Feit–Thompson theorem
गणित में, फिट-थॉम्पसन प्रमेय, या विषम क्रम प्रमेय, बताता है कि विषम क्रम का प्रत्येक परिमित समूह हल करने योग्य है। यह सिद्ध हो गया। इतिहास ने अनुमान लगाया कि प्रत्येक गैर-एबेलियन परिमित सरल समूह का सम क्रम होता है। परिमित सरल समूहों के वर्गीकरण के आधार के रूप में सरल समूहों के अंतर्विरोध के केंद्रीकरण का उपयोग करने का सुझाव दिया गया, क्योंकि ब्राउर-फाउलर प्रमेय से पता चलता है कि एक अंतर्विरोध के दिए गए केंद्रीकरण के साथ सीमित सरल समूहों की केवल एक सीमित संख्या है। विषम क्रम के समूह में कोई अंतर्वेशन नहीं होता है, इसलिए ब्राउर के कार्यक्रम को पूरा करने के लिए सबसे पहले यह दिखाना आवश्यक है कि गैर-चक्रीय परिमित सरल समूहों में कभी भी विषम क्रम नहीं होता है। यह यह दिखाने के बराबर है कि विषम क्रम समूह हल करने योग्य हैं, जिसे फिट और थॉम्पसन ने साबित किया है। बर्नसाइड के अनुमान पर हमला सीए समूहों का अध्ययन करने वाले लोगों द्वारा शुरू किया गया था; ये ऐसे समूह हैं जो हर गैर-तुच्छ तत्व का केंद्रीकरणकर्ता एबेलियन है। एक अग्रणी शोधपत्र में उन्होंने दिखाया कि विषम क्रम के सभी सीए समूह हल करने योग्य हैं। (बाद में उन्होंने सभी सरल सीए समूहों को वर्गीकृत किया, और आम तौर पर सभी सरल समूहों को इस तरह से वर्गीकृत किया कि किसी भी आक्रमण के केंद्रीकारक में एक सामान्य 2-साइलो उपसमूह होता है, इस प्रक्रिया में लाइ प्रकार के सरल समूहों का एक उपेक्षित परिवार पाया जाता है, जिन्हें अब सुजुकी समूह कहा जाता है।) सुजुकी के काम को सी. एन. समूहों के परिवार तक विस्तारित किया; ये ऐसे समूह हैं कि प्रत्येक गैर-तुच्छ तत्व का केंद्रीकरण नीलपोटेन्ट है। उन्होंने दिखाया कि विषम क्रम का प्रत्येक सी. एन. समूह हल करने योग्य है। उनका प्रमाण सुजुकी के प्रमाण के समान है। यह लगभग 17 पृष्ठ लंबा था, जिसे उस समय समूह सिद्धांत में प्रमाण के लिए बहुत लंबा माना जाता था। फिट-थॉम्पसन प्रमेय को इस प्रक्रिया में अगले चरण के रूप में सोचा जा सकता हैः वे बताते हैं कि विषम क्रम का कोई गैर-चक्रीय सरल समूह ऐसा नहीं है कि प्रत्येक उचित उपसमूह हल करने योग्य हो। यह साबित करता है कि विषम क्रम का प्रत्येक परिमित समूह हल करने योग्य है, क्योंकि एक न्यूनतम प्रति-उदाहरण एक सरल समूह होना चाहिए जैसे कि प्रत्येक उचित उपसमूह हल करने योग्य हो। यद्यपि प्रमाण सीए प्रमेय और सीएन प्रमेय के समान सामान्य रूपरेखा का अनुसरण करता है, विवरण बहुत अधिक जटिल हैं। अंतिम पेपर 255 पृष्ठ लंबा है। प्रमाण का महत्व द फीट-थॉम्पसन प्रमेय ने दिखाया कि अंतर्वेशन के केंद्रीकारक का उपयोग करके परिमित सरल समूहों का वर्गीकरण संभव हो सकता है, क्योंकि प्रत्येक गैर-एबेलियन सरल समूह में एक अंतर्वेशन होता है। उनके प्रमाण में पेश की गई कई तकनीकों, विशेष रूप से स्थानीय विश्लेषण के विचार को वर्गीकरण में उपयोग किए जाने वाले उपकरणों में आगे विकसित किया गया था। शायद सबूत का सबसे क्रांतिकारी पहलू इसकी लंबाई थीः फीट-थॉम्पसन