Triangulated category
கணிதத்தில், முக்கோண வகை என்பது ஒரு "மொழிபெயர்ப்பு செயல்பாட்டாளரின்" கூடுதல் அமைப்பு மற்றும் "துல்லியமான முக்கோணங்களின்" வகுப்பைக் கொண்ட ஒரு வகையாகும். ஒரு அபெலியன் வகையின் பெறப்பட்ட வகை மற்றும் நிலையான ஹோமோடாபி வகை ஆகியவை முக்கிய எடுத்துக்காட்டுகளாகும். துல்லியமான முக்கோணங்கள் ஒரு அபெலியன் பிரிவில் குறுகிய துல்லியமான வரிசைகளையும், டோபோலஜியில் ஃபைபர் வரிசைகள் மற்றும் கோஃபைபர் வரிசைகளையும் பொதுமைப்படுத்துகின்றன. ஹோமோலாஜிக்கல் இயற்கணிதத்தின் பெரும்பகுதி முக்கோண வகைகளின் மொழியால் தெளிவுபடுத்தப்பட்டு நீட்டிக்கப்படுகிறது, இதற்கு ஒரு முக்கியமான எடுத்துக்காட்டு ஷீஃப் கோஹோமோலஜி கோட்பாடு ஆகும். 1960 களில், முக்கோண வகைகளின் ஒரு பொதுவான பயன்பாடு, ஒரு இடைவெளி X இல் உள்ள உறைகளின் பண்புகளை உறைகளின் வளாகங்களுக்கு விரிவுபடுத்துவதாகும், இது X இல் பெறப்பட்ட வகை உறைகளின் பொருள்களாக பார்க்கப்படுகிறது. மிக சமீபத்தில், முக்கோணப்படுத்தப்பட்ட பிரிவுகள் அவற்றின் சொந்த உரிமையில் ஆர்வமுள்ள பொருட்களாக மாறிவிட்டன. வெவ்வேறு தோற்றங்களின் முக்கோண வகைகளுக்கு இடையிலான பல சமநிலைகள் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளன அல்லது ஊகிக்கப்பட்டுள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக, ஹோமோலாஜிக்கல் கண்ணாடி சமச்சீர் அனுமானம் ஒரு காலாபி-யூ பன்மடங்கு பெறப்பட்ட வகை அதன் "கண்ணாடி" சிம்ப்லெக்டிக் பன்மடங்கு ஃபுகாயா வகைக்கு சமம் என்று கணித்துள்ளது. ஷிப்ட் ஆபரேட்டர் என்பது முக்கோண வகையின் வகைப்படுத்தப்படாத அனலாக் ஆகும். வரலாற்று முக்கோண வகைப்பாடுகள் சுயாதீனமாக டயட்டர் பப்பே (1962) மற்றும் ஜீன்-லூயிஸ் வெர்டியர் (1963) ஆகியோரால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டன, இருப்பினும் பப்பேயின் கோட்பாடுகள் குறைவான முழுமையானவை (எண்முக கோட்பாடு (TR 4) இல்லாதவை). நாய்க்குட்டி நிலையான ஹோமோடாபி வகையால் உந்தப்பட்டது. வெர்டியரின் முக்கிய உதாரணம் ஒரு அபெலியன் வகையின் பெறப்பட்ட வகையாகும், இது அலெக்சாண்டர் கிரோதெண்டீக்கின் கருத்துக்களை உருவாக்கி, அவர் வரையறுத்தார். பெறப்பட்ட வகைகளின் ஆரம்பகால பயன்பாடுகளில் ஒத்திசைவான இரட்டைத்தன்மை மற்றும் வெர்டியர் இரட்டைத்தன்மை ஆகியவை அடங்கும், இது பாயின்கேர் இரட்டைத்தன்மையை ஒற்றை இடைவெளிகளுக்கு விரிவுபடுத்துகிறது. வரையறை ஒரு வகை டி இல் ஒரு மாற்றம் அல்லது மொழிபெயர்ப்பு செயல்பாட்டாளர் என்பது டி முதல் டி வரை ஒரு சேர்க்கை தானியங்கி (அல்லது சில ஆசிரியர்களுக்கு, ஒரு தன்னியக்க சமநிலை) ஆகும். முழு எண்களுக்கு எழுதுவது பொதுவானது. ஒரு முக்கோணம் (எக்ஸ், ஒய், இசட், யு, வி, டபிள்யூ) எக்ஸ், ஒய் மற்றும் இசட் ஆகிய மூன்று பொருள்களைக் கொண்டுள்ளது. முக்கோணங்கள் பொதுவாக அவிழ்க்கப்படாத வடிவத்தில் எழுதப்படுகின்றனஃ அல்லது சுருக்கமாக. முக்கோண வகை என்பது பின்வரும் பண்புகளை (TR 1), (TR 2), (TR 3) மற்றும் (TR 4) திருப்திப்படுத்தும் துல்லியமான முக்கோணங்கள் (அல்லது வேறுபட்ட முக்கோணங்கள்) என்று அழைக்கப்படும் முக்கோணங்களின் வகை மற்றும் மொழிபெயர்ப்பு செயல்பாட்டைக் கொண்ட ஒரு சேர்க்கை வகை D ஆகும். (இந்த கோட்பாடுகள் முற்றிலும் சுயாதீனமானவை அல்ல, ஏனெனில் (TR 