Villarceau circles
ज्यामिति में, विलारसियो वृत्त () वृत्तों की एक जोड़ी है जो एक विशेष कोण पर केंद्र के माध्यम से एक टोरस को तिरछा काटकर उत्पन्न होती है। एक टोरस पर एक मनमाना बिंदु को देखते हुए, इसके माध्यम से चार वृत्त खींचे जा सकते हैं। एक तोरस के भूमध्यरेखीय तल के समानांतर एक तल में है और दूसरा उस तल के लंबवत है (ये पृथ्वी पर अक्षांश और देशांतर की रेखाओं के अनुरूप हैं)। अन्य दो विलारसियो वृत्त हैं। वे एक तल के साथ टोरस के प्रतिच्छेदन के रूप में प्राप्त किए जाते हैं जो टोरस के केंद्र से गुजरता है और इसे दो एंटीपोडल बिंदुओं पर स्पर्श करता है। यदि कोई इन सभी स्तरों पर विचार करता है, तो टोरस पर वृत्तों के दो परिवार प्राप्त होते हैं। इनमें से प्रत्येक परिवार में असंबद्ध वृत्त होते हैं जो टोरस के प्रत्येक बिंदु को ठीक एक बार कवर करते हैं और इस प्रकार टोरस का 1-आयामी फोलिएशन बनाते हैं। विलारसो वृत्तों का नाम फ्रांसीसी खगोलशास्त्री और गणितशास्त्री यवोन विलारसो (1813-1883) के नाम पर रखा गया है जिन्होंने 1848 में उनके बारे में लिखा था। मैनहेम (1903) ने दिखाया कि विलारसो वृत्त एक ही कोण पर टोरस के सभी समानांतर गोलाकार क्रॉस-सेक्शन से मिलते हैं, जिसके परिणामस्वरूप उन्होंने कहा कि एक कर्नल शोल्चर ने 1891 में एक कांग्रेस में प्रस्तुत किया था। उदाहरण xyz स्थान में एक क्षैतिज टोरस पर विचार करें, जो मूल पर केंद्रित है और प्रमुख त्रिज्या 5 और लघु त्रिज्या 3 के साथ है। इसका मतलब है कि टोरस त्रिज्या तीन के कुछ ऊर्ध्वाधर वृत्तों का स्थान है जिनके केंद्र क्षैतिज xy तल में त्रिज्या पांच के वृत्त पर हैं। इस तोरस पर बिंदु इस समीकरण को संतुष्ट करते हैंः z = 0 तल के साथ काटने से दो संकेंद्रित वृत्त उत्पन्न होते हैं, x2 + y2 = 22 और x2 + y2 = 82, बाहरी और आंतरिक भूमध्य रेखा। x = 0 समतल के साथ टुकड़े करने से दो साइड-बाय-साइड वृत्त उत्पन्न होते हैं, (y−5) 2 + z2 = 32 और (y + 5) 2 + z2 = 32। दो उदाहरण विलारसियो वृत्तों को तल 3x = 4z के साथ काटकर बनाया जा सकता है। एक (0, + 3,0) पर केंद्रित है और दूसरा (0,-3,0) पर; दोनों की त्रिज्या पाँच है। उन्हें पैरामीट्रिक रूप में लिखा जा सकता है और स्लाइसिंग प्लेन को इसके केंद्र से गुजरते समय दो बिंदुओं पर टोरस के स्पर्शरेखा के रूप में चुना जाता है। यह (16/5,0,12/5) और (−16/5,0, −12/5) पर स्पर्शरेखा है। स्लाइसिंग का कोण विशिष्ट रूप से चुने हुए टोरस के आयामों द्वारा निर्धारित किया जाता है। जेड-अक्ष के चारों ओर इस तरह के किसी भी एक तल को घुमाने से उस टोरस के लिए सभी विलारसियो वृत्त मिलते हैं। अस्तित्व और समीकरण वृत्तों के अस्तित्व का प्रमाण इस तथ्य से बनाया जा सकता है कि कटा हुआ तल दो बिंदुओं पर टोरस के लिए स्पर्शरेखा है। टोरस की एक विशेषता यह है कि यह क्रांति की सतह है। व्यापकता के नुकसान के बिना, एक समन्वय प्रणाली चुनें ताकि क्रांति का अक्ष z अक्ष हो। xz तल में त्रिज्या r के वृत्त से शुरू करें, जो (R, 0,0) पर केंद्रित है। स्वीपिंग x को (x2 + y2) 1/2 से प्रतिस्थापित करता है, और वर्गमूल को साफ़ करने से