Dehn invariant
வடிவவியலில், டெஹ்ன் மாறாதது என்பது ஒரு பாலிஹெட்ரானை துண்டுகளாக வெட்டி மற்றொருவற்றில் மீண்டும் இணைக்க முடியுமா ("துண்டிக்கப்படுகிறதா") என்பதையும், ஒரு பாலிஹெட்ரான் அல்லது அதன் துண்டுகள் இடத்தை டைல் செய்ய முடியுமா என்பதையும் தீர்மானிக்கப் பயன்படுத்தப்படும் ஒரு மதிப்பாகும். இது மாக்ஸ் டெஹ்னின் பெயரால் அழைக்கப்படுகிறது, அவர் ஹில்பர்ட்டின் மூன்றாவது சிக்கலைத் தீர்க்க இதைப் பயன்படுத்தினார், சமமான அளவு கொண்ட அனைத்து பாலிஹெட்ராவையும் ஒருவருக்கொருவர் துண்டிக்க முடியாது என்பதை நிரூபித்தார். இரண்டு பாலிஹெட்ராக்கள் பாலிஹெட்ரல் துண்டுகளாக ஒரு பிரிவைக் கொண்டுள்ளன, அவை அவற்றின் தொகுதிகள் மற்றும் டெஹ்ன் மாறிலிகள் சமமாக இருந்தால் மட்டுமே இரண்டில் ஒன்றாகவும் மீண்டும் இணைக்கப்படலாம். டெஹ்ன் மாறாத பூஜ்ஜியத்தைக் கொண்டிருப்பது ஒரு இடத்தை நிரப்பும் பாலிஹெட்ரானாக இருப்பதற்கு அவசியமான (ஆனால் போதுமானதாக இல்லை) நிபந்தனையாகும், மேலும் ஒரு பாலிஹெட்ரானை வெட்டி, அதன் டெஹ்ன் மாறாத பூஜ்ஜியமாக இருந்தால் மட்டுமே அதை ஒரு இடத்தை நிரப்பும் பாலிஹெட்ரானாக மீண்டும் இணைக்க முடியும். சுய-குறுக்கீடு இல்லாத நெகிழ்வான பாலிஹெட்ரானின் டெஹ்ன் மாறாதது அது வளைந்து கொடுக்கும்போது மாறாது. டெஹ்ன் மாறிலிகள் உயர் பரிமாணங்களில் பிரித்தெடுப்பதற்கு ஒரு மாறாதவை, மற்றும் (அளவுடன்) நான்கு பரிமாணங்களில் ஒரு முழுமையான மாறாதவை. டெஹ்ன் மாறாதது கனசதுரத்திற்கு பூஜ்ஜியமாகும், ஆனால் மற்ற பிளாட்டோனிக் திடப்பொருட்களுக்கு பூஜ்ஜியமற்றது, இது மற்ற திடப்பொருட்கள் இடத்தை டைல் செய்ய முடியாது என்பதையும் அவற்றை ஒரு கனசதுரத்தில் துண்டிக்க முடியாது என்பதையும் குறிக்கிறது. அனைத்து ஆர்க்கிமிடியன் திடப்பொருட்களும் டெஹ்ன் மாறிலிகளைக் கொண்டுள்ளன, அவை பிளாட்டோனிக் திடப்பொருட்களுக்கான மாறிலிகளின் பகுத்தறிவு சேர்க்கைகளாகும். குறிப்பாக, துண்டிக்கப்பட்ட எண்முகமும் இடத்தைத் தட்டுகிறது மற்றும் கனசதுரத்தைப் போல டெஹ்ன் மாறாத பூஜ்ஜியத்தைக் கொண்டுள்ளது. பாலிஹெட்ராவின் டெஹ்ன் மாறிலிகள் எண்கள் அல்ல. மாறாக, அவை எல்லையற்ற பரிமாண இழுவிசை இடத்தின் கூறுகளாகும். ஒரு அபெலியன் குழுவாகக் கருதப்படும் இந்த இடம், குழு ஒத்திசைவை உள்ளடக்கிய ஒரு சரியான வரிசையின் ஒரு பகுதியாகும். அச்சு-இணையான வெட்டுக்கள் மற்றும் மொழிபெயர்ப்புகள் மூலம் செவ்வக பலகோணங்களை ஒருவருக்கொருவர் பிரித்தெடுப்பதில் உள்ள சிக்கல் உட்பட வேறு சில பிரித்தல் புதிர்களுக்கும் இதேபோன்ற மாறிலிகள் வரையறுக்கப்படலாம். பின்னணி மற்றும் வரலாறு இரண்டு பரிமாணங்களில், 19 ஆம் நூற்றாண்டின் முற்பகுதியில் இருந்து வாலஸ்-போலாய்-கெர்வியன் தேற்றம், சமமான பரப்பளவு கொண்ட எந்த இரண்டு பலகோணங்களையும் பலகோணத் துண்டுகளாக வெட்டி ஒருவருக்கொருவர் மீண்டும் இணைக்க முடியும் என்று கூறுகிறது. 19 ஆம் நூற்றாண்டின் பிற்பகுதியில், டேவிட் ஹில்பர்ட் இந்த முடிவில் ஆர்வம் காட்டினார். யூக்ளிடிய வடிவவியலுக்கான ஹில்பர்ட்டின் கோட்பாடுகளுடன் தொடர்புடைய இரு பரிமாண பலகோணங்களின் பரப்பளவை தன்னியக்கமாக்குவதற்கான ஒரு வழியாக அவர் இதைப் பயன்படுத்தினார். யூக்ளிடின் கூறுகள் மிகவும் உள்ளுணர்வுடன் கையாண்ட பகுதி போன்ற வெளிப்படையான கருத்துக்களைக் கையாளுவதன் மூலம் வடிவவியலின் அடித்தளங்களை மிகவும் கடுமையானதாக மாற்றுவதற்கான ஒரு திட்டத்தின் ஒரு பகுதியாக இது இருந்தது. இயற்கையாகவே, இது போன்ற ஒரு தன்னியக்க சிகிச்சையை திடமான வடிவவியலுக்கு நீட்டிக்க முடியுமா என்ற கேள்வியை எழுப்பியது. 