Solution concept
खेल सिद्धांत में, एक समाधान अवधारणा यह भविष्यवाणी करने के लिए एक औपचारिक नियम है कि एक खेल कैसे खेला जाएगा। इन भविष्यवाणियों को "समाधान" कहा जाता है, और यह वर्णन करते हैं कि खिलाड़ियों द्वारा कौन सी रणनीतियाँ अपनाई जाएंगी और इसलिए, खेल का परिणाम। सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली समाधान अवधारणाएँ संतुलन अवधारणाएँ हैं, सबसे प्रसिद्ध नैश संतुलन। कई खेलों के लिए कई समाधान अवधारणाओं का परिणाम एक से अधिक समाधानों में होगा। यह किसी भी समाधान को संदेह में डालता है, इसलिए एक खेल सिद्धांतकार समाधानों को कम करने के लिए एक परिष्करण लागू कर सकता है। निम्नलिखित में प्रस्तुत प्रत्येक क्रमिक समाधान अवधारणा समृद्ध खेलों में अविश्वसनीय संतुलन को समाप्त करके अपने पूर्ववर्ती में सुधार करती है। औपचारिक परिभाषा सभी खेलों का वर्ग होने दें और प्रत्येक खेल के लिए, रणनीति प्रोफाइल का सेट होने दें। एक समाधान अवधारणा प्रत्यक्ष उत्पाद का एक तत्व है, अर्थात, एक ऐसा कार्य जो सभी तर्कसंगतता और पुनरावृत्त प्रभुत्व के लिए इस समाधान अवधारणा में, खिलाड़ियों को तर्कसंगत माना जाता है और इसलिए सख्ती से हावी रणनीतियों को रणनीतियों के सेट से हटा दिया जाता है जिन्हें व्यवहार्य रूप से खेला जा सकता है। एक रणनीति का सख्ती से प्रभुत्व तब होता है जब खिलाड़ी के लिए कुछ अन्य रणनीति उपलब्ध होती है जिसका हमेशा अधिक लाभ होता है, चाहे अन्य खिलाड़ी जो भी रणनीति चुनें। (मिनीमैक्स गेम-ट्री खोज में सख्ती से हावी रणनीतियाँ भी महत्वपूर्ण हैं।) उदाहरण के लिए, (एकल अवधि) कैदियों की दुविधा में (नीचे दिखाया गया है), सहयोग दोनों खिलाड़ियों के लिए दोष द्वारा सख्ती से हावी है क्योंकि कोई भी खिलाड़ी हमेशा दोष खेलने से बेहतर होता है, चाहे उसका प्रतिद्वंद्वी कुछ भी करे। नैश संतुलन एक नैश संतुलन एक रणनीति प्रोफ़ाइल है (एक रणनीति प्रोफ़ाइल प्रत्येक खिलाड़ी के लिए एक रणनीति निर्दिष्ट करती है, जैसे। उपरोक्त कैदियों के दुविधा खेल (सहयोग, दोष) में निर्दिष्ट किया गया है कि कैदी 1 सहयोग करता है और कैदी 2 दोष खेलता है) जिसमें प्रत्येक रणनीति प्रत्येक अन्य रणनीति के लिए एक सर्वोत्तम प्रतिक्रिया है। एक खिलाड़ी द्वारा एक रणनीति दूसरे खिलाड़ी की रणनीति के लिए एक सबसे अच्छी प्रतिक्रिया है यदि कोई अन्य रणनीति नहीं है जो खेली जा सकती है जो किसी भी स्थिति में अधिक भुगतान करेगी जिसमें दूसरे खिलाड़ी की रणनीति खेली जाती है। कुछ खेलों में, कई नैश संतुलन होते हैं, लेकिन उनमें से सभी यथार्थवादी नहीं होते हैं। गतिशील खेलों में, अवास्तविक नैश संतुलन को समाप्त करने के लिए बैकवर्ड इंडक्शन का उपयोग किया जा सकता है। बैकवर्ड इंडक्शन यह मानता है कि खिलाड़ी तर्कसंगत हैं और अपनी भविष्य की अपेक्षाओं के आधार पर सर्वोत्तम निर्णय लेंगे। यह अविश्वसनीय खतरों को समाप्त करता है, जो ऐसे खतरे हैं जिन्हें एक खिलाड़ी कभी भी ऐसा करने के लिए बुलाए जाने पर पूरा नहीं करेगा। उदाहरण के लिए, एक गतिशील खेल पर विचार करें जिसमें एक मौजूदा फर्म और उद्योग में संभावित प्रवेशकर्ता हो। पदधारी का एकाधिकार है और वह अपनी बाजार हिस्सेदारी