Period mapping
கணிதத்தில், இயற்கணித வடிவியல் துறையில், கால வரைபடம் கோஹ்லர் பன்மடங்கு குடும்பங்களை ஹோட்ஜ் கட்டமைப்புகளின் குடும்பங்களுடன் தொடர்புபடுத்துகிறது. எஹ்ரெஸ்மேனின் தேற்றம் ஒரு ஹோலோமார்பிக் நீரில் மூழ்கும் உருவகமாக இருக்கட்டும். B இன் ஒரு புள்ளி b க்கு, Xb ஆல் f ஓவர் b இன் இழையைக் குறிக்கிறோம். பி. எஹ்ரெஸ்மேனின் தேற்றத்தில் ஒரு புள்ளி 0 ஐ சரிசெய்யவும், 0 ஐச் சுற்றி ஒரு சிறிய திறந்த சுற்று U உள்ளது, அதில் f ஒரு ஃபைபர் மூட்டையாக மாறுகிறது. அதாவது, இது டிப்ஃபியோமார்பிக் ஆகும். குறிப்பாக, கலப்பு வரைபடம் ஒரு டிப்ஃபியோமார்பிசம் ஆகும். இந்த டிப்ஃபியோமார்பிசம் தனித்துவமானது அல்ல, ஏனெனில் இது அற்பமயமாக்கலின் தேர்வைப் பொறுத்தது. U இல் உள்ள மென்மையான பாதைகளிலிருந்து அற்பமயமாக்கல் கட்டமைக்கப்பட்டுள்ளது, மேலும் டிஃபியோமார்பிசத்தின் ஹோமோடாபி வகுப்பு b முதல் 0 வரையிலான பாதைகளின் ஹோமோடாபி வகுப்பின் தேர்வை மட்டுமே சார்ந்துள்ளது என்பதைக் காட்டலாம். குறிப்பாக, U சுருங்கக்கூடியதாக இருந்தால், ஹோமோடோபி வரை நன்கு வரையறுக்கப்பட்ட டிஃபியோமார்பிசம் உள்ளது. Xb முதல் X0 வரையிலான டிஃபியோமார்பிசம் கோஹோமோலஜி குழுக்களின் ஐசோமார்பிசத்தைத் தூண்டுகிறது, மேலும் ஹோமோடோபிக் வரைபடங்கள் கோஹோமோலஜியில் ஒரே மாதிரியான வரைபடங்களைத் தூண்டுவதால், இந்த ஐசோமார்பிசம் b முதல் 0 வரையிலான பாதையின் ஹோமோடோபி வகுப்பை மட்டுமே சார்ந்துள்ளது. உள்ளூர் துருவப்படுத்தப்படாத கால வரைபடங்கள் f சரியானது என்றும் X0 ஒரு காலர் வகை என்றும் கருதுகின்றன. காலர் நிபந்தனை திறந்திருக்கும், எனவே U சுருங்கிய பிறகு, Xb கச்சிதமானது மற்றும் U இல் உள்ள அனைத்து b க்கும் காலர். U ஐ மேலும் சுருக்கிய பிறகு அது சுருங்கக்கூடியது என்று நாம் கருதலாம். பின்னர் X0 மற்றும் Xb இன் கோஹோமோலஜி குழுக்களுக்கு இடையில் நன்கு வரையறுக்கப்பட்ட ஐசோமார்பிசம் உள்ளது. கோஹோமோலஜி குழுக்களின் இந்த ஐசோமார்பிசம்கள் பொதுவாக X0 மற்றும் Xb இன் ஹோட்ஜ் கட்டமைப்புகளைப் பாதுகாக்காது, ஏனெனில் அவை டைஃபியோமார்பிசம்களால் தூண்டப்படுகின்றன, பைஹோலோமார்பிசம்களால் அல்ல. ஹோட்ஜ் வடிகட்டுதலின் pth படியைக் குறிக்கலாம். Xb இன் ஹோட்ஜ் எண்கள் X0 இன் எண்களைப் போலவே இருக்கும், எனவே எண் b இலிருந்து சுயாதீனமாக உள்ளது. கால வரைபடம் என்பது வரைபடமாகும், அங்கு