1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
இயற்கையான எண்களைக் கொண்ட எல்லையற்ற தொடர் ஒரு மாறுபட்ட தொடர். தொடரின் n வது பகுதி கூட்டுத்தொகை முக்கோண எண் ஆகும், இது n முடிவிலிக்குச் செல்லும்போது பிணைப்பு இல்லாமல் அதிகரிக்கிறது. பகுதி தொகைகளின் வரிசை ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட வரம்பிற்கு ஒருங்கிணைக்கத் தவறியதால், தொடருக்கு ஒரு தொகை இல்லை. இந்தத் தொடர் முதல் பார்வையில் எந்த அர்த்தமுள்ள மதிப்பையும் கொண்டிருக்கவில்லை என்று தோன்றினாலும், பல கணித ரீதியாக சுவாரஸ்யமான முடிவுகளை வழங்க இதைக் கையாளலாம். எடுத்துக்காட்டாக, கணிதத்தில் பல கூட்டுத்தொகை முறைகள் ஒரு வேறுபட்ட தொடருக்கு கூட எண் மதிப்புகளை ஒதுக்க பயன்படுத்தப்படுகின்றன. குறிப்பாக, ஜீட்டா செயல்பாட்டு முறைப்படுத்தல் மற்றும் ராமானுஜன் கூட்டுத்தொகை முறைகள் தொடருக்கு ஒரு மதிப்பை ஒதுக்குகின்றன, இது ஒரு பிரபலமான சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறதுஃ இதில் இடது புறம் மேற்கூறிய கூட்டுத்தொகை முறைகளில் ஒன்றைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் பெறப்பட்ட மதிப்பாக விளக்கப்பட வேண்டும், அதன் வழக்கமான அர்த்தத்தில் எல்லையற்ற தொடரின் கூட்டுத்தொகையாக அல்ல. இந்த முறைகள் சிக்கலான பகுப்பாய்வு, குவாண்டம் புலம் கோட்பாடு மற்றும் சரம் கோட்பாடு போன்ற பிற துறைகளில் பயன்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளன. மூன்ஷைன் கோட்பாடு குறித்த ஒரு மோனோகிராஃபில், ஆல்பர்ட்டா பல்கலைக்கழக கணிதவியலாளர் டெர்ரி கேனன் இந்த சமன்பாட்டை "அறிவியலில் மிகவும் குறிப்பிடத்தக்க சூத்திரங்களில் ஒன்று" என்று அழைக்கிறார். பகுதித் தொகைகள் தொடரின் பகுதித் தொகைகள் போன்றவை. n வது பகுதி கூட்டுத்தொகை ஒரு எளிய சூத்திரத்தால் வழங்கப்படுகிறதுஃ இந்த சமன்பாடு பித்தகோரியர்களுக்கு கிமு ஆறாம் நூற்றாண்டின் முற்பகுதியில் அறியப்பட்டது. இந்த வடிவத்தின் எண்கள் முக்கோண எண்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, ஏனெனில் அவை ஒரு சமபக்க முக்கோணமாக ஏற்பாடு செய்யப்படலாம். முக்கோண எண்களின் எல்லையற்ற வரிசை + ν க்கு வேறுபடுகிறது, எனவே வரையறையின்படி, எல்லையற்ற வரிசையும் + ν க்கு வேறுபடுகிறது. வேறுபாடு என்பது தொடரின் வடிவத்தின் ஒரு எளிய விளைவுஃ சொற்கள் பூஜ்ஜியத்தை நெருங்குவதில்லை, எனவே தொடர் சோதனை என்ற சொல்லால் வேறுபடுகிறது. கிளாசிக்கல் வேறுபட்ட தொடர்களில், சுருக்கத்தை ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட மதிப்பாக கையாளுவது ஒப்பீட்டளவில் கடினம். வேறுபட்ட