Oscillator representation
கணிதத்தில், ஊசலாட்ட பிரதிநிதித்துவம் என்பது சிம்ப்லெக்டிக் குழுவின் ஒரு திட்டவட்டமான ஒற்றையாட்சி பிரதிநிதித்துவமாகும், இது முதலில் இர்விங் செகல், டேவிட் ஷேல் மற்றும் ஆண்ட்ரே வெயில் ஆகியோரால் ஆராயப்பட்டது. பிரதிநிதித்துவத்தின் இயற்கையான விரிவாக்கம் சுருக்க ஆபரேட்டர்களின் அரை குழுவிற்கு வழிவகுக்கிறது, இது 1988 இல் ரோஜர் ஹோவ் என்பவரால் ஊசலாட்ட அரை குழுவாக அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. அரை குழு முன்பு மற்ற கணிதவியலாளர்கள் மற்றும் இயற்பியலாளர்களால் ஆய்வு செய்யப்பட்டது, குறிப்பாக ஃபெலிக்ஸ் பெரெசின் 1960 களில். ஒரு பரிமாணத்தில் எளிமையான உதாரணம் எஸ்யூ (1,1) ஆல் வழங்கப்படுகிறது. இது நீட்டிக்கப்பட்ட சிக்கலான தளத்தில் மோபியஸ் உருமாற்றங்களாக செயல்படுகிறது, இது அலகு வட்டத்தை மாறாமல் விடுகிறது. அந்த விஷயத்தில் ஊசலாட்ட பிரதிநிதித்துவம் என்பது எஸ்யூ (1,1) இன் இரட்டை அட்டையின் ஒற்றையாட்சி பிரதிநிதித்துவமாகும், மேலும் ஊசலாட்ட அரைகுறை எஸ்எல் (2, சி) இல் உள்ள அரைகுறையின் சுருக்க ஆபரேட்டர்களின் பிரதிநிதித்துவத்துடன் ஒத்திருக்கிறது, இது அலகு வட்டைக்குள் எடுக்கும் மோபியஸ் உருமாற்றங்களுடன் தொடர்புடையது. சுருக்க இயக்கிகள், ஒரு அடையாளம் வரை மட்டுமே தீர்மானிக்கப்படுகின்றன, அவை காஸியன் செயல்பாடுகளாக இருக்கும் கர்னல்களைக் கொண்டுள்ளன. ஒரு எல்லையற்ற மட்டத்தில், அரைகுழுவை ஒரு ஒளி கூம்பு மூலம் அடையாளம் காணக்கூடிய எஸ்யூ (1,1) இன் லை இயற்கணிதத்தில் ஒரு கூம்பு மூலம் விவரிக்கப்படுகிறது. அதே கட்டமைப்பானது சிம்ப்லெக்டிக் குழுவிற்கு அதிக பரிமாணங்களில் பொதுமைப்படுத்துகிறது, இதில் எல்லையற்ற பரிமாணங்களில் அதன் அனலாக் அடங்கும். இந்தக் கட்டுரை எஸ்யூ (1,1) க்கான கோட்பாட்டை விரிவாக விளக்குகிறது மற்றும் கோட்பாட்டை எவ்வாறு நீட்டிக்க முடியும் என்பதை சுருக்கமாகக் கூறுகிறது. வெர்னர் ஹைசன்பெர்க் மற்றும் எர்வின் ஷ்ரோடிங்கர் ஆகியோரால் குவாண்டம் இயக்கவியலின் கணித சூத்திரம் முதலில் ஒரு ஹில்பர்ட் இடத்தில் வரம்பற்ற சுய-இணை ஆபரேட்டர்களின் அடிப்படையில் இருந்தது. நிலை மற்றும் வேகத்துடன் தொடர்புடைய அடிப்படை இயக்கிகள் ஹைசன்பெர்க் பரிமாற்ற உறவுகளை திருப்திப்படுத்துகின்றன. இந்த இயக்கிகளில் உள்ள நாற்கர பல்லுறுப்புக்கோவைகள், ஹார்மோனிக் ஆஸிலேட்டரை உள்ளடக்கியது, கம்யூட்டேட்டர்களை எடுத்துக்கொள்வதன் கீழ் மூடப்படுகின்றன. குவாண்டம் இயக்கவியலுக்கு ஒரு கடுமையான அடித்தளத்தை வழங்குவதற்காக 1920கள் மற்றும் 1930களில் ஏராளமான இயக்கவியல் கோட்பாடுகள் உருவாக்கப்பட்டன. கோட்பாட்டின் ஒரு பகுதி பெரும்பாலும் ஹெர்மன் வெயில், மார்ஷல் ஸ்டோன் மற்றும் ஜான் வான் நியூமன் ஆகியோரின் பங்களிப்புகள் மூலம் இயக்கிகளின் ஒற்றையாட்சி குழுக்களின் அடிப்படையில் வடிவமைக்கப்பட்டது. இதையொட்டி, கணித இயற்பியலில் இந்த முடிவுகள் கணித பகுப்பாய்விற்குள் இணைக்கப்பட்டன, நோர்பர்ட் வீனரின் 1933 விரிவுரை குறிப்புகளிலிருந்து தொடங்கி, அவர் ஃபோரியர் உருமாற்றத்தின் பண்புகளைப் பெற ஹார்மோனிக் ஆஸிலேட்டருக்கு வெப்ப கர்னலைப் பயன்படுத்தினார். ஸ்டோன்-வான் நியூமன் தேற்றத்தில் வகுக்கப்பட்ட ஹைசன்பெர்க் பரிமாற்ற உறவுகளின் தனித்துவம், பின்னர் குழு பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாட்டிற்குள் விளக்கப்பட்டது, குறிப்பாக ஜார்ஜ் மேக்கி தொடங்கிய தூண்டப்பட்ட பிரதிநிதித்துவங்களின் கோட்பாடு. இருபடி இயக்கிகள் குழு எஸ்யு (1,1) மற்றும் அதன் லை இயற்கணிதத்தின் ஒரு திட்டவட்டமான ஒற்றையாட்சி பிரதிநிதித்துவத்தின் அடிப்படையில் புரிந்து கொள்ளப்பட்டன. இர்விங் செகல் மற்றும் டேவிட் ஷேல் ஆகியோர் இந்த கட்டமைப்பை வரையறுக்கப்பட்ட மற்றும் எல்லையற்ற பரிமாணங்களில் சிம்ப்லெக்டிக் குழுவிற்கு பொதுமைப்படுத்தினர்-இயற்பியலில், இது பெரும்பாலும் போசோனிக் அளவீடு என்று குறிப்பிடப்படுகிறதுஃ இது எல்லையற்ற பரிமாண இடத்தின் சமச்சீர் இயற்கணிதமாக கட்டமைக்கப்பட்டுள்ளது. செகல் மற்றும் ஷேல் ஆகியோர் ஃபெர்மியோனிக் அளவீட்டின் விஷயத்தையும் கையாண்டுள்ளனர், இது ஒரு எல்லையற்ற பரிமாண ஹில்பர்ட் இடத்தின் வெளிப்புற இயற்கணிதமாக கட்டமைக்கப்பட்டுள்ளது. 1 + 1 பரிமாணங்களில் உள்ள இணக்கமான புலக் கோட்பாட்டின் சிறப்பு வழக்கில், இரண்டு பதிப்புகளும் "போசான்-ஃபெர்மியன் தொடர்பு" என்று அழைக்கப்படுவதன் மூலம் சமமாக மாறுகின்றன. போசோனிக் மற்றும் ஃபெர்மியோனிக் ஹில்பர்ட் இடைவெளிகளுக்கு இடையில் யூனிட்டரி ஆபரேட்டர்கள் இருக்கும் பகுப்பாய்வில் மட்டுமல்லாமல், வெர்டெக்ஸ் ஆபரேட்டர் ஆல்ஜிப்ராக்களின் கணிதக் கோட்பாட்டிலும் இது பொருந்தும். வெர்டெக்ஸ் ஆபரேட்டர்கள் முதலில் 1960 களின் பிற்பகுதியில் கோட்பாட்டு இயற்பியலில், குறிப்பாக சரம் கோட்பாட்டில் தோன்றினர். ஆண்ட்ரே வெயில் பின்னர் p-adic லை குழுக்களுக்கு கட்டுமானத்தை விரிவுபடுத்தினார், எண்ணைக் கோட்பாட்டில் கருத்துக்களை எவ்வாறு பயன்படுத்தலாம் என்பதைக் காட்டினார், குறிப்பாக தீட்டா செயல்பாடுகள் மற்றும் இருபடி பரஸ்பரம் பற்றிய குழு கோட்பாட்டு விளக்கத்தை வழங்கினார். பல இயற்பியலாளர்களும் கணிதவியலாளர்களும் ஹார்மோனிக் ஊசலாட்டத்துடன் தொடர்புடைய வெப்ப கர்னல் இயக்கிகள் எஸ்யூ (1,1) இன் சிக்கலான தன்மையுடன் தொடர்புடையவை என்பதைக் கவனித்தனர்ஃ இது முழு எஸ்எல் (2, சி) அல்ல, மாறாக இயற்கையான வடிவியல் நிலைமையால் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு சிக்கலான அரைகுறை. இந்த அரைக்குழுவின் பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாடும், வரையறுக்கப்பட்ட மற்றும் எல்லையற்ற பரிமாணங்களில் அதன் பொதுமைப்படுத்தல்களும் கணிதம் மற்றும் கோட்பாட்டு இயற்பியல் ஆகிய இரண்டிலும் பயன்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளன. எஸ்எல் (2, சி) இல் உள்ள அரைக்குழுக்கள் குழுஃ ஜிசி = எஸ்எல் (2, சி) இன் துணைக்குழுவாகும், இது சிக்கலான 2 × 2 மேட்ரிக்ஸின் குழுவாகும். G1 = SL (2, R) என்றால், இது தொடர்புடைய மோபியஸ் உருமாற்றம் கெய்லி உருமாற்றமாகும், இது மேல் பாதி தளத்தை அலகு வட்டத்திலும், உண்மையான கோட்டை அலகு வட்டத்திலும் கொண்டு செல்கிறது. குழு SL (2, R) ஒரு சுருக்கக் குழுவாகவும், குறைந்த முக்கோண மேட்ரிக்ஸின் துணைக்குழுவாகவும் உருவாக்கப்படுகிறது. உண்மையில், இந்த மேட்ரிக்ஸ்களால் உருவாக்கப்படும் துணைக்குழுவின் கீழ் உள்ள திசையனின் சுற்றுப்பாதை R2 முழுவதுமாக இருப்பதைக் காணலாம் மற்றும் G1 இல் உள்ள v இன் நிலைப்படுத்துபவர் இந்த துணைக்குழுவிற்குள் உள்ளது. இதேபோல் அதே சூத்திரம் Gc இன் லை இயற்கணிதத்தின் இரண்டு தானியங்கி உருமாற்றத்தை வரையறுக்கிறது, ட்ரேஸ் பூஜ்ஜியத்துடன் கூடிய சிக்கலான மேட்ரிக்ஸ்கள். எனவே −1 ≤ m, n ≤ 1 க்கு ஒரு நேரடி கூட்டுத்தொகை சிதைவு உள்ளது, அங்கு σ இன் + 1 ஐகென்ஸ்பேஸ் மற்றும்-1 ஐகென்ஸ்பேஸ் உள்ளது. கோன் சி இன் இரண்டு நிபந்தனைகளால் வரையறுக்கப்படுகிறது என்பதைக் கவனியுங்கள். முதலாவது வரையறையின்படி இந்த நிபந்தனை G ஆல் இணைப்பின் கீழ் பாதுகாக்கப்படுகிறது. G இணைக்கப்பட்டிருப்பதால் இது x> 0 மற்றும் x <0 மாறாத இரண்டு கூறுகளையும் விட்டுச்செல்கிறது. இரண்டாவது நிபந்தனை Gc குழு நீட்டிக்கப்பட்ட சிக்கலான தளத்தில் மோபியஸ் உருமாற்றங்களால் செயல்படுகிறது. முதலில் Gc இன் ஒரு அரைகுறை H ஐ வடிவியல் நிபந்தனையால் வரையறுக்க முடியும்ஃ அரைகுறை கூம்பு C இன் அடிப்படையில் வெளிப்படையாக விவரிக்கப்படலாம்ஃ உண்மையில் மேட்ரிக்ஸ் X ஐ G இன் ஒரு உறுப்பால் மேட்ரிக்ஸுடன் இணைக்க முடியும். மாறாக, g என்பது H இல் இருந்தால், அது மூடிய அலகு வட்டை அதன் உட்புறத்தில் ஒரு சிறிய மூடிய வட்டில் கொண்டு செல்கிறது. G இன் ஒரு உறுப்பால் இணைந்தால், சிறிய வட்டு மைய 0 ஐக் கொண்டிருப்பதாக எடுத்துக் கொள்ளலாம். ஆனால் பொருத்தமான y க்கு, உறுப்பு D ஐ தன்னுடன் கொண்டு செல்கிறது, எனவே G இல் உள்ளது. இதேபோன்ற ஒரு வாதம் H இன் மூடல், ஒரு அரை குழுவாகும், இது மூலம் வழங்கப்படுகிறது என்பதைக் காட்டுகிறது. எனவே அசல் மேட்ரிக்ஸ் எஸ்யூ (1,1) இல் இருந்தால் தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸை வழங்கும் H ஐக் கொண்டுள்ளது. H இன் ஒவ்வொரு உறுப்பும் D இல் ஒரு புள்ளியை நிர்ணயிக்க வேண்டும் என்பதைக் குறிப்பிடுவதன் மூலம் இணைப்பில் மேலும் ஒரு முடிவு தொடர்கிறது, இது G இன் ஒரு உறுப்புடன் இணைப்பதன் மூலம் 0 ஆக எடுத்துக் கொள்ளலாம். பின்னர் H இன் உறுப்பு வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது அத்தகைய குறைந்த முக்கோண மேட்ரிக்ஸின் தொகுப்பு H இன் H0 இன் துணைக்குழுவை உருவாக்குகிறது, ஏனெனில் H0 இல் உள்ள ஒவ்வொரு மேட்ரிக்ஸும் H0 இல் உள்ள ஒரு மேட்ரிக்ஸ் M ஆல் ஒரு மூலைவிட்ட மேட்ரிக்ஸுடன் இணைக்கப்படுகிறது. இதேபோல் H இல் உள்ள ஒவ்வொரு ஒரு அளவுரு அரைகுறை S (t) D இல் அதே புள்ளியை சரிசெய்கிறது, எனவே G இன் ஒரு உறுப்பால் H0 இல் உள்ள ஒரு அளவுரு அரைகுறைக்கு இணைக்கப்படுகிறது. இது H0 இல் S0 (t) மூலைவிட்டத்துடன் ஒரு அணி M உள்ளது என்பதைப் பின்பற்றுகிறது. இதேபோல் H0 இல் ஒரு மேட்ரிக்ஸ் N உள்ளது, அதாவது அரைகுறை H0 சிக்கலான கீழ் முக்கோண மேட்ரிக்ஸின் துணைக்குழு L ஐ தீர்மானிப்பவர் 1 உடன் உருவாக்குகிறது (மேலே