Functional renormalization group
கோட்பாட்டு இயற்பியலில், செயல்பாட்டு மறுசீரமைப்பு குழு (எஃப். ஆர். ஜி) என்பது மறுசீரமைப்பு குழு (ஆர்ஜி) கருத்தை செயல்படுத்துவதாகும், இது குவாண்டம் மற்றும் புள்ளிவிவர புலக் கோட்பாட்டில் பயன்படுத்தப்படுகிறது, குறிப்பாக வலுவான தொடர்பு அமைப்புகளைக் கையாளும் போது. இந்த முறை குவாண்டம் புலக் கோட்பாட்டின் செயல்பாட்டு முறைகளை கென்னத் ஜி. வில்சனின் உள்ளுணர்வு மறுசீரமைப்பு குழு யோசனையுடன் ஒருங்கிணைக்கிறது. இந்த நுட்பம் அறியப்பட்ட நுண்ணோக்கி விதிகளுக்கும் இயற்பியல் அமைப்புகளில் உள்ள சிக்கலான மேக்ரோஸ்கோபிக் நிகழ்வுகளுக்கும் இடையில் சுமூகமாக இடைக்கணிப்பு செய்ய அனுமதிக்கிறது. இந்த அர்த்தத்தில், இது நுண் இயற்பியலின் எளிமையிலிருந்து மேக்ரோ இயற்பியலின் சிக்கலான நிலைக்கு மாறுவதை இணைக்கிறது. உருவகமாகப் பார்த்தால், எஃப். ஆர். ஜி ஒரு மாறுபட்ட தெளிவுத்திறனுடன் ஒரு நுண்ணோக்கியாக செயல்படுகிறது. ஒன்று அறியப்பட்ட நுண் இயற்பியல் விதிகளின் உயர் தெளிவுத்திறன் கொண்ட படத்துடன் தொடங்குகிறது, பின்னர் மேக்ரோஸ்கோபிக் கூட்டு நிகழ்வுகளின் கரடுமுரடான படத்தைப் பெற தீர்மானத்தைக் குறைக்கிறது. இந்த முறை தொந்தரவில்லாதது, அதாவது இது ஒரு சிறிய இணைப்பு மாறிலியில் ஒரு விரிவாக்கத்தை நம்பவில்லை. கணித ரீதியாக, எஃப். ஆர். ஜி ஒரு அளவுகோல் சார்ந்த பயனுள்ள செயலுக்கான சரியான செயல்பாட்டு வேறுபாடு சமன்பாட்டை அடிப்படையாகக் கொண்டது. பயனுள்ள செயலுக்கான ஓட்ட சமன்பாடு குவாண்டம் புலக் கோட்பாட்டில், பயனுள்ள செயல் என்பது கிளாசிக்கல் செயல் செயல்பாட்டின் ஒப்புமை மற்றும் கொடுக்கப்பட்ட கோட்பாட்டின் புலங்களைப் பொறுத்தது. இது அனைத்து குவாண்டம் மற்றும் வெப்ப ஏற்ற இறக்கங்களையும் உள்ளடக்கியது. விளைச்சலின் மாறுபாடு துல்லியமான குவாண்டம் புல சமன்பாடுகள், எடுத்துக்காட்டாக அண்டவியல் அல்லது சூப்பர் கண்டக்டர்களின் மின்னாற்றல் இயக்கவியல். கணித ரீதியாக, ஒரு-துகள் பகுக்கமுடியாத ஃபேய்ன்மேன் வரைபடங்களின் உருவாக்கும் செயல்பாடு ஆகும். சுவாரஸ்யமான இயற்பியல், பரப்பிகள் மற்றும் தொடர்புகளுக்கான பயனுள்ள இணைப்புகள் என, அதிலிருந்து நேராக பிரித்தெடுக்க முடியும். இருப்பினும், ஒரு பொதுவான இடைவினை களக் கோட்பாட்டில் பயனுள்ள செயலைப் பெறுவது கடினம். மறுசீரமைப்பு குழு கருத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிட எஃப். ஆர். ஜி ஒரு நடைமுறை கருவியை வழங்குகிறது. எஃப்ஆர்ஜியில் உள்ள மையப் பொருள் ஒரு அளவுகோல் சார்ந்த பயனுள்ள