Holonomic constraints
கிளாசிக்கல் மெக்கானிக்ஸில், ஹோலனோமிக் கட்டுப்பாடுகள் என்பது பின்வரும் வடிவத்தில் வெளிப்படுத்தக்கூடிய நிலை மாறிகளுக்கு (மற்றும் நேரம்) இடையிலான உறவுகள் ஆகும்ஃ அமைப்பை விவரிக்கும் n பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ஆயத்தொலைவுகள் எங்கே (கட்டுப்பாடற்ற உள்ளமைவு இடத்தில்). எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு கோளத்தின் மேற்பரப்பில் இருக்க வேண்டிய ஒரு துகள் இயக்கம் ஒரு முழுமையான கட்டுப்பாட்டிற்கு உட்பட்டது, ஆனால் துகள் ஈர்ப்பு விசையின் தாக்கத்தின் கீழ் கோளத்திலிருந்து விழ முடிந்தால், கட்டுப்பாடு முழுமையானது அல்ல. முதல் வழக்கில், ஆரம் கொண்ட ஒரு கோளத்தின் மையத்திலிருந்து உள்ள தூரம் எங்கே என்ற சமன்பாட்டின் மூலம் முழுமையான கட்டுப்பாடு கொடுக்கப்படலாம், அதேசமயம் இரண்டாவது முழுமையான அல்லாத வழக்கு பொதுவாக முழுமையானது அல்ல போன்ற வேகம் சார்ந்த கட்டுப்பாடுகளால் (அரை முழுமையான கட்டுப்பாடு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) கொடுக்கப்படலாம். கிளாசிக்கல் மெக்கானிக்ஸில், அமைப்பின் அனைத்து கட்டுப்பாடுகளும் ஹோலனாமிக் ஆக இருந்தால் ஒரு அமைப்பை ஹோலனாமிக் என்று வரையறுக்கலாம். ஒரு கட்டுப்பாடு முழுமையானதாக இருக்க, அது ஒரு செயல்பாடாக வெளிப்படுத்தப்பட வேண்டும்ஃ அதாவது. ஒரு முழுமையான கட்டுப்பாடு ஆயத்தொலைவுகள் மற்றும் நேரத்தை மட்டுமே சார்ந்துள்ளது. இது t ஐப் பொறுத்தவரை வேகங்கள் அல்லது எந்த உயர்-வரிசை வழித்தோன்றலையும் சார்ந்தது அல்ல. மேலே காட்டப்பட்டுள்ள வடிவத்தில் வெளிப்படுத்த முடியாத ஒரு கட்டுப்பாடு ஒரு ஒத்திசைவற்ற கட்டுப்பாடு ஆகும். முன்மொழிவு மேலே விவரிக்கப்பட்டுள்ளபடி, ஒரு முழுமையான அமைப்பு என்பது (வெறுமனே பேசுகையில்) காலப்போக்கில் அமைப்பின் கூறுகளின் நிலைகளின் மாற்றத்தை மட்டுமே அறிந்து கொள்வதன் மூலம் ஒரு அமைப்பின் நிலையை ஒருவர் யூகிக்கக்கூடிய ஒரு அமைப்பாகும், ஆனால் வேகத்தை அல்லது எந்த வரிசையில் கூறுகள் ஒருவருக்கொருவர் நகர்ந்தன என்பதை அறிய வேண்டிய அவசியமில்லை. இதற்கு மாறாக, ஒரு ஒத்திசைவற்ற அமைப்பு என்பது பெரும்பாலும் ஒரு அமைப்பாகும், அங்கு காலப்போக்கில் கூறுகளின் வேகங்கள் அமைப்பின் நிலையின் மாற்றத்தை தீர்மானிக்க முடியும் என்று அறியப்பட வேண்டும், அல்லது நகரும் பகுதி ஒரு கட்டுப்பாட்டுடன் பிணைக்கப்பட முடியாத ஒரு அமைப்பு மேற்பரப்பு, உண்மையான அல்லது கற்பனை. கேண்ட்ரி கிரேன்கள், ஊசல் மற்றும் ரோபோ ஆயுதங்கள் ஆகியவை முழுமையான அமைப்புகளின் எடுத்துக்காட்டுகளாகும். செக்வேஸ், யூனிஸைக்கிள்கள் மற்றும் ஆட்டோமொபைல்கள் ஆகியவை நோன்ஹோலோனமிக் அமைப்புகளுக்கு