LOBPCG
லோக்கல் ஆப்டிமல் பிளாக் ப்ரீ கண்டிஷன் செய்யப்பட்ட கான்ஜுகேட் கிரேடியன்ட் (எல். ஓ. பி. பி. சி. ஜி) என்பது கொடுக்கப்பட்ட ஜோடி சிக்கலான ஹெர்மிடியன் அல்லது ரியல் சமச்சீர் மேட்ரிக்ஸ்களுக்கு ஒரு சமச்சீர் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ஐகென் மதிப்பு சிக்கலின் மிகப்பெரிய (அல்லது மிகச்சிறிய) ஐகென் மதிப்புகள் மற்றும் அதனுடன் தொடர்புடைய ஐகென் திசையன்களைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான ஒரு மேட்ரிக்ஸ் இல்லாத முறையாகும், அங்கு மேட்ரிக்ஸ் நேர்மறை-வரையறுக்கப்பட்டதாகக் கருதப்படுகிறது. பின்னணி கான்டோரோவிச் 1948 ஆம் ஆண்டில் ஒரு சமச்சீர் மேட்ரிக்ஸின் மிகச்சிறிய ஐகென் மதிப்பை செங்குத்தான இறங்கு மூலம் கணக்கிட முன்மொழிந்தார், ஒரு அளவிடக்கூடிய உற்பத்தியில் ஒரு ரேலே ஈவு அளவின் அளவிடப்பட்ட சாய்வின் திசையைப் பயன்படுத்தி, திசையன்களின் நேரியல் இடைவெளியில் ரேலே ஈவு அளவைக் குறைப்பதன் மூலம் படி அளவு கணக்கிடப்படுகிறது மற்றும், அதாவது. உள்ளூரில் உகந்த முறையில். சமோகிஷ் எஞ்சிய திசையனுக்கு ஒரு முன் நிபந்தனையைப் பயன்படுத்த முன்மொழிந்தார், இது முன்நிபந்தனை செய்யப்பட்ட திசையை உருவாக்குகிறது மற்றும் ஈஜென்வெக்டரை அணுகும்போது பெறப்பட்ட அறிகுறியற்றது, ஒருங்கிணைப்பு விகித வரம்புகள். டி 'யாகோனோவ் நிறமாலைக்கு சமமான முன் நிபந்தனை மற்றும் பெறப்பட்ட அறிகுறியற்ற ஒருங்கிணைப்பு விகித வரம்புகளை பரிந்துரைத்தார். ஐகென் மதிப்பு சிக்கல்களுக்கான உள்ளூரில் உகந்த பல-படி செங்குத்தான வம்சாவளியைத் தடுப்பது விவரிக்கப்பட்டது. தற்போதைய தோராயத்தால் பரப்பப்பட்ட துணை இடத்தில் ரேலே ஈவு விகிதத்தின் உள்ளூர் குறைப்பு, தற்போதைய எஞ்சிய மற்றும் முந்தைய தோராயமும், அதன் தொகுதி பதிப்பும் இதில் தோன்றின. முன்நிபந்தனை செய்யப்பட்ட பதிப்பு மற்றும் பகுப்பாய்வு செய்யப்பட்டது. முக்கிய அம்சங்கள் மேட்ரிக்ஸ் இல்லாதவை, அதாவது. குணகம் மேட்ரிக்ஸை வெளிப்படையாக சேமிக்க வேண்டிய அவசியமில்லை, ஆனால் மேட்ரிக்ஸ்-வெக்டர் தயாரிப்புகளை மதிப்பீடு செய்வதன் மூலம் மேட்ரிக்ஸை அணுகலாம். காரணிமயமாக்கல் இல்லாதது, அதாவது. ஒரு பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ஐகென் மதிப்பு சிக்கலுக்கு கூட எந்த மேட்ரிக்ஸ் சிதைவும் தேவையில்லை. ஒரு மறு செய்கைக்கான செலவுகள் மற்றும் நினைவக பயன்பாடு ஆகியவை லான்சோஸ் முறையுடன் போட்டியிடுகின்றன, இது ஒரு சமச்சீர் மேட்ரிக்ஸின் ஒற்றை தீவிர ஐகென்பேரைக் கணக்கிடுகிறது. நேரியல் ஒருங்கிணைப்பு கோட்பாட்டளவில் உத்தரவாதம் அளிக்கப்படுகிறது மற்றும் நடைமுறையில் கவனிக்கப்படுகிறது. நேரடி முன் நிபந்தனை காரணமாக துரிதப்படுத்தப்பட்ட ஒருங்கிணைப்பு, லான்சோஸ் முறைக்கு மாறாக, மாறி மற்றும் சமச்சீரற்ற மற்றும் நிலையான மற்றும் நேர்மறை திட்டவட்டமான முன் நிபந்தனை உட்பட. முன்கூட்டிய நிபந்தனை மூலம் திறமையான டொமைன் சிதைவு மற்றும் மல்டிகிரிட் நுட்பங்களை அற்பமாக இணைக்க அனுமதிக்கிறது. ஒவ்வொரு மறு செய்கையிலும் ஈஜென்வெக்டருக்கு ஒரு தோராயமான கணக்கீட்டை வார்ம் தொடங்குகிறது