Nonparametric skew
புள்ளியியல் மற்றும் நிகழ்தகவுக் கோட்பாட்டில், அளவுரு அல்லாத வளைவு என்பது எப்போதாவது உண்மையான மதிப்புகளை எடுக்கும் சீரற்ற மாறிகளுடன் பயன்படுத்தப்படும் ஒரு புள்ளிவிவரமாகும். இது ஒரு சீரற்ற மாறியின் பரவலின் வளைவின் அளவீடு ஆகும்-அதாவது, பரவலின் ஒரு பக்கம் அல்லது சராசரி மற்றொரு பக்கத்திற்கு "சாய்ந்து" செல்லும் போக்கு. அதன் கணக்கீட்டிற்கு அடிப்படை விநியோகத்தின் வடிவத்தைப் பற்றிய எந்த அறிவும் தேவையில்லை-எனவே இது பண்பளவையில்லா பெயர். இது சில விரும்பத்தக்க பண்புகளைக் கொண்டுள்ளதுஃ எந்தவொரு சமச்சீர் விநியோகத்திற்கும் இது பூஜ்ஜியமாகும்; இது ஒரு அளவுகோல் மாற்றத்தால் பாதிக்கப்படுவதில்லை; மேலும் இது இடது அல்லது வலது வளைவை சமமாக வெளிப்படுத்துகிறது. சில புள்ளிவிவர மாதிரிகளில் இது இயல்பான நிலையில் இருந்து மக்கள் புறப்படுவதைக் கண்டறிவதில் வழக்கமான வளைவு நடவடிக்கைகளை விட குறைவான சக்திவாய்ந்ததாக காட்டப்பட்டுள்ளது. பண்புகள் வரையறை அளவுரு அல்லாத வளைவு என்பது மக்கள்தொகையின் சராசரி (μ), சராசரி (ν) மற்றும் நிலையான விலகல் (σ) ஆகியவை அவற்றின் வழக்கமான அர்த்தங்களைக் கொண்டுள்ளன என்று வரையறுக்கப்படுகிறது. பண்புகள் அளவுரு அல்லாத வளைவு பியர்சன் 2 வளைவு குணகத்தின் மூன்றில் ஒரு பகுதியாகும் மற்றும் எந்தவொரு விநியோகத்திற்கும்-1 மற்றும் + 1 க்கு இடையில் உள்ளது. இந்த வரம்பு எந்த மீடியனின் ஒரு நிலையான விலகலிலும் சராசரி உள்ளது என்ற உண்மையால் குறிக்கப்படுகிறது. மாறி (X) இன் ஒரு அஃபைன் மாற்றத்தின் கீழ், S இன் மதிப்பு அடையாளத்தில் சாத்தியமான மாற்றத்தைத் தவிர மாறாது. குறியீடுகளில் a §0 மற்றும் b மாறிலிகள் மற்றும் S (X) என்பது மாறி X இன் அளவுரு அல்லாத வளைவு ஆகும். கூர்மையான வரம்புகள் இந்த புள்ளிவிவரத்தின் (±1) வரம்புகள் மஜிந்தரால் கூர்மைப்படுத்தப்பட்டன, அதன் முழுமையான மதிப்பு X என்பது வரையறுக்கப்பட்ட மாறுபாட்டுடன் ஒரு சீரற்ற மாறி, E () என்பது எதிர்பார்ப்பு ஆபரேட்டர் மற்றும் Pr () என்பது நிகழ்வு நிகழும் நிகழ்தகவு என்பதைக் காட்டுகிறது. p = q = 0.5 ஆக இருக்கும்போது இந்த புள்ளிவிவரத்தின் முழுமையான மதிப்பு 1 ஆல் வரையறுக்கப்படுகிறது. p = 0.1 மற்றும் p = 0.01 உடன், புள்ளிவிவரத்தின் முழுமையான மதிப்பு முறையே 0.6 மற்றும் 0.199 ஆல் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. நீட்டிப்புகள் இங்கு ν0 என்பது