Loewner differential equation
கணிதத்தில், லோவ்னர் வேறுபாடு சமன்பாடு அல்லது லோவ்னர் சமன்பாடு என்பது 1923 ஆம் ஆண்டில் சார்லஸ் லோவ்னரால் சிக்கலான பகுப்பாய்வு மற்றும் வடிவியல் செயல்பாட்டுக் கோட்பாட்டில் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட ஒரு சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடு ஆகும். பிளவு வரைபடங்களைப் படிப்பதற்காக முதலில் அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட லோவ்னரின் முறை பின்னர் 1943 ஆம் ஆண்டில் ரஷ்ய கணிதவியலாளர் பாவெல் பர்ஃபெனேவிச் குஃபாரேவ் (1909-1968) என்பவரால் உருவாக்கப்பட்டது. சிக்கலான தளத்தில் உள்ள களங்களின் எந்தவொரு குடும்பமும் கேராதியோடரி என்ற அர்த்தத்தில் முழு தளத்திற்கும் தொடர்ந்து விரிவடைகிறது, இது லோவ்னர் சங்கிலி என்று அழைக்கப்படும் இணக்கமான வரைபடங்களின் ஒரு அளவுரு குடும்பத்திற்கும், அதே போல் லோவ்னர் செமிகிரூப் என்று அழைக்கப்படும் அலகு வட்டின் ஹோலோமார்பிக் சமநிலையற்ற சுய வரைபடங்களின் இரண்டு அளவுரு குடும்பத்திற்கும் வழிவகுக்கிறது. இந்த செமிகிரூப் வட்டில் உள்ள நேரத்தை சார்ந்த ஹோலோமார்பிக் திசையன் புலத்துடன் ஒத்திருக்கிறது, இது வட்டில் உள்ள நேர்மறையான உண்மையான பகுதியுடன் கூடிய ஹோலோமார்பிக் செயல்பாடுகளின் ஒரு அளவுரு குடும்பத்தால் வழங்கப்படுகிறது. லோவ்னர் அரைகுறை ஒரு சமநிலையற்ற அரைகுறை என்ற கருத்தை பொதுமைப்படுத்துகிறது. லோவ்னர் வேறுபாடு சமன்பாடு சமத்துவமற்ற செயல்பாடுகளுக்கான ஏற்றத்தாழ்வுகளுக்கு வழிவகுத்தது, இது 1985 ஆம் ஆண்டில் லூயிஸ் டி ப்ராஞ்சஸ் எழுதிய பீபர்பாக் அனுமானத்தின் தீர்வில் முக்கிய பங்கு வகித்தது. 1923 ஆம் ஆண்டில் மூன்றாவது குணகத்திற்கான யூகத்தை நிரூபிக்க லோவ்னர் தனது நுட்பங்களைப் பயன்படுத்தினார். 1990 களின் பிற்பகுதியில் ஓடெட் ஷ்ராம் கண்டுபிடித்த லோவ்னர் வேறுபாடு சமன்பாட்டின் சீரற்ற பொதுமைப்படுத்தலான ஷ்ராம்-லோவ்னர் சமன்பாடு, நிகழ்தகவு கோட்பாடு மற்றும் இணக்கமான புலக் கோட்பாட்டில் விரிவாக உருவாக்கப்பட்டுள்ளது. இணையற்ற செயல்பாடுகளை உட்படுத்தவும் அலகு வட்டில் ஹோலோமார்பிக் சமநிலையற்ற செயல்பாடுகளாக இருக்கட்டும், உடன். ஒரு சமச்சீர் வரைபடம் இருந்தால் மட்டுமே அது அதற்குக் கீழ்ப்பட்டதாக இருக்கும் என்று கூறப்படுகிறது. அத்தகைய வரைபடம் இருப்பதற்கு அவசியமான மற்றும் போதுமான நிபந்தனை என்னவென்றால், தேவை உடனடியாக உள்ளது. இதற்கு நேர்மாறாக வரையறுக்கப்பட வேண்டும் வரையறையின்படி φ என்பது ஒரு சமநிலையற்ற ஹோலோமார்பிக் சுய வரைபடம் ஆகும். அத்தகைய வரைபடம் ஒவ்வொரு வட்டையும் திருப்திப்படுத்துகிறது மற்றும் எடுத்துக்கொள்கிறது என்பதால், அதனுடன், அது அதைப் பின்பற்றுகிறது மற்றும் லோவ்னர் சங்கிலி திறந்த இணைக்கப்பட்ட மற்றும் வெறுமனே இணைக்கப்பட்ட துணைக்குழுக்களின் குடும்பமாக இருக்கட்டும், அதாவது என்றால், மற்றும் எனவே என்றால், கேராதியோடரி கர்னல் தேற்றத்தின் அர்த்தத்தில். அலகு வட்டைக் குறிக்கிறது என்றால், இந்த