Grothendieck–Riemann–Roch theorem
गणित में, विशेष रूप से बीजगणितीय ज्यामिति में, ग्रोथेन्डिक-रीमैन-रॉच प्रमेय सुसंगत समरूपता पर एक दूरगामी परिणाम है। यह जटिल मैनिफोल्ड्स के बारे में हिरज़ेब्रुक-रीमान-रॉच प्रमेय का एक सामान्यीकरण है, जो स्वयं कॉम्पैक्ट रीमान सतहों पर रेखा बंडलों के लिए शास्त्रीय रीमान-रॉच प्रमेय का एक सामान्यीकरण है। रीमान-रॉच प्रकार के प्रमेय एक वेक्टर बंडल के समरूपता की यूलर विशेषताओं को उनकी स्थलवैज्ञानिक डिग्री के साथ, या आम तौर पर उनकी विशेषता वर्गों को (सह) समरूपता या बीजगणितीय अनुरूपता में संबंधित करते हैं। शास्त्रीय रीमान-रॉच प्रमेय वक्रों और रेखा बंडलों के लिए ऐसा करता है, जबकि हिरज़ेब्रुक-रीमान-रॉच प्रमेय इसे कई गुना पर वेक्टर बंडलों के लिए सामान्यीकृत करता है। ग्रोथेन्डिक-रीमैन-रॉच प्रमेय दोनों प्रमेयों को दो मैनिफोल्ड (या अधिक सामान्य योजनाओं) के बीच एक रूपात्मकता की सापेक्ष स्थिति में निर्धारित करता है और प्रमेय को एक एकल बंडल के बारे में एक कथन से बदलकर शीव्स के श्रृंखला परिसरों पर लागू करने वाले एक में बदल देता है। यह प्रमेय बहुत प्रभावशाली रहा है, कम से कम अतिया-सिंगर सूचकांक प्रमेय के विकास के लिए तो नहीं। इसके विपरीत, ग्रॉथेन्डिक-रीमैन-रॉच प्रमेय के जटिल विश्लेषणात्मक अनुरूपों को परिवारों के लिए सूचकांक प्रमेय का उपयोग करके साबित किया जा सकता है। अलेक्जेंडर ग्रोथेन्डिक ने 1957 की पांडुलिपि में पहला प्रमाण दिया, जिसे बाद में प्रकाशित किया गया। आर्मंड बोरेल और जीन-पियरे सेरे ने 1958 में ग्रोथेन्डिक के प्रमाण को लिखा और प्रकाशित किया। बाद में, ग्रोथेन्डिक और उनके सहयोगियों ने प्रमाण को सरल और सामान्यीकृत किया। मान लीजिए कि X एक क्षेत्र पर एक चिकनी अर्ध-प्रक्षेप योजना है। इन धारणाओं के तहत, सुसंगत आवरणों के बंधे हुए परिसरों का ग्रोथेन्डिक समूह सीमित श्रेणी के वेक्टर बंडलों के बंधे हुए परिसरों के ग्रोथेन्डिक समूह के लिए विहित रूप से समरूप है। इस समरूपता का उपयोग करते हुए, चेरन चरित्र (चेरन वर्गों का एक तर्कसंगत संयोजन) को एक कार्यात्मक परिवर्तन के रूप में सोचेंः जहां परिमेय संख्याओं के साथ तनावित, आयाम डी मॉड्यूलो परिमेय समतुल्यता के एक्स पर चक्रों का चाउ समूह है। यदि X को जटिल संख्याओं पर परिभाषित किया जाता है, तो बाद वाला समूह टोपोलॉजिकल कोहोमोलॉजी समूह को मानचित्रित करता हैः अब चिकनी अर्ध-प्रोजेक्टिव योजनाओं और शीव्स के एक बंधे हुए परिसर के बीच एक उचित आकृतिवाद पर विचार करें। इस प्रकार यह प्रमेय उपरोक्त इंद्रियों और चेरन चरित्र में धक्का को आगे ले जाने की कम्यूटेटिविटी की कमी के लिए एक सटीक माप देता है और दर्शाता है कि आवश्यक सुधार कारक केवल एक्स और वाई पर निर्भर करते हैं। वास्तव में, चूंकि टॉड जीनस सटीक अनुक्रमों में कार्यात्मक और गुणक है, इसलिए हम ग्रोथेन्डिक-रीमैन-रॉच सूत्र को फिर से लिख सकते हैं जहां f का सापेक्ष स्पर्शरेखा आवरण है, जिसे तत्व के रूप में परिभाषित किया गया है। उदाहरण के लिए, जब f एक चिकनी