Cunningham Project
कनिंघम परियोजना 1925 में बी = 2,3,5,6,7,10,11,12 और बड़े एन के लिए बीएन ± 1 रूप की संख्या को कारक बनाने के लिए शुरू किया गया एक सहयोगी प्रयास है। परियोजना का नाम एलन जोसेफ चैंपनीज़ कनिंघम के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने हर्बर्ट जे. वुडल के साथ तालिका का पहला संस्करण प्रकाशित किया था। तालिका के तीन मुद्रित संस्करण हैं, सबसे हाल ही में 2002 में प्रकाशित, साथ ही सैमुअल वागस्टाफ द्वारा एक ऑनलाइन संस्करण भी है। प्रतिपादकों की वर्तमान सीमाएँ हैंः कनिंघम संख्या के कारक दो प्रकार के कारक एक कनिंघम संख्या से एक गुणनखंडन एल्गोरिथ्म का उपयोग किए बिना प्राप्त किए जा सकते हैंः द्विपद संख्याओं के बीजगणितीय कारक (जैसे। दो वर्गों का अंतर और दो क्यूब्स का योग), जो प्रतिपादक पर निर्भर करता है, और ऑरिफ्यूलियन कारक, जो आधार और प्रतिपादक दोनों पर निर्भर करते हैं। बीजगणितीय कारक प्राथमिक बीजगणित से, सभी k के लिए, और विषम k के लिए। इसके अलावा, b2n−1 = (bn−1) (bn + 1)। इस प्रकार, जब m n को विभाजित करता है, तो bm−1 और bm + 1 bn−1 के कारक हैं यदि m पर n का भागफल सम है; केवल पहली संख्या एक कारक है यदि भागफल विषम है। bm + 1 bn-1 का एक कारक है, यदि m n को विभाजित करता है और भागफल विषम है। वास्तव में, और अधिक जानकारी के लिए इस पृष्ठ को देखें। जब संख्या एक विशेष रूप की होती है (सटीक अभिव्यक्ति आधार के साथ भिन्न होती है), तो ऑरिफ्यूलियन गुणनखंडन का उपयोग किया जा सकता है, जो दो या तीन संख्याओं का गुणनफल देता है। निम्नलिखित समीकरण कनिंघम परियोजना आधारों के लिए एफ, एल और एम के गुणनफल के रूप में ऑरिफ़्यूलियन कारक देते हैंः मान लीजिए कि बी = एस 2 × के वर्ग मुक्त के के साथ, यदि शर्तों में से एक है, तो ऑरिफ़्यूलियन गुणनखंडन करें। (i) और (ii) और अन्य कारक एक बार बीजगणितीय और ऑरिफ्यूलियन कारकों को हटा दिए जाने के बाद, bn ±1 के अन्य कारक हमेशा 2kn + 1 के रूप में होते हैं, क्योंकि वे सभी इसके कारक होते हैं। जब n अभाज्य होता है, तो बीजगणितीय और ऑरिफ्यूलियन दोनों कारक संभव नहीं होते हैं, सिवाय तुच्छ कारकों के (b-1 bn-1 के लिए और b + 1 bn + 1 के लिए)। मर्सेन संख्याओं के लिए, अभाज्य n के लिए तुच्छ कारक संभव नहीं हैं, इसलिए सभी कारक 2kn + 1 के रूप में हैं। सामान्य तौर पर, (bn−1) और (b−1) के सभी कारक 2kn + 1 के रूप में होते हैं, जहाँ b ≤ 2 और n अभाज्य होते हैं, सिवाय तब जब n, b−1 को विभाजित करता है, जिस स्थिति में (bn−1)/(b−1) स्वयं n से विभाज्य होता है। bn−1 रूप की कनिंघम संख्याएँ केवल तभी अभाज्य हो सकती हैं जब b = 2 हो और n अभाज्य हो, यह मानते हुए कि n ≤ 2; ये मर्सेन संख्याएँ हैं। bn + 1 रूप की संख्याएँ केवल तभी अभाज्य हो सकती हैं जब b सम हो और n 2 की घात हो, फिर से n ≤ 2 मानते हुए; ये सामान्यीकृत फर्माट संख्याएँ हैं, जो b = 2 होने पर फर्माट संख्याएँ हैं। फर्माट संख्या 22n + 1 का कोई भी कारक k2n + 2 + 1 के रूप में होता है। संकेतन bn−1 को b, n− के रूप में दर्शाया जाता है। इसी तरह, bn + 1 को b, n + के रूप में दर्शाया जाता है। ऑरिफ्यूलियन फैक्टराइजेशन के लिए आवश्यक फॉर्म की संख्या के साथ काम करते समय, बी, एनएल और बी, एनएम का उपयोग उपरोक्त उत्पादों में एल और एम को दर्शाने के लिए किया जाता है। बी, एन-और बी, एन + के संदर्भ उस संख्या के लिए हैं जिसमें सभी बीजगणितीय और ऑरिफ्यूलियन कारक हटा दिए गए हैं। उदाहरण के लिए, मर्सेन संख्याएँ 2, n-के रूप में होती हैं और फर्माट संख्याएँ 2,2n + के रूप में होती हैं; 1871 में फैक्टर की गई ऑरिफ़्यूइल संख्या 2,58L और 2,58M का गुणनफल थी। कनिंघम संख्या ईसीएमएनईटी और NFS@Home भी देखें, कनिंघम परियोजना के लिए काम करने वाले दो सहयोग संदर्भ बाहरी लिंक कनिंघम परियोजना होमपेज bn ±1, b = 2,3,5,6,7,10,11,12 उच्च शक्तियों तक के फैक्टराइजेशन, bn ±1, b = 2,3,5,6,7,10,11,12 उच्च शक्तियों तक के दूसरे संस्करण फैक्टराइजेशन, तीसरा संस्करण मशीन-पठनीय कनिंघम टेबल कनिंघम परियोजना ब्रेंट-मोंटगोमेरी-टी रीले टेबल (उच्च आधारों के लिए कनिंघम टेबल (आधार 13 ≤ b ≤ 99, सही शक्तियों को बाहर रखा गया है, क्योंकि bn की शक्ति भी b की शक्ति है)) प्राइम डब्ल्यू पर ऑनलाइन कारक संग्रह परियोजना कनिंघम