Mock modular form
கணிதத்தில், ஒரு போலி மாடுலர் வடிவம் என்பது ஒரு ஹார்மோனிக் பலவீனமான மாஸ் வடிவத்தின் ஹோலோமார்பிக் பகுதியாகும், மேலும் ஒரு போலி தீட்டா செயல்பாடு அடிப்படையில் எடையின் ஒரு போலி மாடுலர் வடிவமாகும். மோக் தீட்டா செயல்பாடுகளின் முதல் எடுத்துக்காட்டுகள் ஸ்ரீனிவாச ராமானுஜன் ஜி. எச். ஹார்டிக்கு எழுதிய கடைசி 1920 கடிதத்திலும், அவரது தொலைந்துபோன குறிப்பேடிலும் விவரிக்கப்பட்டுள்ளன. சில ஹோலோமார்பிக் அல்லாத செயல்பாடுகளைச் சேர்ப்பது அவற்றை ஹார்மோனிக் பலவீனமான மாஸ் வடிவங்களாக மாற்றுகிறது என்பதை சாண்டர் ஸ்வேகர்ஸ் கண்டுபிடித்தார். 1920ஆம் ஆண்டு ஜனவரி 12ஆம் தேதி ஹார்டிக்கு எழுதிய இராமானுஜனின் கடிதத்தில் அவர் மாக் தீட்டா செயல்பாடுகள் என்று அழைத்த செயல்பாடுகளின் 17 எடுத்துக்காட்டுகளை பட்டியலிட்டார், மேலும் அவரது தொலைந்துபோன குறிப்பேடில் இன்னும் பல எடுத்துக்காட்டுகள் இருந்தன. (ராமானுஜன் இன்று ஒரு மட்டு வடிவம் என்று அழைக்கப்படுவதற்கு "தீட்டா செயல்பாடு" என்ற வார்த்தையைப் பயன்படுத்தினார்.) அவை கஸ்ப்ஸில் ஒரு அறிகுறியற்ற விரிவாக்கத்தை கொண்டுள்ளன, எடையின் மட்டு வடிவங்களைப் போலவே, கஸ்ப்ஸில் துருவங்களுடன் இருக்கலாம், ஆனால் "சாதாரண" தீட்டா செயல்பாடுகளின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்த முடியாது என்று ராமானுஜன் சுட்டிக்காட்டினார். ஒத்த பண்புகளைக் கொண்ட செயல்பாடுகளை "மோக் தீட்டா செயல்பாடுகள்" என்று அவர் அழைத்தார். ஸ்வெக்கர்ஸ் பின்னர் மோக் தீட்டா செயல்பாட்டின் பலவீனமான மாஸ் வடிவங்களுடன் தொடர்பைக் கண்டுபிடித்தார். ராமானுஜன் தனது போலி தீட்டா செயல்பாடுகளுடன் ஒரு வரிசையை தொடர்புபடுத்தினார், அது தெளிவாக வரையறுக்கப்படவில்லை. ஸ்வேகர்களின் பணிக்கு முன்பு, அறியப்பட்ட மாக் தீட்டா செயல்பாடுகளின் வரிசைகளில் 3,5,6,7,8,10 ஆகியவை அடங்கும். ராமானுஜனின் வரிசை பற்றிய கருத்து பின்னர் எடை ஹார்மோனிக் மாஸ் வடிவங்களின் நெபெண்டிபஸ் தன்மையின் கடத்திக்கு ஒத்ததாக மாறியது, இது ராமானுஜனின் போலி தீட்டா செயல்பாடுகளை அவற்றின் ஹோலோமார்பிக் கணிப்புகளாக ஒப்புக்கொள்கிறது. அடுத்த சில தசாப்தங்களில், ராமானுஜனின் போலி தீட்டா செயல்பாடுகளை வாட்சன், ஆண்ட்ரூஸ், செல்பெர்க், ஹிக்கர்சன், சோய், மெக்கின்டோஷ் மற்றும் பலர் ஆய்வு செய்தனர், அவர்கள் அவற்றைப் பற்றிய ராமானுஜனின் அறிக்கைகளை நிரூபித்தனர், மேலும் பல எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் அடையாளங்களைக் கண்டறிந்தனர். (பெரும்பாலான "புதிய" அடையாளங்கள் மற்றும் எடுத்துக்காட்டுகள் ராமானுஜனுக்கு ஏற்கனவே தெரிந்திருந்தன, மேலும் அவரது தொலைந்துபோன நோட்டுப் புத்தகத்தில் மீண்டும் தோன்றின.) 