Discrete Chebyshev polynomials
கணிதத்தில், தனித்த செபிஷேவ் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் அல்லது கிராம் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் என்பது தோராயக் கோட்பாட்டில் பயன்படுத்தப்படும் தனித்த ஆர்த்தோகனல் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் ஒரு வகையாகும், இது பாஃப்னுட்டி செபிஷேவால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டு கிராமால் மீண்டும் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது. அவை சுழல் கோண உந்தத்தின் பல்வேறு இயற்கணித பண்புகளுக்கு பொருந்தும் என்று பின்னர் கண்டறியப்பட்டது. அடிப்படை வரையறை தனித்துவமான செபிஷேவ் பல்லுறுப்புக்கோவை என்பது x இல் n டிகிரி கொண்ட ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும், ஏனெனில், சமமற்ற டிகிரி கொண்ட இரண்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகள் எடை செயல்பாட்டைப் பொறுத்தவரை ஆர்த்தோகனல் மற்றும் டைராக் டெல்டா செயல்பாடு ஆகும். அதாவது, இடதுபுறத்தில் உள்ள ஒருங்கிணைப்பு உண்மையில் டெல்டா செயல்பாட்டின் காரணமாக ஒரு கூட்டுத்தொகையாகும், எனவே, ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை என்றாலும், ஒரு தனித்துவமான புள்ளிகளின் தொகுப்பில் அதன் மதிப்புகள் மட்டுமே எந்த முக்கியத்துவத்தையும் கொண்டுள்ளன. ஆயினும்கூட, இந்த பல்லுறுப்புக்கோவைகளை எதிர்மறை அல்லாத எடை செயல்பாட்டைப் பொறுத்தவரை ஆர்த்தோகனாலிட்டி அடிப்படையில் வரையறுக்க முடியும் என்பதால், ஆர்த்தோகனல் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் முழு கோட்பாடும் பொருந்தும். குறிப்பாக, செபிஷேவ் இயல்பாக்கத்தை தேர்ந்தெடுத்தார் என்ற அர்த்தத்தில் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் முழுமையானவை, இதனால் இது அடையாள மரபுடன் பல்லுறுப்புக்கோவைகளை முழுமையாக சரிசெய்கிறது. சுயாதீன மாறி நேரியல் அளவிடப்பட்டு மாற்றப்பட்டால், இறுதி புள்ளிகள் மதிப்புகளை ஏற்றுக்கொள்கின்றன, பின்னர், ஒரு மாறிலி நேரமாக, லெஜெண்டர் பல்லுறுப்புக்கோவை எங்கே. மேம்பட்ட வரையறை மூடிய இடைவெளியில் [−1,1] வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு மென்மையான செயல்பாடாக இருக்கட்டும், அதன் மதிப்புகள் புள்ளிகளில் மட்டுமே வெளிப்படையாக அறியப்படுகின்றன, அங்கு k மற்றும் m முழு எண்கள் மற்றும். n <m டிகிரியின் பல்லுறுப்புக்கோவையாக f ஐ தோராயமாக மதிப்பிடுவதே பணியாகும். ஒரு நேர்மறை அரை-திட்டவட்டமான இருமுனை வடிவத்தைக் கவனியுங்கள், அங்கு அவை [−1,1] இல் தொடர்ச்சியானவை மற்றும் ஒரு தனித்துவமான அரை-நெறிமுறையாக இருக்கட்டும். சமமாக இல்லாத போதெல்லாம் ஒருவருக்கொருவர் ஆர்த்தோகனல் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் குடும்பமாக இருக்கட்டும். அனைத்து பல்லுறுப்புக்கோவைகளும் நேர்மறையான முன்னணி குணகத்தைக் கொண்டுள்ளன என்று வைத்துக்கொள்வோம், மேலும் அவை தனித்துவமான செபிஷேவ் (அல்லது கிராம்) பல்லுறுப்புக்கோவைகள் என்று அழைக்கப்படும் வகையில் இயல்பாக்கப்படுகின்றன. தனித்துவமான செபிஷேவ் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் சுழற்சியின் பல்வேறு இயற்கணித பண்புகளுடன் ஆச்சரியமான தொடர்புகளைக் கொண்டுள்ளனஃ சுழற்சி மாற்றம் நிகழ்தகவுகள், ஐன்ஸ்டீன்-போடோல்ஸ்கி-ரோசன் பரிசோதனையின் போமின் சுழற்சி-எஸ் பதிப்பில் சுழற்சியின் அவதானிப்புகளுக்கான நிகழ்தகவுகள் மற்றும் பல்வேறு சுழற்சி நிலைகளுக்கான விக்னர் செயல்பாடுகள். குறிப்பாக, பல்லுறுப்புக்கோவைகள் சுழற்சி மேட்ரிக்ஸின் (விக்னர் டி-மேட்ரிக்ஸ்) முழுமையான சதுரத்தின் ஈஜென்வெக்டர்களாக மாறுகின்றன. தொடர்புடைய ஐகென் மதிப்பு லெஜெண்டர் பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும், அங்கு சுழற்சி கோணம் உள்ளது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், வழக்கமான கோண உந்தம் அல்லது சுழல் ஈஜென்ஸ்டேட்கள் எங்கே என்றால், பின்னர் ஈஜென்வெக்டர்கள் செபிஷேவ் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் அளவிடப்பட்ட மற்றும் மாற்றப்பட்ட பதிப்புகள் ஆகும். தொடர்புடைய, மற்றும் தொடர்புடையவற்றுக்கு பதிலாக புள்ளிகளுக்கு ஆதரவைப் பெறுவதற்காக அவை மாற்றப்படுகின்றன. கூடுதலாக, மற்ற இயல்பாக்குதல் நிபந்தனைகளுக்குக் கீழ்ப்படியும் வகையில் அளவிடப்படலாம். உதாரணமாக, அவர்கள் திருப்திப்படுத்த வேண்டும் என்று ஒருவர் கோரலாம். குறிப்புகள் ஆர்த்தோகனல் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் தோராயக் கோட்பாடு