Rössler attractor
रॉस्लर प्रणाली के लिए रॉस्लर आकर्षण आकर्षक है, जो तीन गैर-रैखिक साधारण अंतर समीकरणों की एक प्रणाली है जिसका मूल रूप से 1970 के दशक में ओटो रॉस्लर द्वारा अध्ययन किया गया था। ये विभेदक समीकरण एक निरंतर-समय गतिशील प्रणाली को परिभाषित करते हैं जो आकर्षण के अस्थि-विभाजक गुणों से जुड़ी अराजक गतिशीलता को प्रदर्शित करता है। रॉस्लर ने इसकी व्याख्या एक टैफी-खींचने वाली मशीन के औपचारिकरण के रूप में की। रॉस्लर प्रणाली के कुछ गुणों का अनुमान रैखिक विधियों जैसे कि आइगेनवेक्टर्स के माध्यम से लगाया जा सकता है, लेकिन प्रणाली की मुख्य विशेषताओं के लिए गैर-रैखिक विधियों जैसे कि पोइनकेयर मानचित्र और द्विभाजन आरेख की आवश्यकता होती है। मूल रॉस्लर पेपर में कहा गया है कि रॉस्लर आकर्षण का उद्देश्य लॉरेंज आकर्षण के समान व्यवहार करना था, लेकिन गुणात्मक रूप से विश्लेषण करना भी आसान था। आकर्षण के भीतर एक कक्षा एक अस्थिर निश्चित बिंदु के आसपास तल के करीब एक बाहरी सर्पिल का अनुसरण करती है। एक बार जब ग्राफ पर्याप्त रूप से बाहर निकल जाता है, तो एक दूसरा निश्चित बिंदु ग्राफ को प्रभावित करता है, जिससे-आयाम में वृद्धि और मोड़ होता है। समय क्षेत्र में, यह स्पष्ट हो जाता है कि हालांकि प्रत्येक चर मूल्यों की एक निश्चित सीमा के भीतर दोलन कर रहा है, दोलन अराजक हैं। इस आकर्षण में लोरेन्ज़ आकर्षण के साथ कुछ समानताएं हैं, लेकिन यह सरल है और इसमें केवल एक कई गुना है। ओटो रॉस्लर ने 1976 में रॉस्लर आकर्षण तैयार किया था, लेकिन मूल रूप से सैद्धांतिक समीकरणों को बाद में रासायनिक प्रतिक्रियाओं में संतुलन के प्रतिरूपण में उपयोगी पाया गया। परिभाषा रॉस्लर प्रणाली के परिभाषित समीकरण हैंः रॉस्लर ने, और, के गुणों के साथ अराजक आकर्षण का अध्ययन किया, और तब से अधिक सामान्य रूप से उपयोग किया जा रहा है। स्थलवैज्ञानिक विश्लेषण का उपयोग करके पैरामीटर स्थान की एक और पंक्ति की जांच की गई थी। यह, से मेल खाता है, और इसे द्विभाजन पैरामीटर के रूप में चुना गया था। रॉस्लर ने समीकरणों के इस समूह की खोज कैसे की, इसकी जांच लेटेलियर और मैसेजर ने की थी। स्थिरता विश्लेषण रॉस्लर आकर्षण की कुछ भव्यता इसके दो समीकरणों के रैखिक होने के कारण है; सेटिंग, समतल पर व्यवहार की जांच की अनुमति देती है समतल में स्थिरता तब जैकोबियन के आइगेनवैल्यू की गणना करके पाई जा सकती है, जो हैं। इससे, हम देख सकते हैं कि जब, आईगन मान जटिल होते हैं और दोनों में एक सकारात्मक वास्तविक घटक होता है, जो मूल को समतल पर एक बाहरी सर्पिल के साथ अस्थिर बनाता है। अब इस सीमा के संदर्भ में समतल व्यवहार पर विचार करें। इसलिए जब तक यह शब्द उससे छोटा है, तब तक यह कक्षा को समतल के करीब रखेगा। जैसे-जैसे कक्षा उससे बड़ी होती जाती है, मान चढ़ना शुरू हो जाते हैं। हालाँकि, जैसे-जैसे चढ़ता है, समीकरण में वृद्धि रुक जाती है। स्थिर बिंदु निश्चित बिंदुओं को खोजने के लिए, तीन