1936 ஆம் ஆண்டில், வாட்சன், மாடுலர் குழுவின் உறுப்புகளின் செயல்பாட்டின் கீழ், வரிசை 3 மோக் தீட்டா செயல்பாடுகள் கிட்டத்தட்ட எடையின் மாடுலர் வடிவங்களைப் போல மாறுகின்றன (q இன் பொருத்தமான சக்திகளால் பெருக்கப்படுகிறது), செயல்பாட்டு சமன்பாடுகளில் "பிழை சொற்கள்" உள்ளன என்பதைத் தவிர, பொதுவாக வெளிப்படையான ஒருங்கிணைப்புகளாக கொடுக்கப்படுகின்றன. இருப்பினும், பல ஆண்டுகளாக ஒரு மோக் தீட்டா செயல்பாட்டிற்கு நல்ல வரையறை இல்லை. 2001 ஆம் ஆண்டில் ஸ்வெஜர்ஸ் ஹோலோமார்பிக் அல்லாத மட்டு வடிவங்கள், லெர்ச் கூட்டுத்தொகை மற்றும் காலவரையற்ற தீட்டா தொடர் ஆகியவற்றுடன் தொடர்பைக் கண்டறிந்தபோது இது மாறியது. வாட்சன் மற்றும் ஆண்ட்ரூஸின் முந்தைய படைப்பைப் பயன்படுத்தி ஸ்வேகர்ஸ், 3,5 மற்றும் 7 வரிசைகளின் மோக் தீட்டா செயல்பாடுகளை பலவீனமான மாஸ் வடிவ எடை மற்றும் கஸ்ப்ஸில் முடிவடையும் புவியியல் கோட்பாட்டுடன் பிணைக்கப்பட்ட ஒரு செயல்பாட்டின் கூட்டுத்தொகையாக எழுதலாம் என்று காட்டினார். பலவீனமான மாஸ் வடிவம் ஹைபர்போலிக் லாப்லாசியனின் கீழ் ஐகென் மதிப்பைக் கொண்டுள்ளது (எடையின் ஹோலோமார்பிக் மாடுலர் வடிவங்களின் அதே மதிப்பு); இருப்பினும், இது கஸ்ப்ஸுக்கு அருகில் அதிவேகமாக அதிகரிக்கிறது, எனவே இது மாஸ் அலை வடிவங்களுக்கான வழக்கமான வளர்ச்சி நிலையை பூர்த்தி செய்யவில்லை. ஸ்வெஜர்ஸ் இந்த முடிவை மூன்று வெவ்வேறு வழிகளில் நிரூபித்தார், மாக் தீட்டா செயல்பாடுகளை ஹெக்கின் தீட்டா செயல்பாடுகளுடன் பரிமாணம் 2 இன் காலவரையற்ற லட்டிஸ்கள் மற்றும் அப்பெல்-லெர்ச் தொகைகள் மற்றும் மெரோமார்பிக் ஜாகோபி வடிவங்களுடன் தொடர்புபடுத்துவதன் மூலம். ஸ்வேகர்ஸின் அடிப்படை முடிவு, மாக் தீட்டா செயல்பாடுகள் உண்மையான பகுப்பாய்வு மட்டு வடிவங்களின் எடையின் "ஹோலோமார்பிக் பகுதிகள்" என்பதைக் காட்டுகிறது. இது தீட்டா செயல்பாடுகளை கேலி செய்ய மட்டு வடிவங்களைப் பற்றிய பல முடிவுகளை நீட்டிக்க அனுமதிக்கிறது. குறிப்பாக, மட்டு வடிவங்களைப் போலவே, மோக் தீட்டா செயல்பாடுகளும் சில வெளிப்படையான வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண இடைவெளிகளில் உள்ளன, இது அவற்றுக்கிடையேயான பல அடையாளங்களின் நீண்ட மற்றும் கடினமான ஆதாரங்களை வழக்கமான நேரியல் இயற்கணிதத்திற்கு குறைக்கிறது. முதல் முறையாக மாக் தீட்டா செயல்பாடுகளின் எண்ணற்ற எடுத்துக்காட்டுகளை உருவாக்க முடிந்தது; இந்த பணிக்கு முன்பு சுமார் 50 எடுத்துக்காட்டுகள் மட்டுமே அறியப்பட்டன (அவற்றில் பெரும்பாலானவை முதன்முதலில் ராமானுஜனால் கண்டுபிடிக்கப்பட்டன). ஸ்வெஜர்ஸ் கருத்துக்களின் மேலும் பயன்பாடுகளாக, கேத்ரின் பிரிங்மேன் மற்றும் கென் ஓனோ ஆகியோர் ரோஜர்ஸ்-ஃபைன் அடிப்படை