Perfect Bayesian equilibrium
खेल सिद्धांत में, एक पूर्ण बायेसियन संतुलन (पी. बी. ई.) अपूर्ण जानकारी के साथ एक बारी-आधारित खेल के लिए बायेसियन संभावना के साथ एक समाधान है। अधिक विशेष रूप से, यह एक संतुलन अवधारणा है जो अधूरी जानकारी के साथ गतिशील खेलों में खिलाड़ी के व्यवहार का वर्णन करने के लिए बायेसियन अद्यतन का उपयोग करती है। परफेक्ट बायेसियन इक्विलिब्रिया का उपयोग उन खेलों के परिणाम को हल करने के लिए किया जाता है जहां खिलाड़ी बारी-बारी से खेलते हैं लेकिन अपने प्रतिद्वंद्वी के "प्रकार" के बारे में अनिश्चित होते हैं, जो तब होता है जब खिलाड़ी व्यक्तिगत चालों के बीच अपने प्रतिद्वंद्वी की पसंद को नहीं जानते हैं। प्रकारों के साथ एक गतिशील खेल का एक उत्कृष्ट उदाहरण एक युद्ध खेल है जिसमें खिलाड़ी को यकीन नहीं होता है कि उनका प्रतिद्वंद्वी जोखिम लेने वाला "बाज" प्रकार है या एक शांतिवादी "कबूतर" प्रकार है। परफेक्ट बायेसियन इक्विलिब्रिया बायेसियन नैश इक्विलिब्रियम (बी. एन. ई.) का एक परिष्करण है, जो गैर-मोड़-आधारित खेलों के लिए बायेसियन संभावना के साथ एक समाधान अवधारणा है। किसी भी परिपूर्ण बायेसियन संतुलन के दो घटक होते हैं-रणनीतियाँ और विश्वासः किसी दिए गए सूचना समूह में एक खिलाड़ी की रणनीति उस सूचना समूह में उसकी कार्रवाई की पसंद को निर्दिष्ट करती है, जो इतिहास (खेल में पहले की गई कार्रवाइयों पर) पर निर्भर हो सकती है। यह एक क्रमिक खेल के समान है। किसी दिए गए सूचना समूह में एक खिलाड़ी का विश्वास यह निर्धारित करता है कि उस सूचना समूह में कौन सा नोड है जो वह मानता है कि खेल पहुँच गया है। विश्वास सूचना सेट में नोड्स पर एक संभावना वितरण हो सकता है, और आम तौर पर अन्य खिलाड़ियों के संभावित प्रकारों पर एक संभावना वितरण है। औपचारिक रूप से, एक विश्वास प्रणाली खेल में प्रत्येक नोड के लिए संभावनाओं का एक असाइनमेंट है जैसे कि किसी भी सूचना सेट में संभावनाओं का योग 1 है। रणनीतियों और मान्यताओं को निम्नलिखित शर्तों को भी पूरा करना चाहिएः क्रमिक तर्कसंगतताः मान्यताओं को देखते हुए प्रत्येक रणनीति अपेक्षा में इष्टतम होनी चाहिए। निरंतरताः प्रत्येक विश्वास को संतुलन रणनीतियों, देखे गए कार्यों और सकारात्मक संभावना के साथ संतुलन में पहुंचे प्रत्येक मार्ग पर बेयस के नियम के अनुसार अद्यतन किया जाना चाहिए। शून्य संभाव्यता के मार्गों पर, जिन्हें असंतुलन पथ के रूप में जाना जाता है, मान्यताओं को निर्दिष्ट किया जाना चाहिए लेकिन मनमाना हो सकता है। एक पूर्ण बायेसियन संतुलन हमेशा एक नैश संतुलन होता है। पूर्ण बायेसियन संतुलन उपहार खेल 1 के उदाहरण निम्नलिखित खेल पर विचार करेंः प्रेषक के दो संभावित प्रकार हैंः या तो एक "मित्र" (संभावना के साथ) या एक "शत्रु" (संभावना के साथ)। प्रत्येक प्रकार की दो रणनीतियाँ होती हैंः या तो उपहार दें या न दें। प्राप्तकर्ता के पास केवल एक प्रकार और दो रणनीतियाँ होती हैंः या तो उपहार स्वीकार करें, या इसे अस्वीकार करें। प्रेषक की उपयोगिता 1 है यदि उसका उपहार स्वीकार कर लिया जाता है,-1 यदि उसका उपहार अस्वीकार कर दिया जाता है, और 0 यदि वह कोई उपहार नहीं देता है। प्राप्तकर्ता की उपयोगिता इस बात पर निर्भर करती है कि उपहार कौन देता हैः यदि प्रेषक एक मित्र है, तो प्राप्तकर्ता की उपयोगिता 1 (यदि वह स्वीकार करता है) या 0 (यदि वह अस्वीकार करता है) है। यदि प्रेषक शत्रु है, तो प्राप्तकर्ता की उपयोगिता-1 (यदि वह स्वीकार करता है) या 0 (यदि वह अस्वीकार करता है) है। संतुलन 1 के किसी भी मूल्य के लिए, एक पूलिंग संतुलन मौजूद है जिसमें दोनों प्रकार के प्रेषक एक ही क्रिया का चयन करते हैंः संतुलन 1। प्रेषकः न दें, चाहे वह मित्र प्रकार का हो या शत्रु प्रकार का। प्राप्तकर्ताः इस विश्वास के साथ स्वीकार न करें कि प्रोब (Friend|Not दें) = पी और प्रोब (Friend|Give) = एक्स, एक मूल्य चुनना प्रेषक भेजने और स्वीकार न किए जाने से-1 के भुगतान को न देने से 0 के भुगतान को पसंद करता है। इस प्रकार, संतुलन में देने की संभावना शून्य है और बेयस का नियम प्रोब (Friend|Give) के विश्वास को बिल्कुल भी प्रतिबंधित नहीं करता है। यह विश्वास इतना निराशावादी होना चाहिए कि प्राप्तकर्ता स्वीकार करने से अपेक्षित भुगतान के लिए उपहार को अस्वीकार करने से 0 के भुगतान को पसंद करता है, इसलिए आवश्यकता है कि प्राप्तकर्ता की रणनीति अपने अपेक्षित भुगतान को अधिकतम करे क्योंकि उसकी मान्यताओं को देखते हुए प्रोब (Friend|Give) आवश्यक है दूसरी ओर, प्रोब (Friend|Not देना) = p बेयस के नियम द्वारा आवश्यक है, क्योंकि दोनों प्रकार उस कार्रवाई को करते हैं और यह प्रेषक के प्रकार के बारे में सूचनात्मक नहीं है। यदि, एक दूसरा पूलिंग संतुलन मौजूद है और साथ ही संतुलन 1, विभिन्न मान्यताओं पर आधारित हैः संतुलन 2। प्रेषकः दें, चाहे वह मित्र प्रकार का हो या शत्रु प्रकार का। प्राप्तकर्ताः इस विश्वास के साथ स्वीकार करें कि प्रोब (Friend|Give) = p और प्रोब (Friend|Not देना) = x, भेजने वाले के लिए कोई भी मूल्य चुनना 1 के भुगतान को पसंद करता है, न देने से 0 के भुगतान को, यह उम्मीद करते हुए कि उसका उपहार स्वीकार किया जाएगा। संतुलन में, बेयस के नियम के लिए प्राप्तकर्ता को प्रोब (Friend|Give) = p पर विश्वास करने की आवश्यकता होती है, क्योंकि दोनों प्रकार उस कार्रवाई को करते हैं और यह इस संतुलन में प्रेषक के प्रकार के बारे में सूचनात्मक नहीं है। संतुलन से बाहर का विश्वास कोई मायने नहीं रखता है, क्योंकि प्रेषक 'नोट' से विचलित