Hypergraph regularity method
கணிதத்தில், ஹைப்பர் கிராஃப் ரெகுலாரிட்டி முறை என்பது தீவிர வரைபடக் கோட்பாட்டில் ஒரு சக்திவாய்ந்த கருவியாகும், இது ஹைப்பர் கிராஃப் ரெகுலாரிட்டி லெம்மா மற்றும் அதனுடன் தொடர்புடைய எண்ணும் லெம்மாவின் ஒருங்கிணைந்த பயன்பாட்டைக் குறிக்கிறது. இது வரைபட ஒழுங்குமுறை முறையின் பொதுமைப்படுத்தலாகும், இது ஸ்ஸெமெரெடியின் ஒழுங்குமுறை மற்றும் எண்ணும் லெம்மாவின் பயன்பாட்டைக் குறிக்கிறது. மிகவும் முறைசாரா முறையில், ஹைபர் கிராஃப் ரெகுலாரிட்டி லெம்மா கொடுக்கப்பட்ட-சீரான ஹைப்பர் கிராஃப்பை ஒரு சீரற்ற போன்ற பொருளாக வரையறுக்கப்பட்ட பகுதிகளுடன் (பொருத்தமான வரம்புகள் மற்றும் சீரற்ற கருத்துக்களுடன்) சிதைக்கிறது, இது பொதுவாக வேலை செய்ய எளிதானது. மறுபுறம், ஹைபர் கிராஃப் கவுண்டிங் லெம்மா சீரற்ற போன்ற பகுதிகளின் சில தொகுப்புகளில் கொடுக்கப்பட்ட ஐசோமார்பிசம் வகுப்பின் ஹைப்பர் கிராப்களின் எண்ணிக்கையை மதிப்பிடுகிறது. இது Szemerédi இன் வழக்கமான லெம்மாவின் நீட்டிப்பாகும், இது கொடுக்கப்பட்ட எந்த வரைபடத்தையும் வரம்புக்குட்பட்ட எண் பகுதிகளாகப் பிரிக்கிறது, அதாவது பகுதிகளுக்கு இடையிலான விளிம்புகள் கிட்டத்தட்ட சீரற்ற முறையில் செயல்படுகின்றன. இதேபோல், ஹைப்பர் கிராஃப் கவுண்டிங் லெம்மா என்பது கிராஃப் கவுண்டிங் லெம்மாவின் பொதுமைப்படுத்தலாகும், இது ஒரு நிலையான கிராஃப்பின் நகல்களின் எண்ணிக்கையை ஒரு பெரிய கிராஃப்பின் துணை வரைபடமாக மதிப்பிடுகிறது. இந்த முறையின் பல தனித்துவமான சூத்திரங்கள் உள்ளன, இவை அனைத்தும் ஹைபர் கிராஃப் ரிமூவல் லெம்மா மற்றும் ஸ்ஸெமெரெடியின் தேற்றம் மற்றும் அதன் பல பரிமாண நீட்டிப்புகள் போன்ற பல சக்திவாய்ந்த முடிவுகளைக் குறிக்கின்றன. பின்வரும் சூத்திரங்கள் வி. ரோட்ல், பி. நாக்லே, ஜே. ஸ்கோகன், எம். ஷாக்ட் மற்றும் ஒய். கோஹாயகாவா ஆகியோருக்கு காரணமாக உள்ளன, மாற்று பதிப்புகளுக்கான தாவோ (2006) மற்றும் கோவர்ஸ் (2007) ஐப் பார்க்கவும். வரையறைகள் ஹைபர் கிராஃப் ஒழுங்குமுறை மற்றும் லெம்மாக்களை முறையாகக் கணக்கிடுவதற்காக, போலி-சீரற்ற தன்மை (சீரற்ற-ஒற்றுமை) மற்றும் வரம்புகள் பற்றிய பொருத்தமான கருத்துக்களை முறைப்படுத்துவதற்கும், சீரற்ற போன்ற தொகுதிகள் மற்றும் பகிர்வுகளை விவரிப்பதற்கும் பல தொழில்நுட்ப சொற்களை நாம் வரையறுக்க வேண்டும். குறியீடு என்பது செங்குத்துகளில் ஒரு-சீரான கிளிக்கைக் குறிக்கிறது. வெர்டெக்ஸ் பகிர்வில் ஒரு-பார்டைட்-கிராஃப் ஆகும். கிளிக்கில் பரவியிருக்கும் அனைத்து-உறுப்பு வெர்டெக்ஸ் செட்டுகளின் குடும்பமாகும். குறிப்பாக, இது ஒரு முழுமையான-பார்டைட்-கிராஃப் ஆகும். பின்வருபவை ஒப்பீட்டு அடர்த்தி பற்றிய ஒரு முக்கியமான கருத்தை வரையறுக்கின்றன, இது