ஹைப்பர்ஜியோமெட்ரிக் தொடர்களிலிருந்து எழும் சில q-தொடர்கள் எடை ஹார்மோனிக் பலவீனமான மாஸ் வடிவங்களின் ஹோலோமார்பிக் பகுதிகளுடன் தொடர்புடையவை என்பதைக் காட்டினர், மேலும் ஜார்ஜ் ஆண்ட்ரூஸ் மற்றும் லீலா டிராகனெட் ஆகியோரால் ஆய்வு செய்யப்பட்ட வரிசை 3 போலி தீட்டா செயல்பாடு f (q) இன் குணகங்களுக்கான அறிகுறியற்ற தொடர் குணகங்களுடன் இணைகிறது என்பதைக் காட்டியது. குறிப்பாக மாக் தீட்டா செயல்பாடுகள் மாடுலர் குழுவின் கஸ்ப்களில் அறிகுறியற்ற விரிவாக்கங்களைக் கொண்டுள்ளன, அவை மேல் அரை தளத்தின் மீது செயல்படுகின்றன, அவை கஸ்ப்களில் துருவங்களுடன் எடையின் மாடுலர் வடிவங்களை ஒத்திருக்கின்றன. வரையறை ஒரு போலி மாடுலர் வடிவம் ஒரு ஹார்மோனிக் பலவீனமான மாஸ் வடிவத்தின் "ஹோலோமார்பிக் பகுதி" என்று வரையறுக்கப்படும். ஒரு எடை k ஐ சரிசெய்யவும், வழக்கமாக 2k ஒருங்கிணைப்புடன். SL2 (Z) இன் ஒரு துணைக்குழுவை சரிசெய்யவும் (அல்லது k அரை ஒருங்கிணைந்ததாக இருந்தால் மெட்டாப்லெக்டிக் குழுவின்) மற்றும் ஒரு எழுத்தை சரிசெய்யவும். இந்த எழுத்துக்கான ஒரு மாடுலர் வடிவம் f மற்றும் இந்த குழு k என்பது எடை k இன் ஒரு பலவீனமான மாஸ் வடிவத்தின் மூலம் உறுப்புகளின் கீழ் மாறுகிறது, இது மேல் பாதி தளத்தில் ஒரு தொடர்ச்சியான செயல்பாடாகும், இது எடை k இன் மாடுலர் வடிவத்தைப் போல மாறுகிறது மற்றும் எடை k லாப்லாசியன் ஆபரேட்டரின் ஐகென் செயல்பாடாகும், மேலும் அதன் ஐகென் மதிப்பு இருந்தால் அது ஹார்மோனிக் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இது ஹோலோமார்பிக் எடை k மாடுலர் வடிவங்களின் ஐகென் மதிப்பு, எனவே இவை அனைத்தும் ஹார்மோனிக் பலவீனமான மாஸ் வடிவங்களின் எடுத்துக்காட்டுகளாகும். (மாஸ் வடிவம் என்பது ஒரு பலவீனமான மாஸ் வடிவமாகும், இது கஸ்ப்ஸில் வேகமாக குறைகிறது.) எனவே ஒரு ஹார்மோனிக் பலவீனமான மாஸ் வடிவம் வேறுபட்ட ஆபரேட்டரால் அழிக்கப்படுகிறது F என்பது ஏதேனும் ஹார்மோனிக் பலவீனமான மாஸ் வடிவமாக இருந்தால், கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாடு g என்பது ஹோலோமார்பிக் மற்றும் எடை k இன் மட்டு வடிவத்தைப் போல மாறுகிறது, இருப்பினும் இது கஸ்ப்ஸில் ஹோலோமார்பிக் ஆக இருக்காது. அதே படத்துடன் வேறு எந்த செயல்பாட்டையும் நாம் கண்டுபிடிக்க முடிந்தால் g *, பின்னர் F − g * ஹோலோமார்பிக் ஆக இருக்கும். ஒருங்கிணைப்பு மூலம் வேறுபட்ட ஆபரேட்டரை தலைகீழாக மாற்றுவதன் மூலம் அத்தகைய செயல்பாடு வழங்கப்படுகிறது; எடுத்துக்காட்டாக, முழுமையற்ற காமா செயல்பாடு எங்கே என்பதை நாம் வரையறுக்க முடியும். g என்பது cusp i ≤ இல் பூஜ்ஜியத்தைக் கொண்டிருக்கும் போதெல்லாம் ஒருங்கிணைப்பு ஒருங்கிணைக்கிறது, மேலும் முழுமையற்ற