Quasirandom group
கணிதத்தில், ஒரு குவாசிராண்டம் குழு என்பது ஒரு பெரிய தயாரிப்பு இல்லாத துணைக்குழுவைக் கொண்டிருக்காத ஒரு குழுவாகும். இத்தகைய குழுக்கள் துல்லியமாக ஒரு சிறிய அற்பமான பகுக்கமுடியாத பிரதிநிதித்துவம் இல்லாதவை. இந்த குழுக்களின் பெயர் வரைபடக் கோட்பாட்டுடன் அவற்றின் தொடர்பிலிருந்து உருவாகிறதுஃ ஒரு குவாசிராண்டம் குழுவின் எந்த துணைக்குழுவிலும் இருதரப்பு கெய்லி வரைபடங்கள் எப்போதும் இருதரப்பு குவாசிராண்டம் வரைபடங்களாகும். உத்வேகம் குழுக்களின் துணைக்குழுக்களைக் கருத்தில் கொள்ளும்போது குவாசிராண்டம் குழுக்கள் பற்றிய கருத்து எழுகிறது, இதற்காக துணைக்குழுவில் உள்ள இரண்டு கூறுகள் துணைக்குழுவில் ஒரு தயாரிப்பைக் கொண்டிருக்கவில்லை; அத்தகைய துணைக்குழுக்கள் தயாரிப்பு இல்லாதவை என்று அழைக்கப்படுகின்றன. லாஸ்லோ பாபாய் மற்றும் வெரா சோஸ் ஆகியோர் ஒரு மாறிலி இருப்பதைப் பற்றி கேட்டனர், இதற்காக ஒவ்வொரு வரையறுக்கப்பட்ட குழுவும் குறைந்தபட்சம் அளவுடன் ஒரு தயாரிப்பு இல்லாத துணைக்குழுவைக் கொண்டுள்ளது. முழு எண்களின் கூட்டுத்தொகை இல்லாத தொகுப்புகளைப் பற்றி பால் எர்டாஸின் நன்கு அறியப்பட்ட முடிவு அபெலியன் குழுக்களுக்கு போதுமானது என்பதை நிரூபிக்க பயன்படுத்தப்படலாம், ஆனால் அத்தகைய மாறிலி அபெலியன் அல்லாத குழுக்களுக்கு இல்லை என்று மாறிவிடும். அற்பமான கீழ் மற்றும் மேல் வரம்புகள் இரண்டும் இப்போது வரிசையுடன் ஒரு குழுவின் மிகப்பெரிய தயாரிப்பு இல்லாத துணைக்குழுவின் அளவிற்கு அறியப்படுகின்றன. ஒரு குறைந்த வரம்பை போதுமான பல கோசெட்டுகளின் ஒன்றியத்தின் பெரிய துணைக்குழுவை எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம் நிரூபிக்க முடியும், மேலும் எந்த பகா எண்களுக்கும் ப்ரொஜெக்டிவ் சிறப்பு நேரியல் குழுவைக் கருத்தில் கொள்வதன் மூலம் ஒரு மேல் வரம்பு வழங்கப்படுகிறது. மேல் வரம்பை நிரூபிக்கும் செயல்பாட்டில், திமோதி கோவர்ஸ் தயாரிப்பு இல்லாத நிலையை இணைக்க ஒரு குவாசிராண்டம் குழுவின் கருத்தை வரையறுத்தார் மற்றும் வரைபடக் கோட்பாட்டில் குவாசிராண்டம் சம்பந்தப்பட்ட சமநிலைகளை நிரூபித்தார். கிராஃப் குவாசிறாண்டம் முறைப்படி, ஒரு குழு குவாசிறாண்டம் என்பதைப் பற்றி பேசுவதில் அர்த்தமில்லை. குவாசிராண்டம் என்ற கடுமையான வரையறை குழுக்களின் வரிசைகளுக்கு பொருந்தும், ஆனால் முதல் இருதரப்பு வரைபட குவாசிராண்டம் வரையறுக்கப்பட வேண்டும். குழுக்களின் வரிசைகளைக் கருத்தில் கொள்வதற்கான உந்துதல் கிராஃபான்களுடனான அதன் தொடர்புகளிலிருந்து