पेपर से पहले, समूह सिद्धांत में कुछ तर्क कुछ पृष्ठों से अधिक लंबे थे और अधिकांश को एक दिन में पढ़ा जा सकता था। एक बार जब समूह सिद्धांतकारों ने महसूस किया कि इतने लंबे तर्क काम कर सकते हैं, तो कई सौ पृष्ठों वाले पत्रों की एक श्रृंखला दिखाई देने लगी। इनमें से कुछ ने फी-थॉम्पसन पेपर को भी बौना कर दिया; माइकल एशबैकर और स्टीफन डी. स्मिथ का क्वासिथिन समूहों पर पेपर 1,221 पृष्ठ लंबा था। प्रमाण का संशोधन कई गणितविदों ने मूल फिट-थॉम्पसन प्रमाण के कुछ हिस्सों को सरल बनाया है। हालाँकि ये सभी सुधार कुछ मायनों में स्थानीय हैं; तर्क की वैश्विक संरचना अभी भी समान है, लेकिन तर्कों के कुछ विवरणों को सरल बनाया गया है। सरलीकृत प्रमाण दो पुस्तकों में प्रकाशित किया गया हैः, जिसमें चरित्र सिद्धांत को छोड़कर सब कुछ शामिल है, और, जिसमें चरित्र सिद्धांत शामिल है। यह संशोधित प्रमाण अभी भी बहुत कठिन है, और मूल प्रमाण से लंबा है, लेकिन अधिक आराम से शैली में लिखा गया है। सी. ओ. क्यू. प्रूफ सहायक के साथ जाँच किए गए एक पूरी तरह से औपचारिक प्रमाण की घोषणा सितंबर 2012 में जॉर्जेस गोंथियर और माइक्रोसॉफ्ट रिसर्च और इनरिया के साथी शोधकर्ताओं द्वारा की गई थी। प्रत्यक्ष रूप से फिट-थॉम्पसन प्रमेय का वर्णन करने के बजाय, सुजुकी के सीए प्रमेय का वर्णन करना और फिर सीएन-प्रमेय और विषम क्रम प्रमेय के लिए आवश्यक कुछ विस्तारों पर टिप्पणी करना आसान है। प्रमाण को तीन चरणों में विभाजित किया जा सकता है। हम जी को सीए शर्त को संतुष्ट करने वाले विषम क्रम का एक गैर-एबेलियन (न्यूनतम) सरल समूह होने देते हैं। विषम क्रम पत्र की अधिक विस्तृत व्याख्या के लिए या या देखें। चरण 1. समूह जी की संरचना का स्थानीय विश्लेषण सीए मामले में यह आसान है क्योंकि संबंध "ए कम्यूट बी" गैर-पहचान तत्वों पर एक तुल्यता संबंध है। अतः तत्व समतुल्यता वर्गों में विभाजित हो जाते हैं, जैसे कि प्रत्येक समतुल्यता वर्ग एक अधिकतम अबेलियन उपसमूह के गैर-पहचान तत्वों का समूह है। इन अधिकतम अबेलियन उपसमूहों के सामान्यीकरणकर्ता जी के बिल्कुल अधिकतम उचित उपसमूह बन जाते हैं। ये सामान्यीकरणकर्ता फ्रोबेनियस समूह हैं जिनका चरित्र सिद्धांत यथोचित रूप से पारदर्शी है, और चरित्र प्रेरण से जुड़े हेरफेर के लिए अच्छी तरह से अनुकूल है। इसके अलावा, |G। के अभाज्य भाजकों के समूह को अभाज्य संख्याओं के अनुसार विभाजित किया जाता है जो |G। के अधिकतम अबेलियन उपसमूहों के विशिष्ट संयुग्म वर्गों के क्रम को विभाजित करते हैं। कुछ हॉल उपसमूहों के संयुग्म वर्गों के अनुसार |G। के अभाज्य भाजकों को विभाजित करने का यह पैटर्न (एक हॉल उपसमूह वह है जिसका क्रम और सूचकांक अपेक्षाकृत अभाज्य हैं) जो G के अधिकतम उपसमूहों (संयुग्मता तक) के अनुरूप है, जिसे फिट-हॉल-थॉम्पसन CN-प्रमेय के प्रमाण और फिट-थॉम्पसन विषम-क्रम प्रमेय के प्रमाण दोनों में दोहराया जाता है। प्रत्येक अधिकतम उपसमूह एम में एम में निहित सामान्यक के साथ एक निश्चित निलपोटेन्ट हॉल उपसमूह एम. एस. होता