Appell sequence
गणित में, पॉल एमिल एपेल के नाम पर एक एपेल अनुक्रम, कोई भी बहुपद अनुक्रम है जो पहचान को संतुष्ट करता है और जिसमें एक गैर-शून्य स्थिरांक होता है। तुच्छ उदाहरण के अलावा सबसे उल्लेखनीय एपेल अनुक्रमों में हर्माइट बहुपद, बर्नौली बहुपद और यूलर बहुपद हैं। प्रत्येक एपेल अनुक्रम एक शेफर अनुक्रम है, लेकिन अधिकांश शेफर अनुक्रम एपेल अनुक्रम नहीं हैं। एपेल अनुक्रमों में क्षणों की प्रणालियों के रूप में एक संभावित व्याख्या होती है। एपेल अनुक्रमों के समतुल्य लक्षण वर्णन बहुपद अनुक्रमों पर निम्नलिखित शर्तों को आसानी से समतुल्य देखा जा सकता हैः के लिए, और एक गैर-शून्य स्थिरांक है; के साथ स्केलर के कुछ अनुक्रम के लिए, स्केलर के समान अनुक्रम के लिए, जहाँ के लिए, रिकर्शन सूत्र मान लीजिए कि बहुपदों के स्थान पर रैखिक प्रचालक को परिभाषित करने के लिए अंतिम समानता कहाँ ली गई है। मान लीजिए कि व्युत्क्रम प्रचालक, गुणांक एक औपचारिक शक्ति श्रृंखला के सामान्य पारस्परिक के हैं, ताकि अम्ब्रल कलन की परंपराओं में, इस औपचारिक शक्ति श्रृंखला को अक्सर एपेल अनुक्रम का प्रतिनिधित्व करने के रूप में माना जाता है। इसकी सामान्य शक्ति श्रृंखला विस्तार और औपचारिक शक्ति श्रृंखला की संरचना की सामान्य परिभाषा का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है। फिर हमारे पास (विभेदक प्रचालक में एक शक्ति श्रृंखला का यह औपचारिक विभेदन पिंचरले विभेदन का एक उदाहरण है।) हर्माइट बहुपदों के मामले में, यह उस अनुक्रम के लिए पारंपरिक पुनरावृत्ति सूत्र तक कम हो जाता है। शेफर बहुपदों का उपसमूह सभी एपेल अनुक्रमों का समूह बहुपद अनुक्रमों की अम्ब्रल संरचना के संचालन के तहत बंद किया जाता है, जिसे निम्नानुसार परिभाषित किया गया है। मान लीजिए और द्वारा दिए गए बहुपद अनुक्रम हैं तो अम्ब्रल संरचना वह बहुपद अनुक्रम है जिसका th पद है (अभिलिखन इसमें दिखाई देता है, क्योंकि यह उस अनुक्रम का th पद है, लेकिन में नहीं, क्योंकि यह अनुक्रम को इसके एक पद के बजाय पूरे के रूप में संदर्भित करता है)। इस ऑपरेशन के तहत, सभी शेफर अनुक्रमों का सेट एक गैर-एबेलियन समूह है, लेकिन सभी एपेल अनुक्रमों का सेट एक एबेलियन उपसमूह है। यह कि यह अबेलियन है, इस तथ्य पर विचार करके देखा जा सकता है कि प्रत्येक एपेल अनुक्रम एक रूप का है और एपेल अनुक्रमों की अम्ब्रल संरचना प्रचालक में इन औपचारिक शक्ति श्रृंखलाओं के गुणन से मेल खाती है। अलग परंपरा कुछ लेखकों द्वारा अनुसरण की जाने वाली एक अन्य परंपरा (चिहारा देखें) इस अवधारणा को एक अलग तरीके से परिभाषित करती है, जो एपेल की मूल परिभाषा के साथ विरोधाभासी है, इसके बजाय पहचान का उपयोग करके। हाइपरजियोमेट्रिक एपेल बहुपद एपेल बहुपदों का विशाल वर्ग सामान्यीकृत हाइपरजियोमेट्रिक कार्य के संदर्भ में प्राप्त किया जा सकता है। आइए अनुपातों की सरणी को निरूपित करें बहुपद पर विचार करें जहां सामान्यीकृत हाइपरजियोमेट्रिक फ़ंक्शन है। प्रमेय। बहुपद परिवार किसी भी प्राकृतिक मापदंड के लिए एपेल अनुक्रम है। उदाहरण के लिए, यदि बहुपद गौल्ड-हॉपर बहुपद बन जाते हैं और यदि वे हर्माइट बहुपद बन जाते हैं। शेफ़र अनुक्रम अम्ब्रल कैलकुलस जनरलाइज़्ड एप्पेल बहुपद विक उत्पाद संदर्भ भी देखें। इसी शीर्षक के साथ पुस्तक में पुनर्मुद्रित, अकादमिक प्रेस, न्यूयॉर्क, 1975। बाहरी लिंक मैथवर्ल्ड बहुपदों में एपेल अनुक्रम