Eigenvalues and eigenvectors of the second derivative
தொடர்ச்சியான மற்றும் தனித்துவமான நிகழ்வுகளுக்கு வெவ்வேறு எல்லை நிபந்தனைகளுடன் இரண்டாவது வழித்தோன்றலின் ஐகென் மதிப்புகள் மற்றும் ஐகென் வெக்டர்களுக்கான தெளிவான சூத்திரங்கள் வழங்கப்படுகின்றன. தனித்துவமான வழக்கில், இரண்டாவது வழித்தோன்றலின் நிலையான மைய வேறுபாடு தோராயமாக ஒரு சீரான கட்டத்தில் பயன்படுத்தப்படுகிறது. இந்த சூத்திரங்கள் மாறிகள் பிரிக்கப்பட்டால் லாப்லாசியனின் ஐகென் செயல்பாடுகளுக்கான வெளிப்பாடுகளைப் பெறவும், அதே போல் ஒரு வழக்கமான கட்டத்தில் பன்முக வேறுபட்ட லாப்லாசியனின் ஐகென் மதிப்புகள் மற்றும் ஐகென் திசையன்களைக் கண்டறியவும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, இது ஒரு பரிமாணத்தில் தனித்த லாப்லாசியன்களின் க்ரோனெக்கர் கூட்டுத்தொகையாக வழங்கப்படுகிறது. தொடர்ச்சியான வழக்கு குறியீட்டு j என்பது jth ஐகென் மதிப்பு அல்லது ஐகென் வெக்டரைக் குறிக்கிறது மற்றும் 1 முதல் இயங்குகிறது. சமன்பாடு களத்தில் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம், பின்வருபவை ஐகென் மதிப்புகள் மற்றும் இயல்பாக்கப்பட்ட ஐகென் திசையன்கள். ஐகென் மதிப்புகள் இறங்கு வரிசையில் வரிசைப்படுத்தப்படுகின்றன. தூய டிரிச்லெட் எல்லை நிபந்தனைகள் தூய நியூமன் எல்லை நிபந்தனைகள் காலமுறை எல்லை நிபந்தனைகள் (அதாவதுஃ ஒரு எளிய ஐகென் மதிப்பு மற்றும் மேலும் அனைத்து ஐகென் மதிப்புகளும், ஒவ்வொன்றும் பெருக்கம் 2 உடன் கொடுக்கப்படுகின்றன). கலப்பு டிரிச்லெட்-நியூமன் எல்லை நிபந்தனைகள் கலப்பு நியூமன்-டிரிச்லெட் எல்லை நிபந்தனைகள் தனித்துவமான வழக்கு குறிப்புஃ குறியீட்டெண் j என்பது j வது ஐகென் மதிப்பு அல்லது ஐகென் வெக்டரைக் குறிக்கிறது. குறியீடு i ஒரு ஐகென் வெக்டரின் ith கூறுகளைக் குறிக்கிறது. i மற்றும் j இரண்டும் 1 முதல் n வரை செல்கின்றன, அங்கு மேட்ரிக்ஸ் அளவு n x n ஆகும். ஐகென் வெக்டர்கள் இயல்பாக்கப்படுகின்றன. ஐகென் மதிப்புகள் இறங்கு வரிசையில் வரிசைப்படுத்தப்படுகின்றன. தூய டிரிச்லெட் எல்லை நிபந்தனைகள் தூய நியூமன் எல்லை நிபந்தனைகள் காலமுறை எல்லை நிபந்தனைகள் (0 ஐத் தவிர ஐகென் மதிப்புகள் மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்படுகின்றன என்பதையும், n சமமாக இருந்தால் மிகப்பெரியது என்பதையும் நினைவில் கொள்க.) கலப்பு டிரிச்லெட்-நியூமன் எல்லை நிபந்தனைகள் கலப்பு நியூமன்-டிரிச்லெட் எல்லை நிபந்தனைகள் டிரிச்லெட் வழக்கில் ஐகென் மதிப்புகள் மற்றும் ஐகென் வெக்டர்களின் வழித்தோன்றல் டிரிச்லெட் எல்லை