Pairwise summation
எண் பகுப்பாய்வில், ஜோடி வாரியான கூட்டுத்தொகை, அடுக்கு கூட்டுத்தொகை என்றும் அழைக்கப்படுகிறது, இது வரையறுக்கப்பட்ட துல்லியமான மிதக்கும்-புள்ளி எண்களின் வரிசையை கூட்டுவதற்கான ஒரு நுட்பமாகும், இது திரட்டப்பட்ட ரவுண்ட்-ஆஃப் பிழையை கணிசமாகக் குறைக்கிறது. கஹான் கூட்டுத்தொகை போன்ற பிற நுட்பங்கள் இருந்தாலும், அவை பொதுவாக இன்னும் சிறிய ரவுண்ட்-ஆஃப் பிழைகளைக் கொண்டுள்ளன, ஜோடி வாரியான கூட்டுத்தொகை கிட்டத்தட்ட அதே அளவு சிறந்தது (ஒரு மடக்கைக் காரணியால் மட்டுமே வேறுபடுகிறது) அதே நேரத்தில் மிகக் குறைந்த கணக்கீட்டு செலவைக் கொண்டுள்ளது-இது கிட்டத்தட்ட அதே செலவைக் கொண்டிருக்கும் வகையில் செயல்படுத்தப்படலாம் (மற்றும் அதே எண்ணிக்கையிலான எண்கணித செயல்பாடுகள்) அப்பாவித்தனமான கூட்டுத்தொகை. குறிப்பாக, n எண்களின் வரிசை xn இன் ஜோடி வாரியான கூட்டுத்தொகை, வரிசையை இரண்டு பகுதிகளாக மீண்டும் மீண்டும் உடைப்பதன் மூலமும், ஒவ்வொரு பாதியையும் கூட்டுவதன் மூலமும், இரண்டு தொகைகளையும் சேர்ப்பதன் மூலமும் செயல்படுகிறதுஃ ஒரு வகுத்தல் மற்றும் வெற்றி வழிமுறை. அதன் மோசமான-வழக்கு ரவுண்ட்ஆஃப் பிழைகள் அதிகபட்சம் O (ε log n) இல் அறிகுறியற்ற முறையில் வளரும், அங்கு ε என்பது இயந்திர துல்லியம் (கீழே விவாதிக்கப்பட்டபடி ஒரு நிலையான நிலை எண்ணைக் கருதி). ஒப்பிடுகையில், கூட்டுத்தொகையை வரிசைப்படி திரட்டுவதற்கான அப்பாவித்தனமான நுட்பம் (i = 1,., n க்கு ஒரு நேரத்தில் ஒவ்வொரு xi ஒன்றையும் சேர்ப்பது) ரவுண்ட்ஆஃப் பிழைகளைக் கொண்டுள்ளது, அவை O (εn) ஆக மோசமாக வளரும். கஹான் கூட்டுத்தொகை தோராயமாக O (ε) இன் மோசமான-வழக்கு பிழையைக் கொண்டுள்ளது, இது n இலிருந்து சுயாதீனமாக உள்ளது, ஆனால் பல மடங்கு அதிக எண்கணித செயல்பாடுகள் தேவைப்படுகின்றன. ரவுண்ட்ஆஃப் பிழைகள் சீரற்றவை மற்றும் குறிப்பாக சீரற்ற அறிகுறிகளைக் கொண்டிருந்தால், அவை ஒரு சீரற்ற நடைப்பயணத்தை உருவாக்குகின்றன, மேலும் பிழை வளர்ச்சி ஜோடி வாரியான கூட்டுத்தொகைக்கு சராசரியாக குறைக்கப்படுகிறது. பல வேகமான ஃபோரியர் உருமாற்ற (எஃப்எஃப்டி) வழிமுறைகளில் கூட்டுத்தொகையின் மிகவும் ஒத்த தொடர்ச்சியான அமைப்பு காணப்படுகிறது, மேலும் அந்த எஃப்எஃப்டிகளின் அதே மெதுவான ரவுண்ட்ஆஃப் குவிப்புக்கு இது காரணமாகும். சூடோகோட்டில், n ≤ N அடிப்படை வழக்கில் s = ஜோடி வாரியாக (x [1. n]) எழுதப்படலாம்ஃ போதுமான சிறிய வரிசைக்கு அப்பாவித்தனமான கூட்டுத்தொகை s = 0 க்கு i = 1 முதல் n s = s + x [i] இல்லையெனில் வகுத்து வெல்லுங்கள்ஃ வரிசையின் இரண்டு பகுதிகளை மீண்டும் மீண்டும் கூட்டவும் m = தளம் (n/2) s = ஜோடி வாரியாக (x [1. m]) + ஜோடி வாரியாக (x [m [1. n]) முடிவடையும் சில போதுமான சிறியதாக இருந்தால், இந்த வழிமுறை ஒரு அப்பாவித்தனமான வளைய அடிப்படையிலான கூட்டுத்தொகைக்கு மாறுகிறது, அதன் பிழை வரம்பு O (Nε) ஆகும். முழு தொகையும் ஒரு மோசமான-வழக்கு பிழையைக் கொண்டுள்ளது, இது கொடுக்கப்பட்ட நிபந்தனை எண்ணுக்கு (கீழே காண்க) பெரிய n க்கு O (ε log n) என அறிகுறியற்ற முறையில் வளரும். இந்த வகையான ஒரு வழிமுறையில் (பொதுவாக வகுத்தல் மற்றும் கைப்பற்றுதல் வழிமுறைகளைப் பொறுத்தவரை), மறுநிகழ்வின் மேல்நிலையை கடனளிப்பதற்காக ஒரு பெரிய அடிப்படை வழக்கைப் பயன்படுத்துவது விரும்பத்தக்கது. N = 1 என்றால், ஒவ்வொரு உள்ளீட்டிற்கும் தோராயமாக ஒரு மறுசுழற்சி சப்ரூட்டின் அழைப்பு உள்ளது, ஆனால் பொதுவாக ஒவ்வொரு N/2 உள்ளீடுகளுக்கும் (தோராயமாக) ஒரு மறுசுழற்சி அழைப்பு உள்ளது, மறுசுழற்சி சரியாக n = N இல் நிறுத்தப்பட்டால். N ஐப் பொருட்படுத்தாமல், சரியாக n−1 சேர்த்தல்கள் மொத்தத்தில் செய்யப்படுகின்றன, இது அப்பாவித்தனமான கூட்டுத்தொகையைப் போலவே உள்ளது, எனவே மறுபயன்பாட்டு மேல்நிலை மிகக் குறைவாக இருந்தால், ஜோடி வாரியான கூட்டுத்தொகை அடிப்படையில் அப்பாவித்தனமான கூட்டுத்தொகையைப் போலவே அதே கணக்கீட்டு செலவைக் கொண்டுள்ளது. இந்த யோசனையின் மாறுபாடு என்னவென்றால், ஒவ்வொரு மறுசுழற்சி கட்டத்திலும் கூட்டுத்தொகையை b தொகுதிகளாக உடைத்து, ஒவ்வொரு தொகுதியையும் மீண்டும் மீண்டும் தொகுத்து, பின்னர் முடிவுகளைச் சுருக்குகிறது, இது அதன் முன்மொழிபவர்களால் "சூப்பர் பிளாக்" வழிமுறை என்று அழைக்கப்பட்டது. மேலே உள்ள ஜோடி வாரியான வழிமுறை b = N என்ற கடைசி கட்டத்தைத் தவிர ஒவ்வொரு கட்டத்திற்கும் b = 2 உடன் ஒத்திருக்கிறது. துல்லியம் i = 1,., n க்கு xi என்ற n மதிப்புகளை ஒன்று கூட்டுவதாக வைத்துக்கொள்வோம். சரியான தொகைஃ (எல்லையற்ற துல்லியத்துடன் கணக்கிடப்படுகிறது). ஒரு அடிப்படை வழக்கு N = 1 க்கான ஜோடி வாரியான கூட்டுத்தொகையுடன், அதற்கு பதிலாக ஒருவர் பெறுகிறார், அங்கு பிழை மேலே வரம்புக்குட்பட்டதுஃ இங்கு ε என்பது பயன்படுத்தப்படும் எண்கணிதத்தின் இயந்திர துல்லியம் (எ. கா. ε ≈ 10−16 நிலையான இரட்டை துல்லிய மிதக்கும் புள்ளிக்கு). வழக்கமாக, வட்டியின் அளவு என்பது ஒப்பீட்டு பிழையாகும், எனவே இது மேலே பின்வருவனவற்றால் வரையறுக்கப்படுகிறதுஃ உறவினர் பிழையின் வெளிப்பாட்டிற்கு உட்பட்டு, பின்னம் (‡ |xi |/|Σxi |) என்பது கூட்டுத்தொகை சிக்கலின் நிபந்தனை எண் ஆகும். அடிப்படையில், நிபந்தனை எண் பிழைகளுக்கு கூட்டுத்தொகை சிக்கலின் உள்ளார்ந்த உணர்திறனைக் குறிக்கிறது, அது எவ்வாறு