Classical orthogonal polynomials
கணிதத்தில், கிளாசிக்கல் ஆர்த்தோகனல் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் மிகவும் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படும் ஆர்த்தோகனல் பல்லுறுப்புக்கோவைகளாகும்ஃ ஹெர்மைட் பல்லுறுப்புக்கோவைகள், லாகூர் பல்லுறுப்புக்கோவைகள், ஜாகோபி பல்லுறுப்புக்கோவைகள் (ஒரு சிறப்பு நிகழ்வாக கெஜென்பவர் பல்லுறுப்புக்கோவைகள், செபிஷேவ் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் மற்றும் லெஜெண்டர் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் உட்பட). கணித இயற்பியல் (குறிப்பாக, சீரற்ற மேட்ரிக்ஸின் கோட்பாடு), தோராயக் கோட்பாடு, எண் பகுப்பாய்வு மற்றும் பல பகுதிகளில் அவை பல முக்கியமான பயன்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளன. 19 ஆம் நூற்றாண்டின் முற்பகுதியில் லெஜெண்டர் பல்லுறுப்புக்கோவைகளை அறிமுகப்படுத்திய அட்ரியன்-மேரி லெஜெண்டரின் படைப்புகளில் பாரம்பரிய ஆர்த்தோகனல் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் தோன்றின. 19 ஆம் நூற்றாண்டின் பிற்பகுதியில், பி. எல். செபிஷேவ் மற்றும் பின்னர் ஏ. ஏ. மார்கோவ் மற்றும் டி. ஜே. ஸ்டீல்ட்ஜெஸ் ஆகியோரால் கணப் பிரச்சினையைத் தீர்ப்பதற்கான தொடர்ச்சியான பின்னங்களைப் பற்றிய ஆய்வு ஆர்த்தோகனல் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் பொதுவான கருத்துக்கு வழிவகுத்தது. கொடுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவைகள் மற்றும் கிளாசிக்கல் ஆர்த்தோகனல் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் வரையறுக்கப்பட வேண்டிய மாறிலிகளுடன் வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் தீர்வுகளாக வகைப்படுத்தப்படுகின்றன. ஆர்த்தோகனல் கிளாசிக்கல் பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கு இன்னும் பல பொதுவான வரையறைகள் உள்ளன; எடுத்துக்காட்டாக, அஸ்கி திட்டத்தில் உள்ள அனைத்து பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கும் இந்த வார்த்தையைப் பயன்படுத்தவும். வரையறை பொதுவாக, ஒரு எடையைப் பொறுத்தவரை ஆர்த்தோகனல் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் பூர்த்தி செய்கின்றன மேலே உள்ள உறவுகள் ஒரு எண்ணால் பெருக்கப்படும் வரை வரையறுக்கப்படுகின்றன. மாறிலியை சரிசெய்ய பல்வேறு இயல்பாக்குதல்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, எ. கா. கிளாசிக்கல் ஆர்த்தோகனல் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் பின்வரும் மூன்று குடும்ப எடைகளுடன் ஒத்திருக்கின்றனஃ நிலையான இயல்பாக்கம் (தரப்படுத்தல் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) கீழே விவரிக்கப்பட்டுள்ளது. ஜாகோபி பல்லுறுப்புக்கோவைகள் ஜாகோபி பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கான