Chinese mathematics
चीन में गणित 11वीं शताब्दी ईसा पूर्व तक स्वतंत्र रूप से उभरा। चीनियों ने स्वतंत्र रूप से एक वास्तविक संख्या प्रणाली विकसित की जिसमें काफी बड़ी और नकारात्मक संख्याएँ, एक से अधिक अंक प्रणाली (आधार 2 और आधार 10), बीजगणित, ज्यामिति, संख्या सिद्धांत और त्रिकोणमिति शामिल हैं। हान राजवंश के बाद से, डायोफैंटाइन सन्निकटन एक प्रमुख संख्यात्मक विधि होने के कारण, चीनियों ने बहुपद मूल्यांकन पर पर्याप्त प्रगति की। रेगुला फाल्सी जैसे एल्गोरिदम और निरंतर अंश जैसे अभिव्यक्तियों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है और तब से अच्छी तरह से प्रलेखित किया गया है। वे जानबूझकर धनात्मक संख्याओं के प्रमुख nवें मूल और समीकरणों के मूल का पता लगाते हैं। इस अवधि के प्रमुख ग्रंथों, गणितीय कला पर नौ अध्याय और संख्या और गणना पर पुस्तक ने दैनिक जीवन में विभिन्न गणितीय समस्याओं को हल करने के लिए विस्तृत प्रक्रियाएं दीं। सभी प्रक्रियाओं की गणना दोनों ग्रंथों में एक गणना बोर्ड का उपयोग करके की गई थी, और उनमें व्युत्क्रम तत्वों के साथ-साथ यूक्लिडियन विभाजन भी शामिल थे। ग्रंथ गौसी उन्मूलन और रैखिक बीजगणित के लिए हॉर्नर की विधि के समान प्रक्रियाएँ प्रदान करते हैं। चीनी बीजगणित की उपलब्धि 13वीं शताब्दी में युआन राजवंश के दौरान टियान युआन शू के विकास के साथ चरम पर पहुंच गई। स्पष्ट भाषाई और भौगोलिक बाधाओं के साथ-साथ सामग्री के परिणामस्वरूप, माना जाता है कि चीनी गणित और प्राचीन भूमध्यसागरीय दुनिया का गणित कमोबेश उस समय तक स्वतंत्र रूप से विकसित हुआ था जब गणितीय कला पर नौ अध्याय अपने अंतिम रूप में पहुंचे थे, जबकि संख्या और गणना पर पुस्तक और हुआनान्ज़ी मोटे तौर पर शास्त्रीय यूनानी गणित के समकालीन हैं। कम से कम रोमन काल से ज्ञात सांस्कृतिक आदान-प्रदान के माध्यम से पूरे एशिया में विचारों के कुछ आदान-प्रदान की संभावना है। अक्सर, प्रारंभिक समाजों के गणित के तत्व आधुनिक गणित की शाखाओं जैसे ज्यामिति या संख्या सिद्धांत में बाद में पाए गए प्राथमिक परिणामों के अनुरूप होते हैं। उदाहरण के लिए पायथागोरियन प्रमेय को ड्यूक ऑफ झोउ के समय के लिए प्रमाणित किया गया है। पास्कल के त्रिभुज का ज्ञान भी चीन में पास्कल से सदियों पहले मौजूद था, जैसे कि सोंग राजवंश के चीनी बहुश्रुत शेन कुओ। प्रारंभिक चीनी गणित शांग राजवंश (1600-1050 ईसा पूर्व)। सबसे पुराने जीवित गणितीय कार्यों में से एक आई चिंग है, जिसने झोउ राजवंश (1050-256 ईसा पूर्व) के दौरान लिखित साहित्य को बहुत प्रभावित किया। गणित के लिए, पुस्तक में षट्कोण का एक परिष्कृत उपयोग शामिल था। लीबनिज ने बताया कि आई चिंग (यी जिंग) में द्विआधारी संख्याओं के तत्व शामिल हैं। शांग काल के बाद से, चीनी पहले से ही एक दशमलव प्रणाली पूरी तरह से विकसित कर चुके थे। प्रारंभिक काल से, चीनी मूल अंकगणित (जो सुदूर पूर्वी इतिहास पर हावी था), बीजगणित, समीकरणों और नकारात्मक संख्याओं को गिनती की छड़ के साथ समझते थे। हालांकि चीनी खगोलीय उपयोग के लिए अंकगणितीय और उन्नत बीजगणित पर अधिक ध्यान केंद्रित कर रहे थे, लेकिन वे नकारात्मक संख्या, बीजगणितीय ज्यामिति (केवल चीनी ज्यामिति) और दशमलव का उपयोग करने वाले पहले व्यक्ति भी थे। गणित लियु यी (जून) या छह कलाओं में से एक था, छात्रों को झोउ राजवंश (1122-256 BC) के दौरान महारत हासिल करने की आवश्यकता थी। उन सभी को पूरी तरह से सीखना एक परिपूर्ण सज्जन, या चीनी अर्थ में, एक "पुनर्जागरण पुरुष" होने की आवश्यकता थी। छह कलाओं की जड़ें कन्फ्यूशियस दर्शन में हैं। चीन में ज्यामिति पर सबसे पुराना मौजूद काम लगभग 330 ईसा पूर्व के दार्शनिक मोहिस्ट सिद्धांत से आता है, जिसे मोज़ी (470-390 ईसा पूर्व) के अनुयायियों द्वारा संकलित किया गया है। मो जिंग ने भौतिक विज्ञान से जुड़े कई क्षेत्रों के विभिन्न पहलुओं का वर्णन किया, और गणित पर भी जानकारी का एक छोटा सा खजाना प्रदान किया। इसने ज्यामितीय बिंदु की एक 'परमाणु' परिभाषा प्रदान की, जिसमें कहा गया कि एक रेखा को भागों में विभाजित किया जाता है, और वह भाग जिसमें कोई शेष भाग नहीं होता है (यानी। इसे छोटे भागों में विभाजित नहीं किया जा सकता है) और इस प्रकार एक रेखा का चरम छोर एक बिंदु है। यूक्लिड की पहली और तीसरी परिभाषाओं और प्लेटो की 'एक रेखा की शुरुआत' की तरह, मो जिंग ने कहा कि "एक बिंदु अंत में (एक रेखा के) या इसकी शुरुआत में बच्चे के जन्म में सिर-प्रस्तुति की तरह खड़ा हो सकता है। (जहाँ तक इसकी अदृश्यता का सवाल है) इसके समान कुछ भी नहीं है। डेमोक्रिटस के परमाणुविदों के समान, मो जिंग ने कहा कि एक बिंदु सबसे छोटी इकाई है, और इसे आधे में नहीं काटा जा सकता है, क्योंकि 'कुछ भी नहीं' को आधा नहीं किया जा सकता है। इसमें कहा गया है कि समान लंबाई की दो रेखाएं हमेशा एक ही स्थान पर समाप्त होंगी, जबकि अंतरिक्ष और सीमित स्थान के सिद्धांतों के साथ लंबाई और समानांतर की तुलना के लिए परिभाषाएं प्रदान करती हैं। इसने इस तथ्य का भी वर्णन किया कि मोटाई की गुणवत्ता के बिना विमानों को ढेर नहीं किया जा सकता है क्योंकि वे परस्पर स्पर्श नहीं कर सकते हैं। पुस्तक ने आयतन की परिभाषा के साथ परिधि, व्यास और त्रिज्या के लिए शब्द पहचान प्रदान की। गणितीय विकास के इतिहास में कुछ सबूतों का अभाव है। कुछ गणितीय क्लासिक्स के बारे में अभी भी बहस चल रही है। उदाहरण के लिए, झोउबी सुआनजिंग लगभग 1200-1000 ईसा पूर्व का है, फिर भी कई विद्वानों का मानना था कि यह 300 और 250 ईसा पूर्व के बीच लिखा गया था। झोउबी सुआनजिंग में गौगू प्रमेय (पाइथागोरियन प्रमेय का एक विशेष मामला) का एक गहन प्रमाण है लेकिन खगोलीय गणनाओं पर अधिक ध्यान केंद्रित करता है। हालांकि, सिंघुआ बांस पर्ची की हाल की