Witten conjecture
இயற்கணித வடிவவியலில், விட்டன் அனுமானம் என்பது வளைவுகளின் மாடுலி இடத்தில் நிலையான வகுப்புகளின் குறுக்குவெட்டு எண்களைப் பற்றிய ஒரு அனுமானமாகும், இது எட்வர்ட் விட்டனால் காகிதத்தில் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது மற்றும் இதில் பொதுமைப்படுத்தப்பட்டது. விட்டனின் அசல் அனுமானத்தை மாக்சிம் கொன்ட்சேவிச் காகிதத்தில் நிரூபித்தார். இரு பரிமாண குவாண்டம் ஈர்ப்பு விசையின் இரண்டு வெவ்வேறு மாதிரிகள் ஒரே பகிர்வு செயல்பாட்டைக் கொண்டிருக்க வேண்டும் என்பது இந்த அனுமானத்திற்கு விட்டனின் உந்துதலாக இருந்தது. இந்த மாதிரிகளில் ஒன்றின் பகிர்வு செயல்பாட்டை இயற்கணித வளைவுகளின் மாடுலி அடுக்கில் குறுக்குவெட்டு எண்களின் அடிப்படையில் விவரிக்க முடியும், மற்றொன்று பகிர்வு செயல்பாடு KdV படிநிலையின் τ-செயல்பாட்டின் மடக்கை ஆகும். இந்த பகிர்வு செயல்பாடுகளை அடையாளம் காண்பது, குறுக்குவெட்டு எண்களிலிருந்து உருவாகும் ஒரு குறிப்பிட்ட உருவாக்கும் செயல்பாடு KdV படிநிலையின் வேறுபட்ட சமன்பாடுகளை பூர்த்தி செய்ய வேண்டும் என்ற விட்டனின் அனுமானத்தை அளிக்கிறது. Mg, n என்பது g பேரினத்தின் சிறிய ரீமன் மேற்பரப்புகளின் மாடுலி அடுக்கு என்று வைத்துக்கொள்வோம், இதில் n தனித்துவமான குறிக்கப்பட்ட புள்ளிகள் x1,., xn, மற்றும் g, n ஆகியவை அதன் டிலிக்னே-மம்ஃபோர்ட் சுருக்கமாகும். g, n இல் n வரி மூட்டைகள் உள்ளன, அவற்றின் ஃபைபர் மாடுலி அடுக்கின் ஒரு புள்ளியில் குறிக்கப்பட்ட புள்ளி xi இல் ஒரு ரீமன் மேற்பரப்பின் கோட்டாஞ்சென்ட் இடத்தால் வழங்கப்படுகிறது. குறுக்குவெட்டு குறியீடு θτd1,., τdn′ என்பது g, n இல் Πc1 (Li) ti இன் குறுக்குவெட்டு குறியீடாகும், அங்கு σdi = dimg, n = 3g-3 + n, மற்றும் 0 அத்தகைய g இல்லையென்றால், c1 என்பது ஒரு கோடு மூட்டையின் முதல் செர்ன் வகுப்பாகும். விட்டனின் உருவாக்கும் செயல்பாடு அனைத்து குறுக்குவெட்டு குறியீடுகளையும் அதன் குணகங்களாக குறியாக்கம் செய்கிறது. விட்டனின் அனுமானம், பகிர்வு செயல்பாடு Z = exf என்பது KdV படிநிலைக்கு ஒரு τ-செயல்பாடு என்று கூறுகிறது, வேறுவிதமாகக் கூறினால், இது விராஸோரோ இயற்கணிதத்தின் அடிப்படையுடன் தொடர்புடைய ஒரு குறிப்பிட்ட தொடர் பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகளை