Gauss's lemma (number theory)
எண் கோட்பாட்டில் காஸின் லெம்மா ஒரு முழு எண் இருபடி எச்சமாக இருக்க ஒரு நிபந்தனையை வழங்குகிறது. இது கணக்கீட்டு ரீதியாக பயனுள்ளதாக இல்லை என்றாலும், இது தத்துவார்த்த முக்கியத்துவத்தைக் கொண்டுள்ளது, இது இருபடி பரஸ்பரத்தின் சில சான்றுகளில் ஈடுபட்டுள்ளது. இது கார்ல் ஃப்ரெட்ரிக் காஸின் மூன்றாவது சான்றாக (1808) இருபடி பரஸ்பர பரிமாற்றத்தில் முதன்முதலில் தோன்றியது, மேலும் அவர் தனது ஐந்தாவது ஆதாரத்தில் (1818) அதை மீண்டும் நிரூபித்தார். லெம்மாவின் கூற்று எந்தவொரு ஒற்றைப்படை பகா எண்ணுக்கும் ஒரு முழு எண்ணாக இருக்கட்டும். முழு எண்கள் மற்றும் அவற்றின் குறைந்த நேர்மறை எச்சங்கள் மாடுலோவைக் கவனியுங்கள். இந்த எச்சங்கள் அனைத்தும் தனித்துவமானவை, எனவே (அவற்றில்) உள்ளன. இதை விட அதிகமாக இருக்கும் இந்த எச்சங்களின் எண்ணிக்கையாக இருக்கட்டும். பின்னர் லெஜெண்டர் சின்னம் எங்கே? எடுத்துக்காட்டு = 11 மற்றும் = 7 ஐ எடுத்துக் கொண்டால், முழு எண்களின் பொருத்தமான வரிசை 7,14,21,28,35 ஆகும். குறைப்பு மாடுலோ 11 க்குப் பிறகு, இந்த வரிசை 7,3,10,6,2 ஆகிறது. இந்த முழு எண்களில் மூன்று 11/2 ஐ விட பெரியவை (அதாவது 6,7 மற்றும் 10), எனவே = 3. அதன்படி காஸின் லெம்மா இது உண்மையில் சரியானது என்று கணித்துள்ளது, ஏனெனில் 7 ஒரு இருபடி எச்சம் மாடுலோ 11 அல்ல. 7, 3, 10, 6, 2 என்ற எச்சங்களின் மேற்கண்ட வரிசையை −4,3, −1, −5,2 என்றும் எழுதலாம். இந்த வடிவத்தில், 11/2 ஐ விட பெரிய முழு எண்கள் எதிர்மறை எண்களாகத் தோன்றும். எஞ்சியுள்ளவற்றின் முழுமையான மதிப்புகள் 1,2,3,4,5 எஞ்சியுள்ளவற்றின் வரிசைமாற்றமாகும் என்பதும் தெளிவாகிறது. ஆதாரம் ஃபெர்மாட்டின் சிறிய தேற்றத்தின் எளிய சான்றுகளில் ஒன்றை நினைவூட்டும் மிகவும் எளிமையான ஆதாரம், மாடுலோ p இன் பெருக்கல் இரண்டு வெவ்வேறு வழிகளில் மதிப்பீடு செய்வதன் மூலம் பெறப்படலாம். ஒருபுறம் இது சமம் இரண்டாவது மதிப்பீடு அதிக உழைப்பை எடுக்கும். பூஜ்ஜியமற்ற எச்ச மாடுலோ என்றால், இருக்க வேண்டிய "முழுமையான மதிப்பை" வரையறுப்போம் பிந்தைய வரம்பில் உள்ள அந்த மடங்குகளை கணக்கிடுவதால், அந்த மடங்குகளுக்கு, முதல் வரம்பில் இருப்பதால், நாம் இப்போது மதிப்புகள் வேறுபட்டவை என்பதைக் கவனிக்க வேண்டும். உண்மையில், நம்மிடம் உள்ளது, ஏனெனில் அது சமமானதாகும். இது கொடுக்கிறது =, ஏனெனில் மற்றும் நேர்மறை குறைந்தபட்ச எச்சங்கள். ஆனால் அவற்றில் சரியாக உள்ளன, எனவே அவற்றின் மதிப்புகள் முழு எண்களின் மறுசீரமைப்பாகும். எனவே, நமது முதல் மதிப்பீட்டுடன் ஒப்பிடுகையில், பூஜ்ஜியமற்ற காரணியை நாம் ரத்து செய்யலாம் மற்றும் நம்மிடம் எஞ்சியிருக்கும் இது விரும்பிய முடிவு, ஏனெனில் யூலரின் அளவுகோலால் இடது கை பக்கம் லெஜெண்டர் சின்னத்திற்கு ஒரு மாற்று வெளிப்பாடு மட்டுமே. பொதுமைப்படுத்தல் எந்தவொரு ஒற்றைப்படை பகா எண்ணுக்கும் ஒரு முழு எண்ணாக இருக்கட்டும். மற்றும் வேறுபட்ட ஒன்றிணைப்பு போன்ற ஒரு தொகுப்பாக இருக்கட்டும். பிறகு, எங்கே. அசல் அறிக்கையில், சான்றுகள் கிட்டத்தட்ட