Geometric invariant theory
गणित में, ज्यामितीय अपरिवर्तनीय सिद्धांत (या जी. आई. टी.) बीजगणितीय ज्यामिति में समूह क्रियाओं द्वारा भागफल के निर्माण के लिए एक विधि है, जिसका उपयोग मॉड्यूली रिक्त स्थान बनाने के लिए किया जाता है। इसे 1965 में डेविड ममफोर्ड द्वारा शास्त्रीय अपरिवर्तनीय सिद्धांत में पेपर के विचारों का उपयोग करके विकसित किया गया था। ज्यामितीय अपरिवर्तनीय सिद्धांत एक बीजगणितीय विविधता (या योजना) पर एक समूह की कार्रवाई का अध्ययन करता है और उचित गुणों के साथ एक योजना के रूप में 'भागफल' बनाने के लिए तकनीक प्रदान करता है। एक प्रेरणा बीजगणितीय ज्यामिति में मॉड्यूली रिक्त स्थान का निर्माण करना था जो चिह्नित वस्तुओं को मानकीकृत करने वाली योजनाओं के भाग के रूप में था। 1970 और 1980 के दशक में इस सिद्धांत ने सिंप्लेक्टिक ज्यामिति और समतुल्य टोपोलॉजी के साथ अंतःक्रिया विकसित की, और इसका उपयोग विभेदक ज्यामिति में वस्तुओं के मॉड्यूली रिक्त स्थान, जैसे इंस्टैंटॉन और मोनोपोल के निर्माण के लिए किया गया था। पृष्ठभूमि अपरिवर्तनीय सिद्धांत एक बीजगणितीय विविधता (या एक योजना) पर एक समूह की समूह कार्रवाई से संबंधित है। शास्त्रीय अपरिवर्तनीय सिद्धांत उस स्थिति को संबोधित करता है जब एक वेक्टर स्थान होता है और या तो एक परिमित समूह होता है, या शास्त्रीय लाइ समूहों में से एक होता है जो रैखिक रूप से कार्य करता है। यह क्रिया बहुपद फलन के स्थान पर एक रैखिक क्रिया को सूत्र द्वारा प्रेरित करती है-क्रिया के बहुपद अपरिवर्तनीय वे बहुपद फलन हैं जिन पर समूह की क्रिया के कारण 'चर के परिवर्तन' के तहत तय किया जाता है, ताकि सभी के लिए। वे एक परिवर्तनीय बीजगणित बनाते हैं, और इस बीजगणित की व्याख्या 'अपरिवर्तनीय सिद्धांत भागफल' पर कार्यों के बीजगणित के रूप में की जाती है क्योंकि इनमें से कोई भी कार्य उन सभी बिंदुओं के लिए समान मूल्य देता है जो समतुल्य हैं (यानी सभी के लिए)। आधुनिक बीजगणितीय ज्यामिति की भाषा में, इस विवरण से कई कठिनाइयाँ सामने आती हैं। एक सामान्य रैखिक समूह के मामले में हिल्बर्ट द्वारा सफलतापूर्वक निपटा गया पहला, यह साबित करना है कि बीजगणित परिमित रूप से उत्पन्न होता है। यह आवश्यक है यदि कोई चाहता है कि भागफल एक एफ़ाइन बीजगणितीय विविधता हो। क्या मनमाना समूहों के लिए एक समान तथ्य हिल्बर्ट की चौदहवीं समस्या का विषय था, और नागाता ने प्रदर्शित किया कि उत्तर सामान्य रूप से नकारात्मक था। दूसरी ओर, बीसवीं शताब्दी के पूर्वार्द्ध में प्रतिनिधित्व सिद्धांत के विकास के क्रम में, समूहों के एक बड़े वर्ग की पहचान की गई, जिनके लिए उत्तर सकारात्मक है; इन्हें अपवर्तक समूह कहा जाता है और इसमें सभी सीमित समूह और सभी शास्त्रीय समूह