Flag algebra
கொடி ஆல்ஜிப்ராக்கள் வரைபடக் கோட்பாட்டுத் துறையில் ஒரு முக்கியமான கணக்கீட்டு கருவியாகும், அவை ஹோமோமார்பிசம் அடர்த்தி மற்றும் தொடர்புடைய தலைப்புகளில் பரந்த அளவிலான பயன்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளன. தோராயமாக, அவர்கள் ஹோமோமார்பிசம் அடர்த்திகளைச் சேர்ப்பது மற்றும் பெருக்குவது என்ற கருத்தை முறைப்படுத்துகிறார்கள் மற்றும் கணினிகளுடன் கிராஃப் ஹோமோமார்பிசம் ஏற்றத்தாழ்வுகளை அரை வரையறுக்கப்பட்ட நிரலாக்க சிக்கல்களுக்குக் குறைப்பதன் மூலம் தீர்க்க ஒரு கட்டமைப்பை அமைக்கின்றனர். முதலில் அலெக்ஸாண்டர் ராஸ்போரோவ் 2007 ஆம் ஆண்டு ஆய்வறிக்கையில் அறிமுகப்படுத்திய இந்த முறை பின்னர் பல கடினமான, முன்பு தீர்க்கப்படாத வரைபடக் கோட்பாட்டு கேள்விகளைத் தீர்க்க வந்துள்ளது. சாத்தியமான விளிம்பு அடர்த்தி, முக்கோண அடர்த்தி ஜோடிகள் மற்றும் முக்கோண இலவச வரைபடங்களில் அதிகபட்ச பென்டகன்களின் எண்ணிக்கை பற்றிய கேள்வி இதில் அடங்கும். கொடி ஆல்ஜிப்ராக்களின் கோட்பாட்டின் உந்துதல் ஜான் அட்ரியன் பாண்டிக்கும், காசெட்டா-ஹாக்விஸ்ட் அனுமானம் குறித்த அவரது பணிக்கும் வரவு வைக்கப்படுகிறது, அங்கு அவர் தனது முக்கிய கருத்துக்களை ஒரு கிராஃப் ஹோமோமார்பிசம் மூலம் விளக்கினார், இது மாண்டலின் தேற்றத்திற்கு சுவையூட்டப்பட்டது. இந்த ஆதாரம் இரட்டை எண்ணிக்கை மூலம் மாண்டலின் பாரம்பரிய ஆதாரத்தின் தழுவலாகும், வரைபட ஹோமோமார்பிசம் அடர்த்திகளின் அடிப்படையில் சொல்லப்பட்டதைத் தவிர, வெறும் அடர்த்தி உறவுகளுடன் எவ்வளவு தகவல்களைக் குறியிட முடியும் என்பதைக் காட்டுகிறது. தேற்றம் (மான்டெல்): முக்கோணம் இல்லாத வரைபடத்தில் விளிம்பு அடர்த்தி அதிகபட்சமாக உள்ளது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், வரைபடம் முக்கோணம் இல்லாதது என்பதால், 3 செங்குத்துகளுக்கு இடையில், அவை ஒரு சுயாதீனமான தொகுப்பு, ஒற்றை தூண்டப்பட்ட விளிம்பு அல்லது நீளம் 2 கொண்ட பாதையை உருவாக்கலாம். ஒரு துணை வரைபடத்தின் தூண்டப்பட்ட அடர்த்தி என்று குறிப்பிடுகையில், இரட்டை எண்ணிக்கை பின்வருமாறு கொடுக்கிறதுஃ உள்ளுணர்வாக, a என்பது இரண்டு s களை ஒன்றாக இணைத்து இருப்பதால், 3 புள்ளிகளின் தொகுப்புக்கு இடையில் பொதுவான உச்சியை பெயரிட 3 வழிகள் உள்ளன. உண்மையில், தூண்டப்பட்ட s இன் எண்ணிக்கையை இருமுறை எண்ணுவதன் மூலம் இதை கடுமையாக