Heat kernel signature
வெப்ப கர்னல் கையொப்பம் (எச். கே. எஸ்) என்பது சிதைக்கக்கூடிய வடிவ பகுப்பாய்வில் பயன்படுத்துவதற்கான ஒரு அம்ச விளக்கமாகும், மேலும் இது நிறமாலை வடிவ பகுப்பாய்வு முறைகளின் குழுவிற்கு சொந்தமானது. வடிவத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு புள்ளிக்கும், எச். கே. எஸ் புள்ளியின் உள்ளூர் மற்றும் உலகளாவிய வடிவியல் பண்புகளைக் குறிக்கும் அதன் அம்ச திசையனை வரையறுக்கிறது. பயன்பாடுகளில் பிரிவு, வகைப்பாடு, கட்டமைப்பு கண்டுபிடிப்பு, வடிவ பொருத்தம் மற்றும் வடிவ மீட்டெடுப்பு ஆகியவை அடங்கும். எச். கே. எஸ் 2009 ஆம் ஆண்டில் ஜியான் சன், மாக்ஸ் ஓவ்ஸ்ஜானிகோவ் மற்றும் லியோனிடாஸ் குய்பாஸ் ஆகியோரால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. இது வெப்பக் கர்னலை அடிப்படையாகக் கொண்டது, இது வெப்பச் சமன்பாட்டிற்கு ஒரு அடிப்படை தீர்வாகும். இந்த வடிவத்துடன் தொடர்புடைய லாப்லேஸ்-பெல்ட்ராமி இயக்கியை அடிப்படையாகக் கொண்ட பல சமீபத்தில் அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட வடிவ விளக்கங்களில் எச். கே. எஸ் ஒன்றாகும். கண்ணோட்டம் வடிவ பகுப்பாய்வு என்பது வடிவங்களின் தானியங்கி டிஜிட்டல் பகுப்பாய்வின் துறையாகும், எ. கா., 3D பொருள்கள். பல வடிவ பகுப்பாய்வு பணிகளுக்கு (வடிவம் பொருத்தம்/மீட்டெடுப்பு போன்றவை), வடிவத்தின் முழுமையான 3D மாதிரியைப் பயன்படுத்துவதற்குப் பதிலாக சில முக்கிய புள்ளிகளுக்கான அம்சம் திசையன்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. இத்தகைய அம்ச விளக்கங்களின் ஒரு முக்கியமான தேவை என்னவென்றால், அவை சில மாற்றங்களின் கீழ் மாறாமல் இருக்க வேண்டும். கடினமான மாற்றங்களுக்கு, பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படும் அம்ச விளக்கங்களில் வடிவ சூழல், சுழல் படங்கள், ஒருங்கிணைந்த தொகுதி விளக்கங்கள் மற்றும் பல அளவிலான உள்ளூர் அம்சங்கள் ஆகியவை அடங்கும். HKS ஐசோமெட்ரிக் மாற்றங்களை அனுமதிக்கிறது, இது கடினமான மாற்றங்களை பொதுமைப்படுத்துகிறது. எச். கே. எஸ் என்பது ஒரு மேற்பரப்பில் வெப்பப் பரவல் என்ற கருத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது. மேற்பரப்பில் ஒரு ஆரம்ப வெப்பப் பரவலைப் பொறுத்தவரை, வெப்ப கர்னல் காலத்திற்குப் பிறகு மாற்றப்படும் வெப்பத்தின் அளவை தொடர்புபடுத்துகிறது. வெப்ப கர்னல் ஐசோமெட்ரிக் மாற்றங்களின் கீழ் மாறாதது மற்றும் ஐசோமெட்ரிக்கு சிறிய இடையூறுகளின் கீழ் நிலையானது. கூடுதலாக, வெப்ப கர்னல் ஒரு ஐசோமெட்ரி வரை வடிவங்களை