Dessin d'enfant
गणित में, डेसिन डी 'एनफैंट एक प्रकार का ग्राफ एम्बेडिंग है जिसका उपयोग रीमान सतहों का अध्ययन करने और परिमेय संख्याओं के निरपेक्ष गैलोइस समूह की क्रिया के लिए संयोजन अपरिवर्तनीय प्रदान करने के लिए किया जाता है। इन एम्बेडिंग्स का नाम "बच्चों के चित्र" के लिए फ्रेंच है; इसका बहुवचन या तो डेसिन्स डी 'एनफैंट, "बच्चों के चित्र", या डेसिन्स डी' एनफैंट्स, "बच्चों के चित्र" है। एक डेसिन डी 'एनफैंट एक ग्राफ है, जिसके शीर्ष बारी-बारी से काले और सफेद रंग के होते हैं, जो एक उन्मुख सतह में अंतर्निहित होता है, जो कई मामलों में, केवल एक तल होता है। रंग के अस्तित्व के लिए, ग्राफ द्विदलीय होना चाहिए। एम्बेडिंग के चेहरे टोपोलॉजिकल डिस्क होने चाहिए। सतह और एम्बेडिंग को एक घूर्णन प्रणाली का उपयोग करके संयुक्त रूप से वर्णित किया जा सकता है, जो ग्राफ के प्रत्येक शीर्ष के आसपास के किनारों का एक चक्रीय क्रम है जो उस क्रम का वर्णन करता है जिसमें किनारों को एक पथ द्वारा पार किया जाएगा जो शीर्ष के चारों ओर एक छोटे से लूप में सतह पर घड़ी की दिशा में यात्रा करता है। कोई भी मिठाई उस सतह को प्रदान कर सकती है जिसमें यह रीमान सतह के रूप में एक संरचना के साथ अंतर्निहित है। यह पूछना स्वाभाविक है कि रीमान की कौन सी सतह इस तरह से उत्पन्न होती है। इसका उत्तर बेली के प्रमेय द्वारा प्रदान किया गया है, जिसमें कहा गया है कि रीमान सतह जिन्हें डेसिन द्वारा वर्णित किया जा सकता है, वे सटीक रूप से वे हैं जिन्हें बीजगणितीय संख्याओं के क्षेत्र में बीजगणितीय वक्र के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। निरपेक्ष गैलोइस समूह इन विशेष वक्रों को एक दूसरे में बदल देता है, और इस तरह अंतर्निहित व्यंजनों को भी बदल देता है। इस विषय के अधिक विस्तृत उपचार के लिए, या देखें। 19वीं शताब्दी का इतिहास डेसिन डी 'एन्फैंट्स के प्रारंभिक प्रोटो-रूप 1856 की शुरुआत में विलियम रोवन हैमिल्टन के आइकोसियन कलन में दिखाई दिए; आधुनिक शब्दों में, ये आइकोसाहेड्रल ग्राफ पर हैमिल्टनियन पथ हैं। फेलिक्स क्लेन द्वारा पहचाने जाने वाले आधुनिक व्यंजन डी 'एनफैंट्स और बेली कार्यों का उपयोग किया गया था। क्लेन ने इन आरेखों को लिनियनज़ुगे कहा (जर्मन, लिनियनज़ुग का बहुवचन "लाइन-ट्रैक", जिसे बहुभुज के लिए एक शब्द के रूप में भी उपयोग किया जाता है); उन्होंने आधुनिक संकेतन में 0 के लिए एक काले वृत्त और 1 के लिए सफेद वृत्त के बजाय 0 की पूर्व छवि के लिए एक सफेद वृत्त और 1 की पूर्व छवि के लिए एक '+' का उपयोग किया। उन्होंने इन आरेखों का उपयोग मोनोड्रोमी समूह के साथ रीमान गोले के 11 गुना आवरण का निर्माण करने के लिए किया, जो क्लेन क्वार्टिक से जुड़े मोनोड्रोमी के साथ 7 गुना आवरण के पहले के निर्माण का अनुसरण करता था। ये सभी क्विंटिक समीकरण की ज्यामिति की उनकी जांच और इकोसाहेड्रॉन पर उनके प्रसिद्ध 1884/88 व्याख्यानों में एकत्र किए गए समूह से संबंधित थे। इन तीन समूहों से इस तरह से निर्मित तीन सतहों को बहुत बाद में त्रिमूर्ति की घटना के माध्यम से निकटता से संबंधित दिखाया गया था। 