Quantization of the electromagnetic field
மின்காந்த புலத்தின் அளவீடு என்பது ஒரு மின்காந்த புலம் ஃபோட்டான்கள் எனப்படும் தனித்துவமான ஆற்றல் பொட்டலங்களைக் கொண்டுள்ளது என்பதாகும். ஃபோட்டான்கள் என்பது திட்டவட்டமான ஆற்றல், திட்டவட்டமான வேகம் மற்றும் திட்டவட்டமான சுழற்சியின் நிறை இல்லாத துகள்கள் ஆகும். ஒளிமின்னியல் விளைவை விளக்க, ஆல்பர்ட் ஐன்ஸ்டீன் 1905 ஆம் ஆண்டில் ஒரு மின்காந்த புலம் hν அளவு ஆற்றல் துகள்களைக் கொண்டுள்ளது என்று அனுமானித்தார், இதில் h என்பது பிளாங்கின் மாறிலி மற்றும் ν என்பது அலை அதிர்வெண். 1927 ஆம் ஆண்டில் பால் ஏ. எம். டிராக் புதிய குவாண்டம் இயக்கவியலின் துணியில் ஃபோட்டான் கருத்தை நெசவு செய்ய முடிந்தது மற்றும் பொருளுடன் ஃபோட்டான்களின் தொடர்புகளை விவரிக்க முடிந்தது. அவர் இப்போது பொதுவாக இரண்டாவது அளவீடு என்று அழைக்கப்படும் ஒரு நுட்பத்தைப் பயன்படுத்தினார், இருப்பினும் இந்த சொல் மின்காந்த புலங்களுக்கு ஓரளவு தவறான பெயராக இருந்தாலும், அவை கிளாசிக்கல் மேக்ஸ்வெல் சமன்பாடுகளின் தீர்வுகள். டிராக்கின் கோட்பாட்டில் புலங்கள் முதல் முறையாக அளவிடப்படுகின்றன, மேலும் பிளாங்கின் மாறிலி வெளிப்பாடுகளுக்குள் நுழைவது இதுவே முதல் முறையாகும். தனது அசல் படைப்பில், டிராக் வெவ்வேறு மின்காந்த முறைகள் (புலத்தின் ஃபோரியர் கூறுகள்) மற்றும் முறை ஆற்றல்களின் கட்டங்களை அளவிடுவதற்கு மாறும் மாறிகளாக எடுத்துக் கொண்டார் (அதாவது, அவர் அவற்றை இயக்கிகளாக மறுபரிசீலனை செய்தார் மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான அனுமானிக்கப்பட்ட பரிமாற்ற உறவுகள்). தற்போது திசையன் ஆற்றலின் ஃபோரியர் கூறுகளை அளவிடுவது மிகவும் பொதுவானது. இதைத்தான் கீழே செய்யப்பட்டுள்ளது. முறைக்கு சொந்தமான ஒரு குவாண்டம் மெக்கானிக்கல் ஃபோட்டான் நிலை கீழே அறிமுகப்படுத்தப்பட்டுள்ளது, மேலும் இது பின்வரும் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது என்று காட்டப்படுகிறதுஃ இந்த சமன்பாடுகள் முறையே கூறுகின்றனஃ ஒரு ஃபோட்டான் பூஜ்ஜிய ஓய்வு வெகுஜனத்தைக் கொண்டுள்ளது; ஃபோட்டான் ஆற்றல் hν = hc|k | (k என்பது அலை திசையன், c என்பது ஒளியின் வேகம்); அதன் மின்காந்த உந்தம் ꯘꯥk [ꯘꯥ = h/(2π)]; துருவமுனைப்பு μ = ±1 என்பது ஃபோட்டான் சுழற்சியின் z-கூறுகளின் ஐகென் மதிப்பு. இரண்டாவது அளவீடு ஒரு முழுமையான செயல்பாடுகளின் தொகுப்பைக் கொண்ட ஒரு அடிப்படையில் ஒரு அளவிடுதல் அல்லது திசையன் புலத்தின் (அல்லது அலை செயல்பாடுகள்) விரிவாக்கத்துடன் தொடங்குகிறது. இந்த விரிவாக்க செயல்பாடுகள் ஒற்றைத் துகள்களின் ஆயத்தொகுதிகளைப் பொறுத்தது. அடிப்படை செயல்பாடுகளைப் பெருக்கும் குணகங்கள் இயக்கிகளாக