Class formation
கணிதத்தில், ஒரு வர்க்க உருவாக்கம் என்பது சில நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்யும் ஒரு தொகுதியின் மீது செயல்படும் ஒரு இடவியல் குழுவாகும். கிளாஸ் ஃபீல்ட் கோட்பாட்டில் தோன்றும் பல்வேறு கலோயிஸ் குழுக்கள் மற்றும் தொகுதிகளை ஒழுங்கமைக்க எமில் ஆர்ட்டின் மற்றும் ஜான் டேட் ஆகியோரால் கிளாஸ் அமைப்புகள் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டன. வரையறைகள் A உருவாக்கம் என்பது ஒரு இடவியல் குழு G உடன் ஒரு இடவியல் G-தொகுதி A உடன் இணைந்து G தொடர்ந்து செயல்படுகிறது. ஒரு உருவாக்கத்தின் ஒரு அடுக்கு E/F என்பது E இன் ஒரு ஜோடி திறந்த துணைக்குழுக்கள், G இன் F என்பது E இன் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட குறியீட்டு துணைக்குழுவாகும். F என்பது E இன் சாதாரண துணைக்குழுவாக இருந்தால் அது ஒரு சாதாரண அடுக்கு என்றும், கூடுதலாக ஈவு குழு சுழற்சியாக இருந்தால் ஒரு சுழற்சி அடுக்கு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. E என்பது G இன் துணைக்குழுவாக இருந்தால், AE என்பது E ஆல் நிர்ணயிக்கப்பட்ட A இன் கூறுகளாக வரையறுக்கப்படுகிறது. (சில எழுத்தாளர்கள் E மற்றும் F ஐ G இன் துணைக்குழுவை விட நிலையான புலங்களாக நினைக்கிறார்கள், எனவே E/F க்கு பதிலாக F/E ஐ எழுதுங்கள்.) பயன்பாடுகளில், G என்பது பெரும்பாலும் ஒரு புலத்தின் முழுமையான கலோயிஸ் குழுவாகும், குறிப்பாக வரம்பற்றது, எனவே திறந்த துணைக்குழுக்கள் சில நிலையான பிரிக்கக்கூடிய மூடுதலில் உள்ள புலத்தின் வரையறுக்கப்பட்ட நீட்டிப்புகளுடன் ஒத்திருக்கின்றன. ஒரு வர்க்க உருவாக்கம் என்பது ஒவ்வொரு இயல்பான அடுக்குக்கும் E/F H1 (E/F) அற்பமானது, மற்றும் H2 (E/F) என்பது |E F | வரிசையின் சுழற்சி ஆகும். நடைமுறையில், இந்த சுழற்சி குழுக்களுக்கு அடிப்படை வகுப்புகள் என்று அழைக்கப்படும் நியமன ஜெனரேட்டர்கள் uE/F ωH2 (E/F) வழங்கப்படுகின்றன, அவை ஒரு அடிப்படை வகுப்பின் கட்டுப்பாடு (கோஹோமோலஜி வகுப்புகளின்) மற்றொரு அடிப்படை வகுப்பாகும் என்ற பொருளில் ஒருவருக்கொருவர் இணக்கமாக உள்ளன. பெரும்பாலும் அடிப்படை வகுப்புகள் ஒரு வர்க்க உருவாக்கத்தின் கட்டமைப்பின் ஒரு பகுதியாக கருதப்படுகின்றன. H1 (E/F) = 1 என்ற நிபந்தனையை மட்டுமே திருப்திப்படுத்தும் ஒரு உருவாக்கம் சில நேரங்களில் புலம் உருவாக்கம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, G என்பது L மற்றும் A = L × புலத்தில் செயல்படும் ஏதேனும் வரையறுக்கப்பட்ட குழுவாக இருந்தால், இது ஹில்பர்ட்டின் தேற்றம் 90 ஆல் உருவாக்கப்பட்ட புலமாகும். எடுத்துக்காட்டுகள் வர்க்க அமைப்புகளின் மிக முக்கியமான எடுத்துக்காட்டுகள் பின்வருமாறுஃ ஆர்க்கிமிடியன் லோக்கல் கிளாஸ் ஃபீல்ட் கோட்பாடுஃ தொகுதி A என்பது பூஜ்ஜியமற்ற சிக்கலான எண்களின் குழு, மற்றும் G என்பது அற்பமானது அல்லது சிக்கலான இணைப்பால் உருவாக்கப்பட்ட வரிசை 2 இன் சுழற்சி குழுவாகும். வரையறுக்கப்பட்ட புலங்கள்ஃ தொகுதி A என்பது முழு எண்கள் (அற்பமான G-செயலுடன்), மற்றும் G என்பது ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட புலத்தின் முழுமையான கலோயிஸ் குழுவாகும், இது முழு எண்களின் வரம்பற்ற நிறைவுக்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும். பண்புக்கூறு p> 0 இன் உள்ளூர் வகுப்பு புலக் கோட்பாடுஃ தொகுதி A என்பது ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட புலத்தின் மீது முறையான லாரண்ட் தொடரின் புலத்தின் பிரிக்கக்கூடிய இயற்கணித மூடல் ஆகும், மேலும் G என்பது கலோயிஸ் குழு ஆகும். பண்புக்கூறு 0 இன் ஆர்க்கிமீடியன் அல்லாத உள்ளூர் வகுப்பு புலக் கோட்பாடுஃ தொகுதி A என்பது p-adic எண்களின் புலத்தின் இயற்கணித மூடல், மற்றும் G என்பது கலோயிஸ் குழு. பண்பு p> 0 இன் உலகளாவிய வகுப்பு புலக் கோட்பாடுஃ தொகுதி A என்பது ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட புலத்தின் மீது சில செயல்பாட்டு புலத்தின் பிரிக்கக்கூடிய வரையறுக்கப்பட்ட நீட்டிப்புகளின் இலட்சிய வகுப்புகளின் குழுக்களின் ஒன்றிணைப்பாகும், மேலும் G என்பது கலோயிஸ் குழுவாகும். பண்பு 0 இன் உலகளாவிய வகுப்பு புலக் கோட்பாடுஃ தொகுதி A என்பது இயற்கணித எண் புலங்களின் இலட்சிய வகுப்புகளின் குழுக்களின் ஒன்றிணைப்பாகும், மேலும் G என்பது A இல் செயல்படும் விகிதமுறு எண்களின் (அல்லது சில இயற்கணித எண் புலம்) கலோயிஸ் குழுவாகும். வரையறுக்கப்பட்ட புலம் வழக்கு மற்றும் ஆர்க்கிமிடியன் உள்ளூர் புலம் வழக்கு ஆகியவற்றிற்கான வகுப்பு உருவாக்கம் பண்புகளை சரிபார்க்க எளிதானது, ஆனால் மீதமுள்ள வழக்குகள் மிகவும் கடினமானவை. வர்க்க களக் கோட்பாட்டின் பெரும்பாலான கடின உழைப்பு இவை உண்மையில் வர்க்க அமைப்புகள் என்பதை நிரூபிப்பதாகும். கீழே உள்ள பிரிவுகளில் விவரிக்கப்பட்டுள்ளபடி இது பல படிகளில் செய்யப்படுகிறது. முதல் சமத்துவமின்மை வர்க்க புலக் கோட்பாட்டின் முதல் சமத்துவமின்மை, சுழற்சி அடுக்குகள் E/F க்கு |H0 (E/F) | ≤ |E F | என்று கூறுகிறது. இது பொதுவாக ஹெர்பிராண்ட் விகிதத்தின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி நிரூபிக்கப்படுகிறது, மிகவும் துல்லியமான வடிவத்தில் |H0 (E/F) | = |E F | × |H1 (E/F) |. இது நிரூபிக்க மிகவும் நேரடியானது, ஏனென்றால் ஹெர்பிராண்ட் ஈவு வேலை செய்ய எளிதானது, ஏனெனில் இது குறுகிய துல்லியமான வரிசைகளில் பெருக்கப்படுகிறது, மேலும் வரையறுக்கப்பட்ட தொகுதிகளுக்கு 1 ஆகும். சுமார் 1950 க்கு முன்பு, முதல் சமத்துவமின்மை