Water retention on random surfaces
சீரற்ற மேற்பரப்புகளில் நீர் தக்கவைப்பு என்பது ஒரு சதுர லட்டிஸ் போன்ற வழக்கமான வரிசையில் பல்வேறு உயரங்களின் செல்களின் மேற்பரப்பில் குளங்களில் தண்ணீரைப் பிடிப்பதற்கான உருவகப்படுத்துதலாகும், அங்கு அமைப்பில் உள்ள ஒவ்வொரு செல்லிலும் தண்ணீர் மழை பெய்யும். அமைப்பின் எல்லைகள் திறந்திருக்கும் மற்றும் நீர் வெளியேற அனுமதிக்கிறது. தண்ணீர் குளங்களில் சிக்கிக் கொள்ளும், இறுதியில் அனைத்து குளங்களும் அவற்றின் அதிகபட்ச உயரத்திற்கு நிரப்பப்படும், ஏதேனும் கூடுதல் நீர் கசிவு வழிகள் வழியாகவும் அமைப்பின் எல்லைகளுக்கு வெளியேயும் பாயும். கொடுக்கப்பட்ட மேற்பரப்பில் சிக்கியுள்ள அல்லது தக்கவைக்கப்பட்டுள்ள நீரின் அளவைக் கண்டுபிடிப்பதே பிரச்சனை. இது சீரற்ற மேற்பரப்புகளுக்கு விரிவாக ஆய்வு செய்யப்பட்டுள்ளது. சீரற்ற மேற்பரப்புகள் தக்கவைப்பு கேள்வி ஆய்வு செய்யப்பட்ட ஒரு அமைப்பு சீரற்ற உயரங்களின் மேற்பரப்பாகும். இங்கே ஒருவர் சீரற்ற மேற்பரப்பை தள ஊடுருவலுக்கு வரைபடமாக்கலாம், மேலும் ஒவ்வொரு கலமும் அமைப்பைக் குறிக்கும் அடிப்படை வரைபடம் அல்லது லட்டிஸில் ஒரு தளத்திற்கு வரைபடமாக்கப்படுகிறது. ஊடுருவல் கோட்பாட்டைப் பயன்படுத்தி, இந்த அமைப்பின் பல பண்புகளை ஒருவர் விளக்க முடியும். எந்தவொரு சீரற்ற தளத்திலிருந்தும் அமைப்பில் திரவம் அறிமுகப்படுத்தப்படும் படையெடுப்பு கசிவு மாதிரிக்கு இது ஒரு எடுத்துக்காட்டு. நீர்நிலைகளில், ஒன்று ஓடுதல் மற்றும் நீர்ப்பிடிப்புகளின் உருவாக்கம் குறித்து அக்கறை கொண்டுள்ளது. வெவ்வேறு வடிகால் வடிநிலங்களுக்கு இடையிலான எல்லை (வட அமெரிக்காவில் உள்ள நீர்நிலைகள்) சுமார் 1.22 பிளவு பரிமாணத்துடன் ஒரு வடிகால் பிளவுகளை உருவாக்குகிறது. தக்கவைப்பு சிக்கலை நிலையான ஊடுருவலுக்கு வரைபடமாக்கலாம். ஐந்து சமமான சாத்தியமான நிலைகளைக் கொண்ட ஒரு அமைப்புக்கு, எடுத்துக்காட்டாக, சேமிக்கப்பட்ட R5 நீரின் அளவு என்பது இரண்டு நிலை அமைப்புகளில் R2 (p) இல் சேமிக்கப்பட்ட நீரின் கூட்டுத்தொகையாகும், இது மிகக் குறைந்த நிலையில் p நிலைகளின் மாறுபட்ட பின்னங்களுடன் உள்ளதுஃ R5 = R2 (1/5) + R2 (2/5) + R2 (3/5) + R2 (4/5) வழக்கமான இரண்டு நிலை அமைப்புகள் 1,2 p = 0,0,0.6,0.8 உடன் வலதுபுறத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளன (நீலம்ஃ ஈரமான, பச்சைஃ உலர்ந்த, மஞ்சள்ஃ ஈரமான தளங்களின் எல்லையில் உள்ள கசிவு வழிகள்). ஐந்து நிலை அமைப்பின் நிகர தக்கவைப்பு இவை அனைத்தின் கூட்டுத்தொகையாகும். மேல் மட்டத்தில் தண்ணீர் இல்லை, ஏனெனில் இது ஒரு சதுர லட்டிஸ், 0.592746 இன் கசிவு வரம்பை விட மிக அதிகமாக உள்ளது. இரண்டு நிலை அமைப்பு R2 (p) இன் தக்கவைப்பு என்பது அமைப்பின் எல்லையைத் தொடாத குளங்களுடன் இணைக்கப்பட்ட நீரின் அளவு ஆகும். p முக்கியமான கசிவு வரம்பு p c க்கு மேலே இருக்கும்போது, முழு அமைப்பையும் பார்வையிடும் ஒரு