Hardy Cross method
ஹார்டி கிராஸ் முறை என்பது குழாய் நெட்வொர்க் அமைப்புகளில் உள்ள ஓட்டத்தை தீர்மானிப்பதற்கான ஒரு மறு செய்கை முறையாகும், அங்கு உள்ளீடுகள் மற்றும் வெளியீடுகள் அறியப்படுகின்றன, ஆனால் நெட்வொர்க்கிற்குள் ஓட்டம் தெரியவில்லை. இந்த முறை முதன்முதலில் நவம்பர் 1936 இல் அதன் பெயரான ஹார்டி கிராஸ், அர்பானா-சாம்பேனில் உள்ள இல்லினாய்ஸ் பல்கலைக்கழகத்தின் கட்டமைப்பு பொறியியல் பேராசிரியரால் வெளியிடப்பட்டது. ஹார்டி கிராஸ் முறை என்பது மொமெண்ட் டிஸ்ட்ரிபியூஷன் முறையின் தழுவலாகும், இது ஹார்டி கிராஸால் நிலையான தீர்மானிக்கப்படாத கட்டமைப்புகளில் உள்ள சக்திகளை தீர்மானிக்கும் ஒரு வழியாக உருவாக்கப்பட்டது. குழாய் ஓட்ட நெட்வொர்க்குகளை பகுப்பாய்வு செய்வதற்கான ஹார்டி கிராஸ் முறையின் அறிமுகம் நகராட்சி நீர் வழங்கல் வடிவமைப்பில் புரட்சியை ஏற்படுத்தியது. இந்த முறை அறிமுகப்படுத்தப்படுவதற்கு முன்பு, தலை இழப்பு மற்றும் ஓட்டத்திற்கு இடையிலான நேரியல் அல்லாத உறவு காரணமாக விநியோகத்திற்கான சிக்கலான குழாய் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பது மிகவும் கடினமாக இருந்தது. நியூட்டன்-ராப்சன் முறை அல்லது பிற எண் முறைகளைப் பயன்படுத்தி கணினி தீர்க்கும் வழிமுறைகளால் இந்த முறை பின்னர் வழக்கற்றுப் போனது, இது நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளை கையால் தீர்க்க வேண்டியதன் அவசியத்தை நீக்குகிறது. 1930 ஆம் ஆண்டில், ஹார்டி கிராஸ் "நிலையான-இறுதி தருணங்களை விநியோகிப்பதன் மூலம் தொடர்ச்சியான பிரேம்களின் பகுப்பாய்வு" என்ற தலைப்பில் ஒரு கட்டுரையை வெளியிட்டார், அதில் அவர் தருணம் விநியோக முறையை விவரித்தார், இது துறையில் பொறியாளர்கள் கட்டமைப்பு பகுப்பாய்வு செய்யும் முறையை மாற்றும். நிலையான உறுதியற்ற கட்டமைப்புகளில் உள்ள சக்திகளைத் தீர்மானிக்க தருணம் விநியோக முறை பயன்படுத்தப்பட்டது, மேலும் 1930 முதல் 1960 வரை கணினி சார்ந்த முறைகளின் வளர்ச்சி வரை பொறியாளர்கள் பாதுகாப்பாக கட்டமைப்புகளை வடிவமைக்க அனுமதித்தது. நவம்பர் 1936 இல், குழாய் நெட்வொர்க் ஓட்ட விநியோக சிக்கல்களைத் தீர்க்க அதே வடிவியல் முறையைப் பயன்படுத்தி கிராஸ், "வழித்தடங்கள் அல்லது கடத்திகளின் நெட்வொர்க்குகளில் ஓட்டத்தின் பகுப்பாய்வு" என்ற கட்டுரையை வெளியிட்டார். வழித்தோன்றல் ஹார்டி கிராஸ் முறை என்பது ஒரு குழாய் வலையமைப்பில் உள்ள ஓட்டங்களுக்கு மீண்டும் மீண்டும் தீர்க்க ஓட்டத்தின் தொடர்ச்சி மற்றும் ஆற்றலின் தொடர்ச்சியின் பயன்பாடாகும். குழாய் ஓட்டத்தைப் பொறுத்தவரை, ஓட்டத்தைப் பாதுகாப்பது என்பது குழாயில் உள்ள ஒவ்வொரு சந்திப்பிலும் வெளியேறும் ஓட்டத்திற்கு சமம் என்பதாகும். ஆற்றலைப் பாதுகாப்பது என்பது அமைப்பில் உள்ள எந்தவொரு சுழற்சியிலும் மொத்த