Probit model
सांख्यिकी में, एक प्रोबिट मॉडल एक प्रकार का प्रतिगमन है जहां आश्रित चर केवल दो मान ले सकता है, उदाहरण के लिए विवाहित या विवाहित नहीं। यह शब्द संभावना + इकाई से आया है। मॉडल का उद्देश्य इस संभावना का अनुमान लगाना है कि विशेष विशेषताओं के साथ एक अवलोकन एक विशिष्ट श्रेणी में आएगा; इसके अलावा, उनकी अनुमानित संभावनाओं के आधार पर टिप्पणियों को वर्गीकृत करना एक प्रकार का द्विआधारी वर्गीकरण मॉडल है। द्विआधारी प्रतिक्रिया मॉडल के लिए एक प्रोबिट मॉडल एक लोकप्रिय विनिर्देश है। इस तरह यह समस्याओं के उसी समूह का इलाज करता है जैसा कि समान तकनीकों का उपयोग करके रसद प्रतिगमन करता है। जब सामान्यीकृत रैखिक मॉडल ढांचे में देखा जाता है, तो प्रोबिट मॉडल एक प्रोबिट लिंक फ़ंक्शन को नियोजित करता है। यह अक्सर अधिकतम संभावना प्रक्रिया का उपयोग करके अनुमान लगाया जाता है, इस तरह के अनुमान को प्रोबिट प्रतिगमन कहा जाता है। अवधारणात्मक ढांचा मान लीजिए कि एक प्रतिक्रिया चर Y द्विआधारी है, यानी इसके केवल दो संभावित परिणाम हो सकते हैं जिन्हें हम 1 और 0 के रूप में निरूपित करेंगे। उदाहरण के लिए, Y एक निश्चित स्थिति की उपस्थिति/अनुपस्थिति, किसी उपकरण की सफलता/विफलता का प्रतिनिधित्व कर सकता है, एक सर्वेक्षण पर हाँ/नहीं का उत्तर दे सकता है, आदि। हमारे पास प्रतिगामी एक्स का एक सदिश भी है, जिसे परिणाम वाई को प्रभावित करने वाला माना जाता है। विशेष रूप से, हम मानते हैं कि मॉडल वह रूप लेता है जहाँ पी संभावना है और मानक सामान्य वितरण का संचयी वितरण कार्य है। मानकों β का अनुमान आम तौर पर अधिकतम संभावना द्वारा लगाया जाता है। प्रोबिट मॉडल को एक अव्यक्त चर मॉडल के रूप में प्रेरित करना संभव है। मान लीजिए कि एक सहायक यादृच्छिक चर मौजूद है जहाँ ε ~ N (0,1) है। फिर Y को एक संकेतक के रूप में देखा जा सकता है कि क्या यह अव्यक्त चर सकारात्मक हैः मानक सामान्य वितरण का उपयोग एक मनमाने माध्य और मानक विचलन के साथ सामान्य वितरण के उपयोग की तुलना में व्यापकता का कोई नुकसान नहीं करता है, क्योंकि माध्य में एक निश्चित राशि जोड़ने की भरपाई अवरोधन से समान राशि को घटाकर की जा सकती है, और मानक विचलन को एक निश्चित राशि से गुणा करके भार को समान राशि से गुणा करके क्षतिपूर्ति की जा सकती है। यह देखने के लिए कि दोनों मॉडल समतुल्य हैं, ध्यान दें कि मॉडल अनुमान अधिकतम संभावना अनुमान मान लीजिए कि डेटा सेट में उपरोक्त मॉडल के अनुरूप n स्वतंत्र सांख्यिकीय इकाइयाँ हैं। एकल अवलोकन के लिए, उस अवलोकन के इनपुट के वेक्टर पर सशर्त, हमारे पास हैः जहां इनपुट का वेक्टर है, और गुणांक का वेक्टर है। एकल अवलोकन की संभावना तब होती है वास्तव में, यदि, तब, और यदि, तब। चूँकि अवलोकन स्वतंत्र और समान रूप से वितरित होते हैं, तो पूरे नमूने की संभावना, या संयुक्त संभावना, एकल टिप्पणियों की संभावनाओं के उत्पाद के बराबर होगीः संयुक्त लॉग-लाइकीलीहुड फ़ंक्शन इस प्रकार है जो प्राक्कलनकर्ता इस कार्य को अधिकतम करता है वह सुसंगत, एसिम्प्टोटिक रूप से सामान्य और कुशल होगा बशर्ते वह मौजूद हो और एकवचन न हो। यह दिखाया जा सकता है कि यह लॉग-लाइकीलीहुड फ़ंक्शन विश्व स्तर पर अवतल है, और इसलिए अनुकूलन के लिए मानक संख्यात्मक एल्गोरिदम तेजी से अद्वितीय अधिकतम में परिवर्तित हो जाएंगे। एसिंप्टोटिक डिस्ट्रीब्यूशन मानक सामान्य डिस्ट्रीब्यूशन के प्रोबेबिलिटी डेंसिटी