Yang–Mills equations
இயற்பியல் மற்றும் கணிதத்தில், குறிப்பாக வேறுபட்ட வடிவியல் மற்றும் அளவீட்டுக் கோட்பாட்டில், யாங்-மில்ஸ் சமன்பாடுகள் ஒரு திசையன் மூட்டை அல்லது முதன்மை மூட்டை மீது ஒரு இணைப்புக்கான பகுதி வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் அமைப்பாகும். அவை இயற்பியலில் யாங்-மில்ஸ் செயல்பாட்டின் ஆய்லர்-லாக்ரேஞ்ச் சமன்பாடுகளாக எழுகின்றன. அவை கணிதத்திலும் குறிப்பிடத்தக்க பயன்பாட்டைக் கண்டறிந்துள்ளன. சமன்பாடுகளின் தீர்வுகள் யாங்-மில்ஸ் இணைப்புகள் அல்லது இன்ஸ்டன்டான்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. டொனால்ட்சனின் தேற்றத்தை நிரூபிக்க இன்ஸ்டன்டான்களின் மாடுலி இடத்தை சைமன் டொனால்ட்சன் பயன்படுத்தினார். உந்துதல் இயற்பியல் கேஜ் கோட்பாடுகள் என்ற தலைப்பில் தங்கள் அடித்தளக் கட்டுரையில், ராபர்ட் மில்ஸ் மற்றும் சென்-நிங் யாங் ஆகியோர் இயற்பியல் கோட்பாடுகளுக்கு பொருந்தும் வகையில் கேஜ் சமச்சீர் மற்றும் கேஜ் மாறுபாட்டின் கருத்தை விளக்கும் பொருட்டு (அடிப்படையில் கணித இலக்கியத்திலிருந்து சுயாதீனமாக) முதன்மை மூட்டைகள் மற்றும் இணைப்புகளின் கோட்பாட்டை உருவாக்கினர். இப்போது யாங்-மில்ஸ் கோட்பாடுகள் என்று அழைக்கப்படும் யாங் மற்றும் மில்ஸ் கண்டுபிடித்த கேஜ் கோட்பாடுகள், மேக்ஸ்வெல்லின் சமன்பாடுகளில் ஜேம்ஸ் மேக்ஸ்வெல்லின் பாரம்பரிய படைப்புகளை பொதுமைப்படுத்தின, அவை வொல்ப்காங் பாலி மற்றும் பிறரால் ஒரு கேஜ் கோட்பாட்டின் மொழியில் சொல்லப்பட்டன. யாங் மற்றும் மில்ஸின் பணியின் புதுமை, கட்டமைப்பு குழு என்று அழைக்கப்படும் லை குழுவின் தன்னிச்சையான தேர்வுக்கான கேஜ் கோட்பாடுகளை வரையறுப்பதாகும் (அல்லது இயற்பியலில் கேஜ் குழு, மேலும் விவரங்களுக்கு கேஜ் குழு (கணிதம்) ஐப் பார்க்கவும்). மின்காந்தத்துடன் தொடர்புடைய வழக்குக்கு மாறாக இந்த குழு அபெலியன் அல்லாததாக இருக்கலாம், மேலும் அத்தகைய பொருட்களைப் பற்றி விவாதிக்க சரியான கட்டமைப்பு முதன்மை மூட்டைகளின் கோட்பாடாகும். யாங் மற்றும் மில்ஸின் பணியின் முக்கிய அம்சங்கள் பின்வருமாறு. ஒரு இயற்பியல் மாதிரியின் அடிப்படை விளக்கம் புலங்களின் பயன்பாட்டின் மூலம் என்று ஒருவர் கருதுகிறார், மேலும் ஒரு உள்ளூர் கேஜ் மாற்றத்தின் கீழ் (முதன்மை மூட்டையின் உள்ளூர் அற்பமயமாக்கலின் மாற்றம்), இந்த