Gregory coefficients
கிரிகோரி குணகங்கள், பரஸ்பர மடக்கை எண்கள் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன, இரண்டாவது வகையின் பெர்னௌலி எண்கள் அல்லது முதல் வகையின் காச்சி எண்கள், பரஸ்பர மடக்கை கிரிகோரி குணகங்களின் மக்லாரின் தொடர் விரிவாக்கத்தில் நிகழும் விகிதமுறு எண்கள், அவை முழுமையான மதிப்பில் மாறி மாறி குறைந்து வருகின்றன. 1670 ஆம் ஆண்டில் எண் ஒருங்கிணைப்பு சூழலில் அவற்றை அறிமுகப்படுத்திய ஜேம்ஸ் கிரிகோரியின் பெயரால் இந்த எண்கள் பெயரிடப்பட்டுள்ளன. அவை பின்னர் பல கணிதவியலாளர்களால் மீண்டும் கண்டுபிடிக்கப்பட்டன, மேலும் பெரும்பாலும் நவீன எழுத்தாளர்களின் படைப்புகளில் காணப்படுகின்றன, அவர்கள் எப்போதும் அவர்களை அங்கீகரிக்கவில்லை. எண் மதிப்புகள் கணக்கீடு மற்றும் பிரதிநிதித்துவங்கள் கிரிகோரி குணகங்களைக் கணக்கிடுவதற்கான எளிய வழி மீண்டும் நிகழும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதாகும். கிரிகோரி குணகங்கள் பின்வரும் வேறுபாடு அல்லது ஒருங்கிணைப்பு மூலம் வெளிப்படையாக கணக்கிடப்படலாம், இது 0 மற்றும் 1 க்கு இடையில் ஒருங்கிணைப்பதன் மூலம் நிரூபிக்க முடியும், ஒரு முறை நேரடியாகவும், இரண்டாவது முறையாக முதலில் பைனாமியல் தொடர் விரிவாக்கத்தைப் பயன்படுத்துகிறது. இது வரையறுக்கப்பட்ட கூட்டுத்தொகை சூத்திரத்தைக் குறிக்கிறது, அங்கு முதல் வகையான கையொப்பமிடப்பட்ட ஸ்டிர்லிங் எண்கள் உள்ளன. மற்றும் ஷ்ரோடரின் ஒருங்கிணைந்த சூத்திரம் எல்லைகள் மற்றும் அறிகுறியற்ற நடத்தை கிரிகோரி குணகங்கள் ஜோஹன் ஸ்டீஃபென்சன் வழங்கிய வரம்புகளை பூர்த்தி செய்கின்றன. இந்த வரம்புகள் பின்னர் பல்வேறு எழுத்தாளர்களால் மேம்படுத்தப்பட்டன. அவர்களுக்கு நன்கு அறியப்பட்ட வரம்புகள் பிளாகோச்சின் அவர்களால் வழங்கப்பட்டன. குறிப்பாக, அறிகுறியற்ற வகையில், பெரிய குறியீட்டில், இந்த எண்கள் வான் வீன், டேவிஸ், காஃபி, நெம்ஸ் மற்றும் பிளாகோச்சின் ஆகியோரின் படைப்புகளில் அதிக துல்லியமான விளக்கத்தைக் காணலாம். கிரிகோரி குணகங்கள் அடங்கிய கிரிகோரி குணகங்கள் கொண்ட தொடர் பெரும்பாலும் ஒரு மூடிய வடிவத்தில் கணக்கிடப்படலாம். இந்த எண்களைக் கொண்ட அடிப்படை தொடர்களில் யூலரின் மாறிலி எங்கே என்பது அடங்கும். இந்த முடிவுகள் மிகவும் பழமையானவை, அவற்றின் வரலாற்றை கிரிகோரியோ ஃபோன்டானா மற்றும் லோரென்சோ மாஸ்செரோனி ஆகியோரின் படைப்புகளில் காணலாம். கிரிகோரி