Catalan's triangle
ஒருங்கிணைந்த கணிதத்தில், கட்டலானின் முக்கோணம் என்பது ஒரு எண் முக்கோணமாகும், அதன் உள்ளீடுகள் n X மற்றும் k Y ஐக் கொண்ட சரங்களின் எண்ணிக்கையைக் கொடுக்கின்றன, இதனால் சரத்தின் எந்த ஆரம்ப பகுதியும் X ஐ விட Y ஐக் கொண்டிருக்காது. இது கட்டலான் எண்களின் பொதுமைப்படுத்தலாகும், மேலும் இது யூஜின் சார்லஸ் கட்டலான் பெயரால் அழைக்கப்படுகிறது. பெய்லி பின்வரும் பண்புகளை திருப்திப்படுத்துவதைக் காட்டுகிறதுஃ . . முக்கோணத்தில் இடது மற்றும் அதற்கு மேல் உள்ள எண்களைச் சேர்ப்பதன் மூலம் முக்கோணத்தில் உள்ள நுழைவு மீண்டும் மீண்டும் பெறப்படுகிறது என்பதை சூத்திரம் 3 காட்டுகிறது. 1800 ஆம் ஆண்டில் லூயிஸ் பிரான்சுவா அன்டோயின் அர்போகாஸ்ட் வெளியிட்ட கால்குலஸ் பற்றிய கட்டுரையின் பக்கம் 214 இல் கேட்டலான் முக்கோணத்தின் ஆரம்ப தோற்றம் உள்ளது. ஷாப்பிரோ மற்றொரு முக்கோணத்தை அறிமுகப்படுத்துகிறார், அதை அவர் கட்டலான் முக்கோணம் என்று அழைக்கிறார், இது இங்கே விவாதிக்கப்படும் முக்கோணத்திலிருந்து வேறுபட்டது. பொதுவான சூத்திரம் பொதுவான சூத்திரம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது எனவே எப்போது, மூலைவிட்டமானது-வது கட்டலான் எண். ஹாக்கி-குச்சி அடையாளம் மற்றும் கட்டலான் எண்களுக்கான மாற்று வெளிப்பாட்டைப் பயன்படுத்தி,-வது வரிசையின் வரிசை கூட்டுத்தொகை-வது கட்டலான் எண் ஆகும். மதிப்புகளின் அட்டவணை சில மதிப்புகள் {| வகுப்பு = "விக்கி செய்யக்கூடிய" பாணி = "உரை-சீரமைப்புஃ சரி;" |-! ! அகலம் = "50" | 0! அகலம் = "50" | 1! அகலம் = "50" | 2! அகலம் = "50" | 3! அகலம் = "50" | 4! அகலம் = "50" | 5! அகலம் = "50" | 6! அகலம் = "50" | 7! அகலம் = "50" | 8 |-! 0 | 1 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |-! 1 | 1 | | 1 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |-! 2 | 1 | | 2 | | 2 | | | | | | | | | | | | | | | | | | |-! 3 | 1 | | 3 | | 5 | | | | | | | | | | | | | | | | | | |-! 4 | 1 | | 4 | | 9 | | 14 | | | | | | | | | | | | | | |-! 5 | 1 | | 5 | | 14 | | 28 | | 42 | | 42 | | | | | | | | |-! 6 | 1 | | 6 | | 20 | | 48 | | 90 | | 132 | | 132 | | | | |-! 7 | 1 | | 7 | | 27 | | 75 | | 165 | | 297 | | 429 | | 429 | | |-! 8 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | என்றால், ஒரு கட்டத்தில் 'களை விட அதிகமாக இருக்க வேண்டும், எனவே. - th மதிப்பின் ஒருங்கிணைந்த விளக்கம் என்பது ஒவ்வொரு பகுதியும் அதன் குறியீட்டை விட குறைவாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்கும் அதிகபட்ச பகுதியுடன் சரியாக பகுதிகளைக் கொண்ட குறைக்காத பகிர்வுகளின் எண்ணிக்கை ஆகும். எனவே, எடுத்துக்காட்டாக, கட்டலானின் டிராப்சாய்டுகள் என்பது கட்டலானின் முக்கோணத்தை பொதுமைப்படுத்தும் எண்ணற்ற டிராப்சாய்டுகளின் தொகுப்பாகும். கட்டலானின் ட்ரெப்சாய்டு வரிசை என்பது ஒரு எண் ட்ரெப்சாய்டு ஆகும், அதன் உள்ளீடுகள் எக்ஸ்-எஸ் மற்றும் ஒய்-எஸ் ஆகியவற்றைக் கொண்ட சரங்களின் எண்ணிக்கையைக் கொடுக்கின்றன, அதாவது சரத்தின் ஒவ்வொரு ஆரம்ப பிரிவிலும் ஒய்-எஸ் எண்ணிக்கை எக்ஸ்-எஸ் அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட எண்ணிக்கையை மீறாது. வரையறையின்படி, கட்டலானின் ட்ரெப்சாய்டு வரிசை கட்டலானின் முக்கோணம், அதாவது. கட்டலானின் ட்ரெப்சாய்டு வரிசையின் சில மதிப்புகள் {| வகுப்பு = "விக்கி செய்யக்கூடிய" பாணி = "உரை-சீரமைப்புஃ வலது;" |-! ! அகலம் = "50" | 0! அகலம் = "50" | 1! அகலம் = "50" | 2! அகலம் = "50" | 3! அகலம் = "50" | 4! அகலம் = "50" | 5! அகலம் = "50" | 6! அகலம் = "50" | 7! அகலம் = "50" | 8 |-! 