Jordan curve theorem
இடவியலில், ஜோர்டான் வளைவு தேற்றம் ஒவ்வொரு ஜோர்டான் வளைவும் (ஒரு தள எளிய மூடிய வளைவு) தளத்தை வளைவால் சூழப்பட்ட ஒரு "உட்புற" பகுதியாகவும், அருகிலுள்ள மற்றும் தொலைதூர வெளிப்புற புள்ளிகள் அனைத்தையும் கொண்ட ஒரு "வெளிப்புற" பகுதியாகவும் பிரிக்கிறது என்று வலியுறுத்துகிறது. ஒரு பிராந்தியத்தின் ஒரு புள்ளியை மற்றொன்றின் ஒரு புள்ளிக்கு இணைக்கும் ஒவ்வொரு தொடர்ச்சியான பாதையும் எங்காவது வளைவுடன் வெட்டுகிறது. தேற்றம் உள்ளுணர்வாக வெளிப்படையாகத் தோன்றினாலும், அதை அடிப்படை வழிமுறைகளால் நிரூபிக்க சில புத்தி கூர்மை தேவைப்படுகிறது. ஜே. சி. டி என்பது நன்கு அறியப்பட்ட இடவியல் கோட்பாடுகளில் ஒன்றாகும் என்றாலும், தொழில்முறை கணிதவியலாளர்களிடையே கூட, அதன் ஆதாரத்தை ஒருபோதும் படிக்காத பலர் உள்ளனர். (). மேலும் வெளிப்படையான சான்றுகள் இயற்கணித இடவியலின் கணித இயந்திரத்தை நம்பியுள்ளன, மேலும் இவை உயர் பரிமாண இடைவெளிகளுக்கு பொதுமைப்படுத்தலுக்கு வழிவகுக்கின்றன. ஜோர்டான் வளைவு தேற்றம் அதன் முதல் ஆதாரத்தைக் கண்டுபிடித்த கணிதவியலாளர் காமில் ஜோர்டானின் (1838-1922) பெயரால் அழைக்கப்படுகிறது. பல தசாப்தங்களாக, கணிதவியலாளர்கள் பொதுவாக இந்த ஆதாரம் தவறானது என்றும் முதல் கடுமையான ஆதாரம் ஓஸ்வால்ட் வெப்லனால் மேற்கொள்ளப்பட்டது என்றும் நினைத்தனர். இருப்பினும், இந்த கருத்தை தாமஸ் சி. ஹேல்ஸ் மற்றும் பலர் மாற்றியுள்ளனர். வரையறைகள் மற்றும் ஜோர்டான் தேற்றத்தின் கூற்று ஒரு ஜோர்டான் வளைவு அல்லது ஆர் 2 தளத்தில் ஒரு எளிய மூடிய வளைவு என்பது விமானத்திற்குள் ஒரு வட்டத்தின் ஊசி தொடர்ச்சியான வரைபடத்தின் படம் சி ஆகும், φ: S1 → R2. விமானத்தில் உள்ள ஜோர்டான் வளைவு என்பது விமானத்திற்குள் ஒரு மூடிய மற்றும் வரம்புக்குட்பட்ட இடைவெளியின் ஊசி தொடர்ச்சியான வரைபடத்தின் படம். இது ஒரு சமதள வளைவு, இது மென்மையானதாகவோ அல்லது இயற்கணிதமாகவோ இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை. மாற்றாக, ஒரு ஜோர்டான் வளைவு என்பது ஒரு தொடர்ச்சியான வரைபடத்தின் படம் φ: [0,1] → R2 அதாவது φ (0) = φ (1) மற்றும் φ இன் கட்டுப்பாடு [0,1) ஊசி ஆகும். முதல் இரண்டு நிபந்தனைகள் சி ஒரு தொடர்ச்சியான வளையம் என்று கூறுகின்றன, அதே நேரத்தில் கடைசி நிபந்தனை சி க்கு சுய வெட்டு புள்ளிகள் இல்லை என்று கூறுகிறது. இந்த வரையறைகளுடன், ஜோர்டான் வளைவு