Regulated function
கணிதத்தில், ஒரு ஒழுங்குபடுத்தப்பட்ட செயல்பாடு அல்லது விதிக்கப்பட்ட செயல்பாடு என்பது ஒரு உண்மையான மாறியின் ஒரு குறிப்பிட்ட வகையான நன்கு நடந்துகொள்ளும் செயல்பாடு ஆகும். ஒழுங்குபடுத்தப்பட்ட செயல்பாடுகள் ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடுகளின் ஒரு வகுப்பாக எழுகின்றன, மேலும் பல சமமான குணாதிசயங்களைக் கொண்டுள்ளன. 1949 ஆம் ஆண்டில் நிக்கோலஸ் போர்பாகியால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட செயல்பாடுகள் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டன, அவர்களின் புத்தகமான "லிவ்ரே IV: ஃபோன்க்ஷன்ஸ் டி யுன் மாறி ரீல்". வரையறை X என்பது | |-| |X நெறிமுறை கொண்ட ஒரு பானாச் இடமாக இருக்கட்டும். பின்வரும் இரண்டு சமமான நிபந்தனைகளில் ஒன்று (எனவே இரண்டும்) உண்மையாக இருந்தால் ஒரு செயல்பாடு f: [0, T] → X ஒரு ஒழுங்குபடுத்தப்பட்ட செயல்பாடு என்று கூறப்படுகிறதுஃ இடைவெளியில் உள்ள ஒவ்வொரு t க்கும் [0, T], இடது மற்றும் வலது வரம்புகள் f (t−) மற்றும் f (t +) இரண்டும் X இல் உள்ளன (வெளிப்படையாக, f (0−) மற்றும் f (T +) தவிர); படி செயல்பாடுகளின் வரிசை உள்ளது φn: [0, T] → X ஒரே மாதிரியாக f (அதாவது. | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | இந்த இரண்டு நிபந்தனைகளும் சமமானவை என்பதைக் காட்ட ஒரு சிறிய வேலை தேவைப்படுகிறது. இருப்பினும், இரண்டாவது நிபந்தனை பின்வரும் சமமான வழிகளில் மீண்டும் குறிப்பிடப்படலாம் என்பதைப் பார்ப்பது ஒப்பீட்டளவில் எளிதானதுஃ ஒவ்வொரு δ> 0 க்கும், சில படி செயல்பாடு φδ: [0, T] → X உள்ளது, அதாவது f என்பது [0, T] முதல் X வரை உள்ள அனைத்து படி செயல்பாடுகளின் படி ([0, T]; X) ஐ மூடுவதில் உள்ளது. ஒழுங்குபடுத்தப்பட்ட செயல்பாடுகளின் பண்புகள் ரெக் ([0, டி]; எக்ஸ்) அனைத்து ஒழுங்குபடுத்தப்பட்ட செயல்பாடுகளின் தொகுப்பைக் குறிக்கட்டும் f: [0, டி] → எக்ஸ். ஒழுங்குபடுத்தப்பட்ட செயல்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் அளவிடுதல் மடங்குகள் மீண்டும் ஒழுங்குபடுத்தப்பட்ட செயல்பாடுகளாகும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ரெக் ([0, டி]; எக்ஸ்) என்பது ஸ்பேஸ் எக்ஸ் போன்ற அதே புலம் கே மீது ஒரு திசையன் இடைவெளி; பொதுவாக, கே உண்மையான அல்லது சிக்கலான எண்களாக இருக்கும். X பெருக்கத்தின் செயல்பாட்டைக் கொண்டிருந்தால், ஒழுங்குபடுத்தப்பட்ட செயல்பாடுகளின் தயாரிப்புகள் மீண்டும் ஒழுங்குபடுத்தப்பட்ட செயல்பாடுகளாகும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், எக்ஸ் ஒரு கே-இயற்கணிதம் என்றால், ரெக் ([0, டி]; எக்ஸ்) ஆகும். மேல்நிலை நெறிமுறை என்பது ரெக் ([0, டி]; எக்ஸ்) மற்றும் ரெக் ([0, டி]; எக்ஸ்) ஆகியவற்றில் ஒரு நெறிமுறையாகும், இது மேல்நிலை நெறிமுறையால் தூண்டப்பட்ட இடவியலைப் பொறுத்தவரை ஒரு இடவியல் திசையன் இடமாகும். மேலே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, ரெக் ([0, டி]; எக்ஸ்) என்பது மேல்நிலை நெறிமுறையைப் பொறுத்தவரை படி ([0, டி]; எக்ஸ்) இன் பி ([0, டி]; எக்ஸ்) இல் மூடல் ஆகும். எக்ஸ் ஒரு பானாச் இடமாக இருந்தால், ரெக் ([0, டி]; எக்ஸ்) என்பது மேல்நிலை நெறிமுறையைப் பொறுத்தவரை ஒரு