आकृति है, तो बस एक वेक्टर बंडल है, जिसे f के तंतुओं के साथ स्पर्शरेखा बंडल के रूप में जाना जाता है। A1-होमोटोपी सिद्धांत का उपयोग करते हुए, ग्रोथेन्डिक-रीमैन-रॉक प्रमेय को उस स्थिति तक बढ़ाया गया है जहां f दो चिकनी योजनाओं के बीच एक उचित मानचित्र है। प्रमेय के सामान्यीकरण और विशेषज्ञता सामान्यीकरण को गैर-चिकने मामले में संयोजन के उचित सामान्यीकरण पर विचार करके और गैर-सही मामले में कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ कोहोमोलॉजी पर विचार करके किया जा सकता है। अंकगणितीय रीमान-रॉच प्रमेय ने ग्रॉथेन्डिक-रीमान-रॉच प्रमेय को अंकगणितीय योजनाओं तक विस्तारित किया है। हिरज़ेब्रुक-रीमान-रॉक प्रमेय (अनिवार्य रूप से) एक विशेष मामला है जहाँ Y एक बिंदु है और क्षेत्र जटिल संख्याओं का क्षेत्र है। उन्मुख समरूपता सिद्धांतों के लिए रीमान-रॉच प्रमेय का एक संस्करण इवान पैनिन और अलेक्जेंडर स्मिरनोव द्वारा सिद्ध किया गया था। यह बीजगणितीय उन्मुख समरूपता सिद्धांतों (जैसे बीजगणितीय समन्वय) के बीच गुणक संचालन से संबंधित है। ग्रोथेन्डिक-रीमैन-रॉच इस परिणाम का एक विशेष मामला है, और चेरन चरित्र इस सेटिंग में स्वाभाविक रूप से सामने आता है। उदाहरण एक वक्र पर वेक्टर बंडल एक क्षेत्र पर एक चिकनी प्रोजेक्टिव वक्र पर रैंक और डिग्री (इसके निर्धारक की डिग्री के रूप में परिभाषित; या समकक्ष रूप से इसके पहले चेरन वर्ग की डिग्री) के एक वेक्टर बंडल में रेखा बंडलों के लिए रीमान-रॉच के समान सूत्र होता है। यदि हम एक बिंदु लेते हैं, तो ग्रोथेन्डिक-रीमैन-रॉच सूत्र को इसलिए पढ़ा जा सकता है, यह सूत्र रैंक और डिग्री के सुसंगत आवरणों के लिए भी लागू होता है। उचित मानचित्रों को चिकना करें ग्रोथेन्डिक-रीमैन-रॉच सूत्र का एक लाभ यह है कि इसे हिरज़ेब्रुक-रीमैन-रॉच सूत्र के सापेक्ष संस्करण के रूप में व्याख्या की जा सकती है। उदाहरण के लिए, एक चिकनी आकृतिवाद में फाइबर होते हैं जो सभी सम-आयामी होते हैं (और आधार बदलने पर टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के रूप में समरूप)। यह तथ्य मॉड्यूली-सिद्धांत में उपयोगी है जब एक मॉड्यूली स्थान को उचित स्थान को मापने पर विचार किया जाता है। उदाहरण के लिए, डेविड ममफोर्ड ने बीजगणितीय वक्रों के मॉड्यूली स्थान पर चाउ रिंग के संबंधों का पता लगाने के लिए इस सूत्र का उपयोग किया। वक्रों का मॉड्यूली जीनस वक्रों के मॉड्यूली ढेर के लिए (और कोई चिह्नित बिंदु नहीं) एक सार्वभौमिक वक्र होता है जहां (जीनस के वक्रों का मॉड्यूली ढेर और एक चिह्नित बिंदु होता है। फिर, वह टाउटोलॉजिकल वर्गों को परिभाषित करता है जहां और सापेक्ष दोहरीकरण शीफ है। एक बिंदु से अधिक के फाइबर पर ध्यान दें यह दोहरीकरण शीफ है। वह ग्रोथेन्डिक-रीमैन-रॉच का उपयोग करके चिकनी लोकस के चाउ रिंग पर (कोरोलरी 6.2) के योग के संदर्भ में द और वर्णन के बीच संबंध खोजने में सक्षम थे। क्योंकि यह एक चिकना डिलिग्ने-मम्फोर्ड स्टैक है, उन्होंने एक योजना द्वारा एक आवरण पर विचार किया जो कुछ सीमित