மற்றும் கணக்கிடுகிறது. லான்சோஸ் முறையுடன் ஒப்பிடும்போது எண்ணிக்கையில் மிகவும் நிலையானது, மேலும் குறைந்த துல்லியமான கணினி எண்கணிதத்தில் செயல்பட முடியும். செயல்படுத்த எளிதானது, பல பதிப்புகள் ஏற்கனவே தோன்றியுள்ளன. பிளாக்கிங் மிகவும் திறமையான மேட்ரிக்ஸ்-மேட்ரிக்ஸ் செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்த அனுமதிக்கிறது, எ. கா., பிஎல்ஏஎஸ் 3. ஒருங்கிணைப்பு வேகம் மற்றும் ஆர்த்தோகனலைசேஷன்களின் கணினி செலவுகள் மற்றும் ஒவ்வொரு மறு செய்கையிலும் ரேலே-ரிட்ஸ் முறையை சமநிலைப்படுத்த தொகுதி அளவை மாற்றியமைக்கலாம். வழிமுறை ஒற்றை-வெக்டர் பதிப்பு முதற்கட்டங்கள்ஃ ஐகென் மதிப்பு சிக்கல்களுக்கான சாய்வு வம்சாவளி இந்த முறை பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ரேலே ஈவு அளவின் ஒரு மறு செய்கை அதிகபட்சமாக்கலை (அல்லது குறைத்தல்) செய்கிறது, இதன் விளைவாக மிகப்பெரிய (அல்லது மிகச்சிறிய) ஐகென் ஜோடிகளைக் கண்டறிகிறது. ஒரு முன் நிபந்தனை இருந்தால், அது எஞ்சியவற்றில் பயன்படுத்தப்படுகிறது மற்றும் முன் நிபந்தனை எஞ்சிய என்று அழைக்கப்படும் திசையனை வழங்குகிறது. முன் நிபந்தனை இல்லாமல், நாம் அமைக்க மற்றும் எனவே. ஒரு மறுசுழற்சி முறை அல்லது, சுருக்கமாக, முன்நிபந்தனை செய்யப்பட்ட செங்குத்தான ஏற்றம் (அல்லது இறங்கு) என்று அழைக்கப்படுகிறது, அங்கு அளவிடுதல் படி அளவு என்று அழைக்கப்படுகிறது. ரேலே ஈவு அளவை அதிகரிப்பதன் மூலம் உகந்த படி அளவை தீர்மானிக்க முடியும், அதாவது, (அல்லது குறைக்கும் விஷயத்தில்), இந்த விஷயத்தில் முறை உள்ளூரில் உகந்ததாக அழைக்கப்படுகிறது. மூன்று-கால மறுநிகழ்வு உள்ளூரில் உகந்த முன்நிபந்தனை செய்யப்பட்ட செங்குத்தான ஏறுதலின் (அல்லது இறங்கு) ஒருங்கிணைப்பை வியத்தகு முறையில் துரிதப்படுத்த, இரண்டு-கால மறுநிகழ்வு உறவில் ஒரு கூடுதல் திசையனை மூன்று-காலமாக மாற்றலாம்ஃ (குறைக்கும் விஷயத்தில் பயன்படுத்தவும்). முப்பரிமாண உட்பிரிவில் ரேலே ஈவு அளவை அதிகப்படுத்துதல்/குறைத்தல் ஆகியவை ரேலே-ரிட்ஸ் முறையின் மூலம் எண்ணியல் ரீதியாக செய்யப்படலாம். அதிக திசையன்களைச் சேர்ப்பது, பார்க்க, எ. கா., ரிச்சர்ட்சன் எக்ஸ்ட்ராபோலேஷன், குறிப்பிடத்தக்க முடுக்கத்தை ஏற்படுத்தாது, ஆனால் கணக்கீட்டு செலவுகளை அதிகரிக்கிறது, எனவே பொதுவாக பரிந்துரைக்கப்படவில்லை. எண்ணியல் நிலைத்தன்மை மேம்பாடுகள் மறு செய்கைகள் ஒன்றிணைவதால், திசையன்கள் கிட்டத்தட்ட நேரியல் சார்ந்து இருக்கும், இதன் விளைவாக துல்லியமான இழப்பு ஏற்படுகிறது மற்றும் ரெய்லீ-ரிட்ஸ் முறையை ரவுண்ட்-ஆஃப் பிழைகள் முன்னிலையில் எண்ணியல் ரீதியாக நிலையற்றதாக ஆக்குகிறது. முப்பரிமாண துணை இடத்தின் அடிப்படையில், திசையனை ஒரு திசையனுடன் மாற்றுவதன் மூலம் துல்லியத்தின் இழப்பு தவிர்க்கப்படலாம், அதே நேரத்தில் துணை இடத்தை மாற்றாமல் வைத்திருப்பது மற்றும் ஆர்த்தோகனலைசேஷன் அல்லது வேறு எந்த கூடுதல் செயல்பாடுகளையும் தவிர்க்கலாம். மேலும், நிலைத்தன்மை மற்றும் அடையக்கூடிய துல்லியத்தை மேம்படுத்துவதற்கு தவறான நிபந்தனைக்குட்பட்ட ஐகென் மதிப்பு