Probabilistic numerics
நிகழ்தகவு எண்கள் என்பது கணக்கீட்டில் நிச்சயமற்ற தன்மை என்ற கருத்தை மையமாகக் கொண்ட பயன்பாட்டு கணிதம், புள்ளிவிவரம் மற்றும் இயந்திர கற்றல் ஆகியவற்றின் குறுக்குவெட்டில் ஒரு செயலில் உள்ள ஆய்வுத் துறையாகும். நிகழ்தகவு எண்களில், ஒருங்கிணைப்புக்கான எண் தீர்வுகளைக் கண்டறிதல், நேரியல் இயற்கணிதம், உகப்பாக்கம் மற்றும் உருவகப்படுத்துதல் மற்றும் வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் போன்ற எண் பகுப்பாய்வில் உள்ள பணிகள் புள்ளிவிவர, நிகழ்தகவு அல்லது பேய்சியன் அனுமானத்தின் சிக்கல்களாகக் காணப்படுகின்றன. ஒரு எண் முறை என்பது ஒரு கணித சிக்கலுக்கான தீர்வை தோராயமாக மதிப்பிடும் ஒரு வழிமுறையாகும் (கீழே உள்ள எடுத்துக்காட்டுகளில் ஒரு நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பு, ஒரு ஒருங்கிணைப்பின் மதிப்பு, ஒரு வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் தீர்வு, ஒரு பன்முக செயல்பாட்டின் குறைந்தபட்சம் ஆகியவை அடங்கும்). ஒரு நிகழ்தகவு எண் வழிமுறையில், தோராயத்தின் இந்த செயல்முறை மதிப்பீடு, அனுமானம் அல்லது கற்றல் ஆகியவற்றின் சிக்கலாக கருதப்படுகிறது மற்றும் நிகழ்தகவு அனுமானத்தின் கட்டமைப்பில் உணரப்படுகிறது (பெரும்பாலும், ஆனால் எப்போதும் அல்ல, பேய்சியன் அனுமானம்). முறைப்படி, இது ஒரு முன் விநியோகத்தின் அடிப்படையில் கணக்கீட்டு சிக்கலின் அமைப்பை அமைப்பது, கணினியால் கணக்கிடப்பட்ட எண்களுக்கு இடையிலான உறவை உருவாக்குவது (எ. கா. நேரியல் இயற்கணிதத்தில் மேட்ரிக்ஸ்-வெக்டர் பெருக்கங்கள், உகப்பாக்கத்தில் சாய்வுகள், ஒருங்கிணைப்பின் மதிப்புகள் அல்லது ஒரு வேறுபட்ட சமன்பாட்டை வரையறுக்கும் திசையன் புலம்) மற்றும் கேள்விக்குரிய அளவு (நேரியல் சிக்கலின் தீர்வு, குறைந்தபட்சம், ஒருங்கிணைப்பு, தீர்வு வளைவு) ஒரு சாத்தியக்கூறு செயல்பாட்டில், மற்றும் ஒரு பின்புற விநியோகத்தை வெளியீடாக திருப்புகிறது. பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில், எண் வழிமுறைகள் எந்த எண்களைக் கணக்கிடுவது என்பது பற்றிய உள் தகவமைப்பு முடிவுகளையும் எடுக்கின்றன, இது ஒரு செயலில் கற்றல் சிக்கலை உருவாக்குகிறது. மிகவும் பிரபலமான பல கிளாசிக் எண் வழிமுறைகளை நிகழ்தகவு கட்டமைப்பில் மறுபரிசீலனை செய்யலாம். இதில் இணை சாய்வு முறை, நோர்டிக் முறைகள், காஸியன் நாற்கர விதிகள் மற்றும் அரை-நியூட்டன் முறைகள் ஆகியவை அடங்கும். இந்த அனைத்து நிகழ்வுகளிலும், உன்னதமான முறை ஒரு ஒழுங்குபடுத்தப்பட்ட குறைந்தபட்ச-சதுர மதிப்பீட்டை