List of uniform polyhedra by Schwarz triangle
சீருடை பாலிஹெட்ராவுக்கு இடையே பல உறவுகள் உள்ளன. வைத்தாஃப் கட்டுமானத்தால் கடுமையான மற்றும் குறுகலான ஸ்வார்ஸ் முக்கோணங்களிலிருந்து கிட்டத்தட்ட அனைத்து சீரான பாலிஹெட்ராவையும் உருவாக்க முடியும். 2, 3, 3/2, 4, 4/3, 5, 5/2, 5/3, மற்றும் 5/4 (ஆனால் எண் 4 மற்றும் எண் 5 கொண்ட எண்கள் ஒன்றாக நிகழாமல் போகலாம்). (4/2 ஐப் பயன்படுத்தலாம், ஆனால் 4 மற்றும் 2 ஒரு பொதுவான காரணியைக் கொண்டிருப்பதால் சீரான பாலிஹெட்ராவை சீரழிக்க மட்டுமே வழிவகுக்கிறது.) அத்தகைய 44 ஸ்வார்ஸ் முக்கோணங்கள் உள்ளன (5 முக்கோண சமச்சீர் கொண்டவை, 7 எண்முக சமச்சீர் கொண்டவை மற்றும் 32 ஐகோசாஹெட்ரல் சமச்சீர் கொண்டவை), இவை, டைஹெட்ரல் ஸ்வார்ஸ் முக்கோணங்களின் எல்லையற்ற குடும்பத்துடன் சேர்ந்து, கிட்டத்தட்ட அனைத்து சீரழியாத சீரான பாலிஹெட்ராவையும் உருவாக்க முடியும். முற்றிலும் தற்செயலான செங்குத்துகள், விளிம்புகள் அல்லது முகங்களைக் கொண்ட பல சீரழிந்த சீரான பாலிஹெட்ராவும் வைத்தாஃப் கட்டுமானத்தால் உருவாக்கப்படலாம், மேலும் ஸ்வார்ஸ் முக்கோணங்கள் 4/2 ஐப் பயன்படுத்தாததால் எழுபவையும் அவற்றின் சீரழியாத சகாக்களுடன் கீழே உள்ள அட்டவணைகளில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. ரிஃப்ளெக்ஸ் ஸ்வார்ஸ் முக்கோணங்கள் சேர்க்கப்படவில்லை, ஏனெனில் அவை வெறுமனே நகல்கள் அல்லது சீரழிவுகளை உருவாக்குகின்றன; இருப்பினும், சில அட்டவணைகளுக்கு வெளியே குறிப்பிடப்பட்டுள்ளன, ஏனெனில் அவை மூன்று ஸ்னப் பாலிஹெட்ராவில் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. ஸ்வார்ஸ் முக்கோணங்கள் உருவாக்க முடியாத சில வைத்தோஃபியன் அல்லாத சீருடை பாலிஹெட்ராக்கள் உள்ளன; இருப்பினும், அவற்றில் பெரும்பாலானவை வைத்தோஃப் கட்டுமானத்தைப் பயன்படுத்தி இரட்டை உறைகளாக உருவாக்கப்படலாம் (வைத்தோஃபியன் அல்லாத பாலிஹெட்ரான் ஒரு முறைக்கு பதிலாக இரண்டு முறை மூடப்பட்டிருக்கும்) அல்லது பல கூடுதல் ஒத்த முகங்களுடன் ஒவ்வொரு விளிம்பிலும் இரண்டு முகங்களுக்கு மேல் விடாமல் இருக்க நிராகரிக்கப்பட வேண்டும் (ஓம்னிட்ரன்கேட்டட் polyhedron#Other சம பக்க நான்கோன்வெக்ஸ் பாலிஹெட்ராவைப் பார்க்கவும்). இத்தகைய பாலிஹெட்ரா இந்த பட்டியலில் ஒரு நட்சத்திரத்தால் குறிக்கப்பட்டுள்ளது. கிரேட் டிர்ஹோம்பிகோசிடோடெகாஹெட்ரான் மற்றும் கிரேட் டிஸ்னப் டிர்ஹோம்பிடோடெகாஹெட்ரான் மட்டுமே இன்னும் வைத்தாஃப் கட்டுமானத்தால் உருவாக்கப்படத் தவறிய ஒரே சீரான பாலிஹெட்ரா ஆகும். ஒரு கோளத்தில் உள்ள ஸ்வார்ஸ் முக்கோணங்களின் ஒவ்வொரு