Arithmetic progression topologies
கணிதத்தின் கிளைகளான பொது இடவியல் மற்றும் எண் கோட்பாட்டில், எண்கணித முன்னேற்றங்கள், வடிவத்தின் வரிசைகள் அல்லது திறந்த தொகுப்புகளின் பொருத்தமான தொகுப்பை ஒரு தளமாக எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம் முழு எண்களின் தொகுப்பில் அல்லது நேர்மறை முழு எண்களின் தொகுப்பில் பல்வேறு இடவியலை வரையறுக்க முடியும். ஃபர்ஸ்டன்பெர்க் இடவியல் மற்றும் கோலோம்ப் இடவியல் மற்றும் கிர்ச் இடவியல் ஆகியவை மூன்று எடுத்துக்காட்டுகளாகும். துல்லியமான வரையறைகள் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. ஹில்லெல் ஃபர்ஸ்டன்பெர்க் பகா எண்களின் தொகுப்பின் முடிவிலிக்கு ஒரு "இடவியல்" ஆதாரத்தை வழங்குவதற்காக முதல் இடவியலை அறிமுகப்படுத்தினார். இரண்டாவது இடவியல் சாலமன் கோலோம்பால் ஆய்வு செய்யப்பட்டது மற்றும் இணைக்கப்பட்ட எண்ணற்ற எல்லையற்ற ஹவுஸ்டோர்ஃப் இடத்தின் உதாரணத்தை வழங்குகிறது. ஏ. எம். கிர்ச் அறிமுகப்படுத்திய மூன்றாவது இடவியல், எண்ணற்ற எல்லையற்ற ஹவுஸ்டோர்ஃப் இடத்தின் ஒரு எடுத்துக்காட்டு, இது இணைக்கப்பட்ட மற்றும் உள்ளூரில் இணைக்கப்பட்டுள்ளது. இந்த நிலப்பரப்புகள் சுவாரஸ்யமான பிரிப்பு மற்றும் ஒரே மாதிரியான பண்புகளையும் கொண்டுள்ளன. ஒரு எண்கணித முன்னேற்ற இடவியல் பற்றிய கருத்தை தன்னிச்சையான டெடெக்கிண்ட் களங்களுக்கு பொதுமைப்படுத்தலாம். அத்தகைய இரண்டு எண்கணித முன்னேற்றங்களின் குறுக்கீடு காலியாக உள்ளது, அல்லது அதே வடிவத்தின் மற்றொரு எண்கணித முன்னேற்றம்ஃ குறைந்தபட்ச பொதுவான பெருக்கல் எங்கே மற்றும் அதே போல், ஒரு பக்க எண்கணித முன்னேற்றங்கள் மற்றும் வடிவத்தின் துணைக்குழுக்களாகும். அத்தகைய இரண்டு எண்கணித முன்னேற்றங்களின் குறுக்குவெட்டு காலியாக உள்ளது, அல்லது அதே வடிவத்தின் மற்றொரு எண்கணித முன்னேற்றமாகும்ஃ குறுக்குவெட்டில் உள்ள மிகச்சிறிய உறுப்புக்கு சமம். வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான எண்கணித முன்னேற்றங்களின் ஒவ்வொரு காலியாக இல்லாத குறுக்குவெட்டும் மீண்டும் ஒரு எண்கணித முன்னேற்றம் என்பதை இது காட்டுகிறது. எண்கணித முன்னேற்றங்களின் தொகுப்பைத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலமோ அல்லது தேர்வு செய்வதன் மூலமோ, அனைத்து உறுப்புகளையும் திறந்த தொகுப்புகளாக அறிவித்து, அவற்றால் உருவாக்கப்பட்ட இடவியலை எடுத்துக்கொள்வதன் மூலமோ ஒரு இடவியலை வரையறுக்க முடியும். இரண்டு கூறுகளின் ஏதேனும் காலியாக இல்லாத குறுக்குவெட்டு மீண்டும் ஒரு உறுப்பாக இருந்தால், சேகரிப்பு இடவியல் ஒரு அடித்தளமாக இருக்கும். பொதுவாக, இது இடவியல் ஒரு துணை அடித்தளமாக இருக்கும், மற்றும் அனைத்து எண்கணித முன்னேற்றங்களின் தொகுப்பு உறுப்புகளின் வெற்றிடமற்ற வரையறுக்கப்பட்ட குறுக்குவெட்டுகள் இடவியல் ஒரு அடித்தளமாக இருக்கும். மூன்று சிறப்பு வழக்குகள் பின்பற்றப்படுகின்றன. ஃபர்ஸ்டன்பெர்க் இடவியல், அல்லது சமமாக இடைவெளி கொண்ட முழு எண் இடவியல், முழு எண்களின் தொகுப்பில் உள்ள அனைத்தின் தொகுப்பையும் ஒரு தளமாக எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம் பெறப்படுகிறது மற்றும் நேர்மறை முழு எண்களின் தொகுப்பில் உள்ள கோலோம்ப் இடவியல், அல்லது ஒப்பீட்டளவில் பகா முழு எண் இடவியல், மற்றும் ஒப்பீட்டளவில் பகா எண்களுடன் உள்ள அனைத்தின் தொகுப்பையும் ஒரு தளமாக எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம் பெறப்படுகிறது. சமமாக, கூடுதல் நிபந்தனையுடன் அத்தகைய தொகுப்புகளின் துணை சேகரிப்பும் இடவியல் ஒரு அடித்தளத்தை உருவாக்குகிறது. தொடர்புடைய இடவியல் இடைவெளி கோலோம்ப் இடைவெளி என்று அழைக்கப்படுகிறது. நேர்மறை முழு எண்களின் தொகுப்பில் உள்ள கிர்ச் டோபாலஜி அல்லது பிரைம் இன்டெஜர் டோபாலஜி, சமமாக வகுக்கப்படாத மற்றும் பிரைம் கொண்ட அனைத்தின் தொகுப்பையும் ஒரு துணை தளமாக எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம் பெறப்படுகிறது, ஒருவர் பிரைம் மற்றும் பிரைம் கொண்ட அனைத்தின் தொகுப்பையும் ஒரு துணை தளமாக எடுத்துக் கொள்ளலாம். இடவியல் ஒரு அடிப்படை ஒப்பீட்டளவில் பகா மற்றும் சதுரம் இல்லாத (அல்லது கூடுதல் நிபந்தனை அதே) அனைத்து கொண்டுள்ளது. அதனுடன் தொடர்புடைய இடவியல் இடம் கிர்ச் இடம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. கிர்ச் இடவியலில் உள்ள ஒவ்வொரு திறந்த தொகுப்பும் கோலோம்ப் இடவியலில் திறந்திருக்கும் என்ற அர்த்தத்தில் மூன்று இடவியல்களும் தொடர்புடையவை, மேலும் கோலோம்ப் இடவியலில் உள்ள ஒவ்வொரு திறந்த தொகுப்பும் ஃபர்ஸ்டன்பெர்க் இடவியலில் திறந்திருக்கும் (துணை இடத்திற்கு மட்டுப்படுத்தப்பட்டுள்ளது). தொகுப்பில், கிர்ச் இடவியல் கோலோம்ப் இடவியலை விட கரடுமுரடானது, இது ஃபர்ஸ்டன்பெர்க் இடவியலை விட கரடுமுரடானது. பண்புகள் கோலோம்ப் இடவியல் மற்றும் கிர்ச் இடவியல் ஆகியவை ஹவுஸ்டோர்ஃப் ஆகும், ஆனால் வழக்கமானவை அல்ல. ஃபர்ஸ்டன்பெர்க் இடவியல் ஹவுஸ்டோர்ஃப் மற்றும் வழக்கமானதாகும். இது அளவிடக்கூடியது, ஆனால் முழுமையாக அளவிடக்கூடியது அல்ல. உண்மையில், இது உண்மையான கோட்டிலிருந்து பெறப்பட்ட சப்ஸ்பேஸ் டோபாலஜியுடன் விகிதமுறு எண்களுக்கு ஹோமியோமார்பிக் ஆகும். ஃபர்ஸ்டன்பெர்க் இடவியல் விகிதமுறு எண்களின்-adic நிறைவுடன் நெருக்கமாக தொடர்புடையது