நிரூபிக்க முடியும். செங்குத்துகளின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்க, நம்மிடம் உள்ளதுஃ அதன் நடுத்தர உச்சியுடன் பெயரிடப்பட்ட நீளம் 2 இன் பாதை எங்கே, மற்றும் பெயரிடப்பட்ட உச்சி பயன்படுத்தப்படும் கட்டுப்பாட்டிற்கு உட்பட்டு s இன் அடர்த்தியைக் குறிக்கிறது, மேலும் அதன் பெயரிடப்பட்ட உச்சியுடன் ஒத்துப்போகும்போது மட்டுமே அது சரியான தூண்டப்பட்ட துணை வரைபடமாக கணக்கிடப்படுகிறது. இப்போது, பெயரிடப்படாத செங்குத்துகள் ஒத்துப்போகும் இரண்டு s களைத் தேர்ந்தெடுப்பதற்கான நிகழ்தகவு சிறியதாக இருப்பதால் (கடுமையானதாக இருக்க, எடுக்கப்பட வேண்டிய வரம்பு, எனவே பெரிய மற்றும் பெரிய வரைபடங்களின் வரிசையில் வரம்பு செயல்பாடாக செயல்படுகிறது. கொடி ஆல்ஜிப்ராக்களின் உண்மையான வரையறைக்கு இந்த யோசனை முக்கியமானதாக இருக்கும்). முடிக்க, காச்சி-ஸ்வார்ஸ் சமத்துவமின்மையைப் பயன்படுத்தி இதை மீண்டும் நமது அசல் உறவில் இணைப்பது உள்ளுணர்வாக கருதப்பட்டதை நிரூபிக்கிறது. இறுதியாக, கொடி ஆல்ஜிப்ராக்களின் கோட்பாட்டில் பொதுமைப்படுத்தப்படும் இந்த ஆதாரத்தின் முக்கியமான கருத்துக்கள், பெயரிடப்பட்ட வரைபட அடர்த்திகளைப் பயன்படுத்துதல், அடர்த்திகளின் "வரம்பு வழக்கை" மட்டுமே கருத்தில் கொண்டு, இறுதியில் காச்சியைப் பயன்படுத்துதல் போன்ற மாற்றீடுகளாகும். வரையறை தடைசெய்யப்பட்ட துணை வரைபடங்களின் தொகுப்பை சரிசெய்து-இலவச வரைபடங்களின் வரைபடங்களின் தொகுப்பைக் கவனியுங்கள். இப்போது, ஒரு வகை அளவை பெயரிடப்பட்ட செங்குத்துகளுடன் ஒரு வரைபடமாக வரையறுக்கவும். அளவு 0 இன் வகை பொதுவாக குறிக்கப்படுகிறது. முதலில், ஒரு-கொடி, ஓரளவு பெயரிடப்பட்ட வரைபடத்தை வரையறுக்கிறோம், இது கொடி ஆல்ஜிப்ராக்களின் கோட்பாட்டிற்கு முக்கியமானதாக இருக்கும்ஃ வரையறைஃ ஒரு-கொடி என்பது ஒரு ஜோடி, அங்கு ஒரு அடிப்படை, பெயரிடப்படாத,-இல்லாத வரைபடம், அதே நேரத்தில் செங்குத்துகளில் உட்பொதிக்கப்பட்ட ஒரு பெயரிடப்பட்ட வரைபடத்தை வரையறுக்கிறது. - கொடிகளின் தொகுப்பு மற்றும்-கொடிகளின் அளவு ஆகியவற்றைக் குறிக்கவும். எடுத்துக்காட்டாக, மேலே உள்ள மாண்டலின் தேற்றத்தின் சான்றிலிருந்து ஒரு-கொடி உள்ளது, அங்கு ஒரு வகை அளவு 1 ஒற்றை உச்சியுடன் தொடர்புடையது. - கொடிகள் திருப்திகரமாக இருந்தால், அடிப்படை வரைபடத்தில்-கொடியின் அடர்த்தியை பின்வரும் வழியில் வரையறுக்கலாம்ஃ வரையறைஃ-கொடியின் அடர்த்தி என்பது அவை பிரிக்கப்படாத வகையில் வெற்றிகரமாக சீரற்ற முறையில் உட்பொதிப்பதற்கான நிகழ்தகவு என்று வரையறுக்கப்படுகிறது மற்றும் அனைத்தும் ஒரே மாதிரியாக பெயரிடப்பட்டுள்ளன. இன்னும் துல்லியமாக, சீரற்ற முறையில் ஜோடி வாரியாக வேறுபடுவதைத் தேர்ந்தெடுத்து,-கொடி அனைவருக்கும் ஐசோமார்பிக் என்பதற்கான நிகழ்தகவு என்று வரையறுக்கவும். உட்பொதிக்கும்போது,-கொடிகள் எங்கே, முதலில் ஒரு-ஃபிளாக் அளவில் உட்பொதிப்பதன் மூலமும் பின்னர் உட்பொதிப்பதன் மூலமும் அதைச் செய்யலாம், இது சூத்திரத்தை அளிக்கிறதுஃ இதை-கொடிகளின் தொகுப்புகளுக்கு விரிவுபடுத்துவது சங்கிலி விதியை அளிக்கிறதுஃ தேற்றம் (சங்கிலி விதி):-கொடிகள் என்றால், அவை இயற்கையாகவே பொருந்தக்கூடியவை, ஒரு-கொடி அளவில் பொருந்துகின்றன, மேலும் ஒரு-கொடி அளவுடன் இணைக்கப்பட்டுள்ளது. மான்டலின் முந்தைய ஆதாரம் வடிவத்தின் சொற்களின் நேரியல் சேர்க்கைகளை உள்ளடக்கியது என்பதை நினைவில் கொள்க. தொடர்புடைய கருத்துக்கள் முடிவிலிக்கு செல்ல அனுமதிப்பதில் சற்று துல்லியமற்றவை, ஆனால் வெளிப்படையாக அனைவருக்கும் சிலவற்றுடன் ஒன்றிணைக்கும் ஒரு வரிசை உள்ளது, இது ஒரு வரம்பு செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. எனவே, அனைத்து குறிப்புகளும் உண்மையில் வரம்பு செயல்பாட்டைக் குறிக்கின்றன. இப்போது, கிராஃப் ஹோமோமார்பிசம் ஏற்றத்தாழ்வுகளை வெவ்வேறு s களுடன் நேரியல் சேர்க்கைகளாக எழுதலாம், ஆனால் அவற்றை ஒற்றை வார்த்தையாக வெளிப்படுத்துவது வசதியானது. இது வரையறுக்க ஊக்குவிக்கிறது, முறையான நேரியல் சேர்க்கைகளின் தொகுப்பு-கொடிகள், இப்போது ஒரு நேரியல் செயல்பாட்டிற்கு நீட்டிக்கப்படலாம். இருப்பினும், சில கொடிகளின் அடர்த்திகளுக்கு இடையில் அற்பமான உறவுகள் இல்லாததால், செயல்பாடுகளை மட்டுப்படுத்துவதை ஆராயும் போது முழு இடத்தையும் பயன்படுத்துவது வீணானது. குறிப்பாக, சங்கிலி விதி அது எப்போதும் உண்மை என்பதைக் காட்டுகிறது. கர்னலின் இந்த அனைத்து கூறுகளையும் கையாள்வதற்குப் பதிலாக, மேலே உள்ள வெளிப்பாடுகளின் தொகுப்பு (அதாவது. சங்கிலி விதியிலிருந்து ஒற்றை-கொடியைக் கொண்டு பெறப்பட்டவை) மற்றும் நமது இறுதி பகுப்பாய்வில் அவற்றை மேற்கோள் காட்டுகின்றன. இந்தக் கருத்துக்கள் ஒன்றிணைந்து ஒரு கொடி இயற்கணிதத்திற்கான வரையறையை உருவாக்குகின்றனஃ வரையறை (கொடி ஆல்ஜிப்ராக்கள்): ஒரு கொடி