ஏதேனும் சராசரி மற்றும் E (.) என்றும் அறியப்படுகிறது. எதிர்பார்ப்பு ஆபரேட்டர். xq என்பது q வது அளவு என்று காட்டப்பட்டுள்ளது. அளவுகள் 0 மற்றும் 1 க்கு இடையில் உள்ளனஃ சராசரி (0.5 அளவு) q = 0.5 ஐக் கொண்டுள்ளது. இந்த சமத்துவமின்மை வளைவின் அளவை வரையறுக்கவும் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது. இந்த பிந்தைய சமத்துவமின்மை மேலும் கூர்மைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது. வரையறுக்கப்பட்ட சராசரியுடன் ஒரு விநியோகத்திற்கான மற்றொரு நீட்டிப்பு வெளியிடப்பட்டுள்ளதுஃ இந்த கடைசி ஜோடி ஏற்றத்தாழ்வுகளின் வரம்புகள் எப்போது மற்றும் நிலையான எண்களுக்கு a <b அடையப்படுகின்றன. வரையறுக்கப்பட்ட மாதிரிகள் xr உடன் மாதிரி அளவு n ≤ 2 கொண்ட ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட மாதிரிக்கு r வது வரிசை புள்ளிவிவரமாகும், m மாதிரி சராசரி மற்றும் s மாதிரி நிலையான விலகல் சுதந்திரத்தின் அளவுகளுக்கு சரிசெய்யப்படுகிறது, r ஐ n/2 உடன் மாற்றுவது மாதிரி நடுத்தரத்திற்கு பொருத்தமான முடிவை அளிக்கிறதுஃ அங்கு a மாதிரி நடுத்தரமாகும். புள்ளிவிவர சோதனைகள் ஹோட்டலிங் மற்றும் சாலமன்ஸ் சோதனை புள்ளிவிவரத்தின் விநியோகத்தைக் கருத்தில் கொண்டன, அங்கு n என்பது மாதிரி அளவு, m என்பது மாதிரி சராசரி, a என்பது மாதிரி சராசரி மற்றும் s என்பது மாதிரியின் நிலையான விலகல். டி இன் புள்ளிவிவர சோதனைகள் சோதனை செய்யப்படும் பூஜ்ய கருதுகோள் விநியோகம் சமச்சீர் என்று கருதுகின்றன. காஸ்ட்விர்த் n−1/2D இன் அறிகுறியற்ற மாறுபாட்டை மதிப்பிட்டார். விநியோகம் ஒரே மாதிரியாகவும் சமச்சீர் 0 ஆகவும் இருந்தால், அறிகுறியற்ற மாறுபாடு 1/4 மற்றும் 1 க்கு இடையில் இருக்கும். ஒரு பழமைவாத மதிப்பீட்டைக் கருதினால் (மாறுபாட்டை 1 க்கு சமமாக வைப்பது) பெயரளவு மட்டத்திற்குக் கீழே ஒரு உண்மையான அளவிலான முக்கியத்துவத்திற்கு வழிவகுக்கும். அடிப்படை விநியோகம் சமச்சீர் கேபிலியோ மற்றும் மசாரோ என்று கருதினால், S இன் விநியோகம் அறிகுறியற்ற இயல்பானது என்பதைக் காட்டுகிறது. அறிகுறியற்ற மாறுபாடு அடிப்படை பரவலைப் பொறுத்ததுஃ இயல்பான விநியோகத்திற்கு, S இன் அறிகுறியற்ற மாறுபாடு 0.5708 ஆகும். அடிப்படை விநியோகம் சமச்சீர் என்று கருதினால், சராசரி ஜெங்கிற்கு மேலேயும் கீழேயும் உள்ள மதிப்புகளின் விநியோகத்தைக் கருத்தில் கொண்டு, n என்பது மாதிரி அளவு என்றால், t