F என்பது bp பரிமாணங்களின் துணை இடங்களின் சங்கிலிகளின் கொடி வகை, அனைத்து p க்கும் k, இது அனுப்புகிறது, ஏனெனில் Xb ஒரு கோஹ்லர் பன்மடங்கு என்பதால், ஹோட்ஜ் வடிகட்டுதல் ஹோட்ஜ்-ரீமான் இருதரப்பு உறவுகளை திருப்திப்படுத்துகிறது. துணை இடங்களின் அனைத்து கொடிகளும் இந்த நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்யவில்லை என்பதை இவை குறிக்கின்றன. இந்த நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்யும் கொடி வகையின் துணைக்குழு துருவப்படுத்தப்படாத உள்ளூர் கால களம் என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் குறிக்கப்படுகிறது. இது கொடி வகை F இன் திறந்த துணைக்குழுவாகும். உள்ளூர் துருவப்படுத்தப்பட்ட கால வரைபடங்கள் இப்போது ஒவ்வொரு Xb யும் காலர் என்று மட்டுமல்லாமல், b இல் ஹோலோமார்பிக்கலாக மாறுபடும் ஒரு காலர் வகுப்பு உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒவ்வொரு b க்கும், ωb முதல் Xb வரையிலான கட்டுப்பாடு ஒரு காலர் வகுப்பாக இருக்கும் வகையில் ஒரு வகுப்பு ω உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். ωb Hk (Xb, C) மீது ஒரு இருமுனை வடிவமான Q ஐ விதியின் மூலம் தீர்மானிக்கிறது இந்த வடிவம் b இல் ஹோலோமார்பிக்கலாக மாறுபடும், இதன் விளைவாக கால வரைபடத்தின் படம் ஹோட்ஜ்-ரீமான் இருமுனை உறவுகளிலிருந்து மீண்டும் வரும் கூடுதல் கட்டுப்பாடுகளை திருப்திப்படுத்துகிறது. இவை பின்வருமாறுஃ ஆர்த்தோகனாலிட்டிஃ Q ஐப் பொறுத்தவரை ஆர்த்தோகனல் ஆகும். நேர்மறை உறுதித்தன்மைஃ அனைவருக்கும், பழமையான வகைகளின் கட்டுப்பாடு நேர்மறை திட்டவட்டமானது. துருவப்படுத்தப்பட்ட உள்ளூர் கால களம் என்பது துருவப்படுத்தப்படாத உள்ளூர் கால களத்தின் துணைக்குழுவாகும், அதன் கொடிகள் இந்த கூடுதல் நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்கின்றன. முதல் நிபந்தனை ஒரு மூடிய நிபந்தனை, இரண்டாவது ஒரு திறந்த நிபந்தனை, இதன் விளைவாக துருவப்படுத்தப்பட்ட உள்ளூர் கால களம் என்பது துருவப்படுத்தப்படாத உள்ளூர் கால களம் மற்றும் கொடி வகை F இன் உள்ளூரில் மூடிய துணைக்குழுவாகும். துருவப்படுத்தப்பட்ட உள்ளூர் கால களம் மற்றும் துருவப்படுத்தப்பட்ட கால வரைபடம் முறையே இன்னும் குறிக்கப்படுகின்றன. உலகளாவிய கால வரைபடங்கள் உள்ளூர் கால வரைபடங்களில் மட்டுமே கவனம் செலுத்துவது