Plateau's problem
கணிதத்தில், பீடபூமியின் சிக்கல் ஒரு குறிப்பிட்ட எல்லையுடன் குறைந்தபட்ச மேற்பரப்பு இருப்பதைக் காண்பிப்பதாகும், இது 1760 இல் ஜோசப்-லூயிஸ் லாக்ராஞ்சால் எழுப்பப்பட்ட ஒரு சிக்கலாகும். இருப்பினும், சோப் படங்களை பரிசோதித்த ஜோசப் பீடபூமியின் பெயரால் இது பெயரிடப்பட்டுள்ளது. இந்த சிக்கல் மாறுபாடுகளின் கணக்கீட்டின் ஒரு பகுதியாக கருதப்படுகிறது. இருப்பு மற்றும் ஒழுங்குமுறை சிக்கல்கள் வடிவியல் அளவீட்டுக் கோட்பாட்டின் ஒரு பகுதியாகும். இந்த பிரச்சினையின் பல்வேறு சிறப்பு வடிவங்கள் தீர்க்கப்பட்டன, ஆனால் 1930 ஆம் ஆண்டில்தான் ஜெஸ்ஸி டக்ளஸ் மற்றும் திபோர் ராடோ ஆகியோரால் சுயாதீனமாக வரைபடங்கள் (மூழ்குதல்) சூழலில் பொதுவான தீர்வுகள் கண்டுபிடிக்கப்பட்டன. அவர்களின் முறைகள் மிகவும் வித்தியாசமாக இருந்தன; ரெனே கார்னியரின் முந்தைய படைப்பை அடிப்படையாகக் கொண்டு ராடோவின் பணி உருவாக்கப்பட்டது மற்றும் சரிசெய்யக்கூடிய எளிய மூடிய வளைவுகளுக்கு மட்டுமே நடத்தப்பட்டது, அதேசமயம் டக்ளஸ் ஒரு தன்னிச்சையான எளிய மூடிய வளைவுக்கு தனது முடிவைப் பிடித்துக் கொண்டு முற்றிலும் புதிய யோசனைகளைப் பயன்படுத்தினார். இரண்டும் மினிமைசேஷன் சிக்கல்களை அமைப்பதில் தங்கியிருந்தன; டக்ளஸ் இப்போது பெயரிடப்பட்ட டக்ளஸ் ஒருங்கிணைப்பைக் குறைத்தார், அதே நேரத்தில் ராடோ "ஆற்றலை" குறைத்தார். டக்ளஸுக்கு அவரது முயற்சிகளுக்காக 1936 இல் ஃபீல்ட்ஸ் பதக்கம் வழங்கப்பட்டது. உயர் பரிமாணங்களில் சிக்கலை உயர் பரிமாணங்களுக்கு விரிவுபடுத்துவது (அதாவது, பரிமாண இடைவெளியில்-பரிமாண மேற்பரப்புகளுக்கு) ஆய்வு செய்வது மிகவும் கடினம். மேலும், அசல் சிக்கலுக்கான தீர்வுகள் எப்போதும் வழக்கமானவை என்றாலும், நீட்டிக்கப்பட்ட சிக்கலுக்கான தீர்வுகள் தனித்துவங்களைக் கொண்டிருக்கலாம் என்று மாறிவிடும். ஹைப்பர்சர்ஃபேஸ் வழக்கில், ஒற்றுமைகள் மட்டுமே நிகழ்கின்றன. பீடபூமி பிரச்சினையின் இத்தகைய ஒற்றைத் தீர்வுக்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு சைமன்ஸ் கூம்பு ஆகும், அதில் ஒரு கூம்பு மேல் ஜிம் சைமன்ஸ் முதலில் விவரிக்கப்பட்டது மற்றும் பாம்பியேரி, டி ஜியோர்ஜி மற்றும் கியூஸ்டி ஆகியோரால் ஒரு பகுதி மினிமைசர் என்று காட்டப்பட்டது. சில சிறப்பு நிகழ்வுகளில் நீட்டிக்கப்பட்ட சிக்கலைத் தீர்க்க, கோடிமென்ஷன் 