Patterns in nature
இயற்கையில் உள்ள வடிவங்கள் இயற்கை உலகில் காணப்படும் வடிவத்தின் காணக்கூடிய ஒழுங்குமுறைகள் ஆகும். இந்த வடிவங்கள் வெவ்வேறு சூழல்களில் மீண்டும் மீண்டும் நிகழ்கின்றன, சில நேரங்களில் கணித ரீதியாக வடிவமைக்கப்படலாம். இயற்கையான வடிவங்களில் சமச்சீர், மரங்கள், சுருள்கள், வளைவுகள், அலைகள், நுரைகள், டெஸ்லேஷன்கள், விரிசல்கள் மற்றும் கோடுகள் ஆகியவை அடங்கும். ஆரம்பகால கிரேக்க தத்துவவாதிகள் வடிவத்தைப் படித்தனர், பிளேட்டோ, பித்தாகரஸ் மற்றும் எம்பெடோக்கிள்ஸ் ஆகியோர் இயற்கையில் வரிசையை விளக்க முயன்றனர். புலப்படும் வடிவங்களைப் பற்றிய நவீன புரிதல் காலப்போக்கில் படிப்படியாக வளர்ந்தது. 19 ஆம் நூற்றாண்டில், பெல்ஜிய இயற்பியலாளர் ஜோசப் பீடபூமி சோப் படலங்களை ஆய்வு செய்தார், இது ஒரு குறைந்தபட்ச மேற்பரப்பு என்ற கருத்தை உருவாக்க வழிவகுத்தது. ஜெர்மன் உயிரியலாளரும் கலைஞருமான எர்ன்ஸ்ட் ஹேக்கல் நூற்றுக்கணக்கான கடல் உயிரினங்களை அவற்றின் சமச்சீர்மையை வலியுறுத்துவதற்காக வரைந்தார். ஸ்காட்டிஷ் உயிரியலாளர் டி 'ஆர்சி தாம்சன் தாவரங்கள் மற்றும் விலங்குகள் இரண்டிலும் வளர்ச்சி முறைகள் பற்றிய ஆய்வுக்கு முன்னோடியாக இருந்தார், எளிய சமன்பாடுகள் சுழல் வளர்ச்சியை விளக்க முடியும் என்பதைக் காட்டுகிறது. 20 ஆம் நூற்றாண்டில், பிரிட்டிஷ் கணிதவியலாளர் ஆலன் டூரிங், புள்ளிகள் மற்றும் கோடுகளின் வடிவங்களுக்கு வழிவகுக்கும் மார்போஜெனீசிஸின் வழிமுறைகளை முன்னறிவித்தார். ஹங்கேரிய உயிரியலாளர் அரிஸ்டிட் லிண்டன்மேயர் மற்றும் பிரெஞ்சு அமெரிக்க கணிதவியலாளர் பெனோயிட் மாண்டல்பிரோட் ஆகியோர் எலும்பு முறிவுகளின் கணிதம் எவ்வாறு தாவர வளர்ச்சி முறைகளை உருவாக்க முடியும் என்பதைக் காட்டினர். கணிதம், இயற்பியல் மற்றும் வேதியியல் ஆகியவை இயற்கையில் உள்ள வடிவங்களை வெவ்வேறு நிலைகள் மற்றும் அளவுகளில் விளக்க முடியும். உயிரினங்களில் உள்ள வடிவங்கள் இயற்கை தேர்வு மற்றும் பாலியல் தேர்வின் உயிரியல் செயல்முறைகளால் விளக்கப்பட்டுள்ளன. வடிவம் உருவாக்கம் பற்றிய ஆய்வுகள் பரந்த அளவிலான வடிவங்களை உருவகப்படுத்த கணினி மாதிரிகளைப் பயன்படுத்துகின்றன. ஆரம்பகால கிரேக்க தத்துவவாதிகள் நவீன கருத்தாக்கங்களை எதிர்பார்த்து இயற்கையின் ஒழுங்கை விளக்க முயன்றனர். பித்தாகரஸ் (கி. மு. 570). கிமு 495) இசையின் ஒத்திசைவுகள் போன்ற இயற்கையில் உள்ள வடிவங்களை எண்ணிலிருந்து எழுகின்றன என்று விளக்கினார், இது இருப்பின் அடிப்படை அங்கமாக அவர் கருதினார். எம்பெடோக்கிள்ஸ் (கி. பி. 494). கிமு 434) உயிரினங்களின் கட்டமைப்புகளுக்கான டார்வினின் பரிணாம விளக்கத்தை ஒரு அளவிற்கு எதிர்பார்த்தார். பிளாட்டோ (கி. மு. 427-கி. கிமு 347) இயற்கை உலகளாவிய இருப்புக்காக வாதிட்டார். இவை சிறந்த வடிவங்களைக் (ஈடோஸ்ஃ "வடிவம்") கொண்டுள்ளன என்று அவர் கருதினார், அவற்றில் இயற்பியல் பொருள்கள் ஒருபோதும் அபூரண நகல்களை விட அதிகமாக இருக்காது. எனவே, ஒரு மலர் தோராயமாக வட்டமாக இருக்கலாம், ஆனால் அது ஒருபோதும் சரியான வட்டமாக இருக்காது. தியோஃப்ராஸ்டஸ் (கி. மு. 372). கிமு 287) "தட்டையான இலைகளைக் கொண்ட தாவரங்கள் அவற்றை ஒரு வழக்கமான தொடரில் கொண்டுள்ளன" என்று குறிப்பிட்டார்; மூத்த பிளினி (23-79 AD) அவற்றின் வடிவமைப்பு வட்ட ஏற்பாட்டைக் குறிப்பிட்டார். பல நூற்றாண்டுகளுக்குப் பிறகு, லியோனார்டோ டா வின்சி (1452-1519) இலை வடிவங்களின் சுழல் ஏற்பாட்டைக் குறிப்பிட்டார், மர டிரங்க்குகள் அவை வயதாகும்போது அடுத்தடுத்த வளையங்களைப் பெறுகின்றன, மேலும் மரக் கிளைகளின் குறுக்கு வெட்டு பகுதிகளால் திருப்தி அடைந்ததாகக் கூறப்படும் ஒரு விதியை முன்மொழிந்தார். 1202 ஆம் ஆண்டில், லியோனார்டோ ஃபிபோனாச்சி தனது புத்தகத்தின் மூலம் மேற்கத்திய உலகிற்கு ஃபிபோனாச்சி வரிசையை அறிமுகப்படுத்தினார். ஃபிபோனாச்சி ஒரு இலட்சியப்படுத்தப்பட்ட முயல் மக்கள் தொகையின் வளர்ச்சி குறித்து ஒரு சிந்தனை பரிசோதனையை முன்வைத்தார். ஜோஹன்னஸ் கெப்லர் (1571-1630) இயற்கையில் ஃபிபோனாச்சி வரிசை இருப்பதை சுட்டிக்காட்டினார், சில பூக்களின் ஐங்கோண வடிவத்தை விளக்க இதைப் பயன்படுத்தினார். 1658 ஆம் ஆண்டில், ஆங்கில மருத்துவரும் தத்துவஞானியுமான சர் தாமஸ் பிரவுன், தி கார்டன் ஆஃப் சைரஸில் "நேச்சர் ஜியோமெட்ரிஸெத்" பற்றி விவாதித்தார், எண் 5 ஐ உள்ளடக்கிய பித்தகோரியன் எண் மற்றும் குயின்கன்க்ஸ் வடிவத்தின் பிளாட்டோனிக் வடிவத்தை மேற்கோள் காட்டினார். சொற்பொழிவின் மைய அத்தியாயம் தாவரவியலில் குயின்கன்க்ஸ் பற்றிய எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் அவதானிப்புகளைக் கொண்டுள்ளது. 