இயற்பியல் புலங்கள் ஒரு இணைப்பை (இயற்பியலில், ஒரு கேஜ் புலம்) துல்லியமாக மாற்ற வேண்டும். கேஜ் புல வலிமை என்பது இணைப்பின் வளைவு, மற்றும் கேஜ் புலத்தின் ஆற்றல் யாங்-மில்ஸ் செயல் செயல்பாட்டால் (ஒரு மாறிலி வரை) வழங்கப்படுகிறது குறைந்தபட்ச நடவடிக்கைக் கொள்கை இந்த இயற்பியல் கோட்பாட்டிற்கான இயக்கத்தின் சரியான சமன்பாடுகளை இந்த செயல்பாட்டின் யூலர்-லாக்ரேஞ்ச் சமன்பாடுகளால் கொடுக்க வேண்டும் என்று கட்டளையிடுகிறது, அவை கீழே பெறப்பட்ட யாங்-மில்ஸ் சமன்பாடுகளாகும்ஃ கணிதம் கோட்பாட்டின் இயற்பியல் தோற்றத்திற்கு கூடுதலாக, யாங்-மில்ஸ் சமன்பாடுகள் முக்கியமான வடிவியல் ஆர்வத்தைக் கொண்டுள்ளன. பொதுவாக ஒரு திசையன் மூட்டை அல்லது முதன்மை மூட்டையில் இணைப்புக்கான இயற்கையான தேர்வு இல்லை. இந்த மூட்டை ஒரு ரீமானியன் பன்மடங்கு தொடுகோடு மூட்டை இருக்கும் சிறப்பு வழக்கில், அத்தகைய இயற்கையான தேர்வு உள்ளது, லெவி-சிவிட்டா இணைப்பு, ஆனால் பொதுவாக சாத்தியமான தேர்வுகளின் எல்லையற்ற பரிமாண இடைவெளி உள்ளது. நாம் இப்போது விவரிப்பது போல், யாங்-மில்ஸ் இணைப்பு ஒரு பொதுவான ஃபைபர் மூட்டைக்கான இணைப்பின் இயற்கையான தேர்வை வழங்குகிறது. ஒரு இணைப்பு அதன் உள்ளூர் வடிவங்களால் தொகுப்புக்கான அற்பமான திறந்த மறைப்புக்காக வரையறுக்கப்படுகிறது. ஒரு நியமன இணைப்பைத் தேர்ந்தெடுப்பதற்கான முதல் முயற்சி, இந்த வடிவங்கள் மறைந்துவிட வேண்டும் என்று கோருவதாக இருக்கலாம். இருப்பினும், மாற்றம் செயல்பாடுகள் நிலையான செயல்பாடுகள் என்ற பொருளில், அற்பமான தன்மை தட்டையாக இல்லாவிட்டால் இது சாத்தியமில்லை. ஒவ்வொரு மூட்டையும் தட்டையானது அல்ல, எனவே இது பொதுவாக சாத்தியமில்லை. அதற்கு பதிலாக உள்ளூர் இணைப்பு படிவங்கள் நிலையானவை என்று ஒருவர் கேட்கலாம். ஒரு முதன்மை மூட்டையில் இந்த நிபந்தனையை சொற்றொடருக்கு சரியான வழி வளைவு மறைந்துவிடும். இருப்பினும், செர்ன்-வெயில் கோட்பாட்டின் படி வளைவு மறைந்துவிட்டால் (அதாவது, ஒரு தட்டையான இணைப்பு), அடிப்படை முதன்மை மூட்டை அற்பமான செர்ன் வகுப்புகளைக் கொண்டிருக்க வேண்டும், இது தட்டையான இணைப்புகளின் இருப்புக்கு ஒரு இடவியல் தடையாக உள்ளதுஃ ஒவ்வொரு முதன்மை மூட்டை ஒரு தட்டையான இணைப்பைக் கொண்டிருக்க முடியாது. வளைவு மறைவதற்குப் பதிலாக, மூட்டை முடிந்தவரை சிறிய வளைவைக் கொண்டிருக்க வேண்டும் என்று கேட்பதே