எடுத்துக்காட்டுகளாகும். சொற்களஞ்சியம் உள்ளமைவு இடம் அமைப்பின் கூறுகளின் இடப்பெயர்ச்சியை பட்டியலிடுகிறது, ஒவ்வொரு டிகிரி சுதந்திரத்திற்கும் ஒன்று. ஒரு உள்ளமைவு இடத்தைப் பயன்படுத்தி விவரிக்கக்கூடிய ஒரு அமைப்பு ஸ்க்லெரோனமிக் என்று அழைக்கப்படுகிறது. காலப்போக்கில் அமைப்பில் ஏற்படும் மாற்றத்தைக் குறிக்க ஒரு மாறியைச் சேர்ப்பதைத் தவிர நிகழ்வு இடம் உள்ளமைவு இடத்துடன் ஒத்திருக்கிறது (அமைப்பை விவரிக்க தேவைப்பட்டால்). ஒரு அமைப்பு அமைப்பு இடத்திற்குப் பதிலாக ஒரு நிகழ்வு இடத்தைப் பயன்படுத்தி விவரிக்கப்பட வேண்டும், இது ரியோனாமிக் என்று அழைக்கப்படுகிறது. பல அமைப்புகளை ஸ்க்லெரோனாமிக் அல்லது ரியோனாமிக் முறையில் விவரிக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு ஊசல் மொத்த அனுமதிக்கப்பட்ட இயக்கம் ஒரு ஸ்க்லெரோனமிக் கட்டுப்பாடு விவரிக்க முடியும், ஆனால் ஒரு ஊசல் காலப்போக்கில் இயக்கம் ஒரு ரியோனாமிக் கட்டுப்பாடு விவரிக்க வேண்டும். நிலை இடைவெளி என்பது உள்ளமைவு இடைவெளி, மேலும் உள்ளமைவு இடத்தில் ஒவ்வொரு வார்த்தையின் வேகத்தையும் விவரிக்கும் சொற்கள். மாநில நேர இடைவெளி நேரத்தை சேர்க்கிறது. எடுத்துக்காட்டுகள் கேண்ட்ரி கிரேன் வலதுபுறத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி, கேண்ட்ரி கிரேன் என்பது ஒரு மேல்நிலை கிரேன் ஆகும், இது அம்புகளால் சுட்டிக்காட்டப்பட்டபடி 3 அச்சுகளில் அதன் கொக்கியை நகர்த்த முடியும். உள்ளுணர்வாக, கிரேன் ஒரு முழுமையான அமைப்பாக இருக்க வேண்டும் என்று நாம் ஊகிக்க முடியும், ஏனெனில் அதன் கூறுகளின் கொடுக்கப்பட்ட இயக்கத்திற்கு, கூறுகள் எந்த வரிசையில் அல்லது வேகத்தில் நகர்கின்றன என்பது முக்கியமல்லஃ கொடுக்கப்பட்ட தொடக்க நிலையில் இருந்து ஒவ்வொரு கூறுகளின் மொத்த இடப்பெயர்ச்சி இருக்கும் வரை, அனைத்து பகுதிகளும் ஒட்டுமொத்த அமைப்பும் ஒரே நிலையில் முடிவடையும். கணித ரீதியாக இதை நாம் இவ்வாறு நிரூபிக்க முடியும்ஃ அமைப்பின் உள்ளமைவு இடத்தை நாம் பின்வருமாறு வரையறுக்கலாம்ஃ கிரேனின் ஒவ்வொரு கூறுகளின் விலகலும் அதன் "பூஜ்ஜிய" நிலையில் இருந்து, மற்றும், நீலம், பச்சை மற்றும் ஆரஞ்சு கூறுகளுக்கு, முறையே. ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பின் நோக்குநிலை மற்றும் இடம் ஒரு அமைப்பு முழுமையானதா என்பதில் ஒரு பொருட்டல்ல, ஆனால் இந்த எடுத்துக்காட்டில் கூறுகள் அதன் அச்சுகளுக்கு இணையாக நகர்கின்றன. ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பின் தோற்றம் கிரேனின் பின்-கீழ்-இடதுபுறத்தில் இருந்தால், நிலைக் கட்டுப்பாட்டு சமன்பாட்டை நாம் இவ்வாறு எழுதலாம்ஃ கிரேனின் உயரம் எங்கே. விருப்பப்படி, அனைத்து மாறிலிகளும் மாறிகளுக்குப் பிறகு வைக்கப்படும் நிலையான வடிவத்திற்கு நாம் எளிமைப்படுத்தலாம்ஃ நாம் ஹோலனோமிக் வடிவத்தில் ஒரு கட்டுப்பாடு சமன்பாட்டைப் பெற்றுள்ளதால் (குறிப்பாக, நமது கட்டுப்பாடு சமன்பாடு எங்கே வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது), இந்த அமைப்பு ஹோலனோமிக் ஆக இருக்க வேண்டும் என்பதை நாம் காணலாம். வலதுபுறத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி, ஒரு எளிய ஊசல் என்பது எடை மற்றும் சரம் கொண்ட ஒரு அமைப்பாகும். சரம் ஒரு மையத்தின் மேல் முனையிலும், கீழ் முனையில் ஒரு எடையுடனும் இணைக்கப்பட்டுள்ளது. விரிவாக்க முடியாததால், சரத்தின் நீளம் ஒரு மாறிலி. இந்த அமைப்பு முழுமையானது, ஏனெனில் இது முழுமையான கட்டுப்பாட்டிற்குக் கீழ்ப்படிகிறது, அங்கு எடையின் நிலை மற்றும் சரத்தின் நீளம். திடமான உடல் ஒரு திடமான உடலின் துகள்கள் முழுமையான கட்டுப்பாட்டிற்குக் கீழ்ப்படிகின்றன, அங்கு முறையே துகள்களின் நிலைகள் மற்றும் அவற்றுக்கு இடையிலான தூரம் ஆகும். கொடுக்கப்பட்ட அமைப்பு முழுமையானதாக இருந்தால், கேள்விக்குரிய அமைப்பின் கூறுகளுடன் கூடுதல் பகுதிகளை கண்டிப்பாக இணைப்பது அதை முழுமையானதாக மாற்ற முடியாது, சுதந்திரத்தின் அளவுகள் குறைக்கப்படவில்லை என்று கருதலாம் (வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், உள்ளமைவு இடம் மாறாமல் உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம்). ஒரு கட்டுப்பாட்டின் பின்வரும் வேறுபட்ட வடிவத்தைக் கவனியுங்கள்ஃ ith கட்டுப்பாடு சமன்பாட்டிற்கான வேறுபாடுகளின் குணகங்கள் எங்கே? இந்த வடிவம் ஃபாஃபியன் வடிவம் அல்லது வேறுபட்ட வடிவம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. வேறுபட்ட வடிவம் ஒருங்கிணைக்கக்கூடியதாக இருந்தால், அதாவது, சமத்துவத்தை திருப்திப்படுத்தும் ஒரு செயல்பாடு இருந்தால், இந்த கட்டுப்பாடு ஒரு முழுமையான கட்டுப்பாடு; இல்லையெனில், அது முழுமையானது அல்ல. எனவே, அனைத்து ஹோலனோமிக் மற்றும் சில ஹோலனோமிக் அல்லாத கட்டுப்பாடுகளையும் வேறுபட்ட வடிவத்தைப் பயன்படுத்தி வெளிப்படுத்தலாம். இந்த வழியில் வெளிப்படுத்த முடியாத ஒத்திசைவற்ற கட்டுப்பாடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட வேகங்களைச் சார்ந்தவை. ஃபாஃபியன் வடிவத்தில் ஒரு கட்டுப்பாடு சமன்பாட்டுடன், கட்டுப்பாடு முழுமையானதா அல்லது முழுமையானதா என்பது ஃபாஃபியன் வடிவம் ஒருங்கிணைக்கப்படுகிறதா என்பதைப் பொறுத்தது. ஒரு ஃபாஃபியன் வடிவக் கட்டுப்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்பை (அல்லது பற்றாக்குறையை) சரிபார்க்க ஒரு சோதனையின் விளக்கத்திற்கு கீழே உள்ள முழுமையான கட்டுப்பாடுகளுக்கான