விளக்கப்பட்டன மற்றும் இந்த புதிய இயக்கிகளுக்கு இடையிலான (எதிர்) பரிமாற்ற உறவுகள் விதிக்கப்படுகின்றன, போசான்களுக்கான பரிமாற்ற உறவுகள் மற்றும் ஃபெர்மியன்களுக்கான எதிர் பரிமாற்ற உறவுகள் (அடிப்படை செயல்பாடுகளுக்கு எதுவும் நடக்காது). இதைச் செய்வதன் மூலம், விரிவாக்கப்பட்ட புலம் ஒரு ஃபெர்மியன் அல்லது போசான் ஆபரேட்டர் புலமாக மாற்றப்படுகிறது. விரிவாக்க குணகங்கள் சாதாரண எண்களிலிருந்து ஆபரேட்டர்கள், உருவாக்கம் மற்றும் அழிப்பு ஆபரேட்டர்கள் வரை ஊக்குவிக்கப்பட்டுள்ளன. ஒரு படைப்பு ஆபரேட்டர் தொடர்புடைய அடிப்படை செயல்பாட்டில் ஒரு துகள் உருவாக்குகிறது மற்றும் ஒரு அழிப்பு ஆபரேட்டர் இந்த செயல்பாட்டில் ஒரு துகள் அழிக்கிறது. ஈஎம் புலங்களைப் பொறுத்தவரை புலத்தின் தேவையான விரிவாக்கம் ஃபோரியர் விரிவாக்கமாகும். மின்காந்த புலம் மற்றும் திசையன் ஆற்றல் இந்த சொல் குறிப்பிடுவது போல, ஒரு ஈ. எம் புலம் இரண்டு திசையன் புலங்களைக் கொண்டுள்ளது, ஒரு மின்சார புலம் மற்றும் ஒரு காந்தப்புலம். இரண்டும் வெற்றிடத்தில் மூன்றாவது திசையன் புலத்தை (திசையன் ஆற்றல்) சார்ந்திருக்கும் நேரத்தை சார்ந்த திசையன் புலங்கள், அதே போல் ஒரு அளவிடுபொறி புலம், அங்கு ρ × A என்பது A இன் சுருட்டை. கூலோம்ப் கேஜைத் தேர்ந்தெடுப்பது, இதற்கு A = 0, A ஐ ஒரு குறுக்கு புலமாக ஆக்குகிறது. தொகுதி V = L3 இன் வரையறுக்கப்பட்ட கனப் பெட்டியில் இணைக்கப்பட்டுள்ள திசையன் ஆற்றலின் ஃபோரியர் விரிவாக்கம் பின்னர் அதன் சிக்கலான இணைப்பைக் குறிக்கிறது. அலை திசையன் k என்பது A (r, t) இன் தொடர்புடைய ஃபோரியர் கூறுகளின் (ஒரு துருவப்படுத்தப்பட்ட ஒரே வண்ண அலை) பரப்புதல் திசையை அளிக்கிறது; அலை திசையனின் நீளம் ν முறை அதிர்வெண்ணுடன் உள்ளது. இந்த கூட்டுத்தொகையில் k நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை என அனைத்து முழு எண்களையும் கடந்து செல்கிறது. (ஃபோரியர் அடிப்படையின் கூறு உண்மையானது போன்ற கூறுகளின் சிக்கலான இணைப்பாகும்.) திசையன் k இன் கூறுகள் தனித்துவமான மதிப்புகளைக் கொண்டுள்ளன (பெட்டியின் எதிர் சுவர்களில் A க்கு ஒரே மதிப்பு உள்ளது என்ற எல்லை நிபந்தனையின் விளைவாக): இரண்டு e (μ) ("துருவமுனைப்பு திசையன்கள்") இடது மற்றும் வலது கை வட்ட துருவமுனைக்கப்பட்ட (எல். சி. பி மற்றும் ஆர். சி. பி) ஈ. எம் அலைகளின் வழக்கமான அலகு திசையன்கள் (ஜோன்ஸ் கால்குலஸ் அல்லது ஜோன்ஸ் திசையன், ஜோன்ஸ் கால்குலஸைப் பார்க்கவும்) மற்றும் k க்கு செங்குத்தாக இருக்கும். அவை ஒரு ஒற்றையாட்சி மாற்றத்தின் மூலம் ஆர்த்தோனார்மல் கார்ட்டீசியன் திசையன்களுடன் தொடர்புடையவை, A இன் k-வது ஃபோரியர் கூறு k க்கு செங்குத்தாக