சிக்கல்களுக்கு முப்பரிமாண துணை இடத்தின் அடிப்படையை ஆர்த்தோகனலைசிங் தேவைப்படலாம். கிரைலோவ் சஸ்பேஸ் அனலாக்ஸ் இது எல். ஓ. பி. பி. சி. ஜி முறையின் ஒற்றை-வெக்டர் பதிப்பாகும்-இது சமச்சீர் ஐகென் மதிப்பு சிக்கல்களின் விஷயத்தில் முன்நிபந்தனை செய்யப்பட்ட இணை சாய்வு நேரியல் தீர்வுகளின் சாத்தியமான பொதுமைப்படுத்தல்களில் ஒன்றாகும். அற்பமான விஷயத்தில் கூட, இதன் விளைவாக ஏற்படும் தோராயமானது லான்சோஸ் வழிமுறையால் பெறப்பட்டதிலிருந்து வேறுபட்டிருக்கும், இருப்பினும் இரண்டு தோராயங்களும் ஒரே கிரைலோவ் துணை இடத்தை சேர்ந்தவை. நடைமுறை பயன்பாட்டு சூழ்நிலைகள் எல்ஓபிபிசிஜியின் ஒற்றை-வெக்டர் பதிப்பின் தீவிர எளிமை மற்றும் அதிக செயல்திறன் ஆகியவை கடுமையான வன்பொருள் வரம்புகளின் கீழ் ஐகென் மதிப்பு தொடர்பான பயன்பாடுகளுக்கு அதை கவர்ச்சிகரமானதாக ஆக்குகின்றன, ஸ்பெக்ட்ரல் கிளஸ்டரிங் அடிப்படையிலான நிகழ்நேர ஒழுங்கின்மையைக் கண்டறிவது முதல் உட்பொதிக்கப்பட்ட ஏஎஸ்ஐசி அல்லது எஃப். பி. ஜி. ஏ இல் வரைபடப் பகிர்வு மூலம் இயற்பியல் நிகழ்வுகளை மாதிரியாக்குவது வரை எக்ஸாஸ்கேல் டாப் 500 சூப்பர் கம்ப்யூட்டர்களில் பதிவு கணினி சிக்கலின் இயற்பியல் நிகழ்வுகள். பிளாக் பதிப்பு சுருக்கம் அடுத்தடுத்த ஐகென்பெயர்களை ஒற்றை-வெக்டர் எல்ஓபிபிசிஜி வழியாக ஒவ்வொன்றாக கணக்கிடலாம், இது ஒரு ஆர்த்தோகனல் பணவாட்டத்துடன் அல்லது ஒரே நேரத்தில் ஒரு தொகுதியாக இணைக்கப்படுகிறது. முந்தைய அணுகுமுறையில், ஏற்கனவே கணக்கிடப்பட்ட தோராயமான ஐகென் வெக்டர்களில் உள்ள துல்லியமற்ற தன்மைகள் பின்னர் கணக்கிடப்பட்ட ஐகென் வெக்டர்களின் துல்லியத்தை சேர்க்கின்றன, இதனால் ஒவ்வொரு புதிய கணக்கீட்டிலும் பிழையை அதிகரிக்கிறது. எல். ஓ. பி. பி. சி. ஜி. யின் தொகுதி பதிப்பில் உள்ளூரில் உகந்த பாணியில் ஒரு தொகுதியில் பல தோராயமான ஐகென் வெக்டர்களை ஒன்றாக மறு செய்க. ஒற்றை-வெக்டர் எல். ஓ. பி. பி. சி. ஜி மெதுவான ஒருங்கிணைப்பால் பாதிக்கப்படும் கிட்டத்தட்ட பல ஐகென் மதிப்புகளுடன் தொடர்புடையவை உட்பட ஐகென் வெக்டர்களின் வேகமான, துல்லியமான மற்றும் வலுவான கணக்கீட்டை அனுமதிக்கிறது. தொகுதி அளவை எண் நிலைத்தன்மை மற்றும் ஒருங்கிணைப்பு வேகம் மற்றும் ஆர்த்தோகனலைசேஷன்களின் கணினி செலவுகள் மற்றும் ஒவ்வொரு மறு செய்கையிலும் ரேலே-ரிட்ஸ் முறையை சமநிலைப்படுத்த முடியும். கோர் வடிவமைப்பு எல்ஓபிபிசிஜியில் உள்ள பிளாக் அணுகுமுறை ஒற்றை-திசையன்கள் மற்றும் பிளாக்-திசையன்களுடன் மாற்றப்படுகிறது, அதாவது. மேட்ரிக்ஸ் மற்றும், எ. கா., ஒவ்வொரு நெடுவரிசையும் ஐகென் வெக்டர்களில் ஒன்றை தோராயமாக மதிப்பிடுகிறது. அனைத்து நெடுவரிசைகளும் ஒரே நேரத்தில் மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்படுகின்றன, மேலும் தோராயமான ஐகென் வெக்டர்களின் அடுத்த மேட்ரிக்ஸ் ரேலே-ரிட்ஸ் முறையால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. மேட்ரிக்ஸின் ஒவ்வொரு நெடுவரிசைக்கும் முன்நிபந்தனை செய்யப்பட்ட எஞ்சியபடி ஒவ்வொரு நெடுவரிசையும் கணக்கிடப்படுகிறது, இது நெடுவரிசைகள் மற்றும் நெடுவரிசைகளால் பரவியுள்ள