Constant-mean-curvature surface
வேறுபட்ட வடிவவியலில், நிலையான-பொருள்-வளைவு (சிஎம்சி) மேற்பரப்புகள் நிலையான சராசரி வளைவு கொண்ட மேற்பரப்புகள் ஆகும். இது ஒரு துணைக்குழுவாக குறைந்தபட்ச மேற்பரப்புகளை உள்ளடக்கியது, ஆனால் பொதுவாக அவை சிறப்பு நிகழ்வாக கருதப்படுகின்றன. இந்த மேற்பரப்புகள் பொதுவாக நிலையான காஸியன் வளைவு மேற்பரப்புகளிலிருந்து வேறுபடுகின்றன என்பதை நினைவில் கொள்க, கோளத்தின் முக்கியமான விதிவிலக்கு தவிர. 1841 ஆம் ஆண்டில் டெலவுனே நிலையான சராசரி வளைவுடன் புரட்சியின் மேற்பரப்புகள் மட்டுமே கூம்புகளின் ரவுலட்டுகளை சுழற்றுவதன் மூலம் பெறப்பட்ட மேற்பரப்புகள் என்பதை நிரூபித்தது. இவை பிளேன், சிலிண்டர், ஸ்பியர், கேடனாய்டு, அன்டுலாய்டு மற்றும் நோடாய்டு ஆகும். 1853 ஆம் ஆண்டில் ஜே. எச். ஜெல்லெட் நிலையான சராசரி வளைவுடன் ஒரு சிறிய நட்சத்திர வடிவ மேற்பரப்பு என்றால், அது நிலையான கோளம் என்று காட்டியது. அதைத் தொடர்ந்து, ஏ. டி. அலெக்ஸாண்ட்ரோவ் நிலையான சராசரி வளைவுடன் ஒரு சிறிய உட்பொதிக்கப்பட்ட மேற்பரப்பு ஒரு கோளமாக இருக்க வேண்டும் என்பதை நிரூபித்தார். இதை அடிப்படையாகக் கொண்டு எச். ஹோப்ஃப் 1956 ஆம் ஆண்டில் எந்தவொரு மூழ்கிய சிறிய நோக்குநிலை மாறிலி சராசரி வளைவு ஹைப்பர்சர்பேஸ் ஒரு நிலையான உட்பொதிக்கப்பட்ட கோளமாக இருக்க வேண்டும் என்று ஊகித்தார். இந்த அனுமானத்தை 1982 ஆம் ஆண்டில் வு-யி சியாங் ஒரு எதிர் உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி மறுத்தார். 1984 ஆம் ஆண்டில் ஹென்றி சி. வென்டே வென்டே டோரஸைக் கட்டினார், இது நிலையான சராசரி வளைவுடன் ஒரு டோரஸை மூழ்கடிக்கும். இந்த கட்டம் வரை சிஎம்சி மேற்பரப்புகள் அரிதானவை என்று தோன்றியது; புதிய நுட்பங்கள் ஏராளமான எடுத்துக்காட்டுகளை உருவாக்கின. குறிப்பாக க்ளூயிங் முறைகள் சிஎம்சி மேற்பரப்புகளை மிகவும் தன்னிச்சையாக இணைக்க அனுமதிப்பதாகத் தெரிகிறது. தாமதமான மேற்பரப்புகளை மூழ்கிய "குமிழிகளுடன்" இணைக்கலாம், அவற்றின் சிஎம்சி பண்புகளை தக்க வைத்துக் கொள்ளலாம். ஒரே ஒரு முனையுடன் உட்பொதிக்கப்பட்ட சிஎம்சி மேற்பரப்புகள் எதுவும் இல்லை என்பதை மீக்ஸ் காட்டியது. கோரேவார், குஸ்னர் மற்றும் சாலமன் ஆகியோர் ஒரு முழுமையான உட்பொதிக்கப்பட்ட சிஎம்சி மேற்பரப்பு