Cycle graph (algebra)
குழுக் கோட்பாட்டில், சுருக்க இயற்கணிதத்தின் ஒரு துணைப்பகுதி, ஒரு குழு சுழற்சி வரைபடம் ஒரு குழுவின் பல்வேறு சுழற்சிகளை விளக்குகிறது மற்றும் சிறிய வரையறுக்கப்பட்ட குழுக்களின் கட்டமைப்பைக் காட்சிப்படுத்துவதில் குறிப்பாக பயனுள்ளதாக இருக்கும். ஒரு சுழற்சி என்பது கொடுக்கப்பட்ட குழு உறுப்பு a இன் சக்திகளின் தொகுப்பாகும், அங்கு ஒரு, ஒரு தனிமத்தின் n-வது சக்தி a என்பது n மடங்குகளால் பெருக்கப்படும் ஒரு பெருக்கத்தின் பெருக்கலாக வரையறுக்கப்படுகிறது. a என்ற உறுப்பு சுழற்சியை உருவாக்குகிறது என்று கூறப்படுகிறது. ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட குழுவில், a இன் சில பூஜ்ஜியமற்ற சக்தி குழு அடையாளமாக இருக்க வேண்டும், e; அத்தகைய மிகக் குறைந்த சக்தி சுழற்சியின் வரிசை, அதில் உள்ள தனித்துவமான கூறுகளின் எண்ணிக்கை. ஒரு சுழற்சி வரைபடத்தில், சுழற்சி ஒரு பலகோணமாக குறிப்பிடப்படுகிறது, குழு கூறுகளைக் குறிக்கும் செங்குத்துகள் மற்றும் அந்த பலகோணத்தில் உள்ள அனைத்து உறுப்புகளும் ஒரே சுழற்சியின் உறுப்பினர்கள் என்பதைக் குறிக்கும் இணைக்கும் கோடுகள். சுழற்சிகள் ஒன்றுடன் ஒன்று இருக்கலாம், அல்லது அவை பொதுவான எந்த உறுப்பையும் கொண்டிருக்க முடியாது, ஆனால் அடையாளம். சுழற்சி வரைபடம் ஒவ்வொரு சுவாரஸ்யமான சுழற்சியையும் ஒரு பலகோணமாக காட்டுகிறது. ஒரு வரிசை 6 இன் சுழற்சியை a உருவாக்கினால் (அல்லது, விரைவில், வரிசை 6 ஐக் கொண்டுள்ளது), பின்னர் a6 = e. பின்னர் a2, {a2, a4, e} இன் அதிகாரங்களின் தொகுப்பு ஒரு சுழற்சியாகும், ஆனால் இது உண்மையில் புதிய தகவல் அல்ல. இதேபோல், a5 அதே சுழற்சியை உருவாக்குகிறது. எனவே, பழமையான சுழற்சிகளை மட்டுமே கருத்தில் கொள்ள வேண்டும், அதாவது மற்றொரு சுழற்சியின் துணைக்குழுக்கள் அல்ல. இவை ஒவ்வொன்றும் சில பழமையான உறுப்புகளால் உருவாக்கப்படுகின்றன, a. அசல் குழுவின் ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் ஒரு புள்ளியை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். ஒவ்வொரு பழமையான உறுப்புக்கும், e ஐ a உடன் இணைக்கவும், a ஐ a2 உடன் இணைக்கவும், an-1 ஐ an உடன் இணைக்கவும். இதன் விளைவாக சுழற்சி வரைபடம் உள்ளது. a2 = e ஆக இருக்கும்போது, a வரிசை 2 ஐக் கொண்டுள்ளது (இது ஒரு ஊடுருவல்), மேலும் e உடன் இரண்டு விளிம்புகளால் இணைக்கப்பட்டுள்ளது. சுழற்சியின் இரண்டு விளிம்புகளை வலியுறுத்தும் நோக்கம் தவிர, அது பொதுவாக இரண்டு கூறுகளுக்கு இடையில் ஒரு கோடு வரையப்படுகிறது. பண்புகள் ஒரு குழு சுழற்சி வரைபடத்தின் எடுத்துக்காட்டாக, டைஹெட்ரல் குழு டிஹெச் 4 ஐக் கவனியுங்கள். இந்த குழுவிற்கான பெருக்க அட்டவணை இடதுபுறத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது, மேலும் சுழற்சி