शामिल होते हैं। बीजगणित की परिमित पीढ़ी पूर्ण विवरण की दिशा में पहला कदम है, और इस अधिक नाजुक प्रश्न को हल करने में प्रगति अपेक्षाकृत मामूली थी। अपरिवर्तनीयों को शास्त्रीय रूप से केवल सीमित स्थितियों में वर्णित किया गया था, और पहले कुछ मामलों से परे इस विवरण की जटिलता ने सामान्य रूप से अपरिवर्तनीयों के बीजगणित की पूरी समझ के लिए बहुत कम उम्मीद की थी। इसके अलावा, ऐसा हो सकता है कि कोई भी बहुपद अपरिवर्तनीय किसी दिए गए अंकों की जोड़ी पर समान मान लेता है और फिर भी ये बिंदु-क्रिया की अलग-अलग कक्षाओं में होते हैं। एक सरल उदाहरण गैर-शून्य जटिल संख्याओं के गुणक समूह द्वारा प्रदान किया जाता है जो अदिश गुणन द्वारा एक आयामी जटिल सदिश स्थान पर कार्य करता है। इस मामले में, प्रत्येक बहुपद अपरिवर्तनीय एक स्थिरांक है, लेकिन क्रिया की कई अलग-अलग कक्षाएं हैं। शून्य सदिश अपने आप में एक कक्षा बनाता है, और किसी भी गैर-शून्य सदिश के गैर-शून्य गुणक एक कक्षा बनाते हैं, ताकि गैर-शून्य कक्षाओं को जटिल प्रक्षेपात्मक स्थान के बिंदुओं द्वारा मानकीकृत किया जा सके। यदि ऐसा होता है (समान कार्य मान वाली विभिन्न कक्षाएं), तो एक कहता है कि "अपरिवर्तनीय कक्षाओं को अलग नहीं करते हैं", और बीजगणित टोपोलॉजिकल भागफल स्थान को अपूर्ण रूप से दर्शाता है। वास्तव में, भागफल स्थलविज्ञान के साथ बाद वाला स्थान अक्सर गैर-अलग (गैर-हौसडॉर्फ) होता है। (हमारे उदाहरण में यह मामला है-शून्य कक्षा खुली नहीं है क्योंकि शून्य सदिश के किसी भी पड़ोस में अन्य सभी कक्षाओं में बिंदु होते हैं, इसलिए भागफल स्थलविज्ञान में शून्य कक्षा के किसी भी पड़ोस में अन्य सभी कक्षाएं होती हैं।) 1893 में हिल्बर्ट ने उन कक्षाओं को निर्धारित करने के लिए एक मानदंड तैयार किया और साबित किया जो अपरिवर्तनीय बहुपदों द्वारा शून्य कक्षा से अलग नहीं हैं। बल्कि उल्लेखनीय रूप से, अपरिवर्तनीय सिद्धांत में उनके पहले के काम के विपरीत, जिसके कारण अमूर्त बीजगणित का तेजी से विकास हुआ, हिल्बर्ट का यह परिणाम अगले 70 वर्षों तक बहुत कम ज्ञात और बहुत कम उपयोग किया गया। बीसवीं शताब्दी के पूर्वार्द्ध में अपरिवर्तनीय सिद्धांत का अधिकांश विकास अपरिवर्तनीय के साथ स्पष्ट गणनाओं से संबंधित था, और किसी भी दर पर, ज्यामिति के बजाय बीजगणित के तर्क का पालन किया। ममफोर्ड की पुस्तक ज्यामितीय अपरिवर्तनीय सिद्धांत की स्थापना और विकास ममफोर्ड द्वारा एक मोनोग्राफ में किया गया था, जो पहली बार 1965 में प्रकाशित हुआ था, जिसमें आधुनिक बीजगणितीय ज्यामिति प्रश्नों के लिए हिल्बर्ट के कुछ परिणामों सहित उन्नीसवीं शताब्दी के अपरिवर्तनीय सिद्धांत के विचारों को लागू किया गया था। (पुस्तक का बाद के दो संस्करणों में बहुत विस्तार किया