Congruence lattice problem
கணிதத்தில், ஒவ்வொரு இயற்கணித விநியோக லாட்டிஸும் வேறு ஏதேனும் லாட்டிஸின் கான்க்ரூயென்ஸ் லாட்டிஸுக்கு ஐசோமார்பிக் ஆக இருக்கிறதா என்று கான்க்ரூயென்ஸ் லாட்டிஸ் சிக்கல் கேட்கிறது. இந்த சிக்கலை ராபர்ட் பி. டில்வொர்த் முன்வைத்தார், மேலும் பல ஆண்டுகளாக இது லட்டிஸ் கோட்பாட்டில் மிகவும் பிரபலமான மற்றும் நீண்டகாலமாக திறந்த சிக்கல்களில் ஒன்றாகும்; இது லட்டிஸ் கோட்பாட்டின் வளர்ச்சியில் ஆழமான தாக்கத்தை ஏற்படுத்தியது. ஒவ்வொரு டிஸ்ட்ரிபியூட்டிவ் லாட்டிஸும் ஒரு ஒற்றுமை லாட்டிஸ் என்ற அனுமானம் அதிகபட்சமாக α1 கச்சிதமான கூறுகளைக் கொண்ட அனைத்து டிஸ்ட்ரிபியூட்டிவ் லாட்டிஸ்களுக்கும் பொருந்தும், ஆனால் குரடோவ்ஸ்கியின் ஃப்ரீ செட் தேற்றத்தின் அடிப்படையில் ஒரு கட்டமைப்பைப் பயன்படுத்தி α2 கச்சிதமான கூறுகளுடன் கூடிய டிஸ்ட்ரிபியூட்டிவ் லாட்டிஸ்களுக்கு எஃப். வெஹ்ரங் ஒரு எதிர் உதாரணத்தை வழங்கினார். முன்னுரைகள் நாம் கான் ஏ மூலம் ஒரு இயற்கணிதம் ஏ இன் ஒற்றுமை ஜாலகத்தைக் குறிக்கிறோம், அதாவது, சேர்ப்பின் கீழ் உள்ள ஏ இன் அனைத்து ஒற்றுமைகளின் ஜாலகம். பின்வருவது ஒரு உலகளாவிய-இயற்கணித அற்பத்தன்மை ஆகும். ஒரு ஒற்றுமையைப் பொறுத்தவரை, இறுதியாக உருவாக்கப்படுவது ஒரு லட்டிஸ்-கோட்பாட்டு பண்பு என்று அது கூறுகிறது. லெம்மா. ஒரு இயற்கணிதத்தின் ஒரு ஒற்றுமை, அது கான் ஏ இன் சுருக்கமான உறுப்பாக இருந்தால் மட்டுமே இறுதியாக உருவாக்கப்படுகிறது. ஒரு இயற்கணிதத்தின் ஒவ்வொரு ஒற்றுமையும் அதற்குக் கீழே உள்ள இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட ஒற்றுமைகளின் இணைப்பாக இருப்பதால் (எ. கா., ஒரு தொகுதியின் ஒவ்வொரு துணை தொகுதியும் அதன் இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட அனைத்து துணை தொகுதிகளின் இணைப்பாகும்), பின்வரும் முடிவைப் பெறுகிறோம், இது முதன்முதலில் 1948 இல் பிர்காஃப் மற்றும் பிரிங்க் ஆகியோரால் வெளியிடப்பட்டது. தேற்றம் (பிர்காஃப் மற்றும் பிரிங்க் 1948). எந்தவொரு இயற்கணித A இன் ஒற்றுமை லட்டிஸ் கான் A ஒரு இயற்கணித லட்டிஸ் ஆகும். குழுக்கள், தொகுதிகள், வளையங்கள் (அவை பிரபஞ்சத்தின் துணைக்குழுக்களுடன் அடையாளம் காண முடியாது) ஆகியவற்றுடன் ஒப்பிடுகையில் லட்டிஸின் ஒற்றுமைகள் எதையாவது இழக்கும் அதே வேளையில், அவை இன்னும் எதிர்கொள்ளும் மற்ற அனைத்து கட்டமைப்புகளிலும் தனித்துவமான பண்பைக் கொண்டுள்ளன. தேற்றம் (புனயாமா மற்றும் நகயாமா 1942). எந்தவொரு லட்டிஸின் ஒற்றுமை லட்டிஸ் விநியோகிக்கப்படுகிறது. கொடுக்கப்பட்ட லட்டிஸின் α, β மற்றும் γ ஆகியவற்றின் எந்தவொரு ஒற்றுமைக்காகவும், α (β) = (α) β (α) γ என்று இது கூறுகிறது. இந்த முடிவின் அனலாக் தோல்வியடைகிறது, எடுத்துக்காட்டாக, தொகுதிகளுக்கு, ஒரு விதியாக, கொடுக்கப்பட்ட தொகுதியின் துணை தொகுதிகள் ஏ, பி, சி. இந்த முடிவுக்குப் பிறகு, டில்வொர்த் பின்வரும் முடிவை நிரூபித்தார். அவர் முடிவை வெளியிடவில்லை, ஆனால் அது பிர்காஃப் 1948 இல் அவருக்கு வழங்கப்பட்ட ஒரு பயிற்சியாகத் தெரிகிறது. முதல் வெளியிடப்பட்ட ஆதாரம் கிராட்சர் மற்றும் ஷ்மிட் 1962 இல் உள்ளது. தேற்றம் (டில்வொர்த் ≈ 1940, கிராட்சர் மற்றும் ஷ்மிட் 1962). ஒவ்வொரு வரையறுக்கப்பட்ட விநியோக லாட்டிஸும் சில வரையறுக்கப்பட்ட லாட்டிஸின் ஒற்றுமை லாட்டிஸுக்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும். கிராட்ஜர் மற்றும் ஷ்மிட்டின் ஆதாரத்தில் காணப்படும் கரைசல் லட்டிஸ் பிரிவு ரீதியாக பூர்த்தி செய்யப்படுகிறது என்பதைக் கவனிப்பது முக்கியம், அதாவது, இது ஒரு குறைந்தபட்ச உறுப்பைக் கொண்டுள்ளது (எந்த வரையறுக்கப்பட்ட லட்டிஸுக்கும் உண்மை) மற்றும் அனைத்து உறுப்புகளுக்கும் a ≤ b ஒரு உறுப்பு x