Frucht's theorem
ஃப்ரூச்சின் தேற்றம் என்பது இயற்கணித வரைபடக் கோட்பாட்டில் ஒரு தேற்றமாகும், இது 1936 இல் டென்ஸ் கோனிக் என்பவரால் அனுமானிக்கப்பட்டது மற்றும் 1939 இல் ராபர்ட் ஃப்ரூக்ட் என்பவரால் நிரூபிக்கப்பட்டது. ஒவ்வொரு வரையறுக்கப்பட்ட குழுவும் ஒரு வரையறுக்கப்படாத வரையறுக்கப்பட்ட வரைபடத்தின் சமச்சீர் குழுவாகும் என்று அது கூறுகிறது. மேலும் வலுவாக, எந்தவொரு வரையறுக்கப்பட்ட குழு G க்கும் எண்ணற்ற பல ஐசோமார்பிக் அல்லாத எளிய இணைக்கப்பட்ட வரைபடங்கள் உள்ளன, அவை ஒவ்வொன்றின் தானியங்கி உருவகக் குழுவும் G க்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும். ஆதார யோசனை ஆதாரத்தின் முக்கிய யோசனை G இன் கெய்லி வரைபடம், G இன் ஜெனரேட்டர்களை ஒருவருக்கொருவர் வேறுபடுத்துவதற்காக அதன் விளிம்புகளில் வண்ணங்கள் மற்றும் நோக்குநிலைகளைச் சேர்ப்பதன் மூலம், விரும்பிய தானியங்கி உருவகக் குழுவைக் கொண்டுள்ளது என்பதைக் கவனிப்பதாகும். எனவே, இந்த விளிம்புகள் ஒவ்வொன்றும் பொருத்தமான துணை வரைபடத்தால் மாற்றப்பட்டால், ஒவ்வொரு மாற்று துணை வரைபடமும் சமச்சீரற்றதாகவும், இரண்டு மாற்றீடுகள் ஒரே நிறத்தின் விளிம்புகளை மாற்றினால் மட்டுமே ஐசோமார்பிக் ஆகவும் இருந்தால், இந்த மாற்றீடுகளைச் செய்வதன் மூலம் உருவாக்கப்பட்ட திசைதிருப்பப்படாத வரைபடமும் அதன் சமச்சீர் குழுவாக G ஐக் கொண்டிருக்கும். வரைபட அளவு மூன்று விதிவிலக்குகளுடன்-3,4 மற்றும் 5 வரிசைகளின் சுழற்சி குழுக்கள்-ஒவ்வொரு குழுவையும் ஒரு வரைபடத்தின் சமச்சீர் என்று குறிப்பிடலாம், அதன் செங்குத்துகள் இரண்டு சுற்றுப்பாதைகளை மட்டுமே கொண்டுள்ளன. எனவே, வரைபடத்தில் உள்ள செங்குத்துகளின் எண்ணிக்கை குழுவின் வரிசையை விட இரண்டு மடங்கு அதிகமாக இருக்கும். விதிவிலக்குகளின் ஒரு பெரிய தொகுப்புடன், பெரும்பாலான வரையறுக்கப்பட்ட குழுக்கள் ஒரு உச்சி-இடைநிலை வரைபடத்தின் சமச்சீர்மைகளாக குறிப்பிடப்படலாம், குழுவின் வரிசைக்கு சமமான பல செங்குத்துகளுடன். ஃப்ரூச்சின் தேற்றத்தின் வலுவான பதிப்புகள் உள்ளன, அவை சில வரையறுக்கப்பட்ட வரைபடங்களின் குடும்பங்கள் எந்தவொரு சமச்சீர் குழுவையும் உணர போதுமான வரைபடங்களைக் கொண்டுள்ளன என்பதைக் காட்டுகின்றன. உண்மையில் விரும்பிய பண்புடன் பல 3-வழக்கமான வரைபடங்கள் உள்ளன என்பதை ஃப்ரூக்ட் நிரூபித்தார்; எடுத்துக்காட்டாக, ஃப்ரூக்ட் வரைபடம், 12 செங்குத்துகள் மற்றும் 18 விளிம்புகளைக் கொண்ட 3-வழக்கமான வரைபடம், அற்பமான சமச்சீர் இல்லை, இது அற்பமான குழுவிற்கு இந்த வகையின் உணர்வை வழங்குகிறது. கெர்ட் சபிடுஸ்ஸி, எந்தவொரு குழுவையும் எண்ணற்ற பல தனித்துவமான கே-வழக்கமான வரைபடங்கள், கே-வெர்டெக்ஸ்-இணைக்கப்பட்ட வரைபடங்கள் அல்லது கே-வண்ண வரைபடங்களின் சமச்சீர் குழுக்களாக உணர முடியும் என்பதைக் காட்டினார், அனைத்து நேர்மறை முழு எண் மதிப்புகளுக்கும் கே (வழக்கமான வரைபடங்களுக்கும் கே-வண்ண