Lie point symmetry
லை பாயிண்ட் சமச்சீர் என்பது மேம்பட்ட கணிதத்தில் ஒரு கருத்தாகும். பத்தொன்பதாம் நூற்றாண்டின் இறுதியில், சாதாரண வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் (ODE) தீர்வுகளைப் படிப்பதற்காக லை குழு என்ற கருத்தை சோஃபஸ் லை அறிமுகப்படுத்தினார். அவர் பின்வரும் முக்கிய பண்புகளைக் காட்டினார்ஃ ஒரு சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாட்டின் வரிசை ஒரு அளவுரு லை குழுவின் புள்ளி மாற்றங்களின் கீழ் மாறாததாக இருந்தால் அதை ஒன்றால் குறைக்க முடியும். இந்த அவதானிப்பு கிடைக்கக்கூடிய ஒருங்கிணைப்பு நுட்பங்களை ஒருங்கிணைத்து விரிவுபடுத்தியது. லை தனது கணித வாழ்க்கையின் எஞ்சிய காலத்தை இந்த தொடர்ச்சியான குழுக்களை உருவாக்க அர்ப்பணித்தார், அவை இப்போது கணித அடிப்படையிலான அறிவியலின் பல பகுதிகளில் தாக்கத்தை ஏற்படுத்துகின்றன. வேறுபட்ட அமைப்புகளுக்கு லை குழுக்களின் பயன்பாடுகள் முக்கியமாக லை மற்றும் எம்மி நோதர் ஆகியோரால் நிறுவப்பட்டன, பின்னர் எலி கார்டனால் பரிந்துரைக்கப்பட்டன. தோராயமாக கூறுவதானால், ஒரு அமைப்பின் லை பாயிண்ட் சமச்சீர் என்பது அமைப்பின் ஒவ்வொரு தீர்வையும் அதே அமைப்பின் மற்றொரு தீர்வுக்கு வரைபடமாக்கும் மாற்றங்களின் உள்ளூர் குழுவாகும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், இது அமைப்பின் தீர்வு தொகுப்பை தனக்குத்தானே வரைபடமாக்குகிறது. லை குழுக்களின் அடிப்படை எடுத்துக்காட்டுகள் மொழிபெயர்ப்புகள், சுழற்சிகள் மற்றும் அளவீடுகள் ஆகும். பொய் சமச்சீர் கோட்பாடு நன்கு அறியப்பட்ட ஒரு பொருள். இதில், எடுத்துக்காட்டாக, தனித்துவமான சமச்சீர்மைகளுக்கு எதிரான தொடர்ச்சியான சமச்சீர்மைகள் விவாதிக்கப்படுகின்றன. இந்தக் கோட்பாட்டிற்கான இலக்கியங்களை மற்ற இடங்களுக்கிடையே இந்த குறிப்புகளில் காணலாம். கண்ணோட்டம் சமச்சீர் வகைகள் லை குழுக்கள் மற்றும் எனவே அவற்றின் எல்லையற்ற ஜெனரேட்டர்கள் இயற்கையாகவே சுயாதீன மாறிகள், நிலை மாறிகள் (சார்பு மாறிகள்) மற்றும் எந்த வரையறுக்கப்பட்ட வரிசை வரை நிலை மாறிகளின் வழித்தோன்றல்களின் இடத்தில் செயல்பட "நீட்டிக்கப்படலாம்". இன்னும் பல வகையான சமச்சீர் வகைகள் உள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக, தொடர்பு உருமாற்றங்கள் முடிவிலியான ஜெனரேட்டரின் உருமாற்றங்களின் குணகங்கள் ஆயத்தொலைவுகளின் முதல் வழித்தோன்றல்களையும் சார்ந்திருக்க