3) மற்றவர்களிடமிருந்து பெறப்படலாம்.) ஒவ்வொரு பொருள் X க்கும், பின்வரும் முக்கோணம் துல்லியமானதுஃ ஒவ்வொரு உருவகத்திற்கும், ஒரு பொருள் Z உள்ளது (கூம்பு அல்லது உருவகத்தின் கோஃபைபர் என்று அழைக்கப்படுகிறது) ஒரு துல்லியமான முக்கோணத்தில் பொருந்துகிறது சங்கிலி வளாகங்களின் வரைபடத்தின் கூம்பிலிருந்து "கூம்பு" என்ற பெயர் வருகிறது, இது இடவியலில் உள்ள மேப்பிங் கூம்பால் ஈர்க்கப்பட்டது. ஒரு துல்லியமான முக்கோணம் (குறிப்பாக பொருள் Z) ஐசோமார்பிசத்தால் ஐசோமார்பிசம் வரை தீர்மானிக்கப்படுகிறது, இருப்பினும் எப்போதும் ஒரு தனித்துவமான ஐசோமார்பிசம் வரை அல்ல. ஒரு துல்லியமான முக்கோணத்திற்கு சமச்சீரமைக்கப்பட்ட ஒவ்வொரு முக்கோணமும் துல்லியமானது. இதன் பொருள் என்னவென்றால், ஒரு துல்லியமான முக்கோணம், மற்றும், மற்றும் ஐசோமார்பிசம்கள் என்றால், அதுவும் ஒரு துல்லியமான முக்கோணம். TR2 ஒரு துல்லியமான முக்கோணமாக இருந்தால், சுழலும் இரண்டு முக்கோணங்களும் அவ்வாறே இருக்கும் மற்றும் கடைசி முக்கோணத்தைப் பொறுத்தவரை, Z [−1] என்ற பொருள் உருவகத்தின் நார் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இரண்டாவது சுழலும் முக்கோணம் ஐசோமார்பிசம் அல்லாத போது மிகவும் சிக்கலான வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது, ஆனால் வகைகளின் பரஸ்பர தலைகீழ் சமநிலைகளை மட்டுமே கொண்டுள்ளது, ஏனெனில் இது ஒரு மார்ஃபிஸம் ஆகும், மேலும் ஒருவருக்கு ஒரு மார்ஃபிஸத்தைப் பெறுவதற்கு இயற்கையான மாற்றத்துடன் ஒருங்கிணைக்க வேண்டும். இது இயற்கையான மாற்றங்களை உருவாக்குவதில் ஒருவர் திணிக்க வேண்டிய சாத்தியமான கோட்பாடுகளைப் பற்றிய சிக்கலான கேள்விகளுக்கு வழிவகுக்கிறது மற்றும் ஒரு ஜோடி தலைகீழ் சமன்பாடுகளாக மாறுகிறது. இந்த சிக்கல் காரணமாக, மற்றும் பரஸ்பர தலைகீழ் ஐசோமார்பிசம்கள் என்ற அனுமானம் ஒரு முக்கோண வகை வரையறையில் வழக்கமான தேர்வாகும். TR 3 இரண்டு துல்லியமான முக்கோணங்கள் மற்றும் ஒவ்வொரு முக்கோணத்திலும் உள்ள முதல் உருவகங்களுக்கு இடையில் ஒரு வரைபடம் கொடுக்கப்பட்டால், இரண்டு முக்கோணங்களில் ஒவ்வொன்றிலும் மூன்றாவது பொருட்களுக்கு இடையில் ஒரு உருவகம் உள்ளது, இது எல்லாவற்றையும் பயணிக்க வைக்கிறது. அதாவது, பின்வரும் வரைபடத்தில் (இரண்டு வரிசைகளும் துல்லியமான முக்கோணங்கள் மற்றும் f மற்றும் g ஆகியவை gu = u′f போன்ற உருவங்கள்), அனைத்து சதுரங்களையும் பரிமாற்றும் ஒரு வரைபடம் h (தனித்துவமானது அல்ல) உள்ளது. TR 1 இன் படி இந்த மூன்று உருவங்கள் ஒவ்வொன்றிற்கும் சரியான முக்கோணங்களை உருவாக்குங்கள். எண்முக கோட்பாடு (தோராயமாக) மூன்று வரைபட கூம்புகளை ஒரு துல்லியமான முக்கோணத்தின் செங்குத்துகளாக உருவாக்க முடியும் என்று கூறுகிறது, இதனால் "எல்லாம் பயணிக்கிறது". மேலும் முறையாக, துல்லியமான முக்கோணங்களைக் கொடுத்தால், ஒரு துல்லியமான முக்கோணம் உள்ளது, ஏனெனில் இந்த கோட்பாடு "எண்முக கோட்பாடு" என்று அழைக்கப்படுகிறது, ஏனெனில் அனைத்து பொருள்களையும் உருவங்களையும் வரைவதால் எண்முகத்தின் எலும்புக்கூட்டைக் கொடுக்கிறது, அதன் நான்கு முகங்கள் துல்லியமான முக்கோணங்களாகும். இங்குள்ள விளக்கக்காட்சி வெர்டியரின் சொந்தமானது, மேலும் எண்முக வரைபடத்துடன் முழுமையாகத் தோன்றுகிறது. பின்வரும் வரைபடத்தில், u