Scale (map)
मानचित्र का पैमाना मानचित्र पर दूरी और जमीन पर संबंधित दूरी का अनुपात है। यह सरल अवधारणा पृथ्वी की सतह की वक्रता से जटिल है, जो एक मानचित्र में पैमाने को बदलने के लिए मजबूर करती है। इस भिन्नता के कारण, पैमाने की अवधारणा दो अलग-अलग तरीकों से सार्थक हो जाती है। पहला तरीका यह है कि उत्पन्न होने वाले ग्लोब के आकार और पृथ्वी के आकार का अनुपात। उत्पन्न करने वाला ग्लोब एक वैचारिक मॉडल है जिसमें पृथ्वी सिकुड़ जाती है और जिससे मानचित्र को प्रक्षेपित किया जाता है। पृथ्वी के आकार और उत्पन्न होने वाले ग्लोब के आकार के अनुपात को नाममात्र का पैमाना कहा जाता है (जिसे प्रमुख पैमाना या प्रतिनिधि अंश भी कहा जाता है)। कई नक्शे नाममात्र के पैमाने को बताते हैं और इसे प्रदर्शित करने के लिए एक बार स्केल (कभी-कभी केवल "स्केल" कहा जाता है) भी प्रदर्शित कर सकते हैं। पैमाने की दूसरी विशिष्ट अवधारणा मानचित्र में पैमाने में भिन्नता पर लागू होती है। यह मानचित्रित बिंदु के पैमाने और नाममात्र के पैमाने का अनुपात है। इस मामले में 'पैमाने' का अर्थ है पैमाने का कारक (जिसे बिंदु पैमाने या विशेष पैमाने भी कहा जाता है)। यदि मानचित्र का क्षेत्र पृथ्वी की वक्रता को नजरअंदाज करने के लिए काफी छोटा है, जैसे कि एक नगर योजना में, तो माप त्रुटियों का कारण बने बिना एक एकल मान का उपयोग पैमाने के रूप में किया जा सकता है। बड़े क्षेत्रों या पूरी पृथ्वी को कवर करने वाले मानचित्रों में, मानचित्र का पैमाना दूरी को मापने में कम उपयोगी या बेकार भी हो सकता है। मानचित्र प्रक्षेपण यह समझने में महत्वपूर्ण हो जाता है कि पूरे मानचित्र में पैमाना कैसे बदलता है। जब पैमाना उल्लेखनीय रूप से बदलता है, तो इसे पैमाना कारक के रूप में गिना जा सकता है। टिसोट के इंडिकेट्रिक्स का उपयोग अक्सर एक मानचित्र में बिंदु पैमाने की भिन्नता को चित्रित करने के लिए किया जाता है। मात्रात्मक मानचित्र मापन की नींव प्राचीन चीन में पाठ्य साक्ष्य के साथ वापस जाती है कि मानचित्र मापन का विचार दूसरी शताब्दी ईसा पूर्व तक समझा गया था। प्राचीन चीनी सर्वेक्षणकर्ताओं और मानचित्रकारों के पास पर्याप्त तकनीकी संसाधन थे जिनका उपयोग नक्शे बनाने के लिए किया जाता था जैसे कि गिनती की छड़ें, बढ़ई का वर्ग, नलिका रेखाएं, वृत्त खींचने के लिए कम्पास और झुकाव को मापने के लिए ट्यूबों को देखना। प्राचीन चीनी खगोलविदों द्वारा स्थानों की पहचान करने के लिए एक नवजात निर्देशांक प्रणाली को प्रस्तुत करने वाले संदर्भ फ्रेमों का संकेत दिया गया था जो आकाश को विभिन्न क्षेत्रों या चंद्र लॉज में विभाजित करते थे। तीन राज्यों की अवधि के चीनी मानचित्रकार और भूगोलकार पेई शियु ने बड़े क्षेत्र के मानचित्रों का एक समूह बनाया जिसे मापने के लिए तैयार किया गया था। उन्होंने सिद्धांतों का एक समूह तैयार किया जो निरंतर मापन, दिशात्मक माप और मानचित्रित किए जा रहे इलाके में भूमि माप में समायोजन के महत्व पर जोर देता है। स्केल मैप स्केल का प्रतिनिधित्व शब्दों में (एक शाब्दिक पैमाने), अनुपात के रूप में या एक अंश के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण हैंः 'एक सेंटीमीटर से एक सौ मीटर' या 1:10,000 या 1/10,000 'एक इंच से एक मील' या 1:63,360 या 1/63,360 'एक सेंटीमीटर से एक हजार किलोमीटर' या 1:100,000,000 या 1/100,000,000। (अनुपात को आमतौर पर 1:100 M के रूप में संक्षिप्त किया जाएगा) बार स्केल बनाम शाब्दिक स्केल उपरोक्त कई मानचित्रों के अलावा एक या अधिक (चित्रमय) बार स्केल