Graphon
வரைபடக் கோட்பாடு மற்றும் புள்ளிவிவரங்களில், ஒரு கிராஃபான் (வரைபட வரம்பு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) என்பது ஒரு சமச்சீர் அளவிடக்கூடிய செயல்பாடாகும், இது அடர்த்தியான வரைபடங்களின் ஆய்வில் முக்கியமானது. அடர்த்தியான வரைபடங்களின் வரிசையின் வரம்புக்கான இயற்கையான கருத்தாகவும், பரிமாற்றக்கூடிய சீரற்ற வரைபட மாதிரிகளின் அடிப்படை வரையறுக்கும் பொருள்களாகவும் கிராஃபான்கள் எழுகின்றன. கிராஃபான்கள் பின்வரும் ஜோடி அவதானிப்புகளால் அடர்த்தியான வரைபடங்களுடன் பிணைக்கப்பட்டுள்ளனஃ கிராஃபான்களால் வரையறுக்கப்பட்ட சீரற்ற வரைபட மாதிரிகள் கிட்டத்தட்ட நிச்சயமாக அடர்த்தியான வரைபடங்களுக்கு வழிவகுக்கின்றன, மேலும், வழக்கமான லெம்மாவால், கிராஃபான்கள் தன்னிச்சையான பெரிய அடர்த்தியான வரைபடங்களின் கட்டமைப்பைப் பிடிக்கிறது. புள்ளிவிவர சூத்திரம் கிராஃபான் என்பது ஒரு சமச்சீர் அளவிடக்கூடிய செயல்பாடு ஆகும். வழக்கமாக ஒரு கிராஃபான் பின்வரும் திட்டத்தின்படி ஒரு பரிமாற்றக்கூடிய சீரற்ற வரைபட மாதிரியை வரையறுப்பதாக புரிந்து கொள்ளப்படுகிறதுஃ வரைபடத்தின் ஒவ்வொரு முனையும் ஒரு சுயாதீனமான சீரற்ற மதிப்பு ஒதுக்கப்பட்டுள்ளது, விளிம்பு சுயாதீனமாக நிகழ்தகவுடன் வரைபடத்தில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளது. ஒரு சீரற்ற வரைபட மாதிரி என்பது ஒரு பரிமாற்றக்கூடிய சீரற்ற வரைபட மாதிரியாகும், இது ஒரு (சீரற்ற) வரைபடத்தின் அடிப்படையில் இந்த வழியில் வரையறுக்கப்பட்டால் மட்டுமே. ஒரு நிலையான கிராஃபானை அடிப்படையாகக் கொண்ட மாதிரி சில நேரங்களில் சீரற்ற வரைபடங்களின் எர்டாஸ்-ரேனி மாதிரியுடன் ஒப்புமை மூலம் குறிக்கப்படுகிறது. இந்த வழியில் ஒரு கிராஃபோனிலிருந்து உருவாக்கப்படும் வரைபடம்-சீரற்ற வரைபடம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த வரையறை மற்றும் பெரிய எண்களின் சட்டத்திலிருந்து இது பின்பற்றப்படுகிறது, பரிமாற்றக்கூடிய சீரற்ற வரைபட மாதிரிகள் கிட்டத்தட்ட அடர்த்தியாக இருந்தால். எடுத்துக்காட்டுகள் ஒரு கிராஃபோனின் எளிய எடுத்துக்காட்டு சில மாறிலிகளுக்கானது. இந்த விஷயத்தில் தொடர்புடைய பரிமாற்றக்கூடிய சீரற்ற வரைபட மாதிரி எர்டாஸ்-ரெனி மாதிரியாகும், இது ஒவ்வொரு விளிம்பையும் சுயாதீனமாக நிகழ்தகவுடன் உள்ளடக்கியது. அதற்கு பதிலாக நாம் ஒரு கிராஃபோனுடன் தொடங்கினால், அது துண்டுப்பிரதியாக மாறிலி ஆகும்ஃ அலகு சதுரத்தை தொகுதிகளாகப் பிரித்து, தொகுதியின் மீது சமமாக அமைத்தால், இதன் விளைவாக பரிமாற்றக்கூடிய சீரற்ற வரைபட மாதிரி சமூக சீரற்ற தொகுதி மாதிரியாகும், இது எர்டாஸ்-ரெனி மாதிரியின் பொதுமைப்படுத்தலாகும். முறையே அளவுருக்களுடன் தனித்துவமான எர்டாஸ்-ரெனி வரைபடங்களைக் கொண்ட ஒரு சீரற்ற வரைபட மாதிரியாக இதை நாம் விளக்கலாம், அவற்றுக்கிடையே பெரிய வரைபடங்களுடன் தொகுதிகளுக்கு இடையில் ஒவ்வொரு சாத்தியமான விளிம்பும் சுயாதீனமாக நிகழ்தகவுடன் சேர்க்கப்பட்டுள்ளது. பல பிரபலமான சீரற்ற வரைபட மாதிரிகள் சில கிராஃபோன்களால் வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாற்றக்கூடிய சீரற்ற வரைபட மாதிரிகளாக புரிந்து கொள்ளப்படலாம், ஓர்பான்ஸ் மற்றும் ராயில் ஒரு