Posterior predictive distribution
பேய்சியன் புள்ளிவிவரங்களில், பிந்தைய முன்கணிப்பு விநியோகம் என்பது கவனிக்கப்பட்ட மதிப்புகளுக்கு நிபந்தனைக்குட்பட்ட கவனிக்கப்படாத மதிப்புகளின் விநியோகம் ஆகும். என். ஐ. டி. யின் தொகுப்பு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. அவதானிப்புகள், ஒரு அளவுருவைப் பொறுத்து ஒரு விநியோகத்திலிருந்து ஒரு புதிய மதிப்பு வரையப்படும், அளவுரு இடம் எங்கே. இது ஒரு சிறந்த மதிப்பீட்டைச் செருக தூண்டுவதாகத் தோன்றலாம், ஆனால் இது பற்றிய நிச்சயமற்ற தன்மையை புறக்கணிக்கிறது, மேலும் நிச்சயமற்ற தன்மையின் ஆதாரம் புறக்கணிக்கப்படுவதால், முன்கணிப்பு விநியோகம் மிகவும் குறுகியதாக இருக்கும். வேறுவிதமாகக் கூறினால், தீவிர மதிப்புகளின் கணிப்புகள் அவற்றின் பின்புற விநியோகத்தால் கொடுக்கப்பட்ட அளவுருக்களில் உள்ள நிச்சயமற்ற தன்மை கணக்கிடப்படுவதை விட குறைந்த நிகழ்தகவைக் கொண்டிருக்கும். ஒரு பிந்தைய முன்கணிப்பு விநியோகம் பற்றி நிச்சயமற்ற தன்மைக்கு காரணமாகிறது. சாத்தியமான மதிப்புகளின் பின்புற விநியோகம் பின்வருவனவற்றைப் பொறுத்ததுஃ மேலும் கொடுக்கப்பட்டவற்றின் பின்புற முன்கணிப்பு விநியோகம் கொடுக்கப்பட்டவற்றின் பின்புற விநியோகத்தின் மீது கொடுக்கப்பட்ட விநியோகத்தை ஓரங்கட்டுவதன் மூலம் கணக்கிடப்படுகிறதுஃ இது நிச்சயமற்ற தன்மைக்கு காரணமாக இருப்பதால், பின்புற முன்கணிப்பு விநியோகம் பொதுவாக ஒரு முன்கணிப்பு விநியோகத்தை விட பரந்ததாக இருக்கும், இது ஒரு சிறந்த மதிப்பீட்டில் இணைக்கப்படுகிறது. முன் மற்றும் பின்புற முன்கணிப்பு விநியோகம் முந்தைய முன்கணிப்பு விநியோகம், ஒரு பேய்சியன் சூழலில், அதன் முந்தைய விநியோகத்தை விட ஓரங்கட்டப்பட்ட தரவு புள்ளியின் விநியோகம் ஆகும். அதாவது, என்றால் மற்றும், பின்னர் முன் முன்கணிப்பு விநியோகம் தொடர்புடைய விநியோகமாகும், அங்கு இது பின்புற முன்கணிப்பு விநியோகத்திற்கு ஒத்ததாகும், தவிர ஓரங்கட்டுதல் (அல்லது அதற்கு சமமாக, எதிர்பார்ப்பு) பின்புற விநியோகத்திற்கு பதிலாக முன் விநியோகத்தைப் பொறுத்தவரை எடுக்கப்படுகிறது. மேலும், முந்தைய விநியோகம் முன்பு ஒரு இணைப்பாக இருந்தால், பின்புற முன்கணிப்பு விநியோகம் முந்தைய முன்கணிப்பு விநியோகத்தின் அதே விநியோகக் குடும்பத்தைச் சேர்ந்ததாக இருக்கும். இதைப் பார்ப்பது எளிது. முந்தைய விநியோகம் இணைப்பாக இருந்தால், அதாவது. பின்னர், பின்புற முன்கணிப்பு விநியோகம் முந்தைய முன்கணிப்பு விநியோகத்தைப் போலவே அதே விநியோகம் H ஐப் பின்பற்றுகிறது, ஆனால் முந்தையவற்றுக்கு மாற்றாக ஹைப்பர் அளவுருக்களின் பின்புற மதிப்புகளுடன். முந்தைய முன்கணிப்பு விநியோகம் ஒரு கூட்டு