Pendulum (mechanics)
ஊசல் என்பது ஒரு நிலையான ஆதரவிலிருந்து தொங்கவிடப்பட்ட ஒரு பொருள், இதனால் அது ஈர்ப்பு விசையின் செல்வாக்கின் கீழ் சுதந்திரமாக முன்னும் பின்னுமாக ஊசலாடுகிறது. ஒரு ஊசல் அதன் ஓய்வு, சமநிலை நிலையில் இருந்து பக்கவாட்டில் இடம்பெயரும்போது, அது ஈர்ப்பு விசை காரணமாக மீட்டெடுக்கும் சக்திக்கு உட்பட்டது, இது அதை சமநிலை நிலையை நோக்கி துரிதப்படுத்தும். விடுவிக்கப்படும்போது, ஊசல் வெகுஜனத்தில் செயல்படும் மீட்டெடுக்கும் விசை அது சமநிலை நிலையை பற்றி ஊசலாடுகிறது, அதை முன்னும் பின்னுமாக சுழற்றுகிறது. ஊசல் கணிதம் பொதுவாக மிகவும் சிக்கலானது. எளிமையான அனுமானங்கள் செய்யப்படலாம், இது ஒரு எளிய ஊசல் விஷயத்தில் இயக்கத்தின் சமன்பாடுகளை சிறிய கோண அலைவுகளுக்கு பகுப்பாய்வு ரீதியாக தீர்க்க அனுமதிக்கிறது. எளிய ஈர்ப்பு ஊசல் ஒரு எளிய ஈர்ப்பு ஊசல் ஒரு உண்மையான ஊசல் ஒரு இலட்சியப்படுத்தப்பட்ட கணித மாதிரி ஆகும். இது உராய்வு இல்லாமல், ஒரு மையத்திலிருந்து தொங்கவிடப்பட்ட ஒரு வெகுஜன தண்டு முடிவில் ஒரு எடை (அல்லது பாப்) ஆகும். இந்த மாதிரியில் உராய்வு ஆற்றல் இழப்பு இல்லை என்பதால், ஆரம்ப இடப்பெயர்ச்சி கொடுக்கப்படும்போது அது ஒரு நிலையான வீச்சில் முன்னும் பின்னுமாக மாறும். மாதிரி இந்த அனுமானங்களை அடிப்படையாகக் கொண்டதுஃ பாப் ஊசலாடும் தடி அல்லது தண்டு வெகுஜனமற்றது, விரிவாக்க முடியாதது மற்றும் எப்போதும் இறுக்கமாக இருக்கும். பாப் என்பது ஒரு புள்ளி நிறை. இயக்கம் இரண்டு பரிமாணங்களில் மட்டுமே நிகழ்கிறது, அதாவது. பாப் ஒரு நீள்வட்டத்தை அல்ல, ஆனால் ஒரு வளைவைக் கண்டுபிடிக்கும். இந்த இயக்கம் உராய்வு அல்லது காற்று எதிர்ப்புக்கு ஆற்றலை இழக்காது. ஈர்ப்பு விசை ஒரே மாதிரியாக உள்ளது. ஆதரவு நகரவில்லை. ஒரு எளிய ஊசல் இயக்கத்தைக் குறிக்கும் வேறுபாடு சமன்பாடு ஈர்ப்பு விசையின் அளவு, தடி அல்லது தண்டின் நீளம் மற்றும் செங்குத்திலிருந்து ஊசல் வரை உள்ள கோணம் ஆகும். சிறிய கோண தோராயமானது மேலே கொடுக்கப்பட்ட வேறுபட்ட சமன்பாடு எளிதில் தீர்க்கப்படுவதில்லை, மேலும் அடிப்படை செயல்பாடுகளின் அடிப்படையில் எழுதக்கூடிய தீர்வு எதுவும் இல்லை. இருப்பினும், ஊசலாட்டத்தின் வீச்சின் அளவிற்கு ஒரு கட்டுப்பாட்டைச் சேர்ப்பது ஒரு வடிவத்தை வழங்குகிறது, அதன் தீர்வை எளிதில் பெற முடியும். கோணம் 1 ரேடியனை விட மிகக் குறைவு என்று கருதப்பட்டால் (பெரும்பாலும் 0.01 ரேடியன்களுக்கும் குறைவாக, சுமார் 6° என மேற்கோள் காட்டப்படுகிறது), அல்லது பின்னர் சிறிய கோண தோராயத்தைப் பயன்படுத்துவதற்கு