Square root of a 2 by 2 matrix
2 × 2 மேட்ரிக்ஸ் M இன் வர்க்கமூலம் மற்றொரு 2 × 2 மேட்ரிக்ஸ் R ஆகும், அதாவது M = R2, இங்கு R2 என்பது R இன் மேட்ரிக்ஸ் பெருக்கத்தைக் குறிக்கிறது. பொதுவாக, பூஜ்ஜியம், இரண்டு, நான்கு அல்லது ஒரு முடிவிலி சதுர-வேர் மேட்ரிக்ஸ்கள் கூட இருக்கலாம். பல சந்தர்ப்பங்களில், அத்தகைய மேட்ரிக்ஸ் ஆர் ஒரு வெளிப்படையான சூத்திரத்தால் பெறப்படலாம். அனைத்து-பூஜ்ஜிய மேட்ரிக்ஸ் அல்லாத சதுர வேர்கள் ஜோடிகளாக வருகின்றனஃ R என்பது M இன் வர்க்கமூலமாக இருந்தால், −R என்பது M இன் வர்க்கமூலமாகும், ஏனெனில் (−R) (−R) = (−1) (−1) (RR) = R2 = M. இரண்டு தனித்துவமான பூஜ்ஜியமற்ற ஐகென் மதிப்புகள் கொண்ட 2 × 2 மேட்ரிக்ஸ் நான்கு வர்க்கமூலங்களைக் கொண்டுள்ளது. ஒரு நேர்மறை-வரையறுக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸ் துல்லியமாக ஒரு நேர்மறை-வரையறுக்கப்பட்ட சதுர மூலத்தைக் கொண்டுள்ளது. ஒரு பொதுவான சூத்திரம் பின்வருபவை கிட்டத்தட்ட எந்த 2 × 2 மேட்ரிக்ஸுக்கும் பொருந்தும் ஒரு பொதுவான சூத்திரமாகும். கொடுக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸ் ஏ, பி, சி மற்றும் டி உண்மையான அல்லது சிக்கலான எண்களாக இருக்கலாம். மேலும், τ = A + D என்பது M இன் தடயமாகவும், δ = AD − BC அதன் தீர்மானகராகவும் இருக்கட்டும். s என்பது s2 = δ ஆகவும், t என்பது t2 = τ + 2s ஆகவும் இருக்கட்டும். அதாவது, பின்னர், m இன் வர்க்கமூலம் t §0 என்றால், R இன் வர்க்கம் உண்மையில், M ஒரு உண்மையான மேட்ரிக்ஸ் என்றாலும் R சிக்கலான உள்ளீடுகளைக் கொண்டிருக்கலாம் என்பதை நினைவில் கொள்க; குறிப்பாக, தீர்மானிப்பவர் δ எதிர்மறையாக இருந்தால் இது இருக்கும். இந்த சூத்திரத்தின் பொதுவான வழக்கு என்னவென்றால், δ பூஜ்ஜியமற்றது, மற்றும் τ2 § 4δ, இந்த விஷயத்தில் s பூஜ்ஜியமற்றது, மற்றும் t என்பது s இன் அடையாளத்தின் ஒவ்வொரு தேர்வுக்கும் பூஜ்ஜியமற்றது. பின்னர் மேலே உள்ள சூத்திரம் நான்கு தனித்துவமான சதுர வேர்கள் R ஐ வழங்கும், s மற்றும் t க்கான ஒவ்வொரு தேர்வு அறிகுறிகளுக்கும் ஒன்று. சூத்திரத்தின் சிறப்பு நிகழ்வுகள் தீர்மானிப்பவர் δ பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், ஆனால் சுவடு τ பூஜ்ஜியமற்றது என்றால், மேலே உள்ள பொதுவான சூத்திரம் t இன் இரண்டு அறிகுறிகளுடன் தொடர்புடைய இரண்டு தனித்துவமான தீர்வுகளை மட்டுமே வழங்கும். அதாவது, t என்பது சுவடு τ இன் எந்த சதுர மூலமாகும். இந்த சூத்திரம் δ பூஜ்ஜியமற்றதாக இருந்தால் இரண்டு தனித்துவமான தீர்வுகளை மட்டுமே வழங்குகிறது, மேலும் τ2 = 4δ (நகல் ஐகென் மதிப்புகளின் விஷயத்தில்), இந்த விஷயத்தில் s க்கான