Budan's theorem
கணிதத்தில், புடானின் தேற்றம் என்பது ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் உண்மையான வேர்களின் எண்ணிக்கையை ஒரு இடைவெளியில் பிணைப்பதற்கும், இந்த எண்ணின் சமநிலையை கணக்கிடுவதற்கும் ஒரு தேற்றம் ஆகும். இது 1807 ஆம் ஆண்டில் பிரான்சுவா புடான் டி போயிஸ்லாரென்ட் என்பவரால் வெளியிடப்பட்டது. இதே போன்ற ஒரு தேற்றம் 1820 ஆம் ஆண்டில் ஜோசப் ஃபோரியரால் சுயாதீனமாக வெளியிடப்பட்டது. இந்த கோட்பாடுகள் ஒவ்வொன்றும் மற்றொன்றுக்கு இணையாக உள்ளன. ஃபோரியரின் கூற்று 19 ஆம் நூற்றாண்டின் இலக்கியங்களில் அடிக்கடி தோன்றுகிறது, மேலும் இது ஃபோரியர், புடான்-ஃபோரியர், ஃபோரியர்-புடான் என்று குறிப்பிடப்படுகிறது, மேலும் புடானின் தேற்றமான புடானின் அசல் சூத்திரம் கூட பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் உண்மையான-வேர் தனிமைப்படுத்தலுக்கான வேகமான நவீன வழிமுறைகளில் பயன்படுத்தப்படுகிறது. குறியீட்டு மாறுபாடு உண்மையான எண்களின் வரையறுக்கப்பட்ட வரிசையாக இருக்கட்டும். ஒரு அடையாளம் மாறுபாடு அல்லது வரிசையில் அடையாளம் மாற்றம் என்பது ஒரு ஜோடி குறியீடுகள் மற்றும் ஒன்று அல்லது அது போன்ற அனைத்திற்கும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், பூஜ்ஜியங்களைப் புறக்கணிக்கும்போது, அறிகுறிகள் மாறும் ஒவ்வொரு இடத்திலும் ஒரு அடையாள மாறுபாடு ஏற்படுகிறது. ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் உண்மையான வேர்களைப் படிக்க, பல வரிசைகளின் அடையாள மாறுபாடுகளின் எண்ணிக்கை பயன்படுத்தப்படலாம். புடானின் தேற்றத்தைப் பொறுத்தவரை, இது குணகங்களின் வரிசை. ஃபோரியர் தேற்றத்தைப் பொறுத்தவரை, இது ஒரு புள்ளியில் அடுத்தடுத்த வழித்தோன்றல்களின் மதிப்புகளின் வரிசையாகும். ஸ்டர்மின் தேற்றத்தைப் பொறுத்தவரை இது ஸ்டர்ம் வரிசையின் ஒரு புள்ளியில் உள்ள மதிப்புகளின் வரிசையாகும். இந்த கட்டுரையில் விவரிக்கப்பட்டுள்ள அனைத்து முடிவுகளும் டெஸ்கார்ட்டின் அறிகுறிகளின் விதியை அடிப்படையாகக் கொண்டவை. உண்மையான குணகங்களைக் கொண்ட ஒரு மாறுபட்ட பல்லுறுப்புக்கோவை என்றால், அதன் நேர்மறை உண்மையான வேர்களின் எண்ணிக்கை, அவற்றின் பெருக்கத்துடன் கணக்கிடப்படுகிறது மற்றும் அதன் குணகங்களின் வரிசையில் உள்ள அடையாள மாறுபாடுகளின் எண்ணிக்கை ஆகியவற்றால் குறிக்கலாம். டெஸ்கார்ட்டின் குறியீடுகளின் விதி இது ஒரு எதிர்மறை அல்லாத இரட்டை முழு எண் என்று வலியுறுத்துகிறது. குறிப்பாக, இருந்தால், பின்னர் ஒன்று உள்ளது. புடானின் கூற்று உண்மையான குணகங்களுடன் ஒரு மாறுபட்ட பல்லுறுப்புக்கோவை கொடுக்கப்பட்டால், உண்மையான