இரண்டாவது சமத்துவமின்மை என்றும், அதற்கு நேர்மாறாகவும் அறியப்பட்டது. இரண்டாவது சமத்துவமின்மை வர்க்க புலக் கோட்பாட்டின் இரண்டாவது சமத்துவமின்மை அனைத்து இயல்பான அடுக்குகளுக்கும் |H0 (E/F) | ≤ |E F | என்று கூறுகிறது. உள்ளூர் புலங்களைப் பொறுத்தவரை, இந்த சமத்துவமின்மை ஹில்பர்ட்டின் தேற்றம் 90 இலிருந்து முதல் சமத்துவமின்மை மற்றும் குழு ஒத்திசைவியலின் சில அடிப்படை பண்புகளுடன் எளிதில் பின்பற்றப்படுகிறது. இரண்டாவது சமத்துவமின்மை முதன்முதலில் உலகளாவிய புலங்களுக்கு வெபரால் எல் தொடர் எண் புலங்களின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி நிரூபிக்கப்பட்டது, பின்வருமாறு. E/F அடுக்கு உலகளாவிய புலங்களின் விரிவாக்கத்திற்கு ஒத்திருக்கிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம். K ஒன்னின் டெடெகிண்ட் ஜீட்டா செயல்பாட்டைப் படிப்பதன் மூலம், K இன் டிகிரி 1 பகா எண்கள் s = 1 இல் உள்ள துருவத்தின் வரிசையால் கொடுக்கப்பட்ட டிரிக்லெட் அடர்த்தியைக் கொண்டுள்ளன என்பதைக் காட்டுகிறது, இது 1 ஆகும் (K என்பது விகிதமுறுப்புகள் என்றால், ரீமன் ஜீட்டா செயல்பாட்டின் s = 1 இல் துருவத்தைப் பயன்படுத்தி எண்ணற்ற பல பகா எண்கள் உள்ளன என்பதற்கு இது அடிப்படையில் ஆய்லரின் சான்றாகும்.) ஒரு நெறிமுறையான k இல் உள்ள ஒவ்வொரு பகா எண்ணும் k இன் டிகிரி (K/k) = |E F | தனித்துவமான டிகிரி 1 பகா எண்களின் பெருக்கல் என்பதால், k இன் பகா எண்களின் தொகுப்பு 1/|E F | அடர்த்தியைக் கொண்டுள்ளது என்பதை இது காட்டுகிறது. மறுபுறம், H0 (E/F) குழுவின் டிரிக்லெட் எல்-தொடர் எழுத்துக்களைப் படிப்பதன் மூலம், இந்த குழுவின் அற்பமான உறுப்பைக் குறிக்கும் k இன் பகா எண்களின் டிரிக்லெட் அடர்த்தி 1/|H0 (E/F) | அடர்த்தியைக் கொண்டுள்ளது என்பதைக் காட்டுகிறது. (ஆதாரத்தின் இந்த பகுதி எண்கணித முன்னேற்றங்களில் எண்ணற்ற பல பகா எண்கள் உள்ளன என்பதற்கான டிரிக்லெட்டின் ஆதாரத்தின் பொதுமைப்படுத்தலாகும்.) ஆனால் ஒரு பகா எண் H0 (E/F) குழுவின் ஒரு அற்பமான உறுப்பைக் குறிக்கிறது, அது ஒரு நெறிமுறை மாடுலோ முதன்மை இலட்சியங்களுக்கு சமமாக இருந்தால், எனவே இந்த தொகுப்பு குறைந்தபட்சம் நெறிமுறைகளாக இருக்கும் பகா எண்களின் தொகுப்பைப் போலவே அடர்த்தியாக இருக்கும். எனவே 1/|H0 (E/F) | ≤1/|E F | இது இரண்டாவது சமத்துவமின்மை. 1940 ஆம் ஆண்டில் செவால்லி இரண்டாவது சமத்துவமின்மைக்கு முற்றிலும் இயற்கணித ஆதாரத்தைக் கண்டுபிடித்தார், ஆனால் இது வெபரின் அசல் ஆதாரத்தை விட நீளமாகவும் கடினமாகவும் உள்ளது. 