Lie theory
गणित में, गणितशास्त्री सोफुस लाइ (Sofus Lie) ने विभेदक समीकरणों, परिवर्तन समूहों और क्षेत्रों के संपर्क को शामिल करते हुए अध्ययन की पंक्तियों की शुरुआत की, जिन्हें लाइ सिद्धांत कहा जाने लगा है। उदाहरण के लिए, बाद वाला विषय लाइ स्फीयर ज्योमेट्री है। यह लेख परिवर्तन समूहों के प्रति उनके दृष्टिकोण को संबोधित करता है, जो गणित के क्षेत्रों में से एक है, और विल्हेम किलिंग और एली कार्टन द्वारा तैयार किया गया था। लाइ सिद्धांत की नींव लाइ बीजगणित से लाइ समूहों से संबंधित घातीय मानचित्र है जिसे लाइ समूह-लाइ बीजगणित पत्राचार कहा जाता है। यह विषय विभेदक ज्यामिति का हिस्सा है क्योंकि लाइ समूह विभेदक कई गुना होते हैं। लाइ समूह पहचान (1) से विकसित होते हैं और एक-पैरामीटर उपसमूहों के लिए स्पर्शरेखा वैक्टर लाइ बीजगणित उत्पन्न करते हैं। एक लाइ समूह की संरचना इसके बीजगणित में निहित है, और लाइ बीजगणित की संरचना मूल प्रणालियों और मूल डेटा द्वारा व्यक्त की जाती है। लाइ सिद्धांत गणितीय भौतिकी में विशेष रूप से उपयोगी रहा है क्योंकि यह मानक परिवर्तन समूहों का वर्णन करता हैः गैलीलियन समूह, लॉरेंट्ज़ समूह, पॉइनकेयर समूह और अंतरिक्ष काल के अनुरूप समूह। प्राथमिक झूठ सिद्धांत एक-पैरामीटर समूह झूठ सिद्धांत का पहला उदाहरण है। कॉम्पैक्ट केस जटिल तल में यूलर के सूत्र के माध्यम से उत्पन्न होता है। अन्य एक-पैरामीटर समूह विभाजित-जटिल संख्या तल में इकाई हाइपरबोला के रूप में और दोहरी संख्या तल में रेखा के रूप में पाए जाते हैं इन मामलों में लाइ बीजगणित मापदंडों के नाम हैंः कोण, हाइपरबोलिक कोण और ढलान। कोण की ये प्रजातियाँ ध्रुवीय अपघटन प्रदान करने के लिए उपयोगी हैं जो 2 x 2 वास्तविक मैट्रिक्स के उप-बीजगणों का वर्णन करती हैं। एक शास्त्रीय 3-पैरामीटर लाइ समूह और बीजगणित जोड़ी हैः इकाई लंबाई के चतुर्थक जिन्हें 3-गोले के साथ पहचाना जा सकता है। इसका लाइ बीजगणित चतुर्धातुक वैक्टरों का उपक्षेत्र है। चूँकि कम्यूटेटर ij−i = 2k है, इस बीजगणित में लाइ ब्रैकेट साधारण वेक्टर विश्लेषण के क्रॉस उत्पाद का दोगुना है। एक अन्य प्राथमिक 3-पैरामीटर उदाहरण हाइजेनबर्ग समूह और इसके लाइ बीजगणित द्वारा दिया गया है। झूठ सिद्धांत के मानक उपचार अक्सर शास्त्रीय समूहों के साथ शुरू होते हैं। 1888 से 1896 तक फ्रेडरिक एंगेल और जॉर्ज शेफर्स के साथ सोफस लाइ द्वारा रचित पुस्तकों में झूठ सिद्धांत की प्रारंभिक अभिव्यक्तियाँ पाई जाती हैं। लाइ के शुरुआती काम में, विचार निरंतर समूहों के एक सिद्धांत का निर्माण करना था, जो फेलिक्स क्लेन और हेनरी पॉइनकेयर के हाथों में मॉड्यूलर रूपों के सिद्धांत में विकसित असतत समूहों के सिद्धांत का पूरक था। लाइ के दिमाग में जो प्रारंभिक अनुप्रयोग था, वह विभेदक समीकरणों के सिद्धांत के लिए था। गैलोइस सिद्धांत और बहुपद समीकरणों के मॉडल पर, प्रेरक अवधारणा एक सिद्धांत की थी जो समरूपता के अध्ययन द्वारा, साधारण विभेदक समीकरणों के पूरे क्षेत्र को एकीकृत करने में सक्षम थी। इतिहासकार थॉमस डब्ल्यू. हॉकिन्स के अनुसार, यह एली कार्टन ही थे जिन्होंने झूठ सिद्धांत को बनाया कि यह क्या हैः जबकि झूठ में कई उपजाऊ विचार थे, कार्टन मुख्य रूप से अपने सिद्धांत के विस्तार और अनुप्रयोगों के लिए जिम्मेदार थे जिन्होंने