Univalent function
गणित में, जटिल विश्लेषण की शाखा में, जटिल तल के एक खुले सबसेट पर एक होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन को अविभाज्य कहा जाता है यदि यह इंजेक्टिव है। उदाहरण कार्य ओपन यूनिट डिस्क में अविभाज्य है, जैसा कि इंगित करता है। चूंकि ओपन यूनिट डिस्क में दूसरा कारक गैर-शून्य है, इसलिए इसे इंजेक्टिव होना चाहिए। बुनियादी गुण यह साबित किया जा सकता है कि यदि और जटिल तल में दो खुले जुड़े हुए समुच्चय हैं, और एक अविभाज्य फलन है जैसे कि (यानी, सर्जेक्टिव है), तो इसका व्युत्पन्न कभी भी शून्य नहीं होता है, व्युत्क्रम योग्य होता है, और इसका व्युत्क्रम भी होलोमोर्फिक होता है। इसके अलावा, वास्तविक कार्यों के साथ तुलना में सभी के लिए एक श्रृंखला नियम है वास्तविक विश्लेषणात्मक कार्यों के लिए, जटिल विश्लेषणात्मक (यानी, होलोमोर्फिक) कार्यों के विपरीत, ये कथन धारण करने में विफल रहते हैं। उदाहरण के लिए, f (x) = x3 द्वारा दिए गए फलन पर विचार करें। यह फलन स्पष्ट रूप से इंजेक्टिव है, लेकिन इसका व्युत्पन्न x = 0 पर 0 है, और इसका व्युत्क्रम पूरे अंतराल (−1,1) पर विश्लेषणात्मक, या यहां तक कि अवकलनीय भी नहीं है। नतीजतन, यदि हम डोमेन को जटिल तल के एक खुले सबसेट G तक बढ़ाते हैं, तो यह इंजेक्टिव होने में विफल होना चाहिए; और यह मामला है, क्योंकि (उदाहरण के लिए) f (εω) = f (ε) (जहां ω एकता का एक आदिम घन मूल है और ε 0 के पड़ोस के रूप में G की त्रिज्या से छोटी एक सकारात्मक वास्तविक संख्या है)। बिहोलोमोर्फिक मानचित्रण डी ब्रांजेस की प्रमेय कोएबे चतुर्थांश प्रमेय रीमान मानचित्रण प्रमेय श्लिच्ट फलन भी देखें।