Vector notation
கணிதம் மற்றும் இயற்பியலில், திசையன் குறியீடு என்பது திசையன்களைக் குறிக்க பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படும் குறியீடாகும், அவை யூக்ளிடியன் திசையன்கள் அல்லது பொதுவாக, ஒரு திசையன் இடத்தின் உறுப்பினர்களாக இருக்கலாம். ஒரு திசையனைக் குறிக்க, பொதுவான அச்சுக்கலை மரபு லோயர் கேஸ், நேராக போல்ட்ஃபேஸ் வகை, உள்ளது போல. தரப்படுத்தலுக்கான சர்வதேச அமைப்பு (ஐ. எஸ். ஓ) போல்ட் இத்தாலிக் செரிஃப் அல்லது வலது அம்பு மூலம் உச்சரிக்கப்படும் போல்ட் அல்லாத இத்தாலிக் செரிஃப் ஆகியவற்றை பரிந்துரைக்கிறது. மேம்பட்ட கணிதத்தில், திசையன்கள் பெரும்பாலும் எந்த மாறியைப் போலவே ஒரு எளிய சாய்வு வகையிலும் குறிப்பிடப்படுகின்றன. 1835 ஆம் ஆண்டில் கியூஸ்டோ பெல்லாவிடிஸ் சமச்சீர் இயக்கிய கோடு பிரிவுகளின் யோசனையை அறிமுகப்படுத்தினார், இதன் விளைவாக ஒரு திசையன் அத்தகைய பிரிவுகளின் சமநிலை வகுப்பாக கருதப்பட்டது. திசையன் என்ற சொல் 1843 ஆம் ஆண்டில் டபிள்யூ. ஆர். ஹாமில்டனால் உருவாக்கப்பட்டது, ஏனெனில் அவர் நான்கு பரிமாண இடைவெளியை பரப்ப திசையன்கள் மற்றும் அளவீடுகளைப் பயன்படுத்தும் ஒரு அமைப்பான குவாட்டர்னியன்களை வெளிப்படுத்தினார். ஒரு குவாட்டர்னியன் q = a + b + cj + dk க்கு, ஹாமில்டன் இரண்டு கணிப்புகளைப் பயன்படுத்தினார்ஃ S q = a, q இன் அளவிடுதல் பகுதிக்கு, மற்றும் V q = b + cj + dk, திசையன் பகுதி. நவீன சொற்களான குறுக்கு விளைபொருள் (×) மற்றும் புள்ளி விளைபொருள் (. ), p மற்றும் q ஆகிய இரண்டு திசையன்களின் குவாட்டர்னியன் பெருக்கல் pq =-p. q + p × q என எழுதப்படலாம். 1878 ஆம் ஆண்டில், டபிள்யூ. கே. கிளிஃபோர்ட் தனது பாடப்புத்தகமான எலிமென்ட்ஸ் ஆஃப் டைனமிக் இல் மாணவர்களுக்கு குவாட்டர்னியன் செயல்பாட்டை பயனுள்ளதாக மாற்றுவதற்காக இரண்டு தயாரிப்புகளையும் துண்டித்தார். யேல் பல்கலைக்கழகத்தில் விரிவுரை வழங்கிய ஜோசியா வில்லார்ட் கிப்ஸ், திசையன் பகுப்பாய்வில் அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட அளவிடக்கூடிய தயாரிப்பு மற்றும் திசையன் தயாரிப்புகளுக்கான குறியீட்டை வழங்கினார். 1891 ஆம் ஆண்டில், ஆலிவர் ஹெவிசைட் கிளாரெண்டன் திசையன்களை அளவீடுகளிலிருந்து வேறுபடுத்திக் காட்ட வேண்டும் என்று வாதிட்டார். டைட் எழுதிய கிரேக்க எழுத்துக்களையும், மேக்ஸ்வெல் எழுதிய கோதிக் எழுத்துக்களையும் அவர் விமர்சித்தார். 1912 ஆம் ஆண்டில், ஜே. பி. ஷா தனது "வெக்டர் வெளிப்பாடுகளுக்கான ஒப்பீட்டு குறியீட்டை" குவாட்டர்னியன் சொசைட்டியின் செய்திக்குறிப்பில் பங்களித்தார். அதைத் தொடர்ந்து, அலெக்சாண்டர் மேக்ஃபர்லேன் அதே வெளியீட்டில் திசையன்களுடன் தெளிவான வெளிப்பாட்டிற்கான 15 அளவுகோல்களை விவரித்தார். 