1900 ஆம் ஆண்டு சர்வதேச கணிதவியலாளர்களின் மாநாட்டில், ஹில்பர்ட் ஹில்பர்ட்டின் சிக்கல்களை உருவாக்கினார், இது 20 ஆம் நூற்றாண்டின் கணிதத்தில் மிகவும் செல்வாக்கு செலுத்திய சிக்கல்களின் தொகுப்பாகும். அவற்றில் ஒன்று, ஹில்பர்ட்டின் மூன்றாவது சிக்கல், திட அளவின் தன்னியக்கமாக்கல் குறித்த இந்த கேள்வியை உரையாற்றியது. ஹில்பர்ட்டின் மூன்றாவது சிக்கல், இன்னும் குறிப்பாக, சமமான தொகுதிகளைக் கொண்ட ஒவ்வொரு இரண்டு பாலிஹெட்ராவையும் எப்போதும் பாலிஹெட்ரல் துண்டுகளாக வெட்டி ஒருவருக்கொருவர் மீண்டும் இணைக்க முடியுமா என்று கேட்டது. அப்படியானால், எந்தவொரு பாலிஹெட்ரானின் அளவும், தன்னியக்கமாக, அதை மீண்டும் இணைக்கக்கூடிய சமமான கனசதுரத்தின் அளவு என்று வரையறுக்கப்படலாம். இருப்பினும், பதில் எதிர்மறையாக மாறியதுஃ அனைத்து பாலிஹெட்ராவையும் க்யூப்ஸாக பிரிக்க முடியாது. மற்ற சில ஹில்பர்ட் சிக்கல்களைப் போலல்லாமல், மூன்றாவது சிக்கலுக்கான பதில் மிக விரைவாக வந்தது. உண்மையில், ராவுல் பிரிகார்ட் ஏற்கனவே 1896 ஆம் ஆண்டில் இதை ஒரு தேற்றம் என்று கூறியிருந்தார், ஆனால் ஒரு ஆதாரத்துடன் அது முழுமையடையவில்லை. ஹில்பர்ட்டின் மாணவர் மேக்ஸ் டென், தனது 1900 வாழ்வாதார ஆய்வறிக்கையில், இந்த சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்காக டென் மாறுபாட்டைக் கண்டுபிடித்தார். சம அளவு கொண்ட இரண்டு பாலிஹெட்ராவும் சமமான டெஹ்ன் மாறிலியைக் கொண்டிருக்க வேண்டும் என்பதை டெஹ்ன் நிரூபித்தார், ஆனால் டெஹ்ன் மாறிலிகள் வேறுபடும் சம அளவு கொண்ட இரண்டு டெட்ராஹெட்ராவை அவர் கண்டறிந்தார். இது பிரச்சினைக்கு எதிர்மறையான தீர்வை வழங்கியது. டெஹ்ன் தனது மாறுபாட்டை வித்தியாசமாக வடிவமைத்திருந்தாலும், டெஹ்னின் மாறுபாட்டிற்கான நவீன அணுகுமுறை அதை ஒரு டென்சர் தயாரிப்பில் ஒரு மதிப்பு என்று விவரிப்பதாகும். எடுத்துக்காட்டுகள் எளிமைப்படுத்தப்பட்ட கணக்கீடு டெஹ்ன் மாறுபாட்டை ஒரே நேரத்தில் அனைத்து பாலிஹெட்ராவிற்கும் பொருந்தக்கூடிய வகையில் வரையறுப்பது எல்லையற்ற பரிமாண திசையன் இடைவெளிகளை உள்ளடக்கியது (கீழே காண்க). இருப்பினும், பிளாட்டோனிக் திடப்பொருட்கள் போன்ற வரையறுக்கப்பட்ட பல பாலிஹெட்ராவைக் கொண்ட எந்தவொரு குறிப்பிட்ட உதாரணத்திற்கும் கட்டுப்படுத்தப்படும்போது, அதை ஒரு எளிய வழியில் வரையறுக்க முடியும், இது ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான பரிமாணங்களை மட்டுமே உள்ளடக்கியது, பின்வருமாறுஃ அனைத்து பாலிஹெட்ராவின் விளிம்பு நீளங்கள் மற்றும் டைஹெட்ரல் கோணங்களை (ஒரு விளிம்பில் சந்திக்கும் இரண்டு முகங்களுக்கிடையேயான கோணம்) தீர்மானிக்கவும். பகுத்தறிவு அடிப்படையை உருவாக்கும் கோணங்களின் துணைக்குழுவைக் கண்டறியவும். இதன் பொருள் என்னவென்றால், ஒவ்வொரு டைஹெட்ரல் கோணத்தையும் அடிப்படை கூறுகளின் நேரியல் கலவையாக, விகிதமுறு எண் குணகங்களுடன் குறிப்பிடலாம். கூடுதலாக, அடிப்படை கூறுகளின் விகிதமுறு நேரியல் சேர்க்கை பூஜ்ஜியமாக இருக்கலாம். இந்த அடிப்படையில் சேர்க்கவும் (அல்லது ஒரு விகிதமுறு பெருக்கல்). ஒரு பாலிஹெட்ரானின் ஒவ்வொரு விளிம்பிற்கும், அதன் டைஹெட்ரல் கோணத்தை அடிப்படையிலிருந்து கோணங்களின் பகுத்தறிவு கலவையாக குறிக்கவும். இந்த கலவையில் உள்ள விகிதமுறு பெருக்கிக்கான குணகத்தை நிராகரிக்கவும். மீதமுள்ள குணகங்களை ஒரு திசையனின் ஆயத்தொகுதிகளாக விளக்கி, அதன் பரிமாணங்கள் அடிப்படை கோணங்களைக் குறிக்கின்றன, மேலும் இந்த திசையனை விளிம்பு நீளத்தால் அளவிடுகின்றன. ஒரு பாலிஹெட்ரானின் அனைத்து விளிம்புகளுக்கும் திசையன்களைச் சேர்த்து அதன் டெஹ்ன் மாறுபாட்டை