Projective range
கணிதத்தில், ஒரு திட்ட வரம்பு என்பது ஒரு ஒருங்கிணைந்த பாணியில் கருதப்படும் திட்ட வடிவவியலில் உள்ள புள்ளிகளின் தொகுப்பாகும். ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் ரேஞ்ச் ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் கோடு அல்லது ஒரு கூம்பு இருக்கலாம். ஒரு திட்ட வரம்பு என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில் உள்ள கோடுகளின் பென்சிலின் இரட்டை ஆகும். உதாரணமாக, ஒரு தொடர்பு ஒரு பென்சிலின் கோடுகளுடன் ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் வரம்பின் புள்ளிகளை மாற்றுகிறது. ஒரு ப்ரொஜெக்டிவிட்டி ஒரு வரம்பிலிருந்து இன்னொரு வரம்பிற்கு செயல்படுவதாகக் கூறப்படுகிறது, இருப்பினும் இரண்டு வரம்புகளும் செட்களாக ஒத்துப்போகலாம். ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் வரம்பு ப்ரொஜெக்டிவ் ஹார்மோனிக் கான்ஜுகேட்டுகளின் உறவின் ப்ரொஜெக்டிவ் மாறுபாட்டை வெளிப்படுத்துகிறது. உண்மையில், ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் கோட்டில் உள்ள மூன்று புள்ளிகள் இந்த உறவின் மூலம் நான்கில் ஒரு பகுதியை தீர்மானிக்கின்றன. இந்த நாற்பதுக்கு ஒரு ப்ரொஜெக்டிவிட்டி பயன்பாடு ஹார்மோனிக் உறவில் இதேபோல் நான்கு புள்ளிகளில் விளைகிறது. அத்தகைய நான்கு புள்ளிகள் ஒரு ஹார்மோனிக் வரம்பு என்று அழைக்கப்படுகின்றன. 1940 ஆம் ஆண்டில் ஜூலியன் கூலிட்ஜ் இந்த கட்டமைப்பை விவரித்தார் மற்றும் அதன் தோற்றுவிப்பாளரை அடையாளம் கண்டார்ஃ புள்ளி வரம்புகள், கோடுகளின் பென்சில்கள் அல்லது விமானங்கள் போன்ற இரண்டு அடிப்படை ஒரு பரிமாண வடிவங்கள் ப்ரொஜெக்டிவ் என்று வரையறுக்கப்படுகின்றன, அவற்றின் உறுப்பினர்கள் ஒன்றுக்கு ஒன்று கடிதத்தில் இருக்கும்போது, மற்றும் ஒரு ஹார்மோனிக் தொகுப்பு ஒன்று. மற்றொன்றின் ஹார்மோனிக் தொகுப்புடன் ஒத்திருக்கிறது. . இரண்டு ஒரு பரிமாண வடிவங்கள் கணிப்புகள் மற்றும் குறுக்குவெட்டுகளின் ஒரு ரயிலால் இணைக்கப்பட்டிருந்தால், ஹார்மோனிக் கூறுகள் ஹார்மோனிக் கூறுகளுடன் ஒத்திருக்கும், மேலும் அவை வான் ஸ்டாட் என்ற பொருளில் திட்டவட்டமானவை. கூம்பு வரம்புகள் ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் வரம்பிற்கு ஒரு கூம்பு தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டு, கூம்பு மீது ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளி E தோற்றமாக தேர்ந்தெடுக்கப்படும்போது, புள்ளிகளைச் சேர்ப்பது பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படலாம்ஃ A மற்றும் B வரம்பில் (கூம்பு) இருக்கட்டும், AB அவற்றை இணைக்கும் கோடு. L என்பது E வழியாக செல்லும் கோடு மற்றும் AB க்கு இணையாக இருக்கட்டும். "A மற்றும் B புள்ளிகளின் கூட்டுத்தொகை", A + B, என்பது வரம்புடன் L இன் குறுக்குவெட்டு ஆகும். வட்டமும் ஹைபர்போலாவும் ஒரு கூம்பு மண்டலத்தின் நிகழ்வுகளாகும், மேலும் புள்ளிகள் வட்டத்தின் கோணங்களுடனும் ஹைபர்போலாவில் ஹைபர்போலிக் கோணங்களுடனும் தொடர்புடையதாக இருந்தால், "புள்ளிகளின் கூட்டுத்தொகை" முறையின் மூலம் இரண்டின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகையை உருவாக்க முடியும். குறிப்புகள் எச். எஸ். எம். காக்செட்டர் (1955) தி ரியல் ப்ரொஜெக்டிவ் பிளேன், யுனிவர்சிட்டி ஆஃப் டொராண்டோ பிரஸ், பக்கம் 20 வரிக்கு, பக்கம் 101 கூம்பு. திட்ட வடிவியல்