Euclidean random matrix
கணிதத்திற்குள், ஒரு N × N யூக்ளிடிய சீரற்ற அணி ஒரு தன்னிச்சையான தீர்மானகரமான செயல்பாட்டின் உதவியுடன் வரையறுக்கப்படுகிறது f (r, r′) மற்றும் D-பரிமாண யூக்ளிடியன் இடத்தின் ஒரு பகுதி V இல் தோராயமாக விநியோகிக்கப்பட்ட N புள்ளிகள் {ri}. மேட்ரிக்ஸின் ஐஜ் உறுப்பு f (ri, rj) க்கு சமம்ஃ ஐஜ் = f (ri, rj). யூக்ளிடிய சீரற்ற மேட்ரிக்ஸ்கள் முதன்முதலில் 1999 இல் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டன. f (r, r′) = f (r-r′) என்ற புள்ளிகளின் ஜோடிகளுக்கு இடையிலான தூரத்தை மட்டுமே சார்ந்திருக்கும் செயல்பாடுகளின் ஒரு சிறப்பு வழக்கை அவர்கள் ஆய்வு செய்தனர், மேலும் அவர்கள் மேட்ரிக்ஸைப் படித்த இயற்பியல் சூழலால் உந்தப்பட்டு, மூலைவிட்ட உறுப்புகள் AII, Aij = f (ri-rj)-u δij.99kf (ri-rk) மீது கூடுதல் நிபந்தனையை விதித்தனர். யூக்ளிடியன் தூர அணி என்பது யூக்ளிடியன் சீரற்ற அணிக்கான ஒரு குறிப்பிட்ட எடுத்துக்காட்டு, இதில் f (ri-rj) = |ri-rj|2 அல்லது f (ri-rj) = |ri-rj |. எடுத்துக்காட்டாக, பல உயிரியல் நெட்வொர்க்குகளில், இரண்டு முனைகளுக்கு இடையிலான தொடர்புகளின் வலிமை அந்த முனைகளின் இயற்பியல் அருகாமையைப் பொறுத்தது. முனைகள் தோராயமாக விண்வெளியில் வைக்கப்பட்டால், முனைகளுக்கு இடையிலான இடஞ்சார்ந்த தொடர்புகளை யூக்ளிடியன் சீரற்ற மேட்ரிக்ஸாக வடிவமைக்க முடியும். பண்புகள் புள்ளிகளின் நிலைகள் சீரற்றவை என்பதால், மேட்ரிக்ஸ் கூறுகள் ஐஜ் சீரற்றவை. மேலும், N × N உறுப்புகள் முற்றிலும் N புள்ளிகளால் மட்டுமே தீர்மானிக்கப்படுவதால், பொதுவாக, ஒருவர் N இல் ஆர்வமாக இருப்பதால், வெவ்வேறு உறுப்புகளுக்கு இடையில் வலுவான தொடர்புகள் உள்ளன. ஹெர்மிடியன் யூக்ளிடியன் சீரற்ற மேட்ரிக்ஸ்கள் ஹெர்மிடியன் யூக்ளிடியன் சீரற்ற மேட்ரிக்ஸ்கள் பல்வேறு இயற்பியல் சூழல்களில் தோன்றும், இதில் சூப்பர் குளிரூட்டப்பட்ட திரவங்கள், ஒழுங்கற்ற அமைப்புகளில் ஃபோனான்கள் மற்றும் சீரற்ற ஊடகங்களில் அலைகள் அடங்கும். எடுத்துக்காட்டு 1: k0 = 2π/λ0 உடன் f (r, r′) = sin (k0|r-r′ |)/(k0|r-r′ |) செயல்பாட்டால் உருவாக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸைக் கவனியுங்கள். இந்த மேட்ரிக்ஸ் ஹெர்மிடியன் மற்றும் அதன் ஐகென் மதிப்புகள் உண்மையானவை. பக்க L மற்றும் தொகுதி V = L3 கனசதுரத்தில் தோராயமாக விநியோகிக்கப்படும் N புள்ளிகளுக்கு, புள்ளிகளின் அடர்த்தி ρ = N/V ρλ03 ≤ 1 மற்றும் 2.8N/(k0L) 2 <1 க்குக் கீழ்ப்படிந்தால், λ இன் நிகழ்தகவு விநியோகம் தோராயமாக மார்செங்கோ-பாஸ்டர் சட்டத்தால் வழங்கப்படுகிறது என்பதைக் காட்டலாம் (படத்தைப் பார்க்கவும்). ஹெர்மிடியன் அல்லாத யூக்ளிடியன் சீரற்ற மேட்ரிக்ஸ்கள் பெரிய (N′1) ஹெர்மிடியன் அல்லாத யூக்ளிடியன் சீரற்ற மேட்ரிக்ஸ்களின் ஐகென் மதிப்பு அடர்த்திக்கான ஒரு கோட்பாடு உருவாக்கப்பட்டுள்ளது மற்றும் சீரற்ற லேசரின் சிக்கலைப் படிக்க பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது. எடுத்துக்காட்டு 2: k0 = 2π/λ0 மற்றும் f (r = r′) = 0 உடன் f (r, r′) = exp (ik0|r-r′ |)/(k0|r-r′ |) என்ற சார்பால் உருவாக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸைக் கவனியுங்கள். இந்த அணி ஹெர்மிடியன் அல்ல மற்றும் அதன் ஐகென் மதிப்புகள் λ சிக்கலானவை. புள்ளியின் அடர்த்தி ρ = N/V ρλ03 ≤ 1 மற்றும் 9N/(8k0 R) 2 <1 க்குக் கீழ்ப்படிந்தால் λ இன் நிகழ்தகவு விநியோகத்தை பகுப்பாய்வு முறையில் காணலாம் (படத்தைப் பார்க்கவும்). குறிப்புகள் சீரற்ற மேட்ரிக்ஸ் கணித இயற்பியல்