தேற்றத்தை பின்வருமாறு கூறலாம்ஃ இதற்கு மாறாக, விமானத்தில் உள்ள ஜோர்டான் வளைவின் நிரப்பு இணைக்கப்பட்டுள்ளது. சான்றுகள் மற்றும் பொதுமைப்படுத்தல்கள் ஜோர்டான் வளைவு தேற்றம் 1911 ஆம் ஆண்டில் எச். லெபெஸ்கூ மற்றும் எல். இ. ஜே. ப்ரூவர் ஆகியோரால் சுயாதீனமாக உயர் பரிமாணங்களுக்கு பொதுமைப்படுத்தப்பட்டது, இதன் விளைவாக ஜோர்டான்-ப்ரூவர் பிரிப்பு தேற்றம் உருவானது. ஆதாரம் ஹோமோலஜி கோட்பாட்டைப் பயன்படுத்துகிறது. பொதுவாக, X என்பது k-கோளத்திற்கு ஒத்த உருவமாக இருந்தால், Y = Rn + 1\X இன் குறைக்கப்பட்ட ஒருங்கிணைந்த ஒரே மாதிரியான குழுக்கள் பின்வருமாறுஃ இது மேயர்-விட்டோரிஸ் வரிசையைப் பயன்படுத்தி k இல் தூண்டுவதன் மூலம் நிரூபிக்கப்படுகிறது. n = k ஆக இருக்கும்போது, Y இன் பூஜ்ஜிய குறைக்கப்பட்ட ஒத்திசைவு தரவரிசை 1 ஐக் கொண்டுள்ளது, அதாவது Y க்கு 2 இணைக்கப்பட்ட கூறுகள் உள்ளன (அவை, மேலும், பாதை இணைக்கப்பட்டுள்ளன), மேலும் ஒரு பிட் கூடுதல் வேலையுடன், அவற்றின் பொதுவான எல்லை X என்பதைக் காட்டுகிறது. ஜே. டபிள்யூ. அலெக்சாண்டர் மேலும் ஒரு பொதுமைப்படுத்தலைக் கண்டறிந்தார், அவர் ஆர்என் + 1 இன் சுருக்கமான துணைக்குழு எக்ஸ் இன் குறைக்கப்பட்ட ஒத்திசைவுக்கும் அதன் நிரப்பின் குறைக்கப்பட்ட ஒத்திசைவுக்கும் இடையிலான அலெக்சாண்டர் இரட்டைத்தன்மையை நிறுவினார். X என்பது எல்லை இல்லாமல் Rn + 1 (அல்லது Sn + 1) இன் n-பரிமாண சிறிய இணைக்கப்பட்ட சப்மேனிஃபோல்ட் என்றால், அதன் நிரப்பு 2 இணைக்கப்பட்ட கூறுகளைக் கொண்டுள்ளது. ஜோர்டான் வளைவுத் தேற்றம் ஜோர்டான்-ஷான்ஃப்ளைஸ் தேற்றம் என்று அழைக்கப்படுகிறது, இது ஆர் 2 இல் ஜோர்டான் வளைவால் தீர்மானிக்கப்படும் உட்புற மற்றும் வெளிப்புற சமதளப் பகுதிகள் அலகு வட்டின் உட்புற மற்றும் வெளிப்புறத்திற்கு ஒத்த உருவம் கொண்டவை என்று கூறுகிறது. குறிப்பாக, உட்புறப் பகுதியில் உள்ள எந்தப் புள்ளிக்கும் P க்கும், ஜோர்டான் வளைவில் உள்ள ஒரு புள்ளிக்கும், P ஐ A உடன் இணைக்கும் ஒரு ஜோர்டான் வளைவு உள்ளது, மேலும் இறுதிப் புள்ளி A ஐத் தவிர, முற்றிலும் உட்புறப் பகுதியில் உள்ளது. ஜோர்டான்-ஷான்ஃபிளைஸ் தேற்றத்தின் மாற்று மற்றும் சமமான சூத்திரம், எந்த ஜோர்டான் வளைவு φ: S1 → R2, S1 ஐ விமானத்தில் அலகு வட்டமாகக் கருதும் இடத்தில், ஒரு ஹோமியோமார்பிசத்திற்கு நீட்டிக்கப்படலாம் என்று வலியுறுத்துகிறது ±: R2 → R2 