1754 ஆம் ஆண்டில், தாவரங்களின் சுழல் பைலோடாக்சிஸ் அடிக்கடி கடிகார திசையிலும் எதிர் கடிகார எதிர் திசையிலும் தங்க விகிதத் தொடரில் வெளிப்படுத்தப்படுவதை சார்லஸ் போனெட் கவனித்தார். பைலோடாக்சிஸ் பற்றிய கணித அவதானிப்புகள் கார்ல் ஃபிரெட்ரிக் ஷிம்பர் மற்றும் அவரது நண்பர் அலெக்சாண்டர் பிரவுனின் முறையே 1830 மற்றும் 1830 படைப்புகளுடன் தொடர்ந்தன; அகஸ்டே பிரவைஸ் மற்றும் அவரது சகோதரர் லூயிஸ் ஆகியோர் பைலோடாக்சிஸ் விகிதங்களை 1837 இல் ஃபிபோனாச்சி வரிசையுடன் இணைத்தனர், மேலும் பைன்கோன்கள் மற்றும் அன்னாசிப்பழங்களில் அதன் தோற்றத்தைக் குறிப்பிட்டனர். ஜெர்மன் உளவியலாளர் அடால்ஃப் ஜீசிங் தனது 1854 புத்தகத்தில், தாவர பாகங்கள், விலங்குகளின் எலும்புக்கூடுகள் மற்றும் அவற்றின் நரம்புகள் மற்றும் நரம்புகளின் கிளை வடிவங்கள் மற்றும் படிகங்களில் வெளிப்படுத்தப்பட்ட தங்க விகிதத்தை ஆராய்ந்தார். 19 ஆம் நூற்றாண்டில், பெல்ஜிய இயற்பியலாளர் ஜோசப் பீடபூமி (1801-1883) ஒரு குறிப்பிட்ட எல்லையுடன் குறைந்தபட்ச மேற்பரப்பு இருப்பதற்கான கணித சிக்கலை உருவாக்கினார், இது இப்போது அவரது பெயரால் அழைக்கப்படுகிறது. அவர் சோப்பு படங்களை தீவிரமாக ஆய்வு செய்தார், பீடபூமியின் விதிகளை உருவாக்கினார், இது நுரைகளில் படங்களால் உருவாக்கப்பட்ட கட்டமைப்புகளை விவரிக்கிறது. லார்ட் கெல்வின் 1887 ஆம் ஆண்டில் சம அளவிலான செல்களை ஒரு நுரையாக பேக் செய்வதற்கான மிகவும் திறமையான வழியின் சிக்கலை அடையாளம் கண்டார்; அவரது கரைசல் பீடபூமியின் விதிகளை பூர்த்தி செய்ய ஒரே ஒரு திடமான, சற்று வளைந்த முகங்களைக் கொண்ட பிட்ரன்கேட்டட் கியூபிக் தேன்கூட்டை பயன்படுத்துகிறது. 1993 ஆம் ஆண்டு டெனிஸ் வியர் மற்றும் ராபர்ட் ஃபெலான் ஆகியோர் வியர்-ஃபெலான் கட்டமைப்பை முன்மொழிந்தபோது இதைவிட சிறந்த தீர்வு எதுவும் கண்டுபிடிக்கப்படவில்லை; பெய்ஜிங் தேசிய நீச்சல் மையம் 2008 கோடைகால ஒலிம்பிக்கில் தங்கள் வெளிப்புற சுவருக்கு கட்டமைப்பை மாற்றியமைத்தது. எர்ன்ஸ்ட் ஹேக்கல் (1834-1919) கடல் உயிரினங்களின் அழகான விளக்கப்படங்களை வரைந்தார், குறிப்பாக ரேடியோலேரியா, அவரது தவறான-டார்வினிய பரிணாமக் கோட்பாடுகளை ஆதரிக்க அவற்றின் சமச்சீர்மையை வலியுறுத்தினார். அமெரிக்க புகைப்படக் கலைஞர் வில்சன் பென்ட்லி 1885 ஆம் ஆண்டில் ஒரு ஸ்னோஃப்ளேக்கின் முதல் மைக்ரோகிராப்பை எடுத்தார். 20 ஆம் நூற்றாண்டில், ஏ. எச். சர்ச் தனது 1904 புத்தகத்தில் பைலோடாக்சிஸின் வடிவங்களைப் படித்தார். 1917 ஆம் ஆண்டில், டி 'ஆர்சி வென்ட்வொர்த் தாம்சன் வெளியிட்டார் வளர்ச்சி மற்றும் வடிவம்; பைலோடாக்சிஸ் மற்றும் ஃபிபோனாச்சி வரிசை பற்றிய அவரது விளக்கம், தாவரங்களின் சுழல் வளர்ச்சி முறைகளில் உள்ள கணித உறவுகள், எளிய சமன்பாடுகள் விலங்கு கொம்புகள் மற்றும் மொலஸ்க் குண்டுகளின் சுழல் வளர்ச்சி முறைகளை விவரிக்க முடியும் என்பதைக் காட்டுகிறது. 1952 ஆம் ஆண்டில், கணினி விஞ்ஞானி ஆலன் டூரிங் (1912-1954) தி கெமிக்கல் பேஸிஸ் ஆஃப் மோர்போஜெனெசிஸ் என்ற நூலை எழுதினார், இது உயிருள்ள உயிரினங்களில் வடிவங்களை உருவாக்கத் தேவையான வழிமுறைகளின் பகுப்பாய்வு, இது மோர்போஜெனெசிஸ் எனப்படும் செயல்முறையில். அவர் ஊசலாடும் இரசாயன எதிர்வினைகளை முன்னறிவித்தார், குறிப்பாக பெலோசோவ்-ஜாபோடின்ஸ்கி எதிர்வினை. இந்த ஆக்டிவேட்டர்-இன்ஹிபிட்டர் வழிமுறைகள், விலங்குகளில் கோடுகள் மற்றும் புள்ளிகளின் வடிவங்களை ("டூரிங் வடிவங்கள்" என்று அழைக்கப்படுகின்றன) உருவாக்கலாம், மேலும் தாவர பைலோடாக்சிஸில் காணப்படும் சுழல் வடிவங்களுக்கு பங்களிக்க முடியும் என்று டூரிங் பரிந்துரைத்தார். 1968 ஆம் ஆண்டில், ஹங்கேரிய கோட்பாட்டு உயிரியலாளர் அரிஸ்டிட் லிண்டன்மேயர் (1925-1989) எல்-அமைப்பை உருவாக்கினார், இது ஒரு முறையான இலக்கணமாகும், இது எலும்பு முறிவுகளின் பாணியில் தாவர வளர்ச்சி முறைகளை மாதிரியாகப் பயன்படுத்தலாம். எல்-அமைப்புகள் குறியீடுகளின் எழுத்துக்களைக் கொண்டுள்ளன, அவை உற்பத்தி விதிகளைப் பயன்படுத்தி பெரிய சரங்களை உருவாக்க இணைக்கப்படலாம், மேலும் உருவாக்கப்பட்ட சரங்களை வடிவியல் கட்டமைப்புகளாக மொழிபெயர்க்க ஒரு வழிமுறை உள்ளது. 1975 ஆம் ஆண்டில், கோட்ஃபிரைட் லீப்னிஸ், ஜார்ஜ் கேன்டர், ஹெல்ஜ் வான் கோச், வாக்லா சியர்பின்ஸ்கி மற்றும் பிறரால் வடிவங்களின் கணிதத்தின் பல நூற்றாண்டுகள் மெதுவான வளர்ச்சிக்குப் பிறகு, பெனோயிட் மாண்டல்பிரோட் ஒரு புகழ்பெற்ற கட்டுரையை எழுதினார், பிரிட்டனின் கடற்கரை எவ்வளவு நீளமானது? புள்ளியியல் சுய-ஒற்றுமை மற்றும் பின்ன பரிமாணம், கணித சிந்தனையை ஃப்ராக்டல் என்ற கருத்துக்குள் படிகமாக்குதல். காரணங்கள் ஆர்க்கிடுகள், ஹம்மிங் பறவைகள் மற்றும் மயிலின் வால் போன்ற உயிரினங்கள் வடிவம், முறை மற்றும் நிறத்தின் அழகைக் கொண்ட சுருக்க வடிவமைப்புகளைக் கொண்டுள்ளன, அவை கலைஞர்களுடன் பொருந்த போராடுகின்றன. இயற்கையில் மக்கள் உணரும் அழகு பல்வேறு நிலைகளில் காரணங்களைக் கொண்டுள்ளது, குறிப்பாக கணிதத்தில் எந்த