முழுமையாக வகைப்படுத்துகிறது மற்றும் அதிகரித்து வரும் நேரத்துடன் வடிவத்தின் உலகளாவிய பண்புகளைக் குறிக்கிறது. ஒரு தற்காலிக களத்தின் மீது ஒரு ஜோடி புள்ளிகளுக்கு வரையறுக்கப்படுவதால், வெப்ப கர்னல்களை நேரடியாக அம்சங்களாகப் பயன்படுத்துவது அதிக சிக்கலுக்கு வழிவகுக்கும். அதற்கு பதிலாக எச். கே. எஸ் தன்னை தற்காலிக களத்திற்கு மட்டுமே கட்டுப்படுத்திக் கொள்கிறது. HKS சில நிபந்தனைகளின் கீழ் வெப்ப கர்னல்களின் பெரும்பாலான பண்புகளைப் பெறுகிறது. தொழில்நுட்ப விவரங்கள் ஒரு சுருக்கமான ரீமானியன் பன்மடங்கு (ஒரு எல்லையுடன் இருக்கலாம்) மீது வெப்பப் பரவல் சமன்பாடு வழங்கப்படுகிறது, லாப்லேஸ்-பெல்ட்ராமி ஆபரேட்டர் எங்கே மற்றும் ஒரு நேரத்தில் ஒரு புள்ளியில் வெப்ப விநியோகம் ஆகும். இந்த சமன்பாட்டிற்கான தீர்வை இவ்வாறு வெளிப்படுத்தலாம், வெப்ப கர்னலின் ஐகென் சிதைவு, இதன் ஐகென் மதிப்பு மற்றும் ஐகென் செயல்பாடு என வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. வெப்ப கர்னல் ஒரு ஐசோமெட்ரி வரை ஒரு மேற்பரப்பை முழுமையாக வகைப்படுத்துகிறதுஃ இரண்டு ரீமானியன் பன்மடங்கு இடையே உள்ள எந்தவொரு சர்ஜெக்டிவ் வரைபடத்திற்கும், பின்னர் ஒரு ஐசோமெட்ரி என்றால், அதற்கு நேர்மாறாகவும். ஒரு சுருக்கமான அம்ச விளக்கத்திற்கு, HKS வெப்ப கர்னலை தற்காலிக களத்திற்கு மட்டுமே கட்டுப்படுத்துகிறது, HKS, வெப்ப கர்னலைப் போலவே, மேற்பரப்புகளை வகைப்படுத்துகிறது. கட்ஆஃப் அதிர்வெண்களை தீர்மானிப்பதன் மூலம், குறைந்த-பாஸ் வடிப்பான்களின் வங்கியாக சொற்களை உள்ளுணர்வாக இருக்கலாம். பொதுவாக, இது ஒரு அளவுரு அல்லாத தொடர்ச்சியான செயல்பாடு என்பதால், HKS நடைமுறையில் சில நேரங்களில் மாதிரியாக எடுக்கப்பட்ட மதிப்புகளின் தனித்துவமான வரிசையாக குறிப்பிடப்படுகிறது. பெரும்பாலான பயன்பாடுகளில், ஒரு பொருளின் அடிப்படை பன்மடங்கு தெரியவில்லை. பன்மடங்கு ஒரு கண்ணி பிரதிநிதித்துவம் இருந்தால் HKS கணக்கிட முடியும், ஒரு தனித்துவமான தோராயத்தைப் பயன்படுத்தி மற்றும் வெப்ப சமன்பாட்டின் தனித்துவமான ஒப்புமையைப் பயன்படுத்தி. தனித்துவமான வழக்கில், லாப்லேஸ்-பெல்ட்ராமி ஆபரேட்டர் ஒரு சிறிய மேட்ரிக்ஸ் ஆகும், மேலும் இது ஒரு நேர்மறை மூலைவிட்ட மேட்ரிக்ஸ் ஆகும், இது உச்சியை பகிர்ந்து கொள்ளும் கண்ணி முக்கோணங்களின் பரப்புடன் தொடர்புடைய உள்ளீடுகளுடன் உள்ளது, மேலும் இது ஒரு சமச்சீர் அரை-வரையறுக்கப்பட்ட எடை மேட்ரிக்ஸ் ஆகும். ஏறுவரிசையில் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட ஐகென் மதிப்புகளின் மூலைவிட்ட