Container method
(ஹைபர் கிராஃப்) கொள்கலன்களின் முறை ஒரு சக்திவாய்ந்த கருவியாகும், இது வழக்கமான கட்டமைப்பை வகைப்படுத்தவும்/அல்லது தனித்துவமான பொருட்களின் குடும்பங்களைப் பற்றிய தீவிர கேள்விகளுக்கு உள்ளூர் கட்டுப்பாடுகளின் பரிந்துரைக்கப்பட்ட தொகுப்புடன் பதிலளிக்கவும் உதவும். இத்தகைய கேள்விகள் இயற்கையாகவே தீவிர வரைபடக் கோட்பாடு, சேர்க்கை ஒருங்கிணைப்பு, தனித்துவமான வடிவியல், குறியீட்டு கோட்பாடு மற்றும் ராம்சே கோட்பாடு ஆகியவற்றில் எழுகின்றன; அவை தொடர்புடைய துறைகளில் மிகவும் பாரம்பரியமான சில சிக்கல்களை உள்ளடக்கியது. இந்த சிக்கல்களை பின்வரும் வடிவத்தின் கேள்விகளாக வெளிப்படுத்தலாம்ஃ விளிம்பு தொகுப்புடன் வரையறுக்கப்பட்ட உச்சியில் ஒரு ஹைப்பர் கிராஃப் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது (அதாவது. சில அளவு கட்டுப்பாடுகளுடன் கூடிய துணைக்குழுக்களின் தொகுப்பு), சுயாதீன தொகுப்புகளைப் பற்றி நாம் என்ன சொல்ல முடியும் (அதாவது. அதன் துணைக்குழுக்களில் எந்த உறுப்பும் இல்லை)? ஹைபர் கிராஃப் கொள்கலன் லெம்மா அத்தகைய கேள்விகளைக் கையாள்வதற்கான ஒரு முறையை வழங்குகிறது. 1907 ஆம் ஆண்டில் மான்டெல் மற்றும் 1940 களில் இருந்து டுரானின் பணியைச் சேர்ந்த தீவிர வரைபடக் கோட்பாட்டின் அடித்தள சிக்கல்களில் ஒன்று, ஒரு துணை வரைபடமாக தடைசெய்யப்பட்ட சில நிலையான நகல்களைக் கொண்டிருக்காத அந்த வரைபடங்களை வகைப்படுத்தக் கேட்கிறது. வேறு களத்தில், சேர்க்கை ஒருங்கிணைப்பில் ஊக்கமளிக்கும் கேள்விகளில் ஒன்று, ஒரு கால எண்கணித முன்னேற்றத்தைக் கொண்டிருக்காமல் முழு எண்களின் தொகுப்பு எவ்வளவு பெரியதாக இருக்க முடியும் என்பதைப் புரிந்துகொள்வது, ரோத் () மற்றும் ஸ்ஸெமெரெடி (பொது) ஆகியோரால் கொடுக்கப்பட்ட இந்த அளவில் மேல் வரம்புகளுடன். கொள்கலன்களின் முறை (வரைபடங்களில்) ஆரம்பத்தில் 1980 ஆம் ஆண்டில் க்ளைட்மேன் மற்றும் வின்ஸ்டன் ஆகியோரால் முன்னோடியாக இருந்தது, அவர்கள் 4-சுழற்சிகள் இல்லாமல் லட்டிஸ்கள் மற்றும் வரைபடங்களின் எண்ணிக்கையை கட்டுப்படுத்தினர். கொள்கலன் பாணி லெம்மாக்கள் பல்வேறு சூழல்களில் பல கணிதவியலாளர்களால் சுயாதீனமாக உருவாக்கப்பட்டன, குறிப்பாக சபோசென்கோ உட்பட, அவர்கள் ஆரம்பத்தில் இந்த அணுகுமுறையை 2002-2003 இல் பயன்படுத்தி வழக்கமான வரைபடங்களில் சுயாதீன தொகுப்புகளைக் கணக்கிடவும், அபெலியன் குழுக்களில் தொகை இல்லாத தொகுப்புகளைக் கணக்கிடவும், பல்வேறு பிற கணக்கீட்டு