Hardy–Littlewood circle method
गणित में, हार्डी-रामानुजन-लिटिलवुड वृत्त विधि विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत की एक तकनीक है। इसका नाम जी. एच. हार्डी, एस. रामानुजन और जे. ई. लिटिलवुड के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने इसे वारिंग की समस्या पर लेखों की एक श्रृंखला में विकसित किया था। प्रारंभिक विचार का श्रेय आमतौर पर कुछ साल पहले, 1916 और 1917 में श्रीनिवास रामानुजन के साथ हार्डी के विभाजन कार्य के असिंप्टोटिक्स पर काम को दिया जाता है। इसे हेरोल्ड डेवनपोर्ट और आई. एम. विनोग्रादोव सहित कई अन्य शोधकर्ताओं द्वारा लिया गया था, जिन्होंने व्यापक रेखाओं को बदले बिना सूत्रीकरण को थोड़ा संशोधित किया (जटिल विश्लेषण से घातीय योग की ओर बढ़ते हुए)। सैकड़ों पेपरों का पालन किया गया, और विधि अभी भी परिणाम देती है। विधि आर. सी. वॉन द्वारा एक मोनोग्राफ का विषय है। रूपरेखा लक्ष्य एक श्रृंखला के स्पर्शोन्मुख व्यवहार को साबित करना हैः यह दिखाने के लिए कि कुछ कार्य के लिए। यह श्रृंखला के उत्पन्न करने वाले कार्य को लेकर किया जाता है, फिर शून्य (अनिवार्य रूप से फूरियर गुणांक) के बारे में अवशेषों की गणना की जाती है। तकनीकी रूप से, उत्पन्न करने वाले कार्य को अभिसरण 1 की त्रिज्या के लिए मापा जाता है, इसलिए इसकी इकाई वृत्त पर विलक्षणता होती है-इस प्रकार कोई भी इकाई वृत्त पर समोच्च समाकलन नहीं ले सकता है। वृत्त विधि विशेष रूप से इन अवशेषों की गणना करने का तरीका है, वृत्त को छोटे चापों (वृत्त का बड़ा हिस्सा) और प्रमुख चापों (सबसे महत्वपूर्ण विलक्षणता वाले छोटे चाप) में विभाजित करके, और फिर छोटे चापों पर व्यवहार को बांधकर। प्रमुख अंतर्दृष्टि यह है कि, रुचि के कई मामलों में (जैसे थीटा कार्य), विलक्षणताएँ एकता की जड़ों में होती हैं, और विलक्षणताओं का महत्व फेयरी अनुक्रम के क्रम में होता है। इस प्रकार कोई भी सबसे महत्वपूर्ण विलक्षणताओं की जांच कर सकता है, और यदि भाग्यशाली है, तो समाकलन की गणना कर सकता है। सेटअप विचाराधीन वृत्त शुरू में जटिल तल में इकाई वृत्त था। यह मानते हुए कि समस्या को पहले इन शब्दों में तैयार किया गया था कि जटिल संख्याओं के अनुक्रम के लिए, हम उस प्रकार की कुछ एसिम्प्टोटिक जानकारी चाहते हैं, जहां हमारे पास (एक ansatz) द्वारा लिए गए रूप का अनुमान लगाने के लिए कुछ ह्यूरिस्टिक कारण हैं, हम एक पावर सीरीज़ जनरेटिंग फ़ंक्शन लिखते हैं। दिलचस्प मामले वे हैं जहां अभिसरण की त्रिज्या 1 के बराबर है, और हम मानते हैं कि इस स्थिति को प्रस्तुत करने के लिए प्रस्तुत समस्या को संशोधित किया गया है। उस सूत्रीकरण से, यह अवशेष प्रमेय से सीधे अनुसरण करता है कि पूर्णांकों के लिए, जहां त्रिज्या का एक वृत्त है और 0 पर केंद्रित है, किसी के लिए भी; दूसरे शब्दों में, एक