வேர்களின் எண்ணிக்கையால், அவற்றின் பெருக்கங்களுடன் கணக்கிடப்பட்டு, அரை திறந்த இடைவெளியில் (உண்மையான எண்களுடன்) குறிக்கலாம். பல்லுறுப்புக்கோவையின் குணகங்களின் வரிசையில் உள்ள அடையாள மாறுபாடுகளின் எண்ணிக்கையையும் குறிக்கலாம். குறிப்பாக, ஒன்று முந்தைய பிரிவின் குறியீட்டைக் கொண்டுள்ளது. புடானின் தேற்றம் பின்வருமாறுஃ இது ஒரு எதிர்மறை அல்லாத இரட்டை முழு எண் ஆகும். எதிர்மறை அல்லாததைப் போலவே, இது டெஸ்கார்ட்டின் அறிகுறிகளின் விதியின் பொதுமைப்படுத்தலைக் குறிக்கிறது, ஒருவர் போதுமான அளவு பெரியதைத் தேர்ந்தெடுத்தால், அது அனைத்து உண்மையான வேர்களையும் விட பெரியது, மேலும் அனைத்து குணகங்களும் நேர்மறையானவை, அதாவது டெஸ்கார்ட்டின் அறிகுறிகளின் விதியை புடனின் தேற்றத்தின் ஒரு சிறப்பு நிகழ்வாக ஆக்குகிறது. டெஸ்கார்ட்டின் அறிகுறிகளின் விதியைப் பொறுத்தவரை, ஒருவரிடம் இருந்தால் இதன் பொருள், ஒருவரிடம் "பூஜ்ஜிய-வேர் சோதனை" மற்றும் "ஒரு-வேர் சோதனை" இருந்தால். உதாரணம் 1. பல்லுறுப்புக்கோவை மற்றும் திறந்த இடைவெளி கொடுக்கப்பட்டால், ஒன்று இவ்வாறு உள்ளது, மேலும் புடானின் தேற்றம் திறந்த இடைவெளி 2 இல் பல்லுறுப்புக்கோவை இரண்டு அல்லது பூஜ்ஜிய உண்மையான வேர்களைக் கொண்டுள்ளது என்று வலியுறுத்துகிறது. அதே பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு இவ்வாறு உள்ளது, மேலும் திறந்த இடைவெளியில் பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு உண்மையான வேர் இல்லை என்று புடானின் தேற்றம் வலியுறுத்துகிறது இது பூட்டானின் தேற்றத்தை பூஜ்ஜிய-வேர் சோதனையாகப் பயன்படுத்துவதற்கான ஒரு எடுத்துக்காட்டு. ஃபோரியர்-புடான் தேற்றம் அல்லது புடான்-ஃபோரியர் தேற்றம் (சில நேரங்களில் புடானின் தேற்றம் மட்டுமே) என்றும் அழைக்கப்படும் பல்லுறுப்புக்கோவை உண்மையான வேர்கள் குறித்த ஃபோரியரின் தேற்றம், புடானின் தேற்றத்தைப் போலவே உள்ளது, தவிர, மற்றும், இன் குணகங்களின் வரிசை அட் இன் வழித்தோன்றல்களின் வரிசையால் மாற்றப்படுகிறது. ஒவ்வொரு தேற்றமும் மற்றொன்றுக்கு இணையாக உள்ளது. இது பல்லுறுப்புக்கோவையின் டெய்லர் விரிவாக்கத்தின் விளைவாகும், இது இன் குணகம் ஒரு நேர்மறை எண்ணின் ஈவு என்பதைக் குறிக்கிறது. எனவே ஃபோரியரின் தேற்றம் மற்றும் புடானின் தேற்றத்தில் கருதப்படும் வரிசைகள் ஒரே எண்ணிக்கையிலான அடையாள மாறுபாடுகளைக் கொண்டுள்ளன. இரண்டு கோட்பாடுகளுக்கும் இடையிலான இந்த வலுவான உறவு 19 ஆம் நூற்றாண்டில் நிகழ்ந்த முன்னுரிமை சர்ச்சையையும், ஒரே தேற்றத்திற்கு பல பெயர்களைப் பயன்படுத்துவதையும் விளக்கக்கூடும். நவீன பயன்பாட்டில், கணினி