Tensors in curvilinear coordinates
வளைவு முனையங்களை டென்சர் கால்குலஸில் வடிவமைக்க முடியும், இயற்பியல் மற்றும் பொறியியலில் முக்கியமான பயன்பாடுகளுடன், குறிப்பாக இயற்பியல் அளவுகளின் போக்குவரத்து மற்றும் திரவ இயக்கவியல் மற்றும் தொடர்ச்சியான இயக்கவியலில் பொருளின் சிதைவை விவரிப்பதற்கு. முப்பரிமாண வளைவான ஆயத்தொகுதிகளில் உள்ள திசையன் மற்றும் இழுவிசை இயற்கணிதம் வளைவான ஆயத்தொகுதிகளில் அடிப்படை திசையன் மற்றும் இழுவிசை இயற்கணிதம் இயக்கவியல் மற்றும் இயற்பியலில் சில பழைய அறிவியல் இலக்கியங்களில் பயன்படுத்தப்படுகிறது, மேலும் 1900 களின் முற்பகுதி மற்றும் நடுப்பகுதியில் இருந்து வேலையைப் புரிந்துகொள்ள இன்றியமையாததாக இருக்கலாம், எடுத்துக்காட்டாக பச்சை மற்றும் ஜெர்னாவின் உரை. திசையன்களின் இயற்கணிதத்தில் சில பயனுள்ள உறவுகள் மற்றும் வளைவான ஆயத்தொகுதிகளில் இரண்டாவது வரிசை டென்சர்கள் இந்த பிரிவில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. குறியீடு மற்றும் உள்ளடக்கங்கள் முதன்மையாக ஓக்டென், நாக்டி, சிம்மண்ட்ஸ், கிரீன் மற்றும் ஜெர்னா, பசார் மற்றும் வெய்செர்ட் மற்றும் சியர்லெட் ஆகியவற்றிலிருந்து வந்தவை. ஒருங்கிணைந்த மாறிகள் மற்றும் ஒருங்கிணைந்த மாறிகள் கொண்ட இரண்டு ஒருங்கிணைப்பு அமைப்புகளைக் கவனியுங்கள், அவற்றை நாம் சுருக்கமாக நியாயமாகவும் முறையே பிரதிநிதித்துவப்படுத்துவோம், மேலும் எப்போதும் நமது குறியீடு 1 முதல் 3 வரை இயங்குகிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம். இந்த ஒருங்கிணைப்பு அமைப்புகள் முப்பரிமாண யூக்ளிடியன் இடத்தில் உட்பொதிக்கப்பட்டுள்ளன என்று நாம் கருதுவோம். ஒருங்கிணைப்புகள் மற்றும் ஒருவருக்கொருவர் விளக்க பயன்படுத்தப்படலாம், ஏனென்றால் ஒரு ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் ஒருங்கிணைப்புக் கோடு வழியாக நாம் செல்லும்போது நமது நிலையை விவரிக்க மற்றொன்றைப் பயன்படுத்தலாம். இந்த வழியில் ஒருங்கிணைப்புகள் மற்றும் ஒருவருக்கொருவர் செயல்பாடுகள், இதற்காக எழுதப்படலாம் இந்த மூன்று சமன்பாடுகளும் ஒன்றாக ஒரு ஒருங்கிணைப்பு மாற்றம் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன. இந்த மாற்றத்தை இதன் மூலம் குறிக்கலாம். எனவே ஒருங்கிணைப்பு மாறிகள் கொண்ட ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பிலிருந்து ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பிற்கு ஒருங்கிணைப்புகளுடன் மாற்றத்தை நாம் பிரதிநிதித்துவப்படுத்துவோம்ஃ இதேபோல் பின்வருவனவற்றின் செயல்பாடாக