Elliptical distribution
நிகழ்தகவு மற்றும் புள்ளிவிவரங்களில், ஒரு நீள்வட்ட விநியோகம் என்பது பன்முக இயல்பான விநியோகத்தை பொதுமைப்படுத்தும் நிகழ்தகவு விநியோகங்களின் பரந்த குடும்பத்தின் எந்தவொரு உறுப்பினரும் ஆவார். உள்ளுணர்வாக, எளிமைப்படுத்தப்பட்ட இரு மற்றும் முப்பரிமாண வழக்கில், கூட்டு விநியோகம் ஐசோ-அடர்த்தி அடுக்குகளில் முறையே ஒரு நீள்வட்டத்தையும் நீள்வட்டத்தையும் உருவாக்குகிறது. புள்ளிவிவரங்களில், இயல்பான விநியோகம் கிளாசிக்கல் மல்டிவேரியேட் பகுப்பாய்வில் பயன்படுத்தப்படுகிறது, அதே நேரத்தில் நீள்வட்ட விநியோகங்கள் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட மல்டிவேரியேட் பகுப்பாய்வில் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, மல்டிவேரியேட் டி-டிஸ்ட்ரிபியூஷன் அல்லது ஒளி (இயல்பான விநியோகத்துடன் ஒப்பிடுகையில்) போன்ற கனமான வால்களுடன் சமச்சீர் விநியோகங்களைப் பற்றிய ஆய்வுக்கு. இயல்பான விநியோகத்தைப் பற்றிய ஆய்வால் முதலில் தூண்டப்பட்ட சில புள்ளிவிவர முறைகள் பொதுவான நீள்வட்ட விநியோகங்களுக்கு (வரையறுக்கப்பட்ட மாறுபாட்டுடன்), குறிப்பாக கோள விநியோகங்களுக்கு (அவை கீழே வரையறுக்கப்பட்டுள்ளன) நல்ல செயல்திறனைக் கொண்டுள்ளன. முன்மொழியப்பட்ட பன்முக-புள்ளிவிவர நடைமுறைகளை மதிப்பீடு செய்ய வலுவான புள்ளிவிவரங்களிலும் நீள்வட்ட விநியோகங்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. எலிப்டிகல் டிஸ்ட்ரிபியூஷன்கள் நிகழ்தகவு கோட்பாட்டின் சிறப்பியல்பு செயல்பாட்டின் அடிப்படையில் வரையறுக்கப்படுகின்றன. ஒரு யூக்ளிடியன் இடத்தில் ஒரு சீரற்ற திசையன் ஒரு நீள்வட்ட விநியோகத்தைக் கொண்டுள்ளது, அதன் சிறப்பியல்பு செயல்பாடு பின்வரும் செயல்பாட்டு சமன்பாட்டை (ஒவ்வொரு நெடுவரிசை-திசையனுக்கும்) சில இருப்பிட அளவுரு, சில எதிர்மறை-வரையறுக்கப்படாத அணி மற்றும் சில அளவிடுதல் செயல்பாட்டை திருப்திப்படுத்துகிறது. உண்மையான சீரற்ற-திசையன்களுக்கான நீள்வட்ட விநியோகங்களின் வரையறை சிக்கலான எண்களின் புலத்தின் மீது யூக்ளிடியன் இடைவெளிகளில் சீரற்ற திசையன்களுக்கு இடமளிக்க நீட்டிக்கப்பட்டுள்ளது, இதனால் நேர-தொடர் பகுப்பாய்வில் பயன்பாடுகளை எளிதாக்குகிறது. நீள்வட்ட விநியோகங்களிலிருந்து போலி-சீரற்ற திசையன்களை உருவாக்குவதற்கான கணக்கீட்டு முறைகள் கிடைக்கின்றன, எடுத்துக்காட்டாக மான்டே கார்லோ உருவகப்படுத்துதல்களில் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. சில நீள்வட்ட விநியோகங்கள் அவற்றின் அடர்த்தி செயல்பாடுகளின் அடிப்படையில் மாற்றாக வரையறுக்கப்படுகின்றன. அடர்த்தி சார்பு f உடன் ஒரு நீள்வட்ட விநியோகம் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளதுஃ இயல்பாக்கும் மாறிலி எங்கே, சராசரி திசையன் கொண்ட ஒரு பரிமாண சீரற்ற திசையன் (இது பிந்தையது இருந்தால் சராசரி திசையனும் கூட), மற்றும் ஒரு நேர்மறை