Euler's three-body problem
भौतिकी और खगोल विज्ञान में, यूलर की तीन-पिंड समस्या एक कण की गति के लिए हल करना है जो अंतरिक्ष में स्थिर दो अन्य बिंदु द्रव्यमानों के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र द्वारा कार्य करता है। यह समस्या बिल्कुल हल करने योग्य है, और प्रोलेट और ओब्लेट स्फेरॉइड के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्रों में चलने वाले कणों के लिए एक अनुमानित समाधान प्रदान करती है। इस समस्या का नाम लियोनहार्ड यूलर के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने 1760 में प्रकाशित संस्मरणों में इसकी चर्चा की थी। महत्वपूर्ण विस्तार और विश्लेषणों में बाद में लैग्रेंज, लिउविल, लाप्लास, जैकोबी, डार्बौक्स, ले वेरियर, वेल्डे, हैमिल्टन, पोइनकेयर, बिरखॉफ और ई. टी. व्हिटेकर सहित अन्य लोगों ने योगदान दिया। यूलर की समस्या उस मामले को भी शामिल करती है जब कण पर अन्य व्युत्क्रम-वर्ग केंद्रीय बलों द्वारा कार्य किया जाता है, जैसे कि कूलम्ब के नियम द्वारा वर्णित स्थिरविद्युत अंतःक्रिया। यूलर समस्या के शास्त्रीय समाधानों का उपयोग रासायनिक बंधन का अध्ययन करने के लिए किया गया है, जिसमें दो परमाणु नाभिकों के क्षेत्र में चलने वाले एकल इलेक्ट्रॉन के ऊर्जा स्तरों के अर्धशास्त्रीय सन्निकटन का उपयोग किया गया है, जैसे कि डायटोमिक आयन HH2 +। यह पहली बार वोल्फगैंग पाउली द्वारा आणविक हाइड्रोजन के पहले आयन, अर्थात् हाइड्रोजन अणु-आयन H2 + का अध्ययन, अर्नोल्ड सॉमरफेल्ड के तहत अपने डॉक्टरेट शोध प्रबंध में किया गया था। इन ऊर्जा स्तरों की गणना आइंस्टीन-ब्रिलौइन-केलर विधि का उपयोग करके उचित सटीकता के साथ की जा सकती है, जो परमाणु हाइड्रोजन के बोहर मॉडल का आधार भी है। हाल ही में, जैसा कि क्वांटम-मैकेनिकल संस्करण में आगे बताया गया है, आइगेनवैल्यू (ऊर्जा) के लिए विश्लेषणात्मक समाधान प्राप्त किए गए हैंः ये लैम्बर्ट डब्ल्यू फ़ंक्शन का सामान्यीकरण हैं। सटीक समाधान, पूर्ण त्रि-आयामी मामले में, वेयरस्ट्रास के दीर्घवृत्ताकार कार्यों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है सुविधा के लिए, समस्या को संख्यात्मक तरीकों से भी हल किया जा सकता है, जैसे कि गति के समीकरणों का रुंग-कुट्टा एकीकरण। गतिशील कण की कुल ऊर्जा संरक्षित है, लेकिन इसकी रैखिक और कोणीय गति नहीं है, क्योंकि दो निश्चित केंद्र एक शुद्ध बल और टोक़ लागू कर सकते हैं। फिर भी, कण की एक दूसरी संरक्षित मात्रा होती है जो सीमित मामलों के रूप में कोणीय संवेग या लाप्लास-रुंग-लेंज़ वेक्टर से मेल खाती है। यूलर थ्री-बॉडी समस्या को विभिन्न नामों से जाना जाता है, जैसे कि दो निश्चित केंद्रों की समस्या, यूलर-जैकोबी समस्या और दो-केंद्र केपलर समस्या। यूलर की समस्या के विभिन्न सामान्यीकरण ज्ञात हैं; ये सामान्यीकरण रैखिक और व्युत्क्रम घन बलों और बल के पांच केंद्रों को जोड़ते हैं। इन सामान्यीकृत समस्याओं के विशेष मामलों में डार्बॉक्स की समस्या और वेल्डे की समस्या शामिल