Generalized Kac–Moody algebra
गणित में, एक सामान्यीकृत काक-मूडी बीजगणित एक लाइ बीजगणित है जो काक-मूडी बीजगणित के समान है, सिवाय इसके कि इसमें काल्पनिक सरल मूल होने की अनुमति है। सामान्यीकृत काक-मूडी बीजगणित को कभी-कभी जी. के. एम. बीजगणित, बोर्चर्ड-काक-मूडी बीजगणित, बी. के. एम. बीजगणित या बोर्चर्ड बीजगणित भी कहा जाता है। सबसे प्रसिद्ध उदाहरण मॉन्स्टर लाइ बीजगणित है। अभिप्रेरणा परिमित-आयामी अर्ध-सरल लाइ बीजगणित में निम्नलिखित गुण होते हैंः उनमें एक गैर-अपक्षयी सममित अपरिवर्तनीय द्वि-रेखीय रूप (,) होता है। उनके पास एक श्रेणीकरण इस तरह है कि डिग्री शून्य टुकड़ा (कार्टन उप-बीजगणित) अबेलियन है। उनके पास एक (कार्टन) इन्वोल्यूशन है डब्ल्यू. (ए, डब्ल्यू (ए)) सकारात्मक है यदि ए शून्य नहीं है। उदाहरण के लिए, ट्रेस शून्य के n मैट्रिक्स द्वारा n के बीजगणित के लिए, द्विरेखीय रूप (a, b) = ट्रेस (ab) है, कार्टन इनवोल्यूशन माइनस ट्रांसपोज़ द्वारा दिया जाता है, और ग्रेडिंग को "विकर्ण से दूरी" द्वारा दिया जा सकता है ताकि कार्टन उप-बीजगणित विकर्ण तत्व हो। इसके विपरीत कोई भी इन गुणों (और कुछ अन्य तकनीकी स्थितियों को संतुष्ट करने) के साथ सभी लाइ अल्जेब्रा को खोजने का प्रयास कर सकता है। इसका उत्तर यह है कि किसी को सीमित-आयामी और एफ़ाइन लाइ अल्जेब्रा का योग मिलता है। राक्षस लाइ बीजगणित उपरोक्त शर्तों के थोड़े कमजोर संस्करण को संतुष्ट करता हैः (a, w (a)) सकारात्मक है यदि a गैर-शून्य है और इसमें गैर-शून्य डिग्री है, लेकिन नकारात्मक हो सकता है जब a की डिग्री शून्य हो। इन कमजोर स्थितियों को संतुष्ट करने वाले लाइ बीजगणित कमोबेश सामान्यीकृत काक-मूडी बीजगणित हैं। वे अनिवार्य रूप से कुछ जनरेटर और संबंधों (नीचे वर्णित) द्वारा दिए गए बीजगणित के समान हैं। अनौपचारिक रूप से, सामान्यीकृत काक-मूडी बीजगणित लाइ बीजगणित हैं जो परिमित-आयामी अर्ध-सरल लाइ बीजगणित की तरह व्यवहार करते हैं। विशेष रूप से उनके पास एक वेइल समूह, वेइल वर्ण सूत्र, कार्टन उप-बीजगणित, मूल, भार आदि हैं। परिभाषा एक सममित कार्टन मैट्रिक्स प्रविष्टियों के साथ एक (संभवतः अनंत) वर्ग मैट्रिक्स है जैसे कि यदि एक पूर्णांक है। दिए गए सममित कार्टन मैट्रिक्स के साथ सार्वभौमिक सामान्यीकृत काक-मूडी बीजगणित को जनरेटर और और संबंधों द्वारा परिभाषित किया जाता है, यदि 0 अन्यथा, अनुप्रयोगों के लिए या यदि वे मुख्य रूप से कार्टन मैट्रिक्स की विकर्ण प्रविष्टियों को गैर-सकारात्मक होने की अनुमति देकर एक (सममित) काक-मूडी बीजगणित के संबंधों से भिन्न होते हैं। दूसरे शब्दों में, हम सरल जड़ों को काल्पनिक होने देते हैं, जबकि काक-मूडी बीजगणित में सरल जड़ें हमेशा वास्तविक होती हैं। एक सामान्यीकृत केएसी-मूडी बीजगणित एक सार्वभौमिक बीजगणित से कार्टन मैट्रिक्स को बदलकर, केंद्र में कुछ मारने के संचालन, या एक केंद्रीय विस्तार लेने, या