Invariant decomposition
மாறாத சிதைவு என்பது குழுக்களின் கூறுகளை ஆர்த்தோகனல் பயண உறுப்புகளாக சிதைப்பது ஆகும். இது அவற்றின் துணைக்குழுக்களிலும் செல்லுபடியாகும், எ. கா. ஆர்த்தோகனல், போலி-யூக்ளிடியன், இணக்கமான மற்றும் கிளாசிக்கல் குழுக்கள். முள் குழுக்களின் கூறுகள் சார்ந்த பிரதிபலிப்புகளின் கலவையாக இருப்பதால், மாறாத சிதைவு தேற்றம் ஒவ்வொரு-பிரதிபலிப்பையும் பரிமாற்ற காரணிகளாக சிதைக்க முடியும். இந்த காரணிகள்-பிரதிபலிப்பின் மாறிலிகள் என்பதால் இது மாறாத சிதைவு என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு நன்கு அறியப்பட்ட சிறப்பு வழக்கு சாஸ்லஸ் தேற்றம் ஆகும், இது எந்தவொரு கடினமான உடல் இயக்கத்தையும் ஒரு சுழற்சியாக சிதைக்கலாம், அதைத் தொடர்ந்து அல்லது அதற்கு முன் ஒரு ஒற்றை வரியுடன் மொழிபெயர்ப்பு செய்யலாம் என்று கூறுகிறது. சுழற்சி மற்றும் மொழிபெயர்ப்பு இரண்டும் இரண்டு கோடுகளை மாறாமல் விடுகின்றனஃ சுழற்சியின் அச்சு மற்றும் மொழிபெயர்ப்பின் ஆர்த்தோகனல் அச்சு. சுழற்சிகள் மற்றும் மொழிபெயர்ப்புகள் இரண்டும் இருமுனை பிரதிபலிப்புகள் என்பதால், தேற்றத்தின் மிகவும் சுருக்கமான அறிக்கை "ஒவ்வொரு நாற்கர பிரதிபலிப்பையும் பரிமாற்ற இருமுனை பிரதிபலிப்புகளாக சிதைக்க முடியும்" என்று கூறுகிறது. இந்த வடிவத்தில் அறிக்கை செல்லுபடியாகும் எ. கா. இடநேர இயற்கணிதம், இதில் எந்தவொரு லோரெண்ட்ஸ் மாற்றமும் ஒரு பயண சுழற்சி மற்றும் ஊக்கமாக சிதைக்கப்படலாம். பைவெக்டர் சிதைவு மொத்த பரிமாணத்தின் வடிவியல் இயற்கணிதத்தில் உள்ள எந்த பைவெக்டரையும் ஆர்த்தோகனல் கம்யூட்டிங் எளிய பைவெக்டர்களாக சிதைக்க முடியும், அவை திருப்தி அளிக்கின்றன வரையறை, அவற்றின் பண்புகளை சுருக்கமாகக் கூறலாம் (தொகை இல்லை). இந்த மதிப்புகள் பின்னர் இந்த வெளிப்பாட்டை வர்க்கப்படுத்துவதன் மூலமும் மறுசீரமைப்பதன் மூலமும் காணப்படுகின்றன, இது பல்லுறுப்புக்கோவையை வழங்குகிறது சிக்கலான மதிப்புகளை அனுமதிப்பதன் மூலம், மார்செல் ரீஸின் எதிர் உதாரணத்தை உண்மையில் தீர்க்க முடியும். மாறாத சிதைவுக்கான இந்த மூடிய வடிவ தீர்வு 1 இன் இயற்கணித பெருக்கத்துடன் கூடிய ஐகென் மதிப்புகளுக்கு மட்டுமே செல்லுபடியாகும். சீரழிவுக்கு மாறாத சிதைவு இன்னும் உள்ளது, ஆனால் மூடிய வடிவ கரைசலைப் பயன்படுத்தி கண்டுபிடிக்க முடியாது. எக்ஸ்போனென்ஷியல் வரைபடம் A-பிரதிபலிப்பு ஒரு பைவெக்டர் இருக்கும் இடத்தில் எழுதப்படலாம், இதனால் ஒரு காரணிமயமாக்கலை அனுமதிக்கிறது மாறாத சிதைவு எனவே எக்ஸ்போனென்ஷியல்களுக்கு ஒரு மூடிய வடிவ சூத்திரத்தை அளிக்கிறது, ஏனெனில் ஒவ்வொரு சதுரங்களும் ஒரு அளவிடுதலுக்கு இருப்பதால் ஆய்லரின் சூத்திரத்தைப் பின்பற்றுகிறதுஃ வரம்பை கவனமாக மதிப்பீடு செய்வது தருகிறது, இதனால் மொழிபெயர்ப்புகளும் சேர்க்கப்பட்டுள்ளன. ரோட்டார் காரணிமயமாக்கல் ஒரு-பிரதிபலிப்பைக் கருத்தில் கொண்டு காரணிமயமாக்கலைக் கண்டறிய விரும்புகிறோம். எளிய பைவெக்டர் எங்கு வரையறுக்கப்படுகிறது. தரப் பகுதியை எங்கு தேர்ந்தெடுக்கிறது என்பதை மாற்றுவதன் மூலம் பைவெக்டர்களுக்கான மேலே உள்ள தீர்வைப் பயன்படுத்தி இந்த பைவெக்டர்களை நேரடியாகக் காணலாம். பைவெக்டர்கள் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட பிறகு, நேராக முதன்மை மடக்கை என கண்டறியப்படுகிறது இன்டு சிதைவு