Fractional Brownian motion
संभाव्यता सिद्धांत में, आंशिक ब्राउनियन गति (एफ. बी. एम.), जिसे फ्रैक्टल ब्राउनियन गति भी कहा जाता है, ब्राउनियन गति का एक सामान्यीकरण है। शास्त्रीय ब्राउनियन गति के विपरीत, एफ. बी. एम. की वृद्धि स्वतंत्र होने की आवश्यकता नहीं है। एफ. बी. एम. एक निरंतर-समय गौसी प्रक्रिया है, जो शून्य से शुरू होती है, जिसमें सभी के लिए अपेक्षा शून्य होती है, और इसमें निम्नलिखित सहप्रसरण फलन होता हैः जहां एच (0,1) में एक वास्तविक संख्या है, जिसे हर्स्ट सूचकांक या आंशिक ब्राउनियन गति से जुड़ा हर्स्ट पैरामीटर कहा जाता है। हर्स्ट प्रतिपादक परिणामी गति की उग्रता का वर्णन करता है, जिसमें एक उच्च मूल्य होता है जो एक चिकनी गति की ओर ले जाता है। इसे पेश किया गया था। एच का मान यह निर्धारित करता है कि एफबीएम किस प्रकार की प्रक्रिया हैः यदि एच = 1/2 तो प्रक्रिया वास्तव में एक ब्राउनियन गति या वीनर प्रक्रिया है; यदि एच> 1/2 तो प्रक्रिया की वृद्धि सकारात्मक रूप से सहसंबद्ध हैं; यदि एच <1/2 तो प्रक्रिया की वृद्धि नकारात्मक रूप से सहसंबद्ध हैं। भिन्न ब्राउनियन गति में स्थिर वृद्धि X (t) = BH (s + t) − BH (s) होती है (किसी भी s के लिए मान समान होता है)। वृद्धि प्रक्रिया एक्स (टी) को आंशिक गौसी शोर के रूप में जाना जाता है। आंशिक ब्राउनियन गति का एक सामान्यीकरण भी हैः n-th क्रम आंशिक ब्राउनियन गति, जिसे n-fBm के रूप में संक्षिप्त किया गया है। एन-एफ. बी. एम. एक गौसी, स्व-समान, गैर-स्थिर प्रक्रिया है जिसके क्रम एन की वृद्धि स्थिर होती है। एन = 1 के लिए, एन-एफबीएम शास्त्रीय एफबीएम है। ब्राउनियन गति की तरह जो यह सामान्यीकृत करती है, आंशिक ब्राउनियन गति का नाम 19 वीं शताब्दी के जीवविज्ञानी रॉबर्ट ब्राउन के नाम पर रखा गया है; आंशिक गॉसियन शोर का नाम गणितशास्त्री कार्ल फ्रेडरिक गॉस के नाम पर रखा गया है। पृष्ठभूमि और परिभाषा आंशिक ब्राउनियन गति की शुरुआत से पहले, उस प्रक्रिया को परिभाषित करने के लिए रीमान-लिउविल आंशिक समाकलन का उपयोग किया जाता था जहां समाकलन सफेद शोर माप डी. बी. (ओं) के संबंध में होता है। यह समाकलन आंशिक ब्राउनियन गति की परिभाषा के रूप में अनुपयुक्त साबित होता है क्योंकि इसकी उत्पत्ति पर अधिक जोर दिया जाता है। इसमें स्थिर वृद्धि नहीं होती है। इसके बजाय प्रक्रिया को परिभाषित करने के लिए सफेद शोर के एक अलग आंशिक समाकलन का उपयोग करने का विचार हैः t> 0 के लिए वेल समाकलन (और इसी तरह t <0 के लिए)। परिणामी प्रक्रिया में स्थिर वृद्धि होती है। आंशिक ब्राउनियन गति और नियमित ब्राउनियन गति के बीच मुख्य अंतर यह है कि ब्राउनियन गति में वृद्धि स्वतंत्र हैं, लेकिन आंशिक ब्राउनियन