Series expansion
गणित में, एक श्रृंखला विस्तार एक ऐसी तकनीक है जो एक कार्य को सरल कार्यों के अनंत योग या श्रृंखला के रूप में व्यक्त करती है। यह एक ऐसे फलन की गणना करने की एक विधि है जिसे केवल प्राथमिक प्रचालक (जोड़, घटाव, गुणा और विभाजन) द्वारा व्यक्त नहीं किया जा सकता है। परिणामस्वरूप तथाकथित श्रृंखला अक्सर शब्दों की एक सीमित संख्या तक सीमित हो सकती है, इस प्रकार फलन का एक अनुमान प्राप्त होता है। अनुक्रम के जितने कम शब्दों का उपयोग किया जाएगा, यह अनुमान उतना ही सरल होगा। अक्सर, परिणामी अशुद्धि (यानी, छोड़े गए शब्दों का आंशिक योग) को बिग ओ संकेतन से जुड़े समीकरण द्वारा वर्णित किया जा सकता है (एसिम्प्टोटिक विस्तार भी देखें)। एक खुले अंतराल पर श्रृंखला विस्तार भी गैर-विश्लेषणात्मक कार्यों के लिए एक अनुमान होगा। श्रृंखला विस्तार के प्रकार कई प्रकार के श्रृंखला विस्तार हैं, जो नीचे सूचीबद्ध हैं। टेलर श्रृंखला एक शक्ति श्रृंखला है जो एक ही बिंदु पर एक फलन के व्युत्पन्न पर आधारित है। अधिक विशेष रूप से, यदि कोई फलन एक बिंदु के आसपास असीम रूप से अवकलनीय है, तो इस बिंदु के आसपास f की टेलर श्रृंखला परंपरा के तहत दी जाती है। एफ की मैकलौरिन श्रृंखला इसकी टेलर श्रृंखला है। लॉरेंट श्रृंखला ए लॉरेंट श्रृंखला टेलर श्रृंखला का एक सामान्यीकरण है, जो नकारात्मक प्रतिपादकों के साथ शब्दों की अनुमति देता है; यह रूप लेता है और एक वलयाकार में अभिसरण करता है। विशेष रूप से, लॉरेंट श्रृंखला का उपयोग विलक्षणता पर केंद्रित एक वलय पर श्रृंखला विस्तार पर विचार करके एक विलक्षणता के पास एक जटिल कार्य के व्यवहार की जांच करने के लिए किया जा सकता है। डिरिचलेट श्रृंखला एक सामान्य डिरिचलेट श्रृंखला रूप की एक श्रृंखला है इसका एक महत्वपूर्ण विशेष मामला संख्या सिद्धांत में उपयोग की जाने वाली साधारण डिरिचलेट श्रृंखला है। फूरियर श्रृंखला एक फूरियर श्रृंखला कई साइन और कोसाइन कार्यों के योग के रूप में आवधिक कार्यों का विस्तार है। अधिक विशेष रूप से, अवधि के एक फलन की फूरियर श्रृंखला उस अभिव्यक्ति द्वारा दी जाती है जिसमें गुणांक सूत्र द्वारा दिए जाते हैं अन्य श्रृंखला ध्वनिकी में, उदाहरण के लिए, मौलिक स्वर और ओवरटोन एक साथ एक फूरियर श्रृंखला का एक उदाहरण बनाते हैं। न्यूटोनियन श्रृंखला लीजेंड्रे बहुपदः भौतिकी में एक द्विध्रुवीय क्षेत्र, एक चतुर्भुज क्षेत्र, एक ऑक्टुपोल क्षेत्र, आदि के सुपरपोजिशन के रूप में एक मनमाने विद्युत क्षेत्र का वर्णन करने के लिए उपयोग किया जाता है। ज़र्निक बहुपदः प्रकाशिकी में प्रकाशिक प्रणालियों के विचलन की गणना करने के लिए उपयोग किया जाता है। श्रृंखला में प्रत्येक शब्द एक विशेष प्रकार के विचलन का वर्णन करता है। स्टर्लिंग श्रृंखला लॉग-गामा फलन का एक अनुमान है। उदाहरण निम्नलिखित टेलर श्रृंखला हैः रीमान जीटा फलन की डिरिचलेट श्रृंखला संदर्भ बीजगणित बहुपद गणितीय विश्लेषण गणितीय श्रृंखला है।