விநியோகத்தின் வடிவத்தில் உள்ளது, மேலும் உண்மையில் ஒரு கூட்டு விநியோகத்தை வரையறுக்க பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது, ஏனெனில் தரவைச் சார்ந்திருப்பது மற்றும் இணைப்பின் பிரச்சினை போன்ற சிக்கலான காரணிகள் எதுவும் இல்லை. எடுத்துக்காட்டாக, மாணவரின் t-விநியோகத்தை அறியப்பட்ட சராசரி μ ஆனால் அறியப்படாத மாறுபாடு σx2 உடன் ஒரு இயல்பான விநியோகத்தின் முன் முன்கணிப்பு விநியோகமாக வரையறுக்கலாம், ஒரு இணை முன் அளவிடப்பட்ட-தலைகீழ்-சி-சதுர விநியோகம் σx2 இல் வைக்கப்படுகிறது, ஹைப்பர் அளவுருக்கள் ν மற்றும் σ2 உடன். இதன் விளைவாக வரும் கூட்டு விநியோகம் உண்மையில் ஒரு தரப்படுத்தப்படாத மாணவரின் டி-விநியோகமாகும், மேலும் இந்த விநியோகத்தின் இரண்டு பொதுவான அளவுருக்களில் ஒன்றைப் பின்பற்றுகிறது. பின்னர், அதனுடன் தொடர்புடைய பின்புற முன்கணிப்பு விநியோகம் மீண்டும் மாணவரின் t ஆக இருக்கும், பின்புற விநியோகத்தில் தோன்றும் புதுப்பிக்கப்பட்ட ஹைப்பர் அளவுருக்கள் பின்புற முன்கணிப்பு விநியோகத்தில் நேரடியாக தோன்றும். சில சந்தர்ப்பங்களில் பொருத்தமான கலவை விநியோகம் வெவ்வேறு அளவுருக்களைப் பயன்படுத்தி வரையறுக்கப்படுகிறது, இது தற்போதைய சிக்கலில் முன்கணிப்பு விநியோகங்களுக்கு மிகவும் இயற்கையாக இருக்கும். கலவை விநியோகத்தை வரையறுக்கப் பயன்படுத்தப்படும் முன் விநியோகம் தற்போதைய சிக்கலில் பயன்படுத்தப்பட்டதை விட வேறுபட்டது என்பதால் பெரும்பாலும் இது விளைகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, மேலே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, மாணவரின் டி-விநியோகம் மாறுபாட்டின் மீது வைக்கப்பட்டுள்ள அளவிடப்பட்ட-தலைகீழ்-சி-சதுர விநியோகத்தின் அடிப்படையில் வரையறுக்கப்பட்டது. இருப்பினும், இந்த சூழ்நிலையில் முன்பு ஒரு தலைகீழ் காமா விநியோகத்தை இணைப்பாகப் பயன்படுத்துவது மிகவும் பொதுவானது. அளவுருவைத் தவிர இவை இரண்டும் உண்மையில் சமமானவை; எனவே, மாணவரின் டி-டிஸ்ட்ரிபியூஷன் இன்னும் முன்கணிப்பு விநியோகத்திற்கு பயன்படுத்தப்படலாம், ஆனால் ஹைப்பர் அளவுருக்கள் செருகப்படுவதற்கு முன்பு மறுபரிசீலனை செய்யப்பட வேண்டும். அதிவேகக் குடும்பங்களில் பெரும்பாலானவை, ஆனால் அனைத்தும் அல்ல, பொதுவான விநியோகக் குடும்பங்கள் அதிவேகக் குடும்பங்களாகும். எக்ஸ்பொனென்ஷியல் குடும்பங்கள் ஏராளமான பயனுள்ள பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன. இவற்றில் ஒன்று என்னவென்றால், அனைத்து உறுப்பினர்களும் இணைக்கப்பட்ட முன் விநியோகங்களைக் கொண்டுள்ளனர்-அதேசமயம் மிகக் குறைவான பிற விநியோகங்கள் இணைக்கப்பட்ட முன்னுரிமைகளைக் கொண்டுள்ளன. அதிவேக குடும்பங்களில் முன் முன்கணிப்பு