உள்ள சூத்திரத்தால் ஒரு §0 உடன் வழங்கப்படுகிறது). அதன் லை இயற்கணிதம் வடிவத்தின் மேட்ரிக்ஸ்களைக் கொண்டுள்ளது குறிப்பாக ஒரு அளவுரு செமிகிரூப் exp tZ அனைத்து t> 0 க்கும் H0 இல் உள்ளது மற்றும் இருந்தால் மட்டுமே மற்றும் இது H க்கான அளவுகோலிலிருந்து அல்லது நேரடியாக சூத்திரத்திலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது அதிவேக வரைபடம் இந்த விஷயத்தில் சர்ஜெக்டிவ் அல்ல என்று அறியப்படுகிறது, இது முழு குழு L இல் சர்ஜெக்டிவ் என்றாலும். இது பின்வருமாறு ஏனெனில் வர்க்க செயல்பாடு H இல் சர்ஜெக்டிவ் அல்ல. உண்மையில், அசல் உறுப்பு 0 ஐ சரிசெய்தால் மட்டுமே ஒரு தனிமத்தின் வர்க்கம் 0 ஐ சரிசெய்கிறது, இது H0 இல் இதை நிரூபிக்க போதுமானது. |α | <1 உடன் α ஐ எடுத்துக் கொள்ளுங்கள் மற்றும் a = α2 மற்றும் அதனுடன் மேட்ரிக்ஸுக்கு H0 இல் வர்க்கமூலம் இல்லை. மறுபுறம், மூடிய அரைகுறை SL (2, C) இல் அதிகபட்சமாக இருக்கும்ஃ எந்த பெரிய அரைகுறை SL (2, C) முழுவதுமாக இருக்க வேண்டும். கோட்பாட்டு இயற்பியலால் தூண்டப்பட்ட கணக்கீடுகளைப் பயன்படுத்தி, சமத்துவமின்மைகளின் தொகுப்பின் மூலம் வரையறுக்கப்பட்ட அரை குழுவை அறிமுகப்படுத்தியது. ஒரு சுருக்க அரை குழுவாக அடையாளம் காணப்படாமல், அவர்கள் அதிகபட்சத்தை நிறுவினர். சுருக்க அரை குழுவாக வரையறையைப் பயன்படுத்தி, அதிகபட்சம் ஒரு புதிய பின்ன மாற்றத்தைச் சேர்க்கும்போது என்ன நடக்கிறது என்பதைச் சரிபார்க்க குறைகிறது. ஆதாரத்தின் யோசனை இரண்டு வட்டுகளின் நிலைகளைக் கருத்தில் கொள்வதைப் பொறுத்தது மற்றும். முக்கிய சந்தர்ப்பங்களில், ஒரு வட்டு மற்றொன்றைக் கொண்டுள்ளது அல்லது அவை வேறுபட்டவை. எளிமையான சந்தர்ப்பங்களில், ஒரு அளவீட்டு மாற்றத்தின் தலைகீழ் அல்லது. இரு சந்தர்ப்பங்களிலும் மற்றும் 1 இன் திறந்த சுற்றுப்புறத்தை உருவாக்குகிறது, எனவே முழு SL (2, C) பின்னர் அதிகபட்சத்தை நிரூபிக்க மற்றொரு நேரடி வழியைக் கொடுத்தது, முதலில் S இல் ஒரு g உள்ளது என்பதைக் காண்பிப்பதன் மூலம் வட்டு Dc க்கு D ஐ அனுப்புகிறது, |z |> 1. உண்மையில் டி. சி. யில் xD1 இருக்கும் வகையில் டி. சி. யில் ஒரு சிறிய வட்டு டி1 உள்ளது. பின்னர் H இல் சில h க்கு, D1 = hD. இதேபோல் H இல் உள்ள சில y க்கு yxD1 = Dc. எனவே g = yxh S இல் உள்ளது மற்றும் D ஐ Dc க்கு அனுப்புகிறது. இதைத் தொடர்ந்து g2 அலகு வட்டு D ஐ சரிசெய்கிறது, எனவே இது எஸ்யூ (1,1) இல் உள்ளது. எனவே g−1 என்பது S இல் உள்ளது. t என்பது H இல் இருந்தால், tgD இல் gD உள்ளது. எனவே t−1 என்பது S இல் உள்ளது, எனவே S என்பது 1 இன் திறந்த சுற்றுப்புறத்தைக் கொண்டுள்ளது. எனவே S = SL (2, C). Rn இல் மோபியஸ் உருமாற்றங்களுக்கும், மூடிய அலகு கோளம் | |x | | ≤1 ஐ திறந்த அலகு கோளத்திற்குள் | |x | | | <1 ஐ எடுக்கும் திறந்த அரைக்குழுவிற்கும் இதே வாதம் சரியாக வேலை செய்கிறது. மூடல் என்பது அனைத்து மோபியஸ் உருமாற்றங்களின் குழுவில் ஒரு அதிகபட்ச சரியான அரைகுறை ஆகும். n = 1 ஆக இருக்கும்போது, மூடிய இடைவெளி [-1,1] தன்னைத் தானே எடுத்துக் கொள்ளும் உண்மையான கோட்டின் மோபியஸ் உருமாற்றங்களுக்கு மூடல் ஒத்திருக்கிறது. அரைகுறை H மற்றும் அதன் மூடல் G இலிருந்து பெறப்பட்ட மேலும் ஒரு கட்டமைப்பைக் கொண்டுள்ளன, அதாவது G இல் உள்ள தலைகீழ் H இன் ஆன்டியோடோமார்பிசம் மற்றும் அதன் மூடல் வரை நீண்டுள்ளது, இது எக்ஸ்ப் சி மற்றும் அதன் மூடுதலில் உள்ள கூறுகளை சரிசெய்கிறது. ஆன்டியோடோமார்பிசம் எஸ்எல் (2, சி) இன் ஆன்டியோடோமார்பிசத்தால் வழங்கப்படுகிறது மற்றும் நீட்டிக்கப்படுகிறது. இதேபோல் ஆன்டியோடோமார்பிசம் G1 ஐ மாறாமல் விட்டுவிட்டு, எக்ஸ்ப் C1 மற்றும் அதன் மூடுதலில் உள்ள உறுப்புகளை சரிசெய்கிறது, எனவே இது G1 இல் உள்ள அரை குழுவிற்கு ஒத்த பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது. ஹைசன்பெர்க் மற்றும் வெய்லின் பரிமாற்ற உறவுகள் R இல் உள்ள ஸ்வார்ட்ஸ் செயல்பாடுகளின் இடமாக இருக்கட்டும். இது ஹில்பர்ட் இடத்தில் R இல் சதுர-ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடுகளின் L2 (R) இல் அடர்த்தியாக உள்ளது. குவாண்டம் இயக்கவியலின் சொற்களைப் பின்பற்றி, "உந்தம்" இயக்குபவர் P மற்றும் "நிலை" இயக்குபவர் Q ஆல் வரையறுக்கப்படுகிறது. இரண்டு ஒரு அளவுரு ஒற்றையாட்சி குழுக்கள் U (s) மற்றும் V (t) ஐ வரையறுக்கலாம் மற்றும் L2 (R) ஐ வரையறையின்படி வரையறுக்கலாம், இதனால் முறையாக U மற்றும் V என்ற ஒரு அளவுரு குழுக்கள் வேய்ல் பரிமாற்ற உறவை பூர்த்தி செய்கின்றன. ஃபோரியர் உருமாற்றம் ஃபோரியர் உருமாற்றம் வரையறுக்கப்படுகிறது இது அதன் இயற்கையான இடவியல் ஒரு தொடர்ச்சியான வரைபடம் வரையறுக்கிறது. கான்டூர் ஒருங்கிணைப்பு செயல்பாடு அதன் சொந்த ஃபோரியர் உருமாற்றம் என்பதைக் காட்டுகிறது. மறுபுறம், பகுதிகளால் ஒருங்கிணைத்தல் அல்லது ஒருங்கிணைப்பின் கீழ் வேறுபடுத்துதல், இது Q (மற்றும் P) இரண்டுடனும் பயணங்களால் வரையறுக்கப்பட்ட ஆபரேட்டர் என்பதைப் பின்பற்றுகிறது. மறுபுறம், மற்றும் அதில் இருப்பதால், அது அதைப் பின்பற்றுகிறது, எனவே இது ஃபோரியர் தலைகீழ் சூத்திரத்தைக் குறிக்கிறதுஃ மேலும் ஃபோரியர் உருமாற்றம் என்பது ஒரு ஐசோமார்பிசம் என்பதைக் காட்டுகிறது. ஃபுபினியின் தேற்றத்தின் படி, தலைகீழ் சூத்திரத்துடன் இணைக்கும்போது, ஃபோரியர் உருமாற்றம் உள் விளைபொருளைப் பாதுகாக்கிறது என்பதைக் குறிக்கிறது, எனவே ஒரு ஐசோமெட்ரியை வரையறுக்கிறது. அடர்த்தியின் மூலம் இது பிளான்செரலின் தேற்றத்தால் வலியுறுத்தப்பட்டபடி, L2 (R) இல் ஒரு யூனிட்டரி ஆபரேட்டருக்கு விரிவடைகிறது. ஸ்டோன்-வான் நியூமன் தேற்றம் U (s) மற்றும் V (t) ஒரு ஹில்பர்ட் இடத்தில் வேய்ல் பரிமாற்ற உறவுகளை திருப்திப்படுத்தும் ஒரு அளவுரு ஒற்றையாட்சி குழுக்கள் என்று வைத்துக்கொள்வோம். உண்மையில், எஃப். டி. எஸ் மற்றும் ஜி. டி. டி ஆகியவை நிகழ்தகவு நடவடிக்கைகளை சுருக்கமான ஆதரவுடன் வரையறுத்தால், அளவீடுகளின் ஆதரவு 0 ஆகக் குறைந்தால், ஸ்மீயர் செய்யப்பட்ட ஆபரேட்டர்கள் வலுவான ஆபரேட்டர் இடவியலில் அடையாள ஆபரேட்டரை திருப்திப்படுத்தி ஒன்றிணைக்கிறார்கள். யு (எஃப்) வி (ஜி) டி (எஃப்) வடிவத்தைக் கொண்டிருப்பதால், சிதைவு அல்லாதது பின்பற்றப்படுகிறது. L2 (R) இல் ஷ்ரோடிங்கர் பிரதிநிதித்துவம் எப்போது, ஆபரேட்டர் T (F) ஆல் வழங்கப்படுகிறது இது இந்த சூத்திரத்திலிருந்து பின்வருமாறு U மற்றும் V கூட்டாக ஷ்ரோடிங்கர் பிரதிநிதித்துவத்தில் பகுக்கமுடியாத வகையில் செயல்படுகின்றன, ஏனெனில் இது ஷ்வார்ட்ஸ் செயல்பாடுகளாக இருக்கும் கர்னல்களால் கொடுக்கப்பட்ட ஆபரேட்டர்களுக்கு பொருந்தும். நேரியல் நியமமான மாற்றங்களால் ஒரு உறுதியான விளக்கம் வழங்கப்படுகிறது. இதற்கு நேர்மாறாக வேய்ல் பரிமாற்ற உறவுகளின் பிரதிநிதித்துவம் கொடுக்கப்பட்டால், இது கர்னல் ஆபரேட்டர்களின் *-இயற்கணிதத்தின் சீரழியாத பிரதிநிதித்துவத்திற்கு வழிவகுக்கிறது. ஆனால் அத்தகைய பிரதிநிதித்துவங்கள் அனைத்தும் L2 (R) இன் நகல்களின் ஆர்த்தோகனல் நேரடி கூட்டுத்தொகையில் மேலே உள்ள ஒவ்வொரு பிரதியிலும் உள்ள செயலுடன் உள்ளன. இது N × N மேட்ரிக்ஸின் பிரதிநிதித்துவங்கள் CN இல் நிலையான பிரதிநிதித்துவத்தின் நேரடி கூட்டுத்தொகையில் உள்ளன என்ற அடிப்படை உண்மையின் நேரடியான பொதுமைப்படுத்தலாகும். மேட்ரிக்ஸ் அலகுகளைப் பயன்படுத்தும் ஆதாரம் எல்லையற்ற பரிமாணங்களில் சமமாக நன்றாக வேலை செய்கிறது. ஒரு அளவுரு ஒற்றையாட்சி குழுக்கள் U மற்றும் V ஆகியவை ஒவ்வொரு கூறுகளையும் மாறாமல் விட்டுவிடுகின்றன, இது ஷ்ரோடிங்கர் பிரதிநிதித்துவத்தில் நிலையான செயலைத் தூண்டுகிறது. குறிப்பாக இது ஸ்டோன்-வான் நியூமன் தேற்றத்தைக் குறிக்கிறதுஃ ஷ்ரோடிங்கர் பிரதிநிதித்துவம் என்பது ஹில்பர்ட் இடத்தில் வேய்ல் பரிமாற்ற உறவுகளின் தனித்துவமான பகுக்கமுடியாத பிரதிநிதித்துவமாகும். SL (2, R) இன் ஆஸிலேட்டர் பிரதிநிதித்துவம் கொடுக்கப்பட்ட U மற்றும் V வில் பரிமாற்ற உறவுகளை திருப்திப்படுத்துகிறது, வரையறுக்கவும் பின்னர் W என்பது R2 இன் ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் யூனிட்டரி பிரதிநிதித்துவத்தை கோசைக்கிள் மூலம் வரையறுக்கிறது, இதில் B என்பது R2 இல் கொடுக்கப்பட்ட சிம்ப்ளெக்டிக் வடிவமாகும் ஸ்டோன்-வான் நியூமன் தேற்றத்தால், இந்த கோசைக்கிள் தொடர்புடைய ஒரு தனித்துவமான பகுக்கமுடியாத பிரதிநிதித்துவம் உள்ளது. இது பின்வருமாறு, g என்பது B வடிவத்தைப் பாதுகாக்கும் R2 இன் தன்னியக்க உருமாற்றமாக இருந்தால், அதாவது. SL (2, R) இன் ஒரு உறுப்பு, பின்னர் L2 (R) இல் ஒரு யூனிட்டரி π (g) உள்ளது, இது கோவேரியன்ஸ் உறவை திருப்திப்படுத்துகிறது ஷூர் லெம்மாவால் யூனிட்டரி π (g) என்பது |ζ | = 1 உடன் ஒரு அளவுகோலால் பெருக்கப்படும் வரை தனித்துவமானது, இதனால் π என்பது SL (2, R) இன் ப்ரொஜெக்டிவ் யூனிட்டரி பிரதிநிதித்துவத்தை வரையறுக்கிறது. ஷ்ரோடிங்கர் பிரதிநிதித்துவத்தின் பகுக்கமுடியாத தன்மையை மட்டுமே பயன்படுத்தி இதை நேரடியாக நிறுவ முடியும். K a ஷ்வார்ட்ஸ் செயல்பாட்டைக் கொண்ட ஆபரேட்டர்கள் ஷ்வார்ட்ஸ் செயல்பாடுகளுடன் கர்னல்களால் வழங்கப்பட்ட ஆபரேட்டர்களுடன் சரியாக ஒத்திருக்கிறார்கள் என்ற உண்மையின் நேரடி விளைவாக இர்ரெடியூபிலிட்டி இருந்தது. இவை ஹில்பர்ட்-ஷ்மிட் ஆபரேட்டர்களின் இடத்தில் அடர்த்தியாக