Matrix Chernoff bound
நேரியல் இயற்கணிதத்தில் உள்ள சில பயன்பாடுகளுக்கு, சீரற்ற மேட்ரிக்ஸின் வரையறுக்கப்பட்ட கூட்டுத்தொகையின் மிகப்பெரிய ஐகென் மதிப்பின் நிகழ்தகவு விநியோகத்தின் பண்புகளை அறிவது பயனுள்ளதாக இருக்கும். சீரற்ற மேட்ரிக்ஸின் வரையறுக்கப்பட்ட வரிசை என்று வைத்துக்கொள்வோம். அளவீடுகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு நன்கு அறியப்பட்ட செர்னாஃப் பிணைப்புக்கு ஒத்ததாக, பின்வருவனவற்றின் மீது ஒரு வரம்பு கொடுக்கப்பட்ட அளவுரு t க்கு தேடப்படுகிறதுஃ பின்வரும் கோட்பாடுகள் இந்த பொதுவான கேள்விக்கு பல்வேறு அனுமானங்களின் கீழ் பதிலளிக்கின்றன; இந்த அனுமானங்கள் அவற்றின் கிளாசிக்கல், அளவிடக்கூடிய சகாக்களுடன் ஒப்புமை மூலம் கீழே பெயரிடப்பட்டுள்ளன. இந்த கோட்பாடுகள் அனைத்தையும் கீழே பெறப்பட்ட ஒரு பொதுவான முடிவின் குறிப்பிட்ட பயன்பாடாக காணலாம். இது தொடர்பான படைப்புகளின் சுருக்கம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. மேட்ரிக்ஸ் காஸியன் மற்றும் ராடெமாச்சர் தொடர் சுய-இணை அணிகள் வழக்கு பரிமாணத்துடன் நிலையான, சுய-இணை அணிகளின் வரையறுக்கப்பட்ட வரிசையைக் கருத்தில் கொள்ளுங்கள், மேலும் சுயாதீனமான நிலையான இயல்பான அல்லது சுயாதீனமான ராடெமாச்சர் சீரற்ற மாறிகளின் வரையறுக்கப்பட்ட வரிசையாக இருக்கட்டும். பின்னர், அனைவருக்கும், செவ்வக வழக்கு பரிமாணத்துடன் நிலையான, சுய-இணைந்த மேட்ரிக்ஸின் வரையறுக்கப்பட்ட வரிசையைக் கருத்தில் கொள்ளுங்கள், மேலும் சுயாதீனமான நிலையான இயல்பான அல்லது சுயாதீனமான ராடெமாச்சர் சீரற்ற மாறிகளின் வரையறுக்கப்பட்ட வரிசையாக இருக்கட்டும். மாறுபாடு அளவுருவை வரையறுக்கவும் பின்னர், அனைவருக்கும், மேட்ரிக்ஸ் செர்னோஃப் ஏற்றத்தாழ்வுகள் கிளாசிக்கல் செர்னோஃப் வரம்புகள் சுயாதீனமான, எதிர்மறை அல்லாத மற்றும் சீரான வரம்புக்குட்பட்ட சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டுத்தொகையைப் பற்றியது. மேட்ரிக்ஸ் அமைப்பில், ஒத்த தேற்றம் ஒரு சீரான ஐகென் மதிப்பு பிணைப்புக்கு உட்பட்டு நேர்மறை-சமச்சீர் சீரற்ற மேட்ரிக்ஸின் கூட்டுத்தொகையைப் பற்றியது. மேட்ரிக்ஸ் செர்னாஃப் I பரிமாணத்துடன் சுயாதீனமான, சீரற்ற, சுய-இணைந்த மேட்ரிக்ஸின் வரையறுக்கப்பட்ட வரிசையைக் கருத்தில் கொள்கிறது. ஒவ்வொரு சீரற்ற மேட்ரிக்ஸும் கிட்டத்தட்ட நிச்சயமாக திருப்தி அளிக்கிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் மேட்ரிக்ஸ் செர்னாஃப் II ஐ வரையறுக்கவும் கிட்டத்தட்ட நிச்சயமாக திருப்திப்படுத்தும் சுயாதீனமான, சீரற்ற, சுய-இணைந்த