சூத்திரத்தால் வழங்கப்படுகின்றன அவை இயல்பாக்கப்படுகின்றன (தரப்படுத்தப்படுகின்றன) மற்றும் ஆர்த்தோகொனாலிட்டி நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்கின்றன ஜாகோபி பல்லுறுப்புக்கோவைகள் வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகளாகும் முக்கியமான சிறப்பு நிகழ்வுகள் ஜாகோபி பல்லுறுப்புக்கோவைகள் கெஜென்பாவர் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் (அளவுருவுடன்) என்று அழைக்கப்படுகின்றன, ஏனெனில் இவை லெஜெண்டர் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன (இதற்காக ஆர்த்தோகொனாலிட்டியின் இடைவெளி [−1,1] மற்றும் எடை செயல்பாடு வெறுமனே 1 ஆகும்): ஏனெனில், ஒருவர் செபிஷேவ் பல்லுறுப்புக்கோவைகளைப் பெறுகிறார் (முறையே இரண்டாவது மற்றும் முதல் வகையின்). ஹெர்மைட் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் ஹெர்மைட் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் வரையறுக்கப்படுகின்றன அவை ஆர்த்தோகொனாலிட்டி நிலை மற்றும் வேறுபட்ட சமன்பாட்டை பூர்த்தி செய்கின்றன லாகூர் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட லாகூர் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் வரையறுக்கப்படுகின்றன (கிளாசிக்கல் லாகூர் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் ஒத்திருக்கின்றன. அவை ஆர்த்தோகனாலிட்டி உறவு மற்றும் வேறுபட்ட சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்துகின்றன வேறுபட்ட சமன்பாடு கிளாசிக்கல் ஆர்த்தோகனல் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் வடிவத்தின் வேறுபட்ட சமன்பாட்டிலிருந்து எழுகின்றன, அங்கு Q என்பது கொடுக்கப்பட்ட இருபடி (அதிகபட்சம்) பல்லுறுப்புக்கோவை, மற்றும் L என்பது கொடுக்கப்பட்ட நேரியல் பல்லுறுப்புக்கோவை. f என்ற சார்பும், λ என்ற மாறிலியும் கண்டறியப்பட வேண்டும். (அத்தகைய சமன்பாடு ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை தீர்வைக் கொண்டிருப்பது அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கிறது என்பதை நினைவில் கொள்க. சமன்பாட்டில் உள்ள ஒவ்வொரு சொல்லும் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை, மற்றும் டிகிரிகள் சீரானவை.) இது ஒரு ஸ்டர்ம்-லியோவில் வகை சமன்பாடு ஆகும். இத்தகைய சமன்பாடுகள் பொதுவாக λ இன் குறிப்பிட்ட மதிப்புகளைத் தவிர அவற்றின் தீர்வு செயல்பாடுகள் f இல் ஒருமைப்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளன. அவற்றை ஐகென் வெக்டர்/ஐகென் மதிப்பு சிக்கல்கள் என்று கருதலாம்ஃ டி வேறுபட்ட ஆபரேட்டராக இருக்கட்டும், மற்றும் λ இன் அடையாளத்தை மாற்றும் போது, சிக்கல் என்னவென்றால், ஐகென் வெக்டர்கள் (ஐகென் செயல்பாடுகள்) f மற்றும் அதனுடன் தொடர்புடைய ஐகென் மதிப்புகள் λ ஐக் கண்டுபிடிப்பதாகும், அதாவது f க்கு