1841 ஆம் ஆண்டில் ஹெர்மன் கிராஸ்மேன் மற்றும் 1862 ஆம் ஆண்டில் மீண்டும் ஜெர்மன் மொழியில் திசையன் யோசனைகள் முன்வைக்கப்பட்டன. ஆனால் ஜெர்மன் கணிதவியலாளர்கள் ஆங்கிலம் பேசும் கணிதவியலாளர்களைப் போல குவாட்டர்னியன்களுடன் எடுக்கப்படவில்லை. ஃபெலிக்ஸ் க்ளீன் ஜெர்மன் கணித கலைக்களஞ்சியத்தை ஒழுங்கமைக்கும்போது, திசையன் குறியீட்டை தரப்படுத்த அர்னால்ட் சோமர்ஃபீல்டை நியமித்தார். 1950 ஆம் ஆண்டில், அகாடமிக் பிரஸ் வெளியிட்டபோது, சோமர்ஃபீல்ட் எழுதிய கோட்பாட்டு இயற்பியல் பற்றிய சொற்பொழிவுகளின் தொகுதி 2 இன் இரண்டாவது பதிப்பின் ஜி. குயெர்டியின் மொழிபெயர்ப்பு, திசையன் குறியீடு ஒரு அடிக்குறிப்பின் பொருளாக இருந்ததுஃ "அசல் ஜெர்மன் உரையில், திசையன்களும் அவற்றின் கூறுகளும் ஒரே கோதிக் வகைகளில் அச்சிடப்படுகின்றன. இந்த மொழிபெயர்ப்பிற்காக இரண்டிற்கும் இடையே அச்சுக்கலை வேறுபாட்டைச் செய்வதற்கான மிகவும் வழக்கமான வழி ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்டுள்ளது ". செவ்வக ஆயத்தொகுதிகள் கார்ட்டீசியன் ஆயத்தொகுப்பு அமைப்பைப் பொறுத்தவரை, ஒரு திசையன் அதன் கார்ட்டீசியன் ஆயத்தொகுப்புகளால் குறிப்பிடப்படலாம், அவை எண்களின் டப்பிள் ஆகும். வரிசைப்படுத்தப்பட்ட தொகுப்பு குறியீடு ஒரு திசையன் ஒரு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட கூறுகளின் தொகுப்பைப் பயன்படுத்தி குறிப்பிடப்படலாம், இது அடைப்புக்குறிக்குள் அல்லது கோண அடைப்புக்குறிக்குள் இணைக்கப்பட்டுள்ளது. ஒரு பொதுவான அர்த்தத்தில், ஒரு n-பரிமாண திசையன் v ஐ பின்வரும் வடிவங்களில் ஏதேனும் ஒன்றில் குறிப்பிடலாம்ஃ v1, v2,., vn−1, vn ஆகியவை v இன் கூறுகள். ஒரு வரிசை மேட்ரிக்ஸ் என குறிப்பிடப்படும் ஒரு திசையன் ஒரு வரிசை திசையன் என்று அழைக்கப்படுகிறது; ஒரு நெடுவரிசை மேட்ரிக்ஸ் என குறிப்பிடப்பட்ட ஒன்று நெடுவரிசை திசையன் என்று அழைக்கப்படுகிறது. மீண்டும், ஒரு n-பரிமாண திசையனை பின்வரும் வடிவங்களில் ஏதேனும் ஒன்றில் மேட்ரிக்ஸ்களைப் பயன்படுத்தி குறிப்பிடலாம்ஃ இங்கு v1, v2,., vn−1, vn ஆகியவை v இன் கூறுகளாகும். சில மேம்பட்ட சூழல்களில், ஒரு வரிசை மற்றும் ஒரு நெடுவரிசை திசையன் வெவ்வேறு பொருளைக் கொண்டுள்ளன; மேலும் பலவற்றிற்கு திசையன்களின் சக மாறுபாடு மற்றும் முரண்பாடுகளைப் பார்க்கவும். அலகு திசையன் குறியீடு ஒரு திசையன் (அல்லது குறைவான பரிமாணங்கள், கீழே உள்ள vz பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் இடத்தில்) திசையனின் கூறுகளின் அளவிடக்கூடிய மடங்குகளின் கூட்டுத்தொகையாக நிலையான அடிப்படையின் உறுப்பினர்களுடன் குறிப்பிடப்படலாம். அடிப்படை அலகு திசையன்களுடன் குறிப்பிடப்படுகிறது, மற்றும். ஒரு முப்பரிமாண திசையனை அலகு திசையன் குறியீட்டைப் பயன்படுத்தி பின்வரும் வடிவத்தில் குறிப்பிடலாம்ஃ இங்கு vx, vy மற்றும் vz ஆகியவை v இன் அளவிடக்கூடிய கூறுகளாகும். அளவிடக்கூடிய கூறுகள் நேர்மறையாகவோ அல்லது எதிர்மறையாகவோ இருக்கலாம்; ஒரு அளவிடக்கூடிய கூறுகளின் முழுமையான மதிப்பு அதன் அளவு ஆகும். துருவ ஆயத்தொலைவுகள் ஒரு தளத்தில் உள்ள ஒரு புள்ளியின் இரண்டு துருவ ஆயத்தொலைவுகளை இரு பரிமாண திசையனாகக் கருதலாம். அத்தகைய திசையன் ஒரு அளவு (அல்லது நீளம்) மற்றும் ஒரு திசை (அல்லது கோணம்) ஆகியவற்றைக் கொண்டுள்ளது. பொதுவாக r என குறிப்பிடப்படும் அளவு, ஒரு தொடக்க புள்ளியான தோற்றத்திலிருந்து குறிப்பிடப்படும் புள்ளிக்கு உள்ள தூரமாகும். கோணம், பொதுவாக θ (கிரேக்க எழுத்து தீட்டா) என குறிப்பிடப்படுகிறது, இது பொதுவாக அளவிடப்படும் கோணமாகும், இது ஒரு நிலையான திசையில், பொதுவாக நேர்மறை x-அச்சு மற்றும் தோற்றத்திலிருந்து புள்ளி வரை உள்ள திசையில் இருக்கும். கோணம் பொதுவாக ரேடியன்கள் வரம்பிற்குள் இருக்கும் வகையில் குறைக்கப்படுகிறது அல்லது. வரிசைப்படுத்தப்பட்ட செட் மற்றும் மேட்ரிக்ஸ் குறியீடுகள் வெக்டர்களை வரிசைப்படுத்தப்பட்ட ஜோடி குறியீடு (இரண்டு கூறுகளை மட்டுமே பயன்படுத்தி வரிசைப்படுத்தப்பட்ட செட் குறியீட்டின் துணைக்குழு) அல்லது செவ்வக ஆயத்தொகுதிகளைப் போலவே மேட்ரிக்ஸ் குறியீட்டைப் பயன்படுத்தி குறிப்பிடலாம். இந்த வடிவங்களில், திசையனின் முதல் கூறு r (v1 க்கு பதிலாக), மற்றும் இரண்டாவது கூறு θ (v2 க்கு பதிலாக) ஆகும். செவ்வக ஆயத்தொகுதிகளிலிருந்து துருவ ஆயத்தொகுதிகளை வேறுபடுத்த, கோணத்தை கோண சின்னத்துடன் முன்னொட்டு வைக்கலாம்,. வரிசைப்படுத்தப்பட்ட ஜோடி அல்லது மேட்ரிக்ஸ் குறியீட்டைப் பயன்படுத்தி, v க்கான இரு பரிமாண துருவ ஆயத்தொகுதிகளை பின்வருவனவற்றில் ஏதேனும் ஒன்றாகக் குறிப்பிடலாம்ஃ r என்பது அளவு, θ என்பது கோணம் மற்றும் கோண சின்னம் () விருப்பமானது. r மற்றும் θ ஐ வெளிப்படையாக வரையறுக்கும் எளிமைப்படுத்தப்பட்ட தன்னாட்சி சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி நேரடி குறியீட்டு திசையன்களைக் குறிப்பிடலாம். இது மிகப்பெரியதாக இருக்காது, ஆனால் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட ஜோடி அல்லது மேட்ரிக்ஸ் குறியீட்டைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் எழும் இரு பரிமாண செவ்வக திசையன்களுடன் குழப்பத்தைத் தவிர்ப்பதற்கு இது பயனுள்ளதாக இருக்கும். 