உலகளாவிய சோதனையைப் பார்க்கவும். ஒரு அமைப்பின் கட்டுப்பாடு சமன்பாடு ஃபாஃபியன் கட்டுப்பாடு வடிவத்தில் எழுதப்படும்போது, அமைப்பு முழுமையானதா என்பதை தீர்மானிக்க ஒரு கணித சோதனை உள்ளது. ஒரு கட்டுப்பாடு சமன்பாடு அல்லது கட்டுப்பாடு சமன்பாடுகளின் தொகுப்புகளுக்கு (நேரத்தைக் குறிக்கும் மாறி (கள்) மேலே இருந்து பின்வரும் வடிவத்தில் சேர்க்கப்படலாம் என்பதைக் கவனியுங்கள்): நாம் சோதனை சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தலாம்ஃ அங்கு ஒரு கட்டுப்பாடு சமன்பாட்டிற்கு சோதனை சமன்பாடுகளின் கலவையில், அனைத்து கட்டுப்பாடு சமன்பாடுகளுக்கும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், மூன்று மாறிகள் கொண்ட ஒரு அமைப்பு ஒரு சோதனை சமன்பாட்டுடன் ஒரு முறை சோதிக்கப்பட வேண்டும், இதில் சொற்கள் கட்டுப்பாடு சமன்பாட்டில் (எந்த வரிசையிலும்) சொற்களாக இருக்கும், ஆனால் நான்கு மாறிகள் கொண்ட ஒரு அமைப்பை சோதிக்க சோதனை நான்கு வெவ்வேறு சோதனை சமன்பாடுகளுடன் நான்கு முறை வரை செய்யப்பட வேண்டும், சொற்கள் சொற்களாக இருக்கும், மற்றும் நான்கு வெவ்வேறு சோதனைகளில் கட்டுப்பாடு சமன்பாட்டில் (ஒவ்வொன்றும் எந்த வரிசையிலும்). ஐந்து மாறிகள் கொண்ட ஒரு அமைப்புக்கு, அந்த உண்மையை சரிபார்க்க ஒரு முழுமையான அமைப்பில் பத்து சோதனைகள் செய்யப்பட வேண்டும், மேலும் மூன்று செட் கட்டுப்பாட்டு சமன்பாடுகளைக் கொண்ட ஐந்து மாறிகள் கொண்ட ஒரு அமைப்புக்கு, முப்பது சோதனைகள் (மாறியின் மாற்றம் போன்ற எளிமைப்படுத்தல் என்று கருதினால் அந்த எண்ணிக்கையைக் குறைக்க முடியாது). இந்த காரணத்திற்காக, மூன்றுக்கும் மேற்பட்ட மாறிகள் கொண்ட அமைப்புகளில் இந்த முறையைப் பயன்படுத்தும் போது, கேள்விக்குரிய அமைப்பு முழுமையானதா என்பதைப் பற்றிய பொது அறிவைப் பயன்படுத்துவது நல்லது, மேலும் அமைப்பு இல்லையென்றால் மட்டுமே சோதனையைத் தொடர வேண்டும். கூடுதலாக, எந்த சோதனை முதலில் தோல்வியடையும் மற்றும் அதனுடன் தொடங்கும் என்பதைக் கணிக்க கணித உள்ளுணர்வைப் பயன்படுத்துவதும் சிறந்தது, முதலில் வெற்றிகரமாகத் தோன்றும் சோதனைகளைத் தவிர்க்கவும். ஒவ்வொரு சோதனைச் சமன்பாடும் அனைத்துக் கட்டுப்பாட்டுச் சமன்பாடுகளுக்கான முழுச் சேர்க்கைகளுக்கும் உண்மையாக இருந்தால், அமைப்பு முழுமையானது. ஒரு சோதனை சேர்க்கைக்கு கூட இது உண்மையல்ல என்றால், அமைப்பு நன்னோலோனமிக் ஆகும். எடுத்துக்காட்டு ஃபாஃபியன் வடிவத்தில் ஒரு கட்டுப்பாடு சமன்பாட்டால் விவரிக்கப்படும் இந்த இயக்கவியல் அமைப்பைக் கவனியுங்கள். உள்ளமைவு இடம், ஆய்வு மூலம், உள்ளது. உள்ளமைவு இடத்தில் மூன்று சொற்கள் மட்டுமே இருப்பதால், ஒரே ஒரு சோதனை சமன்பாடு மட்டுமே தேவைப்படும். மாற்றீட்டிற்கான