होते हैं। उदाहरण के लिए, कुछ आधुनिक ब्रिटिश मानचित्रों में तीन बार स्केल हैं, जिनमें से प्रत्येक में किलोमीटर, मील और समुद्री मील के लिए एक बार स्केल है। उपयोगकर्ता के लिए ज्ञात भाषा में एक शाब्दिक पैमाने को एक अनुपात की तुलना में कल्पना करना आसान हो सकता हैः यदि पैमाने एक इंच से दो मील तक हैं और मानचित्र उपयोगकर्ता मानचित्र पर दो गांवों को देख सकता है जो लगभग दो इंच की दूरी पर हैं, तो यह पता लगाना आसान है कि गांव जमीन पर लगभग चार मील की दूरी पर हैं। एक शाब्दिक पैमाना समस्या पैदा कर सकता है यदि यह ऐसी भाषा में व्यक्त किया जाता है जिसे उपयोगकर्ता नहीं समझता है या अप्रचलित या गलत परिभाषित इकाइयों में व्यक्त किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक इंच से एक फरलोंग (1:7920) के पैमाने को उन देशों में कई वृद्ध लोग समझेंगे जहां शाही इकाइयों को स्कूलों में पढ़ाया जाता था। लेकिन एक लीग के लिए एक पाउस का पैमाना लगभग 1:144,000 हो सकता है, जो एक लीग के लिए कई संभावित परिभाषाओं के मानचित्रकार के चयन पर निर्भर करता है, और केवल आधुनिक उपयोगकर्ताओं का एक अल्पसंख्यक ही उपयोग की जाने वाली इकाइयों से परिचित होगा। बड़े पैमाने पर, मध्यम पैमाने पर, छोटे पैमाने पर स्थानिक पैमाने के विपरीत। एक छोटे पैमाने का मानचित्र बड़े क्षेत्रों को कवर करता है, जैसे कि विश्व मानचित्र, महाद्वीप या बड़े राष्ट्र। दूसरे शब्दों में, वे एक छोटी सी जगह पर भूमि के बड़े क्षेत्र को दर्शाते हैं। इन्हें लघु पैमाना कहा जाता है क्योंकि प्रतिनिधि अंश अपेक्षाकृत छोटा होता है। बड़े पैमाने के नक्शे छोटे क्षेत्रों को अधिक विस्तार से दिखाते हैं, जैसे कि काउंटी के नक्शे या शहर की योजनाएं। इस तरह के मानचित्रों को बड़ा पैमाना कहा जाता है क्योंकि प्रतिनिधि अंश अपेक्षाकृत बड़ा होता है। उदाहरण के लिए एक नगर योजना, जो एक बड़े पैमाने का मानचित्र है, 1:10,000 के पैमाने पर हो सकता है, जबकि विश्व मानचित्र, जो एक छोटे पैमाने का मानचित्र है, 1:100,000,000 के पैमाने पर हो सकता है। निम्नलिखित तालिका इन तराजू के लिए विशिष्ट श्रेणियों का वर्णन करती है लेकिन इसे आधिकारिक नहीं माना जाना चाहिए क्योंकि कोई मानक नहीं हैः शब्दों का उपयोग कभी-कभी तालिका के पूर्ण अर्थ में किया जाता है, लेकिन अन्य बार सापेक्ष अर्थ में किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक मानचित्र पाठक जिसका काम केवल बड़े पैमाने के मानचित्रों (जैसा कि ऊपर सारणीबद्ध किया गया है) को संदर्भित करता है, वह 1:500,000 पर एक मानचित्र को छोटे पैमाने के रूप में संदर्भित कर सकता है। अंग्रेजी भाषा में, बड़े पैमाने पर शब्द का उपयोग अक्सर "व्यापक" के अर्थ में किया जाता है। हालाँकि, जैसा कि ऊपर बताया गया है, मानचित्रकार कम व्यापक मानचित्रों को संदर्भित करने के लिए "बड़े पैमाने" शब्द का उपयोग करते हैं-जो एक छोटे क्षेत्र को दर्शाते हैं। मानचित्र जो एक व्यापक क्षेत्र को दर्शाते हैं, वे "छोटे पैमाने" के मानचित्र हैं। यह भ्रम का कारण बन सकता है। पैमाने में भिन्नता बड़े क्षेत्रों का मानचित्रण ध्यान देने योग्य विकृतियों का कारण बनता है क्योंकि यह पृथ्वी की घुमावदार सतह को काफी चपटा कर देता है। विरूपण कैसे वितरित होता है, यह मानचित्र प्रक्षेपण पर निर्भर करता है। मानचित्र में पैमाना अलग-अलग होता है, और बताया गया नक्शा पैमाना केवल एक अनुमान है। इस पर नीचे विस्तार से चर्चा की गई है। वक्रता वाले बड़े पैमाने के मानचित्रों की उपेक्षा जिस क्षेत्र पर पृथ्वी को सपाट