Conformal welding
கணிதத்தில், இணக்கமான வெல்டிங் (தையல் அல்லது க்ளூயிங்) என்பது வடிவியல் செயல்பாட்டுக் கோட்பாட்டில் இரண்டு ரீமன் மேற்பரப்புகளை ஒன்றாக இணைப்பதன் மூலம் ஒரு ரீமன் மேற்பரப்பை உருவாக்குவதற்கான ஒரு செயல்முறையாகும், ஒவ்வொன்றும் அவற்றின் எல்லை வட்டங்களில் ஒரு வட்டு அகற்றப்பட்டு. இந்த சிக்கலை அலகு வட்டின் சமமற்ற ஹோலோமார்பிக் வரைபடங்கள் f, g மற்றும் நீட்டிக்கப்பட்ட சிக்கலான தளத்திற்குள் அதன் நிரப்பு ஆகியவற்றைக் கண்டுபிடிப்பதற்கு குறைக்கலாம், இவை இரண்டும் அவற்றின் களங்களை மூடுவதற்கு தொடர்ச்சியான நீட்டிப்புகளை ஒப்புக்கொள்கின்றன, அதாவது படங்கள் நிரப்பு ஜோர்டான் களங்கள் மற்றும் அலகு வட்டத்தில் அவை கொடுக்கப்பட்ட குவாசிசிம்மெட்ரிக் ஹோமியோமார்பிசத்தால் வேறுபடுகின்றன. பெல்ட்ராமி சமன்பாடு, வட்டத்தில் ஹில்பர்ட் உருமாற்றம் மற்றும் அடிப்படை தோராய நுட்பங்கள் உள்ளிட்ட பல்வேறு நுட்பங்களைப் பயன்படுத்தி பல சான்றுகள் அறியப்படுகின்றன. இணக்கமான வெல்டிங்கின் முதல் இரண்டு முறைகளை விவரிக்கவும், அதே போல் தளத்தில் உள்ள வடிவங்களின் பகுப்பாய்விற்கு எண் கணக்கீடுகள் மற்றும் பயன்பாடுகளை வழங்கவும். பெல்ட்ராமி சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தி வெல்டிங் இந்த முறை முதலில் முன்மொழியப்பட்டது f என்பது வட்டத்தின் டிஃபிஃபோமார்பிசம் என்றால், அலெக்சாண்டர் நீட்டிப்பு அலகு வட்டு D இன் டிஃபிஃபோமார்பிசத்திற்கு f ஐ நீட்டிக்க ஒரு வழியைக் கொடுக்கிறதுஃ இங்கு si என்பது [0,1] இல் உள்ள மதிப்புகளுடன் ஒரு மென்மையான செயல்பாடாகும், இது 0 க்கு அருகில் 0 மற்றும் 1 க்கு அருகில் 1 க்கு சமம், மற்றும் g (θ + 2π) = g (θ) + 2π உடன். F நீட்டிப்பை R> 1 உடன் எந்த பெரிய வட்டு |z | <R க்கும் தொடரலாம். அதன்படி அலகு வட்டில் இப்போது |z | ≤1 க்கு 0 க்கு சமமாக அமைப்பதன் மூலம் C முழுவதிலும் ஒரு பெல்ட்ராமி குணகம் வரை நீட்டிக்கவும். G என்பது பெல்ட்ராமி சமன்பாட்டின் தொடர்புடைய தீர்வாக இருக்கட்டும்ஃ |z | ≤1 க்கு F1 (z) = G°F−1 (z) மற்றும் |z | ≤1 க்கு F2 (z) = G (z) ஆக இருக்கட்டும். எனவே F1 மற்றும் F2 ஆகியவை ஜோர்டான் வளைவின் உள்ளேயும் வெளியேயும் உள்ள |z | <1 மற்றும் |z |> 1 இன் சமநிலையற்ற ஹோலோமார்பிக் வரைபடங்களாகும். அவை எல்லையில் உள்ள ஜோர்டான் வளைவின் மீது அலகு வட்டத்தின் ஹோமியோமார்பிசம் ஃபை வரை தொடர்ந்து விரிவடைகின்றன. கட்டுமானத்தின் மூலம் அவை இணக்கமான வெல்டிங் நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்கின்றனஃ வட்டத்தில் ஹில்பர்ட் உருமாற்றத்தைப் பயன்படுத்தி வெல்டிங் இணக்கமான வெல்டிங்கை நிறுவ ஹில்பர்ட் உருமாற்றத்தைப் பயன்படுத்துவது முதலில் ஜார்ஜிய கணிதவியலாளர்கள் டி. ஜி. 