Grothendieck category
கணிதத்தில், கிரோதெண்டிக் வகை என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட வகையான அபெலியன் வகையாகும், இது 1957 ஆம் ஆண்டின் அலெக்சாண்டர் கிரோதெண்டிக்கின் டோஹோகு காகிதத்தில் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது, இது தொகுதிகள் மற்றும் உறைகளுக்கான ஒத்த இயற்கணிதத்தின் இயந்திரங்களை ஒருங்கிணைந்த முறையில் உருவாக்குவதற்காக அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. இந்த வகைகளின் கோட்பாடு 1962 ஆம் ஆண்டில் பியர் கேப்ரியலின் ஆரம்ப ஆய்வறிக்கையில் மேலும் உருவாக்கப்பட்டது. ஒவ்வொரு இயற்கணித வகைக்கும் ஒருவர் ஒரு கிரோதெண்டிக் வகையை தொடர்புபடுத்தலாம், இதில் அரை-ஒத்திசைவான உறைகள் உள்ளன. இந்த வகை அனைத்து தொடர்புடைய வடிவியல் தகவல்களையும் குறியாக்கம் செய்கிறது, மேலும் (கேப்ரியல்-ரோசன்பெர்க் புனரமைப்பு தேற்றம்) இருந்து மீட்டெடுக்க முடியும். இந்த உதாரணம் பரிமாற்றமற்ற இயற்கணித வடிவவியலுக்கு ஒரு அணுகுமுறைக்கு வழிவகுக்கிறதுஃ "பரிமாற்றமற்ற வகைகளின்" ஆய்வு என்பது (சில) கிரோதெண்டிக் வகைகளின் ஆய்வைத் தவிர வேறில்லை. வரையறை வரையறையின்படி, கிரோதெண்டிக் வகை என்பது ஜெனரேட்டருடன் கூடிய ஏபி5 வகை ஆகும். ஸ்பெல்லிங் அவுட், இதன் பொருள் அது ஒரு அபெலியன் வகை; உள்ள பொருட்களின் ஒவ்வொரு (சாத்தியமான எல்லையற்ற) குடும்பமும் ஒரு இணை தயாரிப்பு (நேரடி தொகை என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) உள்ளது; குறுகிய துல்லியமான வரிசைகளின் நேரடி வரம்புகள் துல்லியமானவை; இதன் பொருள் குறுகிய துல்லியமான வரிசைகளின் நேரடி அமைப்பு கொடுக்கப்பட்டால், நேரடி வரம்புகளின் தூண்டப்பட்ட வரிசையும் ஒரு குறுகிய துல்லியமான வரிசையாகும். (நேரடி வரம்புகள் எப்போதும் சரியானவை-சரியானவை; இங்கே முக்கியமான விஷயம் என்னவென்றால், அவை இடது-துல்லியமாகவும் இருக்க வேண்டும். ஒரு ஜெனரேட்டர் உள்ளது, அதாவது. செட்களின் வகைக்கு ஒரு விசுவாசமான செயல்பாட்டாளராக இருக்கும் ஒரு பொருள் உள்ளது. (நமது சூழ்நிலையில், இது ஒவ்வொரு பொருளும் ஒரு எபிமார்பிசத்தை ஏற்றுக்கொள்கிறது என்று சொல்வதற்கு சமம், அங்கு (எல்லையற்ற) தொகுப்பின் ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் ஒன்றின் நேரடி நகல்களைக் குறிக்கிறது. "கிரோதெண்டிக் வகை" என்ற பெயர் கிரோதெண்டிக்கின் டோஹோகு காகிதத்திலோ அல்லது கேப்ரியலின் ஆய்வறிக்கையிலோ தோன்றவில்லை; இது 1960 களின் இரண்டாம் பாதியில் ஜான்-எரிக் ரூஸ், போ ஸ்டென்ஸ்ட்ரோம், உல்ரிச் ஒபெர்ஸ்ட் மற்றும் போடோ பரேகிஸ் உள்ளிட்ட பல எழுத்தாளர்களின் படைப்புகளில் பயன்படுத்தப்பட்டது. (சில