ஓடுகளும் கோளத்தை ஒரு முறை மட்டுமே மூடக்கூடும், அல்லது அதற்கு பதிலாக அது கோளத்தை முழு எண்ணிக்கையிலான முறை சுற்றி, செயல்முறையில் தன்னைக் கடக்கலாம். கோளத்தைச் சுற்றியுள்ள டைலிங் காற்று எத்தனை முறை டைலிங்கின் அடர்த்தியைக் குறிக்கிறது, மேலும் இது μ என்று குறிக்கப்படுகிறது. பாலிஹெட்ராவுக்கான ஜொனாதன் போவர்ஸின் குறுகிய பெயர்கள், போவர்ஸ் சுருக்கெழுத்துக்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, அவை இடத்தை சேமிக்க பாலிஹெட்ராவுக்கான முழு பெயர்களுக்குப் பதிலாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. மேடர் குறியீடும் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. டைஹெட்ரல் ஸ்வார்ஸ் முக்கோணங்களைத் தவிர, ஸ்வார்ஸ் முக்கோணங்கள் அவற்றின் அடர்த்தியால் வரிசைப்படுத்தப்படுகின்றன. யூக்ளிடியன் சாய்வுகளின் ஒத்த நிகழ்வுகளும் பட்டியலிடப்பட்டுள்ளன, மேலும் ஹைபர்போலிக் சாய்வுகளின் வழக்குகள் சுருக்கமாகவும் முழுமையடையாமலும் விவாதிக்கப்பட்டுள்ளன. மோபியஸ் மற்றும் ஸ்வார்ஸ் முக்கோணங்கள் π/p, π/q, π/r கோணங்களைக் கொண்ட 4 கோள முக்கோணங்கள் உள்ளன, இதில் (p q r) முழு எண்கள்ஃ (காக்செட்டர், "சீரான பாலிஹெட்ரா", 1954) (2 2 r)-டைஹெட்ரல் (2,33)-டெட்ராஹெட்ரல் (2,34)-ஆக்டாஹெட்ரல் (2,35)-ஐகோசாஹெட்ரல் இவை மோபியஸ் முக்கோணங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. கூடுதலாக ஸ்வார்ஸ் முக்கோணங்கள் (p q r) ஐ விகிதமுறு எண்களாக கருதுகின்றன. இவை ஒவ்வொன்றையும் மேலே உள்ள 4 தொகுப்புகளில் ஒன்றில் வகைப்படுத்தலாம். ஒரு பாலிஹெட்ரான் பொதுவாக ஸ்வார்ஸ் முக்கோணத்திலிருந்து உருவாக்கப்படும் அதே அடர்த்தியைக் கொண்டிருந்தாலும், இது எப்போதும் அப்படி இருக்காது. முதலாவதாக, மாதிரியின் மையத்தின் வழியாகச் செல்லும் முகங்களைக் கொண்ட பாலிஹெட்ரா (ஹெமிபோலிஹெட்ரா, கிரேட் டிர்ஹோம்பிகோசிடோடெகாஹெட்ரான் மற்றும் கிரேட் டிஸ்னப் டிர்ஹோம்பிடோடெகாஹெட்ரான் உட்பட) நன்கு வரையறுக்கப்பட்ட அடர்த்தியைக் கொண்டிருக்கவில்லை. இரண்டாவதாக, ஒரு கோள பாலிஹெட்ரானை அதன் பிளானர் எதிரிக்கு மாற்றும்போது சீரான தன்மையை மீட்டெடுக்க தேவையான விலகல் பாலிஹெட்ரானின் மையத்தின் வழியாக முகங்களைத் தள்ளி மறுபுறம் வெளியேற்றி, அடர்த்தியை மாற்றும். இது பின்வரும் சந்தர்ப்பங்களில் நிகழ்கிறதுஃ பெரிய துண்டிக்கப்பட்ட கியூபோக்டாஹெட்ரான், 2,3,4/3 |. ஸ்வார்ஸ் முக்கோணம் (2,34/3) அடர்த்தி 7 ஐக் கொண்டிருந்தாலும், சீரான தன்மையை மீட்டெடுப்பது எட்டு அறுகோணங்களை மையத்தின் வழியாகத் தள்ளுகிறது, இது