விரிவான கணக்கெடுப்பு சேர்க்கப்பட்டுள்ளது. கூட்டு பரிமாற்றக்கூடிய அருகாமை மேட்ரிக்ஸ்கள் அளவின் சீரற்ற வரைபடத்தை சீரற்ற அருகாமை மேட்ரிக்ஸாக குறிப்பிடலாம். வெவ்வேறு அளவுகளின் சீரற்ற வரைபடங்களுக்கு இடையில் நிலைத்தன்மையை (ப்ரொஜெக்டிவிட்டி அர்த்தத்தில்) திணிப்பதற்காக, சீரற்ற மாறிகளின் சில எல்லையற்ற வரிசையின் மேல்-இடது துணை மெட்ரிக்குகளாக எழும் அருகாமை மேட்ரிக்ஸின் வரிசையை ஆய்வு செய்வது இயற்கையானது; இது ஒரு முனையைச் சேர்ப்பதன் மூலமும், விளிம்புகளை மாதிரியாகக் கொண்டிருப்பதன் மூலமும் உருவாக்க அனுமதிக்கிறது. இந்த கண்ணோட்டத்தில், சீரற்ற வரைபடங்கள் சீரற்ற எல்லையற்ற சமச்சீர் வரிசைகளாக வரையறுக்கப்படுகின்றன. கிளாசிக்கல் நிகழ்தகவில் பரிமாற்றக்கூடிய வரிசைகளின் அடிப்படை முக்கியத்துவத்தைப் பின்பற்றி, சீரற்ற வரைபட அமைப்பில் ஒத்த கருத்தைத் தேடுவது இயற்கையானது. அத்தகைய ஒரு கருத்து கூட்டாக பரிமாற்றக்கூடிய மேட்ரிக்ஸ்களால் வழங்கப்படுகிறது; அதாவது. இயற்கையான எண்களின் அனைத்து வரிசைமாற்றங்களுக்கும் திருப்திகரமான சீரற்ற மேட்ரிக்ஸ்கள், இங்கு விநியோகத்தில் சமம் என்று பொருள். உள்ளுணர்வாக, இந்த நிபந்தனை என்னவென்றால், சீரற்ற வரைபடத்தின் விநியோகம் அதன் செங்குத்துகளை மறுபெயரிடுவதன் மூலம் மாறாமல் உள்ளதுஃ அதாவது, செங்குத்துகளின் லேபிள்கள் எந்த தகவலையும் கொண்டிருக்கவில்லை. கூட்டாக பரிமாற்றக்கூடிய சீரற்ற அருகாமை மேட்ரிக்ஸ்களுக்கு ஒரு பிரதிநிதித்துவ தேற்றம் உள்ளது, இது பரிமாற்றக்கூடிய வரிசைகளுக்கான டி ஃபினெட்டியின் பிரதிநிதித்துவ தேற்றத்திற்கு ஒத்ததாகும். இது கூட்டாக பரிமாற்றக்கூடிய வரிசைகளுக்கான ஆல்டஸ்-ஹூவர் தேற்றத்தின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு மற்றும், இந்த அமைப்பில், சீரற்ற அணி உருவாக்கப்படுகிறது என்று வலியுறுத்துகிறதுஃ ஒரு (ஒருவேளை சீரற்ற) கிராஃபான் இருக்கும் நிகழ்தகவுடன் சீரற்ற முறையில் சுயாதீனமாக மாதிரி. அதாவது, ஒரு சீரற்ற வரைபட மாதிரி சில கிராஃபோன்களின் அடிப்படையில் வரையறுக்கப்பட்ட கூட்டாக பரிமாற்றக்கூடிய சீரற்ற வரைபட மாதிரியாக இருந்தால் மட்டுமே கூட்டாக பரிமாற்றக்கூடிய அருகாமை மேட்ரிக்ஸைக் கொண்டுள்ளது. கிராஃபான் மதிப்பீடு அடையாள சிக்கல்கள் காரணமாக, கிராஃபான் செயல்பாடு அல்லது முனை மறைந்த நிலைகளை மதிப்பிடுவது சாத்தியமற்றது மற்றும் கிராஃபான் மதிப்பீட்டின் இரண்டு முக்கிய திசைகள் உள்ளன. ஒரு திசை ஒரு சமநிலை வகுப்பு வரை மதிப்பிடுவதை நோக்கமாகக் கொண்டுள்ளது, அல்லது தூண்டப்பட்ட நிகழ்தகவு மேட்ரிக்ஸை மதிப்பிடுகிறது. பகுப்பாய்வு சூத்திரம் செங்குத்துகளில் உள்ள எந்த வரைபடத்தையும் அதன் அருகாமை மேட்ரிக்ஸ் மூலம் அடையாளம் காணலாம். இந்த மேட்ரிக்ஸ் ஒரு படி செயல்பாட்டிற்கு ஒத்திருக்கிறது, இது உட்புறத்தைக் கொண்ட இடைவெளிகளாகப் பிரிப்பதன் மூலம் வரையறுக்கப்படுகிறது மற்றும் ஒவ்வொன்றிற்கும், உள்ளீட்டிற்கு சமமான அமைப்பு. இந்த செயல்பாடு வரைபடத்தின் தொடர்புடைய கிராஃபான் ஆகும். பொதுவாக, செங்குத்துகளின் எண்ணிக்கை முடிவிலிக்குச் செல்லும் வரைபடங்களின் வரிசை நம்மிடம் இருந்தால், செயல்பாடுகளின் வரம்புக்குட்பட்ட