गति के लिए वृद्धि नहीं हैं। यदि एच> 1/2, तो सकारात्मक स्व-सहसंबंध हैः यदि पिछले चरणों में एक बढ़ता पैटर्न है, तो यह संभावना है कि वर्तमान चरण भी बढ़ रहा होगा। यदि एच <1/2 है, तो स्व-सहसंबंध नकारात्मक है। गुण स्व-समानता प्रक्रिया स्व-समान है, क्योंकि संभाव्यता वितरण के संदर्भ मेंः यह गुण इस तथ्य के कारण है कि सहप्रसरण फलन क्रम 2H का सजातीय है और इसे एक फ्रैक्टल गुण के रूप में माना जा सकता है। एफ. बी. एम. को अद्वितीय माध्य-शून्य गौसियन प्रक्रिया के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है, जो स्थिर और स्व-समान वृद्धि के साथ मूल रूप से शून्य है। स्थिर वृद्धि इसमें स्थिर वृद्धि होती हैः लंबी दूरी की निर्भरता एच> 1⁄2 के लिए प्रक्रिया लंबी दूरी की निर्भरता प्रदर्शित करती है, नियमितता नमूना-मार्ग लगभग कहीं भी अवकलनीय नहीं हैं। हालांकि, लगभग सभी प्रक्षेपवक्र स्थानीय रूप से H से सख्ती से कम किसी भी क्रम के लिए निरंतर होते हैंः ऐसे प्रत्येक प्रक्षेपवक्र के लिए, प्रत्येक T> 0 के लिए और प्रत्येक ε> 0 के लिए एक (यादृच्छिक) स्थिरांक c मौजूद है जैसे कि 0 <s, t <T के लिए। जहां तक नियमित ब्राउनियन गति का संबंध है, कोई भी आंशिक ब्राउनियन गति के संबंध में यादृच्छिक समाकलन को परिभाषित कर सकता है, जिसे आमतौर पर "आंशिक यादृच्छिक समाकलन" कहा जाता है। हालांकि सामान्य रूप से, नियमित ब्राउनियन गति के संबंध में इंटीग्रल के विपरीत, फ्रैक्शनल स्टोकेस्टिक इंटीग्रल सेमीमार्टिंगल नहीं होते हैं। आवृत्ति-क्षेत्र व्याख्या जैसे ब्राउनियन गति को सफेद शोर के रूप में देखा जा सकता है (अर्थात। इंटीग्रेटेड), फ्रैक्शनल ब्राउनियन मोशन सफेद शोर द्वारा फ़िल्टर किया जाता है (फ्रैक्शनल इंटीग्रेशन के अनुरूप)। नमूना पथ एक एफ. बी. एम. की व्यावहारिक कंप्यूटर प्राप्ति उत्पन्न की जा सकती है, हालांकि वे केवल एक सीमित अनुमान हैं। चुने गए नमूना पथों को एक एफ. बी. एम. प्रक्रिया पर असतत नमूना बिंदु दिखाने के रूप में सोचा जा सकता है। तीन अनुभव नीचे दिखाए गए हैं, जिनमें से प्रत्येक में हर्स्ट पैरामीटर 0.75 के साथ एक एफ. बी. एम. के 1000 अंक हैं। तीन अलग-अलग प्रकार के एफ. बी. एम. की प्राप्ति नीचे दिखाई गई है, प्रत्येक 1000 अंक दिखा रहा है, पहला हर्स्ट पैरामीटर 0.15 के साथ, दूसरा हर्स्ट पैरामीटर 0.55 के साथ, और तीसरा हर्स्ट पैरामीटर 0.95 के साथ। हर्स्ट पैरामीटर जितना अधिक होगा, वक्र उतना ही चिकना होगा। सिमुलेशन की विधि 1 ज्ञात सहप्रसरण फलन के साथ स्थिर गॉसियन प्रक्रियाओं को उत्पन्न करने के तरीकों का उपयोग करके एक एफ. बी. एम. के नमूना-पथ का अनुकरण किया जा सकता है। सबसे सरल विधि सहप्रसरण मैट्रिक्स (नीचे समझाया गया