Restriction (mathematics)
गणित में, एक फलन का प्रतिबंध एक नया फलन है, जिसे मूल फलन के लिए एक छोटे डोमेन को चुनकर निरूपित या प्राप्त किया जाता है तब फलन को औपचारिक परिभाषा का विस्तार करने के लिए कहा जाता है। यदि फलन को कार्टेशियन उत्पाद पर एक संबंध के रूप में माना जाता है तो के प्रतिबंध को इसके ग्राफ द्वारा दर्शाया जा सकता है जहां जोड़े ग्राफ एक्सटेंशन में क्रमबद्ध जोड़े का प्रतिनिधित्व करते हैं एक फलन को किसी अन्य फलन का एक कहा जाता है यदि जब भी वह डोमेन में हो तो वह भी डोमेन में है और वह भी डोमेन में है और वह है, यदि और ए (क्रमशः, आदि)। एक फलन का एक विस्तार है जो एक रैखिक मानचित्र भी है (क्रमशः, एक निरंतर मानचित्र, आदि)। उदाहरण डोमेन के लिए गैर-इंजेक्टिव फ़ंक्शन का प्रतिबंध इंजेक्शन है फैक्टोरियल फ़ंक्शन सकारात्मक पूर्णांकों के लिए गामा फ़ंक्शन का प्रतिबंध है, जिसमें तर्क एक द्वारा स्थानांतरित किया जाता हैः प्रतिबंधों के गुण किसी फ़ंक्शन को उसके पूरे डोमेन तक सीमित करने से मूल फ़ंक्शन वापस मिलता है, यानी, किसी फ़ंक्शन को दो बार प्रतिबंधित करना इसे एक बार सीमित करने के समान है, यानी, यदि तब तो। अनुप्रयोग व्युत्क्रम फलन किसी फलन के व्युत्क्रम होने के लिए, यह एक-से-एक होना चाहिए। यदि कोई फलन एक-से-एक नहीं है, तो डोमेन को सीमित करके के आंशिक व्युत्क्रम को परिभाषित करना संभव हो सकता है। उदाहरण के लिए, पूरे पर परिभाषित फ़ंक्शन एक-से-एक नहीं है क्योंकि किसी भी मामले के लिए, फ़ंक्शन एक-से-एक हो जाता है यदि हम डोमेन तक ही सीमित रहते हैं तो इस मामले में (यदि हम इसके बजाय डोमेन तक ही सीमित रहते हैं तो व्युत्क्रम वर्गमूल का ऋणात्मक होता है) वैकल्पिक रूप से, डोमेन को प्रतिबंधित करने की कोई आवश्यकता नहीं है यदि हम व्युत्क्रम को एक बहु-मूल्यवान फ़ंक्शन होने की अनुमति देते हैं। चयन प्रचालक संबंधपरक बीजगणित में, एक चयन (जिसे कभी-कभी एस. क्यू. एल. के एस. ई. एल. ई. सी. टी. के उपयोग के साथ भ्रम से बचने के लिए प्रतिबंध कहा जाता है) एक यूनरी ऑपरेशन है जिसे लिखा जाता है या जहाँः और विशेषता नाम हैं, सेट में एक द्विआधारी ऑपरेशन एक मान स्थिरांक है, एक संबंध है। चयन उन सभी टुपलों का चयन करता है जिनके लिए गुण और विशेषता के बीच होता है। चयन उन सभी टुपलों का चयन करता है जिनके लिए विशेषता और मूल्य के बीच होता है इस प्रकार, चयन प्रचालक पूरे डेटाबेस के सबसेट तक सीमित रहता है। पेस्टिंग लेम्मा, पेस्टिंग लेम्मा टोपोलॉजी का एक परिणाम है जो किसी फ़ंक्शन की निरंतरता को सबसेट पर इसके प्रतिबंधों की निरंतरता से संबंधित करता है। मान लीजिए कि एक स्थलवैज्ञानिक स्थान के दो बंद उपसमुच्चय (या दो खुले उपसमुच्चय) ऐसे हैं और एक स्थलवैज्ञानिक स्थान भी हैं। यदि निरंतर है जब दोनों तक सीमित है और फिर निरंतर है। यह परिणाम एक टोपोलॉजिकल स्पेस के बंद (या खुले) सबसेट पर परिभाषित दो निरंतर कार्यों को लेने और एक नया बनाने की अनुमति देता है। शीव्स शीव्स कार्यों के अलावा वस्तुओं पर प्रतिबंधों को सामान्य बनाने का एक तरीका प्रदान करते हैं। शीफ सिद्धांत में, एक व्यक्ति एक टोपोलॉजिकल स्पेस के प्रत्येक खुले सेट को एक श्रेणी में एक वस्तु प्रदान करता है, और इसके लिए आवश्यक है कि वस्तुएं कुछ शर्तों को पूरा करें। सबसे महत्वपूर्ण शर्त यह है कि नेस्टेड ओपन सेट से जुड़ी वस्तुओं की प्रत्येक जोड़ी के बीच प्रतिबंध मॉर्फिज्म होते हैं; अर्थात, यदि वहाँ एक मॉर्फिज्म है जो निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करता है, जो एक फ़ंक्शन के प्रतिबंध की नकल करने के लिए डिज़ाइन किए गए हैंः प्रतिबंध मॉर्फिज्म के प्रत्येक खुले सेट के लिए पहचान मॉर्फिज्म है। यदि केवल पहले दो गुण संतुष्ट होते हैं, तो यह एक प्री-शीफ है। बाएँ और दाएँ प्रतिबंध अधिक सामान्य रूप से, और के बीच एक द्विआधारी संबंध के प्रतिबंध (या क्षेत्र प्रतिबंध या क्षेत्र प्रतिबंध) को क्षेत्र कोडोमेन और ग्राफ वाले संबंध के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। इसी तरह, कोई भी सही-प्रतिबंध या सीमा प्रतिबंध को परिभाषित कर सकता है। वास्तव में, कोई भी-एरी संबंधों के साथ-साथ संबंधों के रूप में समझे जाने वाले सबसेट को परिभाषित कर सकता है, जैसे कि द्विआधारी संबंधों के लिए कार्टेशियन उत्पाद। ये मामले शीव्स की योजना में फिट नहीं होते हैं। एंटी-रिस्ट्रक्शन किसी समूह द्वारा किसी फ़ंक्शन या द्विआधारी संबंध (डोमेन और कोडोमैन के साथ) के डोमेन एंटी-रिस्ट्रक्शन (या डोमेन घटाव) को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है; यह डोमेन के सभी तत्वों को हटा देता है इसे कभी-कभी ′ के रूप में दर्शाया जाता है इसी तरह, एक समूह द्वारा किसी फ़ंक्शन या द्विआधारी संबंध की सीमा एंटी-रिस्ट्रक्शन (या रेंज घटाव) को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है; यह कोडोमैन के सभी तत्वों को हटा देता है इसे कभी-कभी संदर्भ शीफ सिद्धांत भी देखें