கண்டுபிடிக்கப்பட்ட பிறகு, ஒவ்வொரு எளிய ரோட்டரின் முதன்மை மடக்கை மூலம் வழங்கப்படுகிறது, இதனால் மடக்கை பொது பின் குழு கூறுகளால் வழங்கப்படுகிறது. மாறாத சிதைவை ஒரு-பிரதிபலிப்புகளுக்கு நீட்டிக்க, திசையன் பகுதி என்பது ஒரு பிரதிபலிப்பாகும், இது ஏற்கனவே-பிரதிபலிப்புடன் பயணிக்கிறது, மேலும் இது-பிரதிபலிப்புக்கு ஆர்த்தோகனல் ஆகும். மேலே விவரிக்கப்பட்ட முறையைப் பயன்படுத்துவதன் சிதைவைக் கண்டுபிடிப்பதில் சிக்கல் குறைகிறது. மாறாத பைவெக்டர்கள் பைவெக்டர்கள் அவற்றுடன் பயணிப்பதால் தொடர்புடையவற்றின் மாறாதவை, எனவே குழு இணைப்பின் கீழ் அறிமுகத்தில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளபடி சாஸ்லஸ் தேற்றத்தின் எடுத்துக்காட்டுக்குத் திரும்பிச் செல்லும்போது, 3D இல் உள்ள திருகு இயக்கம் இரண்டு கோடுகளையும் மாறாமல் விடுகிறது, மேலும் இது சுழற்சியின் அச்சு மற்றும் அடிவானத்தில் மொழிபெயர்ப்பின் ஆர்த்தோகனல் அச்சுடன் ஒத்திருக்கிறது. முழு இடமும் ஒரு திருகு இயக்கத்திற்கு உட்படும் போது, இந்த இரண்டு அச்சுகளும் மாறாமல் உள்ளன. வரலாறு மாறாத சிதைவு பைவெக்டர்களைப் பற்றி மார்செல் ரீஸ் அளித்த ஒரு அறிக்கையில் அதன் வேர்களைக் கண்டறிகிறதுஃ எந்தவொரு பைவெக்டரையும் பரஸ்பர ஆர்த்தோகனல் எளிய பைவெக்டர்களின் நேரடி கூட்டுத்தொகையாக சிதைக்க முடியுமா? கணித ரீதியாக, இது ஒரு பரிமாண வடிவியல் இயற்கணிதத்தில் கொடுக்கப்பட்ட பைவெக்டரைப் பொறுத்தவரை, அதிகபட்ச பைவெக்டர்களைக் கண்டறிய முடியும் என்பதைக் குறிக்கும், அதாவது, திருப்தி மற்றும் ஒரு அளவிடுதலுக்கு சதுரமாக இருக்க வேண்டும். மார்செல் ரீஸ் இந்த அனுமானத்திற்கு வழிவகுக்கும் சில எடுத்துக்காட்டுகளை வழங்கினார், ஆனால் ஒரு (வெளிப்படையான) எதிர் உதாரணத்தையும் வழங்கினார். வடிவியல் ஆல்ஜிப்ராக்களில் உள்ள அனுமானத்திற்கு முதல் பொதுவான தீர்வை டேவிட் ஹெஸ்டென்ஸ் மற்றும் கேரேட் சோப்ஸிக் ஆகியோர் வழங்கினர். இருப்பினும், இந்த தீர்வு முற்றிலும் யூக்ளிடியன் இடங்களுக்கு மட்டுப்படுத்தப்பட்டது. 2011 ஆம் ஆண்டில் (3 டி. சி. ஜி. ஏ) இல் உள்ள தீர்வு லியோ டோர்ஸ்ட் மற்றும் ராபர்ட் ஜான் வால்கன்பர்க் ஆகியோரால் வெளியிடப்பட்டது, மேலும் இது லோரெண்ட்சியன் கையொப்பத்தில் முதல் தீர்வாகும். 2011 ஆம் ஆண்டில், சார்லஸ் குன் சீரழிந்த அளவீட்டில் ஒரு தீர்வை முதன்முதலில் வழங்கினார். இது கோட்பாடு மெட்ரிக் சுயாதீனமாக இருக்கலாம் என்ற முதல் பார்வையை வழங்கியது. பின்னர், 2021 ஆம் ஆண்டில், மார்ட்டின் ரோல்ஃப்ஸ் தனது முனைவர் பட்ட ஆய்வறிக்கையில் முழு மெட்ரிக் மற்றும் பரிமாண சுயாதீனமான மூடிய வடிவ தீர்வை வழங்கினார். ஒரு வடிவியல் இயற்கணிதத்தில் உள்ள பைவெக்டர்கள் லை இயற்கணிதத்தை உருவாக்குவதால், குழுக்களின் கூறுகளை ஆர்த்தோகனல் கம்யூட்டிங் காரணிகளாக சிதைக்கவும், அவை ஒவ்வொன்றும் ஆய்லரின் சூத்திரத்தைப் பின்பற்றவும், இந்த குழுக்களுக்கான மூடிய வடிவ அதிவேக மற்றும் மடக்கை செயல்பாடுகளை வழங்கவும் இந்த ஆய்வறிக்கை முதன்முதலில் பயன்படுத்தப்பட்டது. அதைத் தொடர்ந்து மார்ட்டின் ரோல்ஃப்ஸ் மற்றும் ஸ்டீவன் டி கெனிங்க் ஆகியோரின் ஒரு ஆய்வறிக்கையில், மாறாத சிதைவு வெறுமனே அல்ல, கூறுகளைச் சேர்க்க நீட்டிக்கப்பட்டது, மேலும் கடந்து செல்லாமல் கூறுகளின் நேரடி சிதைவு கண்டறியப்பட்டது. குறிப்புகள் குழு கோட்பாடு