சிக்கல்களைப் படிக்கவும் பயன்படுத்தினர். முக்கிய யோசனை மற்றும் முறைசாரா அறிக்கை ஒருங்கிணைப்பில் உள்ள பல சிக்கல்களை வரைபடங்கள் மற்றும் ஹைப்பர் கிராப்களில் சுயாதீன தொகுப்புகள் பற்றிய கேள்விகளாக மறுசீரமைக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, முழு எண்களின் துணைக்குழுக்களை நாம் புரிந்து கொள்ள விரும்புகிறோம் என்று வைத்துக்கொள்வோம், இது ஒரு கால எண்கணித முன்னேற்றம் இல்லாததால் குறிக்கப்படுகிறது. இந்த தொகுப்புகள்-சீரான ஹைபர் கிராஃப்பில் உள்ள சுயாதீன தொகுப்புகளாகும், இதில் அனைத்து-கால எண்கணித முன்னேற்றங்களின் தொகுப்பு உள்ளது. மேற்கூறிய (மற்றும் பல) நிகழ்வுகளில், ஒரு ஹைபர் கிராஃப் பற்றி பொதுவாக இரண்டு இயற்கையான வகை சிக்கல்கள் உள்ளனஃ அதிகபட்ச சுயாதீனமான தொகுப்பின் அளவு என்ன? அதிகபட்ச அளவிலான சுயாதீன தொகுப்புகளின் தொகுப்பு எப்படி இருக்கும்? சுயாதீன தொகுப்புகள் எப்படி இருக்கலாம்? ஒரு "வழக்கமான" சுயாதீன தொகுப்பு எப்படி இருக்கும்? இந்த சிக்கல்கள் ஒரு எளிய அவதானிப்பு மூலம் இணைக்கப்பட்டுள்ளன. ஒரு மிகப்பெரிய சுயாதீன தொகுப்பின் அளவாக இருக்கட்டும், மேலும் சுயாதீன தொகுப்புகள் உள்ளன என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர், கீழ் எல்லை அதிகபட்ச சுயாதீன தொகுப்பின் அனைத்து துணைக்குழுக்களையும் எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம் பின்தொடர்கிறது. இந்த எல்லைகள் ஒருவருக்கொருவர் ஒப்பீட்டளவில் வெகு தொலைவில் உள்ளன, அவை மிகப் பெரியதாக இல்லாவிட்டால், ஹைபர் கிராஃப்பின் செங்குத்துகளின் எண்ணிக்கைக்கு நெருக்கமாக இருக்கும். இருப்பினும், ஒருங்கிணைந்த சிக்கல்களில் இயற்கையாக எழும் பல ஹைப்பர் கிராப்களில், கீழ் வரம்பு உண்மையான மதிப்புக்கு நெருக்கமாக உள்ளது என்று நம்புவதற்கு எங்களுக்கு காரணம் உள்ளது; எனவே முதன்மை குறிக்கோள் மேல் வரம்புகளை மேம்படுத்துவதாகும். ஹைபர் கிராஃப் கொள்கலன் லெம்மா ஒரு ஹைபர் கிராஃப்பில் சுயாதீன தொகுப்புகளின் குடும்பத்தின் அமைப்பு மற்றும் அளவைப் புரிந்துகொள்வதற்கான ஒரு சக்திவாய்ந்த அணுகுமுறையை வழங்குகிறது. அதன் மையத்தில், ஹைபர் கிராஃப் கொள்கலன் முறை ஒரு ஹைப்பர் கிராஃப், கொள்கலன்களின் தொகுப்பு, பின்வரும் பண்புகளை திருப்திப்படுத்தும் செங்குத்துகளின் துணைக்குழுக்களிலிருந்து பிரித்தெடுக்க உதவுகிறதுஃ அதிக கொள்கலன்கள் இல்லை. ஒவ்வொரு கொள்கலனும் மிகப்பெரிய சுயாதீன தொகுப்பை விட பெரியதாக இல்லை. ஒவ்வொரு