5 அலகுகள் கொண்ட ஒரு இரு பரிமாண திசையன், அதன் திசை π/9 ரேடியன்கள் (20°) ஆகும், பின்வரும் வடிவங்களில் ஏதேனும் ஒன்றைப் பயன்படுத்தி குறிப்பிடலாம்ஃ உருளை திசையன்கள் ஒரு உருளை திசையன் என்பது துருவ ஆயத்தொகுதிகளின் கருத்தை மூன்று பரிமாணங்களாக விரிவுபடுத்துவதாகும். இது உருளை ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் ஒரு அம்புக்குறியைப் போன்றது. ஒரு உருளை திசையன் xy-தளத்தில் உள்ள தூரம், ஒரு கோணம் மற்றும் xy-தளத்தில் இருந்து ஒரு தூரம் (ஒரு உயரம்) ஆகியவற்றால் குறிப்பிடப்படுகிறது. முதல் தூரம், பொதுவாக r அல்லது ρ (கிரேக்க எழுத்து rho) என குறிப்பிடப்படுகிறது, இது xy-தளத்தின் மீது திசையனின் திட்டத்தின் அளவு ஆகும். கோணம், பொதுவாக θ அல்லது φ (கிரேக்க எழுத்து phi) என குறிப்பிடப்படுகிறது, இது x-அச்சுடன் நேர்மறை திசையில் உள்ள கோட்டின் இணைப்பாக அளவிடப்படுகிறது; கோணம் பொதுவாக வரம்பிற்குள் இருக்கும் வகையில் குறைக்கப்படுகிறது. இரண்டாவது தூரம், பொதுவாக h அல்லது z என குறிப்பிடப்படுகிறது, இது xy-தளத்திலிருந்து திசையனின் இறுதிப் புள்ளிக்கு உள்ள தூரமாகும். வரிசைப்படுத்தப்பட்ட செட் மற்றும் மேட்ரிக்ஸ் குறியீடுகள் உருளை திசையன்கள் துருவ ஆயத்தொகுதிகளைப் பயன்படுத்துகின்றன, அங்கு இரண்டாவது தூரக் கூறு மூன்றாவது கூறாக இணைக்கப்பட்டு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட மூன்று மடங்கு (மீண்டும், வரிசைப்படுத்தப்பட்ட செட் குறியீட்டின் துணைக்குழு) மற்றும் மேட்ரிக்ஸ்களை உருவாக்குகிறது. கோணத்தை கோண சின்னம் () உடன் முன்னொட்டு வைக்கலாம்; தூர-கோண-தூர கலவையானது இந்த குறியீட்டில் உள்ள உருளை திசையன்களை ஒத்த குறியீட்டில் உள்ள கோள திசையன்களிலிருந்து வேறுபடுத்துகிறது. ஒரு முப்பரிமாண உருளை திசையன் v ஐ பின்வருவனவற்றில் எதுவாகவும் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட மும்மடங்கு அல்லது மேட்ரிக்ஸ் குறியீட்டைப் பயன்படுத்தி குறிப்பிடலாம்ஃ r என்பது xy-தளத்தின் மீது v இன் திட்ட அளவின் அளவு, θ என்பது நேர்மறை x-அச்சு மற்றும் v க்கு இடையிலான கோணம், மற்றும் h என்பது xy-தளத்திலிருந்து v இன் இறுதிப் புள்ளி வரையிலான உயரம். மீண்டும், கோண சின்னம் () விருப்பமானது. r (அல்லது ρ), θ (அல்லது φ), மற்றும் h (அல்லது z) ஆகியவற்றை வரையறுக்கும் எளிமைப்படுத்தப்பட்ட தன்னாட்சி சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி ஒரு உருளை திசையனை