திசைத் தலை இழப்பு பூஜ்ஜியமாகும் (ஓட்டத்திற்கு எதிராக கணக்கிடப்பட்ட தலை இழப்பு உண்மையில் ஒரு தலை ஆதாயமாகும் என்று கருதுகிறது). ஓட்ட நெட்வொர்க்குகளைத் தீர்ப்பதற்கான இரண்டு முறைகளை ஹார்டி கிராஸ் உருவாக்கினார். ஒவ்வொரு முறையும் ஓட்டம் அல்லது ஆற்றலின் தொடர்ச்சியைப் பராமரிப்பதன் மூலம் தொடங்குகிறது, பின்னர் மற்றொன்றுக்கு மீண்டும் மீண்டும் தீர்க்கிறது. ஹார்டி கிராஸ் முறை அமைப்புக்கு உள்ளேயும் வெளியேயும் செல்லும் ஓட்டம் அறியப்பட்டதாகவும், குழாயின் நீளம், விட்டம், கடினத்தன்மை மற்றும் பிற முக்கிய பண்புகளும் அறியப்பட்டதாகவும் அல்லது கருதப்படலாம் என்றும் கருதுகிறது. ஓட்ட விகிதத்திற்கும் தலை இழப்புக்கும் இடையிலான உறவு அறியப்பட்டதாகவும் இந்த முறை கருதுகிறது, ஆனால் இந்த முறைக்கு எந்த குறிப்பிட்ட தொடர்பும் பயன்படுத்த தேவையில்லை. குழாய்கள் வழியாக நீர் ஓட்டம் ஏற்பட்டால், தலை இழப்பு மற்றும் ஓட்டத்திற்கு இடையிலான உறவை தீர்மானிக்க பல முறைகள் உருவாக்கப்பட்டுள்ளன. ஹார்டி கிராஸ் முறை இந்த உறவுகளில் ஏதேனும் ஒன்றைப் பயன்படுத்த அனுமதிக்கிறது. தலை இழப்பு மற்றும் ஓட்டத்திற்கு இடையிலான பொதுவான உறவுஃ இங்கு k என்பது ஒரு அலகு ஓட்டத்திற்கு தலை இழப்பு மற்றும் n என்பது ஓட்ட அடுக்காகும். பெரும்பாலான வடிவமைப்பு சூழ்நிலைகளில் குழாயின் நீளம், விட்டம் மற்றும் கடினத்தன்மை போன்ற k ஐ உருவாக்கும் மதிப்புகள் அறியப்படுகின்றன அல்லது கருதப்படுகின்றன, இதனால் நெட்வொர்க்கில் உள்ள ஒவ்வொரு குழாய்க்கும் k இன் மதிப்பை தீர்மானிக்க முடியும். k ஐ உருவாக்கும் மதிப்புகள் மற்றும் n இன் மதிப்பு தலை இழப்பைத் தீர்மானிக்கப் பயன்படுத்தப்படும் உறவைப் பொறுத்து மாறுகிறது. இருப்பினும், அனைத்து உறவுகளும் ஹார்டி கிராஸ் முறையுடன் இணக்கமாக உள்ளன. எளிய சுற்றுகள் மற்றும் பிற ஓட்டம் போன்ற சூழ்நிலைகளைத் தீர்க்க ஹார்டி கிராஸ் முறையைப் பயன்படுத்தலாம் என்பதும் கவனிக்கத்தக்கது. எளிய சுற்றுகள் விஷயத்தில், இதற்கு சமம். குணகம் k முதல் K வரை அமைப்பதன் மூலம், ஓட்ட விகிதம் Q முதல் I வரை மற்றும் அடுக்கு n முதல் 1 வரை அமைப்பதன் மூலம், ஹார்டி கிராஸ் முறையை ஒரு எளிய சுற்றுக்கு தீர்க்க பயன்படுத்தலாம். இருப்பினும், மின்னழுத்த வீழ்ச்சிக்கும் மின்னோட்டத்திற்கும் இடையிலான உறவு நேரியல் என்பதால், ஹார்டி கிராஸ் முறை அவசியமில்லை, மேலும் சுற்றுவட்டத்தை மீண்டும் மீண்டும் செய்யாத முறைகளைப் பயன்படுத்தி தீர்க்க முடியும். தலைகளை சமநிலைப்படுத்தும் முறை தலைகளை சமநிலைப்படுத்தும் முறை ஒரு ஆரம்ப யூகத்தைப் பயன்படுத்துகிறது, இது ஒவ்வொரு சந்திப்பிலும் ஓட்டத்தின் தொடர்ச்சியை திருப்திப்படுத்துகிறது, பின்னர் அமைப்பில் உள்ள ஒவ்வொரு சுழற்சியிலும் ஆற்றலின் தொடர்ச்சியும் அடையப்படும் வரை