माना जा सकता है, वह सर्वेक्षण मापों की सटीकता पर निर्भर करता है। यदि केवल निकटतम मीटर तक मापा जाता है, तो पृथ्वी की वक्रता लगभग 80 कि. मी. (45 डिग्री के अक्षांश पर) की पूर्व-पश्चिम रेखा पर लगभग एक मेरिडियन दूरी पर अज्ञात है। यदि निकटतम तक सर्वेक्षण किया जाता है, तो लगभग 10 कि. मी. की मेरिडियन दूरी पर और लगभग 8 कि. मी. की पूर्व-पश्चिम रेखा पर वक्रता का पता नहीं चलता है। इस प्रकार न्यूयॉर्क शहर की एक मीटर की सटीक योजना या एक मिलीमीटर की सटीक इमारत स्थल योजना दोनों वक्रता की उपेक्षा के लिए उपरोक्त शर्तों को पूरा करेंगे। उन्हें समतल सर्वेक्षण द्वारा उपचारित किया जा सकता है और पैमाने के चित्रों द्वारा मानचित्रित किया जा सकता है जिसमें रेखाचित्र पर समान दूरी पर कोई भी दो बिंदु जमीन पर समान दूरी पर होते हैं। सही जमीनी दूरी की गणना मानचित्र पर दूरी को मापकर और फिर पैमाने के अंश के व्युत्क्रम से गुणा करके या, समकक्ष रूप से, मानचित्र पर बिंदुओं के बीच अलगाव को मानचित्र पर एक बार पैमाने पर स्थानांतरित करने के लिए केवल विभाजक का उपयोग करके की जाती है। बिंदु पैमाना (या विशेष पैमाना) जैसा कि गॉस के प्रमेय एग्रेगियम द्वारा साबित किया गया है, एक गोले (या दीर्घवृत्त) को विरूपण के बिना एक तल पर प्रक्षेपित नहीं किया जा सकता है। यह आमतौर पर एक नारंगी के छिलके को बिना फाड़े और विकृत किए एक सपाट सतह पर चिकना करने की असंभवता से सचित्र है। स्थिर पैमाने पर एक गोले का एकमात्र सही प्रतिनिधित्व एक और गोला है जैसे कि एक ग्लोब। ग्लोबों के सीमित व्यावहारिक आकार को देखते हुए, हमें विस्तृत मानचित्रण के लिए मानचित्रों का उपयोग करना चाहिए। मानचित्रों के लिए अनुमानों की आवश्यकता होती है। एक प्रक्षेपण का तात्पर्य विरूपण हैः मानचित्र पर एक निरंतर पृथक्करण जमीन पर एक निरंतर पृथक्करण के अनुरूप नहीं है। जबकि एक मानचित्र एक चित्रमय बार पैमाने को प्रदर्शित कर सकता है, पैमाने का उपयोग इस समझ के साथ किया जाना चाहिए कि यह मानचित्र की केवल कुछ पंक्तियों पर सटीक होगा। (इसकी चर्चा निम्नलिखित अनुभागों में उदाहरणों में की गई है।) मान लीजिए कि पी अक्षांश पर एक बिंदु है और गोले (या दीर्घवृत्त) पर देशांतर है। मान लीजिए कि Q एक पड़ोसी बिंदु है और P पर तत्व PQ और मेरिडियन के बीच का कोण हैः यह कोण तत्व PQ का अजीमुथ कोण है। मान लीजिए कि पी 'और क्यू' प्रक्षेपण पर संबंधित बिंदु हैं। दिशा पी 'क्यू' और मेरिडियन के प्रक्षेपण के बीच का कोण असर है। सामान्य तौर पर। टिप्पणीः अजीमुथ (पृथ्वी की सतह पर) और असर (मानचित्र पर) के बीच यह सटीक अंतर सार्वभौमिक रूप से नहीं देखा जाता है, कई लेखक इन शब्दों का उपयोग लगभग एक दूसरे के स्थान पर करते हैं। परिभाषाः पी पर बिंदु पैमाना दो दूरियों पी 'क्यू' और पी. क्यू. का अनुपात है जो उस सीमा में है जिसमें क्यू पी तक पहुँचता है। हम इसे ऐसे लिखते हैं जहाँ संकेतन इंगित करता है कि बिंदु पैमाना पी की स्थिति का एक फलन है और तत्व पी. क्यू. की दिशा भी है। परिभाषाः यदि पी और क्यू एक ही मेरिडियन पर स्थित हैं, तो मेरिडियन स्केल को इसके द्वारा दर्शाया जाता है। परिभाषाः यदि पी और क्यू एक ही समानांतर पर स्थित हैं, तो समानांतर पैमाने को द्वारा दर्शाया जाता है। परिभाषाः यदि बिंदु पैमाना केवल स्थिति पर निर्भर करता है, दिशा पर नहीं, तो हम कहते हैं कि यह समस्थानिक है और पारंपरिक रूप से समानांतर पैमाने के कारक द्वारा किसी भी दिशा में इसके मूल्य को दर्शाता है। परिभाषाः एक मानचित्र प्रक्षेपण को अनुरूप कहा जाता