Madhava's correction term
மாதவனின் திருத்தச் சொல் என்பது கேரள வானியல் மற்றும் கணிதப் பள்ளியின் நிறுவனர் சங்கமகிராமாவின் மாதவாவின் (கி. பி. 1340-கி. பி. 1425) கணித வெளிப்பாடாகும், இது மாதவ-லீப்னிஸ் எல்லையற்ற தொடரைக் குறைப்பதன் மூலம் பெறப்பட்ட பகுதி கூட்டுத்தொகை தோராயத்தை விட கணித மாறிலி (பை) மதிப்புக்கு சிறந்த தோராயத்தை வழங்க பயன்படுத்தப்படலாம். மாதவ-லீப்னிஸ் எல்லையற்ற தொடர் என்பது முதல் சொற்களின் பகுதியளவு கூட்டுத்தொகையை எடுத்துக்கொள்வது பின்வரும் தோராயத்தைக் கொண்டுள்ளதுஃ மாதவ திருத்தச் சொல்லைக் குறிக்கும் போது, பின்வரும் சிறந்த தோராயத்தைக் கொண்டுள்ளோம்ஃ மாதவனுக்கு மூன்று வெவ்வேறு வெளிப்பாடுகள் சாத்தியமான மதிப்புகளாகக் கூறப்பட்டுள்ளன, அதாவது, கேரளப் பள்ளியின் கணிதவியலாளர்களின் தற்போதைய எழுத்துக்களில் திருத்தச் சொற்கள் மற்றும் பெறப்பட்டவை பற்றிய சில அறிகுறிகள் உள்ளன, ஆனால் வெளிப்பாடு எவ்வாறு பெறப்பட்டது என்பதற்கான அறிகுறிகள் எதுவும் இல்லை. இது சூத்திரங்கள் எவ்வாறு பெறப்பட்டிருக்கலாம் என்பது குறித்து நிறைய ஊக ஆய்வுகளுக்கு வழிவகுத்துள்ளது. கேரள நூல்களில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளபடி திருத்த சொற்கள் 1530 ஆம் ஆண்டில் கேரள கணிதப் பள்ளியைச் சேர்ந்த இந்திய வானியலாளர் ஜேஸ்ததேவா எழுதிய கணிதம் மற்றும் வானியல் குறித்த முக்கிய நூலான யுக்திபஷாவில் வெளிப்பாடுகள் வெளிப்படையாக வழங்கப்பட்டுள்ளன, ஆனால் அது அதன் வழித்தோன்றலுக்கு வழிவகுக்கும் வாதத்தில் ஒரு படியாக மட்டுமே தோன்றுகிறது. கேரள வானியல் மற்றும் கணிதப் பள்ளியைச் சேர்ந்த வானியலாளர்/கணிதவியலாளர் நீலகண்ட சோமயாஜி 1501 ஆம் ஆண்டில் முடித்து எழுதிய தந்திரசங்கராவின் யுக்திதிபிகா-லகுவிவ்ர்த்தி வர்ணனை, பின்வரும் வசனங்களில் இரண்டாவது திருத்தச் சொல்லை முன்வைக்கிறது (அத்தியாயம் 2: வசனங்கள் 271-274): வசனங்களின் ஆங்கில மொழிபெயர்ப்புஃ "விட்டம் 4 ஆல் பெருக்கப்படும்போது விட்டம் 4 ஆல் பெருக்கப்பட்டு, ஒற்றைப்படை எண்கள் 3,5 ஆல் தனித்தனியாக வகுக்கப்படும் வரிசையில் சேர்க்கவும் கழிக்கவும். இந்த செயல்முறை முடிவடையும் ஒற்றைப்படை எண், விட்டத்தின் நான்கு மடங்கு அடுத்த இரட்டை எண்ணால் பெருக்கப்பட வேண்டும், பாதியாக குறைக்கப்பட்டு [பின்னர்] அந்த [இரட்டை] எண்ணுடன் சேர்க்கப்பட்ட ஒன்றால் வகுக்கப்பட வேண்டும். கடைசி சொல் கழிக்கப்பட்ட அல்லது சேர்க்கப்பட்டதால் இதன் விளைவாக சேர்க்கப்பட வேண்டும் அல்லது கழிக்கப்பட வேண்டும். இது அந்த செயல்முறையைத் தொடர்வதன் மூலம் பெறப்படுவதை விட மிகவும் துல்லியமாக சுற்றளவை வழங்குகிறது ". நவீன குறியீடுகளில் இதை பின்வருமாறு கூறலாம் (வட்டத்தின் விட்டம் எங்கே): சுற்றளவு நாம் அமைத்தால், மேலே உள்ள சமன்பாட்டின் வலது புறத்தில் உள்ள கடைசி சொல் குறைகிறது. அதே வர்ணனை பின்வரும் வசனங்களில் திருத்தச் சொல்லையும் கொடுக்கிறது (அத்தியாயம் 2: வசனங்கள் 295-296): வசனங்களின் ஆங்கில