Instrumental variables estimation
सांख्यिकी, अर्थशास्त्र, महामारी विज्ञान और संबंधित विषयों में, वाद्य चर (IV) की विधि का उपयोग कारण संबंधों का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है जब नियंत्रित प्रयोग संभव नहीं होते हैं या जब एक यादृच्छिक प्रयोग में प्रत्येक इकाई को सफलतापूर्वक उपचार नहीं दिया जाता है। स्वाभाविक रूप से, IVs का उपयोग तब किया जाता है जब ब्याज के एक व्याख्यात्मक चर को त्रुटि शब्द के साथ सहसंबद्ध किया जाता है, जिस स्थिति में साधारण न्यूनतम वर्ग और ए. एन. ओ. वी. ए. पक्षपाती परिणाम देते हैं। एक वैध उपकरण व्याख्यात्मक चर में परिवर्तन को प्रेरित करता है लेकिन आश्रित चर पर इसका कोई स्वतंत्र प्रभाव नहीं होता है, जिससे एक शोधकर्ता को आश्रित चर पर व्याख्यात्मक चर के कारण प्रभाव को उजागर करने की अनुमति मिलती है। जब व्याख्यात्मक चर (सहपरिवर्तन) एक प्रतिगमन मॉडल में त्रुटि शब्दों के साथ सहसंबद्ध होते हैं तो वाद्य परिवर्तनीय विधियाँ सुसंगत आकलन की अनुमति देती हैं। इस तरह का सहसंबंध तब हो सकता है जब आश्रित चर में परिवर्तन कम से कम एक सहपरिवर्तक ("विपरीत" कारण) के मूल्य को बदल देता है, ऐसे बहिष्कृत चर होते हैं जो आश्रित और व्याख्यात्मक चर दोनों को प्रभावित करते हैं, या सहपरिवर्तक गैर-यादृच्छिक माप त्रुटि के अधीन होते हैं। प्रतिगमन के संदर्भ में इनमें से एक या अधिक मुद्दों से पीड़ित व्याख्यात्मक चर को कभी-कभी अंतर्जनित के रूप में संदर्भित किया जाता है। इस स्थिति में, साधारण न्यूनतम वर्ग पक्षपाती और असंगत अनुमान लगाते हैं। हालाँकि, यदि कोई उपकरण उपलब्ध है, तो लगातार अनुमान अभी भी प्राप्त किए जा सकते हैं। एक उपकरण एक चर है जो स्वयं व्याख्यात्मक समीकरण से संबंधित नहीं है, लेकिन अन्य सहपरिवर्तकों के मूल्य पर सशर्त रूप से अंतर्जात व्याख्यात्मक चर के साथ सहसंबद्ध है। रैखिक मॉडलों में, आई. वी. एस. का उपयोग करने के लिए दो मुख्य आवश्यकताएँ होती हैंः उपकरण को अन्य सहपरिवर्तकों पर सशर्त रूप से अंतर्जनित व्याख्यात्मक चर के साथ सहसंबद्ध होना चाहिए। यदि यह सहसंबंध मजबूत है, तो कहा जाता है कि उपकरण का पहला चरण मजबूत है। एक कमजोर सहसंबंध मापदंड अनुमानों और मानक त्रुटियों के बारे में भ्रामक निष्कर्ष प्रदान कर सकता है। उपकरण को व्याख्यात्मक समीकरण में त्रुटि शब्द के साथ सहसंबद्ध नहीं किया जा सकता है, सशर्त रूप से अन्य सहपरिवर्तकों पर। दूसरे शब्दों में, उपकरण मूल भविष्यवाणी चर के समान समस्या से पीड़ित नहीं हो सकता है। यदि यह शर्त पूरी हो जाती है, तो उपकरण को बहिष्करण प्रतिबंध को पूरा करने के लिए कहा जाता है। उदाहरण अनौपचारिक रूप से, किसी अन्य Y ("आश्रित चर") पर कुछ चर X ("सहपरिवर्तन" या "व्याख्यात्मक चर") के कारणात्मक प्रभाव का अनुमान लगाने के प्रयास में, एक उपकरण एक तीसरा चर Z है जो केवल X पर अपने प्रभाव के माध्यम से Y को प्रभावित करता है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि एक शोधकर्ता सामान्य स्वास्थ्य (वाई) पर धूम्रपान (एक्स) के कारण प्रभाव का अनुमान लगाना चाहता है। धूम्रपान और स्वास्थ्य के बीच संबंध का मतलब यह नहीं है कि धूम्रपान खराब स्वास्थ्य का कारण बनता है क्योंकि अन्य चर, जैसे कि अवसाद, स्वास्थ्य और धूम्रपान दोनों को प्रभावित कर सकता है, या क्योंकि स्वास्थ्य धूम्रपान को प्रभावित कर सकता है। सामान्य आबादी में धूम्रपान की स्थिति पर नियंत्रित प्रयोग करना संभव नहीं है। शोधकर्ता धूम्रपान