Grunsky's theorem
கணிதத்தில், ஜெர்மன் கணிதவியலாளர் ஹெல்முட் க்ரூன்ஸ்கியின் காரணமாக க்ரூன்ஸ்கியின் தேற்றம், சிக்கலான எண்களில் அலகு வட்டில் வரையறுக்கப்பட்ட ஹோலோமார்பிக் சமநிலையற்ற செயல்பாடுகளைப் பற்றிய சிக்கலான பகுப்பாய்வின் விளைவாகும். அலகு வட்டில் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு சமநிலையற்ற செயல்பாடு, புள்ளி 0 ஐ சரிசெய்து, ஒவ்வொரு வட்டு |z | <r ஐ r ≤ டன்ஹ் π/4 க்கான நட்சத்திரம் போன்ற களத்தில் வரைபடமாக்குகிறது என்று தேற்றம் கூறுகிறது. இது உண்மையாக இருக்கும் மிகப்பெரிய r என்பது செயல்பாட்டின் நட்சத்திர ஒற்றுமையின் ஆரம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. கூற்று f என்பது அலகு வட்டு D இல் ஒரு சமநிலையற்ற ஹோலோமார்பிக் செயல்பாடாக இருக்கட்டும், அதாவது f (0) = 0. பின்னர் அனைத்து r ≤ தன்ஹ் π/4 க்கும், வட்டு |z | <r இன் படம் 0 ஐப் பொறுத்தவரை நட்சத்திரத்தைப் போன்றது, அதாவது. இது (0,1) இல் உள்ள உண்மையான எண்களால் பெருக்கத்தின் கீழ் மாறாதது. f (0) = 0 உடன் D இல் f (z) சமமற்றதாக இருந்தால், மடக்கை உண்மையான மற்றும் கற்பனையான பகுதிகளை எடுத்துக் கொண்டால், இது இரண்டு ஏற்றத்தாழ்வுகளைக் குறிக்கிறது மற்றும் நிலையான z க்கு, இந்த இரண்டு சமத்துவங்களும் பொருத்தமான Koebe செயல்பாடுகளால் அடையப்படுகின்றன, அங்கு |w | = 1. ஆதாரம் முதலில் லுட்விக் பீபர்பாக்கின் தீவிர நுட்பங்களின் அடிப்படையில் இந்த ஏற்றத்தாழ்வுகளை நிரூபித்தது. பின்வரும் சான்றுகள், லோவ்னர் சமன்பாட்டை நம்பியிருந்தன. பின்னர் குலுசின் சமத்துவமின்மையின் அடிப்படையில் மேலும் அடிப்படை சான்றுகள் வழங்கப்பட்டன, இது க்ரூன்ஸ்கி மேட்ரிக்ஸிற்கான க்ரூன்ஸ்கியின் சமத்துவமின்மைகளுக்கு (1939) சமமான வடிவமாகும். ஒரு விரிவாக்கத்துடன் z> 1 இல் உள்ள ஒரு சமமற்ற செயல்பாட்டிற்கு, குலுசின் சமத்துவமின்மைகள், zi என்பது |zi |> 1 மற்றும் λi உடன் தனித்துவமான புள்ளிகளாக இருக்கும் இடத்தில் தன்னிச்சையான சிக்கலான எண்கள் என்று கூறுகின்றன. n = 2 ஐ எடுத்துக்கொள்வது. λ1 =-λ2 = λ உடன், சமத்துவமின்மை குறிக்கிறது g ஒரு ஒற்றைப்படை செயல்பாடு மற்றும் η =-ζ என்றால், இது விளைகிறது இறுதியாக f என்பது D இல் ஏதேனும் இயல்பாக்கப்பட்ட சமநிலையற்ற செயல்பாடாக இருந்தால், f க்கு தேவையான சமத்துவமின்மை தேற்றத்தின் ஆதாரத்துடன் எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம் பின்பற்றப்படுகிறது f என்பது f (0) = 0 உடன் D இல் சமநிலையற்ற செயல்பாடாக இருக்கட்டும். நெவன்லின்னாவின் அளவுகோலால், f என்பது |z | <r இல் நட்சத்திரத்தைப் போன்றது, |z | <r க்கு மட்டுமே. சமமாக மறுபுறம் மேலே உள்ள க்ரூன்ஸ்கியின் சமத்துவமின்மையால், சமத்துவமின்மை z இல் இருந்தால். இந்த நிபந்தனை சமமானது, எனவே f எந்த வட்டில் நட்சத்திரம் போன்றது |z | <r உடன் r ≤ டன்ஹ் π/4. குறிப்புகள் (ரஷ்ய மொழியில்) (ஜெர்மன் மொழியில்) (ஜெர்மன் மொழியில்) சிக்கலான பகுப்பாய்வில் தேற்றம்