Checking whether a coin is fair
सांख्यिकी में, यह जाँचने का प्रश्न कि क्या एक सिक्का उचित है, वह है जिसका महत्व, सबसे पहले, एक सरल समस्या प्रदान करने में निहित है, जिस पर सांख्यिकीय अनुमान के बुनियादी विचारों को स्पष्ट किया जा सकता है और दूसरा, एक सरल समस्या प्रदान करने में जिसका उपयोग निर्णय सिद्धांत सहित सांख्यिकीय अनुमान के विभिन्न प्रतिस्पर्धी तरीकों की तुलना करने के लिए किया जा सकता है। यह जाँचने की व्यावहारिक समस्या कि क्या एक सिक्का उचित है, इसे पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में परीक्षण करके आसानी से हल किया जा सकता है, लेकिन सांख्यिकी और संभाव्यता सिद्धांत दो प्रकार के प्रश्नों पर मार्गदर्शन प्रदान कर सकते हैं; विशेष रूप से कितने परीक्षण करने हैं और परीक्षणों के दिए गए नमूने से प्राप्त सिर उठाने की संभावना के अनुमान की सटीकता। एक निष्पक्ष सिक्का दो अवस्थाओं (आमतौर पर "हेड" और "टेल" नामक) के साथ एक आदर्श यादृच्छिक उपकरण है जो समान रूप से होने की संभावना है। यह खेल और अन्य स्थितियों में व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले सिक्का पलट पर आधारित है जहां दो पक्षों को जीतने का समान मौका देने की आवश्यकता होती है। या तो एक विशेष रूप से डिज़ाइन की गई चिप या आम तौर पर एक साधारण मुद्रा सिक्के का उपयोग किया जाता है, हालांकि बाद वाला एक असममित वजन वितरण के कारण थोड़ा "अनुचित" हो सकता है, जो एक राज्य को दूसरे की तुलना में अधिक बार होने का कारण बन सकता है, जिससे एक पक्ष को अनुचित लाभ मिल सकता है। इसलिए प्रायोगिक रूप से यह परीक्षण करना आवश्यक हो सकता है कि क्या सिक्का वास्तव में "उचित" है-यानी, क्या सिक्के के उछलते समय दोनों तरफ गिरने की संभावना बिल्कुल 50 प्रतिशत है। निष्पक्षता से मनमाने ढंग से छोटे विचलनों को खारिज करना निश्चित रूप से असंभव है जैसे कि फ़्लिपिंग के जीवनकाल में केवल एक फ़्लिप को प्रभावित करने की उम्मीद की जा सकती है; साथ ही एक अनुचित (या "पक्षपाती") सिक्के के लिए 20 फ़्लिप में ठीक 10 सिर होना हमेशा संभव है। इसलिए, किसी भी निष्पक्षता परीक्षण को केवल एक निश्चित स्तर की निष्पक्षता (एक निश्चित अधिकतम पूर्वाग्रह) में एक निश्चित स्तर का विश्वास स्थापित करना चाहिए। अधिक कठोर शब्दावली में, समस्या बर्नौली परीक्षणों के केवल एक सीमित नमूने को देखते हुए बर्नौली प्रक्रिया के मापदंडों को निर्धारित करने की है। प्रस्तावना यह लेख यह निर्धारित करने के लिए प्रयोगात्मक प्रक्रियाओं का वर्णन करता है कि कोई सिक्का उचित है या अनुचित। इस तरह की प्रयोगात्मक प्रक्रिया का विश्लेषण करने के लिए कई सांख्यिकीय तरीके हैं। यह लेख उनमें से दो का वर्णन करता है। दोनों विधियाँ एक प्रयोग (या परीक्षण) निर्धारित करती हैं जिसमें सिक्के को कई बार उछाला जाता है और प्रत्येक उछाल का परिणाम दर्ज किया जाता है। इसके बाद परिणामों का सांख्यिकीय रूप से विश्लेषण किया जा सकता है ताकि यह तय किया जा सके कि सिक्का "उचित" है या "शायद उचित नहीं"। पोस्टीरियर प्रोबेबिलिटी डेंसिटी फंक्शन, या पीडीएफ (बायेसियन