Time-evolving block decimation
டைம்-எவால்விங் பிளாக் டெசிமேஷன் (டி. இ. பி. டி) வழிமுறை என்பது ஒரு பரிமாண குவாண்டம் பல உடல் அமைப்புகளை உருவகப்படுத்த பயன்படுத்தப்படும் ஒரு எண் திட்டமாகும், இது மிகவும் அருகிலுள்ள அண்டை தொடர்புகளால் வகைப்படுத்தப்படுகிறது. இது நேரத்தை மாற்றியமைக்கும் பிளாக் டெசிமேஷன் என்று அழைக்கப்படுகிறது, ஏனெனில் இது அதிவேகமாக பெரிய அசல் ஹில்பர்ட் இடத்தின் தொடர்புடைய குறைந்த பரிமாண ஹில்பர்ட் துணை இடங்களை மாறும் வகையில் அடையாளம் காட்டுகிறது. மேட்ரிக்ஸ் தயாரிப்பு நிலைகள் சம்பிரதாயத்தை அடிப்படையாகக் கொண்ட வழிமுறை, அமைப்பில் சிக்கலின் அளவு குறைவாக இருக்கும்போது மிகவும் திறமையானதாக இருக்கும், இது ஒரு பரிமாணத்தில் உள்ள குவாண்டம் பல உடல் அமைப்புகளின் பெரிய வகுப்பால் பூர்த்தி செய்யப்படும் தேவையாகும். பொது குவாண்டம் பல உடல் அமைப்புகளை உருவகப்படுத்துவதில் உள்ள உள்ளார்ந்த சிரமங்கள், அமைப்பின் அளவுடன் அளவுருக்களில் அதிவேக அதிகரிப்பு மற்றும் அதற்கேற்ப, அதிக கணக்கீட்டு செலவுகள் ஆகியவற்றைக் கருத்தில் கொண்டு, ஒரு தீர்வு, சிறப்பு நிகழ்வுகளைக் கையாளும் எண் முறைகளைத் தேடுவதாகும், அங்கு ஒருவர் அமைப்பின் இயற்பியலிலிருந்து லாபம் ஈட்ட முடியும். மூல அணுகுமுறை, ஒரு குவாண்டம் பல-உடல் அமைப்பை முழுமையாக வகைப்படுத்த பயன்படுத்தப்படும் அனைத்து அளவுருக்களையும் நேரடியாகக் கையாள்வதன் மூலம், உருவகப்படுத்துதலுக்குத் தேவையான மாறிகளின் அளவின் கணினி அளவுடன் ஆடம்பரமான அதிவேக கட்டமைப்பால் தீவிரமாகத் தடுக்கப்படுகிறது, இது சிறந்த சந்தர்ப்பங்களில், நியாயமற்ற நீண்ட கணக்கீட்டு நேரங்களுக்கும் நினைவகத்தின் நீட்டிக்கப்பட்ட பயன்பாட்டிற்கும் வழிவகுக்கிறது. இந்தப் பிரச்சினையைச் சமாளிக்க, காலப்போக்கில் பல்வேறு முறைகள் உருவாக்கப்பட்டு நடைமுறைப்படுத்தப்பட்டுள்ளன, அவற்றில் மிகவும் வெற்றிகரமான ஒன்று குவாண்டம் மான்டே கார்லோ முறை (கியூஎம்சி) ஆகும். மேலும் அடர்த்தி மேட்ரிக்ஸ் மறுசீரமைப்பு குழு (டி. எம். ஆர். ஜி) முறை, கியூ. எம். சி. க்கு அடுத்ததாக, மிகவும் நம்பகமான முறையாகும், இது பயனர்களின் சமூகத்தை விரிவுபடுத்துவதோடு இயற்பியல் அமைப்புகளுக்கு அதிக எண்ணிக்கையிலான பயன்பாடுகளையும் கொண்டுள்ளது. முதல் குவாண்டம் கணினி செருகப்பட்டு செயல்படும்போது, கணக்கீட்டு இயற்பியல் துறைக்கான முன்னோக்குகள் நம்பிக்கைக்குரியதாகத் தோன்றும், ஆனால் அந்த நாள் வரை ஒருவர் கிளாசிக்கல் கணினிகளால் வழங்கப்படும் உலகளாவிய கருவிகளுக்குள் தன்னை மட்டுப்படுத்திக் கொள்ள வேண்டும். சோதனை இயற்பியலாளர்கள் முதல் குவாண்டம் கணினியை உருவாக்க முயற்சிக்கும்போது, கோட்பாட்டு இயற்பியலாளர்கள் குவாண்டம் தகவல் கோட்பாடு (க்யூஐடி) துறையில், உண்மையான குவாண்டம் வழிமுறைகளைத் தேடுகிறார்கள், இது ஒரு கிளாசிக்கல் கணினியில் தீர்க்க முயற்சிக்கும்போது மோசமாக செயல்படும் சிக்கல்களுக்கு பொருத்தமானது, ஆனால் ஒரு குவாண்டம் கணினியில் மிகவும் வேகமாகவும் வெற்றிகரமாகவும் இருக்கும். அத்தகைய வழிமுறைகளுக்கான தேடல் இன்னும் நடந்து வருகிறது, மிகவும் பிரபலமான (மற்றும் கிட்டத்தட்ட கண்டுபிடிக்கப்பட்டவை