துணை இடங்கள் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும் வகையில் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. எண் நிலைத்தன்மை மற்றும் செயல்திறன் ரேலே-ரிட்ஸ் முறையின் விளைவு மேட்ரிக்ஸின் அனைத்து நெடுவரிசைகளாலும் பரப்பப்பட்ட துணை இடத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது, மேலும் துணை இடத்தின் அடிப்படை கோட்பாட்டளவில் தன்னிச்சையாக இருக்க முடியும். இருப்பினும், துல்லியமற்ற கணினி எண்கணிதத்தில் சில அடிப்படை திசையன்கள் தோராயமாக நேரியல் சார்ந்து இருந்தால் ரேலே-ரிட்ஸ் முறை எண் ரீதியாக நிலையற்றதாகிவிடும். எண்ணியல் நிலையற்ற தன்மைகள் பொதுவாக நிகழ்கின்றன, எ. கா., இடரேட்டிவ் பிளாக்கில் உள்ள சில ஐகென் வெக்டர்கள் ஏற்கனவே கொடுக்கப்பட்ட கணினி துல்லியத்திற்கு அடையக்கூடிய துல்லியத்தை அடைந்தால், குறிப்பாக குறைந்த துல்லியத்தில் முக்கியமானது, எ. கா., ஒற்றை துல்லியம். எல்ஓபிபிசிஜியின் பல வேறுபட்ட செயல்பாட்டின் கலை, குறைந்த கணினி செலவுகளில் ரேலே-ரிட்ஸ் முறையின் எண் ஸ்திரத்தன்மையை உறுதி செய்வதாகும். அடிப்படை திசையன்களை ஆர்த்தோகனல் ஆக்குவதற்கான மிகவும் நிலையான அணுகுமுறை, எ. கா., கிராம்-ஷ்மிட் செயல்முறையால், மிகவும் கணக்கீட்டு விலையுயர்ந்ததாகும். எடுத்துக்காட்டாக, எல். ஓ. பி. பி. சி. ஜி அமலாக்கங்கள், இயல்பான மேட்ரிக்ஸின் நிலையற்ற ஆனால் திறமையான சோல்ஸ்கி சிதைவைப் பயன்படுத்துகின்றன, இது முழு துணை இடத்தையும் விட தனிப்பட்ட மேட்ரிக்ஸ்களில் மட்டுமே செய்யப்படுகிறது. கணினி நினைவகத்தின் தொடர்ந்து அதிகரித்து வரும் அளவு இப்போதெல்லாம் வரம்பில் வழக்கமான தொகுதி அளவுகளை அனுமதிக்கிறது, அங்கு கணக்கீட்டு நேரத்தின் சதவீதம் ஆர்த்தோகனலைசேஷன்கள் மற்றும் ரேலே-ரிட்ஸ் முறை ஆதிக்கம் செலுத்தத் தொடங்குகிறது. முன்பு ஒருங்கிணைந்த ஐகென் வெக்டர்களை பூட்டுவது, துணை இடங்களை மீண்டும் மீண்டும் செய்யும் ஐகென் மதிப்பு சிக்கல்களுக்கான தொகுதி முறைகள் பொதுவாக சில மறு செய்கை ஐகென் வெக்டர்களை மற்றவர்களை விட வேகமாக ஒன்றிணைக்கிறது, இது ஏற்கனவே ஒருங்கிணைந்த ஐகென் வெக்டர்களை பூட்டுவதற்கு ஊக்கமளிக்கிறது, அதாவது, தேவையற்ற கணக்கீடுகளை அகற்றுவதற்கும், எண் ஸ்திரத்தன்மையை மேம்படுத்துவதற்கும், மறு செய்கை வளையத்திலிருந்து அவற்றை அகற்றுகிறது. ஒரு ஐகென் வெக்டரை எளிமையாக அகற்றுவது இன்னும் மீண்டும் மீண்டும் வரும் திசையன்களில் அதன் நகலை உருவாக்கக்கூடும். சமச்சீர் ஐகென் மதிப்பு சிக்கல்களின் ஐகென் திசையன்கள் ஜோடி வாரியாக ஆர்த்தோகனல் என்பது அனைத்து மறு செய்கை திசையன்களையும் பூட்டப்பட்ட திசையன்களுக்கு ஆர்த்தோகனல் வைத்திருப்பதைக் குறிக்கிறது. கணக்கீட்டு செலவுகளைக் குறைக்கும் அதே வேளையில் எண் துல்லியம் மற்றும் ஸ்திரத்தன்மையைப் பராமரிக்கும் வகையில் பூட்டுதல் வேறுபட்ட முறையில் செயல்படுத்தப்படலாம். எடுத்துக்காட்டாக, LOBPCG செயல்படுத்தல்கள், பின்தொடர்தல், கடின பூட்டுதலைப் பிரிப்பது, அதாவது. பூட்டப்பட்ட ஈஜென்வெக்டர்கள் ஒரு குறியீடு உள்ளீடாக செயல்படுகின்றன மற்றும் மாறாத