தொடர்களுக்கு எண் மதிப்புகளை ஒதுக்க பல கூட்டுத்தொகை முறைகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, சில மற்றவர்களை விட சக்திவாய்ந்தவை. எடுத்துக்காட்டாக, செசரோ கூட்டுத்தொகை என்பது நன்கு அறியப்பட்ட ஒரு முறையாகும், இது கிராண்டியின் தொடரை, லேசான வேறுபட்ட தொடரை, ஏபெல் கூட்டுத்தொகை மிகவும் சக்திவாய்ந்த முறையாகும், இது கிராண்டியின் தொடரை தொகுப்பது மட்டுமல்லாமல், தந்திரமான தொடரையும் தொகுக்கிறது. மேலே உள்ள தொடரைப் போலல்லாமல், செசரோ கூட்டுத்தொகை அல்லது ஏபெல் கூட்டுத்தொகை அல்ல. அந்த முறைகள் வேறுபட்ட தொடர்களை ஊசலாடுவதில் வேலை செய்கின்றன, ஆனால் அவை + ν க்கு வேறுபடும் ஒரு தொடருக்கு ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட பதிலை உருவாக்க முடியாது. வேறுபட்ட தொடர்களின் கூட்டுத்தொகையின் பெரும்பாலான அடிப்படை வரையறைகள் நிலையானவை மற்றும் நேரியல், மேலும் நிலையான மற்றும் நேரியல் ஆகிய இரண்டும் கொண்ட எந்தவொரு முறையும் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட மதிப்புக்கு கூட்ட முடியாது; கீழே காண்க. ஜீட்டா செயல்பாட்டை ஒழுங்குபடுத்துதல் அல்லது ராமானுஜன் கூட்டுத்தொகை போன்ற மேம்பட்ட முறைகள் தேவைப்படுகின்றன. இந்த முறைகள் தொடர்பான சில தோராயமான ஹூரிஸ்டிக்ஸைப் பயன்படுத்துவதன் மதிப்பிற்காகவும் வாதிட முடியும். ஹூரிஸ்டிக்ஸ் ஸ்ரீனிவாச ராமானுஜன் தனது முதல் நோட்டுப் புத்தகத்தின் 8 ஆம் அத்தியாயத்தில் "" என்பதன் இரண்டு வழித்தோன்றல்களை முன்வைத்தார். எளிமையான, குறைவான கடுமையான வழித்தோன்றல் பின்வரும் இரண்டு படிகளில் தொடர்கிறது. முதல் முக்கிய நுண்ணறிவு என்னவென்றால், நேர்மறை எண்களின் தொடர் மாற்றுத் தொடரை நெருக்கமாக ஒத்திருக்கிறது. பிந்தைய தொடரும் வேறுபட்டது, ஆனால் அதனுடன் வேலை செய்வது மிகவும் எளிதானது; இதற்கு ஒரு மதிப்பை வழங்கும் பல பாரம்பரிய முறைகள் உள்ளன, அவை 18 ஆம் நூற்றாண்டிலிருந்து ஆராயப்பட்டுள்ளன. தொடரை மாற்றுவதற்காக, ஒருவர் இரண்டாவது காலத்திலிருந்து 4 ஐயும், நான்காவது காலத்திலிருந்து 8 ஐயும், ஆறாவது காலத்திலிருந்து 12 ஐயும் கழிக்கலாம். கழிக்கப்பட வேண்டிய மொத்த தொகை, இது அசல் வரிசையின் 4 மடங்கு ஆகும். இந்த உறவுகளை இயற்கணிதத்தைப் பயன்படுத்தி வெளிப்படுத்தலாம். தொடரின் "கூட்டுத்தொகை" எதுவாக இருந்தாலும், அதை அழைக்கவும் பின்னர் இந்த சமன்பாட்டை 4 ஆல் பெருக்கி, முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கழிக்கவும்ஃ இரண்டாவது முக்கிய நுண்ணறிவு என்னவென்றால், மாற்றுத் தொடர் என்பது செயல்பாட்டின் முறையான சக்தி தொடர் விரிவாக்கமாகும், ஆனால் x