है, जिसका क्रम एक समूह σ (एम) बनाने वाले कुछ अभाज्य संख्याओं द्वारा विभाज्य होता है। दो अधिकतम उपसमूह संयुग्मित होते हैं यदि और केवल तभी जब समुच्चय σ (M) समान होते हैं, और यदि वे संयुग्मित नहीं होते हैं तो समुच्चय σ (M) असंबद्ध होते हैं। G के क्रम को विभाजित करने वाला प्रत्येक अभाज्य किसी समुच्चय σ (M) में होता है। इसलिए जी के क्रम को विभाजित करने वाले अभाज्य संख्याओं को अधिकतम उपसमूहों के संयुग्म वर्गों के अनुरूप समतुल्य वर्गों में विभाजित किया जाता है। सी. एन.-केस का प्रमाण पहले से ही सी. ए.-केस की तुलना में काफी अधिक कठिन हैः मुख्य अतिरिक्त समस्या यह साबित करना है कि दो अलग-अलग साइलो उपसमूह पहचान में प्रतिच्छेद करते हैं। विषम-क्रम प्रमेय के प्रमाण के इस भाग में 100 से अधिक पत्रिका पृष्ठ हैं। एक महत्वपूर्ण कदम थॉम्पसन विशिष्टता प्रमेय का प्रमाण है, जिसमें कहा गया है कि कम से कम 3 सामान्य श्रेणी के अबेलियन उपसमूह एक अद्वितीय अधिकतम उपसमूह में निहित हैं, जिसका अर्थ है कि जिन अभाज्य संख्याओं के लिए साइलो पी-उपसमूहों की अधिकतम 2 सामान्य श्रेणी है, उन पर अलग से विचार करने की आवश्यकता है। बेंडर ने बाद में बेंडर की विधि का उपयोग करके विशिष्टता प्रमेय के प्रमाण को सरल बनाया। जबकि सी. एन.-मामले में, परिणामी अधिकतम उपसमूह एम अभी भी फ्रोबेनियस समूह हैं, विषम-क्रम प्रमेय के प्रमाण में होने वाले अधिकतम उपसमूहों को अब इस संरचना की आवश्यकता नहीं है, और उनकी संरचना और परस्पर क्रिया के विश्लेषण से 5 संभावित प्रकार के अधिकतम उपसमूह उत्पन्न होते हैं, जिन्हें प्रकार I, II, III, IV, V कहा जाता है। उनकी संरचना एम. एफ. यू. है जहाँ एम. एफ. सबसे बड़ा सामान्य निलपोटेन्ट हॉल उपसमूह है, और यू में एक ही प्रतिपादक के साथ एक उपसमूह यू0 है जैसे कि एम. एफ. यू0 कर्नेल एम. एफ. के साथ एक फ्रोबेनियस समूह है। प्रकार II, III, IV, V सभी 3-चरणीय समूह हैं जिनकी संरचना एम. एफ. यू. डब्ल्यू1 है, जहां एम. एफ. यू. एम. का व्युत्पन्न उपसमूह है। उपखंड प्रकार II, III, IV और V में संरचना और उपसमूह यू के अंतःस्थापित होने पर निर्भर करता है। प्रकार II: यू गैर-तुच्छ अबेलियन है और इसका सामान्यीकरण एम. में निहित नहीं है। प्रकार III: यू गैर-तुच्छ अबेलियन है और इसका सामान्यीकरण एम. में निहित है। प्रकार IV: यू गैर-अबेलियन है। प्रकार V: U तुच्छ है। अधिकतम उपसमूहों के दो वर्गों को छोड़कर सभी प्रकार I के होते हैं, लेकिन अधिकतम उपसमूहों के दो अतिरिक्त वर्ग भी हो सकते हैं, एक प्रकार II का और एक प्रकार II, III, IV या V का। जी का वर्ण सिद्धांत यदि एक्स सीए समूह जी के अधिकतम अबेलियन उपसमूह ए के सामान्यक एच का एक अपरिवर्तनीय चरित्र है, जिसमें इसके कर्नेल में ए नहीं है, तो हम एक्स को जी के एक वर्ण वाई में प्रेरित कर सकते हैं, जो आवश्यक रूप से अपरिवर्तनीय नहीं है। G की ज्ञात संरचना के कारण, G के पहचान तत्व को छोड़कर सभी पर Y के वर्ण मानों को खोजना आसान है। इसका तात्पर्य है कि यदि X1 और X2 