के लिए एक उपकरण के रूप में तंबाकू उत्पादों (जेड) के लिए कर दर का उपयोग करके अवलोकन डेटा से स्वास्थ्य पर धूम्रपान के कारण प्रभाव का अनुमान लगाने का प्रयास कर सकता है। तंबाकू उत्पादों के लिए कर की दर एक उपकरण के लिए एक उचित विकल्प है क्योंकि शोधकर्ता मानता है कि इसे केवल धूम्रपान पर इसके प्रभाव के माध्यम से स्वास्थ्य के साथ सहसंबद्ध किया जा सकता है। यदि शोधकर्ता तब तंबाकू करों और स्वास्थ्य की स्थिति को सहसंबद्ध पाता है, तो इसे इस बात के प्रमाण के रूप में देखा जा सकता है कि धूम्रपान स्वास्थ्य में परिवर्तन का कारण बनता है। एक उपकरण चर का पहला उपयोग 1928 में फिलिप जी. राइट की एक पुस्तक में हुआ, जो संयुक्त राज्य अमेरिका में 1900 के दशक की शुरुआत में वनस्पति और पशु तेलों के उत्पादन, परिवहन और बिक्री के अपने उत्कृष्ट विवरण के लिए जाने जाते हैं, जबकि 1945 में, ओलाव रेयर्सोल ने अपने शोध प्रबंध में त्रुटियों-में-चर मॉडल के संदर्भ में एक ही दृष्टिकोण को लागू किया, जिससे विधि को इसका नाम मिला। राइट ने संयुक्त राज्य अमेरिका में बेची जाने वाली कीमतों और मात्राओं पर पैनल डेटा का उपयोग करके मक्खन की आपूर्ति और मांग निर्धारित करने का प्रयास किया। विचार यह था कि एक प्रतिगमन विश्लेषण मांग या आपूर्ति वक्र उत्पन्न कर सकता है क्योंकि वे कीमतों और मांग या आपूर्ति की गई मात्राओं के बीच के मार्ग से बनते हैं। समस्या यह थी कि अवलोकन संबंधी आंकड़ों ने मांग या आपूर्ति वक्र नहीं बनाया, बल्कि बिंदु टिप्पणियों का एक बादल बनाया जो अलग-अलग बाजार स्थितियों में अलग-अलग आकार लेते थे। ऐसा लगता था कि आंकड़ों से कटौती करना मुश्किल था। समस्या यह थी कि कीमत ने आपूर्ति और मांग दोनों को प्रभावित किया ताकि दोनों में से केवल एक का वर्णन करने वाले कार्य का निर्माण सीधे अवलोकन डेटा से नहीं किया जा सके। राइट ने सही निष्कर्ष निकाला कि उन्हें एक ऐसे चर की आवश्यकता है जो या तो मांग या आपूर्ति के साथ सहसंबद्ध हो, लेकिन दोनों के साथ नहीं-यानी एक वाद्य चर। बहुत विचार-विमर्श के बाद, राइट ने क्षेत्रीय वर्षा को अपने सहायक चर के रूप में उपयोग करने का फैसला कियाः उन्होंने निष्कर्ष निकाला कि वर्षा ने घास उत्पादन को प्रभावित किया और इसलिए दूध उत्पादन और अंततः मक्खन की आपूर्ति, लेकिन मक्खन की मांग नहीं। इस तरह वह मूल्य और आपूर्ति के केवल साधन चर के साथ एक प्रतिगमन समीकरण का निर्माण करने में सक्षम थे। प्रति-तथ्यात्मक और चित्रमय मानदंडों का उपयोग करते हुए वाद्य चर की औपचारिक परिभाषाएँ 2000 में जूडिया पर्ल द्वारा दी गई थीं। एंग्रिस्ट और क्रूगर (2001) ने इतिहास और वाद्य परिवर्तनीय तकनीकों के उपयोग का एक सर्वेक्षण प्रस्तुत किया। अर्थशास्त्र में कार्य-कारण की धारणाएँ, और वाद्य चर और अन्य तरीकों के साथ उनके संबंधों पर हेकमैन (2008) द्वारा चर्चा की गई है। जबकि IV के पीछे के विचार मॉडलों के एक व्यापक वर्ग तक फैले हुए हैं, IV के लिए एक बहुत ही सामान्य संदर्भ रैखिक प्रतिगमन में है। परंपरागत रूप से, एक वाद्य चर को एक चर Z के रूप में परिभाषित किया जाता है जो स्वतंत्र चर X के साथ सहसंबद्ध है और रैखिक समीकरण में "त्रुटि शब्द" U के साथ असंबद्ध एक सदिश है। एक मैट्रिक्स है, आमतौर पर एक के कॉलम के साथ और शायद अन्य सहपरिवर्तकों के लिए अतिरिक्त कॉलम के साथ। विचार करें कि कैसे एक उपकरण को पुनर्प्राप्त करने की अनुमति देता है। याद रखें कि ओ. एल. एस. इस तरह से हल करता है कि (जब हम वर्ग