ஒருமைப்பாடுகள் இல்லை மற்றும் D (f) = λf. λ குறிப்பிட்ட மதிப்புகளை எடுத்துக் கொள்ளாவிட்டால் இந்த வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் தீர்வுகள் ஒருமைப்பாட்டைக் கொண்டுள்ளன. எண்களின் தொடர் λ0, λ1, λ2 உள்ளது. இது தொடர்ச்சியான பல்லுறுப்புக்கோவை தீர்வுகள் P0, P1, P2, க்கு வழிவகுத்தது. பின்வரும் நிபந்தனைகளின் தொகுப்புகளில் ஒன்று பூர்த்தி செய்யப்பட்டால்ஃ Q உண்மையில் இருபடி, L நேரியல், Q க்கு இரண்டு தனித்துவமான உண்மையான வேர்கள் உள்ளன, L இன் வேர் கண்டிப்பாக Q இன் வேர்களுக்கு இடையில் உள்ளது, மேலும் Q மற்றும் L இன் முன்னணி சொற்கள் ஒரே அடையாளத்தைக் கொண்டுள்ளன. Q உண்மையில் இருபடி அல்ல, ஆனால் நேரியல், L நேரியல், Q மற்றும் L இன் வேர்கள் வேறுபட்டவை, மற்றும் L இன் வேர் Q இன் மூலத்தை விட குறைவாக இருந்தால் Q மற்றும் L இன் முன்னணி சொற்கள் ஒரே அடையாளத்தைக் கொண்டுள்ளன, அல்லது நேர்மாறாக. Q என்பது பூஜ்ஜியமற்ற மாறிலி, L என்பது நேரியல், மற்றும் L இன் முன்னணி சொல் Q இன் எதிர் அடையாளத்தைக் கொண்டுள்ளது. இந்த மூன்று நிகழ்வுகளும் முறையே ஜாகோபி போன்ற, லாகூர் போன்ற மற்றும் ஹெர்மைட் போன்ற பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கு வழிவகுக்கின்றன. இந்த மூன்று நிகழ்வுகளிலும், பின்வருவன உள்ளனஃ தீர்வுகள் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் தொடர் P0, P1, P2,., ஒவ்வொரு Pn டிகிரி n ஐக் கொண்டுள்ளன, மேலும் λn எண்ணுடன் தொடர்புடையவை. ஆர்த்தோகொனாலிட்டியின் இடைவெளி Q இன் எந்த வேர்களாலும் கட்டுப்படுத்தப்படுகிறது. L இன் வேர் ஆர்த்தோகோனாலிட்டி இடைவெளிக்குள் உள்ளது. எடை செயல்பாட்டின் கீழ் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் ஆர்த்தோகனல் W (x) க்கு இடைவெளியில் பூஜ்ஜியங்கள் அல்லது முடிவிலிகள் இல்லை, இருப்பினும் இது இறுதி புள்ளிகளில் பூஜ்ஜியங்கள் அல்லது முடிவிலிகளைக் கொண்டிருக்கலாம். W (x) எந்த பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கும் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட உள் பெருக்கல் கொடுக்கிறது. W (x) ஐ இடைவெளியில் 0 ஐ விட அதிகமாக இருக்க முடியும். (தேவைப்பட்டால் முழு வேறுபாடு சமன்பாட்டையும் நெகேட் செய்யுங்கள், இதனால் Q (x)> 0 இடைவெளிக்குள் இருக்கும்.) ஒருங்கிணைப்பின் மாறிலி காரணமாக, R (x) அளவு ஒரு தன்னிச்சையான நேர்மறை பெருக்கல் மாறிலி வரை மட்டுமே தீர்மானிக்கப்படுகிறது. இது ஒரே மாதிரியான வேறுபட்ட சமன்பாடுகளிலும் (இது ஒரு பொருட்டல்ல) மற்றும் எடை செயல்பாட்டின் வரையறையிலும் (இது தீர்மானிக்கப்படாமல் இருக்கலாம்) மட்டுமே பயன்படுத்தப்படும். கீழே உள்ள அட்டவணைகள் R (x) மற்றும் W (x) இன் "அதிகாரப்பூர்வ" மதிப்புகளைக் கொடுக்கும். ரோட்ரிக்ஸ் சூத்திரம் முந்தைய பிரிவின் அனுமானங்களின் கீழ், Pn (x) க்கு விகிதாசாரமாகும் இது ஒலிண்டே ரோட்ரிக்ஸுக்குப் பிறகு ரோட்ரிக்ஸ் சூத்திரம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. எண்கள் தரப்படுத்தலைப் பொறுத்து இருக்கும் இடத்தில் இது பெரும்பாலும் எழுதப்படுகிறது. en இன் நிலையான மதிப்புகள் கீழே உள்ள அட்டவணைகளில் வழங்கப்படும். எண்கள் λn முந்தைய பிரிவின் அனுமானங்களின் கீழ், நம்மிடம் உள்ளது (Q இருபடி மற்றும் L நேரியல் மற்றும் மாறிலிகள் என்பதால், இவை வெறும் எண்கள்.) வேறுபாடு சமன்பாட்டிற்கான இரண்டாவது வடிவம் இப்போது வேறுபாடு சமன்பாட்டை R/Q ஆல் பெருக்கவும், பெறுதல் அல்லது இது சமன்பாட்டிற்கான நிலையான ஸ்டர்ம்-லியோவில் வடிவமாகும். வேறுபாடு சமன்பாட்டிற்கான மூன்றாவது வடிவம் பின்னர் இப்போது வேறுபாடு சமன்பாட்டை S/Q ஆல் பெருக்கவும், பெறுதல் அல்லது பெறுதல் ஆனால், எனவே, u = Cy, வழித்தோன்றல்களை உள்ளடக்கிய சூத்திரங்கள் முந்தைய பிரிவின் அனுமானங்களின் கீழ், P என்பது Pn இன் r-வது வழித்தோன்றலைக் குறிக்கட்டும். (ஒரு அடுக்குடன் குழப்பத்தைத் தவிர்ப்பதற்காக "r" ஐ அடைப்புக்குறிக்குள் வைக்கிறோம்.) P என்பது n − r டிகிரி கொண்ட ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை. பின்னர் நம்மிடம் பின்வருவன உள்ளனஃ (ஆர்த்தோகொனாலிட்டி) நிலையான r க்கு, பல்லுறுப்புக்கோவை வரிசை P, P, P,. ஆர்த்தோகனல், எடையுள்ளவை. (பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ரோட்ரிக்ஸ் சூத்திரம்) P என்பது (வேறுபாடு சமன்பாடு) P க்கு விகிதாசாரமாகும், இங்கு λr என்பது λn இன் அதே செயல்பாடு, அதாவது, (வேறுபாடு சமன்பாடு, இரண்டாவது வடிவம்) P என்பது ஒரு தீர்வு. இவை ஒவ்வொன்றிலும், a, b மற்றும் c எண்கள் n மற்றும் r ஐப் பொறுத்தது, மேலும் அவை பல்வேறு சூத்திரங்களில் தொடர்பில்லாதவை. பல்வேறு வழிகளில் ஆர்த்தோகனல் பல்லுறுப்புக்கோவைகளை உள்ளடக்கிய ஏராளமான பிற சூத்திரங்கள் உள்ளன. செபிஷேவ், அதனுடன் தொடர்புடைய லாகூர் மற்றும் ஹெர்மைட் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் தொடர்பான அவற்றின் ஒரு சிறிய மாதிரி இங்கேஃ ஆர்த்தோகொனாலிட்டி ஒரு குறிப்பிட்ட λ க்கான வேறுபட்ட சமன்பாடு எழுதப்படலாம் (x ஐ வெளிப்படையாக சார்ந்திருப்பதைத் தவிர்த்து) விளைச்சலுடன் பெருக்கி, சந்தாக்களை மாற்றியமைப்பது கழித்தல் மற்றும் ஒருங்கிணைத்தல் விளைச்சலை அளிக்கிறதுஃ ஆனால் இதைக் காணலாம்ஃ பல்லுறுப்புக்கோவைகள் f என்றால் இடதுபுறத்தில் உள்ள சொல் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும், பின்னர் ஆர்த்தோகொனாலிட்டி உறவு இருக்கும்ஃ ஏனெனில். வேறுபட்ட சமன்பாட்டிலிருந்து பெறப்பட்டது மேலே உள்ள வேறுபட்ட சமன்பாட்டிலிருந்து எழும் அனைத்து பல்லுறுப்புக்கோவை வரிசைகளும் சமமானவை, அளவிடுதல் மற்றும்/அல்லது களத்தை மாற்றுதல் மற்றும் பல்லுறுப்புக்கோவைகளை