Mittag-Leffler function
गणित में, मिटैग-लेफलर फलन एक विशेष फलन है, एक जटिल फलन जो दो जटिल मापदंडों पर निर्भर करता है। इसे निम्नलिखित श्रृंखला द्वारा परिभाषित किया जा सकता है जब का वास्तविक भाग सख्ती से सकारात्मक होता हैः गामा फलन कहाँ है। कब, इसे संक्षिप्त रूप में कहा जाता है। क्योंकि, ऊपर की श्रृंखला ज्यामितीय श्रृंखला के टेलर विस्तार के बराबर है और इसके परिणामस्वरूप। मामले में और वास्तविक और सकारात्मक हैं, श्रृंखला तर्क के सभी मूल्यों के लिए अभिसरण करती है, इसलिए मिटैग-लेफलर फ़ंक्शन एक संपूर्ण फ़ंक्शन है। इस फलन का नाम गोस्टा मिटैग-लेफलर के नाम पर रखा गया है। भिन्न कलन के सिद्धांत में कार्यों का यह वर्ग महत्वपूर्ण है। क्योंकि, मिटैग-लेफलर फलन क्रम का एक संपूर्ण फलन है, और कुछ अर्थों में इसके क्रम का सबसे सरल संपूर्ण फलन है। मिटैग-लेफलर फलन पुनरावृत्ति गुण (5 का प्रमेय) को संतुष्ट करता है जिससे निम्नलिखित पोइनकेयर एसिम्प्टोटिक विस्तार धारण करता हैः के लिए और वास्तविक इस तरह से कि फिर सभी के लिए, हम निम्नलिखित एसिम्प्टोटिक विस्तार (की धारा 6) दिखा सकते हैंः-के रूप मेंः,-और के रूप मेंः, जहां हमने संकेतन का उपयोग किया था। विशेष मामलों के लिए हम पाते हैंः (की धारा 2) त्रुटि कार्यः एक ज्यामितीय प्रगति का योगः घातीय कार्यः हाइपरबोलिक कोसाइनः के लिए, हमारे पास है। मिटैग-लेफलर का अभिन्न प्रतिनिधित्व मिटैग-लेफलर फलन का अभिन्न प्रतिनिधित्व (का खंड 6) है जहां समोच्च एकीकरण की विलक्षणताओं और शाखा बिंदुओं पर शुरू होता है और समाप्त होता है और उनके चारों ओर घूमता है। लाप्लास परिवर्तन और मिटैग-लेफलर योग से संबंधित अभिव्यक्ति (ईक्यू (7.5) के साथ) मिटैग-लेफलर फलन के अनुप्रयोग मिटैग-लेफलर फलन के अनुप्रयोगों में से एक आंशिक क्रम विस्कोलास्टिक सामग्री के मॉडलिंग में है। विस्कोइलास्टिक पदार्थों के समय-निर्भर विश्राम व्यवहार में प्रयोगात्मक जांच की विशेषता विश्राम प्रक्रिया की शुरुआत में तनाव में बहुत तेजी से कमी और बड़े समय के लिए बेहद धीमी क्षय है। स्थिर असिम्प्टोटिक मान तक पहुँचने में भी लंबा समय लग सकता है। इसलिए, पर्याप्त सटीकता के साथ विश्राम व्यवहार का वर्णन करने के लिए बहुत सारे मैक्सवेल तत्वों की आवश्यकता होती है। यह बड़ी संख्या में सामग्री मापदंडों की पहचान करने के लिए एक कठिन अनुकूलन समस्या में समाप्त होता है। दूसरी ओर, वर्षों से, विस्कोइलास्टिसिटी के सिद्धांत में फ्रैक्शनल डेरिवेटिव्स की अवधारणा को पेश किया गया है। इन मॉडलों में, आंशिक जेनर मॉडल को केवल कम संख्या में सामग्री मापदंडों के साथ रबर जैसी सामग्री की गतिशील प्रकृति की भविष्यवाणी करने के लिए बहुत प्रभावी पाया गया। संबंधित संरचनात्मक समीकरण का समाधान मिटैग-लेफलर प्रकार के विश्राम कार्य की ओर ले जाता है। इसे नकारात्मक तर्कों के साथ शक्ति श्रृंखला द्वारा परिभाषित किया जाता है। यह कार्य मूल पर कूद के साथ एक मनमाने और निरंतर संकेत के प्रभाव में विश्राम प्रक्रिया के सभी आवश्यक गुणों का प्रतिनिधित्व करता है। मिटैग-लेफलर समेशन मिटैग-लेफलर डिस्ट्रीब्यूशन फॉक्स-राइट फंक्शन नोट्स आर पैकेज 'मिटैगलेफलआर' गुरटेक गिल, पीटर स्ट्राका द्वारा भी देखें। मिटैग-लेफलर कार्य, वितरण, यादृच्छिक विविधता उत्पादन और आकलन को लागू करता है। संदर्भ मिटाग-लेफलर, एम. जी. : सुर ला नोवेल फोंक्शन ई (एक्स)। सी. आर. एकेड। विज्ञान. पेरिस 137,554-558 (1903) मिटाग-लेफलर, एम. जी. : सोप्रा ला फ़नज़ियोन ई ±. x/। भेजें। आर. एसी। लिन्सी, (सर। 5) 13,3-5 (1904) गोरेनफ्लो आर., किल्बास ए. ए., मैनार्डी एफ., रोगोसिन एस. वी., मिटैग-लेफलर फंक्शन, संबंधित विषय और अनुप्रयोग (स्प्रिंगर, न्यूयॉर्क, 2014) 443 पृष्ठ बाहरी लिंक मिटैग-लेफलर फंक्शनः मैटलैब कोड मिटैग-लेफलर और स्थिर यादृच्छिक संख्याएँः निरंतर-समय यादृच्छिक चलना और अंतरिक्ष-समय आंशिक प्रसार समीकरणों का यादृच्छिक समाधान विशेष कार्य विश्लेषणात्मक कार्य