எழுத்தாளர்கள் ஒரு ஜெனரேட்டரின் இருப்பு தேவையில்லை என்று வேறு வரையறையைப் பயன்படுத்துகிறார்கள்.) எடுத்துக்காட்டுகள் கிரோதெண்டிக் வகையின் முன்மாதிரி எடுத்துக்காட்டு அபெலியன் குழுக்களின் வகையாகும்; அபெலியன் முழு எண்களின் குழு ஒரு ஜெனரேட்டராக செயல்பட முடியும். மேலும் பொதுவாக, எந்தவொரு வளையத்தையும் (துணை, உடன், ஆனால் பரிமாற்ற வேண்டிய அவசியமில்லை) கொடுக்கப்பட்டால், அனைத்து வலது (அல்லது மாற்றாகஃ இடது) தொகுதிகளின் வகை ஒரு கிரோதெண்டிக் வகையாகும்; அது ஒரு ஜெனரேட்டராக செயல்பட முடியும். ஒரு இடவியல் இடத்தைப் பொறுத்தவரை, அபெலியன் குழுக்களின் அனைத்து உறைகளின் வகையும் ஒரு கிரோதெண்டிக் வகையாகும். (மேலும் பொதுவாகஃ வலது-தொகுதிகளின் அனைத்து உறைகளின் வகையும் எந்த வளையத்திற்கும் ஒரு கிரோதெண்டிக் வகையாகும்.) ஒரு வளைய இடத்தைப் பொறுத்தவரை, OX-தொகுதிகளின் உறைகளின் வகை ஒரு கிரோதெண்டிக் வகையாகும். ஒரு (அஃபைன் அல்லது ப்ரொஜெக்டிவ்) இயற்கணித வகை (அல்லது இன்னும் பொதுவாகஃ எந்த திட்டமும்) கொடுக்கப்பட்டால், அரை-ஒத்திசைவான உறைகளின் வகை ஒரு கிரோதெண்டிக் வகையாகும். கொடுக்கப்பட்ட ஒரு சிறிய தளம் (சி, ஜே) (அதாவது. ஒரு சிறிய வகை சி உடன் ஒரு கிரோதெண்டிக் இடவியல் ஜே), தளத்தில் உள்ள அபெலியன் குழுக்களின் அனைத்து உறைகளின் வகையும் ஒரு கிரோதெண்டிக் வகையாகும். கிரோதெண்டிக் வகைகளை மேலும் கட்டமைத்தல் கிரோதெண்டிக் வகைக்கு சமமான எந்தவொரு வகையும் கிரோதெண்டிக் வகையாகும். கிரோதெண்டிக் வகைகளைப் பொறுத்தவரை, தயாரிப்பு வகை கிரோதெண்டிக் வகையாகும். ஒரு சிறிய வகை மற்றும் ஒரு கிரோதெண்டிக் வகையைப் பொறுத்தவரை, முதல் முதல் வரை உள்ள அனைத்து கோவேறியன்ட் ஃபன்க்டர்களையும் உள்ளடக்கிய ஃபன்க்டர் வகை ஒரு கிரோதெண்டிக் வகையாகும். ஒரு சிறிய முன் சேர்க்கை வகை மற்றும் ஒரு கிரோதெண்டிக் வகை கொடுக்கப்பட்டால், அனைத்து சேர்க்கை கோவேறியன்ட் ஃபன்க்டர்களின் ஃபன்க்டர் வகை ஒரு கிரோதெண்டிக் வகை ஆகும். ஒரு கிரோதெண்டிக் வகை மற்றும் ஒரு உள்ளூர்மயமாக்கும் துணைப்பிரிவாக இருந்தால், பின்னர் இரண்டுமே மற்றும் செர் ஈவு வகை கிரோதெண்டிக் பிரிவுகளாகும். பண்புகள் மற்றும் கோட்பாடுகள் ஒவ்வொரு கிரோதெண்டிக் வகையும் ஒரு ஊசி கோஜெனரேட்டரைக் கொண்டுள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, அபெலியன் குழுக்களின் வகையின் ஒரு ஊசி கோஜெனரேட்டர் என்பது ஈவுக் குழுவாகும். கிரோதெண்டிக் பிரிவில் உள்ள ஒவ்வொரு பொருளிலும் ஒரு உட்செலுத்தும் மேலோடு உள்ளது. இது உட்செலுத்தும் தீர்மானங்களை உருவாக்க அனுமதிக்கிறது, இதன் மூலம் பெறப்பட்ட செயல்பாடுகளை