Multidimensional sampling
டிஜிட்டல் சிக்னல் செயலாக்கத்தில், பன்முக மாதிரி என்பது ஒரு பன்முக மாறியின் செயல்பாட்டை ஒரு தனித்துவமான புள்ளிகளின் தொகுப்பில் அளவிடப்படும் செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் தனித்துவமான தொகுப்பாக மாற்றும் செயல்முறையாகும். இந்த கட்டுரை பீட்டர்சன் மற்றும் மிடில்டன் காரணமாக ஒரு அலை எண்-வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டை அதன் அளவீடுகளிலிருந்து தனித்துவமான புள்ளிகளின் மீது முழுமையாக மறுகட்டமைப்பதற்கான நிபந்தனைகள் குறித்த அடிப்படை முடிவை வழங்குகிறது. இந்த முடிவு, பீட்டர்சன்-மிடில்டன் தேற்றம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது, இது உயர் பரிமாண யூக்ளிடியன் இடைவெளிகளுக்கு ஒரு பரிமாண இசைக்குழு-வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாடுகளை மாதிரியாக்குவதற்கான நிக்விஸ்ட்-ஷானன் மாதிரி தேற்றத்தின் பொதுமைப்படுத்தலாகும். சாராம்சத்தில், பீட்டர்சன்-மிடில்டன் தேற்றம் ஒரு அலைவரிசை-வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டை அதன் மதிப்புகளிலிருந்து எல்லையற்ற புள்ளிகளின் மீது முழுமையாக மறுகட்டமைக்க முடியும் என்பதைக் காட்டுகிறது. இந்த தேற்றம் சரியான மறுசீரமைப்பு சாத்தியமாகும் ஜாலகத்தின் நிபந்தனைகளை வழங்குகிறது. நிக்விஸ்ட்-ஷானன் மாதிரி தேற்றத்தைப் போலவே, இந்த தேற்றமும் எந்தவொரு நிஜ உலக சூழ்நிலையையும் இலட்சியமயமாக்குகிறது, ஏனெனில் இது முடிவிலி புள்ளிகளுக்கு மேல் மாதிரி செய்யப்படும் செயல்பாடுகளுக்கு மட்டுமே பொருந்தும். இலட்சியப்படுத்தப்பட்ட மாதிரிக்கு கணித ரீதியாக சரியான மறுசீரமைப்பு சாத்தியமாகும், ஆனால் நிஜ உலக செயல்பாடுகள் மற்றும் மாதிரி நுட்பங்களுக்கான தோராயமான மதிப்பீடு மட்டுமே, நடைமுறையில் பெரும்பாலும் மிகவும் நல்லது. ஒரு பரிமாணத்தில் ஒரு பேண்ட்லிமிடெட் செயல்பாட்டின் கருத்தை அதிக பரிமாணங்களில் அலைவரிசை-வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் கருத்துக்கு பொதுமைப்படுத்தலாம். n-பரிமாண யூக்ளிடியன் இடத்தில் ஒரு ஒருங்கிணைந்த செயல்பாட்டின் ஃபோரியர் உருமாற்றம் பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது என்பதை நினைவில் கொள்கஃ x மற்றும் x ஆகியவை n-பரிமாண திசையன்கள் மற்றும் திசையன்களின் உள் பெருக்கல் ஆகும். ஃபோரியர் உருமாற்றம் திருப்தி அடைந்தால், செயல்பாடு அலை எண்-ஒரு தொகுப்புக்கு மட்டுப்படுத்தப்பட்டதாக கூறப்படுகிறது. இதேபோல், ஒரு பரிமாணத்தில் ஒரே மாதிரியான இடைவெளி மாதிரி புள்ளிகளின் உள்ளமைவை அதிக பரிமாணங்களில் ஒரு லட்டிஸாக பொதுமைப்படுத்தலாம். ஒரு லட்டிஸ் என்பது {v1,., vn} ஒரு அடிப்படையாக இருக்கும் வடிவத்தின் புள்ளிகளின் தொகுப்பாகும். தொடர்புடைய பரஸ்பர லட்டிஸ் திசையன்கள் திருப்திப்படுத்த தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட இடத்தின் மூலம் வரையறுக்கப்படுகிறது. அதாவது, திசையன்கள் ஒரு மேட்ரிக்ஸின் நெடுவரிசைகளையும் ஒரு மேட்ரிக்ஸின் நெடுவரிசைகளையும் உருவாக்கினால், பின்னர். இரு பரிமாண இடைவெளியில் ஒரு மாதிரி லட்டிஸின் எடுத்துக்காட்டு படம் 1 இல் சித்தரிக்கப்பட்டுள்ள அறுகோண லட்டிஸ் ஆகும். அதனுடன் தொடர்புடைய பரஸ்பர ஜன்னல் படம் 2 இல் காட்டப்பட்டுள்ளது. இரண்டு பரிமாணங்களில் ஒரு சதுர லட்டீஸின் பரஸ்பர லட்டீஸ் மற்றொரு சதுர லட்டீஸ் ஆகும். முப்பரிமாண இடத்தில் ஒரு முகத்தை மையமாகக் கொண்ட கனசதுரத்தின் (எஃப். சி. சி) பரஸ்பர லட்டிஸ் ஒரு உடல் மையமாகக் கொண்ட கனசதுரம் (பி. சி. சி) லட்டிஸ் ஆகும். தேற்றம் ஒரு லட்டிஸ் மற்றும் அதனுடன் தொடர்புடைய பரஸ்பர லட்டிஸ் ஆகியவற்றைக் குறிக்கலாம். பீட்டர்சன் மற்றும் மிடில்டனின் தேற்றம், ஒரு தொகுப்புக்கு வரம்புக்குட்பட்ட அலைவரிசை கொண்ட ஒரு செயல்பாட்டை அதன் அளவீடுகளிலிருந்து சரியாக மறுகட்டமைக்க முடியும் என்று கூறுகிறது, இது தொகுப்பு அதன் மாற்றப்பட்ட பதிப்புகளுடன் ஒன்றுடன் ஒன்று இல்லை, அங்கு ஷிப்ட் x என்பது பரஸ்பர லட்டிஸின் பூஜ்ஜியமற்ற உறுப்பு. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், அனைவருக்கும் வழங்கப்பட்ட அதன் அளவீடுகளிலிருந்து சரியாக மறுகட்டமைக்கப்படலாம். மறுசீரமைப்பு அதிக பரிமாணங்களுக்கு பாய்சான் கூட்டுத்தொகை சூத்திரத்தின் பொதுமைப்படுத்தல், லட்டிஸில் உள்ள செயல்பாட்டின் மாதிரிகள், செயல்பாட்டின் காலமுறை கூட்டுத்தொகையை உருவாக்க போதுமானவை என்பதைக் காட்ட பயன்படுத்தப்படலாம். இதன் விளைவுஃ இங்கு திசையன்கள் {v1,., vn} ஆல் உருவாக்கப்பட்ட இணையான அளவின் அளவைக் குறிக்கிறது. இந்த காலமுறை செயல்பாடு பெரும்பாலும் மாதிரி ஸ்பெக்ட்ரம் என்று குறிப்பிடப்படுகிறது, மேலும் அதிக பரிமாணங்களில் தனித்துவமான நேர ஃபோரியர் உருமாற்றத்தின் (டி. டி. எஃப். டி) அனலாக் என்று விளக்கப்படலாம். அசல் அலை எண்-வரையறுக்கப்பட்ட ஸ்பெக்ட்ரம் செட்டில் ஆதரிக்கப்பட்டால், பரஸ்பர லட்டிஸில் புள்ளிகளால் மாற்றப்பட்ட காலமுறை மீண்டும் மீண்டும் செயல்பாடு ஆதரிக்கப்படுகிறது. பீட்டர்சன்-மிடில்டன் தேற்றத்தின் நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்பட்டால், செயல்பாடு அனைவருக்கும் சமமாக இருக்கும், எனவே அசல் புலத்தை மாதிரிகளிலிருந்து சரியாக மறுகட்டமைக்க முடியும். இந்த விஷயத்தில் மறுசீரமைக்கப்பட்ட புலம் அசல் புலத்துடன் பொருந்துகிறது மற்றும் தொகுப்பின் சிறப்பியல்பு செயல்பாட்டின் தலைகீழ் ஃபோரியர் உருமாற்றம் எங்கே என்பதை மாதிரிகளின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தலாம். இந்த இடைக்கணிப்பு சூத்திரம் விட்டேகர்-ஷானன் இடைக்கணிப்பு சூத்திரத்தின் உயர் பரிமாண சமமானதாகும். ஒரு எடுத்துக்காட்டாக, அது ஒரு வட்ட வட்டு என்று