அடர்த்தி |7 −8 | = 1 ஐக் கொடுக்கிறது, இது அதே பெரிய வட்டங்களைப் பகிர்ந்து கொள்ளும் நெடுவரிசை ஸ்வார்ஸ் முக்கோணத்தின் (2,34) சமம். துண்டிக்கப்பட்ட டோடெகாடெகாஹெட்ரான், 2,5/3 5 |. ஸ்வார்ஸ் முக்கோணம் (2,5/35) அடர்த்தி 9 ஐக் கொண்டிருந்தாலும், சீரான தன்மையை மீட்டெடுப்பது பன்னிரண்டு டிகாகன்களை மையத்தின் வழியாகத் தள்ளுகிறது, இது அடர்த்தி |9 −12 | = 3 ஐக் கொடுக்கிறது, இது அதே பெரிய வட்டங்களைப் பகிர்ந்து கொள்ளும் நெடுவரிசை ஸ்வார்ஸ் முக்கோணத்தின் (2,5/25) சமம். மூன்று ஸ்னப் பாலிஹெட்ராஃ பெரிய ஐகோசாஹெட்ரான் | 2,3/2 3/2, சிறிய ரெட்ரோஸ்னப் ஐகோசிகோசிடோடெகாஹெட்ரான் | 3/23/2 5/2, மற்றும் பெரிய ரெட்ரோஸ்னப் ஐகோசிடோடெகாஹெட்ரான் | 2,3/2 5/3. இங்கே உச்சி உருவங்கள் பென்டகன்கள் அல்லது அறுகோணங்களை விட பென்டகிராம்கள் அல்லது அறுகோணங்களாக சிதைக்கப்பட்டு, அனைத்து ஸ்னப் முக்கோணங்களையும் மையத்தின் வழியாகத் தள்ளி, முறையே |5 −12 | = 7, |22 −60 | = 38, மற்றும் |23 −60 | = 37 என்ற அடர்த்திகளைத் தருகின்றன. இந்த அடர்த்திகள் மேலே சேர்க்கப்படாத கொலுனார் ரிஃப்ளெக்ஸ்-கோண ஸ்வார்ஸ் முக்கோணங்களைப் போலவே உள்ளன. எனவே பெரிய ஐகோசாஹெட்ரான் (2/33) அல்லது (2,3/4), சிறிய ரெட்ரோஸ்னப் ஐகோசிகோசிடோடெகாஹெட்ரான் (3 3 5/8) அல்லது (3 3/4 5/3), மற்றும் பெரிய ரெட்ரோஸ்னப் ஐகோசிடோடெகாஹெட்ரான் (2/3 3 5/2), (2,3/4 5/3), அல்லது (2 3 5/7) ஆகியவற்றிலிருந்து வந்ததாகக் கருதலாம். (காக்செட்டர், "சீரான பாலிஹெட்ரா", 1954) சுருக்கம் அட்டவணை p, q, r (மற்றும் ஒரு சில சிறப்பு வடிவங்கள்) ஒவ்வொரு தொகுப்பிலும் ஏழு ஜெனரேட்டர் புள்ளிகள் உள்ளனஃ நான்கு சிறப்பு நிகழ்வுகள் உள்ளனஃ p q-இது p q r மற்றும் p q s ஆகியவற்றின் கலவையாகும். p q r மற்றும் p q s ஆகிய இரண்டு குறியீடுகளும் சில கூடுதல் முகங்களுடன் ஒரு பொதுவான அடிப்படை பாலிஹெட்ரானை உருவாக்குகின்றன. குறியீடு p q பின்னர் அடிப்படை பாலிஹெட்ரானைக் குறிக்கிறது, இது p q r மற்றும் p q s ஆகிய இரண்டிற்கும் பொதுவான முகங்களால் ஆனது. p q r-ஸ்னப் வடிவங்கள் (மாறி மாறி) இந்த இல்லையெனில் பயன்படுத்தப்படாத சின்னம் கொடுக்கப்படுகின்றன. p q r s-முக்கோண அடிப்படை களங்களைப் பயன்படுத்தி வைத்தாஃப்-கட்டமைக்க முடியாத U75 க்கான ஒரு தனித்துவமான ஸ்னப் வடிவம். இந்த பாலிஹெட்ரான் ஒரு நாற்கர கோள அடிப்படை களத்தைக் கொண்டிருப்பதால் இந்த வைத்தாஃப் சின்னத்தில் நான்கு எண்கள் சேர்க்கப்பட்டுள்ளன. (p) q (r) s-ஸ்கில்லிங்கின் உருவத்திற்கான ஒரு தனித்துவமான ஸ்னப் வடிவம், இது வைத்தாஃப்-கட்டமைக்க