ஒரு திசையன் ஆகும், எனவே இது e (1) மற்றும் e (−1) இன் நேரியல் கலவையாகும். மேல்நிலைக் குறிப்பு μ என்பது e (μ) உடன் ஒரு கூறுகளைக் குறிக்கிறது. தெளிவாக, ஃபோரியர் குணகங்களின் (தனித்துவமான எல்லையற்ற) தொகுப்பு மற்றும் திசையன் ஆற்றலை வரையறுக்கும் மாறிகள். பின்வருவனவற்றில் அவர்கள் ஆபரேட்டர்களாக பதவி உயர்வு பெறுவார்கள். மேலே உள்ள மற்றும் அடிப்படையில் புல சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், மின்சார மற்றும் காந்தப்புலங்கள் அடையாளத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் (மற்றும் திசையன்கள்) மற்றும் ஒவ்வொரு முறையும் ஒற்றை அதிர்வெண் சார்பைக் கொண்டிருப்பதால். ஈ. எம். புலத்தின் அளவீடு அளவீட்டின் சிறந்த அறியப்பட்ட எடுத்துக்காட்டு ஒரு துகள் நேரத்தை சார்ந்த நேரியல் வேகத்தை விதியின் மூலம் மாற்றுவதாகும், பிளாங்கின் மாறிலி இங்கே அறிமுகப்படுத்தப்பட்டுள்ளது என்பதையும், கிளாசிக்கல் வெளிப்பாட்டின் நேர-சார்பு குவாண்டம் மெக்கானிக்கல் ஆபரேட்டரில் எடுக்கப்படவில்லை என்பதையும் நினைவில் கொள்க (இது ஷ்ரோடிங்கர் படம் என்று அழைக்கப்படுவதில் உண்மை). ஈ. எம். புலத்திற்கு நாம் இதே போன்ற ஒன்றைச் செய்கிறோம். அளவு என்பது மின்சார மாறிலி, இது மின்காந்த எஸ். ஐ அலகுகளின் பயன்பாட்டின் காரணமாக இங்கே தோன்றுகிறது. அளவீட்டு விதிகள் பின்வருமாறுஃ போசான் பரிமாற்ற உறவுகளுக்கு உட்பட்டு சதுர அடைப்புகள் ஒரு பரிமாற்றியைக் குறிக்கின்றன, இது எந்த இரண்டு குவாண்டம் இயந்திர ஆபரேட்டர்கள் A மற்றும் B ஆகியவற்றால் வரையறுக்கப்படுகிறது. கிளாசிக்கல் கோட்பாட்டிலிருந்து குவாண்டம் கோட்பாட்டிற்கு மாறுவதற்கு பிளாங்கின் மாறிலியை அறிமுகப்படுத்துவது அவசியம். ஹாமில்டோனியன் (ஆற்றல் இயக்குபவர்) ஒரு எளிய வடிவத்தை வழங்க இந்த காரணி அறிமுகப்படுத்தப்பட்டுள்ளது, கீழே காண்க. அளவிடப்பட்ட புலங்கள் (இயக்குபவர் புலங்கள்) பின்வருமாறு உள்ளன, இங்கு ω = c |k | = ck. களத்தின் ஹாமில்டோனியன் கிளாசிக்கல் ஹாமில்டோனியன் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது வலது புறம் முதலில் பயன்படுத்துவதன் மூலம் எளிதில் பெறப்படுகிறது (ஆய்லர் சமன்பாடு மற்றும் முக்கோணவியல் ஆர்த்தோகொனாலிட்டி ஆகியவற்றிலிருந்து பெறப்படலாம்) அங்கு k என்பது மேலே விவரிக்கப்பட்டுள்ளபடி V = L × L × L பெட்டிக்குள் வரையறுக்கப்பட்ட அலைக்கான அலை எண் மற்றும் இரண்டாவது, ω = kc ஐப் பயன்படுத்துகிறது. ஃபீல்ட் ஆபரேட்டர்களை கிளாசிக்கல் ஹாமில்டோனியனுக்கு மாற்றுவது ஈ. எம் புலத்தின் ஹாமில்டன் ஆபரேட்டரை வழங்குகிறது, இரண்டாவது சமத்துவம் மேலே இருந்து போசான் பரிமாற்ற உறவுகளில் மூன்றில் ஒரு பங்கை k′ = k