Schottky group
கணிதத்தில், ஒரு ஷாட்கி குழு என்பது ஒரு சிறப்பு வகையான க்ளீனியன் குழுவாகும், இது முதன்முதலில் ஸ்காட்கி குழுவால் ஆய்வு செய்யப்பட்டது. வரையறை ரீமன் கோளத்தில் சில புள்ளி p ஐ சரிசெய்யவும். p வழியாகச் செல்லாத ஒவ்வொரு ஜோர்டான் வளைவும் ரீமன் கோளத்தை இரண்டு துண்டுகளாகப் பிரிக்கிறது, மேலும் p ஐக் கொண்ட துண்டுகளை வளைவின் "வெளிப்புறம்" என்றும், மற்ற துண்டுகளை அதன் "உட்புறம்" என்றும் அழைக்கிறோம். ரீமன் கோளத்தில் 2ஜி ஜோர்டன் வளைவுகள் A1, B1,., Ag, Bg ஆகியவை வேறுபட்ட உட்புறங்களுடன் உள்ளன என்று வைத்துக்கொள்வோம். மோபியஸ் உருமாற்றங்கள் Ti ஐயின் வெளிப்புறத்தை Bi இன் உட்புறத்திற்கு எடுத்துச் சென்றால், இந்த மாற்றங்களால் உருவாக்கப்பட்ட குழு ஒரு க்ளீனியன் குழுவாகும். ஒரு ஷாட்கி குழு என்பது எந்தவொரு க்ளீனிய குழுவையும் இதுபோன்று கட்டமைக்க முடியும். பண்புகள் செயல்பாட்டின் மூலம், ஒரு இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட க்ளீனியன் குழு ஸ்காட்கி ஆகும், அது இறுதியாக உருவாக்கப்பட்டால் மட்டுமே, இலவசமாக, இடைநிறுத்தத்தின் வெற்று களத்தைக் கொண்டிருந்தால், மற்றும் அனைத்து அற்பமான கூறுகளும் லாக்ஸோட்ரோமிக் ஆகும். ரீமன் கோளத்தில் உள்ள ஒரு ஷாட்கி குழு G இன் வழக்கமான புள்ளிகள் ω (G) இன் செயல்பாட்டிற்கான ஒரு அடிப்படை களம் அதை வரையறுக்கும் ஜோர்டான் வளைவுகளின் வெளிப்புறத்தால் வழங்கப்படுகிறது. ஜோர்டான் வளைவுகளை ஜோடிகளாக இணைப்பதன் மூலம் தொடர்புடைய ஈவு இடைவெளி ω (G)/G வழங்கப்படுகிறது, அதேபோல் இது ஜி பேரினத்தின் ஒரு கச்சிதமான ரீமன் மேற்பரப்பாகும். இது 3 பரிமாண ஹைபர்போலிக் எச் இடத்தின் ஈவு (H ω (G))/G மற்றும் ஜி பேரினத்தின் கைப்பிடியான ஷாட்கி குழு ஜி இன் வழக்கமான தொகுப்பு ω (G) ஐ எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம் வழங்கப்படும் 3-பன்மடங்கு எல்லையாகும். இதற்கு நேர்மாறாக ஜி பேரினத்தின் எந்த கச்சிதமான ரீமன் மேற்பரப்பும் ஜி பேரினத்தின் சில ஷாட்கி குழுவிலிருந்து பெறப்படலாம். கிளாசிக்கல் மற்றும் கிளாசிக்கல் அல்லாத ஷாட்கி குழுக்கள் ஒரு ஷாட்கி குழுவை கிளாசிக்கல் என்று அழைக்கப்படுகிறது, சில ஜெனரேட்டர்களின் தொகுப்புடன் தொடர்புடைய அனைத்து இணைக்கப்படாத ஜோர்டான் வளைவுகளையும் வட்டங்களாகத் தேர்ந்தெடுக்கலாம். கிளாசிக்கல் அல்லாத ஷாட்கி குழுக்கள் இருப்பதற்கான மறைமுக மற்றும் கட்டமைக்கப்படாத ஆதாரத்தை வழங்கினார், மேலும் ஒன்றின் வெளிப்படையான உதாரணத்தையும் வழங்கினார். இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட அனைத்து கிளாசிக்கல் ஷாட்கி குழுக்களும் 2 க்கும் குறைவான உலகளாவிய மாறிலியால் கண்டிப்பாக மேலே வரையறுக்கப்பட்ட ஹவுஸ்டோர்ஃப் பரிமாணத்தின் வரம்பு தொகுப்புகளைக் கொண்டுள்ளன என்பது இதன் மூலம் காட்டப்பட்டுள்ளது. மாறாக, அனைத்து கிளாசிக்கல் அல்லாத ஷாட்கி குழுக்களின் வரம்பு தொகுப்புகளின் ஹவுஸ்டோர்ஃப் பரிமாணத்தில் ஒரு