रॉस्लर समीकरणों को शून्य पर सेट किया जाता है और प्रत्येक निश्चित बिंदु के (,,) निर्देशांक परिणामी समीकरणों को हल करके निर्धारित किए जाते हैं। इससे प्रत्येक निश्चित बिंदु निर्देशांक के सामान्य समीकरण प्राप्त होते हैंः जिनका उपयोग बदले में दिए गए पैरामीटर मूल्यों के सेट के लिए वास्तविक निश्चित बिंदुओं को दिखाने के लिए किया जा सकता हैः जैसा कि ऊपर रॉस्लर एट्रैक्टर के सामान्य भूखंडों में दिखाया गया है, इनमें से एक निश्चित बिंदु आकर्षण लूप के केंद्र में रहता है और दूसरा आकर्षण से अपेक्षाकृत दूर होता है। आइगेनवैल्यूज और आइगेनवेक्टर्स इनमें से प्रत्येक निश्चित बिंदु की स्थिरता का विश्लेषण उनके संबंधित आइगेनवैल्यूज और आइगेनवेक्टर्स का निर्धारण करके किया जा सकता है। जैकोबियन से शुरूः आइगेनवैल्यू को निम्नलिखित घन को हल करके निर्धारित किया जा सकता हैः केंद्रीय रूप से स्थित निश्चित बिंदु के लिए, रॉस्लर के मूल पैरामीटर मान a = 0.2, b = 0.2, और c = 5.7 के उपज आइगेनवैल्यूः एक नकारात्मक आइगेनवैल्यू का परिमाण संबंधित आइगेनवेक्टर के साथ आकर्षण के स्तर को दर्शाता है। इसी तरह एक सकारात्मक आइगेनवैल्यू का परिमाण संबंधित आइगेनवेक्टर के साथ प्रतिकर्षण के स्तर को दर्शाता है। इन आइगेनवैल्यूज के अनुरूप आइगेनवेक्टर्स इस प्रकार हैंः इन आइगेनवेक्टर्स के कई दिलचस्प निहितार्थ हैं। सबसे पहले, दो आइगेनवेल्यू/आइगेनवेक्टर जोड़े (और) आकर्षण के मुख्य डिस्क में होने वाली स्थिर बाहरी स्लाइड के लिए जिम्मेदार हैं। अंतिम आइगेनवेल्यू/आइगेनवेक्टर जोड़ी एक अक्ष के साथ आकर्षित कर रही है जो मैनिफोल्ड के केंद्र से गुजरती है और आकर्षण के भीतर होने वाली z गति के लिए जिम्मेदार है। इस प्रभाव को मोटे तौर पर नीचे दिए गए चित्र के साथ प्रदर्शित किया गया है। यह आंकड़ा केंद्रीय स्थिर बिंदु आइगेनवेक्टर्स की जांच करता है। नीली रेखा, और के साथ उत्पन्न मानक रॉस्लर आकर्षण से मेल खाती है। इस आकर्षण के केंद्र में लाल बिंदु है। उस निश्चित बिंदु को छेदने वाली लाल रेखा और द्वारा उत्पन्न प्रतिकर्षण तल का एक चित्रण है। हरी रेखा आकर्षण का एक चित्रण है। मैजेंटा रेखा आकर्षित करने वाले आइगेनवेक्टर पर एक बिंदु से समय के माध्यम से पीछे की ओर कदम रखते हुए उत्पन्न होती है जो थोड़ा ऊपर होता है-यह उन बिंदुओं के व्यवहार को दर्शाता है जो पूरी तरह से उस वेक्टर द्वारा हावी हो जाते हैं। ध्यान दें कि मैजेंटा रेखा निश्चित बिंदु पर ऊपर की ओर खींचने से पहले आकर्षण के तल को लगभग छूती है; इससे पता चलता है कि रॉस्लर आकर्षण का सामान्य रूप और व्यवहार काफी हद तक आकर्षण और विकर्षण और तल के बीच बातचीत का एक उत्पाद है। विशेष रूप से इसका तात्पर्य है कि रॉस्लर समीकरणों से उत्पन्न एक अनुक्रम चारों ओर घूमना शुरू कर देगा, वेक्टर में ऊपर की ओर खींचा जाना शुरू हो जाएगा, जिससे एक वक्र की ऊपर की ओर भुजा बनती है जो वेक्टर की ओर थोड़ा अंदर की ओर झुकती है और फिर से