காமா செயல்பாட்டை பகுப்பாய்வு தொடர்ச்சியின் மூலம் நீட்டிக்க முடியும், எனவே இந்த சூத்திரத்தை f இன் ஹோலோமார்பிக் பகுதியான g * ஐ வரையறுக்க பயன்படுத்தலாம், g என்பது i ≤ இல் மெரோமார்பிக் ஆக இருக்கும்போது கூட, இதற்கு k என்பது 1 அல்லது ஒருங்கிணைந்ததாக இல்லாவிட்டால் அல்லது n = 0 என்றால் சில கவனிப்பு தேவைப்படுகிறது. வேறுபட்ட இயக்கியின் தலைகீழ் தனித்துவமானது அல்ல, ஏனெனில் g * க்கு அதன் உருவத்தை பாதிக்காமல் எந்த ஹோமோமார்பிக் செயல்பாட்டையும் நாம் சேர்க்க முடியும், இதன் விளைவாக g * செயல்பாடு குழுவின் கீழ் மாறாததாக இருக்க வேண்டியதில்லை. h = F − g * என்ற சார்பு F இன் ஹோலோமார்பிக் பகுதி என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு போலி மாடுலர் வடிவம் சில ஹார்மோனிக் பலவீனமான மாஸ் வடிவமான F இன் ஹோலோமார்பிக் பகுதி என்று வரையறுக்கப்படுகிறது. எனவே போலி மாடுலர் வடிவங்களின் இடத்திலிருந்து ஹார்மோனிக் பலவீனமான மாஸ் வடிவங்களின் துணைப்பகுதிக்கு ஒரு ஐசோமார்பிசம் உள்ளது. போலி மாடுலர் வடிவம் h ஹோலோமார்பிக் ஆனால் மிகவும் மாடுலர் அல்ல, அதே நேரத்தில் h + g * மாடுலர் ஆனால் மிகவும் ஹோலோமார்பிக் அல்ல. எடை k இன் போலி மாடுலர் வடிவங்களின் இடைவெளி ஒரு துணை இடமாக எடை k இன் கிட்டத்தட்ட மாடுலர் வடிவங்களின் ("கஸ்ப்ஸில் மெரோமார்பிக் ஆக இருக்கக்கூடிய மாடுலர் வடிவங்கள்") இடைவெளியைக் கொண்டுள்ளது. 2−k எடையுள்ள ஹோலோமார்பிக் மாடுலர் வடிவங்களின் இடைவெளிக்கு ஈவு (எதிர் முனையில்) ஐசோமார்பிக் ஆகும். ஒரு போலி மாடுலர் வடிவமான h உடன் தொடர்புடைய எடை-(2−k) மாடுலர் வடிவம் g அதன் நிழல் என்று அழைக்கப்படுகிறது. வெவ்வேறு மாக் தீட்டா செயல்பாடுகள் ஒரே நிழலைக் கொண்டிருப்பது மிகவும் பொதுவானது. எடுத்துக்காட்டாக, ராமானுஜனால் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட வரிசை 5 இன் 10 மோக் தீட்டா செயல்பாடுகள் 5 இன் இரண்டு குழுக்களாக வருகின்றன, அங்கு ஒவ்வொரு குழுவிலும் உள்ள அனைத்து செயல்பாடுகளும் ஒரே நிழலைக் கொண்டுள்ளன (ஒரு மாறிலியால் பெருக்கப்படும் வரை). டான் ஜாகியர் ஒரு போலி தீட்டா செயல்பாட்டை q = e2i மடங்கு எடையின் ஒரு போலி மாடுலர் வடிவத்தின் பகுத்தறிவு சக்தியாக வரையறுக்கிறார், அதன் நிழல் ஒரு நேர்மறையான பகுத்தறிவு κ மற்றும் ஒற்றைப்படை கால செயல்பாடு ε க்கான வடிவத்தின் தீட்டா தொடராகும். (அத்தகைய எந்தவொரு தீட்டா வரிசையும் எடையின் ஒரு மட்டு வடிவமாகும்). q இன் பகுத்தறிவு சக்தி ஒரு வரலாற்று விபத்து. பெரும்பாலான போலி மாடுலர் வடிவங்கள் மற்றும் பலவீனமான மாஸ் வடிவங்கள் கஸ்ப்ஸில் விரைவான வளர்ச்சியைக் கொண்டுள்ளன. அவை கஸ்ப்ஸில் மிக அதிவேகமாக