Fast wavelet transform
फास्ट वेवलेट ट्रांसफॉर्म एक गणितीय एल्गोरिथ्म है जिसे समय क्षेत्र में एक तरंग रूप या संकेत को छोटी परिमित तरंगों, या वेवलेट के ऑर्थोगोनल आधार पर गुणांक के अनुक्रम में बदलने के लिए डिज़ाइन किया गया है। परिवर्तन को आसानी से बहुआयामी संकेतों तक बढ़ाया जा सकता है, जैसे कि छवियाँ, जहाँ समय क्षेत्र को अंतरिक्ष क्षेत्र से बदल दिया जाता है। यह एल्गोरिथ्म 1989 में स्टीफन मल्लट द्वारा पेश किया गया था। इसकी सैद्धांतिक नींव एक परिमित रूप से उत्पन्न, ऑर्थोगोनल मल्टी-रिज़ॉल्यूशन एनालिसिस (एम. आर. ए.) का उपकरण है। वहाँ दिए गए शब्दों में, कोई 2जे प्रति इकाई अंतराल की नमूना दर के साथ एक नमूना पैमाने जे का चयन करता है, और दिए गए संकेत एफ को अंतरिक्ष पर प्रक्षेपित करता है; सिद्धांत रूप में स्केलर उत्पादों की गणना करके जहाँ चुने गए वेवलेट परिवर्तन का स्केलिंग फ़ंक्शन है; व्यवहार में किसी भी उपयुक्त नमूना प्रक्रिया द्वारा इस शर्त के तहत कि संकेत अत्यधिक अधिक नमूना है, इसलिए ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण या कम से कम मूल संकेत का कुछ अच्छा अनुमान है। एम. आर. ए. को इसके स्केलिंग अनुक्रम या जेड-परिवर्तन के रूप में, और इसके तरंग अनुक्रम या (कुछ गुणांक शून्य हो सकते हैं) द्वारा चिह्नित किया जाता है। वे तरंग गुणांक की गणना करने की अनुमति देते हैं, कम से कम कुछ सीमा k = M,., J-1, संबंधित स्केलर उत्पादों में समाकलन को अनुमानित किए बिना। इसके बजाय, कोई भी सीधे, कन्वोलुशन और डेसिमेशन ऑपरेटरों की मदद से, पहले सन्निकटन से उन गुणांकों की गणना कर सकता है। अग्रेषित डी. डब्ल्यू. टी. असक्रिट वेवलेट रूपांतरण (डी. डब्ल्यू. टी.) के लिए, कोई पुनरावर्ती गणना करता है, जो गुणांक अनुक्रम से शुरू होता है और k = J-1 से कुछ M <J, या, k = J-1, J-2,., M और सभी के लिए गणना करता है। जेड-ट्रांसफॉर्म संकेतन मेंः डाउनसैंपलिंग ऑपरेटर अपने जेड-ट्रांसफॉर्म द्वारा दिए गए एक अनंत अनुक्रम को कम कर देता है, जो कि केवल एक लॉरेंट श्रृंखला है, सम सूचकांकों के साथ गुणांक के अनुक्रम में। तारांकित लॉरेंट-बहुपद संलग्नक फ़िल्टर को दर्शाता है, इसमें समय-विपरीत संलग्नक गुणांक होते हैं। (एक वास्तविक संख्या का संलग्नक स्वयं संख्या है, एक जटिल संख्या का संयुग्म, एक वास्तविक मैट्रिक्स का ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स, एक जटिल मैट्रिक्स का हर्मिशियन संलग्नक)। गुणन बहुपद गुणन है, जो गुणांक अनुक्रमों के अभिसरण के बराबर है। यह मूल संकेत f का ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण है या कम से कम उपक्षेत्र पर पहले सन्निकटन का, यानी 2k प्रति इकाई अंतराल की नमूना दर के साथ। पहले सन्निकटन का अंतर इस बात से दिया जाता है कि कहाँ अंतर या विस्तृत संकेतों की गणना विस्तृत गुणांक से की जाती है जैसा कि तरंग परिवर्तन के मातृ तरंग को दर्शाने के साथ किया जाता है। व्युत्क्रम DWT कुछ M <J और सभी अंतर अनुक्रमों के लिए गुणांक अनुक्रम को देखते हुए, k = M,., J − 1, एक पुनरावर्ती रूप से या k = J − 1, J − 2,., M और सभी के लिए गणना करता है। जेड-परिवर्तन संकेतन मेंः अपसैंपलिंग ऑपरेटर किसी दिए गए अनुक्रम के अंदर शून्य से भरे छेद बनाता है। अर्थात्, परिणामी अनुक्रम का प्रत्येक दूसरा तत्व दिए गए अनुक्रम का एक तत्व है, प्रत्येक दूसरा तत्व शून्य या शून्य है। यह रैखिक प्रचालक, हिल्बर्ट स्थान में, डाउनसैंपलिंग प्रचालक के निकटवर्ती है। लिफ्टिंग स्कीम फास्ट फूरियर ट्रांसफॉर्म रेफेरेंसेस एस. जी. मल्लट "ए थ्योरी फॉर मल्टीरसोल्यूशन सिग्नल डिकंपोजिशनः द वेवलेट रिप्रेजेंटेशन" आई. ई. ई. ई. ट्रांजैक्शंस ऑन पैटर्न एनालिसिस एंड मशीन इंटेलिजेंस, वॉल्यूम। 2, नहीं। 7. जुलाई 1989। I. डाउबेचीज़, वेवलेट पर दस व्याख्यान। सियाम, 1992। ए. एन. अकान्सु मल्टीप्लियरलेस सबऑप्टिमल पी. आर.-क्यू. एम. एफ. डिजाइन प्रोक। एस. पी. आई. ई. 1818, दृश्य संचार और छवि प्रसंस्करण, पृष्ठ 723, नवंबर, 1992 ए. एन. अकान्सु मल्टीप्लायरलेस 2-बैंड परफेक्ट रिकंस्ट्रक्शन क्वाड्रेचर मिरर फिल्टर (पी. आर.-क्यू. एम. एफ.) बैंक यू. एस. पेटेंट 5,420,891,1995 ए. एन. सबबैंड इमेज कोडिंग आई. ई. ई. ई. ट्रांस के लिए अकान्सु मल्टीप्लायरलेस पी. आर. क्वाड्रेचर मिरर फिल्टर। छवि प्रसंस्करण, पृष्ठ 1359, सितंबर 1996 एम. जे. मोहलेनकैंप, एम. सी. पेरेयरा वेवलेट्स, देयर फ्रेंड्स, एंड व्हाट दे कैन डू फॉर यू (2008 ई. एम. एस.) पृ. 38 बी. हबर्ड द वर्ल्ड अकार्डिंग टू वेवलेट्सः द स्टोरी ऑफ ए मैथमेटिकल टेक्निक इन द मेकिंग (1998 पीटर्स) पी. 184 एस. जी. मल्लट ए वेवलेट टूर ऑफ सिग्नल प्रोसेसिंग (1999 एकेडेमिक प्रेस) पी. 255 ए. टियोलिस कम्प्यूटेशनल सिग्नल प्रोसेसिंग विद वेवलेट्स (1998 बिरखुसर) पी. 116 वाई. नीवरजेल्ट वेवलेट्स मेड ईज़ी (1999 स्प्रिंगर) पी. 95 आगे पढ़ने के लिए जी. बेल्किन, आर. कॉइफमैन, वी. रोकलिन, "फास्ट वेवलेट ट्रांसफॉर्म एंड न्यूमरिकल एल्गोरिदम" कॉम। शुद्ध एपल। गणित। ", 44 (1991) पीपी। 141-183 (इस लेख को 2400 से अधिक बार उद्धृत किया गया है।) वेवलेट्स डिस्क्रीट परिवर्तन