அனுமதிக்கின்றன. லை-பாக்லண்ட் உருமாற்றங்கள் ஒரு தன்னிச்சையான வரிசை வரை வழித்தோன்றல்களை உள்ளடக்க அனுமதிக்கின்றன. இத்தகைய சமச்சீர் இருப்பதற்கான சாத்தியக்கூறுகள் நோதரால் அங்கீகரிக்கப்பட்டன. லை பாயிண்ட் சமச்சீர்மைகளைப் பொறுத்தவரை, எல்லையற்ற ஜெனரேட்டர்களின் குணகங்கள் மூலம் குறிக்கப்படும் ஆயத்தொகுதிகளை மட்டுமே சார்ந்துள்ளன. பயன்பாடுகள் சாதாரண வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்காக லை சமச்சீர்மைகள் லை மூலம் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டன. சமச்சீர் முறைகளின் மற்றொரு பயன்பாடு வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைக் குறைப்பதும், எளிமையான வடிவத்தின் வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் சமமான அமைப்புகளைக் கண்டறிவதும் ஆகும். இது குறைப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது. இலக்கியத்தில், கிளாசிக்கல் குறைப்பு செயல்முறை மற்றும் நகரும் சட்டக அடிப்படையிலான குறைப்பு செயல்முறையை ஒருவர் காணலாம். தீர்வுகளின் வெவ்வேறு சமச்சீர் வகுப்புகளை வகைப்படுத்த சமச்சீர் குழுக்களையும் பயன்படுத்தலாம். வடிவியல் கட்டமைப்பு எல்லையற்ற அணுகுமுறை லையின் அடிப்படை கோட்பாடுகள் லை குழுக்களை எல்லையற்ற ஜெனரேட்டர்கள் எனப்படும் கூறுகளால் வகைப்படுத்தலாம் என்பதை அடிக்கோடிட்டுக் காட்டுகின்றன. இந்த கணிதப் பொருள்கள் எல்லையற்ற ஜெனரேட்டர்களின் லை இயற்கணிதத்தை உருவாக்குகின்றன. குறைக்கப்பட்ட "எல்லையற்ற சமச்சீர் நிலைமைகள்" (சமச்சீர் குழுவின் சமன்பாடுகளை வரையறுப்பது) சமச்சீர் குழுக்களின் மூடிய வடிவத்தைக் கண்டறிவதற்காக வெளிப்படையாக தீர்க்கப்படலாம், இதனால் தொடர்புடைய எல்லையற்ற ஜெனரேட்டர்கள். ஒரு அமைப்பு வரையறுக்கப்பட்ட ஆயங்களின் தொகுப்பாக இருக்கட்டும், அதன் கார்டினாலிட்டி எங்கே. புலத்தில் ஒரு மிகச்சிறிய ஜெனரேட்டர் என்பது ஒரு நேரியல் ஆபரேட்டர் ஆகும், இது அதன் கர்னலில் உள்ளது மற்றும் லீப்னிஸ் விதியை திருப்திப்படுத்துகிறதுஃ அடிப்படை வழித்தோன்றல்களின் நியதி அடிப்படையில், இது இவ்வாறு எழுதப்பட்டுள்ளதுஃ எல்லாருக்கும் எங்கே உள்ளது. லை குழுக்கள் மற்றும் எண்ணற்ற ஜெனரேட்டர்களின் லை ஆல்ஜிப்ராக்கள் மேலே வரையறுக்கப்பட்டுள்ளபடி எண்ணற்ற ஜெனரேட்டர்களின் தொகுப்பை உருவாக்குவதன் மூலம் லை ஆல்ஜிப்ராக்களை உருவாக்க முடியும். ஒவ்வொரு லை குழுவிற்கும், ஒருவர் ஒரு லை இயற்கணிதத்தை தொடர்புபடுத்தலாம். தோராயமாக, ஒரு