வடிவங்கள் உடல் ரீதியாக உருவாகலாம் என்பதை நிர்வகிக்கிறது, மேலும் இயற்கைத் தேர்வின் விளைவுகளில் உயிரினங்களிடையே, வடிவங்கள் எவ்வாறு உருவாகின்றன என்பதை நிர்வகிக்கிறது. கணிதம் அனைத்து வகையான சுருக்க வடிவங்கள் அல்லது ஒழுங்குமுறைகளைக் கண்டறிந்து விளக்க முற்படுகிறது. இயற்கையில் உள்ள காட்சி வடிவங்கள் குழப்பம் கோட்பாடு, எலும்பு முறிவுகள், மடக்கை சுருள்கள், இடவியல் மற்றும் பிற கணித வடிவங்களில் விளக்கங்களைக் காண்கின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, எல்-அமைப்புகள் மர வளர்ச்சியின் வெவ்வேறு வடிவங்களின் நம்பத்தகுந்த மாதிரிகளை உருவாக்குகின்றன. இயற்பியல் விதிகள் கணிதத்தின் சுருக்கங்களை நிஜ உலகிற்கு பயன்படுத்துகின்றன, பெரும்பாலும் அது சரியானது போல. எடுத்துக்காட்டாக, இடப்பெயர்வுகள் போன்ற கட்டமைப்பு குறைபாடுகள் இல்லாதபோது ஒரு படிகமானது சரியானது மற்றும் முழுமையாக சமச்சீராக இருக்கும். துல்லியமான கணிதப் பரிபூரணத்தால் உண்மையான பொருள்களை மட்டுமே தோராயமாக மதிப்பிட முடியும். இயற்கையில் காணக்கூடிய வடிவங்கள் இயற்பியல் விதிகளால் நிர்வகிக்கப்படுகின்றன; எடுத்துக்காட்டாக, திரவ இயக்கவியலைப் பயன்படுத்தி வளைவுகளை விளக்க முடியும். உயிரியலில், இயற்கைத் தேர்வு பல காரணங்களுக்காக உயிரினங்களில் வடிவங்களின் வளர்ச்சியை ஏற்படுத்தும், இதில் உருமறைப்பு, பாலியல் தேர்வு மற்றும் பல்வேறு வகையான சமிக்ஞைகள், பிரதிபலிப்பு மற்றும் சுத்தம் சிம்பியோசிஸ் ஆகியவை அடங்கும். தாவரங்களில், தேனீக்கள் போன்ற பூச்சிகளை ஈர்ப்பதற்காக லில்லி போன்ற பூக்களின் வடிவங்கள், நிறங்கள் மற்றும் வடிவங்கள் உருவாகியுள்ளன. நிறங்கள் மற்றும் கோடுகளின் ரேடியல் வடிவங்கள், சில புற ஊதா ஒளியில் மட்டுமே தெரியும், அவை தொலைவில் காணக்கூடிய தேன் வழிகாட்டிகளாக செயல்படுகின்றன. வடிவத்தின் வகைகள் சமச்சீர் சமச்சீர் உயிரினங்களில் பரவலாக உள்ளது. விலங்குகள் முக்கியமாக இருதரப்பு அல்லது கண்ணாடி சமச்சீர்மையைக் கொண்டுள்ளன, அதேபோல் தாவரங்களின் இலைகள் மற்றும் ஆர்க்கிடுகள் போன்ற சில பூக்களும் உள்ளன. தாவரங்கள் பெரும்பாலும் ரேடியல் அல்லது சுழற்சி சமச்சீர்மையைக் கொண்டுள்ளன, அதேபோல் பல பூக்கள் மற்றும் கடல் அனிமோன்கள் போன்ற சில விலங்குகளின் குழுக்களும் உள்ளன. நட்சத்திர மீன்கள், கடல் அர்ச்சின்கள் மற்றும் கடல் லில்லிகளை உள்ளடக்கிய குழுமமான எச்சினோடெர்ம்களில் ஐந்து மடங்கு சமச்சீர் காணப்படுகிறது. உயிரற்ற பொருட்களில், ஸ்னோஃப்ளேக்குகள் ஆறு மடங்கு சமச்சீர்மையைக் கொண்டுள்ளன; ஒவ்வொரு ஃப்ளேக்கின் கட்டமைப்பும் அதன் படிகமாக்கலின் போது மாறுபட்ட நிலைமைகளின் பதிவை உருவாக்குகிறது, அதன் ஆறு கைகளில் ஒவ்வொன்றிலும் கிட்டத்தட்ட ஒரே மாதிரியான வளர்ச்சி வடிவத்துடன். பொதுவாக படிகங்கள் பல்வேறு சமச்சீர் மற்றும் படிக பழக்கங்களைக் கொண்டுள்ளன; அவை கனசதுர அல்லது எண்முகமாக இருக்கலாம், ஆனால் உண்மையான படிகங்கள் ஐந்து மடங்கு சமச்சீர் கொண்டிருக்க முடியாது (குவாசிக்ரிஸ்டல்களைப் போலல்லாமல்). சுழற்சி சமச்சீர் உயிரற்ற பொருட்களிடையே வெவ்வேறு அளவுகளில் காணப்படுகிறது, இதில் ஒரு துளி குளத்தில் விழும்போது உருவாகும் கிரீடம் வடிவ ஸ்ப்ளாஷ் முறை மற்றும் சனி போன்ற ஒரு கிரகத்தின் கோள வடிவம் மற்றும் வளையங்கள் இரண்டும் அடங்கும். சமச்சீர் பல்வேறு காரணங்களைக் கொண்டுள்ளது. ரேடியல் சமச்சீர் கடல் அனிமோன்கள் போன்ற உயிரினங்களுக்கு பொருந்துகிறது, அவற்றின் பெரியவர்கள் நகரவில்லைஃ உணவு மற்றும் அச்சுறுத்தல்கள் எந்த திசையிலிருந்தும் வரக்கூடும். ஆனால் ஒரு திசையில் நகரும் விலங்குகள் மேல் மற்றும் கீழ் பக்கங்கள், தலை மற்றும் வால் முனைகள், எனவே ஒரு இடது மற்றும் வலது இருக்க வேண்டும். தலை வாய் மற்றும் புலன் உறுப்புகளுடன் (செஃபாலிசேஷன்) சிறப்பு பெறுகிறது, மேலும் உடல் இருதரப்பு சமச்சீராக மாறுகிறது (உள் உறுப்புகள் இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை என்றாலும்). எக்கினோடெர்ம்களின் ஐந்து மடங்கு (பென்டாராடியட்) சமச்சீர் காரணமாக மிகவும் குழப்பமாக உள்ளது. ஆரம்பகால எக்கினோடெர்ம்கள் இருதரப்பு சமச்சீராக இருந்தன, அவற்றின் லார்வாக்கள் இன்னும் உள்ளன. பழைய சமச்சீர் இழப்பு வளர்ச்சி மற்றும் சுற்றுச்சூழல் காரணங்கள் இரண்டையும் கொண்டுள்ளது என்று சும்ரால் மற்றும் வ்ரே வாதிடுகின்றனர். மரங்கள், எலும்பு முறிவுகள் மரங்களின் கிளை வடிவம் இத்தாலிய மறுமலர்ச்சியில் லியோனார்டோ டா வின்சி என்பவரால் விவரிக்கப்பட்டது. ஓவியம் பற்றிய ஒரு கட்டுரையில் அவர் பின்வருமாறு கூறினார்ஃ ஒரு மரத்தின் அனைத்து கிளைகளும் அதன் உயரத்தின் ஒவ்வொரு கட்டத்திலும் ஒன்றாக இணைக்கப்படும்போது தண்டுக்கு (அவற்றுக்கு கீழே) தடிமன் சமமாக இருக்கும். ஒரு பொதுவான பதிப்பு, ஒரு தாய் கிளை இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட குழந்தை கிளைகளாக பிரிக்கப்படும்போது, குழந்தை கிளைகளின் மேற்பரப்பு பகுதிகள் தாய் கிளையின் பரப்பளவு வரை சேர்க்கின்றன என்று கூறுகிறது. ஒரு சமமான சூத்திரம் என்னவென்றால், ஒரு தாய் கிளை இரண்டு குழந்தை கிளைகளாக பிரிந்தால், தாய் மற்றும் இரண்டு குழந்தை கிளைகளின் குறுக்கு வெட்டு விட்டம் வலது கோண முக்கோணத்தை உருவாக்குகிறது. ஒரு விளக்கம் என்னவென்றால், இது மரங்கள் அதிக காற்றை சிறப்பாகத் தாங்க அனுமதிக்கிறது. பயோமெக்கானிக்கல் மாதிரிகளின் உருவகப்படுத்துதல்கள் விதியுடன் உடன்படுகின்றன. ஃப்ராக்டல்கள் எல்லையற்ற சுய-ஒத்தவை, ஃப்ராக்டல் பரிமாணத்தைக் கொண்ட கணித கட்டமைப்புகளை மீண்டும் மீண்டும் செய்கின்றன. இயற்கையில் எல்லையற்ற மறு செய்கை சாத்தியமில்லை, எனவே அனைத்து 'ஃப்ராக்டல்' வடிவங்களும் தோராயமாக மட்டுமே உள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக, ஃபெர்ன்கள் மற்றும் அம்பெல்லிஃபர்களின் (அபியேசி) இலைகள் 2,3 அல்லது 4 நிலைகளுக்கு மட்டுமே சுய-ஒத்தவை (பின்னேட்). ஃபெர்ன் போன்ற வளர்ச்சி முறைகள் தாவரங்கள் மற்றும் பிரையோசோவா, பவளப்பாறைகள், காற்று ஃபெர்ன், செர்டுலாரியா அர்ஜென்டியா போன்ற ஹைட்ரோசோவா மற்றும் உயிரற்ற பொருட்களில், குறிப்பாக மின் வெளியேற்றங்கள் உள்ளிட்ட விலங்குகளில் நிகழ்கின்றன. லிண்டன்மேயர் அமைப்பு எலும்பு முறிவுகள் கிளை கோணம், முனைகள் அல்லது கிளை புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரம் (இன்டர்னோட் நீளம்) மற்றும் ஒரு கிளை புள்ளிக்கு கிளைகளின் எண்ணிக்கை உள்ளிட்ட சிறிய எண்ணிக்கையிலான அளவுருக்களை மாற்றுவதன் மூலம் மர வளர்ச்சியின் வெவ்வேறு வடிவங்களை மாதிரியாக்கலாம். மேகங்கள், நதி நெட்வொர்க்குகள், புவியியல் பிளவு கோடுகள், மலைகள், கடலோரப் பகுதிகள், விலங்குகளின் நிறம், பனி செதில்கள், படிகங்கள், இரத்தக் குழாய் கிளைகள், புர்கின்ஜே செல்கள், ஆக்டின் சைட்டோஸ்கெலிட்டன்கள் மற்றும் கடல் அலைகள் போன்ற பல்வேறு நிகழ்வுகளில் இயற்கையில் பிராக்டல் போன்ற வடிவங்கள் பரவலாக நிகழ்கின்றன. சுருள்கள் தாவரங்களிலும் சில விலங்குகளிலும், குறிப்பாக மொலஸ்குகளிலும் பொதுவானவை. எடுத்துக்காட்டாக, நோடிலஸில், ஒரு செஃபலோபாட் மொலஸ்க், அதன் ஷெல்லின் ஒவ்வொரு அறையும் அடுத்தவற்றின் தோராயமான நகலாகும், இது ஒரு நிலையான காரணியால் அளவிடப்பட்டு ஒரு மடக்கை சுழற்சியில் ஏற்பாடு செய்யப்படுகிறது. எலும்பு முறிவுகளைப் பற்றிய நவீன புரிதலைப் பொறுத்தவரை, ஒரு வளர்ச்சி சுழற்சியை சுய ஒற்றுமையின் ஒரு சிறப்பு நிகழ்வாகக் காணலாம். தாவர சுருள்களை பைலோடாக்சிஸ், ஒரு தண்டில் உள்ள இலைகளின் ஏற்பாடு மற்றும் பிற பகுதிகளின் ஏற்பாட்டில் (பாராஸ்டிச்சி) சூரியகாந்தி அல்லது அன்னாசிப்பழம் மற்றும் பாம்பு பழம் போன்ற பழ கட்டமைப்புகள் போன்ற கலப்பு மலர் தலைகள் மற்றும் விதைத் தலைகள், அதே போல் பைன் கூம்புகளில் செதில்களின் வடிவத்தில், பல சுருள்கள் கடிகார திசையிலும் எதிரெதிர் திசையிலும் இயங்குகின்றன. இந்த ஏற்பாடுகள் வெவ்வேறு நிலைகளில் விளக்கங்களைக் கொண்டுள்ளன-கணிதம், இயற்பியல், வேதியியல், உயிரியல்-ஒவ்வொன்றும் தனித்தனியாக சரியானவை, ஆனால் அனைத்தும் ஒன்றாக அவசியம். ஃபிபோனாச்சி விகிதங்களிலிருந்து பைலோடாக்சிஸ் சுருள்களை உருவாக்க முடியும்ஃ ஃபிபோனாச்சி வரிசை 1,1,2,3,5,8,13 ஐ இயக்குகிறது. (ஒவ்வொரு அடுத்தடுத்த எண்ணும் முந்தைய இரண்டு எண்களின் கூட்டுத்தொகையாகும்). எடுத்துக்காட்டாக, இலைகள் ஒரு தண்டுக்கு மாறி மாறி வரும்போது, சுழற்சியின் ஒரு சுழற்சி இரண்டு இலைகளைத் தொடுகிறது, எனவே வடிவம் அல்லது விகிதம் 1/2 ஆகும். பச்சையில் இது 1/3; ஆப்ரிகாட்டில் இது 2/5; பேரிக்காயில் இது 3/8; பாதாமில் இது 5/13 ஆகும். சூரியகாந்தி மற்றும் டெய்சி போன்ற வட்டு பைலோடாக்சிஸில், பூக்கள் ஃபெர்மாட்டின் சுழற்சியில் ஏற்பாடு செய்யப்படுகின்றன, ஆனால் இது மாறுவேடத்தில் உள்ளது, ஏனெனில் அடுத்தடுத்த பூக்கள் தங்க கோணத்தால், 137.508 ° (வட்டத்தை தங்க விகிதத்தில் வகுத்தல்) மூலம் வெகு தொலைவில் உள்ளன; மலர் தலை முதிர்ச்சியடையும் போது அனைத்து உறுப்புகளும் ஒரே அளவில் இருக்கும், இந்த இடைவெளி மிகவும் வெளிப்படையான சுருள்களின் ஃபைபோனாச்சி எண்ணை உருவாக்குகிறது. இயற்பியலின் பார்வையில், சுழல்கள் மிகக் குறைந்த ஆற்றல் உள்ளமைவுகளாகும், அவை மாறும் அமைப்புகளில் சுய ஒழுங்கமைக்கும் செயல்முறைகள் மூலம் தன்னிச்சையாக வெளிப்படுகின்றன. வேதியியலின் பார்வையில், ஒரு சுழல் ஒரு எதிர்வினை-பரவல் செயல்முறையால் உருவாக்கப்படலாம், இது செயல்படுத்தல் மற்றும் தடுப்பு ஆகிய இரண்டையும் உள்ளடக்கியது. பைலோடாக்சிஸ் புரதங்களால் கட்டுப்படுத்தப்படுகிறது, இது தாவர ஹார்மோன் ஆக்ஸினின் செறிவைக் கையாளுகிறது, இது மெரிஸ்டெம் வளர்ச்சியை