அடிப்படையாகக் கொண்டது, இது ஒரு காஸியன் முன் மற்றும் சாத்தியக்கூறுகளிலிருந்து எழும் பின்புற சராசரியுடன் தொடர்புடையதாக இருக்கலாம். இத்தகைய சந்தர்ப்பங்களில், காஸியன் பின்புறத்தின் மாறுபாடு பின்னர் வர்க்க பிழையின் மோசமான-வழக்கு மதிப்பீட்டுடன் தொடர்புடையது. நிகழ்தகவு எண் முறைகள் கிளாசிக், புள்ளி-மதிப்பீடு அடிப்படையிலான தோராய நுட்பங்களை விட பல கருத்தியல் நன்மைகளை உறுதியளிக்கின்றனஃ அவை கட்டமைக்கப்பட்ட பிழை மதிப்பீடுகளை (குறிப்பாக, கூட்டு பின்புற மாதிரிகளைத் திருப்பித் தரும் திறன், அதாவது. சிக்கலின் உண்மையான அறியப்படாத தீர்வுக்கான பல யதார்த்தமான கருதுகோள்கள்) படிநிலை பேய்சியன் அனுமானம் ஒவ்வொரு அளவுருவிற்கும் புதுமையான முறைகளை மீண்டும் கண்டுபிடிப்பதை விட, அத்தகைய முறைகளில் உள் ஹைப்பர் அளவுருக்களை ஒரு பொதுவான பாணியில் அமைக்கவும் கட்டுப்படுத்தவும் பயன்படுத்தப்படலாம், அவை கணக்கிடப்பட்ட எண்களுக்கும் இலக்கு அளவிற்கும் இடையிலான உறவை விவரிக்கும் வெளிப்படையான சாத்தியக்கூறுகளைப் பயன்படுத்துகின்றன மற்றும் அனுமதிக்கின்றன என்பதால், நிகழ்தகவு எண் முறைகள் கூட மிகவும் துல்லியமற்ற, பக்கச்சார்பான மற்றும் சீரற்ற கணக்கீடுகளின் முடிவுகளைப் பயன்படுத்தலாம். மாறாக, நிகழ்தகவு எண் முறைகள் மற்ற இடங்களில் பெரும்பாலும் "நிகழ்தகவு இல்லாதவை" என்று கருதப்படும் கணக்கீடுகளில் ஒரு சாத்தியத்தை வழங்க முடியும், ஏனெனில் அனைத்து நிகழ்தகவு எண் முறைகளும் அடிப்படையில் ஒரே தரவு வகையைப் பயன்படுத்துகின்றன-நிகழ்தகவு நடவடிக்கைகள்-உள்ளீடுகள் மற்றும் வெளியீடுகள் இரண்டிலும் நிச்சயமற்ற தன்மையை அளவிட அவை ஒன்றாக சங்கிலியால் பிணைக்கப்பட்டு பெரிய அளவிலான, கலப்பு கணக்கீடுகளில் நிச்சயமற்ற தன்மையை பரப்பலாம். ஒரு வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் வடிவத்தைப் பற்றிய இயற்கணித, இயந்திரவியல் அறிவு மற்றும் இயற்பியல் உலகில் சேகரிக்கப்பட்ட அமைப்பின் பாதையின் அவதானிப்புகள்) இயற்கையாகவும், வழிமுறையின் உள் வளையத்திற்குள் இணைக்கப்படலாம், இல்லையெனில் கணக்கீட்டில் தேவையான உள்ளமைக்கப்பட்ட சுழல்களை அகற்றலாம், எ. கா. தலைகீழ் சிக்கல்கள். இந்த நன்மைகள் அடிப்படையில் இயந்திர கற்றல், பயன்பாடு அல்லது கணக்கீட்டு களத்திற்கு மாற்றப்படும் புள்ளி-மதிப்பீடுகளை விட பேய்சியன் முறைகள் அனுபவிக்கும் ஒத்த செயல்பாட்டு நன்மைகளுக்கு சமமானவை. எண் பணிகளின் ஒருங்கிணைப்பு நிகழ்தகவு எண் முறைகள் எண் ஒருங்கிணைப்பின் சிக்கலுக்காக உருவாக்கப்பட்டுள்ளன, இதில் மிகவும் பிரபலமான முறை