இயற்கணிதம் என்பது இருதரப்பு ஆபரேட்டருடன் பொருத்தப்பட்ட-கொடிகளின் நேரியல் சேர்க்கைகளின் இடத்தில் வரையறுக்கப்படுகிறது. ஒரு ஜோடி போதுமான அளவு பெரியதாக இருந்தால் (இது சங்கிலி விதியுடன் நிரூபிக்கப்படலாம்) மற்றும் அப்படியானால், ஆபரேட்டர் ஈவு மதிக்கிறார், இதனால் விரும்பிய இடத்தில் நன்கு வரையறுக்கப்பட்ட இயற்கணிதத்தை உருவாக்குகிறார். ஆபரேட்டருக்கான இந்த வரையறையின் ஒரு முக்கியமான விளைவு என்னவென்றால், வரம்பு செயல்பாடுகளில் பெருக்கம் மதிக்கப்படுகிறது. குறிப்பாக, ஒரு வரம்பு செயல்பாட்டிற்கு, அடையாளம் உண்மை. எடுத்துக்காட்டாக, மான்டெலின் ஆதாரத்தில், இந்த முடிவு இந்த அறிக்கையின் ஒரு விளைவு மட்டுமே என்று காட்டப்பட்டது. மேலும் பொதுவாக, பெருக்கல் என்பது அனைத்து வரம்பு செயல்பாடுகளும் மற்றும் இடையே உள்ள இயற்கணித ஒத்த உருவங்கள் என்று பொருள். கீழ்நோக்கிய இயக்குபவர் மேலே உள்ள வரையறை-கொடிகளைக் கையாள்வதற்கான ஒரு கட்டமைப்பை வழங்குகிறது, அவை ஓரளவு பெயரிடப்பட்ட வரைபடங்கள். இருப்பினும், பெரும்பாலான நேரங்களில், பெயரிடப்படாத வரைபடங்கள் அல்லது-கொடிகள் மிகவும் ஆர்வமாக உள்ளன. முந்தையவற்றிலிருந்து பிந்தையவற்றுக்குச் செல்ல, கீழ்நோக்கிய இயக்கியை வரையறுக்கவும். கீழ்நோக்கிய இயக்குபவர் மிகவும் இயற்கையான முறையில் வரையறுக்கப்படுகிறார்ஃ ஒரு-கொடி கொடுக்கப்பட்டால், ஒதுக்கப்பட்ட லேபிள்களை மறந்துவிடுவதன் விளைவாக-கொடி இருக்கட்டும். இப்போது,-கொடிகள் மற்றும் பெயரிடப்படாத வரைபடங்களுக்கு இடையில் ஒரு இயற்கையான வரைபடத்தை வரையறுக்க, சீரற்ற முறையில் எடுக்கப்பட்ட ஒரு ஊசி வரைபடம் ஐசோமார்பிக் படத்தைக் கொண்டிருப்பதற்கான நிகழ்தகவாக இருக்கட்டும், மேலும் வரையறுக்கவும். ஒரு செல்லுபடியாகும் நேரியல் வரைபடத்தை வழங்குவதற்கு நேர்கோட்டில் நீட்டிப்பது, இது பெயரிடப்படாதவற்றின் சேர்க்கைகளுக்கு-கொடிகளின் சேர்க்கைகளை அனுப்புகிறது. இதன் மிக முக்கியமான விளைவு அதன் சராசரி பண்புகளாகும். குறிப்பாக, ஒரு-கொடி மற்றும் பெயரிடப்படாத வரைபடத்தை சரிசெய்யவும், பின்னர் சீரற்ற மாறியை வரையறுக்கும் ஒரு உட்பொதிப்பைத் தேர்ந்தெடுக்கவும். கொடி ஆல்ஜிப்ராக்களுடன் உகப்பாக்கம் அனைத்து நேரியல் செயல்பாடுகளும் அல்ஜிப்ரா ஹோமோமார்பிசம்கள் என்பதைக் காட்டலாம். மேலும், வரையறையின்படி, எந்தவொரு-கொடிக்கும் ஒரு அடர்த்தி வரம்பைக் குறிக்கிறது. எனவே, ஒரு ஹோமோமார்பிசம் பாசிட்டிவ் என்றால் மட்டுமே, மற்றும் பாசிட்டிவ் ஹோமோமார்பிசங்களின் தொகுப்பாக இருக்கட்டும். வரம்பு செயல்பாடுகளின் தொகுப்பு சரியாக நேர்மறை ஹோமோமார்பிசங்களின் தொகுப்பு என்பதை ஒருவர் காட்டலாம், எனவே தொகுப்பின் பிந்தைய வரையறையைப் புரிந்துகொள்வது போதுமானது. ஒரு நேரியல் சேர்க்கை ஒரு செல்லுபடியாகும் வரைபட ஹோமோமார்பிசம் சமத்துவமின்மையை வழங்குவதற்கு, இது சாத்தியமான அனைத்து நேரியல் செயல்பாடுகளுக்கும் எதிர்மறையாக இருக்க வேண்டும், இது பின்னர் அனைத்து வரைபடங்களுக்கும் உண்மை என்பதைக் குறிக்கும். இதை மனதில் கொண்டு, சொற்பொருள் கூம்பு வகையை வரையறுக்கவும், இது மிகவும் ஆர்வமுள்ள ஒரு தொகுப்பாகும், இது பெயரிடப்படாத வரைபடங்களின் விஷயத்தில் ஒத்திருக்கிறது. இருப்பினும், கீழ்நோக்கிய இயக்குபவருக்கு வரைபடம் வரைவதற்கான பண்பு உள்ளது, மேலும் கீழ் உள்ள படம் ஒரு துணைக்குழு என்பதைக் காட்டலாம், அதாவது சொற்பொருள் கூம்பு வகையின் எந்த முடிவுகளும் உடனடியாக பெயரிடப்படாத வரைபடங்களுக்கும் பொதுமைப்படுத்தப்படுகின்றன. இதன் கூறுகளை அப்பாவித்தனமாக கையாளுவதன் மூலம், சொற்பொருள் கூம்பின் ஏராளமான கூறுகளை உருவாக்க முடியும். எடுத்துக்காட்டாக, இன் கூறுகள்-கொடிகளுக்கு எதிர்மறையாக இல்லாததால், இன் கூறுகளின் எந்த கூம்பு கலவையும் இன் உறுப்பை வழங்கும். ஒருவேளை மிகவும் அற்பமானதாக இல்லாமல், உறுப்புகளின் வர்க்கங்களின் எந்த கூம்பு கலவையும் சொற்பொருள் கூம்பின் ஒரு உறுப்பை வழங்கும். கைமுறையாக அற்பமான முடிவுகளைச் சேர்க்கும் கொடிகளின் சதுரங்களை ஒருவர் காணலாம் என்றாலும், செயல்முறையை தானியக்கமாக்குவது பெரும்பாலும் எளிதானது. குறிப்பாக, பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கான கூட்டுத்தொகை வர்க்க உகப்பாக்கத்தில் உள்ள யோசனைகளை ஃபிளாக் ஆல்ஜிப்ராக்களுக்கு மாற்றியமைக்க முடியும். ஒரு திசையனின் அளவை விரிவாக்கத்தில் பூஜ்ஜியமற்ற குணகம் கொண்ட மிகப்பெரிய கொடி என்று வரையறுக்கவும், மேலும் அனைத்து தேர்வுகளுக்கும் மேலாக ஒரு திசையனின் குறைந்தபட்ச டிகிரியாக இருக்க வேண்டும். மேலும், அனைவருக்கும் தன்னை அனுப்பும் நியதி உட்பொதிப்பு என்று வரையறுக்கவும். இந்த வரையறைகள் பின்வரும் கொடி-இயற்கணித ஒப்புமைக்கு வழிவகுக்கின்றனஃ தேற்றம் கொடுக்கப்பட்டிருந்தால், அது போன்ற ஒரு நேர்மறை அரை வரையறுக்கப்பட்ட அணி இருந்தால் மட்டுமே