உடன் உள்ளது. சிஎல்பியில் ஆரம்பகால முயற்சிகள் டில்வொர்த்தால் செய்யப்பட்டதாகத் தோன்றினாலும், சிஎல்பி முதன்முதலில் வெளியிடப்பட்ட வடிவத்தில் கூறப்பட்டது அந்த காகிதத்தில்தான் உள்ளது. வரையறுக்கப்பட்ட ஜன்னல்களின் ஒருங்கிணைந்த ஜன்னல்களுக்கு மகத்தான அளவு கவனம் செலுத்தப்பட்டுள்ளது, இதற்காக ஒரு குறிப்பு கிராட்சரின் 2005 மோனோகிராஃப் ஆகும். ஒற்றுமை லட்டீஸ் சிக்கல் (சி. எல். பி): ஒவ்வொரு விநியோக இயற்கணித லட்டீஸ் ஐசோமார்பிக் சில லட்டீஸின் ஒற்றுமை லட்டீஸ்? சிஎல்பி சிக்கல் லட்டிஸ் கோட்பாட்டின் மிகவும் புதிரான மற்றும் நீண்டகால திறந்த சிக்கல்களில் ஒன்றாகும். உலகளாவிய இயற்கணிதத்தின் சில தொடர்புடைய முடிவுகள் பின்வருமாறு. தேற்றம் (கிராட்சர் மற்றும் ஷ்மிட் 1963). ஒவ்வொரு இயற்கணித லட்டிஸும் சில இயற்கணிதத்தின் ஒற்றுமை லட்டிஸுக்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும். ஒரு திசையன் இடைவெளி V இன் அனைத்து துணை இடங்களின் லட்டிஸ் சப் V நிச்சயமாக ஒரு இயற்கணித லட்டிஸ் ஆகும். அடுத்த முடிவு காட்டுவது போல, இந்த இயற்கணித லட்டிஸ்களை பிரதிநிதித்துவப்படுத்துவது கடினம். தேற்றம் (ஃப்ரீஸ், லாம்பே மற்றும் டெய்லர் 1979). கணக்கிட முடியாத புலம் F மீது V ஒரு எல்லையற்ற பரிமாண திசையன் இடமாக இருக்கட்டும். பின்னர் கான் A ஐசோமார்பிக் முதல் சப் V வரை எந்த இயற்கணிதத்திற்கும் A குறைந்தபட்சம் கார்டு F செயல்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளது என்பதைக் குறிக்கிறது. V என்பது எல்லையற்ற பரிமாணமாக இருப்பதால், துணை V இன் மிகப்பெரிய உறுப்பு (அலகு) கச்சிதமாக இல்லை. இது தீங்கற்றதாகத் தோன்றினாலும், பின்வரும் முடிவால் நிரூபிக்கப்பட்டபடி, மேலே உள்ள முடிவின் அறிக்கையில் கச்சிதமான அலகு அனுமானம் அவசியம். தேற்றம் (லாம்ப் 1982). சுருக்கமான அலகு கொண்ட ஒவ்வொரு இயற்கணித லட்டிஸும் சில குழுமத்தின் ஒற்றுமை லட்டிஸுக்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும். சிஎல்பியின் செமிலட்டிஸ் உருவாக்கம் ஒரு இயற்கணிதத்தின் ஒற்றுமை லட்டிஸ் கான் ஏ என்பது ஒரு இயற்கணித லட்டிஸ் ஆகும். கான் ஏ இன் சுருக்கமான கூறுகளின் (, 0)-சமச்சீர் காங்க் ஏ ஆல் குறிக்கப்படுகிறது, மேலும் இது சில நேரங்களில் ஏ இன் ஒற்றுமை அரைச்சீர் என்று அழைக்கப்படுகிறது. பின்னர் கான் ஏ என்பது கான் ஏ இன் இலட்சிய லட்டிஸுக்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும். இங்கே கோடிட்டுக் காட்டப்பட்டுள்ளபடி, அனைத்தின் வகைக்கும் இடையேயான கிளாசிக்கல் சமநிலையைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் (, 0)-சமச்சீர் மற்றும் அனைத்து இயற்கணித லட்டிஸின் வகை (மார்ஃபிஸம்களின் பொருத்தமான வரையறைகளுடன்), சிஎல்பியின் பின்வரும் அரை-கோட்பாட்டு சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம். சி. எல். பி. யின் செமிலட்டிஸ்-கோட்பாட்டு சூத்திரம்ஃ ஒவ்வொரு விநியோகமும் (0)-செமிலட்டிஸ் ஐசோமார்பிக் சில லட்டிஸின் ஒற்றுமை செமிலட்டிஸுக்கு சமமானதா? ஒரு டிஸ்ட்ரிபியூட்டிவ் (, 0)-செமிலட்டிஸ் குறிக்கத்தக்கது என்று வைத்துக்கொள்வோம், அது காங்க் எல் க்கு ஐசோமார்பிக் என்றால், சில லட்டிஸ் எல். எனவே ஒவ்வொரு டிஸ்ட்ரிபியூட்டிவ் (, 0)-செமிலட்டிஸ் குறிக்கத்தக்கதா என்று சி. எல். பி கேட்கிறது. இந்த சிக்கலைச் சுற்றியுள்ள பல ஆய்வுகள் அரைக்கோளங்கள் அல்லது ஆல்ஜிப்ராக்களின் வரைபடங்களை உள்ளடக்கியது. இவற்றைப் பற்றிய மிகவும் பயனுள்ள நாட்டுப்புற முடிவுகள் பின்வருமாறு. தேற்றம். கொடுக்கப்பட்ட கையொப்பத்தின் அனைத்து ஆல்ஜிப்ராக்களிலும் வரையறுக்கப்பட்ட ஃபன்க்டர் காங்க், அனைத்திற்கும் (, 0)-சமச்சீர், நேரடி வரம்புகளைப் பாதுகாக்கிறது. விநியோக இணை-சமச்சீரமைப்புகள் வழியாக ஷ்மிட்டின் அணுகுமுறை