நாம் பிரதிநிதித்துவப்படுத்தலாம்ஃ இதேபோல் இலவச சமன்பாடுகளை மிகவும் சுருக்கமாக எழுதலாம் இந்த மூன்று சமன்பாடுகளும் ஒன்றாக ஒருங்கிணைப்பு மாற்றம் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன. இந்த மாற்றத்தை இதன் மூலம் குறிக்கலாம். ஒருங்கிணைப்பு மாறிகள் கொண்ட ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பிலிருந்து ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பிற்கு ஒருங்கிணைப்புகளுடன் மாற்றத்தை நாம் பிரதிநிதித்துவப்படுத்துவோம்ஃ மாற்றம் புறநிலை என்றால், மாற்றத்தின் படத்தை அழைக்கிறோம், அதாவது, ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய ஆயங்களின் தொகுப்பு. நேரியல் என்றால் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு ஒரு அஃபைன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு என்று அழைக்கப்படும், இல்லையெனில் ஒரு வளைந்த ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது ஜாகோபியன் இப்போது நாம் கோஆர்டினேட்டுகள் மற்றும் ஒருவருக்கொருவர் செயல்பாடுகள் என்பதைக் காணும்போது, கருத்தில் கொள்ள வேண்டிய ஒருங்கிணைப்பு மாறியைப் பொறுத்தவரை ஒருங்கிணைப்பு மாறியின் வழித்தோன்றலை நாம் எடுக்கலாம், இந்த வழித்தோன்றல்களை ஒரு மேட்ரிக்ஸில் ஏற்பாடு செய்யலாம், சொல்லுங்கள், இதில்-வது வரிசை மற்றும்-வது நெடுவரிசையில் உள்ள உறுப்பு. வளைவான ஆயத்தொகுதிகளில் உள்ள திசையன்கள் (b1, b2, b3) முப்பரிமாண யூக்ளிடியன் இடத்திற்கு ஒரு தன்னிச்சையான அடிப்படையாக இருக்கட்டும். பொதுவாக, அடிப்படை திசையன்கள் அலகு திசையன்கள் அல்லது பரஸ்பர ஆர்த்தோகனல் அல்ல. இருப்பினும், அவை நேரியல் ரீதியாக சுயாதீனமாக இருக்க வேண்டும். பின்னர் ஒரு திசையன் v ஐ இவ்வாறு வெளிப்படுத்தலாம் vk கூறுகள் திசையன் v இன் மாறுபட்ட கூறுகளாகும். பரஸ்பர அடிப்படை (b1, b2, b3) δij என்பது க்ரோனெக்கர் டெல்டா என்ற உறவின் மூலம் வரையறுக்கப்படுகிறது. திசையன் v ஐ பரஸ்பர அடிப்படையின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தலாம்ஃ கூறுகள் vk என்பது திசையனின் மாறுபட்ட கூறுகளாகும். வளைவான ஆயத்தொகுதிகளில் இரண்டாவது வரிசை டென்சர்களை இரண்டாவது வரிசை டென்சர் என வெளிப்படுத்தலாம். சிஜ் கூறுகள் மாறுபட்ட கூறுகள் என்றும், சிஜ் கலப்பு வலது-மாறுபட்ட கூறுகள் என்றும், சிஜ் கலப்பு இடது-மாறுபட்ட கூறுகள் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன. மேலும், இரண்டாவது வரிசை டென்சரின் கூறுகள் தி ஆல்டர்னேட்டிங் டென்சரால் தொடர்புடையவை ஒரு ஆர்த்தோனார்மல் வலது