Vincent's theorem
கணிதத்தில், வின்சென்ட்டின் தேற்றம்-அலெக்ஸாண்ட்ரே ஜோசப் ஹிடுல்ப் வின்சென்ட்டின் பெயரால் பெயரிடப்பட்டது-இது பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் உண்மையான வேர்களை விகிதமுறு குணகங்களுடன் தனிமைப்படுத்துகிறது. வின்சென்ட்டின் தேற்றம் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் உண்மையான வேர்களை தனிமைப்படுத்துவதற்கான வேகமான முறையின் அடிப்படையாக இருந்தாலும், அது கிட்டத்தட்ட முற்றிலும் மறக்கப்பட்டது, ஸ்டர்மின் தேற்றத்தால் மறைக்கப்பட்டது; இதன் விளைவாக, இது உஸ்பென்ஸ்கியின் புத்தகத்தைத் தவிர, சமன்பாடுகளின் கோட்பாடு (20 ஆம் நூற்றாண்டின்) பற்றிய எந்த பாரம்பரிய புத்தகங்களிலும் தோன்றவில்லை. இந்த தேற்றத்தின் இரண்டு மாறுபாடுகள், அவற்றிலிருந்து பெறப்பட்ட பல (தொடர்ச்சியான பின்னங்கள் மற்றும் இரு பிரிவுகள்) உண்மையான வேர் தனிமைப்படுத்தல் முறைகளுடன் வழங்கப்படுகின்றன. குறியீடு மாறுபாடு c0, c1, c2,. உண்மையான எண்களின் வரையறுக்கப்பட்ட அல்லது எல்லையற்ற வரிசையாக இருக்கட்டும். l <r மற்றும் பின்வரும் நிபந்தனைகள் உள்ளன என்று வைத்துக்கொள்வோம்ஃ r = l + 1 என்றால், எண்கள் cl மற்றும் cr எதிர் அறிகுறிகளைக் கொண்டுள்ளன. r ±l + 2 எனில், எண்கள் cl + 1,............................................ இது சிஎல் மற்றும் சிஆர் எண்களுக்கு இடையிலான அடையாளம் மாறுபாடு அல்லது அடையாளம் மாற்றம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு மாறியில் உள்ள பல்லுறுப்புக்கோவை p (x) ஐக் கையாளும் போது, p (x) இன் அடையாள மாறுபாடுகளின் எண்ணிக்கையை அதன் குணகங்களின் வரிசையில் உள்ள அடையாள மாறுபாடுகளின் எண்ணிக்கையாக வரையறுக்கிறது. இந்த தேற்றத்தின் இரண்டு பதிப்புகள் வழங்கப்படுகின்றனஃ வின்சென்ட் காரணமாக தொடர்ச்சியான பின்னங்கள் பதிப்பு, மற்றும் அலெசினா மற்றும் கலுஸி காரணமாக இரு பிரிவுகள் பதிப்பு. வின்சென்ட்டின் தேற்றம்ஃ தொடர்ச்சியான பின்னங்கள் பதிப்பு (1834 மற்றும் 1836) பகுத்தறிவு குணகங்கள் மற்றும் பல வேர்கள் இல்லாத ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை சமன்பாட்டில், ஒன்றை விட பெரிய அல்லது சமமான நேர்மறை எண்கள் இருக்கும் வடிவத்தின் தொடர்ச்சியான மாற்றங்களை ஒருவர் செய்தால், அத்தகைய பல மாற்றங்களுக்குப் பிறகு, இதன் விளைவாக மாற்றப்பட்ட சமன்பாடு பூஜ்ஜிய அடையாள மாறுபாடுகளைக் கொண்டுள்ளது அல்லது அது ஒரு ஒற்றை அடையாள மாறுபாட்டைக் கொண்டுள்ளது. முதல் வழக்கில் ரூட் இல்லை, இரண்டாவது வழக்கில் ஒற்றை நேர்மறை உண்மையான ரூட் உள்ளது. மேலும், முன்மொழியப்பட்ட சமன்பாட்டின் தொடர்புடைய வேர் வரையறுக்கப்பட்ட தொடர்ச்சியான பின்னத்தால் தோராயமாக மதிப்பிடப்படுகிறதுஃ மேலும், இந்த பண்பை திருப்திப்படுத்தும் எண்ணற்ற பல எண்களைக் கண்டுபிடிக்க முடிந்தால், வேர் (எல்லையற்ற) தொடர்புடைய தொடர்ச்சியான பின்னத்தால் குறிக்கப்படுகிறது. மேற்கண்ட கூற்று வின்சென்ட்டின் அசல் ஆவணங்களில் காணப்படும் தேற்றத்தின் சரியான மொழிபெயர்ப்பாகும்; இருப்பினும், ஒரு தெளிவான புரிதலுக்கு பின்வரும் கருத்துக்கள் தேவைப்படுகின்றனஃ n மாற்றீடுகளுக்குப் பிறகு பெறப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவையைக் குறிக்கிறது என்றால் (மற்றும் வகுத்தலை அகற்றிய பிறகு), பின்னர் N உள்ளது, அதாவது அனைவருக்கும் எந்த அடையாள மாறுபாடும் இல்லை அல்லது அதற்கு ஒரு அடையாள மாறுபாடு உள்ளது. பிந்தைய வழக்கில் அனைவருக்கும் ஒரே நேர்மறையான உண்மையான வேர் உள்ளது. தொடர்ச்சியான பின்னம் அசல் சமன்பாட்டின் நேர்மறை மூலத்தைக் குறிக்கிறது, மேலும் அசல் சமன்பாடு ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட நேர்மறை மூலங்களைக் கொண்டிருக்கலாம். மேலும்,> 1 என்ற அசல் சமன்பாட்டின் மூலத்தை மட்டுமே நாம் பெற முடியும் என்று வைத்துக்கொள்வோம். ஒரு தன்னிச்சையான நேர்மறை மூலத்தைப் பெறுவதற்கு நாம் அதை அனுமானிக்க வேண்டும். எதிர்மறை வேர்கள் x ஐ − x ஆல் மாற்றுவதன் மூலம் பெறப்படுகின்றன, இந்த விஷயத்தில் எதிர்மறை வேர்கள் நேர்மறையாக மாறும். வின்சென்ட்டின் தேற்றம்ஃ இருபிரிவு பதிப்பு (அலெசினா மற்றும் கலுஸி 2000) p (x) என்பது எளிய வேர்களைக் கொண்ட டிகிரி டிகிரி (p) இன் உண்மையான பல்லுறுப்புக்கோவையாக இருக்கட்டும். ஒரு நேர்மறை அளவை δ தீர்மானிக்க முடியும், இதனால் ஒவ்வொரு ஜோடி நேர்மறை உண்மையான எண்களுக்கு a, b உடன், வடிவத்தின் ஒவ்வொரு மாற்றப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவைக்கும் சரியாக 0 அல்லது 1 அடையாள மாறுபாடுகள் உள்ளன. (a, b) க்குள் p (x) ஒரு மூலத்தைக் கொண்டிருந்தால் மட்டுமே இரண்டாவது வழக்கு சாத்தியமாகும். (a, b) இடைவெளியில் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு ஏதேனும் வேர்கள் உள்ளதா என்பதைத் தீர்மானிக்க சமன்பாடு () இலிருந்து பின்வரும் அளவுகோல் பெறப்படுகிறதுஃ p (x) இல் மாற்றீட்டைச் செய்து, மாற்றப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவின் குணகங்களின் வரிசையில் அடையாளம் மாறுபாடுகளின் எண்ணிக்கையை எண்ணுங்கள்; இந்த எண் திறந்த இடைவெளியில் (a, b) உள்ள p (x) இன் உண்மையான வேர்களின் எண்ணிக்கையின் மேல் வரம்பைக் கொடுக்கிறது. இன்னும் துல்லியமாக, திறந்த இடைவெளியில் (a, b) உண்மையான வேர்களின் எண் ρab (p)-கணக்கிடப்பட்ட பெருக்கங்கள்-R [x] இல் உள்ள பல்லுறுப்புக்கோவை p (x) இன் டிகிரி டிகிரி டிகிரி (p), வரப் (p) குறியீட்டு மாறுபாடுகளின் எண்ணிக்கையால் மேலே வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது, அங்கு டெஸ்கார்ட்டின் குறியீடுகளின் விதியைப் பொறுத்தவரை வரப் (p) = 0 என்றால் அது ρab (p) = 0 ஐப் பின்பற்றுகிறது, வரப் (p) = 1 என்றால் அது ρab (p) = 1 ஐப் பின்பற்றுகிறது. அலெசினா-கலுஸி "a _ b வேர்கள் சோதனையின்" ஒரு சிறப்பு வழக்கு புடானின் "0 _ 1 வேர்கள் சோதனை" ஆகும். ஒரு ஆதாரத்தின் வரைபடம் வின்சென்ட்டின் தேற்றம், அதன் விரிவாக்கம், சம்பந்தப்பட்ட மாற்றங்களின் வடிவியல் விளக்கம் மற்றும் மூன்று வெவ்வேறு சான்றுகள் பற்றிய விரிவான விவாதத்தை அலெசினா மற்றும் கலுஸி ஆகியோரின் படைப்புகளில் காணலாம். நான்காவது ஆதாரம் ஓஸ்ட்ரோவ்ஸ்கி காரணமாகும், அவர் ஓப்ரெஷ்கோஃப், பக்கம் 81,1920-1923 இல் கூறிய ஒரு தேற்றத்தின் சிறப்பு வழக்கை மீண்டும் கண்டுபிடித்தார். வின்சென்ட்டின் தேற்றமான அலெசினா மற்றும் கலுஸி ஆகிய இரண்டையும் நிரூபிக்க, தேற்றத்தில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ள தொடர்ச்சியான மாற்றங்களுக்குப் பிறகு, ஒரு நேர்மறை மூலத்தைக் கொண்ட ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை இறுதியில் ஒரு அடையாள மாறுபாட்டைக் கொண்டுள்ளது என்பதைக் காட்டுகிறது. இதைக் காட்ட, அவர்கள் முன்பு குறிப்பிடப்பட்ட 1920-1923 இன் ஒப்ரெஷ்கோஃப் தேற்றத்திற்கு பின்வரும் இணையைப் பயன்படுத்துகிறார்கள்; அதாவது, பின்வரும் இணையானது ஒரு நேர்மறை மூலத்துடன் கூடிய ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை அதன் குணகங்களின் வரிசையில் சரியாக ஒரு அடையாள மாறுபாட்டைக் கொண்டிருக்க வேண்டிய தேவையான நிபந்தனைகளை வழங்குகிறது; அதனுடன் தொடர்புடைய உருவத்தையும் பார்க்கவும். கரோலரி. (ஒப்ரெஸ்கோப்பின் கூம்பு அல்லது பிரிவு தேற்றம், 1920-1923 p. 81): ஒரு உண்மையான பல்லுறுப்புக்கோவை ஒரு எளிய மூலத்தைக் கொண்டிருந்தால், மற்ற அனைத்து (பல) வேர்களும் அந்த பிரிவில் இருந்தால், அதன் குணகங்களின் வரிசை சரியாக ஒரு அடையாள மாறுபாட்டைக் கொண்டுள்ளது. இப்போது மோபியஸ் உருமாற்றத்தையும் அதனுடன் தொடர்புடைய படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள மூன்று வட்டங்களையும் கருத்தில் கொள்ளுங்கள்; (மஞ்சள்) வட்டத்தின் விட்டம் உண்மையான அச்சில், இறுதிப் புள்ளிகளுடன் உள்ளது மற்றும் கற்பனை அச்சில் தலைகீழ் மோபியஸ் மாற்றத்தால் வரைபடமாக்கப்பட்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். எடுத்துக்காட்டாக, புள்ளி புள்ளியில் வரைபடமாக்கப்படுகிறது வெளிப்புற புள்ளிகள் அரை விமானத்தில் வரைபடமாக்கப்படுகின்றன. மையம் மற்றும் ஆரம் கொண்ட இரண்டு வட்டங்கள் (அவற்றின் நீல பிறை மட்டுமே தெரியும்) நேர்மாறான மோபியஸ் மாற்றத்தால் கோடுகளில் வரைபடமாக்கப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, புள்ளி புள்ளிக்கு வரைபடமாக்கப்படுகிறது வெளிப்புற புள்ளிகள் (எட்டு வடிவ உருவத்திற்கு வெளியே உள்ளவை) துறையில் வரைபடமாக்கப்படுகின்றன. ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு எட்டு வடிவ உருவத்திற்குள் ஒரு நேர்மறை வேர் இருந்தால், மற்ற அனைத்து வேர்களும் அதற்கு வெளியே இருந்தால், அது அதன் குணகங்களின் வரிசையில் ஒரு அடையாள மாறுபாட்டை முன்வைக்கிறது என்பது மேலே உள்ளவற்றிலிருந்து தெளிவாகிறது. இது செயல்முறையின் முடிவை உறுதி செய்கிறது. வரலாற்று பின்னணி வின்சென்ட் தேற்றத்தின் ஆரம்பகால பயன்பாடுகள் அவரது அடிப்படை ஆவணங்களில், வின்சென்ட் தொடர்ச்சியான பின்னங்களுடன் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் உண்மையான வேர்களை தனிமைப்படுத்த தனது தேற்றத்தை எவ்வாறு துல்லியமாகப் பயன்படுத்துவது என்பதைக் காட்டும் எடுத்துக்காட்டுகளை வழங்கினார். எவ்வாறாயினும், இதன் விளைவாக வந்த முறை அதிவேக கணினி நேரத்தைக் கொண்டிருந்தது, ஒரு நூற்றாண்டுக்குப் பிறகு உஸ்பென்ஸ்கி ப. 136 ஆல் உணரப்பட்டபடி, கணிதவியலாளர்கள் அப்போது உணர்ந்திருக்க வேண்டும். வின்சென்ட்டின் வழிமுறையின் அதிவேகத் தன்மை பகுதி மேற்கோள்கள் (வின்சென்ட்டின் தேற்றத்தில்) கணக்கிடப்படும் விதத்தின் காரணமாகும். அதாவது, ஒவ்வொரு பகுதியளவு விகிதத்தையும் கணக்கிட (அதாவது, x-அச்சில் வேர்கள் எங்கு உள்ளன என்பதைக் கண்டறிய) வின்சென்ட் புடானின் தேற்றத்தை "வேர்கள் இல்லை சோதனை" என்று பயன்படுத்துகிறார்; வேறுவிதமாகக் கூறினால், ஒரு வேரின் முழு எண் பகுதியைக் கண்டறிய வின்சென்ட் x-x + 1 வடிவத்தின் தொடர்ச்சியான மாற்றுகளைச் செய்கிறார், மேலும் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் p (x) மற்றும் p (x + 1) அவற்றின் குணகங்களின் வரிசையில் அடையாளம் மாறுபாடுகளின் எண்ணிக்கையில் வேறுபடும்போது மட்டுமே நிறுத்தப்படுகிறார் (அதாவது. p (x + 1) இன் அடையாள மாறுபாடுகளின் எண்ணிக்கை குறைக்கப்படும் போது. இடைவேளையில் வேர் இருக்கும் தொடர்புடைய வரைபடத்தைப் பார்க்கவும் (5,6). வேர் தோற்றத்திலிருந்து வெகு தொலைவில் இருந்தால், அதன் முழு எண் பகுதியை இந்த வழியில் கண்டுபிடிக்க நிறைய நேரம் எடுக்கும், எனவே வின்சென்ட்டின் முறையின் அதிவேக இயல்பு என்று எளிதில் ஊகிக்க முடியும். இந்த குறைபாட்டை எவ்வாறு சமாளிப்பது என்பதற்கான விளக்கம் கீழே உள்ளது. வின்சென்ட்டின் தேற்றத்தின் மறைவு 19 ஆம் நூற்றாண்டில் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் உண்மையான வேர்களை தனிமைப்படுத்த தனது தேற்றத்தைப் பயன்படுத்திய கடைசி எழுத்தாளர் வின்சென்ட் ஆவார். 