விநியோகமாக விநியோகிக்கப்படுகிறது என்று காஸ்ட்விர்த் வாதிட்டனர். தொடர்புடைய புள்ளிவிவரங்கள் அன்டோனியெட்டா மீரா சராசரிக்கும் சராசரிக்கும் இடையிலான வேறுபாட்டின் விநியோகத்தை ஆய்வு செய்தார். இங்கு m என்பது மாதிரி சராசரி மற்றும் a என்பது சராசரி. அடிப்படை விநியோகம் சமச்சீர் γ1 ஆக இருந்தால், அது அறிகுறியற்ற இயல்பானது. இந்த புள்ளிவிவரம் முன்பு பான்ஃபெரோனியால் பரிந்துரைக்கப்பட்டது. ஒரு சமச்சீர் அடிப்படை விநியோகத்தைக் கருதினால், S இன் மாற்றத்தை மியாவோ, ஜெல் மற்றும் காஸ்ட்விர்த் ஆகியோர் ஆய்வு செய்தனர், அவர்கள் தங்கள் புள்ளிவிவரத்தை உருவாக்க நிலையான விலகலை மாற்றியமைத்தனர். இங்கு xi என்பது மாதிரி மதிப்புகள், | | என்பது முழுமையான மதிப்பு மற்றும் தொகை அனைத்து n மாதிரி மதிப்புகளுக்கும் மேல் எடுக்கப்படுகிறது. சோதனை புள்ளிவிவரம் அளவிடப்பட்ட புள்ளிவிவரம் டி ஒரு சமச்சீர் விநியோகத்திற்கு பூஜ்ஜியத்தின் சராசரியுடன் அறிகுறியற்ற இயல்பானது. அதன் அறிகுறியற்ற மாறுபாடு அடிப்படை விநியோகத்தைப் பொறுத்ததுஃ கட்டுப்படுத்தும் மதிப்புகள், இயல்பான விநியோகத்திற்கு = 0.5708. மற்றும், மூன்று டிகிரி சுதந்திரத்துடன் t விநியோகத்திற்கு, = 0.9689. தனிப்பட்ட விநியோகங்களுக்கான மதிப்புகள் சமச்சீர் விநியோகங்கள் சமச்சீர் நிகழ்தகவு விநியோகங்களுக்கு அளவுரு அல்லாத வளைவின் மதிப்பு 0 ஆகும். சமச்சீரற்ற விநியோகங்கள் இது வலது வளைந்த விநியோகங்களுக்கு சாதகமாகவும், இடது வளைந்த விநியோகங்களுக்கு எதிர்மறையாகவும் உள்ளது. முழுமையான மதிப்புகள் 0.7 என்பது குறிக்கப்பட்ட வளைவைக் குறிக்கிறது. சில விநியோகங்களுக்கு S ஐ தீர்மானிப்பது கடினமாக இருக்கலாம். இது வழக்கமாக நடுத்தரத்திற்கான ஒரு மூடிய வடிவம் அறியப்படாததால் ஆகும்ஃ இத்தகைய விநியோகங்களின் எடுத்துக்காட்டுகளில் காமா விநியோகம், தலைகீழ்-சி-சதுர விநியோகம், தலைகீழ்-காமா விநியோகம் மற்றும் அளவிடப்பட்ட தலைகீழ் சி-சதுர விநியோகம் ஆகியவை அடங்கும். S க்கான பின்வரும் மதிப்புகள் அறியப்படுகின்றனஃ பீட்டா விநியோகம் 1 <α <β இங்கு α மற்றும் β ஆகியவை விநியோகத்தின் அளவுருக்கள், பின்னர் ஒரு நல்ல தோராயத்திற்கு 1 <β <α என்றால் α மற்றும் β இன் நிலைகள் சூத்திரத்தில் தலைகீழாக மாறும். S எப்போதும் <0 ஆகும். இருமப் பகிர்வுஃ மாறுபடும். சராசரி ஒரு முழு எண் என்றால், S = 0. சராசரி ஒரு முழு எண் இல்லையென்றால் S க்கு அடையாளம் அல்லது