கசிவு கொத்து அல்லது குளம் இருக்கும். ஒரு புள்ளி ஊடுருவும் அல்லது "எல்லையற்ற" கிளஸ்டருக்கு சொந்தமானது என்பதற்கான நிகழ்தகவு ஊடுருவல் கோட்பாட்டில் P ≤ என எழுதப்படுகிறது, மேலும் இது R2 (p) ஆல் R2 (p)/L2 = p − P ≤ உடன் தொடர்புடையது, அங்கு L என்பது சதுரத்தின் அளவு. எனவே, ஒரு பன்முக அமைப்பின் தக்கவைப்பு ஊடுருவல் கோட்பாட்டில் நன்கு அறியப்பட்ட அளவுடன் தொடர்புடையதாக இருக்கலாம். தக்கவைப்பை அளவிட, ஒருவர் ஒரு வெள்ள வழிமுறையைப் பயன்படுத்தலாம், இதில் எல்லைகளிலிருந்து நீர் அறிமுகப்படுத்தப்படுகிறது மற்றும் நீர் மட்டம் உயர்த்தப்படும்போது மிகக் குறைந்த கசிவு வழி வழியாக வெள்ளம் ஏற்படுகிறது. தக்கவைப்பு என்பது ஒரு தளம் வெள்ளத்தில் மூழ்கிய நீர் மட்டத்தில் உள்ள வித்தியாசம், அதற்குக் கீழே உள்ள நிலப்பரப்பின் உயரத்தைக் கழித்தல். மேலே விவரிக்கப்பட்ட தனித்துவமான நிலைகளின் அமைப்புகளைத் தவிர, நிலப்பரப்பு மாறுபாட்டை 0 முதல் 1 வரை தொடர்ச்சியான மாறியாக மாற்றலாம். அதேபோல், மேற்பரப்பு உயரத்தை இடஞ்சார்ந்த மாறிகளின் தொடர்ச்சியான செயல்பாடாக மாற்றலாம். அனைத்து சந்தர்ப்பங்களிலும், பொருத்தமான ஊடுருவல் முறைக்கு வரைபடத்தின் அடிப்படை கருத்து உள்ளது. ஒரு வினோதமான முடிவு என்னவென்றால், n தனித்த மட்டங்களைக் கொண்ட ஒரு சதுர அமைப்பு n + 1 நிலைகளின் அமைப்பை விட அதிக நீரைத் தக்க வைத்துக் கொள்ள முடியும், போதுமான பெரிய வரிசை L> L * க்கு. இந்த நடத்தையை ஊடுருவல் கோட்பாட்டின் மூலம் புரிந்து கொள்ள முடியும், இது L * ≈ (p − pc) − ν ஐ மதிப்பிடுவதற்கும் பயன்படுத்தப்படலாம், அங்கு ν = 4/3, p = i */n இங்கு i * என்பது i இன் மிகப்பெரிய மதிப்பு, இதற்கு i/n <pc, மற்றும் pc = 0.592746 என்பது ஒரு சதுர லட்டிஸின் தள ஊடுருவல் வரம்பாகும். எண் உருவகப்படுத்துதல்கள் L * இன் பின்வரும் மதிப்புகளை வழங்குகின்றன, அவை முழு எண் அல்லாத மதிப்புகளுக்கு விரிவுபடுத்தப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, L ≤ 51 க்கு R2 <R3, ஆனால் L ≤ 52 க்கு R2> R3: n பெரிதாகி வருவதால், கடப்பது குறைந்து வருகிறது, மேலும் கடக்கும் இடத்தில் L * இன் மதிப்பு இனி n இன் மோனோடோனிக் செயல்பாடாக இருக்காது. மேலும் படிக்க வெளிப்புற இணைப்புகள் https://commons.wikimedia.org/wiki/Category: அசோசியேட்டிவ் _ மேஜிக் _ சதுரங்கள் _ ஆஃப் _ ஆர்டர் _ 4 ஹ்யூகோ ஃபோர்ட்னர். , மந்திர சதுரப் படங்களுக்கான இணைப்புகளுடன் ஹ்யூகோ ஃபோர்ட்னர். அல் சிம்மர்மேனின் புரோகிராமிங் போட்டிகளுக்கான கலந்துரையாடல் தளம் ஃபியூட்டிலிட்டி க்ளோசெட்-பாலியோமினோ கணக்கீடு மற்றும் ஏரி வடிவங்கள்-மாதிரியை 2D இலிருந்து 3D நேச்சர் 2018 க்கு மேம்படுத்துதல் நீர் தக்கவைப்பு ஹிஸ்டோகிராம் ஒரு கம்ப்யூட்டிங் சிக்கலாக http://oeis.org/A331507 அதிகபட்ச எண்ணிக்கையிலான குளங்கள் சீரற்ற மேட்ரிக்ஸ் சிக்கலான நிகழ்வுகள் துளையிடுதல் கோட்பாடு