20वीं शताब्दी के डेसिन्स डी 'एनफैंट को उनके आधुनिक रूप में एक सदी से अधिक समय बाद फिर से खोजा गया और 1984 में अलेक्जेंडर ग्रोथेन्डिक ने अपने एस्क्विस डी' उन प्रोग्राम में इसका नाम रखा। डेसिन डी 'एन्फैंट्स पर गैलोइस कार्रवाई की अपनी खोज के बारे में ग्रोथेन्डिक का उद्धरणः सिद्धांत का एक हिस्सा ग्रोथेन्डिक से कुछ समय पहले ही स्वतंत्र रूप से विकसित किया जा चुका था। वे स्थलाकृतिक सतहों पर मानचित्रों, रीमान सतहों पर मानचित्रों और कुछ विशिष्ट जनरेटर वाले समूहों के बीच पत्राचार की रूपरेखा तैयार करते हैं, लेकिन गैलोइस कार्रवाई पर विचार नहीं करते हैं। मानचित्र के बारे में उनकी धारणा डेसिन डी 'एनफैंट के एक विशेष उदाहरण से मेल खाती है। बाद में उपचार को सीमा वाली सतहों तक विस्तारित करके काम करें। रीमान सतह और बेली जोड़े जटिल संख्याएँ, एक विशेष बिंदु के रूप में नामित, एक टोपोलॉजिकल स्थान का निर्माण करती हैं जिसे रीमान क्षेत्र के रूप में जाना जाता है। कोई भी बहुपद, और अधिक आम तौर पर कोई भी परिमेय फलन जहां और बहुपद हैं, रीमान गोले को स्वयं मानचित्रण करके बदल देता है। उदाहरण के लिए, परिमेय फलन पर विचार करें रीमान गोले के अधिकांश बिंदुओं पर, यह परिवर्तन एक स्थानीय समरूपता हैः यह किसी भी बिंदु पर एक-से-एक तरीके से केंद्रित एक छोटी डिस्क को दूसरे डिस्क में मानचित्रित करता है। हालांकि, कुछ महत्वपूर्ण बिंदुओं पर, मानचित्रण अधिक जटिल है, और अपनी छवि पर एक-से-एक तरीके से बिंदु पर केंद्रित एक डिस्क का मानचित्रण करता है। संख्या को महत्वपूर्ण बिंदु की डिग्री के रूप में जाना जाता है और एक महत्वपूर्ण बिंदु की परिवर्तित छवि को महत्वपूर्ण मूल्य के रूप में जाना जाता है। ऊपर दिए गए उदाहरण में निम्नलिखित महत्वपूर्ण बिंदु और महत्वपूर्ण मूल्य हैं। (रीमान क्षेत्र के कुछ बिंदु, जो अपने आप में महत्वपूर्ण नहीं हैं, लेकिन महत्वपूर्ण मूल्यों में से एक का मानचित्र बनाते हैं, भी शामिल हैं; इन्हें एक डिग्री होने से इंगित किया जाता है। 