Umbilical point
மூன்று பரிமாணங்களில் மேற்பரப்புகளின் வேறுபட்ட வடிவவியலில், தொப்புள் அல்லது தொப்புள் புள்ளிகள் என்பது ஒரு மேற்பரப்பில் உள்ளூரில் கோள வடிவத்தில் இருக்கும் புள்ளிகள் ஆகும். அத்தகைய புள்ளிகளில் அனைத்து திசைகளிலும் இயல்பான வளைவுகள் சமமாக இருக்கும், எனவே, இரண்டு முக்கிய வளைவுகளும் சமமாக இருக்கும், மேலும் ஒவ்வொரு தொடுகோட்டு திசையனும் ஒரு முக்கிய திசையாக இருக்கும். "தொப்புள்" என்ற பெயர் லத்தீன் தொப்புள் (தொப்புள்) என்பதிலிருந்து வருகிறது. அம்பிலிக் புள்ளிகள் பொதுவாக மேற்பரப்பின் நீள்வட்டப் பகுதியில் தனிமைப்படுத்தப்பட்ட புள்ளிகளாக நிகழ்கின்றன; அதாவது, காஸியன் வளைவு நேர்மறையாக இருக்கும் இடத்தில். ஒவ்வொரு புள்ளியும் தொப்புளில் இருக்கும் பூஜ்ஜியமற்ற வளைவு கொண்ட ஒரே மேற்பரப்பு கோளமாகும். ஒரு தட்டையான தொப்புள் என்பது பூஜ்ஜிய காஸியன் வளைவு கொண்ட தொப்புள் ஆகும். குரங்கு சேணம் ஒரு தட்டையான தொப்புள் கொண்ட மேற்பரப்புக்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு மற்றும் விமானத்தில் ஒவ்வொரு புள்ளியும் ஒரு தட்டையான தொப்புள் ஆகும். ஒரு டோரஸ் தொப்புள்களைக் கொண்டிருக்க முடியாது, ஆனால் பூஜ்ஜியமற்ற ஆய்லர் பண்பு கொண்ட ஒவ்வொரு மூடிய மேற்பரப்பும், யூக்ளிடியன் இடத்தில் சீராக உட்பொதிக்கப்பட்டு, குறைந்தது ஒரு தொப்புளையையாவது கொண்டுள்ளது. யூக்ளிடியன் இடத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு மென்மையான இடவியல் கோளமும் குறைந்தது இரண்டு தொப்புள்களைக் கொண்டுள்ளன என்று கான்ஸ்டான்டின் கராத்தியோடோரியின் நிரூபிக்கப்படாத அனுமானம் கூறுகிறது. தொப்புள் புள்ளிகளின் மூன்று முக்கிய வகைகள் நீள்வட்ட தொப்புள், பரவளைய தொப்புள் மற்றும் ஹைபர்போலிக் தொப்புள் ஆகும். நீள்வட்ட தொப்புள்களில் தொப்புள் வழியாக செல்லும் மூன்று ரிட்ஜ் கோடுகள் உள்ளன மற்றும் ஹைபர்போலிக் தொப்புள்களில் ஒன்று மட்டுமே உள்ளது. பரவளைய தொப்புள்கள் என்பது இரண்டு முகடுகளைக் கொண்ட ஒரு இடைநிலை வழக்கு, அவற்றில் ஒன்று ஒற்றை. இடைநிலை நிகழ்வுகளுக்கு பிற உள்ளமைவுகள் சாத்தியமாகும். இந்த நிகழ்வுகள் ரெனே தோமின் பேரழிவு கோட்பாட்டின் D4−, D5 மற்றும் D4 + அடிப்படை பேரழிவுகளுடன் ஒத்திருக்கின்றன. அம்பிலிக்ஸை தொப்புளைச் சுற்றியுள்ள முக்கிய திசை திசையன் புலத்தின் வடிவத்தால் வகைப்படுத்தலாம், இது பொதுவாக மூன்று கட்டமைப்புகளில் ஒன்றாகும்ஃ நட்சத்திரம், எலுமிச்சை மற்றும் எலுமிச்சை நட்சத்திரம் (அல்லது மான்ஸ்டார்). திசையன் புலத்தின் குறியீடு-1⁄2 (நட்சத்திரம்) அல்லது 1⁄2 (எலுமிச்சை, மான்ஸ்டார்) ஆகும். நீள்வட்ட மற்றும் பரவளைய தொப்புள்கள் எப்போதும் நட்சத்திர வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளன, அதே நேரத்தில் ஹைபர்போலிக் தொப்புள்கள் நட்சத்திரம், எலுமிச்சை அல்லது மான்ஸ்டாராக இருக்கலாம். இந்த வகைப்பாடு முதலில் டார்போக்ஸ் காரணமாக இருந்தது மற்றும் பெயர்கள் ஹன்னேயிலிருந்து வந்தவை. தனிமைப்படுத்தப்பட்ட