पुरातात्विक खोज, जो लगभग 305 ईसा पूर्व की है, ने पूर्व-किन गणित के कुछ पहलुओं का खुलासा किया है, जैसे कि पहली ज्ञात दशमलव गुणन तालिका। अबेकस का उल्लेख पहली बार ईसा पूर्व दूसरी शताब्दी में 'छड़ के साथ गणना' (सुआन ज़ी) के साथ किया गया था, जिसमें बांस की छोटी छड़ें एक चेकरबोर्ड के क्रमिक वर्गों में रखी जाती हैं। किन गणित किन राजवंश के गणित के बारे में ज्यादा जानकारी नहीं है, या इससे पहले, किताबों को जलाने और विद्वानों को दफनाने के कारण, लगभग 213-210 ईसा पूर्व। इस अवधि का ज्ञान नागरिक परियोजनाओं और ऐतिहासिक साक्ष्यों से निर्धारित किया जा सकता है। किन राजवंश ने वजन की एक मानक प्रणाली बनाई। किन राजवंश की सिविल परियोजनाएं मानव इंजीनियरिंग की महत्वपूर्ण उपलब्धियां थीं। सम्राट किन शिहुआंग ने कई लोगों को अन्य मंदिरों और मंदिरों के साथ महल के मकबरे के लिए बड़ी, जीवन आकार की मूर्तियों का निर्माण करने का आदेश दिया, और मकबरे के आकार को वास्तुकला के ज्यामितीय कौशल के साथ डिजाइन किया गया था। यह निश्चित है कि मानव इतिहास के सबसे महान कारनामों में से एक, चीन की महान दीवार के लिए कई गणितीय तकनीकों की आवश्यकता थी। किन राजवंश की सभी इमारतों और भव्य परियोजनाओं ने आयतन, क्षेत्र और अनुपात के लिए उन्नत गणना सूत्रों का उपयोग किया। प्रारंभिक रिपोर्टों के अनुसार, युएलू अकादमी द्वारा हांगकांग के पुरातन बाजार में खरीदी गई किन बांस की नकदी में एक गणितीय ग्रंथ का सबसे पहला शिलालेख नमूना है। हान राजवंश में, संख्याओं को एक स्थान मूल्य दशमलव प्रणाली के रूप में विकसित किया गया था और गिनती बोर्ड पर चौसुआन नामक गिनती की छड़ के एक सेट के साथ उपयोग किया जाता था, जिसमें केवल नौ प्रतीक होते थे और गिनती बोर्ड पर शून्य का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक खाली स्थान होता था। उस अवधि के महान गणितीय ग्रंथों के समाधान में नकारात्मक संख्याओं और भिन्नों को भी शामिल किया गया था। उस समय के गणितीय ग्रंथों, सुआन शु शु और जियुझांग सुआंशु ने जोड़, घटाव, गुणन और विभाजन जैसी बुनियादी अंकगणितीय समस्याओं को हल किया। इसके अलावा, उन्होंने वर्ग और घन जड़ निष्कर्षण के लिए प्रक्रियाएं दीं, जिन्हें अंततः तीसरे क्रम तक द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए लागू किया गया था। दोनों ग्रंथों ने रैखिक बीजगणित में भी पर्याप्त प्रगति की, अर्थात् कई अज्ञात के साथ समीकरणों की प्रणालियों को हल करना। दोनों ग्रंथों में पाई का मान तीन के बराबर माना जाता है। हालाँकि, गणितशास्त्री लियू शिन (मृत्यु 23) और झांग हेंग (78-139) ने पिछली शताब्दियों के चीनी लोगों की तुलना में पाई के लिए अधिक सटीक अनुमान दिए। गणित का विकास उस समय की व्यावहारिक समस्याओं जैसे भूमि विभाजन या भुगतान विभाजन से संबंधित समस्याओं को हल करने के लिए किया गया था। चीनी लोग क्षेत्र या आयतन खोजने के लिए समीकरणों को साबित करने के आधुनिक अर्थ में ज्यामिति या बीजगणित पर आधारित सैद्धांतिक प्रमाणों पर ध्यान केंद्रित नहीं करते थे। द बुक ऑफ कम्प्यूटेशंस और द नाइन चैप्टर्स ऑन द मैथमेटिकल आर्ट कई व्यावहारिक उदाहरण प्रदान करते हैं जिनका दैनिक जीवन में उपयोग किया जाएगा। सुआन शु शु (गणना पर लेखन या गणना की पुस्तक) गणित पर एक प्राचीन चीनी पाठ है जिसकी लंबाई लगभग सात हजार वर्ण है, जिसे 190 बांस की पट्टियों पर लिखा गया है। इसकी खोज 1984 में अन्य लेखन के साथ की गई थी जब पुरातत्वविदों ने हुबेई प्रांत के झांगजियाशान में एक मकबरा खोला था। दस्तावेजी साक्ष्यों से पता चलता है कि इस मकबरे को 186 ईसा पूर्व में पश्चिमी हान राजवंश की शुरुआत में बंद कर दिया गया था। जबकि नौ अध्यायों के साथ इसके संबंध पर अभी भी विद्वानों द्वारा चर्चा की जा रही है, इसकी कुछ सामग्री स्पष्ट रूप से वहाँ समानांतर हैं। हालांकि सुआन शु शु का पाठ नौ अध्यायों की तुलना में बहुत कम व्यवस्थित है, और ऐसा प्रतीत होता है कि इसमें कई स्रोतों से तैयार किए गए पाठ के कम या ज्यादा स्वतंत्र लघु खंड शामिल हैं। द बुक ऑफ कम्प्यूटेशंस में उन समस्याओं के कई अनुलाभ हैं जिनका विस्तार गणितीय कला पर द नाइन चैप्टर्स में किया जाएगा। सुआन शु शु में प्राथमिक गणित का एक उदाहरण, वर्गमूल को गलत स्थिति विधि का उपयोग करके अनुमानित किया जाता है जो कहता है कि "विभाजक के रूप में अतिरिक्त और कमी को जोड़ना; (लेना) कमी अंश को अतिरिक्त भाजक से गुणा करना और कमी भाजक के अतिरिक्त अंश को गुणा करना, उन्हें लाभांश के रूप में जोड़ना"। इसके अलावा, गणना की पुस्तक एक ही गलत स्थिति विधि का उपयोग करके दो समीकरणों और दो अज्ञात की प्रणालियों को हल करती है। द नाइन चैप्टर्स ऑन द मैथमेटिकल आर्ट एक चीनी गणित पुस्तक है, जिसकी सबसे पुरानी पुरातात्विक तिथि (पारंपरिक रूप से दिनांकित 1000 ईसा पूर्व) है, लेकिन शायद 300-200 ईसा पूर्व के रूप में। हालाँकि लेखक अज्ञात हैं, लेकिन उन्होंने पूर्वी दुनिया में एक बड़ा योगदान दिया है। प्रश्नों के तुरंत बाद उत्तर और प्रक्रिया के साथ समस्याएं स्थापित की जाती हैं। पाठ के भीतर कोई औपचारिक गणितीय प्रमाण नहीं हैं, बस एक चरण-दर-चरण प्रक्रिया है। लियू हुई की टिप्पणी ने पाठ के भीतर दी गई समस्याओं के लिए ज्यामितीय और बीजगणितीय प्रमाण प्रदान किए। गणितीय कला पर नौ अध्याय सभी चीनी गणितीय पुस्तकों में सबसे प्रभावशाली में से एक था और यह 246 समस्याओं से बना है। बाद में इसे द टेन कम्प्यूटेशनल कैनन में शामिल किया गया, जो बाद की शताब्दियों में गणितीय शिक्षा का मूल बन गया। इस पुस्तक में सर्वेक्षण, कृषि, साझेदारी, इंजीनियरिंग, कराधान, गणना, समीकरणों का समाधान और समकोण त्रिभुजों के गुणों पर 246 समस्याएं शामिल हैं। नौ अध्यायों ने हॉर्नर की विधि के समान