நிபந்தனைகளுடன் 1D தனித்துவமான வழக்கில், மறுசீரமைப்பு விதிமுறைகளைத் தீர்க்கிறோம், இப்போது நாம் பெறுவோம். மேலும், பூஜ்ஜியமற்ற எந்த அளவீடும் மூலம் ஐகென் வெக்டர்களை அளவிட முடியும் என்று வைத்துக்கொள்வோம், எனவே அளவிடவும். பின்னர் 2 வது வகையின் kth செபிஷேவ் பல்லுறுப்புக்கோவை எங்கே என்பதை ஒரு நிச்சயமற்றதாகக் கருத்தில் கொண்டு மறுபிரதி செய்வதைக் காண்கிறோம். ஏனென்றால், நாம் அதைப் பெறுகிறோம். நமது சிக்கலின் ஐகென் மதிப்புகள் இரண்டாவது வகையான n வது செபிஷேவ் பல்லுறுப்புக்கோவையின் பூஜ்ஜியங்களாக இருக்கும் என்பது தெளிவாகிறது. இந்த பூஜ்ஜியங்கள் நன்கு அறியப்பட்டவை மற்றும் அவை பின்வருமாறுஃ இவற்றுக்கான சூத்திரத்தில் செருகலாம், மேலும் எளிமைப்படுத்த ஒரு முக்கோண சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, நியூமன் வழக்கைக் காண்கிறோம் நியூமன் வழக்கில், நாம் தீர்க்கிறோம் நிலையான டிஸ்க்ரிடைசேஷனில், நாம் அறிமுகப்படுத்துகிறோம் மற்றும் வரையறுக்கிறோம் எல்லை நிபந்தனைகள் பின்னர் சமமானவை மாறிகளின் மாற்றத்தை நாம் செய்தால், பின்வருவனவற்றைப் பெறலாம்ஃ எல்லை நிபந்தனைகளுடன். இது துல்லியமாக உட்புற கட்ட புள்ளிகள் மற்றும் கட்ட இடைவெளி கொண்ட டிரிச்லெட் சூத்திரமாகும். மேலே நாம் பார்த்ததைப் போலவே, நாம் பெறுகிறோம் என்று வைத்துக் கொள்ளுங்கள் இது நமக்கு ஐகென் மதிப்புகளைத் தருகிறது மற்றும் உள்ளன. இந்த அனுமானத்தை நாம் கைவிட்டால், இதற்கும் ஒரு தீர்வு இருப்பதைக் காண்கிறோம், இது ஐகென் மதிப்புடன் ஒத்திருக்கிறது. மேலே உள்ள சூத்திரத்தில் உள்ள குறியீடுகளை மறுபெயரிட்டு, பூஜ்ஜிய ஐகென் மதிப்புடன் இணைத்து, டிரிக்லெட்-நியூமன் வழக்கைப் பெறுகிறோம். இந்த மூன்று சமன்பாடுகளின் சரியான கலவையை எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம், நாம் பெற முடியும். மேலும் நமது நியூமன் எல்லை நிபந்தனையுடன் இணைந்து, நம்மிடம் ஒரு நன்கு அறியப்பட்ட சூத்திரம் உள்ளது, இது முதல் வகையான செபிஷேவ் பல்லுறுப்புக்கோவைகளை, இரண்டாவது வகையானவற்றுடன் தொடர்புபடுத்துகிறது. (n + 1) வது மதிப்பு பூஜ்ஜிய திசையனை ஐகென் மதிப்பு 0 உடன் ஒரு ஐகென் வெக்டராக நமக்கு வழங்குகிறது, இது அற்பமானது. அசல் மறுநிகழ்வுக்குத் திரும்புவதன் மூலம் இதைக் காணலாம். எனவே இந்த மதிப்புகளில் முதல் n ஐ மட்டுமே டிரிக்லெட்-நியூமன் சிக்கலின் n ஐகென் மதிப்புகள் என்று கருதுகிறோம். குறிப்புகள் இயக்குபவர் கோட்பாடு மேட்ரிக்ஸ் கோட்பாடு எண் வேறுபாடு சமன்பாடுகள் வரையறுக்கப்பட்ட வேறுபாடுகள்