Synthetic geometry
செயற்கை வடிவியல் (சில நேரங்களில் தன்னியக்க வடிவியல் அல்லது தூய வடிவியல் என்றும் குறிப்பிடப்படுகிறது) என்பது ஆயத்தொகுதிகளைப் பயன்படுத்தாத வடிவியல் ஆகும். இது ஆரம்பத்தில் அனுமானங்கள் என்று அழைக்கப்படும் ஒரு சில அடிப்படை பண்புகளிலிருந்து அனைத்து முடிவுகளையும் நிரூபிப்பதற்கான தன்னியக்க முறையை நம்பியுள்ளது, தற்போது அவை கோட்பாடுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. "செயற்கை வடிவியல்" என்ற சொல் 17 ஆம் நூற்றாண்டுக்குப் பிறகுதான் உருவாக்கப்பட்டது, மேலும் பகுப்பாய்வு வடிவியல் என்று அழைக்கப்பட்ட ஒருங்கிணைப்பு முறையை ரெனே டெஸ்கார்ட்ஸ் அறிமுகப்படுத்தினார். எனவே "செயற்கை வடிவியல்" என்ற சொல் டெஸ்கார்ட்ஸுக்கு முன்பு அறியப்பட்ட பழைய முறைகளைக் குறிக்க அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. ஃபெலிக்ஸ் க்ளீனின் கூற்றுப்படி, செயற்கை வடிவியல் என்பது சூத்திரங்களை நாடாமல் புள்ளிவிவரங்களைப் படிப்பதாகும், அதேசமயம் பகுப்பாய்வு வடிவியல் பொருத்தமான ஆயத்தொகுதிகளின் அமைப்பை ஏற்றுக்கொண்ட பிறகு எழுதக்கூடிய அத்தகைய சூத்திரங்களை தொடர்ந்து பயன்படுத்துகிறது. செயற்கை வடிவவியலுக்கான முதல் முறையான அணுகுமுறை யூக்ளிடின் கூறுகள் ஆகும். இருப்பினும், 19 ஆம் நூற்றாண்டின் இறுதியில் யூக்ளிடின் அனுமானங்கள் வடிவவியலை வகைப்படுத்த போதுமானதாக இல்லை என்று தோன்றியது. வடிவவியலுக்கான முதல் முழுமையான கோட்பாட்டு அமைப்பு 19 ஆம் நூற்றாண்டின் இறுதியில் டேவிட் ஹில்பர்ட் என்பவரால் வழங்கப்பட்டது. அதே நேரத்தில், வடிவவியலை உருவாக்க செயற்கை முறைகள் மற்றும் பகுப்பாய்வு முறைகள் இரண்டையும் பயன்படுத்தலாம் என்று தோன்றியது. இரண்டு ஒப்புதல்களும் சமமானவை என்ற உண்மையை எமில் ஆர்ட்டின் தனது வடிவியல் இயற்கணிதம் என்ற புத்தகத்தில் நிரூபித்துள்ளார். இந்த சமநிலையின் காரணமாக, செயற்கை மற்றும் பகுப்பாய்வு வடிவவியலுக்கு இடையிலான வேறுபாடு இனி பயன்பாட்டில் இல்லை, அடிப்படை மட்டத்தில் தவிர, அல்லது சில வரையறுக்கப்பட்ட வடிவவியல்கள் மற்றும் டெசார்க்யூசியன் அல்லாத வடிவியல் போன்ற எந்த வகையான எண்களுடனும் தொடர்பில்லாத வடிவவியல்களுக்கு. தர்க்கரீதியான தொகுப்பு தர்க்கரீதியான தொகுப்பு செயல்முறை சில தன்னிச்சையான ஆனால் திட்டவட்டமான தொடக்க புள்ளியுடன் தொடங்குகிறது. இந்த தொடக்க புள்ளி பழமையான கருத்துக்கள் அல்லது பழங்காலங்கள் மற்றும் இந்த பழங்காலங்களைப் பற்றிய கோட்பாடுகளின் அறிமுகமாகும்ஃ பழங்காலங்கள் மிகவும் அடிப்படை கருத்துக்கள். பொதுவாக அவை பொருள்கள் மற்றும் உறவுகள் இரண்டையும் உள்ளடக்குகின்றன. வடிவவியலில், பொருள்கள் என்பது புள்ளிகள், கோடுகள் மற்றும் விமானங்கள் போன்ற