கணக்கிடப்படுகிறது என்பதைப் பொருட்படுத்தாமல். நிலையான துல்லியத்தில் ஒரு நிலையான வழிமுறை மூலம் ஒவ்வொரு (பின்னோக்கிய நிலையான) கூட்டுத்தொகை முறையின் உறவினர் பிழை (அதாவது. தன்னிச்சையான துல்லியமான எண்கணிதத்தைப் பயன்படுத்துபவர்களோ அல்லது தரவுகளின் அடிப்படையில் நினைவகம் மற்றும் நேரத் தேவைகள் மாறும் வழிமுறைகளோ அல்ல), இந்த நிபந்தனை எண்ணுக்கு விகிதாசாரமாகும். ஒரு மோசமான நிபந்தனை கூட்டுத்தொகை சிக்கல் என்பது இந்த விகிதம் பெரியதாக இருக்கும், மேலும் இந்த விஷயத்தில் ஜோடி வாரியான கூட்டுத்தொகை கூட ஒரு பெரிய ஒப்பீட்டு பிழையைக் கொண்டிருக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, xi என்ற கூட்டுத்தொகை பூஜ்ஜிய சராசரியுடன் தொடர்பில்லாத சீரற்ற எண்களாக இருந்தால், தொகை ஒரு சீரற்ற நடை மற்றும் நிபந்தனை எண் அதற்கு விகிதாசாரமாக வளரும். மறுபுறம், பூஜ்ஜியமற்ற சீரற்ற உள்ளீடுகளுக்கு நிபந்தனை எண் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட மாறிலிக்கு அறிகுறியற்றதைக் குறிக்கிறது. உள்ளீடுகள் அனைத்தும் எதிர்மறையாக இல்லாவிட்டால், நிபந்தனை எண் 1 ஆகும். நடைமுறையில் வகுத்தல் திறம்பட 1 என்பதைக் கவனியுங்கள், ஏனெனில் n என்பது 21/ε வரிசையில் மாறும் வரை 1 ஐ விட மிகவும் சிறியது, இது இரட்டை துல்லியத்தில் தோராயமாக 101015 ஆகும். ஒப்பிடுகையில், அப்பாவித்தனமான கூட்டுத்தொகைக்கு கட்டுப்பட்ட ஒப்பீட்டு பிழை (வெறுமனே வரிசையாக எண்களைச் சேர்ப்பது, ஒவ்வொரு படியிலும் வட்டமிடுவது) நிபந்தனை எண்ணால் பெருக்கப்படும்போது வளரும். நடைமுறையில், ரவுண்டிங் பிழைகள் பூஜ்ஜிய சராசரியுடன் ஒரு சீரற்ற அடையாளத்தைக் கொண்டிருப்பதற்கான வாய்ப்புகள் அதிகம், இதனால் அவை ஒரு சீரற்ற நடைப்பயணத்தை உருவாக்குகின்றன; இந்த விஷயத்தில், அப்பாவித்தனமான கூட்டுத்தொகை ஒரு மூல சராசரி சதுர உறவினர் பிழையைக் கொண்டுள்ளது, இது வளரும் மற்றும் ஜோடி வாரியான கூட்டுத்தொகை சராசரியாக வளரும் ஒரு பிழையைக் கொண்டுள்ளது. மென்பொருள் செயலாக்கங்கள் இணைவாரியான கூட்டுத்தொகை என்பது நம்பை மற்றும் ஜூலியா தொழில்நுட்ப-கணினி மொழியில் இயல்புநிலை கூட்டுத்தொகை வழிமுறையாகும், அங்கு இரண்டு நிகழ்வுகளிலும் இது அப்பாவித்தனமான கூட்டுத்தொகையுடன் ஒப்பிடக்கூடிய வேகத்தைக் கொண்டிருப்பது கண்டறியப்பட்டது (ஒரு பெரிய அடிப்படை வழக்கைப் பயன்படுத்தியதற்கு நன்றி). பிற மென்பொருள் செயல்பாடுகளில் சி #மொழிக்கான எச். பி. சி ஷார்ப் நூலகம் மற்றும் டி இல் நிலையான நூலகச் சுருக்கம் ஆகியவை அடங்கும். குறிப்புகள் கணினி எண்கணித எண் பகுப்பாய்வு எடுத்துக்காட்டு போலி குறியீட்டைக் கொண்ட கட்டுரைகள்