கொள்கலனுக்கும் சில விளிம்புகள் உள்ளன. ஹைபர் கிராஃப்பில் உள்ள ஒவ்வொரு சுயாதீன செட்டும் சில கொள்கலன்களில் முழுமையாக சேர்க்கப்பட்டுள்ளது. பெயர் கொள்கலன் இந்த கடைசி நிபந்தனையை குறிக்கிறது. இத்தகைய கொள்கலன்கள் பெரும்பாலும் சுயாதீன தொகுப்புகளின் குடும்பத்தை (கொள்கலன்களின் துணைக்குழுக்கள்) வகைப்படுத்துவதற்கும், ஹைபர் கிராஃப்பின் சுயாதீன தொகுப்புகளை கணக்கிடுவதற்கும் (ஒரு கொள்கலனின் சாத்தியமான அனைத்து துணைக்குழுக்களையும் கருத்தில் கொள்வதன் மூலம்) ஒரு பயனுள்ள அணுகுமுறையை வழங்குகின்றன. ஹைபர் கிராஃப் கொள்கலன் லெம்மா மேலே உள்ள கொள்கலன் சிதைவை இரண்டு துண்டுகளாக அடைகிறது. இது ஒரு தீர்மானகரமான செயல்பாட்டை உருவாக்குகிறது. பின்னர், இது ஹைபர் கிராஃப்பில் உள்ள ஒவ்வொரு சுயாதீன தொகுப்பிலிருந்தும் பிரித்தெடுக்கும் ஒரு வழிமுறையை வழங்குகிறது, இது கைரேகை என்று அழைக்கப்படும் ஒப்பீட்டளவில் சிறிய செங்குத்துகளின் தொகுப்பாகும். பின்னர், கொள்கலன்கள் மேற்கண்ட செயல்பாட்டில் எழும் தொகுப்புகளின் தொகுப்பாகும், மேலும் கைரேகைகளின் சிறிய அளவு அத்தகைய கொள்கலன் தொகுப்புகளின் எண்ணிக்கையில் நல்ல கட்டுப்பாட்டை வழங்குகிறது. கிராஃப் கொள்கலன் வழிமுறை ஒரு வரைபடத்தில் சுயாதீன தொகுப்புகளின் எண்ணிக்கையில் வலுவான மேல் வரம்புகளைக் காண்பிப்பதற்கான ஒரு முறையை நாம் முதலில் விவரிக்கிறோம்; இந்த வெளிப்பாடு முதலில் க்ளைட்மேன்-வின்ஸ்டன் மற்றும் சபோசென்கோ ஆகியோரால் பயன்படுத்தப்பட்ட கிராஃப் கொள்கலன் முறையைப் பற்றி சமோடிஜ் நடத்திய ஆய்விலிருந்து தழுவி எடுக்கப்பட்டது. குறிப்பு பின்வரும் பிரிவில் பின்வரும் குறியீட்டைப் பயன்படுத்துகிறோம். செங்குத்துகளில் ஒரு வரைபடம், அங்கு உச்சி தொகுப்பு (தன்னிச்சையான) வரிசையுடன் பொருத்தப்பட்டுள்ளது. அளவுடன் கூடிய சுயாதீன தொகுப்புகளின் தொகுப்பாக இருக்கட்டும். சுயாதீன அளவிலான தொகுப்புகளின் எண்ணிக்கையாக இருக்கட்டும். ஒரு உச்சி துணைக்குழுவின் அதிகபட்ச-டிகிரி வரிசை என்பது தூண்டப்பட்ட துணை வரைபடத்தில் அவற்றின் டிகிரியால் செங்குத்துகளின் வரிசைப்படுத்தலாகும். க்ளைட்மேன்-வின்ஸ்டன் வழிமுறை பின்வரும் வழிமுறை ஒரு வரைபடத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு சுயாதீன தொகுப்புக்கும் ஒரு சிறிய "கைரேகை" மற்றும் முழு சுயாதீன தொகுப்பு ஃபிக்ஸ் கிராஃப், சுயாதீன தொகுப்பு மற்றும் நேர்மறை முழு எண்ணைக் கொண்ட ஒரு பெரிய துணைக்குழுவை உருவாக்க கைரேகை ஒரு