விஷயங்களாகும், அதே நேரத்தில் ஒரு அடிப்படை உறவு நிகழ்வு ஆகும்-ஒரு பொருள் சந்திப்பது அல்லது மற்றொரு பொருளுடன் இணைப்பது. சொற்கள் வரையறுக்கப்படவில்லை. ஹில்பர்ட் ஒருமுறை குறிப்பிட்டார், புள்ளிகள், கோடுகள் மற்றும் விமானங்களுக்கு பதிலாக ஒருவர் அட்டவணைகள், நாற்காலிகள் மற்றும் பீர் குவளைகளைப் பற்றி பேசலாம், பழமையான சொற்கள் வெறும் வெற்று பிளேஸ்ஹோல்டர்கள் மற்றும் உள்ளார்ந்த பண்புகள் இல்லை. கோட்பாடுகள் என்பது இந்த பூர்வீகங்களைப் பற்றிய அறிக்கைகள்; எடுத்துக்காட்டாக, எந்த இரண்டு புள்ளிகளும் ஒரே வரியுடன் (அதாவது. எந்த இரண்டு புள்ளிகளுக்கும், அவை இரண்டையும் கடந்து செல்லும் ஒரு கோடு மட்டுமே உள்ளது). கோட்பாடுகள் உண்மை என்று கருதப்படுகின்றன, நிரூபிக்கப்படவில்லை. அவை வடிவியல் கருத்தாக்கங்களின் கட்டுமானத் தொகுதிகளாகும், ஏனெனில் அவை பூர்வீகங்களைக் கொண்ட பண்புகளைக் குறிப்பிடுகின்றன. கொடுக்கப்பட்ட கோட்பாடுகளின் தொகுப்பிலிருந்து, தொகுப்பு கவனமாக கட்டமைக்கப்பட்ட தர்க்கரீதியான வாதமாக தொடர்கிறது. ஒரு குறிப்பிடத்தக்க முடிவு கடுமையாக நிரூபிக்கப்படும்போது, அது ஒரு தேற்றமாக மாறுகிறது. கோட்பாட்டு தொகுப்புகளின் பண்புகள் வடிவவியலுக்கு நிலையான கோட்பாட்டு தொகுப்பு இல்லை, ஏனெனில் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட நிலையான தொகுப்புகளைத் தேர்ந்தெடுக்க முடியும். அத்தகைய ஒவ்வொரு தொகுப்பும் வெவ்வேறு வடிவவியலுக்கு வழிவகுக்கும், அதே நேரத்தில் ஒரே வடிவவியலைக் கொடுக்கும் வெவ்வேறு தொகுப்புகளின் எடுத்துக்காட்டுகளும் உள்ளன. இந்த ஏராளமான சாத்தியக்கூறுகளுடன், ஒருமைப்பாட்டில் "வடிவியல்" பற்றி பேசுவது இனி பொருத்தமானதல்ல. வரலாற்று ரீதியாக, யூக்ளிடின் இணையான அனுமானம் மற்ற கோட்பாடுகளிலிருந்து சுயாதீனமாக மாறியுள்ளது. வெறுமனே அதை நிராகரிப்பது முழுமையான வடிவவியலை அளிக்கிறது, அதே நேரத்தில் அதை மறுப்பது ஹைபர்போலிக் வடிவவியலை அளிக்கிறது. பிற நிலையான கோட்பாடுகளின் தொகுப்புகள் திட்டவட்டமான, நீள்வட்ட, கோள வடிவம் அல்லது அஃபைன் வடிவியல் போன்ற பிற வடிவவியல்களை வழங்கலாம். தொடர்ச்சி மற்றும் "இடையில்" என்ற கோட்பாடுகளும் விருப்பமானவை, எடுத்துக்காட்டாக, தனித்துவமான வடிவவியல்கள் அவற்றை நிராகரிப்பதன் மூலமோ அல்லது மாற்றியமைப்பதன் மூலமோ உருவாக்கப்படலாம். க்ளீனின் எர்லாங்கன் திட்டத்தைப் பின்பற்றி, கொடுக்கப்பட்ட எந்த வடிவவியலின் தன்மையும் வளர்ச்சியின் பாணியைக் காட்டிலும் சமச்சீர் மற்றும் முன்மொழிவுகளின் உள்ளடக்கத்திற்கு இடையிலான தொடர்பாகக் காணலாம். 