1950 க்கு முன்னர், இரண்டாவது சமத்துவமின்மை முதல் சமத்துவமின்மை என்று அழைக்கப்பட்டது; செவால்லியின் இயற்கணித ஆதாரம் முதல் சமத்துவமின்மையைப் பயன்படுத்துவதால் பெயர் மாற்றப்பட்டது. தக்காகி ஒரு வர்க்கப் புலத்தை இரண்டாவது சமத்துவமின்மையில் சமத்துவம் இருக்கும் ஒன்று என்று வரையறுத்தார். கீழே உள்ள ஆர்ட்டின் ஐசோமார்பிசத்தால், H0 (E/F) என்பது E/F இன் அபெலியனைசேஷனுக்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும், எனவே இரண்டாவது சமத்துவமின்மையில் சமத்துவம் அபெலியன் நீட்டிப்புகளுக்கு சரியாக பொருந்தும், மேலும் வகுப்பு புலங்கள் அபெலியன் நீட்டிப்புகளுக்கு சமமானவை. முதல் மற்றும் இரண்டாவது ஏற்றத்தாழ்வுகளை பின்வருமாறு இணைக்கலாம். சுழற்சி அடுக்குகளுக்கு, இரண்டு ஏற்றத்தாழ்வுகளும் சேர்ந்து H1 (E/F) |E F | = H0 (E/F) ≤ |E F | எனவே H0 (E/F) = |E F | மற்றும் H1 (E/F) = 1 என்பதை நிரூபிக்கின்றன. இப்போது கோஹோமோலஜி குழுக்களைப் பற்றிய ஒரு அடிப்படை தேற்றம், அனைத்து சுழற்சி அடுக்குகளுக்கும் H1 (E/F) = 1 என்பதால், அனைத்து இயல்பான அடுக்குகளுக்கும் H1 (E/F) = 1 உள்ளது (எனவே குறிப்பாக உருவாக்கம் ஒரு புலம் உருவாக்கம்). H1 (E/F) எப்போதும் அற்பமானது என்பதற்கான இந்த சான்று மாறாக வட்டமானது; உலகளாவிய புலங்களுக்கு (இதன் பொருள் எதுவாக இருந்தாலும்) அதற்கு "நேரடி" ஆதாரம் எதுவும் தெரியவில்லை. (உள்ளூர் புலங்களுக்கு H1 (E/F) மறைந்துவிடுவது ஹில்பர்ட்டின் தேற்றம் 90 மட்டுமே.) சுழற்சி குழுவிற்கு, H0 என்பது H2 ஐப் போன்றது, எனவே அனைத்து சுழற்சி அடுக்குகளுக்கும் H2 (E/F) = |E F. குழு ஒத்திசைவியலின் மற்றொரு தேற்றம், அனைத்து இயல்பான அடுக்குகளுக்கும் H1 (E/F) = 1 மற்றும் அனைத்து சுழற்சி அடுக்குகளுக்கும் H2 (E/F) ≤ |E F | என்பதால், அனைத்து இயல்பான அடுக்குகளுக்கும் H2 (E/F) ≤ |E F | உள்ளது என்பதைக் காட்டுகிறது. (உண்மையில், அனைத்து இயல்பான அடுக்குகளுக்கும் சமத்துவம் பொருந்தும், ஆனால் இதற்கு அதிக உழைப்பு தேவைப்படுகிறது; அடுத்த பகுதியைப் பார்க்கவும்.) Brauer குழு ஒரு வர்க்க உருவாக்கத்தின் Brauer குழுக்கள் H2 (E/*) என்பது H2 (E/F) குழுக்களின் நேரடி வரம்பாக வரையறுக்கப்படுகிறது, ஏனெனில் F என்பது E இன் அனைத்து திறந்த துணைக்குழுக்களிலும் இயங்குகிறது. அனைத்து அடுக்குகளுக்கும் H1 மறைந்துவிடுவதன் எளிதான விளைவு என்னவென்றால், H2 (E/F) குழுக்கள் அனைத்தும் Brauer குழுவின் துணைக்குழுக்களாகும். உள்ளூர் வர்க்க புலக் கோட்பாட்டில் பிராவர் குழுக்கள் பிராவர் புலங்களின் குழுக்களைப் போலவே உள்ளன, ஆனால் உலகளாவிய வர்க்க புலக் கோட்பாட்டில் உருவாக்கத்தின் பிராவர் குழு தொடர்புடைய உலகளாவிய புலத்தின் பிராவர் குழு அல்ல (அவை தொடர்புடையவை என்றாலும்). அடுத்த படி H2 (E/F) என்பது சரியாக |E F | வரிசையின் சுழற்சி என்பதை நிரூபிப்பதாகும்; முந்தைய பிரிவு இது அதிகபட்சமாக இந்த வரிசையைக் கொண்டுள்ளது என்பதைக் காட்டுகிறது, எனவே