Clairaut's theorem (gravity)
क्लेयरॉट की प्रमेय अपने गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र और केंद्रापसारक बल की क्रिया के तहत जलस्थैतिक संतुलन में एक चिपचिपा घूर्णन दीर्घवृत्त पर सतह गुरुत्वाकर्षण की विशेषता बताती है। यह 1743 में एलेक्सिस क्लाउड क्लेयरॉट द्वारा एक ग्रंथ में प्रकाशित किया गया था जिसने भौतिक और भूगणितीय साक्ष्य को संश्लेषित किया कि पृथ्वी एक ओब्लेट घूर्णन दीर्घवृत्ताकार है। इसका उपयोग शुरू में पृथ्वी की सतह पर किसी भी बिंदु पर गुरुत्वाकर्षण को उस बिंदु की स्थिति से संबंधित करने के लिए किया जाता था, जिससे पृथ्वी की दीर्घवृत्तीयता की गणना विभिन्न अक्षांशों पर गुरुत्वाकर्षण के माप से की जा सकती थी। आज इसे काफी हद तक सोमिग्लियाना समीकरण द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है। हालांकि यह प्राचीन काल से ज्ञात था कि पृथ्वी गोलाकार थी, 17 वीं शताब्दी तक सबूत जमा हो रहे थे कि यह एक पूर्ण क्षेत्र नहीं था। 1672 में जीन रिचर ने पहला सबूत पाया कि पृथ्वी पर गुरुत्वाकर्षण स्थिर नहीं था (जैसा कि पृथ्वी एक गोला होती तो होता); उन्होंने एक पेंडुलम घड़ी को फ्रेंच गुयाना के कायेन में ले गए और पाया कि यह पेरिस में अपनी दर की तुलना में प्रति दिन मिनट खो देता है। यह इंगित करता है कि पेरिस की तुलना में कायेन में गुरुत्वाकर्षण का त्वरण कम था। पेंडुलम ग्रेवीमीटर को दुनिया के दूरदराज के हिस्सों की यात्राओं पर ले जाना शुरू किया गया, और धीरे-धीरे यह पता चला कि बढ़ते अक्षांश के साथ गुरुत्वाकर्षण सुचारू रूप से बढ़ता है, भूमध्य रेखा की तुलना में ध्रुवों पर गुरुत्वाकर्षण त्वरण लगभग 0.5% अधिक होता है। ब्रिटिश भौतिक विज्ञानी आइज़ैक न्यूटन ने अपनी प्रिंसिपिया मैथेमेटिका (1687) में इसकी व्याख्या की जिसमें उन्होंने पृथ्वी के आकार पर अपने सिद्धांत और गणनाओं को रेखांकित किया। न्यूटन ने सही ढंग से सिद्धांत दिया कि पृथ्वी सटीक रूप से एक गोला नहीं थी, बल्कि एक ओब्लेट दीर्घवृत्ताकार आकार की थी, जो अपने घूर्णन के केंद्रापसारक बल के कारण ध्रुवों पर थोड़ी चपटी थी। चूँकि पृथ्वी की सतह भूमध्य रेखा की तुलना में ध्रुवों पर अपने केंद्र के करीब है, इसलिए वहाँ गुरुत्वाकर्षण अधिक मजबूत है। ज्यामितीय गणनाओं का उपयोग करते हुए, उन्होंने पृथ्वी के काल्पनिक दीर्घवृत्ताकार आकार के बारे में एक ठोस तर्क दिया। प्रिंसिपिया का लक्ष्य प्राकृतिक घटनाओं के लिए सटीक उत्तर प्रदान करना नहीं था, बल्कि विज्ञान में इन अनसुलझे कारकों के संभावित समाधानों को सिद्ध करना था। न्यूटन ने वैज्ञानिकों को अस्पष्टीकृत चर में आगे देखने के लिए प्रेरित किया। उन्होंने जिन दो प्रमुख शोधकर्ताओं को प्रेरित किया, वे एलेक्सिस क्लेयरॉट और पियरे लुई मॉपरट्यूस थे। उन दोनों ने पृथ्वी के आकार पर न्यूटन के सिद्धांत की वैधता को साबित करने की कोशिश की। ऐसा करने के लिए, वे मेरिडियन चाप को सटीक रूप से मापने के प्रयास में लैपलैंड के लिए एक अभियान पर गए। इस तरह के मापों से वे पृथ्वी की उत्केन्द्रता, एक पूर्ण गोले से उसके प्रस्थान की डिग्री की गणना कर सकते हैं। क्लेयरॉट