லை இயற்கணிதம் என்பது கூடுதல் செயல்பாடாக லை அடைப்புக்குறிக்குள் பொருத்தப்பட்ட ஒரு திசையன் இடத்தால் உருவாக்கப்பட்ட ஒரு இயற்கணிதம் ஆகும். ஒரு லை இயற்கணிதத்தின் அடிப்படை புலம் மாறாத கருத்தைப் பொறுத்தது. இங்கே வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண லை ஆல்ஜிப்ராக்கள் மட்டுமே கருதப்படுகின்றன. தொடர்ச்சியான இயக்கவியல் அமைப்புகள் ஒரு இயக்கவியல் அமைப்பு (அல்லது ஓட்டம்) ஒரு அளவுரு குழு நடவடிக்கை ஆகும். அத்தகைய ஒரு இயக்கவியல் அமைப்பு மூலம், இன்னும் துல்லியமாக, ஒரு குழுவின் (இடது-) செயலை ஒரு பன்மடங்கு மீது குறிக்கலாம்ஃ அதாவது அனைத்து புள்ளிகளுக்கும்ஃ நடுநிலை உறுப்பு எங்கே; அனைவருக்கும்,. ஒரு தொடர்ச்சியான இயக்கவியல் அமைப்பு என்பது அடையாளம் காணக்கூடிய ஒரு குழுவில் வரையறுக்கப்படுகிறது. குழு கூறுகள் தொடர்ச்சியானவை. ஒரு மாறாதது, தோராயமாக பேசுகையில், ஒரு மாற்றத்தின் கீழ் மாறாத ஒரு உறுப்பு. லை பாயிண்ட் சமச்சீர்மைகளின் வரையறை இந்த பத்தியில், துல்லியமாக விரிவாக்கப்பட்ட லை பாயிண்ட் சமச்சீர்மைகளை நாம் கருதுகிறோம். நாம் ஒரு விரிவாக்கப்பட்ட இடத்தில் வேலை செய்கிறோம், அதாவது சுயாதீன மாறி, நிலை மாறிகள் மற்றும் அளவுருக்கள் ஆகியவற்றுக்கு இடையிலான வேறுபாடு முடிந்தவரை தவிர்க்கப்படுகிறது. ஒரு அமைப்பின் சமச்சீர் குழு என்பது ஒரு தொடர்ச்சியான இயக்கவியல் அமைப்பாகும், இது ஒரு பன்மடங்கு மீது செயல்படும் உள்ளூர் லை குழுவில் வரையறுக்கப்படுகிறது. தெளிவுக்காக, நாம் n-பரிமாண உண்மையான பன்மடங்கு வரை கட்டுப்படுத்திக் கொள்கிறோம், அங்கு அமைப்பு ஆயத்தொலைவுகளின் எண்ணிக்கை உள்ளது. இயற்கணித அமைப்புகளின் பொய் புள்ளி சமச்சீர் வரவிருக்கும் சமச்சீர் வரையறையில் பயன்படுத்தப்படும் இயற்கணித அமைப்புகளை வரையறுப்போம். இயற்கணித அமைப்புகள் புலத்தின் மீது பகுத்தறிவு செயல்பாடுகளின் வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்பாக இருக்கட்டும், அங்கு மற்றும் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் அதாவது. உள்ள குணகங்களுடன் மாறிகளில். தொடர்புடைய ஒரு இயற்கணித அமைப்பு பின்வரும் சமத்துவங்கள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளால் வரையறுக்கப்படுகிறதுஃ ஒரு இயற்கணித அமைப்பு வழக்கமானதாக வரையறுக்கப்படுகிறது (a. k. a. அமைப்பு அதிகபட்ச தரவரிசையில் இருந்தால், அதாவது ஜேகோபியன் மேட்ரிக்ஸ் தொடர்புடைய அரை-இயற்கணித வகையின் ஒவ்வொரு தீர்விலும் தரவரிசையில் உள்ளது. பொய் புள்ளி சமச்சீர் வரையறை பின்வரும் தேற்றம் (th ஐப் பார்க்கவும். 