Generalized extreme value distribution
संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी में, सामान्यीकृत चरम मूल्य (जी. ई. वी.) वितरण निरंतर संभाव्यता वितरण का एक परिवार है जो चरम मूल्य सिद्धांत के भीतर गुंबेल, फ्रेचेट और वेइबुल परिवारों को संयोजित करने के लिए विकसित किया गया है जिन्हें प्रकार I, II और III चरम मूल्य वितरण के रूप में भी जाना जाता है। चरम मूल्य प्रमेय द्वारा जी. ई. वी. वितरण स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चरों के अनुक्रम के ठीक से सामान्यीकृत अधिकतम का एकमात्र संभव सीमा वितरण है। ध्यान दें कि एक सीमा वितरण मौजूद होना चाहिए, जिसके लिए वितरण के पिछले हिस्से पर नियमितता की शर्तों की आवश्यकता होती है। इसके बावजूद, जी. ई. वी. वितरण का उपयोग अक्सर यादृच्छिक चर के लंबे (सीमित) अनुक्रमों के अधिकतम मॉडल के लिए एक सन्निकटन के रूप में किया जाता है। अनुप्रयोग के कुछ क्षेत्रों में सामान्यीकृत चरम मूल्य वितरण को फिशर-टिपेट वितरण के रूप में जाना जाता है, जिसका नाम रोनाल्ड फिशर और एल. एच. सी. टिपेट के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने नीचे उल्लिखित तीन अलग-अलग रूपों को मान्यता दी है। हालांकि इस नाम का उपयोग कभी-कभी गुंबेल वितरण के विशेष मामले के अर्थ तक सीमित है। सभी 3 वितरणों के लिए सामान्य कार्यात्मक रूप की उत्पत्ति कम से कम जेनकिंसन, ए. एफ. (1955) से हुई है, हालांकि कथित तौर पर यह वॉन मिसेस, आर. (1936) द्वारा भी दी गई हो सकती है। विनिर्देशन मानकीकृत चर का उपयोग करते हुए जहाँ स्थान पैरामीटर, कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है, और स्केल पैरामीटर है; जीईवी वितरण का संचयी वितरण कार्य तब होता है जहाँ आकार पैरामीटर, कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है। इस प्रकार, के लिए, अभिव्यक्ति के लिए मान्य है जबकि यह के लिए मान्य है पहले मामले में, नकारात्मक, निचला अंत-बिंदु है, जहां 0 है; दूसरे मामले में, सकारात्मक, ऊपरी अंत-बिंदु है, जहां 1 है। दूसरी अभिव्यक्ति के लिए औपचारिक रूप से अनिर्धारित है और पहली अभिव्यक्ति के साथ प्रतिस्थापित किया जाता है, जो दूसरी की सीमा लेने का परिणाम है, जिस मामले में कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है। इस तरह के विशेष मामले में और जो भी मान और हो सकते हैं, उनके लिए ≈। मानकीकृत वितरण का संभाव्यता घनत्व कार्य फिर से मामले में मान्य है और मामले में घनत्व प्रासंगिक सीमा के बाहर शून्य है। इस मामले में घनत्व पूरी वास्तविक रेखा पर सकारात्मक है। चूँकि संचयी वितरण फलन व्युत्क्रमणीय है, जी. ई. वी. वितरण के लिए मात्रात्मक फलन की एक स्पष्ट अभिव्यक्ति है, अर्थात् और इसलिए मात्रात्मक घनत्व फलन किसी भी वास्तविक सारांश सांख्यिकी के लिए मान्य है। अतिरिक्त कुर्टोसिस हैः कहाँ, और गामा कार्य है। फ्रेचेट, वेइबुल और