Band (algebra)
கணிதத்தில், ஒரு பேண்ட் (ஐடிம்போட்டன்ட் செமிகிரூப் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) என்பது ஒரு அரைகுறை ஆகும், இதில் ஒவ்வொரு உறுப்பும் ஐடிம்போட்டன்ட் (வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால் அதன் சொந்த சதுரத்திற்கு சமம்). இசைக்குழுக்கள் முதலில் ஆய்வு செய்யப்பட்டு பெயரிடப்பட்டன. 1970 களின் முற்பகுதியில் பிர்யுகோவ், ஃபென்னெமோர் மற்றும் கெர்ஹார்ட் ஆகியோரால் பல்வேறு வகையான பட்டைகளின் லட்டிஸ் சுயாதீனமாக விவரிக்கப்பட்டது. அரைகுறை பட்டைகள், இடது-பூஜ்ஜிய பட்டைகள், வலது-பூஜ்ஜிய பட்டைகள், செவ்வக பட்டைகள், சாதாரண பட்டைகள், இடது-வழக்கமான பட்டைகள், வலது-வழக்கமான பட்டைகள் மற்றும் வழக்கமான பட்டைகள் ஆகியவை இந்த லட்டிஸின் அடிப்பகுதிக்கு அருகில் இருக்கும் பட்டைகளின் குறிப்பிட்ட துணைப்பிரிவுகளாகும், அவை குறிப்பாக ஆர்வமாக உள்ளன; அவை சுருக்கமாக கீழே விவரிக்கப்பட்டுள்ளன. பட்டைகளின் வகைகள் ஒரு வகை பட்டைகள் துணைக்குழுக்கள், ஒரே மாதிரியான படங்கள் மற்றும் நேரடி தயாரிப்பு ஆகியவற்றின் உருவாக்கத்தின் கீழ் மூடப்பட்டால் அவை பல்வேறு வகைகளை உருவாக்குகின்றன. ஒவ்வொரு வகையான பட்டைகளும் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட அடையாளத்தால் வரையறுக்கப்படலாம். செமிலட்டிஸ்கள் செமிலட்டிஸ்கள் துல்லியமாக பரிமாற்ற பட்டைகள்; அதாவது, அவை அனைத்திற்கும் சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்தும் பட்டைகள் மற்றும். இசைக்குழுக்கள் ஒரு முன்கூட்டிய ஆர்டரைத் தூண்டுகின்றன, அவை வரையறுக்கப்படலாம். பரிமாற்றத் தேவை என்பது இந்த முன்கூட்டிய வரிசை ஒரு (அரைகுறை) பகுதி வரிசையாக மாறுகிறது என்பதைக் குறிக்கிறது. பூஜ்ஜிய பட்டைகள் ஒரு இடது பூஜ்ஜிய பட்டை என்பது சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்தும் ஒரு பட்டையாகும், அங்கிருந்து அதன் கெய்லி அட்டவணை நிலையான வரிசைகளைக் கொண்டுள்ளது. சமச்சீராக, ஒரு வலது-பூஜ்ஜிய பட்டை ஒரு திருப்திகரமான ஒன்றாகும், இதனால் கெய்லி அட்டவணை நிலையான நெடுவரிசைகளைக் கொண்டுள்ளது. செவ்வக பட்டைகள் ஒரு செவ்வக பட்டை என்பது அனைவருக்கும் திருப்தி அளிக்கும் ஒரு பட்டை, அல்லது அனைவருக்கும் சமமாக, எந்தவொரு அரைக்குழுவிலும் முதல் அடையாளம் ஒரு நோவேர் கம்யூட்டேடிவ் அரை குழுவை வகைப்படுத்த போதுமானது. எங்கும் பரிமாற்ற