Thales's theorem
வடிவவியலில், தாலிஸின் தேற்றம், கோடு ஒரு விட்டம் கொண்ட ஒரு வட்டத்தில் தனித்துவமான புள்ளிகளாக இருந்தால், கோணம் ஒரு சரியான கோணம் என்று கூறுகிறது. தலிஸின் தேற்றம் என்பது பொறிக்கப்பட்ட கோண தேற்றத்தின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு மற்றும் யூக்ளிடின் கூறுகளின் மூன்றாவது புத்தகத்தில் 31 வது முன்மொழிவில் ஒரு பகுதியாக குறிப்பிடப்பட்டு நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. இது பொதுவாக மிலேட்டஸின் தாலிஸுக்குக் காரணம், ஆனால் இது சில நேரங்களில் பித்தகோரஸுக்குக் காரணம். கிரேக்க கணிதவியலாளர்கள் இதை நிரூபிப்பதற்கு முன்பு பாபிலோனிய கணிதவியலாளர்கள் சிறப்பு நிகழ்வுகளுக்கு இதை அறிந்திருந்தனர். மிலேட்டஸின் தாலெஸ் (கிமு 6 ஆம் நூற்றாண்டின் முற்பகுதி) பாரம்பரியமாக தேற்றத்தை நிரூபித்த பெருமைக்குரியவர்; இருப்பினும், கிமு 5 ஆம் நூற்றாண்டில் கூட தாலெஸின் எழுத்தில் எதுவும் இல்லை, மேலும் கண்டுபிடிப்புகள் மற்றும் கருத்துக்கள் தாலெஸ் மற்றும் பித்தாகரஸ் போன்ற ஞானமுள்ள மனிதர்களுக்குக் காரணம் என்று பிற்கால டாக்ஸோகிராஃபர்கள் கூறுகின்றனர். தாலெஸ் பற்றி ப்ரோக்லஸ் (கி. பி. 5ஆம் நூற்றாண்டு) மற்றும் டியோஜெனஸ் லார்டியஸ் (கி. பி. 3ஆம் நூற்றாண்டு) ஆகியோர் பாம்பிலாவின் (கி. பி. 1ஆம் நூற்றாண்டு) கூற்றை ஆவணப்படுத்தி, தாலெஸ் தான் "ஒரு வட்டத்தில் வலது கோண முக்கோணத்தை முதன்முதலில் பொறித்தவர்" என்று குறிப்பிட்டனர். தாலெஸ் எகிப்து மற்றும் பாபிலோனியாவுக்குச் சென்றதாகக் கூறப்படுகிறது, அங்கு அவர் வடிவியல் மற்றும் வானியல் பற்றி கற்றுக் கொண்டதாகக் கூறப்படுகிறது, அங்கிருந்து கிரேக்கர்களுக்கு அவர்களின் அறிவைக் கொண்டு வந்தார், வடிவியல் ஆதாரம் என்ற கருத்தை கண்டுபிடித்து பல்வேறு வடிவியல் கோட்பாடுகளை நிரூபித்தார். இருப்பினும், இந்த கூற்றுகளில் எதற்கும் நேரடி சான்றுகள் எதுவும் இல்லை, மேலும் அவை பெரும்பாலும் ஊக பகுத்தறிவுகளைக் கண்டுபிடித்திருக்கலாம். யூக்ளிடின் கூறுகளில் காணப்படும் கிரேக்க விலக்கு வடிவியல் கிமு 4 ஆம் நூற்றாண்டு வரை உருவாக்கப்படவில்லை என்றும், எந்த வடிவியல் அறிவும் தாலெஸ் அவதானிப்பாக இருந்திருக்கலாம் என்றும் நவீன அறிஞர்கள் நம்புகின்றனர். யூக்ளிடின் எலிமென்ட்ஸ் () புத்தகம் II இல் இந்த தேற்றம் முன்மொழிவு 31 ஆக தோன்றுகிறதுஃ "ஒரு வட்டத்தில் அரை வட்டத்தில் உள்ள கோணம் சரியானது, ஒரு பெரிய பிரிவில் ஒரு சரியான கோணத்தை விட குறைவாகவும், ஒரு சிறிய பிரிவில் ஒரு சரியான கோணத்தை விட அதிகமாகவும் இருக்கும்; மேலும் பெரிய பிரிவின் கோணம் ஒரு சரியான கோணத்தை விட அதிகமாகவும், குறைந்த பிரிவின் கோணம் ஒரு சரியான கோணத்தை விட குறைவாகவும் இருக்கும்". டான்டின் பாராடிசோ (கேன்டோ 13, கோடுகள் 101-102) ஒரு உரையின் போது தாலஸின் தேற்றத்தைக் குறிக்கிறது. ஆதாரம் முதல் சான்று