Jyā, koti-jyā and utkrama-jyā
ஜயா, கோட்டி-ஜயா மற்றும் உத்க்ரம-ஜயா ஆகியவை இந்திய கணிதவியலாளர்கள் மற்றும் வானியலாளர்களால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட மூன்று முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளாகும். இந்த செயல்பாடுகளைப் பற்றிய குறிப்புகளைக் கொண்ட மிகப் பழமையான இந்திய நூல் சூர்ய சித்தாந்தா ஆகும். இவை வட்டங்களின் வளைவுகளின் செயல்பாடுகள், கோணங்களின் செயல்பாடுகள் அல்ல. ஜியாவும் கோட்டி-ஜியாவும் சைன் மற்றும் கொசைனின் நவீன முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளுடன் நெருக்கமாக தொடர்புடையவை. உண்மையில், "சைன்" மற்றும் "கொசைன்" என்ற நவீன சொற்களின் தோற்றம் சமஸ்கிருத வார்த்தைகளான ஜியா மற்றும் கோட்டி-ஜியா ஆகியவற்றிலிருந்து கண்டுபிடிக்கப்பட்டுள்ளது. வரையறை 'வளைவு ஏபி' என்பது ஒரு வளைவைக் குறிக்கும், அதன் இரண்டு முனைகள் ஒரு வட்டத்தின் ஏ மற்றும் பி மையமாக உள்ளன. ஒரு செங்குத்தான பிஎம் ஐ B இலிருந்து OA க்கு கைவிட்டால், பின்னர்ஃ வளைவு AB இன் jyā = வளைவு AB இன் BM கோடி-jyā = வளைவு AB இன் OM உத்க்ரம-jyā வட்டத்தின் ஆரம் R ஆகவும், வளைவு AB இன் நீளம் s ஆகவும் இருந்தால், ரேடியன்களில் அளவிடப்படும் O இல் வளைவு AB ஆல் உட்படுத்தப்பட்ட கோணம் θ = s/R ஆகும். மூன்று இந்திய செயல்பாடுகள் பின்வருமாறு நவீன முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளுடன் தொடர்புடையவைஃ jyā (வளைவு AB) = R sin (s/R) கோடி-ஜியா (வளைவு AB) = R cos (s/R) உத்க்ரம-ஜியா (வளைவு AB) = R (1-cos (s/R) ஒரு வட்டத்தின் வளைவின் இரண்டு முனைகளையும் இணைக்கும் நேர் கோடு ஒரு வில்லின் சரம் போன்றது, இந்த கோடு வட்டத்தின் ஒரு நாணல் ஆகும். இந்த நாணல் ஒரு ஜியா என்று அழைக்கப்படுகிறது, இது சமஸ்கிருதத்தில் "வில்-சரம்" என்று பொருள்படும், இது ஹிப்பார்சஸின் அதே அர்த்தத்துடன் மொழிபெயர்க்கப்பட்டுள்ளது. வடிவியல் இலக்கியத்தில் ஜீவா என்ற சொல் ஜியாவுக்கு ஒத்த பொருளாகவும் பயன்படுத்தப்படுகிறது. ஒரு கட்டத்தில், இந்திய வானியலாளர்களும் கணிதவியலாளர்களும் முழு வளையங்களுக்கு பதிலாக வளையங்களின் பாதிகளைப் பயன்படுத்தி, அரை வளையங்களை வளைவுகளின் பாதிகளுடன் தொடர்புபடுத்தினால் கணக்கீடுகள் மிகவும் வசதியாக இருக்கும் என்பதை உணர்ந்தனர். அரை-வளையங்கள் அர்த்த-ஜியாஸ் அல்லது ஜ்யா-அர்தாஸ் என்று அழைக்கப்பட்டன. "பாதி" என்று பொருள்படும் தகுதிவாய்ந்த அர்த்தாவைத் தவிர்ப்பதன் மூலம் இந்த சொற்கள் மீண்டும் ஜியா என்று சுருக்கப்பட்டன. கோட்டி என்ற சமஸ்கிருத வார்த்தைக்கு "புள்ளி, கூம்பு" மற்றும் குறிப்பாக "வில்லின் வளைந்த முனை" என்று பொருள். முக்கோண அளவீட்டில், இது "90 டிகிரி வரை ஒரு வளைவின் நிரப்பு" என்பதைக் குறிக்கிறது. எனவே கோட்டி-ஜியா என்பது "நிரப்பு வளைவின் ஜியா" ஆகும். இந்திய நூல்களில், குறிப்பாக வர்ணனைகளில், கோட்டி-ஜியா பெரும்பாலும் கோஜியா என்று சுருக்கமாக அழைக்கப்படுகிறது. கோட்டி என்ற சொல் "வலது கோண முக்கோணத்தின் பக்கத்தையும்" குறிக்கிறது. எனவே