Compound of three octahedra
கணிதத்தில், மூன்று எண்முக அல்லது எண்முக 3-சேர்மத்தின் கலவை என்பது மூன்று வழக்கமான எண்முகத்திலிருந்து உருவாக்கப்பட்ட ஒரு பன்முக சேர்மமாகும், இவை அனைத்தும் ஒரு பொதுவான மையத்தைப் பகிர்ந்து கொள்கின்றன, ஆனால் ஒருவருக்கொருவர் சுழல்கின்றன. கணித இலக்கியத்தில் முன்னதாக தோன்றியிருந்தாலும், இது எம். சி. எஷர் என்பவரால் மீண்டும் கண்டுபிடிக்கப்பட்டு பிரபலப்படுத்தப்பட்டது, அவர் தனது 1948 மரத்தால் வெட்டப்பட்ட நட்சத்திரங்களின் மைய உருவத்தில் இதைப் பயன்படுத்தினார். கனசதுரத்தின் இரண்டு எதிர் சதுரங்களின் எட்டு விளிம்புகள் எண்முகத்தின் எட்டு முகங்களில் இருக்கும் வகையில் ஒரு வழக்கமான எண்முகத்தை ஒரு கனசதுரத்தைச் சுற்றி சுற்றிவளைக்கலாம். மூன்று ஜோடி எதிர் கனசதுர சதுரங்களிலிருந்து இந்த வழியில் உருவாக்கப்பட்ட மூன்று எண்முகங்கள் மூன்று எண்முகங்களின் கலவையை உருவாக்குகின்றன. எட்டு கனசதுர செங்குத்துகள் மூன்று விளிம்புகள் ஒன்றையொன்று கடக்கும் கலவையில் உள்ள எட்டு புள்ளிகளைப் போலவே இருக்கும். இந்த மூன்று குறுக்குவெட்டுகளில் பங்கேற்கும் எண்முக விளிம்புகள் ஒவ்வொன்றும் 1: என்ற விகிதத்தில் குறுக்குவெட்டு புள்ளியால் பிரிக்கப்படுகின்றன. மீதமுள்ள எண்முக விளிம்புகள் ஒருவருக்கொருவர் ஜோடியாக, கலவையின் உட்புறத்திற்குள் கடக்கின்றன; அவற்றின் குறுக்குவெட்டுகள் அவற்றின் நடுப்புள்ளிகளில் உள்ளன மற்றும் சரியான கோணங்களை உருவாக்குகின்றன. தொடக்க எண்முகத்தின் இரண்டு எதிர் செங்குத்துகள் வழியாகச் செல்லும் மூன்று சமச்சீர் அச்சுகளில் ஒன்றைச் சுற்றி/4 கோணத்தில் ஒவ்வொரு நகலையும் சுழற்றுவதன் மூலம் ஒற்றை எண்முகத்தின் மூன்று நகல்களிலிருந்து மூன்று எண்முகத்தின் கலவை உருவாக்கப்படலாம். மூன்று எண்முகங்களின் ஒரே கலவையின் மூன்றாவது கட்டுமானம் மூன்று க்யூப்களின் கலவையின் இரட்டை பாலிஹெட்ரான் ஆகும், இது சீரான பாலிஹெட்ரான் சேர்மங்களில் ஒன்றாகும். மூன்று எண்முகங்களில் ஒன்றின் ஆறு செங்குத்துகள் ஆயத்தொகுதிகளால் கொடுக்கப்படலாம் மற்றும். மற்ற இரண்டு எண்முகங்கள் x அல்லது y ஒருங்கிணைப்புக்கான z ஒருங்கிணைப்பைப் பரிமாறிக்கொள்வதன் மூலம் இந்த ஆயத்தொகுதிகளிலிருந்து பெறக்கூடிய ஆயத்தொகுதிகளைக் கொண்டுள்ளன. சமச்சீர் மூன்று எண்முகங்களின் கலவை ஒரு ஒற்றை எண்முகத்தின் அதே சமச்சீர் குழுவைக் கொண்டுள்ளது. இது ஒரு ஐசோஹெட்ரல் டெல்டா ஹெட்ரான் ஆகும், அதாவது அதன் முகங்கள் சமபக்க முக்கோணங்கள் மற்றும் ஒவ்வொரு முகத்தையும் மற்ற ஒவ்வொரு முகத்திற்கும் எடுத்துச் செல்லும் சமச்சீர் உள்ளது. ஐசோஹெட்ரல் டெல்டாஹெட்ராவின் ஒரு அறியப்பட்ட எல்லையற்ற குடும்பம் உள்ளது, மேலும் 36 இந்த குடும்பத்திற்குள் வராது; மூன்று எண்முகங்களின் கலவை 36 அவ்வப்போது எடுத்துக்காட்டுகளில் ஒன்றாகும். இருப்பினும், அதன் சமச்சீர் குழு ஒவ்வொரு உச்சியையும் மற்ற ஒவ்வொரு உச்சிக்கும் எடுத்துச் செல்வதில்லை, எனவே