Logarithmically concave function
उत्तल विश्लेषण में, एक गैर-नकारात्मक फलन लघुगणकीय रूप से अवतल (या संक्षेप में लॉग-कॉन्केव) होता है यदि इसका क्षेत्र एक उत्तल समुच्चय है, और यदि यह सभी के लिए असमानता को संतुष्ट करता है और। यदि कड़ाई से धनात्मक है, तो यह कहने के बराबर है कि फलन का लघुगणक अवतल है; अर्थात, सभी के लिए और। लॉग-कॉन्केव कार्यों के उदाहरण उत्तल समुच्चयों के 0-1 सूचक कार्य हैं (जिसके लिए अधिक लचीली परिभाषा की आवश्यकता होती है), और गॉसियन कार्य। इसी तरह, एक फलन लॉग-कन्वेक्स है यदि यह सभी के लिए विपरीत असमानता को संतुष्ट करता है और। गुण एक लॉग-कन्केव फ़ंक्शन भी अर्ध-कन्केव है। यह इस तथ्य से पता चलता है कि लघुगणक मोनोटोन है जिसका अर्थ है कि इस फलन के अति-स्तरीय समुच्चय उत्तल हैं। प्रत्येक अवतल फलन जो अपने क्षेत्र में गैर-ऋणात्मक है, लॉग-कॉन्केव होता है। हालांकि, इसका उल्टा होना जरूरी नहीं है। एक उदाहरण गॉसियन फलन = है जो लॉग-कॉन्केव है क्योंकि = का एक अवतल फलन है। लेकिन अवतल नहीं है क्योंकि दूसरा व्युत्पन्न।। 1 के लिए धनात्मक हैः दो से ऊपर के बिंदुओं से, अवतल लॉग-गुहा क्वासिकोन्कैविटी। एक उत्तल क्षेत्र के साथ दो बार अवकलनीय, गैर-नकारात्मक कार्य लॉग-कॉन्केव होता है यदि और केवल तभी जब सभी संतोषजनक हों, अर्थात। नकारात्मक अर्ध-निश्चित है। एक चर के कार्यों के लिए, यह शर्त लॉग-गुहा उत्पादों को संरक्षित करने वाले संचालन को सरल बनाती हैः लॉग-गुफा कार्यों का उत्पाद भी लॉग-गुफा है। वास्तव में, यदि और लॉग-कॉन्केव कार्य हैं, तो और परिभाषा के अनुसार अवतल हैं। इसलिए यह अवतल है, और इसलिए यह लॉग-कन्केव भी है। मार्जिनलः यदिः लॉग-कन्केव है, तो लॉग-कन्केव है (प्रेकोपा-लिंडलर असमानता देखें)। इसका तात्पर्य यह है कि कन्वोलुशन लॉग-कन्केविटी को संरक्षित करता है, क्योंकि = लॉग-कन्केव है यदि और लॉग-कन्केव हैं, और इसलिए लॉग-कन्केव है। लॉग-कॉन्केव वितरण लॉग-कॉन्केव वितरण कई एल्गोरिदम के लिए आवश्यक हैं, जैसे। अनुकूली अस्वीकृति नमूनाकरण। लॉग-कन्केव घनत्व वाला प्रत्येक वितरण निर्दिष्ट माध्य μ और विचलन जोखिम माप डी के साथ एक अधिकतम एन्ट्रापी संभाव्यता वितरण है। जैसा कि होता है, कई सामान्य संभाव्यता वितरण लॉग-कन्केव होते हैं। कुछ उदाहरण हैंः सामान्य वितरण और बहुभिन्न सामान्य वितरण। घातीय वितरण। किसी भी उत्तल समूह पर एक समान वितरण। लॉजिस्टिक वितरण। चरम मूल्य वितरण। लाप्लास वितरण। ची वितरण। हाइपरबोलिक सेकेंट वितरण। विशार्ट वितरण, जहाँ n> = p + 1। डिरिचलेट वितरण, जहाँ सभी मापदंड> = 1 हैं। गामा वितरण यदि आकार पैरामीटर> = 1 है। ची-वर्ग वितरण यदि स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या> = 2 है। बीटा वितरण यदि दोनों आकार मापदंड> = 1 हैं। वेइबुल वितरण यदि आकार पैरामीटर> = 1 है। ध्यान दें कि सभी पैरामीटर प्रतिबंधों का एक ही मूल स्रोत हैः गैर-नकारात्मक मात्रा का प्रतिपादक गैर-नकारात्मक होना चाहिए ताकि कार्य लॉग-कॉन्केव हो। निम्नलिखित वितरण सभी मापदंडों के लिए गैर-लॉग-कॉन्केव हैंः छात्र का टी-वितरण। कौची वितरण। पेरेटो वितरण। लॉग-सामान्य वितरण। एफ-वितरण। ध्यान दें कि सभी लॉग-कन्केव वितरणों का संचयी वितरण कार्य (सी. डी. एफ.) भी लॉग-कन्केव है। हालांकि, कुछ गैर-लॉग-कॉन्केव वितरणों में लॉग-कॉन्केव सी. डी. एफ. भी होते हैंः लॉग-सामान्य वितरण। पेरेटो वितरण। वेइबुल वितरण जब आकार पैरामीटर <1 होता है। गामा वितरण जब आकार पैरामीटर <1 होता है। लॉग-कन्केव वितरण के गुणों में से निम्नलिखित हैंः यदि कोई घनत्व लॉग-कन्केव है, तो इसका संचयी वितरण कार्य (सी. डी. एफ.) भी है। यदि एक बहुभिन्नरूपी घनत्व लॉग-कॉन्केव है, तो वैरिएबल के किसी भी सबसेट पर सीमांत घनत्व भी है। दो स्वतंत्र लॉग-कॉन्केव यादृच्छिक चरों का योग लॉग-कॉन्केव है। यह इस तथ्य से मिलता है कि दो लॉग-कॉन्केव कार्यों का कन्वोलुशन लॉग-कॉन्केव है। दो लॉग-कॉन्केव कार्यों का उत्पाद लॉग-कॉन्केव है। इसका मतलब है कि दो संभाव्यता घनत्वों को गुणा करने से संयुक्त घनत्व बनते हैं (जैसे। सामान्य-गामा वितरण, जिसमें हमेशा एक आकार पैरामीटर> = 1) होता है, लॉग-कॉन्केव होगा। इस गुण का उपयोग सामान्य-उद्देश्य गिब्स नमूनाकरण कार्यक्रमों जैसे कि बी. यू. जी. एस. और जे. ए. जी. एस. में किया जाता है, जो इस प्रकार अन्य वितरणों के उत्पाद से प्राप्त विभिन्न प्रकार के सशर्त वितरणों पर अनुकूली अस्वीकृति नमूने का उपयोग करने में सक्षम हैं। यदि एक घनत्व लॉग-गुफा है, तो इसका उत्तरजीविता कार्य भी है। यदि एक घनत्व लॉग-कॉन्केव है, तो इसमें एक मोनोटोन खतरे की दर (एम. एच. आर.) होती है, और यह एक नियमित वितरण है क्योंकि उत्तरजीविता फलन के लघुगणक का व्युत्पन्न नकारात्मक खतरे की दर है, और अवतलता द्वारा मोनोटोन यानी एक प्रकार का होता है। जो घट रहा है क्योंकि यह एक अवतल फलन का व्युत्पन्न है। लॉगरिदमिक रूप से अवतल अनुक्रम लॉगरिदमिक रूप से अवतल माप लॉगरिदमिक रूप से उत्तल फलन उत्तल फलन टिप्पणियाँ संदर्भ गणितीय विश्लेषण उत्तल विश्लेषण