அரைகுறை என்பது முதல் அடையாளத்தைக் குறிக்கவில்லை. எந்தவொரு நெகிழ்வான மாக்மாவிலும் ஒவ்வொரு உறுப்பும் அதன் சதுரத்துடன் பயணிக்கிறது. எனவே எந்தவொரு நோவேர் கம்யூட்டேடிவ் செமிகிரூபிலும் ஒவ்வொரு உறுப்பும் தனித்துவமானது, எனவே எந்த நோவேர் கம்யூட்டேடிவ் செமிகிரூபும் உண்மையில் ஒரு நோவேர் கம்யூட்டேடிவ் பேண்ட் ஆகும். எனவே எந்தவொரு இடத்திலும் பரிமாற்ற அரைகுறை எனவே முதல் பண்பு அடையாளத்துடன் பயணிக்கிறது. எந்தவொரு அரைக்குழுவிலும் முதல் அடையாளம் தனித்துவத்தைக் குறிக்கிறது, ஏனெனில் இது மிகவும் தனித்துவமானது (ஒரு இசைக்குழு). எனவே ஒரு இசைக்குழுவில் எந்தவொரு அரைக்குழுவிலும் முதல் அடையாளம் இரண்டாவதைக் குறிக்கிறது, ஏனெனில். ஒரு செவ்வக அரைகுறையின் தனித்துவம் ஒரு துணைப் பட்டையை உருவாக்குகிறது, இது ஒரு செவ்வக பட்டையாகும், ஆனால் ஒரு செவ்வக அரைகுறையில் தனித்துவம் இல்லாத கூறுகள் இருக்கலாம். ஒரு இசைக்குழுவில் இரண்டாவது அடையாளம் வெளிப்படையாக முதல் அடையாளத்தைக் குறிக்கிறது, ஆனால் அதற்கு தனித்தன்மை தேவைப்படுகிறது. இரண்டாவது அடையாளத்தை திருப்திப்படுத்தும் அரை குழுக்கள் உள்ளன, ஆனால் அவை பட்டைகள் அல்ல, முதல் அடையாளத்தை திருப்திப்படுத்தாது. செவ்வக பட்டைகளின் முழுமையான வகைப்பாடு உள்ளது. கொடுக்கப்பட்ட தன்னிச்சையான தொகுப்புகள் மற்றும் ஒருவர் ஒரு மாக்மா செயல்பாட்டை அமைப்பதன் மூலம் வரையறுக்க முடியும் இந்த செயல்பாடு இணைப்பானது, ஏனெனில் எந்த மூன்று ஜோடிகளுக்கு, நம்மிடம் உள்ளது, அதேபோல் இந்த இரண்டு மாக்மா அடையாளங்களும் மேலே உள்ள இரண்டாவது பண்பு அடையாளத்திற்கு சமமானவை. இவை இரண்டும் சேர்ந்து கூட்டுறவையும் குறிக்கின்றன. எனவே இந்த இரண்டு செவ்வக அடையாளங்களையும் தனித்துவத்தையும் திருப்திப்படுத்தும் எந்த மாக்மாவும் செவ்வக பட்டையாகும். எனவே சிறப்பியல்பு அடையாளங்கள் (நான்கு தனித்தனி மாக்மா அடையாளங்கள்) இரண்டையும் திருப்திப்படுத்தும் எந்த மாக்மாவும் ஒரு பட்டையாகும், எனவே ஒரு செவ்வக பட்டையாகும். மேலே வரையறுக்கப்பட்ட மாக்மா செயல்பாடு ஒரு செவ்வக பட்டையாகும், ஏனெனில் நம்மிடம் உள்ள எந்த ஜோடிக்கும் ஒவ்வொரு உறுப்பும் தனித்துவமானது மற்றும் முதல் பண்பு அடையாளம் இரண்டாவது இடத்திலிருந்து தனித்துவத்துடன் பின்பற்றப்படுகிறது. ஆனால் முதல் பண்பு மற்றும் தனித்தன்மைக்கான அடையாளங்களை மட்டுமே திருப்திப்படுத்தும் ஒரு