द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए महत्वपूर्ण परिवर्धन किए। इसने "फेंगचेंग" या जिसे अब रैखिक बीजगणित के रूप में जाना जाता है, में भी उन्नत योगदान दिया। सातवाँ अध्याय दो अज्ञात के साथ रैखिक समीकरणों की प्रणाली को गलत स्थिति विधि का उपयोग करके हल करता है, जो गणना की पुस्तक के समान है। अध्याय आठ सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं का उपयोग करके एक साथ निर्धारित और अनिश्चित रैखिक समीकरणों को हल करने से संबंधित है, जिसमें एक समस्या पांच अज्ञात में चार समीकरणों को हल करने से संबंधित है। नौ अध्याय आधुनिक गॉसियन उन्मूलन और बैक प्रतिस्थापन के समान तरीकों का उपयोग करके समीकरणों की प्रणालियों को हल करते हैं। द नाइन चैप्टर्स का संस्करण जिसने आधुनिक प्रस्तुतियों की नींव के रूप में काम किया है, विद्वान दाई झेन के प्रयासों का परिणाम था। योंगले विश्वकोश से सीधे समस्याओं का प्रतिलेखन करते हुए, उन्होंने मूल पाठ में संशोधन करने के लिए आगे बढ़े, साथ ही परिवर्तनों के पीछे अपने तर्क को समझाते हुए अपने स्वयं के नोट्स को शामिल किया। उनका तैयार किया हुआ काम पहली बार 1774 में प्रकाशित हुआ था, लेकिन विभिन्न त्रुटियों को सुधारने के साथ-साथ द नाइन चैप्टर्स फ्रॉम द सदर्न सॉन्ग का एक संस्करण शामिल करने के लिए 1776 में एक नया संशोधन प्रकाशित किया जाएगा जिसमें लुई हुई और ली चुनफेंग की टिप्पणियां शामिल थीं। दाई झेन के काम का अंतिम संस्करण 1777 में आया, जिसका शीर्षक रिपल पवेलियन था, इस अंतिम प्रस्तुति को व्यापक रूप से वितरित किया जा रहा था और द नाइन चैप्टर्स के आधुनिक संस्करणों के लिए मानक के रूप में काम करने के लिए आ रहा था। हालाँकि, यह संस्करण गुओ शुचेन की जांच के दायरे में आया है, यह आरोप लगाते हुए कि संपादित संस्करण में अभी भी कई त्रुटियाँ हैं और सभी मूल संशोधन दाई झेन द्वारा स्वयं नहीं किए गए थे। गणितीय कला पर नौ अध्यायों में पाई समस्याओं की गणना गोलाकार सतह क्षेत्र जैसे वृत्तों और क्षेत्रों से संबंधित समस्याओं की गणना में पाई को तीन के बराबर लेती है। पाई की गणना तीन होने के लिए पाठ के भीतर कोई स्पष्ट सूत्र नहीं दिया गया है, लेकिन इसका उपयोग गणितीय कला पर नौ अध्याय और आर्टिफिसर रिकॉर्ड दोनों की समस्याओं में किया जाता है, जो एक ही समय अवधि में तैयार किए गए थे। इतिहासकारों का मानना है कि पाई के इस आंकड़े की गणना एक वृत्त की परिधि और व्यास के बीच 3:1 संबंध का उपयोग करके की गई थी। कुछ हान गणितविदों ने इस संख्या में सुधार करने का प्रयास किया, जैसे कि लियू शिन, जिनके बारे में माना जाता है कि उन्होंने पाई का अनुमान 3.154 लगाया था। बाद में, लियू हुई ने पाई की गणना 3.141024 (संख्या का एक कम अनुमान) करके गणना में सुधार करने का प्रयास किया। लियू ने एक वृत्त की तुलना में कम सीमा के रूप में एक षट्कोण के अंदर बहुभुज का उपयोग करके इस संख्या की गणना की। ज़ू चोंगज़ी ने बाद में 24,576 भुजाओं वाले बहुभुज का उपयोग करके पाई की गणना 3.1415926 <π <3.1415927 होने की खोज की। इस गणना की खोज यूरोप में 16वीं शताब्दी के दौरान की गई थी। उन्होंने इस अनुमान की गणना कैसे की, इसका कोई स्पष्ट तरीका या रिकॉर्ड नहीं है। विभाजन और जड़ निष्कर्षण हान राजवंश से पहले जोड़, घटाव, गुणन और विभाजन जैसी बुनियादी अंकगणितीय प्रक्रियाएं मौजूद थीं। गणितीय कला पर नौ अध्याय इन बुनियादी कार्यों को हल्के में लेते हैं और पाठकों को उन्हें करने का निर्देश देते हैं। हान गणितविदों ने वर्ग और घन जड़ों की गणना विभाजन के समान तरीके से की, और विभाजन और मूल निष्कर्षण दोनों पर समस्याएं गणितीय कला पर नौ अध्यायों के अध्याय चार में पाई जाती हैं। संख्याओं के वर्ग और घन मूल की गणना क्रमिक सन्निकटन के माध्यम से की जाती है, जो विभाजन के समान है, और अक्सर पूरी प्रक्रिया में लाभांश (शि) और भाजक (फा) जैसे समान शब्दों का उपयोग करता है। क्रमिक सन्निकटन की इस प्रक्रिया को फिर दूसरे और तीसरे क्रम के चतुर्भुज को हल करने के लिए विस्तारित किया गया था, जैसे कि हॉर्नर की विधि के समान विधि का उपयोग करना। हान राजवंश के दौरान nवें क्रम के चतुर्भुज को हल करने के लिए विधि का विस्तार नहीं किया गया था; हालाँकि, इस विधि का उपयोग अंततः इन समीकरणों को हल करने के लिए किया गया था। रैखिक बीजगणित दो अज्ञात के साथ समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए गणना की पुस्तक पहला ज्ञात पाठ है। द बुक ऑफ कम्प्यूटेशंस के भीतर समस्याओं के कुल तीन समूह हैं जिनमें गलत स्थिति विधि के साथ समीकरणों की प्रणालियों को हल करना शामिल है, जिन्हें फिर से व्यावहारिक शब्दों में रखा जाता है। गणितीय कला पर नौ अध्यायों का अध्याय सात भी दो अज्ञात के साथ दो समीकरणों की प्रणाली को गलत स्थिति विधि से हल करने से संबंधित है। दो अज्ञात में से बड़े के लिए हल करने के लिए, गलत स्थिति विधि पाठक को छोटे शब्दों या ज़ी (जो अतिरिक्त और घाटे के लिए दिए गए मूल्य हैं) को प्रमुख शब्दों म्यू के साथ क्रॉस-गुणा करने का निर्देश देती है। दो अज्ञात में से छोटे के लिए हल करने के लिए, बस छोटे शब्दों को एक साथ जोड़ें। गणितीय कला पर नौ अध्यायों का आठवाँ अध्याय अनंत अज्ञात के साथ अनंत समीकरणों को हल करने से संबंधित है। इस प्रक्रिया को पूरे अध्याय में "फेंगचेंग प्रक्रिया" के रूप में संदर्भित किया गया है। कई इतिहासकारों ने शब्द के अर्थ के परस्पर विरोधी साक्ष्य के कारण फेंगचेंग शब्द का अनुवाद नहीं करना चुना। कई इतिहासकार आज इस शब्द का अनुवाद रैखिक बीजगणित में करते हैं। इस अध्याय में, कई अज्ञात के साथ समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए गॉसियन उन्मूलन और बैक-प्रतिस्थापन की प्रक्रिया का उपयोग किया जाता है। गणना बोर्ड पर समस्याएं