19 ஆம் நூற்றாண்டில் காஸ், போல்யாய், லோபாச்சேவ்ஸ்கி மற்றும் ரீமன் ஆகியோரால் யூக்ளிடியன் அல்லாத வடிவவியல்கள் ஒரே நேரத்தில் கண்டுபிடிக்கப்படும் வரை யூக்ளிடின் அசல் சிகிச்சை இரண்டாயிரம் ஆண்டுகளுக்கும் மேலாக சவால் செய்யப்படாமல் இருந்தது, யூக்ளிடின் அடிப்படை அனுமானங்களை கணிதவியலாளர்கள் கேள்வி கேட்க வழிவகுத்தது. ஆரம்பகால பிரெஞ்சு ஆய்வாளர்களில் ஒருவர் செயற்கை வடிவவியலை இவ்வாறு சுருக்கமாகக் கூறினார்ஃ யூக்ளிட்டின் கூறுகள் செயற்கை முறையால் கையாளப்படுகின்றன. இந்த எழுத்தாளர், கோட்பாடுகளை முன்வைத்து, தேவைகளை உருவாக்கிய பிறகு, முன்மொழிவுகளை நிறுவினார், அவை முந்தையவற்றால் தொடர்ச்சியாக ஆதரிக்கப்படுகின்றன என்பதை நிரூபிக்கின்றன, எப்போதும் எளிமையிலிருந்து கலவைக்கு தொடர்கின்றன, இது தொகுப்பின் அத்தியாவசிய பண்பு. செயற்கை வடிவவியலின் உச்சக்கட்டத்தை 19 ஆம் நூற்றாண்டாகக் கருதலாம், அப்போது ஆயத்தொலைவுகள் மற்றும் கால்குலஸை அடிப்படையாகக் கொண்ட பகுப்பாய்வு முறைகள் ஜேக்கப் ஸ்டெய்னர் போன்ற சில வடிவவியல்களால் புறக்கணிக்கப்பட்டன, இது திட்ட வடிவவியலின் முற்றிலும் செயற்கை வளர்ச்சிக்கு ஆதரவாக இருந்தது. எடுத்துக்காட்டாக, நிகழ்வுகளின் கோட்பாடுகளிலிருந்து தொடங்கும் ப்ரொஜெக்டிவ் பிளேனின் சிகிச்சை உண்மையில் ஒரு பரந்த கோட்பாடாகும் (அதிக மாதிரிகளுடன்) இது பரிமாணம் மூன்று கொண்ட திசையன் இடத்துடன் தொடங்குவதன் மூலம் காணப்படுகிறது. திட்ட வடிவியல் உண்மையில் எந்தவொரு வடிவவியலின் எளிமையான மற்றும் நேர்த்தியான செயற்கை வெளிப்பாட்டைக் கொண்டுள்ளது. தனது எர்லாங்கன் திட்டத்தில், ஃபெலிக்ஸ் க்ளீன் செயற்கை மற்றும் பகுப்பாய்வு முறைகளுக்கு இடையிலான பதற்றத்தை குறைத்து மதிப்பிட்டார்ஃ நவீன வடிவவியலில் செயற்கை மற்றும் பகுப்பாய்வு முறைக்கு இடையிலான முரண்பாடுஃ நவீன தொகுப்புக்கும் நவீன பகுப்பாய்வு வடிவவியலுக்கும் இடையிலான வேறுபாட்டை இனி அத்தியாவசியமாகக் கருதக்கூடாது, ஏனெனில் பொருள்-விஷயம் மற்றும் பகுத்தறிவு முறைகள் இரண்டும் படிப்படியாக ஒரே மாதிரியான வடிவத்தை எடுத்துள்ளன. எனவே உரையில் அவை இரண்டிற்கும் பொதுவான பெயராக ப்ரொஜெக்டிவ் வடிவியல் என்ற சொல்லைத் தேர்வு செய்கிறோம். செயற்கை முறைக்கு விண்வெளி-புலனுணர்வுடன் அதிக தொடர்பு இருந்தாலும், அதன் மூலம் அதன் முதல் எளிய வளர்ச்சிகளுக்கு ஒரு அரிய அழகை வழங்குகிறது, இருப்பினும் விண்வெளி-புலனுணர்வு களம் பகுப்பாய்வு முறைக்கு மூடப்படவில்லை, மேலும் பகுப்பாய்வு வடிவவியலின் சூத்திரங்களை வடிவியல் உறவுகளின் துல்லியமான மற்றும் வெளிப்படையான அறிக்கையாக பார்க்க முடியும். மறுபுறம், நன்கு வடிவமைக்கப்பட்ட பகுப்பாய்வின் அசல் ஆராய்ச்சியின் நன்மை குறைத்து மதிப்பிடப்படக்கூடாது, இது சிந்தனையை முன்கூட்டியே நகர்த்துவதன் காரணமாக ஒரு நன்மை. ஆனால் ஒரு