Hyperfunction
கணிதத்தில், ஹைப்பர்ஃபங்ஷன்கள் என்பது செயல்பாடுகளின் பொதுமைப்படுத்தல்கள் ஆகும், இது ஒரு ஹோலோமார்ஃபிக் செயல்பாட்டிலிருந்து மற்றொரு எல்லைக்கு ஒரு 'ஜம்ப்' ஆகும், மேலும் இது எல்லையற்ற வரிசையின் விநியோகங்களாக முறைசாரா முறையில் கருதப்படலாம். 1958 ஆம் ஆண்டில் ஜப்பானிய மொழியில் (1959,1960 ஆங்கிலத்தில்) மிகியோ சாட்டோவால் ஹைப்பர்ஃபங்ஷன்கள் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டன, இது லாரண்ட் ஸ்வார்ட்ஸ், கிரோதெண்டிக் மற்றும் பிறரின் முந்தைய படைப்புகளை அடிப்படையாகக் கொண்டது. உண்மையான கோட்டில் உள்ள ஒரு உயர் செயல்பாட்டை மேல் அரை தளத்திலும், கீழ் அரை தளத்திலும் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு ஹோலோமார்பிக் செயல்பாட்டிற்கும் இடையிலான 'வேறுபாடு' என்று கருதலாம். அதாவது, ஒரு ஹைப்பர்ஃபங்ஷன் ஒரு ஜோடி (f, g) ஆல் குறிப்பிடப்படுகிறது, இதில் f என்பது மேல் அரை தளத்தின் மீது ஒரு ஹோலோமார்பிக் செயல்பாடு மற்றும் g என்பது கீழ் அரை தளத்தின் மீது ஒரு ஹோலோமார்பிக் செயல்பாடு ஆகும். முறைசாரா முறையில், ஹைப்பர்ஃபங்ஷன் என்பது உண்மையான வரியிலேயே வித்தியாசமாக இருக்கும். f மற்றும் g ஆகிய இரண்டிற்கும் ஒரே ஹோலோமார்பிக் செயல்பாட்டைச் சேர்ப்பதன் மூலம் இந்த வேறுபாடு பாதிக்கப்படாது, எனவே முழு சிக்கலான தளத்திலும் h ஒரு ஹோலோமார்பிக் செயல்பாடாக இருந்தால், ஹைப்பர்ஃபங்க்ஷன்கள் (f, g) மற்றும் (f + h, g + h) சமமாக வரையறுக்கப்படுகின்றன. ஒரு பரிமாணத்தில் வரையறை ஷீஃப் கோஹோமோலஜியின் யோசனைகளைப் பயன்படுத்தி உந்துதலை உறுதியுடன் செயல்படுத்த முடியும். உண்மையான கோட்டில் உள்ள ஹைப்பர்ஃபங்க்ஷன்களை முதல் லோக்கல் கோஹோமோலஜி குழுவாக வரையறுக்கவும்ஃ குறிப்பாக, முறையே மேல் அரை தளம் மற்றும் கீழ் அரை தளமாக இருக்கட்டும். எந்தவொரு உறையின் பூஜ்ஜிய கோஹோமோலஜி குழுவும் வெறுமனே அந்த உறையின் உலகளாவிய பிரிவுகள் என்பதால், ஒரு ஹைப்பர்ஃபங்ஷன் என்பது ஒரு ஜோடி ஹோலோமார்பிக் செயல்பாடுகளாகும், அவை ஒவ்வொன்றும் மேல் மற்றும் கீழ் சிக்கலான அரை விமான மாடுலோ முழு ஹோலோமார்பிக் செயல்பாடுகளிலும் உள்ளன. மேலும் பொதுவாக எந்தவொரு திறந்த தொகுப்புக்கும் எந்தவொரு திறந்த தொகுப்பும் இருக்கும் இடத்தில் ஈவு என வரையறுக்கலாம். இந்த வரையறை ஹைப்பர்ஃபங்க்ஷன்களை ஹோலோமார்பிக் செயல்பாடுகளின் "எல்லை மதிப்புகள்" என்று நினைப்பதற்கு மற்றொரு காரணத்தை வழங்குவதைப் பொறுத்தது அல்ல என்பதை ஒருவர் காட்டலாம். எடுத்துக்காட்டுகள் முழு