Limit (mathematics)
கணிதத்தில், வரம்பு என்பது உள்ளீடு (அல்லது குறியீடு) சில மதிப்பை நெருங்கும்போது ஒரு செயல்பாடு (அல்லது வரிசை) அணுகும் மதிப்பு ஆகும். கால்குலஸ் மற்றும் கணித பகுப்பாய்விற்கு வரம்புகள் இன்றியமையாதவை, மேலும் அவை தொடர்ச்சி, வழித்தோன்றல்கள் மற்றும் ஒருங்கிணைப்புகளை வரையறுக்கப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. ஒரு வரிசையின் வரம்பு பற்றிய கருத்து மேலும் ஒரு இடவியல் வலையின் வரம்பு என்ற கருத்துடன் பொதுமைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது, மேலும் வகைக் கோட்பாட்டில் வரம்பு மற்றும் நேரடி வரம்புடன் நெருக்கமாக தொடர்புடையது. சூத்திரங்களில், ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்பு பொதுவாக இவ்வாறு எழுதப்படுகிறது (ஒரு சில எழுத்தாளர்கள் "லிம்" என்பதற்கு பதிலாக "லெஃப்ட்" ஐப் பயன்படுத்துகிறார்கள் என்றாலும்) மேலும் இது "அணுகுமுறைகளின் வரம்பு சமம்" என்று படிக்கப்படுகிறது. ஒரு செயல்பாடு வரம்பை அணுகும்போது வரம்பை நெருங்குகிறது என்ற உண்மை சில நேரங்களில் வலது அம்பு (→ அல்லது) மூலம் குறிக்கப்படுகிறது, இதில் "முனைகிறது போல் முனைகிறது". வரலாறு கிரேகோயர் டி செயிண்ட்-வின்சென்ட் தனது படைப்பான ஓபஸ் ஜியோமெட்ரிக்கம் (1647) இல் ஒரு வடிவியல் தொடரின் வரம்பு (முனையம்) பற்றிய முதல் வரையறையை வழங்கினார்ஃ "ஒரு முன்னேற்றத்தின் முனையம் தொடரின் முடிவாகும், இது எந்த முன்னேற்றத்தையும் அடைய முடியாது, அது முடிவிலியில் தொடர்ந்தாலும் கூட, ஆனால் கொடுக்கப்பட்ட பிரிவை விட அவள் நெருக்கமாக அணுக முடியும்". வரம்பின் நவீன வரையறை பெர்னார்ட் போல்சானோவுக்குச் செல்கிறது, அவர் 1817 ஆம் ஆண்டில், தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளை வரையறுக்க எப்சிலான்-டெல்டா நுட்பத்தின் அடிப்படைகளை உருவாக்கினார். இருப்பினும், அவரது பணி அவர் இறந்த முப்பது ஆண்டுகள் வரை மற்ற கணிதவியலாளர்களுக்குத் தெரியாது. 1821 ஆம் ஆண்டில் அகஸ்டின்-லூயிஸ் காச்சி, அதைத் தொடர்ந்து கார்ல் வியர்ஸ்ட்ராஸ், ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்பின் வரையறையை முறைப்படுத்தினார், இது வரம்பின் வரையறை (ε, δ) என்று அறியப்பட்டது. அம்புக்குறியை வரம்பு சின்னத்திற்கு கீழே வைப்பதற்கான நவீன குறியீடு ஜி. எச். ஹார்டியின் காரணமாகும், அவர் 1908 ஆம் ஆண்டில் தனது புத்தகமான தூய கணிதத்தின் ஒரு பாடத்திட்டத்தில் இதை அறிமுகப்படுத்தினார். வரம்புகளின் வகைகள் வரிசைகளில் உண்மையான எண்கள் வெளிப்பாடு 0.999.0.9,0.99,0.999, மற்றும் பலவற்றின் வரிசையின் வரம்பாக விளக்கப்பட வேண்டும். இந்த வரிசை வரம்பு 1 ஐக் கொண்டிருப்பதை கடுமையாகக் காட்டலாம், எனவே இந்த வெளிப்பாடு மதிப்பு 1 ஐக் கொண்டிருப்பதாக அர்த்தமுள்ள வகையில் விளக்கப்படுகிறது. முறைப்படி, இது உண்மையான எண்களின் வரிசை என்று வைத்துக்கொள்வோம். வரிசையின் வரம்பு இருக்கும்போது, ஒவ்வொரு உண்மையான எண்ணுக்கும், அனைவருக்கும் நம்மிடம் இருக்கும் ஒரு இயற்கை எண் இருந்தால் மட்டுமே, உண்மையான எண் இந்த வரிசையின் வரம்பாகும். பொதுவான குறியீடு பின்வருமாறு படிக்கப்படுகிறதுஃ "n இன் வரம்பு முடிவிலியை நெருங்குவது L க்கு சமம்" அல்லது "n இன் வரம்பு முடிவிலியை நெருங்குவது L க்கு சமம்". முறையான வரையறை உள்ளுணர்வாக அர்த்தம் என்னவென்றால், இறுதியில், வரிசையின் அனைத்து