Exterior space
கணிதத்தில், ஒரு இடவியல் இடைவெளி X இல் வெளிப்புறவியல் என்ற கருத்து குடும்பத்தின் அடிப்படை பண்புகளை பொதுமைப்படுத்துகிறது εXCC = {E′X: X\E என்பது X இன் மூடிய சிறிய துணை இடங்களின் நிரப்புகளின் X} இன் மூடிய சிறிய துணைக்குழுவாகும், அவை அதன் அலெக்ஸாண்ட்ராஃப் சுருக்கத்தை உருவாக்க பயன்படுகின்றன. ஒரு வெளிப்புறவியல், இறுதிப் புள்ளியின் கருத்தை அறிமுகப்படுத்த அனுமதிக்கிறது, இறுதிப் புள்ளிகளுக்கு ஒன்றிணைவதன் அடிப்படையில் வலைகளின் வேறுபாட்டைப் படிக்க அனுமதிக்கிறது, மேலும் இது சுருக்கமற்ற இடவியல் இடைவெளிகளின் சில குடும்பங்களின் ஆய்வு மற்றும் வகைப்பாட்டிற்கு ஒரு பயனுள்ள கருவியாகும். இது ஒரு இடவியல் இடத்தை மற்ற இடவியல் இடங்களின் வரம்பாக அணுகவும் பயன்படுத்தப்படலாம்ஃ ஒரு ஹில்பர்ட் இடத்தில் உட்பொதிக்கப்பட்ட ஒரு சிறிய மெட்ரிக் இடத்தை அதன் திறந்த சுற்றுப்புறங்களால் அணுகும்போது வெளிப்புறங்கள் மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும். வரையறை (X, τ) ஒரு இடவியல் இடமாக இருக்கட்டும். (X, τ) இல் ஒரு வெளிப்புறவியல் என்பது திறந்த துணைக்குழுக்களின் வெற்றிடமற்ற தொகுப்பாகும், இது திருப்தி அளிக்கிறதுஃ E1, E2 ω ε என்றால், பின்னர் E1 ω E2 ω ε; E ω ε, U ω τ மற்றும் E ω U என்றால், பின்னர் U ω ε. ஒரு வெளிப்புற இடைவெளி (X, τ, ε) ஒரு இடவியல் இடைவெளி (X, τ) உடன் ஒரு வெளிப்புறவியல் ε ஐக் கொண்டுள்ளது. ε இல் உள்ள ஒரு திறந்த E ஒரு வெளிப்புற-திறந்த துணைக்குழு என்று கூறப்படுகிறது. ஒரு வரைபடம் f: (X, τ, ε) → (X ', τ', ε ') அது தொடர்ச்சியாக இருந்தால் ஒரு வெளிப்புற வரைபடமாகவும், f − 1 (E) Π ε, அனைத்து E up ε' க்கும் என்றும் கூறப்படுகிறது. வெளிப்புற இடைவெளிகள் மற்றும் வெளிப்புற வரைபடங்களின் வகை E ஆல் குறிக்கப்படும். வெளிப்புற இடைவெளிகளின் சில எடுத்துக்காட்டுகள் ஒரு இடத்திற்கு (X, τ) ஒருவர் எப்போதும் அற்பமான வெளிப்புறவியல் εtr = {X} ஐக் கருத்தில் கொள்ளலாம், மறுபுறம், மொத்த வெளிப்புறவியல் εtot = τ. ஒரு வெளிப்புறவியல் ε என்பது ஒரு இடவியல் என்பதைக் கவனியுங்கள், வெற்று தொகுப்பு ε இன் உறுப்பினராக இருந்தால் மட்டுமே, ε = τ என்றால் மட்டுமே. ஒரு இடைவெளி (X, τ) கொடுக்கப்பட்டால், X இன் மூடிய சிறிய துணைக்குழுக்களின் நிரப்புகளின் வெளிப்புறவியல் εXCC சரியான வரைபடங்களின் கோட்பாட்டுடன் ஒரு தொடர்பை அனுமதிக்கிறது. ஒரு இடைவெளி (X, τ) மற்றும் ஒரு துணைக்குழு A′X கொடுக்கப்பட்டால், குடும்பம் ε (X, A) = {U′X: A′U, U′τ} என்பது X இல் ஒரு வெளிப்புறவியல் ஆகும். வடிவக் கோட்பாடு மற்றும் இயக்கவியல் அமைப்புகளில் முறையே முக்கியமான பயன்பாடுகளைக் கொண்ட இரண்டு குறிப்பிட்ட நிகழ்வுகள் பின்வருமாறுஃ ஹில்பர்ட் கனசதுரம் X = Q இன் மூடிய துணைவெளியாக A இருந்தால், வெளிப்புறவியல் εA = ε (Q, A) என்பது வடிவக் கோட்பாட்டின் அர்த்தத்தில் A