Petr–Douglas–Neumann theorem
வடிவவியலில், பெட்ர்-டக்ளஸ்-நியூமன் தேற்றம் (அல்லது பி. டி. என்-தேற்றம்) என்பது தன்னிச்சையான சமதள பலகோணங்களைப் பற்றிய ஒரு விளைவாகும். ஒரு குறிப்பிட்ட செயல்முறை ஒரு தன்னிச்சையான பலகோணத்தில் பயன்படுத்தப்படும்போது எப்போதும் ஆரம்ப பலகோணத்தின் அதே எண்ணிக்கையிலான பக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு வழக்கமான பலகோணத்தை உருவாக்குகிறது என்று தேற்றம் வலியுறுத்துகிறது. இந்த தேற்றம் முதன்முதலில் 1908 ஆம் ஆண்டில் ப்ராக்கைச் சேர்ந்த கரேல் பெட்ர் (1868-1950) என்பவரால் வெளியிடப்பட்டது. இந்த தேற்றம் 1940 இல் ஜெஸ்ஸி டக்ளஸ் (1897-1965) மற்றும் 1941 இல் B H நியூமன் (1909-2002) ஆகியோரால் சுயாதீனமாக மீண்டும் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது. இந்த தேற்றத்திற்கு பெட்ர்-டக்ளஸ்-நியூமன் தேற்றம் அல்லது சுருக்கமாக பி. டி. என்-தேற்றம் என்று பெயரிடப்பட்டது ஸ்டீபன் பி கிரேயின் காரணமாகும். இந்த தேற்றம் டக்ளஸ் தேற்றம், டக்ளஸ்-நியூமன் தேற்றம், நெப்போலியன்-டக்ளஸ்-நியூமன் தேற்றம் மற்றும் பீட்டர் தேற்றம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. பி. டி. என்-தேற்றம் என்பது நெப்போலியனின் தேற்றத்தின் பொதுமைப்படுத்தலாகும், இது தன்னிச்சையான முக்கோணங்கள் மற்றும் தன்னிச்சையான நாற்கரங்களுடன் தொடர்புடைய வான் ஆபலின் தேற்றத்தைப் பற்றி அக்கறை கொண்டுள்ளது. இந்த தேற்றத்தின் கூற்று பெட்ர்-டக்ளஸ்-நியூமன் தேற்றம் பின்வருவனவற்றை வலியுறுத்துகிறது. உச்ச கோணங்கள் 2kπ/n கொண்ட ஐசோசிலஸ் முக்கோணங்கள் ஒரு தன்னிச்சையான n-கோன் A0 இன் பக்கங்களில் அமைக்கப்பட்டிருந்தால், இந்த செயல்முறை முக்கோணங்களின் இலவச முனையங்களால் உருவாக்கப்பட்ட n-கோனுடன் மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்பட்டால், ஆனால் k இன் வேறுபட்ட மதிப்புடன், மேலும் அனைத்து மதிப்புகளும் 1 ≤ k ≤ n − 2 பயன்படுத்தப்படும் வரை (தன்னிச்சையான வரிசையில்), ஒரு வழக்கமான n-கோன் An − 2 உருவாகிறது, அதன் மையப்பகுதி A0 இன் மையப்புள்ளியுடன் ஒத்துப்போகிறது. முக்கோணங்களுக்கான சிறப்பு முக்கோணங்களைப் பொறுத்தவரை, n இன் மதிப்பு 3 ஆகவும், n−2 இன் மதிப்பு 1 ஆகவும் இருக்கும். எனவே k க்கு ஒரே ஒரு சாத்தியமான மதிப்பு மட்டுமே உள்ளது, அதாவது 1. முக்கோணங்களுக்கான தேற்றத்தின் சிறப்பு, முக்கோணம் A1 ஒரு வழக்கமான 3-கோன், அதாவது ஒரு சமபக்க முக்கோணம் என்று வலியுறுத்துகிறது. முக்கோணம் A0 இன் பக்கங்களில் 2π/3 என்ற உச்ச கோணத்தில் அமைக்கப்பட்டுள்ள ஐசோசிலஸ் முக்கோணங்களின் உச்சிகளால் A1 உருவாகிறது. A1 இன் உச்சிகள் முக்கோணம் A0 இன் பக்கங்களில் அமைக்கப்பட்ட சமபக்க