தரப்படுத்துதல் ஆகியவற்றின் கீழ், மிகவும் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட வகுப்புகளுக்கு. அந்த கட்டுப்படுத்தப்பட்ட வகுப்புகள் சரியாக "கிளாசிக்கல் ஆர்த்தோகனல் பல்லுறுப்புக்கோவைகள்" ஆகும். ஒவ்வொரு ஜாகோபி போன்ற பல்லுறுப்புக்கோவை வரிசையும் அதன் களத்தை மாற்றலாம் மற்றும்/அல்லது அளவிடப்படலாம், இதனால் அதன் ஆர்த்தோகோனாலிட்டி இடைவெளி [−1,1], மற்றும் Q = 1 − x2 ஐக் கொண்டிருக்கும். பின்னர் அவற்றை ஜாகோபி பல்லுறுப்புக்கோவைகளாக தரப்படுத்தலாம். இவற்றில் பல முக்கியமான துணைப்பிரிவுகள் உள்ளனஃ கெஜென்பாவர், லெஜெண்ட்ரே மற்றும் இரண்டு வகையான செபிஷேவ். ஒவ்வொரு லாகூர் போன்ற பல்லுறுப்புக்கோவை வரிசையும் அதன் களத்தை மாற்றலாம், அளவிடலாம் மற்றும்/அல்லது பிரதிபலிக்கலாம், இதனால் அதன் ஆர்த்தோகோனாலிட்டி இடைவெளி, மற்றும் Q = x ஐக் கொண்டிருக்கும். பின்னர் அவை அசோசியேட்டட் லாகூர் பல்லுறுப்புக்கோவைகளாக தரப்படுத்தப்படலாம். எளிய லாகூர் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் இவற்றுள் ஒரு துணைப்பிரிவாகும். ஒவ்வொரு ஹெர்மைட் போன்ற பல்லுறுப்புக்கோவை வரிசையும் அதன் களத்தை மாற்றலாம் மற்றும்/அல்லது அளவிடப்படலாம், இதனால் அதன் ஆர்த்தோகோனாலிட்டி இடைவெளி, மற்றும் Q = 1 மற்றும் L (0) = 0 ஐக் கொண்டிருக்கும். பின்னர் அவற்றை ஹெர்மைட் பல்லுறுப்புக்கோவைகளாக தரப்படுத்தலாம். மேலே விவரிக்கப்பட்ட முறையில் ஒரு வேறுபட்ட சமன்பாட்டிலிருந்து எழும் அனைத்து பல்லுறுப்புக்கோவை வரிசைகளும் கிளாசிக்கல் பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கு அற்பமாக சமமானவை என்பதால், உண்மையான கிளாசிக்கல் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் எப்போதும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. ஜாகோபி போன்ற பல்லுறுப்புக்கோவைகள், அவற்றின் களத்தை மாற்றி அளவிட்டவுடன், ஆர்த்தோகோனாலிட்டியின் இடைவெளி [−1,1] ஆக இருக்கும், இன்னும் இரண்டு அளவுருக்கள் தீர்மானிக்கப்பட வேண்டும். அவை ஜாகோபி பல்லுறுப்புக்கோவைகளில் எழுதப்பட்டுள்ளன. நம்மிடம் உள்ளது மற்றும். இரண்டும்-1 ஐ விட அதிகமாக இருக்க வேண்டும். (இது L இன் மூலத்தை ஆர்த்தோகோனாலிட்டி இடைவெளிக்குள் வைக்கிறது.) எப்போது மற்றும் சமமாக இல்லை, இந்த பல்லுறுப்புக்கோவைகள் x = 0 பற்றி சமச்சீராக இல்லை. வேறுபாடு சமன்பாடு என்பது ஜாகோபியின் சமன்பாடு ஆகும். மேலும் விவரங்களுக்கு, ஜாகோபி பல்லுறுப்புக்கோவைகளைப் பார்க்கவும். ஒருவர் அளவுருக்களை அமைக்கும்போது மற்றும் ஜாகோபி பல்லுறுப்புக்கோவைகளில் ஒன்றுக்கொன்று சமமாக இருக்கும்போது, ஒருவர் கெஜென்பாவர் அல்லது அல்ட்ராசெஃபெரிகல் பல்லுறுப்புக்கோவைகளைப் பெறுகிறார். அவை எழுதப்பட்டு, நம்மிடம் உள்ளபடி வரையறுக்கப்பட்டுள்ளன. அளவுரு-1/2 ஐ விட அதிகமாக இருக்க வேண்டும். (தற்செயலாக, கீழே உள்ள