Strong antichain
क्रम सिद्धांत में, आंशिक रूप से क्रमबद्ध समुच्चय पी का एक उपसमुच्चय ए एक मजबूत नीचे की ओर विरोधी है यदि यह एक विरोधी है जिसमें पी में किसी भी दो अलग-अलग तत्वों की एक सामान्य निचली सीमा नहीं है, यानी, उस मामले में जहां पी को समावेश द्वारा क्रमबद्ध किया जाता है, और उपसमुच्चय के तहत बंद किया जाता है, लेकिन इसमें खाली समुच्चय नहीं होता है, यह केवल जोड़ीदार असंबद्ध समुच्चयों का एक परिवार है। एक मजबूत ऊपर की ओर एंटीचेन बी पी का एक उपसमुच्चय है जिसमें पी में किसी भी दो अलग-अलग तत्वों की एक सामान्य ऊपरी सीमा नहीं होती है। लेखक अक्सर "ऊपर की ओर" और "नीचे की ओर" शब्द को छोड़ देते हैं और केवल मजबूत एंटीचेन को संदर्भित करते हैं। दुर्भाग्य से, इस बारे में कोई आम परंपरा नहीं है कि किस संस्करण को एक मजबूत एंटीचेन कहा जाता है। जबरदस्ती के संदर्भ में, लेखक कभी-कभी "मजबूत" शब्द को भी छोड़ देते हैं और केवल एंटीचेन का उल्लेख करते हैं। इस मामले में अस्पष्टताओं को हल करने के लिए, कमजोर प्रकार के एंटीचेन को कमजोर एंटीचेन कहा जाता है। यदि (पी, ≤) एक आंशिक क्रम है और एक अलग एक्स, वाई, पी मौजूद है जैसे कि {एक्स, वाई} एक मजबूत एंटीचेन है, तो (पी, ≤) एक जाली (या यहां तक कि एक मीट सेमीलैटिस) नहीं हो सकता है, क्योंकि परिभाषा के अनुसार, एक जाली (या मीट सेमीलैटिस) में प्रत्येक दो तत्वों की एक सामान्य निचली सीमा होनी चाहिए। इस प्रकार जाली में केवल मामूली मजबूत एंटीचेन होते हैं (यानी, कार्डिनलिटी के मजबूत एंटीचेन अधिकतम 1)। संदर्भ क्रम सिद्धांत