ஹைபர் கிராஃப்பில் உள்ள-விளிம்புகளால் பரவியுள்ள-விளிம்புகளின் பின்னத்தை தோராயமாக விவரிக்கிறது. எடுத்துக்காட்டாக, 3-விளிம்புகளாக இருக்கும் சப்-ஹைபர் கிராஃப்பில் 2-விளிம்புகளால் உருவாக்கப்பட்ட முக்கோணங்களின் பின்னத்திற்கு அளவு சமமாக இருக்கும். வரையறை [உறவினர் அடர்த்தி]. ஏனெனில், சில வகுப்புகளை சரிசெய்யவும். ஒரு முழு எண் என்று வைத்துக்கொள்வோம். தூண்டப்பட்ட-பார்டைட் வரைபடத்தின் சப்-ஹைபர் கிராஃப் ஆக இருக்கட்டும். ஒப்பீட்டு அடர்த்தியை வரையறுக்கவும். பின்வருவது வழக்கமான முறை பயன்படுத்தும் சூடோரேண்டம்னஸ் பற்றிய பொருத்தமான கருத்தாகும். முறைசாரா முறையில், வழக்கமான இந்த கருத்தாக்கத்தின் மூலம்,-விளிம்புகள் ()-விளிம்புகள் () மீது சில கட்டுப்பாட்டைக் கொண்டுள்ளன. இன்னும் துல்லியமாக, இது ஒரு அமைப்பை வரையறுக்கிறது, அங்கு பெரிய சப்-ஹைபர் கிராப்களில் விளிம்புகளின் அடர்த்தி ஒப்பீட்டு அடர்த்தியின் அடிப்படையில் மட்டுமே ஒருவர் எதிர்பார்ப்பதைப் போலவே இருக்கும். முறைப்படி, வரையறை [()-ஒழுங்குமுறை]. நேர்மறை உண்மையான எண்கள் மற்றும் ஒரு முழு எண் என்று வைத்துக்கொள்வோம். இது ()-ஏதேனும் வகுப்புகளின் தேர்வு மற்றும் திருப்திகரமான சப்-ஹைபர் கிராப்களின் தொகுப்பு இருந்தால் அது வழக்கமானதாக இருக்கும். தோராயமாக கூறுவதானால், பின்வருபவை ஹைப்பர் கிராஃப் ரெகுலாரிட்டி லெம்மா போதுமான பெரிய ஹைப்பர் கிராஃப்பை சிதைக்கும் போலி பிளாக்குகளை விவரிக்கிறது. Szemerédi ஒழுங்குமுறையில், 2-விளிம்புகள் 1-விளிம்புகளுக்கு (செங்குத்துகள்) எதிராக ஒழுங்குபடுத்தப்படுகின்றன. இந்த பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட கருத்தில்,-விளிம்புகள் அனைவருக்கும் எதிராக-விளிம்புகள் ஒழுங்குபடுத்தப்படுகின்றன. இன்னும் துல்லியமாக, இது-காம்ப்ளக்ஸ் எனப்படும் வழக்கமான ஹைப்பர் கிராஃப் பற்றிய ஒரு கருத்தை வரையறுக்கிறது, இதில்-விளிம்பு இருப்பது அனைத்து அடிப்படை-விளிம்புகளின் இருப்பையும், அவற்றின் ஒப்பீட்டு ஒழுங்குமுறையையும் குறிக்கிறது. எடுத்துக்காட்டாக, 3-விளிம்பில் இருந்தால், மற்றும் வளாகத்தில் 2-விளிம்புகள் உள்ளன. மேலும், 2-முனைகளால் செய்யப்பட்ட அனைத்து சாத்தியமான முக்கோணங்களுக்கும் 3-முனைகளின் அடர்த்தி subhypergraphs.Definition [-வழக்கமான-சிக்கலான] ஒவ்வொரு தொகுப்பிலும் தோராயமாக ஒரே மாதிரியாக இருக்கும். ஒரு-சிக்கலானது திருப்திகரமான-பகுதி வரைபடங்களின் அமைப்பாகும். நேர்மறை உண்மையான எண்களின் திசையன்கள் மற்றும் ஒரு முழு எண் கொடுக்கப்பட்டால், ஒவ்வொன்றிற்கும், அடர்த்தியுடன்-ஒழுங்காக இருந்தால்-சிக்கலானது-ஒழுங்காக இருக்கும் என்று நாம் கூறுகிறோம். ஒவ்வொன்றிற்கும், is ()-வழக்கமானதைப் பொறுத்தவரை. ஹைபர் கிராஃப் வழக்கமான லெம்மா தூண்டும் சமமான பகிர்வை