Finite geometry
ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட வடிவியல் என்பது வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான புள்ளிகளைக் கொண்ட எந்தவொரு வடிவியல் அமைப்பாகும். நன்கு அறியப்பட்ட யூக்ளிடிய வடிவியல் வரையறுக்கப்படவில்லை, ஏனென்றால் யூக்ளிடியன் கோடு எண்ணற்ற பல புள்ளிகளைக் கொண்டுள்ளது. கணினி திரையில் காட்டப்படும் கிராபிக்ஸ் அடிப்படையிலான வடிவியல், பிக்சல்கள் புள்ளிகளாக கருதப்படும் இடத்தில், ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட வடிவவியலாக இருக்கும். வரையறுக்கப்பட்ட வடிவவியல்கள் என்று அழைக்கப்படக்கூடிய பல அமைப்புகள் இருந்தாலும், அவற்றின் ஒழுங்குமுறை மற்றும் எளிமை காரணமாக வரையறுக்கப்பட்ட ப்ரொஜெக்டிவ் மற்றும் அஃபைன் ஸ்பேஸ்களுக்கு பெரும்பாலும் கவனம் செலுத்தப்படுகிறது. வரையறுக்கப்பட்ட வடிவவியலின் பிற குறிப்பிடத்தக்க வகைகள் வரையறுக்கப்பட்ட மோபியஸ் அல்லது தலைகீழ் விமானங்கள் மற்றும் லாகூர் விமானங்கள் ஆகும், அவை பென்ஸ் விமானங்கள் எனப்படும் பொதுவான வகைக்கு எடுத்துக்காட்டுகளாகும், மேலும் அவற்றின் உயர் வரையறுக்கப்பட்ட தலைகீழ் வடிவவியல்கள் போன்ற உயர் பரிமாண ஒப்புமைகள் ஆகும். வரையறுக்கப்பட்ட வடிவவியல்கள் நேரியல் இயற்கணிதம் வழியாக கட்டமைக்கப்படலாம், இது ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட புலத்தின் மீது திசையன் இடைவெளிகளிலிருந்து தொடங்குகிறது; அவ்வாறு கட்டப்பட்ட அஃபைன் மற்றும் ப்ரொஜெக்டிவ் பிளேன்கள் கலோயிஸ் வடிவவியல்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. வரையறுக்கப்பட்ட வடிவவியல்களையும் முற்றிலும் கோட்பாட்டளவில் வரையறுக்கலாம். மிகவும் பொதுவான வரையறுக்கப்பட்ட வடிவவியல்கள் கலோயிஸ் வடிவவியல்கள் ஆகும், ஏனெனில் பரிமாணம் மூன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட எந்தவொரு வரையறுக்கப்பட்ட ப்ரொஜெக்டிவ் இடமும் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட புலத்தின் மீது ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் இடத்திற்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும் (அதாவது, ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட புலத்தின் மீது ஒரு திசையன் இடத்தின் ப்ரொஜெக்டிவைசேஷன்). இருப்பினும், பரிமாணம் இரண்டு கலோயிஸ் வடிவவியலுக்கு ஐசோமார்பிக் இல்லாத அஃபைன் மற்றும் ப்ரொஜெக்டிவ் பிளேன்களைக் கொண்டுள்ளது, அதாவது டெசார்க்யூசியன் அல்லாத பிளேன்கள். இதே போன்ற முடிவுகள் மற்ற வகையான வரையறுக்கப்பட்ட வடிவவியல்களுக்கும் பொருந்தும். பின்வரும் குறிப்புகள் வரையறுக்கப்பட்ட தளங்களுக்கு மட்டுமே பொருந்தும். வரையறுக்கப்பட்ட விமான வடிவவியலில் இரண்டு முக்கிய வகைகள் உள்ளனஃ அஃபைன் மற்றும் ப்ரொஜெக்டிவ். ஒரு அஃபைன் தளத்தில், இணையான கோடுகளின் இயல்பான உணர்வு பொருந்தும். ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் பிளேனில், இதற்கு மாறாக, எந்த இரண்டு கோடுகளும் ஒரு தனித்துவமான புள்ளியில் வெட்டுகின்றன, எனவே இணையான கோடுகள் இல்லை. வரையறுக்கப்பட்ட அஃபைன் பிளேன் வடிவியல் மற்றும் வரையறுக்கப்பட்ட ப்ரொஜெக்டிவ் பிளேன் வடிவியல் ஆகிய இரண்டும் மிகவும் எளிமையான கோட்பாடுகளால் விவரிக்கப்படலாம். ஃபைனைட் அஃபைன் பிளேன்கள் ஒரு அஃபைன் பிளேன் வடிவியல் என்பது ஒரு காலியாக இல்லாத தொகுப்பு X (அதன் கூறுகள் "புள்ளிகள்" என்று அழைக்கப்படுகின்றன), X இன் துணைக்குழுக்களின் காலியாக இல்லாத தொகுப்பு L உடன் (அதன் கூறுகள் "கோடுகள்" என்று அழைக்கப்படுகின்றன), அதாவதுஃ ஒவ்வொரு இரண்டு தனித்துவமான புள்ளிகளுக்கும், இரண்டு புள்ளிகளையும் கொண்ட ஒரு கோடு சரியாக உள்ளது. பிளேஃபேரின் கோட்பாடுஃ ஒரு கோடு மற்றும் ஒரு புள்ளி இல்லாத நிலையில், நான்கு புள்ளிகளின் தொகுப்பு உள்ளது, அவற்றில் மூன்று ஒரே வரியைச் சேர்ந்தவை அல்ல. கடைசி கோட்பாடு வடிவியல் அற்பமானது அல்ல என்பதை உறுதிசெய்கிறது (வெற்று அல்லது ஆர்வமாக இருக்க மிகவும் எளிமையானது, அதாவது தன்னிச்சையான எண்ணிக்கையிலான புள்ளிகளைக் கொண்ட ஒரு வரி போன்றவை), அதே நேரத்தில் முதல் இரண்டு வடிவவியலின் தன்மையைக் குறிப்பிடுகின்றன. எளிமையான அஃபைன் தளம் நான்கு புள்ளிகளை மட்டுமே கொண்டுள்ளது; இது வரிசை 2 இன் அஃபைன் தளம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. (ஒரு அஃபைன் தளத்தின் வரிசை என்பது எந்தக் கோடிலும் உள்ள புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை, கீழே காண்க.) எந்த மூன்றும் கொலினியர் அல்ல என்பதால், எந்த ஜோடி புள்ளிகளும் ஒரு தனித்துவமான கோட்டை தீர்மானிக்கின்றன, எனவே இந்த தளம் ஆறு கோடுகளைக் கொண்டுள்ளது. இது ஒரு டெட்ராஹெட்ரானுடன் ஒத்திருக்கிறது, அங்கு வெட்டப்படாத விளிம்புகள் "இணையாக" கருதப்படுகின்றன, அல்லது எதிர் பக்கங்கள் மட்டுமல்ல, மூலைவிட்டங்களும் "இணையாக" கருதப்படும் ஒரு சதுரம். வரிசை 3 இன் அஃபைன் தளம் ஹெஸ்ஸி உள்ளமைவு என்று அழைக்கப்படுகிறது. மேலும் பொதுவாக, n வரிசையின் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட அஃபைன் தளம் n2 புள்ளிகள் மற்றும் கோடுகளைக் கொண்டுள்ளது; ஒவ்வொரு வரியும் n புள்ளிகளைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் ஒவ்வொரு