Parafree group
கணிதத்தில், குழுக் கோட்பாட்டின் துறையில், ஒரு குழு அதன் கீழ் மையத் தொடரின் சொற்களால் அதன் மேற்கோள்கள் ஒரு இலவசக் குழுவின் சொற்களுக்கு சமமாக இருந்தால், அது எஞ்சிய நில்போட்டன்ட்டாக இருந்தால் (அதன் கீழ் மையத் தொடரின் சொற்களின் குறுக்கீடு அற்பமானது) பாராஃப்ரீ என்று கூறப்படுகிறது. பாராஃப்ரீ குழுக்கள் பல பண்புகளை இலவச குழுக்களுடன் பகிர்ந்து கொள்கின்றன, இதனால் இந்த இரண்டு வகைகளையும் வேறுபடுத்துவது கடினம். கில்பர்ட் பாம்ஸ்லாக் இணைப்பியல் பரிமாணத்தின் ஒரு குழு சுதந்திரமாக உள்ளது என்ற அனுமானத்தைத் தீர்க்கும் முயற்சிகளில் பாராஃப்ரீ குழுக்களின் ஆய்வுக்கு வழிநடத்தப்பட்டது. அவரது அடிப்படை முடிவுகளில் ஒன்று, சுதந்திரம் இல்லாத பாராஃப்ரீ குழுக்கள் உள்ளன. உர்ஸ் ஸ்டாம்பாக்குடன், ஒவ்வொரு எண்ணக்கூடிய துணைக்குழுவும் சுதந்திரமாக இருக்கும் ஒரு சுதந்திரமற்ற பாராஃப்ரீ குழு இருப்பதை அவர் நிரூபித்தார். மேற்கோள்கள் பாம்ஸ்லாக், கில்பர்ட், ஒப்பீட்டளவில் சுதந்திரமான குழுவாக அதே குறைந்த மைய வரிசையைக் கொண்ட குழுக்கள். ஐ. குழுக்கள். டிரான்ஸ். அமீர். கணிதம். சொ. 129 1967 308-321. பாம்ஸ்லாக், கில்பர்ட்; ஸ்டாம்பாக், உர்ஸ், ஒரு இலவசமற்ற பாராஃப்ரீ குழு, அதன் எண்ணக்கூடிய துணைக்குழுக்கள் அனைத்தும் இலவசம். கணிதம். Z. 148 (1976), எண். 1, 63-65. வெளிப்புற இணைப்புகள் பாராஃப்ரீ ஒன்-ரிலேட்டர் குழுக்கள் குழுக்களின் பண்புகள்