0 (यानी, 1 और 9 पर) की पूर्व-छवियों पर काले बिंदु, 1 (यानी, एट) की पूर्व-छवियों पर सफेद बिंदु और रेखा खंड [0,1] की पूर्व-छवियों पर चाप लगाकर कोई भी बच्चे को जन्म दे सकता है। इस रेखा खंड में चार पूर्व-चित्र हैं, दो रेखा खंड के साथ 1 से 9 तक और दो एक साधारण बंद वक्र बनाते हैं जो 1 से अपने आप में लूप करता है, 0 के आसपास; परिणामी मिठास को चित्र में दिखाया गया है। दूसरी दिशा में, इस मिठाई से, जिसे महत्वपूर्ण बिंदुओं के स्थानों को निर्दिष्ट किए बिना एक संयोजन वस्तु के रूप में वर्णित किया गया है, कोई भी एक कॉम्पैक्ट रीमान सतह बना सकता है, और उस सतह से रीमान गोले तक एक नक्शा बना सकता है, जो उस नक्शे के बराबर है जिससे मूल रूप से मिठाई का निर्माण किया गया था। ऐसा करने के लिए, मिठाई के प्रत्येक क्षेत्र के भीतर एक बिंदु चिह्नित करें (दूसरी आकृति में लाल बिंदुओं के रूप में दिखाया गया है), और इस बिंदु को क्षेत्र की सीमा बनाने वाले काले और सफेद बिंदुओं से जोड़कर प्रत्येक क्षेत्र को त्रिकोणीय करें, एक ही काले या सफेद बिंदु से कई बार जोड़ते हुए यदि यह क्षेत्र की सीमा पर कई बार दिखाई देता है। त्रिभुज में प्रत्येक त्रिभुज में तीन शीर्ष होते हैं जिन्हें 0 (काले बिंदुओं के लिए), 1 (सफेद बिंदुओं के लिए), या लेबल किया जाता है। प्रत्येक त्रिभुज के लिए, एक अर्ध-तल को प्रतिस्थापित करें, या तो एक त्रिभुज के लिए ऊपरी अर्ध-तल जिसमें 0,1 और घड़ी की विपरीत दिशा में हो या एक त्रिभुज के लिए निचला अर्ध-तल जिसमें वे घड़ी की दिशा में हों, और त्रिभुज की प्रत्येक आसन्न जोड़ी के लिए शीर्ष लेबल द्वारा इंगित अपनी सीमाओं के हिस्से के साथ संबंधित अर्ध-तल को एक साथ चिपकाएं। परिणामस्वरूप रीमान सतह को प्रत्येक अर्ध-तल के भीतर पहचान मानचित्र का उपयोग करके रीमान क्षेत्र में मैप किया जा सकता है। इस प्रकार, जिस डेसिन डी 'एनफैंट से बना है वह खुद को बायहोलोमोर्फिज्म तक वर्णित करने के लिए पर्याप्त है। हालांकि, यह निर्माण रीमान सतह की पहचान केवल जटिल संरचना के साथ एक कई गुना के रूप में करता है; यह जटिल प्रोजेक्टिव प्लेन में एक बीजगणितीय वक्र के रूप में इस कई गुना के एम्बेडिंग का निर्माण नहीं करता है, हालांकि इस तरह का एम्बेडिंग हमेशा मौजूद रहता है। यही संरचना आम तौर पर तब लागू होती है जब कोई भी रीमान सतह होती है और यह एक बेली फ़ंक्शन होता है; यानी, रीमान क्षेत्र से केवल 0,1 और महत्वपूर्ण मानों वाला एक होलोमोर्फिक फ़ंक्शन। इस प्रकार की जोड़ी को बेली जोड़ी के रूप में जाना जाता है। किसी भी बेली जोड़ी से कोई भी एक डेसिन डी 'एनफैंट बना सकता है, जिस पर 0 की पूर्व-छवियों पर इसके काले बिंदु होते हैं, 1 की पूर्व-छवियों पर इसके सफेद बिंदु होते हैं, और इसके किनारों को रेखा खंड की पूर्व-छवियों के साथ रखा जाता है। इसके विपरीत, किसी भी सतह पर किसी भी डेसिन डी 'एनफैंट का उपयोग हाफस्पेस के संग्रह के लिए ग्लूइंग निर्देशों को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है जो एक साथ रीमान सतह होमोमोर्फिक बनाते हैं; रीमान गोले की पहचान द्वारा प्रत्येक हाफस्पेस का मानचित्रण एक बेली फ़ंक्शन उत्पन्न करता है, और