நிலையில், மென்மையான பூட்டுதலில் இருந்து, பூட்டப்பட்ட திசையன்கள் எஞ்சியவற்றைக் கணக்கிடுவதற்கான மிகவும் விலையுயர்ந்த மறு செய்கை படியில் பங்கேற்காத நிலையில், இருப்பினும், ரேலே-ரிட்ஸ் முறையில் முழுமையாக பங்கேற்கின்றன, இதனால் ரேலே-ரிட்ஸ் முறையால் மாற்ற அனுமதிக்கப்படுகிறது. மாற்றங்கள், எல். ஓ. பி. பி. சி. ஜி II எல். ஓ. பி. பி. சி. ஜி அனைத்து மேட்ரிக்ஸ்களின் நெடுவரிசைகளையும் ரேலே-ரிட்ஸ் முறையிலும் உள்ளடக்கியது, இதன் விளைவாக ஒவ்வொரு மறு செய்கையிலும் கணக்கிட தேவையான ஐஜென் மதிப்பு சிக்கல் மற்றும் புள்ளி தயாரிப்புகள் வரை தேவைப்படுகிறது, இது தொகுதி அளவைக் குறிக்கிறது-நெடுவரிசைகளின் எண்ணிக்கை. பெரிய தொகுதி அளவுகளுக்கு இது கணக்கீடு மற்றும் I/O செலவுகளில் ஆதிக்கம் செலுத்தத் தொடங்குகிறது மற்றும் இணையாக கட்டுப்படுத்துகிறது, அங்கு பல கணக்கீட்டு சாதனங்கள் ஒரே நேரத்தில் இயங்குகின்றன. அசல் எல்ஓபிபிசிஜி காகிதம் எல்ஓபிபிசிஜி II என்று அழைக்கப்படும் ஒரு மாற்றத்தை விவரிக்கிறது, எல்ஓபிபிசிஜி முறையின் ஒற்றை-வெக்டர் பதிப்பை இயக்கும் அத்தகைய சிக்கலை தீர்க்க விரும்பிய ஒவ்வொரு ஈஜென்பேயருக்கும் ரேலே-ரிட்ஸ் செயல்முறை 3-ஆல்-3 திட்டமிடப்பட்ட ஈஜென்வெல்யூ சிக்கல்களைத் தீர்க்கிறது. அனைத்து ஐகென் ஜோடிகளுக்கான உலகளாவிய ரேலே-ரிட்ஸ் செயல்முறை ஒவ்வொரு மறு செய்கையிலும் உள்ளது, ஆனால் மேட்ரிக்ஸின் நெடுவரிசைகளில் மட்டுமே உள்ளது, இதனால் தேவையான புள்ளி தயாரிப்புகளின் எண்ணிக்கையையும் உலகளாவிய திட்டமிடப்பட்ட ஐகென் மதிப்பு சிக்கலின் அளவையும் ஒவ்வொரு மறு செய்கையிலும்-மூலம்-இருந்து-மூலம்-குறைக்கிறது. குறிப்பு மேலும் ஒவ்வொரு தோராயமான ஐகென் வெக்டருக்கும் தனித்தனியாக எல். ஓ. பி. பி. சி. ஜி வழிமுறையைப் பயன்படுத்துகிறது, அதாவது, ஒரு நிலையான எண்ணிக்கையிலான மறு செய்கைகளுக்கு விரும்பிய ஒவ்வொரு ஐகென் ஜோடிக்கும் எல். ஓ. பி. பி. சி. ஜி முறையின் தடுக்கப்படாத பதிப்பை இயக்குகிறது. இந்த ஓட்டங்களில் உள்ள ரேலே-ரிட்ஸ் நடைமுறைகள் 3 × 3 திட்டமிடப்பட்ட ஐகென் மதிப்பு சிக்கல்களின் தொகுப்பை மட்டுமே தீர்க்க வேண்டும். விரும்பிய அனைத்து ஈஜென்பேர்களுக்கான உலகளாவிய ரேலே-ரிட்ஸ் செயல்முறை ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான தடுக்கப்படாத எல்ஓபிபிசிஜி மறு செய்கைகளின் முடிவில் மட்டுமே அவ்வப்போது பயன்படுத்தப்படுகிறது. அசல் எல். ஓ. பி. பி. சி. ஜி உடன் ஒப்பிடும்போது இத்தகைய மாற்றங்கள் குறைவான வலுவானதாக இருக்கலாம். ஒற்றை-திசையன் எல். ஓ. பி. பி. சி. ஜி. யின் தனித்தனியாக இயங்கும் கிளைகள் தொடர்ச்சியான மறு செய்கை பாதைகளைப் பின்பற்றாமல், அதே ஐகென் வெக்டருக்கு நகல் தோராயங்களை உருவாக்கலாம். ஒற்றை-வெக்டர் எல். ஓ. பி. பி. சி. ஜி கிளஸ்டர் செய்யப்பட்ட ஐகென் மதிப்புகளுக்கு பொருந்தாது, ஆனால் தனித்தனி சிறிய-தொகுதி எல். ஓ. பி. பி. சி. ஜி ஓட்டங்களுக்கு மறு செய்கைகளின் செயல்பாட்டின் போது அவற்றின் தொகுதி அளவுகளை தானாகவே தீர்மானிக்க வேண்டும், ஏனெனில் ஐகென் மதிப்புகளின் கிளஸ்டர்களின் எண்ணிக்கை