Stretched grid method
நீட்டிக்கப்பட்ட கட்டம் முறை (எஸ்ஜிஎம்) என்பது ஒரு நெகிழ்வான கட்ட நடத்தை தொடர்பான பல்வேறு கணித மற்றும் பொறியியல் சிக்கல்களின் தோராயமான தீர்வுகளைக் கண்டறிவதற்கான ஒரு எண் நுட்பமாகும். குறிப்பாக, வானிலை ஆய்வாளர்கள் வானிலை முன்னறிவிப்புக்கு நீட்டிக்கப்பட்ட கட்ட முறையைப் பயன்படுத்துகின்றனர், மேலும் பொறியாளர்கள் கூடாரங்கள் மற்றும் பிற இழுவிசை கட்டமைப்புகளை வடிவமைக்க நீட்டிக்கப்பட்ட கட்ட முறையைப் பயன்படுத்துகின்றனர். FEM மற்றும் BEM மெஷ் சுத்திகரிப்பு சமீபத்திய தசாப்தங்களில் வரையறுக்கப்பட்ட உறுப்பு மற்றும் எல்லை உறுப்பு முறைகள் (FEM மற்றும் BEM) தொழில்துறை பொறியியல் வடிவமைப்பு மற்றும் பகுப்பாய்விற்கான முக்கிய ஆதாரமாக மாறிவிட்டன. FEM அல்லது BEM ஐப் பயன்படுத்தி பெருகிய முறையில் பெரிய மற்றும் சிக்கலான வடிவமைப்புகள் உருவகப்படுத்தப்படுகின்றன. இருப்பினும், FEM மற்றும் BEM பொறியியல் பகுப்பாய்வின் சில சிக்கல்கள் இன்னும் வெட்டு விளிம்பில் உள்ளன. முதல் சிக்கல் பொறியியல் பகுப்பாய்வின் நம்பகத்தன்மை ஆகும், இது முன் செயலாக்க கட்டத்தில் உருவாக்கப்பட்ட ஆரம்ப தரவுகளின் தரத்தை வலுவாக சார்ந்துள்ளது. இந்த கட்டத்தில் தானியங்கி உறுப்பு கண்ணி உற்பத்தி நுட்பங்கள் சிக்கலான நிஜ உலக மாதிரிகளின் பகுப்பாய்விற்கு பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படும் கருவிகளாக மாறிவிட்டன என்பது அறியப்படுகிறது. FEM மற்றும் BEM பிரபலமடைந்து வருவதால் தானியங்கி மெஷிங் வழிமுறைகளை மேம்படுத்துவதற்கான ஊக்கம் வருகிறது. இருப்பினும், இந்த வழிமுறைகள் அனைத்தும் சிதைந்த மற்றும் பயன்படுத்த முடியாத கட்ட கூறுகளை கூட உருவாக்க முடியும். ஏற்கனவே உள்ள வலையை எடுத்து அதன் தரத்தை மேம்படுத்தக்கூடிய பல நுட்பங்கள் உள்ளன. உதாரணமாக, மென்மையாக்குதல் (மெஷ் சுத்திகரிப்பு என்றும் குறிப்பிடப்படுகிறது) என்பது அத்தகைய ஒரு முறையாகும், இது உறுப்பு சிதைவைக் குறைக்கும் வகையில் நோடல் இருப்பிடங்களை மறுசீரமைக்கிறது. நீட்டிக்கப்பட்ட கட்டம் முறை (எஸ். ஜி. எம்) போலி-வழக்கமான மெஷ்களை மிக எளிதாகவும் விரைவாகவும் ஒரு படி தீர்வில் பெற அனுமதிக்கிறது (பார்க்க). ஒரு தன்னிச்சையான முக்கோண கட்டம் விமான பலகோண ஒற்றை-ஒத்திசைவான விளிம்பில் உட்பொதிக்கப்பட்டுள்ளது மற்றும் ஒரு தானியங்கி செயல்முறையால் உற்பத்தி செய்யப்படுகிறது என்று ஒருவர் கருதலாம் (அத்தியாயம் பார்க்கவும். 