திருப்திப்படுத்துகிறது. ப்ரூஃப் கான்ட்சேவிச் ரிப்பன் வரைபடங்களின் அடிப்படையில் மாடுலி இடைவெளிகளின் ஒருங்கிணைந்த விளக்கத்தைப் பயன்படுத்தினார், இங்கே வலதுபுறத்தில் உள்ள தொகை தொகுப்பு Gg க்கு மேல் உள்ளது, ரிப்பன் வரைபடங்களின் n என்பது n குறிக்கப்பட்ட புள்ளிகளுடன் ஜி இனத்தின் சிறிய ரீமான் மேற்பரப்புகளின் X ஆகும். விளிம்புகளின் தொகுப்பு e மற்றும் X இன் புள்ளிகள் X0 மற்றும் X1 ஆல் குறிக்கப்படுகின்றன. செயல்பாடு λ குறிக்கப்பட்ட புள்ளிகளிலிருந்து யதார்த்தங்கள் வரை ஒரு செயல்பாடாக கருதப்படுகிறது, மேலும் விளிம்பின் ஒவ்வொரு பக்கத்திற்கும் தொடர்புடைய இரண்டு குறிக்கப்பட்ட புள்ளிகளில் λ இன் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமான ஒரு விளிம்பின் λ ஐ அமைப்பதன் மூலம் ரிப்பன் வரைபடத்தின் விளிம்புகள் வரை நீட்டிக்கப்படுகிறது. ஃபேய்ன்மேன் வரைபட நுட்பங்கள் மூலம், இது F (t0,.) என்பது λ முடிவிலிக்குக் கடனாக இருப்பதால் ஒரு அறிகுறியற்ற விரிவாக்கத்தைக் குறிக்கிறது, இங்கு λ மற்றும் χ ஆகியவை N ஹெர்மிடியன் மேட்ரிக்ஸ்களால் நேர்மறை திட்டவட்டமான N ஆகும், மேலும் ti வழங்கப்படுகிறது மற்றும் நேர்மறை திட்டவட்டமான ஹெர்மிடியன் மேட்ரிக்ஸ்களில் நிகழ்தகவு அளவீட்டு μ cλ ஒரு இயல்பாக்கும் மாறிலி மூலம் வழங்கப்படுகிறது. இந்த அளவீட்டில் ஃபேய்ன்மேன் வரைபடங்களின் அடிப்படையில் அதன் விரிவாக்கம் ரிப்பன் வரைபடங்களின் அடிப்படையில் F க்கான வெளிப்பாடு என்பதைக் குறிக்கும் பண்பு உள்ளது. இதிலிருந்து அவர் எக்ஸ்ப் எஃப் என்பது கே. டி. வி படிநிலைக்கு ஒரு τ-செயல்பாடு என்று அனுமானித்தார், இதனால் விட்டனின் அனுமானத்தை நிரூபித்தார். விட்டன் அனுமானம் என்பது ஹாமில்டோனியன் PDE களின் ஒருங்கிணைந்த அமைப்புகளுக்கும் 2D இடவியல் புலக் கோட்பாடுகளின் சில குடும்பங்களின் வடிவவியலுக்கும் இடையிலான பொதுவான உறவின் ஒரு சிறப்பு நிகழ்வாகும் (கொன்ட்சேவிச் மற்றும் மானின் ஆகியோரால் கோஹோமோலாஜிக்கல் புலக் கோட்பாடுகள் என்று அழைக்கப்படுபவற்றின் வடிவத்தில் சுயசரிதை செய்யப்பட்டது), இது பி. டுப்ரோவின் மற்றும் ஒய். ஜாங், ஏ. கிவென்டல், சி. டெலிமேன் மற்றும் பிறரால் முறையாக ஆராயப்பட்டு ஆய்வு செய்யப்பட்டது. விராஸோரோ அனுமானம் என்பது விட்டன் அனுமானத்தின் பொதுமைப்படுத்தலாகும். குறிப்புகள் மாடுலி கோட்பாடு இயற்கணித வடிவியல் நிரூபிக்கப்பட்ட யூகங்கள்