Hyperbolic manifold
गणित में, एक हाइपरबोलिक मैनिफोल्ड एक ऐसा स्थान है जहाँ प्रत्येक बिंदु स्थानीय रूप से किसी आयाम के हाइपरबोलिक स्थान की तरह दिखता है। उनका विशेष रूप से आयाम 2 और 3 में अध्ययन किया जाता है, जहां उन्हें क्रमशः हाइपरबोलिक सतह और हाइपरबोलिक 3-मैनिफोल्ड कहा जाता है। इन आयामों में, वे महत्वपूर्ण हैं क्योंकि अधिकांश मैनिफोल्ड को एक समरूपता द्वारा एक हाइपरबोलिक मैनिफोल्ड में बनाया जा सकता है। यह सतहों के लिए एकरूपता प्रमेय और पेरेलमैन द्वारा सिद्ध 3-मैनिफोल्ड के लिए ज्यामिति प्रमेय का एक परिणाम है। कठोर परिभाषा एक हाइपरबोलिक-मैनिफोल्ड स्थिर अनुभागीय वक्रता का एक पूर्ण रीमानियन-मैनिफोल्ड है। स्थिर ऋणात्मक वक्रता का प्रत्येक पूर्ण, जुड़ा हुआ, सरलता से जुड़ा हुआ मैनिफोल्ड वास्तविक हाइपरबोलिक स्पेस के लिए सममित है। नतीजतन, निरंतर नकारात्मक वक्रता के किसी भी बंद मैनिफोल्ड का सार्वभौमिक आवरण है। इस प्रकार, ऐसे प्रत्येक को इस प्रकार लिखा जा सकता है कि आइसोमेट्री का एक मरोड़-मुक्त असतत समूह कहाँ है। अर्थात्, एक असतत उपसमूह है। मैनिफोल्ड का आयतन सीमित होता है यदि और केवल एक जाली हो। इसके मोटे-पतले अपघटन में एक पतला हिस्सा होता है जिसमें बंद भूगणितीय और सिरों के ट्यूबलर पड़ोस होते हैं जो एक यूक्लिडियन ()-मैनिफोल्ड और बंद अर्ध-किरण का उत्पाद होते हैं। मैनिफोल्ड सीमित आयतन का होता है यदि और केवल तभी जब इसका मोटा हिस्सा सघन हो। उदाहरण एक हाइपरबोलिक मैनिफोल्ड का सबसे सरल उदाहरण हाइपरबोलिक स्पेस है, क्योंकि हाइपरबोलिक स्पेस में प्रत्येक बिंदु में एक पड़ोस आइसोमेट्रिक से हाइपरबोलिक स्पेस होता है। एक साधारण गैर-तुच्छ उदाहरण, हालांकि, एक बार पंचर किया गया टोरस है। यह एक (Isom (),)-मैनिफोल्ड का एक उदाहरण है। यह एक आदर्श आयत को लेकर बनाया जा सकता है-यानी, एक आयत जहाँ शीर्ष अनंत पर सीमा पर होते हैं, और इस प्रकार परिणामी कई गुना में मौजूद नहीं होते हैं-और विपरीत छवियों की पहचान करते हैं। इसी तरह, हम दो आदर्श त्रिकोणों को एक साथ जोड़कर, नीचे दिखाए गए तीन-छिद्र वाले गोले का निर्माण कर सकते हैं। इससे यह भी पता चलता है कि सतह पर वक्र कैसे खींचे जाते हैं-जब हरे किनारों को एक साथ चिपकाया जाता है तो आरेख में काली रेखा बंद वक्र बन जाती है। जैसा कि हम एक छिद्रित गोले के साथ काम कर रहे हैं, सतह में रंगीन वृत्त-उनकी सीमाओं सहित-सतह का हिस्सा नहीं हैं, और इसलिए आरेख में आदर्श शीर्षों के रूप में दर्शाए जाते हैं। कई गाँठ और लिंक, जिनमें कुछ सरल गाँठ जैसे कि आकृति आठ गाँठ और बोरोमियन रिंग शामिल हैं, हाइपरबोलिक हैं, और इसलिए गाँठ या लिंक का पूरक सीमित मात्रा का एक हाइपरबोलिक 3-मैनिफोल्ड है। महत्वपूर्ण परिणाम एक परिमित आयतन पर हाइपरबोलिक संरचना के लिए हाइपरबोलिक-मैनिफोल्ड मोस्टो कठोरता द्वारा अद्वितीय है और इसलिए ज्यामितीय अपरिवर्तनीय वास्तव में टोपोलॉजिकल अपरिवर्तनीय हैं। एक स्थलवैज्ञानिक अपरिवर्तनीय के रूप में उपयोग किए जाने वाले इन ज्यामितीय अपरिवर्तकों में से एक गाँठ या लिंक पूरक का हाइपरबोलिक आयतन है, जो हमें उनके संबंधित मैनिफोल्ड की ज्यामिति का अध्ययन करके एक दूसरे से दो गांठों को अलग करने की अनुमति दे सकता है। हाइपरबोलिक 3-मैनिफोल्ड हाइपरबोलिक स्पेस हाइपरबोलाइजेशन थ्योरम भी देखें मार्गुलिस लेम्मा सामान्य रूप से हाइपरबोलिक अपरिवर्तनीय मैनिफोल्ड संदर्भ हाइपरबोलिक ज्यामिति मैनिफोल्ड्स रीमानियन मैनिफोल्ड्स