என்பதை ப்ரூவான் காட்டியுள்ளார். இணைப்பின் பண்புகளைப் பொறுத்தவரை, ஃபர்ஸ்டன்பெர்க் இடவியல் முற்றிலும் துண்டிக்கப்பட்டுள்ளது. கோலோம்ப் இடவியல் இணைக்கப்பட்டுள்ளது, ஆனால் உள்ளூரில் இணைக்கப்படவில்லை. கிர்ச் இடவியல் இணைக்கப்பட்டுள்ளது மற்றும் உள்ளூரில் இணைக்கப்பட்டுள்ளது. ஃபர்ஸ்டன்பெர்க் இடவியல் கொண்ட முழு எண்கள் ஒரு ஒரே மாதிரியான இடத்தை உருவாக்குகின்றன, ஏனெனில் இது ஒரு இடவியல் வளையம்-ஒருவிதத்தில், இது ஒரு வளையமாக இருக்கும் ஒரே இடவியல். இதற்கு மாறாக, கோலோம்ப் இடமும் கிர்ச் இடமும் இடவியல் ரீதியாக கடினமானவை-ஒரே சுய-ஒத்த உருவகம் அற்பமானது. ஃபர்ஸ்டன்பெர்க் மற்றும் கோலோம்ப் இடவியல் இரண்டும் எண்ணற்ற பல பகா எண்கள் உள்ளன என்பதற்கு ஒரு சான்றை வழங்குகின்றன. ஆதாரத்தின் ஒரு ஸ்கெட்ச் பின்வருமாறு இயங்குகிறதுஃ ஒரு பகா எண்ணை சரிசெய்து, (நேர்மறை, கோலோம்ப் இடைவெளி வழக்கில்) முழு எண்கள் இறுதியாக பல எஞ்சிய வகுப்புகளின் மாடுலோவின் ஒன்றிணைப்பு என்பதைக் கவனியுங்கள். ஒவ்வொரு எஞ்சிய வகுப்பும் ஒரு எண்கணித முன்னேற்றம், எனவே குளோப்பன் ஆகும். ஒவ்வொரு பகா எண்களின் பெருக்கங்களையும் கவனியுங்கள். இந்த மடங்குகள் ஒரு எஞ்சிய வகுப்பாகும் (எனவே மூடப்பட்டிருக்கும்), மேலும் இந்த தொகுப்புகளின் ஒன்றிணைப்பு அலகுகளைத் தவிர அனைத்தும் (கோலோம்ப்ஃ நேர்மறை) முழு எண்களாகும். இறுதியாக பல பகா எண்கள் இருந்தால், அந்த ஒன்றியம் ஒரு மூடிய தொகுப்பாகும், எனவே அதன் நிரப்பு (}) திறந்திருக்கும். ஆனால் ஒவ்வொரு காலியாக இல்லாத திறந்த தொகுப்பும் எல்லையற்றது, எனவே} திறந்திருக்காது. ஃபர்ஸ்டன்பெர்க் இடவியல் என்பது ஒரு குழுவில் உள்ள வரம்பற்ற இடவியலின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு. விரிவாக, இது சேர்ப்பதன் மூலம் தூண்டப்பட்ட இடவியல் ஆகும், அங்கு அதன் வரம்பற்ற இடவியல் கொண்ட வரம்பற்ற முழு எண் வளையம் உள்ளது. ஒரு எண்கணித முன்னேற்றம் பற்றிய கருத்து தன்னிச்சையான தொகுதிகளில் அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கிறது, ஆனால் அவற்றில் ஒரு இடவியல் கட்டுமானம் குறுக்குவெட்டின் கீழ் மூடுவதை நம்பியுள்ளது. அதற்கு பதிலாக, சரியான பொதுமைப்படுத்தல் ஒரு டெடெக்கிண்ட் களத்தின் இலட்சியங்களிலிருந்து ஒரு இடவியலை உருவாக்குகிறது. இந்த செயல்முறை அதிக எண்ணிக்கையிலான எண்ணற்ற, ஹவுஸ்டோர்ஃப், இணைக்கப்பட்ட தொகுப்புகளை உருவாக்குகிறது, ஆனால் வெவ்வேறு டெடெக்கிண்ட் களங்கள் ஹோமியோமார்பிக் இடவியல் இடைவெளிகளை உருவாக்க முடியுமா என்பது தற்போதைய ஆராய்ச்சியின் ஒரு தலைப்பாகும். குறிப்புகள் குறிப்புகள். இடவியல் இடைவெளிகள் எண்கணிதத் தொடர்