சிலருக்கு இருக்கும். இந்த தேற்றத்தின் மூலம், கிராஃப் ஹோமோமார்பிசம் சிக்கல்களை இப்போது அரை வரையறுக்கப்பட்ட நிரலாக்கங்களாக தளர்த்த முடியும், அவை கணினி மூலம் தீர்க்கப்படலாம். எடுத்துக்காட்டாக, மான்டலின் தேற்றத்தை அது போன்ற மிகச்சிறியதைக் கண்டுபிடிப்பதாக மறுபரிசீலனை செய்யலாம். மோசமாக புரிந்து கொள்ளப்பட்டபடி, இந்த வடிவத்தில் கேள்வியை முன்னேற்றுவது கடினம், ஆனால்-கொடிகள் மற்றும் திசையன்களின் சதுரங்களின் கூம்பு சேர்க்கைகள் உள்ளன என்பதை நினைவில் கொள்க, எனவே அதற்கு பதிலாக அரை வரையறுக்கப்பட்ட தளர்வை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். குறிப்பாக,-கொடிகளின் கூம்பு கலவை எங்கே மற்றும் நேர்மறை அரை-திட்டவட்டமானது என்ற கட்டுப்பாட்டின் கீழ் குறைக்கவும். இந்த புதிய உகப்பாக்கம் சிக்கலை ஒரு அரை வரையறுக்கப்பட்ட-நிரலாக்க சிக்கலாக மாற்ற முடியும், பின்னர் நிலையான வழிமுறைகளுடன் தீர்க்க முடியும். பொதுமைப்படுத்தல்கள் கொடி ஆல்ஜிப்ராக்களின் முறை ஏராளமான வரைபடம் போன்ற கட்டமைப்புகளுக்கு உடனடியாக பொதுமைப்படுத்துகிறது. ராஸ்போரோவ் தனது அசல் கட்டுரையில் எழுதியது போல, கொடிகளை அதற்கு பதிலாக வரையறுக்கப்பட்ட மாதிரி கோட்பாட்டுடன் விவரிக்க முடியும். வரைபடங்களுக்குப் பதிலாக, ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட தொடர்புடைய கையொப்பத்தில் சமத்துவத்துடன் சில மரபணு மாற்றப்படாத உலகளாவிய முதல்-வரிசை கோட்பாட்டின் மாதிரிகள் மட்டுமே முன்கணிப்பு சின்னங்களுடன் பயன்படுத்தப்படலாம். ஒரு வரைபடத்தைப் பற்றிய நமது முந்தைய கருத்தை மாற்றும் ஒரு மாதிரி, தரை தொகுப்பைக் கொண்டுள்ளது, அதன் கூறுகள் செங்குத்துகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. இப்போது, துணை மாதிரிகள் மற்றும் மாதிரி உட்பொதிப்புகளை துணை வரைபடங்கள் மற்றும் வரைபட உட்பொதிப்புகளுக்கு ஒத்த வழியில் வரையறுத்தால், மேலே உள்ள அனைத்து வரையறைகளும் கோட்பாடுகளும் கிட்டத்தட்ட நேரடியாக மாதிரி கோட்பாட்டின் மொழியில் மொழிபெயர்க்கப்படலாம். கொடி ஆல்ஜிப்ராக்களின் கோட்பாடு நன்கு பொதுமைப்படுத்துகிறது என்ற உண்மை என்னவென்றால், இது எளிய வரைபடங்களில் உள்ள சிக்கல்களைத் தீர்க்க மட்டுமல்லாமல், இயக்கப்பட்ட வரைபடங்கள் மற்றும் ஹைப்பர் கிராஃப்கள் போன்ற ஒத்த கட்டமைப்புகளுக்கும் பயன்படுத்தப்படலாம். குறிப்புகள் வரைபடக் கோட்பாடு