மேட்ரிக்ஸின் வரிசையைக் கவனியுங்கள். சராசரி எதிர்பார்ப்பின் குறைந்தபட்ச மற்றும் அதிகபட்ச ஐகென் மதிப்புகளைக் கணக்கிடுங்கள், பின்னர் பைனரி தகவல் வேறுபாடு வரையறுக்கப்படுகிறது. மேட்ரிக்ஸ் பென்னட் மற்றும் பெர்ன்ஸ்டைன் ஏற்றத்தாழ்வுகள் அளவிடுதல் அமைப்பில், பென்னட் மற்றும் பெர்ன்ஸ்டைன் ஏற்றத்தாழ்வுகள் சுயாதீனமான, பூஜ்ஜிய-பொருள் சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டுத்தொகையின் மேல் வாலை விவரிக்கின்றன, அவை வரம்புக்குட்பட்டவை அல்லது சப்எக்ஸ்போனென்ஷியல் ஆகும். மேட்ரிக்ஸ் விஷயத்தில், ஒத்த முடிவுகள் பூஜ்ஜிய-பொருள் சீரற்ற மேட்ரிக்ஸின் கூட்டுத்தொகையைப் பற்றியது. எல்லைக்குட்பட்ட வழக்கு பரிமாணத்துடன் சுயாதீனமான, சீரற்ற, சுய-இணைந்த மேட்ரிக்ஸின் வரையறுக்கப்பட்ட வரிசையைக் கவனியுங்கள். ஒவ்வொரு சீரற்ற மேட்ரிக்ஸும் கிட்டத்தட்ட நிச்சயமாக திருப்தி அளிக்கிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம். மொத்த மாறுபாட்டின் நெறிமுறையை கணக்கிடுங்கள், பின்னர், பின்வரும் சமத்துவமின்மைகளின் சங்கிலி அனைவருக்கும் பொருந்தும்ஃ செயல்பாடு வரையறுக்கப்படுகிறது. சப்எக்ஸ்போனென்ஷியல் வழக்கு பரிமாணத்துடன் சுயாதீனமான, சீரற்ற, சுய-இணைந்த மேட்ரிக்ஸின் வரையறுக்கப்பட்ட வரிசையைக் கவனியுங்கள். அதற்காக என்று வைத்துக்கொள்வோம். மாறுபாடு அளவுருவைக் கணக்கிடுங்கள், பின்னர், பின்வரும் சமத்துவமின்மைகளின் சங்கிலி அனைவருக்கும் பொருந்தும்ஃ செவ்வக வழக்கு பரிமாணத்துடன் சுயாதீனமான, சீரற்ற, மேட்ரிக்ஸின் வரையறுக்கப்பட்ட வரிசையைக் கவனியுங்கள். ஒவ்வொரு சீரற்ற மேட்ரிக்ஸும் கிட்டத்தட்ட நிச்சயமாக திருப்தி அளிக்கிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர், அனைத்து பிடிப்புகளுக்கும் மாறுபாடு அளவுருவை வரையறுக்கவும். மேட்ரிக்ஸ் அசுமா, ஹோஃப்டிங் மற்றும் மெக்டியர்மிட் ஏற்றத்தாழ்வுகள் மேட்ரிக்ஸ் அசுமா அசுமாவின் சமத்துவமின்மையின் அளவிடுதல் பதிப்பு ஒரு அளவிடுதல் மார்டிங்கேல் அதன் சராசரி மதிப்பைப் பற்றி இயல்பான செறிவை வெளிப்படுத்துகிறது என்றும், விலகல்களுக்கான அளவு வேறுபாடு வரிசையின் மொத்த அதிகபட்ச சதுர வரம்பால் கட்டுப்படுத்தப்படுகிறது என்றும் கூறுகிறது. பின்வருபவை மேட்ரிக்ஸ் அமைப்பில் உள்ள நீட்டிப்பாகும். பரிமாணத்துடன் கூடிய சுய-இணைவு மேட்ரிக்ஸின் வரையறுக்கப்பட்ட தழுவிய வரிசையையும், கிட்டத்தட்ட நிச்சயமாக திருப்திப்படுத்தும் சுய-இணைவு மேட்ரிக்ஸின் நிலையான வரிசையையும் கருத்தில் கொள்ளுங்கள். மாறுபாடு அளவுருவைக் கணக்கிடுங்கள் பின்னர், கூடுதல் தகவல்கள் கிடைக்கும்போது