है यदि एक बिंदु P पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं की एक जोड़ी के बीच का कोण अनुमानित बिंदु P 'पर प्रक्षेपित रेखाओं के बीच के कोण के समान है, बिंदु P पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं के सभी जोड़े के लिए। एक अनुरूप मानचित्र में एक समस्थानिक पैमाने का कारक होता है। इसके विपरीत पूरे मानचित्र में समस्थानिक पैमाने के कारक एक अनुरूप प्रक्षेपण का संकेत देते हैं। पैमाने की समस्थानिकता का तात्पर्य है कि छोटे तत्व सभी दिशाओं में समान रूप से फैले हुए हैं, यानी एक छोटे तत्व का आकार संरक्षित है। यह ऑर्थोमोर्फिज्म का गुण है (ग्रीक 'सही आकार' से)। योग्यता 'लघु' का अर्थ है कि माप की कुछ दी गई सटीकता पर तत्व पर पैमाने के कारक में कोई परिवर्तन नहीं पाया जा सकता है। चूंकि अनुरूप अनुमानों में एक समस्थानिक पैमाने का कारक होता है, इसलिए उन्हें ऑर्थोमोर्फिक अनुमान भी कहा जाता है। उदाहरण के लिए, मर्केटर प्रक्षेपण अनुरूप है क्योंकि इसका निर्माण कोणों को संरक्षित करने के लिए किया गया है और इसका पैमाने का कारक समस्थानिक है, जो केवल अक्षांश का एक कार्य हैः मर्केटर छोटे क्षेत्रों में आकार को संरक्षित करता है। परिभाषाः एक समस्थानिक पैमाने के साथ एक अनुरूप प्रक्षेपण पर, समान पैमाने के मूल्य वाले बिंदुओं को समस्थानिक रेखाओं को बनाने के लिए जोड़ा जा सकता है। ये अंतिम उपयोगकर्ताओं के लिए मानचित्रों पर प्लॉट नहीं किए गए हैं, लेकिन वे कई मानक ग्रंथों में दिखाई देते हैं। (स्नाइडर के पृष्ठ 203-206 देखें।) प्रतिनिधि अंश (आर. एफ.) या प्रमुख पैमाना किसी भी दिए गए प्रक्षेपण के समीकरणों को निर्धारित करने में दो परंपराओं का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, समतुल्य बेलनाकार प्रक्षेपण को मानचित्रकारों के रूप में लिखा जा सकता हैः गणितशास्त्रीः यहाँ हम इन परंपराओं में से पहले को अपनाएंगे (स्नाइडर द्वारा सर्वेक्षणों में उपयोग के बाद)। स्पष्ट रूप से उपरोक्त प्रक्षेपण समीकरण पृथ्वी के चारों ओर लिपटे एक विशाल सिलेंडर पर स्थिति को परिभाषित करते हैं और फिर अनरोल्ड करते हैं। हम कहते हैं कि ये निर्देशांक प्रक्षेपण मानचित्र को परिभाषित करते हैं जिसे वास्तविक मुद्रित (या देखे गए) मानचित्रों से तार्किक रूप से अलग किया जाना चाहिए। यदि पिछले खंड में बिंदु पैमाने की परिभाषा प्रक्षेपण मानचित्र के संदर्भ में है तो हम उम्मीद कर सकते हैं कि पैमाने के कारक एकता के करीब होंगे। सामान्य स्पर्शरेखा बेलनाकार अनुमानों के लिए भूमध्य रेखा के साथ पैमाना k = 1 है और सामान्य रूप से पैमाना बदल जाता है जैसे-जैसे हम भूमध्य रेखा से आगे बढ़ते हैं। प्रक्षेपण मानचित्र पर पैमाने का विश्लेषण एकता के वास्तविक मूल्य से दूर k के परिवर्तन की जांच है। वास्तविक मुद्रित मानचित्रों को प्रक्षेपण मानचित्र से एक निरंतर स्केलिंग द्वारा उत्पादित किया जाता है जिसे 1:100 M (पूरे विश्व मानचित्रों के लिए) या 1:10000 (जैसे शहर की योजनाओं के लिए) के अनुपात द्वारा दर्शाया जाता है। 