Picard–Lefschetz theory
கணிதத்தில், பிகார்ட்-லெஃப்ஷெட்ஸ் கோட்பாடு பன்மடங்கு மீது ஒரு ஹோலோமார்பிக் செயல்பாட்டின் முக்கியமான புள்ளிகளைப் பார்ப்பதன் மூலம் ஒரு சிக்கலான பன்மடங்கு இடவியலைப் படிக்கிறது. இது எமிலி பிகார்ட் தனது புத்தகத்தில் சிக்கலான மேற்பரப்புகளுக்காக அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது, மேலும் அதன் மூலம் உயர் பரிமாணங்களுக்கு நீட்டிக்கப்பட்டது. இது மோர்ஸ் கோட்பாட்டின் ஒரு சிக்கலான ஒப்புமை ஆகும், இது ஒரு உண்மையான செயல்பாட்டின் முக்கியமான புள்ளிகளைப் பார்ப்பதன் மூலம் ஒரு உண்மையான பன்மடங்கு இடவியலைப் படிக்கிறது. பிகார்ட்-லெஃப்ஷெட்ஸ் கோட்பாட்டை மேலும் பொதுவான புலங்களில் உள்ள வகைகளுக்கு விரிவுபடுத்தினார், மேலும் டிலிக்னே இந்த பொதுமைப்படுத்தலை வெயில் அனுமானங்களின் சான்றில் பயன்படுத்தினார். பிகார்ட்-லெஃப்ஷெட்ஸ் சூத்திரம் பிகார்ட்-லெஃப்ஷெட்ஸ் சூத்திரம் ஒரு முக்கியமான கட்டத்தில் மோனோட்ரோமியை விவரிக்கிறது. f என்பது ஒரு (k + 1) பரிமாண ப்ரொஜெக்டிவ் காம்ப்ளக்ஸ் பன்மடங்கு முதல் ப்ரொஜெக்டிவ் லைன் P1 வரை ஒரு ஹோலோமார்பிக் வரைபடம் என்று வைத்துக்கொள்வோம். மேலும் அனைத்து முக்கியமான புள்ளிகளும் சிதைக்கப்படாதவை மற்றும் வெவ்வேறு இழைகளில் உள்ளன, மேலும் பி 1 இல் x1,., xn படங்களைக் கொண்டுள்ளன என்று வைத்துக்கொள்வோம். P1 இல் வேறு எந்த புள்ளி x ஐயும் தேர்ந்தெடுக்கவும். அடிப்படை குழு π1 (P1-{x1,., xn}, x) என்பது xi புள்ளிகளைச் சுற்றிச் செல்லும் சுழல்களால் உருவாக்கப்படுகிறது, மேலும் ஒவ்வொரு புள்ளி xi க்கும் x இல் உள்ள இழையின் Hk (Yx) ஒத்திசைவில் ஒரு மறைந்து வரும் சுழற்சி உள்ளது. நார் சிக்கலான பரிமாணம் k ஐக் கொண்டிருப்பதால் இது நடுத்தர ஒத்திசைவு என்பதை நினைவில் கொள்க, எனவே உண்மையான பரிமாணம் 2k ஆகும். Hk (Yx) மீது π1 (P1-{x1,., xn}, x) இன் மோனோட்ரோமி செயல் பின்வருமாறு பிகார்ட்-லெஃப்ஷெட்ஸ் சூத்திரத்தால் விவரிக்கப்படுகிறது. (பிற ஹோமாலஜி குழுக்களில் மோனோட்ரோமியின் செயல்பாடு அற்பமானது.) ஒரு ஜெனரேட்டரின் மோனோட்ரோமி செயல்பாடு அடிப்படை குழுவின் wi இன் ω Hk (Yx) இல் கொடுக்கப்படுகிறது, இங்கு δi என்பது xi இன் மறைந்து போகும் சுழற்சியாகும். இந்த சூத்திரம் k = 2 க்கு (மறைந்துபோகும் சுழற்சிகளின் வெளிப்படையான குணகங்கள் இல்லாமல்) மறைமுகமாக தோன்றுகிறது. அனைத்து பரிமாணங்களிலும் வெளிப்படையான சூத்திரத்தை அளித்தார். எடுத்துக்காட்டுஃ அளவுரு மற்றும் அளவுரு எங்கு உள்ளது என்பதன் மூலம் வரையறுக்கப்பட்ட இனத்தின் ஹைப்பர்லிப்டிக் வளைவுகளின் ப்ரொஜெக்டிவ் குடும்பத்தைக் கவனியுங்கள். பின்னர், இந்த குடும்பம் எப்போது வேண்டுமானாலும் இரட்டை புள்ளி சீரழிவுகளைக் கொண்டுள்ளது. வளைவு என்பது டோரியின் இணைக்கப்பட்ட கூட்டுத்தொகை என்பதால், ஒரு பொதுவான வளைவின் குறுக்குவெட்டு வடிவம் ஒரு சிதைவைச் சுற்றியுள்ள பிகார்ட்-லெஃப்ஷெட்ஸ் சூத்திரத்தை நாம் எளிதாக கணக்கிடக்கூடிய மேட்ரிக்ஸ் ஆகும். அவை-th டோரஸிலிருந்து வரும்-சுழற்சிகள் என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர், பிகார்ட்-லெஃப்ஷெட்ஸ் சூத்திரம்-th டோரஸ் மறைந்துபோகும் சுழற்சியைக் கொண்டிருக்கிறதா என்று படிக்கிறது. இல்லையெனில் அது அடையாள வரைபடம். மேலும் காண்க லெஃப்ஷெட்ஸ் பென்சில் குறிப்புகள் இயற்கணித வடிவியல்