குணகங்களுடன் மிகவும் சிக்கலான தொடர்கள் பல்வேறு எழுத்தாளர்களால் கணக்கிடப்பட்டன. கோவாலென்கோ, அலப்துல்மோசின் மற்றும் வேறு சில எழுத்தாளர்கள் கணக்கிடப்பட்ட அலப்துல்மோசின் இந்த அடையாளங்களை கேண்டல்பெர்கர், கோப்போ மற்றும் யங் ஆகியோருடன் கொடுக்கிறார், ஹார்மோனிக் எண்கள் எங்கே என்பதைக் காட்டியது. பிளாகோச்சின் பின்வரும் அடையாளங்களை வழங்குகிறது, அங்கு ஒருங்கிணைந்த மடக்கை மற்றும் இருமக் குணகம் ஆகும். ஜீட்டா செயல்பாடு, காமா செயல்பாடு, பாலிகம்மா செயல்பாடுகள், ஸ்டீல்ட்ஜெஸ் மாறிலிகள் மற்றும் பல சிறப்பு செயல்பாடுகள் மற்றும் மாறிலிகள் இந்த எண்களைக் கொண்ட எல்லையற்ற தொடர்களின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தப்படலாம் என்பதும் அறியப்படுகிறது. பொதுமைப்படுத்தல்கள் கிரிகோரி குணகங்களுக்கு பல்வேறு பொதுமைப்படுத்தல்கள் சாத்தியமாகும். பெற்றோர் உருவாக்கும் சமன்பாட்டை மாற்றியமைப்பதன் மூலம் அவற்றில் பலவற்றைப் பெறலாம். எடுத்துக்காட்டாக, வான் வீன் கருதுகிறார், எனவே சமமான பொதுமைப்படுத்தல்கள் பின்னர் கோவாலென்கோ மற்றும் ரூபின்ஸ்டீன் ஆகியோரால் முன்மொழியப்பட்டன. இதேபோல், கிரிகோரி குணகங்கள் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட பெர்னௌலி எண்களுடன் தொடர்புடையவை, எனவே ஜோர்டான் பல்லுறுப்புக்கோவைகளை வரையறுத்து அவற்றை இரண்டாவது வகையான பெர்னௌலி பல்லுறுப்புக்கோவைகள் என்று அழைக்கிறது. மேற்கூறியவற்றிலிருந்து இது தெளிவாகிறது. கார்லிட்ஸ் பல்லுறுப்புக்கோவைகளை அறிமுகப்படுத்துவதன் மூலம் ஜோர்டானின் பல்லுறுப்புக்கோவைகளை பொதுமைப்படுத்தினார், எனவே பிளாகோச்சின் எண்களை அறிமுகப்படுத்தினார், அவை அவற்றின் உருவாக்கும் செயல்பாட்டைப் பெற்று அவற்றின் அறிகுறியற்ற தன்மையை பெருமளவில் ஆய்வு செய்தன. தெளிவாக,. இந்த எண்கள் கண்டிப்பாக மாறி மாறி ஜீட்டா-செயல்பாடுகள், ஆய்லரின் மாறிலி மற்றும் பலகம்மா செயல்பாடுகளுக்கான பல்வேறு விரிவாக்கங்களில் ஈடுபட்டுள்ளன. அதே வகையான வேறுபட்ட பொதுமைப்படுத்தலும் கோமாட்சுவால் முன்மொழியப்பட்டது, இதனால் எண்கள் பாலி-காச்சி எண்களால் அழைக்கப்படுகின்றன. காபி பல்லுறுப்புக்கோவைகளை வரையறுக்கிறது, எனவே. இரண்டாவது வகையான குறிப்புகள் முழு எண் வரிசைகளின் ஸ்டிர்லிங் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் பெர்னௌலி பல்லுறுப்புக்கோவைகளையும் பார்க்கவும் எண் கோட்பாடு சமத்துவமின்மை அறிகுறியற்ற பகுப்பாய்வு