பூஜ்ஜியமாக இருக்கலாம். இது ± குறைந்தபட்சம் {அதிகபட்சம் {p, 1 − p}, லாஜ் 2}/σ ஆல் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது, இங்கு σ என்பது இருமப் பகிர்வின் நிலையான விலகல் ஆகும். பர் டிஸ்ட்ரிபியூஷன்ஃ பிர்ன்பாம்-சாண்டர்ஸ் டிஸ்ட்ரிபியூஷன்ஃ இங்கு α என்பது வடிவ அளவுரு மற்றும் β என்பது இருப்பிட அளவுரு. கேன்டர் பரவலாக்கம்ஃ சி சதுர பரவலாக்கம்ஃ எஸ் ≤0 என்றாலும் அதன் மதிப்பு சுதந்திரத்தின் டிகிரிகளின் (கே) எண்ணிக்கையைப் பொறுத்தது. டாகம் விநியோகம் எக்ஸ்பொனென்ஷியல் விநியோகம் இரண்டு அளவுருக்களுடன் எக்ஸ்பொனென்ஷியல் விநியோகம் எக்ஸ்பொனென்ஷியல்-லோகரிதமிக் விநியோகம் இங்கே S எப்போதும்> 0 ஆகும். அதிவேகமாக மாற்றியமைக்கப்பட்ட காஸியன் பகிர்வுஃ n மற்றும் n டிகிரி ஆஃப் ஃப்ரீடம் (n> 4) உடன் F பகிர்வுஃ ஃப்ரெச்செட் பகிர்வுஃ இந்த பகிர்வின் மாறுபாடு α> 2 க்கு மட்டுமே வரையறுக்கப்படுகிறது. காமா விநியோகம்-இந்த விநியோகத்திற்கு மட்டுமே சராசரி தோராயமாக தீர்மானிக்க முடியும். வடிவ அளவுரு α என்பது ≤1 ஆக இருந்தால், β> 0 என்பது விகித அளவுருவாகும். இங்கே S எப்போதும்> 0 ஆகும். பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட இயல்பான விநியோக பதிப்பு 2 எஸ் எப்போதும் <0 ஆகும். பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட பரேட்டோ விநியோகம்-வடிவ அளவுரு (k) <1/2 ஆக இருக்கும்போது மட்டுமே S வரையறுக்கப்படுகிறது. இந்த விநியோகத்திற்கு S என்பது <0 ஆகும். கும்பல் பகிர்வுஃ இங்கு γ என்பது ஆய்லர் மாறிலி. பாதி-இயல்பான விநியோகம் குமாரசாமி விநியோகம் பதிவு-லாஜிஸ்டிக் விநியோகம் (ஃபிஷ்க் விநியோகம்): β வடிவ அளவுருவாக இருக்கட்டும். இந்த விநியோகத்தின் மாறுபாடு மற்றும் சராசரி β> 2 இல் மட்டுமே வரையறுக்கப்படுகிறது. குறியீட்டை எளிமைப்படுத்த b = β/ஆக இருக்கட்டும். b> 4.932 (தோராயமாக) மதிப்புகளுக்கு நிலையான விலகல் இல்லை. நிலையான விலகல் வரையறுக்கப்பட்ட மதிப்புகளுக்கு, எஸ்> 0 ஆகும். பதிவு-இயல்பான விநியோகம்ஃ சராசரி (μ) மற்றும் மாறுபாடு (σ2) பதிவு-வெய்புல் விநியோகத்துடன்ஃ லோமக்ஸ் விநியோகம்ஃ S என்பது α> 2 மேக்ஸ்வெல்-போல்ட்ஸ்மேன் விநியோகத்திற்கு மட்டுமே வரையறுக்கப்படுகிறதுஃ நககாமி விநியோகம் பரேட்டோ விநியோகம்ஃ α> 2 க்கு α என்பது விநியோகத்தின் வடிவ அளவுருவாகும், மேலும் S எப்போதும்> 0 ஆகும். பாய்சான் விநியோகம்-இங்கு λ என்பது விநியோகத்தின் அளவுரு ஆகும். ரேலேய் விநியோகம்-வெய்புல் விநியோகம்-இங்கு k என்பது விநியோகத்தின் வடிவ அளவுரு ஆகும். இங்கே S எப்போதும்> 0 ஆகும். 