Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio
மிரிஃபிசி லோகரித்மோரம் கேனோனிஸ் டிஸ்க்ரிப்டியோ (லோகரிதம் பற்றிய அற்புதமான நியமத்தின் விளக்கம், 1614) மற்றும் மிரிஃபிசி லோகரித்மோரம் கேனோனிஸ் கன்ஸ்ட்ரக்டியோ (லோகரிதம் பற்றிய அற்புதமான நியமத்தின் கட்டுமானம், 1619) ஆகியவை லத்தீன் மொழியில் ஜான் நேப்பியர் எழுதிய இரண்டு புத்தகங்கள் ஆகும். மற்றவர்கள் மடக்கை பற்றிய யோசனையை அணுகியிருந்தாலும், குறிப்பாக ஜோஸ்ட் புர்கி, நேப்பியர் தான் இந்த கருத்தை முதன்முதலில் வெளியிட்டார், எளிதில் பயன்படுத்தப்பட்ட முன்கூட்டிய அட்டவணைகளுடன், அவரது மிரிஃபி லோகரித்மோரம் கேனோனிஸ் டிஸ்க்ரிப்டியோவில். மடக்கை அறிமுகப்படுத்தப்படுவதற்கு முன்பு, பெருக்கம், வகுத்தல் மற்றும் வேர் பிரித்தெடுத்தல் ஆகியவற்றை உள்ளடக்கிய உயர் துல்லியமான எண் கணக்கீடுகள் கடினமாகவும் பிழைகள் ஏற்படக்கூடியதாகவும் இருந்தன. மடக்கை அத்தகைய கணக்கீடுகளை பெரிதும் எளிதாக்குகிறது. நேப்பியர் கூறியது போல்ஃ "சக கணிதவியலாளர்களே, கணிதக் கலைகளின் நடைமுறையில், நீண்ட பெருக்கங்கள் மற்றும் பிரிவுகளின் டெடியம், விகிதங்களைக் கண்டுபிடிப்பது மற்றும் சதுர மற்றும் கன மூலங்களைப் பிரித்தெடுப்பதில் ஏற்பட்ட பெரும் தாமதங்களை விட கடினமான விஷயம் எதுவுமில்லை. [ஐடி1] செயல்பாடுகளைக் குறைப்பதற்கான ஒரு அற்புதமான வழியைக் கண்டறிந்த பல வழுக்கும் பிழைகளுடன். எண்களின் பெருக்கங்கள் மற்றும் பிரிவுகளுடன் தொடர்புடைய அனைத்து எண்களும், சதுர மற்றும் கன மூலங்களைப் பிரித்தெடுப்பதற்கான நீண்ட கடினமான பணிகளுடன், வேலையிலிருந்து நிராகரிக்கப்படுகின்றன, மேலும் அவற்றின் இடத்தில் பிற எண்கள் மாற்றப்படுகின்றன, அவை கூட்டல், கழித்தல் மூலம் நிராகரிக்கப்பட்ட பணிகளைச் செய்கின்றன. இந்த அட்டவணைகள் கோள முக்கோணவியல் கணக்கீடுகளை பெரிதும் எளிமைப்படுத்தின, அவை வானியல் மற்றும் வான வழிசெலுத்தலுக்கு மையமாக உள்ளன, மேலும் அவை பொதுவாக சைன்கள், கொசைன்கள் மற்றும் பிற செயல்பாடுகளின் தயாரிப்புகளை உள்ளடக்கியது. நேப்பியர் மற்ற பயன்பாடுகளை விவரிக்கிறார், அத்தகைய தீர்க்கும் விகித சிக்கல்களும் கூட. ஜான் நேப்பியர் அட்டவணைகளை கணக்கிட 20 ஆண்டுகள் செலவிட்டார். அவர் தனது மேசைகளை எவ்வாறு கட்டினார் என்பதை விவரிக்கும் ஒரு தனி தொகுதியை எழுதினார், ஆனால் அவரது முதல் புத்தகம் எவ்வாறு பெறப்படும் என்பதைப் பார்க்க வெளியீட்டை நிறுத்தி வைத்தார். ஜான் 1617 இல் இறந்தார். அவரது மகன் ராபர்ட், தனது தந்தையின் புத்தகமான மிரிஃபிசி லோகரித்மோரம் கேனோனிஸ் கன்ஸ்ட்ரக்டியோவை 1619 இல் ஹென்றி பிரிக்ஸ் சேர்த்ததுடன் வெளியிட்டார். சைன் செயல்பாட்டின் மடக்கைக் கணக்கிடுவதற்கு நெப்பியர் வடிவியல் முன்னேற்றங்களின் மூன்று அட்டவணைகளை எவ்வாறு உருவாக்கி பயன்படுத்தினார் என்பதை தி கன்ஸ்ட்ரக்டியோ விவரிக்கிறது. நேப்பியரின் காலத்தில், ஐரோப்பாவில் பயன்படுத்தப்பட்ட தசம குறியீடு, முழு எண்களை மட்டுமே குறிக்கிறது. ஒரு தசம எண்ணுடன் ஒரு பின்னப் பகுதியை சேர்ப்பது சைமன் ஸ்டீவின் முன்மொழிந்தது, ஆனால் அவரது குறியீடு சங்கடமாக இருந்தது. ஒரு தசம எண்ணின் முழு எண் பகுதியை பின்னப் பகுதியிலிருந்து பிரிக்க ஒரு காலகட்டத்தைப் பயன்படுத்துவதற்கான