P-adic gamma function
கணிதத்தில், p-adic காமா சார்பு என்பது காமா சார்பு ஒத்த p-adic மாறியின் செயல்பாடாகும். இது முதலில் வெளிப்படையாக வரையறுக்கப்பட்டது, இருப்பினும் மறைமுகமாக அதே செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தியது என்று சுட்டிக்காட்டப்பட்டது. இதற்கு முன்பு காமா செயல்பாட்டின் வேறுபட்ட p-adic அனலாக் பற்றிய வரையறையை வழங்கியிருந்தார், ஆனால் அவரது செயல்பாடு திருப்திகரமான பண்புகளைக் கொண்டிருக்கவில்லை மற்றும் அதிகம் பயன்படுத்தப்படவில்லை. வரையறை p-adic காமா செயல்பாடு என்பது ஒரு p-adic முழு எண் x (மதிப்புகளுடன்) இன் தனித்துவமான தொடர்ச்சியான செயல்பாடாகும், அதாவது நேர்மறை முழு எண்கள் x க்கு, பெருக்கல் p ஆல் வகுக்கப்படாத முழு எண்களுக்கு மட்டுப்படுத்தப்பட்டிருக்கும். இங்கே p-adic முழு எண்களின் வளையம் உள்ளது. இன் மதிப்புகள் தலைகீழாக உள்ளன என்ற வரையறையிலிருந்து இது பின்பற்றப்படுகிறது; ஏனென்றால் இந்த மதிப்புகள் p ஆல் வகுக்கப்படாத முழு எண்களின் பெருக்குகளாகும், மேலும் இந்த பண்பு தொடர்ச்சியான நீட்டிப்புக்குப் பிறகு உள்ளது. இவ்வாறு. இங்கே தலைகீழ் p-adic முழு எண்களின் தொகுப்பு உள்ளது. p-adic காமா செயல்பாட்டின் அடிப்படை பண்புகள் கிளாசிக்கல் காமா செயல்பாடு எந்தவொரு செயல்பாட்டு சமன்பாட்டையும் திருப்திப்படுத்துகிறது. மொரிட்டா காமா செயல்பாட்டைப் பொறுத்தவரை இது ஒரு ஒப்புமையைக் கொண்டுள்ளதுஃ யூலரின் பிரதிபலிப்பு சூத்திரம் p-adic வழக்கில் பின்வரும் எளிய எதிர்வினையைக் கொண்டுள்ளதுஃ x இன் p-adic விரிவாக்கத்தில் முதல் இலக்கமானது எங்கே, இந்த விஷயத்தில் 0 ஐ விட. சிறப்பு மதிப்புகள் மற்றும், பொதுவாக, மொரிட்டா காமா செயல்பாட்டில் லெஜெண்டர் சின்னத்துடன் தொடர்புடையதுஃ இதையும் காணலாம், எனவே. பிற சுவாரஸ்யமான சிறப்பு மதிப்புகள் கிராஸ்-கோப்லிட்ஸ் சூத்திரத்திலிருந்து வருகின்றன, இது முதலில் கோஹோமோலாஜிக்கல் கருவிகளால் நிரூபிக்கப்பட்டது, பின்னர் மேலும் அடிப்படை முறைகளைப் பயன்படுத்தி நிரூபிக்கப்பட்டது. எடுத்துக்காட்டாக, இங்கு முதல் இலக்க 3 உடன் வர்க்க மூலத்தைக் குறிக்கிறது, மேலும் முதல் இலக்க 2 உடன் வர்க்க மூலத்தைக் குறிக்கிறது. (நாம் வேர்களைப் பற்றி பேசினால் இத்தகைய விவரக்குறிப்புகள் எப்போதும் செய்யப்பட வேண்டும்.) மற்றொரு எடுத்துக்காட்டு என்னவென்றால், 1 மாடுலோ 3 க்கு ஒத்திருக்கும் வர்க்கமூலம் எங்கே. p-adic Raabe சூத்திரம் கிளாசிக்கல் காமா செயல்பாட்டிற்கான ராபே-சூத்திரம் இது மோரிட்டா காமா செயல்பாட்டின் இவாசாவா மடக்கைக்கு ஒரு ஒப்புமையைக் கொண்டுள்ளது என்று கூறுகிறதுஃ உச்சவரம்பு செயல்பாட்டை p-adic வரம்பாக பகுத்தறிவு முழு எண்கள் மூலம் புரிந்து கொள்ள வேண்டும். கிளாசிக்கல் பகுப்பாய்வில் டெய்லர் விரிவாக்கம் போலவே p-adic செயல்பாடுகளுக்கும் மஹ்லர் விரிவாக்கம் முக்கியமானது. p-adic காமா செயல்பாட்டின் மஹ்லர் விரிவாக்கம் பின்வருமாறுஃ இங்கு வரிசை பின்வரும் அடையாளத்தால் வரையறுக்கப்படுகிறதுஃ மேலும் காண்க மொத்த-கோப்லிட்ஸ் சூத்திரம் குறிப்புகள் எண் கோட்பாடு P-adic எண்கள்