Kernel principal component analysis
பன்முக புள்ளியியல் துறையில், கர்னல் முதன்மை கூறு பகுப்பாய்வு (கர்னல் பிசிஏ) என்பது கர்னல் முறைகளின் நுட்பங்களைப் பயன்படுத்தி முதன்மை கூறு பகுப்பாய்வின் (பிசிஏ) விரிவாக்கமாகும். ஒரு கர்னலைப் பயன்படுத்தி, பிசிஏவின் முதலில் நேரியல் செயல்பாடுகள் ஒரு இனப்பெருக்கம் கர்னல் ஹில்பர்ட் இடத்தில் செய்யப்படுகின்றன. பின்னணிஃ லீனியர் பிசிஏ வழக்கமான பிசிஏ பூஜ்ஜிய-மைய தரவுகளில் செயல்படுகிறது என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள்; அதாவது, பல்வகையான அவதானிப்புகளில் ஒன்று. இது கோவேரியன்ஸ் மேட்ரிக்ஸை மூலைவிட்டமாக மாற்றுவதன் மூலம் செயல்படுகிறது, வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், இது கோவேரியன்ஸ் மேட்ரிக்ஸின் ஈஜெண்ட் கலவையை வழங்குகிறதுஃ இதை இவ்வாறு மீண்டும் எழுதலாம். (மேலும் காண்கஃ கோவேரியன்ஸ் மேட்ரிக்ஸ் ஒரு லீனியர் ஆபரேட்டராக) பி. சி. ஏ. வுக்கு கர்னலின் அறிமுகம் கர்னல் பி. சி. ஏ. வின் பயன்பாட்டைப் புரிந்துகொள்ள, குறிப்பாக கிளஸ்டரிங்கிற்கு, பொதுவாக, என் புள்ளிகளை பரிமாணங்களில் லீனியராகப் பிரிக்க முடியாது என்றாலும், அவை எப்போதும் பரிமாணங்களில் லீனியராகப் பிரிக்கப்படலாம் என்பதைக் கவனியுங்கள். அதாவது, N புள்ளிகள் கொடுக்கப்பட்டால், அவற்றை ஒரு N-பரிமாண இடைவெளியில் வரைந்தால், புள்ளிகளை தன்னிச்சையான கொத்துகளாகப் பிரிக்கும் ஒரு ஹைப்பர்பிளேனை உருவாக்குவது எளிது. நிச்சயமாக, இது நேரியல் சுயாதீனமான திசையன்களை உருவாக்குகிறது, எனவே நேரியல் பிசிஏவில் நாம் செய்வதைப் போல வெளிப்படையாக ஈஜென்டெகம்போசிஷனை செய்ய எந்த கோவேரியன்ஸும் இல்லை. அதற்கு பதிலாக, கர்னல் பிசிஏவில், ஒரு அற்பமான, தன்னிச்சையான செயல்பாடு 'தேர்ந்தெடுக்கப்படுகிறது', இது ஒருபோதும் வெளிப்படையாக கணக்கிடப்படுவதில்லை, அந்த இடத்தில் உள்ள தரவை நாம் உண்மையில் மதிப்பீடு செய்ய வேண்டியதில்லை என்றால் மிக உயர்ந்த பரிமாணங்களைப் பயன்படுத்துவதற்கான வாய்ப்பை அனுமதிக்கிறது. நாம் பொதுவாக-இடத்தில் வேலை செய்வதைத் தவிர்க்க முயற்சிப்பதால், அதை நாம் 'அம்ச இடம்' என்று அழைப்போம், இல்லையெனில் இழுக்கக்கூடிய அம்ச இடத்தின் உள் தயாரிப்பு இடத்தை (கிராமியன் மேட்ரிக்ஸைப் பார்க்கவும்) குறிக்கும் N-by-N கர்னலை உருவாக்கலாம். ஒரு கர்னலை உருவாக்குவதில் எழும் இரட்டை வடிவம் பிசிஏவின் ஒரு பதிப்பை