त्रुटियों के योग को कम करते हैं, तो प्रथम क्रम की स्थिति बिल्कुल ठीक होती है।) यदि माना जाता है कि सही मॉडल ऊपर सूचीबद्ध किसी भी कारण से है-उदाहरण के लिए, यदि कोई छोड़ा गया चर है जो दोनों को अलग-अलग प्रभावित करता है-तो यह ओ. एल. एस. प्रक्रिया ओ. एल. एस. का कारणात्मक प्रभाव नहीं देगी। ओ. एल. एस. बस उस पैरामीटर को चुनेगा जिससे परिणामी त्रुटियाँ असंबद्ध दिखाई देती हैं। सरलता के लिए एकल-चर मामले पर विचार करें। मान लीजिए कि हम एक चर और एक स्थिरांक के साथ प्रतिगमन पर विचार कर रहे हैं (शायद कोई अन्य सहपरिवर्तक आवश्यक नहीं हैं, या शायद हमने किसी अन्य प्रासंगिक सहपरिवर्तक को आंशिक कर दिया है): इस मामले में, ब्याज के प्रतिगामी पर गुणांक इसके द्वारा दिया जाता है। प्रतिस्थापित करने से पता चलता है कि अनुमानित गुणांक सदिश क्या होगा यदि x, u के साथ सहसंबद्ध नहीं था। इस मामले में, यह दिखाया जा सकता है कि यह एक निष्पक्ष अनुमानक है यदि अंतर्निहित मॉडल में जिसे हम मानते हैं, तो OLS एक गुणांक देता है जो ब्याज के अंतर्निहित कारण प्रभाव को प्रतिबिंबित नहीं करता है। IV मापदंडों की पहचान करके इस समस्या को ठीक करने में मदद करता है जो इस आधार पर नहीं है कि क्या इसके साथ असंबद्ध है, बल्कि इस आधार पर है कि क्या कोई अन्य चर इसके साथ असंबद्ध है। यदि सिद्धांत से पता चलता है कि यह (पहले चरण) से संबंधित है लेकिन (बहिष्करण प्रतिबंध) के साथ असंबंधित है, तो IV ब्याज के कारणात्मक पैरामीटर की पहचान कर सकता है जहां OLS विफल हो जाता है। क्योंकि केवल रैखिक मामले (IV, 2एसएलएस, जी. एम. एम.) में भी IV अनुमानकों का उपयोग करने और प्राप्त करने के कई विशिष्ट तरीके हैं, हम नीचे अनुमान अनुभाग के लिए आगे की चर्चा को बचाते हैं। ग्राफिकल परिभाषा IV तकनीकों को गैर-रैखिक मॉडल के एक बहुत व्यापक वर्ग के बीच विकसित किया गया है। प्रति-तथ्यात्मक और चित्रात्मक औपचारिकता का उपयोग करते हुए वाद्य चर की सामान्य परिभाषाएँ पर्ल (2000; पृष्ठ 248) द्वारा दी गई थीं। चित्रात्मक परिभाषा के लिए आवश्यक है कि Z निम्नलिखित शर्तों को पूरा करेः जहाँ डी-पृथक्करण का अर्थ है और उस ग्राफ का अर्थ है जिसमें X में प्रवेश करने वाले सभी तीर काट दिए जाते हैं। विरोधाभासी परिभाषा के लिए आवश्यक है कि Z संतुष्ट करता है जहां Yx उस मूल्य के लिए खड़ा है जिसे Y प्राप्त करेगा यदि X x होता और स्वतंत्रता के लिए खड़ा होता। यदि अतिरिक्त सहपरिवर्तक W हैं तो उपरोक्त परिभाषाओं को संशोधित किया जाता है ताकि Z एक उपकरण के रूप में योग्य हो जाए यदि दिए गए मानदंड W पर सशर्त हों। त्रुटि शब्द यू उन सभी बाह्य कारकों के लिए खड़ा है जो एक्स को स्थिर रखने पर वाई को प्रभावित करते हैं। उपकरण Z को U से स्वतंत्र होना चाहिए। जब X को स्थिर रखा जाता है (बहिष्करण प्रतिबंध) तो उपकरण Z को Y को प्रभावित नहीं करना चाहिए। उपकरण Z को X से स्वतंत्र नहीं होना चाहिए। ये स्थितियाँ समीकरणों के विशिष्ट कार्यात्मक रूप पर निर्भर नहीं करती हैं और इसलिए अरैखिक समीकरणों पर लागू होती हैं, जहाँ U गैर-योगात्मक हो सकता है (गैर-पैरामीट्रिक विश्लेषण देखें)। वे कई समीकरणों की एक प्रणाली पर भी लागू होते हैं, जिसमें X (और अन्य कारक) कई मध्यवर्ती चरों के माध्यम से Y को प्रभावित करते हैं। एक वाद्य चर को एक्स का कारण होने की आवश्यकता नहीं है; इस तरह के कारण का एक प्रतिनिधि भी उपयोग किया जा सकता है, अगर यह 1 से 5 शर्तों को संतुष्ट करता है। बहिष्करण प्रतिबंध (शर्त 4) अनावश्यक है; यह शर्त 2 और 3 का पालन करता है। उपयुक्त उपकरणों का चयन करना चूंकि यू का अवलोकन नहीं किया गया है, इसलिए जेड के यू से स्वतंत्र होने की आवश्यकता का अनुमान डेटा से नहीं लगाया जा सकता है और इसके बजाय मॉडल संरचना, यानी डेटा-जनरेटिंग प्रक्रिया से निर्धारित किया जाना चाहिए। कारण आलेख इस संरचना का एक प्रतिनिधित्व है, और ऊपर दी गई चित्रमय परिभाषा का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है कि क्या एक चर Z सहपरिवर्तक डब्ल्यू के एक समूह को देखते हुए एक वाद्य चर के रूप में योग्य है। यह देखने के लिए कि कैसे, निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें। मान लीजिए कि हम ग्रेड बिंदु औसत (जी. पी. ए.) पर विश्वविद्यालय शिक्षण कार्यक्रम के प्रभाव का अनुमान लगाना चाहते हैं। शिक्षण कार्यक्रम में भाग लेने और जी. पी. ए. के बीच संबंध कई कारकों से भ्रमित हो सकता है। जो छात्र शिक्षण कार्यक्रम में भाग लेते हैं, वे अपने ग्रेड के बारे में अधिक परवाह कर सकते हैं या अपने काम के साथ संघर्ष कर सकते हैं। इस उलझन को शिक्षण कार्यक्रम और जी. पी. ए. के बीच द्विदिश चाप के माध्यम से दाईं ओर चित्र 1-3 में दर्शाया गया है। यदि छात्रों को यादृच्छिक रूप से छात्रावासों में नियुक्त किया जाता है, तो शिक्षण कार्यक्रम के लिए छात्र के छात्रावास की निकटता एक वाद्य चर होने के लिए एक स्वाभाविक उम्मीदवार है। लेकिन अगर शिक्षण कार्यक्रम कॉलेज के पुस्तकालय में स्थित है तो क्या होगा? उस स्थिति में, निकटता छात्रों को पुस्तकालय में अधिक समय बिताने का कारण भी बन सकती है, जो बदले में उनके जी. पी. ए. में सुधार करती है (चित्र 1 देखें)। चित्र 2 में दर्शाए गए कारण ग्राफ का उपयोग करते हुए, हम देखते हैं कि निकटता एक वाद्य चर के रूप में योग्य नहीं है क्योंकि यह निकटता पुस्तकालय घंटे जी. पी. ए. पथ के माध्यम से जी. पी. ए. से जुड़ा हुआ है। हालाँकि, यदि हम पुस्तकालय के घंटों को एक सहपरिवर्तन के रूप में जोड़कर नियंत्रित करते हैं, तो निकटता एक सहायक चर बन जाती है, क्योंकि निकटता को पुस्तकालय के घंटों को देखते हुए जी. पी. ए. से अलग किया जाता है। अब, मान लीजिए कि हम देखते हैं कि एक छात्र की "प्राकृतिक क्षमता" पुस्तकालय में उसके घंटों की संख्या के साथ-साथ उसके जी. पी. ए. को प्रभावित करती है, जैसा कि चित्र 3 में है। कारण ग्राफ का उपयोग करते हुए, हम देखते हैं कि लाइब्रेरी आवर्स एक कोलाइडर है और उस पर कंडीशनिंग प्रॉक्सिमिटी लाइब्रेरी आवर्स जी. पी. ए. का रास्ता खोलती है। नतीजतन, निकटता का उपयोग एक वाद्य चर के रूप में नहीं किया जा सकता है। अंत में, मान लीजिए कि पुस्तकालय के घंटे वास्तव में जी. पी. ए. को प्रभावित नहीं करते हैं क्योंकि जो छात्र पुस्तकालय में अध्ययन नहीं करते हैं, वे बस चित्र 4 की तरह कहीं और अध्ययन करते हैं। इस मामले में, पुस्तकालय के घंटों के लिए नियंत्रण अभी भी निकटता से जी. पी. ए. तक एक नकली रास्ता खोलता है। हालांकि, अगर हम पुस्तकालय के घंटों को नियंत्रित नहीं करते हैं और इसे सहपरिवर्तन के रूप में हटा देते हैं तो निकटता को फिर से एक वाद्य चर का उपयोग किया जा सकता है। अनुमान हम अब अधिक विस्तार से IV के यांत्रिकी पर पुनर्विचार और विस्तार करते हैं। मान लीजिए कि डेटा उस रूप की प्रक्रिया द्वारा उत्पन्न होता है जहां i टिप्पणियों को अनुक्रमित करता है, आश्रित चर का i-th मान है, स्वतंत्र चर (ओं) के i-th मानों का एक सदिश है और एक