Exercise (mathematics)
ஒரு கணிதப் பயிற்சி என்பது இயற்கணிதம் அல்லது பிற கணிதத்தின் வழக்கமான பயன்பாடு ஆகும். கணித ஆசிரியர்கள் தங்கள் மாணவர்களின் திறன்களை வளர்க்க கணித பயிற்சிகளை ஒதுக்குகிறார்கள். ஆரம்பகால பயிற்சிகள் கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல் மற்றும் முழு எண்களின் பிரிவு ஆகியவற்றைக் கையாள்கின்றன. பள்ளியில் பயிற்சிகளின் விரிவான படிப்புகள் அத்தகைய எண்கணிதத்தை விகிதமுறு எண்களுக்கு விரிவுபடுத்துகின்றன. வடிவவியலுக்கான பல்வேறு அணுகுமுறைகள் கோணங்கள், பிரிவுகள் மற்றும் முக்கோணங்களின் உறவுகளை அடிப்படையாகக் கொண்ட பயிற்சிகளைக் கொண்டுள்ளன. முக்கோணவியல் என்ற தலைப்பு அதன் பல பயிற்சிகளை முக்கோணவியல் அடையாளங்களிலிருந்து பெறுகிறது. கல்லூரியில் கணிதப் பயிற்சிகள் பெரும்பாலும் ஒரு உண்மையான மாறியின் செயல்பாடுகள் அல்லது கோட்பாடுகளின் பயன்பாட்டைப் பொறுத்தது. கால்குலஸின் நிலையான பயிற்சிகள் குறிப்பிட்ட செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்கள் மற்றும் ஒருங்கிணைப்புகளைக் கண்டுபிடிப்பதை உள்ளடக்கியது. வழக்கமாக பயிற்றுவிப்பாளர்கள் வேலை செய்யப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகளுடன் மாணவர்களைத் தயார்படுத்துகிறார்கள்ஃ உடற்பயிற்சி குறிப்பிடப்படுகிறது, பின்னர் ஒரு மாதிரி பதில் வழங்கப்படுகிறது. மாணவர்கள் தாங்களாகவே உடற்பயிற்சிகளை முயற்சிக்கத் தயாராவதற்கு முன்பு பெரும்பாலும் பல வேலை செய்யப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள் நிரூபிக்கப்படுகின்றன. ஷாமின் அவுட்லைன்ஸ் போன்ற சில நூல்கள், ஒரு கணிதத் தலைப்பின் தத்துவார்த்த சிகிச்சையை விட வேலை செய்யப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகளில் கவனம் செலுத்துகின்றன. தொடக்கப்பள்ளியில் மாணவர்கள் ஒற்றை இலக்க எண்கணித பயிற்சிகளுடன் தொடங்குகிறார்கள். பின்னர் பெரும்பாலான பயிற்சிகள் குறைந்தது இரண்டு இலக்கங்களை உள்ளடக்கியது. அடிப்படை இயற்கணிதத்தில் ஒரு பொதுவான பயிற்சி பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் காரணிமயமாக்கலுக்கு அழைப்பு விடுக்கிறது. மற்றொரு பயிற்சி சதுரத்தை இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவையில் முடிப்பதாகும். செயற்கை முறையில் உருவாக்கப்பட்ட சொல் சிக்கல் என்பது கணிதத்தை பொருத்தமானதாக வைத்திருக்க விரும்பும் ஒரு வகை பயிற்சியாகும். ஸ்டீபன் லீகாக் இந்த வகையை விவரித்தார்ஃ தனது கலையின் முதல் நான்கு விதிகளில் தேர்ச்சி பெற்று, தொகைகள் மற்றும் பின்னங்களுடன் வெற்றிகரமாக போராடிய எண்கணித மாணவர், சிக்கல்கள் என்று அழைக்கப்படும் இடைவிடாத கேள்விகளின் விரிவாக்கத்தை