Regular category
வகைக் கோட்பாட்டில், ஒரு வழக்கமான வகை என்பது கர்னல் ஜோடிகள் எனப்படும் ஒரு ஜோடி உருவங்களின் வரையறுக்கப்பட்ட வரம்புகள் மற்றும் இணை சமநிலைகளைக் கொண்ட ஒரு வகையாகும், இது சில துல்லியமான நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்கிறது. அந்த வகையில், வழக்கமான பிரிவுகள் சேர்க்கையின் தேவை இல்லாமல், படங்களின் இருப்பு போன்ற அபெலியன் வகைகளின் பல பண்புகளை மீண்டும் கைப்பற்றுகின்றன. அதே நேரத்தில், வழக்கமான பிரிவுகள் வழக்கமான தர்க்கம் என்று அழைக்கப்படும் முதல்-வரிசை தர்க்கத்தின் ஒரு பகுதியை ஆய்வு செய்வதற்கான அடித்தளத்தை வழங்குகின்றன. வரையறை A வகை C என்பது பின்வரும் மூன்று பண்புகளை திருப்திப்படுத்தினால் வழக்கமானதாக அழைக்கப்படுகிறதுஃ C என்பது இறுதியாக முழுமையானது. f: X → Y என்பது C இல் ஒரு உருவகம் மற்றும் ஒரு புல்பேக் என்றால், p0, p1 இன் கோ ஈக்வலைசர் உள்ளது. இந்த ஜோடி (p0, p1) f இன் கர்னல் ஜோடி என்று அழைக்கப்படுகிறது. புல்பேக் என்பதால், கர்னல் ஜோடி ஒரு தனித்துவமான ஐசோமார்பிசம் வரை தனித்துவமானது. f: X → Y என்பது C இல் உள்ள ஒரு உருவகம் மற்றும் ஒரு இழுவை, மற்றும் f ஒரு வழக்கமான உருவகம் என்றால், g என்பது ஒரு வழக்கமான உருவகம் ஆகும். ஒரு வழக்கமான எபிமார்பிசம் என்பது ஒரு எபிமார்பிசம் ஆகும், இது சில ஜோடி மார்ஃபிஸம்களின் கோ ஈக்வலைசராகத் தோன்றுகிறது. வழக்கமான வகைகளின் எடுத்துக்காட்டுகள் பின்வருமாறுஃ செட், செட்களுக்கு இடையிலான செட் மற்றும் செயல்பாடுகளின் வகை மேலும் பொதுவாக, ஒவ்வொரு அடிப்படை டோபோஸ் GRP, குழுக்களின் வகை மற்றும் குழு ஹோமோமார்பிசம்களின் வகை வளையங்கள் மற்றும் வளைய ஹோமோமார்பிசம்களின் வகை மேலும் பொதுவாக, எந்த வகையின் மாதிரிகளின் வகை ஒவ்வொரு வரம்புக்குட்பட்ட சந்திப்பு-சமச்சீர், வரிசை உறவால் கொடுக்கப்பட்ட உருவங்களுடன் ஒவ்வொரு அபெலியன் வகையும் பின்வரும் பிரிவுகள் வழக்கமானவை அல்லஃ மேல், இடவியல் இடைவெளிகள் மற்றும் தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளின் வகை பூனை, சிறிய பிரிவுகளின் வகை மற்றும் செயல்பாடுகளின் வகை எபி-மோனோ காரணிமயமாக்கல் ஒரு வழக்கமான பிரிவில், வழக்கமான-எபிமார்பிசம் மற்றும் மோனோமார்பிசம்கள் ஒரு காரணிமயமாக்கல் அமைப்பை உருவாக்குகின்றன. ஒவ்வொரு உருவகப்படுத்துதலையும் f: X → Y ஒரு வழக்கமான எபிமார்பிசமாக காரணியாக்கலாம் e: X → E அதைத் தொடர்ந்து ஒரு மோனோமார்பிசம் m: E → Y, இதனால் f = நான். காரணிமயமாக்கல் தனித்துவமானது, e ': X → E' என்பது மற்றொரு வழக்கமான எபிமார்பிசம் மற்றும் m ': E' → Y என்பது f = m 'e போன்ற மற்றொரு மோனோமார்பிசம் என்றால், ஒரு ஐசோமார்பிசம் உள்ளது h: E → E' அதாவது அவர் = e 'மற்றும் m' h = m. மோனோமார்பிசம் m என்பது f இன் படம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. துல்லியமான வரிசைகள் மற்றும் வழக்கமான செயல்பாடுகள் ஒரு வழக்கமான பிரிவில், வடிவத்தின் வரைபடம் ஒரு கோ ஈக்வலைசர் மற்றும் கர்னல் ஜோடியாக இருந்தால் அது ஒரு துல்லியமான வரிசை என்று கூறப்படுகிறது. சொற்களஞ்சியம் என்பது ஹோமோலாஜிக்கல் அல்ஜீப்ராவில் உள்ள சரியான வரிசைகளின் பொதுமைப்படுத்தலாகும்ஃ ஒரு அபெலியன் பிரிவில், வழக்கமான அர்த்தத்தில் ஒரு குறுகிய துல்லியமான வரிசையாக இருந்தால் மட்டுமே ஒரு வரைபடம் இந்த அர்த்தத்தில் துல்லியமாக இருக்கும். கர்னல் ஜோடிகளின் வரையறுக்கப்பட்ட வரம்புகள் மற்றும் கோ ஈக்குவலைசர்களைப் பாதுகாத்தால், வழக்கமான வகைகளுக்கு இடையிலான