Semiregular polyhedron
ज्यामिति में, अर्धरेगुलर पॉलीहेड्रॉन (या अर्धरेगुलर पॉलीटोप) शब्द का उपयोग विभिन्न लेखकों द्वारा विभिन्न प्रकार से किया जाता है। परिभाषाएँ अपनी मूल परिभाषा में, यह नियमित बहुभुज चेहरे वाला एक बहुफलक है, और एक समरूपता समूह है जो अपने शीर्षों पर सकर्मक है; आज, इसे अधिक सामान्य रूप से एक समान बहुफलक के रूप में संदर्भित किया जाता है (यह थोरोल्ड गोसेट की 1900 की अधिक सामान्य अर्धरेखीय बहुफलक की परिभाषा से मिलता है)। इन पॉलीहेड्रा में शामिल हैंः तेरह आर्किमिडियन ठोस। विस्तारित वर्ग जाइरोबिक्युपोला, जिसे एक छद्म-रोम्बिक्यूबोक्टाहेड्रॉन भी कहा जाता है, एक जॉनसन ठोस, में समान शीर्ष आकृतियाँ 3.4.4.4 हैं, लेकिन एक मोड़ सहित शीर्ष-संक्रमणशील नहीं है, जिसे ब्रांको ग्रनबॉम द्वारा 14वें आर्किमिडियन ठोस के रूप में शामिल करने के लिए तर्क दिया गया है। उत्तल प्रिज्मों की एक अनंत श्रृंखला। उत्तल एंटीप्रिज्म की एक अनंत श्रृंखला (उनकी अर्धरेखीय प्रकृति को पहली बार केपलर द्वारा देखा गया था)। इन अर्धरेखीय ठोस पदार्थों को एक शीर्ष विन्यास द्वारा पूरी तरह से निर्दिष्ट किया जा सकता हैः भुजाओं की संख्या के आधार पर चेहरों की एक सूची, जिस क्रम में वे एक शीर्ष के आसपास होते हैं। उदाहरण के लिएः आईकोसिडोडेकाहेड्रॉन का प्रतिनिधित्व करता है, जो प्रत्येक शीर्ष के चारों ओर दो त्रिकोण और दो पेंटागन को बारी-बारी से करता है। इसके विपरीत, यह एक पंचकोणीय विरोधी है। इन पॉलीहेड्रा को कभी-कभी शीर्ष-संक्रमण के रूप में वर्णित किया जाता है। गोसेट के बाद से, अन्य लेखकों ने उच्च आयामी पॉलीटोप के संबंध में विभिन्न तरीकों से अर्धरेगुलर शब्द का उपयोग किया है। ई. एल. एल्टे ने एक परिभाषा प्रदान की जिसे कॉक्सेटर ने बहुत कृत्रिम पाया। कॉक्सेटर ने खुद गोसेट की आकृतियों को वर्दी करार दिया, जिसमें केवल एक काफी प्रतिबंधित उपसमुच्चय को अर्ध-विनियामक के रूप में वर्गीकृत किया गया था। फिर भी अन्य लोगों ने विपरीत रास्ता अपनाया है, अधिक पॉलीहेड्रा को अर्धरेगुलर के रूप में वर्गीकृत किया है। इनमें शामिल हैंः स्टार पॉलीहेड्रा के तीन सेट जो गोसेट की परिभाषा को पूरा करते हैं, जो ऊपर सूचीबद्ध तीन उत्तल सेटों के समान हैं। उपरोक्त अर्धरेगुलर ठोसों के दोहरे, यह तर्क देते हुए कि चूंकि दोहरे बहुफलक मूल के समान समरूपता साझा करते हैं, इसलिए उन्हें भी अर्धरेगुलर माना जाना चाहिए। इन द्विगुणों में कैटलन ठोस, उत्तल द्विगुणित, और उत्तल एंटीडिपिरामिड या ट्रेपेज़ोहेड्रा, और उनके गैर-उत्तल अनुरूप शामिल हैं। भ्रम का एक और स्रोत इस बात में निहित है कि आर्किमिडियन ठोस पदार्थों को फिर से अलग-अलग व्याख्याओं के साथ परिभाषित किया गया है। गोसेट की अर्धरेगुलर की परिभाषा में उच्च समरूपता के आंकड़े शामिल हैंः नियमित और अर्धरेगुलर पॉलीहेड्रा। बाद के कुछ लेखक यह कहना पसंद करते हैं कि ये अर्धरेगुलर नहीं हैं, क्योंकि वे उससे अधिक नियमित हैं-एक समान पॉलीहेड्रा में नियमित, अर्धरेगुलर और अर्धरेगुलर शामिल हैं। यह नामकरण प्रणाली अच्छी तरह से काम करती है, और कई भ्रमों (लेकिन किसी भी तरह से सभी नहीं) को सुलझा लेती है। व्यवहार में सबसे प्रतिष्ठित अधिकारी भी खुद को भ्रमित कर सकते हैं, पॉलीहेड्रा के दिए गए समूह को अर्धरेगुलर और/या आर्किमिडियन के रूप