Subgroup series
गणित में, विशेष रूप से समूह सिद्धांत में, एक समूह की एक उपसमूह श्रृंखला उपसमूहों की एक श्रृंखला हैः जहां तुच्छ उपसमूह है। उपसमूह श्रृंखला एक समूह के अध्ययन को सरल उपसमूहों और उनके संबंधों के अध्ययन के लिए सरल बना सकती है, और कई उपसमूह श्रृंखलाओं को हमेशा परिभाषित किया जा सकता है और ये समूहों के महत्वपूर्ण अपरिवर्तनीय हैं। उपसमूह विधि में एक उपसमूह श्रृंखला का उपयोग किया जाता है। उपसमूह श्रृंखला अमूर्त बीजगणित में निस्पंदन के उपयोग का एक विशेष उदाहरण है। परिभाषा सामान्य श्रृंखला, उप-सामान्य श्रृंखला समूह जी की एक उप-सामान्य श्रृंखला (सामान्य श्रृंखला, सामान्य टावर, उप-परिवर्तनशील श्रृंखला, या सिर्फ श्रृंखला भी) उपसमूहों का एक क्रम है, जिनमें से प्रत्येक अगले समूह का एक सामान्य उपसमूह है। एक मानक संकेतन में यह कोई आवश्यकता नहीं है कि एआई जी का एक सामान्य उपसमूह हो, केवल एआई + 1 का एक सामान्य उपसमूह हो। भागफल समूह ऐ + 1/ऐ को श्रृंखला के कारक समूह कहा जाता है। यदि इसके अलावा प्रत्येक एआई जी में सामान्य है, तो श्रृंखला को एक सामान्य श्रृंखला कहा जाता है, जब इस शब्द का उपयोग कमजोर अर्थ या एक अपरिवर्तनीय श्रृंखला के लिए नहीं किया जाता है। लंबाई ए श्रृंखला के अतिरिक्त गुण के साथ कि सभी आई के लिए एआई  ऒत्त एआई + 1 को पुनरावृत्ति के बिना एक श्रृंखला कहा जाता है; समान रूप से, प्रत्येक एआई एआई + 1 का एक उचित उपसमूह है। एक श्रृंखला की लंबाई सख्त समावेशन एआई <एआई + 1 की संख्या है। यदि श्रृंखला में कोई पुनरावृत्ति नहीं है तो लंबाई n है। एक उप-सामान्य श्रृंखला के लिए, लंबाई गैर-तुच्छ कारक समूहों की संख्या है। प्रत्येक गैर-तुच्छ समूह की लंबाई 1 की एक सामान्य श्रृंखला होती है, और कोई भी गैर-तुच्छ उचित सामान्य उपसमूह लंबाई 2 की एक सामान्य श्रृंखला देता है। सरल समूहों के लिए, लंबाई 1 की तुच्छ श्रृंखला सबसे लंबी संभव उप-सामान्य श्रृंखला है। आरोही श्रृंखला, अवरोही श्रृंखला श्रृंखला को या तो आरोही क्रमः या अवरोही क्रम में नोट किया जा सकता हैः किसी दी गई परिमित श्रृंखला के लिए, संकेतन से परे "आरोही श्रृंखला" या "अवरोही श्रृंखला" के बीच कोई अंतर नहीं है। हालाँकि, अनंत श्रृंखला के लिए, एक अंतर हैः आरोही श्रृंखला में एक सबसे छोटा पद होता है, दूसरा सबसे छोटा पद होता है, और इसी तरह आगे, लेकिन कोई सबसे बड़ा उचित पद नहीं होता है, कोई दूसरा सबसे बड़ा पद नहीं होता है, और इसी तरह आगे, जबकि इसके विपरीत अवरोही श्रृंखला में सबसे बड़ा पद होता है, लेकिन कोई सबसे छोटा उचित पद नहीं होता है। इसके अलावा, एक श्रृंखला के उत्पादन के लिए एक पुनरावर्ती सूत्र दिए जाने पर, उत्पादित शब्द या तो आरोही या अवरोही होते हैं, और परिणामी श्रृंखला को क्रमशः आरोही या अवरोही श्रृंखला कहा जाता है। उदाहरण के लिए व्युत्पन्न श्रृंखला और निचली केंद्रीय श्रृंखला अवरोही श्रृंखला हैं, जबकि ऊपरी केंद्रीय श्रृंखला एक आरोही श्रृंखला है। नोएथेरियन समूह, आर्टिनियन समूह एक समूह जो उपसमूहों पर आरोही श्रृंखला स्थिति (ए. सी. सी.) को संतुष्ट करता है, उसे नोएथेरियन समूह कहा जाता है, और एक समूह जो अवरोही श्रृंखला स्थिति (डी. सी. सी.) को संतुष्ट करता है, उसे आर्टिनियन समूह कहा जाता है (आर्टिन समूहों के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए), नोएथेरियन रिंग और आर्टिनियन रिंग के साथ सादृश्य से। ए. सी. सी. अधिकतम स्थिति के बराबर हैः उपसमूहों के प्रत्येक गैर-खाली संग्रह में एक अधिकतम सदस्य होता है, और डी. सी. सी. अनुरूप न्यूनतम स्थिति के बराबर होता है। एक समूह नोथेरियन हो सकता है लेकिन आर्टिनियन नहीं, जैसे कि अनंत चक्रीय समूह, और रिंग्स के विपरीत, एक समूह आर्टिनियन हो सकता है लेकिन नोथेरियन नहीं, जैसे कि प्रूफर समूह। प्रत्येक सीमित समूह स्पष्ट रूप से नोथेरियन और आर्टिनियन है। समरूपी छवियाँ और नोएथेरियन समूहों के उपसमूह नोएथेरियन हैं, और नोएथेरियन समूह द्वारा नोएथेरियन समूह का विस्तार नोएथेरियन है। आर्टिनियन समूहों के लिए समान परिणाम हैं। नोएथेरियन समूह समान रूप से ऐसे होते हैं कि प्रत्येक उपसमूह परिमित रूप से उत्पन्न होता है, जो स्वयं सीमित रूप से उत्पन्न होने वाले समूह से अधिक मजबूत होता हैः 2 या सीमित रूप से अधिक जनरेटर पर मुक्त समूह सीमित रूप से उत्पन्न होता है, लेकिन इसमें अनंत श्रेणी के मुक्त समूह होते हैं। नोएथेरियन समूहों को पॉलीसाइक्लिक समूहों के सीमित विस्तार होने की आवश्यकता नहीं है। अनंत और अनंत श्रृंखला अनंत उपसमूह श्रृंखला को भी परिभाषित किया जा सकता है और स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होता है, इस मामले में विशिष्ट (पूरी तरह से क्रमबद्ध) अनुक्रमण सेट महत्वपूर्ण हो जाता है, और आरोही और अवरोही श्रृंखला के बीच एक अंतर होता है। एक आरोही श्रृंखला जहां प्राकृतिक संख्याओं द्वारा अनुक्रमित किया जाता है, उसे केवल एक अनंत आरोही श्रृंखला कहा जा सकता है, और इसके विपरीत एक अनंत अवरोही श्रृंखला के लिए। यदि उपसमूहों को आम तौर पर क्रमिक संख्याओं द्वारा अनुक्रमित किया जाता है, तो कोई भी एक अनंत श्रृंखला प्राप्त करता है, जैसे कि यह आरोही श्रृंखलाः एक श्रृंखला के उत्पादन के लिए एक पुनरावर्ती सूत्र को देखते हुए, कोई भी (आरोही श्रृंखला के लिए) या (अवरोही