யோசனையை நேப்பியர் தனது கான்ஸ்ட்ரிக்டியோ புத்தகமான பிரிவு 5 இல் முதன்முதலில் முன்மொழிந்தார், "எண்களில் அவற்றின் நடுவில் உள்ள ஒரு காலத்தால் வேறுபடுத்தப்படுகிறது, அந்தக் காலத்திற்குப் பிறகு எழுதப்பட்டவை ஒரு பின்னம், அதன் வகுத்தல் என்பது காலத்திற்குப் பிறகு புள்ளிவிவரங்கள் இருப்பதைப் போலவே அதற்குப் பிறகு பல சைஃபர்களுடன் ஒற்றுமை ஆகும்". அவர் அட்டவணைகளின் துல்லியமான கணக்கீட்டை எளிதாக்க கருத்தைப் பயன்படுத்தினார், ஆனால் அச்சிடப்பட்ட அட்டவணைகளில் அல்ல. எனவே அவரது அட்டவணையில் வெளியிடப்பட்ட ஒரு கோணத்தின் சைன் மதிப்பு என்பது 10,000,000 அலகுகளின் ஹைபோடெனஸுடன் ஒரு வலது முக்கோணத்தில் அந்த கோணத்திற்கு எதிரே உள்ள பக்கத்தின் நீளத்தைக் குறிக்கும் ஒரு முழு எண் ஆகும். இருப்பினும், அட்டவணையில் உள்ள மடக்கை அந்த சைன் மதிப்பை 10,000,000 ஆல் வகுக்கப்படுகிறது. மடக்கை மீண்டும் 10,000,000 இன் மறைமுகமான வகுப்பைக் கொண்ட ஒரு முழு எண்ணாக வழங்கப்படுகிறது. இந்த அட்டவணையில் 45 ஜோடி பக்கங்கள் உள்ளன. ஒவ்வொரு ஜோடியும் மேலே 0 முதல் 44 டிகிரி கோணத்திலும், கீழே 90 முதல் 45 டிகிரி கோணத்திலும் பெயரிடப்பட்டுள்ளன. (44-45 பட்டப் பக்கம் ஒரு பக்கமாக உள்ளது.) அட்டவணையின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள முதல் நெடுவரிசை நிமிடங்களில் ஒரு கோண அதிகரிப்பாகும், இது பக்கத்தின் மேற்புறத்தில் உள்ள டிகிரி மதிப்புடன் சேர்க்கப்படும். மிகவும் வலது நெடுவரிசை ஒவ்வொரு பக்கத்தின் கீழும் உள்ள டிகிரி மதிப்பில் சேர்க்க வேண்டிய நிமிடங்கள் ஆகும். இந்த ஏற்பாடு ஒரு பக்கத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு வரிக்கும், நெடுவரிசை 7 ஆல் குறிக்கப்படும் முழு கோணம் நெடுவரிசை 1 (90°-நெடுவரிசை _ 1) இன் இணை கோணமாகும். உள்நோக்கி நகர்வது, ஒவ்வொரு கோண நெடுவரிசையையும் ஒட்டியிருப்பது அந்த கோணத்தின் சைன் ஆகும், அதைத் தொடர்ந்து அந்த சைனின் நேப்பியரியன் பதிவின் முழுமையான மதிப்பு. பக்கம் முழுவதும் நெடுவரிசை 5 வரை படிப்பதன் மூலம் நெடுவரிசை 1 க்கான பதிவு-கோசைன்களை எளிதில் பெறலாம், மேலும் நேர்மாறாகவும். நடுத்தர நெடுவரிசை இரண்டு பதிவுகளுக்கும் இடையிலான வேறுபாட்டைக் காட்டுகிறது, இது தொடுகோடு செயல்பாட்டின் நேப்பியரியன் பதிவு (நீங்கள் அறிகுறிகளை தலைகீழாக மாற்றினால் கோட்டாஞ்சென்ட்). சைன் மதிப்புகளை (நெடுவரிசைகள் 2 மற்றும் 6) வாதமாகவும், லாக் சைன் மதிப்புகளை (நெடுவரிசைகள் 3 மற்றும் 5) இதன் விளைவாக வரும் மடக்கை ஆகவும் பயன்படுத்தி, ஒன்றுக்கும் குறைவான நேர்மறை எண்களுக்கு நேப்பியரிய மடக்கை அட்டவணையாகவும் அட்டவணைகளைப் பயன்படுத்தலாம். செயல்முறையை மாற்றியமைப்பது ஆன்டி-லோகரிதம்களை வழங்குகிறது. கீழே உள்ள அட்டவணையில் உள்ள முதல் மூன்று வரிசைகள் நேப்பியரின் அட்டவணையின் இடது பக்க 19 டிகிரி பக்கத்தின் தலைப்புகள் மற்றும் முதல் இரண்டு தரவு வரிசைகளை மீண்டும் உருவாக்குகின்றன, புகைப்படத்தைப் பார்க்கவும். அவற்றைத் தொடர்ந்து அதே கோணங்களுக்கு நவீன வழிமுறைகளைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படும் மதிப்புகள் உள்ளன. இவை 8 இலக்க துல்லியமாக வெட்டப்படுகின்றன, இது நேப்பியரின் அட்டவணையின் பெயரளவு 