Helly–Bray theorem
संभाव्यता सिद्धांत में, हेली-ब्रे प्रमेय संचयी वितरण कार्यों के कमजोर अभिसरण को कुछ मापने योग्य कार्यों की अपेक्षाओं के अभिसरण से संबंधित करता है। इसका नाम एडवर्ड हेली और ह्यूबर्ट एवलिन ब्रे के नाम पर रखा गया है। मान लीजिए कि F और F1, F2. वास्तविक रेखा पर संचयी वितरण कार्य हैं। हेली-ब्रे प्रमेय में कहा गया है कि यदि Fn कमजोर रूप से F में परिवर्तित होता है, तो प्रत्येक बंधे हुए, निरंतर फलन g: R → R के लिए, जहां शामिल समाकलन रीमान-स्टील्टजेस समाकलन हैं। ध्यान दें कि यदि X और X1, X2,. इन वितरण कार्यों के अनुरूप यादृच्छिक चर हैं, तो हेली-ब्रे प्रमेय का मतलब यह नहीं है कि E (Xn) → E (X), क्योंकि g (x) = x एक बाध्य कार्य नहीं है। वास्तव में, एक मजबूत और अधिक सामान्य प्रमेय है। मान लीजिए कि पी और पी1, पी2. किसी समुच्चय एस पर संभाव्यता माप हैं। फिर पीएन कमजोर रूप से पी में परिवर्तित हो जाता है यदि और केवल एस पर सभी बंधे हुए, निरंतर और वास्तविक मूल्य वाले कार्यों के लिए। (प्रमेय के इस संस्करण में समाकलन लेबस्ग्यू-स्टील्टजेस समाकलन हैं।) ऊपर दिए गए अधिक सामान्य प्रमेय को कभी-कभी उपायों के कमजोर अभिसरण को परिभाषित करने के रूप में लिया जाता है (बिलिंग्सले, 1999, पृष्ठ 3 देखें)। संदर्भ संभाव्यता प्रमेय