Quasiregular map
பகுப்பாய்வின் கணிதத் துறையில், குவாசிரேகுலர் வரைபடங்கள் என்பது ஒரே பரிமாணத்தின் யூக்ளிடியன் இடைவெளிகள் Rn க்கு இடையில் அல்லது பொதுவாக, அதே பரிமாணத்தின் ரீமானியன் பன்மடங்கு இடையே தொடர்ச்சியான வரைபடங்களின் ஒரு வகுப்பாகும், அவை ஒரு சிக்கலான மாறியின் ஹோலோமார்பிக் செயல்பாடுகளுடன் சில அடிப்படை பண்புகளைப் பகிர்ந்து கொள்கின்றன. உந்துதல் ஒரு சிக்கலான மாறியின் ஹோலோமார்பிக் (= பகுப்பாய்வு) செயல்பாடுகளின் கோட்பாடு முழு கணிதத்தின் மிக அழகான மற்றும் மிகவும் பயனுள்ள பகுதிகளில் ஒன்றாகும். இந்தக் கோட்பாட்டின் ஒரு குறைபாடு என்னவென்றால், இது இரு பரிமாண இடைவெளிகளுக்கு (ரீமன் மேற்பரப்புகள்) இடையிலான வரைபடங்களை மட்டுமே கையாள்கிறது. பல சிக்கலான மாறிகளின் செயல்பாடுகளின் கோட்பாடு வேறுபட்ட தன்மையைக் கொண்டுள்ளது, முக்கியமாக பல மாறிகளின் பகுப்பாய்வு செயல்பாடுகள் இணக்கமாக இல்லாததால். ஒழுங்கற்ற வரைபடங்களை யூக்ளிடியன் இடைவெளிகளுக்கு இடையில் தன்னிச்சையான பரிமாணத்துடன் வரையறுக்க முடியும், ஆனால் பரிமாணம் 2 ஐ விட அதிகமாக இருக்கும்போது, இந்த வகை வரைபடங்கள் மிகவும் சிறியவைஃ இது மோபியஸ் உருமாற்றங்களை மட்டுமே கொண்டுள்ளது. இது ஜோசப் லியோவில்லின் தேற்றம்; யூரி ரெஷெட்ன்யாக் நிரூபித்தபடி, மென்மையான அனுமானங்களை தளர்த்துவது உதவாது. இது இணக்கத்தின் பண்பின் பொதுமைப்படுத்தலின் தேடலை பரிந்துரைக்கிறது, இது அதிக பரிமாணத்தில் ஒரு வளமான மற்றும் சுவாரஸ்யமான வகை வரைபடங்களை வழங்கும். வரையறை பின்வரும் சமத்துவமின்மை D இல் உள்ள அனைத்து புள்ளிகளிலும் இருந்தால், Rn முதல் Rn வரையிலான D பிராந்தியத்தின் வேறுபடுத்தக்கூடிய வரைபடம் K-குவாசிரேகுலர் என்று அழைக்கப்படுகிறதுஃ இங்கே K ±1 ஒரு மாறிலி, Jf என்பது ஜாகோபியன் தீர்மானிப்பவர், Df என்பது வழித்தோன்றல், இது ஜாகோபி மேட்ரிக்ஸால் வரையறுக்கப்பட்ட நேரியல் வரைபடம், மற்றும் | | | | | என்பது மேட்ரிக்ஸின் வழக்கமான (யூக்ளிடியன்) நெறிமுறை. அத்தகைய வரைபடங்களின் கோட்பாட்டின் வளர்ச்சி, பாரம்பரிய அர்த்தத்தில் வேறுபடுத்தக்கூடிய வரைபடங்களுக்குள் தன்னைக் கட்டுப்படுத்துவது நியாயமற்றது என்பதையும், "சரியான" வகை வரைபடங்கள் சோபோலேவ் இடைவெளி W இல் தொடர்ச்சியான வரைபடங்களைக் கொண்டுள்ளன என்பதையும் காட்டியது, அவற்றின் பகுதி வழித்தோன்றல்கள் விநியோகங்களின் அர்த்தத்தில் உள்ளூரில் சுருக்கக்கூடிய n-th சக்தியைக் கொண்டுள்ளன, மேலும் மேற்கூறிய சமத்துவமின்மை கிட்டத்தட்ட எல்லா இடங்களிலும் திருப்தி அடைகிறது. இது கே-குவாசிரேகுலர் வரைபடத்தின் முறையான வரையறையாகும். ஒரு வரைபடம் சில K-நிலையான வரைபடங்களுடன் K-நிலையான வரைபடமாக இருந்தால் அது நிலையான வரைபடங்களின் வகுப்பில் இருந்து விலக்கப்பட்டால் அது நிலையான வரைபடம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. பண்புகள் குவாசிரேகுலர் வரைபடங்களைப் பற்றிய அடிப்படை தேற்றம் ரெஷெட்ன்யாக்கால் நிரூபிக்கப்பட்டதுஃ குவாசிரேகுலர் வரைபடங்கள் திறந்த மற்றும் தனித்துவமானவை. இதன் பொருள் என்னவென்றால், திறந்த செட்டுகளின் படங்கள் திறந்திருக்கும் மற்றும் புள்ளிகளின் முன் படங்கள் தனிமைப்படுத்தப்பட்ட புள்ளிகளைக் கொண்டுள்ளன. பரிமாணம் 2 இல், இந்த இரண்டு பண்புகளும் நிலையான பகுப்பாய்வு செயல்பாடுகளின் வகுப்பின் இடவியல் குணாதிசயத்தை வழங்குகின்றனஃ தளத்திற்கு ஒரு தள களத்தின் ஒவ்வொரு