Sylvester–Gallai configuration
வடிவவியலில், ஒரு சில்வெஸ்டர்-கல்லாய் உள்ளமைவு ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் ஸ்பேஸின் புள்ளிகளின் வரையறுக்கப்பட்ட துணைக்குழுவைக் கொண்டுள்ளது, துணைக்குழுவில் உள்ள எந்த இரண்டு புள்ளிகள் வழியாகவும் கோடு குறைந்தபட்சம் துணைக்குழுவின் மற்றொரு புள்ளியைக் கடந்து செல்கிறது. சில்வெஸ்டர்-கல்லாய் கட்டமைப்புகளை ஒரு திட்ட இடத்தின் புள்ளிகளின் துணைக்குழுக்களாக வரையறுப்பதற்குப் பதிலாக, அவை புள்ளிகள் மற்றும் கோடுகளின் சுருக்க நிகழ்வு கட்டமைப்புகள் என்று வரையறுக்கப்படலாம், ஒவ்வொரு ஜோடி புள்ளிகளுக்கும், கட்டமைப்பில் சரியாக ஒரு வரி உள்ளது மற்றும் ஒவ்வொரு வரியும் குறைந்தது மூன்று புள்ளிகளைக் கொண்டுள்ளது. இந்த பொதுவான வடிவத்தில் அவை சில்வெஸ்டர்-கல்லாய் வடிவமைப்புகள் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன. ஒரு நெருக்கமான தொடர்புடைய கருத்து ஒரு சில்வெஸ்டர் மேட்ராய்டு ஆகும், இது இரண்டு புள்ளி கோடுகள் இல்லாத சில்வெஸ்டர்-கல்லாய் உள்ளமைவின் அதே பண்பு கொண்ட ஒரு மேட்ராய்டு ஆகும். உண்மையான மற்றும் சிக்கலான உட்பொதிப்பு யூக்ளிடியன் தளத்தில், உண்மையான ப்ரொஜெக்டிவ் பிளேன், உயர் பரிமாண யூக்ளிடியன் இடைவெளிகள் அல்லது உண்மையான ப்ரொஜெக்டிவ் இடைவெளிகள், அல்லது ஒரு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட புலத்தில் ஆயத்தொலைவுகளைக் கொண்ட இடைவெளிகள், சில்வெஸ்டர்-கல்லாய் தேற்றம் மட்டுமே சாத்தியமான சில்வெஸ்டர்-கல்லாய் உள்ளமைவுகள் ஒரு பரிமாணம் என்பதைக் காட்டுகிறதுஃ அவை மூன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட கொலினியர் புள்ளிகளைக் கொண்டுள்ளன. சிக்கலான-எண் ஆயத்தொகுதிகளைக் கொண்ட இடைவெளிகளில், ஒவ்வொரு சில்வெஸ்டர்-கல்லாய் உள்ளமைவும் அதிகபட்சம் இரு பரிமாணமாக இருக்கிறதா என்று கேட்க இந்த உண்மையாலும் ஹெஸ்ஸி உள்ளமைவின் உதாரணத்தாலும் ஈர்க்கப்பட்டது. கேள்வியை மீண்டும் கேட்டான். செர்ரேயின் கேள்விக்கு உறுதியுடன் பதிலளித்தார்; கெல்லியின் ஆதாரத்தை எளிமைப்படுத்தினார், மேலும் குவாட்டர்னியன் ஆயத்தொகுதிகளைக் கொண்ட இடைவெளிகளில், அனைத்து சில்வெஸ்டர்-கல்லாய் உள்ளமைவுகளும் முப்பரிமாண துணை இடத்திற்குள் இருக்க வேண்டும் என்பதை ஒத்த முறையில் நிரூபித்தார். திட்டவட்டமான உள்ளமைவுகள் சில்வெஸ்டர்-கல்லாய் உள்ளமைவுகளாக இருக்கும் திட்டவட்டமான உள்ளமைவுகளை ஆய்வு செய்தன; ஒரு திட்டவட்டமான உள்ளமைவுக்கு ஒவ்வொரு இரண்டு புள்ளிகளும் அவற்றின் வழியாக சம எண்ணிக்கையிலான கோடுகளைக் கொண்டிருக்க வேண்டும் மற்றும் ஒவ்வொரு இரண்டு கோடுகளும் சம எண்ணிக்கையிலான புள்ளிகளைக் கொண்டிருக்க வேண்டும் என்ற கூடுதல் தேவை உள்ளது. சில்வெஸ்டர்-கல்லாய் உள்ளமைவுகளில், எடுத்துக்காட்டாக, வரையறுக்கப்பட்ட புலங்களில் வரையறுக்கப்பட்ட எந்தவொரு பரிமாணத்தின் அஃபைன் மற்றும் ப்ரொஜெக்டிவ் இடைவெளிகள் அடங்கும், மேலும் இவை அனைத்தும் ப்ரொஜெக்டிவ் உள்ளமைவுகளாகும். ஒவ்வொரு ப்ரொஜெக்டிவ் உள்ளமைவுக்கும் ஒரு குறியீட்டை (பா எல்பி) கொடுக்கலாம், இதில் p என்பது புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை, l