அனைத்து நிலையான 1/8 ஐ 1/2 ஆக மேம்படுத்தலாம். ஒவ்வொரு கூட்டுத்தொகையும் நிபந்தனையுடன் சமச்சீராக இருக்கும்போது ஒரு வழக்கு நிகழ்கிறது. மற்றொரு உதாரணத்திற்கு கிட்டத்தட்ட நிச்சயமாக பயணிக்கும் அனுமானம் தேவைப்படுகிறது. மேட்ரிக்ஸ் அசோமாவில் உள்ள கூட்டுத்தொகைகள் சுயாதீனமானவை என்ற மேட்ரிக்ஸ் ஹோஃப்டிங் பிளேசிங் கூட்டல் அனுமானம் ஹோஃப்டிங்கின் ஏற்றத்தாழ்வுகளின் மேட்ரிக்ஸ் நீட்டிப்பை வழங்குகிறது. பரிமாணத்துடன் சுயாதீனமான, சீரற்ற, சுய-இணை அணிகளின் வரையறுக்கப்பட்ட வரிசையைக் கவனியுங்கள், மேலும் நிலையான சுய-இணை அணிகளின் வரிசையாக இருக்கட்டும். ஒவ்வொரு சீரற்ற மேட்ரிக்ஸும் கிட்டத்தட்ட நிச்சயமாக திருப்தி அளிக்கிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர், இந்த முடிவின் முன்னேற்றம் நிறுவப்பட்ட அனைத்திற்கும்ஃ மேட்ரிக்ஸ் வரம்புக்குட்பட்ட வேறுபாடு (மெக்டியர்மிட்) அளவிடுதல் அமைப்பில், மெக்டியர்மிட்டின் சமத்துவமின்மை ஒரு டூப் மார்டிங்கேலுக்கு அசுமாவின் சமத்துவமின்மையைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் வேறுபாடுகளைக் கட்டுப்படுத்தும் ஒரு பொதுவான வழியை வழங்குகிறது. வரையறுக்கப்பட்ட வேறுபாடுகள் சமத்துவமின்மையின் ஒரு பதிப்பு மேட்ரிக்ஸ் அமைப்பில் உள்ளது. ஒரு சுயாதீனமான, சீரற்ற மாறிகளின் குடும்பமாக இருக்கட்டும், மேலும் மாறிகளை பரிமாணத்தின் சுய-இணைந்த மேட்ரிக்ஸுக்கு வரைபடமாக்கும் ஒரு செயல்பாடாக இருக்கட்டும். ஒவ்வொரு குறியீட்டிற்கும் சாத்தியமான அனைத்து மதிப்புகளையும் பூர்த்தி செய்யும் நிலையான சுய-இணை அணிகளின் வரிசையைக் கவனியுங்கள். மாறுபாடு அளவுருவைக் கணக்கிடுங்கள் பின்னர், எல்லா இடங்களுக்கும். இந்த முடிவின் முன்னேற்றம் நிறுவப்பட்டது (மேலும் காண்க): அனைவருக்கும் எங்கே மற்றும் தொடர்புடைய கோட்பாடுகளின் கணக்கெடுப்பு இந்த வகையின் முதல் வரம்புகள் மூலம் பெறப்பட்டன. சுய-இணைப்பு மேட்ரிக்ஸ் காஸியன் மற்றும் ராடெமாச்சர் வரம்புகளுக்கு மேலே உள்ள தேற்றத்தை நினைவுகூருங்கள்ஃ பரிமாணத்துடன் கூடிய நிலையான, சுய-இணைப்பு மேட்ரிக்ஸின் வரையறுக்கப்பட்ட வரிசைக்கும், சுயாதீனமான நிலையான இயல்பான அல்லது சுயாதீனமான ராடெமாச்சர் சீரற்ற மாறிகளின் வரையறுக்கப்பட்ட வரிசைக்கும், பின்னர் அஹ்ல்ஸ்வீட் மற்றும் விண்டர் அதே முடிவைக் கொடுக்கும், தவிர. ஒப்பிடுகையில், மேலே உள்ள தேற்றத்தில் கம்யூட்ஸ் மற்றும்; அதாவது, இது மிகப்பெரிய ஐகென் மதிப்புகளின் கூட்டுத்தொகையை விட கூட்டுத்தொகையின் மிகப்பெரிய ஐகென் மதிப்பு ஆகும். இது அஹ்ல்ஸ்வீட்-குளிர்கால மதிப்பை விட ஒருபோதும் பெரியதாக