தொடர்ச்சியான திறந்த மற்றும் தனித்துவமான வரைபடத்தையும் ஒரு ஹோமியோமார்பிசத்துடன் முன்கூட்டியே உருவாக்க முடியும், இதனால் முடிவு ஒரு பகுப்பாய்வு செயல்பாடாகும். இது சிமியோன் ஸ்டாய்லோவின் தேற்றம். பகுப்பாய்வு செயல்பாடுகளைப் பற்றிய அனைத்து தூய இடவியல் முடிவுகளும் (அதிகபட்ச மாடுலஸ் கோட்பாடு, ரூச்சின் தேற்றம் போன்றவை) என்று ரெஷெட்ன்யக்கின் தேற்றம் குறிக்கிறது. குவாசிரேகுலர் வரைபடங்களுக்கு நீட்டிக்கவும். உட்செலுத்தும் குவாசிரேகுலர் வரைபடங்கள் குவாசிகோன்ஃபார்மல் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. ஊசி அல்லாத குவாசிரேகுலர் வரைபடத்தின் ஒரு எளிய எடுத்துக்காட்டு 3-இடத்தில் உருளை ஆயத்தொகுப்புகளில் இந்த வரைபடம் 2-குவாசிரேகுலர் என்ற சூத்திரத்தால் வழங்கப்படுகிறது. இது z-அச்சைத் தவிர எல்லா இடங்களிலும் மென்மையாக உள்ளது. ஒரு குறிப்பிடத்தக்க உண்மை என்னவென்றால், அனைத்து மென்மையான குவாசிரேகுலர் வரைபடங்களும் உள்ளூர் ஹோமியோமார்பிசம்கள் ஆகும். இன்னும் குறிப்பிடத்தக்க விஷயம் என்னவென்றால், ஒவ்வொரு குவாசிரேகுலர் லோக்கல் ஹோமியோமார்பிசம் Rn → Rn, இங்கு n ≤ 3, ஒரு ஹோமியோமார்பிசம் (இது விளாடிமிர் ஸோரிச்சின் தேற்றம்). குவாசிரேகுலர் வரைபடங்களின் வரையறையில் மென்மையான வரைபடங்களுக்கு தன்னை கட்டுப்படுத்துவது நியாயமானதல்ல என்பதை இது விளக்குகிறதுஃ Rn இன் அனைத்து மென்மையான குவாசிரேகுலர் வரைபடங்களும் குவாசிகோஃபார்மல் ஆகும். ரிக்மேனின் தேற்றம் ஒரு சிக்கலான மாறியின் ஹோலோமார்பிக் செயல்பாடுகளின் வடிவியல் பண்புகள் பற்றிய பல கோட்பாடுகள் குவாசிரெகுலர் வரைபடங்களுக்கு நீட்டிக்கப்பட்டுள்ளன. இந்த நீட்டிப்புகள் பொதுவாக மிகவும் அற்பமானவை அல்ல. ஒருவேளை இந்த வகையின் மிகவும் பிரபலமான முடிவு பிகார்ட்டின் தேற்றத்தின் விரிவாக்கமாகும், இது செப்போ ரிக்மேனின் காரணமாகும்ஃ ஒரு கே-குவாசிரெகுலர் வரைபடம் Rn → Rn அதிகபட்சமாக ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்பைத் தவிர்க்க முடியும். n = 2 ஆக இருக்கும்போது, இந்த நீக்கப்பட்ட தொகுப்பு அதிகபட்சம் இரண்டு புள்ளிகளைக் கொண்டிருக்கலாம் (இது பிகார்டின் தேற்றத்தின் எளிய நீட்டிப்பாகும்). ஆனால் n> 2 ஆக இருக்கும்போது, நீக்கப்பட்ட தொகுப்பு இரண்டுக்கும் மேற்பட்ட புள்ளிகளைக் கொண்டிருக்கலாம், மேலும் அதன் கார்டினாலிட்டியை மேலே இருந்து n மற்றும் K அடிப்படையில் மதிப்பிடலாம். உண்மையில், டேவிட் டிரசின் மற்றும் பெக்கா பங்காவால் காட்டப்பட்டுள்ளபடி, எந்த வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்பையும் தவிர்க்கலாம். சாத்தியக்கூறு கோட்பாட்டுடன் தொடர்பு f ஒரு பகுப்பாய்வு செயல்பாடாக இருந்தால், பதிவு சப்ஹார்மோனிக் மற்றும் f இன் பூஜ்ஜியங்களிலிருந்து தொலைதூரத்தில் உள்ளது. குவாசிரேகுலர் வரைபடங்களுக்கான தொடர்புடைய உண்மை என்னவென்றால், பதிவு நீள்வட்ட வகையின் ஒரு குறிப்பிட்ட நேரியல் அல்லாத பகுதி வேறுபாடு சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்துகிறது. ரெஷெட்ன்யக்கின் இந்த கண்டுபிடிப்பு நேரியல் அல்லாத சாத்தியக் கோட்பாட்டின் வளர்ச்சியைத் தூண்டியது, இது வழக்கமான சாத்தியக் கோட்பாடு ஹார்மோனிக் மற்றும் சப்ஹார்மோனிக் செயல்பாடுகளைக் கையாள்வது போல இந்த வகையான சமன்பாடுகளைக் கருதுகிறது. யூரி ரெஷெட்ன்யாக் விளாடிமிர் ஜோரிக் குறிப்புகள் கணித பகுப்பாய்வையும் பார்க்கவும்