முனைகள் அன்டுலாய்டுகளுக்கு அறிகுறியற்றதாக இருக்கும் என்பதை நிரூபித்தனர். ஒவ்வொரு முனையும் அண்டுலாய்டின் அறிகுறியற்ற அச்சில் ஒரு "விசையை" கொண்டு செல்கிறது (இங்கு n என்பது கழுத்துகளின் சுற்றளவு), இதன் கூட்டுத்தொகை மேற்பரப்பு இருப்பதற்கு சமநிலையாக இருக்க வேண்டும். தற்போதைய பணி உட்பொதிக்கப்பட்ட சிஎம்சி மேற்பரப்புகளின் குடும்பங்களை அவற்றின் மாடுலி இடைவெளிகளின் அடிப்படையில் வகைப்படுத்துவதை உள்ளடக்கியது. குறிப்பாக, பேரினம் 0 இன் கோப்ளானார் k-அண்டுலாய்டுகளுக்கு ஒற்றைப்படை k க்கு திருப்தி அளிக்கிறது, மேலும் சமமான k க்கு. அதிகபட்சமாக k−2 முனைகள் உருளை வடிவமாக இருக்கலாம். உற்பத்தி முறைகள் பிரதிநிதித்துவ சூத்திரம் குறைந்தபட்ச மேற்பரப்புகளைப் போலவே, ஹார்மோனிக் செயல்பாடுகளுக்கு நெருக்கமான இணைப்பு உள்ளது. ஒரு நோக்குநிலை மேற்பரப்பு அதன் காஸ் வரைபடம் ஒரு ஒத்திசைவான வரைபடமாக இருந்தால் மட்டுமே நிலையான சராசரி வளைவைக் கொண்டுள்ளது. கென்மோட்சுவின் பிரதிநிதித்துவ சூத்திரம் குறைந்தபட்ச மேற்பரப்புகளின் வியர்ஸ்ட்ராஸ்-எனெப்பர் அளவுருவிற்கு ஒத்ததாகும்ஃ ஒரு திறந்த எளிய இணைக்கப்பட்ட துணைக்குழுவாக இருக்கட்டும் மற்றும் ஒரு தன்னிச்சையான பூஜ்ஜியமற்ற உண்மையான மாறிலியாக இருக்கட்டும். ரீமன் கோளத்தில் ஒரு ஹார்மோனிக் செயல்பாடு என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் for ஆல் வரையறுக்கப்பட்டால், காஸ் வரைபடம் மற்றும் சராசரி வளைவு கொண்ட ஒரு வழக்கமான மேற்பரப்பு ஆகும். ஏனெனில் இது கோளத்தை உருவாக்குகிறது. மற்றும் எங்கே ஒரு உருளை கொடுக்கிறது. இணை உறவினர் முறை லாஸன் 1970 ஆம் ஆண்டில் ஒவ்வொரு சிஎம்சி மேற்பரப்பிலும் ஒரு ஐசோமெட்ரிக் "உறவினர்" குறைந்தபட்ச மேற்பரப்பு இருப்பதாகக் காட்டினார். இது புவியியல் பலகோணங்களில் இருந்து தொடங்கும் கட்டுமானங்களை அனுமதிக்கிறது, அவை ஒரு குறைந்தபட்ச இணைப்பால் பரவியுள்ளன, அவை பிரதிபலிப்பு மூலம் ஒரு முழுமையான மேற்பரப்பில் நீட்டிக்கப்படலாம், பின்னர் ஒரு சிஎம்சி மேற்பரப்பாக மாற்றப்படலாம். சிஎம்சி டோரி ஹிட்சின், பின்கால், ஸ்டெர்லிங் மற்றும் போபென்கோ ஆகியோர் 2-டோரஸின் அனைத்து நிலையான சராசரி வளைவு மூழ்குதல்களும் விண்வெளி வடிவங்களில் இருப்பதைக் காட்டினர், மேலும் அவை