Local boundedness
गणित में, एक फलन स्थानीय रूप से बंधा होता है यदि वह प्रत्येक बिंदु के आसपास बंधा होता है। फलन का एक परिवार स्थानीय रूप से बंधा होता है यदि उनके क्षेत्र में किसी भी बिंदु के लिए सभी फलन उस बिंदु के आसपास और एक ही संख्या से बंधे होते हैं। स्थानीय रूप से बंधे हुए फलन किसी टोपोलॉजिकल स्थान पर परिभाषित एक वास्तविक-मूल्य या जटिल-मूल्य वाले फलन को a कहा जाता है यदि किसी के लिए ऐसा कोई पड़ोस मौजूद है जो एक बंधा हुआ समुच्चय है। दूसरे शब्दों में, प्रत्येक के लिए एक स्थिरांक मिल सकता है, जो इस बात पर निर्भर करता है कि एक बाउंडेड फ़ंक्शन के साथ इसकी तुलना करने के पड़ोस में फ़ंक्शन के सभी मूल्यों से बड़ा है, जिसके लिए स्थिरांक स्पष्ट रूप से निर्भर नहीं करता है, यदि कोई फ़ंक्शन बाउंडेड है तो यह स्थानीय रूप से बाउंडेड है। इसके विपरीत सामान्य रूप से सच नहीं है (नीचे देखें)। इस परिभाषा को उस मामले तक बढ़ाया जा सकता है जब कुछ मीट्रिक स्थान में मान लिए जाते हैं तो उपरोक्त असमानता को मीट्रिक स्थान में कुछ बिंदु के साथ प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता होती है। का चयन परिभाषा को प्रभावित नहीं करता है; एक अलग इच्छा को चुनने से अधिक से अधिक उस स्थिरांक में वृद्धि होती है जिसके लिए यह असमानता सही है। उदाहरण द्वारा परिभाषित फलन बंधा हुआ है, क्योंकि सभी के लिए इसलिए, यह स्थानीय रूप से भी बंधा हुआ है। द्वारा परिभाषित कार्य बाध्य है, क्योंकि यह मनमाने ढंग से बड़ा हो जाता है। हालाँकि, यह स्थानीय रूप से बंधा हुआ है क्योंकि पड़ोस में प्रत्येक के लिए जहाँ द्वारा परिभाषित कार्य न तो स्थानीय रूप से बंधा हुआ है। 0 के किसी भी पड़ोस में यह फलन मनमाने ढंग से बड़े परिमाण के मान लेता है। कोई भी निरंतर कार्य स्थानीय रूप से बंधा होता है। यहाँ एक वास्तविक चर के कार्यों के लिए एक प्रमाण है। निरंतरता की परिभाषा में ε = 1 लेते हुए, ऐसा मौजूद है जो सभी के लिए है। अब त्रिभुज असमानता से, जिसका अर्थ है कि यह स्थानीय रूप से (लेना और पड़ोस) से घिरा हुआ है। यह तर्क आसानी से सामान्यीकृत हो जाता है जब किसी भी टोपोलॉजिकल स्थान का क्षेत्र होता है। उपरोक्त परिणाम का विपरीत हालांकि सही नहीं है; अर्थात, एक असंतत फलन स्थानीय रूप से बाध्य हो सकता है। फिर 0 पर असंतत है लेकिन स्थानीय रूप से बंधा हुआ है; यह शून्य के अलावा स्थानीय रूप से स्थिर है, जहां हम ले सकते हैं और उदाहरण के लिए पड़ोस। स्थानीय रूप से बंधा हुआ परिवार किसी स्थलवैज्ञानिक स्थान पर परिभाषित वास्तविक-मूल्य या जटिल-मूल्य वाले कार्यों के एक समूह (जिसे परिवार भी कहा जाता है) U को स्थानीय रूप से बंधा हुआ कहा जाता है यदि किसी के लिए एक पड़ोस और एक सकारात्मक संख्या मौजूद है जो सभी के लिए और दूसरे