Row equivalence
நேரியல் இயற்கணிதத்தில், அடிப்படை வரிசை செயல்பாடுகளின் வரிசையால் ஒன்றை மற்றொன்றுக்கு மாற்ற முடிந்தால் இரண்டு மேட்ரிக்ஸ்கள் வரிசைக்கு சமமானவை. மாற்றாக, இரண்டு m × n மேட்ரிக்ஸ்கள் ஒரே வரிசை இடத்தை கொண்டிருந்தால் மட்டுமே அவை வரிசைக்கு சமமானவை. இந்த கருத்து பொதுவாக நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைக் குறிக்கும் மேட்ரிக்ஸ்களுக்கு பயன்படுத்தப்படுகிறது, இந்த விஷயத்தில் ஒரே அளவிலான இரண்டு மேட்ரிக்ஸ்கள் வரிசை சமமானவை, தொடர்புடைய ஒரே மாதிரியான அமைப்புகள் ஒரே மாதிரியான தீர்வுகளைக் கொண்டிருந்தால் மட்டுமே, அல்லது சமமான மேட்ரிக்ஸ்கள் ஒரே பூஜ்ய இடத்தைக் கொண்டிருந்தால் மட்டுமே. அடிப்படை வரிசை செயல்பாடுகள் மாற்றியமைக்கக்கூடியவை என்பதால், வரிசை சமநிலை ஒரு சமநிலை உறவாகும். இது பொதுவாக ஒரு டில்டே (~) ஆல் குறிக்கப்படுகிறது. நெடுவரிசை சமநிலை பற்றிய ஒத்த கருத்து உள்ளது, இது அடிப்படை நெடுவரிசை செயல்பாடுகளால் வரையறுக்கப்படுகிறது; இரண்டு மேட்ரிக்ஸ்கள் அவற்றின் இடமாற்ற மேட்ரிக்ஸ்கள் வரிசை சமமாக இருந்தால் மட்டுமே நெடுவரிசை சமமானவை. அடிப்படை வரிசை மற்றும் நெடுவரிசை செயல்பாடுகளை அனுமதிக்கும் ஒருவருக்கொருவர் மாற்றக்கூடிய இரண்டு செவ்வக மேட்ரிக்ஸ்கள் வெறுமனே சமமானவை என்று அழைக்கப்படுகின்றன. தொடக்க வரிசை செயல்பாடுகள் ஒரு தொடக்க வரிசை செயல்பாடு என்பது பின்வரும் நகர்வுகளில் ஏதேனும் ஒன்றாகும்ஃ இடமாற்றம்ஃ ஒரு மேட்ரிக்ஸின் இரண்டு வரிசைகளை மாற்றவும். அளவுகோல்ஃ ஒரு மேட்ரிக்ஸின் வரிசையை பூஜ்ஜியமற்ற மாறிலியால் பெருக்கவும். மையப்பகுதிஃ ஒரு மேட்ரிக்ஸின் ஒரு வரிசையின் பெருக்கத்தை மற்றொரு வரிசையில் சேர்க்கவும். அடிப்படை வரிசை செயல்பாடுகளின் ஒரு வரிசை மூலம் A ஐ B ஆக மாற்ற முடிந்தால் A மற்றும் B ஆகிய இரண்டு மேட்ரிக்ஸ்கள் வரிசைக்கு சமமானவை. ஒரு மேட்ரிக்ஸின் வரிசை இடைவெளி என்பது அதன் வரிசை திசையன்களின் சாத்தியமான அனைத்து நேரியல் சேர்க்கைகளின் தொகுப்பாகும். மேட்ரிக்ஸின் வரிசைகள் நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைக் குறிக்கின்றன என்றால், வரிசை இடைவெளி அனைத்து நேரியல் சமன்பாடுகளையும் கொண்டுள்ளது, அவை அமைப்பில் உள்ளவற்றிலிருந்து இயற்கணித ரீதியாகக் கணக்கிடப்படலாம். இரண்டு m × n மேட்ரிக்ஸ்கள் ஒரே வரிசை இடத்தை கொண்டிருந்தால் மட்டுமே அவை வரிசைக்கு சமமானவை. எடுத்துக்காட்டாக, மேட்ரிக்ஸ்கள் வரிசை சமமானவை, வரிசை இடைவெளி வடிவத்தின் அனைத்து திசையன்களாகும். ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகளின் தொடர்புடைய அமைப்புகள் ஒரே தகவலை வெளிப்படுத்துகின்றனஃ குறிப்பாக, இந்த இரண்டு அமைப்புகளும் வரையறைகளின் சமன்பாடு வடிவத்தின் ஒவ்வொரு சமன்பாட்டையும் குறிக்கின்றன. ஆதாரம் பின்வரும் அவதானிப்புகளை அடிப்படையாகக் கொண்டதுஃ அடிப்படை வரிசை செயல்பாடுகள் ஒரு மேட்ரிக்ஸின் வரிசை இடத்தை பாதிக்காது. குறிப்பாக, எந்த இரண்டு வரிசை சமமான மேட்ரிக்ஸ்களும் ஒரே வரிசை இடத்தை கொண்டுள்ளன. எந்தவொரு மேட்ரிக்ஸையும் அடிப்படை வரிசை செயல்பாடுகளால் குறைக்கப்பட்ட வரிசை எசெலான் வடிவத்தில் ஒரு மேட்ரிக்ஸாகக் குறைக்கலாம். குறைக்கப்பட்ட வரிசை ஈச்சலோன் வடிவத்தில் உள்ள இரண்டு மேட்ரிக்ஸ்கள் சமமாக இருந்தால் மட்டுமே ஒரே வரிசை இடத்தை கொண்டுள்ளன. ஒவ்வொரு மேட்ரிக்ஸும் குறைக்கப்பட்ட வரிசை எசெலான் வடிவத்துடன் ஒரு தனித்துவமான மேட்ரிக்ஸுக்கு சமமான வரிசை என்பதையும் இந்த பகுத்தறிவு நிரூபிக்கிறது. கூடுதல் பண்புகள் ஒரு மேட்ரிக்ஸின் பூஜ்ய இடம் என்பது வரிசை இடத்தின் ஆர்த்தோகனல் நிரப்பு என்பதால், இரண்டு மேட்ரிக்ஸ்கள் ஒரே பூஜ்ய இடத்தைக் கொண்டிருந்தால் மட்டுமே அவை வரிசைக்கு சமமானவை. ஒரு மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை வரிசை இடத்தின் பரிமாணத்திற்கு சமம், எனவே வரிசை சமமான மேட்ரிக்ஸ்கள் ஒரே தரவரிசையைக் கொண்டிருக்க வேண்டும். இது குறைக்கப்பட்ட வரிசை ஈச்சலோன் வடிவத்தில் உள்ள மையங்களின் எண்ணிக்கைக்கு சமம். ஒரு மேட்ரிக்ஸ் அடையாள மேட்ரிக்ஸுக்கு சமமான வரிசையாக இருந்தால் மட்டுமே அது தலைகீழாக இருக்கும். A = PB போன்ற ஒரு தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸ் P இருந்தால் மட்டுமே A மற்றும் B மெட்ரிக்குகள் வரிசைக்கு சமமானவை. மேலும் காண்கஃ தொடக்க வரிசை செயல்பாடுகள் வரிசை இடைவெளி அடிப்படை (நேரியல் இயற்கணிதம்) வரிசை குறைப்பு (குறைக்கப்பட்ட) வரிசை ஈச்சலோன் வடிவம் குறிப்புகள் வெளிப்புற இணைப்புகள் நேரியல் இயற்கணிதம் அளவீடுகள் சமன்பாடு (கணிதம்)