செயல்படுத்துகிறது, மேலும் தண்டைச் சுற்றியுள்ள மொட்டுகளின் ஒப்பீட்டு கோணத்தைக் கட்டுப்படுத்துவதற்கான பிற வழிமுறைகளுடன். உயிரியல் கண்ணோட்டத்தில், எந்தவொரு இடத்திலும் முடிந்தவரை அகலமாக இலைகளை அமைப்பது இயற்கை தேர்வால் விரும்பப்படுகிறது, ஏனெனில் இது வளங்களுக்கான அணுகலை அதிகரிக்கிறது, குறிப்பாக ஒளிச்சேர்க்கைக்கான சூரிய ஒளி. கணிதத்தில், ஒரு இயக்கவியல் அமைப்பு ஆரம்ப நிலைமைகளுக்கு ("பட்டாம்பூச்சி விளைவு" என்று அழைக்கப்படும்) (மிகவும்) உணர்திறன் கொண்டதாக இருந்தால் அது குழப்பமாக இருக்கும், இதற்கு இடவியல் கலவை மற்றும் அடர்த்தியான கால சுற்றுப்பாதைகளின் கணித பண்புகள் தேவைப்படுகின்றன. எலும்பு முறிவுகளுடன், குழப்பம் கோட்பாடு இயற்கையில் உள்ள வடிவங்களில் அடிப்படையில் உலகளாவிய தாக்கமாக உள்ளது. குழப்பம் மற்றும் ஃப்ராக்டல்களுக்கு இடையே ஒரு உறவு உள்ளது-குழப்பமான அமைப்புகளில் உள்ள விசித்திரமான கவர்ச்சிகள் ஒரு ஃப்ராக்டல் பரிமாணத்தைக் கொண்டுள்ளன. சில செல்லுலார் தானியங்கிகள், வடிவங்களை உருவாக்கும் எளிய கணித விதிகளின் தொகுப்புகள், குழப்பமான நடத்தையைக் கொண்டுள்ளன, குறிப்பாக ஸ்டீபன் வொல்ஃப்ராமின் விதி 30. சுழல் வீதிகள் என்பது ஒரு திரவத்தின் ஓட்டத்தின் நிலையற்ற பிரிவினால் உருவாக்கப்பட்ட சுழல் சுழல்களின் ஜிக்ஜாக்கிங் வடிவங்கள், பெரும்பாலும் காற்று அல்லது நீர், தடைசெய்யும் பொருட்களின் மீது. தடையின் அளவு அல்லது ஓட்டத்தின் வேகம் திரவத்தின் பாகுத்தன்மையுடன் ஒப்பிடும்போது போதுமானதாக இருக்கும்போது மென்மையான (லேமினார்) ஓட்டம் உடைக்கத் தொடங்குகிறது. வளைவுகள் என்பது ஆறுகள் அல்லது பிற கால்வாய்களில் உள்ள சைனஸ் வளைவுகள் ஆகும், அவை ஒரு திரவமாக உருவாகின்றன, பெரும்பாலும் நீர், வளைவுகளைச் சுற்றி பாய்கிறது. பாதை சற்று வளைந்தவுடன், ஒவ்வொரு வளையத்தின் அளவும் வளைவும் அதிகரிக்கிறது, ஏனெனில் சுழல் ஓட்டம் மணல் மற்றும் சரளை போன்ற பொருட்களை ஆற்றின் குறுக்கே வளைவின் உட்புறத்திற்கு இழுக்கிறது. வளையத்தின் வெளிப்புறம் சுத்தமாகவும் பாதுகாப்பற்றதாகவும் விடப்படுகிறது, எனவே அரிப்பு துரிதப்படுத்தப்படுகிறது, மேலும் ஒரு சக்திவாய்ந்த நேர்மறையான பின்னூட்ட வளையத்தில் சுழற்சியை அதிகரிக்கிறது. அலைகள், குன்றுகள் அலைகள் நகரும் போது ஆற்றலைக் கொண்டு செல்லும் இடையூறுகள் ஆகும். இயந்திர அலைகள் ஒரு நடுத்தர காற்று அல்லது நீர் வழியாக பரவுகின்றன, அவை கடந்து செல்லும்போது ஊசலாடுகின்றன. காற்று அலைகள் என்பது கடல் மேற்பரப்பு அலைகள் ஆகும், அவை எந்தவொரு பெரிய நீர்நிலையின் சிறப்பியல்பு குழப்பமான வடிவத்தை உருவாக்குகின்றன, இருப்பினும் அவற்றின் புள்ளிவிவர நடத்தையை காற்று அலை மாதிரிகள் மூலம் கணிக்க முடியும். நீர் அல்லது காற்றில் உள்ள அலைகள் மணலின் மீது செல்லும்போது, அவை சிற்றலைகளின் வடிவங்களை உருவாக்குகின்றன. பெரிய அளவிலான மணலின் மீது காற்று வீசும்போது, அவை குன்றுகளை உருவாக்குகின்றன, சில நேரங்களில் தக்லாமகான் பாலைவனத்தைப் போல விரிவான குன்றுப் புல்வெளிகளில். குன்றுகள் பிறை, மிக நீண்ட நேர் கோடுகள், நட்சத்திரங்கள், குவிமாடங்கள், பரவளையங்கள் மற்றும் நீளமான அல்லது சீஃப் ('வாள்') வடிவங்கள் உள்ளிட்ட பல்வேறு வடிவங்களை உருவாக்கலாம். பார்சன்கள் அல்லது பிறை குன்றுகள் பாலைவன மணலில் செயல்படும் காற்றால் உற்பத்தி செய்யப்படுகின்றன; பிறை மற்றும் நழுவிய முகத்தின் இரண்டு கொம்புகள் கீழ் காற்றை சுட்டிக்காட்டுகின்றன. கிடைமட்டத்திலிருந்து சுமார் 15 டிகிரியில் நிற்கும் மேல் காற்று முகத்தின் மீது மணல் வீசுகிறது, மேலும் ஸ்லிப் முகத்தின் மீது விழுகிறது, அங்கு அது மணலின் ஓய்வெடுக்கும் கோணம் வரை குவிகிறது, இது சுமார் 35 டிகிரி ஆகும். சீட்டு முகம் ஓய்வெடுக்கும் கோணத்தை தாண்டும்போது, மணல் பனிச்சரிவு ஏற்படுகிறது, இது ஒரு நேரியல் அல்லாத நடத்தையாகும்ஃ பல சிறிய அளவிலான மணலைச் சேர்ப்பது பெரிதாக எதுவும் நடக்காது, ஆனால் பின்னர் மேலும் சிறிய அளவைச் சேர்ப்பது திடீரென்று பனிச்சரிவுக்கு ஒரு பெரிய அளவை ஏற்படுத்துகிறது. இந்த நேரியல் அல்லாத தன்மையைத் தவிர, பார்சான்கள் தனிமையான அலைகளைப் போல செயல்படுகின்றன. குமிழிகள், நுரை ஒரு சோப்பு குமிழி ஒரு கோளத்தை உருவாக்குகிறது, குறைந்தபட்ச பரப்பளவு (குறைந்தபட்ச மேற்பரப்பு) கொண்ட மேற்பரப்பு-மூடப்பட்ட தொகுதிக்கு சாத்தியமான மிகச்சிறிய மேற்பரப்பு பகுதி. இரண்டு குமிழிகள் ஒன்றாக மிகவும் சிக்கலான வடிவத்தை உருவாக்குகின்றனஃ இரண்டு குமிழிகளின் வெளிப்புற மேற்பரப்புகளும் கோள வடிவத்தில் உள்ளன; சிறிய குமிழி சற்று பெரியதாக வீங்கும்போது இந்த மேற்பரப்புகள் மூன்றாவது கோள மேற்பரப்பால் இணைக்கப்படுகின்றன. நுரை என்பது குமிழிகளின் வெகுஜனமாகும்; வெவ்வேறு பொருட்களின் நுரை இயற்கையில் நிகழ்கிறது. சோப்பு படலங்களால் ஆன