தீர்மானிக்கும் செயல்பாட்டை வழங்குகிறது. துவக்குதல்ஃ அனுமதிக்க. இதற்கு மீண்டும் செய்யவும்ஃ குறைந்தபட்ச குறியீட்டைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான அதிகபட்ச-டிகிரி வரிசையை உருவாக்குங்கள் (அதாவது. தூண்டப்பட்ட துணை வரைபடத்தில் மிகப்பெரிய டிகிரியின் உச்சி) இருக்கட்டும், உச்சியின் சுற்றுப்புறம் எங்கே. திசையன் மற்றும் உச்சி தொகுப்பை வெளியேற்றுங்கள். பகுப்பாய்வு கட்டுமானத்தின் மூலம், மேலே உள்ள வழிமுறையின் வெளியீடு ஒரு பண்பைக் கொண்டுள்ளது, இது ஒரு உச்சி துணைக்குழு என்பதைக் குறிப்பிடுகிறது, இது முற்றிலும் தீர்மானிக்கப்படுகிறது, இல்லையெனில் ஒரு செயல்பாடு அல்ல. இதை வலியுறுத்த நாம் எழுதுவோம். மேற்கண்ட வழிமுறையில் உள்ள தொகுப்பை வெறுமனே திசையனில் இருந்து மறுகட்டமைக்க முடியும் என்பதையும் நாம் கவனிக்கிறோம். இது கைரேகைக்கான ஒரு நல்ல தேர்வாகவும், ஒரு கொள்கலனுக்கு ஒரு நல்ல தேர்வாகவும் இருக்கலாம் என்று இது அறிவுறுத்துகிறது. இன்னும் துல்லியமாக, வெளியீட்டு வரிசைகளின் கூட்டுத்தொகையாக சில அளவிலான சுயாதீன தொகுப்புகளின் எண்ணிக்கையை நாம் பிணைக்க முடியும், அங்கு வரைபடத்தின் சுயாதீன தொகுப்புகளின் மொத்த எண்ணிக்கையில் ஒரு வரம்பைப் பெற நாம் சுருக்கலாம்ஃ இந்த மேல் வரம்பைக் குறைக்க முயற்சிக்கும்போது, இந்த இரண்டு சொற்களையும் சமநிலைப்படுத்த/குறைக்க விரும்புகிறோம். இந்த முடிவு உச்சிகளை அதிகபட்ச டிகிரி (குறைக்க) மூலம் வரிசைப்படுத்தும் மதிப்பை விளக்குகிறது. லெம்மாஸ் மேற்கூறிய ஏற்றத்தாழ்வுகள் மற்றும் அவதானிப்புகளை மிகவும் பொதுவான அமைப்பில் கூறலாம், இது திசையன்களின் மீது ஒரு வெளிப்படையான கூட்டுத்தொகையிலிருந்து பிரிக்கப்பட்டுள்ளது. லெம்மா 1: ஒரு வரைபடத்துடன் கொடுக்கப்பட்டு, முழு எண்ணும் உண்மையான எண்களும் பூர்த்தி செய்கின்றன என்று வைத்துக்கொள்வோம். குறைந்தபட்சம் செங்குத்துகளில் ஒவ்வொரு தூண்டப்பட்ட துணை வரைபடமும் குறைந்தபட்சம் விளிம்பு அடர்த்தியைக் கொண்டுள்ளன என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் ஒவ்வொரு முழு எண்ணுக்கும், லெம்மா 2: செங்குத்துகளில் ஒரு வரைபடமாக இருக்கட்டும், மேலும் ஒரு முழு எண் மற்றும் உண்மையானவை தேர்ந்தெடுக்கப்படுகின்றன என்று வைத்துக்கொள்வோம். குறைந்தபட்சம் செங்குத்துகளின் அனைத்து துணைக்குழுக்களும் குறைந்தபட்சம் விளிம்புகளைக் கொண்டிருந்தால், செங்குத்துகளின் துணைக்குழுக்களின் தொகுப்பு ("கைரேகைகள்") மற்றும் ஒரு தீர்மானகரமான