உருவாக்கவும். இந்த முறை அடிப்படை கூறுகளின் தன்னிச்சையான தேர்வுகளை உள்ளடக்கியிருந்தாலும், இந்த தேர்வுகள் டெஹ்ன் மாறிலிகள் குறிப்பிடப்படும் குணகங்களை மட்டுமே பாதிக்கின்றன. ஒரு சுருக்க திசையன் இடத்தின் கூறுகளாக, அவை அடிப்படையின் தேர்வால் பாதிக்கப்படுவதில்லை. எந்தவொரு வரையறுக்கப்பட்ட பாலிஹெட்ராவின் டெஹ்ன் மாறுபாடுகளால் பரவியுள்ள திசையன் இடைவெளி எல்லையற்ற பரிமாண திசையன் இடத்தின் வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண துணை இடத்தை உருவாக்குகிறது, இதில் அனைத்து பாலிஹெட்ராவின் டெஹ்ன் மாறுபாடுகளும் வரையறுக்கப்படுகின்றன. எந்த டைஹெட்ரல் கோணங்களின் சேர்க்கைகள் பகுத்தறிவு நேரியல் சேர்க்கைகளால் தொடர்புடையவை என்ற கேள்வி எப்போதும் நேரடியானது அல்ல, மேலும் எண் கோட்பாட்டிலிருந்து அற்பமான முறைகளை உள்ளடக்கியிருக்கலாம். ஐந்து பிளாட்டோனிக் திடப்பொருட்களுக்கு, டைஹெட்ரல் கோணங்கள் பின்வருமாறுஃ டெட்ராஹெட்ரானுக்கு. , ஒரு சரியான கோணம், கனசதுரத்திற்கு. எண்முகத்திற்கு. டோடெகாஹெட்ரானைப் பொறுத்தவரை, தங்க விகிதம் எங்கே? ஐகோசாஹெட்ரானுக்கு. ஒரு கனசதுரத்தின் டைஹெட்ரல் கோணம் ஒரு விகிதமுறு பெருக்கமாகும், ஆனால் மீதமுள்ளவை அல்ல. வழக்கமான டெட்ராஹெட்ரான் மற்றும் வழக்கமான எண்மெட்ரானின் டைஹெட்ரல் கோணங்கள் துணை கோணங்களாகும்ஃ இந்த ஐந்து கோணங்களிலிருந்து டெட்ராஹெட்ரான் அல்லது எண்மெட்ரானை தவிர்ப்பது ஒரு பகுத்தறிவு அடிப்படையை உருவாக்குகிறதுஃ இந்த கோணங்களுக்கு இடையில் வேறு பகுத்தறிவு உறவுகள் எதுவும் இல்லை. உதாரணமாக, தவிர்க்கப்பட்ட அடிப்படை பயன்படுத்தப்பட்டு, ஒரு அடிப்படை உறுப்பாகப் பயன்படுத்தப்பட்டு, பின்னர் டெஹ்ன் மாறாத கணக்கீட்டிலிருந்து (ஒரு விகிதமுறு பெருக்கலாக) நீக்கப்பட்டால், மீதமுள்ள கோண அடிப்படைக் கூறுகள், மற்றும். இதன் விளைவாக வரும் டெஹ்ன் மாறிலிகள் ஒவ்வொரு அடிப்படை உறுப்புக்கும் ஒரு பரிமாணத்தைக் கொண்டிருக்கும். இந்த அடிப்படையில், விளிம்பு நீளம் கொண்ட பிளாட்டோனிக் திடப்பொருட்களுக்கு, டெஹ்ன் மாறிலிகள்ஃ டெட்ராஹெட்ரானுக்கு. இது நாற்கர டைஹெட்ரல் கோணங்களுடன் ஆறு விளிம்புகளைக் கொண்டுள்ளது. கனசதுரத்திற்கு. அதன் விளிம்புகள் டைஹெட்ரல் கோணங்களைக் கொண்டுள்ளன, அவை டெஹ்ன் மாறுபாட்டின் அடிப்படையில் மட்டுமே வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன, அவை நீக்கப்படுகின்றன. எண்முகத்திற்கு. அதன் பன்னிரண்டு விளிம்புகள் டைஹெட்ரல்களைக் கொண்டுள்ளன. இந்த கலவையில், குணகம் நிராகரிக்கப்பட்டு, டோடெகாஹெட்ரானுக்கு ஒரு குணகம் மட்டுமே உள்ளது. இது டோடெகாஹெட்ரல் டைஹெட்ரல் கோணங்களுடன் 30 விளிம்புகளைக் கொண்டுள்ளது. ஐகோசாஹெட்ரானுக்கு. இது ஐகோசாஹெட்ரல் டைஹெட்ரல் கோணங்களுடன் 30 விளிம்புகளைக் கொண்டுள்ளது. டெஹ்ன் மாறாதது பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் ஒரே கனசதுரம் இதுவாகும். மற்ற நான்கு பிளாட்டோனிக் திடப்பொருட்களில் ஒவ்வொன்றின் டெஹ்ன் மாறிலிகள் சமமற்றவை மற்றும் பூஜ்ஜியமற்றவை. ஆக்டாஹெட்ரானின் டெஹ்ன் மாறாதது அதே விளிம்பு நீளத்தின் ஒரு டெட்ராஹெட்ரானின் டெஹ்ன் மாறாதது. தொடர்புடைய பாலிஹெட்ரா கனசதுரத்தைப் போலவே, எந்தவொரு இணையான வளைவுகளின் டெஹ்ன் மாறாதது பூஜ்ஜியமாகும். இணையான நான்கு இணையான விளிம்புகளின் ஒவ்வொரு தொகுப்பும் ஒரே நீளத்தைக் கொண்டுள்ளன மற்றும் டைஹெட்ரல் கோணங்களைக் கொண்டுள்ளன, எனவே டெஹ்ன் மாறிலிக்கு அவற்றின் பங்களிப்புகள் பூஜ்ஜியத்திற்கு ரத்து செய்யப்படுகின்றன. மற்ற ஆர்க்கிமிடியன் திடப்பொருட்களின் டெஹ்ன் மாறிலிகள் பிளாட்டோனிக் திடப்பொருட்களின் மாறிலிகளின் பகுத்தறிவு