இருக்காது (வழக்கமான முக்கோண சமத்துவமின்மையால்), ஆனால் மிகவும் சிறியதாக இருக்கலாம். எனவே, மேலே உள்ள தேற்றம் அஹ்ல்ஸ்வீட்-குளிர்கால முடிவை விட இறுக்கமான வரம்பைக் கொடுக்கிறது. இதன் முக்கிய பங்களிப்பு ஸ்கேலர செர்னோஃப் பிணைப்பை நிரூபிக்கப் பயன்படுத்தப்படும் லாப்லேஸ்-டிரான்ஸ்ஃபார்ம் முறையின் விரிவாக்கமாகும் (செர்னோஃப் bound#Additive படிவத்தைப் பார்க்கவும் (முழுமையான பிழை)) சுய-இணைவு மேட்ரிக்ஸ்களின் விஷயத்தில். கீழே உள்ள வழித்தோன்றலில் கொடுக்கப்பட்டுள்ள செயல்முறை. இந்த தலைப்பில் சமீபத்திய படைப்புகள் அனைத்தும் இதே நடைமுறையைப் பின்பற்றுகின்றன, மேலும் முக்கிய வேறுபாடுகள் அடுத்தடுத்த படிகளிலிருந்து பின்பற்றப்படுகின்றன. அஹ்ல்ஸ்வீட் மற்றும் விண்டர் தொடர்ந்து செல்ல கோல்டன்-தாம்சன் சமத்துவமின்மையைப் பயன்படுத்துகிறார்கள், அதே நேரத்தில் ட்ராப் லீப்பின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துகிறார். வலது புறத்தை தோராயமாக நிலையானதாக வைத்திருக்கும்போது, தொடரின் நீளம் (n) மற்றும் மேட்ரிக்ஸின் பரிமாணங்களை (d) மாற்ற ஒருவர் விரும்பினார் என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் n தோராயமாக d இன் பதிவாக மாறுபட வேண்டும். பல ஆவணங்கள் பரிமாணங்களைச் சார்ந்து இல்லாமல் ஒரு வரியை நிறுவ முயற்சித்துள்ளன. ருடெல்சன் மற்றும் வெர்சினின் இரண்டு திசையன்களின் வெளிப்புற பெருக்கலாக இருக்கும் மேட்ரிக்ஸ்களுக்கு ஒரு முடிவைக் கொடுக்கின்றன. குறைந்த தரவரிசை மெட்ரிக்குகளுக்கான பரிமாண சார்பு இல்லாமல் ஒரு முடிவை வழங்குதல். அசல் முடிவு அஹ்ல்ஸ்வீட்-குளிர்கால அணுகுமுறையிலிருந்து சுயாதீனமாக பெறப்பட்டது, ஆனால் அஹ்ல்ஸ்வீட்-குளிர்கால அணுகுமுறையைப் பயன்படுத்தி இதேபோன்ற முடிவை நிரூபிக்கிறது. இறுதியாக, ஆலிவேரா அஹ்ல்ஸ்வீட்-குளிர்கால கட்டமைப்பிலிருந்து சுயாதீனமாக மேட்ரிக்ஸ் மார்டிங்கேல்களுக்கான முடிவை நிரூபிக்கிறது. அஹ்ல்ஸ்வீட்-குளிர்கால கட்டமைப்பைப் பயன்படுத்தி டிராப் முடிவை சற்று மேம்படுத்துகிறது. இந்த கட்டுரையில் எந்த முடிவும் வழங்கப்படவில்லை. வழித்தோன்றல் மற்றும் ஆதாரம் அஹ்ல்ஸ்வீட் மற்றும் குளிர்காலம் இதில் காணப்படும் லாப்லேஸ் உருமாற்ற வாதம் அதன் சொந்த உரிமையில் ஒரு குறிப்பிடத்தக்க விளைவாகும்ஃ ஒரு சீரற்ற சுய-இணைவு மேட்ரிக்ஸாக இருக்கட்டும். பின்னர் இதை நிரூபிக்க, சரிசெய்யவும். பின்னர் இரண்டாவது முதல் கடைசி சமத்துவமின்மை என்பது மார்கோவின் சமத்துவமின்மை. கடைசி சமத்துவமின்மை அப்போதிருந்து தொடர்கிறது. இடது-மிக அளவு சுயாதீனமாக இருப்பதால், எல்லையற்ற