Incidence geometry
गणित में, आपतन ज्यामिति आपतन संरचनाओं का अध्ययन है। एक ज्यामितीय संरचना जैसे कि यूक्लिडियन तल एक जटिल वस्तु है जिसमें लंबाई, कोण, निरंतरता, मध्यता और आपतन जैसी अवधारणाएँ शामिल हैं। एक आपतन संरचना वह है जो तब प्राप्त होती है जब अन्य सभी अवधारणाओं को हटा दिया जाता है और जो कुछ बचा रहता है वह डेटा है कि कौन से बिंदु किस रेखा पर स्थित हैं। इस गंभीर सीमा के बावजूद, प्रमेयों को साबित किया जा सकता है और इस संरचना के बारे में दिलचस्प तथ्य सामने आते हैं। इस तरह के मौलिक परिणाम मान्य रहते हैं जब एक समृद्ध ज्यामिति बनाने के लिए अतिरिक्त अवधारणाओं को जोड़ा जाता है। कभी-कभी ऐसा होता है कि लेखक किसी अध्ययन और उस अध्ययन की वस्तुओं के बीच के अंतर को धुंधला कर देते हैं, इसलिए यह जानना आश्चर्य की बात नहीं है कि कुछ लेखक आपतन संरचनाओं को आपतन ज्यामिति के रूप में संदर्भित करते हैं। घटना संरचनाएँ स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होती हैं और गणित के विभिन्न क्षेत्रों में उनका अध्ययन किया गया है। नतीजतन, इन वस्तुओं का वर्णन करने के लिए अलग-अलग शब्दावली हैं। ग्राफ सिद्धांत में उन्हें हाइपरग्राफ कहा जाता है, और संयोजन डिजाइन सिद्धांत में उन्हें ब्लॉक डिजाइन कहा जाता है। शब्दावली में अंतर के अलावा, प्रत्येक क्षेत्र विषय को अलग तरह से देखता है और उस विषय से संबंधित इन वस्तुओं के बारे में प्रश्नों में रुचि रखता है। ज्यामितीय भाषा का उपयोग करना, जैसा कि आपतन ज्यामिति में किया जाता है, सामान्य रूप से प्रस्तुत किए जाने वाले विषयों और उदाहरणों को आकार देता है। हालाँकि, एक विषय से दूसरे विषय की शब्दावली में परिणामों का अनुवाद करना संभव है, लेकिन यह अक्सर अजीब और जटिल बयानों की ओर ले जाता है जो विषयों के स्वाभाविक विकास के रूप में प्रतीत नहीं होते हैं। इस लेख के लिए चुने गए उदाहरणों में हम केवल प्राकृतिक ज्यामितीय स्वाद वाले उदाहरणों का उपयोग करते हैं। एक विशेष मामला जिसने बहुत रुचि पैदा की है, वह यूक्लिडियन तल में बिंदुओं के सीमित सेटों से संबंधित है और उनके द्वारा निर्धारित (सीधी) रेखाओं की संख्या और प्रकारों के बारे में क्या कहा जा सकता है। इस स्थिति के कुछ परिणाम अधिक सामान्य सेटिंग्स तक विस्तारित हो सकते हैं क्योंकि केवल घटना गुणों पर विचार किया जाता है। आपतन संरचना एक आपतन संरचना में एक समूह होता है जिसके तत्वों को बिंदु कहा जाता है, एक असंबद्ध समूह जिसके तत्वों को रेखाएं कहा जाता है और उनके बीच एक आपतन संबंध, यानी जिसके तत्वों का एक उपसमुच्चय फ्लैग कहा जाता है। यदि एक ध्वज है, तो हम कहते हैं कि वह घटना है या वह घटना है (शब्दावली सममित है), और लिखें। स्वाभाविक रूप से, एक बिंदु और रेखा इस संबंध में तभी होते हैं जब बिंदु रेखा पर होता है। एक बिंदु और एक रेखा को देखते हुए जो एक झंडा नहीं बनाते हैं, यानी, बिंदु रेखा पर नहीं है, इस जोड़ी को एंटी-फ्लैग कहा जाता है। आपतन संरचना में दूरी आपतन संरचना में दूरी (एक