சேர்க்கைகளாகவும் வெளிப்படுத்தப்படலாம். முன்பு இருந்த அதே அடிப்படையைப் பொறுத்தவரை, இந்த வடிவங்கள் விளிம்பு நீளத்தைக் கொண்டுள்ளன என்ற அதே அனுமானத்துடன், டெஹ்ன் மாறிலிகள் பின்வருமாறுஃ துண்டிக்கப்பட்ட டெட்ராஹெட்ரானுக்கு. துண்டிக்கப்பட்ட கனசதுரம், ரோம்பிகுபோக்டாஹெட்ரான் மற்றும் கியூபோக்டாஹெட்ரான் ஆகியவற்றிற்கு. துண்டிக்கப்பட்ட எண்முகத்திற்கு, இது பிட்ரன்கேட்டட் கியூபிக் தேன்கூடு போன்ற இடத்தை டைல்ஸ் செய்கிறது. துண்டிக்கப்பட்ட டோடெகாஹெட்ரானுக்கு. துண்டிக்கப்பட்ட ஐகோசாஹெட்ரானுக்கு. ஐகோசிடோடெகாஹெட்ரானுக்கு. ரோம்பிகோசிடோடெகாஹெட்ரானுக்கு. துண்டிக்கப்பட்ட ஐகோசிடோடெகாஹெட்ரானுக்கு. இது இடத்தை நேரடியாக டைல் செய்யாது, ஆனால் ஒரு ஜோனோஹெட்ரானாக இதை இணையான பைப்புகளாகப் பிரிக்கலாம், அவை செய்கின்றன. பயன்பாடுகள் கவனிக்கப்பட்டபடி, பாலிஹெட்ராவின் சிதைவுக்கு டெஹ்ன் மாறாதது ஒரு மாறாதது, அதாவது ஒரு பாலிஹெட்ரானை சிறிய பாலிஹெட்ரல் துண்டுகளாக வெட்டி, பின்னர் அவற்றை வேறு பாலிஹெட்ரானாக மீண்டும் இணைப்பது டெஹ்ன் மாறாத முடிவை மாற்றாது. இந்த வெட்டும் செயல்பாட்டில் ஒரு புதிய விளிம்பு அறிமுகப்படுத்தப்பட்டால், அது பாலிஹெட்ரானின் உட்புறமாக இருக்கும், மேலும் மொத்தமாக டைஹெட்ரல் கோணங்களால் சூழப்பட்டிருக்கும், அல்லது பாலிஹெட்ரானின் முகப்பில், மற்றும் மொத்தமாக டைஹெட்ரல்களால் சூழப்பட்டிருக்கும்; இரண்டு சந்தர்ப்பங்களிலும் இந்த விகிதமுறு மடங்கு டெஹ்ன் மாறுபாட்டிற்கு பங்களிக்காது. ஏற்கனவே இருக்கும் பாலிஹெட்ரான் விளிம்பு பாலிஹெட்ரானை வெட்டும்போது உருவாக்கப்பட்ட ஒரு புதிய முகத்தின் எல்லையாக இருக்கும்போது டெஹ்ன் மாறுபாட்டில் எந்த மாற்றமும் இல்லை என்பதை இதேபோன்ற பகுப்பாய்வு காட்டுகிறது. அந்த விளிம்பில் உள்ள புதிய டைஹெட்ரல் கோணங்கள் ஒரே தொகையுடன் இணைகின்றன, மேலும் டெஹ்ன் மாறாத அதே பங்களிப்பு, அவை முன்பு இருந்தன. பிரித்தெடுப்பின் மற்றொரு மாறாதது ஒரு பாலிஹெட்ரானின் அளவுஃ அதை பாலிஹெட்ரல் துண்டுகளாக வெட்டி துண்டுகளை மீண்டும் இணைப்பது மொத்த அளவை மாற்ற முடியாது. எனவே, ஒரு பாலிஹெட்ரான் மற்றொரு பாலிஹெட்ரானில் ஒரு பிரிவைக் கொண்டிருந்தால், இரண்டும் ஒரே டெஹ்ன் மாறாதது மற்றும் அதே அளவைக் கொண்டிருக்க வேண்டும். தொகுதி மற்றும் டெஹ்ன் மாறாதது மட்டுமே இந்த சிக்கலுக்கான மாறிலிகள் என்பதை நிரூபிப்பதன் மூலம் இந்த முடிவை விரிவுபடுத்தினார். இரண்டும் ஒரே அளவு மற்றும் ஒரே டெஹ்ன் மாறுபாட்டைக் கொண்டிருந்தால், ஒன்றை மற்றொன்றாக பிரித்தெடுப்பது எப்போதும் சாத்தியமாகும். டெஹ்ன் மாறாதது ஒரு பாலிஹெட்ரானின் டைல் இடத்திற்கான திறனையும் கட்டுப்படுத்துகிறது. ஒவ்வொரு இட நிரப்புதல் ஓடுகளும் கனசதுரத்தைப் போலவே டெஹ்ன் மாறாத பூஜ்ஜியத்தைக் கொண்டுள்ளன. டைல் இடத்தை அவ்வப்போது பயன்படுத்தும் பாலிஹெட்ராவைப் பொறுத்தவரை, டைலிங்கின் கால இடைவெளியைப் பயன்படுத்தி டைலை வெட்டி அதே கால இடைவெளியில் இணையாக மறுசீரமைக்கலாம், ஆனால் இந்த முடிவு ஷ்மிட்-கான்வே-டான்சர் பைப்ரிஸம் போன்ற அபெரியோடிக் ஓடுகளுக்கும் பொருந்தும். இதன் தலைகீழ் உண்மை அல்ல-டெஹ்ன் மாறாத பூஜ்ஜியத்துடன் பாலிஹெட்ரா உள்ளது, அவை டைல் இடத்தை கொண்டிருக்கவில்லை. இருப்பினும், இவை எப்போதும் மற்றொரு வடிவத்தில் (கனசதுரம்) பிரிக்கப்படலாம், இது ஓடு இடத்தை செய்கிறது. துண்டிக்கப்பட்ட ஐகோசிடோடெகாஹெட்ரான் ஒரு எடுத்துக்காட்டு. டெஹ்னின் முடிவு கோள வடிவியல் மற்றும் ஹைபர்போலிக் வடிவவியலுக்கு தொடர்ந்து செல்லுபடியாகும். அந்த இரண்டு வடிவவியல்களிலும், வெட்டப்பட்டு