வளரும் என்ற நிபந்தனையை திணிப்பது பொதுவானது (இது போலி மாடுலர் வடிவங்களுக்கு அவை கஸ்ப்ஸில் "மெரோமார்பிக்" என்று பொருள்படும்). மாக் மாடுலர் வடிவங்களின் (கொடுக்கப்பட்ட எடை மற்றும் குழுவின்) இடைவெளி, அதன் வளர்ச்சி கஸ்ப்ஸில் சில நிலையான அதிவேக செயல்பாட்டால் கட்டுப்படுத்தப்படுகிறது, இது வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாணமாகும். அப்பெல்-லெர்ச் கூட்டுத்தொகை அப்பெல்-லெர்ச் கூட்டுத்தொகை, லம்பேர்ட் தொடரின் பொதுமைப்படுத்தல், முதலில் பால் எமில் அப்பெல் மற்றும் மத்தியாஸ் லெர்ச் ஆகியோரால் ஆய்வு செய்யப்பட்டது. வாட்சன் 3 ஆம் வரிசை மோக் தீட்டா செயல்பாடுகளை அப்பெல்-லெர்ச் தொகைகளின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்துவதன் மூலம் ஆய்வு செய்தார், மேலும் மோக் தீட்டா செயல்பாடுகள் அடிப்படையில் மோக் மாடுலர் வடிவங்கள் என்பதைக் காட்ட ஸ்வெஜர்ஸ் அவற்றைப் பயன்படுத்தினார். திருத்தப்பட்ட தொடர் எங்கே மற்றும் y = இம் () மற்றும் பின்வரும் மாற்ற பண்புகளை திருப்திப்படுத்துகிறது வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், மாற்றியமைக்கப்பட்ட அப்பெல்-லெர்ச் தொடர் ஒரு மட்டு வடிவத்தைப் போல மாறுகிறது. மாக் தீட்டா செயல்பாடுகளை அப்பெல்-லெர்ச் தொடரின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்த முடியும் என்பதால், மாக் தீட்டா செயல்பாடுகள் ஒரு குறிப்பிட்ட பகுப்பாய்வு அல்லாத தொடரைக் கொண்டிருந்தால் அவை மாடுலர் வடிவங்களைப் போல மாறுகின்றன. வரையறுக்கப்படாத தீட்டா தொடர் ஜார்ஜ் ஆண்ட்ரூஸ், ராமானுஜனின் ஐந்தாவது வரிசை மோக் தீட்டா செயல்பாடுகளில் பல மேற்கோள்களுக்கு சமம் என்பதைக் காட்டினார், அங்கு θ () என்பது எடையின் மட்டு வடிவமாகும், மேலும் θ () என்பது காலவரையற்ற பைனரி இருபடி வடிவத்தின் தீட்டா செயல்பாடாகும், மேலும் டீன் ஹிக்கர்சன் ஏழாவது வரிசை மோக் தீட்டா செயல்பாடுகளுக்கு ஒத்த முடிவுகளை நிரூபித்தார். உண்மையான பகுப்பாய்வு மட்டு வடிவங்களை உருவாக்க காலவரையற்ற தீட்டா செயல்பாடுகளை எவ்வாறு நிறைவு செய்வது என்பதை ஸ்வெஜர்ஸ் காட்டினார், மேலும் மாக் தீட்டா செயல்பாடுகளுக்கும் பலவீனமான மாஸ் அலை வடிவங்களுக்கும் இடையிலான உறவின் மற்றொரு ஆதாரத்தை வழங்க இதைப் பயன்படுத்தினார். மெரோமார்பிக் ஜாகோபி வடிவங்கள் ஜார்ஜ் ஆண்ட்ரூஸ், ராமானுஜனின் ஐந்தாவது வரிசை மோக் தீட்டா செயல்பாடுகளில் சில ஜாகோபியின் தீட்டா செயல்பாடுகளின் மேற்கோள்களின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தப்படலாம் என்பதைக் கவனித்தார். மெரோமார்பிக் ஜாகோபி வடிவங்களின் ஃபோரியர் குணகங்களாக மாக் தீட்டா செயல்பாடுகளை வெளிப்படுத்த ஸ்வெஜர்ஸ் இந்த