बाहर की ओर धकेल दी जाती है क्योंकि इसे पीछे की ओर खींचा जाता है। बाहरी निश्चित बिंदु के लिए, रॉस्लर के मूल पैरामीटर मान, और इन आइगेनवैल्यूज के उपज आइगेनवैल्यूज हैंः इन आइगेनवैल्यूज के अनुरूप आइगेनवैल्यूज और आइगेनवैल्यूज ये हैंः हालांकि ये आइगेनवैल्यूज और आइगेनवैल्यूज रॉस्लर आकर्षण में मौजूद हैं, उनका प्रभाव रॉस्लर प्रणाली के पुनरावृत्तियों तक सीमित है जिनकी प्रारंभिक स्थितियां इस बाहरी निश्चित बिंदु के सामान्य आसपास के क्षेत्र में हैं। उन मामलों को छोड़कर जहां प्रारंभिक स्थितियां और द्वारा उत्पन्न आकर्षक तल पर होती हैं, इस प्रभाव में प्रभावी रूप से परिणामी प्रणाली को सामान्य रॉस्लर आकर्षण की ओर धकेलना शामिल है। जैसे-जैसे परिणामी अनुक्रम केंद्रीय निश्चित बिंदु और आकर्षण के पास पहुंचता है, इस दूर के निश्चित बिंदु (और इसके आइगेनवेक्टर) का प्रभाव कम हो जाएगा। पोइनकेयर मानचित्र पोइनकेयर मानचित्र का निर्माण हर बार जब यह एक विशिष्ट दिशा में एक निर्धारित तल से गुजरता है तो फलन के मूल्य को प्लॉट करके किया जाता है। एक उदाहरण यह होगा कि हर बार जब यह उस तल से गुजरता है जहां नकारात्मक से सकारात्मक में बदल रहा है, तो मान को प्लॉट करना, आमतौर पर लोरेन्ज़ आकर्षण का अध्ययन करते समय किया जाता है। रॉस्लर आकर्षण के मामले में, तल दिलचस्प नहीं है, क्योंकि रॉस्लर समीकरणों की प्रकृति के कारण मानचित्र हमेशा तल को पार करता है। के लिए समतल में, पोइनकेयर मानचित्र मूल्यों में वृद्धि को दर्शाता है जैसे-जैसे वृद्धि होती है, जैसा कि रॉस्लर प्लॉट के ऊपर की ओर और मोड़ खंड के कारण अपेक्षित है। इस विशिष्ट पोइनकेयर भूखंड में बिंदुओं की संख्या अनंत है, लेकिन जब एक अलग मूल्य का उपयोग किया जाता है, तो अंकों की संख्या भिन्न हो सकती है। उदाहरण के लिए, 4 के मान के साथ, पोइनकेयर मानचित्र पर केवल एक बिंदु है, क्योंकि फलन एक अवधि की आवधिक कक्षा देता है, या यदि मान 12.8 पर सेट किया गया है, तो छह कक्षा की अवधि के अनुरूप छह बिंदु होंगे। लोरेंज़ मानचित्र लोरेंज़ मानचित्र एक प्रक्षेपवक्र में एक निर्देशांक के क्रमिक अधिकतम के बीच का संबंध है। आकर्षण पर एक प्रक्षेपवक्र पर विचार करें, और इसके x-निर्देशांक का n-th अधिकतम होने दें। फिर-स्कैटरप्लॉट लगभग एक वक्र है, जिसका अर्थ है कि किसी को जानना लगभग सटीक भविष्यवाणी कर सकता है। स्थानीय अधिकतम का मानचित्रण लोरेंज़ एट्रैक्टर पर मूल पेपर में, एडवर्ड लोरेंज़ ने तुरंत पूर्ववर्ती स्थानीय अधिकतम के खिलाफ स्थानीय अधिकतम का विश्लेषण किया। जब इसकी कल्पना की गई, तो कथानक तम्बू के नक्शे से मिलता-जुलता था, जिसका अर्थ है कि मानचित्र और आकर्षण के बीच इसी तरह के विश्लेषण का उपयोग किया जा सकता है। रॉस्लर आकर्षण के लिए, जब स्थानीय अधिकतम को अगले स्थानीय अधिकतम के खिलाफ प्लॉट किया जाता है, तो परिणामी प्लॉट (यहाँ,, के लिए दिखाया गया है) एक विषम हेनॉन मानचित्र के समान है। यह जानते हुए कि