பேய்சியன் குவாட்ரேச்சர் என்று அழைக்கப்படுகிறது. எண் ஒருங்கிணைப்பில், ஒரு செயல்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்பை சில அளவீடுகளுக்கு எதிராக மதிப்பிடுவதற்கு பல புள்ளிகளில் செயல்பாட்டு மதிப்பீடுகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. பேய்சியன் நாற்கரமானது ஒரு முன் விநியோகத்தைக் குறிப்பிடுவதையும், பின்புற விநியோகத்தைப் பெறுவதற்கு முன்பு இதைச் சரிசெய்வதையும், பின்னர் மறைமுகமான பின்புற விநியோகத்தை கணக்கிடுவதையும் உள்ளடக்கியது. முந்தைய மிகவும் பொதுவான தேர்வு ஒரு காஸியன் செயல்முறையாகும், ஏனெனில் இது ஒருங்கிணைப்பில் ஒரு மூடிய வடிவ பின்புற விநியோகத்தைப் பெற அனுமதிக்கிறது, இது ஒரு மாறுபட்ட காஸியன் விநியோகமாகும். சார்பு மதிப்பீடு செய்ய விலை உயர்ந்ததாகவும், தரவுகளின் பரிமாணம் சிறியதாகவும் மிதமானதாகவும் இருக்கும்போது பேய்சியன் நாற்கரமானது குறிப்பாக பயனுள்ளதாக இருக்கும். உகப்பாக்கம் கணித உகப்பாக்கலுக்கான நிகழ்தகவு எண்களும் ஆய்வு செய்யப்பட்டுள்ளன, அவை புள்ளிகளின் தொகுப்பில் அந்த செயல்பாட்டின் (சத்தம் அல்லது மறைமுகமாக) மதிப்பீடுகளில் கொடுக்கப்பட்ட சில புறநிலை செயல்பாட்டின் குறைந்தபட்ச அல்லது அதிகபட்சத்தைக் கண்டுபிடிப்பதைக் கொண்டுள்ளன. ஒருவேளை இந்த திசையில் மிகவும் குறிப்பிடத்தக்க முயற்சி பேய்சியன் உகப்பாக்கம் ஆகும், இது பேய்சியன் அனுமானத்தை அடிப்படையாகக் கொண்ட உகப்பாக்கத்திற்கான பொதுவான அணுகுமுறையாகும். பேய்சியன் உகப்பாக்கம் வழிமுறைகள் உகப்பாக்கம் செயல்முறை முழுவதும் ஒரு நிகழ்தகவு நம்பிக்கையை பராமரிப்பதன் மூலம் செயல்படுகின்றன; இது பெரும்பாலும் அவதானிப்புகளில் முன் நிபந்தனை செய்யப்பட்ட காஸியன் செயல்முறையின் வடிவத்தை எடுக்கிறது. இந்த நம்பிக்கை பின்னர் உகப்பாக்கம் செயல்முறையை முன்னேற்றக்கூடிய அவதானிப்புகளைப் பெறுவதில் வழிமுறையை வழிநடத்துகிறது. பேய்சியன் உகப்பாக்கம் கொள்கைகள் பொதுவாக புறநிலை செயல்பாட்டை பின்புறமாக ஒரு மலிவான, வேறுபடுத்தக்கூடிய கையகப்படுத்தும் செயல்பாடாக மாற்றுவதன் மூலம் உணரப்படுகின்றன, இது ஒவ்வொரு தொடர்ச்சியான கண்காணிப்பு இருப்பிடத்தையும் தேர்ந்தெடுக்க அதிகபட்சமாக உள்ளது. ஒரு முக்கிய அணுகுமுறை பேய்சியன் தொடர்ச்சியான சோதனை வடிவமைப்பு மூலம் மாதிரி உகப்பாக்கம் ஆகும், பொருத்தமான பயன்பாட்டு செயல்பாட்டால் மதிப்பிடப்பட்டபடி மிகவும் உகப்பாக்கம் முன்னேற்றத்தை வழங்கும் அவதானிப்புகளின் வரிசையைப் பெற முயல்கிறது. இந்த அணுகுமுறையின் ஒரு வரவேற்கத்தக்க பக்க விளைவு