Two-sided Laplace transform
गणित में, दो-तरफा लाप्लास परिवर्तन या द्वि-पक्षीय लाप्लास परिवर्तन एक अभिन्न परिवर्तन है जो संभाव्यता के क्षण उत्पन्न करने वाले कार्य के बराबर है। दो-तरफा लाप्लास परिवर्तन फूरियर परिवर्तन, मेलिन परिवर्तन, जेड-परिवर्तन और साधारण या एकतरफा लाप्लास परिवर्तन से निकटता से संबंधित हैं। यदि f (t) सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित वास्तविक चर t का एक वास्तविक-या जटिल-मूल्यवान फलन है, तो दो-तरफा लाप्लास परिवर्तन को समाकलन द्वारा परिभाषित किया जाता है समाकलन को आमतौर पर एक अनुचित समाकलन के रूप में समझा जाता है, जो तभी अभिसरण करता है जब दोनों समाकलन मौजूद हों। ऐसा प्रतीत होता है कि दो-तरफा परिवर्तन के लिए कोई आम तौर पर स्वीकृत संकेतन नहीं है; यहाँ उपयोग किया गया "द्वैपाक्षिक" को याद करता है। कुछ लेखकों द्वारा उपयोग किया जाने वाला दो-तरफा परिवर्तन है शुद्ध गणित में तर्क t कोई भी चर हो सकता है, और लाप्लास परिवर्तन का उपयोग यह अध्ययन करने के लिए किया जाता है कि विभेदक प्रचालक कार्य को कैसे परिवर्तित करते हैं। विज्ञान और इंजीनियरिंग अनुप्रयोगों में, तर्क t अक्सर समय (सेकंड में) का प्रतिनिधित्व करता है, और फलन f (t) अक्सर एक संकेत या तरंग का प्रतिनिधित्व करता है जो समय के साथ बदलता है। इन मामलों में, संकेतों को फिल्टर द्वारा परिवर्तित किया जाता है, जो एक गणितीय प्रचालक की तरह काम करते हैं, लेकिन एक प्रतिबंध के साथ। उन्हें कारणात्मक होना पड़ता है, जिसका अर्थ है कि किसी दिए गए समय t में उत्पादन उस उत्पादन पर निर्भर नहीं कर सकता है जो t का उच्च मूल्य है। जनसंख्या पारिस्थितिकी में, तर्क t अक्सर एक फैलाव कर्नेल में स्थानिक विस्थापन का प्रतिनिधित्व करता है। समय के कार्यों के साथ काम करते समय, f (t) को संकेत का समय डोमेन प्रतिनिधित्व कहा जाता है, जबकि F (s) को s-डोमेन (या लाप्लास डोमेन) प्रतिनिधित्व कहा जाता है। व्युत्क्रम परिवर्तन तब सभी आवृत्तियों पर लिए गए आवृत्ति घटकों के योग के रूप में संकेत के संश्लेषण का प्रतिनिधित्व करता है, जबकि आगे का परिवर्तन इसकी आवृत्ति घटकों में संकेत के विश्लेषण का प्रतिनिधित्व करता है। फ़ोरियर परिवर्तन से संबंध फ़ोरियर परिवर्तन को दो-तरफा लाप्लास परिवर्तन के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता हैः ध्यान दें कि फ़ोरियर परिवर्तन की परिभाषाएँ भिन्न होती हैं, और विशेष रूप से अक्सर इसके बजाय इसका उपयोग किया जाता है। फूरियर परिवर्तन के संदर्भ में, हम दो-तरफा लाप्लास परिवर्तन भी प्राप्त कर सकते हैं, क्योंकि फूरियर परिवर्तन को सामान्य रूप से परिभाषित किया जाता है ताकि यह वास्तविक मूल्यों के लिए मौजूद हो; उपरोक्त परिभाषा छवि को एक पट्टी में परिभाषित करती है जिसमें वास्तविक अक्ष शामिल नहीं हो सकता है जहां फूरियर परिवर्तन को अभिसरण करना है। यही कारण है कि लाप्लास परिवर्तन नियंत्रण सिद्धांत और संकेत प्रसंस्करण में अपने मूल्य को बनाए रखते हैंः