இது ஒரு சீரான பாலிஹெட்ரான் கலவை அல்ல. மூன்று எண்முகங்களின் குறுக்குவெட்டு 14 செங்குத்துகள் மற்றும் 24 முகங்களைக் கொண்ட ஒரு குவிந்த பாலிஹெட்ரான் ஆகும், இது ஒரு டெட்ராகிஸ் ஹெக்ஸாஹெட்ரான் ஆகும், இது மைய கனசதுரத்தின் ஒவ்வொரு முகத்திலும் ஒரு குறைந்த சதுர பிரமிட்டை இணைப்பதன் மூலம் உருவாகிறது. எனவே, இந்த சேர்மத்தை டெட்ராகிஸ் ஹெக்ஸாஹெட்ரானின் தொகுப்பாகக் காணலாம். கனசதுரத்தின் ஒவ்வொரு முகத்திலும் உயரமான பிரமிடுகளைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் உருவாக்கப்பட்ட டெட்ராகிஸ் ஹெக்ஸாஹெட்ரானின் வேறுபட்ட வடிவம், கன்வெக்ஸ் அல்லாதது, ஆனால் சமபக்க முக்கோண முகங்களைக் கொண்டுள்ளது, அவை மீண்டும் மூன்று எண்முகத்தின் முகங்களின் அதே தளங்களில் உள்ளன; இது அறியப்பட்ட ஐசோஹெட்ரல் டெல்டா ஹெட்ராவின் மற்றொரு வடிவமாகும். ஒரே முக தளங்களைப் பகிர்ந்து கொள்ளும் மூன்றாவது ஐசோஹெட்ரல் டெல்டா ஹெட்ரான், ஆறு டெட்ராஹெட்ராவின் கலவை, மூன்று எண்முகங்களின் கலவையின் ஒவ்வொரு முகத்தையும் முக்கோணமாக்குவதன் மூலம் மூன்று ஸ்டெல்லே ஆக்டாங்குலாவை உருவாக்கலாம். ஒரே முக தளங்களைக் கொண்ட நான்காவது ஐசோஹெட்ரல் டெல்டா ஹெட்ரான், மூன்று எண்முகச் சேர்மங்களின் தொகுப்பும் கூட, டெட்ராகிஸ் ஹெக்ஸாஹெட்ரானின் அதே ஒருங்கிணைந்த கட்டமைப்பைக் கொண்டுள்ளது, ஆனால் கனசதுர முகங்களுடன் கனசதுரத்தின் வெளிப்புறத்தில் பிரமிடுகளை இணைப்பதை விட குறுக்குவெட்டு பிரமிடுகளுக்குள் உள்நோக்கி வளைந்துள்ளது. மூன்று எண்முகங்களையும் சுற்றிவளைக்கக்கூடிய கனசதுரம் பிரதிபலிப்பு சமச்சீரின் ஒன்பது தளங்களைக் கொண்டுள்ளது. இந்த பிரதிபலிப்பு பலகைகளில் மூன்று கனசதுரத்தின் பக்கங்களுக்கு இணையாக, இரண்டு எதிர் பக்கங்களுக்கு இடையில் பாதியிலேயே செல்கின்றன; மற்ற ஆறு கனசதுரத்தின் குறுக்கே குறுக்காக, அதன் நான்கு செங்குத்துகள் வழியாக செல்கின்றன. இந்த ஒன்பது விமானங்கள் மூன்று எண்முகங்களின் ஒன்பது பூமத்திய ரேகை விமானங்களுடன் ஒத்துப்போகின்றன. பியெரோ டெல்லா பிரான்செஸ்கா எழுதிய 15 ஆம் நூற்றாண்டின் கையெழுத்துப் பிரதி டி குவிங்க் கார்போரிபஸ் ரெகுலரிபஸில், டெல்லா பிரான்செஸ்கா ஏற்கனவே ஒரு கனசதுரத்தைச் சுற்றி ஒரு எண்முகத்தின் வரைபடத்தை உள்ளடக்கியுள்ளார், இதில் எட்டு கனசதுர விளிம்புகள் எண்முகத்தின் எட்டு முகங்களில் உள்ளன. ஒரு கனசதுரத்தைச் சுற்றி இந்த வழியில் சுற்றப்பட்ட மூன்று எண்முகங்கள் மூன்று எண்முகங்களின் கலவையை உருவாக்கும், ஆனால் டெல்லா பிரான்செஸ்கா கலவையை சித்தரிக்கவில்லை. கணித இலக்கியத்தில் மூன்று எண்முகங்களின் கலவையின் அடுத்த தோற்றம் மேக்ஸ் புரூக்னரின் 1900 படைப்பாகத் தோன்றுகிறது, இது அதைக் குறிப்பிடுகிறது மற்றும் அதன் மாதிரியின் புகைப்படத்தையும் உள்ளடக்கியது. டச்சு கலைஞர் எம். சி. எஷர், தனது 1948 மரவெட்டு நட்சத்திரங்களில், மரவெட்டியின் மைய உருவமாக இந்த வடிவத்தில் ஒரு கூண்டு