சிறந்த ஒன்று. மேலே விவரிக்கப்பட்ட யாங்-மில்ஸ் செயல் செயல்பாடு துல்லியமாக வளைவின்-நெறிமுறையின் (சதுரம்) ஆகும், மேலும் அதன் யூலர்-லாக்ரேஞ்ச் சமன்பாடுகள் இந்த செயல்பாட்டின் முக்கியமான புள்ளிகளை விவரிக்கின்றன, அவை முழுமையான மினிமா அல்லது லோக்கல் மினிமா ஆகும். அதாவது, யாங்-மில்ஸ் இணைப்புகள் துல்லியமாக அவற்றின் வளைவைக் குறைக்கும். இந்த அர்த்தத்தில் அவை ஒரு கணிதக் கண்ணோட்டத்தில் பன்மடங்கு ஒரு முதன்மை அல்லது திசையன் மூட்டையில் இணைப்பின் இயற்கையான தேர்வாகும். வரையறை ஒரு கச்சிதமான, சார்ந்த, ரீமானியன் பன்மடங்கு இருக்கட்டும். யாங்-மில்ஸ் சமன்பாடுகளை ஒரு திசையன் மூட்டை அல்லது முதன்மை-மூட்டை மீது ஒரு இணைப்பிற்காக சில சிறிய லை குழுவிற்கு சொல்லலாம். இங்கே பிந்தைய மாநாடு வழங்கப்படுகிறது. ஒரு முதன்மை-தொகுப்பைக் குறிக்கலாம். பின்னர் ஒரு இணைப்பை முதன்மை மூட்டையின் மொத்த இடத்தில் ஒரு லை இயற்கணித மதிப்புள்ள வேறுபட்ட வடிவத்தால் குறிப்பிடலாம். இந்த இணைப்பு ஒரு வளைவு வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது, இது இரண்டு வடிவங்களில் இணைக்கப்பட்ட மூட்டையில் உள்ள மதிப்புகளுடன் உள்ளது. இணைப்புடன் தொடர்புடையது ஒரு வெளிப்புற கோவேரியன்ட் வழித்தோன்றல் ஆகும், இது அருகிலுள்ள மூட்டையில் வரையறுக்கப்படுகிறது. கூடுதலாக, கச்சிதமாக இருப்பதால், அதனுடன் தொடர்புடைய கச்சிதமான லை இயற்கணிதம் இணை பிரதிநிதித்துவத்தின் கீழ் ஒரு மாறாத உள் உற்பத்தியை ஏற்றுக்கொள்கிறது. ரீமானியன் என்பதால், கோட்டாஞ்சென்ட் மூட்டையில் ஒரு உள் தயாரிப்பு உள்ளது, மேலும் மாறாத உள் தயாரிப்புடன் இணைந்து-மதிப்புள்ள இரண்டு வடிவங்களின் மூட்டையில் ஒரு உள் தயாரிப்பு உள்ளது. இது சார்ந்ததாக இருப்பதால், இந்த மூட்டையின் பிரிவுகளில் ஒரு-இன்னர் தயாரிப்பு உள்ளது. அதாவது, ஒருங்கிணைப்புக்குள் மூட்டை வாரியான உள் தயாரிப்பு பயன்படுத்தப்படுகிறது, மேலும் இது ரீமானியன் தொகுதி வடிவமாகும். இந்த-இன்னர் தயாரிப்பைப் பயன்படுத்தி, முறையான அட்ஜாயின்ட் ஆபரேட்டர் வரையறுக்கப்படுகிறது. இரண்டு வடிவங்களில் செயல்படும் ஹோட்ஜ் ஸ்டார் ஆபரேட்டர் எங்கிருக்கிறார் என்பதன் மூலம் இது வெளிப்படையாக வழங்கப்படுகிறது. மேற்கூறிய அமைப்பைக் கருதினால், ஹாட்ஜ் நட்சத்திரம் ஒரு ஐசோமார்பிசம் என்பதால், யாங்-மில்ஸ் சமன்பாடுகளுக்கான வெளிப்படையான