मीट्रिक) की कोई प्राकृतिक अवधारणा नहीं है। हालांकि, एक संयुक्त मीट्रिक संबंधित आपतन ग्राफ (लेवी ग्राफ) में मौजूद है, अर्थात् इस द्विदलीय ग्राफ में दो शीर्षों के बीच सबसे छोटे मार्ग की लंबाई। आपतन संरचना की दो वस्तुओं के बीच की दूरी-दो बिंदु, दो रेखाएँ या एक बिंदु और एक रेखा-को आपतन संरचना के आपतन ग्राफ में संबंधित शीर्षों के बीच की दूरी के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। एक दूरी को फिर से परिभाषित करने का एक और तरीका एक संबंधित संरचना में एक ग्राफ-सैद्धांतिक धारणा का उपयोग करता है, इस बार आपतन संरचना का कोलिनियरिटी ग्राफ। कोलिनियरिटी ग्राफ के शीर्ष आपतन संरचना के बिंदु हैं और यदि दोनों बिंदुओं के साथ एक रेखा आपतन मौजूद है तो दो बिंदु जुड़ जाते हैं। आपतन संरचना के दो बिंदुओं के बीच की दूरी को कोलिनियरिटी ग्राफ में उनकी दूरी के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। जब किसी आपतन संरचना में दूरी पर विचार किया जाता है, तो यह उल्लेख करना आवश्यक है कि इसे कैसे परिभाषित किया जा रहा है। आंशिक रैखिक रिक्त स्थान घटना संरचनाएँ जिनका सबसे अधिक अध्ययन किया जाता है, वे हैं जो कुछ अतिरिक्त गुणों (स्वयंसिद्ध) को संतुष्ट करती हैं, जैसे कि प्रोजेक्टिव प्लेन, एफ़ाइन प्लेन, सामान्यीकृत बहुभुज, आंशिक ज्यामिति और निकट बहुभुज। बहुत सामान्य आपतन संरचनाओं को "हल्की" स्थितियों को लागू करके प्राप्त किया जा सकता है, जैसे किः एक आंशिक रैखिक स्थान एक आपतन संरचना है जिसके लिए निम्नलिखित स्वयंसिद्ध सत्य हैंः अलग-अलग बिंदुओं की प्रत्येक जोड़ी अधिक से अधिक एक रेखा निर्धारित करती है। प्रत्येक पंक्ति में कम से कम दो अलग-अलग बिंदु होते हैं। आंशिक रैखिक स्थान में यह भी सच है कि अलग-अलग रेखाओं का प्रत्येक जोड़ा अधिक से अधिक एक बिंदु पर मिलता है। इस कथन को मानने की आवश्यकता नहीं है क्योंकि यह उपरोक्त स्वयंसिद्ध से आसानी से साबित हो जाता है। आगे की बाधाएं नियमितता स्थितियों द्वारा प्रदान की जाती हैंः आरएलकेः प्रत्येक रेखा समान संख्या में अंकों के साथ आपतित होती है। यदि परिमित है तो इस संख्या को अक्सर द्वारा दर्शाया जाता है। आर. पी. आर.: प्रत्येक बिंदु समान संख्या में रेखाओं के साथ आपतित होता है। यदि परिमित है तो इस संख्या को अक्सर द्वारा दर्शाया जाता है। आंशिक रैखिक स्थान के दूसरे स्वयंसिद्ध का तात्पर्य है कि। दोनों में से कोई भी नियमितता की स्थिति दूसरे का संकेत नहीं देती है, इसलिए यह मान लेना चाहिए। एक सीमित आंशिक रैखिक स्थान जो दोनों नियमितता स्थितियों को संतुष्ट करता है, उसे सामरिक विन्यास कहा जाता है। कुछ लेखक इन्हें केवल विन्यास, या प्रोजेक्टिव विन्यास के रूप में संदर्भित करते हैं। यदि एक सामरिक विन्यास में अंक और रेखाएँ हैं, तो, झंडे को दो बार गिनने से, संबंध स्थापित हो जाता है। एक सामान्य संकेतन-विन्यास को संदर्भित करता है। विशेष मामले में जहां (और इसलिए,) संकेतन को अक्सर बस के रूप में लिखा जाता है। एक रैखिक स्थान एक आंशिक