Cartier duality
கணிதத்தில், கார்டியர் டூயலிட்டி என்பது பரிமாற்றக் குழு திட்டங்களுக்கான பொண்ட்ரியாகின் டூயலிட்டியின் ஒப்புமை ஆகும். மூலம் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. எழுத்துக்களைப் பயன்படுத்தி வரையறை எந்தவொரு வரையறுக்கப்பட்ட தட்டையான பரிமாற்றக் குழு திட்டமான G ஐ S க்கு மேல் கொடுத்தால், அதன் கார்டியர் டூயல் என்பது எழுத்துக்களின் குழுவாகும், இது எந்தவொரு S-திட்டத்தையும் T ஐ அடிப்படை மாற்றத்திலிருந்து குழு திட்ட ஹோமோமார்பிசங்களின் அபெலியன் குழுவிற்கு அழைத்துச் செல்லும் செயல்பாட்டாளர் மற்றும் S-திட்டங்களின் எந்த வரைபடத்தையும் எழுத்துக் குழுக்களின் நியமன வரைபடத்திற்கு எடுத்துச் செல்லும் செயல்பாட்டாளர் என்று வரையறுக்கப்படுகிறது. இந்த செயல்பாட்டாளர் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட தட்டையான எஸ்-குழு திட்டத்தால் பிரதிநிதித்துவப்படுத்தப்படுகிறார், மேலும் கார்டியர் டூயலிட்டி வரையறுக்கப்பட்ட தட்டையான பரிமாற்ற எஸ்-குழு திட்டங்களின் வகையிலிருந்து ஒரு சேர்க்கை தனித்துவமான எதிர்ப்பை உருவாக்குகிறது. G ஒரு நிலையான பரிமாற்றக் குழு திட்டமாக இருந்தால், அதன் கார்டியர் டூயல் என்பது மூலைவிட்டக் குழு D (G), மற்றும் நேர்மாறாகவும் இருக்கும். எஸ் அஃபைன் என்றால், டூயலிட்டி ஃபங்க்டர் செயல்பாடுகளின் ஹோப்ஃப் ஆல்ஜிப்ராக்களின் டூயலிட்டி மூலம் வழங்கப்படுகிறது. ஹாப்ஃப் ஆல்ஜிப்ராக்களைப் பயன்படுத்தி வரையறை ஒரு புலத்தின் மீது ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாற்றக் குழு திட்டம் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண பரிமாற்றக் கூட்டு பரிமாற்ற ஹாப்ஃப் இயற்கணிதத்துடன் ஒத்திருக்கிறது. கார்டியர் டூயலிட்டி என்பது ஹோப்ஃப் இயற்கணிதத்தின் டூயலை எடுத்துக்கொள்வதோடு, பெருக்கம் மற்றும் பெருக்கம் ஆகியவற்றைப் பரிமாறிக்கொள்கிறது. கார்டியர் டூயலிட்டியின் பொதுவான நிகழ்வுகள் கார்டியர் டூயலின் வரையறை மிகவும் பொதுவான சூழ்நிலைகளுக்கு பயனுள்ளதாக விரிவடைகிறது, அங்கு திட்டங்களில் ஏற்படும் செயல்பாட்டாளர் இனி ஒரு குழு திட்டமாக குறிப்பிடப்படுவதில்லை. பொதுவான நிகழ்வுகளில் எஸ் மீது உள்ள பரிமாற்றக் குழுக்களின் எஃப். பி. பி. எஃப் உறைகள் மற்றும் அதன் வளாகங்கள் அடங்கும். நல்ல வரம்பு நடத்தை கொண்ட வகைகளுடன் ஒருவர் பணியாற்ற விரும்பும் போது இந்த பொதுவான வடிவியல் பொருள்கள் பயனுள்ளதாக இருக்கும். ஒரு புலத்தின் மீது பரிமாற்ற இயற்கணித குழுக்கள் போன்ற இடைநிலை சுருக்க நிகழ்வுகள் உள்ளன, அங்கு கார்டியர் டூயல்டி கம்யூட்டேடிவ் அஃபைன் முறையான குழுக்களுடன் ஒரு முரண்பாட்டைக் கொடுக்கிறது, எனவே ஜி சேர்க்கைக் குழுவாக இருந்தால், அதன் கார்டியர் டூயல் பெருக்க முறையான குழுவாகும், மேலும் ஜி ஒரு டோரஸ் என்றால், அதன் கார்டியர் டூயல் அடேல் மற்றும் முறிவு இல்லாதது. டோரியின் வளையக் குழுக்களுக்கு, கார்டியர் டூயலிட்டி உள்ளூர் வடிவியல் வகுப்பு புலக் கோட்பாட்டில் கட்டுப்படுத்தும் சின்னத்தை வரையறுக்கிறது. ஜெரார்ட் லமோன் இந்த சமன்பாடுகளில் பலவற்றிற்கு நிபுணத்துவம் பெற்ற 1-உந்துதல்களில் அரை-ஒத்திசைவான தொகுதிகளுக்கான ஒரு சீஃப்-கோட்பாட்டு ஃபோரியர் உருமாற்றத்தை அறிமுகப்படுத்தினார். எடுத்துக்காட்டுகள் n வரிசையின் சுழற்சிக் குழுவின் கார்டியர் டூயல் என்பது ஒற்றுமையின் n-வது வேர்கள் ஆகும். சிறப்பியல்பு p இன் புலத்தின் மீது குழு திட்டம் (pth சக்திகளை எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம் தூண்டப்பட்ட சேர்க்கைக் குழுவின் எண்டோமார்பிசத்தின் கர்னல்) அதன் சொந்த கார்டியர் டூயல் ஆகும். குறிப்புகள் இயற்கணித குழுக்கள்