சூத்திரத்தால் சமமாக எழுதப்படலாம் () அல்லது () ஐ திருப்திப்படுத்தும் ஒரு இணைப்பு யாங்-மில்ஸ் இணைப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒவ்வொரு இணைப்பும் தானாகவே பியான்சி அடையாளத்தை திருப்திப்படுத்துகிறது, எனவே யாங்-மில்ஸ் இணைப்புகளை ஒத்திசைவான வேறுபட்ட வடிவங்களின் நேரியல் அல்லாத அனலாக்காகக் காணலாம், இது திருப்தி அளிக்கிறது. இந்த அர்த்தத்தில் யாங்-மில்ஸ் இணைப்புகளுக்கான தேடலை ஹோட்ஜ் கோட்பாட்டுடன் ஒப்பிடலாம், இது ஒரு வேறுபட்ட வடிவத்தின் டி ராம் கோஹோமோலஜி வகுப்பில் ஒரு ஹார்மோனிக் பிரதிநிதியைத் தேடுகிறது. ஒரு யாங்-மில்ஸ் இணைப்பு ஒரு முதன்மை மூட்டையில் சாத்தியமான அனைத்து இணைப்புகளின் தொகுப்பிலும் ஒரு ஒத்திசைவான பிரதிநிதி போன்றது என்பது ஒப்புமை. யாங்-மில்ஸ் சமன்பாடுகள் என்பது யாங்-மில்ஸ் செயல்பாட்டின் யூலர்-லாக்ரேஞ்ச் சமன்பாடுகளாகும், இது பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது செயல்பாட்டிலிருந்து சமன்பாடுகளைப் பெற, அனைத்து இணைப்புகளின் இடமும் திசையன் இடத்தில் வடிவமைக்கப்பட்ட ஒரு அஃபைன் இடைவெளி என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள். இந்த அஃபைன் இடத்தில் ஒரு இணைப்பின் சிறிய சிதைவைப் பொறுத்தவரை, வளைவுகள் பின்வருமாறு தொடர்புடையவை () இன் முக்கியமான புள்ளிகளைத் தீர்மானிக்க, கணக்கிடுங்கள் இது ஒவ்வொருவருக்கும் மறைந்துவிட்டால் மட்டுமே இணைப்பு யாங்-மில்ஸ் செயல்பாட்டின் ஒரு முக்கியமான புள்ளியாகும், மேலும் இது () திருப்தி அடையும் போது துல்லியமாக நிகழ்கிறது. யாங்-மில்ஸ் இணைப்புகளின் மாடுலி இடைவெளி யாங்-மில்ஸ் சமன்பாடுகள் அளவீட்டு மாறாதவை. கணித ரீதியாக, ஒரு கேஜ் மாற்றம் என்பது முதன்மை மூட்டையின் தன்னியக்க உருமாற்றமாகும், மேலும் உள் பெருக்கல் மாறாதது என்பதால், யாங்-மில்ஸ் செயல்பாடு திருப்தி அடைகிறது, எனவே () ஐ திருப்திப்படுத்தினால், அவ்வாறு செய்கிறது. யாங்-மில்ஸ் இணைப்புகளின் மாடுலோ கேஜ் மாற்றங்களுக்கு ஒரு மாடுலி இடம் உள்ளது. தானியங்கி உருமாற்றங்களின் கேஜ் குழுவால் குறிக்கவும். இந்த தொகுப்பு அனைத்து இணைப்புகளையும் மாடுலோ கேஜ் மாற்றங்களை வகைப்படுத்துகிறது, மேலும் யாங்-மில்ஸ் இணைப்புகளின் மாடுலி இடம் ஒரு துணைக்குழுவாகும். பொதுவாக அல்லது ஹாஸ்டோர்ஃப் அல்லது ஒரு மென்மையான பன்மடங்கு