रैखिक स्थान है जो इस प्रकार हैः अलग-अलग बिंदुओं की प्रत्येक जोड़ी बिल्कुल एक रेखा निर्धारित करती है। कुछ लेखक एक (आंशिक) रैखिक स्थान की परिभाषा में एक "गैर-अपक्षय" (या "गैर-तुच्छता") स्वयंसिद्ध जोड़ते हैं, जैसे किः कम से कम दो अलग-अलग रेखाएँ मौजूद हैं। इसका उपयोग कुछ बहुत छोटे उदाहरणों को खारिज करने के लिए किया जाता है (मुख्य रूप से जब सेट या दो से कम तत्व होते हैं) जो आम तौर पर आपतन संरचनाओं के बारे में दिए गए सामान्य बयानों के अपवाद होंगे। स्वयंसिद्ध को जोड़ने का एक विकल्प उन आपतन संरचनाओं को संदर्भित करना है जो स्वयंसिद्ध को तुच्छ और गैर-तुच्छ के रूप में संतुष्ट नहीं करते हैं। प्रत्येक गैर-तुच्छ रैखिक स्थान में कम से कम तीन बिंदु और तीन रेखाएँ होती हैं, इसलिए सबसे सरल गैर-तुच्छ रैखिक स्थान जो मौजूद हो सकता है वह एक त्रिकोण है। प्रत्येक रेखा पर कम से कम तीन बिंदु वाला एक रैखिक स्थान सिल्वेस्टर-गलाई डिजाइन है। मौलिक ज्यामितीय उदाहरण कुछ बुनियादी अवधारणाएँ और शब्दावली ज्यामितीय उदाहरणों, विशेष रूप से प्रोजेक्टिव प्लेन और एफ़ाइन प्लेन से उत्पन्न होती हैं। एक प्रोजेक्टिव प्लेन एक रैखिक स्थान है जिसमेंः अलग-अलग रेखाओं का प्रत्येक जोड़ा बिल्कुल एक बिंदु पर मिलता है, और जो गैर-अपक्षय स्थिति को संतुष्ट करता हैः चार बिंदु मौजूद हैं, जिनमें से कोई भी तीन समरेखीय नहीं हैं। प्रोजेक्टिव प्लेन में और के बीच एक बाइजेक्शन होता है। यदि एक परिमित समुच्चय है, तो प्रोजेक्टिव तल को एक परिमित प्रोजेक्टिव तल के रूप में संदर्भित किया जाता है। एक परिमित प्रक्षेप्य तल का क्रम, अर्थात, एक रेखा पर बिंदुओं की संख्या से एक कम है। सभी ज्ञात प्रक्षेप्य विमानों में आदेश होते हैं जो प्रमुख शक्तियां हैं। क्रम का एक प्रोजेक्टिव प्लेन एक विन्यास है। सबसे छोटे प्रक्षेप्य तल में क्रम दो होता है और इसे फ़ानो तल के रूप में जाना जाता है। फ़ानो प्लेन यह प्रसिद्ध आपतन ज्यामिति इतालवी गणितशास्त्री गिनो फ़ानो द्वारा विकसित की गई थी। प्रोजेक्टिव एन-स्पेस के लिए स्वयंसिद्धों के समूह की स्वतंत्रता को साबित करने के अपने काम में, जिसे उन्होंने विकसित किया, उन्होंने 15 अंकों, 35 रेखाओं और 15 विमानों के साथ एक सीमित त्रि-आयामी स्थान का उत्पादन किया, जिसमें प्रत्येक रेखा पर केवल तीन बिंदु थे। इस क्षेत्र में विमानों में सात बिंदु और सात रेखाएँ थीं और अब इन्हें फ़ानो विमानों के रूप में जाना जाता है। फ़ानो तल को यूक्लिडियन तल में केवल बिंदुओं और सीधी रेखा खंडों का उपयोग करके नहीं दर्शाया जा सकता है (यानी, यह प्राप्त करने योग्य नहीं है)। यह सिल्वेस्टर-गैलाई प्रमेय का एक परिणाम है, जिसके अनुसार प्रत्येक प्राप्य आपतन ज्यामिति में एक साधारण रेखा शामिल होनी चाहिए, एक रेखा जिसमें केवल दो बिंदु हों। फ़ानो समतल में ऐसी कोई रेखा नहीं है (यानी, यह एक सिल्वेस्टर-गलाई विन्यास है), इसलिए यह वास्तविक नहीं है। एक पूर्ण चतुष्कोण में चार बिंदु होते हैं, जिनमें से कोई तीन समरेखीय नहीं होते