விநியோகம் மற்றொரு பயனுள்ள பண்பு என்னவென்றால், கூட்டு விநியோகத்தின் நிகழ்தகவு அடர்த்தி செயல்பாடு அதன் இணை முன் விநியோகத்தை விட ஓரங்கட்டப்பட்ட ஒரு அதிவேக குடும்ப விநியோகத்தின் முன் முன்கணிப்பு விநியோகத்துடன் தொடர்புடையது பகுப்பாய்வு ரீதியாக தீர்மானிக்கப்படலாம். இயற்கையான அளவுருவின் படி அளவுருவைக் கொண்ட அதிவேகக் குடும்பத்தின் உறுப்பினர் என்று வைத்துக்கொள்வோம், மேலும் முன்பு பொருத்தமான இணைப்பாக இருக்கும்போது விநியோகிக்கப்படுகிறது, பின்னர் முன் முன்கணிப்பு விநியோகம் (கலவையின் விளைவாக) உள்ளது ஒருங்கிணைப்புக்குள் உள்ள செயல்பாடு இயல்பாக்கும் செயல்பாட்டைத் தவிர்த்து, விநியோகிக்கப்பட்ட சீரற்ற மாறியின் அடர்த்தி செயல்பாடு என்பதை அங்கீகரிப்பதன் மூலம் முந்தைய வரியிலிருந்து கடைசி வரி பின்தொடர்கிறது. எனவே ஒருங்கிணைப்பின் விளைவு இயல்பாக்கும் செயல்பாட்டின் பரஸ்பரமாக இருக்கும். மேலே உள்ள முடிவு அளவுருவின் தேர்விலிருந்து சுயாதீனமாக உள்ளது, எதுவும் இல்லை, மற்றும் தோன்றுகிறது. (இது அளவுருவின் செயல்பாடாகும், எனவே அளவுருவின் தேர்வைப் பொறுத்து வெவ்வேறு வடிவங்களை எடுக்கும்.) மற்றும் நிலையான தேர்வுகளுக்கு, இயற்கையான அளவுருக்களின் அடிப்படையில் மீண்டும் எழுதுவதை விட வழக்கமான அளவுருக்களுடன் நேரடியாக வேலை செய்வது பெரும்பாலும் எளிதானது. ஒருங்கிணைப்பு கையாளக்கூடிய காரணம் என்னவென்றால், இது ஒரு முன் விநியோகத்தின் பெருக்கல் மற்றும் சாத்தியக்கூறுகளால் வரையறுக்கப்பட்ட அடர்த்தியின் இயல்பாக்குதல் மாறிலியைக் கணக்கிடுவதை உள்ளடக்கியது. இரண்டும் இணைக்கப்படும்போது, தயாரிப்பு ஒரு பின்புற விநியோகமாகும், மேலும் அனுமானத்தின் மூலம், இந்த விநியோகத்தின் இயல்பாக்குதல் மாறிலி அறியப்படுகிறது. மேலே காட்டப்பட்டுள்ளபடி, கலவை விநியோகத்தின் அடர்த்தி செயல்பாடு ஒரு குறிப்பிட்ட வடிவத்தைப் பின்பற்றுகிறது, இது அடர்த்தி செயல்பாட்டின் ஒரு பகுதியை உருவாக்கும் செயல்பாட்டின் பெருக்கத்தைக் கொண்டுள்ளது, இயல்பாக்கலின் இரண்டு வடிவங்களின் ஈவு "மாறிலி" க்கு, ஒன்று முன் விநியோகத்திலிருந்து பெறப்பட்டது மற்றும் மற்றொன்று பின்புற விநியோகத்திலிருந்து பெறப்பட்டது. இந்த செயல்முறை எவ்வாறு செயல்படுகிறது என்பதற்கு பீட்டா-பைனாமியல் விநியோகம் ஒரு சிறந்த எடுத்துக்காட்டு. இத்தகைய விநியோகங்களின் பகுப்பாய்வு தடமறிதல் இருந்தபோதிலும், அவை பொதுவாக அதிவேக குடும்பத்தின் உறுப்பினர்கள் அல்ல. எடுத்துக்காட்டாக, மூன்று அளவுரு மாணவர் டி விநியோகம், பீட்டா-பைனாமியல் விநியோகம் மற்றும் டிரிக்லெட்-மல்டினாமியல் விநியோகம் அனைத்தும் அதிவேக-குடும்ப விநியோகங்களின் முன்கணிப்பு விநியோகங்களாகும் (இயல்பான