தளத்தின். ஜோர்டான் வளைவு தேற்றத்தின் லெபெஸ்கூ மற்றும் ப்ரூவரின் பொதுமைப்படுத்தலைப் போலல்லாமல், இந்த அறிக்கை உயர் பரிமாணங்களில் தவறானதாக மாறுகிறதுஃ R3 இல் உள்ள அலகு பந்தின் வெளிப்புறம் வெறுமனே இணைக்கப்பட்டுள்ளது, ஏனெனில் அது அலகு கோளத்தில் பின்வாங்குகிறது, அலெக்சாண்டர் கொம்பு கோளம் ஒரு கோளத்திற்கு R3 ஹோமியோமார்பிக்கின் துணைக்குழுவாகும், ஆனால் விண்வெளியில் மிகவும் முறுக்கப்பட்டதால், R3 இல் அதன் நிரப்பின் வரம்பற்ற கூறு வெறுமனே இணைக்கப்படவில்லை, எனவே அலகு பந்தின் வெளிப்புறத்துடன் ஹோமியோமார்பிக் அல்ல. தனித்த பதிப்பு ஜோர்டான் வளைவு தேற்றத்தை ப்ரூவர் நிலையான புள்ளி தேற்றத்திலிருந்து (2 பரிமாணங்களில்) நிரூபிக்க முடியும், மேலும் ப்ரூவர் நிலையான புள்ளி தேற்றத்தை ஹெக்ஸ் தேற்றத்திலிருந்து நிரூபிக்க முடியும்ஃ "ஹெக்ஸின் ஒவ்வொரு விளையாட்டுக்கும் குறைந்தது ஒரு வெற்றியாளராவது இருக்க வேண்டும்", இதிலிருந்து நாம் ஒரு தர்க்கரீதியான உட்பொருளைப் பெறுகிறோம்ஃ ஹெக்ஸ் தேற்றம் ப்ரூவர் நிலையான புள்ளி தேற்றத்தைக் குறிக்கிறது, இது ஜோர்டான் வளைவு தேற்றத்தைக் குறிக்கிறது. ஜோர்டான் வளைவுத் தேற்றம் "வலுவான ஹெக்ஸ் தேற்றத்தை" குறிக்கிறது என்பது தெளிவாகிறதுஃ "ஹெக்ஸின் ஒவ்வொரு விளையாட்டும் சரியாக ஒரு வெற்றியாளருடன் முடிவடைகிறது, இரு தரப்பினரும் தோல்வியடையும் அல்லது இரு தரப்பினரும் வெற்றி பெற வாய்ப்பில்லை", எனவே ஜோர்டான் வளைவுத் தேற்றம் வலுவான ஹெக்ஸ் தேற்றத்திற்கு சமம், இது முற்றிலும் தனித்துவமான தேற்றமாகும். ப்ரூவர் நிலையான புள்ளி தேற்றம், இரண்டு சமமான கோட்பாடுகளுக்கு இடையில் சாண்ட்விச் செய்யப்படுவதன் மூலம், இரண்டிற்கும் சமம். தலைகீழ் கணிதம் மற்றும் கணினி முறைப்படுத்தப்பட்ட கணிதத்தில், ஜோர்டான் வளைவு தேற்றம் பொதுவாக வலுவான ஹெக்ஸ் தேற்றத்தைப் போன்ற சமமான தனித்துவமான பதிப்பாக மாற்றுவதன் மூலம் நிரூபிக்கப்படுகிறது, பின்னர் தனித்துவமான பதிப்பை நிரூபிக்கிறது. பட செயலாக்கத்திற்கான பயன்பாடு பட செயலாக்கத்தில், ஒரு பைனரி படம் என்பது 0 மற்றும் 1 இன் தனித்துவமான சதுர கட்டம், அல்லது அதற்கு சமமாக, ஒரு சிறிய துணைக்குழு ஆகும். பொருத்தமாக வரையறுக்கப்பட்ட வரைபட அமைப்பு இல்லையென்றால், கூறுகளின் எண்ணிக்கை போன்ற இடவியல் மாறிலிகள் நன்கு வரையறுக்கப்படாமல் போகலாம். இரண்டு வெளிப்படையான வரைபட கட்டமைப்புகள் உள்ளனஃ ஒவ்வொரு