கூறுகளும் தன்னிச்சையாக வரம்பிற்கு அருகில் வருகின்றன, ஏனெனில் முழுமையான மதிப்பு மற்றும் இடையே உள்ள தூரமாகும். ஒவ்வொரு வரிசைக்கும் ஒரு வரம்பு இல்லை. ஒரு வரம்பைக் கொண்ட ஒரு வரிசை ஒருங்கிணைப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது; இல்லையெனில் அது வேறுபட்டது என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு ஒருங்கிணைந்த வரிசைக்கு ஒரே ஒரு வரம்பு மட்டுமே உள்ளது என்பதை ஒருவர் காட்ட முடியும். ஒரு வரிசையின் வரம்பும் ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்பும் நெருக்கமாக தொடர்புடையவை. ஒருபுறம், ஒரு வரிசையின் முடிவிலியை நெருங்கும் வரம்பு வெறுமனே ஒரு செயல்பாட்டின் முடிவிலியின் வரம்பாகும்-இது இயற்கை எண்களில் வரையறுக்கப்படுகிறது. மறுபுறம், X என்பது ஒரு செயல்பாட்டின் களமாக இருந்தால், முடிவிலியை நெருங்கும் வரம்பு X−x0 இல் உள்ள புள்ளிகளின் ஒவ்வொரு தன்னிச்சையான வரிசைக்கும் ஒன்றிணைந்தால், அணுகுமுறைகளாக செயல்பாட்டின் வரம்பு சமமாக இருக்கும். அத்தகைய ஒரு வரிசை இருக்கும். ஒரு வரம்பாக முடிவிலி ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட மதிப்பைக் காட்டிலும் "முடிவிலிக்கு முனைகிறது" என்ற வரம்பைக் கொண்டிருப்பதற்கும் ஒரு கருத்து உள்ளது. பிணைப்பு என்று அழைக்கப்படும் ஒவ்வொரு உண்மையான எண்ணுக்கும், ஒவ்வொன்றிற்கும் ஒரு முழு எண் இருந்தால், ஒரு வரிசை "முடிவிலிக்கு முனைகிறது" என்று கூறப்படுகிறது, அதாவது, ஒவ்வொரு சாத்தியமான பிணைப்புக்கும், வரிசை இறுதியில் வரம்பை மீறுகிறது. இது பெரும்பாலும் எழுதப்பட்ட அல்லது எளிமையானதாகும். ஒரு வரிசை வேறுபட்டதாக இருக்க முடியும், ஆனால் முடிவிலிக்கு முனைவதில்லை. இத்தகைய வரிசைகள் ஊசலாட்டம் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. ஒரு அலைவு வரிசைக்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு. எதிர்மறை முடிவிலிக்குச் செல்வது தொடர்பான ஒரு கருத்து உள்ளது, இது மேற்கண்ட வரையறையில் உள்ள சமத்துவமின்மையை வரம்பற்றது என்று அழைக்கப்படும் ஒரு வரிசையுடன் மாற்றுவதன் மூலம் வரையறுக்கப்படுகிறது, இது சிக்கலான எண்களில் உள்ள வரிசைகளுக்கு சமமாக செல்லுபடியாகும் வரையறை, அல்லது எந்த மெட்ரிக் இடத்திலும். முடிவிலிக்குச் செல்லாத வரிசைகள் எல்லைக்குட்பட்டவை என்று அழைக்கப்படுகின்றன. நேர்மறை முடிவிலிக்குச் செல்லாத வரிசைகள் மேலே வரம்புக்குட்பட்டவை என்று அழைக்கப்படுகின்றன, அதே நேரத்தில் எதிர்மறை முடிவிலிக்குச் செல்லாதவை கீழே வரம்புக்குட்பட்டவை. மெட்ரிக் இடைவெளி மேலே உள்ள வரிசைகளின் விவாதம் உண்மையான எண்களின் வரிசைகளுக்கானது. மெட்ரிக் இடைவெளிகள் போன்ற அதிக சுருக்க இடைவெளிகளில் மதிப்பிடப்பட்ட வரிசைமுறைகளுக்கு வரம்புகள் பற்றிய கருத்தை வரையறுக்கலாம். தூரச் செயல்பாடு கொண்ட ஒரு மெட்ரிக் இடைவெளி மற்றும் ஒரு வரிசை என்றால், வரிசையின் வரம்பு (அது இருக்கும்போது) ஒரு உறுப்பாகும், கொடுக்கப்பட்டால், ஒவ்வொன்றிற்கும், நம்மிடம் ஒரு சமமான கூற்று உள்ளது. எடுத்துக்காட்டுஃ Rn ஒரு முக்கியமான உதாரணம்-பரிமாண உண்மையான திசையன்களின் இடைவெளி, ஒவ்வொன்றும் உண்மையான உறுப்புகளுடன், பொருத்தமான தூர செயல்பாட்டிற்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு யூக்ளிடியன் தூரம், வரையறுக்கப்படுகிறது. இடவியல் இடைவெளி ஒருவிதத்தில் வரம்புகளை வரையறுக்கக்கூடிய மிகவும் சுருக்கமான