समोच्च समाकलन है, जो उस वृत्त पर एकीकृत है जिसे एक बार घड़ी की विपरीत दिशा में पार किया गया है। हम सीधे लेना चाहेंगे, अर्थात, इकाई वृत्त समोच्च का उपयोग करने के लिए। जटिल विश्लेषण सूत्रीकरण में यह समस्याग्रस्त है, क्योंकि के मूल्यों को वहां परिभाषित नहीं किया जा सकता है। इकाई वृत्त पर एकलताएँ वृत्त विधि द्वारा संबोधित समस्या इकाई वृत्त पर प्रदर्शित विलक्षणताओं की प्रकृति की अच्छी समझ द्वारा लेने के मुद्दे को मजबूर करना है। मौलिक अंतर्दृष्टि परिमेय संख्याओं के फेयरी अनुक्रम द्वारा निभाई गई भूमिका है, या समतुल्य रूप से एकता के मूल द्वाराः यहाँ भाजक, यह मानते हुए कि सबसे कम शब्दों में है, विशिष्ट निकट के एकवचन व्यवहार के सापेक्ष महत्व को निर्धारित करने के लिए निकलता है। विधि जटिल-विश्लेषणात्मक सूत्रीकरण के लिए हार्डी-लिटिलवुड वृत्त विधि को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है। के मूल्यांकन में योगदान को दो तरीकों से माना जाना चाहिए, जिन्हें पारंपरिक रूप से प्रमुख चाप और लघु चाप कहा जाता है। हम एकता की जड़ों को दो वर्गों में विभाजित करते हैं, इस आधार पर कि क्या उसका कोई कार्य हमारे लिए सुविधाजनक रूप से चुनना है या नहीं। समाकलन को समाकलन में विभाजित किया गया है, प्रत्येक वृत्त के किसी चाप पर जो लंबाई के एक फलन (फिर से, हमारे विवेक पर) से सटा हुआ है। चाप पूरे वृत्त को बनाते हैं; प्रमुख चापों पर समाकलन का योग बनाना है (वास्तव में, यह एक प्रबंधनीय शेष अवधि तक होगा)। लघु चापों पर समाकलन के योग को एक ऊपरी सीमा द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना है, जो उससे छोटे क्रम में है। चर्चा इस तरह साहसपूर्वक कहा गया है, यह बिल्कुल स्पष्ट नहीं है कि इसे काम करने के लिए बनाया जा सकता है। इसमें शामिल अंतर्दृष्टि काफी गहरी है। एक स्पष्ट स्रोत थीटा कार्यों का सिद्धांत है। वारिंग की समस्या वारिंग की समस्या के संदर्भ में, थीटा फलन की शक्तियाँ वर्ग फलन के योग के लिए उत्पन्न करने वाले फलन हैं। उदाहरण के लिए, क्यूब्स की तुलना में उनके विश्लेषणात्मक व्यवहार को बहुत अधिक सटीक विस्तार से जाना जाता है। यह मामला है, जैसा कि गलत-रंग आरेख इंगित करता है, कि एक थीटा फलन के लिए सीमा वृत्त पर 'सबसे महत्वपूर्ण' बिंदु है; उसके बाद, और फिर 7 बजे और 11 बजे एकता के दो जटिल घन मूल हैं। उसके बाद यह एकता की चौथी जड़ है और यह सबसे महत्वपूर्ण है। जबकि इसमें कुछ भी गारंटी नहीं है कि विश्लेषणात्मक विधि काम करेगी, यह एकता की जड़ों पर एक फेयर श्रृंखला-प्रकार के मानदंड का उपयोग करने के तर्क की व्याख्या करता है। वारिंग की समस्या के मामले में, कोई भी उस स्थिति को मजबूर करने के लिए उत्पन्न करने वाले कार्य की पर्याप्त उच्च शक्ति लेता है जिसमें तथाकथित एकवचन श्रृंखला में संगठित विलक्षणताएं