திட்டவட்டமான அணி, இது கோவேரியன்ஸ் மேட்ரிக்ஸுக்கு விகிதாசாரமாக உள்ளது. எடுத்துக்காட்டுகளில் பின்வரும் பல்வகை நிகழ்தகவு விநியோகங்கள் அடங்கும்ஃ பல்வகை இயல்பான விநியோகம் பல்வகை டி-விநியோகம் சமச்சீர் பல்வகை நிலையான விநியோகம் சமச்சீர் பல்வகை லாப்லேஸ் விநியோகம் பல்வகை லாஜிஸ்டிக் விநியோகம் பல்வகை சமச்சீர் பொது ஹைபர்போலிக் விநியோக பண்புகள் 2 பரிமாண வழக்கில், அடர்த்தி இருந்தால், ஒவ்வொரு ஐசோ-அடர்த்தி லோகஸ் (x1, x2 ஜோடிகள் அனைத்தும் ஒரு குறிப்பிட்ட மதிப்பைக் கொடுக்கும்) ஒரு நீள்வட்ட அல்லது நீள்வட்டங்களின் ஒன்றிணைப்பு (எனவே நீள்வட்ட விநியோகம் என்று பெயர்). மேலும் பொதுவாக, தன்னிச்சையான n க்கு, ஐசோ-அடர்த்தி இருப்பிடம் நீள்வட்டங்களின் தொழிற்சங்கங்கள் ஆகும். இந்த நீள்வட்டங்கள் அல்லது நீள்வட்டங்கள் அனைத்தும் பொதுவான மையத்தை கொண்டுள்ளன மற்றும் ஒருவருக்கொருவர் அளவிடப்பட்ட நகல்கள் (ஹோமோதெட்டுகள்) ஆகும். பன்முக இயல்பான விநியோகம் என்பது இதில் உள்ள சிறப்பு வழக்கு. மல்டிவேரியேட் நார்மல் வரம்பற்றதாக இருக்கும்போது (ஒவ்வொரு உறுப்பும் பூஜ்ஜியமற்ற நிகழ்தகவுடன் தன்னிச்சையாக பெரிய நேர்மறை அல்லது எதிர்மறை மதிப்புகளை எடுக்கலாம், ஏனெனில் அனைத்து எதிர்மறை அல்லாதவற்றிற்கும்), பொதுவாக நீள்வட்ட விநியோகங்கள் வரம்புக்குட்பட்டதாகவோ வரம்பற்றதாகவோ இருக்கலாம்-அத்தகைய விநியோகம் சில மதிப்பை விட அதிகமாக இருந்தால் வரம்புக்குட்பட்டது. காச்சி விநியோகம் போன்ற வரையறுக்கப்படாத சராசரியைக் கொண்ட நீள்வட்ட விநியோகங்கள் உள்ளன (ஒற்றை மாறுபாட்டில் கூட). ஒரு கூட்டு நீள்வட்ட சீரற்ற திசையனின் இரண்டு துணைக்குழுக்கள் தொடர்பில்லாதவை என்றால், அவற்றின் வழிமுறைகள் இருந்தால் அவை ஒருவருக்கொருவர் சுயாதீனமானவை (மற்ற துணை திசையனின் மதிப்பில் நிபந்தனைக்குட்பட்ட ஒவ்வொரு துணை திசையனின் சராசரி நிபந்தனையற்ற சராசரிக்கு சமம்). சீரற்ற திசையன் X நீள்வட்டமாக விநியோகிக்கப்பட்டால், முழு வரிசை தரவரிசை கொண்ட எந்த மேட்ரிக்ஸ் D க்கும் DX ஆகும். எனவே X இன் கூறுகளின் எந்தவொரு நேரியல் கலவையும் நீள்வட்டமானது (அதே நீள்வட்ட விநியோகத்துடன் அவசியமில்லை என்றாலும்), மேலும் X இன் எந்த துணைக்குழுவும் நீள்வட்டமானது. எலிப்டிகல் டிஸ்ட்ரிபியூஷன்கள் புள்ளியியல் மற்றும் பொருளாதாரத்தில் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. கணிதப் பொருளாதாரத்தில், நீள்வட்டப் பகிர்வுகள் கணித நிதித் துறைகளை விவரிக்கப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. புள்ளியியல்ஃ பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட பன்முகப் பகுப்பாய்வு புள்ளியியலில், பன்முக இயல்பான விநியோகம் (காஸின்) பாரம்பரிய பன்முகப் பகுப்பாய்வில் பயன்படுத்தப்படுகிறது, இதில் மதிப்பீடு மற்றும் கருதுகோள்-சோதனைக்கான பெரும்பாலான முறைகள் இயல்பான விநியோகத்திற்கு