ஒரே மாதிரியானவை. பயன்பாடுகள் காஸின் லெம்மா பலவற்றில் பயன்படுத்தப்படுகிறது, ஆனால் எந்த வகையிலும் அல்ல, இருபடி பரஸ்பர பரிமாற்றத்தின் அறியப்பட்ட சான்றுகள். எடுத்துக்காட்டாக, கோட்டோல்ட் ஐன்ஸ்டீன் காஸின் லெம்மாவைப் பயன்படுத்தி ஒரு ஒற்றைப்படை பகா எண் என்றால் அதை நிரூபித்தார் மற்றும் இருபடி பரஸ்பரத்தை நிரூபிக்க இந்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தினார். வட்ட செயல்பாடுகளை விட நீள்வட்டத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், அவர் கன மற்றும் குவார்டிக் பரஸ்பர விதிகளை நிரூபித்தார். லியோபோல்ட் க்ரோனெக்கர் லெம்மாவைப் பயன்படுத்தி, மாறுதல் மற்றும் உடனடியாக இருபடி பரஸ்பர பரிமாற்றத்தை அளிக்கிறது என்பதைக் காட்டுகிறார். காஸ் லெம்மாவின் உயர் அதிகாரங்கள் பொதுமைப்படுத்தல்கள் அதிக சக்தி எச்ச சின்னங்களைக் கணக்கிட பயன்படுத்தப்படலாம், இது "இரண்டாவது துணைச் சட்டத்தின்" எளிய சான்றுகளாகவும் பயன்படுத்தப்படுகிறது. பிகுவாட்ராடிக் ரெசிப்ரொசிட்டி குறித்த தனது இரண்டாவது மோனோகிராஃபில், காஸ் நான்காவது-சக்தி லெம்மாவைப் பயன்படுத்தி காஸியன் முழு எண்களின் வளையத்தின் பிகுவாட்ராடிக் தன்மைக்கான சூத்திரத்தைப் பெற்றார். அதைத் தொடர்ந்து, கியூபிக் மற்றும் குவார்டிக் பரஸ்பரத்தை நிரூபிக்க ஐன்ஸ்டீன் மூன்றாம் மற்றும் நான்காவது-சக்தி பதிப்புகளைப் பயன்படுத்தினார். n வது சக்தி எச்ச சின்னம் k என்பது முழு எண்களின் வளையத்துடன் கூடிய ஒரு இயற்கணித எண் புலமாக இருக்கட்டும் மற்றும் ஒரு பகா இலட்சியமாக இருக்கட்டும். இன் சிறந்த நெறிமுறை எஞ்சிய வகுப்பு வளையத்தின் கார்டினாலிட்டி என வரையறுக்கப்படுகிறது. பகா எண் என்பதால் இது ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட புலம், எனவே சிறந்த நெறிமுறை. ஒற்றுமையின் ஒரு பழமையான வேர் மற்றும் அது மற்றும் இணை அடிப்படை என்று வைத்துக்கொள்வோம் (அதாவது. ). பின்னர் ஒற்றுமையின் இரண்டு தனித்துவமான வேர்கள் ஒன்றுபட்ட மாடுலோவாக இருக்க முடியாது. இதை முரண்பாடு மூலம் நிரூபிக்க முடியும், அந்த மோடியை கருதுவதன் மூலம் தொடங்குகிறது. அத்தகைய முறை, மற்றும். ஒற்றுமையின் வேர்களின் வரையறையிலிருந்து, மற்றும் வகுப்பதன் மூலம் லெட்டிங் மற்றும் ரெசிடியூஸ் மோட்களை எடுக்கிறது, ஏனெனில் மற்றும் கோப்ரைம், மோடாகும், ஆனால் அனுமானத்தின் கீழ், வலதுபுறத்தில் உள்ள காரணிகளில் ஒன்று பூஜ்ஜியமாக இருக்க வேண்டும். எனவே, இரண்டு தனித்துவமான வேர்கள் ஒரே மாதிரியானவை என்ற அனுமானம் தவறானது. எனவே, அதன் சக்திகளைக் கொண்ட எஞ்சிய வகுப்புகள் அதன் (பெருக்கல்) அலகுகளின் குழுவின் வரிசையின் துணைக்குழுவாகும், எனவே, அதன் வரிசை பல மடங்கு ஆகும், மேலும் இதில் ஃபெர்மாட்டின் தேற்றத்தின் ஒப்புமை உள்ளது. for என்றால், பின்னர் மற்றும் மாடில் இருந்து, நன்கு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது மற்றும் ஒற்றுமையின் ஒரு தனித்துவமான th மூலத்திற்கு ஒத்திருக்கிறது. ஒற்றுமையின் இந்த வேர் th-சக்தி எச்ச சின்னம் என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் இதன் மூலம் குறிக்கப்படுகிறது. 