நடத்தையைக் கருத்தில் கொண்டு வரிசையின் வரம்புக்குட்பட்ட நடத்தையை நாம் பகுப்பாய்வு செய்யலாம். இந்த வரைபடங்கள் ஒன்றிணைந்தால் (ஒருங்கிணைப்புக்கான சில பொருத்தமான வரையறையின்படி), இந்த வரைபடங்களின் வரம்பு இந்த தொடர்புடைய செயல்பாடுகளின் வரம்புடன் ஒத்திருக்கும் என்று எதிர்பார்க்கிறோம். இது ஒரு கிராஃபானின் வரையறையை ("கிராஃப் செயல்பாடு" என்பதற்கான குறுகிய) ஒரு சமச்சீர் அளவிடக்கூடிய செயல்பாடாக ஊக்குவிக்கிறது, இது வரைபடங்களின் வரிசையின் வரம்பைப் பற்றிய கருத்தைப் பிடிக்கிறது. அடர்த்தியான வரைபடங்களின் வரிசைகளுக்கு, ஒருங்கிணைப்பின் பல வெளிப்படையான தனித்துவமான கருத்துக்கள் சமமானவை என்றும் அவை அனைத்தின் கீழும் இயற்கையான வரம்பு பொருள் ஒரு கிராஃபான் என்றும் மாறிவிடும். எடுத்துக்காட்டுகள் நிலையான கிராஃபான் சில நிலையான அளவுருவுடன் எர்டாஸ்-ரெனி சீரற்ற வரைபடங்களின் வரிசையை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். உள்ளுணர்வாக, முடிவிலியைப் போலவே, இந்த வரைபடங்களின் வரிசையின் வரம்பு இந்த வரைபடங்களின் விளிம்பு அடர்த்தியால் மட்டுமே தீர்மானிக்கப்படுகிறது. கிராஃபான்களின் இடத்தில், அத்தகைய வரிசை கிட்டத்தட்ட நிச்சயமாக மாறிலியுடன் இணைகிறது, இது மேலே உள்ள உள்ளுணர்வைப் பிடிக்கிறது. அரை வரைபடங்களின் வரிசையை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள், செங்குத்துகளில் இருதரப்பு வரைபடமாக எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம் வரையறுக்கப்படுகிறது மற்றும் துல்லியமாக எப்போது அருகில் உள்ளது. வழங்கப்பட்ட வரிசையில் செங்குத்துகள் பட்டியலிடப்பட்டால், அருகிலுள்ள மேட்ரிக்ஸ் "அரை சதுர" தொகுதி மேட்ரிக்ஸின் இரண்டு மூலைகளைக் கொண்டுள்ளது, மீதமுள்ள உள்ளீடுகள் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக உள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக, அருகிலுள்ள மேட்ரிக்ஸ் பெரியதாக இருப்பதால், இந்த மூலைகள் "மென்மையாக" வெளியேறும். இந்த உள்ளுணர்வுடன் பொருந்தி, வரிசை எப்போது, இல்லையெனில் வரையறுக்கப்பட்ட அரை கிராஃபானுடன் இணைகிறது. முழுமையான இருதரப்பு வரைபடம் சம அளவிலான பகுதிகளுடன் முழுமையான இருதரப்பு வரைபடங்களின் வரிசையை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். தொடக்கத்தில் அனைத்து செங்குத்துகளையும் ஒரு பகுதியில் வைத்து, மற்ற பகுதியின் செங்குத்துகளை முடிவில் வைப்பதன் மூலம் செங்குத்துகளை வரிசைப்படுத்தினால், அதன் அருகாமை அணி ஒரு தொகுதி ஆஃப்-டையகோனல் மேட்ரிக்ஸ் போல தோற்றமளிக்கிறது, இரண்டு தொகுதிகள் மற்றும் இரண்டு தொகுதிகள் பூஜ்ஜியங்கள். எடுத்துக்காட்டாக, அருகிலுள்ள மேட்ரிக்ஸ் பெரியதாக இருப்பதால், அருகிலுள்ள மேட்ரிக்ஸின் இந்த தொகுதி அமைப்பு நிலையானதாக இருக்கும், இதனால் வரைபடங்களின் இந்த வரிசை எப்போது வேண்டுமானாலும் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு "முழுமையான இருதரப்பு" கிராஃபோனாக ஒன்றிணைகிறது, இல்லையெனில் அமைக்கிறது. அதற்கு பதிலாக பகுதிகளுக்கு இடையில் மாறி மாறி செங்குத்துகளை வரிசைப்படுத்தினால், அருகிலுள்ள மேட்ரிக்ஸ் பூஜ்ஜியங்கள் மற்றும் ஒன்றுகளின் சதுரங்கப் பலகை