7 இலக்க துல்லியத்தை விட ஒன்று அதிகம். தெளிவிற்காக நெடுவரிசை எண்கள் காட்டப்படுகின்றன. நேப்பியரின் டிஸ்க்ரிப்டியோ என்ற டிஸ்க்ரிப்டியோ உரை இரண்டு புத்தகங்களாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது. முதல் அவரது கண்டுபிடிப்பு மற்றும் சில பயன்பாடுகளை விவரிக்கிறது மற்றும் அட்டவணைகள் அடங்கும். இரண்டாவது முக்கோணவியல் பயன்பாடுகளைப் பற்றி விவாதிக்கிறது. புத்தகம் I அத்தியாயம் 1 தொடர்ச்சியான வரையறைகள் மற்றும் முன்மொழிவுகளைக் கொண்டுள்ளது, இது நெப்பியரின் மடக்கைக் கருத்தை விளக்குகிறது. அவர் இரண்டு இயக்க மாதிரிகளின் அடிப்படையில் மடக்கை வடிவங்களை உருவாக்கினார். முதலாவதாக, ஒரு துகள் ஒரு புள்ளியில் தொடங்கி ஒரு நேர் கோடு வழியாக நிலையான வேகத்தில் நகர்கிறது. இரண்டாவதாக, ஒரு துகள் ஒரு நேர் கோட்டில் நகர்கிறது, அதே ஆரம்ப வேகத்தில் தொடங்குகிறது, ஆனால் அதன் வேகம் தொடக்க புள்ளியில் இருந்து அதன் தூரத்திற்கு விகிதாசாரமாக குறைகிறது. ஒரு எண்ணின் மடக்கை, a, என்பது நிலையான வேக மாதிரியில் ஒரு துகள் பயணித்த தூரமாகும், இது இரண்டாவது, தலைகீழ் விகிதாசார மாதிரியில் உள்ள துகள் a ஐ அடைய எடுக்கும் நேரத்தில். 10,000,000 இன் மடக்கை பூஜ்ஜியமாகவும், அதை விட குறைவான மதிப்புகளின் மடக்கை நேர்மறையாகவும் இருக்க வேண்டும் என்றும் அவர் வரையறுக்கிறார், அதே நேரத்தில் அதிக எண்கள் எதிர்மறை மடக்கைக் கொண்டுள்ளன, இது நவீன மடக்கை எண்களிலிருந்து அடையாளத்தின் தலைகீழ் ஆகும். (இந்த அடையாள மாற்றம் சில நேரங்களில் நேப்பியர் அடிப்படை 1/e உடன் மடக்கைப் பயன்படுத்தினார் என்று கூறுவதன் மூலம் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது.) பூஜ்ஜிய பதிவைக் கொண்டிருக்க எந்த மதிப்பையும் தேர்வு செய்ய தனக்கு சுதந்திரம் இருப்பதாக அவர் குறிப்பிடுகிறார், நவீன சொற்களில் அடிப்படை, ஆனால் கணக்கீட்டை எளிதாக்குவதற்கு 10,000,000 ஐத் தேர்வு செய்கிறார், ஏனெனில் இது அவரது சைன் அட்டவணைகளில் உள்ள "மொத்த சைன்" (ஹைபோடெனஸ்) உடன் பொருந்துகிறது. நேப்பரியன் மடக்கைப் பார்க்கவும். இரண்டாவது அத்தியாயம் மடக்கை பண்புகளை விவரிக்கிறது மற்றும் விகிதங்களுடன் வேலை செய்வதற்கான சில சூத்திரங்களை (உரை வடிவத்தில்) கொடுக்கிறது. தனது கண்டுபிடிப்பு எவ்வாறு பெறப்படுகிறது என்பதைப் பார்க்கும் வரை மடக்கை உருவாக்குவது குறித்த தனது பணியின் வெளியீட்டை அவர் தாமதப்படுத்துகிறார் என்று ஒரு குறிப்புடன் அது முடிவடைகிறது. அத்தியாயம் 3 அட்டவணைகளையும் அவற்றின் ஏழு நெடுவரிசைகளையும் விவரிக்கிறது, மேலே காண்க. நான்காவது அத்தியாயம் அட்டவணைகளை எவ்வாறு பயன்படுத்துவது என்பதை விளக்குகிறது மற்றும் சைன் தொடுகோடுகள் மற்றும் செகண்டுகளுக்கான வேலை எடுத்துக்காட்டுகளை வழங்குகிறது. சைன் மதிப்புகளை வாதமாகவும், இதன் விளைவாக லாக்-சைன் மதிப்புகளையும் பயன்படுத்துவதன் மூலம் எண்களின் மடக்கை நேரடியாக எவ்வாறு பெறுவது என்பதையும் அவர் விளக்குகிறார். பத்தின் வெவ்வேறு மடங்குகளை எவ்வாறு கையாள்வது என்பதை அவர் விவாதிக்கிறார், மேலும் நவீன அறிவியல் குறியீட்டைப் போலவே ஒரு குறியீட்டை அறிமுகப்படுத்துகிறார், அங்கு அவர் ஒரு அளவின் மடக்கைப் பிறகு பல பூஜ்ஜியங்களைச் சேர்த்து பல