செயல்பாடு உள்ளது, இதனால் ஒவ்வொரு சுயாதீன தொகுப்புக்கும், அது உள்ளது. ஹைபர் கிராஃப் கொள்கலன் லெம்மா முறைசாரா முறையில், ஹைபர் கிராஃப் கொள்கலன் லெம்மா ஒவ்வொரு சுயாதீன தொகுப்புக்கும் ஒரு சிறிய கைரேகை ஒதுக்க முடியும் என்று நமக்குச் சொல்கிறது, இதனால் ஒரே கைரேகை கொண்ட அனைத்து சுயாதீன தொகுப்புகளும் ஒரே பெரிய தொகுப்பைச் சேர்ந்தவை, தொடர்புடைய கொள்கலன், அளவு ஹைபர் கிராஃப்பின் செங்குத்துகளின் எண்ணிக்கையிலிருந்து விலகி உள்ளது. மேலும், இந்த கைரேகைகள் சிறியவை (எனவே சில கொள்கலன்கள் உள்ளன), மேலும் ஹைபர் கிராஃப்பின் சில எளிய பண்புகளைப் பயன்படுத்தி அவற்றின் அளவை அடிப்படையில் உகந்த முறையில் மேல் பிணைக்க முடியும். சீரான ஹைபர் கிராஃப் தொடர்பான பின்வரும் குறியீட்டை நாம் நினைவுகூர்கிறோம். நேர்மறை முழு எண்களை வரையறுக்கவும், எங்கே. சுயாதீன தொகுப்புகளின் தொகுப்பாக இருக்கட்டும். இது போன்ற சில சுயாதீன தொகுப்புகளைக் குறிக்கும். பலோக், மோரிஸ், சமோடிஜ் மற்றும் சாக்ஸ்டன் ஆகியோரின் படைப்புகளில் காணப்படும் இந்த லெம்மாவின் பதிப்பை நாங்கள் குறிப்பிடுகிறோம், இது ஒரு சீரான ஹைபர் கிராஃப் ஆக இருக்கட்டும், மேலும் ஒவ்வொரு சிலருக்கும் அது நம்மிடம் உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர், ஒரு தொகுப்பு மற்றும் ஒரு செயல்பாடு உள்ளது, அதாவது ஒவ்வொன்றிற்கும் மற்றும் உள்ளது. ஒவ்வொருவருக்கும் மற்றும். எடுத்துக்காட்டு பயன்பாடுகள் வழக்கமான வரைபடங்கள் சுயாதீன தொகுப்புகளின் எண்ணிக்கையின் மேல் வரம்பு ஒவ்வொரு வெர்டெக்ஸ்-வழக்கமான வரைபடமும் திருப்திப்படுத்தும் வகையில் ஒரு முழுமையான மாறிலி இருப்பதை நாம் காண்பிப்போம். அற்பமான வரியைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் ஒவ்வொரு அளவின் சுயாதீன தொகுப்புகளின் எண்ணிக்கையை நாம் பிணைக்க முடியும். இந்த அளவுருக்களுடன்,-வழக்கமான வரைபடம் லெம்மா 1 இன் நிபந்தனைகளை திருப்திப்படுத்துகிறது, இதனால், எல்லாவற்றையும் சுருக்குவது தருகிறது, இது சம்-ஃப்ரீ செட்களை செருகும்போது விரும்பிய முடிவை அளிக்கிறது. அதிகபட்ச தொகை இல்லாத துணைக்குழுக்கள் உள்ளன என்பதைக் காண்பிப்போம். இது ஒரு வழக்கமான வரைபடத்தில் சுயாதீன தொகுப்புகளின் எண்ணிக்கையில் மேலே உள்ள வரம்புகளிலிருந்து தொடரும். இதைப் பார்க்க, நாம் ஒரு துணை வரைபடத்தை உருவாக்க வேண்டும். குறைந்த வரிசை விதிமுறைகள் வரை, குறைந்தபட்சம் சிறிய கூறுகளைக் கொண்ட தொகை-இல்லாத தொகுப்புகளுக்கு