கணிதப் பாடம் உள்ளுணர்வாக தெளிவாகத் தெரியும் வரை அது தீர்ந்துவிட்டதாகக் கருதப்படக்கூடாது என்றும், பகுப்பாய்வின் உதவியுடன் செய்யப்படும் முன்னேற்றம் மிக முக்கியமானதாக இருந்தாலும், முதல் படி மட்டுமே என்றும் எப்போதும் வலியுறுத்தப்பட வேண்டும். யூக்ளிடிய வடிவவியலின் நெருங்கிய கோட்பாட்டு ஆய்வு லம்பேர்ட் நாற்கர மற்றும் சாச்சேரி நாற்கர கட்டுமானத்திற்கு வழிவகுத்தது. இந்த கட்டமைப்புகள் யூக்ளிடியன் அல்லாத வடிவவியலின் புலத்தை அறிமுகப்படுத்தியது, அங்கு யூக்ளிடின் இணையான கோட்பாடு மறுக்கப்படுகிறது. காஸ், போல்யாய் மற்றும் லோபாச்சேவ்ஸ்கி ஆகியோர் சுயாதீனமாக ஹைபர்போலிக் வடிவவியலை உருவாக்கினர், அங்கு இணையான கோடுகள் அவற்றின் பிரிவினையைப் பொறுத்து இணையான கோணத்தைக் கொண்டுள்ளன. இந்த ஆய்வு பாயின்கேர் வட்டு மாதிரியின் மூலம் பரவலாக அணுகக்கூடியதாக மாறியது, அங்கு மோபியஸ் உருமாற்றங்களால் இயக்கங்கள் வழங்கப்படுகின்றன. இதேபோல், காஸின் மாணவரான ரீமான், ரீமானியன் வடிவவியலை உருவாக்கினார், இதில் நீள்வட்ட வடிவியல் ஒரு குறிப்பிட்ட வழக்கு. மற்றொரு உதாரணம் லுட்விக் இம்மானுவேல் மேக்னஸ் முன்வைத்த தலைகீழ் வடிவவியலைப் பற்றியது, இது ஆவியில் செயற்கை என்று கருதப்படலாம். பரஸ்பர பரிமாற்றத்தின் நெருங்கிய தொடர்புடைய செயல்பாடு தளத்தின் பகுப்பாய்வை வெளிப்படுத்துகிறது. பரிமாற்றவியல் மற்றும் கூட்டல் மற்றும் பெருக்கத்தின் கூட்டுறவு போன்ற இயற்கணித கோட்பாடுகள் உண்மையில் வடிவியல் கட்டமைப்புகளில் உள்ள கோடுகளின் நிகழ்வுகளின் விளைவுகளாகும் என்று கார்ல் வான் ஸ்டாட் காட்டினார். டேவிட் ஹில்பர்ட் டெசார்கஸ் அமைப்பு ஒரு சிறப்பு பாத்திரத்தை வகித்தது என்பதைக் காட்டினார். ரூத் மௌஃபாங் மற்றும் அவரது மாணவர்களால் மேலும் வேலை செய்யப்பட்டது. கருத்துக்கள் நிகழ்வு வடிவவியலின் உந்துதல்களில் ஒன்றாகும். இணையான கோடுகள் முதன்மையானவையாக எடுத்துக் கொள்ளப்படும்போது, தொகுப்பு அஃபைன் வடிவவியலை உருவாக்குகிறது. யூக்ளிடிய வடிவியல் ஒரு அஃபைன் மற்றும் மெட்ரிக் வடிவியல் என்றாலும், பொதுவாக அஃபைன் இடைவெளிகள் ஒரு மெட்ரிக் இல்லாமல் இருக்கலாம். இதனால் வழங்கப்படும் கூடுதல் நெகிழ்வுத்தன்மை, அஃபைன் வடிவவியலின் வரலாற்றில் விவாதிக்கப்பட்டபடி, விண்வெளி நேரத்தைப் பற்றிய ஆய்வுக்கு அஃபைன் வடிவவியலை பொருத்தமானதாக ஆக்குகிறது. 