'स्केल' शब्द के उपयोग में भ्रम से बचने के लिए इस स्थिर पैमाने के अंश को मुद्रित मानचित्र का प्रतिनिधि अंश (आर. एफ.) कहा जाता है और इसे मानचित्र पर मुद्रित अनुपात के साथ पहचाना जाना है। समरूपी बेलनाकार प्रक्षेपण के लिए वास्तविक मुद्रित मानचित्र निर्देशांक मुद्रित मानचित्र हैंः यह परिपाटी आंतरिक प्रक्षेपण स्केलिंग और कमी स्केलिंग के स्पष्ट अंतर की अनुमति देती है। इस बिंदु से हम आर. एफ. को अनदेखा करते हैं और प्रक्षेपण मानचित्र के साथ काम करते हैं। बिंदु पैमाने का दृश्यः टिसोट संकेतक पृथ्वी की सतह पर अक्षांश और देशांतर पर एक बिंदु पी पर केंद्रित एक छोटे से वृत्त पर विचार करें। चूँकि बिंदु पैमाना स्थिति और दिशा के साथ बदलता रहता है, इसलिए प्रक्षेपण पर वृत्त का प्रक्षेपण विकृत हो जाएगा। टिसोट ने साबित किया कि, जब तक विरूपण बहुत अधिक नहीं है, तब तक वृत्त प्रक्षेपण पर एक दीर्घवृत्त बन जाएगा। सामान्य तौर पर दीर्घवृत्त का आयाम, आकार और अभिविन्यास प्रक्षेपण पर बदल जाएगा। मानचित्र प्रक्षेपण पर इन विरूपण दीर्घवृत्त को अधिरोपित करना उस तरीके को बताता है जिसमें मानचित्र पर बिंदु पैमाना बदल रहा है। विरूपण दीर्घवृत्त को टिसोट के सूचक के रूप में जाना जाता है। यहाँ दिखाया गया उदाहरण विंकेल ट्रिपेल प्रक्षेपण है, जो नेशनल ज्योग्राफिक सोसाइटी द्वारा बनाए गए विश्व मानचित्रों के लिए मानक प्रक्षेपण है। न्यूनतम विरूपण 30 डिग्री (उत्तर और दक्षिण) के अक्षांश पर केंद्रीय मेरिडियन पर होता है। (अन्य उदाहरण)। गोले के सामान्य बेलनाकार अनुमानों के लिए बिंदु पैमाना पैमाने की मात्रात्मक समझ की कुंजी गोले पर एक असीम तत्व पर विचार करना है। आकृति अक्षांश पर एक बिंदु पी और गोले पर देशांतर दिखाती है। बिंदु Q अक्षांश और देशांतर पर है। रेखाएँ पी. के. और एम. क्यू. लंबाई के मेरिडियन के चाप हैं जहाँ गोले की त्रिज्या है और रेडियन माप में है। पी. एम. और के. क्यू. रेखाएँ रेडियन माप के साथ लंबाई के समानांतर वृत्तों की चाप हैं। पी पर प्रक्षेपण के एक बिंदु गुण को प्राप्त करने में सतह के एक असीम तत्व पी. एम. क्यू. के. को लेना पर्याप्त हैः पी के करीब आने वाले क्यू की सीमा में ऐसा तत्व एक असीम रूप से छोटे समतल आयत की ओर जाता है। गोले के सामान्य बेलनाकार प्रक्षेपण केवल अक्षांश के फलन के बराबर होते हैं। इसलिए, गोले पर असीम तत्व पी. एम. क्यू. के. एक असीम तत्व पी. एम. क्यू. के. के लिए प्रक्षेपित होता है जो एक आधार और ऊंचाई के साथ एक सटीक आयत है। गोले और प्रक्षेपण पर तत्वों की तुलना करके हम तुरंत समानांतर और मेरिडियन पर पैमाने के कारकों के लिए अभिव्यक्तियों का अनुमान लगा सकते हैं। (सामान्य दिशा में पैमाने का उपचार नीचे पाया जा सकता है।) समानांतर पैमाने का कारक मेरिडियन पैमाने का कारक ध्यान दें कि समानांतर पैमाने का कारक इसकी परिभाषा से स्वतंत्र है इसलिए यह सभी सामान्य बेलनाकार अनुमानों के लिए समान है। यह ध्यान रखना उपयोगी है कि अक्षांश 30 डिग्री पर समानांतर पैमाना अक्षांश 45 डिग्री पर है समानांतर पैमाना अक्षांश 60 डिग्री पर है समानांतर पैमाना अक्षांश 80 डिग्री पर है समानांतर पैमाना अक्षांश 85 डिग्री पर है समानांतर पैमाना निम्नलिखित उदाहरण तीन सामान्य बेलनाकार अनुमानों को दर्शाते हैं और प्रत्येक मामले में स्थिति और दिशा के साथ पैमाने की भिन्नता को टिसोट के संकेतक के उपयोग से चित्रित किया जाता है। सामान्य बेलनाकार प्रक्षेपण के तीन उदाहरण समबाहु प्रक्षेपण, जिसे प्लेट कैरी ("सपाट वर्ग" के लिए फ्रांसीसी) या (कुछ हद तक भ्रामक रूप से) समदूर प्रक्षेपण के रूप में भी जाना जाता है, को इस बात से परिभाषित किया जाता है कि गोले की त्रिज्या कहाँ है, प्रक्षेपण के केंद्रीय मेरिडियन से देशांतर है (यहाँ ग्रीनविच मेरिडियन के रूप में लिया गया है) और अक्षांश है। ध्यान दें कि और रेडियन में हैं (डिग्री माप को/180 के कारक से गुणा करके प्राप्त किया जाता है)। देशांतर सीमा में है और अक्षांश सीमा में है। चूँकि पिछला खंड समानांतर पैमाना, मेरिडियन पैमाना