Polynomials calculating sums of powers of arithmetic progressions
எண்கணித முன்னேற்றங்களின் சக்திகளின் கூட்டுத்தொகையைக் கணக்கிடும் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் ஒரு மாறியில் உள்ள பல்லுறுப்புக்கோவைகளாகும், அவை தொகுக்கப்பட்ட சக்திகளின் அடிப்படையை உருவாக்கும் குறிப்பிட்ட எண்கணித முன்னேற்றம் மற்றும் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட நிலையான எக்ஸ்போனன்ட், எதிர்மறை அல்லாத முழு எண் ஆகிய இரண்டையும் சார்ந்துள்ளன. அவற்றின் டிகிரி எப்போதும் ஒரு அலகு மூலம் நிலையான அடுக்கை விட அதிகமாக இருக்கும், மேலும் பல்லுறுப்புக்கோவை மாறி கூட்டப்பட்ட சேர்க்கைகளின் எண்ணிக்கையுடன் ஒத்துப்போகும்போது, பல்லுறுப்புக்கோவை செயல்பாட்டின் விளைவும் கூட்டுத்தொகையுடன் ஒத்துப்போகிறது என்ற பண்பு உள்ளது. எனவே சிக்கல் கண்டுபிடிப்பதில் உள்ளது, அதாவது. சேர்க்கைகளின் கூட்டுத்தொகையைக் கணக்கிடும் செயல்பாடாக பல்லுறுப்புக்கோவைகள்ஃ நேர்மறையுடன் மற்றும் முழு எண்களுடன், ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் முதல் சொல் மற்றும் பொதுவான வேறுபாடு. இரண்டு அளவுருக்களும் முழு எண்களாக மட்டுமல்லாமல் பகுத்தறிவு, உண்மையான மற்றும் சிக்கலானவையாகவும் இருக்கலாம். வரலாறு பண்டைய காலம் பிரச்சினையின் வரலாறு பழங்காலத்தில் தொடங்கி அதன் சில சிறப்பு நிகழ்வுகளுடன் ஒத்துப்போகிறது. இந்த வழக்கு எண்கணிதத் தொடரின் கணக்கீட்டுடன் ஒத்துப்போகிறது, இது ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் முதல் மதிப்புகளின் கூட்டுத்தொகையாகும். இந்த சிக்கல் மிகவும் எளிமையானது, ஆனால் பித்தகோரியப் பள்ளியால் முக்கோண எண்களுடன் அதன் தொடர்புக்காக ஏற்கனவே அறியப்பட்ட வழக்கு வரலாற்று ரீதியாக சுவாரஸ்யமானதுஃ முதல் இயற்கை எண்களின் கூட்டுத்தொகையை பல்லுறுப்புக்கோவை கணக்கிடுகிறது. கணித வரலாற்றில் எதிர்கொள்ளும் முதல் நிகழ்வுகள்ஃ ஒரு சதுரத்தை உருவாக்கும் முதல் தொடர்ச்சியான முரண்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகையை கணக்கிடும் பல்லுறுப்புக்கோவை. பித்தகோரியர்களால் நன்கு அறியப்பட்ட ஒரு பண்பு, அவர்கள் தங்கள் எண்ணிக்கை எண்களை உருவாக்குவதில், ஒவ்வொரு முறையும் அடுத்த சரியான சதுரத்தைப் பெற ஒற்றைப்படை எண்ணிக்கையிலான புள்ளிகளைக் கொண்ட ஒரு க்னோமோனைச் சேர்க்க வேண்டியிருந்தது. தொடர்ச்சியான முழு எண்களின் வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகையை கணக்கிடும் பல்லுறுப்புக்கோவை. ஆர்க்கிமிடீஸின் படைப்பான சுருள்களில் நாம் காணும் பண்பு; தொடர்ச்சியான முழு எண்களின் க்யூப்களின் கூட்டுத்தொகையை கணக்கிடும் பல்லுறுப்புக்கோவை. ஜெராசாவின் நிக்கோமாக்கஸ் தேற்றத்தின் கரோலரி. முந்தைய