மாற்றாக, ஒரு ஹார்மோனிக் ஆஸிலேட்டருக்கான சமன்பாட்டை வழங்குகிறது, தோராயத்தின் காரணமாக ஏற்படும் பிழை வரிசையில் உள்ளது (டெய்லர் விரிவாக்கத்திலிருந்து). தொடக்க கோணம் இருக்கட்டும். ஊசல் பூஜ்ஜிய கோண வேகத்துடன் வெளியிடப்படுகிறது என்று கருதப்பட்டால், தீர்வு ஆகிறது இயக்கம் என்பது எளிய ஹார்மோனிக் இயக்கம், அங்கு ஊசலாட்டத்தின் வீச்சு (அதாவது ஊசல் மற்றும் செங்குத்து கம்பிக்கு இடையிலான அதிகபட்ச கோணம்). இயக்கத்தின் தொடர்புடைய தோராயமான காலம் பின்னர் அந்த காலகட்டத்திற்கான கிறிஸ்டியன் ஹைஜென்ஸ் விதி என்று அழைக்கப்படுகிறது. சிறிய கோண தோராயத்தின் கீழ், காலம் வீச்சிலிருந்து சுயாதீனமாக உள்ளது என்பதை நினைவில் கொள்க; இது கலிலியோ கண்டுபிடித்த ஐசோக்ரோனிசத்தின் பண்பு. ஊசல் நீளத்திற்கான கட்டைவிரல் விதி எஸ். ஐ அலகுகள் பயன்படுத்தப்பட்டால் (அதாவது. மீட்டர் மற்றும் வினாடிகளில் அளவிடுதல்), மற்றும் பூமியின் மேற்பரப்பில் அளவீடு நடைபெறுகிறது என்று கருதி, பின்னர், மற்றும் (0.994 என்பது 3 தசம இடங்களுக்கான தோராயமாகும்). எனவே, நீளம் மற்றும் காலத்திற்கான ஒப்பீட்டளவில் நியாயமான தோராயங்கள்ஃ இரண்டு துடிப்புகளுக்கு இடையிலான விநாடிகளின் எண்ணிக்கை எங்கே (ஊஞ்சலின் ஒவ்வொரு பக்கத்திற்கும் ஒரு துடிப்பு), மற்றும் மீட்டர்களில் அளவிடப்படுகிறது. சிறிய கோண தோராயத்திற்கு அப்பாற்பட்ட வீச்சுகளுக்கு, ஆற்றல் முறை () இலிருந்து பெறப்பட்ட கோண வேகத்திற்கான சமன்பாட்டை முதலில் தலைகீழாக மாற்றி, பின்னர் ஒரு முழுமையான சுழற்சியில் ஒருங்கிணைப்பதன் மூலம், அல்லது அரை சுழற்சியை இரண்டு முறை அல்லது கால் சுழற்சியை நான்கு முறை ஒருங்கிணைப்பதன் மூலம் சரியான கால அளவைக் கணக்கிடலாம். (மாறாக, அதன் அதிகபட்சத்திற்கு அருகில் உள்ள ஒரு ஊசல் கீழே விழுவதற்கு தன்னிச்சையாக நீண்ட நேரம் ஆகலாம்.) இந்த ஒருங்கிணைப்பை நீள்வட்ட ஒருங்கிணைப்புகளின் அடிப்படையில் மீண்டும் எழுதலாம், இதில் வரையறுக்கப்பட்ட முதல் வகையின் முழுமையற்ற நீள்வட்ட ஒருங்கிணைப்பு எங்கே அல்லது மிகவும் சுருக்கமாக மாற்றீடு மூலம் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது, இங்கே வரையறுக்கப்பட்ட முதல் வகையின் முழுமையான நீள்வட்ட ஒருங்கிணைப்பு முழு தீர்வுடன் தோராயமாக ஒப்பிடுகையில், பூமியில் 1 மீ நீளமுள்ள ஒரு ஊசல் காலம் (=) ஆரம்ப கோணத்தில் 10 டிகிரி ஆகும். இங்கிருந்து நீள்வட்ட ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிட பல வழிகள் உள்ளன. நீள்வட்ட ஒருங்கிணைப்புக்கான லெஜெண்ட்ரே பல்லுறுப்புக்கோவை