a (ஷ்ண, 0)-சமச்சீரகம் ஷ்மிட்டின் நிபந்தனையை திருப்திப்படுத்துகிறது என்று நாம் கூறுகிறோம், இது B இன் சில விநியோக இணை-ஒத்திசைவுகளின் கீழ் ஒரு பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட பூலியன் அரைச்சீரகம் B இன் ஈவு விகிதத்திற்கு சமச்சீரமைப்பாக இருந்தால். பிரதிநிதித்துவம் பற்றிய ஆழமான முடிவுகளில் ஒன்று (ஷ்ண, 0)-சமச்சீர் பின்வருமாறு. தேற்றம் (ஷ்மிட் 1968). ஷ்மிட்டின் நிபந்தனையை திருப்திப்படுத்தும் எந்த (0,0)-சமச்சீர் பிரதிநிதித்துவம் செய்யப்படுகிறது. இது பின்வரும் சிக்கலை எழுப்பியது, அதே காகிதத்தில் கூறப்பட்டுள்ளது. பிரச்சனை 1 (ஷ்மிட் 1968). ஏதேனும் (, 0)-சமச்சீர் ஷ்மிட்டின் நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்கிறதா? பகுதி நேர்மறையான பதில்கள் பின்வருமாறு. தேற்றம் (ஷ்மிட் 1981). பூஜ்ஜியத்துடன் கூடிய ஒவ்வொரு விநியோக லாட்டிஸும் ஷ்மிட்டின் நிபந்தனையை திருப்திப்படுத்துகிறது; எனவே அது பிரதிநிதித்துவம் செய்யப்படுகிறது. கட்டாயப்படுத்துதல் மற்றும் பூலியன் மதிப்புள்ள மாதிரிகளைப் பயன்படுத்தி மிக நீண்ட மற்றும் தொழில்நுட்ப ஆதாரம் மூலம் இந்த முடிவு பின்வருமாறு மேலும் மேம்படுத்தப்பட்டுள்ளது. தேற்றம் (வெஹ்ரங் 2003). பூஜ்ஜியம் மற்றும் (, 0)-ஹோமோமார்பிசம்களைக் கொண்ட விநியோக லாட்டிஸ்களின் எண்ணக்கூடிய வரிசையின் ஒவ்வொரு நேரடி வரம்பும் பிரதிநிதித்துவம் செய்யப்படுகிறது. மற்ற முக்கியமான பிரதிநிதித்துவ முடிவுகள் செமிலட்டிஸின் கார்டினாலிட்டியுடன் தொடர்புடையவை. 1985 ஆம் ஆண்டில் ஹுன் காலமான பிறகு டோபர்டினால் வெளியிட பின்வரும் முடிவு தயாரிக்கப்பட்டது. இந்த இரண்டு தொடர்புடைய கட்டுரைகளும் 1989 இல் வெளியிடப்பட்டன. தேற்றம் (ஹுன் 1985). கார்டினாலிட்டியின் ஒவ்வொரு டிஸ்ட்ரிபியூட்டிவ் (, 0)-சமச்சீர் அதிகபட்சமாக α1 ஷ்மிட்டின் நிபந்தனையை திருப்திப்படுத்துகிறது. எனவே அது பிரதிநிதித்துவம் செய்யப்படுகிறது. வெவ்வேறு முறைகளைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், டோபர்டின் பின்வரும் முடிவைப் பெற்றார். தேற்றம் (டோபர்டின் 1986). ஒவ்வொரு முதன்மை ஐடியலும் அதிகபட்சமாக கணக்கிடக்கூடிய ஒவ்வொரு டிஸ்ட்ரிபியூட்டிவ் (, 0)-சமச்சீர் பிரதிநிதித்துவம் செய்யப்படுகிறது. சிக்கல் 2 (டாபர்டின் 1983). ஒவ்வொரு கூம்பு சுத்திகரிப்பு மோனாய்டு அளவிட முடியுமா? புத்லாக்கின் அணுகுமுறை; (, 0)-சமச்சீர் வரைபடங்களை தூக்குவது புத்லாக் தனது 1985 ஆய்வறிக்கையில் பரிந்துரைத்த சி. எல். பி. யின் அணுகுமுறை வேறுபட்டது. இது பின்வரும் முடிவை அடிப்படையாகக் கொண்டது, புத்லாக்கின் 1985 ஆய்வறிக்கையில் உள்ள உண்மை 4, பக்கம் 100, யூரி எல். எர்ஷோவ் தனது 1977 மோனோகிராப்பின் அறிமுகத்தின் பிரிவு 3 இல் முக்கிய தேற்றமாக முன்பு பெற்றார். தேற்றம் (எர்ஷோவ் 1977, புத்லாக் 1985). ஒவ்வொரு விநியோகமும் (ஷ்ண, 0)-சமச்சீர் என்பது அதன் வரையறுக்கப்பட்ட விநியோகத்தின் (ஷ்ண, 0)-துணைச் சமச்சீர்களின் வழிநடத்தப்பட்ட சங்கமாகும். இதன் பொருள் என்னவென்றால், ஒரு டிஸ்ட்ரிபியூட்டிவ் (ஷ்ண, 0)-செமிலட்டிஸ் S இல் உள்ள ஒவ்வொரு வரையறுக்கப்பட்ட துணைக்குழுவும் S இன் சில வரையறுக்கப்பட்ட டிஸ்ட்ரிபியூட்டிவ் (ஷ்ண, 0)-சப்ஸெமிலட்டிஸில் உள்ளது. இப்போது நாம் கொடுக்கப்பட்ட டிஸ்ட்ரிபியூட்டிவ் (ஷ்ண, 0)-செமிலட்டிஸ் S ஐ காங்க் L ஆக பிரதிநிதித்துவப்படுத்த முயற்சிக்கிறோம், சில லட்டிஸ்களுக்கு L. வரையறுக்கப்பட்ட டிஸ்ட்ரிபியூட்டிவ் (ஷ்ண, 0)-சப்ஸெமிலட்டிஸ்களின் இயக்கப்பட்ட யூனியனாக S ஐ எழுதுவது, ஒவ்வொரு Si ஐயும் ஒரு லட்டிஸ் Li இன் ஒற்றுமை லட்டிஸாக லட்டிஸ் ஹோமோமார்பிசம்களுடன் பிரதிநிதித்துவப்படுத்த நம்புகிறோம் ஃபிஜ்ஃ Li → Lj, I இல் i ≤ j க்கு, அனைவரின் வரைபடமும் இதைச் செய்ய