Conformal geometric algebra
முறையான வடிவியல் இயற்கணிதம் (சிஜிஏ) என்பது ஒரு வரைபடத்தின் விளைவாக ஏற்படும் இடத்தில் ஒரு பரிமாண அடிப்படை இடத்தில் உள்ள புள்ளிகளிலிருந்து பூஜ்ய திசையன்கள் வரை கட்டமைக்கப்பட்ட வடிவியல் இயற்கணிதம் ஆகும். இது வடிவியல் இயற்கணிதத்தின் வெர்சர்களைப் பயன்படுத்தி பிரதிபலிப்புகள், சுழற்சிகள் மற்றும் மொழிபெயர்ப்புகள் உள்ளிட்ட அடிப்படை இடத்தில் செயல்பாடுகளை பிரதிநிதித்துவப்படுத்த அனுமதிக்கிறது; மேலும் புள்ளிகள், கோடுகள், விமானங்கள், வட்டங்கள் மற்றும் கோளங்கள் குறிப்பாக இயற்கையான மற்றும் கணக்கீட்டு ரீதியாக இணக்கமான பிரதிநிதித்துவங்களைப் பெறுவது கண்டறியப்பட்டுள்ளது. வரைபடத்தின் விளைவு பொதுமைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது (அதாவது. பூஜ்ஜிய வளைவு உட்பட)-கோளங்கள் அடிப்படை விண்வெளி வரைபடத்தில்-பிளேடுகளில் உள்ளன, இதனால் அடிப்படை இடத்தின் மொழிபெயர்ப்பின் (அல்லது ஏதேனும் இணக்கமான வரைபடம்) விளைவு உயர் பரிமாண இடத்தில் ஒரு சுழற்சிக்கு ஒத்திருக்கிறது. இந்த இடத்தின் இயற்கணிதத்தில், திசையன்களின் வடிவியல் உற்பத்தியின் அடிப்படையில், இத்தகைய மாற்றங்கள் இயற்கணிதத்தின் சிறப்பியல்பு சாண்ட்விச் செயல்பாடுகளுடன் ஒத்திருக்கின்றன, இது 3D இல் இடஞ்சார்ந்த சுழற்சிக்கு குவாட்டர்னியன்களைப் பயன்படுத்துவதைப் போன்றது, இது மிகவும் திறமையாக இணைகிறது. உருமாற்றங்களைக் குறிக்கும் சுழற்சிகளின் விளைவு என்னவென்றால், கோளங்கள், தளங்கள், வட்டங்கள் மற்றும் பிற வடிவியல் பொருட்களின் பிரதிநிதித்துவங்கள் மற்றும் அவற்றை இணைக்கும் சமன்பாடுகள் அனைத்தும் மாறுபடுகின்றன. ஒரு வடிவியல் பொருள் (a-கோளம்) பொருளின் மீது புள்ளிகளைக் குறிக்கும் நேரியல் சுயாதீன திசையன்களின் ஆப்பு விளைபொருளாக ஒருங்கிணைக்கப்படலாம்; மாறாக, பொருள் அதன் மேற்பரப்பில் தனித்துவமான புள்ளிகளைக் குறிக்கும் திசையன்களின் மீண்டும் மீண்டும் ஆப்பு விளைபொருளாக சிதைக்கப்படலாம். சில குறுக்குவெட்டு செயல்பாடுகள் ஒரு நேர்த்தியான இயற்கணித வடிவத்தையும் பெறுகின்றனஃ எடுத்துக்காட்டாக, யூக்ளிடியன் அடிப்படை இடத்தைப் பொறுத்தவரை, இரண்டு கோளங்களைக் குறிக்கும் நாற்கரங்களின் இரட்டைக்கு ஆப்பு விளைபொருளைப் பயன்படுத்துவது அவற்றின் குறுக்குவெட்டு வட்டத்தின் முக்கோண பிரதிநிதித்துவத்தின் இரட்டை உருவாக்குகிறது. இந்த இயற்கணித அமைப்பு பயனுள்ள கணக்கீட்டிற்கு நேரடியாகக் கடன் கொடுப்பதால், இது திட்ட வடிவியல் மற்றும் தலைகீழ் வடிவவியலின் பாரம்பரிய முறைகளை ஒரு உறுதியான, எளிதில் கையாளக்கூடிய அமைப்பில் ஆராய உதவுகிறது. திருகு கோட்பாட்டில் கணக்கீடுகளை