விநியோகம், பைனாமியல் விநியோகம் மற்றும் மல்டினாமியல் விநியோகங்கள், முறையே), ஆனால் எதுவும் அதிவேக குடும்பத்தின் உறுப்பினர்களாக இல்லை. செயல்பாட்டு சார்பு இருப்பதால் இதை மேலே காணலாம். ஒரு எக்ஸ்பொனென்ஷியல்-ஃபேமிலி டிஸ்ட்ரிபியூஷனில், முழு அடர்த்தி செயல்பாட்டையும் மூன்று வகையான பெருக்கக் காரணிகளாகப் பிரிக்க முடியும்ஃ (1) மாறிகள் மட்டுமே கொண்ட காரணிகள், (2) அளவுருக்கள் மட்டுமே கொண்ட காரணிகள், மற்றும் (3) மாறிகள் மற்றும் அளவுருக்களுக்கு இடையில் மடக்கைக் காரணியாக்கும் காரணிகள். "இயல்பாக்குதல்" செயல்பாடு தொடர்புடைய வாதத்தை முழுவதுமாக புறக்கணிக்காவிட்டால் அல்லது ஒரு வெளிப்பாட்டின் அடுக்கில் மட்டுமே பயன்படுத்தாவிட்டால் இதன் இருப்பு இதை சாத்தியமற்றதாக ஆக்குகிறது. அதிவேக குடும்பங்களில் பிந்தைய முன்கணிப்பு விநியோகம் ஒரு இணைப்பு முன் பயன்படுத்தப்படும்போது, பிந்தைய முன்கணிப்பு விநியோகம் முந்தைய முன்கணிப்பு விநியோகத்தின் அதே குடும்பத்தைச் சேர்ந்தது, மேலும் முந்தைய முன்கணிப்பு விநியோகத்திற்கான சூத்திரத்தில் அளவுரு (களின்) பின்புற விநியோகத்திற்கான புதுப்பிக்கப்பட்ட ஹைப்பர் அளவுருக்களை செருகுவதன் மூலம் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. அதிவேக-குடும்ப விநியோகங்களுக்கான பிந்தைய புதுப்பிப்பு சமன்பாடுகளின் பொதுவான வடிவத்தைப் பயன்படுத்தி (அதிவேக குடும்பக் கட்டுரையில் பொருத்தமான பகுதியைப் பார்க்கவும்), பிந்தைய முன்கணிப்பு விநியோகத்திற்கான ஒரு வெளிப்படையான சூத்திரத்தை நாம் எழுதலாம்ஃ இதில் தொடர்ச்சியான அவதானிப்புகளின் பிந்தைய முன்கணிப்பு விநியோகம், அவதானிப்புகள் பொருத்தமான இணைப்புடன் ஒரு அதிவேக குடும்பத்தைப் பின்பற்றும் விஷயத்தில், கூட்டு விநியோகத்தின் அதே நிகழ்தகவு அடர்த்தியைக் கொண்டுள்ளது, மேலே குறிப்பிட்டுள்ள அளவுருக்களுடன். அவதானிப்புகள் வடிவத்தில் மட்டுமே நுழைகின்றன இது அவதானிப்புகளின் போதுமான புள்ளிவிவரம் என்று அழைக்கப்படுகிறது, ஏனென்றால் அவதானிப்புகளைப் பற்றி நாம் தெரிந்து கொள்ள வேண்டிய அனைத்தையும் இது நமக்குச் சொல்கிறது, ஏனெனில் அவற்றின் அடிப்படையில் ஒரு பின்புற அல்லது பின்புற முன்கணிப்பு விநியோகத்தை கணக்கிட (அல்லது, அந்த விஷயத்தில், அவதானிப்புகளின் சாத்தியக்கூறுகளின் அடிப்படையில் வேறு எதுவும், ஓரளவு நிகழ்தகவு போன்றவை). கூட்டு முன்கணிப்பு விநியோகம், ஓரளவு சாத்தியக்கூறு ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான சுயாதீனமாக ஒரே மாதிரியாக விநியோகிக்கப்பட்ட மாதிரிகள் மீது ஒரு கூட்டு விநியோகத்தை கூட்டுவதன் விளைவாக ஒரு பகிரப்பட்ட அளவுருவின் மீது முன் விநியோகத்துடன் பரிசீலிக்கவும் முடியும். ஒரு