Lill's method
கணிதத்தில், லில்லின் முறை என்பது எந்தவொரு பட்டத்தின் மாறுபட்ட பல்லுறுப்புக்கோவையின் உண்மையான வேர்களைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான ஒரு காட்சி முறையாகும். இது 1867 ஆம் ஆண்டில் ஆஸ்திரிய பொறியாளர் எட்வர்ட் லில் என்பவரால் உருவாக்கப்பட்டது. லில்லின் பிற்கால ஆய்வறிக்கை சிக்கலான வேர்களின் சிக்கலைக் கையாண்டது. லில்லின் முறை என்பது பல்லுறுப்புக்கோவையின் குணகங்களுக்கு சமமான நீளங்களுடன் சரியான கோணங்களை உருவாக்கும் நேர் கோடு பிரிவுகளின் பாதையை வரைவதை உள்ளடக்கியது. பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர்கள் பின்னர் மற்ற வலது கோண பாதைகளின் சரிவுகளாகக் காணலாம், மேலும் தொடக்கத்தை முனையத்துடன் இணைக்கிறது, ஆனால் முதல் பாதையின் கோடுகளில் செங்குத்துகளுடன். முறையின் விளக்கம் முறையைப் பயன்படுத்துவதற்கு ஒரு வரைபடம் தோற்றத்தில் தொடங்கி வரையப்படுகிறது. ஒரு கோடு பிரிவு முதல் குணகத்தின் அளவு (மிக உயர்ந்த சக்தி காலத்தின் குணகம்) மூலம் வலதுபுறம் வரையப்படுகிறது (இதனால் எதிர்மறை குணகத்துடன் பிரிவு தோற்றத்தின் இடதுபுறத்தில் முடிவடையும்). முதல் பிரிவின் முடிவில் இருந்து மற்றொரு பிரிவு இரண்டாவது குணகத்தின் அளவால் மேல்நோக்கி இழுக்கப்படுகிறது, பின்னர் மூன்றாவது அளவின் அளவால் விடப்படுகிறது, மேலும் நான்காவது அளவின் அளவால் கீழே இழுக்கப்படுகிறது. திசைகளின் வரிசை (திருப்பங்கள் அல்ல) எப்போதும் வலதுபுறம், மேல்நோக்கி, இடதுபுறம், கீழ்நோக்கி, பின்னர் மீண்டும் மீண்டும் இருக்கும். எனவே ஒவ்வொரு திருப்பமும் எதிரெதிர் திசையில் இருக்கும். பூஜ்ஜியங்கள் உட்பட பல்லுறுப்புக்கோவையின் ஒவ்வொரு குணகத்திற்கும் இந்த செயல்முறை தொடர்கிறது, எதிர்மறை குணகங்கள் "பின்னோக்கி நடக்கின்றன". சமன்பாட்டின் நிலையான காலத்துடன் தொடர்புடைய பிரிவின் முடிவில் எட்டப்பட்ட இறுதிப் புள்ளி முனையமாகும். ஒரு கோடு பின்னர் தோற்றத்திலிருந்து ஏதோ ஒரு கோணத்தில் தொடங்கப்பட்டு, ஒவ்வொரு கோடு பிரிவிலும் ஒரு சரியான கோணத்தில் பிரதிபலிக்கிறது (பிரதிபலிப்பின் "இயற்கையான" கோணம் அவசியமில்லை), மேலும் ஒவ்வொரு பிரிவின் வழியாக கோடு வழியாக ஒரு சரியான கோணத்தில் ஒளிவிலகல் செய்யப்படுகிறது (பூஜ்ஜிய குணகங்களுக்கான ஒரு கோடு உட்பட) கோணப் பாதை அந்த கோட்டில் உள்ள கோடு பிரிவைத் தாக்காதபோது. செங்குத்து மற்றும் கிடைமட்ட கோடுகள் பின்வரும் வரிசையில் பிரதிபலிக்கப்படுகின்றன அல்லது ஒளிவிலகல் செய்யப்படுகின்றனஃ பின்னர் பலவற்றின் குணகத்துடன் தொடர்புடைய பிரிவைக் கொண்ட கோடு. பாதை முனையத்தில் தரையிறங்கும் வகையில் தேர்வு செய்தால், தொடுகோட்டின் எதிர்மறை