Disjoint union (topology)
सामान्य स्थलविज्ञान और गणित के संबंधित क्षेत्रों में, स्थलवैज्ञानिक रिक्त स्थान के परिवार का असंबद्ध संघ (जिसे प्रत्यक्ष योग, मुक्त संघ, मुक्त योग, स्थलवैज्ञानिक योग या सह-उत्पाद भी कहा जाता है) एक प्राकृतिक स्थलविज्ञान के साथ अंतर्निहित समुच्चय के असंबद्ध संघ को सुसज्जित करके बनाया गया स्थान है जिसे असंबद्ध संघ स्थलविज्ञान कहा जाता है। मोटे तौर पर, असंबद्ध संघ में दिए गए स्थानों को एक एकल नए स्थान का हिस्सा माना जाता है जहां प्रत्येक ऐसा दिखता है जैसे वह अकेला होगा और वे एक दूसरे से अलग हैं। कोप्रोडक्ट नाम इस तथ्य से उत्पन्न होता है कि असंबद्ध संघ उत्पाद स्थान निर्माण का स्पष्ट दोहरा है। परिभाषा मान लीजिए कि {xi: i bul I} I द्वारा अनुक्रमित स्थलवैज्ञानिक रिक्त स्थान का एक परिवार है। मान लीजिए कि अंतर्निहित समुच्चयों का असंबद्ध संघ है। आई में प्रत्येक आई के लिए, कैनोनिकल इंजेक्शन (द्वारा परिभाषित) माना जाता है। एक्स पर असंबद्ध संघ टोपोलॉजी को एक्स पर बेहतरीन टोपोलॉजी के रूप में परिभाषित किया गया है जिसके लिए सभी कैनोनिकल इंजेक्शन निरंतर हैं (यानी। : यह कैनोनिकल इंजेक्शन द्वारा प्रेरित एक्स पर अंतिम टोपोलॉजी है)। स्पष्ट रूप से, असंबद्ध संघ टोपोलॉजी को निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है। X का एक उपसमुच्चय U, X में तभी खुला रहता है जब इसकी पूर्व छवि प्रत्येक i ω I के लिए xi में खुली हो। फिर भी एक अन्य सूत्रीकरण यह है कि X का एक उपसमुच्चय V, X के सापेक्ष खुला है यदि इसका xi के साथ प्रतिच्छेदन प्रत्येक i के लिए xi के सापेक्ष खुला है। गुण असंबद्ध संघ स्थान X, कैनॉनिकल इंजेक्शन के साथ, निम्नलिखित सार्वभौमिक गुणों द्वारा चिह्नित किया जा सकता हैः यदि Y एक टोपोलॉजिकल स्थान है, और फाईः xi → Y प्रत्येक i ω I के लिए एक निरंतर मानचित्र है, तो ठीक एक निरंतर मानचित्र f: X → Y मौजूद है जैसे कि आरेखों का निम्नलिखित सेट आवागमन करता हैः यह दर्शाता है कि असंबद्ध संघ टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान की श्रेणी में सह-उत्पाद है। उपरोक्त सार्वभौमिक गुण से यह पता चलता है कि एक मानचित्र f: X → Y निरंतर है यदि fi = f o φi I में सभी i के लिए निरंतर है। निरंतर होने के अलावा, कैनोनिकल इंजेक्शन φi: xi → X खुले और बंद नक्शे हैं। यह इस प्रकार है कि इंजेक्शन टोपोलॉजिकल एम्बेडिंग हैं ताकि प्रत्येक एक्स को एक्स के उपक्षेत्र के रूप में माना जा सके। उदाहरण यदि प्रत्येक xi एक निश्चित स्थान A के लिए समरूप है, तो असंबद्ध संघ X उत्पाद स्थान A × I के लिए समरूप है जहाँ मेरे पास असतत स्थलविज्ञान है। टोपोलॉजिकल गुणों का संरक्षण असतत रिक्त स्थान का प्रत्येक असंगत संघ असतत पृथक्करण है T0 T1 रिक्त स्थान का प्रत्येक असंगत संघ T1 है हौसडॉर्फ रिक्त स्थान का प्रत्येक असंगत संघ हौसडॉर्फ जुड़ाव है दो या दो से अधिक गैर-खाली टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान का असंगत संघ असंबद्ध है उत्पाद टोपोलॉजी, दोहरी निर्माण उपस्थान टोपोलॉजी और इसका दोहरा भागफल टोपोलॉजिकल संघ भी देखें, उस मामले का एक सामान्यीकरण जहां टुकड़े असंबद्ध नहीं हैं सामान्य टोपोलॉजी