Depth (ring theory)
பரிமாற்ற மற்றும் ஒரே மாதிரியான இயற்கணிதத்தில், ஆழம் என்பது வளையங்கள் மற்றும் தொகுதிகளின் முக்கியமான மாறாதது. ஆழத்தை மிகவும் பொதுவாக வரையறுக்க முடியும் என்றாலும், மிகவும் பொதுவான வழக்கு ஒரு பரிமாற்ற நொய்தேரியன் உள்ளூர் வளையத்தின் மீது உள்ள தொகுதிகளின் வழக்கு ஆகும். இந்த வழக்கில், ஒரு தொகுதியின் ஆழம் அதன் திட்ட பரிமாணத்துடன் ஆஸ்லேண்டர்-புக்ஸ்பாம் சூத்திரத்தால் தொடர்புடையது. ஆழத்தின் மிகவும் அடிப்படை பண்பு சமத்துவமின்மை ஆகும், இது தொகுதியின் க்ரல் பரிமாணத்தைக் குறிக்கிறது. நல்ல பண்புகளைக் கொண்ட வளையங்கள் மற்றும் தொகுதிகளின் வகுப்புகளை வரையறுக்க ஆழம் பயன்படுத்தப்படுகிறது, எடுத்துக்காட்டாக, கோஹன்-மெக்காலே வளையங்கள் மற்றும் தொகுதிகள், இதற்கு சமத்துவம் உள்ளது. வரையறை ஒரு பரிமாற்ற வளையமாக இருக்கட்டும், ஒரு இலட்சியம் மற்றும் சரியாக உள்ள பண்புடன் இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட-தொகுதி. (அதாவது, சில கூறுகள் இதில் இல்லை.) பின்னர்-இன் ஆழம், பொதுவாக கிரேடு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது, வரையறையின்படி, அதிகபட்ச இலட்சியத்துடன் ஒரு உள்ளூர் வளையத்தின் ஆழம் அதன்-ஒரு தொகுதியாக அதன்-ஆழம் ஆகும். ஒரு கோஹன்-மக்காலே உள்ளூர் வளையம் என்றால், அதன் ஆழம் அதன் பரிமாணத்திற்கு சமம். டேவிட் ரீஸின் ஒரு தேற்றத்தின் மூலம், ஒரு வழக்கமான வரிசையின் கருத்தைப் பயன்படுத்தி ஆழத்தையும் வகைப்படுத்தலாம். தேற்றம் (ரீஸ்) இது அதிகபட்ச இலட்சியத்துடன் கூடிய ஒரு பரிமாற்ற நொய்தீரியன் உள்ளூர் வளையம் மற்றும் இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட-தொகுதி என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் அனைத்து அதிகபட்ச வழக்கமான வரிசைகளும், ஒவ்வொன்றும் சேர்ந்திருக்கும் இடத்தில்,-இன் ஆழத்திற்கு சமமான நீளத்தைக் கொண்டுள்ளன. ஆழம் மற்றும் திட்ட பரிமாணம் ஒரு பரிமாற்ற நொய்தேரியன் உள்ளூர் வளையத்தின் மீது ஒரு தொகுதியின் திட்ட பரிமாணம் மற்றும் ஆழம் ஒருவருக்கொருவர் நிரப்பு. இது ஆஸ்லேண்டர்-புக்ஸ்பாம் சூத்திரத்தின் உள்ளடக்கமாகும், இது அடிப்படை தத்துவார்த்த முக்கியத்துவம் வாய்ந்தது மட்டுமல்லாமல், ஒரு தொகுதியின் ஆழத்தை கணக்கிட ஒரு பயனுள்ள வழியையும் வழங்குகிறது. இது அதிகபட்ச இலட்சியத்துடன் கூடிய ஒரு பரிமாற்ற நொய்தேரியன் உள்ளூர் வளையம் மற்றும் இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட-தொகுதி என்று வைத்துக்கொள்வோம். அதன் திட்ட பரிமாணம் வரையறுக்கப்பட்டதாக இருந்தால், ஆஸ்லேண்டர்-புக்ஸ்பாம் சூத்திரம் ஆழம் பூஜ்ஜிய வளையங்கள் என்று கூறுகிறது ஒரு பரிமாற்ற நொய்தேரியன் உள்ளூர் வளையம் அதன் அதிகபட்ச இலட்சியம் ஒரு தொடர்புடைய பகா எண்ணாக இருந்தால் மட்டுமே ஆழம் பூஜ்ஜியத்தைக் கொண்டுள்ளது, அல்லது, அதற்கு சமமாக, பூஜ்ஜியமற்ற உறுப்பு இருக்கும்போது (அதாவது, அழிக்கப்படுகிறது). இதன் பொருள், அடிப்படையில், மூடிய புள்ளி ஒரு உட்பொதிக்கப்பட்ட கூறு ஆகும். எடுத்துக்காட்டாக, மூலத்தில் உட்பொதிக்கப்பட்ட இரட்டை புள்ளியுடன் ஒரு கோடு () ஐக் குறிக்கும் வளையம் (ஒரு புலம் எங்கே), தோற்றத்தில் ஆழம் பூஜ்ஜியத்தைக் கொண்டுள்ளது, ஆனால் பரிமாணம் ஒன்றுஃ இது கோஹன்-மெக்காலே அல்லாத வளையத்திற்கு ஒரு உதாரணத்தை அளிக்கிறது. குறிப்புகள் வின்ஃபிரைட் ப்ரூன்ஸ்; ஜூர்கன் ஹெர்சாக், கோஹன்-மெக்காலே மோதிரங்கள். மேம்பட்ட கணிதத்தில் கேம்பிரிட்ஜ் ஆய்வுகள், 39. கேம்பிரிட்ஜ் பல்கலைக்கழக அச்சகம், கேம்பிரிட்ஜ், 1993. xii + 403 pp. தொகுதி கோட்பாடு பரிமாற்ற இயற்கணிதம்