என்னவென்றால், அடிப்படை நிகழ்தகவு நம்பிக்கையால் அளவிடப்படும் புறநிலை செயல்பாட்டில் உள்ள நிச்சயமற்ற தன்மை, கிளாசிக் ஆய்வு மற்றும் சுரண்டல் பரிமாற்றத்தை நிவர்த்தி செய்வதில் ஒரு உகப்பாக்கக் கொள்கையை வழிநடத்த முடியும். உள்ளூர் உகப்பாக்கம் ஆழமான கற்றலுக்கான தற்செயலான உகப்பாக்கம் சூழலில் நிகழ்தகவு எண் முறைகள் உருவாக்கப்பட்டுள்ளன, குறிப்பாக கற்றல் விகிதம் ட்யூனிங் மற்றும் வரி தேடல்கள், தொகுதி-அளவு தேர்வு, ஆரம்ப நிறுத்தம், சீரமைப்பு மற்றும் முதல் மற்றும் இரண்டாவது வரிசை தேடல் திசைகள் போன்ற முக்கிய சிக்கல்களை தீர்க்க. இந்த அமைப்பில், உகப்பாக்கம் நோக்கம் பெரும்பாலும் ஒரு தரவுத்தொகுப்பால் வரையறுக்கப்பட்ட வடிவத்தின் அனுபவ அபாயமாகும், மேலும் ஒரு முன்கணிப்பு மாதிரி அதன் தொடர்புடைய உள்ளீட்டிலிருந்து இலக்கைக் கணிப்பதில் எவ்வளவு சிறப்பாக செயல்படுகிறது என்பதை அளவிடும் இழப்பு. தரவுத்தொகுப்பின் அளவு பெரியதாக இருக்கும்போது மற்றும் ஒரே நேரத்தில் செயலாக்க முடியாதபோது தொற்றுநோய் நிச்சயமற்ற தன்மை எழுகிறது, அதாவது இழப்பு செயல்பாடு அல்லது அதன் சாய்வு போன்ற உள்ளூர் அளவுகளை (சிலவற்றைக் கொடுத்தால்) நியாயமான நேரத்தில் கணக்கிட முடியாது. எனவே, தரவுகளின் சீரற்ற துணைக்குழுவில் இந்த அளவுகளின் மதிப்பீட்டாளர்களை உருவாக்க பொதுவாக மினி-பேட்சிங் பயன்படுத்தப்படுகிறது. நிகழ்தகவு எண் முறைகள் இந்த நிச்சயமற்ற தன்மையை வெளிப்படையாக மாதிரியாக்குகின்றன மற்றும் தானியங்கி முடிவுகள் மற்றும் அளவுரு ட்யூனிங்கை அனுமதிக்கின்றன. நேரியல் இயற்கணிதத்திற்கான நிகழ்தகவு எண் முறைகள் முதன்மையாக வடிவத்தின் நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பதிலும், தீர்மானிப்பவர்களின் கணக்கீட்டிலும் கவனம் செலுத்துகின்றன. ஒரு பெரிய வகை முறைகள் இயற்கையில் மறு செய்கை மற்றும் வெவ்வேறு திசையன்களுடன் கணினி மேட்ரிக்ஸுடன் மீண்டும் மீண்டும் மேட்ரிக்ஸ்-வெக்டர் பெருக்கம் மூலம் தீர்க்கப்பட வேண்டிய நேரியல் அமைப்பு பற்றிய தகவல்களை சேகரிக்கின்றன. இத்தகைய முறைகள் தோராயமாக ஒரு தீர்வாக பிரிக்கப்படலாம்-மற்றும் ஒரு மேட்ரிக்ஸ் அடிப்படையிலான முன்னோக்கு, நேரியல் அமைப்பின் தீர்வு அல்லது மேட்ரிக்ஸின் (போலி-) தலைகீழ் மீது நம்பிக்கை வெளிப்படுத்தப்படுகிறதா என்பதைப் பொறுத்து. நம்பிக்கை புதுப்பிப்பு ஊகிக்கப்பட்ட பொருள் மேட்ரிக்ஸ் பெருக்கங்களுடன் அல்லது மற்றும் வழியாக இணைக்கப்பட்டுள்ளது என்பதைப் பயன்படுத்துகிறது. சிக்கலின் நேரியல் அவதானிப்புகளின் கீழ் அதன் மூடு காரணமாக முறைகள் பொதுவாக ஒரு