हैं। फ़ानो समतल में, तीन बिंदु जो पूर्ण चतुर्भुज पर नहीं हैं, वे उस चतुर्भुज के विकर्ण बिंदु हैं और समरेखीय हैं। यह नैनो स्वयंसिद्ध का खंडन करता है, जिसे अक्सर यूक्लिडियन तल के लिए एक स्वयंसिद्ध के रूप में उपयोग किया जाता है, जिसमें कहा गया है कि एक पूर्ण चतुर्भुज के तीन विकर्ण बिंदु कभी भी समरेखीय नहीं होते हैं। एफाइन प्लेन एक एफ़ाइन प्लेन एक रैखिक स्थान है जो संतोषजनक हैः किसी भी बिंदु और रेखा के लिए जो इसके साथ नहीं होती है (एक एंटी-फ्लैग) के साथ बिल्कुल एक रेखा घटना होती है (यानी,), जो नहीं मिलती है (जिसे प्लेफ़ेयर के स्वयंसिद्ध के रूप में जाना जाता है), और गैर-अपक्षय स्थिति को संतुष्ट करती हैः एक त्रिकोण मौजूद है, यानी। तीन गैर-संरेखीय बिंदु। रेखाओं और प्लेफेयर के स्वयंसिद्ध कथन में समानांतर कहा जाता है। प्रत्येक एफाइन तल को विशिष्ट रूप से एक प्रोजेक्टिव तल तक बढ़ाया जा सकता है। एक परिमित एफ़ाइन तल का क्रम है, एक रेखा पर बिंदुओं की संख्या। एक एफ़ाइन प्लेन ऑफ़ ऑर्डर एक विन्यास है। हेस्से विन्यास क्रम तीन का एफ़ाइन तल एक विन्यास है। जब इसे किसी परिवेशी स्थान में एम्बेड किया जाता है तो इसे हेस्से कॉन्फ़िगरेशन कहा जाता है। यह यूक्लिडियन तल में प्राप्त करने योग्य नहीं है, लेकिन जटिल प्रोजेक्टिव तल में 12 रेखाओं के साथ एक दीर्घवृत्ताकार वक्र के नौ विक्षेपण बिंदुओं के रूप में प्राप्त किया जा सकता है। 12 पंक्तियों को तीन पंक्तियों के चार वर्गों में विभाजित किया जा सकता है, जहां प्रत्येक वर्ग में रेखाएं पारस्परिक रूप से अलग होती हैं। इन वर्गों को रेखाओं के समानांतर वर्ग कहा जाता है। चार नए बिंदुओं को जोड़कर, प्रत्येक को एक एकल समानांतर वर्ग की सभी रेखाओं में जोड़ा जा रहा है (इसलिए ये सभी रेखाएं अब प्रतिच्छेद करती हैं), और केवल इन चार नए बिंदुओं वाली एक नई रेखा क्रम तीन के प्रोजेक्टिव प्लेन का उत्पादन करती है, एक विन्यास। इसके विपरीत, क्रम तीन के प्रोजेक्टिव तल से शुरू करना (यह अद्वितीय है) और किसी भी एक रेखा को हटाना और उस रेखा पर सभी बिंदु क्रम तीन के इस एफ़ाइन तल का उत्पादन करते हैं (यह भी अद्वितीय है)। एक बिंदु और उस बिंदु से गुजरने वाली चार रेखाओं को हटाने से (लेकिन उन पर अन्य बिंदु नहीं) मोबियस-कांटोर विन्यास उत्पन्न होता है। आंशिक ज्यामिति एक पूर्णांक दिए जाने पर, एक रणनीतिक विन्यास संतोषजनक होता हैः प्रत्येक विरोधी ध्वज के लिए ऐसे झंडे होते हैं जिन्हें आंशिक ज्यामिति कहा जाता है। यदि एक रेखा पर बिंदु हैं और एक बिंदु के माध्यम से रेखाएं हैं, तो आंशिक ज्यामिति के लिए संकेतन है। यदि ये आंशिक ज्यामितियाँ सामान्यीकृत चतुर्भुज हैं। यदि इन्हें स्टेनर सिस्टम कहा जाता है। सामान्यीकृत बहुभुज के लिए, एक सामान्यीकृत-गॉन एक आंशिक रैखिक स्थान है जिसका आपतन ग्राफ का गुण हैः (सबसे छोटे चक्र की लंबाई) का परिधि व्यास का दोगुना है (इस मामले में दो शीर्षों के बीच की सबसे बड़ी दूरी)। एक सामान्यीकृत 2-गॉन एक आपतन संरचना है, जो एक आंशिक