உருவாகிறது, அவை ஒரு குறிப்பிட்ட அர்த்தத்தில் வரைபடங்களின் வரம்புகளாக வரையறுக்கப்படுகின்றன. பின்வரும் சமமான நிபந்தனைகள் ஏதேனும் இருந்தால், செங்குத்துகள், உச்சி பாகங்கள் மற்றும் விளிம்புகள் கொண்ட இருதரப்பு வரைபடங்களுடன் இருதரப்பு வரைபடங்களின் ஒரு வரிசையை சரிசெய்யவும்ஃ உச்சி பகுதிகளுடன் கூடிய ஒவ்வொரு இருதரப்பு வரைபடத்திற்கும், உட்பொதிக்கப்பட்ட மற்றும் உட்பொதிக்கப்பட்ட பெயரிடப்பட்ட நகல்களின் எண்ணிக்கை இங்கே, செயல்பாடு அதைச் சார்ந்து இருக்க அனுமதிக்கப்படுகிறது. இத்தகைய வரைபடங்கள் குவாசிராண்டம் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, ஏனெனில் ஒவ்வொரு நிபந்தனையும் எர்டாஸ்-ரேனி சீரற்ற வரைபட மாதிரியின் படி இருதரப்பு வரைபடம் உருவாக்கப்பட்டால் ஒருவர் எதிர்பார்க்கும் அளவு தோராயமாக இருக்கும் என்று வலியுறுத்துகிறது; அதாவது, ஒவ்வொரு சாத்தியமான விளிம்பையும் இடையில் மற்றும் சுயாதீனமாக நிகழ்தகவுடன் சேர்ப்பதன் மூலம் உருவாக்கப்படுகிறது. குறிப்பாகச் சொல்வதானால், குவாசிராண்டம் என்ற சமமான வரையறைகளில் ஏதேனும் கொடுக்கப்பட்டால், இந்த வார்த்தையை ஒரு சிறிய மாறிலியால் மாற்றலாம், மேலும் குறிப்பிட்ட மாற்றியமைக்கப்பட்ட நிலையை திருப்திப்படுத்தும் எந்த வரைபடத்தையும்-குவாசிராண்டம் என்று அழைக்கலாம். எந்தவொரு நிபந்தனையின் கீழும்-குவாசிராண்டம் என்பது சில முழுமையான மாறிலிகளுக்கு வேறு எந்த நிபந்தனையின் கீழும்-குவாசிராண்டம் என்பதற்கு சமம் என்று மாறிவிடும். இருதரப்பு கெய்லி வரைபடங்கள் வரைபட-கோட்பாட்டு அமைப்பில் குவாசிராண்டம்னஸை குழு-கோட்பாட்டு அமைப்புக்கு மொழிபெயர்ப்பதில் இருந்து ஒரு வழியைக் கொடுக்கின்றன. ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட குழு மற்றும் ஒரு துணைக்குழுவைப் பொறுத்தவரை, இருதரப்பு கெய்லி வரைபடம் என்பது உச்சி தொகுப்புகளுடன் கூடிய இருதரப்பு வரைபடமாகும், மேலும் ஒவ்வொன்றும் கூறுகளால் பெயரிடப்பட்டுள்ளது, அதன் விளிம்புகள் செங்குத்துகளுக்கு இடையில் உள்ளன, அதன் விகிதம் வரையறையின் ஒரு உறுப்பாகும் மேலே வரையறுக்கப்பட்ட கருவிகளுடன், இப்போது குழு சமநிலையை வரையறுக்க முடியும். (மீண்டும், முழு எண்களைத் தவிர்க்க அனுமதிக்கப்படுகிறது) கொண்ட குழுக்களின் வரிசை ஒவ்வொரு உண்மையான எண்ணுக்கும் மற்றும் துணைக்குழுக்களின் தேர்வுக்கும், வரைபடங்களின் வரிசை குவாசிராண்டம் என்றால் குவாசிராண்டம் ஆகும். குழுக்களின் வரிசைகளுக்கு மட்டுமே குவாசிராண்டம் என்பதை வரையறுக்க முடியும் என்றாலும், குறிப்பிட்ட