1895 ஆம் ஆண்டில் பியர்சன் முதன்முதலில் சராசரி மற்றும் முறைக்கு இடையிலான வேறுபாட்டை தரப்படுத்துவதன் மூலம் வளைவை அளவிட பரிந்துரைத்தார், அங்கு முறையே μ, θ மற்றும் σ என்பது விநியோகத்தின் சராசரி, முறை மற்றும் நிலையான விலகல் ஆகும். மாதிரி தரவுகளிலிருந்து மக்கள்தொகை முறையின் மதிப்பீடுகள் கடினமாக இருக்கலாம், ஆனால் பல விநியோகங்களுக்கான சராசரி மற்றும் முறைக்கு இடையிலான வேறுபாடு சராசரி மற்றும் சராசரிக்கு இடையிலான வேறுபாட்டை விட மூன்று மடங்கு அதிகமாக உள்ளது, இது பியர்சனுக்கு இரண்டாவது வளைவு குணகம் என்று பரிந்துரைத்ததுஃ இங்கு ν என்பது விநியோகத்தின் சராசரி. பவ்லி 1901 ஆம் ஆண்டில் இந்த சூத்திரத்திலிருந்து காரணி 3 ஐ கைவிட்டார், இது அளவுரு அல்லாத வளைவு புள்ளிவிவரத்திற்கு வழிவகுத்தது. சராசரி, சராசரி மற்றும் முறை ஆகியவற்றுக்கு இடையிலான உறவை பியர்சன் தனது வகை III விநியோகங்களை ஆராய்ந்தபோது முதன்முதலில் குறிப்பிட்டார். சராசரி, சராசரி மற்றும் முறைக்கு இடையிலான உறவுகள் ஒரு தன்னிச்சையான விநியோகத்திற்கு முறை, சராசரி மற்றும் சராசரி எந்த வரிசையிலும் தோன்றலாம். சராசரி, சராசரி, முறை மற்றும் நிலையான விலகல் ஆகியவற்றுக்கு இடையிலான சில உறவுகள் குறித்து பகுப்பாய்வு செய்யப்பட்டுள்ளது. மேலும் இந்த உறவுகள் அளவுரு அல்லாத வளைவின் அடையாளம் மற்றும் அளவில் சில கட்டுப்பாடுகளை விதிக்கின்றன. இந்த உறவுகளை விளக்கும் ஒரு எளிய எடுத்துக்காட்டு n = 10 மற்றும் p = 0.09 உடன் இருமப் பகிர்வு ஆகும். இந்த விநியோகம் திட்டமிடப்படும்போது நீண்ட வலது வால் உள்ளது. சராசரி (0.9) நடுத்தரத்தின் (1) இடதுபுறத்தில் உள்ளது, ஆனால் மூன்றாவது தரப்படுத்தப்பட்ட தருணத்தால் வரையறுக்கப்பட்ட வளைவு (0.906) நேர்மறையானது. இதற்கு மாறாக பண்பளவையில்லா வளைவு-0.110 ஆகும். பியர்சனின் விதி சில விநியோகங்களுக்கு சராசரிக்கும் முறைக்கும் இடையிலான வேறுபாடு சராசரிக்கும் நடுத்தரத்திற்கும் இடையிலான வேறுபாட்டை விட மூன்று மடங்கு அதிகமாக உள்ளது என்ற விதி பியர்சன் காரணமாகும், அவர் தனது வகை 3 விநியோகங்களை ஆராய்ந்தபோது அதைக் கண்டுபிடித்தார். இது பெரும்பாலும் இயல்பான விநியோகத்தை ஒத்த சற்றே சமச்சீரற்ற விநியோகங்களுக்கு பயன்படுத்தப்படுகிறது, ஆனால் இது எப்போதும் உண்மையாக இருக்காது. 