உந்துதல் அளிக்கின்றன. கிளாசிக்கல் மல்டிவேரியேட் பகுப்பாய்விற்கு மாறாக, பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட மல்டிவேரியேட் பகுப்பாய்வு என்பது இயல்புநிலையின் கட்டுப்பாடு இல்லாமல் நீள்வட்ட விநியோகங்கள் குறித்த ஆராய்ச்சியைக் குறிக்கிறது. பொருத்தமான நீள்வட்ட விநியோகங்களுக்கு, சில பாரம்பரிய முறைகள் தொடர்ந்து நல்ல பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன. வரையறுக்கப்பட்ட-மாறுபாடு அனுமானங்களின் கீழ், கோக்ரானின் தேற்றத்தின் விரிவாக்கம் (இருபடி வடிவங்களின் விநியோகம் குறித்து) உள்ளது. பூஜ்ஜிய சராசரி மற்றும் அடையாள-மேட்ரிக்ஸ் இருக்கும் வடிவத்தில் மாறுபாட்டைக் கொண்ட ஒரு நீள்வட்ட விநியோகம் ஒரு கோள விநியோகம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. கோள விநியோகங்களைப் பொறுத்தவரை, அளவுரு-மதிப்பீடு மற்றும் கருதுகோள்-சோதனை பிடிப்பு ஆகியவற்றில் பாரம்பரிய முடிவுகள் நீட்டிக்கப்பட்டுள்ளன. இதே போன்ற முடிவுகள் நேரியல் மாதிரிகளுக்கும், உண்மையில் சிக்கலான மாதிரிகளுக்கும் (குறிப்பாக வளர்ச்சி வளைவு மாதிரிக்கும்) பொருந்தும். பன்முக மாதிரிகளின் பகுப்பாய்வு பன்முக இயற்கணிதம் (குறிப்பாக க்ரோனெக்கர் தயாரிப்புகள் மற்றும் திசையன்மயமாக்கல்) மற்றும் அணி கால்குலஸைப் பயன்படுத்துகிறது. வலுவான புள்ளிவிவரங்கள்ஃ அறிகுறியற்ற தன்மை நீள்வட்ட விநியோகங்களின் மற்றொரு பயன்பாடு வலுவான புள்ளிவிவரங்களில் உள்ளது, இதில் ஆராய்ச்சியாளர்கள் நீள்வட்ட விநியோகங்களின் வகுப்பில் புள்ளிவிவர நடைமுறைகள் எவ்வாறு செயல்படுகின்றன என்பதை ஆய்வு செய்கிறார்கள், மேலும் பொதுவான சிக்கல்களில் நடைமுறைகளின் செயல்திறனைப் பற்றிய நுண்ணறிவைப் பெற, எடுத்துக்காட்டாக புள்ளிவிவரங்களின் வரம்புக்குட்பட்ட கோட்பாட்டைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் ("அறிகுறியற்ற தன்மை"). போர்ட்ஃபோலியோ கோட்பாட்டில் பொருளாதாரம் மற்றும் நிதி நீள்வட்ட விநியோகங்கள் முக்கியமானவை, ஏனெனில், போர்ட்ஃபோலியோ உருவாக்கத்திற்கு கிடைக்கக்கூடிய அனைத்து சொத்துக்களின் வருமானமும் கூட்டாக நீள்வட்டமாக விநியோகிக்கப்பட்டால், அனைத்து போர்ட்ஃபோலியோக்களும் அவற்றின் இருப்பிடம் மற்றும் அளவுகோலால் முழுமையாக வகைப்படுத்தப்படலாம்-அதாவது, ஒரே இருப்பிடம் மற்றும் போர்ட்ஃபோலியோ வருமானத்தின் அளவு கொண்ட எந்த இரண்டு போர்ட்ஃபோலியோக்களும் போர்ட்ஃபோலியோ வருமானத்தின் ஒரே மாதிரியான விநியோகங்களைக் கொண்டுள்ளன. பரஸ்பர நிதி பிரிப்பு கோட்பாடுகள் மற்றும் மூலதன சொத்து விலை மாதிரி உள்ளிட்ட போர்ட்ஃபோலியோ பகுப்பாய்வின் பல்வேறு அம்சங்கள் அனைத்து நீள்வட்ட விநியோகங்களுக்கும் பொருந்தும். குறிப்புகள் குறிப்புகள் முதலில் மேலும் வாசிப்பு ஆவணங்களின் தொகுப்பு. நிகழ்தகவு விநியோகங்களின் வகைகள் இருப்பிட அளவிலான குடும்ப நிகழ்தகவு விநியோகங்கள் பல்வேறுபட்ட புள்ளிவிவரங்கள் இயல்பான விநியோகம்