1958 இல் மாண்ட்ஜாவிட்ஸே மற்றும் பி. வி. குவெடெலிட்ஸே. அதே நேரத்தில் எஃப். டி. ஒரு விரிவான கணக்கை வழங்கினார். ககோவ் மற்றும் அவரது உன்னதமான மோனோகிராஃப் () இல் வழங்கினார். en (θ) = einθ என்பது L2 (T) இன் நிலையான ஆர்த்தோனார்மல் அடிப்படையாக இருக்கட்டும். H2 (T) என்பது ஹார்டி இடமாக இருக்கட்டும், மூடிய துணைப்பகுதி n ≤ 0 உடன் en ஆல் பரவியுள்ளது. P என்பது ஹார்டி இடத்தில் ஆர்த்தோகனல் திட்டமாக இருக்கட்டும் மற்றும் T = 2P-I ஐ அமைக்கவும். இயக்குபவர் H = iT என்பது வட்டத்தில் உள்ள ஹில்பர்ட் உருமாற்றமாகும், மேலும் இது ஒரு ஒருங்கிணைந்த ஒருங்கிணைந்த இயக்குபவராக எழுதப்படலாம். அலகு வட்டத்தின் டிஃபியோமார்பிசம் f ஐப் பொறுத்தவரை, |z | <1 மற்றும் |z |> 1 இல் வரையறுக்கப்பட்ட இரண்டு சமநிலையற்ற ஹோலோமார்பிக் செயல்பாடுகளைத் தீர்மானிப்பதே பணியாகும், மேலும் இரண்டும் அலகு வட்டத்திற்கு சீராக விரிவடைந்து, ஒரு ஜோர்டான் களம் மற்றும் அதன் நிரப்பு மீது வரைபடமாக்கப்படுகின்றன, அதாவது F என்பது அலகு வட்டத்திற்கு f + இன் கட்டுப்பாட்டாக இருக்கட்டும். பின்னர் மற்றும் எனவே V (f) என்பது டிஃபியோமார்பிசம் f ஆல் தூண்டப்பட்ட L2 இல் வரம்புக்குட்பட்ட தலைகீழ் ஆபரேட்டரைக் குறிக்கிறது என்றால், ஆபரேட்டர் கச்சிதமானவர், உண்மையில் இது மென்மையான கர்னலுடன் ஒரு ஆபரேட்டரால் வழங்கப்படுகிறது, ஏனெனில் P மற்றும் T ஆகியவை ஒருமை ஒருங்கிணைந்த ஆபரேட்டர்களால் வழங்கப்படுகின்றன. மேலே உள்ள சமன்பாடு பின்னர் குறைகிறது ஆபரேட்டர் I − Kf என்பது குறியீட்டு பூஜ்ஜியத்தின் ஃப்ரெட்ஹோம் ஆபரேட்டர் ஆகும். இது பூஜ்ஜிய கர்னலைக் கொண்டுள்ளது, எனவே இது தலைகீழாக உள்ளது. உண்மையில் கர்னலில் உள்ள ஒரு உறுப்பு டி மற்றும் டி. சி. யில் ஒரு ஜோடி ஹோலோமார்பிக் செயல்பாடுகளைக் கொண்டிருக்கும், அவை f ஆல் தொடர்புடைய வட்டத்தில் மென்மையான எல்லை மதிப்புகளைக் கொண்டிருக்கும். டி. சி. யில் உள்ள ஹோலோமார்பிக் செயல்பாடு φ இல் மறைந்துவிடுவதால், இந்த ஜோடியின் நேர்மறை சக்திகளும் தீர்வுகளை வழங்குகின்றன, அவை நேரியல் ரீதியாக சுயாதீனமானவை, இது I−Kf ஒரு ஃப்ரெட்ஹோம் ஆபரேட்டர் என்ற உண்மைக்கு முரணானது. எனவே மேலே உள்ள சமன்பாடு ஒரு தனித்துவமான தீர்வு F ஐக் கொண்டுள்ளது, இது மென்மையானது மற்றும் இதிலிருந்து மேலே உள்ள படிகளை மாற்றியமைப்பதன் மூலம் f ± ஐ புனரமைக்க முடியும். உண்மையில், F இன் வழித்தோன்றலின் மடக்கை மூலம் திருப்திப்படுத்தப்பட்ட சமன்பாட்டைப் பார்ப்பதன் மூலம், அலகு வட்டத்தில் F க்கு எங்கும் மறைந்துபோகும் வழித்தோன்றல் இல்லை என்பதைப் பின்பற்றுகிறது. மேலும் F என்பது வட்டத்தில் ஒன்றுக்கு ஒன்று ஆகும், ஏனெனில் இது வெவ்வேறு புள்ளிகள் z1 மற்றும் z2 இல் a மதிப்பைக் கருதினால், R (z) = (F (z) − a)/(z-z1) (z − z2) இன் மடக்கை பூஜ்ஜியமற்ற தீர்வுகள் இல்லை என்று அறியப்பட்ட ஒரு ஒருங்கிணைந்த சமன்பாட்டை பூர்த்தி செய்யும். அலகு வட்டத்தில் இந்த பண்புகளைப் பொறுத்தவரை, f ± இன் தேவையான பண்புகள் பின்னர் வாதக் கொள்கையிலிருந்து பின்பற்றப்படுகின்றன. குறிப்புகள் பகுப்பாய்வில் குறிப்புகள் கோட்பாடுகள் சிக்கலான பகுப்பாய்வு ரீமன் மேற்பரப்புகள்