Countable chain condition
क्रम सिद्धांत में, एक आंशिक रूप से क्रमबद्ध समुच्चय X को गणना योग्य श्रृंखला स्थिति को संतुष्ट करने के लिए कहा जाता है, या सी. सी. सी. कहा जाता है, यदि X में प्रत्येक मजबूत एंटीचेन गणना योग्य है। अवलोकन वास्तव में दो स्थितियाँ हैंः ऊपर की ओर और नीचे की ओर गणना योग्य श्रृंखला स्थितियाँ। ये समतुल्य नहीं हैं। गणना योग्य श्रृंखला स्थिति का अर्थ है नीचे की ओर गणना योग्य श्रृंखला स्थिति, दूसरे शब्दों में किसी भी दो तत्वों की एक सामान्य निचली सीमा नहीं होती है। पूर्ण बूलियन बीजगणित में स्थलवैज्ञानिक स्थानों और श्रृंखलाओं में खुले सेटों की कुछ श्रृंखलाओं से संबंधित ऐतिहासिक कारणों से इसे अधिक तार्किक शब्द "गणना योग्य एंटीचेन स्थिति" के बजाय "गणना योग्य श्रृंखला स्थिति" कहा जाता है, जहां श्रृंखला की स्थिति कभी-कभी एंटीचेन स्थितियों के बराबर होती है। उदाहरण के लिए, यदि κ एक कार्डिनल है, तो एक पूर्ण बूलियन बीजगणित में प्रत्येक एंटीचेन का आकार κ से कम होता है यदि और केवल तभी जब तत्वों का कोई अवरोही κ-अनुक्रम नहीं होता है, इसलिए श्रृंखला स्थितियां एंटीचेन स्थितियों के बराबर होती हैं। सी. सी. सी. को संतुष्ट करने वाले आंशिक क्रम और रिक्त स्थान का उपयोग मार्टिन के स्वयंसिद्ध कथन में किया जाता है। फोर्सिंग के सिद्धांत में, सी. सी. सी. आंशिक ऑर्डर का उपयोग किया जाता है क्योंकि इस तरह के ऑर्डर पर किसी भी सामान्य सेट के साथ फोर्सिंग कार्डिनल्स और को-फाइनल को संरक्षित करता है। इसके अलावा, सी. सी. सी. गुण को सीमित समर्थन पुनरावृत्तियों द्वारा संरक्षित किया जाता है (पुनरावृत्त बल देखें)। जबरदस्ती के संदर्भ में सी. सी. सी. पर अधिक जानकारी के लिए, देखें। अधिक आम तौर पर, यदि κ एक कार्डिनल है तो एक स्थिति को κ-श्रृंखला स्थिति को संतुष्ट करने के लिए कहा जाता है यदि प्रत्येक एंटीचेन का आकार κ से कम है। गणना योग्य श्रृंखला स्थिति ए1-श्रृंखला स्थिति है। टोपोलॉजी में उदाहरण और गुण एक टोपोलॉजिकल स्पेस को गणना योग्य श्रृंखला स्थिति, या सुसलिन की स्थिति को संतुष्ट करने के लिए कहा जाता है, यदि X के गैर-खाली खुले उपसमुच्चय का आंशिक रूप से क्रमबद्ध सेट गणना योग्य श्रृंखला स्थिति को संतुष्ट करता है, अर्थात। एक्स के गैर-खाली खुले उपसमुच्चय का प्रत्येक जोड़ीदार विच्छेद संग्रह गणना योग्य है। यह नाम सुसलिन की समस्या से उत्पन्न हुआ है। प्रत्येक अलग करने योग्य स्थलवैज्ञानिक स्थान सी. सी. सी. है। इसके अलावा, अधिकांश पृथक्कृत स्थानों का उत्पाद स्थान एक पृथक्कृत स्थान है और इस प्रकार, सी. सी. सी.। एक मीट्रिक स्थान सी. सी. सी. है यदि और केवल तभी जब यह अलग करने योग्य हो। सामान्य तौर पर, एक सी. सी. सी. स्थलवैज्ञानिक स्थान को अलग करने योग्य होने की आवश्यकता नहीं है। उदाहरण के लिए, उत्पाद टोपोलॉजी के साथ सी. सी. सी. है, हालांकि अलग करने योग्य नहीं है। पैराकॉम्पैक्ट सी. सी. सी. रिक्त स्थान लिंडेलॉफ हैं। अलग-अलग स्थानों के संदर्भ उत्पाद, के. ए. रॉस और ए. एच. स्टोन। अमेरिकी गणितीय मासिक 71 (4): पीपी। 398-403 (1964) ऑर्डर थ्योरी फोर्सिंग (गणित)