அட்டவணையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ள தரப்படுத்தல் α = 0 மற்றும் n § 0 க்கு எந்த அர்த்தமும் இல்லை, ஏனெனில் இது பல்லுறுப்புக்கோவைகளை பூஜ்ஜியமாக அமைக்கும். அவ்வாறான நிலையில், ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட தரப்படுத்தல் அட்டவணையில் கொடுக்கப்பட்ட மதிப்புக்குப் பதிலாக அமைகிறது.) மேற்கூறிய கருத்துகளைப் புறக்கணித்து, அளவுரு பின்வருவனவற்றின் வழித்தோன்றல்களுடன் நெருக்கமாக தொடர்புடையதுஃ அல்லது, பொதுவாகஃ மற்ற அனைத்து கிளாசிக்கல் ஜாகோபி போன்ற பல்லுறுப்புக்கோவைகளும் (லெஜெண்டர் போன்றவை). கெஜென்பாவர் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் சிறப்பு நிகழ்வுகள், ஒரு மதிப்பைத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலமும் ஒரு தரப்படுத்தலைத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலமும் பெறப்படுகின்றன. மேலும் விவரங்களுக்கு, பார்க்கவும் கெஜென்பாவர் பல்லுறுப்புக்கோவைகள். லெஜெண்ட்ரே பல்லுறுப்புக்கோவைகள் வேறுபட்ட சமன்பாடு இது லெஜெண்ட்ரேவின் சமன்பாடு. வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் இரண்டாவது வடிவம் பின்வருமாறுஃ மீண்டும் நிகழும் உறவு ஒரு கலப்பு மீண்டும் நிகழும் என்பது ரோட்ரிக்ஸ் சூத்திரம் மேலும் விவரங்களுக்கு, லெஜெண்டர் பல்லுறுப்புக்கோவைகளைப் பார்க்கவும். அசோசியேட்டட் லெஜெண்டர் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் அசோசியேட்டட் லெஜெண்டர் பல்லுறுப்புக்கோவைகள், எங்கு குறிக்கப்படுகின்றன மற்றும் முழு எண்கள், என வரையறுக்கப்படுகின்றன அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள m (ஒரு அடுக்குடன் குழப்பத்தைத் தவிர்க்க) ஒரு அளவுரு ஆகும். அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள m என்பது லெஜெண்டர் பல்லுறுப்புக்கோவையின் m-th வழித்தோன்றலைக் குறிக்கிறது. இந்த "பல்லுறுப்புக்கோவைகள்" தவறாக பெயரிடப்பட்டுள்ளன-m ஒற்றைப்படை இருக்கும்போது அவை பல்லுறுப்புக்கோவைகள் அல்ல. அவை மீண்டும் நிகழும் தொடர்பைக் கொண்டுள்ளனஃ நிலையான m க்கு, வரிசை [−1,1] க்கு மேல் ஆர்த்தோகனல் ஆகும், எடை 1 உடன். கொடுக்கப்பட்ட m க்கு, செபிஷேவ் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் தீர்வுகள் வேறுபாடு சமன்பாடு இது செபிஷேவின் சமன்பாடு. இந்த பல்லுறுப்புக்கோவைகள் ஆர்த்தோகொனாலிட்டி இடைவெளியில், (அதை நிரூபிக்க, மீண்டும் நிகழும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும்) பண்பைக் கொண்டுள்ளன. இதன் பொருள் என்னவென்றால், அவற்றின் அனைத்து உள்ளூர் மினிமாவும் அதிகபட்சமும் −1 மற்றும் + 1 மதிப்புகளைக் கொண்டுள்ளன, அதாவது, பல்லுறுப்புக்கோவைகள் "நிலை" ஆகும். இதன் காரணமாக, செபிஷேவ் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் அடிப்படையில் செயல்பாடுகளின் விரிவாக்கம் சில