முடிந்தால், காங்க் செயல்பாட்டாளர் நேரடி வரம்புகளைப் பாதுகாப்பதைக் கண்டோம், நேரடி வரம்பு திருப்தி அளிக்கிறது. பொதுவாக இதைச் செய்ய முடியுமா என்ற சிக்கல் சுமார் 20 ஆண்டுகளுக்கு திறந்த நிலையில் இருந்தபோதிலும், பூஜ்ஜியத்துடன் விநியோக லாட்டிஸ்களுக்கு புத்லாக் அதை நிரூபிக்க முடிந்தது, இதனால் ஷ்மிட்டின் முடிவுகளில் ஒன்றை ஒரு செயல்பாட்டு தீர்வை வழங்குவதன் மூலம் விரிவுபடுத்தியது. தேற்றம் (புத்லாக் 1985). பூஜ்ஜியம் மற்றும் 0-லட்டிஸ் உட்பொதிப்புகளுடன் கூடிய அனைத்து விநியோக லாட்டிஸ்களின் வகை முதல் பூஜ்ஜியம் மற்றும் 0-லட்டிஸ் உட்பொதிப்புகளுடன் கூடிய அனைத்து லாட்டிஸ்களின் வகை வரை, ஃபங்க்டரைப் பாதுகாக்கும் நேரடி வரம்புகள் உள்ளன, அதாவது கான்சைர் இயற்கையாகவே அடையாளத்திற்கு சமமானது. மேலும், φ (S) என்பது ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட அணுக்கரு ஜன்னல் ஆகும், எந்தவொரு வரையறுக்கப்பட்ட விநியோகத்திற்கும் (0)-சமச்சீர் S. இந்த முடிவு மேலும் மேம்படுகிறது, இன்னும் மிகவும் சிக்கலான கட்டுமானத்தால், உள்ளூரில் வரையறுக்கப்பட்ட, 2004 மற்றும் 2006 ஆம் ஆண்டுகளில் ரூசிக்காவால் பிரிவு ரீதியாக பூர்த்தி செய்யப்பட்ட மாடுலர் ஜன்னல்களுக்கு. 1985 ஆம் ஆண்டில் புத்லாக் தனது மேலே உள்ள முடிவை முழு வகை விநியோகத்திற்கும் நீட்டிக்க முடியுமா என்று கேட்டார். சமீபத்தில் துமா மற்றும் வெஹ்ருங் ஆகியோரால் எதிர்மறையாக தீர்க்கப்படும் வரை இந்த சிக்கல் திறந்த நிலையில் இருந்தது. தேற்றம் (டூமா மற்றும் வெஹ்ரங் 2006). வரையறுக்கப்பட்ட பூலியன் (, 0)-சமச்சீர் மற்றும் (, 0,1)-உட்பொதிப்புகளின் ஒரு வரைபடம் D உள்ளது, இது ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட ஓரளவு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட தொகுப்பால் குறியிடப்பட்டுள்ளது, இது காங்க் செயல்பாட்டாளரைப் பொறுத்தவரை, எந்த வரைபடத்தால் உயர்த்த முடியாது. குறிப்பாக, சிஎல்பிக்கு செயல்பாட்டு தீர்வு இல்லை என்பதை இது உடனடியாகக் குறிக்கிறது. மேலும், பல்வேறு வகைகளின் கம்யூட்டேட்டர் கோட்பாடு என்று அழைக்கப்படும் 1998 ஆம் ஆண்டின் ஆழமான உலகளாவிய இயற்கணிதத்தின் முடிவுகளிலிருந்து இது பின்பற்றப்படுகிறது, மேலே உள்ள முடிவை அனைத்து லாட்டிஸ்களின் வகைகளிலிருந்தும் எந்த வகையிலும் நீட்டிக்க முடியும், அதாவது அனைத்து கான் ஏ, கையொப்பத்தில் ஒரு நிலையான அற்பமான அடையாளத்தை திருப்திப்படுத்துகிறது (சுருக்கமாக, ஒரு அற்பமான ஒற்றுமை அடையாளத்துடன்). சிஎல்பியில் பல முயற்சிகள் பின்வரும் முடிவை அடிப்படையாகக் கொண்டிருந்தன என்பதையும் நாம் குறிப்பிட வேண்டும், இது 1978 ஆம் ஆண்டில் புல்மன்-ஃப்ளெமிங் மற்றும் மெக்டொவல் ஆகியோரால் ஷானனின் 1974 ஆம் ஆண்டின் ஒரு திட்டவட்டமான முடிவைப் பயன்படுத்தி நிரூபிக்கப்பட்டது, மேலும் ஒரு நேரடி வாதத்திற்காக 2001 இல் குடெர்ல் மற்றும் வெஹ்ரங்கையும் பார்க்கவும். தேற்றம் (புல்மான்-ஃப்ளெமிங் மற்றும் மெக்டொவல் 1978). ஒவ்வொரு விநியோகமும் (ஷ்ண, 0)-சமச்சீர் என்பது வரையறுக்கப்பட்ட பூலியன் (ஷ்ண, 0)-சமச்சீர் மற்றும் (ஷ்ண, 0)-சமச்சீரமைவுகளின் நேரடி வரம்பாகும். எர்ஷோவ்-புட்லாக் தேற்றத்தில் பயன்படுத்தப்படும் இடைநிலை ஒத்த உருவங்கள் (ற், 0) உட்பொதிப்புகள் என்றாலும், மேலே உள்ள முடிவில் பயன்படுத்தப்படும் இடைநிலை ஒத்த உருவங்கள் ஒன்றுக்கு ஒன்று அல்ல, எடுத்துக்காட்டாக ஒருவர் மூன்று-உறுப்பு சங்கிலியைக் குறிக்க முயற்சிக்கும்போது. நடைமுறையில் இது அதிக சிக்கலை ஏற்படுத்தாது, மேலும் பின்வரும் முடிவுகளை நிரூபிக்க உதவுகிறது. தேற்றம். கார்டினாலிட்டியின் ஒவ்வொரு விநியோகமும் (0)-சமச்சீர் அதிகபட்சம் α1 இல் (1) காங்க் எல் க்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும், சில