एप्रोच)। प्रारंभ में, एक सिक्के को उछालने पर एक विशेष पक्ष प्राप्त करने की वास्तविक संभावना अज्ञात है, लेकिन अनिश्चितता को "पूर्व वितरण" द्वारा दर्शाया जाता है। बायेसियन अनुमान के सिद्धांत का उपयोग पूर्व वितरण और संभावना कार्य को मिलाकर पश्च वितरण प्राप्त करने के लिए किया जाता है जो प्रयोग से प्राप्त जानकारी का प्रतिनिधित्व करता है। यह संभावना कि यह विशेष सिक्का एक "उचित सिक्का" है, फिर प्रासंगिक अंतराल पर पश्च वितरण की पीडीएफ को एकीकृत करके प्राप्त किया जा सकता है जो उन सभी संभावनाओं का प्रतिनिधित्व करता है जिन्हें व्यावहारिक अर्थों में "उचित" के रूप में गिना जा सकता है। वास्तविक संभाव्यता का अनुमानक (आवर्ती दृष्टिकोण)। यह विधि मानती है कि प्रयोगकर्ता सिक्के को कितनी भी बार उछालने का निर्णय ले सकता है। प्रयोगकर्ता पहले आवश्यक आत्मविश्वास के स्तर और त्रुटि के सहनीय अंतर पर निर्णय लेता है। ये मापदंड टॉस की न्यूनतम संख्या निर्धारित करते हैं जिसे प्रयोग को पूरा करने के लिए किया जाना चाहिए। इन दोनों दृष्टिकोणों के बीच एक महत्वपूर्ण अंतर यह है कि पहला दृष्टिकोण सिक्कों को उछालने के पूर्व अनुभव को कुछ महत्व देता है, जबकि दूसरा नहीं देता है। उस अनुभव की गुणवत्ता (विश्वसनीयता) के आधार पर, पूर्व अनुभव को कितना महत्व देना है, इस सवाल पर विश्वसनीयता सिद्धांत के तहत चर्चा की जाती है। पश्च संभाव्यता घनत्व फलन एक विधि बायेसियन संभाव्यता सिद्धांत के पश्च संभाव्यता घनत्व फलन की गणना करना है। एक परीक्षण सिक्के को एन बार उछालकर और सिर, एच और पूंछ, टी की देखी गई संख्या को नोट करके किया जाता है। एच और टी प्रतीक क्रमशः सिर और पूंछ की संख्या को व्यक्त करने वाले अधिक सामान्यीकृत चर का प्रतिनिधित्व करते हैं जो प्रयोग में देखे गए हो सकते हैं। इस प्रकार एन = एच + टी = एच + टी। इसके बाद, मान लीजिए कि आर सिक्के के एक टॉस में शीर्ष प्राप्त करने की वास्तविक संभावना है। यह उस सिक्के की संपत्ति है जिसकी जांच की जा रही है। बेयस के प्रमेय का उपयोग करते हुए, एच और टी पर सशर्त आर का पश्च संभाव्यता घनत्व निम्नानुसार व्यक्त किया जाता हैः जहां जी (आर) आर के पूर्व संभाव्यता घनत्व वितरण का प्रतिनिधित्व करता है, जो 0 से 1 की सीमा में स्थित है। पूर्व संभाव्यता घनत्व वितरण सारांशित करता है कि किसी भी अवलोकन के अभाव में r के वितरण के बारे में क्या ज्ञात है। हम मान लेंगे कि आर का पूर्व वितरण अंतराल [0,1] पर समान है। अर्थात्, g (r) = 1। (व्यवहार में, वास्तविक सिक्कों के साथ हमारे अनुभव को प्रतिबिंबित करने के लिए, एक पूर्व वितरण को मान लेना अधिक उचित होगा जो लगभग 0.5 के क्षेत्र में बहुत अधिक भारी है।) किसी सिक्के के एन टॉस में आर के बराबर सिरों की संभावना के साथ एच हेड प्राप्त करने की संभावना द्विपद वितरण द्वारा दी जाती हैः इसे पिछले सूत्र में प्रतिस्थापित करनाः यह वास्तव में एक बीटा वितरण है (द्विपद वितरण के लिए पूर्व संयुग्म), जिसका भाजक बीटा फ़ंक्शन के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता हैः जैसा कि एक समान पूर्व वितरण माना गया