வைத்துக்கொள்வோம். பீட்டர்சன்-மிடில்டன் தேற்றத்தின் நிபந்தனைகள் எப்போது பூர்த்தி செய்யப்படுகின்றன என்பதற்கான ஆதரவை படம் 3 விளக்குகிறது. ஸ்பெக்ட்ரல் மறுபயன்பாடுகள் ஒன்றுடன் ஒன்று இல்லை என்பதை நாம் காண்கிறோம், எனவே அசல் ஸ்பெக்ட்ரமை சரியாக மீட்டெடுக்க முடியும். உட்பொருள்கள் மாற்றுப்பெயர் கோட்பாடு மாதிரியின் சரியான மறுசீரமைப்புக்கான மாதிரி ஜன்னல்கள் குறித்த நிபந்தனைகளை வழங்குகிறது. பீட்டர்சன்-மிடில்டன் நிலைமையை பூர்த்தி செய்ய லட்டிஸ்கள் போதுமானதாக இல்லாவிட்டால், பொதுவாக மாதிரிகளிலிருந்து புலத்தை சரியாக மறுகட்டமைக்க முடியாது. இந்த விஷயத்தில் மாதிரிகள் மாற்றுப்பெயராக இருக்கலாம் என்று நாங்கள் கூறுகிறோம். மீண்டும், ஒரு வட்ட வட்டு உள்ள உதாரணத்தைக் கவனியுங்கள். பீட்டர்சன்-மிடில்டன் நிபந்தனைகள் இல்லை என்றால், மாதிரி ஸ்பெக்ட்ரமின் ஆதரவு படம் 4 இல் காட்டப்பட்டுள்ளபடி இருக்கும். இந்த விஷயத்தில் ஸ்பெக்ட்ரல் மறுபயன்பாடுகள் ஒன்றுடன் ஒன்று இணைகின்றன, இது புனரமைப்பில் மாற்றுப்பெயருக்கு வழிவகுக்கிறது. குறைந்த தெளிவுத்திறன் கொண்ட படங்களைப் படிப்பதன் மூலம் மாற்றுப்பெயரின் எளிய விளக்கப்படத்தைப் பெறலாம். ஒரு சாம்பல்-அளவிலான படத்தை இரு பரிமாண இடத்தில் ஒரு செயல்பாடாக விளக்கலாம். மாற்றுப்பெயருக்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு படம் 5 இல் உள்ள செங்கல் வடிவங்களின் படங்களில் காட்டப்பட்டுள்ளது. மாதிரி தேற்றத்தின் நிலை திருப்தி அடையாதபோது மாற்றுப்பெயரின் விளைவுகளை படம் காட்டுகிறது. பிக்சல்களின் லட்டிஸ் காட்சிக்கு போதுமானதாக இல்லாவிட்டால், பெறப்பட்ட படத்தில் மொய்ர் வடிவத்தின் தோற்றத்தால் சான்றாக மாற்றுப்பெயர் ஏற்படுகிறது. காட்சியின் மென்மையான பதிப்பு அதே லட்டிஸுடன் மாதிரியாக இருக்கும்போது படம் 6 இல் உள்ள படம் பெறப்படுகிறது. இந்த வழக்கில் தேற்றத்தின் நிபந்தனைகள் திருப்தி அடைகின்றன மற்றும் மாற்றுப்பெயர் எதுவும் ஏற்படாது. அலைவரிசை-வரையறுக்கப்பட்ட புலங்களுக்கான மாதிரி திட்டத்தை வடிவமைப்பதில் ஆர்வமுள்ள பொருட்களில் ஒன்று, குறைந்தபட்ச மாதிரி அடர்த்திக்கு வழிவகுக்கும் புள்ளிகளின் உள்ளமைவை அடையாளம் காண்பது, அதாவது, ஒரு யூனிட் இடஞ்சார்ந்த தொகுதிக்கு மாதிரி புள்ளிகளின் அடர்த்தி. பொதுவாக அளவீடுகளை எடுத்து சேமிப்பதற்கான செலவு பயன்படுத்தப்படும் மாதிரி அடர்த்திக்கு விகிதாசாரமாக இருக்கும். பெரும்பாலும் நடைமுறையில், இரு பரிமாண புலங்களை மாதிரி செய்வதற்கான இயற்கையான அணுகுமுறை செவ்வக ஜாலகத்தின் புள்ளிகளில் அதை மாதிரி செய்வதாகும். இருப்பினும், மாதிரி அடர்த்தியின் அடிப்படையில் இது எப்போதும் சிறந்த தேர்வாக இருக்காது. பீட்டர்சன் மற்றும் மிடில்டனின் தேற்றம் கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்புக்கு வரம்புக்குட்பட்ட அலைவரிசை புலங்களுக்கான மாதிரி