Topological rigidity
இடவியலின் கணிதத் துறையில், M க்கு சமமான ஒவ்வொரு பன்மடங்கு ஒத்த வடிவமும் M க்கு ஒத்த வடிவமாக இருந்தால், ஒரு பன்மடங்கு M இடவியல் ரீதியாக கடினமானது என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஹோமியோமார்பிக் அல்லது டிஃபியோமார்பிக். ஒரு உருவகத்தை வெளிப்படையாக உருவாக்குவது கிட்டத்தட்ட எப்போதும் நடைமுறைக்கு மாறானது. ஒன்று அல்லது இரண்டு இடைவெளிகளிலும் (பன்மடங்கு) நாம் மேலும் நிபந்தனை விதித்தால், விரும்பிய உருவவியல் இருக்க வேண்டும் என்பதைக் காண்பிப்பதற்காக இந்த கூடுதல் கட்டமைப்பை நாம் பயன்படுத்தலாம். கடினத்தன்மை தேற்றம் என்பது இரண்டு பன்மடங்கு (பொதுவாக ஒரு ஹோமோடாபி சமநிலை) இடையே மிகவும் பலவீனமான சமநிலை வலுவான சமநிலை ஹோமியோமார்பிசம், டிஃபியோமார்பிசம் அல்லது ஐசோமெட்ரி இருப்பைக் குறிக்கிறது. வரையறை. ஒரு மூடிய இடவியல் பன்மடங்கு M என்பது இடவியல் கடினமானது என்று அழைக்கப்படுகிறது, ஏதேனும் ஒரே மாதிரியான சமன்பாடு f: N → M மூலமாக சில பன்மடங்கு N மற்றும் இலக்காக M ஒரு ஹோமியோமார்பிசத்திற்கு ஒரே மாதிரியாக இருந்தால். உதாரணம் 1. மூடிய 2-மேனிஃபோல்ட்ஸ் M மற்றும் N ஆகியவை ஒரே மாதிரியாக சமமாக இருந்தால், அவை ஹோமியோமார்பிக் ஆகும். மேலும், மூடிய மேற்பரப்புகளின் எந்த ஒரே மாதிரியான சமன்பாடும் ஒரு ஹோமியோமார்பிசத்திற்கு சிதைகிறது. உதாரணம் 2. ஒரு மூடிய பன்மடங்கு Mn (n § 3) Sn க்கு சமமாக இருந்தால், Mn என்பது Sn க்கு ஒத்த வடிவமாகும். வடிவவியலில் விறைப்புத்தன்மை தேற்றம் வரையறை. தட்டையான-ரீமேனியன் பன்மடங்கு ஒரு டிப்ஃபியோமார்பிசம் புவியியலை புவியியலுக்கு கொண்டு செல்லும் என்றால் அது அஃபைன் என்று கூறப்படுகிறது. தேற்றம் (Bieberbach) f: M → N என்பது தட்டையான மூடிய இணைக்கப்பட்ட ரீமானியன் பன்மடங்கு இடையேயான ஒரு ஹோமோடோபி சமநிலையாக இருந்தால், f என்பது ஒரு அஃபைன் ஹோமியோமார்பிசத்திற்கு ஹோமோடோபிக் ஆகும். மோஸ்டோவின் கடினத்தன்மை தேற்றம் தேற்றம் M மற்றும் N ஆகியவை சுருக்கமாக இருக்கட்டும், உள்ளூரில் சமச்சீர் ரீமானியன் பன்மடங்கு எல்லா இடங்களிலும் நேர்மறை அல்லாத வளைவு இல்லாத மூடிய ஒன்று அல்லது இரு பரிமாண ஜியோடெசிக் துணைப்பகுதி இல்லை, அவை உள்ளூரில் நேரடி காரணிகளாக உள்ளன. f: M → N ஒரு ஹோமோடோபி சமநிலையாக இருந்தால், f ஒரு ஐசோமெட்ரிக்கு ஹோமோடோபிக் ஆகும். தேற்றம் (ஹைபர்போலிக் n-மேனிஃபோல்டுகளுக்கான மோஸ்டோவின் தேற்றம், n ≤ 3): M மற்றும் N முழுமையான ஹைபர்போலிக் n-மேனிஃபோல்டுகளாக இருந்தால், வரையறுக்கப்பட்ட அளவுடன் n ≤ 3 மற்றும் f: M → N ஒரு ஹோமோடோபி சமநிலையாகும், பின்னர் f ஒரு ஐசோமெட்ரிக்கு ஹோமோடோபிக் ஆகும். இந்த முடிவுகள் ஜார்ஜ் மோஸ்டோவின் பெயரால் அழைக்கப்படுகின்றன. இயற்கணித வடிவம் ஹைபர்போலிக் n-ஸ்பேஸ் H இன் ஐசோமெட்ரி குழுவின் தனித்துவமான துணைக்குழுக்களாக இருக்கட்டும், அங்கு n ≤ 3, அதன் மேற்கோள்கள் H/Π மற்றும் H/Π வரையறுக்கப்பட்ட அளவைக் கொண்டுள்ளன. தனித்தனி குழுக்களாக ஐசோமார்பிக் ஆக இருந்தால், அவை இணைந்தவை. குறிப்புகள் (1) இரு பரிமாண விஷயத்தில் குறைந்தபட்சம் இரண்டு பேரினத்தின் எந்த பன்மடங்கு ஒரு ஹைபர்போலிக் கட்டமைப்பைக் கொண்டுள்ளது. மோஸ்டோவின் கடினத்தன்மை தேற்றம் இந்த விஷயத்தில் பொருந்தாது. உண்மையில், அத்தகைய பன்மடங்கு மீது பல ஹைபர்போலிக் கட்டமைப்புகள் உள்ளன; அத்தகைய ஒவ்வொரு கட்டமைப்பும் டீச்முல்லர் இடத்தில் ஒரு புள்ளிக்கு ஒத்திருக்கிறது. (2) மறுபுறம், எம் மற்றும் என் ஆகியவை வரையறுக்கப்பட்ட அளவின் 2-மேனிஃபோல்டுகளாக இருந்தால், அவற்றின் அடிப்படை குழுக்கள் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும்போது அவை சரியாக ஹோமியோமார்பிக் என்பதைக் காண்பிப்பது எளிது. பயன்பாடு ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட-தொகுதி ஹைபர்போலிக் n-மேனிஃபோல்ட் M இன் ஐசோமெட்ரிகளின் குழு (n ≤ 3 க்கு) இறுதியாக உருவாக்கப்படுகிறது மற்றும் π1 (M) க்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும். குறிப்புகள் இடவியல் பன்மடங்கு வரைபடங்கள் ஹோமோடோபி கோட்பாடு