செயல் செயல்பாடாகும், இது பெரும்பாலும் சராசரி நடவடிக்கை அல்லது பாயும் நடவடிக்கை என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஆர்ஜி ஸ்லைடிங் அளவுகோலை சார்ந்திருப்பது முழு தலைகீழ் பரப்பியில் ஒரு கட்டுப்பாட்டாளரை (அகச்சிவப்பு வெட்டு) சேர்ப்பதன் மூலம் அறிமுகப்படுத்தப்படுகிறது. தோராயமாக கூறுவதானால், கட்டுப்பாட்டாளர் மெதுவான முறைகளை மொமெண்டாவுடன் ஒரு பெரிய வெகுஜனத்தைக் கொடுப்பதன் மூலம் துண்டிக்கிறார், அதே நேரத்தில் அதிக வேக முறைகள் பாதிக்கப்படுவதில்லை. எனவே, மொமென்டாவுடன் அனைத்து குவாண்டம் மற்றும் புள்ளிவிவர ஏற்ற இறக்கங்களும் இதில் அடங்கும். பாயும் செயல் 1993 இல் கிறிஸ்டோஃப் வெட்டேரிச் மற்றும் டிம் ஆர். மோரிஸ் ஆகியோரால் பெறப்பட்ட சரியான செயல்பாட்டு ஓட்ட சமன்பாட்டிற்குக் கீழ்ப்படிகிறது. இங்கே புலங்களின் நிலையான மதிப்புகளில் ஆர்ஜி அளவுகோலைப் பொறுத்தவரை ஒரு வழித்தோன்றலைக் குறிக்கிறது. மேலும், சமன்பாட்டின் டென்சர் அமைப்பு காரணமாக முறையே இடது-கை-பக்கம் மற்றும் வலது-கை-பக்கத்திலிருந்து செயல்பாட்டு வழித்தோன்றலைக் குறிக்கிறது. இந்த அம்சம் பெரும்பாலும் பயனுள்ள செயலின் இரண்டாவது வழித்தோன்றலால் எளிமைப்படுத்தப்படுகிறது. செயல்பாட்டு வேறுபாடு சமன்பாடு ஆரம்ப நிபந்தனையுடன் கூடுதலாக இருக்க வேண்டும், அங்கு "கிளாசிக்கல் நடவடிக்கை" நுண்ணோக்கி புற ஊதா அளவில் இயற்பியலை விவரிக்கிறது. முக்கியமாக, அகச்சிவப்பு வரம்பில் முழு பயனுள்ள நடவடிக்கை பெறப்படுகிறது. வெட்ட்டெரிக் சமன்பாட்டில் ஒரு சூப்பர் ட்ரேஸைக் குறிக்கிறது, இது மொமெண்டா, அதிர்வெண்கள், உள் குறியீடுகள் மற்றும் புலங்கள் (பிளஸ் கொண்ட போசான்கள் மற்றும் மைனஸ் அடையாளத்துடன் ஃபெர்மியன்களை எடுத்துக்கொள்வது) ஆகியவற்றைக் குறிக்கிறது. துல்லியமான ஓட்டச் சமன்பாடு ஒரு-சுழல் கட்டமைப்பைக் கொண்டுள்ளது. பல-வளைய வரைபடங்கள் சேர்க்கப்பட வேண்டிய இடையூறு கோட்பாட்டுடன் ஒப்பிடும்போது இது ஒரு முக்கியமான எளிமைப்படுத்தலாகும். இரண்டாவது செயல்பாட்டு வழித்தோன்றல் என்பது ரெகுலேட்டரின் இருப்பு மூலம் மாற்றியமைக்கப்பட்ட முழு தலைகீழ் புலம் பரப்பியாகும். மறுசீரமைப்பு குழு பரிணாமத்தை கோட்பாட்டு இடத்தில் விளக்க முடியும், இது சிக்கலின் சமச்சீர்மைகளால் அனுமதிக்கப்பட்ட அனைத்து சாத்தியமான இயங்கும் இணைப்புகளின் பல பரிமாண இடமாகும். படத்தில் திட்டவட்டமாக காட்டப்பட்டுள்ளபடி, நுண்ணோக்கி புற ஊதா அளவில் ஒருவர் ஆரம்ப நிலையில் தொடங்குகிறார். நெகிழ் அளவுகோல் குறைக்கப்படும்போது, செயல்பாட்டு