Welch bounds
கணிதத்தில், வெல்ச் எல்லைகள் என்பது ஒரு திசையன் இடத்தில் ஒரு அலகு திசையன்களின் தொகுப்பை சமமாக பரப்புவதில் உள்ள சிக்கலுடன் தொடர்புடைய ஏற்றத்தாழ்வுகளின் குடும்பமாகும். தொலைத்தொடர்பு பொறியியலில், குறிப்பாக குறியீட்டு கோட்பாட்டில், சில முறைகளின் வடிவமைப்பு மற்றும் பகுப்பாய்வில் எல்லைகள் முக்கியமான கருவிகளாகும். எல்லைகள் முதலில் 1974 ஆம் ஆண்டு எல். ஆர். வெல்ச் எழுதிய ஆய்வறிக்கையில் வெளியிடப்பட்டன. கணித அறிக்கை அலகு திசையன்கள் என்றால், வரையறுக்கவும், வழக்கமான உள் பெருக்கல் எங்கே உள்ளது. பின்னர் பின்வரும் ஏற்றத்தாழ்வுகள் உள்ளனஃ வெல்ச் வரம்புகள் சில நேரங்களில் திசையன்களின் தொகுப்புக்கு இடையிலான சராசரி வர்க்க ஒன்றுடன் ஒன்று அடிப்படையில் குறிப்பிடப்படுகின்றன. இந்த விஷயத்தில், ஒருவர் சமத்துவமின்மை பொருந்தும் தன்மையைக் கொண்டிருக்கிறார் என்றால், திசையன்கள் ஒரு ஆர்த்தோனார்மல் தொகுப்பை உருவாக்க முடியும். இந்த வழக்கில், மற்றும் எல்லைகள் வெற்றிடமாக உள்ளன. இதன் விளைவாக, எல்லைகளின் விளக்கம் மட்டுமே அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும். இந்தக் கட்டுரையின் எஞ்சிய பகுதி முழுவதும் இது கருதப்படும். k = 1 க்கான சான்று, அதனுடன் தொடர்புடைய "முதல் வெல்ச் பிணைப்பு", பயன்பாடுகளில் மிகவும் பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. அதன் ஆதாரம் இரண்டு படிகளில் தொடர்கிறது, அவை ஒவ்வொன்றும் மிகவும் அடிப்படை கணித சமத்துவமின்மையைப் பொறுத்தது. முதல் படி காச்சி-ஸ்வார்ஸ் சமத்துவமின்மையைத் தூண்டுகிறது மற்றும் திசையன்களின் கிராம் மேட்ரிக்ஸைக் கருத்தில் கொள்வதன் மூலம் தொடங்குகிறது; அதாவது, இன் சுவடு அதன் ஐகென் மதிப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம். தரவரிசை அதிகபட்சமாக இருப்பதால், இது ஒரு நேர்மறை அரை வரையறுக்கப்பட்ட அணி என்பதால், அதன் மீதமுள்ள ஐகென் மதிப்புகள் அனைத்தும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருப்பதால், அதிகபட்சமாக நேர்மறை ஐகென் மதிப்புகளைக் கொண்டுள்ளது. பூஜ்ஜியமற்ற ஐகென் மதிப்புகளை எழுதுவது மற்றும் காச்சி-ஷ்வார்ஸ் சமத்துவமின்மையை ஒரு திசையன் கொண்ட ஒரு-திசையனின் உள் பெருக்கலுக்கு பயன்படுத்துவது, அதன் கூறுகள் இந்த ஐகென் மதிப்புகள் திருப்தியளிக்கும் ஃப்ரோபீனியஸ் நெறிமுறையின் (ஹில்பர்ட்-ஷ்மிட் நெறிமுறை) வர்க்கம் முந்தைய சமத்துவமின்மையுடன் இதை ஒன்றாக எடுத்துக்கொள்வது கொடுக்கிறது ஏனெனில் ஒவ்வொன்றும் அலகு நீளத்தைக் கொண்டுள்ளன, அவற்றின் முக்கிய மூலைவிட்டத்தில் உள்ள கூறுகள் ஒன்று, எனவே அதன் சுவடு உள்ளது. எனவே, அல்லது ஆதாரத்தின் இரண்டாம் பகுதி எதிர்மறை அல்லாத எண்களின் தொகுப்பின் சராசரி தொகுப்பில் உள்ள மிகப்பெரிய எண்ணை விட அதிகமாக இருக்க முடியாது என்ற எளிய அவதானிப்பை உள்ளடக்கிய ஒரு சமத்துவமின்மையைப் பயன்படுத்துகிறது. கணிதக் குறியீட்டில், என்றால், முந்தைய வெளிப்பாடு கூட்டுத்தொகையில் எதிர்மறை அல்லாத சொற்களைக் கொண்டுள்ளது, அவற்றில் மிகப்பெரியது. எனவே, அல்லது இது துல்லியமாக வெல்ச் வழங்கிய சமத்துவமின்மை. வெல்ச் வரம்புகளை அடைவது சில தொலைத்தொடர்பு பயன்பாடுகளில், வெல்ச் வரம்புகளை சமமாக சந்திக்கும் திசையன்களின் தொகுப்புகளை உருவாக்குவது விரும்பத்தக்கது. பிணைப்புக்கான வெல்ச் பௌண்ட் ஈக்வாலிட்டி (டபிள்யூ. பி. இ) செட் திசையன்களைப் பெற பல நுட்பங்கள் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டுள்ளன. மேலே கொடுக்கப்பட்ட ஆதாரம், வெல்ச் வரம்பில் இரண்டு தனித்தனி கணித ஏற்றத்தாழ்வுகள் இணைக்கப்பட்டுள்ளன என்பதைக் காட்டுகிறது. சம்பந்தப்பட்ட இரண்டு திசையன்கள் கொலினியராக இருக்கும்போது காச்சி-ஸ்வார்ஸ் சமத்துவமின்மை சமமாக சந்திக்கப்படுகிறது. மேலே உள்ள ஆதாரத்தில் இது பயன்படுத்தப்படும் விதத்தில், கிராம் மேட்ரிக்ஸின் பூஜ்ஜியமற்ற ஐகென் மதிப்புகள் அனைத்தும் சமமாக இருக்கும்போது இது நிகழ்கிறது, இது திசையன்கள் ஒரு இறுக்கமான சட்டகத்தை உருவாக்கும் போது துல்லியமாக நிகழ்கிறது. ஆதாரத்தில் உள்ள மற்ற சமத்துவமின்மை சமத்துவத்துடன் திருப்தி அடைகிறது, ஒவ்வொரு தேர்வுக்கும் ஒரே மாதிரியாக இருந்தால் மட்டுமே. இந்த வழக்கில், திசையன்கள் சமமானவை. எனவே திசையன்களின் தொகுப்பு ஒரு சமவெளி இறுக்கமான சட்டகமாக இருந்தால் மட்டுமே இந்த வெல்ச் பிணைப்பு சமமாக இருக்கும். இதேபோல், சராசரி வர்க்க ஒன்றுடன் ஒன்று அடிப்படையில் கூறப்பட்ட வெல்ச் எல்லைகள், சிக்கலான ப்ரொஜெக்டிவ் இடத்தில் திசையன்களின் தொகுப்பு ஒரு-வடிவமைப்பாக இருந்தால் மட்டுமே அனைவருக்கும் நிறைவுற்றவை. மேலும் காண்க கோள வடிவமைப்பு குவாண்டம் டி-வடிவமைப்பு சமவெளி கோடுகள் குறிப்புகள் சமத்துவமின்மை