Antiderivative (complex analysis)
சிக்கலான பகுப்பாய்வில், கணிதத்தின் ஒரு கிளை, ஒரு சிக்கலான மதிப்புள்ள சார்பு g இன் ஆன்ட்ட்டெரிவேட்டிவ் அல்லது பிரிமிடிவ், அதன் சிக்கலான வழித்தோன்றல் g ஆகும். இன்னும் துல்லியமாக, சிக்கலான தளத்தில் ஒரு திறந்த தொகுப்பு மற்றும் ஒரு செயல்பாட்டின் ஆன்டெரிவேட்டிவ் திருப்திப்படுத்தும் ஒரு செயல்பாடாகும். எனவே, இந்த கருத்து ஒரு உண்மையான மதிப்புள்ள செயல்பாட்டின் ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் சிக்கலான-மாறி பதிப்பாகும். தனித்துவம் ஒரு நிலையான சார்பின் வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜிய சார்பாகும். எனவே, எந்தவொரு நிலையான செயல்பாடும் பூஜ்ஜிய செயல்பாட்டின் எதிர்ப்பொருள் ஆகும். இணைக்கப்பட்ட தொகுப்பாக இருந்தால், நிலையான செயல்பாடுகள் மட்டுமே பூஜ்ஜிய செயல்பாட்டின் ஆன்டிடெரிவேட்டிவ்கள் ஆகும். இல்லையெனில், ஒரு செயல்பாடு பூஜ்ஜிய செயல்பாட்டின் ஒவ்வொரு இணைக்கப்பட்ட கூறுகளிலும் நிலையானதாக இருந்தால் மட்டுமே (அந்த மாறிலிகள் சமமாக இருக்க வேண்டியதில்லை). இந்த அவதானிப்பு ஒரு செயல்பாட்டிற்கு ஒரு ஆன்ட்டிடெரிவேட்டிவ் இருந்தால், அந்த ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் ஒரு செயல்பாட்டைச் சேர்ப்பது வரை தனித்துவமானது என்பதைக் குறிக்கிறது, இது இணைக்கப்பட்ட ஒவ்வொரு கூறிலும் நிலையானது. ஒரு உண்மையான மாறியின் செயல்பாடுகளைப் போலவே, சிக்கலான தளத்தில் உள்ள பாதை ஒருங்கிணைப்புகள் வழியாக ஆன்டிடரிவேட்டிவ்களின் இருப்பை ஒருவர் வகைப்படுத்தலாம். ஒருவேளை ஆச்சரியப்படுவதற்கில்லை, a முதல் b வரையிலான ஒவ்வொரு γ பாதைக்கும், எந்த மூடிய பாதை γ க்கும் சமமாக ஒருங்கிணைந்த பாதை இருந்தால் மட்டுமே g க்கு ஒரு ஆன்ட்டெரிவேட்டிவ் f உள்ளது. இருப்பினும், இந்த முறையான ஒற்றுமை இருந்தபோதிலும், ஒரு சிக்கலான-எதிர்ப்புத்திறனைக் கொண்டிருப்பது அதன் உண்மையான எதிர்ப்பை விட மிகவும் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட நிபந்தனையாகும். ஒரு தொடர்ச்சியற்ற உண்மையான செயல்பாடு ஒரு எதிர்மறை-வழித்தோன்றலைக் கொண்டிருக்க முடியும் என்றாலும், ஒரு சிக்கலான மாறியின் ஹோலோமார்பிக் செயல்பாடுகளுக்கு கூட எதிர்மறை-வழித்தோன்றல்கள் இருக்க முடியாது. எடுத்துக்காட்டாக, பரஸ்பர செயல்பாட்டைக் கவனியுங்கள், g (z) = 1/z இது பஞ்சர் செய்யப்பட்ட தளமான C\ {0} இல் ஹோலோமார்பிக் ஆகும். ஒரு நேரடி கணக்கீடு தோற்றத்தை உள்ளடக்கிய எந்த வட்டத்திலும் g இன் ஒருங்கிணைப்பு பூஜ்ஜியமற்றது என்பதைக் காட்டுகிறது. எனவே மேலே மேற்கோள் காட்டப்பட்ட நிபந்தனையை g தோல்வியடைகிறது. இது பழமைவாத திசையன் புலங்களுக்கான சாத்தியமான செயல்பாடுகளின் இருப்புக்கு ஒத்ததாகும், இதில் காச்சி ஒருங்கிணைந்த தேற்றத்தைப் போலவே, கேள்விக்குரிய செயல்பாடு வெறுமனே இணைக்கப்பட்ட பகுதியில் வரையறுக்கப்படும்போது மட்டுமே பசுமையின் தேற்றத்தால் பாதை சுதந்திரத்திற்கு உத்தரவாதம் அளிக்க முடியும். உண்மையில், ஹோலோமார்ஃபி என்பது உள்ளூரில் ஒரு