Numerical continuation
எண் தொடர்ச்சி என்பது அளவுரு அல்லாத நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் தோராயமான தீர்வுகளைக் கணக்கிடும் ஒரு முறையாகும், அளவுரு பொதுவாக ஒரு உண்மையான அளவிடுதல் மற்றும் தீர்வு ஒரு n-வெக்டர் ஆகும். ஒரு நிலையான அளவுரு மதிப்புக்கு, யூக்ளிடியன் n-இடத்தை தனக்குள்ளே வரைபடமாக்குகிறது. பெரும்பாலும் அசல் வரைபடம் ஒரு பானாச் இடத்திலிருந்து தனக்குள்ளேயே இருக்கும், மேலும் யூக்ளிடியன் n-இடம் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண பானாச் இடமாகும். ஒரு அளவுரு செய்யப்பட்ட ஓட்டங்கள் அல்லது வரைபடங்களின் குடும்பத்தின் நிலையான நிலை அல்லது நிலையான புள்ளி இந்த வடிவத்தில் உள்ளன, மேலும் ஒரு ஓட்டத்தின் பாதைகளை வேறுபடுத்துவதன் மூலமோ அல்லது ஒரு வரைபடத்தை மீண்டும் செய்வதன் மூலமோ, குறிப்பிட்ட சுற்றுப்பாதைகள் மற்றும் ஹெட்ரோக்ளினிக் சுற்றுப்பாதைகளையும் ஒரு தீர்வாக முன்வைக்க முடியும். பிற வடிவங்கள் சில நேரியல் அல்லாத அமைப்புகளில், அளவுருக்கள் வெளிப்படையானவை. மற்றவற்றில் அவை மறைமுகமானவை, மேலும் நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளின் அமைப்பு ஒரு n-திசையன் இருக்கும் இடத்தில் எழுதப்படுகிறது, அதன் படம் ஒரு n-1 திசையன் ஆகும். ஒரு வெளிப்படையான அளவுரு இடைவெளி இல்லாமல் இந்த சூத்திரம் பொதுவாக பின்வரும் பிரிவுகளில் உள்ள சூத்திரங்களுக்கு ஏற்றது அல்ல, ஏனெனில் அவை வடிவத்தின் அளவுருப்படுத்தப்பட்ட தன்னாட்சி அல்லாத நேரியல் இயக்கவியல் அமைப்புகளைக் குறிக்கின்றனஃ இருப்பினும், ஒரு இயற்கணித அமைப்பில் அறியப்படாதவற்றுக்கும் அளவுருக்களுக்கும் இடையே வேறுபாடு இல்லை. காலமுறை இயக்கங்கள் என்பது கட்ட இடைவெளியில் ஒரு மூடிய வளைவு ஆகும். அதாவது, சில காலத்திற்கு, ஒரு குறிப்பிட்ட இயக்கத்தின் பாடப்புத்தக எடுத்துக்காட்டு தடையற்ற ஊசல் ஆகும். கட்ட இடைவெளி ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட ஆயத்தொகுதிகளில் குறிப்பிட்ட கால இடைவெளியில் இருந்தால், ஒரு திசையனுடன், ஒவ்வொரு முழு எண்ணுக்கும் வரையறுக்கப்பட்ட இரண்டாவது வகையான கால இயக்கங்கள் உள்ளன. ஒரு குறிப்பிட்ட கால இயக்கத்திற்கான மறைமுக அமைப்பை எழுதுவதற்கான முதல் படி, காலத்தை எல்லை நிபந்தனைகளிலிருந்து ODE க்கு நகர்த்துவதாகும்ஃ இரண்டாவது படி ஒரு கூடுதல் சமன்பாட்டைச் சேர்ப்பதாகும், இது ஒரு கட்டக் கட்டுப்பாடு, இது காலத்தை தீர்மானிப்பதாக கருதப்படலாம். மேற்கண்ட எல்லை மதிப்பு சிக்கலின் எந்தவொரு தீர்வையும் நேரத்திற்குள் ஒரு தன்னிச்சையான தொகையால் மாற்ற முடியும் என்பதால் இது அவசியம் (வரையறுக்கும் சமன்பாடுகளில் நேரம் தோன்றாது-இயக்கவியல் அமைப்பு தன்னாட்சி என்று அழைக்கப்படுகிறது). கட்டக் கட்டுப்பாட்டுக்கு பல தேர்வுகள் உள்ளன. அருகிலுள்ள ஒரு அளவுரு மதிப்பில் அறியப்பட்ட காலமுறை சுற்றுப்பாதையாக இருந்தால், பாயின்கேர் பயன்படுத்தப்படுகிறது, இது மூடிய வளைவின் தொடுகோட்டு திசையனுக்கு ஆர்த்தோகனல் ஆகும். இந்த தளம் பாயின்கேர் பிரிவு என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு பொதுவான சிக்கலுக்கு ஒரு சிறந்த கட்டக் கட்டுப்பாடு என்பது யூஸிபியஸ் டோடெல் அறிமுகப்படுத்திய ஒரு ஒருங்கிணைந்த தடையாகும், இது அறியப்பட்ட மற்றும் அறியப்படாத சுற்றுப்பாதைகளுக்கு இடையிலான தூரத்தைக் குறைக்கும் வகையில் கட்டத்தைத் தேர்ந்தெடுக்கிறதுஃ ஹோமோக்ளினிக் மற்றும் ஹெடெரோக்ளினிக் இயக்கங்கள் வரையறைகள் தீர்வு கூறு நேரியல் அல்லாத அமைப்பின் ஒரு தீர்வு கூறு என்பது புள்ளிகளின் தொகுப்பாகும், அவை பூர்த்தி செய்கின்றன மற்றும் தீர்வுகளின் பாதையால் ஆரம்ப தீர்வுடன் இணைக்கப்பட்டுள்ளன. எண் தொடர்ச்சி என்பது ஒரு வழிமுறை ஆகும், இது அளவுரு அல்லாத நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பு மற்றும் ஒரு ஆரம்ப தீர்வை உள்ளீடாக எடுத்து, தீர்வு கூறுகளில் புள்ளிகளின் தொகுப்பை உருவாக்குகிறது. வழக்கமான புள்ளி என்பது ஜாகோபியன் முழு தரவரிசையில் இருக்கும் ஒரு புள்ளியாகும். ஒரு வழக்கமான புள்ளிக்கு அருகில் தீர்வு கூறு என்பது வழக்கமான புள்ளியின் (மறைமுக செயல்பாட்டு தேற்றம்) வழியாக செல்லும் ஒரு தனிமைப்படுத்தப்பட்ட வளைவு ஆகும். புள்ளிக்கு மேலே உள்ள படத்தில் ஒரு வழக்கமான புள்ளி உள்ளது. ஒற்றைப் புள்ளி என்பது F இன் ஜாகோபியன் முழு தரவரிசையில் இல்லாத ஒரு புள்ளியாகும். ஒரு ஒற்றைப் புள்ளிக்கு அருகில் உள்ள கரைசல் கூறு வழக்கமான புள்ளியின் வழியாகச் செல்லும் தனிமைப்படுத்தப்பட்ட வளைவாக இருக்காது. உள்ளூர் அமைப்பு உயர் வழித்தோன்றல்களால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. இரண்டு நீல வளைவுகள் கடக்கும் புள்ளிக்கு மேலே உள்ள படத்தில் ஒரு ஒற்றைப் புள்ளி உள்ளது. பொதுவாக கரைசலில் உட்பொருள்கள் கிளை வளைவுகளாக உள்ளன. கிளை புள்ளிகள் ஒற்றை புள்ளிகள் ஆகும். ஒரு ஒற்றைப் புள்ளியை விட்டு வெளியேறும் தீர்வு வளைவுகளைக் கண்டுபிடிப்பது கிளை மாறுதல் என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் பிளவுபடுத்தல் கோட்பாட்டின் (ஒருமைக் கோட்பாடு, பேரழிவு கோட்பாடு) நுட்பங்களைப் பயன்படுத்துகிறது. வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண அமைப்புகளுக்கு (மேலே வரையறுக்கப்பட்டுள்ளபடி) லியாபுனோவ்-ஷ்மிட் சிதைவு என்பது உட்புகும் செயல்பாட்டு தேற்றம் பொருந்தும் இரண்டு அமைப்புகளை உருவாக்க பயன்படுத்தப்படலாம். லியாபுனோவ்-ஷ்மிட் சிதைவு ஜாகோபியன் மற்றும் ஜாகோபியன் வரம்பின் பூஜ்ய இடத்தின் நிரப்பு வரை அமைப்பின் கட்டுப்பாட்டைப் பயன்படுத்துகிறது. மேட்ரிக்ஸின் நெடுவரிசைகள் பூஜ்ய இடத்திற்கான ஒரு ஆர்த்தோனார்மல் அடிப்படையாகவும், மேட்ரிக்ஸின் நெடுவரிசைகள் இடது பூஜ்ய இடத்திற்கான ஆர்த்தோனார்மல் அடிப்படையாகவும் இருந்தால், பூஜ்ய இடத்தின் நிரப்பு எங்கே என்பதை அமைப்பை மீண்டும் எழுதலாம். முதல் சமன்பாட்டில், இது ஜேகோபியன் () இன் பூஜ்ய இடத்தால் அளவுருவாக உள்ளது, அதைப் பொறுத்தவரை ஜேகோபியன் ஒற்றை அல்லாதது. எனவே மறைமுக செயல்பாட்டு தேற்றம் மற்றும் போன்ற ஒரு வரைபடம் உள்ளது என்று கூறுகிறது. இரண்டாவது சமன்பாடு (மாற்றாக) பிளவுபடுத்தல் சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது (இது சமன்பாடுகளின் அமைப்பாக இருக்கலாம் என்றாலும்). இருப்பு சமன்பாடு ஒரு டெய்லர் விரிவாக்கத்தைக் கொண்டுள்ளது, இதில் நிலையான மற்றும் நேரியல் சொற்கள் இல்லை. அசல் அமைப்பின் ஜாகோபியனின் சமன்பாடுகள் மற்றும் பூஜ்ய இடத்தை அளவிடுவதன் மூலம் ஒற்றை அல்லாத ஜாகோபியனுடன் ஒரு அமைப்பைக் காணலாம். அளவிடப்பட்ட பிளவுபடுத்தல் சமன்பாட்டின் டெய்லர் தொடரில் நிலையான சொல் இயற்கணித பிளவுபடுத்தல் சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் உட்புகும் செயல்பாட்டு தேற்றம் பயன்படுத்தப்பட்ட