இடைவெளி இடவியல் இடைவெளிகள் ஆகும். இடவியல் கொண்ட ஒரு இடவியல் இடமாக இருந்தால், அது ஒரு வரிசையாக இருந்தால், வரிசையின் வரம்பு (அது இருக்கும்போது) ஒரு புள்ளியாகும், அதாவது, ஒரு (திறந்த) சுற்றுப்புறத்தைக் கொடுத்தால், ஒவ்வொருவருக்கும் திருப்தி அளிக்கும் வகையில் உள்ளது. இந்த விஷயத்தில், வரம்பு (அது இருந்தால்) தனித்துவமாக இருக்காது. இருப்பினும் அது ஒரு ஹவுஸ்டோர்ஃப் இடமாக இருந்தால் அது தனித்துவமாக இருக்க வேண்டும். செயல்பாட்டு இடம் இந்த பிரிவு செயல்பாடுகளின் வரிசைகளின் வரம்புகள் பற்றிய யோசனையை கையாள்கிறது, கீழே விவாதிக்கப்பட்ட செயல்பாடுகளின் வரம்புகள் பற்றிய யோசனையுடன் குழப்பமடையக்கூடாது. செயல்பாட்டு பகுப்பாய்வு புலம் ஓரளவு செயல்பாட்டு இடங்களில் ஒருங்கிணைப்பு பற்றிய பயனுள்ள கருத்துக்களை அடையாளம் காண முயல்கிறது. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு பொதுவான தொகுப்பிலிருந்து செயல்பாடுகளின் இடத்தை கருத்தில் கொள்ளுங்கள். ஒவ்வொன்றும் ஒரு செயல்பாடு போன்ற செயல்பாடுகளின் வரிசையைக் கொடுத்தால், ஒவ்வொன்றிற்கும் ஒரு செயல்பாடு இருப்பதாக வைத்துக்கொள்வோம், பின்னர் வரிசை புள்ளி வாரியாக ஒன்றிணைகிறது என்று கூறப்படுகிறது. இருப்பினும், இத்தகைய காட்சிகள் எதிர்பாராத நடத்தையை வெளிப்படுத்தலாம். எடுத்துக்காட்டாக, தொடர்ச்சியற்ற புள்ளி வாரியான வரம்பைக் கொண்ட தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளின் வரிசையை உருவாக்க முடியும். ஒருங்கிணைப்பு பற்றிய மற்றொரு கருத்து சீரான ஒருங்கிணைப்பு ஆகும். வாதம் மாறுபட்டிருப்பதால் இரண்டு செயல்பாடுகளுக்கு இடையிலான சீரான தூரம் இரண்டு செயல்பாடுகளுக்கும் இடையிலான அதிகபட்ச வேறுபாடாகும். அதாவது, இந்த தூரத்தைப் பொறுத்தவரை வரிசை ஒரே மாதிரியாக ஒன்றிணைகிறது அல்லது ஒரு சீரான வரம்பைக் கொண்டுள்ளது என்று கூறப்படுகிறது. சீரான வரம்பு புள்ளி வாரியான வரம்பை விட "சிறந்த" பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளின் வரிசையின் சீரான வரம்பு தொடர்ச்சியானது. ஒருங்கிணைப்பு பற்றிய பல்வேறு கருத்துக்களை செயல்பாட்டு இடங்களில் வரையறுக்கலாம். இது சில நேரங்களில் இடத்தின் வழக்கமான தன்மையைப் பொறுத்தது. ஒருங்கிணைப்பு பற்றிய சில கருத்துகளுடன் செயல்பாட்டு இடைவெளிகளின் முக்கிய எடுத்துக்காட்டுகள் எல்பி இடைவெளிகள் மற்றும் சோபோலேவ் இடைவெளி ஆகும். செயல்பாடுகளில் இது ஒரு உண்மையான மதிப்புள்ள செயல்பாடு மற்றும் ஒரு உண்மையான எண் என்று வைத்துக்கொள்வோம். உள்ளுணர்வுடன் பேசுகையில், வெளிப்பாடு என்பது விரும்பிய அளவுக்கு நெருக்கமாக இருக்க முடியும், போதுமான நெருக்கமாக இருப்பதன் மூலம். அவ்வாறான நிலையில், மேற்கண்ட சமன்பாட்டை "வரம்பு, அணுகும்போது, உள்ளது" என்று படிக்கலாம். முறைப்படி, "அணுகுமுறைகளின் வரம்பு" என்பதற்கான வரையறை பின்வருமாறு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. வரம்பு ஒரு உண்மையான எண், எனவே, ஒரு தன்னிச்சையான உண்மையான எண்ணைக் கொடுக்கப்பட்டால் ("பிழை" என்று கருதப்படுகிறது), எந்தவொரு திருப்திக்கும், அது வைத்திருக்கும். இது (ε, δ)-வரம்பின் வரையறை என்று அழைக்கப்படுகிறது. சமத்துவமின்மை பரிசீலனையில் உள்ள புள்ளிகளின் தொகுப்பிலிருந்து விலக்க பயன்படுத்தப்படுகிறது, ஆனால் சில ஆசிரியர்கள் இதை வரம்புகள் பற்றிய வரையறையில் சேர்க்கவில்லை, அதற்கு பதிலாக எளிமையாக