நம் கவனத்தை கட்டுப்படுத்தலாம் என்பதை நாம் முதலில் கவனிக்கிறோம் (ஏனெனில் இதன் நிரப்பு துணைக்குழுக்களின் எண்ணிக்கை அதிகபட்சமாக உள்ளது). சில துணைக்குழுக்களைப் பொறுத்தவரை, வெர்டெக்ஸ் செட் மற்றும் எட்ஜ் செட்டுடன் ஒரு துணை வரைபடத்தை வரையறுக்கிறோம், மேலும் ஒவ்வொரு உறுப்பும் அதை விட சிறியதாக இருப்பதால் நமது துணை வரைபடம் வழக்கமானதாக இருப்பதை கவனிக்கிறோம். பின்னர் துணைக்குழுவின் மிகச்சிறிய கூறுகள் என்றால், தொகுப்பு வரைபடத்தில் ஒரு சுயாதீனமான தொகுப்பாகும். பின்னர், நமது முந்தைய வரம்பின் படி, அதிகபட்சமாக முக்கோணம் இல்லாத வரைபடங்களின் கூட்டுத்தொகை இல்லாத துணைக்குழுக்களின் எண்ணிக்கை என்பதைக் காண்கிறோம். முறைசாரா அறிக்கை இருதரப்பு வரைபடங்கள் முக்கோணம் இல்லாதவை என்பதால், செங்குத்துகளுடன் கூடிய முக்கோணம் இல்லாத வரைபடங்களின் எண்ணிக்கை குறைந்தபட்சம், சமநிலையான முழுமையான இருதரப்பு வரைபடத்தின் சாத்தியமான அனைத்து துணை வரைபடங்களையும் கணக்கிடுவதன் மூலம் பெறப்படுகிறது. வெர்டெக்ஸ் செட் மற்றும் எட்ஜ் செட்டுடன் ஒரு துணை-சீரான ஹைப்பர் கிராஃப்பை நாம் உருவாக்கலாம். இந்த ஹைப்பர் கிராஃப் முக்கோணங்களை "குறியாக்கம்" செய்கிறது, அதாவது செங்குத்துகளில் முக்கோணம் இல்லாத வரைபடங்களின் குடும்பம் சரியாக இந்த ஹைப்பர் கிராஃப்பின் சுயாதீன தொகுப்புகளின் தொகுப்பாகும். மேலே உள்ள ஹைப்பர் கிராஃப் ஒரு நல்ல டிகிரி விநியோகத்தைக் கொண்டுள்ளதுஃ ஒவ்வொரு விளிம்பும், எனவே உச்சியில் சரியாக முக்கோணங்களில் உள்ளது, மேலும் ஒவ்வொரு ஜோடி உறுப்புகளும் அதிகபட்சம் 1 முக்கோணத்தில் உள்ளன. எனவே, ஹைபர் கிராஃப் கொள்கலன் லெம்மாவை (மீண்டும் மீண்டும்) பயன்படுத்துவதன் மூலம், ஒவ்வொரு முக்கோணம் இல்லாத வரைபடம்/ஹைப்பர் கிராஃப்பின் சுயாதீன தொகுப்பைக் கொண்ட சில முக்கோணங்களைக் கொண்ட கொள்கலன்களின் குடும்பம் இருப்பதை நாம் காட்ட முடியும். முக்கோணம் இல்லாத வரைபடங்களின் எண்ணிக்கையில் மேல் வரம்பு நாம் முதலில் பொதுவான ஹைப்பர் கிராஃப் கொள்கலன் லெம்மாவை 3-சீரான ஹைப்பர் கிராஃப்களுக்கு பின்வருமாறு நிபுணத்துவம் செய்கிறோம்ஃ லெம்மாஃ ஒவ்வொன்றிற்கும், பின்வருவன உள்ளன. சராசரி டிகிரியுடன் 3-சீரான ஹைப்பர் கிராஃப் ஆக இருக்கட்டும், அதை வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் பெரும்பாலான கொள்கலன்களின் தொகுப்பு உள்ளது, அதாவது ஒவ்வொன்றிற்கும், அனைவருக்கும் உள்ளது இந்த லெம்மாவை மீண்டும் மீண்டும் பயன்படுத்துவது