2 இன் ch இல்) தேவையான மற்றும் போதுமான நிபந்தனைகளை வழங்குகிறது, இதனால் ஒரு உள்ளூர் லை குழு ஒரு இயற்கணித அமைப்பின் சமச்சீர் குழுவாகும். தேற்றம். n-பரிமாண இடத்தில் செயல்படும் தொடர்ச்சியான இயக்கவியல் அமைப்பின் இணைக்கப்பட்ட உள்ளூர் லை குழுவாக இருக்கட்டும். இயற்கணித சமன்பாடுகளின் ஒரு வழக்கமான அமைப்பை வரையறுப்போம்ஃ லை இயற்கணிதத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு எண்ணற்ற ஜெனரேட்டருக்கும் இருந்தால் மட்டுமே இந்த இயற்கணித அமைப்பின் சமச்சீர் குழு ஆகும். எடுத்துக்காட்டு 6 மாறிகளின் இடைவெளியில் வரையறுக்கப்பட்ட இயற்கணித அமைப்பைக் கவனியுங்கள், அதாவதுஃ எல்லையற்ற ஜெனரேட்டர் ஒரு அளவுரு சமச்சீர் குழுக்களில் ஒன்றுடன் தொடர்புடையது. இது 4 மாறிகள் மீது செயல்படுகிறது, அதாவது மற்றும். அதை ஒருவர் எளிதாக சரிபார்க்க முடியும். இவ்வாறு இயற்கணித அமைப்பை மறைக்கும் எந்தவொரு உறவுகளுக்கும் உறவுகள் திருப்தி அடைகின்றன. இயக்கவியல் அமைப்புகளின் லை பாயிண்ட் சமச்சீர்மைகள் வரவிருக்கும் சமச்சீர் வரையறையில் பயன்படுத்தப்படும் முதல்-வரிசை ODE களின் அமைப்புகளை வரையறுப்போம். ODE களின் அமைப்புகள் மற்றும் அதனுடன் தொடர்புடைய எல்லையற்ற ஜெனரேட்டர்கள் ஒரு வழித்தோன்றலாக இருக்கட்டும். தொடர்ச்சியான சுயாதீன மாறி. நாம் இரண்டு செட்களைக் கருத்தில் கொள்கிறோம். தொடர்புடைய ஒருங்கிணைப்பு தொகுப்பு வரையறுக்கப்படுகிறது மற்றும் அதன் கார்டினல் ஆகும். இந்த குறியீடுகளுடன், முதல்-வரிசை ODE களின் அமைப்பு ஒரு அமைப்பாகும்ஃ மற்றும் தொகுப்பு ODE களின் நிலை மாறிகளின் பரிணாமத்தை குறிப்பிடுகிறது. சுயாதீன மாறி. தொகுப்பின் கூறுகள் நிலை மாறிகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, இவை அளவுருக்கள். ஒரு தொடர்ச்சியான இயக்கவியல் அமைப்பை அதன் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதன் மூலம் ODE களின் அமைப்புடன் தொடர்புபடுத்தலாம். ஒரு எல்லையற்ற ஜெனரேட்டர் என்பது ODE களின் அமைப்புகளுடன் நெருக்கமாக தொடர்புடைய ஒரு வழித்தோன்றல் ஆகும் (மேலும் துல்லியமாக தொடர்ச்சியான இயக்கவியல் அமைப்புகளுடன்). ODE களின் அமைப்பு, தொடர்புடைய திசையன் புலம் மற்றும் எல்லையற்ற ஜெனரேட்டருக்கு இடையிலான இணைப்புக்கு, பிரிவு 1.3 ஐப் பார்க்கவும். மேலே