வரைபடம் வலதுபுறத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது, e அடையாள உறுப்பைக் குறிப்பிடுகிறது. பெருக்கல் அட்டவணையில் a4 = e கொண்ட {e, a, a2, a3} சுழற்சியைக் கவனியுங்கள். இதேபோல், எந்தவொரு குழுவிலும் எந்தவொரு சுழற்சியும் குறைந்தது இரண்டு ஜெனரேட்டர்களைக் கொண்டுள்ளன, மேலும் அவை இரு திசைகளிலும் பயணிக்கப்படலாம். மேலும் பொதுவாக, n உறுப்புகளுடன் ஒரு சுழற்சியின் ஜெனரேட்டர்களின் எண்ணிக்கை n இன் யூலர் φ செயல்பாட்டால் வழங்கப்படுகிறது, மேலும் இந்த ஜெனரேட்டர்களில் ஏதேனும் ஒரு சுழற்சியின் முதல் முனையாக எழுதப்படலாம் (அடையாளம் e க்கு அடுத்தது); அல்லது பொதுவாக முனைகள் குறிக்கப்படாமல் விடப்படுகின்றன. இரண்டு தனித்துவமான சுழற்சிகள் ஒரு ஜெனரேட்டரில் வெட்ட முடியாது. முதன்மை அல்லாத உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையைக் கொண்ட சுழற்சிகள் வரைபடத்தில் காட்டப்படாத சுழற்சி துணைக்குழுக்களைக் கொண்டுள்ளன. மேலே உள்ள டிஹ் 4 குழுவிற்கு, நாம் a2 மற்றும் e க்கு இடையில் ஒரு கோட்டை வரையலாம், ஆனால் a2 ஒரு பெரிய சுழற்சியின் ஒரு பகுதியாக இருப்பதால், இது சுழற்சி வரைபடத்தின் விளிம்பு அல்ல. இரண்டு சுழற்சிகள் அடையாளம் அல்லாத உறுப்பைப் பகிர்ந்து கொள்ளும்போது தெளிவின்மை இருக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, 8-உறுப்பு குவாட்டர்னியன் குழுவில் சுழற்சி வரைபடம் வலதுபுறத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது. நடுத்தர வரிசையில் உள்ள உறுப்புகள் ஒவ்வொன்றும் தானாகவே பெருக்கப்படும்போது-1 ஐக் கொடுக்கிறது (இங்கு 1 என்பது அடையாள உறுப்பு). இந்த விஷயத்தில் சுழற்சிகளைக் கண்காணிக்க வெவ்வேறு வண்ணங்களைப் பயன்படுத்தலாம், இருப்பினும் சமச்சீர் கருத்தாய்வுகளும் வேலை செய்யும். முன்பு குறிப்பிட்டபடி, 2-உறுப்பு சுழற்சியின் இரண்டு விளிம்புகளும் பொதுவாக ஒற்றைக் கோடாக குறிப்பிடப்படுகின்றன. ஒரு தனிமத்தின் தலைகீழ் அதன் சுழற்சியில் அதன் முனை சமச்சீர் ஆகும், இது அடையாளத்தை சரிசெய்யும் பிரதிபலிப்பைப் பொறுத்தவரை. வரலாற்று சுழற்சி வரைபடங்கள் 1950 களின் முற்பகுதியில் எண் கோட்பாட்டாளர் டேனியல் ஷாங்க்ஸால் எஞ்சிய வகுப்புகளின் பெருக்கக் குழுக்களைப் படிப்பதற்கான ஒரு கருவியாக ஆய்வு செய்யப்பட்டன. ஷாங்க்ஸ் தனது புத்தகமான எண் கோட்பாட்டில் தீர்க்கப்பட்ட மற்றும் தீர்க்கப்படாத சிக்கல்களின் 1962 ஆம் ஆண்டின் முதல் பதிப்பில் இந்த யோசனையை முதன்முதலில் வெளியிட்டார். புத்தகத்தில், எந்த குழுக்கள் ஐசோமார்பிக் சுழற்சி வரைபடங்களைக் கொண்டுள்ளன, ஒரு சுழற்சி வரைபடம் எப்போது சமதளமாக இருக்கும் என்பதை ஷாங்க்ஸ் ஆராய்கிறார். 