Arithmetic zeta function
கணிதத்தில், எண்கணித ஜீட்டா சார்பு என்பது முழு எண்களுக்கு மேல் வரையறுக்கப்பட்ட வகையின் திட்டத்துடன் தொடர்புடைய ஒரு ஜீட்டா சார்பு ஆகும். எண்கணித ஜீட்டா செயல்பாடு ரீமன் ஜீட்டா செயல்பாடு மற்றும் டெடெகிண்ட் ஜீட்டா செயல்பாட்டை அதிக பரிமாணங்களுக்கு பொதுமைப்படுத்துகிறது. எண்கணித ஜீட்டா செயல்பாடு எண் கோட்பாட்டின் மிக அடிப்படையான பொருட்களில் ஒன்றாகும். வரையறை எண்கணித ஜீட்டா செயல்பாடு ரீமன் ஜீட்டா செயல்பாட்டிற்கு ஒத்த ஒரு ஆய்லர் பெருக்கல் மூலம் வரையறுக்கப்படுகிறதுஃ இதில் திட்டத்தின் அனைத்து மூடிய புள்ளிகளிலும் பெருக்கல் எடுக்கப்படுகிறது. சமமாக, தயாரிப்பு அனைத்து புள்ளிகளுக்கும் மேல் உள்ளது, அதன் எச்ச புலம் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. இந்த புலத்தின் கார்டினாலிட்டி குறிக்கப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் பண்புகள் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட புலத்தின் மீது மாறுபாடுகள் உறுப்புகளுடன் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட புலத்தின் நிறமாலை என்றால், பின்னர் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட புலத்தின் மீது ஒரு வகை X க்கு, இது ஒரு விகிதமுறு செயல்பாடு (அதாவது, பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் ஈவு) என்று கிரோதெண்டீக்கின் சுவடு சூத்திரத்தால் அறியப்படுகிறது. ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட புலத்தின் மீது X மற்றும் Y என்ற இரண்டு வகைகளைக் கொடுத்தால், முழு எண்களின் விட் திசையன்களின் வளையத்தில் உள்ள பெருக்கத்தைக் குறிக்கும் இடத்தில் இன் ஜீட்டா செயல்பாடு வழங்கப்படுகிறது. முழு எண்களின் வளையம் முழு எண்களின் வளையத்தின் நிறமாலையாக இருந்தால், அது ரீமன் ஜீட்டா செயல்பாடு ஆகும். மேலும் பொதுவாக, ஒரு இயற்கணித எண் புலத்தின் முழு எண்களின் வளையத்தின் நிறமாலை என்றால், அது டெடெகிண்ட் ஜீட்டா செயல்பாடு ஆகும். டிஜாயின்ட் யூனியன்களின் ஜீட்டா செயல்பாடுகள் ஒரு திட்டத்தின் மீது அஃபைன் மற்றும் ப்ரொஜெக்டிவ் ஸ்பேஸ்களின் ஜீட்டா செயல்பாடு ஒரு திட்டத்தின் மீது கொடுக்கப்படுகிறது. பிந்தைய சமன்பாட்டை முந்தையவற்றிலிருந்து யூகிக்க முடியும், இது ஒரு மூடிய மற்றும் திறந்த சப்ஷீமின் டிஜாயின்ட் யூனியனாக இருக்கும், மேலும் பொதுவாக, எல்லையற்ற டிஜாயின்ட் யூனியன்களுக்கு இதே போன்ற சூத்திரம் உள்ளது. குறிப்பாக, இதன் ஜீட்டா செயல்பாடு பகா எண்களின் மடுலோவைக் குறைப்பதன் பெருக்கல் என்பதை இது காட்டுகிறதுஃ ஒவ்வொரு பகா எண்ணையும் உள்ளடக்கிய இத்தகைய வெளிப்பாடு சில நேரங்களில் யூலர் பெருக்கல் என்றும் ஒவ்வொரு காரணியும் யூலர் காரணி என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. ஆர்வமுள்ள பல சந்தர்ப்பங்களில், பொதுவான நார் மென்மையானது. பின்னர், இறுதியாக பல மட்டுமே ஒருமை (மோசமான குறைப்பு). கிட்டத்தட்ட அனைத்து பகா எண்களுக்கும், அதாவது நல்ல குறைப்பைக் கொண்டிருக்கும்போது, ஆய்லர் காரணி அதன் ஹாஸ்-வெயில் ஜீட்டா செயல்பாட்டின் தொடர்புடைய