की गईं और इसमें नकारात्मक संख्याओं के साथ-साथ अंशों का उपयोग भी शामिल था। गणना बोर्ड प्रभावी रूप से एक मैट्रिक्स था, जहाँ शीर्ष रेखा एक समीकरण का पहला चर होता है और नीचे वाला चर अंतिम होता है। गणितीय कला पर नौ अध्यायों पर लियू हुई की टिप्पणी, गणितीय कला पर नौ अध्यायों पर लियू हुई की टिप्पणी, उपलब्ध मूल पाठ का सबसे पहला संस्करण है। अधिकांश लोगों का मानना है कि हुई हान राजवंश के तुरंत बाद एक गणितशास्त्री थे। अपनी टिप्पणी में हुई ने कुछ समस्याओं को बीजगणितीय या ज्यामितीय दृष्टिकोण से सिद्ध किया। उदाहरण के लिए, गणितीय कला पर पूरे नौ अध्यायों में, वृत्त या क्षेत्रों से संबंधित समस्याओं में पाई का मान तीन के बराबर लिया जाता है। अपनी टिप्पणी में, लियू हुई को थकावट की विधि का उपयोग करके पाई का अधिक सटीक अनुमान मिलता है। विधि में एक वृत्त के भीतर क्रमिक बहुपदों का निर्माण करना शामिल है ताकि अंततः एक उच्च-क्रम वाले बहुभुज का क्षेत्रफल वृत्त के समान हो। इस विधि से, लियू हुई ने जोर देकर कहा कि पाई का मान लगभग 3,14 है। लियू हुई ने ग्रीक विधि के समान वर्ग और घन जड़ निष्कर्षण का एक ज्यामितीय प्रमाण भी प्रस्तुत किया, जिसमें किसी भी रेखा या खंड में एक वर्ग या घन को काटना और शेष आयतों की समरूपता के माध्यम से वर्गमूल का निर्धारण करना शामिल था। अनैक्य की अवधि में गणित तीसरी शताब्दी में लियू हुई ने नौ अध्यायों पर अपनी टिप्पणी लिखी और हैदाओ सुआनजिंग भी लिखा जिसमें पायथागोरियन प्रमेय (पहले से ही 9 अध्यायों द्वारा जाना जाता है), और सर्वेक्षण के लिए तिगुना, चौगुना त्रिकोण का उपयोग किया गया था; गणितीय सर्वेक्षण में उनकी उपलब्धि पश्चिम में एक सहस्राब्दी तक हासिल की गई उपलब्धि से अधिक थी। वह अपने π एल्गोरिदम के साथ π = 3.1416 की गणना करने वाले पहले चीनी गणितशास्त्री थे। उन्होंने एक सिलेंडर के आयतन के लिए एक सटीक सूत्र खोजने के लिए कैवलेरी के सिद्धांत के उपयोग की खोज की, और तीसरी शताब्दी ईस्वी के दौरान असीम कलन के तत्वों को भी विकसित किया। चौथी शताब्दी में, ज़ू चोंगज़ी नामक एक अन्य प्रभावशाली गणितशास्त्री ने दा मिंग ली की शुरुआत की। इस कैलेंडर की गणना विशेष रूप से कई ब्रह्मांड संबंधी चक्रों की भविष्यवाणी करने के लिए की गई थी जो एक समय अवधि में घटित होंगे। वास्तव में उनके जीवन के बारे में बहुत कम जानकारी है। आज, एकमात्र स्रोत सुइ की पुस्तक में पाए जाते हैं, अब हम जानते हैं कि ज़ू चोंगज़ी गणितविदों की पीढ़ियों में से एक थे। उन्होंने 12288-गोन पर लागू किए गए लियू हुई के पाई-एल्गोरिदम का उपयोग किया और 7 सटीक दशमलव स्थानों (3.1415926 और 3.1415927 के बीच) के लिए पाई का मान प्राप्त किया, जो अगले 900 वर्षों के लिए उपलब्ध π का सबसे सटीक अनुमान बना रहेगा। उन्होंने अपने खगोल विज्ञान और गणितीय कार्यों में अंश के साथ अपरिमेय संख्या को अनुमानित करने के लिए हे चेंगटियन के अंतर्वेशन को भी लागू किया, उन्होंने पाई के लिए एक अच्छे अंश के रूप में प्राप्त किया; योशियो मिकामी ने टिप्पणी की कि न तो यूनानियों, न ही हिंदुओं और न ही अरबों को पाई के इस अंश के सन्निकटन के बारे में पता था, जब तक कि डच गणितशास्त्री एड्रियन एंथोनिसज़ूम ने 1585 में इसे फिर से नहीं खोजा, "इसलिए चीनियों के पास यूरोप से पहले एक पूरी सहस्राब्दी में सभी भिन्न मानों में से यह सबसे असाधारण था" अपने बेटे ज़ू गेंग के साथ, ज़ू चोंगज़ी ने गोले के आयतन की गणना के लिए एक सटीक समाधान खोजने के लिए कैवलेरी के सिद्धांत को लागू किया। गोले के आयतन के लिए सूत्रों के अलावा, उनकी पुस्तक में घन समीकरणों के सूत्र और पाई का सटीक मूल्य भी शामिल था। उनके काम, झुई शु को सोंग राजवंश के दौरान गणित के पाठ्यक्रम से बाहर कर दिया गया था और खो दिया गया था। कई लोगों का मानना था कि झुई शु में रैखिक, मैट्रिक्स बीजगणित, π के मूल्य की गणना के लिए एल्गोरिथ्म, गोले के आयतन के लिए सूत्र और विधियाँ शामिल हैं। पाठ को उनके अंतर्वेशन के खगोलीय तरीकों के साथ भी जोड़ा जाना चाहिए, जिसमें हमारे आधुनिक गणित के समान ज्ञान होगा। 200 और 400 ईस्वी के बीच की तारीख वाली सुंजी गणितीय क्लासिक नामक एक गणितीय पुस्तिका में गिनती की छड़ के साथ गुणन और विभाजन एल्गोरिदम का सबसे विस्तृत चरण-दर-चरण विवरण था। दिलचस्प रूप से, सुंजी ने स्थान-मूल्य प्रणालियों और स्थान-मूल्य प्रणालियों के विकास और पश्चिम में संबंधित गैली विभाजन को प्रभावित किया होगा। यूरोपीय स्रोतों ने 13वीं शताब्दी में स्थान-मूल्य तकनीकों को अल-ख्वारिज़्मी द्वारा 9वीं शताब्दी की शुरुआत में एक लैटिन अनुवाद से सीखा। ख्वारिज़्मी की प्रस्तुति लगभग सुंज़ी में विभाजन एल्गोरिथ्म के समान है, यहां तक कि शैलीगत मामलों के संबंध में भी (उदाहरण के लिए, पीछे शून्य का प्रतिनिधित्व करने के लिए खाली स्थानों का उपयोग करना); समानता से पता चलता है कि परिणाम एक स्वतंत्र खोज नहीं हो सकते हैं। अल-ख्वारिज़्मी के काम पर इस्लामी टिप्पणीकारों का मानना था कि यह मुख्य रूप से हिंदू ज्ञान का सारांश है; अल-ख्वारिज़्मी की अपने स्रोतों का हवाला देने में विफलता से यह निर्धारित करना मुश्किल हो जाता है कि क्या उन स्रोतों ने बदले में चीन से प्रक्रिया सीखी थी। पाँचवीं शताब्दी में "झांग क्यूजियन सुनजिंग" नामक पुस्तिका में रैखिक और द्विघात समीकरणों पर चर्चा की गई थी। इस समय तक चीनियों के पास ऋणात्मक संख्याओं की अवधारणा थी। तांग राजवंश द्वारा महान विद्यालयों में गणित का अध्ययन काफी मानक था। टेन कम्प्यूटेशनल कैनन दस चीनी गणितीय कार्यों का एक संग्रह था, जिसे प्रारंभिक तांग राजवंश के गणितशास्त्री ली चुनफेंग द्वारा गणित में शाही परीक्षाओं के लिए आधिकारिक गणितीय ग्रंथों के रूप में संकलित किया गया था। सुई राजवंश और तांग राजवंश ने "स्कूल ऑफ कम्प्यूटेशंस" चलाया। वांग शियाओतोंग तांग राजवंश की शुरुआत में एक महान गणितशास्त्री थे, और उन्होंने एक पुस्तक लिखीः जिगु सुआनजिंग (प्राचीन गणित की निरंतरता), जिसमें संख्यात्मक समाधान जो सामान्य घन समीकरण पहली बार दिखाई देते हैं तिब्बतियों ने नाम-री सरोंग बत्सान के शासनकाल के दौरान चीन से गणित (अंकगणित) का अपना पहला ज्ञान प्राप्त किया, जिनकी मृत्यु 630 में हुई थी। भारतीय गणितशास्त्री आर्यभट्ट द्वारा साइन की तालिका का चीनी गणितीय पुस्तक कैयुआन झान्जिंग में अनुवाद किया गया था, जिसे तांग राजवंश के दौरान 718 ईस्वी में संकलित किया गया था। यद्यपि चीनी गणित के अन्य क्षेत्रों जैसे ठोस ज्यामिति, द्विपद प्रमेय और जटिल बीजगणितीय सूत्रों में उत्कृष्ट थे, त्रिकोणमिति के प्रारंभिक रूपों को समकालीन भारतीय और इस्लामी गणित की तरह व्यापक रूप से सराहा नहीं गया था। गणितशास्त्री और बौद्ध भिक्षु यी जिंग को स्पर्शरेखा तालिका की गणना करने का श्रेय दिया जाता है। इसके बजाय, प्रारंभिक चीनी एक अनुभवजन्य विकल्प का उपयोग करते थे जिसे चोंग चा के रूप में जाना जाता था, जबकि साइन, स्पर्शरेखा और सेकेंट का उपयोग करने में समतल त्रिकोणमिति का व्यावहारिक उपयोग ज्ञात था। यी जिंग अपनी प्रतिभा के लिए प्रसिद्ध थे, और एक गो बोर्ड गेम पर संभावित पदों की संख्या की गणना करने के लिए जाने जाते थे (हालांकि शून्य के प्रतीक के बिना उन्हें संख्या व्यक्त करने में कठिनाई होती थी)। सोंग और युआन गणित उत्तरी सोंग राजवंश के गणितशास्त्री जिया शियान ने वर्गमूल और घनमूल के निष्कर्षण के लिए एक योगात्मक गुणक विधि विकसित की जिसने "हॉर्नर" नियम को लागू किया। विशेष रूप से बारहवीं और तेरहवीं शताब्दी में सोंग राजवंश और युआन राजवंश के दौरान चार उत्कृष्ट गणितविदों का उदय हुआः यांग हुई, किन जुशाओ, ली झी (ली ये) और झू शिजी। यांग हुई, किन जुशाओ, झू शिजी सभी ने छह सौ साल पहले कुछ प्रकार के समवर्ती समीकरणों, मूल, द्विघात, घन और चतुर्थक समीकरणों को हल करने के लिए हॉर्नर-रफिनी विधि का उपयोग किया था। यांग हुई इतिहास के पहले व्यक्ति थे जिन्होंने "पास्कल के त्रिभुज" की खोज की और इसे इसके द्विपद प्रमाण के साथ साबित किया (हालांकि चीन में पास्कल के त्रिभुज का सबसे पहला उल्लेख ग्यारहवीं शताब्दी ईस्वी से पहले मौजूद है)। दूसरी ओर, ली झी ने टियान युआन शू पर आधारित बीजगणितीय ज्यामिति के एक रूप पर जांच की। उनकी पुस्तक; सेउआन हाइजिंग ने पाइथागोरियन प्रमेय का उपयोग करने की पारंपरिक विधि के बजाय बीजगणित द्वारा इस ज्यामिति समस्या को बदलकर, एक वृत्त को त्रिकोणों में लिखने के विचार में क्रांति ला दी। इस युग के गुओ शौजिंग ने सटीक खगोलीय गणनाओं के लिए गोलाकार त्रिकोणमिति पर भी काम किया। गणितीय इतिहास के इस बिंदु पर, बहुत सारे आधुनिक पश्चिमी गणित की खोज पहले से ही चीनी गणितविदों द्वारा की जा चुकी थी। चीनी गणित के तेरहवीं शताब्दी के पुनर्जागरण तक कुछ समय के लिए चीजें शांत हो गईं। इसने चीनी गणितविदों को उन तरीकों के साथ समीकरण हल करते देखा जिन्हें यूरोप अठारहवीं शताब्दी तक नहीं जानता था। इस युग का शिखर झू शिजी की दो पुस्तकों सुआनक्स्यू किमेंग और सियुआन युजियन के साथ आया। एक मामले में उन्होंने कथित तौर पर गॉस के प्रमुख संघनन के बराबर एक विधि दी। किन जुशाओ (सी. 1202-1261) चीनी गणित में शून्य प्रतीक को पेश करने वाले पहले व्यक्ति थे। इस नवाचार से पहले, छड़ गिनने की प्रणाली में शून्य के बजाय खाली स्थानों का उपयोग किया जाता था। किन जिशाओ के सबसे महत्वपूर्ण योगदानों में से एक उच्च क्रम संख्यात्मक समीकरणों को हल करने की उनकी विधि थी। किन के चौथे क्रम के समीकरण के समाधान का उल्लेख करते हुए, योशियो मिकामी ने कहाः "यूरोप की तुलना में कम से कम लगभग छह लंबी शताब्दियों पहले चीन में हॉर्नर की शानदार प्रक्रिया का उपयोग किए जाने के तथ्य से कौन इनकार कर सकता है?" किन ने 10वें क्रम के समीकरण को भी हल किया। पास्कल के त्रिभुज को पहली बार चीन में यांग हुई ने अपनी पुस्तक शियांगजी जियुझांग सुआनफा में चित्रित किया था, हालांकि इसका वर्णन पहले 1100 के आसपास जिया शियान द्वारा किया गया था। हालाँकि ज़ू शिजी (फ़्ल.) द्वारा लिखित कम्प्यूटेशनल अध्ययन का परिचय। 13वीं शताब्दी) 1299 में चीनी बीजगणित में कुछ भी नया नहीं था, इसका जापानी गणित के विकास पर बहुत प्रभाव पड़ा। बीजगणित सेयुआन हाइजिंग (), या वृत्त मापन का सागर-दर्पण, एक त्रिभुज में उत्कीर्ण वृत्त से संबंधित 692 सूत्र और 170 समस्याओं का संग्रह है, जिसे ली झी (या ली ये) (1192-1272 AD) द्वारा लिखा गया है। उन्होंने जटिल ज्यामिति समस्याओं को शुद्ध बीजगणित समस्याओं में बदलने के लिए तियान युआन शू का उपयोग किया। इसके बाद उन्होंने छह से अधिक डिग्री के समीकरणों को हल करने के लिए फैन फा, या हॉर्नर की विधि का उपयोग किया, हालांकि उन्होंने समीकरणों को हल करने की अपनी विधि का वर्णन नहीं किया। "ली चिह (या ली ये, 1192-1279), पेकिंग के एक गणितशास्त्री जिन्हें 1206 में खुबलई खान द्वारा एक सरकारी पद की पेशकश की गई थी, लेकिन विनम्रता से इसे अस्वीकार करने का बहाना ढूंढ लिया। उनके त्से-युआन है-चिंग (वृत्त मापन का सागर-दर्पण) में 170 समस्याएं शामिल हैं जो छठी डिग्री के बहुपद समीकरणों की ओर ले जाने वाली कुछ समस्याओं से संबंधित हैं। हालाँकि उन्होंने समीकरणों के समाधान की अपनी विधि का वर्णन नहीं किया, लेकिन ऐसा प्रतीत होता है कि यह चू शिह-चीह और हॉर्नर द्वारा उपयोग की गई विधि से बहुत अलग नहीं थी। हॉर्नर विधि का उपयोग करने वाले अन्य लोग चिन चिउ-शाओ (सीए। 1202-ca.1261) और यांग हुई (फ़्ल. सी. 