வரையறுப்பதற்காக ஹோமோலாஜிக்கல் அல்ஜீப்ராவின் கருவிகளைப் பயன்படுத்துகிறது. (அனைத்து கிரோதெண்டிக் வகைகளும் அனைத்து பொருட்களுக்கும் திட்டவட்டமான தீர்மானங்களை அனுமதிக்காது என்பதை நினைவில் கொள்க; எடுத்துக்காட்டுகள் உண்மையான எண்களின் இடைவெளி போன்ற பல இடவியல் இடைவெளிகளில் உள்ள அபெலியன் குழுக்களின் உறைகளின் வகைகளாகும்.) ஒரு கிரோதெண்டிக் பிரிவில், கொடுக்கப்பட்ட பொருளின் துணைப் பொருட்களின் எந்தவொரு குடும்பமும் ஒரு மேல்நிலை (அல்லது "தொகை") மற்றும் ஒரு முடிவிலி (அல்லது "குறுக்கீடு") ஆகியவற்றைக் கொண்டுள்ளது, இவை இரண்டும் மீண்டும் அதன் துணைப் பொருட்களாகும். மேலும், குடும்பம் வழிநடத்தப்பட்டால் (அதாவது. குடும்பத்தில் உள்ள எந்த இரண்டு பொருட்களுக்கும், இரண்டையும் கொண்ட குடும்பத்தில் மூன்றாவது பொருள் உள்ளது), மேலும் மற்றொரு துணைப் பொருள், கிரோதெண்டிக் பிரிவுகள் நன்கு இயக்கப்படுகின்றன (சில நேரங்களில் உள்ளூரில் சிறியவை என்று அழைக்கப்படுகின்றன, இருப்பினும் அந்த சொல் பயன்படுத்தப்படுகிறது வேறு கருத்துக்கு), அதாவது. கொடுக்கப்பட்ட எந்தவொரு பொருளின் துணைப் பொருட்களின் தொகுப்பும் ஒரு தொகுப்பை உருவாக்குகிறது (சரியான வகுப்பை விட). ஒவ்வொரு கிரோதெண்டிக் வகையும் முழுமையானது, அதாவது இது ஒரு ஆழமான விளைவாகும். தன்னிச்சையான வரம்புகள் (மற்றும் குறிப்பிட்ட தயாரிப்புகளில்) உள்ளன. இதற்கு மாறாக, இது இணை முழுமையான வரையறையிலிருந்து நேரடியாகப் பின்பற்றுகிறது, அதாவது. தன்னிச்சையான கொலிமிட்டுகள் மற்றும் இணை தயாரிப்புகள் (நேரடி தொகைகள்) உள்ளன. கிரோதெண்டிக் பிரிவில் உள்ள தயாரிப்புகள் துல்லியமானவை (அதாவது. குறுகிய துல்லியமான வரிசைகளைக் கொண்ட ஒரு குடும்பத்தின் இணை தயாரிப்பு மீண்டும் ஒரு குறுகிய துல்லியமான வரிசையாகும்), ஆனால் தயாரிப்புகள் துல்லியமாக இருக்க வேண்டியதில்லை. ஒரு கிரோதெண்டிக் வகையிலிருந்து ஒரு தன்னிச்சையான வகைக்கு ஒரு ஃபன்க்டர் அனைத்து வரம்புகளுடனும் பயணம் செய்தால் மட்டுமே இடது பக்கவாட்டைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் அது அனைத்து கோலிமிட்டுகளுடனும் பயணம் செய்தால் மட்டுமே வலது பக்கவாட்டைக் கொண்டுள்ளது. இது பீட்டர் ஜே. ஃப்ரேய்டின் சிறப்பு இணை ஃபங்க்டர் தேற்றம் மற்றும் அதன் இரட்டை கோட்பாட்டிலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது. கேப்ரியல்-போபெஸ்கு தேற்றம் எந்தவொரு கிரோதெண்டிக் வகையும் சில யூனிடல் வளையத்தின் மீது வலது தொகுதிகளின் வகையின் முழு துணைப்பிரிவுக்கு சமம் என்று கூறுகிறது (இது ஒரு ஜெனரேட்டரின் எண்டோமார்பிசம் வளையமாக எடுத்துக் கொள்ளலாம்), மேலும் சில