நுரைகள் பீடபூமியின் விதிகளுக்குக் கீழ்ப்படிகின்றன, இதற்கு மூன்று சோப்பு படலங்கள் ஒவ்வொரு விளிம்பிலும் 120 டிகிரியில் சந்திக்க வேண்டும் மற்றும் நான்கு சோப்பு விளிம்புகள் ஒவ்வொரு முனையிலும் சுமார் 109.5 டிகிரியின் நாற்கர கோணத்தில் சந்திக்க வேண்டும். பீடபூமியின் சட்டங்கள் மேலும் திரைப்படங்கள் மென்மையாகவும் தொடர்ச்சியாகவும் இருக்க வேண்டும், மேலும் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் நிலையான சராசரி வளைவைக் கொண்டிருக்க வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு படம் ஒரு திசையில் வளைந்து (இடமிருந்து வலமாக) மற்றொரு திசையில் கீழ்நோக்கி வளைந்து (முன் முதல் பின் வரை) சராசரியாக கிட்டத்தட்ட தட்டையாக இருக்கலாம். குறைந்தபட்ச மேற்பரப்பு கொண்ட கட்டமைப்புகளை கூடாரங்களாகப் பயன்படுத்தலாம். உயிரணுக்களின் அளவில், நுரை வடிவங்கள் பொதுவானவை; ரேடியோலேரியன்கள், கடற்பாசி கூர்முனைகள், சிலிகோஃப்ளாஜேலெட் எக்ஸோஸ்கெலிட்டன்கள் மற்றும் கடல் அர்ச்சின் கால்சைட் எலும்புக்கூடு, சிடாரிஸ் ருகோசா, அனைத்தும் பீடபூமி நுரை எல்லைகளின் கனிம வார்ப்புகளை ஒத்திருக்கின்றன. ரேடியோலேரியனின் எலும்புக்கூடு, எர்ன்ஸ்ட் ஹேக்கல் வரைந்த ஒரு அழகான கடல் வடிவமான ஆலோனியா ஹெக்ஸாகோனா, இது முற்றிலும் அறுகோணங்களால் ஆன ஒரு கோளம் போல் தெரிகிறது, ஆனால் இது கணித ரீதியாக சாத்தியமற்றது. எந்தவொரு குவிந்த பாலிஹெட்ரானுக்கும், முகங்களின் எண்ணிக்கை மற்றும் செங்குத்துகளின் எண்ணிக்கை (மூலைகள்) விளிம்புகளின் எண்ணிக்கை கூட்டல் இரண்டுக்கு சமம் என்று ஆய்லர் பண்பு கூறுகிறது. இந்த சூத்திரத்தின் விளைவாக, அறுகோணங்களின் எந்த மூடிய பாலிஹெட்ரானும் ஒரு கால்பந்து பந்து, பக்மின்ஸ்டர் ஃபுல்லர் ஜியோடெசிக் குவிமாடம் அல்லது ஃபுல்லிரீன் மூலக்கூறு போன்ற சரியாக 12 பென்டகன்களைக் கொண்டிருக்க வேண்டும். அறுகோணங்களின் ஒரு கண்ணி கோழி கம்பியின் தாள் போல தட்டையானது என்பதைக் குறிப்பிடுவதன் மூலம் இதைக் காட்சிப்படுத்தலாம், ஆனால் சேர்க்கப்படும் ஒவ்வொரு ஐங்கோணமும் கண்ணி வளைக்க கட்டாயப்படுத்துகிறது (குறைவான மூலைகள் உள்ளன, எனவே கண்ணி இழுக்கப்படுகிறது). டெஸ்லேஷன்ஸ் டெஸ்லேஷன்ஸ் என்பது ஒரு தட்டையான மேற்பரப்பு முழுவதும் ஓடுகளை மீண்டும் மீண்டும் செய்வதன் மூலம் உருவாகும் வடிவங்கள் ஆகும். 17 வால்பேப்பர் குழுக்கள் உள்ளன. கலை மற்றும் வடிவமைப்பில் பொதுவானது என்றாலும், உயிருள்ள பொருட்களில் சரியாக மீண்டும் மீண்டும் சாய்வுகளைக் கண்டறிவது எளிதானது அல்ல. சமூக குளவிகளின் காகிதக் கூடுகளில் உள்ள செல்கள் மற்றும் தேனீக்களால் கட்டப்பட்ட தேன்கூட்டில் உள்ள மெழுகு செல்கள் நன்கு அறியப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகளாகும். விலங்குகளில், எலும்பு மீன், ஊர்வன அல்லது பாங்கோலின் அல்லது சாலக் போன்ற பழங்கள் ஒன்றுடன் ஒன்று செதில்கள் அல்லது ஆஸ்டியோடெர்ம்களால் பாதுகாக்கப்படுகின்றன, இவை அதிகமாகவோ அல்லது குறைவாகவோ துல்லியமாக மீண்டும் மீண்டும் அலகுகளை உருவாக்குகின்றன, இருப்பினும் பெரும்பாலும் செதில்கள் உண்மையில் அளவுகளில் தொடர்ந்து மாறுபடுகின்றன. மலர்களில், பாம்பின் தலை ஃபிரிடில்லரி, ஃபிரிடில்லேரியா மெலிகிரிஸ், அவற்றின் இதழ்களில் ஒரு செசெல்லேட்டட் செக்கர்போர்டு வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளன. கனிமங்களின் கட்டமைப்புகள் வழக்கமாக முப்பரிமாண வரிசைகளை மீண்டும் மீண்டும் செய்வதற்கான நல்ல எடுத்துக்காட்டுகளை வழங்குகின்றன. நூறாயிரக்கணக்கான அறியப்பட்ட தாதுக்கள் இருந்தபோதிலும், படிக அமைப்பு, படிக அமைப்பு மற்றும் புள்ளி குழு ஆகியவற்றால் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு படிகத்தில் அணுக்களின் ஏற்பாட்டில் சில சாத்தியமான வகைகள் உள்ளன; எடுத்துக்காட்டாக, முப்பரிமாண இடத்தில் 7 லட்டீஸ் அமைப்புகளுக்கு சரியாக 14 பிரவைஸ் லட்டீஸ்கள் உள்ளன. பிளவுகள் என்பது மன அழுத்தத்திலிருந்து விடுபட பொருட்களில் உருவாகும் நேரியல் திறப்புகள் ஆகும். ஒரு நெகிழ்வான பொருள் ஒரே மாதிரியாக நீண்டு அல்லது சுருங்கும் போது, அது இறுதியில் அதன் உடைக்கும் வலிமையை அடைகிறது, பின்னர் எல்லா திசைகளிலும் திடீரென்று தோல்வியடைகிறது, 120 டிகிரி மூட்டுகளுடன் விரிசல்களை உருவாக்குகிறது, எனவே மூன்று விரிசல்கள் ஒரு முனையில் சந்திக்கின்றன. மாறாக, ஒரு நிலையற்ற பொருள் தோல்வியடையும் போது, மன அழுத்தத்திலிருந்து விடுபட நேரான விரிசல்கள் உருவாகின்றன. அதே திசையில் மேலும் அழுத்தமானது தற்போதுள்ள விரிசல்களைத் திறக்கும்; சரியான கோணங்களில் உள்ள அழுத்தமானது பழையவற்றுக்கு 90 டிகிரியில் புதிய விரிசல்களை உருவாக்க முடியும். எனவே விரிசல்களின் வடிவம் பொருள் நெகிழ்வானதா இல்லையா என்பதைக் குறிக்கிறது. ஓக் மரத்தின் பட்டை போன்ற கடினமான நார்ச்சத்து நிறைந்த