மாற்றுகிறார்கள். இந்த மாற்றீடு கூடுதலாக தொடர்ச்சியானதாக இருக்க வேண்டும் என்பதற்கு சமம். வரிசைகளின் வரம்புகளுக்கும் செயல்பாடுகளின் வரம்புகளுக்கும் இடையிலான தொடர்பை வெளிப்படுத்தும் ஒரு சமமான வரையறை உள்ளது என்பதை நிரூபிக்க முடியும். சமமான வரையறை பின்வருமாறு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. களத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு வரிசைக்கும், ஒரு தொடர்புடைய வரிசை, கீழே உள்ள வரிசையின் படம் உள்ளது என்பதை முதலில் கவனிக்கவும். வரம்பு ஒரு உண்மையான எண், எனவே, அனைத்து வரிசைகளுக்கும், தொடர்புடைய வரிசை. ஒரு பக்க வரம்பு "இடது கை" வரம்பு ("கீழே இருந்து") என்ற கருத்தையும், "வலது கை" வரம்பு ("மேலே இருந்து") என்ற கருத்தையும் வரையறுக்க முடியும். இவற்றுடன் உடன்பட வேண்டிய அவசியமில்லை. ஒரு எடுத்துக்காட்டு நேர்மறை குறியீட்டு செயல்பாட்டால் வழங்கப்படுகிறது, இது என்றால், மற்றும் என்றால் என வரையறுக்கப்படுகிறது. இல், செயல்பாடு 0 இன் "இடது கை வரம்பு", 1 இன் "வலது கை வரம்பு" ஆகியவற்றைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் அதன் வரம்பு இல்லை. குறியீடாக, இந்த உதாரணத்திற்கு, மற்றும், இதிலிருந்து அது இல்லை என்று யூகிக்க முடியும், ஏனெனில். செயல்பாடுகளின் வரம்புகளில் முடிவிலி களத்தில் "முடிவிலிக்குச் செல்வது" என்ற கருத்தை வரையறுக்க முடியும், இந்த வெளிப்பாட்டில், முடிவிலி கையொப்பமிடப்பட்டதாகக் கருதப்படுகிறதுஃ ஒன்று அல்லது. "x நேர்மறை முடிவிலிக்கு முனைவதால் f இன் வரம்பு" பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது. இது ஒரு உண்மையான எண், எந்தவொரு உண்மையானதும் கொடுக்கப்பட்டால், ஒரு இருந்தால்,. சமமாக, எந்தவொரு வரிசைக்கும், நம்மிடம் உள்ளது. "முடிவிலிக்குச் செல்வது" என்ற கருத்தை அதன் மதிப்பில் வரையறுக்கவும் முடியும், வரையறை பின்வருமாறு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. எந்தவொரு உண்மையான எண்ணையும் கொடுத்தால், செயல்பாட்டின் முழுமையான மதிப்புக்கு ஒரு காரணம் உள்ளது. சமமாக, எந்த வரிசைக்கும், வரிசை. தரமற்ற பகுப்பாய்வில் (இது எண் அமைப்பின் ஹைபர்ரியல் விரிவாக்கத்தை உள்ளடக்கியது), ஒரு வரிசையின் வரம்பை எல்லையற்ற ஹைபர்ன்யாசுரல் குறியீடு n = H இல் வரிசையின் இயற்கையான விரிவாக்கத்தின் மதிப்பின் நிலையான பகுதியாக வெளிப்படுத்தலாம். எனவே, இங்கே, நிலையான பகுதி செயல்பாடு "st" ஒவ்வொரு வரையறுக்கப்பட்ட ஹைபர்ரியல் எண்ணையும் அருகிலுள்ள உண்மையான எண்ணுக்கு சுற்றுகிறது (அவற்றுக்கிடையேயான வேறுபாடு எல்லையற்றது). குறியீட்டின் "மிகப் பெரிய" மதிப்புகளுக்கு, வரிசையில் உள்ள சொற்கள் வரிசையின் வரம்பு மதிப்பிற்கு "மிகவும் நெருக்கமாக" உள்ளன என்ற இயற்கையான உள்ளுணர்வை இது முறைப்படுத்துகிறது. இதற்கு நேர்மாறாக, அல்ட்ரா பவர் கட்டுமானத்தில் ஒரு காச்சி வரிசையால் குறிப்பிடப்படும் ஹைபர்ரியலின் நிலையான பகுதி, வெறுமனே அந்த வரிசையின் வரம்பாகும்ஃ இந்த அர்த்தத்தில், வரம்பை எடுத்துக்கொள்வதும் நிலையான பகுதியை எடுத்துக்கொள்வதும் சமமான நடைமுறைகள். வரம்பு தொகுப்புகள் ஒரு வரிசையின் வரம்பு தொகுப்பு ஒரு இடவியல் இடத்தில் ஒரு வரிசையாக இருக்கட்டும். உறுதியைப் பொறுத்தவரை, என்று கருதலாம், ஆனால் வரையறைகள் மிகவும் பொதுவாக உள்ளன. வரம்பு தொகுப்பு என்பது புள்ளிகளின் தொகுப்பாகும், அதாவது