காஸியன் விநியோகத்தை எடுத்துக்கொள்கின்றன. கருத்தியல் ரீதியாக வேறுபட்டிருந்தாலும், இந்த இரண்டு பார்வைகளும் கணக்கீட்டு ரீதியாக சமமானவை மற்றும் இயல்பாகவே வலது புறம் வழியாக இணைக்கப்பட்டுள்ளன. காஸியன் செயல்முறைகளை பெரிய தரவுத்தொகுப்புகளுக்கு அளவிடுவதற்கு நிகழ்தகவு எண் நேரியல் இயற்கணித நடைமுறைகள் வெற்றிகரமாக பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளன. குறிப்பாக, அவை ஒருங்கிணைந்த காஸியன் செயல்முறையின் பின்புறத்திற்கு தோராயமான பிழையின் துல்லியமான பரப்புதலை செயல்படுத்துகின்றன, இது வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான தரவு மற்றும் வரையறுக்கப்பட்ட கணக்கீட்டு செலவு ஆகிய இரண்டிலிருந்தும் எழும் நிச்சயமற்ற தன்மையை அளவிடுகிறது. சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடுகளுக்கான நிகழ்தகவு எண் முறைகள், ஆரம்ப மற்றும் எல்லை மதிப்பு சிக்கல்களுக்கு உருவாக்கப்பட்டுள்ளன. சாதாரண வேறுபட்ட சமன்பாடுகளுக்காக வடிவமைக்கப்பட்ட பல்வேறு நிகழ்தகவு எண் முறைகள் முன்மொழியப்பட்டுள்ளன, மேலும் இவை பின்வரும் இரண்டு பிரிவுகளாக பரவலாக வகைப்படுத்தப்படலாம்ஃ சீரற்றமயமாக்கல் அடிப்படையிலான முறைகள் சாதாரண வேறுபட்ட சமன்பாடுகளுக்கான நிலையான தீர்மானகரமான எண் முறைகளின் சீரற்ற இடையூறுகள் மூலம் வரையறுக்கப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு படி ஒருங்கிணைப்பாளர்களின் தீர்வில் காஸியன் இடையூறுகளைச் சேர்ப்பதன் மூலமோ அல்லது சீரற்ற முறையில் அவற்றின் நேரக் கட்டத்தைத் தொந்தரவு செய்வதன் மூலமோ இது அடையப்பட்டுள்ளது. இது மாதிரி எடுக்கக்கூடிய வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் தீர்வில் ஒரு நிகழ்தகவு அளவீட்டை வரையறுக்கிறது. காஸியன் செயல்முறை பின்னடைவு முறைகள் கையில் உள்ள வேறுபட்ட சமன்பாட்டை ஒரு காஸியன் செயல்முறை பின்னடைவு சிக்கலாகத் தீர்ப்பதற்கான சிக்கலை முன்வைப்பதை அடிப்படையாகக் கொண்டவை, வலது புறத்தின் மதிப்பீடுகளை வழித்தோன்றலின் தரவுகளாக விளக்குகின்றன. இந்த நுட்பங்கள் பேய்சியன் கியூபெச்சரை ஒத்திருக்கின்றன, ஆனால் வெவ்வேறு மற்றும் பெரும்பாலும் நேரியல் அல்லாத கண்காணிப்பு மாதிரிகளைப் பயன்படுத்துகின்றன. அதன் குழந்தைப் பருவத்தில், இந்த வகை முறைகள் அப்பாவியான காஸியன் செயல்முறை பின்னடைவை அடிப்படையாகக் கொண்டிருந்தன. இது பின்னர் சீரற்ற வேறுபாடு சமன்பாட்டால் வடிவமைக்கப்பட்ட காஸ் மார்கோவ் பிரையர்களுக்கு ஆதரவாக (திறமையான கணக்கீட்டின் அடிப்படையில்) மேம்படுத்தப்பட்டது, அங்கு ஒரு பரிமாண