स्थिरांक है, एक गैर-निरीक्षित त्रुटि शब्द का i-th मान है जो इसके अलावा अन्य सभी कारणों का प्रतिनिधित्व करता है, और एक गैर-निरीक्षित पैरामीटर सदिश है। पैरामीटर वेक्टर प्रत्येक तत्व में एक इकाई परिवर्तन का कारण प्रभाव है, जो स्थिरांक के अन्य सभी कारणों को धारण करता है। अर्थमिति लक्ष्य अनुमान लगाना है। सरलता के लिए यह मान लें कि ई के ड्रॉ असंबद्ध हैं और वे एक ही भिन्नता के साथ वितरण से खींचे गए हैं (यानी, त्रुटियां क्रमिक रूप से असंबद्ध और होमोस्केडास्टिक हैं)। मान लीजिए कि नाममात्र एक ही रूप का प्रतिगमन मॉडल प्रस्तावित किया गया है। इस प्रक्रिया से टी टिप्पणियों के एक यादृच्छिक नमूने को देखते हुए, साधारण न्यूनतम वर्ग अनुमानक वह है जहाँ एक्स, वाई और ई लंबाई टी के स्तंभ वैक्टर को दर्शाते हैं। यह समीकरण परिचय में शामिल समीकरण के समान है (यह उस समीकरण का मैट्रिक्स संस्करण है)। जब एक्स और ई असंबद्ध होते हैं, तो कुछ नियमितता स्थितियों में दूसरे पद का अपेक्षित मूल्य शून्य के एक्स पर सशर्त होता है और सीमा में शून्य में परिवर्तित हो जाता है, इसलिए अनुमानक निष्पक्ष और सुसंगत होता है। जब एक्स और अन्य अपरिमित, ई शब्द में ढले कारण चर सहसंबद्ध होते हैं, हालांकि, ओएलएस अनुमानक आम तौर पर β के लिए पक्षपाती और असंगत होता है। इस मामले में, एक्स के दिए गए मानों के मानों की भविष्यवाणी करने के लिए अनुमानों का उपयोग करना मान्य है, लेकिन अनुमान वाई पर एक्स के कारण प्रभाव को पुनर्प्राप्त नहीं करता है। अंतर्निहित पैरामीटर को पुनर्प्राप्त करने के लिए, हम चर Z का एक समूह पेश करते हैं जो X के प्रत्येक अंतर्जनित घटक के साथ अत्यधिक सहसंबद्ध है लेकिन (हमारे अंतर्निहित मॉडल में) e के साथ सहसंबद्ध नहीं है। सरलता के लिए, कोई भी X को स्थिरांक के एक स्तंभ और एक अंतजनित चर से बना T × 2 मैट्रिक्स मान सकता है, और Z को T × 2 मान सकता है जिसमें स्थिरांक का एक स्तंभ और एक वाद्य चर होता है। हालाँकि, यह तकनीक सामान्यीकृत करती है कि X एक स्थिरांक का एक मैट्रिक्स है और, मान लीजिए, 5 अंतर्जात चर, जिसमें Z एक स्थिरांक और 5 उपकरणों से बना एक मैट्रिक्स है। इसके बाद की चर्चा में, हम मान लेंगे कि X एक T × K मैट्रिक्स है और इस मान K को अनिर्दिष्ट छोड़ देंगे। एक प्राक्कलनकर्ता जिसमें X और Z दोनों T × K मैट्रिक्स हैं, उन्हें बस-पहचाना जाता है। मान लीजिए कि प्रत्येक अंतर्जनित घटक xi और उपकरणों के बीच संबंध द्वारा दिया गया है सबसे सामान्य IV विनिर्देशन निम्नलिखित अनुमानक का उपयोग करता हैः यह विनिर्देशन सही पैरामीटर तक पहुंचता है क्योंकि नमूना बड़ा हो जाता है, जब तक कि सही मॉडल मेंः जब तक अंतर्निहित प्रक्रिया में डेटा उत्पन्न होता है, तब तक IV अनुमानक का उचित उपयोग इस पैरामीटर की पहचान करेगा। यह काम करता है क्योंकि IV उस अद्वितीय पैरामीटर के लिए हल करता है जो संतुष्ट करता है, और इसलिए जैसे-जैसे नमूना का आकार बढ़ता है, सही अंतर्निहित पैरामीटर पर ध्यान देता है। अब एक विस्तारः मान लीजिए कि ब्याज के समीकरण में सहपरिवर्तकों की तुलना में अधिक उपकरण हैं, ताकि Z, M> K के साथ एक T × M मैट्रिक्स हो। इस मामले में, क्षणों की सामान्यीकृत विधि (जी. एम. एम.) का उपयोग किया जा सकता है। जी. एम. एम. IV अनुमानक प्रोजेक्शन मैट्रिक्स को संदर्भित करता है। यह अभिव्यक्ति पहले तक गिर जाती है जब उपकरणों की संख्या ब्याज के समीकरण में सहपरिवर्तकों की संख्या के बराबर होती है। इसलिए अधिक-पहचाना गया