பிரதிநிதித்துவப்படுத்துவதற்கும் எளிதாக்குவதற்கும் இது ஒரு திறமையான கட்டமைப்பாகவும் பயன்படுத்தப்படுகிறது. சிஜிஏ குறிப்பாக ஐந்து பரிமாண திசையன் இடத்தில் அன்றாட யூக்ளிடியன் இடத்தின் திட்டவட்டமான வரைபடத்துடன் தொடர்புடையது, இது ரோபாட்டிக்ஸ் மற்றும் கணினி பார்வையில் உள்ள பயன்பாடுகளுக்காக ஆராயப்பட்டுள்ளது. இது பொதுவாக எந்த போலி-யூக்ளிடியன் இடத்திற்கும் பயன்படுத்தப்படலாம்-எடுத்துக்காட்டாக, மின்காவ்ஸ்கி இடத்திற்கான இடம். சிஜிஏ குறியீடு மற்றும் சொற்களின் கட்டுமானம் இந்த கட்டுரையில், இயற்கணிதத்தின் மீது கவனம் செலுத்தப்படுகிறது, ஏனெனில் இந்த குறிப்பிட்ட இயற்கணிதமே காலப்போக்கில் அதிக கவனத்தை ஈர்த்துள்ளது; மற்ற நிகழ்வுகள் சுருக்கமாக ஒரு தனி பிரிவில் உள்ளடக்கப்பட்டுள்ளன. மாதிரியாக இருக்கும் பொருள்களைக் கொண்ட இடைவெளி இங்கே அடிப்படை இடைவெளி என்றும், இந்த பொருட்களை பிரதிநிதித்துவம் அல்லது இணக்கமான இடமாக மாதிரியாகப் பயன்படுத்தப்படும் இயற்கணித இடைவெளி என்றும் குறிப்பிடப்படுகிறது. ஒரு ஒரே மாதிரியான துணைவெளி என்பது இயற்கணித இடத்தின் நேரியல் துணைவெளியைக் குறிக்கிறது. பொருள்களுக்கான சொற்கள்ஃ புள்ளி, கோடு, வட்டம், கோளம், அரை-கோளம் போன்றவை. அடிப்படை இடத்தில் உள்ள வடிவியல் பொருள் அல்லது அந்த பொருளைக் குறிக்கும் பிரதிநிதித்துவ இடத்தின் ஒரே மாதிரியான துணைப்பகுதி ஆகியவற்றைக் குறிக்கப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, பிந்தையது பொதுவாக வேறுவிதமாகக் குறிப்பிடப்படாவிட்டால் நோக்கம் கொண்டது. இயற்கணித ரீதியாக, ஒரே மாதிரியான துணை இடத்தின் பூஜ்ஜியமற்ற பூஜ்ய உறுப்பு பயன்படுத்தப்படும், ஒரு உறுப்பு சில அளவுகோல்களால் இயல்பாக்கப்பட்டது என்று குறிப்பிடப்படுகிறது. போல்ட்ஃபேஸ் சிறிய எழுத்து லத்தீன் எழுத்துக்கள் தோற்றத்திலிருந்து அடிப்படை இடத்தில் ஒரு புள்ளி வரை நிலை திசையன்களைக் குறிக்கப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. பிரதிநிதித்துவ இடத்தின் பிற கூறுகளுக்கு இடாலிக் சின்னங்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. அடிப்படை மற்றும் பிரதிநிதித்துவ இடைவெளிகள் ஒரு தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட தோற்றத்திலிருந்து இடப்பெயர்வுகளுக்கு ஒரு அடிப்படையை விரிவுபடுத்துவதன் மூலமும், அடிப்படை இடத்திற்கும் ஒருவருக்கொருவர் இரண்டு அடிப்படை திசையன்கள் மற்றும் ஆர்த்தோகனலைச் சேர்ப்பதன் மூலமும், பிரதிநிதித்துவ இடத்தை உருவாக்குவதன் மூலமும் அடிப்படை இடம் குறிப்பிடப்படுகிறது. இரண்டு பூஜ்ய திசையன்கள் மற்றும் அடிப்படை திசையன்களுக்குப் பதிலாக மற்றும், எங்கே, மற்றும் ஆகியவற்றைப் பயன்படுத்துவது