इसे आधुनिक गणित का एक बुनियादी घटक बना दिया है। वे ही थे जिन्होंने वेल की कुछ मदद से हत्या के मौलिक, अनिवार्य रूप से बीजगणितीय विचारों को अर्ध-सरल लाइ बीजगणित की संरचना और प्रतिनिधित्व के सिद्धांत में विकसित किया जो वर्तमान में लाइ सिद्धांत में ऐसी मौलिक भूमिका निभाता है। और हालांकि लाइ ने ज्यामिति के लिए अपने सिद्धांत के अनुप्रयोगों की कल्पना की, यह कार्टन ही थे जिन्होंने वास्तव में उन्हें बनाया, उदाहरण के लिए सममित और सामान्यीकृत रिक्त स्थान के अपने सिद्धांतों के माध्यम से, जिसमें सभी परिचर उपकरण (गतिशील फ्रेम, बाहरी विभेदक रूप, आदि) शामिल हैं। परिवर्तन समूहों पर अपने काम में, सोफ़स लाइ ने उन समूहों और बीजगणित से संबंधित तीन प्रमेयों को साबित किया जो उनके नाम पर हैं। पहली प्रमेय ने असीम परिवर्तनों के माध्यम से बीजगणित के आधार को प्रदर्शित किया। दूसरी प्रमेय ने बीजगणित में कम्यूटेटर उत्पादों के परिणामस्वरूप बीजगणित की संरचना स्थिरांक को प्रदर्शित किया। तीसरी प्रमेय ने दिखाया कि ये स्थिरांक सममित-विरोधी हैं और जैकोबी पहचान को संतुष्ट करते हैं। जैसा कि रॉबर्ट गिलमोर ने लिखा हैः झूठ के तीन प्रमेय किसी भी झूठ समूह से जुड़े झूठ बीजगणित के निर्माण के लिए एक तंत्र प्रदान करते हैं। वे एक लाइ बीजगणित के गुणों को भी दर्शाते हैं। लाइ के तीन प्रमेयों के रूपांतरण इसके विपरीत करते हैंः वे किसी भी सीमित आयामी लाइ बीजगणित के साथ एक लाइ समूह को जोड़ने के लिए एक तंत्र प्रदान करते हैं। टेलर का प्रमेय लाइ बीजगणित से एक विहित विश्लेषणात्मक संरचना फलन φ (β, α) के निर्माण की अनुमति देता है। ये सात प्रमेय-झूठ के तीन प्रमेय और उनके वार्तालाप, और टेलर का प्रमेय-झूठ समूहों और बीजगणित के बीच एक आवश्यक समानता प्रदान करते हैं। झूठ सिद्धांत के पहलू झूठ सिद्धांत अक्सर शास्त्रीय रैखिक बीजगणितीय समूहों के अध्ययन पर बनाया जाता है। विशेष शाखाओं में वेल समूह, कॉक्सेटर समूह और इमारतें शामिल हैं। शास्त्रीय विषय को झूठ प्रकार के समूहों तक विस्तारित किया गया है। 1900 में डेविड हिल्बर्ट ने पेरिस में गणितविदों की अंतर्राष्ट्रीय कांग्रेस में प्रस्तुत अपनी पांचवीं समस्या के साथ झूठ सिद्धांतकारों को चुनौती दी। बेकर-कैम्पबेल-हौसडॉर्फ सूत्र भी देखें झूठ समूहों के विषयों की सूची झूठ समूह समाकलक टिप्पणियाँ और संदर्भ जॉन ए. कोलमैन (1989) "द ग्रेटेस्ट मैथमेटिकल पेपर ऑफ ऑल टाइम", द मैथमेटिकल इंटेलिजेंसर 11 (3): 29-38। आगे पढ़िए एम. ए. अकीविस और बी. ए. रोसेनफेल्ड (1993) एली कार्टन (1869-1951), वी. वी. द्वारा रूसी मूल से अनुवादित। गोल्डबर्ग, चैप्टर 2: लाइ ग्रुप्स एंड लाइ अल्जेब्रा, अमेरिकन मैथमेटिकल सोसाइटी। पी. एम. कोहन (1957) लाइ ग्रुप्स, कैम्ब्रिज ट्रैक्ट्स इन मैथमेटिकल फिजिक्स। जे. एल. कूलिज (1940) ए हिस्ट्री ऑफ जियोमेट्रिक मेथड्स, पीपी 304-17, ऑक्सफोर्ड यूनिवर्सिटी प्रेस (डोवर पब्लिकेशंस 2003)। रॉबर्ट गिलमोर (2008) लाइ ग्रुप्स, फिजिक्स एंड ज्योमेट्रीः एन इंट्रोडक्शन फॉर फिजिसिस्ट्स, इंजीनियर्स एंड केमिस्ट्स, कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस। एफ. रीज़ हार्वे (1990) स्पिनर्स एंड कैलिब्रेशन, एकेडेमिक प्रेस। .. हेल्डरमैन वेर्लाग जर्नल ऑफ लाइ थ्योरी विभेदक समीकरण गणित का इतिहास