தொப்புள்களுடன் 0 பேரினம் கொண்ட மேற்பரப்புகளுக்கு, எ. கா. ஒரு நீள்வட்டத்தில், முக்கிய திசை திசையன் புலத்தின் குறியீடு போயின்கேர்-ஹாஃப் தேற்றத்தால் 2 ஆக இருக்க வேண்டும். பொதுவான பேரினம் 0 மேற்பரப்புகள் குறைந்தது நான்கு தொப்புள்களைக் கொண்ட குறியீடு 1⁄2 ஐக் கொண்டுள்ளன. சுழற்சியின் ஒரு நீள்வட்டத்தில் இரண்டு ஜெனரிக் அல்லாத தொப்புள்கள் உள்ளன, அவை ஒவ்வொன்றும் குறியீடு 1 ஐக் கொண்டுள்ளன. தொப்புள்களின் வகைப்பாடு கியூபிக் வடிவங்கள் தொப்புள்களின் வகைப்பாடு உண்மையான கியூபிக் வடிவங்களின் வகைப்பாட்டுடன் நெருக்கமாக இணைக்கப்பட்டுள்ளது. ஒரு கன வடிவம் பல வேர் கோடுகளைக் கொண்டிருக்கும், அதாவது கன வடிவம் அனைத்து உண்மையானவற்றிற்கும் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும். பின்வருவன உட்பட பல சாத்தியக்கூறுகள் உள்ளனஃ மூன்று தனித்துவமான கோடுகள்ஃ ஒரு நீள்வட்ட கன வடிவம், நிலையான மாதிரி. மூன்று கோடுகள், அவற்றில் இரண்டு தற்செயலானவைஃ ஒரு பரவளைய கன வடிவம், நிலையான மாதிரி. ஒரு ஒற்றை உண்மையான கோடுஃ ஒரு ஹைபர்போலிக் கன வடிவம், நிலையான மாதிரி. மூன்று தற்செயலான கோடுகள், நிலையான மாதிரி. சீரான அளவீட்டின் கீழ் இத்தகைய கனசதுரங்களின் சமநிலை வகுப்புகள் முப்பரிமாண உண்மையான ப்ரொஜெக்டிவ் இடத்தை உருவாக்குகின்றன, மேலும் பரவளைய வடிவங்களின் துணைக்குழு ஒரு மேற்பரப்பை வரையறுக்கிறது-இது கிறிஸ்டோபர் ஜீமானால் தொப்புள் வளையல் என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பின் சுழற்சியின் கீழ் சமநிலை வகுப்புகளை எடுத்துக்கொள்வது மேலும் ஒரு அளவுருவை நீக்குகிறது மற்றும் ஒரு கன வடிவங்களை ஒரு சிக்கலான அளவுருவுடன் சிக்கலான கன வடிவத்தால் குறிக்க முடியும். உட்புற டெல்டோயிட், நீள்வட்ட வடிவங்கள் டெல்டோயிட் மற்றும் ஹைபர்போலிக் வடிவங்களுக்கு வெளியே இருக்கும்போது பரவளைய வடிவங்கள் ஏற்படுகின்றன. இது ஒற்றுமையின் கன மூலமாக இல்லாவிட்டால், கன வடிவம் ஒரு வலது கோண கன வடிவமாகும், இது தொப்புள்களுக்கு ஒரு சிறப்பு பாத்திரத்தை வகிக்கிறது. அப்படியானால், இரண்டு வேர் கோடுகள் ஆர்த்தோகனல் ஆகும். இரண்டாவது கன வடிவமான ஜாகோபியன், திசையன் மதிப்புள்ள செயல்பாட்டின் ஜாகோபியன் நிர்ணயிப்பானை எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம் உருவாகிறது. ஒரு நிலையான பெருக்கல் வரை இது கன வடிவமாகும். சிக்கலான எண்களைப் பயன்படுத்தி ஜாகோபியன் என்பது ஒரு பரவளையக் கன வடிவமாகும், இது வகைப்பாட்டு வரைபடத்தில் வெளிப்புற டெல்டோயிட் ஆகும். அம்பிலிக் வகைப்பாடு தோற்றத்தில் தனிமைப்படுத்தப்பட்ட தொப்புள் புள்ளியைக் கொண்ட எந்தவொரு மேற்பரப்பையும் மோங்கே வடிவ அளவுருவாக வெளிப்படுத்தலாம், அங்கு தனித்துவமான முதன்மை வளைவு உள்ளது. தொப்புள் வகை கனப் பகுதியிலிருந்து கன வடிவம் மற்றும் அதனுடன் தொடர்புடைய ஜாகோபியன் கன வடிவத்தால் வகைப்படுத்தப்படுகிறது. முக்கிய திசைகள் ஒரு தொப்புளில் தனித்துவமாக வரையறுக்கப்படவில்லை என்றாலும், மேற்பரப்பில் ஒரு