பின்வரும் உண்மைகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றனஃ ஒரு முக்கோணத்தில் உள்ள கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180° க்கு சமம் மற்றும் ஒரு ஐசோசிலஸ் முக்கோணத்தின் அடிப்படை கோணங்கள் சமம். ஏனெனில், மற்றும் ஐசோசிலஸ் முக்கோணங்கள், மற்றும் ஒரு ஐசோசிலஸ் முக்கோணத்தின் அடிப்படை கோணங்களின் சமத்துவத்தால், மற்றும். மற்றும் விடுங்கள். முக்கோணத்தின் மூன்று உள் கோணங்கள், மற்றும். ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180° க்கு சமமாக இருப்பதால், நம்மிடம் Q. E. D உள்ளது. இரண்டாவது சான்று தேற்றம் முக்கோணவியல் பயன்படுத்தி நிரூபிக்கப்படலாம்ஃ லெட், மற்றும். பின்னர் அலகு வட்டத்தில் ஒரு புள்ளி உள்ளது. செங்குத்தாக இருப்பதை நிரூபிப்பதன் மூலம் ஒரு சரியான கோணத்தை உருவாக்குகிறது என்பதைக் காண்பிப்போம்-அதாவது, அவற்றின் சரிவுகளின் பெருக்கல்-1 க்கு சமம். சரிவுகளை நாம் கணக்கிடுகிறோம் மற்றும்ஃ பின்னர் அவற்றின் பெருக்கல் −1 க்கு சமம் என்பதைக் காட்டுகிறோம்ஃ பித்தகோரியன் முக்கோணவியல் அடையாளத்தின் பயன்பாட்டைக் கவனியுங்கள் மூன்றாவது ஆதாரம் அந்த வட்டத்தில் ஒரு விட்டம் இருக்கும் வட்டத்தில் ஒரு முக்கோணமாக இருக்கட்டும். பின்னர் கோட்டின் மீது பிரதிபலிப்பதன் மூலம் ஒரு புதிய முக்கோணத்தை உருவாக்கி, பின்னர் வட்டத்தின் மையத்தின் வழியாக செல்லும் செங்குத்தான கோட்டின் மீது மீண்டும் பிரதிபலிக்கவும். கோடுகள் மற்றும் அவை இணையாக இருப்பதால், அதேபோல் மற்றும், நாற்கரமானது ஒரு இணையான வரைபடமாகும். கோடுகள் மற்றும் இணையான வட்டத்தின் மூலைவிட்டங்கள் இரண்டும் வட்டத்தின் விட்டம் மற்றும் எனவே சம நீளத்தைக் கொண்டிருப்பதால், இணையான செவ்வகம் ஒரு செவ்வகமாக இருக்க வேண்டும். ஒரு செவ்வகத்தில் உள்ள அனைத்து கோணங்களும் சரியான கோணங்களாகும். எந்தவொரு முக்கோணத்திற்கும், குறிப்பாக, எந்தவொரு வலது முக்கோணத்திற்கும், முக்கோணத்தின் மூன்று செங்குத்துகளையும் கொண்ட ஒரு வட்டம் சரியாக உள்ளது. (ஆதாரத்தின் வரைபடம். கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு புள்ளிகளிலிருந்து சம தூரத்தில் உள்ள புள்ளிகளின் இருப்பிடம் ஒரு நேர் கோடு ஆகும், இது புள்ளிகளை இணைக்கும் கோடு பிரிவின் செங்குத்தான இருமுனை என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு முக்கோணத்தின் எந்த இரண்டு பக்கங்களின் செங்குத்தான இருமுனைகள் சரியாக ஒரு புள்ளியில் வெட்டுகின்றன. இந்த புள்ளி முக்கோணத்தின் செங்குத்துகளிலிருந்து சம தூரத்தில் இருக்க வேண்டும்). இந்த வட்டம் முக்கோணத்தின் சுற்றளவு என்று அழைக்கப்படுகிறது. தாலிஸின் தேற்றத்தை உருவாக்குவதற்கான ஒரு வழி என்னவென்றால்ஃ ஒரு முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்டத்தின் மையம் முக்கோணத்தின் மீது இருந்தால், முக்கோணம் சரியானது, அதன் சுற்றுவட்டத்தின் மையம் அதன் ஹைபோடெனூஸில் உள்ளது. தாலிஸின் தேற்றத்தின் தலைகீழ் பின்வருமாறுஃ ஒரு வலது முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்டத்தின் மையம் அதன் ஹைபோடெனூஸில் உள்ளது. (சமமாக, ஒரு வலது முக்கோணத்தின் ஹைபோடெனஸ் அதன் சுற்றளவு வட்டத்தின் விட்டம் ஆகும்.) வடிவவியலைப் பயன்படுத்தி எதிர்ப்பின் சான்று இந்த சான்று ஒரு செவ்வகத்தை உருவாக்க வலது முக்கோணத்தை 'நிறைவு' செய்வதைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் அந்த செவ்வகத்தின் மையம் செங்குத்துகளிலிருந்து சம தூரத்தில் இருப்பதைக் கவனித்து, அதே போல் அசல் முக்கோணத்தின் சுற்றளவு வட்டத்தின் மையமும் உள்ளது, இது இரண்டு உண்மைகளைப் பயன்படுத்துகிறதுஃ ஒரு இணையான வரைபடத்தில் அருகிலுள்ள கோணங்கள் துணை (180 டிகிரிக்கு சேர்க்கவும்) மற்றும், ஒரு செவ்வகத்தின் மூலைவிட்டங்கள் சமமாக உள்ளன மற்றும் அவற்றின் சராசரி புள்ளியில் ஒருவருக்கொருவர் குறுக்கிடுகின்றன. ஒரு சரியான கோணம், கடந்து செல்வதற்கு இணையான ஒரு கோடு மற்றும் கடந்து செல்வதற்கு இணையான ஒரு கோடு இருக்கட்டும். கோடுகள் மற்றும் குறுக்குவெட்டு புள்ளியாக இருக்கட்டும். (இது வட்டத்தில் உள்ளது என்பது நிரூபிக்கப்படவில்லை.) நாற்கரமானது கட்டுமானத்தின் மூலம் ஒரு இணையான வரைபடத்தை உருவாக்குகிறது (எதிர் பக்கங்கள் இணையாக இருப்பதால்). ஒரு இணையான வரைபடத்தில் அருகிலுள்ள கோணங்கள் துணை (180 டிகிரிக்கு சேர்க்கவும்) மற்றும் ஒரு சரியான கோணம் (90 டிகிரி) என்பதால், கோணங்களும் சரியானவை (90 டிகிரி); இதன் விளைவாக ஒரு செவ்வகம். மூலைவிட்டங்களின் குறுக்குவெட்டு புள்ளியாக இருக்கட்டும் மற்றும். பின்னர் புள்ளி, மேலே உள்ள இரண்டாவது உண்மையால்,, மற்றும் ஆகியவற்றிலிருந்து சம தூரத்தில் உள்ளது. அதேபோல் சுற்றளவு வட்டத்தின் மையமும், முக்கோணத்தின் ஹைபோடெனஸ் () என்பது வட்டத்தின் விட்டம் ஆகும். வடிவவியலைப் பயன்படுத்தி எதிர்வின் மாற்று ஆதாரம் ஹைபோடெனஸுடன் ஒரு வலது முக்கோணத்தைக் கொடுத்தால், விட்டம் கொண்ட ஒரு வட்டத்தை உருவாக்குங்கள். மையமாக இருக்கட்டும். அதன் குறுக்குவெட்டு மற்றும் கதிர் இருக்கட்டும். தாலிஸின் தேற்றத்தின் படி, இது சரியானது. ஆனால் பின்னர் சமமாக இருக்க வேண்டும். (உள்ளே இருந்தால், அது கசப்பாக இருக்கும், வெளியே இருந்தால், அது கடுமையானதாக இருக்கும்.) நேரியல் இயற்கணிதத்தைப் பயன்படுத்தி எதிர்ப்பின் சான்று இந்த சான்று இரண்டு உண்மைகளைப் பயன்படுத்துகிறதுஃ இரண்டு கோடுகள் அவற்றின் திசை திசையன்களின் புள்ளி பெருக்கல் பூஜ்ஜியமாக இருந்தால் மட்டுமே ஒரு சரியான கோணத்தை உருவாக்குகின்றன, மேலும் ஒரு திசையனின் நீளத்தின் சதுரம் திசையனின் புள்ளி பெருக்கத்தால் வழங்கப்படுகிறது. ஒரு சரியான கோணமும் வட்டமும் விட்டம் கொண்டதாக இருக்கட்டும். எளிதாக கணக்கிட M இன் மையம் தோற்றத்தில் இருக்கட்டும். பின்னர் நமக்குத் தெரியும், ஏனென்றால் தோற்றத்தை மையமாகக் கொண்ட