பொருட்களில், வழக்கம் போல் மன அழுத்தத்திலிருந்து விடுபட விரிசல்கள் உருவாகின்றன, ஆனால் வலுவான மீள் இழைகளின் மூட்டைகளால் அவற்றின் வளர்ச்சி பாதிக்கப்படுவதால் அவை நீண்ட காலம் வளராது. மரத்தின் ஒவ்வொரு இனமும் செல் மற்றும் மூலக்கூறுகளின் மட்டங்களில் அதன் சொந்த கட்டமைப்பைக் கொண்டிருப்பதால், ஒவ்வொன்றும் அதன் பட்டையில் பிளவுபடுவதற்கான அதன் சொந்த வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளன. புள்ளிகள், கோடுகள் சிறுத்தைகள் மற்றும் பெண் பறவைகள் காணப்படுகின்றன; ஏஞ்சல்ஃபிஷ் மற்றும் வரிக்குதிரைகள் கோடுகள் கொண்டவை. இந்த வடிவங்கள் ஒரு பரிணாம விளக்கத்தைக் கொண்டுள்ளனஃ அவை வடிவமைப்பு செய்யப்பட்ட விலங்குகளின் சந்ததிகள் இனப்பெருக்கம் செய்ய உயிர்வாழும் வாய்ப்புகளை அதிகரிக்கும் செயல்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளன. விலங்கு வடிவங்களின் ஒரு செயல்பாடு உருமறைப்பு ஆகும்; உதாரணமாக, பார்க்க கடினமாக இருக்கும் ஒரு சிறுத்தை அதிக இரையைப் பிடிக்கிறது. மற்றொரு செயல்பாடு சமிக்ஞை-எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு லேடிபேர்ட் பார்வையில் வேட்டையாடும் கொள்ளையடிக்கும் பறவைகளால் தாக்கப்படுவதற்கான வாய்ப்புகள் குறைவு, அது தைரியமான எச்சரிக்கை வண்ணங்களைக் கொண்டிருந்தால், மேலும் வெறுக்கத்தக்க கசப்பான அல்லது நச்சு, அல்லது பிற வெறுக்கத்தக்க பூச்சிகளைப் பிரதிபலிக்கிறது. ஒரு இளம் பறவை ஒரு லேடிபேர்ட் போன்ற எச்சரிக்கை வடிவிலான பூச்சியைக் கண்டு அதை சாப்பிட முயற்சி செய்யலாம், ஆனால் அது ஒரு முறை மட்டுமே இதைச் செய்யும்; மிக விரைவில் அது கசப்பான பூச்சியைத் துப்பும்; அந்தப் பகுதியில் உள்ள மற்ற லேடிபேர்ட்ஸ் தொந்தரவில்லாமல் இருக்கும். இளம் சிறுத்தைகள் மற்றும் பெண் பறவைகள், எப்படியாவது புள்ளிகளை உருவாக்கும் மரபணுக்களைப் பெற்று, உயிர்வாழ்கின்றன. ஆனால் இந்த பரிணாம மற்றும் செயல்பாட்டு வாதங்கள் இந்த விலங்குகளுக்கு அவற்றின் வடிவங்கள் ஏன் தேவை என்பதை விளக்கும் அதேவேளை, வடிவங்கள் எவ்வாறு உருவாகின்றன என்பதை அவை விளக்கவில்லை. முறை உருவாக்கம் ஆலன் டூரிங் மற்றும் பின்னர் கணித உயிரியலாளர் ஜேம்ஸ் முர்ரே, தன்னிச்சையாக புள்ளி அல்லது கோடுகள் கொண்ட வடிவங்களை உருவாக்கும் ஒரு பொறிமுறையை விவரித்தனர்ஃ ஒரு எதிர்வினை-பரவல் அமைப்பு. ஒரு இளம் உயிரினத்தின் உயிரணுக்கள் ஒரு இரசாயன சமிக்ஞை, ஒரு மார்ஃபோஜென் மூலம் இயக்கக்கூடிய மரபணுக்களைக் கொண்டுள்ளன, இதன் விளைவாக ஒரு குறிப்பிட்ட வகை கட்டமைப்பின் வளர்ச்சி ஏற்படுகிறது, இது ஒரு இருண்ட நிறமி தோல் என்று கூறுகிறது. மார்ஃபோஜென் எல்லா இடங்களிலும் இருந்தால், இதன் விளைவாக ஒரு கருப்பு சிறுத்தையைப் போல சமமான நிறமி இருக்கும். ஆனால் அது சமமாக விநியோகிக்கப்படாவிட்டால், புள்ளிகள் அல்லது கோடுகள் ஏற்படலாம். மார்ஃபோஜெனின் உற்பத்தியில் பின்னூட்டக் கட்டுப்பாடு இருக்க முடியும் என்று டூரிங் பரிந்துரைத்தார். இது உடலைச் சுற்றி பரவுவதால் மார்போஜெனின் அளவில் தொடர்ச்சியான ஏற்ற இறக்கங்களை ஏற்படுத்தக்கூடும். நிற்கும் அலை வடிவங்களை உருவாக்க இரண்டாவது வழிமுறை தேவைப்படுகிறது (புள்ளிகள் அல்லது கோடுகள் ஏற்படுவதற்கு): ஒரு தடுப்பு இரசாயனம் இது மார்போஜெனின் உற்பத்தியை நிறுத்துகிறது, மேலும் இது மார்போஜெனை விட உடல் முழுவதும் விரைவாக பரவுகிறது, இதன் விளைவாக ஒரு ஆக்டிவேட்டர்-இன்ஹிபிட்டர் திட்டம் ஏற்படுகிறது. பெலோசோவ்-ஜாபோடின்ஸ்கி எதிர்வினை இந்த வகையான திட்டத்திற்கு ஒரு உயிரியல் அல்லாத எடுத்துக்காட்டு, ஒரு இரசாயன ஊசலாட்டம். வரிக்குதிரை கோடுகள், ஒட்டகச்சிவிங்கி புள்ளிகள், ஜாகுவார் புள்ளிகள் (இருண்ட உடைந்த வளையங்களால் சூழப்பட்ட நடுத்தர-இருண்ட திட்டுகள்) மற்றும் லேடிபேர்ட் ஷெல் வடிவங்கள் (புள்ளிகள் மற்றும் கோடுகளின் வெவ்வேறு வடிவியல் தளவமைப்புகள், எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்க்கவும்) போன்ற மாறுபட்ட வடிவங்களின் நம்பத்தகுந்த மாதிரிகளை உருவாக்க பிற்கால ஆராய்ச்சியால் முடிந்தது. ரிச்சர்ட் ப்ரமின் செயல்படுத்தல்-தடுப்பு மாதிரிகள், டூரிங்கின் படைப்புகளிலிருந்து உருவாக்கப்பட்டவை, ஆறு மாறிகளைப் பயன்படுத்தி ஒன்பது அடிப்படை உள்-இறகு நிறமி வடிவங்களின் கவனிக்கப்பட்ட வரம்பைக் கணக்கிடுகின்றன, எளிமையான, ஒரு மைய நிறமி இணைப்பு, செறிவூட்டப்பட்ட திட்டுகள், பார்கள், செவ்ரான்கள், கண் புள்ளி, ஜோடி மைய புள்ளிகள், ஜோடி புள்ளிகளின் வரிசைகள் மற்றும் புள்ளிகளின் வரிசை வழியாக. மேலும் விரிவான மாதிரிகள் கினிப் பவுல் நுமிடா மெலிகிரிஸில் சிக்கலான இறகு வடிவங்களை உருவகப்படுத்துகின்றன, இதில் தனிப்பட்ட இறகுகள் அடிப்பகுதியில் உள்ள கம்பிகளிலிருந்து தொலைதூர (தொலைதூர) முனையில் புள்ளிகளின் வரிசைக்கு மாறுகின்றன. இதற்கு இடம் மற்றும் நேரம் ஆகிய