इसलिए एक बेली जोड़ी की ओर ले जाता है। कोई भी दो बेली जोड़े जो संयुक्त रूप से समतुल्य डेसिन डी 'एन्फैंट्स की ओर ले जाते हैं, वे बायहोलोमोर्फिक हैं, और बेली के प्रमेय का तात्पर्य है कि, बीजगणितीय संख्याओं पर परिभाषित किसी भी कॉम्पैक्ट रीमान सतह के लिए, एक बेली फ़ंक्शन और एक डेसिन डी' एन्फैंट हैं जो मानचित्र और हाइपरमैप दोनों का एक संयुक्त विवरण प्रदान करते हैं। उपरोक्त उदाहरण में, सभी सफेद बिंदुओं की डिग्री दो होती है; प्रत्येक सफेद बिंदु के दो किनारे होने के गुण वाले व्यंजनों को स्वच्छ के रूप में जाना जाता है, और उनके संबंधित बेली कार्यों को शुद्ध कहा जाता है। जब ऐसा होता है, तो एक सरल एम्बेडेड ग्राफ द्वारा मिठाई का वर्णन किया जा सकता है, जिसमें केवल काले बिंदु होते हैं और जिसमें सफेद बिंदु के दो काले पड़ोसियों पर अंतिम बिंदुओं के साथ प्रत्येक सफेद बिंदु के लिए एक किनारा होता है। उदाहरण के लिए, आकृति में दिखाए गए मिठास को इस तरह से अधिक सरलता से काले बिंदुओं की एक जोड़ी के रूप में उनके बीच एक किनारे और एक बिंदु पर एक स्व-लूप के साथ खींचा जा सकता है। साफ मिठाई के केवल काले बिंदुओं को खींचना और सफेद बिंदुओं को अचिह्नित छोड़ना आम बात है; मानचित्र के प्रत्येक किनारे के मध्य बिंदु पर एक सफेद बिंदु जोड़कर पूरी मिठाई को पुनर्प्राप्त किया जा सकता है। इस प्रकार, एक सतह में एक ग्राफ का कोई भी एम्बेडिंग जिसमें प्रत्येक चेहरा एक डिस्क (यानी, एक टोपोलॉजिकल मानचित्र) है, ग्राफ के शीर्षों को एक डेसिन के काले बिंदुओं के रूप में मानते हुए, और प्रत्येक एम्बेडेड ग्राफ के मध्य बिंदु पर सफेद बिंदुओं को रखते हुए एक डेसिन को जन्म देता है। यदि एक नक्शा एक बेली फ़ंक्शन से मेल खाता है, तो इसका दोहरा नक्शा (रेखा खंड की पूर्व छवियों से बना मिठाई) एक मिठाई से मेल खाता है जो साफ नहीं है, उसे उसी सतह पर एक साफ मिठाई में बदला जा सकता है, इसके सभी बिंदुओं को काले रंग के रूप में फिर से रंगा जा सकता है और इसके प्रत्येक किनारे पर नए सफेद बिंदु जोड़े जा सकते हैं। बेली युग्मों का संबंधित परिवर्तन एक बेली फलन को शुद्ध बेली फलन द्वारा प्रतिस्थापित करना है। इस सूत्र से सीधे महत्वपूर्ण बिंदुओं की गणना की जा सकती हैः,, और। इस प्रकार, रेखा खंड के मध्य बिंदु के नीचे की पूर्व छवि है, और मिठाई के किनारों से बने मिठाई के किनारों को उपविभाजित किया जाता है। एक मानचित्र के रूप में एक स्वच्छ मिठाई की व्याख्या के तहत, एक मनमाना मिठाई एक हाइपरमैप हैः यानी, एक हाइपरग्राफ का एक चित्र जिसमें काले बिंदु शीर्षों का प्रतिनिधित्व करते हैं और सफेद बिंदु हाइपरएज का प्रतिनिधित्व करते हैं। नियमित नक्शे और त्रिभुज समूह पाँच प्लेटोनिक ठोस-नियमित टेट्राहेड्रॉन, क्यूब, ऑक्टाहेड्रॉन, डोडेकाहेड्रॉन