Ahlfors theory
அஹ்ல்போர்ஸ் கோட்பாடு என்பது நெவன்லின்னா கோட்பாட்டின் வடிவியல் எதிர்ப்பாளராக லார்ஸ் அஹ்ல்போர்ஸ் கண்டுபிடித்த ஒரு கணிதக் கோட்பாடாகும். 1936 ஆம் ஆண்டில் இந்த கோட்பாட்டிற்காக இரண்டு முதல் ஃபீல்ட்ஸ் பதக்கங்களில் ஒன்று அஹ்ல்போர்ஸிற்கு வழங்கப்பட்டது. வரைபடங்களை உள்ளடக்கும் அடிப்படை பண்புகளின் பொதுமைப்படுத்தலாக இது கருதப்படலாம், அவை சில நன்கு வரையறுக்கப்பட்ட அர்த்தத்தில் "கிட்டத்தட்ட மறைப்புகள்" ஆகும். இது இணக்கமான ரீமானியன் அளவீடுகள் பொருத்தப்பட்ட எல்லை ரீமானின் மேற்பரப்புகளுக்கு பொருந்தும். ஒரு எல்லைக்குட்பட்ட ரீமன் மேற்பரப்பு X ஐ ஒரு சிறிய ரீமன் மேற்பரப்பில் உள்ள ஒரு பகுதி என்று வரையறுக்கலாம், அதன் எல்லை ஷ்ணல் X இறுதியாக பல வேறுபட்ட ஜோர்டான் வளைவுகளைக் கொண்டுள்ளது. பெரும்பாலான பயன்பாடுகளில் இந்த வளைவுகள் துண்டு துண்டாக பகுப்பாய்வு செய்யப்படுகின்றன, ஆனால் இந்த வளைவுகளில் சில வெளிப்படையான குறைந்தபட்ச ஒழுங்குமுறை நிபந்தனைகள் உள்ளன, இது கோட்பாட்டைச் செயல்படுத்துவதற்கு அவசியம்; இது அஹ்ல்போர்ஸ் ஒழுங்குமுறை என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு இணக்கமான ரீமானியன் மெட்ரிக் ஒரு நீள உறுப்பு ds ஆல் வரையறுக்கப்படுகிறது, இது இணக்கமான உள்ளூர் ஆயத்தொலைவுகள் z இல் ds = ρ (z) |dz | ஆக வெளிப்படுத்தப்படுகிறது, இதில் ρ என்பது தனிமைப்படுத்தப்பட்ட பூஜ்ஜியங்களுடன் ஒரு மென்மையான நேர்மறை செயல்பாடு ஆகும். பூஜ்ஜியங்கள் இல்லையென்றால், மெட்ரிக் மென்மையானது என்று அழைக்கப்படுகிறது. நீள உறுப்பு சரிசெய்யக்கூடிய வளைவுகளின் நீளம் மற்றும் பிராந்தியங்களின் பகுதிகளை சூத்திரங்களால் வரையறுக்கிறது பின்னர் இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரம் இந்த புள்ளிகளை இணைக்கும் வளைவுகளின் நீளங்களின் முடிவிலியாக வரையறுக்கப்படுகிறது. அமைப்பு மற்றும் குறியீடு X மற்றும் Y இரண்டு எல்லைக்குட்பட்ட ரீமன் மேற்பரப்புகளாக இருக்கட்டும், மேலும் Y ஒரு மென்மையான (எல்லை உட்பட) இணக்கமான மெட்ரிக் σ (z) dz உடன் பொருத்தப்பட்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். f என்பது X முதல் Y வரையிலான ஒரு ஹோலோமார்பிக் வரைபடமாக இருக்கட்டும். பின்னர் X இல் புல்-பேக் மெட்ரிக் உள்ளது, இது X இந்த மெட்ரிக் பொருத்தப்பட்டிருக்கும் போது, f ஒரு உள்ளூர் ஐசோமெட்ரி ஆகிறது; அதாவது, ஒரு வளைவின் நீளம் அதன் படத்தின் நீளத்திற்கு சமம். X மற்றும் Y இல் உள்ள அனைத்து நீளங்களும் பகுதிகளும் இந்த இரண்டு அளவீடுகளைப் பொறுத்து அளவிடப்படுகின்றன. f என்பது X இன் எல்லையை Y இன் எல்லைக்கு அனுப்பினால், f என்பது ஒரு விரிவாக்கப்பட்ட உறையாகும். குறிப்பாக, அ) ஒவ்வொரு புள்ளியும் ஒரே (வரையறுக்கப்பட்ட) முன்கூட்டிய எண்களைக் கொண்டுள்ளன, அவை பெருக்கத்தைக் கணக்கிடுகின்றன. இந்த எண் மறைப்பின் அளவு. ஆ) ரீமன்-ஹர்விட்ஸ் சூத்திரம், குறிப்பாக, X இன் ஆய்லர் பண்பு அதிகபட்சமாக Y மடங்கு டிகிரியின் ஆய்லர் பண்பு ஆகும். இப்போது X இன் எல்லையின் ஒரு பகுதி Y இன் உட்புறத்துடன் வரைபடமாக்கப்பட்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். இந்தப் பகுதி உறவினர் எல்லை என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த உறவினர் எல்லையின் நீளம் L ஆக இருக்கட்டும். முதல் முக்கிய தேற்றம் சராசரி