Feferman–Vaught theorem
மாடல் கோட்பாட்டில் ஃபெஃபெர்மன்-வோட் தேற்றம் என்பது சாலமன் ஃபெஃபெர்மன் மற்றும் ராபர்ட் லாசன் வோட் ஆகியோரின் ஒரு தேற்றமாகும், இது ஒரு வழிமுறை வழியில், முதல்-வரிசை கட்டமைப்புகளின் உற்பத்தியின் முதல்-வரிசை கோட்பாட்டை கட்டமைப்பின் கூறுகளின் முதல்-வரிசை கோட்பாட்டிற்கு எவ்வாறு குறைப்பது என்பதைக் காட்டுகிறது. இந்த தேற்றம் மாதிரி கோட்பாட்டின் நிலையான முடிவுகளில் ஒன்றாக கருதப்படுகிறது. இந்தக் கோட்பாடு ஆண்ட்ரேஜ் மோஸ்டோவ்ஸ்கியின் முந்தைய முடிவை கோட்பாடுகளின் நேரடி தயாரிப்புகளில் விரிவுபடுத்துகிறது. இது உலகளாவிய இயற்கணிதத்தில் உள்ள பண்புகளை (தன்னிச்சையான அளவீடுகளுடன் கூடிய சூத்திரங்களுக்கு) பொதுமைப்படுத்துகிறது, இது சமத்துவங்கள் (அடையாளங்கள்) இயற்கணித கட்டமைப்புகளின் நேரடி தயாரிப்புகளுக்கு கொண்டு செல்கின்றன (இது பிர்காஃப்பின் தேற்றத்தின் ஒரு திசையின் விளைவாகும்). கட்டமைப்புகளின் நேரடி தயாரிப்பு முதல்-வரிசை தர்க்க கையொப்பத்தைக் கவனியுங்கள் எல். தயாரிப்பு கட்டமைப்புகளின் வரையறை சில குறியீட்டு தொகுப்பு I க்கு எல்-கட்டமைப்புகளின் குடும்பத்தை எடுத்துக்கொள்கிறது மற்றும் தயாரிப்பு கட்டமைப்பை வரையறுக்கிறது, இது ஒரு எல்-கட்டமைப்பாகும், இதில் அனைத்து செயல்பாடுகளும் உறவுகளும் புள்ளி வாரியாக வரையறுக்கப்படுகின்றன. இந்த வரையறை உலகளாவிய இயற்கணிதத்தில் நேரடி உற்பத்தியை தொடர்புடைய முதல் வரிசை கட்டமைப்புகளுக்கு பொதுமைப்படுத்துகிறது, இதில் செயல்பாட்டு சின்னங்கள் மட்டுமல்ல, உறவு சின்னங்களும் உள்ளன. எல் இல் உள்ள வாதங்களுடன் ஒரு உறவு சின்னமாக இருந்தால் மற்றும் கார்ட்டீசியன் உற்பத்தியின் கூறுகளாக இருந்தால், இன் இன் விளக்கத்தை வரையறுக்கிறோம் செயல்பாட்டு உறவு என்றால், இந்த வரையறை உலகளாவிய இயற்கணிதத்தில் நேரடி உற்பத்தியின் வரையறைக்கு குறைகிறது. நேரடி தயாரிப்புகளுக்கான தேற்றத்தின் அறிக்கை இலவச மாறிகளுடன் கையொப்பம் எல் இல் ஒரு முதல்-வரிசை தர்க்க சூத்திரத்திற்கு, மற்றும் மாறிகளின் விளக்கத்திற்கு, இதில் உள்ள குறியீடுகளின் தொகுப்பை வரையறுக்கிறோம் இலவச மாறிகளுடன் முதல்-வரிசை சூத்திரத்தைக் கொடுத்தால், அதன் சமமான விளையாட்டு இயல்பான வடிவத்தைக் கணக்கிட ஒரு வழிமுறை உள்ளது, இது பரஸ்பர முரண்பட்ட சூத்திரங்களின் வரையறுக்கப்பட்ட விலகல் ஆகும். ஃபெஃபெர்மன்-வோட் தேற்றம் ஒரு முதல்-வரிசை சூத்திரத்தை எடுத்து ஒரு சூத்திரத்தை உருவாக்கும் ஒரு வழிமுறையை வழங்குகிறது, இது பெருக்கத்தில் உள்ள நிபந்தனையை குறியீடுகளின் தொகுப்புகளின் விளக்கத்தில் இருக்கும் நிலைக்குக் குறைக்கிறதுஃ சூத்திரம் என்பது ஃப்ரீ செட் மாறிகள் கொண்ட ஒரு