1) இயற்பியல் நோடல் அமைப்பாகக் கருதப்படும் கட்டம் பல சிதைவுகளால் சிதைக்கப்படுகிறது என்று மேலும் கருதலாம். இந்த அமைப்பின் மொத்த நிலை ஆற்றல் அனைத்து நெட்வொர்க் பிரிவுகளையும் அதன் கூறுகளாகக் கொண்ட சில பரிமாண திசையனின் நீளத்திற்கு விகிதாசாரமாக இருக்கும் என்று கருதப்படுகிறது. எனவே, நிலை ஆற்றல் பின்வரும் வடிவத்தை எடுக்கிறது-நெட்வொர்க்கில் உள்ள பிரிவுகளின் மொத்த எண்ணிக்கை,-பிரிவு எண்ணின் நீளம்,-ஒரு தன்னிச்சையான மாறிலி. பிரிவு எண்ணின் நீளம் இரண்டு நோடல் ஒருங்கிணைப்புகளால் வெளிப்படுத்தப்படலாம், ஏனெனில் அனைத்து முனைகளின் ஒருங்கிணைந்த திசையன் சிதைக்கப்படாத நெட்வொர்க்குடன் தொடர்புடையது மற்றும் ஒருங்கிணைந்த திசையன் சிதைந்த நெட்வொர்க்குடன் தொடர்புடையது என்றும் கருதப்படலாம். திசையனுக்கான வெளிப்பாட்டை இவ்வாறு எழுதலாம் திசையன் நிர்ணயம் என்பது இருபடி வடிவத்தை அதிகரிக்கும் திசையன் மூலம் குறைப்பதோடு தொடர்புடையது, அதாவது. அனைத்து மாற்றங்களுக்குப் பிறகு, பின்வரும் இரண்டு சுயாதீன நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளை நாம் எழுதலாம், அங்கு-FEM கூட்டத்தின் உலகளாவிய விறைப்பு மேட்ரிக்ஸைப் போன்ற பட்டை வடிவத்தில் சமச்சீர் அணி, மற்றும்-1,2 அச்சுகளில் உள்ள அனைத்து முனைகளின் ஒருங்கிணைப்புகளின் அதிகரிக்கும் திசையன்கள், மற்றும்-1,2 அச்சுகளில் உள்ள அனைத்து முனைகளின் ஒருங்கிணைப்புகளால் இணைக்கப்படும் வலது பகுதி திசையன்கள். இரண்டு அமைப்புகளின் தீர்வும், அனைத்து எல்லை முனைகளையும் பழமைவாதமாக வைத்திருப்பது, போலி-வழக்கமான கூறுகளுடன் சிதைக்கப்படாத கண்ணிக்கு ஒத்த புதிய உட்புற முனை நிலைகளைப் பெறுகிறது. உதாரணமாக, படம். 2 ஒரு முக்கோண வலையால் மூடப்பட்ட செவ்வக பகுதியை வழங்குகிறது. ஆரம்ப தானியங்கி கண்ணி சில சீரழிந்த முக்கோணங்களைக் (இடது கண்ணி) கொண்டுள்ளது. எஸ்ஜிஎம் செயல்முறையால் உற்பத்தி செய்யப்படும் இறுதி கண்ணி (வலது கண்ணி) எந்த சிதைந்த கூறுகளும் இல்லாமல் போலி-வழக்கமானதாகும். மேலே உள்ள அமைப்புகள் நேரியல் ரீதியாக இருப்பதால், செயல்முறை மிக விரைவாக ஒரு படி தீர்வுக்கு செல்கிறது. மேலும், ஒவ்வொரு இறுதி உட்புற முனை நிலையும் அதைச் சுற்றியுள்ள முனைகளின் ஒருங்கிணைந்த எண்கணித சராசரியின் தேவையைப் பூர்த்தி செய்கிறது மற்றும் தாமத அளவுகோல்களையும் பூர்த்தி செய்கிறது. எனவே, எஸ்ஜிஎம் லாப்லாசியன் மற்றும் பிற வகையான மென்மையாக்கும் அணுகுமுறைகளுக்கு தனித்துவமான அனைத்து நேர்மறையான மதிப்புகளையும் கொண்டுள்ளது, ஆனால் முழு