हैं। अवलोकन और इतिहास यूलर की तीन-पिंड समस्या दो केंद्रों के प्रभाव में एक कण की गति का वर्णन करना है जो केंद्रीय बलों के साथ कण को आकर्षित करता है जो एक व्युत्क्रम-वर्ग नियम के रूप में दूरी के साथ कम होता है, जैसे कि न्यूटनियन गुरुत्वाकर्षण या कूलम्ब का नियम। यूलर की समस्या के उदाहरणों में दो नाभिकों के विद्युत क्षेत्र में चलने वाला एक इलेक्ट्रॉन शामिल है, जैसे कि हाइड्रोजन अणु-आयन। दो व्युत्क्रम-वर्ग बलों की ताकत समान होने की आवश्यकता नहीं है; उदाहरण के लिए, दोनों नाभिकों में अलग-अलग आवेश हो सकते हैं, जैसा कि आणविक आयन HH2 + में होता है। यूलर की तीन-शरीर समस्या में हम मानते हैं कि आकर्षण के दो केंद्र स्थिर हैं। यह इस तरह के मामले में सख्ती से सच नहीं है, लेकिन प्रोटॉन इलेक्ट्रॉन की तुलना में बहुत कम त्वरण का अनुभव करते हैं। हालाँकि, यूलर तीन-पिंड समस्या दो तारों के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में चलने वाले ग्रह पर लागू नहीं होती है, क्योंकि उस स्थिति में कम से कम एक तारा ग्रह द्वारा अनुभव किए गए त्वरण के समान त्वरण का अनुभव करता है। इस समस्या पर पहली बार लियोनहार्ड यूलर ने विचार किया, जिन्होंने दिखाया कि इसका एक सटीक समाधान 1760 में था। जोसेफ लुई लैग्रेंज ने एक सामान्यीकृत समस्या का समाधान किया जिसमें केंद्र रैखिक और व्युत्क्रम-वर्ग बल दोनों का प्रयोग करते हैं। 67-121; मैकेनिक एनालिटिक, पहला संस्करण, पीपी। 262-286; दूसरा संस्करण, 2, पीपी। 108-121; Oeuvres, 12, पीपी। कार्ल गुस्ताव जैकब जैकोबी ने दिखाया कि दो निश्चित केंद्रों की धुरी के बारे में कण के घूर्णन को अलग किया जा सकता है, जिससे सामान्य त्रि-आयामी समस्या को समतलीय समस्या में कम किया जा सकता है। 2008 में, बिरखौसर ने "इंटीग्रेबल सिस्टम्स इन सेलेस्टियल मैकेनिक्स" नामक एक पुस्तक प्रकाशित की। इस पुस्तक में एक आयरिश गणितशास्त्री, डायरम्यूइड ओ मथुना, समतलीय दो निश्चित केंद्रों की समस्या और त्रि-आयामी समस्या दोनों के लिए बंद रूप समाधान देते हैं। गति के स्थिरांक दो निश्चित केंद्रों की समस्या ऊर्जा को बचाती है; दूसरे शब्दों में, कुल ऊर्जा E गति का स्थिरांक है। संभावित ऊर्जा इस प्रकार दी जाती है जहाँ r कण की स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है, और r1 और r2 कण और बल के केंद्रों के बीच की दूरी हैं; μ1 और μ2 स्थिरांक हैं जो क्रमशः पहले और दूसरे बलों की ताकत को मापते हैं। कुल ऊर्जा कण की गतिज ऊर्जा के साथ इस स्थितिज ऊर्जा के योग के बराबर होती है जहाँ m और p क्रमशः कण के द्रव्यमान और रैखिक संवेग हैं। यूलर की समस्या में कण की रैखिक और कोणीय गति संरक्षित नहीं है, क्योंकि बल के दो केंद्र कण पर बाहरी बलों की तरह कार्य करते हैं, जो कण पर एक शुद्ध बल और टोक़ उत्पन्न कर सकते हैं। फिर भी, यूलर की समस्या में गति का दूसरा स्थिरांक है जहाँ 2a बल के दो केंद्रों का पृथक्करण है, θ1 और θ2 कण को बल के केंद्रों से जोड़ने वाली रेखाओं के कोण