अपने क्षेत्र के भीतर एक फूरियर परिवर्तन समाकलन के अभिसरण का केवल यह अर्थ है कि इसके द्वारा वर्णित एक रैखिक, परिवर्तन-अपरिवर्तनीय प्रणाली स्थिर या महत्वपूर्ण है। दूसरी ओर लाप्लास एक कहीं न कहीं प्रत्येक आवेग प्रतिक्रिया के लिए अभिसरण करेगा जो सबसे अधिक तेजी से बढ़ रहा है, क्योंकि इसमें एक अतिरिक्त शब्द शामिल है जिसे एक घातीय नियामक के रूप में लिया जा सकता है। चूंकि कोई सुपरएक्सपोनेंशियल रूप से बढ़ते रैखिक प्रतिक्रिया नेटवर्क नहीं हैं, इसलिए लाप्लास परिवर्तन आधारित विश्लेषण और रैखिक, शिफ्ट-अपरिवर्तनीय प्रणालियों का समाधान, लाप्लास के संदर्भ में अपना सबसे सामान्य रूप लेता है, न कि फूरियर, परिवर्तन। उसी समय, आजकल लाप्लास परिवर्तन सिद्धांत अधिक सामान्य अभिन्न परिवर्तनों, या यहां तक कि सामान्य सामंजस्यपूर्ण विश्लेषण के दायरे में आता है। उस ढांचे और नामकरण में, लाप्लास परिवर्तन केवल फूरियर विश्लेषण का एक और रूप है, भले ही पीछे की नज़र में अधिक सामान्य हो। यदि u हेविसाइड चरण फलन है, शून्य के बराबर जब इसका तर्क शून्य से कम होता है, एक-आधा जब इसका तर्क शून्य के बराबर होता है, और एक के लिए जब इसका तर्क शून्य से अधिक होता है, तो लाप्लास परिवर्तन को दो-तरफा लाप्लास परिवर्तन के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है। मेलिन परिवर्तन को दो-तरफा लाप्लास परिवर्तन के संदर्भ में ऊपर के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, और इसके विपरीत हम मेलिन परिवर्तन से दो-तरफा परिवर्तन प्राप्त कर सकते हैं। गुण निम्नलिखित गुणों में पाए जा सकते हैं और द्वैपाक्षिक लाप्लास परिवर्तन के अधिकांश गुण एकतरफा लाप्लास परिवर्तन के गुणों के समान हैं, लेकिन कुछ महत्वपूर्ण अंतर हैंः पारसेवल की प्रमेय और प्लानचेरेल की प्रमेय आइए और द्वैपाक्षिक लाप्लास परिवर्तनों के साथ और अभिसरण की पट्टियों में कार्य करें। साथ रहने दीजिए। फिर पारसेवल की प्रमेय मानती हैः इस प्रमेय को पार-सहसंबंध के रूप में अभिसरण प्रमेय पर व्युत्क्रम लाप्लास परिवर्तन को लागू करके साबित किया जाता है। अभिसरण की पट्टी में द्वैपाक्षिक लाप्लास परिवर्तन के साथ एक फलन होने दें। साथ रहने दीजिए। फिर प्लैनचेरल प्रमेय मानता हैः विशिष्टता किसी भी दो कार्यों के लिए जिनके लिए दो-तरफा लाप्लास परिवर्तन मौजूद है, यदि। लगभग हर जगह के हर मूल्य के लिए। अभिसरण का क्षेत्र अभिसरण के लिए द्वैपाक्षिक परिवर्तन आवश्यकताएँ एकतरफा परिवर्तनों की तुलना में अधिक कठिन हैं। अभिसरण का क्षेत्र आम तौर पर छोटा होगा। यदि f एक स्थानीय रूप से समाकलनीय फलन है (या अधिक सामान्य रूप से सीमित भिन्नता का स्थानीय रूप से एक बोरेल माप), तो f का लाप्लास परिवर्तन F (s) अभिसरण करता है बशर्ते कि सीमा मौजूद हो। लाप्लास परिवर्तन पूर्णतः अभिसरण करता है यदि समाकलन मौजूद है (एक उचित लेबस्ग समाकलन के रूप में)। लाप्लास परिवर्तन को आमतौर पर सशर्त अभिसारी के रूप में समझा जाता है, जिसका अर्थ है कि यह बाद के अर्थ के बजाय