எதிர்கொள்கிறார். இவை சாகச மற்றும் தொழில்துறையின் சிறுகதைகள், இறுதியில் தவிர்க்கப்பட்டு, ஒரு வலுவான குடும்ப ஒற்றுமையை காட்டிக் கொடுத்தாலும், காதல் ஒரு குறிப்பிட்ட உறுப்பு இல்லாமல் இல்லை. ஒரு பயிற்சிக்கும் கணித சிக்கலுக்கும் இடையிலான வேறுபாட்டை ஆலன் எச். ஷோன்ஃபீல்ட் உருவாக்கினார்ஃ மாணவர்கள் பொருத்தமான பாடத்தில் தேர்ச்சி பெற வேண்டும், அதற்கு பயிற்சிகள் பொருத்தமானவை. ஆனால் மாணவர்கள் தங்கள் வகுப்புகளில் பார்க்கும் ஒரே வகையான பிரச்சினைகள் ரோட் பயிற்சிகள் மட்டுமே என்றால், நாங்கள் மாணவர்களுக்கு கடுமையான தீங்கு செய்கிறோம். அவர் சவால்களை அமைப்பதை ஆதரித்தார்ஃ "உண்மையான பிரச்சினைகள்" மூலம். மாணவருக்கு நேர்மையான சவாலாக இருக்கும் கணிதப் பணிகளை நான் குறிக்கிறேன், மேலும் ஒரு தீர்வைப் பெறுவதற்கு மாணவர் வேலை செய்ய வேண்டும். மார்வின் பிட்டிங்கர் தனது பாடப்புத்தகத்தின் இரண்டாவது பதிப்பைத் தயாரித்தபோது இதேபோன்ற உணர்வை வெளிப்படுத்தினார்ஃ பயனர்களின் கருத்துக்களுக்கு பதிலளிக்கும் விதமாக, ஆசிரியர்கள் பாடத்தின் உடனடி நோக்கங்களைப் பற்றிய புரிதலைத் தவிர மாணவருக்கு ஏதாவது தேவைப்படும் பயிற்சிகளைச் சேர்த்துள்ளனர், ஆனால் அவை மிகவும் சவாலானவை அல்ல. ஒவ்வொரு மாணவருக்கும் அருகிலுள்ள வளர்ச்சியின் மண்டலம், அல்லது மாணவர்களின் குழு, பயிற்சிகளை சவால் செய்யும் கடினமான மட்டத்தில் அமைக்கிறது, ஆனால் அவர்களை விரக்தியடையச் செய்யாது. ஒரு கால்குலஸ் பாடப்புத்தகத்தின் முன்னுரையில் உள்ள சில கருத்துக்கள் புத்தகத்தில் பயிற்சிகளின் மைய இடத்தைக் காட்டுகின்றனஃ பயிற்சிகள் உரையின் நான்கில் ஒரு பங்கைக் கொண்டுள்ளன-இது எங்கள் கருத்துப்படி உரையின் மிக முக்கியமான பகுதியாகும். . ஒவ்வொரு அத்தியாயத்தின் முடிவிலும் துணை பயிற்சிகள் மற்ற உடற்பயிற்சி தொகுப்புகளை விரிவுபடுத்துகின்றன மற்றும் முந்தைய அத்தியாயங்களிலிருந்து திறன்கள் தேவைப்படும் ஒட்டுமொத்த பயிற்சிகளை வழங்குகின்றன. இந்த உரையில் "பயன்பாடுகளில் செயல்பாடுகள் மற்றும் வரைபடங்கள்" (Ch 0.6) அடங்கும், இது சொல் சிக்கல்களுக்கான பதினான்கு பக்கங்கள் தயாரிப்பாகும். வரையறுக்கப்பட்ட துறைகள் குறித்த ஒரு புத்தகத்தின் ஆசிரியர்கள் தங்கள் பயிற்சிகளை சுதந்திரமாகத் தேர்ந்தெடுத்தனர்ஃ ஒரு பாடப்புத்தகமாக இந்த புத்தகத்தின் கவர்ச்சியை மேம்படுத்துவதற்காக, உரையில் பொருத்தமான புள்ளிகளில் பயிற்சி செய்யப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகளைச் சேர்த்துள்ளோம், மேலும் 1 முதல் 9 அத்தியாயங்களுக்கான பயிற்சிகளின் பட்டியல்களையும் சேர்த்துள்ளோம். இந்த பயிற்சிகள் வழக்கமான சிக்கல்கள் முதல் முக்கிய கோட்பாடுகளின் மாற்று