திசையன் மாடலிங் முதல் வழித்தோன்றல்கள், மற்றும் ஒரு பரிமாண பிரவுனியன் இயக்கம் எங்கே. இதனால் கல்மான் வடிகட்டுதல் அடிப்படையிலான முறைகள் மூலம் அனுமானத்தை திறமையாக செயல்படுத்த முடியும். இந்த இரண்டு பிரிவுகளுக்கும் இடையிலான எல்லை கூர்மையானது அல்ல, உண்மையில் சீரற்ற தரவுகளின் அடிப்படையில் ஒரு காஸியன் செயல்முறை பின்னடைவு அணுகுமுறையும் உருவாக்கப்பட்டது. இந்த முறைகள் கணக்கீட்டு ரீமானியன் வடிவியல், தலைகீழ் சிக்கல்கள், மறைந்த விசை மாதிரிகள் மற்றும் சிம்ப்லெக்டிசிட்டி போன்ற வடிவியல் கட்டமைப்பைக் கொண்ட வேறுபட்ட சமன்பாடுகளுக்கு பயன்படுத்தப்படுகின்றன. பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகள் பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகளுக்கு பல நிகழ்தகவு எண் முறைகளும் முன்மொழியப்பட்டுள்ளன. சாதாரண வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைப் போலவே, அணுகுமுறைகளையும் சீரற்றமயமாக்கலின் அடிப்படையில் பரவலாக பிரிக்கலாம், பொதுவாக சில அடிப்படை வரையறுக்கப்பட்ட-உறுப்பு கண்ணி மற்றும் காஸியன் செயல்முறை பின்னடைவை அடிப்படையாகக் கொண்டவை. காஸியன் செயல்முறை பின்னடைவை அடிப்படையாகக் கொண்ட நிகழ்தகவு எண் PDE தீர்வுகள் சில முன்னுரிமைகளுக்கு நேரியல் PDE களில் கிளாசிக்கல் முறைகளை மீட்டெடுக்கின்றன, குறிப்பாக சராசரி எடையுள்ள எஞ்சியுள்ள முறைகளில், இதில் கேலர்கின் முறைகள், வரையறுக்கப்பட்ட உறுப்பு முறைகள் மற்றும் நிறமாலை முறைகள் அடங்கும். வரலாறு மற்றும் தொடர்புடைய துறைகள் எண் பகுப்பாய்வு மற்றும் நிகழ்தகவு ஆகியவற்றுக்கு இடையிலான தொடர்பு கணிதத்தின் பல பகுதிகளால் பாதிக்கப்படுகிறது, இதில் எண் முறைகளின் சராசரி-வழக்கு பகுப்பாய்வு, தகவல் அடிப்படையிலான சிக்கல், விளையாட்டு கோட்பாடு மற்றும் புள்ளிவிவர முடிவு கோட்பாடு ஆகியவை அடங்கும். இப்போது "நிகழ்தகவு எண்கள்" என்று அழைக்கப்படுவதற்கு முன்னோடிகள் 19 ஆம் நூற்றாண்டின் பிற்பகுதியிலும் 20 ஆம் நூற்றாண்டின் முற்பகுதியிலும் காணப்படுகின்றன. பல்லுறுப்புக்கோவை இடைக்கணிப்புக்கான நிகழ்தகவு அணுகுமுறைகள் பற்றிய விவாதத்தில் ஹென்றி பாயின்கேர் தனது கால்குல் டெஸ் புரோபாபிலிடிஸில் நிகழ்தகவு எண்களின் தோற்றத்தைக் காணலாம். நவீன சொற்களில், போயின்கரே ஒரு செயல்பாட்டின் மீது ஒரு காஸியன் முன் விநியோகத்தைக் கருதினார், இது சீரற்ற குணகங்களுடன் ஒரு முறையான சக்தி தொடராக வெளிப்படுத்தப்படுகிறது, மேலும் இதற்கு முன் கொடுக்கப்பட்ட "சாத்தியமான மதிப்புகள்" மற்றும் அவதானிப்புகளைக் கேட்டார். எண்ணியல் பகுப்பாய்வு