உள்ளூர்மயமாக்கும் துணைப்பிரிவுகளால் கேப்ரியல் விகிதமாக பெறப்படலாம். கேப்ரியல்-போபெஸ்குவின் விளைவாக, ஒவ்வொரு கிரோதெண்டிக் வகையும் உள்ளூரில் வழங்கக்கூடியது என்பதை ஒருவர் காட்ட முடியும். மேலும், ஒவ்வொரு கிரோதெண்டிக் வகையும் முழுமையானது என்பதைக் காண கேப்ரியல்-போபெஸ்குவைப் பயன்படுத்தலாம், இது சிலருக்கு முழுமையான வகையின் பிரதிபலிப்பு துணைப்பிரிவாகும். ஒவ்வொரு சிறிய அபெலியன் வகையையும் கிரோதெண்டிக் பிரிவில் பின்வரும் பாணியில் உட்பொதிக்கலாம். இடது-துல்லியமான சேர்க்கை (கோவேரியன்ட்) செயல்பாட்டாளர்களின் வகை (அபெலியன் குழுக்களின் வகையைக் குறிக்கும்) ஒரு கிரோதெண்டிக் வகையாகும், மேலும் செயல்பாட்டாளர், முழு, விசுவாசமான மற்றும் துல்லியமானவர். ஒரு ஜெனரேட்டர் அனைவரின் இணை தயாரிப்பால் வழங்கப்படுகிறது, உடன். இந்த வகை இண்ட்-ஆப்ஜெக்ட்களின் வகைக்கு சமமானது மற்றும் உட்பொதிப்பது இயற்கையான உட்பொதிப்புக்கு ஒத்திருக்கிறது. எனவே நாம் இணை நிறைவு என்று கருதலாம். சிறப்பு வகையான பொருள்கள் மற்றும் கிரோதெண்டிக் பிரிவுகள் கிரோதெண்டிக் பிரிவில் உள்ள ஒரு பொருள் ஃபைனிட்லி ஜெனரேட்டட் என்று அழைக்கப்படுகிறது, எந்த நேரத்திலும் ஒரு துணைப் பொருட்களின் குடும்பத்தின் கூட்டுத்தொகையாக எழுதப்பட்டால், அது ஏற்கனவே ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட துணைக்குடும்பத்தின் கூட்டுத்தொகையாக இருக்கும். (தொகுதி வகைகளைப் பொறுத்தவரை, இந்த கருத்து இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட தொகுதிகளின் பழக்கமான கருத்துக்கு சமம்.) இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட பொருட்களின் எபிமார்பிக் படங்கள் மீண்டும் இறுதியாக உருவாக்கப்படுகின்றன. மற்றும் இரண்டும் இறுதியாக உருவாக்கப்பட்டால், அப்படித்தான். ஒவ்வொரு மார்ஃபிஸமும் ஒரு மோனோமார்பிசமாக இருக்கும் எந்தவொரு இயக்க முறைமைக்கும், இயற்கையான மார்ஃபிஸம் ஒரு ஐசோமார்பிசமாக இருந்தால் மட்டுமே பொருள் இறுதியாக உருவாக்கப்படுகிறது. ஒரு கிரோதெண்டிக் வகை பூஜ்ஜியமற்ற இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட பொருள்களைக் கொண்டிருக்க வேண்டியதில்லை. ஒரு கிரோதெண்டிக் வகை இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட ஜெனரேட்டர்களின் தொகுப்பைக் கொண்டிருந்தால் அது உள்ளூரில் இறுதியாக உருவாக்கப்பட்டதாக அழைக்கப்படுகிறது (அதாவது. ஒவ்வொரு பொருளுக்கும் பூஜ்ஜியமற்ற உருவகம் போன்ற இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட பொருட்களின் குடும்பம் இருந்தால்; சமமாகஃ) இன் நகல்களின் நேரடி கூட்டுத்தொகையின் எபிமார்பிக் படம். அத்தகைய