Refinement monoid
கணிதத்தில், ஒரு சுத்திகரிப்பு மோனாய்டு என்பது ஒரு பரிமாற்ற மோனாய்டு M ஆகும், அதாவது M இன் எந்த உறுப்புகளுக்கும் a0, a1, b0, b1 அதாவது a0 + a1 = b0 + b1, m இன் c00, c01, c11 கூறுகள் உள்ளன, அதாவது a0 = c00 + c01, a1 = c10 + c11, b0 = c00 + c10, மற்றும் b1 = c01 + c11. x + y = 0 என்பது x = y = 0 என்பதைக் குறிக்கிறது என்றால் ஒரு பரிமாற்ற மோனாய்டு M கூம்பு வடிவமானது என்று கூறப்படுகிறது, எந்த உறுப்புகளுக்கும் x, m இன் y. அடிப்படை எடுத்துக்காட்டுகள் பூஜ்ஜியத்துடன் ஒரு இணை-சமச்சீர் என்பது விநியோகமாக இருந்தால் மட்டுமே ஒரு சுத்திகரிப்பு மோனாய்டு ஆகும். எந்தவொரு அபெலியன் குழுவும் ஒரு சுத்திகரிப்பு மோனாய்டு ஆகும். ஓரளவு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட அபெலியன் குழு G இன் நேர்மறை கூம்பு G + ஒரு சுத்திகரிப்பு மோனாய்டு ஆகும், G ஒரு இடைக்கணிப்புக் குழுவாக இருந்தால் மட்டுமே, பிந்தையது G இன் எந்த உறுப்புகளுக்கும் a0, a1, b0, b1 அதாவது அனைத்து i, j <2 க்கும், ஒரு உறுப்பு x உள்ளது, அதாவது அனைத்து i, j <2 க்கும். உதாரணமாக, ஜி லட்டிஸ்-ஆர்டர் செய்யப்பட்டிருந்தால் இது பொருந்தும். பூலியன் இயற்கணிதம் B இன் ஐசோமார்பிசம் வகை என்பது B க்கு ஐசோமார்பிக் அனைத்து பூலியன் ஆல்ஜிப்ராக்களின் வகுப்பாகும். (இது ஒரு தொகுப்பாக இருக்க வேண்டும் என்று நாம் விரும்பினால், B இல் ஒன்றுக்குக் கீழே உள்ள தொகுப்பு-கோட்பாட்டு தரவரிசையின் பூலியன் ஆல்ஜிப்ராக்களுக்கு மட்டுப்படுத்தவும்.) பூலியன் ஆல்ஜிப்ராக்களின் ஐசோமார்பிசம் வகைகளின் வகை, (எந்த பூலியன் ஆல்ஜிப்ராக்கள் X மற்றும் Y க்கு, எக்ஸ் இன் ஐசோமார்பிசம் வகையைக் குறிக்கும்) வரையறுக்கப்பட்ட கூட்டல் வழங்கப்படுகிறது, இது ஒரு கூம்பு சுத்திகரிப்பு மோனாய்டு ஆகும். ஒரு பூலியன் இயற்கணிதம் A மற்றும் ஒரு பரிமாற்ற மோனாய்டு M க்கு, ஒரு வரைபடம் ஒரு அளவீடு ஆகும், a = 0 என்றால் மட்டுமே μ (a) = 0 ஆகவும், மற்றும் a மற்றும் b வேறுபடும் போதெல்லாம் (அதாவது, a, b = 0), A இல் உள்ள எந்த a, b க்கும். A இல் உள்ள அனைத்து c க்கும், M இல் உள்ள அனைத்து x, y க்கும், μ (c) = x + y ஆக இருந்தால், a இல் a, b ஐ இணைக்க முடியாது, அதாவது c = a * b, μ (a) = x, மற்றும் μ (b) = y. ஒரு பரிவர்த்தனை மோனாய்டு M இல் உள்ள ஒரு உறுப்பு e அளவிடக்கூடியது (M ஐப் பொறுத்தவரை), ஒரு பூலியன் இயற்கணிதம் A மற்றும் ஒரு V-அளவீட்டு μ: A → M இருந்தால், μ (1) = e---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- - நிச்சயமாக, அளவிடக்கூடிய ஒவ்வொரு மோனாய்டும் ஒரு கூம்பு சுத்திகரிப்பு மோனாய்டாகும். அதிகபட்சமாக α1 உறுப்புகளுடன் கூடிய எந்த கூம்பு சுத்திகரிப்பு மோனாய்டும் அளவிடக்கூடியது என்பதை ஹான்ஸ் டோபர்டின் 1983 இல் நிரூபித்தார். எண்ணக்கூடிய கூம்பு சுத்திகரிப்பு மோனாய்டில் உள்ள எந்தவொரு உறுப்பும் ஒரு தனித்துவமான (ஐசோமார்பிசம் வரை) V-அளவீட்டால் அளவிடப்படுகிறது என்பதையும் அவர் நிரூபித்தார். எந்தவொரு கூம்பு சுத்திகரிப்பு மோனாய்டு அளவிடக்கூடியதா என்ற சிக்கலை அவர் அங்கு எழுப்பினார். இதற்கு 1998 இல் ஃப்ரெட்ரிக் வெஹ்ரங் எதிர்மறையாக பதிலளித்தார். எதிர் உதாரணங்கள் α2 ஐ விட அதிகமாகவோ அல்லது சமமாகவோ எந்த கார்டினாலிட்டியையும் கொண்டிருக்கலாம். வான் நியூமன் வழக்கமான வளையங்களின் மாறாத கே-கோட்பாடு ஒரு வளையத்திற்கு (அலகு) ஆர், எஃப். பி. (ஆர்) ஆல் வரையறுக்கப்பட்ட முறையில் உருவாக்கப்பட்ட ப்ரொஜெக்டிவ் வலது ஆர்-தொகுதிகளின் வகுப்பைக் குறிக்கிறது. சமமாக, FP (R) இன் பொருள்கள் Rn வடிவத்தின் அனைத்து தொகுதிகளின் நேரடி கூட்டுத்தொகைகளாகும், n ஒரு நேர்மறை முழு எண்ணுடன், அதற்கு மேல் ஒரு சரியான தொகுதியாக பார்க்கப்படுகிறது. FP (R) இல் ஒரு பொருள் X இன் ஐசோமார்பிசம் வகையால் குறிக்கவும். பின்னர் FP (R) இன் உறுப்பினர்களின் அனைத்து ஐசோமார்பிசம் வகைகளின் தொகுப்பு V (R), வரையறுக்கப்பட்ட கூட்டல் மூலம் வழங்கப்படுகிறது, இது ஒரு கூம்பு பரிமாற்ற மோனாய்டு ஆகும். கூடுதலாக, R என்பது வான் நியூமன் வழக்கமானதாக இருந்தால், V (R) ஒரு சுத்திகரிப்பு மோனாய்டு ஆகும். இதற்கு வரிசை-அலகு உள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, ஆர் ஒரு பிரிவு வளையமாக இருந்தால், எஃப். பி. (ஆர்) இன் உறுப்பினர்கள் சரியாக ஆர் மீது வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண வலது திசையன் இடைவெளிகள், மற்றும் இரண்டு திசையன் இடைவெளிகள் ஒரே பரிமாணத்தைக் கொண்டிருந்தால் மட்டுமே ஐசோமார்பிக் ஆகும். எனவே V (R) என்பது அனைத்து இயற்கை எண்களின் மோனாய்டுக்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும், இது அதன் வழக்கமான கூட்டலுடன் வழங்கப்படுகிறது. சற்று சிக்கலான உதாரணத்தை பின்வருமாறு பெறலாம். ஒரு புலம் F மீது ஒரு மெட்ரிக்கல் இயற்கணிதம் என்பது வடிவத்தின் வளையங்களின் வரையறுக்கப்பட்ட பெருக்கல் ஆகும், n வரிசைகள் கொண்ட அனைத்து சதுர மேட்ரிக்ஸின் வளையம் மற்றும் F இல் உள்ளீடுகள், மாறி நேர்மறை முழு எண்களுக்கு. F