है, और क्योंकि एच और टी पूर्णांक हैं, इसे भाज्यों के संदर्भ में भी लिखा जा सकता हैः उदाहरण के लिए, मान लीजिए एन = 10, एच = 7, यानी। सिक्के को 10 बार उछाला जाता है और 7 शीर्ष प्राप्त किए जाते हैंः दाईं ओर का ग्राफ r के प्रायिकता घनत्व फलन को दर्शाता है, यह देखते हुए कि 10 शीर्षों में 7 शीर्ष प्राप्त किए गए थे। (नोटः आर एक ही सिक्के को एक बार उछालते समय सिर प्राप्त करने की संभावना है।) वैकल्पिक परिकल्पना (एक पक्षपाती सिक्का) की तुलना में एक निष्पक्ष सिक्के (इस उद्देश्य के लिए परिभाषित किया गया है कि जिसके सिर नीचे आने की संभावना 45 प्रतिशत और 55 प्रतिशत के बीच है) की संभावना कम है। हालाँकि, यह इतना छोटा नहीं है कि हम यह विश्वास कर सकें कि सिक्के में एक महत्वपूर्ण पूर्वाग्रह है। यह संभावना इस संभावना के हमारे अनुमान से थोड़ी अधिक है कि सिक्का समान पूर्व वितरण के अनुरूप उचित था, जो कि 10 प्रतिशत था। एक पूर्व वितरण का उपयोग करना जो एक सिक्का क्या है और यह कैसे कार्य करता है, इसके बारे में हमारे पूर्व ज्ञान को दर्शाता है, पश्च वितरण पूर्वाग्रह की परिकल्पना का समर्थन नहीं करेगा। हालाँकि इस उदाहरण में परीक्षणों की संख्या (10 टॉस) बहुत कम है, और अधिक परीक्षणों के साथ पूर्व वितरण का विकल्प कुछ कम प्रासंगिक होगा।) समान पूर्व के साथ, पश्च संभाव्यता वितरण f (r। H = 7, T = 3) r = h/(h + t) = 0.7 पर अपने शिखर को प्राप्त करता है; इस मान को r का अधिकतम पश्चवर्ती (MAP) अनुमान कहा जाता है। इसके अलावा समान पूर्व के साथ, पश्च वितरण के तहत r का अपेक्षित मान वास्तविक संभाव्यता का अनुमान है इस दृष्टिकोण का उपयोग करते हुए, सिक्के को कितनी बार उछाला जाना चाहिए, यह निर्धारित करने के लिए दो मापदंडों की आवश्यकता होती हैः विश्वास स्तर जिसे विश्वास अंतराल (Z) द्वारा दर्शाया जाता है अधिकतम (स्वीकार्य) त्रुटि (E) विश्वास स्तर को Z द्वारा दर्शाया जाता है और एक मानक सामान्य वितरण के Z-मान द्वारा दिया जाता है। इस मान को सामान्य वितरण के लिए एक मानक अंक सांख्यिकी तालिका से पढ़ा जा सकता है। कुछ उदाहरण हैंः अधिकतम त्रुटि (ई) को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है कि शीर्ष प्राप्त करने की अनुमानित संभावना कहाँ है। नोटः इस लेख में पिछले खंड के समान ही वास्तविक संभावना (प्रमुख प्राप्त करने की) है। सांख्यिकी में, एक नमूने के अनुपात (पी द्वारा निरूपित) के अनुमान में एक मानक त्रुटि दी गई हैः जहाँ एन परीक्षणों की संख्या है (जिसे पिछले खंड में एन द्वारा निरूपित किया गया था)। पी के इस मानक त्रुटि फलन में अधिकतम है। इसके अलावा, एक सिक्का उछाले जाने के मामले में, यह संभावना है कि पी 0.5 से बहुत दूर नहीं होगा, इसलिए निम्नलिखित में पी = 0.5 लेना उचित हैः {। बॉर्डर = "0" सेलपैडिंग = "0"।-।।।। और इसलिए अधिकतम त्रुटि (ई) का मान {। बॉर्डर = "0" सेलपैडिंग = "0"।-।।। द्वारा दिया जाता है। यदि 0.01 की अधिकतम त्रुटि वांछित है, तो सिक्के को कितनी बार उछाला जाना चाहिए? 68.27% विश्वास के स्तर पर (Z = 1) 95.45% विश्वास के स्तर पर (Z = 2) 99.90% विश्वास के स्तर पर (Z = 3.3) 2। यदि सिक्के को 10000 बार उछाला जाता है, तो (सिक्का उछालने में शीर्ष प्राप्त करने की वास्तविक संभावना) के मूल्य पर अनुमानक की अधिकतम त्रुटि क्या है? 