Superquadrics
गणित में, सुपरक्वाड्रिक्स या सुपरक्वाड्रिक्स (सुपरक्वाड्रिक्स भी) ज्यामितीय आकृतियों का एक परिवार है जिसे सूत्रों द्वारा परिभाषित किया गया है जो दीर्घवृत्त और अन्य चतुर्भुज से मिलते-जुलते हैं, सिवाय इसके कि वर्ग संचालन को मनमाना शक्तियों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। इन्हें दीर्घवृत्त के त्रि-आयामी सापेक्ष के रूप में देखा जा सकता है। यह शब्द संदर्भ के आधार पर ठोस वस्तु या उसकी सतह को संदर्भित कर सकता है। नीचे दिए गए समीकरण सतह को निर्दिष्ट करते हैं; ठोस को समानता संकेतों को कम या समान संकेतों द्वारा प्रतिस्थापित करके निर्दिष्ट किया जाता है। सुपरक्वाड्रिक्स में कई आकार शामिल हैं जो गोल या तेज कोनों के साथ क्यूब्स, ऑक्टाहेड्रा, सिलेंडर, लोज़ेंग और स्पिंडल से मिलते-जुलते हैं। अपने लचीलेपन और सापेक्ष सरलता के कारण, वे लोकप्रिय ज्यामितीय मॉडलिंग उपकरण हैं, विशेष रूप से कंप्यूटर ग्राफिक्स में। यह कंप्यूटर दृष्टि, रोबोटिक्स और भौतिक अनुकरण में व्यापक रूप से उपयोग किया जाने वाला एक महत्वपूर्ण ज्यामितीय आदिम बन जाता है। कुछ लेखक, जैसे कि एलन बार, "सुपरक्वाड्रिक्स" को सुपरेलिप्सॉइड और सुपरटोरॉइड दोनों को शामिल करने के रूप में परिभाषित करते हैं। आधुनिक कंप्यूटर दृष्टि साहित्य में, सुपरक्वाड्रिक्स और सुपरएलिप्सॉइड का उपयोग एक दूसरे के स्थान पर किया जाता है, क्योंकि सुपरएलिप्सॉइड सभी सुपरक्वाड्रिक्स में सबसे अधिक प्रतिनिधि और व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले आकार हैं। सुपरक्वाड्रिक्स के ज्यामितीय गुणों का व्यापक कवरेज और रेंज छवियों और बिंदु बादलों से उनकी वसूली के तरीकों को कई कंप्यूटर दृष्टि साहित्य में शामिल किया गया है। सुपरक्वाड्रिक्स विज़ुअलाइज़ेशन, सैंपलिंग और रिकवरी के लिए उपयोगी उपकरण और एल्गोरिदम यहाँ ओपन-सोर्स हैं। सूत्र अंतर्निहित समीकरण मूल सुपरक्वाड्रिक की सतह इस प्रकार दी जाती है जहाँ r, s और t धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं जो सुपरक्वाड्रिक की मुख्य विशेषताओं को निर्धारित करती हैं। अर्थात्ः 1 से कमः अवतल चेहरे और तेज किनारों के लिए संशोधित एक नुकीला ऑक्टाहेड्रॉन। बिल्कुल 1: एक नियमित ऑक्टाहेड्रॉन। 1 और 2 के बीचः उत्तल चेहरे, कुंद किनारों और कुंद कोनों के लिए संशोधित एक ऑक्टाहेड्रॉन। ठीक 2:2 से बड़ा गोलाः एक घन जिसे गोल किनारों और कोनों के लिए संशोधित किया गया है। असीम (सीमा में): एक घन प्रत्येक प्रतिपादक को संयुक्त आकार प्राप्त करने के लिए स्वतंत्र रूप से बदला जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि r = s = 2, और t = 4, एक घूर्णन ठोस