தேர்வுகளில் ஒன்று வகுத்தல் t ஐ பூஜ்ஜியமாக மாற்றும். அவ்வாறான நிலையில், இரண்டு வேர்களும் உள்ளன, அங்கு s என்பது δ இன் வர்க்கமூலமாகும், இது τ−2s ஐ பூஜ்ஜியமற்றதாக ஆக்குகிறது, மேலும் t என்பது τ−2s இன் எந்த வர்க்கமூலமாகும். δ மற்றும் τ இரண்டும் பூஜ்ஜியமாக இருந்தால் மேலே உள்ள சூத்திரம் முற்றிலும் தோல்வியடைகிறது; அதாவது, D = −A மற்றும் A2 = −BC என்றால், மேட்ரிக்ஸின் சுவடு மற்றும் தீர்மானிப்பவர் இரண்டும் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும். இந்த விஷயத்தில், M என்பது பூஜ்ய மேட்ரிக்ஸ் (A = B = C = D = 0 உடன்) என்றால், பூஜ்ய மேட்ரிக்ஸும் M இன் வர்க்கமூலமாகும், இது b மற்றும் c தன்னிச்சையான உண்மையான அல்லது சிக்கலான மதிப்புகளாக இருக்கும் எந்த மேட்ரிக்ஸும் ஆகும். இல்லையெனில் M க்கு வர்க்கமூலம் இல்லை. சிறப்பு மேட்ரிக்ஸ்களுக்கான சூத்திரங்கள் ஐடெம்போட்டன்ட் மேட்ரிக்ஸ் எம் ஒரு ஐடெம்போட்டன்ட் மேட்ரிக்ஸ் என்றால், அதாவது எம்எம் = எம், அது அடையாள மேட்ரிக்ஸ் இல்லையென்றால், அதன் தீர்மானிப்பவர் பூஜ்ஜியமாகும், மேலும் அதன் சுவடு அதன் தரவரிசைக்கு சமம், இது (பூஜ்ஜிய மேட்ரிக்ஸைத் தவிர) 1 ஆகும். மேலே உள்ள சூத்திரம் s = 0 மற்றும் τ = 1 ஐக் கொண்டுள்ளது, இது M மற்றும்-M ஐ M இன் இரண்டு வர்க்கமூலங்களாகக் கொடுக்கிறது. எக்ஸ்போனென்ஷியல் மேட்ரிக்ஸ் மேட்ரிக்ஸ் M ஐ சில மேட்ரிக்ஸ் A இன் அடுக்கின் உண்மையான பெருக்கியாக வெளிப்படுத்த முடியும் என்றால், அதன் இரண்டு வர்க்கமூலங்கள். இந்த வழக்கில் வர்க்கமூலம் உண்மையானது. மூலைவிட்ட அணி M என்பது மூலைவிட்டமாக இருந்தால் (அதாவது, B = C = 0), ஒருவர் எளிமைப்படுத்தப்பட்ட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம், அங்கு a = ± σA, மற்றும் d = ± σD. இது, பல்வேறு அடையாளத் தேர்வுகளுக்கு, நான்கு, இரண்டு அல்லது ஒரு தனித்துவமான மேட்ரிக்ஸ்களை வழங்குகிறது, அவற்றில் எதுவும் இல்லை என்றால், ஒன்று மட்டுமே, அல்லது A மற்றும் D இரண்டும் முறையே பூஜ்ஜியமாக இருந்தால். அடையாள மேட்ரிக்ஸ் இது நகல் ஐகென் மதிப்புகளைக் கொண்டிருப்பதால், 2 × 2 அடையாள மேட்ரிக்ஸ் எண்ணற்ற பல சமச்சீர் விகிதமுறு வர்க்க மூலங்களைக் கொண்டுள்ளது, இதன் மூலம் எந்த சிக்கலான எண்களும் உள்ளன, அதாவது ஒரு மூலைவிட்ட பூஜ்ஜியத்துடன் மேட்ரிக்ஸ் B பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், ஆனால் A மற்றும் D இரண்டும் பூஜ்ஜியமாக இல்லை என்றால், ஒருவர் பயன்படுத்தலாம். சி பூஜ்ஜியமாக இருக்கும்போது இதே போன்ற சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம், ஆனால் ஏ மற்றும் டி இரண்டும் பூஜ்ஜியமாக இல்லை. குறிப்புகள் மெட்ரிக்குகள்