உள்ளூரில் வரையறுக்கப்பட்ட, ஒப்பீட்டளவில் பூர்த்தி செய்யப்பட்ட மாடுலர் லட்டிஸ் எல் (டூமா 1998 மற்றும் கிராட்சர், லாக்ஸர் மற்றும் வெஹ்ருங் 2000). (2) வான் நியூமன் வழக்கமான வளையத்தின் (வெஹ்ருங் 2000) சில (யூனிடல் அவசியமில்லை) இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட இரு பக்க இலட்சியங்களின் அரைகுறை. (3) காங்க் எல், சில பிரிவுகளாக நிரம்பிய மாடுலர் லட்டிஸ் எல் (வெஹ்ரங் 2000). (4) உள்ளூரில் வரையறுக்கப்பட்ட சில குழுக்களின் (ருஜிச்கா, துமா மற்றும் வெஹ்ரங் 2007) இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட இயல்பான துணைக்குழுக்களின் அரைகுறை. (5) ஒரு (பரிமாற்றமற்ற) வளையத்தின் மீது சில வலது தொகுதியின் துணை தொகுதி லட்டிஸ் (ரூஜிகா, டூமா மற்றும் வெஹ்ருங் 2007). வான் நியூமன் வழக்கமான வளையங்களின் லட்டிஸ்களின் ஒற்றுமை லட்டிஸ்கள் மற்றும் நிலையான K-கோட்பாடு ஒரு (யூனிடல், அசோசியேட்டிவ்) வளையம் R க்கு, V (R) ஆல் வரையறுக்கப்பட்ட ப்ரொஜெக்டிவ் வலது R-தொகுதிகளின் ஐசோமார்பிசம் வகுப்புகளின் (கூம்பு, பரிமாற்ற) மோனாய்டைக் குறிக்கிறோம் என்பதை நாம் நினைவில் கொள்கிறோம், மேலும் விவரங்களுக்கு இங்கே பார்க்கவும். R என்பது வான் நியூமன் வழக்கமானதாக இருந்தால், V (R) ஒரு சுத்திகரிப்பு மோனாய்டு என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள். ஒரு வான் நியூமன் வழக்கமான வளையம் R இன் அனைத்து முதன்மை வலது இலட்சியங்களின் ஜாலத்தையும் L (R) ஆல் குறிக்கிறோம். L (R) என்பது ஒரு நிரம்பிய மட்டு ஜாலம் என்பது அனைவரும் அறிந்ததே. பின்வரும் முடிவை வெஹ்ரங் கவனித்தார், இது முக்கியமாக ஜான்சன் மற்றும் குடெர்ல் ஆகியோரின் முந்தைய படைப்புகளை அடிப்படையாகக் கொண்டது. தேற்றம் (வெஹ்ரங் 1999). R ஒரு வான் நியூமன் வழக்கமான வளையமாக இருக்கட்டும். பின்னர் (0,0)-சமச்சீர் ஐடிசி ஆர் மற்றும் காங்க் எல் (ஆர்) இரண்டும் வி (ஆர்) இன் அதிகபட்ச அரைச்சீர் விகிதத்திற்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும். 1986 முதல் நன்கு அறியப்பட்ட வெளியிடப்படாத குறிப்பில் பெர்க்மேன் நிரூபிக்கிறார், எந்தவொரு கணக்கிடக்கூடிய விநியோகமும் (, 0)-சமச்சீர் ஐடிசி ஆர் க்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும், சில உள்ளூரில் மெட்ரிக்கல் வளையம் ஆர் (எந்த புலத்திலும்). இந்த முடிவு 2000 ஆம் ஆண்டில் வெஹ்ரங்கால் அதிகபட்சமாக ஏ 1 இல் கார்டினாலிட்டியின் அரைக்கோளங்களுக்கு நீட்டிக்கப்படுகிறது, ஆர் இன் ஒழுங்குமுறையை மட்டுமே வைத்திருப்பதன் மூலம் (ஆதாரத்தால் கட்டப்பட்ட வளையம் உள்ளூரில் மெட்ரிக்கல் அல்ல). ஏ1 வழக்கில் ஆர்-ஐ உள்ளூரில் மெட்ரிக்கலாக எடுத்துக் கொள்ள முடியுமா என்ற கேள்வி 2004 ஆம் ஆண்டில் வெஹ்ரங்கால் நிராகரிக்கப்படும் வரை சிறிது காலம் திறந்திருந்தது. மேலே உள்ள தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி லட்டீஸ் உலகிற்கு மீண்டும் மொழிபெயர்த்தல் மற்றும் 1998 இல் வெஹ்ரங்கால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட பரிமாண மோனாய்டு என்று அழைக்கப்படும் வி (ஆர்) கட்டுமானத்தின் லட்டீஸ்-கோட்பாட்டு அனலாக்கைப் பயன்படுத்தி பின்வரும் முடிவை அளிக்கிறது. தேற்றம் (வெஹ்ரங் 2004). கார்டினாலிட்டி α1 இன் ஒரு டிஸ்ட்ரிபியூட்டிவ் (, 0,1)-சமச்சீர் உள்ளது, இது காங்க் எல் க்கு ஐசோமார்பிக் அல்ல, எந்தவொரு மாடுலர் லட்டிஸுக்கும் எல் வரையறுக்கப்பட்ட நீளத்தைக் கொண்ட ஒவ்வொரு இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட சப்-லட்டிஸுக்கும். சிக்கல் 3 (குடெர்ல் 1991). வரிசை-அலகு ஐசோமார்பிக் கொண்ட எந்தவொரு பரிமாணக் குழுவின் நேர்மறை கூம்பு V (R) க்கு, சில வான் நியூமன் வழக்கமான வளையம் R க்கு? குரடோவ்ஸ்கியின் ஃப்ரீ செட் தேற்றத்தின் முதல் பயன்பாடு மேற்கூறிய சிக்கல் 1 (ஷ்மிட்), சிக்கல் 2 (டோபர்டின்) மற்றும் சிக்கல் 3 (குடெர்ல்) ஆகியவை 1998 இல் எதிர்மறையாக ஒரே நேரத்தில் தீர்க்கப்பட்டன. தேற்றம் (வெஹ்ரங் 1998). வரிசை-அலகு கொண்ட பகுத்தறிவுகளின் மீது ஒரு பரிமாண திசையன் இடைவெளி G உள்ளது, அதன் நேர்மறை கூம்பு G + V (R) க்கு ஐசோமார்பிக் அல்ல, எந்த வான் நியூமன் வழக்கமான வளையம் R க்கும், மற்றும் டோபர்டினின் அர்த்தத்தில் அளவிட முடியாது. மேலும், G + இன் அதிகபட்ச அரைகுறை அளவு ஷ்மிட்டின் நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்யவில்லை. மேலும், α2 ஐ விட அதிகமாகவோ அல்லது சமமாகவோ கொடுக்கப்பட்ட எந்தவொரு கார்டினாலிட்டியிலிருந்தும் G ஐ எடுக்கலாம். ஷ்மிட், ஹுன், டோபர்டின், குடெர்ல் மற்றும் ஹேண்டல்மேன் ஆகியோரின் முன்னர் குறிப்பிடப்பட்ட படைப்புகளிலிருந்து மேலே உள்ள மூன்று எதிர்மறை முடிவுகளிலும் α2 பிணைப்பு உகந்ததாக உள்ளது. α2 பிணைப்பு குறிப்பிடுவது போல, எல்லையற்ற ஒருங்கிணைப்புகள் இதில் அடங்கும். பயன்படுத்தப்படும் கொள்கை குரடோவ்ஸ்கியின் இலவச தொகுப்பு தேற்றம் ஆகும், இது முதன்முதலில் 1951 இல் வெளியிடப்பட்டது. n = 2 என்ற வழக்கு மட்டுமே இங்கு பயன்படுத்தப்படுகிறது. மேலே உள்ள முடிவின் அரைகுறை பகுதி ஒரு எல்லையற்ற அரைகுறை-கோட்பாட்டு அறிக்கை யுஆர்பி (சீரான சுத்திகரிப்பு சொத்து) மூலம் அடையப்படுகிறது. ஷ்மிட்டின் சிக்கலை நாம் நிரூபிக்க விரும்பினால், யோசனை என்னவென்றால் (1) எந்தவொரு பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட பூலியன் செமிலட்டிஸ் யுஆர்பியை திருப்திப்படுத்துகிறது என்பதை நிரூபிப்பது (இது எளிதானது), (2) யுஆர்பி ஒரு பலவீனமான விநியோக ஹோமோமார்பிசத்தின் கீழ் ஹோமோமார்பிக் இமேஜின் கீழ் பாதுகாக்கப்படுகிறது (இதுவும் எளிதானது), மற்றும் (3) யுஆர்பியை திருப்திப்படுத்தாத கார்டினாலிட்டி α2 இன் ஒரு விநியோகம் உள்ளது (இது கடினம், மற்றும் குரடோவ்ஸ்கியின் ஃப்ரீ செட் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துகிறது). திட்டவட்டமாக, மேலே உள்ள தேற்றத்தின் கட்டமைப்பை பின்வருமாறு விவரிக்கலாம். ஒரு தொகுப்பைப் பொறுத்தவரை, ஜெனரேட்டர்கள் 1 ஆல் வரையறுக்கப்பட்ட ஓரளவு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட திசையன் இடைவெளி E (ω) மற்றும் i, x, i <2 மற்றும் x க்கு ω இல், மற்றும் உறவுகள் a0, x + a1, x = 1, a0, x ω0, மற்றும் a1, x ω0, ω இல் உள்ள எந்த x க்கும். பரிமாணக் குழுக்களின் கோட்பாட்டின் ஸ்கோலெமைசேஷனைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், E (ω) ஐ ஒரு பரிமாண திசையன் இடைவெளி F (ω) இல் செயல்பாட்டு ரீதியாக உட்பொதிக்க முடியும். மேலே உள்ள தேற்றத்தின் திசையன் இடைவெளி எதிர் எடுத்துக்காட்டு G = F (ω) ஆகும், குறைந்தபட்சம் α2 உறுப்புகளுடன் எந்த தொகுப்புக்கும். இந்த எதிர் உதாரணம் பின்னர் ப்ளோசிகா மற்றும் டூமாவால் நேரடி அரைகுறை கட்டுமானத்திற்கு மாற்றியமைக்கப்பட்டுள்ளது. c = t (a, b, c), c = t (a, b, a, c) மற்றும் t (a, b, c) ≤ a என்ற ஒரே உறவுகளுக்கு உட்பட்டு, a இல் உள்ள a, b, c க்கு, புதிய கூறுகளான t (a, b, c) ஆல் சுதந்திரமாக உருவாக்கப்படும் (a, b, c)-சமச்சீர் R (S) ஆகும். இறுதியாக, G (ω) = D (L (ω)) ஐ வைக்கவும். பெரும்பாலான தொடர்புடைய பணிகளில், பின்வரும் சீரான சுத்திகரிப்பு பண்பு பயன்படுத்தப்படுகிறது. இது 1998 மற்றும் 1999 ஆம் ஆண்டுகளில் வெஹ்ருங் அறிமுகப்படுத்திய ஒரு மாற்றமாகும். வரையறை (ப்லோஸ்சிகா, டூமா மற்றும் வெஹ்ரங் 1998). அனைத்து குடும்பங்களுக்கும் மற்றும் S இல் உள்ள உறுப்புகளுக்கும், அதாவது i இல் உள்ள அனைத்து i