கை அடிப்படையில், மூன்றாம் வரிசை ஆல்டர்னேட்டிங் டென்சர் என வரையறுக்கப்படுகிறது ஒரு பொதுவான வளைவு அடிப்படையில் அதே டென்சரை வெளிப்படுத்தலாம் இப்போது, எனவே, இதேபோல், வெக்டர் செயல்பாடுகள் அடையாள வரைபடம் என்று நான் வரையறுத்த அடையாள வரைபடத்தை காட்டலாம்ஃ ஸ்கேலார் (டாட்) தயாரிப்பு வளைவு ஆயத்தொகுப்புகளில் இரண்டு திசையன்களின் அளவிடக்கூடிய தயாரிப்பு வெக்டர் (குறுக்கு) தயாரிப்பு இரண்டின் குறுக்கு தயாரிப்பு வளைவான ஆயத்தொகுதிகளில், சமமான வெளிப்பாடுஃ மூன்றாம் வரிசை மாற்று டென்சர் எங்கே. இரண்டு திசையன்களின் குறுக்கு பெருக்கல் பின்வருமாறு வழங்கப்படுகிறதுஃ இங்கு εijk என்பது வரிசைமாற்ற சின்னம் மற்றும் ஒரு கார்ட்டீசியன் அடிப்படை திசையன் ஆகும். எனவே, மற்றும் எனவே, திசையன் பெருக்கிக்குத் திரும்புவது மற்றும் உறவுகளைப் பயன்படுத்துவதுஃ நமக்குத் தருகிறதுஃ இழுவிசை செயல்பாடுகள் அடையாள வரைபடம் ஒரு திசையனில் இரண்டாவது வரிசை இழுவிசையின் செயலாக வரையறுக்கப்பட்ட அடையாள வரைபடம் இந்த செயலை வளைவான ஆயத்தொகுதிகளில் இரண்டு இரண்டாவது வரிசை இழுவிசைகளின் உள் விளைபொருளாக வெளிப்படுத்தலாம் இரண்டு இரண்டாவது வரிசை இழுவிசைகளின் உள் விளைபொருளை வளைவான ஆயத்தொகுதிகளில் மாற்றாக, இரண்டாவது வரிசை இழுவிசையை தீர்மானிப்பவராக வெளிப்படுத்தலாம். பின்னர், இந்த உறவிலிருந்து நாம் மாற்றத்தின் ஜாகோபியனாக இருக்கட்டும் என்பதைக் காட்டலாம். பின்னர், தீர்மானிப்பவரின் வரையறையிலிருந்து, நம்மிடம் பல சுவாரஸ்யமான முடிவுகள் இருப்பதால் மேலே உள்ள உறவுகளைப் பயன்படுத்தி பெறலாம். எனவே, மற்றொரு சுவாரஸ்யமான உறவு கீழே பெறப்பட்டுள்ளது என்ற உண்மையைப் பயன்படுத்தி நாம் அதைக் காட்டலாம். எங்கே A என்பது ஒரு, இன்னும் தீர்மானிக்கப்படாத, மாறிலி என்பதை நினைவில் கொள்க. பின்னர் இந்த அவதானிப்பு குறியீட்டு குறியீட்டில் உள்ள உறவுகளுக்கு வழிவகுக்கிறது, வழக்கமான வரிசைமாற்ற சின்னம் எங்கே. வளைவு மற்றும் கார்ட்டீசியன் தளங்களுக்கு இடையிலான வரைபடத்தின் மாற்று வடிவம் மிகவும் பயனுள்ளதாக இருப்பதால், உருமாற்ற டென்சர் F க்கான வெளிப்படையான வெளிப்பாட்டை நாம் அடையாளம் காணவில்லை. இதேபோல், இந்த முடிவுகளிலிருந்து நம்மிடம் உள்ளது மற்றும் முப்பரிமாண வளைவு ஆயத்தொகுப்புகளில் வெக்டர் மற்றும் டென்சர் கால்குலஸ் சைமண்ட்ஸ், டென்சர் பகுப்பாய்வு குறித்த தனது புத்தகத்தில், ஆல்பர்ட் ஐன்ஸ்டீன் மேற்கோள் காட்டுகிறார், பொதுவாக வளைவு ஆயத்தொகுப்புகளில் வெக்டர் மற்றும் டென்சர் கால்குலஸ் பொது சார்பியலில் நான்கு பரிமாண வளைவு