முடியாதது. மேலே பட்டியலிடப்பட்டுள்ள விதிவிலக்கான ஐந்து பாலிஹெட்ராவுக்கு வைத்தாஃப் சின்னத்திலிருந்து உச்சி உள்ளமைவுக்கு இந்த மாற்று அட்டவணை தோல்வியடைகிறது, அவற்றின் அடர்த்திகள் அவற்றின் உருவாக்கும் ஸ்வார்ஸ் முக்கோண டெஸ்லேஷன்களின் அடர்த்திகளுடன் பொருந்தவில்லை. இந்த சந்தர்ப்பங்களில் உச்சி உருவம் தட்டையான முகங்களுடன் சீரான தன்மையை அடைய மிகவும் சிதைக்கப்படுகிறதுஃ முதல் இரண்டு சந்தர்ப்பங்களில் இது ஒரு கடுமையான முக்கோணத்திற்கு பதிலாக ஒரு குறுகலான முக்கோணமாகும், கடைசி மூன்றில் இது ஒரு ஐங்கோணம் அல்லது அறுகோணத்திற்கு பதிலாக ஒரு ஐங்கோணம் அல்லது அறுகோணமாகும், இது மையத்தை இரண்டு முறை சுழற்றுகிறது. இதன் விளைவாக சில முகங்கள் முனை உருவம் சிதைவு இல்லாமல் இடவியல் ரீதியாக சமமான வடிவங்களுடன் ஒப்பிடும்போது பாலிஹெட்ரான் வழியாக வலதுபுறம் தள்ளப்பட்டு மறுபுறம் பின்னோக்கி வெளியே வருகின்றன. கீழேயுள்ள அட்டவணைகளில், சிவப்பு பின்னணிகள் சீரழிந்த பாலிஹெட்ராவைக் குறிக்கின்றன. பச்சை பின்னணிகள் குவிந்த சீருடை பாலிஹெட்ராவைக் குறிக்கின்றன. டைஹெட்ரல் (பிரிஸ்மாடிக்) டைஹெட்ரல் ஸ்வார்ஸ் முக்கோணங்களில், இரண்டு எண்கள் 2 ஆகும், மூன்றாவது எந்த விகிதமுறு எண்ணும் கண்டிப்பாக 1 ஐ விட அதிகமாக இருக்கலாம். (2 2 n/d)-gcd (n, d)> 1 என்றால் சீரழிகிறது. டைஹெட்ரல் சமச்சீர் கொண்ட பல பாலிஹெட்ராவில் டிகோன் முகங்கள் உள்ளன, அவை சிதைந்த பாலிஹெட்ராவை உருவாக்குகின்றன (எ. கா. தீஹெட்ரா மற்றும் ஹோசோஹெட்ரா). சீரழிந்த சீரான பாலிஹெட்ராவை மட்டுமே வழங்கும் அட்டவணையின் நெடுவரிசைகள் சேர்க்கப்படவில்லைஃ சிறப்பு சீரழிந்த நிகழ்வுகள் ((2 2 2) ஸ்வார்ஸ் முக்கோணத்தில் மட்டுமே) ஒரு பெரிய சிலுவையால் குறிக்கப்படுகின்றன. முக்கோண சமத்துவமின்மையை மீறுவதால் p <3/2 இருக்க முடியாது என்பதால் ஒரு அடிப்படை {p} உடன் சீரான குறுக்கு எதிர்ப்பிறப்புக்கள் உள்ளன; இவை ஒரு பெரிய சிலுவையால் குறிக்கப்படுகின்றன. 3/2 குறுக்கு ஆன்டிபிரிசம் (டிரிர்ப்) சீரழிந்து, யூக்ளிடியன் இடத்தில் தட்டையாக இருப்பதால், ஒரு பெரிய சிலுவையால் குறிக்கப்படுகிறது. ஸ்வார்ஸ் முக்கோணங்கள் (2 2 n/d) gcd (n, d) = 1 ஆக இருக்கும்போது மட்டுமே இங்கே பட்டியலிடப்பட்டுள்ளன, இல்லையெனில் அவை சீரழிந்த சீரான பாலிஹெட்ராவை மட்டுமே விளைவிக்கின்றன. கீழே உள்ள பட்டியல் n ≤ 6 உள்ள அனைத்து சாத்தியமான நிகழ்வுகளையும் வழங்குகிறது. நாற்கர ஸ்வார்ஸ் முக்கோணங்களில், அனுமதிக்கப்பட்ட அதிகபட்ச எண் 3 ஆகும். எண்முக ஸ்வார்ஸ் முக்கோணங்களில், அனுமதிக்கப்பட்ட