Coplanarity
ज्यामिति में, अंतरिक्ष में बिंदुओं का एक समूह सह-ग्रह है यदि एक ज्यामितीय तल मौजूद है जिसमें वे सभी शामिल हैं। उदाहरण के लिए, तीन बिंदु हमेशा सह-समतल होते हैं, और यदि बिंदु अलग और गैर-समरेखीय होते हैं, तो वे जो तल निर्धारित करते हैं वह अद्वितीय होता है। हालांकि, चार या अधिक विशिष्ट बिंदुओं का एक समूह, सामान्य रूप से, एक ही तल में नहीं होगा। त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो रेखाएँ सह-ग्रह हैं यदि कोई समतल है जिसमें वे दोनों शामिल हैं। यह तब होता है जब रेखाएँ समानांतर होती हैं, या जब वे एक दूसरे को काटती हैं। दो रेखाएँ जो कोप्लानर नहीं हैं, उन्हें तिरछी रेखाएँ कहा जाता है। दूरी ज्यामिति यह निर्धारित करने की समस्या के लिए एक समाधान तकनीक प्रदान करती है कि क्या बिंदुओं का एक समूह सह-ग्रह है, केवल उनके बीच की दूरी को जानते हुए। त्रि-आयामी स्थान में, एक ही प्रारंभिक बिंदु वाले दो रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर उस बिंदु के माध्यम से एक तल निर्धारित करते हैं। उनका क्रॉस उत्पाद उस तल के लिए एक सामान्य सदिश है, और प्रारंभिक बिंदु के माध्यम से इस क्रॉस उत्पाद के लिए कोई भी सदिश ऑर्थोगोनल तल में होगा। यह एक स्केलर ट्रिपल उत्पाद का उपयोग करके निम्नलिखित सह-ग्रहता परीक्षण की ओर ले जाता हैः चार अलग-अलग बिंदु, सह-ग्रह हैं यदि और केवल यदि, जो इसके बराबर भी है यदि तीन वैक्टर सह-ग्रह हैं, तो यदि (यानी, और ऑर्थोगोनल हैं) तो जहां की दिशा में इकाई वेक्टर को दर्शाता है। अर्थात्, चालू और चालू के वेक्टर अनुमान मूल देने के लिए जोड़ते हैं। चूंकि तीन या उससे कम बिंदु हमेशा सह-समतलीय होते हैं, इसलिए जब बिंदुओं का एक समूह सह-समतलीय होता है तो यह निर्धारित करने की समस्या आम तौर पर केवल तभी दिलचस्प होती है जब इसमें कम से कम चार बिंदु शामिल होते हैं। इस मामले में कि ठीक चार बिंदु हैं, कई तदर्थ विधियों का उपयोग किया जा सकता है, लेकिन एक सामान्य विधि जो किसी भी संख्या में बिंदुओं के लिए काम करती है, वेक्टर विधियों और उस गुण का उपयोग करती है कि एक तल दो रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर द्वारा निर्धारित किया जाता है। एक आयामी स्थान में जहां, बिंदुओं का एक समूह सह-समतलीय होता है यदि और केवल तभी जब उनके सापेक्ष अंतरों का मैट्रिक्स, यानी वह मैट्रिक्स जिसके कॉलम (या पंक्तियाँ) वैक्टर हैं, रैंक 2 या उससे कम का होता है। उदाहरण के लिए, चार अंक दिए गए हैं यदि मैट्रिक्स रैंक 2 या उससे कम का है, तो चार अंक कोप्लानर हैं। एक समतल के विशेष मामले में जिसमें मूल होता है, गुण को निम्नलिखित तरीके से सरल बनाया जा सकता हैः बिंदुओं का एक समूह और मूल कोप्लानर होते हैं यदि और केवल तभी जब बिंदुओं के निर्देशांक का मैट्रिक्स रैंक 2 या उससे कम का हो। ज्यामितीय आकृतियाँ एक तिरछा बहुभुज एक बहुभुज है जिसके शीर्ष सह-समतल नहीं होते हैं। इस तरह के बहुभुज में कम से कम चार शीर्ष होने चाहिए; कोई तिरछा त्रिकोण नहीं हैं। एक पॉलीहेड्रॉन जिसमें सकारात्मक आयतन होता है, उसके शीर्ष होते हैं जो सभी सह-समतल नहीं होते हैं। आपतन संदर्भों का समरेखीय विमान भी देखें बाहरी लिंक विमान (ज्यामिति)