Euler summation
ஒருங்கிணைந்த மற்றும் வேறுபட்ட தொடர்களின் கணிதத்தில், ஆய்லர் கூட்டுத்தொகை என்பது ஒரு கூட்டுத்தொகை முறையாகும். அதாவது, இது ஒரு தொடருக்கு ஒரு மதிப்பை ஒதுக்குவதற்கான ஒரு முறையாகும், இது பகுதி தொகைகளின் வரம்புகளை எடுக்கும் வழக்கமான முறையிலிருந்து வேறுபட்டது. ஒரு தொடர்  நிஷ்பாட்டின் போது, அதன் யூலர் உருமாற்றம் ஒரு கூட்டுத்தொகையாக ஒன்றிணைந்தால், அந்த தொகை அசல் தொடரின் யூலர் கூட்டுத்தொகை என்று அழைக்கப்படுகிறது. வேறுபட்ட தொடர்களுக்கான மதிப்புகளை வரையறுக்கப் பயன்படுத்தப்படுவதோடு, யூலர் கூட்டுத்தொகையை தொடரின் ஒருங்கிணைப்பை விரைவுபடுத்தவும் பயன்படுத்தலாம். ஆய்லர் கூட்டுத்தொகையை (E, q) குறிக்கப்படும் முறைகளின் குடும்பமாக பொதுமைப்படுத்தலாம், அங்கு q ≤ 0 ஆகும். (E, 1) தொகை சாதாரண ஆய்லர் தொகை ஆகும். இந்த முறைகள் அனைத்தும் போரெல் கூட்டுத்தொகையை விட கண்டிப்பாக பலவீனமானவை; q> 0 க்கு அவை ஆபெல் கூட்டுத்தொகையுடன் ஒப்பிட முடியாதவை. வரையறை சில மதிப்பு y க்கு ஒரு குறிப்பிட்ட முறையான கூட்டுத்தொகையுடன் தொடர்புடைய யூலர் கூட்டுத்தொகையை (அது y இன் அந்த மதிப்புக்கு ஒன்றிணைந்தால்) நாம் வரையறுக்கலாம்ஃ அனைத்து முறையான தொகைகளும் உண்மையில் ஒன்றிணைந்தால், யூலர் தொகை இடது புறத்திற்கு சமமாக இருக்கும். இருப்பினும், யூலர் கூட்டுத்தொகையைப் பயன்படுத்துவது ஒருங்கிணைப்பை துரிதப்படுத்தலாம் (இது மாறி மாறி தொடர்களுக்கு குறிப்பாக பயனுள்ளதாக இருக்கும்); சில நேரங்களில் இது வேறுபட்ட தொகைகளுக்கு ஒரு பயனுள்ள அர்த்தத்தையும் கொடுக்கலாம். அணுகுமுறையை நியாயப்படுத்த, ஒன்றோடொன்று மாற்றப்பட்ட தொகைக்கு, யூலரின் கூட்டுத்தொகை ஆரம்பத் தொடருக்குக் குறைகிறது, ஏனெனில் இந்த முறையை மறு செய்கை பயன்பாட்டின் மூலம் மேம்படுத்த முடியாது, எடுத்துக்காட்டுகள் pk என்பது டிகிரி k இன் பல்லுறுப்புக்கோவை என்றால் நாம் பெறும் முறையான தொகைக்கு y = 1 ஐப் பயன்படுத்துவது. உள் தொகை பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் என்பதைக் கவனியுங்கள், எனவே இந்த விஷயத்தில் யூலர் கூட்டுத்தொகை எல்லையற்ற தொடரை ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட தொகைக்கு குறைக்கிறது. குறிப்பிட்ட தேர்வு பெர்னௌலி எண்களின் வெளிப்படையான பிரதிநிதித்துவத்தை வழங்குகிறது, ஏனெனில் (ரீமன் ஜீட்டா செயல்பாடு). உண்மையில், இந்த விஷயத்தில் முறையான தொகை k நேர்மறையாக இருப்பதால் வேறுபடுகிறது, ஆனால் ஜீட்டா செயல்பாட்டிற்கு (அல்லது மாறாக, தொடர்புடைய டிரிக்லெட் ஈட்டா செயல்பாட்டிற்கு) யூலர் கூட்டுத்தொகையைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் விளைச்சல் (cf. உலகளாவிய ஒருங்கிணைந்த தொடர்) இது மூடிய வடிவத்தில் உள்ளது. y இன் பொருத்தமான தேர்வுடன் (அதாவது. இந்த தொடர் − க்கு சமமாகவோ அல்லது நெருக்கமாகவோ இணைகிறது. மேலும் காண்க பைனாமியல் உருமாற்றம் போரெல் கூட்டுத்தொகை செசரோ கூட்டுத்தொகை லம்பேர்ட் கூட்டுத்தொகை பெர்ரானின் சூத்திரம் அபெலியன் மற்றும் டூபேரியன் கோட்பாடுகள் ஆபெல்-பிளானா சூத்திரம் ஆபெல் கூட்டுத்தொகை சூத்திரம் வான் விஜன்கார்டன் மாற்றம் யூலர்-பூல் கூட்டுத்தொகை குறிப்புகள் கணித தொடர் சுருக்க முறைகள்