மற்றும் அவற்றின் அளவுகள் முன்னரே அறியப்படாமல் இருக்கலாம். கட்டமைப்பின் மூலம் ஒருங்கிணைப்புக் கோட்பாடு மற்றும் நடைமுறை எல். ஓ. பி. பி. சி. ஜி ஆகியவை விரிவான ஒருங்கிணைப்புக் கோட்பாட்டைக் கொண்ட தொகுதி செங்குத்தான சாய்வு வம்சாவளியை விட மெதுவாக இல்லாமல் ரேலே ஈவு அளவைக் குறைக்கும் என்று உத்தரவாதம் அளிக்கப்படுகிறது. ஒவ்வொரு ஈஜென்வெக்டரும் ரேலே ஈவு விகிதத்தின் ஒரு நிலையான புள்ளியாகும், அங்கு சாய்வு மறைந்துவிடும். எனவே, எந்தவொரு ஐகென் வெக்டரின் அருகிலும் சாய்வு இறங்கு மெதுவாக இருக்கலாம், இருப்பினும், இது ஒரு நேரியல் ஒருங்கிணைப்பு விகிதத்துடன் ஐகென் வெக்டருடன் ஒன்றிணைவதற்கு உத்தரவாதம் அளிக்கிறது அல்லது, இந்த ஐகென் வெக்டர் ஒரு சேணம் புள்ளியாக இருந்தால், மறு செய்கை ரெய்லீ ஈவு தொடர்புடைய ஐகென் மதிப்பிற்கு கீழே குறைந்து, கீழே உள்ள அடுத்த ஐகென் மதிப்பிற்கு நேரியல் ரீதியாக ஒன்றிணைக்கத் தொடங்குகிறது. நேரியல் ஒருங்கிணைப்பு வீதத்தின் மோசமான மதிப்பு தீர்மானிக்கப்பட்டுள்ளது மற்றும் ஐகென் மதிப்பு மற்றும் மீதமுள்ள மேட்ரிக்ஸ் ஸ்பெக்ட்ரம் மற்றும் முன் நிபந்தனையின் தரம் ஆகியவற்றுக்கு இடையிலான ஒப்பீட்டு இடைவெளியைப் பொறுத்தது. ஒரு பொதுவான மேட்ரிக்ஸைப் பொறுத்தவரை, ஈஜென்வெக்டர்களை கணிக்க எந்த வழியும் இல்லை, இதனால் எப்போதும் நன்றாக வேலை செய்யும் ஆரம்ப தோராயங்களை உருவாக்குகிறது. எல். ஓ. பி. பி. சி. ஜி இன் மறு செய்கை தீர்வு ஆரம்ப ஐகென் வெக்டர்களின் தோராயங்களுக்கு உணர்திறன் கொண்டதாக இருக்கலாம், எ. கா., இடைநிலை ஐகென் ஜோடிகள் கடந்து செல்வதால் மெதுவாக ஒன்றிணைக்க அதிக நேரம் எடுக்கும். மேலும், கோட்பாட்டில், தோல்வியின் நிகழ்தகவு பூஜ்ஜியமாக இருந்தாலும், மிகச்சிறிய ஐகன்பேர்க்கு அவசியம் ஒருங்கிணைப்பை உத்தரவாதம் செய்ய முடியாது. பூஜ்ஜிய சராசரி கொண்ட ஒரு நல்ல தரமான சீரற்ற காஸியன் செயல்பாடு பொதுவாக ஆரம்ப தோராயங்களை உருவாக்க LOBPCG இல் இயல்புநிலை ஆகும். ஆரம்ப தோராயங்களை சரிசெய்ய, சீரற்ற எண் ஜெனரேட்டருக்கு ஒரு நிலையான விதையைத் தேர்ந்தெடுக்கலாம். லான்சோஸ் முறைக்கு மாறாக, எல். ஓ. பி. பி. சி. ஜி நடைமுறையில் அறிகுறியற்ற சூப்பர்லீனியர் ஒருங்கிணைப்பை அரிதாகவே வெளிப்படுத்துகிறது. பகுதி முதன்மை கூறு பகுப்பாய்வு (பிசிஏ) மற்றும் ஒற்றை மதிப்பு சிதைவு (எஸ்விடி) எல்ஓபிபிசிஜி ஆகியவை பல பெரிய ஒற்றை மதிப்புகள் மற்றும் அதனுடன் தொடர்புடைய ஒற்றை திசையன்களை (பகுதி எஸ்விடி) கணக்கிடுவதற்கு அற்பமாக மாற்றியமைக்கப்படலாம், எ. கா., பிசிஏவின் மறுசெய்கை கணக்கீட்டிற்காக, பூஜ்ஜிய சராசரி கொண்ட தரவு மேட்ரிக்ஸுக்கு, கோவேரியன்ஸ் மேட்ரிக்ஸை வெளிப்படையாக கணக்கிடாமல், அதாவது. மேட்ரிக்ஸ் இல்லாத பாணியில். முக்கிய கணக்கீடு என்பது கோவேரியன்ஸ் மேட்ரிக்ஸ் மற்றும் பிளாக்-வெக்டரின் பெருக்கலின் செயல்பாட்டை மதிப்பீடு செய்வதாகும், இது விரும்பிய ஒற்றை திசையன்களை மீண்டும் மீண்டும் தோராயமாக மதிப்பிடுகிறது. பிசிஏ-க்கு கோவேரியன்ஸ் மேட்ரிக்ஸின் மிகப்பெரிய ஐகென் மதிப்புகள் தேவை, அதே நேரத்தில் எல்ஓபிபிசிஜி பொதுவாக மிகச்சிறியவற்றைக் கணக்கிட