Hyperbolic partial differential equation
गणित में, क्रम का एक हाइपरबोलिक आंशिक विभेदक समीकरण एक आंशिक विभेदक समीकरण (पी. डी. ई.) है, जो मोटे तौर पर पहले व्युत्पन्न के लिए एक अच्छी तरह से प्रारंभिक मूल्य समस्या है। अधिक सटीक रूप से, कॉची समस्या को किसी भी गैर-विशेषतापूर्ण अति सतह के साथ मनमाने प्रारंभिक डेटा के लिए स्थानीय रूप से हल किया जा सकता है। यांत्रिकी के कई समीकरण हाइपरबोलिक हैं, और इसलिए हाइपरबोलिक समीकरणों का अध्ययन पर्याप्त समकालीन रुचि का है। मॉडल हाइपरबोलिक समीकरण तरंग समीकरण है। एक स्थानिक आयाम में, यह है समीकरण में यह गुण है कि, यदि और इसके पहली बार व्युत्पन्न को मनमाने ढंग से रेखा पर प्रारंभिक डेटा निर्दिष्ट किया जाता है (पर्याप्त चिकनी गुणों के साथ), तो सभी समय के लिए एक समाधान मौजूद है। हाइपरबोलिक समीकरणों के समाधान "तरंग जैसे" होते हैं। यदि एक हाइपरबोलिक विभेदक समीकरण के प्रारंभिक डेटा में एक गड़बड़ी की जाती है, तो अंतरिक्ष का हर बिंदु एक बार में गड़बड़ी महसूस नहीं करता है। एक निश्चित समय निर्देशांक के सापेक्ष, गड़बड़ी की प्रसार गति सीमित होती है। वे समीकरण की विशेषताओं के साथ यात्रा करते हैं। यह विशेषता गुणात्मक रूप से हाइपरबोलिक समीकरणों को अण्डाकार आंशिक विभेदक समीकरणों और परवलयिक आंशिक विभेदक समीकरणों से अलग करती है। एक दीर्घवृत्ताकार या परवलयिक समीकरण के प्रारंभिक (या सीमा) डेटा की गड़बड़ी को अनिवार्य रूप से क्षेत्र के सभी बिंदुओं द्वारा एक बार में महसूस किया जाता है। यद्यपि अतिशयोक्तिकता की परिभाषा मूल रूप से एक गुणात्मक है, लेकिन कुछ सटीक मानदंड हैं जो विचाराधीन विशेष प्रकार के विभेदक समीकरण पर निर्भर करते हैं। माइक्रोलोकल विश्लेषण के संदर्भ में लार्स गार्डिंग के कारण रैखिक विभेदक प्रचालक के लिए एक अच्छी तरह से विकसित सिद्धांत है। गैर-रैखिक विभेदक समीकरण हाइपरबोलिक होते हैं यदि उनके रैखिकीकरण गार्डिंग के अर्थ में हाइपरबोलिक होते हैं। संरक्षण कानूनों की प्रणालियों से आने वाले समीकरणों की प्रथम क्रम प्रणालियों के लिए कुछ अलग सिद्धांत है। परिभाषा एक आंशिक विभेदक समीकरण एक बिंदु पर अतिशयोक्तिपूर्ण होता है बशर्ते कि कॉची समस्या एक गैर-विशेषतापूर्ण अति सतह से गुजरने वाले किसी भी प्रारंभिक डेटा के लिए पड़ोस में विशिष्ट रूप से हल करने योग्य हो। यहाँ निर्धारित प्रारंभिक डेटा में विभेदक समीकरण के क्रम से एक कम तक सतह पर फलन के सभी (अनुप्रस्थ) व्युत्पन्न होते हैं। उदाहरण चर के एक रैखिक परिवर्तन द्वारा, निम्न क्रम के शब्दों के अलावा, जो समीकरण की गुणात्मक समझ के लिए अपरिहार्य हैं, के साथ रूप के किसी