பன்மடங்கு, வளைந்த ஷெல்ல்களின் இயக்கவியலில், மெட்டாமெட்டீரியல்கள் மற்றும் பல துறைகளில் ஆர்வமாக இருந்த மேக்ஸ்வெல்லின் சமன்பாடுகளின் மாறாத பண்புகளை ஆராய்வதில் டென்சர் பகுப்பாய்வில் பயன்படுத்தப்படுகிறது. திசையன்களின் கால்குலஸில் சில பயனுள்ள உறவுகள் மற்றும் வளைவான ஆயத்தொகுப்புகளில் இரண்டாவது வரிசை டென்சர்கள் இந்த பிரிவில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. குறியீடு மற்றும் உள்ளடக்கங்கள் முதன்மையாக ஓக்டென், சிம்மண்ட்ஸ், கிரீன் மற்றும் ஜெர்னா, பசார் மற்றும் வெய்செர்ட் மற்றும் சியர்லெட் ஆகியவற்றிலிருந்து வந்தவை. அடிப்படை வரையறைகள் விண்வெளியில் ஒரு புள்ளியின் நிலை மூன்று ஒருங்கிணைப்பு மாறிகளால் வகைப்படுத்தப்படட்டும். ஒருங்கிணைப்பு வளைவு q1 என்பது q2, q3 நிலையான ஒரு வளைவைக் குறிக்கிறது. x என்பது சில தோற்றத்துடன் தொடர்புடைய புள்ளியின் நிலை திசையனாக இருக்கட்டும். பின்னர், அத்தகைய வரைபடம் மற்றும் அதன் தலைகீழ் உள்ளன மற்றும் தொடர்ச்சியானவை என்று கருதி, நாம் எழுதலாம் புலங்கள் (x) வளைவு ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பின் வளைவு ஒருங்கிணைப்பு செயல்பாடுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன (x) = φ−1 (x). qi ஒருங்கிணைப்பு வளைவுகள் qj, qk நிலையான மூலம் கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாடுகளின் ஒரு அளவுரு குடும்பத்தால் வரையறுக்கப்படுகின்றன. வளைவுகளை ஒருங்கிணைக்க தொடுகோடு திசையன் xi (α) புள்ளியில் (அல்லது x புள்ளியில் உள்ள ஒருங்கிணைப்பு வளைவு qi க்கு) வளைவு xi க்கு தொடுகோடு திசையன் சாய்வு அளவீட்டு புலம் f (x) விண்வெளியில் ஒரு அளவிடக்கூடிய புலமாக இருக்கட்டும். பின்னர் f புலத்தின் சாய்வு c ஒரு தன்னிச்சையான மாறிலி திசையன் மூலம் வரையறுக்கப்படுகிறது. சி இன் சிஐ கூறுகளை நாம் வரையறுத்தால், நாம் அமைத்தால், ஒரு திசையன் சி இன் மாறுபட்ட கூறுகளை பிரித்தெடுப்பதற்கான ஒரு வழிமுறையை எங்களிடம் உள்ளது. ஒரு புள்ளியில் பை என்பது மாறுபட்ட (அல்லது இயற்கையான) அடிப்படையாக இருந்தால், அந்த கட்டத்தில் பை என்பது மாறுபட்ட (அல்லது பரஸ்பர) அடிப்படையாக இருந்தால், இந்த அடிப்படையைத் தேர்ந்தெடுப்பதற்கான ஒரு சுருக்கமான பகுத்தறிவு அடுத்த பிரிவில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. திசையன் புலம் ஒரு திசையன் புலம் f (x) இன் சாய்வை அடைய இதேபோன்ற செயல்முறையைப் பயன்படுத்தலாம். நிலை திசையன் புலம் r (x) = x இன் சாய்வைக் கருத்தில் கொண்டால், திசையன் புலம் qi ஒருங்கிணைப்பு