ஒரு பிரிவில், ஒவ்வொரு பொருளும் அதன் இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட துணைப் பொருட்களின் கூட்டுத்தொகையாகும். ஒவ்வொரு பிரிவும் உள்ளூரில் இறுதியாக உருவாக்கப்படுகிறது. கிரோதெண்டிக் பிரிவில் உள்ள ஒரு பொருள் இறுதியாக உருவாக்கப்பட்டால் அது இறுதியாக வழங்கப்படுகிறது என்றும், இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட களத்துடன் கூடிய ஒவ்வொரு எபிமார்பிசமும் இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட கர்னலைக் கொண்டிருந்தால் அது இறுதியாக வழங்கப்படுகிறது என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. மீண்டும், இது இறுதியாக வழங்கப்பட்ட தொகுதிகளின் கருத்தை பொதுமைப்படுத்துகிறது. மற்றும் இரண்டும் இறுதியாக வழங்கப்பட்டால், அப்படித்தான். உள்ளூரில் இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட கிரோதெண்டிக் பிரிவில், இறுதியாக வழங்கப்பட்ட பொருள்களை பின்வருமாறு வகைப்படுத்தலாம்ஃ உள்ள ஒவ்வொரு இயக்க முறைமைக்கும், இயற்கையான உருவவியல் ஒரு ஐசோமார்பிசமாக இருந்தால் மட்டுமே, இறுதியாக வழங்கப்படுகிறது. கிரோதெண்டிக் பிரிவில் உள்ள ஒரு பொருள் இறுதியாக வழங்கப்பட்டால் அது ஒத்திசைவு என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் அதன் இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட துணைப் பொருள்கள் ஒவ்வொன்றும் இறுதியாக வழங்கப்பட்டால். (இது ஒரு வளைய இடத்தில் ஒத்திசைவான உறைகள் பற்றிய கருத்தை பொதுமைப்படுத்துகிறது.) அனைத்து ஒத்திசைவான பொருட்களின் முழு துணைப்பிரிவும் அபெலியன் மற்றும் சேர்ப்பு செயல்பாட்டாளர் துல்லியமானது. கிரோதெண்டிக் பிரிவில் உள்ள ஒரு பொருள் அதன் துணைப் பொருட்களின் தொகுப்பு ஏறுவரிசை சங்கிலி நிலையை திருப்திப்படுத்தினால் நொய்தேரியன் என்று அழைக்கப்படுகிறது, அதாவது. துணைப் பொருட்களின் ஒவ்வொரு வரிசையும் இறுதியில் நிலையானதாக மாறினால். X இன் ஒவ்வொரு உட்பொருளும் இறுதியாக உருவாக்கப்பட்டால் மட்டுமே இது நிகழ்கிறது. (இந்த விஷயத்தில், இந்த கருத்து நொய்தேரியன் தொகுதிகளின் பழக்கமான கருத்துக்கு சமம்.) ஒரு கிரோதெண்டிக் வகை நொய்தேரியன் ஜெனரேட்டர்களின் தொகுப்பைக் கொண்டிருந்தால் அது உள்ளூரில் நொய்தேரியன் என்று அழைக்கப்படுகிறது; ஒரு எடுத்துக்காட்டு இடது-நொய்தேரியன் வளையத்தின் மீது இடது தொகுதிகளின் வகை. குறிப்புகள் குறிப்புகள் வெளிப்புற இணைப்புகள் டேனியல் மர்பெட்டின் குறிப்புகள், அபெலியன் பிரிவுகள். பிரிவு 2.3 கிரோதெண்டிக் வகைகளை உள்ளடக்கியது. வகைக் கோட்பாடு சேர்க்கை வகைகள் ஹோமோலாஜிக்கல் அல்ஜிப்ரா