மேட்ரிக்ஸ் எங்கே, மற்றும் தொடர்புடைய ஆர்த்தோனார்மல் ஐகென் வெக்டர்கள் கொண்ட மேட்ரிக்ஸ் ஆகும். தனித்துவமான வெப்ப கர்னல் என்பது கொடுக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸ் ஆகும், கூறுகள் செங்குத்துகளுக்கு இடையில் மற்றும் நேரத்திற்குப் பிறகு வெப்பப் பரவலைக் குறிக்கின்றன. HKS பின்னர் இந்த மேட்ரிக்ஸின் மூலைவிட்ட உள்ளீடுகளால் வழங்கப்படுகிறது, இது தனித்துவமான நேர இடைவெளியில் மாதிரியாக உள்ளது. தொடர்ச்சியான வழக்கைப் போலவே, தனித்துவமான எச். கே. எஸ் சத்தத்திற்கு வலுவானது. வரம்புகள் மீண்டும் மீண்டும் வராத ஐகென் மதிப்புகள் ஐசோமெட்ரி வரை எச். கே. எஸ்ஸைப் பயன்படுத்தி மேற்பரப்புகளை வகைப்படுத்தும் முக்கிய பண்பு மேற்பரப்புகளின் ஐகென் மதிப்புகள் மீண்டும் மீண்டும் வராதபோது மட்டுமே இருக்கும். இந்த நிலை மீறப்படும் சில மேற்பரப்புகள் (குறிப்பாக சமச்சீர் கொண்டவை) உள்ளன. அத்தகைய மேற்பரப்புக்கு ஒரு கோளம் ஒரு எளிய எடுத்துக்காட்டு. நேர அளவுரு தேர்வு எச். கே. எஸ்ஸில் உள்ள நேர அளவுரு உலகளாவிய தகவல்களின் அளவுடன் நெருக்கமாக தொடர்புடையது. இருப்பினும், நேர வேறுபாட்டைத் தேர்வு செய்ய நேரடி வழி இல்லை. தற்போதுள்ள முறை நேர மாதிரிகளை மடக்கை ரீதியாகத் தேர்ந்தெடுக்கிறது, இது நேர சிக்கலுக்கு எந்த உத்தரவாதமும் இல்லாத ஒரு ஹூரிஸ்டிக் ஆகும் தனித்துவமான வெப்ப கர்னலுக்கு அளவு மேட்ரிக்ஸின் ஐகெண்டெக்ம்போசிஷன் தேவைப்படுகிறது, அங்கு பல மடங்குகளின் கண்ணி பிரதிநிதித்துவத்தில் செங்குத்துகளின் எண்ணிக்கை. ஈஜெண்ட் கலவையை கணக்கிடுவது ஒரு விலையுயர்ந்த செயல்பாடாகும், குறிப்பாக அதிகரிக்கும் போது. எவ்வாறாயினும், ஐகென் மதிப்பின் தலைகீழ் அதிவேக சார்பு காரணமாக, பொதுவாக ஒரு சிறிய (100 க்கும் குறைவான) ஐகென் வெக்டர்கள் மட்டுமே எச். கே. எஸ் இன் நல்ல தோராயத்தைப் பெற போதுமானவை என்பதைக் கவனியுங்கள். ஐசியோமெட்ரிக் அல்லாத மாற்றங்கள் எச். கே. எஸ்-க்கான செயல்திறன் உத்தரவாதங்கள் உண்மையான ஐசியோமெட்ரிக் மாற்றங்களுக்கு மட்டுமே பொருந்தும். இருப்பினும், உண்மையான வடிவங்களுக்கான சிதைவுகள் பெரும்பாலும் ஐசோமெட்ரிக் அல்ல. அத்தகைய மாற்றத்திற்கு ஒரு எளிய எடுத்துக்காட்டு ஒரு நபரால் முஷ்டியை மூடுவதாகும், அங்கு இரண்டு விரல்களுக்கு இடையிலான புவியியல் தூரங்கள் மாறுகின்றன. மற்ற முறைகளுடனான உறவு வளைவு ஒரு புள்ளியில், ரீமானியன் பன்மடங்கு மீது (தொடர்ச்சியான) எச். கே. எஸ் அளவிடுதல் வளைவுடன் தொடர்புடையது, எனவே, எச். கே. எஸ் அளவை வளைவு என்று விளக்கப்படலாம். அலை