Ambient construction
இணக்கமான வடிவவியலில், சுற்றுப்புற கட்டுமானம் என்பது சார்லஸ் ஃபெஃபெர்மன் மற்றும் ராபின் கிரஹாம் ஆகியோரின் கட்டுமானத்தைக் குறிக்கிறது, இதற்காக பரிமாணம் n இன் இணக்கமான பன்மடங்கு ஒரு குறிப்பிட்ட பாயின்கேர் பன்மடங்கு எல்லையாக (சுற்றுப்புறமாக) உணரப்படுகிறது, அல்லது மாற்றாக ஒரு குறிப்பிட்ட போலி-ரீமானியன் பன்மடங்கு வான கோளமாக. சுற்றுப்புற கட்டுமானம் என்பது அளவீட்டின் இணக்கமான வகுப்பைப் பயன்படுத்தி மட்டுமே செய்யப்படுகிறது என்ற பொருளில் நியதிபூர்வமானதுஃ இது இணக்கமாக மாறாதது. இருப்பினும், கட்டுமானம் ஒரு குறிப்பிட்ட தோராயமான வரிசை வரை அறிகுறியற்ற முறையில் மட்டுமே செயல்படுகிறது. பொதுவாக, முக்கியமான வரிசையைத் தாண்டி இந்த நீட்டிப்பைத் தொடர ஒரு தடை உள்ளது. தடையே இழுவிசை தன்மையைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் இது (இணக்கமான) தடங்கல் இழுவிசை என்று அழைக்கப்படுகிறது. இது, வேய்ல் டென்சருடன் சேர்ந்து, இணக்கமான வேறுபட்ட வடிவவியலில் உள்ள இரண்டு பழமையான மாறுபாடுகளில் ஒன்றாகும். தடை டென்சரைத் தவிர, ஜி. ஜே. எம். எஸ் ஆபரேட்டர்கள் என்று அழைக்கப்படும் இணக்கமாக மாறாத வேறுபட்ட ஆபரேட்டர்களின் ஒரு வகுப்பை வரையறுக்க சுற்றுப்புற கட்டுமானத்தைப் பயன்படுத்தலாம். இது தொடர்பான கட்டுமானம் டிராக்டர் மூட்டை ஆகும். கண்ணோட்டம் சுற்றுப்புற கட்டுமானத்திற்கான மாதிரி தட்டையான வடிவியல் மின்காவ்ஸ்கி இடத்தில் எதிர்கால பூஜ்ய கூம்பு ஆகும், இதன் தோற்றம் நீக்கப்பட்டது. முடிவிலியில் உள்ள வான கோளம் இணக்கமான பன்மடங்கு எம் ஆகும், மேலும் கூம்பில் உள்ள பூஜ்ய கதிர்கள் எம் மீது ஒரு கோடு மூட்டை தீர்மானிக்கின்றன. மேலும், பூஜ்ய கூம்பு ஒரு அளவீட்டைக் கொண்டுள்ளது, இது கூம்பின் ஜெனரேட்டர்களின் திசையில் சீரழிகிறது. இந்த தட்டையான மாதிரி இடத்தில் சுற்றுப்புற கட்டுமானம் பின்வருமாறு கேட்கிறதுஃ ஒருவருக்கு அத்தகைய வரி மூட்டை வழங்கப்பட்டால், அதன் சீரழிந்த மெட்ரிக் உடன், பூஜ்ய கூம்பில் இருந்து மெட்ரிக் ஐ எந்த அளவிற்கு நீட்டிக்க முடியும், இதனால் சுற்றுப்புற மின்காவ்ஸ்கி இடத்தை மீட்டெடுக்க முடியும்? முறையான சொற்களில், சீரழிந்த மெட்ரிக் நீட்டிப்பு சிக்கலுக்கு ஒரு டிரிக்லெட் எல்லை நிபந்தனையை வழங்குகிறது, அது நிகழும்போது, நீட்டிக்கப்பட்ட மெட்ரிக் ரிச்சி தட்டையாக இருப்பது இயற்கையான நிலை (சாதாரண இணக்கமான இணைப்பின் இயல்பாக்கத்தின் காரணமாக). சுற்றுப்புற கட்டுமானம் M இணக்கமாக வளைந்திருக்கும் போது இதை பொதுமைப்படுத்துகிறது, முதலில் இயற்கையான பூஜ்ய கோடு மூட்டை N ஐ சீரழிந்த மெட்ரிக் மூலம் உருவாக்குவதன் மூலமும், பின்னர் N × (-1,1) இல் தொடர்புடைய டிரிக்லெட் சிக்கலைத் தீர்ப்பதன் மூலமும். விவரங்கள் இந்த பிரிவு கட்டுமானத்தைப் பற்றிய ஒரு கண்ணோட்டத்தை வழங்குகிறது, முதலில் பூஜ்ய கோடு மூட்டை, பின்னர் அதன் சுற்றுப்புற விரிவாக்கம். பூஜ்ய கோடு மூட்டை M ஒரு இணக்கமான பன்மடங்கு என்றும், அது [g] M இல் வரையறுக்கப்பட்ட இணக்கமான அளவீட்டைக் குறிக்கிறது என்றும் வைத்துக்கொள்வோம். ஒரு