Cardinal characteristic of the continuum
தொகுப்புக் கோட்பாட்டின் கணிதத் துறையில், தொடர்ச்சியின் கார்டினல் பண்பு என்பது எல்லையற்ற கார்டினல் எண் ஆகும், இது (இயற்கையான எண்களின் தொகுப்பின் கார்டினாலிட்டி) மற்றும் தொடர்ச்சியின் கார்டினாலிட்டி, அதாவது அனைத்து உண்மையான எண்களின் தொகுப்பின் கார்டினாலிட்டி ஆகியவற்றுக்கு இடையில் கண்டிப்பாக இருக்கக்கூடும். பிந்தைய கார்டினல் குறிக்கப்படுகிறது அல்லது. இத்தகைய பல்வேறு கார்டினல் பண்புகள் இயற்கையாகவே எழுகின்றன, மேலும் அவற்றுக்கிடையேயான உறவுகள் நிரூபிக்கக்கூடியவை என்பதை தீர்மானிப்பதிலும், அவற்றின் பல்வேறு நிலையான உள்ளமைவுகளுக்கான தொகுப்புக் கோட்பாட்டின் மாதிரிகளை உருவாக்குவதிலும் அதிக வேலை செய்யப்பட்டுள்ளது. பின்னணி கேண்டரின் மூலைவிட்ட வாதம் அதை விட கண்டிப்பாக பெரியது என்பதைக் காட்டுகிறது, ஆனால் இது (அதாவது,) விட குறைந்த கார்டினல் பெரியதா என்பதைக் குறிப்பிடவில்லை. உண்மையில் நன்கு அறியப்பட்ட கான்டினியம் கருதுகோள் என்ற அனுமானம், இது கர்ட் கோடலின் செட் கோட்பாட்டிற்கான நிலையான ZFC கோட்பாடுகளுடன் ஒத்துப்போகிறது என்றும் பால் கோஹனால் அதிலிருந்து சுயாதீனமாக இருப்பதாகவும் காட்டப்பட்டது. கான்டினியம் கருதுகோள் தோல்வியுற்றால், குறைந்தபட்சம், கார்டினல்களைப் பற்றி இயற்கையான கேள்விகள் எழுகின்றன, எடுத்துக்காட்டாக லெபெஸ்கூ அளவிடுதல் குறித்து. சில சொத்துக்களுடன் குறைந்த கார்டினலைக் கருத்தில் கொள்வதன் மூலம், ஒரு கணக்கிட முடியாத கார்டினலுக்கான வரையறையைப் பெறலாம், இது தொடர்ந்து குறைவாக உள்ளது. பொதுவாக ஒருவர் கார்டினல்களுக்கான வரையறைகளை மட்டுமே கருத்தில் கொள்கிறார், அவை தொடர்ச்சியின் கார்டினல் பண்புகளாக நிரூபிக்கக்கூடிய வகையில் பெரியவை மற்றும் அதிகபட்சமாக உள்ளன, எனவே காண்டினியம் கருதுகோள் இருந்தால் அவை அனைத்தும் சமமானவை. எடுத்துக்காட்டுகள் தொகுப்புக் கோட்பாட்டில் நிலையானதாக இருப்பதால், குறைந்தபட்ச எல்லையற்ற வரிசை மூலம் குறிக்கிறோம், இது கார்டினாலிட்டியைக் கொண்டுள்ளது; இது அனைத்து இயற்கை எண்களின் தொகுப்புடனும் அடையாளம் காணப்படலாம். லெபெஸ்கூ பூஜ்ய செட்டுகளின் இலட்சியம் மற்றும் அற்பமான செட்டுகளின் இலட்சியம் போன்ற உண்மையான கட்டமைப்புடன் நெருக்கமாக இணைக்கப்பட்டுள்ள இலட்சியங்களுக்கான கார்டினல் மாறுபாடுகளாக பல கார்டினல் பண்புகள் இயற்கையாகவே எழுகின்றன. (N) அல்லாத கார்டினல் பண்பு அல்லாத () என்பது அளவிட முடியாத தொகுப்பின் குறைந்தபட்ச கார்டினாலிட்டி ஆகும்; சமமாக, இது ஒரு லெபெஸ்கூ பூஜ்ய தொகுப்பு அல்லாத ஒரு தொகுப்பின் குறைந்தபட்ச கார்டினாலிட்டி ஆகும். பிணைப்பு எண் மற்றும் ஆதிக்கம் செலுத்தும் எண் நாம் முதல் செயல்பாடுகளின் தொகுப்பால் குறிக்கிறோம். எந்தவொரு இரண்டு செயல்பாடுகளுக்கும், இறுதியாக பலவற்றைத் தவிர மற்ற அனைத்திற்கும் இந்த அறிக்கையின் மூலம் குறிக்கிறோம். எல்லை எண் என்பது இந்த உறவில் வரம்பற்ற தொகுப்பின் குறைந்தபட்ச கார்டினாலிட்டி