அதிகபட்ச எண் 4 ஆகும். எண்முக ஸ்வார்ஸ் முக்கோணங்களும் உள்ளன, அவை 4/2 ஐ ஒரு எண்ணாகப் பயன்படுத்துகின்றன, ஆனால் இவை 4 மற்றும் 2 ஒரு பொதுவான காரணியைக் கொண்டிருப்பதால் சீரான பாலிஹெட்ராவை சீரழிக்க மட்டுமே வழிவகுக்கின்றன. ஐகோசாஹெட்ரல் ஸ்வார்ஸ் முக்கோணங்களில், அனுமதிக்கப்பட்ட அதிகபட்ச எண் 5 ஆகும். கூடுதலாக, 2 மற்றும் 3 எண்கள் அனுமதிக்கப்பட்டிருந்தாலும், ஐகோசாஹெட்ரல் ஸ்வார்ஸ் முக்கோணங்களில் எண் 4 ஐப் பயன்படுத்த முடியாது. (சில ஸ்வார்ஸ் முக்கோணத்தில் 4 மற்றும் 5 ஒன்றாக நிகழ முடிந்தால், அவை சில மோபியஸ் முக்கோணத்திலும் அவ்வாறு செய்ய வேண்டியிருக்கும்; ஆனால் (2,45) ஒரு கோள முக்கோணம் அல்ல, ஒரு ஹைபர்போலிக் முக்கோணம் என்பதால் இது சாத்தியமற்றது. ஒக்டாஹெமியோக்டாஹெட்ரானைத் தவிர, ஹெமிபோலிஹெட்ரா வைத்தோஃப் கட்டுமானத்தால் இரட்டை உறைகளாக உருவாக்கப்படுகிறது. குறைக்கப்பட்ட வடிவங்கள் இந்த பாலிஹெட்ராக்கள் வைத்தாஃப் கட்டுமானத்தால் கூடுதல் முகங்களுடன் உருவாக்கப்படுகின்றன. டெட்ராஹெமிஹெக்ஸாஹெட்ரான் (தா, யு 4) என்பது {3/2}-குபோலா (பின்னோக்கிய முக்கோண குபோலா, ராட்ரிகு) இன் {6/2} ஆல் குறைக்கப்பட்ட பதிப்பாகும். எனவே இது குறுக்கு முக்கோண கப்லோயிட் என்றும் அழைக்கப்படலாம். மேலே உள்ள பல நிகழ்வுகள் சீரழிந்த ஓம்நிட்ரன்கேட்டட் பாலிஹெட்ரா p q r இலிருந்து பெறப்படுகின்றன. இந்த சந்தர்ப்பங்களில், இரண்டு தனித்துவமான சீரழிந்த நிகழ்வுகள் p q r மற்றும் p q s ஒரே p மற்றும் q இலிருந்து உருவாக்கப்படலாம்; இதன் விளைவாக முறையே {2p} கள், {2q} கள் மற்றும் {2r} கள் அல்லது {2s} கள் உள்ளன. இவை இரண்டும் ஒத்த முகங்கள் நிராகரிக்கப்படும்போது ஒரே சீரற்ற சீரான பாலிஹெட்ராவைத் தருகின்றன, இது காக்செட்டர் p q ஐக் குறிக்கிறது. இந்த நிகழ்வுகள் கீழே பட்டியலிடப்பட்டுள்ளனஃ சிறிய மற்றும் பெரிய ரோம்பிஹெக்ஸாஹெட்ராவில், பின்னம் 4/2 மிகக் குறைந்த சொற்களில் இல்லாவிட்டாலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது. 2 4 2 மற்றும் 2 4/3 2 முறையே ஒற்றை எண்கோண அல்லது எண்கோண முக்கோணத்தைக் குறிக்கின்றன, 2 4 4/2 மற்றும் 2 4/3 4/2 ஆகியவை அத்தகைய மூன்று முக்கோணங்களைக் குறிக்கின்றன, அவை அவற்றின் சில சதுர முகங்களைப் பகிர்ந்து கொள்கின்றன (துல்லியமாக இரட்டிப்பாகும் அவை {8/2} களை உருவாக்குகின்றன). இந்த {8/2} கள் இரு மடங்கு சுழற்சி சமச்சீர் இல்லாமல் நான்கு மடங்காகத் தோன்றுகின்றன, இது 2 க்கு பதிலாக 4/2 இன் பயன்பாட்டை நியாயப்படுத்துகிறது. மற்ற வடிவங்கள் இந்த இரண்டு சீரான