கணக்கீட்டிற்கு, புடானின் தேற்றம் பொதுவாக விரும்பப்படுகிறது, ஏனெனில் புடானின் தேற்றத்தை விட ஃபோரியரின் தேற்றத்தில் வரிசைகள் மிகப் பெரிய குணகங்களைக் கொண்டுள்ளன, ஏனெனில் காரணி காரணி. ஒவ்வொரு தேற்றமும் மற்றொன்றுக்கு இணையாக இருப்பதால், ஃபோரியரின் தேற்றத்தை நிரூபிக்க இது போதுமானது. ஆதாரம்ஃ டிகிரியாக இருக்கட்டும், எனவே அவை நிலையான பல்லுறுப்புக்கோவைகள் அல்ல, பூஜ்ஜியமற்ற மாறிலி மற்றும் அனைத்தும் ஒரே மாதிரியான பூஜ்ஜியமாகும். குறியீடு மாறுபாட்டின் செயல்பாடு குறைந்தபட்சம் ஒன்றின் மூலத்தில் மட்டுமே மாறுபடும் என்றால் மாறுபடும், பின்னர் சிலருக்கு, ஒரு வேர் உள்ளது, மேலும் ஒவ்வொன்றிற்கும் வேர் இல்லை. என்றால், சில மற்றும் சில பல்லுறுப்புக்கோவைகளை திருப்திப்படுத்தும். ஒரு சிறிய இடத்தில் மற்றும் அதற்கு வெளிப்படையாக கணக்கிடுவதன் மூலம், நம்மிடம் உள்ளது இந்த சமன்பாட்டில், இந்த சொல் இருந்து மாறுவதற்கான அறிகுறிகளால் ஏற்படுகிறது. இந்த சொல் அதிக வழித்தோன்றல் அறிகுறிகள் பூஜ்ஜியமாக மாறுவதால் ஏற்படுகிறது. சில வழித்தோன்றல்கள் பூஜ்ஜியப்படுத்தப்பட்டாலும், இரண்டும் பூஜ்ஜியமற்றவையாக இருப்பதால், நாம் சம எண்ணிக்கையிலான அடையாள மாற்றங்களை மட்டுமே இழக்கிறோம்ஃ மாறுபடும் என்றால், பின்னர் இதேபோல் வாதிடுவது, இரண்டு நிகழ்வுகளுக்கும், நாம் ஒரு சிறிய அளவை எடுக்க முடியும் என்பதைக் காண்கிறோம். ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் உண்மையான வேர்களை எண்ணுவதிலும் கண்டுபிடிப்பதிலும் உள்ள சிக்கல் 19 ஆம் நூற்றாண்டின் தொடக்கத்தில் மட்டுமே முறையாக ஆய்வு செய்யத் தொடங்கியது. 1807 ஆம் ஆண்டில், பிரான்சுவா புடான் டி போயிஸ்லாரென்ட் டெஸ்கார்ட்டின் அறிகுறிகளின் விதியை நீட்டிக்க ஒரு முறையைக் கண்டுபிடித்தார்-இடைவெளிக்கு செல்லுபடியாகும்-எந்த இடைவெளிக்கும். ஜோசப் ஃபோரியர் 1820 ஆம் ஆண்டில் இதேபோன்ற தேற்றத்தை வெளியிட்டார், அதில் அவர் இருபது ஆண்டுகளுக்கும் மேலாக பணியாற்றினார். இரண்டு கோட்பாடுகளுக்கும் இடையிலான ஒற்றுமை காரணமாக, இரண்டு கோட்பாடுகளும் சுயாதீனமாக கண்டுபிடிக்கப்பட்ட போதிலும், முன்னுரிமை சர்ச்சை ஏற்பட்டது. இது பொதுவாக 19 ஆம் நூற்றாண்டில், சமன்பாடுகளின் கோட்பாடு குறித்த பாடப்புத்தகங்களில் பயன்படுத்தப்பட்ட ஃபோரியரின் சூத்திரம் மற்றும் சான்றாகும். 