கட்டமைப்பைக் கொண்டுள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, இந்த வரிசையின் கீழ், அருகிலுள்ள மேட்ரிக்ஸ் ஆல் வழங்கப்படுகிறது பெரியதாக இருப்பதால், அருகிலுள்ள மேட்ரிக்ஸ்கள் ஒரு சிறந்த மற்றும் சிறந்த சதுரங்கப் பலகையாக மாறும். இந்த நடத்தை இருந்தபோதிலும், வரம்பு தனித்துவமாக இருக்க வேண்டும் மற்றும் எடுத்துக்காட்டு 3 இலிருந்து கிராஃபானில் விளைவிக்க வேண்டும் என்று நாங்கள் இன்னும் விரும்புகிறோம். இதன் பொருள் என்னவென்றால், வரைபடங்களின் வரிசைக்கு நாம் முறையாக ஒருங்கிணைப்பை வரையறுக்கும்போது, ஒரு வரம்பின் வரையறை செங்குத்துகளின் மறுபெயரிடலுக்கு அஞ்ஞானமாக இருக்க வேண்டும். W-சீரற்ற வரைபடங்களின் வரம்பு-சீரற்ற வரைபடங்களின் சீரற்ற வரிசையை சில நிலையான வரைபடங்களுக்கு வரைவதன் மூலம் எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். பின்னர் இந்த பிரிவின் முதல் உதாரணத்தைப் போலவே, அது கிட்டத்தட்ட நிச்சயமாக ஒன்றிணைகிறது. கிராஃபான்களிலிருந்து கிராஃப் அளவுருக்களை மீட்டெடுப்பது தொடர்புடைய கிராஃபானுடன் கொடுக்கப்பட்ட கிராஃப், உருமாற்றங்களை ஒருங்கிணைப்பதன் மூலம் கிராஃப் கோட்பாட்டு பண்புகள் மற்றும் அளவுருக்களை மீட்டெடுக்க முடியும். எடுத்துக்காட்டாக, விளிம்பு அடர்த்தி (அதாவது. சராசரி டிகிரியை செங்குத்துகளின் எண்ணிக்கையால் வகுத்தல்) இன் ஒருங்கிணைப்பால் வழங்கப்படுகிறது இது-மதிப்புடையது, மேலும் ஒவ்வொரு விளிம்பும் சமமாக இருக்கும் பகுதியின் ஒரு பகுதிக்கு ஒத்திருக்கிறது. இதே போன்ற பகுத்தறிவு முக்கோணங்களின் எண்ணிக்கை ஒருங்கிணைப்பு கருத்துக்களுக்கு சமம் என்பதைக் காட்டுகிறது இரண்டு வரைபடங்களுக்கு இடையிலான தூரத்தை அளவிட பல வழிகள் உள்ளன. வரைபடங்களின் தீவிர பண்புகளை "பாதுகாக்கும்" அளவீடுகளில் நாம் ஆர்வமாக இருந்தால், சீரற்ற வரைபடங்களை ஒத்ததாக அடையாளம் காணும் அளவீடுகளில் நமது கவனத்தை கட்டுப்படுத்த வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு நிலையான எர்டாஸ்-ரெனி மாதிரியிலிருந்து இரண்டு வரைபடங்களை நாம் தோராயமாக சுயாதீனமாக வரைந்தால், ஒரு "நியாயமான" அளவீட்டின் கீழ் இந்த இரண்டு வரைபடங்களுக்கும் இடையிலான தூரம் பூஜ்ஜியத்திற்கு அருகில் இருக்க வேண்டும். சாதாரணமாக, ஒரே உச்சியில் இரண்டு வரைபடங்கள் கொடுக்கப்பட்டால், ஒரு வரைபடத்திலிருந்து மற்றொன்றுக்குச் செல்ல சேர்க்கப்பட வேண்டிய அல்லது அகற்றப்பட வேண்டிய விளிம்புகளின் எண்ணிக்கை என்று ஒன்று அவற்றின் தூரத்தை வரையறுக்கலாம், அதாவது. அவற்றின் எடிட்டிங் தூரம். இருப்பினும், எடிட்டிங் தூரம் சீரற்ற வரைபடங்களை ஒத்ததாக அடையாளம் காணவில்லை; உண்மையில், சுயாதீனமாக வரையப்பட்ட இரண்டு வரைபடங்கள் எதிர்பார்க்கப்பட்ட (இயல்பாக்கப்பட்ட) எடிட்டிங் தூரத்தைக் கொண்டுள்ளன. நாம் விரும்பும் அர்த்தத்தில் அடர்த்தியான சீரற்ற வரைபடங்களில் நன்றாக செயல்படும் இரண்டு இயற்கை அளவீடுகள் உள்ளன. முதலாவது ஒரு மாதிரி அளவீடு, இது இரண்டு வரைபடங்களின் துணை வரைபடங்களின் விநியோகம் நெருக்கமாக இருந்தால் அவை நெருக்கமாக இருக்கும் என்று கூறுகிறது. இரண்டாவது ஒரு விளிம்பு முரண்பாடு அளவீடு, இது இரண்டு