மட்டுமே) ஷோரின் வழிமுறை, பெரிய எண்களைக் காரணியாக்குவதற்கும், குரோவரின் தேடல் வழிமுறைக்கும். கியூஐடி துறையில் உண்மையான குவாண்டம் கணக்கீட்டிற்குத் தேவையான முதன்மை வளங்களை ஒருவர் அடையாளம் காண வேண்டும். அத்தகைய வளம் குவாண்டம் மற்றும் கிளாசிக்கல் வேக அதிகரிப்புக்கு காரணமாக இருக்கலாம், அவற்றை அடையாளம் காண்பது என்பது ஒரு கிளாசிக்கல் கணினியில் நியாயமான திறமையான முறையில் உருவகப்படுத்தக்கூடிய அமைப்புகளை அடையாளம் காண்பதையும் குறிக்கிறது. அத்தகைய வளம் குவாண்டம் சிக்கல் ஆகும்; எனவே, குவாண்டம் கணக்கீட்டு வேகங்களுக்குத் தேவையான சிக்கலுக்கு ஒரு தனித்துவமான கீழ் வரம்பை நிறுவ முடியும். அப்போது கால்டெக்கின் குவாண்டம் தகவல் நிறுவனத்தில் இருந்த கைஃப்ரே விடால், சமீபத்தில் ஒரு குறிப்பிட்ட வகை குவாண்டம் அமைப்புகளை உருவகப்படுத்துவதற்கு பயனுள்ள ஒரு திட்டத்தை முன்மொழிந்துள்ளார். "சிக்கலின் அளவு போதுமான அளவு கட்டுப்படுத்தப்பட்டிருந்தால், தூய நிலைகளுடன் கூடிய எந்தவொரு குவாண்டம் கணக்கீட்டையும் ஒரு கிளாசிக்கல் கணினி மூலம் திறம்பட உருவகப்படுத்த முடியும்" என்று அவர் வலியுறுத்துகிறார். பொதுவான ஹாமில்டோனியர்கள் உள்ளூர் தொடர்புகளைக் காண்பிப்பதில் இது நிகழ்கிறது, எடுத்துக்காட்டாக, ஹப்பார்ட் போன்ற ஹாமில்டோனியர்கள். அமைப்பில் உள்ள சிக்கலின் அளவைப் பொறுத்து கணக்கீட்டு நேரத்தின் அதிகரிப்பில் இந்த முறை குறைந்த டிகிரி பல்லுறுப்புக்கோவை நடத்தையை வெளிப்படுத்துகிறது. இந்த ஒரு பரிமாண அமைப்புகளில் அமைப்பின் இருதரப்பு பிளவுகளில் குறைக்கப்பட்ட அடர்த்தி மேட்ரிக்ஸின் ஐகென் மதிப்புகள் அதிவேகமாக சிதைந்து வருகின்றன என்ற உண்மையைப் பயன்படுத்தும் ஒரு திட்டத்தை இந்த வழிமுறை அடிப்படையாகக் கொண்டது, இதனால் நாம் தேர்ந்தெடுத்த ஐகென் மதிப்புகளுடன் தொடர்புடைய ஐகென் திசையன்களால் பரப்பப்பட்ட மறு அளவிலான இடத்தில் வேலை செய்ய அனுமதிக்கிறது. ஒரு கிளாசிக்கல் கணினியில் ஒரு குவாண்டம் அமைப்பை உருவகப்படுத்துவதற்குத் தேவையான கணக்கீட்டு வளங்களின் அளவையும் ஒருவர் மதிப்பிடலாம், அமைப்பின் அளவுடன் கணினி அளவீடுகளில் உள்ள சிக்கல் எவ்வாறு உள்ளது என்பதை அறிந்து கொள்ளலாம். பாரம்பரியமாக (மற்றும் குவாண்டமும்) சாத்தியமான உருவகப்படுத்துதல்கள் லேசாக மட்டுமே சிக்கியுள்ள அமைப்புகளை உள்ளடக்கியது-வலுவாக சிக்கியுள்ளவை, மறுபுறம், உண்மையான குவாண்டம் கணக்கீடுகளுக்கு மட்டுமே நல்ல வேட்பாளர்கள். இலக்கு ஹாமில்டோனியன் மற்றும் ஏற்கனவே அறியப்பட்ட தரை நிலை கொண்ட ஹாமில்டோனியன் இடையே கற்பனை-நேர பரிணாமம் அல்லது ஐசன்ட்ரோபிக் இடைக்கணிப்புகளைப் பயன்படுத்தி நிகழ்நேர இயக்கவியல் அல்லது தரை நிலைகளின் கணக்கீடுகளை உருவகப்படுத்துவதில் எண் முறை திறமையானது. கணக்கீட்டு நேர அளவீடுகள் அமைப்பு அளவுடன் நேரியல் ரீதியாக அளவிடப்படுகின்றன, எனவே 1D இல் உள்ள பல துகள்கள் அமைப்புகளை ஆராய முடியும். டி. இ. பி. டி வழிமுறையின் ஒரு பயனுள்ள அம்சம் என்னவென்றால், நேரத்தை சார்ந்த ஹாமில்டோனியர்களின் நேர பரிணாம உருவகப்படுத்துதல்களுக்கு நம்பகத்தன்மையுடன் பயன்படுத்தப்படலாம், இது ஒளியியல் லட்டிஸ்களில் குளிர்ந்த