உள்ளன, இது வரையறுக்கப்பட்ட தரவரிசை ஆபரேட்டர்களைக் கொண்டிருப்பதால், பகுக்கமுடியாத வகையில் செயல்படுகிறது. π இன் இருப்பை ஷ்ரோடிங்கர் பிரதிநிதித்துவத்தின் பகுக்கமுடியாத தன்மையைப் பயன்படுத்தி மட்டுமே நிரூபிக்க முடியும். எஸ்எல் (2, ஆர்) இன் ப்ரொஜெக்டிவ் பிரதிநிதித்துவத்திற்கான 2-சுழற்சி ±1 மதிப்புகளை எடுக்கும் வகையில் ஆபரேட்டர்கள் ஒரு அடையாளம் வரை தனித்துவமானவை. உண்மையில் குழு எஸ்எல் (2, ஆர்) வடிவத்தின் மேட்ரிக்ஸ்களால் உருவாக்கப்படுகிறது, மேலும் பின்வரும் ஆபரேட்டர்கள் மேலே உள்ள கோவேரியன்ஸ் உறவுகளை திருப்திப்படுத்துகிறார்கள் என்பதை நேரடியாக சரிபார்க்க முடியும்ஃ ஜெனரேட்டர்கள் ஜி பின்வரும் ப்ரூஹத் உறவுகளை திருப்திப்படுத்துகின்றன, இது குழு எஸ்எல் (2, ஆர்) ஐ தனித்துவமாகக் குறிப்பிடுகிறதுஃ இந்த உறவுகள் தொடர்புடைய ஆபரேட்டர்களால் ஒரு அடையாளம் வரை திருப்திப்படுத்தப்படுகின்றன என்பதை நேரடி கணக்கீடு மூலம் சரிபார்க்கலாம், இது கோசைக்கிள் ± 1 மதிப்புகளை எடுக்கிறது என்பதை நிறுவுகிறது. எஸ்எல் (2, ஆர்) இன் இரட்டை மறைப்பாக மெட்டாப்லெக்டிக் குழுவின் வெளிப்படையான கட்டமைப்பைப் பயன்படுத்தி ஒரு கருத்தியல் விளக்கம் உள்ளது. எஸ்எல் (2, ஆர்) மேல் பாதி தளமான எச் இல் மோபியஸ் உருமாற்றங்களால் செயல்படுகிறது. மேலும், செயல்பாடு 1-சுழற்சி உறவை திருப்திப்படுத்துகிறது என்றால் ஒவ்வொரு ஜி க்கும், செயல்பாடு எம் (ஜி, இசட்) எச் இல் மறைந்துவிடாது, எனவே இரண்டு சாத்தியமான ஹோலோமார்பிக் சதுர வேர்களைக் கொண்டுள்ளது. உருமாற்றக் குழு குழுவாக வரையறுக்கப்படுகிறது வரையறையின்படி இது SL (2, R) இன் இரட்டை மறைப்பாகும் மற்றும் இணைக்கப்பட்டுள்ளது. இவ்வாறு உருமாற்றக் குழுவின் ஒரு உறுப்பு g க்கு 1-சுழற்சி உறவை திருப்திப்படுத்தும் ஒரு தனித்துவமான தீர்மானிக்கப்பட்ட செயல்பாடு m (g, z) 1/2 உள்ளது. என்றால், எல் 2 இல் உள்ளது மற்றும் ஒரு ஒத்திசைவான நிலை என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த செயல்பாடுகள் SL (2, R) இன் ஒற்றை சுற்றுப்பாதையில் உள்ளன, ஏனெனில் SL (2, R) இல் g க்கு மேலும் குறிப்பாக g Mp (2, R) இல் இருந்தால், உண்மையில், இது g மற்றும் h க்கு பொருந்தினால், அது அவற்றின் பெருக்கலுக்கும் பொருந்தும். மறுபுறம், ஜி. டி வடிவம் ஜி மற்றும் இவை ஜெனரேட்டர்கள் என்றால் சூத்திரம் எளிதாக சரிபார்க்கப்படுகிறது. இது மெட்டாப்லெக்டிக் குழுவின் சாதாரண ஒற்றையாட்சி பிரதிநிதித்துவத்தை வரையறுக்கிறது. உறுப்பு (1,-1) L2 (R) இல்-1 ஆல் பெருக்கப்படுவதாக செயல்படுகிறது, இதிலிருந்து SL (2, R) இல் உள்ள கோசைக்கிள் ±1 மதிப்புகளை மட்டுமே எடுக்கிறது. மாஸ்லோவ் குறியீட்டில் விளக்கப்பட்டுள்ளபடி, உருமாற்ற பிரதிநிதித்துவத்துடன் தொடர்புடைய SL (2, R) இல் உள்ள 2-சுழற்சி, ±1 மதிப்புகளை எடுத்துக்கொள்வது, மாஸ்லோவ் குறியீட்டால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. தரையில் உள்ள மூன்று பூஜ்ஜியமற்ற திசையன்கள் u, v, w கொடுக்கப்பட்டால், அவற்றின் மாஸ்லோவ் குறியீடு மாஸ்லோவ் குறியீட்டின் பண்புகளால் வரையறுக்கப்பட்ட R3 இல் இருபடி வடிவத்தின் கையொப்பமாக வரையறுக்கப்படுகிறதுஃ இது திசையன்களால் பரவியுள்ள ஒரு பரிமாண துணை இடங்களைப் பொறுத்தது இது SL (2, R) இன் கீழ் மாறாதது, அதாவது அதன் வாதங்களில் மாறி மாறி வருகிறது. இரண்டு வாதங்கள் ஒன்றோடொன்று மாற்றப்பட்டால் அதன் அடையாளம் மாறுகிறது, அது இரண்டு துணை இடைவெளிகள்-1,0 மற்றும் + 1 மதிப்புகளை எடுத்துக் கொண்டால் அது மறைந்துவிடும்ஃ u மற்றும் v ஆகியவை B (u, v) = 1 மற்றும் w = au + bv ஐ திருப்திப்படுத்தினால், மாஸ்லோவ் குறியீடு பூஜ்ஜியமாகும், இது ab = 0 ஆகவும், இல்லையெனில் கழித்தல் ab இன் அடையாளத்திற்கு சமமாகவும் இருந்தால், பூஜ்ஜியமற்ற திசையன் u0 ஐத் தேர்ந்தெடுப்பது, செயல்பாடு SL (2, R) இல் 2-சுழற்சியை ஒற்றுமையின் எட்டாவது மூலங்களில் உள்ள மதிப்புகளுடன் வரையறுக்கிறது. மெட்டாப்லெக்டிக் கோசைக்கிளுடன் இணைக்கப்பட்ட ±1 இல் உள்ள மதிப்புகளுடன் 2-கோசைக்கிளை வரையறுக்க 2-கோசைக்கிளின் மாற்றத்தைப் பயன்படுத்தலாம். உண்மையில் தரையில் பூஜ்ஜியமற்ற திசையன்கள் u, v கொடுக்கப்பட்டால், u மற்றும் v ஆகியவை u = λv என்றால் λ இன் அடையாளத்திற்கு விகிதாசாரமாக இல்லாவிட்டால், f (u, v) ஐ B (u, v) இன் அடையாளத்தின் i மடங்கு என்று வரையறுக்கவும். அப்படியானால், மெட்டாப்லெக்டிக் பிரதிநிதித்துவத்தில் உள்ள பிரதிநிதிகள் π (g) ஐத் தேர்ந்தெடுக்க முடியும், இதனால் 2-சுழற்சி ω ஹோலோமார்பிக் ஃபாக் ஸ்பேஸ் ஹோலோமார்பிக் ஃபாக் ஸ்பேஸ் (செகல்-பார்க்மேன் ஸ்பேஸ் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) மூலம் வழங்கப்படுகிறது, இது C இல் உள்ள ஹோலோமார்பிக் செயல்பாடுகளின் திசையன் இடமாக வரையறுக்கப்படுகிறது f (z) வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. மேலும், ஒரு ஹோலோமார்பிக் செயல்பாட்டின் சக்தி தொடர் விரிவாக்கம் இந்த அடிப்படையைப் பொறுத்தவரை அதன் விரிவாக்கத்தை அளிக்கிறது. எனவே C இல் உள்ள z க்கு, z இல் மதிப்பீடு ஒரு தொடர்ச்சியான நேரியல் செயல்பாட்டை வழங்குகிறது. C இல் உள்ள f மற்றும் z க்கு வரையறுக்கவும் பின்னர் இது வேய்ல் பரிமாற்ற உறவுகளின் ஒற்றையாட்சி பிரதிநிதித்துவத்தை அளிக்கிறது. இப்போது அது பிரதிநிதித்துவம் பகுக்கமுடியாதது என்பதைப் பின்பற்றுகிறது. உண்மையில், அனைத்து Ea க்கும் ஆர்த்தோகனல் எந்த செயல்பாடும் மறைந்துவிட வேண்டும், இதனால் அவற்றின் நேரியல் இடைவெளி அடர்த்தியாக இருக்கும். P என்பது W (z) உடன் பயணிக்கும் ஒரு ஆர்த்தோகனல் திட்டமாக இருந்தால், f = PE0 ஆக இருக்கட்டும். பின்னர் இந்த நிபந்தனையை திருப்திப்படுத்தும் ஒரே ஹோலோமார்பிக் செயல்பாடு நிலையான செயல்பாடு ஆகும். எனவே λ = 0 அல்லது 1 உடன். E0 என்பது சுழற்சி என்பதால், அது P = 0 அல்லது I ஐப் பின்பற்றுகிறது. ஸ்டோன்-வான் நியூமன் தேற்றத்தின் படி, எல் 2 (ஆர்) இல் இருந்து ஒரு யூனிட்டரி ஆபரேட்டர் உள்ளது, இது ஒரு அளவுகோலால் பெருக்கப்படும் வரை தனித்துவமானது, இது வெயில் பரிமாற்ற உறவுகளின் இரண்டு பிரதிநிதித்துவங்களையும் பின்னிப் பிணைக்கிறது. ஷூரின் லெம்மா மற்றும் கெல்ஃபாண்ட்-நைமார்க் கட்டுமானத்தின் மூலம், எந்தவொரு திசையனின் மேட்ரிக்ஸ் குணகம் ஒரு அளவிடக்கூடிய பெருக்கல் வரை திசையனை தீர்மானிக்கிறது. F = E0 மற்றும் f = H0 இன் மேட்ரிக்ஸ் குணகங்கள் சமமாக இருப்பதால், யூனிட்டரி தனித்துவமாக பண்புகளால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது, எனவே L2 (R) இல் உள்ள f க்கு ஆபரேட்டர் செகல்-பார்க்மேன் உருமாற்றம் என்றும் B பார்க்மேன் கர்னல் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. இதன் இணைப்பு பின்வரும் சூத்திரத்தால் வழங்கப்படுகிறதுஃ ஃபாக் மாதிரி ஹோலோமார்பிக் ஃபாக் இடத்தில் எஸ்யூ (1,1) இன் செயல்பாடு மற்றும் மூலம் விவரிக்கப்பட்டது. சூ (1,1) இன் உருமாற்ற இரட்டை உறையை வெளிப்படையாக ஜோடியாக (g, γ) மற்றும் g = g1g2 என்றால், பின்னர் |z | <1 க்கு (1 + z) 1/2 இன் சக்தி தொடர் விரிவாக்கத்தைப் பயன்படுத்தி கட்டமைக்க முடியும். மெட்டாப்லெக்டிக் பிரதிநிதித்துவம் என்பது இந்த குழுவின் ஒற்றையாட்சி பிரதிநிதித்துவம் π (g, γ) ஆகும், இது கோவேரியன்ஸ் உறவுகளை திருப்திப்படுத்துகிறது, ஏனெனில் இது ஒரு இனப்பெருக்கம் செய்யும் கர்னல் ஹில்பர்ட் இடைவெளி என்பதால், அதில் உள்ள எந்த வரம்புக்குட்பட்ட ஆபரேட்டர் T அதன் இரண்டு வாதங்களின் சக்தி தொடரால் கொடுக்கப்பட்ட கர்னலுக்கு ஒத்திருக்கிறது. உண்மையில் F இல் இருந்தால், கர்னலின் கோவேரியன்ஸ் உறவுகள் மற்றும் பகுப்பாய்வு S = π (g, γ) க்கு, சில நிலையான C க்கு என்று குறிக்கிறது. நேரடி கணக்கீடு இரட்டை அட்டையின் சாதாரண பிரதிநிதித்துவத்திற்கு வழிவகுக்கிறது என்பதைக் காட்டுகிறது. ஒத்திசைவான நிலைகளை மீண்டும் மெட்டாப்லெக்டிக் குழுவின் கீழ் E0 இன் சுற்றுப்பாதையாக வரையறுக்கலாம். W காம்ப்ளக்ஸுக்கு, |w | <1 என்றால் மட்டுமே பின்னர் அமைக்கவும். குறிப்பாக F0 = 1 = E0. மேலும், இதேபோல் zFw செயல்பாடுகள் உருமாற்றக் குழுவின் சுற்றுப்பாதையை உருவாக்குகின்றனஃ (Fw, E0) = 1 என்பதால், E0 = 1 செயல்பாட்டின் அணி குணகம் வட்டு மாதிரியால் வழங்கப்படுகிறது. அலகு வட்டில் உள்ள ஹோலோமார்பிக் செயல்பாடுகளின் ஹில்பர்ட் இடைவெளிகளில் இரண்டு பிரதிநிதித்துவங்களையும் உணர முடியும்; அல்லது, கெய்லி உருமாற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, மேல் பாதி தளத்தில். ஈவன் ஃபங்க்ஷன்கள் ஃபோலோமார்ஃபிக் ஃபங்க்ஷன்கள் F + உடன் ஒத்திருக்கின்றன, இதற்கு ஃபோலோமார்ஃபிக் ஃபங்க்ஷன்கள் F-க்கு ஒற்றைப்படை ஃபங்க்ஷன்கள் ஃபோலோமார்ஃபிக் ஃபங்க்ஷன்களுக்கு ஒத்திருக்கின்றன. இந்த வெளிப்பாடுகளின் துருவப்படுத்தப்பட்ட வடிவங்கள் உள் தயாரிப்புகளை வரையறுக்கின்றன. உருமாற்றக் குழுவின் செயல்பாடு இந்த பிரதிநிதித்துவங்களின் குறைப்புத்தன்மை ஒரு நிலையான வழியில் நிறுவப்பட்டதன் மூலம் வழங்கப்படுகிறது. ஒவ்வொரு பிரதிநிதித்துவமும் சுழற்சிக் குழுவின் ஒரு பரிமாண ஐகென்ஸ்பேஸ்களின் நேரடி கூட்டுத்தொகையாக உடைகிறது, அவை ஒவ்வொன்றும் முழு குழுவிற்கும் ஒரு சிஎன்ஐ திசையனால் உருவாக்கப்படுகின்றன. எந்தவொரு மூடிய மாறாத துணை