रैखिक स्थान नहीं है, जिसमें कम से कम दो बिंदु और दो रेखाएँ होती हैं, जिसमें प्रत्येक बिंदु प्रत्येक रेखा के साथ आपतन होता है। एक सामान्यीकृत 2-गॉन का आपतन ग्राफ एक पूर्ण द्विदलीय ग्राफ है। एक सामान्यीकृत-गॉन में वस्तुओं की प्रत्येक जोड़ी (दो बिंदु, दो रेखाएँ या एक बिंदु और एक रेखा) के लिए कोई साधारण-गॉन नहीं होता है और एक साधारण-गॉन होता है जिसमें वे दोनों होते हैं। सामान्यीकृत 3-गोन प्रोजेक्टिव प्लेन होते हैं। सामान्यीकृत 4-गन्स को सामान्यीकृत चतुर्भुज कहा जाता है। फिट-हिगमैन प्रमेय के अनुसार प्रति रेखा कम से कम तीन बिंदु और प्रति बिंदु तीन रेखाओं वाले एकमात्र परिमित सामान्यीकृत-गनों में = 2,3,4,6 या 8 होते हैं। एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक के लिए एक निकट-गॉन एक आपतन संरचना है जो इस प्रकार हैः दो बिंदुओं के बीच अधिकतम दूरी (जैसा कि कोलीनियरिटी ग्राफ में मापा जाता है) है, और प्रत्येक बिंदु और रेखा के लिए उस पर एक अद्वितीय बिंदु होता है जो सबसे करीब होता है। एक निकट 0-गॉन एक बिंदु है, जबकि एक निकट 2-गॉन एक रेखा है। निकटवर्ती 2-गॉन का समरेखीय ग्राफ एक पूर्ण ग्राफ है। एक निकट 4-गॉन एक सामान्यीकृत चतुर्भुज (संभवतः अपक्षयी) है। प्रोजेक्टिव प्लेन को छोड़कर प्रत्येक परिमित सामान्यीकृत बहुभुज एक निकट बहुभुज है। कोई भी जुड़ा हुआ द्विदलीय ग्राफ एक निकट बहुभुज होता है और कोई भी निकट बहुभुज जिसमें प्रति रेखा ठीक दो बिंदु होते हैं, एक जुड़ा हुआ द्विदलीय ग्राफ होता है। इसके अलावा, सभी दोहरे ध्रुवीय स्थान बहुभुज के पास हैं। कई निकट बहुभुज परिमित सरल समूहों जैसे मैथ्यू समूहों और यांको समूह जे2 से संबंधित हैं। इसके अलावा, सामान्यीकृत 2डी-गोन, जो लाइ प्रकार के समूहों से संबंधित हैं, लगभग 2डी-गोन के विशेष मामले हैं। मोबियस तल एक अमूर्त मोबियस तल (या व्युत्क्रम तल) एक घटना संरचना है जहां, शास्त्रीय मामले की शब्दावली के साथ संभावित भ्रम से बचने के लिए, रेखाओं को चक्र या खंड के रूप में संदर्भित किया जाता है। विशेष रूप से, एक मोबियस तल बिंदुओं और चक्रों की एक आपतन संरचना है जो इस प्रकार हैः अलग-अलग बिंदुओं का प्रत्येक तिगुना सटीक रूप से एक चक्र के साथ आपतन है। किसी भी झंडे और किसी भी बिंदु के लिए और के साथ एक अद्वितीय चक्र होता है। (चक्रों को स्पर्श करने के लिए कहा जाता है।) प्रत्येक चक्र में कम से कम तीन बिंदु होते हैं और कम से कम एक चक्र होता है। मोबियस तल के किसी भी बिंदु पर प्राप्त आपतन संरचना, केवल उन चक्रों को शामिल करते हुए (हटाए जाने के साथ) रेखाओं के अलावा अन्य सभी बिंदुओं को बिंदु के रूप में लेने से प्राप्त होती है, जो एक एफ़ाइन तल है। इस संरचना को डिज़ाइन सिद्धांत में अवशिष्ट कहा जाता है। क्रम का एक परिमित मोबियस तल प्रति चक्र अंकों के साथ एक सामरिक विन्यास है जो एक 3-डिज़ाइन है, विशेष रूप से एक ब्लॉक डिज़ाइन। यूक्लिडियन तल में घटना प्रमेय सिल्वेस्टर-गैलाई प्रमेय 1893 में जे. जे. सिल्वेस्टर द्वारा उठाया गया