Ramsey-Turán theory
ராம்சே-டுரன் கோட்பாடு என்பது தீவிர வரைபடக் கோட்பாட்டின் துணைத் துறையாகும். இது ராம்சேயின் தேற்றம் மற்றும் துரானின் தேற்றத்தின் பொதுவான பொதுமைப்படுத்தல்களை ஆய்வு செய்கிறது. சுருக்கமாக, ராம்சே-டுரன் கோட்பாடு ஒரு வரைபடம் அதன் துணை வரைபடங்கள் மற்றும் கட்டமைப்பில் உள்ள கட்டுப்பாடுகளை திருப்திப்படுத்தும் அதிகபட்ச விளிம்புகளின் எண்ணிக்கையைக் கேட்கிறது. இந்தக் கோட்பாடு தீவிர வரைபடக் கோட்பாட்டில் எழும் பல இயற்கையான கேள்விகளை ஒழுங்கமைக்கிறது. இந்தக் கோட்பாட்டின் மையக் கருத்துக்களை முறைப்படுத்திய முதல் எழுத்தாளர்கள் 1969 ஆம் ஆண்டில் எர்டாஸ் மற்றும் சோஸ் ஆவர், இருப்பினும் கணிதவியலாளர்கள் முன்பு பல ராம்சே-டுரான்-வகை சிக்கல்களை ஆராய்ந்தனர். இரண்டு நிறங்கள் மற்றும் முழுமையான வரைபடத்திற்கான ராம்சேயின் தேற்றம், 1930 இல் அதன் அசல் வடிவத்தில் நிரூபிக்கப்பட்டது, எந்தவொரு நேர்மறை முழு எண்ணுக்கும் இரண்டு வண்ணங்களைப் பயன்படுத்தி முழுமையான வரைபடத்தின் விளிம்புகளின் எந்த நிறத்திற்கும் ஒரு வண்ணமயமான நகல் இருக்கும் அளவுக்கு பெரிய முழு எண் உள்ளது என்று கூறுகிறது. மேலும் பொதுவாக, எந்தவொரு வரைபடத்திற்கும், ஒரு வரம்பு உள்ளது, அதன் விளிம்புகள் தன்னிச்சையாக வண்ணங்களுடன் வண்ணமயமாக இருந்தால், சிலருக்கு th நிறத்தில் a உள்ளது. 1941 ஆம் ஆண்டில் நிரூபிக்கப்பட்ட துரானின் தேற்றம், a ஐக் கொண்டிராத செங்குத்துகளில் அதிகபட்ச விளிம்புகளுடன் வரைபடத்தை வகைப்படுத்துகிறது. குறிப்பாக, அனைத்து நேர்மறை முழு எண்களுக்கும், ஒரு துணை வரைபடமாக இல்லாத ஒரு-வெர்டெக்ஸ் வரைபடத்தின் விளிம்புகளின் எண்ணிக்கை அதிகபட்சமாக இருக்கும் என்றும் அதிகபட்சம் துரான் வரைபடத்தால் தனித்துவமாக அடையப்படுகிறது என்றும் தேற்றம் கூறுகிறது. இந்த இரண்டு உன்னதமான முடிவுகளும் ஒரு குறிப்பிட்ட பண்பைக் கொண்டிருப்பதற்கு முன்பு ஒரு வரைபடம் எவ்வளவு பெரியதாக இருக்கும் என்பதைப் பற்றிய கேள்விகளைக் கேட்கிறது. இருப்பினும், ஒரு குறிப்பிடத்தக்க பாணியியல் வேறுபாடு உள்ளது. துரானின் தேற்றத்தில் உள்ள தீவிர வரைபடம் மிகவும் கடுமையான கட்டமைப்பைக் கொண்டுள்ளது, இது ஒரு சிறிய நிற எண்ணைக் கொண்டுள்ளது மற்றும் சிறிய எண்ணிக்கையிலான பெரிய சுயாதீன தொகுப்புகளைக் கொண்டுள்ளது. மறுபுறம், ராம்சே சிக்கல்களில் கருதப்படும் வரைபடம் முழுமையான வரைபடமாகும், இது பெரிய நிற எண்ணைக் கொண்டுள்ளது மற்றும் அற்பமான சுயாதீன தொகுப்பு இல்லை. இந்த இரண்டு வகையான சிக்கல்களையும் இணைப்பதற்கான ஒரு இயற்கையான வழி, ஆண்ட்ராஸ்பாய் முன்வைத்த