முனையும் இணைக்கப்பட்டுள்ள "4-அண்டை சதுர கட்டம்". "8-அண்டை சதுர கட்டம்", இதில் ஒவ்வொரு முனையும் ஐஎஃப்எஃப் உடன் இணைக்கப்பட்டுள்ளது, மற்றும். இரண்டு வரைபட கட்டமைப்புகளும் வலுவான ஹெக்ஸ் தேற்றத்தை பூர்த்தி செய்யத் தவறிவிட்டன. 4-அண்டை சதுர கட்டம் ஒரு வெற்றியாளர் இல்லாத சூழ்நிலையை அனுமதிக்கிறது, மேலும் 8-அண்டை சதுர கட்டம் இரண்டு வெற்றியாளர் சூழ்நிலையை அனுமதிக்கிறது. இதன் விளைவாக, ஜோர்டான் வளைவு தேற்றம் போன்ற இணைப்பின் பண்புகள், எந்த வரைபட கட்டமைப்பின் கீழும் பொதுமைப்படுத்தப்படவில்லை. "6-அண்டை சதுர கட்டம்" அமைப்பு மீது திணிக்கப்பட்டால், அது அறுகோண கட்டமாகும், இதனால் வலுவான ஹெக்ஸ் தேற்றத்தை திருப்திப்படுத்துகிறது, இது ஜோர்டான் வளைவு தேற்றத்தை பொதுமைப்படுத்த அனுமதிக்கிறது. இந்த காரணத்திற்காக, பைனரி படத்தில் இணைக்கப்பட்ட கூறுகளை கணக்கிடும்போது, 6-அண்டை சதுர கட்டம் பொதுவாக பயன்படுத்தப்படுகிறது. ஸ்டெய்ன்ஹாஸ் சதுரங்கப் பலகை தேற்றம் ஒருவிதத்தில் 4-அண்டை கட்டம் மற்றும் 8-அண்டை கட்டம் "ஒன்றாக" என்பது ஜோர்டான் வளைவு தேற்றத்தைக் குறிக்கிறது, மேலும் 6-அண்டை கட்டம் அவற்றுக்கிடையே ஒரு துல்லியமான இடைக்கணிப்பாகும். இந்தக் கோட்பாடு பின்வருமாறு கூறுகிறதுஃ நீங்கள் ஒரு சதுரங்கப் பலகையில் சில சதுரங்களில் குண்டுகளை வைத்தால், ஒரு ராஜா ஒரு குண்டின் மீது காலடி வைக்காமல் கீழ் பக்கத்திலிருந்து மேல் பக்கத்திற்கு நகர முடியாது என்று வைத்துக்கொள்வோம், பின்னர் ஒரு ரோக் இடது பக்கத்திலிருந்து வலது பக்கத்திற்கு வெடிகுண்டுகளில் மட்டுமே காலடி வைக்க முடியும். ஜோர்டான் வளைவு தேற்றத்தின் கூற்று முதலில் வெளிப்படையாகத் தோன்றலாம், ஆனால் அதை நிரூபிப்பது மிகவும் கடினமான தேற்றமாகும். பெர்னார்ட் போல்சானோ ஒரு துல்லியமான யூகத்தை முதன்முதலில் உருவாக்கினார், இது ஒரு சுய-தெளிவான அறிக்கை அல்ல, ஆனால் அதற்கு ஒரு ஆதாரம் தேவை என்பதைக் கவனித்தார். பலகோணங்களுக்கு இந்த முடிவை நிறுவுவது எளிதானது, ஆனால் அனைத்து வகையான மோசமாக நடந்து கொள்ளும் வளைவுகளுக்கும் இதை பொதுமைப்படுத்துவதில் சிக்கல் ஏற்பட்டது, இதில் கோச் ஸ்னோஃப்ளேக் மற்றும் பிற ஃப்ராக்டல் வளைவுகள் போன்ற வேறுபடுத்தக்கூடிய வளைவுகள் அல்லது ஜோர்டான் வளைவு கூட இல்லை. இந்த தேற்றத்தின் முதல் ஆதாரத்தை கேமில் ஜோர்டான் உண்மையான பகுப்பாய்வு குறித்த தனது சொற்பொழிவுகளில் வழங்கினார், மேலும் அவரது