श्रृंखला के लिए) द्वारा सीमा क्रमिक पर श्रृंखला को परिभाषित करके एक अनंत श्रृंखला को अनंत पुनरावृत्ति द्वारा परिभाषित कर सकता है। इस निर्माण के मौलिक उदाहरण हैं ट्रांसफाइनाइट लोअर सेंट्रल सीरीज़ और अपर सेंट्रल सीरीज़। अन्य पूरी तरह से क्रमबद्ध समूह शायद ही कभी उपसमूह श्रृंखला के अनुक्रमण सेट के रूप में उत्पन्न होते हैं। उदाहरण के लिए, कोई भी परिभाषित कर सकता है लेकिन शायद ही कभी स्वाभाविक रूप से होने वाली द्वि-अनंत उपसमूह श्रृंखला (पूर्णांक द्वारा अनुक्रमित श्रृंखला) देखता हैः श्रृंखला की तुलना एक श्रृंखला का परिष्करण एक और श्रृंखला है जिसमें मूल श्रृंखला के प्रत्येक शब्द होते हैं। दो उप-सामान्य श्रृंखलाओं को समतुल्य या समरूप कहा जाता है यदि उनके कारक समूहों के सेटों के बीच एक द्विभाजन होता है जैसे कि संबंधित कारक समूह समरूप होते हैं। परिष्करण समतुल्यता तक श्रृंखला पर एक आंशिक क्रम देता है, और वे एक जाली बनाते हैं, जबकि उप-सामान्य श्रृंखला और सामान्य श्रृंखला उप-जाली बनाते हैं। दो उप-सामान्य श्रृंखलाओं के सर्वोच्चता का अस्तित्व श्रेयर परिष्करण प्रमेय है। विशेष रुचि के बिना पुनरावृत्ति के अधिकतम श्रृंखलाएँ हैं। उदाहरण अधिकतम श्रृंखला एक रचना श्रृंखला एक अधिकतम उप-सामान्य श्रृंखला है। समान रूप से, एक उप-सामान्य श्रृंखला जिसके लिए प्रत्येक एआई, एआई + 1 का अधिकतम सामान्य उपसमूह है। समान रूप से, एक रचना श्रृंखला एक उप-सामान्य श्रृंखला है जिसके लिए प्रत्येक कारक समूह सरल हैं। एक मुख्य श्रृंखला एक अधिकतम सामान्य श्रृंखला है। एक घुलनशील समूह, या घुलनशील समूह, एक उप-सामान्य श्रृंखला वाला समूह है जिसके सभी कारक समूह अबेलियन हैं। एक निलपोटेन्ट श्रृंखला एक उप-सामान्य श्रृंखला है जैसे कि क्रमिक भागांक निलपोटेन्ट होते हैं। एक निलपोटेन्ट श्रृंखला तभी मौजूद होती है जब समूह हल करने योग्य हो। एक केंद्रीय श्रृंखला एक उप-सामान्य श्रृंखला है जिसमें क्रमिक भागांक केंद्रीय होते हैं, अर्थात। उपरोक्त श्रृंखला को देखते हुए, के लिए। एक केंद्रीय श्रृंखला तभी मौजूद होती है जब समूह नीलपोटेन्ट हो। कार्यात्मक श्रृंखला कुछ उपसमूह श्रृंखलाओं को कार्यात्मक रूप से परिभाषित किया जाता है, उपसमूहों जैसे केंद्र और संचालन जैसे कम्यूटेटर के संदर्भ में। इनमें शामिल हैंः निम्न केंद्रीय श्रृंखला उच्च केंद्रीय श्रृंखला व्युत्पन्न श्रृंखला निम्न उपयुक्त श्रृंखला उच्च उपयुक्त श्रृंखला पी-श्रृंखला प्राइम पावर ऑर्डर या प्राइम पावर इंडेक्स के उपसमूहों से आने वाली श्रृंखलाएं हैं, जो सायलो उपसमूहों जैसे विचारों से संबंधित हैं। निचला पी-श्रृंखला ऊपरी पी-श्रृंखला संदर्भ