இந்த பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர் ஆகும். பல்லுறுப்புக்கோவையின் ஒவ்வொரு உண்மையான பூஜ்ஜியத்திற்கும் ஒரு தனித்துவமான ஆரம்ப கோணம் மற்றும் பாதை முனையத்தில் தரையிறங்கும். எடுத்துக்காட்டாக, இரண்டு உண்மையான வேர்களைக் கொண்ட ஒரு இருபடி, மேலே உள்ள நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்யும் இரண்டு கோணங்களைக் கொண்டிருக்கும். சிக்கலான வேர்களைப் பொறுத்தவரை, ஒருவர் ஒத்த முக்கோணங்களின் வரிசையையும் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், ஆனால் வேர் பாதையின் செங்குத்துகள் பல்லுறுப்புக்கோவை பாதையிலிருந்து வேரின் கற்பனை பகுதிக்கு சமமான தூரத்தால் இடம்பெயர்ந்துள்ளன. இந்த வழக்கில் வேர் பாதை செவ்வகமாக இருக்காது. விளக்கம் செயல்பாட்டில் உள்ள கட்டுமானம் ஹார்னரின் முறையின்படி பல்லுறுப்புக்கோவை மதிப்பீடு செய்கிறது. பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு,, இன் மதிப்புகள் பல்லுறுப்புக்கோவை மற்றும் வேர் பாதைகளின் செங்குத்துகளுக்கு இடையிலான தூரங்களாக தொடர்ச்சியாக உருவாக்கப்படுகின்றன. பல்லுறுப்புக்கோவையின் மூலத்திற்கு இறுதி மதிப்பு பூஜ்ஜியமாகும், எனவே கடைசி முனை பல்லுறுப்புக்கோவை பாதை முனையத்துடன் ஒத்துப்போகிறது. கூடுதல் பண்புகள் ஒரு மூலத்தைக் கொடுக்கும் ஒரு கரைசல் கோடு பல்லுறுப்புக்கோவையின் கட்டமைப்பைப் போன்றது, அந்த வேர் அகற்றப்பட்டது, ஏனெனில் காட்சி கட்டுமானம் ஒரு நேரியல் (வேர்) மோனிக் (ருஃபினியின் விதி) மூலம் பல்லுறுப்புக்கோவையின் செயற்கை பிரிவுக்கு ஒத்ததாக இருக்கிறது. வரைபடத்தின் சமச்சீர்மையிலிருந்து, தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர்கள் அசல் வேர்களின் பரஸ்பரம் என்பதை எளிதாகக் காணலாம். எதிர் கடிகார திசையில் திருப்புவதற்குப் பதிலாக கடிகார திசையில் திருப்பங்களைப் பயன்படுத்தி கட்டுமானத்தையும் செய்யலாம். ஒரு பாதை மற்ற மரபுகளைப் பயன்படுத்தி விளக்கும்போது, அது பிரதிபலிக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவையுடன் ஒத்திருக்கிறது (ஒவ்வொரு ஒற்றைப்படை குணகம் அடையாளம் மாற்றப்படுகிறது) மற்றும் வேர்கள் நிராகரிக்கப்படுகின்றன. வலது-கோணப் பாதை மற்ற திசையில் பயணிக்கும்போது, அதே திசை மரபு, இது தலைகீழ் பிரதிபலிக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவையுடன் ஒத்திருக்கிறது மற்றும் வேர்கள் அசல் வேர்களின் எதிர்மறை பரஸ்பரமாக உள்ளன. தாலிஸின் தேற்றமான லில்லின் முறையைப் பயன்படுத்தி இருபடி வேர்களைக் கண்டறிவது ஒரு இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவையின் உண்மையான