बाहरी व्युत्पत्तियों को जोड़कर प्राप्त किया जाता है। कुछ लेखक इस शर्त को हटाकर अधिक सामान्य परिभाषा देते हैं कि कार्टन मैट्रिक्स सममित होना चाहिए। इन गैर-सममित सामान्यीकृत काक-मूडी बीजगणित के बारे में ज्यादा जानकारी नहीं है, और ऐसा लगता है कि कोई दिलचस्प उदाहरण नहीं है। परिभाषा का विस्तार सुपरएलजेब्रा तक करना भी संभव है। संरचना एक सामान्यीकृत काक-मूडी बीजगणित को ई. आई. डिग्री 1, फाई डिग्री-1 और हाई डिग्री 0 देकर वर्गीकृत किया जा सकता है। डिग्री शून्य टुकड़ा एक अबेलियन उप-बीजगणित है जो तत्वों द्वारा फैला हुआ है और इसे कार्टन उप-बीजगणित कहा जाता है। गुण सामान्यीकृत केएसी-मूडी बीजगणित के अधिकांश गुण (सममित) केएसी-मूडी बीजगणित के सामान्य गुणों के सीधे विस्तार हैं। एक सामान्यीकृत काक-मूडी बीजगणित में एक अपरिवर्तनीय सममित द्विमितीय रूप होता है। उच्चतम वजन मॉड्यूल के लिए एक वर्ण सूत्र है, जो काक-मूडी बीजगणित के लिए वेल-काक वर्ण सूत्र के समान है, सिवाय इसके कि इसमें काल्पनिक सरल जड़ों के लिए सुधार शब्द हैं। उदाहरण अधिकांश सामान्यीकृत काक-मूडी बीजगणित में विशिष्ट विशेषताएं नहीं मानी जाती हैं। दिलचस्प तीन प्रकार के होते हैंः परिमित-आयामी अर्ध-सरल लाइ अल्जेब्रा। लॉरेंट्ज़ियन कार्टन उप-बीजगणित के साथ एफ़ाइन काक-मूडी बीजगणित बीजगणित जिसका भाजक फलन एकवचन भार का एक स्वचालित रूप है। ऐसा प्रतीत होता है कि तीसरे प्रकार के उदाहरणों की संख्या सीमित है। दो उदाहरण हैं राक्षस लाइ बीजगणित, जो राक्षस समूह द्वारा कार्य करता है और राक्षसी चंद्रमा के अनुमानों में उपयोग किया जाता है, और नकली राक्षस लाइ बीजगणित। कुछ अन्य छिटपुट सरल समूहों से जुड़े इसी तरह के उदाहरण हैं। निम्नलिखित सिद्धांत का उपयोग करके सामान्यीकृत काक-मूडी बीजगणित के कई उदाहरण खोजना संभव हैः जो कुछ भी सामान्यीकृत काक-मूडी बीजगणित की तरह दिखता है वह एक सामान्यीकृत काक-मूडी बीजगणित है। अधिक सटीक रूप से, यदि एक लाइ बीजगणित को एक लोरेंट्ज़ियन जाली द्वारा वर्गीकृत किया जाता है और इसका एक अपरिवर्तनीय द्विरेखीय रूप होता है और कुछ अन्य आसानी से जांची गई तकनीकी स्थितियों को संतुष्ट करता है, तो यह एक सामान्यीकृत केएसी-मूडी बीजगणित है। विशेष रूप से कोई भी किसी भी सम जाली से लाइ बीजगणित का निर्माण करने के लिए शीर्ष बीजगणित का उपयोग कर सकता है। यदि जाली सकारात्मक निश्चित है तो यह एक परिमित-आयामी अर्ध-सरल लाइ बीजगणित देता है, यदि यह सकारात्मक अर्ध-परिमित है तो यह एक एफ़ाइन लाइ बीजगणित देता है, और यदि यह लॉरेंट्ज़ियन है तो यह एक बीजगणित देता है जो उपरोक्त शर्तों को पूरा करता है इसलिए यह एक सामान्यीकृत केएसी-मूडी बीजगणित है। जब जाली सम 26 आयामी यूनिमॉड्यूलर लॉरेंट्ज़ियन जाली होती है तो निर्माण नकली राक्षस लाइ बीजगणित देता है; अन्य सभी लॉरेंट्ज़ियन जाली रूचिकर बीजगणित देते प्रतीत होते हैं। संदर्भ लाइ अलजेब्रा