இடமும் அதில் உள்ள ஐஜென்ஸ்பேஸ்களின் இயற்கணித நேரடி கூட்டுத்தொகையால் உருவாக்கப்படுகிறது என்பதையும், லை இயற்கணிதத்தின் எல்லையற்ற செயல்பாட்டின் கீழ் இந்த தொகை மாறாதது என்பதையும் இது பின்பற்றுகிறது. மறுபுறம், அந்த நடவடிக்கை பகுக்கமுடியாதது. சம மற்றும் ஒற்றைப்படை செயல்பாடுகளைக் கொண்ட ஐசோமார்பிசத்தை கெல்ஃபாண்ட்-நைமார்க் கட்டமைப்பைப் பயன்படுத்தி நிரூபிக்க முடியும், ஏனெனில் தொடர்புடைய பிரதிநிதித்துவங்களில் 1 மற்றும் z உடன் தொடர்புடைய அணி குணகங்கள் விகிதாசாரமாக உள்ளன. சம மற்றும் ஒற்றைப்படை பகுதிகளிலிருந்து தொடங்கி அலகு வட்டில் உள்ள செயல்பாடுகள் வரை வரைபடங்களில் இருந்து மற்றொரு முறையை வழங்கியது. இந்த வரைபடங்கள் மேலே கொடுக்கப்பட்ட உருமாற்றக் குழுவின் செயல்களை ஒன்றோடொன்று பின்னிப் பிணைத்து, zn ஐ wn இன் பெருக்கத்திற்கு அனுப்புகின்றன. U ± ஒற்றையாக இருக்க வேண்டும் என்று குறிப்பிடுவது வட்டில் உள்ள செயல்பாடுகளில் உள்ள உள் தயாரிப்புகளை தீர்மானிக்கிறது, அவை மேலே உள்ள வடிவத்தில் வெளிப்படுத்தப்படலாம். இந்த பிரதிநிதித்துவங்களில் ஆபரேட்டர் L0 நேர்மறை நிறமாலையைக் கொண்டிருந்தாலும்-எஸ்யூ (1,1) இன் ஹோலோமார்பிக் தனித்துவமான தொடர் பிரதிநிதித்துவங்களை வேறுபடுத்தும் அம்சம்-பிரதிநிதித்துவங்கள் மெட்டாப்லெக்டிக் குழுவின் தனித்துவமான தொடரில் இல்லை. உண்மையில், மேட்ரிக்ஸ் குணகங்கள் சதுர ஒருங்கிணைப்பு அல்ல என்று குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது, இருப்பினும் அவற்றின் மூன்றாவது சக்தி. ஹார்மோனிக் ஆஸிலேட்டர் மற்றும் ஹெர்மைட் செயல்பாடுகள் எல் 2 (ஆர்) இன் பின்வரும் துணை இடத்தைக் கவனியுங்கள்ஃ எக்ஸ் மீது செயல்படும் ஆபரேட்டர்கள் அனிஹிலேஷன் ஆபரேட்டர் என்றும் ஒய் கிரியேஷன் ஆபரேட்டர் என்றும் அழைக்கப்படுகிறார்கள். அவை செயல்பாடுகளை பூர்த்தி செய்கின்றன அவை ஹார்மோனிக் ஊசலாட்டத்தின் ஐகென் செயல்பாடுகள் என்று நாம் கூறுகிறோம், டி. இதை நிரூபிக்க மேலே உள்ள பரிமாற்ற உறவுகளைப் பயன்படுத்துகிறோம்ஃ அடுத்து நம்மிடம் உள்ளதுஃ இது n = 0 க்கு அறியப்படுகிறது மற்றும் விளைச்சலுக்கு மேலே உள்ள பரிமாற்ற உறவு n வது ஹெர்மைட் செயல்பாடு pn ஆல் வரையறுக்கப்படுகிறது n வது ஹெர்மைட் பல்லுறுப்புக்கோவை என்று அழைக்கப்படுகிறது. எனவே ஆபரேட்டர்கள் பி, க்யூ அல்லது அதற்கு சமமான ஏ, ஏ * ஒரு நிலையான வாதத்தால் பகுக்கமுடியாத வகையில் செயல்படட்டும். உண்மையில், ஹோலோமார்பிக் ஃபாக் ஸ்பேஸைக் கொண்ட ஒற்றையாட்சி ஐசோமார்பிசத்தின் கீழ், z இல் உள்ள பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் இடத்தை C [z] உடன் அடையாளம் காணலாம், A மற்றும் A * இன் கீழ் ஒரு துணை இட மாறிலி பூஜ்ஜியமற்ற பல்லுறுப்புக்கோவை p (z) ஐக் கொண்டிருந்தால், பின்னர், A * இன் சக்தியைப் பயன்படுத்தி, அது பூஜ்ஜியமற்ற மாறிலியைக் கொண்டுள்ளது; பின்னர் A இன் சக்தியைப் பயன்படுத்தி, அது அனைத்து zn ஐக் கொண்டுள்ளது. ஐசோமார்பிசத்தின் கீழ் Fn என்பது zn இன் பெருக்கிக்கு அனுப்பப்படுகிறது மற்றும் இயக்குபவர் D என்பது லெட் மூலம் வழங்கப்படுகிறது, இதனால் இயற்பியல் A இன் சொற்களில், A * ஒரு ஒற்றை போசானைக் கொடுக்கும் மற்றும் L0 என்பது ஆற்றல் இயக்குபவர். இது 1/2,1,3/2, ஐஜென் மதிப்புகளுடன் மூலைவிட்டமாக உள்ளது, ஒவ்வொன்றும் பெருக்கம் ஒன்று. அத்தகைய பிரதிநிதித்துவம் நேர்மறை ஆற்றல் பிரதிநிதித்துவம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. மேலும், L0 கொண்ட லை அடைப்புக்குறிப்பு A, A * மற்றும் I ஆல் பரவியிருக்கும் லை இயற்கணிதத்தின் வழித்தோன்றலை வரையறுக்கிறது. L0 ஐ இணைப்பது அரை மறைமுக விளைபொருளை வழங்குகிறது. ஸ்டோன்-வான் நியூமன் தேற்றத்தின் எல்லையற்ற பதிப்பு, C [z] இல் மேலே உள்ள பிரதிநிதித்துவம் L0 = A * A + 1/2 உடன் இந்த லை இயற்கணிதத்தின் தனித்துவமான பகுக்கமுடியாத நேர்மறை ஆற்றல் பிரதிநிதித்துவம் என்று கூறுகிறது. ஏனெனில் A ஆற்றலைக் குறைக்கிறது மற்றும் A * ஆற்றலை உயர்த்துகிறது. எனவே எந்தவொரு மிகக் குறைந்த ஆற்றல் திசையனும் A ஆல் அழிக்கப்படுகிறது மற்றும் தொகுதி A * இன் சக்திகளால் v க்கு பயன்படுத்தப்படுகிறது, இதனால் இது C [z] இன் பூஜ்ஜியமற்ற விகிதமாகும், எனவே அதை பகுக்கமுடியாத தன்மை மூலம் அடையாளம் காணலாம். இந்த இயக்கிகள் திருப்திப்படுத்தும் வகையில் செயல்படட்டும்ஃ மேலும் A, A * மற்றும் I ஆல் பரவியிருக்கும் லை இயற்கணிதத்தின் வழித்தோன்றல்களால் செயல்படவும். அவை எஸ்யூ (1,1) இன் மெட்டாப்லெக்டிக் பிரதிநிதித்துவத்துடன் தொடர்புடைய எல்லையற்ற இயக்கிகள் ஆகும். செயல்பாடுகள் Fn ஆல் வரையறுக்கப்படுகின்றன இது பின்வருமாறு ஹெர்மைட் செயல்பாடுகள் கிராம்-ஷ்மிட் ஆர்த்தோனார்மலைசேஷன் செயல்முறையைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் பெறப்படும் ஆர்த்தோனார்மல் அடிப்படையாகும் xn exp-x2/2 இன். ஹெர்மைட் செயல்பாடுகளின் முழுமை என்பது பார்க்மேன் உருமாற்றம் ஒற்றையானது மற்றும் ஹோலோமார்பிக் ஃபாக் இடத்தின் ஆர்த்தோனார்மல் அடிப்படையான என் (இசட்) ஐ எச்என் (எக்ஸ்) மீது கொண்டு செல்கிறது என்பதிலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது. ஹார்மோனிக் ஊசலாட்டத்திற்கான வெப்ப இயக்குபவர் L2 (R) இல் உள்ள இயக்குபவர் மூலைவிட்ட இயக்குபவர் என்று வரையறுக்கப்படுகிறார் இது மெஹ்லரின் சூத்திரத்தால் வழங்கப்பட்ட வெப்ப கர்னலுடன் ஒத்திருக்கிறதுஃ இது சூத்திரத்திலிருந்து பின்வருமாறு இந்த சூத்திரத்தை நிரூபிக்க s = σ2 என்றால், பின்னர் டெய்லரின் சூத்திரத்தால் இவ்வாறு Fσ, x ஹோலோமார்பிக் ஃபாக் இடத்தில் உள்ளது மற்றும் நேரடியாக கணக்கிடக்கூடிய ஒரு உள் பெருக்கல். மெஹ்லரின் சூத்திரத்தை நேரடியாக நிறுவுகிறது மற்றும் t 0 ஆகக் குறையும் போது L2 (R) இல் f ஆக இருக்கும் என்பதை நிரூபிக்க ஒரு கிளாசிக்கல் வாதத்தைப் பயன்படுத்துகிறது. இது ஹெர்மைட் செயல்பாடுகளின் முழுமையைக் காட்டுகிறது, மேலும் ஃபோரியர் உருமாற்றத்தின் பண்புகளைப் பெறவும் பயன்படுத்தப்படலாம். ஹெர்மைட் செயல்பாடுகளின் முழுமையை நிரூபிக்க பிற அடிப்படை முறைகள் உள்ளன, எடுத்துக்காட்டாக ஃபோரியர் தொடரைப் பயன்படுத்துதல். சோபோலேவ் இடைவெளிகள் சில நேரங்களில் ஹெர்மைட்-சோபோலேவ் இடைவெளிகள் என்று அழைக்கப்படும் சோபோலேவ் இடைவெளிகள் எச்எஸ், ஹெர்மைட் செயல்பாடுகளில் எஃப் இன் விரிவாக்கம் இருக்கும் விதிமுறைகளைப் பொறுத்து முழுமைகள் என்று வரையறுக்கப்படுகின்றன. எனவே சோபோலேவ் இடைவெளிகள் ஹில்பர்ட் இடைவெளிகள் ஆகும். மேலும், சில நேர்மறை மாறிலி சி. எஸ். களுக்கு, எச்எஸ் மற்றும் எச்எஸ் இணைப்பின் கீழ் இரட்டைத்தன்மையில் உள்ளன. உண்மையில், அத்தகைய சமத்துவமின்மையை ஹெர்மைட் செயல்பாடுகள் எச்என் மீது செயல்படும் உருவாக்கம் மற்றும் அழிப்பு ஆபரேட்டர்களுக்கு சரிபார்க்கலாம், இது பொதுவான சமத்துவமின்மையைக் குறிக்கிறது. இது இரட்டைத்தன்மை மூலம் தன்னிச்சையான s ஐப் பின்பற்றுகிறது. இதன் விளைவாக, P மற்றும் Q இல் உள்ள ஒரு இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவை R க்கு சோபோலேவ் சமத்துவமின்மை Hs இல் f க்கு s> 1/2 உடன் உள்ளதுஃ எந்த k ≤ 0 க்கும். உண்மையில், பொதுவான k க்கான முடிவு k = 0 என்ற வழக்கில் இருந்து Qkf க்கு பயன்படுத்தப்படுகிறது. k = 0 க்கு ஃபோரியர் தலைகீழ் சூத்திரம் குறிக்கிறது என்றால் s <t, D இன் மூலைவிட்ட வடிவம், Hs இல் Ht ஐ சேர்ப்பது கச்சிதமானது என்பதைக் காட்டுகிறது (ரெல்லிச்சின் லெம்மா). இது சோபோலேவின் சமத்துவமின்மையிலிருந்து பின்வருமாறு Hs இடைவெளிகளின் குறுக்குவெட்டு ஆகும். அவற்றின் செயல்பாடுகள் அவற்றின் ஹெர்மைட் குணகங்களின் விரைவான சிதைவால் வகைப்படுத்தப்படுகின்றன. நிலையான வாதங்கள் ஒவ்வொரு சோபோலேவ் இடமும் ஆபரேட்டர்கள் W (z) மற்றும் மெட்டாப்லெக்டிக் குழுவின் கீழ் மாறாதவை என்பதைக் காட்டுகின்றன. உண்மையில், g அடையாளத்திற்கு போதுமான நெருக்கமாக இருக்கும்போது மாறுபாட்டைச் சரிபார்க்க போதுமானது. அவ்வாறான நிலையில் டி + ஏ உடன் ஒரு ஐசோமார்பிசம் அது பின்வருமாறு இருந்தால், வழித்தோன்றல்கள் இருக்கும் இடத்தில் இதேபோல் யு (எஸ்) வி (டி) எஃப் இன் மொத்த டிகிரி கே இன் பகுதி வழித்தோன்றல்கள் s-k/2 வரிசையின் சோபோலேவ் இடைவெளிகளில் உள்ளன. இதன் விளைவாக, f க்கு பயன்படுத்தப்படும் 2k வரிசையின் P மற்றும் Q இல் உள்ள ஒரு மோனோமியல் Hs-k இல் உள்ளது மற்றும் 0 இல் மதிப்பிடப்பட்ட டிகிரி ≤ 2k இன் U (s) V (t) f இன் பகுதி வழித்தோன்றல்களின் நேரியல் கலவையாக வெளிப்படுத்தப்படலாம். மென்மையான திசையன்கள் வேய்ல் பரிமாற்ற உறவுகளுக்கான மென்மையான திசையன்கள் L2 (R) இல் உள்ளவையாகும், இதனால் வரைபடம் மென்மையாக இருக்கும். சீரான எல்லைக் கோட்பாட்டின் படி, இது ஒவ்வொரு மேட்ரிக்ஸ் குணகம் (W (z) u, v) மென்மையாக இருக்க வேண்டும் என்பதற்கு சமம். ஒரு திசையன் உள்ளே இருந்தால் மட்டுமே அது மென்மையாக இருக்கும். போதுமான அளவு தெளிவாக உள்ளது. தேவைக்காக, மென்மை என்பது W (z) u இன் பகுதி வழித்தோன்றல்கள் L2 (R) இல் உள்ளன, எனவே அனைத்து நேர்மறை k க்கும் Dku ஆகும். எனவே u என்பது Hk இன் குறுக்குவெட்டில் உள்ளது, எனவே. மென்மையான திசையன்களும் மெட்டாப்லெக்டிக் குழுவிற்கு மென்மையானவை என்பதை இது பின்பற்றுகிறது. மேலும், ஒரு திசையன் எஸ்யூ (1,1) இன் சுழற்சி துணைக்குழுவிற்கு ஒரு மென்மையான திசையனாக இருந்தால் மட்டுமே அது இருக்கும். பகுப்பாய்வு திசையன்கள் Π (t) ஒரு அளவுரு ஒற்றையாட்சி குழுவாக இருந்தால், f இன் திசையன்கள் Π (f) φ க்கு மென்மையான திசையன்களின் அடர்த்தியான தொகுப்பை உருவாக்குகின்றன. உண்மையில் திசையன்களை எடுத்துக்கொள்வது v = Π (fε) x என்பது ε 0 ஆகக் குறைவதால் x ஆக ஒன்றிணைகிறது, மேலும் இது t இன் பகுப்பாய்வு செயல்பாடாகும், இது C இல் ஒரு முழு செயல்பாட்டிற்கும் நீண்டுள்ளது. ஹார்மோனிக் ஆஸிலேட்டருடன் தொடர்புடைய அலை ஆபரேட்டர் ஆல் வரையறுக்கப்படுகிறது ஆபரேட்டர் ஹெர்மைட் செயல்பாடுகள் எச்என் உடன் ஐஜென் செயல்பாடுகளுடன் மூலைவிட்டமாக உள்ளதுஃ இது டி உடன் பயணிப்பதால், இது சோபோலேவ் இடைவெளிகளைப் பாதுகாக்கிறது. மேலே கட்டமைக்கப்பட்ட பகுப்பாய்வு திசையன்களை ஹெர்மைட் அரைக்குழுவின் அடிப்படையில் மீண்டும் எழுதலாம். v என்பது Π க்கு ஒரு முழு திசையன் என்பது அனைத்து r> 0 க்கும் கூட்டுத்தொகை நிலைக்கு சமம். அத்தகைய எந்த திசையனும் U (s) V (t) க்கான ஒரு முழு திசையன் ஆகும், அதாவது R2 இல் வரையறுக்கப்பட்ட வரைபடம் C2 இல் ஒரு பகுப்பாய்வு வரைபடத்திற்கு நீண்டுள்ளது. எனவே இவை U (s) V (t) க்கான முழு திசையன்களின் அடர்த்தியான தொகுப்பை உருவாக்குகின்றன; இதை மெஹ்லரின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி நேரடியாக சரிபார்க்கலாம். U (s) V (t) க்கான மென்மையான மற்றும் முழு திசையன்களின் இடைவெளிகள் ஒவ்வொன்றும் வரையறையின்படி மெட்டாப்லெக்டிக் குழு மற்றும் ஹெர்மைட் அரை குழுவின் செயல்பாட்டின் கீழ் மாறாதவை. R2 முதல் C2 வரையிலான இயக்கிகள் W (x, y) இன் பகுப்பாய்வு தொடர்ச்சியாக இருக்கட்டும், இதனால் W முழு திசையன்களின் இடத்தையும் மாறாமல் விட்டுவிடுகிறது மற்றும் திருப்திப்படுத்துகிறது மேலும், SL (2, R) இல் உள்ள g க்கு SL (2, R) இன் இயற்கையான செயலைப் பயன்படுத்துகிறது. முறைப்படி ஊசலாட்ட அரைகுறை ஓல்ஷான்ஸ்கி அரைகுறை எச் இன் இயற்கையான இரட்டை மறைப்பு உள்ளது, மேலும் அதன் மூடல் மெட்டாப்லெக்டிக் குழுவுடன் தொடர்புடைய எஸ்யூ (1,1) இன் இரட்டை மறைப்பை விரிவுபடுத்துகிறது. இது ஜோடிகளால் (g, γ) வழங்கப்படுகிறது, இதில் g என்பது H இன் ஒரு உறுப்பு அல்லது அதன் மூடல் மற்றும் γ என்பது a இன் வர்க்கமூலமாகும். அத்தகைய தேர்வு |z | <1 க்கான ஒரு தனித்துவமான கிளையை தீர்மானிக்கிறது. SL (2, R) இல் உள்ள g க்கான யூனிட்டரி ஆபரேட்டர்கள் π (g), C2 இல் உள்ள u ஐ திருப்திப்படுத்துகின்றன. சிக்கலான SL (2, C) இன் ஒரு உறுப்பு g ஒரு வரம்புக்குட்பட்ட ஆபரேட்டர் T இருந்தால் செயல்படுத்தக்கூடியது என்று கூறப்படுகிறது, அது மற்றும் அதன் அருகிலுள்ள W மாறிலிக்கு முழு திசையன்களின் இடத்தையும் விட்டுச்செல்கிறது, இரண்டும் அடர்த்தியான படங்களைக் கொண்டுள்ளன மற்றும் C2 இல் u க்கான கோவேரியன்ஸ் உறவுகளை பூர்த்தி செய்கின்றன. செயல்படுத்தும் இயக்குபவர் T என்பது பூஜ்ஜியமற்ற அளவிடுதலால் பெருக்கப்படும் வரை தனித்துவமாக தீர்மானிக்கப்படுகிறது. செயல்படுத்தக்கூடிய கூறுகள் எஸ்எல் (2, ஆர்) கொண்ட ஒரு அரை குழுவை உருவாக்குகின்றன. பிரதிநிதித்துவம் நேர்மறை ஆற்றலைக் கொண்டிருப்பதால், t> 0 க்கான வரம்புக்குட்பட்ட சிறிய சுய-இணை ஆபரேட்டர்கள் எக்ஸ்ப் சி 1 இல் குழு கூறுகளை செயல்படுத்துகின்றன. ஓல்ஷான்ஸ்கி அரைக்குழுவின் அனைத்து கூறுகளும் அதன் மூடுதலும் செயல்படுத்தப்படுவதை இது பின்பற்றுகிறது. ஓல்ஷாங்கி அரைக்குழுவின் அதிகபட்சம் SL (2, C) இன் வேறு எந்த கூறுகளும் செயல்படுத்தப்படவில்லை என்பதைக் குறிக்கிறது. உண்மையில், இல்லையெனில் SL (2, C) இன் ஒவ்வொரு உறுப்பும் ஒரு வரம்புக்குட்பட்ட ஆபரேட்டரால் செயல்படுத்தப்படும், இது t> 0 க்கான ஆபரேட்டர்கள் S0 (t) இன் மாற்ற முடியாத தன்மைக்கு முரணாக இருக்கும். ஷ்ரோடிங்கர் பிரதிநிதித்துவத்தில் t> 0 க்கான ஆபரேட்டர்கள் S0 (t) மெஹ்லரின் சூத்திரத்தால் வழங்கப்படுகின்றன. அவை சுருக்க ஆபரேட்டர்கள், நேர்மறை மற்றும் ஒவ்வொரு ஷாட்டன் வகுப்பிலும் உள்ளன. மேலும், அவை சோபோலேவ் இடைவெளிகள் ஒவ்வொன்றையும் மாறாமல் விட்டுவிடுகின்றன. பகுப்பாய்வு தொடர்ச்சியின் மூலம் அதே சூத்திரம் பொருந்தும். மேலே கட்டப்பட்ட H இன் இரட்டை அட்டையின் சாதாரண பிரதிநிதித்துவத்தை வரையறுக்கும் வகையில் செயல்படுத்தும் ஆபரேட்டர்களைத் தேர்ந்தெடுக்க முடியும் என்பதை ஃபாக் மாதிரியில் நேரடியாகக் காணலாம். சுருக்க ஆபரேட்டர்களின் தொடர்புடைய அரை குழு ஊசலாட்ட அரை குழு என்று அழைக்கப்படுகிறது. நீட்டிக்கப்பட்ட ஊசலாட்ட அரைகுறை இயக்கிகள் W (u) உடன் அரை மறைமுக உற்பத்தியை எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம் பெறப்படுகிறது. இந்த இயக்கிகள் ஒவ்வொரு ஷாட்டன் வகுப்பிலும் உள்ளன மற்றும் சோபோலேவ் இடைவெளிகள் மற்றும் W க்கான முழு திசையன்களின் இடத்தையும் மாறாமல் விட்டுவிடுகின்றன. சிதைவு ஆபரேட்டர் மட்டத்தில் வரம்புக்குட்பட்ட இயக்கிகளின் துருவ சிதைவுக்கு ஒத்திருக்கிறது. மேலும், H இல் உள்ள எந்த மேட்ரிக்ஸும் H அல்லது H−1 இல் உள்ள உறுப்புகளால் ஒரு மூலைவிட்ட மேட்ரிக்ஸுடன் இணைக்கப்படுவதால், ஊசலாட்ட அரைக்குழுவில் உள்ள ஒவ்வொரு ஆபரேட்டரும் S0 (t) உடன் ஒரு ஆபரேட்டருக்கு அரை ஒத்ததாக இருக்கும். குறிப்பாக இது எளிய ஐகென் மதிப்புகளைக் கொண்ட அதே நிறமாலையைக் கொண்டுள்ளது. ஃபாக் மாதிரியில், ஓல்ஷாங்கி அரைகுறை H இன் உறுப்பு g மேட்ரிக்ஸுடன் ஒத்திருந்தால், அதனுடன் தொடர்புடைய ஆபரேட்டர் எங்கு வழங்கப்படுகிறது மற்றும் γ என்பது a இன் வர்க்கமூலமாகும். அரைகுறை H இல் உள்ள g க்கான இயக்கிகள் π (g, γ) சரியாக ஹில்பர்ட்-ஷ்மிட் இயக்கிகள் மற்றும் சிக்கலான சமச்சீர் மேட்ரிக்ஸ் ஆபரேட்டர் நெறிமுறையை கண்டிப்பாக ஒன்றுக்கு குறைவாகக் கொண்ட வடிவத்தின் கர்னல்களுடன் ஒத்திருக்கின்றன. நீட்டிக்கப்பட்ட ஊசலாட்ட அரைக்குழுவில் உள்ள இயக்கிகள் ஒத்த வெளிப்பாடுகளால் வழங்கப்படுகின்றன, கூடுதல் நேரியல் சொற்கள் z மற்றும் w ஆகியவற்றில் அதிவேகத்தில் தோன்றும். மெட்டாப்லெக்டிக் பிரதிநிதித்துவத்தின் இரண்டு பகுக்கமுடியாத கூறுகளுக்கான வட்டு மாதிரியில், தொடர்புடைய ஆபரேட்டர்கள் மூலம் கொடுக்கப்படுகின்றன ஷ்ரோடிங்கர் பிரதிநிதித்துவத்தில் எச் இல் ஜி உடன் தொடர்புடைய சுருக்க ஆபரேட்டர்களுக்கான ஒரு வெளிப்படையான சூத்திரத்தையும் கொடுக்க முடியும், இந்த சூத்திரத்தின் மூலம் தான் ஊசலாட்ட அரைக்குழுவை எல் 2 (ஆர்) இல் ஆபரேட்டர்களின் வெளிப்படையான குடும்பமாக அறிமுகப்படுத்தியது. உண்மையில் சீகல் மேல் பாதி தளத்தை சமச்சீர் சிக்கலான 2x2 மேட்ரிக்ஸ்களைக் கொண்ட நேர்மறை திட்டவட்டமான உண்மையான பகுதியுடன் கருத்தில் கொள்ளுங்கள்ஃ மேலும் L2 (R) இல் f க்கு தொடர்புடைய ஆபரேட்டருடன் கர்னலை வரையறுக்கவும். பின்னர் நேரடி கணக்கீடு கொடுக்கிறது மேலும், இங்கே மெஹ்லரின் சூத்திரம் மூலம் ஊசலாட்ட அரைகுறை B ≤ 0 உடன் மேட்ரிக்ஸ்களை மட்டுமே எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம் பெறப்படுகிறது. மேலே இருந்து, இந்த நிபந்தனை கலவையின் கீழ் மூடப்பட்டுள்ளது. ஒரு இயல்பாக்கப்பட்ட ஆபரேட்டரை ஒரு சதுர மூலத்தின் தேர்வு இரட்டை மறைப்பை தீர்மானிக்கிறது. மேலும், SZ ஒரு கடுமையான சுருக்கமாகும்ஃ இது வெய்ல் கால்குலஸைப் பின்தொடர்கிறது R2 = C இல் ஒரு செயல்பாட்டிற்கு a (x, y), எனவே பொதுவாக அத்தகைய இரண்டு ஆபரேட்டர்களின் பெருக்கல் முறுக்கப்பட்ட கன்வொல்யூஷன் அல்லது மோயல் தயாரிப்பு வழங்கப்படும் சூத்திரத்தால் வழங்கப்படுகிறது. தொடர்புடைய இயக்கிகள் T க்கு கர்னல்கள் உள்ளன, அவை ஸ்வார்ட்ஸ் செயல்பாடுகள். அவை ஒவ்வொரு சோபோலேவ் இடத்தையும் ஸ்வார்ட்ஸ் செயல்பாடுகளுக்குள் கொண்டு செல்கின்றன. மேலும், இந்த பண்பைக் கொண்ட எல் 2 (ஆர்) இல் உள்ள ஒவ்வொரு வரம்புக்குட்பட்ட ஆபரேட்டரும் இந்த வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளனர். இயக்குபவர்களைப் பொறுத்தவரை, மோயல் தயாரிப்பு வேய்ல் குறியீட்டு கால்குலஸாக மொழிபெயர்க்கப்பட்டுள்ளது. உண்மையில், a மற்றும் b இன் ஃபோரியர் உருமாற்றங்கள் பின்வரும் இடத்தை விட சுருக்கமான ஆதரவைக் கொண்டிருந்தால், ஏனெனில் இந்த விஷயத்தில் b என்பது பாலே-வீனர் தேற்றத்தால் C2 இல் ஒரு முழு செயல்பாட்டிற்கும் நீட்டிக்கப்பட வேண்டும். இந்த கால்குலஸை ஒரு பரந்த வகை குறியீடுகளுக்கு நீட்டிக்க முடியும், ஆனால் எளிமையானது T + S வடிவத்தைக் கொண்ட செயல்பாடுகள் அல்லது விநியோகங்களின் ஒரு வகுப்பின் சுழற்சிக்கு ஒத்திருக்கிறது, அங்கு T என்பது 0 இல் செறிவூட்டப்பட்ட ஒற்றை ஆதரவுடன் கச்சிதமான விநியோகமாகும், மேலும் S என்பது ஒரு ஸ்வார்ட்ஸ் செயல்பாடாகும். இந்த வகுப்பில் P, Q மற்றும் D1/2 மற்றும் D−1/2 இயக்கிகள் உள்ளன, அங்கு D என்பது ஹார்மோனிக் ஊசலாட்டமாகும். mth வரிசை சின்னங்கள் எஸ்எம் அனைத்து α க்கும் திருப்திகரமான மென்மையான செயல்பாடுகளால் வழங்கப்படுகின்றன, மேலும் இது போன்ற a க்கான அனைத்து ஆபரேட்டர்களும் si (a) ஐக் கொண்டுள்ளது. ஒரு எஸ்எம் இல் இருந்தால் மற்றும் χ என்பது 0 க்கு அருகில் 1 க்கு சமமான சிறிய ஆதரவின் மென்மையான செயல்பாடாக இருந்தால், மேலே உள்ளபடி டி மற்றும் எஸ் உடன். இந்த ஆபரேட்டர்கள் ஷ்வார்ட்ஸ் செயல்பாடுகளைப் பாதுகாத்து திருப்திப்படுத்துகிறார்கள்; ஆபரேட்டர்கள் பி