ஒரு ஒருங்கிணைந்த தொடர்ச்சி இருந்தால், அது வரம்பு தொகுப்பிற்கு சொந்தமானது. இந்த சூழலில், இது சில நேரங்களில் வரம்பு புள்ளி என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த கருத்தின் பயன்பாடு ஊசலாட்ட வரிசைகளின் "நீண்ட கால நடத்தை" யை வகைப்படுத்துவதாகும். உதாரணமாக, வரிசையைக் கவனியுங்கள். n = 1 இல் தொடங்கி, இந்த வரிசையின் முதல் சில சொற்கள். இது ஊசலாட்டம் என்பதை சரிபார்க்கலாம், எனவே வரம்பு இல்லை, ஆனால் வரம்பு புள்ளிகள் உள்ளன. ஒரு பாதையின் வரம்பு தொகுப்பு இந்த கருத்து இயக்கவியல் அமைப்புகளில் பயன்படுத்தப்படுகிறது, பாதைகளின் வரம்புகளைப் படிக்க. ஒரு பாதையை ஒரு செயல்பாடாக வரையறுத்தால், புள்ளி "நேரத்தில்" பாதையின் "நிலை" என்று கருதப்படுகிறது. ஒரு பாதையின் வரம்பு தொகுப்பு பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது. அதிகரிக்கும் நேரங்களின் எந்தவொரு வரிசைக்கும், தொடர்புடைய நிலைகளின் வரிசை உள்ளது. அதிகரிக்கும் நேரங்களின் எந்தவொரு வரிசைக்கும் வரிசையின் வரம்பு தொகுப்பாக இருந்தால், அது பாதையின் வரம்பு தொகுப்பாகும். தொழில்நுட்ப ரீதியாக, இது-வரம்பு தொகுப்பு. குறைந்து வரும் நேரத்தின் வரிசைக்கு பொருத்தமான வரம்பு-வரம்பு தொகுப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு எடுத்துக்காட்டு வட்டம் பாதை ஆகும்ஃ இதற்கு தனித்துவமான வரம்பு இல்லை, ஆனால் ஒவ்வொன்றிற்கும், புள்ளி ஒரு வரம்பு புள்ளியாகும், இது நேரங்களின் வரிசையால் வழங்கப்படுகிறது. ஆனால் பாதையில் வரம்பு புள்ளிகளை அடைய வேண்டியதில்லை. பாதை அதன் வரம்பாக அலகு வட்டத்தையும் கொண்டுள்ளது. பயன்பாட்டு வரம்புகள் பகுப்பாய்வில் பல முக்கியமான கருத்துக்களை வரையறுக்க பயன்படுத்தப்படுகின்றன. ஒரு வரிசையின் வரம்பாக முறைப்படுத்தப்படும் ஆர்வத்தின் ஒரு குறிப்பிட்ட வெளிப்பாடு எல்லையற்ற தொடர்களின் கூட்டுத்தொகையாகும். இவை உண்மையான எண்களின் "எல்லையற்ற தொகைகள்", பொதுவாக இவ்வாறு எழுதப்படுகின்றன இது வரம்புகள் மூலம் பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறதுஃ உண்மையான எண்களின் வரிசையைக் கொடுத்தால், பகுதி தொகைகளின் வரிசை வரையறுக்கப்படுகிறது வரிசையின் வரம்பு இருந்தால், வெளிப்பாட்டின் மதிப்பு வரம்பாக வரையறுக்கப்படுகிறது. இல்லையெனில், இந்தத் தொடர் வேறுபட்டதாகக் கூறப்படுகிறது. ஒரு உன்னதமான உதாரணம் பேசல் சிக்கல், எங்கே. இருப்பினும், வரிசைகளுக்கு அடிப்படையில் ஒருங்கிணைப்பு பற்றிய தனித்துவமான கருத்து இருக்கும்போது, தொடருக்கு ஒருங்கிணைப்பு பற்றிய வெவ்வேறு கருத்துக்கள் உள்ளன. வெளிப்பாடு வரிசையின் வெவ்வேறு வரிசைகளுக்கு இடையில் பாகுபாடு காட்டாததால் இது ஏற்படுகிறது, அதே நேரத்தில் பகுதி தொகைகளின் வரிசையின் ஒருங்கிணைப்பு பண்புகள் வரிசையின் வரிசையைப் பொறுத்தது. அனைத்து வரிசைகளுக்கும் ஒன்றிணைக்கும் ஒரு தொடர் நிபந்தனையின்றி ஒன்றிணைப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது. இது முழுமையான ஒருங்கிணைப்புக்கு சமமானது என்பதை நிரூபிக்க முடியும். இது பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது. நன்கு வரையறுக்கப்பட்டால் ஒரு தொடர் முற்றிலும் ஒன்றிணைகிறது. மேலும், சாத்தியமான அனைத்து வரிசைகளும் ஒரே மதிப்பைக் கொடுக்கின்றன. இல்லையெனில், தொடர் நிபந்தனையுடன் ஒன்றிணைகிறது. நிபந்தனைக்குட்பட்ட ஒருங்கிணைந்த தொடருக்கான ஒரு