களங்களுக்கான உகந்த லட்டிஸை அடையாளம் காண பயன்படுத்தப்படலாம். எடுத்துக்காட்டாக, குறைந்தபட்ச இடஞ்சார்ந்த அடர்த்தி கொண்ட புள்ளிகளைக் கொண்ட அலைவரிசையில் ஒரு வட்ட வட்டு வரம்புக்குட்பட்ட புலங்களின் சரியான புனரமைப்புகளை ஒப்புக்கொள்ளும் ஜாலகம் அறுகோண ஜாலகம் என்பதைக் காட்டலாம். இதன் விளைவாக, ஐசோட்ரோபிக் புலங்களை மாதிரி எடுப்பதற்கு அறுகோண லட்டிஸ்கள் விரும்பப்படுகின்றன. உகந்த மாதிரி லாட்டிஸ்கள் அதிக பரிமாணங்களில் ஆய்வு செய்யப்பட்டுள்ளன. பொதுவாக, உகந்த கோள பொதி செய்யும் லட்டிஸ்கள் மென்மையான சீரற்ற செயல்முறைகளை மாதிரியாகக் கொண்டுவருவதற்கு உகந்தவை, அதே நேரத்தில் உகந்த கோளத்தை உள்ளடக்கிய லட்டிஸ்கள் தோராயமான சீரற்ற செயல்முறைகளை மாதிரியாகக் கொண்டுவருவதற்கு உகந்தவை. உகந்த லட்டிஸ்கள் பொதுவாக பிரிக்க முடியாதவை என்பதால், இடைக்கணிப்பு மற்றும் புனரமைப்பு வடிப்பான்களை வடிவமைப்பதற்கு டென்சர் அல்லாத தயாரிப்பு (அதாவது பிரிக்க முடியாத) வடிகட்டி வடிவமைப்பு வழிமுறைகள் தேவைப்படுகின்றன. ஒவ்வொரு லட்டிஸுக்கும் வடிவியல் ரீதியாக வடிவமைக்கக்கூடிய பிரிக்க முடியாத புனரமைப்பு எஃப். ஐ. ஆர் வடிப்பான்களை வடிவமைப்பதற்கான நெகிழ்வான கட்டமைப்பை பாக்ஸ் ஸ்ப்ளைன்கள் வழங்குகின்றன. ஹெக்ஸ்-ஸ்ப்லைன்கள் என்பது 2-டி அறுகோண லட்டிஸ்களுக்கான பி-ஸ்ப்லைன்களின் பொதுமைப்படுத்தலாகும். இதேபோல், 3-டி மற்றும் உயர் பரிமாணங்களில், வோரோனோய் ஸ்ப்லைன்கள் பி-ஸ்ப்லைன்களின் பொதுமைப்படுத்தலை வழங்குகின்றன, அவை பிரிக்க முடியாத எஃப். ஐ. ஆர் வடிப்பான்களை வடிவமைக்கப் பயன்படுத்தப்படலாம், அவை உகந்த லட்டிஸ்கள் உட்பட எந்த லட்டிஸுக்கும் வடிவியல் ரீதியாக வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளன. உகந்த லட்டிஸ்களுக்கு பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட சிறந்த குறைந்த-பாஸ் வடிப்பான்களின் (அதாவது, சிங்க் செயல்பாடுகள்) தெளிவான கட்டுமானம் இந்த லட்டிஸ்களின் (அவை ஜோனோடோப்புகள்) ப்ரில்லோயின் மண்டலங்களின் (அதாவது மேலே) வடிவியல் பண்புகளை ஆய்வு செய்வதன் மூலம் சாத்தியமாகும். இந்த அணுகுமுறை உகந்த மாதிரி லட்டிஸ்கள் உட்பட பொதுவான லட்டிஸ்களுக்கான மூடிய வடிவ வெளிப்படையான பிரதிநிதித்துவத்தை வழங்குகிறது. இந்த கட்டுமானம் உகந்த லட்டிஸ்களுக்கான பன்முக அமைப்புக்கு 1-டி இல் லான்சோஸ் வடிப்பானின் பொதுமைப்படுத்தலை வழங்குகிறது. பயன்பாடுகள் பீட்டர்சன்-மிடில்டன் தேற்றம் நில அதிர்வு ஆய்வுகள், சுற்றுச்சூழல் கண்காணிப்பு மற்றும் இடஞ்சார்ந்த ஆடியோ-ஃபீல்ட் அளவீடுகள் போன்ற இடஞ்சார்ந்த நிகழ்வுகளின் அளவீட்டை உள்ளடக்கிய பயன்பாடுகளில் திறமையான சென்சார் பிளேஸ்மென்ட் உத்திகளை வடிவமைப்பதில் பயனுள்ளதாக இருக்கும். குறிப்புகள் டிஜிட்டல் சிக்னல் செயலாக்கம் ஃபோரியர் பகுப்பாய்வில் பல பரிமாண சிக்னல் செயலாக்க கோட்பாடுகள்