De Bruijn–Erdős theorem (incidence geometry)
நிகழ்வு வடிவவியலில், டி ப்ரூய்ன்-எர்டாஸ் தேற்றம், முதலில் வெளியிடப்பட்டது, ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் தளத்தில் n புள்ளிகளால் தீர்மானிக்கப்படும் கோடுகளின் எண்ணிக்கையில் குறைந்த வரம்பைக் கூறுகிறது. இரட்டைத்தன்மையால், இது கோடுகளின் கட்டமைப்பால் தீர்மானிக்கப்படும் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையிலும் ஒரு வரியாகும். டி ப்ரூய்ன் மற்றும் எர்டாஸ் ஆகியோரால் வழங்கப்பட்ட ஆதாரம் ஒருங்கிணைந்ததாக இருந்தாலும், டி ப்ரூய்ன் மற்றும் எர்டாஸ் ஆகியோர் தங்கள் ஆய்வறிக்கையில் ஒத்த (யூக்ளிடியன்) முடிவு சில்வெஸ்டர்-கல்லாய் தேற்றத்தின் விளைவாகும், புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையின் தூண்டல் மூலம். தேற்றத்தின் கூற்று P என்பது ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் பிளேனில் உள்ள n புள்ளிகளின் உள்ளமைவாக இருக்கட்டும், அனைத்தும் ஒரு கோட்டில் இல்லை. t என்பது P ஆல் தீர்மானிக்கப்படும் கோடுகளின் எண்ணிக்கையாக இருக்கட்டும். பின்னர், t ±n, மற்றும் t = n என்றால், எந்த இரண்டு கோடுகளும் P இன் பொதுவான ஒரு புள்ளியைக் கொண்டுள்ளன. இந்த விஷயத்தில், பி என்பது ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் பிளேன் அல்லது பி என்பது அருகிலுள்ள பென்சில் ஆகும், அதாவது சரியாக n-1 புள்ளிகள் கொலினியர் ஆகும். யூக்ளிடிய ஆதாரம் இந்த தேற்றம் மூன்று இணைக்கோள் அல்லாத புள்ளிகளுக்கு தெளிவாக உண்மை. தூண்டல் மூலம் நாம் தொடர்கிறோம். n> 3 என்று வைத்துக்கொள்வோம் மற்றும் தேற்றம் n − 1 க்கு உண்மை. P என்பது n புள்ளிகளின் தொகுப்பாக இருக்கட்டும், அவை அனைத்தும் கொலினியர் அல்ல. சில்வெஸ்டர்-கல்லாய் தேற்றம் P இன் சரியாக இரண்டு புள்ளிகளைக் கொண்ட ஒரு கோடு இருப்பதாகக் கூறுகிறது. அத்தகைய இரண்டு புள்ளி கோடுகள் சாதாரண கோடுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. a மற்றும் b ஒரு சாதாரண கோட்டில் P இன் இரண்டு புள்ளிகளாக இருக்கட்டும். புள்ளியை அகற்றுவது ஒரு கொலினியர் புள்ளிகளின் தொகுப்பை உருவாக்கினால், பி n கோடுகளின் அருகிலுள்ள பென்சிலை உருவாக்குகிறது (n-1 சாதாரண கோடுகள் ஒரு கூட்டல் மூலம் மற்ற n-1 புள்ளிகளைக் கொண்ட ஒரு கோடு). இல்லையெனில், a ஐ அகற்றுவது n−1 புள்ளிகளின் P 'என்ற தொகுப்பை உருவாக்குகிறது, அவை அனைத்தும் கொலினியர் அல்ல. தூண்டல் கருதுகோள் படி, P 'குறைந்தபட்சம் n−1 கோடுகளை தீர்மானிக்கிறது. a மற்றும் b ஆல் தீர்மானிக்கப்படும் சாதாரண கோடு இவற்றில் இல்லை, எனவே P குறைந்தபட்சம் n கோடுகளை தீர்மானிக்கிறது. ஜே. எச். கான்வேயின் சான்று ஜான் ஹார்டன் கான்வே முற்றிலும் ஒருங்கிணைந்த ஆதாரத்தைக் கொண்டுள்ளது, இதன் விளைவாக சிக்கலான எண்கள், குவாட்டர்னியன்கள் மற்றும் ஆக்டோனியன்கள் மீதான புள்ளிகள் மற்றும் கோடுகளுக்கும் இது பொருந்தும். குறிப்பு ஆதாரங்கள். திட்ட வடிவவியலில் கோட்பாடுகள் யூக்ளிடியன் தள வடிவியல் தனித்துவமான வடிவவியலில் கோட்பாடுகள் நிகழ்வு வடிவியல் பால் எர்டாஸ்