Implicit surface
गणित में, एक अंतर्निहित सतह एक समीकरण द्वारा परिभाषित यूक्लिडियन स्थान में एक सतह है एक अंतर्निहित सतह तीन चर के फलन के शून्यों का समूह है। अंतर्निहित का अर्थ है कि समीकरण या या के लिए हल नहीं किया गया है। एक फलन का ग्राफ आमतौर पर एक समीकरण द्वारा वर्णित किया जाता है और इसे एक स्पष्ट प्रतिनिधित्व कहा जाता है। एक सतह का तीसरा आवश्यक विवरण पैरामीट्रिक हैः, जहां सतह बिंदुओं के-,-और-निर्देशांक को सामान्य मापदंडों के आधार पर तीन कार्यों द्वारा दर्शाया जाता है। आम तौर पर प्रतिनिधित्वों का परिवर्तन केवल तभी सरल होता है जब स्पष्ट प्रतिनिधित्व दिया जाता हैः (अंतर्निहित), (पैरामीट्रिक)। उदाहरण-समतल गोला टोरस ए जीनस 2 की सतहः (आरेख देखें)। क्रांति की सतह (चित्र वाइनग्लास देखें)। एक तल, एक गोले और एक टोरस के लिए सरल पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व मौजूद हैं। चौथे उदाहरण के लिए यह सच नहीं है। अंतर्निहित फलन प्रमेय उन स्थितियों का वर्णन करता है जिनके तहत एक समीकरण को, या के लिए (कम से कम निहित रूप से) हल किया जा सकता है। लेकिन सामान्य तौर पर समाधान स्पष्ट नहीं किया जा सकता है। यह प्रमेय सतह की आवश्यक ज्यामितीय विशेषताओं की गणना की कुंजी हैः स्पर्शरेखा तल, सतह मानक, वक्रता (नीचे देखें)। लेकिन उनकी एक आवश्यक कमी हैः उनकी कल्पना करना मुश्किल है। यदि बहुपद में है, और, सतह को बीजगणितीय कहा जाता है। उदाहरण 5 गैर-बीजगणितीय है। कल्पना की कठिनाई के बावजूद, अंतर्निहित सतह सैद्धांतिक रूप से उत्पन्न करने के लिए अपेक्षाकृत सरल तकनीक प्रदान करती हैं (जैसे। स्टेनर सतह) और व्यावहारिक रूप से (नीचे देखें) दिलचस्प सतह। सूत्र निम्नलिखित विचारों के दौरान अंतर्निहित सतह को एक समीकरण द्वारा दर्शाया जाता है जहां फलन अवकलनीयता की आवश्यक शर्तों को पूरा करता है। के आंशिक व्युत्पन्न हैं। स्पर्शरेखा तल और सामान्य सदिश एक सतह बिंदु को नियमित कहा जाता है यदि और केवल तभी जब एट का ढाल शून्य सदिश नहीं है, जिसका अर्थ है। यदि सतह बिंदु नियमित नहीं है, तो इसे एकवचन कहा जाता है। एक नियमित बिंदु पर स्पर्शरेखा तल का समीकरण है और एक सामान्य सदिश सामान्य वक्रता है सूत्र को सरल रखने के लिए तर्कों को छोड़ दिया जाता हैः इकाई स्पर्शरेखा दिशा के लिए एक नियमित बिंदु पर सतह की सामान्य वक्रता है। (दूसरे व्युत्पन्न का मैट्रिक्स) का हेसियन मैट्रिक्स है। इस सूत्र का प्रमाण (एक अंतर्निहित वक्र के मामले में) अंतर्निहित फलन प्रमेय और एक पैरामीट्रिक सतह की सामान्य वक्रता के सूत्र पर निर्भर करता है। अंतर्निहित सतहों के अनुप्रयोग जैसा कि अंतर्निहित वक्रों के मामले में सरल आदिम पर बीजगणितीय संचालन (जोड़, गुणन) लागू करके वांछित आकृतियों के साथ अंतर्निहित सतहों को उत्पन्न करना एक आसान काम है। बिंदु आवेशों की समतुल्य सतह बिंदु पर एक बिंदु आवेश की विद्युत क्षमता बिंदु पर क्षमता उत्पन्न करती है (भौतिक स्थिरांक को छोड़ते हुए) स्थितिज मूल्य के लिए समतुल्य सतह अंतर्निहित सतह है जो बिंदु पर केंद्र