அணுக்களுடன் உணரக்கூடிய அமைப்புகளை விவரிக்கிறது, அல்லது குவாண்டம் போக்குவரத்தில் சமநிலையிலிருந்து வெகு தொலைவில் உள்ள அமைப்புகளில். இந்தக் கண்ணோட்டத்தில், டிஎம்ஆர்ஜியை விட டிஇபிடி ஒரு குறிப்பிட்ட உயர்வைக் கொண்டிருந்தது, இது மிகவும் சக்திவாய்ந்த நுட்பமாகும், ஆனால் சமீப காலம் வரை நேர-பரிணாமங்களை உருவகப்படுத்துவதற்கு மிகவும் பொருத்தமாக இல்லை. மேட்ரிக்ஸ் தயாரிப்பு நிலைகளின் சம்பிரதாயம் டிஎம்ஆர்ஜியின் கணித மையத்தில் இருப்பதால், டிஎம்ஆர்ஜி சமூகத்தால் டிஇபிடி திட்டம் ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்டது, இதனால் நேரத்தை சார்ந்த டிஎம்ஆர்ஜி, சுருக்கமாக டி-டிஎம்ஆர்ஜி பிறந்தது. அதே நேரத்தில், மற்ற குழுக்கள் இதேபோன்ற அணுகுமுறைகளை உருவாக்கியுள்ளன, இதில் குவாண்டம் தகவல் முக்கிய பங்கு வகிக்கிறது, எடுத்துக்காட்டாக, காலமுறை எல்லை நிலைமைகளுக்கான டி. எம். ஆர். ஜி செயல்படுத்தல்களில், மற்றும் ஒரு பரிமாண குவாண்டம் லட்டிஸ் அமைப்புகளில் கலப்பு-நிலை இயக்கவியலைப் படிப்பதற்காக, அந்த கடைசி அணுகுமுறைகள் உண்மையில் அசல் டி. இ. பி. டி அணுகுமுறையை விட மிகவும் பொதுவான ஒரு சம்பிரதாயத்தை வழங்குகின்றன, ஏனெனில் இது மேட்ரிக்ஸ் தயாரிப்பு ஆபரேட்டர்களுடன் பரிணாமங்களைக் கையாளவும் அனுமதிக்கிறது; இது டி. இ. பி. டி வழக்குக்கு மாறாக அற்பமான அல்லாத எல்லையற்ற பரிணாமங்களின் உருவகப்படுத்துதலை செயல்படுத்துகிறது, மேலும் மேட்ரிக்ஸ் தயாரிப்பு நிலைகளின் உயர் பரிமாண ஒப்புமைகளைக் கையாள்வதற்கான முக்கியமான மூலப்பொருளாகும். நிலையின் சிதைவு மாநிலத்தின் சிதைவை அறிமுகப்படுத்துகிறது செயல்பாட்டால் விவரிக்கப்படும் N கியூபிட்களின் சங்கிலியைக் கவனியுங்கள். விவரிப்பதற்கான மிகவும் இயற்கையான வழி உள்ளூர் பரிமாண அடிப்படையைப் பயன்படுத்துவதாகும்ஃ இங்கு எம் என்பது தளத்தின் பரிமாணமாகும். டி. இ. பி. டி. யின் தந்திரம் குணகங்களை மீண்டும் எழுதுவதாகும்ஃ மேட்ரிக்ஸ் தயாரிப்பு நிலை என்று அழைக்கப்படும் இந்த வடிவம், கணக்கீடுகளை பெரிதும் எளிதாக்குகிறது. ஏன் என்பதைப் புரிந்துகொள்ள, ஒரு நிலையின் ஷ்மிட் சிதைவைப் பார்க்கலாம், இது வரையறுக்கப்பட்ட சிக்கல் கொண்ட ஒரு நிலையை மிகவும் எளிமையாக வெளிப்படுத்த ஒருமை மதிப்பு சிதைவைப் பயன்படுத்துகிறது. ஷ்மிட் சிதைவு ஒரு இருதரப்பு அமைப்பின் நிலையைக் கருத்தில் கொள்ளுங்கள். அத்தகைய ஒவ்வொரு நிலையையும் பொருத்தமாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட அடிப்படையில் பின்வருமாறு குறிப்பிடலாம்ஃ அங்கு ஒரு ஆர்த்தோனார்மல் அடிப்படையை உருவாக்கும் திசையன்களுடன் உருவாகின்றன, அதற்கேற்ப, திசையன்கள், ஒரு ஆர்த்தோனார்மல் அடிப்படையை உருவாக்குகின்றன, குணகங்கள் உண்மையானவை மற்றும் நேர்மறையாக உள்ளன. இது ஒரு மாநிலத்தின் ஷ்மிட் சிதைவு (எஸ். டி) என்று அழைக்கப்படுகிறது. பொதுவாக கூட்டுத்தொகை வரை செல்கிறது. இருதரப்பு பிரிவின் ஷ்மிட் தரவரிசை பூஜ்ஜியமற்ற ஷ்மிட் குணகங்களின் எண்ணிக்கையால் வழங்கப்படுகிறது. ஷ்மிட் தரவரிசை ஒன்று என்றால், பிளவு ஒரு தயாரிப்பு நிலை மூலம் வகைப்படுத்தப்படுகிறது. SD இன் திசையன்கள் ஒரு கட்டம் வரை தீர்மானிக்கப்படுகின்றன