பாலிஹெட்ராவையும் வைத்தாஃப் கட்டுமானத்தால் உருவாக்க முடியாது. இது பொதுவாக "வைத்தோஃபியர்கள் அல்லாதவர்கள்" என்று விவரிக்கப்படும் சீரான பாலிஹெட்ராவின் தொகுப்பாகும். வைத்தோஃபியன் சீருடை பாலிஹெட்ராவின் முக்கோண அடிப்படை களங்களுக்கு பதிலாக, இந்த இரண்டு பாலிஹெட்ராவும் நாற்கர அடிப்படை களங்களைக் கொண்டுள்ளன. ஸ்கில்லிங்கின் உருவம் மேடரின் பட்டியலில் ஒரு குறியீட்டைக் கொடுக்கவில்லை, ஏனெனில் இது ஒரு கவர்ச்சியான சீருடை பாலிஹெட்ரான், முகடுகளுடன் (3D வழக்கில் விளிம்புகள்) முற்றிலும் தற்செயலாக உள்ளது. மேலே உள்ள பட்டியலில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள சிறிய சிக்கலான ஐகோசிடோடெகாஹெட்ரான் போன்ற சில சீரழிந்த பாலிஹெட்ரான்களுக்கும் இது பொருந்தும். விளிம்புகள் தற்செயலாக இருப்பது பற்றிய இந்த விளக்கம் இந்த புள்ளிவிவரங்களை ஒரு விளிம்புக்கு இரண்டு முகங்களைக் கொண்டிருக்க அனுமதிக்கிறதுஃ விளிம்புகளை இரட்டிப்பாக்காமல் இருப்பது அவர்களுக்கு 4,6,8,10 அல்லது 12 முகங்கள் ஒரு விளிம்பில் சந்திக்கும், பொதுவாக சீரான பாலிஹெட்ராவாக விலக்கப்பட்ட புள்ளிவிவரங்கள். ஸ்கில்லிங்கின் உருவம் சில விளிம்புகளில் சந்திக்கும் 4 முகங்களைக் கொண்டுள்ளது. இந்த இரண்டு சிறப்பு பாலிஹெட்ராவும் கிரேட் ஸ்னப் டோடெசிகோசிடோடெகாஹெட்ரான், 3 5/3 5/2 (U64) இலிருந்து பெறப்படலாம். இது ஒரு சிரல் ஸ்னப் பாலிஹெட்ரான், ஆனால் அதன் பென்டகிராம்ஸ் கோப்ளானார் ஜோடிகளில் தோன்றும். இந்த பாலிஹெட்ரானின் ஒரு நகலை அதன் எனாண்டியோமார்புடன் இணைத்து, பென்டகிராம்கள் ஒத்துப்போகின்றன, அவை அகற்றப்படலாம். இந்த பாலிஹெட்ரானின் உச்சி உருவத்தின் விளிம்புகள் ஒரு சதுரத்தின் மூன்று பக்கங்களை உள்ளடக்கியிருப்பதால், நான்காவது பக்கம் அதன் எனாண்டியோமார்பால் பங்களிக்கப்படுவதால், இதன் விளைவாக வரும் பாலிஹெட்ரான் உண்மையில் இருபது எண்முகத்தின் கலவையாகும் என்பதை நாம் காண்கிறோம். இந்த எண்கோணங்கள் ஒவ்வொன்றும் ஒரு ஜோடி இணையான முகங்களைக் கொண்டுள்ளன, அவை 3 5/3 5/2 என்ற முழு சமச்சீர் முக்கோணத்திலிருந்து உருவாகின்றன, மற்ற மூன்று அசல் 3 5/3 5/2 இன் ஸ்னப் முக்கோணங்களிலிருந்து வருகின்றன. கூடுதலாக, ஒவ்வொரு ஆக்டாஹெட்ரானையும் ஒரே விளிம்புகள் மற்றும் செங்குத்துகளுடன் டெட்ராஹெமிஹெக்ஸாஹெட்ரானால் மாற்றலாம். எண்முகத்தில் உள்ள முழு சமச்சீர் முக்கோணங்களை எடுத்துக் கொண்டால், கிரேட் ஸ்னப் டோடெசிகோசிடோடெகாஹெட்ராவில் உள்ள அசல் பென்டகிராம்கள் மற்றும் டெட்ராஹெமிஹெக்ஸாஹெட்ராவின் பூமத்திய ரேகை சதுரங்கள் ஒன்றாக கிரேட் டிர்ஹோம்பிகோசிடோடெகாஹெட்ரானை (மில்லரின் அசுரன்) தருகின்றன. அதற்கு பதிலாக எண்முகத்தின் ஸ்னப் முக்கோணங்களை எடுத்துக்கொள்வது பெரிய டிஸ்னப் டிர்ஹோம்பிடோடெகாஹெட்ரானை (ஸ்கில்லிங்கின் உருவம்) தருகிறது. யூக்ளிடியன் சாய்வுகள் தளத்தை ஒரு முறை அடுக்கும் ஒரே தள முக்கோணங்கள் (3 3 3 3), (4 2 4), மற்றும் (3 2 6): அவை முறையே சமபக்க முக்கோணம், 45-45-90 வலது ஐசோசிலஸ் முக்கோணம் மற்றும் 30-60-90 வலது முக்கோணம். இது பின்வருமாறு, எந்த விமான முக்கோணமும் விமானத்தை பல முறை ஓடுகிறது, இவற்றில் ஒன்றின் பல நகல்களிலிருந்து கட்டமைக்கப்பட வேண்டும். ஒரே சாத்தியம் என்னவென்றால், 30-30-120 பரவலான ஐசோசிலஸ் முக்கோணம் (3/266) = (623) + (2,63) தளத்தை இரண்டு முறை ஓடுகிறது. ஒவ்வொரு முக்கோணமும் எதிர் நோக்குநிலைகளுடன் இரண்டு முறை கணக்கிடப்படுகிறது, 120 டிகிரி செங்குத்துகளில் ஒரு கிளை புள்ளி உள்ளது. அதன் முகங்கள் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட விளிம்புகளில் சந்திக்கும் என்பதால், இரண்டு அபிரோகன்களிலிருந்து தயாரிக்கப்படும் டைலிங் (டைலிங்) ஏற்றுக்கொள்ளப்படுவதில்லை. இங்கே 'ν' என்பது ν க்கு பிற்போக்குத்தனமான எதிர்ப்பை குறிக்கிறது. சீரழிந்த பெயரிடப்பட்ட வடிவங்கள் பின்வருமாறுஃ சாட்டிட்ஃ 3 அறுகோண சாய்வுகளின் கலவை + முக்கோண டைலிங் சாட்டாஃ 3 அறுகோண சாய்வுகளின் கலவை + முக்கோண டைலிங் + அனைத்து விளிம்பு வரிசைகளிலும் அபிரோகன்களின் இரட்டை உறைகள் சாஃ 3 அறுகோண சாய்வுகளின் கலவை + அனைத்து விளிம்பு வரிசைகளிலும் அபிரோகன்களின் இரட்டை உறைகள் கோசாஃ சதுர டைலிங் + அனைத்து விளிம்பு வரிசைகளிலும் அபிரோகன்களின் இரட்டை உறைகள் டைலிங் 6 6/5 | φ வைத்தாஃப்பின் கட்டுமானத்தால் இரட்டை மறைப்பாக உருவாக்கப்படுகிறதுஃ கலப்பு சின்னமான p q | உடன் சில சாய்வுகளும் உள்ளனஃ சில விதோஃபியன் அல்லாத சாய்வுகளும் உள்ளனஃ விமானத்தின் சீரான சாய்வுகளின் தொகுப்பு முழுமையானது என்று நிரூபிக்கப்படவில்லை, போலல்லாமல் மேலே உள்ள சாய்வுகள் காக்செட்டர், லாங்குயெட்-ஹிக்கின்ஸ் மற்றும் மில்லர் ஆகியோர் 1954 ஆம் ஆண்டு சீருடை பாலிஹெட்ரா குறித்த ஆய்வறிக்கையில் கண்டறிந்த அனைத்தையும் குறிக்கின்றன. பட்டியல்கள் முழுமையானவை என்று அவர்கள் ஊகித்தனர்ஃ இது 1970 ஆம் ஆண்டில் சோபோவ் சீரான பாலிஹெட்ராவுக்காக நிரூபிக்கப்பட்டது, ஆனால் சீரான சாய்வுகளுக்கு நிரூபிக்கப்படவில்லை. உண்மையில் பிராங்கோ க்ரன்பாம், ஜே. சி. பி. மில்லர், மற்றும் ஜி. சி. ஷெப்பர்ட் ஆகியோர் இன்னும் பதினைந்து விதோஃபியன் அல்லாத சீருடைச் சாய்வுகளை சீருடைச் சாய்வுகளில் வெற்று