கர்னல் கையொப்பம் (டபிள்யூ. கே. எஸ்) டபிள்யூ. கே. எஸ். எச். கே. எஸ்ஸுக்கு ஒத்த யோசனையைப் பின்பற்றுகிறது, வெப்ப சமன்பாட்டை ஷ்ரோடிங்கர் அலை சமன்பாட்டுடன் மாற்றுகிறது, சிக்கலான அலை செயல்பாடு எங்கே. ஒரு புள்ளியில் துகள் அளவிடுவதற்கான சராசரி நிகழ்தகவு வழங்கப்படுகிறது, ஆரம்ப ஆற்றல் விநியோகம் எங்கே. இந்த ஆற்றல் விநியோகங்களின் குடும்பத்தை சரிசெய்வதன் மூலம், டபிள்யூ. கே. எஸ் ஒரு தனித்துவமான வரிசையாக பெறப்படலாம். எச். கே. எஸ் போலல்லாமல், டபிள்யூ. கே. எஸ் சிறந்த அம்ச உள்ளூர்மயமாக்கலுக்கு வழிவகுக்கும் பேண்ட்-பாஸ் வடிப்பான்களின் தொகுப்பாக உள்ளுணர்வாக இருக்கலாம். இருப்பினும், WKS பெரிய அளவிலான அம்சங்களை நன்கு பிரதிநிதித்துவப்படுத்தவில்லை (அவை வடிகட்டப்படுவதால்) வடிவம் பொருந்தும் பயன்பாடுகளில் மோசமான செயல்திறனை அளிக்கிறது. குளோபல் பாயிண்ட் சிக்னரே (ஜிபிஎஸ்) எச். கே. எஸ்ஸைப் போலவே, ஜிபிஎஸ் லாப்லேஸ்-பெல்ட்ராமி ஆபரேட்டரை அடிப்படையாகக் கொண்டது. ஒரு புள்ளியில் ஜி. பி. எஸ் என்பது கணக்கிடப்பட்ட லாப்லேஸ்-பெல்ட்ராமி இயக்கியின் அளவிடப்பட்ட ஐகென் செயல்பாடுகளின் திசையன் ஆகும். ஜி. பி. எஸ் ஒரு உலகளாவிய அம்சமாகும், அதே நேரத்தில் எச். கே. எஸ்ஸின் அளவை வெப்பப் பரவலுக்கான நேர அளவுருவை மாற்றுவதன் மூலம் மாற்றலாம். எனவே, எச். கே. எஸ் பகுதியளவு வடிவம் பொருந்தும் பயன்பாடுகளில் பயன்படுத்தப்படலாம், அதே நேரத்தில் ஜி. பி. எஸ் முடியாது. ஸ்பெக்ட்ரல் கிராஃப் வேவ்லெட் கையொப்பம் (எஸ். ஜி. டபிள்யூ. எஸ்) எஸ். ஜி. டபிள்யூ. எஸ் ஸ்பெக்ட்ரல் விளக்கங்களுக்கான ஒரு பொதுவான வடிவத்தை வழங்குகிறது, அங்கு வடிகட்டி செயல்பாட்டைக் குறிப்பிடுவதன் மூலம் ஒருவர் எச். கே. எஸ் பெறலாம். எஸ்ஜிடபிள்யூஎஸ் என்பது ஐசோமெட்ரிக் மாறாதது மட்டுமல்லாமல், கச்சிதமான, கணக்கிட எளிதானது மற்றும் பேண்ட்-பாஸ் மற்றும் லோ-பாஸ் வடிப்பான்களின் நன்மைகளை ஒருங்கிணைக்கிறது. எச். கே. எஸ் பல அளவுகளில் வடிவத்தைக் குறிக்கிறது என்றாலும், அது இயல்பாகவே அளவுகோல் மாறாதது அல்ல. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு வடிவத்திற்கான எச். கே. எஸ் மற்றும் அதன் அளவிடப்பட்ட பதிப்பு ஆகியவை முன்-இயல்பாக்கம் இல்லாமல் ஒரே மாதிரியாக இருக்காது. அளவுகோல் மாறுபாட்டை உறுதி செய்வதற்கான ஒரு எளிய வழி, ஒவ்வொரு வடிவத்தையும் ஒரே மேற்பரப்பு பரப்பளவைக் கொண்டிருக்க முன்கூட்டியே அளவிடுவதாகும் (எ. கா. 