Landau's problems
1912 ஆம் ஆண்டு கணிதவியலாளர்களின் சர்வதேச மாநாட்டில், எட்மண்ட் லாண்டாவ் பகா எண்களைப் பற்றிய நான்கு அடிப்படை சிக்கல்களை பட்டியலிட்டார். இந்த சிக்கல்கள் அவரது உரையில் "தற்போதைய கணித நிலையில் தாக்க முடியாதவை" என்று வகைப்படுத்தப்பட்டன, அவை இப்போது லாண்டாவின் சிக்கல்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. அவை பின்வருமாறுஃ கோல்ட்பாக்கின் அனுமானம்ஃ 2 ஐ விட பெரிய ஒவ்வொரு இரட்டை முழு எண்ணையும் இரண்டு பகா எண்களின் கூட்டுத்தொகையாக எழுத முடியுமா? இரட்டை பகா அனுமானம்ஃ p + 2 பகா எண்ணாக இருக்கும் எண்ணற்ற பகா எண்கள் p உள்ளனவா? லெஜெண்டரின் அனுமானம்ஃ தொடர்ச்சியான சரியான சதுரங்களுக்கு இடையில் குறைந்தபட்சம் ஒரு பகா எண் எப்போதும் இருக்கிறதா? p − 1 ஒரு சரியான சதுரமாக இருக்கும் வகையில் எண்ணற்ற பல பகா எண்கள் p உள்ளனவா? வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால்ஃ n2 + 1 வடிவத்தில் எண்ணற்ற பகா எண்கள் உள்ளனவா? , நான்கு பிரச்சினைகளும் தீர்க்கப்படாதவை. தீர்வுகளை நோக்கிய முன்னேற்றம் கோல்ட்பாக்கின் அனுமானம் கோல்ட்பாக்கின் பலவீனமான அனுமானம், 5 ஐ விட பெரிய ஒவ்வொரு ஒற்றைப்படை எண்ணையும் மூன்று பகா எண்களின் கூட்டுத்தொகையாக வெளிப்படுத்தலாம், இது கோல்ட்பாக்கின் அனுமானத்தின் விளைவாகும். இவான் வினோகிராடோவ் 1937 ஆம் ஆண்டில் இதை பெரிய போதுமான n (வினோகிராடோவின் தேற்றம்) என்று நிரூபித்தார், மேலும் ஹரால்ட் ஹெல்ப்காட் இதை 2013 ஆம் ஆண்டில் கோல்ட்பாக்கின் பலவீனமான யூகத்தின் முழு ஆதாரமாக விரிவுபடுத்தினார். கோல்ட்பாக்கின் அனுமானத்தின் மற்றொரு பலவீனமான செனின் தேற்றம், போதுமான அளவு பெரிய n க்கு, p பகா எண் மற்றும் q பகா எண் அல்லது அரை பகா எண் என்பதை நிரூபிக்கிறது. போர்டிக்னான், ஜான்ஸ்டன் மற்றும் ஸ்டாரிச்கோவா, யமடாவைச் சரிசெய்து மேம்படுத்தி, செனின் தேற்றத்தின் ஒரு வெளிப்படையான பதிப்பை நிரூபித்தனர்ஃ ஒவ்வொரு இரட்டை எண்ணும் ஒரு பகா எண்களின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் அதிகபட்சம் இரண்டு பகா எண்களின் பெருக்கல். டிரிக்லெட் எல்-செயல்பாடுகளுக்கான பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ரீமன் கருதுகோளை அனுமானிக்க போர்டிகான் மற்றும் ஸ்டாரிச்கோவா இதைக் குறைக்கின்றனர். ஜான்சன் மற்றும் ஸ்டாரிச்கோவா அனைத்து