बनाए रखना चाहता है। यदि प्रवेशकर्ता प्रवेश करता है, तो पदधारी या तो लड़ सकता है या प्रवेशकर्ता को समायोजित कर सकता है। यदि पदधारी समायोजित करता है, तो प्रवेश करने वाला प्रवेश करेगा और लाभ प्राप्त करेगा। यदि पदधारी लड़ता है, तो यह अपनी कीमतें कम कर देगा, प्रवेश करने वाले को व्यवसाय से बाहर कर देगा (बाहर निकलने की लागत), और अपने स्वयं के मुनाफे को नुकसान पहुंचाएगा। यदि प्रवेशकर्ता प्रवेश करता है तो पदधारी के लिए सबसे अच्छी प्रतिक्रिया समायोजित करना है, और यदि प्रवेशकर्ता प्रवेश करता है तो प्रवेशकर्ता के लिए सबसे अच्छी प्रतिक्रिया प्रवेश करना है। इसके परिणामस्वरूप नैश संतुलन बनता है। हालाँकि, यदि पदधारी लड़ने का विकल्प चुनता है, तो प्रवेश करने वाले के लिए सबसे अच्छी प्रतिक्रिया प्रवेश नहीं करना है। यदि प्रवेशकर्ता प्रवेश नहीं करता है, तो इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि पदधारी क्या करना चाहता है। इसलिए, यदि प्रवेश करने वाला प्रवेश नहीं करता है, तो लड़ाई को पदधारी के लिए सबसे अच्छी प्रतिक्रिया माना जा सकता है, जिसके परिणामस्वरूप एक और नैश संतुलन होता है। हालाँकि, इस दूसरे नैश संतुलन को बैकवर्ड इंडक्शन द्वारा समाप्त किया जा सकता है क्योंकि यह पदधारी से एक अविश्वसनीय खतरे पर निर्भर करता है। जब तक पदधारी निर्णय नोड तक पहुँचता है जहाँ वह लड़ने का विकल्प चुन सकता है, तब तक ऐसा करना अतार्किक होगा क्योंकि प्रवेशकर्ता पहले ही प्रवेश कर चुका होता है। इसलिए, बैकवर्ड इंडक्शन इस अवास्तविक नैश संतुलन को समाप्त कर देता है। यह भी देखें-मौद्रिक नीति सिद्धांत स्टैकलबर्ग प्रतिस्पर्धा सबगेम परिपूर्ण नैश संतुलन पिछड़े प्रेरण का एक सामान्यीकरण सबगेम पूर्णता है। बैकवर्ड इंडक्शन यह मानता है कि भविष्य के सभी खेल तर्कसंगत होंगे। सबगेम परिपूर्ण संतुलन में, प्रत्येक सबगेम में खेलना तर्कसंगत होता है (विशेष रूप से एक नैश संतुलन)। बैकवर्ड इंडक्शन का उपयोग केवल निश्चित लंबाई के (सीमित) खेलों को समाप्त करने में किया जा सकता है और इसे अपूर्ण जानकारी वाले खेलों पर लागू नहीं किया जा सकता है। इन मामलों में, सबगेम पूर्णता का उपयोग किया जा सकता है। ऊपर वर्णित समाप्त नैश संतुलन सबगेम अपूर्ण है क्योंकि यह सबगेम का नैश संतुलन नहीं है जो प्रवेश करने वाले के प्रवेश करने के बाद पहुंचे नोड से शुरू होता है। कभी-कभी सबगेम पूर्णता अनुचित परिणामों पर एक बड़ा पर्याप्त प्रतिबंध नहीं लगाती है। उदाहरण के लिए, चूंकि उप-खेल सूचना सेट के माध्यम से कटौती नहीं कर सकते हैं, इसलिए अपूर्ण जानकारी के खेल में केवल एक उप-खेल हो सकता है-स्वयं-और इसलिए उप-खेल पूर्णता का उपयोग किसी भी नैश संतुलन को खत्म करने के लिए नहीं किया जा सकता है। एक परिपूर्ण बायेसियन संतुलन (पी. बी. ई.) खिलाड़ियों की रणनीतियों और विश्वासों का एक विनिर्देश है जिसके बारे में खेल के खेल द्वारा सूचना सेट में नोड तक पहुंचा गया है। एक निर्णय नोड के बारे में एक विश्वास यह संभावना है कि एक विशेष खिलाड़ी सोचता है कि नोड खेल में है या होगा (संतुलन पथ पर)। विशेष रूप से, पी. बी. ई. का अंतर्ज्ञान यह है कि यह खिलाड़ी की रणनीतियों को निर्दिष्ट