1827 ஆம் ஆண்டில் ஸ்டர்மின் தேற்றம் தோன்றியது, இது பல்லுறுப்புக்கோவை நேரத்தில் உண்மையான வேர் தனிமைப்படுத்தல் சிக்கலைத் தீர்த்தது, ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை உண்மையான திறந்த இடைவெளியில் (a, b) உள்ள உண்மையான வேர்களின் துல்லியமான எண்ணிக்கையை வரையறுப்பதன் மூலம். பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் உண்மையான வேர்களைக் கணக்கிடுவதற்கான விளைவாக (ஸ்டர்மின்) முறை மட்டுமே பரவலாக அறியப்பட்டு பயன்படுத்தப்படுகிறது-சுமார் 1980 வரை, இது வின்சென்ட்டின் தேற்றத்திலிருந்து பெறப்பட்ட முறைகளால் (கிட்டத்தட்ட அனைத்து கணினி இயற்கணித அமைப்புகளிலும்) மாற்றப்பட்டது, வின்சென்ட்-அக்ரிதாஸ்-ஸ்ட்ரெஸ்போன்ஸ்கி (விஏஎஸ்) முறை மிக வேகமாக இருந்தது. செரெட் தனது இயற்கணிதத்தில், pp 363-368, வின்சென்ட்டின் தேற்றத்தை அதன் ஆதாரத்துடன் சேர்த்து, ஆர்வமுள்ள அனைத்து வாசகர்களுக்கும் வின்சென்ட்டின் ஆவணங்கள் எவ்வாறு பயன்படுத்தப்படுகின்றன என்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகளுக்காக வழிநடத்தினார். 19 ஆம் நூற்றாண்டில் வின்சென்ட்டின் தேற்றத்தைக் குறிப்பிட்ட கடைசி எழுத்தாளர் செரெட் ஆவார். 20 ஆம் நூற்றாண்டில் வின்சென்ட்டின் தேற்றத்தை எந்த சமன்பாட்டுக் கோட்பாட்டு புத்தகங்களிலும் காண முடியாது; ஒரே விதிவிலக்குகள் உஸ்பென்ஸ்கி மற்றும் ஒப்ரெஷ்கோஃப் ஆகியோரின் புத்தகங்கள் மட்டுமே, இரண்டாவது தேற்றத்தின் அறிக்கை மட்டுமே உள்ளது. உஸ்பென்ஸ்கியின் புத்தகத்தில்தான் அக்ரிடாஸ் வின்சென்ட்டின் தேற்றத்தைக் கண்டுபிடித்து, அதை தனது பி. எச். டி. ஆய்வறிக்கையின் தலைப்பாக மாற்றினார் "இயற்கணித கையாளுதலில் வின்சென்ட்டின் தேற்றம்", வட கரோலினா மாநில பல்கலைக்கழகம், அமெரிக்கா, 1978. அந்த நேரத்தில் ஒரு பெரிய சாதனை 1836 ஆம் ஆண்டின் வின்சென்ட்டின் அசல் காகிதத்தைப் பிடித்தது, இது உஸ்பென்ஸ்கியைத் தவறவிட்ட ஒன்று-இதன் விளைவாக ஒரு பெரிய தவறான புரிதல் ஏற்பட்டது. 1836 ஆம் ஆண்டின் வின்சென்ட்டின் அசல் கட்டுரை அமெரிக்காவின் விஸ்கான்சின்-மாடிசன் பல்கலைக்கழக நூலகத்தில் ஒரு நூலகரின் பாராட்டத்தக்க முயற்சிகள் (நூலகங்களுக்கு இடையேயான கடன்) மூலம் அக்ரிதாஸுக்கு கிடைத்தது. வின்சென்ட்டின் தேற்றத்திலிருந்து பெறப்பட்ட உண்மையான வேர் தனிமைப்படுத்தல் முறைகள் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் உண்மையான வேர்களை தனிமைப்படுத்துவது என்பது திறந்த வேறுபட்ட இடைவெளிகளைக் கண்டுபிடிக்கும் செயல்முறையாகும், அதாவது ஒவ்வொன்றும் சரியாக ஒரு உண்மையான மூலத்தைக் கொண்டுள்ளது மற்றும் ஒவ்வொரு உண்மையான மூலமும் சில இடைவெளியில் உள்ளது. 19 ஆம் நூற்றாண்டின் பிரெஞ்சு கணிதப் பள்ளியின் கூற்றுப்படி, இது உண்மையான வேர்களைக் கணக்கிடுவதற்கான முதல் படியாகும், இரண்டாவது எந்த அளவிலான துல்லியத்திற்கும் அவற்றின் தோராயமாக உள்ளது; மேலும், நேர்மறை வேர்களில் கவனம் செலுத்தப்படுகிறது, ஏனெனில் பல்லுறுப்புக்கோவையின் எதிர்மறை வேர்களை தனிமைப்படுத்த p (x) x ஐ − x (x) ஆல் மாற்றுகிறது மற்றும் செயல்முறையை மீண்டும் செய்கிறது. வின்சென்ட் தேற்றத்தின் தொடர்ச்சியான பின்ன பதிப்பு கொடுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவை p (x) டிகிரி டிகிரி (p) இன் நேர்மறை வேர்களை தனிமைப்படுத்த பயன்படுத்தப்படலாம். இதைப் பார்க்க, அதன் குணகங்களின் வரிசையில் ஒரு அடையாள மாறுபாட்டுடன் மாற்றப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு வழிவகுக்கும் தொடர்ச்சியான பின்னத்தை மோபியஸ் மாற்றத்தால் குறிக்கவும். பின்னர், f (x) இன் ஒற்றை நேர்மறை வேர் (இடைவெளியில் (0, φ)) p (x) இன் நேர்மறை மூலத்துடன் ஒத்திருக்கிறது, இது திறந்த இடைவெளியில் இறுதிப் புள்ளிகள் மற்றும். இந்த இறுதிப் புள்ளிகள் வரிசைப்படுத்தப்படவில்லை மற்றும் முறையே M (0) மற்றும் M (φ) உடன் ஒத்திருக்கின்றன. எனவே, ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் நேர்மறை வேர்களை தனிமைப்படுத்த, செய்ய வேண்டியது என்னவென்றால்-ஒவ்வொரு மூலத்திற்கும்-தொடர்புடைய மோபியஸ் மாற்றத்தின் மாறிகள் a, b, c, d, இது சமன்பாடு () இல் உள்ளதைப் போல மாற்றப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு வழிவகுக்கிறது, அதன் குணகங்களின் வரிசையில் ஒரு அடையாள மாறுபாட்டுடன். முக்கியமான அவதானிப்புஃ ஒரு மோபியஸ் உருமாற்றத்தின் (வின்சென்ட்டின் தேற்றத்தில்) மாறிகள் a, b, c, d ஒரு மாற்றப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு வழிவகுக்கிறது-சமன்பாடு () இல் உள்ளதைப் போல-அதன் குணகங்களின் வரிசையில் ஒரு அடையாள மாறுபாட்டுடன் கணக்கிடப்படலாம்ஃ தொடர்ச்சியான பின்னங்களால், வின்சென்ட்-அக்ரிதாஸ்-ஸ்ட்ரெஸ்போன்ஸ்கி (விஏஎஸ்) தொடர்ச்சியான பின்னங்கள் முறைக்கு வழிவகுக்கிறது, அல்லது இரு பிரிவுகளால், (மற்றவற்றுடன்) வின்சென்ட்-காலின்ஸ்-அக்ரிதாஸ் (விசிஏ) இரு பிரிவுகள் முறைக்கு வழிவகுக்கிறது. இந்த அனைத்து முக்கியமான அவதானிப்புகளின் "இருபிரிவு பகுதி" அலெசினா மற்றும் கலுஸி ஆகியோரின் ஆவணங்களில் ஒரு சிறப்பு தேற்றமாக தோன்றியது. கீழே விவரிக்கப்பட்டுள்ள அனைத்து முறைகளும் (அவற்றின் வரலாற்று பின்னணிக்கான புடானின் தேற்றம் குறித்த கட்டுரையைப் பார்க்கவும்) பரிசீலனையில் உள்ள பல்லுறுப்புக்கோவையின் நேர்மறை வேர்களின் மதிப்புகளின் மீது (ஒரு முறை) ஒரு மேல் வரியான ub ஐ கணக்கிட வேண்டும். விதிவிலக்கு என்பது விஏஎஸ் முறையாகும், இதில் கூடுதலாக குறைந்த வரம்புகள், எல்பி, பிரதான சுழற்சியின் ஒவ்வொரு சுழற்சியிலும் கணக்கிடப்பட வேண்டும். பல்லுறுப்புக்கோவை p (x) இன் கீழ் பிணைக்கப்பட்ட