Direct comparison test
गणित में, तुलना परीक्षण, जिसे कभी-कभी समान संबंधित परीक्षणों (विशेष रूप से सीमा तुलना परीक्षण) से अलग करने के लिए प्रत्यक्ष तुलना परीक्षण कहा जाता है, एक अनंत श्रृंखला या अनुचित समाकलन के अभिसरण या विचलन का अनुमान लगाने का एक तरीका प्रदान करता है। दोनों ही मामलों में, परीक्षण दी गई श्रृंखला या समाकलन की तुलना उस से करके काम करता है जिसके अभिसरण गुण ज्ञात हैं। कलन में श्रृंखला के लिए, श्रृंखला के लिए तुलना परीक्षण में आम तौर पर गैर-नकारात्मक (वास्तविक-मूल्यवान) शब्दों के साथ अनंत श्रृंखला के बारे में बयानों की एक जोड़ी होती हैः यदि अनंत श्रृंखला अभिसरण करती है और सभी के लिए पर्याप्त रूप से बड़े n (यानी सभी के लिए कुछ निश्चित मान N के लिए), तो अनंत श्रृंखला भी अभिसरण करती है। यदि अनंत श्रृंखला अलग हो जाती है और सभी पर्याप्त रूप से बड़े n के लिए, तो अनंत श्रृंखला भी अलग हो जाती है। ध्यान दें कि बड़ी शर्तों वाली श्रृंखला को कभी-कभी छोटी शर्तों के साथ श्रृंखला पर हावी (या अंततः हावी) कहा जाता है। वैकल्पिक रूप से, परीक्षण को निरपेक्ष अभिसरण के संदर्भ में कहा जा सकता है, इस मामले में यह जटिल शब्दों वाली श्रृंखला पर भी लागू होता हैः यदि अनंत श्रृंखला पूरी तरह से अभिसारी है और सभी पर्याप्त रूप से बड़े n के लिए, तो अनंत श्रृंखला भी पूरी तरह से अभिसारी है। यदि अनंत श्रृंखला पूरी तरह से अभिसारी नहीं है और सभी पर्याप्त रूप से बड़े n के लिए, तो अनंत श्रृंखला भी पूरी तरह से अभिसारी नहीं है। ध्यान दें कि इस अंतिम कथन में, श्रृंखला अभी भी सशर्त रूप से अभिसारी हो सकती है; वास्तविक मूल्य वाली श्रृंखला के लिए, यह तब हो सकता है जब सभी गैर-नकारात्मक न हों। कथन की दूसरी जोड़ी वास्तविक मूल्य वाली श्रृंखला के मामले में पहले के बराबर होती है क्योंकि पूरी तरह से तभी अभिसरण होती है जब गैर-नकारात्मक शब्दों वाली श्रृंखला अभिसरण करती है। प्रमाण ऊपर दिए गए सभी कथनों के प्रमाण समान हैं। यह तीसरे कथन का प्रमाण है। माना और अनंत श्रृंखला ऐसी हो जो पूरी तरह से अभिसरण करती है (इस प्रकार अभिसरण करती है), और व्यापकता के नुकसान के बिना मान लें कि सभी सकारात्मक पूर्णांकों के लिए n। आंशिक योग पर विचार करें क्योंकि कुछ वास्तविक संख्या T के लिए बिल्कुल अभिसरण करता है। सभी n के लिए, एक गैर-घटता अनुक्रम है और गैर-बढ़ता है। यह देखते हुए कि दोनों अंतराल से संबंधित हैं, जिनकी लंबाई अनंत तक जाने पर शून्य हो जाती है। यह दर्शाता है कि यह एक कौची अनुक्रम है, और इसलिए इसे एक सीमा तक अभिसरण करना चाहिए। इसलिए, यह पूरी तरह से अभिसारी है। समाकलन के लिए समाकलन के लिए तुलना परीक्षण निम्नानुसार कहा जा सकता है, यह मानते हुए कि निरंतर वास्तविक-मूल्य वाले फलन f और g पर b के साथ या तो एक वास्तविक संख्या है जिस पर f और g प्रत्येक में एक ऊर्ध्वाधर एसिम्प्टोट हैः यदि अनुचित समाकलन अभिसरण करता है और के लिए, तो अनुचित समाकलन भी इसके साथ अभिसरण करता है यदि अनुचित समाकलन विचलन करता है और के लिए, तो अनुचित समाकलन भी विचलन करता है। अनुपात तुलना परीक्षण वास्तविक मूल्य वाली श्रृंखला के अभिसरण के लिए एक अन्य परीक्षण, जो उपरोक्त प्रत्यक्ष तुलना परीक्षण और अनुपात परीक्षण दोनों के समान है, को अनुपात तुलना परीक्षण कहा जाता हैः यदि अनंत श्रृंखला अभिसरण करती है और, और सभी पर्याप्त रूप से बड़े n के लिए, तो अनंत श्रृंखला भी अभिसरण करती है। यदि अनंत श्रृंखला अलग हो जाती है और, और सभी पर्याप्त रूप से बड़े n के लिए, तो अनंत श्रृंखला भी अलग हो जाती है। अभिसरण परीक्षण भी देखें अभिसरण (गणित) प्रबल अभिसरण प्रमेय अभिसरण के लिए समाकलन परीक्षण सीमा तुलना परीक्षण मोनोटोन अभिसरण प्रमेय नोट्स संदर्भ अभिसरण परीक्षण fr: Série convergente#Principe général: règles de comparaion