வசதியானது. அடிப்படை இடத்தில் உள்ள இடத்தில் இதை சரிபார்க்க முடியும்ஃ இந்த பண்புகள் பிரதிநிதித்துவ இடத்தில் ஒரு பொது திசையனின் அடிப்படை திசையன் குணகங்களுக்கு பின்வரும் சூத்திரங்களுக்கு வழிவகுக்கின்றன, அவை ஒவ்வொரு அடிப்படை உறுப்புக்கும் ஆர்த்தோகனல் கூறுகளைக் கொண்டுள்ளனஃ for இன் குணகம் for இன் குணகம் for இன் குணகம் ஆகும். அடிப்படை இடத்திற்கும் பிரதிநிதித்துவ இடத்திற்கும் இடையிலான வரைபடம் அடிப்படை இடத்தில் உள்ள ஒரு திசையனில் இருந்து வரைபடம் (தோற்றத்திலிருந்து குறிப்பிடப்பட்ட அஃபைன் இடத்தில் ஒரு புள்ளிக்கு இருப்பது) இந்த சூத்திரத்தால் வழங்கப்படுகிறதுஃ பூஜ்ஜியமற்ற அளவிடுதல் காரணியால் மட்டுமே வேறுபடும் புள்ளிகள் மற்றும் பிற பொருள்கள் அனைத்தும் அடிப்படை இடத்தில் ஒரே பொருளுக்கு வரைபடம். இயல்பாக்கம் விரும்பப்படும்போது, பிரதிநிதித்துவ இடத்திலிருந்து அடிப்படை இடத்திற்கு ஒரு புள்ளியின் எளிய தலைகீழ் வரைபடத்தை உருவாக்குவதற்கோ அல்லது தூரங்களை தீர்மானிப்பதற்கோ, நிபந்தனை பயன்படுத்தப்படலாம். முன்னோக்கி வரைபடம் இதற்கு சமமானதுஃ முதலில் இடைவெளியில் ஒரு அலகு 3-கோளத்தில் இருந்து இணக்கமாக முன்வைத்தல் (5-D இல் இது துணை இடத்தில் உள்ளது); பின்னர் இதை ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் இடத்திற்குள் உயர்த்துவதன் மூலம், அருகிலேயே, மற்றும் ஒரே கதிரில் உள்ள அனைத்து புள்ளிகளையும் தோற்றத்திலிருந்து அடையாளம் காணுதல் (5-D இல் இது துணை இடத்தில் உள்ளது); பின்னர் இயல்பாக்கத்தை மாற்றவும், எனவே ஒரே மாதிரியான திட்டத்திற்கான தளம் ஒரு மதிப்பைக் கொண்ட ஒருங்கிணைப்பால் வழங்கப்படுகிறது, அதாவது. . தலைகீழ் வரைபடம் பூஜ்ய கூம்பின் மீது ஒரு தலைகீழ் வரைபடம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது (Perwass eqn 4.37) இது முதலில் ஒளி-கூம்பிலிருந்து விமானத்தில் ஒரு ஸ்டீரியோகிராஃபிக் திட்டத்தைக் கொடுக்கிறது, பின்னர் மற்றும் பகுதிகளை தூக்கி எறிகிறது, இதனால் ஒட்டுமொத்த முடிவு அனைத்து சமமான புள்ளிகளையும் வரைபடமாக்குவதாகும். தோற்றம் மற்றும் முடிவிலியில் உள்ள புள்ளி வரைபடங்களில் உள்ள புள்ளி, எனவே தோற்றத்தில் உள்ள புள்ளியின் (பிரதிநிதித்துவம்) திசையன் என அடையாளம் காணப்படுகிறது. பூஜ்ஜியமற்ற குணகம் கொண்ட ஒரு திசையன், ஆனால் பூஜ்ஜிய குணகம், (தலைகீழ் வரைபடத்தைக் கருத்தில் கொண்டு) எல்லையற்ற திசையனின் உருவமாக இருக்க வேண்டும். எனவே திசை முடிவிலியில் (இணக்கமான) புள்ளியைக் குறிக்கிறது. இது சந்தாக்களை ஊக்குவிக்கிறது மற்றும் பூஜ்ய அடிப்படையிலான திசையன்களை அடையாளம் காண உதவுகிறது. தோற்றத்தின் தேர்வு