மற்றும் μ′ = μ உடன் பயன்படுத்துவதன் மூலம் பின்பற்றப்படுகிறது. மீண்டும் கவனிக்கவும், அது குறியீட்டில் வெளிப்படையாக இல்லாவிட்டாலும், ω என்பது k ஐப் பொறுத்தது என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள். ω (k) குறியீடு அறிமுகப்படுத்தப்பட்டிருக்கலாம், ஆனால் அது சமன்பாடுகளை குழப்புவதால் பொதுவானது அல்ல. டிக்ரஷன்ஃ ஹார்மோனிக் ஆஸிலேட்டர் ஒரு பரிமாண குவாண்டம் ஹார்மோனிக் ஆஸிலேட்டரின் இரண்டாவது அளவிடப்பட்ட சிகிச்சை குவாண்டம் மெக்கானிக்கல் படிப்புகளில் நன்கு அறியப்பட்ட தலைப்பாகும். நாம் திசைதிருப்பப்பட்டு அதைப் பற்றி சில வார்த்தைகள் சொல்கிறோம். ஹார்மோனிக் ஆஸிலேட்டர் ஹாமில்டோனியன் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது, இதில் ω ஷ்ண2πν என்பது ஆஸிலேட்டரின் அடிப்படை அதிர்வெண் ஆகும். ஊசலாட்டத்தின் தரை நிலை இதன் மூலம் குறிப்பிடப்படுகிறது; மேலும் இது "வெற்றிட நிலை" என்று குறிப்பிடப்படுகிறது. இது ஒரு கிளர்ச்சி செயல்பாட்டாளர் என்பதைக் காட்டலாம், இது ஒரு n மடங்கு கிளர்ச்சி நிலையில் இருந்து ஒரு n + 1 மடங்கு கிளர்ச்சி நிலைக்கு கிளர்ச்சி செய்கிறதுஃ குறிப்பாகஃ மற்றும் ஹார்மோனிக் ஆஸிலேட்டர் ஆற்றல்கள் சம தூரத்தில் இருப்பதால், n-மடங்கு கிளர்ச்சி நிலை; அனைத்து ஆற்றல் hν ஐக் கொண்ட n துகள்களை (சில நேரங்களில் அதிர்வுகள் என்று அழைக்கப்படுகிறது) கொண்ட ஒற்றை நிலையாக பார்க்க முடியும். இந்த துகள்கள் போசான்கள் ஆகும். வெளிப்படையான காரணத்திற்காக எக்ஸைடேஷன் ஆபரேட்டர் ஒரு கிரியேஷன் ஆபரேட்டர் என்று அழைக்கப்படுகிறார். பரிமாற்ற உறவிலிருந்து ஹெர்மிடியன் அட்ஜாயின்ட் டி-எக்ஸைட்ஸ் பின்வருமாறுஃ குறிப்பாக, வெளிப்படையான காரணத்திற்காக டி-எக்ஸைடேஷன் ஆபரேட்டர் ஒரு அனிஹிலேஷன் ஆபரேட்டர் என்று அழைக்கப்படுகிறது. கணித தூண்டல் மூலம் பின்வரும் "வேறுபாடு விதி", பின்னர் தேவைப்படும், எளிதில் நிரூபிக்கப்படுகிறது, இப்போது நம்மிடம் பல தொடர்பு இல்லாத (சுயாதீனமான) ஒரு பரிமாண ஹார்மோனிக் ஊசலாட்டங்கள் உள்ளன என்று வைத்துக்கொள்வோம், ஒவ்வொன்றும் அதன் சொந்த அடிப்படை அதிர்வெண் ωi. ஊசலாட்டங்கள் சுயாதீனமானவை என்பதால், ஹாமில்டோனியன் ஒரு எளிய கூட்டுத்தொகையாகும்ஃ ஈ. எம் புலத்தின் ஹாமில்டோனியனை மாற்றுவதன் மூலம், ஆற்றல் ω = |k |c திசையில் ஊசலாடும் சுயாதீன ஊசலாட்டங்களின் ஹாமில்டோனியன் என்று கருதலாம். ஃபோட்டான் எண் கூறுகிறது (ஃபாக் கூறுகிறது) அளவிடப்பட்ட ஈ. எம் புலம் ஒரு வெற்றிட நிலையை (ஃபோட்டான்கள் இல்லை) கொண்டுள்ளது. அதன் பயன்பாடு, முறை (k, μ) இல் m ஃபோட்டான்கள் மற்றும் முறை (k′, μ′) இல் n ஃபோட்டான்களின் குவாண்டம் நிலையை அளிக்கிறது. விகிதாசார