ஒருவருக்கொருவர் மீண்டும் இணைக்கக்கூடிய இரண்டு பாலிஹெட்ராக்கள் ஒரே டெஹ்ன் மாறுபாட்டைக் கொண்டிருக்க வேண்டும். இருப்பினும், ஜெஸ்ஸென் கவனித்தபடி, சிட்லரின் முடிவை கோள அல்லது ஹைபர்போலிக் வடிவவியலுக்கு நீட்டிப்பது திறந்த நிலையில் உள்ளதுஃ ஒரே அளவு மற்றும் ஒரே டெஹ்ன் மாறாத இரண்டு கோள அல்லது ஹைபர்போலிக் பாலிஹெட்ராவை எப்போதும் வெட்டி ஒருவருக்கொருவர் மீண்டும் இணைக்க முடியுமா என்பது தெரியவில்லை. வரையறுக்கப்பட்ட அளவைக் கொண்ட ஒவ்வொரு ஹைபர்போலிக் பன்மடங்கு புவியியல் மேற்பரப்புகளில் ஒரு ஹைபர்போலிக் பாலிஹெட்ரானாக (பன்மடங்கு அடிப்படை குழுவிற்கான ஒரு அடிப்படை களம்) வெட்டப்படலாம், இது பன்மடங்கு உலகளாவிய மறைப்பை இணைக்கிறது, எனவே பூஜ்ஜிய டெஹ்ன் மாறுபாட்டைக் கொண்டுள்ளது. மேலும் பொதுவாக, பாலிஹெட்ராவின் சில கலவைகள் கூட்டாக டைல்ஸ் இடத்தை இணைத்தால், அவற்றின் டெஹ்ன் மாறுபாடுகளின் கூட்டுத்தொகை (அதே விகிதத்தில் எடுக்கப்பட்டது) பூஜ்ஜியமாக இருக்க வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, நாற்கர-ஆக்டேஹெட்ரல் தேன்கூடு என்பது நாற்கர மற்றும் நாற்கரத்தால் (நாற்கரத்தை விட இரண்டு மடங்கு அதிக நாற்கரத்துடன்) இடத்தின் ஒரு டைலிங் ஆகும், இது ஒரு நாற்கரத்தின் டெஹ்ன் மாறிலிகளின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் இரண்டு நாற்கரத்தின் (ஒரே பக்க நீளங்களுடன்) பூஜ்ஜியம் என்ற உண்மையுடன் தொடர்புடையது. முழு வரையறை ஒரு டென்சர் தயாரிப்பாக டெஹ்ன் மாறிலியின் வரையறைக்கு ஒரு பாலிஹெட்ரான் பற்றிய கருத்து தேவைப்படுகிறது, இதற்காக விளிம்புகளின் நீளம் மற்றும் டைஹெட்ரல் கோணங்கள் நன்கு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளன. மிகவும் பொதுவாக, இது யூக்ளிடியன் இடத்தில் வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான தளங்களில் உட்பொதிக்கப்பட்ட துண்டுப்பிரதியாக நேரியல் பன்மடங்கு எல்லைகளைக் கொண்ட பாலிஹெட்ராவுக்கு பொருந்தும். இருப்பினும், டெஹ்ன் மாறாதது கோள வடிவவியலில் அல்லது ஹைபர்போலிக் இடத்தில் பாலிஹெட்ராவிற்கும், யூக்ளிடியன் இடத்தில் சில சுய-கடக்கும் பாலிஹெட்ராவிற்கும் கருதப்படுகிறது. இந்த டென்சர் பெருக்கலின் இடது காரணி உண்மையான எண்களின் தொகுப்பாகும் (இந்த விஷயத்தில் பாலிஹெட்ராவின் விளிம்புகளின் நீளங்களைக் குறிக்கிறது) மற்றும் வலது காரணி ரேடியன்களில் டைஹெட்ரல் கோணங்களைக் குறிக்கிறது, எண்கள் மாடுலோ விகிதமுறு மடங்குகளாக 2 கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. (சில ஆதாரங்கள் கோணங்களை மாடுலோவை எடுத்துக்கொள்வதற்குப் பதிலாக அல்லது கோணங்களைப் பிரித்து, அந்த இடத்தில் பயன்படுத்துகின்றன, ஆனால் இதன் விளைவாக வரும் டென்சர் பெருக்கலுக்கு இது எந்த வித்தியாசத்தையும் ஏற்படுத்தாது, ஏனெனில் சரியான காரணியில் உள்ள எந்தவொரு விகிதமுறு பெருக்கமும் பெருக்கத்தில் பூஜ்ஜியமாக மாறும்.) விளிம்பு நீளம் மற்றும் விளிம்பு டைஹெட்ரல் கோணங்களைக் கொண்ட ஒரு பாலிஹெட்ரானின் டெஹ்ன் மாறாதது கூட்டுத்தொகையாகும். டென்சராக அதன் அமைப்பு வடிவியல் ரீதியாக அர்த்தமுள்ள டெஹ்ன் மாறாத கூடுதல் பண்புகளை வழங்குகிறது. குறிப்பாக, இது ஒரு டென்சர் தரவரிசையைக் கொண்டுள்ளது, எந்தவொரு வெளிப்பாட்டிலும் குறைந்தபட்ச எண்ணிக்கையிலான சொற்கள் அத்தகைய சொற்களின் கூட்டுத்தொகையாக உள்ளன. பாலிஹெட்ரானின் விளிம்புகளின் கூட்டுத்தொகையாக டெஹ்ன் மாறுபாட்டின் வெளிப்பாடு சரியாக இந்த வடிவத்தைக் கொண்டிருப்பதால், டெஹ்ன் மாறுபாட்டின் தரவரிசை கொடுக்கப்பட்ட பாலிஹெட்ரானின் பிரித்தலின் விளைவாக