Hilbert's fourth problem
गणित में, हिल्बर्ट की समस्याओं की 1900 की सूची में हिल्बर्ट की चौथी समस्या ज्यामिति में एक मूलभूत प्रश्न है। मूल से प्राप्त एक कथन में, यह पता लगाने के लिए था-एक समरूपता तक-सभी ज्यामितियाँ जिनमें शास्त्रीय ज्यामिति (यूक्लिडियन, हाइपरबोलिक और अण्डाकार) की स्वयंसिद्ध प्रणाली है, जिसमें समरूपता के उन स्वयंसिद्धों के साथ जो कोण की अवधारणा को शामिल करते हैं, और 'त्रिभुज असमानता', जिसे स्वयंसिद्ध माना जाता है, जोड़ा गया। यदि कोई इसके अलावा निरंतरता स्वयंसिद्ध को मानता है, तो, यूक्लिडियन तल के मामले में, हम जीन गैस्टन डार्बॉक्स द्वारा उत्पन्न समस्या पर आते हैंः "उस तल में भिन्नता समस्याओं के सभी कलन को निर्धारित करने के लिए जिसका समाधान सभी समतल सीधी रेखाएं हैं।" डेविड हिल्बर्ट के मूल कथन की कई व्याख्याएँ हैं। फिर भी, एक समाधान की तलाश की गई, जिसमें जर्मन गणितशास्त्री जॉर्ज हैमल ने सबसे पहले हिल्बर्ट की चौथी समस्या के समाधान में योगदान दिया। 1973 में सोवियत गणितशास्त्री अलेक्सी पोगोरेलोव द्वारा एक मान्यता प्राप्त समाधान दिया गया था। पॉगोरेलोव, पोलिनोए रेशेनिए IV प्रोब्लेमिस गिलबर्ट, डैन सी. एस. सी. आर. नंबर 208, टी. 1 (1973), 46-49। अंग्रेजी अनुवादः {{जर्नल। लास्ट1 = पोगोरेलोव। फर्स्ट1 = ए। V। शीर्षक = "हिल्बर्ट की चौथी समस्या का एक पूर्ण समाधान। पत्रिका = डोकलाडी अकादमी नौकरी SSSR। मात्रा = 208। मुद्दा = 1। तिथि = 1973। पृष्ठ = 48-52} </रेफ> 1976 में, आर्मेनियाई गणितशास्त्री रूबेन वी. अम्बर्टज़ुमियन ने हिल्बर्ट की चौथी समस्या का एक और प्रमाण प्रस्तावित किया। मूल कथन हिल्बर्ट गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति और गैर-आर्किमिडियन ज्यामिति के अस्तित्व पर चर्चा करता है. एक ज्यामिति जिसमें साधारण यूक्लिडियन ज्यामिति के सभी स्वयंसिद्ध हैं, और विशेष रूप से त्रिभुजों के सर्वांगसम को छोड़कर सभी सर्वांगसम स्वयंसिद्ध हैं (या सभी समद्विबाहु त्रिभुज में आधार कोणों की समानता के प्रमेय को छोड़कर), और जिसमें, इसके अलावा, यह प्रस्ताव कि प्रत्येक त्रिभुज में दो पक्षों का योग तीसरे से अधिक है, एक विशेष स्वयंसिद्ध के रूप में माना जाता है। इस विचार के कारण कि एक 'सीधी रेखा' को दो बिंदुओं के बीच सबसे छोटे मार्ग के रूप में परिभाषित किया गया है, उन्होंने उल्लेख किया है कि यूक्लिड के प्रमाण के लिए त्रिकोणों का समरूपता कैसे आवश्यक है कि समतल में एक सीधी रेखा दो बिंदुओं के बीच की सबसे छोटी दूरी है। उनका सारांश इस प्रकार हैः दो बिंदुओं के बीच की सबसे छोटी दूरी के रूप में सीधी रेखा की प्रमेय और एक त्रिभुज की भुजाओं के बारे में यूक्लिड की अनिवार्य रूप से समतुल्य प्रमेय, न केवल संख्या सिद्धांत में बल्कि सतहों के सिद्धांत और भिन्नताओं के कलन में भी महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है। इस कारण से, और क्योंकि मेरा मानना है कि इस प्रमेय की वैधता के लिए शर्तों की गहन जांच दूरी के विचार के साथ-साथ अन्य प्राथमिक विचारों पर एक नया प्रकाश डालेगी, जैसे कि समतल के विचार पर, और सीधी रेखा के विचार के माध्यम से इसकी परिभाषा