Weierstrass functions
गणित में, वेयरस्ट्रास फलन एक जटिल चर के विशेष फलन हैं जो वेयरस्ट्रास दीर्घवृत्तीय फलन के लिए सहायक हैं। इनका नाम कार्ल वेयरस्ट्रास के नाम पर रखा गया है। सिग्मा, जीटा और कार्यों के बीच संबंध साइन, कोटैंजेंट और स्क्वायर कोसेकेंट कार्यों के बीच के समान हैः साइन का लॉगरिदमिक व्युत्पन्न कोटैंजेंट है, जिसका व्युत्पन्न स्क्वायर कोसेकेंट नकारात्मक है। वीयरस्ट्रास सिग्मा फलन एक द्वि-आयामी जाली से जुड़े वीयरस्ट्रास सिग्मा फलन को उस उत्पाद के रूप में परिभाषित किया जाता है जहां अवधि की एक मौलिक जोड़ी होती है या होती है। वेयरस्ट्रास फैक्टराइजेशन थ्योरम के सावधानीपूर्वक हेरफेर के माध्यम से क्योंकि यह साइन फ़ंक्शन से भी संबंधित है, एक और संभावित रूप से अधिक प्रबंधनीय अनंत उत्पाद परिभाषा किसी भी के लिए है और जहाँ हमने संकेतन का उपयोग किया है (नीचे जीटा फ़ंक्शन देखें)। वेयरस्ट्रास जीटा फलन वेयरस्ट्रास जीटा फलन को योग द्वारा परिभाषित किया जाता है वेयरस्ट्रास जीटा फलन सिग्मा-फलन का लघुगणक व्युत्पन्न है। जीटा फलन को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता हैः 2k + 2 वजन की आइजेनस्टीन श्रृंखला कहाँ है। जीटा फलन का व्युत्पन्न है, जहाँ वेयरस्ट्रास अण्डाकार फलन है। संख्या सिद्धांत में वीयरस्ट्रास जीटा फलन को रीमान जीटा फलन के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए। वेयरस्ट्रास एटा फलन को वेयरस्ट्रास एटा फलन के रूप में परिभाषित किया गया है और जाली में कोई भी डब्ल्यू यह अच्छी तरह से परिभाषित है, अर्थात। केवल जाली सदिश डब्ल्यू पर निर्भर करता है। वेयरस्ट्रास एटा फलन को डेडेकिंड एटा फलन या डिरिचलेट एटा फलन के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए। वेयरस्ट्रास पी-फंक्शन वेयरस्ट्रास पी-फंक्शन द्वारा जीटा फंक्शन से संबंधित है वेयरस्ट्रास पी-फंक्शन प्रत्येक जाली बिंदु पर एक दोहरे ध्रुव के साथ एन = 2 क्रम का एक सम दीर्घवृत्ताकार फंक्शन है और कोई अन्य ध्रुव नहीं है। अवक्रमित स्थिति उस स्थिति पर विचार करें जहां एक अवधि वास्तविक है, जिसे हम माप सकते हैं और दूसरे की सीमा तक ले जाया जाता है ताकि कार्य केवल एकल-आवधिक हों। संबंधित अपरिवर्तनीय विभेदक होते हैं। फिर हमारे पास और इस प्रकार उपरोक्त अनंत उत्पाद परिभाषा से निम्नलिखित समानता हैः अन्य दोगुनी-आवधिक जाली पर अन्य साइन जैसे कार्यों के लिए एक सामान्यीकरण दीर्घवृत्तीय कार्य विश्लेषणात्मक कार्य है।