गया था, जिसमें फोगार्टी और ममफोर्ड द्वारा अतिरिक्त परिशिष्ट और किरवान द्वारा सिंप्लेक्टिक उद्धरणों पर एक अध्याय था।) पुस्तक में उदाहरणों में उपलब्ध योजना सिद्धांत और कम्प्यूटेशनल तकनीक दोनों का उपयोग किया गया है। उपयोग की जाने वाली अमूर्त सेटिंग एक योजना पर एक समूह कार्रवाई है। एक कक्षा अंतरिक्ष का सरल विचार अर्थात। समूह क्रिया द्वारा भागफल स्थान, बीजगणितीय ज्यामिति में कठिनाइयों में चलता है, उन कारणों के लिए जो अमूर्त शब्दों में स्पष्ट हैं। वास्तव में कोई सामान्य कारण नहीं है कि समतुल्यता संबंधों को (बल्कि कठोर) नियमित कार्यों (बहुपद कार्यों) के साथ अच्छी तरह से बातचीत करनी चाहिए, जो बीजगणितीय ज्यामिति के केंद्र में हैं। कक्षा अंतरिक्ष पर जिन कार्यों पर विचार किया जाना चाहिए वे हैं जो की क्रिया के तहत अपरिवर्तनीय हैं। प्रत्यक्ष दृष्टिकोण विभिन्न प्रकार के कार्य क्षेत्र के माध्यम से बनाया जा सकता है (अर्थात। परिमेय फलन): भागफल विविधता के फलन क्षेत्र के रूप में इस पर जी-अपरिवर्तनीय परिमेय फलन लें। दुर्भाग्य से यह-जन्मात्मक ज्यामिति का दृष्टिकोण-केवल उत्तर का पहला अनुमान दे सकता है। जैसा कि ममफोर्ड ने पुस्तक की प्रस्तावना में कहाः समस्या यह है कि परिणामी द्विवार्षिक वर्ग के सभी मॉडलों के सेट के भीतर, एक मॉडल है जिसके ज्यामितीय बिंदु किसी क्रिया में कक्षाओं के सेट को वर्गीकृत करते हैं, या किसी मॉड्यूली समस्या में बीजगणितीय वस्तुओं के सेट को वर्गीकृत करते हैं। अध्याय 5 में वह विशिष्ट तकनीकी समस्या को संबोधित करते हुए, काफी शास्त्रीय प्रकार की एक मॉड्यूली समस्या को अलग करते हैं-सभी बीजगणितीय किस्मों के बड़े 'समूह' को केवल गैर-एकल (और ध्रुवीकरण पर एक आवश्यक शर्त) के अधीन वर्गीकृत करें। मॉडुली को पैरामीटर स्पेस का वर्णन करना चाहिए। उदाहरण के लिए, बीजगणितीय वक्रों के लिए यह रीमान के समय से ज्ञात है कि वंश के अनुसार आयामों के जुड़े हुए घटक होने चाहिए, और मॉड्यूली प्रत्येक घटक पर कार्य हैं। मोटे मॉड्यूली समस्या में ममफोर्ड बाधाओं को इस प्रकार मानते हैंः मॉड्यूली स्थान पर गैर-विभाजित टोपोलॉजी (अर्थात। अच्छी स्थिति में पर्याप्त मापदंड नहीं) असीम रूप से कई अपरिवर्तनीय घटक (जिनसे बचा नहीं जा सकता है, लेकिन स्थानीय सीमितता हो सकती है) घटकों की विफलता को योजनाओं के रूप में दर्शाया जा सकता है, हालांकि स्थलाकृतिक रूप से प्रतिनिधित्व किया जा सकता है। यह तीसरा बिंदु है जिसने पूरे सिद्धांत को प्रेरित किया। जैसा कि ममफोर्ड कहते हैं, यदि पहली दो कठिनाइयों का समाधान किया जाता है [तीसरा प्रश्न] अनिवार्य रूप से इस सवाल के बराबर हो जाता है कि क्या प्रोजेक्टिव समूह द्वारा हिल्बर्ट या चाउ योजनाओं के कुछ स्थानीय रूप से बंद