தயாரிப்பில், கட்டுப்பாடு சமன்பாட்டின் விதிமுறைகளை நாம் ஒழுங்கமைக்கலாம்ஃ சொற்களை மாற்றுவதன் மூலம், நமது சோதனை சமன்பாடு பின்வருமாறு மாறுகிறதுஃ அனைத்து பகுதி வழித்தோன்றல்களையும் கணக்கிட்ட பிறகு, நாம் பெறுகிறோம்ஃ எளிமைப்படுத்துவதன் மூலம், நாம் காண்கிறோம்ஃ நமது சோதனை சமன்பாடு உண்மை என்பதை நாம் காண்கிறோம், எனவே, அமைப்பு முழுமையானதாக இருக்க வேண்டும். நாம் நமது சோதனையை முடித்துவிட்டோம், ஆனால் இப்போது அமைப்பு முழுமையானது என்பதை அறிந்தால், முழுமையான கட்டுப்பாடு சமன்பாட்டைக் கண்டுபிடிக்க விரும்பலாம். ஃபாஃபியன் வடிவத்தின் ஒவ்வொரு சொல்லையும் ஒருங்கிணைப்பதன் மூலமும் அவற்றை ஒரு சமன்பாட்டிற்குள் ஒருங்கிணைக்க முயற்சிப்பதன் மூலமும் அதைக் கண்டுபிடிக்க முயற்சி செய்யலாம், அதாவதுஃ நமது ஒருங்கிணைப்புகளின் முடிவுகளை இணைத்து முழுமையான கட்டுப்பாடு சமன்பாட்டைக் கண்டறிய முடியும் என்பதைக் காண்பது எளிதுஃ இங்கு சி என்பது ஒருங்கிணைப்பின் மாறிலி. நிலையான குணகங்களின் கட்டுப்பாடுகள் கொடுக்கப்பட்ட ஃபாஃபியன் கட்டுப்பாட்டிற்கு, ஒவ்வொரு வேறுபாடுகளின் ஒவ்வொரு குணகமும் ஒரு மாறிலி, வேறுவிதமாகக் கூறினால், வடிவத்தில் ஒரு கட்டுப்பாடுஃ கட்டுப்பாடு முழுமையானதாக இருக்க வேண்டும். இதை நாம் பின்வருமாறு நிரூபிக்கலாம்ஃ மேலே நேரடியாக விவரிக்கப்பட்டுள்ளபடி, ஒவ்வொரு வேறுபாட்டின் ஒவ்வொரு குணகமும் ஒரு மாறிலியாக இருக்கும் ஃபாஃபியன் வடிவத்தில் உள்ள கட்டுப்பாடுகளின் அமைப்பைக் கவனியுங்கள். இந்த கட்டுப்பாடுகளின் அமைப்பு முழுமையானதா என்பதை சோதிக்க, நாம் உலகளாவிய சோதனையைப் பயன்படுத்துகிறோம். சோதனைச் சமன்பாட்டில், பூஜ்ஜியத்துடன் கூட்டப்பட வேண்டிய மூன்று சொற்கள் இருப்பதை நாம் காணலாம். எனவே, சாத்தியமான ஒவ்வொரு சோதனைச் சமன்பாட்டிலும் அந்த மூன்று சொற்கள் ஒவ்வொன்றும் பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், அனைத்து சோதனைச் சமன்பாடுகளும் உண்மை மற்றும் இந்த அமைப்பு முழுமையானது. ஒவ்வொரு சோதனைச் சமன்பாட்டிலும் ஒவ்வொரு சொல் பின்வரும் வடிவத்தில் உள்ளதுஃ எங்கேஃ, மற்றும் கொடுக்கப்பட்ட கட்டுப்பாட்டிற்கு சில கலவையாகும் (மொத்த சேர்க்கைகளுடன்). ,, மற்றும் மற்றும் தொடர்புடைய கலவையாகும். கூடுதலாக, சோதனை சமன்பாடுகளின் தொகுப்புகள் உள்ளன. வரையறையின்படி, அனைத்தும் மாறிலிகள் என்பதை நாம் காணலாம். எந்தவொரு மாறிலியின் எந்தவொரு வழித்தோன்றலும் (முழு அல்லது பகுதி) கணக்கீட்டில் நன்கு அறியப்பட்டதாகும். எனவே, நாம் ஒவ்வொரு பகுதி வழித்தோன்றலையும் பின்வருமாறு குறைக்கலாம்ஃ எனவே ஒவ்வொரு சொல் பூஜ்ஜியமாகும், இடது புறம் ஒவ்வொரு சோதனை சமன்பாடும் பூஜ்ஜியமாகும், ஒவ்வொரு சோதனை