Gauss's lemma (polynomials)
இயற்கணிதத்தில், கார்ல் ஃப்ரெட்ரிக் காஸின் பெயரால் பெயரிடப்பட்ட காஸின் லெம்மா, முழு எண்களின் மீது உள்ள பல்லுறுப்புக்கோவைகளைப் பற்றிய ஒரு அறிக்கையாகும், அல்லது, பொதுவாக, ஒரு தனித்துவமான காரணிமயமாக்கல் களத்தின் மீது (அதாவது, எண்கணிதத்தின் அடிப்படை தேற்றத்தைப் போலவே ஒரு தனித்துவமான காரணிமயமாக்கல் பண்பைக் கொண்ட ஒரு வளையம்). காஸின் லெம்மா அனைத்து காரணிமயமாக்கல் கோட்பாட்டிற்கும் அத்தகைய பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் மிகப்பெரிய பொதுவான வகுத்திகளுக்கும் அடித்தளமாக உள்ளது. இரண்டு பழமையான பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் பெருக்கல் பழமையானது என்று காஸின் லெம்மா வலியுறுத்துகிறது (முழு எண் குணகங்களைக் கொண்ட ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை அதன் குணகங்களின் மிகப்பெரிய பொதுவான வகுத்தியாக 1 ஐக் கொண்டிருந்தால் அது பழமையானது). காஸின் லெம்மாவின் ஒரு விளைவு, சில நேரங்களில் காஸின் லெம்மா என்றும் அழைக்கப்படுகிறது, இது ஒரு பழமையான பல்லுறுப்புக்கோவை விகிதமுறு எண்களுக்கு மேல் பகுக்கமுடியாததாக இருந்தால் மட்டுமே முழு எண்களுக்கு மேல் பகுக்கமுடியாதது. மேலும் பொதுவாக, ஒரு பழமையான பல்லுறுப்புக்கோவை முழு எண்கள் மற்றும் விகிதமுறு எண்களுக்கு மேல் ஒரே முழுமையான காரணியாக்கத்தைக் கொண்டுள்ளது. ஒரு தனித்துவமான காரணிமயமாக்கல் களத்தில் உள்ள குணகங்களின் விஷயத்தில், "விகிதமுறு எண்கள்" "பின்னங்களின் புலத்தால்" மாற்றப்பட வேண்டும். இது ஒரு புலம், முழு எண்களின் வளையம் அல்லது ஒரு தனித்துவமான காரணிமயமாக்கல் களமாக இருந்தால், ஒவ்வொரு பல்லுறுப்புக்கோவை வளையமும் (ஒன்று அல்லது பல தீர்மானிக்கப்படாதவற்றில்) ஒரு தனித்துவமான காரணிமயமாக்கல் களமாகும் என்பதை இது குறிக்கிறது. மற்றொரு விளைவு என்னவென்றால், முழு எண்கள் அல்லது விகிதமுறு குணகங்களைக் கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் காரணியாக்கம் மற்றும் மிகப் பெரிய பொதுவான வகுத்திக் கணக்கீடு ஆகியவை முழு எண்கள் மற்றும் பழமையான பல்லுறுப்புக்கோவைகளில் ஒத்த கணக்கீடுகளாகக் குறைக்கப்படலாம். இது அனைத்து செயல்படுத்தப்பட்ட வழிமுறைகளிலும் முறையாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது (வெளிப்படையாகவோ அல்லது மறைமுகமாகவோ) (பல்லுறுப்புக்கோவையின் மிகப் பெரிய பொதுவான வகுத்தி மற்றும் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் காரணிமயமாக்கலைப் பார்க்கவும்). காஸின் லெம்மா மற்றும் ஒரு முழுமையான காரணிமயமாக்கலின் இருப்பை உள்ளடக்காத அதன் அனைத்து விளைவுகளும் எந்த ஜி. சி. டி களத்திலும் (மிகப் பெரிய