के साथ एक गोला है। चित्र के लिए चार आवेश 1 के बराबर हैं और बिंदुओं पर स्थित हैं। प्रदर्शित सतह समतुल्य सतह (अंतर्निहित सतह) है। स्थिर दूरी उत्पाद सतह कैसिनी अंडाकार को उस बिंदु समुच्चय के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसके लिए दो दिए गए बिंदुओं की दूरी का गुणनफल स्थिर होता है (इसके विपरीत, एक दीर्घवृत्त के लिए योग स्थिर होता है)। इसी तरह अंतर्निहित सतहों को कई निश्चित बिंदुओं के लिए एक स्थिर दूरी उत्पाद द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। आरेख के कायापलट में ऊपरी बाईं सतह इस नियम से उत्पन्न होती हैः स्थिर दूरी के साथ उत्पाद की सतह प्रदर्शित होती है। अंतर्निहित सतहों का कायाकल्प नई अंतर्निहित सतहों को उत्पन्न करने की एक और सरल विधि को अंतर्निहित सतहों का कायाकल्प कहा जाता हैः दो अंतर्निहित सतहों के लिए (आरेख मेंः एक निरंतर दूरी उत्पाद सतह और एक टोरस) एक डिज़ाइन पैरामीटर का उपयोग करके नई सतहों को परिभाषित करता हैः आरेख में डिज़ाइन पैरामीटर क्रमिक रूप से होता है। कई अंतर्निहित सतहों-सतहों के चिकनी सन्निकटन का उपयोग किसी भी दी गई चिकनी और बंधी हुई वस्तु को अनुमानित करने के लिए किया जा सकता है जिसकी सतह को एकल बहुपद द्वारा सहायक बहुपदों के उत्पाद के रूप में परिभाषित किया जाता है। दूसरे शब्दों में, हम किसी भी चिकनी वस्तु को एकल बीजगणितीय सतह के साथ डिजाइन कर सकते हैं। आइए हम परिभाषित बहुपदों को निरूपित करते हैं। फिर, अनुमानित वस्तु को बहुपद द्वारा परिभाषित किया जाता है जहां सम्मिश्रण पैरामीटर होता है जो अनुमानित त्रुटि को नियंत्रित करता है। अंतर्निहित वक्रों के साथ चिकनी सन्निकटन के अनुरूप, समीकरण उपयुक्त मापदंडों के लिए समीकरणों के साथ तीन प्रतिच्छेदन तोरी के चिकनी सन्निकटन का प्रतिनिधित्व करता है (आरेख में मापदंड हैं) अंतर्निहित सतहों का दृश्यांकन अंतर्निहित सतहों को प्रस्तुत करने के लिए विभिन्न एल्गोरिदम हैं, जिसमें मार्चिंग क्यूब्स एल्गोरिदम भी शामिल है। अनिवार्य रूप से एक अंतर्निहित सतह को देखने के लिए दो विचार हैंः एक बहुभुज का एक जाल उत्पन्न करता है जिसे देखा जा सकता है (सतह त्रिकोण देखें) और दूसरा किरण अनुरेखण पर निर्भर करता है जो सतह के साथ किरणों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को निर्धारित करता है। सतह की दूरी का पता लगाने के लिए एक हस्ताक्षरित दूरी कार्य का उपयोग करके, प्रतिच्छेदन बिंदुओं को गोले का पता लगाने द्वारा अनुमानित किया जा सकता है। यह भी देखें अंतर्निहित वक्र संदर्भ आगे पढ़ने के लिए गोम्स, ए., वॉइकुलेस्कु, आई., जॉर्ज, जे., वायविल, बी., गैलब्रेथ, सी.: अंतर्निहित वक्र और सतहः गणित, डेटा संरचनाएं और एल्गोरिदम, 2009, स्प्रिंगर-वेरलैग लंदन, थोर्पः विभेदक ज्यामिति में प्राथमिक विषय, स्प्रिंगर-वेरलैग, न्यूयॉर्क, 1979, बाहरी लिंक सुल्तानोः इम्प्लिज़ाइट फ्लेचेन हार्टमैनः कंप्यूटर के लिए ज्यामिति और एल्गोरिदम सहायक डिजाइन जियोमवीव के3डीसर्फः 3डी सतह जनरेटर एसयूआरएफः विज़ुअलाइज़िंग बीजगणित फ्ले