Lebesgue differentiation theorem
கணிதத்தில், லெபெஸ்கூ வேறுபாடு தேற்றம் என்பது உண்மையான பகுப்பாய்வின் ஒரு தேற்றமாகும், இது கிட்டத்தட்ட ஒவ்வொரு புள்ளிக்கும், ஒரு ஒருங்கிணைந்த செயல்பாட்டின் மதிப்பு புள்ளியைப் பற்றி எடுக்கப்பட்ட எல்லையற்ற சராசரிகளின் வரம்பாகும் என்று கூறுகிறது. இந்த தேற்றம் ஹென்றி லெபெஸ்கூவின் பெயரால் அழைக்கப்படுகிறது. Rn இல் ஒரு லெபெஸ்கூ ஒருங்கிணைந்த உண்மையான அல்லது சிக்கலான மதிப்புள்ள செயல்பாட்டிற்கு, காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு என்பது ஒரு தொகுப்பு செயல்பாடாகும், இது அளவிடக்கூடிய தொகுப்பு A ஐ லெபெஸ்கூ ஒருங்கிணைப்புக்கு வரைபடமாக்குகிறது, அங்கு தொகுப்பு A இன் சிறப்பியல்பு செயல்பாட்டைக் குறிக்கிறது. இது பொதுவாக λ என்ற n-பரிமாண லெபெஸ்கூ அளவினால் எழுதப்படுகிறது. x இல் உள்ள இந்த ஒருங்கிணைப்பின் வழித்தோன்றல், |B | என்பது x ஐ மையமாகக் கொண்ட ஒரு பந்து B இன் அளவைக் குறிக்கிறது (அதாவது, லெபெஸ்கூ அளவீடு), மற்றும் B → x என்பது B இன் விட்டம் 0 ஆக இருக்கும் என்று அர்த்தம். லெபெஸ்கூ வேறுபாடு தேற்றம் இந்த வழித்தோன்றல் உள்ளது மற்றும் கிட்டத்தட்ட ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் f (x) க்கு சமம் என்று கூறுகிறது. உண்மையில் சற்று வலுவான கூற்று உண்மை. இதைக் கவனியுங்கள்ஃ வலுவான கூற்று என்னவென்றால், வலது புறம் கிட்டத்தட்ட ஒவ்வொரு புள்ளி x க்கும் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும். இது உண்மையாக இருக்கும் x புள்ளிகள் f இன் லெபெஸ்கூ புள்ளிகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. மேலும் பொதுவான பதிப்பும் உள்ளது. ஒருவர் B பந்துகளை வரம்புக்குட்பட்ட விசித்திரமான U செட்டுகளின் குடும்பத்தால் மாற்றலாம். இதன் பொருள் என்னவென்றால், சில நிலையான c> 0 உள்ளது, அதாவது குடும்பத்திலிருந்து ஒவ்வொரு செட் U ஒரு பந்து B உடன் உள்ளது. ஒவ்வொரு புள்ளியும் x ωRn தன்னிச்சையாக சிறிய தொகுப்புகளில் உள்ளது என்றும் கருதப்படுகிறது. இந்த தொகுப்புகள் x ஆக சுருங்கும்போது, அதே முடிவு பின்வருமாறு இருக்கும்ஃ கிட்டத்தட்ட ஒவ்வொரு புள்ளி x க்கும், க்யூப்ஸ் குடும்பம் அத்தகைய குடும்பத்திற்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு, R2 இல் உள்ள செவ்வகங்களின் குடும்பம் (m) போன்றது, சில நிலையான m ≤ 1 க்கு பக்கங்களின் விகிதம் m−1 மற்றும் m க்கு இடையில் இருக்கும். ஆர்என் மீது ஒரு தன்னிச்சையான