இரண்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகள் சேர்ந்த வழக்குகளின் எல் 'இன்சியம், தொடர்ச்சியான முழு எண்களின் சக்திகளின் கிளாசிக்கல் சிக்கலைக் கொண்டுள்ளது. இடைக்காலத்தில், பல கணிதவியலாளர்கள் இந்தப் பிரச்சினையில் ஆர்வம் காட்டி அதன் தீர்வுக்கு பல்வேறு பங்களிப்புகளைச் செய்தனர். இவற்றில் ஆரியபட்டா, அல்-கராஜி, இப்னு அல்-ஹைதம், தாமஸ் ஹாரியட், ஜோஹன் ஃபால்ஹாபர், பியர் டி ஃபெர்மாட் மற்றும் பிளேஸ் பாஸ்கல் ஆகியோர் அடங்குவர், அவர்கள் முந்தையவற்றை ஏற்கனவே அறிந்திருக்கும் பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவையைப் பெற அனுமதித்த ஒரு அடையாளத்தைக் கருத்தில் கொண்டு அடுத்தடுத்த முழு எண்களின் சக்திகளின் கூட்டுத்தொகையின் சிக்கலை மீண்டும் மீண்டும் தீர்த்தனர். 1713 ஆம் ஆண்டில் ஜேக்கப் பெர்னோலியின் குடும்பத்தினர் மரணத்திற்குப் பிறகு அவரது "ஆர்டிஸ் கன்ஜெக்டாண்டியை" வெளியிட்டனர், அங்கு இந்த எல்லையற்ற தொடரின் முதல் 10 பல்லுறுப்புக்கோவைகள் ஒரு பொதுவான சூத்திரத்துடன் சேர்ந்து ஒரு குறிப்பிட்ட எண்களைப் பொறுத்து தோன்றுகின்றன, அவை விரைவில் அவரது பெயரிடப்பட்டன. அதற்கு பதிலாக இந்த சூத்திரம் பெர்னௌலியால் அங்கீகரிக்கப்பட்ட அவரது தகுதியான பங்களிப்புகளுக்காக ஜோஹன் ஃபால்ஹாபருக்குக் கூறப்பட்டது. பூஜ்ஜியத்திலிருந்து தொடங்கும் தொடர்ச்சியான முழு எண்களின் சக்திகளின் கூட்டுத்தொகையைக் கணக்கிடும் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் ஒன்றிலிருந்து தொடங்கும் பல்லுறுப்புக்கோவைகளுடன் மிகவும் ஒத்திருக்கின்றன என்பதும் உடனடியாகத் தெளிவாகியது. ஏனென்றால், வடிவத்தின் டிகிரியின் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் அவை மாறும் மோனோமியல் வேறுபாட்டைக் கழித்தன என்பது தெளிவாகிறது. இருப்பினும், ஃபால்ஹாபரின் சூத்திரத்தின் ஆதாரம் காணப்படவில்லை, இது ஒரு நூற்றாண்டுக்கும் மேலாக கார்ல் ஜி. ஜாகோபியால் வழங்கப்பட்டது, அவர் பெர்னௌலி எண்களை உருவாக்கும் அதிவேக செயல்பாட்டின் எல்லையற்ற தொடரின் வளர்ச்சியைப் பயன்படுத்தி கணித பகுப்பாய்வின் முன்னேற்றத்தால் பயனடைந்தார். நவீன காலம் 1982 ஏ. டபிள்யூ. எஃப். எட்வர்ட்ஸ் ஒரு கட்டுரையை வெளியிடுகிறார், அதில் பாஸ்கலின் அடையாளத்தை ஒவ்வொரு வரியின் கடைசி உறுப்பை இழந்த பாஸ்கலின் முக்கோணத்தைக் கொண்ட முக்கோண மேட்ரிக்ஸ்கள் மூலம் வெளிப்படுத்த முடியும் என்பதைக் காட்டுகிறார்ஃ எடுத்துக்காட்டு ஐந்தாவது வரிசை மேட்ரிக்ஸின் தேர்வால் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது, ஆனால் உயர் வரிசைகளுக்கு எளிதில் நீட்டிக்கப்படுகிறது. சமன்பாட்டை இவ்வாறு எழுதலாம்ஃ சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் இடதுபுறத்தில் மேட்ரிக்ஸ் A