பிளவுபடுத்தல் சமன்பாடுகள் இயற்கணித பிளவுபடுத்தல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு தனிமைப்படுத்தப்பட்ட தீர்வுக்கும் அசல் சிக்கலின் தீர்வுகளின் ஒரு கிளை உள்ளது என்று கூறுகிறது. மற்றொரு வகை ஒற்றைப் புள்ளி ஒரு திருப்புமுனை பிளவுபடுத்தல் அல்லது சேணம்-முனை பிளவுபடுத்தல் ஆகும், அங்கு வளைவு பின்பற்றப்படும்போது அளவுருவின் திசை தலைகீழாக மாறுகிறது. மேலே உள்ள படத்தில் உள்ள சிவப்பு வளைவு ஒரு திருப்புமுனையை விளக்குகிறது. குறிப்பிட்ட வழிமுறைகள் இயற்கை அளவுரு தொடர்ச்சி சமன்பாடுகளின் நேரியல் அல்லாத அமைப்புகளின் தீர்வின் பெரும்பாலான முறைகள் மறு செய்கை முறைகள் ஆகும். ஒரு குறிப்பிட்ட அளவுரு மதிப்புக்கு ஒரு ஆரம்ப யூகத்திற்கு ஒரு வரைபடம் மீண்டும் மீண்டும் பயன்படுத்தப்படுகிறது. முறை ஒன்றிணைந்து, சீராக இருந்தால், வரம்பில் மறு செய்கை ஒரு தீர்வை அணுகுகிறது. இயற்கையான அளவுரு தொடர்ச்சி என்பது ஒரு அளவுரு சிக்கலுக்கு மறுசெயல் தீர்வின் மிக எளிய தழுவல் ஆகும். ஒரு மதிப்பில் உள்ள தீர்வு இன் தீர்வுக்கான ஆரம்ப யூகமாக பயன்படுத்தப்படுகிறது. போதுமான அளவு சிறியதாக இருப்பதால், ஆரம்ப யூகத்திற்கு பயன்படுத்தப்படும் மறு செய்கை ஒன்றிணைய வேண்டும். இயற்கை அளவுரு தொடர்ச்சியின் ஒரு நன்மை என்னவென்றால், இது ஒரு கருப்பு பெட்டியாக சிக்கலுக்கான தீர்வு முறையைப் பயன்படுத்துகிறது. தேவையானது என்னவென்றால், ஒரு ஆரம்ப தீர்வு கொடுக்கப்பட வேண்டும் (சில தீர்வுகள் எப்போதும் ஒரு நிலையான ஆரம்ப யூகத்தில் தொடங்க பயன்படுத்தப்படுகின்றன). கருப்பு பெட்டி தீர்வுகளுக்கு மிகவும் அதிநவீன வழிமுறைகளைப் பயன்படுத்துவதில் பெரிய அளவிலான தொடர்ச்சியின் பகுதியில் நிறைய வேலைகள் உள்ளன (எ. கா. லோக்கா). இருப்பினும், இயற்கையான அளவுரு தொடர்ச்சி திருப்புமுனைகளில் தோல்வியடைகிறது, அங்கு தீர்வுகளின் கிளை வட்டமாக மாறுகிறது. எனவே திருப்புமுனைகளில் உள்ள சிக்கல்களுக்கு, போலி-வளைவு நீளம் தொடர்ச்சி போன்ற மிகவும் அதிநவீன முறை பயன்படுத்தப்பட வேண்டும் (கீழே காண்க). எளிமையான அல்லது துண்டு துண்டாக நேரியல் தொடர்ச்சி எளிமையான தொடர்ச்சி அல்லது துண்டு துண்டாக நேரியல் தொடர்ச்சி (ஆல்ஜவர் மற்றும் ஜார்ஜ்) மூன்று அடிப்படை முடிவுகளை அடிப்படையாகக் கொண்டது. முதலாவது {| வகுப்பு = "விக்கிடபிள்" |-|If F (x) ஐஆர்என்ஐ ஐஆர்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்எ |} இரண்டாவது முடிவுஃ {| வகுப்பு = "விக்கி செய்யக்கூடியது" |-|An (n-1)-பரிமாண சிம்ப்ளக்ஸ் தனித்துவமான நேரியல் இடைக்கணிப்பு சிம்ப்ளக்ஸ் உள்ளே 0 மதிப்பை எடுத்துக்கொள்கிறதா என்பதை தீர்மானிக்க சோதிக்கப்படலாம். |} விவரங்களுக்கு துண்டுப்பிரதியாக நேரியல் தொடர்ச்சி பற்றிய கட்டுரையைப் பார்க்கவும். இந்த இரண்டு செயல்பாடுகளுடனும் இந்த தொடர்ச்சியான வழிமுறை கூற எளிதானது (நிச்சயமாக ஒரு திறமையான செயல்படுத்தலுக்கு மிகவும் அதிநவீன அணுகுமுறை தேவைப்படுகிறது. [B1] ஐப் பார்க்கவும். ஒரு ஆரம்ப சிம்ப்ளக்ஸ் கொடுக்கப்பட்டதாக கருதப்படுகிறது, ஒரு குறிப்பு எளிய சிதைவு இருந்து. ஆரம்ப சிம்ப்ளக்ஸ் குறைந்தபட்சம் ஒரு முகத்தையாவது கொண்டிருக்க வேண்டும், அதில் அந்த முகத்தின் தனித்துவமான நேரியல் இடைக்கணிப்பின் பூஜ்ஜியம் இருக்க வேண்டும். சிம்ப்ளக்ஸின் மற்ற முகங்கள் பின்னர் சோதிக்கப்படும், மேலும் பொதுவாக உட்புற பூஜ்ஜியத்துடன் ஒரு கூடுதல் முகம் இருக்கும். ஆரம்ப சிம்ப்ளக்ஸ் பின்னர் சிம்ப்ளக்ஸ் மூலம் மாற்றப்படுகிறது, இது பூஜ்ஜியத்தைக் கொண்ட இரு முகங்களிலும் உள்ளது, மேலும் செயல்முறை மீண்டும் செய்யப்படுகிறது. குறிப்புகள்ஃ ஆல்ஜவர் மற்றும் ஜார்ஜ் [பி 1] அல்கோடிஹம் பற்றிய தெளிவான, தெளிவான விளக்கத்தை வழங்குகிறார்கள். போலி-வளைவு நீளம் தொடர்ச்சி இந்த முறை ஒரு வளைவின் "சிறந்த" அளவுரு என்பது வளைவு நீளம் என்ற அவதானிப்பை அடிப்படையாகக் கொண்டது. போலி-வளைவு நீளம் என்பது வளைவின் தொடுகோடு இடத்தில் உள்ள வளைவு நீளத்தின் தோராயமாகும். இதன் விளைவாக மாற்றியமைக்கப்பட்ட இயற்கையான தொடர்ச்சியான முறை போலி-வளைவு நீளத்தில் (மாறாக) ஒரு படியை உருவாக்குகிறது. கொடுக்கப்பட்ட போலி-வளைவு நீளத்தில் ஒரு புள்ளியைக் கண்டுபிடிக்க மறு செய்கை தீர்வு தேவைப்படுகிறது, இதற்கு n க்கு n + 1 ஜாகோபியன் மூலம் கூடுதல் தடையை (போலி-வளைவு நீள கட்டுப்பாடு) சேர்க்க வேண்டும். இது ஒரு சதுர ஜாகோபியனை உருவாக்குகிறது, மேலும் படிகளின் அளவு போதுமான அளவு சிறியதாக இருந்தால் மாற்றியமைக்கப்பட்ட ஜாகோபியன் முழு தரவரிசையாகும். போலி-வளைவு நீளம் தொடர்ச்சி 1960 களின் பிற்பகுதியில் வரையறுக்கப்பட்ட உறுப்பு பயன்பாடுகளுக்காக எட்வர்ட் ரிக்ஸ் மற்றும் ஜெரால்ட் வெம்ப்னர் ஆகியோரால் சுயாதீனமாக உருவாக்கப்பட்டது, மேலும் 1970 களின் முற்பகுதியில் எச். பி. கெல்லர். இந்த ஆரம்பகால முன்னேற்றங்கள் பற்றிய விரிவான விவரம் எம். ஏ. கிறிஸ்ஃபீல்ட் எழுதிய பாடப்புத்தகத்தில் வழங்கப்பட்டுள்ளதுஃ திடப்பொருட்கள் மற்றும் கட்டமைப்புகளின் நேரியல் அல்லாத வரையறுக்கப்படாத உறுப்பு பகுப்பாய்வு, தொகுதி 1: அடிப்படை கருத்துக்கள், வில்லி, 1991. கிறிஸ்ஃபீல்ட் இந்த வகை முறைகளின் மிகவும் சுறுசுறுப்பான டெவலப்பர்களில் ஒருவராக இருந்தார், அவை இப்போது வணிக ரீதியான நேரியல் அல்லாத வரையறுக்கப்பட்ட உறுப்பு நிரல்களின் நிலையான நடைமுறைகளாகும். வழிமுறை என்பது ஒரு முன்கணிப்பு-திருத்தும் முறையாகும். முன்கணிப்பு படி தற்போதைய சுட்டியில் தொடுகோட்டு திசையனுடன் ஒரு படியாக இருக்கும் புள்ளியை (ஐஆர் இல் (என் + 1)) கண்டறிகிறது. திருத்துபவர் பொதுவாக நியூட்டனின் முறையாகும், அல்லது சில மாறுபாடுகள், நேரியல் அல்லாத அமைப்பைத் தீர்க்க, தொடுகோட்டு திசையன் எங்கே உள்ளது. இந்த அமைப்பின் ஜாகோபியன் எல்லை மேட்ரிக்ஸ் வழக்கமான புள்ளிகளில், மாற்றப்படாத ஜாகோபியன் முழு தரவரிசையில் இருக்கும்போது, தொடுகோட்டு திசையன் இந்த புதிய ஜாகோபியனின் மேல் வரிசையின் பூஜ்ய இடத்தை பரப்புகிறது. தொடுகோட்டு திசையனை கடைசி வரிசையாக இணைப்பது நியூட்டன் அமைப்பின் பொதுவான தீர்வில் பூஜ்ய திசையனின் குணகத்தை தீர்மானிப்பதாகக் காணலாம் (குறிப்பிட்ட தீர்வு மற்றும் பூஜ்ய திசையனின் தன்னிச்சையான பெருக்கம்). காஸ்-நியூட்டன் தொடர்ச்சி இந்த முறை போலி-வளைவு நீளம் தொடர்ச்சியின் ஒரு மாறுபாடு ஆகும். ஆர்க்லெங்த் கட்டுப்பாட்டிலுள்ள ஆரம்ப புள்ளியில் தொடுகோட்டைப் பயன்படுத்துவதற்குப் பதிலாக, மின்னோட்டத் தீர்வில் உள்ள தொடுகோட்டு பயன்படுத்தப்படுகிறது. இது நியூட்டனின் முறையில் ஜாகோபியனின் போலி-தலைகீழியைப் பயன்படுத்துவதற்கு சமம், மேலும் நீண்ட படிகளைச் செய்ய அனுமதிக்கிறது. [B17] ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட அளவுருக்களில் தொடர்ச்சி மேலே விவரிக்கப்பட்ட வழிமுறைகளில் உள்ள அளவுரு ஒரு உண்மையான