नहीं होना चाहेगा, चाहे प्राप्तकर्ता की कोई भी प्रतिक्रिया क्यों न हो। संतुलन 1 विकृत है यदि खेल में ऐसा हो सकता है कि प्रेषक एक दोस्त है, लेकिन प्राप्तकर्ता फिर भी किसी भी उपहार को अस्वीकार कर देगा क्योंकि वह सोचता है कि दोस्तों की तुलना में दुश्मनों के उपहार देने की अधिक संभावना है। इससे पता चलता है कि कैसे निराशावादी विश्वासों के परिणामस्वरूप दोनों खिलाड़ियों के लिए एक संतुलन खराब हो सकता है, जो कि पेरेटो कुशल नहीं है। हालाँकि, ये मान्यताएँ अवास्तविक लगती हैं, और खेल सिद्धांतकार अक्सर कुछ परिपूर्ण बायेसियन संतुलन को अविश्वसनीय के रूप में अस्वीकार करने के लिए तैयार होते हैं। इक्विलिब्रिया 1 और 2 एकमात्र संतुलन हैं जो मौजूद हो सकते हैं, लेकिन हम दो संभावित अलग करने वाले संतुलन की भी जांच कर सकते हैं, जिसमें दो प्रकार के प्रेषक अलग-अलग क्रियाओं का चयन करते हैं, और देखते हैं कि वे पूर्ण बायेसियन संतुलन के रूप में क्यों मौजूद नहीं हैंः मान लीजिए कि प्रेषक की रणनीति हैः यदि कोई मित्र है तो दें, यदि कोई दुश्मन है तो न दें। प्राप्तकर्ता के विश्वासों को तदनुसार अद्यतन किया जाता हैः यदि वह कोई उपहार प्राप्त करता है, तो वह मानता है कि प्रेषक एक मित्र है; अन्यथा, वह मानता है कि प्रेषक एक दुश्मन है। इस प्रकार, प्राप्तकर्ता स्वीकृति के साथ जवाब देगा। यदि प्राप्तकर्ता स्वीकार करना चुनता है, हालांकि, दुश्मन प्रेषक अपने भुगतान को 0 से 1 तक बढ़ाने के लिए देने के लिए विचलित हो जाएगा, इसलिए यह एक संतुलन नहीं हो सकता है। मान लीजिए कि भेजने वाले की रणनीति हैः अगर कोई दोस्त है तो मत दीजिए, अगर कोई दुश्मन है तो दीजिए। प्राप्तकर्ता के विश्वासों को तदनुसार अद्यतन किया जाता हैः यदि वह कोई उपहार प्राप्त करता है, तो वह मानता है कि प्रेषक एक दुश्मन है; अन्यथा, वह मानता है कि प्रेषक एक दोस्त है। प्राप्तकर्ता की सबसे अच्छी प्रतिक्रिया रणनीति अस्वीकार करना है। यदि प्राप्तकर्ता अस्वीकार करने का विकल्प चुनता है, हालांकि, दुश्मन प्रेषक अपने भुगतान को-1 से 0 तक बढ़ाने के लिए डो नॉट गिव में बदल जाएगा, इसलिए यह एक संतुलन नहीं हो सकता है। हम निष्कर्ष निकालते हैं कि इस खेल में कोई अलग संतुलन नहीं है। उपहार खेल 2 निम्नलिखित उदाहरण में, पी. बी. ई. का समूह एस. पी. ई. और बी. एन. ई. के समूह की तुलना में कड़ाई से छोटा है। यह उपरोक्त उपहार-खेल का एक प्रकार है, जिसमें प्राप्तकर्ता की उपयोगिता में निम्नलिखित परिवर्तन होता हैः यदि प्रेषक एक मित्र है, तो प्राप्तकर्ता की उपयोगिता 1 (यदि वे स्वीकार करते हैं) या 0 (यदि वे अस्वीकार करते हैं) है। यदि प्रेषक दुश्मन है, तो प्राप्तकर्ता की उपयोगिता 0 (यदि वे स्वीकार करते हैं) या-1 (यदि वे अस्वीकार करते हैं) है। ध्यान