வளைவுக்கு தொடுகோடு என்பதைக் காட்டலாம் மற்றும் வளைவின் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் இயற்கையான அடிப்படையை உருவாக்குகிறது. இந்த அடிப்படை, இந்த கட்டுரையின் தொடக்கத்தில் விவாதிக்கப்பட்டபடி, கோவேரியன்ட் வளைவு அடிப்படை என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. நாம் ஒரு பரஸ்பர அடிப்படையை வரையறுக்கலாம், அல்லது மாறுபட்ட வளைவு அடிப்படையை வரையறுக்கலாம். அடிப்படை திசையன்களுக்கு இடையிலான அனைத்து இயற்கணித உறவுகளும், டென்சர் இயற்கணிதத்தின் பிரிவில் விவாதிக்கப்பட்டபடி, இயற்கையான அடிப்படையிலும் ஒவ்வொரு புள்ளி x இல் அதன் பரஸ்பரத்திற்கும் பொருந்தும். c தன்னிச்சையானது என்பதால், மாறுபட்ட அடிப்படை திசையன் b என்பது மாறிலி sii இன் மேற்பரப்புக்கு செங்குத்தாக உள்ளது மற்றும் முதல் வகையான கிறிஸ்டோஃபெல் சின்னங்களால் வழங்கப்படுகிறது என்பதை நாம் எழுதலாம். மேற்கண்ட உறவுகளை மறுசீரமைக்க இவற்றைப் பயன்படுத்துவது இரண்டாவது வகையின் கிறிஸ்டோஃபெல் சின்னங்களை வழங்குகிறது இரண்டாவது வகையின் கிறிஸ்டோஃபெல் சின்னங்கள் இதில் வரையறுக்கப்படுகின்றன இது பின்வரும் பிற உறவுகள் மற்றொரு குறிப்பாக பயனுள்ள உறவு என்பதைக் குறிக்கிறது, இது கிறிஸ்டோஃபெல் சின்னம் மெட்ரிக் டென்சர் மற்றும் அதன் வழித்தோன்றல்களை மட்டுமே சார்ந்துள்ளது என்பதைக் காட்டுகிறது, இது ஒரு திசையன் புலத்தின் சாய்வுக்கான தெளிவான வெளிப்பாடாகும் வளைவு ஆயத்தொகுப்புகளில் ஒரு திசையன் புலத்தின் சாய்வுக்கான பின்வரும் வெளிப்பாடுகள் மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும். ஒரு இயற்பியல் திசையன் புலத்தைக் குறிக்கும் திசையன் புலம் v ஐ புலத்தின் மாறுபட்ட கூறுகள் எங்கு உள்ளன, இயற்பியல் கூறுகள் மற்றும் (கூட்டுத்தொகை இல்லை) இயல்பாக்கப்பட்ட மாறுபட்ட அடிப்படை திசையன் என குறிப்பிடலாம். இரண்டாவது வரிசை டென்சர் புலம் இரண்டாவது வரிசை டென்சர் புலத்தின் சாய்வு இதேபோல் சாய்வுக்கான வெளிப்படையான வெளிப்பாடுகளாக வெளிப்படுத்தப்படலாம் ஒரு மாறுபட்ட அடிப்படையின் அடிப்படையில் டென்சருக்கான வெளிப்பாட்டை நாம் கருத்தில் கொண்டால், பின்னர் ஒரு இயற்பியல் இரண்டாவது வரிசை டென்சர் புலத்தை பிரதிநிதித்துவப்படுத்துவதையும் நாம் எழுதலாம். இது (மீண்டும் எந்த கூட்டுத்தொகையும் இல்லை) வேறுபாடு திசையன் புலம் ஒரு திசையன் புலத்தின் வேறுபாடு () ஒரு வளைவு அடிப்படையைப் பொறுத்து கூறுகளின் அடிப்படையில் வரையறுக்கப்படுகிறது ஒரு திசையன் புலத்தின் வேறுபாடு ஒரு மாற்று சமன்பாடு அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படுகிறது. இந்த உறவைப் பெற, இப்போது, சமச்சீர் காரணமாக, [ஜிஜ்] என்பது ஜிஜ் கூறுகளாக இருக்கும் மேட்ரிக்ஸ் என்றால், மேட்ரிக்ஸின் தலைகீழ் என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள். மேட்ரிக்ஸின் தலைகீழ் ஐஜ் என்பது ஜிஜ் கூறுகளின் கோஃபாக்டர் மேட்ரிக்ஸ் ஆகும். மேட்ரிக்ஸ் இயற்கணிதத்திலிருந்து நம்மிடம் உள்ளது எனவே, இந்த உறவை வேறுபாடுக்கான வெளிப்பாட்டிற்குள் செருகுவது ஒரு சிறிய கையாளுதல் மிகவும் கச்சிதமான வடிவத்திற்கு வழிவகுக்கிறது இரண்டாவது வரிசை டென்சர் புலம் இரண்டாவது வரிசை டென்சர் புலத்தின் வேறுபாடு a ஒரு தன்னிச்சையான மாறிலி திசையன் இடத்தைப் பயன்படுத்தி வரையறுக்கப்படுகிறது. வளைவு ஆயத்தொகுதிகளில், லாப்லாசியன் அளவீட்டு புலம் ஒரு அளவீட்டு புலத்தின் லாப்லாசியன் என்பது ஒரு திசையன் புலத்தின் வேறுபாட்டிற்கான மாற்று வெளிப்பாட்டைப் பயன்படுத்துவதாக வரையறுக்கப்படுகிறது இப்போது, ஒரு திசையன் புலத்தின் சுருள் ஒரு திசையன் புலத்தின் சுருட்டை மாறுபட்ட வளைவு ஆயத்தொகுப்புகளில் ஆர்த்தோகனல் வளைவு ஆயத்தொகுப்புகள் இருக்கும் இடத்தில் எழுதப்படலாம், இந்த பிரிவின் நோக்கங்களுக்காக, வளைவு ஆயத்தொகுப்பு அமைப்பு ஆர்த்தோகனல், அதாவது, அல்லது அதற்கு சமமாக, எங்கே. முன்பு போலவே, அவை மாறுபட்ட அடிப்படை திசையன்கள் மற்றும் Bi, bj ஆகியவை மாறுபட்ட அடிப்படை திசையன்கள். மேலும், (e1, e2, e3) ஒரு பின்னணி, நிலையான, கார்ட்டீசியன் அடிப்படையாக இருக்கட்டும். ஆர்த்தோகனல் வளைவு ஆயங்களின் பட்டியல் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. ஆர்த்தோகனல் வளைவு ஆயத்தொகுப்புகளில் மெட்ரிக் டென்சர் r (x) என்பது ஆயத்தொகுப்பு அமைப்பின் தோற்றத்தைப் பொறுத்தவரை x புள்ளியின் நிலை திசையனாக இருக்கட்டும். x = r (x) என்பதைக் குறிப்பிடுவதன் மூலம் குறியீட்டை எளிமைப்படுத்தலாம். ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் நாம் ஒரு சிறிய கோடு உறுப்பு dx ஐ உருவாக்க முடியும். கோடு தனிமத்தின் நீளத்தின் சதுரம் அளவிடக்கூடிய பெருக்கல் dx • dx ஆகும், இது இடத்தின் மெட்ரிக் என்று அழைக்கப்படுகிறது. வளைவான ஆயத்தொகுதிகளைப் பற்றி பேசும்போது ஆர்வமுள்ள இடம் யூக்ளிடியன் என்று கருதப்படுகிறது என்பதை நினைவில் கொள்க. நிலை திசையனை பின்னணி, நிலையான, கார்ட்டீசியன் அடிப்படையின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்துவோம், அதாவது, சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்தி, முப்பரிமாண ஆர்த்தோகனல் வளைவு