में परिभाषित करते हैं, और फिर बाद की चर्चाओं में एक अलग सेट मानते हैं (या यहां तक कि बताते हैं)। यह मानते हुए कि किसी की बताई गई परिभाषा केवल उत्तल पॉलीहेड्रा पर लागू होती है, शायद सबसे आम विफलता है। कॉक्सेटर, क्रॉमवेल और कंडी एंड रॉलेट सभी इस तरह की पर्ची के दोषी हैं। सामान्य टिप्पणी जोहान्स केपलर ने अपनी पुस्तक हार्मोनिसिस मुण्डी (1619) में सेमीरेगुलर श्रेणी का निर्माण किया, जिसमें 13 आर्किमिडियन ठोस, दो अनंत परिवार (नियमित आधार पर प्रिज्म और एंटीप्रिज्म), और दो किनारे-संक्रमणशील कैटलन ठोस, समस्थानिक डोडेकाहेड्रॉन और समस्थानिक ट्राइएकॉन्टेहेड्रॉन शामिल हैं। उन्होंने एक समभुज को एक अर्धरेखीय बहुभुज (समबाहु और वैकल्पिक दो कोण होने के कारण) के साथ-साथ तारा बहुभुज के रूप में भी माना, जिन्हें अब समस्थानिक आकृतियाँ कहा जाता है, जिनका उपयोग उन्होंने समतलीय झुकाव में किया था। त्रिकोणीय ट्रैपेज़ोहेड्रॉन, सर्वांगसम समजातीय चेहरों वाला एक स्थलवैज्ञानिक घन भी अर्धरेखीय के रूप में योग्य होगा, हालांकि केपलर ने इसका विशेष रूप से उल्लेख नहीं किया था। कई कार्यों में अर्धरेगुलर पॉलीहेड्रॉन का उपयोग आर्किमिडियन ठोस के पर्याय के रूप में किया जाता है। उदाहरण के लिए, कंडी एंड रोलेट (1961)। हम गोसेट के आधार पर फेशियल-रेगुलर और वर्टेक्स-ट्रांजिटिव आकृतियों और उनके वर्टिकली-रेगुलर (या वर्सी-रेगुलर) और फेशियल-ट्रांजिटिव डुअल्स के बीच अंतर कर सकते हैं। कॉक्सेटर एट अल। (1954) सेमिरेगुलर पॉलीहेड्रा शब्द का उपयोग पी क्यू। आर के रूप के विथोफ प्रतीक के साथ समान पॉलीहेड्रा को वर्गीकृत करने के लिए करते हैं, एक परिभाषा जिसमें केवल छह आर्किमिडियन ठोस, साथ ही नियमित प्रिज्म (लेकिन नियमित एंटीप्रिज्म नहीं) और कई गैर-कन्वेक्स ठोस शामिल हैं। बाद में, कॉक्सेटर (1973) ने बिना किसी टिप्पणी के गोसेट की परिभाषा को उद्धृत किया, इस प्रकार इसे निहितार्थ द्वारा स्वीकार किया। एरिक वेइसस्टीन, रॉबर्ट विलियम्स और अन्य लोग इस शब्द का उपयोग पाँच नियमित पॉलीहेड्रा को छोड़कर उत्तल समान पॉलीहेड्रा के अर्थ के लिए करते हैं-जिसमें आर्किमिडियन ठोस, समान प्रिज्म और समान एंटीप्रिज्म (एक प्रिज्म के रूप में घन के साथ अतिव्यापी और एक एंटीप्रिज्म के रूप में नियमित ऑक्टाहेड्रॉन) शामिल हैं। पीटर क्रॉमवेल (1997) पेज 149 के एक फुटनोट में लिखते हैं कि, "वर्तमान शब्दावली में, 'अर्धरेगुलर पॉलीहेड्रा' आर्किमिडियन और कैटलन (आर्किमिडियन दोहरी) ठोस पदार्थों को संदर्भित करता है।" पृष्ठ 80 पर उन्होंने तेरह आर्किमीडियन को अर्ध-विनियामक के रूप में वर्णित किया है, जबकि पृष्ठ 367 एफएफ पर। वह कैटलन और 'अर्ध-विनियामक' आर्किमिडियन के साथ उनके संबंधों पर चर्चा करता है। निहितार्थ से यह कैटलन को अर्ध-विनियामक नहीं मानता है, इस प्रकार प्रभावी रूप से पहले के फुटनोट में प्रदान की गई परिभाषा का खंडन (या कम से कम भ्रमित) करता है। वह नॉन-कन्वेक्स पॉलीहेड्रा की उपेक्षा करता है। सेमिरेगुलर पॉलीटोप रेगुलर पॉलीहेड्रन संदर्भ भी देखें बाहरी लिंक जॉर्ज हार्टः आर्किमिडियन सेमी-रेगुलर पॉलीहेड्रा डेविड डार्लिंगः सेमी-रेगुलर पॉलीहेड्रन polyhedra.mathmos.net: गणित का सेमी-रेगुलर पॉलीहेड्रन विश्वकोशः सेमी-रेगुलर पॉलीहेड्रा, यूनिफॉर्म पॉलीहेड्रा, आर्किमिडियन ठोस पॉलीहेड्रा