रॉस्लर आकर्षण का उपयोग छद्म 1-डी मानचित्र बनाने के लिए किया जा सकता है, यह फिर समान विश्लेषण विधियों का उपयोग करने के लिए अनुसरण करता है। द्विभाजन आरेख एक विशेष रूप से उपयोगी विश्लेषण विधि है। मापदंडों में भिन्नता रॉस्लर आकर्षण का व्यवहार काफी हद तक इसके स्थिर मापदंडों के मूल्यों का एक कारक है, और। सामान्य तौर पर, प्रत्येक पैरामीटर को बदलने से सिस्टम को एक आवधिक कक्षा, निश्चित बिंदु, या अनंत की ओर भागने के लिए प्रेरित करके एक तुलनीय प्रभाव पड़ता है, हालांकि प्रत्येक पैरामीटर के लिए विशिष्ट श्रेणियां और प्रेरित व्यवहार काफी भिन्न होते हैं। रॉस्लर प्रणाली की आवधिक कक्षाएं, या "इकाई चक्र", केंद्रीय बिंदु के आसपास लूप की संख्या से परिभाषित होती हैं जो लूप श्रृंखला के खुद को दोहराना शुरू करने से पहले होती हैं। गतिशील प्रणालियों के व्यवहार का विश्लेषण करने के लिए द्विभाजन आरेख एक सामान्य उपकरण हैं, जिनमें से रॉस्लर आकर्षण एक है। वे प्रणाली के समीकरणों को चलाकर बनाए जाते हैं, एक चर को छोड़कर सभी को स्थिर रखते हैं और अंतिम को बदलते हैं। फिर, उन बिंदुओं का एक ग्राफ तैयार किया जाता है जो क्षणिक कारकों के बाद बदले गए चर दौरों के लिए एक विशेष मूल्य को बेअसर कर दिया गया है। अराजक क्षेत्रों को भूखंड के भरे हुए क्षेत्रों द्वारा इंगित किया जाता है। a को यहाँ बदलते हुए, 0.20 पर तय किया गया है, 5.7 पर तय किया गया है और बदल जाता है। परिवर्तन पर आकर्षणकर्ता के व्यवहार की संख्यात्मक परीक्षा से पता चलता है कि इसका आकर्षणकर्ता के व्यवहार पर असमान प्रभाव पड़ता है। विश्लेषण के परिणाम हैंःः केंद्रीय रूप से स्थित निश्चित बिंदु में परिवर्तित होता हैः अवधि 1 का इकाई चक्रः रॉस्लर द्वारा चयनित मानक पैरामीटर मान, अराजकः अराजक आकर्षण, काफी अधिक मोबियस पट्टी की तरह (अपने आप पर मोड़ना)। :. 3 के समान, लेकिन तेजी से अराजक. 35 के समान, लेकिन तेजी से अराजक। भिन्न बी यहाँ, 0.20 पर तय किया गया है, 5.7 पर तय किया गया है और परिवर्तन होता है। जैसा कि साथ के आरेख में दिखाया गया है, जैसे-जैसे 0 की ओर बढ़ता है, आकर्षण अनंत की ओर बढ़ता है (के बहुत छोटे मानों के लिए ऊपर की ओर ध्यान दें। अन्य मापदंडों की तुलना में, भिन्नता एक बड़ी सीमा उत्पन्न करती है जब अवधि-3 और अवधि-6 कक्षाएं घटित होंगी। और के विपरीत, उच्च मान अवधि-1 में अभिसरण करते हैं, न कि एक अराजक अवस्था में। सी यहाँ बदल रहा है, और परिवर्तन। द्विभाजन आरेख से पता चलता है कि के निम्न मान आवधिक होते हैं, लेकिन बढ़ने के साथ जल्दी से अराजक हो जाते हैं। यह पैटर्न बढ़ने के साथ खुद को दोहराता है-अराजकता की अवधि के साथ आवधिकता के खंड हैं, और प्रवृत्ति बढ़ती हुई उच्च अवधि की कक्षाओं की ओर है। उदाहरण के लिए, एक कक्षा की अवधि केवल लगभग 4 के मानों के लिए दिखाई देती है और द्विभाजन आरेख में फिर कभी नहीं पाई जाती है। यही घटना अवधि तीन के साथ देखी जाती है; तब तक, अवधि