மற்றும் v ஆகியவை கொடுக்கப்பட்ட உருவகங்கள் மற்றும் முதன்மை எழுத்துக்கள் பல்வேறு வரைபடங்களின் கூம்புகள் (ஒவ்வொரு துல்லியமான முக்கோணத்திற்கும் ஒரு X, ஒரு Y மற்றும் ஒரு Z எழுத்து இருக்கும் வகையில் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகின்றன). பல்வேறு அம்புகள் "டிகிரி 1" என்பதைக் குறிக்க [1] குறிக்கப்பட்டுள்ளன; எ. கா. Z′ முதல் X வரையிலான வரைபடம் உண்மையில் Z′ முதல் X [1] வரை உள்ளது. எண்முக கோட்பாடு பின்னர் ஒரு துல்லியமான முக்கோணத்தை உருவாக்கும் f மற்றும் g வரைபடங்களின் இருப்பை வலியுறுத்துகிறது, இதனால் f மற்றும் g ஆகியவை அவற்றைக் கொண்ட மற்ற முகங்களில் பரிமாற்ற முக்கோணங்களை உருவாக்குகின்றனஃ இரண்டு வெவ்வேறு படங்கள் தோன்றும் (முதல் ஒன்றையும் வழங்குகின்றன). முதலாவது மேலே உள்ள எண்முகத்தின் மேல் மற்றும் கீழ் பிரமிடுகளை முன்வைக்கிறது மற்றும் ஒரு குறைந்த பிரமிடு கொடுக்கப்பட்டால், ஒருவர் ஒரு மேல் பிரமிடில் நிரப்ப முடியும் என்று வலியுறுத்துகிறது, இதனால் Y முதல் Y′ வரையிலும், Y முதல் Y′ வரையிலும் உள்ள இரண்டு பாதைகளும் சமமாக இருக்கும் (இந்த நிபந்தனை ஹார்ட்ஷோர்னின் விளக்கக்காட்சியிலிருந்து தவறாக இருக்கலாம்). + என்று குறிக்கப்பட்ட முக்கோணங்கள் பரிமாற்றமானவை மற்றும் "d" என்று குறிக்கப்பட்டவை துல்லியமானவைஃ இரண்டாவது வரைபடம் மிகவும் புதுமையான விளக்கக்காட்சியாகும். துல்லியமான முக்கோணங்கள் நேர்கோட்டில் வழங்கப்படுகின்றன, மேலும் "எண்முகத்தில்" உள்ள நான்கு முக்கோணங்கள் தொடர்ச்சியான முக்கோண வரைபடங்களால் இணைக்கப்பட்டுள்ளன என்ற உண்மையை வரைபடம் வலியுறுத்துகிறது, அங்கு மூன்று முக்கோணங்கள் (அதாவது, எக்ஸ் முதல் ஒய் வரை, ஒய் முதல் இசட் வரை மற்றும் எக்ஸ் முதல் இசட் வரை உருவங்களை நிறைவு செய்கின்றன) கொடுக்கப்பட்டுள்ளன மற்றும் நான்காவது இருப்பு உரிமை கோரப்படுகிறது. ஒன்று முதல் இரண்டுக்கு இடையில் X ஐப் பற்றி "மையப்படுத்துவதன்" மூலமும், மூன்றாவது Z ஐ மையப்படுத்துவதன் மூலமும், நான்காவது X′ ஐ மையப்படுத்துவதன் மூலமும் செல்கிறது. இந்த வரைபடத்தில் உள்ள அனைத்து அடைப்புகளும் பரிமாற்றங்கள் (முக்கோணங்கள் மற்றும் சதுரம் இரண்டும்) ஆனால் Y′ முதல் Y வரையிலான இரண்டு பாதைகளின் சமத்துவத்தை வெளிப்படுத்தும் மற்ற பரிமாற்ற சதுரம் தெளிவாக இல்லை. "விளிம்பிற்கு வெளியே" சுட்டிக்காட்டும் அனைத்து அம்புகளும் டிகிரி 1 ஆகும்ஃ இந்த கடைசி வரைபடம் எண்முக கோட்பாட்டின் பயனுள்ள உள்ளுணர்வு விளக்கத்தையும் விளக்குகிறது. முக்கோண வகைகளில், முக்கோணங்கள் துல்லியமான வரிசைகளின் பாத்திரத்தை வகிக்கின்றன, எனவே இந்த பொருட்களை "மேற்கோள்கள்" என்று நினைப்பது பரிந்துரைக்கிறது, மேலும். அந்த சொற்களில், கடைசி முக்கோணத்தின் இருப்பு ஒரு கையில் (முக்கோணத்தைப் பார்த்து), மற்றும் (முக்கோணத்தைப் பார்த்து) வெளிப்படுத்துகிறது. இவற்றை ஒன்றாக இணைத்தால், எண்முக கோட்பாடு "மூன்றாவது ஐசோமார்பிசம் தேற்றத்தை" வலியுறுத்துகிறதுஃ முக்கோண வகை ஒரு அபெலியன் வகை A இன் பெறப்பட்ட வகை D (A) ஆகவும், X, Y, Z ஆகியவை டிகிரி 0 இல் செறிவூட்டப்பட்ட வளாகங்களாகக் கருதப்படும் A இன் பொருள்களாகவும், வரைபடங்கள் மற்றும் A இல் மோனோமார்பிசம்களாகவும் இருந்தால், D (A) இல் உள்ள இந்த உருவங்களின் கூம்புகள் உண்மையில் A இல் மேலே உள்ள விகிதங்களுக்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும். இறுதியாக, 4 வரிசைகள் மற்றும் 4 நெடுவரிசைகளைக் கொண்ட இரு பரிமாண பரிமாற்ற வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி எண்முக கோட்பாட்டை உருவாக்குகிறது. எண்முக கோட்பாட்டின் பொதுமைப்படுத்தல்களையும் வழங்குகின்றன. முக்கோண வகை டி-க்கான கோட்பாடுகளின் சில எளிய விளைவுகள் இங்கே கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. டி-யில் ஒரு துல்லியமான முக்கோணத்தைப் பொறுத்தவரை, எந்த இரண்டு தொடர்ச்சியான உருவங்களின் கலவையும் பூஜ்ஜியமாகும். அதாவது, வு = 0, டபிள்யூவி = 0, யு [1] டபிள்யூ = 0, மற்றும் பல. ஒரு உருவகப்படுத்துதலைப் பொறுத்தவரை, TR 1 ஒரு துல்லியமான முக்கோணத்தை நிறைவு செய்யும் கூம்பு Z இன் இருப்பை உறுதிப்படுத்துகிறது. u இன் எந்த இரண்டு கூம்புகளும் ஐசோமார்பிக் ஆகும், ஆனால் ஐசோமார்பிசம் எப்போதும் தனித்துவமாக தீர்மானிக்கப்படுவதில்லை. டி இல் உள்ள ஒவ்வொரு மோனோமார்பிசமும் ஒரு நேரடி கூட்டுத்தொகையை சேர்ப்பதாகும், மேலும் ஒவ்வொரு எபிமார்பிசமும் ஒரு திட்டமாகும். ஒரு தொடர்புடைய புள்ளி என்னவென்றால், ஒரு முக்கோணப் பிரிவில் உள்ள உருமாற்றங்களுக்கான "ஊசி" அல்லது "சர்ஜெக்டிவிட்டி" பற்றி ஒருவர் பேசக்கூடாது. ஒரு ஐசோமார்பிசம் அல்லாத ஒவ்வொரு மார்ஃபிஸமும் பூஜ்ஜியமற்ற "கோக்கர்னல்" Z ஐக் கொண்டுள்ளது (அதாவது ஒரு துல்லியமான முக்கோணம் உள்ளது) மேலும் பூஜ்ஜியமற்ற "கர்னல்", அதாவது Z [−1]. கூம்பு கட்டுமானத்தின் செயல்படாத தன்மை முக்கோண வகைகளின் தொழில்நுட்ப சிக்கல்களில் ஒன்று கூம்பு கட்டுமானம் செயல்பாட்டில் இல்லை என்பது உண்மை. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு வளையம் மற்றும் வேறுபட்ட முக்கோணத்தின் பகுதி வரைபடம் கொடுக்கப்பட்டால், இந்த வரைபடத்தை நிறைவு செய்யும் இரண்டு வரைபடங்கள் உள்ளன. இது அடையாள வரைபடமாக இருக்கலாம் அல்லது பூஜ்ஜிய வரைபடமாக இருக்கலாம், இவை இரண்டும் பரிமாற்ற ரீதியானவை. இரண்டு வரைபடங்கள் உள்ளன என்பது ஒரு முக்கோண வகை என்பது ஹோமோடாபி வரம்புகள் மற்றும் கோலிமிட்டைக் குறியாக்கம் செய்யும் ஒரு கருவியாகும் என்ற உண்மையின் நிழலாகும். இந்த சிக்கலுக்கான ஒரு தீர்வு கிரோதெண்டீக்கால் முன்மொழியப்பட்டது, அங்கு பெறப்பட்ட வகை மட்டுமல்ல, இந்த பிரிவில் உள்ள வரைபடங்களின் பெறப்பட்ட வகையும் கருத்தில் கொள்ளப்படுகிறது. அத்தகைய பொருள் டெரிவேட்டர் என்று அழைக்கப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டுகள் சிறந்த கோட்பாடுகள் உள்ளனவா? முக்கோண வகைப்பாடுகள் உண்மையில் "சரியான" கருத்து அல்ல என்று சில நிபுணர்கள் pg 190 ஐ சந்தேகிக்கின்றனர் (எடுத்துக்காட்டாக, பார்க்கவும்). இன்றியமையாத காரணம் என்னவென்றால், ஒரு உருவத்தின் கூம்பு ஒரு தனித்துவமற்ற ஐசோமார்பிசம் வரை மட்டுமே தனித்துவமானது. குறிப்பாக, ஒரு உருவகத்தின் கூம்பு பொதுவாக உருவகத்தின் செயல்பாட்டைப் பொறுத்தது அல்ல (எடுத்துக்காட்டாக, கோட்பாட்டில் (TR 3) தனித்துவம் இல்லாததைக் கவனியுங்கள்). இந்த தனித்துவம் இல்லாதது பிழைகளின் சாத்தியமான ஆதாரமாகும். இருப்பினும், கோட்பாடுகள் நடைமுறையில் போதுமான