ஓட்டங்களை சமநிலைப்படுத்துகிறது. ஆதாரம் (r என்பது k ஐக் குறிக்கிறது) பின்வரும் ஆதாரம் ஹார்டி கிராஸின் "வழித்தடங்கள் அல்லது கடத்திகளின் நெட்வொர்க்குகளில் ஓட்டத்தின் பகுப்பாய்வு" என்ற கட்டுரையிலிருந்து எடுக்கப்பட்டது, மேலும் தொழில்நுட்ப மேம்பட்ட கற்றல் நீர் மற்றும் கழிவுநீர் பொறியியல் பக்கம் மற்றும் ராபர்ட் ஜே. ஹாக்டலனின் ஹைட்ராலிக் பொறியியல் அமைப்புகளின் அடிப்படைகள் குறித்த தேசிய திட்டத்தால் சரிபார்க்கப்படலாம். ஒவ்வொரு குழாயிலும் உள்ள ஓட்ட விகிதங்களின் ஆரம்ப யூகம் சரியாக இருந்தால், அமைப்பில் ஒரு வளையத்தின் மீது தலையில் ஏற்படும் மாற்றம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும். இருப்பினும், ஆரம்ப யூகம் சரியாக இல்லை என்றால், தலை மாற்றம் பூஜ்ஜியமற்றதாக இருக்கும் மற்றும் ஓட்டத்தில் மாற்றம் பயன்படுத்தப்பட வேண்டும். புதிய ஓட்ட விகிதம் என்பது பழைய ஓட்ட விகிதம் மற்றும் ஓட்ட விகிதத்தில் சில மாற்றங்கள் ஆகியவற்றின் கூட்டுத்தொகையாகும், அதாவது வளையத்தின் மேல் உள்ள தலை மாற்றம் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும். புதிய வளையத்தின் மீது தலை மாற்றத்தின் கூட்டுத்தொகை பின்னர் இருக்கும். டெய்லர் விரிவாக்கத்தைப் பயன்படுத்தி மதிப்பை தோராயமாக மதிப்பிடலாம். கூடுதல் சொற்களுடன் ஒப்பிடும்போது ஒரு சிறியதற்கு மறைந்துவிடும், விட்டுச்செல்லும்ஃ மற்றும் லூப் மீது தலையை சமநிலைப்படுத்தும் ஓட்டத்தில் ஏற்படும் மாற்றம் தோராயமாக மூலம் மதிப்பிடப்படுகிறது. இருப்பினும், டெய்லர் விரிவாக்கத்திலிருந்து புறக்கணிக்கப்பட்ட விதிமுறைகளின் காரணமாக இது ஒரு தோராயமாக மட்டுமே உள்ளது. வளையத்தின் மேல் உள்ள தலை மாற்றம் பூஜ்ஜியமாக இருக்காது, ஆனால் இது ஆரம்ப யூகத்தை விட சிறியதாக இருக்கும். புதிய ஒன்றைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான பல மறு செய்கைகள் சரியான தீர்வை தோராயமாக மதிப்பிடும். செயல்முறை செயல்முறை பின்வருமாறுஃ ஒவ்வொரு குழாயிலும் உள்ள ஓட்டங்களை யூகிக்கவும், ஓட்டத்தில் உள்ள மொத்த ஓட்டம் ஒவ்வொரு சந்திப்பிலும் உள்ள மொத்த வெளியேறும் ஓட்டத்திற்கு சமம் என்பதை உறுதிப்படுத்தவும். (யூகம் நன்றாக இருக்க வேண்டியதில்லை, ஆனால் ஒரு நல்ல யூகம் தீர்வைக் கண்டுபிடிக்க எடுக்கும் நேரத்தைக் குறைக்கும்.) கணினியில் உள்ள ஒவ்வொரு மூடிய வளையத்தையும் தீர்மானிக்கவும். ஒவ்வொரு சுழற்சிக்கும், கடிகார திசையில் தலை இழப்புகள் மற்றும் எதிர் கடிகார திசையில் தலை இழப்புகளை தீர்மானிக்கவும். ஒவ்வொரு குழாயிலும் தலை இழப்பு கணக்கிடப்படுகிறது. கடிகார திசையில் தலை இழப்புகள் கடிகார திசையில் பாய்வதால் ஏற்படுகின்றன, அதேபோல் எதிர் கடிகார திசையிலும். கடிகார திசையில் தலை இழப்பிலிருந்து எதிர் கடிகார திசையில் தலை