Density (polytope)
வடிவவியலில், ஒரு நட்சத்திர பாலிஹெட்ரானின் அடர்த்தி என்பது இரண்டு பரிமாணங்களிலிருந்து உயர் பரிமாணங்களுக்கு முறுக்கு எண் என்ற கருத்தின் பொதுமைப்படுத்தலாகும், இது பாலிஹெட்ரானின் சமச்சீர் மையத்தைச் சுற்றியுள்ள பாலிஹெட்ரானின் முறுக்குகளின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கிறது. ஒரு கதிரை மையத்திலிருந்து முடிவிலிக்கு அனுப்புவதன் மூலமும், பாலிடோப்பின் அம்சங்கள் வழியாக மட்டுமே கடந்து செல்வதன் மூலமும், எந்த குறைந்த பரிமாண அம்சங்கள் வழியாகவும் அல்லாமல், அது எத்தனை அம்சங்கள் வழியாக செல்கிறது என்பதைக் கணக்கிடுவதன் மூலமும் இதை தீர்மானிக்க முடியும். பாலிஹெட்ராவைப் பொறுத்தவரை, இந்த எண்ணிக்கை கதிர்களின் தேர்வைப் பொறுத்தது அல்ல, மேலும் மையப் புள்ளி எந்தப் பக்கத்திலும் இல்லை, அடர்த்தி இந்த குறுக்கு அம்சங்களின் எண்ணிக்கையால் வழங்கப்படுகிறது. சமச்சீர் இல்லாத எந்தவொரு குவிந்த பாலிஹெட்ரானுக்கும், பாலிஹெட்ரானின் உட்புறத்தில் உள்ள எந்த புள்ளியையும் அதன் மையமாகத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம் அதே கணக்கீட்டைச் செய்யலாம். இந்த பாலிஹெட்ராவுக்கு, அடர்த்தி 1 ஆக இருக்கும். மேலும் பொதுவாக, எந்தவொரு சுய-பிரித்தெடுக்காத (அகோப்டிக்) பாலிஹெட்ரானுக்கும், அடர்த்தியை இதேபோன்ற கணக்கீட்டின் மூலம் 1 ஆகக் கணக்கிட முடியும், இது ஒரு உட்புற புள்ளியில் இருந்து ஒரு கதிர்களைத் தேர்ந்தெடுக்கிறது, இது பாலிஹெட்ரானின் அம்சங்களை மட்டுமே கடந்து செல்கிறது, இந்த கதிர் செல்லும்போது ஒன்றைச் சேர்க்கிறது பாலிஹெட்ரானின் உட்புறத்திலிருந்து வெளிப்புறத்திற்கு, இந்த கதிர் வெளிப்புறத்திலிருந்து பாலிஹெட்ரானின் உட்புறத்திற்குச் செல்லும்போது ஒன்றைக் கழிக்கிறது. இருப்பினும், குறுக்குவெட்டுகளுக்கான அறிகுறிகளின் இந்த பணி பொதுவாக நட்சத்திர பாலிஹெட்ராவுக்கு பொருந்தாது, ஏனெனில் அவை நன்கு வரையறுக்கப்பட்ட உட்புற மற்றும் வெளிப்புறத்தைக் கொண்டிருக்கவில்லை. ஒன்றுடன் ஒன்று முகங்கள் கொண்ட டெஸ்லேஷன்கள் இதேபோல் அடர்த்தியை எந்த குறிப்பிட்ட புள்ளியின் மீதும் முகங்களின் உறைகளின் எண்ணிக்கை என்று வரையறுக்கலாம். பலகோணங்கள் ஒரு பலகோணத்தின் அடர்த்தி என்பது பலகோண எல்லை அதன் மையத்தைச் சுற்றி எத்தனை முறை காற்று வீசுகிறது. குவிந்த பலகோணங்களுக்கும், பொதுவாக எளிய பலகோணங்களுக்கும் (சுய-வெட்டுதல் அல்ல), ஜோர்டான் வளைவு தேற்றத்தின் படி அடர்த்தி 1 ஆகும். ஒரு பலகோணத்தின் அடர்த்தியை அதன் திருப்பும் எண் என்றும் அழைக்கலாம்; 360° ஆல் வகுக்கப்பட்ட அனைத்து செங்குத்துகளின் திருப்ப கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை. இது ஒரு சமதளத்தில் உள்ள அனைத்து ஒற்றையாட்சி பாதைகளுக்கும் ஒரு முழு எண்ணாக இருக்கும். ஒரு கூட்டு பலகோணத்தின் அடர்த்தி என்பது கூறு பலகோணங்களின் அடர்த்திகளின் கூட்டுத்தொகையாகும். வழக்கமான நட்சத்திர பலகோணங்கள் ஒரு வழக்கமான நட்சத்திர பலகோணத்திற்கு (p/q), அடர்த்தி q ஆகும். மையத்திலிருந்து முடிவிலி வரை ஒரு கதிரின் குறைந்தபட்ச விளிம்பைக் கடக்கும் எண்ணிக்கையை எண்ணுவதன் மூலம் இதை பார்வைக்குத் தீர்மானிக்க முடியும். எடுத்துக்காட்டுகள் பாலிஹெட்ரா ஏ பாலிஹெட்ரான் மற்றும் அதன் இரட்டை ஒரே அடர்த்தியைக் கொண்டுள்ளன. மொத்த வளைவு ஒரு பாலிஹெட்ரான் என்பது செங்குத்துகளில் குவிந்த காஸியன் வளைவு கொண்ட ஒரு மேற்பரப்பாகக் கருதப்படலாம் மற்றும் ஒரு கோணக் குறைபாட்டால் வரையறுக்கப்படுகிறது. ஒரு பாலிஹெட்ரானின் அடர்த்தி மொத்த வளைவுக்கு சமம் (அதன் அனைத்து செங்குத்துகளிலும் சுருக்கமாக) 4π ஆல் வகுக்கப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு கனசதுரம் 8 செங்குத்துகளைக் கொண்டுள்ளது, ஒவ்வொன்றும் 3 சதுரங்களைக் கொண்டுள்ளது, இது π/2 என்ற கோணக் குறைபாட்டை விட்டுச்செல்கிறது. 