Fréchet filter
गणित में, फ्रेचेट फिल्टर, जिसे कोफाइनाइट फिल्टर भी कहा जाता है, एक सेट पर सबसेट का एक निश्चित संग्रह है (यानी, यह पावर सेट का एक विशेष सबसेट है)। का एक उपसमुच्चय फ्रेचेट फ़िल्टर से संबंधित है यदि और केवल तभी जब इन का पूरक सीमित हो। इस तरह के किसी भी सेट को कहा जाता है, यही कारण है कि इसे वैकल्पिक रूप से कोफाइनाइट फिल्टर ऑन कहा जाता है। फ्रेचेट फिल्टर टोपोलॉजी में रुचि रखता है, जहां फिल्टर की उत्पत्ति हुई, और यह ऑर्डर और जाली सिद्धांत से संबंधित है क्योंकि एक सेट का पावर सेट सेट समावेशन के तहत आंशिक रूप से क्रमबद्ध सेट होता है (अधिक विशेष रूप से, यह एक जाली बनाता है)। फ्रेचेट फिल्टर का नाम फ्रांसीसी गणितशास्त्री मौरिस फ्रेचेट (1878-1973) के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने टोपोलॉजी में काम किया था। परिभाषा किसी समुच्चय के उपसमुच्चय को सह-अनंत कहा जाता है यदि उसका पूरक (अर्थात समुच्चय) परिमित है। यदि खाली सेट को फ़िल्टर में रखने की अनुमति दी जाती है, तो फ्रेचेट फ़िल्टर, जिसके द्वारा दर्शाया जाता है, के सभी कोफ़ाइनाइट सबसेट का सेट है। अर्थात्ः यदि एक परिमित समुच्चय है, तो इसका प्रत्येक कोफाइनाइट सबसेट आवश्यक रूप से खाली नहीं है, ताकि इस मामले में, पहले की गई खाली सेट धारणा बनाना आवश्यक न हो। यह जाली पर सेट समावेशन के साथ एक पावर सेट बनाता है, यह देखते हुए कि निम्नलिखित दो स्थितियों में एक सेट के पूरक को दर्शाता हैः इंटरसेक्शन स्थिति यदि दो सेट परिमित रूप से पूरक हैं तो उनका प्रतिच्छेदन भी है, क्योंकि और ऊपरी-सेट स्थिति यदि एक सेट परिमित रूप से पूरक है तो इसके सुपरसेट भी हैं। गुण यदि आधार समुच्चय परिमित है, तो चूंकि प्रत्येक उपसमुच्चय और विशेष रूप से प्रत्येक पूरक, तब परिमित है। इस मामले को कभी-कभी परिभाषा द्वारा बाहर रखा जाता है या अन्यथा अनुचित फ़िल्टर कहा जाता है जिसे सीमित होने की अनुमति देना फ्रेचेट फ़िल्टर के मुक्त और गैर-प्रमुख होने के लिए एक एकल अपवाद बनाता है क्योंकि एक सीमित सेट पर एक फ़िल्टर मुक्त नहीं हो सकता है और एक गैर-प्रमुख फ़िल्टर में सदस्यों के रूप में कोई एकल नहीं हो सकता है। यदि अनंत है, तो इसका प्रत्येक सदस्य अनंत है क्योंकि यह केवल अपने सदस्यों में से कई को सीमित रूप से घटा देता है। इसके अतिरिक्त, यह अनंत है क्योंकि इसके उपसमुच्चय में से एक उन सभी का समूह है जहां फ्रेचेट फ़िल्टर मुक्त और गैर-प्रमुख दोनों है, ऊपर उल्लिखित परिमित मामले को छोड़कर, और प्रत्येक मुक्त फ़िल्टर में शामिल है। यह (अनंत) के सभी परिमित उपसमुच्चय के आदर्श का दोहरा फिल्टर भी है। फ्रेचेट फिल्टर आवश्यक रूप से एक अल्ट्राफिल्टर (या अधिकतम उचित फिल्टर) है। उस शक्ति समुच्चय पर विचार करें जहाँ प्राकृतिक संख्याएँ हैं। सम संख्याओं का समुच्चय विषम संख्याओं के समुच्चय का पूरक होता है। चूँकि इनमें से कोई भी सेट सीमित नहीं है, न तो सेट फ्रेचेट फ़िल्टर में है, हालांकि, एक (कोई अन्य गैर-अपक्षयी फ़िल्टर) मुक्त है यदि और केवल तभी जब इसमें फ्रेचेट फ़िल्टर शामिल हो। अल्ट्राफिल्टर लेम्मा बताता है कि प्रत्येक गैर-अपक्षयी फिल्टर किसी अल्ट्राफिल्टर में निहित होता है। मुक्त अल्ट्राफिल्टर्स का अस्तित्व 1930 में टार्स्की द्वारा स्थापित किया गया था, जो पसंद के स्वयंसिद्ध के बराबर एक प्रमेय पर निर्भर करता है और गैर-मानक विश्लेषण में हाइपररियल के निर्माण में उपयोग किया जाता है। उदाहरण यदि एक परिमित समुच्चय है, यह मानते हुए कि खाली समुच्चय एक फ़िल्टर में हो सकता है, तो फ़्रेचेट फ़िल्टर में इसके सभी उपसमुच्चय शामिल हैं। प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय पर, अनंत अंतरालों का समुच्चय एक फ्रेचेट फ़िल्टर आधार है, यानी, फ्रेचेट फ़िल्टर में के तत्वों के सभी सुपरसेट होते हैं। संदर्भ बाहरी लिंक जे. बी. नेशन, नोट्स ऑन लैटिस थ्योरी, पाठ्यक्रम नोट्स, संशोधित 2017 भी देखें। क्रम सिद्धांत टोपोलॉजी