மற்றும் ஐகென் மதிப்புகள் மற்றும் ஷ்மிட் தரவரிசை தனித்துவமானது. எடுத்துக்காட்டாக, இரண்டு-குவிட் நிலைஃ பின்வரும் SD ஐக் கொண்டுள்ளதுஃ மறுபுறம், நிலைஃ ஒரு தயாரிப்பு நிலைஃ நிலையின் சிதைவை உருவாக்குதல் இந்த கட்டத்தில் நாம் எவ்வாறு சிதைவை வெளிப்படையாக உருவாக்குகிறோம் என்பதைப் பார்க்க முயற்சிக்க போதுமான அளவு நமக்குத் தெரியும் (அதை D என்று அழைப்போம்). இருதரப்பு பிரிவினையைக் கவனியுங்கள். SD இல் குணகங்கள் மற்றும் ஈஜென்வெக்டர்கள் உள்ளன. உள்ளூர் அடிப்படையில் s ஐ விரிவுபடுத்துவதன் மூலம், ஒருவர் எழுதலாம்ஃ செயல்முறையை மூன்று படிகளில் சிதைக்க முடியும், சங்கிலியில் உள்ள ஒவ்வொரு பிணைப்புக்கும் (மற்றும், அதற்கேற்ப, SD) மறு செய்கைஃ படி 1: qbit 2 க்கு உள்ளூர் அடிப்படையில் s ஐ வெளிப்படுத்தவும்ஃ திசையன்கள் இயல்பாக்கப்பட வேண்டிய அவசியமில்லை. படி 2: ஒவ்வொரு திசையனையும் அதிகபட்சமாக (விடாலின் முக்கியத்துவம்) ஷ்மிட் திசையன்கள் மற்றும் அதற்கேற்ப, குணகங்களின் அடிப்படையில் எழுதுங்கள்ஃ படி 3: மாற்றீடுகளைச் செய்து பெறவும்ஃ 1 முதல் 3 படிகளை மீண்டும் மீண்டும் செய்தால், ஒருவர் முழு சிதைவு நிலையை உருவாக்க முடியும். இதில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி, பிணைப்பில் ஷ்மிட் சிதைவைப் பெறுவது நேரடியானது, அதாவது. டி இலிருந்து, ஷ்மிட் ஐகென் மதிப்புகள், டி இல் வெளிப்படையாக கொடுக்கப்பட்டுள்ளனஃ ஷ்மிட் ஐகென் வெக்டர்கள் எளிமையானவைஃ மற்றும் ரேஷனல் இப்போது, டி ஐப் பார்க்கும்போது, ஆரம்ப சொற்களுக்கு பதிலாக, உள்ளன. வெளிப்படையாக இது குணகங்களை மீண்டும் எழுதுவதற்கான ஒரு ஆடம்பரமான வழியாகும், ஆனால் உண்மையில் அதை விட அதிகமாக உள்ளது. N சமம் என்று கருதினால், சங்கிலியின் நடுவில் இருதரப்பு வெட்டுக்கான ஷ்மிட் தரவரிசை அதிகபட்ச மதிப்பைக் கொண்டிருக்கலாம்; இந்த விஷயத்தில் நாம் குறைந்தபட்சம் குணகங்களுடன் முடிவடைகிறோம், அவற்றை மட்டுமே கருத்தில் கொண்டு, ஆரம்பத்தை விட சற்றே அதிகம்! உண்மை என்னவென்றால், குறைந்த அளவிலான சிக்கலை வெளிப்படுத்தும் அமைப்புகளைக் கையாளும் போது சிதைவு D பயனுள்ளதாக இருக்கும், இது அதிர்ஷ்டவசமாக பல 1D அமைப்புகளில் நிகழ்கிறது, அங்கு தரை நிலையின் ஷ்மிட் குணகங்கள் ஒரு அதிவேக முறையில் சிதைகின்றனஃ எனவே, சில ஷ்மிட் குணகங்களை (அதாவது மிகப்பெரியவை) மட்டுமே கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வது சாத்தியமாகும், மற்றவற்றைக் கைவிட்டு, அதன் விளைவாக நிலையை மீண்டும் இயல்பாக்குகிறதுஃ வைக்கப்பட்ட ஷ்மிட் குணகங்களின் எண்ணிக்கை எங்கே? இந்த சுருக்கமான படத்திலிருந்து விலகி, இந்த சிதைவை உருவாக்குவதன் நன்மையை வலியுறுத்த, ஒரு உறுதியான உதாரணத்துடன் நம்மைப் புதுப்பிப்போம். உதாரணமாக, எளிமையின் பொருட்டு, ஒரு ஃபெரோ காந்த சங்கிலியில் 50 ஃபெர்மியன்களின் வழக்கைக் கவனியுங்கள். 