8 × π/2 = 4π. எனவே கனசதுரத்தின் அடர்த்தி 1 ஆகும். எளிய பாலிஹெட்ரா எளிய முகங்கள் மற்றும் உச்சி உருவங்களைக் கொண்ட ஒரு பாலிஹெட்ரானின் அடர்த்தி ஆய்லர் பண்பு, χ இன் பாதி ஆகும். அதன் பேரினம் g என்றால், அதன் அடர்த்தி 1-g ஆகும். χ = V − E + F = 2D = 2 (1-g). வழக்கமான நட்சத்திர பாலிஹெட்ரா ஆர்தர் கெய்லி வழக்கமான நட்சத்திர பாலிஹெட்ரா வேலை செய்ய ஆய்லரின் பாலிஹெட்ரான் சூத்திரத்தை (V − E + F = 2) மாற்றியமைக்க ஒரு வழியாக அடர்த்தியைப் பயன்படுத்தினார், அங்கு dv என்பது ஒரு உச்சி உருவத்தின் அடர்த்தி, ஒரு முகத்தின் df மற்றும் ஒட்டுமொத்த பாலிஹெட்ரானின் D: எடுத்துக்காட்டாக, பெரிய ஐகோசாஹெட்ரான், {3,5/2}, 20 முக்கோண முகங்கள் (df = 1), 30 விளிம்புகள் மற்றும் 12 பென்டகிராமிக் உச்சி உருவங்கள் (dv = 2), 2·12−30 + 1·20 = 14 = 2D ஐக் கொடுக்கிறது. இது 7 என்ற அடர்த்தியைக் குறிக்கிறது. மாற்றியமைக்கப்படாத யூலரின் பாலிஹெட்ரான் சூத்திரம் சிறிய ஸ்டெல்லேட்டட் டோடெகாஹெட்ரான் {5/2,5} மற்றும் அதன் இரட்டை பெரிய டோடெகாஹெட்ரான் {5,5/2} ஆகியவற்றிற்கு தோல்வியடைகிறது, இதற்கு V − E + F = −6. வழக்கமான நட்சத்திர பாலிஹெட்ரா இரண்டு இரட்டை ஜோடிகளில் உள்ளது, ஒவ்வொரு உருவமும் அதன் இரட்டை அடர்த்தியைக் கொண்டுள்ளனஃ ஒரு ஜோடி (சிறிய ஸ்டெல்லேட்டட் டோடெகாஹெட்ரான்-பெரிய டோடெகாஹெட்ரான்) 3 அடர்த்தியைக் கொண்டுள்ளது, மற்றொன்று (பெரிய ஸ்டெல்லேட்டட் டோடெகாஹெட்ரான்-பெரிய ஐகோசாஹெட்ரான்) 7 அடர்த்தியைக் கொண்டுள்ளது. ஜெனரல் ஸ்டார் பாலிஹெட்ரா எட்மண்ட் ஹெஸ் பல்வேறு வகையான முகங்களைக் கொண்ட ஸ்டார் பாலிஹெட்ராவுக்கான சூத்திரத்தை பொதுமைப்படுத்தினார், அவற்றில் சில மற்றவற்றின் மீது பின்னோக்கி மடிக்கக்கூடும். அடர்த்திக்கான விளைவாக வரும் மதிப்பு தொடர்புடைய கோள பாலிஹெட்ரான் கோளத்தை எத்தனை முறை உள்ளடக்கியது என்பதற்கு ஒத்திருக்கிறது. இது காக்செட்டர் மற்றும் பலர் அனுமதித்தது. ஒரு உச்சி வகை மற்றும் பல முக வகைகளைக் கொண்ட பெரும்பாலான சீரான பாலிஹெட்ராவின் அடர்த்தியைத் தீர்மானிக்க. நோக்கற்ற பாலிஹெட்ரா ஹெமிபோலிஹெட்ராவுக்கு, அதன் சில முகங்கள் மையத்தின் வழியாகச் செல்கின்றன, அடர்த்தியை வரையறுக்க முடியாது. நோக்கற்ற பாலிஹெட்ராவும் நன்கு வரையறுக்கப்பட்ட அடர்த்திகளைக் கொண்டிருக்கவில்லை. வழக்கமான 4-பாலிட்டோப்புகள் 10 வழக்கமான நட்சத்திர 4-பாலிட்டோப்புகள் (ஷ்லாஃப்லி-ஹெஸ் 4-பாலிட்டோப்புகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன) உள்ளன, அவை 4,6,20,66,76 மற்றும் 191 க்கு இடையில் அடர்த்தியைக் கொண்டுள்ளன. அவை இரட்டை ஜோடிகளில் வருகின்றன, சுய-இரட்டை அடர்த்தி-6 மற்றும் அடர்த்தி-66 புள்ளிவிவரங்களைத் தவிர. குறிப்புகள் குறிப்புகள் காக்செட்டர், எச். எஸ். எம்.; வழக்கமான பாலிடோப்ஸ், (3 வது பதிப்பு, 1973), டோவர் பதிப்பு, வெளிப்புற இணைப்புகள் பாலிடோப்ஸ்