தன்னிச்சையானதுஃ வேறு எந்த புள்ளியும் தேர்ந்தெடுக்கப்படலாம், ஏனெனில் பிரதிநிதித்துவம் ஒரு அஃபைன் இடத்தை கொண்டுள்ளது. தோற்றம் வெறுமனே ஒரு குறிப்பு புள்ளியைக் குறிக்கிறது, மேலும் இது இயற்கணித ரீதியாக வேறு எந்த புள்ளிக்கும் சமமானது. எந்தவொரு மொழிபெயர்ப்பையும் போலவே, தோற்றத்தை மாற்றுவது பிரதிநிதித்துவ இடத்தில் ஒரு சுழற்சிக்கு ஒத்திருக்கிறது. வடிவியல் பொருள்கள் அடிப்படையில் மற்றும், இவை இயற்கணிதத்தின் 32 அடிப்படை கத்திகள் ஆகும். பிளாட் பாயிண்ட் தோற்றம் ஒரு வெளிப்புற தயாரிப்பு என்று எழுதப்படுகிறது, ஏனெனில் வடிவியல் தயாரிப்பு கலப்பு தரத்தில் உள்ளது. (). ஒரு ஜோடி சமன்பாடுகளின் தீர்வாக, பிரதிநிதித்துவப்படுத்தும் இடத்தின் பூஜ்ஜியமற்ற பிளேடு கொடுக்கப்பட்டால், வடிவத்தின் ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகளின் ஒரு ஜோடிக்கு தீர்வாக இருக்கும் திசையன்களின் தொகுப்பு பூஜ்ய திசையன்களின் ஒரே மாதிரியான 1-டி துணை இடங்களின் ஒன்றிணைப்பாகும், இதனால் இது அடிப்படை இடத்தில் உள்ள புள்ளிகளின் தொகுப்பின் பிரதிநிதித்துவமாகும். இது ஒரு குறிப்பிட்ட வகை வடிவியல் பொருட்களைக் குறிக்க ஒரு பிளேடு ஒரு பயனுள்ள வழியாகத் தேர்ந்தெடுக்க வழிவகுக்கிறது. அடிப்படை இடைவெளி யூக்ளிடியன் இடமாக இருக்கும்போது பிளேடுக்கான குறிப்பிட்ட நிகழ்வுகள் (இடத்தின் பரிமாணங்களின் எண்ணிக்கையிலிருந்து சுயாதீனமாக): ஒரு அளவிடுதல்ஃ வெற்று தொகுப்பு ஒரு திசையன்ஃ ஒரு ஒற்றை புள்ளி ஒரு பைவெக்டர்ஃ ஒரு ஜோடி புள்ளிகள் ஒரு ட்ரைவெக்டர்ஃ ஒரு பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட வட்டம் ஒரு 4-வெக்டர்ஃ ஒரு பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட கோளம் போன்றவை. இவை ஒவ்வொன்றும் நேர்மறையானதா, பூஜ்ஜியமா அல்லது எதிர்மறையானதா, பட்டியலிடப்பட்டுள்ள பொருளுடன் தொடர்புடையதா (சில சந்தர்ப்பங்களில் தலைகீழ் வரிசையில்), ஒரு புள்ளியின் சீரழிந்த வழக்கு அல்லது புள்ளிகள் இல்லை (பூஜ்யம் அல்லாத தீர்வுகள் பூஜ்ய திசையன்களை விலக்குங்கள்). பட்டியலிடப்பட்ட வடிவியல் பொருள்கள் (பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட-கோளங்கள்) அடிப்படை இடம் போலி-யூக்ளிடியன் என்ற பொதுவான வழக்கில் அரை-கோளங்களாக மாறுகின்றன. தீர்வுகளில் சேர்க்கப்படும் முடிவிலியின் புள்ளியால் தட்டையான பொருள்களை அடையாளம் காணலாம். எனவே, பொருள் ஒரு கோடு, தளம் போன்றதாக இருந்தால், பிளேடுக்கு முறையே தரம் 3,4, முதலியன இருக்கும். பொருளின் புள்ளிகளிலிருந்து பெறப்பட்டபடி, இந்த வகை பொருள்களில் ஒன்றைக் குறிக்கும் ஒரு பிளேடு பொருளின் புள்ளிகளைக் குறிக்கும் நேரியல் சுயாதீன