Smooth completion
இயற்கணித வடிவவியலில், ஒரு மென்மையான அஃபைன் இயற்கணித வளைவு X இன் மென்மையான நிறைவு (அல்லது மென்மையான சுருக்கம்) ஒரு முழுமையான மென்மையான இயற்கணித வளைவு ஆகும், இது X ஐ திறந்த துணைக்குழுவாகக் கொண்டுள்ளது. மென்மையான முழுமைகள் உள்ளன மற்றும் ஒரு சரியான புலத்தில் தனித்துவமானவை. எடுத்துக்காட்டுகள் ஒரு ஹைப்பர்லிப்டிக் வளைவின் ஒரு அஃபைன் வடிவம் எங்கே மற்றும் () தனித்துவமான வேர்களைக் கொண்டுள்ளது மற்றும் குறைந்தது 5 டிகிரியைக் கொண்டுள்ளது. சேர்க்கப்பட்ட தனித்துவமான எல்லையற்ற புள்ளியில் அஃபைன் வளைவின் ஜாரிஸ்கி மூடல் ஒருமை. ஆயினும்கூட, அஃபைன் வளைவை அதன் மென்மையான நிறைவு என்று அழைக்கப்படும் ஒரு தனித்துவமான சிறிய ரீமன் மேற்பரப்பில் உட்பொதிக்க முடியும். ரீமன் மேற்பரப்பின் ப்ரொஜெக்ஷன் சம டிகிரியைக் கொண்டிருந்தால் முடிவிலியில் உள்ள ஒருமை புள்ளிக்கு மேல் 2 முதல் 1 வரை இருக்கும், இல்லையெனில் 1 முதல் 1 வரை (ஆனால் விரிவாக்கம் செய்யப்படுகிறது). இந்த சுமூகமான நிறைவு பின்வருமாறு பெறப்படலாம். x-ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தி அஃபைன் கோட்டிற்கு அஃபைன் வளைவை திட்டமிடுங்கள். அஃபைன் கோட்டை ப்ரொஜெக்டிவ் கோட்டில் உட்பொதிக்கவும், பின்னர் அஃபைன் வளைவின் செயல்பாட்டு புலத்தில் ப்ரொஜெக்டிவ் கோட்டின் இயல்பாக்கத்தை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். பயன்பாடுகள் இயற்கணித ரீதியாக மூடப்பட்ட புலத்தின் மீது ஒரு மென்மையான இணைக்கப்பட்ட வளைவு ஹைபர்போலிக் என்று அழைக்கப்படுகிறது, இங்கு g என்பது மென்மையான முடிவின் இனமாகும் மற்றும் r என்பது சேர்க்கப்பட்ட புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை. 0 என்ற இயல்புடைய இயற்கணித மூடிய புலத்தின் மீது, r> 0 என்றால் X இன் அடிப்படை குழு ஜெனரேட்டர்களுடன் இலவசமாக இருக்கும். (டிரிக்லெட்டின் அலகு தேற்றத்தின் அனலாக்) X ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட புலத்தின் மீது மென்மையான இணைக்கப்பட்ட வளைவாக இருக்கட்டும். பின்னர் X இல் வழக்கமான செயல்பாடுகளின் வளையத்தின் அலகுகள் O (X) என்பது r-1 தரவரிசையில் இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட அபெலியன் குழுவாகும். கட்டுமானம் அடிப்படை புலம் சரியானது என்று வைத்துக்கொள்வோம். எந்தவொரு அஃபைன் வளைவு X ஒரு ஒருங்கிணைந்த ப்ரொஜெக்டிவ் (எனவே முழுமையான) வளைவின் திறந்த துணைக்குழுவிற்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும். ப்ரொஜெக்டிவ் வளைவின் இயல்பாக்கத்தை (அல்லது ஒருமைப்பாட்டை வீசுதல்) எடுத்துக்கொள்வது பின்னர் X இன் சுமூகமான முடிவைக் கொடுக்கிறது. அவற்றின் புள்ளிகள் அடிப்படை புலத்தில் அற்பமான செயல்பாட்டு புலத்தின் தனித்துவமான மதிப்பீடுகளுடன் ஒத்திருக்கின்றன. கட்டுமானத்தின் மூலம், மென்மையான நிறைவு என்பது ஒரு திட்ட வளைவாகும், இது கொடுக்கப்பட்ட வளைவை எல்லா இடங்களிலும் அடர்த்தியான திறந்த துணைக்குழுவாகக் கொண்டுள்ளது, மேலும் சேர்க்கப்பட்ட புதிய புள்ளிகள் மென்மையாக இருக்கும். அத்தகைய (திட்டவட்டமான) நிறைவு எப்போதும் உள்ளது மற்றும் தனித்துவமானது. அடிப்படை புலம் சரியானதாக இல்லாவிட்டால், ஒரு மென்மையான அஃபைன் வளைவின் மென்மையான நிறைவு எப்போதும் இருக்காது. ஆனால் மேற்கூறிய செயல்முறை எப்போதும் ஒரு வழக்கமான அஃபைன் வளைவுடன் தொடங்கினால் ஒரு வழக்கமான முடிவை உருவாக்குகிறது (மென்மையான வகைகள் வழக்கமானவை, மற்றும் சரியான புலங்களுக்கு நேர்மாறாக உண்மை). ஒரு வழக்கமான நிறைவு தனித்துவமானது மற்றும், சரியான மதிப்பீட்டு அளவுகோலால், அஃபைன் வளைவிலிருந்து ஒரு முழுமையான இயற்கணித வகைக்கு எந்தவொரு உருவமும் வழக்கமான நிறைவு வரை தனித்துவமாக விரிவடைகிறது. X ஒரு பிரிக்கப்பட்ட இயற்கணித வகையாக இருந்தால், நாகதாவின் ஒரு தேற்றம் X ஐ ஒரு முழுமையான இயற்கணித வகையின் திறந்த துணைக்குழுவாக உட்பொதிக்க முடியும் என்று கூறுகிறது. X மேலும் மென்மையாகவும், அடிப்படை புலம் பண்பு 0 ஆகவும் இருந்தால், ஹிரொனகாவின் தேற்றத்தின் படி X ஐ ஒரு முழுமையான மென்மையான இயற்கணித வகையின் திறந்த துணைக்குழுவாக உட்பொதிக்கலாம், எல்லை ஒரு இயல்பான குறுக்குவெட்டு வகுத்தி. X அரை-திட்டவட்டமாக இருந்தால், மென்மையான நிறைவு திட்டவட்டமாக இருக்க தேர்வு செய்யப்படலாம். இருப்பினும், ஒரு பரிமாண வழக்கு மாறாக, மென்மையான நிறைவு எந்த தனித்துவம் உள்ளது, அல்லது அது நியமனம் இல்லை. ஹைப்பர்லிப்டிக் வளைவு போல்சா மேற்பரப்பு குறிப்புகள் நூலியல் பற்றியும் பார்க்கவும் (அத்தியாயம் 4 ஐப் பார்க்கவும்). இயற்கணித வடிவியல் ரீமன் மேற்பரப்பு இயற்கணித வளைவுகள் பிறப்பு வடிவியல்