எண் மதிப்புள்ள இறுதி மேட்ரிக்ஸ் பிரதிநிதித்துவத்தின் காரணமாக மிகவும் எளிதானது மற்றும் நம்பகமானது. இறுதியாக, மேலே விவரிக்கப்பட்ட எஸ்ஜிஎம் 2டி மெஷ்களுக்கு மட்டுமல்லாமல், எந்தவொரு சீரான செல்களையும் கொண்ட 3டி மெஷ்களுக்கும் கலப்பு அல்லது நிலையற்ற மெஷ்களுக்கும் பொருந்தும். குறைந்தபட்ச மேற்பரப்பு சிக்கல் தீர்வு கணித ரீதியாக, இந்த வளைவின் வழியாகச் செல்லும் அனைத்து மேற்பரப்புகளிலும் அதன் பரப்பளவு குறைவாக இருந்தால், தளம் அல்லாத மூடிய வளைவில் உட்பொதிக்கப்பட்ட மேற்பரப்பு குறைந்தபட்சம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. சிறந்த அறியப்பட்ட குறைந்தபட்ச மேற்பரப்பு மாதிரி கம்பி சட்டத்தால் சூழப்பட்ட ஒரு சோப்பு படலம் ஆகும். வழக்கமாக ஒரு குறைந்தபட்ச மேற்பரப்பை உருவாக்க, ஒரு கற்பனையான அமைப்புச் சட்டம் பயன்படுத்தப்படுகிறது, இது ஒரு நிலையான பிரெஸ்ட்ரஸைப் பராமரிக்கிறது, இது திரிபு மாற்றங்களிலிருந்து சுயாதீனமாக உள்ளது. குறைந்தபட்ச மேற்பரப்பு சிக்கல் தீர்வுக்கான மாற்று தோராயமான அணுகுமுறை SGM ஐ அடிப்படையாகக் கொண்டது. இந்த சூத்திரம் பிளேன் அல்லாத மற்றும் பிளேன் மூடிய விளிம்புகளில் உட்பொதிக்கப்பட்ட மேற்பரப்பைக் குறைக்க அனுமதிக்கிறது. ஒரு தன்னிச்சையான முக்கோண கட்டம் மூலம் 3D அல்லாத பிளேன் விளிம்பில் உட்பொதிக்கப்பட்ட ஒரு மேற்பரப்பு பகுதியை தோராயமாக மதிப்பிடுவதே யோசனை. அத்தகைய முக்கோண கட்டத்தை குறைந்தபட்ச பரப்பளவு கொண்ட கட்டமாக இணைக்க ஒருவர் மேலே விவரிக்கப்பட்ட அதே இரண்டு அமைப்புகளையும் தீர்க்க வேண்டும். மூன்றாவது நோடல் ஒருங்கிணைப்புகளின் அதிகரிப்புகள் பின்வரும் வழியில் அச்சு 3 இல் உள்ள ஒத்த அமைப்பால் கூடுதலாக தீர்மானிக்கப்படலாம், மூன்று அமைப்புகளையும் ஒரே நேரத்தில் தீர்ப்பது ஒரு புதிய கட்டத்தைப் பெறலாம், இது குறைந்தபட்ச செயல்பாட்டின் காரணமாக பிளேன் அல்லாத மூடிய வளைவில் உட்பொதிக்கப்பட்ட தோராயமான குறைந்தபட்ச மேற்பரப்பாக இருக்கும். அளவுரு. எடுத்துக்காட்டாக, மேலே விவரிக்கப்பட்ட அணுகுமுறையால் கணக்கிடப்படும் கேட்டினாய்டின் மேற்பரப்பு படம் 3 இல் வழங்கப்படுகிறது. வளையங்களின் ஆரங்கள் மற்றும் கேட்டினாய்டின் உயரம் 1 க்கு சமம். SGM ஆல் தீர்மானிக்கப்படும் கேடனாய்டல் மேற்பரப்பின் எண் பரப்பளவு 2,9967189 க்கு சமம் (சரியான மதிப்பு 2.992). இழுவிசை துணி கட்டமைப்புகள் கண்டுபிடிப்பை உருவாக்குகின்றன கட்டமைப்பு பகுப்பாய்விற்கு, கட்டமைப்பின் உள்ளமைவு