Vector projection
एक गैर-शून्य सदिश पर एक सदिश का सदिश प्रक्षेपण (जिसे सदिश घटक या सदिश संकल्प के रूप में भी जाना जाता है) एक सीधी रेखा के समानांतर एक सदिश का ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण है। ऑनटू के प्रक्षेपण को अक्सर या के रूप में लिखा जाता है। वेक्टर घटक या वेक्टर का लंबवत संकल्प, जिसे कभी-कभी (निरूपित या) से वेक्टर अस्वीकृति भी कहा जाता है, समतल (या, सामान्य रूप से, हाइपरप्लेन) पर का ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण है जो ऑर्थोगोनल है। चूँकि दोनों और वेक्टर हैं, और उनका योग बराबर है, इसलिए से की अस्वीकृति इस प्रकार दी गई हैः संकेतन को सरल बनाने के लिए, यह लेख परिभाषित करता है और इस प्रकार, वेक्टर वेक्टर के समानांतर है जो ऑर्थोगोनल है और ऑनटू के प्रक्षेपण को एक दिशा और एक स्केलर परिमाण में विघटित किया जा सकता है जहाँ इसे एक स्केलर है, जिसे ऑनटू का स्केलर प्रक्षेपण कहा जाता है, और इसकी दिशा में इकाई वेक्टर है। स्केलर प्रक्षेपण को इस प्रकार परिभाषित किया गया है कि जहां प्रचालक एक बिंदु उत्पाद को दर्शाता है, ′a′ की लंबाई है, और θ और के बीच का कोण है। स्केलर प्रक्षेपण वेक्टर प्रक्षेपण की लंबाई के पूर्ण मूल्य के बराबर होता है, एक माइनस संकेत के साथ यदि प्रक्षेपण की दिशा की दिशा के विपरीत है, यानी, यदि वैक्टरों के बीच का कोण 90 डिग्री से अधिक है। वेक्टर प्रक्षेपण की गणना और के बिंदु उत्पाद का उपयोग करके की जा सकती हैः संकेतन यह लेख इस परंपरा का उपयोग करता है कि वैक्टर को एक बोल्ड फ़ॉन्ट में दर्शाया जाता है (जैसे। ), और स्केलर सामान्य फ़ॉन्ट में लिखे जाते हैं (जैसे। ए1)। वैक्टरों का बिंदु उत्पाद और इसे इस रूप में लिखा जाता है, के मानक को लिखा जाता है, और के बीच के कोण को θ दर्शाया जाता है। कोण θ स्केलर प्रक्षेपण पर आधारित परिभाषाएँ ऑन का स्केलर प्रक्षेपण एक स्केलर है जहाँ θ और के बीच का कोण है। एक स्केलर प्रक्षेपण का उपयोग संबंधित वेक्टर प्रक्षेपण की गणना करने के लिए एक पैमाने के कारक के रूप में किया जा सकता है। वेक्टर प्रक्षेपण ऑन का वेक्टर प्रक्षेपण एक वेक्टर है जिसका परिमाण उसी दिशा के साथ ऑन का स्केलर प्रक्षेपण है। अर्थात्, इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है कि संबंधित स्केलर प्रक्षेपण कहाँ है, जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है, और वही दिशा वाला इकाई सदिश हैः वेक्टर अस्वीकृति परिभाषा के अनुसार, ऑन की सदिश अस्वीकृति हैः इसलिए, ए और बी के संदर्भ में परिभाषाएँ जब ज्ञात नहीं होता है, तो की कोसाइन की गणना डॉट उत्पाद स्केलर प्रक्षेपण की निम्नलिखित संपत्ति के संदर्भ में की जा सकती है। इसलिए, इस तरह के एक डॉट उत्पाद को "पर्प डॉट उत्पाद" कहा जाता है। वेक्टर अस्वीकृति परिभाषा के अनुसार, इसलिए, पर्प डॉट उत्पाद का उपयोग करके स्केलर अस्वीकृति का उपयोग करने से यह गुण स्केलर प्रक्षेपण देता है। यदि कोण 90° से छोटा है तो यह सदिश प्रक्षेपण की