पूर्व में अभिसारी होता है। मानों का वह समुच्चय जिसके लिए F (s) पूरी तरह से अभिसरण करता है, या तो Re (s)> a या अन्यथा Re (s) ≤ a के रूप में होता है, जहाँ a एक विस्तारित वास्तविक स्थिरांक है, − φ ≤ a ≤ φ। (यह प्रमुख अभिसरण प्रमेय से मिलता है।) स्थिरांक a को निरपेक्ष अभिसरण के एब्सिसा के रूप में जाना जाता है, और यह f (t) के विकास व्यवहार पर निर्भर करता है। समान रूप से, दो-तरफा परिवर्तन पूरी तरह से a <Re (s) <b के रूप में एक पट्टी में अभिसरण करता है, और संभवतः रेखाओं Re (s) = a या Re (s) = b को शामिल करता है। एस के मूल्यों का उपसमुच्चय जिसके लिए लाप्लास परिवर्तन पूरी तरह से अभिसरण करता है, उसे निरपेक्ष अभिसरण का क्षेत्र या निरपेक्ष अभिसरण का क्षेत्र कहा जाता है। दो-तरफा मामले में, इसे कभी-कभी निरपेक्ष अभिसरण की पट्टी कहा जाता है। लाप्लास परिवर्तन निरपेक्ष अभिसरण के क्षेत्र में विश्लेषणात्मक है। इसी तरह, मानों का वह समूह जिसके लिए F (s) (सशर्त या बिल्कुल) अभिसरण करता है, उसे सशर्त अभिसरण का क्षेत्र, या बस अभिसरण का क्षेत्र (ROC) के रूप में जाना जाता है। यदि लाप्लास परिवर्तन s = s0 पर (सशर्त) अभिसरण करता है, तो यह स्वचालित रूप से सभी s के लिए Re (s)> Re (s0) के साथ अभिसरण करता है। इसलिए, अभिसरण का क्षेत्र Re (s)> a रूप का एक अर्ध-तल है, जिसमें संभवतः सीमा रेखा Re (s) = a के कुछ बिंदु शामिल हैं। अभिसरण Re (s)> Re (s0) के क्षेत्र में, f के लाप्लास परिवर्तन को अभिन्न के रूप में भागों द्वारा एकीकृत करके व्यक्त किया जा सकता है अर्थात अभिसरण के क्षेत्र में F (s) को प्रभावी रूप से किसी अन्य फलन के बिल्कुल अभिसारी लाप्लास परिवर्तन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। विशेष रूप से, यह विश्लेषणात्मक है। अभिसरण के क्षेत्र के भीतर f के क्षय गुणों और लाप्लास परिवर्तन के गुणों के बीच संबंध के बारे में कई पाले-वीनर प्रमेय हैं। इंजीनियरिंग अनुप्रयोगों में, एक रैखिक समय-अपरिवर्तनीय (एल. टी. आई.) प्रणाली के अनुरूप एक कार्य स्थिर होता है यदि प्रत्येक सीमित इनपुट एक सीमित उत्पादन उत्पन्न करता है। कारणात्मकता द्वैपाक्षिक परिवर्तन कारणात्मकता का सम्मान नहीं करते हैं। सामान्य कार्यों पर लागू करने पर वे समझ में आते हैं लेकिन समय (संकेतों) के कार्यों के साथ काम करते समय एकतरफा परिवर्तनों को प्राथमिकता दी जाती है। चयनित द्वैपाक्षिक लाप्लास परिवर्तनों की तालिका द्वैपाक्षिक लाप्लास परिवर्तन के लिए दिलचस्प उदाहरणों की निम्नलिखित सूची को संबंधित फूरियर या एकतरफा लाप्लास परिवर्तनों से निकाला जा सकता है (यह भी देखें): कारण फिल्टर अकौसल सिस्टम भी देखें कारण सिस्टम सिंक फिल्टर-आदर्श सिंक फिल्टर (उर्फ आयताकार फिल्टर) कारण फिल्टर है और इसमें अनंत देरी होती है। संदर्भ वैन डेर पोल, बाल्थासर और ब्रेमर, एच., ऑपरेशनल कैलकुलस बेस्ड ऑन द टू-साइडेड लाप्लास इंटीग्रल, चेल्सी पब। कं., तीसरा संस्करण, 1987.. इंटीग्रल ट्रांसफॉर्म लाप्लास ट्रांसफॉर्म