பானாச் இடமாகும். ரெக் ([0, டி]; ஆர்) ஒரு எல்லையற்ற பரிமாண உண்மையான பானாச் இயற்கணிதத்தை உருவாக்குகிறதுஃ வரையறுக்கப்பட்ட நேரியல் சேர்க்கைகள் மற்றும் ஒழுங்குபடுத்தப்பட்ட செயல்பாடுகளின் தயாரிப்புகள் மீண்டும் ஒழுங்குபடுத்தப்பட்ட செயல்பாடுகளாகும். ஒரு சிறிய இடத்தில் வரையறுக்கப்பட்ட தொடர்ச்சியான செயல்பாடு ([0, T] போன்றவை) தானாகவே ஒரே சீராக தொடர்ச்சியாக இருப்பதால், ஒவ்வொரு தொடர்ச்சியான செயல்பாடும் f: [0, T] → X கட்டுப்படுத்தப்படுகிறது. உண்மையில், மேல்நிலை நெறிமுறையைப் பொறுத்தவரை, தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளின் இடைவெளி C0 ([0, T]; X) என்பது ரெக் ([0, T]; X) இன் மூடிய நேரியல் துணை இடமாகும். X ஒரு பானாக் இடைவெளி என்றால், வரம்புக்குட்பட்ட மாறுபாட்டின் செயல்பாடுகளின் இடைவெளி BV ([0, T]; X) ரெக் ([0, T]; X) இன் அடர்த்தியான நேரியல் துணை இடத்தை உருவாக்குகிறதுஃ X ஒரு பானாக் இடைவெளி என்றால், ஒரு செயல்பாடு f: [0, T] → X கட்டுப்படுத்தப்படுகிறது, அது சில φ க்கு வரம்புக்குட்பட்ட φ-மாறுபாடு இருந்தால் மட்டுமேஃ X என்பது பிரிக்கக்கூடிய ஹில்பர்ட் இடைவெளி என்றால், ரெக் ([0, T]; X) ஃப்ரான்கோவா-ஹெல்லி தேர்வு தேற்றம் எனப்படும் சுருக்கமான தேற்றத்தை திருப்திப்படுத்துகிறது. வரையறுக்கப்பட்ட மாறுபாடு பி. வி. யின் ஒழுங்குபடுத்தப்பட்ட செயல்பாட்டின் இடைநிறுத்தங்களின் தொகுப்பு கணக்கிடக்கூடியது, ஏனெனில் அத்தகைய செயல்பாடுகள் ஜம்ப்-வகை இடைநிறுத்தங்களை மட்டுமே கொண்டுள்ளன. இதைப் பார்க்க, வலது மற்றும் இடது வரம்புகள் வரையறுக்கப்பட்டதை விட அதிகமாக வேறுபடும் புள்ளிகளின் தொகுப்பு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது என்பதைக் குறிப்பிடுவது போதுமானது. குறிப்பாக, தொடர்ச்சியற்ற தொகுப்பில் பூஜ்ஜிய அளவீடு உள்ளது, இதிலிருந்து ஒரு ஒழுங்குபடுத்தப்பட்ட செயல்பாடு நன்கு வரையறுக்கப்பட்ட ரீமன் ஒருங்கிணைப்பைக் கொண்டுள்ளது. குறிப்புஃ பேயர் வகை தேற்றத்தின் படி அத்தகைய செயல்பாட்டின் இடைநிறுத்த புள்ளிகளின் தொகுப்பு மிகக் குறைவு அல்லது இல்லையெனில் காலியாக இல்லாத உட்புறத்தைக் கொண்டுள்ளது. இது எப்போதும் எண்ணிக்கையுடன் சமமாக இருக்காது. ஒருங்கிணைப்பு, படி செயல்பாடுகளில் வெளிப்படையான வழியில் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளபடி, ஒழுங்குபடுத்தப்பட்ட செயல்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்பை ஒரே மாதிரியாக ஒன்றிணைக்கும் படி செயல்பாடுகளின் எந்தவொரு வரிசையின் ஒருங்கிணைப்புகளின் வரம்பாக வரையறுப்பதன் மூலம் இயற்கையாகவே ரெக் ([0, டி]; எக்ஸ்) வரை விரிவடைகிறது. இந்த நீட்டிப்பு நன்கு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது மற்றும் ஒரு ஒருங்கிணைப்பின் வழக்கமான பண்புகள் அனைத்தையும் திருப்திப்படுத்துகிறது. குறிப்பாக, ஒழுங்குபடுத்தப்பட்ட ஒருங்கிணைப்பு என்பது ரெக் ([0, டி]; எக்ஸ்) முதல் எக்ஸ் வரை ஒரு வரம்புக்குட்பட்ட நேரியல் செயல்பாடாகும்; எனவே, எக்ஸ் = ஆர் விஷயத்தில், ஒருங்கிணைப்பு என்பது ரெக் ([0, டி]; ஆர்) க்கு இரட்டை இடத்தின் ஒரு உறுப்பு; ரீமன் ஒருங்கிணைப்புடன் உடன்படுகிறது. குறிப்புகள் வெளிப்புற இணைப்புகள் உண்மையான பகுப்பாய்வு செயல்பாடுகளின் வகைகள்