குழுக்களுக்கான-குவாசிராண்டம் என்ற கருத்தை குறிப்பிட்ட வரைபடங்களுக்கான-குவாசிராண்டம் என்ற வரையறையைப் பயன்படுத்தி குழுக்களுக்கு நீட்டிக்க முடியும். கோவர்ஸ் நிரூபித்தபடி, குழு குவாசிராண்டம் பல வேறுபட்ட நிபந்தனைகளுக்கு சமமாக இருக்கும். துல்லியமாகச் சொல்வதானால், குழுக்களின் வரிசையைப் பொறுத்தவரை, பின்வருபவை சமமானவைஃ குவாசிராண்டம்; அதாவது, கெய்லி வரைபடங்களின் அனைத்து வரிசைகளும் குவாசிராண்டம் மூலம் வரையறுக்கப்படுகின்றன. மிகச்சிறிய அற்பமான பிரதிநிதித்துவத்தின் பரிமாணம் எல்லையற்றது. மிகப்பெரிய தயாரிப்பு-இல்லாத துணைக்குழுவின் அளவு அற்பமானதல்லாத மிகச்சிறிய விகிதத்தின் அளவு வரம்பற்றது. சூடோரேண்டம் குழுக்களிலிருந்து உருவாக்கப்படும் கெய்லி வரைபடங்கள் வலுவான கலவை பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன; அதாவது, பூஜ்ஜியத்திற்குச் செல்லும் சிலருக்கு முடிவிலிக்குச் செல்லும் ஒரு இருதரப்பு வரைபடமாகும். (ஒரு வரைபடம் என்பது செங்குத்துகளைக் கொண்ட ஒரு வரைபடம் என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள், ஒவ்வொன்றும் டிகிரியுடன், அதன் அருகாமை மேட்ரிக்ஸ் அதிகபட்சமாக இரண்டாவது பெரிய ஐகென் மதிப்பைக் கொண்டுள்ளது) உண்மையில், எந்தவொரு-குவாசிராண்டம் குழுவிற்கும், தீர்வுகளின் எண்ணிக்கை, மற்றும் தோராயமாக தோராயமாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டால் ஒருவர் எதிர்பார்க்கக்கூடியதற்கு சமம் என்பதைக் காட்டலாம்; அதாவது, தோராயமாக சமம். எடுத்துக்காட்டுகள் குவாசிராண்டம் குழுக்களின் பல குறிப்பிடத்தக்க குடும்பங்கள் உள்ளன. ஒவ்வொரு சந்தர்ப்பத்திலும், குவாசிராண்டம் பண்புகள் அதன் மிகச்சிறிய அற்பமான பிரதிநிதித்துவத்தின் பரிமாணத்தை சரிபார்ப்பதன் மூலம் மிக எளிதாக சரிபார்க்கப்படுகின்றன. முதன்மைக்கான திட்டவட்டமான சிறப்பு நேரியல் குழுக்கள் குவாசிராண்டம் குழுக்களின் வரிசையை உருவாக்குகின்றன, ஏனெனில் ஃப்ரோபீனியஸின் ஒரு உன்னதமான முடிவு அதன் மிகச்சிறிய அற்பமான பிரதிநிதித்துவம் குறைந்தபட்ச பரிமாணத்தைக் கொண்டுள்ளது என்று கூறுகிறது. மாற்றுக் குழுக்கள் குவாசிராண்டம் ஆகும், ஏனெனில் அதன் மிகச்சிறிய அற்பமான பிரதிநிதித்துவம் பரிமாணத்தைக் கொண்டுள்ளது, அதிகரித்து வரும் வரிசையுடன் சுழற்சி அல்லாத எளிய குழுக்களின் எந்த வரிசையும் குவாசிராண்டம் ஆகும், ஏனெனில் அதன் மிகச்சிறிய அற்பமான பிரதிநிதித்துவம் குறைந்தபட்சம் பரிமாணத்தைக் கொண்டுள்ளது, குழுவின் வரிசை எங்கே. குறிப்புகள் வரைபடக் கோட்பாடு குழுக் கோட்பாடு