இன் தலைகீழால் பெருக்கினால், பெர்னௌலி எண்களை நேரடியாகப் பயன்படுத்தாமல் பல்லுறுப்புக்கோவை குணகங்களை நேரடியாக அடைய அனுமதிக்கிறது. எட்வர்ட்ஸுக்குப் பிறகு பவர் சம் சிக்கலின் பல்வேறு அம்சங்களைக் கையாளும் பிற எழுத்தாளர்கள் மேட்ரிக்ஸ் பாதையை எடுத்து, வாண்டர்மண்டே திசையன் போன்ற பயனுள்ள கருவிகளில் தங்கள் கட்டுரைகளில் சிக்கலின் அம்சங்களைப் படிக்கின்றனர். பிற ஆராய்ச்சியாளர்கள் பாரம்பரிய பகுப்பாய்வு வழியின் மூலம் தொடர்ந்து ஆராய்ந்து, எந்தவொரு வடிவியல் முன்னேற்றத்திற்கும் அடுத்தடுத்த முழு எண்களின் கூட்டுத்தொகையின் சிக்கலை பொதுமைப்படுத்துகிறார்கள் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் குணகங்கள் தொடர்ச்சியான சூத்திரங்கள் மூலம் காணப்படுகின்றன மற்றும் பிற வழிகளில் எண் கோட்பாட்டிற்கு சுவாரஸ்யமானவை, அவை பெர்னௌலி பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் செயல்பாடு அல்லது ஸ்டிர்லிங் எண்கள் மற்றும் முதல் மற்றும் இரண்டாவது வகையான ஆர்-விட்னி எண்களை உள்ளடக்கிய சூத்திரங்கள் ஆகியவற்றின் விளைவாக வெளிப்பாடாக உள்ளன. இறுதியாக, எட்வர்டின் மேட்ரிக்ஸ் அணுகுமுறை எந்த எண்கணித முன்னேற்றங்களுக்கும் பொதுமைப்படுத்தப்பட்டது மேட்ரிக்ஸ் முறை மூலம் தீர்வு பொதுவாக சிக்கல் சமீபத்தில் இருமியல் குணகங்கள் மற்றும் பாஸ்கல் 'ஐ அறிந்து எளிதில் கட்டமைக்கக்கூடிய இருமியல் மேட்ரிக்ஸ்களைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் தீர்க்கப்பட்டது. எண்கணித முன்னேற்றம் மற்றும் ஒரு நேர்மறை முழு எண்ணை தீர்மானிக்கும் அளவுருக்களைத் தேர்ந்தெடுத்த பிறகு, பின்வரும் அதிகாரங்களின் கூட்டுத்தொகையுடன் தொடர்புடைய பல்லுறுப்புக்கோவைகளைக் காண்கிறோம்ஃ முக்கோண வரிசையின் வரிசையின் பல்லுறுப்புக்கோவை குணக கூறுகளுடன். குறிப்பிட்ட வழக்கில் தீர்க்கும் சூத்திரம் இங்கே உள்ளது, இது 0 முதல் 3 வரையிலான அடுக்குகளுடன் கொடுக்கப்பட்ட எண்கணித முன்னேற்றத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவைகளை வழங்குகிறதுஃ m (எதிர்மறை அல்லாத முழு எண்கள்) இன் வெவ்வேறு மதிப்புகளுக்கு எளிதில் நீட்டிக்கக்கூடிய சமன்பாடு சுருக்கமாகவும் பொதுமைப்படுத்தப்பட்டும் பின்வருமாறுஃ அல்லது அதனுடன் வைப்பதன் மூலமும் இங்கே மேட்ரிக்ஸ்கள் மற்றும் வாண்டர்மொண்டே திசையனின் கடுமையான வரையறை உள்ளதுஃ எனவே இதன் விளைவாக மேட்ரிக்ஸ் A என்பது ஏற்கனவே காணப்பட்ட எட்வர்ட்ஸ் ஆகும், இது ஒரு குறைந்த முக்கோண மேட்ரிக்ஸ் ஆகும், இது ஒவ்வொரு வரிசையின் கடைசி உறுப்பிலிருந்து இழந்த பாஸ்கலின் முக்கோணத்தை இனப்பெருக்கம் செய்கிறது. மறுபுறம் கூறுகள் சக்தி வளர்ச்சியின் மோனாமியல்கள் ஆகும். நெடுவரிசை பெருக்கல் மூலம் வரிசையின் நடுநிலை