கணித ரீதியாக உருவாக்க அனுமதிக்கிறது, இதில் நாம் உண்மையில்-இடத்தில் உள்ள கோவேரியன்ஸ் மேட்ரிக்ஸின் ஐகென் வெக்டர்கள் மற்றும் ஐகென் மதிப்புகளை தீர்க்க மாட்டோம் (கர்னல் தந்திரத்தைப் பார்க்கவும்). K இன் ஒவ்வொரு நெடுவரிசையிலும் உள்ள N-கூறுகள் அனைத்து மாற்றப்பட்ட புள்ளிகள் (N புள்ளிகள்) தொடர்பாக மாற்றப்பட்ட தரவுகளின் ஒரு புள்ளியின் புள்ளி பெருக்கத்தைக் குறிக்கின்றன. சில நன்கு அறியப்பட்ட கர்னல்கள் கீழே உள்ள எடுத்துக்காட்டில் காட்டப்பட்டுள்ளன. நாம் ஒருபோதும் அம்ச இடத்தில் நேரடியாக வேலை செய்யாததால், பிசிஏவின் கர்னல்-உருவாக்கம் கட்டுப்படுத்தப்பட்டுள்ளது, ஏனெனில் அது முக்கிய கூறுகளை அல்ல, ஆனால் அந்த கூறுகளில் நமது தரவின் கணிப்புகளைக் கணக்கிடுகிறது. அம்சம் இடத்தில் உள்ள ஒரு புள்ளியில் இருந்து kth முதன்மை கூறுக்கு ப்ரொஜெக்ஷனை மதிப்பிடுவதற்கு (இங்கு சூப்பர்ஸ்கிரிப்ட் k என்பது கூறு k, k இன் சக்திகள் அல்ல) புள்ளி உற்பத்தியைக் குறிக்கிறது என்பதை நாம் கவனிக்கிறோம், இது வெறுமனே கர்னலின் கூறுகள். கணக்கிடுவதும் இயல்பாக்குவதும் மட்டுமே எஞ்சியிருப்பதாகத் தெரிகிறது, இது ஈஜென்வெக்டர் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதன் மூலம் செய்யப்படலாம், அங்கு தொகுப்பில் உள்ள தரவு புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை, மற்றும் இவை ஈஜென்வெல்யூக்கள் மற்றும் ஈஜென்வெக்டர்கள் ஆகும். பின்னர் ஐகென் வெக்டர்களை இயல்பாக்க, அதன் அசல் இடத்தில் பூஜ்ஜிய-பொருள் இருந்தாலும் இல்லாவிட்டாலும், அது அம்ச இடத்தில் மையமாக இருக்கும் என்று உத்தரவாதம் அளிக்கப்படவில்லை (இது நாம் ஒருபோதும் வெளிப்படையாக கணக்கிடுவதில்லை) என்ற உண்மையைப் பற்றி கவனமாக இருக்க வேண்டும். ஒரு பயனுள்ள முதன்மை கூறு பகுப்பாய்வைச் செய்ய மையப்படுத்தப்பட்ட தரவு தேவைப்படுவதால், ஒவ்வொரு உறுப்பும் மதிப்பை எடுக்கும் N-by-N மேட்ரிக்ஸைக் குறிக்கும் இடமாக மாற நாம் 'மையப்படுத்துகிறோம்'. மேலே விவரிக்கப்பட்ட கர்னல் பிசிஏ வழிமுறையைச் செய்ய நாம் பயன்படுத்துகிறோம். கர்னல் பிசிஏவின் ஒரு எச்சரிக்கை இங்கே விளக்கப்பட வேண்டும். லீனியர் பிசிஏவில், ஒவ்வொரு முக்கிய கூறுகளாலும் தரவுகளின் மாறுபாடு எவ்வளவு கைப்பற்றப்படுகிறது என்பதன் அடிப்படையில் ஐகென் வெக்டர்களை தரவரிசைப்படுத்த ஐகென் மதிப்புகளைப் பயன்படுத்தலாம். இது தரவு பரிமாணக் குறைப்புக்கு