68.27% विश्वास के स्तर पर (Z = 1) 95.45% विश्वास के स्तर पर (Z = 2) 99.90% विश्वास के स्तर पर (Z = 3.3) 3। इस सिक्के को 5961 सिरों (और 6039 पूंछ) के साथ 12000 बार उछाला जाता है। यदि 99.999% का विश्वास स्तर वांछित है तो (शीर्ष प्राप्त करने की वास्तविक संभावना) का मूल्य किस अंतराल के भीतर निहित है? अब विश्वास के 99.999% स्तर के अनुरूप Z का मान ज्ञात कीजिए। अब ई की गणना करें जिस अंतराल में आर होता है वह इस प्रकार हैः अन्य दृष्टिकोण निर्णय सिद्धांत का उपयोग करके यह जांचने के प्रश्न के लिए अन्य दृष्टिकोण उपलब्ध हैं कि क्या एक सिक्का उचित है, जिसके अनुप्रयोग के लिए लॉस फ़ंक्शन या यूटिलिटी फ़ंक्शन के निर्माण की आवश्यकता होगी जो दिए गए निर्णय लेने के परिणामों का वर्णन करता है। एक दृष्टिकोण जो या तो हानि कार्य या पूर्व संभावना (जैसा कि बायेसियन दृष्टिकोण में) की आवश्यकता से बचाता है, वह है "स्वीकृति नमूनाकरण"। अन्य अनुप्रयोग यह निर्धारित करने के लिए कि कोई सिक्का उचित है या नहीं, उपरोक्त गणितीय विश्लेषण को अन्य उपयोगों पर भी लागू किया जा सकता है। उदाहरण के लिएः किसी विशेष (लेकिन अच्छी तरह से परिभाषित) स्थिति के अधीन उत्पाद के लिए दोषपूर्ण वस्तुओं के अनुपात का निर्धारण करना। कभी-कभी किसी उत्पाद का उत्पादन करना बहुत कठिन या महंगा हो सकता है। इसके अलावा, यदि ऐसे उत्पादों के परीक्षण के परिणामस्वरूप उनका विनाश होगा, तो कम से कम वस्तुओं का परीक्षण किया जाना चाहिए। इसी तरह के विश्लेषण का उपयोग करके, उत्पाद दोष दर का संभाव्यता घनत्व कार्य पाया जा सकता है। दो दलों का चुनाव। यदि एक छोटा यादृच्छिक नमूना सर्वेक्षण लिया जाता है जहां केवल दो पारस्परिक रूप से अनन्य विकल्प होते हैं, तो यह संभवतः पक्षपाती सिक्के का उपयोग करके एक सिक्के को कई बार उछालने के समान है। इसलिए डाले गए मतों के वास्तविक अनुपात के लिए विश्वास निर्धारित करने के लिए एक समान विश्लेषण लागू किया जा सकता है। (यदि लोगों को परहेज करने की अनुमति है तो विश्लेषण को उस पर ध्यान देना चाहिए, और सिक्का-फ़्लिप सादृश्य काफी नहीं है।) पशु प्रजातियों के एक बड़े समूह में लिंग अनुपात का निर्धारण करना। बशर्ते कि एक छोटा यादृच्छिक नमूना (अर्थात। कुल जनसंख्या की तुलना में छोटा) जनसंख्या का यादृच्छिक नमूना लेते समय लिया जाता है, विश्लेषण सिक्का उछालने में सिर प्राप्त करने की संभावना निर्धारित करने के समान है। इसे भी देखें द्विपद परीक्षण सिक्का फ़्लिपिंग विश्वास अंतराल अनुमान सिद्धांत अनुमानित सांख्यिकी त्रुटि बिंदु अनुमान का भारित पासा मार्जिन सांख्यिकीय यादृच्छिकता संदर्भ गुटमैन, विल्क्स और हंटरः परिचयात्मक इंजीनियरिंग सांख्यिकी, जॉन विली एंड संस, इंक. (1971) देविंदर सिवियाः डेटा विश्लेषण, एक बेयेशियन ट्यूटोरियल, ऑक्सफोर्ड यूनिवर्सिटी प्रेस (1996) सांख्यिकीय परीक्षण बेयेशियन अनुमान प्रयोग सिक्का फ़्लिपिंग