அடிப்படை இடைவெளி B இன் இடவியலில் உள்ள தகவல்களை புறக்கணிக்கிறது. உலகளாவிய கால வரைபடங்கள் கட்டப்பட்டுள்ளன, இதனால் இந்த தகவல் இன்னும் கிடைக்கிறது. உலகளாவிய கால வரைபடங்களை உருவாக்குவதில் உள்ள சிரமம் B இன் மோனோட்ரோமியிலிருந்து வருகிறதுஃ Xb மற்றும் X0 இழைகள் தொடர்பான டிஃபியோமார்பிசங்களின் தனித்துவமான ஹோமோடோபி வகுப்பு இனி இல்லை. அதற்கு பதிலாக, B இல் உள்ள பாதைகளின் தனித்துவமான ஒரே மாதிரியான வகுப்புகள் வேறுபட்ட ஒத்த மாதிரியான வகுப்புகளைத் தூண்டுகின்றன, எனவே கோஹோமோலஜி குழுக்களின் தனித்துவமான ஐசோமார்பிசம்களையும் தூண்டுகின்றன. இதன் விளைவாக ஒவ்வொரு இழைகளுக்கும் நன்கு வரையறுக்கப்பட்ட கொடி இனி இல்லை. அதற்கு பதிலாக, கொடி அடிப்படை குழுவின் செயல்பாடு வரை மட்டுமே வரையறுக்கப்படுகிறது. துருவப்படுத்தப்படாத வழக்கில், மோனோட்ரோமி குழுவை வரையறுக்கவும் ஜி. எல் (எச். கே (எக்ஸ்0, இசட்)) இன் துணைக்குழுவாக வரையறுக்கவும், மேலே உள்ளபடி பி இல் உள்ள வளைவுகளின் ஹோமோடோபி வகுப்பால் தூண்டப்பட்ட அனைத்து தானியங்கிகளையும் உள்ளடக்கியது. கொடி வகை என்பது ஒரு பரவளைய துணைக்குழுவால் ஒரு லை குழுவின் ஈவு, மற்றும் மோனோட்ரோமி குழு என்பது லை குழுவின் எண்கணித துணைக்குழுவாகும். உலகளாவிய துருவமுனைக்கப்படாத கால களம் என்பது உள்ளூர் துருவமுனைக்கப்படாத கால களத்தின் ஈவு ஆகும் (எனவே இது இரட்டை கோசெட்டுகளின் தொகுப்பாகும்). துருவமுனைக்கப்பட்ட வழக்கில், மோனோட்ரோமி குழுவின் கூறுகள் இருமுனை வடிவமான Q ஐப் பாதுகாக்க வேண்டும், மேலும் உலகளாவிய துருவமுனைக்கப்பட்ட கால களம் அதே வழியில் γ ஆல் ஒரு விகிதமாக கட்டமைக்கப்படுகிறது. இரண்டு நிகழ்வுகளிலும், கால வரைபடம் Xb இல் ஹோட்ஜ் வடிகட்டுதலின் வகுப்பிற்கு B இன் ஒரு புள்ளியை எடுக்கும். பண்புகள் கிரிஃபித்ஸ் கால வரைபடம் ஹோலோமார்பிக் என்பதை நிரூபித்தார். அவரது குறுக்குவெட்டு தேற்றம் கால வரைபடத்தின் வரம்பைக் கட்டுப்படுத்துகிறது. பீரியட் மேட்ரிக்ஸ்கள் ஹோட்ஜ் வடிகட்டுதலை பீரியட் மேட்ரிக்ஸ்களைப் பயன்படுத்தி ஆயத்தொகுப்புகளில் வெளிப்படுத்தலாம். kth ஒருங்கிணைந்த ஹோமாலஜி குழுவின் முறிவு இல்லாத பகுதிக்கு ஒரு அடிப்படையான δ1,., δr ஐத் தேர்ந்தெடுக்கவும். p மற்றும் q ஐ சரிசெய்து, ஹார்மோனிக் வடிவங்களுக்கு ω1,., ωs என்ற அடிப்படையைத் தேர்ந்தெடுக்கவும். இந்த