Long-range dependence
लंबी दूरी की निर्भरता (एल. आर. डी.), जिसे लंबी स्मृति या लंबी दूरी की दृढ़ता भी कहा जाता है, एक ऐसी घटना है जो स्थानिक या समय श्रृंखला डेटा के विश्लेषण में उत्पन्न हो सकती है। यह बढ़ते समय अंतराल या बिंदुओं के बीच स्थानिक दूरी के साथ दो बिंदुओं की सांख्यिकीय निर्भरता के क्षय की दर से संबंधित है। एक घटना को आमतौर पर लंबी दूरी की निर्भरता माना जाता है यदि निर्भरता एक घातीय क्षय की तुलना में अधिक धीरे-धीरे क्षय होती है, आमतौर पर एक शक्ति जैसी क्षय। एल. आर. डी. अक्सर स्व-समान प्रक्रियाओं या क्षेत्रों से संबंधित होता है। एल. आर. डी. का उपयोग इंटरनेट यातायात प्रतिरूपण, अर्थशास्त्र, जलविज्ञान, भाषाविज्ञान और पृथ्वी विज्ञान जैसे विभिन्न क्षेत्रों में किया गया है। एल. आर. डी. की विभिन्न गणितीय परिभाषाओं का उपयोग विभिन्न संदर्भों और उद्देश्यों के लिए किया जाता है। छोटी दूरी की निर्भरता बनाम लंबी दूरी की निर्भरता लंबी दूरी की और छोटी दूरी की आश्रित स्थिर प्रक्रिया को चिह्नित करने का एक तरीका उनके स्वतः सहप्रसरण कार्यों के संदर्भ में है। एक छोटी दूरी की आश्रित प्रक्रिया के लिए, अलग-अलग समय पर मूल्यों के बीच युग्मन समय के अंतर के बढ़ने के साथ तेजी से कम हो जाता है। या तो एक निश्चित समय-अंतराल के बाद स्व-सहप्रसरण शून्य हो जाता है, या अंततः इसका घातीय क्षय होता है। एल. आर. डी. के मामले में, बहुत अधिक मजबूत युग्मन है। स्व-सहप्रसरण फलन का क्षय शक्ति की तरह होता है और इसलिए घातीय की तुलना में धीमा होता है। लंबी और छोटी दूरी की निर्भरता को चिह्नित करने का दूसरा तरीका लगातार मूल्यों के आंशिक योग के विचलन के संदर्भ में है। अल्प-सीमा निर्भरता के लिए, भिन्नता आम तौर पर शब्दों की संख्या के अनुपात में बढ़ती है। एल. आर. डी. के लिए, आंशिक राशि का विचरण अधिक तेजी से बढ़ता है जो अक्सर 1 से अधिक घातांक के साथ एक शक्ति फलन होता है। इस व्यवहार की जांच करने का एक तरीका पुनः निर्धारित सीमा का उपयोग करता है। जल संसाधनों के लिए नदियों पर बांधों के डिजाइन में लंबी दूरी की निर्भरता का यह पहलू महत्वपूर्ण है, जहां योग एक विस्तारित अवधि में बांध में कुल प्रवाह के अनुरूप होता है। उपरोक्त दो तरीके गणितीय रूप से एक दूसरे से संबंधित हैं, लेकिन वे एल. आर. डी. को परिभाषित करने के एकमात्र तरीके नहीं हैं। ऐसे मामले में जहां प्रक्रिया का स्वतःसमवर्तन मौजूद नहीं है (भारी पूंछ), किसी को यह परिभाषित करने के लिए अन्य तरीके खोजने होंगे कि एल. आर. डी. का क्या अर्थ है, और यह अक्सर स्व-समान प्रक्रियाओं की मदद से किया जाता है। हर्स्ट पैरामीटर एच एक समय श्रृंखला में लंबी दूरी की निर्भरता की सीमा का एक उपाय है (जबकि आत्म-समान प्रक्रियाओं के संदर्भ में इसका एक और अर्थ है)। एच 0 से 1 तक के मान लेता है। 0. 0 का मान लंबी दूरी की निर्भरता की अनुपस्थिति को दर्शाता है। एच जितना 1 के करीब होता है, दृढ़ता या लंबी दूरी की निर्भरता की डिग्री उतनी ही अधिक होती है। 0. 0 से कम एच एंटी-पर्सिस्टेंसी से मेल खाता है, जो एल. आर. डी. के विपरीत मजबूत नकारात्मक सहसंबंध को इंगित करता है ताकि प्रक्रिया में हिंसक उतार-चढ़ाव हो। हर्स्ट पैरामीटर का अनुमान धीरे-धीरे क्षय होने वाले विचरण, एल. आर. डी., और एक शक्ति-नियम का पालन करने वाला एक वर्णक्रमीय घनत्व एक स्थिर प्रक्रिया एक्स के अंतर्निहित सहप्रसरण के गुण की अलग-अलग अभिव्यक्तियाँ हैं। इसलिए, तीन अंतर कोणों से हर्स्ट पैरामीटर का अनुमान लगाने की समस्या से संपर्क करना संभव हैः विचलन-समय प्लॉटः कुल प्रक्रियाओं आर/एस आंकड़ों के विचलन के विश्लेषण के आधार परः पुनर्निर्धारित समायोजित सीमा पीरियडोग्राम के समय-क्षेत्र विश्लेषण के आधार परः आवृत्ति-क्षेत्र विश्लेषण पर आधारित आत्म-समान प्रक्रियाओं से संबंध एक स्थिर एल. आर. डी. अनुक्रम को देखते हुए, आंशिक योग को यदि एक उचित स्केलिंग के बाद शब्दों की संख्या द्वारा अनुक्रमित प्रक्रिया के रूप में देखा जाता है, तो यह एक स्व-समान प्रक्रिया है जिसमें स्थिर वृद्धि लक्षणहीन रूप से होती है, जिसमें सबसे विशिष्ट आंशिक ब्राउनियन गति होती है। इसके विपरीत, हर्स्ट सूचकांक एच> 0.5 के साथ स्थिर वृद्धि के साथ एक स्व-समान प्रक्रिया को देखते हुए, इसकी वृद्धि (प्रक्रिया के लगातार अंतर) एक स्थिर एल. आर. डी. अनुक्रम है। यह तब भी सही है जब अनुक्रम अल्प-सीमा पर निर्भर है, लेकिन इस मामले में आंशिक योग के परिणामस्वरूप होने वाली स्व-समान प्रक्रिया केवल ब्राउनियन गति (एच = 0.5) हो सकती है। यादृच्छिक प्रतिरूप जिनका उपयोग लंबी दूरी की निर्भरता के लिए किया जाता है, उनमें से कुछ लोकप्रिय स्व-प्रतिगामी आंशिक रूप से एकीकृत गतिशील औसत प्रतिरूप हैं, जिन्हें असतत-समय प्रक्रियाओं के लिए परिभाषित किया गया है, जबकि निरंतर-समय प्रतिरूप आंशिक ब्राउनियन गति से शुरू हो सकते हैं। लॉन्ग-टेल ट्रैफिक जनरेशन मॉडल डिटेन्डेड फ्लक्चुएशन एनालिसिस ट्वीडी डिस्ट्रीब्यूशन फ्रैक्टल डायमेंशन हर्स्ट एक्सपोनेंट नोट्स फॉरवर्ड रीडिंग ऑटोकोरिलेशन टेलीट्रैफिक टाइम सीरीज स्पेसियल एनालिसिस भी देखें।