ஆன்ட்டிடெரிவேட்டிவ் கொண்டிருப்பதன் மூலம் வகைப்படுத்தப்படுகிறது, அதாவது, அதன் களத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு z க்கும், சில அண்டை U இன் z இருந்தால், g இல் U இல் ஒரு ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் உள்ளது. மேலும், எந்தவொரு ஹோலோமார்பிக் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலும் ஹோலோமார்பிக் என்பதால், ஒரு செயல்பாட்டிற்கு ஆன்ட்டிடெரிவேட்டிவ் இருக்க ஹோலோமார்பி ஒரு அவசியமான நிபந்தனையாகும். காச்சி ஒருங்கிணைந்த கோட்பாட்டின் பல்வேறு பதிப்புகள், காச்சி செயல்பாட்டுக் கோட்பாட்டின் அடித்தளமான விளைவாகும், இது பாதை ஒருங்கிணைப்புகளை பெரிதும் பயன்படுத்துகிறது, இது ஒரு ஹோலோமார்பிக் g க்கு, எந்த மூடிய பாதை γ க்கும் மறைந்துவிடும் போதுமான நிபந்தனைகளை வழங்குகிறது (இது, எடுத்துக்காட்டாக, g இன் களம் வெறுமனே இணைக்கப்பட்டிருக்கலாம் அல்லது நட்சத்திர-குவியல்). தேவை முதலில் f என்பது U இல் உள்ள g இன் ஆன்ட்ட்டெரிவேட்டிவ் என்றால், g க்கு மேலே கொடுக்கப்பட்ட பாதை ஒருங்கிணைந்த பண்பு உள்ளது என்பதைக் காட்டுகிறோம். சங்கிலி விதி மற்றும் கால்குலஸின் அடிப்படை தேற்றத்தின் படி, g இன் பாதை ஒருங்கிணைப்பை γ க்கு மேல் ஒருவர் வெளிப்படுத்தலாம் எனவே, g இன் ஒருங்கிணைப்பு γ க்கு மேல் உண்மையான பாதையை சார்ந்தது அல்ல, ஆனால் அதன் இறுதிப் புள்ளிகளில் மட்டுமே உள்ளது, இதைத்தான் நாம் காட்ட விரும்பினோம். அடுத்து, g என்பது ஹோலோமார்பிக் மற்றும் எந்தப் பாதையிலும் உள்ள g இன் ஒருங்கிணைப்பு இறுதிப் புள்ளிகளை மட்டுமே சார்ந்திருந்தால், g க்கு ஒரு ஆன்ட்டிடெரிவேட்டிவ் உள்ளது என்பதைக் காட்டுகிறோம். ஒரு எதிர்மறையான வழித்தோன்றலை வெளிப்படையாகக் கண்டுபிடிப்பதன் மூலம் அவ்வாறு செய்வோம். பொதுவான தன்மையை இழக்காமல், g இன் களம் U இணைக்கப்பட்டுள்ளது என்று நாம் கருதலாம், இல்லையெனில் இணைக்கப்பட்ட ஒவ்வொரு கூறுகளிலும் ஒரு ஆன்ட்டிடெரிவேட்டிவ் இருப்பதை ஒருவர் நிரூபிக்க முடியும். இந்த அனுமானத்துடன், U இல் ஒரு புள்ளி z0 ஐ சரிசெய்து, U இல் உள்ள எந்த z க்கும் γ என்பது z0 முதல் z வரை இணைக்கும் எந்த பாதையும் இருக்கும் செயல்பாட்டை வரையறுக்கவும். U ஒரு திறந்த இணைக்கப்பட்ட தொகுப்பாக கருதப்படுவதால் அத்தகைய பாதை உள்ளது. f செயல்பாடு நன்கு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது, ஏனெனில் ஒருங்கிணைப்பு γ இன் இறுதிப் புள்ளிகளை மட்டுமே சார்ந்துள்ளது. இந்த f என்பது g இன் ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் என்பதை உண்மையான வழக்கைப் போலவே வாதிடலாம். U இல் கொடுக்கப்பட்ட z க்கு, z ஐ மையமாகக் கொண்ட ஒரு வட்டு இருக்க வேண்டும் மற்றும் முற்றிலும் U க்குள் இருக்க வேண்டும். பின்னர் இந்த வட்டில் உள்ள z ஐத் தவிர மற்ற ஒவ்வொரு w க்கும் [z, w] என்பது z மற்றும் w க்கு இடையிலான கோடு பிரிவைக் குறிக்கிறது. g இன் தொடர்ச்சியால், w z ஐ நெருங்கும்போது இறுதி வெளிப்பாடு பூஜ்ஜியத்திற்குச் செல்கிறது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், f′ = g. குறிப்புகள் வெளிப்புற இணைப்புகள் சிக்கலான பகுப்பாய்வு