தசாப்தங்களாக திருத்த வேண்டிய அவசியத்தைக் குறிக்கிறார். வெவ்வேறு சந்தர்ப்பங்களில் சேர்க்க அல்லது கழிக்க வேண்டிய குறிப்பிட்ட மடக்கை அளவுகளை அவர் கொடுக்கிறார்ஃ 23025842 + 0 அல்லது 46051684 + 00, அல்லது 69077527 + 000, அல்லது 92103369 + 0000, அல்லது 115129211 + 00000 இவை 10,000,000 * ln (10), 10,000,000 * ln (100), போன்றவற்றுடன் ஒத்திருக்கின்றன. அத்தியாயம் 5 நேப்பியரின் மடக்கைப் பயன்படுத்தி விகிதாசாரத்திலும் அவற்றின் தீர்விலும் நான்கு சிக்கல்களை முன்வைக்கிறது. "பெருக்கத்திற்கு இவற்றைச் சேர்ப்பதன் மூலமும், பிரிவுக்குக் கழித்தல் மூலம், சதுர வேர்களைப் பிரித்தெடுப்பதற்கு இரண்டால் வகுப்பதன் மூலமும், கன வேர்களுக்கு மூன்றால் வகுப்பதன் மூலமும், இந்த மடக்கை எண்களால் எவ்வளவு பெரிய நன்மை கிடைக்கிறது என்பதைக் கேட்பதன் மூலம் அவர் முடிக்கிறார். கணக்கீட்டின் அனைத்து கனமான வேலைகளும் தவிர்க்கப்படுகின்றன". இரண்டாம் புத்தகம் "முக்கோணவியல் என்று அழைக்கப்படும் அந்த உன்னதமான வடிவியல்" பற்றி விவரிக்கிறது. முதல் அத்தியாயம் சரியான முக்கோணங்களுடன் சமதள முக்கோணவியல் சிக்கல்களைத் தீர்க்க மடக்கைப் பயன்படுத்துவதைக் கையாள்கிறது, குறிப்பாக, சிறிய கோணங்களுடன், அவரது முக்கோணவியல் மடக்கை பெரியதாக மாறும். அடுத்த அத்தியாயம் விமான சாய்ந்த முக்கோணங்களை உள்ளடக்கியது. மீதமுள்ள அத்தியாயங்கள் கோள முக்கோணவியலை உள்ளடக்கியது, இது நாற்கரங்களில் தொடங்குகிறது. கோளத்தில் ஐந்து புள்ளிகள் கொண்ட நட்சத்திரமான தனது பென்டகிராமா மிரிஃபியம் பற்றியும் அவர் விவரிக்கிறார், அதன் கோணங்கள் அனைத்தும் 90 டிகிரி ஆகும். மிரிஃபி லோகரிடமோரம் கேனோனிஸ் கன்ஸ்ட்ரக்டியோ [கோப்புஃ அற்புதமான நியதிச் சட்டத்தின் கட்டுமானம் Logarithms-0025.jpg |thumb |Title பக்கத்தின் ஆங்கில மொழிபெயர்ப்பு] நேப்பியர் தனது கருத்துக்கள் குறித்து கணித சமூகத்தினரிடமிருந்து பின்னூட்டம் நிலுவையில் உள்ள தனது மடக்கை அட்டவணையை எவ்வாறு உருவாக்கினார் என்பதற்கான கோட்பாடு மற்றும் விவரங்களை வெளியிட தயங்கினார், மேலும் அவர் டிஸ்க்ரிப்டியோ வெளியிடப்பட்ட சிறிது நேரத்திலேயே இறந்தார். அவரது மகன் ராபர்ட் 1619 இல் கன்ஸ்ட்ரக்டியோவை வெளியிட்டார். இந்த தொகுதி ராபர்ட் மற்றும் பல இணைப்புகளின் முன்னுரையைக் கொண்டுள்ளது, இதில் கோள முக்கோணங்களை எளிதில் தீர்ப்பதற்கான ஜான் நேப்பியரின் முறைகள் பற்றிய ஒரு பகுதியும், ஹென்றி பிக்ஸ் எழுதிய "மற்றொரு மற்றும் சிறந்த வகையான மடக்கை" பற்றிய ஒரு பகுதியும் அடங்கும், அதாவது அடிப்படை 10 அல்லது பொதுவான மடக்கை. வில்லியம் ரே மெக்டொனால்டின் ஆங்கில மொழிபெயர்ப்பு 1889 ஆம் ஆண்டில் சிறுகுறிப்புகளுடன் வெளியிடப்பட்டது. நேப்பியர் வெவ்வேறு வேக சுயவிவரங்களின் கீழ் நகரும் இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தொடர்பு மூலம் மடக்கை விவரிக்கிறது. முதல் புள்ளி, P, ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட கோடு பிரிவில் P0 முதல் Q வரை நகர்கிறது, ஆரம்ப வேகம் P இன் தூரத்திற்கு Q க்கு விகிதாசாரமாக குறைகிறது. இரண்டாவது புள்ளி, எல், பி அதே நேரத்தில் எல் 0 இல் தொடங்கி அதே ஆரம்ப வேகத்தில் ஒரு வரம்பற்ற கோடு