H और Y1 और Y2 के दो ऐसे अपरिवर्तनीय वर्ण हैं जो संबंधित प्रेरित वर्ण हैं, तो Y1-Y2 पूरी तरह से निर्धारित किया जाता है, और इसके मानक की गणना करने से पता चलता है कि यह G के दो अपरिवर्तनीय वर्णों का अंतर है (इन्हें कभी-कभी H के संबंध में G के असाधारण वर्णों के रूप में जाना जाता है)। एक गणना तर्क से पता चलता है कि जी का प्रत्येक गैर-तुच्छ अपरिवर्तनीय वर्ण जी के कुछ अधिकतम अबेलियन उपसमूह के सामान्यीकरण से जुड़े एक असाधारण चरित्र के रूप में ठीक एक बार उत्पन्न होता है। एक समान तर्क (लेकिन अबेलियन हॉल उपसमूहों को निलपोटेन्ट हॉल उपसमूहों द्वारा प्रतिस्थापित करना) सीएन-प्रमेय के प्रमाण में काम करता है। हालांकि, विषम-क्रम प्रमेय के प्रमाण में, उपसमूहों के वर्णों से जी के वर्णों के निर्माण के लिए तर्क कहीं अधिक नाजुक हैं, और वर्ण प्रेरण के बजाय वर्ण वलय के बीच डेड सममिति का उपयोग करते हैं, क्योंकि अधिकतम उपसमूहों की संरचना अधिक जटिल होती है और वे कम पारदर्शी तरीके से अंतर्निहित होते हैं। असाधारण वर्णों के सिद्धांत को डेड सममिति का विस्तार करने के लिए वर्णों के एक सुसंगत समूह के सिद्धांत द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। मोटे तौर पर, यह सिद्धांत कहता है कि डेड सममिति को तब तक बढ़ाया जा सकता है जब तक कि इसमें शामिल समूहों की एक निश्चित सटीक संरचना न हो। डेड, सिबली और पीटरफाल्वी के कारण चरित्र सिद्धांत के एक सरलीकृत संस्करण का वर्णन किया। चरण 3. अंतिम विरोधाभास चरण 2 द्वारा, हमारे पास CA समूह G की वर्ण सारणी का एक पूर्ण और सटीक विवरण है। इससे, और इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि G का विषम क्रम है, |G। के लिए अनुमान प्राप्त करने और इस धारणा के विरोधाभास पर पहुंचने के लिए पर्याप्त जानकारी उपलब्ध है कि G सरल है। तर्क का यह हिस्सा सी. एन.-समूह मामले में भी इसी तरह काम करता है। हालांकि, फिट-थॉम्पसन प्रमेय के प्रमाण में, यह चरण (हमेशा की तरह) बहुत अधिक जटिल है। चरित्र सिद्धांत केवल चरण 1 के बाद बचे कुछ संभावित विन्यासों को समाप्त करता है। सबसे पहले वे दिखाते हैं कि प्रकार I के अधिकतम उपसमूह सभी फ्रोबेनियस समूह हैं। यदि सभी अधिकतम उपसमूह प्रकार I हैं तो सी. एन. मामले के समान एक तर्क से पता चलता है कि समूह जी एक विषम-क्रम न्यूनतम सरल समूह नहीं हो सकता है, इसलिए प्रकार II, III, IV या V के अधिकतम उपसमूहों के ठीक दो वर्ग हैं। अधिक वर्ण-सैद्धांतिक तर्कों से पता चलता है कि वे प्रकार IV या V के नहीं हो सकते हैं। दो उपसमूहों की एक सटीक संरचना हैः उपसमूह S, क्रम pq × q × (pq-1)/(p-1) का है और इसमें x → अक्ष σ + b के क्रम pq के परिमित क्षेत्र के अंतर्निहित समूह के सभी स्वरूपताएँ शामिल हैं, जहाँ a का मानक 1 है और σ परिमित क्षेत्र का एक स्वरूपता है, जहाँ p और q अलग-अलग अभाज्य संख्याएँ हैं। अधिकतम उपसमूह टी की संरचना पी और क्यू के साथ एक समान है। उपसमूह एस और टी निकटता से जुड़े हुए हैं। पी> क्यू लेते हुए, कोई यह