பின்வருபவை விவரிக்கின்றன. பிரிவின் ஒரு சமமான குடும்பம் என்பது 1-விளிம்புகள் (செங்குத்துகள்), 2-விளிம்புகள் (ஜோடிகள்), 3-விளிம்புகள் (மூன்று) போன்றவற்றின் பகிர்வுகளின் வரிசையாகும். செங்குத்துகள் மட்டுமே பிரிக்கப்படும் Szemerédi இன் வழக்கமான லெம்மாவால் பெறப்பட்ட பகிர்விலிருந்து இது ஒரு முக்கியமான வேறுபாடாகும். உண்மையில், கோவர்ஸ் வெர்டெக்ஸ் பகிர்வு மட்டுமே ஹைபர் கிராஃப் எண்ணும் லெம்மாவைக் குறிக்க போதுமான வலுவான கருத்தை வழங்க முடியாது என்பதை நிரூபித்தார். வரையறை [-சமமான பகிர்வு]. ஒரு உண்மையான எண்ணாக இருக்கட்டும், ஒரு முழு எண்ணாக இருக்கட்டும், நேர்மறை யதார்த்தங்களின் திசையன்களாகவும் இருக்கட்டும். நேர்மறை முழு எண்களின் திசையனாக இருங்கள் மற்றும் ஒரு-உறுப்பு உச்சி தொகுப்பாக இருங்கள். பகிர்வுகளின் குடும்பம் பின்வருவனவற்றை திருப்திப்படுத்தினால்-சமமானது என்று நாம் கூறுகிறோம்ஃ இது சமமான வெர்டெக்ஸ் பகிர்வு ஆகும். அது தான். பகிர்வுகள் இதனால் பெரும்பாலான பகுதிகளில் பிரிக்கப்படும் போது, அவை அனைத்தும் உறுப்பினர்களாக இருக்கும். பெரும்பாலான-டப்பிள்களைத் தவிர மற்ற அனைத்திற்கும் தனித்துவமான-ரெகுலர்-காம்ப்ளெக்ஸ் உள்ளது, இது உறுப்பினர்களாக வெவ்வேறு பகிர்வு வகுப்புகளைக் கொண்டுள்ளது மற்றும். இறுதியாக, பின்வருபவை ஒரு-சீரான ஹைப்பர் கிராஃப் ஒரு பகிர்வைப் பொறுத்தவரை வழக்கமானதாக இருப்பதன் அர்த்தத்தை வரையறுக்கிறது. குறிப்பாக, ஹைபர் கிராஃப் ரெகுலாரிட்டி லெம்மா bellow.Definition [ஒரு பகிர்வைப் பொறுத்தவரை ரெகுலாரிட்டி] வெளியீட்டை விவரிக்கும் முக்கிய வரையறை இதுவாகும். பகிர்வுகளின் குடும்பத்தைப் பொறுத்தவரை ஒரு-கிராஃப் வழக்கமானதாக இருக்கும் என்று நாங்கள் கூறுகிறோம், ஆனால் பெரும்பாலான விளிம்புகளில் தனித்துவமான-சிக்கலானதாக இருந்தால், அது வழக்கமானதாக இருக்கும். அறிக்கைகள் ஹைபர் கிராஃப் ரெகுலாரிட்டி லெம்மா அனைத்து நேர்மறை உண்மையான, மற்றும் செயல்பாடுகளுக்கு, உள்ளது மற்றும் பின்வருவன பொருந்தும். செங்குத்துகளில் உள்ள எந்தவொரு-சீரான ஹைப்பர் கிராஃப்பிற்கும், பகிர்வுகளின் குடும்பம் மற்றும் ஒரு திசையன் உள்ளது, இதனால், அனைவருக்கும், எங்கு, பின்வருவன பொருந்தும். இது பகிர்வுகளின் சமமான குடும்பம் மற்றும் ஒவ்வொருவருக்கும். அது குறித்து வழக்கமான உள்ளது. ஹைப்பர் கிராஃப் எண்ணும் லெம்மா அனைத்து முழு எண்களுக்கும் பின்வருவன உள்ளனஃ மேலும் முழு எண்கள் உள்ளன, எனவே, உடன், மற்றும், என்றால்-செங்குத்து பகிர்வுடன் ஒரு வழக்கமான காம்ப்ளக்ஸ் மற்றும், பின்னர். பயன்பாடுகள் மற்றவர்கள் பின்பற்றும் முக்கிய பயன்பாடு ஹைபர் கிராஃப் ரிமூவல் லெம்மா ஆகும், இது தோராயமாக நிலையான மற்றும் பெரிய-சீரான ஹைப்பர் கிராஃப்களைக் கொடுத்தால், சில