பேய்சியன் அமைப்பில், இது பல்வேறு சூழல்களில் வருகிறதுஃ பல புதிய அவதானிப்புகளின் முன் அல்லது பின்புற முன்கணிப்பு விநியோகத்தை கணக்கிடுதல் மற்றும் கவனிக்கப்பட்ட தரவுகளின் விளிம்பு சாத்தியக்கூறுகளை கணக்கிடுதல் (பேயஸின் சட்டத்தில் உள்ள வகுத்தல்). மாதிரிகளின் விநியோகம் அதிவேகக் குடும்பத்தைச் சேர்ந்ததாகவும், முன் விநியோகம் இணைக்கப்பட்டதாகவும் இருக்கும்போது, இதன் விளைவாக ஏற்படும் கலவை விநியோகம் கையாளக்கூடியதாக இருக்கும் மற்றும் மேலே உள்ள வெளிப்பாட்டிற்கு ஒத்த வடிவத்தைப் பின்பற்றும். உண்மையில், அவதானிப்புகளுக்கான ஒரு தொகுப்பின் கூட்டுச் சேர்மப் பகிர்வு என்பது இந்த முடிவையும், ஒற்றைச் சேர்மப் பகிர்வுக்கான மேற்கண்ட முடிவையும், ஒரு திசையன் மதிப்புள்ள அவதானிப்பின் மீது ஒரு பகிர்வின் விஷயத்தில், ஒரு பன்முக காஸியன் பகிர்வின் விஷயத்தில் அற்பமாக விரிவுபடுத்துகிறது என்பதைக் காண்பிப்பது எளிது. கிப்ஸ் சாம்பிளிங்குடன் தொடர்புடையது, இடிந்து விழுந்த கிப்ஸ் சாம்ப்லரில் ஒரு முனையை உடைப்பது கூட்டுத்தொகைக்கு சமம். இதன் விளைவாக, சுயாதீனமான ஒரு தொகுப்பு ஒரே மாதிரியாக விநியோகிக்கப்படும் போது (அதாவது. முனைகள் அனைத்தும் ஒரே முந்தைய முனையைப் பொறுத்தது, மேலும் அந்த முனை இடிந்து விழுகிறது, இதன் விளைவாக ஒரு முனையின் நிபந்தனை நிகழ்தகவு மற்றவற்றையும் அதே போல் இடிந்து விழுந்த முனையின் பெற்றோர்களையும் (ஆனால் வேறு எந்த முனைகளிலும் கண்டிஷனிங் செய்யவில்லை, எ. கா. ஏதேனும் சைல்ட் நோடுகள்) என்பது மீதமுள்ள அனைத்து அதாவது டி இன் பின்புற முன்கணிப்பு விநியோகத்தைப் போன்றது. முனைகள் (அல்லது இன்னும் சரியாக, முன்பு அதாவது. முனைகள், சரிவு முனைகளுக்கு இடையில் சார்புநிலைகளை அறிமுகப்படுத்துவதால்). அதாவது, முனையின் அனைத்து பெற்றோர்களையும் அனைத்து குழந்தைகளுடனும் நேரடியாக இணைப்பதன் மூலமும், ஒவ்வொரு குழந்தையுடனும் தொடர்புடைய முந்தைய நிபந்தனை நிகழ்தகவு விநியோகத்தை அதன் பெற்றோருடன் நிபந்தனைக்குட்பட்ட குழந்தைக்கு தொடர்புடைய பின்புற முன்கணிப்பு விநியோகத்துடன் மாற்றுவதன் மூலமும் ஒரு முனையிலிருந்து வெளியேறுவதை செயல்படுத்துவது பொதுவாக சாத்தியமாகும். அகற்றப்பட்ட முனையின் குழந்தைகளாகவும் இருந்த முனைகள். எடுத்துக்காட்டாக, மேலும் குறிப்பிட்ட விவாதத்திற்கும், சில தந்திரமான சிக்கல்களைப் பற்றிய சில எச்சரிக்கைகளுக்கும், டிரிக்லெட்-மல்டினாமியல் டிஸ்ட்ரிபியூஷன் கட்டுரையைப் பார்க்கவும். மேலும் காண்க நம்பகத்தன்மை கோட்பாடு கூட்டு நிகழ்தகவு விநியோகம் முன்கணிப்பு விளிம்பு நிகழ்தகவு குறிப்புகள் மேலும் வாசிப்பு நிகழ்தகவு விநியோகங்களின் கோட்பாடு பேய்சியன் புள்ளிவிவரங்கள்