மற்றும் க்யூ ேடிபிசி1 இல் உள்ளன மற்றும் டி ேடிபிசி2 இல் உள்ளது. பண்புகள்ஃ ஒரு பூஜ்ஜிய வரிசை சின்னம் எல் 2 (ஆர்) இல் ஒரு வரம்புக்குட்பட்ட ஆபரேட்டரை வரையறுக்கிறது. R = R * மென்மையாக இருந்தால், D + R என்பது (D + R) fn = λnfn உடன் fn என்ற முழுமையான ஈஜென்வெக்டர்களின் தொகுப்பைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் λn என்பது n ≈ ஆக மாறும்போது ≈ ஆக மாறுகிறது. D1/2 என்பது ேடிபிசிஐ1 இல் உள்ளது, எனவே D−1/2 = D1/2·D−1 ேடிபிசிஐ−1 என்பது சிறிய இயக்கிகளைக் கொண்டிருப்பதால், ேடிபிசிஐஎஸ் என்பது s> 1 க்கான சுவடு-வகுப்பு இயக்கிகளைக் கொண்டுள்ளது மற்றும் ேடிபிசிஐகே என்பது எச்எம் ஐ எச்எம்-கே ஆகக் கொண்டு செல்கிறது. வரம்பின் ஆதாரம் குறிப்பாக எளிதானதுஃ பின்னர் அடைப்புக்குறிப்பு ஆபரேட்டருக்கு குறைவான நெறிமுறை உள்ளது. எனவே |z | ≤ R இல் F ஆதரிக்கப்பட்டால், D−1 இன் பண்பு R = I-DS ஐ எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம் நிரூபிக்கப்படுகிறது. எனவே டி-1டி மென்மையாக்கப்படுவதால் இது ேடிபிஐ-2 இல் உள்ளது. டி1/2 க்கான பண்பு இதேபோல் டி-பி4 ஒரு மென்மையாக்கும் ஆபரேட்டர் போன்ற உண்மையான சின்னத்துடன் பி ஐ உருவாக்குவதன் மூலம் நிறுவப்படுகிறது. ஹோலோமார்பிக் செயல்பாட்டு கால்குலஸைப் பயன்படுத்தி D1/2-B2 ஒரு மென்மையாக்கும் ஆபரேட்டர் என்பதை சரிபார்க்கலாம். போலி வேறுபட்ட ஆபரேட்டர்களுக்கான ஆல்பர்டோ கால்டெரோன் மற்றும் ரெமி வைலன்கோர்ட்டின் பொதுவான சமத்துவமின்மையை நிறுவ மேலே உள்ள வரம்புத்தன்மை முடிவு பயன்படுத்தப்பட்டது. ஃபோரியர் ஒருங்கிணைந்த ஆபரேட்டர்களுக்கு பொதுவாக பொருந்தும் ஒரு மாற்று ஆதாரம் வழங்கப்பட்டது. அத்தகைய இயக்கிகளை ஊசலாட்ட அரைக்குழுவின் மீது ஒருங்கிணைப்புகளாக வெளிப்படுத்தலாம் என்றும் பின்னர் கோட்லர்-ஸ்டீன் லெம்மாவைப் பயன்படுத்தி மதிப்பிடலாம் என்றும் அவர் காட்டினார். வரையறுக்கப்பட்ட அபெலியன் குழுக்களுக்கான பயன்பாடுகள் மற்றும் பொதுமைப்படுத்தல் கோட்பாடு, ஸ்டோன்-வான் நியூமன் தேற்றத்தின் சம்பிரதாயவாதம் மற்றும் சிம்ப்ளெக்டிக் குழுவின் ஊசலாட்ட பிரதிநிதித்துவம் ஆகியவை உண்மையான எண்கள் R இலிருந்து எந்தவொரு உள்ளூரில் கச்சிதமான அபெலியன் குழுவிற்கும் விரிவடைகின்றன என்று குறிப்பிட்டது. ஒரு குறிப்பாக எளிய உதாரணம் வரையறுக்கப்பட்ட அபெலியன் குழுக்களால் வழங்கப்படுகிறது, இதில் சான்றுகள் R க்கான ஆதாரங்களின் அடிப்படை அல்லது எளிமைப்படுத்தல்கள் ஆகும். A ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட அபெலியன் குழுவாக இருக்கட்டும், கூட்டாக எழுதப்பட்டிருக்கட்டும், மேலும் Q என்பது A இல் T இல் உள்ள மதிப்புகளுடன் சிதைக்கப்படாத இருபடி வடிவமாக இருக்கட்டும். உள் விளைபொருளுடன் A இல் சிக்கலான மதிப்புள்ள செயல்பாடுகளின் இடமாக இருக்கட்டும், A இல் x, y க்கு V இல் ஆபரேட்டர்களை வரையறுக்கவும். பின்னர் U (x) மற்றும் V (y) ஆகியவை பரிமாற்ற உறவுகளை திருப்திப்படுத்தும் A இன் ஒற்றையாட்சி பிரதிநிதித்துவங்களாகும் இந்த செயல் பகுக்கமுடியாதது மற்றும் இந்த உறவுகளின் தனித்துவமான பகுக்கமுடியாத பிரதிநிதித்துவமாகும். மேலே உள்ள தனித்துவமான முடிவு என்னவென்றால், W (z) என்பது G இன் ஒரு திட்டவட்டமான பிரதிநிதித்துவத்தை வழங்கும் யூனிட்டரிகளின் மற்றொரு குடும்பமாக இருந்தால், ஒரு கட்டம் வரை தனித்துவமான ஒரு யூனிட்டரி U உள்ளது, அதாவது T இல் உள்ள சில λ (z) க்கு, குறிப்பாக g என்பது G இன் B ஐப் பாதுகாக்கும் ஒரு தானியங்கி உருவகமாக இருந்தால், ஒரு தனித்துவமான யூனிட்டரி π (g) உள்ளது, அத்தகைய அனைத்து தானியங்கி உருவகங்களின் குழுவும் B க்கு சிம்ப்ளெக்டிக் குழு என்றும், π என்பது V இல் G இன் திட்டவட்டமான பிரதிநிதித்துவத்தை அளிக்கிறது என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. Z =-I என்றால், Z மையமாக இருக்கும் மற்றும் G இன் இந்த தானியங்கி உருமாற்றங்கள் பின்வரும் இயக்கிகளால் V இல் செயல்படுத்தப்படுகின்றனஃ இது பின்வருவனவாகும், அங்கு μ என்பது T இல் உள்ளது. நேரடி கணக்கீடு என்பது தீட்டா செயல்பாடுகளுக்கான காஸ்ஸ் கூட்டுத்தொகை உருமாற்ற விதிகளால் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது என்பதைக் காட்டுகிறது. உருமாற்றக் குழு குழுவாக வரையறுக்கப்பட்டது. ஒத்திசைவான நிலை H இன் ஹோலோமார்பிக் வரைபடத்தை L2 (R) திருப்திகரமாக வரையறுக்கிறது. இது உண்மையில் ஒவ்வொரு சோபோலேவ் இடத்திலும் ஒரு ஹோலோமார்பிக் வரைபடமாகும். மறுபுறம், (உண்மையில் H-1 இல்) SL (2, Z) இன் கீழ் மாறாத விநியோகங்களின் வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண இடைவெளி உள்ளது மற்றும் A = Z/NZ இல் உள்ள N-பரிமாண ஊசலாட்ட பிரதிநிதித்துவத்திற்கு ஐசோமார்பிக் உள்ளது. உண்மையில் m> 0 ஐ வைத்து, N = 2m ஐ அமைக்கவும். இயக்கிகள் U (x), V (y) M இல் x மற்றும் y உடன் அனைத்து பயணத்தையும் செய்யட்டும் மற்றும் M1 இல் b உடன் விநியோகங்களால் உருவாக்கப்பட்ட நிலையான திசையன்களின் வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண துணை இடத்தைக் கொண்டிருக்கட்டும், அங்கு χb ஐ வரையறுக்கும் கூட்டுத்தொகை M1/M இல் b இன் வகுப்பை மட்டுமே சார்ந்துள்ளது. மறுபுறம், M1 இல் x, y உடன் U (x) மற்றும் V (y) ஆபரேட்டர்கள் M க்கான அனைத்து தொடர்புடைய ஆபரேட்டர்களுடனும் பயணிக்கிறார்கள். எனவே குழு A = M1 V0 இல் செயல்படுகிறது. இந்த செயலை A உடன் தொடர்புடைய N-பரிமாண ஊசலாட்ட பிரதிநிதித்துவத்திற்கான V இல் உள்ள செயலுடன் உடனடியாக அடையாளம் காணலாம், ஏனெனில் இயக்கிகள் π (R) மற்றும் π (S) M மற்றும் M1 உடன் தொடர்புடைய U மற்றும் V இயக்கிகளின் இரண்டு தொகுப்புகளை இயல்பாக்குவதால், அவை V0 ஐ மாறாமல் விட்டுவிடுகின்றன, மேலும் V0 இல் A இன் ஊசலாட்ட பிரதிநிதித்துவத்துடன் தொடர்புடைய இயக்கிகளின் நிலையான பெருக்கிகளாக இருக்க வேண்டும். உண்மையில் அவை ஒத்துப் போகின்றன. R இலிருந்து இது வரையறைகளிலிருந்து உடனடி ஆகும், இது S ஐப் பொறுத்தவரை இது பாய்சான் கூட்டுத்தொகை சூத்திரம் மற்றும் U) x) மற்றும் V (y) ஆபரேட்டர்களுடன் பரிமாற்ற பண்புகள் ஆகியவற்றிலிருந்து பின்பற்றுகிறது என்பதைக் காட்டுகிறது. பாய்சான் கூட்டுத்தொகை பின்வருமாறு பாரம்பரியமாக நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. a> 0 மற்றும் f ஐப் பொறுத்தவரை, F என்பது கால a உடன் R இல் ஒரு மென்மையான செயல்பாடாகும்ஃ ஃபோரியர் தொடரின் கோட்பாடு முற்றிலும் ஒருங்கிணைந்த மற்றும் ஃபோரியர் குணகங்களின் கூட்டுத்தொகையுடன் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது என்பதைக் காட்டுகிறது எனவே வழக்கமான பாய்சான் கூட்டுத்தொகை சூத்திரம். இந்த சூத்திரம் S பின்வருமாறு செயல்படுகிறது என்பதைக் காட்டுகிறது, எனவே A இல் உள்ள ஊசலாட்ட பிரதிநிதித்துவத்திற்கான சூத்திரத்துடன் சரியாக உடன்படுகிறது. A ஐ Z/2mZ உடன் அடையாளம் கண்டு, ஒரு முழு எண் n மாடுலோ 2m க்கு ஒதுக்கப்பட்டுள்ள நிலையில், தீட்டா செயல்பாடுகளை மேட்ரிக்ஸ் குணகங்களாக நேரடியாக வரையறுக்கலாம்ஃ H இல் τ மற்றும் C தொகுப்பில் z க்கு |q | <1. தீட்டா செயல்பாடுகள் ஜாகோபி-ரீமன் தீட்டா செயல்பாடுகளுக்கான நிலையான கிளாசிக்கல் சூத்திரங்களுடன் உடன்படுகின்றனஃ வரையறையின்படி அவை H × C இல் ஹோலோமார்பிக் செயல்பாடுகளை வரையறுக்கின்றன. fτ செயல்பாட்டின் கோவேரியன்ஸ் பண்புகள் மற்றும் விநியோகம் உடனடியாக பின்வரும் மாற்ற விதிகளுக்கு வழிவகுக்கிறதுஃ இருபடி பரஸ்பர சட்டத்தின் வழித்தோன்றல் ஏனெனில் L2 (R) இல் உள்ள ஆபரேட்டர்கள் π (S), π (R) மற்றும் π (J) ஆகியவை V0 இல் உள்ள தொடர்புடைய ஆபரேட்டர்களுக்கு m இன் எந்த தேர்வுக்கும் கட்டுப்படுத்தப்படுவதால், m = 1 ஐ எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம் கோசைக்கிள்களின் அறிகுறிகளை தீர்மானிக்க முடியும். இந்த வழக்கில் பிரதிநிதித்துவம் இரு பரிமாணமாகும் மற்றும் L2 (R) இல் உள்ள உறவை நேரடியாக V0 இல் சரிபார்க்கலாம். ஆனால் இந்த விஷயத்தில் இருபுறமும் தரை நிலை வெளி-x2/2 ஐப் பயன்படுத்துவதன் மூலமும் உறவை நேரடியாக சரிபார்க்கலாம். இதன் விளைவாக, m ≤ 1 க்கு காஸ் கூட்டுத்தொகையை மதிப்பீடு செய்ய முடியும்ஃ m ஒற்றைப்படை என்றால், வரையறுக்கவும் m ஒற்றைப்படை என்றால், பின்னர், முந்தைய கூட்டுத்தொகையை இரண்டு பகுதிகளாகப் பிரித்து, m என்பது 1 மட்டு 4 க்கு ஒத்ததாகவும், இல்லையெனில் i m1/2 க்கு சமமாகவும் இருந்தால் G (1, m) என்பது m1/2 க்கு சமம். p ஒரு ஒற்றைப்படை பகா எண் மற்றும் c ஐ p ஆல் வகுக்க முடியாவிட்டால், c ஒரு சதுர முறை p ஆக இருந்தால் லெஜெண்டர் சின்னம் 1 க்கு சமம் மற்றும்-1 இல்லையெனில் இது குறிக்கிறது. மேலும், p மற்றும் q தனித்துவமான ஒற்றைப்படை பகா எண்களாக இருந்தால், G (1, p) மற்றும் இந்த உறவுக்கான சூத்திரத்திலிருந்து, இருபடி பரஸ்பர விதியின் விதி பின்வருமாறுஃ உயர் பரிமாணங்களில் கோட்பாடு ஊசலாட்ட பிரதிநிதித்துவத்தின் கோட்பாட்டை SL (2, R) குழுவுடன் R முதல் Rn வரை நீட்டிக்க முடியும், அதற்கு பதிலாக சிம்ப்ளெக்டிக் குழு Sp (2n, R). ஒரு பரிமாண வழக்கில் இருந்து நேரடியான பொதுமைப்படுத்தல்கள் மூலம் அல்லது n-பரிமாண வழக்கு என்பது n ஒரு பரிமாண நிகழ்வுகளின் டென்சர் தயாரிப்பு என்ற