தளங்களைப் பொறுத்தவரை X0 இன் பீரியட் மேட்ரிக்ஸ் மேட்ரிக்ஸ் ஆகும் பீரியட் மேட்ரிக்ஸின் உள்ளீடுகள் அடிப்படையின் தேர்வு மற்றும் சிக்கலான கட்டமைப்பைப் பொறுத்தது. δகளை ஒரு மேட்ரிக்ஸ் λ இன் தேர்வால் மாறுபடலாம், மேலும் ωகளை ஒரு மேட்ரிக்ஸ் A இன் தேர்வால் மாறுபடலாம். ஒரு பீரியட் மேட்ரிக்ஸ், A மற்றும் λ இன் சில தேர்வுகளுக்கு Aωλ என்று எழுத முடிந்தால், அது ω க்கு சமம். நீள்வட்ட வளைவுகளின் வழக்கு நீள்வட்ட வளைவுகளின் குடும்பத்தைக் கவனியுங்கள், அங்கு λ என்பது பூஜ்ஜியம் அல்லது ஒன்றுக்கு சமமாக இல்லாத எந்தவொரு சிக்கலான எண்ணாகும். ஒரு வளைவின் முதல் கோஹோமோலஜி குழுவில் ஹோட்ஜ் வடிகட்டுதல் இரண்டு படிகளைக் கொண்டுள்ளது, F0 மற்றும் F1. இருப்பினும், F0 என்பது முழு கோஹோமோலஜி குழுவாகும், எனவே வடிகட்டலின் ஒரே சுவாரஸ்யமான சொல் F1 ஆகும், இது H1,0 ஆகும், இது ஹோலோமார்பிக் ஹார்மோனிக் 1-வடிவங்களின் இடைவெளி. H1,0 என்பது ஒரு பரிமாணமாகும், ஏனெனில் வளைவு நீள்வட்டமானது, மேலும் அனைத்து λ க்கும், இது வேறுபட்ட வடிவத்தால் பரவியுள்ளது. வளைவின் ஒத்தவியல் குழுவின் வெளிப்படையான பிரதிநிதிகளைக் கண்டறிய, வளைவை ரீமன் கோளத்தில் உள்ள பன்முக செயல்பாட்டின் வரைபடமாக குறிப்பிடலாம் என்பதைக் கவனியுங்கள். இந்த செயல்பாட்டின் கிளை புள்ளிகள் பூஜ்ஜியம், ஒன்று, λ மற்றும் முடிவிலியில் உள்ளன. இரண்டு கிளை வெட்டுக்களைச் செய்யுங்கள், ஒன்று பூஜ்ஜியத்திலிருந்து ஒன்றுக்கு ஓடுகிறது, மற்றொன்று λ முதல் முடிவிலி வரை ஓடுகிறது. இவை செயல்பாட்டின் கிளை புள்ளிகளை வெளியேற்றுகின்றன, எனவே அவை பல மதிப்புள்ள செயல்பாட்டை இரண்டு ஒற்றை மதிப்புள்ள தாள்களாக வெட்டுகின்றன. ஒரு சிறியதை சரிசெய்யவும். இந்த தாள்களில் ஒன்றில், வளைவைக் கண்டறியவும். ε போதுமான அளவு சிறியதாக இருந்தால், இந்த வளைவு கிளை வெட்டுக்களைச் சூழ்ந்துள்ளது மற்றும் கிளை வெட்டுக்களைச் சந்திக்காது. இப்போது ஒரு தாளில் தொடங்கி மற்ற தாளில் தொடரும் மற்றொரு வளைவு δ (t) ஐக் கண்டறியவும். இந்த வளைவின் ஒவ்வொரு பாதியும் ரீமன் மேற்பரப்பின் இரண்டு தாள்களில் 1 மற்றும் λ புள்ளிகளை இணைக்கிறது. சீஃபெர்ட்-வான் காம்பன் தேற்றத்திலிருந்து, வளைவின் ஹோமோலஜி குழு இரண்டாவது தரவரிசையில் இல்லை. வளைவுகள் ஒரே புள்ளியில் சந்திக்கும் என்பதால், அவற்றின் ஹோமோலஜி வகுப்புகள் எதுவும் வேறு சில