Artin–Verdier duality
கணிதத்தில், ஆர்ட்டின்-வெர்டியர் டூயலிட்டி என்பது இயற்கணித எண்களின் வளையத்தின் நிறமாலையின் மீது கட்டமைக்கக்கூடிய அபெலியன் உறைகளுக்கான டூயலிட்டி தேற்றமாகும், இது அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது, இது டேட் டூயலிட்டியை பொதுமைப்படுத்துகிறது. ஈட்டேல் (அல்லது தட்டையான) கோஹோமோலஜியைப் பொருத்தவரை, ஒரு எண் புலத்தில் உள்ள முழு எண்களின் வளையம் முப்பரிமாண கணிதப் பொருளைப் போல செயல்படுகிறது என்பதை இது காட்டுகிறது. X என்பது முற்றிலும் கற்பனையான எண் புலம் K இல் உள்ள முழு எண்களின் வளையத்தின் நிறமாலையாகவும், F என்பது X இல் கட்டமைக்கக்கூடிய அடேல் அபெலியன் உறையாகவும் இருக்கட்டும். பின்னர் யோனெடா ஜோடி என்பது ஒவ்வொரு முழு எண் r க்கும் வரையறுக்கப்பட்ட அபெலியன் குழுக்களின் சீரழியாத ஜோடியாகும். இங்கே, Hr (X, F) என்பது F இல் உள்ள மதிப்புகளுடன் X திட்டத்தின் r-வது அடுக்கு ஒத்திசைவு குழுவாகும், மேலும் எக்ஸ்ட்ரா (F, G) என்பது X இல் உள்ள அடல் அபெலியன் உறைகளின் பிரிவில் அடல் உறையின் உறையின் உறையின் உறையின் உறவின் உறவின் உறவின் உறவின் உறவின் உறவின் உறவின் உறவின் உறவின் உறவின் உறவின் உறவின் உறவின் உறவின் உறவின் உறவின் உறவின் உறவின் உறவின் உறவின் உறவின் உறவின் உறவின் உறவின் உறவின் உறவின் உறவின் உறவின் உறவின் உறவின் உறவின் உறவின் உறவின் உறவின் உறவின் உறவின் உறவின் உறவின் உறவின் உறவின் உறவின் உறவின் உறவின் உறவின் உறவின் உறவின் உறவின் உறவின் உறவின் உறவின் உறவின் உறவின் உறவின் உறவின் உறவின் உறவின் உறவின் மேலும், ஜிஎம் என்பது எக்ஸ் இன் கட்டமைப்பு உறையில் உள்ள அலகுகளின் அடுக்கு உறையைக் குறிக்கிறது. கட்டமைக்கக்கூடிய ஆர்ட்டின்-வெர்டியர் இரட்டைத்தன்மையை நிரூபித்தது, ஆனால் முறுக்கு உறைகள் அவசியமில்லை. அத்தகைய ஒரு சீஃப் F க்கு, மேலே உள்ள இணைப்பானது ஐசோமார்பிசம்களைத் தூண்டுகிறது, அங்கு ஃபைனைட் பிளாட் குரூப் திட்டங்கள் U என்பது ஒரு எண் புலம் K இல் உள்ள முழு எண்களின் வளையத்தின் ஸ்பெக்ட்ரமின் திறந்த துணைக்குழுவாகவும், F என்பது U மீது ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட பிளாட் கம்யூட்டேடிவ் குரூப் திட்டமாகவும் இருக்கட்டும். பின்னர் கப் தயாரிப்பு அனைத்து முழு எண்களுக்கும் வரையறுக்கப்பட்ட அபெலியன் குழுக்களின் சிதைக்கப்படாத இணைப்பை வரையறுக்கிறது r. இங்கே FD என்பது F இன் கார்டியர் டூயலைக் குறிக்கிறது, இது U க்கு மேல் மற்றொரு வரையறுக்கப்பட்ட தட்டையான பரிமாற்றக் குழு திட்டமாகும். மேலும், தட்டையான அபெலியன் சீஃப் எஃப் இல் உள்ள மதிப்புகளுடன் யு திட்டத்தின் ஆர்-வது தட்டையான கோஹோமோலஜி குழுவாகும், மேலும் தட்டையான அபெலியன் சீஃப் எஃப் இல் உள்ள மதிப்புகளுடன் யு இன் கச்சிதமான ஆதரவுகளுடன் ஆர்-வது தட்டையான கோஹோமோலஜி ஆகும். உள்ளூர் பங்களிப்பு Hr (Kv, F) என்பது v இடத்தில் K இன் ஹென்சலைசேஷன் Kv இன் கலோயிஸ் கோஹோமோலஜி ஆகும், இது ஒரு லா டேட்டை மாற்றியமைத்ததுஃ இங்கே எண் கோட்பாடு டூயலிட்டி கோட்பாடுகளில் குறிப்புகள் தேற்றங்களின் பிரிக்கக்கூடிய மூடல் உள்ளது.