நேரடியாகக் குறிப்பிடலாம். மாறிகளுக்கு பயன்படுத்த வேண்டிய பெயர்களைத் தேர்ந்தெடுக்கும்போது நிலைத்தன்மையைப் பயன்படுத்த வேண்டும்; ρ ஐ θ மற்றும் பலவற்றுடன் கலக்கக்கூடாது. ஒரு முப்பரிமாண திசையன், xy-தளத்தின் மீது அதன் திட்ட அளவின் அளவு 5 அலகுகள், அதன் நேர்மறை x-அச்சிலிருந்து கோணம் π/9 ரேடியன்கள் (20°), மற்றும் xy-தளத்திலிருந்து அதன் உயரம் 3 அலகுகள் பின்வரும் வடிவங்களில் ஏதேனும் ஒன்றில் குறிப்பிடப்படலாம்ஃ கோள திசையன்கள் ஒரு கோள திசையன் என்பது துருவ திசையன்களின் கருத்தை மூன்று பரிமாணங்களாக விரிவுபடுத்துவதற்கான மற்றொரு முறையாகும். இது கோள ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் ஒரு அம்புக்குறியைப் போன்றது. ஒரு கோள திசையன் ஒரு அளவு, ஒரு அசிமுத் கோணம் மற்றும் ஒரு உச்ச கோணத்தால் குறிப்பிடப்படுகிறது. இதன் அளவு பொதுவாக ρ என குறிப்பிடப்படுகிறது. அசிமுத் கோணம், பொதுவாக θ என குறிப்பிடப்படுகிறது, இது நேர்மறை x-அச்சிலிருந்து () ஈடுசெய்யப்படுகிறது. உச்சி கோணம், பொதுவாக φ என குறிப்பிடப்படுகிறது, இது நேர்மறை z-அச்சிலிருந்து ஈடுசெய்யப்படுகிறது. இரண்டு கோணங்களும் பொதுவாக பூஜ்ஜியம் (உள்ளடக்கியது) முதல் 2π (பிரத்தியேகமானது) வரம்பிற்குள் உள்ளன. வரிசைப்படுத்தப்பட்ட செட் மற்றும் மேட்ரிக்ஸ் குறியீடுகள் கோள திசையன்கள் துருவ திசையன்களைப் போல குறிப்பிடப்படுகின்றன, அங்கு உச்சி கோணம் மூன்றாவது கூறாக இணைக்கப்பட்டு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட முக்கோணங்கள் மற்றும் மேட்ரிக்ஸ்களை உருவாக்குகிறது. அசிமுத் மற்றும் உச்சி கோணங்கள் இரண்டும் கோண சின்னம் () உடன் முன்னொட்டு இருக்கலாம்; உருளை திசையன்களிலிருந்து கோள திசையன்களை வேறுபடுத்தும் தூர-கோண-கோண கலவையை உருவாக்க முன்னொட்டு தொடர்ந்து பயன்படுத்தப்பட வேண்டும். ஒரு முப்பரிமாண கோள திசையன் v ஐ பின்வருவனவற்றில் ஏதேனும் ஒன்றாகக் குறிப்பிடலாம், வரிசைப்படுத்தப்பட்ட மும்மடங்கு அல்லது மேட்ரிக்ஸ் குறியீட்டைப் பயன்படுத்தலாம்ஃ ρ என்பது அளவு, θ என்பது அசிமத் கோணம் மற்றும் φ என்பது உச்சி கோணம். நேரடி குறியீடு துருவ மற்றும் உருளை திசையன்களைப் போலவே, கோள திசையன்களை எளிமைப்படுத்தப்பட்ட தன்னாட்சி சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி குறிப்பிடலாம், இந்த விஷயத்தில் ρ, θ மற்றும் φ. ஒரு முப்பரிமாண திசையன், அதன் அளவு 5 அலகுகள், அதன் அசிமத் கோணம் π/9 ரேடியன்கள் (20°), மற்றும் அதன் உச்ச கோணம் π/4 ரேடியன்கள் (45°) ஆகியவற்றை பின்வருமாறு குறிப்பிடலாம்ஃ செயல்பாடுகள் கொடுக்கப்பட்ட எந்த