की संभावना, यहाँ ज्यामिति का निर्माण और व्यवस्थित उपचार मुझे वांछनीय लगता है। समतल मेट्रिक्स डेसारग्यूज की प्रमेय-यदि दो त्रिभुज एक तल पर इस तरह स्थित हैं कि त्रिभुजों के संबंधित शीर्षों को जोड़ने वाली रेखाएं एक बिंदु पर मिलती हैं, तो तीन बिंदु, जिन पर त्रिभुजों की संबंधित भुजाओं के तीन जोड़े का विस्तार एक दूसरे को काटता है, हिलबर्ट की चौथी समस्या को हल करने के लिए आवश्यक शर्त यह है कि एक मीट्रिक स्थान जो इस समस्या के स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है, वह डेसारग्यूजियन होना चाहिए, अर्थातः यदि स्थान आयाम 2 का है, तो डेसारग्यूज की प्रमेय और इसका व्युत्क्रम होना चाहिए; यदि स्थान आयाम 2 से अधिक है, तो कोई भी तीन बिंदु एक तल पर होने चाहिए। डेसारग्यूशियन स्पेस के लिए जॉर्ज हैमल ने साबित किया कि हिल्बर्ट की चौथी समस्या के प्रत्येक समाधान को एक वास्तविक प्रोजेक्टिव स्पेस में या एक उत्तल डोमेन में दर्शाया जा सकता है यदि कोई एक विशेष मीट्रिक में उनकी लंबाई की समानता से खंडों की एकरूपता निर्धारित करता है जिसके लिए प्रोजेक्टिव स्पेस की रेखाएं भूगणितीय हैं। इस प्रकार के मेट्रिक्स को सपाट या प्रोजेक्टिव कहा जाता है। इस प्रकार, हिल्बर्ट की चौथी समस्या का समाधान सभी पूर्ण समतल मेट्रिक्स के रचनात्मक निर्धारण की समस्या के समाधान तक सीमित हो गया। हैमल ने मीट्रिक की उच्च नियमितता की धारणा के तहत इस समस्या को हल किया। हालांकि, जैसा कि सरल उदाहरणों से पता चलता है, नियमित फ्लैट मेट्रिक्स का वर्ग सभी फ्लैट मेट्रिक्स के वर्ग से छोटा है। विचाराधीन ज्यामिति के स्वयंसिद्ध सिद्धांत केवल मेट्रिक्स की निरंतरता का संकेत देते हैं। इसलिए, हिल्बर्ट की चौथी समस्या को पूरी तरह से हल करने के लिए सभी निरंतर समतल मेट्रिक्स को रचनात्मक रूप से निर्धारित करना आवश्यक है। हिल्बर्ट की चौथी समस्या का प्रागितिहास 1900 से पहले, इकाई डिस्क में लोबाचेव्स्की ज्यामिति के केले-क्लेन मॉडल को जाना जाता था, जिसके अनुसार भूगणितीय रेखाएं डिस्क की तार होती हैं और बिंदुओं के बीच की दूरी को एक चतुर्भुज के क्रॉस-अनुपात के लघुगणक के रूप में परिभाषित किया जाता है। द्वि-आयामी रीमानियन मेट्रिक्स के लिए, यूजीनियो बेलट्रामी (1835-1900) ने साबित किया कि सपाट मेट्रिक्स स्थिर वक्रता के मेट्रिक्स हैं। बहुआयामी रीमानियन मेट्रिक्स के लिए इस कथन को 1930 में ई. कार्टन द्वारा साबित किया गया था। 1890 में, संख्याओं के सिद्धांत पर समस्याओं को हल करने के लिए, हर्मन मिन्कोव्स्की ने अंतरिक्ष की एक धारणा पेश की जिसे आजकल परिमित-आयामी बनाच स्थान कहा जाता है। मिन्कोव्स्की स्थान मान लीजिए कि यूक्लिडियन स्थान में एक सघन उत्तल अतिसरफेस परिभाषित किया गया है जहां फलन निम्नलिखित शर्तों को संतुष्ट करता हैः और रूप सकारात्मक रूप से निश्चित है। वेक्टर ओ. ए. की लंबाई इस प्रकार परिभाषित की जाती हैः इस मीट्रिक के साथ एक स्थान को मिन्कोव्स्की स्थान कहा जाता है। अति सतह उत्तल होती है और अनियमित हो सकती है। परिभाषित मीट्रिक सपाट है। फिनस्लर रिक्त स्थान मान लीजिए कि एम और क्रमशः एक चिकनी परिमित-आयामी मैनिफोल्ड और