देता है एक मनमाना दिशा में बिंदु पैमाने की गणना के लिए परिशिष्ट देखें। यह चित्र इस प्रक्षेपण के लिए टिसोट इंडिकेट्रिक्स को दर्शाता है। भूमध्य रेखा पर h = k = 1 और वृत्ताकार तत्व प्रक्षेपण पर अनिर्दिष्ट हैं। उच्च अक्षांशों पर वृत्तों को केवल समानांतर दिशा में फैलाकर दिए गए दीर्घवृत्त में विकृत किया जाता हैः मेरिडियन दिशा में कोई विकृति नहीं होती है। प्रमुख अक्ष और लघु अक्ष का अनुपात है। स्पष्ट रूप से दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल उसी कारक से बढ़ता है। बार स्केल के उपयोग पर विचार करना शिक्षाप्रद है जो इस प्रक्षेपण के मुद्रित संस्करण पर दिखाई दे सकता है। भूमध्य रेखा पर पैमाना सही (के = 1) है ताकि एक मुद्रित मानचित्र पर आर. एफ. (या प्रमुख पैमाने) के व्युत्क्रम से इसकी लंबाई को गुणा करने से पृथ्वी की वास्तविक परिधि मिल जाए। मानचित्र पर बार पैमाने को भी सही पैमाने पर खींचा जाता है ताकि भूमध्य रेखा पर दो बिंदुओं के बीच एक अलगाव को बार पैमाने पर स्थानांतरित करने से उन बिंदुओं के बीच सही दूरी मिल सके। यही बात मेरिडियन पर भी लागू होती है। भूमध्य रेखा के अलावा एक समानांतर पर पैमाना ऐसा होता है कि जब हम बार पैमाने के समानांतर से एक अलगाव को स्थानांतरित करते हैं तो हमें समानांतर के साथ मापने पर बिंदुओं के बीच की दूरी प्राप्त करने के लिए इस कारक से बार पैमाने की दूरी को विभाजित करना होगा (जो एक महान वृत्त के साथ सही दूरी नहीं है)। मान लीजिए कि 45 डिग्री () के असर वाली रेखा पर पैमाना अक्षांश के साथ लगातार बदल रहा है और रेखा के साथ एक अलगाव को बार पैमाने पर स्थानांतरित करने से किसी भी सरल तरीके से सही दूरी से संबंधित दूरी नहीं मिलती है। (लेकिन परिशिष्ट देखें)। भले ही स्थिर समतलीय कोण की इस रेखा के साथ एक दूरी का पता लगाया जा सके, लेकिन इसकी प्रासंगिकता संदिग्ध है क्योंकि प्रक्षेपण पर ऐसी रेखा गोले पर एक जटिल वक्र से मेल खाती है। इन कारणों से छोटे पैमाने के मानचित्रों पर बार स्केल का उपयोग अत्यधिक सावधानी के साथ किया जाना चाहिए। मर्केटर प्रक्षेपण गोले को समीकरणों द्वारा एक आयत (-दिशा में अनंत सीमा तक) में मानचित्रित करता है जहां a, और पिछले उदाहरण की तरह हैं। चूँकि पैमाना कारक हैंः समानांतर पैमाना मेरिडियन पैमाना गणितीय परिशिष्ट में यह दिखाया गया है कि एक मनमाना दिशा में बिंदु पैमाना भी बराबर है इसलिए पैमाना समस्थानिक (सभी दिशाओं में समान) है, इसका परिमाण अक्षांश के साथ बढ़ता है। टिसोट आरेख में प्रत्येक असीम गोलाकार तत्व अपने आकार को संरक्षित रखता है लेकिन अक्षांश बढ़ने के साथ अधिक से अधिक बड़ा होता जाता है। लैम्बर्ट का समान क्षेत्रफल प्रक्षेपण लैम्बर्ट का समान क्षेत्रफल प्रक्षेपण गोले को एक परिमित आयत में समीकरणों द्वारा मानचित्रित करता है जहाँ a, और पिछले उदाहरण की तरह हैं। चूँकि पैमाने के कारक समानांतर पैमाने के मेरिडियन पैमाने हैं एक मनमाना दिशा में बिंदु पैमाने की गणना नीचे दी गई है। ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज तराजू अब एक दूसरे (एचके = 1) की भरपाई करते हैं और टिसोट आरेख में प्रत्येक असीम गोलाकार तत्व को भूमध्य रेखा पर अनिर्धारित वृत्तों के समान क्षेत्र के दीर्घवृत्त में विकृत किया जाता है। पैमाने के कारकों का ग्राफ उपरोक्त तीन उदाहरणों के लिए पैमाने के कारकों की भिन्नता को दर्शाता है। शीर्ष प्लॉट आइसोट्रोपिक मर्केटर स्केल फ़ंक्शन को दर्शाता हैः समानांतर पर पैमाना मेरिडियन पर पैमाने के समान है। अन्य भूखंड समरूपी