1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯
கணிதத்தில், ஒரு வேறுபட்ட தொடர், முதலில் ஆய்லரால் கருதப்பட்டது, இது இயற்கையான எண்களின் காரணிகளை மாறி மாறி குறியீடுகளுடன் கூட்டுகிறது. வேறுபட்டிருந்தாலும், இது தோராயமாக 0.596347 மதிப்பை போரெல் கூட்டுத்தொகையால் ஒதுக்கலாம். யூலர் மற்றும் போரெல் கூட்டுத்தொகை இந்தத் தொடரை முதன்முதலில் யூலர் பரிசீலித்தார், அவர் தொடருக்கு ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட மதிப்பை ஒதுக்க சுருக்க முறைகளைப் பயன்படுத்தினார். இந்தத் தொடர் என்பது மாறி மாறி சேர்க்கப்படும் அல்லது கழிக்கப்படும் காரணிகளின் கூட்டுத்தொகையாகும். இந்த வேறுபட்ட தொடருக்கு ஒரு மதிப்பை ஒதுக்குவதற்கான ஒரு வழி போரெல் கூட்டுத்தொகையைப் பயன்படுத்துவதாகும், அங்கு ஒருவர் முறையாக எழுதுகிறார் கூட்டுத்தொகையும் ஒருங்கிணைப்பும் ஒன்றோடொன்று மாற்றப்பட்டால் (இரு பக்கங்களும் ஒன்றிணைக்கப்படுவதில்லை என்பதைப் புறக்கணித்து), ஒருவர் பெறுகிறார்ஃ சதுர அடைப்புக்குறிகளில் உள்ள கூட்டுத்தொகை எப்போது ஒன்றிணைக்கப்படுகிறது, அந்த மதிப்புகளுக்கு சமம். அனைத்து நேர்மறை யதார்த்தங்களுக்கும் பகுப்பாய்வு தொடர்ச்சியானது கூட்டுத்தொகைக்கு ஒரு ஒருங்கிணைந்த ஒருங்கிணைப்புக்கு வழிவகுக்கிறதுஃ இங்கு E1 (z) என்பது அதிவேக ஒருங்கிணைப்பாகும். இது வரையறையின்படி தொடரின் போரெல் கூட்டுத்தொகை ஆகும். வேறுபட்ட சமன்பாடுகளுடனான தொடர்பு வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் இணைக்கப்பட்ட அமைப்பைக் கவனியுங்கள், அங்கு புள்ளிகள் t ஐப் பொறுத்தவரை வழித்தோன்றல்களைக் குறிக்கின்றன. நிலையான சமநிலை கொண்ட தீர்வு t → φ இல் y (t) = ஐக் கொண்டுள்ளது, மேலும் அதை முதல் சமன்பாட்டிற்கு மாற்றுவது முறையான தொடர் தீர்வைத் தருகிறது. மறுபுறம், வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் அமைப்பு ஒரு தீர்வைக் கொண்டுள்ளது பகுதிகளால் தொடர்ச்சியாக ஒருங்கிணைப்பதன் மூலம், முறையான சக்தி தொடர் x (t) க்கான இந்த வெளிப்பாட்டிற்கு ஒரு அறிகுறியற்ற தோராயமாக மீட்கப்படுகிறது. முறையான தொடர் மற்றும் ஒருங்கிணைப்பு இரண்டும் வேறுபட்ட சமன்பாடுகளுக்கு ஒரே தீர்வை விவரிப்பதால், அவை ஒருவருக்கொருவர் சமமாக இருக்க வேண்டும் என்று ஆய்லர் வாதிடுகிறார் (அதிகமாகவோ அல்லது குறைவாகவோ) மேலும் காண்க மாற்று காரணி 1 + 1 + 1 + ꯘꯥ1 − 1 + 1 − 1 + ꯘꯥ (கிராண்டியின்) 1 + 2 + 3 + 4 + ꯘꯥ1 + 2 + 4 + 8 + ꯘꯥ1 − 2 + 3 − 4 + ꯘꯥ1 − 2 + 4 − 8 + ꯘꯥ குறிப்புகள் மேலும் வாசிப்பு வேறுபட்ட தொடர்