भी समीकरण को तरंग समीकरण में परिवर्तित किया जा सकता है। यह परिभाषा एक समतल हाइपरबोला की परिभाषा के अनुरूप है। एक-आयामी तरंग समीकरणः एक हाइपरबोलिक समीकरण का एक उदाहरण है। द्वि-आयामी और त्रि-आयामी तरंग समीकरण भी हाइपरबोलिक पीडीई की श्रेणी में आते हैं। इस प्रकार के द्वितीय-क्रम हाइपरबोलिक आंशिक विभेदक समीकरण को प्रथम-क्रम विभेदक समीकरणों की हाइपरबोलिक प्रणाली में परिवर्तित किया जा सकता है। आंशिक अवकल समीकरणों की हाइपरबोलिक प्रणाली निम्नलिखित अज्ञात कार्यों के लिए प्रथम क्रम आंशिक अवकल समीकरणों की एक प्रणाली है जहां एक बार लगातार अवकलनीय कार्य होते हैं, सामान्य रूप से अरैखिक। इसके बाद, प्रत्येक के लिए जैकोबियन मैट्रिक्स को परिभाषित करें सिस्टम () हाइपरबोलिक है यदि सभी मैट्रिक्स के लिए केवल वास्तविक आइगेनवैल्यू हैं और विकर्णनीय है। यदि मैट्रिक्स में विशिष्ट वास्तविक आइगेनवैल्यू हैं, तो यह इस प्रकार है कि यह विकर्णनीय है। इस मामले में प्रणाली () को सख्ती से हाइपरबोलिक कहा जाता है। यदि मैट्रिक्स सममित है, तो यह इस प्रकार है कि यह विकर्णनीय है और आइगेनवैल्यू वास्तविक हैं। इस मामले में प्रणाली () को सममित हाइपरबोलिक कहा जाता है। हाइपरबोलिक प्रणाली और संरक्षण कानून एक हाइपरबोलिक प्रणाली और एक संरक्षण कानून के बीच एक संबंध है। एक अज्ञात फलन के लिए एक आंशिक विभेदक समीकरण की हाइपरबोलिक प्रणाली पर विचार करें। फिर प्रणाली () का रूप है यहाँ, एक मात्रा के रूप में व्याख्या की जा सकती है जो द्वारा दिए गए प्रवाह के अनुसार घूमती है। यह देखने के लिए कि मात्रा संरक्षित है, एक डोमेन पर () को एकीकृत करें यदि और पर्याप्त रूप से सुचारू कार्य हैं, तो हम विचलन प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं और एकीकरण के क्रम को बदल सकते हैं और सामान्य रूप में मात्रा के लिए एक संरक्षण नियम प्राप्त कर सकते हैं जिसका अर्थ है कि डोमेन में परिवर्तन की समय दर इसकी सीमा के माध्यम से शुद्ध प्रवाह के बराबर है। चूँकि यह एक समानता है, इसलिए यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि यह भीतर संरक्षित है। एलिप्टिक पार्शियल डिफरेंशियल इक्वेशन हाइपोएलिप्टिक ऑपरेटर पैराबोलिक पार्शियल डिफरेंशियल इक्वेशन भी देखें संदर्भ आगे पढ़ने के लिए ए. डी. पोल्यानिन, हैंडबुक ऑफ लीनियर पार्शियल डिफरेंशियल इक्वेशन फॉर इंजीनियर्स एंड साइंटिस्ट्स, चैपमैन एंड हॉल/सी. आर. सी. प्रेस, बोका रैटन, 2002। ईक्यूवर्ल्डः द वर्ल्ड ऑफ मैथमेटिकल इक्वेशन्स में रैखिक हाइपरबोलिक समीकरण बाहरी लिंक हैं। ईक्यूवर्ल्ड में अरैखिक हाइपरबोलिक समीकरणः गणितीय समीकरणों की दुनिया।