அல்ல. இருப்பினும், பகுக்கமுடியாத இணைப்புகளுக்கு மட்டுப்படுத்துவதன் மூலம், அதாவது, அனைவராலும் ஹோலனோமி குழு வழங்கப்படும் இணைப்புகள், ஒருவர் ஹவுஸ்டோர்ஃப் இடங்களைப் பெறுகிறார். பகுக்கமுடியாத இணைப்புகளின் இடைவெளி குறிக்கப்படுகிறது, எனவே மாடுலி இடைவெளிகள் குறிக்கப்படுகின்றன மற்றும். யாங்-மில்ஸ் இணைப்புகளின் மாடுலி இடங்கள் குறிப்பிட்ட சூழ்நிலைகளில் தீவிரமாக ஆய்வு செய்யப்பட்டுள்ளன. மைக்கேல் அதியா மற்றும் ரவுல் பாட் ஆகியோர் சுருக்கமான ரீமன் மேற்பரப்புகளில் மூட்டைகளுக்கான யாங்-மில்ஸ் சமன்பாடுகளை ஆய்வு செய்தனர். அங்கு மாடுலி இடைவெளி ஹோலோமார்பிக் திசையன் மூட்டைகளின் மாடுலி இடமாக ஒரு மாற்று விளக்கத்தைப் பெறுகிறது. இது நரசிம்மன்-சேஷாத்ரி தேற்றம், இது டொனால்ட்சனால் ஹோலோமார்பிக் திசையன் மூட்டைகளுடன் யாங்-மில்ஸ் இணைப்புகள் தொடர்பான இந்த வடிவத்தில் நிரூபிக்கப்பட்டது. இந்த அமைப்பில் மாடுலி இடம் ஒரு சிறிய காலர் பன்மடங்கு கட்டமைப்பைக் கொண்டுள்ளது. அடிப்படை பன்மடங்கு பரிமாணம் நான்கு ஆக இருக்கும்போது யாங்-மில்ஸ் இணைப்புகளின் மாடுலி மிகவும் ஆய்வு செய்யப்பட்டுள்ளது. இங்கே யாங்-மில்ஸ் சமன்பாடுகள் இரண்டாவது வரிசை PDE இலிருந்து முதல் வரிசை PDE க்கு, சுய-இரட்டை எதிர்ப்பு சமன்பாடுகளுக்கு ஒரு எளிமைப்படுத்தலை ஒப்புக்கொள்கின்றன. அடிப்படை பன்மடங்கு பரிமாணம் நான்கு ஆக இருக்கும்போது, ஒரு தற்செயல் நிகழ்வு நிகழ்கிறதுஃ ஹோட்ஜ் ஸ்டார் ஆபரேட்டர் இரண்டு வடிவங்களை இரண்டு வடிவங்களாக வரைபடமாக்குகிறது,. ஹோட்ஜ் ஸ்டார் ஆபரேட்டர் இந்த விஷயத்தில் அடையாளத்திற்கு சதுரங்கள், எனவே ஐகென் மதிப்புகள் மற்றும் உள்ளன. குறிப்பாக, சுய-இரட்டை மற்றும் எதிர்-சுய-இரட்டை இரண்டு வடிவங்களின் நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை ஐகென்ஸ்பேஸ்களாக ஒரு சிதைவு உள்ளது. நான்கு மடங்குக்கு மேல் ஒரு முதன்மை-மூட்டையில் உள்ள இணைப்பு ஒன்று அல்லது () மூலம் திருப்தி அடைந்தால், இணைப்பு ஒரு யாங்-மில்ஸ் இணைப்பாகும். இந்த இணைப்புகள் சுய-இரட்டை இணைப்புகள் அல்லது எதிர்ப்பு சுய-இரட்டை இணைப்புகள் என்றும், சமன்பாடுகள் சுய-இரட்டை (எஸ். டி) சமன்பாடுகள் மற்றும் எதிர்ப்பு சுய-இரட்டை (ஏ. எஸ். டி) சமன்பாடுகள் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன. சுய-இரட்டை மற்றும் எதிர்-சுய-இரட்டை இணைப்புகளின் இடைவெளிகள் மற்றும், மற்றும் இதேபோல் மற்றும் ஆகியவற்றால் குறிக்கப்படுகின்றன. ஏஎஸ்டி இணைப்புகள் அல்லது இன்ஸ்டன்டான்களின் மாடுலி இடத்தை டொனால்ட்சன் மிகவும் தீவிரமாக ஆய்வு செய்தார். இந்த அமைப்பில், முதன்மை-கட்டு அதன் இரண்டாவது செர்ன் வகுப்பால் வகைப்படுத்தப்படுகிறது. முதன்மை மூட்டையின் பல்வேறு தேர்வுகளுக்கு, ஒருவர் சுவாரஸ்யமான பண்புகளைக் கொண்ட மாடுலி இடங்களைப் பெறுகிறார். குறைக்கப்பட்ட இணைப்புகளை அனுமதிக்கும்போது கூட, இந்த இடங்கள் ஹவுஸ்டோர்ஃப் ஆகும், மேலும் பொதுவாக மென்மையானவை. மென்மையான பகுதி திசை திருப்பக்கூடியது என்பதை டொனால்ட்சன் காட்டினார். அதியா-சிங்கர் குறியீட்டு தேற்றத்தின் மூலம், ASD இணைப்புகளின் மாடுலி இடத்தின் பரிமாணம், முதல் பெட்டி எண் எங்கே இருக்க வேண்டும், மற்றும் குறுக்குவெட்டு வடிவத்தைப் பொறுத்தவரை நேர்மறை-வரையறுக்கப்பட்ட துணை இடத்தின் பரிமாணம் என்று ஒருவர் கணக்கிடலாம். எடுத்துக்காட்டாக, எப்போது மற்றும், குறுக்குவெட்டு வடிவம் அற்பமானது மற்றும் மாடுலி இடைவெளி பரிமாணத்தைக் கொண்டுள்ளது. இது பி. பி. எஸ். டி இன்ஸ்டாண்டனின் இருப்புடன் உடன்படுகிறது, இது அதன் மையத்தையும் அதன் அளவையும் வரையறுக்கும் 5 அளவுரு குடும்பத்தின் தனித்துவமான ஏ. எஸ். டி இன்ஸ்டாண்டன் ஆகும். அத்தகைய இன்ஸ்டன்டான்கள் உஹ்லென்பெக்கின் அகற்றக்கூடிய ஒருமைப்பாட்டு தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி முடிவிலியில் உள்ள புள்ளி முழுவதும் நீட்டிக்கப்படலாம். பயன்பாடுகள் டொனால்ட்சனின் தேற்றம் யாங்-மில்ஸ் சமன்பாடுகளின் மாடுலி இடைவெளி டொனால்ட்சனால் எளிமையாக இணைக்கப்பட்ட நான்கு-மேனிஃபோல்டுகளின் குறுக்குவெட்டு வடிவத்தைப் பற்றிய டொனால்ட்சனின் தேற்றத்தை நிரூபிக்க பயன்படுத்தப்பட்டது. கிளிஃபோர்ட் டூப்ஸ் மற்றும் கரேன் உஹ்லென்பெக் ஆகியோரின் பகுப்பாய்வு முடிவுகளைப் பயன்படுத்தி, டொனால்ட்சனால் குறிப்பிட்ட சூழ்நிலைகளில் (குறுக்குவெட்டு வடிவம் திட்டவட்டமாக இருக்கும்போது) ஏ. எஸ். டி இன்ஸ்டன்டான்களின் மாடுலி இடைவெளி ஒரு மென்மையான, கச்சிதமான, சார்ந்த, வெறுமனே இணைக்கப்பட்ட நான்கு மடங்கு பன்மடங்கு நகலுக்கும், சிக்கலான ப்ரொஜெக்டிவ் தளத்தின் நகல்களின் வேறுபட்ட ஒன்றிணைப்புக்கும் இடையில் ஒரு ஒத்திசைவை அளிக்கிறது என்பதைக் காட்ட முடிந்தது. குறுக்குவெட்டு