என்பது கோடுகளின் எண்ணிக்கை, ஒரு புள்ளிக்கு கோடுகளின் எண்ணிக்கை மற்றும் b என்பது ஒரு வரிக்கு புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை, இது பா = எல்பி சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்துகிறது. இந்த அளவுருக்கள் ஒரு சில்வெஸ்டர்-கல்லாய் வடிவமைப்பை வரையறுக்க, b> 2, அந்த p <l (ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் இடத்தில் உள்ள எந்தவொரு கொலினியர் அல்லாத புள்ளிகளுக்கும் குறைந்தபட்சம் பல கோடுகளை புள்ளிகளாக தீர்மானிக்கிறது) மற்றும் அவை கூடுதல் சமன்பாட்டிற்கும் கீழ்ப்படிய வேண்டும் என்பதை மோட்ஸ்கின் கவனித்தார். சில்வெஸ்டர்-கல்லாய் வடிவமைப்புகள், அவை திட்டவட்டமான உள்ளமைவுகளாகும், அவை ST (2, b, p) அளவுருக்கள் கொண்ட ஸ்டெய்னர் அமைப்புகளைப் போலவே உள்ளன. மோட்ஸ்கின் இந்த வகையின் சிறிய உள்ளமைவுகளின் பல எடுத்துக்காட்டுகளை பட்டியலிட்டார்ஃ 7373, ஃபானோ தளத்தின் அளவுருக்கள், இரண்டு கூறுகளின் புலத்தின் மீது உள்ள ப்ரொஜெக்டிவ் தளம். 94123, ஹெஸ்ஸி கட்டமைப்பின் அளவுருக்கள். இது மூன்று-உறுப்பு புலத்தின் மீது உள்ள அஃபைன் தளமாகும், மேலும் ஒரு நீள்வட்ட வளைவின் ஊடுருவல் புள்ளிகளின் தொகுப்பாக சிக்கலான-எண் ஆயத்தொகுதிகளுடன் உணர முடியும். 134134, மூன்று உறுப்பு புலத்தின் மீது உள்ள ப்ரொஜெக்டிவ் பிளேனின் அளவுருக்கள். 136263, இரண்டு 13-உறுப்பு ஸ்டெய்னர் மூன்று அமைப்புகளின் அளவுருக்கள். 157353, இரு உறுப்பு புலத்தின் மீது ஒரு முப்பரிமாண திட்ட இடத்தின் அளவுருக்கள் மற்றும் 79 பிற ஸ்டெய்னர் மூன்று அமைப்புகள் 165204, நான்கு உறுப்பு புலத்தின் மீது அஃபைன் தளத்தின் அளவுருக்கள். 215215, நான்கு-உறுப்பு புலத்தின் மீது உள்ள ப்ரொஜெக்டிவ் பிளேனின் அளவுருக்கள். 256305, ஐந்து உறுப்பு புலத்தின் மீது அஃபைன் தளத்தின் அளவுருக்கள். சில்வெஸ்டர்-கல்லாய் வடிவமைப்புகளின் மாற்று வடிவியல் பிரதிநிதித்துவங்களை ஆய்வு செய்தார், இதில் வடிவமைப்பின் புள்ளிகள் நான்கு பரிமாண இடைவெளியில் வளைந்த கோடுகளால் குறிப்பிடப்படுகின்றன, மேலும் வடிவமைப்பின் ஒவ்வொரு வரியும் ஒரு ஹைப்பர்பிளேனால் குறிக்கப்படுகிறது. ஏழு-புள்ளி மற்றும் 13-புள்ளி ப்ரொஜெக்டிவ் பிளேன்கள் இரண்டும் இந்த வகையின் பிரதிநிதித்துவங்களைக் கொண்டுள்ளன. மற்ற எடுத்துக்காட்டுகள் பொதுவாக அனைத்து கொலினியர் அல்லாத சில்வெஸ்டர்-கல்லாய் உள்ளமைவுகளையும் சில்வெஸ்டர்-கல்லாய் வடிவமைப்புகளையும் அதிகபட்சம் 14 புள்ளிகளில் வகைப்படுத்துகின்றன. அவை பத்து புள்ளிகளுடன் ஒரு தனித்துவமான வடிவமைப்பை உள்ளடக்கியது; அதில், சில புள்ளிகள் மூன்று நான்கு-புள்ளி கோடுகளில் உள்ளன, மற்ற புள்ளிகள் மூன்று மூன்று-புள்ளி கோடுகள் மற்றும் ஒரு நான்கு-புள்ளி கோட்டைச் சேர்ந்தவை. ஒரு தனித்துவமான 11-புள்ளி சில்வெஸ்டர்-கல்லாய் வடிவமைப்பு, இரண்டு வெவ்வேறு 12-புள்ளி வடிவமைப்புகள் மற்றும் நான்கு ஒழுங்கற்ற 13-புள்ளி வடிவமைப்புகள் உள்ளன. 14 புள்ளிகளுக்கு, மீண்டும் ஒரே ஒரு சாத்தியமான சில்வெஸ்டர்-கல்லாய் வடிவமைப்பு மட்டுமே இருப்பதை அவர்கள் கண்டறிந்தனர். குறிப்புகள். . . . . . கட்டமைப்புகள் (வடிவியல்)