और आइकोसाहेड्रॉन-जिन्हें द्वि-आयामी सतहों के रूप में देखा जाता है, में यह गुण होता है कि किसी भी झंडे (एक शीर्ष, किनारे और चेहरे का तीन गुना जो सभी एक दूसरे से मिलते हैं) को सतह की समरूपता द्वारा किसी भी अन्य झंडे पर ले जाया जा सकता है। अधिक आम तौर पर, एक ही गुण के साथ एक सतह में अंतर्निहित एक मानचित्र, कि किसी भी ध्वज को समरूपता द्वारा किसी अन्य ध्वज में परिवर्तित किया जा सकता है, एक नियमित मानचित्र कहा जाता है। यदि एक नियमित मानचित्र का उपयोग एक स्वच्छ डेसिन उत्पन्न करने के लिए किया जाता है, और परिणामी डेसिन का उपयोग एक त्रिकोणीय रीमान सतह उत्पन्न करने के लिए किया जाता है, तो त्रिभुजों के किनारे सतह की समरूपता की रेखाओं के साथ स्थित होते हैं, और उन रेखाओं के पार प्रतिबिंब एक समरूपता समूह उत्पन्न करते हैं जिसे त्रिभुज समूह कहा जाता है, जिसके लिए त्रिभुज मौलिक डोमेन बनाते हैं। उदाहरण के लिए, यह चित्र एक नियमित डोडेकाहेड्रोन से शुरू होने वाले इस तरह से उत्पन्न त्रिभुजों के समूह को दर्शाता है। जब नियमित मानचित्र एक ऐसी सतह में स्थित होता है जिसका वंश एक से अधिक होता है, तो सतह का सार्वभौमिक आवरण हाइपरबोलिक तल होता है, और उठाए गए त्रिभुज से बने हाइपरबोलिक तल में त्रिकोण समूह एक (को-कॉम्पैक्ट) फ्यूशियन समूह होता है जो हाइपरबोलिक तल के सममितियों के एक असतत समूह का प्रतिनिधित्व करता है। इस मामले में, प्रारंभिक सतह इस समूह में एक परिमित सूचकांक उपसमूह द्वारा हाइपरबोलिक तल का भागफल है। इसके विपरीत, एक रीमान सतह को देखते हुए जो एक टाइलिंग का भागफल है (गोले की एक टाइलिंग, यूक्लिडियन तल, या कोणों के साथ त्रिकोण द्वारा हाइपरबोलिक तल, और, संबंधित डेसिन समूह के क्रम दो और क्रम तीन जनरेटर द्वारा दिया गया केली ग्राफ है, या समकक्ष रूप से, एक ही सतह की टाइलिंग तीन प्रति शीर्ष से मिलने वाले-गन्स द्वारा। इस टाइलिंग के शीर्ष मिठाई के काले बिंदु देते हैं, किनारों के केंद्र सफेद बिंदु देते हैं, और चेहरे के केंद्र अनंत पर अंक देते हैं। पेड़ और शबाट बहुपद सबसे सरल द्विदलीय ग्राफ पेड़ हैं। एक पेड़ के किसी भी एम्बेडिंग का एक ही क्षेत्र होता है, और इसलिए यूलर के सूत्र के अनुसार यह एक गोलाकार सतह में स्थित होता है। संबंधित बेली जोड़ी रीमान गोले का एक परिवर्तन बनाती है कि, यदि कोई ध्रुव को रखता है, तो उसे बहुपद के रूप में दर्शाया जा सकता है। इसके विपरीत, 0 और 1 के साथ कोई भी बहुपद अपने परिमित महत्वपूर्ण मूल्यों के रूप में रीमान क्षेत्र से अपने आप में एक बेली फ़ंक्शन बनाता है, जिसमें एक ही अनंत-मूल्यवान महत्वपूर्ण बिंदु होता है, और एक डेसिन डी 'एनफैंट के अनुरूप होता है जो एक ट्री है। बहुपद की डिग्री संबंधित वृक्ष में किनारों