सबसेट का एक कक्षा स्थान मौजूद है। इससे निपटने के लिए उन्होंने स्थिरता की एक धारणा (वास्तव में तीन) पेश की। इसने उन्हें पहले के विश्वासघाती क्षेत्र को खोलने में सक्षम बनाया-बहुत कुछ लिखा गया था, विशेष रूप से फ्रांसेस्को सेवेरी द्वारा, लेकिन साहित्य के तरीकों की सीमाएँ थीं। द्विवार्षिक दृष्टिकोण कोडीमेंशन 1 के सबसेट के बारे में लापरवाह होने का जोखिम उठा सकता है। एक योजना के रूप में एक मॉडुली स्थान का होना एक तरफ योजनाओं को प्रतिनिधित्व योग्य कार्यकर्ताओं के रूप में चिह्नित करने के बारे में एक सवाल है (जैसा कि ग्रोथेन्डिक स्कूल इसे देखेगा); लेकिन ज्यामितीय रूप से यह एक संक्षिप्त प्रश्न की तरह है, जैसा कि स्थिरता मानदंड से पता चलता है। गैर-एकल किस्मों पर प्रतिबंध किसी भी अर्थ में मॉडुली स्थान के रूप में एक कॉम्पैक्ट स्थान की ओर नहीं ले जाएगाः किस्में विलक्षणता रखने के लिए पतित हो सकती हैं। दूसरी ओर, जो बिंदु अत्यधिक एकवचन किस्मों के अनुरूप होंगे, वे निश्चित रूप से उत्तर में शामिल करने के लिए बहुत 'खराब' हैं। स्वीकार किए जाने के लिए पर्याप्त स्थिर अंकों का सही मध्य मैदान, ममफोर्ड के काम से अलग था। यह अवधारणा पूरी तरह से नई नहीं थी, क्योंकि इसके कुछ पहलू अन्य क्षेत्रों में जाने से पहले डेविड हिल्बर्ट के अपरिवर्तनीय सिद्धांत पर अंतिम विचारों में पाए जाने थे। पुस्तक की प्रस्तावना में ममफोर्ड अनुमान का भी प्रतिपादन किया गया है, जिसे बाद में विलियम हबोश ने साबित किया। स्थिरता यदि एक अपवर्तक समूह एक सदिश स्थान पर रैखिक रूप से कार्य करता है, तो एक गैर-शून्य बिंदु को अस्थिर कहा जाता है यदि 0 अपनी कक्षा के समापन में है, अर्ध-स्थिर यदि 0 अपनी कक्षा के समापन में नहीं है, स्थिर यदि इसकी कक्षा बंद है, और इसका स्थिरीकारक सीमित है। इन्हें बताने के समान तरीके हैं (इस मानदंड को हिल्बर्ट-मम्फोर्ड मानदंड के रूप में जाना जाता है): एक गैर-शून्य बिंदु अस्थिर होता है यदि और केवल तभी जब उन सभी का 1-पैरामीटर उपसमूह होता है जिनके भार के संबंध में सकारात्मक होते हैं। एक गैर-शून्य बिंदु अस्थिर होता है यदि और केवल तभी जब प्रत्येक अपरिवर्तनीय बहुपद का मान 0 और पर समान हो। एक गैर-शून्य बिंदु अर्धस्थायी है यदि और केवल तभी जब उन सभी का कोई 1-पैरामीटर उपसमूह नहीं है जिनके भार के संबंध में सकारात्मक हैं। एक गैर-शून्य बिंदु अर्धस्थायी है यदि और केवल तभी जब कुछ अपरिवर्तनीय बहुपद के 0 और पर अलग-अलग मान हों। एक गैर-शून्य बिंदु तभी स्थिर होता है जब प्रत्येक 1-पैरामीटर उपसमूह के संबंध में सकारात्मक (और नकारात्मक) भार होता है। एक गैर-शून्य बिंदु तब स्थिर होता है जब और केवल तभी जब इसकी कक्षा में नहीं होने वाले प्रत्येक के लिए कुछ अपरिवर्तनीय