12 இன் பரிமாணம், ஒரு நியாயமான தேர்வாக இருக்கும் என்று வைத்துக்கொள்வோம், நிராகரிக்கப்பட்ட ஐகென் மதிப்புகளை மொத்தத்தில்% ஆக வைத்திருப்பது, எண் ஆய்வுகளால் காட்டப்பட்டுள்ளது, அதாவது தோராயமாக குணகங்கள், முதலில் இருந்தவற்றுடன் ஒப்பிடும்போது. ஷ்மிட் ஐகென் மதிப்புகள் இந்த அதிவேகச் சிதைவைக் கொண்டிருக்காவிட்டாலும், அவை இயற்கணிதக் குறைப்பைக் காட்டினாலும், நமது நிலையை விவரிக்க D ஐப் பயன்படுத்தலாம். நம்பகமான விளக்கத்திற்குக் கணக்கிட வேண்டிய குணகங்களின் எண்ணிக்கை புத்திசாலித்தனமாக பெரியதாக இருக்கலாம், ஆனால் இன்னும் இறுதியில் எண் உருவகப்படுத்துதல்களுக்குள் இருக்கலாம். சிதைவின் புதுப்பிப்பு ஒருவர் இப்போது அருகிலுள்ள கியூபிட்களில் செயல்படும் ஒரு-கியூபிட் வாயில்கள் (OQG) மற்றும் இரண்டு-கியூபிட் வாயில்கள் (TQG) மூலம் செயல்படும்போது சிதைவு D இன் நடத்தையை ஆராய தொடரலாம். அனைத்து குணகங்களையும் புதுப்பிப்பதற்குப் பதிலாக, குறைந்த டிகிரியின் பல்லுறுப்புக்கோவையாக அதிகரிக்கும் பல செயல்பாடுகளுக்குள் நம்மைக் கட்டுப்படுத்திக் கொள்வோம், இதனால் கணக்கீட்டு நேரத்தை மிச்சப்படுத்துவோம். கியூபிட் k இல் செயல்படும் ஒரு கியூபிட் வாயில்கள் OQG கள் அவை செயல்படும் கியூபிடை மட்டுமே பாதிக்கின்றன, கியூபிட் k இல் ஒரு யூனிட்டரி ஆபரேட்டருக்குப் பிறகு நிலையின் புதுப்பிப்பு இடதுபுறத்தில் உள்ள ஷ்மிட் ஐகென் மதிப்புகள் அல்லது திசையன்களை மாற்றாது, இதன் விளைவாக 'கள், அல்லது வலதுபுறம், எனவே' கள். 'கள் மட்டுமே புதுப்பிக்கப்படும் (பெரும்பாலான செயல்பாடுகளில் மட்டுமே தேவைப்படுகிறது), கியூபிட்கள் k, k + 1 இல் செயல்படும் இரண்டு-கியூபிட் வாயில்கள் கியூபிட்கள் k, k + 1 இல் ஒரு யூனிட்டரி செயல்பாட்டைத் தொடர்ந்து,' கள் மற்றும் 'களை புதுப்பிக்க தேவையான மாற்றங்கள், கவனிப்பு மட்டும், மற்றும். அவை பல அடிப்படை செயல்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளன. விடாலின் அசல் அணுகுமுறையைப் பின்பற்றி, நான்கு துணை அமைப்புகளுக்கு மட்டுமே சொந்தமானதாகக் கருதலாம்ஃ சப்ஸ்பேஸ் J என்பது குறைக்கப்பட்ட அடர்த்தி மேட்ரிக்ஸின் ஐகென் வெக்டர்களால் பரவியுள்ளதுஃ இதேபோல், சப்ஸ்பேஸ் K என்பது குறைக்கப்பட்ட அடர்த்தி மேட்ரிக்ஸின் ஐகென் வெக்டர்களால் பரவியுள்ளதுஃ இந்த அடிப்படையையும் சிதைவு D யையும் பயன்படுத்தி, பின்வருமாறு எழுதலாம்ஃ OQG ஐப் போலவே அதே காரணத்தைப் பயன்படுத்தி, TQG V ஐ k, k + 1 கியூபிட்களுக்கு பயன்படுத்துவது புதுப்பிக்கப்பட வேண்டும், மேலும் நாம் இவ்வாறு எழுதலாம்ஃ புதிய சிதைவைக் கண்டறிய, பிணைப்பு k இல் உள்ள புதியவை மற்றும் அவற்றுடன் தொடர்புடைய ஷ்மிட் ஐகென் வெக்டர்கள் சிதைவு D இன் அடிப்படையில் கணக்கிடப்பட்டு வெளிப்படுத்தப்பட வேண்டும். எனவே குறைக்கப்பட்ட அடர்த்தி அணி மூலைவிட்டமாக உள்ளதுஃ அதன் ஐகென் மதிப்புகளின் சதுர வேர்கள் புதியவை. முக்கோணப்படுத்தப்பட்ட மேட்ரிக்ஸின் ஐகென் வெக்டர்களை அடிப்படையாக வெளிப்படுத்துவதுஃ 'களும் பெறப்படுகின்றனஃ இடது கை ஐகென் வெக்டர்களில் இருந்து, அவற்றை அடிப்படையாக வெளிப்படுத்திய பிறகு,' கள்ஃ கணக்கீட்டு செலவு D இல் உள்ள மிகப்பெரிய டென்சர்களின் பரிமாணம் வரிசையில் உள்ளது; ஒன்றை உருவாக்கும் போது கூட்டுத்தொகையை உருவாக்குகிறது, மேலும் ஒவ்வொன்றிற்கும், மொத்த செயல்பாடுகளைச் சேர்க்கிறது. உறுப்புகளின் உருவாக்கம் அல்லது இடது கை ஐகென் வெக்டர்களை கணக்கிடுவதற்கும் இது