Locally compact group
गणित में, एक स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट समूह एक टोपोलॉजिकल समूह जी है जिसके लिए अंतर्निहित टोपोलॉजी स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट और हौसडॉर्फ है। स्थानीय रूप से सघन समूह महत्वपूर्ण हैं क्योंकि पूरे गणित में उत्पन्न होने वाले समूहों के कई उदाहरण स्थानीय रूप से सघन होते हैं और ऐसे समूहों में एक प्राकृतिक माप होता है जिसे हार माप कहा जाता है। यह G पर बोरेल मापने योग्य कार्यों के समाकलन को परिभाषित करने की अनुमति देता है ताकि फोरियर परिवर्तन और रिक्त स्थान जैसी मानक विश्लेषण धारणाओं को सामान्यीकृत किया जा सके। परिमित समूह प्रतिनिधित्व सिद्धांत के कई परिणाम समूह के औसत से साबित होते हैं। सघन समूहों के लिए, इन प्रमाणों के संशोधन सामान्यीकृत हार समाकलन के संबंध में औसत से समान परिणाम देते हैं। सामान्य रूप से स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट सेटिंग में, ऐसी तकनीकों को बनाए रखने की आवश्यकता नहीं है। परिणामी सिद्धांत हार्मोनिक विश्लेषण का एक केंद्रीय हिस्सा है। स्थानीय रूप से सघन अबेलियन समूहों के लिए प्रतिनिधित्व सिद्धांत को पोंट्रियागिन द्वैत द्वारा वर्णित किया गया है। उदाहरण और प्रति-उदाहरण कोई भी सघन समूह स्थानीय रूप से सघन होता है। विशेष रूप से गुणन के तहत इकाई मापांक की जटिल संख्या का वृत्त समूह टी सघन है, और इसलिए स्थानीय रूप से सघन है। वृत्त समूह ने ऐतिहासिक रूप से पहले स्थलवैज्ञानिक रूप से गैर-तुच्छ समूह के रूप में कार्य किया, जिसके पास स्थानीय सघनता का गुण भी था, और इस तरह यहाँ प्रस्तुत अधिक सामान्य सिद्धांत की खोज को प्रेरित किया। कोई भी असतत समूह स्थानीय रूप से सघन होता है। स्थानीय रूप से सघन समूहों का सिद्धांत इसलिए साधारण समूहों के सिद्धांत को शामिल करता है क्योंकि किसी भी समूह को असतत स्थलविज्ञान दिया जा सकता है। झूठ समूह, जो स्थानीय रूप से यूक्लिडियन हैं, सभी स्थानीय रूप से सघन समूह हैं। एक हौसडॉर्फ टोपोलॉजिकल वेक्टर स्थान स्थानीय रूप से सघन होता है यदि और केवल तभी जब यह परिमित-आयामी हो। यदि वास्तविक संख्याओं के उपसमुच्चय के रूप में सापेक्ष स्थलविज्ञान दिया जाए तो परिमेय संख्याएँ Q का योगात्मक समूह स्थानीय रूप से सघन नहीं होता है। यदि असतत स्थलाकृति दी जाए तो यह स्थानीय रूप से सघन है। पी-एडिक संख्या क्यू. पी. का योगात्मक समूह किसी भी अभाज्य संख्या पी. के लिए स्थानीय रूप से सघन होता है। गुण एकरूपता द्वारा, एक टोपोलॉजिकल समूह के लिए अंतर्निहित स्थान की स्थानीय सघनता को केवल पहचान पर जांचा जाना चाहिए। अर्थात्, एक समूह जी एक स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट स्थान है यदि और केवल तभी जब पहचान तत्व में एक कॉम्पैक्ट पड़ोस हो। यह इस प्रकार है कि हर बिंदु पर सघन पड़ोस का एक स्थानीय आधार है। एक टोपोलॉजिकल समूह हौसडॉर्फ है यदि और केवल तभी जब तुच्छ एक-तत्व उपसमूह बंद हो। स्थानीय रूप से सघन समूह का प्रत्येक बंद उपसमूह स्थानीय रूप से सघन होता है। (समापन स्थिति आवश्यक है जैसा कि तर्कों का समूह दर्शाता है।) इसके विपरीत, हौसडॉर्फ समूह का प्रत्येक स्थानीय रूप से सघन उपसमूह बंद होता है। स्थानीय रूप से सघन समूह का प्रत्येक भागफल स्थानीय रूप से सघन होता है। स्थानीय रूप से सघन समूहों के परिवार का उत्पाद स्थानीय रूप से सघन होता है और केवल तभी जब सीमित संख्या में कारकों को छोड़कर सभी वास्तव में सघन होते हैं। टोपोलॉजिकल समूह हमेशा टोपोलॉजिकल स्थानों के रूप में पूरी तरह से नियमित होते हैं। स्थानीय रूप से सघन समूहों में सामान्य होने का मजबूत गुण होता है। प्रत्येक स्थानीय रूप से सघन समूह जो पहले गणना योग्य है, एक स्थलवैज्ञानिक समूह के रूप में मापने योग्य है (अर्थात। टोपोलॉजी के साथ संगत एक लेफ्ट-इनवेरिएंट मीट्रिक दिया जा सकता है) और पूरा किया जा सकता है। यदि इसके अलावा स्थान दूसरी गणना योग्य है, तो मीट्रिक को उचित होने के लिए चुना जा सकता है। (स्थलवैज्ञानिक समूहों पर लेख देखें।) एक पोलिश समूह जी में, हार नल सेट का σ-बीजगणित गणना योग्य श्रृंखला स्थिति को संतुष्ट करता है यदि और केवल तभी जब जी स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हो। स्थानीय रूप से सघन अबेलियन समूह किसी भी स्थानीय रूप से सघन अबेलियन (एल. सी. ए.) समूह ए के लिए, ए से वृत्त समूह तक निरंतर समरूपता होम (ए, एस1) का समूह फिर से स्थानीय रूप से सघन होता है। पोंट्रियागिन द्वैतता का दावा है कि यह कारक एल. सी. ए. ओ. पी. → एल. सी. ए. श्रेणियों की समानता को प्रेरित करता है। यह कारक स्थलवैज्ञानिक समूहों के कई गुणों का आदान-प्रदान करता है। उदाहरण के लिए, परिमित समूह परिमित समूहों के अनुरूप होते हैं, संक्षिप्त समूह असतत समूहों के अनुरूप होते हैं, और मापने योग्य समूह संक्षिप्त समूहों के गणना योग्य संघों के अनुरूप होते हैं (और सभी कथनों में इसके विपरीत)। एल. सी. ए. समूह एक सटीक श्रेणी बनाते हैं, जिसमें स्वीकार्य समरूपता बंद उपसमूह होते हैं और स्वीकार्य उपरूपता स्थलाकृतिक भागफल मानचित्र होते हैं। इसलिए इस श्रेणी के के-सिद्धांत स्पेक्ट्रम पर विचार करना संभव है। इसने दिखाया है कि यह Z और R के बीजगणितीय K-सिद्धांत, पूर्णांक और वास्तविक के बीच के अंतर को क्रमशः इस अर्थ में मापता है कि एक समरूपी फाइबर अनुक्रम K (Z) → K (R) → K (LCA) है। आगे पढ़ने के लिए संदर्भ भी देखें। स्थलाकृतिक समूह