வரைபடங்கள் அவற்றின் விளிம்பு அடர்த்திகள் அவற்றின் தொடர்புடைய அனைத்து செங்குத்துகளின் துணைக்குழுக்களிலும் நெருக்கமாக இருக்கும்போது நெருக்கமாக இருப்பதாகக் கூறுகிறது. அற்புதமாக, வரைபடங்களின் வரிசை ஒரு மெட்ரிக் மற்றொன்றைப் பொறுத்தவரை ஒன்றிணையும் போது துல்லியமாக ஒன்றிணைக்கிறது. மேலும், இரண்டு அளவீடுகளின் கீழ் உள்ள வரம்பு பொருள்கள் கிராஃபான்களாக மாறுகின்றன. ஒருங்கிணைப்பு பற்றிய இந்த இரண்டு கருத்துகளின் சமநிலை, குவாசிராண்டம் வரைபடங்களின் பல்வேறு கருத்துக்கள் எவ்வாறு சமமானவை என்பதை பிரதிபலிக்கிறது. ஹோமோமார்பிசம் அடர்த்திகள் இரண்டு வரைபடங்களுக்கு இடையிலான தூரத்தை அளவிடுவதற்கான ஒரு வழி மற்றும் அவற்றின் தொடர்புடைய துணை வரைபட எண்ணிக்கையை ஒப்பிடுவதாகும். அதாவது, ஒவ்வொரு வரைபடத்திற்கும் உள்ள மற்றும் உள்ள நகல்களின் எண்ணிக்கையை நாம் ஒப்பிடலாம். இந்த எண்கள் ஒவ்வொரு வரைபடத்திற்கும் நெருக்கமாக இருந்தால், உள்ளுணர்வாகவும் ஒத்த தோற்றமுடைய வரைபடங்களாகவும் இருக்கும். இருப்பினும், துணை வரைபடங்களுடன் நேரடியாகக் கையாள்வதை விட, வரைபட காப்பமைவியலுடன் வேலை செய்வது எளிதாக இருக்கும். பெரிய, அடர்த்தியான வரைபடங்களைக் கையாளும் போது இது நன்றாக இருக்கும், ஏனெனில் இந்த சூழ்நிலையில் ஒரு நிலையான வரைபடத்திலிருந்து துணை வரைபடங்களின் எண்ணிக்கை மற்றும் வரைபட காப்பமைவுகளின் எண்ணிக்கை அறிகுறியற்ற முறையில் சமமாக இருக்கும். கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு வரைபடங்கள் மற்றும், இன் ஹோமோமார்பிசம் அடர்த்தி வரைபட ஹோமோமார்பிசங்களின் எண்ணிக்கையாக வரையறுக்கப்படுகிறது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், தோராயமாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட வரைபடம் செங்குத்துகளிலிருந்து செங்குத்துகளுக்கு அருகிலுள்ள செங்குத்துகளுக்கு அனுப்பும் நிகழ்தகவு ஆகும். ஹோமோமார்பிசம் அடர்த்திகளைக் கணக்கிட கிராஃபான்கள் ஒரு எளிய வழியை வழங்குகின்றன. உண்மையில், தொடர்புடைய கிராஃபான் மற்றும் இன்னொன்றுடன் ஒரு வரைபடம் கொடுக்கப்பட்டால், ஒருங்கிணைப்பு பன்முகத்தன்மை கொண்ட இடத்தில், அலகு ஹைபர்கியூபில் எடுக்கப்படுகிறது. மேலே உள்ள ஒருங்கிணைப்பு எப்போது சமமாக இருக்கும் என்பதைக் கருத்தில் கொள்வதன் மூலம், இது ஒரு தொடர்புடைய கிராஃபோனின் வரையறையிலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது. ஹோமோமார்பிசம் அடர்த்தியின் வரையறையை நாம் தன்னிச்சையான கிராஃபோன்களுக்கு நீட்டிக்க முடியும், அதே ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தி எந்த வரைபடத்திற்கும் வரையறுக்கலாம். இந்த அமைப்பைப் பொறுத்தவரை, ஒவ்வொரு நிலையான வரைபடத்திற்கும், ஹோமோமார்பிசம் அடர்த்திகளின் வரிசை ஒன்றிணைந்தால் வரைபடங்களின் வரிசை இடது-ஒருங்கிணைந்ததாக இருக்கும் என்று நாங்கள் கூறுகிறோம். வரையறையிலிருந்து மட்டும் தெளிவாகத் தெரியவில்லை என்றாலும், இந்த அர்த்தத்தில் ஒன்றிணைந்தால், ஒவ்வொரு வரைபடத்திற்கும் ஒரே நேரத்தில் ஒரு கிராஃபான் எப்போதும் இருக்கும். தூரத்தை வெட்டுங்கள் இரண்டு வரைபடங்களை எடுத்து அதே உச்சியில் அமைக்கவும். இந்த வரைபடங்கள் ஒரே செங்குத்துகளைப் பகிர்ந்து