Pasch's axiom
வடிவவியலில், பாஸ்சின் கோட்பாடு என்பது விமான வடிவவியலில் ஒரு அறிக்கையாகும், இது யூக்ளிட் மறைமுகமாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது, இது யூக்ளிட் கொடுத்தபடி அனுமானங்களிலிருந்து பெற முடியாது. அதன் முக்கிய பங்கு 1882 இல் மோரிட்ஸ் பாஷ் என்பவரால் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது. AC மற்றும் BC பிரிவுகள் இரண்டும் கோடால் வெட்டப்படுவதில்லை என்ற உண்மை பி. பெர்னெய்ஸ் எழுதிய சப்ளிமெண்ட் I, 1 இல் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. இந்த கோட்பாட்டின் மிகவும் நவீன பதிப்பு பின்வருமாறுஃ (மூன்றாவது பக்கம் நமது கோட்டிற்கு இணையாக இருந்தால், "முடிவிலியில் ஒரு குறுக்குவெட்டை" வெளிப்புறமாக கணக்கிடுகிறோம்.) கோட்பாட்டின் மிகவும் முறைசாரா பதிப்பு பெரும்பாலும் காணப்படுகிறதுஃ ஹிஸ்டரி பாஷ் 1882 இல் இந்த கோட்பாட்டை வெளியிட்டது, மேலும் யூக்ளிடின் கோட்பாடுகள் முழுமையடையவில்லை என்பதைக் காட்டியது. தரை வடிவவியலில் வரிசை என்ற கருத்தை அறிமுகப்படுத்துவதற்கான பாஸ்சின் அணுகுமுறையின் ஒரு பகுதியாக இந்த கோட்பாடு இருந்தது. சமன்பாடுகள் அடிப்படை வடிவவியலின் பிற சிகிச்சைகளில், வெவ்வேறு கோட்பாடுகளின் தொகுப்புகளைப் பயன்படுத்தி, பாஸ்சின் கோட்பாட்டை ஒரு தேற்றமாக நிரூபிக்க முடியும்; இது தளப் பிரிப்பு கோட்பாட்டின் விளைவாகும், இது கோட்பாடுகளில் ஒன்றாக எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது. ஹில்பர்ட் யூக்ளிடிய வடிவவியலின் தன்னியக்க சிகிச்சையில் பாஷின் கோட்பாட்டைப் பயன்படுத்துகிறார். ஹில்பர்ட்டின் அமைப்பில் மீதமுள்ள கோட்பாடுகளைப் பொறுத்தவரை, பாஸ்சின் கோட்பாடு தர்க்கரீதியாக பிளேன் பிரிப்பு கோட்பாட்டிற்கு சமமானது என்பதைக் காட்டலாம். ஹில்பர்ட் பாஷின் கோட்பாட்டை டேவிட் ஹில்பர்ட் தனது புத்தகமான ஃபவுண்டேஷன்ஸ் ஆஃப் ஜியோமெட்ரி என்ற புத்தகத்தில் பாஷின் கோட்பாட்டைப் பயன்படுத்துகிறார், இது யூக்ளிடியன் வடிவவியலுக்கு ஒரு கோட்பாட்டு அடிப்படையை வழங்குகிறது. பதிப்பைப் பொறுத்து, இது II. 4 அல்லது II. 5 என எண்ணப்படுகிறது. அவரது கூற்று மேலே கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. ஹில்பர்ட்டின் சிகிச்சையில், இந்த கோட்பாடு வரிசையின் கோட்பாடுகளைப் பற்றிய பிரிவில் தோன்றுகிறது, மேலும் இது வரிசையின் ஒரு சமதள கோட்பாடு என்று குறிப்பிடப்படுகிறது. முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் அடிப்படையில் அவர் கோட்பாட்டைச் சொல்லாததால் (கோடு பிரிவுகளை விட கோடுகளாகக் கருதப்படுவதால்) முக்கோணத்தின் ஏபிசியின் பக்கங்களுடன் கோட்டின் உள் மற்றும் வெளிப்புற குறுக்குவெட்டுகளைப் பற்றி பேச வேண்டிய அவசியமில்லை. கேவியட்ஸ் பாஸ்சின் கோட்பாடு பாஸ்சின் தேற்றத்திலிருந்து வேறுபட்டது, இது ஒரு கோட்டில் நான்கு புள்ளிகளின் வரிசையைப் பற்றிய அறிக்கையாகும். இருப்பினும், இலக்கியத்தில் பாஸ்சின் கோட்பாடு பாஸ்சின் தேற்றம் என்று குறிப்பிடப்படும் பல நிகழ்வுகள் உள்ளன. இதற்கு ஒரு குறிப்பிடத்தக்க உதாரணம். பாஸ்சின் கோட்பாட்டை ப்ரொஜெக்டிவ் வடிவவியலுக்கான வெப்லென்-யங் கோட்பாட்டுடன் குழப்பமடையக்கூடாது, இது பின்வருமாறு கூறப்படலாம்ஃ வெப்லென்-யங் கோட்பாட்டின் அறிக்கையில் உள் மற்றும் வெளிப்புற குறுக்குவெட்டுகளைப் பற்றி எதுவும் குறிப்பிடப்படவில்லை, இது கோடுகள் சந்திப்பின் நிகழ்வு பண்புடன் மட்டுமே தொடர்புடையது. ப்ரொஜெக்டிவ் வடிவவியலில் இடைப்பட்ட கருத்து (உள் மற்றும் வெளிப்புறத்தை வரையறுக்க தேவை) செல்லுபடியாகாது மற்றும் அனைத்து கோடுகளும் சந்திக்கின்றன (எனவே இணையான கோடுகளின் பிரச்சினை எழாது). குறிப்புகள் குறிப்புகள் வெளிப்புற இணைப்புகள் யூக்ளிடியன் தள வடிவியல் வடிவவியலின் அடித்தளங்கள்