பொதுவாக முன்னுரிமை என்று அழைக்கப்படுகிறது. பதற்றம் துணி கட்டமைப்புகள் போன்ற இழுவிசை கட்டமைப்புகளுக்கு இது பொருந்தாது. ஒரு பதற்ற கட்டமைப்பில் உள்ள சவ்வுக்கு நெகிழ்வுத்தன்மை இல்லை என்பதால், அதன் வடிவம் அல்லது உள்ளமைவு ஆரம்ப பிரிஸ்ட்ரஸ்ஸிங் மற்றும் அது எந்த சுமைகளுக்கு உட்படுத்தப்படுகிறது என்பதைப் பொறுத்தது. எனவே, சுமை தாங்கும் நடத்தை மற்றும் சவ்வின் வடிவத்தை பிரிக்க முடியாது மற்றும் பொதுவாக எளிய வடிவியல் மாதிரிகளால் மட்டுமே விவரிக்க முடியாது. சவ்வு வடிவம், கட்டமைப்பில் உள்ள சுமைகள் மற்றும் உள் அழுத்தங்கள் சமநிலை சமன்பாடுகளை திருப்திப்படுத்த ஒரு நேரியல் அல்லாத முறையில் தொடர்பு கொள்கின்றன. பதற்றம் கட்டமைப்புகளின் ஆரம்ப வடிவமைப்பு வடிவம் கண்டுபிடிப்பு என்று குறிப்பிடப்படும் ஆரம்ப கட்டமைப்பை தீர்மானிப்பதை உள்ளடக்கியது. சமநிலை நிலைமைகளை பூர்த்தி செய்வதோடு மட்டுமல்லாமல், ஆரம்ப கட்டமைப்பு கட்டிடக்கலை (அழகியல்) மற்றும் கட்டமைப்பு (வலிமை மற்றும் ஸ்திரத்தன்மை) தேவைகள் இரண்டிற்கும் இடமளிக்க வேண்டும். மேலும், இடம் மற்றும் அகற்றலின் தேவைகள் பூர்த்தி செய்யப்பட வேண்டும், சுருக்கங்களைத் தவிர்க்க சவ்வு முதன்மை அழுத்தங்கள் இழுவிசையாக இருக்க வேண்டும், மேலும் இரட்டை வளைந்த மேற்பரப்பின் ஆரங்கள் விமானத்திற்கு வெளியே சுமைகளை எதிர்க்கவும் கட்டமைப்பு ஸ்திரத்தன்மையை உறுதிப்படுத்தவும் போதுமான சிறியதாக இருக்க வேண்டும் (வேலை). பதற்ற துணி கட்டமைப்புகளின் வடிவமைப்பில் பொறியாளர்களுக்கு உதவுவதற்காக FEM ஐ அடிப்படையாகக் கொண்ட வடிவத்தைக் கண்டுபிடிக்கும் அணுகுமுறைகளில் பல மாறுபாடுகள் உருவாக்கப்பட்டுள்ளன. அவை அனைத்தும் பல்வேறு சுமைகளின் கீழ் பதற்றம் கட்டமைப்புகளின் நடத்தையை பகுப்பாய்வு செய்யப் பயன்படுத்தப்படும் அதே அனுமானத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டவை. இருப்பினும், சில ஆராய்ச்சியாளர்களால் குறிப்பிடப்பட்டபடி, சில நேரங்களில் பதற்றம் கட்டமைப்புகளின் வடிவமைப்பில் 'குறைந்தபட்ச மேற்பரப்புகள்' என்று அழைக்கப்படுவதைப் பயன்படுத்துவது சிறந்தது. SGM இன் இயற்பியல் பொருள் ஒரு தன்னிச்சையான கட்ட கட்டமைப்பின் ஆற்றலை கடினமான (அல்லது நெகிழ்வான) 3D விளிம்பில் இணைத்து குறைந்தபட்சமாக ஒருங்கிணைப்பதைக் கொண்டுள்ளது, இது கட்ட முனைகளின் தன்னிச்சையான ஜோடிக்கு இடையிலான குறைந்தபட்ச தொகை தூரத்திற்கு சமம். வழக்கமான FEM சூத்திரத்தை விட மிகவும் எளிய இறுதி இயற்கணித சமன்பாட்டு