Mollifier
गणित में, मोलिफायर (जिसे पहचान के सन्निकटन के रूप में भी जाना जाता है) विशेष गुणों के साथ चिकने कार्य हैं, उदाहरण के लिए वितरण सिद्धांत में अभिसरण के माध्यम से गैर-चिकने (सामान्यीकृत) कार्यों को अनुमानित करने वाले चिकने कार्यों के अनुक्रम बनाने के लिए उपयोग किया जाता है। सहज रूप से, एक कार्य को देखते हुए जो अपेक्षाकृत अनियमित है, इसे एक मोलिफायर के साथ संयोजित करने से कार्य "मोलिफाइड" हो जाता है, यानी, इसकी तेज विशेषताएँ चिकनी हो जाती हैं, जबकि अभी भी मूल नॉनस्मूथ (सामान्यीकृत) कार्य के करीब रहती हैं। उन्हें कर्ट ओटो फ्रेडरिक के नाम पर फ्रेडरिक के मोलिफायर के रूप में भी जाना जाता है, जिन्होंने उन्हें पेश किया था। कर्ट ओटो फ्रेडरिक्स ने अपने शोध पत्र में ऐतिहासिक नोट्स मोलिफायर पेश किए थे, जिसे आंशिक विभेदक समीकरणों के आधुनिक सिद्धांत में एक वाटरशेड माना जाता है। इस गणितीय वस्तु के नाम की एक जिज्ञासु उत्पत्ति थी, और पीटर लैक्स फ्रेडरिक के "सेलेक्टा" में प्रकाशित उस पेपर पर अपनी टिप्पणी में पूरी कहानी बताता है। उनके अनुसार, उस समय, गणितशास्त्री डोनाल्ड अलेक्जेंडर फ़्लैंडर्स फ़्रिड्रिक्स के सहयोगी थेः चूंकि उन्हें अंग्रेजी उपयोग के बारे में सहयोगियों से परामर्श करना पसंद था, इसलिए उन्होंने फ़्लैंडर्स से सलाह मांगी कि वे जिस स्मूथिंग ऑपरेटर का उपयोग कर रहे थे, उसका नाम कैसे रखा जाए। फ़्लैंडर्स एक प्यूरिटन थे, जिन्हें उनके दोस्त मोल ने उनके नैतिक गुणों की मान्यता में मोल फ़्लैंडर्स के नाम पर मोल उपनाम दिया थाः उन्होंने नई गणितीय अवधारणा को फ़्लैंडर्स के उपनाम और क्रिया 'टू मोलिफ़ाई' दोनों को शामिल करते हुए एक श्लेष के रूप में "मोलिफ़ायर" कहने का सुझाव दिया, जिसका अर्थ है एक आलंकारिक अर्थ में "चिकना करना"। इससे पहले, सर्गेई सोबोलेव ने अपने युग निर्माण 1938 के पेपर में मोलिफायरों का उपयोग किया था, जिसमें सोबोलेव एम्बेडिंग थ्योरम का प्रमाण हैः फ्रेडरिक ने खुद मोलिफायरों पर सोबोलेव के काम को स्वीकार करते हुए कहा था किः-"इन मोलिफायरों को सोबोलेव और लेखक द्वारा पेश किया गया था।" यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि इन मूलभूत कार्यों के समय से "मोलिफायर" शब्द भाषाई प्रवाह से गुजरा हैः फ्रेडरिक को "मोलिफायर" के रूप में परिभाषित किया गया है-एक अभिन्न प्रचालक जिसका कर्नेल आजकल मोलिफायर नामक कार्यों में से एक है। हालाँकि, चूंकि एक रैखिक समाकलन प्रचालक के गुण पूरी तरह से उसके कर्नेल द्वारा निर्धारित किए जाते हैं, इसलिए सामान्य उपयोग के परिणामस्वरूप मोलिफायर नाम कर्नेल द्वारा ही विरासत में मिला था। परिभाषा आधुनिक (वितरण