करता है जो खिलाड़ी के विश्वासों को देखते हुए तर्कसंगत हैं और यह जो विश्वास निर्दिष्ट करता है वह निर्दिष्ट रणनीतियों के अनुरूप है। बायेसियन खेल में एक रणनीति यह निर्धारित करती है कि एक खिलाड़ी उस खिलाड़ी द्वारा नियंत्रित प्रत्येक सूचना सेट पर क्या खेलता है। यह आवश्यकता कि विश्वास रणनीतियों के अनुरूप हैं, कुछ ऐसा है जो सबगेम पूर्णता द्वारा निर्दिष्ट नहीं है। इसलिए, पी. बी. ई. खिलाड़ियों के विश्वासों पर एक निरंतरता की शर्त है। जिस तरह नैश संतुलन में किसी भी खिलाड़ी की रणनीति पर सख्ती से हावी नहीं होता है, उसी तरह पी. बी. ई. में किसी भी जानकारी सेट के लिए किसी भी खिलाड़ी की रणनीति पर सख्ती से हावी नहीं होता है। अर्थात्, प्रत्येक विश्वास के लिए कि खिलाड़ी उस सूचना सेट पर पकड़ सकता है, ऐसी कोई रणनीति नहीं है जो उस खिलाड़ी के लिए अधिक अपेक्षित भुगतान प्रदान करे। उपरोक्त समाधान अवधारणाओं के विपरीत, किसी भी खिलाड़ी की रणनीति पर किसी भी सूचना सेट की शुरुआत में सख्ती से हावी नहीं होता है, भले ही वह संतुलन पथ से बाहर हो। इस प्रकार पी. बी. ई. में, खिलाड़ी ऐसी रणनीतियों को खेलने की धमकी नहीं दे सकते हैं जो संतुलन पथ से शुरू होने वाली किसी भी जानकारी पर सख्ती से हावी हों। इस समाधान अवधारणा के नाम पर बायेसियन इस तथ्य की ओर इशारा करता है कि खिलाड़ी बेयस के प्रमेय के अनुसार अपने विश्वासों को अद्यतन करते हैं। वे संभावनाओं की गणना करते हैं कि खेल में पहले से क्या हो चुका है। फॉरवर्ड इंडक्शन को इसलिए कहा जाता है क्योंकि जिस तरह बैकवर्ड इंडक्शन मानता है कि भविष्य का खेल तर्कसंगत होगा, उसी तरह फॉरवर्ड इंडक्शन मानता है कि पिछला खेल तर्कसंगत था। जहाँ एक खिलाड़ी को यह नहीं पता होता है कि दूसरा खिलाड़ी किस प्रकार का है (अर्थात। अपूर्ण और असममित जानकारी है), वह खिलाड़ी उस खिलाड़ी के पिछले कार्यों को देखकर यह विश्वास कर सकता है कि वह खिलाड़ी किस प्रकार का है। इसलिए उस खिलाड़ी द्वारा बनाया गया विश्वास कि प्रतिद्वंद्वी के एक निश्चित प्रकार होने की संभावना उस प्रतिद्वंद्वी के पिछले खेल के तर्कसंगत होने पर आधारित है। एक खिलाड़ी अपने कार्यों के माध्यम से अपने प्रकार का संकेत देने का विकल्प चुन सकता है। कोहलबर्ग और मर्टेंस (1986) ने स्थिर संतुलन की समाधान अवधारणा पेश की, एक परिष्करण जो आगे के प्रेरण को संतुष्ट करता है। एक प्रति-उदाहरण पाया गया जहां इस तरह का एक स्थिर संतुलन पिछड़े प्रेरण को संतुष्ट नहीं करता था। समस्या को हल करने के लिए जीन-फ्रैंकोइस मर्टेंस ने पेश किया जिसे खेल सिद्धांतकार अब मर्टेंस-स्थिर संतुलन अवधारणा कहते हैं, शायद पहली समाधान अवधारणा जो आगे और पीछे दोनों प्रेरण को संतुष्ट करती है। फॉरवर्ड इंडक्शन जलते हुए पैसे के खेल के लिए एक अनूठा समाधान देता है। यह भी देखें व्यापक रूप का खेल हाथ संतुलन कांपना "अंतर्ज्ञानी मानदंड" संदर्भ हरसनी, जे। 1973. संतुलन बिंदुओं की संख्या की विषमताः एक नया प्रमाण। इंटरनेशनल जर्नल ऑफ गेम थ्योरी 2:235-250। गोविंदन, श्रीहरि और रॉबर्ट विल्सन, 2008। "रिफाइनमेंट्स ऑफ नैश इक्विलिब्रियम", द 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