யோசனையைப் பயன்படுத்தினார். ரூத் லாரன்ஸ் மற்றும் டான் ஜாகியர் தொடர்புடைய பயன்பாடுகள் 3-மேனிஃபோல்டுகளின் குவாண்டம் மாறுபாடுகளுக்கு மோக் தீட்டா செயல்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளன. ஏ. எம். செமிகடோவ், ஏ. டோர்மினா மற்றும் ஐ. யூ திபுனின் ஆகியோர் மாக் தீட்டா செயல்பாடுகளை எல்லையற்ற பரிமாண லை சூப்பர்அல்ஜெப்ராக்கள் மற்றும் இரு பரிமாண இணக்கமான புலக் கோட்பாட்டுடன் தொடர்புபடுத்தினர். மாக் மாடுலர் வடிவங்களின் மாடுலர் முழுமைகள் தொடர்ச்சியான ஸ்பெக்ட்ரம் கொண்ட இணக்கமான புலக் கோட்பாடுகளின் நீள்வட்ட இனமாக எழுகின்றன என்பதை ஜே. ட்ரூஸ்ட் காட்டினார். மாக் தீட்டா செயல்பாடுகள் அம்ப்ரல் மூன்ஷைன் கோட்பாட்டில் தோன்றுகின்றன. ஆதிஷ் தபோல்கர், சமீர் மூர்த்தி மற்றும் டான் ஜாகியர் ஆகியோர் போலி மாடுலர் வடிவங்கள் N = 4 சரம் கோட்பாடுகளில் குவாண்டம் கருந்துளைகளின் சீரழிவுகளுடன் தொடர்புடையவை என்பதைக் காட்டினர். எடுத்துக்காட்டுகள் எடை k இன் எந்த மாடுலர் வடிவமும் (ஒருவேளை கஸ்ப்ஸில் மெரோமார்பிக் மட்டுமே) நிழல் 0 உடன் எடை k இன் ஒரு போலி மாடுலர் வடிவமாகும். எடை 2 மற்றும் நிலை 1 கொண்ட குவாசிமோடுலர் ஐன்ஸ்டைன் தொடர் என்பது எடை 2 இன் மாதிரி மட்டு வடிவமாகும், இதில் நிழல் மாறிலி உள்ளது. இதன் பொருள் எடை 2 இன் மாடுலர் வடிவத்தைப் போல மாறுகிறது (இங்கு = x + iy). கற்பனையான இருபடி புலங்களின் ஹர்விட்ஸ் வகுப்பு எண்களான H (N) என்ற ஃபோரியர் குணகங்களுடன் டான் ஜாகியர் ஆய்வு செய்த செயல்பாடு எடை, நிலை 4 மற்றும் நிழல் σqn2 ஆகியவற்றின் மாதிரி மட்டு வடிவமாகும். அதனுடன் தொடர்புடைய பலவீனமான மாஸ் அலை வடிவம் y = Im (), q = e2i ஆகும். மாக் தீட்டா செயல்பாடுகள் என்பது எடையின் மாதிரி மட்டு வடிவங்களாகும், அதன் நிழல் ஒரு யூனரி தீட்டா செயல்பாடாகும், இது q இன் விகிதமுறு சக்தியால் பெருக்கப்படுகிறது (வரலாற்று காரணங்களுக்காக). ஸ்வேகர்களின் பணி அவற்றை உருவாக்குவதற்கான ஒரு பொதுவான முறைக்கு வழிவகுப்பதற்கு முன்பு, பெரும்பாலான எடுத்துக்காட்டுகள் அடிப்படை ஹைப்பர்ஜியோமெட்ரிக் செயல்பாடுகளாக வழங்கப்பட்டன, ஆனால் இது பெரும்பாலும் ஒரு வரலாற்று விபத்து, மேலும் பெரும்பாலான போலி தீட்டா செயல்பாடுகள் அத்தகைய செயல்பாடுகளின் அடிப்படையில் அறியப்பட்ட எளிய வெளிப்பாட்டைக் கொண்டிருக்கவில்லை. "அற்பமான" போலி தீட்டா செயல்பாடுகள் எடையின் (ஹோலோமார்பிக்) மட்டு வடிவங்களாகும், அவை செர்ரே மற்றும் ஸ்டார்க் ஆகியோரால் வகைப்படுத்தப்பட்டன, அவர்கள் அனைவரும் 1 பரிமாண லட்டிஸ்களின் தீட்டா செயல்பாடுகளின் அடிப்படையில் எழுதப்படலாம் என்பதைக் காட்டினர். பின்வரும் எடுத்துக்காட்டுகள் q-போசம்மர் சின்னங்களைப் பயன்படுத்துகின்றன (a; q) n அவை பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகின்றனஃ வரிசை 2 சில வரிசை 2 மோக் தீட்டா செயல்பாடுகளை மெக்கின்டோஷ் ஆய்வு செய்தார். இந்த செயல்பாட்டை ராமானுஜன் தனது தொலைந்த நோட்டுப் புத்தகத்தில் கண்டறிந்தார். இவை ஆர்டர் 3 ஆல் ஆர்டர்-8 செயல்பாடுகள் குறித்த பிரிவில் பட்டியலிடப்பட்டுள்ள செயல்பாடுகளுடன் தொடர்புடையவை, ராமனுஜன் ஹார்டிக்கு எழுதிய கடிதத்தில் நான்கு ஆர்டர்-3 மோக் தீட்டா செயல்பாடுகளைக் குறிப்பிட்டுள்ளார், மேலும் மூன்று இழந்த குறிப்பேடுகளில் பட்டியலிட்டுள்ளார், அவை ஜி. என். வாட்சனால் மீண்டும் கண்டுபிடிக்கப்பட்டன. பிந்தையது ராமானுஜனால் கூறப்பட்ட அவற்றுக்கிடையேயான உறவுகளை நிரூபித்தது, மேலும் அவற்றின் மாற்றங்களை மாடுலர் குழுவின் கூறுகளின் கீழ் அவற்றை அப்பெல்-லெர்ச் தொகைகளாக வெளிப்படுத்துவதன் மூலம் கண்டறிந்தது. டிராகனெட் அவற்றின் குணகங்களின் அறிகுறியற்ற விரிவாக்கத்தை விவரித்தார். ஸ்வேகர்ஸ் அவற்றை ஹார்மோனிக் பலவீனமான மாஸ் வடிவங்களுடன் தொடர்புபடுத்தினார். நாதன் ஃபைனின் மோனோகிராஃபையும் பார்க்கவும். ராமானுஜன் வழங்கிய ஏழு வரிசை-3 மோக் தீட்டா செயல்பாடுகள், . . . . . . இவற்றில் முதல் நான்கு ஒரே நிழலுடன் (ஒரு மாறிலி வரை) ஒரு குழுவை உருவாக்குகின்றன, அதேபோல் கடைசி மூன்றும் செய்கின்றன. இன்னும் துல்லியமாக, செயல்பாடுகள் பின்வரும் உறவுகளை திருப்திப்படுத்துகின்றன (ராமானுஜனால் கண்டுபிடிக்கப்பட்டு வாட்சனால் நிரூபிக்கப்பட்டது): ஆர்டர் 5 ராமானுஜன் தனது 1920 ஹார்டிக்கு எழுதிய கடிதத்தில் ஆர்டர் 5 இன் பத்து மோக் தீட்டா செயல்பாடுகளை எழுதினார், மேலும் வாட்சனால் நிரூபிக்கப்பட்ட சில உறவுகளைக் குறிப்பிட்டார். தனது இழந்த குறிப்பேடில், இந்த செயல்பாடுகள் தொடர்பான மேலும் சில அடையாளங்களை அவர் குறிப்பிட்டார், இது ஹிக்கர்சனால் நிரூபிக்கப்பட்ட போலி தீட்டா யூகங்களுக்கு சமம். ஆண்ட்ரூஸ் இந்த செயல்பாடுகளில் பலவற்றின் பிரதிநிதித்துவங்களை எடையின் மட்டு வடிவங்களால் காலவரையற்ற தீட்டா தொடரின் ஈவு என கண்டறிந்தார். ஆர்டர் 6 ராமானுஜன் தனது தொலைந்த நோட்டுப் புத்தகத்தில் ஆர்டர் 6 இன் ஏழு போலி தீட்டா செயல்பாடுகளை எழுதினார், மேலும் அவற்றுக்கிடையே 11 அடையாளங்களைக் குறிப்பிட்டார், அவை ஆண்ட்ரூஸ் மற்றும் ஹிக்கர்சனால் நிரூபிக்கப்பட்டன. ராமானுஜனின் இரண்டு அடையாளங்கள் பல்வேறு வாதங்களில் φ மற்றும் si ஐ தொடர்புபடுத்துகின்றன, அவற்றில் நான்கு அப்பெல்-லெர்ச் தொடரின் அடிப்படையில் φ மற்றும் si ஐ வெளிப்படுத்துகின்றன, மேலும் கடைசி ஐந்து அடையாளங்கள் மீதமுள்ள ஐந்து ஆறாவது வரிசை மோக் தீட்டா செயல்பாடுகளை φ மற்றும் si