1955 ஆம் ஆண்டில் ஹெர்பர்ட் புஸ்மேன் மற்றும் பால் ஜே. கெல்லி ஆகியோர் செயற்கை வடிவவியலுக்கு ஒரு ஏக்கம் கொண்ட குறிப்பை ஒலித்தனர்ஃ தயக்கத்துடன் இருந்தாலும், செயற்கை வடிவவியலின் அழகு புதிய தலைமுறைக்கு அதன் முறையீட்டை இழந்துவிட்டது என்பதை வடிவவியலாளர்கள் ஒப்புக் கொள்ள வேண்டும். காரணங்கள் தெளிவாக உள்ளனஃ வெகு காலத்திற்கு முன்பு செயற்கை வடிவியல் மட்டுமே பகுத்தறிவு கோட்பாடுகளிலிருந்து கண்டிப்பாக முன்னேறிய ஒரே துறையாக இருந்தது, அதேசமயம் இந்த முறையீடு-பல கணித ஆர்வமுள்ள மக்களுக்கு மிகவும் அடிப்படையானது-இப்போது பல துறைகளால் செய்யப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, கல்லூரி ஆய்வுகளில் இப்போது நேரியல் இயற்கணிதம், இடவியல் மற்றும் வரைபடக் கோட்பாடு ஆகியவை அடங்கும், அங்கு பாடம் முதல் கொள்கைகளிலிருந்து உருவாக்கப்படுகிறது, மேலும் முன்மொழிவுகள் அடிப்படை சான்றுகளால் கணக்கிடப்படுகின்றன. செயற்கை வடிவத்தை பகுப்பாய்வு வடிவவியலுடன் மாற்ற வேண்டும் என்று எதிர்பார்ப்பது வடிவியல் உள்ளடக்கத்தை இழக்க வழிவகுக்கிறது. இன்றைய வடிவியல் மாணவர் யூக்ளிட்டின் கோட்பாடுகளைத் தவிர வேறு கோட்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளார்ஃ ஹில்பர்ட்டின் கோட்பாடுகள் மற்றும் டார்ஸ்கியின் கோட்பாடுகளைப் பார்க்கவும். எர்ன்ஸ்ட் கோட்டர் 1901 ஆம் ஆண்டில் "மோங்கே முதல் ஸ்டாட் (1847) வரை செயற்கை வடிவவியலின் வளர்ச்சி" குறித்து ஒரு (ஜெர்மன்) அறிக்கையை வெளியிட்டார்; வடிவியல் கோட்பாடுகளின் செயற்கை வடிவவியலின் செயற்கை ஆதாரங்களைப் பயன்படுத்தும் சான்றுகள் துணை கட்டமைப்புகள் (உதவி கோடுகள் போன்றவை) மற்றும் பக்கங்கள் அல்லது கோணங்களின் சமத்துவம் மற்றும் ஒற்றுமை மற்றும் முக்கோணங்களின் ஒற்றுமை போன்ற கருத்துக்களைப் பயன்படுத்துகின்றன. அத்தகைய சான்றுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள் பட்டாம்பூச்சி தேற்றம், கோண இருமுனை தேற்றம், அப்பல்லோனியஸின் தேற்றம், பிரிட்டிஷ் கொடி தேற்றம், சேவாவின் தேற்றம், சம வட்டங்கள் தேற்றம், வடிவியல் சராசரி தேற்றம், ஹெரானின் சூத்திரம், ஐசோசெலிஸ் முக்கோண தேற்றம், கொசைன்களின் விதி மற்றும் இங்கு இணைக்கப்பட்டுள்ள பிற கட்டுரைகளில் காணப்படுகின்றன. கணக்கீட்டு செயற்கை வடிவியல் கணக்கீட்டு வடிவவியலுடன் இணைந்து, ஒரு கணக்கீட்டு செயற்கை வடிவியல் நிறுவப்பட்டுள்ளது, எடுத்துக்காட்டாக, மேட்ராய்டு கோட்பாட்டுடன் நெருங்கிய தொடர்பைக் கொண்டுள்ளது. செயற்கை வேறுபட்ட வடிவியல் என்பது வேறுபடுத்தக்கூடிய பன்மடங்கு கோட்பாட்டின் அடித்தளங்களுக்கு டோபோஸ் கோட்பாட்டின் பயன்பாடாகும். மேலும் காண்க வடிவவியலின் அடித்தளங்கள் நிகழ்வு வடிவியல் செயற்கை வேறுபட்ட வடிவியல் குறிப்புகள் குறிப்புகள் ஹால்ஸ்டெட், ஜி. பி. (1896) இண்டர்நெட் ஆர்கைவ் ஹால்ஸ்டெட் வழியாக எலிமெண்டரி சின்தடிக் ஜியோமெட்ரி, ஜார்ஜ் புரூஸ் (1906) இன்டர்நெட் ஆர்கைவ் வழியாக சின்தடிக் ப்ரொஜெக்டிவ் ஜியோமெட்ரி. ஹில்பர்ட் & கோன்-வோசன், வடிவியல் மற்றும் கற்பனை. வடிவியல் புலங்கள்