பின்வரும் கேள்வியைக் கேட்பதாகும்ஃ சிக்கல் 1: கொடுக்கப்பட்ட நேர்மறை முழு எண்ணுக்கு, சுதந்திர எண்ணைக் கொண்டிருக்காத ஒரு-வெர்டெக்ஸ் வரைபடமாக இருக்கட்டும். அத்தகைய வரைபடம் அதிகபட்சமாக எத்தனை விளிம்புகளைக் கொண்டிருக்க முடியும்? அடிப்படையில், இந்த கேள்வி ராம்சே அமைப்பில் உள்ள துரான் சிக்கலுக்கான பதிலைக் கேட்கிறது; இது துரானின் சிக்கலை குறைவான ஒழுங்கான, மிகவும் சீரற்ற அமைப்பு கொண்ட வரைபடங்களின் துணைக்குழுவிற்கு கட்டுப்படுத்துகிறது. பின்வரும் கேள்வி எதிர் திசையில் உள்ள சிக்கல்களை ஒருங்கிணைக்கிறதுஃ சிக்கல் 2: நிலையான வரைபடங்களாக இருக்கட்டும். செங்குத்துகளில் ஒரு விளிம்பு வண்ண வரைபடம் th நிறத்தில் ஒரு விளிம்பைக் கொண்டிருக்கவில்லை என்ற நிபந்தனையின் கீழ் அதிகபட்ச விளிம்புகளின் எண்ணிக்கை என்ன? ராம்ஸே-டுரன் கோட்பாட்டின் முதுகெலும்பு மேற்கூறிய சிக்கல்களின் பொதுவான பொதுமைப்படுத்தலாகும். சிக்கல் 3: நிலையான வரைபடங்களாக இருக்கட்டும். ஒரு விளிம்பு-நிற-வெர்டெக்ஸ் வரைபடம் திருப்திகரமாக இருக்கட்டும் (1) (2) th நிறத்தால் வரையறுக்கப்பட்ட துணை வரைபடம் இல்லை. அதிகபட்சமாக எத்தனை விளிம்புகள் இருக்க முடியும்? அதிகபட்சத்தை நாம் குறிக்கிறோம். ராம்சே-டுரன்-வகை சிக்கல்கள் சிக்கல் 3 இன் சிறப்பு நிகழ்வுகளாகும். இந்த சிக்கலின் பல நிகழ்வுகள் திறந்த நிலையில் உள்ளன, ஆனால் பல சுவாரஸ்யமான நிகழ்வுகள் துல்லியமான அறிகுறியற்ற தீர்வுகளுடன் தீர்க்கப்பட்டுள்ளன. குறிப்பிடத்தக்க முடிவுகள் சிக்கல் 3 ஐ சுதந்திர எண்ணில் உள்ள கட்டுப்பாட்டைப் பொறுத்து மூன்று வெவ்வேறு நிகழ்வுகளாகப் பிரிக்கலாம். கட்டுப்பாடு இல்லாத வழக்கு உள்ளது, அங்கு, இது கிளாசிக் ராம்சே சிக்கலுக்கு குறைகிறது. "இடைநிலை" வழக்கு உள்ளது, அங்கு ஒரு நிலையான உள்ளது. கடைசியாக, பணக்கார பிரச்சினைகளைக் கொண்ட ஒரு வழக்கு உள்ளது. இந்த வரம்பில் மிகவும் அடிப்படை அற்பமான சிக்கல் என்னவென்றால், 1969 ஆம் ஆண்டில் இந்த சூழ்நிலையில் ராம்ஸே-டுரான் எண்ணின் அறிகுறியற்ற மதிப்பை எர்டாஸ் மற்றும் சாஸ் தீர்மானித்தனர்ஃ சம எண்ணிக்கையிலான செங்குத்துகளில் முழுமையான வரைபடத்தின் வழக்கு மிகவும் சவாலானது, மேலும் 1983 ஆம் ஆண்டில் எர்டாஸ், ஹஜ்னல், சாஸ் மற்றும் ஸ்ஸெமெரெடி ஆகியோரால் தீர்க்கப்பட்டதுஃ இரண்டு நிகழ்வுகளிலும், சிக்கலை துரானின் தேற்றத்திற்கு கூடுதல் நிபந்தனையைச் சேர்ப்பதாகக் காணலாம். இரண்டு நிகழ்வுகளிலும், அறிகுறியற்ற முறையில், விளைவு அல்லது என்பதற்கு பதிலாக நாம் விலக்கியதைப் போன்றது என்பதைக் காணலாம். குறிப்புகள் வரைபடக் கோட்பாடு