ஆயத்தொலைவுகள் (q1, q2, q3) அடிப்படையில் dx ஐ வெளிப்படுத்தலாம். ஹிஜ் என்பது லேம் குணகங்கள் என்பதைக் கவனியுங்கள். அளவுகோல் காரணிகளை நாம் வரையறுத்தால், ஹாய், அடிப்படை டென்சருக்கும் லேம் குணகங்களுக்கும் இடையிலான உறவைப் பெறுகிறோம். எடுத்துக்காட்டுஃ துருவ ஆயத்தொலைவுகள் R2 க்கான துருவ ஆயத்தொலைவுகளை நாம் கருத்தில் கொண்டால், (r, θ) வளைவான ஆயத்தொலைவுகள் மற்றும் மாற்றத்தின் ஜாகோபியன் தீர்மானிப்பவர் (r, θ) → (r cos θ, r sin θ) என்பது r. ஆர்த்தோகனல் அடிப்படையிலான திசையன்கள் fr = (cos θ, sin θ), bθ = (−r sin θ, r cos θ). இயல்பாக்கப்பட்ட அடிப்படை திசையன்கள் er = (cos θ, sin θ), eθ = (− sin θ, cos θ) மற்றும் அளவீட்டு காரணிகள் hr = 1 மற்றும் hθ = r ஆகும். அடிப்படை இழுவிசை g11 = 1, g22 = r2, g12 = g21 = 0 ஆகும். கோடு மற்றும் மேற்பரப்பு ஒருங்கிணைப்புகள் திசையன் கால்குலஸ் கணக்கீடுகளுக்கு வளைவான ஆயத்தொகுதிகளைப் பயன்படுத்த விரும்பினால், கோடு, மேற்பரப்பு மற்றும் தொகுதி ஒருங்கிணைப்புகளின் கணக்கீட்டில் மாற்றங்கள் செய்யப்பட வேண்டும். எளிமைக்காக, விவாதத்தை மீண்டும் மூன்று பரிமாணங்கள் மற்றும் ஆர்த்தோகனல் வளைவு ஆயத்தொலைவுகளுக்கு கட்டுப்படுத்துகிறோம். இருப்பினும், ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு ஆர்த்தோகனல் இல்லாதபோது வெளிப்பாடுகளில் சில கூடுதல் சொற்கள் இருந்தாலும்-பரிமாண சிக்கல்களுக்கு அதே வாதங்கள் பொருந்தும். வரி ஒருங்கிணைப்புகள் பொதுவாக வரி ஒருங்கிணைப்புகளின் கணக்கீட்டில் கார்ட்டீசியன் ஆயத்தொகுப்புகளில் x (t) C ஐ அளவுருவாகக் கணக்கிடுவதில் நாம் ஆர்வமாக உள்ளோம். வளைவான ஆயத்தொகுதிகளில், சங்கிலி விதியின் மூலம் சொல். மற்றும் லேம் குணகங்களின் வரையறையிலிருந்து, எனவே இப்போது, எப்போது முதல், நம்மிடம் உள்ளது, நாம் இயல்பாக தொடரலாம். மேற்பரப்பு ஒருங்கிணைப்புகள் இதேபோல், ஒரு மேற்பரப்பு ஒருங்கிணைப்பில் நாம் ஆர்வமாக இருந்தால், கார்ட்டீசியன் ஆயத்தொகுப்புகளில் மேற்பரப்பின் அளவுருவுடன் தொடர்புடைய கணக்கீடு பின்வருமாறுஃ மீண்டும், வளைவு ஆயத்தொகுப்புகளில், நம்மிடம் உள்ளது மற்றும் மீண்டும் வளைவு ஆயத்தொகுப்புகளின் வரையறையைப் பயன்படுத்துகிறோம். தீர்மானிக்கும் வடிவத்தில், வளைவு ஆயத்தொகுப்புகளின் அடிப்படையில் குறுக்கு விளைபொருள் பின்வருமாறு இருக்கும்ஃ கிரேடு, கர்ல், டிவி, லாப்லாசியன் 3 பரிமாணங்களின் ஆர்த்தோகனல் வளைவு ஆயத்தொகுப்புகளில், ஒருவர் ஒரு அளவிடக்கூடிய அல்லது திசையன் புலத்தின் சாய்வை இவ்வாறு வெளிப்படுத்தலாம். ஒரு