தேற்றம் ரீமன் மேப்பிங் தேற்றத்தால் வழங்கப்பட்ட தனித்துவமான சமநிலையற்ற வரைபடங்கள் சுருக்கமான துணைக்குழுக்களில் ஒரே சீராக தொடர்ச்சியானவை என்பதைக் குறிக்கிறது. மேலும், செயல்பாடு நேர்மறை, தொடர்ச்சியான, கண்டிப்பாக அதிகரிக்கும் மற்றும் தொடர்ச்சியானது. ஒரு மறுசீரமைப்பு மூலம், எனவே சமநிலையற்ற வரைபடங்கள் லோவ்னர் சங்கிலி என்று அழைக்கப்படுகின்றன என்று கருதலாம். கோய்பே விலகல் தேற்றம் சங்கிலியைப் பற்றிய அறிவு திறந்த தொகுப்புகளின் பண்புகளுக்கு சமம் என்பதைக் காட்டுகிறது. லோவ்னர் அரைகுறை ஒரு லோவ்னர் சங்கிலி என்றால், வட்டு சரிசெய்தலின் தனித்துவமான தனித்துவமான சுய வரைபடம் இருப்பதால், தனித்துவத்தால் வரைபடங்கள் பின்வரும் அரைகுறை பண்புகளைக் கொண்டுள்ளனஃ அவர்கள் ஒரு லோவ்னர் அரை குழுவை உருவாக்குகிறார்கள். சுய வரைபடங்கள் தொடர்ந்து லோவ்னர் வேறுபாடு சமன்பாட்டைப் பொறுத்தது மற்றும் திருப்திப்படுத்துகிறது லோவ்னர் வேறுபாடு சமன்பாடு லோவ்னர் அரை குழுவிற்கு அல்லது லோவ்னர் சங்கிலிக்கு சமமாக பெறப்படலாம். அரை குழுவிற்கு, பின்னர் அதனுடன் இருக்கட்டும். பின்னர் சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாட்டை ஆரம்ப நிபந்தனையுடன் திருப்திப்படுத்துகிறது. லோவ்னர் சங்கிலியால் திருப்திப்படுத்தப்பட்ட வேறுபாடு சமன்பாட்டைப் பெற, இது வேறுபாடு சமன்பாட்டை ஆரம்ப நிபந்தனையுடன் திருப்திப்படுத்துகிறது என்பதைக் கவனியுங்கள் சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடுகளுக்கான பிகார்ட்-லிண்டெலோஃப் தேற்றம் இந்த சமன்பாடுகளை தீர்க்க முடியும் என்றும் தீர்வுகள் ஹோலோமார்பிக் என்றும் உத்தரவாதம் அளிக்கிறது. லோவ்னர் அரைக்குழுவிலிருந்து லோவ்னர் சங்கிலியை வரம்பிற்குள் கடந்து செல்வதன் மூலம் மீட்டெடுக்க முடியும்ஃ இறுதியாக எந்தவொரு சமநிலையற்ற சுய வரைபடம், சரிசெய்தல் ஆகியவற்றைக் கொடுத்தால், ஒரு லோவ்னர் அரைக்குழுவை உருவாக்க முடியும், அதேபோல் ஒரு சமநிலையற்ற செயல்பாட்டைக் கொடுத்தால், மூடிய அலகு வட்டைக் கொண்டிருக்கும், ஒரு லோவ்னர் சங்கிலி உள்ளது, இதனால் இந்த வகையின் முடிவுகள் உடனடியாக இருந்தால் அல்லது தொடர்ந்து நீட்டிக்கப்பட்டால். அவை பொதுவாக வரைபடங்களை தோராயமாக மாற்றுவதன் மூலமும், பின்னர் ஒரு நிலையான சுருக்க வாதத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலமும் பின்பற்றப்படுகின்றன. பிளவு வரைபடங்கள் ஹோலோமார்பிக் செயல்பாடுகள் நேர்மறையான உண்மையான பகுதியுடன் இயங்குகின்றன மற்றும் இயல்பாக்கப்பட்டுள்ளன, எனவே அவை ஹெர்க்லோட்ஸ் பிரதிநிதித்துவ தேற்றத்தால் விவரிக்கப்படுகின்றனஃ வட்டத்தில் ஒரு நிகழ்தகவு அளவீடு எங்கே. ஒரு புள்ளி அளவீட்டை எடுத்துக்கொள்வது செயல்பாடுகளை தனிமைப்படுத்துகிறது, அவை முதலில் பரிசீலிக்கப்பட்டன. பிளவு வரைபடங்களின் சுருக்கமான துணைக்குழுக்களில் சீரான ஒருங்கிணைப்புக்கான அடர்த்தியைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் அலகு வட்டில் சமநிலையற்ற செயல்பாடுகளுக்கான ஏற்றத்தாழ்வுகளை