இன் தீர்மானமாகும். எக்ஸ் ஒரு தொடர்ச்சியான இயக்கவியல் அமைப்பாகவும், பி என்பது கால புள்ளிகளின் துணைக்குழுவாகவும் இருக்கட்டும்; வெளிப்புறவியல் ε (எக்ஸ், பி) ஐ நாம் கருத்தில் கொள்ளலாம். மேலும் பொதுவாக, A ஒரு மாறாத துணைக்குழுவாக இருந்தால், வெளிப்புறவியல் ε (X, A) ஓட்டத்தின் இயக்கவியல் பண்புகளைப் படிக்க பயனுள்ளதாக இருக்கும். வெளிப்புற இடைவெளிகளின் பயன்பாடுகள் சரியான ஹோமோடாபி கோட்பாடுஃ Y இன் ஒவ்வொரு மூடிய சிறிய துணைக்குழுவிற்கும், f−1 (K) என்பது X இன் சிறிய துணைக்குழுவாக இருந்தால், இடவியல் இடைவெளிகளுக்கு இடையில் ஒரு தொடர்ச்சியான வரைபடம் சரியானது என்று கூறப்படுகிறது. இடைவெளிகளின் வகை மற்றும் சரியான வரைபடங்கள் பி மூலம் குறிக்கப்படும். இந்த வகை மற்றும் அதனுடன் தொடர்புடைய சரியான ஹோமோடாபி வகை கச்சிதமற்ற இடைவெளிகளின் ஆய்வுக்கு மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும். ஆயினும்கூட, இந்த வகைக்கு போதுமான வரம்புகள் மற்றும் கோலிமிட்கள் இல்லை என்ற சிக்கல் உள்ளது, பின்னர் சுழல்கள், ஹோமோடாபி வரம்புகள் மற்றும் கோலிமிட்கள் போன்ற வழக்கமான ஹோமோடாபி கட்டுமானங்களை நம்மால் உருவாக்க முடியாது. இந்த சிக்கலுக்கான பதில் வெளிப்புற இடைவெளிகளின் வகை E ஆகும், இது குய்லன் மாதிரி கட்டமைப்புகளை ஏற்றுக்கொள்கிறது மற்றும் இடைவெளிகளின் வகை மற்றும் சரியான வரைபடங்களை ஒரு முழு துணைப்பிரிவாகக் கொண்டுள்ளது; அதாவது, முழு மற்றும் விசுவாசமான செயல்பாட்டாளர் P → E உள்ளது, இது வெளிப்புற இடத்திற்கு (X, τ, εXCC) ஒரு இடவியல் இடத்தை (X, τ) கொண்டு செல்கிறது. முறையான எல்எஸ் வகைஃ (கோ) வரம்புகள் இல்லாததால், இந்த சரியான மாறுபாட்டின் கனியா மற்றும் வைட்ஹெட் குணாதிசயங்களைக் கண்டுபிடிப்பதில் உள்ள சிக்கலை சரியான வகைக்குள் எதிர்கொள்ள முடியாது. ஆயினும்கூட, வெளிப்புற இடைவெளிகளின் வகைக்கு இந்த மாறுபாட்டின் நீட்டிப்பு அத்தகைய சிக்கலுக்கு ஒரு தீர்வைக் கண்டுபிடிக்க அனுமதிக்கிறது. இந்த எண் முறையான மாறாதது திறந்த 3-மேனிஃபோல்டுகளின் ஆய்வுக்கு பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது. வடிவக் கோட்பாடுஃ ஹில்பர்ட் கனசதுரத்தில் உட்பொதிக்கப்பட்ட ஒரு சிறிய மெட்ரிக் இடத்தின் திறந்த சுற்றுப்புறங்களால் தீர்மானிக்கப்படும் வெளிப்புற இடத்தின் வெளிப்புற ஹோமோடாபி குழுக்களாக ஒரு சிறிய மெட்ரிக் இடத்தின் பல வடிவ மாறிலிகள் (போர்சுக் குழுக்கள், குவிக்லி உள் மற்றும் நெருங்கும் குழுக்கள்) பெறப்படலாம். தனித்துவமான மற்றும் தொடர்ச்சியான இயக்கவியல் அமைப்புகள் (அரை-ஓட்டங்கள் மற்றும் ஓட்டங்கள்): வெளிப்புற இடத்தை ஒரு இயக்கவியல் அமைப்புடன் தொடர்புபடுத்தும் பல கட்டமைப்புகள் உள்ளன, எடுத்துக்காட்டாகஃ தொடர்ச்சியான (தனித்துவமான) ஓட்டத்தைக் கருத்தில் கொண்டால், திறந்த சுற்றுப்புறங்களால் தூண்டப்பட்ட வெளிப்புற இடைவெளிகளைக் கருத்தில் கொள்ளலாம். (அரை