அளவு செயல்படுகின்றன, மேலும் அவற்றின் ஆய்வுக்கு அர்ப்பணிக்கப்பட்ட ஏராளமான இலக்கியங்கள் உள்ளன. வழித்தோன்றல்கள் ஒரு மாற்று முன்மொழிவு என்பது 80 எஸ். பி. ஜி 191 இல் கிரோதெண்டிக் என்பவரால் பின்தொடர்தல் அடுக்குகளில் முன்மொழியப்பட்ட வழித்தோன்றல்களின் கோட்பாடாகும், பின்னர் 90 களில் இந்த தலைப்பில் அவரது கையெழுத்துப் பிரதியில் உருவாக்கப்பட்டது. அடிப்படையில், இவை பலவீனமான சமன்பாடுகளின் வகுப்பைக் கொண்ட ஒரு வகைக்கான வரைபட வகைகளால் வழங்கப்பட்ட ஹோமோடாபி வகைகளின் அமைப்பாகும். இந்த பிரிவுகள் பின்னர் வரைபடங்களின் உருவகங்களால் தொடர்புபடுத்தப்படுகின்றன. கூம்பு கட்டுமானத்தை மாற்றும் ஹோமோடாபி வரம்புகள் மற்றும் கோலிமிட்களை மீட்டெடுக்க முடியும் என்ற நன்மை இந்த சம்பிரதாயத்திற்கு உள்ளது. ஸ்திரமான ν-பிரிவுகள் மற்றொரு மாற்று கட்டமைக்கப்பட்ட நிலையான ν-வகைகளின் கோட்பாடு ஆகும். ஒரு நிலையான ν-பிரிவின் ஹோமோடாபி வகை நியமன ரீதியாக முக்கோணமாக உள்ளது, மேலும் மேப்பிங் கூம்புகள் அடிப்படையில் தனித்துவமானவை (துல்லியமான ஹோமோடோபிகல் அர்த்தத்தில்). மேலும், ஒரு நிலையான-வகை இயற்கையாகவே அதன் ஹோமோடாபி வகைக்கான பொருந்தக்கூடிய ஒரு முழு படிநிலையையும் குறியாக்கம் செய்கிறது, அதன் அடிப்பகுதியில் எண்முக கோட்பாடு உள்ளது. எனவே, ஒரு முக்கோணத்தின் சமச்சீர் வகையின் தரவைக் கொடுப்பதை விட ஒரு நிலையான-பிரிவின் தரவைக் கொடுப்பது கண்டிப்பாக வலுவானது. நடைமுறையில் எழும் கிட்டத்தட்ட அனைத்து முக்கோண வகைகளும் நிலையான ν-வகைகளிலிருந்து வருகின்றன. முக்கோண வகைகளின் ஒத்த (ஆனால் மிகவும் சிறப்பு வாய்ந்த) செறிவூட்டல் ஒரு டிஜி-வகை என்ற கருத்தாகும். சில வழிகளில், முக்கோண வகைகளை விட நிலையான ν-பிரிவுகள் அல்லது dg-பிரிவுகள் சிறப்பாக செயல்படுகின்றன. கீழே விவாதிக்கப்பட்ட முக்கோண வகைகளுக்கு இடையில் ஒரு சரியான செயல்பாட்டாளரின் கருத்து ஒரு எடுத்துக்காட்டு. ஒரு புலம் k க்கு மேல் ஒரு மென்மையான ப்ரொஜெக்டிவ் வகை X க்கு, ஒத்திசைவான உறைகளின் வரம்புக்குட்பட்ட வகை இயற்கையான வழியில் ஒரு dg-வகையிலிருந்து வருகிறது. X மற்றும் Y வகைகளைப் பொறுத்தவரை, X இன் dg-வகை முதல் Y வரையிலான ஒவ்வொரு செயல்பாடும் ஃபோரியர்-முகாய் உருமாற்றத்தால் உறைகளின் வளாகத்திலிருந்து வருகிறது. இதற்கு நேர்மாறாக, ஒரு சரியான ஃபங்க்டருக்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு உள்ளது, அது உறைகளின் வளாகத்திலிருந்து வரவில்லை. இந்த உதாரணத்தின் பார்வையில், முக்கோண வகைகளுக்கு இடையிலான ஒரு உருவகப்படுத்துதலின் "சரியான" கருத்து அடிப்படை டிஜி-வகைகளின் (அல்லது நிலையான φ-பிரிவுகள்) உருவகப்படுத்துதலில் இருந்து வந்ததாகத் தெரிகிறது. முக்கோண வகைகளை விட நிலையான ν-பிரிவுகள் அல்லது dg-வகைகளின் மற்றொரு நன்மை இயற்கணித K-கோட்பாட்டில் தோன்றுகிறது. ஒரு நிலையான-வகை அல்லது dg-வகை C இன் இயற்கணித K-கோட்பாட்டை ஒருவர் வரையறுக்கலாம், இது முழு எண்களுக்கான அபெலியன் குழுக்களின் வரிசையை வழங்குகிறது. சி உடன் தொடர்புடைய முக்கோண வகை அடிப்படையில் குழு ஒரு எளிய விளக்கத்தைக் கொண்டுள்ளது, ஆனால் ஒரு டிஜி-பிரிவின் உயர் கே-குழுக்கள் எப்போதும் தொடர்புடைய முக்கோண வகை மூலம் தீர்மானிக்கப்படுவதில்லை என்பதை ஒரு எடுத்துக்காட்டு