1895 ஆம் ஆண்டில் பியர்சன், இப்போது காமா விநியோகம் என்று அழைக்கப்படுவதற்கு, θ, ν மற்றும் μ ஆகியவை முறையே விநியோகத்தின் முறை, சராசரி மற்றும் சராசரி என்ற உறவு ஒரு பெரிய வடிவ அளவுருவுடன் விநியோகங்களுக்கு தோராயமாக உண்மை என்று குறிப்பிட்டார். 1917 ஆம் ஆண்டில் டூட்ஸன், வரையறுக்கப்பட்ட நான்காவது தருணங்களுடன் மிதமான வளைந்த விநியோகங்களுக்கான முறைக்கும் சராசரிக்கும் இடையில் சராசரி உள்ளது என்பதை நிரூபித்தார். இந்த உறவு அனைத்து பியர்சன் விநியோகங்களுக்கும் பொருந்தும், மேலும் இந்த விநியோகங்கள் அனைத்தும் நேர்மறையான அளவுரு அல்லாத வளைவைக் கொண்டுள்ளன. ஒரு நல்ல தோராயத்திற்கு விநியோகங்களின் இந்த குடும்பத்திற்கு, θ, ν மற்றும் μ முறையே விநியோகத்தின் முறை, சராசரி மற்றும் சராசரி என்றும் டூட்சன் குறிப்பிட்டார். டூட்சனின் தோராயத்தை மேலும் ஆராய்ந்து ஹால்டேன் உறுதிப்படுத்தினார். மூன்றாவது குமுலண்டுடன் ஒத்த மற்றும் சுயாதீனமான மாறுபாடுகளைக் கொண்ட மாதிரிகள் பெரிய மாதிரி அளவுகளுக்கு பியர்சனின் உறவுக்குக் கீழ்ப்படியும் மாதிரி வழிமுறைகளைக் கொண்டிருந்தன என்று ஹால்டேன் குறிப்பிட்டார். எட்ஜ்வொர்த் விரிவாக்கத்தின் இருப்பு மற்றும் மீடியன் மற்றும் முறை ஆகிய இரண்டின் தனித்துவம் உட்பட இந்த உறவைப் பேணுவதற்கு ஹால்டனுக்கு பல நிபந்தனைகள் தேவைப்பட்டன. இந்த நிலைமைகளின் கீழ், முறை மற்றும் சராசரி முறையே மூன்றாவது தருணத்தின் 1/2 மற்றும் 1/6 ஆக ஒன்றிணைவதை அவர் கண்டறிந்தார். இந்த முடிவு ஹாலால் பலவீனமான நிலைமைகளின் கீழ் சிறப்பியல்பு செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி உறுதிப்படுத்தப்பட்டது. டூட்ஸனின் உறவை கெண்டால் மற்றும் ஸ்டூவர்ட் ஆகியோர் பதிவு-இயல்பான விநியோகத்தில் ஆய்வு செய்தனர், அதற்காக அவர்கள் அதற்கு நெருக்கமான ஒரு சரியான உறவைக் கண்டறிந்தனர். வழக்கமாக மாறுபட்ட வால்கள் மற்றும் எக்ஸ்போனன்ட் α கொண்ட ஒரு விநியோகத்திற்கு, யூனிமோடல் டிஸ்ட்ரிபியூஷன்கள் காஸ் 1823 இல் ஒரு யூனிமோடல் டிஸ்ட்ரிபியூஷனுக்கு மற்றும் ω என்பது பயன்முறையிலிருந்து ரூட் சராசரி சதுர விலகல் என்பதைக் காட்டியது என்பதையும் ஹால் காட்டினார். முறை நேர்மறையாக வளைக்கப்பட்ட ஒரு பெரிய வகை ஒற்றை வகை விநியோகங்களுக்கு, சராசரி மற்றும் சராசரி அந்த வரிசையில் விழுகின்றன. இதற்கு நேர்மாறாக எதிர்மறையாக வளைந்திருக்கும் ஒரு