மற்றும் நிகழ்தகவின் இடைவினைக்கு ஒரு பிற்கால அடிப்படை பங்களிப்பு ஆல்பர்ட் சுல்டின் ஒரு மாறுபட்ட நாற்கரத்தின் சூழலில் வழங்கப்பட்டது. சுல்டினால் பரிசீலிக்கப்பட்ட புள்ளிவிவர சிக்கல், ஒரு செயல்பாட்டின் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் தோராயமாக இருந்தது, இதற்கு முன்பு ஒரு பிரவுனியன் இயக்கத்தின் கீழ், முனைகளின் புள்ளி வாரியான மதிப்பீட்டிற்கான அணுகல் வழங்கப்பட்டது. கொடுக்கப்பட்ட நாற்கர முனைகளுக்கு, குறைந்தபட்ச சராசரி சதுர பிழையுடன் கூடிய நாற்கர விதி ட்ரெப்சாய்டல் விதி என்று சுல்டின் காட்டினார்; மேலும், இந்த குறைந்தபட்ச பிழை இடை-முனை இடைவெளிகளின் க்யூப்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு விகிதாசாரமாகும். இதன் விளைவாக, சம-இடைவெளி முனைகளைக் கொண்ட ட்ரெப்சாய்டல் விதியை ஒருவிதத்தில் புள்ளிவிவர ரீதியாக உகந்ததாக ஒருவர் காணலாம்-இது ஒரு எண் முறையின் சராசரி-வழக்கு பகுப்பாய்வின் ஆரம்ப எடுத்துக்காட்டு. சுல்டினின் கருத்தை பின்னர் மைக் லார்கின் விரிவுபடுத்தினார். ஒருங்கிணைப்புக்கு முந்தைய சுல்டினின் பிரவுனியன் இயக்கம் ஒரு காஸியன் அளவீடு என்பதையும், ஒருங்கிணைப்பு மற்றும் புள்ளி வாரியான மதிப்பீட்டின் செயல்பாடுகள் இரண்டும் நேரியல் வரைபடங்கள் என்பதையும் நினைவில் கொள்க. எனவே, திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பு ஒரு உண்மையான மதிப்புள்ள காஸியன் சீரற்ற மாறி ஆகும். குறிப்பாக, கவனிக்கப்பட்ட புள்ளி வாரியான மதிப்புகளில் நிபந்தனை செய்த பிறகு, இது ட்ரெப்சாய்டல் விதிக்கு சமமான சராசரி மற்றும் மாறுபாட்டிற்கு சமமான ஒரு இயல்பான விநியோகத்தைப் பின்பற்றுகிறது. இந்த கண்ணோட்டம் பேய்சியன் நாற்கரத்திற்கு மிகவும் நெருக்கமாக உள்ளது, ஒரு நாற்கர முறையின் வெளியீட்டை ஒரு புள்ளி மதிப்பீடாக மட்டுமல்ல, அதன் சொந்த வலதுபுறத்தில் ஒரு நிகழ்தகவு விநியோகமாகவும் பார்க்கிறது. ஹூமான் ஓவாடி மற்றும் ஒத்துழைப்பாளர்களால் குறிப்பிடப்பட்டபடி, எண் தோராயத்திற்கும் புள்ளிவிவர அனுமானத்திற்கும் இடையிலான தொடர்புகளை பலாஸ்டி மற்றும் ரென்யி, சார்ட், கிமெல்டோர்ஃப் மற்றும் வஹ்பா (பேய்சியன் மதிப்பீடு மற்றும் ஸ்ப்லைன் மென்மையாக்கம்/இடைக்கணிப்பு ஆகியவற்றுக்கு இடையிலான தொடர்புகளில்) மற்றும் லார்கின் (காஸியன் செயல்முறை பின்னடைவு மற்றும் எண் தோராயத்திற்கு இடையிலான தொடர்புகளில்) ஆகியவற்றிலும் காணலாம். ஒரு சீரற்ற செயல்முறையிலிருந்து ஒரு மாதிரியாக நன்கு அறியப்பட்ட செயல்பாட்டை மாடலிங் செய்வதற்கான