Balanced module
தொகுதிக் கோட்பாடு என்று அழைக்கப்படும் சுருக்க இயற்கணிதத்தின் துணைப்புலத்தில், M இன் அனைத்து R-எண்டோமார்பிசம்களுடனும் பரிமாற்றப்படும் அபெலியன் குழு M இன் ஒவ்வொரு எண்டோமார்பிசமும் ஒரு வளைய உறுப்பால் பெருக்குவதன் மூலம் கொடுக்கப்பட்டால், ஒரு வலது R தொகுதி M ஒரு சீரான தொகுதி என்று அழைக்கப்படுகிறது (அல்லது இரட்டை மையப்படுத்துதல் பண்பு இருப்பதாகக் கூறப்படுகிறது). வெளிப்படையாக, எந்தவொரு சேர்க்கை எண்டோமார்பிசம் f க்கும், ஒவ்வொரு R எண்டோமார்பிசம் g க்கும் fg = gf என்றால், R இல் ஒரு r உள்ளது, அதாவது m இல் உள்ள அனைத்து x க்கும் f (x) = xr. சமநிலையற்ற தொகுதிகளின் விஷயத்தில், இந்த வழியில் வெளிப்படுத்த முடியாத ஒரு f இருக்கும். சென்ட்ரலைசர்களின் மொழியில், ஒரு சமநிலையான தொகுதி என்பது இரட்டை சென்ட்ரலைசர் தேற்றத்தின் முடிவை திருப்திப்படுத்தும் ஒன்றாகும், அதாவது, M இன் அனைத்து R எண்டோமார்பிசம்களுடனும் M குழுவின் பயணத்தின் ஒரே எண்டோமார்பிசம் வளைய கூறுகளால் சரியான பெருக்கத்தால் தூண்டப்படுகிறது. ஒவ்வொரு சரியான ஆர் தொகுதியும் சமநிலையாக இருந்தால் ஒரு வளையம் சமநிலையானதாக அழைக்கப்படுகிறது. சமநிலையாக இருப்பது என்பது வளையங்களில் ஒரு இடது-வலது சமச்சீர் நிபந்தனை என்று மாறிவிடும், எனவே அதை "இடது" அல்லது "வலது" என்று இணைக்க வேண்டிய அவசியமில்லை. சீரான தொகுதிகள் மற்றும் வளையங்களின் ஆய்வு சி. ஜே. யின் கியூஎஃப்-1 வளையங்களின் ஆய்வின் வளர்ச்சியாகும். நெஸ்பிட் மற்றும் ஆர். எம். த்ரால். இந்த ஆய்வு வி. பி. கமில்லோவின் ஆய்வுக் கட்டுரையில் தொடர்ந்தது, பின்னர் அது முழுமையாக வளர்ந்தது. இந்த கட்டுரை பல எடுத்துக்காட்டுகளுடன் குறிப்பாக பரந்த பார்வையை அளிக்கிறது. இந்த குறிப்புகளைத் தவிர, கே. மோரிட்டா மற்றும் எச். டாச்சிகாவா ஆகியோரும் வெளியிடப்பட்ட மற்றும் வெளியிடப்படாத முடிவுகளுக்கு பங்களித்துள்ளனர். சீரான தொகுதிகள் மற்றும் வளையங்களின் கோட்பாட்டிற்கு பங்களிக்கும் ஆசிரியர்களின் ஒரு பகுதி பட்டியலை குறிப்புகளில் காணலாம். எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் பண்புகள் எடுத்துக்காட்டுகள் அரை எளிய வளையங்கள் சமநிலையில் உள்ளன. ஒரு எளிய வளையத்தின் மீது உள்ள ஒவ்வொரு பூஜ்ஜியமற்ற வலது இலட்சியமும் சமநிலையில் இருக்கும். அரை-ஃப்ரோபீனியஸ் வளையத்தின் மீது உள்ள ஒவ்வொரு விசுவாசமான தொகுதியும் சமநிலையாக உள்ளது. வலது ஆர்டினியன் வளையங்களுக்கான இரட்டை சென்ட்ரலைசர் தேற்றம் எந்தவொரு எளிய வலது ஆர் தொகுதியும் சமச்சீர் என்று கூறுகிறது. இந்த காகிதத்தில் சமநிலையற்ற தொகுதிகளின் ஏராளமான கட்டமைப்புகள் உள்ளன. ஒற்றையாட்சி வளையங்கள் சமநிலையில் உள்ளன என்று அது நிறுவப்பட்டது. மாறாக, ஒரு சமநிலையான வளையம் அதன் மையத்தின் மீது ஒரு தொகுதியாக இறுதியாக உருவாக்கப்படுகிறது. பரிமாற்ற ஆர்டினியன் வளையங்களில், சமநிலையான வளையங்கள் சரியாக அரை-ஃப்ரோபீனியஸ் வளையங்களாகும். பண்புகள் சமநிலையாக இருப்பது என்பது தொகுதிகளுக்கான ஒரு வகைப்படுத்தப்பட்ட பண்பு, அதாவது, இது மோரிட்டா சமநிலையால் பாதுகாக்கப்படுகிறது. வெளிப்படையாக, ஆர் தொகுதிகளின் வகையிலிருந்து எஸ் தொகுதிகளின் வகைக்கு எஃப் (-) ஒரு மோரிட்டா சமநிலையாக இருந்தால், எம் சமநிலையாக இருந்தால், எஃப் (எம்) சமநிலையாக இருக்கும். சமநிலையான வளையங்களின் கட்டமைப்பும் முழுமையாக தீர்மானிக்கப்படுகிறது, மேலும் இதில் கோடிட்டுக் காட்டப்பட்டுள்ளது. கடைசி புள்ளியைக் கருத்தில் கொண்டு, ஒரு சமநிலையான வளையமாக இருப்பதன் பண்பு ஒரு மோரிட்டா மாறாத பண்பு ஆகும். எந்த வளையங்கள் அனைத்தும் சரியாக உருவாக்கப்பட்ட ஆர் தொகுதிகளை சமநிலைப்படுத்தியுள்ளன என்ற கேள்விக்கு ஏற்கனவே பதிலளிக்கப்பட்டுள்ளது. இந்த நிலை வளையம் ஆர் சமநிலையாக இருப்பதற்கு சமம் என்று மாறிவிடும். குறிப்புகள் தொகுதி கோட்பாடு வளையக் கோட்பாடு