பெரிய வகை யூனிமோடல் டிஸ்ட்ரிபியூஷன்களுக்கு சராசரி மீடியனை விட குறைவாக உள்ளது, இது பயன்முறையை விட குறைவாக உள்ளது. இந்த நேர்மறையான வளைந்த ஒற்றை மாதிரி விநியோகங்களுக்கான சின்னங்களிலும், இந்த எதிர்மறையான வளைந்த ஒற்றை மாதிரி விநியோகங்களுக்கும் இந்த வகுப்பில் முக்கியமான எஃப், பீட்டா மற்றும் காமா விநியோகங்கள் அடங்கும். இந்த விதி யூனிமோடல் வெய்புல் விநியோகத்திற்கு பொருந்தாது. ஒரு ஒற்றை மாதிரி விநியோகத்திற்கு பின்வரும் வரம்புகள் அறியப்படுகின்றன மற்றும் கூர்மையானவைஃ இங்கு μ, ν மற்றும் θ முறையே சராசரி, சராசரி மற்றும் முறை ஆகும். நடுத்தர வரம்பு ஒரு ஒற்றை மாதிரி விநியோகத்தின் அளவுரு அல்லாத வளைவை தோராயமாக ± 0.775 ஆக கட்டுப்படுத்துகிறது. வான் ஸ்வெட் நிபந்தனை பின்வரும் சமத்துவமின்மை, இங்கு θ, ν மற்றும் μ முறையே விநியோகத்தின் முறை, சராசரி மற்றும் சராசரி ஆகும், இங்கு F என்பது விநியோகத்தின் ஒட்டுமொத்த விநியோக செயல்பாடாகும். இந்த நிபந்தனைகள் பின்னர் பொதுமைப்படுத்தப்பட்டு தனித்துவமான விநியோகங்களுக்கு நீட்டிக்கப்பட்டுள்ளன. இது வைத்திருக்கும் எந்தவொரு விநியோகமும் பூஜ்ஜியம் அல்லது நேர்மறையான பண்பளவையில்லா வளைவைக் கொண்டுள்ளது. 1964 ஆம் ஆண்டில் வான் ஸ்வெட் வளைவின் நடவடிக்கைகளை வரிசைப்படுத்துவதற்கான தொடர்ச்சியான கோட்பாடுகளை முன்மொழிந்தார். அளவுரு அல்லாத வளைவு இந்த கோட்பாடுகளை திருப்திப்படுத்தாது. பென்ஃபோர்டின் விதி பென்ஃபோர்டின் விதி என்பது எண்களின் பட்டியலில் உள்ள இலக்கங்களின் விநியோகம் தொடர்பான ஒரு அனுபவ விதி ஆகும். நேர்மறையான பண்பளவையில்லா வளைவு கொண்ட விநியோகங்களிலிருந்து சீரற்ற மாறுபாடுகள் இந்த சட்டத்திற்குக் கட்டுப்படும் என்று பரிந்துரைக்கப்படுகிறது. பவ்லியின் குணகத்துடன் தொடர்பு இந்த புள்ளிவிவரம் பவ்லியின் வளைவு குணகத்துடன் மிகவும் ஒத்திருக்கிறது, அங்கு கி என்பது விநியோகத்தின் ith குவார்டைல் ஆகும். ஹிங்க்லி இதை 0 மற்றும் 0.5 க்கு இடையில் இருக்கும் இடத்தில் பொதுமைப்படுத்தினார். பவுலியின் குணகம் என்பது 0.25 க்கு சமமான ஒரு சிறப்பு வழக்கு. க்ரோனிவெல்ட் மற்றும் மீடன் ஆகியோர் அதன் மீது ஒருங்கிணைப்பதன் மூலம் சார்ந்திருப்பதை அகற்றினர். வகுத்தல் என்பது சிதறலின் அளவீடு ஆகும். டினாமினேட்டரை நிலையான விலகலால் மாற்றுவதன் மூலம் நாம் பண்பளவையில்லா வளைவைப் பெறுகிறோம். குறிப்புகள் சுருக்கம் புள்ளிவிவரங்கள்