प्रक्षेपण (एच = 1) और लैम्बर्ट के लिए समान क्षेत्रफल प्रक्षेपण के लिए मेरिडियन स्केल कारक दिखाते हैं। इन अंतिम दो अनुमानों का एक समानांतर पैमाना मर्केटर प्लॉट के समान है। लैम्बर्ट के लिए ध्यान दें कि समानांतर पैमाना (मर्केटर ए के रूप में) अक्षांश के साथ बढ़ता है और मेरिडियन पैमाना (सी) अक्षांश के साथ इस तरह से घटता है कि एचके = 1, क्षेत्र संरक्षण की गारंटी देता है। मर्केटर प्रक्षेपण पर पैमाने में भिन्नता मर्केटर बिंदु पैमाने भूमध्य रेखा पर एकता है क्योंकि यह ऐसा है कि इसके निर्माण में उपयोग किया जाने वाला सहायक सिलेंडर भूमध्य रेखा पर पृथ्वी के लिए स्पर्शरेखा है। इस कारण से सामान्य प्रक्षेपण को स्पर्शरेखा प्रक्षेपण कहा जाना चाहिए। पैमाने अक्षांश के साथ भिन्न होते हैं। चूंकि जब हम ध्रुवों के पास जाते हैं तो मर्केटर मानचित्र उच्च अक्षांशों पर पूरी तरह से विकृत हो जाता है और इस कारण से प्रक्षेपण विश्व मानचित्रों के लिए पूरी तरह से अनुचित है (जब तक कि हम नेविगेशन और रम्ब लाइनों पर चर्चा नहीं कर रहे हैं)। हालांकि, लगभग 25 डिग्री के अक्षांश पर का मान लगभग 1.1 है इसलिए भूमध्य रेखा पर केंद्रित 50 डिग्री चौड़ाई की पट्टी में मर्केटर 10 प्रतिशत के भीतर सटीक है। संकीर्ण पट्टियाँ बेहतर होती हैंः चौड़ाई 16 डिग्री (भूमध्य रेखा पर केंद्रित) की एक पट्टी 100 में 1 प्रतिशत या 1 भाग के भीतर सटीक होती है। अच्छे बड़े पैमाने के मानचित्रों के लिए एक मानक मानदंड यह है कि सटीकता 10,000 में 4 भागों के भीतर होनी चाहिए, या 0.04% के अनुरूप होनी चाहिए। चूंकि यह मान डिग्री पर प्राप्त होता है (नीचे चित्र, लाल रेखा देखें)। इसलिए, भूमध्य रेखा पर केंद्रित 3.24 डिग्री चौड़ाई की एक पट्टी के भीतर स्पर्शरेखा मर्केटर प्रक्षेपण अत्यधिक सटीक है। यह लगभग उत्तर-दक्षिण की दूरी से मेल खाती है। इस पट्टी के भीतर मर्केटर बहुत अच्छा, अत्यधिक सटीक और आकार संरक्षण है क्योंकि यह अनुरूप (कोण संरक्षण) है। इन टिप्पणियों ने अनुप्रस्थ मर्केटर अनुमानों के विकास को प्रेरित किया जिसमें एक मेरिडियन को प्रक्षेपण के 'भूमध्य रेखा की तरह' माना जाता है ताकि हम उस मेरिडियन की संकीर्ण दूरी के भीतर एक सटीक मानचित्र प्राप्त कर सकें। इस तरह के नक्शे लगभग उत्तर-दक्षिण (जैसे ग्रेट ब्रिटेन) संरेखित देशों के लिए अच्छे हैं और ऐसे 60 मानचित्रों के एक समूह का उपयोग यूनिवर्सल ट्रांसवर्स मर्केटर (यू. टी. एम.) के लिए किया जाता है। ध्यान दें कि इन दोनों अनुमानों में (जो विभिन्न दीर्घवृत्त पर आधारित हैं) x और y के लिए परिवर्तन समीकरण और पैमाने के कारक के लिए अभिव्यक्ति अक्षांश और देशांतर दोनों के जटिल कार्य हैं। सेकेंट, या संशोधित, अनुमान एक सेकेंट प्रक्षेपण का मूल विचार यह है कि गोले को एक सिलेंडर पर प्रक्षेपित किया जाता है जो गोले को दो समानांतर पर काटता है, जैसे उत्तर और दक्षिण। स्पष्ट रूप से इन अक्षांशों पर पैमाना अब सही है जबकि इन अक्षांशों के नीचे समानांतर प्रक्षेपण द्वारा संकुचित होते हैं और उनका (समानांतर) पैमाना कारक एक से कम होना चाहिए। परिणाम यह है कि एकता से पैमाने का विचलन अक्षांशों की एक विस्तृत श्रृंखला में कम हो जाता है। एक उदाहरण के रूप में, एक संभावित सेकेंट मर्केटर प्रक्षेपण द्वारा परिभाषित किया जाता है संख्यात्मक गुणक प्रक्षेपण के आकार को नहीं बदलते हैं, लेकिन इसका मतलब यह है कि पैमाने के कारकों को संशोधित किया जाता हैः सेकेंट मर्केटर पैमाने, इस प्रकार भूमध्य रेखा पर पैमाना 0.9996 है, पैमाने k = 1 है एक अक्षांश पर जहां