திசையன்களின் வெளிப்புற பெருக்கலாகக் காணலாம். அடிப்படை இடத்தில், இந்த நேரியல் சுதந்திரம் மற்ற புள்ளிகளால் வரையறுக்கப்பட்ட பொருளுக்கு வெளியே உள்ள ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் வெளிப்படுகிறது. எனவே, எடுத்துக்காட்டாக, மூன்று தனித்துவமான புள்ளிகளால் வரையறுக்கப்பட்ட பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட வட்டத்தில் உள்ள நான்காவது புள்ளியை ஒரு கோளத்தை வரையறுக்க நான்காவது புள்ளியாகப் பயன்படுத்த முடியாது. பூஜ்ய கூம்பு மீது e123 வரைபடத்தில் உள்ள முரண்பாடுகள் புள்ளிகள்-நாம் அமைத்தால் பூஜ்ய பரவளையம். e123 st இல் உள்ள புள்ளிகளின் இருப்பிடத்தை நாம் கருத்தில் கொள்ளலாம். இணக்கமான இடத்தில், பல்வேறு வகையான வடிவியல் பொருள் A. அந்த ஒப்பீட்டைக் கவனிப்பதன் மூலம் தொடங்குகிறோம்ஃ x. a = 0 => x perp a; x. (a ற் b) = 0 => x perp a மற்றும் x perp b x ற் a = 0 => x a க்கு இணையாக; x ற் (a ற் b) = 0 => x a க்கு இணையாக அல்லது b க்கு இணையாக (அல்லது சில நேரியல் கலவையுடன்) உள் பெருக்கல் மற்றும் வெளிப்புற பெருக்கல் பிரதிநிதித்துவங்கள் x ற் A = 0 <=> x என்ற இரட்டைமயமாக்கலால் தொடர்புடையவை. A * = 0 (x என்பது 1-பரிமாணமாகவும், A என்பது n-1 மங்கலாகவும் இருந்தால் சரிபார்க்கவும்) g (x). A = 0 A புள்ளிஃ R4,1 இல் உள்ள A என்பது பூஜ்ய கூம்பின் மீது ஒரு திசையனாக இருந்தால், R3 இல் உள்ள x இன் இருப்பிடம் ஒரு புள்ளியாகும். (என். பி. இது ஒரு ஒரே மாதிரியான ப்ரொஜெக்டிவ் ஸ்பேஸ் என்பதால், தோற்றத்தின் வழியாக ஒரு கதிரில் எந்த நீளத்தின் திசையன்களும் சமமானவை, எனவே g (x). A = 0 என்பது g (x). g (a) = 0 க்கு சமம். ஒரு கோளம்ஃ A = S என்றால் x இன் இருப்பிடம் ஒரு கோளமாகும், இது பூஜ்ய கூம்புக்கு வெளியே ஒரு திசையன். அப்படியானால், S. X = 0 => இவை பூஜ்ய-கூம்புக்கு வெளியே ஒரு திசையன் S க்கான கோளத்துடன் தொடர்புடைய புள்ளிகள் என்றால், எந்த திசைகள் ஹைபர்போலிக் ஆர்த்தோகனல் ஆகும்? (cf லோரெண்ட்ஸ் உருமாற்றப் படம்) 2 + 1 D இல், S என்பது (1, a, b) ஆக இருந்தால், (e-, {e +, ei} கூட்டுச் சொற்களைப் பயன்படுத்தினால்), S க்கு ஹைபர்போலிக் ஆர்த்தோகனல் புள்ளிகள் யூக்ளிடியன் ஆர்த்தோகனல் (-1, a, b)-அதாவது, ஒரு தளம்; அல்லது n பரிமாணங்களில், தோற்றத்தின் வழியாக ஒரு ஹைப்பர்பிளேன். இது ஒரு கோட்டில் உள்ள தோற்றத்தின் வழியாக அல்லாமல் மற்றொரு தளத்தை வெட்டுகிறது (ஒரு n-2 மேற்பரப்பில் ஒரு ஹைப்பர்சர்பேஸ்), பின்னர் கூம்பு இரண்டு புள்ளிகளில் (ரெஸ்ப். ஒருவிதமான n-3 கூம்பு மேற்பரப்பு). எனவே இது அநேகமாக ஒருவித கூம்பு போல் இருக்கும். இது g