शब्दों में, परिवार में सभी कार्यों को स्थानीय रूप से बंधा होना चाहिए, और प्रत्येक बिंदु के आसपास उन्हें एक ही स्थिरांक से बंधा होना चाहिए। इस परिभाषा को उस मामले में भी बढ़ाया जा सकता है जब U परिवार में कार्य कुछ मीट्रिक स्थान में मान लेते हैं, फिर से दूरी कार्य के साथ निरपेक्ष मूल्य को प्रतिस्थापित करके। उदाहरण कार्यों का परिवार जहां स्थानीय रूप से बंधा हुआ है। वास्तव में, यदि एक वास्तविक संख्या है, तो कोई भी अंतराल के रूप में पड़ोस का चयन कर सकता है फिर इस अंतराल में सभी के लिए और सभी के लिए एक के साथ है इसके अलावा, परिवार समान रूप से बंधा हुआ है, क्योंकि न तो पड़ोस और न ही स्थिरांक सूचकांक पर निर्भर करता है। किसी के लिए भी पड़ोस को स्वयं चुन सकते हैं। फिर हमारे पास नोट है कि का मान x0 या उसके पड़ोस की पसंद पर निर्भर नहीं करता है यह परिवार तब न केवल स्थानीय रूप से बंधा होता है, बल्कि यह समान रूप से बंधा भी होता है। कार्यों का परिवार स्थानीय रूप से बंधा हुआ है। वास्तव में, किसी के लिए भी मूल्यों को सीमित नहीं किया जा सकता है जैसा कि अनंत की ओर जाता है। टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस स्थानीय सीमा भी टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस के एक गुण को संदर्भित कर सकती है, या एक टोपोलॉजिकल स्पेस से एक टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस (टीवीएस) में कार्यों को संदर्भित कर सकती है। स्थानीय रूप से बंधे स्थलाकृतिक सदिश स्थान एक स्थलाकृतिक सदिश स्थान (टीवीएस) के एक उपसमुच्चय को बंधे हुए कहा जाता है यदि वहाँ मूल के प्रत्येक पड़ोस के लिए एक वास्तविक संख्या मौजूद है जैसे कि ए एक टीवीएस है जिसमें मूल का एक बंधा हुआ पड़ोस है। कोल्मोगोरोव के मानक मानदंड के अनुसार, यह स्थानीय रूप से उत्तल स्थान के बारे में सच है यदि और केवल तभी जब टीवीएस की टोपोलॉजी किसी सेमिनोर्म द्वारा प्रेरित हो। विशेष रूप से, प्रत्येक स्थानीय रूप से बंधा हुआ टीवीएस स्थानीय रूप से उत्तल और छद्ममापी है। स्थानीय रूप से बंधे हुए कार्य टोपोलॉजिकल वेक्टर रिक्त स्थान के बीच एक फ़ंक्शन को स्थानीय रूप से बंधा हुआ फ़ंक्शन कहा जाता है यदि प्रत्येक बिंदु का एक पड़ोस होता है जिसकी छवि नीचे बंधी होती है। निम्नलिखित प्रमेय कार्यों की स्थानीय सीमा को टोपोलॉजिकल वेक्टर रिक्त स्थान की स्थानीय सीमा से संबंधित करता हैः प्रमेय। एक स्थलवैज्ञानिक वेक्टर स्थान स्थानीय रूप से तब सीमित होता है जब पहचान मानचित्र स्थानीय रूप से सीमित होता है। निरंतर कार्यों के कार्यात्मक विश्लेषण गणितीय विश्लेषण के लिए स्थानीय रूप से सीमित श्रेणी सिद्धांत के लिए स्थानीय रूप से सीमित एन. एल. ए. बी. प्रविष्टि के लिए बाहरी लिंक प्लैनेटमैथ प्रविष्टि भी देखें।