0 | 1 | | 1 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |-! 1 | 1 | | 2 | | 2 | | | | | | | | | | | | | | | | | | |-! 2 | 1 | | 3 | | 5 | | | | | | | | | | | | | | | | | | |-! 3 | 1 | | 4 | | 9 | | 14 | | | | | | | | | | | | | | | |-! 4 | 1 | | 5 | | 14 | | 28 | | 42 | | 42 | | | | | | | | |-! 5 | 1 | | 6 | | 20 | | 48 | | 90 | | 132 | | 132 | | | | |-! 6 | 1 | | 7 | | 27 | | 75 | | 165 | | 297 | | 429 | | 429 | | |-! 7 | 1 | | 8 | | 35 | | 110 | | 275 | | 572 | | 1001 | | 1430 | | | 1430 | | கட்டலானின் ட்ரெப்சாய்டு வரிசையின் சில மதிப்புகள் {| வகுப்பு = "விக்கிட்டபிள்" பாணி = "உரை-சீரமைப்புஃ சரி;" |-! ! அகலம் = "50" | 0! அகலம் = "50" | 1! அகலம் = "50" | 2! அகலம் = "50" | 3! அகலம் = "50" | 4! அகலம் = "50" | 5! அகலம் = "50" | 6! அகலம் = "50" | 7! அகலம் = "50" | 8! அகலம் = "50" | 9 |-! 0 | 1 | | 1 | | 1 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |-! 1 | 1 | | 2 | | 3 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |-! 2 | 1 | | 3 | | 6 | | 9 | | 9 | | | | | | | | | | | | | | |-! 3 | 1 | | 4 | | 10 | | 19 | | 28 | | 28 | | | | | | | | | | | | |-! 4 | 1 | | 5 | | 15 | | 34 | | 62 | | 90 | | 90 | | | | | | | | |-! 5 | 1 | | 6 | | 21 | | 55 | | 117 | | 207 | | 297 | | | | | | | |-! 6 | 1 | | 7 | | 28 | | 83 | | 200 | | 407 | | 704 | | 1001 | | 1001 | | |-! 7 | 1 | | 8 | | 36 | | 119 | | 319 | | 726 | | 1430 | | 2431 | | 3432 | | 3432 |} மீண்டும், ஒவ்வொரு உறுப்பும் மேலே உள்ள ஒன்றின் மற்றும் இடதுபுறத்தில் உள்ள ஒன்றின் கூட்டுத்தொகையாகும். ஒரு பொதுவான சூத்திரம் (,,) ஆல் வழங்கப்படுகிறது. ஆதாரம் 1 க்கான பொதுவான சூத்திரத்தின் சான்றுகள் இந்த ஆதாரம் கட்டலான் எண்ணுக்கான இரண்டாவது ஆதாரத்தில் பயன்படுத்தப்பட்டபடி ஆண்ட்ரேவின் பிரதிபலிப்பு முறையை வெவ்வேறு மூலைவிட்டங்களுக்கு நீட்டிப்பதை உள்ளடக்கியது. கட்டுப்பாட்டைக் கடக்கும் வரைபடத்தின் கீழ் இடமிருந்து மேல் வலது வரை உள்ள ஒவ்வொரு பாதையும் இறுதிப் புள்ளியில் எவ்வாறு பிரதிபலிக்க முடியும் என்பதை பின்வருபவை காட்டுகின்றன. தடையை கடக்காத பாதைகளின் எண்ணிக்கையை தீர்மானிக்க மூன்று நிகழ்வுகளை நாங்கள் கருதுகிறோம்ஃ (1) தடையை கடக்க முடியாதபோது, எனவே அனைத்து பாதைகளும் செல்லுபடியாகும், அதாவது. . (2) தடையை கடக்காத ஒரு பாதையை உருவாக்குவது சாத்தியமற்றது என்றால், அதாவது. . (3) எப்போது, 'சிவப்பு' பாதைகளின் எண்ணிக்கை கழித்தல் தடையை கடக்கும் 'மஞ்சள்' பாதைகளின் எண்ணிக்கை, அதாவது. . எனவே வரம்பைக் கடக்காத பாதைகளின் எண்ணிக்கை முந்தைய பிரிவில் "பொதுமைப்படுத்தல்" என்ற சூத்திரத்தில் சுட்டிக்காட்டப்பட்டுள்ளது. ஆதாரம் 2 முதலாவதாக, மீண்டும் நிகழும் உறவின் செல்லுபடியை இரண்டு பகுதிகளாகப் பிரிப்பதன் மூலம் உறுதிப்படுத்துகிறோம், முதல் XY சேர்க்கைகள் X இல் முடிவடைவதற்கும் இரண்டாவது Y இல் முடிவடைவதற்கும். எனவே முதல் குழுவிற்கு செல்லுபடியாகும் சேர்க்கைகளும் இரண்டாவது குழுவிற்கு செல்லுபடியாகும் சேர்க்கைகளும் உள்ளன. தீர்வு மறுபிறப்பு உறவை திருப்திப்படுத்துகிறது மற்றும் மற்றும் ஆரம்ப நிபந்தனைகளுக்குக் கீழ்ப்படிகிறது என்பதைச் சரிபார்ப்பதன் மூலம் ஆதாரம் 2 முடிக்கப்படுகிறது. குறிப்புகள் எண்களின் முக்கோணங்கள்