நகல்களைக் கொண்டிருந்தால், அதன் அனைத்து நகல்களையும் அகற்ற சில ஹைப்பர் எட்ஜ்களை நீக்க முடியும் என்று கூறுகிறது. இதை இன்னும் முறையாகச் சொல்வதானால், ஹைபர் கிராஃப் ரிமூவல் லெம்மா அனைவருக்கும் மற்றும் ஒவ்வொருவருக்கும், பின்வருபவை உள்ளன. செங்குத்துகளில் ஒரு சீரான ஹைப்பர் கிராஃப் மற்றும் செங்குத்துகளில் உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். பெரும்பாலான பிரதிகள் இருந்தால், அதை இலவசமாக்க ஒருவர் ஹைப்பர் எட்ஜ்களை நீக்கலாம். வரைபட ஒழுங்குமுறை முறைக்கான அசல் உந்துதல்களில் ஒன்று ஸ்ஸெமெரெடியின் தேற்றத்தை நிரூபிப்பதாகும், இது ஒவ்வொரு அடர்த்தியான துணைக்குழுவும் தன்னிச்சையான நீளத்தின் எண்கணித முன்னேற்றத்தைக் கொண்டுள்ளது என்று கூறுகிறது. உண்மையில், முக்கோண நீக்கும் லெம்மாவின் ஒப்பீட்டளவில் எளிமையான பயன்பாட்டின் மூலம், முக்கோணத்தின் ஒவ்வொரு அடர்த்தியான துணைக்குழுவும் நீளம் 3 இன் எண்கணித முன்னேற்றத்தைக் கொண்டுள்ளது என்பதை நிரூபிக்க முடியும். ஹைபர் கிராஃப் ரெகுலாரிட்டி முறை மற்றும் ஹைப்பர் கிராஃப் ரிமூவல் லெம்மா ஆகியவை செமெரெடியின் கோட்பாடுகளின் அடர்த்தி பதிப்பின் உயர் பரிமாண மற்றும் வளைய ஒப்புமைகளை நிரூபிக்க முடியும், இது முதலில் ஃபர்ஸ்டன்பெர்க் மற்றும் காட்ஸ்னல்சன் ஆகியோரால் நிரூபிக்கப்பட்டது. உண்மையில், இந்த அணுகுமுறை கோட்பாடுகளுக்கான முதல் அளவு வரம்புகளை வழங்குகிறது. இந்த தேற்றம் தோராயமாக எந்த அடர்த்தியான துணைக்குழுவும் எந்த வரையறுக்கப்பட்ட வடிவத்தையும் கொண்டுள்ளது என்பதைக் குறிக்கிறது. சில நீளம் கொண்ட எண்கணித முன்னேற்றத்தின் போது மற்றும் வடிவம் Szemerédi இன் தேற்றத்திற்கு சமம். ஃபர்ஸ்டன்பெர்க் மற்றும் காட்ஸ்னல்சன் தேற்றம் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட துணைக்குழுவாக இருக்கட்டும் மற்றும் கொடுக்கப்படட்டும். பின்னர் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட துணைக்குழு உள்ளது, அதாவது ஒவ்வொன்றும் ஒரு ஹோமோதெடிக் நகலைக் கொண்டுள்ளது. (அதாவது. வடிவத்தின் தொகுப்பு, சிலருக்கு மற்றும்) மேலும், சிலருக்கு இருந்தால், அனைவருக்கும் இந்த பண்பு உள்ளது. லெம்மாவை அகற்றுவதன் மூலம் நிரூபிக்கக்கூடிய மற்றொரு சாத்தியமான பொதுமைப்படுத்தல் பரிமாணம் வளர அனுமதிக்கப்படும் போது ஆகும். டென்கன், டோகுஷிகே, ரோட்ல் மற்றும் ஷாக்ட் தேற்றம் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட வளையமாக இருக்கட்டும். ஒவ்வொன்றிற்கும், எந்தவொரு துணைக்குழுவும் (இடது-தொகுதியாக) ஒரு ஐசோமார்பிக் நகலின் ஒரு கோசெட்டைக் கொண்டிருக்கும் வகையில் உள்ளது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், அத்தகைய சில உள்ளன, எங்கே, ஒரு ஊசி. குறிப்புகள் வரைபடக் கோட்பாடு