பயன்படுத்தப்பட்டது, இதில் இரண்டு பச்சோந்திகள் உள்ளன மற்றும் விண்வெளியில் மிதக்கின்றன. எச். எஸ். எம். காக்செட்டர், எஷர் இந்த வடிவத்தை சுயாதீனமாக மீண்டும் கண்டுபிடித்தார் என்று கருதி, "இயற்கணிதம் அல்லது பகுப்பாய்வு வடிவியல் பற்றி எந்த அறிவும் இல்லாமல், எஷர் இந்த அதிக சமச்சீர் உருவத்தை மீண்டும் கண்டுபிடிக்க முடிந்தது என்பது குறிப்பிடத்தக்கது" என்று எழுதுகிறார். இருப்பினும், ஜார்ஜ் டபிள்யூ. ஹார்ட், ப்ரூக்னரின் படைப்புகளை எஷர் நன்கு அறிந்திருந்தார் என்றும், அவர் வரைந்த பல ஸ்டெல்லேட்டட் பாலிஹெட்ரா மற்றும் பாலிஹெட்ரல் சேர்மங்களுக்கு அடிப்படையாக இதைப் பயன்படுத்தினார் என்றும் ஆவணப்படுத்தியுள்ளார். 1948 ஆம் ஆண்டின் தொடக்கத்தில், எஷர் இதேபோன்ற கருப்பொருளான ஸ்டடி ஃபார் ஸ்டார்ஸ் என்ற கருப்பொருளுடன் ஒரு ஆரம்ப மரவெட்டை செய்திருந்தார், ஆனால் ஆய்வில் மூன்று வழக்கமான எண்முகங்களின் கலவையைப் பயன்படுத்துவதற்குப் பதிலாக, அவர் ஒரு வித்தியாசமான ஆனால் தொடர்புடைய வடிவத்தைப் பயன்படுத்தினார், இது ஒரு மெல்லிய ரோம்பிக் டோடெகாஹெட்ரான் (சில நேரங்களில் எஷரின் திடப்பொருள் என்று அழைக்கப்படுகிறது), இது மூன்று தட்டையான எண்முகங்களின் கலவையாக உருவாகலாம். ஒரு பாலிஹெட்ரானாக இந்த வடிவம் இடவியல் ரீதியாக டிஸ்டியாகிஸ் டோடெகாஹெட்ரானுடன் ஒத்திருக்கிறது, இது ரோம்பிக் முகங்களில் குறுகிய பிரமிடுகளுடன் ரோம்பிக் டோடெகாஹெட்ரானாகக் காணலாம். எண்முகச் சேர்மத்தின் இரட்டை உருவம், மூன்று க்யூப்களின் கலவை, பிற்கால எஷர் மரக்கட்டையில் காட்டப்பட்டுள்ளது, நீர்வீழ்ச்சி, அதே ஸ்டெல்லெட்டட் ரோம்பிக் டோடெகாஹெட்ரானுக்கு அடுத்தது. மூன்று எண்முகங்களின் கலவை கணித இலக்கியத்தில் மீண்டும் சரியாக நுழைந்தது, அதன் இருப்பைக் கவனித்து அதன் செங்குத்துகளுக்கு ஆயத்தொலைவுகளை வழங்கியது. இது மேலும் விரிவாக ஆய்வு செய்யப்பட்டது. மூன்று எண்முகங்களின் பிற சேர்மங்கள் எண்முகங்கள் முக்கோண எதிர்ப்பிரிவுகளாகக் கருதப்படுவதால், டி3டி சமச்சீர், வரிசை 12 உடன் எதிர்ப்பிரிவுகளின் மற்றொரு சீரான பிரிஸ்மாடிக் கலவை உள்ளது. ஒவ்வொரு ஆன்டிபிரிஸமும் 40 டிகிரி சுழற்றப்படுகிறது. மேலேயும் கீழேயும் உள்ள தளங்கள் {9/3} அல்லது 3 {3} என்ற கலவையைக் கொண்டிருப்பதைக் காணலாம். மேலும் காண்கஃ ஐந்து எண்முகங்களின் நான்கு எண்முகச் சேர்மச் சேர்மச் சேர்மச் சேர்மச் சேர்மச் சேர்மச் சேர்மச் சேர்மச் சேர்மச் சேர்மச் சேர்மச் சேர்மச் சேர்மச் சேர்மச் சேர்மச் சேர்மச் சேர்மச் சேர்மச் சேர்மச் சேர்மச் சேர்மச் சேர்மச் சேர்மச் சேர்மச் சேர்மச் சேர்மச் சேர்மச் சேர்மச் சேர்மச் சேர்மச் சேர்மச் சேர்மச் சேர்மச் சேர்மச் சேர்மச் சேர்மச் சேர்மச் சேர்மச் சேர்மச் சேர்மச் சேர்மச் சேர்மச் சேர்மச் சேர்மச் சேர்மச் சேர்மச் சேர்மச் சேர்மச் சேர்மச் சேர்மச் சேர்மச் சேர்மச் சேர்மச் சேர்மச் சேர்மச் சேர்மச் சேர்மச் சேர்மச் சேர்மச் சேர்மச் சேர்மச் சேர்மச்