நெறிமுறை கொடுக்கப்பட்டால், நெறிமுறையுடன் தொடர்புடைய மெட்ரிக் பந்துகளின் குடும்பம் மற்றொரு எடுத்துக்காட்டு. ஒரு பரிமாண வழக்கு முன்பு நிரூபிக்கப்பட்டது. உண்மையான கோட்டில் f ஒருங்கிணைக்கக்கூடியதாக இருந்தால், செயல்பாடு கிட்டத்தட்ட எல்லா இடங்களிலும் வேறுபடுத்தக்கூடியது, ஒரு ரீமன் ஒருங்கிணைப்பால் வரையறுக்கப்பட்டிருந்தால் இது அடிப்படையில் கால்குலஸின் அடிப்படை தேற்றமாக இருக்கும், ஆனால் லெபெஸ்கூ ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தும் போது அது உண்மையாகவே உள்ளது என்பதை லெபெஸ்கூ நிரூபித்தார். ஆதாரம் தேற்றம் அதன் வலுவான வடிவத்தில்-கிட்டத்தட்ட ஒவ்வொரு புள்ளியும் உள்ளூரில் ஒருங்கிணைக்கக்கூடிய செயல்பாடு f இன் லெபெஸ்கூ புள்ளியாகும்-ஹார்டி-லிட்டில்வுட் அதிகபட்ச செயல்பாட்டிற்கான பலவீனமான-L1 மதிப்பீடுகளின் விளைவாக நிரூபிக்க முடியும். கீழே உள்ள ஆதாரம், மற்றும் இல் காணக்கூடிய நிலையான சிகிச்சையைப் பின்பற்றுகிறது. கூற்று உள்ளூரில் இருப்பதால், f என்பது வரையறுக்கப்பட்ட ஆரம் கொண்ட சில பந்துக்கு வெளியே பூஜ்ஜியமாக கருதப்படலாம், எனவே ஒருங்கிணைக்கப்படுகிறது. அனைத்து α> 0 க்கும் தொகுப்பில் அளவீடு 0 உள்ளது என்பதை நிரூபிக்க இது போதுமானது. ε> 0 கொடுக்கப்பட வேண்டும். L1 (Rn) இல் சுருக்க ஆதரவின் தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளின் அடர்த்தியைப் பயன்படுத்தி, அத்தகைய செயல்பாட்டை g திருப்திகரமாகக் காணலாம் இது முக்கிய வேறுபாட்டை மீண்டும் எழுதுவதற்கு உதவியாக இருக்கும் முதல் சொல் f − g க்கான அதிகபட்ச செயல்பாட்டின் x இல் உள்ள மதிப்பால் வரையறுக்கப்படலாம், இங்கே குறிக்கப்படுகிறதுஃ g ஒரு தொடர்ச்சியான செயல்பாடு என்பதால் இரண்டாவது சொல் வரம்பில் மறைந்துவிடும், மூன்றாவது சொல் |f (x) −g (x) | ஆல் வரையறுக்கப்படுகிறது. அசல் வேறுபாட்டின் முழுமையான மதிப்பு வரம்பில் 2α ஐ விட அதிகமாக இருக்க, முதல் அல்லது மூன்றாவது சொற்களில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று முழுமையான மதிப்பில் α ஐ விட அதிகமாக இருக்க வேண்டும். இருப்பினும், ஹார்டி-லிட்டில்வுட் செயல்பாட்டின் மதிப்பீடு சில மாறிலிகளுக்கு ஒரு பரிமாணத்தை மட்டுமே சார்ந்துள்ளது என்று கூறுகிறது. மார்கோவ் சமத்துவமின்மை (செபிஷேவின் சமத்துவமின்மை என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) ε தன்னிச்சையாக இருந்ததால், அதை தன்னிச்சையாக சிறியதாக எடுத்துக் கொள்ளலாம் என்று