बहुपद होता है जिसके और पर अलग-अलग मान होते हैं, और अपरिवर्तनीय बहुपदों के वलय में पारगमन डिग्री होती है। संबंधित प्रोजेक्टिव स्पेस के एक बिंदु को अस्थिर, अर्ध-स्थिर या स्थिर कहा जाता है यदि यह एक ही गुण वाले बिंदु की छवि है। "अस्थिर" "अर्धस्थायी (स्थिर नहीं) के विपरीत है। अस्थिर बिंदु प्रोजेक्टिव स्पेस का एक ज़ारिस्की बंद सेट बनाते हैं, जबकि अर्धस्थायी और स्थिर बिंदु दोनों ज़ारिस्की खुले सेट (संभवतः खाली) बनाते हैं। ये परिभाषाएँ ममफोर्ड की पुस्तक के पहले संस्करण से हैं और उनके बराबर नहीं हैं। कुछ समूह क्रिया द्वारा प्रोजेक्टिव स्पेस के कुछ सबसेट के स्थिर बिंदुओं के स्थान के भागफल के रूप में कई मॉड्यूली स्पेस का निर्माण किया जा सकता है। इन रिक्त स्थान को अक्सर अर्धस्थायी बिंदुओं के कुछ समतुल्य वर्गों को जोड़कर संकुचित किया जा सकता है। अलग-अलग स्थिर कक्षाएं भागफल में अलग-अलग बिंदुओं के अनुरूप होती हैं, लेकिन दो अलग-अलग अर्धस्थायी कक्षाएं भागफल में एक ही बिंदु के अनुरूप हो सकती हैं यदि उनके समापन प्रतिच्छेद करते हैं। उदाहरण के लिएः एक स्थिर वक्र वंश 2 का एक कम जुड़ा हुआ वक्र है जैसे कि इसकी एकमात्र विलक्षणताएं साधारण दोहरे बिंदु हैं और प्रत्येक गैर-एकल परिमेय घटक कम से कम 3 बिंदुओं में अन्य घटकों को पूरा करता है। जीनस के स्थिर वक्रों का मॉडुली स्थान समूह द्वारा हिल्बर्ट बहुपद के साथ वक्रों की हिल्बर्ट योजना के सबसेट का भागफल है। उदाहरण-एक बीजगणितीय वक्र (या एक रीमान सतह पर) पर एक वेक्टर बंडल एक स्थिर वेक्टर बंडल है यदि और केवल तभी जब सभी उचित गैर-शून्य उपबंडलों के लिए और अर्धस्थायी है यदि यह स्थिति <द्वारा प्रतिस्थापित ≤ के साथ बनी रहती है। जी. आई. टी. भागफल ज्यामितीय जटिलता सिद्धांत भी देखें ज्यामितीय भागफल श्रेणीगत भागफल क्वांटाइजेशन कम के-स्थिरता के-स्थिरता के साथ कम करता है नैनो किस्मों की ब्रिजलैंड स्थिरता स्थिति स्थिरता (बीजगणितीय ज्यामिति) संदर्भ किरवान, फ्रांसेस, सिंप्लेक्टिक और बीजगणितीय ज्यामिति में भागफल की कोहोमोलॉजी। गणितीय टिप्पणियाँ, 31. प्रिंसटन यूनिवर्सिटी प्रेस, प्रिंसटन, एनजे, 1984. i + 211 पीपी। क्राफ्ट, हैन्सपीटर, जियोमेट्रिश मेथोडेन इन इनवेरिएंटेंथियोरी। (जर्मन) (अपरिवर्तनीय सिद्धांत में ज्यामितीय विधियाँ) गणित के पहलू, डी1। फ्रीडर। व्यूएग और सोहन, ब्राउनश्वेइग, 1984. x + 308 पीपी। ; (पहला संस्करण 1965); (दूसरा संस्करण) वी. एल. पोपोव, ई. बी. विनबर्ग, इनवेरिएंट थ्योरी, बीजगणितीय ज्यामिति में। IV. गणितीय विज्ञान का विश्वकोश, 55 (1989 के रूसी संस्करण से अनुवादित) स्प्रिंगर-वेरलैग, बर्लिन, 1994. vi + 284 पीपी। मॉड्यूली सिद्धांत योजना सिद्धांत बीजगणितीय समूह अपरिवर्तनीय सिद्धांत