உடன் 1 என வரையறுக்கப்படுகிறது. (x இன் எதிர்மறை அல்லாத சக்திகளின் மாறி மாறி கூட்டுத்தொகையை சமன் செய்வதன் மூலமும், பின்னர் சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் வேறுபடுத்தி மறுப்பதன் மூலமும் இதைக் காணலாம்.) அதன்படி, இராமானுஜன் எழுதுகிறார், இரு பக்கங்களையும்-3 ஆல் வகுத்தால், ஒருவர் c = பெறுகிறார். பொதுவாக, எல்லையற்ற தொடர்களை அவை வரையறுக்கப்பட்ட தொகைகள் போல கையாளுவது தவறானது. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு மாறுபட்ட தொடரின் தன்னிச்சையான நிலைகளில் பூஜ்ஜியங்கள் செருகப்பட்டால், சுயமாக ஒத்துப்போகாத முடிவுகளை அடைய முடியும், மற்ற முறைகளுடன் ஒத்துப்போகிறது. குறிப்பாக, இந்த படி சேர்க்கை அடையாளச் சட்டத்தால் மட்டும் நியாயப்படுத்தப்படவில்லை. ஒரு தீவிர உதாரணத்திற்கு, தொடரின் முன்புறத்தில் ஒரு பூஜ்ஜியத்தை சேர்ப்பது வேறு முடிவுக்கு வழிவகுக்கும். இந்த சூழ்நிலையை சரிசெய்வதற்கும், பூஜ்ஜியங்கள் செருகப்படக்கூடிய இடங்களைக் கட்டுப்படுத்துவதற்கும் ஒரு வழி, சில செயல்பாடுகளைச் சார்ந்திருப்பதை இணைப்பதன் மூலம் தொடரில் உள்ள ஒவ்வொரு சொல்லையும் கண்காணிக்க வேண்டும். தொடரில், ஒவ்வொரு சொல் n ஒரு எண் மட்டுமே. n என்ற சொல் n − s என்ற சார்புக்கு உயர்த்தப்பட்டால், அங்கு s ஒரு சிக்கலான மாறி, பின்னர் சொற்கள் மட்டுமே சேர்க்கப்படுவதை உறுதி செய்ய முடியும். இதன் விளைவாக வரும் தொடர் மிகவும் கடுமையான பாணியில் கையாளப்படலாம், மேலும் மாறி s ஐ பின்னர் −1 ஆக அமைக்கலாம். இந்த மூலோபாயத்தை செயல்படுத்துவது ஜீட்டா செயல்பாட்டை ஒழுங்குபடுத்துதல் என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஜீட்டா செயல்பாடு முறைப்படுத்தல் ஜீட்டா செயல்பாடு முறைப்படுத்தலில், தொடர் வரிசையால் மாற்றப்படுகிறது. பிந்தைய தொடர் ஒரு டிரிக்லெட் தொடருக்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு. s இன் உண்மையான பகுதி 1 ஐ விட அதிகமாக இருக்கும்போது, டிரிக்லெட் தொடர் ஒருங்கிணைக்கிறது, அதன் கூட்டுத்தொகை ரீமன் ஜீட்டா சார்பு ζ (கள்) ஆகும். மறுபுறம், s இன் உண்மையான பகுதி 1 ஐ விட குறைவாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்கும்போது டிரிக்லெட் தொடர் வேறுபடுகிறது, எனவே, குறிப்பாக, s =-1 ஐ அமைப்பதன் விளைவாக வரும் தொடர் ஒன்றிணைக்காது. ரீமன் ஜீட்டா செயல்பாட்டை அறிமுகப்படுத்துவதன் நன்மை என்னவென்றால், பகுப்பாய்வு தொடர்ச்சியின் மூலம் s இன் பிற மதிப்புகளுக்கு இதை வரையறுக்க முடியும். ஜீட்டா-ஒழுங்குபடுத்தப்பட்ட கூட்டுத்தொகையை ζ (−1) ஆக வரையறுக்கலாம். இந்த