ஓடுகளுடன் பட்டியலிடுகின்றனர் (1981): உச்சி உருவங்களுக்கு தலா இரண்டு சாய்வுகள் உள்ளன 4.8.4/3.8.4/3. ν மற்றும் 4.8/3.4.8/3.4/3. ν; அவை ஒரே செங்குத்துகள் மற்றும் விளிம்புகளைப் பயன்படுத்துகின்றன, ஆனால் வெவ்வேறு சதுரங்களின் தொகுப்பைக் கொண்டுள்ளன. இந்த இரண்டு உச்சி உருவங்களில் ஒவ்வொன்றிற்கும் மூன்றாவது ஓடுகளும் உள்ளன, அவை போலி-சீரானவை மட்டுமே (அனைத்து செங்குத்துகளும் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும், ஆனால் அவை இரண்டு சமச்சீர் சுற்றுப்பாதைகளில் வருகின்றன). எனவே, யூக்ளிடியன் சாய்வுகளுக்கு, உச்சி உள்ளமைவு தனித்துவமாக ஓடுகளை தீர்மானிக்காது. கீழே உள்ள படங்களில், கிடைமட்ட மற்றும் செங்குத்து விளிம்புகளுடன் சேர்க்கப்பட்ட சதுரங்கள் ஒரு மைய புள்ளியால் குறிக்கப்படுகின்றன. ஒரு சதுரத்தில் விளிம்புகள் முன்னிலைப்படுத்தப்பட்டுள்ளன. க்ரூன்பாம், மில்லர் மற்றும் ஷெப்பர்ட் ஆகியோர் 33 சீரான சாய்வுகளை ஜிக்ஜாக்குகளைப் (வளைந்த அபிரோகன்கள்) முகங்களாகப் பயன்படுத்தி பட்டியலிடுகின்றனர், அவற்றில் பத்து குடும்பங்கள் ஒரு இலவச அளவுருவைக் கொண்டுள்ளன (ஜிக்ஜாக்கின் கோணம்). எட்டு சந்தர்ப்பங்களில் இந்த அளவுரு தொடர்ச்சியானது; இரண்டில், இது தனித்துவமானது. ஹைபர்போலிக் சாய்வுகள் ஹைபர்போலிக் தளத்தை டைலிங் செய்யும் முக்கோணங்களின் தொகுப்பு எல்லையற்றது. மேலும் ஹைபர்போலிக் இடத்தில் அடிப்படை களம் ஒரு சிம்ப்ளக்ஸாக இருக்க வேண்டியதில்லை. இதன் விளைவாக ஹைபர்போலிக் தளத்தின் சீரான சாய்வுகளின் முழு பட்டியலையும் கொடுக்க முடியாது. குவிந்த ஓடுகளுக்கு மட்டுப்படுத்தப்பட்டிருந்தாலும், ஒரே உச்சி உள்ளமைவுடன் பல சாய்வுகளைக் கண்டறிய முடியும்ஃ எடுத்துக்காட்டாக ஸ்னப் வரிசை-6 சதுரம் tiling#Related பாலிஹெட்ரா மற்றும் ஓடுகளைப் பார்க்கவும். ஒரு சில சிறிய குவிந்த வழக்குகள் (சிறந்த முகங்கள் அல்லது செங்குத்துகளை உள்ளடக்கியது அல்ல) கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளனஃ குறிப்புகள் ரிச்சர்ட் கிளிட்ஸிங்ஃ புள்ளி-குழு சமச்சீர் சிக்கல் மூலம் பாலிஹெட்ரா ஸ்வார்ஸ் முக்கோணங்கள் பகுதி 1, பகுதி 2 யூக்ளிடியன் டெஸ்லேஷன்கள் மற்றும் தேன்கொம்புகள் ஹைபர்போலிக் டெஸ்லேஷன்கள் மற்றும் தேன்கொம்புகள் அட்டவணைகள் கிளிட்ஜிங் தனது தளத்தில் வழங்கியவற்றை அடிப்படையாகக் கொண்டவை. வெளிப்புற இணைப்புகள் ஜிம் மெக்நீல்ஃ விமானத்தின் டெஸ்லேஷன்கள் Zvi Har 'El: சீரான பாலிஹெட்ரா ஹிரனோரி சாகமோட்டோவுக்கான சீரான தீர்வுஃ யூக்ளிட் விமானத்தில் சீரான டெஸ்லேஷன்கள் சீரான பாலிஹெட்ரா சீரான சாய்வுகள்