Euclid number
गणित में, यूक्लिड संख्याएँ उस रूप के पूर्णांक हैं, जहाँ pn #nवां प्राथमिक है, अर्थात। प्रथम n अभाज्य संख्याओं का गुणनफल। उनका नाम प्राचीन यूनानी गणितशास्त्री यूक्लिड के नाम पर रखा गया है, यूक्लिड के प्रमेय के संबंध में कि अनंत रूप से कई अभाज्य संख्याएँ हैं। उदाहरण के लिए, पहले तीन अभाज्य संख्याएँ 2,3,5 हैं; उनका गुणनफल 30 है, और संबंधित यूक्लिड संख्या 31 है। पहली कुछ यूक्लिड संख्याएँ 3,7,31,211,2311,30031,510511,9699691,223092871,64693231,200560490131 हैं। इतिहास यह कभी-कभी गलत कहा जाता है कि यूक्लिड का अभाज्य संख्याओं के अनंत का प्रसिद्ध प्रमाण इन संख्याओं पर निर्भर था। यूक्लिड ने इस धारणा के साथ शुरुआत नहीं की कि सभी अभाज्य संख्याओं का समुच्चय परिमित है। इसके बजाय, उन्होंने कहाः अभाज्य संख्याओं के किसी भी सीमित समूह पर विचार करें (उन्होंने यह नहीं माना कि इसमें केवल पहले n अभाज्य संख्याएँ हैं, उदाहरण के लिए। यह हो सकता था) और वहाँ से इस निष्कर्ष पर तर्क दिया कि कम से कम एक अभाज्य मौजूद है जो उस समूह में नहीं है। फिर भी, यूक्लिड का तर्क, जो पहले n अभाज्य संख्याओं के समुच्चय पर लागू होता है, यह दर्शाता है कि nवीं यूक्लिड संख्या में एक अभाज्य कारक है जो इस समुच्चय में नहीं है। गुण सभी यूक्लिड संख्याएँ अभाज्य नहीं होती हैं। E6 = 13 #+ 1 = 30031 = 59 × 509 पहली समग्र यूक्लिड संख्या है। प्रत्येक यूक्लिड संख्या 3 मॉड्यूलो 4 के लिए सर्वांगसम है क्योंकि जिस प्राइमरियल से यह बना है वह केवल विषम अभाज्य संख्याओं के गुणनफल का दोगुना है और इस प्रकार 2 मॉड्यूलो 4 के लिए सर्वांगसम है। इस गुण का तात्पर्य है कि कोई भी यूक्लिड संख्या एक वर्ग नहीं हो सकती है। सभी के लिए एन का अंतिम अंक 1 है, क्योंकि यह 2 और 5 से विभाज्य है। दूसरे शब्दों में, चूंकि E2 से बड़ी सभी प्राथमिक संख्याओं में 2 और 5 अभाज्य कारक होते हैं, इसलिए वे 10 से विभाज्य होते हैं, इस प्रकार सभी एन 3 + 1 का अंतिम अंक 1 होता है। अनसुलझी समस्याएँ यह ज्ञात नहीं है कि क्या अभाज्य यूक्लिड संख्याओं (आदिम अभाज्य संख्याएँ) की एक अनंत संख्या है। यह भी अज्ञात है कि प्रत्येक यूक्लिड संख्या एक वर्ग-मुक्त संख्या है या नहीं। सामान्यीकरण दूसरे प्रकार की एक यूक्लिड संख्या (जिसे कुम्मर संख्या भी कहा जाता है) एन = पीएन #-1 रूप का एक पूर्णांक है, जहाँ पीएन #nवां प्राथमिक है। इस प्रकार की पहली कुछ संख्याएँ हैंः 1,5,29,209,2309,30029,510509,9699689,223092869,64693229,200560490129। यूक्लिड संख्याओं की तरह, यह ज्ञात नहीं है कि अनंत रूप से कई प्रमुख कुमेर संख्याएँ हैं या नहीं। इन संख्याओं में से पहली संयुक्त संख्या 209 है। यूक्लिड-मुलिन अनुक्रम भी देखें अभाज्य संख्याओं के अनंत का प्रमाण (यूक्लिड की प्रमेय) गणित में समानार्थी संख्याएँ पूर्णांक अनुक्रम संख्या सिद्धांत में अनसुलझी समस्याएं