Cluster prime
எண் கோட்பாட்டில், ஒரு கொத்து பகா எண் என்பது ஒரு பகா எண், அதாவது ஒவ்வொரு சமமான நேர்மறை முழு எண் k ≤ p−3 ஐ () ஐ தாண்டாத இரண்டு பகா எண்களுக்கு இடையிலான வித்தியாசமாக எழுதலாம். எடுத்துக்காட்டாக, எண் 23 ஒரு கொத்து பகா எண்ணாகும், ஏனெனில் 23−3 = 20, மற்றும் 2 முதல் 20 வரையிலான ஒவ்வொரு இரட்டை முழு எண்ணும், 23 ஐத் தாண்டாத குறைந்தபட்சம் ஒரு ஜோடி பகா எண்களின் வேறுபாடு ஆகும்ஃ 5−3 = 27−3 = 411−5 = 611−3 = 813−3 = 1017−5 = 1217−3 = 1419−3 = 1623−5 = 1823−3 = 20 மறுபுறம், 149 என்பது ஒரு கொத்து பகா எண் அல்ல, ஏனெனில் 140 <146, மேலும் இரண்டு பகா எண்களின் வித்தியாசமாக 140 ஐ எழுத வழி இல்லை, அவை 149 ஐ விட குறைவாகவோ அல்லது சமமாகவோ உள்ளன. மரபுப்படி, 2 ஒரு கிளஸ்டர் பகா எண்ணாக கருதப்படுவதில்லை. முதல் 23 ஒற்றைப்படை பகா எண்கள் (89 வரை) அனைத்தும் கொத்து பகா எண்களாகும். கிளஸ்டர் பகா எண்கள் அல்லாத முதல் சில ஒற்றைப்படை பகா எண்கள் 97,127,149,191,211,223,227,229 ஆகும். எண்ணற்ற பல கிளஸ்டர் பகா எண்கள் உள்ளனவா என்பது தெரியவில்லை. பண்புகள் ஒரு கிளஸ்டர் பிரைமுக்கு முந்தைய பிரைம் இடைவெளி எப்போதும் ஆறு அல்லது அதற்கும் குறைவாக இருக்கும். கொடுக்கப்பட்ட எந்த பகா எண்ணுக்கும், n-வது பகா எண்ணைக் குறிக்கலாம். ≤8 என்றால், −9 ஐ இரண்டு பகா எண்களின் வேறுபாட்டை மிகைப்படுத்தாமல் வெளிப்படுத்த முடியாது; எனவே, இது ஒரு கொத்து பகா எண் அல்ல. இதற்கு நேர்மாறானது உண்மையல்லஃ ஒரு ஜோடி இடைவெளி நீளம் ஆறு அல்லது அதற்கும் குறைவாக இருக்கும் மிகச்சிறிய கிளஸ்டர் அல்லாத பகா எண் 227 ஆகும், இது 223 மற்றும் 227 க்கு இடையில் நான்கு இடைவெளி மட்டுமே. 229 என்பது முதல் கிளஸ்டர் அல்லாத பகா எண் ஆகும், இது ஒரு இரட்டை பகா ஜோடியின் பெரியதாகும். கிளஸ்டர் பகா எண்களின் தொகுப்பு ஒரு சிறிய தொகுப்பாகும். 1999 ஆம் ஆண்டில், ரிச்சர்ட் பிளெக்ஸ்மித் கிளஸ்டர் பகா எண்களின் பரஸ்பரங்களின் கூட்டுத்தொகை வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது என்பதை நிரூபித்தார். பிளெக்ஸ்மித் C (x) இல் ஒரு வெளிப்படையான மேல் வரியையும் நிரூபித்தார், இது x ஐ விட குறைவான அல்லது சமமான கொத்து பகா எண்களின் எண்ணிக்கை. குறிப்பாக, எந்தவொரு நேர்மறை முழு எண்ணுக்கும்ஃ அனைத்து போதுமான பெரிய x க்கும். இதிலிருந்து கிட்டத்தட்ட அனைத்து பகா எண்களும் கொத்து பகா எண்களின் தொகுப்பில் இல்லை. குறிப்புகள் வெளிப்புற இணைப்புகள் பகா எண்களின் வகுப்புகள்