Mordell–Weil group
எண்கணித வடிவவியலில், மோர்டெல்-வெயில் குழு என்பது ஒரு எண் புலத்தின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட எந்தவொரு அபெலியன் வகையுடனும் தொடர்புடைய ஒரு அபெலியன் குழுவாகும், இது அபெலியன் வகையின் எண்கணித மாறிலி ஆகும். இது வெறுமனே-புள்ளிகளின் குழு, அதேபோல் மோர்டெல்-வெயில் குழு 207 ஆகும். இந்த குழுவைப் பற்றிய முக்கிய கட்டமைப்பு தேற்றம் மோர்டெல்-வெயில் தேற்றம் ஆகும், இது இந்த குழு உண்மையில் ஒரு இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட அபெலியன் குழு என்பதைக் காட்டுகிறது. மேலும், இந்த குழுவுடன் தொடர்புடைய பிர்ச் மற்றும் ஸ்வின்னர்டன்-டயர் அனுமானம் போன்ற பல அனுமானங்கள் உள்ளன, இது ஒரு சிறப்பு புள்ளியில் தொடர்புடைய எல்-செயல்பாட்டின் பூஜ்ஜியத்துடன் தரவரிசையை தொடர்புபடுத்துகிறது. ஒரு அபெலியன் வகையின் மோர்டெல்-வெயில் குழுவின் வெளிப்படையான எடுத்துக்காட்டுகளை உருவாக்குவது ஒரு அற்பமான செயல்முறையாகும், இது எப்போதும் வெற்றிகரமாக இருக்கும் என்று உத்தரவாதம் அளிக்கப்படவில்லை, எனவே அதற்கு பதிலாக ஒரு குறிப்பிட்ட நீள்வட்ட வளைவின் விஷயத்தில் நிபுணத்துவம் பெறுகிறோம். விகிதமுறு எண்களின் மீது வீயர்ஸ்ட்ராஸ் சமன்பாட்டால் வரையறுக்கப்படுவோம். இது பாகுபாட்டைக் கொண்டுள்ளது (மேலும் இந்த பல்லுறுப்புக்கோவை ஒரு உலகளாவிய மாதிரியை வரையறுக்க பயன்படுத்தப்படலாம்). பின்வரும் செயல்முறையின் மூலம் இதைக் கண்டறியலாம். முதலில், சில எண்களைச் செருகுவதன் மூலம் சில வெளிப்படையான முறுக்கு புள்ளிகளைக் காண்கிறோம், அவை இவை. கூடுதலாக, சில சிறிய ஜோடி முழு எண்களை முயற்சித்த பிறகு, வெளிப்படையாக முறிவு இல்லாத ஒரு புள்ளியைக் காண்கிறோம். முறுக்கு பகுதியைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான ஒரு பயனுள்ள முடிவு என்னவென்றால், பிரைமின் முறுக்கு, நல்ல குறைப்பைக் கொண்டிருப்பதற்கு, குறிக்கப்படுகிறது, எனவே நாம் இரண்டு பிரைம்களைச் சரிபார்த்து, செட்நோட்டின் கார்டினாலிட்டியைக் கணக்கிடுகிறோம், ஏனெனில் இரண்டு பிரைம்களும் ஒரு காரணியை மட்டுமே கொண்டிருப்பதால், அனைத்து முறிவு புள்ளிகளையும் கண்டறிந்தோம். கூடுதலாக, புள்ளிக்கு எல்லையற்ற வரிசை இருப்பதை நாம் அறிவோம், இல்லையெனில் இரு கார்டினாலிட்டிகளும் பகிர்ந்து கொள்ளும் ஒரு பிரதான காரணி இருக்கும், எனவே தரவரிசை குறைந்தபட்சம் இருக்கும். இப்போது, தரவரிசையை கணக்கிடுவது மிகவும் கடினமான செயல்முறையாகும், இதில் குழுவைக் கணக்கிடுவது ஹோமோலாஜிக்கல் அல்ஜிப்ரா மற்றும் கும்மர் வரைபடத்திலிருந்து சில நீண்ட துல்லியமான வரிசைகளைப் பயன்படுத்துகிறது. சிறப்பு நிகழ்வுகள் தொடர்பான கோட்பாடுகள் குறிப்பிட்ட பரிமாணத்தின் அபெலியன் வகைகளின் மோர்டெல்-வெயில் குழுக்களின் அமைப்பு, குறிப்பிட்ட புலங்கள் அல்லது வேறு சில சிறப்பு பண்புகளைக் கொண்டிருப்பது பற்றி இலக்கியத்தில் பல கோட்பாடுகள் உள்ளன. விகிதமுறு சார்பு புலத்தின் மீது உள்ள அபெலியன் வகைகள் k (t) ஒரு ஹைப்பர்லிப்டிக் வளைவு மற்றும் ஒரு நிலையான புலத்தின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு அபெலியன் வகைக்கு, மூடுபனி வரைபடத்துடன் தொடர்புடைய புலம் நீட்டிப்பின் 1-கோசைல் ஃபார் கலோயிஸ் கோஹோமோலஜி மூலம் (செயல்பாட்டு புலத்தின் பின்னோக்கி) திருப்பத்தை குறிக்கிறோம். வரைபடத்திலிருந்து பின்வருவது ஹைப்பர்லிப்டிக் என்பதைக் கவனியுங்கள். இன்னும் வெளிப்படையாக, இந்த 1-கோசைல் குழுக்களின் வரைபடமாக வழங்கப்படுகிறது, இது உலகளாவிய பண்புகளைப் பயன்படுத்துவது இரண்டு வரைபடங்களைக் கொடுப்பதற்கு சமம், எனவே அதை ஒரு வரைபடமாக எழுதலாம், அங்கு சேர்ப்பு வரைபடம் மற்றும் எதிர்மறைக்கு அனுப்பப்படுகிறது. இயற்கணித வடிவவியலின் பொதுவான கோட்பாட்டைப் பயன்படுத்தி வரையறுக்கப்பட்ட முறுக்கப்பட்ட அபெலியன் வகையை வரையறுக்க இதைப் பயன்படுத்தலாம். குறிப்பாக, இந்த கட்டமைப்பின் உலகளாவிய பண்புகளிலிருந்து, இது ஒரு அபெலியன் வகையாகும், இது அடிப்படை மாற்றத்திற்குப் பிறகு ஐசோமார்பிக் ஆகும். தேற்றம் மேலே கொடுக்கப்பட்ட அமைப்புக்கு, வளைவின் ஜாகோபியன் இருக்கும் இடத்தில் அபெலியன் குழுக்களின் ஐசோமார்பிசம் உள்ளது, மேலும் இது வளைவின் 2-முறுக்கு துணைக்குழுவாகும். மேலும் பார்க்கவும் மோர்டெல்-வெயில் தேற்றம் குறிப்புகள் மேலும் எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் நிகழ்வுகள் மரபணு 2 இன் மோர்டெல்-வெயில் வளைவுகளின் குழு உலகளாவிய நீள்வட்ட வளைவின் மோர்டெல்-வெயில் குழுவை தீர்மானித்தல் கலோயிஸ் வம்சாவளி மற்றும் ஒரு அபெலியன் வகையின் திருப்பங்கள் டயோஃபாண்டைன் வடிவியல் எலிப்டிக் வளைவுகள் அபெலியன் வகைகள்