Rodrigues' rotation formula
त्रि-आयामी घूर्णन के सिद्धांत में, रोड्रिग्स का घूर्णन सूत्र, जिसका नाम ओलिन्डे रोड्रिग्स के नाम पर रखा गया है, एक अक्ष और घूर्णन के कोण को देखते हुए अंतरिक्ष में एक वेक्टर को घुमाने के लिए एक कुशल एल्गोरिथ्म है। विस्तार से, इसका उपयोग अक्ष-कोण प्रतिनिधित्व से सभी घूर्णन मैट्रिक्स के समूह में एक घूर्णन मैट्रिक्स की गणना करने के लिए सभी तीन आधार वैक्टरों को बदलने के लिए किया जा सकता है। लाइ सिद्धांत के संदर्भ में, रोड्रिग्स का सूत्र लाइ बीजगणित से इसके लाइ समूह तक घातीय मानचित्र की गणना करने के लिए एक एल्गोरिथ्म प्रदान करता है। इस सूत्र का श्रेय लियोनहार्ड यूलर, ओलिन्डे रोड्रिग्स या दोनों के संयोजन को दिया जाता है। 1989 में एक विस्तृत ऐतिहासिक विश्लेषण ने निष्कर्ष निकाला कि सूत्र का श्रेय यूलर को दिया जाना चाहिए, और इसे "यूलर का परिमित घूर्णन सूत्र" कहने की सिफारिश की। इस प्रस्ताव को उल्लेखनीय समर्थन मिला है, लेकिन कुछ अन्य लोगों ने सूत्र को यूलर-रोड्रिग्स सूत्र के कई बदलावों में से एक के रूप में देखा है, जिससे दोनों को श्रेय दिया जाता है। कथन यदि एक सदिश है और एक इकाई सदिश है जो घूर्णन की धुरी का वर्णन करता है जिसके बारे में दाहिने हाथ के नियम के अनुसार एक कोण से घूमता है, तो घूर्णित सदिश के लिए रोड्रिग्स सूत्र है उपरोक्त सूत्र का अंतर्ज्ञान यह है कि पहला पद सदिश को नीचे मापता है, जबकि दूसरा इसे (सदिश जोड़ के माध्यम से) नई घूर्णन स्थिति की ओर मोड़ता है। तीसरा कार्यकाल उस ऊंचाई (सापेक्ष) को फिर से जोड़ता है जो पहले कार्यकाल तक खो गई थी। एक वैकल्पिक कथन यह है कि अक्ष सदिश को किसी भी दो गैर-शून्य सदिशों के क्रॉस उत्पाद के रूप में लिखना है और जो घूर्णन के तल को परिभाषित करता है, और कोण की भावना को दूर और ओर मापा जाता है। लेटिंग इन वैक्टरों के बीच के कोण को दर्शाता है, दोनों कोण और जरूरी नहीं कि समान हों, लेकिन उन्हें एक ही अर्थ में मापा जाता है। फिर इकाई अक्ष सदिश लिखा जा सकता है यह रूप अधिक उपयोगी हो सकता है जब एक तल को परिभाषित करने वाले दो सदिश शामिल होते हैं। भौतिकी में एक उदाहरण थॉमस प्रीसेशन है जिसमें रोड्रिग्स के सूत्र द्वारा दिया गया घूर्णन शामिल है, दो गैर-संरेखीय बूस्ट वेगों के संदर्भ में, और घूर्णन का अक्ष उनके तल के लंबवत है। व्युत्पत्ति एक घूर्णन अक्ष को परिभाषित करने वाला एक इकाई सदिश होने दें, और घूर्णित सदिश का उत्पादन करते हुए कोण (दाहिने हाथ के नियम, आकृति में घड़ी की विपरीत दिशा में) से घूमने के लिए कोई भी सदिश होने दें। डॉट और क्रॉस उत्पादों का उपयोग करके, वेक्टर को अक्ष के समानांतर और लंबवत घटकों में विघटित किया जा सकता है, जहां समानांतर घटक को वेक्टर प्रक्षेपण कहा जाता है, और लंबवत घटक को वेक्टर अस्वीकृति कहा जाता है, जहां अंतिम समानता वेक्टर ट्रिपल उत्पाद सूत्र से होती हैः। अंत में, वेक्टर चारों ओर घूमते हुए 90° की एक प्रति है। इस प्रकार तीन वैक्टर एक दाहिने हाथ के ऑर्थोगोनल आधार बनाते हैं, जिसमें समान लंबाई के अंतिम दो वैक्टर होते हैं। घूर्णन के तहत, अक्ष के समानांतर घटक परिमाण या दिशा नहीं बदलेगाः जबकि लंबवत घटक अपने परिमाण को बनाए रखेगा, लेकिन और