H2 (E/F) இல் |E F | வரிசையின் சில கூறுகளைக் கண்டறிவது போதுமானது. தன்னிச்சையான நீட்டிப்புகளுக்கான ஆதாரம் G குழுவிலிருந்து கர்னல் G φ உடன் முழு எண்களின் வரம்பற்ற நிறைவு வரை ஒரு ஒத்த உருவத்தைப் பயன்படுத்துகிறது, அல்லது வேறுவிதமாகக் கூறினால், கர்னல்கள் Gn உடன் அனைத்து n க்கும் n வரிசையின் சுழற்சி குழுக்களில் G இன் ஒத்த உருவங்களின் இணக்கமான வரிசை. இந்த ஹோமோமார்பிசம்கள் புலங்களின் சுழற்சி சைக்ளோடோமிக் நீட்டிப்புகளைப் பயன்படுத்தி கட்டமைக்கப்படுகின்றன; வரையறுக்கப்பட்ட புலங்களுக்கு அவை இயற்கணித மூடல் மூலம் வழங்கப்படுகின்றன, ஆர்க்கிமீடியன் அல்லாத உள்ளூர் புலங்களுக்கு அவை அதிகபட்சம் கட்டப்படாத நீட்டிப்புகளால் வழங்கப்படுகின்றன, மேலும் உலகளாவிய புலங்களுக்கு அவை சற்று சிக்கலானவை. இந்த நீட்டிப்புகள் வெளிப்படையாக கொடுக்கப்பட்டுள்ளதால், H2 (G/Gn) ஒரு நியமன ஜெனரேட்டருடன் n வரிசையின் சுழற்சி என்று அவை பண்புகளைக் கொண்டுள்ளனவா என்பதை சரிபார்க்கலாம். இதிலிருந்து பின்வருவது என்னவென்றால், எந்த அடுக்கு E க்கும், குழு H2 (E/E ≤ G ≤) நியதிப்படி Q/Z க்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும். ஒற்றுமையின் வேர்களைப் பயன்படுத்துவதற்கான இந்த யோசனையை செபோட்டரேவ் தனது செபோட்டரேவின் அடர்த்தி தேற்றத்தின் ஆதாரத்தில் அறிமுகப்படுத்தினார், மேலும் சிறிது நேரத்திற்குப் பிறகு ஆர்ட்டின் தனது பரஸ்பர கோட்பாட்டை நிரூபிக்க பயன்படுத்தினார். இந்த வரிசையில் கடைசி இரண்டு குழுக்களையும் Q/Z உடன் அடையாளம் காணலாம், அவற்றுக்கிடையேயான வரைபடம் பின்னர் |E F | ஆல் பெருக்கப்படுகிறது. எனவே முதல் குழு Z/nZ க்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும். H2 (E/F) அதிகபட்சமாக Z/nZ வரிசையில் Z/nZ க்கு சமமாக இருக்க வேண்டும் (குறிப்பாக நடுத்தர குழுவில் உள்ளது). எந்தவொரு அடுக்கின் இரண்டாவது கோஹோமோலஜி குழு H2 (E/F) என்பது |E F | வரிசையின் சுழற்சி என்பதை இது காட்டுகிறது, இது ஒரு வகுப்பு உருவாக்கத்தின் கோட்பாடுகளின் சரிபார்ப்பை நிறைவு செய்கிறது. ஆதாரங்களில் இன்னும் கொஞ்சம் கவனத்துடன், அடிப்படை வகுப்பு என்று அழைக்கப்படும் H2 (E/F) இன் நியதி ஜெனரேட்டரைப் பெறுகிறோம். இதிலிருந்து பிராவர் குழு H2 (E/*) என்பது (நியமன ரீதியாக) Q/Z குழுவிற்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும், ஆர் மற்றும் சி ஆர்க்கிமிடியன் லோக்கல் ஃபீல்ட்கள் 2 அல்லது 1 வரிசையைக் கொண்டிருக்கும்போது தவிர. குழு ஒத்திசைவியலில் டேட்டின் தேற்றம் மற்றும் ஆர்ட்டின் வரைபடம் டேட்டின் தேற்றம் பின்வருமாறு. A என்பது ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட குழு G க்கு மேல் ஒரு தொகுதி மற்றும் a என்பது H2 (G, A) இன் ஒரு உறுப்பு என்று வைத்துக்கொள்வோம், அதாவது G H1 (E, A) இன் ஒவ்வொரு துணைக்குழுவிற்கும் E அற்பமானது, மற்றும் H2 (E, A) ரெஸ் (a) ஆல் உருவாக்கப்படுகிறது, இது வரிசை E ஐக் கொண்டுள்ளது. ஒரு வகுப்பு உருவாக்கத்திற்கு டேட் தேற்றத்தின் n = −2 வழக்கைப் பயன்படுத்தினால், எந்தவொரு இயல்பான அடுக்கு E/F க்கும் ஒரு ஐசோமார்பிசம் H − 2 (E/F, Z) → H0 (E/F, AF) இருப்பதை நாம் காண்கிறோம். குழு H−2 (E/F, Z) என்பது E/F இன் அபெலியனைசேஷன் ஆகும், மேலும் குழு H0 (E/F, AF) என்பது AF இன் விதிமுறைகளின் குழுவாக AE மாடுலோ ஆகும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், AE இன் அடிப்படையில் காலோயிஸ் குழு E/F இன் அபெலியனைசேஷன் பற்றிய வெளிப்படையான விளக்கம் எங்களிடம் உள்ளது. இந்த ஐசோமார்பிசத்தின் தலைகீழாக எடுத்துக்கொள்வது E/F இன் ஹோமோமார்பிசம் AE → அபெலியனைசேஷனை அளிக்கிறது, மேலும் அனைத்து திறந்த துணைக்குழுக்கள் F ஐ விட வரம்பை எடுத்துக்கொள்வது ஆர்ட்டின் வரைபடம் என்று அழைக்கப்படும் E இன் ஹோமோமார்பிசம் AE → அபெலியனைசேஷனை வழங்குகிறது. ஆர்ட்டின் வரைபடம் புறக்கணிக்க வேண்டிய அவசியமில்லை, ஆனால் அடர்த்தியான உருவத்தைக் கொண்டுள்ளது. அதன் கர்னலுக்குக் கீழே உள்ள இருப்பு தேற்றத்தின் படி AE இன் இணைக்கப்பட்ட கூறு (கிளாஸ் ஃபீல்ட் கோட்பாட்டிற்கு), இது ஆர்க்கிமீடியன் அல்லாத உள்ளூர் புலங்களின் கிளாஸ் ஃபீல்ட் கோட்பாடு மற்றும் செயல்பாட்டு புலங்களுக்கு அற்பமானது, ஆனால் ஆர்க்கிமீடியன் உள்ளூர் புலங்கள் மற்றும் எண் புலங்களுக்கு அற்பமானது அல்ல. தகாகி இருப்பு தேற்றம் வர்க்க புலக் கோட்பாட்டின் முக்கிய மீதமுள்ள தேற்றம் தகாகி இருப்பு தேற்றம் ஆகும், இது ஐடல் கிளாஸ் குழுவின் ஒவ்வொரு வரையறுக்கப்பட்ட குறியீட்டு மூடிய துணைக்குழுவும் சில அபெலியன் நீட்டிப்புடன் தொடர்புடைய விதிமுறைகளின் குழுவாகும் என்று கூறுகிறது. இதை நிரூபிப்பதற்கான பாரம்பரிய வழி, சிறிய குழுக்களின் விதிமுறைகளுடன் சில நீட்டிப்புகளை உருவாக்குவதாகும், முதலில் ஒற்றுமையின் பல வேர்களைச் சேர்ப்பதன் மூலம், பின்னர் கும்மர் நீட்டிப்புகள் மற்றும் ஆர்ட்டின்-ஷ்ரியர் நீட்டிப்புகளை எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம். இந்த நீட்டிப்புகள் அபெலியன் அல்லாதவையாக இருக்கலாம் (அவை அபெலியன் குழுக்களால் அபெலியன் குழுக்களின் நீட்டிப்புகள் என்றாலும்); இருப்பினும், இது உண்மையில் ஒரு பொருட்டல்ல, ஏனெனில் அபெலியன் அல்லாத கலோயிஸ் நீட்டிப்பின் நெறிமுறை குழு அதன் அதிகபட்ச அபெலியன் நீட்டிப்பைப் போன்றது (இது ஏற்கனவே வகுப்பு புலங்களைப் பற்றி நமக்குத் தெரிந்ததைப் பயன்படுத்தி காட்டப்படலாம்). இது ஐடல் கிளாஸ் குழுவின் எந்தவொரு வரையறுக்கப்பட்ட குறியீட்டு துணைக்குழுவுடனும் தொடர்புடைய ஒரு அபெலியன் நீட்டிப்பு உள்ளது என்பதைக் காட்ட போதுமான (அபெலியன்) நீட்டிப்புகளை வழங்குகிறது. இதன் விளைவு என்னவென்றால், ஆர்ட்டின் வரைபடத்தின் கர்னல் என்பது ஐடல் கிளாஸ் குழுவின் அடையாளத்தின் இணைக்கப்பட்ட கூறாகும், இதனால் எஃப் இன் கலோயிஸ் குழுவின் அபெலியனைசேஷன் என்பது ஐடல் கிளாஸ் குழுவின் வரம்பற்ற நிறைவு ஆகும். உள்ளூர் வர்க்க புலக் கோட்பாட்டைப் பொறுத்தவரை, லுபின்-டேட் முறையான குழு விதிகளைப் பயன்படுத்தி அபெலியன் நீட்டிப்புகளை இன்னும் வெளிப்படையாக உருவாக்க முடியும். உலகளாவிய புலங்களைப் பொறுத்தவரை, அபெலியன் நீட்டிப்புகளை சில சந்தர்ப்பங்களில் வெளிப்படையாக கட்டமைக்க முடியும்ஃ எடுத்துக்காட்டாக, பகுத்தறிவுகளின் அபெலியன் நீட்டிப்புகளை ஒற்றுமையின் வேர்களைப் பயன்படுத்தி கட்டமைக்க முடியும், மேலும் இருபடி கற்பனை புலங்களின் அபெலியன் நீட்டிப்புகளை நீள்வட்ட செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி கட்டமைக்க முடியும், ஆனால் தன்னிச்சையான உலகளாவிய புலங்களுக்கு இதன் ஒப்புமையைக் கண்டுபிடிப்பது ஒரு தீர்க்கப்படாத சிக்கலாகும். வெயில் குழு இது ஒரு வெயில் குழு அல்ல மற்றும் வெயில்-சேட்லெட் குழு அல்லது மோர்டெல்-வெயில் குழுவுடன் எந்த தொடர்பும் இல்லை அடிப்படை வகுப்புகளுடன் கூடிய ஒரு வர்க்க உருவாக்கத்தின் வெயில் குழு யுஇ/எஃப், எச் 2 (ஈ/எஃப், ஏஎஃப்) என்பது ஒரு வகையான மாற்றியமைக்கப்பட்ட கலோயிஸ் குழுவாகும், இது வர்க்க களக் கோட்பாட்டின் பல்வேறு சூத்திரங்களில் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டு பயன்படுத்தப்படுகிறது, குறிப்பாக லாங்லேண்ட்ஸ் திட்டத்தில். E/F ஒரு இயல்பான அடுக்கு என்றால், E/F இன் வெயில் குழு U என்பது H2 (E/F, AF) இல் உள்ள அடிப்படை வகுப்பு uE/F உடன் தொடர்புடைய நீட்டிப்பு 1 → AF → U → E/F → 1 ஆகும். முழு உருவாக்கத்தின் வெயில் குழு அனைத்து அடுக்குகளின் G/F இன் வெயில் குழுக்களின் தலைகீழ் வரம்பாக வரையறுக்கப்படுகிறது, F க்கு G இன் திறந்த துணைக்குழு. வகுப்பு உருவாக்கத்தின் (G, A) பரஸ்பர வரைபடம் AG இலிருந்து வெயில் குழுவின் அபெலியனைசேஷனுக்கு ஒரு ஐசோமார்பிசத்தைத் தூண்டுகிறது. அபெலியன் நீட்டிப்பு ஆர்ட்டின் எல்-செயல்பாடு ஆர்ட்டின் பரஸ்பரம் வகுப்பு புலக் கோட்பாடு சிக்கலான பெருக்கம் கலோயிஸ் கோஹோமோலஜி ஹாஸ்ஸே நெறிமுறை தேற்றம் ஹெர்பிராண்ட் மேற்கோள் ஹில்பர்ட் வகுப்பு புலம் க்ரோனெக்கர்-வெபர் தேற்றம் உள்ளூர் வகுப்பு புலக் கோட்பாடு தகாகி இருப்பு தேற்றம் டேட் கோஹோமோலஜி குழு குறிப்புகள், குறிப்பாக. அத்தியாயம் XI: வகுப்பு அமைப்புகள், அவரது சேகரிக்கப்பட்ட ஆவணங்களின் தொகுதி I இல் மறுபதிப்பு செய்யப்பட்டது, இயற்கணித எண் கோட்பாடு வகுப்பு புலம் கோட்பாடு