சமன்பாடும் உண்மை, மற்றும் அமைப்பு முழுமையானது. இரண்டு அல்லது ஒரு மாறியின் உள்ளமைவு இடைவெளிகள் ஒரு ஃபாஃபியன் கட்டுப்பாட்டால் விவரிக்கக்கூடிய மற்றும் இரண்டு மாறிகள் அல்லது ஒரு மாறியின் உள்ளமைவு இடம் அல்லது நிலை இடத்தை மட்டுமே கொண்ட எந்தவொரு அமைப்பும் முழுமையானது. இதை நாம் நிரூபிக்கலாம்ஃ ஒரு உள்ளமைவு இடைவெளி அல்லது நிலை இடைவெளி கொண்ட ஒரு இயக்கவியல் அமைப்பைக் கருத்தில் கொள்ளுங்கள்ஃ அமைப்பு ஒரு நிலை இடத்தால் விவரிக்கப்பட்டால், அது நமது நேர மாறிக்கு சமம் என்று நாம் வெறுமனே கூறுகிறோம். இந்த அமைப்பு ஃபாஃபியன் வடிவத்தில் விவரிக்கப்படும்ஃ கட்டுப்பாடுகளின் தொகுப்புகளுடன். உலகளாவிய சோதனையைப் பயன்படுத்தி இந்த அமைப்பு சோதிக்கப்படும். இருப்பினும், உலகளாவிய சோதனைக்கு உள்ளமைவு அல்லது நிலை இடத்தில் மூன்று மாறிகள் தேவைப்படுகின்றன. இதற்கு இடமளிக்க, கட்டமைப்புக்கு ஒரு போலி மாறியைச் சேர்க்கிறோம் அல்லது உருவாக்க வேண்டிய நிலை இடத்தைச் சேர்க்கிறோம்ஃ போலி மாறி வரையறையின்படி அமைப்பில் உள்ள எதையும் அளவிடுவதில்லை என்பதால், ஃபாஃபியன் வடிவத்தில் அதன் குணகம் இருக்க வேண்டும். இவ்வாறு நாம் நமது ஃபாஃபியன் வடிவத்தைத் திருத்துகிறோம்ஃ இப்போது நாம் சோதனையைப் பயன்படுத்தலாம், கொடுக்கப்பட்ட கட்டுப்பாட்டிற்கு, கட்டுப்பாடுகளின் தொகுப்பு இருந்தால்ஃ அதை உணர்ந்த பிறகுஃ அமைப்பை விவரிக்கப் பயன்படுத்தப்படும் குணகங்களில் போலி மாறி தோன்ற முடியாது என்பதால், சோதனை சமன்பாடு அனைத்து கட்டுப்பாட்டு சமன்பாடுகளுக்கும் உண்மையாக இருக்க வேண்டும் என்பதைக் காண்கிறோம், இதனால் அமைப்பு முழுமையானதாக இருக்க வேண்டும். ஃபாஃபியன் வடிவத்தில் விவரிக்கக்கூடிய ஒரு-டிகிரி-ஆஃப்-சுதந்திர அமைப்புகள் எப்போதும் முழுமையானவை என்பதை உறுதிப்படுத்த, உள்ளமைவு அல்லது மாநில இடத்தில் ஒரு உண்மையான மாறி மற்றும் இரண்டு போலி மாறிகள் மூலம் இதேபோன்ற ஆதாரம் நடத்தப்படலாம். முடிவில், ஃபாஃபியன் வடிவத்தில் ஒத்திசைவற்ற அமைப்புகளை மாதிரியாக்க முடியும் என்றாலும், ஃபாஃபியன் வடிவத்தில் இரண்டு அல்லது அதற்கும் குறைவான டிகிரி ஆஃப் ஃப்ரீடம் (டிகிரி ஆஃப் ஃப்ரீடம் எண்ணிக்கை உள்ளமைவு இடத்தில் உள்ள சொற்களின் எண்ணிக்கைக்கு சமம்) கொண்ட எந்தவொரு அமைப்பும் முழுமையானதாக இருக்க வேண்டும் என்பதை நாங்கள் உணர்கிறோம். முக்கியமான குறிப்புஃ சோதனை சமன்பாடு தோல்வியுற்றது என்பதை உணர்ந்து கொள்ளுங்கள், ஏனெனில் போலி மாறி, எனவே சோதனையில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள போலி வேறுபாடு, உண்மையான உள்ளமைவு அல்லது நிலை இடைவெளி மாறிகளின் செயல்பாடாக இருக்கும் எதையும் வேறுபடுத்தும். கட்டமைப்பு அல்லது நிலை இடத்துடன் ஒரு