அளவீடு ஆகும். பெரும்பாலான உடல் மற்றும் வடிவமைப்பு சிக்கல்கள் பொதுவாக ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட அளவுருக்களைக் கொண்டுள்ளன. உயர் பரிமாண தொடர்ச்சி என்பது ஒரு கே-வெக்டர் இருக்கும் போது வழக்கைக் குறிக்கிறது. அதே சொற்கள் பொருந்தும். ஒரு வழக்கமான தீர்வு ஜாகோபியன் முழு தரவரிசையில் இருக்கும் ஒரு தீர்வாகும். ஒரு ஒற்றைத் தீர்வு என்பது ஜாகோபியன் முழு தரவரிசையை விட குறைவாக இருக்கும் ஒரு தீர்வாகும். ஒரு வழக்கமான தீர்வு ஒரு கே-பரிமாண மேற்பரப்பில் உள்ளது, இது தொடுகோட்டு இடத்தில் (ஜாகோபியனின் பூஜ்ய இடைவெளி) ஒரு புள்ளியால் அளவிடப்படலாம். இது மீண்டும் மறைமுக செயல்பாட்டு தேற்றத்தின் நேரடியான பயன்பாடாகும். எண்ணியல் தொடர்ச்சி நுட்பங்களின் பயன்பாடுகள் எண்ணியல் தொடர்ச்சி நுட்பங்கள் குழப்பமான இயக்கவியல் அமைப்புகள் மற்றும் பேரழிவு கோட்பாட்டின் சாம்ராஜ்யத்தைச் சேர்ந்த பல்வேறு பிற அமைப்புகளின் ஆய்வில் பெரும் அளவிலான ஏற்றுக்கொள்ளலைக் கண்டறிந்துள்ளன. இத்தகைய பயன்பாட்டிற்கான காரணம் என்னவென்றால், பல்வேறு நேரியல் அல்லாத இயக்கவியல் அமைப்புகள் அமைப்பின் சமன்பாடுகளில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள அளவுருக்களின் வரம்பிற்குள் ஒரு தீர்மானகரமான மற்றும் கணிக்கக்கூடிய முறையில் செயல்படுகின்றன. இருப்பினும், ஒரு குறிப்பிட்ட அளவுரு மதிப்புக்கு அமைப்பு குழப்பமாக நடந்து கொள்ளத் தொடங்குகிறது, எனவே அமைப்பு எப்போது கணிக்க முடியாததாக இருக்கத் தொடங்குகிறது என்பதற்கான நிகழ்வுகளைப் புரிந்துகொள்ளும் பொருட்டு அளவுருவைப் பின்பற்றுவது அவசியமானது, மேலும் சரியாக (கோட்பாட்டளவில்) அமைப்பு நிலையற்றதாக மாறுகிறது. அளவுரு தொடர்ச்சியின் பகுப்பாய்வு நிலையான/முக்கியமான புள்ளி பிளவுகள் பற்றிய கூடுதல் நுண்ணறிவுகளுக்கு வழிவகுக்கும். சேணம்-முனை, டிரான்ஸ்கிரிட்டிகல், பிட்ச்-ஃபோர்க், பீரியட் டிபிளிங், ஹோப்ஃப், செகண்டரி ஹோப்ஃப் (நெய்மார்க்) நிலையான தீர்வுகளின் பிளவுகள் பற்றிய ஆய்வு, முக்கியமான புள்ளிகளில் எழும் சூழ்நிலைகள் மற்றும் நிகழ்வுகள் பற்றிய தத்துவார்த்த விவாதத்திற்கு அனுமதிக்கிறது. அளவுரு தொடர்ச்சி ஒரு இயக்கவியல் அமைப்பை பகுப்பாய்வு செய்ய மிகவும் நம்பகமான அமைப்பை வழங்குகிறது, ஏனெனில் இது அதிக ஊடாடும், நேர-படி எண் தீர்வுகளை விட நிலையானது. குறிப்பாக இயக்கவியல் அமைப்பு சில அளவுரு மதிப்புகளில் (அல்லது பல அளவுருக்களுக்கான மதிப்புகளின் கலவை) வெடிக்கும் வாய்ப்புள்ள சந்தர்ப்பங்களில். நேரியல் அல்லாத பகுதி வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் ஆய்வில் நிலையான தீர்வுகள் (ஈர்ப்பது அல்லது விரட்டுவது) இருப்பது குறித்து இது மிகவும் நுண்ணறிவுடையது, அங்கு கிரான்க் நிக்கோல்சன் வழிமுறை வடிவத்தில் காலடி எடுத்து வைப்பது மிகவும் நேரத்தை எடுத்துக்கொள்கிறது மற்றும் அமைப்பில் சார்ந்த மாறிகளின் நேரியல் அல்லாத வளர்ச்சியின் சந்தர்ப்பங்களில் நிலையற்றது. கொந்தளிப்பைப் பற்றிய ஆய்வு என்பது குறைந்த ரெனால்ட்ஸ் எண்களில் தொடங்கும் ஒரு அமைப்பில் கொந்தளிப்பின் வருகையைப் படிக்க எண் தொடர்ச்சி நுட்பங்கள் பயன்படுத்தப்படும் மற்றொரு துறையாகும். மேலும், இந்த நுட்பங்களைப் பயன்படுத்தும் ஆராய்ச்சி நியூட்டனின் ஈர்ப்பு விசையில் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட மூன்று-உடல் சிக்கலின் விஷயத்தில் நிலையான