Todd class
गणित में, टॉड वर्ग एक निश्चित संरचना है जिसे अब विशेषता वर्गों के बीजगणितीय टोपोलॉजी में सिद्धांत का एक हिस्सा माना जाता है। वेक्टर बंडल के टॉड वर्ग को चेरन वर्गों के सिद्धांत के माध्यम से परिभाषित किया जा सकता है, और इसका सामना वहाँ किया जाता है जहाँ चेरन वर्ग मौजूद हैं-विशेष रूप से विभेदक टोपोलॉजी, जटिल मैनिफोल्ड और बीजगणितीय ज्यामिति के सिद्धांत में। मोटे तौर पर, एक टॉड वर्ग एक चेरन वर्ग के पारस्परिक की तरह कार्य करता है, या इसके संबंध में खड़ा होता है जैसा कि एक सामान्य बंडल एक सामान्य बंडल के लिए करता है। टॉड वर्ग शास्त्रीय रीमान-रॉच प्रमेय को उच्च आयामों तक सामान्य बनाने में एक मौलिक भूमिका निभाता है, हिरज़ेब्रुक-रीमान-रॉच प्रमेय और ग्रोथेन्डिक-हिरज़ेब्रुक-रीमान-रॉच प्रमेय में। इतिहास इसका नाम जे के नाम पर रखा गया है। ए. टॉड, जिन्होंने 1937 में चेरन वर्गों को परिभाषित करने से पहले बीजगणितीय ज्यामिति में अवधारणा का एक विशेष मामला पेश किया था। इसमें शामिल ज्यामितीय विचार को कभी-कभी टॉड-एगर वर्ग कहा जाता है। उच्च आयामों में सामान्य परिभाषा फ्रेडरिक हिरज़ेब्रुक के कारण है। परिभाषा टॉड वर्ग को परिभाषित करने के लिए जहां एक टोपोलॉजिकल स्थान पर एक जटिल वेक्टर बंडल है, आमतौर पर विशेषता वर्ग सिद्धांत के एक सामान्य उपकरण के माध्यम से, चेरन जड़ों (उर्फ, विभाजन सिद्धांत) के उपयोग के माध्यम से रेखा बंडलों के व्हिटनी योग के मामले में परिभाषा को सीमित करना संभव है। परिभाषा के लिए, इस गुण के साथ औपचारिक शक्ति श्रृंखला होने दें कि इन का गुणांक 1 है, जहां-th बर्नौली संख्या को दर्शाता है। किसी भी उत्पाद के गुणांक पर विचार करें। यह s में सममित और वजन का सजातीय हैः इसलिए इसे s के प्राथमिक सममित कार्यों में बहुपद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। फिर टॉड बहुपदों को परिभाषित करता हैः वे विशेषता शक्ति श्रृंखला के रूप में एक गुणक अनुक्रम बनाते हैं। यदि इसकी चेरन जड़ें हैं, तो टॉड वर्ग जिसकी गणना कोहोमोलॉजी रिंग में की जानी है (या इसके पूरा होने पर यदि कोई अनंत-आयामी मैनिफोल्ड पर विचार करना चाहता है)। टॉड वर्ग को स्पष्ट रूप से चेरन वर्गों में एक औपचारिक शक्ति श्रृंखला के रूप में दिया जा सकता हैः जहां कोहोमोलॉजी वर्ग चेरन वर्ग हैं, और कोहोमोलॉजी समूह में स्थित हैं। यदि परिमित-आयामी है तो अधिकांश शब्द गायब हो जाते हैं और चेरन वर्गों में एक बहुपद है। टॉड वर्ग के गुण टॉड वर्ग गुणक हैः आइए हाइपरप्लेन खंड का मौलिक वर्ग बनें। किसी भी बीजगणितीय वक्र के लिए गुणनशीलता और यूलर से एक के स्पर्शरेखा बंडल के लिए सटीक अनुक्रम टॉड वर्ग की गणना प्राप्त करता है। चूंकि यह प्रोजेक्टिव है, इसलिए इसे कुछ में एम्बेड किया जा सकता है और हम चेरन वर्गों के सामान्य अनुक्रम और गुणों का उपयोग करके पा सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि हमारे पास एक डिग्री प्लेन वक्र है, तो हम पाते हैं कि कुल चेरन वर्ग है जहां हाइपरप्लेन वर्ग प्रतिबंधित है। हिरज़ेब्रुक-रीमैन-रॉच सूत्र एक चिकने कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड एम पर किसी भी सुसंगत आवरण एफ के लिए, जहाँ इसकी होलोमोर्फिक यूलर विशेषता है, और इसका चेरन चरित्र है। एक गुणक अनुक्रम की वंशावली भी देखें टिप्पणियाँ संदर्भ फ्रेडरिक हिरज़ेब्रुक, बीजगणितीय ज्यामिति में टोपोलॉजिकल विधियाँ, स्प्रिंगर (1978) विशेषता वर्ग