की संख्या के बराबर होती है। जॉर्ज शबाट के बाद इस तरह के बहुपद बेली फलन को शबाट बहुपद के रूप में जाना जाता है। उदाहरण के लिए, केवल एक परिमित महत्वपूर्ण बिंदु और महत्वपूर्ण मूल्य, दोनों शून्य वाले एकाधिकार को लें। यद्यपि 1 के लिए एक महत्वपूर्ण मान नहीं है, फिर भी रीमान क्षेत्र से स्वयं के लिए एक बेली फलन के रूप में व्याख्या करना संभव है क्योंकि इसके सभी महत्वपूर्ण मान सेट में निहित हैं। संबंधित डेसिन डी 'एनफैंट एक तारा है जिसका एक केंद्रीय काला शीर्ष सफेद पत्तियों (एक पूर्ण द्विदलीय ग्राफ) से जुड़ा हुआ है। अधिक सामान्य रूप से, एक बहुपद जिसमें दो महत्वपूर्ण मान होते हैं और इसे शबाट बहुपद कहा जा सकता है। इस तरह के बहुपद को सूत्र द्वारा 0 और 1 पर अपने महत्वपूर्ण मानों के साथ बेली फलन में सामान्यीकृत किया जा सकता है, लेकिन अपने गैर-सामान्यीकृत रूप में छोड़ना अधिक सुविधाजनक हो सकता है। शबाट बहुपदों के उदाहरणों का एक महत्वपूर्ण परिवार पहली तरह के चेबीशेव बहुपदों द्वारा दिया गया है, जिनमें-1 और 1 महत्वपूर्ण मान हैं। संबंधित मिठाइयां पथ ग्राफ का रूप लेती हैं, जो पथ में किनारों के साथ काले और सफेद शीर्षों के बीच बारी-बारी से होती हैं। शबाट बहुपदों और चेबीशेव बहुपदों के बीच संबंध के कारण, शबाट बहुपदों को कभी-कभी सामान्यीकृत चेबीशेव बहुपद कहा जाता है। अलग-अलग पेड़, सामान्य रूप से, अलग-अलग शबाट बहुपदों के अनुरूप होंगे, जैसा कि एक ही पेड़ के अलग-अलग एम्बेडिंग या रंग होंगे। अपने तर्क के सामान्यीकरण और रैखिक परिवर्तनों तक, शबाट बहुपद को विशिष्ट रूप से एक एम्बेडेड ट्री के रंग से निर्धारित किया जाता है, लेकिन एक शबाट बहुपद को ढूंढना हमेशा आसान नहीं होता है जिसमें एक दिया गया एम्बेडेड ट्री होता है। निरपेक्ष गैलोइस समूह और उसके अपरिवर्तनीय बहुपद को दो बेली कार्यों के लिए नेतृत्व के दो विकल्पों को चुनकर एक शबाट बहुपद में बनाया जा सकता है। ये कार्य, हालांकि एक दूसरे से निकटता से संबंधित हैं, समकक्ष नहीं हैं, क्योंकि वे चित्र में दिखाए गए दो गैर-समरूप वृक्षों द्वारा वर्णित हैं। हालाँकि, जैसा कि इन बहुपदों को बीजगणितीय संख्या क्षेत्र पर परिभाषित किया गया है, उन्हें परिमेय संख्याओं के निरपेक्ष गैलोइस समूह की क्रिया द्वारा परिवर्तित किया जा सकता है। इसका एक तत्व जो परिवर्तित हो जाता है वह बदल जाएगा और इसके विपरीत, और इस प्रकार यह भी कहा जा सकता है कि आकृति में दिखाए गए दो पेड़ों में से प्रत्येक को दूसरे पेड़ में बदल दिया जाएगा। अधिक सामान्य रूप से, इस तथ्य के कारण कि किसी भी बेली फलन के महत्वपूर्ण मान शुद्ध परिमेय 0,1 हैं, और ये महत्वपूर्ण मान गैलोइस क्रिया द्वारा अपरिवर्तित हैं, इसलिए यह क्रिया बेली जोड़े को अन्य बेली जोड़े में ले जाती