गुंबेल परिवारों से जुड़ें आकार पैरामीटर वितरण के पूंछ व्यवहार को नियंत्रित करता है। गुंबेल, फ्रेचेट और वेइबुल परिवारों द्वारा परिभाषित और उनके अनुरूप उप-परिवार, जिनके संचयी वितरण कार्य नीचे प्रदर्शित किए गए हैं। गुंबेल या प्रकार I चरम मूल्य वितरण () फ्रेचेट या प्रकार II चरम मूल्य वितरण, यदि और विपरीत वेबुल या प्रकार III चरम मूल्य वितरण, यदि और नीचे दिए गए उपखंड इन वितरणों के गुणों पर टिप्पणी करते हैं। मैक्सिमा के बजाय मिनीमा के लिए संशोधन यहाँ सिद्धांत डेटा मैक्सिमा से संबंधित है और जिस वितरण पर चर्चा की जा रही है वह मैक्सिमा के लिए एक चरम मूल्य वितरण है। डेटा मिनीमा के लिए एक सामान्यीकृत चरम मूल्य वितरण प्राप्त किया जा सकता है, उदाहरण के लिए वितरण फलन में x के लिए (−x) को प्रतिस्थापित करके, और एक से घटाकरः यह वितरण का एक अलग परिवार देता है। वेइबुल वितरण के लिए वैकल्पिक परिपाटी सामान्य वेइबुल वितरण विश्वसनीयता अनुप्रयोगों में उत्पन्न होता है और यहां वितरण से चर का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है, जो यहां चरम मूल्य सिद्धांत में उपयोग के विपरीत सख्ती से सकारात्मक समर्थन देता है। ऐसा इसलिए होता है क्योंकि साधारण वेइबुल वितरण का उपयोग उन मामलों में किया जाता है जो डेटा मैक्सिमा के बजाय डेटा मिनीमा से संबंधित होते हैं। वेइबुल वितरण के सामान्य रूप की तुलना में यहाँ वितरण में एक अतिरिक्त पैरामीटर है और इसके अलावा, उल्टा किया जाता है ताकि वितरण में निचली सीमा के बजाय ऊपरी सीमा हो। महत्वपूर्ण रूप से, जीईवी के अनुप्रयोगों में, ऊपरी सीमा अज्ञात है और इसलिए इसका अनुमान लगाया जाना चाहिए, जबकि विश्वसनीयता अनुप्रयोगों में साधारण वेबुल वितरण को लागू करते समय निचली सीमा को आमतौर पर शून्य के रूप में जाना जाता है। वितरण की श्रेणियाँ तीन चरम मूल्य वितरणों के लिए ब्याज की श्रेणियों में अंतर पर ध्यान देंः गुंबेल असीमित है, फ्रेचेट की कम सीमा है, जबकि विपरीत वेइबुल की ऊपरी सीमा है। अधिक सटीक रूप से, चरम मूल्य सिद्धांत (अविभाज्य सिद्धांत) वर्णन करता है कि प्रारंभिक नियम X के अनुसार और विशेष रूप से इसकी पूंछ के आधार पर तीनों में से कौन सा सीमित करने वाला नियम है। लॉग चरों का वितरण एक प्रकार I को प्रकार II और III से निम्नलिखित तरीके से जोड़ सकता हैः यदि किसी यादृच्छिक चर का संचयी वितरण कार्य प्रकार II का है, और समर्थन के रूप में सकारात्मक संख्याओं के साथ, अर्थात। , तो संचयी वितरण कार्य प्रकार I का है, अर्थात्। इसी तरह, यदि संचयी वितरण कार्य प्रकार III का है, और समर्थन के रूप में नकारात्मक संख्याओं के साथ, अर्थात। , तो संचयी वितरण कार्य प्रकार I का है, अर्थात्। लॉजिट मॉडल (लॉजिस्टिक रिग्रेशन) के लिंक, मल्टीनोमियल लॉजिट मॉडल, और कुछ अन्य प्रकार के लॉजिस्टिक रिग्रेशन को गुप्त चर मॉडल के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जिसमें