आधारित) परिभाषा यदि आर. एन., एन. ओ. आर. 1 पर एक सहज फलन है, जो निम्नलिखित तीन आवश्यकताओं को पूरा करता है, तो यह सघन रूप से समर्थित है जहां डीराक डेल्टा फलन है और सीमा को श्वार्ट्ज वितरण के स्थान में समझा जाना चाहिए, तो यह एक मोलिफायर है। फलन आगे की शर्तों को भी पूरा कर सकता हैः उदाहरण के लिए, यदि यह सभी x ωRn के लिए ω0 को संतुष्ट करता है, तो इसे एक सकारात्मक मोलिफायर कहा जाता है = कुछ अनंत अवकलनीय फलन के लिएः R + → R, तो इसे एक सममित मोलिफायर कहा जाता है। जब वितरण का सिद्धांत अभी भी व्यापक रूप से ज्ञात नहीं था और न ही उपयोग किया गया था, तो उपरोक्त गुण को यह कहकर तैयार किया गया था कि एक उचित हिल्बर्ट या बनाच स्थान से संबंधित दिए गए फलन के साथ फलन का अभिसरण उस फलन में ε → 0 के रूप में अभिसरण करता हैः ठीक यही फ्रेडरिक ने किया था। यह यह भी स्पष्ट करता है कि मोलिफायर अनुमानित पहचान से क्यों संबंधित हैं। नोट 2. जैसा कि इस प्रविष्टि के "ऐतिहासिक टिप्पणियों" खंड में संक्षेप में बताया गया है, मूल रूप से, "मोलिफायर" शब्द ने निम्नलिखित कन्वोलुशन ऑपरेटर की पहचान कीः जहां और ऊपर बताई गई पहली तीन शर्तों को पूरा करने वाला एक सहज कार्य है और सकारात्मक और समरूपता के रूप में एक या एक से अधिक पूरक शर्तों को पूरा करता है। ठोस उदाहरण आरएन में एक चर के टक्कर फलन पर विचार करें जिसे परिभाषित किया गया है जहां संख्यात्मक स्थिरांक सामान्यीकरण सुनिश्चित करता है। यह फलन असीम रूप से अवकलनीय है, के लिए लुप्त होने वाले व्युत्पन्न के साथ गैर-विश्लेषणात्मक है। इसलिए ऊपर वर्णित रूप में मोलिफायर के रूप में उपयोग किया जा सकता हैः कोई भी देख सकता है कि एक सकारात्मक और सममित मोलिफायर को परिभाषित करता है। गुण एक मोलिफायर के सभी गुण कन्वोलुशन के संचालन के तहत उसके व्यवहार से संबंधित हैंः हम निम्नलिखित को सूचीबद्ध करते हैं, जिनके प्रमाण वितरण सिद्धांत पर प्रत्येक पाठ में पाए जा सकते हैं। स्मूथिंग प्रॉपर्टी किसी भी वितरण के लिए, वास्तविक संख्या द्वारा अनुक्रमित कन्वोलुशन का निम्नलिखित परिवार जहां कन्वोलुशन को दर्शाता है, स्मूथ फंक्शंस का एक परिवार है। पहचान का सन्निकटन किसी भी वितरण के लिए, वास्तविक संख्या द्वारा अनुक्रमित संक्षेपणों का निम्नलिखित परिवार संक्षेपण के समर्थन में परिवर्तित हो जाता है किसी भी वितरण के लिए, जहां वितरण के अर्थ में समर्थन को इंगित करता है, और उनके मिन्कोव्स्की जोड़ को इंगित करता है। अनुप्रयोग मोलिफायरों का मूल अनुप्रयोग यह साबित करने के लिए है कि सुचारू कार्यों के लिए मान्य गुण भी विषम स्थितियों में मान्य हैंः वितरण का उत्पाद सामान्यीकृत कार्यों के कुछ सिद्धांतों में, वितरण के गुणन को परिभाषित करने के लिए मोलिफायरों का उपयोग किया जाता हैः सटीक रूप से, दो वितरण दिए गए हैं और, एक सुचारू कार्य के उत्पाद की सीमा और एक वितरण सामान्यीकृत कार्यों के विभिन्न सिद्धांतों में उनके उत्पाद को परिभाषित करता है (यदि यह मौजूद है)। "कमजोर = मजबूत" प्रमेय बहुत अनौपचारिक रूप से, मोलिफायरों का उपयोग अंतर ऑपरेटरों के दो अलग-अलग प्रकार के विस्तार की पहचान को साबित करने के लिए किया जाता हैः मजबूत विस्तार और कमजोर विस्तार। पेपर इस अवधारणा को काफी अच्छी तरह से दर्शाता हैः हालाँकि यह दिखाने के लिए आवश्यक तकनीकी विवरणों की उच्च संख्या कि इसका वास्तव में क्या अर्थ है, उन्हें इस संक्षिप्त विवरण में औपचारिक रूप से विस्तृत होने से रोकता है। स्मूथ कटऑफ फंक्शन स्मूथ फंक्शन (के साथ परिभाषित) के साथ यूनिट बॉल के कैरेक्टरिस्टिक फंक्शन के कन्वोलुशन द्वारा, कोई उस फंक्शन को प्राप्त करता है जो ऑन के बराबर एक स्मूथ फंक्शन है, जिसमें सपोर्ट निहित है। इसे यह देखकर आसानी से देखा जा सकता है कि यदि ≤ और ≤ तो ≤। इसलिए ≤ के लिए। यह देखा जा सकता है कि इस संरचना को किसी दिए गए कॉम्पैक्ट सेट के पड़ोस में एक के समान एक चिकना कार्य प्राप्त करने के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, और प्रत्येक बिंदु में शून्य के बराबर है जिसकी इस सेट से दूरी दी गई दूरी से अधिक है। इस तरह के फलन को (चिकना) कटऑफ फलन कहा जाता हैः उन फलन का उपयोग गुणन द्वारा दिए गए (सामान्यीकृत) फलन की विलक्षणताओं को समाप्त करने के लिए किया जाता है। वे (सामान्यीकृत) फलन के मूल्य को अपरिवर्तित छोड़ते हैं, वे केवल एक दिए गए सेट पर गुणा करते हैं, इस प्रकार इसके समर्थन को संशोधित करते हैंः कटऑफ फ़ंक्शन भी एकता के चिकने विभाजन के मूल भाग हैं। एप्रोक्सिमेट आइडेंटिटी बम्प फंक्शन कन्वोलुशन डिस्ट्रीब्यूशन (मैथमेटिक्स) जनरलाइज्ड फंक्शन कर्ट ओटो फ्रेडरिक का नॉन-एनालिटिक स्मूथ फंक्शन सर्गेई सोबोलेव वीयरस्ट्रास ट्रांसफॉर्म नोट्स रेफेरेंस भी देखें। पहला पेपर जहाँ मोलिफायर पेश किए गए थे। .. एक पेपर जहाँ अण्डाकार आंशिक विभेदक समीकरणों के समाधानों की विभेदकता की जांच मोलिफायरों का उपयोग करके की जाती है। .. डेविड इसाकसन, फ्रिट्ज जॉन, तोसियो काटो, पीटर लैक्स, लुई निरेनबर्ग, वोल्फगैग वासो, हेरोल्ड वेट्जनर की जीवनी और टिप्पणियों के साथ फ्रेडरिक के कार्यों में से एक चयन। .. .. .. जिस पेपर में सर्गेई सोबोलेव ने अपने एम्बेडिंग थ्योरम को साबित किया, बिना नाम दिए, मोलिफायरों के समान इंटीग्रल ऑपरेटरों को पेश किया और उनका उपयोग किया। कार्यात्मक विश्लेषण चिकने कार्य श्वार्ट्ज वितरण