அடிப்படையில் வெளிப்படுத்துகின்றன. பெர்ன்ட் மற்றும் சான் மேலும் இரண்டு ஆறாவது வரிசை செயல்பாடுகளைக் கண்டுபிடித்தனர். ஆர்டர் 6 மோக் தீட்டா செயல்பாடுகள் பின்வருமாறுஃ ஆர்டர் 7 ராமானுஜன் தனது 1920 ஹார்டிக்கு எழுதிய கடிதத்தில் ஆர்டர் 7 இன் மூன்று மோக் தீட்டா செயல்பாடுகளை வழங்கினார். அவை செல்பெர்க் மற்றும் ஆண்ட்ரூஸ் ஆகியோரால் ஆய்வு செய்யப்பட்டன, அவர்கள் அவற்றின் குணகங்களுக்கு அறிகுறியற்ற விரிவாக்கத்தை கண்டறிந்தனர். ஹிக்கர்சன் இந்த செயல்பாடுகளில் பலவற்றின் பிரதிநிதித்துவங்களை எடையின் மாடுலர் வடிவங்களால் காலவரையற்ற தீட்டா தொடரின் மேற்கோள்களாக கண்டறிந்தார். ஸ்வெஜர்ஸ் அவற்றின் மட்டு மாற்ற பண்புகளை விவரித்தார். இந்த மூன்று போலி தீட்டா செயல்பாடுகளும் வெவ்வேறு நிழல்களைக் கொண்டுள்ளன, எனவே ராமானுஜனின் வரிசை-3 மற்றும் வரிசை-5 செயல்பாடுகளைப் போலல்லாமல், அவற்றுக்கும் சாதாரண மட்டு வடிவங்களுக்கும் இடையே நேரியல் உறவுகள் இல்லை. தொடர்புடைய பலவீனமான மாஸ் வடிவங்கள் எங்கே மற்றும் குறைவாக நிரப்பு பிழை செயல்பாடு ஆகும். மெட்டாப்லெக்டிக் குழுவின் கீழ், இந்த மூன்று செயல்பாடுகளும் மெட்டாப்லெக்டிக் குழுவின் ஒரு குறிப்பிட்ட முப்பரிமாண பிரதிநிதித்துவத்தின் படி பின்வருமாறு மாறுகின்றன. வேறுவிதமாகக் கூறினால், அவை நிலை 1 திசையன் மதிப்புள்ள ஹார்மோனிக் பலவீனமான மாஸ் வடிவ எடையின் கூறுகளாகும். ஆர்டர் 8 கார்டன் மற்றும் மெக்கின்டோஷ் ஆகியோர் ஆர்டர் 8 இன் எட்டு மோக் தீட்டா செயல்பாடுகளைக் கண்டறிந்தனர். அவை சம்பந்தப்பட்ட ஐந்து நேரியல் உறவுகளை அவர்கள் கண்டறிந்தனர், மேலும் நான்கு செயல்பாடுகளை அப்பெல்-லெர்ச் கூட்டுத்தொகைகளாக வெளிப்படுத்தினர், மேலும் அவற்றின் மாற்றங்களை மாடுலர் குழுவின் கீழ் விவரித்தனர். வி1 மற்றும் யு0 ஆகிய இரண்டு செயல்பாடுகளை ராமானுஜன் தனது தொலைந்துபோன நோட்டுப் புத்தகத்தில் முன்பு கண்டுபிடித்தார். ஆர்டர் 10 ராமானுஜன் தனது தொலைந்த நோட்டுப் புத்தகத்தில் நான்கு ஆர்டர்-10 மோக் தீட்டா செயல்பாடுகளை பட்டியலிட்டார், மேலும் அவற்றுக்கிடையே சில உறவுகளைக் குறிப்பிட்டார், அவை சோயால் நிரூபிக்கப்பட்டன. அவரது சேகரிக்கப்பட்ட படைப்புகளின் தொகுதி I இல் மறுபதிப்பு செய்யப்பட்ட குறிப்புகள். மேலும் படிக்க வெளிப்புற இணைப்புகள் சர்வதேச மாநாடுஃ மோக் தீட்டா செயல்பாடுகள் மற்றும் பயன்பாடுகள் 2009 ஜார்ஜ் ஆண்ட்ரூஸின் மோக் தீட்டா செயல்பாடுகள் குறித்த ஆவணங்கள் கேத்ரின் பிரிங்மேனின் மோக் தீட்டா செயல்பாடுகள் குறித்த ஆவணங்கள் கென் ஓனோவின் மோக் தீட்டா செயல்பாடுகள் குறித்த ஆவணங்கள் சாண்டர் ஸ்வேகரின் மோக் தீட்டா செயல்பாடுகள் குறித்த ஆவணங்கள் மாடுலர் வடிவங்கள் கியூ-அனலாக்ஸ் ஸ்ரீனிவாச ராமானுஜன்