பிரிவில் நகர்கிறது, ஆனால் அந்த வேகத்தை மாற்றமின்றி பராமரிக்கிறது. Q இலிருந்து அதன் தூரத்தால் அளவிடப்படும் P இன் ஒவ்வொரு சாத்தியமான நிலைக்கும், L இன் ஒரே நேரத்தில் நிலை உள்ளது. நேப்பியர் P முதல் Q வரையிலான தூரத்தின் மடக்கை L0 இலிருந்து அந்த L வரையிலான தூரமாக வரையறுத்தார். கணக்கீட்டு அணுகுமுறை நேப்பியர் தனது மடக்கை அட்டவணையை கணக்கிட பல நுண்ணறிவுகளை நம்பியுள்ளது. அதிக துல்லியத்தை அடைய அவர் 10,000,000 இன் பெரிய அடித்தளத்துடன் தொடங்குகிறார். ஆனால் அவர் கண்டுபிடித்த ஒரு குறியீட்டில் தசம பின்னங்களைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் கூடுதல் துல்லியத்தைப் பெறுகிறார், ஆனால் இப்போது உலகளவில் நன்கு அறியப்பட்டவர், அதாவது ஒரு தசம புள்ளியைப் பயன்படுத்துகிறார். சில எடுத்துக்காட்டுகளுடன் அவரது குறியீடு எவ்வாறு செயல்படுகிறது என்பதை அவர் விளக்குகிறார். அவர் தனது கணக்கீடுகளில் ஏற்படும் பிழைகளை பிணைக்க இடைவெளி எண்கணிதத்தின் ஒரு வடிவத்தையும் அறிமுகப்படுத்துகிறார். இப்போது அவர் கவனிக்கும் மற்றொரு பழக்கமான உண்மை என்னவென்றால், 10 இன் சக்திகளாக இருக்கும் டினாமினேட்டர்கள் கொண்ட பின்னங்களை தசம குறியீட்டில் தசம புள்ளிக்கு ஏற்ப எண்ணை மாற்றுவதன் மூலம் எளிதாக கணக்கிட முடியும். அவர் கூறுவது போல்ஃ "நாம் ஒரு எண்ணின் எளிதான பகுதிகளை அழைக்கிறோம், எந்தப் பகுதிகளும் ஒற்றுமையால் ஆனவை மற்றும் பல சைஃபர்கள், அத்தகைய பகுதிகள் அசல் எண்ணின் முடிவில் உள்ள பல புள்ளிவிவரங்களை நிராகரிப்பதன் மூலம் பெறப்படுகின்றன. எண்கணித முன்னேற்றங்களை கணக்கிடுவது எளிது, ஏனெனில் அவை கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் ஆகியவற்றை மட்டுமே உள்ளடக்கியது, ஆனால் வடிவியல் முன்னேற்றங்கள் பொதுவாக கணக்கிடுவது கடினம், ஏனெனில் அவை பெருக்கம், பிரிவு மற்றும் வேர்களை உள்ளடக்கியது. இருப்பினும் வடிவத்தின் பெருக்கிகளை உள்ளடக்கிய வடிவியல் முன்னேற்றங்களை அவர் கவனிக்கிறார் (அதாவது. படிவத்தின் 0.99.9, m நைன்களுடன்) ஒரு கட்டத்திற்கு ஒரு ஷிப்ட் மற்றும் ஒரு கழித்தல் ஆகியவற்றைப் பயன்படுத்தி தன்னிச்சையான துல்லியத்திற்கு கணக்கிட முடியும். இதேபோல், வடிவத்தின் பெருக்கிகள் (அதாவது. 0.99.95) க்கு ஒரு ஷிப்ட் மட்டுமே தேவைப்படுகிறது, முழு துல்லியத்திற்காக ஒரு கட்டத்திற்கு இரண்டால் ஒரு பிரிவு மற்றும் ஒரு கழித்தல், இதை அவர் "சகிக்கக்கூடிய எளிதானது" என்று அழைக்கிறார். ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் மடக்கை ஒவ்வொரு கட்டத்திலும் ஒரு நிலையான மதிப்பால் வேறுபடுகிறது என்பதையும் நேப்பியர் கவனிக்கிறார், அதாவது பெருக்கியின் மடக்கை. எனவே ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றம் மற்றும் பெருக்கியின் ஆரம்ப மதிப்பின் மடக்கை ஒருவர் அறிந்திருந்தால், பெருக்கியின் மடக்கை மீண்டும் மீண்டும் சேர்ப்பதன் மூலம் முன்னேற்றத்தின் ஒவ்வொரு உறுப்பினரின் மடக்கைக் கணக்கிடலாம். முதல் மடக்கைக் கணக்கிடுவது அவரது இரண்டு வரி மாதிரியைப் பயன்படுத்தி, நேப்பியர் 0.9999999 இன் மடக்கைக்கான கீழ் மற்றும் மேல் வரம்புகளைக் கண்டறிகிறார். அவரது கீழ் எல்லை புள்ளி P மெதுவாக இல்லை என்று கருதுகிறது, இந்த விஷயத்தில் L 