Randolph diagram
ஒரு ராண்டோல்ஃப் வரைபடம் (ஆர்-வரைபடம்) என்பது தர்க்கரீதியான வெளிப்பாடுகள் மற்றும் தொகுப்புகளின் சேர்க்கைகளை காட்சிப்படுத்த ஒரு எளிய வழியாகும். ராண்டோல்ஃப் வரைபடங்கள் 1965 ஆம் ஆண்டில் கணிதவியலாளர் ஜான் எஃப். ராண்டோல்ஃப் என்பவரால் ஆர்கன்சாஸ் பல்கலைக்கழகத்தில் கற்பித்தபோது உருவாக்கப்பட்டன. கண்ணோட்டம் ராண்டோல்ஃப் வரைபடங்கள் ஒவ்வொரு வரியையும் ஒரு தர்க்கரீதியான அறிக்கை அல்லது தொகுப்புக்கு சொந்தமானவை அல்லது தொடர்புடையவை என்று வரையறுப்பதன் மூலம் மிகவும் எளிதாக விளக்கப்படலாம். கோட்டிற்கு மேலே உள்ள எந்த புள்ளியும் உண்மை அல்லது சேர்ப்பைக் குறிக்கிறது மற்றும் கோட்டிற்குக் கீழே இருப்பது பொய்மை அல்லது விலக்கலைக் குறிக்கிறது. இந்த அமைப்பைப் பயன்படுத்தி, குறுக்குவெட்டு கோடுகளைப் பயன்படுத்தி எந்தவொரு தொகுப்புகள் அல்லது தர்க்கரீதியான அறிக்கைகளின் கலவையையும் ஒருவர் பிரதிநிதித்துவப்படுத்தலாம். வென் வரைபடங்கள் பொதுவாக தொகுப்புகளின் சேர்க்கைகளைக் குறிக்கப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன என்றாலும், ராண்டோல்ஃப் வரைபடங்கள் 3 க்கும் மேற்பட்ட தொகுப்புகளின் சேர்க்கைகளை சுத்தமாக பிரதிநிதித்துவப்படுத்தும் நன்மையைக் கொண்டுள்ளன. வென் வரைபடங்களுக்கு அதிக இடஞ்சார்ந்த பரிமாணங்களில் விரிவாக்கம் அல்லது மிகவும் சிக்கலான வடிவங்களைப் பயன்படுத்துவது தேவைப்படுகிறது, அதே நேரத்தில் ராண்டோல்ஃப் வரைபடங்கள் ஒவ்வொரு கூடுதல் தொகுப்புக்கும் சமமாக உட்பிரிவுபடுத்தப்படுகின்றன. 5 தொகுப்பு தர்க்கரீதியான அறிக்கைகளுக்கு ஒரு வென் வரைபடத்திற்கும் ஆர்-வரைபடத்திற்கும் இடையிலான ஒப்பீடு இங்கேஃ வரலாறு குறுக்கு-பரிசோதனை முன்மொழிவு கால்குலஸ் மற்றும் செட் ஆபரேஷன்ஸ் என்ற தலைப்பில் தனது அறிமுகக் கட்டுரையில், தர்க்கரீதியான உறவுகளைக் குறிக்க சிலுவைகள் மற்றும் புள்ளிகளின் முதல் பயன்பாடு நரம்பியல் இயற்பியலாளரும் ராண்டோல்ப்பின் சமகாலத்தவருமான டபிள்யூ. எஸ். மெக்குலோக்கால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது என்று ராண்டோல்ஃப் குறிப்பிடுகிறார். ராண்டோல்ஃப் மெக்கல்லோக்கின் அமைப்பை இரண்டுக்கும் மேற்பட்ட தர்க்கரீதியான அறிக்கைகள் அல்லது தொகுப்புகளின் சேர்க்கைகள் மற்றும் உறவுகளைக் குறிக்கும் ஒரு புதிய வழியைக் கொண்டு மாற்றியமைத்தார், அதாவது ஆர்-வரைபடத்தின் ஒவ்வொரு பகுதியையும் அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட ஒவ்வொரு புதிய உறுப்புக்கும் ஒரு புதிய மூலைவிட்டக் கோட்டுடன் உட்படுத்தினார். தர்க்கரீதியான உறவுகளைக் குறிக்க ஆர்-வரைபடங்களைப் பயன்படுத்துவதே அவரது அசல் கருத்து என்றும், பின்னர் கோட்பாட்டை அமைக்கவும் பயன்படுத்த வேண்டும் என்ற கருத்தை விரிவுபடுத்தினார் என்றும் ராண்டோல்ஃப்பின் ஆய்வுக் கட்டுரை கூறுகிறது. காகிதம் முழுவதும், ஆர்-வரைபடங்கள் சாதாரண தர்க்கரீதியான மற்றும் செட் பைனரி செயல்பாட்டு சின்னங்களுடன் இணைந்து பயன்படுத்தப்படுகின்றன. தர்க்கக் கோட்பாட்டிற்கு ஆர்-வரைபடங்களைப் பயன்படுத்தும்போது, தர்க்கரீதியான அறிக்கைகள் p, q மற்றும் r ஒவ்வொன்றும் ஒரு பெரிய அறிக்கையில் ஒவ்வொரு உறுப்பின் செல்லுபடியை பார்வைக்குக் காட்ட ஒரு வரி அல்லது பல கோடுகளாக மாறும். பொதுவாக, p என்பது மேல்நோக்கிய சாய்வுக் கோடு (/) என்றும், q என்பது கீழ்நோக்கிய சாய்வுக் கோடு (\) என்றும் கருதப்படுகிறது. ஒரு சாய்ந்த கோட்டின் மேலே உள்ள வரைபடத்தில் உள்ள ஒரு புள்ளி அந்த அறிக்கையின் உண்மையைக் குறிக்கிறது; அதேபோல், கீழே உள்ள ஒரு புள்ளி பொய்யைக் குறிக்கிறது. p மற்றும் q க்கான R-வரைபடங்கள் முறையே கீழே காட்டப்பட்டுள்ளனஃ இரண்டுக்கும் மேற்பட்ட அறிக்கைகளுக்கு, p மற்றும் q கோடுகளின் குறுக்குவெட்டால் உருவாக்கப்பட்ட நான்கு இடைவெளிகள் அதிக கோடுகளாகப் பிரிக்கப்பட வேண்டும். r ஐப் பொறுத்தவரை, நான்கு இடைவெளிகள் ஒவ்வொன்றிலும் ஒரு மேல்நோக்கிய சாய்வு கோடு (/) சேர்க்கப்படுகிறது. r க்கான R-வரைபடம் கீழே காட்டப்பட்டுள்ளதுஃ இந்த முறையை எந்த எண்ணிக்கையிலான உண்மை மதிப்புகளுக்கும் நீட்டிக்க முடியும்ஃ, போன்றவை. ஆர்-வரைபடங்கள் முதன்மையாக தர்க்கரீதியான வெளிப்பாடுகளைக் குறிக்கப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. ஒரு தர்க்கரீதியான முன்மொழிவைப் பொறுத்தவரை, ஆர்-வரைபடங்கள் ஒவ்வொரு தனிமத்தின் சாத்தியமான ஒவ்வொரு உண்மை/தவறான மாறுபாட்டின் முடிவையும் காட்ட முடியும், இது ஒரு உண்மை அட்டவணையை பிரதிநிதித்துவப்படுத்த ஒரு மாற்று வழியை உருவாக்குகிறது. கீழே உள்ள அட்டவணையில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி, அனைத்து அடிப்படை தர்க்கரீதியான செயல்பாடுகள் அல்லது இணைப்புகள் ஒரு ஆர்-வரைபடங்களைப் பயன்படுத்தி ஒரு உண்மை அட்டவணைக்கு எளிதில் படிக்கக்கூடிய மாற்றாக வெளிப்படுத்தப்படலாம்ஃ தர்க்கரீதியான வெளிப்பாடுகளை எளிமைப்படுத்துவது ஆர்-வரைபடங்களை சிக்கலான தர்க்கரீதியான