Contract bridge probabilities
பிரிட்ஜ் விளையாட்டில் கணித நிகழ்தகவுகள் குறிப்பிடத்தக்க பங்கைக் கொண்டுள்ளன. வெவ்வேறு அறிவிப்பாளர் விளையாட்டு உத்திகள் எதிரியின் அட்டைகளின் விநியோகத்தைப் பொறுத்து வெற்றிக்கு வழிவகுக்கும். எந்த மூலோபாயம் வெற்றிபெற அதிக வாய்ப்புள்ளது என்பதை தீர்மானிக்க, அறிவிப்பாளருக்கு குறைந்தபட்சம் சாத்தியக்கூறுகள் பற்றிய அடிப்படை அறிவு இருக்க வேண்டும். கீழேயுள்ள அட்டவணைகள் பல்வேறு முந்தைய சாத்தியக்கூறுகளைக் குறிப்பிடுகின்றன, அதாவது. கூடுதல் தகவல்கள் இல்லாத சாத்தியக்கூறுகள். ஏலம் மற்றும் விளையாட்டின் போது, கைகளைப் பற்றிய கூடுதல் தகவல்கள் கிடைக்கின்றன, இது வீரர்கள் தங்கள் நிகழ்தகவு மதிப்பீடுகளை மேம்படுத்த அனுமதிக்கிறது. சூட் விநியோகங்களின் நிகழ்தகவு (டிரம்ப்களைக் காணவில்லை என்றால் போன்றவை) இரண்டு மறைக்கப்பட்ட கைகளில் இந்த அட்டவணை இரண்டு முதல் எட்டு குறிப்பிட்ட அட்டைகளை விநியோகிக்கக்கூடிய வெவ்வேறு வழிகளைக் குறிக்கிறது, அல்லது இரண்டு அறியப்படாத 13-அட்டை கைகளுக்கு இடையில் (ஏலம் மற்றும் விளையாட்டுக்கு முன், அல்லது ஒரு முன்னுரிமை) இருக்கலாம் அல்லது பிரிக்கப்படலாம். எந்தவொரு எண் பிளவுக்கும் பொருந்தக்கூடிய குறிப்பிட்ட அட்டைகளின் சேர்க்கைகளின் எண்ணிக்கையையும் ஒவ்வொரு கலவையின் நிகழ்தகவுகளையும் அட்டவணை காட்டுகிறது. இந்த சாத்தியக்கூறுகள் காலியான இடங்களின் சட்டத்திலிருந்து நேரடியாகப் பின்பற்றப்படுகின்றன. சாத்தியக்கூறுகளின் கணக்கீடு கொடுக்கப்பட்ட சூட்டில் கார்டுகளை வைத்திருக்கும் அறியப்படாத கார்டுகளைக் கொண்ட ஒரு கிழக்கு வீரர் மற்றும் கொடுக்கப்பட்ட சூட்டில் கார்டுகளை வைத்திருக்கும் அறியப்படாத கார்டுகளைக் கொண்ட ஒரு மேற்கு வீரர் ஆகியோரின் நிகழ்தகவாக இருக்கட்டும். இடைவெளிகளில் உள்ள சூட்டில் உள்ள அட்டைகளின் மொத்த ஏற்பாடுகள் அதாவது. சூட்டில் உள்ள அட்டைகள் பிரித்தறிய முடியாத பொருட்களின் வரிசைமாற்றங்களின் எண்ணிக்கை மற்றும் சூட்டில் இல்லாத அட்டைகள் பிரித்தறிய முடியாதவை. சூட்டில் கார்டுகள் மற்றும் சூட்டில் மேற்கு கார்டுகள் கொண்ட கிழக்கு ஏற்பாடுகளின் எண்ணிக்கை வழங்கப்படுகிறது. எனவே, பிரிவின் திசை முக்கியமற்றதாக இருந்தால் (பிளவு மட்டுமே இருக்க வேண்டும்-, அட்டைகளை வைத்திருக்க கிழக்கு குறிப்பாக தேவையில்லை), பின்னர் ஒட்டுமொத்த நிகழ்தகவு க்ரோனெக்கர் டெல்டா கிழக்கு மற்றும் மேற்கு ஒரே எண்ணிக்கையிலான அட்டைகளைக் கொண்டிருக்கும் சூழ்நிலையை உறுதிசெய்கிறது. மேலே உள்ள சாத்தியக்கூறுகள் பிளவுகளின் திசை முக்கியமற்றது என்று கருதுகின்றன, எனவே அவை கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. ஒரு வீரர் மற்றொரு சூட்டில் கார்டுகள் வைத்திருப்பது தெரிந்தால், ஒரு சூட் உடைவதற்கான நிகழ்தகவைக் கணக்கிட மிகவும் பொதுவான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம். எ. கா. ஏலம். கிழக்கு ஏலத்தில் இருந்து 7 ஈட்டிகள் இருப்பதாக