எந்தவொரு பாலிஹெட்ரானுக்கும் சாத்தியமான குறைந்தபட்ச விளிம்புகளின் எண்ணிக்கையில் குறைந்த வரம்பைக் கொடுக்கிறது. ஒரு ஹேமல் அடிப்படையைப் பயன்படுத்துதல் டெஹ்ன் மாறாத ஒரு மாற்று ஆனால் சமமான விளக்கத்தில் ஹேமல் அடிப்படையைத் தேர்ந்தெடுப்பது அடங்கும், இது உண்மையான எண்களின் எல்லையற்ற துணைக்குழுவாகும், அதாவது ஒவ்வொரு உண்மையான எண்ணையும் தனித்துவமாக பல விகிதமுறு மடங்குகளின் கூட்டுத்தொகையாக வெளிப்படுத்த முடியும். எனவே, ஒரு சேர்க்கைக் குழுவாக, ஐசோமார்பிக் ஆகும், ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் ஒரு கூட்டுத்தொகையுடன் நகல்களின் நேரடி கூட்டுத்தொகை. (அல்லது ஒரு விகிதமுறு பெருக்கல்) அதன் உறுப்புகளில் ஒன்றாகவும், இந்த உறுப்பு விலக்கப்பட்ட மீதமுள்ள அடிப்படையாகவும் இருந்தால், டென்சர் பெருக்கல் (எல்லையற்ற பரிமாண) உண்மையான திசையன் இடைவெளி என விவரிக்கப்படலாம். டெஹ்ன் மாறிலியை ஒவ்வொரு டைஹெட்ரல் கோணத்தையும் அடிப்படை கூறுகளின் வரையறுக்கப்பட்ட கூட்டுத்தொகையாக சிதைப்பதன் மூலம் வெளிப்படுத்தலாம், இது ரேஷனல், ஹேமல் அடிப்படையில் உள்ள உண்மையான எண்களில் ஒன்றாகும், மேலும் இந்த அடிப்படை கூறுகள் எண்ணப்படுகின்றன, எனவே அதன் ரேஷனல் மல்டிபிள் அதற்கு சொந்தமானது ஆனால் இல்லை. இந்த சிதைவுடன், டெஹ்ன் மாறாதது ஒவ்வொன்றும் அடிப்படை உறுப்புடன் தொடர்புடைய நிலையான அலகு திசையன் ஆகும். இங்கே கூட்டுத்தொகை தொடங்குகிறது, விகிதமுறு மடங்குகளுடன் தொடர்புடைய சொல்லைத் தவிர்க்க. இந்த மாற்று சூத்திரம் டெஹ்ன் மாறிலியின் மதிப்புகள் ஒரு உண்மையான திசையன் இடத்தின் கூடுதல் கட்டமைப்பைக் கொடுக்க முடியும் என்பதைக் காட்டுகிறது. பொதுவாக, ஹேமல் தளங்களின் கட்டுமானம் விருப்பத்தின் கோட்பாட்டை உள்ளடக்கியது என்றாலும், பாலிஹெட்ராவின் டைஹெட்ரல் கோணங்களால் உருவாக்கப்படும் வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண திசையன் இடத்திற்கு கவனத்தை கட்டுப்படுத்துவதன் மூலம் இதைத் தவிர்க்கலாம் (எந்தவொரு குறிப்பிட்ட வரையறுக்கப்பட்ட பாலிஹெட்ராவையும் கருத்தில் கொள்ளும்போது). எல்லையற்ற விளிம்பு நீளங்களுடன் கூடிய ஹைபர்போலிக் பாலிஹெட்ரா ஹைபர்போலிக் இடத்தில் ஒரு சிறந்த பாலிஹெட்ரானுக்கு, விளிம்பு நீளங்கள் எல்லையற்றவை, இதனால் டெஹ்ன் மாறாத வழக்கமான வரையறை பொருந்தாது. ஆயினும்கூட, டெஹ்ன் மாறுபாட்டை இந்த பாலிஹெட்ராவுக்கு நீட்டிக்க முடியும், அவற்றின் செங்குத்துகளை வெட்டுவதற்கு ஜாதகங்களைப் பயன்படுத்துவதன் மூலமும், இதன் விளைவாக வெட்டப்பட்ட வடிவத்திற்கு வழக்கமான வழியில் டெஹ்ன் மாறுபாட்டைக் கணக்கிடுவதன் மூலமும், இந்த துண்டித்தல் செயல்முறையால் உருவாக்கப்பட்ட கூடுதல் வளைந்த விளிம்புகளை புறக்கணித்து. கொடுக்கப்பட்ட பாலிஹெட்ரானின் ஒரு உச்சியை மட்டுமே ஒவ்வொன்றும் வெட்டிக்கொள்ளும் வரை, இதன் விளைவாக துண்டிக்கப்படுவதற்கான ஜாதகங்களின் தேர்வைப் பொறுத்தது அல்ல. டெஹ்ன் மாறாதது இந்த இடத்தில் உள்ள அனைத்து உறுப்புகளிலும் மதிப்புகளை எடுத்தாலும், பாலிஹெட்ராவின் டெஹ்ன் மாறாதவையாக உணர முடியும். யூக்ளிடியன் பாலிஹெட்ராவின் டெஹ்ன் மாறிலிகள் ஒரு உண்மையான நேரியல் துணை இடத்தை உருவாக்குகின்றனஃ பாலிஹெட்ராவின் டிஜாயின்ட் யூனியனை எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம் பாலிஹெட்ராவின் டெஹ்ன் மாறிலிகளை ஒருவர் சேர்க்கலாம் (அல்லது அவற்றை ஒரு முகத்தில் ஒன்றாக இணைக்கலாம்), பாலிஹெட்ரான் வடிவத்தில் துளைகளை பெரிய க்யூப்களாக மாற்றுவதன் மூலம் டெஹ்ன் மாறிலிகளை நிராகரிக்கலாம், மேலும் பாலிஹெட்ரானை அதே