इसका स्पर्शरेखा बंडल है। फलन को फिन्सलर मीट्रिक कहा जाता है यदि; किसी भी बिंदु के लिए ऑन का प्रतिबंध मिन्कोव्स्की मानक है। फिनस्लर स्पेस है। हिल्बर्ट की ज्यामिति मान लीजिए कि वर्ग C2 की सीमा और सकारात्मक सामान्य वक्रता के साथ एक बंधी हुई खुली उत्तल समुच्चय है। लोबाचेवस्की स्पेस के समान, हाइपरसर्फेस को हिल्बर्ट की ज्यामिति का निरपेक्ष कहा जाता है। हिल्बर्ट की दूरी (अंजीर देखें।) द्वारा परिभाषित किया गया है दूरी यू पर हिल्बर्ट-फिन्सलर मीट्रिक को प्रेरित करती है। किसी के लिए और (अंजीर देखें। ), हमारे पास मीट्रिक सममित और सपाट है। 1895 में, हिल्बर्ट ने इस मीट्रिक को लोबाचेवस्की ज्यामिति के सामान्यीकरण के रूप में पेश किया। यदि अतिपृष्ठ एक दीर्घवृत्ताकार है, तो हमारे पास लोबाचेव्स्की ज्यामिति है। फंक मीट्रिक 1930 में, फंक ने एक गैर-सममित मीट्रिक पेश किया। इसे एक बंद उत्तल अति सतह से घिरे क्षेत्र में परिभाषित किया गया है और यह सपाट भी है। σ-मेट्रिक्स सपाट मेट्रिक्स के लिए पर्याप्त स्थिति जॉर्ज हैमल ने सबसे पहले हिल्बर्ट की चौथी समस्या के समाधान में योगदान दिया। उन्होंने निम्नलिखित कथन को साबित किया। प्रमेय। एक नियमित फिन्सलर मीट्रिक सपाट होता है यदि और केवल तभी जब यह शर्तों को पूरा करता हैः क्रॉफ्टन सूत्र एक तल पर सभी उन्मुख रेखाओं के एक समूह पर विचार करें। प्रत्येक रेखा को मापदंडों द्वारा परिभाषित किया जाता है और जहां मूल से रेखा तक की दूरी है, और रेखा और x-अक्ष के बीच एक कोण है। फिर सभी उन्मुख रेखाओं का समूह क्षेत्र तत्व के साथ त्रिज्या 1 के गोलाकार सिलेंडर के लिए समरूप है। मान लीजिए कि एक तल पर एक सुधार योग्य वक्र है। फिर की लंबाई वह है जहाँ रेखाओं का एक समूह है जो वक्र को काटता है, और रेखा के प्रतिच्छेदन की संख्या है। क्रॉफ्टन ने 1870 में इस कथन को साबित किया। एक समान कथन एक प्रोजेक्टिव स्पेस के लिए लागू होता है। ब्लास्के-बुसमैन माप 1966 में, मास्को में अंतर्राष्ट्रीय गणितीय कांग्रेस में अपने भाषण में, हर्बर्ट बुसमैन ने सपाट मेट्रिक्स का एक नया वर्ग पेश किया। प्रोजेक्टिव प्लेन पर रेखाओं के एक समूह पर उन्होंने एक पूरी तरह से योगात्मक गैर-नकारात्मक माप पेश किया, जो निम्नलिखित शर्तों को संतुष्ट करता हैः, जहां एक बिंदु P से गुजरने वाली सीधी रेखाओं का एक समूह है;, जहां किसी सेट X से गुजरने वाली सीधी रेखाओं का एक समूह है जिसमें एक सीधी रेखा खंड होता है; सीमित है। यदि हम एक प्रोजेक्टिव स्पेस के मनमाने उत्तल क्षेत्र में एक-मीट्रिक पर विचार करते हैं, तो शर्त 3) को निम्नलिखित द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिएः किसी भी समुच्चय H के लिए जिसमें H निहित है और H का समापन सीमा को नहीं काटता है, असमानता धारण करती है। इस माप का उपयोग करते हुए,-मीट्रिक ऑन को इस बात से परिभाषित किया जाता है कि खंड को प्रतिच्छेद करने वाली सीधी रेखाओं का सेट कहाँ है। इस मीट्रिक के लिए त्रिभुज असमानता पास्च के प्रमेय से मिलती है। प्रमेय। - मीट्रिक ऑन सपाट है, यानी, जियोडेसिक प्रोजेक्टिव स्पेस की सीधी रेखाएँ हैं। लेकिन बुसमैन इस विचार से बहुत दूर थे कि-मेट्रिक्स