செயல்படுத்தப்படுகிறது. ஈஜென்வெல்யூ சிக்கலின் மேட்ரிக்ஸ் நேர்மறையான திட்டவட்டமானதா இல்லையா என்பதை எல்ஓபிபிசிஜி பொருட்படுத்தாததால், செயல்பாட்டை மறுப்பது, ஈஜென்வெல்யூக்களின் வரிசையை மாற்றுவது மற்றும் மாற்றியமைப்பது ஒரு எளிய வேலை. பி. சி. ஏ மற்றும் எஸ். வி. டி. க்கான எல். ஓ. பி. பி. சி. ஜி அறிவியல் தொழில்நுட்பத்தில் 1.4.1 பொது மென்பொருள் அமலாக்கங்கள் எல். ஓ. பி. பி. சி. ஜி இன் கண்டுபிடிப்பாளர் ஆண்ட்ரூ க்ன்யாஸேவ், பிளாக் லோகலி ஆப்டிமல் ப்ரீ கண்டிஷன் செய்யப்பட்ட ஐகென் வேல்யூ சோல்வர்ஸ் (பி. எல். ஓ. பி. இ. எக்ஸ்) என்ற குறிப்பு செயல்படுத்தலை வெளியிட்டார், இது பி. இ. டி. எஸ். சி, ஹைப்பர் மற்றும் இணையான படிநிலை அடாப்டிவ் மல்டி லெவல் முறை (பி. எச். ஏ. எம். எல்) ஆகியவற்றுடன் இடைமுகங்களைக் கொண்டுள்ளது. பிற செயல்பாடுகள் உள்ளன, எ. கா., குனு ஆக்டேவ், MATLAB (விநியோகிக்கப்பட்ட அல்லது டைலிங் வரிசைகள் உட்பட), ஜாவா, அனசாசி (ட்ரிலினோஸ்), SLEPc, அறிவியல், ஜூலியா, மேக்மா, பைடோர்ச், ரஸ்ட், ஓபன்எம்பி மற்றும் ஓபன்ஏசிசி, குப்பி (CUDA ஆல் துரிதப்படுத்தப்பட்ட ஒரு எண்-இணக்கமான வரிசை நூலகம்), கூகிள் ஜாக்ஸ் மற்றும் என்விடியா AMGX. LOBPCG டென்சார்ஃப்ளோவில் செயல்படுத்தப்படுகிறது, ஆனால் சேர்க்கப்படவில்லை. பயன்பாடுகள் தரவுச் சுரங்க மென்பொருள் தொகுப்புகள் ஸ்கிகிட்-லர்ன் மற்றும் மெகாமன் ஆகியவை எல். ஓ. பி. பி. சி. ஜி. யைப் பயன்படுத்தி ஸ்பெக்ட்ரல் கிளஸ்டரிங் மற்றும் லாப்லாசியன் ஐகென்மேப்ஸ் வழியாக பெரிய தரவுத் தொகுப்புகளுக்கு கற்றலை பன்மடங்கு அளவிடுகின்றன. என்விடியா சி. யு. டி. ஏ 8 இல் அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட அதன் என். வி. ஜி. ஆர். ஏ. பி. எச் நூலகத்தில் எல். ஓ. பி. பி. சி. ஜி. யை செயல்படுத்தியுள்ளது. ஸ்பிங்க்ஸ், ஒரு கலப்பின விநியோகிக்கப்பட்ட-மற்றும் பகிரப்பட்ட-நினைவகம்-இயக்கப்பட்ட இணையான வரைபட பகிர்வு-விநியோகிக்கப்பட்ட-நினைவக அமைப்புகளில் ஜிபியுக்களில் செயல்படும் முதல் வரைபட பகிர்வு கருவி-வரைபட பகிர்வுக்கு ஸ்பெக்ட்ரல் கிளஸ்டரிங்கைப் பயன்படுத்துகிறது, அனசாசி தொகுப்பிலிருந்து எல்ஓபிபிசிஜியைப் பயன்படுத்தி வரைபடத்தின் லாப்லாசியன் மேட்ரிக்ஸில் ஐகென்வெக்டர்களை கணக்கிடுகிறது. பொருள் அறிவியல் LOBPCG ABINIT (CUDA பதிப்பு உட்பட) மற்றும் ஆக்டோபஸ் ஆகியவற்றில் செயல்படுத்தப்படுகிறது. இது ஜப்பானில் உள்ள எர்த் சிமுலேட்டர் சூப்பர் கம்ப்யூட்டரில் கார்டன் பெல் பரிசு இறுதிப் போட்டியாளர்களால் பல பில்லியன் அளவு மெட்ரிக்குகளுக்கு பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது. சூப்பர் கண்டக்டிவிட்டியின் பின்னணியில் உள்ள பொறிமுறையைப் புரிந்துகொள்ள வலுவாக-தொடர்புடைய எலக்ட்ரான் அமைப்புகளுக்கான ஹப்பார்ட் மாதிரி கே கணினி மற்றும் மல்டி-ஜிபியு அமைப்புகளில் ஹாமில்டோனியனின் தரை நிலையை கணக்கிட எல்ஓபிபிசிஜியைப் பயன்படுத்துகிறது. கோன்-ஷாம் சமன்பாடுகள் மற்றும் அடர்த்தி செயல்பாட்டுக் கோட்பாட்டிற்கான (டிஎஃப்டி) எல்ஓபிபிசிஜியின் மேட்லேப் மற்றும் ஜூலியா