உண்மையைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் முடிவுகளை நிரூபிக்க முடியும், இது சிதைவை பிரதிபலிக்கிறதுஃ L2 (Rn) இன் அடர்த்தியான துணை இடமான Rn இல் ஷ்வார்ட்ஸ் செயல்பாடுகளின் இடமாக இருக்கட்டும். rn இல் உள்ள s, t க்கு, U (s) மற்றும் V (t) ஆன் மற்றும் L2 (R) ஐ வரையறுக்கவும் வரையறையிலிருந்து U மற்றும் V வேய்ல் பரிமாற்ற உறவை பூர்த்தி செய்கின்றன இதற்கு முன்பு இது ஷ்ரோடிங்கர் பிரதிநிதித்துவம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஃபோரியர் உருமாற்றம் ஃபோரியர் தலைகீழ் சூத்திரத்தால் வரையறுக்கப்படுகிறது, ஃபோரியர் உருமாற்றம் என்பது L2 (Rn) இன் யூனிட்டரி மேப்பிங் (பிளான்செரலின் தேற்றம்) வரை விரிவடையும் ஒரு ஐசோமார்பிசம் என்பதைக் காட்டுகிறது. ஸ்டோன்-வான் நியூமன் தேற்றம் ஷ்ரோடிங்கர் பிரதிநிதித்துவம் பகுக்கமுடியாதது மற்றும் பரிமாற்ற உறவுகளின் தனித்துவமான பகுக்கமுடியாத பிரதிநிதித்துவம் என்று வலியுறுத்துகிறதுஃ வேறு எந்த பிரதிநிதித்துவமும் இந்த பிரதிநிதித்துவத்தின் நகல்களின் நேரடி கூட்டுத்தொகையாகும். U மற்றும் V வேய்ல் பரிமாற்ற உறவுகளை திருப்திப்படுத்தினால், வரையறுக்கவும் பின்னர் W என்பது R2n இன் ஒரு திட்டவட்டமான ஒற்றையாட்சி பிரதிநிதித்துவத்தை வரையறுக்கிறது, இதில் கொடுக்கப்பட்ட கோசைக்கிள் மற்றும் B என்பது R2n இல் கொடுக்கப்பட்ட சிம்ப்ளெக்டிக் வடிவமாகும். ஸ்டோன்-வான் நியூமன் தேற்றத்திலிருந்து பின்வருமாறு, அத்தகைய ஒவ்வொரு g க்கும் L2 (R) இல் ஒரு யூனிட்டரி π (g) உள்ளது, இது கோவேரியன்ஸ் உறவை திருப்திப்படுத்துகிறது. பிரதிநிதிகளை π (g) க்கு தேர்வு செய்யலாம், இது ஒரு அடையாளம் வரை தனித்துவமானது, இது Sp (2n, R) இன் ப்ரொஜெக்டிவ் பிரதிநிதித்துவத்திற்கான 2-சுழற்சி ±1 மதிப்புகளை எடுக்கும் என்பதைக் காட்டுகிறது. உண்மையில் Sp (n, R) குழுவின் கூறுகள் 2n × 2n உண்மையான மேட்ரிக்ஸ்கள் g திருப்திகரமாக வழங்கப்படுகின்றன, அங்கு Sp (2n, R) வடிவத்தின் மேட்ரிக்ஸ்களால் உருவாக்கப்படுகிறது மற்றும் ஆபரேட்டர்கள் மேலே உள்ள கோவேரியன்ஸ் உறவுகளை திருப்திப்படுத்துகிறார்கள். இது மெட்டாப்லெக்டிக் குழுவின் ஒரு சாதாரண ஒற்றையாட்சி பிரதிநிதித்துவத்தை வழங்குகிறது, இது Sp (2n, R) இன் இரட்டை மறைப்பாகும். உண்மையில், Sp (n, R) என்பது பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட சீகல் மேல் அரை தளமான Hn இல் மோபியஸ் உருமாற்றங்களால் செயல்படுகிறது, இதில் சமச்சீர் சிக்கலான n × n மேட்ரிக்ஸ்கள் Z கண்டிப்பாக கற்பனையான பகுதியைக் கொண்டுள்ளது. g என்பது Mp (2n, R) இல் இருந்தால், பின்னர் மெட்டாப்லெக்டிக் குழுவின் ஒரு சாதாரண யூனிட்டரி பிரதிநிதித்துவத்தை வரையறுக்கிறது, இதிலிருந்து Sp (2n, R) இல் உள்ள கோசைக்கிள் ±1 மதிப்புகளை மட்டுமே எடுக்கும். ஹோலோமார்பிக் ஃபாக் ஸ்பேஸ் என்பது Cn இல் உள்ள ஹோலோமார்பிக் செயல்பாடுகளின் f (z) இன் ஹில்பர்ட் இடமாகும், இது வரையறுக்கப்பட்ட நெறிமுறை உள் தயாரிப்பு மற்றும் α ஒரு மல்டினாமியலுக்கான ஆர்த்தோனார்மல் அடிப்படையாகும். Cn இல் உள்ள f மற்றும் z க்கு, ஆபரேட்டர்கள் வேய்ல் பரிமாற்ற உறவுகளின் பகுக்கமுடியாத ஒற்றையாட்சி பிரதிநிதித்துவத்தை வரையறுக்கிறார்கள். ஸ்டோன்-வான் நியூமன் தேற்றத்தின் படி, L2 (Rn) இலிருந்து இரண்டு பிரதிநிதித்துவங்களையும் பின்னிப் பிணைக்கும் ஒரு யூனிட்டரி ஆபரேட்டர் உள்ளது. இது பார்க்மேன் உருமாற்றத்தால் வழங்கப்படுகிறது, அங்கு அதன் இணைப்பு சூத்திரத்தால் வழங்கப்படுகிறதுஃ சோபோலேவ் இடைவெளிகள், மென்மையான மற்றும் பகுப்பாய்வு திசையன்களை ஒரு பரிமாண வழக்கில் ஹார்மோனிக் ஆஸிலேட்டரின் n பிரதிகளின் கூட்டுத்தொகையைப் பயன்படுத்தி வரையறுக்கலாம். சிம்ப்லெக்டிக் குழுவின் சிக்கலாக்கம் sp (2n, C) அதே உறவால் வரையறுக்கப்படுகிறது, ஆனால் மேட்ரிக்ஸ்கள் A, B, C மற்றும் D சிக்கலானதாக இருக்க அனுமதிக்கிறது. சீகல் மேல் பாதி தளத்தை தன்னுக்குள் கொண்டு செல்லும் குழு கூறுகளின் துணைக்குழு இயற்கையான இரட்டை மறைப்பைக் கொண்டுள்ளது. L2 (Rn) இல் Mp (2n, R) இன் பிரதிநிதித்துவங்கள் மற்றும் கர்னல்களால் வரையறுக்கப்பட்ட சுருக்க ஆபரேட்டர்களால் இந்த அரைக்குழுவின் பிரதிநிதித்துவத்திற்கு இயற்கையாகவே விரிவடைகிறது, இது ஒரு பரிமாண வழக்கை பொதுமைப்படுத்துகிறது (தேவைப்படும் இடங்களில் தீர்மானிப்பவர்களை எடுத்துக்கொள்வது). ஒத்திசைவான நிலைகளில் Mp (2n, R) இன் செயல்பாடு இந்த பெரிய அரைக்குழுவில் உள்ள ஆபரேட்டர்களுக்கு சமமாக பொருந்தும். 1 பரிமாண வழக்கில், குழு எஸ். எல் (2, ஆர்) கெய்லி உருமாற்றத்தின் மூலம் ஒரு எதிர் எஸ்யூ (1,1) ஐக் கொண்டிருக்கும்போது, மேல் பாதி தளம் அலகு வட்டால் மாற்றப்படுகிறது, சிம்ப்லெக்டிக் குழு ஒரு சிக்கலான எதிர்ப்பாளரைக் கொண்டுள்ளது. உண்மையில், C என்பது யூனிட்டரி மேட்ரிக்ஸ் என்றால், C Sp (2n) C−1 என்பது அனைத்து மேட்ரிக்ஸின் குழுவாகும் அல்லது அதற்கு சமமான இடத்தில் சீகல் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட வட்டு Dn சிக்கலான சமச்சீர் n x n மேட்ரிக்ஸ் W இன் தொகுப்பாக வரையறுக்கப்படுகிறது, இது ஆபரேட்டர் நெறிமுறை 1 க்கும் குறைவாக உள்ளது. இது சீகல் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட மேல் பாதி தளத்தில் உள்ள Z புள்ளிகளின் கெய்லி உருமாற்றங்களை துல்லியமாகக் கொண்டுள்ளதுஃ கூறுகள் g டிஎன் மீது செயல்படுகின்றன, மேலும் ஒரு பரிமாண விஷயத்தில் இந்த செயல் இடைநிலை. 0 இன் நிலைப்படுத்தல் துணைக்குழு A யூனிட்டரி மற்றும் B = 0 கொண்ட மேட்ரிக்ஸ்களைக் கொண்டுள்ளது. Dn இல் உள்ள W க்கு ஹோலோமார்பிக் ஃபாக் இடத்தில் உள்ள மெட்டாப்லெக்டிக் ஒத்திசைவான நிலைகள் வரையறுக்கப்படுகின்றன அத்தகைய இரண்டு நிலைகளின் உள் பெருக்கல் மூலம் வழங்கப்படுகிறது மேலும், மெட்டாப்லெக்டிக் பிரதிநிதித்துவம் π திருப்திப்படுத்துகிறது இந்த நிலைகளின் மூடிய நேரியல் இடைவெளி ஹோலோமார்பிக் ஃபாக் இடத்தின் சமமான பகுதியை வழங்குகிறது. Sp (2n) ஐ Sp (2 (n + 1)) இல் உட்பொதிப்பதும் இணக்கமான அடையாளமும் ஒட்டுமொத்த செயல்பாட்டிற்கும் வழிவகுக்கிறது. இது ஆபரேட்டர்கள் W (z) இன் செயல்பாட்டுடன் இணக்கமானது என்பதை நேரடியாக சரிபார்க்கலாம். சிக்கலான அரைகுறை ஷிலோவ் எல்லையாக சிம்ப்லெக்டிக் குழுவைக் கொண்டிருப்பதால், இந்த பிரதிநிதித்துவம் அரைகுறைக்கு நன்கு வரையறுக்கப்பட்ட ஒப்பந்த நீட்டிப்பைக் கொண்டுள்ளது என்பது அதிகபட்ச மாடுலஸ் கொள்கையிலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது மற்றும் அரைகுறை ஆபரேட்டர்கள் அருகிலுள்ளவற்றின் கீழ் மூடப்பட்டிருக்கும் உண்மை. உண்மையில், அத்தகைய இரண்டு இயக்கிகள் S, T மற்றும் திசையன்கள் vi ஆகியவை மெட்டாப்லெக்டிக் ஒத்திசைவான நிலைகளுக்கு விகிதாசாரமாக இருப்பதை சரிபார்க்க போதுமானது, ஏனெனில் தொகை S மற்றும் T ஐ ஹோலோமார்பிக்கலாக சார்ந்துள்ளது, அவை எல்லையில் ஒற்றையாக உள்ளன. டோப்ளிட்ஸ் இயக்கிகளுக்கான குறியீட்டு கோட்பாடுகள் S என்பது Cn இல் உள்ள அலகு கோளத்தைக் குறிக்கட்டும் மற்றும் ஹார்டி இடைவெளி H2 (S) ஐ z1,., zn ஆயத்தொகுப்புகளில் உள்ள பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் கட்டுப்பாட்டின் L2 (S) இல் மூடுவதாக வரையறுக்கலாம். பி என்பது ஹார்டி இடத்தில் உள்ள திட்டமாக இருக்கட்டும். m (f) என்பது S இல் f என்ற தொடர்ச்சியான சார்பால் பெருக்கப்படுவதைக் குறிக்கிறது என்றால், கம்யூட்டேட்டர் [P, m (f)] கச்சிதமானது என்று அறியப்படுகிறது. இதன் விளைவாக, ஹார்டி இடத்தின் மூலம் டோப்ளிட்ஸ் இயக்கியை வரையறுத்தால், டி (எஃப்ஜி)-டி (எஃப்) டி (ஜி) தொடர்ச்சியான எஃப் மற்றும் ஜி க்கு கச்சிதமானது. எஃப் மற்றும் ஜி மேட்ரிக்ஸ் மதிப்புள்ள செயல்பாடுகளாக இருந்தால் (அதனுடன் தொடர்புடைய டோப்ளிட்ஸ் இயக்கிகள் எச் 2 (எஸ்) இல் உள்ள இயக்கிகளின் மேட்ரிக்ஸ்கள்). குறிப்பாக f என்பது S இல் தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸில் மதிப்புகளை எடுக்கும் ஒரு செயல்பாடாக இருந்தால், அவை கச்சிதமானவை, எனவே T (f) என்பது ஒரு ஃப்ரெட்ஹோம் ஆபரேட்டர் ஆகும், இது ஒரு குறியீட்டைக் கொண்டு வரையறுக்கப்படுகிறது. இந்த குறியீட்டு தேற்றத்தை நிறுவ ஒரு பகுப்பாய்வு வழியைக் கொடுத்தது, பின்னர் ஹோவ் மூலம் எளிமைப்படுத்தப்பட்டது. அவற்றின் ஆதாரம் f மென்மையாக இருந்தால், குறியீடு மெக்கீன் மற்றும் சிங்கர் சூத்திரத்தால் வழங்கப்படுகிறதுஃ டோப்ளிட்ஸ் ஆபரேட்டர்களை ஆபரேட்டர்கள் மீது சுமந்து செல்லும் H2 (S) மற்றும் L2 (Rn) இடையே ஒரு இயற்கையான யூனிட்டரி ஐசோமார்பிசம் இருப்பதை கவனித்தேன். மெக்கீன்-சிங்கர் சூத்திரத்தில் உள்ள தடயங்களை வேய்ல் கால்குலஸைப் பயன்படுத்தி நேரடியாகக் கணக்கிட முடியும், இது குறியீட்டு தேற்றத்தின் மற்றொரு ஆதாரத்திற்கு வழிவகுக்கிறது. குறியீட்டு கோட்பாடுகளை நிரூபிக்கும் இந்த முறை அலைன் கோன்ஸ் என்பவரால் சுழற்சி கோஹோமோலஜியின் கட்டமைப்பிற்குள் பொதுமைப்படுத்தப்பட்டது. எல்லையற்ற பரிமாணங்களில் உள்ள கோட்பாடு எல்லையற்ற பரிமாணங்களில் ஊசலாட்ட பிரதிநிதித்துவத்தின் கோட்பாடு இர்விங் செகல் மற்றும் டேவிட் ஷேல் ஆகியோரின் காரணமாகும். லூப் குழுக்களின் ப்ரொஜெக்டிவ் பிரதிநிதித்துவங்கள் மற்றும் வட்டத்தின் டிஃபியோமார்பிசம்களின் குழுவின் கணித ரீதியாக கடுமையான கட்டமைப்பை வழங்க