तीन कक्षाएं पाई जा सकती हैं, लेकिन उसके बाद, वे दिखाई नहीं देती हैं। मूल्यों की एक श्रृंखला पर बदलते आकर्षण का एक चित्रमय चित्रण इन सभी पैरामीटर विश्लेषणों के लिए देखे गए सामान्य व्यवहार को दर्शाता है-आवधिकता और अपेरियोडिसिटी के बीच लगातार संक्रमण। छवियों का उपरोक्त सेट पोस्ट-ट्रांसिएंट रॉस्लर प्रणाली में भिन्नताओं को दर्शाता है जैसा कि मूल्यों की एक श्रृंखला में भिन्न है। इन छवियों के साथ उत्पन्न किया गया था। , अवधि-1 कक्षा। , अवधि-2 कक्षा। , अवधि-4 कक्षा। , अवधि-8 कक्षा। , विरल अराजक आकर्षण। , अवधि-3 कक्षा। , अवधि-6 कक्षा। , विरल अराजक आकर्षण। , भरा हुआ अराजक आकर्षण। आवधिक कक्षाएँ आकर्षण आवधिक कक्षाओं से सघनता से भरा होता हैः ऐसे समाधान जिनके लिए ऐसी कक्षाओं का गैर-शून्य मान मौजूद होता है। इन दिलचस्प समाधानों को न्यूटन की विधि का उपयोग करके संख्यात्मक रूप से प्राप्त किया जा सकता है। आवधिक कक्षाएं कार्य की जड़ें हैं, जहां समय के अनुसार विकास होता है और पहचान होती है। चूंकि अधिकांश गतिशीलता x-y तल में होती है, इसलिए आवधिक कक्षाओं को प्रक्षेपण के बाद केंद्रीय संतुलन के आसपास उनकी घुमावदार संख्या द्वारा वर्गीकृत किया जा सकता है। संख्यात्मक प्रयोग से ऐसा लगता है कि सभी सकारात्मक घुमावदार संख्याओं के लिए एक अद्वितीय आवधिक कक्षा है। अपक्षय की यह कमी संभवतः समस्या की समरूपता की कमी से उत्पन्न होती है। आकर्षण को आसानी से पचाने वाले अपरिवर्तनीय मैनिफोल्ड में विच्छेदित किया जा सकता हैः 1 डी आवधिक कक्षाएं और आवधिक कक्षाओं के 2 डी स्थिर और अस्थिर मैनिफोल्ड। ये अपरिवर्तनीय मैनिफोल्ड आकर्षण का एक प्राकृतिक कंकाल हैं, जैसे परिमेय संख्याएँ वास्तविक संख्याओं के लिए होती हैं। गतिशील प्रणाली सिद्धांत के उद्देश्यों के लिए, इन मैनिफोल्ड्स के टोपोलॉजिकल अपरिवर्तकों में रुचि हो सकती है। आवधिक कक्षाएं अंतर्निहित प्रतियां हैं, इसलिए उनके स्थलवैज्ञानिक गुणों को गाँठ सिद्धांत के साथ समझा जा सकता है। घुमावदार संख्या 1 और 2 के साथ आवधिक कक्षाएं एक हॉप लिंक बनाती हैं, जिससे पता चलता है कि कोई भी डिफियोमोर्फिज्म इन कक्षाओं को अलग नहीं कर सकता है। अन्य विषयों के लिंक रॉस्लर आकर्षण में स्पष्ट बैंडिग एक कैंटर सेट के समान है जो अपने मध्य बिंदु के बारे में घूमता है। इसके अतिरिक्त, रॉस्लर आकर्षण में होने वाला आधा-मोड़ केवल आकर्षण के एक हिस्से को प्रभावित करता है। रॉस्लर ने दिखाया कि उनका आकर्षण वास्तव में एक "सामान्य बैंड" और एक मोबियस पट्टी का संयोजन था। संदर्भ बाहरी लिंक PovRay Rossler1976.pdf लोरेन्ज़ और रॉस्लर आकर्षण का उपयोग करके फ़्लैश एनिमेशन-जावा एनीमेशन 3D आकर्षणः 3 आयामों में रॉस्लर और लोरेन्ज़ आकर्षण की कल्पना और अन्वेषण करने के लिए मैक प्रोग्राम स्कॉलरपीडिया रॉस्लर आकर्षण में रॉस्लर आकर्षणः 3D में संख्यात्मक संवादात्मक प्रयोग-experiences.math.cnrs.fr-(जावास्क्रिप्ट/वेबल) अराजक मानचित्र