வடிவம் ஐசோமார்பிசம் வரை மாறாத ஒரு கோபோர்டிஸம் ஆகும், இது போன்ற எந்த மென்மையான பன்மடங்கு மூலைவிட்ட குறுக்குவெட்டு வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது என்பதைக் காட்டுகிறது. ஏஎஸ்டி இன்ஸ்டன்டான்களின் மாடுலி இடைவெளி நான்கு-மேனிஃபோல்டுகளின் மேலும் மாறிலிகளை வரையறுக்க பயன்படுத்தப்படலாம். மாடுலி இடத்தில் கோஹோமோலஜி வகுப்புகளின் ஜோடிகளிலிருந்து எழும் நான்கு மடங்குடன் தொடர்புடைய விகிதமுறு எண்களை டொனால்ட்சன் வரையறுத்தார். இந்த வேலை பின்னர் சீபர்க்-விட்டன் மாறுபாடுகளால் முறியடிக்கப்பட்டுள்ளது. பரிமாண குறைப்பு செயல்முறையின் மூலம், யாங்-மில்ஸ் சமன்பாடுகள் வேறுபட்ட வடிவியல் மற்றும் அளவீட்டுக் கோட்பாட்டில் பிற முக்கியமான சமன்பாடுகளைப் பெற பயன்படுத்தப்படலாம். பரிமாணக் குறைப்பு என்பது யாங்-மில்ஸ் சமன்பாடுகளை நான்கு மடங்குக்கு மேல் எடுத்து, பொதுவாக, ஒரு சமச்சீர் குழுவின் கீழ் தீர்வுகள் மாறாதவை என்று திணிக்கும் செயல்முறையாகும். எடுத்துக்காட்டாகஃ ஒற்றை திசையில் மொழிபெயர்ப்புகளின் கீழ் சுய-இரட்டை எதிர்ப்பு சமன்பாடுகள் மாறாததாக இருக்க வேண்டும் என்பதன் மூலம், காந்த மோனோபோல்களை விவரிக்கும் போகோமோல்னி சமன்பாடுகளை ஒருவர் பெறுகிறார். இரண்டு திசைகளில் மொழிபெயர்ப்பின் கீழ் சுய-இரட்டை சமன்பாடுகள் மாறாததாக இருக்க வேண்டும் என்பதன் மூலம், ஒருவர் ஹிட்சின் சமன்பாடுகளை முதலில் ஹிட்சின் ஆராய்ந்தார். இந்த சமன்பாடுகள் இயற்கையாகவே ஹிக்ஸ் மூட்டைகள் மற்றும் ஹிட்சின் அமைப்பு பற்றிய ஆய்வுக்கு வழிவகுக்கின்றன. சுய-இரட்டை எதிர்ப்பு சமன்பாடுகள் மூன்று திசைகளில் மாறாததாக இருக்க வேண்டும் என்பதன் மூலம், ஒருவர் ஒரு இடைவெளியில் நாம் சமன்பாடுகளைப் பெறுகிறார். பரிமாண ரீதியாக குறைக்கப்பட்ட ஏ. எஸ். டி சமன்பாடுகளின் தீர்வுகளுக்கு இடையே ஒரு இரட்டைத்தன்மை உள்ளது மற்றும் நாம் உருமாற்றம் என்று அழைக்கப்படுகிறது, வெர்னர் நாம் பிறகு, நாம் சமன்பாட்டு தரவுகளிலிருந்து மோனோபோல்களை எவ்வாறு உருவாக்குவது என்பதை முதன்முதலில் விவரித்தார். ஹிட்சின் இதற்கு நேர்மாறாகக் காட்டினார், மேலும் நாம் சமன்பாடுகளுக்கான தீர்வுகளை சிக்கலான ப்ரொஜெக்டிவ் கோட்டில் இருந்து பகுத்தறிவு வரைபடங்களின் மாடுலி இடைவெளிகளுடன் மேலும் இணைக்க முடியும் என்பதை டொனால்ட்சன் நிரூபித்தார். இந்த தீர்வுகளுக்கு