Multiplication and repeated addition
கணிதக் கல்வியில், பெருக்கத்தின் செயல்பாட்டை மீண்டும் மீண்டும் சேர்க்கும் ஒரு வடிவமாக கற்பிக்க வேண்டுமா என்பது குறித்து விவாதம் நடைபெற்றது. விவாதத்தில் பங்கேற்றவர்கள் எண்கணிதம், கற்பித்தல், கற்றல் மற்றும் அறிவுறுத்தல் வடிவமைப்பு, கணிதத்தின் வரலாறு, கணிதத்தின் தத்துவம் மற்றும் கணினி அடிப்படையிலான கணிதம் உள்ளிட்ட பல கண்ணோட்டங்களைக் கொண்டு வந்தனர். விவாதத்தின் பின்னணி 1990 களின் முற்பகுதியில் லெஸ்லி ஸ்டீஃப் குழந்தைகள் தங்கள் கணித அறிவில் பெருக்கத்தை ஒருங்கிணைக்க பயன்படுத்தும் எண்ணும் திட்டத்தை முன்மொழிந்தார். ஜெரே கான்ப்ரே எண்ணும் திட்டத்தை பிளவுபடுத்தும் அனுமானத்துடன் வேறுபடுத்தினார். எண்ணுதல் மற்றும் பிரிப்பு இரண்டு தனித்தனி, சுயாதீனமான அறிவாற்றல் முதன்மையானவை என்று கான்ஃப்ரே பரிந்துரைத்தார். இது மாநாட்டு விளக்கக்காட்சிகள், கட்டுரைகள் மற்றும் புத்தக அத்தியாயங்கள் வடிவில் கல்வி விவாதங்களைத் தூண்டியது. ஆரம்ப ஆண்டுகளில் அளவிடுதல், பெரிதாக்குதல், மடிப்பு மற்றும் கணிதப் பணிகளை அளவிடுதல் ஆகியவற்றை வலியுறுத்திய பாடத்திட்டத்தின் பரந்த பரவலுடன் இந்த விவாதம் உருவானது. இத்தகைய பணிகளுக்கு எண்ணிக்கை அல்லது மீண்டும் மீண்டும் சேர்ப்பை அடிப்படையாகக் கொண்டிராத பெருக்கத்தின் மாதிரிகள் தேவைப்படுகின்றன மற்றும் ஆதரிக்கப்படுகின்றன. "பெருக்கல் உண்மையில் மீண்டும் மீண்டும் கூட்டப்படுகிறதா?" என்ற கேள்வியைச் சுற்றியுள்ள விவாதங்கள். 1990 களின் நடுப்பகுதியில் பெற்றோர் மற்றும் ஆசிரியர் கலந்துரையாடல் மன்றங்களில் தோன்றியது. கீத் டெவ்லின் அமெரிக்காவின் கணித சங்கத்தின் ஒரு கட்டுரையை "இது மீண்டும் மீண்டும் சேர்க்கப்படவில்லை" என்ற தலைப்பில் எழுதினார், இது ஆசிரியர்களுடனான அவரது மின்னஞ்சல் பரிமாற்றங்களைத் தொடர்ந்து, முந்தைய கட்டுரையில் இந்த தலைப்பை சுருக்கமாகக் குறிப்பிட்ட பிறகு. இந்த பத்தி கல்வி விவாதங்களை பயிற்சியாளர் விவாதங்களுடன் இணைத்தது. இது ஆராய்ச்சி மற்றும் பயிற்சியாளர் வலைப்பதிவுகள் மற்றும் மன்றங்களில் பல விவாதங்களைத் தூண்டியது. கீத் டெவ்லின் இந்த தலைப்பில் தொடர்ந்து எழுதி வருகிறார். பொதுவான கணித பாடத்திட்டம் மற்றும் பொது மைய மாநில தரநிலைகள் முன்முயற்சி போன்ற தரநிலைகளில், உண்மையான எண்களின் பெருக்கத்தின் பொருள் தொடர்ச்சியான கருத்துக்களின் மூலம் பொதுவாக மீண்டும் மீண்டும் கூட்டப்பட்டு இறுதியில் அளவீட்டில் வாழ்கிறது. இயற்கையான (அல்லது முழு) எண்கள் கணக்கிடுவதற்கான ஒரு வழிமுறையாக வரையறுக்கப்பட்டு புரிந்து கொள்ளப்பட்டவுடன், ஒரு குழந்தை எண்கணிதத்தின் அடிப்படை செயல்பாடுகளுக்கு அறிமுகப்படுத்தப்படுகிறது, இந்த வரிசையில்ஃ கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கம் மற்றும் பிரிவு. இந்த