நிலையான பின்னணி மெட்ரிக் g0 ஐப் பொறுத்தவரை, N என்பது மெட்ரிக் அனைத்து நேர்மறை பெருக்குகளையும் ω2g0 ஐக் கொண்டுள்ளது. மேலும், N இன் மொத்த இடைவெளி ஒரு டாட்டாலஜிக்கல் டிஜெனரேட் மெட்ரிக் ஐக் கொண்டுள்ளது, ஏனெனில் p என்பது π: N → M இன் ஃபைபரின் ஒரு புள்ளியாக இருந்தால், இணக்கமான பிரதிநிதி gp உடன் தொடர்புடையது, பின்னர் இந்த மெட்ரிக் செங்குத்து திசைகளில் சிதைந்துவிடும். மேலும், இது N இல் R + செயலின் கீழ் டிகிரி 2 இன் ஒரே மாதிரியாக உள்ளதுஃ அளவிடுதல் செயலை உருவாக்கும் செங்குத்து திசையன் புலமாக X இருக்கட்டும். பின்னர் பின்வரும் பண்புகள் உடனடிஃ h (X,-) = 0 LXh = 2h, இதில் LX என்பது திசையன் புலம் X உடன் லை வழித்தோன்றலாகும். சுற்றுப்புற இடைவெளி N ~ = N × (-1,1), இயற்கையான சேர்ப்புடன் i: N → N ~. விரிவடைதல்கள் δω இயற்கையாகவே N ~ வரை நீட்டிக்கப்படுகின்றன, எனவே விரிவடைதலின் ஜெனரேட்டர் X ஐப் போலவே செய்கிறது. மெட்ரிக் ஒரே மாதிரியாக உள்ளதுஃ δω * h ~ = ω2 h ~ மெட்ரிக் என்பது ஒரு சுற்றுப்புற நீட்டிப்பாகும்ஃ i * h ~ = h, இங்கு i * என்பது இயற்கையான உள்ளடக்கத்துடன் பின்னோக்கி இழுக்கிறது. மெட்ரிக் ரிச்சி பிளாட் ஆகும்ஃ ரிக் (எச் ~) = 0. இணக்கமான மெட்ரிக் g இன் ஒரு நிலையான பிரதிநிதி மற்றும் ஒரு உள்ளூர் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு x = (xi) ஆகியவை M இல் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகின்றன என்று வைத்துக்கொள்வோம். இவை N இன் இழையில் உள்ள ஒரு புள்ளியை (x, t2g (x)) உடன் அடையாளம் காண்பதன் மூலம் N இல் ஆயத்தொகுதிகளைத் தூண்டுகின்றன, அங்கு t> 0 நார் ஆயத்தொகுப்பாகும். (இந்த ஆயத்தொகுதிகளில், X = t. இறுதியாக, ρ என்பது N இல் N இன் வரையறுக்கும் செயல்பாடாக இருந்தால், இது விரிவடைதலின் கீழ் 0 டிகிரியின் ஒரே மாதிரியாக இருந்தால், (x, t, ρ) என்பது N இன் ஆயத்தொலைவுகளாகும். மேலும், டிகிரி 2 இன் ஒரே மாதிரியான எந்த நீட்டிப்பு அளவீடும் இந்த ஆயத்தொகுதிகளில் பின்வரும் வடிவத்தில் எழுதப்படலாம்ஃ இங்கு gij என்பது g (x, 0) = g (x), கொடுக்கப்பட்ட இணக்கமான பிரதிநிதியுடன் n2 செயல்பாடுகளாகும். சில கணக்கீடுகளுக்குப் பிறகு, ரிச்சி தட்டையான தன்மை பின்வரும் வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கு சமம் என்பதைக் காட்டுகிறது, அங்கு பகா எண் ρ ஐப் பொறுத்து வேறுபடுகிறதுஃ பின்னர் இந்த சமன்பாட்டை ρ இல் ஒரு சக்தி தொடராக முறையாகத் தீர்க்கலாம், இதனால் சுற்றுப்புற அளவீட்டின் அறிகுறியற்ற வளர்ச்சியைப் பெறலாம். எடுத்துக்காட்டாக, ρ = 0 ஐ பதிலீடு செய்து தீர்ப்பது gij′ (x, 0) = 2Pij ஐ அளிக்கிறது, அங்கு P என்பது ஷவுட்டன் டென்சர் ஆகும். அடுத்து, மீண்டும் வேறுபடுத்தி, ஜிஜ் ′ (x, 0) இன் அறியப்பட்ட மதிப்பை சமன்பாட்டிற்குள் மாற்றினால், இரண்டாவது வழித்தோன்றல் பாக் டென்சரின் பெருக்கமாக இருப்பதைக் காணலாம். மற்றும் மேலும். மேலும் காண்கஃ ஏ. டி. எஸ்./சி. எஃப். டி. கடிதவியல் விளக்கப்படக் கோட்பாடு குறிப்புகள் பொது சார்பியலில் முறைசாரா வடிவியல் இழுவிசைகள்