கூறுகிறது, மேலும் தேற்றம் பின்பற்றுகிறது. ஆதாரத்தின் விவாதம் லெம்மாவை உள்ளடக்கிய விட்டலி இந்த தேற்றத்தின் ஆதாரத்திற்கு இன்றியமையாதது; ஹார்டி-லிட்டில்வுட் அதிகபட்ச செயல்பாட்டிற்கான மதிப்பீட்டை நிரூபிப்பதில் அதன் பங்கு உள்ளது. பந்துகள் மாற்றப்பட்டால், வழித்தோன்றலின் வரையறையில், பூஜ்ஜியத்திற்குச் செல்லும் விட்டம் கொண்ட தொகுப்புகளின் குடும்பங்கள் லெபெஸ்குவின் வழக்கமான நிலையை திருப்திப்படுத்துகின்றன, மேலே வரையறுக்கப்பட்ட வரம்புக்குட்பட்ட விசித்திரத்தன்மை கொண்ட தொகுப்புகளின் குடும்பம் என்றும் இந்த தேற்றம் கூறுகிறது. லெம்மாவை உள்ளடக்கிய விட்டலியின் அறிக்கையில் அதே மாற்றீட்டைச் செய்ய முடியும் என்பதால் இது பின்பற்றப்படுகிறது. விவாதம் இது கால்குலஸின் அடிப்படை தேற்றத்தின் ஒரு அனலாக் மற்றும் பொதுமைப்படுத்தல் ஆகும், இது ஒரு ரீமன் ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடு மற்றும் அதன் (காலவரையற்ற) ஒருங்கிணைப்பின் வழித்தோன்றலை சமன் செய்கிறது. ஒரு நேர்மாறையும் காட்ட முடியும்-ஒவ்வொரு வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாடும் அதன் வழித்தோன்றலின் ஒருங்கிணைப்புக்கு சமம், ஆனால் இதற்கு ஒரு தன்னிச்சையான வழித்தோன்றலை ஒருங்கிணைக்க ஹென்ஸ்டாக்-குர்ஸ்வெயில் ஒருங்கிணைப்பு தேவைப்படுகிறது. லெபெஸ்கூ வேறுபாடு தேற்றத்தின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு லெபெஸ்கூ அடர்த்தி தேற்றம் ஆகும், இது அளவிடக்கூடிய தொகுப்புகளின் சிறப்பியல்பு செயல்பாடுகளுக்கான வேறுபாடு தேற்றத்திற்கு சமம். அடர்த்தி தேற்றம் பொதுவாக ஒரு எளிய முறையைப் பயன்படுத்தி நிரூபிக்கப்படுகிறது (எ. கா. அளவீட்டு மற்றும் வகையைப் பார்க்கவும்). இந்த தேற்றம் லெபெஸ்கூ அளவிற்குப் பதிலாக Rn இல் உள்ள ஒவ்வொரு வரையறுக்கப்பட்ட போரெல் அளவிற்கும் பொருந்தும் (ஒரு ஆதாரத்தை எ. கா. ). மேலும் பொதுவாக, பின்வருவனவற்றில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று வைத்திருக்கும் ஒரு பிரிக்கக்கூடிய மெட்ரிக் இடத்தில் எந்தவொரு வரையறுக்கப்பட்ட போரெல் அளவிற்கும் இது பொருந்தும்ஃ மெட்ரிக் இடைவெளி ஒரு ரீமானியன் பன்மடங்கு, மெட்ரிக் இடைவெளி ஒரு உள்ளூரில் கச்சிதமான அல்ட்ரா மெட்ரிக் இடைவெளி, அளவீடு இரட்டிப்பாகும். (ஃபெடரர் 1969) இன் 2.8-2.9 பிரிவுகளில் இந்த முடிவுகளின் ஆதாரத்தைக் காணலாம். மேலும் காண்க லெபெஸ்க்யூவின் அடர்த்தி தேற்றம் குறிப்புகள் தேற்றம் உண்மையான பகுப்பாய்வில் தேற்றம் அளவீட்டுக் கோட்பாடு