கிரேம் செகல் இதைப் பயன்படுத்தினார். ஒரு எல்லையற்ற மட்டத்தில் லை ஆல்ஜிப்ராக்களின் பிரதிநிதித்துவங்களின் கட்டுமானம், இந்த விஷயத்தில் அஃபைன் காக்-மூடி அல்ஜிப்ரா மற்றும் விராஸோரோ அல்ஜிப்ரா, ஏற்கனவே இயற்பியலாளர்களுக்கு இரட்டை அதிர்வு கோட்பாடு மற்றும் பிற்கால சரம் கோட்பாடு மூலம் அறியப்பட்டது. வட்டத்தின் மென்மையான வரைபடங்களின் வளையக் குழு LU (1) ஐ U (1) = T ஆக உள்ளடக்கிய எளிய வழக்கு மட்டுமே இங்கு பரிசீலிக்கப்படும். நெரெடின் மற்றும் செகல் ஆகியோரால் சுயாதீனமாக உருவாக்கப்பட்ட ஊசலாட்ட அரைகுறை, அலகு வட்டத்தின் சமநிலையற்ற ஹோலோமார்பிக் வரைபடங்களின் அரைகுறைக்கு சுருக்க ஆபரேட்டர்களை வரையறுக்க அனுமதிக்கிறது, இது வட்டத்தின் டிப்ஃபோமார்பிசம்களுடன் தொடர்புடைய ஒற்றையாட்சி ஆபரேட்டர்களை விரிவுபடுத்துகிறது. டிஃபியோமார்பிசம் குழுவின் துணைக்குழுவிற்கு (1,1) பயன்படுத்தப்படும்போது, இது எல் 2 (ஆர்) இல் ஊசலாட்ட பிரதிநிதித்துவத்தின் பொதுமைப்படுத்தலையும், ஓல்ஷான்ஸ்கி அரைக்குழுவிற்கு அதன் விரிவாக்கத்தையும் வழங்குகிறது. ஃபாக் இடத்தில் பரிமாற்றத்தின் பிரதிநிதித்துவம் Cn (அல்லது அதன் இரட்டை இடைவெளி) ஐ ஒரு தன்னிச்சையான சிக்கலான ஹில்பர்ட் இடைவெளி H ஆல் மாற்றுவதன் மூலம் எல்லையற்ற பரிமாணங்களுக்கு பொதுமைப்படுத்தப்படுகிறது. Sk (H) என்பது Sk இன் நிலையான புள்ளி துணைவெளியாக வரையறுக்கப்படுகிறது மற்றும் சமச்சீர் இயற்கணிதம் இயற்கணித நேரடி கூட்டுத்தொகையாகும் இது H′k இலிருந்து பெறப்பட்ட இயற்கையான உள் பெருக்கலைக் கொண்டுள்ளதுஃ Sk (H) கூறுகளை பரஸ்பர ஆர்த்தோகனலாக எடுத்துக் கொண்டால், சமச்சீர் ஃபாக் இடைவெளி S (H) இந்த நேரடி கூட்டுத்தொகையின் ஹில்பர்ட் இடைவெளி நிறைவு என்று வரையறுக்கப்படுகிறது. இது பின்வருமாறுஃ அவற்றின் நேரியல் இடைவெளி S (H) இல் அடர்த்தியானது, n தனித்துவமான திசையன்களுடன் தொடர்புடைய ஒத்திசைவான நிலைகள் நேரியல் ரீதியாக சுயாதீனமானவை மற்றும் H வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாணமாக இருக்கும்போது, S (H) இயற்கையாகவே H * க்கான ஹோலோமார்பிக் ஃபாக் இடத்துடன் அடையாளம் காணப்படலாம், ஏனெனில் நிலையான வழியில் Sk (H) என்பது H * இல் டிகிரி k இன் ஒரே மாதிரியான பல்லுறுப்புக்கோவைகள் மற்றும் உள் தயாரிப்புகள் பொருந்துகின்றன. மேலும், எஸ் (எச்) செயல்பாட்டு பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது. மிக முக்கியமாக, S0 (Hi) இல் உள்ள குறிப்பு அலகு திசையன் 1 உடன் எல்லையற்ற டென்சர் பெருக்கல் பற்றிய வான் நியூமனின் வரையறையைப் பயன்படுத்தி, வரையறுக்கப்பட்ட ஆர்த்தோகனல் நேரடி தொகைகளுக்கு இதேபோன்ற முடிவு உள்ளது மற்றும் எல்லையற்ற ஆர்த்தோகனல் நேரடி தொகைகளுக்கு விரிவடைகிறது. ஹில்பர்ட் இடைவெளிகள் இடையே எந்த சுருக்க ஆபரேட்டர் ஒரு செயல்பாட்டு வழியில் தொடர்புடைய சமச்சீர் ஃபாக் இடைவெளிகள் இடையே ஒரு சுருக்க ஆபரேட்டர் தூண்டுகிறது. S (H) இல் ஒரு யூனிட்டரி ஆபரேட்டர் தனித்துவமாக ஒத்திசைவான நிலைகளில் மதிப்புகள் மூலம் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. மேலும், S (H) இல் ஒரு தனித்துவமான யூனிட்டரி ஆபரேட்டர் U இருக்கும் வகையில், வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண விஷயத்தில், இது யூனிட்டரி ஆபரேட்டர்கள் W (x) ஐ H இல் x க்கு வரையறுக்க அனுமதிக்கிறதுஃ வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண வழக்கில் இருந்து உடனடியாக இந்த ஆபரேட்டர்கள் யூனிட்டரி மற்றும் திருப்தி அடைகிறார்கள். இந்த இடைவெளிகள் ஒவ்வொன்றிலும் W இன் பகுக்கமுடியாத தன்மை என்பது S (H) முழுவதிலும் W இன் பகுக்கமுடியாத தன்மையைக் குறிக்கிறது. W என்பது சிக்கலான அலை பிரதிநிதித்துவம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. சிம்ப்லெக்டிக் குழுவை எல்லையற்ற பரிமாணங்களில் வரையறுக்க HR என்பது சிம்ப்லெக்டிக் வடிவம் மற்றும் உண்மையான உள் விளைபொருளுடன் H இன் அடிப்படை உண்மையான திசையன் இடமாக இருக்கட்டும் சிக்கலான அமைப்பு பின்னர் ஆர்த்தோகனல் ஆபரேட்டரால் வரையறுக்கப்படுகிறது, இதனால் HR இல் ஒரு வரம்புக்குட்பட்ட தலைகீழ் ஆபரேட்டர் உண்மையான நேரியல் ஆபரேட்டர் T சிம்ப்லெக்டிக் குழுவில் உள்ளது, அது மற்றும் அதன் தலைகீழ் பாதுகாக்கிறது B. இது நிபந்தனைகளுக்கு சமமானதுஃ செயல்படுத்தக்கூடிய இயக்கிகள் சிம்ப்லெக்டிக் குழுவின் ஒரு துணைக்குழுவை உருவாக்கும் வகையில் ஒரு யூனிட்டரி π (T) இருந்தால் ஆபரேட்டர் T ஐ S (H) இல் செயல்படுத்த முடியும் என்று கூறப்படுகிறது, இது கட்டுப்படுத்தப்பட்ட சிம்ப்லெக்டிக் குழுவாகும். ஷூரின் லெம்மாவால், π (T) தனித்துவமாக T இல் ஒரு அளவிடுதல் வரை தீர்மானிக்கப்படுகிறது, எனவே π இந்த துணைக்குழுவின் ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் யூனிட்டரி பிரதிநிதித்துவத்தை அளிக்கிறது. செகல்-ஷேல் அளவு அளவுகோல் டி செயல்படுத்தக்கூடியது என்று கூறுகிறது, அதாவது. கம்யூட்டேட்டர் டிஜே-ஜேடி ஒரு ஹில்பர்ட்-ஷ்மிட் ஆபரேட்டராக இருந்தால் மட்டுமே இது கட்டுப்படுத்தப்பட்ட சிம்ப்லெக்டிக் குழுவில் உள்ளது. வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண வழக்கைப் போலல்லாமல், ஒரு லிஃப்டிங் π ஐத் தேர்ந்தெடுக்க முடியும், இதனால் அது ஒரு அடையாளம் வரை பெருக்கப்படும், இது எல்லையற்ற பரிமாண வழக்கில் சாத்தியமில்லை. (கீழே கட்டப்பட்ட வட்டத்தின் டிஃபியோமார்பிசம் குழுவின் ப்ரொஜெக்டிவ் பிரதிநிதித்துவத்தின் உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி இதை நேரடியாகக் காணலாம்.) வரையறுக்கப்பட்ட சிம்ப்லெக்டிக் குழுவின் திட்டவட்டமான பிரதிநிதித்துவம் வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண விஷயத்தில் உள்ளதைப் போல ஒத்திசைவான நிலைகளில் நேரடியாக கட்டமைக்கப்படலாம். உண்மையில், H இன் உண்மையான ஹில்பர்ட் சப்ஸ்பேஸைத் தேர்ந்தெடுப்பது, அதில் H ஒரு சிக்கலானது, H இல் உள்ள எந்தவொரு ஆபரேட்டர் T க்கும் T இன் சிக்கலான இணைப்பும் வரையறுக்கப்படுகிறது. பின்னர் எஸ்யூ (1,1) இன் எல்லையற்ற பரிமாண அனலாக் gKg * = K ஐ திருப்திப்படுத்தும் தலைகீழ் வரம்புக்குட்பட்ட ஆபரேட்டர்களைக் கொண்டுள்ளது (அல்லது வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண வழக்கில் உள்ள அதே உறவுகளுக்கு சமம்). பி ஒரு ஹில்பர்ட்-ஷ்மிட் ஆபரேட்டராக இருந்தால் மட்டுமே இவை கட்டுப்படுத்தப்பட்ட சிம்ப்லெக்டிக் குழுவிற்கு சொந்தமானவை. இந்த குழு ஹில்பர்ட்-ஷ்மிட் ஆபரேட்டர்கள் W ஐக் கொண்ட சீகல் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட யூனிட் டிஸ்க்கின் எல்லையற்ற பரிமாண அனலாக் D ≈ இல் தற்காலிகமாக செயல்படுகிறது, அவை சூத்திரத்தின் மூலம் 1 க்கும் குறைவான ஆபரேட்டர் நெறிமுறையுடன் சமச்சீராக உள்ளன மீண்டும் 0 இன் ஸ்டெபிலைசர் துணைக்குழு A யூனிட்டரி மற்றும் B = 0 உடன் g ஐக் கொண்டுள்ளது. உருமாற்ற ஒத்திசைவான நிலைகள் fW ஐ முன்பு போலவே வரையறுக்கலாம் மற்றும் அவற்றின் உள் பெருக்கல் ஃப்ரெட்ஹோம் தீர்மானிப்பதைப் பயன்படுத்தி அதே சூத்திரத்தால் வழங்கப்படுகிறதுஃ அலகு திசையன்களை வரையறுத்து, அங்கு அமைக்கவும் μ (ζ) = ζ/|ζ |. முன்பு போலவே இது ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் பிரதிநிதித்துவத்தை வரையறுக்கிறது மற்றும், g3 = g1g2 என்றால், கோசைக்கிள் வழங்கப்படுகிறது இந்த பிரதிநிதித்துவம் வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண வழக்கில் உள்ள அதே பகுப்பாய்வு தொடர்ச்சியான வாதத்தால் சிக்கலான அரை குழுவிற்கான சுருக்க ஆபரேட்டர்களை வரையறுக்க பகுப்பாய்வு தொடர்ச்சியால் விரிவடைகிறது. அவை கடுமையான சுருக்கங்கள் என்பதையும் காட்டலாம். எடுத்துக்காட்டு HR என்பது சராசரி 0 உடன் வட்டத்தில் உண்மையான மதிப்புள்ள செயல்பாடுகளைக் கொண்ட உண்மையான ஹில்பர்ட் இடமாக இருக்கட்டும், அதற்காக உள் பெருக்கல் ஒரு ஆர்த்தோகனல் அடிப்படையால் வழங்கப்படுகிறது n> 0 க்கு sin (nθ) மற்றும் cos (nθ) செயல்பாட்டால் வழங்கப்படுகிறது. வட்டத்தில் உள்ள ஹில்பர்ட் உருமாற்றம் HR இல் ஒரு சிக்கலான கட்டமைப்பை வரையறுக்கிறது. n = ±1 என்ற குறியீடு n இன் அடையாளத்தைக் குறிக்கும் இடத்திலும் J ஐ எழுதலாம். குறிப்பாக φ என்பது வட்டத்தின் நோக்குநிலை-பாதுகாக்கும் வேறுபாடு மற்றும் பின்னர் Tφ செயல்படுத்தக்கூடியதாக இருந்தால், அதனுடன் தொடர்புடைய சிம்ப்ளெக்டிக் வடிவம் விகிதாசாரமாக இருக்கும். f மென்மையாக உள்ள W (f) இயக்கிகள் வட்டத்தின் டிஃபியோமார்பிசம் குழுவின் கீழ் உள்ள வளையக் குழு LT மாறாத ஒரு துணைக்குழுவுடன் ஒத்திருக்கின்றன. திசையன் புலங்களுடன் தொடர்புடைய எல்லையற்ற இயக்கிகளை வெளிப்படையாக கணக்கிட முடியும். அவை விராஸோரோ உறவுகளை திருப்திப்படுத்துகின்றன குறிப்பாக அவை வலது புறத்தில் உள்ள இரண்டாவது காலத்தை அகற்ற ஸ்கேலார் ஆபரேட்டர்களைச் சேர்ப்பதன் மூலம் சரிசெய்யப்படலாம். கட்டுப்படுத்தப்பட்ட சிம்ப்லெக்டிக் குழுவில் உள்ள கோசைக்கிள் ±1 மதிப்புகளை மட்டுமே எடுத்துக்கொள்வதற்கு சமமானதல்ல என்பதை இது காட்டுகிறது. மெட்டாப்லெக்டிக் குழு மாறுபட்ட குவிந்த கூம்பு குறிப்புகள் குறிப்புகள் ஆபரேட்டர் கோட்பாடு ஹார்மோனிக் பகுப்பாய்வு பிரதிநிதித்துவ கோட்பாடு குவாண்டம் மெக்கானிக்ஸ் தீட்டா செயல்பாடுகளைப் பார்க்கவும்