ஓட்ட சமன்பாட்டின் படி கோட்பாட்டு இடத்தில் பாயும் செயல் உருவாகிறது. கட்டுப்பாட்டாளரின் தேர்வு தனித்துவமானது அல்ல, இது மறுசீரமைப்பு குழு ஓட்டத்தில் சில திட்ட சார்புகளை அறிமுகப்படுத்துகிறது. இந்த காரணத்திற்காக, கட்டுப்பாட்டாளரின் வெவ்வேறு தேர்வுகள் படத்தில் உள்ள வெவ்வேறு பாதைகளுடன் ஒத்திருக்கின்றன. இருப்பினும், அகச்சிவப்பு அளவில், கட்-ஆஃப் ஒவ்வொரு தேர்வுக்கும் முழு பயனுள்ள நடவடிக்கை மீட்கப்படுகிறது, மேலும் அனைத்து பாதைகளும் கோட்பாட்டு இடத்தில் ஒரே கட்டத்தில் சந்திக்கின்றன. ஆர்வமுள்ள பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில் வெட்டேரிக் சமன்பாட்டை தோராயமாக மட்டுமே தீர்க்க முடியும். வழக்கமாக ஒருவித விரிவாக்கம் செய்யப்படுகிறது, இது பின்னர் வரையறுக்கப்பட்ட வரிசையில் துண்டிக்கப்பட்டு சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் வரையறுக்கப்பட்ட அமைப்புக்கு வழிவகுக்கிறது. வெவ்வேறு முறையான விரிவாக்க திட்டங்கள் (வழித்தோன்றல் விரிவாக்கம், உச்சி விரிவாக்கம் போன்றவை) உருவாக்கப்பட்டன. பொருத்தமான திட்டத்தின் தேர்வு உடல் ரீதியாக உந்துதலாக இருக்க வேண்டும் மற்றும் கொடுக்கப்பட்ட சிக்கலைப் பொறுத்தது. விரிவாக்கங்கள் ஒரு சிறிய அளவுருவை (ஒரு தொடர்பு இணைப்பு மாறிலி போன்றவை) உள்ளடக்கியிருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை, எனவே அவை பொதுவாக, இடையூறு இல்லாத இயல்புடையவை. எவ்வாறாயினும், (முன் காரணி-) மரபுகள் மற்றும் பயனுள்ள செயலின் உறுதியான வரையறை தொடர்பான பல தேர்வுகள் காரணமாக, வெட்டெரிக் சமன்பாட்டின் பிற (சமமான) பதிப்புகளை இலக்கியத்தில் காணலாம். செயல்பாட்டு மறுசீரமைப்பின் அம்சங்கள் வெட்டெரிக் ஓட்ட சமன்பாடு ஒரு துல்லியமான சமன்பாடாகும். இருப்பினும், நடைமுறையில், செயல்பாட்டு வேறுபாடு சமன்பாடு துண்டிக்கப்பட வேண்டும், அதாவது. இது ஒரு சில மாறிகளின் செயல்பாடுகளுக்கு அல்லது சில வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண துணை-கோட்பாட்டு இடத்தில் கூட திட்டமிடப்பட வேண்டும். ஒவ்வொரு இடையூறு இல்லாத முறையையும் போலவே, செயல்பாட்டு மறுசீரமைப்பிலும் பிழை மதிப்பீடு பற்றிய கேள்வி அற்பமானது அல்ல. எஃப்ஆர்ஜியில் உள்ள பிழையை மதிப்பிடுவதற்கான ஒரு வழி, அடுத்தடுத்த படிகளில் துண்டிக்கப்படுவதை மேம்படுத்துவதாகும், அதாவது. மேலும் மேலும் இயங்கும் இணைப்புகளைச் சேர்ப்பதன் மூலம் துணைக் கோட்பாட்டு இடத்தை விரிவுபடுத்துதல். வெவ்வேறு துண்டுகளுக்கான