புத்தகமான கோர்ஸ் டி அனலைஸ் டி எல் எகோல் பாலிடெக்னிக் என்ற புத்தகத்தில் வெளியிடப்பட்டது. ஜோர்டானின் ஆதாரம் முழுமையானதா என்பது குறித்து சில சர்ச்சைகள் உள்ளனஃ பெரும்பாலான வர்ணனையாளர்கள் முதல் முழுமையான ஆதாரம் பின்னர் ஓஸ்வால்ட் வெப்லனால் வழங்கப்பட்டதாகக் கூறியுள்ளனர், அவர் ஜோர்டானின் ஆதாரத்தைப் பற்றி பின்வருமாறு கூறினார்ஃ இருப்பினும், அவரது ஆதாரம் பல கணிதவியலாளர்களுக்கு திருப்திகரமாக இல்லை. இது ஒரு எளிய பலகோணத்தின் முக்கியமான சிறப்பு வழக்கில் ஆதாரம் இல்லாமல் தேற்றத்தை கருதுகிறது, மேலும் அந்த கட்டத்தில் இருந்து வாதம், குறைந்தபட்சம் அனைத்து விவரங்களும் கொடுக்கப்படவில்லை என்பதை ஒப்புக் கொள்ள வேண்டும். இருப்பினும், தாமஸ் சி. ஹேல்ஸ் எழுதினார்ஃ நான் கண்டறிந்த ஒவ்வொரு நவீன மேற்கோளும் முதல் சரியான ஆதாரம் வெப்லன் காரணமாக இருந்தது என்பதை ஒப்புக்கொள்கிறது. ஜோர்டானின் ஆதாரம் குறித்த கடுமையான விமர்சனங்களைக் கருத்தில் கொண்டு, அதைப் பற்றி ஆட்சேபிக்கத்தக்க எதுவும் இல்லை என்று அவரது ஆதாரத்தைப் படிக்க நான் அமர்ந்தபோது ஆச்சரியப்பட்டேன். அப்போதிருந்து, ஜோர்டானை விமர்சித்த பல எழுத்தாளர்களை நான் தொடர்பு கொண்டுள்ளேன், மேலும் ஒவ்வொரு வழக்கிலும் ஜோர்டானின் ஆதாரத்தில் ஒரு பிழை குறித்து நேரடி அறிவு இல்லை என்று ஆசிரியர் ஒப்புக் கொண்டுள்ளார். எளிய பலகோணங்களின் சிறப்பு வழக்கு ஒரு எளிதான பயிற்சி மட்டுமல்ல, ஆனால் உண்மையில் ஜோர்டானால் எப்படியும் பயன்படுத்தப்படவில்லை என்றும் ஹேல்ஸ் சுட்டிக்காட்டினார், மேலும் மைக்கேல் ரீக்கனை மேற்கோள் காட்டி கூறினார்ஃ ஜோர்டானின் ஆதாரம் அடிப்படையில் சரியானது. ஜோர்டானின் ஆதாரம் விவரங்களை திருப்திகரமான முறையில் முன்வைக்கவில்லை. ஆனால் யோசனை சரியானது, மேலும் சில மெருகூட்டல் மூலம் ஆதாரம் குறைபாடற்றதாக இருக்கும். முன்னதாக, ஜோர்டானின் ஆதாரம் மற்றும் சார்லஸ் ஜீன் டி லா வல்லீ பௌசின் எழுதிய மற்றொரு ஆரம்ப ஆதாரம் ஏற்கனவே ஸ்கோன்ஃப்ளைஸால் (1924) விமர்சன ரீதியாக பகுப்பாய்வு செய்யப்பட்டு முடிக்கப்பட்டது. குறைந்த பரிமாண இடவியல் மற்றும் சிக்கலான பகுப்பாய்வில் ஜோர்டான் வளைவு தேற்றத்தின் முக்கியத்துவம் காரணமாக, இது 20 ஆம் நூற்றாண்டின் முதல் பாதியின் முக்கிய கணிதவியலாளர்களிடமிருந்து அதிக கவனத்தைப் பெற்றது. இந்த தேற்றம் மற்றும் அதன் பொதுமைப்படுத்தல்களின் பல்வேறு