Unit hyperbola
வடிவவியலில், அலகு ஹைப்பர்போலா என்பது கார்ட்டீசியன் தளத்தில் உள்ள புள்ளிகளின் தொகுப்பாகும் (x, y) இது மறைமுகமான சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்துகிறது. காலவரையற்ற ஆர்த்தோகனல் குழுக்களின் ஆய்வில், அலகு ஹைப்பர்போலா ஒரு மாற்று ரேடியல் நீளத்திற்கான அடிப்படையை உருவாக்குகிறது. அதேசமயம் அலகு வட்டம் அதன் மையத்தைச் சுற்றி இருக்கும்போது, அலகு ஹைப்பர்போலா விமானத்தில் அதை பூர்த்தி செய்ய கான்ஜுகேட் ஹைப்பர்போலா தேவைப்படுகிறது. இந்த ஜோடி ஹைபர்போலாஸ் y = x மற்றும் y = − x என்ற அறிகுறிகளைப் பகிர்ந்து கொள்கின்றன. அலகு ஹைப்பர்போலாவின் இணைவு பயன்பாட்டில் இருக்கும்போது, மாற்று ரேடியல் நீளம் அலகு ஹைப்பர்போலா என்பது செவ்வக ஹைப்பர்போலாவின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு, ஒரு குறிப்பிட்ட நோக்குநிலை, இருப்பிடம் மற்றும் அளவுகோலுடன். எனவே, அதன் விசித்திரத்தன்மை சமம் அலகு ஹைப்பர்போலா பகுப்பாய்வு வடிவவியலின் நோக்கங்களுக்காக வட்டத்தை ஹைப்பர்போலாவுடன் மாற்ற வேண்டிய பயன்பாடுகளைக் கண்டறிகிறது. ஒரு முக்கிய உதாரணம் விண்வெளி நேரத்தை ஒரு போலி-யூக்ளிடியன் இடமாக சித்தரிப்பதாகும். அங்கு அலகு ஹைபர்போலாவின் அறிகுறிகள் ஒரு ஒளி கூம்பை உருவாக்குகின்றன. மேலும், கிரேகோயர் டி செயிண்ட்-வின்சென்ட் ஹைபர்போலிக் துறைகளின் பகுதிகளுக்கு கவனம் செலுத்தியது மடக்கை செயல்பாடு மற்றும் துறை பகுதிகளால் ஹைபர்போலாவின் நவீன அளவுருவிற்கு வழிவகுத்தது. இணைந்த ஹைபர்போலாஸ் மற்றும் ஹைபர்போலிக் கோணங்களின் கருத்துக்களைப் புரிந்துகொள்ளும்போது, அலகு வட்டத்தைச் சுற்றி கட்டப்பட்ட கிளாசிக்கல் காம்ப்ளக்ஸ் எண்களை அலகு ஹைபர்போலாவைச் சுற்றி கட்டப்பட்ட எண்களால் மாற்றலாம். அறிகுறியற்ற கோடுகள் பொதுவாக ஒரு வளைவுக்கு அறிகுறியற்ற கோடுகள் வளைவை நோக்கி ஒன்றிணைகின்றன என்று கூறப்படுகிறது. இயற்கணித வடிவியல் மற்றும் இயற்கணித வளைவுகளின் கோட்பாட்டில் அறிகுறியற்றவற்றுக்கு வேறுபட்ட அணுகுமுறை உள்ளது. வளைவு முதலில் ஒரே மாதிரியான ஆயத்தொகுதிகளைப் பயன்படுத்தி ப்ரொஜெக்டிவ் பிளேனில் விளக்கப்படுகிறது. பின்னர் அறிகுறியற்ற கோடுகள் என்பது முடிவிலியில் ஒரு புள்ளியில் ப்ரொஜெக்டிவ் வளைவுக்கு தொடுகோடாக இருக்கும் கோடுகள், இதனால் தூரக் கருத்து மற்றும் ஒருங்கிணைப்புக்கான எந்தவொரு தேவையையும் தவிர்க்கிறது. ஒரு பொதுவான கட்டமைப்பில் (x, y, z) என்பது z = 0 சமன்பாட்டால் தீர்மானிக்கப்படும் முடிவிலியில் உள்ள கோடு கொண்ட ஒரே மாதிரியான ஆயத்தொலைவுகள் ஆகும். உதாரணமாக, சி. ஜி. கிப்சன் எழுதினார்ஃ R2 இல் உள்ள நிலையான செவ்வக ஹைபர்போலாவுக்கு, தொடர்புடைய ப்ரொஜெக்டிவ் வளைவு என்பது P = (1:1:0) மற்றும் Q = (1: −1:0) புள்ளிகளில் z = 0 ஐ சந்திக்கிறது. பி