காரணியுடன் உடன்படுவதாக அறியப்படுகிறது. எனவே, இந்த இரண்டு செயல்பாடுகளும் நெருக்கமாக தொடர்புடையவை. முக்கிய அனுமானங்கள் ஒரு வழக்கமான பகுக்கமுடியாத சம பரிமாண திட்டத்தின் (முழு எண்களுக்கு மேல் வரையறுக்கப்பட்ட வகை) ஜீட்டா செயல்பாட்டின் நடத்தை குறித்து பல அனுமானங்கள் உள்ளன. இந்த அனுமானங்களில் பல (ஆனால் அனைத்தும் அல்ல) யூலர்-ரீமான்-டெடெக்கிண்ட் ஜீட்டா செயல்பாட்டைப் பற்றிய நன்கு அறியப்பட்ட கோட்பாடுகளின் ஒரு பரிமாண வழக்கை பொதுமைப்படுத்துகின்றன. திட்டம் தட்டையாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை, இந்த விஷயத்தில் இது சிலவற்றில் வரையறுக்கப்பட்ட வகையின் திட்டமாகும். இது கீழே உள்ள சிறப்பியல்பு வழக்கு என்று குறிப்பிடப்படுகிறது. பிந்தைய வழக்கில், இந்த அனுமானங்களில் பல (பிர்ச் மற்றும் ஸ்வின்னர்டன்-டையர் அனுமானத்தைத் தவிர மிகவும் குறிப்பிடத்தக்கவை, அதாவது. சிறப்பு மதிப்புகள் பற்றிய ஆய்வு அறியப்படுகிறது). தட்டையான மற்றும் பரிமாணம் இரண்டு மற்றும் அதற்கு மேற்பட்ட திட்டங்களுக்கு மிகக் குறைவாகவே அறியப்படுகிறது. மெரோமார்பிக் தொடர்ச்சி மற்றும் செயல்பாட்டு சமன்பாடு ஹாஸ் மற்றும் வெயில் ஆகியவை சிக்கலான தளத்திற்கு ஒரு மெரோமார்பிக் தொடர்ச்சியைக் கொண்டுள்ளன மற்றும் முழுமையான பரிமாணம் எங்கு உள்ளது என்பதைப் பொறுத்து ஒரு செயல்பாட்டு சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்துகின்றன. இது நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது மற்றும் சில மிகவும் சிறப்பு வாய்ந்த சந்தர்ப்பங்களில் பிளாட் திட்டங்களுக்கு மேல் மற்றும் அனைவருக்கும் நேர்மறையான பண்பு உள்ளது. இது வெயில் அனுமானங்களின் விளைவாகும் (இன்னும் துல்லியமாக, ரீமன் கருதுகோள் அதன் பகுதி) ஜீட்டா செயல்பாடு வரை ஒரு மெரோமார்பிக் தொடர்ச்சியைக் கொண்டுள்ளது. பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ரீமன் கருதுகோள், பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ரீமன் கருதுகோளின் படி, பூஜ்ஜியங்கள் முக்கியமான பட்டைக்குள் செங்குத்து கோடுகளில் உள்ளன என்றும், முக்கியமான பட்டைக்குள் உள்ள துருவங்கள் செங்குத்து கோடுகளில் உள்ளன என்றும் ஊகிக்கப்படுகிறது. இது (எமில் ஆர்டின், ஹெல்முட் ஹாஸ்ஸே, ஆண்ட்ரே வெயில், அலெக்சாண்டர் கிரோதெண்டிக், பியர் டெலிக்னே) அனைவருக்கும் சாதகமான பண்பு என்று நிரூபிக்கப்பட்டது. தட்டையான எந்த திட்டத்திற்கும் இது நிரூபிக்கப்படவில்லை. ரீமன் கருதுகோள் என்பது அனுமானம் 2 இன் ஒரு பகுதி வழக்கு. துருவ வரிசைகள் பகுப்பாய்வு தொடர்ச்சிக்கு உட்பட்டு, பூஜ்ஜியம் அல்லது துருவத்தின் வரிசை மற்றும் முக்கியமான பட்டைக்குள் உள்ள முழு எண் புள்ளிகளில் எஞ்சியிருப்பது முக்கிய எண்கணித மாறுபாடுகளால் வெளிப்படுத்தப்படலாம் என்று ஊகிக்கப்படுகிறது. மேலே உள்ள அடிப்படை பண்புகள் மற்றும் நோதர் இயல்பாக்கம் ஆகியவற்றை அடிப்படையாகக் கொண்ட செர்ரே காரணமாக ஒரு வாதம், ஜீட்டா செயல்பாடு ஒரு துருவத்தைக் கொண்டுள்ளது என்பதைக் காட்டுகிறது, அதன் வரிசையில் அதிகபட்ச பரிமாணத்துடன் பகுக்கமுடியாத கூறுகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமம். இரண்டாவதாக, டேட் அனுமானித்தார், அதாவது, துருவ வரிசை தலைகீழ் வழக்கமான செயல்பாடுகளின் குழுக்களின் தரவரிசை மற்றும் பிகார்ட் குழுவால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. பிர்ச் மற்றும் ஸ்வின்னர்டன்-டையர் அனுமானம் இந்த அனுமானத்தின் ஒரு பகுதி வழக்கு. உண்மையில், டேட்டின் இந்த அனுமானம் பிர்ச் மற்றும் ஸ்வின்னர்டன்-டையரின் பொதுமைப்படுத்தலுக்கு சமம். மேலும் பொதுவாக, சோல் அனுமானித்தார் வலது புறம் என்பது இயற்கணிதத்தின் ஆடம்ஸ் ஐகென்ஸ்பேஸ்களைக் குறிக்கிறது-இன் கோட்பாடு. இந்த தரவரிசைகள் பாஸ் அனுமானத்தின் கீழ் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளன. இந்த அனுமானங்கள் எப்போது, அதாவது, வரையறுக்கப்பட்ட புலங்களில் எண் வளையங்கள் மற்றும் வளைவுகளின் வழக்கு அறியப்படுகின்றன. பிர்ச் மற்றும் ஸ்வின்னர்டன்-டையர் அனுமானத்தின் பகுதியளவு வழக்குகள் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளன, ஆனால் நேர்மறையான பண்புகளில் கூட அனுமானம் திறந்த நிலையில் உள்ளது. முறைகள் மற்றும் கோட்பாடுகள் க்ரோனெக்கர் பரிமாணத்தின் வழக்கமான இணைக்கப்பட்ட சம பரிமாண எண்கணித திட்டத்தின் எண்கணித ஜீட்டா செயல்பாட்டை சரியான வரையறுக்கப்பட்ட-காரணிகள் மற்றும் ஒரு துணை காரணியின் பெருக்கலாகக் காரணியாக்கலாம். எனவே,-செயல்பாடுகளின் முடிவுகள் எண்கணித ஜீட்டா செயல்பாடுகளுக்கான தொடர்புடைய முடிவுகளைக் குறிக்கின்றன. இருப்பினும், பூஜ்ஜியம் மற்றும் 2 மற்றும் அதற்கு மேற்பட்ட பரிமாணங்களில் எண்கணிதத் திட்டங்களின்-காரணிகளைப் பற்றி நிரூபிக்கப்பட்ட முடிவுகள் இன்னும் மிகக் குறைவு. எண்கணித ஜீட்டா செயல்பாடுகளை அவற்றின் காரணிகளுடன் வேலை செய்யாமல் நேரடியாக ஆய்வு செய்யும் ஒரு கோட்பாட்டை இவான் ஃபெசென்கோ தொடங்கினார். இது டேட்டின் ஆய்வறிக்கையின் உயர் பரிமாண பொதுமைப்படுத்தலாகும். இது உயர் அடேல் குழுக்கள், உயர் ஜீட்டா ஒருங்கிணைப்பு மற்றும் உயர் வகுப்பு புலக் கோட்பாட்டிலிருந்து வரும் பொருள்களைப் பயன்படுத்துகிறது. இந்தக் கோட்பாட்டில், உலகளாவிய புலங்களின் மீது நீள்வட்ட வளைவுகளின் சரியான வழக்கமான மாதிரிகளின் மெரோமார்பிக் தொடர்ச்சி மற்றும் செயல்பாட்டு சமன்பாடு ஒரு எல்லை செயல்பாட்டின் சராசரி-கால அளவு பண்புடன் தொடர்புடையது. எம். சுசுகி மற்றும் ஜி. ரிக்கோட்டா ஆகியோருடனான அவரது கூட்டுப்பணியில் எண் கோட்பாட்டில் ஒரு புதிய தொடர்பு முன்மொழியப்பட்டுள்ளது, எண்கணித ஜீட்டா செயல்பாடுகள் மற்றும் சராசரி-கால செயல்பாடுகளுக்கு இடையில் மென்மையான செயல்பாடுகளின் இடத்தில் உண்மையான கோட்டில் அதிவேக வளர்ச்சிக்கு மேல் இல்லை. இந்த கடிதப் பரிமாற்றம் லாங்லேண்ட்ஸ் கடிதப் பரிமாற்றத்துடன் தொடர்புடையது. ஃபெசென்கோவின் கோட்பாட்டின் மற்ற இரண்டு பயன்பாடுகள் உலகளாவிய புலங்களின் மீது நீள்வட்ட வளைவுகளின் சரியான மாதிரிகளின் ஜீட்டா செயல்பாட்டின் துருவங்களுக்கும், மைய புள்ளியில் உள்ள சிறப்பு மதிப்புக்கும் ஆகும். குறிப்புகள் ஆதாரங்கள் ஜீட்டா மற்றும் எல்-செயல்பாடுகள் எண் கோட்பாடு