எண்ணால் அளவிடுவதன் மூலம் டெஹ்ன் மாறிலியை எந்த நேர்மறை உண்மையான அளவெறியாலும் பெருக்கலாம். எந்த மூலக்கூறுகள் உணரக்கூடியவை என்ற கேள்வி டுபோன்ட் மற்றும் ஷாவின் பணிகளால் தெளிவுபடுத்தப்பட்டது, அவர்கள் குழு ஒத்த தன்மையை உள்ளடக்கிய அபெலியன் குழுக்களின் (திசையன் இடைவெளிகள் அல்ல) பின்வரும் சரியான வரிசைமுறையின் இருப்பைக் காட்டினர்ஃ இங்கே, குறியீடு யூக்ளிடியன் பாலிஹெட்ரா மாடுலோவின் மீது சுதந்திர அபெலியன் குழுவைக் குறிக்கிறது, சில உறவுகள் ஒருவருக்கொருவர் துண்டிக்கக்கூடிய ஜோடி பாலிஹெட்ராவிலிருந்து பெறப்படுகின்றன. முக்கோண ப்ரிஸம்களால் இந்த குழுவில் உருவாக்கப்பட்ட துணைக்குழுவாகும், மேலும் இது அளவைக் குறிக்க இங்கே பயன்படுத்தப்படுகிறது (ஒவ்வொரு உண்மையான எண்ணும் இந்த குழுவின் சரியாக ஒரு தனிமத்தின் அளவு என்பதால்). பாலிஹெட்ரா குழுவிலிருந்து வரைபடம் டெஹ்ன் மாறாதது. இது யூக்ளிடியன் புள்ளி சுழற்சி குழுவாகும், மேலும் இது குழு ஒத்திசைவு ஆகும். யூக்ளிடியன் பிரிவினைக்கு தொகுதி மற்றும் டெஹ்ன் மாறாதது மட்டுமே மாறாதவை என்ற சிட்லரின் தேற்றம், இந்த வரிசையில் தோன்றும் குழு அற்பமான குழு (குறியீடு 0 ஆல் வரிசையில் வேறு இடங்களில் குறிப்பிடப்படுகிறது) என்ற கூற்றின் மூலம் ஒரே மாதிரியாக குறிப்பிடப்படுகிறது. இது அற்பமானதாக இல்லாவிட்டால், பாலிஹெட்ரா குழுவில் உள்ள அதன் உருவம் பாலிஹெட்ராவின் ஒரு குடும்பத்தைக் கொடுக்கும், அவை ஒரே அளவின் கனசதுரத்திற்கு பிரித்தெடுக்க முடியாதவை, ஆனால் பூஜ்ஜிய டெஹ்ன் மாறாதவை. சிட்லரின் தேற்றத்தின்படி, அத்தகைய பாலிஹெட்ரா இல்லை. சரியான வரிசையின் வலதுபுறத்தில் தோன்றும் குழு கோஹ்லர் வேறுபாடுகளின் குழுவிற்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும், மேலும் நீளம் மற்றும் கோணங்களின் டென்சர் தயாரிப்புகளிலிருந்து கோஹ்லர் வேறுபாடுகளுக்கான வரைபடம் இதன் உலகளாவிய வழித்தோன்றல் எங்கு உள்ளது என்பதன் மூலம் வழங்கப்படுகிறது. இந்த குழு உணர்தலுக்கு ஒரு தடையாக உள்ளதுஃ அதன் பூஜ்ஜியமற்ற கூறுகள் டெஹ்ன் மாறுபாடுகளாக உணர முடியாத கூறுகளிலிருந்து வருகின்றன. ஹைபர்போலிக் அல்லது கோள இடைவெளியில், உணரக்கூடிய டெஹ்ன் மாறிலிகள் ஒரு திசையன் இடைவெளியை உருவாக்க வேண்டிய அவசியமில்லை, ஏனெனில் அளவிடுதல் பெருக்கம் இனி சாத்தியமில்லை. இருப்பினும், அவை இன்னும் டென்சர் உற்பத்தியின் ஒரு துணைக்குழுவை உருவாக்குகின்றன, அதில் அவை உறுப்புகள். இதேபோல், டுபோன்ட் மற்றும் ஷா சரியான வரிசைகளின் இருப்பை நிரூபிக்கின்றனர் மற்றும் இங்கே சிறப்பு நேரியல் குழுவைக் குறிக்கிறது, மேலும் இது மோபியஸ் உருமாற்றங்களின் குழுவாகும்; சூப்பர்ஸ்கிரிப்ட் மைனஸ்-சைன் சிக்கலான இணைப்பால் தூண்டப்பட்ட ஈடுபாட்டிற்கான (−1)-ஐகென்ஸ்பேஸைக் குறிக்கிறது. இது சிறப்பு ஒற்றையாட்சி குழுவைக் குறிக்கிறது. உட்பிரிவு என்பது முழு கோளத்தால் உருவாக்கப்பட்ட குழுவாகும். மீண்டும், இந்த வரிசைகளில் வலதுபுறத்தில் பூஜ்ஜியமற்ற குழு ஒரு டெஹ்ன் மாறாத ஒரு மதிப்பை உணர்ந்து கொள்வதற்கான தடையாக உள்ளது. டெஹ்ன் மாறிலியின் இந்த இயற்கணிதக் கண்ணோட்டம் உயர் பரிமாணங்களுக்கு நீட்டிக்கப்படலாம், அங்கு இது இயற்கணித கே-கோட்பாட்டை உள்ளடக்கிய ஒரு உந்துதல் விளக்கத்தைக் கொண்டுள்ளது. நான்கு பரிமாணங்களில், பாலிஹெட்ரா மாடுலோ சிதைவுகளின் குழு முப்பரிமாண குழுவிற்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும். ஒவ்வொரு நான்கு பரிமாண பாலிடோப்பையும் ஒரு முப்பரிமாண பாலிடோப்பின் மீது ஒரு ப்ரிஸத்திற்கு துண்டிக்க முடியும், மேலும் இரண்டு நான்கு பரிமாண