ஓட்டங்களில் உள்ள வேறுபாடு பிழையின் நல்ல மதிப்பீட்டை அளிக்கிறது. மாற்றாக, ஒருவர் கொடுக்கப்பட்ட (நிலையான) துண்டுகளில் வெவ்வேறு ரெகுலேட்டர் செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தலாம் மற்றும் அந்தந்த ரெகுலேட்டர் தேர்வுகளுக்கு அகச்சிவப்பு RG ஓட்டங்களின் வேறுபாட்டை தீர்மானிக்கலாம். போசோனைசேஷன் பயன்படுத்தப்பட்டால், வெவ்வேறு போசோனைசேஷன் நடைமுறைகளைப் பொறுத்தவரை இறுதி முடிவுகளின் உணர்ச்சியற்ற தன்மையை ஒருவர் சரிபார்க்கலாம். எஃப்ஆர்ஜியில், அனைத்து ஆர்ஜி முறைகளைப் போலவே, ஆர்ஜி ஓட்டங்களின் இடவியல் மூலம் ஒரு இயற்பியல் அமைப்பைப் பற்றிய நிறைய நுண்ணறிவைப் பெற முடியும். குறிப்பாக, மறுசீரமைப்பு குழு பரிணாம வளர்ச்சியின் நிலையான புள்ளிகளை அடையாளம் காண்பது மிகவும் முக்கியமானது. நிலையான புள்ளிகளுக்கு அருகில் இயங்கும் இணைப்புகளின் ஓட்டம் திறம்பட நிறுத்தப்படுகிறது மற்றும் ஆர்ஜி-செயல்பாடுகள் பூஜ்ஜியத்தை அணுகுகின்றன. (ஓரளவு) நிலையான அகச்சிவப்பு நிலையான புள்ளிகளின் இருப்பு உலகளாவிய கருத்துடன் நெருக்கமாக இணைக்கப்பட்டுள்ளது. சில மிகவும் தனித்துவமான இயற்பியல் அமைப்புகள் ஒரே விமர்சன நடத்தையைக் கொண்டுள்ளன என்ற அவதானிப்பில் உலகளாவிய தன்மை தன்னை வெளிப்படுத்துகிறது. உதாரணமாக, நல்ல துல்லியத்திற்கு, தண்ணீரில் திரவ-வாயு கட்ட மாற்றம் மற்றும் காந்தங்களில் ஃபெரோ காந்த கட்ட மாற்றம் ஆகியவற்றின் முக்கியமான அடுக்குகள் ஒரே மாதிரியானவை. மறுசீரமைப்பு குழு மொழியில், ஒரே உலகளாவிய வர்க்கத்திலிருந்து வெவ்வேறு அமைப்புகள் ஒரே (ஓரளவு) நிலையான அகச்சிவப்பு நிலையான புள்ளிக்கு பாய்கின்றன. இந்த வழியில் மேக்ரோபிசிக்ஸ் குறிப்பிட்ட இயற்பியல் மாதிரியின் நுண்ணோக்கி விவரங்களிலிருந்து சுயாதீனமாகிறது. இடையூறு கோட்பாட்டுடன் ஒப்பிடும்போது, செயல்பாட்டு மறுசீரமைப்பு என்பது மறுசீரமைக்கக்கூடிய மற்றும் மறுசீரமைக்க முடியாத இணைப்புகளுக்கு இடையே கடுமையான வேறுபாட்டை ஏற்படுத்தாது. சிக்கலின் சமச்சீர்களால் அனுமதிக்கப்பட்ட அனைத்து இயங்கும் இணைப்புகளும் எஃப். ஆர். ஜி ஓட்டத்தின் போது உருவாக்கப்படுகின்றன. இருப்பினும், அகச்சிவப்பு நோக்கி பரிணாம வளர்ச்சியின் போது இயல்பற்ற இணைப்புகள் பகுதி நிலையான புள்ளிகளை மிக விரைவாக அணுகுகின்றன, இதனால் மறுசீரமைக்கக்கூடிய இணைப்புகளின் எண்ணிக்கையால் கொடுக்கப்பட்ட பரிமாணத்தின் மிகை மேற்பரப்பில் ஓட்டம் திறம்பட இடிந்து விழுகிறது. இயல்பற்ற இணைப்புகளை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வது நுண்ணோக்கி நடவடிக்கையின் உறுதியான தேர்வு மற்றும் வரையறுக்கப்பட்ட புற ஊதா வெட்டு ஆகியவற்றிற்கு உணர்திறன் கொண்ட உலகளாவிய அல்லாத அம்சங்களைப் படிக்க அனுமதிக்கிறது. 