பன்மடங்கு மற்றும் மாறாத-டோரிக்கு பிளவுபடுத்தல்களைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான வாய்ப்பை வழங்கியுள்ளது, மேலும் லோரென்ஸ் சமன்பாடுகள் போன்ற அமைப்புகளின் நடத்தை குறித்து சுவாரஸ்யமான மற்றும் ஆழமான நுண்ணறிவுகளையும் வழங்கியுள்ளது. மென்பொருள் (கட்டுமானத்தில் உள்ளது) மேலும் காண்க டைனமிகல் சிஸ்டம்ஸ் குறித்த எஸ். ஐ. ஏ. எம் செயல்பாட்டுக் குழு 'பட்டியல் http://www.dynamicalsystems.org/sw/sw ஆட்டோஃ ஒருங்கிணைந்த கட்டுப்பாடுகளுடன் இரண்டு புள்ளி எல்லை மதிப்பு சிக்கல்களின் (டிபிபிவிபி) தீர்வுகளின் கணக்கீடு. https://sourceforge.net/projects/auto-07p சோர்ஸ்ஃபோர்ஜ் இல் கிடைக்கிறது. HOMCONT: ஹோமோக்ளினிக் மற்றும் ஹெட்டோரோக்ளினிக் சுற்றுப்பாதைகளின் கணக்கீடு. தானியங்கி மேட்காண்டில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளதுஃ சோர்ஸ்ஃபோர்ஜ் இல் கிடைக்கும் எண் தொடர்ச்சி மற்றும் பிளவுபடுத்தலுக்கான மேட்லேப் கருவிப்பெட்டி. டிடிஇபிஃப்டூல்ஃ தாமத வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் தீர்வுகளின் கணக்கீடு. ஒரு MATLAB தொகுப்பு. கே. யு. லுவென் பைகாண்டிலிருந்து கிடைக்கிறதுஃ எண் தொடர்ச்சி மற்றும் பிளவுபடுத்தலுக்கான ஒரு பைதான் கருவிப்பெட்டி. நிலையான புள்ளி தொடர்ச்சிக்கான பூர்வீக பைதான் வழிமுறைகள், பிற வகையான சிக்கல்களுக்கு ஆட்டோவுக்கான அதிநவீன இடைமுகம். பைட்ஸ்டூல் கேண்டிஸ்/க்யூஏவின் ஒரு பகுதியாக சேர்க்கப்பட்டுள்ளதுஃ யுனிவர்சிட்டி போட்ஸ்டாம் [ஏ 16] மான்பாக் இலிருந்து கிடைக்கிறதுஃ நெட்லிப் [ஏ 15] பி. டி. டி. இ-கான்ட் இலிருந்து கிடைக்கிறதுஃ http://seis.bris.ac.uk ~ ஆர்எஸ்1909/பி. டி. டி. இ/மல்டிஃபாரியோஃ http://multifario.sourceforge.net லோகாஃ https://trilinos.org/packages/nox-and-loca டிஎஸ்டி டூல் கையோ ஒசில் 8: ஆஸில் 8 என்பது ஒரு மாறும் அமைப்பு கருவியாகும், இது இருமுனை பகுப்பாய்வு நுட்பங்களைப் பயன்படுத்தி நேரியல் அல்லாத ஓ. டி. இ. களின் உயர் பரிமாண அளவுரு இடத்தை ஆராய ஒரு பயனரை அனுமதிக்கிறது. சோர்ஸ்ஃபோர்ஜ் இலிருந்து கிடைக்கிறது. MANLAB: தீர்வின் ஃபோரியர் தொடர் (ஹார்மோனிக் சமநிலை முறை) வளர்ச்சிகள் மற்றும் தீர்வு கிளையின் டெய்லர் தொடர் வளர்ச்சிகள் (அறிகுறியற்ற எண் முறை) ஆகியவற்றைப் பயன்படுத்தி வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் சமநிலை, கால மற்றும் அரை-கால தீர்வுகளின் கணக்கீடு. எல். எம். ஏ மார்சேயில் இருந்து கிடைக்கிறது. BifurcationKit.jl: இந்த ஜூலியா தொகுப்பு பெரிய பரிமாண சமன்பாடுகளான எஃப் (யு, λ) = 0 இன் தானியங்கி பிளவுபடுத்தல் பகுப்பாய்வைச் செய்வதை நோக்கமாகக் கொண்டுள்ளது, அங்கு λ ω ஆர் மறு செய்கை முறைகள், அரிதான உருவாக்கம் மற்றும் குறிப்பிட்ட வன்பொருள்களைப் பயன்படுத்திக் கொள்வதன் மூலம் (எ. கா. ஜிபியு). எடுத்துக்காட்டுகள் இந்த சிக்கல், மூலத்தில் F வரைபடம் செய்யும் புள்ளிகளைக் கண்டுபிடிப்பதில் கணினி கிராபிக்ஸ் வடிவங்களில் விளிம்பு வரைபடங்கள் (n = 2) அல்லது ஐசோ மேற்பரப்பு (n = 3) வரைவதில் உள்ள சிக்கல்களாகத் தோன்றுகிறது. மதிப்பு h கொண்ட விளிம்பு என்பது F-h = 0 குறிப்புகள் புத்தகங்கள் [B1] "எண் தொடர்ச்சியான முறைகளின் அறிமுகம்", யூஜின் எல். ஆல்ஜவர் மற்றும் கர்ட் ஜார்ஜ், பயன்பாட்டு கணிதத்தில் SIAM கிளாசிக்ஸ் 45 இன் அனைத்து தீர்வு கூறுகளின் தொகுப்பாகும். 