दिखा सकता है कि एस के क्रम (पीक्यू-1)/(पी-1) का चक्रीय उपसमूह टी के क्रम (क्यूपी-1)/(क्यू-1) के चक्रीय उपसमूह के एक उपसमूह के लिए संयुग्मित है। (विशेष रूप से, पहली संख्या दूसरे को विभाजित करती है, इसलिए यदि फीट-थॉम्पसन का अनुमान सही है, तो यह दावा करेगा कि ऐसा नहीं हो सकता है, और इसका उपयोग इस बिंदु पर प्रमाण को समाप्त करने के लिए किया जा सकता है। हालाँकि, अनुमान अभी भी अप्रमाणित है)। समूह जी में वर्ण सिद्धांत को लागू करने से निष्कर्ष यह निकलता है कि जी की निम्नलिखित संरचना हैः अभाज्य संख्या पी> क्यू ऐसी है कि (पीक्यू-1)/(पी-1) पी-1 के लिए सहमौलिक है और जी का एक उपसमूह अर्ध-अप्रत्यक्ष उत्पाद पीयू द्वारा दिया गया है जहां पी पीक्यू क्रम के एक परिमित क्षेत्र का योगात्मक समूह है और यू इसके मानक 1 के तत्व हैं। इसके अलावा जी में एक अबेलियन उपसमूह क्यू है जिसमें प्राइम से पी क्रम का एक तत्व वाई होता है जिसमें पी0 क्यू को सामान्य करता है और (पी0) वाई यू को सामान्य करता है, जहां पी0 पी क्रम के परिमित क्षेत्र का योगात्मक समूह है। (पी = 2 के लिए एक समान विन्यास समूह एसएल2 (2क्यू) में होता है, जिसमें पी. यू. ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स का बोरेल उपसमूह और क्यू द्वारा उत्पन्न क्रम 3 का उपसमूह होता है।) इस अंतिम मामले को समाप्त करने के लिए, थॉम्पसन ने जनरेटर और संबंधों के साथ कुछ भयानक रूप से जटिल हेरफेर का उपयोग किया, जिन्हें बाद में सरल बनाया गया, जिनके तर्क को पुनः प्रस्तुत किया गया है। प्रमाण क्रम pq के परिमित क्षेत्र में तत्वों के समूह की जांच करता है जैसे कि a और 2-a दोनों में मानक 1 हो। एक पहले जाँच करता है कि इस सेट में 1 के अलावा कम से कम एक तत्व है। फिर समूह जी में जनरेटर और संबंधों का उपयोग करते हुए एक कठिन तर्क से पता चलता है कि सेट व्युत्क्रम लेने के तहत बंद है। यदि a समुच्चय में है और 1 के बराबर नहीं है तो बहुपद N (((1-a) x + 1)-1 की डिग्री q है और इसमें कम से कम p अलग-अलग मूल हैं जो Fp में x तत्वों द्वारा दिए गए हैं, इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि x → 1/(2-x) समुच्चय को स्वयं मानचित्रित करता है, इसलिए p ≤ q, p> q की धारणा का खंडन करता है। विषमता का उपयोग यह तथ्य कि समूह जी का क्रम विषम है, प्रमाण में कई स्थानों पर निम्नानुसार उपयोग किया जाता है। विषम क्रम के समूहों के लिए हॉल-हिगमैन प्रमेय अधिक स्पष्ट है। विषम क्रम के समूहों के लिए, सभी गैर-प्रमुख वर्ण जटिल संयुग्म जोड़े में पाए जाते हैं। पी-समूहों के बारे में कई परिणाम केवल विषम अभाज्य संख्याओं के लिए होते हैं पी. यदि विषम क्रम के समूह में श्रेणी 3 का कोई प्राथमिक अबेलियन उपसमूह नहीं है, तो इसका व्युत्पन्न समूह निलपोटेन्ट है। (यह सम क्रम के सममित समूह S4 के लिए विफल रहता है।) चरित्र सिद्धांत से जुड़े कई तर्क छोटे अभाज्य संख्याओं के लिए विफल हो जाते हैं, विशेष रूप से अभाज्य 2 के लिए। परिमित समूहों के बारे में संदर्भ प्रमेय