இன் கீழ் ஒரு கோளத்தின் உருவப்படமாக இருக்கும் மேற்பரப்பு. ஒரு தளம்ஃ A = P என்றால் x இன் இருப்பிடம் ஒரு தளம், பூஜ்ஜியம் இல்லாத கூறு கொண்ட ஒரு திசையன். ஒரு ஒரே மாதிரியான திட்டவட்டமான இடத்தில் அத்தகைய திசையன் P என்பது தள எண் = 1 இல் உள்ள ஒரு திசையனைக் குறிக்கிறது, இது தோற்றத்திலிருந்து எல்லையற்ற தூரத்தில் இருக்கும் (அதாவது பூஜ்ய கூம்புக்கு வெளியே எல்லையற்ற தூரம்), எனவே g (x). P = 0 என்பது எல்லையற்ற ஆரம் கொண்ட கோளத்தில் x உடன் ஒத்திருக்கிறது, ஒரு தளம். குறிப்பாகஃ தோற்றத்திலிருந்து இயல்பான ஒரு ஆர்த்தோகனல் தூரம் α கொண்ட ஒரு விமானத்தில் x உடன் ஒத்திருக்கிறது. இயல்பான a-b வட்டங்கள் முடிவிலி புள்ளி ஜோடிகளில் தொடுகோட்டு தளக் கோடுகள் கோடுகளுடன் a மற்றும் b க்கு இடையிலான ஒரு தளத்தின் பாதிக்கு ஒத்திருக்கிறது உருமாற்றங்கள் பிரதிபலிப்புகள் Pg (x) P ஐ உருவாக்குவது பூஜ்ய-கூம்பு, g (x ') இல் ஒரு புதிய திசையை அளிக்கிறது என்பதை சரிபார்க்கலாம், அங்கு x' என்பது g (p) ஐ திருப்திப்படுத்தும் R3 இல் உள்ள புள்ளிகள் p இன் தளத்தில் ஒரு பிரதிபலிப்புடன் ஒத்திருக்கிறது. P = 0. g (x). A = 0 => P g (x). A P = 0 => P g (x) P. பி ஏ பி (மற்றும் அதே போல் ஆப்பு தயாரிப்புக்கு), எனவே மேலே உள்ள பிரிவில் உள்ள எந்த அளவுகளுக்கும் பி சாண்ட்விச்-பாணியைப் பயன்படுத்துவதன் விளைவு x புள்ளிகளின் தொடர்புடைய இருப்பிடத்தை பிரதிபலிக்கும் வகையில் உள்ளது, எனவே தொடர்புடைய வட்டங்கள், கோளங்கள், கோடுகள் மற்றும் விமானங்கள் குறிப்பிட்ட வகையான ஏ உடன் தொடர்புடையவை, பி முதல் ஜி (எக்ஸ்) வரை பயன்படுத்துவது ஒரு புள்ளி x ஐ பிரதிபலிக்கும் அதே வழியில் பிரதிபலிக்கின்றன. இந்த பிரதிபலிப்பு செயல்பாடு பொதுவான மொழிபெயர்ப்புகள் மற்றும் சுழற்சிகளை உருவாக்க பயன்படுத்தப்படலாம்ஃ இரண்டு இணையான தளங்களில் பிரதிபலிப்பு மொழிபெயர்ப்புகள் ஒரு மொழிபெயர்ப்பைத் தருகின்றன, பின்னர் சுழற்சிகள் ஒரு x 'உடன் ஒத்திருந்தால், அது தோற்றத்தைப் பற்றி ஒரு கோணம் 2 θ ஆல் சுழற்றப்படுகிறது, அங்கு θ என்பது a மற்றும் b க்கு இடையிலான கோணம்-இந்த ரோட்டார் x க்கு நேரடியாகப் பயன்படுத்தினால் ஏற்படும் அதே விளைவு. ஒரு பொதுவான புள்ளியைப் பற்றிய பொதுவான சுழற்சிகள் சுழற்சிகளை முதலில் புள்ளியை தோற்றத்திற்கு மொழிபெயர்க்கலாம், பின்னர் தோற்றத்தைச் சுற்றி சுழற்றலாம், பின்னர் புள்ளியை அதன் அசல் நிலைக்கு மொழிபெயர்க்கலாம், அதாவது. ஒரு திருகு அல்லது மோட்டார் (ஒரு பொதுவான புள்ளியைப் பற்றிய சுழற்சி, அதைத் தொடர்ந்து சுழற்சியின் அச்சுக்கு இணையான மொழிபெயர்ப்பு) விளைவை திருகும் வகையில் ஆபரேட்டரால் ஒரு