நேரங்களில் கணினி கணித நூலகங்களில் பல்லுறுப்புக்கோவை தோராயங்களுக்கு பயன்படுத்தப்படுகிறது. சில எழுத்தாளர்கள் இந்த பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் மாற்றப்பட்ட பதிப்புகளைப் பயன்படுத்துகின்றனர், இதனால் ஆர்த்தகோனாலிட்டியின் இடைவெளி [0,1] அல்லது [−2,2] ஆகும். இரண்டாவது வகையான செபிஷேவ் பல்லுறுப்புக்கோவைகளும் உள்ளன, அவை நம்மிடம் உள்ளனஃ முதல் சில பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கான வெளிப்பாடுகள் உட்பட மேலும் விவரங்களுக்கு, செபிஷேவ் பல்லுறுப்புக்கோவைகளைப் பார்க்கவும். லாகூர் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் மிகவும் பொதுவான லாகூர் போன்ற பல்லுறுப்புக்கோவைகள், களம் மாற்றப்பட்டு அளவிடப்பட்ட பிறகு, அசோசியேட்டட் லாகூர் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் (பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட லாகூர் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன), குறிக்கப்படுகின்றன. ஒரு அளவுரு உள்ளது, இது-1 ஐ விட கண்டிப்பாக பெரிய எந்த உண்மையான எண்ணாகவும் இருக்கலாம். ஒரு அடுக்குடன் குழப்பத்தைத் தவிர்ப்பதற்காக அளவுரு அடைப்புக்குறிக்குள் வைக்கப்படுகிறது. எளிய லாகூர் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் வெறுமனே இவற்றின் பதிப்பாகும்ஃ வேறுபாடு சமன்பாடு இது லாகூர் சமன்பாடு. இந்த அளவுரு பின்வருவனவற்றின் வழித்தோன்றல்களுடன் நெருக்கமாக தொடர்புடையதுஃ அல்லது, மேலும் பொதுவாகஃ லாகூரின் சமன்பாட்டை பயன்பாடுகளில் மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும் ஒரு வடிவத்தில் கையாளலாம்ஃ இது ஒரு தீர்வாகும் இதை மேலும் கையாளலாம். இந்த தீர்வு பெரும்பாலும் தொடர்புடைய லாகூர் பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கு பதிலாக வழித்தோன்றல்களின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தப்படுகிறதுஃ இந்த சமன்பாடு குவாண்டம் இயக்கவியலில், ஒரு எலக்ட்ரான் அணுவுக்கான ஷ்ரோடிங்கர் சமன்பாட்டின் தீர்வின் ரேடியல் பகுதியில் எழுகிறது. இயற்பியலாளர்கள் பெரும்பாலும் லாகூர் பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கு ஒரு வரையறையைப் பயன்படுத்துகின்றனர், இது இங்கே பயன்படுத்தப்படும் வரையறையை விட ஒரு காரணியால் பெரியது. முதல் சில பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கான வெளிப்பாடுகள் உட்பட மேலும் விவரங்களுக்கு, லாகூர் பல்லுறுப்புக்கோவைகளைப் பார்க்கவும். ஹெர்மைட் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் வேறுபாடு சமன்பாடு இது ஹெர்மைட்டின் சமன்பாடு. வேறுபாடு சமன்பாட்டின் இரண்டாவது வடிவம் மூன்றாவது வடிவம் மீண்டும் நிகழும் உறவு ரோட்ரிக்ஸ் சூத்திரம் முதல் சில ஹெர்மைட் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் தொடர்புடைய