Sum of four cubes problem
நான்கு க்யூப்ஸ் சிக்கலின் கூட்டுத்தொகை ஒவ்வொரு முழு எண்ணும் நான்கு க்யூப்ஸ் முழு எண்களின் கூட்டுத்தொகையா என்று கேட்கிறது. பதில் உறுதியானது என்று ஊகிக்கப்படுகிறது, ஆனால் இந்த அனுமானம் நிரூபிக்கப்படவில்லை அல்லது நிரூபிக்கப்படவில்லை. சில க்யூப்கள் எதிர்மறை எண்களாக இருக்கலாம், க்யூப்களின் கூட்டுத்தொகையில் வாரிங்கின் சிக்கலுக்கு மாறாக, அவை நேர்மறையாக இருக்க வேண்டும். மாற்றீடுகள், மற்றும் அடையாளத்தில் 6 இன் ஒவ்வொரு முழு எண் பெருக்கமும் நான்கு க்யூப்களின் கூட்டுத்தொகை என்பதைக் காட்டும் அடையாளத்திற்கு வழிவகுக்கிறது. (மேலும் பொதுவாக, அதே ஆதாரம் ஒவ்வொரு வளையத்திலும் 6 இன் ஒவ்வொரு பெருக்கமும் நான்கு க்யூப்களின் கூட்டுத்தொகை என்பதைக் காட்டுகிறது.) ஒவ்வொரு முழு எண்ணும் அதன் சொந்த கியூப் மாடுலோ 6 உடன் ஒத்திருப்பதால், ஒவ்வொரு விகிதமுறு முழு எண்ணும் ஐந்து க்யூப்ஸ் முழு எண்களின் கூட்டுத்தொகையாகும். 1966 ஆம் ஆண்டில், 4 அல்லது-4 மாடுலோ 9 க்கு இணையாக இல்லாத எந்த முழு எண்ணும் நான்கு க்யூப்ஸ் முழு எண்களின் கூட்டுத்தொகையாகும் என்பதை நிரூபித்தது. இதற்காக, அவர் பின்வரும் அடையாளங்களைப் பயன்படுத்தினார்ஃ மேலும் இந்த அடையாளங்கள் (மற்றும் அவற்றிலிருந்து எதிர்ப்புகளுக்குச் செல்வதன் மூலம் பெறப்பட்டவை) 4 அல்லது −4 மாடுலோ 9 உடன் ஒத்திருக்காத மற்றும் 2 அல்லது −2 மாடுலோ 18 உடன் ஒத்திருக்காத எந்தவொரு முழு எண்ணும் விகிதமுறு முழு எண்களின் நான்கு க்யூப்களின் கூட்டுத்தொகையாகும் என்பதை உடனடியாகக் காட்டுகிறது. மேலும் நுட்பமான காரணங்களைப் பயன்படுத்தி, டெம்ஜானெங்கோ 2 அல்லது −2 மாடுலோ 18 க்கு ஒத்த முழு எண்களும் நான்கு க்யூப்ஸ் முழு எண்களின் கூட்டுத்தொகையாகும் என்பதை நிரூபித்தார். எனவே 4 அல்லது −4 மாடுலோ 9 க்கு ஒத்த முழு எண்களுக்கு மட்டுமே சிக்கல் எழுகிறது. ஒரு உதாரணம் என்னவென்றால், அத்தகைய ஒவ்வொரு முழு எண்ணையும் நான்கு க்யூப்களின் கூட்டுத்தொகையாக எழுத முடியுமா என்பது தெரியவில்லை. 18x ± 2 வழக்கு டெம்ஜானெங்கோவின் காகிதத்தின் ஹென்றி கோஹனின் மொழிபெயர்ப்பின் படி, இந்த அடையாளங்கள் அவற்றின் நிரப்பு அடையாளங்களுடன் சேர்ந்து 108x ± 38 வழக்கை விட்டுச் செல்கின்றன, இது முன்மொழிவை நிரூபிக்கிறது. அவர் தனது காகிதத்தில் 108x±38 வழக்கை நிரூபிக்கிறார். மேலும் காண்க மூன்று க்யூப்களின் கூட்டுத்தொகை குறிப்புகள் மற்றும் குறிப்புகள் டயோஃபாண்டைன் சமன்பாடுகள் கணிதத்தில் தீர்க்கப்படாத சிக்கல்கள்