க்கும்<unk> =e<unk> என்றால், S இன் உறுப்புகளின் குடும்பம் உள்ளது, அதாவது உறவுகள்; ci, j ≤<unk>, bj, ≤ ci, j ≤ aj ≤ b = e, ≤ ci, k ≤ ci, j ≤ cj, k I இல் உள்ள i, j, k அனைத்திற்கும் வைத்திருக்கும். பரிமாண திசையன் இடைவெளிகள் குறித்த வெஹ்ருங்கின் மேற்கூறிய பணியை உருவாக்குவதன் மூலம், ப்ளோசிகா மற்றும் டூமாவும் WURP G (ω) இல் இல்லை என்பதை நிரூபித்தனர், குறைந்தபட்சம் α2 என்ற கார்டினாலிட்டியின் எந்த செட்டுக்கும். எனவே G (ω) ஷ்மிட்டின் நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்யவில்லை. இங்கே குறிப்பிடப்பட்டுள்ள அனைத்து எதிர்மறை பிரதிநிதித்துவ முடிவுகளும் எப்போதும் பரிமாண திசையன் இடைவெளிகள் பற்றிய முதல் ஒன்று உட்பட சில சீரான சுத்திகரிப்பு பண்புகளைப் பயன்படுத்துகின்றன. இருப்பினும், இந்த எதிர்மறை முடிவுகளில் பயன்படுத்தப்படும் அரைகுறைகள் ஒப்பீட்டளவில் சிக்கலானவை. பின்வரும் முடிவு, 1998 இல் ப்லோஸ்சிகா, டூமா மற்றும் வெஹ்ரங் ஆகியோரால் நிரூபிக்கப்பட்டது, இது மிகவும் வியக்கத்தக்கது, ஏனெனில் இது ஷ்மிட்டின் நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்யாத பிரதிநிதித்துவ செமிலட்டிஸ்களின் எடுத்துக்காட்டுகளைக் காட்டுகிறது. எந்த வகையான V லட்டிஸ்களுக்கும், V இல் ω இல் உள்ள இலவச லட்டிஸை FV (ω) ஆல் குறிக்கிறோம். தேற்றம் (ப்லோஸ்சிகா, டூமா மற்றும் வெஹ்ருங் 1998). கார்டினாலிட்டியின் எந்த செட் ω க்கும் குறைந்தபட்சம் α2 மற்றும் லாட்டிஸின் எந்த விநியோகிக்கப்படாத வகை V க்கும், செமிலட்டிஸ் காங்க் FV (ω) WURP ஐ திருப்திப்படுத்தாது. இதன் விளைவாக, காங்க் எஃப். வி (ω) ஷ்மிட்டின் நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்யவில்லை. 2001 ஆம் ஆண்டில் டுமா மற்றும் வெஹ்ரங் ஆகியோரால் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது, கான்கிரீட் FV (ω) கான்கிரீட் L க்கு ஐசோமார்பிக் அல்ல, எந்த லட்டிஸ் L க்கும் வரிசைப்படுத்தக்கூடிய ஒற்றுமைகள் உள்ளன. டபிள்யூ. யு. ஆர். பி. யின் சற்று பலவீனமடைவதைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், இந்த முடிவு 2007 ஆம் ஆண்டில் ரூசிக்கா, டூமா மற்றும் வெஹ்ருங் ஆகியோரால் வரிசைப்படுத்தக்கூடிய ஒற்றுமைகளுடன் தன்னிச்சையான ஆல்ஜிப்ராக்களுக்கு நீட்டிக்கப்படுகிறது. எனவே, எடுத்துக்காட்டாக, ω குறைந்தபட்சம் α2 உறுப்புகளைக் கொண்டிருந்தால், எந்தக் குழுவின் இயல்பான துணைக்குழு லட்டிஸுக்கும் அல்லது எந்த தொகுதியின் துணை தொகுதி லட்டிஸுக்கும் காங்க் எஃப். வி (ω) ஐசோமார்பிக் அல்ல. CLP ஐ தீர்ப்பதுஃ அரிப்பு லெம்மா பின்வரும் சமீபத்திய தேற்றம் CLP ஐ தீர்க்கிறது. தேற்றம் (வெஹ்ரங் 2007). செமிலட்டிஸ் G (ω) எந்த லட்டிஸ் L க்கும் காங்க் L க்கு ஐசோமார்பிக் அல்ல, செட் ω குறைந்தபட்சம் αω + 1 உறுப்புகளைக் கொண்டிருக்கும் போதெல்லாம். எனவே, சிஎல்பிக்கு எதிர் உதாரணம் கிட்டத்தட்ட பத்து ஆண்டுகளாக அறியப்பட்டது, அது ஏன் வேலை செய்தது என்று யாருக்கும் தெரியாது! மேலே உள்ள தேற்றத்திற்கு முந்தைய அனைத்து முடிவுகளும் ஒற்றுமைகளின் வரிசைமாற்றத்தின் ஒரு வடிவத்தைப் பயன்படுத்தின. இணக்கமற்ற-பெர்மட்டபிள் லட்டிஸின் இணக்கமான லட்டிஸ்களில் போதுமான கட்டமைப்பைக் கண்டுபிடிப்பதே சிரமம். இயற்கையான எண்களில் உள்ள 'பேரிட்டி செயல்பாட்டை' ε ஆல் குறிக்கலாம், அதாவது, ε (n) = n மட்டு 2, எந்தவொரு இயற்கையான எண்ணுக்கும் n. அனைத்து முதன்மை ஒற்றுமைகளாலும் உருவாக்கப்படும் கான்கிரீட் L இன் (ஷ்ண, 0)-சப்ஸெமிலட்டிஸ் ஐ (u, v) (= u மற்றும் v ஐ அடையாளம் காணும் L இன் குறைந்தபட்ச ஒற்றுமை), இங்கு (u, v) என்பது U × U க்கு சொந்தமானது. L. br/> அரிப்பு லெம்மாவில் (வெஹ்ருங் 2007) அனைத்து u, v க்கும் θ + (u, v) = θ ஐ வைக்கிறோம். எல் இல் x0, x1 மற்றும் ஒரு நேர்மறை முழு எண் n க்கு, எல் உடன் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட துணைக்குழுவாக இருக்கட்டும். பின்னர், j <2 க்கு ஒற்றுமைகள் உள்ளன, அதாவது (கணித தர்க்கத்தில் முதல் வரிசை தீர்மானத்துடன் மங்கலான முறையான ஒற்றுமையைக் கவனியுங்கள். இந்த ஒப்புமையை மேலும் முன்னெடுத்துச் செல்ல முடியுமா?) மேலே உள்ள தேற்றத்தின் ஆதாரம் செமிலட்டிஸ்களின் ஒற்றுமை லட்டிஸ்களுக்கான ஒரு கட்டமைப்பு தேற்றத்தை அமைப்பதன் மூலம் இயங்குகிறது-அதாவது, அரிப்பு லெம்மா, இலவச விநியோக நீட்டிப்புகளுக்கான கட்டமைப்பு அல்லாத கோட்பாடுகளுக்கு எதிராக ஜி (ω), முக்கியமானது ஆவியாதல் லெம்மா என்று அழைக்கப்படுகிறது. பிந்தையவை தொழில்நுட்ப ரீதியாக கடினமானவை என்றாலும், அவை ஏதோ ஒரு வகையில் கணிக்கக்கூடியவை. இதற்கு நேர்மாறாக, அரிப்பு லெம்மாவின் ஆதாரம் அடிப்படை மற்றும் எளிதானது, எனவே அதன் அறிக்கையின் விசித்திரமான தன்மையே அது இவ்வளவு காலமாக மறைக்கப்பட்டுள்ளது என்பதை விளக்குகிறது. மேலும், உண்மையில், மேலே உள்ள தேற்றத்தில் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளதுஃ அலகுடன் இணை-சமச்சீரின் ஒற்றுமை-இணக்கமான கட்டமைப்பைக் கொண்ட எந்தவொரு இயற்கணிதத்திற்கும் L க்கும், குறைந்தபட்சம் αω + 1 உறுப்புகளுடன் கூடிய எந்தவொரு தொகுப்புக்கும், பலவீனமான விநியோக ஒத்தமைவு இல்லை. குறிப்பாக, சிஎல்பி என்பது லட்டீஸ் கோட்பாட்டின் சிக்கல் அல்ல, மாறாக உலகளாவிய இயற்கணிதத்தின் சிக்கல்-இன்னும் குறிப்பாக, செமிலட்டீஸ் கோட்பாடு! இந்த முடிவுகளை ஒரு சீரான சுத்திகரிப்பு சொத்தின் அடிப்படையில் மொழிபெயர்க்கலாம், இது வெஹ்ருங்கின் காகிதத்தில் CLR ஆல் குறிக்கப்படுகிறது, இது CLP இன் தீர்வை வழங்குகிறது, இது WURP ஐ விட மிகவும் சிக்கலானது. இறுதியாக, கார்டினாலிட்டி பிணைப்பு αω + 1 உகந்த பிணைப்பு α2 க்கு ரூசிக்காவால் மேம்படுத்தப்பட்டுள்ளது. தேற்றம் (2008). செமிலட்டிஸ் G (ω) எந்த லட்டிஸ் L க்கும் காங்க் L க்கு ஐசோமார்பிக் அல்ல, செட் ω குறைந்தபட்சம் α2 உறுப்புகளைக் கொண்டிருக்கும் போதெல்லாம். ருஸிக்காவின் ஆதாரம் வெஹ்ருங்கின் ஆதாரத்தின் முக்கிய வரிகளைப் பின்பற்றுகிறது, தவிர இது குரடோவ்ஸ்கியின் ஃப்ரீ செட் தேற்றத்தின் மேம்பாட்டை அறிமுகப்படுத்துகிறது, இது ஃப்ரீ மரங்களின் இருப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது, இது அரிப்பு லெம்மா சம்பந்தப்பட்ட இறுதி வாதத்தில் பயன்படுத்தப்படுகிறது. சிஎல்பி-க்கான எதிர்மறைத் தீர்வின் ஆதாரம், விநியோக செமிலட்டிஸ்களின் சுருக்கமான ஒற்றுமைகளால் விநியோக செமிலட்டிஸ்களைக் குறிக்கும் சிக்கல் ஏற்கனவே செமிலட்டிஸ்களின் ஒற்றுமைக்குத் தோன்றுகிறது என்பதைக் காட்டுகிறது. ஓரளவு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட தொகுப்பின் அமைப்பு இதே போன்ற சிக்கல்களை ஏற்படுத்துமா என்ற கேள்விக்கு பின்வரும் முடிவு பதிலளிக்கிறது. தேற்றம் (வெஹ்ரங் 2008). (1) x ≤ y என்பது, p இல் உள்ள x, y அனைத்திற்கும், (2) μ (x, z) ≤ μ (x, y) ≤ μ (y, z), P இல் உள்ள x, y, z அனைத்திற்கும், (3) P இல் உள்ள அனைத்து x ≤ y க்கும் மற்றும் S இல் உள்ள அனைத்து α, β க்கும், ஒரு நேர்மறை உள்ளீடு உள்ளது. (4) P இல் x க்கு, μ (x, 0) வடிவத்தின் அனைத்து உறுப்புகளாலும் S ஒரு இணை-சமச்சீராக உருவாக்கப்படுகிறது. மேலும், S ஒரு பெரிய உறுப்பைக் கொண்டிருந்தால், P ஐ மிகப்பெரிய உறுப்பைக் கொண்ட ஒரு லட்டிஸாக கருதலாம். மேலே உள்ள நிபந்தனைகள் (1)-(4) S இன் விநியோகத்தை குறிக்கின்றன என்பதை சரிபார்ப்பது கடினம் அல்ல, எனவே மேலே உள்ள முடிவு (0,0)-சமச்சீர் வகைகளுக்கான விநியோகத்தின் தன்மையை வழங்குகிறது. குறிப்புகள் லாட்டிஸ் கோட்பாடு கணித சிக்கல்கள்