ஓவர் அதற்கு மேல் வரம்பாக உள்ளது. எனவே, நமது பணி புரிந்துகொள்வதாகும், இருப்பினும், சுவடு மற்றும் எதிர்பார்ப்பு இரண்டும் நேரியல் என்பதால், நாம் அவற்றை மாற்றலாம், எனவே கருத்தில் கொள்வது போதுமானது, இதை நாம் மேட்ரிக்ஸ் உருவாக்கும் செயல்பாடு என்று அழைக்கிறோம். இங்குதான் முறைகள் வேறுபடுகின்றன. உடனடியாக அடுத்த விளக்கக்காட்சி பின்வருமாறு. கோல்டன்-தாம்சன் சமத்துவமின்மை என்பதைக் குறிக்கிறது, அங்கு நாம் எதிர்பார்ப்பின் நேரியல் தன்மையை பல முறை பயன்படுத்தினோம். என்று வைத்துக்கொள்வோம். இந்த முடிவை மீண்டும் செய்வதன் மூலம் ஒரு மேல் வரம்பைக் காணலாம். இதை மீண்டும் மீண்டும் செய்தால், நாம் பெறுவோம் என்பதைக் குறிப்பிடுகையில், இதுவரை ஒரு வரம்பற்ற ஓவர் கொண்ட வரம்பைக் கண்டறிந்தோம். இதையொட்டி, இது வரம்புக்குட்பட்டதாக இருக்கலாம். எவ்வாறாயினும், அஹ்ல்ஸ்வீட்-குளிர்கால வரம்பு எவ்வாறு மிகப்பெரிய ஐகென் மதிப்புகளின் கூட்டுத்தொகையாக எழுகிறது என்பதை ஒருவர் காணலாம். ட்ரோப்பின் முக்கிய பங்களிப்பு லீப்பின் தேற்றத்தின் பயன்பாடாகும், அங்கு கோல்டன்-தாம்சன் சமத்துவமின்மையைப் பயன்படுத்தியது. ட்ரோப்பின் விளைவு பின்வருமாறுஃ ஒரு நிலையான சுய-இணைப்பு மேட்ரிக்ஸ் மற்றும் ஒரு சீரற்ற சுய-இணைப்பு மேட்ரிக்ஸ் என்றால், ஆதாரம்ஃ லெட். பின்னர் லீப்பின் தேற்றம் குழிவானது என்று நமக்குச் சொல்கிறது. செயல்பாட்டிற்குள் எதிர்பார்ப்பை நகர்த்த ஜென்சனின் சமத்துவமின்மையைப் பயன்படுத்துவதே இறுதி கட்டமாகும்ஃ இது காகிதத்தின் முக்கிய முடிவை நமக்குத் தருகிறதுஃ மேட்ரிக்ஸ் உருவாக்கும் செயல்பாட்டின் பதிவின் துணை சேர்க்கை. log mgf இன் துணைச்சேர்க்கை சுயாதீனமான, சீரற்ற சுய-இணை அணிகளின் வரையறுக்கப்பட்ட வரிசையாக இருக்கட்டும். பின்னர் அனைவருக்கும், சான்றுஃ அனுமதிக்க போதுமானது. வரையறைகளை விரிவுபடுத்துவதன் மூலம், ஆதாரத்தை முடிக்க, நாம் மொத்த எதிர்பார்ப்பின் விதியைப் பயன்படுத்துகிறோம் என்பதைக் காட்ட வேண்டும். எதிர்பார்ப்பு நிபந்தனைக்குட்பட்டதாக இருக்கட்டும். இவை அனைத்தும் சுயாதீனமானவை என்று நாம் கருதுவதால், வரையறுக்கவும். இறுதியாக, ஒவ்வொரு படிநிலையிலும் m ஐ மாஸ்டர் வால் பிணைப்புடன் ட்ராப்ஸ் கோரோலரியைப் பயன்படுத்துகிறோம் பின்வருபவை முந்தைய முடிவிலிருந்து உடனடியாக உள்ளனஃ மேலே கொடுக்கப்பட்ட அனைத்து கோட்பாடுகளும் இந்த வரம்பிலிருந்து பெறப்படுகின்றன; கோட்பாடுகள் முடிவிலியை பிணைக்க பல்வேறு வழிகளைக் கொண்டுள்ளன. கொடுக்கப்பட்ட சான்றுகளை விட இந்த படிகள் கணிசமாக எளிமையானவை. குறிப்புகள் நேரியல் இயற்கணிதம்