Schur algebra
கணிதத்தில், இசாய் ஷூர் பெயரிடப்பட்ட ஷூர் ஆல்ஜிப்ராக்கள், பொதுவான நேரியல் மற்றும் சமச்சீர் குழுக்களுக்கு இடையிலான ஷூர்-வெயில் இரட்டைத்தன்மையுடன் நெருக்கமாக தொடர்புடைய சில வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண ஆல்ஜிப்ராக்கள் ஆகும். அந்த இரண்டு குழுக்களின் பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாடுகளை தொடர்புபடுத்த அவை பயன்படுத்தப்படுகின்றன. அவற்றின் பயன்பாடு ஜே இன் செல்வாக்குமிக்க மோனோகிராஃப் மூலம் ஊக்குவிக்கப்பட்டது. ஏ. கிரீன் முதன்முதலில் 1980 இல் வெளியிடப்பட்டது. "ஷூர் அல்ஜிப்ரா" என்ற பெயர் பச்சை நிறத்தின் காரணமாகும். மட்டு வழக்கில் (நேர்மறை பண்புகளின் எல்லையற்ற புலங்களில்) ஷுர் ஆல்ஜிப்ராக்கள் கார்டன் ஜேம்ஸ் மற்றும் கரின் எர்ட்மேன் ஆகியோரால் பயன்படுத்தப்பட்டன, பொதுவான நேரியல் குழுக்கள் மற்றும் சமச்சீர் குழுக்களுக்கான சிதைவு எண்களைக் கணக்கிடுவதில் (இன்னும் திறந்திருக்கும்) சிக்கல்கள் உண்மையில் சமமானவை என்பதைக் காட்டுகின்றன. ஃப்ரைட்லாண்டர் மற்றும் சுஸ்லின் ஆகியோரால் ஷுர் ஆல்ஜிப்ராக்கள் வரையறுக்கப்பட்ட குழு திட்டங்களின் வரையறுக்கப்பட்ட தலைமுறை ஒத்திசைவுகளை நிரூபிக்க பயன்படுத்தப்பட்டன. கட்டுமானம் ஷுர் இயற்கணிதத்தை எந்த பரிமாற்ற வளையம் மற்றும் முழு எண்களுக்கும் வரையறுக்கலாம். பரிமாற்ற மாறிகளில் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் (குணகங்களுடன்) இயற்கணிதத்தைக் கவனியுங்கள், 1 ≤ i, j ≤. டிகிரியின் ஒரே மாதிரியான பல்லுறுப்புக்கோவைகளால் குறிக்கவும். இதன் கூறுகள் ஜெனரேட்டர்களை ஒன்றாக பெருக்குவதன் மூலம் உருவாகும் மோனாமியல்களின் கே-லீனியர் சேர்க்கைகள் ஆகும் (மீண்டும் மீண்டும் செய்ய அனுமதிக்கிறது). எனவே இப்போது, இயற்கையான நிலக்கரி இயற்கணித கட்டமைப்பைக் கொண்டுள்ளது மற்றும் (க்ரோனெக்கரின் டெல்டா) மூலம் ஜெனரேட்டர்களில் கொடுக்கப்பட்ட இயற்கணித ஹோமோமார்பிசம்களை கணக்கிடுகிறது. பல்வகைப்படுத்தல் என்பது ஒரு இயற்கணித காப்பமைவியம் என்பதால், இது ஒரு இருவேறு இயற்கணிதமாகும். ஒவ்வொரு r ≤ 0க்கும் அது இருவேறு இயற்கணிதத்தின் துணை நிலக்கரி இயற்கணிதம் என்பதை ஒருவர் எளிதாக சரிபார்க்க முடியும். வரையறை. ஷூர் இயற்கணிதம் (டிகிரியில்) இயற்கணிதம் ஆகும். அதாவது, லீனியர் டூயல் ஆகும். ஒரு நிலக்கரி இயற்கணிதத்தின் நேரியல் இரட்டை இயற்கையான வழியில் ஒரு இயற்கணிதமாகும் என்பது ஒரு பொதுவான உண்மை, அங்கு இயற்கணிதத்தில் பெருக்கம் நிலக்கரி இயற்கணிதத்தில் உள்ள கூட்டுத்தொகையை இரட்டிப்பாக்குவதன் மூலம் தூண்டப்படுகிறது. இதைப் பார்க்க, கொடுக்கப்பட்ட லீனியர் ஃபங்ஷனல்கள், அவற்றின் பெருக்கலை லீனியர் ஃபங்ஷனலாக வரையறுக்கலாம். மிக அடிப்படையான பண்புகளில் ஒன்று மையப்படுத்தப்பட்ட இயற்கணிதமாக வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. பின்னர் எழுத்துக்களில் உள்ள சமச்சீர் குழு டென்சர் இடத்தில் இயற்கையாகவே இட வரிசைமாற்றத்தால் செயல்படுகிறது, மேலும் ஒரு ஐசோமார்பிசம் உள்ளது வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், சமச்சீர் குழுவின் செயல்பாட்டுடன் பயணிக்கும் டென்சர் இடத்தின் எண்டோமார்பிசங்களின் இயற்கணிதமாக பார்க்கப்படலாம். இது