ने पुष्टि की कि न्यूटन का सिद्धांत कि पृथ्वी दीर्घवृत्ताकार थी, सही था, लेकिन उनकी गणना गलत थी, और उन्होंने अपने निष्कर्षों के साथ रॉयल सोसाइटी ऑफ लंदन को एक पत्र लिखा। समाज ने अगले वर्ष 1737 में दार्शनिक लेन-देन में एक लेख प्रकाशित किया जिसमें उनकी खोज का खुलासा हुआ। क्लेयरॉट ने दिखाया कि कैसे न्यूटन के समीकरण गलत थे, और पृथ्वी के लिए एक दीर्घवृत्ताकार आकार साबित नहीं हुए। हालाँकि, उन्होंने इस सिद्धांत के साथ समस्याओं को ठीक किया, जो वास्तव में न्यूटन के सिद्धांत को सही साबित करेगा। क्लेयरॉट का मानना था कि न्यूटन के पास उस आकार को चुनने के कारण थे जो उन्होंने किया था, लेकिन उन्होंने प्रिंसिपिया में इसका समर्थन नहीं किया। क्लेयरॉट के लेख ने उनके तर्क का समर्थन करने के लिए एक वैध समीकरण भी प्रदान नहीं किया। इसने वैज्ञानिक समुदाय में बहुत विवाद पैदा कर दिया। यह तब तक नहीं था जब तक कि क्लेयरॉट ने 1743 में थियोरी डे ला फिगर डे ला टेरे नहीं लिखा था कि एक उचित उत्तर प्रदान किया गया था। इसमें, उन्होंने वह घोषणा की जिसे आज अधिक औपचारिक रूप से क्लेयरॉट की प्रमेय के रूप में जाना जाता है। अक्षांश पर एक गोलाकार की सतह पर गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण के लिए सूत्र क्लेयरॉट का सूत्र थाः भूमध्य रेखा पर गुरुत्वाकर्षण के त्वरण का मान कहाँ है, m भूमध्य रेखा पर गुरुत्वाकर्षण के लिए अपकेंद्र बल का अनुपात, और f पृथ्वी के एक मेरिडियन खंड का चपटा होना, इस प्रकार परिभाषित किया गया हैः (जहाँ a = अर्ध-प्रमुख अक्ष, b = अर्ध-लघु अक्ष)। क्लेयरॉट ने इस धारणा के तहत सूत्र प्राप्त किया कि शरीर स्थिर घनत्व की संकेंद्रित समाक्षीय गोलाकार परतों से बना था। इस काम को बाद में लाप्लास द्वारा आगे बढ़ाया गया, जिन्होंने प्रारंभिक धारणा को शिथिल किया कि समान घनत्व वाली सतह गोलाकार थीं। अंग्रेजी गणितशास्त्री जॉर्ज स्टोक्स ने 1849 में दिखाया कि यह प्रमेय घनत्व के किसी भी नियम पर तब तक लागू होता है जब तक कि बाहरी सतह संतुलन का गोलाकार हो। विषय का इतिहास, और g के लिए अधिक विस्तृत समीकरण खान में पाए जा सकते हैं। जी के लिए उपरोक्त अभिव्यक्ति को सोमिग्लियाना समीकरण (कार्लो सोमिग्लियाना के बाद) द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है। भूगणित पृथ्वी का गोलाकार आकार गुरुत्वाकर्षण और केंद्रापसारक बल के बीच परस्पर क्रिया का परिणाम है जो पृथ्वी के अपने अक्ष के चारों ओर घूर्णन के कारण होता है। अपने सिद्धांत में, न्यूटन ने प्रस्तावित किया कि एक सजातीय घूर्णन पृथ्वी का संतुलन आकार एक घूर्णन दीर्घवृत्ताकार था जिसमें एक चपटा f 1/230 द्वारा दिया गया था। नतीजतन, भूमध्य रेखा से ध्रुवों तक गुरुत्वाकर्षण बढ़ता है। क्लेयरॉट के प्रमेय को लागू करके, लाप्लास ने 15 गुरुत्वाकर्षण मानों से पाया कि f = 1/330। एक आधुनिक अनुमान 1/298.25642 है। अधिक जानकारी के लिए पृथ्वी का चित्र देखें। भूगणित के संदर्भ पृथ्वी मॉडल के निर्माण के विस्तृत विवरण के लिए, चैटफील्ड देखें। संदर्भ भौतिकी के नामित प्रमेय जियोडेसी नेविगेशन सर्वेक्षण गुरुत्वाकर्षण