மூடும் எண் சூத்திரத்தால் வரையறுக்கப்படுகிறது இந்த எண் ஒரு மூடும் அளவின் பொதுமைப்படுத்தலாகும். இதேபோல், ஒவ்வொரு வழக்கமான வளைவுக்கும் γ மற்றும் Y இல் உள்ள ஒவ்வொரு வழக்கமான பகுதி D க்கும் சராசரி மூடும் எண்கள் வரையறுக்கப்படுகின்றனஃ முதல் முக்கிய தேற்றம் ஒவ்வொரு வழக்கமான பகுதிக்கும் ஒவ்வொரு வழக்கமான வளைவுக்கும், L என்பது உறவினர் எல்லையின் நீளம், மற்றும் k என்பது Y, σ, D மற்றும் γ ஐ மட்டுமே சார்ந்து இருக்கக்கூடிய மாறிலி, ஆனால் f மற்றும் X இலிருந்து சுயாதீனமாக உள்ளது. எல் = 0 ஆக இருக்கும்போது, இந்த ஏற்றத்தாழ்வுகள் a) பண்புகளின் பலவீனமான ஒப்புமையாக மாறும். இரண்டாவது முக்கிய தேற்றம் ρ என்பது ஆய்லர் பண்புருவின் எதிர்மறையாக இருக்கட்டும் (எனவே m துளைகளைக் கொண்ட கோளத்திற்கு ρ = 2m−2). பின்னர் இது ρ (Y)> 0 ஆக இருக்கும்போது மட்டுமே அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும், எடுத்துக்காட்டாக Y என்பது மூன்று (அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட) துளைகளைக் கொண்ட ஒரு கோளமாக இருக்கும்போது. இந்த விஷயத்தில், இதன் விளைவாக ஆ) உறைகளின் பண்பின் பொதுமைப்படுத்தலாகக் கருதப்படலாம். பயன்பாடுகள் இப்போது Z ஒரு திறந்த ரீமன் மேற்பரப்பு என்று வைத்துக்கொள்வோம், எடுத்துக்காட்டாக சிக்கலான தளம் அல்லது அலகு வட்டு, மற்றும் Z ஒரு இணக்கமான மெட்ரிக் ds உடன் பொருத்தப்பட்டிருக்கட்டும். Z இல் உள்ள எல்லைக்குட்பட்ட மேற்பரப்புகளின் டிஜே அவற்றின் மூடல்களுடன் அதிகரித்தால் (Z, ds) வழக்கமாக தீர்ந்துவிடும் என்று நாங்கள் கூறுகிறோம், அதன் ஒன்றிணைப்பு Z இல் உள்ளது, மேலும் தன்னிச்சையான இணக்கமான மெட்ரிக் கொண்ட சிக்கலான தளம் தொடர்ந்து தீர்ந்துவிடும் என்பதை அஹ்ல்போர்ஸ் நிரூபித்தார். இந்த உண்மை, இரண்டு முக்கிய கோட்பாடுகளுடன் சேர்ந்து பிகார்டின் தேற்றத்தையும், நெவன்லின்னா கோட்பாட்டின் இரண்டாவது முக்கிய தேற்றத்தையும் குறிக்கிறது. பிகார்டின் தேற்றத்தின் பல முக்கியமான பொதுமைப்படுத்தல்களை அஹ்ல்போர்ஸ் கோட்பாட்டிலிருந்து பெறலாம். குறிப்பாக ஒரு குறிப்பிடத்தக்க முடிவு (ஆண்ட்ரே ப்ளோச் முன்பு ஊகித்தார்) ஐந்து தீவு தேற்றம் ஆகும். ஐந்து தீவு தேற்றம் D1,., D5 என்பது ரீமன் கோளத்தில் ஐந்து ஜோர்டான் பகுதிகளாக இருக்கட்டும், அவை வேறுபட்ட மூடல்களுடன் உள்ளன. பின்னர் இந்த பகுதிகளைப் பொறுத்து ஒரு மாறிலி c உள்ளது, மேலும் பின்வரும் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளதுஃ கோள வழித்தோன்றல் திருப்திப்படுத்தும் வகையில் அலகு வட்டில் f ஒரு மெரோமார்பிக் செயல்பாடாக இருக்கட்டும். இது நான்கு பிராந்தியங்களுக்கு பொருந்தாது. எடுத்துக்காட்டாக, f (z) = χ (Kz) ஐ எடுத்துக் கொள்ளுங்கள், அங்கு K> 0 தன்னிச்சையாக பெரியது, மற்றும் χ என்பது வேயர்ஸ்ட்ராஸ் நீள்வட்ட செயல்பாடாகும், இது வேறுபட்ட சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்துகிறது. அஹ்ல்போர்ஸின் அசல் பத்திரிகைக் கட்டுரையைத் தவிர, இந்தக் கோட்பாடு புத்தகங்களில் விளக்கப்பட்டுள்ளது. இரண்டாவது பிரதான தேற்றத்தின் எளிமைப்படுத்தப்பட்ட சான்றுகள் டோக்கி மற்றும் டி தெலின் ஆவணங்களில் காணப்படுகின்றன. ஐந்து தீவு தேற்றத்தின் ஒரு எளிய சான்று, அஹ்ல்போர்ஸின் கோட்பாட்டை நம்பாமல், பெர்க்வீலரால் உருவாக்கப்பட்டது. குறிப்புகள்