1261-1275)। जेड मिरर ऑफ द फोर अननोन (जेड मिरर ऑफ द फोर अननोन) या जेड मिरर ऑफ द फोर अननोन 1303 ईस्वी में झू शिजी द्वारा लिखा गया था और चीनी बीजगणित के विकास में शिखर को चिह्नित करता है। चार तत्व, जिन्हें स्वर्ग, पृथ्वी, मनुष्य और पदार्थ कहा जाता है, उनके बीजगणितीय समीकरणों में चार अज्ञात मात्राओं का प्रतिनिधित्व करते थे। यह समवर्ती समीकरणों और चौदह डिग्री तक के उच्च समीकरणों से संबंधित है। लेखक इन समीकरणों को हल करने के लिए फैन फा की विधि का उपयोग करता है, जिसे आज हॉर्नर की विधि कहा जाता है। दर्पण में बिना प्रमाण के कई योग श्रृंखला समीकरण दिए गए हैं। कुछ योग श्रृंखलाएँ हैंः नौ खंडों में गणितीय ग्रंथ शु-शु चिउ-चांग, या नौ खंडों में गणितीय ग्रंथ, अमीर गवर्नर और मंत्री चिन चिउ-शाओ (सीए। 1202-सीए। 1261 ईस्वी) और एक साथ अनुरूपता को हल करने की एक विधि के आविष्कार के साथ, यह चीनी अनिश्चित विश्लेषण में उच्च बिंदु को चिह्नित करता है। जादू वर्ग और जादू वृत्त तीन से अधिक क्रम के सबसे पहले ज्ञात जादू वर्ग का श्रेय यांग हुई को दिया जाता है। सी. 1261-1275), जिन्होंने दस के रूप में उच्च क्रम के जादुई वर्गों के साथ काम किया। उन्होंने मैजिक सर्कल के साथ भी काम किया। चीन में त्रिकोणमिति की भ्रूण अवस्था धीरे-धीरे सोंग राजवंश (960-1279) के दौरान बदलने और आगे बढ़ने लगी, जहाँ चीनी गणितविदों ने पंचांग विज्ञान और खगोलीय गणनाओं में गोलाकार त्रिकोणमिति की आवश्यकता पर अधिक जोर देना शुरू किया। बहुश्रुत चीनी वैज्ञानिक, गणितशास्त्री और आधिकारिक शेन कुओ (1031-1095) ने कॉर्ड और चाप की गणितीय समस्याओं को हल करने के लिए त्रिकोणमितीय कार्यों का उपयोग किया। विक्टर जे. काट्ज़ लिखते हैं कि शेन के सूत्र "वृत्तों को प्रतिच्छेदन करने की तकनीक" में, उन्होंने एक वृत्त के चाप का अनुमान s द्वारा s = c + 2v2/d बनाया, जहाँ d व्यास है, v वर्सिन है, c चाप को कम करने वाले कॉर्ड c की लंबाई है। साल रेस्टिवो लिखते हैं कि वृत्तों के चापों की लंबाई में शेन के काम ने 13वीं शताब्दी में गणितशास्त्री और खगोलशास्त्री गुओ शौजिंग (1231-1316) द्वारा विकसित गोलाकार त्रिकोणमिति का आधार प्रदान किया। जैसा कि इतिहासकार एल. गौचेट और जोसेफ नीधम कहते हैं, गुओ शौजिंग ने कैलेंडर प्रणाली और चीनी खगोल विज्ञान में सुधार के लिए अपनी गणना में गोलाकार त्रिकोणमिति का उपयोग किया। गुओ के गणितीय प्रमाणों के बाद के 17 वीं शताब्दी के चीनी चित्रण के साथ, नीधम का कहना है किः गुओ ने एक चतुर्भुज गोलाकार पिरामिड का उपयोग किया, जिसमें से बेसल चतुर्भुज में एक भूमध्यरेखीय और एक ग्रहणशील चाप शामिल था, जिसमें दो मेरिडियन चाप थे, जिनमें से एक ग्रीष्मकालीन संक्रांति point.By से गुजरता था, इस तरह के तरीकों से वह डु लू (ग्रहण की डिग्री के अनुरूप भूमध्य रेखा की डिग्री), जी चा (दिए गए ग्रहणशील चापों के लिए तारों के मान), और चा लू (1 डिग्री से भिन्न चापों के तारों के बीच का अंतर) प्राप्त करने में सक्षम था। त्रिकोणमिति में शेन और गुओ के काम की उपलब्धियों के बावजूद, चीनी त्रिकोणमिति में एक और महत्वपूर्ण काम 1607 तक फिर से प्रकाशित नहीं हुआ, जिसमें चीनी अधिकारी और खगोलशास्त्री जू ग्वांगकी (1562-1633) और इतालवी जेसुइट माटेओ रिक्की (1552-1610) द्वारा यूक्लिड के तत्वों के दोहरे प्रकाशन के साथ। मिंग गणित युआन राजवंश के पतन के बाद, चीन को मंगोल-पसंदीदा ज्ञान पर संदेह हो गया। अदालत ने वनस्पति विज्ञान और औषध विज्ञान के पक्ष में गणित और भौतिकी से दूरी बना ली। शाही परीक्षाओं में बहुत कम गणित शामिल था, और उनमें हाल के विकास को नजरअंदाज कर दिया गया था। मार्ट्जलॉफ लिखते हैंः 16वीं शताब्दी के अंत में, चीनी स्वयं द्वारा ज्ञात स्वचालित गणित लगभग कुछ भी नहीं था, जो एबेकस पर गणना से थोड़ा अधिक था, जबकि 17वीं और 18वीं शताब्दी में यूरोपीय विज्ञान के रंगमंच में क्रांतिकारी प्रगति के साथ कुछ भी नहीं किया जा सकता था। इसके अलावा, इसी अवधि में, कोई भी यह नहीं बता सकता था कि अधिक दूर के अतीत में क्या हुआ था, क्योंकि चीनियों को स्वयं इसका केवल एक खंडित ज्ञान था। यह नहीं भूलना चाहिए कि चीन में ही 18वीं सदी की अंतिम तिमाही से पहले बड़े पैमाने पर स्वचालित गणित की फिर से खोज नहीं की गई थी, विद्वानों ने गणित पर कम ध्यान दिया; ऐसा प्रतीत होता है कि गु यिंग्शियांग और तांग शुन्झी जैसे प्रख्यात गणितशास्त्री तियान युआन शू (गुणा बढ़ाएँ) विधि से अनभिज्ञ थे। मौखिक वार्ताकारों के बिना उन्हें समझाने के लिए, ग्रंथ तेजी से समझ से बाहर हो गए; इससे भी बदतर, अधिकांश समस्याओं को अधिक प्राथमिक तरीकों से हल किया जा सकता था। औसत विद्वान के लिए, तब, तियानयुआन अंकशास्त्र प्रतीत होता था। जब वू जिंग ने पिछले राजवंशों के सभी गणितीय कार्यों को गणितीय कला पर नौ अध्यायों में गणना की व्याख्या में संकलित किया, तो उन्होंने तियान युआन शू और वृद्धि गुणन विधि को छोड़ दिया। इसके बजाय, गणितीय प्रगति कम्प्यूटेशनल उपकरणों पर केंद्रित हो गई। 15वीं शताब्दी में, अबेकस अपने सुआन पैन रूप में आया। उपयोग करने में आसान और ले जाने में आसान, दोनों तेज़ और सटीक, यह तेजी से गणना के पसंदीदा रूप के रूप में रॉड कलन को पीछे छोड़ देता है। ज़ुसुआन, अबेकस के माध्यम से अंकगणितीय गणना ने कई नए कार्यों को प्रेरित किया। सुआनफा टोंगज़ोंग (कम्प्यूटेशनल विधियों का सामान्य स्रोत), चेंग दावेई द्वारा 1592 में प्रकाशित एक 17-खंड का काम, 300 से अधिक वर्षों तक उपयोग में रहा। ज़ेंग के राजकुमार ज़ू ज़ैयू ने 2 से 25 अंकों की सटीकता के वर्गमूल और घनमूल की गणना करने के लिए 81 स्थिति अबेकस का उपयोग किया, एक सटीकता जिसने समान-स्वभाव प्रणाली के विकास को सक्षम बनाया। हालाँकि गिनती की छड़ से एबेकस में इस बदलाव ने गणना के समय को कम करने की अनुमति दी, लेकिन इससे चीनी गणित में ठहराव और गिरावट भी आई होगी। गिनती बोर्डों पर छड़ अंकों की गिनती के पैटर्न समृद्ध लेआउट ने गणित में कई चीनी आविष्कारों को प्रेरित किया, जैसे कि अंशों का क्रॉस गुणन सिद्धांत और रैखिक समीकरणों को हल करने के तरीके। इसी तरह, जापानी गणितशास्त्री मैट्रिक्स की अवधारणा की अपनी परिभाषा में गिनती की छड़ के अंकों के लेआउट से प्रभावित थे। अबेकस के लिए एल्गोरिदम ने समान वैचारिक प्रगति नहीं की। (यह अंतर, निश्चित रूप से, एक आधुनिक हैः 20वीं शताब्दी तक, चीनी गणित विशेष रूप से एक कम्प्यूटेशनल विज्ञान था।) 