Denjoy–Wolff theorem
கணிதத்தில், டென்ஜோய்-வோல்ஃப் தேற்றம் என்பது சிக்கலான பகுப்பாய்வு மற்றும் இயக்கவியல் அமைப்புகளில் நிலையான புள்ளிகள் மற்றும் சிக்கலான எண்களில் அலகு வட்டின் ஹோலோமார்பிக் வரைபடங்களின் மறு செய்கைகள் பற்றிய ஒரு தேற்றமாகும். இந்த முடிவு 1926 ஆம் ஆண்டில் பிரெஞ்சு கணிதவியலாளர் அர்னாட் டென்ஜோய் மற்றும் டச்சு கணிதவியலாளர் ஜூலியஸ் வோல்ஃப் ஆகியோரால் சுயாதீனமாக நிரூபிக்கப்பட்டது. கூற்றுத் தேற்றம். டி என்பது சி இல் திறந்த அலகு வட்டு என்று வைத்துக்கொள்வோம், மேலும் எஃப் என்பது டி ஐ டி க்குள் வரைபடமாக்கும் ஒரு ஹோலோமார்பிக் செயல்பாடாக இருக்கட்டும், இது டி இன் தானியங்கி உருமாற்றம் அல்ல (அதாவது. ஒரு மோபியஸ் மாற்றம்). பின்னர் D இன் மூடுதலில் ஒரு தனித்துவமான புள்ளி z உள்ளது, அதாவது f இன் மறு செய்கைகள் D இன் சுருக்கமான துணைக்குழுக்களில் ஒரே மாதிரியாக z ஆக இருக்கும். Z என்பது D இல் இருந்தால், அது f இன் தனித்துவமான நிலையான புள்ளியாகும். வரைபடம் f மாறாத ஹைபர்போலிக் டிஸ்க்குகளை z ஐ மையமாகக் கொண்டுள்ளது, z என்பது D இல் இருந்தால், மற்றும் டிஸ்க்குகள் z இல் அலகு வட்டத்திற்கு தொடுகோடு, Z இன் எல்லையில் இருந்தால். நிலையான புள்ளி z = 0 இல் இருக்கும்போது, z ஐ மையமாகக் கொண்ட ஹைபர்போலிக் டிஸ்க்குகள் மைய 0 உடன் யூக்ளிடியன் டிஸ்க்குகள் மட்டுமே. இல்லையெனில் f ஒரு மோபியஸ் உருமாற்றத்தால் இணைக்கப்படலாம், இதனால் நிலையான புள்ளி பூஜ்ஜியமாக இருக்கும். இந்த தேற்றத்தின் அடிப்படை ஆதாரம் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளது, இது ஷாபிரோ (1993) மற்றும் பர்க்கல் (1981) ஆகியவற்றிலிருந்து எடுக்கப்பட்டது. கார்ல்சன் & கேமலின் (1993) இல் மேலும் இரண்டு குறுகிய சான்றுகளைக் காணலாம். கோட்பாட்டின் சான்று வட்டில் நிலையான புள்ளி f க்கு D இல் ஒரு நிலையான புள்ளி z இருந்தால், ஒரு மோபியஸ் மாற்றத்தால் இணைந்த பிறகு, z = 0 என்று கருதலாம். M (r) என்பது |z | = r <1 இல் f இன் அதிகபட்ச மாடுலஸ் ஆக இருக்கட்டும். |z | ≤ r க்கான ஸ்வார்ஸ் லெம்மாவால், இது |z | ≤ r க்கான மறு செய்கையால் பின்தொடர்கிறது. இந்த இரண்டு ஏற்றத்தாழ்வுகளும் இந்த வழக்கில் முடிவைக் குறிக்கின்றன. நிலையான புள்ளிகள் இல்லை நிலையான புள்ளிகள் இல்லாமல் டி இல் எஃப் செயல்படும்போது, எல்லையில் ஒரு புள்ளி இசட் இருப்பதை வோல்ஃப் காட்டினார், அதாவது எஃப் இன் மறு செய்கைகள் அந்த கட்டத்தில் எல்லைக்கு ஒவ்வொரு வட்டு தொடுகோடையும் மாறாமல் விடுகின்றன. ரூச்சின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் மற்றும், டி இல் சரியாக ஒரு பூஜ்ஜியத்தைக் கொண்டுள்ளது. தேவைப்பட்டால் ஒரு தொடர்ச்சிக்குச் செல்வது, புள்ளி z டி இல் இருக்க முடியாது என்று கருதலாம், ஏனெனில், வரம்பிற்குச் செல்வதன் மூலம், z ஒரு நிலையான புள்ளியாக இருக்க வேண்டும். நிலையான புள்ளிகள் விஷயத்தில் முடிவு வரைபடங்கள் அனைத்து யூக்ளிடியன் வட்டுகளையும் மாறாமல் விட்டுவிடுகின்றன என்பதைக் குறிக்கிறது, அதன் ஹைபர்போலிக் மையம் அமைந்துள்ளது. தெளிவான கணக்கீடுகள், k அதிகரிக்கும் போது, ஒருவர் அத்தகைய வட்டுகளைத் தேர்வு செய்யலாம், இதனால் அவை z இல் உள்ள எல்லைக்கு கொடுக்கப்பட்ட வட்டு தொடுகோடு நோக்கிச் செல்லும். தொடர்ச்சியின் மூலம், f அத்தகைய ஒவ்வொரு வட்டையும் மாற்றாது விடுகிறது. காம்பாக்டாவில் நிலையான z க்கு ஒரே மாதிரியாக ஒன்றிணைவதைக் காண, எந்தவொரு தொடர்ச்சிக்கும் இது பொருந்தும் என்பதைக் காட்ட போதுமானது, அதே அர்த்தத்தில் g க்கு ஒன்றிணைகிறது, சொல்லுங்கள். மான்டெலின் தேற்றத்தால் இத்தகைய வரம்புகள் உள்ளன, மேலும் g நிலையானதாக இல்லாவிட்டால், அதற்கு ஒரு வரம்பு உள்ளது என்றும் கருதலாம், h என்று சொல்லுங்கள். ஆனால் பின்னர் டி இல் உள்ள டபிள்யூ க்கு. எச் ஹோலோமார்பிக் மற்றும் ஜி (டி) திறந்திருப்பதால், அனைத்து டபிள்யூ அமைப்பிற்கும், இது எஃப் சொல்லுவதற்கு ஒன்றிணைந்ததாகவும் கருதலாம். ஆனால் பின்னர் f (F (w)) = w = f (F (w)), இது f ஒரு ஆட்டோமார்ஃபிஸம் அல்ல என்ற உண்மைக்கு முரணானது. எனவே ஒவ்வொரு தொடர்ச்சியும் டி இல் உள்ள காம்பாக்டாவில் சில ஒரே மாதிரியான மாறிலிக்கு முனைகிறது. α இன் மாறிலி என்பது ஒவ்வொரு மாறிலியும் ஒவ்வொரு வட்டு α இன் மூடுதலில் உள்ளது, எனவே அவற்றின் குறுக்கீடு, ஒற்றை புள்ளி z. மான்டெல் கோட்பாட்டின் படி, இது காம்பாக்டாவில் ஒரே சீராக மாறிலி z உடன் இணைகிறது. குறிப்புகள் இயக்கவியல் அமைப்புகளில் உள்ள கோட்பாடுகள் சிக்கலான பகுப்பாய்வில் உள்ள கோட்பாடுகள்