பாலிடோப்புகளை அவற்றின் தொகுதிகள் மற்றும் டெஹ்ன் மாறிலிகள் சமமாக இருக்கும்போது ஒருவருக்கொருவர் துண்டிக்க முடியும். நான்குக்கு மேற்பட்ட பரிமாணங்களில், துண்டுகளின் இருப்பு தொகுதிகள் மற்றும் டெஹ்ன் மாறுபாடுகளால் முழுமையாக விவரிக்கப்படுகிறதா, அல்லது ஒரு பிரித்தல் இருக்கிறதா என்பதை தீர்மானிக்க பிற தகவல்கள் தேவைப்படுகிறதா என்பது திறந்த நிலையில் உள்ளது. தொடர்புடைய முடிவுகள் டெஹ்ன் மாறிலிக்கு மிகவும் ஒத்த ஒரு அணுகுமுறை இரண்டு செவ்வக பலகோணங்களை அச்சு-இணையான வெட்டுக்கள் மற்றும் மொழிபெயர்ப்புகளைப் பயன்படுத்தி (தன்னிச்சையான கோணங்கள் மற்றும் சுழற்சிகளில் வெட்டுக்களைக் காட்டிலும்) ஒருவருக்கொருவர் துண்டிக்க முடியுமா என்பதைத் தீர்மானிக்க பயன்படுத்தப்படலாம். இந்த வகையான பிரிவினைக்கு ஒரு மாறாதது டென்சர் தயாரிப்பைப் பயன்படுத்துகிறது, அங்கு உற்பத்தியில் இடது மற்றும் வலது சொற்கள் செவ்வகங்களின் உயரம் மற்றும் அகலத்தைக் குறிக்கின்றன. எந்தவொரு கொடுக்கப்பட்ட பலகோணத்திற்கும் மாறாதது பலகோணங்களை செவ்வகங்களாக வெட்டி, ஒவ்வொரு செவ்வகத்தின் உயரம் மற்றும் அகலத்தின் டென்சர் பெருக்கல் எடுத்து, முடிவுகளைச் சேர்ப்பதன் மூலம் கணக்கிடப்படுகிறது. இரண்டு பலகோணங்கள் ஒரே மாறுபாட்டைக் கொண்டிருந்தால் மட்டுமே ஒரு பிரித்தல் சாத்தியமாகும், இது அவை சமமான பகுதிகளைக் கொண்டிருப்பதைக் குறிக்கிறது. 1903 முதல் டெஹ்னின் மற்றொரு முடிவை நிரூபிக்க இந்த மாறுபாட்டைப் பயன்படுத்தலாம்ஃ ஒரே பகுதியின் இரண்டு செவ்வகங்கள் அவற்றின் அம்ச விகிதங்கள் ஒன்றுக்கொன்று விகிதமுறு மடங்குகளாக இருந்தால் மட்டுமே ஒருவருக்கொருவர் பிரிக்கப்படலாம். இது பின்வருமாறு, சதுரங்களின் சங்கமத்திலிருந்து உருவாக்கப்பட்ட ஒரு பாலிமோனோவை ஒரு சதுர எண்ணாக இருக்கும்போது மட்டுமே ஒரு சதுரத்திற்கு இந்த வழியில் துண்டிக்க முடியும். டெஹ்ன் மாறிலியின் இந்த பதிப்பிற்கு, டென்சர் தரவரிசை என்பது ஒரு பலகோணத்தை துண்டிக்கக்கூடிய குறைந்தபட்ச செவ்வகங்களின் எண்ணிக்கைக்கு சமம். நெகிழ்வான பாலிஹெட்ரா என்பது பாலிஹெட்ராவின் ஒரு வகுப்பாகும், அவை அவற்றின் முகங்களின் வடிவத்தைப் பாதுகாக்கும் தொடர்ச்சியான இயக்கத்திற்கு உட்படும். காச்சியின் கடினத்தன்மை தேற்றத்தின் படி, அவை குவியாமல் இருக்க வேண்டும், மேலும் இந்த இயக்கம் முழுவதும் பாலிஹெட்ரானின் அளவு மாறாமல் இருக்க வேண்டும் என்பது ("பெல்லோஸ் தேற்றம்") அறியப்படுகிறது. இந்த தேற்றத்தின் வலுவான பதிப்பு, அத்தகைய பாலிஹெட்ரானின் டெஹ்ன் மாறாதது எந்தவொரு தொடர்ச்சியான இயக்கத்திலும் மாறாமல் இருக்க வேண்டும் என்று கூறுகிறது. இந்த முடிவு "வலுவான பெல்லோஸ் தேற்றம்" என்று அழைக்கப்படுகிறது. இது அனைத்து சுய-வெட்டப்படாத நெகிழ்வான பாலிஹெட்ராவிற்கும் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. இருப்பினும், சுய-வெட்டுக்களுடன் மிகவும் சிக்கலான நெகிழ்வான பாலிஹெட்ராவுக்கு பாலிஹெட்ரான் நெகிழ்வுகளாக டெஹ்ன் மாறாதது தொடர்ந்து மாறக்கூடும். ஒரு மென்மையான மேற்பரப்பின் மொத்த சராசரி வளைவை டெஹ்ன் மாறாததைப் போன்ற ஒரு வரையறையைப் பயன்படுத்தி பாலிஹெட்ரல் மேற்பரப்புகளுக்கு பொதுமைப்படுத்தலாம், ஏனெனில் விளிம்பு நீளங்களின் விளிம்புகளில் உள்ள கூட்டுத்தொகை வெளிப்புற டைஹெட்ரல் கோணங்களால் பெருக்கப்படுகிறது. எந்தவொரு நெகிழ்வான பாலிஹெட்ரானுக்கும் இது நிலையானதாக இருப்பது நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. குறிப்புகள் மேற்கோள்கள் வெளிப்புற இணைப்புகள் பாலிஹெட்ரா எண் வடிவியல் பிரித்தலில் டெஹ்ன் மாறிலிகளைப் பற்றிய வீடியோ