IV अभी-अभी पहचाने गए IV का सामान्यीकरण है। अभिव्यक्ति का विकासः अभी-अभी पहचाने गए मामले में, हमारे पास सहपरिवर्तकों के रूप में कई उपकरण हैं, ताकि X का आयाम Z के समान हो। अतः, और सभी एक ही आयाम के वर्ग मैट्रिक्स हैं। हम व्युत्क्रम का विस्तार इस तथ्य का उपयोग करके कर सकते हैं कि, किसी भी व्युत्क्रमणीय n-by-n मैट्रिक्स A और B के लिए, (AB) −1 = B −1A −1 (व्युत्क्रमणीय matrix#Properties देखें): संदर्भः डेविडसन और मैकिननॉन (1993) देखें। दो-चरण न्यूनतम वर्ग के रूप में व्याख्या एक कम्प्यूटेशनल विधि जिसका उपयोग IV अनुमानों की गणना करने के लिए किया जा सकता है, दो-चरण न्यूनतम वर्ग (2एसएलएस या टीएसएलएस) है। पहले चरण में, प्रत्येक व्याख्यात्मक चर जो ब्याज के समीकरण में एक अंतर्जनित सहपरिवर्तन है, मॉडल में सभी बहिजन चर पर प्रतिगामी होता है, जिसमें ब्याज के समीकरण में बहिजन सहपरिवर्तन और बहिष्कृत उपकरण दोनों शामिल हैं। इन प्रतिगमनों से अनुमानित मान प्राप्त किए जाते हैंः चरण 1: जेड पर एक्स के प्रत्येक स्तंभ को वापस करें, (): और अनुमानित मूल्यों को सहेजेंः दूसरे चरण में, ब्याज की प्रतिगमन का अनुमान हमेशा की तरह लगाया जाता है, सिवाय इसके कि इस चरण में प्रत्येक अंतजनित सहपरिवर्तन को पहले चरण से अनुमानित मूल्यों से बदल दिया जाता हैः चरण 2: पहले चरण से अनुमानित मूल्यों पर वाई को वापस लेंः जो देता है यह विधि केवल रैखिक मॉडल में मान्य है। कैटेगोरिकल एंडोजेनस कोवेरियेट्स के लिए, किसी को साधारण न्यूनतम वर्गों की तुलना में एक अलग पहले चरण का उपयोग करने के लिए लुभाया जा सकता है, जैसे कि पहले चरण के लिए एक प्रोबिट मॉडल और उसके बाद दूसरे के लिए ओएलएस। इसे आमतौर पर अर्थमिति साहित्य में निषिद्ध प्रतिगमन के रूप में जाना जाता है, क्योंकि द्वितीय चरण IV पैरामीटर अनुमान केवल विशेष मामलों में सुसंगत होते हैं। सामान्य ओ. एल. एस. अनुमानक हैः प्रतिस्थापित करना और नोट करना कि एक सममित और सक्षम मैट्रिक्स है, ताकि इसके परिणामी अनुमानक संख्यात्मक रूप से ऊपर प्रदर्शित अभिव्यक्ति के समान हो। दूसरे चरण के फिट किए गए मॉडल में सम-ऑफ-स्क्वायर अवशिष्टों में एक छोटा सा सुधार किया जाना चाहिए ताकि के सहप्रसरण मैट्रिक्स की सही गणना की जा सके। गैर-पैरामीट्रिक विश्लेषण जब संरचनात्मक समीकरणों का रूप अज्ञात होता है, तब भी एक वाद्य चर को समीकरणों के माध्यम से परिभाषित किया जा सकता हैः जहां और दो मनमाने कार्य हैं और स्वतंत्र हैं। रैखिक मॉडलों के विपरीत, हालांकि, एसीई बाल्के और पर्ल [1997] के औसत कारण प्रभाव की पहचान के लिए माप और अनुमति नहीं देते हैं, एसीई पर तंग सीमा प्राप्त करते हैं और दिखाते हैं कि ये एसीई के संकेत और आकार पर मूल्यवान जानकारी प्रदान कर सकते हैं। रैखिक विश्लेषण में, इस धारणा को गलत साबित करने के लिए कोई परीक्षण नहीं है कि यह जोड़ी के सापेक्ष सहायक है। असतत होने पर ऐसा नहीं होता है। पर्ल (2000) ने दिखाया है कि, सभी के लिए और निम्नलिखित बाधा, जिसे "वाद्य असमानता" कहा जाता है, जब भी उपरोक्त दो समीकरणों को संतुष्ट करता है तो उसे बनाए रखना चाहिएः उपचार प्रभाव विषमता के तहत व्याख्या उपरोक्त व्याख्या यह मानती है कि रुचि का कारण प्रभाव टिप्पणियों में भिन्न नहीं होता है, यानी, एक स्थिरांक है। आम तौर पर, अलग-अलग विषय "उपचार" x में परिवर्तन के लिए अलग-अलग तरीकों से प्रतिक्रिया देंगे। जब इस संभावना को पहचाना जाता है, तो y पर x में परिवर्तन का जनसंख्या में