காட்டுகிறது. எனவே ஒரு முக்கோண வகை நன்கு வரையறுக்கப்பட்ட குழுவைக் கொண்டுள்ளது, ஆனால் பொதுவாக அதிக கே-குழுக்கள் இல்லை. மறுபுறம், முக்கோண வகைப்பாடுகளின் கோட்பாடு நிலையான φ-பிரிவுகள் அல்லது dg-வகைகளின் கோட்பாட்டை விட எளிமையானது, மேலும் பல பயன்பாடுகளில் முக்கோண அமைப்பு போதுமானது. ஒரு எடுத்துக்காட்டு ப்ளோச்-கேட்டோ அனுமானத்தின் சான்றாகும், அங்கு முக்கோண வகைகளின் மட்டத்தில் பல கணக்கீடுகள் செய்யப்பட்டன, மேலும் φ-பிரிவுகள் அல்லது dg-வகைகளின் கூடுதல் அமைப்பு தேவையில்லை. முக்கோணப் பிரிவுகளில் உள்ள கோஹோமோலஜி முக்கோணப் பிரிவுகள் கோஹோமோலஜி என்ற கருத்தை ஒப்புக்கொள்கின்றன, மேலும் ஒவ்வொரு முக்கோணப் பிரிவும் கோஹோமோலாஜிக்கல் ஃபங்க்டர்களின் பெரிய விநியோகத்தைக் கொண்டுள்ளன. முக்கோண வகை டி முதல் அபெலியன் வகை ஏ வரை ஒரு கோஹோமோலாஜிக்கல் ஃபங்க்டர் எஃப் என்பது ஒவ்வொரு துல்லியமான முக்கோணத்திற்கும் A இல் உள்ள வரிசை துல்லியமாக இருக்கும் வகையில் ஒரு ஃபங்க்டர் ஆகும். ஒரு துல்லியமான முக்கோணம் இரு திசைகளிலும் உள்ள துல்லியமான முக்கோணங்களின் எல்லையற்ற வரிசையை தீர்மானிப்பதால், ஒரு ஒத்திசைவியல் செயல்பாட்டாளர் F உண்மையில் அபெலியன் வகை A இல் ஒரு நீண்ட துல்லியமான வரிசையை அளிக்கிறதுஃ ஒரு முக்கிய எடுத்துக்காட்டுஃ முக்கோண வகை D இல் உள்ள ஒவ்வொரு பொருளுக்கும், செயல்பாட்டாளர்கள் மற்றும் ஒத்திசைவியல், அபெலியன் குழுக்களின் பிரிவில் உள்ள மதிப்புகளுடன். (துல்லியமாகச் சொல்வதானால், பிந்தையது ஒரு மாறுபட்ட செயல்பாட்டாளர், இது டி இன் எதிர் பிரிவில் ஒரு செயல்பாட்டாளராகக் கருதப்படலாம்.) அதாவது, ஒரு துல்லியமான முக்கோணம் அபெலியன் குழுக்களின் இரண்டு நீண்ட துல்லியமான வரிசைகளை தீர்மானிக்கிறதுஃ மேலும் குறிப்பிட்ட முக்கோண வகைகளுக்கு, இந்த துல்லியமான வரிசைகள் சீஃப் கோஹோமோலஜி, குரூப் கோஹோமோலஜி மற்றும் கணிதத்தின் பிற பகுதிகளில் பல முக்கியமான துல்லியமான வரிசைகளை வழங்குகின்றன. ஒருவர் முழு எண்கள் i க்கான குறியீட்டைப் பயன்படுத்தலாம், இது ஒரு அபெலியன் பிரிவில் எக்ஸ்ட்டின் செயல்பாட்டை பொதுமைப்படுத்துகிறது. இந்த குறியீட்டில், மேலே உள்ள முதல் துல்லியமான வரிசை எழுதப்படும்ஃ ஒரு அபெலியன் வகை A க்கு, பெறப்பட்ட வகை D (A) இல் ஒரு கோஹோமோலாஜிக்கல் ஃபங்க்டரின் மற்றொரு அடிப்படை எடுத்துக்காட்டு A இல் உள்ள பொருளுக்கு ஒரு சிக்கலான X ஐ அனுப்புகிறது. அதாவது, D (A) இல் உள்ள ஒரு துல்லியமான முக்கோணம் A இல் ஒரு நீண்ட துல்லியமான வரிசையை தீர்மானிக்கிறது. முக்கோண வகை D இலிருந்து முக்கோண வகை E க்கு ஒரு துல்லியமான செயல்பாட்டாளர் (முக்கோண செயல்பாட்டாளர் என்றும் அழைக்கப்படுகிறார்) ஒரு சேர்க்கை செயல்பாட்டாளர், இது தளர்வாக பேசுகையில், மொழிபெயர்ப்புடன் பயணிக்கிறது மற்றும் துல்லியமான முக்கோணங்களுக்கு துல்லியமான முக்கோணங்களை அனுப்புகிறது. மேலும் விரிவாக, ஒரு துல்லியமான செயல்பாட்டாளர் ஒரு இயற்கையான ஐசோமார்பிசத்துடன் வருகிறார் (இதில் முதல் டி இன் மொழிபெயர்ப்பு செயல்பாட்டாளரைக் குறிக்கிறது மற்றும் இரண்டாவது ஈ இன் மொழிபெயர்ப்பு செயல்பாட்டாளரைக் குறிக்கிறது), அதாவது டி இல் ஒரு துல்லியமான முக்கோணம் இருக்கும்போதெல்லாம், ஈ இல் ஒரு துல்லியமான முக்கோணம். முக்கோண