கட்டத்தில் இருந்து, ஒரு முறை, ஆய்லரின் பகுத்தறிவின் அடிப்படையில், ரீமன் ஜீட்டா செயல்பாட்டிற்கும் டிரிக்லெட் ஈட்டா செயல்பாட்டிற்கும் இடையிலான உறவைப் பயன்படுத்துகிறது என்பதை நிரூபிக்க சில வழிகள் உள்ளன. ஈட்டா செயல்பாடு ஒரு மாற்று டிரிக்லெட் தொடரால் வரையறுக்கப்படுகிறது, எனவே இந்த முறை முந்தைய ஹூரிஸ்டிக்ஸுக்கு இணையாக உள்ளது. இரண்டு டிரிக்லெட் தொடர்களும் ஒன்றிணைந்தால், ஒன்றுக்கு அடையாளங்கள் உள்ளனஃ மேலே உள்ள தொடர் வேறுபடும் s இன் மதிப்புகளைச் சேர்க்க பகுப்பாய்வு தொடர்ச்சியின் மூலம் இரண்டு செயல்பாடுகளும் நீட்டிக்கப்படும்போது அடையாளம் தொடர்கிறது. இப்போது, η (−1) ஐக் கணக்கிடுவது ஒரு எளிதான பணியாகும், ஏனெனில் ஈட்டா செயல்பாடு அதன் வரையறுக்கும் தொடரின் ஏபெல் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம், இது ஒரு பக்க வரம்பாகும்ஃ இரு பக்கங்களையும் −3 ஆல் வகுத்தால், ஒருவர் கட்ஆஃப் ரெகுலரைசேஷன் பெறுகிறார். மென்மையாக்குதல் என்பது ஜீட்டா செயல்பாட்டை ஒழுங்குபடுத்துவதற்கும், சிக்கலான பகுப்பாய்வை நம்புவதற்கும், யூலர்-மாக்லரின் சூத்திரத்திற்கான குறுக்குவழியுடன் ராமானுஜன் கூட்டுத்தொகைக்கும் இடையிலான ஒரு கருத்தியல் பாலமாகும். அதற்கு பதிலாக, இந்த முறை உண்மையான பகுப்பாய்வின் முறைகளைப் பயன்படுத்தி, தொடரின் பழமைவாத மாற்றங்களில் நேரடியாக செயல்படுகிறது. தவறான நடத்தை கொண்ட தனித்துவமான தொடரை ஒரு மென்மையான பதிப்புடன் மாற்றுவதே யோசனை, அங்கு f என்பது பொருத்தமான பண்புகளுடன் கூடிய கட்ஆஃப் செயல்பாடாகும். கட்ஆஃப் செயல்பாடு இயல்பாக்கப்பட வேண்டும்; இது வேறுபட்ட சமன்பாடுகளில் பயன்படுத்தப்படும் இயல்பாக்கத்திலிருந்து வேறுபட்டது. கட்ஆஃப் செயல்பாடு தொடரில் உள்ள சுருக்கங்களை மென்மையாக்க போதுமான வரம்புக்குட்பட்ட வழித்தோன்றல்களைக் கொண்டிருக்க வேண்டும், மேலும் இது தொடர் வளர்வதை விட வேகமாக 0 ஆக சிதைவடைய வேண்டும். வசதிக்காக, f மென்மையானது, வரம்புக்குட்பட்டது மற்றும் கச்சிதமாக ஆதரிக்கப்பட வேண்டும். இந்த மென்மையான கூட்டுத்தொகை அறிகுறியற்றது என்பதை ஒருவர் நிரூபிக்க முடியும், அங்கு சி என்பது f ஐப் பொறுத்து ஒரு மாறிலி. அறிகுறியற்ற விரிவாக்கத்தின் நிலையான சொல் f ஐப் பொறுத்தது அல்லஃ இது பகுப்பாய்வு தொடர்ச்சியால் கொடுக்கப்பட்ட அதே மதிப்பு,. ராமானுஜன் கூட்டுத்தொகை ராமானுஜனின் கூட்டுத்தொகையும் கூட. 1913 பிப்ரவரி 27 அன்று ஜி. எச். ஹார்டிக்கு எழுதிய தனது இரண்டாவது கடிதத்தில் ராமானுஜன் எழுதினார்ஃ "அன்புள்ள ஐயா, 1913 பிப்ரவரி 8 அன்று நீங்கள் எழுதிய