பொருந்தும், அதிகபட்சமாக, முறையே அடிப்படை செயல்பாடுகள். கியூபிட்களைப் பொறுத்தவரை, எனவே அடிப்படை செயல்பாடுகளின் எண்ணிக்கையின் அளவின் வரிசைக்கு அதன் பங்கு மிகவும் பொருத்தமானது அல்ல, ஆனால் ஆன்-சைட் பரிமாணம் இரண்டை விட அதிகமாக இருக்கும்போது அது ஒரு தீர்க்கமான பங்களிப்பைக் கொண்டுள்ளது. எண்ணியல் உருவகப்படுத்துதல் தன்னிச்சையான OQG கள் மற்றும் TQG களால் ஆன ஒரு வரிசையில் ஒழுங்கமைக்கப்பட்ட துகள்களின் அமைப்பின் ஹாமில்டோனியர்களை இலக்காகக் கொண்டது (நேரத்தை சார்ந்ததாக இருக்கலாம்) எண் உருவகப்படுத்துதல்ஃ இரண்டு சாத்தியமான அல்லாத பரிமாற்ற சொற்களின் கூட்டுத்தொகையாக சிதைவடைவது பயனுள்ளதாக இருக்கும், அங்கு எந்த இரண்டு-உடல் சொற்களும் பயணிக்கின்றனஃ, இது மாசுவோ சுசுகி மற்றும் ஹேல் ட்ராட்டர் பெயரிடப்பட்ட அதிவேக இயக்கியின் சுசுகி-ட்ராட்டர் விரிவாக்கத்தை (ST) செய்ய செய்யப்படுகிறது. சுசுகி-ட்ராட்டர் விரிவாக்கம் முதல் வரிசையின் (எஸ். டி. 1) சுசுகி-ட்ராட்டர் விரிவாக்கம் அதிவேக இயக்கிகளை எழுதுவதற்கான ஒரு பொதுவான வழியைக் குறிக்கிறதுஃ அல்லது, அதற்கு சமமாக திருத்தம் சொல் வரம்பில் மறைந்துவிடும் குவாண்டம் இயக்கவியலின் உருவகப்படுத்துதல்களுக்கு, நெறிமுறையைப் பாதுகாக்கும் (சக்தி தொடர் விரிவாக்கங்களைப் போலல்லாமல்) ஒற்றையாட்சி ஆபரேட்டர்களைப் பயன்படுத்துவது பயனுள்ளதாக இருக்கும், அங்குதான் ட்ராட்டர்-சுசுகி விரிவாக்கம் வருகிறது. குவாண்டம் இயக்கவியலின் சிக்கல்களில் எஸ். டி விரிவாக்கத்தில் ஆபரேட்டர்களின் ஒற்றுமை மிகவும் நடைமுறைக்குரியது என்பதை நிரூபிக்கிறது, ஏனெனில் பிழை ஒட்டுமொத்த கட்டத்தில் கவனம் செலுத்த முனைகிறது, இதனால் எதிர்பார்ப்பு மதிப்புகள் மற்றும் பாதுகாக்கப்பட்ட அளவுகளை உண்மையுடன் கணக்கிட அனுமதிக்கிறது. ST கட்ட-இடைவெளி அளவைப் பாதுகாப்பதால், இது ஒரு சிம்ப்லெக்டிக் ஒருங்கிணைப்பாளர் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. ST2 இன் தந்திரம் யூனிட்டரி ஆபரேட்டர்களை இவ்வாறு எழுதுவதாகும்ஃ எங்கே. இந்த எண் ட்ராட்டர் எண் என்று அழைக்கப்படுகிறது. நேர-பரிணாமத்தின் உருவகப்படுத்துதல் இயக்கிகள், வெளிப்படுத்த எளிதானது, ஏனெனில்ஃ எந்த இரண்டு இயக்கிகள், (முறையே,,) முதல் வரிசையின் பயண மற்றும் ஒரு எஸ். டி விரிவாக்கம் அதிர்வெண்களின் பெருக்கத்தை மட்டுமே வைத்திருக்கிறது, தோராயமாக இந்த விஷயத்தில், துல்லியமாக மாறுகிறது. ஒவ்வொரு "நேர-படிநிலைக்கும்", அனைத்து ஒற்றைப்படை தளங்களுக்கும், பின்னர் இரட்டைப்படை தளங்களுக்கும், மீண்டும் ஒற்றைப்படை தளங்களுக்கும் தொடர்ச்சியாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன; இது அடிப்படையில் TQG களின் வரிசையாகும், மேலும் அவற்றைப் பயன்படுத்தும்போது சிதைவை எவ்வாறு புதுப்பிப்பது என்பது மேலே விளக்கப்பட்டுள்ளது. n-துகள் ஹாமில்டோனியனைப் பயன்படுத்தி ஒரு மாநிலத்தை நோக்கி ஒரு நேர T க்கு நேர பரிணாமத்தை உருவாக்குவதே எங்கள் குறிக்கோள். சாத்தியமானால், தன்னிச்சையான n-துகள் நிலைக்கு சிதைவை உருவாக்குவது கடினம், ஏனெனில் இதன் பொருள் ஒவ்வொரு பிணைப்பிலும் ஷ்மிட் சிதைவைக் கணக்கிட