திசையன் புலத்தின் சுருட்டை εijk என்பது லெவி-சிவிட்டா சின்னமாக இருக்கும் இடத்தில் வழங்கப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டுஃ உருளை துருவ ஆயத்தொலைவுகள் உருளை ஆயத்தொலைவுகளுக்கு நம்மிடம் உள்ளது மற்றும் எங்கே பின்னர் மாறுபடும் மற்றும் மாறுபட்ட அடிப்படை திசையன்கள் திசைகளில் அலகு திசையன்கள் எங்கே. மெட்ரிக் டென்சரின் கூறுகள் அடிப்படையில் ஆர்த்தோகனல் என்பதைக் காட்டுகின்றன என்பதை நினைவில் கொள்க. இரண்டாவது வகையின் கிறிஸ்டோஃபெல் குறியீட்டின் பூஜ்ஜியமற்ற கூறுகள் ஒரு இயற்பியல் திசையன் புலத்தைக் குறிக்கின்றன உருளை துருவ ஆயத்தொகுதிகளில் இயல்பாக்கப்பட்ட மாறுபட்ட அடிப்படை திசையன்கள் மற்றும் ஒரு திசையன் v இன் இயற்பியல் கூறுகள் ஒரு அளவிடுதல் புலத்தின் சாய்வு, f (x), உருளை ஆயத்தொகுப்புகளில் இப்போது வளைவு ஆயத்தொகுப்புகளில் உள்ள பொதுவான வெளிப்பாட்டிலிருந்து கணக்கிடப்படலாம் மற்றும் ஒரு திசையன் புலத்தின் சாய்வு வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது இதேபோல், ஒரு திசையன் புலத்தின் சாய்வு, v (x), உருளை ஆயத்தொகுப்புகளில் ஒரு திசையன் புலத்தின் வேறுபாடு என்று காட்டப்படலாம். உருளை துருவ ஆயத்தொகுப்புகளில் எனவே, ஒரு இயற்பியல் இரண்டாவது வரிசை இழுவிசை புலத்தைக் குறிக்கிறது இரண்டாவது வரிசை இழுவிசை புலத்தின் இயற்பியல் கூறுகள் என்பது இழுவிசை இயல்பாக்கப்பட்ட மாறுபட்ட அடிப்படையின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தப்படும்போது பெறப்படும் கூறுகளாகும். உருளை துருவ ஆயத்தொகுப்புகளில் இந்த கூறுகள் பின்வருமாறுஃ இரண்டாவது வரிசை இழுவிசை புலத்தின் சாய்வு உருளை துருவ ஆயத்தொகுப்புகளில் இரண்டாவது வரிசை இழுவிசை புலத்தின் சாய்வு இரண்டாவது வரிசை இழுவிசை புலத்தின் வேறுபாடாக வெளிப்படுத்தப்படலாம் என்பதை மேற்கண்ட வரையறைகளைப் பயன்படுத்தி நாம் காட்டலாம். எனவே, கோவேரியன்ஸ் மற்றும் காண்ட்ராவேரியன்ஸ் ஆகியவற்றைப் பார்க்கவும் வளைந்த இடநேர எலும்பியல் ஆயத்தங்களின் கணிதத்திற்கான அடிப்படை அறிமுகம் ஃப்ரெனெட்-செரெட் சூத்திரங்கள் கோவேரியன்ட் வழித்தோன்றல் டென்சர் வழித்தோன்றல் (தொடர்ச்சியான இயக்கவியல்) சுழல் மற்றும் கோள ஆயத்தங்களில் வளைவு முன்னோக்கு டெல் குறிப்புகள் மேலும் வாசிப்பு வெளிப்புற இணைப்புகள் வளைவு ஆயத்தங்களில் அலகு திசையன்களின் வழித்தோன்றல் கணிதத்தின் பக்கம் வளைவு ஆயத்தங்கள் பேராசிரியர் ஆர். பிரானனின் வளைவு ஆயத்தங்கள் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்புகள் குறித்த மின் புத்தகம் 3