Infinite compositions of analytic functions
கணிதத்தில், பகுப்பாய்வு செயல்பாடுகளின் எல்லையற்ற கலவைகள் (ஐசிஏஎஃப்) பகுப்பாய்வு தொடர்ச்சியான பின்னங்கள், தொடர், தயாரிப்புகள் மற்றும் பிற எல்லையற்ற விரிவாக்கங்களின் மாற்று சூத்திரங்களை வழங்குகின்றன, மேலும் அத்தகைய கலவைகளிலிருந்து உருவாகும் கோட்பாடு இந்த விரிவாக்கங்களின் ஒருங்கிணைப்பு/வேறுபாடு குறித்து வெளிச்சம் போடக்கூடும். சில செயல்பாடுகளை உண்மையில் எல்லையற்ற கலவைகளாக நேரடியாக விரிவாக்க முடியும். கூடுதலாக, எல்லையற்ற விரிவாக்கங்களை உள்ளடக்கிய நிலையான புள்ளி சமன்பாடுகளின் தீர்வுகளை மதிப்பீடு செய்ய ICAF ஐப் பயன்படுத்த முடியும். சிக்கலான இயக்கவியல் ஒரு செயல்பாட்டைக் காட்டிலும் செயல்பாடுகளின் அமைப்புகளின் மறு செய்கைக்கு மற்றொரு இடத்தை வழங்குகிறது. ஒற்றைச் சார்பின் எல்லையற்ற கலவைகளுக்கு இடரேட்டட் சார்பைப் பார்க்கவும். ஃப்ராக்டல் கோட்பாட்டில் பயனுள்ளதாக இருக்கும் வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான செயல்பாடுகளின் கலவைகளுக்கு, இடரேட்டட் செயல்பாட்டு முறையைப் பார்க்கவும். இந்தக் கட்டுரையின் தலைப்பு பகுப்பாய்வு செயல்பாடுகளைக் குறிப்பிடுகிறது என்றாலும், ஒரு சிக்கலான மாறியின் பொதுவான செயல்பாடுகளுக்கும் முடிவுகள் உள்ளன. குறிப்பு பின்வருவன உட்பட எல்லையற்ற கலவைகளை விவரிக்கும் பல குறியீடுகள் உள்ளனஃ முன்னோக்கி கலவைகள்ஃ பின்தங்கிய கலவைகள்ஃ ஒவ்வொரு சந்தர்ப்பத்திலும் ஒருங்கிணைப்பு பின்வரும் வரம்புகளின் இருப்பு என்று விளக்கப்படுகிறதுஃ வசதிக்காக, செட் மற்றும் செட். ஒருவர் எழுதலாம் மற்றும் சுருக்கம் தேற்றத்தையும் எழுதலாம் பல முடிவுகளை பின்வரும் முடிவின் நீட்டிப்புகளாகக் கருதலாம்ஃ சுருக்க செயல்பாடுகளின் எல்லையற்ற கலவைகள் {fn} வெறுமனே இணைக்கப்பட்ட களமான S இல் பகுப்பாய்வு செய்யப்படும் செயல்பாடுகளின் வரிசையாக இருக்கட்டும். இந்த இரண்டு கோட்பாடுகளையும் அடிப்படையாகக் கொண்ட விசாரணைகளின் விளைவாக ஏற்படும் கூடுதல் கோட்பாடு, குறிப்பாக முன்னோக்கி கலவைகள் தேற்றம், பின்வரும் குறிப்பில் பெறப்பட்ட வரம்புகளுக்கான இருப்பிட பகுப்பாய்வு அடங்கும். பின்தங்கிய கலவைகள் தேற்றத்திற்கு ஒரு வித்தியாசமான அணுகுமுறைக்கு, பின்வரும் குறிப்பைப் பார்க்கவும். பின்தங்கிய கலவைகள் தேற்றத்தைப் பொறுத்தவரை, எடுத்துக்காட்டு f2n (z) = 1/2 மற்றும் s = {z: |z | <1} க்கு f2n −1 (z) = −1/2 என்பது முன்னோக்கி கலவைகள் தேற்றம் போன்ற ஒரு சிறிய துணைக்குழுவில் சுருக்கத்தை வெறுமனே தேவைப்படுவதில் உள்ள போதாமையை நிரூபிக்கிறது. பகுப்பாய்வு செய்ய வேண்டிய அவசியமில்லாத செயல்பாடுகளுக்கு லிப்ஸ்கிட்ஸ் நிபந்தனை போதுமானதுஃ பிற செயல்பாடுகளின் எல்லையற்ற கலவைகள் சுருக்கமற்ற சிக்கலான செயல்பாடுகள் முழு செயல்பாடுகளையும் உள்ளடக்கிய முடிவுகள் பின்வருவனவற்றை எடுத்துக்காட்டுகளாக உள்ளடக்குகின்றன. பின்னர் பின்வரும் முடிவுகளை