வகைகளின் சமநிலை என்பது ஒரு துல்லியமான செயல்பாட்டாளராகும், இது வகைகளின் சமநிலையாகும். இந்த விஷயத்தில், FG மற்றும் GF ஆகியவை அந்தந்த அடையாள செயல்பாடுகளுக்கு இயற்கையாகவே ஐசோமார்பிக் ஆகும். சுருக்கமாக உருவாக்கப்பட்ட முக்கோண வகைகள் D ஒரு முக்கோண வகையாக இருக்கட்டும், அதாவது ஒரு தன்னிச்சையான தொகுப்பால் குறியிடப்பட்ட நேரடி தொகைகள் (வரையறுக்கப்பட வேண்டிய அவசியமில்லை) D இல் உள்ளன. வெளிப்படையாக, இதன் பொருள் என்னவென்றால், ஒரு தொகுப்பு S ஆல் குறியிடப்பட்ட D இல் உள்ள ஒவ்வொரு பொருள்களின் குடும்பத்திற்கும், அபெலியன் குழுக்களின் இயற்கையான ஒத்தமைவு ஒரு ஐசோமார்பிசம் ஆகும். இது வகைக் கோட்பாட்டில் ஒரு சிறிய பொருளைப் பற்றிய பொதுவான கருத்திலிருந்து வேறுபட்டது, இது இணை தயாரிப்புகளை மட்டுமல்லாமல் அனைத்து கோலிமிட்டுகளையும் உள்ளடக்கியது. எடுத்துக்காட்டாக, நிலையான ஹோமோடாபி பிரிவில் ஒரு சிறிய பொருள் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட ஸ்பெக்ட்ரம் ஆகும். ஒரு வளையத்தின் பெறப்பட்ட பிரிவில் அல்லது ஒரு திட்டத்தின் அரை-ஒத்திசைவான பெறப்பட்ட பிரிவில் உள்ள ஒரு சிறிய பொருள் ஒரு சரியான சிக்கலானது. ஒரு புலத்தின் மீது ஒரு மென்மையான ப்ரொஜெக்டிவ் வகை X இன் விஷயத்தில், சரியான வளாகங்களின் வகை Perf (X) ஐ ஒத்திசைவான உறைகளின் வரம்புக்குட்பட்ட வகை வகையாகவும் பார்க்க முடியும். D தன்னிச்சையான (வரையறுக்கப்படாத) நேரடி தொகைகளைக் கொண்டிருந்தால் ஒரு முக்கோண வகை D சுருக்கமாக உருவாக்கப்படுகிறது; D இல் உள்ள ஒவ்வொரு பூஜ்ஜியமற்ற பொருள் X க்கும், சில முழு எண் n க்கு பூஜ்ஜியமற்ற வரைபடத்துடன் S இல் ஒரு பொருள் உள்ளது. இயற்கையாக நிகழும் பல "பெரிய" முக்கோண வகைகள் சுருக்கமாக உருவாக்கப்படுகின்றனஃ ஒரு வளையத்தின் மீது பெறப்பட்ட தொகுதிகளின் வகை R-தொகுதி R என்ற ஒரு பொருளால் சுருக்கமாக உருவாக்கப்படுகிறது. ஒரு அரை-சுருக்க அரை பிரிக்கப்பட்ட திட்டத்தின் அரை-ஒத்திசைவான வகை ஒரு பொருளால் சுருக்கமாக உருவாக்கப்படுகிறது. நிலையான ஹோமோடாபி வகை கோள நிறமாலை என்ற ஒரு பொருளால் சுருக்கமாக உருவாக்கப்படுகிறது. அம்னான் நீமான் பிரவுன் பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாட்டை எந்தவொரு சுருக்கமாக உருவாக்கப்பட்ட முக்கோண வகைக்கும் பின்வருமாறு பொதுமைப்படுத்தினார். டி ஒரு சுருக்கமாக உருவாக்கப்பட்ட முக்கோண வகையாக இருக்கட்டும், இது ஒரு ஒத்திசைவான செயல்பாட்டாளராகும், இது தயாரிப்புகளுக்கு இணை தயாரிப்புகளை எடுத்துச் செல்கிறது. பின்னர் எச் பிரதிநிதித்துவம் செய்யப்படுகிறது. (அதாவது, அனைத்து X க்கும் ஒரு பொருள் உள்ளது.) மற்றொரு பதிப்பிற்கு, டி ஒரு சுருக்கமாக உருவாக்கப்பட்ட முக்கோண வகை, டி எந்த முக்கோண வகை இருக்கட்டும். ஒரு சரியான ஃபன்க்டர் இணை தயாரிப்புகளுக்கு இணை தயாரிப்புகளை அனுப்பினால், F க்கு சரியான இணைப்பு உள்ளது. முக்கோண வகைகளுக்கு இடையில் பல்வேறு செயல்பாடுகளை வரையறுக்க பழுப்பு பிரதிநிதித்துவ தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தலாம். குறிப்பாக, ஒத்திசைவான இரட்டைக் கோட்பாட்டின் மைய அம்சமான திட்டங்களின் உருவவியல் f க்கான விதிவிலக்கான தலைகீழ் பட செயல்பாட்டாளரின் கட்டுமானத்தை