2003 ஆம் ஆண்டு. [B2] "டைனமிக் ஈக்விலிபிரியாவின் இருபிரிவுகளுக்கான எண் முறைகள்", வில்லி ஜே. எஃப். கோவர்ட்ஸ், SIAM 2000. [B3] "நேரியல் அல்லாத பகுப்பாய்வு மற்றும் பயன்பாடுகளில் லியாபுனோவ்-ஷ்மிட் முறைகள்", நிகோலாய் சிடோரோவ், போரிஸ் லோகினோவ், அலெக்ஸாண்டர் சினிட்சின் மற்றும் மைக்கேல் ஃபாலலீவ், க்ளூவர் அகாடமிக் வெளியீட்டாளர்கள், 2002. [B4] "பிஃபர்கேஷன் கோட்பாட்டின் முறைகள்", சுய்-நீ சோ மற்றும் ஜாக் கே. ஹேல், ஸ்பிரிங்கர்-வெர்லாக் 1982. [B5] "பயன்பாட்டு இருபிரிவு கோட்பாட்டின் கூறுகள்", யூரி ஏ. குனெட்ஸோவ், ஸ்பிரிங்கர்-வெர்லாக் பயன்பாட்டு கணித அறிவியல் 112,1995. [B6] "நான்லீனியர் ஆஸிலேஷன்ஸ், டைனமிகல் சிஸ்டம்ஸ், அண்ட் பைஃபர்கேஷன்ஸ் ஆஃப் வெக்டர் ஃபீல்ட்ஸ்", ஜான் குக்கென்ஹைமர் மற்றும் பிலிப் ஹோம்ஸ், ஸ்பிரிங்கர்-வெர்லாக் அப்ளைடு மேத்தமேட்டிக்கல் சயின்சஸ் 42,1983. [B7] "தொடக்க நிலைத்தன்மை மற்றும் இருபிரிவு கோட்பாடு", ஜெரார்ட் இயோஸ் மற்றும் டேனியல் டி. ஜோசப், ஸ்ப்ரிங்கர்-வெர்லாக் கணிதத்தில் இளங்கலை உரைகள், 1980. [B8] "ஒற்றுமை கோட்பாடு மற்றும் பேரழிவு கோட்பாட்டிற்கான ஒரு அறிமுகம்", யுங்-சென் லு, ஸ்பிரிங்கர்-வெர்லாக், 1976. [B9] "உலகளாவிய இருபிரிவுகள் மற்றும் குழப்பம், பகுப்பாய்வு முறைகள்", எஸ். விக்கின்ஸ், ஸ்பிரிங்கர்-வெர்லாக் பயன்பாட்டு கணித அறிவியல் 73,1988. [B10] "இருபிரிவு கோட்பாட்டில் ஒற்றுமைகள் மற்றும் குழுக்கள், தொகுதி I", மார்ட்டின் கோலுபிட்ஸ்கி மற்றும் டேவிட் ஜி. ஷேஃபர், ஸ்பிரிங்கர்-வெர்லாக் பயன்பாட்டு கணித அறிவியல் 51,1985. [B11] "சிங்குலாரிட்டிஸ் அண்ட் குரூப்ஸ் இன் பைஃபர்கேஷன் தியரி, தொகுதி II", மார்ட்டின் கோலுபிட்ஸ்கி, இயன் ஸ்டீவர்ட் மற்றும் டேவிட் ஜி. ஷேஃபர், ஸ்பிரிங்கர்-வெர்லாக் அப்ளைடு மேத்தமேட்டிக்கல் சயின்சஸ் 69,1988. [B12] "பொறியியல் மற்றும் அறிவியல் சிக்கல்களுக்கான தொடர்ச்சியைப் பயன்படுத்தி பல்லுறுப்புக்கோவை அமைப்புகளைத் தீர்ப்பது", அலெக்சாண்டர் மோர்கன், ப்ரெண்டிஸ்-ஹால், எங்கில்வுட் கிளிஃப்ஸ், என். ஜே. 1987. [B13] "தீர்வுகள், நிலையான புள்ளிகள் மற்றும் சமநிலைக்கான பாதைகள்", சி. பி. கார்சியா மற்றும் டபிள்யூ. ஐ. ஜாங்வில், ப்ரெண்டிஸ்-ஹால், 1981. [B14] "தி இம்ப்லிஸிட் ஃபங்ஷன் தியோரம்ஃ ஹிஸ்டரி, தியரி அண்ட் அப்ளிகேஷன்ஸ்", ஸ்டீவன் ஜி. கிராண்ட்ஸ் மற்றும் ஹரோல்ட் ஆர். பார்க்ஸ், பிர்காசர், 2002. [B15] "நேரியல் அல்லாத செயல்பாட்டு பகுப்பாய்வு", ஜே. டி. ஸ்வார்ட்ஸ், கார்டன் மற்றும் பிரிச் சயின்ஸ் பப்ளிஷர்ஸ், கணிதம் மற்றும் அதன் பயன்பாடுகள் குறித்த குறிப்புகள், 1969. [B16] "நேரியல் அல்லாத செயல்பாட்டு பகுப்பாய்வில் தலைப்புகள்", லூயிஸ் நிரன்பெர்க் (ரால்ப் ஏ. ஆர்டினோவின் குறிப்புகள்), கணிதத்தில் ஏஎம்எஸ் கோரண்ட் சொற்பொழிவு குறிப்புகள் 6,1974. [B17] "நியூட்டன் மெத்தட்ஸ் ஃபார் நான்-லீனியர் பிராப்ளம்ஸ்-அஃபைன் இன்வேரியன்ஸ் அண்ட் அடாப்டிவ் அல்காரிதம்ஸ்", பி. டியூஃப்லார்ட், சீரிஸ் கம்ப்யூடேஷனல் மேத்தமேட்டிக்ஸ் 35, ஸ்பிரிங்கர், 2006. ஜர்னல் கட்டுரைகள் [A1] "மறைமுகமாக வரையறுக்கப்பட்ட இரு பரிமாண மேற்பரப்புகளின் பீஸ்வைஸ் லீனியர் தோராயத்திற்கான ஒரு வழிமுறை", யூஜின் எல். ஆல்ஜவர் மற்றும் ஸ்டீபன் க்னுட்ஸ்மேன், SIAM ஜர்னல் ஆன் நியூமெரிக்கல் அனாலிசிஸ், தொகுதி 24, எண் 