lb ஐக் கணக்கிட, பல்லுறுப்புக்கோவை மற்றும் தொகுப்பின் மேல் பிணைக்கப்பட்ட ub ஐக் கணக்கிடுங்கள். பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் நேர்மறை வேர்களின் மதிப்புகளின் மீது சிறந்த (மேல் மற்றும் கீழ்) வரம்புகள் அக்ரிடாஸ், ஸ்ட்ரெசெபோன்ஸ்கி மற்றும் விக்லாஸ் ஆகியோரால் டோரூ ஸ்டெஃபனெஸ்குவின் முந்தைய படைப்பின் அடிப்படையில் உருவாக்கப்பட்டுள்ளன. அவை பி. எஸ். விக்லாஸின் பிஹெச்டி ஆய்வறிக்கையிலும் பிற இடங்களிலும் விவரிக்கப்பட்டுள்ளன. இந்த வரம்புகள் ஏற்கனவே கணினி இயற்கணித அமைப்புகளில் கணிதம், சேஜ்மேத், சிம்பை, எக்ஸ்காஸ் போன்றவற்றில் செயல்படுத்தப்பட்டுள்ளன. கீழே விவரிக்கப்பட்டுள்ள மூன்று முறைகளும் பிரான்சுவா பவுலரின் சிறந்த விளக்கக்காட்சியைப் பின்பற்றுகின்றன, பக்கம் 24. தொடர்ச்சியான பின்னங்கள் முறை வின்சென்ட்டின் தேற்றத்திலிருந்து ஒரு தொடர்ச்சியான பின்னங்கள் முறை மட்டுமே பெறப்படுகிறது. மேலே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, இது 1830 களில் வின்சென்ட் முன்வைத்தபோது தொடங்கியது, தொடர்ச்சியான பின்னங்களுடன் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் உண்மையான வேர்களை தனிமைப்படுத்த தனது தேற்றத்தை எவ்வாறு பயன்படுத்துவது என்பதைக் காட்டும் பல எடுத்துக்காட்டுகள். இருப்பினும் இதன் விளைவாக வந்த முறை அதிவேக கணினி நேரத்தைக் கொண்டிருந்தது. இந்த முறை எவ்வாறு உருவானது என்பதற்கான விளக்கம் கீழே உள்ளது. வின்சென்ட்-அக்ரிதாஸ்-ஸ்ட்ரெஸ்போன்ஸ்கி (விஏஎஸ், 2005) இது வின்சென்டின் முறையின் அதிவேக நடத்தையைக் கையாள உருவாக்கப்பட்ட இரண்டாவது முறையாகும் (விசிஏ-க்குப் பிறகு). விஎஎஸ் தொடர்ச்சியான பின்னங்கள் முறை வின்சென்ட் தேற்றத்தின் நேரடி செயல்படுத்தலாகும். இது முதலில் 1834 முதல் 1938 வரை வின்சென்ட்டால் ஒரு அதிவேக வடிவத்தில் ஆவணங்களில் வழங்கப்பட்டது; அதாவது, வின்சென்ட் ஒவ்வொரு பகுதியளவு ஈவுஐ யையும் தொடர்ச்சியான அலகு அதிகரிப்புகள் ஐஐஐஐஐ + 1 ஆல் கணக்கிட்டார், அவை எக்ஸ்ஐஎக்ஸ் + 1 வடிவத்தின் மாற்றீடுகளுக்கு சமமானவை. வின்சென்ட்டின் முறை அதன் பல்லுறுப்புக்கோவை சிக்கலான வடிவமாக அக்ரிடாஸால் மாற்றப்பட்டது, அவர் தனது 1978 பி. எச். டி. ஆய்வறிக்கையில் (வின்சென்ட்டின் இயற்கணித கையாளுதலில் தேற்றம், வட கரோலினா மாநில பல்கலைக்கழகம், அமெரிக்கா) ஒவ்வொரு பகுதி ஈவு ஐயும் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் நேர்மறை வேர்களின் மதிப்புகளில் குறைந்த வரம்பாக, எல்பி என கணக்கிடப்பட்டது. இது மிகச்சிறிய நேர்மறை மூலத்தின் முழு எண் பகுதியை கணக்கிடும் சிறந்த நேர்மறை கீழ் மூல வரம்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது (தொடர்புடைய உருவத்தைப் பார்க்கவும்). புத்திசாலித்தனமாக, இப்போது எஐஐஎல்எல்பி அமைக்கவும் அல்லது, அதற்கு சமமாக, மாற்று எக்ஸ்எக்எக்ஸ் + எல்பி ஐச் செய்யுங்கள், இது மாற்று எக்ஸ்எக்எக்ஸ் + 1 ஐப் போலவே அதே நேரத்தை எடுக்கும். இறுதியாக, ஐடியல் பாசிட்டிவ் லோயர் ரூட் பௌண்ட் இல்லாததால், ஸ்ட்ரெசெபோன்ஸ்கி 2005 ஆம் ஆண்டில் மாற்றீட்டை அறிமுகப்படுத்தினார், பொதுவாக மற்றும் மதிப்பு 16 சோதனை ரீதியாக தீர்மானிக்கப்பட்டது. மேலும், வி. ஏ. எஸ் (தொடர்ச்சியான பின்னங்கள்) முறை வி. சி. ஏ (இருதரப்பு) முறையை விரைவாக செயல்படுத்துவதை விட வேகமானது என்று நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது, இது சுயாதீனமாக உறுதிப்படுத்தப்பட்ட உண்மை; இன்னும் துல்லியமாக, உயர் டிகிரி வி. ஏ. எஸ் இன் மிக்னோட் பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கு வி. சி. ஏ இன் வேகமான செயல்பாட்டை விட சுமார் 50,000 மடங்கு வேகமாக உள்ளது. 2007 ஆம் ஆண்டில், ஷர்மா இலட்சிய நேர்மறை கீழ் வரம்பின் கருதுகோளை அகற்றி, விஏஎஸ் இன்னும் காலப்போக்கில் பல்லுறுப்புக்கோவை என்பதை நிரூபித்தார். விஏஎஸ் என்பது கணிதம், சேஜ்மாத், சிம்பாய், எக்ஸ்காஸ் ஆகியவற்றில் வேர் தனிமைப்படுத்தலுக்கான இயல்புநிலை வழிமுறையாகும். ஸ்டர்மின் முறைக்கும் விஏஎஸ்க்கும் இடையிலான ஒப்பீட்டிற்கு எக்ஸ்காஸின் ரியல் ரூட் (பாலி) மற்றும் டைம் (ரியல் ரூட் (பாலி)) செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தவும். முன்னிருப்பாக, பாலி ரியல் ரூட்டின் உண்மையான வேர்களை தனிமைப்படுத்த விஏஎஸ் முறையைப் பயன்படுத்துகிறது; ஸ்டர்மின் முறையைப் பயன்படுத்த ரியல் ரூட் (ஸ்டர்ம், பாலி) எழுதவும். அதே வேலையைச் செய்யும் ஆண்ட்ராய்டு சாதனங்களுக்கான ஏ. பெர்காகிஸின் பயன்பாட்டிற்கான வெளிப்புற இணைப்புகளையும் பார்க்கவும். விஏஎஸ் (பி, எம்) எவ்வாறு செயல்படுகிறது என்பது இங்கே உள்ளது, அங்கு எளிமையாக ஸ்ட்ரெசெபோன்ஸ்கியின் பங்களிப்பு சேர்க்கப்படவில்லைஃ பி (எக்ஸ்) என்பது டிகிரி டிகிரி (பி) இன் பல்லுறுப்புக்கோவையாக இருக்கட்டும், அதாவது பி (0) § 0. அதன் நேர்மறை வேர்களை தனிமைப்படுத்த, p (x) உடன் மோபியஸ் மாற்றம் M (x) = x உடன் தொடர்புபடுத்தி, பின்வரும் படிகளை மீண்டும் செய்யவும், அதே நேரத்தில் ஜோடி {p (x), M (x)} செயலாக்கப்பட வேண்டும். முடிந்தால், p (x) இல் உள்ள டெஸ்கார்ட்ஸ் குறியீடுகளின் விதியைப் பயன்படுத்தி, (அதன் குணகங்களின் வரிசையில் குறியீடு மாறுபாடுகளின் எண் வரியைப் பயன்படுத்தி) இடைவெளிக்குள் அதன் வேர்களின் எண்ணிக்கையை (0, φ) கணக்கிடுங்கள். வேர்கள் இல்லை என்றால் வெற்று தொகுப்பைத் திருப்பித் தருகிறது, அதேசமயம் ஒரு வேர் இருந்தால் இடைவெளி (a, b) ஐத் திருப்பித் தருகிறது, அங்கு a = குறைந்தபட்சம் (M (0), M (≤), மற்றும் b = அதிகபட்சம் (M (0), M (≤)); b = ≤ தொகுப்பு b = ub என்றால், p (x) இன் நேர்மறை வேர்களின் மதிப்புகளில் ub ஒரு மேல் வரம்பாகும். இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட அடையாள மாறுபாடுகள் இருந்தால், டெஸ்கார்ட்டின் குறியீடுகளின் விதி என்பது இடைவெளிக்குள் பூஜ்ஜியம், ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட உண்மையான வேர்கள் இருக்கலாம் என்பதைக் குறிக்கிறது (0, φ); இந்த விஷயத்தில் இடைவெளிக்குள் (0,1) இருக்கும் p (x) இன் வேர்களை இடைவெளிக்குள் (1, φ) உள்ளவற்றிலிருந்து தனித்தனியாகக் கவனியுங்கள். 