புள்ளியும் கோடுகளில் உள்ளது. ஃபைனைட் ப்ரொஜெக்டிவ் பிளேன்கள் ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் பிளேன் வடிவியல் என்பது ஒரு காலியாக இல்லாத தொகுப்பு X (அதன் கூறுகள் "புள்ளிகள்" என்று அழைக்கப்படுகின்றன), X இன் துணைக்குழுக்களின் காலியாக இல்லாத தொகுப்பு L உடன் (அதன் கூறுகள் "கோடுகள்" என்று அழைக்கப்படுகின்றன), அதாவதுஃ ஒவ்வொரு இரண்டு தனித்துவமான புள்ளிகளுக்கும், இரண்டு புள்ளிகளையும் கொண்ட ஒரு கோடு சரியாக உள்ளது. ஏதேனும் இரண்டு தனித்துவமான கோடுகளின் குறுக்குவெட்டு சரியாக ஒரு புள்ளியைக் கொண்டுள்ளது. நான்கு புள்ளிகளின் தொகுப்பு உள்ளது, அவற்றில் மூன்று ஒரே கோட்டைச் சேர்ந்தவை அல்ல. புள்ளிகள் மற்றும் கோடுகளின் பாத்திரங்கள் ஒன்றோடொன்று மாற்றப்பட்டுள்ளன என்பதைத் தவிர, முதல் இரண்டு கோட்பாடுகளின் ஆய்வு அவை கிட்டத்தட்ட ஒரே மாதிரியானவை என்பதைக் காட்டுகிறது. இது ப்ரொஜெக்டிவ் பிளேன் வடிவவியலுக்கான இரட்டைத்தன்மையின் கொள்கையை பரிந்துரைக்கிறது, அதாவது கோடுகளுக்கு புள்ளிகளையும் புள்ளிகளுக்கு கோடுகளையும் பரிமாறிக்கொண்டால் இந்த வடிவவியல்கள் அனைத்திலும் செல்லுபடியாகும் எந்தவொரு உண்மையான அறிக்கையும் உண்மையாகவே இருக்கும். மூன்று கோட்பாடுகளையும் திருப்திப்படுத்தும் மிகச்சிறிய வடிவியல் ஏழு புள்ளிகளைக் கொண்டுள்ளது. இந்த எளிமையான ப்ரொஜெக்டிவ் பிளேன்களில், ஏழு கோடுகளும் உள்ளன; ஒவ்வொரு புள்ளியும் மூன்று கோடுகளில் உள்ளன, மேலும் ஒவ்வொரு வரியும் மூன்று புள்ளிகளைக் கொண்டுள்ளது. இந்த குறிப்பிட்ட ப்ரொஜெக்டிவ் பிளேன் சில நேரங்களில் ஃபானோ பிளேன் என்று அழைக்கப்படுகிறது. அந்த கோட்டில் உள்ள புள்ளிகளுடன் ஏதேனும் கோடுகள் தளத்திலிருந்து அகற்றப்பட்டால், இதன் விளைவாக வரும் வடிவியல் வரிசை 2 இன் அஃபைன் தளமாகும். ஃபானோ தளம் வரிசை 2 இன் ப்ரொஜெக்டிவ் தளம் என்று அழைக்கப்படுகிறது, ஏனெனில் இது தனித்துவமானது (ஐசோமார்பிசம் வரை). பொதுவாக, n வரிசையின் ப்ரொஜெக்டிவ் பிளேன் n2 + n + 1 புள்ளிகளையும் அதே எண்ணிக்கையிலான கோடுகளையும் கொண்டுள்ளது; ஒவ்வொரு வரியும் n + 1 புள்ளிகளைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் ஒவ்வொரு புள்ளியும் n + 1 கோடுகளில் உள்ளது. ஃபானோ தளத்தின் ஏழு புள்ளிகளின் வரிசைமாற்றமானது கொலினியர் புள்ளிகளுக்கு கொலினியர் புள்ளிகளை (அதே கோட்டில் உள்ள புள்ளிகள்) கொண்டு செல்கிறது, இது தளத்தின் கொலினேஷன் என்று அழைக்கப்படுகிறது. முழு கொலினேஷன் குழு 168 வரிசையில் உள்ளது மற்றும் பி. எஸ். எல் (2,7) ≈ பி. எஸ். எல் (3,2) குழுவிற்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும், இது இந்த சிறப்பு வழக்கில் பொதுவான நேரியல் குழுவிற்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும். n வரிசையின் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட தளம் என்பது ஒவ்வொரு வரியும் n புள்ளிகளைக் கொண்டிருக்கும் (ஒரு அஃபைன் தளத்திற்கு), அல்லது ஒவ்வொரு வரியும் n + 1 புள்ளிகளைக் கொண்டிருக்கும் (ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் தளத்திற்கு). வரையறுக்கப்பட்ட வடிவவியலில் ஒரு முக்கிய திறந்த கேள்விஃ ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட தளத்தின் வரிசை எப்போதும் ஒரு பகா சக்தியா? இது உண்மை என்று அனுமானிக்கப்படுகிறது. n ஒரு பகா சக்தியாக (ஒரு பகா எண் ஒரு நேர்மறை முழு எண் அடுக்குக்கு உயர்த்தப்படும்) இருக்கும்போதெல்லாம், உறுப்புகளுடன் வரையறுக்கப்பட்ட புலத்தின் மீது அஃபைன் மற்றும் ப்ரொஜெக்டிவ் தளங்களைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் n வரிசையின் அஃபைன் மற்றும் ப்ரொஜெக்டிவ் தளங்கள் உள்ளன. வரையறுக்கப்பட்ட புலங்களிலிருந்து பெறப்படாத விமானங்களும் உள்ளன (எ. கா. for), ஆனால் அறியப்பட்ட அனைத்து எடுத்துக்காட்டுகளும் ஒரு முதன்மை சக்தியைக் கொண்டுள்ளன. 1949 ஆம் ஆண்டின் ப்ரூக்-ரைசர் தேற்றம் இன்றுவரை சிறந்த பொதுவான முடிவாகும், இது பின்வருமாறு கூறுகிறதுஃ n என்பது வடிவத்தின் நேர்மறை முழு எண் அல்லது n என்பது இரண்டு முழு எண் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இல்லாவிட்டால், n ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட தளத்தின் வரிசையாக ஏற்படாது. ஒரு பகா சக்தி அல்லாத மற்றும் ப்ரூக்-ரைசர் தேற்றத்தால் உள்ளடக்கப்படாத மிகச்சிறிய முழு எண் 10 ஆகும்; 10 என்பது வடிவத்தில் உள்ளது, ஆனால் இது வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம். வரிசை 10 இன் வரையறுக்கப்பட்ட தளம் இல்லாதது 1989 இல் முடிவடைந்த கணினி உதவி ஆதாரத்தில் நிரூபிக்கப்பட்டது-விவரங்களுக்கு பார்க்கவும். கருத்தில் கொள்ள வேண்டிய அடுத்த மிகச்சிறிய எண் 12 ஆகும், இதற்கு நேர்மறை அல்லது எதிர்மறை முடிவு நிரூபிக்கப்படவில்லை. தாமஸ் பெனிங்டன் கிர்க்மேன் (1847) மற்றும் வான் ஸ்டாட் (1856) வழங்கிய வரையறுக்கப்பட்ட திட்ட வடிவவியலின் முறையான வளர்ச்சியில் தனிப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகளைக் காணலாம். வரையறுக்கப்பட்ட திட்ட வடிவவியலின் முதல் தன்னியக்க சிகிச்சை இத்தாலிய கணிதவியலாளர் ஜினோ ஃபானோவால் உருவாக்கப்பட்டது. அவர் உருவாக்கிய திட்டவட்டமான n-இடத்திற்கான கோட்பாடுகளின் தொகுப்பின் சுதந்திரத்தை நிரூபிக்கும் தனது பணியில், 15 புள்ளிகள், 35 கோடுகள் மற்றும் 15 விமானங்களைக் கொண்ட ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட முப்பரிமாண இடத்தை அவர் கருதினார் (வரைபடத்தைப் பார்க்கவும்), இதில் ஒவ்வொரு வரியும் மூன்று புள்ளிகளை மட்டுமே கொண்டிருந்தது அதில். 1906 ஆம் ஆண்டில் ஓஸ்வால்ட் வெப்லென் மற்றும் டபிள்யூ. எச். புஸ்ஸி ஆகியோர் காலோயிஸ் புலம் GF (q) இன் உள்ளீடுகளுடன் ஒரே மாதிரியான ஆயத்தொகுதிகளைப் பயன்படுத்தி ப்ரொஜெக்டிவ் வடிவவியலை விவரித்தனர். n + 1 ஆயத்தொலைவுகள் பயன்படுத்தப்படும்போது, n-பரிமாண வரையறுக்கப்பட்ட வடிவியல் பிஜி (n, q) என்று குறிக்கப்படுகிறது. இது செயற்கை வடிவவியலில் எழுகிறது மற்றும் அதனுடன் தொடர்புடைய மாற்றக் குழுவைக் கொண்டுள்ளது. 3 அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட பரிமாணங்களின் வரையறுக்கப்பட்ட இடைவெளிகள் வரையறுக்கப்பட்ட தள வடிவவியலுக்கும் உயர் பரிமாண வரையறுக்கப்பட்ட இடைவெளிகளின் வடிவவியலுக்கும் இடையிலான சில முக்கியமான வேறுபாடுகளுக்கு, தன்னியக்க ப்ரொஜெக்டிவ் ஸ்பேஸைப் பார்க்கவும். பொதுவாக உயர் பரிமாண வரையறுக்கப்பட்ட இடைவெளிகள் பற்றிய விவாதத்திற்கு, எடுத்துக்காட்டாக, ஜே. டபிள்யூ. பி. யின் படைப்புகளைப் பார்க்கவும். ஹிர்ஷ்ஃபீல்ட். இந்த உயர் பரிமாண இடைவெளிகள் () பற்றிய ஆய்வு மேம்பட்ட கணிதக் கோட்பாடுகளில் பல முக்கியமான பயன்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளது. ஒரு திட்ட இடைவெளி S ஐ ஒரு தொகுப்பு P (புள்ளிகளின் தொகுப்பு) என்று கோட்பாட்டளவில் வரையறுக்கலாம், P இன் துணைக்குழுக்களின் தொகுப்பு L (கோடுகளின் தொகுப்பு) உடன் சேர்ந்து, இந்த கோட்பாடுகளை திருப்திப்படுத்துகிறதுஃ ஒவ்வொரு இரண்டு தனித்துவமான புள்ளிகள் p மற்றும் q சரியாக ஒரே வரியில் உள்ளன. வெப்லனின் கோட்பாடுஃ a, b, c, d தனித்துவமான புள்ளிகள் மற்றும் ab மற்றும் cd வழியாக கோடுகள் சந்தித்தால், AC மற்றும் bd வழியாக கோடுகள் அவ்வாறு செய்யுங்கள். எந்தவொரு வரியும் குறைந்தது 3 புள்ளிகளைக் கொண்டிருக்கும். கடைசி கோட்பாடு குறைக்கப்படக்கூடிய நிகழ்வுகளை நீக்குகிறது, அவை தனித்துவமான ப்ரொஜெக்டிவ் இடைவெளிகளில் எந்த இரண்டு புள்ளிகளையும் இணைக்கும் 2-புள்ளி கோடுகளுடன் சேர்ந்து ப்ரொஜெக்டிவ் இடைவெளிகளின் வேறுபட்ட ஒன்றிணைப்பாக எழுதப்படலாம். இன்னும் சுருக்கமாக, இது புள்ளிகளின் தொகுப்பு P, கோடுகளின் தொகுப்பு L மற்றும் எந்த புள்ளிகள் எந்த கோடுகளில் உள்ளன என்பதைக் குறிப்பிடும் ஒரு நிகழ்வு உறவு I ஆகியவற்றைக் கொண்ட ஒரு நிகழ்வு கட்டமைப்பாக வரையறுக்கப்படலாம். ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட திட்ட இடத்தைப் பெறுவதற்கு மேலும் ஒரு கோட்பாடு தேவைப்படுகிறதுஃ புள்ளிகளின் தொகுப்பு P என்பது ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்பாகும். எந்தவொரு வரையறுக்கப்பட்ட ப்ரொஜெக்டிவ் இடத்திலும், ஒவ்வொரு வரியும் ஒரே எண்ணிக்கையிலான புள்ளிகளைக் கொண்டுள்ளன, மேலும் இடத்தின் வரிசை இந்த பொதுவான எண்ணை விட ஒன்று குறைவாக வரையறுக்கப்படுகிறது. X இன் இரண்டு புள்ளிகளைக் கொண்ட எந்தக் கோடும் X இன் துணைக்குழுவாகும் (அதாவது, முற்றிலும் X இல் உள்ளது). முழு இடமும் வெற்று இடமும் எப்போதும் துணை இடங்களாகும். இந்த வடிவத்தின் துணை இடங்களின் கண்டிப்பாக ஏறும் சங்கிலி இருக்கும் மிகப்பெரிய எண் என்றால் இடத்தின் வடிவியல் பரிமாணம் n என்று கூறப்படுகிறதுஃ இயற்கணித கட்டுமானம் அமைப்புகளின் நிலையான இயற்கணித கட்டுமானம் இந்த கோட்பாடுகளை திருப்திப்படுத்துகிறது. ஒரு பிரிவு வளையத்திற்கு டி ஒரு பரிமாண திசையன் இடத்தை டி மீது உருவாக்குகிறது (திசையன் இடைவெளி பரிமாணம் என்பது ஒரு அடிப்படையில் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை). இந்த திசையன் இடத்தின் 1 பரிமாண (ஒற்றை ஜெனரேட்டர்) துணை இடங்களாக P மற்றும் 2 பரிமாண (இரண்டு சுயாதீன ஜெனரேட்டர்கள்) துணை இடங்களாக (திசையன் கூட்டலின் கீழ் மூடப்பட்ட) L இருக்கட்டும். நிகழ்வு என்பது கட்டுப்பாடு. D வரையறுக்கப்பட்டதாக இருந்தால், அது ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட புலம் GF (q) ஆக இருக்க வேண்டும், ஏனெனில் வெடர்பர்னின் சிறிய தேற்றத்தின் படி அனைத்து வரையறுக்கப்பட்ட பிரிவு வளையங்களும் புலங்களாகும். இந்த வழக்கில், இந்த கட்டுமானம் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட திட்ட இடத்தை உருவாக்குகிறது. மேலும், ஒரு திட்ட இடத்தின் வடிவியல் பரிமாணம் குறைந்தது மூன்று என்றால், ஒரு பிரிவு வளையம் உள்ளது, அதில் இருந்து இடத்தை இந்த முறையில் கட்டமைக்க முடியும். இதன் விளைவாக, குறைந்தபட்சம் மூன்று வடிவியல் பரிமாணங்களின் அனைத்து வரையறுக்கப்பட்ட திட்ட இடைவெளிகளும் வரையறுக்கப்பட்ட புலங்களில் வரையறுக்கப்படுகின்றன. அத்தகைய வரையறுக்கப்பட்ட புலத்தின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட திட்ட இடைவெளி ஒரு கோட்டில் புள்ளிகளைக் கொண்டுள்ளது, எனவே வரிசையின் இரண்டு கருத்துகளும் ஒத்துப்போகின்றன. அத்தகைய வரையறுக்கப்பட்ட