அமைப்பைக் கொண்டிருப்பதுஃ மற்றும் ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட கட்டுப்பாடுகள் ஃபாஃபியன் வடிவத்தில் இருக்கும் கட்டுப்பாடுகளின் தொகுப்புஃ அமைப்பு முழுமையானது என்பதற்கு உத்தரவாதம் அளிக்காது, ஏனெனில் ஒரு வேறுபாடு ஒரு குணகத்தைக் கொண்டிருந்தாலும், இன்னும் மூன்று டிகிரி உள்ளன உள்ளமைவு அல்லது நிலை இடத்தில் விவரிக்கப்பட்ட சுதந்திரத்தின் டிகிரி. சுயாதீனமான பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ஆயத்தொகுதிகளுக்கு மாற்றம் முழுமையான கட்டுப்பாட்டு சமன்பாடுகள் நமது அமைப்பில் உள்ள சில சார்பு மாறிகளை எளிதில் அகற்ற உதவும். எடுத்துக்காட்டாக, கட்டுப்பாடு சமன்பாட்டில் ஒரு அளவுருவாக இருக்கும் சமன்பாட்டை அகற்ற விரும்பினால், அதைச் செய்ய முடியும் என்று கருதி, பின்வரும் வடிவத்தில் சமன்பாட்டை மறுசீரமைக்கலாம், மேலும் மேலே உள்ள செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தி அமைப்பின் ஒவ்வொரு சமன்பாட்டிலும் அதை மாற்றலாம். பொது இயற்பியல் அமைப்புகளுக்கு இது எப்போதும் செய்யப்படலாம், இதன் வழித்தோன்றல் தொடர்ச்சியானது, பின்னர் மறைமுக செயல்பாட்டு தேற்றத்தால், தீர்வு, சில திறந்த தொகுப்பில் உத்தரவாதம் அளிக்கப்படுகிறது. எனவே, சார்பு மாறியின் அனைத்து நிகழ்வுகளையும் அகற்ற முடியும். ஒரு இயற்பியல் அமைப்புக்கு சுதந்திரத்தின் அளவுகள் உள்ளன என்று வைத்துக்கொள்வோம். இப்போது, அமைப்பின் மீது முழுமையான கட்டுப்பாடுகள் விதிக்கப்படுகின்றன. பின்னர், சுதந்திரத்தின் டிகிரிகளின் எண்ணிக்கை குறைக்கப்படுகிறது. அமைப்பின் இயக்கத்தை முழுமையாக விவரிக்க சுயாதீனமான பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ஆயத்தொகுதிகளை () பயன்படுத்தலாம். உருமாற்றச் சமன்பாட்டை பின்வருமாறு வெளிப்படுத்தலாம்ஃ இயற்பியல் அமைப்புகளின் வகைப்பாடு பாரம்பரிய இயற்பியலை கடுமையாகவும் முறையாகவும் படிக்க, அமைப்புகளை நாம் வகைப்படுத்த வேண்டும். முந்தைய விவாதத்தின் அடிப்படையில், இயற்பியல் அமைப்புகளை முழுமையான அமைப்பு மற்றும் முழுமையான அமைப்பு அல்லாத அமைப்பு என வகைப்படுத்தலாம். பல கோட்பாடுகள் மற்றும் சமன்பாடுகளின் பயன்பாட்டிற்கான நிபந்தனைகளில் ஒன்று, அமைப்பு ஒரு முழுமையான அமைப்பாக இருக்க வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு இயற்பியல் அமைப்பு ஒரு முழுமையான அமைப்பு மற்றும் ஒரு மோனோஜெனிக் அமைப்பு என்றால், ஹாமில்டனின் கொள்கை லாக்ராஞ்சின் சமன்பாட்டின் சரியான தன்மைக்கு தேவையான மற்றும் போதுமான நிபந்தனையாகும். கோரியாச்சேவ்-சாப்லிகின் மேல்நிலை ஃபாஃபியன் கட்டுப்பாடு உட்வாடியா-கலாபா சமன்பாடு குறிப்புகள் பாரம்பரிய இயக்கவியல்