பொதுவான வகுத்திகள் இருக்கும் ஒரு ஒருங்கிணைந்த களம்) உண்மையாகவே உள்ளன. குறிப்பாக, ஒரு GCD களத்தின் மீது ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை வளையமும் ஒரு GCD களமாகும். குணகங்கள் அலகு இலட்சியத்தை உருவாக்கும் வகையில் ஒரு பழமையான பல்லுறுப்புக்கோவை என்று ஒருவர் அழைத்தால், ஒவ்வொரு பரிமாற்ற வளையத்திலும் காஸ் லெம்மா உண்மை. இருப்பினும், பழமையான இந்த வரையறையைப் பயன்படுத்தும் போது சில கவனத்துடன் இருக்க வேண்டும், ஏனெனில், ஒரு தனித்துவமான காரணிமயமாக்கல் களத்தின் மீது, இது ஒரு முதன்மை இலட்சிய களம் அல்ல, மேலே உள்ள அர்த்தத்தில் பழமையானவை மற்றும் இந்த புதிய அர்த்தத்தில் பழமையானவை அல்ல. முழு எண் குணகங்களைக் கொண்ட ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை என்றால், அனைத்து குணகங்களின் மிகப்பெரிய பொதுவான வகுத்தி 1 ஆக இருந்தால் அது பழமையானது என்று அழைக்கப்படுகிறது; வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், எந்த பகா எண்ணும் அனைத்து குணகங்களையும் வகுக்காது. சான்றுஃ இரண்டு பழமையான பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் f (x) g (x) பெருக்கல் முழு எண் குணகங்களைக் கொண்டுள்ளது. எனவே, அது பழமையானதாக இல்லாவிட்டால், அதன் அனைத்து குணகங்களின் பொதுவான வகுத்தியாக இருக்கும் ஒரு பகா p இருக்க வேண்டும். ஆனால் p ஆல் f (x) அல்லது g (x) இன் அனைத்து குணகங்களையும் வகுக்க முடியாது (இல்லையெனில் அவை பழமையானதாக இருக்காது). arxr என்பது f (x) ஐ p ஆல் வகுக்கமுடியாத முதல் சொல்லாகவும், bsxs என்பது g (x) ஐ p ஆல் வகுக்கமுடியாத முதல் சொல்லாகவும் இருக்கட்டும். இப்போது பெருக்கலில் xr + s என்ற சொல்லைக் கவனியுங்கள், அதன் குணகம் arbs என்ற சொல் p ஆல் வகுக்கமுடியாது (ஏனெனில் p பகா எண்), இருப்பினும் மீதமுள்ள அனைத்தும் உள்ளன, எனவே முழு கூட்டுத்தொகையையும் p ஆல் வகுக்க முடியாது. எனவே, பெருக்கலின் குணகங்கள் பொதுவான வகுத்தியைக் கொண்டிருக்க முடியாது, எனவே அவை பழமையானவை. மிகவும் பொதுவான வழக்குக்கான ஆதாரம் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. Z [X] இல் நிலையான பல்லுறுப்புக்கோவையாகப் பார்க்கும்போது Z (ஒரு பகா எண்) இன் பகுக்கமுடியாத உறுப்பு இன்னும் பகுக்கமுடியாதது என்பதை நினைவில் கொள்க; இது அறிக்கையில் "மாறாத" தேவையை விளக்குகிறது. தனித்துவமான காரணிமயமாக்கல் களங்களுக்கான அறிக்கைகள் காஸின் லெம்மா பொதுவாக தன்னிச்சையான தனித்துவமான காரணிமயமாக்கல் களங்களில் உள்ளது. அங்கு ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் உள்ளடக்கத்தை (ஜி. சி. டி. யைப் போல, உள்ளடக்கம் உண்மையில் இணை