சான்றுகள் வரை உள்ளன, ஆனால் உரையில் உள்ளடக்கப்பட்டுள்ளவற்றிற்கு அப்பால் உள்ள பொருட்களையும் கொண்டுள்ளன. உடற்பயிற்சி கணித மொழியை அணுகுவதை எவ்வாறு எளிதாக்குகிறது என்பதை ஜே. சி. மேக்ஸ்வெல் விளக்கினார்ஃ கணிதவியலாளர்களாகிய நாம் எண் அல்லது அளவின் சின்னங்களில் சில மன செயல்பாடுகளைச் செய்கிறோம், மேலும், படிப்படியாக மிகவும் எளிமையான செயல்பாடுகளிலிருந்து மிகவும் சிக்கலான செயல்பாடுகளுக்குச் செல்வதன் மூலம், ஒரே விஷயத்தை பல வடிவங்களில் வெளிப்படுத்த முடிகிறது. இந்த வெவ்வேறு வடிவங்களின் சமநிலை, சுய-தெளிவான கோட்பாடுகளின் அவசியமான விளைவு என்றாலும், எப்போதும் நம் மனதிற்கு, சுயமாக தெளிவாக இல்லை; ஆனால் நீண்ட பயிற்சியின் மூலம் இந்த வடிவங்களில் பலவற்றை நன்கு அறிந்திருக்கும் கணிதவியலாளர், ஒன்றிலிருந்து மற்றொன்றுக்கு வழிவகுக்கும் செயல்முறைகளில் நிபுணராக மாறிவிட்டார், பெரும்பாலும் ஒரு குழப்பமான வெளிப்பாட்டை மற்றொன்றாக மாற்ற முடியும், இது அதன் அர்த்தத்தை மிகவும் புரிந்துகொள்ளக்கூடிய மொழியில் விளக்குகிறது. பல்வேறு கல்லூரிகளில் உள்ள தனிப்பட்ட பயிற்றுவிப்பாளர்கள் தங்கள் கணிதப் படிப்புகளின் ஒரு பகுதியாக பயிற்சிகளைப் பயன்படுத்துகின்றனர். பல்கலைக்கழகங்களில் சிக்கலைத் தீர்ப்பது குறித்து ஆய்வு செய்த ஸ்கோன்ஃபீல்ட் பின்வருமாறு குறிப்பிட்டார்ஃ கணிதப் பிரதானிகளுக்கான உயர் பிரிவு சலுகைகள், இதில் பெரும்பாலான மாணவர்கள் தங்கள் தனிப்பட்ட பயிற்றுவிப்பாளர்களால் தொகுக்கப்பட்ட சிக்கல்களின் தொகுப்புகளில் பணிபுரிந்தனர். இத்தகைய படிப்புகளில் குறிப்பிட்ட ஹூரிஸ்டிக்ஸ் கற்பிக்க முயற்சிக்காமல், செய்வதன் மூலம் கற்றுக்கொள்வதற்கு முக்கியத்துவம் அளிக்கப்பட்டதுஃ மாணவர்கள் நிறைய சிக்கல்களைச் செய்தனர், ஏனெனில் (அத்தகைய படிப்புகளின் பின்னணியில் உள்ள மறைமுகமான அறிவுறுத்தல் மாதிரியின் படி) ஒருவர் கணிதத்தில் சிறப்பாக செயல்படுகிறார். இத்தகைய உடற்பயிற்சி சேகரிப்புகள் பயிற்றுவிப்பாளருக்கும் அவரது நிறுவனத்திற்கும் சொந்தமானதாக இருக்கலாம். உடற்பயிற்சி தொகுப்புகளின் மதிப்புக்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டாக, டோரு குமோனின் சாதனை மற்றும் அவரது குமோன் முறையைக் கவனியுங்கள். அவரது திட்டத்தில், ஒரு மாணவர் ஒவ்வொரு நிலை பயிற்சியிலும் தேர்ச்சி பெறுவதற்கு முன்பு தொடரவில்லை. ரஷ்ய கணிதப் பள்ளியில், மாணவர்கள் முதல் வகுப்பிலேயே பல படி சிக்கல்களைத் தொடங்குகிறார்கள், தீர்வை நோக்கி முன்னேற முந்தைய முடிவுகளை உருவாக்கக் கற்றுக்கொள்கிறார்கள். 