முக்கோணங்களின் மையங்களாகும். எனவே ஒரு முக்கோணத்திற்கான பி. டி. என் தேற்றத்தின் சிறப்பு பின்வருமாறு வடிவமைக்கப்படலாம்ஃ சமபக்க முக்கோணங்கள் எந்த முக்கோணத்தின் பக்கங்களிலும் அமைக்கப்பட்டால், மூன்று சமபக்க முக்கோணங்களின் மையங்களால் உருவாக்கப்பட்ட முக்கோணம் சமபக்கமாகும். கடைசி கூற்று நெப்போலியனின் தேற்றத்தின் கூற்றாகும். நாற்கரங்களுக்கு சிறப்பு நான்கு பக்கங்களைப் பொறுத்தவரை, n இன் மதிப்பு 4 ஆகவும், n−2 இன் மதிப்பு 2 ஆகவும் இருக்கும். k க்கு இரண்டு சாத்தியமான மதிப்புகள் உள்ளன, அதாவது 1 மற்றும் 2, எனவே இரண்டு சாத்தியமான உச்ச கோணங்கள், அதாவதுஃ (2 × 1 × π)/4 = π/2 = 90° (k = 1 உடன் தொடர்புடையது) (2 × 2 × π)/4 = π = 180° (k = 2 உடன் தொடர்புடையது). PDN-கோட்பாட்டின் படி நாற்கர A2 ஒரு வழக்கமான 4-கோன், அதாவது ஒரு சதுரம் ஆகும். சதுர A2 ஐ வழங்கும் இரண்டு கட்ட செயல்முறையை இரண்டு வெவ்வேறு வழிகளில் மேற்கொள்ளலாம். (ஒரு ஐசோசிலஸ் முக்கோணத்தின் உச்சி Z என்பது ஒரு கோடு பிரிவின் XY மீது அமைக்கப்பட்ட உச்ச கோணத்துடன் கோடு பிரிவின் நடுப்புள்ளியாகும்.) உச்ச கோணம் π/2 ஐப் பயன்படுத்தி A1 ஐ உருவாக்கவும், பின்னர் உச்ச கோணம் π உடன் A2 ஐ உருவாக்கவும். இந்த வழக்கில் A1 இன் உச்சிகள் நாற்கர A0 இன் பக்கங்களில் அமைக்கப்பட்ட உச்ச கோணங்கள் π/2 கொண்ட ஐசோசிலஸ் முக்கோணங்களின் இலவச உச்சிகள் ஆகும். நாற்கர A2 இன் உச்சிகள் நாற்கர A1 இன் பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகளாகும். PDN தேற்றத்தின் படி, A2 என்பது ஒரு சதுரமாகும். நாற்கர A1 இன் உச்சிகள் நாற்கர A0 இன் பக்கங்களில் அமைக்கப்பட்ட சதுரங்களின் மையங்களாகும். நாற்கர A2 ஒரு சதுரம் என்ற கூற்று A1 இன் மூலைவிட்டங்கள் ஒன்றுக்கொன்று சமமாகவும் செங்குத்தாகவும் உள்ளன என்ற கூற்றுக்கு சமம். பிந்தைய கூற்று வான் ஆபலின் தேற்றத்தின் உள்ளடக்கமாகும். எனவே வான் ஆபலின் தேற்றம் பி. டி. என்-தேற்றத்தின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு. உச்ச கோணம் π ஐப் பயன்படுத்தி A1 ஐ உருவாக்கவும், பின்னர் உச்ச கோணம் π/2 உடன் A2 ஐ உருவாக்கவும். இந்த விஷயத்தில் A1 இன் உச்சிகள் நாற்கர A0 இன் பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகளாகவும், A2 இன் உச்சிகள் A1 இன் பக்கங்களில் π/2 உச்ச கோணங்களைக் கொண்ட முக்கோணங்களின் உச்சிகளாகவும் உள்ளன. PDN-தேற்றம் இந்த விஷயத்திலும் A2 ஒரு சதுரம் என்று வலியுறுத்துகிறது. நாற்கர கோட்பாட்டின் பயன்பாட்டை விளக்கும் படங்கள் பென்டகன்களுக்கான சிறப்பு பென்டகன்களைப் பொறுத்தவரை, நம்மிடம் n = 5 மற்றும் n − 2 = 3 உள்ளன. எனவே k க்கு மூன்று சாத்தியமான மதிப்புகள் உள்ளன, அதாவது 1,2 