ஆச்சரியமான முடிவு ரீமன் தொடர் தேற்றம் ஆகும்ஃ வரிசையைப் பொறுத்து, பகுதி தொகைகளை எந்த உண்மையான எண்ணுடனும் இணைக்க முடியும், அதே போல். பவர் சீரிஸ் என்பது பவர் சீரிஸின் தொடர் கூட்டுத்தொகை கோட்பாட்டின் பயனுள்ள பயன்பாடாகும். இவை பெரும்பாலும் ஒரு சிக்கலான எண்ணாக கருதப்படுகிறது, மேலும் சிக்கலான வரிசைகளின் ஒருங்கிணைப்பு பற்றிய பொருத்தமான கருத்து தேவைப்படுகிறது. தொடர் கூட்டுத்தொகை ஒன்றிணைக்கும் மதிப்புகளின் தொகுப்பு ஒரு வட்டமாகும், அதன் ஆரம் ஒருங்கிணைப்பின் ஆரம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு கட்டத்தில் ஒரு செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சி ஒரு புள்ளியில் தொடர்ச்சியின் வரையறை வரம்புகள் மூலம் வழங்கப்படுகிறது. ஒரு வரம்பின் மேலே உள்ள வரையறை உண்மையாக இருந்தாலும் சரி. உண்மையில், செயல்பாட்டை வரையறுக்க வேண்டிய அவசியமில்லை. இருப்பினும், வரையறுக்கப்பட்டு சமமாக இருந்தால், செயல்பாடு புள்ளியில் தொடர்ச்சியானது என்று கூறப்படுகிறது. சமமாக, செயல்பாடு தொடர்ச்சியானது என்றால், அல்லது வரிசைகளின் அடிப்படையில், எப்போது வேண்டுமானாலும். வரையறுக்கப்படாத ஒரு வரம்பின் எடுத்துக்காட்டு கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. செயல்பாடு வரையறுக்கப்படவில்லை என்பதைக் கருத்தில் கொள்ளுங்கள் (நிச்சயமற்ற வடிவத்தைப் பார்க்கவும்), ஆனால் தன்னிச்சையாக 1 க்கு நெருக்கமாக நகரும்போது, அதற்கேற்ப 2 ஐ அணுகுகிறதுஃ எனவே, 2 இன் வரம்பிற்கு தன்னிச்சையாக நெருக்கமாக இருக்க முடியும்-போதுமான அளவு நெருக்கமாக இருப்பதன் மூலம். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், இது அனைத்து உண்மையான எண்களைப் போலவே இயற்கணித ரீதியாகவும் கணக்கிடப்படலாம். இப்போது, 1 இல் தொடர்ச்சியாக இருப்பதால், நாம் இப்போது 1 ஐ செருகலாம், இது சமன்பாட்டிற்கு வழிவகுக்கிறது வரையறுக்கப்பட்ட மதிப்புகளில் வரம்புகளுக்கு கூடுதலாக, செயல்பாடுகள் முடிவிலியிலும் வரம்புகளைக் கொண்டிருக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, பின்வரும் செயல்பாட்டைக் கவனியுங்கள்ஃ மிகவும் பெரியதாக மாறும்போது, அணுகுமுறைகளின் மதிப்பு மற்றும் மதிப்பை ஒருவர் விரும்பும் அளவுக்கு நெருக்கமாக செய்ய முடியும்-போதுமான அளவு பெரியதாக மாற்றுவதன் மூலம். எனவே இந்த விஷயத்தில், வரம்பு முடிவிலியை நெருங்குகிறது, அல்லது கணிதக் குறியீட்டில், தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகள் வரம்புகளைக் கருத்தில் கொள்ளும்போது ஒரு முக்கியமான வகை செயல்பாடுகள் தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகள். இவை துல்லியமாக வரம்புகளைப் பாதுகாக்கும் செயல்பாடுகளாகும், அதாவது ஒரு தொடர்ச்சியான செயல்பாடு என்றால், களத்தில் இருக்கும் போதெல்லாம், வரம்பு உள்ளது, மேலும் மேலும் உள்ளது. இடவியல் இடைவெளிகளின் மிகவும் பொதுவான அமைப்பில், ஒரு குறுகிய ஆதாரம் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளதுஃ இடவியல் இடைவெளிகள் மற்றும் இடவியல் இடைவெளிகள் இடையே ஒரு தொடர்ச்சியான செயல்பாடாக இருக்கட்டும். வரையறையின்படி, ஒவ்வொரு திறந்த செட்டுக்கும், முன் படம் திறந்திருக்கும். இப்போது வரம்பைக் கொண்ட ஒரு வரிசை என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் ஒரு வரிசை உள்ளது, மற்றும் சில புள்ளி உள்ளது. ஒரு சுற்றுப்புறத்தைத் தேர்ந்தெடுக்கவும். பின்னர் ஒரு