கூறுகளின் தொகுப்பாகும்) குணகங்களின் மிகப்பெரிய பொதுவான வகுத்தி என வரையறுக்கலாம். ஒரு UFD இல் உள்ள குணகங்களைக் கொண்ட ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை, ஒரே நேரத்தில் அனைத்து குணகங்களையும் வகுக்கும் ஒரே உறுப்புகள் தலைகீழ் கூறுகளாக இருந்தால் மட்டுமே பழமையானது என்று கூறப்படுகிறது; அதாவது, குணகங்களின் gcd ஒன்று. பிரிமிட்டிவிட்டி ஸ்டேட்மென்ட்ஃ ஒரு யுஎஃப்டி என்றால், பழமையான பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் தொகுப்பு பெருக்கத்தின் கீழ் மூடப்படும். மேலும் பொதுவாக, பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் பெருக்கலின் உள்ளடக்கம் அவற்றின் தனிப்பட்ட உள்ளடக்கங்களின் பெருக்கமாகும். இர்ரெடியூசிபிலிட்டி ஸ்டேட்மென்ட்ஃ ஒரு தனித்துவமான காரணிமயமாக்கல் களமாகவும் அதன் பின்னங்களின் புலமாகவும் இருக்கட்டும். ஒரு நிலையான பல்லுறுப்புக்கோவை இர்ரெடியூசிபிள் இன் மற்றும் பிரிமிடிவ் இன் ஆகிய இரண்டிலும் இருந்தால் மட்டுமே அது இர்ரெடியூசிபிள் ஆகும். (சான்றுகளுக்கு, கீழே உள்ள #General பதிப்பைப் பார்க்கவும்.) பின்னங்களின் புலத்துடன் ஒரு தனித்துவமான காரணிமயமாக்கல் களமாக இருக்கட்டும். ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை இருந்தால், சிலவற்றில், குணகங்கள் உள்ளன, எனவே-குணகங்களின் gcd ஐக் காரணியாக்குவதன் மூலம்-சில பழமையான பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு நாம் எழுதலாம். ஒருவர் சரிபார்க்க முடியும் என, இந்த பல்லுறுப்புக்கோவை ஒரு அலகு மூலம் பெருக்கம் வரை தனித்துவமானது மற்றும் பழமையான பகுதி (அல்லது பழமையான பிரதிநிதி) என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் குறிக்கப்படுகிறது. செயல்முறை தயாரிப்புடன் இணக்கமாக உள்ளதுஃ இந்த கட்டமைப்பை அறிக்கையைக் காட்டப் பயன்படுத்தலாம்ஃ ஒரு யுஎஃப்டியின் மீது ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை வளையம் ஒரு யுஎஃப்டி ஆகும். உண்மையில், தூண்டல் மூலம், ஒரு யுஎஃப்டி என்றால் யுஎஃப்டி என்பதைக் காட்ட போதுமானது. பூஜ்ஜியமற்ற பல்லுறுப்புக்கோவையாக இருக்கட்டும். இப்போது, ஒரு தனித்துவமான காரணிமயமாக்கல் களம் (இது ஒரு முதன்மை இலட்சிய களம் என்பதால்), எனவே, ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையாக, பின்வருமாறு காரணிப்படுத்தலாம்ஃ இப்போது, (மற்றும் இது பழமையான பகுதியாகும்) குணகங்களின் ஜி. சி. டி. க்கு எழுதுகிறோம், பின்னர்ஃ இப்போது, (ஒரு யுஎஃப்டி என்பதால்) பகா உறுப்புகளின் பெருக்கல் மற்றும் ஒரு பகா உறுப்பு ஒரு பகா உறுப்பு, இது ஒரு ஒருங்கிணைந்த களம். எனவே, ஒரு முதன்மைக் காரணியாக்கத்தை (அல்லது பகுக்கமுடியாதவையாக