சாண்ட்விச்சிங் இயக்குபவரால் ஜி (எக்ஸ்) சாண்ட்விச்சிங் மூலம் அடைய முடியும். M ஐ அளவுருவாகவும் (சாஸ்லஸ் தேற்றம்) மாற்றலாம் ஒரு தலைகீழ் என்பது ஒரு கோளத்தில் ஒரு பிரதிபலிப்பாகும்-அத்தகைய தலைகீழ்களைப் பயன்படுத்தி அடையக்கூடிய பல்வேறு செயல்பாடுகள் தலைகீழ் வடிவவியலில் விவாதிக்கப்படுகின்றன. குறிப்பாக, யூக்ளிடியன் உருமாற்றங்கள் மொழிபெயர்ப்பு மற்றும் சுழற்சி ஆகியவற்றுடன் தலைகீழ் கலவையானது எந்தவொரு இணக்கமான வரைபடத்தையும் வெளிப்படுத்த போதுமானது-அதாவது. உலகளவில் கோணங்களைப் பாதுகாக்கும் எந்த வரைபடமும். (லியோவில்லின் தேற்றம்). ஒரே மையத்துடன் இரண்டு தலைகீழ்கள் விரிவடைவது ஒரு விரிவடையை உருவாக்குகிறது. பொதுமைப்படுத்தல்கள் வரலாற்று மாநாடுகள் மற்றும் இதழ்கள் கிளிஃபோர்ட் மற்றும் வடிவியல் ஆல்ஜிப்ராக்களைச் சுற்றி பரந்த அளவிலான பயன்பாடுகளுடன் ஒரு துடிப்பான மற்றும் இடைநிலை சமூகம் உள்ளது. இந்த விஷயத்தில் முக்கிய மாநாடுகளில் கிளிஃபோர்ட் ஆல்ஜிப்ராக்கள் மற்றும் கணித இயற்பியலில் அவற்றின் பயன்பாடுகள் (ஐசிசிஏ) மற்றும் கணினி அறிவியல் மற்றும் பொறியியலில் வடிவியல் இயற்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் (ஏஜிஏசிஎஸ்இ) தொடரின் சர்வதேச மாநாடு அடங்கும். ஒரு முக்கிய வெளியீட்டு வெளியீடு ஸ்ப்ரிங்கர் இதழ் அட்வான்சஸ் இன் அப்ளைடு கிளிஃபோர்ட் ஆல்ஜிப்ராஸ் ஆகும். குறிப்புகள் குறிப்புகள் நூலியல் புத்தகங்கள் ஹெஸ்டென்ஸ் மற்றும் பலர் (2000), ஜி. சோமர் (பதிப்பு. ), ஜியோமெட்ரிக் கம்ப்யூட்டிங் வித் கிளிஃபோர்ட் ஆல்ஜீப்ரா. ஸ்ப்ரிங்கர் வெர்லாக். (கூகிள் புத்தகங்கள்) (http://geocalc.clas.asu.edu/html/UAFCG.html ஹெஸ்டென்ஸ் வலைத்தளம்) Ch. 1: பாரம்பரிய வடிவவியலுக்கான புதிய இயற்கணித கருவிகள் Ch. 2: கணக்கீட்டு வடிவவியலுக்கான பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ஒரே மாதிரியான ஒருங்கிணைப்புகள் Ch. 3: வடிவியல் இயற்கணிதத்துடன் கோள முறைசாரா வடிவியல் Ch. 4: யூக்ளிடியன், கோள மற்றும் இரட்டை-ஹைபர்போலிக் இடங்களின் ஹெஸ்டென்ஸின் முறைசாரா வடிவவியல்களுக்கான ஒரு உலகளாவிய மாதிரி (2001), ஈ. பேய்ரோ-கரோச்சனோ & ஜி. சோப்ஸிக் (பதிப்புகள். ), அறிவியல் மற்றும் பொறியியலில் பயன்பாடுகளுடன் வடிவியல் இயற்கணிதத்தில் முன்னேற்றங்கள், ஸ்பிரிங்கர் வெர்லாக். கூகிள் புத்தகங்கள் பழைய ஒயின் புதிய பாட்டில்களில் (pp. 1-14) ஹெஸ்டென்ஸ் (2010), இ. பேய்ரோ-கொரோசனோ மற்றும் ஜி. ஷ்யூர்மேன் (2010), பொறியியல் மற்றும் கணினி அறிவியலில் வடிவியல் இயற்கணிதம் கம்ப்யூட்டிங். ஸ்ப்ரிங்கர் வெர்லாக். (கூகிள் புத்தகங்கள்). கணக்கீட்டு வடிவியல் மற்றும் திருகு