सभी सपाट मेट्रिक्स को समाप्त कर देता है। उन्होंने लिखा, "दिए गए भूगणितीय के साथ एक मीट्रिक के चयन में स्वतंत्रता गैर-रीमैनियन मेट्रिक्स के लिए इतनी महान है कि इस बात पर संदेह किया जा सकता है कि क्या वास्तव में सभी डेसारगुएशियन रिक्त स्थान का एक विश्वसनीय लक्षण वर्णन मौजूद है।" दो-आयामी मामला पोगोरेलोव की प्रमेय निम्नलिखित प्रमेय को 1973 के प्रमेय में पोगोरेलोव द्वारा साबित किया गया था। कोई भी द्वि-आयामी निरंतर पूर्ण समतल मीट्रिक एक है-द्वि-आयामी मामले के लिए हिल्बर्ट की चौथी समस्या पूरी तरह से हल हो गई थी। इसका एक परिणाम यह है कि आप एक ही समतल उत्तल आकार की दो प्रतियों को घेरने के लिए सीमा को चिपका सकते हैं, उनके बीच एक कोण मोड़ के साथ, आपको क्रीज रेखाओं के बिना एक 3 डी वस्तु मिलेगी, दोनों चेहरे विकास योग्य हैं। एम्बर्टसुमियन के प्रमाण 1976 में, एम्बर्टसुमियन ने हिल्बर्ट की चौथी समस्या का एक और प्रमाण प्रस्तावित किया। उनका प्रमाण इस तथ्य का उपयोग करता है कि द्वि-आयामी मामले में पूरे माप को द्विभुज पर इसके मूल्यों द्वारा पुनर्स्थापित किया जा सकता है, और इस प्रकार त्रिभुज पर उसी तरह परिभाषित किया जा सकता है जैसे एक त्रिभुज के क्षेत्र को एक गोले पर परिभाषित किया जाता है। चूंकि त्रिभुज असमानता इस प्रकार है कि यह माप गैर-अपक्षयी त्रिभुजों पर धनात्मक है और सभी बोरेल समुच्चयों पर निर्धारित किया जाता है। हालाँकि, मैक्स डेहन द्वारा हल की गई हिल्बर्ट की तीसरी समस्या के कारण इस संरचना को उच्च आयामों के लिए सामान्यीकृत नहीं किया जा सकता है। द्वि-आयामी मामले में, समान आयतन वाले बहुभुज कैंची-संगत होते हैं। जैसा कि डेहन द्वारा दिखाया गया था कि यह एक उच्च आयाम के लिए सच नहीं है। त्रि-आयामी मामले के लिए पोगोरेलोव ने निम्नलिखित प्रमेय को साबित किया। प्रमेय। कोई भी त्रि-आयामी नियमित पूर्ण समतल मीट्रिक एक-metric.However है, त्रि-आयामी मामले में-उपाय सकारात्मक या नकारात्मक मान ले सकते हैं। समुच्चय के समतल होने के फलन द्वारा परिभाषित नियमित मीट्रिक के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तें निम्नलिखित तीन शर्तें हैंः किसी भी तल पर मान शून्य के बराबर होता है, किसी भी शंकु में मान गैर-नकारात्मक होता है, मान सकारात्मक होता है यदि शंकु में आंतरिक बिंदु होते हैं। इसके अलावा, पोगोरेलोव ने दिखाया कि त्रि-आयामी मामले में कोई भी पूर्ण निरंतर सपाट मीट्रिक मीट्रिक के क्षेत्र के किसी भी संक्षिप्त उप-क्षेत्र पर समान अभिसरण के साथ नियमित-मीट्रिक की सीमा है। उन्होंने उन्हें सामान्यीकृत-मेट्रिक्स कहा। इस प्रकार पोगोरेलोव निम्नलिखित कथन को साबित कर सके। प्रमेय। त्रि-आयामी मामले में कोई भी पूर्ण निरंतर सपाट मीट्रिक सामान्यीकृत meaning.Busemann में एक-मीट्रिक है, पोगोरेलोव की पुस्तक "हिल्बर्ट की चौथी समस्या" की अपनी समीक्षा में लिखा है, "उस समय की भावना में हिल्बर्ट ने खुद को n = 2,3 तक सीमित कर लिया और इसी तरह पोगोरेलोव भी करता है। हालाँकि, इसके निस्संदेह शैक्षणिक कारण हैं, क्योंकि वे पाठकों के एक विस्तृत वर्ग को संबोधित करते हैं। वास्तविक अंतर n = 2 और n> 2 के बीच है। पोगोरेलोव की विधि एन> 3 के लिए काम करती है, लेकिन अधिक तकनीकीता की आवश्यकता होती है। चतुर्थ हिल्बर्ट समस्या के बहु-आयामी मामले का अध्ययन स्ज़ाबो द्वारा किया गया था। 