திசையன் இடத்திலும், திசையன் கூட்டல் மற்றும் அளவிடுதல் பெருக்கத்தின் செயல்பாடுகள் வரையறுக்கப்படுகின்றன. நெறிமுறை திசையன் இடைவெளிகள் நெறிமுறை (அல்லது அளவை தீர்மானித்தல்) எனப்படும் ஒரு செயல்பாட்டையும் வரையறுக்கின்றன. உள் தயாரிப்பு இடைவெளிகள் உள் தயாரிப்பு என்று அழைக்கப்படும் ஒரு செயல்பாட்டை வரையறுக்கின்றன. உள் தயாரிப்பு புள்ளி தயாரிப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது. மற்றும், குறுக்கு தயாரிப்பு என்று அழைக்கப்படும் ஒரு கூடுதல் செயல்பாடும் வரையறுக்கப்படுகிறது. திசையன் கூட்டல் திசையன் கூட்டல் இரண்டு திசையன்களுக்கு இடையில் ஒரு ஆபரேட்டராகப் பயன்படுத்தப்படும் பிளஸ் அடையாளத்துடன் குறிப்பிடப்படுகிறது. u மற்றும் v ஆகிய இரண்டு திசையன்களின் கூட்டுத்தொகை பின்வருமாறு குறிப்பிடப்படும்ஃ அளவீட்டு பெருக்கம் அளவீட்டு பெருக்கம் இயற்கணித பெருக்கத்தைப் போலவே அதே விதத்தில் குறிப்பிடப்படுகிறது. ஒரு திசையனுக்கு அருகில் ஒரு அளவிடுதல் (ஒன்று அல்லது இரண்டும் அடைப்புக்குறிக்குள் இருக்கலாம்) அளவிடுதல் பெருக்கத்தைக் குறிக்கிறது. இரண்டு பொதுவான இயக்கிகள், ஒரு புள்ளி மற்றும் சுழற்றப்பட்ட குறுக்கு, ஏற்றுக்கொள்ளத்தக்கவை (சுழற்றப்பட்ட குறுக்கு கிட்டத்தட்ட ஒருபோதும் பயன்படுத்தப்படவில்லை என்றாலும்), ஆனால் அவை புள்ளி தயாரிப்புகள் மற்றும் குறுக்கு தயாரிப்புகளுடன் குழப்பத்தை ஏற்படுத்துகின்றன, அவை இரண்டு திசையன்களில் செயல்படுகின்றன. ஒரு திசையன் v உடன் ஒரு அளவிடுதல் k இன் பெருக்கல் பின்வரும் எந்த பாணியிலும் குறிப்பிடப்படலாம்ஃ திசையன் கழித்தல் மற்றும் அளவிடுதல் பிரிவு கழித்தல் மற்றும் பிரிவின் இயற்கணித பண்புகளைப் பயன்படுத்தி, அளவிடுதல் பெருக்கத்துடன், இரண்டு திசையன்களை "கழித்தல்" மற்றும் ஒரு திசையனை ஒரு அளவிடுதல் மூலம் "வகுத்தல்" சாத்தியமாகும். முதல் திசையன் செயல்பாட்டிற்கு இரண்டாவது திசையன் செயல்பாட்டுடன் −1 இன் அளவிடக்கூடிய பெருக்கியைச் சேர்ப்பதன் மூலம் திசையன் கழித்தல் செய்யப்படுகிறது. ஒரு ஆபரேட்டராக மைனஸ் அடையாளத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் இதைக் குறிக்க முடியும். u மற்றும் v என்ற இரண்டு திசையன்களுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டை பின்வரும் எந்த ஒரு பாணியிலும் குறிப்பிடலாம்ஃ அளவீட்டுப் பிரிவு என்பது திசையன் செயல்பாட்டை அளவீட்டு செயல்பாட்டின் எண் தலைகீழுடன் பெருக்குவதன் மூலம் செய்யப்படுகிறது. பின்னப் பட்டை அல்லது பிரிவு அறிகுறிகளை இயக்குபவர்களாக பயன்படுத்துவதன் மூலம் இதைக் குறிக்கலாம். ஒரு திசையன் v