ஆகும், அதாவது, ஆதிக்கம் செலுத்தும் எண் என்பது செயல்பாடுகளின் தொகுப்பின் குறைந்தபட்ச கார்டினாலிட்டி ஆகும், அத்தகைய ஒவ்வொரு செயல்பாடும் அந்த தொகுப்பின் ஒரு உறுப்பினரால் (அதாவது) ஆதிக்கம் செலுத்துகிறது, அதாவது, அத்தகைய ஆதிக்கம் செலுத்தும் தொகுப்பு வரம்பற்றது, எனவே அதிகபட்சம், மற்றும் ஒரு மூலைவிட்ட வாதம் அதைக் காட்டுகிறது. நிச்சயமாக இது அதைக் குறிக்கிறது, ஆனால் ஹெக்லர் அதை விட குறைவாக இருப்பது நிலையானது என்பதைக் காட்டியுள்ளார். பிளவு எண் மற்றும் அறுவடை எண் நாம் அனைத்து எல்லையற்ற துணைக்குழுக்களின் தொகுப்பால் குறிக்கிறோம். எதற்கும், இரண்டும் எல்லையற்றவை என்றால் பிளவுபடுகின்றன என்று நாம் கூறுகிறோம். பிரிப்பு எண் என்பது ஒரு துணைக்குழுவின் மிகக் குறைந்த கார்டினாலிட்டி ஆகும், இது அனைவருக்கும், பிளவுபடும் சில உள்ளன. அதாவது, அறுவடை எண் என்பது ஒரு துணைக்குழுவின் மிகக் குறைந்த கார்டினாலிட்டி ஆகும், எந்த உறுப்பும் அதன் ஒவ்வொரு உறுப்பையும் பிரிக்காது. அதாவது, அல்ட்ராஃபில்டர் எண் அல்ட்ராஃபில்டர் எண் என்பது முதன்மை அல்லாத அல்ட்ராஃபில்டரின் வடிகட்டி தளத்தின் குறைந்தபட்ச கார்டினாலிட்டி என்று வரையறுக்கப்படுகிறது. குனென் தொகுப்புக் கோட்பாட்டின் ஒரு மாதிரியை வழங்கினார், அதில் ஆனால், மற்றும் சாக்ஸ் ஃபோர்சிங்குகளின் எண்ணக்கூடிய ஆதரவு மறு செய்கையைப் பயன்படுத்தி, பாம்கார்ட்னர் மற்றும் லாவர் ஒரு மாதிரியை உருவாக்கினர். கிட்டத்தட்ட முரண்பாடு எண் இரண்டு துணைக்குழுக்கள் மற்றும் அவை வரையறுக்கப்பட்டிருந்தால் கிட்டத்தட்ட முரண்பட்டதாகக் கூறப்படுகிறது, மேலும் அதன் துணைக்குழுக்களின் குடும்பம் அதன் உறுப்பினர்கள் ஜோடி வாரியாக கிட்டத்தட்ட முரண்பட்டிருந்தால் கிட்டத்தட்ட முரண்பட்டதாகக் கூறப்படுகிறது. இதன் துணைக்குழுக்களின் அதிகபட்சம் கிட்டத்தட்ட வேறுபட்ட (பைத்தியம்) குடும்பம் கிட்டத்தட்ட வேறுபட்ட குடும்பமாகும், அதாவது ஒவ்வொரு துணைக்குழுவிற்கும் கிட்டத்தட்ட வேறுபட்ட ஒரு தொகுப்பு உள்ளது மற்றும் கிட்டத்தட்ட வேறுபட்டதல்ல (அதாவது, அவற்றின் குறுக்குவெட்டு எல்லையற்றது). கிட்டத்தட்ட வேறுபட்ட எண் என்பது எல்லையற்ற அதிகபட்சம் கிட்டத்தட்ட வேறுபட்ட குடும்பத்தின் மிகக் குறைந்த கார்டினாலிட்டி ஆகும். ஒரு அடிப்படை முடிவு எரிக் வான் டூவன். ஒருங்கிணைப்புகள் மற்றும் இடவியல். கே. குனென் மற்றும் ஜே. இ. வாகன் (பதிப்புகள்) செட்-கோட்பாட்டு இடவியல் கையேடு. வடக்கு-ஹாலந்து, ஆம்ஸ்டர்டாம், 1984. அது தான்; கடுமையான சமத்துவமின்மையைக் கொண்டிருப்பது நிலையானது என்பதை ஷெலா காட்டினார். சிச்சோனின் வரைபடம் கார்டினல் பண்புகளின் நன்கு அறியப்பட்ட வரைபடம் சிச்சோனின் வரைபடமாகும், இது 10 கார்டினல் பண்புகளுக்கு இடையில் ZFC இல் நிரூபிக்கக்கூடிய அனைத்து ஜோடி வாரியான உறவுகளையும் காட்டுகிறது. மேற்கோள்கள் மேலும் வாசிப்பு டோமெக் பார்டோசின்ஸ்கி மற்றும் ஹைம் யூதா. உண்மையான கோட்டின் கட்டமைப்பில் கோட்பாட்டை அமைக்கவும் ". ஏ. கே. பீட்டர்ஸ், 1995. கார்டினல் எண்கள்