ஒரு ஃபங்க்டர் வழக்கமானதாக அழைக்கப்படுகிறது. வரையறுக்கப்பட்ட வரம்புகளையும் துல்லியமான வரிசைகளையும் பாதுகாத்தால் மட்டுமே ஒரு ஃபன்க்டர் வழக்கமானதாக இருக்கும். இந்த காரணத்திற்காக, வழக்கமான செயல்பாட்டாளர்கள் சில நேரங்களில் சரியான செயல்பாட்டாளர்கள் என்று அழைக்கப்படுகிறார்கள். வரையறுக்கப்பட்ட வரம்புகளைப் பாதுகாக்கும் செயல்பாடுகள் பெரும்பாலும் துல்லியமாக விடப்படுகின்றன. வழக்கமான தர்க்கம் மற்றும் வழக்கமான பிரிவுகள் வழக்கமான தர்க்கம் என்பது முதல்-வரிசை தர்க்கத்தின் ஒரு பகுதியாகும், இது வழக்கமான சூத்திரங்களின் வடிவத்தின் அறிக்கைகளை வெளிப்படுத்த முடியும். அணு சூத்திரங்கள், உண்மை மாறிலி, பைனரி சந்திப்புகள் (இணைப்பு) மற்றும் இருத்தலியல் அளவீடு ஆகியவற்றிலிருந்து கட்டமைக்கப்பட்ட சூத்திரங்கள். இத்தகைய சூத்திரங்களை ஒரு வழக்கமான பிரிவில் விளக்கலாம், மேலும் விளக்கத்தின் மூலம் காரணிகளின் விளக்கம் இருந்தால், விளக்கம் ஒரு தொடர்ச்சியின் மாதிரியாகும். இது ஒவ்வொரு கோட்பாட்டிற்கும் (தொடர்ச்சிகளின் தொகுப்பு) டி மற்றும் ஒவ்வொரு வழக்கமான வகை சி க்கும் சி இல் டி மாதிரிகளின் ஒரு வகை மோட் (டி, சி) ஐ வழங்குகிறது. இந்த கட்டுமானம் ஒரு செயல்பாட்டு மோட் (டி,-) ஐ வழங்குகிறதுஃ சிறிய வழக்கமான வகைகளின் ரெஜ்கேட் வகையிலிருந்து ரெஜ்கேட் → கேட் மற்றும் சிறிய வகைகளுக்கு வழக்கமான செயல்பாடுகள். ஒவ்வொரு T கோட்பாட்டிற்கும் ஒரு வழக்கமான வகை R (T) உள்ளது என்பது ஒரு முக்கியமான விளைவாகும், அதாவது ஒவ்வொரு வழக்கமான வகை C க்கும் C இல் இயற்கையான ஒரு சமநிலை உள்ளது. இங்கே, R (T) வழக்கமான கோட்பாட்டின் வகைப்படுத்தும் வகை T என்று அழைக்கப்படுகிறது. சமநிலை வரை எந்தவொரு சிறிய வழக்கமான வகையும் சில வழக்கமான கோட்பாட்டின் வகைப்படுத்தும் வகையாக இந்த வழியில் எழுகிறது. துல்லியமான (பயனுள்ள) பிரிவுகள் சமநிலை உறவுகளின் கோட்பாடு ஒரு வழக்கமான கோட்பாடாகும். ஒரு வழக்கமான வகையின் ஒரு பொருளின் சமநிலை உறவு என்பது ஒரு மோனோமார்பிசம் ஆகும், இது பிரதிபலிப்பு, சமச்சீர் மற்றும் இடைநிலைக்கான நிபந்தனைகளின் விளக்கங்களை திருப்திப்படுத்துகிறது. ஒவ்வொரு கர்னல் ஜோடியும் ஒரு சமநிலை உறவை வரையறுக்கிறது. மாறாக, ஒரு சமநிலை உறவு ஒரு கர்னல் ஜோடியாக எழுந்தால் அது பயனுள்ளதாக இருக்கும் என்று கூறப்படுகிறது. ஒரு சமநிலை உறவு ஒரு சமநிலைப்படுத்தியைக் கொண்டிருந்தால் மட்டுமே பயனுள்ளதாக இருக்கும், மேலும் இது இதன் கர்னல் ஜோடியாகும். ஒவ்வொரு சமநிலை உறவும் பயனுள்ளதாக இருந்தால், ஒரு வழக்கமான வகை துல்லியமானது அல்லது பார் என்ற பொருளில் துல்லியமானது அல்லது பயனுள்ள வழக்கமான 'என்று கூறப்படுகிறது. ("சரியான வகை" என்ற சொல் குய்லன் என்ற அர்த்தத்தில் சரியான வகைகளுக்கு வித்தியாசமாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது என்பதை நினைவில் கொள்க.) துல்லியமான வகைகளின் எடுத்துக்காட்டுகள் தொகுப்புகளின் வகை இந்த அர்த்தத்தில் துல்லியமானது, அதேபோல் எந்தவொரு (அடிப்படை) டோபோக்களும். ஒவ்வொரு சமநிலை உறவும் ஒரு சமநிலைப்படுத்தியைக் கொண்டுள்ளது, இது சமநிலை வகுப்புகளை எடுப்பதன் மூலம் கண்டறியப்படுகிறது. ஒவ்வொரு அபெலியன் வகையும் துல்லியமானது. செட்களின் வகைக்கு மேல் மோனடிக் இருக்கும் ஒவ்வொரு வகையும் துல்லியமானது. கல் இடங்களின் வகை வழக்கமானதாக இருக்கிறது, ஆனால் துல்லியமாக இல்லை. மேலும் காண்க உருவகம் (வகைக் கோட்பாடு) டோபோஸ் சரியான நிறைவு குறிப்புகள் வகைக் கோட்பாட்டில் உள்ள பிரிவுகள்