Hadamard product (matrices)
கணிதத்தில், ஹடாமார்ட் பெருக்கல் (உறுப்பு வாரியான பெருக்கல், நுழைவு வாரியான பெருக்கல் அல்லது ஷூர் பெருக்கல் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) என்பது ஒரு பைனரி செயல்பாடாகும், இது ஒரே பரிமாணத்தின் இரண்டு மேட்ரிக்ஸ்களை எடுத்து, பெருக்கப்பட்ட தொடர்புடைய உறுப்புகளின் மேட்ரிக்ஸை வழங்குகிறது. இந்த செயல்பாட்டை "அப்பாவித்தனமான மேட்ரிக்ஸ் பெருக்கம்" என்று கருதலாம், மேலும் இது மேட்ரிக்ஸ் தயாரிப்பிலிருந்து வேறுபட்டது. இது பிரெஞ்சு-யூத கணிதவியலாளர் ஜாக் ஹடாமார்ட் அல்லது ஜெர்மன்-யூத கணிதவியலாளர் ஐசாய் ஷூர் ஆகியோரின் பெயரால் அழைக்கப்படுகிறது. ஹடாமார்ட் தயாரிப்பு துணை மற்றும் விநியோகமாகும். மேட்ரிக்ஸ் தயாரிப்பைப் போலல்லாமல், இது பரிமாற்றமாகவும் உள்ளது. வரையறை இரண்டு மேட்ரிக்ஸ்கள் மற்றும் ஒரே பரிமாணத்திற்கு, ஹடாமார்ட் பெருக்கல் (சில நேரங்களில்) என்பது செயல்பாடுகளின் அதே பரிமாணத்தின் ஒரு மேட்ரிக்ஸ் ஆகும், இதில் கூறுகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன வெவ்வேறு பரிமாணங்களின் மேட்ரிக்ஸ்களுக்கு (மற்றும், எங்கே அல்லது), ஹடாமார்ட் பெருக்கல் வரையறுக்கப்படவில்லை. எடுத்துக்காட்டாக, இரண்டு தன்னிச்சையான 2 × 3 மேட்ரிக்ஸ்களுக்கான ஹடாமார்ட் தயாரிப்பு பின்வருமாறுஃ பண்புகள் ஹடாமார்ட் தயாரிப்பு பரிமாற்றமானது (ஒரு பரிமாற்ற வளையத்துடன் பணிபுரியும் போது), இணைத்தல் மற்றும் கூட்டல் மீது விநியோகம். அதாவது, A, B மற்றும் C ஆகியவை ஒரே அளவிலான மேட்ரிக்ஸ்கள் மற்றும் k ஒரு அளவிடுதல் என்றால்ஃ இரண்டு மேட்ரிக்ஸ்களின் ஹடாமார்ட் பெருக்கத்தின் கீழ் உள்ள அடையாள மேட்ரிக்ஸ் ஒரு மேட்ரிக்ஸ் ஆகும், இதில் அனைத்து உறுப்புகளும் 1 க்கு சமமாக இருக்கும். இது வழக்கமான மேட்ரிக்ஸ் பெருக்கத்தின் கீழ் உள்ள அடையாள மேட்ரிக்ஸிலிருந்து வேறுபட்டது, இதில் முக்கிய மூலைவிட்டத்தின் கூறுகள் மட்டுமே 1 க்கு சமமாக இருக்கும். மேலும், ஒரு மேட்ரிக்ஸ் ஹடாமார்ட் பெருக்கத்தின் கீழ் ஒரு தலைகீழ் உள்ளது, உறுப்புகள் எதுவும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லாவிட்டால் மட்டுமே. திசையன்கள் மற்றும் அதனுடன் தொடர்புடைய மூலைவிட்ட மேட்ரிக்ஸ்கள் மற்றும் இந்த திசையன்களை அவற்றின் முக்கிய மூலைவிட்டங்களாகக் கொண்டு, பின்வரும் அடையாளம் உள்ளதுஃ குறிப்பாக, ஒன்றின் திசையன்களைப் பயன்படுத்தி, ஹடாமார்ட் பெருக்கத்தில் உள்ள அனைத்து உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகை சூப்பர்ஸ்கிரிப்ட் டி மேட்ரிக்ஸ் இடமாற்றத்தைக் குறிக்கும் இடத்தின் தடயமாகும் என்பதை இது காட்டுகிறது, அதாவது. சதுரத்திற்கான ஒரு தொடர்புடைய முடிவு மற்றும், அவற்றின் ஹடாமார்ட் பெருக்கலின் வரிசை கூட்டுத்தொகைகள் பின்வருவனவற்றின் மூலைவிட்ட கூறுகளாகும்ஃ இதேபோல், மேலும், ஒரு ஹடாமார்ட் மேட்ரிக்ஸ்-வெக்டர் பெருக்கலை இவ்வாறு வெளிப்படுத்தலாம்ஃ மேட்ரிக்ஸின் மூலைவிட்டங்களிலிருந்து உருவாகும் திசையன் எங்கே. ஹடாமார்ட் தயாரிப்பு என்பது