உறுப்பு ஆகும், இதனால் இந்த விஷயத்தில் பொதுவான சமன்பாடு இதுவாகும்ஃ எட்வர்ட்ஸ் கண்டுபிடித்த ஒன்று இந்த குறிப்பிட்ட வழக்கில் இருந்து வந்து பொதுவான ஒன்றை நிரூபிக்க, சமன்பாட்டின் இரண்டு உறுப்பினர்களை இடதுபுறத்தில் பெருக்க போதுமானது அணி மூலம் பின்வரும் அடையாளத்தை உறுதிப்படுத்திய பிறகு தொடர்ச்சியான ஒற்றைப்படை எண்களின் சக்திகளின் கூட்டுத்தொகை அடுத்தடுத்த முரண்பாடுகளின் சக்திகளைச் சேர்க்கும் சிக்கலைத் தீர்க்க முந்தைய சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்ஃ முரண்பாடுகள் முதல் உறுப்புடன் எண்கணித முன்னேற்றத்துடன் ஒத்திருக்கின்றன, ஏனென்றால் ஒற்றைப்படை சக்திகளின் கூட்டுத்தொகையைக் கணக்கிடும் முதல் ஐந்து பல்லுறுப்புக்கோவைகளைக் கண்டறிய m = 4 ஐ அமைக்கிறோம். கணக்கிடப்பட்ட நாம் பெறுவதுஃ எனவே இந்த கட்டத்தில் நம்மிடம் உள்ள பொதுவான சமன்பாடு மற்றும் செய்யப்பட்ட சேதம் பெருக்கல்ஃ கடைசி வரி () ஐப் பயன்படுத்தி நாம் பெறுகிறோம், பின்னர் மற்ற வரிசைகளைப் பயன்படுத்துகிறோம்ஃ 1 உடன் தொடங்கும் தொடர்ச்சியான முழு எண்களின் கூட்டுத்தொகை தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட மற்றும் கணக்கிடப்பட்ட மற்றும் டி (1,1) பாஸ்கலின் முக்கோணத்துடன் ஒத்திருக்கிறதுஃ 0 உடன் தொடங்கும் தொடர்ச்சியான முழு எண்களின் கூட்டுத்தொகை தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட மற்றும் கணக்கிடப்பட்ட மற்றும் டி (0,1) அலகு அணிஃ முன்னேற்றம்-1,3,7,11,15. மீண்டும் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட, கணக்கிடப்பட்ட, முந்தைய பத்தி மற்றும் துணைச் சொத்தின் முடிவைப் பயன்படுத்தியதுஃ ஃபால்ஹாபரின் சூத்திரத்தின் பொதுமைப்படுத்தல் மேட்ரிக்ஸை பெர்னௌலி பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் செயல்பாடாக பின்வரும் வழியில் வெளிப்படுத்தலாம், இதிலிருந்து பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ஃபால்ஹாபர் சூத்திரம் பெறப்படுகிறதுஃ மேலும் நன்கு அறியப்பட்ட சிறப்பு நிகழ்வுகளும்ஃ 0 இல் கணக்கிடப்பட்ட பெர்னௌலி பல்லுறுப்புக்கோவைகள் பெர்னௌலி எண்கள் மற்றும் 1 இல் கணக்கிடப்பட்டவை குறியீட்டின் மாற்றத்துடன் அதன் மாறுபாடு. பெர்னூலியின் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் மொழிபெயர்ப்பின் சொத்தாக இருப்பதால், பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ஃபால்ஹாபர் சூத்திரம் இலக்கியத்தில் மற்றதைப் போலல்லாமல் மிகவும் பரவலாக மாறும். எனவே இரண்டு சிறப்பு நிகழ்வுகளும்ஃ குறிப்புகள் மேலும் காண்க எண்கணித முன்னேற்றங்கள் ஃபால்ஹாபரின் சூத்திரம் பாஸ்கலின் முக்கோண இருமியல் தேற்றம் பெர்னௌலி பல்லுறுப்புக்கோவைகள் பல்லுறுப்புக்கோவைகள்