Bessel–Clifford function
கணித பகுப்பாய்வில், ஃப்ரெட்ரிக் பெசல் மற்றும் வில்லியம் கிங்டன் கிளிஃபோர்ட் ஆகியோரின் பெயரால் பெயரிடப்பட்ட பெசல்-கிளிஃபோர்ட் செயல்பாடு, பெசல் செயல்பாடுகளின் கோட்பாட்டின் மாற்று வளர்ச்சியை வழங்க பயன்படுத்தக்கூடிய இரண்டு சிக்கலான மாறிகளின் முழு செயல்பாடாகும். முழு செயல்பாடும் பரஸ்பர காமா செயல்பாட்டின் மூலம் வரையறுக்கப்பட்டால், பெசல்-கிளிஃபோர்ட் செயல்பாடு தொடர் மூலம் வரையறுக்கப்படுகிறது அடுத்தடுத்த சொற்களின் விகிதம் z/k (n + k) ஆகும், இது z மற்றும் n இன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் அதிகரித்து வரும் k உடன் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும். விகித சோதனையின் மூலம், இந்த தொடர் அனைத்து z மற்றும் n க்கும் முற்றிலும் ஒருங்கிணைக்கிறது, மேலும் எல்லைக்குட்பட்ட |z | கொண்ட அனைத்து பகுதிகளுக்கும் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும், எனவே பெசல்-கிளிஃபோர்ட் செயல்பாடு என்பது n மற்றும் z ஆகிய இரண்டு சிக்கலான மாறிகளின் முழு செயல்பாடாகும். பெசல்-கிளிஃபோர்ட் செயல்பாட்டின் வேறுபட்ட சமன்பாடு இது மேலே உள்ள தொடர்களிலிருந்து x ஐப் பொறுத்து வேறுபடுத்துவது நேரியல் இரண்டாவது வரிசை ஒரே மாதிரியான வேறுபட்ட சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்துகிறது இந்த சமன்பாடு பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ஹைப்பர்ஜியோமெட்ரிக் வகையைச் சேர்ந்தது, உண்மையில் பெசல்-கிளிஃபோர்ட் செயல்பாடு ஒரு ஸ்கேலிங் காரணி வரை ஒரு போச்சம்மர்-பார்ன்ஸ் ஹைப்பர்ஜியோமெட்ரிக் செயல்பாடு; நம்மிடம் n ஒரு எதிர்மறை முழு எண்ணாக இல்லாவிட்டால், இந்த விஷயத்தில் வலது புறம் வரையறுக்கப்படவில்லை, இரண்டு வரையறைகளும் அடிப்படையில் சமமானவை; ஹைப்பர்ஜியோமெட்ரிக் செயல்பாடு இயல்பாக்கப்படுகிறது, இதனால் அதன் மதிப்பு z = 0 இல் உள்ளது. பெசல் செயல்பாடுகளுடனான உறவு முதல் வகையான பெசல் செயல்பாட்டை பெசல்-கிளிஃபோர்ட் செயல்பாட்டின் அடிப்படையில் வரையறுக்க முடியும், ஏனெனில் n ஒரு முழு எண்ணாக இல்லாதபோது பெசல் செயல்பாடு முழுமையடையவில்லை என்பதை இதிலிருந்து காணலாம். இதேபோல், முதல் வகையான மாற்றியமைக்கப்பட்ட பெசல் செயல்பாட்டை இவ்வாறு வரையறுக்கலாம் செயல்முறையை நிச்சயமாக மாற்றியமைக்க முடியும், இதனால் பெசல்-கிளிஃபோர்ட் செயல்பாட்டை நாம் வரையறுக்கலாம், ஆனால் இந்த தொடக்க புள்ளியில் இருந்து நாம் முழுமையைக் காட்ட வேண்டும். வரையறுக்கும் தொடரில் இருந்து, இதைப் பயன்படுத்தி, பெசல்-கிளிஃபோர்ட் செயல்பாட்டிற்கான மீண்டும் நிகழும் உறவை வரையறுக்கும் வகையிலான வேறுபாடு சமன்பாட்டை நாம் மீண்டும் எழுதலாம். இது 0F1 க்கான ஒத்த உறவுக்கு சமம். காஸின் தொடர்ச்சியான பின்னத்தின் ஒரு சிறப்பு நிகழ்வாக நம்மிடம் உள்ளது, இந்த தொடர்ச்சியான பின்னம் அனைத்து நிகழ்வுகளிலும் ஒன்றிணைகிறது என்பதைக் காட்டலாம். இரண்டாவது வகையின் பெசல்-கிளிஃபோர்ட் செயல்பாடு பெசல்-கிளிஃபோர்ட் வேறுபாடு சமன்பாடு இரண்டு நேரியல் சுயாதீன தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது. தோற்றம் என்பது வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் வழக்கமான ஒருமை புள்ளியாக இருப்பதால், அது முழுமையாய் இருப்பதால், இரண்டாவது தீர்வு தோற்றத்தில் ஒருமைப்பாடாக இருக்க வேண்டும். எதற்கு ஒன்றிணைகிறது என்பதை நாம் அமைத்து, பகுப்பாய்வு ரீதியாக அதைத் தொடர்ந்தால், வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கு இரண்டாவது நேரியல் சுயாதீனமான தீர்வை நாம் பெறுகிறோம். இரண்டாவது வகையின் பெசல் செயல்பாடுகளுடன் ஒத்திருப்பதற்காக 1/2 இன் காரணி செருகப்படுகிறது. நம்மிடம் உள்ளது மற்றும் K இன் அடிப்படையில், நம்மிடம் உள்ளது எனவே, பெசல் செயல்பாடு மற்றும் முதல் வகையான மாற்றியமைக்கப்பட்ட பெசல் செயல்பாடு இரண்டையும் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்த முடியும் போலவே, இரண்டாவது வகையைச் சேர்ந்த இரண்டையும் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தலாம். செயல்பாட்டை உருவாக்குதல் எக்ஸ்ப் (டி) மற்றும் எக்ஸ்ப் (இசட்/டி) ஆகியவற்றிற்கான முற்றிலும் ஒருங்கிணைந்த தொடரை ஒன்றாக பெருக்கினால், எக்ஸ்ப் (டி + இசட்/டி) க்கான முற்றிலும் ஒருங்கிணைந்த தொடரைப் பெறுகிறோம் (டி பூஜ்ஜியமாக இல்லாதபோது). t இல் சொற்களைச் சேகரித்து, நம்மிடம் உள்ள பவர் சீரிஸ் வரையறையுடன் ஒப்பிடுகையில் இந்த உருவாக்கும் செயல்பாட்டை மேலும் சூத்திரங்களைப் பெற பயன்படுத்தலாம், குறிப்பாக நாம் காச்சியின் ஒருங்கிணைந்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம் மற்றும் முழு எண் n க்கு குறிப்புகளாகப் பெறலாம். . . . . . சிறப்பு ஹைப்பர்ஜியோமெட்ரிக் செயல்பாடுகள்