Twisted cubic
गणित में, एक मुड़ा हुआ घन प्रोजेक्टिव 3-स्पेस पी 3 में डिग्री 3 का एक चिकना, तर्कसंगत वक्र सी है। यह एक तिरछे वक्र का एक मौलिक उदाहरण है। यह अनिवार्य रूप से अद्वितीय है, प्रोजेक्टिव परिवर्तन (ट्विस्टेड क्यूबिक, इसलिए) तक। बीजगणितीय ज्यामिति में, मुड़ा हुआ घन एक प्रोजेक्टिव विविधता का एक सरल उदाहरण है जो रैखिक या अति सतह नहीं है, वास्तव में एक पूर्ण प्रतिच्छेदन नहीं है। यह तर्कसंगत सामान्य वक्र का त्रि-आयामी मामला है, और प्रोजेक्टिव रेखा पर डिग्री तीन के वेरोनी मानचित्र की छवि है। परिभाषा मुड़े हुए घन को मानचित्र की छवि के रूप में सबसे आसानी से पैरामीट्रिक रूप से दिया जाता है जो सजातीय समन्वय मूल्य को निर्धारित करता है प्रोजेक्टिव स्पेस के एक समन्वय पैच में, मानचित्र केवल क्षण वक्र है अर्थात, यह एफ़ाइन वक्र की अनंतता पर एक बिंदु द्वारा बंद किया जाता है। मुड़ा हुआ घन एक प्रोजेक्टिव किस्म है, जिसे तीन चतुर्भुज के प्रतिच्छेदन के रूप में परिभाषित किया गया है। पी3 पर सजातीय निर्देशांकों में, मुड़ा हुआ घन तीन सजातीय बहुपदों के गायब होने से परिभाषित बंद उपसमुच्चय है यह जांचा जा सकता है कि ये तीन द्विघात रूप ऊपर स्पष्ट पैरामीटराइजेशन का उपयोग करते समय समान रूप से गायब हो जाते हैं; यानी, एक्स के लिए x3 को प्रतिस्थापित करें, और इसी तरह। अधिक दृढ़ता से, मुड़े हुए घन सी का सजातीय आदर्श डिग्री 2 के इन तीन सजातीय बहुपदों द्वारा उत्पन्न होता है। गुण घुमावदार घन में निम्नलिखित गुण होते हैंः यह और का सेट-सैद्धांतिक पूर्ण प्रतिच्छेदन है, लेकिन एक योजना-सैद्धांतिक या आदर्श-सैद्धांतिक पूर्ण प्रतिच्छेदन नहीं है; इसका मतलब है कि विविधता का आदर्श केवल 2 बहुपदों द्वारा उत्पन्न नहीं किया जा सकता है; कम से कम 3 की आवश्यकता होती है। (केवल दो बहुपदों का उपयोग करने का प्रयास परिणामी आदर्श को मौलिक नहीं बनाता है, क्योंकि यह उसमें है, लेकिन नहीं है)। सी स्पैन पी3 पर कोई भी चार अंक। पी3 में छह अंकों को देखते हुए, जिसमें कोई चार सह-समतल नहीं हैं, उनके माध्यम से एक अद्वितीय मुड़ घन गुजरता है। एक मुड़े हुए घन सी की स्पर्शरेखा और सेकेंट रेखाओं (सेकेंट किस्म) का मिलन पी3 को भर देता है और रेखाएं वक्र के बिंदुओं को छोड़कर जोड़ीदार रूप से अलग होती हैं। वास्तव में, किसी भी गैर-समतलीय चिकनी बीजगणितीय वक्र की स्पर्शरेखा और विच्छेदन रेखाओं का मिलन त्रि-आयामी है। इसके अलावा, किसी भी चिकनी बीजगणितीय किस्म की संपत्ति के साथ कि हर लंबाई चार उपशीर्षक P3 में फैली हुई है, यह गुण है कि स्पर्शरेखा और सेकेंट रेखाएं जोड़ीदार रूप से अलग होती हैं, सिवाय विविधता के बिंदुओं को छोड़कर। सी की स्पर्शरेखा रेखा पर एक बिंदु से एक तल पर सी का प्रक्षेपण एक पृष्ठीय घन उत्पन्न करता है। सी की सेकेंट रेखा पर एक बिंदु से प्रक्षेपण से एक नोडल घन प्राप्त होता है। सी पर एक बिंदु से प्रक्षेपण एक शंकु खंड देता है। संदर्भ। बीजगणितीय वक्र