दें कि इस संस्करण में, स्वीकार करना प्राप्तकर्ता के लिए एक कमजोर रूप से प्रमुख रणनीति है। इसी तरह उदाहरण 1 के लिए, कोई अलग संतुलन नहीं है। आइए निम्नलिखित संभावित पूलिंग संतुलन को देखें-भेजने वाले की रणनीति हैः हमेशा दें। प्राप्तकर्ता की मान्यताओं को अद्यतन नहीं किया जाता हैः वे अभी भी ए-प्रायोरी संभावना में विश्वास करते हैं, कि प्रेषक संभावना के साथ एक दोस्त और संभावना के साथ एक दुश्मन है। स्वीकार करने से उनका भुगतान हमेशा अस्वीकार करने की तुलना में अधिक होता है, इसलिए वे स्वीकार करते हैं (मूल्य की परवाह किए बिना)। यह एक पी. बी. ई. है-यह प्रेषक और प्राप्तकर्ता दोनों के लिए एक सर्वोत्तम प्रतिक्रिया है। भेजने वाले की रणनीति हैः कभी न दें। मान लीजिए कि उपहार प्राप्त करते समय प्राप्तकर्ता का विश्वास है कि प्रेषक संभावना के साथ एक मित्र है, जहाँ कोई भी संख्या है। चाहे जो भी हो, प्राप्तकर्ता की इष्टतम रणनीति हैः स्वीकार करें। यह पी. बी. ई. नहीं है, क्योंकि प्रेषक उपहार देकर अपने भुगतान को 0 से 1 तक बढ़ा सकता है। प्रेषक की रणनीति हैः कभी न दें, और प्राप्तकर्ता की रणनीति हैः अस्वीकार करें। यह पी. बी. ई. नहीं है, क्योंकि प्राप्तकर्ता के किसी भी विश्वास के लिए, अस्वीकार करना सबसे अच्छा जवाब नहीं है। ध्यान दें कि विकल्प 3 एक नैश संतुलन है! यदि हम मान्यताओं को नजरअंदाज करते हैं, तो अस्वीकार करना प्राप्तकर्ता के लिए सबसे अच्छा जवाब माना जा सकता है, क्योंकि यह उनके भुगतान को प्रभावित नहीं करता है (क्योंकि वैसे भी कोई उपहार नहीं है)। इसके अलावा, विकल्प 3 भी एक एसपीई है, क्योंकि यहाँ एकमात्र उप-खेल पूरा खेल है! इस तरह का अविश्वसनीय संतुलन पूरी जानकारी वाले खेलों में भी उत्पन्न हो सकता है, लेकिन उन्हें सबगेम परिपूर्ण नैश संतुलन लागू करके समाप्त किया जा सकता है। हालांकि, बायेसियन खेलों में अक्सर गैर-सिंगलटन सूचना सेट होते हैं और चूंकि उप-खेलों में पूरी जानकारी सेट होना चाहिए, इसलिए कभी-कभी केवल एक ही उप-खेल होता है-पूरा खेल-और इसलिए प्रत्येक नैश संतुलन मामूली रूप से उप-खेल परिपूर्ण होता है। यहां तक कि अगर किसी खेल में एक से अधिक उप-खेल होते हैं, तो उप-खेल की पूर्णता की सूचना सेटों को काटने में असमर्थता के परिणामस्वरूप अविश्वसनीय संतुलन समाप्त नहीं हो सकता है। संक्षेप मेंः उपहार खेल के इस संस्करण में, दो एस. पी. ई. हैंः या तो प्रेषक हमेशा देता है और प्राप्तकर्ता हमेशा स्वीकार करता है, या प्रेषक हमेशा नहीं देता है और प्राप्तकर्ता हमेशा अस्वीकार कर देता है। इनमें से केवल पहला पी. बी. ई. है; दूसरा पी. बी. ई. नहीं है क्योंकि इसे किसी भी विश्वास-प्रणाली द्वारा समर्थित नहीं किया जा सकता है। अधिक उदाहरणों के लिए, संकेत game#Examples