1 க்கான சுற்றளவு கோட்பாடு (டி ஜியோர்ஜி) மற்றும் அதிக கோடிமென்ஷனுக்கான சரிசெய்யக்கூடிய நீரோட்டங்களின் கோட்பாடு (ஃபெடரர் மற்றும் ஃப்ளெமிங்) உருவாக்கப்பட்டுள்ளன. ஹவுஸ்டோர்ஃப் பரிமாணத்தின் மூடிய தொகுப்பிலிருந்து மென்மையாக இருக்கும் கோடிமென்ஷன் 1 தீர்வுகள் இருப்பதை இந்தக் கோட்பாடு உறுதி செய்கிறது. உயர் கோடிமென்ஷன் விஷயத்தில் ஆல்ம்க்ரென் தனது வழக்கமான தேற்றத்தில் அதிகபட்சமாக ஒருமை பரிமாணத்துடன் தீர்வுகள் இருப்பதை நிரூபித்தார். ஆல்ம்க்ரெனின் மாணவரான எஸ். எக்ஸ். சாங், ஒருங்கிணைந்த நீரோட்டங்களைக் குறைக்கும் இரு பரிமாணப் பகுதியின் ஒருமைப்பாடுகள் (தன்னிச்சையான குறியீட்டில்) ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட தனித்துவமான தொகுப்பை உருவாக்குகின்றன என்பதைக் காட்ட அல்ம்க்ரெனின் பணியின் அடிப்படையில் கட்டப்பட்டது. ஜென்னி ஹாரிசன் மற்றும் ஹாரிசன் பக் ஆகியோரின் தன்னியக்க அணுகுமுறை பல்வேறு வகையான சிறப்பு நிகழ்வுகளுக்கு சிகிச்சையளிக்கிறது. குறிப்பாக, அவை அனிசோட்ரோபிக் பீடபூமி சிக்கலை தன்னிச்சையான பரிமாணத்திலும் குறியீட்டிலும் தீர்க்கின்றன, எந்தவொரு திருத்தக்கூடிய தொகுப்புகளுக்கும் பொதுவான ஒரே மாதிரியான, ஒத்திசைவான அல்லது ஒரே மாதிரியான பரவலான நிலைமைகளின் கலவையை திருப்திப்படுத்துகின்றன. ஹாரிசன்-பக்கின் முடிவுகளுக்கு ஒரு வித்தியாசமான ஆதாரம் கேமில்லோ டி லெல்லிஸ், பிரான்செஸ்கோ கிரால்டின் மற்றும் பிரான்செஸ்கோ மேகி ஆகியோரால் பெறப்பட்டது. இயற்பியல் பயன்பாடுகள் இயற்பியல் சோப் படங்கள் ஃப்ரெடெரிக் அல்ம்க்ரெனின்-குறைந்தபட்ச தொகுப்புகளால் மிகவும் துல்லியமாக வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளன, ஆனால் ஒரு சுருக்கமான தேற்றம் இல்லாததால் ஒரு பகுதி மினிமைசர் இருப்பதை நிரூபிப்பது கடினம். இந்த சூழலில், குறைந்த பகுதி சோப் படலம் இருப்பது ஒரு தொடர்ச்சியான திறந்த கேள்வி. எர்ன்ஸ்ட் ராபர்ட் ரைஃபென்பெர்க் ஒற்றை உட்பொதிக்கப்பட்ட கோளங்களுக்கு ஒத்த வடிவமாக இருக்கும் எல்லைகளுக்கு அத்தகைய "உலகளாவிய பீடபூமியின் சிக்கலை" தீர்த்தார். மேலும் காண்க இரட்டை குமிழி அனுமானம் டிரிக்லெட் கொள்கை பீடபூமியின் விதிகள் நீட்டிக்கப்பட்ட கட்ட முறை பெர்ன்ஸ்டைனின் சிக்கல் குறிப்புகள் மாறுபாடுகளின் கணக்கீடு குறைந்தபட்ச மேற்பரப்பு கணித சிக்கல்கள்