Omitted-variable bias
सांख्यिकी में, विस्मृत-चर पूर्वाग्रह (ओ. वी. बी.) तब होता है जब एक सांख्यिकीय मॉडल एक या अधिक प्रासंगिक चर को छोड़ देता है। मॉडल में पूर्वाग्रह के परिणामस्वरूप लापता चर के प्रभाव को उन लोगों के लिए जिम्मेदार ठहराया जाता है जिन्हें शामिल किया गया था। अधिक विशेष रूप से, ओ. वी. बी. वह पूर्वाग्रह है जो प्रतिगमन विश्लेषण में मापदंडों के अनुमानों में दिखाई देता है, जब अनुमानित विनिर्देश गलत होता है जिसमें यह एक स्वतंत्र चर को छोड़ देता है जो आश्रित चर का निर्धारक है और एक या अधिक शामिल स्वतंत्र चर के साथ सहसंबद्ध है। रैखिक प्रतिगमन अंतर्ज्ञान में मान लीजिए कि वास्तविक कारण और प्रभाव संबंध इस प्रकार दिया गया हैः मापदंडों a, b, c, आश्रित चर y, स्वतंत्र चर x और z, और त्रुटि पद u के साथ। हम y पर x के प्रभाव को जानना चाहते हैं (अर्थात, हम b का अनुमान प्राप्त करना चाहते हैं)। रैखिक प्रतिगमन में मौजूद छोड़े गए-चर पूर्वाग्रह के लिए दो शर्तें सही होनी चाहिएः छोड़े गए चर को आश्रित चर का निर्धारक होना चाहिए (यानी, इसका वास्तविक प्रतिगमन गुणांक शून्य नहीं होना चाहिए); और छोड़े गए चर को प्रतिगमन में निर्दिष्ट एक स्वतंत्र चर के साथ सहसंबद्ध होना चाहिए (यानी, कोव (जेड, एक्स) शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए)। मान लीजिए कि हम प्रतिगमन से z को छोड़ देते हैं, और मान लीजिए कि x और z के बीच का संबंध मापदंडों d, f और त्रुटि पद e के साथ दिया गया है। दूसरे समीकरण को पहले में प्रतिस्थापित करने से पता चलता है कि यदि y का प्रतिगमन केवल x पर किया जाता है, तो यह अंतिम समीकरण वही है जो अनुमानित है, और x पर प्रतिगमन गुणांक वास्तव में (b + cf) का अनुमान है, जो केवल y पर x के वांछित प्रत्यक्ष प्रभाव का अनुमान नहीं देता है (जो b है), बल्कि अप्रत्यक्ष प्रभाव के साथ इसके योग का अनुमान देता है (x पर x का प्रभाव f गुना y पर z का प्रभाव c)। इस प्रकार प्रतिगमन से चर z को हटाकर, हमने x के संबंध में इसके आंशिक व्युत्पन्न के बजाय x के संबंध में y के कुल व्युत्पन्न का अनुमान लगाया है। यदि सी और एफ दोनों गैर-शून्य हैं तो ये भिन्न होते हैं। पूर्वाग्रह की दिशा और विस्तार दोनों सी. एफ. में निहित हैं, क्योंकि वांछित प्रभाव बी है लेकिन प्रतिगमन अनुमान बी + सी. एफ. है। पक्षपात की सीमा सी. एफ. का पूर्ण मूल्य है, और पूर्वाग्रह की दिशा ऊपर की ओर (अधिक सकारात्मक या कम नकारात्मक मूल्य की ओर) है यदि सी. एफ.