16वीं शताब्दी के अंत में, माटेओ रिची ने शाही दरबार में एक पद स्थापित करने के लिए पश्चिमी वैज्ञानिक कार्यों को प्रकाशित करने का फैसला किया। शू ग्वांगकी की सहायता से, वह शास्त्रीय बौद्ध ग्रंथों को पढ़ाने के लिए उपयोग की जाने वाली तकनीकों का उपयोग करके यूक्लिड के तत्वों का अनुवाद करने में सक्षम थे। अन्य मिशनरियों ने उनके उदाहरण का अनुसरण किया, विशेष कार्यों (त्रिकोणमिति और लघुगणक) पर पश्चिमी कार्यों का अनुवाद किया जो चीनी परंपरा में उपेक्षित थे। हालाँकि, समकालीन विद्वानों ने समस्याओं के समाधान के विपरीत सबूतों पर जोर देना चौंका देने वाला पाया, और अधिकांश ने केवल शास्त्रीय ग्रंथों से काम करना जारी रखा। किंग राजवंश कांगक्सी सम्राट के तहत, जिन्होंने जेसुइट्स से पश्चिमी गणित सीखा और बाहरी ज्ञान और विचारों के लिए खुले थे, चीनी गणित को आधिकारिक समर्थन की एक संक्षिप्त अवधि का आनंद मिला। कांगक्सी के निर्देशन में, मेई गौचेंग और तीन अन्य उत्कृष्ट गणितविदों ने 53-खंड शुली जिंग्युन [गणितीय अध्ययन का सार] (1723 में मुद्रित) का संकलन किया, जिसने पश्चिमी गणितीय ज्ञान का एक व्यवस्थित परिचय दिया। उसी समय, मेई गौचेंग ने मेशी कांगशु जियांग [मेई के संकलित कार्य] के रूप में भी विकास किया। मेशी कांगशु जियांग उस समय चीनी गणित के लगभग सभी स्कूलों का एक विश्वकोश सारांश था, लेकिन इसमें गौचेंग के दादा मेई वेंडिंग (1633-1721) के अंतर-सांस्कृतिक कार्य भी शामिल थे। उद्यम ने उद्धरणों का पता लगाने में पश्चिमी गणित पर काम करने वाले चीनी गणितविदों के लिए कठिनाइयों को कम करने की मांग की। हालाँकि, योंगझेंग सम्राट के सिंहासन पर बैठने से पहले ही विश्वकोश प्रकाशित हो गए। योंगझेंग ने चीनी नीति के लिए एक तीव्र पश्चिमी विरोधी मोड़ पेश किया, और अधिकांश मिशनरियों को दरबार से निष्कासित कर दिया। न तो पश्चिमी ग्रंथों और न ही समझदार चीनी ग्रंथों तक पहुंच के साथ, चीनी गणित स्थिर हो गया। 1773 में, कियानलोंग सम्राट ने चार कोषागारों (या सिकु क्वान्शु) के पूर्ण पुस्तकालय को संकलित करने का फैसला किया। दाई झेन (1724-1777) ने योंगले विश्वकोश और हान और तांग राजवंशों के कई अन्य गणितीय कार्यों से गणितीय कला पर नौ अध्यायों का चयन किया और उन्हें प्रूफरीड किया। सोंग और युआन राजवंशों जैसे सी-युआन यु-जियान और सेउआन हाइजिंग के लंबे समय से गायब गणितीय कार्य भी पाए गए और मुद्रित किए गए, जिससे सीधे नए शोध की लहर पैदा हुई। सबसे अधिक टिप्पणी की गई रचनाएँ जियुझांग सुआन्शु एक्सिकाओटुशुओ (गणितीय कला पर नौ अध्यायों के लिए गणना प्रक्रिया का चित्रण) ली हुआंग और सियुआन युजियन एक्सिकाओ (सी-युआन यू-जियान का विस्तृत स्पष्टीकरण) द्वारा योगदान किया गया था। पश्चिमी प्रभाव 1840 में, प्रथम अफीम युद्ध ने चीन को अपने दरवाजे खोलने और बाहरी दुनिया को देखने के लिए मजबूर किया, जिसके कारण पिछली शताब्दियों में बेजोड़ दर से पश्चिमी गणितीय अध्ययनों का प्रवाह भी हुआ। 1852 में, चीनी गणितशास्त्री ली शानलान और ब्रिटिश मिशनरी अलेक्जेंडर विली ने तत्वों के बाद के नौ खंडों और बीजगणित पर 13 खंडों का सह-अनुवाद किया। जोसेफ एडकिन्स की सहायता से जल्द ही खगोल विज्ञान और कलन पर और अधिक काम हुए। चीनी विद्वान शुरू में अनिश्चित थे कि क्या नए कार्यों से संपर्क किया जाएः क्या पश्चिमी ज्ञान का अध्ययन विदेशी आक्रमणकारियों के अधीनता का एक रूप था? लेकिन सदी के अंत तक, यह स्पष्ट हो गया कि चीन केवल पश्चिमी कार्यों को शामिल करके अपनी संप्रभुता को पुनः प्राप्त करना शुरू कर सकता है। पश्चिमी मिशनरी स्कूलों में पढ़ाए जाने वाले चीनी विद्वानों ने पश्चिमी ग्रंथों (अनुवादित) से स्वदेशी परंपरा के साथ तेजी से संपर्क खो दिया। जो लोग स्व-प्रशिक्षित थे या परंपरावादी हलकों में थे, उन्होंने पश्चिमी प्रतीकवाद का सहारा लिए बिना एल्गोरिथमिक गणित के पारंपरिक ढांचे के भीतर काम करना जारी रखा। फिर भी, जैसा कि मार्ट्जलॉफ ने नोट किया है, "1911 के बाद से, चीन में केवल पश्चिमी गणित का अभ्यास किया गया है।" आधुनिक चीन चीनी गणित में पश्चिमी गणित ने 1912 में एक आधुनिक चीनी गणराज्य की स्थापना के बाद पुनरुद्धार की एक बड़ी उछाल का अनुभव किया। तब से, आधुनिक चीनी गणितविदों ने विभिन्न गणितीय क्षेत्रों में कई उपलब्धियाँ हासिल की हैं। कुछ प्रसिद्ध आधुनिक जातीय चीनी गणितविदों में शामिल हैंः शिंग-शेन चेरन को व्यापक रूप से ज्यामिति में एक नेता और बीसवीं शताब्दी के महानतम गणितविदों में से एक माना जाता था और उन्हें उनके विशाल संख्या में गणितीय योगदान के लिए वुल्फ पुरस्कार से सम्मानित किया गया था। की फैन ने गणित के कई अलग-अलग क्षेत्रों में जबरदस्त संख्या में मौलिक योगदान दिया। स्थिर बिंदु सिद्धांत में उनके काम ने, अरैखिक कार्यात्मक विश्लेषण को प्रभावित करने के अलावा, गणितीय अर्थशास्त्र और खेल सिद्धांत, संभावित सिद्धांत, विविधताओं के कलन और विभेदक समीकरणों में व्यापक अनुप्रयोग पाया है। शिंग-तुंग याउ, उनके योगदान ने भौतिकी और गणित दोनों को प्रभावित किया है, और वे ज्यामिति और सैद्धांतिक भौतिकी के बीच इंटरफेस में सक्रिय रहे हैं और बाद में उनके योगदान के लिए फील्ड्स पदक से सम्मानित किया गया