1960 களில், கணித பயிற்சிகளின் தொகுப்புகள் ரஷ்யாவிலிருந்து மொழிபெயர்க்கப்பட்டு டபிள்யூ. எச். ஃப்ரீமேன் அண்ட் கம்பெனிஃ தி யு. எஸ். எஸ். ஆர் ஒலிம்பியாட் சிக்கல் புத்தகம் (1962), உயர் இயற்கணிதத்தில் சிக்கல்கள் (1965), மற்றும் வேறுபட்ட சமன்பாடுகளில் சிக்கல்கள் (1963) ஆகியவற்றால் வெளியிடப்பட்டன. சீனாவில், பண்டைய காலங்களிலிருந்து எண்களைக் குறிக்க எண்ணும் கம்பிகள் பயன்படுத்தப்பட்டன, மேலும் எண்கணிதம் கம்பி கால்குலஸ் மற்றும் பின்னர் சுவான்பான் மூலம் நிறைவேற்றப்பட்டது. எண்கள் மற்றும் கணக்கீடு பற்றிய புத்தகம் மற்றும் கணிதக் கலை குறித்த ஒன்பது அத்தியாயங்கள் ஆகியவை நேரியல் இயற்கணிதத்தின் எடுத்துக்காட்டுகளாகும். சுமார் 980 ஆம் ஆண்டில் அல்-சிஜ்ஜி தனது வேஸ் ஆஃப் மேக்கிங் ஈஸி தி டெரிவேஷன் ஆஃப் ஜியோமெட்ரிக்கல் ஃபிகர்ஸ் என்ற நூலை எழுதினார், இது 1996 ஆம் ஆண்டில் ஜான் ஹோஜென்டிஜ்க் என்பவரால் மொழிபெயர்க்கப்பட்டு வெளியிடப்பட்டது. ஒரு அரபு மொழி பயிற்சிகளின் தொகுப்புக்கு ஸ்பானிஷ் மொழிபெயர்ப்பு காம்பென்டியோ டி அல்ஜிப்ரா டி அபென்பெடர் என்று வழங்கப்பட்டது மற்றும் நேச்சர் இல் மதிப்பாய்வு செய்யப்பட்டது. ராபர்ட் ரெக்கார்டே முதன்முதலில் 1543 இல் தி கிரவுண்ட் ஆஃப் ஆர்ட்ஸை வெளியிட்டார். 1900 க்கு முன்னர் ஐரோப்பாவில், வரைகலை முன்னோக்கு அறிவியல் வடிவியல் பயிற்சிகளை வடிவமைத்தது. எடுத்துக்காட்டாக, 1719 ஆம் ஆண்டில் ப்ரூக் டெய்லர் லினியர் பர்ஸ்பெக்டிவ் புதிய கோட்பாடுகள் [வாசகர்] இல் எழுதினார், இந்த கோட்பாடுகள் எவ்வளவு விரிவானவை என்பதைக் கவனிப்பதில் அதிக மகிழ்ச்சியைக் காண்பார், இந்த கலையில் அவர் தன்னைப் பயன்படுத்திக் கொள்ளும்போது, அவர் தானே வடிவமைக்கும் குறிப்பிட்ட நிகழ்வுகளுக்கு அவற்றைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம். டெய்லர் தொடர்ந்தார். எந்தவொரு கலையையும் கற்றுக்கொள்வதற்கான உண்மையான மற்றும் சிறந்த வழி, மற்றொரு நபரால் செய்யப்பட்ட பல எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்பது அல்ல; ஆனால் அதன் கோட்பாடுகளில் முதலில் தன்னைத் தானே வைத்துக்கொள்வது, பின்னர் அவற்றை பழக்கப்படுத்திக் கொள்வது, நடைமுறையில் தன்னைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம். பள்ளிகளில் எழுத்துப் பலகைகளைப் பயன்படுத்துவது பயிற்சிகளுக்கான ஆரம்ப வடிவத்தை வழங்கியது. எழுத்துத் தேர்வுகள் மற்றும் பேனா மற்றும் காகிதத்தின் அடிப்படையில் படிப்பு அறிமுகப்படுத்தப்பட்டதைத் தொடர்ந்து உடற்பயிற்சி திட்டங்களின் வளர்ச்சி ஏற்பட்டது. எகோல் பாலிடெக்னிக் நுழைவுத் தேர்வுக்கான தயாரிப்பை ஃபெலிக்ஸ் க்ளீன் விவரித்தார். இது கணிதக் கல்வியின் அசாதாரணமான வலுவான செறிவு-வாரத்திற்கு 16 மணி நேரம் வரை-இதில் அடிப்படை பகுப்பாய்வு வடிவியல் மற்றும் இயக்கவியல் மற்றும் சமீபத்தில் எண்ணற்ற கால்குலஸ் ஆகியவை முழுமையாகப் படிக்கப்பட்டு பல பயிற்சிகள் மூலம் பாதுகாப்பாக தேர்ச்சி பெற்ற கருவியாக மாற்றப்படுகின்றன. சில்வெஸ்ட்ரே லாக்ரோயிக்ஸ் ஒரு திறமையான ஆசிரியர் மற்றும் நிபுணர் ஆவார். விளக்க வடிவியல் குறித்த அவரது புத்தகம் வாசகரின் புரிதலைப் பயன்படுத்த "சிக்கல்" என்று பெயரிடப்பட்ட பிரிவுகளைப் பயன்படுத்துகிறது. 