கடிதத்தைப் படித்ததில் நான் மிகவும் மகிழ்ச்சியடைகிறேன். லண்டனில் உள்ள ஒரு கணிதப் பேராசிரியர் ப்ரோம்விச்சின் எல்லையற்ற தொடரை கவனமாகப் படிக்கவும், மாறுபட்ட தொடரின் ஆபத்துக்களில் சிக்க வேண்டாம் என்றும் கேட்டுக்கொண்டதைப் போன்ற பதிலை உங்களிடமிருந்து எதிர்பார்க்கிறேன். . தொடரின் எண்ணற்ற சொற்களின் கூட்டுத்தொகைஃ எனது கோட்பாட்டின் கீழ் என்று அவரிடம் சொன்னேன். இதை நான் உங்களிடம் சொன்னால், பைத்தியக்கார புகலிடத்தை எனது இலக்காக நீங்கள் உடனடியாக சுட்டிக்காட்டுவீர்கள். நான் ஒரு கடிதத்தில் தொடரும் வரிகளை நான் சுட்டிக்காட்டினால், எனது ஆதார முறைகளை நீங்கள் பின்பற்ற முடியாது என்பதை உங்களுக்கு நம்ப வைப்பதற்காக இதை விரிவுபடுத்துகிறேன். ". ராமானுஜன் கூட்டுத்தொகை என்பது ஒரு தொடரின் பகுதித் தொகைகளுக்கு யூலர்-மாக்லரின் சூத்திரத்தில் நிலையான சொல்லை தனிமைப்படுத்துவதற்கான ஒரு முறையாகும். ஒரு சார்பு f ஐப் பொறுத்தவரை, தொடரின் பாரம்பரிய ராமானுஜன் கூட்டுத்தொகை f (2k−1) என்பது f இன் (2k−1)-வது வழித்தோன்றல் மற்றும் B2k என்பது 2k-வது பெர்னௌலி எண்ஃ, மற்றும் பலவாக வரையறுக்கப்படுகிறது. அமைப்பில், f இன் முதல் வழித்தோன்றல் 1 ஆகும், மேலும் மற்ற ஒவ்வொரு சொல்லும் மறைந்துவிடும், எனவே முரண்பாடுகளைத் தவிர்க்க, ராமானுஜன் கூட்டுத்தொகையின் நவீன கோட்பாட்டில் f இன் உயர்-வரிசை வழித்தோன்றல்கள் யூலர்-மாக்லரின் சூத்திரத்தில் மீதமுள்ள சொற்களுக்கு 0 ஆக மாறும் அளவுக்கு விரைவாக சிதைந்துவிடும் என்ற பொருளில் f "வழக்கமானதாக" இருக்க வேண்டும். ராமானுஜன் இந்த சொத்தை மறைமுகமாக ஏற்றுக்கொண்டார். வழக்கமான தேவை என்பது இடைவெளி-அவுட் தொடர்களில் ராமானுஜன் கூட்டுத்தொகையைப் பயன்படுத்துவதைத் தடுக்கிறது, ஏனெனில் எந்த வழக்கமான செயல்பாடும் அந்த மதிப்புகளை எடுக்காது. அதற்கு பதிலாக, அத்தகைய தொடர் ஜீட்டா செயல்பாட்டை ஒழுங்குபடுத்துவதன் மூலம் விளக்கப்பட வேண்டும். இந்த காரணத்திற்காக, ஹார்டி தொடர்புடைய தொடர்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறிய அறியப்பட்ட தொடர்களின் ராமானுஜன் கூட்டுத்தொகையைப் பயன்படுத்தும்போது "மிகுந்த எச்சரிக்கையுடன்" பரிந்துரைக்கிறார். நிலையான நேரியல் கூட்டுத்தொகை முறைகளின் தோல்வி நேரியல் மற்றும் நிலையான ஒரு கூட்டுத்தொகை முறையால் தொடரை எந்த வரையறுக்கப்பட்ட மதிப்புடனும் கூட்ட முடியாது. (நிலையான என்றால் தொடரின் தொடக்கத்தில் ஒரு சொல்லைச் சேர்ப்பது சேர்க்கப்பட்ட சொல்லின் மதிப்பால் கூட்டுத்தொகையை அதிகரிக்கிறது.) இதை பின்வருமாறு காணலாம். இருபுறமும் 0 ஐச் சேர்த்தால் நிலைத்தன்மை