2,452-469,1987. [A2] "தோராயங்கள், நிலையான புள்ளிகள் மற்றும் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளுக்கான தீர்வுகளுக்கான எளிய மற்றும் தொடர்ச்சியான முறைகள்", E. L. ஆல்ஜவர் மற்றும் கே. ஜார்ஜ், SIAM விமர்சனம், தொகுதி 22,28-85,1980. [A3] "அன் அல்காரிதம் ஃபார் பீஸ்வைஸ்-லீனியர் அப்ரோக்ஸிமேஷன் ஆஃப் அ இம்ப்லிஸிட்ட்லி டிஃபைன்ட் மேனிஃபோல்ட்", யூஜின் எல். ஆல்ஜவர் மற்றும் பிலிப் எச். ஷ்மிட், SIAM ஜர்னல் ஆன் நியூமெரிக்கல் அனாலிசிஸ், தொகுதி 22, எண் 2,322-346, ஏப்ரல் 1985. [A4] "பீஸ்வைஸ் லீனியர் தோராயங்களின் மூலம் கான்டூர் ட்ரேசிங்", டேவிட் பி. டோப்கின், சில்வியோ வி. எஃப். லெவி, வில்லியம் பி. தர்ஸ்டன் மற்றும் ஆலன் ஆர். வில்க்ஸ், கிராபிக்ஸ் குறித்த ஏசிஎம் பரிவர்த்தனைகள், 9 (4) 389-423,1990. [A5] "இருமுனை மற்றும் நேரியல் அல்லாத ஐகென் மதிப்பு சிக்கல்களின் எண் தீர்வு", எச். பி. கெல்லர், "இருமுனை கோட்பாட்டின் பயன்பாடுகள்", பி. ராபினோவிட்ஸ் பதிப்பு, அகாடமிக் பிரஸ், 1977. [A6] "ஒரு உள்ளூர் அளவுரு தொடர்ச்சியான செயல்முறை", டபிள்யூ. சி. ரைன்போல்ட் மற்றும் ஜே. வி. பர்கார்ட்ட், ஏ. சி. எம். கணித மென்பொருள் மீதான பரிவர்த்தனைகள், தொகுதி 9,236-246,1983. [A7] "நான்லீனியர் நியூமெரிக்ஸ்" ஈ. டோடெல், இன்டர்நேஷனல் ஜர்னல் ஆஃப் பைஃபர்கேஷன் அண்ட் கேயாஸ், 7 (9): 2127-2143,1997. [A8] "நான்லீனியர் கம்ப்யூடேஷன்", ஆர். சீடெல், இன்டர்நேஷனல் ஜர்னல் ஆஃப் பைஃபர்கேஷன் அண்ட் கேயாஸ், 7 (9): 2105-2126,1997. [A9] "ஆன் எ மூவிங் ஃப்ரேம் அல்காரிதம் அண்ட் தி டிரையங்குலேஷன் ஆஃப் ஈக்விலிப்ரியம் மேனிஃபோல்ட்ஸ்", டபிள்யூ. சி. ரைன்போல்ட், இன் டி. குப்பர், ஆர். சீடெல், மற்றும் எச். ட்ரோஜர் பதிப்புகள். "ISNM79: இருபிரிவுஃ பகுப்பாய்வு, வழிமுறைகள், பயன்பாடுகள்", பக்கங்கள் 256-267. பிர்காசர், 1987. [A10] "அளவுரு சமன்பாடுகளின் பன்முகத் தீர்வு வெளிப்பாடுகளின் கணக்கீட்டில்", டபிள்யூ. சி. ரைன்போல்ட், நியூமெரிஷ் கணிதவியல், 53,1988, பக்கங்கள் 165-181. [A11] "மறைமுகமாக வரையறுக்கப்பட்ட இரு பரிமாண உருவகங்களின் எளிமையான தோராயத்தில்", எம். எல். ப்ராட்ஸிக் மற்றும் டபிள்யூ. சி. ரைன்போல்ட், கணினிகள் மற்றும் பயன்பாடுகளுடன் கணிதம், 28 (9): 9-21,1994. [A12] "மறைமுகமாக வரையறுக்கப்பட்ட p-மேனிஃபோல்டுகளின் எளிய தோராயங்களின் கணக்கீடு", எம். எல். ப்ரோட்ஸிக், கணினிகள் மற்றும் பயன்பாடுகளுடன் கணிதம், 36 (6): 93-113,1998. [A13] "இரு பரிமாண எண் தொடர்ச்சிக்கான புதிய வழிமுறை", ஆர். மெல்வில் மற்றும் டி. எஸ். மேக்கி, கணினிகள் மற்றும் பயன்பாடுகளுடன் கணிதம், 30 (1): 31-46,1995. [A14] "பல அளவுரு தொடர்ச்சிஃ கணிப்பு மறைமுகமாக வரையறுக்கப்பட்ட கே-மேனிஃபோல்ட்ஸ்", எம். இ. ஹென்டர்சன், IJBC 12 [3]: 451-76,2003. [A15] "MANPACK: மறைமுகமாக வரையறுக்கப்பட்ட பன்மடங்கு கணக்கீடுகளுக்கான வழிமுறைகளின் தொகுப்பு", டபிள்யூ. சி. ரைன்போல்ட், கம்ப்யூட். கணிதம். விண்ணப்பிக்கவும். 27 பக்கங்கள் 15-9,1996. [A16] "கேண்டிஸ்/க்யூஏ-நேரியல் அல்லாத இயக்கவியல் அமைப்புகளின் தர பகுப்பாய்வுக்கான ஒரு மென்பொருள் அமைப்பு", ஃபாய்டெல், யு. மற்றும் டபிள்யூ. ஜான்சன், இன்ட். ஜே. பிஃபர்கேஷன் அண்ட் கேயாஸ், தொகுதி. 2 இல்லை. 4, பக். 773-794, உலக அறிவியல், 1992. எண் பகுப்பாய்வு இயக்கவியல் அமைப்புகள்