தீர்வு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது மற்றும் நீள்வட்ட ஒருங்கிணைப்புக்கான லெஜெண்ட்ரே பல்லுறுப்புக்கோவை தீர்வுஃ இரட்டை காரணியைக் குறிக்கும் இடத்தில், ஒரு எளிய ஊசல் காலத்திற்கு ஒரு சரியான தீர்வுஃ படம் 4 சக்தி தொடரைப் பயன்படுத்தி தொடர்புடைய பிழைகளைக் காட்டுகிறது. இது நேரியல் தோராயமாகும், மேலும் முறையே 2 வது முதல் 10 வது சக்திகள் வரை உள்ள சொற்களை சேர்க்க வேண்டும். நீள்வட்ட ஒருங்கிணைப்புக்கான சக்தி தொடர் தீர்வு மேலே உள்ள லெஜெண்டர் பல்லுறுப்புக்கோவை கரைசலில் பின்வரும் மக்லாரின் தொடர் பயன்படுத்தப்பட்டால் மேலே உள்ள கரைசலின் மற்றொரு சூத்திரத்தைக் காணலாம். இதன் விளைவாக வரும் பவர் சீரிஸ் பின்வருமாறுஃ முழு எண் வரிசைகளின் ஆன்-லைன் என்சைக்ளோபீடியாவில் எண்கள் மற்றும் வகுப்புகளைக் கொண்ட கூடுதல் பின்னங்கள் உள்ளன. நீள்வட்ட ஒருங்கிணைப்புக்கான எண்கணித-வடிவியல் சராசரி தீர்வு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது மற்றும் நீள்வட்ட ஒருங்கிணைப்பின் எண்கணித-வடிவியல் சராசரி தீர்வுஃ மற்றும் இன் எண்கணித-வடிவியல் சராசரி எங்கே. இது காலத்திற்கு ஒரு மாற்று மற்றும் வேகமான-ஒருங்கிணைப்பு சூத்திரத்தை அளிக்கிறதுஃ இந்த வழிமுறையின் முதல் மறு செய்கை இந்த தோராயத்தை 96.11 டிகிரி வரை கோணங்களுக்கு 1 சதவீதத்திற்கும் குறைவான ஒப்பீட்டு பிழையைக் கொண்டுள்ளது. இரண்டாவது வரிசை விரிவாக்கம் இந்த வழிமுறையின் இரண்டாவது மறு செய்கைக்கு குறைகிறது இந்த இரண்டாவது தோராயமானது 163.10 டிகிரி வரை கோணங்களுக்கு 1 சதவீதத்திற்கும் குறைவான ஒப்பீட்டு பிழையைக் கொண்டுள்ளது. நேரியல் அல்லாத ஊசல் காலத்திற்கான தோராயமான சூத்திரங்கள் எந்தவொரு வரையறுக்கப்பட்ட வீச்சு ரேடிற்கும், தொடர்புடைய முழுமையான நீள்வட்ட ஒருங்கிணைப்பை மதிப்பிடுவதன் மூலம், சரியான காலத்தை தீர்மானிக்க முடியும் என்றாலும், இது பெரும்பாலும் பயன்பாடுகளில் தவிர்க்கப்படுகிறது, ஏனெனில் இந்த ஒருங்கிணைப்பை ஒரு மூடிய வடிவத்தில் அடிப்படை செயல்பாடுகளின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்த முடியாது. இது வீச்சுடன் ஊசல் காலத்தை அதிகரிப்பதற்கான எளிய தோராயமான சூத்திரங்கள் குறித்த ஆராய்ச்சிக்கு வழி வகுத்துள்ளது (அறிமுக இயற்பியல் ஆய்வகங்கள், கிளாசிக்கல் மெக்கானிக்ஸ், மின்காந்தவியல், ஒலியியல், மின்னணுவியல், சூப்பர் கண்டக்டிவிட்டி போன்றவற்றில் பயனுள்ளதாக இருக்கும். வெவ்வேறு எழுத்தாளர்களால் கண்டறியப்பட்ட தோராயமான சூத்திரங்களை பின்வருமாறு வகைப்படுத்தலாம்ஃ 'அவ்வளவு பெரிய