1986 में, उन्होंने सामान्यीकृत पोगोरेलोव प्रमेय को साबित किया, जैसा कि उन्होंने लिखा था। प्रमेय। वर्ग का प्रत्येक एन-आयामी डेसारग्यूशियन स्थान, ब्लास्के-बुसमैन निर्माण द्वारा उत्पन्न होता है। एक माप जो एक सपाट माप उत्पन्न करता है, उसके निम्नलिखित गुण होते हैंः एक निश्चित बिंदु से गुजरने वाले हाइपरप्लेन का माप शून्य के बराबर होता है; दो खंडों [x, y], [y, z] को काटते हुए हाइपरप्लेन के सेट का माप, जहां x, y τaz समरेखीय नहीं हैं, सकारात्मक है। एक सपाट मीट्रिक का उदाहरण दिया गया था जो ब्लास्के-बुसमैन निर्माण से उत्पन्न नहीं हुआ था। स्ज़ाबो ने सामान्यीकृत कार्यों के संदर्भ में सभी निरंतर सपाट मेट्रिक्स का वर्णन किया। हिल्बर्ट की चौथी समस्या और उत्तल निकाय हिल्बर्ट की चौथी समस्या भी उत्तल निकायों के गुणों से निकटता से संबंधित है। एक उत्तल पॉलीहेड्रॉन को ज़ोनोटोप कहा जाता है यदि यह खंडों का मिन्कोव्स्की योग है। एक उत्तल पिंड जो ब्लास्के-हौसडॉर्फ मीट्रिक में ज़ोनोटॉप की एक सीमा है, उसे ज़ोनॉइड कहा जाता है। ज़ोनोइड्स के लिए, समर्थन कार्य को एक गोले पर एक सम धनात्मक बोरेल माप द्वारा दर्शाया जाता है। मिन्कोव्स्की स्थान ब्लास्के-बुसमैन निर्माण द्वारा उत्पन्न किया जाता है यदि और केवल तभी जब इंडिकेट्रिक्स के समर्थन कार्य में (1) का रूप होता है, जहां सम और आवश्यक रूप से सकारात्मक बोरेल माप का नहीं होता है। इस तरह के अति सतहों से घिरे निकायों को सामान्यीकृत ज़ोनॉइड कहा जाता है। यूक्लिडियन स्पेस में ऑक्टाहेड्रॉन एक सामान्यीकृत ज़ोनॉइड नहीं है। उपरोक्त कथन से यह पता चलता है कि मानक के साथ मिन्कोव्स्की स्थान का समतल मीट्रिक ब्लास्के-बुसमैन निर्माण से उत्पन्न नहीं होता है। हिल्बर्ट की चौथी समस्या के सामान्यीकरण ग्रासमैन मैनिफोल्ड पर समतलीय एन-आयामी फिन्सलर मेट्रिक्स और विशेष सिंप्लेक्टिक रूपों के बीच पत्राचार पाया गया। हिल्बर्ट की चौथी समस्या का आवधिक समाधान माना जाता थाः मान लीजिए (एम, जी) स्थानीय रूप से एक कॉम्पैक्ट यूक्लिडियन रीमानियन मैनिफोल्ड है। मान लीजिए कि एम पर फिन्सलर मीट्रिक उसी भूगणितीय के साथ दिया गया है जैसा कि मीट्रिक जी में है। फिर फिन्सलर मीट्रिक स्थानीय रूप से मिंकॉव्स्की मीट्रिक और एक बंद 1-रूप का योग है। माना (एम, जी) एक से अधिक श्रेणी का एक कॉम्पैक्ट सममित रीमानियन स्थान है। यदि एफ एक सममित फिन्सलर मीट्रिक है जिसका भूगणक रीमानियन मीट्रिक जी के भूगणक के साथ मेल खाता है, तो (एम, जी) एक सममित फिन्सलर स्थान है। श्रेणी-एक सममित रिक्त स्थान के लिए इस प्रमेय का अनुरूप अभी तक सिद्ध नहीं हुआ है। हिल्बर्ट की चौथी समस्या की एक और व्याख्या पाइवा के काम में पाई जा सकती है। गैर-सममित फिन्सलर मीट्रिक के लिए हिल्बर्ट की चौथी समस्या अभी तक हल नहीं हुई है। उस मीट्रिक का विवरण नहीं दिया गया है जिस पर के-प्लेन के "-क्षेत्र को कम करते हैं (बुसमैन)। संदर्भ आगे पढ़ने के लिए ज्यामिति की नींव 04