வேண்டும், ஷ்மிட் ஐகென் மதிப்புகளைக் குறைக்கும் வரிசையில் ஏற்பாடு செய்ய வேண்டும் மற்றும் முதல் மற்றும் பொருத்தமான ஷ்மிட் ஐகென் திசையன்களைத் தேர்ந்தெடுக்க வேண்டும். இது ஓரளவு தாராளமாக குறைக்கப்பட்ட அடர்த்தி மேட்ரிக்ஸ்களை மூலைவிட்டமாக்குவதைக் குறிக்கும் என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள், இது ஒருவர் உருவகப்படுத்த வேண்டிய அமைப்பைப் பொறுத்து, நமது வரம்பிற்கும் பொறுமைக்கும் அப்பாற்பட்ட ஒரு பணியாக இருக்கலாம். அதற்கு பதிலாக, ஒருவர் பின்வருவனவற்றைச் செய்ய முயற்சி செய்யலாம்ஃ i) ஒரு எளிய ஆரம்ப நிலைக்கு சிதைவை உருவாக்குங்கள், சில தயாரிப்பு நிலை என்று சொல்லலாம், இதற்கு சிதைவு நேரடியானது. ii) ஒரு ஹாமில்டோனியனின் தரை நிலையுடன் போதுமான உள்ளூர் மாற்றத்தின் மூலம் தொடர்புடையது Q (எடுத்துக்காட்டாக, TQG களின் விளைபொருளாக வெளிப்படுத்தக்கூடிய ஒன்று) iii) ஹாமில்டோனியனின் தரை நிலையை நோக்கி ஒரு கற்பனை-நேர பரிணாமத்தை உருவாக்குங்கள், அதன்படிஃ அல்லது, மாற்றாக, நேரத்தை சார்ந்த ஹாமில்டோனியனைப் பயன்படுத்தி ஒரு ஐசென்ட்ரோபிக் பரிணாமத்தை உருவகப்படுத்தவும், இது ஹாமில்டோனியனுக்கு இடையில் இடைக்கணிப்பு செய்கிறது, இது தயாரிப்பு நிலையை அதன் தரை நிலையாகக் கொண்டுள்ளது, ஹாமில்டோனியன்; பரிணாமம் மெதுவாக செய்யப்பட வேண்டும், அதாவது அமைப்பு எப்போதும் தரை நிலையில் இருக்கும் அல்லது குறைந்தபட்சம், அதற்கு மிக அருகில் இருக்கும். iv) இறுதியாக, ஹாமில்டோனியனைப் பயன்படுத்துவதில் மாநிலத்தின் நேர-பரிணாமத்தை உருவாக்குங்கள்ஃ பிழை ஆதாரங்கள் உருவகப்படுத்துதலில் உள்ள பிழைகள் சுசுகி-டிராட்டர் தோராயத்தின் விளைவாகும் மற்றும் ஹில்பர்ட் இடத்தை துண்டித்ததன் விளைவாகும். சுசுகி-டிராட்டர் விரிவாக்கத்திலிருந்து வரும் பிழைகள் வரிசையின் டிராட்டர் தோராயத்தின் விஷயத்தில், பிழை வரிசையில் உள்ளது. படிகளை கணக்கில் எடுத்துக் கொண்டால், டி நேரத்திற்குப் பிறகு ஏற்படும் பிழைஃ மதிப்பிடப்படாத நிலை என்னவென்றால்ஃ டிராட்டர் விரிவாக்கத்திற்குப் பிறகு மாநிலம் எங்கே வைக்கப்படுகிறது மற்றும் விரிவாக்கத்தைச் செய்யும்போது புறக்கணிக்கப்படும் பகுதியைக் கணக்கிடுகிறது. மொத்த பிழை அளவீடுகள் நேரத்துடன் பின்வருமாறுஃ டிராட்டர் பிழை சங்கிலியின் பரிமாணத்திலிருந்து சுயாதீனமாக உள்ளது. ஹில்பர்ட் இடத்தின் துண்டிக்கப்படுவதிலிருந்து வரும் பிழைகள் சிதைவு டி இல் உள்ள ஹில்பர்ட் இடத்தின் துண்டிக்கப்படுவதிலிருந்து எழும் பிழைகளைக் கருத்தில் கொண்டு, அவை இரு மடங்கு ஆகும். முதலாவதாக, நாம் மேலே பார்த்தது போல, ஷ்மிட் ஸ்பெக்ட்ரமின் மிகச்சிறிய பங்களிப்புகள் விடப்படுகின்றன, நிலை உண்மையுடன் பிரதிநிதித்துவப்படுத்தப்படுகிறதுஃ குறைக்கப்பட்ட அடர்த்தி மேட்ரிக்ஸின் நிராகரிக்கப்பட்ட அனைத்து ஐகென் மதிப்புகளின் கூட்டுத்தொகை எங்கே, பிணைப்பில். ஸ்டேட், ஒரு கொடுக்கப்பட்ட பிணைப்பில், ஷ்மிட் சிதைவால் விவரிக்கப்படுகிறதுஃ துண்டிக்கப்பட்ட பிறகு நிலை எங்கே வைக்கப்படுகிறது மற்றும் புறக்கணிக்கப்படும் மிகச்சிறிய, பொருத்தமற்ற ஷ்மிட் குணகங்களுடன் தொடர்புடைய ஐகென் செயல்பாடுகளால் உருவாக்கப்பட்ட நிலை. இப்போது, அவை