சூத்திரமாகும், எடுத்துக்காட்டாக, பூலியன் இயற்கணிதத்தின் முதல்-வரிசை கோட்பாட்டில். தொடக்க சூத்திரத்தின் கட்டமைப்பைப் பின்பற்றி ஆதார யோசனை சூத்திரத்தை உருவாக்க முடியும். அளவீட்டாளர் எப்போது இலவசமாக இருக்கும், அதற்கு மேலே உள்ள நேரடி உற்பத்தியின் வரையறையின்படி பின்வருமாறு பின்வருமாறு இதன் விளைவாக, தொகுப்புகளின் பூலியன் இயற்கணிதத்தின் மொழியில் சமத்துவமாக நாம் எடுத்துக் கொள்ளலாம் (சமமாக, தொகுப்புகளின் புலம்). நிபந்தனையை அளவிடப்பட்ட சூத்திரங்களுக்கு விரிவுபடுத்துவது அளவீட்டு நீக்கத்தின் ஒரு வடிவமாக பார்க்கப்படலாம், அங்கு தயாரிப்பு கூறுகளின் அளவீடு அதன் துணைக்குழுக்களின் அளவீட்டிற்கு குறைக்கப்படுகிறது. பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட தயாரிப்புகள் நேரடி தயாரிப்பு கட்டமைப்பின் அடி கட்டமைப்பைக் கருத்தில் கொள்வது பெரும்பாலும் ஆர்வமாக உள்ளது. அடி மூலக்கூறைச் சேர்ந்த தயாரிப்பு கூறுகளை வரையறுக்கும் கட்டுப்பாடு குறியீட்டு கூறுகளின் தொகுப்புகளில் ஒரு நிபந்தனையாக வெளிப்படுத்தப்படலாம் என்றால், முடிவுகளை பொதுமைப்படுத்தலாம். ஒரு உதாரணம் தயாரிப்பு கூறுகளின் அடிப்பகுதி, அவை நிலையானவை, ஆனால் இறுதியாக பல குறியீடுகள். எல் மொழியில் ஒரு நிலையான சின்னம் உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம், மேலும் தொகுப்பு வரையறுக்கப்பட்ட அந்த தயாரிப்பு கூறுகளை மட்டுமே கொண்ட அடி மூலக்கூறைக் கருத்தில் கொள்ளுங்கள். இந்த தேற்றம் பின்னர் அத்தகைய அடி மூலக்கூறில் உள்ள உண்மை மதிப்பை பூலியன் இயற்கணிதத்தின் தொகுப்புகளில் ஒரு சூத்திரமாக குறைக்கிறது, அங்கு சில தொகுப்புகள் வரையறுக்கப்பட்டதாக கட்டுப்படுத்தப்படுகின்றன. பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட தயாரிப்புகளை வரையறுப்பதற்கான ஒரு வழி, செட்டுகள் குறியீடுகளின் தொகுப்புகளின் சில பூலியன் இயற்கணிதத்தைச் சேர்ந்தவை (பவர்செட் செட் இயற்கணிதத்தின் துணைக்குழு) மற்றும் தயாரிப்பு அடிப்பகுதி க்ளூயிங்கை எங்கு ஏற்றுக்கொள்கிறது என்பதைக் கருத்தில் கொள்வதாகும். இங்கே க்ளூயிங்கை ஏற்றுக்கொள்வது பின்வரும் மூடல் நிபந்தனையைக் குறிக்கிறதுஃ இரண்டு பெருக்கல் கூறுகள் மற்றும் பூலியன் இயற்கணிதத்தின் உறுப்பு என்றால், "க்ளூயிங்" மூலம் வரையறுக்கப்பட்ட உறுப்பும் அவ்வாறே உள்ளது மற்றும் அதன்படிஃ பின்வரும் விளைவுகள் ஃபெஃபெர்மன்-வோட் தேற்றம் ப்ரிஸ்பர்கர் எண்கணித கட்டமைப்புகளின் பொதுவான பெருக்கல் (சக்தி) ஆக பெருக்கப்படும் இயற்கை எண்களின் கட்டமைப்பை எண்கணிதத்தின் அடிப்படை தேற்றத்தின் மூலம் பார்ப்பதன் மூலம் ஸ்கோலெம் எண்கணிதத்தின் தீர்க்கக்கூடிய தன்மையைக் குறிக்கிறது. மாதிரி கோட்பாடு குறிப்புகள்