Hesse pencil
கணிதத்தில், ஓட்டோ ஹெஸ்ஸிக்கு பெயரிடப்பட்ட சிஜைஜெடிக் பென்சில் அல்லது ஹெஸ்ஸி பென்சில், சிக்கலான ப்ரொஜெக்டிவ் பிளேனில் கியூபிக் பிளேன் நீள்வட்ட வளைவுகளின் ஒரு பென்சில் (ஒரு பரிமாண குடும்பம்) ஆகும், இது சமன்பாட்டால் வரையறுக்கப்படுகிறது, குடும்பத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு வளைவும் ஒரு ஜோடி அளவுரு மதிப்புகளால் () (பூஜ்ஜியம் இரண்டும் அல்ல) தீர்மானிக்கப்படுகிறது, மேலும் அந்த அளவுருக்களுக்கான சமன்பாட்டை ஒரே மாதிரியான ஆயத்தொலைவுகள் திருப்திப்படுத்தும் பிளேனில் உள்ள புள்ளிகளைக் கொண்டுள்ளது. இரண்டையும் ஒரே அளவுகோலால் பெருக்குவது வளைவை மாற்றாது, எனவே பென்சிலிலிருந்து ஒரு வளைவைத் தேர்ந்தெடுப்பதில் ஒரு டிகிரி சுதந்திரம் மட்டுமே உள்ளது, ஆனால் மேலே கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு அளவுரு வடிவம் ஒன்று அல்லது (ஆனால் இரண்டும் அல்ல) பூஜ்ஜியத்திற்கு அமைக்க அனுமதிக்கிறது. பென்சிலில் உள்ள ஒவ்வொரு வளைவும் சிக்கலான ப்ரொஜெக்டிவ் தளத்தின் ஒன்பது புள்ளிகள் வழியாக செல்கிறது, அதன் ஒரே மாதிரியான ஆயத்தொலைவுகள் 0,-1 இன் சில வரிசைமாற்றங்கள் மற்றும் ஒற்றுமையின் கனசதுர வேர் ஆகும். ஒற்றுமையின் மூன்று வேர்கள் மற்றும் ஒரு மூலத்திற்கு ஆறு வரிசைமாற்றங்கள் உள்ளன, அவை ஒவ்வொரு புள்ளியின் ஒரே மாதிரியான ஆயத்தொகுதிகளுக்கு 18 தேர்வுகளை வழங்குகின்றன, ஆனால் அவை ஒன்பது புள்ளிகளை மட்டுமே வழங்கும் ஜோடிகளில் சமமானவை. இந்த ஒன்பது புள்ளிகளின் மூலம் க்யூபிக்ஸின் குடும்பம் ஹெஸ்ஸி பென்சிலை உருவாக்குகிறது. மேலும் பொதுவாக, ஒருவர் சிக்கலான எண்களை ஒற்றுமையின் கன மூலத்தைக் கொண்ட எந்த புலத்தாலும் மாற்றலாம் மற்றும் இந்த புலத்தின் மீது உள்ள ஹெஸ்ஸி பென்சிலை இந்த ஒன்பது புள்ளிகளின் மூலம் கனசதுரங்களின் குடும்பமாக வரையறுக்கலாம். ஹெஸ்ஸி பென்சிலின் ஒன்பது பொதுவான புள்ளிகள் பென்சிலில் உள்ள ஒவ்வொரு கனசதுரத்தின் ஊடுருவல் புள்ளிகளாகும். இந்த ஒன்பது புள்ளிகளில் குறைந்தது இரண்டு புள்ளிகளைக் கடந்து செல்லும் எந்தக் கோடும் அவற்றில் சரியாக மூன்று புள்ளிகளைக் கடந்து செல்கிறது; ஒன்பது புள்ளிகள் மற்றும் பன்னிரண்டு கோடுகள் மூன்று புள்ளிகள் வழியாக ஹெஸ்ஸி கட்டமைப்பை உருவாக்குகின்றன. ஒவ்வொரு நீள்வட்ட வளைவும் ஹெஸ்ஸி பென்சிலின் வளைவுக்கு இருதரப்பு சமம்; இது ஒரு நீள்வட்ட வளைவின் ஹெஸியன் வடிவமாகும். இருப்பினும், ஹெஸியன் வடிவத்தின் அளவுருக்கள் () அசல் வளைவின் வரையறையின் புலத்தின் விரிவாக்க புலத்தைச் சேர்ந்ததாக இருக்கலாம். குறிப்புகள் நீள்வட்ட வளைவுகள்