ஒரு தனித்துவமான காரணியாக்கத்தை) ஏற்றுக்கொள்கிறது. அடுத்து, பகுக்கமுடியாத கூறுகளாக ஒரு தனித்துவமான காரணிமயமாக்கல் என்பதைக் கவனியுங்கள், ஏனெனில் (1) ஒவ்வொன்றும் பகுக்கமுடியாத அறிக்கையால் பகுக்கமுடியாதது மற்றும் (2) காரணிமயமாக்கலை ஒரு காரணிமயமாக்கலாகவும் பார்க்க முடியும் என்பதால் இது தனித்துவமானது மற்றும் காரணிமயமாக்கல் தனித்துவமானது. மற்றும் தனித்துவமாக அலகு கூறுகளால் தீர்மானிக்கப்படுவதால், மேலே உள்ள காரணிமயமாக்கல் என்பது பகுக்கமுடியாத கூறுகளாக ஒரு தனித்துவமான காரணிமயமாக்கலாகும். "R என்பது ஒரு தனித்துவமான காரணிமயமாக்கல் களம்" என்ற நிபந்தனை மிதமிஞ்சியதாக இல்லை, ஏனெனில் இது இந்த வளையத்தின் ஒவ்வொரு பகுக்கமுடியாத உறுப்பும் ஒரு முதன்மை உறுப்பு என்பதைக் குறிக்கிறது, இது R இன் பூஜ்ஜியமற்ற ஒவ்வொரு உறுப்பும் பகுக்கமுடியாத உறுப்புகளின் பெருக்கலாக அதிகபட்சம் ஒரு காரணிமயமாக்கலைக் கொண்டுள்ளது என்பதைக் குறிக்கிறது. காரணிமயமாக்கல் தனித்துவமாக இல்லாத ஒரு வளையத்தில், p மற்றும் q பகுக்கமுடியாத உறுப்புகளுடன் சொல்லுங்கள், அவை மறுபுறம் எந்த காரணிகளையும் பிரிக்காது, தயாரிப்பு முதன்மையான அறிக்கையின் தோல்வியைக் காட்டுகிறது. ஒரு உறுதியான உதாரணத்திற்கு ஒருவர்,,,, எடுக்கலாம். இந்த எடுத்துக்காட்டில் பல்லுறுப்புக்கோவை (வலது புறத்தை வகுப்பதன் மூலம் பெறப்படுகிறது) பகுக்கமுடியாத அறிக்கையின் தோல்விக்கு ஒரு உதாரணத்தை வழங்குகிறது (இது R ஐ விட பகுக்கமுடியாதது, ஆனால் அதன் பின்னங்களின் புலத்தின் மீது குறைக்கப்படுகிறது). மற்றொரு நன்கு அறியப்பட்ட உதாரணம் பல்லுறுப்புக்கோவை, அதன் வேர்கள் தங்க விகிதம் மற்றும் அதன் இணைவு இது புலத்தின் மீது குறைக்கப்படக்கூடியது என்பதைக் காட்டுகிறது, இருப்பினும் இது பின்னங்களின் புலமாக இருக்கும் யுஎஃப்டி அல்லாதவற்றின் மீது பகுக்கமுடியாதது. பிந்தைய எடுத்துக்காட்டில் வளையத்தை அதன் ஒருங்கிணைந்த மூடலை (டிரிக்லெட் முழு எண்களின் வளையம்) எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம் ஒரு யுஎஃப்டியாக மாற்றலாம், அதன் மீது குறைக்கப்படலாம், ஆனால் முந்தைய எடுத்துக்காட்டில் ஆர் ஏற்கனவே ஒருங்கிணைந்த மூடப்பட்டுள்ளது. பொதுவான பதிப்பு ஒரு பரிமாற்ற வளையமாக இருக்கட்டும். ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை என்றால், அனைத்து குணகங்களாலும் உருவாக்கப்பட்ட இலட்சியத்திற்காக எழுதுகிறோம்; அது உள்ளடக்கம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒவ்வொரு உள்ளத்திற்கும் அதை நினைவில் கொள்க. அடுத்த முன்மொழிவு இன்னும் கணிசமான சொத்தை குறிப்பிடுகிறது. அலகு இலட்சியமாக இருந்தால் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை பழமையானது என்று கூறப்படுகிறது. எப்போது (அல்லது பொதுவாக ஒரு பெஸௌட் களமாக இருக்கும் போது), இது ஒரு பழமையான பல்லுறுப்புக்கோவையின் வழக்கமான வரையறையுடன் உடன்படுகிறது. (ஆனால் இது ஒரு யுஎஃப்டி மட்டுமே என்றால், இந்த வரையறை தனித்துவமான காரணிமயமாக்கல் களங்களுக்கான #Statements இல் உள்ள முதன்மையான வரையறையுடன் பொருந்தாது.) ஆதாரம்ஃ ஆதாரத்தைக் குறிக்கும் உண்மையைப் பயன்படுத்துவது எளிதுஃ () முதலில் இதன் குணகங்களின் ஜி. சி. டி 1 என்பதைக் கவனியுங்கள், இல்லையெனில், எழுதுவதற்கான குணகங்களிலிருந்து சில உறுப்புகளை நாம் காரணியாக்கலாம், இது பகுக்கமுடியாத தன்மைக்கு முரணானது. அடுத்து, சில நிலையான பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கு என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர், சிலருக்கு, பல்லுறுப்புக்கோவை குணகங்களைக் கொண்டுள்ளது, எனவே, குணகங்களின் ஜி. சி. டி. யைக் காரணியாக்குவதன் மூலம், நாம் எழுதுகிறோம். அதையே செய்யுங்கள், சிலருக்கு நாம் எழுதலாம். இப்போது, சிலருக்கு விடுங்கள். பிறகு. இதிலிருந்து, முன்மொழிவைப் பயன்படுத்தி, நாம் பெறுகிறோம்ஃ அதாவது, பிரிக்கிறது. எனவே, பின்னர் காரணிமயமாக்கல் என்பது பகுக்கமுடியாத தன்மைக்கு முரணாக உள்ளது. () பகுக்கமுடியாததாக இருந்தால், அது பகுக்கமுடியாதது அல்லது அது ஒரு காரணியாக ஒரு நிலையான பல்லுறுப்புக்கோவையைக் கொண்டுள்ளது, இரண்டாவது சாத்தியம் அனுமானத்தால் நிராகரிக்கப்படுகிறது. முன்மொழிவுக்கான ஆதாரம்ஃ தெளிவாக,. ஒரு பிரைம் ஐடியல் இருந்தால், மாடுலோ. ஒரு ஒருங்கிணைந்த களத்தின் மீது ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை வளையம் இருப்பதால், இது ஒரு ஒருங்கிணைந்த களமாகும், இது ஒன்று அல்லது மாடுலோவைக் குறிக்கிறது. எனவே, ஒன்று அல்லது அதில் அடங்கியுள்ளது. ஏனெனில் அனைத்து பிரைம் ஐடியல்களின் குறுக்குவெட்டு மற்றும் தேர்வு தன்னிச்சையாக இருந்தது,. நாம் இப்போது "மேலும்" பகுதியை நிரூபிக்கிறோம். குணகங்களிலிருந்து ஜி. சி. டி. க்களைக் காரணியாக்கி, நாம் எழுதலாம் மற்றும் குணகங்களின் ஜி. சி. டி. க்கள் இரண்டும் 1 ஆக இருக்கும். தெளிவாக, வலியுறுத்தல் மாற்றப்படும்போது அதை நிரூபிக்க போதுமானது; எனவே, இதன் குணகங்களின் ஜி. சி. டி. க்கள் இரண்டும் 1 என்று கருதுகிறோம். ஒரு தனித்துவமான காரணிமயமாக்கல் களமாக இருந்தால் மீதமுள்ள ஆதாரம் எளிதானது மற்றும் வெளிப்படையானது; எனவே அந்த வழக்கில் ஆதாரத்தை இங்கே தருகிறோம் (மேலும் GCD வழக்கின் ஆதாரத்தைப் பார்க்கவும்). அப்படியானால், நிரூபிக்க எதுவும் இல்லை. எனவே, வேறுவிதமாகக் கருதுங்கள்; பின்னர் அதன் குணகங்களைப் பிரிக்கும் ஒரு