முற்றிலும் ஆல்ஜிப்ரோ-ஜியோமெட்ரிக் தரவுகளில் விவரிக்கப்படலாம். இது வரையறுக்கப்பட்ட வகையைச் சேர்ந்த தளத்தின் சிஎம்சி மூழ்கிகளின் துணைக்குழுவிற்கு நீட்டிக்கப்படலாம். மேலும் துல்லியமாக சிஎம்சி மற்றும் ஸ்பெக்ட்ரல் வளைவு எனப்படும் ஹைப்பர்லிப்டிக் வளைவு இருக்கும் வடிவத்தின் ஸ்பெக்ட்ரல் தரவுகளுக்கு இடையில் ஒரு வெளிப்படையான பைஜெக்ஷன் உள்ளது, இது ஒரு மெரோமார்பிக் செயல்பாடாகும், மேலும் புள்ளிகள் உள்ளன, இது ஒரு ஆன்ட்ஹோலோமார்பிக் இன்வொல்யூஷன் மற்றும் சில நிபந்தனைகளுக்குக் கீழ்ப்படிவதற்கான ஒரு வரி மூட்டை ஆகும். தனித்துவமான எண் முறைகள் தனித்துவமான வேறுபட்ட வடிவியல் சிஎம்சி மேற்பரப்புகளுக்கு (அல்லது தனித்துவமான சகாக்களுக்கு) தோராயங்களை உருவாக்க பயன்படுத்தப்படலாம், பொதுவாக பொருத்தமான ஆற்றல் செயல்பாட்டைக் குறைப்பதன் மூலம். பயன்பாடுகள் சிஎம்சி மேற்பரப்புகள் சோப்பு குமிழிகளின் பிரதிநிதித்துவங்களுக்கு இயற்கையானவை, ஏனெனில் அவை பூஜ்ஜியமற்ற அழுத்த வேறுபாட்டிற்கு ஒத்த வளைவைக் கொண்டுள்ளன. மேக்ரோஸ்கோபிக் குமிழி மேற்பரப்புகளைத் தவிர, சிஎம்சி மேற்பரப்புகள் ஒரு சூப்பர் ஹைட்ரோபோபிக் மேற்பரப்பில் வாயு-திரவ இடைமுகத்தின் வடிவத்திற்கு பொருத்தமானவை. மும்முனை கால குறைந்தபட்ச மேற்பரப்புகளைப் போலவே, வெவ்வேறு கூறுகள் பூஜ்ஜியமற்ற இடைமுக ஆற்றல் அல்லது பதற்றத்தைக் கொண்ட பிளாக் கோபாலிமர்களுக்கான மாதிரிகளாக காலமுறை சிஎம்சி மேற்பரப்புகளில் ஆர்வம் உள்ளது. காலமுறை குறைந்தபட்ச மேற்பரப்புகளுக்கான சிஎம்சி ஒப்புமைகள் கட்டப்பட்டுள்ளன, இது இடத்தின் சமமற்ற பகிர்வுகளை உருவாக்குகிறது. ஏபிசி டிரிப்லாக் கோபாலிமர்களில் சிஎம்சி கட்டமைப்புகள் காணப்படுகின்றன. கட்டிடக்கலையில் சிஎம்சி மேற்பரப்புகள் ஊதப்பட்ட குவிமாடங்கள் மற்றும் உறை போன்ற காற்று ஆதரவு கட்டமைப்புகளுக்கும், பாயும் கரிம வடிவங்களின் மூலத்திற்கும் பொருத்தமானவை. மேலும் காண்க இரட்டை குமிழி அனுமானம் இலவச மேற்பரப்பு குறைந்தபட்ச மேற்பரப்பு குறிப்புகள் வெளிப்புற இணைப்புகள் சிஎம்சி மேற்பரப்புகள் அறிவியல் கிராபிக்ஸ் திட்டத்தில் ஜியோமெட்ரி வெர்க்ஸ்டாட் மேற்பரப்பு கேலரி சிஎம்சி மேற்பரப்புகளின் ஜிஏஎன்ஜி கேலரி நொயிட், என்-நொய்ட் சிஎம்சி மேற்பரப்புகளைக் கணக்கிடுவதற்கான மென்பொருள் மேற்பரப்புகளின் வேறுபட்ட வடிவியல்