लंबाई के साथ मेल खाता है। अधिक सटीक रूप सेः यदि, यदि। वेक्टर प्रक्षेपण ऑन का वेक्टर प्रक्षेपण एक वेक्टर है जो या तो शून्य है या इसके समानांतर है। अधिक सटीक रूप सेः यदि, और एक ही दिशा है यदि, और विपरीत दिशाएँ हैं यदि। वेक्टर अस्वीकृति ऑन की वेक्टर अस्वीकृति एक वेक्टर है जो या तो शून्य या ऑर्थोगोनल है। अधिक सटीक रूप सेः यदि या, यदि के लिए ऑर्थोगोनल है, मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण को एक प्रक्षेपण मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया जा सकता है। इकाई सदिश पर एक सदिश को प्रक्षेपित करने के लिए, इसे इस प्रक्षेपण मैट्रिक्स के साथ गुणा करने की आवश्यकता होगीः उपयोग सदिश प्रक्षेपण सदिश अंतरिक्ष आधारों के ग्राम-श्मिट ऑर्थोनॉर्मलाइजेशन में एक महत्वपूर्ण ऑपरेशन है। इसका उपयोग पृथक्करण अक्ष प्रमेय में यह पता लगाने के लिए भी किया जाता है कि क्या दो उत्तल आकृतियाँ एक दूसरे को काटती हैं। सामान्यीकरण चूंकि सदिश की लंबाई और सदिशों के बीच कोण की धारणाओं को किसी भी एन-आयामी आंतरिक उत्पाद स्थान के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, यह एक सदिश के ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण, दूसरे पर एक सदिश के प्रक्षेपण और दूसरे से एक सदिश की अस्वीकृति की धारणाओं के लिए भी सच है। कुछ मामलों में, आंतरिक उत्पाद डॉट उत्पाद के साथ मेल खाता है। जब भी वे मेल नहीं खाते हैं, तो प्रक्षेपण और अस्वीकृति की औपचारिक परिभाषाओं में बिंदु उत्पाद के बजाय आंतरिक उत्पाद का उपयोग किया जाता है। एक त्रि-आयामी आंतरिक उत्पाद स्थान के लिए, एक वेक्टर के दूसरे पर प्रक्षेपण और दूसरे से एक वेक्टर की अस्वीकृति की धारणाओं को एक तल पर एक वेक्टर के प्रक्षेपण की धारणाओं और एक तल से एक वेक्टर की अस्वीकृति के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। एक तल पर एक सदिश का प्रक्षेपण उस तल पर उसका ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण है। एक तल से एक वेक्टर की अस्वीकृति एक सीधी रेखा पर उसका ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण है जो उस तल के लिए ऑर्थोगोनल है। दोनों वैक्टर हैं। पहला तल के समानांतर है, दूसरा ऑर्थोगोनल है। किसी दिए गए सदिश और तल के लिए, प्रक्षेपण और अस्वीकृति का योग मूल सदिश के बराबर होता है। इसी तरह, तीन से अधिक आयामों वाले आंतरिक उत्पाद स्थानों के लिए, एक वेक्टर पर प्रक्षेपण की धारणाओं और एक वेक्टर से अस्वीकृति को एक हाइपरप्लेन पर प्रक्षेपण की धारणाओं और एक हाइपरप्लेन से अस्वीकृति के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। ज्यामितीय बीजगणित में, उन्हें किसी भी व्युत्क्रमणीय के-ब्लेड पर/से एक सामान्य मल्टीवेक्टर के प्रक्षेपण और अस्वीकृति की धारणाओं के लिए आगे सामान्यीकृत किया जा सकता है। स्केलर प्रक्षेपण वेक्टर संकेतन संदर्भ भी देखें बाहरी लिंक एक विमान पर एक वेक्टर का प्रक्षेपण वैक्टर परिवर्तन (कार्य) कार्य और मानचित्रण पर संचालन