त्रुटि चर को गुंबेल वितरण (प्रकार I सामान्यीकृत चरम मूल्य वितरण) के रूप में वितरित किया जा सकता है। यह वाक्यांश असतत विकल्प मॉडल के सिद्धांत में आम है, जिसमें लॉजिट मॉडल, प्रोबिट मॉडल और उनके विभिन्न विस्तार शामिल हैं, और इस तथ्य से व्युत्पन्न है कि दो प्रकार-I जीईवी-वितरित चर का अंतर एक लॉजिस्टिक वितरण का अनुसरण करता है, जिसमें से लॉजिट फ़ंक्शन मात्रात्मक कार्य है। टाइप-I जी. ई. वी. वितरण इस प्रकार इन लॉजिट मॉडल में वही भूमिका निभाता है जो सामान्य वितरण संबंधित प्रोबिट मॉडल में करता है। गुण सामान्यीकृत चरम मूल्य वितरण का संचयी वितरण कार्य स्थिरता अभिधारणा समीकरण को हल करता है। सामान्यीकृत चरम मूल्य वितरण एक अधिकतम-स्थिर वितरण का एक विशेष मामला है, और एक न्यूनतम-स्थिर वितरण का एक परिवर्तन है। अनुप्रयोग जी. ई. वी. वितरण का व्यापक रूप से बीमा से लेकर वित्त तक के क्षेत्रों में "अंतिम जोखिम" के उपचार में उपयोग किया जाता है। बाद के मामले में, इसे जोखिम पर मूल्य जैसे मेट्रिक्स के माध्यम से विभिन्न वित्तीय जोखिमों का आकलन करने के साधन के रूप में माना गया है। हालांकि, परिणामी आकार मापदंडों को अनिर्धारित साधनों और भिन्नताओं की सीमा में पाया गया है, जो इस तथ्य को रेखांकित करता है कि विश्वसनीय डेटा विश्लेषण अक्सर असंभव होता है। जलविज्ञान में जी. ई. वी. वितरण चरम घटनाओं जैसे वार्षिक अधिकतम एक दिवसीय वर्षा और नदी के निर्वहन पर लागू होता है। कमफ्रेक के साथ बनाई गई नीली तस्वीर, जी. ई. वी. वितरण को वार्षिक रूप से अधिकतम एक दिवसीय वर्षा के लिए फिट करने का एक उदाहरण दर्शाती है जो द्विपद वितरण के आधार पर 90 प्रतिशत आत्मविश्वास बेल्ट को भी दर्शाती है। वर्षा के आंकड़ों को संचयी आवृत्ति विश्लेषण के हिस्से के रूप में स्थिति को प्लॉट करके दर्शाया जाता है। सामान्य रूप से वितरित चर के लिए उदाहरण मान लीजिए। आम तौर पर माध्य 0 और विचरण 1 के साथ यादृच्छिक चर वितरित किए जाते हैं। फिशर-टिपेट-गेनेडेंको प्रमेय हमें बताता है कि, कहाँ। यह हमें अनुमान लगाने की अनुमति देता है जैसे। जी. ई. वी. वितरण के माध्य से का माध्यः यूलर-मासचेरोनी स्थिरांक कहाँ है। संबंधित वितरण यदि तब (गुंबेल वितरण) तब (वेइबुल वितरण) तब (वेइबुल वितरण) तब (वेइबुल वितरण) यदि (घातीय वितरण) तब (लॉजिस्टिक वितरण देखें)। यदि और फिर (योग एक रसद वितरण नहीं है)। इस पर ध्यान दें। सबूत 4. मान लीजिए, तो संचयी वितरण हैः जिसके लिए सी. डी. एफ. है। 5. मान लीजिए, तो संचयी वितरण हैः जो संचयी वितरण है। यह भी देखें चरम मूल्य सिद्धांत (अविभाज्य सिद्धांत) फिशर-टिपेट-गेनेडेंको प्रमेय सामान्यीकृत पेरेटो वितरण जर्मन टैंक समस्या, जनसंख्या का विपरीत प्रश्न अधिकतम दिया गया नमूना अधिकतम पिकैंड्स-बाल्केमा-डी हान प्रमेय संदर्भ आगे पढ़ना निरंतर वितरण चरम मूल्य डेटा स्थान-पैमाने परिवार संभावना वितरण स्थिरता (संभावना)