திறந்த தொகுப்பு (தொடர்ச்சியின் மூலம்) குறிப்பாக கொண்டுள்ளது, எனவே இது ஒரு சுற்றுப்புறமாகும். ஒன்றிணைவதன் மூலம், நம்மிடம் உள்ளது. பின்னர் இரு தரப்பினருக்கும் விண்ணப்பிப்பது, ஒவ்வொருவருக்கும் நம்மிடம் உள்ளது. முதலில் ஒரு தன்னிச்சையான சுற்றுப்புறமாக இருந்தது, எனவே. இதன் மூலம் ஆதாரம் முடிவடைகிறது. உண்மையான பகுப்பாய்வில், ஒரு துணைக்குழுவில் வரையறுக்கப்பட்ட உண்மையான மதிப்புள்ள செயல்பாடுகளின் உறுதியான வழக்கில், அதாவது, ஒரு தொடர்ச்சியான செயல்பாடு அதன் களத்தின் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் தொடர்ச்சியான செயல்பாடாக வரையறுக்கப்படலாம். நிலப்பரப்பில், ஒரு இடவியல் இடத்தின் துணைக்குழுவின் வரம்பு புள்ளிகளை வரையறுக்க வரம்புகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, இது மூடிய தொகுப்புகளின் பயனுள்ள குணாதிசயத்தை அளிக்கிறது. ஒரு இடவியல் இடத்தில், ஒரு துணைக்குழுவைக் கவனியுங்கள். ஒரு புள்ளியில் ஒரு வரிசை இருந்தால் அது வரம்பு புள்ளி என்று அழைக்கப்படுகிறது. வெறுமனே இருப்பதை விட இருப்பது என்று வரையறுக்கப்படுவதற்கான காரணம் பின்வரும் எடுத்துக்காட்டால் விளக்கப்பட்டுள்ளது. எடுத்து வையுங்கள். பின்னர், எனவே நிலையான வரிசையின் வரம்பு. ஆனால் அது ஒரு எல்லை அல்ல. ஒரு திறந்த தொகுப்பின் நிரப்பு என்று வரையறுக்கப்படும் ஒரு மூடிய தொகுப்பு, அதன் அனைத்து வரம்பு புள்ளிகளையும் கொண்ட எந்தவொரு தொகுப்புக்கும் சமமானது. வழித்தோன்றல் முறைப்படி ஒரு வரம்பாக வரையறுக்கப்படுகிறது. உண்மையான பகுப்பாய்வின் நோக்கத்தில், வழித்தோன்றல் முதலில் ஒரு துணைக்குழுவில் வரையறுக்கப்பட்ட உண்மையான செயல்பாடுகளுக்கு வரையறுக்கப்படுகிறது. வழித்தோன்றல் பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது. வரம்பு இருந்தால், அதன் வழித்தோன்றல் இந்த வரம்பாகும். சமமாக, இது வரம்பாகும் வழித்தோன்றல் இருந்தால், அது பொதுவாக குறிக்கப்படுகிறது. பண்புகள் உண்மையான எண்களின் வரிசைகள் உண்மையான எண்களின் வரிசைகளுக்கு, பல பண்புகளை நிரூபிக்க முடியும். மற்றும் இரண்டு வரிசைகள் முறையே ஒன்றிணைகின்றன என்று வைத்துக்கொள்வோம். வரம்புகளின் கூட்டுத்தொகை என்பது கூட்டுத்தொகையின் வரம்பிற்கு சமம் வரம்புகளின் பெருக்கல் என்பது பெருக்கல் வரம்பிற்கு சமம் வரம்பின் தலைகீழ் என்பது தலைகீழ் வரம்புக்கு சமம் (இருக்கும் வரை) சமமாக, செயல்பாடு பூஜ்ஜியமற்றதைப் பற்றி தொடர்ச்சியானது. காச்சி வரிசைகள் உண்மையான எண்களின் ஒருங்கிணைந்த வரிசைகளின் பண்பு என்னவென்றால் அவை காச்சி வரிசைகள். ஒரு காச்சி வரிசையின் வரையறை என்னவென்றால், ஒவ்வொரு உண்மையான எண்ணுக்கும், முறைசாரா முறையில், எந்தவொரு தன்னிச்சையான சிறிய பிழையிலும், விட்டம் கொண்ட ஒரு இடைவெளியைக் கண்டுபிடிக்க முடியும், அதாவது இறுதியில் வரிசை இடைவெளியில் உள்ளது. காச்சி வரிசைகள் ஒருங்கிணைந்த வரிசைகளுடன் நெருக்கமாக தொடர்புடையவை. உண்மையில், உண்மையான எண்களின் வரிசைமுறைகளுக்கு அவை சமமானவைஃ எந்த காச்சி வரிசையும் ஒன்றிணைகிறது. பொதுவான மெட்ரிக் இடைவெளிகளில், ஒருங்கிணைந்த வரிசைகளும் காச்சி என்று அது தொடர்ந்து வைத்திருக்கிறது. ஆனால் இதற்கு நேர்மாறானது உண்மையல்லஃ ஒவ்வொரு காச்சி வரிசையும் ஒரு பொதுவான மெட்ரிக் இடத்தில் ஒன்றிணைவதில்லை. ஒரு உன்னதமான எதிர் உதாரணம் விகிதமுறு எண்கள், வழக்கமான தூரத்துடன். பத்தாவது