1-0.9999999 தூரத்தை நகர்த்தும். அவரது மேல் எல்லை P அதன் இறுதி வேகமான 0.9999999 இல் தொடங்கியது என்று கருதுகிறது, இந்த விஷயத்தில் L (1-0.9999999)/0.9999999 தூரத்தை நகர்த்தியிருக்கும். அவரது ஆரம் 10,000,000 ஆல் அளவிடப்படுகிறது, கீழ் வரம்பு 1 மற்றும் அவரது மேல் வரம்பு 1.0000001 ஆகும். இந்த மதிப்புகளுக்கு இடையிலான வேறுபாடு சிறியதாக இருப்பதால், அவற்றுக்கிடையேயான எந்தவொரு மதிப்பும் 10 மில்லியனில் ஒரு பகுதிக்கும் குறைவான "உணர்ச்சியற்ற பிழையை" முன்வைக்கும் என்று அவர் பரிந்துரைக்கிறார், ஆனால் அவர் அதிக விளக்கம் இல்லாமல், நடுப்புள்ளியை 1.00000005 தேர்வு செய்கிறார். இந்த தேர்வு அவருக்கு அவரது மொழிபெயர்ப்பாளர் வில்லியம் ரே மெக்டொனால்ட் என்ற வகையில் மிகப் பெரிய துல்லியத்தை அளிக்கிறது. . 9999999 இன் மடக்கைக்கான நேப்பியரின் அளவிடப்பட்ட மதிப்பு சரியான மதிப்பான 1.00000005 00000033333583 க்கு மிக நெருக்கமாக இருப்பதாகவும், அதைத் தொடர்ந்து அவரது மடக்கைக் கணக்கீடுகள் அனைத்தும் 1.00000005 மதிப்பிலிருந்து பெறப்படுவதாகவும் ஒரு பிற்சேர்க்கையில் சுட்டிக்காட்டப்பட்டுள்ளது. நடுப்புள்ளியைத் தேர்ந்தெடுப்பதற்கு நேப்பியர் ஒரு சிறந்த காரணத்தைக் கொண்டிருந்திருக்க வேண்டும் என்று மெக்டொனால்ட் கூறுகிறார். துணை அட்டவணைகள் நேப்பியர் மூன்று அட்டவணைகளை உருவாக்க இந்த நுண்ணறிவுகளைப் பயன்படுத்துகிறது. முதல் அட்டவணை, நவீன குறியீட்டில், 0 முதல் 100 வரையிலான n க்கு 10000000 * (0.9999999) n எண்களைக் கொண்டுள்ளது. இரண்டாவது 0 முதல் 50 வரையிலான n க்கு 100000 * (0.99999) n எண்களைக் கொண்டுள்ளது. பின்னர் அவர் தனது முதல் அட்டவணையில் உள்ள அனைத்து உள்ளீடுகளுக்கும் மடக்கை நிரப்ப. 9999999 என்ற பதிவுக்கு தனது மதிப்பைப் பயன்படுத்துகிறார். . 9999999100 என்பது. 99999 க்கு மிக அருகில் இருப்பதால்,. 99999 இன் பதிவைக் கணக்கிட அவர் கடைசி உள்ளீட்டைப் பயன்படுத்தலாம். பின்னர் அவர் தனது இரண்டாவது அட்டவணையைப் பயன்படுத்துகிறார், இது. 99999 இன் மடக்கைக் கணக்கிட. இரண்டாவது அட்டவணையை நேப்பியரின் கணக்கீட்டில் ஒரு பிழை ஏற்பட்டது என்றும் மெக்டொனால்ட் சுட்டிக்காட்டுகிறார்; நேப்பியரின் ஐம்பதாவது மதிப்பு 9995001.222927, ஆனால் 9995001.22480 ஆக இருக்க வேண்டும். இந்த பிழையின் விளைவுகளை மெக்டொனால்ட் தனது பிற்சேர்க்கையில் விவாதிக்கிறார். தீவிரமான அட்டவணை நேப்பியர் பின்னர் 69 நெடுவரிசைகள் மற்றும் 21 வரிசைகளுடன் விகிதாச்சாரங்களின் மூன்றாவது அட்டவணையை உருவாக்குகிறார், அதை அவர் தனது "தீவிரமான அட்டவணை" என்று அழைக்கிறார். 1 இல் தொடங்கும் மேல் வரிசைகளில் உள்ள விகிதம் 0.99 ஆகும். ஒவ்வொரு நெடுவரிசையிலும் உள்ளீடுகள் 0.9995 விகிதத்தில் உள்ளன. (0.9995 = 1-1/2000, பாதியாக மாற்றுவதன் மூலமும் கழிக்குவதன் மூலமும் "சகித்துக்கொள்ளக்கூடிய வகையில் எளிதான" பெருக்கத்தை அனுமதிக்கிறது என்பதை நினைவில் கொள்க.) நேப்பியர். 99 இன் மடக்கைக் கணக்கிட முதல் நெடுவரிசையைப் பயன்படுத்துகிறார், அவர் ஏற்கனவே வைத்திருக்கும். 