19 ஆம் நூற்றாண்டில் பயன்படுத்தப்பட்ட புடான் மற்றும் ஃபோரியரின் கோட்பாடுகள் விரைவில் ஒரு பெரிய முக்கியத்துவம் வாய்ந்ததாகக் கருதப்பட்டன, இருப்பினும் அவை ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் உண்மையான வேர்களின் எண்ணிக்கையை ஒரு இடைவெளியில் எண்ணும் சிக்கலை முழுமையாக தீர்க்கவில்லை. இந்தப் பிரச்சினை 1827இல் ஸ்டர்ம் என்பவரால் முழுமையாகத் தீர்க்கப்பட்டது. ஸ்டர்மின் தேற்றம் டெஸ்கார்ட்டின் அறிகுறிகளின் விதியை அடிப்படையாகக் கொண்டிருக்கவில்லை என்றாலும், ஸ்டர்மின் மற்றும் ஃபோரியரின் கோட்பாடுகள் எண்களின் வரிசையின் அடையாள மாறுபாடுகளின் எண்ணிக்கையைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் மட்டுமல்லாமல், சிக்கலின் ஒத்த அணுகுமுறையாலும் தொடர்புடையவை. ஃபோரியரின் முறைகளால் ஈர்க்கப்பட்டதாக ஸ்டர்ம் ஒப்புக் கொண்டார்ஃ "இது ஒரு நிலை, மற்றும் பின்பற்ற வேண்டிய வழிகள், என்ன செய்ய வேண்டும் என்று நான் நம்புகிறேன், என்ன செய்ய வேண்டும் என்று நான் விரும்புகிறேன், என்ன செய்ய வேண்டும் என்று நான் விரும்புகிறேன். "அவர் வகுத்த கொள்கைகளை நம்பியிருப்பதன் மூலமும், அவரது சான்றுகளைப் பின்பற்றுவதன் மூலமும் தான் நான் முன்வைக்கவிருக்கும் புதிய கோட்பாடுகளைக் கண்டுபிடித்துள்ளேன். இதன் காரணமாக, 19 ஆம் நூற்றாண்டில், ஃபோரியர் மற்றும் ஸ்டர்மின் கோட்பாடுகள் சமன்பாடுகளின் கோட்பாடு குறித்த கிட்டத்தட்ட அனைத்து புத்தகங்களிலும் ஒன்றாக தோன்றின. ஃபோரியர் மற்றும் புடான் ஆகியோர் வேர்கள் தேடப்படும் இடைவெளிகளின் அளவைக் குறைப்பதற்கான சிக்கலைத் திறந்து விட்டனர், இறுதியில், அடையாள மாறுபாடுகளின் எண்ணிக்கைக்கு இடையிலான வேறுபாடு அதிகபட்சமாக ஒன்றாக இருக்கும், இது இறுதி இடைவெளிகளில் அதிகபட்சம் ஒரு வேர் ஒவ்வொன்றையும் கொண்டுள்ளது என்பதை சான்றளிக்க அனுமதிக்கிறது. இந்தப் பிரச்சினை 1834 ஆம் ஆண்டில் அலெக்ஸாண்ட்ரே ஜோசப் ஹிடுல்ப் வின்சென்ட் என்பவரால் தீர்க்கப்பட்டது. தோராயமாக கூறுவதானால், வின்சென்ட்டின் தேற்றம் பூடானின் மாறியின் நேரியல் மாற்றங்களை மோபியஸ் மாற்றங்களால் மாற்றுவதற்கு தொடர்ச்சியான பின்னங்களைப் பயன்படுத்துவதைக் கொண்டுள்ளது. புடான், ஃபோரியர் மற்றும் வின்சென்ட் தேற்றம் 19 ஆம் நூற்றாண்டின் இறுதியில் மறந்துபோனது. 20 ஆம் நூற்றாண்டின் இரண்டாம் பாதிக்கு முன்னர் இந்த கோட்பாடுகளைக் குறிப்பிடும் கடைசி எழுத்தாளர் ஜோசப் ஆல்ஃபிரட் செரெட். கணினி இயற்கணிதத்தில், கணினிகளில் உண்மையான வேர்களை தனிமைப்படுத்துவதற்கான ஒரு திறமையான வழிமுறையை வழங்குவதற்காக 1976 ஆம் ஆண்டில் காலின்ஸ் மற்றும் அக்ரிடாஸ் ஆகியோரால் அவை மீண்டும் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டன. மேலும் காண்க பல்லுறுப்புக்கோவை வேர்களின் பண்புகள் வேர்-கண்டுபிடிப்பு வழிமுறை குறிப்புகள் வெளிப்புற இணைப்புகள் கணிதக் கோட்பாடுகள் வேர்-கண்டுபிடிப்பு வழிமுறை உண்மையான இயற்கணித வடிவியல்