கிடைக்கும். நேரியல் மூலம், ஒருவர் முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கழிக்கலாம் (இரண்டாவது வரியின் ஒவ்வொரு கூறுகளையும் முதல் வரியிலிருந்து நெடுவரிசைகளில் கழித்தல்) இருபுறமும் 0 ஐச் சேர்ப்பது மீண்டும் தருகிறது மற்றும் கடைசி இரண்டு தொடர்களைக் கழிப்பது முரண்பட்ட நிலைத்தன்மையைக் கொடுக்கிறது. எனவே, கூட்டுத்தொகைக்கு ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட மதிப்பைக் கொடுக்கும் ஒவ்வொரு முறையும் நிலையானது அல்ல அல்லது நேரியல் அல்ல. இயற்பியல் போசோனிக் சரம் கோட்பாட்டில், ஒரு சரத்தின் சாத்தியமான ஆற்றல் நிலைகளை, குறிப்பாக, மிகக் குறைந்த ஆற்றல் அளவைக் கணக்கிட முயற்சி செய்யப்படுகிறது. முறைசாரா முறையில் பேசுகையில், சரத்தின் ஒவ்வொரு ஹார்மோனிக்கும் டி-2 சுயாதீனமான குவாண்டம் ஹார்மோனிக் ஊசலாட்டங்களின் தொகுப்பாகக் கருதப்படலாம், ஒவ்வொரு குறுக்கு திசையிலும் ஒன்று, இதில் டி என்பது விண்வெளி நேரத்தின் பரிமாணமாகும். அடிப்படை அலைவு அதிர்வெண் ω ஆக இருந்தால், ஒரு ஊசலாட்டத்தில் உள்ள ஆற்றல் n-th ஹார்மோனிக்கிற்கு பங்களிக்கும் ஆற்றல் nꯘꯥω/2 ஆகும். எனவே வேறுபட்ட தொடரைப் பயன்படுத்தி, அனைத்து ஹார்மோனிக்ஸின் கூட்டுத்தொகையும். இறுதியில் இந்த உண்மை, கோடார்ட்-தோர்ன் தேற்றத்துடன் இணைந்து, போசோனிக் சரம் கோட்பாடு 26 ஐத் தவிர வேறு பரிமாணங்களில் சீராக இருக்கத் தவறியதற்கு வழிவகுக்கிறது. ஒரு பரிமாணத்தில் ஒரு அளவிடக்கூடிய புலத்திற்கான காசிமிர் விசையை கணக்கிடுவதிலும் முறைப்படுத்துதல் ஈடுபட்டுள்ளது. ஒரு அதிவேக வெட்டு செயல்பாடு தொடரை மென்மையாக்க போதுமானது, இது தன்னிச்சையாக உயர் ஆற்றல் முறைகள் கடத்தும் தட்டுகளால் தடுக்கப்படவில்லை என்ற உண்மையைக் குறிக்கிறது. சிக்கலின் இடஞ்சார்ந்த சமச்சீர் விரிவாக்கத்தின் இருபடி காலத்தை ரத்து செய்வதற்கு காரணமாகும். எஞ்சியிருப்பது நிலையான சொல்-1/12, மேலும் இந்த முடிவின் எதிர்மறை அடையாளம் காசிமிர் விசை கவர்ச்சிகரமானது என்ற உண்மையை பிரதிபலிக்கிறது. இதேபோன்ற கணக்கீடு மூன்று பரிமாணங்களில் ஈடுபட்டுள்ளது, ரீமன் ஜீட்டா செயல்பாட்டிற்கு பதிலாக எப்ஸ்டீன் ஜீட்டா செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்துகிறது. லியோன்ஹார்ட் ஆய்லர் இந்தத் தொடரை சுருக்கமாகக் குறிப்பிட்டாரா என்பது தெளிவாகத் தெரியவில்லை. மோரிஸ் க்ளைனின் கூற்றுப்படி, வேறுபட்ட தொடர்கள் குறித்த ஆய்லரின் ஆரம்பகால படைப்புகள் செயல்பாட்டு விரிவாக்கங்களை நம்பியிருந்தன, அதில் இருந்து அவர் முடிவுக்கு வந்தார். ரேமண்ட் அயூபின் கூற்றுப்படி, வேறுபட்ட ஜீட்டா தொடர் ஏபெல்-சுருக்கமாக இல்லை என்ற உண்மை