9995 இன் பதிவைப் பயன்படுத்துகிறார். அவர் இப்போது மூன்றாவது அட்டவணையில் உள்ள ஒவ்வொரு உள்ளீட்டின் மடக்கை நிரப்ப முடியும், ஏனெனில், விகிதாசாரத்தால், உள்ளீடுகளுக்கு இடையிலான மடக்கை வேறுபாடு நிலையானது. மூன்றாவது அட்டவணை இப்போது தோராயமாக 5,000,000 முதல் 10,000,000 வரையிலான வரம்பை உள்ளடக்கிய 1,449 மதிப்புகளின் தொகுப்பிற்கான மடக்கை வழங்குகிறது, இது 30 முதல் 90 டிகிரி வரை சைன் செயல்பாட்டின் மதிப்புகளுக்கு ஒத்திருக்கிறது, இது 10,000,000 ஆரம் என்று கருதுகிறது. அந்த வரம்பில் உள்ள மடக்கைக்கான எல்லை இடைவெளியைக் கணக்கிட அட்டவணைகளை எவ்வாறு பயன்படுத்துவது என்பதை நேப்பியர் விளக்குகிறார். வெளியிடப்பட்ட அட்டவணைகளை உருவாக்குதல் நேப்பியர் பின்னர் தனது வெளியிடப்பட்ட அட்டவணைகளை மறுஉருவாக்கம் செய்வதற்கான வழிமுறைகளை வழங்குகிறார், அவற்றின் ஏழு நெடுவரிசைகள் மற்றும் ஒவ்வொரு நிமிட வளைவையும் உள்ளடக்கியது. ஏற்கனவே கிடைக்கக்கூடிய அட்டவணையில் இருந்து நிரப்பப்பட வேண்டிய மதிப்புகளுக்கான சைன்களை அவர் கணக்கிடவில்லை. "ரீன்ஹோல்டின் பொதுவான சைன் அட்டவணை, அல்லது வேறு ஏதேனும் துல்லியமானவை, இந்த மதிப்புகளை உங்களுக்கு வழங்கும்". 30 டிகிரி முதல் 90 டிகிரி வரை கோணங்களுக்கான சைன்களின் மடக்கைத் தொகுதிகள் பின்னர் ரேடிக்கல் அட்டவணையில் மிக நெருக்கமான எண்ணைக் கண்டறிந்து அதன் மடக்கைக் கண்டறிந்து, விரும்பிய சைனின் மடக்கை நேரியல் இடைக்கணிப்பு மூலம் கணக்கிடுவதன் மூலம் கணக்கிடப்படுகின்றன. 30 டிகிரிக்கு குறைவான கோணங்களின் சைன்களுக்கான மடக்கைக் கணக்கிடுவதற்கான பல வழிகளை அவர் பரிந்துரைக்கிறார். எடுத்துக்காட்டாக, ஒருவர் 0.50 க்கும் குறைவான ஒரு சைனை இரண்டு அல்லது பத்து சக்தியால் பெருக்கி அதை [0.5,1] வரம்பிற்குள் கொண்டு வரலாம். ரேடிக்கல் அட்டவணையில் அந்த மடக்கைக் கண்டறிந்த பிறகு, தேவையான மடக்கைப் பெற, இரண்டு அல்லது பத்து சக்தியின் மடக்கை ஒருவர் சேர்க்கிறார் (அவர் ஒரு குறுகிய அட்டவணையைக் கொடுக்கிறார்). நேப்பியர் தனது அட்டவணையை விரிவுபடுத்துவதற்கான இரண்டு முறைகள் சிறிய வேறுபாடுகளுடன் முடிவுகளைத் தருகின்றன என்பதை சுட்டிக்காட்டி முடிக்கிறார். மற்றவர்கள் "ஏராளமான மாணவர்களும் கணினிகளும் இருக்கலாம்" என்று அவர் முன்மொழிகிறார், அதே முறைகளால் 10,000,000,000 என்ற பெரிய அளவிலான காரணியுடன் ஒரு புதிய அட்டவணையை உருவாக்குகிறார், ஆனால் 35 நெடுவரிசைகளைக் கொண்ட ஒரு தீவிரமான அட்டவணையைப் பயன்படுத்துகிறார், இது தேவதூதர்களை 45 முதல் 90 டிகிரி வரை மறைக்க போதுமானது. ஒரு பிற்சேர்க்கையில், நேப்பியர் "மற்றொரு சிறந்த மடக்கை" கட்டமைப்பைப் பற்றி விவாதிக்கிறார், அங்கு ஒன்றின் மடக்கை பூஜ்ஜியமாகவும், பத்தின் மடக்கை 10,000,000,000, குறியீடாகவும் இருக்கும். இது அடிப்படையில் பெரிய அளவிலான காரணியுடன் அடிப்படை 10 மடக்கை ஆகும். அத்தகைய அட்டவணையை கணக்கிடுவதற்கான பல்வேறு வழிகளைப் பற்றி அவர் விவாதிக்கிறார், மேலும் 2 இன் மடக்கை 210,000,000 இல் உள்ள இலக்கங்களின் எண்ணிக்கையாக விவரிப்பதன் மூலம் முடிக்கிறார், அதை அவர் 301029995 ஆகக் கணக்கிடுகிறார். அப்பெண்டிக்ஸைத் தொடர்ந்து நேப்பியரின் கருத்துக்கள் மற்றும் அடிப்படை-10 மடக்கை பற்றிய ஹென்றி பிரிக்ஸ் கருத்துக்கள் உள்ளன. அடுத்த பகுதி நேப்பியரின் 12 பக்கக் கட்டுரையாகும், "அற்புதமான எளிதாக கோள முக்கோணங்களைத் தீர்ப்பதற்கான