இழப்பைக் கழிப்பதன் மூலம், ஒவ்வொரு சுழற்சியிலும் மொத்த தலை இழப்பைத் தீர்மானிக்கவும். ஒவ்வொரு வளையத்திற்கும், திசையைக் குறிப்பிடாமல் கண்டுபிடிக்கவும் (அனைத்து மதிப்புகளும் நேர்மறையாக இருக்க வேண்டும்). ஓட்டத்தில் ஏற்படும் மாற்றம் இதற்கு சமம். ஓட்டத்தில் மாற்றம் நேர்மறையாக இருந்தால், எதிரெதிர் கடிகார திசையில் வளையத்தின் அனைத்து குழாய்களிலும் அதைப் பயன்படுத்துங்கள். ஓட்டத்தில் மாற்றம் எதிர்மறையாக இருந்தால், கடிகார திசையில் வளையத்தின் அனைத்து குழாய்களிலும் அதைப் பயன்படுத்துங்கள். ஓட்டத்தில் மாற்றம் திருப்திகரமான வரம்பிற்குள் இருக்கும் வரை படி 3 இலிருந்து தொடரவும். ஓட்டங்களை சமநிலைப்படுத்தும் முறை (பகுதி முழுமையடையாதது) ஓட்டங்களை சமநிலைப்படுத்தும் முறை ஒரு ஆரம்ப யூகத்தைப் பயன்படுத்துகிறது, இது ஒவ்வொரு சுழற்சியிலும் ஆற்றலின் தொடர்ச்சியை திருப்திப்படுத்துகிறது, பின்னர் ஒவ்வொரு சந்திப்பிலும் ஓட்டத்தின் தொடர்ச்சியை அடையும் வரை ஓட்டங்களை சமநிலைப்படுத்துகிறது. ஹார்டி கிராஸ் முறையின் நன்மைகள் எளிய கணிதம் ஹார்டி கிராஸ் முறை பயனுள்ளதாக இருக்கும், ஏனெனில் இது எளிய கணிதத்தை மட்டுமே நம்பியுள்ளது, இது சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்க வேண்டியதன் அவசியத்தைத் தவிர்க்கிறது. ஹார்டி கிராஸ் முறைகள் இல்லாமல், பொறியாளர்கள் கையால் எளிதில் தீர்க்க முடியாத மாறி அடுக்குகளுடன் சிக்கலான சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளை தீர்க்க வேண்டும். ஹார்டி கிராஸ் முறை சிக்கலைத் தீர்க்கப் பயன்படுத்தப்படும் ஆரம்ப யூகத்தில் உள்ள தவறுகளை மீண்டும் மீண்டும் சரிசெய்கிறது. கணக்கீட்டில் அடுத்தடுத்த தவறுகளும் மீண்டும் மீண்டும் சரிசெய்யப்படுகின்றன. முறை சரியாக பின்பற்றப்பட்டால், செயல்பாட்டில் சிறிய கணித பிழைகள் தொடர்ந்து செய்யப்பட்டால் ஒவ்வொரு குழாயிலும் சரியான ஓட்டத்தைக் காணலாம். கடைசி சில மறு செய்கைகள் விவரங்களுக்கு கவனம் செலுத்தும் வரை, தீர்வு இன்னும் சரியாக இருக்கும். உண்மையில், கணக்கீடுகளை விரைவாக இயக்க முறையின் ஆரம்ப மறு செய்கைகளில் வேண்டுமென்றே தசமங்களை விட்டுவிட முடியும். எடுத்துக்காட்டு ஒரு குழாய் வலையமைப்பில் ஓட்ட விநியோகத்தைக் கணக்கிட ஹார்டி கிராஸ் முறையைப் பயன்படுத்தலாம். வலதுபுறத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள எளிய குழாய் ஓட்ட நெட்வொர்க்கின் உதாரணத்தைக் கவனியுங்கள். இந்த எடுத்துக்காட்டுக்கு, உள்ளேயும் வெளியேயும் பாய்வுகள் வினாடிக்கு 10 லிட்டர்களாக இருக்கும். n ஐ 2 ஆகவும், ஒரு யூனிட் ஓட்டத்திற்கு தலை இழப்பு r ஆகவும், ஒவ்வொரு குழாய்க்கும் ஆரம்ப ஓட்ட யூகம் பின்வருமாறு கருதுவோம்ஃ மேலே உள்ள முறை செயல்பாட்டில் கோடிட்டுக் காட்டப்பட்ட படிகளைப் பின்பற்றி, தலைகளை சமநிலைப்படுத்தும் முறையின் மூலம் நெட்வொர்க்கைத் தீர்க்கிறோம். 