द्वारा फैले लंबवत तल में अपनी दिशा को घुमाएगा, कार्टेशियन आधार में समतल ध्रुवीय निर्देशांक के साथ सादृश्य के अनुसारः अब पूर्ण घूर्णित वेक्टर हैः प्रतिस्थापन या अंतिम अभिव्यक्ति में क्रमशः देता हैः मैट्रिक्स संकेतन क्रॉस उत्पाद द्वारा परिभाषित रैखिक परिवर्तन को निर्देशांक में स्तंभ मैट्रिक्स के रूप में प्रतिनिधित्व करके दिया जाता हैः यानी, इस रैखिक परिवर्तन का मैट्रिक्स (मानक निर्देशांक के संबंध में) क्रॉस-प्रोडक्ट मैट्रिक्स हैः कहने के लिए, पिछले खंड में अंतिम सूत्र को इस तरह लिखा जा सकता हैः संग्रह शब्द कॉम्पैक्ट अभिव्यक्ति की अनुमति देते हैं जहां है यह मैट्रिक्स के घूर्णन समूह का एक तत्व है, और लाइ बीजगणित का एक तत्व है जो उस लाइ समूह को उत्पन्न करता है (नोट जो तिरछा-सममित है, जो विशेषता है)। मैट्रिक्स घातांक के संदर्भ में, यह देखने के लिए कि अंतिम पहचान धारण करती है, एक-पैरामीटर उपसमूह की उस विशेषता को नोट करता है, अर्थात। घातीय, और यह कि सूत्र असीम के लिए मेल खाते हैं। इस घातीय संबंध के आधार पर एक वैकल्पिक व्युत्पत्ति के लिए, से घातीय मानचित्र देखें। व्युत्क्रम मानचित्रण के लिए, लॉग मैप फ्रॉम टू देखें। घूर्णन का हॉज डुअल वही है जो घूर्णन मैट्रिक्स से ही घूर्णन के अक्ष और घूर्णन के कोण के साइन दोनों के निष्कर्षण को सक्षम बनाता है, सामान्य अस्पष्टता के साथ, जहाँ। उपरोक्त सरल अभिव्यक्ति इस तथ्य से उत्पन्न होती है कि हॉज डुअल ऑफ एंड शून्य हैं, और। हालाँकि, रोड्रिग्स के सूत्र को लागू करते समय, सामान्य अस्पष्टता को सूत्र के विस्तारित रूप से दूर किया जा सकता है। एक्सिस एंगल रोटेशन (गणित) एस. ओ. (3) और एस. ओ. (4) यूलर-रोड्रिग्स सूत्र संदर्भ लियोनहार्ड यूलर, "समस्या बीजगणितीय ओ. बी. स्नेहन प्रोरसस सिंगुलरेस यादगार", टिप्पणी 407 इंडिसिस एनेस्टोएमियानी, नोवी कॉम भी देखें। एके. विज्ञान. पेट्रोपोलिटन 15 (1770), 75-106। Olinde Rodriguez, "Des lois géométriques qi régissent les déplacements d 'un sistème solide dans l' Espace, et de laryation des Coordonnees reprovenant de ces déplacmentéres indépendants des causes qi peuvent les product", जर्नल डी मैथमेटिक्स प्योरस एट एप्लिकेशंस 5 (1840), 380-440। ऑनलाइन। फ्रीडबर्ग, रिचर्ड (2022)। "रोड्रिग्स, ओलिंदेः" "डेस लोइस जियोमेट्रिक्स क्वि रेजीसेंट लेस डेप्लेसमेंट डी 'उन सिस्टम सोलाइड" ", अनुवाद और टिप्पणी।" arXiv: 2211.07787। डॉन कोक्स, (2006) गणितीय भौतिकी में अन्वेषण, स्प्रिंगर विज्ञान + व्यवसाय मीडिया, एल. एल. सी.। .. चै. 4, पी. पी. एस. 147 और से. ज्यामितीय बीजगणित के लिए एक गोल चक्कर मार्ग बाहरी लिंक जोहान ई. मेबियस, चार आयामी घूर्णन के लिए सामान्य सूत्र से त्रि-आयामी घूर्णन के लिए यूलर-रोड्रिग्स सूत्र की व्युत्पत्ति।, arXiv सामान्य गणित 2007। एक अन्य वर्णनात्मक उदाहरण के लिए देखें-http://chrishecker.com/Rigid_Body_Dynamics#Physics_Articles, क्रिस हेकर, भौतिकी खंड, भाग 4। "तीसरा आयाम"-पृष्ठ 3 पर, खंड "अक्ष और कोण", http://chrishecker.com/images/b/bb/Gdmphys4.pdf तीन आयामों में घूर्णन यूक्लिडियन ज्यामिति अभिविन्यास (ज्यामिति) fr: घूर्णन vectorielle#Cas सामान्य