மற்றும் 3, எனவே ஐசோசிலஸ் முக்கோணங்களுக்கு மூன்று சாத்தியமான உச்ச கோணங்கள் உள்ளனஃ (2 × 1 × π)/5 = 2π/5 = 72° (2 × 2 × π)/5 = 4π/5 = 144° (2 × 3 × π)/5 = 6π/5 = 216° PDN-தேற்றத்தின் படி, A3 ஒரு வழக்கமான ஐங்கோணமாகும். வழக்கமான ஐசோசிலஸ் முக்கோணங்களின் கட்டுமானத்திற்கு உச்ச கோணங்கள் தேர்ந்தெடுக்கப்படும் வரிசையைப் பொறுத்து வழக்கமான ஐங்கோன் A3 இன் கட்டுமானத்திற்கு வழிவகுக்கும் மூன்று கட்ட செயல்முறை ஆறு வெவ்வேறு வழிகளில் செய்யப்படலாம். தேற்றத்தின் சான்று நேரியல் இயற்கணிதத்திலிருந்து சில அடிப்படை கருத்துகளைப் பயன்படுத்தி தேற்றத்தை நிரூபிக்க முடியும். n-கோனின் செங்குத்துகளைக் குறிக்கும் ஒரு சிக்கலான எண்களால் ஒரு n-கோனை குறியாக்கம் செய்வதன் மூலம் ஆதாரம் தொடங்குகிறது. இந்த பட்டியலை n-பரிமாண சிக்கலான நேரியல் இடைவெளி Cn இல் ஒரு திசையனாகக் கருதலாம். ஒரு n-கோன் A ஐ எடுத்து, அதை சிக்கலான திசையன் A = (a1, a2,., an) ஆல் குறிப்பிடட்டும். A இன் பக்கங்களில் கட்டப்பட்ட ஒத்த முக்கோணங்களின் இலவச செங்குத்துகளால் பலகோணம் B உருவாகட்டும், மேலும் அது சிக்கலான திசையன் B = (b1, b2,., bn) ஆல் குறிக்கப்படட்டும். பின்னர் நம்மிடம் உள்ளது α (ar−br) = ar + 1−br, இங்கு α = exp (iθ) சில θ க்கு (இங்கே i என்பது −1 இன் வர்க்கமூலமாகும்). இது பிஆர்களைக் கணக்கிட பின்வரும் வெளிப்பாட்டை வழங்குகிறதுஃ பிஆர் = (1 − α) −1 (ஆர் + 1 − αஆர்). நேரியல் இயக்கியைப் பொறுத்தவரை S: Cn → Cn ஒரு இடத்தில் ஆயங்களை சுழற்சி முறையில் வரிசைப்படுத்துகிறது, நம்மிடம் B = (1 − α) −1 (S − αI) A உள்ளது, அங்கு I என்பது அடையாள அணி. இதன் பொருள் என்னவென்றால், நாம் காட்ட வேண்டிய பலகோணம் An−2 வழக்கமானது என்பது பின்வரும் இயக்கிகளின் கலவையைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் A0 இலிருந்து பெறப்படுகிறதுஃ (1−ωk) −1 (S−ωkI) k = 1,2,., n−2, இங்கு ω = exp (2πi/n). P இன் ஒவ்வொரு பக்கமும் அடுத்த பக்கத்திலிருந்து 2π/n கோணத்தில் சுழற்றுவதன் மூலம் பெறப்பட்டால், ஒரு பலகோணம் P = (p1, p2,., pn) ஒரு வழக்கமான n-கான் ஆகும், அதாவது, p + 1 − p = ω (p + 2 − p + 1). இந்த நிபந்தனையை S இன் அடிப்படையில் பின்வருமாறு வடிவமைக்கலாம்ஃ (S−I) (I−ωS) P = 0. அல்லது சமமாக (S−I) (S−ωn−1I) P = 0, ஏனெனில் ωn = 1. பெட்ர்-டக்ளஸ்-நியூமன் தேற்றம் இப்போது பின்வரும் கணக்கீடுகளிலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது. (S−I) (S−ωn−1I) ஒரு −2 = (S−I) (S−ωn−1I) (1−ω) −1 (S−ωI) (1−ω2) −1 (S−ω2I). (1−ωn−2) −1 (S−ωn−2I) A0 = (1−ω) −1 (1−ω2) −1. (1−ωn−2) −1 (S−I) (S−ωI) (S−ωI) (S−ω2I). (S−ωn−1I) A0 = (1−ωn−1)