நிரூபிக்க முடியும். இவை சிக்கலான தளத்தில் உள்ள யூனிட் டிஸ்க்கின் இணக்கமான வரைபடங்களாகும், இதில் ஜோர்டான் வளைவு ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட புள்ளியை φ உடன் இணைக்கிறது. கராத்தியோடோரி கர்னல் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் அடர்த்தி பின்பற்றப்படுகிறது. உண்மையில் எந்தவொரு சமநிலையற்ற செயல்பாடும் அலகு வட்டத்தை ஒரு பகுப்பாய்வு வளைவுக்கு அழைத்துச் செல்லும் செயல்பாடுகளால் தோராயமாக மதிப்பிடப்படுகிறது. அந்த வளைவில் உள்ள ஒரு புள்ளியை ஜோர்டான் வளைவு மூலம் முடிவிலியுடன் இணைக்க முடியும். தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட புள்ளியின் ஒரு பக்கத்தில் பகுப்பாய்வு வளைவின் ஒரு சிறிய பகுதியை தவிர்ப்பதன் மூலம் பெறப்பட்ட பகுதிகள் ஒன்றிணைகின்றன, எனவே இந்த பகுதிகளின் தொடர்புடைய சமமற்ற வரைபடங்கள் கச்சிதமான தொகுப்புகளில் ஒரே மாதிரியாக ஒன்றிணைகின்றன. ஒரு பிளவு செயல்பாட்டிற்கு லோவ்னர் வேறுபாடு சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்த, ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட புள்ளியில் இருந்து நீக்கப்பட்ட ஜோர்டான் வளைவை அளவுருவாகக் கொள்ளலாம், இதனால் வரைபடத்தின் சமமற்ற வரைபடம் குறைவாக உள்ளது என்பது தொடர்ச்சியான வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது. குறிப்பாக, தொடர்ச்சியுடன் இருக்கட்டும். இது ஒரு லோவ்னர் சங்கிலி மற்றும் லோவ்னர் அரைக்குழுவை வழங்குகிறது, அங்கு அலகு வட்டத்திற்கு ஒரு தொடர்ச்சியான வரைபடம் உள்ளது. தீர்மானிக்க, அலகு வட்டை அலகு வட்டில் ஒரு ஜோர்டான் வளைவுடன் ஒரு உட்புற புள்ளியில் இருந்து அகற்றப்பட்ட எல்லை வரை வரைபடமாக்குவதைக் கவனியுங்கள். அது எல்லையைத் தொடும் புள்ளி சுயாதீனமாக உள்ளது மற்றும் அலகு வட்டத்திலிருந்து தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டை வரையறுக்கிறது. இது பின்வருவனவற்றின் சிக்கலான இணைவு (அல்லது தலைகீழ்) ஆகும்ஃ சமமாக, கராத்தியோடோரியின் தேற்றத்தால் மூடிய அலகு வட்டுக்கு ஒரு தொடர்ச்சியான நீட்டிப்பை ஒப்புக்கொள்கிறது, மேலும் சில நேரங்களில் ஓட்டுநர் செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது, ஒவ்வொரு தொடர்ச்சியான செயல்பாடும் ஒரு பிளவு வரைபடத்திலிருந்து வரவில்லை, ஆனால் தொடர்ச்சியான வழித்தோன்றலைக் கொண்டிருக்கும்போது இது உண்மை என்பதை குஃபரேவ் காட்டினார். Bieberbach அனுமானத்திற்கான பயன்பாடு ஒரு சமநிலையற்ற செயல்பாட்டின் மூன்றாவது குணகத்திற்கான Bieberbach அனுமானத்தை நிரூபிக்க பிளவு வரைபடங்களுக்கான அவரது வேறுபட்ட சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தியது. பின்னர் தொடர்ச்சியாக. லோவ்னர் வேறுபாடு சமன்பாடு குறிக்கிறது மற்றும் எனவே இது உடனடியாக பீபர்பாக்கின் சமத்துவமின்மையைக் குறிக்கிறது இதேபோல் எதிர்மறை அல்லாதது மற்றும் காச்சி-ஸ்வார்ஸ் சமத்துவமின்மையைப் பயன்படுத்துகிறது. குறிப்புகள் குறிப்புகள் சிக்கலான பகுப்பாய்வு