1978 ஆம் ஆண்டின் இரண்டாவது பதிப்பில், ஷாங்க்ஸ் வகுப்புக் குழுக்கள் குறித்த தனது ஆராய்ச்சி மற்றும் குழந்தை-படி மாபெரும்-படி முறையின் வளர்ச்சியைப் பற்றி பிரதிபலிக்கிறார்ஃ நாதன் கார்ட்டரின் 2009 அறிமுக பாடப்புத்தகமான விஷுவல் குரூப் தியரியில் சுழற்சி வரைபடங்கள் ஒரு கற்பித்தல் கருவியாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. குறிப்பிட்ட குழு குடும்பங்களின் வரைபட பண்புகள் சில குழு வகைகள் வழக்கமான வரைபடங்களைக் கொடுக்கின்றனஃ சுழற்சி குழுக்கள் Zn, வரிசை n, என்பது செங்குத்துகளில் உள்ள உறுப்புகளுடன் ஒரு n-பக்க பலகோணமாக வெறுமனே வரைபடமாக்கப்பட்ட ஒரு சுழற்சி ஆகும்ஃ n ஒரு பகா எண்ணாக இருக்கும்போது, வடிவத்தின் குழுக்கள் (Zn) m என்பது அடையாள உறுப்பைப் பகிர்ந்து கொள்ளும் n-உறுப்பு சுழற்சிகளைக் கொண்டிருக்கும்ஃ டைஹெட்ரல் குழுக்கள் டிஹ்ன், வரிசை 2n ஒரு n-உறுப்பு சுழற்சி மற்றும் n 2-உறுப்பு சுழற்சிகளைக் கொண்டுள்ளதுஃ டைசைக்ளிக் குழுக்கள், டிக்ன் = Q4n, வரிசை 4n: பிற நேரடி தயாரிப்புகள்ஃ சமச்சீர் குழுக்கள்-சமச்சீர் குழு Sn கொண்டுள்ளது, n வரிசையின் எந்த குழுவிற்கும், அந்த குழுவிற்கு ஒரு துணை குழு ஐசோமார்பிக். இவ்வாறு n வரிசையின் ஒவ்வொரு குழுவின் சுழற்சி வரைபடம் Sn இன் சுழற்சி வரைபடத்தில் காணப்படும். எடுத்துக்காட்டுஃ S4 இன் துணைக்குழுக்கள் எடுத்துக்காட்டுஃ முழு எண்முகக் குழுவின் துணைக்குழுக்கள் முழு எண்முகக் குழு என்பது S4 சமச்சீர் குழு மற்றும் Z2 சுழற்சிக் குழுவின் நேரடி விளைபொருளாகும். அதன் வரிசை 48 ஆகும், மேலும் இது 48 ஐ வகுக்கும் ஒவ்வொரு வரிசையின் துணைக்குழுக்களையும் கொண்டுள்ளது. கீழே உள்ள எடுத்துக்காட்டுகளில் ஒருவருக்கொருவர் தொடர்புடைய முனைகள் ஒருவருக்கொருவர் அடுத்ததாக வைக்கப்படுகின்றன, எனவே இவை இந்த குழுக்களுக்கு (வலதுபுறத்தில் உள்ளதைப் போல) எளிமையான சுழற்சி வரைபடங்கள் அல்ல. அனைத்து வரைபடங்களையும் போலவே ஒரு சுழற்சி வரைபடத்தையும் வெவ்வேறு பண்புகளை வலியுறுத்த பல்வேறு வழிகளில் குறிப்பிடலாம். S4 இன் சுழற்சி வரைபடத்தின் இரண்டு பிரதிநிதித்துவங்கள் அதற்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு. மேலும் காண்க சிறிய குழுக்களின் பட்டியல் கெய்லி வரைபடம் வெளிப்புற இணைப்புகள் குறிப்புகள் ஸ்கியெனா, எஸ். (1990). சுழற்சிகள், நட்சத்திரங்கள் மற்றும் சக்கரங்கள். தனித்த கணிதத்தை செயல்படுத்துதல்ஃ கணிதத்துடன் ஒருங்கிணைப்பு மற்றும் வரைபடக் கோட்பாடு (pp. 144-147). பெம்மராஜு, எஸ்., & ஸ்கியெனா, எஸ். (2003). சுழற்சிகள், நட்சத்திரங்கள் மற்றும் சக்கரங்கள். கம்ப்யூடேஷனல் டிஸ்கிரீட் மேத்தமேட்டிக்ஸ்ஃ காம்பினடோரிக்ஸ் அண்ட் கிராஃப் தியரி வித் மேத்தமேடிகா (pp. 248-249). கேம்பிரிட்ஜ் பல்கலைக்கழக அச்சகம். சுருக்க இயற்கணிதம் குழு கோட்பாடு பயன்பாடு-குறிப்பிட்ட வரைபடங்கள்