அணுகுமுறை எதிர்மறையானதாகத் தோன்றினாலும், அதைப் புரிந்துகொள்வதற்கான ஒரு இயற்கையான கட்டமைப்பை தகவல் அடிப்படையிலான சிக்கலில் (ஐபிசி) காணலாம், இது கணக்கீட்டு சிக்கலின் கிளை, எண் செயல்படுத்தலுக்கு பகுதி தகவல் மற்றும் வரையறுக்கப்பட்ட வளங்களுடன் கணக்கீடு தேவைப்படுகிறது என்ற அவதானிப்பின் அடிப்படையில் நிறுவப்பட்டது. ஐபிசியில், முழுமையற்ற தகவல்களில் செயல்படும் ஒரு வழிமுறையின் செயல்திறனை மோசமான-வழக்கு அல்லது சராசரி-வழக்கு (சீரற்ற) அமைப்பில் காணாமல் போன தகவலைப் பொறுத்து பகுப்பாய்வு செய்யலாம். மேலும், பாக்கல் கவனித்தபடி, கலப்பு (சீரற்ற) உத்திகளை விட மின்மேக்ஸ் சிக்கலுக்கு ஒரு (மோசமான-வழக்கு) மின்மேக்ஸ் சிக்கலை உயர்த்துவதன் மூலம் பெறப்பட்ட ஒரு எதிர்மறையான விளையாட்டில் சராசரி வழக்கு அமைப்பை ஒரு கலப்பு மூலோபாயமாக விளக்க முடியும். இந்த அவதானிப்பு எண் தோராயத்திற்கும் வால்டின் முடிவுக் கோட்பாட்டிற்கும் இடையிலான இயற்கையான தொடர்புக்கு வழிவகுக்கிறது, இது வான் நியூமனின் விளையாட்டுக் கோட்பாட்டால் பாதிக்கப்பட்டுள்ளது. இந்த இணைப்பை விவரிக்க மிச்செல்லி மற்றும் ரிவ்லின் ஆகியவற்றின் உகந்த மீட்பு அமைப்பைக் கவனியுங்கள், இதில் ஒருவர் அந்த செயல்பாட்டின் வரையறுக்கப்பட்ட நேரியல் அளவீடுகளிலிருந்து அறியப்படாத செயல்பாட்டை தோராயமாக மதிப்பிட முயற்சிக்கிறார். இந்த உகந்த மீட்பு சிக்கலை பூஜ்ஜிய-தொகை விளையாட்டாக விளக்கி, பிளேயர் I அறியப்படாத செயல்பாட்டைத் தேர்ந்தெடுத்து, பிளேயர் II அதன் தோராயத்தைத் தேர்ந்தெடுக்கிறது, மேலும் இழப்புகளை வரையறுக்க இருபடி நெறிமுறையில் தொடர்புடைய பிழைகளைப் பயன்படுத்துகிறது, காஸியன் முன்னுரிமைகள் அத்தகைய விளையாட்டுகளுக்கு உகந்த கலப்பு உத்திகளாக வெளிப்படுகின்றன, மேலும் உகந்த காஸியன் முந்தைய கோவேரியன்ஸ் ஆபரேட்டர் மீட்பின் ஒப்பீட்டு பிழையை வரையறுக்க பயன்படுத்தப்படும் இருபடி நெறிமுறையால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. மென்பொருள் ப்ரோப்னம்ஃ பைத்தானில் நிகழ்தகவு எண்கள். ProbNumDiffEq.jl: ஜூலியாவில் செயல்படுத்தப்பட்ட வடிகட்டலின் அடிப்படையில் நிகழ்தகவு எண் ODE தீர்வுகள். எமுகிட்ஃ நிச்சயமற்ற நிலையில் முடிவெடுப்பதற்கான தழுவக்கூடிய பைதான் கருவிப்பெட்டி. பேக்பேக்ஃ பைடோர்ச்சின் மேல் கட்டப்பட்டது. இது சாய்வு தவிர வேறு அளவுகளை திறம்பட கணக்கிடுகிறது. மேலும் காண்கஃ சராசரி-வழக்கு பகுப்பாய்வு தகவல் அடிப்படையிலான சிக்கல் நிச்சயமற்ற அளவு குறிப்புகள் பயன்பாட்டு புள்ளிவிவரங்கள் இயந்திர கற்றல் பயன்பாட்டு கணிதம்