காணப்பட்ட இரட்டைத்தன்மை நான்கு மடங்கு சமச்சீர் தன்னிச்சையான இரட்டை குழுக்களுக்கு வைத்திருக்க கோட்பாடாக உள்ளது. உண்மையில் உள்ளே இரட்டை லட்டிஸின் கீழ் மாறாத இன்ஸ்டன்டான்களுக்கும், இரட்டை நான்கு பரிமாண டோரியில் இன்ஸ்டன்டான்களுக்கும் இடையில் இதேபோன்ற இரட்டைத்தன்மை உள்ளது, மேலும் ADHM கட்டுமானத்தை ஒரு புள்ளியின் மீது இன்ஸ்டன்டான்கள் மற்றும் இரட்டை இயற்கணித தரவுகளுக்கு இடையிலான இரட்டைத்தன்மையாக கருதலாம். ASD சமன்பாடுகளின் சமச்சீர் குறைப்புகளும் பல ஒருங்கிணைந்த அமைப்புகளுக்கு வழிவகுக்கின்றன, மேலும் வார்டின் அனுமானம் என்னவென்றால், உண்மையில் அறியப்பட்ட ஒருங்கிணைந்த ODE கள் மற்றும் PDE கள் அனைத்தும் ASDYM இன் சமச்சீர் குறைப்பிலிருந்து வருகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, எஸ்யூ (2) ஏஎஸ்டிவைஎம் குறைப்புகள் சைன்-கார்டன் மற்றும் கோர்ட்வெக்-டி வ்ரீஸ் சமன்பாட்டைக் கொடுக்கின்றன, ஏஎஸ்டிவைஎம் இன் டிசிட்ஜிகா சமன்பாட்டைக் கொடுக்கிறது, மேலும் பரிமாணங்களுக்கு ஒரு குறிப்பிட்ட குறைப்பு வார்டின் ஒருங்கிணைந்த சிரல் மாதிரியை அளிக்கிறது. இந்த அர்த்தத்தில் இது ஒருங்கிணைந்த அமைப்புகளுக்கான ஒரு 'மாஸ்டர் கோட்பாடு' ஆகும், இது கேஜ் குழுவின் தேர்வு மற்றும் சமச்சீர் குறைப்பு திட்டம் போன்ற பொருத்தமான அளவுருக்களைத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம் பல அறியப்பட்ட அமைப்புகளை மீட்டெடுக்க அனுமதிக்கிறது. அத்தகைய பிற முக்கிய கோட்பாடுகள் நான்கு பரிமாண செர்ன்-சைமன்ஸ் கோட்பாடு மற்றும் அஃபைன் கவுடின் மாதிரி ஆகும். செர்ன்-சைமன்ஸ் கோட்பாடு ஒரு சிறிய ரீமன் மேற்பரப்பில் யாங்-மில்ஸ் சமன்பாடுகளின் மாடுலி இடத்தை ஒரு உருளை மீது செர்ன்-சைமன்ஸ் கோட்பாட்டின் உள்ளமைவு இடமாக பார்க்க முடியும். இந்த வழக்கில் மாடுலி இடம் ஒரு வடிவியல் அளவீட்டை ஒப்புக்கொள்கிறது, இது நிஜெல் ஹிட்சின் மற்றும் ஆக்ஸெல்ராட்-டெல்லா பியட்ரா-விட்டன் ஆகியோரால் சுயாதீனமாக கண்டுபிடிக்கப்பட்டது. மேலும் காண்க இணைப்பு (திசையன் மூட்டை) இணைப்பு (முதன்மை மூட்டை) டொனால்ட்சன் கோட்பாடு ஹெர்மிடியன் யாங்-மில்ஸ் சமன்பாடுகள் வரையறுக்கப்பட்ட ஹெர்மிடியன் யாங்-மில்ஸ் சமன்பாடுகள் யாங்-மில்ஸ்-ஹிக்ஸ் சமன்பாடுகள் குறிப்புகள் குறிப்புகள் வேறுபட்ட வடிவியல் கணித இயற்பியல் பகுதி வேறுபட்ட சமன்பாடுகள்