கோணம் அல்ல' சூத்திரங்கள், அதாவது. ரேடிற்குக் கீழே உள்ள வீச்சுகளுக்கான நல்ல மதிப்பீடுகளை வழங்குபவை (நெகிழ்வான சரத்தின் முடிவில் ஒரு பாபுக்கு ஒரு இயற்கையான வரம்பு), இருப்பினும் சரியான காலத்தைப் பொறுத்தவரை விலகல் வீச்சுடன் சலிப்பாக அதிகரிக்கிறது, ரேடிற்கு அருகிலுள்ள வீச்சுகளுக்கு பொருந்தாது. இலக்கியத்தில் காணப்படும் எளிய சூத்திரங்களில் ஒன்று லிமா (2006) எழுதிய பின்வருவனவாகும்ஃ, எங்கே. 'மிகவும் பெரிய கோணம்' சூத்திரங்கள், அதாவது. அவை ரேடிற்கு அருகிலுள்ள வீச்சுகளுக்கு அறிகுறியற்ற சரியான காலத்தை தோராயமாக மதிப்பிடுகின்றன, சிறிய வீச்சுகளுக்கு (அதாவது, சிறிய வீச்சுகளுக்கு பொருந்தாது) சலிப்பாக அதிகரிக்கும் பிழையுடன். அத்தகைய சிறந்த சூத்திரங்களில் ஒன்று குரோமர் மூலம், அதாவதுஃ நிச்சயமாக, ஒரு கடினமான கம்பி அல்லது வட்டைப் பயன்படுத்தி பல சோதனைகளில் காணப்பட்டதைப் போல, வீச்சுடன் அதிகரிப்பு மிகவும் வெளிப்படையானது. அறிமுக இயற்பியல் ஆய்வகங்களில் கூட துல்லியமான டைமர்கள் மற்றும் சென்சார்கள் தற்போது கிடைப்பதால், 'மிகப் பெரிய கோண' சோதனைகளில் காணப்படும் சோதனை பிழைகள் ஏற்கனவே துல்லியமான காலத்துடன் ஒப்பிடுவதற்கு போதுமான அளவு சிறியவை மற்றும் கோட்பாடு மற்றும் சோதனைகளுக்கு இடையே ஒரு நல்ல ஒப்பந்தம் இதில் உராய்வு மிகக் குறைவு கண்டறியப்பட்டுள்ளது. இந்த செயல்பாடு பல பயிற்றுவிப்பாளர்களால் ஊக்குவிக்கப்பட்டுள்ளதால், சாத்தியமான அனைத்து வீச்சுகளுக்கும் செல்லுபடியாகும் ஊசல் காலத்திற்கான ஒரு எளிய தோராயமான சூத்திரம், சோதனைத் தரவை ஒப்பிட முடியும். 2008 ஆம் ஆண்டில், லிமா இந்த குணாதிசயத்துடன் ஒரு எடையுள்ள-சராசரி சூத்திரத்தைப் பெற்றதுஃ எங்கே, இது அதிகபட்ச பிழையை 0.6% (at) மட்டுமே வழங்குகிறது. தன்னிச்சையான-வீச்சு கோண இடப்பெயர்ச்சி ஃபோரியர் தொடர் விரிவாக்கம் நீள்வட்ட பெயர் எங்கே, மற்றும் கோண அதிர்வெண் மூலம் வழங்கப்படுகிறது. ஒன்று வரையறுத்தால் விரிவாக்கத்தைப் பயன்படுத்தி தோராயமாக மதிப்பிட முடியும் (பார்க்க). நம்மிடம் உள்ளது என்பதை நினைவில் கொள்க, எனவே தோராயமானது பெரிய வீச்சுகளுக்கு கூட பொருந்தும். சமமாக, கோணத்தை சிறிய மாடுலஸுடன் ஜாகோபி நீள்வட்ட செயல்பாட்டின் அடிப்படையில் கொடுக்கலாம், எனவே பெண்டுலம் (இயக்கவியல்) #Small-கோண தோராயத்தில் கொடுக்கப்பட்டுள்ள தீர்வால் தீர்வு நன்கு மதிப்பிடப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டுகள் கீழே உள்ள அனிமேஷன்கள் பாபின் ஆரம்ப இடப்பெயர்ச்சியின் அதிகரித்த அளவுகளுடன் ஒரு எளிய (உராய்வு இல்லாத) ஊசல் இயக்கத்தை