பைனாமியல் குணகத்தால் கொடுக்கப்பட்ட தரவரிசையில் இலவசம். பல்வேறு தளங்கள் அறியப்படுகின்றன, அவற்றில் பல ஜோடி செமிஸ்டாண்டர்ட் இளம் அட்டவணை வடிவத்தால் குறியிடப்படுகின்றன, ஏனெனில் பகிர்வுகளின் தொகுப்பில் பகுதிகளுக்கு மேல் மாறுபடுவதில்லை. k ஒரு எல்லையற்ற புலமாக இருந்தால், (மேட்ரிக்ஸ் பெருக்கத்தால் கொடுக்கப்பட்ட இயற்கையான செயல்பாட்டிலிருந்து தூண்டப்பட்ட டென்சர்களின் மீது மூலைவிட்ட நடவடிக்கை மூலம்) செயல்படும் பொதுவான நேரியல் குழுவின் செயல்பாட்டிற்கான உறை இயற்கணிதத்துடன் (எச். வெயில் என்ற அர்த்தத்தில்) அடையாளம் காணலாம். ஷூர் ஆல்ஜிப்ராக்கள் "முழு எண்களுக்கு மேல் வரையறுக்கப்படுகின்றன". இதன் பொருள் என்னவென்றால், அவை பின்வரும் அளவிடுதல் பண்புகளின் மாற்றத்தை திருப்திப்படுத்துகின்றனஃ எந்தவொரு பரிமாற்ற வளையத்திற்கும். ஷூர் ஆல்ஜிப்ராக்கள் அரை பரம்பரை ஆல்ஜிப்ராக்களின் இயற்கையான எடுத்துக்காட்டுகளை வழங்குகின்றன (க்ளைன், பார்ஷல் மற்றும் ஸ்காட் ஆகியோரால் வரையறுக்கப்பட்டபடி), எனவே நல்ல ஒத்த பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன. குறிப்பாக, ஷூர் ஆல்ஜிப்ராக்கள் வரையறுக்கப்பட்ட உலகளாவிய பரிமாணத்தைக் கொண்டுள்ளன. பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ஷுர் ஆல்ஜிப்ராக்கள் (எந்தவொரு குறைப்பு இயற்கணிதக் குழுவுடனும் தொடர்புடையவை) 1980 களில் டான்கின் என்பவரால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டன. இவை அரை பரம்பரை சார்ந்தவையும் கூட. ஏறக்குறைய அதே நேரத்தில், டிப்பர் மற்றும் ஜேம்ஸ் அளவிடப்பட்ட ஷூர் ஆல்ஜிப்ராக்களை (அல்லது சுருக்கமாக q-ஷூர் ஆல்ஜிப்ராக்கள்) அறிமுகப்படுத்தினர், அவை மேலே விவரிக்கப்பட்ட கிளாசிக்கல் ஷூர் ஆல்ஜிப்ராக்களின் ஒரு வகை q-சிதைவு ஆகும், இதில் சமச்சீர் குழு தொடர்புடைய ஹெக் இயற்கணிதத்தால் மாற்றப்படுகிறது மற்றும் பொதுவான நேரியல் குழு பொருத்தமான குவாண்டம் குழுவால் மாற்றப்படுகிறது. டான்கின் கிளாசிக்கல் ஷூர் ஆல்ஜிப்ராக்களை பொதுமைப்படுத்தியதைப் போலவே டிப்பர் மற்றும் ஜேம்ஸ் ஆகியோரின் படைப்புகளை பொதுமைப்படுத்துவதன் மூலம் பெறப்படும் பொதுவான க்யூ-ஷூர் ஆல்ஜிப்ராக்களும் உள்ளன. காக்-மூடி லை ஆல்ஜிப்ராக்களுடன் தொடர்புடைய அஃபைன் க்யூ-ஷூர் ஆல்ஜிப்ராக்கள் மற்றும் அரிகி-கொய்கே ஆல்ஜிப்ராக்களுடன் தொடர்புடைய சைக்ளோடோமிக் க்யூ-ஷூர் ஆல்ஜிப்ராக்கள் (சில சிக்கலான பிரதிபலிப்புக் குழுக்களின் க்யூ-சிதைவுகள்) போன்ற பிற பொதுமைப்படுத்தல்கள் போன்ற மேலும் பொதுமைப்படுத்தல்கள் உள்ளன. இந்த பல்வேறு வகை பொதுமைப்படுத்தல்களைப் பற்றிய ஆய்வு சமகால ஆராய்ச்சியின் செயலில் ஒரு பகுதியை உருவாக்குகிறது. ஸ்டுவர்ட் மார்ட்டின், ஷுர் ஆல்ஜிப்ராஸ் மற்றும் பிரதிநிதித்துவ கோட்பாடு, கேம்பிரிட்ஜ் யுனிவர்சிட்டி பிரஸ் 1993., ஆண்ட்ரூ மாதாஸ், இவாஹோரி-ஹெக்கே ஆல்ஜிப்ராஸ் மற்றும் சமச்சீர் குழுவின் ஷுர் ஆல்ஜிப்ராஸ், யுனிவர்சிட்டி லெக்சர் சீரிஸ், vol.15, அமெரிக்க கணித சங்கம், 1999., ஹெர்மன் வெயில், தி கிளாசிக்கல் குரூப்ஸ். அவர்களின் மாறுபாடுகள் மற்றும் பிரதிநிதித்துவங்கள். பிரின்ஸ்டன் யுனிவர்சிட்டி பிரஸ், பிரின்ஸ்டன், என். ஜே., 1939. இயற்கணித பிரதிநிதித்துவ கோட்பாடு