மாக்மா இணைப்பாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை, எனவே இரண்டாவது பண்பு ஒரு அரைக்குழுவில் முதல் இடத்திலிருந்து மட்டுமே பின்பற்றப்படுகிறது. எந்தவொரு செவ்வக பட்டையும் மேலே உள்ள வடிவங்களில் ஒன்றுக்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும் (ஒன்று காலியாக உள்ளது, அல்லது ஏதேனும் உறுப்பைத் தேர்ந்தெடுத்து, பின்னர் () ஒரு ஐசோமார்பிசத்தை வரையறுக்கிறது). இடது-பூஜ்ஜியம் மற்றும் வலது-பூஜ்ஜிய பட்டைகள் செவ்வக பட்டைகள், உண்மையில் ஒவ்வொரு செவ்வக பட்டையும் இடது-பூஜ்ஜிய பட்டை மற்றும் வலது-பூஜ்ஜிய பட்டையின் நேரடி பெருக்கலுக்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும். முதன்மை வரிசையின் அனைத்து செவ்வக பட்டைகளும் இடது அல்லது வலது பூஜ்ஜிய பட்டைகளாகும். ஒரு செவ்வக பட்டை இடது-பூஜ்ஜிய அல்லது வலது-பூஜ்ஜிய பட்டை இல்லையென்றால் அது முற்றிலும் செவ்வக வடிவமாக இருக்கும் என்று கூறப்படுகிறது. வகைப்படுத்தப்பட்ட மொழியில், காலியாக இல்லாத செவ்வக பட்டைகளின் வகை சமமானது என்று ஒருவர் கூறலாம், அங்கு காலியாக இல்லாத தொகுப்புகளை பொருள்களாகவும், செயல்பாடுகளை உருவகங்களாகவும் கொண்ட வகை உள்ளது. ஒவ்வொரு வெற்று செவ்வக பட்டையும் ஒரு ஜோடி செட்களில் இருந்து வரும் ஒன்றுக்கு ஐசோமார்பிக் என்பதை இது குறிக்கிறது, ஆனால் இந்த செட்டுகள் ஒரு நியதி ஐசோமார்பிசம் வரை தனித்துவமாக தீர்மானிக்கப்படுகின்றன, மேலும் பட்டைகளுக்கு இடையிலான அனைத்து ஹோமோமார்பிசங்களும் செட்களுக்கு இடையிலான ஜோடி செயல்பாடுகளிலிருந்து வருகின்றன. மேலே உள்ள முடிவில் செட் காலியாக இருந்தால், செவ்வக பட்டை சுயாதீனமாக இருக்கும், மற்றும் நேர்மாறாகவும் இருக்கும். இதனால்தான் மேற்கண்ட முடிவு காலியாக இல்லாத செவ்வக பட்டைகள் மற்றும் காலியாக இல்லாத ஜோடி செட்களுக்கு இடையே ஒரு சமநிலையை மட்டுமே அளிக்கிறது. செவ்வக பட்டைகள்-ஆல்ஜிப்ராக்களாகவும் உள்ளன, செட்டில் உள்ள மோனாட் எங்கே, மூலைவிட்ட வரைபடமாக இருப்பது, மற்றும். ஒரு சாதாரண இசைக்குழு என்பது அனைவருக்கும் திருப்திகரமான ஒரு இசைக்குழுவாகும், மற்றும். ஒரு சாதாரண இசைக்குழு என்பது அனைவருக்கும் திருப்திகரமான ஒரு இசைக்குழு என்றும் நாம் கூறலாம், மற்றும். நடுத்தர மாக்மாக்களை வரையறுக்கப் பயன்படுத்தப்படும் அதே சமன்பாடு இதுவாகும், எனவே ஒரு சாதாரண பட்டை ஒரு நடுத்தர பட்டை