இரண்டிலும் உள்ள தொடர்புகளுடன் இரண்டு தடுப்பு சமிக்ஞைகளால் உருவாக்கப்பட்ட ஒரு அலைவு தேவைப்படுகிறது. புலி புதர் மற்றும் தேவதாரு அலைகளின் தாவர நிலப்பரப்பில் பிற காரணங்களுக்காக வடிவங்கள் உருவாகலாம். வறண்ட சரிவுகளில் புலி புதர் கோடுகள் ஏற்படுகின்றன, அங்கு தாவர வளர்ச்சி மழைப்பொழிவு மூலம் மட்டுப்படுத்தப்படுகிறது. தோராயமாக கிடைமட்டமான தாவரங்களின் ஒவ்வொரு பட்டையும் அதற்கு மேலே உள்ள வெற்று மண்டலத்திலிருந்து மழைநீரை திறம்பட சேகரிக்கிறது. மறுமலர்ச்சியின் போது, காற்று இடையூறுக்குப் பிறகு மலை சரிவுகளில் உள்ள காடுகளில் ஃபர் அலைகள் ஏற்படுகின்றன. மரங்கள் விழும்போது, அவை அடைக்கலம் கொடுத்த மரங்கள் வெளிப்படுகின்றன, மேலும் அவை சேதமடைய அதிக வாய்ப்புள்ளது, எனவே இடைவெளிகள் கீழ் காற்றில் விரிவடைகின்றன. இதற்கிடையில், காற்று வீசும் பக்கத்தில், இளம் மரங்கள் வளரும், மீதமுள்ள உயரமான மரங்களின் காற்று நிழலால் பாதுகாக்கப்படுகிறது. இயற்கையான வடிவங்கள் சில நேரங்களில் விலங்குகளால் உருவாகின்றன, வடமேற்கு அமெரிக்காவின் மிமா குன்றுகள் மற்றும் வேறு சில பகுதிகளில், பாக்கெட் கோஃபர்களின் துளையிடும் நடவடிக்கைகளால் பல ஆண்டுகளாக உருவாக்கப்பட்டதாகத் தெரிகிறது, அதே நேரத்தில் நமீபியாவின் தேவதை வட்டங்கள் என்று அழைக்கப்படுபவை பாலைவன தாவரங்களுக்கிடையே தண்ணீருக்கான போட்டியுடன், மணல் கரையான்களின் போட்டியிடும் குழுக்களின் தொடர்புகளால் உருவாக்கப்பட்டதாகத் தெரிகிறது. வருடாந்திர உறைபனி மற்றும் உருகலுக்கு உட்பட்டு ஒரு சுறுசுறுப்பான மேல் அடுக்கு கொண்ட பெர்மாஃப்ரோஸ்ட் மண்ணில், வடிவமைப்பு தரை உருவாகலாம், வட்டங்கள், வலைகள், பனி வெட்ஜ் பலகோணங்கள், படிகள் மற்றும் கோடுகள் உருவாக்கப்படுகின்றன. வெப்பச் சுருக்கம் சுருங்கும் விரிசல்களை உருவாக்குகிறது; ஒரு கரைப்பில், நீர் விரிசல்களை நிரப்புகிறது, அடுத்த முறை உறைந்திருக்கும் போது பனிக்கட்டியை உருவாக்க விரிவடைகிறது, மேலும் விரிசல்களை வெட்ஜ்களாக விரிவுபடுத்துகிறது. இந்த பிளவுகள் இணைந்து பலகோணங்கள் மற்றும் பிற வடிவங்களை உருவாக்கலாம். முதுகெலும்பு மூளையில் உருவாகும் பிளவு வடிவம் இரண்டு வடிவியல் அளவுருக்களைப் பொறுத்து கட்டுப்படுத்தப்பட்ட விரிவாக்கத்தின் உடல் செயல்முறையால் ஏற்படுகிறதுஃ உறவினர் தொடுகோடு கார்டிகல் விரிவாக்கம் மற்றும் புறணி தடிமன். மென்மையான, அடுக்கு ஜெல்களில் தொடங்கி மூளையின் மாதிரிகளில் கைரி (சிகரங்கள்) மற்றும் சல்சி (தொட்டிகள்) போன்ற ஒத்த வடிவங்கள் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளன, ஒரு கரைப்பானைச் சேர்த்த பிறகு வெளிப்புற அடுக்கு (புறணி குறிக்கும்) விரிவாக்கத்தின் விளைவாக ஏற்படும் அழுத்த இயந்திர சக்திகளால் ஏற்படும் வடிவங்களுடன். கணினி உருவகப்படுத்துதல்களில் உள்ள எண் மாதிரிகள் பெரிய மூளையில் மேற்பரப்பு மடிப்பு வடிவங்கள் அதிகரிக்கின்றன என்ற இயற்கையான மற்றும் சோதனை அவதானிப்புகளை ஆதரிக்கின்றன. மேலும் காண்க தாவரங்களின் வளர்ச்சி உயிரியல் எழுச்சி பரிணாம வரலாறு கணிதம் மற்றும் கலை மார்போஜெனெசிஸ் முறை உருவாக்கம் விட்மன்ஸ்டெட்டன் முறை குறிப்புகள் அடிக்குறிப்புகள் மேற்கோள்கள் நூலியல் முன்னோடி எழுத்தாளர்கள் ஃபிபோனாச்சி, லியோனார்டோ. லிபர் அபாசி, 1202. சிக்லர், லாரன்ஸ் ஈ. ஃபிபோனாச்சியின் லிபர் அபாசி மொழிபெயர்த்தார். ஸ்பிரிங்கர், 2002. ஹேக்கல், எர்ன்ஸ்ட். குன்ஸ்ட்ஃபார்மன் டெர் நேச்சூர் (இயற்கையில் கலை வடிவங்கள்), 1899-1904. தாம்சன், டி 'ஆர்சி வென்ட்வொர்த். வளர்ச்சி மற்றும் வடிவம் பற்றி. கேம்பிரிட்ஜ், 1917. பொது புத்தகங்கள் ஆடம், ஜான் ஏ. இயற்கையில் கணிதம்-இயற்கை உலகில் மாதிரிகள். பிரின்ஸ்டன் பல்கலைக்கழக அச்சகம், 2006. பந்து, பிலிப். இயற்கையில் உள்ள வடிவங்கள். சிகாகோ, 2016. மர்பி, பாட் மற்றும் நீல், வில்லியம். இயற்கையின் வடிவமைப்பால். குரோனிக்கல் புக்ஸ், 1993. இயற்கையின் வடிவங்கள் (கலையாக) எட்மையர், பெர்னார்ட். பூமியின் வடிவங்கள். ஃபைடான் பிரஸ், 2007. மேக்னாப், மேகி. இயற்கையின் வடிவமைப்புஃ வடிவமைப்பில் உலகளாவிய வடிவங்கள் மற்றும் கோட்பாடுகளைப் பயன்படுத்துதல். நியூ ரைடர்ஸ், 2012. நகமுரா, ஷிகேகி. மாதிரி மூலப்புத்தகம்ஃ இயற்கையால் ஈர்க்கப்பட்ட 250 வடிவங்கள். புத்தகங்கள் 1 மற்றும் 2. ராக்போர்ட், 2009. ஓ 'நீல், பாலி. மேற்பரப்புகள் மற்றும் கட்டமைப்புகள்ஃ ஒரு காட்சி மூல புத்தகம். பிளாக், 2008. போர்ட்டர், எலியட், மற்றும் க்ளீக், ஜேம்ஸ். இயற்கையின் குழப்பம். வைக்கிங் பென்குயின், 1990. வெளிப்புற இணைப்புகள் ஃபிபோனாச்சி எண்கள் மற்றும் தங்க பிரிவு ஃபிலோடாக்சிஸ்ஃ தாவர வடிவமைப்பு உருவாக்கத்தின் கணித ஆய்வுக்கான ஒரு ஊடாடும் தளம் பயன்பாட்டு கணித அறிவியல் வரலாறு இயற்கை வடிவமைப்பு உருவாக்கம் முறைகள் பொழுதுபோக்கு கணிதம்