प्रबल होती हैं। बाकी पर उपयोग किए गए अनुमान जितने कम व्यर्थ होंगे, परिणाम उतने ही अच्छे होंगे। जैसा कि ब्रायन बिर्च ने कहा है, यह विधि स्वाभाविक रूप से व्यर्थ है। यह विभाजन कार्य के मामले में लागू नहीं होता है, जो इस संभावना का संकेत देता है कि अनुकूल स्थिति में अनुमानों से होने वाले नुकसान को नियंत्रित किया जा सकता है। विनोग्रादोव त्रिकोणमितीय योग बाद में, आई. एम. विनोग्रादोव ने एक परिमित फूरियर श्रृंखला के साथ घातीय योग सूत्रीकरण f (z) को प्रतिस्थापित करते हुए तकनीक का विस्तार किया, ताकि प्रासंगिक समाकलन एक फूरियर गुणांक हो। विनोग्रादोव ने 1926 में वारिंग की समस्या के लिए सीमित योगों को लागू किया, और सामान्य त्रिकोणमितीय योग विधि को विनोग्रादोव के त्रिकोणमितीय योगों के रूप में "हार्डी, लिटिलवुड और रामानुजन की वृत्त विधि" के रूप में जाना जाने लगा। अनिवार्य रूप से यह सब उत्पन्न करने वाले कार्य की पूरी 'पूंछ' को त्यागना है, जिससे सीमित संचालन के व्यवसाय को सीधे मूल्य 1 पर सेट किया जा सके। अनुप्रयोग विधि के परिष्करणों ने परिणामों को सजातीय डायोफैंटाइन समीकरणों के समाधानों के बारे में साबित करने की अनुमति दी है, जब तक कि चर की संख्या डिग्री के सापेक्ष बड़ी हो (उदाहरण के लिए बर्च की प्रमेय देखें)। यह हास्स सिद्धांत में एक योगदान साबित होता है, जो मात्रात्मक जानकारी देने में सक्षम है। यदि स्थिर है और छोटा है, तो अन्य तरीकों की आवश्यकता होती है, और वास्तव में हस सिद्धांत विफल हो जाता है। विशेष मामले में जब वृत्त विधि को नकारात्मक वजन के मॉड्यूलर रूप के गुणांक का पता लगाने के लिए लागू किया जाता है, तो हंस राडेमाकर ने समोच्च का एक संशोधन पाया जो वृत्त विधि से उत्पन्न होने वाली श्रृंखला को सटीक परिणाम में परिवर्तित करता है। उसके समोच्च का वर्णन करने के लिए, इकाई वृत्त को ऊपरी आधे तल से प्रतिस्थापित करना सुविधाजनक है, प्रतिस्थापन करके, ताकि समोच्च समाकलन एक अभिन्न अंग बन जाए। (संख्या को ऊपरी आधे तल पर किसी भी संख्या द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है, लेकिन यह सबसे सुविधाजनक विकल्प है।) रेडेमाकर का समोच्च (कमोबेश) 0 से 1 तक के सभी फोर्ड वृत्तों की सीमाओं द्वारा दिया गया है, जैसा कि आरेख में दिखाया गया है। इन वृत्तों की सीमाओं द्वारा रेखा का प्रतिस्थापन एक गैर-तुच्छ सीमित करने वाली प्रक्रिया है, जिसे नकारात्मक वजन वाले मॉड्यूलर रूपों के लिए उचित ठहराया जा सकता है, और अधिक सावधानी के साथ वजन 0 (दूसरे शब्दों में मॉड्यूलर कार्य) के मामले में गैर-स्थिर शब्दों के लिए भी उचित ठहराया जा सकता है। टिप्पणियाँ संदर्भ आगे पढ़ने के लिए बाहरी लिंक टेरेंस ताओ, वृत्त विधि की ह्यूरिस्टिक सीमाएँ, 2012 विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत में एक ब्लॉग पोस्ट