க்ரோனெக்கர் உற்பத்தியின் முக்கிய துணை மேட்ரிக்ஸ் ஆகும். ஹடாமார்ட் பெருக்கல் தரவரிசை சமத்துவமின்மையை திருப்திப்படுத்துகிறது மற்றும் நேர்மறை-வரையறுக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸ்கள் என்றால், ஹடாமார்ட் பெருக்கல் சம்பந்தப்பட்ட பின்வரும் சமத்துவமின்மை பின்வருமாறு உள்ளதுஃ இதன் மிகப்பெரிய ஐகென் மதிப்பு எங்கே? மூலைவிட்ட மேட்ரிக்ஸ்கள் என்றால், பின்னர் இரண்டு திசையன்களின் ஹடாமார்ட் பெருக்கல் மற்றும் மற்ற திசையனின் தொடர்புடைய மூலைவிட்ட மேட்ரிக்ஸால் ஒரு திசையனின் மேட்ரிக்ஸ் பெருக்கத்திற்கு சமம்ஃ மூலைவிட்ட மேட்ரிக்ஸ் ஆபரேட்டருக்கு திசையன் ஹடாமார்ட் பெருக்கலைப் பயன்படுத்தி வெளிப்படுத்தப்படலாம்ஃ இங்கே உறுப்புகளுடன் ஒரு நிலையான திசையன் மற்றும் அடையாள மேட்ரிக்ஸ் ஆகும். கலப்பு-தயாரிப்பு பண்பு க்ரோனெக்கர் தயாரிப்பு எங்கே, அதே பரிமாணங்களைக் கொண்டுள்ளது மற்றும் அதனுடன் உள்ளது. அங்கு முகம் பிளவுபடுத்தும் தயாரிப்பைக் குறிக்கிறது. நெடுவரிசை வாரியாக கத்ரி-ராவ் தயாரிப்பு எங்கே? ஷூர் விளைபொருள் தேற்றம் இரண்டு நேர்மறை-அரை வரையறுக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸின் ஹடாமார்ட் விளைபொருள் நேர்மறை-அரை வரையறுக்கப்பட்டதாகும். ரஷ்ய கணிதவியலாளர் இசாய் ஷுருக்குப் பிறகு இது ஷுர் தயாரிப்பு தேற்றம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இரண்டு பாசிட்டிவ்-செமிடிஃபைனைட் மேட்ரிக்ஸ்களுக்கு மற்றும், அவற்றின் ஹடாமார்ட் பெருக்கத்தின் தீர்மானிப்பவர் அந்தந்த தீர்மானிப்பவர்களின் பெருக்கலை விட அதிகமாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருப்பதாகவும் அறியப்படுகிறதுஃ ஒத்த செயல்பாடுகள் பிற ஹடாமார்ட் செயல்பாடுகள் கணித இலக்கியத்திலும் காணப்படுகின்றன, அதாவது மற்றும் (இது பின்னக் குறியீடுகளின் காரணமாக ஒரே மாதிரியாக செயல்படுகிறது), இது ஒரு மேட்ரிக்ஸுக்கு வரையறுக்கப்படுகிறதுஃ வாசிப்புகளுக்குஃ A பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறதுஃ நிரலாக்க மொழிகளில் பெரும்பாலான அறிவியல் அல்லது எண் நிரலாக்க மொழிகளில் ஹடாமார்ட் பெருக்கியானது பல்வேறு பெயர்களில் அடங்கும். நிரலாக்க மொழி ஜூலியா ஒரு பொதுவான ஒளிபரப்பு ஆபரேட்டரைப் பயன்படுத்துகிறது. எந்தவொரு செயல்பாட்டையும் உறுப்பு வாரியாகப் பயன்படுத்த. எனவே, ஹடாமார்ட் பெருக்கம் ஒளிபரப்பு பெருக்கம் என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் a உடன் குறிக்கப்படுகிறது. * b, ஹடாமார்ட் சக்திகள் a. b ஐப் பயன்படுத்துகின்றன, மேலும் f என்ற முன்னொட்டு குறியீட்டில் உள்ள எந்த செயல்பாட்டையும் f. (x) ஆகப் பயன்படுத்தலாம். இந்த பொறிமுறையின் காரணமாக, மேட்ரிக்ஸ் பெருக்கம் மற்றும் மேட்ரிக்ஸ் எக்ஸ்பொனென்ஷியல்களுக்கு முறையே * மற்றும் ^ ஐ ஒதுக்க முடியும். பைத்தானில் உள்ளமைக்கப்பட்ட வரிசை ஆதரவு இல்லை, இது சீரற்ற/முரண்பட்ட குறியீடுகளுக்கு வழிவகுக்கிறது. NumPy எண் நூலகம் a * b அல்லது a.multiply (b) ஐ ஹடாமார்ட் தயாரிப்பாக