Construction of an irreducible Markov chain in the Ising model
ஐசிங் மாதிரியில் பகுக்கமுடியாத மார்கோவ் சங்கிலியை உருவாக்குவது முடிவுகளை நிரூபிக்க ஒரு கணித முறையாகும். பயன்பாட்டு கணிதத்தில், ஐசிங் மாதிரியில் பகுக்கமுடியாத மார்கோவ் சங்கிலியை உருவாக்குவது என்பது ஒரு மார்கோவ் சங்கிலி மான்டே கார்லோ முறை பயன்படுத்தப்படும்போது எதிர்கொள்ளும் கணக்கீட்டு தடையை சமாளிப்பதற்கான முதல் படியாகும். ஐசிங் மாதிரி காந்த கட்ட மாற்றங்களைப் படிக்கப் பயன்படுத்தப்படுகிறது மற்றும் இது தொடர்பு அமைப்புகளின் மாதிரிகளில் ஒன்றாகும். மார்கோவ் ஒவ்வொரு முழு எண் திசையனையும், தனித்துவமாக எழுதலாம், எங்கே மற்றும் எதிர்மறை அல்லாத திசையன்கள். ஐசிங் மாதிரிக்கான மார்கோவ் அடிப்படை என்பது முழு எண் திசையன்களின் தொகுப்பாகும், அதாவதுஃ (i) அனைவருக்கும், மற்றும் இருக்க வேண்டும். (ii) எந்தவொரு மற்றும் எதற்கும், எப்போதும் திருப்தி உள்ளது மற்றும் l = 1,., k. இன் உறுப்பு நகர்த்தப்படுகிறது. பின்னர், மெட்ரோபோலிஸ்-ஹேஸ்டிங்ஸ் வழிமுறையைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், நாம் ஒரு அபிரியோடிக், தலைகீழ் மற்றும் பகுக்கமுடியாத மார்கோவ் சங்கிலியைப் பெறலாம். 1998 ஆம் ஆண்டில் பெர்சி டயாக்கோனிஸ் மற்றும் பெர்ண்ட் ஸ்டர்ம்ஃபெல்ஸ் ஆகியோரால் வெளியிடப்பட்ட 'நிபந்தனை விநியோகங்களிலிருந்து மாதிரி எடுப்பதற்கான இயற்கணித வழிமுறைகள்' என்ற ஆய்வுக் கட்டுரை, ஒரு மார்கோவ் அடிப்படையை இயற்கணித ரீதியாக ஒரு ஐசிங் மாதிரியாக வரையறுக்க முடியும் என்பதைக் காட்டுகிறது. காகிதத்தின் படி, இலட்சியத்திற்கான எந்தவொரு உற்பத்தி தொகுப்பும் ஐசிங் மாதிரியின் மார்கோவ் அடிப்படையாகும். பகுக்கமுடியாத மார்கோவ் சங்கிலியின் கட்டுமானம் காகிதத்தில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ள வழிமுறையை மாற்றியமைக்காமல், ஒரே மாதிரியான மாதிரிகளைப் பெறுவது சாத்தியமற்றது, இல்லையெனில் தவறான p-மதிப்புகளுக்கு வழிவகுக்கிறது. ஒரு எளிய இடமாற்றம் வடிவத்தின் படி வரையறுக்கப்படுகிறது, இதன் நியதி அடிப்படையிலான திசையன் எங்கே. எளிய இடமாற்றங்கள் y இல் இரண்டு லட்டிஸ் புள்ளிகளின் நிலைகளை மாற்றுகின்றன. Z என்பது மாதிரி பரிமாற்றங்களின் தொகுப்பைக் குறிக்கிறது. பின்னர் இரண்டு உள்ளமைவுகள்-Z ஆல் இணைக்கப்பட்டுள்ளன, இடையில் மற்றும் எளிய இடமாற்றங்களைக் கொண்ட ஒரு பாதை இருந்தால், அதாவது l = 1,., k உடன் உள்ளது என்று அர்த்தம் வழிமுறை இப்போது விவரிக்கப்படலாம்ஃ (i) ஒரு உள்ளமைவில் மார்கோவ் சங்கிலியுடன் தொடங்குங்கள் (ii) சீரற்ற முறையில் ஒரே மாதிரியாகத் தேர்ந்தெடுத்து விடுங்கள். (iii) இருந்தால் ஏற்றுக்கொள்ளுங்கள்; இல்லையெனில் y இல் இருக்கும். இதன் விளைவாக வரும் மார்கோவ் சங்கிலி ஆரம்ப நிலையை விட்டு வெளியேற முடியாது என்றாலும், 1 பரிமாண ஐசிங் மாதிரியில் சிக்கல் எழாது. உயர் பரிமாணங்களில், 1 பரிமாண ஐசிங் மாதிரியில் சிறிய விரிவாக்கப்பட்ட மாதிரி இடத்தில் மெட்ரோபோலிஸ்-ஹேஸ்டிங்ஸ் வழிமுறையைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் இந்த சிக்கலை நாம் சமாளிக்க முடியும். லெம்மா 1:1-பரிமாண ஐசிங் மாதிரியின் அதிகபட்ச-சிங்கிள்டன் உள்ளமைவு தனித்துவமானது (அதன் இணைக்கப்பட்ட கூறுகளின் இருப்பிடம் வரை) மற்றும் சிங்கிள்டன்கள் மற்றும் ஒரு இணைக்கப்பட்ட அளவு கூறுகளைக் கொண்டுள்ளது. லெம்மா 2: மற்றும், தனித்துவமான அதிகபட்ச-சிங்கிள்டன் உள்ளமைவைக் குறிக்கலாம். இது போன்ற ஒரு வரிசை உள்ளதுஃ மற்றும் l = 1,., k என்பது மிகச்சிறிய விரிவாக்கப்பட்ட மாதிரி இடத்தைக் கொண்டிருப்பதால், எந்த இரண்டு உள்ளமைவுகளையும் விட்டுவிடாமல் எளிய இடமாற்றங்கள் Z மூலம் இணைக்க முடியும். இது லெம்மா 2 ஆல் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது, எனவே 1-பரிமாண ஐசிங் மாதிரிக்கான எளிய பரிமாற்றங்களின் அடிப்படையில் மார்கோவ் சங்கிலியின் பகுக்கமுடியாத தன்மையைப் பெறுகிறோம். மேலே உள்ள படிகளின் மூலம் பரிமாணம் 2 அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட ஐசிங் மாதிரிக்கும் அதே முடிவைப் பெற முடியும். குறிப்புகள் லாட்டிஸ் மாதிரிகள் மார்கோவ் சங்கிலி மான்டே கார்லோ