ஹெர்மைட் செயல்பாடுகளை வரையறுக்க முடியும் ஏனெனில் பெருக்கி எடை செயல்பாட்டின் சதுர மூலத்திற்கு விகிதாசாரமாக இருப்பதால், இந்த செயல்பாடுகள் எடை செயல்பாடு இல்லாமல் ஆர்த்தோகனல் ஆகும். மேலே உள்ள வேறுபாடு சமன்பாட்டின் மூன்றாவது வடிவம், தொடர்புடைய ஹெர்மைட் செயல்பாடுகளுக்கு, கணிதம் மற்றும் இயற்பியலின் பல பகுதிகளில் தொடர்புடைய ஹெர்மைட் செயல்பாடுகள் எழுகின்றன. குவாண்டம் இயக்கவியலில், அவை ஹார்மோனிக் ஊசலாட்டத்திற்கான ஷ்ரோடிங்கரின் சமன்பாட்டின் தீர்வுகளாகும். அவை தொடர்ச்சியான ஃபோரியர் உருமாற்றத்தின் ஐகென் வேல்யூ (−in) உடன் கூடிய ஐகென் செயல்பாடுகளாகும். பல எழுத்தாளர்கள், குறிப்பாக நிகழ்தகவு வல்லுநர்கள், ஹெர்மைட் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் மாற்று வரையறையைப் பயன்படுத்துகின்றனர், அதற்கு பதிலாக எடை செயல்பாட்டுடன். இந்த ஹெர்மைட் பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கு அவர் என்ற குறியீடும், மேலே உள்ளவற்றுக்கு எச் என்ற குறியீடும் பயன்படுத்தப்பட்டால், இவை பின்வருமாறு வகைப்படுத்தப்படலாம் மேலும் விவரங்களுக்கு, ஹெர்மைட் பல்லுறுப்புக்கோவைகளைப் பார்க்கவும். கிளாசிக்கல் ஆர்த்தோகனல் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் பண்புகள் கிளாசிக்கல் ஆர்த்தோகனல் பல்லுறுப்புக்கோவைகளை மற்றவற்றிலிருந்து தனிமைப்படுத்த பல நிபந்தனைகள் உள்ளன. முதல் நிபந்தனையை சோனைன் (பின்னர் ஹான்) கண்டுபிடித்தார், அவர் (மாறியின் நேரியல் மாற்றங்கள் வரை) கிளாசிக்கல் ஆர்த்தோகனல் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் மட்டுமே அவற்றின் வழித்தோன்றல்களும் ஆர்த்தோகனல் பல்லுறுப்புக்கோவைகளாகும் என்பதைக் காட்டினார். போச்னர் பாரம்பரிய ஆர்த்தோகனல் பல்லுறுப்புக்கோவைகளை அவற்றின் மீண்டும் நிகழும் உறவுகளின் அடிப்படையில் வகைப்படுத்தினார். டிரிகோமி பாரம்பரிய ஆர்த்தோகனல் பல்லுறுப்புக்கோவைகளை ரோட்ரிக்ஸ் சூத்திரத்தின் ஒரு குறிப்பிட்ட ஒப்புமையைக் கொண்டவை என்று வகைப்படுத்தினார். கிளாசிக்கல் ஆர்த்தோகனல் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் அட்டவணை பின்வரும் அட்டவணை கிளாசிக்கல் ஆர்த்தோகனல் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் பண்புகளை சுருக்கமாகக் கூறுகிறது. மேலும் பார்க்கவும் அப்பெல் வரிசை இருமியல் வகையின் ஹைப்பர்ஜியோமெட்ரிக் ஆர்த்தோகனல் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் முக்கிய திட்டம் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ஃபோரியர் தொடர் இரண்டாம் நிலை அளவீட்டு ஷெஃபர் வரிசை மூளை கால்குலஸ் குறிப்புகள் குறிப்புகள் ஆதாரங்களைக் கொண்ட கட்டுரைகள் ஆர்த்தோகனல் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் சிறப்பு ஹைப்பர்ஜியோமெட்ரிக் செயல்பாடுகள் zh: