Modern triangle geometry
கணிதத்தில், நவீன முக்கோண வடிவியல் அல்லது புதிய முக்கோண வடிவியல் என்பது பத்தொன்பதாம் நூற்றாண்டின் கடைசி காலாண்டின் தொடக்கத்திலிருந்து தோராயமாக கண்டுபிடிக்கப்பட்டு உருவாக்கப்பட்ட ஒரு முக்கோணத்தின் பண்புகள் தொடர்பான அறிவின் தொகுப்பாகும். முக்கோணங்களும் அவற்றின் பண்புகளும் குறைந்தபட்சம் யூக்ளிடின் காலத்திலிருந்தே விசாரணைக்கு உட்பட்டிருந்தன. உண்மையில், யூக்ளிடின் கூறுகள் ஒரு முக்கோணத்துடன் தொடர்புடைய மையப்புள்ளி, தூண்டுதல், சுற்றளவு மையம் மற்றும் ஆர்த்தோசெண்டர் ஆகிய நான்கு சிறப்பு புள்ளிகளின் விளக்கத்தைக் கொண்டுள்ளன. பதினேழாம் நூற்றாண்டில் பாஸ்கல் மற்றும் சேவா, பதினெட்டாம் நூற்றாண்டில் யூலர் மற்றும் பத்தொன்பதாம் நூற்றாண்டில் ஃபாயர்பாக் மற்றும் பல கணிதவியலாளர்கள் முக்கோணத்தின் பண்புகள் குறித்து முக்கியமான கண்டுபிடிப்புகளைச் செய்திருந்தாலும், 1873 ஆம் ஆண்டில் எமில் லெமோயின் (1840-1912) "முக்கோணத்தின் குறிப்பிடத்தக்க புள்ளியில்" என்ற தலைப்பில் ஒரு கட்டுரையை வெளியிட்டார், இது நாதன் ஆல்ட்ஷில்லர்-கோர்ட்டின் கூற்றுப்படி, "முக்கோணத்தின் நவீன வடிவவியலை ஒட்டுமொத்தமாக அமைத்தது". லெமோயினின் பெரும்பாலான படைப்புகள் வெளியிடப்பட்ட அமெரிக்க கணித மாதாந்திர இதழில், "நவீன முக்கோண வடிவவியலின் இந்த இயக்கத்தைத் தொடங்கியதற்கு எமிலி-மைக்கேல்-ஹயாசிண்டே லெமோயினை விட வேறு எந்த [வடிவவியலும்] பெருமைக்குரியது அல்ல" என்று அறிவித்தது. இந்த கட்டுரையின் வெளியீடு பத்தொன்பதாம் நூற்றாண்டின் கடைசி காலாண்டிலும் இருபதாம் நூற்றாண்டின் ஆரம்ப ஆண்டுகளிலும் முக்கோணத்தின் பண்புகளை ஆராய்வதில் குறிப்பிடத்தக்க ஆர்வத்தை ஏற்படுத்தியது. 1914 இல் வெளியிடப்பட்ட க்ளீனின் கணித அறிவியல் கலைக்களஞ்சியத்தில் முக்கோண வடிவியல் குறித்த நூறு பக்கக் கட்டுரை முக்கோண வடிவவியலில் இந்த ஆர்வத்தின் எழுச்சிக்கு சாட்சியாக உள்ளது. ஆரம்ப நாட்களில், "புதிய முக்கோண வடிவியல்" என்ற சொற்றொடர் லெமோயின் புள்ளி, லெமோயின் வட்டம், ப்ரோகார்ட் வட்டம் மற்றும் லெமோயின் கோடு போன்ற முக்கோணத்துடன் தொடர்புடைய சுவாரஸ்யமான பொருட்களின் தொகுப்பை மட்டுமே குறிக்கிறது. பின்னர் பல்வேறு தனிமைப்படுத்தப்பட்ட முடிவுகளுக்கு ஒத்திசைவை வழங்குவதற்காக வடிவியல் மாற்றங்களின் கோட்பாட்டின் ஒரு கிளையாக இருந்த கடிதக் கோட்பாடு உருவாக்கப்பட்டது. அதன் வளர்ச்சியுடன், "புதிய முக்கோண வடிவியல்" என்ற வெளிப்பாடு ஒரு முக்கோணத்துடன் தொடர்புடைய பல குறிப்பிடத்தக்க பொருட்களை மட்டுமல்லாமல், இந்த பொருட்களை ஆய்வு செய்வதற்கும் வகைப்படுத்துவதற்கும் பயன்படுத்தப்படும் முறைகளையும் சுட்டிக்காட்டியது. 1887 ஆம் ஆண்டிலிருந்து முக்கோண வடிவவியலின் வரையறை இங்கே கொடுக்கப்பட்டுள்ளதுஃ "முக்கோணத்தின் தளத்தில் ஒரு புள்ளி M கொடுக்கப்பட்டிருப்பதால், நாம் எப்போதும், ஒரு கற்பனையான வடிவியல் சட்டத்தின் படி முதல் புள்ளிக்கு ஒத்திருக்கும் இரண்டாவது புள்ளி M 'ஐக் காணலாம்; இந்த இரண்டு புள்ளிகளும் அவற்றுக்கிடையே வடிவியல் உறவுகளைக் கொண்டுள்ளன, அவற்றின் எளிமை அவற்றை ஒன்றிணைக்கும் சட்டத்தின் அதிர்ஷ்டமான தேர்வை அதிகமாகவோ அல்லது குறைவாகவோ சார்ந்துள்ளது, மேலும் ஒவ்வொரு வடிவியல் சட்டமும் மாற்றுவதற்கான ஒரு முறையை உருவாக்குகிறது, இது ஒரு இணைவு முறையை உருவாக்குகிறது, இது ஆய்வு செய்ய உள்ளது". (2009 ஆம் ஆண்டில் வழங்கப்பட்ட பவுலின் ரோமேரா-லெப்ரெட் எழுதிய "பத்தொன்பதாம் மற்றும் இருபதாம் நூற்றாண்டுகளில் ஒரு பண்டைய உருவத்துடன் புதிய வடிவியல் முறைகளை கற்பித்தல்ஃ ஐரோப்பா மற்றும் அமெரிக்காவில் பாடப்புத்தகங்களில் புதிய முக்கோண வடிவியல் (1888-1952)" என்ற தலைப்பில் மாநாட்டு கட்டுரையைப் பார்க்கவும்.) இருப்பினும், இந்த வட்டி அதிகரிப்பு விரைவில் சரிந்தது மற்றும் முக்கோண வடிவியல் இருபதாம் நூற்றாண்டின் இறுதி ஆண்டுகள் வரை முற்றிலும் புறக்கணிக்கப்பட்டது. எரிக் டெம்பிள் பெல் தனது "கணிதத்தின் வளர்ச்சி" என்ற நூலில், நவீன முக்கோண வடிவவியலின் நிலை குறித்த தனது தீர்ப்பை 1940 இல் இவ்வாறு வழங்குகிறார்ஃ "20 ஆம் நூற்றாண்டின் வடிவவியலாளர்கள் நீண்ட காலமாக இந்த பொக்கிஷங்கள் அனைத்தையும் வடிவியல் அருங்காட்சியகத்திற்கு புனிதமாக அகற்றியுள்ளனர், அங்கு வரலாற்றின் தூசி விரைவாக அவற்றின் பிரகாசத்தை மங்கச் செய்தது". (கணிதத்தின் வளர்ச்சி, பக்கம் 323) முக்கோண வடிவவியலில் ஆர்வம் குறைந்து வருவதற்கு பிலிப் டேவிஸ் பல காரணங்களை பரிந்துரைத்துள்ளார். இவற்றில் பின்வருவன அடங்கும்ஃ பாடம் அடிப்படை மற்றும் குறைந்த தொழில்முறை அந்தஸ்துடையது என்ற உணர்வு. அதன் முறையியல் சாத்தியக்கூறுகளின் சோர்வு. விஷயத்தின் ஆழமான முடிவுகள் என்று அழைக்கப்படுவதன் காட்சி சிக்கலானது. இயற்கணிதத்திற்கு ஆதரவாக காட்சியின் தரத்தை குறைத்தல். பிற துறைகளுக்கான இணைப்புகளின் பற்றாக்குறை. டெஸ்லேஷன்ஸ், ஃப்ராக்டல்ஸ், கிராஃப் தியரி போன்ற வலுவான காட்சி உள்ளடக்கத்துடன் பிற தலைப்புகளுடன் போட்டி. நவீன மின்னணு கணினியின் வருகையுடன் ஆர்வத்தின் மேலும் மறுமலர்ச்சி காணப்பட்டது. முக்கோண வடிவியல் மீண்டும் அர்ப்பணிக்கப்பட்ட வடிவியல் குழுவால் பின்பற்றப்படும் ஆராய்ச்சியின் செயலில் ஒரு பகுதியாக மாறியுள்ளது. இந்த மறுமலர்ச்சியின் சுருக்கமாக, ஒரு "முக்கோண மையம்" என்ற கருத்தாக்கத்தின் உருவாக்கத்தையும், கிட்டத்தட்ட 50,000 முக்கோண மையங்கள் மற்றும் அவற்றின் பண்புகளின் பட்டியலைக் கொண்ட முக்கோண மையங்களின் கலைக்களஞ்சியத்தை கிளார்க் கிம்பர்லிங் தொகுத்ததையும், 1200 க்கும் மேற்பட்ட முக்கோண கனசதுரங்களின் பல பண்புகளின் விரிவான விளக்கங்களுடன் முக்கோண கனசதுரங்களின் பட்டியலின் தொகுப்பையும் சுட்டிக்காட்டலாம். 2001 ஆம் ஆண்டில் புளோரிடா அட்லாண்டிக் பல்கலைக்கழகத்தின் பால் யியு என்பவரால் நிறுவப்பட்ட திறந்த அணுகல் இதழான ஃபோரம் ஜியோமெட்ரியம் முக்கோண வடிவவியலுக்கான இந்த புதிய ஆர்வத்தை மேலும் அதிகரிப்பதில் மிகப்பெரிய உத்வேகத்தை அளித்தது. துரதிர்ஷ்டவசமாக, 2019 முதல், இதழ் சமர்ப்பிப்புகளை ஏற்கவில்லை, இருப்பினும் பின் சிக்கல்கள் இன்னும் ஆன்லைனில் கிடைக்கின்றன. லெமோயின் வடிவியல் லெமோயின் புள்ளி மையக்கரு G உடன் கொடுக்கப்பட்ட முக்கோண ABC க்கு, உச்சியின் வழியாக சிம்மேடியன் என்பது கோணத்தின் இருபகுதியில் உள்ள கோடு AG இன் பிரதிபலிப்பாகும். ஒவ்வொரு உச்சியையும் கடந்து செல்லும் ஒரு முக்கோணத்திற்கு மூன்று சிம்மேடியன்கள் உள்ளன. மூன்று சிம்மேடியன்கள் ஒரே நேரத்தில் உள்ளன, மேலும் பொதுவாக K ஆல் குறிக்கப்படும் ஒற்றுமை புள்ளி, லெமோயின் புள்ளி அல்லது சிம்மேடியன் புள்ளி அல்லது முக்கோண ABC இன் கிரேப் புள்ளி என்று அழைக்கப்படுகிறது. ABC முக்கோணத்தின் பக்க நீளங்கள் a, b, c ஆக இருந்தால், லெமோயின் புள்ளியின் பாரிசென்ட்ரிக் ஆயத்தொலைவுகள் a2: b2: c2 ஆகும். இது "நவீன வடிவவியலின் கிரீடம் நகைகளில் ஒன்று" என்று விவரிக்கப்பட்டுள்ளது. கணித இலக்கியத்தில் இந்த புள்ளியைப் பற்றிய பல முந்தைய குறிப்புகள் உள்ளன, அவற்றின் விவரங்கள் ஜான் மெக்கேயின் சிம்மேடியன் புள்ளியின் வரலாற்றில் கிடைக்கின்றன. உண்மையில், சிம்மேடியன்களின் ஒற்றுமை மிகவும் பொதுவான முடிவின் ஒரு சிறப்பு நிகழ்வாகும்ஃ ஏபிசி முக்கோணத்தின் தளத்தில் உள்ள எந்த புள்ளிக்கும், ஏபி, பிபி, சிபி கோடுகளின் ஐசோகோனல்கள் ஒரே நேரத்தில் உள்ளன, ஏபி இன் ஐசோகோனல் (முறையே பிபி, சிபி) கோணத்தின் இருபுறத்தில் உள்ள கோடு ஏபி இன் பிரதிபலிப்பாகும். இணையான புள்ளி P இன் ஐசோகோனல் கான்ஜுகேட் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த சொற்களில், லெமோயின் புள்ளி மையக்கருவின் ஐசோகோனல் கான்ஜுகேட் ஆகும். லெமோயின் வட்டங்கள் முக்கோணத்தின் பக்கங்களுக்கு இணையாக ஒரு முக்கோணத்தின் ABC இன் லெமோயின் புள்ளியின் வழியாக கோடுகளின் குறுக்குவெட்டுகளின் புள்ளிகள் முக்கோணத்தின் ABC இன் முதல் லெமோயின் வட்டம் என்று அழைக்கப்படும் வட்டத்தில் உள்ளன. முதல் லெமோயின் வட்டத்தின் மையம் முக்கோணத்தின் சுற்றளவு மையத்திற்கும் லெமோயின் புள்ளிக்கும் இடையில் அமைந்துள்ளது, முக்கோண ABC இன் லெமோயின் புள்ளி வழியாக முக்கோண ABC இன் பக்கங்களுக்கு எதிர் இணைகளின் குறுக்குவெட்டுகளின் புள்ளிகள் இரண்டாவது லெமோயின் வட்டம் அல்லது முக்கோண ABC இன் கொசைன் வட்டம் என்று அழைக்கப்படும் வட்டத்தில் உள்ளன. "கொசைன் வட்டம்" என்ற பெயர் இரண்டாவது லெமோயின் வட்டத்தின் பண்பு காரணமாகும், முக்கோணத்தின் பக்கங்களில் வட்டத்தால் இடைமறிக்கப்பட்ட பிரிவுகளின் நீளம் பக்கங்களுக்கு எதிர் கோணங்களின் கொசைன்களுக்கு விகிதாசாரமாக இருக்கும். இரண்டாவது லெமோயின் வட்டத்தின் மையம் லெமோயின் புள்ளியாகும். லெமோயின் அச்சு எந்த முக்கோண ABC மற்றும் அதன் தொடுகோட்டு முக்கோணம் முன்னோக்கிலும், முன்னோக்குத்தன்மையின் அச்சு முக்கோண ABC இன் லெமோயின் அச்சு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. இது முக்கோண ABC இன் சிம்மேடியன் புள்ளியின் முக்கோண துருவமாகும், மேலும் முக்கோண ABC இன் சுற்றளவைப் பொறுத்தவரை K இன் துருவமாகும். ஆரம்பகால நவீன முக்கோண வடிவியல் நவீன முக்கோண வடிவவியலின் உலகத்தைப் பற்றிய ஒரு விரைவான பார்வை, இது லெமோயினின் காகித வெளியீட்டைத் தொடர்ந்து முக்கோண வடிவவியலில் ஆர்வத்தின் உச்சத்தில் இருந்தபோது இருந்தது. இந்த விளக்கக்காட்சி பெரும்பாலும் 1910 இல் வெளியிடப்பட்ட வில்லியம் கல்லட்லியின் புத்தகத்திலும், 1929 இல் முதன்முதலில் வெளியிடப்பட்ட ரோஜர் ஏ ஜான்சனின் புத்தகத்திலும் விவாதிக்கப்பட்ட தலைப்புகளை அடிப்படையாகக் கொண்டது. போரிஸ்டிக் முக்கோணங்கள் இரண்டு முக்கோணங்கள் ஒரே உள் வட்டத்தையும் சுற்றளவையும் கொண்டிருந்தால் அவை போரிஸ்டிக் முக்கோணங்கள் என்று கூறப்படுகிறது. மையம் O மற்றும் ஆரம் R கொண்ட ஒரு வட்டம் மற்றும் மையம் I மற்றும் ஆரம் r கொண்ட மற்றொரு வட்டம் கொடுக்கப்பட்டால், சுற்று வட்டமாக O (R) உடன் எண்ணற்ற முக்கோணங்கள் ABC உள்ளன மற்றும் வட்டத்தில் I (r) இருந்தால் மட்டுமே. இந்த முக்கோணங்கள் முக்கோணங்களின் போரிஸ்டிக் அமைப்பை உருவாக்குகின்றன. குறிப்பு முக்கோணமாக மையக்கரு போன்ற சில சிறப்பு புள்ளிகளின் இருப்பிடம் வெவ்வேறு முக்கோணங்களின் போரிஸ்டிக்கைக் கண்டறிந்து வட்டங்கள் மற்றும் புள்ளிகளாக மாறுகிறது. சிம்சன் கோடு ABC முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்டாரத்தில் உள்ள எந்த புள்ளிக்கும் P இலிருந்து ABC முக்கோணத்தின் பக்கங்கள் வரை செங்குத்தாக இருக்கும் பாதங்கள் கொலினியர் மற்றும் கொலினியாரிட்டி கோடு P இன் நன்கு அறியப்பட்ட சிம்சன் கோடு. பெடல் மற்றும் ஆன்டிபெடல் முக்கோணங்கள் ஒரு புள்ளி P கொடுக்கப்பட்டால், P இலிருந்து முக்கோணத்தின் பக்கங்களுக்கு செங்குத்தாக இருக்கும் பாதங்கள் D, E, F ஆக இருக்கட்டும். முக்கோணம் DEF என்பது P இன் பெடல் முக்கோணம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. P இன் ஆன்டிபெடல் முக்கோணம் என்பது முறையே A, B, C வழியாக PA, PB, PC க்கு செங்குத்தாக இருக்கும் கோடுகளால் உருவாக்கப்பட்ட முக்கோணம் ஆகும். P இன் மிதிவண்டி முக்கோணம் Q இன் எதிர் முனை முக்கோணத்திற்கு ஒத்ததாகவும், Q இன் மிதிவண்டி முக்கோணம் P இன் எதிர் முனை முக்கோணத்திற்கு ஒத்ததாகவும் இருந்தால் இரண்டு புள்ளிகள் P மற்றும் Q எதிர் புள்ளிகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. நவீன முக்கோண வடிவவியலில், ஆர்த்தோபோல்களின் பண்புகளைக் கையாளும் ஒரு பெரிய இலக்கிய அமைப்பு உள்ளது. முக்கோண ஏ. பி. சி. யின் BC, CA, AB பக்கங்களில் வட்டங்கள் விவரிக்கப்பட வேண்டும், அதன் வெளிப்புற பிரிவுகள் முறையே C, A, B மற்றும் B, C, A கோணங்களின் இரண்டு முக்கோணங்களைக் கொண்டுள்ளன. முக்கோண கோணங்களால் தீர்மானிக்கப்படும் வட்டங்களின் ஒவ்வொரு முக்கோணமும் ஒரு பொதுவான புள்ளியில் வெட்டுகின்றன, இதனால் அத்தகைய இரண்டு புள்ளிகள் கிடைக்கின்றன. இந்த புள்ளிகள் முக்கோண ஏபிசியின் புரோக்கார்ட் புள்ளிகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, மேலும் அவை பொதுவாக குறிக்கப்படுகின்றன. P என்பது முதல் புரோக்கார்ட் புள்ளியாக இருந்தால் (இது வட்டங்களின் முதல் முக்கோணத்தால் தீர்மானிக்கப்படும் ப்ரோக்கார்ட் புள்ளியாகும்) பின்னர் கோணங்கள் PBC, PCA மற்றும் PAB ஒருவருக்கொருவர் சமமாக இருக்கும் மற்றும் பொதுவான கோணம் முக்கோண ABC இன் ப்ரோக்கார்ட் கோணம் என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் பொதுவாக குறிக்கப்படுகிறது ப்ரோக்கார்ட் கோணம் ப்ரோக்கார்ட் புள்ளிகளால் வழங்கப்படுகிறது மற்றும் ப்ரோக்கார்ட் கோணங்கள் பல சுவாரஸ்யமான பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன. சில படங்கள் சமகால நவீன முக்கோண வடிவியல் முக்கோண மையம் இருபதாம் நூற்றாண்டின் இறுதி ஆண்டுகளில் முக்கோண வடிவவியலில் ஆர்வத்தின் மறுமலர்ச்சியின் போது வெளிவந்த மிக முக்கியமான கருத்துக்களில் ஒன்று முக்கோண மையம் என்ற கருத்தாகும். 