ஆகும். எலும்பு முறிவு பரிமாணம், சிதைவு விகிதம் மற்றும் லியாபுனோவ் அடுக்குகளுக்கு இடையிலான உறவு முந்தைய விவாதத்திலிருந்து, சிதைவு விகிதம், எலும்பு முறிவு பரிமாணம் மற்றும் லியாபுனோவ் அடுக்குகள் அனைத்தும் தொடர்புடையவை என்பது தெளிவாக இருக்க வேண்டும். உதாரணமாக, பெரிய லியாபுனோவ் எக்ஸ்போனன்ட், இடையூறு ஏற்பட்டால் மாறாத தொகுப்பில் ஒரு பாதை எவ்வளவு வேகமாக வேறுபடும் என்பதை நமக்குக் கூறுகிறது. இதேபோல், ஃப்ராக்டல் பரிமாணம் மாறாத தொகுப்பில் சுற்றுப்பாதைகளின் அடர்த்தி பற்றிய தகவல்களை நமக்குத் தரும். இரு பரிமாண சிதறல் அமைப்பிற்கான பின்வரும் அனுமானத்தில் கைப்பற்றப்பட்டுள்ளபடி இரண்டும் சிதைவு விகிதத்தை பாதிக்கும் என்பதை நாம் காணலாம்ஃ இங்கு டி 1 என்பது தகவல் பரிமாணம் மற்றும் எச் 1 மற்றும் எச் 2 முறையே சிறிய மற்றும் பெரிய லியாபுனோவ் அடுக்குகள் ஆகும். ஒரு கவர்ச்சிக்கு, அது கப்லான்-யார்க் யூகத்திற்கு குறைகிறது. மேலும் காண்க லேக்ஸ் ஆஃப் வாடா நிச்சயமற்ற கூறு குறிப்புகள் காஸ்பர்ட்-ரைஸ் அமைப்பை உருவகப்படுத்துவதற்கான வெளிப்புற இணைப்புகள் மென்பொருள் காஸ்பர்ட்-ரைஸ் அமைப்பு மற்றும் அதன் குறியீட்டு இயக்கவியலின் உருவகப்படுத்துதல், கேயாஸ் V: டுஹெமின் புல் கேயாஸ் கோட்பாடு சிதறல்