வெளிப்பாடுகளை எளிதில் எளிதாக்க பயன்படுத்தலாம், படிப்படியான செயல்முறையைப் பயன்படுத்தி. செயல்பாடுகளின் வரிசையைப் பயன்படுத்தி, சரியான வரிசையில் ஆர்-வரைபடங்களுக்கு லாஜிக்கல் ஆபரேட்டர்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. இறுதியாக, இதன் விளைவாக ஒரு ஆர்-வரைபடம் உள்ளது, இது ஒரு எளிய தர்க்கரீதியான வெளிப்பாடாக மாற்றப்படலாம். எடுத்துக்காட்டாக, பின்வரும் வெளிப்பாட்டை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள்ஃ ஆர்-வரைபடங்களைப் பயன்படுத்தி இதை பின்வருமாறு எளிமைப்படுத்தலாம்ஃ இது சமம்ஃ தர்க்கரீதியான வாதங்களை நிரூபித்தல் இதேபோல், தர்க்கரீதியான வாதங்களை நிரூபிக்க அல்லது நிரூபிக்க ஆர்-வரைபடங்களைப் பயன்படுத்தலாம். உதாரணமாக, நன்கு அறியப்பட்ட வாதம் மோடஸ் போனன்ஸை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள், இது உட்குறிப்பு நீக்கம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறதுஃ இதை ஒரு டாட்டாலஜிக்கல் லாஜிக்கல் வெளிப்பாடாக மாற்றலாம், பின்னர் ஆர்-வரைபடங்களைப் பயன்படுத்தி எளிமைப்படுத்தலாம்ஃ இதன் விளைவாக ஒவ்வொரு இடத்திலும் ஒரு புள்ளி இருக்கும் ஆர்-வரைபடம். இதன் பொருள் வாதம் ஒரு டாட்டாலஜி; இது எல்லா சந்தர்ப்பங்களிலும் உண்மை. எந்த இடத்திலும் ஒரு புள்ளி இல்லாத ஒரு ஆர்-வரைபடம் ஒரு முரண்பாடாகும், இது ஒருபோதும் உண்மையாக இருக்காது. வென் வரைபடங்களுக்கு மாற்றாக, ஆர்-வரைபடக் கோட்பாட்டை அமைப்பதற்கான பயன்பாடுகளும் தொகுப்புக் கோட்பாட்டில் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. தொகுப்புக் கோட்பாட்டில், ஒவ்வொரு வரியும் ஒரு தர்க்கரீதியான அறிக்கைக்கு பதிலாக ஒரு தொகுப்பைக் குறிக்கிறது; p ஐ A மாற்றுகிறது மற்றும் q ஐ B மாற்றுகிறது. செட்களுக்கு பயன்படுத்தப்படும்போது, வரிக்கு மேலே உள்ள ஒரு புள்ளி சேர்ப்பைக் குறிக்கிறது, அங்கு கீழே உள்ள ஒரு புள்ளி விலக்கலைக் குறிக்கிறது. தர்க்கத்தைப் போலவே, அடிப்படை தொகுப்பு செயல்பாடுகளை ஆர்-வரைபடங்களைப் பயன்படுத்தி பார்வைக்குக் குறிப்பிடலாம்ஃ ஆர்-வரைபடங்கள் தொகுப்பு கோட்பாட்டு மற்றும் தர்க்கரீதியான கருத்துக்களுக்கு இடையிலான சமநிலையை விளக்குகின்றனஃ தொகுப்புக் கோட்பாட்டில் குறுக்கீடு என்பது தர்க்கத்தில் இணைப்புக்கு சமம், மற்றும் தொகுப்புக் கோட்பாட்டின் ஒன்றிணைப்பு தர்க்கரீதியான இணைப்புக்கு சமம். குறிப்புகள் தொகுப்புக் கோட்பாட்டில் வரைகலை கருத்துக்கள் வரைபடங்கள்