Mapping cylinder
गणित में, विशेष रूप से बीजगणितीय टोपोलॉजी में, टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के बीच एक निरंतर कार्य का मानचित्रण सिलेंडर और वह भागफल है जहां असंबद्ध संघ को दर्शाता है, और ̃ द्वारा उत्पन्न समतुल्यता संबंध है। ध्यान दें कि सिलेंडर का "शीर्ष" समरूप है, जबकि "निचला" स्थान है। संकेतन या मानचित्रण सिलेंडर निर्माण के लिए लिखना और उपयोग करना आम बात है। अर्थात्, समकक्षता को दर्शाते हुए सदस्यता प्राप्त कप प्रतीक के साथ लिखा जाता है। मानचित्रण सिलेंडर का उपयोग आमतौर पर मानचित्रण शंकु के निर्माण के लिए किया जाता है, जिसे सिलेंडर के एक छोर को एक बिंदु पर गिराकर प्राप्त किया जाता है। कोफ़िब्रेशन की परिभाषा के लिए मानचित्रण सिलेंडर केंद्रीय हैं। बुनियादी गुण निचला Y एक विरूपण प्रतिक्षेप है। प्रक्षेपण विभाजित होता है (वाया), और विरूपण वापसी निम्न द्वारा दी जाती हैः (जहां सभी के लिए बिंदु स्थिर रहते हैं)। मानचित्र एक समस्थानिक समतुल्यता है यदि और केवल तभी जब "शीर्ष" एक मजबूत विरूपण है। मजबूत विरूपण वापसी के लिए एक स्पष्ट सूत्र पर काम किया जा सकता है। उदाहरण फाइबर बंडल का मानचित्रण सिलेंडर फाइबर के साथ फाइबर बंडल के लिए, मानचित्रण सिलेंडर का समतुल्यता संबंध है। फिर, एक प्रामाणिक नक्शा है जो एक बिंदु को बिंदु पर भेजता है, एक फाइबर बंडल देता है जिसका फाइबर शंकु है। इसे देखने के लिए, ध्यान दें कि एक बिंदु पर फाइबर भागफल स्थान है जहां प्रत्येक बिंदु समतुल्य है। व्याख्या मानचित्रण सिलेंडर को एक मनमाने मानचित्र को एक समतुल्य कोफ़िब्रेशन द्वारा प्रतिस्थापित करने के तरीके के रूप में देखा जा सकता है, निम्नलिखित अर्थों मेंः एक मानचित्र को देखते हुए, मानचित्रण सिलेंडर एक स्थान है, जिसमें एक कोफ़िब्रेशन और एक सर्जेक्टिव होमोटॉपी समतुल्यता (वास्तव में, Y एक विरूपण रिट्रेक्ट है) है, जैसे कि संरचना f के बराबर होती है। इस प्रकार स्थान Y को होमोटॉपी समतुल्य स्थान से प्रतिस्थापित किया जाता है, और मानचित्र f को एक उठाए गए मानचित्र के साथ। समान रूप से, आरेख को उनके बीच एक समस्थानिक समतुल्यता के साथ एक आरेख के साथ बदल दिया जाता है। निर्माण एक समस्थानिक समतुल्य कोफ़िब्रेशन द्वारा स्थलाकृतिक स्थानों के किसी भी मानचित्र को बदलने का काम करता है। ध्यान दें कि बिंदुवार, एक कोफ़िब्रेशन एक बंद समावेशन है। अनुप्रयोग मानचित्रण सिलेंडर काफी सामान्य समस्थानिक उपकरण हैं। मानचित्रण सिलेंडरों का एक उपयोग सामान्य मानचित्रों में रिक्त स्थान के समावेश से संबंधित प्रमेयों को लागू करना है, जो इंजेक्शन नहीं हो सकते हैं। नतीजतन, प्रमेय या तकनीकें (जैसे कि समरूपता, समरूपता या समरूपता सिद्धांत) जो केवल रिक्त स्थान और मानचित्रों के समरूपता वर्ग पर निर्भर हैं, इस धारणा के साथ लागू की जा सकती हैं कि और वह वास्तव में एक उपस्थान का समावेश है। निर्माण की एक और, अधिक सहज ज्ञान युक्त अपील यह है कि यह किसी कार्य की सामान्य मानसिक छवि के साथ इस तथ्य के बावजूद कि कार्य एक-से-एक होने की आवश्यकता नहीं है, बिंदुओं को "भेजने" के रूप में और इसलिए अंतःस्थापित करने के रूप में मेल खाता है। स्पष्ट अनुप्रयोग और व्याख्या होमोटॉपी कोलिमिट्स के निर्माण के लिए मैपिंग सिलेंडर का उपयोग किया जा सकता हैः यह सामान्य कथन से मिलता है कि सभी पुशआउट और कोएक्वेलाइज़र वाली किसी भी श्रेणी में सभी कोलिमिट्स होते हैं। अर्थात्, एक आरेख दिए जाने पर, मानचित्रों को कोफ़िब्रेशन द्वारा प्रतिस्थापित करें (मानचित्रण सिलेंडर का उपयोग करके) और फिर सामान्य बिंदुवार सीमा लें (किसी को थोड़ा और ध्यान रखना चाहिए, लेकिन मानचित्रण सिलेंडर एक घटक हैं)। इसके विपरीत, मानचित्रण सिलेंडर आरेख का होमोटॉपी पुशआउट है जहाँ और। मानचित्रण दूरबीन मानचित्रों के एक अनुक्रम को देखते हुए मानचित्रण दूरबीन समस्थानिक प्रत्यक्ष सीमा है। यदि नक्शे सभी पहले से ही कोफ़िब्रेशन हैं (जैसे कि ऑर्थोगोनल समूहों के लिए), तो सीधी सीमा संघ है, लेकिन सामान्य रूप से मानचित्रण दूरबीन का उपयोग करना चाहिए। मानचित्रण दूरबीन मानचित्रण सिलेंडरों का एक क्रम है, जो अंत से अंत तक जुड़ा हुआ है। निर्माण की तस्वीर दूरबीन की तरह तेजी से बड़े सिलेंडरों के ढेर की तरह दिखती है। औपचारिक रूप से, इसे कोफ़िब्रेशन मैपिंग सिलेंडर (होमोलॉजिकल अलजेब्रा) होमोटोपी कोलिमिट मैपिंग पाथ स्पेस के रूप में भी परिभाषित किया जाता है, जिसे मैपिंग कोसाइलिंडर संदर्भ बीजगणितीय टोपोलॉजी के रूप में देखा जा सकता है।