சின்னம் பயன்படுத்தப்படுகிறது, ஏனெனில் இடது கையில் உள்ள நிலை ஒற்றுமைக்கு இயல்பாக்கப்படவில்லை, அதே நேரத்தில் வலது கையில் உள்ள நிலை இயல்பாக்கப்படலாம். ஆபரேட்டர் என்பது எண் ஆபரேட்டர். ஒரு குவாண்டம் மெக்கானிக்கல் ஃபோட்டான் எண் நிலையில் செயல்படும்போது, அது பயன்முறையில் உள்ள ஃபோட்டான்களின் எண்ணிக்கையை (k, μ) திருப்பித் தருகிறது. இந்த முறையில் ஃபோட்டான்களின் எண்ணிக்கை பூஜ்ஜியமாக இருக்கும்போது, எண் ஆபரேட்டர் பூஜ்ஜியத்தை திருப்பித் தருகிறார். ஒரு ஃபோட்டான் கெட்டில் எண் ஆபரேட்டரின் செயல்பாட்டைக் காட்ட, நாம் கருதுகிறோம், அதாவது, பயன்முறையின் எண் ஆபரேட்டர் (k, μ) பயன்முறை ஆக்கிரமிக்கப்படாவிட்டால் பூஜ்ஜியத்தைத் தருகிறது மற்றும் பயன்முறை தனியாக ஆக்கிரமிக்கப்பட்டிருந்தால் ஒற்றுமையைத் தருகிறது. அதே பயன்முறையின் n-ஃபோட்டான் கெட்டில் பயன்முறையின் (k, μ) எண் ஆபரேட்டரின் செயல்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ள, நாம் k மற்றும் μ குறியீடுகளை கைவிட்டு, முன்பு அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட "வேறுபாடு விதியைப்" பயன்படுத்துவதைக் கருத்தில் கொள்கிறோம், மேலும் இது ஒரு ஃபோட்டான் எண் நிலை (அல்லது ஒரு ஃபாக் நிலை) என்பது எண் ஆபரேட்டரின் ஐகென்ஸ்டேட் ஆகும். இதனால்தான் இங்கு விவரிக்கப்பட்டுள்ள சம்பிரதாயம் பெரும்பாலும் ஆக்கிரமிப்பு எண் பிரதிநிதித்துவம் என்று குறிப்பிடப்படுகிறது. ஃபோட்டான் ஆற்றல் முன்பு ஹாமில்டோனியன் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. ஆற்றலின் பூஜ்ஜியத்தை மாற்றலாம், இது எண் ஆபரேட்டரின் அடிப்படையில் ஒரு வெளிப்பாட்டிற்கு வழிவகுக்கிறது, ஒற்றை-ஃபோட்டான் நிலையில் H இன் விளைவு வெளிப்படையாக, ஒற்றை-ஃபோட்டான் நிலை H இன் ஐகென் ஸ்டேட் மற்றும் γω = hν என்பது தொடர்புடைய ஆற்றல். அதே வழியில் எடுத்துக்காட்டு ஃபோட்டான் அடர்த்தி 100 கிலோவாட் ரேடியோ பரிமாற்ற நிலையத்தால் உருவாக்கப்பட்ட மின்காந்த ஆற்றல் அடர்த்தி மின்காந்த அலை குறித்த கட்டுரையில் கணக்கிடப்படுகிறது (எங்கே?) நிலையத்திலிருந்து 5 கிமீ தொலைவில் உள்ள ஆற்றல் அடர்த்தி மதிப்பீடு 2.1 × 10−10 J/m3 ஆகும். நிலையத்தின் ஒலிபரப்பை விவரிக்க குவாண்டம் இயக்கவியல் தேவையா? ரேடியோ அலைகளின் நீளம் λ ஆக இருக்கும் அளவில் உள்ள ஒற்றுமையை விட ஃபோட்டான்களின் எண்ணிக்கை மிகப் பெரியதாக இருக்கும்போது ஈ. எம் கதிர்வீச்சுக்கான கிளாசிக்கல் தோராயமானது நல்லது. அவ்வாறான நிலையில் குவாண்டம் ஏற்ற இறக்கங்கள் மிகக் குறைவு மற்றும் கேட்க முடியாது. ரேடியோ ஸ்டேஷன் ν = 100 MHz இல் ஒளிபரப்புகிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம், பின்னர் அது νh = 1 × 