1 க்கு ஒரு சிறப்பு சோதனை செய்யப்பட வேண்டும். இடைவேளைக்குள் (0,1) சிறந்த கீழ் வரம்பிற்குள் வேர்கள் உள்ளன என்பதை உறுதிப்படுத்த, lb பயன்படுத்தப்படுகிறது; அதாவது சிறிய நேர்மறை வேரின் முழு எண் பகுதி கீழ் வரம்பின் உதவியுடன் கணக்கிடப்படுகிறது, p (x) இன் நேர்மறை வேர்களின் மதிப்புகளில். இருந்தால், p (x) மற்றும் M (x) க்கு மாற்றீடு செய்யப்படுகிறது, அதேசமயம் மாற்று (கள்) x → x + 1 ஐப் பயன்படுத்தினால் ரூட் (களின்) இன் முழு எண் பகுதியைக் கண்டறியவும். இடைவெளிக்குள் உள்ள வேர்களைக் கணக்கிட (0,1) p (x) மற்றும் M (x) க்கு மாற்றாகச் செய்து ஜோடியை செயலாக்குங்கள், அதே நேரத்தில் இடைவெளியில் உள்ள வேர்களைக் கணக்கிட (1, φ) x → x + 1 முதல் p (x) மற்றும் M (x) க்கு மாற்றாகச் செய்து ஜோடி {p (1 + x), M (1 + x)} ஐ செயலாக்குங்கள். 1 என்பது p (x) இன் மூலமாகும், இந்த விஷயத்தில், M (1) என்பது அசல் பல்லுறுப்புக்கோவையின் மூலமாகும், மேலும் தனிமைப்படுத்தப்பட்ட இடைவெளி ஒரு புள்ளியாக குறைகிறது. விஏஎஸ் (பி, எம்) இன் தொடர்ச்சியான விளக்கக்காட்சி கீழே உள்ளது. VAS (p, M): உள்ளீடுஃ ஒரு மாறுபட்ட, சதுரம் இல்லாத பல்லுறுப்புக்கோவை, டிகிரி டிகிரி (p), மற்றும் மோபியஸ் உருமாற்ற வெளியீடுஃ p (x) இன் நேர்மறை வேர்களின் தனிமைப்படுத்தப்பட்ட இடைவெளிகளின் பட்டியல். p (x)// டெஸ்கார்ட்ஸ் குறியீடுகளின் விதியின் குறியீட்டு மாறுபாடுகளின் எண்ணிக்கை; 2 என்றால் வர் = 0 பின்னர் RETURN = RETURN = 3 என்றால் வர் = 1 என்றால் RETURN {(a, b)}// a = குறைந்தபட்சம் (M (0), M (≤), b = அதிகபட்சம் (M (0), M (≤)), ஆனால் b = ≤ b = ub என அமைத்தால், அங்கு ub என்பது p (x) இன் நேர்மறை மூலங்களின் மதிப்புகளில் ஒரு மேல் வரம்பாகும்; 4 lb-p (x) இன் நேர்மறை மூலங்களில் சிறந்த கீழ் வரம்பு; 5 என்றால் lb ≤ 1 பின்னர் p (x + lb) 8 p1 ≤ p (x + 1), M1 ≤ M (x + 1)// (1, ≤) இல் உண்மையான வேர்களைத் தேடுங்கள்; 9 p (1) ≤ 0 என்றால் 10 RETURN VAS (p01, M01) ≤ VAS (p1 ≤, M1 ≤) 11 மற்ற 12 RETURN VAS (p01, M01) ≤ {[[m, m]} ≤ VAS (p1 ≤, M1 ≤) 13 இறுதி குறிப்புகள் எளிமைக்காக ஸ்ட்ரெசெபோன்ஸ்கியின் பங்களிப்பு சேர்க்கப்படவில்லை. மேலே உள்ள வழிமுறையில் ஒவ்வொரு பல்லுறுப்புக்கோவையுடனும் ஒரு மோபியஸ் மாற்றம் M (x) தொடர்புடையது. வரிசை 1 இல் டெஸ்கார்ட்டின் அறிகுறிகளின் விதி பயன்படுத்தப்படுகிறது. 4 மற்றும் 5 கோடுகள் விஏஎஸ் (பி, எம்) இலிருந்து அகற்றப்பட்டால், இதன் விளைவாக வரும் வழிமுறை வின்சென்ட்டின் அதிவேகமாகும். பல்லுறுப்புக்கோவை p (x) இல் செய்யப்படும் எந்த மாற்றீடும் தொடர்புடைய மோபியஸ் உருமாற்றம் M (x) (கோடுகள் 56 மற்றும் 8) இல் செய்யப்படுகிறது. தனிமைப்படுத்தப்பட்ட இடைவெளிகள் வரி 3 இல் உள்ள மோபியஸ் மாற்றத்திலிருந்து கணக்கிடப்படுகின்றன, வரி 7 இல் கணக்கிடப்பட்ட முழு எண் வேர்களைத் தவிர (மேலும் 12). விஏஎஸ் (பி, எம்) இன் எடுத்துக்காட்டு விஏஎஸ் முறையைப் பயன்படுத்துகிறோம் (கவனிக்கவும்ஃ). மறு செய்கை 1 VAS (x3−7x + 7, x) 1 வரிசை 2// p (x) = x3−7x + 7 4 lb−1/இன் குணகங்களின் வரிசையில் உள்ள குறியீட்டு மாறுபாடுகளின் எண்ணிக்கை-lb கணக்கிடப்பட்ட மற்றும் மாற்று (கள்) x·x + 1.5 p·x3 + 3x2−4x + 1, M·x + 1,6 p01·x3−x2−2x + 1, M01·7 m·1.8 p1−1 + x3 + 6x2 + 5x + 1, M1−1 ஆகியவற்றைப் பயன்படுத்தி காணப்படுகிறது. மறு செய்கை 2 VAS (x3−x2−2x + 1,) 1 வரிசை// p (x) = x3−x2−2x + 1 4lb−0/இன் குணகங்களின் வரிசையில் உள்ள அடையாள மாறுபாடுகளின் எண்ணிக்கை-lbகம்பியூட்டட் மற்றும் பதிலீடு (கள்) x−1x + 1 6 p01·x3 + x2−2x−1, M01·7m·8 p1−1−1·x3 + 2x2−x−1, M1−1−10RETURN VAS (x3 + x2−2x−1,) ஐப் பயன்படுத்துகிறது. மறு செய்கை 3 VAS (x3 + x2−2x−1,) 1 வார்டு 1// p (x) = x3 + x2−23 RETURN {(, 2)} இன் குணகங்களின் வரிசையில் உள்ள அடையாள மாறுபாடுகளின் எண்ணிக்கை தனிமைப்படுத்தப்பட்ட இடைவெளிகளின் பட்டியல்ஃ செயலாக்கப்பட வேண்டிய ஜோடிகளின் பட்டியல்ஃ முதலாவதை அகற்றி அதை செயலாக்குங்கள். மறு செய்கை 4 VAS (x3 + 2x2 − x−1,) 1 வார்டு 1// p (x) = x3 + 2x2 − x−13 RETURN {(1,)} இன் குணகங்களின் வரிசையில் அடையாளம் மாறுபாடுகளின் எண்ணிக்கை தனிமைப்படுத்தப்பட்ட இடைவெளிகளின் பட்டியல்ஃ செயலாக்கப்பட வேண்டிய ஜோடிகளின் பட்டியல்ஃ முதல் பகுதியை அகற்றி அதை செயலாக்குங்கள். மறு செய்கை 5 VAS (x3 + 6x2 + 5x + 1, x + 2) 1 வரிசை 0// p (x) = x3 + 6x2 + 5x + 1 இன் குணகங்களின் வரிசையில் உள்ள குறியீட்டு மாறுபாடுகளின் எண்ணிக்கை 2 திரும்புதல் தனிமைப்படுத்தப்பட்ட இடைவெளிகளின் பட்டியல்ஃ செயலாக்கப்பட வேண்டிய ஜோடிகளின் பட்டியல்ஃ முடிந்தது. எனவே, பல்லுறுப்புக்கோவையின் இரண்டு நேர்மறை வேர்கள் தனிமைப்படுத்தப்பட்ட இடைவெளிகள் மற்றும்} க்குள் உள்ளன. ஒவ்வொரு