முறையை வழங்கும் கட்டம் கட்டமைப்பின் கூட்டுத்தொகை ஆற்றல் குறைந்தபட்ச கண்டுபிடிப்பைக் கண்டுபிடிப்பதற்கு மாற்றாக குறைந்தபட்ச மேற்பரப்பு ஆற்றல் சிக்கல் தீர்வை இது அனுமதிக்கிறது. SGM இன் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட உருவாக்கம் பல்வேறு வெளிப்புற விளைவுகளின் மாதிரியை அனுமதிக்கும் கட்ட அமைப்பு முனைகளுக்கு வெளிப்புற சக்திகள் மற்றும் கடினமான அல்லது நெகிழ்வான கட்டுப்பாடுகளின் தொகுப்பைப் பயன்படுத்துவதற்கான சாத்தியத்தை முன்மொழிகிறது. அத்தகைய SGM சூத்திரத்திற்கான பின்வரும் வெளிப்பாட்டை நாம் பெறலாம்-கட்டப் பிரிவுகளின் மொத்த எண்ணிக்கை,-மொத்த முனைகளின் எண்ணிக்கை,-பிரிவு எண்ணின் நீளம்,-பிரிவு எண்ணின் விறைப்பு,-அச்சில் முனையின் ஒருங்கிணைப்பு அதிகரிப்பு,-அச்சில் முனையில் ஒரு நெகிழ்வான கட்டுப்பாட்டின் விறைப்பு,-அச்சில் முனையில் வெளிப்புற விசை. ஒரு திருப்திகரமான வடிவம் கண்டுபிடிக்கப்பட்டவுடன், ஒரு வெட்டு முறை உருவாக்கப்படலாம். பதற்ற கட்டமைப்புகள் அவற்றின் அளவு, வளைவு மற்றும் பொருள் விறைப்பு ஆகியவற்றில் மிகவும் மாறுபட்டவை. வெட்டும் முறை தோராயமானது இந்த காரணிகள் ஒவ்வொன்றுடனும் வலுவாக தொடர்புடையது. சாத்தியமான தோராயத்தைக் குறைப்பதற்கும் நம்பகமான விமான துணி தரவை உருவாக்குவதற்கும் ஒரு வெட்டு முறை உற்பத்தி முறைக்கு இது அவசியம். இந்த தரவுகளால் விவரிக்கப்பட்ட வடிவங்களை, சிறந்த இரட்டை வளைந்த கீற்றுகளுக்கு முடிந்தவரை நெருக்கமாக உருவாக்குவதே இதன் நோக்கம். பொதுவாக, வெட்டு முறை உருவாக்கம் இரண்டு படிகளை உள்ளடக்கியது. முதலாவதாக, ஒரு பதற்றம் கட்டமைப்பின் உலகளாவிய மேற்பரப்பு தனிப்பட்ட துணிகளாகப் பிரிக்கப்பட்டுள்ளது. இரண்டாவது கட்டத்தில் தொடர்புடைய வெட்டும் முறையை ஒவ்வொரு துணி துணியையும் எடுத்து ஒரு பிளானர் பகுதியில் அவிழ்ப்பதன் மூலம் காணலாம். சிறந்த இரட்டை வளைந்த சவ்வு மேற்பரப்பைப் பொறுத்தவரை, மேற்பரப்பை வெறுமனே வெளிப்படுத்த முடியாது, மேலும் அவை தட்டையாக இருக்க வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, தட்டையான சிக்கல் தீர்வுக்கு SGM பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது. வெட்டும் முறை உருவாக்கும் சிக்கல் உண்மையில் இரண்டு சுயாதீன சூத்திரங்களாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது. இவை ஒவ்வொரு துணி துண்டு மற்றும் தட்டையான இரட்டை வளைந்த மேற்பரப்புகளை விரிவுபடுத்தும் சிதைவு இல்லாத விமான