சான்றுகள் ஜே. டபிள்யூ அலெக்சாண்டர், லூயிஸ் அன்டோயின், லுட்விக் பீபர்பாக், லூய்ட்சென் ப்ரூவர், அர்னாட் டென்ஜோய், பிரெட்ரிக் ஹார்டக்ஸ், பெலா கெரெக்ஜார்டோ, ஆல்பிரட் பிரிங்ஷீம் மற்றும் ஆர்தர் மோரிட்ஸ் ஷோன்ப்லைஸ் ஆகியோரால் கட்டப்பட்டன. ஜோர்டான் வளைவு தேற்றத்தின் புதிய அடிப்படை சான்றுகளும், முந்தைய சான்றுகளின் எளிமைப்படுத்தல்களும் தொடர்ந்து மேற்கொள்ளப்படுகின்றன. அடிப்படை சான்றுகள் மற்றும் மூலம் முன்வைக்கப்பட்டன. தரமற்ற பகுப்பாய்வைப் பயன்படுத்தி ஒரு ஆதாரம். ஆக்கபூர்வமான கணிதத்தைப் பயன்படுத்தி ஒரு சான்று. ப்ரூவர் நிலையான புள்ளி தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி ஒரு ஆதாரம். முழுமையான இருதரப்பு வரைபடமான K3,3 இன் தெளிவற்ற தன்மையைப் பயன்படுத்தி ஒரு ஆதாரம் வழங்கப்பட்டது. சிரமத்தின் வேர் பின்வருமாறு விளக்கப்பட்டுள்ளது. ஜோர்டான் வளைவு தேற்றம் ஒவ்வொரு ஜோர்டான் பலகோணத்திற்கும் (லெம்மா 1) உள்ளது என்பதை நிரூபிப்பது ஒப்பீட்டளவில் எளிதானது, மேலும் ஒவ்வொரு ஜோர்டான் வளைவையும் ஒரு ஜோர்டான் பலகோணத்தால் (லெம்மா 2) தன்னிச்சையாக நன்கு மதிப்பிட முடியும். ஒரு ஜோர்டான் பலகோணம் என்பது ஒரு பலகோண சங்கிலியாகும், இது ஒரு வரம்புக்குட்பட்ட இணைக்கப்பட்ட திறந்த தொகுப்பின் எல்லை, அதை திறந்த பலகோணம் என்றும், அதன் மூடல், மூடிய பலகோணம் என்றும் அழைக்கிறது. மூடிய பலகோணத்தில் உள்ள மிகப்பெரிய வட்டின் விட்டத்தைக் கவனியுங்கள். வெளிப்படையாக, நேர்மறையானது. ஜோர்டான் பலகோணங்களின் வரிசையைப் பயன்படுத்தி (கொடுக்கப்பட்ட ஜோர்டான் வளைவுடன் ஒன்றிணைக்கும்) நாம் ஒரு நேர்மறை எண்ணாக ஒன்றிணைக்கும் ஒரு வரிசையைக் கொண்டுள்ளோம், இது ஜோர்டான் வளைவால் சூழப்பட்ட மூடிய பகுதியில் உள்ள மிகப்பெரிய வட்டின் விட்டம். இருப்பினும், கொடுக்கப்பட்ட ஜோர்டான் வளைவை மட்டுமே பயன்படுத்தி, வரிசை பூஜ்ஜியத்திற்கு ஒன்றிணைக்கவில்லை என்பதை நாம் நிரூபிக்க வேண்டும், வளைவால் சூழப்பட்ட பகுதி அல்ல. இது ட்வெர்பர்க்கின் லெம்மா 3 இன் புள்ளி. தோராயமாக, மூடிய பலகோணங்கள் எல்லா இடங்களிலும் மெல்லியதாகவோ பூஜ்ஜியமாகவோ இருக்கக்கூடாது. மேலும், அவை எங்காவது பூஜ்ஜியத்திற்கு மெல்லியதாக இருக்கக்கூடாது, இது ட்வெர்பர்க்கின் லெம்மா 4 இன் புள்ளியாகும். ஜோர்டான் வளைவு தேற்றத்தின் முதல் முறையான ஆதாரம் ஜனவரி 2005 இல் HOL ஒளி அமைப்பில் உருவாக்கப்பட்டது, மேலும் சுமார் 