மற்றும் க்யூ இரண்டும் எஃப் இல் எளிமையானவை, தொடுகோடுகளுடன் x + y = 0, x − y = 0; இதனால் அடிப்படை வடிவவியலின் பழக்கமான 'அறிகுறிகளை' மீட்டெடுக்கிறோம். மின்காவ்ஸ்கி வரைபடம் மின்காவ்ஸ்கி வரைபடம் ஒரு விண்வெளி நேர தளத்தில் வரையப்பட்டுள்ளது, அங்கு இடஞ்சார்ந்த அம்சம் ஒரு பரிமாணத்திற்கு மட்டுப்படுத்தப்பட்டுள்ளது. அத்தகைய தளத்தில் உள்ள தூரம் மற்றும் நேரத்தின் அலகுகள் 30 சென்டிமீட்டர் நீளம் மற்றும் நானோ விநாடிகள் அல்லது வானியல் அலகுகள் மற்றும் 8 நிமிடங்கள் மற்றும் 20 விநாடிகள் அல்லது ஒளி ஆண்டுகள் மற்றும் ஆண்டுகளின் இடைவெளிகள் ஆகும். இந்த ஒருங்கிணைப்புகளின் அளவுகோல்கள் ஒவ்வொன்றும் சாய்வு பிளஸ் அல்லது மைனஸ் ஒன்றின் மூலைவிட்ட கோடுகளில் நிகழ்வுகளின் ஃபோட்டான் இணைப்புகளில் விளைகின்றன. சார்பியல் மாற்றங்களை விவரிக்கப் பயன்படுத்தப்படும் ஹெர்மன் மின்காவ்ஸ்கியின் வரைபடத்தில் ஐந்து கூறுகள் உள்ளனஃ அலகு ஹைப்பர்போலா, அதன் இணைந்த ஹைப்பர்போலா, ஹைப்பர்போலாவின் அச்சுகள், அலகு ஹைப்பர்போலாவின் விட்டம் மற்றும் இணைந்த விட்டம். அச்சுகளைக் கொண்ட தளம் என்பது ஓய்வெடுக்கும் குறிப்புச் சட்டகத்தைக் குறிக்கிறது. அலகு ஹைபர்போலாவின் விட்டம் a வேகத்துடன் இயக்கத்தில் உள்ள குறிப்புச் சட்டகத்தைக் குறிக்கிறது, அங்கு தான் a = y/x மற்றும் (x, y) அலகு ஹைபர்போலாவில் உள்ள விட்டத்தின் இறுதிப் புள்ளியாகும். இணை விட்டம் என்பது a என்ற வேகத்துடன் தொடர்புடைய ஒரே நேரத்தில் உள்ள இடஞ்சார்ந்த ஹைப்பர்பிளேனைக் குறிக்கிறது. இந்த சூழலில் அலகு ஹைப்பர்போலா என்பது ஒரு அளவுத்திருத்த ஹைப்பர்போலா ஆகும், பொதுவாக சார்பியல் ஆய்வில் செங்குத்து அச்சுடன் கூடிய ஹைப்பர்போலா முதன்மையானதாக எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறதுஃ நேரத்தின் அம்பு உருவத்தின் அடிப்பகுதியில் இருந்து மேலே செல்கிறது-இது ரிச்சர்ட் ஃபேய்ன்மேன் தனது புகழ்பெற்ற வரைபடங்களில் ஏற்றுக்கொண்ட ஒரு மரபு. விண்வெளி நேர அச்சுக்கு செங்குத்தாக உள்ள விமானங்களால் குறிக்கப்படுகிறது. இங்கே மற்றும் இப்போது நடுவில் ஒரு ஒற்றுமை. செங்குத்து நேர அச்சு மரபு 1908 இல் மின்காவ்ஸ்கியிலிருந்து உருவாகிறது, மேலும் எடிங்டனின் தி நேச்சர் ஆஃப் தி பிசிக்கல் வேர்ல்ட் (1928) இன் பக்கம் 48 இல் விளக்கப்பட்டுள்ளது. அளவுரு அளவீடு அலகு ஹைப்பர்போலாவை அளவீடு செய்வதற்கான ஒரு நேரடி வழி அதிவேக செயல்பாட்டுடன் அளவீடு செய்யப்பட்ட ஹைப்பர்போலா xy = 1 உடன் தொடங்குகிறதுஃ இந்த ஹைப்பர்போலா மேட்ரிக்ஸ் கொண்ட ஒரு நேரியல் மேப்பிங் மூலம் அலகு ஹைப்பர்போலாவாக மாற்றப்படுகிறது இந்த அளவுரு t என்பது ஹைபர்போலிக் கோணமாகும், இது ஹைபர்போலிக் செயல்பாடுகளின் வாதமாகும். டபிள்யூ. கே. கிளிஃபோர்ட் எழுதிய எலிமென்ட்ஸ் ஆஃப் டைனமிக் (1878) இல் அளவுரு