एक चतुर्थक समीकरण उत्पन्न होता है। xz तल में बहती सतह के क्रॉस-सेक्शन में अब एक दूसरा वृत्त शामिल है। वृत्तों की इस जोड़ी में दो सामान्य आंतरिक स्पर्शरेखा रेखाएँ होती हैं, जिसका मूल ढलान समस्थानिक आर और विपरीत पक्ष आर (जिसका समकोण स्पर्शरेखा के बिंदु पर होता है) के साथ समकोण त्रिभुज से पाया जाता है। इस प्रकार z/x ±r/(R2−r2) 1/2 के बराबर होता है, और योग चिन्ह चुनने से टोरस के लिए एक समतल बिटैंजेंट का समीकरण उत्पन्न होता है। समरूपता द्वारा, z अक्ष के चारों ओर इस तल के घूर्णन केंद्र के माध्यम से सभी बिटैंजेंट तल देते हैं। (टोरस के ऊपर और नीचे क्षैतिज तल स्पर्शरेखा भी हैं, जिनमें से प्रत्येक एक "दोहरा वृत्त" देता है, लेकिन विलारसो वृत्त नहीं।) हम विश्लेषणात्मक रूप से टोरस के साथ तल (ओं) के प्रतिच्छेदन की गणना कर सकते हैं, और इस प्रकार दिखा सकते हैं कि परिणाम वृत्तों की एक सममित जोड़ी है, जिनमें से एक त्रिज्या आर का एक वृत्त है जो इन रेखाओं के साथ ए उपचार पर केंद्रित है जो कॉक्सेटर (1969) में पाया जा सकता है। प्रोजेक्टिव सेटिंग में बीजगणितीय ज्यामिति का उपयोग करते हुए हिर्श (2002) द्वारा एक अधिक अमूर्त और अधिक लचीले दृष्टिकोण का वर्णन किया गया था। टोरस के लिए सजातीय चतुर्थक समीकरण में, डब्ल्यू को शून्य पर स्थापित करने से "अनंत पर तल" के साथ प्रतिच्छेदन मिलता है, और समीकरण को कम कर देता है यह प्रतिच्छेदन एक दोहरा बिंदु है, वास्तव में एक दोहरा बिंदु दो बार गिना जाता है। इसके अलावा, यह हर बिटैंजेंट तल में शामिल है। स्पर्शता के दो बिंदु भी दोहरे बिंदु हैं। इस प्रकार प्रतिच्छेदन वक्र, जो सिद्धांत कहता है कि एक चतुर्थक होना चाहिए, में चार दोहरे बिंदु होते हैं। लेकिन हम यह भी जानते हैं कि तीन से अधिक दोहरे अंकों वाले एक चतुर्थक को कारक होना चाहिए (यह अपरिवर्तनीय नहीं हो सकता है), और समरूपता द्वारा कारक दो सर्वांगसम शंकु होने चाहिए। हिर्श इस तर्क को कोनिक द्वारा उत्पन्न क्रांति की किसी भी सतह तक विस्तारित करता है, और दर्शाता है कि एक बिटैंजेंट तल के साथ प्रतिच्छेदन को जनरेटर के समान प्रकार के दो कोनिक का उत्पादन करना चाहिए जब प्रतिच्छेदन वक्र वास्तविक हो। जगह भरना टोरस 3-गोले, S3, के हॉफ फाइब्रेशन में एक केंद्रीय भूमिका निभाता है, सामान्य गोले पर, S2, जिसमें गोले हैं, S1, फाइबर के रूप में। जब 3-क्षेत्र को स्टीरियोग्राफिक प्रक्षेपण द्वारा यूक्लिडियन 3-स्पेस में मैप किया जाता है, तो फाइबर मानचित्र के तहत S2 पर अक्षांश के एक वृत्त की व्युत्क्रम छवि एक टोरस होती है, और फाइबर स्वयं विलारसो वृत्त होते हैं। बैंचॉफ ने कंप्यूटर ग्राफिक्स इमेजरी के साथ इस तरह के टोरस की खोज की है। वृत्तों के बारे में असामान्य तथ्यों में से एक यह है कि प्रत्येक अन्य सभी के माध्यम से जुड़ता है, न केवल अपने स्वयं के टोरस में, बल्कि पूरे स्थान को भरने वाले संग्रह में; बर्जर में एक चर्चा और ड्राइंग है। टॉरिक सेक्शन वेसिका पिस्किस साइटेशन भी देखें संदर्भ बाहरी लिंक तीन-क्षेत्र में फ्लैट टॉरस टॉरस के वृत्त (लेस सर्कल्स डु टॉर) वृत्त टॉरिक सेक्शन फाइबर बंडल