Divergent geometric series
கணிதத்தில், வடிவத்தின் எல்லையற்ற வடிவியல் தொடர் | r | ≤1 என்றால் மட்டுமே வேறுபடும். வேறுபட்ட தொடர்களின் கூட்டுத்தொகைக்கான முறைகள் சில நேரங்களில் பயனுள்ளதாக இருக்கும், மேலும் பொதுவாக வேறுபட்ட வடிவியல் தொடரை ஒருங்கிணைந்த நிகழ்வுக்கான சூத்திரத்துடன் உடன்படும் கூட்டுத்தொகையாக மதிப்பீடு செய்கின்றன இது ஒழுங்குமுறை, நேரியல் மற்றும் ஸ்திரத்தன்மை ஆகியவற்றின் பண்புகளைக் கொண்ட எந்தவொரு கூட்டுத்தொகை முறையிலும் உண்மை. எடுத்துக்காட்டுகள்ஃ 1−1 + 1−1 + ··· கூட்டலின் கடினமான வரிசையில், அதன் பொதுவான விகிதம் −11−2 + 4−8 + ···· ஆகும், அதன் பொதுவான விகிதம் −21 + 2 + 4 + 8 + ····· ஆகும், அதன் பொதுவான விகிதம் 211 + 1 + 1 + 1 + ····· ஆகும், அதன் பொதுவான விகிதம் 1 ஆகும். ஆய்வுக்கான உந்துதல் பொதுவான விகிதங்களுக்கான வடிவியல் தொடர் சூத்திரத்தை எந்த கூட்டுத்தொகை முறைகள் உருவாக்குகின்றன என்பதைக் கண்டுபிடிப்பது பயனுள்ளதாக இருக்கும். இந்த தகவலுக்கான ஒரு பயன்பாடு போரெல்-ஒகாடா கொள்கை என்று அழைக்கப்படுகிறதுஃ ஒரு வழக்கமான கூட்டுத்தொகை முறை சிக்கலான தளத்தின் ஒரு துணைக்குழு S இல் உள்ள அனைத்து z க்கும் 1/(1-z) ஐ கூட்டுகிறது என்றால், S இல் சில கட்டுப்பாடுகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன, பின்னர் இந்த முறை f க்கு மிட்டாக்-லெஃப்லர் நட்சத்திரத்துடன் S இன் குறுக்குவெட்டில் வேறு எந்த செயல்பாட்டின் பகுப்பாய்வு தொடர்ச்சியையும் வழங்குகிறது. பிராந்தியத்தின் சுருக்கம் திறந்த அலகு வட்டு சாதாரண கூட்டல் பொதுவான விகிதங்களுக்கு மட்டுமே வெற்றி பெறுகிறது |z | <1. மூடிய அலகு வட்டு செசரோ கூட்டுத்தொகை ஆபெல் கூட்டுத்தொகை பெரிய வட்டுகள் ஆய்லர் கூட்டுத்தொகை அரை தளம் இந்த தொடர் உண்மையான பகுதி <1 கொண்ட ஒவ்வொரு z க்கும் போரெல் கூட்டுத்தொகை ஆகும். அத்தகைய எந்தவொரு வரிசையும் பொருத்தமான a க்கு பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ஆய்லர் முறையால் (E, a) சுருக்கப்படுகிறது. நிழல் தளத்தைத் தவிர சில கண நிலை மாறிலி முறைகள் 1/(1−z) சார்பின் முழு மிட்டாக்-லெஃப்லர் நட்சத்திரத்திலும் வடிவியல் வரிசையை கூட்டலாம், அதாவது, கதிர் z ± 1 ஐத் தவிர அனைத்து z க்கும். எல்லா இடங்களிலும் குறிப்புகள் வேறுபட்ட தொடர் வடிவியல் தொடர்