வரைபடங்களுக்கும்). ஒவ்வொரு வரைபடத்தையும் அதன் விளிம்புகள் மற்றும் செங்குத்துகளின் கட்டுப்பாட்டு பகுதி வரிசையில் இருந்து மறுகட்டமைக்க முடியும் என்ற உண்மைகளிலிருந்து, ஒவ்வொரு வரையறுக்கப்பட்ட பகுதி வரிசையும் பிர்காஃப்பின் பிரதிநிதித்துவ தேற்றத்தால் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட விநியோக ஜல்லிக்கு சமம், ஒவ்வொரு வரையறுக்கப்பட்ட குழுவையும் ஒரு விநியோக ஜல்லின் சமச்சீர் மற்றும் ஜல்லின் வரைபடம், ஒரு சராசரி வரைபடமாக உணர முடியும். ஒவ்வொரு வரையறுக்கப்பட்ட குழுவையும் ஒரு வலுவான வழக்கமான வரைபடத்தின் சமச்சீர் குழுவாக உணர முடியும். ஒவ்வொரு வரையறுக்கப்பட்ட குழுவையும் எண் இரண்டை வேறுபடுத்தும் ஒரு வரைபடத்தின் சமச்சீர்மைகளாகவும் உணர முடியும்ஃ ஒருவர் (முறையற்ற முறையில்) வரைபடத்தை இரண்டு வண்ணங்களால் வண்ணமயமாக்க முடியும், இதனால் வரைபடத்தின் சமச்சீர்மைகள் எதுவும் நிறத்தைப் பாதுகாக்காது. இருப்பினும், சில முக்கியமான வகை வரைபடங்கள் அனைத்து குழுக்களையும் அவற்றின் சமச்சீர்மைகளாக உணர முடியவில்லை. காமில் ஜோர்டான் மரங்களின் சமச்சீர் குழுக்களை அற்பமான குழுவைக் கொண்ட வரையறுக்கப்பட்ட குழுக்களின் மிகச்சிறிய தொகுப்பாக வகைப்படுத்தினார், மேலும் ஒருவருக்கொருவர் நேரடி தயாரிப்புகளின் கீழ் மூடப்பட்டு, சமச்சீர் குழுக்களுடன் மாலைப் பொருட்கள்; குறிப்பாக, வரிசை மூன்று சுழற்சி குழு ஒரு மரத்தின் சமச்சீர் குழு அல்ல. பிளானர் வரைபடங்கள் அனைத்து குழுக்களையும் அவற்றின் சமச்சீர்மைகளாக உணரும் திறன் கொண்டவை அல்ல; எடுத்துக்காட்டாக, பிளானர் வரைபடங்களின் சமச்சீர்மைகளாக இருக்கும் வரையறுக்கப்பட்ட எளிய குழுக்கள் சுழற்சி குழுக்கள் மற்றும் மாற்று குழுக்கள் மட்டுமே. மேலும் பொதுவாக, ஒவ்வொரு சிறிய-மூடிய வரைபடக் குடும்பமும் அதன் வரைபடங்களின் சமச்சீர் மூலம் அனைத்து வரையறுக்கப்பட்ட குழுக்களையும் பிரதிநிதித்துவப்படுத்த முடியாது. லாஸ்லோ பாபாய், இன்னும் வலுவாக, ஒவ்வொரு சிறிய-மூடப்பட்ட குடும்பமும் இறுதியாக பல சுழற்சி அல்லாத வரையறுக்கப்பட்ட எளிய குழுக்களை மட்டுமே பிரதிநிதித்துவப்படுத்த முடியும் என்று அனுமானிக்கிறார். எல்லையற்ற வரைபடங்கள் மற்றும் குழுக்கள் இஸ்பிக்கி 1959 இல் இந்த முடிவுகளை விரிவுபடுத்தி, எந்தவொரு வரையறுக்கப்பட்ட சமச்சீர் குழுவையும் உணர்ந்து எண்ணற்ற பல எல்லையற்ற வரைபடங்கள் இருந்தன என்பதைக் காட்டியது. இறுதியாக, ஜோஹன்னஸ் டி க்ரூட் மற்றும் சபிடுஸி ஆகியோர் 1959/1960 இல் எந்தவொரு குழுவும் (குழு வரையறுக்கப்பட்டதாக இருக்கும் என்ற அனுமானத்தை கைவிட்டு, ஆனால் விருப்பத்தின் கோட்பாட்டின் அனுமானத்துடன்) எல்லையற்ற வரைபடத்தின் சமச்சீர் குழுவாக உணர முடியும் என்பதை சுயாதீனமாக நிரூபித்தனர். குறிப்பு ஆதாரங்கள். . . . . . மேற்கோள் காட்டியபடி. . . வரைபடக் கோட்பாட்டில் இயற்கணித வரைபடக் கோட்பாடு தேற்றம்