அலகு அல்லாத உறுப்பு உள்ளது. அந்த உறுப்பை முதன்மை உறுப்புகளின் பெருக்கலாகக் காரணியாக்குவதன் மூலம், அந்த உறுப்பை ஒரு முதன்மை உறுப்பாக நாம் எடுத்துக் கொள்ளலாம். இப்போது, நம்மிடம் உள்ளதுஃ எனவே, gcd இன் குணகங்களைக் கொண்டிருப்பது அல்லது முரண்படுவது இரண்டும் 1 ஆகும். குறிப்புஃ ஒரு GCD களத்தில் (எ. கா., ஒரு தனித்துவமான காரணிமயமாக்கல் களம்), ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் அனைத்து குணகங்களின் gcd, அலகு கூறுகள் வரை தனித்துவமானது, இன் உள்ளடக்கம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. ஒவ்வொரு தனித்துவமான காரணிமயமாக்கல் களத்திற்கும், பல்லுறுப்புக்கோவை வளையம் ஒரு தனித்துவமான காரணிமயமாக்கல் களமாகும் (தனித்துவமான காரணிமயமாக்கல் களங்களுக்கு #Statements ஐப் பார்க்கவும்) என்பது காஸின் லெம்மாவிலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது. ஐன்ஸ்டீனின் பகுக்கமுடியாத அளவுகோலைக் காட்ட காஸின் லெம்மாவையும் பயன்படுத்தலாம். இறுதியாக, சைக்ளோடோமிக் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் (முழு எண் குணகங்களைக் கொண்ட யூனிட்டரி அலகுகள்) பகுக்கமுடியாதவை என்பதைக் காட்ட இதைப் பயன்படுத்தலாம். காஸ் லெம்மா பின்வரும் கூற்றைக் குறிக்கிறதுஃ ஒரு தனித்துவமான காரணிமயமாக்கல் களத்தில் (அல்லது பொதுவாக ஒரு ஜி. சி. டி களத்தில்) குணகங்களைக் கொண்ட ஒரு மாறியில் ஒரு மோனிக் பல்லுறுப்புக்கோவை என்றால், அதன் வேர் பின்னங்களின் புலத்தில் உள்ளது. அப்படியானால், முழு எண்களுக்கு மேல் ஒரு மோனிக் பல்லுறுப்புக்கோவையின் விகிதமுறு வேர் ஒரு முழு எண் (cf. பகுத்தறிவு வேர் தேற்றம்). அறிக்கையைப் பார்க்க, இன் இன் ஒரு மூலமாக இருக்கட்டும் மற்றும் ஒப்பீட்டளவில் பிரைம் என்று வைத்துக்கொள்வோம். அதில் நாம் சிலருடன் எழுதலாம். பின்னர் ஒரு காரணிமயமாக்கல் உள்ளது. ஆனால் இது பழமையானது (யுஎஃப்டி அர்த்தத்தில்), இதனால் காஸ் லெம்மாவின் குணகங்களைப் பிரிக்கிறது, எனவே இன். மோனிக் என்பதால், இது ஒரு யூனிட்டாக இருக்கும்போது மட்டுமே சாத்தியமாகும். இதே போன்ற ஒரு வாதம் காட்டுகிறதுஃ பின்னங்கள் மற்றும் புலத்துடன் ஒரு GCD களமாக இருக்கட்டும். UFD அர்த்தத்தில் பழமையான சில பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கு என்றால், பின்னர். பகுக்கமுடியாத அறிக்கை ஒரு இயற்கணித முழு எண்ணின் விகிதமுறு எண்களின் மீது குறைந்தபட்ச பல்லுறுப்புக்கோவை முழு எண் குணகங்களைக் கொண்டுள்ளது என்பதையும் குறிக்கிறது. குறிப்புகள் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் பற்றிய கோட்பாடுகள் வளையக் கோட்பாட்டில் உள்ள கோட்பாடுகள் இயற்கணிதத்தில் லெம்மாஸ்