என்றும் அழைக்கப்படலாம், மேலும் சாதாரண பட்டைகள் நடுத்தர மாக்மாக்களின் எடுத்துக்காட்டுகளாகும். இடது-வழக்கமான இசைக்குழுக்கள் ஒரு இடது-வழக்கமான இசைக்குழு என்பது அனைவருக்கும் திருப்திகரமான ஒரு இசைக்குழுவாகும், நாம் ஒரு அரை குழுவை எடுத்து வரையறுத்தால், இந்த அரை குழு ஒரு இடது-வழக்கமான இசைக்குழுவாக இருந்தால் மட்டுமே ஒரு பகுதி வரிசையைப் பெறுவோம். இடது-வழக்கமான பட்டைகள் இவ்வாறு இயற்கையாகவே நிலைப்பாடுகளின் ஆய்வில் காண்பிக்கப்படுகின்றன. ஒரு வலது-வழக்கமான இசைக்குழு என்பது அனைத்து வலது-வழக்கமான இசைக்குழுக்களுக்கும் திருப்திகரமான ஒரு இசைக்குழுவாகும், எந்தவொரு வலது-வழக்கமான இசைக்குழுவும் எதிர் தயாரிப்பைப் பயன்படுத்தி இடது-வழக்கமான இசைக்குழுவாக மாறுகிறது. உண்மையில், ஒவ்வொரு வகையான பட்டைகளும் ஒரு 'எதிர்' பதிப்பைக் கொண்டுள்ளன; இது கீழே உள்ள படத்தில் பிரதிபலிப்பு சமச்சீர் நிலைக்கு வழிவகுக்கிறது. வழக்கமான பட்டைகள் ஒரு வழக்கமான பட்டை என்பது அனைத்து வகையான லட்டிஸ்களுக்கும் திருப்திகரமான ஒரு பட்டையாகும், சேர்ப்பதன் மூலம் ஓரளவு வரிசைப்படுத்தப்படும்போது, பல்வேறு வகையான பட்டைகள் இயற்கையாகவே ஒரு லட்டிஸை உருவாக்குகின்றன, இதில் இரண்டு வகைகளின் சந்திப்பு அவற்றின் குறுக்குவெட்டு மற்றும் இரண்டு வகைகளின் இணைப்பு இரண்டையும் கொண்ட மிகச்சிறிய வகையாகும். இந்த லட்டிஸின் முழுமையான அமைப்பு அறியப்படுகிறது; குறிப்பாக, இது கணக்கிடக்கூடியது, முழுமையானது மற்றும் விநியோகிக்கக்கூடியது. வழக்கமான பட்டைகளின் 13 வகைகளைக் கொண்ட சப்-லேட்டிஸ் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது. இடது-பூஜ்ஜிய பட்டைகள், அரை-பூஜ்ஜிய பட்டைகள் மற்றும் வலது-பூஜ்ஜிய பட்டைகளின் வகைகள் இந்த லட்டிஸின் மூன்று அணுக்கள் (அற்பமான குறைந்தபட்ச கூறுகள்) ஆகும். படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள ஒவ்வொரு வகையான பட்டைகளும் ஒரே ஒரு அடையாளத்தால் வரையறுக்கப்படுகின்றன. இது ஒரு தற்செயல் நிகழ்வு அல்லஃ உண்மையில், ஒவ்வொரு வகையான பட்டைகளையும் ஒரு அடையாளத்தால் வரையறுக்க முடியும். பூலியன் வளையத்தையும் பார்க்கவும், இதில் ஒவ்வொரு உறுப்பும் (பெருக்க ரீதியாக) தனித்துவமானது, எங்கேயும் பரிமாற்ற அரைகுறை சிறப்பு வகுப்புகளின் அரைகுறை ஆர்த்தடாக்ஸ் அரைகுறை குறிப்புகள். . . . . . . . . . இயற்கணித கட்டமைப்புகள் அரைகுறை கோட்பாடு