கோட்டி-ஜியா என்பது ஒரு வலது முக்கோணத்தின் மற்ற கதீட்டஸையும் குறிக்கலாம், முதல் கதீட்டஸ் ஜியா ஆகும். உத்க்ரமா என்றால் "தலைகீழ்", எனவே உத்க்ரமா-ஜியா என்றால் "தலைகீழ் நாணல்" என்று பொருள். உத்க்ரம-ஜியாவின் அட்டவணை மதிப்புகள் ஆரத்திலிருந்து கூறுகளை தலைகீழ் வரிசையில் கழிப்பதன் மூலம் ஜியாவின் அட்டவணை மதிப்புகளிலிருந்து பெறப்படுகின்றன. இது உண்மையில் வில் மற்றும் வில்-சரத்திற்கு இடையிலான அம்பு, எனவே இது "அம்பு" என்று பொருள்படும் பானா, இசு அல்லது ஷரா என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. மையத்தில் 90 டிகிரி கோணத்தை உட்படுத்தும் ஒரு வட்டத்தின் வளைவு விருத்தா-பாதம் (ஒரு வட்டத்தின் நாற்கர) என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒவ்வொரு இராசி அடையாளமும் 30 டிகிரி வளைவை வரையறுக்கிறது மற்றும் மூன்று தொடர்ச்சியான இராசி அறிகுறிகள் விருத்தா-பாதத்தை வரையறுக்கிறது. விருத்தா-பாதத்தின் ஜ்யா என்பது வட்டத்தின் ஆரம் ஆகும். இந்திய வானியலாளர்கள் அடிப்படை வட்டத்தின் ஆரத்தைக் குறிக்க திரி-ஜியா என்ற வார்த்தையை உருவாக்கினர், திரி-ஜியா என்ற சொல் "மூன்று அறிகுறிகளின் ஜியாவைக்" குறிக்கிறது. ஆரம் வியாசார்தா, விஷ்கம்பார்தா, விஸ்தாராடா போன்றவை என்றும் அழைக்கப்படுகிறது, இவை அனைத்தும் "அரை விட்டம்" என்று பொருள்படும். ஒரு மரபின் படி, ஜியா மற்றும் கோட்டி-ஜியா செயல்பாடுகள் முறையே "ரிசின்" மற்றும் "ஆர்கோஸ்" ஆகியவற்றால் குறிக்கப்படுகின்றன, அவை ஒற்றை வார்த்தைகளாக கருதப்படுகின்றன. மற்றவை ஜயா மற்றும் கோட்டி-ஜியாவை முறையே "சின்" மற்றும் "காஸ்" என்று குறிக்கின்றன (முதல் எழுத்துக்கள் சாதாரண சைன் மற்றும் கொசைன் செயல்பாடுகளில் சிறிய எழுத்துக்களாக இருக்கும் முதல் எழுத்துக்களுக்கு முரணாக பெரிய எழுத்துக்களாக உள்ளன). ஜியா முதல் சைன் வரை சைன் என்ற நவீன வார்த்தையின் தோற்றம் சமஸ்கிருத வார்த்தையிலிருந்து அல்லது இன்னும் குறிப்பாக அதன் ஒத்தபெயருடன் கண்டறியப்பட்டுள்ளது. இந்த சொல் இடைக்கால இஸ்லாமிய கணிதத்தில் ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்டது, அரபு மொழியில் (ஜிப்) என லிப்யந்தரிக்கப்பட்டது. அரபு குறுகிய உயிரெழுத்துக்கள் இல்லாமல் எழுதப்படுவதால்-மற்றும் கடன் வாங்கும் நீண்ட உயிரெழுத்து இங்கே யா உடன் குறிக்கப்படுகிறது-இது ஹோமோகிராஃப், (ஜிப்) என்று விளக்கப்பட்டது, அதாவது "மார்பகம்". உரையின் 12 ஆம் நூற்றாண்டின் லத்தீன் மொழிபெயர்ப்பாளர் "மார்பகம்", சைனஸுக்கு சமமான லத்தீன் மொழியைப் பயன்படுத்தினார். இது ஆனபோது, ஒப்புமையின் மூலம் இணை-சைனஸ் ஆனது என்று கூறப்படுகிறது. இருப்பினும், ஆரம்பகால இடைக்கால நூல்களில், கொசைன் "நிரப்பின் சைன்" என்று அழைக்கப்படுகிறது, இது ஒற்றுமை தற்செயலானது என்பதைக் குறிக்கிறது. மேலும் காண்க வசன குறிப்புகள் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் முக்கோணவியல் இந்திய கணிதம் சமஸ்கிருத வார்த்தைகள் மற்றும் சொற்றொடர்கள் இந்து வானியல் கேரளா வானியல் மற்றும் கணிதப் பள்ளி கணிதத்தின் வரலாறு