प्राप्त करता है जो गोल क्रॉस-सेक्शन के साथ एक दीर्घवृत्ताकार जैसा दिखता है लेकिन चपटा छोर है। यह सूत्र सुपरेलिप्सॉइड सूत्र का एक विशेष मामला है यदि (और केवल यदि) r = s। यदि किसी भी घातांक को ऋणात्मक होने दिया जाता है, तो आकार अनंत तक फैलता है। इस तरह की आकृतियों को कभी-कभी सुपर-हाइपरबोलॉइड कहा जाता है। ऊपर की मूल आकृति प्रत्येक निर्देशांक अक्ष के साथ-1 से + 1 तक फैली हुई है। सामान्य सुपरक्वाड्रिक प्रत्येक अक्ष के साथ अलग-अलग मात्रा ए, बी, सी द्वारा इस मूल आकार को मापने का परिणाम है। इसका सामान्य समीकरण पैरामीट्रिक विवरण है सतह मापदंडों के संदर्भ में पैरामीट्रिक समीकरण यू और वी (देशांतर और अक्षांश के बराबर यदि एम 2 के बराबर है) जहां सहायक कार्य हैं और संकेत फलन एसजीएन (एक्स) गोलाकार उत्पाद है बार गोलाकार उत्पाद का परिचय देता है जो दो समतल वक्र देता है जो एक 3 डी सतह का उत्पादन करता है। यदि दो समतल वक्र हैं तो गोलाकार उत्पाद है यह एक गोले के विशिष्ट पैरामीट्रिक समीकरण के समान हैः जो गोलाकार उत्पाद नाम को जन्म देता है। बार गोलाकार उत्पाद का उपयोग क्वाड्रिक सतहों को परिभाषित करने के लिए करता है, जैसे कि एलिप्सॉइड और हाइपरबोलोइड के साथ-साथ टोरस, सुपरलिप्सॉइड, एक और दो शीट्स के सुपरक्वाड्रिक हाइपरबोलोइड और सुपरटोरॉइड। प्लॉटिंग कोड निम्नलिखित जीएनयू ऑक्टेव कोड एक सुपरक्वाड्रिक का एक जाली सन्निकटन उत्पन्न करता हैः फलन सुपरक्वाड्रिक (एप्सिलॉन, ए) एन = 50; एटामैक्स = पाई/2; एटामिन =-पी/2; डब्ल्यूमैक्स = पाई; डब्ल्यूमिन =-पी; डेटा = (एटामैक्स-एटामिन)/एन; डीडब्ल्यू = (डब्ल्यूमैक्स-डब्ल्यूमिन)/एन; [आई, जे] = मेशग्रिड (1: एन + 1,1: एन + 1) एटा = एटामिन + (आई-1) * डेटा; डब्ल्यू = डब्ल्यूमिन + (जे-1) * डीडब्ल्यू; एक्स = ए (1)। * चिन्ह (कॉस (एटा))। एब्स (कॉस (एटा)). ^ एप्सिलॉन (1)। * चिह्न (कॉस (डब्ल्यू))। * एब्स (कॉस (डब्ल्यू)). ^ एप्सिलॉन (1); वाई = ए (2)। * चिन्ह (कॉस (एटा))। एब्स (कॉस (एटा)). ^ एप्सिलॉन (2)। * चिन्ह (पाप (डब्ल्यू))। * एब्स (साइन (डब्ल्यू)). ^ एप्सिलॉन (2); जेड = ए (3)। * चिन्ह (पाप (एटा))। * एब्स (साइन (एटा)). ^ एप्सिलॉन (3); मेश (x, y, z); एंड यह भी देखें सुपररेग सुपरलिप्सॉइड एलिप्सॉइड बाहरी संदर्भ ग्रंथ सूची को जोड़ते हैंः सुपरक्वाड्रिक प्रतिनिधित्व सुपरक्वाड्रिक टेंसर ग्लिफ्स सुपरक्वाड्रिक एलिप्सॉइड्स और टोरॉइड्स, ओपनजीएल लाइटिंग, और रॉबर्ट क्रैगलर द्वारा टाइमिंग सुपरक्वाड्रिक्स, द वोल्फ्राम डेमॉन्स्ट्रेशन प्रोजेक्ट। पायथन और मैटलैब में सुपरक्वाड्रिक्स पुनर्प्राप्ति एल्गोरिदम कंप्यूटर दृष्टि रोबोटिक्स कंप्यूटर दृष्टि में ज्यामिति ज्यामिति