பதிப்புகள் விமான அலை அடிப்படையைப் பயன்படுத்தி உள்ளன. சமீபத்திய செயல்பாடுகளில் டிடிபிவை, பிளாடிபஸ்-கியூஎம், எம்எஃப்டிஎன், ஏசிஇ-மூலக்கூறு, லாகோனிக் ஆகியவை அடங்கும். ப்ளோபெக்ஸில் இருந்து மெக்கானிக்ஸ் மற்றும் திரவங்கள் எல்ஓபிபிசிஜி பல நிலை சமநிலை களம் சிதைவு மூலம் கட்டுப்பாடுகள் (பிடிடிசி) தீர்க்கும் நூலகம் பிடிடிசிஎம்எல் இல் முன் நிபந்தனை அமைப்புக்கு பயன்படுத்தப்படுகிறது, இது ஓபன்எஃப்டிஎல் (ஓபன் ஃபைனைட் எலிமென்ட் டெம்ப்ளேட் நூலகம்) மற்றும் ஃப்ளோ123டி சிமுலேட்டரில் நிலத்தடி நீர் ஓட்டம், உடைந்த நுண்ணிய ஊடகங்களில் கரைசல் மற்றும் வெப்பப் போக்குவரத்து ஆகியவற்றில் இணைக்கப்பட்டுள்ளது. எல். ஓ. பி. பி. சி. ஜி. எல். எஸ்-டி. ஒய். என். ஏ-வில் செயல்படுத்தப்பட்டுள்ளது. மேக்ஸ்வெல்லின் சமன்பாடுகள் எல்ஓபிபிசிஜி என்பது பைஃபெமாக்ஸ் மற்றும் உயர் செயல்திறன் மல்டிஃபிசிக்ஸ் வரையறுக்கப்பட்ட உறுப்பு மென்பொருள் நெட்ஜென்/என்ஜிஸோல்வில் உள்ள முக்கிய ஐகென் மதிப்பு தீர்வுகளில் ஒன்றாகும். வரையறுக்கப்பட்ட உறுப்பு முறைகளான எம். எஃப். இ. எம். க்கான திறந்த மூல இலகுரக அளவிடக்கூடிய சி + + நூலகத்தில் ஹைப்பரில் இருந்து எல். ஓ. பி. பி. சி. ஜி இணைக்கப்பட்டுள்ளது, இது பிளாஸ்ட், எக்ஸ்பிரைட், விசிட், எக்ஸ். எஸ். டி. கே, சைடாக்கில் உள்ள ஃபாஸ்ட்மாத் இன்ஸ்டிடியூட் மற்றும் எக்ஸாஸ்கேல் கம்ப்யூட்டிங் திட்டத்தில் திறமையான எக்ஸாஸ்கேல் டிஸ்க்ரிடைசேஷன்களுக்கான இணை வடிவமைப்பு மையம் (சி. இ. இ. டி) உள்ளிட்ட பல திட்டங்களில் பயன்படுத்தப்படுகிறது. மறுசுழற்சி LOBPCG-அடிப்படையிலான தோராயமான குறைந்த-பாஸ் வடிப்பானை மறுசுழற்சிக்கு பயன்படுத்தலாம்; பார்க்க, எ. கா., மொத்த மாறுபாட்டை மறுசுழற்சியை துரிதப்படுத்த. படப் பிரிவு ஸ்பெக்ட்ரல் கிளஸ்டரிங் வழியாக படப் பிரிவு பிக்சல்களுக்கு இடையில் ஒரு இணைப்பு மேட்ரிக்ஸைப் பயன்படுத்தி குறைந்த பரிமாண உட்பொதிப்பைச் செய்கிறது, அதைத் தொடர்ந்து குறைந்த பரிமாண இடத்தில் ஐகென்வெக்டர்களின் கூறுகளின் கிளஸ்டரிங், எ. கா., இருதரப்பு வடிப்பானுக்கான வரைபட லாப்லாசியனைப் பயன்படுத்துகிறது. எல். ஓ. பி. பி. சி. ஜி மூலம் ஸ்பெக்ட்ரல் கிராஃப் பகிர்வு வழியாக படப் பிரிவினை மல்டிகிரிட் முன் நிபந்தனையுடன் முதலில் முன்மொழியப்பட்டது மற்றும் உண்மையில் மற்றும் சோதனை செய்யப்பட்டது. பிந்தைய அணுகுமுறை பின்னர் பைதான் ஸ்கிகிட்-லர்னில் செயல்படுத்தப்பட்டுள்ளது, இது லாப்லாசியன் வரைபடத்திற்கான ஐகென் மதிப்பு சிக்கலைத் தீர்க்க இயற்கணித மல்டிகிரிட் முன் நிபந்தனையுடன் ஸ்கைப் இலிருந்து எல்ஓபிபிசிஜியைப் பயன்படுத்துகிறது. குறிப்புகள் வெளிப்புற இணைப்புகள் மேட்லேப் லோப் பி சி ஜி இல் ஆக்டேவ் லோப் பி சி ஜி ஜாவாவில் அறிவியல் லோப் பி சி ஜி இல் கூகிள் குறியீடு லோப் பி சி ஜி கிட்ஹப்பில் உள்ள பிளாக் லோக்கல் ஆப்டிமல் ப்ரீ கண்டிஷன் செய்யப்பட்ட ஐகென் வேல்யூ சோல்வர்ஸ் (பி. எல். ஓ. பி. இ. எக்ஸ்) மற்றும் கூகிள் குறியீடு எண் நேரியல் இயற்கண அறிவியல் உருவகப்படுத்துதல் மென்பொருளில் காப்பகப்படுத்தப்பட்டுள்ளது