வடிவத்தின் தலைமுறையாகும், அவை வெறுமனே வெளிப்படுத்த முடியாது. சிக்கலை கவனமாக ஆய்வு செய்தால், வேறுபட்ட வடிவவியலின் நிலையில் இருந்து இரண்டு சூத்திரங்களும் ஒரே மாதிரியானவை என்பதை ஒருவர் கவனிக்க முடியும். எந்தவொரு வளைவுகளுக்கும் இடையில் மாறாத கோணங்கள் மற்றும் எந்த பகுதியின் மாறாத தன்மை காரணமாக ஒரே நேரத்தில் இணக்கமான வரைபடம் மற்றும் சமமான வரைபடமாக இருக்கும் தளப் பகுதியில் ஒரு மேற்பரப்பின் ஐசோமெட்ரிக் வரைபடமாக இதை நாம் கருதலாம். துல்லியமாக வெளிப்படுத்தக்கூடிய ஒற்றை வளைந்த மேற்பரப்பைப் பொறுத்தவரை, சம-பகுதி வரைபடம் எந்தவொரு சிதைவுகளும் இல்லாமல் துணி கட்டமைப்பிற்கான வெட்டும் வடிவத்தைப் பெற அனுமதிக்கிறது. இரண்டாவது வகை மேற்பரப்புகளை தோராயமாக துணி பண்புகளால் வரையறுக்கப்பட்ட நேரியல் மேற்பரப்பு கூறுகளின் சில சிதைவுகளுடன் மட்டுமே சம-பகுதி வரைபடமாக்க முடியும். இரண்டு மேற்பரப்புகள் அளவுருவாக உள்ளன என்று வைத்துக்கொள்வோம், இதனால் அவற்றின் முதல் இருபடி வடிவங்கள் பின்வருமாறு எழுதப்படலாம் வேறுபட்ட வடிவவியலில் வடிவமைக்கப்பட்டுள்ள இரண்டு மேற்பரப்புகளுக்கான இணக்கமான வரைபடத்தின் நிபந்தனைக்கு இணக்கமான வரைபடத்தின் காரணமாக மேற்பரப்பு சிதைவின் விகிதம் எங்கே என்று தேவைப்படுகிறது. முதல் இருபடி வடிவம் இரண்டு மேற்பரப்பு புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரத்தை பிரதிபலிக்கிறது என்று அறியப்படுகிறது. - விகிதம் 1 க்கு அருகில் இருக்கும்போது, மேலே உள்ள ஈக்யூஎன் முறையே ஐசோமெட்ரிக் மேப்பிங் மற்றும் ஈக்வி-ஏரியா மேப்பிங் நிலைக்கு ஒருங்கிணைக்கிறது, ஏனெனில் எந்த வளைவுகளுக்கும் இடையே மாறாத கோணங்கள் மற்றும் எந்த பகுதியின் மாறுபாடும் இல்லை. வடிவக் கண்டுபிடிப்பின் முதல் கட்டம் ஒரு மேற்பரப்பின் முக்கோண கண்ணி அடிப்படையிலானது என்பதை நினைவில் வைத்து, ஒரு சமதளப் பகுதியில் குறைந்தபட்ச மேற்பரப்பின் ஐசோமெட்ரிக் மற்றும் ஈக்வி-ஏரியல் மேப்பிங்கின் விளக்கத்திற்கு எடையுள்ள எஞ்சிய முறையைப் பயன்படுத்தி, பின்வரும் செயல்பாட்டை நாம் எழுதலாம், இது வளைந்த முக்கோணங்களின் பிரிவுகளில் உள்ள ஒருங்கிணைப்புகளின் கூட்டுத்தொகையால் வரையறுக்கப்படுகிறது, இதில்-கிரிட் செல்களின் மொத்த எண்ணிக்கை,-எடை விகிதங்கள்,-மொத்த மேப்பிங் எஞ்சியவை,-இறுதி முடிவை பாதிக்காத மாறிலி மற்றும் அளவுகோல் விகிதமாகப் பயன்படுத்தப்படலாம். மேலும் எடை விகிதங்களைக் கருத்தில் கொண்டு நாம் ஈக்யூஎன்-ஐ மாற்றலாம். தோராயமான