சித்தரிக்கின்றன. ஒவ்வொரு ஊசல் மேலே சிறிய வரைபடம் தொடர்புடைய கட்டம் விமான வரைபடம் ஆகும்; கிடைமட்ட அச்சு இடப்பெயர்ச்சி மற்றும் செங்குத்து அச்சு வேகம் ஆகும். ஈரமான, இயக்கப்படும் ஊசல் மேலே உள்ள விவாதம் ஈர்ப்பு விசையால் மட்டுமே செயல்படும் ஒரு ஊசல் பாப் மீது கவனம் செலுத்துகிறது. இங்கே நாம் அதற்கு பதிலாக ஒரு டாம்பிங் சக்தியை கருதுகிறோம், எ. கா. காற்று எதிர்ப்பு, அதே போல் ஒரு சைனுசாய்டல் உந்து சக்தி உடலில் செயல்படுகிறது. இந்த அமைப்பு ஒரு ஈரமான, இயக்கப்படும் ஊசலாட்டமாகும், மேலும் குழப்பமாக உள்ளது. சமன்பாடு (1) ஐ இவ்வாறு எழுதலாம் (மேலே உள்ள சமன்பாடு (1) இன் டார்க் வழித்தோன்றலைப் பார்க்கவும்). டாம்பிங் ஜோடி கோண வேகத்திற்கு விகிதாசாரமாக இருக்கும் என்று நாம் கருதிய இடத்தைப் பெற இப்போது வலது புறத்தில் ஒரு டாம்பிங் சொல் மற்றும் ஒரு கட்டாயச் சொல்லைச் சேர்க்கலாம் (இது குறைந்த வேக காற்று எதிர்ப்புக்கு பொருந்தும், மேலும் இழுக்கவும் (இயற்பியல்) பார்க்கவும்). மேலும் அவை முறையே கட்டாயத்தின் வீச்சு மற்றும் தணிப்பின் அளவை வரையறுக்கும் மாறிலிகள் ஆகும். இது ஓட்டுநர் அலைவுகளின் கோண அதிர்வெண் ஆகும். இந்த சமன்பாட்டைப் பெறுவதற்கு பொருத்தமாக மாறிலிகளைப் பிரிப்பதன் மூலமும் மறுவரையறை செய்வதன் மூலமும் நாம் இப்போது எளிமைப்படுத்தலாம். இந்த ஊசல் சரியான இயக்கம் மட்டுமே எண் கண்டுபிடிக்க முடியும் மற்றும் ஆரம்ப நிபந்தனைகளை மிகவும் சார்ந்துள்ளது, எ. கா. ஆரம்ப வேகம் மற்றும் தொடக்க வீச்சு. இருப்பினும், மேலே கோடிட்டுக் காட்டப்பட்ட சிறிய கோண தோராயத்தை இன்னும் தோராயமான பகுப்பாய்வு தீர்வை வழங்க தேவையான நிபந்தனைகளின் கீழ் பயன்படுத்தலாம். கூட்டு ஊசல் ஒரு கூட்டு ஊசல் (அல்லது இயற்பியல் ஊசல்) என்பது தடி வெகுஜனமற்றதாக இல்லாத, நீட்டிக்கப்பட்ட அளவைக் கொண்டிருக்கலாம்; அதாவது, ஒரு மையத்தால் அசைந்திருக்கும் தன்னிச்சையான வடிவிலான கடினமான உடல். இந்த விஷயத்தில் ஊசல் காலம் மைய புள்ளியைச் சுற்றியுள்ள அதன் மந்தநிலையின் தருணத்தைப் பொறுத்தது. முறுக்குவிசையின் சமன்பாடு கொடுக்கிறதுஃ எங்கேஃ கோண முடுக்கம். முறுக்கு முறுக்குவிசை ஈர்ப்பு விசையால் உருவாக்கப்படுகிறதுஃ இங்குஃ உடலின் நிறை என்பது மையத்திலிருந்து பொருளின் வெகுஜன மையத்திற்கு உள்ள தூரம் செங்குத்தான கோணமாகும் எனவே, சிறிய கோண தோராயத்தின் கீழ், மைய புள்ளியைப் பற்றி உடலின் மந்தநிலையின் தருணம் எங்கே. ஆரம்ப கோணத்தை (பெரிய வீச்சுகளுக்கு) கணக்கில் எடுத்துக் கொண்டால், அதன் வெளிப்பாடு பின்வருமாறு மாறும்ஃ மேலும் இது