Sobolev mapping
கணிதத்தில், சோபோலேவ் வரைபடம் என்பது பன்மடங்கு இடையே ஒரு வரைபடமாகும், இது ஏதோ ஒரு வகையில் மென்மையைக் கொண்டுள்ளது. ஹார்மோனிக் வரைபடக் கோட்பாடு உட்பட மாறுபாடுகள் மற்றும் பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் கால்குலஸில் பன்மடங்கு கட்டுப்படுத்தப்பட்ட சிக்கல்களில் சோபோலேவ் வரைபடங்கள் இயற்கையாகவே தோன்றும். வரையறை கொடுக்கப்பட்ட ரீமானியன் பன்மடங்கு மற்றும், இது நாஷின் மென்மையான உட்பொதிக்கும் தேற்றத்தால் பொதுவான தன்மையை இழக்காமல் ஐசோமெட்ரிக் முறையில் முதல் வரிசையில் உட்பொதிக்கப்பட்டதாக கருதப்படுகிறது () சோபோலேவ் வரைபடங்களையும் மெட்ரிக் இடைவெளிகளின் சூழலில் வரையறுக்கலாம். தோராயமான தோராய சிக்கல் என்பது வழக்கமான இடவியல் தொடர்பாக மென்மையான வரைபடங்கள் அடர்த்தியாக உள்ளதா என்பதை தீர்மானிப்பதில் உள்ளது. போது, மோரியின் சமத்துவமின்மை சோபோலேவ் வரைபடங்கள் தொடர்ச்சியானவை என்பதைக் குறிக்கிறது, எனவே மென்மையான வரைபடங்களால் வலுவாக தோராயமாக மதிப்பிடப்படலாம். எப்போது, சோபோலேவ் வரைபடங்கள் சராசரி ஊசலாட்டத்தை மறைக்கின்றன, இதனால் மென்மையான வரைபடங்களால் தோராயமாக மதிப்பிடப்படலாம். எப்போது, அடர்த்தி பற்றிய கேள்வி தடை கோட்பாட்டுடன் தொடர்புடையதுஃ ஒரு பரிமாண முக்கோணத்திலிருந்து ஒரு தொடர்ச்சியான வரைபடத்தின் ஒவ்வொரு தொடர்ச்சியான வரைபடமும் ஒரு தொடர்ச்சியான வரைபடத்தின் கட்டுப்பாட்டாக இருந்தால் மட்டுமே அது அடர்த்தியாக இருக்கும். வரைபடங்களின் பலவீனமான தோராயத்தின் வரிசையைக் கண்டுபிடிப்பதில் உள்ள சிக்கல் ஒரு முழு எண்ணாக இல்லாதபோது வலுவான தோராயத்திற்கு சமம். ஒரு முழு எண் எப்போது, ஒரு தேவையான நிபந்தனை என்னவென்றால், ஒரு பரிமாண முக்கோணத்திலிருந்து ஒவ்வொரு தொடர்ச்சியான வரைபடத்தின் ஒரு பரிமாண முக்கோணத்திற்கான கட்டுப்பாடு ஒரு தொடர்ச்சியான வரைபடத்தின் கட்டுப்பாட்டுடன் ஒத்துப்போகிறது. எப்போது, இந்த நிபந்தனை போதுமானது, இந்த நிபந்தனை போதுமானதாக இல்லை. ஹோமோடாபி ஹோமோடாபி சிக்கல் என்பது வழக்கமான இடவியல் கொண்ட இடத்தின் பாதை இணைக்கப்பட்ட கூறுகளை விவரிப்பதிலும் வகைப்படுத்துவதிலும் உள்ளது. எப்போது மற்றும், பின்னர் பாதை-இணைக்கப்பட்ட கூறுகள் அடிப்படையில் பாதை-இணைக்கப்பட்ட கூறுகளைப் போலவே இருக்கும்ஃ இரண்டு வரைபடங்கள் ஒரு பாதையால் இணைக்கப்பட்டிருந்தால், அவை ஒரு பாதையால் இணைக்கப்பட்டிருந்தால் மட்டுமே, ஏதேனும் பாதை-இணைக்கப்பட்ட கூறு மற்றும் பாதை-இணைக்கப்பட்ட கூறு அற்பமாக வெட்டுகிறது. ஒரு பொதுவான பரிமாண முக்கோணத்திற்கான கட்டுப்பாடுகள் ஒரே மாதிரியாக இருந்தால் மட்டுமே, இரண்டு வரைபடங்கள் ஒரு தொடர்ச்சியான பாதையால் இணைக்கப்படும். தடங்களின் விரிவாக்கம் எந்தவொரு சோபோலேவ் வரைபடத்திற்கும் ஒரு தடம் இருப்பதாகவும், எப்போது, தடம் இயக்குபவர் மீது இருப்பதாகவும் கிளாசிக்கல் தடம் கோட்பாடு கூறுகிறது. சர்ஜெக்டிவிட்டி ஒரு சராசரி வாதத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது என்பதற்கான ஆதாரம், இதன் விளைவாக சோபோலேவ் வரைபடங்களுக்கு உடனடியாக நீட்டிக்கப்படவில்லை. ட்ரேஸ் ஆபரேட்டர் எப்போது அல்லது எப்போது, வரையறுக்கப்பட்ட மற்றும் என்று அறியப்படுகிறது. சிலருக்கு எல்லையற்றதாக இருந்தால் அல்லது இருந்தால் ட்ரேஸ் ஆபரேட்டரின் சர்ஜெக்டிவிட்டி தோல்வியடைகிறது. லிஃப்டிங் ஒரு கவரிங் மேப்பைப் பொறுத்தவரை, லிஃப்டிங் சிக்கல் எந்தவொரு வரைபடத்தையும் சிலருக்கு எழுத முடியுமா என்று கேட்கிறது, ஏனெனில் இது தொடர்ச்சியான அல்லது மென்மையானது மற்றும் கிளாசிக்கல் லிஃப்டிங் கோட்பாட்டில் எப்போது வெறுமனே இணைக்கப்பட்டுள்ளது. களம் வெறுமனே இணைக்கப்பட்டிருந்தால், எந்த வரைபடத்தையும் சிலருக்கு எப்போது, எப்போது, எப்போது கச்சிதமாக இருக்கும், மற்றும் எழுதலாம். தூக்கும் போது ஒரு இடவியல் தடையும், எப்போது ஒரு பகுப்பாய்வு தடையும் உள்ளது. குறிப்புகள் மேலும் வாசிப்பு https://mathoverflow.net/questions/108808/differential-of-a-sobolev-map-between-manifolds பன்மடங்கு வரைபடங்களை சித்தரிக்கிறது சோபோலேவ் இடைவெளிகள் ஹோமோடோபி கோட்பாடு