வரையறுக்கப்பட்ட தொகையாக இது மேற்பரப்பு கட்டத்தின் முனைகளுக்கு இடையிலான நேரியல் தூரங்களின் கலவையாகும், மேலும் சம-பகுதி மேற்பரப்பு வரைபடத்தின் அடிப்படை நிபந்தனையை குறைந்தபட்சம் பின்வரும் நேரியல் அல்லாத செயல்பாடாக எழுதவும்-நேரியல் பிரிவு எண்ணின் ஆரம்ப நீளம்,-பிரிவு எண்ணின் இறுதி நீளம்,-விலகல் விகிதம் 1 க்கு அருகில் உள்ளது மற்றும் ஒவ்வொரு பிரிவுக்கும் வேறுபட்டிருக்கலாம். பிரிவு எண்ணின் ஆரம்ப மற்றும் இறுதி நீளங்கள் வழக்கம் போல் இரண்டு நோடல் ஒருங்கிணைப்புகளால் வெளிப்படுத்தப்படலாம்-ஆரம்ப பிரிவின் முனைகளின் ஒருங்கிணைப்புகள்,-இறுதி பிரிவின் முனைகளின் ஒருங்கிணைப்புகள். ஆரம்ப அனுமானத்தின்படி நாம் விமான மேற்பரப்பு வரைபடத்திற்கு எழுதலாம். திசையன்களுக்கான வெளிப்பாடு மற்றும் ஒருங்கிணைந்த அதிகரிப்புகளுடன் கால பயன்பாடு என எழுதப்படலாம் திசையன் வரையறை முன்பு போலவே செய்யப்படுகிறது மாற்றங்களுக்குப் பிறகு நாம் பின்வரும் இரண்டு சுயாதீன அமைப்புகளை நேரியல் அல்லாத இயற்கணித சமன்பாடுகளில் எழுதலாம், அங்கு அமைப்பின் அனைத்து பகுதிகளும் முன்பு போலவே வெளிப்படுத்தப்படலாம் மற்றும் அச்சுகளில் போலி அழுத்தங்களின் திசையன்களாகும், அவை பின்வரும் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளன-முனை எண்ணைச் சுற்றியுள்ள மொத்த முனைகளின் எண்ணிக்கை,-உலகளாவிய அச்சுகளின் எண்ணிக்கை. மேற்கண்ட அணுகுமுறை SGM இன் மற்றொரு வடிவமாகும், மேலும் எந்தவொரு நிலையான மறு செய்கை செயல்முறையாலும் தீர்க்கக்கூடிய நேரியல் அல்லாத இயற்கணித சமன்பாடுகளின் இரண்டு சுயாதீன அமைப்புகளைப் பெற அனுமதிக்கிறது. மேற்பரப்பின் குறைந்த காஸியன் வளைவு விமான வரைபடத்தின் துல்லியத்தை விட அதிகமாக உள்ளது. ஒரு விதியாக, விமான வரைபடம் ஒரு இறுதி மேற்பரப்பின் தொடர்புடைய இடஞ்சார்ந்த கோடுகளை விட குறைவான நேரியல் பரிமாணங்கள் 1-2% கொண்ட ஒரு வடிவத்தைப் பெற அனுமதிக்கிறது. அதனால்தான் வடிவமைக்கும் போது பொருத்தமான விளிம்புகளை வழங்குவது அவசியம். வெட்டப்பட்ட வழக்கமான மாதிரி-கட்அவுட், கோர் (பிரிவு) அல்லது பேட்ச் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது-இது அத்திப்பழங்களில் வழங்கப்படுகிறது. 9, 10, 11. மேலும் காண்க மெஷ் தலைமுறை மெஷ் குறிப்புகளின் வகைகள் இழுவிசை துணி கட்டமைப்புகளுக்கான வெளிப்புற இணைப்புகள் K3-கூடார அமைப்பு ஃபார்ம்ஃபைண்டிங் மற்றும் கட்டிங் பேட்டர்னிங் குபான்டென்ட் கார்ப் மெஷ் தலைமுறை எண் வேறுபாடு சமன்பாடுகள்