60,000 கோடுகளைக் கொண்டிருந்தது. மற்றொரு கடுமையான 6,500 வரி முறையான ஆதாரம் 2005 ஆம் ஆண்டில் சர்வதேச கணிதவியலாளர்கள் குழுவால் மிஸார் அமைப்பைப் பயன்படுத்தி தயாரிக்கப்பட்டது. மிஸார் மற்றும் HOL ஒளி ஆதாரம் இரண்டும் முன்பு நிரூபிக்கப்பட்ட கோட்பாடுகளின் நூலகங்களை நம்பியுள்ளன, எனவே இந்த இரண்டு அளவுகளும் ஒப்பிடத்தக்கவை அல்ல. தலைகீழ் கணிதத்தில் ஜோர்டான் வளைவு தேற்றம் அமைப்பின் மீது பலவீனமான கோனிக் லெம்மாவுக்கு சமம் என்பதைக் காட்டியது. கணக்கீட்டு வடிவவியலில், ஜோர்டான் வளைவு தேற்றம் ஒரு புள்ளி ஒரு எளிய பலகோணத்திற்குள் உள்ளதா அல்லது வெளியே உள்ளதா என்பதை சோதிக்க பயன்படுத்தப்படலாம். ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில் இருந்து, பலகோணத்தின் எந்த முனையையும் கடந்து செல்லாத ஒரு கதிரைக் கண்டறியவும் (அனைத்து கதிர்களும் ஆனால் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட எண் வசதியானது). பின்னர், பலகோணத்தின் விளிம்புடன் கதிரின் குறுக்குவெட்டுகளின் எண்ணிக்கையை கணக்கிடுங்கள். ஜோர்டான் வளைவு தேற்றம் ஆதாரம் ஒற்றைப்படை என்றால் மட்டுமே புள்ளி பலகோணத்திற்குள் உள்ளது என்பதைக் குறிக்கிறது. அட்லர், டஸ்கலாகிஸ் மற்றும் டிமைன் ஆகியோர் கணக்கீட்டு அம்சங்கள் ஜோர்டானின் தேற்றத்தின் கணக்கீட்டு பதிப்பு PPAD-முழுமையானது என்பதை நிரூபிக்கின்றன. இதன் விளைவாக, ஜோர்டானின் தேற்றம் ப்ரூவர் நிலையான-புள்ளி தேற்றத்தைக் குறிக்கிறது என்பதை அவை காட்டுகின்றன. இது மெஹாராவின் முந்தைய முடிவை பூர்த்தி செய்கிறது, ப்ரூவரின் நிலையான புள்ளி தேற்றம் ஜோர்டானின் தேற்றத்தைக் குறிக்கிறது. டென்ஜோய்-ரீஸ் தேற்றத்தையும் பார்க்கவும், இது ஜோர்டான் வளைவுகளின் துணைக்குழுக்களாக இருக்கக்கூடிய தளத்தில் உள்ள சில புள்ளிகளின் தொகுப்புகளின் விளக்கமாகும், இது ஒரு ஜோர்டான் வளைவு குறிப்புகள் குறிப்புகளைப் பாதுகாக்கும் கணிதக் குழுவான வாடா குவாசி-ஃபுச்சியன் குழுவின் ஏரிகள் ஆகும். ஆசிரியரின் தளம் வெளிப்புற இணைப்புகள் மிஸாரில் உள்ள ஜோர்டானின் வளைவு தேற்றத்தின் முழு 6,500 வரி முறையான ஆதாரம். ஆண்ட்ரூ ரானிக்கியின் முகப்புப்பக்கத்தில் ஜோர்டான் வளைவு தேற்றத்தின் சான்றுகளின் தொகுப்பு டேவிட் பி. கால்ட் தேற்றங்கள் இடவியல் தேற்றங்களில் வளைவுகள் பற்றிய தேற்றங்கள் மூலம் ஜோர்டான் வளைவு தேற்றத்தின் (பி. டி. எஃப்) ஒரு எளிய ஆதாரம்