உலகளாவிய கீழ் வரம்பு உள்ளது என்பதை நிரூபித்துள்ளது. ஷாட்கி குழுக்களின் வரம்பு தொகுப்புகள் ஷாட்கி குழுவின் வரம்பு தொகுப்பு, ω (G) இன் நிரப்பு, எப்போதும் லெபெஸ்கூ அளவீட்டு பூஜ்ஜியத்தைக் கொண்டுள்ளது, ஆனால் d <2 க்கு நேர்மறை d-பரிமாண ஹவுஸ்டோர்ஃப் அளவீட்டைக் கொண்டிருக்கலாம். இது சரியானது மற்றும் நேர்மறை மடக்கை திறனுடன் எங்கும் அடர்த்தியாக இல்லை. லெபெஸ்கூ அளவீடுகள் பற்றிய அறிக்கை பின்வருமாறு கிளாசிக்கல் ஷாட்கி குழுக்களுக்கு பாயின்கேர் தொடரின் இருப்பிலிருந்து தொடர் | சிஐ | −4 குழுவின் அடையாளம் அல்லாத கூறுகளை விட சுருக்கமானது என்பதைக் காட்டுகிறது. உண்மையில் அடிப்படை களத்தின் உட்புறத்தில் ஒரு மூடிய வட்டை எடுத்துக்கொள்வது, வெவ்வேறு குழு கூறுகளின் கீழ் அதன் படங்கள் வேறுபடுகின்றன மற்றும் ஒரு நிலையான வட்டில் சுமார் 0 இல் உள்ளன. எனவே பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகை வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. மாறிகள் சூத்திரத்தின் மாற்றங்களால், பரப்பளவு ஒரு நிலையான முறை | சிஐ |-4 ஐ விட அதிகமாக உள்ளது. இதேபோன்ற ஒரு வாதம், வரம்பு தொகுப்பில் லெபெஸ்கூ அளவீட்டு பூஜ்ஜியம் உள்ளது என்பதைக் குறிக்கிறது. ஏனெனில் இது n ஆல் வரையறுக்கப்பட்ட சொல் நீளத்துடன் குழு உறுப்புகளால் அடிப்படை பிராந்தியத்தின் படங்களின் இணைப்பின் நிரப்பு ஆகும். இது வட்டங்களின் வரையறுக்கப்பட்ட ஒன்றிணைப்பாகும், எனவே வரையறுக்கப்பட்ட பரப்பளவைக் கொண்டுள்ளது. அந்த பகுதி n என்ற வார்த்தையின் நீளத்தின் கூறுகளின் பாயின்கேர் கூட்டுத்தொகைக்கு ஒரு நிலையான முறை பங்களிப்பால் மேலே வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது, எனவே 0 ஆக குறைகிறது. ஸ்காட்கி இடைவெளி ஸ்காட்கி இடைவெளி (சில பேரினத்தின் ஜி ± 2) என்பது ஜி பேரினத்தின் குறிக்கப்பட்ட ஸ்காட்கி குழுக்களின் இடைவெளி ஆகும், வேறுவிதமாகக் கூறினால், பி. எஸ். எல் 2 (சி) இன் ஜி கூறுகளின் தொகுப்புகளின் இடைவெளி ஒரு ஸ்காட்கி குழுவை உருவாக்குகிறது, இது மோபியஸ் மாற்றங்களின் கீழ் சமநிலை வரை உள்ளது. இது 3g−3 என்ற சிக்கலான பரிமாணத்தின் சிக்கலான பன்மடங்கு ஆகும். இது கிளாசிக்கல் ஷாட்கி குழுக்களுடன் தொடர்புடைய துணைக்குழுவாக கிளாசிக்கல் ஷாட்கி இடத்தை கொண்டுள்ளது. ஜி பேரினத்தின் ஷாட்கி இடம் பொதுவாக இணைக்கப்படவில்லை, ஆனால் அதன் உலகளாவிய மூடுபனி இடத்தை ஜி ரீமன் மேற்பரப்புகளின் சிறிய இனத்தின் டீச்முல்லர் இடத்துடன் அடையாளம் காணலாம். பெல்ட்ராமி சமன்பாடு ரிலே ஸ்லைஸ் நோட்ஸ் குறிப்புகள் டேவிட் மம்ஃபோர்ட், கரோலின் சீரிஸ் மற்றும் டேவிட் ரைட், இந்திராவின் முத்துக்கள்ஃ ஃபெலிக்ஸ் க்ளீனின் பார்வை, கேம்பிரிட்ஜ் யுனிவர்சிட்டி பிரஸ், 2002 வெளிப்புற இணைப்புகள் ஒரு ஷாட்கி குழுவை உருவாக்கும் மூன்று மாற்றங்கள். க்ளீனிய குழுக்கள் குழு கோட்பாடு தனித்தனி குழுக்கள் பொய் குழுக்கள்