है) की चोल्स्की अपघटन विधि पर निर्भर करती है, जिसमें आकार के ग्रिड पर क्रम की जटिलता होती है। एक अधिक जटिल, लेकिन कम्प्यूटेशनल रूप से तेज विधि सर्कुलेंट एम्बेडिंग विधि है। मान लीजिए कि हम कभी-कभी चोल्स्की अपघटन विधि का उपयोग करके fBM के मूल्यों का अनुकरण करना चाहते हैं। मैट्रिक्स बनाएँ जहाँ। के वर्गमूल मैट्रिक्स की गणना करें, अर्थात। .. शिथिल रूप से, भिन्नता-सहप्रसरण मैट्रिक्स से जुड़ा "मानक विचलन" मैट्रिक्स है। एक मानक गौसी वितरण के अनुसार स्वतंत्र रूप से खींची गई n संख्याओं के वेक्टर का निर्माण करें, यदि हम परिभाषित करते हैं तो एक fBm का नमूना पथ प्राप्त होता है। गणना करने के लिए, हम उदाहरण के लिए चोल्स्की अपघटन विधि का उपयोग कर सकते हैं। एक वैकल्पिक विधि निम्न के आइगेनवैल्यू का उपयोग करती हैः चूंकि यह सममित, सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स है, इसलिए यह इस प्रकार है कि संतुष्ट करने के सभी आइगेनवैल्यू, ()। मान लीजिए कि आइगेनवैल्यूज का विकर्ण मैट्रिक्स, अर्थात। क्रोनेकर डेल्टा कहाँ है? हम प्रविष्टियों के साथ विकर्ण मैट्रिक्स के रूप में परिभाषित करते हैं, अर्थात। .. ध्यान दें कि परिणाम वास्तविक-मूल्यवान है क्योंकि। मान लीजिए कि एक आइगेनवेक्टर आइगेनवेल्यू से जुड़ा हुआ है। मैट्रिक्स के रूप में परिभाषित करें जिसका-th कॉलम आइगेनवेक्टर है। ध्यान दें कि चूंकि आइगेनवेक्टर रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, इसलिए मैट्रिक्स व्युत्क्रमणीय है। इसके बाद ऐसा होता है क्योंकि। सिमुलेशन की विधि 2 यह भी ज्ञात है कि जहाँ B एक मानक ब्राउनियन गति है और जहाँ यूलर हाइपरजियोमेट्रिक इंटीग्रल है। मान लीजिए कि हम बिंदुओं पर एक एफ. बी. एम. का अनुकरण करना चाहते हैं। मानक गौसी वितरण के अनुसार खींची गई n संख्याओं के वेक्टर का निर्माण करें। [0, T] पर ब्राउनियन गति की वृद्धि प्राप्त करने के लिए इसे घटक-वार गुणा करें। इस वेक्टर को इसके द्वारा निरूपित करें। प्रत्येक के लिए, समाकलन की गणना गौसी चतुर्भुज द्वारा कुशलता से की जा सकती है। ब्राउनियन सतह ऑटोरेग्रेसिव आंशिक रूप से एकीकृत चलती औसत मल्टीफ्रैक्टलः आंशिक ब्राउनियन गतियों का सामान्यीकृत ढांचा भी देखें। गुलाबी शोर ट्वीडी वितरण टिप्पणियाँ संदर्भ। क्रेगमाइल पी. एफ. (2003), "लंबी स्मृति प्रक्रियाओं के लिए अनुप्रयोग के साथ डेविस-हार्ट एल्गोरिदम का उपयोग करके स्थिर गौसियन प्रक्रियाओं के एक वर्ग का अनुकरण", जर्नल ऑफ टाइम्स सीरीज़ एनालिसिस, 24:505-511। .. .. .. .. समोरोडनिट्स्की जी., ताकू एम. एस. (1994), स्थिर गैर-गौसी यादृच्छिक प्रक्रियाएँ, अध्याय 7: "स्व-समान प्रक्रियाएँ" (चैपमैन और हॉल)। आगे पढ़ें। स्व-सहसंबंध