फंक्शन (पी. डी. एफ.) द्वारा दिया जाता है। प्रोबिट-प्रकार और अन्य संबंधित मॉडलों के लिए अर्ध-पैरामीट्रिक और गैर-पैरामीट्रिक अधिकतम संभावना विधियाँ भी उपलब्ध हैं। बर्कसन की न्यूनतम ची-वर्ग विधि इस विधि को केवल तभी लागू किया जा सकता है जब प्रतिगामी के वेक्टर के समान मूल्य वाले प्रतिक्रिया चर के कई अवलोकन हों (ऐसी स्थिति को "प्रति कोशिका कई अवलोकन" के रूप में संदर्भित किया जा सकता है)। अधिक विशेष रूप से, मॉडल को निम्नानुसार तैयार किया जा सकता है। मान लीजिए कि n अवलोकनों में प्रतिगामी के केवल T विशिष्ट मान हैं, जिन्हें इस रूप में दर्शाया जा सकता है। मान लीजिए कि टिप्पणियों की संख्या और टिप्पणियों की संख्या कितनी है। हम मानते हैं कि वास्तव में प्रत्येक "कोशिका" के लिए "कई" अवलोकन हैंः प्रत्येक के लिए। फिर बर्कसन का न्यूनतम ची-वर्ग प्राक्कलनकर्ता भार के साथ प्रतिगमन में एक सामान्यीकृत न्यूनतम वर्ग प्राक्कलनकर्ता हैः यह दिखाया जा सकता है कि यह प्राक्कलनकर्ता सुसंगत है (जैसे n → φ और T निश्चित), स्पर्शोन्मुख रूप से सामान्य और कुशल है। इसका लाभ प्राक्कलनकर्ता के लिए एक बंद-रूप सूत्र की उपस्थिति है। हालाँकि, इस विश्लेषण को तभी करना सार्थक है जब व्यक्तिगत अवलोकन उपलब्ध न हों, केवल उनकी समग्र गिनती, और (उदाहरण के लिए मतदान व्यवहार के विश्लेषण में)। गिब्स सेम्पलिंग गिब्स सेम्पलिंग एक प्रोबिट मॉडल संभव है क्योंकि प्रतिगमन मॉडल आमतौर पर वजन पर सामान्य पूर्व वितरण का उपयोग करते हैं, और यह वितरण त्रुटियों के सामान्य वितरण (और इसलिए अव्यक्त चर Y *) के साथ संयुग्मित होता है। मॉडल को इस प्रकार वर्णित किया जा सकता है कि इससे, हम आवश्यक पूर्ण सशर्त घनत्व निर्धारित कर सकते हैंः इसका परिणाम बायेसियन रैखिक प्रतिगमन पर लेख में दिया गया है, हालांकि अलग-अलग संकेतन के साथ निर्दिष्ट किया गया है। एकमात्र चालबाजी अंतिम दो समीकरणों में है। संकेतन आइवरसन कोष्ठक है, जो कभी-कभी लिखा या समान होता है। यह इंगित करता है कि वितरण को दी गई सीमा के भीतर काटा जाना चाहिए, और उचित रूप से पुनर्निर्मित किया जाना चाहिए। इस विशेष मामले में, एक कटा हुआ सामान्य वितरण उत्पन्न होता है। इस वितरण से नमूना लेना इस बात पर निर्भर करता है कि कितना काटा जाता है। यदि मूल द्रव्यमान का एक बड़ा अंश बना रहता है, तो अस्वीकृति नमूने के साथ नमूनाकरण आसानी से किया जा सकता है-बस गैर-संरेखित वितरण से एक संख्या का नमूना लें, और यदि यह छंटाई द्वारा लगाए गए प्रतिबंध से बाहर आता है तो इसे अस्वीकार कर दें। यदि मूल द्रव्यमान के केवल एक छोटे से अंश से नमूना लिया जाता है, हालांकि (जैसे। यदि सामान्य वितरण की एक पूंछ से नमूना लेना-उदाहरण के लिए यदि लगभग 3 या अधिक है, और एक नकारात्मक नमूना वांछित है), तो यह अक्षम होगा और अन्य नमूना एल्गोरिदम पर वापस आना आवश्यक हो जाता है। कटे हुए सामान्य से सामान्य नमूने को सामान्य सी. डी. एफ. और प्रोबिट फ़ंक्शन के सन्निकटन का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है, और आर में कटे हुए-सामान्य नमूने उत्पन्न करने के लिए एक फ़ंक्शन rtnorm () है। मॉडल मूल्यांकन एक अनुमानित द्विआधारी मॉडल की उपयुक्तता का मूल्यांकन 1 के बराबर सही टिप्पणियों की संख्या और शून्य के बराबर संख्या की गणना करके किया जा सकता है, जिसके लिए मॉडल 1 (या, 0) की भविष्यवाणी के असाइनमेंट के रूप में 1/2 (या, 1/2 से