சிக்கலான தளத்திலும் f என்பது ஏதேனும் ஹோலோமார்பிக் செயல்பாடாக இருந்தால், உண்மையான அச்சுக்கு f இன் கட்டுப்பாடு ஒரு ஹைப்பர்ஃபங்ஷன் ஆகும், இது (f, 0) அல்லது (0, −f) ஆல் குறிக்கப்படுகிறது. ஹெவிசைடு படி செயல்பாட்டை சிக்கலான மடக்கை முக்கிய மதிப்பு எங்கே என்று குறிப்பிடலாம். டைராக் டெல்டா "செயல்பாடு" மூலம் குறிப்பிடப்படுகிறது இது உண்மையில் காச்சியின் ஒருங்கிணைந்த சூத்திரத்தின் மறுபரிசீலனை ஆகும். இதைச் சரிபார்க்க ஒருவர் உண்மையான கோட்டிற்குக் கீழே உள்ள f இன் ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடலாம், மேலும் உண்மையான கோட்டிற்கு சற்று மேலே உள்ள g இன் ஒருங்கிணைப்பைக் கழிக்கலாம்-இரண்டுமே இடமிருந்து வலமாக. கூறுகள் அதே செயல்பாட்டின் பகுப்பாய்வு தொடர்ச்சியாக இருந்தாலும், ஹைப்பர்ஃபங்ஷன் அற்பமானதாக இருக்காது என்பதை நினைவில் கொள்க. ஹெவிசைடு செயல்பாட்டை வேறுபடுத்துவதன் மூலமும் இதை எளிதாக சரிபார்க்கலாம். g என்பது வரம்புக்குட்பட்ட இடைவெளி I இல் உள்ள ஆதரவுடன் உண்மையான கோட்டில் ஒரு தொடர்ச்சியான செயல்பாடு (அல்லது பொதுவாக ஒரு விநியோகம்) என்றால், g என்பது ஹைப்பர்ஃபங்ஷன் (f, −f) உடன் ஒத்திருக்கிறது, அங்கு f என்பது I இன் நிரப்பு மீது ஒரு ஹோலோமார்பிக் செயல்பாடாகும். f க்கான சூத்திரம் முந்தைய எடுத்துக்காட்டிலிருந்து பின்தொடர்கிறது, இது டைராக் டெல்டா செயல்பாட்டுடன் தன்னை இணைத்துக் கொள்வதாக g ஐ எழுதுகிறது. ஒற்றுமையின் பகிர்வைப் பயன்படுத்தி எந்தவொரு தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டையும் (விநியோகம்) சுருக்கமான ஆதரவுடன் உள்ளூரில் வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாடுகளின் (விநியோகங்கள்) கூட்டுத்தொகையாக எழுதலாம். f என்பது 0 இல் (எடுத்துக்காட்டாக, e1/z) ஒரு அத்தியாவசிய ஒருமைப்பாட்டைத் தவிர எல்லா இடங்களிலும் ஹோலோமார்பிக் செயல்பாடாக இருந்தால், அது 0 ஐ ஆதரிக்கும் ஹைப்பர்ஃபங்ஷன் ஆகும், அது ஒரு விநியோகம் அல்ல. f என்பது 0 இல் வரையறுக்கப்பட்ட வரிசையின் துருவத்தைக் கொண்டிருந்தால், அது ஒரு விநியோகமாகும், எனவே f ஒரு அத்தியாவசிய ஒருமைப்பாட்டைக் கொண்டிருக்கும்போது, 0 இல் "எல்லையற்ற வரிசையின் விநியோகம்" போல் தெரிகிறது. (விநியோகங்கள் எப்போதும் எந்த நேரத்திலும் வரையறுக்கப்பட்ட வரிசையைக் கொண்டுள்ளன என்பதை நினைவில் கொள்க.) ஹைப்பர்ஃபங்ஷன்களில் செயல்பாடுகள் ஏதேனும் திறந்த துணைக்குழுவாக இருக்கட்டும். வரையறையின்படி, சிக்கலான எண்களுடன் கூட்டல் மற்றும் பெருக்கம் நன்கு வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு திசையன் இடைவெளி. வெளிப்படையாகஃ வெளிப்படையான கட்டுப்பாடு வரைபடங்கள் ஒரு உறையாக மாறுகின்றன (இது உண்மையில் தளர்வானது). உண்மையான பகுப்பாய்வு செயல்பாடுகள் மற்றும் வேறுபாட்டுடன் பெருக்குதல் நன்கு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளனஃ இந்த வரையறைகளுடன் ஒரு டி-தொகுதி ஆகிறது மற்றும் உட்பொதிப்பது டி-தொகுதிகளின் உருவகமாகும். இரண்டு ஹோலோமார்பிக் புள்ளிகள் என்றால், ஒருங்கிணைப்பு நன்கு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளதுஃ தன்னிச்சையான வளைவுகள் எங்கே ஒருங்கிணைப்புகள் இந்த வளைவுகளின் தேர்விலிருந்து சுயாதீனமாக உள்ளன, ஏனெனில் மேல் மற்றும் கீழ் பாதி தளம் வெறுமனே இணைக்கப்பட்டுள்ளன. சிறிய ஆதரவுடன் ஹைப்பர்ஃபங்க்ஷன்களின் இடமாக இருக்கட்டும். பைலினியர் வடிவத்தின் மூலம் ஒவ்வொரு ஹைப்பர்ஃபங்ஷனுக்கும் சுருக்கமான ஆதரவுடன் ஒரு தொடர்ச்சியான நேரியல் செயல்பாட்டை இணைக்கிறது இது இரட்டை இடத்தை அடையாளம் காணத் தூண்டுகிறது, ஒரு சிறப்பு வழக்கு கருத்தில் கொள்ளத்தக்கது தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகள் அல்லது சுருக்கமான ஆதரவுடன் விநியோகங்கள்ஃ ஒருவர் (அல்லது) மேற்கூறிய உட்பொதிப்பின் மூலம் ஒரு துணைக்குழுவாகக் கருதினால், இது சரியாக பாரம்பரிய லெபெஸ்கூ-ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுகிறது. மேலும்ஃ சுருக்கமான ஆதரவுடன் ஒரு விநியோகம் என்றால், அது ஒரு உண்மையான பகுப்பாய்வு செயல்பாடாகும், எனவே ஒருங்கிணைப்பு பற்றிய இந்த கருத்து வழக்கமான அர்த்தத்தில் வரையறுக்கப்படாத முறையான வெளிப்பாடுகளுக்கு ஒரு துல்லியமான அர்த்தத்தை அளிக்கிறது. மேலும்ஃ உண்மையான பகுப்பாய்வு செயல்பாடுகள் அடர்த்தியாக இருப்பதால் ஒரு துணைப்பகுதி ஆகும். இது அதே உட்பொதிப்பின் மாற்று விளக்கமாகும். திறந்த தொகுப்புகளுக்கு இடையில் ஒரு உண்மையான பகுப்பாய்வு வரைபடம் இருந்தால், அதனுடன் கலவை ஒரு நன்கு வரையறுக்கப்பட்ட ஆபரேட்டர் ஆகும்ஃ இயற்கணித பகுப்பாய்வு பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட செயல்பாடு விநியோகம் (கணிதம்) மைக்ரோலோகல் பகுப்பாய்வு போலி-வேறுபட்ட ஆபரேட்டர் ஷீஃப் கோஹோமோலஜி குறிப்புகள். . . . இது SKK என்று அழைக்கப்படுகிறது. . . . . . . . வெளிப்புற இணைப்புகள் இயற்கணித பகுப்பாய்வு சிக்கலான பகுப்பாய்வு பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட செயல்பாடுகள் சீஃப் கோட்பாடு