1). மேலே உள்ள குறியீட்டைப் பயன்படுத்தி, இதன் பொருள்ஃ மாற்றாக, எச். கே. எஸ்ஸின் அளவுகோல்-மாறுபட்ட பதிப்பை ஒரு அளவுகோல் இட பிரதிநிதித்துவத்தை உருவாக்குவதன் மூலமும் உருவாக்க முடியும். அளவுகோல்-இடத்தில், அளவிடப்பட்ட வடிவத்தின் எச். கே. எஸ் ஒரு பெருக்கக் காரணி வரை மொழிபெயர்ப்புக்கு ஒத்திருக்கிறது. இந்த எச். கே. எஸ்ஸின் ஃபோரியர் உருமாற்றம் நேர மொழிபெயர்ப்பை சிக்கலான தளமாக மாற்றுகிறது, மேலும் உருமாற்றத்தின் மாடுலஸைக் கருத்தில் கொண்டு மொழிபெயர்ப்பைச் சார்ந்திருப்பதை அகற்றலாம். . ஒரு மாற்று அளவுகோல் மாறாத எச். கே. எஸ் ஒரு அளவுகோல் மாறாத மெட்ரிக் மூலம் அதன் கட்டமைப்பை உருவாக்குவதன் மூலம் நிறுவப்படலாம், இதில் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. அளவீட்டு எச். கே. எஸ். எச். கே. எஸ் ஒரு 3டி வடிவத்தின் எல்லை மேற்பரப்புக்கு வரையறுக்கப்படுகிறது, இது 2டி ரீமானியன் பன்மடங்கு என குறிப்பிடப்படுகிறது. எல்லையை மட்டுமே கருத்தில் கொள்வதற்குப் பதிலாக, 3D வடிவத்தின் முழு அளவும் HKS இன் அளவீட்டு பதிப்பை வரையறுக்கக் கருதப்படலாம். மொத்த அளவின் மீது உள்ள வெப்பச் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொண்டு (3-சப்மேனிஃபோல்ட்) மற்றும் வடிவத்தின் 2-மேனிஃபோல்ட் எல்லைக்கு மேல் ஒரு நியூமன் எல்லை நிலையை வரையறுப்பதன் மூலம் வால்யூமெட்ரிக் எச். கே. எஸ் சாதாரண எச். கே. எஸ் உடன் ஒத்ததாக வரையறுக்கப்படுகிறது. வால்யூமெட்ரிக் எச். கே. எஸ் ஒரு வால்யூம் ஐசோமெட்ரி வரை மாற்றங்களை வகைப்படுத்துகிறது, இது எல்லை ஐசோமெட்ரியை விட உண்மையான 3டி பொருட்களுக்கான மாற்றத்தை மிகவும் உண்மையுடன் குறிக்கிறது. வடிவ தேடல் அளவுகோல்-மாறுபட்ட எச். கே. எஸ் அம்சங்களை வடிவ மீட்டெடுப்பு பயன்பாடுகளுக்கு பேக்-ஆஃப்-அம்ச மாதிரியில் பயன்படுத்தலாம். வடிவியல் சொற்களை அவற்றின் இடஞ்சார்ந்த உறவுகளை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம் கட்டமைக்க அம்சங்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, இதிலிருந்து வடிவங்களை உருவாக்க முடியும் (சொற்களாக அம்சங்களையும் வாக்கியங்களாக வடிவங்களையும் பயன்படுத்துவதற்கு ஒத்த). வடிவங்கள் தாங்களாகவே ஒரு குறியீட்டு தொகுப்பை உருவாக்க சிறிய பைனரி குறியீடுகளைப் பயன்படுத்தி குறிப்பிடப்படுகின்றன. ஒரு வினவல் வடிவத்தைப் பொறுத்தவரை, குறியீட்டில் உள்ள ஒத்த வடிவங்களை ஐசோமெட்ரிக் மாற்றங்களுடன் குறியீட்டின் ஹாமிங் தூரத்தை அருகாமை அளவீடாகப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் மீட்டெடுக்க முடியும். குறிப்புகள் படச் செயலாக்கம் வெப்பப் பரிமாற்றம் டிஜிட்டல் வடிவியல் இடவியல் வேறுபட்ட வடிவியல்