வட்டம் விட்டம் கொண்டது, மற்றும், ஏனெனில் இது ஒரு சரியான கோணம். இதன் பொருள் என்னவென்றால், அவை தோற்றத்திலிருந்து சம தூரத்தில் உள்ளன, அதாவது. மையத்திலிருந்து. வட்டத்தின் மீது இருப்பதால், அது முக்கோணத்தின் சுற்றளவு ஆகும். மேலே உள்ள கணக்கீடுகள் உண்மையில் தாலெஸ் தேற்றத்தின் இரு திசைகளும் எந்தவொரு உள் தயாரிப்பு இடத்திலும் செல்லுபடியாகும் என்பதை நிறுவுகின்றன. பொதுமைப்படுத்தல்கள் மற்றும் தொடர்புடைய முடிவுகள் தாலிஸின் தேற்றம் பின்வரும் தேற்றத்தின் ஒரு சிறப்பு வழக்குஃ கொடுக்கப்பட்ட மூன்று புள்ளிகள், மற்றும் மையத்துடன் ஒரு வட்டத்தில், கோணம் கோணத்தை விட இரண்டு மடங்கு பெரியது. பொறிக்கப்பட்ட கோணத்தைப் பார்க்கவும், இந்த தேற்றத்தின் ஆதாரம் மேலே கொடுக்கப்பட்ட தாலெஸ் தேற்றத்தின் ஆதாரத்துடன் மிகவும் ஒத்திருக்கிறது. தாலெஸ் தேற்றத்துடன் தொடர்புடைய ஒரு முடிவு பின்வருமாறுஃ ஒரு வட்டத்தின் விட்டம் என்றால், பின்னர்ஃ வட்டத்திற்குள் இருந்தால், பின்னர் வட்டத்தில் இருந்தால், பின்னர் வட்டத்திற்கு வெளியே இருந்தால், பின்னர். ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியைக் கடந்து செல்லும் கொடுக்கப்பட்ட வட்டத்திற்கு தொடுகோட்டை உருவாக்க பயன்பாட்டு தலேஸின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தலாம். வலதுபுறத்தில் உள்ள படத்தில், மையத்துடன் கொடுக்கப்பட்ட வட்டம் மற்றும் வெளியே உள்ள புள்ளி, மையத்துடன் ஆரம் கொண்ட வட்டத்தை இரண்டாகப் பிரித்து வரையவும். இந்த வட்டத்தின் விட்டம், எனவே OP ஐ புள்ளிகளுடன் இணைக்கும் முக்கோணங்கள் மற்றும் வட்டங்கள் சந்திக்கும் இடத்தில் இரண்டும் சரியான முக்கோணங்கள். ஒரு வட்டத்தின் மையத்தைக் கண்டுபிடிக்க தாலிஸின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தலாம், இது ஒரு சரியான கோணத்துடன் ஒரு பொருளைப் பயன்படுத்துகிறது, அதாவது ஒரு செட் ஸ்கொயர் அல்லது வட்டத்தை விட பெரிய செவ்வக காகிதத் தாள். கோணம் அதன் சுற்றளவில் எங்கும் வைக்கப்படுகிறது (படம் 1). சுற்றளவு கொண்ட இரு பக்கங்களின் குறுக்குவெட்டுகள் ஒரு விட்டத்தை வரையறுக்கின்றன (படம் 2). இதை வேறு குறுக்குவெட்டுகளுடன் மீண்டும் மீண்டும் செய்தால் மற்றொரு விட்டம் கிடைக்கும் (படம் 3). மையமானது விட்டங்களின் குறுக்குவெட்டில் உள்ளது. மேலும் காண்க செயற்கை வடிவியல் தலைகீழ் பித்தகோரியன் தேற்றம் குறிப்புகள் வெளிப்புற இணைப்புகள் மைக்கேல் ஷ்ரைபர் எழுதிய தாலெஸ் தேற்றத்தின் ஊடாடும் அனிமேஷன் டெமோஸ், தி வொல்ப்ராம் டெமோன்ஸ்ட்ரேஷன்ஸ் திட்டத்துடன் விளக்கப்பட்ட செதுக்கப்பட்ட கோணங்கள் தாலெஸ் தேற்றத்தின் மீது மஞ்சிங் விளக்கப்பட்டுள்ளது. யூக்ளிடியன் தள வடிவியல் ஆதாரங்களைக் கொண்ட கட்டுரைகள் வலது முக்கோணங்களைப் பற்றிய தேற்றங்கள் முக்கோணங்கள் மற்றும் வட்டங்களைப் பற்றிய தேற்றங்கள் எஸ்ஃ டியோரெமா டி Tales#Segundo டியோரெமா அவர்ஃ எம்எஸ்எஃப்டி டெய்ல்ஸ் #המשפט ஹஷ்னி