யூலர் ஜீட்டா செயல்பாட்டை ஈட்டா செயல்பாட்டைப் போலவே சுதந்திரமாகப் பயன்படுத்துவதைத் தடுத்தது, மேலும் அவர் இந்தத் தொடரில் "ஒரு பொருளை இணைத்திருக்க முடியாது". ஜீட்டா மற்றும் ஈட்டா செயல்பாடுகளுக்கு இடையிலான உறவை எதிர்மறை முழு எண்களுக்கு விரிவுபடுத்தியிருப்பார் என்று மற்ற எழுத்தாளர்கள் யூலருக்கு இந்த தொகையைப் பாராட்டியுள்ளனர். முதன்மை இலக்கியத்தில், இந்தத் தொடர் யூலரின் 1760 வெளியீட்டில் மாறுபட்ட வடிவியல் தொடர்களுடன் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது. இந்த வகை தொடர்கள் வரையறுக்கப்பட்ட, எதிர்மறை தொகைகளைக் கொண்டுள்ளன என்று ஆய்லர் சுட்டிக்காட்டுகிறார், மேலும் வடிவியல் தொடருக்கு இது என்ன அர்த்தம் என்பதை அவர் விளக்குகிறார், ஆனால் அவர் விவாதிக்கத் திரும்பவில்லை. அதே வெளியீட்டில், யூலர் கூட்டுத்தொகை எல்லையற்றது என்று எழுதுகிறார். பிரபலமான ஊடகங்களில் டேவிட் லீவிட்டின் 2007 நாவலான தி இந்தியன் கிளார்க், ஹார்டியும் லிட்டில்வுட்டும் இந்தத் தொடரின் அர்த்தத்தைப் பற்றி விவாதிக்கும் ஒரு காட்சியை உள்ளடக்கியது. ராமானுஜன் ζ (−1) ஐ மீண்டும் கண்டுபிடித்துள்ளார் என்று அவர்கள் முடிவு செய்கிறார்கள், மேலும் ராமானுஜன் அவர்களுடன் விளையாடுகிறார் என்பதற்கான அறிகுறியாக அவரது இரண்டாவது கடிதத்தில் "பைத்தியக்கார புகலிடம்" வரியை எடுத்துக்கொள்கிறார்கள். சைமன் மெக்பர்னியின் 2007 ஆம் ஆண்டு நாடகம் ஒரு காணாமல் போகும் எண் தொடரின் தொடக்கக் காட்சியில் கவனம் செலுத்துகிறது. முக்கிய கதாபாத்திரமான ரூத், ஒரு விரிவுரை மண்டபத்திற்குள் நுழைந்து, "நான் உங்களுக்கு மிகவும் பரபரப்பான ஒன்றைக் காட்டப் போகிறேன்" என்று அறிவிப்பதற்கு முன்பு ஒரு மாறுபட்ட தொடரின் யோசனையை அறிமுகப்படுத்துகிறார். ஜீட்டா செயல்பாட்டின் செயல்பாட்டு சமன்பாட்டின் வழித்தோன்றலுக்கு ரூத் தொடங்குகையில், மற்றொரு நடிகர் பார்வையாளர்களை உரையாற்றுகிறார், அவர்கள் நடிகர்கள் என்று ஒப்புக்கொள்கிறார்ஃ "ஆனால் கணிதம் உண்மையானது. இது பயமாக இருக்கிறது, ஆனால் அது உண்மை. ஜனவரி 2014 இல், நம்பர்ஃபைல் இந்தத் தொடரில் ஒரு யூடியூப் வீடியோவை தயாரித்தது, இது அதன் முதல் மாதத்தில் 15 லட்சத்திற்கும் அதிகமான பார்வைகளைப் பெற்றது. 