108 × 6.6 × 10−34 = 6.6 × 10−26 J என்ற ஆற்றல் உள்ளடக்கத்துடன் ஃபோட்டான்களை அனுப்புகிறது, இங்கு h என்பது பிளாங்கின் மாறிலி. நிலையத்தின் அலைநீளம் λ = c/ν = 3 மீ, எனவே λ/(2π) = 48 செமீ மற்றும் தொகுதி 0.109 m3 ஆகும். இந்த தொகுதி தனிமத்தின் ஆற்றல் உள்ளடக்கம் 2.1 × 10−10 × 0.109 = 2.3 × 10−11ஜே ஆகும், இது ஒரு ஃபோட்டானுக்கு 3.4 × 1014 ஃபோட்டான்கள் ஆகும். ஃபோட்டான் உந்தம் மின்காந்த புலத்தின் ஃபோரியர் விரிவாக்கத்தை கிளாசிக்கல் வடிவத்தில் அறிமுகப்படுத்துவது அளவீட்டு விளைச்சலை அளிக்கிறது 1/2 என்ற சொல்லை கைவிட முடியும், ஏனெனில் அனுமதிக்கப்பட்ட k க்கு மேல் ஒருவர் கூட்டும்போது, k-k உடன் ரத்து செய்யப்படுகிறது. ஒற்றை-ஃபோட்டான் நிலையில் PEM இன் விளைவு வெளிப்படையாக, ஒற்றை-ஃபோட்டான் நிலை என்பது வேக இயக்கியின் ஒரு ஐகென்ஸ்டேட் ஆகும், மேலும் ꯘꯥk என்பது ஐகென் மதிப்பு (ஒற்றை ஃபோட்டானின் வேகம்) ஆகும். ஃபோட்டான் நிறை பூஜ்ஜியமற்ற நேரியல் வேகத்தைக் கொண்ட ஃபோட்டான், அது மறைந்துபோகாத ஓய்வு நிறை m0 ஐக் கொண்டுள்ளது என்று ஒருவர் கற்பனை செய்யலாம், இது பூஜ்ஜிய வேகத்தில் அதன் நிறை ஆகும். இருப்பினும், இது அப்படி இல்லை என்பதை இப்போது காண்பிப்போம்ஃ m0 = 0. ஃபோட்டான் ஒளியின் வேகத்துடன் பரவுவதால், சிறப்பு சார்பியல் தேவைப்படுகிறது. ஆற்றல் மற்றும் வேக வர்க்கத்திற்கான சார்பியல் வெளிப்பாடுகள், p2/E2 இலிருந்து, பயன்படுத்தவும், அது m0 = 0 ஆக இருக்கும். ஃபோட்டான் சுழற்சி ஃபோட்டானுக்கு சுழல் குவாண்டம் எண் S = 1 உடன் மூன்று மடங்கு சுழற்சியை ஒதுக்கலாம். இது 14N ஐசோடோப்பின் அணு சுழற்சியைப் போன்றது, ஆனால் MS = 0 கொண்ட நிலை பூஜ்ஜியமாக இருப்பதால், MS = ±1 கொண்ட நிலைகள் மட்டுமே பூஜ்ஜியமற்றவை. சுழல் இயக்கிகளை வரையறுக்கவும்ஃ இரண்டு ஆர்த்தோகனல் அலகு திசையன்களுக்கு இடையிலான இரண்டு இயக்கிகள் டயாடிக் தயாரிப்புகள் ஆகும். அலகு திசையன்கள் பரப்புதல் திசை k க்கு செங்குத்தாக உள்ளன (z அச்சின் திசை, இது சுழற்சி அளவீட்டு அச்சு). சுழல் இயக்கிகள் வழக்கமான கோண உந்த பரிமாற்ற உறவுகளை திருப்திப்படுத்துகின்றன உண்மையில், டயாடிக் தயாரிப்பு பண்பைப் பயன்படுத்துகின்றன, ஏனெனில் ez அலகு நீளம் கொண்டது. இந்த முறையில், ஆய்வு செய்வதன் மூலம் அது பின்வருமாறு ஃபோட்டான் சுழற்சியை முத்திரை குத்துகிறது, ஏனெனில் திசையன் ஆற்றல் A ஒரு குறுக்கு புலம் என்பதால், ஃபோட்டானுக்கு முன்னோக்கி (μ = 0) சுழற்சி கூறு இல்லை. தன்னிச்சையான சுழல் புலங்களின் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட துருவமுனைப்பு திசையன் கியூஇடி வெற்றிடத்தையும் பார்க்கவும். குறிப்புகள் கேஜ் கோட்பாடுகள் கணித அளவீட்டு