ரிட்ஜைப் பின்தொடரும் போது முக்கிய திசைகளின் வரம்புகளைக் காணலாம், மேலும் இவை கன வடிவத்தின் வேர்-கோடுகளுடன் ஒத்திருக்கின்றன. வளைவு கோடுகளின் வடிவம் ஜாகோபியன் மூலம் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. தொப்புள் புள்ளிகளின் வகைப்பாடு பின்வருமாறுஃ உட்புற டெல்டாய்டு-நீள்வட்ட தொப்புள் உட்புற வட்டத்தில்-இரண்டு ரிட்ஜ் கோடுகள் தொடுகோடு உட்புற டெல்டாய்டில்-பரவளைய தொப்புள் வெளிப்புற டெல்டாய்டில்-ஹைபர்போலிக் தொப்புள் உட்புற வட்டத்திற்குள்-நட்சத்திர வடிவம் வெளிப்புற வட்டத்தில்-தொப்புள் பிறப்பு வெளிப்புற வட்டத்திற்கும் வெளிப்புற டெல்டாய்டுக்கும் இடையில்-மோன்ஸ்டார் வடிவம் வெளிப்புற டெல்டாய்டுக்கு வெளியே-எலுமிச்சை வடிவம் உள் டெல்டாய்டின் கஸ்ப்ஸ்-கனசதுரம் (குறியீட்டு) தொப்புள் மூலைவிட்டங்கள் மூலைவிட்டங்கள் மூலைவிட்டங்கள் மற்றும் கிடைமட்ட கோடு-கண்ணாடி சமச்சீர் கொண்ட சமச்சீர் தொப்புள் மேற்பரப்புகளின் பொதுவான குடும்பத்தில் உருவாக்கப்படலாம், அல்லது ஜோடியாக அழிக்கப்படலாம்ஃ தொப்புள் மாற்றத்தின் பிறப்பு. இரண்டு தொப்புள்களும் ஹைபர்போலிக் ஆக இருக்கும், ஒன்று நட்சத்திர வடிவத்துடன் மற்றும் ஒன்று மான்ஸ்டார் வடிவத்துடன் இருக்கும். வரைபடத்தில் உள்ள வெளிப்புற வட்டம், ஒரு வலது கோண கன வடிவம், இந்த இடைநிலை நிகழ்வுகளை வழங்குகிறது. குறியீட்டு தொப்புள்கள் இதற்கு ஒரு சிறப்பு வழக்கு. மைய மேற்பரப்பு நீள்வட்ட தொப்புள்கள் மற்றும் ஹைபர்போலிக் தொப்புள்கள் தனித்தனியாக வெவ்வேறு குவிய மேற்பரப்புகளைக் கொண்டுள்ளன. மேற்பரப்பில் உள்ள ஒரு முகடு ஒரு முகடு விளிம்புகளுடன் ஒத்திருக்கிறது, எனவே நீள்வட்ட மைய மேற்பரப்பின் ஒவ்வொரு தாளிலும் மூன்று முகடு விளிம்புகள் இருக்கும், அவை தொப்புள் மையத்தில் ஒன்றாக வந்து பின்னர் மற்ற தாளுக்கு மாறும். ஒரு ஹைபர்போலிக் தொப்புளுக்கு ஒரு ஒற்றை குஸ்பைடல் விளிம்பு உள்ளது, இது ஒரு தாளிலிருந்து மற்றொன்றுக்கு மாறுகிறது. ரீமானியன் பன்மடங்கு உயர் பரிமாணத்தில் வரையறை ஒரு ரீமானியன் சப்மேனிஃபோல்டில் ஒரு புள்ளி p, p இல், (திசையன் மதிப்புள்ள) இரண்டாவது அடிப்படை வடிவம் தூண்டப்பட்ட மெட்ரிக் (முதல் அடிப்படை வடிவம்) சில சாதாரண திசையன் டென்சர் என்றால் தொப்புள் ஆகும். சமமாக, p, II (U, V) = gp (U, V) இல் உள்ள அனைத்து திசையன்களுக்கும், p இல் சராசரி வளைவு திசையன் எங்கே. இது சுற்றியுள்ள ("சுற்றுப்புறம்") பன்மடங்கு அளவீட்டின் பொருத்தமான இணக்கமான மாற்றத்தால் சப்மேனிஃபோல்டை முற்றிலும் ஜியோடெசிக் செய்ய முடியும் என்று சொல்வதற்கு சமம். எடுத்துக்காட்டாக, யூக்ளிடியன் இடத்தில் ஒரு மேற்பரப்பு ஒரு கோளத்தின் ஒரு துண்டாக இருந்தால் மட்டுமே அது தொப்புள் ஆகும். மேலும் காண்க தொப்புள்-தொப்புள் குறிப்புகள் தொகுதி I தொகுதி II தொகுதி III தொகுதி IV இன் பொருள் அல்லது அதனுடன் தொடர்புடைய ஒரு உடற்கூறியல் சொல் நட்சத்திரம், எலுமிச்சை, மான்ஸ்டார் மற்றும் மேலும் குறிப்புகள் மேற்பரப்புகளின் வேறுபட்ட வடிவியல்