दिया गया है ताकि डिग्री, k = 1.0004 किस डिग्री के लिए दिए गए अक्षांश पर हो। इसलिए, प्रक्षेपण में 4.58 डिग्री की एक विस्तृत पट्टी पर (स्पर्शरेखा रूप के लिए 3.24 डिग्री की तुलना में) 0.04% की सटीकता है। यह पिछले खंड के चित्र में निचले (हरे) वक्र द्वारा चित्रित किया गया है। उच्च सटीकता के ऐसे संकीर्ण क्षेत्रों का उपयोग यू. टी. एम. और ब्रिटिश ओ. एस. जी. बी. प्रक्षेपण में किया जाता है, जो दोनों केंद्रीय मेरिडियन स्थिरांक पर पैमाने के साथ दीर्घवृत्त पर सेकेंट, अनुप्रस्थ मर्केटर हैं। सम-आयामी रेखाएँ केंद्रीय मेरिडियन से लगभग 180 कि. मी. पूर्व और पश्चिम में थोड़ी घुमावदार रेखाएँ हैं। स्केल कारक का अधिकतम मूल्य यू. टी. एम. के लिए 1.001 और ओ. एस. जी. बी. के लिए 1.0007 है। अक्षांश (उत्तर और दक्षिण) पर इकाई पैमाने की रेखाएँ, जहाँ बेलनाकार प्रक्षेपण सतह गोले को काटती है, सेकेंट प्रक्षेपण के मानक समानांतर हैं। जबकि बड़े पैमाने पर उच्च सटीकता मानचित्रण के लिए एक संकीर्ण पट्टी महत्वपूर्ण है, विश्व मानचित्रों के लिए पैमाने की भिन्नता को नियंत्रित करने के लिए बहुत व्यापक दूरी वाले मानक समानांतर का उपयोग किया जाता है। उदाहरण 30N, 30S पर मानक समानांतर के साथ बेहरमैन हैं। 45N, 45S पर मानक समानांतर के साथ गैल बराबर क्षेत्र। लैम्बर्ट समान क्षेत्र पैमाने के कारकों की तुलना में बाद वाले के लिए पैमाने के भूखंड नीचे दिखाए गए हैं। उत्तरार्द्ध में भूमध्य रेखा एक एकल मानक समानांतर है और समान्तर पैमाने में कमी की भरपाई करने के लिए k = 1 से समानांतर पैमाने में वृद्धि होती है। गैल के लिए भूमध्य रेखा पर समानांतर पैमाने को कम किया जाता है (k = 0.707) जबकि मेरिडियन पैमाने को बढ़ाया जाता है (k = 1.414)। यह गैल-पीटर्स प्रक्षेपण में आकार की सकल विकृति को जन्म देता है। (ग्लोब पर अफ्रीका लगभग उतना ही लंबा है जितना कि यह चौड़ा है)। ध्यान दें कि मेरिडियन और समानांतर तराजू दोनों मानक समानांतर पर एकता हैं। गणितीय परिशिष्ट सामान्य बेलनाकार अनुमानों के लिए असीम तत्वों की ज्यामिति कोणों के बीच संबंध देती है और यह मर्केटर प्रक्षेपण के लिए हैः कोण संरक्षित हैं। (शायद ही आश्चर्य की बात है क्योंकि यह मर्केटर प्राप्त करने के लिए उपयोग किया जाने वाला संबंध है)। समान दूरी और लैम्बर्ट अनुमानों के लिए हमारे पास क्रमशः और इसलिए और के बीच का संबंध अक्षांश पर निर्भर करता है। जब असीम तत्व पी. क्यू. मेरिडियन के साथ एक कोण बनाता है तो पी पर बिंदु पैमाने को निरूपित करें यह दूरी के अनुपात द्वारा दिया जाता हैः सेटिंग और प्रतिस्थापन और समीकरणों (ए) और (बी) से क्रमशः मिलता है। मर्केटर के अलावा अन्य अनुमानों के लिए हमें पहले समीकरण (सी) से गणना करनी चाहिए और इसका उपयोग करना चाहिए, इससे पहले कि हम पा सकें। उदाहरण के लिए, सम-आयामी प्रक्षेपण में ऐसा है कि यदि हम प्रक्षेपण पर स्थिर ढलान की एक रेखा पर विचार करते हैं, तो रेखा के साथ संबंधित मान और पैमाने कारक दोनों के जटिल कार्य हैं। एक सामान्य परिमित पृथक्करण को बार स्केल में स्थानांतरित करने और सार्थक परिणाम प्राप्त करने का कोई सरल तरीका नहीं है। अनुपात प्रतीक जबकि बृहदान्त्र का उपयोग अक्सर अनुपात को व्यक्त करने के लिए किया जाता है, यूनिकोड अनुपात के लिए विशिष्ट प्रतीक को व्यक्त कर सकता है, जिसे थोड़ा बढ़ाया जा रहा हैः भौगोलिक दूरी पैमाना (विश्लेषणात्मक उपकरण) पैमाना (अनुपात) पैमाना (ज्यामिति) विज्ञान टिप्पणियों में यथार्थता पर स्थानिक पैमाना संदर्भ मानचित्रण चीनी आविष्कार माप