கொள்வதால், அவற்றின் தூரத்தை அளவிடுவதற்கான ஒரு வழி உச்சி தொகுப்பின் துணைக்குழுக்களுக்கு மட்டுப்படுத்துவதாகும், மேலும் அத்தகைய ஒவ்வொரு ஜோடி துணைக்குழுக்களுக்கும் விளிம்புகளின் எண்ணிக்கையை மற்றும் இடையே உள்ள விளிம்புகளின் எண்ணிக்கையுடன் ஒப்பிடுகின்றன. இந்த எண்கள் ஒவ்வொரு ஜோடி துணைக்குழுக்களுக்கும் ஒத்ததாக இருந்தால் (மொத்த செங்குத்துகளின் எண்ணிக்கையுடன் ஒப்பிடுகையில்), அது ஒத்த வரைபடங்களைக் குறிக்கிறது. தூரம் பற்றிய இந்த கருத்தின் ஆரம்ப முறைப்படுத்தலாக, எந்த ஜோடி வரைபடங்களுக்கும், அதே உச்சி அளவு தொகுப்புக்கும், இடையே பெயரிடப்பட்ட வெட்டு தூரத்தை வரையறுக்கவும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், பெயரிடப்பட்ட வெட்டு தூரம் மற்றும் இடையே விளிம்பு அடர்த்திகளின் அதிகபட்ச முரண்பாட்டைக் குறிக்கிறது. தொடர்புடைய கிராஃபோனின் அடிப்படையில் விளிம்பு அடர்த்தியை வெளிப்படுத்துவதன் மூலம் இந்த கருத்தை கிராஃபோன்களுக்கு பொதுமைப்படுத்தலாம், இது மற்றும் செங்குத்துகளுடன் தொடர்புடைய இடைவெளிகளின் தொழிற்சங்கங்கள் இருக்கும் சமத்துவத்தை வழங்குகிறது. ஒப்பிடப்படும் வரைபடங்கள் ஒரு உச்சி தொகுப்பைப் பகிர்ந்து கொள்ளாவிட்டாலும் கூட இந்த வரையறையைப் பயன்படுத்தலாம் என்பதை நினைவில் கொள்க. இது பின்வரும் பொதுவான வரையறையை ஊக்குவிக்கிறது. வரையறை 1. எந்தவொரு சமச்சீர், அளவிடக்கூடிய செயல்பாட்டிற்கும், அலகு இடைவெளியின் அனைத்து அளவிடக்கூடிய துணைக்குழுக்களிலும் எடுக்கப்பட்ட அளவு என்று வெட்டு நெறிமுறையை வரையறுக்கவும். நம்மிடம் சமத்துவம் இருப்பதால், வெட்டப்பட்ட தூரம் என்று பெயரிடப்பட்ட நமது முந்தைய கருத்தை இது பிடிக்கிறது. இந்த தூர அளவீடு இன்னும் ஒரு முக்கிய வரம்பைக் கொண்டுள்ளதுஃ இது இரண்டு ஐசோமார்பிக் வரைபடங்களுக்கு பூஜ்ஜியமற்ற தூரத்தை ஒதுக்க முடியும். ஐசோமார்பிக் வரைபடங்கள் பூஜ்ஜிய தூரத்தைக் கொண்டிருப்பதை உறுதிப்படுத்த, செங்குத்துகளின் சாத்தியமான அனைத்து "மறுபெயரிடுதல்களுக்கும்" குறைந்தபட்ச வெட்டு நெறிமுறையை நாம் கணக்கிட வேண்டும். இது வெட்டு தூரத்தின் பின்வரும் வரையறையை ஊக்குவிக்கிறது. வரையறை 2. எந்தவொரு ஜோடி கிராஃபான்களுக்கும், அவற்றின் வெட்டு தூரத்தை வரைபடத்துடன் உள்ள கலவை எங்கே என்பதை வரையறுக்கவும், மேலும் அலகு இடைவெளியில் இருந்து தனக்குத்தானே அனைத்து அளவீட்டு-பாதுகாக்கும் பைஜெக்சன்களுக்கும் முடிவிலி எடுக்கப்படுகிறது. இரண்டு வரைபடங்களுக்கு இடையிலான வெட்டு தூரம் அவற்றின் தொடர்புடைய வரைபடங்களுக்கு இடையிலான வெட்டு தூரமாக வரையறுக்கப்படுகிறது. வெட்டு தூரத்தின் கீழ் ஒரு காச்சி வரிசையாக இருந்தால், வரைபடங்களின் வரிசை வெட்டு தூரத்தின் கீழ் ஒன்றிணைகிறது என்று இப்போது நாம் கூறுகிறோம். வரையறையின் நேரடி விளைவு அல்ல என்றாலும், அத்தகைய வரைபடங்களின் வரிசை காச்சி என்றால், அது எப்போதும் சில கிராஃபோன்களுடன் இணைகிறது. ஒருங்கிணைப்பின் சமநிலை அது மாறிவிடும் போது, வரைபடங்களின் எந்தவொரு வரிசைக்கும், இடது-ஒருங்கிணைப்பு என்பது வெட்டு தூரத்தின் கீழ் ஒருங்கிணைப்புக்கு சமம், மேலும், வரம்பு கிராஃபான் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும். அதே