1984 ஆம் ஆண்டில் ஜோசப் போல்சின்ஸ்கியால் பெறப்பட்ட போல்சின்ஸ்கி செயல்பாட்டு சமன்பாட்டின் லெஜெண்டர் மாற்றத்திலிருந்து வெட்டேரிக் சமன்பாட்டைப் பெறலாம். எவ்வாறாயினும், எஃப். ஆர். ஜியில் பயன்படுத்தப்படும் பயனுள்ள சராசரி செயலின் கருத்து, போல்சின்ஸ்கி சமன்பாட்டில் பாயும் வெற்று செயலை விட மிகவும் உள்ளுணர்வு கொண்டது. கூடுதலாக, எஃப். ஆர். ஜி முறை நடைமுறைக் கணக்கீடுகளுக்கு மிகவும் பொருத்தமானது என்பதை நிரூபித்தது. பொதுவாக, வலுவான இடைவினை அமைப்புகளின் குறைந்த ஆற்றல் இயற்பியல் சுதந்திரத்தின் மேக்ரோஸ்கோபிக் டிகிரிகளால் விவரிக்கப்படுகிறது (அதாவது. துகள் தூண்டுதல்கள்) நுண்ணோக்கி உயர் ஆற்றல் கட்டின்மை அளவுகளிலிருந்து மிகவும் வேறுபட்டவை. உதாரணமாக, குவாண்டம் குரோமோடைனமிக்ஸ் என்பது குவார்க்குகள் மற்றும் குளூவான்களுடன் தொடர்பு கொள்ளும் ஒரு களக் கோட்பாடு ஆகும். இருப்பினும், குறைந்த ஆற்றல்களில், சரியான அளவிலான சுதந்திரம் பேரியோன்கள் மற்றும் மெசான்கள் ஆகும். மற்றொரு உதாரணம் அமுக்கப்பட்ட பொருள் இயற்பியலில் BEC/BCS குறுக்குவெட்டு சிக்கல் ஆகும். நுண்ணோக்கிக் கோட்பாடு இரண்டு-கூறு சார்பற்ற ஃபெர்மியன்களின் அடிப்படையில் வரையறுக்கப்பட்டாலும், குறைந்த ஆற்றல்களில் ஒரு கலப்பு (துகள்-துகள்) டைமர் கூடுதல் அளவிலான சுதந்திரமாக மாறுகிறது, மேலும் அதை மாதிரியில் வெளிப்படையாகச் சேர்ப்பது நல்லது. சுதந்திரத்தின் குறைந்த ஆற்றல் கலப்பு அளவுகளை பகுதி போசோனைசேஷன் (ஹப்பார்ட்-ஸ்ட்ராடோனோவிச் மாற்றம்) முறையின் மூலம் விளக்கத்தில் அறிமுகப்படுத்தலாம். இருப்பினும், இந்த மாற்றம் புற ஊதா அளவுகோலில் ஒரு முறை மற்றும் எப்போதும் செய்யப்படுகிறது. எஃப். ஆர். ஜியில் மேக்ரோஸ்கோபிக் டிகிரி ஆஃப் ஃப்ரீடம் இணைப்பதற்கான மிகவும் திறமையான வழி அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது, இது பாயும் போசோனைசேஷன் அல்லது ரீபோசோனைசேஷன் என்று அழைக்கப்படுகிறது. அளவுகோல் சார்ந்த புல மாற்றத்தின் உதவியுடன், இது ஹப்பார்ட்-ஸ்ட்ராடோனோவிச் மாற்றத்தை அனைத்து ஆர்ஜி அளவுகளிலும் தொடர்ந்து செய்ய அனுமதிக்கிறது. விக்கி-வரிசைப்படுத்தப்பட்ட பயனுள்ள தொடர்புக்கான செயல்பாட்டு மறுசீரமைப்பு-குழு பயனுள்ள செயலுக்கான ஓட்ட சமன்பாட்டிற்கு மாறாக, இந்த திட்டம் பயனுள்ள தொடர்புக்காக வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது, இது n-துகள் தொடர்பு செங்குத்துகளை உருவாக்குகிறது, இது வெற்று பரப்பிகளால் துண்டிக்கப்படுகிறது; இது n-துகள் பச்சை செயல்பாடுகளுக்கான செயல்பாட்டை உருவாக்கும் "தரநிலை" ஆகும். பசுமை செயல்பாட்டைப் பொறுத்தவரை பயனுள்ள தொடர்புகளின் விக் வரிசையை இவ்வாறு வரையறுக்கலாம். புலம் இடத்தில் லாப்லாசியன் எங்கே உள்ளது. இந்த செயல்பாடு இயல்பான வரிசையைப் போன்றது மற்றும் அந்தந்த பச்சை செயல்பாடு டி உடன் மூல புலங்களின் சுழற்சியால் உருவாக்கப்பட்ட அனைத்து சாத்தியமான சொற்களையும் தொடர்பிலிருந்து விலக்குகிறது. சில வெட்டு சமன்பாட்டை அறிமுகப்படுத்துவது போல்சின்ஸ்கி சமன்பாடு விக்-ஆர்டர் சமன்பாட்டின் வடிவத்தை எடுக்கிறது, அங்கு பயன்பாடுகள் முறை இயற்பியலில் உள்ள பல சிக்கல்களுக்கு பயன்படுத்தப்பட்டது, எ. கா. : புள்ளியியல் புலக் கோட்பாட்டில், எஃப். ஆர். ஜி பல்வேறு பரிமாணங்களில் கிளாசிக்கல் லீனியர்-சமச்சீர் அளவிடுதல் கோட்பாடுகளில் கட்ட மாற்றங்களின் ஒருங்கிணைந்த படத்தை வழங்கியது, இதில் பெரெசின்ஸ்கி-கோஸ்டெர்லிட்ஸ்-தௌலெஸ் கட்ட மாற்றத்திற்கான முக்கியமான அடுக்குகளும் அடங்கும். கேஜ் குவாண்டம் புலக் கோட்பாட்டில், எஃப். ஆர். ஜி பயன்படுத்தப்பட்டது, எடுத்துக்காட்டாக, சிரல் கட்ட மாற்றம் மற்றும் க்யூ. சி. டி மற்றும் அதன் பெரிய-சுவை நீட்டிப்புகளின் அகச்சிவப்பு பண்புகளை ஆராய. அமுக்கப்பட்ட பொருள் இயற்பியலில், லட்டீஸ் மாதிரிகளுக்கு சிகிச்சையளிப்பதில் இந்த முறை வெற்றிகரமாக நிரூபிக்கப்பட்டது (எ. கா. ஹப்பார்ட் மாதிரி அல்லது விரக்தியடைந்த காந்த அமைப்புகள்), விரட்டும் போஸ் வாயு, இரண்டு கூறுகள் கொண்ட ஃபெர்மி வாயுவுக்கான பி. இ. சி/பி. சி. எஸ் குறுக்குவெட்டு, கோண்டோ விளைவு, ஒழுங்கற்ற அமைப்புகள் மற்றும் சமநிலையற்ற நிகழ்வுகள். ஈர்ப்பு விசைக்கு FRG இன் பயன்பாடு நான்கு விண்வெளி நேர பரிமாணங்களில் குவாண்டம் ஈர்ப்பு விசையின் இடையூறு இல்லாத மறுசீரமைப்புக்கு ஆதரவாக வாதங்களை வழங்கியது, இது அறிகுறியற்ற பாதுகாப்பு சூழ்நிலை என்று அழைக்கப்படுகிறது. கணித இயற்பியலில் பல்வேறு களக் கோட்பாடுகளின் மறுசீரமைப்பை நிரூபிக்க FRG பயன்படுத்தப்பட்டது. மேலும் காண்க ரெனார்மலைசேஷன் குரூப் ரெனார்மலைசேஷன் கிரிட்டிக்கல் ஃபினோமினா ஸ்கேல் இன்வேரியன்ஸ் குவாண்டம் ஈர்ப்பு குறிப்புகளில் அறிகுறியற்ற பாதுகாப்பு கல்வியியல் மதிப்புரைகள் புள்ளியியல் இயக்கவியல் ரெனார்மலைசேஷன் குரூப் ஸ்கேலிங் சமச்சீர் நிலையான புள்ளிகள் (கணிதம்)