விவரிக்கப்பட்டுள்ள ODE களின் அமைப்புடன் தொடர்புடைய எல்லையற்ற ஜெனரேட்டர் பின்வரும் அதே குறியீடுகளுடன் வரையறுக்கப்படுகிறதுஃ லை பாயிண்ட் சமச்சீர் வரையறை இங்கே அத்தகைய சமச்சீர் ஒரு வடிவியல் வரையறை. ஒரு தொடர்ச்சியான இயக்கவியல் அமைப்பு மற்றும் அதன் எல்லையற்ற ஜெனரேட்டராக இருக்கட்டும். ஒரு தொடர்ச்சியான இயக்கவியல் அமைப்பு என்பது ஒவ்வொரு சுற்றுப்பாதையையும் ஒரு சுற்றுப்பாதைக்கு அனுப்பினால் மட்டுமே ஒரு லை பாயிண்ட் சமச்சீர் ஆகும். எனவே, எல்லையற்ற ஜெனரேட்டர் லை அடைப்புக்குறியின் அடிப்படையில் பின்வரும் உறவை திருப்திப்படுத்துகிறதுஃ எந்த மாறிலியும் எங்கே மற்றும் அதாவது. . இந்த ஜெனரேட்டர்கள் நேரியல் ரீதியாக சுயாதீனமானவை. அதன் சமச்சீர்மைகளின் எல்லையற்ற ஜெனரேட்டர்களைக் கணக்கிடுவதற்கு வெளிப்படையான சூத்திரங்கள் தேவையில்லை. எடுத்துக்காட்டு பியரி பிரான்சுவா வெர்ஹுல்ஸ்டின் லாஜிஸ்டிக் வளர்ச்சி மாதிரியை நேரியல் வேட்டையாடலுடன் கருத்தில் கொள்ளுங்கள், அங்கு நிலை மாறி ஒரு மக்கள்தொகையைக் குறிக்கிறது. அளவுரு என்பது வளர்ச்சி மற்றும் வேட்டையாடும் விகிதத்திற்கு இடையிலான வேறுபாடு மற்றும் அளவுரு சுற்றுச்சூழலின் ஏற்றுக்கொள்ளும் திறனுடன் ஒத்திருக்கிறதுஃ ODE களின் இந்த அமைப்புடன் தொடர்புடைய தொடர்ச்சியான இயக்கவியல் அமைப்பு பின்வருமாறுஃ சுயாதீன மாறி தொடர்ந்து மாறுபடுகிறது; இதனால் தொடர்புடைய குழுவை அடையாளம் காணலாம். ODE களின் இந்த அமைப்புடன் தொடர்புடைய எல்லையற்ற ஜெனரேட்டர் பின்வருமாறுஃ பின்வரும் எல்லையற்ற ஜெனரேட்டர்கள் 2 பரிமாண சமச்சீர் குழுவைச் சேர்ந்தவைஃ மென்பொருள் இந்த பகுதியில் பல மென்பொருள் தொகுப்புகள் உள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக, மேப்பிளின் தொகுப்பு லைசிம்மம் PDE களுக்கு சில லை சமச்சீர் முறைகளை வழங்குகிறது. இது தீர்மானிக்கும் அமைப்புகளின் ஒருங்கிணைப்பு மற்றும் வேறுபட்ட வடிவங்களையும் கையாளுகிறது. சிறிய அமைப்புகளில் அதன் வெற்றி இருந்தபோதிலும், தீர்மானிக்கும் அமைப்புகளைத் தானாகத் தீர்ப்பதற்கான அதன் ஒருங்கிணைப்பு திறன்கள் சிக்கலான சிக்கல்களால் மட்டுப்படுத்தப்பட்டுள்ளன. DETools தொகுப்பு ODE களின் லை சமச்சீர்மைகளைத் தேடுவதற்கு திசையன் புலங்களின் நீளம் பயன்படுத்துகிறது. ODE களுக்கான லை சமச்சீர்மைகளைக் கண்டறிவது, பொதுவாக, அசல் அமைப்பைத் தீர்ப்பதைப் போலவே சிக்கலானதாக இருக்கலாம். குறிப்புகள் பொய் குழுக்கள் சமச்சீர்