समूह के लिए प्रस्तुत करता है। वह प्राप्त करने के लिए ग्रोथेन्डिक-रीमैन-रॉच का उपयोग करता है क्योंकि यह सूत्र देता है की गणना को फिर और भी कम किया जा सकता है। सम आयामों में, इसके अलावा, आयाम 1 पर, सीमा पर एक वर्ग कहाँ है। मामले में और चिकने स्थान पर ऐसे संबंध हैं जिनका चेरन चरित्र का विश्लेषण करके अनुमान लगाया जा सकता है। बंद एम्बेडिंग बंद एम्बेडिंग में ग्रोथेन्डिक-रीमैन-रॉच सूत्र का उपयोग करके एक विवरण भी है, जो एक अन्य गैर-तुच्छ मामले को दर्शाता है जहां सूत्र धारण करता है। आयाम की एक चिकनी विविधता और कोडिमेंशन की एक उप-विविधता के लिए, सूत्र है संक्षिप्त सटीक अनुक्रम का उपयोग करते हुए, आदर्श आवरण के लिए सूत्र है। मॉड्यूली रिक्त स्थान की अर्ध-प्रक्षेपणशीलता का उपयोग यह साबित करने के लिए किया जा सकता है कि एक मोटे मॉड्यूली स्थान, जैसे कि नुकीले बीजगणितीय वक्रों का मॉड्यूली स्थान, एक प्रोजेक्टिव स्थान में एम्बेडिंग को स्वीकार करता है, इसलिए यह एक अर्ध-प्रोजेक्टिव विविधता है। यह विहित रूप से संबंधित शीव को देखकर और संबंधित लाइन बंडलों की डिग्री का अध्ययन करके पूरा किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, चिह्नित बिंदुओं के अनुरूप खंडों के साथ वक्रों का परिवार है। चूँकि प्रत्येक फाइबर में कैनॉनिकल बंडल होता है, वहाँ संबंधित लाइन बंडल होते हैं और यह पता चलता है कि एक पर्याप्त लाइन बंडल पी. जी. 209 है, इसलिए मोटे मॉड्यूली स्थान अर्ध-प्रोजेक्टिव है। अलेक्जेंडर ग्रोथेन्डिक के रीमान-रॉच प्रमेय के संस्करण को मूल रूप से 1956-1957 के आसपास जीन-पियरे सेरे को लिखे एक पत्र में बताया गया था। इसे 1957 में प्रारंभिक बॉन आर्बीटस्टागंग में सार्वजनिक किया गया था। सेरे और आर्मंड बोरेल ने बाद में इसे समझने के लिए प्रिंसटन विश्वविद्यालय में एक संगोष्ठी का आयोजन किया। अंतिम प्रकाशित लेख प्रभावी रूप से बोरेल-सेर प्रदर्शनी था। ग्रोथेन्डिक के दृष्टिकोण का महत्व कई बिंदुओं पर निर्भर करता है। सबसे पहले, ग्रोथेन्डिक ने कथन को ही बदल दियाः उस समय, प्रमेय को विविधता के बारे में एक प्रमेय के रूप में समझा जाता था, जबकि ग्रोथेन्डिक ने इसे किस्मों के बीच एक आकृतिवाद के बारे में एक प्रमेय के रूप में देखा। सही सामान्यीकरण खोजने से, प्रमाण सरल हो गया जबकि निष्कर्ष अधिक सामान्य हो गया। संक्षेप में, ग्रोथेन्डिक ने विश्लेषण के एक कठिन टुकड़े के लिए एक मजबूत स्पष्ट दृष्टिकोण लागू किया। इसके अलावा, ग्रोथेन्डिक ने के-समूहों की शुरुआत की, जैसा कि ऊपर चर्चा की गई है, जिसने बीजगणितीय के-सिद्धांत का मार्ग प्रशस्त किया। कावासाकी का रीमान-रॉच सूत्र नोट्स संदर्भ भी देखें बाहरी लिंक ग्रॉथेन्डिक-रीमान-रॉच प्रमेय थ्रेड "ग्रॉथेन्डिक-रीमान-रॉच के अनुप्रयोग?" मैथ ओवरफ्लो पर। सूत्र "कोई जीआरआर को कैसे समझता है? (ग्रोथेन्डिक रीमान रोच) "मैथओवरफ्लो पर। स्टैक एक्सचेंज पर धागा "आदर्श शीफ का चेरन वर्ग" है। बीजगणितीय ज्यामिति के स्थलाकृतिक तरीके बीजगणितीय ज्यामिति में प्रमेय बर्नहार्ड रीमान