வரையறைகளைப் பயன்படுத்தி கிராஃபோன்களின் ஒருங்கிணைப்பையும் நாம் பரிசீலிக்கலாம், அதே சமநிலை உண்மை. உண்மையில், ஒருங்கிணைப்பு பற்றிய இரண்டு கருத்துக்களும் எண்ணும் லெம்மாக்கள் என்று அழைக்கப்படுவதன் மூலம் மிகவும் வலுவாக தொடர்புடையவை. லெம்மாவைக் கணக்கிடுவது. எந்தவொரு ஜோடி கிராஃபான்களுக்கும், எல்லா கிராஃபாக்களுக்கும் நம்மிடம் உள்ளது. "கவுண்டிங் லெம்மா" என்ற பெயர் இந்த லெம்மா ஹோமோமார்பிசம் அடர்த்திகளை வழங்கும் வரம்புகளிலிருந்து வருகிறது, அவை வரைபடங்களின் துணை வரைபட எண்ணிக்கைகளுக்கு ஒத்தவை. இந்த லெம்மா என்பது வழக்கமான பகிர்வுகளின் துறையில் தோன்றும் வரைபட எண்ணும் லெம்மாவின் பொதுமைப்படுத்தலாகும், மேலும் வெட்டு தூரத்தின் கீழ் ஒருங்கிணைப்பு என்பது இடது-ஒருங்கிணைப்பைக் குறிக்கிறது என்பதை இது உடனடியாகக் காட்டுகிறது. தலைகீழ் எண்ணும் லெம்மா. ஒவ்வொரு உண்மையான எண்ணுக்கும், ஒரு உண்மையான எண் மற்றும் ஒரு நேர்மறை முழு எண் உள்ளது, அதாவது எந்த ஜோடி கிராஃபோன்களுக்கும் மற்றும் அனைத்து வரைபடங்களுக்கும் திருப்திகரமாக, நம்மிடம் இருக்க வேண்டும். இந்த லெம்மா இடது-ஒருங்கிணைப்பு என்பது வெட்டு தூரத்தின் கீழ் ஒருங்கிணைப்பைக் குறிக்கிறது என்பதைக் காட்டுகிறது. கிராஃபோன்களின் இடைவெளி அனைத்து கிராஃபோன்களின் தொகுப்பையும் எடுத்து, எப்போது வேண்டுமானாலும் இரண்டு கிராஃபோன்களை அடையாளம் காண்பதன் மூலம் வெட்டு தூரத்தை ஒரு மெட்ரிக் ஆக மாற்றலாம். கிராஃபான்களின் விளைவாக ஏற்படும் இடைவெளி குறிக்கப்படுகிறது, மேலும் ஒன்றாக ஒரு மெட்ரிக் இடத்தை உருவாக்குகிறது. இந்த இடம் கச்சிதமாக மாறிவிடும். மேலும், இது அனைத்து வரையறுக்கப்பட்ட வரைபடங்களின் தொகுப்பையும் கொண்டுள்ளது, அவை அவற்றின் தொடர்புடைய வரைபடங்களால் குறிக்கப்படுகின்றன, அடர்த்தியான துணைக்குழுவாக. இந்த அவதானிப்புகள் கிராஃபான்களின் இடைவெளி என்பது வெட்டு தூரத்தைப் பொறுத்தவரை வரைபடங்களின் இடத்தை நிறைவு செய்வதாகும் என்பதைக் காட்டுகின்றன. இதன் உடனடி விளைவு பின்வருமாறு. கரோலரி 1. ஒவ்வொரு உண்மையான எண்ணுக்கும், ஒவ்வொரு கிராஃபோனுக்கும், அதிகபட்ச செங்குத்துகளுடன் ஒரு வரைபடம் இருக்கும் வகையில் ஒரு முழு எண் உள்ளது. ஏன் என்று பார்க்க, வரைபடங்களின் தொகுப்பாக இருக்கட்டும். ஒவ்வொரு வரைபடத்திற்கும் அனைத்து கிராஃபோன்களையும் கொண்ட திறந்த பந்தைக் கவனியுங்கள். அனைத்து வரைபடங்களுக்கும் திறந்த பந்துகளின் தொகுப்பு உள்ளடக்கியது, எனவே சுருக்கமானது சில வரையறுக்கப்பட்ட துணைக்குழுவிற்கு ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட துணை உறை உள்ளது என்பதைக் குறிக்கிறது. இப்போது வரைபடங்களில் அதிக எண்ணிக்கையிலான செங்குத்துகளாக நாம் கருதலாம். பயன்பாடுகள் ஒழுங்குமுறை லெம்மா கிராஃபான்களின் இடத்தின் சுருக்கத்தை ஸ்ஸெமெரெடியின் ஒழுங்குமுறை லெம்மாவின் பகுப்பாய்வு சூத்திரமாக கருதலாம்; உண்மையில், அசல் லெம்மாவை விட வலுவான முடிவு. ஸ்ஸேமெரெடியின் வழக்கமான லெம்மாவை கிராஃபான்களின் மொழியில் பின்வருமாறு மொழிபெயர்க்கலாம். ஒரு படி செயல்பாட்டை ஒரு கிராஃபான் என்று வரையறுக்கவும், இது துண்டுப்பிரதியாக மாறிலி, அதாவது. சில