8 நிமிட வீடியோவை நாட்டிங்ஹாம் பல்கலைக்கழகத்தின் இயற்பியலாளரான டோனி பாடில்லா விவரிக்கிறார். பாடில்லா தொடங்குகிறது மற்றும் இராமானுஜனின் வாதத்தைப் போலவே ஒரு காலத்தால்-காலக் கழித்தலைப் பயன்படுத்துவதைப் பற்றி விவரிக்கிறது. நம்பர்ஃபைல் நாட்டிங்ஹாம் இயற்பியலாளர் எட் கோப்லாண்டைக் கொண்ட வீடியோவின் 21 நிமிட பதிப்பையும் வெளியிட்டார், அவர் எப்படி ஒரு ஏபெல் கூட்டுத்தொகை மற்றும் ζ (−1) என இன்னும் விரிவாக விவரிக்கிறார். முதல் வீடியோவில் கடினத்தன்மை இல்லாதது குறித்து புகார்களைப் பெற்ற பிறகு, பாடில்லா தனது வலைப்பக்கத்தில் வீடியோவில் உள்ள கையாளுதல்கள் மற்றும் தொடர்புடைய டிரிச்லெட் தொடரின் பகுப்பாய்வு தொடர்ச்சிகளுக்கு இடையிலான அடையாளங்கள் குறித்து ஒரு விளக்கத்தை எழுதினார். நம்பர்ஃபைல் வீடியோவின் தி நியூயார்க் டைம்ஸ் கவரேஜில், கணிதவியலாளர் எட்வர்ட் ஃப்ரென்கெல் கருத்து தெரிவிக்கையில்ஃ "இந்த கணக்கீடு கணிதத்தில் சிறந்த முறையில் வைக்கப்பட்டுள்ள ரகசியங்களில் ஒன்றாகும். அது பற்றி வெளியில் யாருக்கும் தெரியாது "என்று கூறினார். ஸ்மித்சோனியன் இதழில் இந்த தலைப்பின் கவரேஜ் நம்பர்ஃபைல் வீடியோவை தவறாக வழிநடத்துவதாக விவரிக்கிறது, மேலும் கூட்டுத்தொகையின் விளக்கம் சமமான அடையாளத்திற்கான ஒரு சிறப்பு பொருளை நம்பியுள்ளது, பகுப்பாய்வு தொடர்ச்சியின் நுட்பங்களிலிருந்து, இதில் சமமான வழிமுறைகள் தொடர்புடையவை. நம்பர்ஃபைல் வீடியோவை இதே போன்ற அடிப்படையில் ஜெர்மன் கணிதவியலாளர் பர்கார்ட் போல்ஸ்டர் 2018 ஆம் ஆண்டில் தனது மாத்தோலோகர் யூடியூப் சேனலில் விமர்சித்தார், அவரது வீடியோ 2023 ஆம் ஆண்டில் 27 லட்சம் பார்வைகளைப் பெற்றது. குறிப்புகள் நூலியல் மேலும் வாசிப்பு பக்கம் 293 ஐப் பார்க்கவும். வெளிப்புற இணைப்புகள் லாம்ப் ஈ. (2014), "1 + 2 + 3. உண்மையில் சமம்-1/12? ", சயின்டிபிக் அமெரிக்கன் பிளாக்ஸ். கணித இயற்பியலில் இந்த வார கண்டுபிடிப்புகள் (வாரம் 124), (வாரம் 126), (வாரம் 147), (வாரம் 233) ஜான் பெய்ஸ் எழுதிய 1 + 2 + 3 + ꯘꯥ = − 1/12 என்ற யூலரின் சான்று யூலர்-மாக்லரின் சூத்திரம், பெர்னௌலி எண்கள், ஜீட்டா செயல்பாடு மற்றும் டெரன்ஸ் தாவோவின் உண்மையான மாறுபடும் பகுப்பாய்வு தொடர்ச்சி ஆகியவை எதிர்மறை முழு எண்களின் ஜீட்டாவை லூபோஸ் மோட்ல் லிங்க் மூலம் நம்பர்ஃபைல் வீடியோ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +. =-1/12 இயற்கை எண்களின் கூட்டுத்தொகை (இரண்டாவது சான்று மற்றும் கூடுதல் காட்சிகள்) யூலரின் முறையின் செயல்விளக்கத்தை உள்ளடக்கியது. அனைத்து இயல் எண்களையும் தொகுத்தால் நமக்கு என்ன கிடைக்கும்? டோனி பாடில்லாவின் வீடியோ பற்றிய கருத்துக்களுக்கு பதில் நியூயார்க் டைம்ஸின் தொடர்புடைய கட்டுரை ஏன்-1/12 எட்வர்ட் ஃப்ரென்கெல் டைவர்ஜன்ட் தொடருடன் ஒரு தங்க நகெட் பின்தொடர்தல் நம்பர்ஃபைல் வீடியோஃ ஏன் 1 + 2 + 3 + ꯘꯥ = − 1/12 அரிசோனா பல்கலைக்கழகத்தின் பிரைடன் கைஸ் எழுதிய டைவர்ஜன்ட் தொடர் எண்கணிதத் தொடர்