சில குறிப்பிடத்தக்க முன்மொழிவுகள்" என்ற தலைப்பில், அவற்றை இரண்டு சரியான முக்கோணங்களாகப் பிரிக்காமல் எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதை அவர் விவரிக்கிறார். இந்தப் பகுதியைத் தொடர்ந்து பிரிக்ஸின் வர்ணனையும் வருகிறது. மொழிபெயர்ப்பாளரான மெக்டொனால்ட், இந்த கட்டத்தில் நேப்பியரின் பெயரின் எழுத்துப்பிழை, இரண்டாவது தொகுதியை வெளியிடுவதில் தாமதம் பற்றிய குறிப்புகள், தசம எண்கணிதத்தின் வளர்ச்சி, நேப்பியரின் இரண்டாவது அட்டவணையில் உள்ள பிழை மற்றும் நேப்பியரின் முறையின் துல்லியம் மற்றும் அடிப்படை-10 மடக்கைக் கணக்கிடுவதற்கான முறைகள் பற்றி விவாதிக்கும் சில குறிப்புகளை உள்ளடக்கியுள்ளார். கடைசி பகுதி பொது நூலகங்களில் உள்ள நேப்பியரின் படைப்புகளின் மெக்டொனால்டின் பட்டியலாகும், இதில் மதப் படைப்புகள், பல்வேறு மொழிகளில் பதிப்புகள் அடங்கும். ஜான் நேப்பியர் மற்றும் மடக்கைப் படைப்புகள் தொடர்பான பிற புத்தகங்கள். வரவேற்பு நேப்பியரின் புதுமையான கணக்கீட்டு முறை பிரிட்டனிலும் வெளிநாடுகளிலும் விரைவாக பரவியது. கெப்லர் தனது 1620 எஃபெரெரிஸை நேப்பியருக்கு அர்ப்பணித்தார், அவரது கண்டுபிடிப்பு மற்றும் வானியலுக்கு அதன் நன்மைகள் குறித்து அவருக்கு வாழ்த்து தெரிவிக்கும் கடிதத்துடன். சிறிய கோணங்களில் சில தவறுகளைத் தவிர வேறு எந்த அத்தியாவசிய பிழைகளையும் கெப்லர் கண்டுபிடிக்கவில்லை. வான வழிசெலுத்தல் அதிகாரியான எட்வர்ட் ரைட், 1615 ஆம் ஆண்டில் நேப்பியரின் லத்தீன் விளக்கத்தை ஆங்கிலத்தில் மொழிபெயர்த்தார், அடுத்த ஆண்டு, ரைட்டின் மரணத்தால் வெளியீடு தாமதமானது. பிரிக்ஸ் இந்த கருத்தை மிகவும் வசதியான அடிப்படை 10 அல்லது பொதுவான மடக்கைக்கு விரிவுபடுத்தினார். உர்சினஸ் நேப்பியரை "சமமற்ற கணிதவியலாளர்" என்று அழைத்தார். முந்நூறு ஆண்டுகளுக்குப் பிறகு, 1914 ஆம் ஆண்டில், ஈ. டபிள்யூ. ஹோப்ஸன் மடக்கை "உலகம் கண்ட மிகப் பெரிய அறிவியல் கண்டுபிடிப்புகளில் ஒன்று" என்று அழைத்தார். 1620 ஆம் ஆண்டில் எட்மண்ட் குண்டர் ஒரு மடக்கை அளவுகோலுடன் ஒரு ஆட்சியாளரை உருவாக்கினார்; ஒரு ஜோடி வகுத்திகளுடன் இது பெருக்கவும் வகுக்கவும் பயன்படுத்தப்படலாம். 1622 ஆம் ஆண்டில், வில்லியம் ஓக்ரெட் இரண்டு கையடக்க குண்டர் விதிகளை இணைத்து ஒரு கணக்கீட்டு சாதனத்தை உருவாக்கினார், இது அடிப்படையில் முதல் ஸ்லைடு விதியாக இருந்தது. மடக்கை செயல்பாடு கணித பகுப்பாய்வின் பிரதானமாக மாறியது, ஆனால் இருபதாம் நூற்றாண்டில் இயந்திர கால்குலேட்டர்களைப் பெருக்குவதன் மூலம் மடக்கை அச்சிடப்பட்ட அட்டவணைகள் படிப்படியாக முக்கியத்துவம் குறைந்தன, பின்னர், மின்னணு கணினிகள் அதிக துல்லியமான கணக்கீட்டு தேவைகளை எடுத்துக் கொண்டன. 1970 களில் கையால் பிடிக்கக்கூடிய அறிவியல் கால்குலேட்டர்கள் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது ஸ்லைடு விதிகளின் சகாப்தத்தை முடிவுக்குக் கொண்டுவந்தது. தி அமெரிக்கன் பிராக்டிகல் நேவிகேட்டரின் (போடிட்ச்) தற்போதைய, 2002 பதிப்பில் இன்னும் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் மடக்கை மற்றும் மடக்கை அட்டவணைகள் உள்ளன. மேலும் காண்க மடக்கை பெருக்கத்தின் வரலாறு குறிப்புகள் மடக்கை கணிதத்தின் வரலாறு