மூலத்தையும் (எடுத்துக்காட்டாக) இறுதிப் புள்ளிகளின் வேறுபாடு சிறியதாக இருக்கும் வரை அது இருக்கும் தனிமைப்படுத்தப்பட்ட இடைவெளியை இரண்டாகப் பிரிப்பதன் மூலம் தோராயமாக மதிப்பிடலாம்; இந்த அணுகுமுறையைப் பின்பற்றி, வேர்கள் மற்றும் ஆக மாறும். வின்சென்ட் தேற்றத்திலிருந்து பெறப்பட்ட பல்வேறு இருபிரிவு முறைகள் உள்ளன; அவை அனைத்தும் வேறு இடங்களில் வழங்கப்பட்டு ஒப்பிடப்படுகின்றன. இங்கு வின்சென்ட்-காலின்ஸ்-அக்ரிதாஸ் (வி. சி. ஏ) முறை மற்றும் வின்சென்ட்-அலெசினா-கலுஸி (வி. ஏ. ஜி) முறை ஆகிய இரண்டு மிக முக்கியமான முறைகள் விவரிக்கப்பட்டுள்ளன. வின்சென்ட்-அலெசினா-கலுஸி (விஏஜி) முறை வின்சென்ட் தேற்றத்திலிருந்து பெறப்பட்ட அனைத்து முறைகளிலும் எளிமையானது, ஆனால் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை வட்டி இடைவெளியில் வேர்களைக் கொண்டிருக்கிறதா என்பதைத் தீர்மானிக்க அதிக நேரம் எடுக்கும் சோதனை (வரி 1 இல்) உள்ளது; இது இந்த கட்டுரையில் வழங்கப்பட்ட முறைகளில் மெதுவானதாக அமைகிறது. இதற்கு மாறாக, வின்சென்ட்-காலின்ஸ்-அக்ரிதாஸ் (வி. சி. ஏ) முறை மிகவும் சிக்கலானது, ஆனால் விஏஜியை விட எளிமையான சோதனையை (வரி 1 இல்) பயன்படுத்துகிறது. இது சில மேம்பாடுகளுடன் சேர்ந்து வி. சி. ஏ-வை வேகமான இருபுறப் பிரிப்பு முறையாக மாற்றியுள்ளது. வின்சென்ட்-காலின்ஸ்-அக்ரிதாஸ் (வி. சி. ஏ, 1976) வின்சென்ட்டின் அசல் அணுகுமுறையின் அதிவேக தன்மையை சமாளிக்க உருவாக்கப்பட்ட முதல் முறையாகும், மேலும் அதன் பெயரைப் பொருத்தவரை மிகவும் சுவாரஸ்யமான வரலாற்றைக் கொண்டுள்ளது. டெஸ்கார்ட்டின் அறிகுறிகளின் விதி மற்றும் வின்சென்ட்டின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி உண்மையான வேர்களை தனிமைப்படுத்தும் இந்த முறை, முதலில் அதன் கண்டுபிடிப்பாளர்களான காலின்ஸ் மற்றும் அக்ரிடாஸ் ஆகியோரால் மாற்றியமைக்கப்பட்ட உஸ்பென்ஸ்கியின் வழிமுறை என்று அழைக்கப்பட்டது. "கொலின்ஸ்-அக்ரிதாஸ் முறை" மற்றும் "டெஸ்கார்ட்ஸ் முறை" போன்ற பெயர்களைப் படித்த பிறகு (ஃபோரியரின் கட்டுரையைக் கருத்தில் கொண்டால் மிகவும் குழப்பமாக இருக்கிறது), இறுதியாக லில்லி பல்கலைக்கழகத்தைச் சேர்ந்த ஃபிரான்சுவா பவுலியர், "உஸ்பென்ஸ்கியின் முறை" இல்லை என்ற உண்மையின் அடிப்படையில் வின்சென்ட்-கொலின்ஸ்-அக்ரிதாஸ் (வி. சி. ஏ) முறை, பக்கம் 24 என்று பெயரிட்டார். இந்த முறையின் சிறந்த அமலாக்கம் ரௌலியர் மற்றும் சிம்மர்மேன் காரணமாகும், மேலும் இது இன்றுவரை வேகமான இருதரப்பு முறையாகும். இது ஸ்டர்மின் வழிமுறையைப் போலவே மோசமான சிக்கலைக் கொண்டுள்ளது, ஆனால் கிட்டத்தட்ட எப்போதும் மிக வேகமாக இருக்கும். இது மேப்பிளின் ரூட்ஃபைண்டிங் தொகுப்பில் செயல்படுத்தப்பட்டுள்ளது. வி. சி. ஏ (p, (a, b)) எவ்வாறு செயல்படுகிறது என்பது இங்கேஃ டிகிரி டிகிரி (p) இன் பல்லுறுப்புக்கோவை (x) கொடுக்கப்பட்டால், அதன் நேர்மறை வேர்கள் தனிமைப்படுத்தப்பட வேண்டும், முதலில் ஒரு மேல் வரியைக் கணக்கிடுங்கள், இந்த நேர்மறை வேர்களின் மதிப்புகளில் ub மற்றும் p (x) = porig (ub * x) மற்றும் (a, b) = (0, ub) ஐ அமைக்கவும். p (x) இன் நேர்மறை வேர்கள் அனைத்தும் இடைவெளியில் (0,1) உள்ளன, மேலும் அவற்றுக்கும் ஓரிஜின் (x) வேர்களுக்கும் இடையில் ஒரு பைஜெக்ஷன் உள்ளது, இவை அனைத்தும் இடைவெளியில் உள்ளன (a, b) = (0, ub) (தொடர்புடைய உருவத்தைப் பார்க்கவும்); இந்த பைஜெக்ஷன் α (a, b) = a + α (0,1) (b−a) ஆல் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. அதேபோல், இடைவெளிகள் (0,1) மற்றும் (0, ub) இடையே ஒரு பைஜெக்ஷன் உள்ளது. ஜோடி {p (x), (a, b)} செயலாக்கப்பட வேண்டியிருக்கும் போது பின்வரும் படிகளை மீண்டும் செய்யவும். p (x) இல் உள்ள புடானின் "0 _ 1 வேர்கள் சோதனை" ஐப் பயன்படுத்தி (அதன் குணகங்களின் வரிசையில் அடையாளம் மாறுபாடுகளின் எண்ணிக்கையைப் பயன்படுத்தி) இடைவெளியில் (0,1) அதன் வேர்களின் எண்ணிக்கையைக் கணக்கிடுங்கள். வேர்கள் இல்லையென்றால், வெற்று தொகுப்பைத் திருப்பித் தருகிறது, ஒரு வேர் இருந்தால் இடைவெளி (a, b) ஐத் திருப்பித் தருகிறது. இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட அடையாள மாறுபாடுகள் இருந்தால், புடனின் "0 _ 1 வேர்கள் சோதனை" என்பது இடைவெளியில் (0,1) பூஜ்ஜியம், ஒன்று, இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட உண்மையான வேர்கள் இருக்கலாம் என்பதைக் குறிக்கிறது. இந்த விஷயத்தில் அதை பாதியாக வெட்டி, p (x) இன் வேர்களை இடைவெளியில் (0,)-க்குள் தனித்தனியாகக் கருத்தில் கொள்ளுங்கள், மேலும் அவை இடைவெளியில் (a, (a + b)) உள்ள ஓரிஜின் (x) வேர்களுடன் ஒத்திருக்கின்றன, அவை இடைவெளியில் (, 1) உள்ளவற்றிலிருந்து ஒத்திருக்கின்றன, மேலும் இடைவெளியில் ((a + b), b) உள்ள ஓரிஜின் (x) வேர்களுடன் ஒத்திருக்கின்றன; அதாவது, முறையே செயல்முறை, ஜோடிகள் (தொடர்புடைய உருவத்தைப் பார்க்கவும்). இது p (x) இன் வேர் என்று மாறிவிடும், இந்த விஷயத்தில் (a + b) ஓரிஜின் (x) வேர் மற்றும் தனிமைப்படுத்தப்பட்ட இடைவெளி ஒரு புள்ளியாக குறைகிறது. அசல் வழிமுறை வி. சி. ஏ (பி, (ஏ, பி)) இன் தொடர்ச்சியான விளக்கக்காட்சி கீழே உள்ளது. வி. சி. ஏ. (p, (a, b)) உள்ளீடுஃ ஒரு மாறுபட்ட, சதுரம் இல்லாத பல்லுறுப்புக்கோவை p (ub * x) bul Z [x], p (0) 0 டிகிரி டிகிரி (p), மற்றும் திறந்த இடைவெளி (a, b) = (0, ub), இதில் ub என்பது p (x) இன் நேர்மறை வேர்களின் மதிப்புகளில் மேல் வரம்பாகும். (p (ub * x) இன் நேர்மறை வேர்கள் அனைத்தும் திறந்த இடைவெளியில் (0,1) உள்ளன). வெளியீடுஃ p (x) 1 இன் நேர்மறை வேர்களின் தனிமைப்படுத்தப்பட்ட இடைவெளிகளின் பட்டியல் (x + 1) டிகிரி (p) p ()// புடானின் "0 _ 1 வேர்கள் சோதனை" இன் அடையாள மாறுபாடுகளின் எண்ணிக்கை; 2 வர் = 0 என்றால் திரும்பவும்; 3 வர் = 1 என்றால் திரும்பவும் {(a, b)}; 4 p0 → 2 டிகிரி (p) p ()// உண்மையான வேர்களைத் தேடுங்கள் (0,); 5 மீ (a + b)// ஒரு மூலமா? (, 1) இல் உண்மையான வேர்களைத் தேடுங்கள்; (, 1) இல் உண்மையான வேர்களைத் தேடுங்கள்; (, 1) இல் உண்மையான வேர்களைத் தேடுங்கள்; (,) p என்றால் () 0, பின்னர் 8 RETURN VCA (p0, (a, m)) ≤ VCA (p1, (m, b)) 9 வேறு 10 RETURN VCA (p0, (a, m)) ≤ {[[m, m]} ≤ VCA (p1, (m, b)) 11 இறுதி குறிப்பு மேலே உள்ள வழிமுறையில் ஒவ்வொரு பல்லுறுப்புக்கோவையுடனும் ஒரு இடைவெளி (a, b) தொடர்புடையது. வேறு இடங்களில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி, ப. 11, ஒரு மோபியஸ் உருமாற்றத்தை ஒவ்வொரு பல்லுறுப்புக்கோவையுடனும் தொடர்புபடுத்தலாம், இந்த விஷயத்தில் வி. சி. ஏ வி. ஏ. எஸ் போல தோற்றமளிக்கிறது. வரிசை 1 இல் புடானின் "0 _ 1 வேர்கள் சோதனை" பயன்படுத்தப்படுகிறது. வி. சி. ஏ (p, (a, b)) இன் எடுத்துக்காட்டு பல்லுறுப்புக்கோவை மற்றும் நேர்மறை வேர்களின் மதிப்புகளில் மேல் வரியாகக் கருதப்படுவதால் வி. சி. ஏ முறையின் வாதங்கள்ஃ மற்றும். (x + 1) 3p () = 7x3 − 7x2 − 35x + 43 4 p0 − 64x3 − 112x + 56 5 m → 2 6 p1 → 64x3 + 192x2 + 80x + 8 p () = 1 8 RETURN VCA (64x3 − 112x + 56, (0,2)) ≤ VCA (64x3 + 192x2 + 80x + 8, (2,4)) தனிமைப்படுத்தப்பட்ட இடைவெளிகளின் பட்டியல்ஃ செயலாக்கப்பட வேண்டிய ஜோடிகளின் பட்டியல்ஃ முதல் இணைப்பை அகற்றி அதை செயலாக்குங்கள். மறு செய்கை 2 வி. சி. ஏ. (64x3 −112x + 56, (0,2)) 1 வரிசை// குறியீடு மாறுபாடுகளின் எண்ணிக்கை (x + 1) 3p () = 56x3 + 56x2 − 56x + 8 4 p <64x3 − 448x + 448 5 m <1 6 p1 <64x3 + 192x2 − 256x + 64 7 p () = 8 RETURN வி. சி. ஏ. (64x3 − 448x + 448, (0,1)) ≤ வி. சி. ஏ. (64x3 + 192x2 − 256x + 64, (1,2)) மறு செய்கை 3 வி. சி. ஏ. (64x3 − 448x + 448, (0,1)) 1 வரிசை 0// (x + 1) 3p () = 448x3 + 896x2 + 448x + 642 RETURN இன் குணகங்களின் வரிசையில் உள்ள அடையாள மாறுபாடுகளின் எண்ணிக்கை தனிமைப்படுத்தப்பட்ட இடைவெளிகளின் பட்டியல்ஃ செயலாக்கப்பட வேண்டிய ஜோடிகளின் பட்டியல்ஃ முதல் இணைப்பை அகற்றி அதை செயலாக்குங்கள். மறு செய்கை 4 வி. சி. ஏ (64x3 + 192x2 −256x + 64, (1,2)) 1 வரிசை 2// (x + 1) 3p () = 64x3 −64x2 −128x + 64 4 p0 → 64x3 + 384x2 − 1024x + 5125 மீ. மறு செய்கை 5 வி. சி. ஏ. (64x3 + 384x2 −1024x + 512, (1,)) 1 வரிசை 1// (x + 1) 3p () = 512x3 + 512x2 − 128x − 64 3 RETURN {(1,)} தனிமைப்படுத்தப்பட்ட இடைவெளிகளின் பட்டியல்ஃ செயலாக்கப்பட வேண்டிய ஜோடிகளின் பட்டியல்ஃ முதல் இணைப்பை அகற்றி அதை செயலாக்குங்கள். மறு செய்கை 6 வி. சி. ஏ. (64x3 + 576x2 −64x−64, (, 2)) 1 வரிசை 1// (x + 1) 3p () = −64x3 −256x2 + 256x + 5123 RETURN {(, 2)} தனிமைப்படுத்தப்பட்ட இடைவெளிகளின் பட்டியல்ஃ செயலாக்கப்பட வேண்டிய ஜோடிகளின் பட்டியல்ஃ முதல் இணைப்பை அகற்றி அதை செயலாக்குங்கள். மறு செய்கை 7 வி. சி. ஏ (64x3 + 192x2 + 80x + 8, (2,4)) 1 வரிசை 0// (x + 1) 3p () = 8x3 + 104x2 + 376x + 344 2 RETURN இன் குணகங்களின் வரிசையில் உள்ள அடையாள மாறுபாடுகளின் எண்ணிக்கை தனிமைப்படுத்தப்பட்ட இடைவெளிகளின் பட்டியல்ஃ செயலாக்கப்பட வேண்டிய ஜோடிகளின் பட்டியல்ஃ முடிந்தது. எனவே, பல்லுறுப்புக்கோவையின் இரண்டு நேர்மறை வேர்கள் தனிமைப்படுத்தப்பட்ட இடைவெளிகள் மற்றும்} க்குள் உள்ளன. ஒவ்வொரு மூலத்தையும் (எடுத்துக்காட்டாக) இறுதிப் புள்ளிகளின் வேறுபாடு சிறியதாக இருக்கும் வரை அது இருக்கும் தனிமைப்படுத்தப்பட்ட இடைவெளியை இரண்டாகப் பிரிப்பதன் மூலம் தோராயமாக மதிப்பிடலாம்; இந்த அணுகுமுறையைப் பின்பற்றி, வேர்கள் மற்றும் ஆக மாறும். வின்சென்ட்-அலெசினா-கலுஸி (விஏஜி, 2000) இது கடைசியாக உருவாக்கப்பட்டது மற்றும் வின்சென்ட் தேற்றத்திலிருந்து பெறப்பட்ட எளிய உண்மையான வேர் தனிமைப்படுத்தல் முறையாகும். VAG (p, (a, b)) எவ்வாறு செயல்படுகிறது என்பது இங்கேஃ ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை p (x) டிகிரி டிகிரி டிகிரி (p) கொடுக்கப்பட்டால், p (0) §0, அதன் நேர்மறை வேர்கள் தனிமைப்படுத்தப்பட வேண்டும், முதலில் ஒரு மேல் வரியைக் கணக்கிடுங்கள், இந்த நேர்மறை வேர்களின் மதிப்புகளில் ub மற்றும் அமைக்கவும் (a, b) = (0, ub). p (x) இன் நேர்மறை வேர்கள் அனைத்தும் (a, b) இடைவெளியில் உள்ளன. இடைவேளைகள் (a, b) செயலாக்கப்பட வேண்டியிருக்கும் போது பின்வரும் படிகளை மீண்டும் செய்யவும்; இந்த விஷயத்தில் பல்லுறுப்புக்கோவை p (x) அப்படியே இருக்கும். பி (x) இல் உள்ள அலெசினா-கலுஸி "a _ b வேர்கள் சோதனை" ஐப் பயன்படுத்தி (அதன் குணகங்களின் வரிசையில் அடையாளம் மாறுபாடுகளின் எண் வாரைப் பயன்படுத்தி) இடைவெளியில் (a, b) அதன் வேர்களின் எண்ணிக்கையைக் கணக்கிடுங்கள். வேர்கள் இல்லையென்றால், வெற்று தொகுப்பைத் திருப்பித் தருகிறது, ஒரு வேர் இருந்தால் இடைவெளி (a, b) ஐத் திருப்பித் தருகிறது. இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட அடையாள மாறுபாடுகள் இருந்தால், அலெசினா-கலுஸி "a _ b வேர்கள் சோதனை" என்பது இடைவெளியில் (a, b) பூஜ்ஜியம், ஒன்று, இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட உண்மையான வேர்கள் இருக்கலாம் என்பதைக் குறிக்கிறது. இந்த வழக்கில் அதை பாதியாக வெட்டி, இடைவெளியில் (a, (a + b)) உள்ள p (x) இன் வேர்களை இடைவெளியில் (a + b), b) உள்ளவற்றிலிருந்து தனித்தனியாகக் கவனியுங்கள்; அதாவது, செயல்முறை, முறையே, இடைவெளிகள் (a, (a + b)) மற்றும் ((a + b), b). (a + b) என்பது p (x) இன் மூலமாகும், இந்த விஷயத்தில் தனிமைப்படுத்தப்பட்ட இடைவெளி ஒரு புள்ளியாக குறைகிறது. VAG (p, (a, b)) இன் தொடர்ச்சியான விளக்கக்காட்சி கீழே உள்ளது. VAG (p, (a, b)) உள்ளீடுஃ ஒரு மாறுபட்ட, சதுரம் இல்லாத பல்லுறுப்புக்கோவை p (x) ωZ [x], p (0) ω0 டிகிரி டிகிரி (p) மற்றும் திறந்த இடைவெளி (a, b) = (0, ub), இதில் ub என்பது p (x) இன் நேர்மறை வேர்களின் மதிப்புகளில் ஒரு மேல் வரம்பாகும். வெளியீடுஃ p (x) இன் நேர்மறை வேர்களின் தனிமைப்படுத்தப்பட்ட இடைவெளிகளின் பட்டியல். (x + 1) டிகிரி (p) p ()// அலெசினா-கலுஸி "a _ b வேர்கள் சோதனை" என்ற குறியீட்டு மாறுபாடுகளின் எண்ணிக்கை; (x + 1) டிகிரி (p) p ()// அலெசினா-கலுஸி "a _ b வேர்கள் சோதனை" என்ற குறியீடு மாறுபாடுகளின் எண்ணிக்கை; (x + 1) டிகிரி (p) p ()// அலெசினா-கலுஸி "a _ b வேர்கள் சோதனை" என்ற குறியீடு மாறுபாடுகளின் எண்ணிக்கை; (x + 1) (x + 1) டிகிரி (p) p ()// அலெசினா-கலுஸி "a _ b வேர்கள் சோதனை" என்ற குறியீடு மாறுபாடுகளின் எண்ணிக்கை; (x + 1) (x + 1) டிகிரி (p)// அலெசினா-கலுஸி "a _ b வேர்கள் சோதனை" என்ற குறியீடு மாறுபாடுகளின் எண்ணிக்கை; (x + 1) டிகிரி (p அலெசினா மற்றும் கலுஸி சுட்டிக்காட்டியபடி, பக்கம் 189, டோனாடோ சாலி காரணமாக இந்த வழிமுறையின் மாறுபாடு உள்ளது. இறுதிப் புள்ளிகளின் நடுப்புள்ளியை அவற்றின் நடுப்புள்ளிக்கு பதிலாகப் பயன்படுத்த வேண்டும் என்று சைலி பரிந்துரைத்தார். இருப்பினும், இறுதிப் புள்ளிகளின் மத்தியஸ்தத்தைப் பயன்படுத்துவது பொதுவாக "நடு-புள்ளி" பதிப்பை விட மிகவும் மெதுவாக இருக்கும் என்று நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. VAG (p, (a, b)) இன் எடுத்துக்காட்டு பல்லுறுப்புக்கோவை p (x) = x3 − 7x + 7 மற்றும் நேர்மறை மூலங்களின் மதிப்புகளின் மேல் வரியாக ub = 4 ஐக் கருத்தில் கொண்டு VAG இன் வாதங்கள் பின்வருமாறுஃ p (x) = x3 − 7x + 7 மற்றும் (a, b) = (0,4). (x + 1) 3p () = 43x3 − 35x2 − 7x + 7 4 m (0 + 4) = 2,5 p (m) = 1 8 RETURN VAG (x3 − 7x + 7, (0,2)) ≤ VAG (x3 − 7x + 7, (2,4) தனிமைப்படுத்தப்பட்ட இடைவெளிகளின் பட்டியல்ஃ செயலாக்கப்பட வேண்டிய இடைவெளிகளின் பட்டியல்ஃ {(0,2), (2,4)}. முதலாவதை அகற்றி அதைச் செயலாக்குங்கள். மறு செய்கை 2 விஏஜி (x3−7x + 7, (0,2)) 1 வரிசை 2// (x + 1) 3p () = x3−7x2 + 7x + 7 4 மீ (0 + 2) = 1.5 p (மீ) = 1 8 ரிட்டர்ன் விஏஜி (x3−7x + 7, (0,1)) ≤ விஏஜி (x3−7x + 7, (1,2) தனிமைப்படுத்தப்பட்ட இடைவெளிகளின் பட்டியல்ஃ {}. செயலாக்கப்பட வேண்டிய இடைவெளிகளின் பட்டியல்ஃ {(0,1), (1,2), (2,4)}. முதலாவதை அகற்றி அதைச் செயலாக்குங்கள். மறு செய்கை 3 VAG (x3−7x + 7, (0,1)) (x + 1) 3p () = x3 + 7x2 + 14x + 72 RETURN இல் உள்ள குணகங்களின் வரிசையில் உள்ள குறியீட்டு மாறுபாடுகளின் எண்ணிக்கை தனிமைப்படுத்தப்பட்ட இடைவெளிகளின் பட்டியல்ஃ {}. செயலாக்கப்பட வேண்டிய இடைவெளிகளின் பட்டியல்ஃ {(1,2), (2,4)}. முதலாவதை அகற்றி அதைச் செயலாக்குங்கள். மறு செய்கை 4 விஏஜி (x3−7x + 7, (1,2)) 1 வரிசை 2// (x + 1) 3பி () = x3−2x2−x + 1 4 மீ (1 + 2) = 5பி (எம்) = −8 ரிடர்ன் விஏஜி (x3−7x + 7, (1,)) ≤ விஏஜி (x3−7x + 7, (, 2)) தனிமைப்படுத்தப்பட்ட இடைவெளிகளின் பட்டியல்ஃ {}. செயலாக்கப்பட வேண்டிய இடைவெளிகளின் பட்டியல்ஃ {(1,), (, 2), (2,4)}. முதலாவதை அகற்றி அதைச் செயலாக்குங்கள். மறு செய்கை 5 VAG (x3 − 7x + 7, (1,)) 1 வார்டு 1// 23 (x + 1) 3p () = x3 + 2x2 − 8x − 8 3 RETURN (1,) தனித்தனி இடைவெளிகளின் பட்டியல்ஃ {(1,)}. செயலாக்கப்பட வேண்டிய இடைவெளிகளின் பட்டியல்ஃ {(, 2), (2,4)}. முதலாவதை அகற்றி அதைச் செயலாக்குங்கள். மறு செய்கை 6 VAG (x3 − 7x + 7, (, 2)) 1 வார்டு 1// 23 (x + 1) 3p () = 8x3 + 4x2 − 4x − 1 3 RETURN (, 2) தனிமைப்படுத்தப்பட்ட இடைவெளிகளின் பட்டியல்ஃ {(1,), (, 2)}. செயலாக்கப்பட வேண்டிய இடைவெளிகளின் பட்டியல்ஃ {(2,4)}. முதலாவதை அகற்றி அதைச் செயலாக்குங்கள். (x + 1) 3p () = 344x3 + 376x2 + 104x + 82 RETURN யுன் குணகங்களின் வரிசையில் உள்ள குறியீட்டு மாறுபாடுகளின் எண்ணிக்கை தனிமைப்படுத்தப்பட்ட இடைவெளிகளின் பட்டியல்ஃ {(1,), (, 2)}. செயலாக்கப்பட வேண்டிய இடைவெளிகளின் பட்டியல்ஃ யு. ஐ. எல். முடிந்தது. எனவே, பல்லுறுப்புக்கோவையின் இரண்டு நேர்மறை வேர்கள் தனிமைப்படுத்தப்பட்ட இடைவெளிகள் மற்றும்} க்குள் உள்ளன. ஒவ்வொரு மூலத்தையும் (எடுத்துக்காட்டாக) இறுதிப் புள்ளிகளின் வேறுபாடு சிறியதாக இருக்கும் வரை அது இருக்கும் தனிமைப்படுத்தப்பட்ட இடைவெளியை இரண்டாகப் பிரிப்பதன் மூலம் தோராயமாக மதிப்பிடலாம்; இந்த அணுகுமுறையைப் பின்பற்றி, வேர்கள் மற்றும் ஆக மாறும். மேலும் காண்க பல்லுறுப்புக்கோவை வேர்களைக் கண்டுபிடிக்கும் வழிமுறை வியட்டாவின் சூத்திரங்கள் நியூட்டனின் முறை குறிப்புகள் வெளிப்புற இணைப்புகள் பெர்காகிஸ், அன்டோனிஸ்ஃ ரியல் ரூட்ஸ், ஸ்டர்மின் முறை மற்றும் VAS https://play.google.com/store/apps/details?id=org.kde.necessitas.berkakis.realroots கணிதக் கோட்பாடுகளை ஒப்பிட ஆண்ட்ராய்டு சாதனங்களுக்கான இலவச பயன்பாடு