> 0 (यदि y और z के बीच सहसंबंध की दिशा x और z के बीच की दिशा के समान है), और यह अन्यथा नीचे की ओर है। विस्तृत विश्लेषण एक उदाहरण के रूप में, उस रूप के एक रैखिक मॉडल पर विचार करें जहां xi समय i पर या i वें अध्ययन प्रतिभागी के लिए देखे गए p स्वतंत्र चर के मूल्यों का एक 1 × p पंक्ति सदिश है; β अवलोकन योग्य मापदंडों का एक p × 1 स्तंभ सदिश है (xi में प्रत्येक p स्वतंत्र चर के लिए आश्रित चर के प्रतिक्रिया गुणांक) जिसका अनुमान लगाया जाना चाहिए; zi एक अदिश है और एक अन्य स्वतंत्र चर का मूल्य है जो समय i पर या i वें अध्ययन प्रतिभागी के लिए देखा जाता है; δ एक अदिश मापांक है और एक अवलोकन योग्य मापदंड है (zi पर निर्भर चर का प्रतिक्रिया गुणांक) जिसका अनुमान लगाया जाना है; ui एक अवलोकन योग्य त्रुटि शब्द है जो समय i पर होता है। हम i = 1,., n अभिलिखित सभी चरों के अवलोकनों को एकत्र करते हैं और उन्हें एक दूसरे के नीचे ढेर करते हैं, मैट्रिक्स X और वैक्टर Y, Z और U प्राप्त करने के लिएः और यदि स्वतंत्र चर z को प्रतिगमन से हटा दिया जाता है, तो अन्य स्वतंत्र चरों के प्रतिक्रिया मापदंडों के अनुमानित मूल्य सामान्य न्यूनतम वर्ग गणना द्वारा दिए जाएंगे, (जहां "प्राइम" संकेतन का अर्थ है एक मैट्रिक्स का स्थानान्तरण और-1 सुपरस्क्रिप्ट मैट्रिक्स व्युत्क्रम है)। अनुमानित रैखिक मॉडल के आधार पर Y के लिए प्रतिस्थापन, अपेक्षाओं को लेने पर, अंतिम पद का योगदान शून्य होता है; यह इस धारणा से होता है कि U, प्रतिगामी X के साथ असंबंधित है। शेष शब्दों को सरल बनाने के लिएः समान चिह्न के बाद दूसरा पद इस मामले में छोड़ा-चर पूर्वाग्रह है, जो गैर-शून्य है यदि छोड़ा गया चर z मैट्रिक्स X में शामिल किसी भी चर के साथ सहसंबद्ध है (यानी, यदि X′Z शून्य के वेक्टर के बराबर नहीं है)। ध्यान दें कि पूर्वाग्रह ज़ी के भारित हिस्से के बराबर है जिसे xi द्वारा "समझाया" गया है। साधारण न्यूनतम वर्गों में प्रभाव गॉस-मार्कोव प्रमेय बताता है कि प्रतिगमन मॉडल जो शास्त्रीय रैखिक प्रतिगमन मॉडल धारणाओं को पूरा करते हैं, वे सबसे कुशल, रैखिक और निष्पक्ष अनुमानक प्रदान करते हैं। साधारण न्यूनतम वर्गों में, शास्त्रीय रैखिक प्रतिगमन मॉडल की प्रासंगिक धारणा यह है कि त्रुटि शब्द प्रतिगामी के साथ असंबंधित है। छोड़ दिए गए-चर पूर्वाग्रह की उपस्थिति इस विशेष धारणा का उल्लंघन करती है। उल्लंघन के कारण ओ. एल. एस. अनुमानक पक्षपाती और असंगत हो जाता है। पूर्वाग्रह की दिशा प्राक्कलनकर्ताओं के साथ-साथ प्रतिगामी और छोड़े गए चर के बीच सहप्रसरण पर निर्भर करती है। रिग्रेसर और आश्रित चर दोनों के साथ छोड़े गए चर का एक सकारात्मक सहप्रसरण शामिल रिग्रेसर के गुणांक के ओ. एल. एस. अनुमान को उस गुणांक के सही मूल्य से अधिक होने के लिए प्रेरित करेगा। इस प्रभाव को पैरामीटर की अपेक्षा को लेकर देखा जा सकता है, जैसा कि पिछले खंड में दिखाया गया है। भ्रमित करने वाले चर संदर्भ प्रतिगमन विश्लेषण प्रायोगिक पूर्वाग्रह भी देखें।