எளிமைப்படுத்தவும் பொதுமைப்படுத்தவும் நீமான் இதைப் பயன்படுத்தினார். டி-கட்டமைப்புகள் ஒவ்வொரு அபெலியன் வகை ஏ-க்கும், பெறப்பட்ட வகை டி (ஏ) ஒரு முக்கோண வகை, இதில் ஏ ஒரு முழு துணைப்பிரிவாக உள்ளது (டிகிரி பூஜ்ஜியத்தில் செறிவூட்டப்பட்ட வளாகங்கள்). வெவ்வேறு அபெலியன் பிரிவுகள் சமமான பெறப்பட்ட வகைகளைக் கொண்டிருக்கலாம், இதனால் D (A) இலிருந்து A ஐ முக்கோண வகையாக மறுகட்டமைப்பது எப்போதும் சாத்தியமில்லை. அலெக்சாண்டர் பெய்லின்சன், ஜோசப் பெர்ன்ஸ்டைன் மற்றும் பியர் டெலிக்னே ஆகியோர் முக்கோண வகை டி மீது ஒரு டி-அமைப்பு என்ற கருத்தின் மூலம் இந்த சூழ்நிலையை விவரித்தனர். டி மீது ஒரு டி-அமைப்பு டி க்குள் ஒரு அபெலியன் வகையை தீர்மானிக்கிறது, மேலும் டி மீது வெவ்வேறு டி-கட்டமைப்புகள் வெவ்வேறு அபெலியன் வகைகளை வழங்கக்கூடும். உள்ளூர்மயமாக்கல் மற்றும் தடிமனான துணைப்பிரிவுகள் டி தன்னிச்சையான நேரடி தொகைகளுடன் ஒரு முக்கோண வகையாக இருக்கட்டும். டி இன் உள்ளூர்மயமாக்கும் துணைப்பிரிவு என்பது கண்டிப்பாக முழு முக்கோண துணைப்பிரிவாகும், இது தன்னிச்சையான நேரடி தொகைகளின் கீழ் மூடப்பட்டுள்ளது. பெயரை விளக்குவதற்குஃ சுருக்கமாக உருவாக்கப்பட்ட முக்கோண வகை டி இன் உள்ளூர்மயமாக்கும் துணைப்பிரிவு எஸ் ஒரு பொருளின் தொகுப்பால் உருவாக்கப்பட்டால், கர்னல் எஸ் உடன் ஒரு பவுஸ்ஃபீல்ட் உள்ளூர்மயமாக்கல் செயல்பாட்டாளர் உள்ளது. (அதாவது, டி இல் உள்ள ஒவ்வொரு பொருளுக்கும் எஸ் இல் ஒய் மற்றும் வலது ஆர்த்தோகனலில் எல்எக்ஸ் உடன் ஒரு துல்லியமான முக்கோணம் உள்ளது.) எடுத்துக்காட்டாக, இந்த கட்டுமானத்தில் ஒரு பகா எண்ணில் ஒரு நிறமாலையின் உள்ளூர்மயமாக்கல் அல்லது ஒரு இடத்தில் உள்ள உறைகளின் வளாகத்திலிருந்து திறந்த துணைக்குழுவிற்கு கட்டுப்பாடு ஆகியவை அடங்கும். ஒரு இணையான கருத்து "சிறிய" முக்கோண வகைகளுக்கு மிகவும் பொருத்தமானதுஃ முக்கோண வகை C இன் தடிமனான துணைப்பிரிவு என்பது கண்டிப்பாக முழு முக்கோண வகை துணைப்பிரிவாகும், இது நேரடி கூட்டுத்தொகைகளின் கீழ் மூடப்பட்டுள்ளது. (சி ஐடெம்போட்டன்ட்-முழுமையானதாக இருந்தால், ஒரு துணைப்பிரிவு ஐடெம்போட்டன்ட்-முழுமையானதாக இருந்தால் மட்டுமே தடிமனாக இருக்கும்.) ஒரு உள்ளூர்மயமாக்கும் துணைப்பிரிவு தடிமனாக உள்ளது. எனவே S என்பது முக்கோண வகை D இன் உள்ளூர்மயமாக்கும் துணைப்பிரிவாக இருந்தால், சிறிய பொருட்களின் துணைப்பிரிவுடன் S இன் குறுக்கீடு ஒரு தடிமனான துணைப்பிரிவாகும். எடுத்துக்காட்டாக, டெவினாட்ஸ்-ஹாப்கின்ஸ்-ஸ்மித் மொராவா கே-கோட்பாட்டின் அடிப்படையில் வரையறுக்கப்பட்ட நிறமாலையின் முக்கோண வகையின் அனைத்து தடிமனான துணைப்பிரிவுகளையும் விவரித்தார். முழு நிலையான ஹோமோடாபி வகையின் உள்ளூர்மயமாக்கும் துணைப்பிரிவுகள் வகைப்படுத்தப்படவில்லை. மேலும் காண்க ஃபோரியர்-முகாய் உருமாற்றம் சிக்ஸ் ஆபரேஷன்ஸ் பெர்வர்ஸ் ஷீஃப் டி-தொகுதி பெய்லின்சன்-பெர்ன்ஸ்டைன் உள்ளூர்மயமாக்கல் தொகுதி ஸ்பெக்ட்ரம் செமியோர்டோகனல் சிதைவு பிரிட்ஜ்லேண்ட் ஸ்திரத்தன்மை நிலை குறிப்புகள் குறிப்புகள் முக்கோண வகைகளுக்கான சில பாடநூல் அறிமுகங்கள்ஃ பயன்பாடுகளுடன் ஒரு சுருக்கமான சுருக்கம்ஃ மேலும் சில மேம்பட்ட குறிப்புகள்ஃ வெளிப்புற இணைப்புகள் ஜே. பீட்டர் மே, முக்கோண வகைகளுக்கான கோட்பாடுகள் ஹோமோலாஜிகல் அல்ஜிப்ரா