பின்வரும் தேற்றத்தைக் கொடுக்கும் (கீழே நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளபடி): தேற்றம்ஃ அனைவருக்கும், பின்வருவன உள்ளன. ஒவ்வொரு நேர்மறை முழு எண்ணுக்கும், செங்குத்துகளில் வரைபடங்களின் தொகுப்பு உள்ளது, அவை ஒவ்வொன்றும் முக்கோணங்களை விட குறைவாக உள்ளன, செங்குத்துகளில் ஒவ்வொரு முக்கோணம் இல்லாத வரைபடமும் சிலவற்றில் உள்ளன. ஆதாரம்ஃ மேலே வரையறுக்கப்பட்ட ஹைபர் கிராஃபைக் கவனியுங்கள். முறைசாரா முறையில் முன்பு கவனித்தபடி, ஹைபர் கிராஃப் ஒவ்வொருவருக்கும் திருப்தி அளிக்கிறது. எனவே, மேலே உள்ள லெம்மாவை (அதாவது) இன் துணைக்குழுக்களின் தொகுப்பைக் கண்டறிய பயன்படுத்தலாம். செங்குத்துகளில் உள்ள வரைபடங்கள்) அதாவது ஒவ்வொரு முக்கோண இலவச வரைபடமும் சிலவற்றின் துணை வரைபடமாகும், ஒவ்வொன்றும் பெரும்பாலான விளிம்புகளைக் கொண்டுள்ளன. இது நாம் காட்ட விரும்பும் முடிவைப் போல வலுவாக இல்லை, எனவே கொள்கலன் லெம்மாவை மீண்டும் மீண்டும் பயன்படுத்துவோம். குறைந்தபட்சம் முக்கோணங்களைக் கொண்ட சில கொள்கலன்கள் நம்மிடம் உள்ளன என்று வைத்துக்கொள்வோம். தூண்டப்பட்ட சப்-ஹைப்பர்கிராஃபுக்கு கொள்கலன் லெம்மாவை நாம் பயன்படுத்தலாம். சராசரி டிகிரி குறைந்தபட்சம், ஏனெனில் ஒவ்வொரு முக்கோணமும் ஒரு விளிம்பில் உள்ளது, மேலும் இந்த தூண்டப்பட்ட துணை வரைபடம் பெரும்பாலான செங்குத்துகளைக் கொண்டுள்ளது. எனவே, நாம் லெம்மாவை அளவுருவுடன் பயன்படுத்தலாம், நமது கொள்கலன்களின் தொகுப்பிலிருந்து அகற்றலாம், அதை இந்த கொள்கலன்களின் தொகுப்பால் மாற்றலாம், கொள்கலன்கள் மூடுகின்றன. முக்கோணங்களை விட குறைவான கொள்கலன்களின் இறுதி தொகுப்பு இருக்கும் வரை நாம் மீண்டும் மீண்டும் செய்ய முடியும். இந்த சேகரிப்பு மிகப் பெரியதாக இருக்க முடியாது என்பதை நாங்கள் கவனிக்கிறோம்; எங்கள் தூண்டப்பட்ட துணை வரைபடங்கள் அனைத்தும் அதிகபட்ச செங்குத்துகளையும் குறைந்தபட்சம் சராசரி டிகிரியையும் கொண்டுள்ளன, அதாவது ஒவ்வொரு மறு செய்கையும் பெரும்பாலான புதிய கொள்கலன்களில் விளைகிறது. மேலும், கொள்கலன் அளவு ஒவ்வொரு முறையும் ஒரு காரணியால் சுருங்குகிறது, எனவே ஒரு வரம்புக்குட்பட்ட (பொறுத்து) மறு செய்கைகளின் எண்ணிக்கைக்குப் பிறகு, மறு செய்கை செயல்முறை முடிவடையும். மேலும் காண்க சுயாதீன தொகுப்பு (வரைபடக் கோட்பாடு) Szemerédi இன் தேற்றம் Szemerédi ஒழுங்குமுறை லெம்மா குறிப்புகள் வெளிப்புற வரைபடக் கோட்பாடு ஹைபர் கிராஃப்ஸ் சேர்க்கை சேர்க்கை