नीचे) से ऊपर की किसी भी अनुमानित संभावना को मानते हुए एक सही अनुमानित वर्गीकरण प्रदान करता है। विवरण के लिए देखें। गलत विनिर्देशन के तहत प्रदर्शन प्रोबिट मॉडल के अव्यक्त चर मॉडल निर्माण पर विचार करें। जब सशर्त का विचरण स्थिर नहीं होता है, लेकिन उस पर निर्भर होता है, तो विषमलैंगिकता की समस्या उत्पन्न होती है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि एक निरंतर सकारात्मक व्याख्यात्मक चर कहाँ है। हेटेरोस्केडास्टिसिटी के तहत, प्रोबिट अनुमानक आमतौर पर असंगत होता है, और गुणांक के बारे में अधिकांश परीक्षण अमान्य होते हैं। इससे भी महत्वपूर्ण बात यह है कि अनुमानकर्ता भी असंगत हो जाता है। इस समस्या से निपटने के लिए, मूल मॉडल को होमोस्केडास्टिक में बदलने की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, उसी उदाहरण में, कहाँ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। इसलिए, और चालू प्रोबिट सशर्त संभावना के लिए एक सुसंगत अनुमानक उत्पन्न करता है जब धारणा जो सामान्य रूप से वितरित की जाती है, उसे बनाए रखने में विफल रहती है, तो एक कार्यात्मक रूप गलत विनिर्देशन मुद्दा उत्पन्न होता हैः यदि मॉडल अभी भी एक प्रोबिट मॉडल के रूप में अनुमानित है, तो गुणांक के अनुमानक असंगत हैं। उदाहरण के लिए, यदि सही मॉडल में लॉजिस्टिक वितरण का अनुसरण किया जाता है, लेकिन मॉडल का अनुमान प्रोबिट द्वारा लगाया जाता है, तो अनुमान आम तौर पर सही मूल्य से कम होंगे। हालांकि, गुणांक अनुमानों की असंगतता व्यावहारिक रूप से अप्रासंगिक है क्योंकि आंशिक प्रभावों के लिए अनुमान, सही लॉजिट मॉडल द्वारा दिए गए अनुमानों के करीब होंगे। वितरण के गलत निर्धारण के मुद्दे से बचने के लिए, त्रुटि शब्द के लिए एक सामान्य वितरण धारणा को अपनाया जा सकता है, जैसे कि कई अलग-अलग प्रकार के वितरण को मॉडल में शामिल किया जा सकता है। मानकों की संख्या बढ़ाने के लिए लागत अधिक गणना और कम सटीकता है। व्यवहार में अधिकांश मामलों में जहां वितरण रूप को गलत तरीके से निर्दिष्ट किया गया है, गुणांक के लिए अनुमानक असंगत हैं, लेकिन सशर्त संभावना और आंशिक प्रभाव के लिए अनुमानक अभी भी बहुत अच्छे हैं। कोई भी अर्ध-पैरामीट्रिक या गैर-पैरामीट्रिक दृष्टिकोण भी ले सकता है, उदाहरण के लिए, स्थानीय-आजीविका या गैर-पैरामीट्रिक अर्ध-आजीविका विधियों के माध्यम से, जो सूचकांक कार्य के लिए एक पैरामीट्रिक रूप पर धारणाओं से बचते हैं और लिंक कार्य (जैसे, प्रोबिट या लॉजिट) के चयन के लिए मजबूत होते हैं। प्रोबिट मॉडल का श्रेय आमतौर पर चेस्टर ब्लिस को दिया जाता है, जिन्होंने 1934 में "प्रोबिट" शब्द गढ़ा था और जॉन गैडम (1933) को, जिन्होंने पहले के काम को व्यवस्थित किया था। हालाँकि, मूल मॉडल गुस्ताव फेच्नर द्वारा वेबर-फेच्नर कानून का है, जिसे 1930 में प्रकाशित किया गया था, और 1930 के दशक तक बार-बार फिर से खोजा गया था। प्रोबिट मॉडल के लिए अधिकतम संभावना अनुमानों की गणना के लिए एक तेज़ विधि रोनाल्ड फिशर द्वारा 1935 में ब्लिस के काम के लिए एक परिशिष्ट के रूप में प्रस्तावित की गई थी। सामान्यीकृत रैखिक मॉडल सीमित आश्रित चर लॉजिट मॉडल मल्टीनोमियल प्रोबिट मल्टीवेरिएट प्रोबिट मॉडल आदेशित प्रोबिट और आदेशित लॉजिट मॉडल पृथक्करण (सांख्यिकी) टोबिट मॉडल संदर्भ प्रकाशित किए गएः आगे पढ़ने के लिए मार्क थोमा द्वारा बाहरी लिंक श्रेणीगत प्रतिगमन मॉडल वर्गीकरण एल्गोरिदम