1994 ஆம் ஆண்டில் கிளார்க் கிம்பர்லிங் அறிமுகப்படுத்திய இந்த கருத்து ஒரு முக்கோணத்துடன் தொடர்புடைய பல சிறப்பு மற்றும் குறிப்பிடத்தக்க புள்ளிகளை ஒரே கருத்தில் ஒன்றிணைத்தது. இந்த யோசனை அறிமுகப்படுத்தப்பட்டதிலிருந்து, முக்கோணத்துடன் தொடர்புடைய எந்தவொரு முடிவையும் பற்றிய எந்த விவாதமும் முக்கோண மையங்களுடன் முடிவு எவ்வாறு இணைகிறது என்பது பற்றிய விவாதம் இல்லாமல் முழுமையடையவில்லை. முக்கோண மையத்தின் வரையறை a, b, c ஆகிய மூன்று உண்மையான மாறிகளின் ஒரு உண்மையான மதிப்புள்ள சார்பு f பின்வரும் பண்புகளைக் கொண்டிருக்கலாம்ஃ ஒருமைப்பாடுஃ f (ta, tb, tc) = tn f (a, b, c) சில மாறிலிகளுக்கு n மற்றும் அனைத்து t> 0 க்கும். இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது மாறிகளில் இரு சமச்சீர்ஃ f (a, b, c) = f (a, c, b). பூஜ்ஜியமற்ற f இந்த இரண்டு பண்புகளையும் கொண்டிருந்தால் அது முக்கோண மைய செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. f ஒரு முக்கோண மையச் செயல்பாடாகவும், a, b, c ஒரு குறிப்பு முக்கோணத்தின் பக்க நீளங்களாகவும் இருந்தால், அதன் முக்கோண ஆயத்தொலைவுகள் f (a, b, c): f (b, c, a): f (c, a, b) முக்கோண மையம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. கிளார்க் கிம்பர்லிங் முக்கோண மையங்களின் தொகுப்புக்கு அர்ப்பணிக்கப்பட்ட ஒரு வலைத்தளத்தை பராமரித்து வருகிறார். முக்கோண மையங்களின் கலைக்களஞ்சியம் என்ற இணையதளத்தில் கிட்டத்தட்ட 50,000 முக்கோண மையங்களின் வரையறைகள் மற்றும் விளக்கங்கள் உள்ளன. மையக் கோடு சமகால நவீன முக்கோண வடிவவியலின் மற்றொரு ஒருங்கிணைந்த கருத்து மையக் கோடு ஆகும். இந்த கருத்து ஒரு முக்கோணத்துடன் தொடர்புடைய பல சிறப்பு நேர் கோடுகளை ஒருங்கிணைக்கிறது. ஒரு மையக் கோடு என்ற கருத்தும் ஒரு முக்கோண மையத்தின் கருத்துடன் தொடர்புடையது. மையக் கோட்டின் வரையறை ABC ஒரு தட்டையான முக்கோணமாக இருக்கட்டும் மற்றும் (x: y: z) முக்கோண ABC இன் தளத்தில் ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளியின் முக்கோண ஆயத்தொலைவுகளாக இருக்கட்டும். முக்கோண ஏபிசி தளத்தில் உள்ள ஒரு நேர் கோடு, முக்கோண ஆயத்தொகுதிகளில் f (a, b, c) x + g (a, b, c) y + h (a, b, c) z = 0 என்ற வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது, அங்கு முக்கோண ஆயத்தொகுதிகளைக் கொண்ட புள்ளி (f (a, b, c): g (a, b, c): h (a, b, c) ஒரு முக்கோண மையமாகும், இது முக்கோண ஏபிசி உடன் தொடர்புடைய முக்கோண ஏபிசி தளத்தில் ஒரு மையக் கோடு ஆகும். மையக் கோட்டின் வடிவியல் கட்டுமானம் X முக்கோண ABC இன் எந்த முக்கோண மையமாகவும் இருக்கட்டும். AX, BX மற்றும் CX கோடுகள் மற்றும் அவற்றின் பிரதிபலிப்புகளை முறையே A, B, C செங்குத்துகளில் உள்ள கோணங்களின் உள் இரு பிரிவுகளில் வரையவும். பிரதிபலித்த கோடுகள் ஒரே நேரத்தில் உள்ளன மற்றும் இணக்கத்தின் புள்ளி X இன் ஐசோகோனல் கான்ஜுகேட் Y ஆகும். செவியன்கள் AY, BY, CY முக்கோணம் ABC இன் எதிர் பக்கவாட்டில் முறையே A ', B', C 'இல் சந்திக்கட்டும். முக்கோணம் A 'B' C 'என்பது Y இன் செவியன் முக்கோணம் ஆகும். முக்கோணம் ABC மற்றும் செவியன் முக்கோணம் A 'B' C 'ஆகியவை முன்னோக்கில் உள்ளன, மேலும் DEF இரண்டு முக்கோணங்களின் கண்ணோட்டத்தின் அச்சாக இருக்கட்டும். DEF கோடு என்பது Y புள்ளியின் முக்கோண துருவமாகும். கோடு DEF என்பது முக்கோண மையத்துடன் தொடர்புடைய மையக் கோடு X. முக்கோண கூம்பு ஒரு முக்கோண கூம்பு என்பது குறிப்பு முக்கோணத்தின் தளத்தில் உள்ள ஒரு கூம்பு மற்றும் ஏதோ ஒரு வகையில் அதனுடன் தொடர்புடையது. எடுத்துக்காட்டாக, குறிப்பு முக்கோணத்தின் சுற்றளவு மற்றும் உட்புறம் முக்கோண கூம்புகள் ஆகும். பிற எடுத்துக்காட்டுகள் ஸ்டெய்னர் நீள்வட்டமாகும், இது செங்குத்துகள் வழியாகச் சென்று குறிப்பு முக்கோணத்தின் மையத்தில் அதன் மையத்தைக் கொண்ட ஒரு நீள்வட்டமாகும், கீபெர்ட் ஹைப்பர்போலா இது செங்குத்துகள் வழியாகச் செல்லும் கூம்பு, குறிப்பு முக்கோணத்தின் மையப்பகுதி மற்றும் ஆர்த்தோசெண்டர் மற்றும் ஆர்ட்ஸ்ட் பரவளையங்கள் முக்கோணத்தின் செங்குத்துகளில் குறிப்பு முக்கோணத்தின் இரண்டு பக்கங்களைத் தொடும் பரவளையங்கள். சமீபத்தில் ஆய்வு செய்யப்பட்ட சில முக்கோண கூம்புகளில் ஹோஃப்ஸ்டாடர் நீள்வட்டங்கள் மற்றும் ஒய்எஃப்எஃப் கூம்புகள் அடங்கும். இருப்பினும், இலக்கியத்தில் முக்கோண கூம்பு என்ற சொல்லுக்கு முறையான வரையறை இல்லை; அதாவது, ஒரு கூம்பு குறிப்பு முக்கோணத்துடன் இருக்க வேண்டிய உறவுகள் முக்கோண கூம்பு என்று அழைக்கப்படுவதற்கு தகுதி பெற துல்லியமாக வடிவமைக்கப்படவில்லை. வொல்ப்ராம்மேத் வேர்ல்ட் "முக்கோண கூம்பு" என்ற தலைப்பில் ஒரு பக்கத்தைக் கொண்டுள்ளது, இது முக்கோண கூம்பு என்பதற்கான வரையறையைக் கொடுக்காமல் 42 பொருட்களின் பட்டியலை வழங்குகிறது (அவை அனைத்தும் கூம்பு அல்ல). முக்கோண க்யூபிக்ஸ் கியூபிக் வளைவுகள் முக்கோணங்களின் ஆய்வில் இயற்கையாகவே எழுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, குறிப்பு முக்கோணம் ABC இன் தளத்தில் ஒரு புள்ளி P இன் இருப்பிடம், முக்கோணம் ABC இன் பக்கவாட்டில் P இன் பிரதிபலிப்புகள் PA, Pb, Pc ஆக இருந்தால், பின்னர் APA, BPb மற்றும் CPc கோடுகள் ஒரே நேரத்தில் நியூபெர்க் கனசதுரம் என்று அழைக்கப்படும் ஒரு கன வளைவு ஆகும். இது பெர்னார்ட் கில்பெர்ட்டின் முக்கோணக் கனசதுரங்களின் பட்டியலில் பட்டியலிடப்பட்ட முதல் கனசதுரமாகும். இந்த அட்டவணை 1200 க்கும் மேற்பட்ட முக்கோண க்யூபிக்குகளை ஒவ்வொரு வளைவிலும் உள்ள தகவல்களுடன் பட்டியலிடுகிறது, அதாவது வளைவின் பாரிசென்ட்ரிக் சமன்பாடு, வளைவில் உள்ள முக்கோண மையங்கள், வளைவின் லோகஸ் பண்புகள் மற்றும் வளைவில் உள்ள இலக்கியங்களைப் பற்றிய குறிப்புகள். முக்கோண வடிவவியலில் கணினிகள் இருபதாம் நூற்றாண்டின் இறுதி ஆண்டுகளிலும் நடப்பு நூற்றாண்டின் ஆரம்ப ஆண்டுகளிலும் காணப்பட்ட முக்கோண வடிவவியலில் ஆர்வமுள்ள வளர்ச்சியின் போக்கில் கணினிகளின் நுழைவு ஒரு தீர்மானகரமான தாக்கத்தை ஏற்படுத்தியது. கணினிகள் இந்த பாடத்திட்டத்தை பாதித்த சில வழிகள் பிலிப் டேவிஸால் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளன. முக்கோண வடிவவியலில் புதிய முடிவுகளை உருவாக்க கணினிகள் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளன. 2015 ஆம் ஆண்டில் வெளியிடப்பட்ட ஒரு கணக்கெடுப்புக் கட்டுரை கணினி நிரலான "டிர்கோவரர்" கண்டுபிடித்த சில முக்கியமான புதிய முடிவுகளின் கணக்கை வழங்குகிறது. பின்வரும் கோட்பாடுகளின் மாதிரி டிஸ்கவரர் கண்டுபிடித்த புதிய முடிவுகளின் சுவையை அளிக்கிறது. 6. 1 P மற்றும் Q புள்ளிகளாக இருக்கட்டும், அவை முக்கோண ABC இன் பக்கவாட்டில் இல்லை. ஏபிசியைப் பொறுத்தவரை பி மற்றும் கியூ ஐசோகோனல் இணைப்புகளாக இருந்தால், அவற்றின் நிரப்புகளின் சேவா பெருக்கல் கீபெர்ட் ஹைபர்போலாவில் உள்ளது. தேற்றம் 9.1. Yff சென்டர் ஆஃப் காங்க்ரூயென்ஸ் என்பது இன்சென்டரின் பெடல் முக்கோணத்தைப் பொறுத்தவரை உட்புற வட்டம் மற்றும் சுற்றளவு ஆகியவற்றின் ஒற்றுமையின் உள் மையமாகும். லெஸ்டர் வட்டம் என்பது சுற்றளவு மையம், ஒன்பது புள்ளி மையம் மற்றும் வெளிப்புற மற்றும் உள் ஃபெர்மாட் புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் வட்டம் ஆகும். ஒரு பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட லெஸ்டர் வட்டம் என்பது குறைந்தது நான்கு முக்கோண மையங்கள் வழியாக செல்லும் ஒரு வட்டமாகும். கண்டுபிடிப்பாளர் பல பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட லெஸ்டர் வட்டங்களைக் கண்டுபிடித்துள்ளார். சாவா க்ரோஸ்டேவ், ஹிரோஷி ஒகுமுரா, டெகோ டெகோவ் ஆகியோர் யூக்ளிடிய வடிவவியலின் கணினி கண்டுபிடிக்கப்பட்ட கலைக்களஞ்சியத்திற்கு அர்ப்பணிக்கப்பட்ட ஒரு வலைத் தளத்தை பராமரித்து வருகின்றனர். குறிப்புகள் கூடுதல் வாசிப்பு முக்கோண வடிவியல் வடிவவியலின் வரலாறு