1816 ஆம் ஆண்டில் அவர் பொதுவாக கற்பித்தல் மற்றும் குறிப்பாக கணித கற்பித்தல் குறித்த கட்டுரைகளை எழுதினார், இது உடற்பயிற்சி மற்றும் சோதனையின் அவசியத்தை வலியுறுத்தியதுஃ பரிசோதகர், குறுகிய காலத்தில், அவர் கேட்கும் பாடங்களை உள்ளடக்கும் அளவுக்கு தனது கேள்விகளை பெருக்க வேண்டிய கட்டாயத்தில், கற்பிக்கப்பட்ட பொருட்களின் பெரும்பகுதிக்கு, குறைவான முழுமையானதாக இருக்க முடியாது, ஏனெனில், சுருக்கமாக, அவர் விண்ணப்பங்களை ஒதுக்கி வைத்தால், அவர் மாணவர்களின் பீடங்களுக்கு இந்த வழியில் எதையும் பெற மாட்டார். ஆண்ட்ரூ வார்விக் பயிற்சிகளின் வரலாற்று கேள்விக்கு கவனத்தை ஈர்த்துள்ளார்ஃ கணித இயற்பியல் பாடப்புத்தகங்களில் அத்தியாயங்களின் முடிவில் விளக்கப்பட பயிற்சிகள் மற்றும் சிக்கல்களைச் சேர்ப்பது இப்போது மிகவும் பொதுவானதாகத் தோன்றுகிறது, ஆனால் இந்த கற்பித்தல் கருவி ஒப்பீட்டளவில் சமீபத்திய தோற்றம் மற்றும் ஒரு குறிப்பிட்ட வரலாற்று சூழலில் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது என்பதைப் புரிந்துகொள்வது முக்கியம். கேம்பிரிட்ஜ் பல்கலைக்கழகத்தில் நிறுவப்பட்ட கணித டிரிபோஸ் தேர்வுகளைப் புகாரளிப்பதில், இத்தகைய ஒட்டுமொத்த, போட்டி கற்றல் தனியார் ஆசிரியர்களால் தனிப்பட்ட கல்வி, விசேஷமாக தயாரிக்கப்பட்ட கையெழுத்துப் பிரதிகள் மற்றும் தரப்படுத்தப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் சிக்கல்களைப் பயன்படுத்தி மிகவும் திறம்பட நிறைவேற்றப்பட்டது என்று அவர் குறிப்பிடுகிறார். பரீட்சை மற்றும் உடற்பயிற்சியின் உறவை விளக்கி அவர் எழுதுகிறார். 1830 களில் பாடப்புத்தகங்களில் உள்ள பயிற்சிகளை விட, தேர்வு தாள்களில் உள்ள பிரச்சினைகளே, லட்சிய மாணவர்கள் விரும்பும் தரத்தை வரையறுத்தன. [கேம்பிரிட்ஜ் மாணவர்கள்] ஒரு உதாரணத்தின் சிறந்த ஓவியத்தின் மூலம் தங்கள் வழியைக் கண்டுபிடிப்பார்கள் என்று எதிர்பார்ப்பது மட்டுமல்லாமல், இதுபோன்ற பயிற்சிகளை தேர்வுகளில் கடினமான சிக்கல்களைச் சமாளிப்பதற்கான பயனுள்ள தயாரிப்பாகக் கருதவும் கற்பிக்கப்பட்டனர். சீர்திருத்தம் எவ்வாறு வேரூன்றியது என்பதை விளக்கிய வார்விக் எழுதினார்ஃ புதிய பகுப்பாய்வு முறைகள் உட்பட கணிதத்தை கற்பிப்பதற்கான சிறந்த வழி நடைமுறை உதாரணங்கள் மற்றும் சிக்கல்கள் மூலம் என்று