மற்றும் ஒரு அளவிடுதல் c இன் ஈவு பின்வரும் வடிவங்களில் ஏதேனும் ஒன்றில் குறிப்பிடப்படலாம்ஃ ஒரு திசையனின் நெறிமுறை திசையனின் இருபுறமும் இரட்டைக் கம்பிகளுடன் குறிப்பிடப்படுகிறது. ஒரு திசையன் v இன் நெறிமுறையை பின்வருமாறு குறிப்பிடலாம்ஃ நெறிமுறை சில நேரங்களில் ஒற்றை கம்பிகளுடன் குறிப்பிடப்படுகிறது, ஆனால் இது முழுமையான மதிப்புடன் குழப்பமடையக்கூடும் (இது ஒரு வகை நெறிமுறை). உள் விளைபொருள் இரண்டு திசையன்களின் உள் விளைபொருள் (அளவிடுதல் பெருக்கல் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது, அளவிடுதல் பெருக்கத்துடன் குழப்பமடையக்கூடாது) கோண அடைப்புக்குறிக்குள் மூடப்பட்ட ஒரு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட ஜோடியாக குறிப்பிடப்படுகிறது. இரண்டு திசையன்களான u மற்றும் v இன் உள் பெருக்கல் பின்வருமாறு குறிப்பிடப்படும்ஃ புள்ளி பெருக்கல் உள் பெருக்கல் புள்ளி பெருக்கல் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. நிலையான உள் தயாரிப்பு குறியீட்டிற்கு கூடுதலாக, புள்ளி தயாரிப்பு குறியீட்டையும் (புள்ளியை ஒரு ஆபரேட்டராகப் பயன்படுத்துதல்) பயன்படுத்தலாம் (மேலும் இது மிகவும் பொதுவானது). இரண்டு திசையன்களான u மற்றும் v இன் புள்ளி விளைபொருளை பின்வருமாறு குறிப்பிடலாம்ஃ சில பழைய இலக்கியங்களில், புள்ளி விளைபொருள் இரண்டு திசையன்களுக்கு இடையில் அருகருகே எழுதப்படுகிறது. இந்த குறியீட்டை இரண்டு திசையன்களுக்கு இடையிலான டயாடிக் தயாரிப்புடன் குழப்பலாம். குறுக்கு விளைபொருள் இரண்டு திசையன்களின் (இன்) குறுக்கு விளைபொருள் சுழற்றப்பட்ட குறுக்குவழியை ஒரு இயக்கியாகப் பயன்படுத்தி குறிப்பிடப்படுகிறது. இரண்டு திசையன்களான u மற்றும் v இன் குறுக்கு பெருக்கல் பின்வருமாறு குறிப்பிடப்படும்ஃ சில மரபுகளால் (எ. கா. பிரான்சிலும் உயர் கணிதத்தின் சில பகுதிகளிலும்), இது ஒரு வெட்ஜ் மூலம் குறிக்கப்படுகிறது, இது வெட்ஜ் பெருக்கத்துடன் குழப்பத்தைத் தவிர்க்கிறது, ஏனெனில் இவை இரண்டும் மூன்று பரிமாணங்களில் செயல்பாட்டு ரீதியாக சமமானவைஃ சில பழைய இலக்கியங்களில், u மற்றும் v க்கு இடையிலான குறுக்கு பெருக்கலுக்கு பின்வரும் குறியீடு பயன்படுத்தப்படுகிறதுஃ நப்லா செயல்பாட்டாளர் மூலம் கால்குலஸுடன் நப்லா வெக்டர் குறியீடு பயன்படுத்தப்படுகிறதுஃ ஒரு அளவிடுதல் செயல்பாடு f உடன், சாய்வு ஒரு திசையன் புலத்துடன் எழுதப்படுகிறது, F வேறுபாடு ஒரு திசையன் புலத்துடன் எழுதப்படுகிறது, F சுருட்டை யூக்ளிடியன் திசையன் ஃபேஸர் குறிப்புகள் கணித குறியீட்டு திசையன்கள் (கணிதம் மற்றும் இயற்பியல்)