அறியப்படுகிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம், டம்மியைப் பார்த்த பிறகு நீங்கள் மேற்கு 2 ஈட்டிகளை வைத்திருப்பதாகக் கருதுகிறீர்கள்; பின்னர் உங்கள் இரண்டு வரிசை விளையாட்டுகள் வைரங்களுக்கு 5-3 அல்லது கிளப்களுக்கு 4-4 என்று நம்புவதாக இருந்தால், முன்னுரிமை நிகழ்தகவுகள் முறையே 47 சதவீதம் மற்றும் 48 சதவீதம் ஆகும், ஆனால் இப்போது கிளப் வரிசை வைர வரியை விட கணிசமாக சிறந்தது. எச். சி. பி விநியோகத்தின் நிகழ்தகவு உயர் அட்டை புள்ளிகள் (எச். சி. பி) பொதுவாக ஒவ்வொரு ஏஸ்/கிங்/குயின்/ஜாக் முறையே 4/3/2 1 புள்ளிகளின் மில்டன் வொர்க் அளவைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகின்றன. கொடுக்கப்பட்ட கையில் ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான எச். சி. பி. க்கு மேல் இல்லை என்ற முன்னுரிமை நிகழ்தகவுகள் கீழே உள்ள அட்டவணையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளி வரம்பின் சாத்தியக்கூறுகளைக் கண்டறிய, ஒன்று இரண்டு தொடர்புடைய ஒட்டுமொத்த நிகழ்தகவுகளை வெறுமனே கழிக்கிறது. எனவே, ஒரு 12-19 HCP கை கையாளப்படுவதற்கான சாத்தியக்கூறு (வரம்புகள் உட்பட) அதிகபட்சம் 19 HCP கழித்தல் அதிகபட்சம் 11 HCP ஐக் கொண்டிருப்பதற்கான நிகழ்தகவு, அல்லதுஃ 0.9855 − 0.6518 = 0.3337. கை வடிவம் நிகழ்தகவுகள் ஒரு கை வடிவம் என்பது நான்கு சூட்டுகளின் மீது ஒரு கையில் பதின்மூன்று அட்டைகளின் விநியோகத்தைக் குறிக்கிறது. மொத்தம் 39 கை வடிவங்கள் சாத்தியமாகும், ஆனால் அவற்றில் 13 மட்டுமே 1 சதவீதத்திற்கு மேல் முன்னுரிமை நிகழ்தகவைக் கொண்டுள்ளன. மிகவும் சாத்தியமான வடிவம் 4-4-3-2 வடிவமாகும், இதில் இரண்டு நான்கு-அட்டை வழக்குகள், மூன்று-அட்டை வழக்குகள் மற்றும் ஒரு டபுள்டன் ஆகியவை உள்ளன. கை வடிவம் எந்த குறிப்பிட்ட உடைகள் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட நீளங்களைக் கொண்டுள்ளன என்பதைக் குறிப்பிடவில்லை என்பதை நினைவில் கொள்க. ஒரு 4-4-3-2 வடிவத்திற்கு, நான்கு சூட்டுகளில் ஒவ்வொன்றிலும் உள்ள நீளத்தை அடையாளம் காண, எந்த சூட்டில் மூன்று அட்டை உள்ளது மற்றும் எந்த சூட்டில் டபுள்டன் உள்ளது என்பதை ஒருவர் குறிப்பிட வேண்டும். மூன்று அட்டை சூட்டை முதலில் அடையாளம் காண நான்கு சாத்தியக்கூறுகளும், அடுத்ததாக டபுள்டனை அடையாளம் காண மூன்று சாத்தியக்கூறுகளும் உள்ளன. எனவே, 4-4-3-2 வடிவத்தின் சூட் வரிசைமாற்றங்களின் எண்ணிக்கை பன்னிரண்டு ஆகும். அல்லது, வேறுவிதமாகக் கூறினால், மொத்தம் பன்னிரண்டு வழிகள் உள்ளன, ஒரு 4-4-3-2 வடிவத்தை நான்கு சூட்டுகளில் வரைபடமாக்க முடியும். கீழே உள்ள அட்டவணை அனைத்து 39 சாத்தியமான கை வடிவங்களையும், அவற்றின் நிகழ்தகவு மற்றும் ஒவ்வொரு வடிவத்திற்கும் சூட் வரிசைமாற்றங்களின் எண்ணிக்கையையும் பட்டியலிடுகிறது. கை வடிவங்கள் ஏற்படுவதற்கான சாத்தியக்கூறுகளுக்கு ஏற்ப பட்டியல் வரிசைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது. 