हैं, जो केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा के संबंध में हैं। गति के इस दूसरे स्थिरांक की पहचान ई. टी. व्हिटेकर ने विश्लेषणात्मक यांत्रिकी पर अपने काम में की थी, और 1967 में कॉल्सन और जोसेफ द्वारा n आयामों के लिए सामान्यीकृत किया गया था। कॉल्सन-जोसेफ रूप में, गति का स्थिरांक लिखा जाता है यह गति का स्थिरांक उस सीमा में कुल कोणीय संवेग |L |2 से मेल खाता है जब बल के दो केंद्र एक बिंदु (a → 0) पर अभिसरण करते हैं, और सीमा में लाप्लास-रुंग-लेंज़ वेक्टर A के समानुपाती होता है जब केंद्रों में से एक अनंत तक जाता है (a → φ जबकि x−a सीमित रहता है)। क्वांटम मैकेनिकल संस्करण क्वांटम मैकेनिकल थ्री-बॉडी समस्या का एक विशेष मामला हाइड्रोजन अणु आयन है। तीन निकायों में से दो नाभिक हैं और तीसरा एक तेज गति से चलने वाला इलेक्ट्रॉन है। दोनों नाभिक इलेक्ट्रॉन की तुलना में 1800 गुना भारी हैं और इस प्रकार स्थिर केंद्रों के रूप में प्रतिरूपित किए गए हैं। यह सर्वविदित है कि श्रोडिंगर तरंग समीकरण प्रोलेट गोलाकार निर्देशांक में अलग किया जा सकता है और इसे ऊर्जा आइगेनवैल्यू और एक पृथक्करण स्थिरांक द्वारा युग्मित दो साधारण विभेदक समीकरणों में विच्छेदित किया जा सकता है। हालांकि, समाधानों के लिए आधार सेटों से श्रृंखला विस्तार की आवश्यकता होती है। फिर भी, प्रायोगिक गणित के माध्यम से, यह पाया गया कि ऊर्जा आइगेनवैल्यू गणितीय रूप से लैम्बर्ट डब्ल्यू फ़ंक्शन का सामान्यीकरण था (अधिक विवरण के लिए लैम्बर्ट डब्ल्यू फ़ंक्शन और उसमें संदर्भ देखें)। क्लैम्प्ड नाभिक के मामले में हाइड्रोजन आणविक आयन को कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली के भीतर पूरी तरह से तैयार किया जा सकता है। यह तथ्य कि इसका समाधान एक अंतर्निहित कार्य है, अपने आप में प्रकट कर रहा है। सैद्धांतिक भौतिकी की सफलताओं में से एक केवल यह नहीं है कि यह एक गणितीय उपचार के लिए उपयुक्त है, बल्कि यह है कि इसमें शामिल बीजगणितीय समीकरणों को प्रतीकात्मक रूप से तब तक हेरफेर किया जा सकता है जब तक कि एक विश्लेषणात्मक समाधान, अधिमानतः एक बंद रूप समाधान, अलग नहीं हो जाता है। थ्री-बॉडी समस्या के एक विशेष मामले के लिए इस प्रकार का समाधान हमें बताता है कि क्वांटम थ्री-बॉडी और मल्टी-बॉडी समस्या के लिए एक विश्लेषणात्मक समाधान के रूप में क्या संभव है। 1911 में एडम हिल्टेबीटेल द्वारा यूलर की तीन-शरीर समस्या के घुलनशील सामान्यीकरण का एक विस्तृत विश्लेषण किया गया था। यूलर की तीन-पिंड समस्या का सबसे सरल सामान्यीकरण मूल दो केंद्रों के बीच बल का एक तीसरा केंद्र जोड़ना है, जो केवल एक रैखिक हुक बल (हुक के नियम को प्रदान करता है) का प्रयोग करता है। अगला सामान्यीकरण व्युत्क्रम-वर्ग बल नियमों को एक ऐसे बल के साथ बढ़ाना है जो दूरी के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है। सामान्यीकरण का अंतिम समूह उन स्थितियों पर बल के दो निश्चित केंद्रों को जोड़ना है जो काल्पनिक संख्याएँ हैं, उन