அலகு ஹைபர்போலாவின் ஆரம்ப வெளிப்பாட்டை ஒருவர் காண்கிறார். அவர் ஒரு ஹைப்பர்போலாவில் அரை-ஹார்மோனிக் இயக்கத்தை பின்வருமாறு விவரிக்கிறார்ஃ இந்த இயக்கம் நீள்வட்ட ஹார்மோனிக் இயக்கத்திற்கு சில வினோதமான ஒப்புமைகளைக் கொண்டுள்ளது. . எனவே முடுக்கம் எப்போதும் நீள்வட்ட ஹார்மோனிக் இயக்கத்தைப் போலவே மையத்திலிருந்து வரும் தூரத்திற்கு விகிதாசாரமாக இருக்கும், ஆனால் மையத்திலிருந்து விலகிச் செல்லும். ஒரு குறிப்பிட்ட கூம்பு மண்டலமாக, ஒரு கூம்பு மண்டலத்தில் புள்ளிகளைச் சேர்க்கும் செயல்முறையின் மூலம் ஹைபர்போலாவை அளவிட முடியும். ரஷ்ய ஆய்வாளர்களால் பின்வரும் விளக்கம் கொடுக்கப்பட்டதுஃ கூம்பு மீது ஒரு புள்ளி E ஐ சரிசெய்யவும். AB க்கு இணையாக E வழியாக வரையப்பட்ட நேர் கோடு கூம்பு மண்டலத்தை இரண்டாவது முறையாக குறுக்கிடும் புள்ளிகளை A மற்றும் B புள்ளிகளின் கூட்டுத்தொகையாக கருதுங்கள். நிலையான புள்ளி E = (1,0) கொண்ட ஹைப்பர்போலாவைப் பொறுத்தவரை புள்ளிகளின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் அளவுருவின் கீழ் உள்ள புள்ளி மற்றும் இந்த கூட்டல் அளவுரு t இன் கூட்டலுடன் ஒத்திருக்கிறது. சிக்கலான தள இயற்கணிதம் அலகு வட்டம் சிக்கலான எண்களுடன் தொடர்புடையது என்றாலும், அலகு ஹைப்பர்போலா என்பது z = x + yj ஐக் கொண்ட பிளவு-சிக்கலான எண் தளத்திற்கு முக்கியமாகும், அங்கு j2 = + 1. பின்னர் jz = y + xj, எனவே விமானத்தில் j இன் செயல் ஆயங்களை மாற்றுவதாகும். குறிப்பாக, இந்த செயல் அலகு ஹைபர்போலாவை அதன் கான்ஜுகேட்டுடன் மாற்றுகிறது மற்றும் ஹைபர்போலாஸின் கான்ஜுகேட் விட்டம் கொண்ட ஜோடிகளை மாற்றுகிறது. ஹைபர்போலிக் கோண அளவுரு a ஐப் பொறுத்தவரை, அலகு ஹைபர்போலாவில் புள்ளிகள் உள்ளன, அங்கு j = (0,1). அலகு ஹைபர்போலாவின் வலது கிளை நேர்மறை குணகத்துடன் ஒத்திருக்கிறது. உண்மையில், இந்த கிளை ஜே-அச்சில் செயல்படும் அதிவேக வரைபடத்தின் படம். எனவே இந்த கிளை வளைவு a இல் உள்ள வளைவின் சாய்வு வழித்தோன்றலால் வழங்கப்படுகிறது எந்த a க்கும்,) ஹைபர்போலிக்-ஆர்த்தோகனல் ஆகும். இந்த உறவு, i2 = −1 ஆக இருக்கும் போது, exp (ai) மற்றும் i exp (ai) ஆகியவற்றின் செங்குத்துக்கு ஒத்ததாகும். ஏனெனில், கிளை என்பது பெருக்கத்தின் கீழ் உள்ள ஒரு குழு. வட்டக் குழுவைப் போலல்லாமல், இந்த அலகு ஹைப்பர்போலா குழு கச்சிதமாக இல்லை. சாதாரண சிக்கலான தளத்தைப் போலவே, மூலைவிட்டங்களில் இல்லாத ஒரு புள்ளி அலகு ஹைபர்போலாவின் அளவுரு மற்றும் மாற்று ரேடியல் நீளத்தைப் பயன்படுத்தி துருவ சிதைவைக் கொண்டுள்ளது. குறிப்புகள் எஃப். ரீஸ் ஹார்வி (1990) சுழற்பந்து வீச்சு மற்றும் அளவுத்திருத்தங்கள், படம் 4.33, பக்கம் 70, அகாடமிக் பிரஸ்,. கூம்பு பிரிவுகள் 1 (எண்) பகுப்பாய்வு வடிவியல் நேரியல் இயற்கணித குழுக்கள்