39 கை வடிவங்கள் நான்கு கை வகைகளாக வகைப்படுத்தப்படலாம்ஃ சமநிலையான கைகள், ஒற்றை சூட்டர்கள், இரண்டு சூட்டர்கள் மற்றும் மூன்று சூட்டர்கள். கீழே உள்ள அட்டவணை ஒரு குறிப்பிட்ட கை வகையைக் கையாள்வதற்கான முன்னுரிமை வாய்ப்புகளை வழங்குகிறது. 39 கை வடிவங்களின் மாற்று தொகுப்பு நீளமான சூட் அல்லது குறுகிய சூட் மூலம் செய்யப்படலாம். கீழே உள்ள அட்டவணைகள் கொடுக்கப்பட்ட நீளத்தின் மிக நீளமான அல்லது குறுகிய சூட்டுடன் ஒரு கையை கையாள்வதற்கான முன்னுரிமை வாய்ப்பை வழங்குகிறது. சாத்தியமான கைகள் மற்றும் ஒப்பந்தங்களின் எண்ணிக்கை ஒரு வீரர் பிடிக்கக்கூடிய 635,013,559,600 () வெவ்வேறு கைகள் உள்ளன. மேலும், மீதமுள்ள 39 அட்டைகள் அவற்றின் அனைத்து சேர்க்கைகளுடனும் சேர்க்கப்படும்போது, 53,644,737,765,488,792,839,237,440,000 (53.6 x 1027) வெவ்வேறு ஒப்பந்தங்கள் சாத்தியமாகும் () "ஒவ்வொரு ஒப்பந்தமும் ஒரு சதுர மில்லிமீட்டரை மட்டுமே ஆக்கிரமித்திருந்தால் சாத்தியமான அனைத்து பிரிட்ஜ் ஒப்பந்தங்களையும் பரப்ப எவ்வளவு பெரிய பரப்பளவு தேவைப்படும்?" என்ற கேள்விக்கு பதிலளிப்பதன் மூலம் இந்த எண்ணின் அபரிமிதத்தை புரிந்து கொள்ள முடியும். பதில்ஃ பூமியின் மேற்பரப்பு பரப்பளவை விட நூறு மில்லியன் மடங்கு அதிகமான பரப்பளவு. வெளிப்படையாக, 2 மற்றும் 3 ஐ மாற்றுவதைத் தவிர ஒரே மாதிரியான ஒப்பந்தங்கள் வேறுபட்ட முடிவைக் கொடுக்க வாய்ப்பில்லை. சிறிய அட்டைகளின் பொருத்தமற்ற தன்மையை வெளிப்படையாகச் செய்ய (இது எப்போதும் அப்படி இல்லை என்றாலும்), பிரிட்ஜில் அத்தகைய சிறிய அட்டைகள் பொதுவாக 'x' ஆல் குறிக்கப்படுகின்றன. எனவே, இந்த அர்த்தத்தில் "சாத்தியமான ஒப்பந்தங்களின் எண்ணிக்கை" எத்தனை கெளரவமற்ற அட்டைகள் (2,3,. 9) 'பிரித்தறிய முடியாதவை' என்று கருதப்படுகின்றன என்பதைப் பொறுத்தது. எடுத்துக்காட்டாக, பத்துக்கும் குறைவான அனைத்து அட்டைகளுக்கும் 'x' குறியீடு பயன்படுத்தப்பட்டால், சூட் விநியோகங்கள் A987-K106-Q54-J32 மற்றும் A432-K105-Q76-J98 ஒரே மாதிரியாகக் கருதப்படும். கீழே உள்ள அட்டவணை பல்வேறு எண்ணிக்கையிலான சிறிய அட்டைகள் பிரித்தறிய முடியாதவை என்று கருதப்படும் போது ஒப்பந்தங்களின் எண்ணிக்கையை வழங்குகிறது. அட்டவணையில் கடைசி உள்ளீடு (37,478,624) டெக்கின் வெவ்வேறு விநியோகங்களின் எண்ணிக்கையுடன் ஒத்திருக்கிறது என்பதை நினைவில் கொள்க (அட்டைகள் அவற்றின் சூட்டால் மட்டுமே வேறுபடுத்தப்படும் போது ஒப்பந்தங்களின் எண்ணிக்கை). இழப்பு-தந்திர எண்ணிக்கையின் நிகழ்தகவு இழப்பு-தந்திர எண்ணிக்கை என்பது கை மதிப்பீட்டு முறையாக எச். சி. பி எண்ணிக்கைக்கு மாற்றாகும். 1954 இல் எழுத்தாளர்களின் இரண்டாவது பிரெஞ்சு பதிப்பை மேலும் வாசிப்பதற்கான குறிப்புகள். அலெக் ட்ராபால் ஆங்கிலத்தில் மொழிபெயர்க்கப்பட்டு திருத்தப்பட்டது பாலத்தின் கணிதக் கோட்பாடு; 1974 இல் தைவானில் சி. சி. யின் உதவியுடன் அச்சிடப்பட்டது வேய்.