திட்ட இடைவெளி குறிக்கப்படுகிறது, அங்கு பி. ஜி என்பது திட்ட வடிவவியலைக் குறிக்கிறது, n என்பது வடிவவியலின் வடிவியல் பரிமாணம் மற்றும் q என்பது வடிவவியலை உருவாக்கப் பயன்படுத்தப்படும் வரையறுக்கப்பட்ட புலத்தின் அளவு (வரிசை) ஆகும். பொதுவாக, k-பரிமாண துணை இடங்களின் எண்ணிக்கை பெருக்கத்தால் வழங்கப்படுகிறதுஃ இது ஒரு காஸியன் இருமக் குணகம், ஒரு இருமக் குணகத்தின் q அனலாக் ஆகும். வடிவியல் பரிமாணம் 0 (கோடுகள் இல்லை) மூலம் வரையறுக்கப்பட்ட திட்ட இடைவெளிகளின் வகைப்படுத்தல்ஃ இடைவெளி ஒரு ஒற்றை புள்ளி மற்றும் பொதுவாக புறக்கணிக்கப்படும் அளவுக்கு சீரழிந்துள்ளது. பரிமாணம் 1 (சரியாக ஒரு வரி): அனைத்து புள்ளிகளும் தனித்துவமான கோட்டில் உள்ளன, இது ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் கோடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. பரிமாணம் 2: குறைந்தது 2 கோடுகள் உள்ளன, மேலும் எந்த இரண்டு கோடுகளும் சந்திக்கின்றன. ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் ஸ்பேஸ் என்பது ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் பிளேன் ஆகும். இவை அனைத்தும் a உடன் ஐசோமார்பிக் அல்ல என்பதால் இவற்றை வகைப்படுத்துவது மிகவும் கடினம். டெஸர்க்யூசியன் தளங்கள் (a உடன் ஐசோமார்பிக் கொண்டவை) டெஸர்க்யூஸின் தேற்றத்தை பூர்த்தி செய்கின்றன மற்றும் வரையறுக்கப்பட்ட புலங்களில் ப்ரொஜெக்டிவ் தளங்கள், ஆனால் பல டெஸர்க்யூசியன் அல்லாத தளங்கள் உள்ளன. குறைந்தபட்சம் பரிமாணம் 3: இரண்டு பிரிக்காத கோடுகள் உள்ளன. வெப்லன்-யங் தேற்றம் வரையறுக்கப்பட்ட வழக்கில், வடிவியல் பரிமாணத்தின் ஒவ்வொரு ப்ரொஜெக்டிவ் இடமும் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட புலம் GF (q) மீது n-பரிமாண ப்ரொஜெக்டிவ் இடத்துடன் ஐசோமார்பிக் என்று கூறுகிறது. மிகச்சிறிய திட்டவட்டமான மூன்று-இடைவெளி GF (2) புலத்தின் மீது இருக்கும் மிகச்சிறிய முப்பரிமாண திட்டவட்டமான இடைவெளி PG (3,2) ஆல் குறிக்கப்படுகிறது. இது 15 புள்ளிகள், 35 கோடுகள் மற்றும் 15 விமானங்களைக் கொண்டுள்ளது. ஒவ்வொரு தளத்திலும் 7 புள்ளிகள் மற்றும் 7 கோடுகள் உள்ளன. ஒவ்வொரு வரியிலும் 3 புள்ளிகள் உள்ளன. வடிவவியல்களைப் பொறுத்தவரை, இந்த தளங்கள் ஃபானோ தளத்திற்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும். ஒவ்வொரு புள்ளியும் 7 வரிகளில் உள்ளன. ஒவ்வொரு ஜோடி தனித்துவமான புள்ளிகளும் சரியாக ஒரு கோட்டில் உள்ளன, மேலும் ஒவ்வொரு ஜோடி தனித்துவமான தளங்களும் சரியாக ஒரு கோட்டில் வெட்டுகின்றன. 1892 ஆம் ஆண்டில், ஜினோ ஃபானோ முதன்முதலில் அத்தகைய வரையறுக்கப்பட்ட வடிவவியலைக் கருத்தில் கொண்டார். கிர்க்மேனின் பள்ளி மாணவியர் பிரச்சினை பிஜி (3,2) கிர்க்மேனின் பள்ளி மாணவியர் பிரச்சினையின் தீர்வுக்கான பின்னணியாக எழுகிறது, இது கூறுகிறதுஃ "ஒவ்வொரு நாளும் பதினைந்து பள்ளி மாணவிகள் மூன்று பேர் கொண்ட ஐந்து குழுக்களாக நடந்து செல்கின்றனர். ஒரு வாரத்திற்கு சிறுமிகளின் நடைப்பயணத்தை ஏற்பாடு செய்யுங்கள், இதனால் அந்த நேரத்தில், ஒவ்வொரு ஜோடி சிறுமிகளும் ஒரு குழுவில் ஒரு முறை மட்டுமே ஒன்றாக நடந்து செல்வார்கள். பெண்கள் ஒன்றாக நடக்க 35 வெவ்வேறு சேர்க்கைகள் உள்ளன. வாரத்தில் 7 நாட்களும் உள்ளன, ஒவ்வொரு குழுவிலும் 3 பெண்கள் உள்ளனர். இந்த சிக்கலுக்கான ஏழு ஐசோமார்பிக் அல்லாத தீர்வுகளில் இரண்டை பேக்கிங்ஸ் என்று அழைக்கப்படும் ஃபானோ 3-ஸ்பேஸ், பிஜி (3,2) இல் உள்ள கட்டமைப்புகளின் அடிப்படையில் கூறலாம். ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் இடத்தின் பரவல் என்பது அதன் புள்ளிகளை வேறுபட்ட கோடுகளாகப் பிரிப்பதாகும், மேலும் ஒரு பேக்கிங் என்பது கோடுகளை வேறுபட்ட பரவல்களாக பிரிப்பதாகும். பிஜியில் (3,2), ஒரு ஸ்ப்ரெட் என்பது 15 புள்ளிகளை 5 வேறுபட்ட கோடுகளாக (ஒவ்வொரு வரியிலும் 3 புள்ளிகளுடன்) பிரிப்பதாகும், இதனால் ஒரு குறிப்பிட்ட நாளில் பள்ளி மாணவர்களின் ஏற்பாட்டிற்கு ஒத்திருக்கும். பிஜி (3,2) ஒரு பொதி ஏழு வேறுபட்ட பரவல்களைக் கொண்டுள்ளது, எனவே ஒரு முழு வார ஏற்பாடுகளுக்கு ஒத்திருக்கிறது. பிளாக் டிசைனையும் பார்க்கவும்-ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட ப்ரொஜெக்டிவ் பிளேனின் பொதுமைப்படுத்தல். பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட பலகோண நிகழ்வு வடிவியல் நேரியல் இடைவெளி (வடிவியல்) பலகோணத்திற்கு அருகில் பகுதி வடிவியல் துருவ இடைவெளி குறிப்புகள் குறிப்புகள். வெளிப்புற இணைப்புகள் எரிக் மூர்ஹவுஸின் நிகழ்வு வடிவியல் டெரன்ஸ் தாவோவின் இயற்கணித ஒருங்கிணைந்த வடிவியல் மைக்கேல் கிரீன்பெர்க் வரையறுக்கப்பட்ட வடிவியல் (ஸ்கிரிப்ட்) வரையறுக்கப்பட்ட வடிவியல் வளங்கள் ஜே. டபிள்யூ. பி. ஹிர்ஷ்ஃபீல்ட், வரையறுக்கப்பட்ட வடிவியல் பற்றிய ஆராய்ச்சியாளர் வரையறுக்கப்பட்ட வடிவியல் புத்தகங்கள் வரையறுக்கப்பட்ட வடிவியல் ஏஎம்எஸ் நெடுவரிசைஃ வரையறுக்கப்பட்ட வடிவியல்? காலோயிஸ் வடிவியல் மற்றும் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட பலகோணங்கள், 1998 ஆம் ஆண்டில் தீவிரமான பாடநெறி, மேத்ஓவர்ஃப்ளோவில் ஆர்டர் 12 இன் ப்ரொஜெக்டிவ் பிளேன். ஒருங்கிணைப்புகள்