கேம்பிரிட்ஜில் பரவலாக நம்பப்பட்டது, மேலும், 1830 களின் நடுப்பகுதியில், முதல் தலைமுறை இளம் கல்லூரி கூட்டாளிகளில் சிலர் இந்த வழியில் உயர் பகுப்பாய்வு கற்பிக்கப்பட்டனர், இருவரும் தங்கள் சொந்த ஆராய்ச்சியை மேற்கொள்வதற்கும் டிரிபோஸ் பரிசோதகர்களாக நியமிக்கப்படுவதற்கும் தொடங்கினர். அதே நேரத்தில் ஜெர்மனியில், ஃபிரான்ஸ் எர்ன்ஸ்ட் நியூமன் "தரப்படுத்தப்பட்ட பயிற்சிகளின் பொதுவான அமைப்பை உருவாக்கினார், இது மாணவருக்கு அத்தியாவசிய கணித திறன்கள் மற்றும் நுட்பங்களின் படிநிலையை அறிமுகப்படுத்தியது, மேலும் அவரது மாணவர்கள் தங்கள் கைவினையைக் கற்றுக்கொள்ளக்கூடிய தனது சொந்த சிக்கல் தொகுப்புகளை உருவாக்கத் தொடங்கியது" என்று வார்விக் தெரிவிக்கிறார். ரஷ்யாவில், ஸ்டீபன் டிமோஷென்கோ பயிற்சிகளைச் சுற்றியுள்ள அறிவுறுத்தல்களைச் சீர்திருத்தியிருந்தார். 1913 ஆம் ஆண்டில் அவர் பீட்டர்ஸ்பர்க் ஸ்டேட் யுனிவர்சிட்டி ஆஃப் மீன்ஸ் ஆஃப் கம்யூனிகேஷனில் பொருட்களின் வலிமையை கற்பித்து வந்தார். 1968 ஆம் ஆண்டில் அவர் எழுதியது போல், [நடைமுறை] பயிற்சிகள் நிறுவனத்தில் வழங்கப்படவில்லை, மேலும் தேர்வுகளில் மாணவர்களிடம் ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட பாடப்புத்தகத்திலிருந்து கோட்பாட்டு கேள்விகள் மட்டுமே கேட்கப்பட்டன. இந்த வகையான போதனையை நான் விரைவில் நிறுத்த வேண்டியிருந்தது. மாணவர்கள் நிலைமையை தெளிவாக புரிந்துகொண்டனர், பாடத்தை சிறப்பாக ஒருங்கிணைக்க வேண்டியதன் அவசியத்தை உணர்ந்தனர், மேலும் தங்கள் பணிச்சுமை அதிகமாக இருப்பதை எதிர்க்கவில்லை. முக்கிய சிரமம் ஆசிரியர்களுடன் இருந்தது-அல்லது இன்னும் துல்லியமாக, பரிசோதகர்களுடன், அவர்கள் தங்கள் தேர்வுகளை புத்தகத்தின் அடிப்படையில் அடிப்படையாகக் கொண்டிருந்தனர். தேர்வுகளில் நடைமுறை சிக்கல்களை வைப்பது அவர்களின் வேலையை சிக்கலாக்கியது. அவர்கள் years.the இல் உள்ள நபர்களாக இருந்தனர், இளையவர்களை கற்பித்தலுக்கு கொண்டு வருவார்கள் என்ற ஒரே நம்பிக்கை இருந்தது. மேலும் காண்க அல்காரிதம் வொர்க்ட்-எடுத்துக்காட்டு விளைவு குறிப்புகள் வெளிப்புற இணைப்புகள் தாத்யானா அஃபனசீவா (1931) பசிபிக் கணித அறிவியல் நிறுவனத்தில் இருந்து சோதனை வடிவவியலில் பயிற்சிகள். விளாடிமிர் அர்னால்ட் (2004) கற்பனை மேடையில் 5 முதல் 15 வயது வரையிலான மாணவர்களுக்கான பயிற்சிகள் ஜேம்ஸ் ஆல்ஃபிரட் ஈவிங் (1911) கணிதம், இயந்திரவியல், வழிசெலுத்தல் மற்றும் கடல் வானியல், வெப்பம் மற்றும் நீராவி, மின்சாரம் ஆகியவற்றில் எடுத்துக்காட்டுகள், இணைய காப்பகத்திலிருந்து ஜூனியர் அதிகாரிகளின் பயன்பாட்டிற்காக மிதக்கின்றன. ஜிம் ஹெஃபெரோன் மற்றும் பலர் (2004) கணிதக் கல்வி