n> = 4 க்கும் வேலை செய்யும் ஒரு பதிப்பைக் கொடுக்கிறார்கள், இது ஒரு பகா அல்லது அரை பகா எண்ணை விட அதிகபட்சம் 369 பகா எண்களின் பெருக்கமாகும்; GRH இன் கீழ் அவர்கள் 369 முதல் 33 வரை மேம்படுத்துகிறார்கள். இரண்டு பகா எண்களின் கூட்டுத்தொகையாக வெளிப்படுத்த முடியாத இரட்டை எண்களின் விதிவிலக்கான தொகுப்பு அடர்த்தி பூஜ்ஜியமாக இருந்தது என்பதை மாண்ட்கோமெரி மற்றும் வாகன் காட்டினர், இருப்பினும் தொகுப்பு வரையறுக்கப்பட்டதாக நிரூபிக்கப்படவில்லை. விதிவிலக்கான தொகுப்பில் சிறந்த மின்னோட்ட வரம்புகள் (போதுமான பெரிய x க்கு) பின்ட்ஸ் காரணமாகவும், கோல்ட்ஸ்டன் காரணமாக RH இன் கீழ் உள்ளது. போதுமான அளவு பெரிய இரட்டை எண்களை இரண்டு பகா எண்களின் கூட்டுத்தொகையாகவும், சில (பயனற்ற) மாறிலி K ஐ 2 இன் சக்திகளின் கூட்டுத்தொகையாகவும் வெளிப்படுத்த முடியும் என்பதை லின்னிக் நிரூபித்தார். பல முன்னேற்றங்களைத் தொடர்ந்து (ஒரு கண்ணோட்டத்திற்கு பின்ட்ஸைப் பார்க்கவும்), பின்ட்ஸ் மற்றும் ருசா இதை கே = 8 ஆக மேம்படுத்தினர். GRH இல் இதை K = 7 ஆக மேம்படுத்தலாம். இரட்டை முதன்மை அனுமானம் யிடாங் ஜாங் 70 மில்லியனால் வரையறுக்கப்பட்ட இடைவெளியைக் கொண்ட எண்ணற்ற பல பகா ஜோடிகள் இருப்பதைக் காட்டியது, மேலும் இந்த முடிவு பாலிமத் திட்டத்தின் கூட்டு முயற்சியால் 246 நீள இடைவெளிகளாக மேம்படுத்தப்பட்டுள்ளது. பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட எலியட்-ஹால்பெர்ஸ்டாம் அனுமானத்தின் கீழ் இது 6 ஆக மேம்படுத்தப்பட்டது, இது மேனார்ட் மற்றும் கோல்ட்ஸ்டன், பின்ட்ஸ் & யெல்டிரிம் ஆகியோரின் முந்தைய பணியை விரிவுபடுத்தியது. p + 2 ஒரு பகா எண் அல்லது அரை பகா எண் போன்ற எண்ணற்ற பல பகா எண்கள் p (பின்னர் சென் பகா எண்கள் என்று அழைக்கப்பட்டன) உள்ளன என்பதை சென் காட்டினார். லெஜெண்ட்ரேயின் அனுமானம் p இல் தொடங்கும் ஒவ்வொரு பகா இடைவெளியும் அதை விட சிறியதா என்பதை சரிபார்க்க போதுமானது. அதிகபட்ச பகா இடைவெளிகளின் அட்டவணை, அனுமானம் 264 ≈ 1.8 ஆக இருப்பதைக் காட்டுகிறது. அந்த அளவிற்கு அருகிலுள்ள ஒரு எதிர் உதாரணத்திற்கு சராசரி இடைவெளியின் அளவை விட நூறு மில்லியன் மடங்கு பெரிய இடைவெளி தேவைப்படும். ஹீத்-பிரவுன் மற்றும் மாடோமாக்கியை மேம்படுத்தும் ஜர்வினிமி, மிகவும் விதிவிலக்கான பகா எண்கள் உள்ளன என்பதைக் காட்டுகிறது, அதைத் தொடர்ந்து