है। बेली जोड़े पर संबंधित कार्रवाई द्वारा किसी भी डेसिन डी 'एनफैंट पर एक कार्रवाई को परिभाषित किया जा सकता है; यह क्रिया, उदाहरण के लिए, आकृति में दिखाए गए दो पेड़ों को क्रमबद्ध करती है। बेली के प्रमेय के कारण, मिठाई पर की क्रिया विश्वसनीय है (यानी, मिठाई के सेट पर अलग-अलग क्रमपरिवर्तन को परिभाषित करने के हर दो तत्व), इसलिए मिठाई डी 'एनफैंट्स का अध्ययन हमें अपने बारे में बहुत कुछ बता सकता है। इस संदर्भ में, यह समझना बहुत दिलचस्प है कि किन व्यंजनों को एक-दूसरे में परिवर्तित किया जा सकता है और किसके कार्य से नहीं। उदाहरण के लिए, कोई यह देख सकता है कि दिखाए गए दो पेड़ों में उनके काले नोड्स और सफेद नोड्स के लिए समान डिग्री अनुक्रम हैंः दोनों में डिग्री तीन के साथ एक काला नोड, डिग्री दो के साथ दो काले नोड, डिग्री दो के साथ दो सफेद नोड और डिग्री एक के साथ तीन सफेद नोड हैं। यह समानता एक संयोग नहीं हैः जब भी एक मिठाई को दूसरे में बदल दिया जाता है, तो दोनों का एक ही डिग्री अनुक्रम होगा। डिग्री अनुक्रम गैलोइस क्रिया का एक ज्ञात अपरिवर्तनीय है, लेकिन एकमात्र अपरिवर्तनीय नहीं है। डेज़िन का स्टेबलाइज़र समूह तत्वों से युक्त उपसमूह है जो डेज़िन को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं। उपसमूहों और बीजगणितीय संख्या क्षेत्रों के बीच गैलोइस पत्राचार के कारण, स्टेबलाइज़र एक क्षेत्र, डेसिन के मॉड्यूली के क्षेत्र से मेल खाता है। एक डेसिन की कक्षा अन्य सभी डेसिन का समूह है जिसमें इसे परिवर्तित किया जा सकता है; डिग्री अपरिवर्तनीय होने के कारण, कक्षाएं आवश्यक रूप से सीमित होती हैं और स्टेबलाइज़र सीमित सूचकांक के होते हैं। इसी तरह एक कक्षा के स्टेबलाइज़र (उपसमूह जो कक्षा के सभी तत्वों को ठीक करता है) और कक्षा के मॉड्यूली के संबंधित क्षेत्र को परिभाषित किया जा सकता है, जो डेसिन का एक और अपरिवर्तनीय है। कक्षा का स्टेबलाइज़र डेसिन के स्टेबलाइज़र में निहित अधिकतम सामान्य उपसमूह है, और कक्षा के मॉड्यूली का क्षेत्र सबसे छोटे सामान्य विस्तार से मेल खाता है जिसमें डेसिन के मॉड्यूली का क्षेत्र होता है। उदाहरण के लिए, इस खंड में विचार किए गए दो संयुग्म व्यंजनों के लिए, कक्षा के मापांक का क्षेत्र है। दो बेली कार्य और इस उदाहरण को मॉडुली के क्षेत्र में परिभाषित किया गया है, लेकिन ऐसे डेसिन मौजूद हैं जिनके लिए बेली कार्य की परिभाषा का क्षेत्र मॉडुली के क्षेत्र से बड़ा होना चाहिए। टिप्पणियाँ संदर्भ। .. .. .. में संग्रहित। .. .. .. .. , पीपी के रूप में एकत्र किया गया। 140-165 ओयुवर्स, टोम 3 में। .. विशेष रूप से अध्याय 2, "डेसिन्स डी एनफैंट्स", पीपी. 79-153 देखें। .. .. .. .. .. जटिल विश्लेषण बीजगणितीय ज्यामिति टोपोलॉजिकल ग्राफ सिद्धांत