एक प्रश्न और अंत में टिबोर गैलाई द्वारा तय किया गया प्रश्न यूक्लिडियन तल में बिंदुओं के एक सीमित समूह की घटनाओं से संबंधित था। प्रमेय (सिल्वेस्टर-गैलाई): यूक्लिडियन तल में बिंदुओं का एक सीमित समूह या तो समरेखीय होता है या ठीक दो बिंदुओं के साथ एक रेखा घटना मौजूद होती है। इस संदर्भ में ठीक दो बिंदुओं वाली रेखा को साधारण रेखा कहा जाता है। हेस्से विन्यास की अंतर्निहितता के बारे में सोचने के दौरान सिल्वेस्टर को शायद इस सवाल के लिए प्रेरित किया गया था। डी ब्रुइजन-एर्डोस प्रमेय एक संबंधित परिणाम डी ब्रुइजन-एर्डोस प्रमेय है। निकोलास गोवर्ट डी ब्रुइजन और पॉल एर्दोस ने प्रोजेक्टिव प्लेन की अधिक सामान्य सेटिंग में परिणाम साबित किया, लेकिन यह अभी भी यूक्लिडियन प्लेन में है। प्रमेय यह हैः एक प्रोजेक्टिव प्लेन में, बिंदुओं का प्रत्येक गैर-संरेखीय सेट कम से कम अलग-अलग रेखाओं को निर्धारित करता है। जैसा कि लेखकों ने बताया, चूंकि उनका प्रमाण संयोजनात्मक था, परिणाम एक बड़ी सेटिंग में होता है, वास्तव में किसी भी आपतन ज्यामिति में जिसमें अलग-अलग बिंदुओं के प्रत्येक जोड़े के माध्यम से एक अद्वितीय रेखा होती है। उन्होंने यह भी उल्लेख किया है कि यूक्लिडियन समतल संस्करण को प्रेरण का उपयोग करके सिल्वेस्टर-गैलाई प्रमेय से साबित किया जा सकता है। Szemerédi-Trotter प्रमेय A, अंकों के एक सीमित समूह द्वारा निर्धारित झंडे की संख्या और उनके द्वारा निर्धारित रेखाओं को इस प्रकार दिया गया हैः प्रमेय (Szemerédi-Trotter): समतल में दिए गए बिंदु और रेखाएँ, झंडे की संख्या (आपतित बिंदु-रेखा जोड़े) हैः और अंतर्निहित स्थिरांक के संदर्भ को छोड़कर इस सीमा में सुधार नहीं किया जा सकता है। इस परिणाम का उपयोग बेक के प्रमेय को साबित करने के लिए किया जा सकता है। बिन्दु-वृत्त घटनाओं के लिए घटनाओं की संख्या के लिए एक समान सीमा का अनुमान लगाया जाता है, लेकिन केवल कमजोर ऊपरी सीमाएँ ज्ञात हैं। बेक की प्रमेय बेक की प्रमेय कहती है कि समतल में बिंदुओं का सीमित संग्रह दो चरम सीमाओं में से एक में आता है; एक जहां बिंदुओं का एक बड़ा अंश एक ही रेखा पर होता है, और एक जहां सभी बिंदुओं को जोड़ने के लिए बड़ी संख्या में रेखाओं की आवश्यकता होती है। प्रमेय सकारात्मक स्थिरांकों के अस्तित्व पर जोर देता है जैसे कि तल में किसी भी बिंदु को देखते हुए, निम्नलिखित कथनों में से कम से कम एक कथन सच हैः एक रेखा है जिसमें कम से कम बिंदु होते हैं। कम से कम रेखाएँ होती हैं, जिनमें से प्रत्येक में कम से कम दो बिंदु होते हैं। बेक के मूल तर्क में, 100 है और एक अनिर्दिष्ट स्थिरांक है; यह ज्ञात नहीं है कि और के इष्टतम मान क्या हैं। अधिक उदाहरण प्रोजेक्टिव ज्यामिति मौफ़ैंग बहुभुज श्लाफ़ली डबल छह रेय विन्यास क्रेमोना-रिचमंड विन्यास कुमेर विन्यास क्लेन विन्यास गैर-डेज़ार्गेशियन विमान भी देखें कॉम्बिनेटरियल डिज़ाइन परिमित ज्यामिति छेदन प्रमेय लेवी ग्राफ नोट्स संदर्भ। .. .. गणित के विश्वकोश में बाहरी लिंक घटना प्रणाली