பெரிய இடைவெளிகள் உள்ளன என்பதைக் காட்டுகிறது; குறிப்பாக, இங்காம் காரணமாக ஏற்படும் ஒரு முடிவு, போதுமான ஒவ்வொரு பெரிய n க்கும் இடையில் ஒரு பகா எண் இருப்பதைக் காட்டுகிறது. அருகிலுள்ள சதுர பகா எண்கள் லாண்டாவின் நான்காவது சிக்கல், முழு எண் n க்கான வடிவத்தில் எண்ணற்ற பல பகா எண்கள் உள்ளனவா என்று கேட்டது. (இந்த வடிவத்தின் அறியப்பட்ட பகா எண்களின் பட்டியல்.) புன்யகோவ்ஸ்கி அனுமானம் மற்றும் பேட்மேன்-ஹார்ன் அனுமானம் போன்ற பிற எண்-கோட்பாட்டு அனுமானங்களின் விளைவாக இதுபோன்ற எண்ணற்ற பல பகா எண்களின் இருப்பு தொடரும். , இந்த சிக்கல் திறந்திருக்கும். அருகிலுள்ள சதுர பகா எண்களுக்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு ஃபெர்மாட் பகா எண்கள் ஆகும். அதிகபட்சம் இரண்டு முதன்மைக் காரணிகளுடன் எண்ணற்ற பல எண்கள் உள்ளன என்பதை ஹென்றிக் இவானிக் காட்டினார். ஹெக் எழுத்துக்களில் எல்-செயல்பாடுகளுக்கான நீட்டிக்கப்பட்ட ரீமன் கருதுகோளைக் கருதி, இந்த வடிவத்தில் எண்ணற்ற பல பகா எண்கள் உள்ளன என்பதை அன்கெனியும் குபிலியஸும் நிரூபித்தனர். லாண்டாவின் அனுமானம் வலிமையானவர்களுக்கானது. சிறந்த நிபந்தனையற்ற முடிவு ஹர்மன் & லூயிஸ் காரணமாகும், அது கொடுக்கிறது. முந்தைய படைப்புகளை மேம்படுத்திய மெரிகோஸ்கி, குறைந்தபட்சம் மிகப்பெரிய பகாக் காரணியுடன் எண்ணற்ற பல வடிவங்கள் உள்ளன என்பதைக் காட்டினார். அடுக்கை 2 உடன் மாற்றுவது லாண்டாவின் அனுமானத்தை வழங்கும். ஃப்ரீட்லாண்டர்-இவானியக் தேற்றம் எண்ணற்ற பல பகா எண்கள் ஒரே வடிவத்தில் உள்ளன என்பதைக் காட்டுகிறது. எல்-செயல்பாடுகளுக்கான பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ரீமன் கருதுகோளின் கீழ் மற்றும் ஒரு குறிப்பிட்ட எலியட்-ஹால்பெர்ஸ்டாம் வகை கருதுகோளின் கீழ் இந்த வடிவத்தில் எண்ணற்ற பல பகா எண்கள் உள்ளன என்பதை பேயர் மற்றும் ஜாவோ நிரூபிக்கின்றனர். ப்ரூன் சல்லடை வடிவத்தைக் கொண்ட பகா எண்களின் அடர்த்தியில் ஒரு மேல் வரியை நிறுவுகிறதுஃ அத்தகைய பகா எண்கள் வரை உள்ளன. எனவே வடிவத்தின் கிட்டத்தட்ட அனைத்து எண்களும் கலப்பு. மேலும் காண்க கணிதத்தில் தீர்க்கப்படாத சிக்கல்களின் பட்டியல் ஹில்பர்ட்டின் சிக்கல்கள் குறிப்புகள் குறிப்புகள் வெளிப்புற இணைப்புகள் பகா எண்களைப் பற்றிய அனுமானங்கள் எண் கோட்பாட்டில் தீர்க்கப்படாத சிக்கல்கள்