Sz.-Nagy's dilation theorem
Sz.-Nagy விரிவடைதல் தேற்றம் (பெலா ஸ்ஜோக்ஃபால்வி-நாகி என்பவரால் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது) ஒரு ஹில்பர்ட் இடத்தில் ஒவ்வொரு சுருக்கமும் ஒரு ஹில்பர்ட் இடத்திற்கு ஒரு ஒற்றையாட்சி விரிவடைதலைக் கொண்டுள்ளது என்று கூறுகிறது. மேலும், K இன் நேரியல் இடைவெளி K இல் அடர்த்தியானது என்ற பொருளில், K குறைந்தபட்சம் என்று ஒருவர் கருதும்போது, அத்தகைய விரிவு தனித்துவமானது (ஒற்றையாட்சி சமநிலை வரை). இந்த குறைந்தபட்ச நிலை இருக்கும்போது, U என்பது T இன் குறைந்தபட்ச ஒற்றையாட்சி விரிவு என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு சுருக்கத்திற்கு T (அதாவது, (), அதன் குறைபாடு ஆபரேட்டர் DT என்பது (தனித்துவமான) நேர்மறை வர்க்க மூல DT = (I-T * T) 1⁄2 என வரையறுக்கப்படுகிறது. S ஒரு ஐசோமெட்ரி என்ற சிறப்பு வழக்கில், DS * ஒரு ப்ரொஜெக்டர் மற்றும் DS = 0, எனவே பின்வருபவை ஒரு Sz ஆகும். தேவையான பல்லுறுப்புக்கோவை செயல்பாட்டு கால்குலஸ் பண்புடன் S இன் நேஜி யூனிட்டரி டைலேஷன்ஃ ஒரு சுருக்கத்தின் பொதுவான வழக்கு T க்குத் திரும்புவது, ஹில்பர்ட் இடைவெளி H இல் உள்ள ஒவ்வொரு சுருக்கமும் ஒரு ஐசோமெட்ரிக் டைலேஷனைக் கொண்டுள்ளது, மீண்டும் கால்குலஸ் பண்புடன், S ஐ மாற்றியமைப்பதன் மூலம் வழங்கப்படுகிறது, இதனால் ஒரு ஐசோமெட்ரி S க்கான முந்தைய Sz.-Nagy யூனிட்டரி டைலேஷனில் கட்டமைக்கப்பட்டுள்ளது, ஒருவர் சுருக்கத்திற்கு ஒரு யூனிட்டரி டைலேஷனைப் பெறுகிறார் T: ஷாஃபர் வடிவம் ஒரு யூனிட்டரி Sz இன் ஷாஃபர் வடிவம். கொடுக்கப்பட்ட சுருக்கத்திற்கு, தேவையான பண்புடன், அனைத்து ஒற்றையாட்சி விரிவுபடுத்தல்களின் குணாதிசயத்திற்கான ஒரு தொடக்க புள்ளியாக நகி விரிவடைதல் பார்க்கப்படலாம். பெர்கர், ஃபோயாஸ் மற்றும் லெபோ ஆகியோரால் இந்த தேற்றத்தின் ஒரு பொதுமைப்படுத்தல், X என்பது T க்கான ஒரு நிறமாலை தொகுப்பாகவும், ஒரு டிரிக்லெட் இயற்கணிதமாகவும் இருந்தால், T க்கு மேலே உள்ள வடிவத்தின் குறைந்தபட்ச இயல்பான δX விரிவு உள்ளது என்பதைக் காட்டுகிறது. இதன் விளைவாக, வெறுமனே இணைக்கப்பட்ட நிறமாலை தொகுப்பு X கொண்ட எந்தவொரு ஆபரேட்டரும் குறைந்தபட்ச இயல்பான δX விரிவடைதலைக் கொண்டுள்ளனர். இது Sz.-Nagy இன் தேற்றத்தை பொதுமைப்படுத்துகிறது என்பதைக் காண, சுருக்க ஆபரேட்டர்கள் அலகு வட்டு D ஐ ஒரு நிறமாலை தொகுப்பாகக் கொண்டுள்ளனர் என்பதையும், அலகு வட்டத்தில் ஸ்பெக்ட்ரம் கொண்ட சாதாரண ஆபரேட்டர்கள் δD யூனிட்டரி என்பதையும் கவனியுங்கள். குறிப்புகள் இயக்குபவர் கோட்பாடு சான்றுகளைக் கொண்ட கட்டுரைகள் செயல்பாட்டு பகுப்பாய்வில் கோட்பாடுகள்