है। टेरेंस ताओ, एक जातीय चीनी बाल विलक्षण, जिन्होंने 16 साल की उम्र में अपनी मास्टर डिग्री प्राप्त की, अंतर्राष्ट्रीय गणितीय ओलंपियाड के पूरे इतिहास में सबसे कम उम्र के प्रतिभागी थे, जिन्होंने पहली बार दस साल की उम्र में प्रतिस्पर्धा की, कांस्य, रजत और स्वर्ण पदक जीता। वह ओलंपियाड के इतिहास में तीन पदक में से प्रत्येक में सबसे कम उम्र के विजेता बने हुए हैं। उन्होंने फील्ड्स पदक प्राप्त किया। यितांग झांग, एक संख्या सिद्धांतकार जिन्होंने अभाज्य संख्याओं के बीच अंतराल पर पहली परिमित सीमा स्थापित की। चेन जिंगरन, एक संख्या सिद्धांतकार जिन्होंने साबित किया कि प्रत्येक पर्याप्त रूप से बड़ी सम संख्या को दो अभाज्य संख्याओं, या एक अभाज्य और एक अर्ध-अभाज्य (दो अभाज्य संख्याओं का गुणनफल) के योग के रूप में लिखा जा सकता है जिसे अब चेन की प्रमेय कहा जाता है। उनके काम को गोल्डबैक के अनुमान के शोध में एक मील का पत्थर के रूप में जाना जाता था। जनवादी गणराज्य चीन में गणित 1949 में, जनवादी गणराज्य चीन की स्थापना की शुरुआत में, सरकार ने विज्ञान के उद्देश्य पर बहुत ध्यान दिया, हालांकि देश धन की कमी के संकट में था। चीनी विज्ञान अकादमी की स्थापना नवंबर 1949 में की गई थी। गणित संस्थान की औपचारिक रूप से जुलाई 1952 में स्थापना की गई थी। फिर, चीनी गणितीय सोसायटी और इसकी संस्थापक पत्रिकाओं को पुनर्स्थापित किया गया और अन्य विशेष पत्रिकाओं को जोड़ा गया। 1949 के बाद के 18 वर्षों में, प्रकाशित पत्रों की संख्या 1949 से पहले के लेखों की कुल संख्या से तीन गुना अधिक थी। उनमें से कई ने न केवल चीन के अतीत की कमियों को भरा, बल्कि दुनिया के उन्नत स्तर तक भी पहुंचे। सांस्कृतिक क्रांति की अराजकता के दौरान, विज्ञान में गिरावट आई। गणित के क्षेत्र में, चेन जिंगरुन के अलावा, हुआ लुओगेंग, झांग गुआंघौ और अन्य गणितविदों ने अपना काम जारी रखने के लिए संघर्ष किया। आपदा के बाद, गुओ मोरुओ की साहित्यिक "स्प्रिंग ऑफ साइंस" के प्रकाशन के साथ, चीनी विज्ञान और गणित ने एक पुनरुद्धार का अनुभव किया। 1977 में, बीजिंग में एक नई गणितीय विकास योजना तैयार की गई, गणित समाज का काम फिर से शुरू किया गया, पत्रिका को फिर से प्रकाशित किया गया, शैक्षणिक पत्रिका प्रकाशित की गई, गणित शिक्षा को मजबूत किया गया और बुनियादी सैद्धांतिक अनुसंधान को मजबूत किया गया। शक्ति प्रणाली की दिशा में चीनी गणितशास्त्री की एक महत्वपूर्ण गणितीय उपलब्धि यह है कि शिया झिहोंग ने 1988 में पेनलेव अनुमान को कैसे साबित किया। जब N खगोलीय पिंडों की कुछ प्रारंभिक अवस्थाएँ होती हैं, तो खगोलीय पिंडों में से एक सीमित समय में अनंत या गति तक दौड़ता है। अनन्तता तक पहुँच जाता है, अर्थात, गैर-टक्कर विलक्षणताएँ होती हैं। 1895 में प्रस्तावित बिजली प्रणालियों के क्षेत्र में पेनलीव अनुमान एक महत्वपूर्ण अनुमान है। 4-शरीर समस्या के लिए एक बहुत ही महत्वपूर्ण हालिया विकास यह है कि ज़ू जिंक्सिन और डॉल्गोपायट 2013 के आसपास 4-शरीर प्रणाली के एक सरलीकृत संस्करण में एक गैर-टक्कर विलक्षणता साबित हुए। इसके अलावा, 2007 में, शेन वेइक्सिआओ और कोज़लोव्स्की, वैन-स्ट्रियन ने वास्तविक फाटो अनुमान को साबित कियाः वास्तविक हाइपरबोलिक बहुपद निश्चित डिग्री के साथ वास्तविक बहुपदों के स्थान में घने होते हैं। इस अनुमान का पता 1920 के दशक में फातोउ से लगाया जा सकता है, और बाद में स्मेल ने इसे 1960 के दशक में पेश किया। वास्तविक फातो अनुमान का प्रमाण पिछले दशक में अनुरूप गतिशीलता में सबसे महत्वपूर्ण विकासों में से एक है। आई. एम. ओ. में प्रदर्शन अंतर्राष्ट्रीय गणितीय ओलंपियाड में भाग लेने वाले अन्य देशों की तुलना में, चीन के पास सबसे अधिक टीम स्कोर हैं और उसने सबसे अधिक बार एक पूर्ण टीम के साथ सभी सदस्यों के लिए आई. एम. ओ. स्वर्ण पदक जीता है। गणितीय ग्रंथ झोउ राजवंश झोउबी सुआनजिंग सी. 1000 ईसा पूर्व-100 ईस्वी खगोलीय सिद्धांत, और गणना तकनीक पाइथागोरियन प्रमेय का प्रमाण (शांग गाओ प्रमेय) खगोलीय उद्देश्यों के लिए फ्रैक्शनल कम्प्यूटेशन पाइथागोरियन प्रमेय गणितीय कला 1000 ईसा पूर्व पर नौ अध्याय? - 50 सी. ई. ch. 1, कम्प्यूटेशनल एल्गोरिथ्म, समतल आकृतियों का क्षेत्र, जी. सी. एफ., एल. सी. डी. ch. 2, अनुपात ch. 3, अनुपात ch. 4, वर्ग, घन मूल, अज्ञात ch. 5 का पता लगाना, 3 ch. 6 के रूप में पाई का आयतन और उपयोग, अनुपात ch, 7, अंतरनिर्धारित समीकरण ch. 8, गौसीयन उन्मूलन और मैट्रिक्स ch. 9, पाइथागोरियन प्रमेय (गौगू प्रमेय) हान राजवंश संख्या और गणना पर पुस्तक 202-186 ईसा पूर्व विभिन्न 3-आयामी आकृतियों के आयतन की गणना आयत के अज्ञात पक्ष की गणना, दिए गए क्षेत्र और एक तरफ मूल खोजने के लिए गलत स्थिति विधि का उपयोग करना और गणित में विभिन्न इकाइयों के बीच अनुमानित वर्गमूल रूपांतरण। हमें बताया गया है कि मा शू (एक युवा सीए 110) और झेंग जुआन (127-200) दोनों ने गणितीय प्रक्रियाओं पर नौ अध्यायों का अध्ययन किया। C.Cullen का दावा है कि गणित, चिकित्सा के समान, मौखिक रूप से पढ़ाया जाता था। झांगजियाशान के सुआन शू शू की शैली से पता चलता है कि पाठ को विभिन्न स्रोतों से इकट्ठा किया गया था और फिर संहिताकरण किया गया था। चीनी खगोल विज्ञान गणित का इतिहास भारतीय गणित इस्लामी गणित जापानी गणित चीनी खोजों की सूची चीनी गणितविदों की सूची चीनी संस्कृति में संख्या संदर्भ उद्धरण स्रोत लैंडर, ब्रायन। "प्रारंभिक चीन में नदी डाइकों का राज्य प्रबंधनः मध्य यांगज़ी क्षेत्र के पर्यावरणीय इतिहास पर नए स्रोत"। ट 'यंग पाओ 100.4-5 (2014): 325-62। सार्वजनिक डोमेन बाहरी लिंक प्रारंभिक गणित ग्रंथ (चीनी)-चीनी पाठ परियोजना चीनी गणित का अवलोकन झू शिजी द्वारा गणित के हान राजवंश प्राइमर के माध्यम से चीनी गणित