பயனுள்ளதாக இருக்கும், மேலும் இது கே. பி. சி. ஏ-க்கும் பயன்படுத்தப்படலாம். இருப்பினும், நடைமுறையில் தரவுகளின் அனைத்து மாறுபாடுகளும் ஒரே மாதிரியானவை. இது பொதுவாக கர்னல் அளவின் தவறான தேர்வால் ஏற்படுகிறது. பெரிய தரவுத்தொகுப்புகள் நடைமுறையில், ஒரு பெரிய தரவு தொகுப்பு ஒரு பெரிய K க்கு வழிவகுக்கிறது, மேலும் K ஐ சேமிப்பது ஒரு சிக்கலாக மாறக்கூடும். இதைச் சமாளிப்பதற்கான ஒரு வழி, தரவுத்தொகுப்பில் கிளஸ்டரிங் செய்வதும், அந்த கிளஸ்டர்களின் வழிமுறைகளுடன் கர்னலை மக்கள்தொகைப்படுத்துவதும் ஆகும். இந்த முறை கூட ஒப்பீட்டளவில் பெரிய K ஐ வழங்கக்கூடும் என்பதால், மேல் P ஐகென் மதிப்புகளை மட்டுமே கணக்கிடுவது பொதுவானது மற்றும் ஐகென் மதிப்புகளின் ஐகென் வெக்டர்கள் இந்த வழியில் கணக்கிடப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டு புள்ளிகளின் மூன்று செறிவு மேகங்களைக் கவனியுங்கள் (காட்டப்பட்டுள்ளது); இந்த குழுக்களை அடையாளம் காண கர்னல் பிசிஏவைப் பயன்படுத்த விரும்புகிறோம். புள்ளிகளின் நிறம் வழிமுறையில் சம்பந்தப்பட்ட தகவல்களைக் குறிக்காது, ஆனால் மாற்றம் தரவு புள்ளிகளை எவ்வாறு இடமாற்றம் செய்கிறது என்பதை மட்டுமே காட்டுகிறது. முதலில், கர்னல் பிசிஏ-க்கு இதைப் பயன்படுத்துவது அடுத்த படத்தைப் பெறுகிறது என்பதைக் கவனியுங்கள். இப்போது ஒரு காஸியன் கர்னலைக் கவனியுங்கள்ஃ அதாவது, இந்த கர்னல் நெருக்கத்தின் அளவீடு, புள்ளிகள் ஒத்துப்போகும்போது 1 க்கு சமமாகவும், முடிவிலியில் 0 க்கு சமமாகவும் இருக்கும். குறிப்பாக முதல் முக்கிய கூறு மூன்று வெவ்வேறு குழுக்களை வேறுபடுத்துவதற்கு போதுமானது என்பதைக் கவனியுங்கள், இது நேரியல் பிசிஏவை மட்டுமே பயன்படுத்துவது சாத்தியமற்றது, ஏனெனில் நேரியல் பிசிஏ கொடுக்கப்பட்ட (இந்த விஷயத்தில் இரு பரிமாண) இடத்தில் மட்டுமே செயல்படுகிறது, இதில் இந்த செறிவு புள்ளி மேகங்கள் நேரியல் ரீதியாக பிரிக்க முடியாதவை. கர்னல் பி. சி. ஏ பயன்பாடுகள் புதுமையைக் கண்டறிவதற்கும் படத்தைக் குறைப்பதற்கும் பயனுள்ளதாக இருக்கும் என்று நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. கிளஸ்டர் பகுப்பாய்வு நேரியல் அல்லாத பரிமாண குறைப்பு ஸ்பெக்ட்ரல் கிளஸ்டரிங் குறிப்புகள் பரிமாண குறைப்பு சமிக்ஞை செயலாக்க வழிமுறைகள் இயந்திர கற்றலுக்கான கர்னல் முறைகள் sv: Principalkomponentanalys#Olinjär PCA