औसत प्रभाव किसी दी गई उप-जनसंख्या में प्रभाव से भिन्न हो सकता है। उदाहरण के लिए, नौकरी प्रशिक्षण कार्यक्रम का औसत प्रभाव उन लोगों के समूह में काफी भिन्न हो सकता है जो वास्तव में प्रशिक्षण प्राप्त करते हैं और जो समूह प्रशिक्षण प्राप्त नहीं करने का विकल्प चुनता है। इन कारणों से, IV विधियाँ व्यवहार प्रतिक्रिया पर अंतर्निहित धारणाओं का आह्वान करती हैं, या अधिक सामान्य रूप से उपचार की प्रतिक्रिया और उपचार प्राप्त करने की प्रवृत्ति के बीच सहसंबंध पर धारणाएँ। मानक IV अनुमानक औसत उपचार प्रभाव (ए. टी. ई.) के बजाय स्थानीय औसत उपचार प्रभाव (एल. ए. टी. ई.) को ठीक कर सकता है। इम्बेन्स और एंग्रिस्ट (1994) ने प्रदर्शित किया कि रैखिक IV अनुमान को कमजोर परिस्थितियों में स्थानीय औसत उपचार प्रभावों के भारित औसत के रूप में व्याख्या की जा सकती है, जहां वजन वाद्य चर में परिवर्तन के लिए अंतजनन प्रतिगामी की लोच पर निर्भर करता है। मोटे तौर पर, इसका मतलब है कि एक चर का प्रभाव केवल उपकरणों में देखे गए परिवर्तनों से प्रभावित उप-आबादी के लिए प्रकट होता है, और यह कि उप-आबादी जो उपकरणों में परिवर्तनों के लिए सबसे अधिक प्रतिक्रिया करती है, IV अनुमान के परिमाण पर सबसे बड़ा प्रभाव डालेगी। उदाहरण के लिए, यदि कोई शोधकर्ता आय प्रतिगमन में कॉलेज शिक्षा के लिए एक उपकरण के रूप में एक भूमि-अनुदानित कॉलेज की उपस्थिति का उपयोग करता है, तो वह उप-जनसंख्या में कमाई पर कॉलेज के प्रभाव की पहचान करती है जो एक कॉलेज मौजूद होने पर कॉलेज की डिग्री प्राप्त करेगा, लेकिन जो एक कॉलेज मौजूद नहीं होने पर डिग्री प्राप्त नहीं करेगा। यह अनुभवजन्य दृष्टिकोण, आगे की धारणाओं के बिना, शोधकर्ता को उन लोगों के बीच कॉलेज के प्रभाव के बारे में कुछ नहीं बताता है जो या तो हमेशा या कभी कॉलेज की डिग्री प्राप्त नहीं करेंगे, भले ही कोई स्थानीय कॉलेज मौजूद हो। कमजोर उपकरणों की समस्या जैसा कि बाउंड, जैगर और बेकर (1995) नोट करते हैं, एक समस्या "कमजोर" उपकरणों के चयन के कारण होती है, ऐसे उपकरण जो पहले चरण के समीकरण में अंतर्जात प्रश्न भविष्यवक्ता के खराब भविष्यवक्ता हैं। इस मामले में, उपकरण द्वारा प्रश्न भविष्यवक्ता की भविष्यवाणी खराब होगी और अनुमानित मूल्यों में बहुत कम भिन्नता होगी। नतीजतन, उन्हें अंतिम परिणाम की भविष्यवाणी करने में बहुत सफलता मिलने की संभावना नहीं है जब उनका उपयोग दूसरे चरण के समीकरण में प्रश्न भविष्यवक्ता को बदलने के लिए किया जाता है। ऊपर चर्चा किए गए धूम्रपान और स्वास्थ्य उदाहरण के संदर्भ में, तंबाकू कर धूम्रपान के लिए कमजोर साधन हैं यदि धूम्रपान की स्थिति करों में परिवर्तन के लिए काफी हद तक अनुत्तरदायी है। यदि उच्च कर लोगों को धूम्रपान छोड़ने (या धूम्रपान शुरू नहीं करने) के लिए प्रेरित नहीं करते हैं, तो कर दरों में भिन्नता हमें स्वास्थ्य पर धूम्रपान के प्रभाव के बारे में कुछ नहीं बताती है। यदि कर धूम्रपान पर उनके प्रभाव के अलावा अन्य माध्यमों के माध्यम से स्वास्थ्य को प्रभावित करते हैं, तो उपकरण अमान्य हैं और वाद्य चर दृष्टिकोण भ्रामक परिणाम दे सकता है। उदाहरण के लिए, अपेक्षाकृत स्वास्थ्य के प्रति जागरूक आबादी वाले स्थान और समय दोनों उच्च तंबाकू करों को लागू कर सकते हैं और बेहतर स्वास्थ्य का प्रदर्शन कर सकते हैं, यहां तक कि धूम्रपान की दर को स्थिर रखते हुए, इसलिए हम स्वास्थ्य और तंबाकू करों के बीच एक सहसंबंध का निरीक्षण करेंगे, भले ही यह मामला हो कि धूम्रपान का