देखें। अधिक उदाहरणों के लिए भी देखें। बहु-चरणीय खेलों में पी. बी. ई. एक बहु-चरणीय खेल एक के बाद एक खेले जाने वाले एक साथ खेलों का एक क्रम है। ये खेल समान (बार-बार खेले जाने वाले खेलों की तरह) या अलग हो सकते हैं। दोहराए गए सार्वजनिक-अच्छा खेल निम्नलिखित खेल मुक्त-सवार समस्या का एक सरल प्रतिनिधित्व है। दो खिलाड़ी होते हैं, जिनमें से प्रत्येक या तो सार्वजनिक वस्तु का निर्माण कर सकता है या निर्माण नहीं कर सकता है। यदि सार्वजनिक वस्तु का निर्माण किया जाता है तो प्रत्येक खिलाड़ी को 1 लाभ होता है और यदि नहीं तो 0; इसके अलावा, यदि खिलाड़ी सार्वजनिक वस्तु का निर्माण करता है, तो उन्हें इसकी लागत चुकानी पड़ती है। लागत निजी जानकारी है-प्रत्येक खिलाड़ी अपनी लागत जानता है लेकिन दूसरे की लागत नहीं जानता है। यह केवल ज्ञात है कि प्रत्येक लागत कुछ संभाव्यता वितरण से यादृच्छिक रूप से स्वतंत्र रूप से खींची जाती है। यह इस खेल को एक बायेसियन खेल बनाता है। एक चरण के खेल में, प्रत्येक खिलाड़ी अगर-और-केवल-निर्माण करता है यदि उनकी लागत निर्माण से उनके अपेक्षित लाभ से कम है। निर्माण से अपेक्षित लाभ उस संभावना का ठीक 1 गुना है जो दूसरा खिलाड़ी नहीं बनाता है। संतुलन में, प्रत्येक खिलाड़ी के लिए, एक सीमा लागत होती है, जैसे कि खिलाड़ी योगदान देता है यदि-और-केवल-यदि उनकी लागत कम है। इस सीमा लागत की गणना खिलाड़ियों की लागतों के संभाव्यता वितरण के आधार पर की जा सकती है। उदाहरण के लिए, यदि लागतों को समान रूप से वितरित किया जाता है, तो एक सममित संतुलन होता है जिसमें दोनों खिलाड़ियों की सीमा लागत 2/3 होती है। इसका मतलब है कि एक खिलाड़ी जिसकी लागत 2/3 और 1 के बीच है, वह योगदान नहीं करेगा, भले ही उनकी लागत लाभ से कम हो, क्योंकि इस संभावना के कारण कि दूसरा खिलाड़ी योगदान देगा। अब, मान लीजिए कि इस खेल को दो बार दोहराया गया है। दोनों खेल स्वतंत्र होते हैं, यानी, प्रत्येक दिन खिलाड़ी एक साथ तय करते हैं कि उस दिन एक सार्वजनिक वस्तु का निर्माण करना है या नहीं, उस दिन वस्तु का निर्माण होने पर 1 का भुगतान प्राप्त करें, और उस दिन निर्माण होने पर अपनी लागत का भुगतान करें। खेल के बीच एकमात्र संबंध यह है कि, पहले दिन खेलने से, खिलाड़ी अपनी लागत के बारे में कुछ जानकारी प्रकट कर सकते हैं, और यह जानकारी दूसरे दिन के खेल को प्रभावित कर सकती है। हम एक सममित पी. बी. ई. की तलाश में हैं। दिन 1 में दोनों खिलाड़ियों की सीमा लागत से निरूपित करें (इसलिए दिन 1 में, प्रत्येक खिलाड़ी यदि-और-केवल-बनाता है यदि उनकी लागत अधिक से अधिक है)। गणना करने के लिए, हम पीछे की ओर काम करते हैं और दूसरे दिन खिलाड़ियों के कार्यों का विश्लेषण करते हैं। उनके कार्य इतिहास पर निर्भर करते हैं (= दिन 1 में दो कार्य), और तीन विकल्प हैंः दिन 1 में, कोई भी खिलाड़ी नहीं बनाया गया। इसलिए अब दोनों खिलाड़ियों को पता है कि उनके प्रतिद्वंद्वी की कीमत अधिक है। वे तदनुसार अपने विश्वास को अद्यतन करते हैं, और निष्कर्ष निकालते हैं कि दूसरे दिन उनके प्रतिद्वंद्वी के बनने की संभावना कम है। इसलिए, वे अपनी सीमा लागत बढ़ाते हैं, और दिन 2 में सीमा लागत है। पहले दिन, दोनों खिलाड़ियों ने निर्माण किया। इसलिए अब दोनों खिलाड़ियों को पता है कि उनके प्रतिद्वंद्वी की कीमत कम है। वे तदनुसार अपने विश्वास को अद्यतन करते हैं, और निष्कर्ष निकालते हैं कि उनके प्रतिद्वंद्वी के दूसरे दिन में बनने की अधिक संभावना है। इसलिए, वे अपनी सीमा लागत को कम करते हैं, और दिन 2 में सीमा लागत है। दिन 1 में, बिल्कुल एक खिलाड़ी बनाया गया; मान लीजिए कि वह खिलाड़ी 1 है। तो अब, यह ज्ञात है कि खिलाड़ी 1 की लागत कम है और खिलाड़ी 2 की लागत अधिक है। एक संतुलन होता है जिसमें दिन 2 में क्रियाएं दिन 1 में क्रियाओं के समान होती हैं-खिलाड़ी 1 बनाता है और खिलाड़ी 2 नहीं बनाता है। इनमें से प्रत्येक स्थिति में "थ्रेसहोल्ड खिलाड़ी" (सटीक लागत वाला खिलाड़ी) के अपेक्षित भुगतान की गणना करना संभव है। चूंकि थ्रेसहोल्ड खिलाड़ी को योगदान करने और योगदान न करने के बीच उदासीन होना चाहिए, इसलिए दिन-1 की थ्रेसहोल्ड लागत की गणना करना संभव है। यह पता चला है कि यह सीमा एक चरण के खेल में सीमा से कम है। इसका मतलब है कि, दो-चरण वाले खेल में, खिलाड़ी एक-चरण वाले खेल की तुलना में निर्माण करने के लिए कम इच्छुक होते हैं। स्वाभाविक रूप से, इसका कारण यह है कि, जब कोई खिलाड़ी पहले दिन योगदान नहीं देता है, तो वे दूसरे खिलाड़ी को यह विश्वास दिलाते हैं कि उनकी लागत अधिक है, और यह दूसरे खिलाड़ी को दूसरे दिन योगदान करने के लिए अधिक इच्छुक बनाता है। जंप-बिडिंग एक खुली अंग्रेजी नीलामी में, बोलीदाता वर्तमान मूल्य को छोटे चरणों में बढ़ा सकते हैं (जैसे। हर बार $1 में)। हालांकि, अक्सर जंप बोली लगाई जाती है-कुछ बोलीदाता वर्तमान मूल्य को न्यूनतम वृद्धि की तुलना में बहुत अधिक बढ़ाते हैं। इसका एक स्पष्टीकरण यह है कि यह अन्य बोलीदाताओं के लिए एक संकेत के रूप में कार्य करता है। एक पी. बी. ई. है जिसमें प्रत्येक बोलीदाता कूदता है यदि-और-केवल-यदि उनका मूल्य एक निश्चित सीमा से ऊपर है। कूदो bidding#signaling देखें। अनुक्रमिक संतुलन भी देखें-पी. बी. ई. का एक परिष्करण, जो उन मान्यताओं को प्रतिबंधित करता है जिन्हें "उचित" के लिए असंतुलित जानकारी सेट को सौंपा जा सकता है। अंतर्ज्ञानी मानदंड और दिव्य संतुलन-पी. बी. ई. के अन्य परिष्करण, जो संकेत खेल के लिए विशिष्ट हैं। संदर्भ खेल सिद्धांत संतुलन अवधारणाएँ गैर-सहकारी खेल