கோட்பாட்டின் புத்துணர்ச்சிக்கான புதிய கருவிகள் டோரன், சி. மற்றும் லேசென்பி, ஏ. (2003), இயற்பியலாளர்களுக்கான வடிவியல் இயற்கணிதம், கேம்பிரிட்ஜ் பல்கலைக்கழக அச்சகம். டோர்ஸ்ட், எல். மற்றும் பலர் (2007), கணினி அறிவியலுக்கான வடிவியல் இயற்கணிதம், மோர்கன்-காஃப்மேன். அத்தியாயம் 13; பக்கம் 355 மற்றும் வின்ஸ், ஜே. (2008), கணினி வரைபடங்களுக்கான வடிவியல் இயற்கணிதம், ஸ்ப்ரிங்கர் வெர்லாக். அத்தியாயம் 11; பக். 199 மற்றும் செக் பெர்வாஸ், சி. (2009), ஜியோமெட்ரிக் ஆல்ஜீப்ரா இன் அப்ளிகேஷன்ஸ் இன் இன்ஜினியரிங், ஸ்பிரிங்கர் வெர்லாக். § 4.3: p. 145 et seq Bayro-Corrochano, E. and Scheuermann G. (2010, பதிப்புகள். ), பொறியியல் மற்றும் கணினி அறிவியலில் வடிவியல் இயற்கணிதம் கம்ப்யூட்டிங். ஸ்ப்ரிங்கர் வெர்லாக். பிபி. 3-90 பேய்ரோ-கொரோசனோ (2010), அலைவரிசை மாற்றங்களுக்கான வடிவியல் கணக்கீடு, ரோபோ பார்வை, கற்றல், கட்டுப்பாடு மற்றும் செயல். ஸ்ப்ரிங்கர் வெர்லாக். அத்தியாயம் 6; பக். 149-183 டோர்ஸ்ட், எல். மற்றும் லேசென்பி, ஜே. (2011, பதிப்புகள். ), நடைமுறையில் வடிவியல் இயற்கணிதத்திற்கான வழிகாட்டி. ஸ்ப்ரிங்கர் வெர்லாக், pp. 3-252. . ஆன்லைன் வளங்கள் வேர்ஹாம், ஆர். (2006), முறைசாரா வடிவியல் இயற்கணிதத்தைப் பயன்படுத்தி கணினி கிராபிக்ஸ், பிஎச்டி ஆய்வறிக்கை, கேம்பிரிட்ஜ் பல்கலைக்கழகம், பக். 14-26,31-67 ப்ரோம்போர்ஸ்கி, ஏ. (2008), வடிவியல் இயற்கணிதம் வழியாக முறையான வடிவியல் (ஆன்லைன் ஸ்லைடுகள்) டெல் அக்வா, ஏ. மற்றும் பலர் (2008), புள்ளிகள், கோடுகள் மற்றும் விமானங்களின் கட்டமைப்புகளிலிருந்து 3டி இயக்கம், படம் மற்றும் பார்வை கணக்கீடு, 26 529-549 டோர்ஸ்ட், எல். (2010), டுடோரியல்ஃ முறையான வடிவியல் இயற்கணிதம் மூலம் யூக்ளிடியன் இயக்கங்களின் அமைப்பு-பாதுகாப்பு பிரதிநிதித்துவம், ஈ. பேய்ரோ-கரோச்சனோ, ஜி. ஷ்யூர்மேன் (பதிப்புகள். ), வடிவியல் இயற்கணிதம் கணிப்பு, ஸ்ப்ரிங்கர் வெர்லாக். கொலாபின்டோ, பி. (2011), வெர்சர் ஸ்பேஷியல் கம்ப்யூட்டிங் வித் கான்ஃபார்மல் ஜியோமெட்ரிக் ஆல்ஜீப்ரா, எம்எஸ்சி ஆய்வறிக்கை, கலிபோர்னியா பல்கலைக்கழகம் சாண்டா பார்பரா மெக்டொனால்ட், ஏ. (2013), வடிவியல் இயற்கணிதம் மற்றும் வடிவியல் கால்குலஸின் கணக்கெடுப்பு. (ஆன்லைன் குறிப்புகள்) § 4.2: p. 26 மற்றும் பல. Rn + 1 மீது மோட்டார் இயற்கணிதம் பற்றிஃ எட்வர்டோ பேய்ரோ கொரோச்சனோ (2001), கருத்து நடவடிக்கை அமைப்புகளுக்கான வடிவியல் கணக்கீடுஃ கருத்துக்கள், வழிமுறைகள் மற்றும் அறிவியல் பயன்பாடுகள். (கூகிள் புத்தகங்கள்) வடிவியல் இயற்கணிதம் முறைசாரா வடிவியல் தலைகீழ் வடிவியல் கணக்கீட்டு வடிவியல்