स्वास्थ्य पर कोई प्रभाव न पड़े। इस मामले में, हमें तंबाकू करों और स्वास्थ्य के बीच देखे गए सहसंबंध से स्वास्थ्य पर धूम्रपान के कारणात्मक प्रभाव का अनुमान लगाने में गलती होगी। कमजोर उपकरणों के लिए परीक्षण उपकरणों की ताकत का सीधे आकलन किया जा सकता है क्योंकि अंतर्जात सहपरिवर्तक और उपकरण दोनों ही अवलोकन योग्य हैं। एक अंतर्जात प्रतिगामी वाले मॉडल के लिए अंगूठे का एक सामान्य नियम हैः शून्य के खिलाफ एफ-सांख्यिकीय कि पहले चरण के प्रतिगमन में बहिष्कृत उपकरण अप्रासंगिक हैं, 10 से बड़ा होना चाहिए। सांख्यिकीय अनुमान और परिकल्पना परीक्षण जब कोवेरियेट्स बहिर्जात होते हैं, तो ओ. एल. एस. अनुमानक के छोटे-नमूने के गुणों को एक्स पर सशर्त अनुमानक के क्षणों की गणना करके सीधे तरीके से प्राप्त किया जा सकता है। जब कुछ सहपरिवर्तक अंतर्जातीय होते हैं ताकि वाद्य चर आकलन लागू किया जा सके, तो अनुमानक के क्षणों के लिए सरल अभिव्यक्तियाँ प्राप्त नहीं की जा सकती हैं। आम तौर पर, वाद्य चर अनुमानकों के पास केवल वांछनीय एसिम्प्टोटिक होते हैं, न कि सीमित नमूना, गुण, और अनुमान अनुमानक के नमूना वितरण के लिए एसिम्प्टोटिक सन्निकटन पर आधारित होता है। यहां तक कि जब उपकरण ब्याज के समीकरण में त्रुटि के साथ असंबद्ध होते हैं और जब उपकरण कमजोर नहीं होते हैं, तो वाद्य चर अनुमानक के सीमित नमूना गुण खराब हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, सटीक रूप से पहचाने गए मॉडल बिना किसी क्षण के सीमित नमूना अनुमानक का उत्पादन करते हैं, इसलिए अनुमानक को न तो पक्षपाती और न ही निष्पक्ष कहा जा सकता है, परीक्षण आंकड़ों का नाममात्र आकार काफी विकृत हो सकता है, और अनुमान आमतौर पर पैरामीटर के सही मूल्य से बहुत दूर हो सकते हैं। बहिष्करण प्रतिबंध का परीक्षण यह धारणा कि उपकरण ब्याज के समीकरण में त्रुटि शब्द के साथ सहसंबद्ध नहीं हैं, ठीक से पहचाने गए मॉडल में परीक्षण योग्य नहीं है। यदि मॉडल की अधिक पहचान की गई है, तो ऐसी जानकारी उपलब्ध है जिसका उपयोग इस धारणा का परीक्षण करने के लिए किया जा सकता है। इन अत्यधिक पहचान प्रतिबंधों का सबसे आम परीक्षण, जिसे सरगन-हैंसन परीक्षण कहा जाता है, इस अवलोकन पर आधारित है कि यदि उपकरण वास्तव में बहिर्जात हैं तो अवशिष्टों को बहिर्जात चर के समूह के साथ असंबंधित होना चाहिए। सरगन-हैंसन परीक्षण सांख्यिकीय की गणना (निर्धारण के गुणांक से गुणा किए गए अवलोकनों की संख्या) अवशिष्टों के ओ. एल. एस. प्रतिगमन से बहिर्जात चर के समूह पर की जा सकती है। यह सांख्यिकीय असिंप्टोटिक रूप से एम-के डिग्री ऑफ़ फ्रीडम के साथ शून्य के तहत ची-वर्ग होगा कि त्रुटि शब्द उपकरणों के साथ असंबंधित है। यह भी देखें नियंत्रण कार्य (अर्थशास्त्र) इष्टतम उपकरण संदर्भ आगे पढ़ने के लिए ग्रंथ सूची वूल्ड्रिज, जे। (1997): गणना डेटा के लिए अर्ध-आजीविका तरीके, व्यावहारिक अर्थशास्त्र की पुस्तिका, खंड 2, संस्करण। एम. एच. पेसरन और पी. श्मिट, ऑक्सफोर्ड, ब्लैकवेल, पीपी। 352-406 टर्जा, जे. वी. (1998): "एंडोजेनस स्विचिंग के साथ गणना मॉडल का अनुमानः नमूना चयन और एंडोजेनस उपचार प्रभाव"। जर्नल ऑफ इकोनोमेट्रिक्स (84), पीपी। 129-154 वूल्ड्रिज, जे. (2002): "इकोनॉमिक एनालिसिस ऑफ क्रॉस सेक्शन एंड पैनल डेटा", एम. आई. टी. प्रेस, कैम्ब्रिज, मैसाचुसेट्स। बाहरी लिंक मार्क थोमा द्वारा डैनियल मैकफैडेन की पाठ्यपुस्तक से अध्याय। मार्क थोमा द्वारा प्रतिगमन विश्लेषण समवर्ती समीकरण विधियाँ (अर्थशास्त्र)