ஹோமோலஜி வகுப்பின் சரியான பெருக்கமாக இல்லை, எனவே அவை H1 இன் அடிப்படையை உருவாக்குகின்றன. எனவே இந்த குடும்பத்திற்கான பீரியட் மேட்ரிக்ஸ் இந்த மேட்ரிக்ஸின் முதல் உள்ளீட்டை நாம் A என்றும், இரண்டாவது B என்றும் சுருக்கமாகக் கூறுவோம். பைலினியர் வடிவம் Q நேர்மறை திட்டவட்டமானது, ஏனெனில் உள்ளூரில், நாம் எப்போதும் ω ஐ f dz என எழுதலாம், எனவே பாயின்கேர் டூயலிட்டி மூலம், γ மற்றும் δ ஆகியவை கோஹோமோலஜி வகுப்புகளுடன் ஒத்திருக்கின்றன, அவை ஒன்றாக ஒரு அடிப்படையாகும். இதைத் தொடர்ந்து ω ஐ γ * மற்றும் δ * ஆகியவற்றின் நேரியல் கலவையாக எழுதலாம். γ மற்றும் δ என்ற இரட்டை அடிப்படைக் கூறுகளைப் பொறுத்து ω ஐ மதிப்பிடுவதன் மூலம் குணகங்கள் வழங்கப்படுகின்றனஃ இந்த சொற்களில் Q இன் நேர்மறை வரையறையை நாம் மீண்டும் எழுதும்போது, γ * மற்றும் δ * ஒருங்கிணைந்தவை என்பதால், அவை இணைப்பின் கீழ் மாறாது. மேலும், γ மற்றும் δ ஒரு புள்ளியில் வெட்டுவதால், ஒரு புள்ளி H0 இன் ஜெனரேட்டராக இருப்பதால், γ * மற்றும் δ * இன் கப் பெருக்கல் X0 இன் அடிப்படை வகுப்பாகும். இதன் விளைவாக இந்த ஒருங்கிணைப்பு சமமாக உள்ளது. ஒருங்கிணைப்பு கண்டிப்பாக நேர்மறையானது, எனவே A அல்லது B இரண்டும் பூஜ்ஜியமாக இருக்க முடியாது. ω ஐ மறுபரிசீலனை செய்த பிறகு, பீரியட் மேட்ரிக்ஸ் கண்டிப்பாக நேர்மறை கற்பனை பகுதியுடன் சில சிக்கலான எண் τ க்கு சமம் என்று நாம் கருதலாம். இது செயலில் இருந்து வரும் தெளிவின்மையை நீக்குகிறது. செயல் பின்னர் மேல் அரை தளத்தில் மாடுலர் குழுவின் வழக்கமான செயலாகும். இதன் விளைவாக, கால களம் ரீமன் கோளமாகும். இது ஒரு நீள்வட்ட வளைவின் வழக்கமான அளவுருவாகும். மேலும் காண்க ஹோட்ஜ் கோட்பாடு ஜேகோபியன் வகை மாடுலர் குழு குறிப்புகள் கணக்கீடுகள் வடிவத்தின் வளைவுகளுக்கான கால அளவீடுகளின் தெளிவான கணக்கீடு-எடுத்துக்காட்டுகள் ஹைப்பர்லிப்டிக் வளைவுகளுக்கான கால அளவீடுகளின் தெளிவான கணக்கீடு-எடுத்துக்காட்டுகள் ஹைப்பர்சர்ஃபேஸ்களின் காலங்களைக் கணக்கிடுவதற்கான வழிமுறைகள் அடங்கும் ஜெனரல் வோய்சின், ஹோட்ஜ் கோட்பாடு மற்றும் சிக்கலான இயற்கணித வடிவியல் I, II பயன்பாடுகள் மூன்று வெளிப்புற இணைப்புகளில் ஹைப்பர்லிப்டிக் ஜேகோபியன்ஸின் இருப்பிடத்திற்குள் ஷிமுரா வளைவுகள் கணித ஹோட்ஜ் கோட்பாட்டின் கலைக்களஞ்சியத்தில் கால வரைபடம் எலிப்டிக் வளைவுகள்