ஒரு காலகட்டத்தைக் கொடுக்கிறதுஃ அதிகபட்ச அலைவு கோணம் எங்கே (செங்குத்தைப் பொறுத்தவரை) மற்றும் இது முதல் வகையின் முழுமையான நீள்வட்ட ஒருங்கிணைப்பாகும். கற்பனை காலத்தின் இயற்பியல் விளக்கம் ஒரு ஊசல் நிலையை நேரத்தின் செயல்பாடாக வெளிப்படுத்தும் ஜாகோபியன் நீள்வட்ட செயல்பாடு ஒரு உண்மையான காலம் மற்றும் கற்பனை காலத்துடன் இரட்டிப்பு கால செயல்பாடாகும். உண்மையான காலம், நிச்சயமாக, ஊசல் ஒரு முழு சுழற்சியை கடக்க எடுக்கும் நேரம். பால் அப்பெல் கற்பனைக் காலத்தின் இயற்பியல் விளக்கத்தை சுட்டிக்காட்டினார்ஃ ஒரு ஊசல் அதிகபட்ச கோணமாகவும் மற்றொரு ஊசல் அதிகபட்ச கோணமாகவும் இருந்தால், ஒவ்வொன்றின் உண்மையான காலம் மற்றொன்றின் கற்பனைக் காலத்தின் அளவு ஆகும். ஜோடி ஊசல் ஜோடி ஊசல் ஒருவருக்கொருவர் இயக்கத்தை பாதிக்கலாம், ஒரு திசை இணைப்பு மூலம் (பாப்ஸை இணைக்கும் ஒரு ஸ்பிரிங் போன்றவை) அல்லது ஒரு துணை கட்டமைப்பில் உள்ள இயக்கங்கள் மூலம் (டேபிள் டாப் போன்றவை). இரண்டு ஒத்த எளிய ஊசலாட்டங்களுக்கான இயக்கத்தின் சமன்பாடுகள் பாப்ஸை இணைக்கும் ஒரு ஸ்பிரிங் மூலம் இணைக்கப்பட்டு லாக்ராஞ்சியன் இயக்கவியலைப் பயன்படுத்தி பெறலாம். அமைப்பின் இயக்க ஆற்றல்ஃ பாப்களின் நிறை எங்கே, சரங்களின் நீளம், மற்றும், சமநிலையிலிருந்து இரண்டு பாப்களின் கோண இடப்பெயர்வுகள். அமைப்பின் நிலை ஆற்றல்ஃ ஈர்ப்பு முடுக்கம் எங்கே, மற்றும் வசந்த மாறிலி ஆகும். அதன் சமநிலை நிலையில் இருந்து நீரூற்றின் இடப்பெயர்ச்சி சிறிய கோண தோராயத்தை எடுத்துக்கொள்கிறது. லாக்ராஞ்சியன் என்பது பின்வரும் இணைக்கப்பட்ட வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் தொகுப்புக்கு வழிவகுக்கிறதுஃ இந்த இரண்டு சமன்பாடுகளையும் சேர்த்துக் கழித்தல், சிறிய கோண தோராயத்தைப் பயன்படுத்துதல், மாறிகளில் இரண்டு ஹார்மோனிக் ஆஸிலேட்டர் சமன்பாடுகளை வழங்குகிறது மற்றும்ஃ தொடர்புடைய தீர்வுகளுடன், மற்றும்,, ஒருங்கிணைப்பின் மாறிலிகள். தீர்வுகளை தனித்தனியாக வெளிப்படுத்துதல்ஃ பாப்களுக்கு ஒரு ஆரம்ப உந்துதல் கொடுக்கப்படாவிட்டால், நிபந்தனை தேவைப்படுகிறது, இது கொடுக்கிறது (சில மறுசீரமைப்புக்குப் பிறகு): மேலும் காண்க ஹார்மோனோகிராஃப் கூம்பு ஊசல் சைக்ளாய்டல் ஊசல் இரட்டை ஊசல் தலைகீழ் ஊசல் காபிட்ஸாவின் ஊசல் ரேலே-லோரென்ட்ஸ் ஊசல் நெகிழ்வான ஊசல் மத்தேயு செயல்பாடு ஊசல் சமன்பாடுகள் (மென்பொருள்) குறிப்புகள் மேலும் வாசிப்பு வெளிப்புற இணைப்புகள் கணித உலகக் கட்டுரை மத்தேயு செயல்பாடு வேறுபாடு சமன்பாடுகள் இயக்கவியல் அமைப்புகள் கணித இயற்பியல் கணிதம்