ஆர்த்தோகனல் இடைவெளிகளுடன் தொடர்புடைய திசையன்களால் பரவியுள்ளன. டிராட்டர் விரிவாக்கத்தைப் போலவே அதே வாதத்தைப் பயன்படுத்தி, துண்டிக்கப்பட்ட பிறகு பிழை என்னவென்றால்ஃ அடுத்த பிணைப்புக்குச் சென்ற பிறகு, நிலை இதேபோல் உள்ளதுஃ இரண்டாவது துண்டிக்கப்பட்ட பிறகு, பிழைஃ மற்றும் பல, நாம் பிணைப்பிலிருந்து பிணைப்புக்குச் செல்லும்போது. சிதைவில் மடிக்கப்பட்ட இரண்டாவது பிழை மூலமானது மிகவும் நுட்பமானது மற்றும் அதற்கு கொஞ்சம் கணக்கீடு தேவைப்படுகிறது. நாம் முன்பு கணக்கிட்டபடி, பிணைப்பில் துண்டிக்கப்பட்ட பிறகு இயல்பாக்குதல் மாறிலிஃ இப்போது பிணைப்புக்குச் சென்று வலது கை ஷ்மிட் திசையன்களின் நெறிமுறையைக் கணக்கிடுவோம்; முழு ஷ்மிட் பரிமாணத்தை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வது, நெறிமுறைஃ, எங்கே. துண்டிக்கப்பட்ட இடத்தை கணக்கில் எடுத்துக் கொண்டால், நெறிமுறை பின்வருமாறுஃ வித்தியாசத்தை எடுத்துக் கொண்டால், நாம் பெறுகிறோம்ஃ எனவே, குறைக்கப்பட்ட அடர்த்தி மேட்ரிக்ஸை உருவாக்கும் போது, மேட்ரிக்ஸின் சுவடு காரணியால் பெருக்கப்படுகிறதுஃ மொத்த துண்டித்தல் பிழை மொத்த துண்டித்தல் பிழை, இரண்டு மூலங்களையும் கருத்தில் கொண்டு, மேல் வரம்புக்குட்பட்டதுஃ டிராட்டர் விரிவாக்கத்தைப் பயன்படுத்தும் போது, நாம் பிணைப்பிலிருந்து பிணைப்புக்கு நகரவில்லை, ஆனால் ஒரே சமநிலையின் பிணைப்புகளுக்கு இடையில் நகர்கிறோம்; மேலும், எஸ். டி 2 ஐப் பொறுத்தவரை, ஒற்றைப்படைக்கு இரட்டை மற்றும் இரட்டை ஆகியவற்றை ஸ்வீப் செய்கிறோம். ஆயினும்கூட, மேலே வழங்கப்பட்ட கணக்கீடு இன்னும் உள்ளது. குறைக்கப்பட்ட அடர்த்தி மேட்ரிக்ஸை உருவாக்கி அதன் தொடர்புடைய ஐகென் மதிப்புகளைத் தேர்ந்தெடுக்கும் ஒவ்வொரு முறையும், இயல்பாக்குதல் மாறிலியுடன் தொடர்ச்சியாக பெருக்குவதன் மூலம் பிழை மதிப்பீடு செய்யப்படுகிறது. "தகவமைப்பு" ஷ்மிட் பரிமாணம் துல்லியத்தை இழக்காமல் நிறைய கணக்கீட்டு நேரத்தை சேமிக்கக்கூடிய ஒரு விஷயம் என்னவென்றால், ஒவ்வொரு பிணைப்புக்கும் ஒரு நிலையான பரிமாணத்திற்கு பதிலாக வெவ்வேறு ஷ்மிட் பரிமாணத்தைப் பயன்படுத்துவது, வழக்கம் போல் தேவையான அளவு பொருத்தமான குணகங்களை மட்டுமே வைத்திருப்பது. எடுத்துக்காட்டாக, முதல் பிணைப்பை எடுத்துக் கொண்டால், கியூபிட்களைப் பொறுத்தவரை, ஷ்மிட் பரிமாணம் இரண்டு மட்டுமே. எனவே, முதல் பிணைப்பில், பயனற்ற வகையில் மூலைவிட்டமாக்குவதற்குப் பதிலாக, 10 ஆல் 10 அல்லது 20 ஆல் 20 மேட்ரிக்ஸ்கள் என்று சொல்லலாம், நாம் சாதாரண 2 ஆல் 2 க்குள் கட்டுப்படுத்தலாம், இதனால் வழிமுறை பொதுவாக வேகமாக இருக்கும். அதற்கு பதிலாக நாம் செய்யக்கூடியது என்னவென்றால், SD இன் ஐகென் மதிப்புகளுக்கு ஒரு வரம்பை அமைப்பது, வரம்பிற்கு மேலே உள்ளவற்றை மட்டுமே வைத்திருப்பது. சுசுகி-டிராட்டர் விரிவாக்கத்தைப் பயன்படுத்தி அதிவேக நேர-பரிணாம ஆபரேட்டரின் காரணிமயமாக்கல் காரணமாக நேரடியான இணையான சாத்தியத்தையும் டிஇபிடி வழங்குகிறது. ஒரு இணையான-டி. இ. பி. டி அதன் இணையற்ற எதிர்ப்பாளரின் அதே கணிதத்தைக் கொண்டுள்ளது, ஒரே வித்தியாசம் எண் செயல்பாட்டில் உள்ளது. குறிப்புகள் குவாண்டம் இயக்கவியல் கணக்கீட்டு இயற்பியல்