விளக்குகிறது, மேலும் மேட்ரிக்ஸ் தயாரிப்புக்கு a@b அல்லது a.matmul (b) ஐப் பயன்படுத்துகிறது. சிம்பை குறியீட்டு நூலகத்துடன், பொருள்களை a * b அல்லது a@b ஆக பெருக்குவது மேட்ரிக்ஸ் தயாரிப்பை உருவாக்கும். ஹடாமார்ட் தயாரிப்பை a.multiply_elementwise (b) என்ற முறை அழைப்பின் மூலம் பெறலாம். சில பைதான் தொகுப்புகளில் np.power (a, b), அல்லது பாண்டாஸ் முறை a.pow (b) போன்ற முறைகளைப் பயன்படுத்தி ஹடாமார்ட் சக்திகளுக்கான ஆதரவு அடங்கும். சி + + இல், ஐகென் நூலகம் வகுப்பிற்கு ஒரு cwiseProduct உறுப்பினர் செயல்பாட்டை வழங்குகிறது (a.cwiseProduct (b)), அதே நேரத்தில் ஆர்மடில்லோ நூலகம் சிறிய வெளிப்பாடுகளை உருவாக்க ஆபரேட்டர்% ஐப் பயன்படுத்துகிறது (a% b; a * b என்பது ஒரு மேட்ரிக்ஸ் தயாரிப்பு). MATLAB, GAUSS மற்றும் HP Prime இல், இந்த செயல்பாடு வரிசை பெருக்கம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஃபோர்ட்ரான், ஆர், ஏபிஎல், ஜே மற்றும் வொல்ப்ராம் மொழி (கணிதம்) ஆகியவற்றில், பெருக்க செயல்பாட்டாளர் * அல்லது × ஹடாமார்ட் பெருக்கலைப் பயன்படுத்துகிறார், அதேசமயம் மேட்ரிக்ஸ் பெருக்கல் மாட்முல்,% *%, +. ×, +/ஐப் பயன்படுத்தி எழுதப்படுகிறது. * மற்றும்., முறையே. R தொகுப்பு மேட்ரிக்ஸ்கால்க் எண் மேட்ரிக்ஸ்கள் அல்லது திசையன்களின் ஹடாமார்ட் தயாரிப்புக்கான செயல்பாட்டை hadamard.prod () அறிமுகப்படுத்துகிறது. பயன்பாடுகள் ஹடாமார்ட் தயாரிப்பு ஜேபிஇஜி போன்ற இழப்பு சுருக்க வழிமுறைகளில் தோன்றுகிறது. டிகோடிங் படி ஒரு நுழைவு-நுழைவு தயாரிப்பை உள்ளடக்கியது, வேறுவிதமாகக் கூறினால் ஹடாமார்ட் தயாரிப்பு. படச் செயலாக்கத்தில், படப் பகுதிகளை மேம்படுத்துவதற்கும், அடக்குவதற்கும் அல்லது மறைப்பதற்கும் ஹடாமார்ட் ஆபரேட்டரைப் பயன்படுத்தலாம். ஒரு மேட்ரிக்ஸ் அசல் படத்தைக் குறிக்கிறது, மற்றொன்று எடை அல்லது மறைக்கும் மேட்ரிக்ஸாக செயல்படுகிறது. இயந்திர கற்றல் இலக்கியத்தில் இது பயன்படுத்தப்படுகிறது, எடுத்துக்காட்டாக, தொடர்ச்சியான நரம்பியல் நெட்வொர்க்குகளின் கட்டமைப்பை GRU கள் அல்லது LSTM கள் என்று விவரிக்க. சீரற்ற திசையன்கள் மற்றும் மேட்ரிக்ஸின் புள்ளிவிவர பண்புகளைப் படிக்கவும் இது பயன்படுத்தப்படுகிறது. V. ஸ்லியுசரின் வரையறையின்படி, p × g மேட்ரிக்ஸ் மற்றும் p × g தொகுதிகள் () உடன் n-பரிமாண மேட்ரிக்ஸ் (n> 1) இன் ஊடுருவும் முக பெருக்கல் வடிவத்தின் அளவின் ஒரு மேட்ரிக்ஸ் ஆகும்ஃ எடுத்துக்காட்டு என்றால் முக்கிய பண்புகள் மேட்ரிக்ஸின் முக-பிளவுபடுத்தும் பெருக்கல் குறிக்கிறது, அங்கு ஒரு திசையன் உள்ளது. பயன்பாடுகள் ஊடுருவும் முக தயாரிப்பு டிஜிட்டல் ஆண்டெனா வரிசைகளின் டென்சர்-மேட்ரிக்ஸ் கோட்பாட்டில் பயன்படுத்தப்படுகிறது. இந்த செயல்பாட்டை செயற்கை நரம்பியல் நெட்வொர்க் மாதிரிகளிலும் பயன்படுத்தலாம், குறிப்பாக கன்வொல்யூஷனல் அடுக்குகள். மேலும் காண்க ஃப்ரோபீனியஸ் உள் தயாரிப்பு புள்ளி வாரியான தயாரிப்பு க்ரோனெக்கர் தயாரிப்பு கத்ரி-ராவ் தயாரிப்பு குறிப்புகள் மேட்ரிக்ஸ் கோட்பாடு