வேர்களைக் கண்டறிய தாலிஸின் தேற்றத்துடன் பயன்படுத்தப்படலாம். இந்த எடுத்துக்காட்டில் 3x2 + 5x−2 உடன், பல்லுறுப்புக்கோவையின் கோடு பிரிவுகள் முதலில் மேலே உள்ளபடி கருப்பு நிறத்தில் வரையப்படுகின்றன. ஒரு வட்டம் வரையப்பட்டு, தொடக்கம் மற்றும் இறுதி புள்ளிகளை இணைக்கும் நேர் கோடு பிரிவு ஒரு விட்டத்தை உருவாக்குகிறது. தாலெஸ் கோட்பாட்டின் படி, இந்த புள்ளிகளையும் வட்டத்தில் உள்ள வேறு எந்த புள்ளியையும் கொண்ட முக்கோணம் ஒரு வலது முக்கோணம் ஆகும். இந்த வட்டத்தின் குறுக்குவெட்டுகள் லில்லின் முறையின் நடுத்தர பகுதியுடன், தேவைப்பட்டால் நீட்டிக்கப்படுகின்றன, இதனால் லில்லின் முறையில் இரண்டு கோண பாதைகளை வரையறுக்கிறது, நீலம் மற்றும் சிவப்பு நிறம். அவற்றின் முதல் பிரிவுகளின் சாய்வுகளின் எதிர்மறை, m, உண்மையான வேர்கள் 1/3 மற்றும் −2 ஐத் தருகிறது. காகித மடிப்புகளைப் பயன்படுத்தி வேர்களைக் கண்டறிதல் 1936 இல் மார்கெரிட்டா பியாசோலா பெலோச், காகித மடிப்புகளைப் பயன்படுத்தி கன சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க லில்லின் முறையை எவ்வாறு மாற்றியமைக்க முடியும் என்பதைக் காட்டினார். ஒரே நேரத்தில் மடிப்புகள் அனுமதிக்கப்பட்டால், உண்மையான மூலத்துடன் எந்த n வது டிகிரி சமன்பாட்டையும் n-2 ஒரே நேரத்தில் மடிப்புகளைப் பயன்படுத்தி தீர்க்க முடியும். இந்த எடுத்துக்காட்டில் 3x3 + 2x2 − 7x + 2 உடன், பல்லுறுப்புக்கோவையின் கோடு பிரிவுகள் முதலில் ஒரு காகிதத் தாளில் (கருப்பு) வரையப்படுகின்றன. இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது பிரிவுகளில் (மங்கலான வட்டம் மற்றும் சதுரம்) தொடக்கம் மற்றும் இறுதி புள்ளிகளின் பிரதிபலிப்புகள் வழியாக செல்லும் கோடுகள், அவற்றுக்கு இணையாக (சாம்பல் கோடுகள்) வரையப்படுகின்றன. ஒவ்வொரு வேர்க்கும், தொடக்க புள்ளி (கருப்பு வட்டம்) மற்றும் இறுதி புள்ளி (கருப்பு சதுரம்) இந்த கோடுகளில் பிரதிபலிக்கும் வரை காகிதம் மடிக்கப்படுகிறது. பிரதிபலிப்பு அச்சு (டாஷ்-டாட் கோடு) மூலத்துடன் தொடர்புடைய கோண பாதையை (நீலம், ஊதா மற்றும் சிவப்பு) வரையறுக்கிறது. அவற்றின் முதல் பிரிவுகளின் சாய்வுகளின் எதிர்மறை, m, உண்மையான வேர்கள் 1/3,1 மற்றும் −2 ஐத் தருகிறது. கார்லைல் வட்டத்தையும் பார்க்கவும், இது ஒரு நெறிமுறை இருபடிக்கு லில்லின் முறையின் சற்று மாற்றியமைக்கப்பட்ட பதிப்பை அடிப்படையாகக் கொண்டது. குறிப்புகள் வெளிப்புற இணைப்புகள் லில்லின் முறைக்கான அனிமேஷன் கணிதவியல் வீடியோஃ "லேசர்களுடன் ஆமைகளை சுடுவதன் மூலம் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது" வடிவியல் காகித மடிப்பு பல்லுறுப்புக்கோவைகள்