அமைக்கவும்ஃ கூடுதல் அடிப்படை முடிவுகள் பின்வருமாறுஃ எடுத்துக்காட்டு GF1: எடுத்துக்காட்டு GF2: நேரியல் பின்ன உருமாற்றங்கள் நேரியல் பின்ன (மோபியஸ்) உருமாற்றங்களின் கலவைகளுக்கான முடிவுகள் பின்வருவனவற்றை எடுத்துக்காட்டுகளாக உள்ளடக்குகின்றனஃ எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் பயன்பாடுகள் தொடர்ச்சியான பின்னங்கள் எல்லையற்ற தொடர்ச்சியான பின்னத்தின் மதிப்பை {Fn (0)} வரிசையின் வரம்பாக வெளிப்படுத்தலாம், அங்கு ஒரு எளிய எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு நன்கு அறியப்பட்ட முடிவு (வொர்பிட்ஸ்கி வட்டம் *) தேற்றம் (A) இன் பயன்பாட்டிலிருந்து பின்வருமாறுஃ |ζ <1 மற்றும் |z | <R <1 என்பதைக் குறிக்க தொடர்ந்து பின்னத்தைக் கவனியுங்கள். பின்னர் 0 <r <1, க்கு, |z | <1 க்கான பகுப்பாய்வு. R = 1/2 ஐ அமைக்கவும். உதாரணம்.] உதாரணம். ஒரு நிலையான-புள்ளி தொடர்ச்சியான பின்ன வடிவம் (ஒரு ஒற்றை மாறி). நேரடி செயல்பாட்டு விரிவாக்கம் ஒரு செயல்பாட்டை நேரடியாக ஒரு கலவையாக மாற்றுவதை விளக்கும் எடுத்துக்காட்டுகள் பின்வருமாறுஃ எடுத்துக்காட்டு 1. பின்வரும் நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்யும் ஒரு முழு செயல்பாடு என்று வைத்துக்கொள்வோம்ஃ உதாரணம் 2. உதாரணம் 3. உதாரணம் 4. நிலையான புள்ளிகளின் கணக்கீடு தேற்றம் (பி) எல்லையற்ற விரிவாக்கங்கள் அல்லது சில ஒருங்கிணைப்புகளால் வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாடுகளின் நிலையான புள்ளிகளை தீர்மானிக்க பயன்படுத்தப்படலாம். பின்வரும் எடுத்துக்காட்டுகள் செயல்முறையை விளக்குகின்றனஃ எடுத்துக்காட்டு FP1. |ζ | ≤1 க்கு α = G (α) ஐக் கண்டுபிடிக்க, முதலில் நாம் வரையறுக்கிறோம்ஃ பின்னர் ζ = 1 உடன் கணக்கிடுங்கள், இது பத்து மறு செய்கைகளுக்குப் பிறகு பத்து தசம இடங்களுக்கு α = 0.087118118. பரிணாம செயல்பாடுகள் I = [0,1] க்கு இயல்பாக்கப்பட்ட ஒரு நேர இடைவெளியைக் கவனியுங்கள். ஒரு புள்ளியின் தொடர்ச்சியான இயக்கத்தை விவரிக்க ஐசிஏஎஃப்களை உருவாக்கலாம், z, இடைவெளியில், ஆனால் ஒவ்வொரு "தருணத்திலும்" இயக்கம் கிட்டத்தட்ட பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் வகையில் (ஜெனோவின் அம்பைப் பார்க்கவும்): n சமமான துணை இடைவெளிகளாகப் பிரிக்கப்படும் இடைவெளிக்கு, 1 ≤ k ≤ n பகுப்பாய்வு அல்லது வெறுமனே தொடர்ச்சியானது-ஒரு களம் S இல், S இல் உள்ள அனைத்து k மற்றும் அனைத்து z க்கும், மற்றும். ஒரு மூடிய வடிவ தீர்வு z (t) இருந்தால் ஒருங்கிணைப்பு நன்கு வரையறுக்கப்பட்ட இடத்தைக் குறிக்கிறது. இல்லையெனில், ஒருங்கிணைப்பின் மதிப்பு எளிதில் கணக்கிடப்பட்டாலும் ஒருங்கிணைப்பு மோசமாக வரையறுக்கப்படுகிறது. இந்த வழக்கில் ஒருவர் ஒருங்கிணைப்பை "மெய்நிகர்" ஒருங்கிணைப்பு என்று அழைக்கலாம். உதாரணம்.] உதாரணம். வாருங்கள்ஃ அடுத்து, அமைக்கவும் மற்றும் Tn (z) = Tn, n (z). அந்த வரம்பு இருக்கும்போது இருக்கட்டும். வரிசை {Tn (z)} திசையன் புலம் f (z) இன் ஓட்டத்தைப் பின்பற்றும் γ = γ (cn, z) வரையறுக்கிறது. ஒரு கவர்ச்சிகரமான நிலையான புள்ளி α இருந்தால், அதாவது |f (z) − α | ≤ ρ |z −α | 0 ≤ ρ <1 க்கு, பின்னர் Tn (z) → T (z) ஷ்ண α உடன் γ = γ (cn, z), வழங்கப்படுகிறது (எடுத்துக்காட்டாக). cn ஷ்ண c> 0 என்றால், பின்னர் Tn (z) → T (z), விளிம்பில் ஒரு புள்ளி γ = γ (c, z). இந்த வரம்புகள் எப்போது இருக்கும் என்பதை எளிதில் காணலாம். இந்த கருத்துக்கள் படச் செயலாக்கத்தில் செயலில் உள்ள விளிம்புக் கோட்பாட்டுடன் ஓரளவு தொடர்புடையவை, மேலும் அவை யூலர் முறையின் எளிய பொதுமைப்படுத்தல்கள் சுய-பிரதி விரிவாக்கங்கள் தொடர் fn (z) = z + gn (z) ஆல் மீண்டும் மீண்டும் வரையறுக்கப்பட்ட தொடர், n வது சொல் முதல் n−1 சொற்களின் கூட்டுத்தொகையில் கணக்கிடப்படும் பண்பைக் கொண்டுள்ளது. தேற்றத்தைப் (GF3) பயன்படுத்துவதற்கு பின்வரும் அர்த்தத்தில் எல்லையைக் காட்டுவது அவசியம்ஃ ஒவ்வொரு fn |z | <M க்கு வரையறுக்கப்பட்டால், |Gn (z) | <M என்பது |fn (z) − z | = |gn (z) | ≤ Cβn க்கு முன் பின்பற்றப்பட வேண்டும். ஏனெனில் இது விரிவாக்கம் முழுவதும் நிகழ்கிறது. இந்த கட்டுப்பாடு இந்த நோக்கத்திற்கு உதவுகிறது. பின்னர் Gn (z) → G (z) கட்டுப்படுத்தப்பட்ட களத்தில் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும். எடுத்துக்காட்டு (S1). செட் மற்றும் M = ρ2. பின்னர் R = ρ2 − (π/6)> 0. பின்னர், S இல் உள்ள z என்பது |Gn (z) | <M ஐக் குறிக்கிறது மற்றும் தேற்றம் (GF3) பொருந்தினால், அது முற்றிலும் ஒருங்கிணைக்கிறது, எனவே ஒருங்கிணைந்ததாகும். எடுத்துக்காட்டு (S2): தயாரிப்புகள் மூலம் மீண்டும் மீண்டும் வரையறுக்கப்படும் தயாரிப்பு தோற்றத்தைக் கொண்டுள்ளது GF3 தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துவதற்கு பின்வருவன தேவைப்படுகிறதுஃ Cβn ஐ ஒருவர் முன்கூட்டியே அறிந்திருந்தால், பின்வருபவை போதுமானதாக இருக்கும்ஃ பின்னர் Gn (z) → G (z) கட்டுப்படுத்தப்பட்ட களத்தில் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும். எடுத்துக்காட்டு (பி1). ஒரு சில ஆரம்ப கணக்கீடுகளுக்குப் பிறகு, |z | ≤ 1/4 என்பது |Gn (z) | <0.27 ஐக் குறிக்கிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் ஒரே சீராக ஒருங்கிணைக்கிறது. எடுத்துக்காட்டு (பி 2). தொடர்ச்சியான பின்னங்கள் எடுத்துக்காட்டு (CF1): ஒரு சுய-உருவாக்கும் தொடர்ச்சியான பின்னம். எடுத்துக்காட்டு (CF2): ஒரு சுய-உருவாக்கும் தலைகீழ் ஆய்லர் தொடர்ச்சியான பின்னம் என்று சிறப்பாக விவரிக்கப்படுகிறது. மேலும் காண்க பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட தொடர்ச்சியான பின்னங்கள் குறிப்புகள் சிக்கலான பகுப்பாய்வு பகுப்பாய்வு செயல்பாடுகள் நிலையான-புள்ளி கோட்பாடுகள் வழிமுறை கலை எழுச்சி