1. ஆரம்ப யூகங்கள் அமைக்கப்பட்டுள்ளன, இதனால் நெட்வொர்க்கில் உள்ள ஒவ்வொரு சந்திப்பிலும் ஓட்டத்தின் தொடர்ச்சி பராமரிக்கப்படுகிறது. 2. அமைப்பின் சுழல்கள் லூப் 1-2-3 மற்றும் லூப் 2-3-4 என அடையாளம் காணப்படுகின்றன. 3. ஒவ்வொரு குழாயிலும் தலை இழப்புகள் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன. வளையத்திற்கு 1-2-3, கடிகார திசையில் தலை இழப்புகளின் கூட்டுத்தொகை 25 ஆகவும், எதிர் கடிகார திசையில் தலை இழப்புகளின் கூட்டுத்தொகை 125 ஆகவும் இருக்கும். வளையத்திற்கு 2-3-4, கடிகார திசையில் தலை இழப்புகளின் கூட்டுத்தொகை 125 மற்றும் எதிர் கடிகார திசையில் தலை இழப்புகளின் கூட்டுத்தொகை 25 ஆகும். 4. சுழற்சியில் மொத்த கடிகார திசையில் தலை இழப்பு 1-2-3 ஆகும். சுழற்சியில் மொத்த கடிகார திசையில் தலை இழப்பு 2-3-4 ஆகும். 5. இதன் மதிப்பு ஒவ்வொரு வளையத்திற்கும் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி, இது இரண்டு சுழல்களிலும் (சமச்சீர் காரணமாக) 60 ஆக இருப்பது கண்டறியப்பட்டுள்ளது. 6. சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தி ஒவ்வொரு வளையத்திற்கும் ஓட்டத்தில் மாற்றம் காணப்படுகிறது. வளையத்திற்கு 1-2-3, ஓட்டத்தில் ஏற்படும் மாற்றம் சமம் மற்றும் வளையத்திற்கு 2-3-4 ஓட்டத்தில் ஏற்படும் மாற்றம் சமம். 7. ஓட்டத்தில் ஏற்படும் மாற்றம் சுழல்கள் முழுவதும் பயன்படுத்தப்படுகிறது. வளையத்திற்கு 1-2-3, ஓட்டத்தில் ஏற்படும் மாற்றம் எதிர்மறையாக இருப்பதால் அதன் முழுமையான மதிப்பு கடிகார திசையில் பயன்படுத்தப்படுகிறது. வளையத்திற்கு 2-3-4, ஓட்டத்தில் மாற்றம் நேர்மறையானது, எனவே அதன் முழுமையான மதிப்பு எதிர் கடிகார திசையில் பயன்படுத்தப்படுகிறது. இரண்டு சுழல்களிலும் உள்ள குழாய் 2-3 க்கு, ஓட்டத்தில் ஏற்படும் மாற்றங்கள் ஒட்டுமொத்தமாக இருக்கும். இந்த செயல்முறை படி 3 இலிருந்து ஓட்டத்தில் மாற்றம் போதுமான அளவு சிறியதாக அல்லது பூஜ்ஜியத்திற்கு செல்லும் வரை மீண்டும் நிகழ்கிறது. 3. லூப் 1-2-3 இல் மொத்த தலை இழப்பு என்பது கடிகார திசையில் தலை இழப்பு எதிர் கடிகார திசையில் தலை இழப்புக்கு சமம் என்பதைக் கவனியுங்கள். இதன் பொருள் இந்த வளையத்தில் ஓட்டம் சமநிலையானது மற்றும் ஓட்டம் விகிதங்கள் சரியானவை. சுழற்சி 2-3-4 இல் உள்ள மொத்த தலை இழப்பும் சமநிலையாக இருக்கும் (மீண்டும் சமச்சீர் காரணமாக). இந்த வழக்கில், முறை ஒரு மறு செய்கையில் சரியான தீர்வை கண்டறிந்தது. மற்ற நெட்வொர்க்குகளுக்கு, குழாய்களில் உள்ள ஓட்டங்கள் சரியானவை அல்லது தோராயமாக சரியானவை வரை பல மறு செய்கைகளை எடுக்கலாம். மேலும் காண்க குழாய் நெட்வொர்க் பகுப்பாய்வு தருண விநியோக முறை குறிப்புகள் ஹைட்ராலிக் பொறியியல்