ஓட்டம்) ஓட்டத்தின் இயக்கவியல் பண்புகளை ஆய்வு செய்ய இந்த தொடர்புடைய வெளிப்புற இடைவெளிகளின் கட்டமைப்புகள் மற்றும் பண்புகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. குறிப்புகள் எம். கார்டெனாஸ், எஃப். எஃப். லாஷெராஸ் மற்றும் ஏ. குவின்டெரோ. சரியான எல்எஸ் வகைக்கான கோஹோமோலஜி வகுப்புகளைக் கண்டறிதல். அரை நிலையான 3-மேனிஃபோல்டுகளின் வழக்கு, கணிதம். புரோக். காம்ப். தத்துவம். சொ. (2011). ஏ. டெல் ரியோ, எல். ஜே. ஹெர்னாண்டஸ் மற்றும் எம். டி. ரிவாஸ் ரோட்ரிக்ஸ். இடங்களின் உலகளாவிய கோபுரங்களின் எஸ்-வகைகள் மற்றும் வெளிப்புற இடங்கள், ஆப்பிள். வகை. கட்டமைப்பு., 17 எண். 3, 287-301, (2009). எல். எஸ்பானோல், ஜே. எம். கார்சியா-கால்சின்ஸ், எம். சி. மிங்குஸ். சரியான மற்றும் வெளிப்புற வரிசைமுறையில், ஆப்பிள். வகை. கட்டமைப்பு., 18, இல்லை. 6, 653-668, (2010). ஜே. ஐ. எக்ஸ்ட்ரீமியானா, எல். ஜே. ஹெர்னாண்டஸ் மற்றும் எம். டி. ரிவாஸ். முடிவிலியில் போஸ்ட்னிகோவ் காரணிமயமாக்கல்கள், டோபோல். , 153,370-393, (2005). ஜே. ஐ. எக்ஸ்ட்ரீமியானா, எல். ஜே. ஹெர்னாண்டஸ் மற்றும் எம். டி. ரிவாஸ். வெளிப்புற இடங்களைப் பயன்படுத்தி இயக்கவியல் அமைப்புகளுக்கான அணுகுமுறை. மிரியன் ஆண்ட்ரேஸ் கோமேஸின் நினைவாக அறிவியல் பங்களிப்புகள், 307′318, பல்கலைக்கழகம். லா ரியோஜா சர்வ். வெளியீடு., லோக்ரோனோ, 2010. ஜே. எம். கார்சியா-கால்சின்ஸ், பி. ஆர். கார்சியா-டயஸ், ஏ. முரில்லோ மாஸ். சரியான லுஸ்டெர்னிக்-ஸ்னிரெல்மேன் வகைக்கு ஒரு வைட்ஹெட்-கனியா அணுகுமுறை. கணிதம். புரோக். காம்ப். தத்துவம். சொ. 142 (2007), எண். 3, 439-457. ஜே. எம். கார்சியா-கால்சின்ஸ், பி. ஆர். கார்சியா-டயஸ், ஏ. முரில்லோ மாஸ், வெளிப்புற ஹோமோடாபி கோட்பாட்டின் மூலம் சரியான ஹோமோடாபியில் கனியா அனுமானம். கணிதம். புரோக். காம்ப். தத்துவம். சொ. 149 (2010), எண். 1, 75-91. ஜே. எம். கார்சியா-கால்சின்ஸ், எம். கார்சியா பினில்லோஸ் மற்றும் எல். ஜே. ஹெர்னாண்டஸ். சரியான ஹோமோடாபி மற்றும் வடிவக் கோட்பாடுகளுக்கான ஒரு மூடிய மாதிரி வகை, புல். ஆஸ்டின். கணிதம். சொ. 57 எண் 2,221-242, (1998). ஜே. எம். கார்சியா-கால்சின்ஸ் மற்றும் எல். ஜே. ஹெர்னாண்டஸ். சீக்வென்ஷியல் ஹோமாலஜி, டோபோல். ஆப்பிள். 114/2, 201-225, (2001). ஜே. எம். கார்சியா-கால்சின்ஸ், எம். கார்சியா பினில்லோஸ் மற்றும் எல். ஜே. ஹெர்னாண்டஸ். வெளிப்புற மற்றும் சரியான ஹோமோடாபிக்கான மூடிய எளிய மாதிரி கட்டமைப்புகள், ஆப்பிள். வகை. கட்டமைப்பு. 12, எண் 3,225-243, (2004). எம். கார்சியா-பினில்லோஸ், எல். ஜே. ஹெர்னாண்டஸ் பாரிசியோ மற்றும் எம். டி. ரிவாஸ் ரோட்ரிக்ஸ். துல்லியமான வரிசைகள் மற்றும் மூடிய மாதிரி பிரிவுகள், ஆப்பிள். வகை. கட்டமைப்பு., 18, இல்லை. 4, 343-375 (2010). டிஓஐ 10.1007/s10485-008-9176-x (2009). இடவியல் ஹோமோடோபி கோட்பாடு