மொழிபெயர்ப்புஃ "ஒரு நுட்பமான முறை, மற்றொரு திருத்தத்துடன். ஒற்றைப்படை எண்கள், 3,5 போன்றவற்றால் விட்டத்தின் நான்கு மடங்கு வகுக்கும் முதல் செயல்முறையை [தக்கவைத்துக் கொள்ளுங்கள்]. [ஆனால்] பின்னர் அதை (விட்டத்தின் நான்கு மடங்கு) கூட்டவும் அல்லது கழிக்கவும், அடுத்த சம எண்ணுடன் ஒன்றால் பெருக்கப்பட்டு பாதி மற்றும் வர்க்கம், மற்றும் ஒன்றால் வகுத்தால் முந்தைய பெருக்கியின் நான்கு மடங்கு கூட்டப்பட்டு (இதனுடன்) சம எண்ணால் பெருக்கப்படுகிறது. நவீன குறியீடுகளில், இதை பின்வருமாறு கூறலாம்ஃ இங்கு "பெருக்கி" நாம் அமைத்தால், மேலே உள்ள சமன்பாட்டின் வலது புறத்தில் உள்ள கடைசி சொல் குறைகிறது. திருத்த விதிமுறைகளின் துல்லியம் விடுங்கள். பின்னர், எழுதுகையில், பிழைகள் பின்வரும் வரம்புகளைக் கொண்டுள்ளனஃ கணக்கீட்டில் உள்ள பிழைகளின் எண் மதிப்புகள் மதிப்பைக் கணக்கிடுவதில் இந்த தோராயங்களைப் பயன்படுத்துவதில் உள்ள பிழைகள் பின்வரும் அட்டவணையில் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட சில மதிப்புகளுக்கு இந்த பிழைகளின் மதிப்புகளை வழங்குகிறது. திருத்தும் சொற்களுக்கான தொடர்ச்சியான பின்ன வெளிப்பாடுகள் திருத்தும் சொற்கள் பின்வரும் தொடர்ச்சியான பின்ன வெளிப்பாடுகளின் முதல் மூன்று ஒருங்கிணைப்புகள் என்று குறிப்பிடப்பட்டுள்ளதுஃ சமன்பாட்டை துல்லியமாக வழங்கும் செயல்பாட்டை பின்வரும் வடிவத்தில் வெளிப்படுத்தலாம்ஃ இந்த எல்லையற்ற தொடர்ச்சியான பின்னத்தின் முதல் மூன்று ஒருங்கிணைப்புகள் துல்லியமாக மாதவாவின் திருத்தும் சொற்களாகும். மேலும், இந்த செயல்பாடு பின்வரும் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளதுஃ ஹயாஷி மற்றும் பலர் ஊக வழித்தோன்றல். 1990 ஆம் ஆண்டில் வெளியிடப்பட்ட ஒரு ஆய்வறிக்கையில், மூன்று ஜப்பானிய ஆராய்ச்சியாளர்கள் கொண்ட குழு மாதவ மூன்று திருத்த விதிமுறைகளைப் பெற்றிருக்கக்கூடிய ஒரு புத்திசாலித்தனமான முறையை முன்மொழிந்தது. அவர்களின் முன்மொழிவு இரண்டு அனுமானங்களை அடிப்படையாகக் கொண்டதுஃ மாதவா மதிப்பாகப் பயன்படுத்தப்பட்டார், மேலும் அவர் பிரிவினைக்கு யூக்ளிடியன் வழிமுறையைப் பயன்படுத்தினார். மதிப்புகளை எழுதுவதும் கணக்கிடுவதும் அவற்றை 1 உடன் ஒரு பின்னமாக வெளிப்படுத்துகின்றன, இறுதியாக தோராயங்களைப் பெற வகுப்பில் உள்ள பின்னப் பகுதிகளை புறக்கணிக்கிறதுஃ இது பின்வரும் முதல் தோராயத்தைக் குறிக்கிறது, இது முன்பு பேசப்பட்ட திருத்தச் சொல்லாகும். புறக்கணிக்கப்பட்ட பின்னங்களை பின்னர் 1 உடன் எண்ணாக வெளிப்படுத்தலாம், அடுத்த தோராயத்தைப் பெறுவதற்கு வகுப்புகளில் உள்ள பின்னப் பகுதிகள் புறக்கணிக்கப்படுகின்றன. அத்தகைய இரண்டு படிகள் பின்வருமாறுஃ இது அடுத்த இரண்டு தோராயங்களை திருத்த விதிமுறைகளுக்குச் சமமாக வழங்குகிறது மற்றும் மாதவாவுக்குக் காரணம். மாதவ தொடர் மாதவாவின் சைன் அட்டவணை குறிப்புகள் கூடுதல் வாசிப்பு பை கணக்கீட்டு வரலாறு கேரள வானியல் மற்றும் கணிதப் பள்ளி கணிதத் தொடர்