செயல்பாடுகள், ஒரு குழந்தையின் கணிதக் கல்வியின் ஆரம்ப கட்டத்தில் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டாலும், மேம்பட்ட எண் திறன்களாக மாணவர்களிடையே எண் உணர்வின் வளர்ச்சியில் நீடித்த தாக்கத்தை ஏற்படுத்துகின்றன. இந்த பாடத்திட்டத்தில், மீண்டும் மீண்டும் சேர்ப்பது தொடர்பான கேள்விகளை எழுப்பிய உடனேயே பெருக்கம் அறிமுகப்படுத்தப்படுகிறது, அதாவதுஃ "தலா 8 ஆப்பிள்கள் கொண்ட 3 பைகள் உள்ளன. மொத்தம் எத்தனை ஆப்பிள்கள் உள்ளன? ஒரு மாணவர் செய்ய முடியும்ஃ அல்லது மாற்றீட்டைத் தேர்வு செய்யலாம் இந்த அணுகுமுறை பல வருட கற்பித்தல் மற்றும் கற்றலுக்கு ஆதரிக்கப்படுகிறது, மேலும் பெருக்கம் என்பது சேர்ப்பதற்கான மிகவும் திறமையான வழி என்ற கருத்தை அமைக்கிறது. 0 கொண்டு வரப்பட்டவுடன், அது குறிப்பிடத்தக்க மாற்றத்தை பாதிக்காது, ஏனெனில் இது 0 ஆகும், மேலும் பரிமாற்ற பண்பு நம்மையும் வரையறுக்க வழிவகுக்கும் எனவே, மீண்டும் மீண்டும் சேர்ப்பது முழு எண்களுக்கும் (0,1,2,3,4,.) நீட்டிக்கப்படுகிறது. மாணவர்கள் பின்னங்களுடன் வேலை செய்யத் தொடங்கும் போது பெருக்கம் என்பது மீண்டும் மீண்டும் கூட்டல் என்ற நம்பிக்கையின் முதல் சவால் தோன்றும். கணிதக் கண்ணோட்டத்தில், மீண்டும் மீண்டும் கூட்டல் என பெருக்குதல் பின்னங்களாக நீட்டிக்கப்படலாம். எடுத்துக்காட்டாக, "ஐந்தில் ஆறில் ஒன்று மற்றும் நான்கில் மூன்று பங்கு" என்று சொல்லப்படுகிறது. இது பின்னர் குறிப்பிடத்தக்கதாகும், ஏனெனில் மாணவர்களுக்கு கற்பிக்கப்படுவதால், சொல் சிக்கல்களில், "இன்" என்ற சொல் பொதுவாக பெருக்கத்தைக் குறிக்கிறது. இருப்பினும், பின்னங்கள் அறிமுகப்படுத்தப்படும்போது கணிதத்துடன் போராடத் தொடங்கும் பல மாணவர்களுக்கு இந்த நீட்டிப்பு சிக்கலானது. மேலும், பகுத்தறிவற்ற எண்கள் செயல்பாட்டிற்கு கொண்டு வரப்படும்போது மீண்டும் மீண்டும் சேர்க்கும் மாதிரி கணிசமாக மாற்றப்பட வேண்டும். இந்த சிக்கல்களைப் பொறுத்தவரை, கணித கல்வியாளர்கள் இந்த எண்கள் அறிமுகப்படுத்தப்படுவதற்கு முன்பு நீண்ட காலமாக பெருக்கத்தை மீண்டும் மீண்டும் கூட்டலாகப் பார்ப்பதன் மூலம் பின்னங்கள் மற்றும் பகுத்தறிவற்ற எண்களுடன் மாணவர்களின் சிரமங்கள் அதிகரிக்கப்படுகிறதா என்றும், தொடக்கக் கல்விக்கு கடுமையான கணிதத்தை கணிசமாக மாற்றியமைப்பது ஏற்றுக்கொள்ளத்தக்கதா என்றும் விவாதித்துள்ளனர், இது பின்னர் தவறாக மாறும் அறிக்கைகளை குழந்தைகள் நம்புவதற்கு வழிவகுக்கிறது. அளவிடுதல் முதல் பெருக்கம் வரை கற்றல் பெருக்கத்தின் ஒரு கோட்பாடு உலகப் போர்களுக்கு இடையில் சோவியத் யூனியனில் செயலில் இருந்த வைகோட்ஸ்கி வட்டத்தில் உள்ள ரஷ்ய கணித கல்வியாளர்களின் பணிகளிலிருந்து பெறப்பட்டது. அவர்களின் பங்களிப்பு பிளவு