बलों के साथ जो रैखिक और व्युत्क्रम-वर्ग दोनों नियम हैं, काल्पनिक केंद्रों के अक्ष के समानांतर एक बल के साथ और उस अक्ष की दूरी के व्युत्क्रम घन के रूप में भिन्न होते हैं। मूल यूलर समस्या का समाधान एक प्रोलेट बॉडी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में एक कण की गति के लिए एक अनुमानित समाधान है, यानी एक गोला जिसे एक दिशा में बढ़ाया गया है, जैसे कि एक सिगार आकार। एक ओब्लेट स्फेरॉइड (एक दिशा में स्क्वैश किया गया एक गोला) के क्षेत्र में चलने वाले कण के लिए संबंधित अनुमानित समाधान बल के दो केंद्रों की स्थिति को काल्पनिक संख्याओं में बनाकर प्राप्त किया जाता है। ओब्लेट स्फेरॉइड समाधान खगोलीय रूप से अधिक महत्वपूर्ण है, क्योंकि अधिकांश ग्रह, तारे और आकाशगंगाएँ लगभग ओब्लेट स्फेरॉइड हैं; प्रोलेट स्फेरॉइड बहुत दुर्लभ हैं। सामान्य सापेक्षता में ओब्लेट मामले का एनालॉग एक केर ब्लैक होल है। गति के चौथे स्थिरांक (ऊर्जा, कोणीय संवेग और चार-गति के परिमाण के अलावा) के अस्तित्व के कारण इस वस्तु के आसपास के भूगणितीय को समाकलन योग्य माना जाता है, जिसे कार्टर स्थिरांक के रूप में जाना जाता है। यूलर की ओब्लेट तीन शरीर समस्या और एक केर ब्लैक होल समान द्रव्यमान क्षणों को साझा करते हैं, और यह सबसे अधिक स्पष्ट है यदि बाद वाले के लिए मीट्रिक केर-चाइल्ड निर्देशांक में लिखा गया है। एक रैखिक हुक शब्द के साथ संवर्धित ओब्लेट मामले का एनालॉग एक केर-डी सिटर ब्लैक होल है। जैसा कि हुक के नियम में, ब्रह्मांड संबंधी स्थिरांक शब्द मूल से दूरी पर रैखिक रूप से निर्भर करता है, और केर-डी सिटर स्पेसटाइम भी मोमेंटा में एक कार्टर-प्रकार के स्थिरांक द्विघात को स्वीकार करता है। गणितीय समाधान मूल यूलर समस्या मूल यूलर समस्या में, कण पर कार्य करने वाले बल के दो केंद्रों को अंतरिक्ष में स्थिर माना जाता है; इन केंद्रों को x-अक्ष के साथ ±a पर स्थित होने दें। इसी तरह कण को एक निश्चित तल तक सीमित माना जाता है जिसमें बल के दो केंद्र होते हैं। इन केंद्रों के क्षेत्र में कण की स्थितिज ऊर्जा इस प्रकार दी जाती है जहाँ आनुपातिकता स्थिरांक μ1 और μ2 धनात्मक या ऋणात्मक हो सकते हैं। आकर्षण के दो केंद्रों को दीर्घवृत्त के एक समूह के केंद्र के रूप में माना जा सकता है। यदि कोई भी केंद्र अनुपस्थित था, तो केप्लर समस्या के समाधान के रूप में कण इनमें से किसी एक दीर्घवृत्त पर आगे बढ़ेगा। इसलिए, बोनेट के प्रमेय के अनुसार, वही दीर्घवृत्त यूलर समस्या का समाधान हैं। दीर्घवृत्तीय निर्देशांकों का परिचय देते हुए, स्थितिज ऊर्जा को और गतिज ऊर्जा को के रूप में लिखा जा सकता है यह एक लिउविल गतिशील प्रणाली है यदि ω और ω को क्रमशः φ1 और φ2 के रूप में लिया जाता है; इस प्रकार, फलन Y बराबर होता है और फलन W बराबर होता है। यह भी देखें कि कार्टर स्थिर हाइड्रोजन आणविक आयन जैकोबी अभिन्न लैग्रैन्जियन बिंदु लिउविल गतिशील प्रणाली तीन-शरीर समस्या संदर्भ आगे पढ़ने के लिए बाहरी लिंक यूलर आर्काइव ऑर्बिट्स