1/n அமைப்புகள் ஒற்றுமையின் th வேர்களின் பெருக்கக் குழுவாக இருக்கட்டும், பின்னர் அதன் கோசெட்டுகளின் பிரதிநிதிகளாக இருக்கட்டும் பின்னர் இது ஒரு சிஸ்டம் மோட் என்று அழைக்கப்படுகிறது வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், தொகுப்பில் எண்கள் உள்ளன, மேலும் இந்த தொகுப்பு லெம்மாவின் அசல் பதிப்பில் பயன்படுத்தப்படும் எண்களுக்கு ஒரு பிரதிநிதி தொகுப்பாக அமைகிறது. ஒரு அமைப்பை உருவாக்குவது நேரடியானதுஃ ஏதேனும் ஒன்றைத் தேர்ந்தெடுங்கள் மற்றும் அதிலிருந்து ஒத்த எண்களை அகற்றுவதற்கான ஒரு பிரதிநிதியாக இருக்கட்டும். முடிவடையும் வரை மீண்டும் செய்ய ஒத்த எண்களைத் தேர்ந்தெடுத்து அகற்றுங்கள். பின்னர் ஒரு சிஸ்டம் மோட் nth பவர்ஸ் காஸின் லெம்மாவுக்கான லெம்மாவை பின்வருமாறு th பவர் ரெசிடுயு சின்னத்திற்கு நீட்டிக்கலாம். ஒற்றுமையின் பழமையான வேர், ஒரு முதன்மை இலட்சியமாக இருக்கட்டும், (அதாவது. பின்னர் ஒவ்வொன்றிற்கும், முழு எண்கள், தனித்துவமான (மட்டு) மற்றும் தனித்துவமான (மட்டு) உள்ளன, அதாவது மற்றும் th-சக்தி எச்ச சின்னம் சூத்திரத்தால் வழங்கப்படுகிறது இருபடி லெஜெண்டர் சின்னத்திற்கான கிளாசிக்கல் லெம்மா சிறப்பு வழக்கு,, என்றால், என்றால். சான்று th-சக்தி லெம்மாவின் சான்று இருபடி லெம்மாவின் சான்றில் பயன்படுத்தப்பட்ட அதே கருத்துக்களைப் பயன்படுத்துகிறது. முழு எண்களின் இருப்பு மற்றும் அவற்றின் தனித்துவம் (மாட்) மற்றும் (மாட்) முறையே ஒரு பிரதிநிதித்துவ தொகுப்பாகும். என்று வைத்துக்கொள்வோம் = =, அதாவது. மற்றும் பின்னர் இரு பக்கங்களும் கோப்ரைம் என்பதால் பிரிக்கலாம், இது ஒரு அமைப்பு என்பதால், குறிக்கிறது மற்றும், இது தொகுப்பின் வரிசைமாற்றத்தைக் காட்டுகிறது. பின்னர் ஒருபுறம், சக்தி எச்ச சின்னத்தின் வரையறையின்படி, மறுபுறம், ஏனெனில் ஒரு வரிசைமாற்றமாகும், எனவே, அனைவருக்கும், மற்றும் கோப்ரைம் என்பதால், ஒற்றுமையின் இருபுறமும் ரத்து செய்யப்படலாம், மேலும் தேற்றம் பின்பற்றுகிறது ஒற்றுமையின் இரண்டு தனித்துவமான th வேர்கள் ஒரே மாதிரியாக இருக்க முடியாது (மோட்). குழுக் கோட்பாட்டில் பரிமாற்றத்திற்கான உறவு பூஜ்ஜியமற்ற எச்ச வகுப்புகளின் பெருக்கக் குழுவாக இருக்கட்டும், மேலும் துணைக் குழுவாக {+ 1, −1} இருக்கட்டும். பின்வரும் கோஸெட் பிரதிநிதிகளைக் கவனியுங்கள், கோஸெட் பிரதிநிதிகளின் இந்த தொகுப்புக்கு பரிமாற்றத்தின் இயந்திரங்களைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், டிரான்ஸ்பர் ஹோமோமார்பிசத்தைப் பெறுகிறோம், இது லெம்மாவின் அறிக்கையில் உள்ளபடி, எங்கு மற்றும் எங்கே அனுப்பும் வரைபடமாக மாறும். காஸின் லெம்மாவை பின்னர் ஒரு கணக்கீடாகக் கருதலாம், இது இந்த ஹோமோமார்பிசத்தை இருபடி எச்ச எழுத்து என்று வெளிப்படையாக அடையாளம் காட்டுகிறது. மேலும் பார்க்கவும் Zolotarev இன் லெம்மா குறிப்புகள் ஆதாரங்களைக் கொண்ட கட்டுரைகள் எண் கோட்பாட்டில் லெம்மாஸ் மாடுலர் எண்கணித நாற்கர எச்சங்கள் எண் கோட்பாட்டில் சதுரங்கள்