அனுமானம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. கற்றல் பெருக்கத்தின் மற்றொரு கோட்பாடு உருவகப்படுத்தப்பட்ட அறிவாற்றலைப் படிப்பவர்களிடமிருந்து பெறப்பட்டது, இது பெருக்கத்திற்கான அடிப்படை உருவகங்களை ஆய்வு செய்தது. இந்த ஆய்வுகள் அனைத்தும் சேர்ந்து சிறு குழந்தைகளுக்கான "இயல்பாகவே பெருக்கக்கூடிய" பணிகளுடன் பாடத்திட்டத்தை ஊக்குவித்துள்ளன. இந்த பணிகளின் எடுத்துக்காட்டுகள் பின்வருமாறுஃ நெகிழ்வான நீட்சி, பெரிதாக்குதல், மடிப்பு, நிழல்களை முன்வைத்தல் அல்லது நிழல்களை கைவிடுதல். இந்த பணிகள் எண்ணிக்கையைப் பொறுத்தது அல்ல, மேலும் மீண்டும் மீண்டும் சேர்ப்பதன் அடிப்படையில் எளிதில் கருத்தியல் செய்ய முடியாது. இந்த பாடத்திட்டங்கள் தொடர்பான விவாதத்தின் சிக்கல்கள் பின்வருமாறுஃ எதை பெருக்கலாம்? பெருக்கம் பெரும்பாலும் இயற்கையான எண்களுக்கு வரையறுக்கப்படுகிறது, பின்னர் முழு எண்கள், பின்னங்கள் மற்றும் பகுத்தறிவற்ற எண்களுக்கு நீட்டிக்கப்படுகிறது. இருப்பினும், சுருக்க இயற்கணிதம் எண்களாகவோ அல்லது இல்லாமலோ இருக்கும் சில பொருட்களின் பைனரி செயல்பாடு என பெருக்கத்திற்கு மிகவும் பொதுவான வரையறையைக் கொண்டுள்ளது. குறிப்பிடத்தக்க வகையில், ஒருவர் சிக்கலான எண்கள், திசையன்கள், மேட்ரிக்ஸ்கள் மற்றும் குவாட்டர்னியன்களை பெருக்கலாம். தொடக்கக் கல்வியின் போது பெருக்கத்தை பிரத்தியேகமாக மீண்டும் மீண்டும் சேர்ப்பது பெருக்கத்தின் இந்த அம்சங்களைப் பற்றிய பிற்கால புரிதலுக்கு இடையூறு விளைவிக்கும் என்று சில கல்வியாளர்கள் நம்புகிறார்கள். கணிதக் கல்வியின் பின்னணியில், மாதிரிகள் என்பது கருத்தின் சில அல்லது அனைத்து அத்தியாவசிய குணங்களையும் பிரதிபலிக்கும் சுருக்கமான கணிதக் கருத்துக்களின் உறுதியான பிரதிநிதித்துவங்களாகும். மாதிரிகள் பெரும்பாலும் இயற்பியல் அல்லது மெய்நிகர் கையாளுதல்கள் மற்றும் அவற்றுடன் வரும் பாடத்திட்டப் பொருட்களாக உருவாக்கப்படுகின்றன. பெருக்கம் மற்றும் மீண்டும் மீண்டும் சேர்ப்பது பற்றிய விவாதத்தின் ஒரு பகுதி வெவ்வேறு மாதிரிகள் மற்றும் அவற்றின் பாடத்திட்டப் பொருட்களின் ஒப்பீடு ஆகும். வெவ்வேறு மாதிரிகள் வெவ்வேறு வகையான எண்களின் பெருக்கத்தை ஆதரிக்கலாம் அல்லது ஆதரிக்காமலும் இருக்கலாம்; எடுத்துக்காட்டாக, பொருட்களின் தொகுப்பாக எண்கள் வழங்கப்படும் தொகுப்பு மாதிரி, மற்றும் ஒவ்வொன்றிலும் ஒரே எண்ணிக்கையிலான பொருள்களுடன் பல தொகுப்புகளின் சங்கமமாக பெருக்கம், பின்ன அல்லது உண்மையான எண்களின் பெருக்கத்திற்கு நீட்டிக்க முடியாது. எண்கணிதத்தின் குறிப்பிட்ட பயன்பாடுகளுக்கும் வெவ்வேறு மாதிரிகள் பொருத்தமானதாக இருக்கலாம்; எடுத்துக்காட்டாக, நிகழ்தகவு மற்றும் உயிரியலில் சேர்க்கை மாதிரிகள் வருகின்றன. குறிப்புகள் கணிதக் கல்வி