க்கு மேல் மெட்ரிக்கல் ஆல்ஜிப்ராக்களின் நேரடி வரம்பு F க்கு மேல் உள்ளூரில் மெட்ரிக்கல் அல்ஜிப்ரா ஆகும். ஒவ்வொரு உள்ளூரில் மெட்ரிக்கல் அல்ஜிப்ரா வான் நியூமன் வழக்கமானதாகும். உள்ளூரில் உள்ள எந்த மெட்ரிக்கல் இயற்கணிதத்திற்கும் ஆர், வி (ஆர்) என்பது பரிமாணக் குழு என்று அழைக்கப்படுவதன் நேர்மறை கூம்பு ஆகும். வரையறையின்படி, ஒரு பரிமாணக் குழு என்பது ஓரளவு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட அபெலியன் குழுவாகும், அதன் அடிப்படை வரிசை இயக்கப்படுகிறது, அதன் நேர்மறை கூம்பு ஒரு சுத்திகரிப்பு மோனாய்டு மற்றும் துளையிடப்படாதது, mx ≤ 0 என்று பொருள்படும் எழுத்து, G இன் எந்த உறுப்பு x மற்றும் எந்த நேர்மறை முழு எண் m க்கும் x ≤ 0 என்பதைக் குறிக்கிறது. எந்தவொரு எளிய குழுவும், அதாவது, வடிவத்தின் ஓரளவு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட அபெலியன் குழு, ஒரு பரிமாணக் குழுவாகும். 1980 ஆம் ஆண்டில் எஃப்ரோஸ், ஹேண்டல்மேன் மற்றும் ஷென் ஆகியோர் பரிமாணக் குழுக்கள் துல்லியமாக எளிமையான குழுக்களின் நேரடி வரம்புகள் என்பதை நிரூபித்தனர், அங்கு மாற்றம் வரைபடங்கள் நேர்மறை ஹோமோமார்பிசங்கள் ஆகும். இந்த முடிவு ஏற்கனவே 1976 ஆம் ஆண்டில், சற்று வித்தியாசமான வடிவத்தில், பி. ஏ. கிரில்லெட்டால் நிரூபிக்கப்பட்டது. எலியட் 1976 ஆம் ஆண்டில், எளிமையான குழுக்களின் எந்தவொரு எண்ணக்கூடிய நேரடி வரம்பின் நேர்மறை கூம்பு V (R) க்கு ஐசோமார்பிக் என்று நிரூபித்தார், சில உள்ளூரில் மெட்ரிக்கல் வளையம் R க்கு. இறுதியாக, குடர்ல் மற்றும் ஹேண்டல்மேன் 1986 ஆம் ஆண்டில் நிரூபித்தனர், எந்தவொரு பரிமாணக் குழுவின் நேர்மறை கூம்பு அதிகபட்சமாக α1 உறுப்புகளுடன் V (R) க்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும், சில உள்ளூரில் மெட்ரிக்கல் வளையம் R க்கு (கொடுக்கப்பட்ட எந்த புலத்திலும்). ஒரு வான் நியூமன் வழக்கமான வளையம் R க்கு, வரிசை-அலகு கொண்ட பரிமாணக் குழுக்கள் உள்ளன, அவற்றின் நேர்மறை கூம்பை V (R) ஆகக் குறிக்க முடியாது என்று 1998 இல் வெஹ்ரங் நிரூபித்தார். கொடுக்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள் α2 ஐ விட அதிகமாகவோ அல்லது சமமாகவோ எந்த கார்டினாலிட்டியையும் கொண்டிருக்கலாம். அதிகபட்சமாக α1 (அல்லது α0) உறுப்புகளுடன் கூடிய எந்த கூம்பு சுத்திகரிப்பு மோனாய்டையும் R வான் நியூமன் வழக்கமான V (R) ஆக குறிப்பிட முடியுமா என்பது ஒரு திறந்த சிக்கலாகும். குறிப்புகள் மேலும் வாசிப்பு அரைகுறை கோட்பாடு