தசம இடத்தில் துண்டிக்கப்பட்ட தசம தோராயங்களின் வரிசை ஒரு காச்சி வரிசை, ஆனால் அது ஒன்றிணைக்காது. ஒவ்வொரு காச்சி வரிசையும் ஒன்றிணைந்த ஒரு மெட்ரிக் இடைவெளி, அதாவது காச்சி வரிசைகள் ஒன்றிணைந்த வரிசைகளுக்கு சமமானவை, இது ஒரு முழுமையான மெட்ரிக் இடைவெளி என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒருங்கிணைந்த வரிசைகளை விட காச்சி வரிசைகள் "வேலை செய்ய எளிதானது" என்பதற்கு ஒரு காரணம், அவை வரிசையின் ஒரு பண்பு மட்டுமே, அதே நேரத்தில் ஒருங்கிணைந்த வரிசைகளுக்கு வரிசை மட்டுமல்ல, வரிசையின் வரம்பும் தேவைப்படுகிறது. ஒரு வரிசை ஒரு வரம்பிற்குள் இணைகிறதா இல்லையா என்பதைத் தாண்டி, ஒரு வரிசை ஒரு வரம்பிற்கு எவ்வளவு வேகமாக இணைகிறது என்பதை விவரிக்க முடியும். இதை அளவிடுவதற்கான ஒரு வழி ஒரு வரிசையின் ஒருங்கிணைப்பு வரிசையைப் பயன்படுத்துவதாகும். ஒருங்கிணைப்பு வரிசையின் முறையான வரையறையை பின்வருமாறு கூறலாம். வரம்புடன் ஒன்றிணைந்த உண்மையான எண்களின் வரிசை என்று வைத்துக்கொள்வோம். மேலும், அனைவருக்கும். நேர்மறை மாறிலிகள் மற்றும் அது இருந்தால், அது ஒருங்கிணைப்பு வரிசையுடன் இணைகிறது என்று கூறப்படுகிறது. இந்த மாறிலி அறிகுறியற்ற பிழை மாறிலி என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒருங்கிணைப்பு வரிசை பயன்படுத்தப்படுகிறது, எடுத்துக்காட்டாக எண் பகுப்பாய்வு புலம், பிழை பகுப்பாய்வில். கணக்கீட்டு வரம்புகளை கணக்கிடுவது கடினமாக இருக்கலாம். ஒருங்கிணைப்பின் மாடுலஸ் தீர்மானிக்க முடியாத வரம்பு வெளிப்பாடுகள் உள்ளன. மறுநிகழ்வு கோட்பாட்டில், வரம்பு லெம்மா வரம்புகளைப் பயன்படுத்தி தீர்மானிக்க முடியாத சிக்கல்களை குறியாக்கம் செய்ய முடியும் என்பதை நிரூபிக்கிறது. வரம்பு இருக்கிறதா என்பதைக் குறிக்கும் பல கோட்பாடுகள் அல்லது சோதனைகள் உள்ளன. இவை ஒருங்கிணைப்பு சோதனைகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. விகித சோதனை மற்றும் கசிவு தேற்றம் ஆகியவை எடுத்துக்காட்டுகளில் அடங்கும். இருப்பினும், வரம்பை எவ்வாறு கணக்கிடுவது என்பதை அவர்கள் சொல்லாமல் இருக்கலாம். அறிகுறியற்ற பகுப்பாய்வையும் பார்க்கவும்ஃ பிக் ஓ குறியீட்டைக் கட்டுப்படுத்தும் நடத்தையை விவரிக்கும் ஒரு முறைஃ வாதம் வழக்கமான வரம்புகளை விரிவுபடுத்தும் பானாச் இடத்தில் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு குறிப்பிட்ட மதிப்பு அல்லது முடிவிலி பானாச் வரம்பை நோக்கிச் செல்லும்போது ஒரு செயல்பாட்டின் கட்டுப்படுத்தும் நடத்தையை விவரிக்கப் பயன்படுகிறது. சீரற்ற மாறிகளின் ஒருங்கிணைப்பு வகைக் கோட்பாட்டில் ஒருங்கிணைந்த அணி வரம்பு நேரடி வரம்பு ஒரு செயல்பாட்டின் தலைகீழ் வரம்பு ஒரு பக்க வரம்புஃ ஒரு உண்மையான மாறி x இன் செயல்பாடுகளின் இரண்டு வரம்புகளில் ஒன்று, x மேலே அல்லது கீழே இருந்து ஒரு புள்ளியை நெருங்கும்போது வரம்புகளின் பட்டியல்ஃ பொதுவான செயல்பாடுகளுக்கான வரம்புகளின் பட்டியல் அழுத்தவும் தேற்றம்-மற்ற இரண்டு செயல்பாடுகளுடன் ஒப்பிடுவதன் மூலம் ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்பைக் கண்டறிதல்-உயர் மற்றும் தாழ்ந்த ஒருங்கிணைப்பு முறைகளை கட்டுப்படுத்தவும்-ஒரு சிறுகுறிப்பு குறியீட்டு குறிப்புகள் குறிப்புகள் வெளிப்புற இணைப்புகள் ஒருங்கிணைப்பு (கணிதம்) உண்மையான பகுப்பாய்வு அறிகுறியற்ற பகுப்பாய்வு வேறுபட்ட கால்குலஸ் பொது இடவியல்