பகிர்வுகளுக்கு, அனைத்திற்கும் நிலையானது. ஒரு வரைபடம் ஒரு வழக்கமான பகிர்வை கொண்டுள்ளது என்ற கூற்று அதன் தொடர்புடைய கிராஃபான் ஒரு படி செயல்பாட்டிற்கு அருகில் உள்ளது என்று சொல்வதற்கு சமம். சுருக்கத்தின் ஆதாரத்திற்கு பலவீனமான ஒழுங்குமுறை லெம்மா மட்டுமே தேவைப்படுகிறதுஃ கிராஃபான்களுக்கான பலவீனமான ஒழுங்குமுறை லெம்மா. ஒவ்வொரு கிராஃபோனுக்கும், அதிகபட்ச படிகளுடன் ஒரு படி செயல்பாடு உள்ளது. ஆனால் வலுவான ஒழுங்குமுறை லெம்மாஃ கிராஃபான்களுக்கான வலுவான ஒழுங்குமுறை லெம்மா போன்ற வலுவான ஒழுங்குமுறை முடிவுகளை நிரூபிக்க இதைப் பயன்படுத்தலாம். நேர்மறை உண்மையான எண்களின் ஒவ்வொரு வரிசைக்கும், ஒரு நேர்மறை முழு எண் உள்ளது, அதாவது ஒவ்வொரு கிராஃபோனுக்கும், ஒரு கிராஃபான் மற்றும் அத்தகைய படிகளுடன் ஒரு படி செயல்பாடு உள்ளது மற்றும் வலுவான ஒழுங்குமுறை லெம்மாவின் ஆதாரம் கருத்தியலில் மேலே உள்ள கரோலரி 1 ஐப் போன்றது. ஒவ்வொரு கிராஃபோனையும் நெறிமுறையில் ஒரு படி செயல்பாட்டின் மூலம் தோராயமாக மதிப்பிட முடியும் என்று மாறிவிடும், இது பந்துகளின் தொகுப்பை உள்ளடக்கியது என்பதைக் காட்டுகிறது. இந்த செட்டுகள் அளவீட்டில் திறந்திருக்கவில்லை, ஆனால் அவை திறந்திருக்க சற்று பெரிதாக்கப்படலாம். இப்போது, நாம் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட சப் கவர் எடுக்கலாம், மேலும் விரும்பிய நிபந்தனை பின்பற்றுகிறது என்பதை ஒருவர் காட்டலாம். சிடோரேன்கோவின் அனுமானம் கிராஃபான்களின் பகுப்பாய்வு தன்மை ஹோமோமார்பிசம் தொடர்பான ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தாக்குவதில் அதிக நெகிழ்வுத்தன்மையை அனுமதிக்கிறது. எடுத்துக்காட்டாக, தீவிர வரைபடக் கோட்பாட்டில் சிடோரென்கோவின் அனுமானம் ஒரு பெரிய திறந்த சிக்கலாகும், இது செங்குத்துகளில் சராசரி டிகிரி (சிலருக்கு) மற்றும் செங்குத்துகள் மற்றும் விளிம்புகளில் இருதரப்பு வரைபடம் கொண்ட எந்தவொரு வரைபடத்திற்கும், குறைந்தபட்சம் முதல் முதல் வரையிலான ஒத்த உருவங்களின் எண்ணிக்கை என்று வலியுறுத்துகிறது. இது ஒரு சீரற்ற வரைபடத்தில் பெயரிடப்பட்ட துணை வரைபடங்களின் எதிர்பார்க்கப்படும் எண்ணிக்கை என்பதால், எந்தவொரு இருதரப்பு வரைபடத்திற்கும், சீரற்ற வரைபடம் சில நிலையான விளிம்பு அடர்த்தியுடன் அனைத்து வரைபடங்களின் குறைந்தபட்ச நகல்களையும் (எதிர்பார்ப்பில்) அடைகிறது என்ற கூற்றாக அனுமானத்தை விளக்கலாம். சிடோரேங்கோவின் அனுமானத்திற்கான பல அணுகுமுறைகள் சிக்கலை கிராஃபோன்களில் ஒரு ஒருங்கிணைந்த சமத்துவமின்மை என்று வகுக்கின்றன, இது மற்ற பகுப்பாய்வு அணுகுமுறைகளைப் பயன்படுத்தி சிக்கலைத் தாக்க அனுமதிக்கிறது. பொதுமைப்படுத்தல்கள் கிராஃபான்கள் இயற்கையாகவே அடர்த்தியான எளிய வரைபடங்களுடன் தொடர்புடையவை. இந்த மாதிரியின் விரிவாக்கங்கள் அடர்த்தியான இயக்கப்பட்ட எடையுள்ள வரைபடங்களுக்கு உள்ளன, அவை பெரும்பாலும் அலங்கரிக்கப்பட்ட வரைபடங்கள் என்று குறிப்பிடப்படுகின்றன. சீரற்ற வரைபட மாதிரிகள் மற்றும் வரைபட வரம்பு கோட்பாட்டின் கண்ணோட்டத்தில், அரிதான வரைபட ஆட்சிக்கு சமீபத்திய நீட்டிப்புகளும் உள்ளன. குறிப்புகள் வரைபடக் கோட்பாடு நிகழ்தகவுக் கோட்பாடு