Residually finite group
குழுக் கோட்பாட்டின் கணிதத் துறையில், G இல் உள்ள அடையாளமாக இல்லாத ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் G இலிருந்து ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட குழுவிற்கு ஒரு ஹோமோமார்பிசம் இருந்தால் ஒரு குழு G என்பது எஞ்சிய வரையறுக்கப்பட்ட அல்லது இறுதியாக தோராயமாக இருக்கும், அதாவது பல சமமான வரையறைகள் உள்ளனஃ குழுவில் உள்ள ஒவ்வொரு அடையாளமற்ற உறுப்புக்கும், அந்த உறுப்பைக் கொண்டிருக்காத வரையறுக்கப்பட்ட குறியீட்டின் இயல்பான துணைக்குழு இருந்தால் ஒரு குழு எஞ்சிய வரையறுக்கப்பட்டதாகும். வரையறுக்கப்பட்ட குறியீட்டின் அனைத்து துணைக்குழுக்களின் குறுக்குவெட்டும் அற்பமானதாக இருந்தால் மட்டுமே ஒரு குழு எஞ்சிய வரையறுக்கப்படுகிறது. வரையறுக்கப்பட்ட குறியீட்டின் அனைத்து இயல்பான துணைக்குழுக்களின் குறுக்குவெட்டும் அற்பமானதாக இருந்தால் மட்டுமே ஒரு குழு எஞ்சிய வரையறுக்கப்படுகிறது. வரையறுக்கப்பட்ட குழுக்களின் குடும்பத்தின் நேரடி பெருக்கலுக்குள் உட்பொதிக்கப்பட்டால் மட்டுமே ஒரு குழு எஞ்சிய வரையறுக்கப்பட்டதாக இருக்கும். எஞ்சிய வரையறுக்கப்பட்ட குழுக்களின் எடுத்துக்காட்டுகள் வரையறுக்கப்பட்ட குழுக்கள், இலவச குழுக்கள், இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட நில்போட்டன்ட் குழுக்கள், பாலிசைக்ளிக்-பை-ஃபைனைட் குழுக்கள், இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட நேரியல் குழுக்கள் மற்றும் சிறிய 3-மேனிஃபோல்டுகளின் அடிப்படை குழுக்கள் ஆகும். எஞ்சிய வரையறுக்கப்பட்ட குழுக்களின் துணைக்குழுக்கள் எஞ்சிய வரையறுக்கப்பட்டவை, மற்றும் எஞ்சிய வரையறுக்கப்பட்ட குழுக்களின் நேரடி தயாரிப்புகள் எஞ்சிய வரையறுக்கப்பட்டவை. எஞ்சிய வரையறுக்கப்பட்ட குழுக்களின் எந்த தலைகீழ் வரம்பும் எஞ்சிய வரையறுக்கப்பட்டதாகும். குறிப்பாக, அனைத்து வரம்பற்ற குழுக்களும் எஞ்சியபடி வரையறுக்கப்பட்டவை. இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட அனைத்து எஞ்சிய வரையறுக்கப்பட்ட குழுக்களும் ஹோப்ஃபியன் குழுக்கள் என்ற உண்மையைப் பயன்படுத்தி எஞ்சியிருக்காத வரையறுக்கப்பட்ட குழுக்களின் எடுத்துக்காட்டுகளை உருவாக்க முடியும். எடுத்துக்காட்டாக, பாம்ஸ்லாக்-சோலிடார் குழு பி (2,3) ஹோப்ஃபியன் அல்ல, எனவே எஞ்சியபடி வரையறுக்கப்படவில்லை. வரையறுக்கப்பட்ட இடவியல் ஒவ்வொரு G குழுவும் அடையாளத்தின் திறந்த சுற்றுப்புறங்களின் அடிப்படையில், G இல் வரையறுக்கப்பட்ட குறியீட்டின் அனைத்து இயல்பான துணைக்குழுக்களின் தொகுப்பின் அடிப்படையில் ஒரு இடவியல் குழுவாக மாற்றப்படலாம். இதன் விளைவாக ஏற்படும் இடவியல் G இல் உள்ள எல்லையற்ற இடவியல் என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு குழு அதன் எல்லையற்ற இடவியல் ஹவுஸ்டோர்ஃப் என்றால் மட்டுமே எஞ்சிய வரையறுக்கப்படுகிறது. அதன் சுழற்சி துணைக்குழுக்கள் ப்ரோஃபைனைட் டோபோலஜியில் மூடப்பட்டிருக்கும் ஒரு குழு என்று கூறப்படுகிறது. வரையறுக்கப்பட்ட முறையில் உருவாக்கப்பட்ட துணைக்குழுக்கள் ஒவ்வொன்றும் வரம்பற்ற இடவியலில் மூடப்பட்டிருக்கும் குழுக்கள் துணைக்குழு பிரிக்கக்கூடியவை என்று அழைக்கப்படுகின்றன (மேலும் LERF, உள்ளூரில் நீட்டிக்கப்பட்ட எஞ்சிய வரையறுக்கப்பட்டவை). ஒவ்வொரு கான்ஜுகேசி வகுப்பும் ப்ரோஃபைனைட் டோபோலஜியில் மூடப்பட்டிருக்கும் ஒரு குழு கான்ஜுகேசி பிரிப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது. எஞ்சிய வரையறுக்கப்பட்ட குழுக்களின் வகைகள் ஒரு கேள்விஃ ஒரு வகையின் பண்புகள் என்ன, அதன் அனைத்து குழுக்களும் எஞ்சிய வரையறுக்கப்பட்டவை? இவற்றைப் பற்றிய இரண்டு முடிவுகள்ஃ எஞ்சிய வரையறுக்கப்பட்ட குழுக்களை மட்டுமே உள்ளடக்கிய எந்த வகையும் ஏ-குழுவால் உருவாக்கப்படுகிறது. எஞ்சிய வரையறுக்கப்பட்ட குழுக்களை மட்டுமே உள்ளடக்கிய எந்தவொரு வகையிலும், இது ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட குழுவைக் கொண்டுள்ளது, அதாவது அனைத்து உறுப்பினர்களும் அந்த வரையறுக்கப்பட்ட குழுவின் நேரடி பெருக்கத்தில் உட்பொதிக்கப்பட்டுள்ளனர். மீதமுள்ள சொத்து (கணிதம்) குறிப்புகள் மேற்கூறிய சில கூற்றுக்களின் ஆதாரத்துடன் வெளிப்புற இணைப்புகள் கட்டுரையையும் பார்க்கவும் எல்லையற்ற குழு கோட்பாடு குழுக்களின் பண்புகள்