Euclidean tilings by convex regular polygons
उत्तल नियमित बहुभुज द्वारा यूक्लिडियन समतल झुकाव का उपयोग प्राचीन काल से व्यापक रूप से किया जाता रहा है। पहला व्यवस्थित गणितीय उपचार केपलर की अपनी हार्मोनिसिस मंडी (लैटिनः द हार्मनी ऑफ द वर्ल्ड, 1619) में था। यूक्लिडियन झुकाव के संकेतन का नाम आमतौर पर कंडी और रोलेट के संकेतन के नाम पर रखा जाता है। यह संकेतन (i) शीर्षों की संख्या, (ii) प्रत्येक शीर्ष के चारों ओर बहुभुज की संख्या (घड़ी की दिशा में व्यवस्थित) और (iii) उन बहुभुज में से प्रत्येक की भुजाओं की संख्या का प्रतिनिधित्व करता है। उदाहरण के लिएः 36; 36; 34.6, हमें बताता है कि 2 अलग-अलग शीर्ष प्रकारों के साथ 3 शीर्ष हैं, इसलिए इस टाइलिंग को '3-समान (2-वर्टेक्स प्रकार)' टाइलिंग के रूप में वर्गीकृत किया जाएगा। टूटा हुआ, 36; 36 (दोनों अलग-अलग पारगमन वर्ग के), या (36) 2, हमें बताता है कि 2 शीर्ष हैं (सुपरस्क्रिप्ट 2 द्वारा निरूपित), जिनमें से प्रत्येक में 6 समबाहु 3-पक्षीय बहुभुज (त्रिकोण) हैं। एक अंतिम शीर्ष 34.6 के साथ, 4 और सन्निहित समबाहु त्रिभुज और एक नियमित षट्कोण। हालांकि, इस संकेतन में अस्पष्ट संरचना और विशिष्टता से संबंधित दो मुख्य समस्याएं हैं पहला, जब के-समान झुकाव की बात आती है, तो संकेतन शीर्षों के बीच संबंधों की व्याख्या नहीं करता है। यह अकेले संकेतन को देखते हुए एक ढके हुए तल को उत्पन्न करना असंभव बनाता है। और दूसरा, कुछ टेसेलेशन में समान नामकरण होते हैं, वे बहुत समान होते हैं लेकिन यह देखा जा सकता है कि षट्कोण की सापेक्ष स्थिति अलग होती है। इसलिए, दूसरी समस्या यह है कि यह नामकरण प्रत्येक टेसेलेशन के लिए अद्वितीय नहीं है। उन समस्याओं को हल करने के लिए, गोमजाउ-हॉग का संकेतन 2012 में प्रस्तुत शोध और संकेतन का थोड़ा संशोधित संस्करण है, जो टेसेलेशन और डबल-लेयर ग्रिड की पीढ़ी और नामकरण के बारे में है। एंटवर्प v3.0, एक मुफ्त ऑनलाइन अनुप्रयोग, आकार स्थान निर्धारण चरणों और पुनरावृत्ति घूर्णन और प्रतिबिंब संचालन के एक सेट के माध्यम से नियमित बहुभुज झुकाव की अनंत पीढ़ी के लिए अनुमति देता है, जो सीधे गोमजाउ-हॉग के संकेतन से प्राप्त होता है। ग्रनबॉम और शेफर्ड (खंड 1.3) के बाद, एक टाइलिंग को नियमित कहा जाता है यदि टाइलिंग का समरूपता समूह टाइलिंग के झंडों पर पारगमन रूप से कार्य करता है, जहां एक झंडा तीन गुना होता है जिसमें एक पारस्परिक रूप से घटना शीर्ष, किनारे और टाइलिंग की टाइल होती है। इसका मतलब है कि, झंडे की प्रत्येक जोड़ी के लिए, पहले झंडे को दूसरे पर मानचित्रित करने के लिए एक समरूपता ऑपरेशन है। यह अनुरूप नियमित बहुभुज द्वारा एक किनारे से किनारे की टाइलिंग के बराबर है। एक शीर्ष पर छह समबाहु त्रिभुज, चार वर्ग या तीन नियमित षट्कोण होने चाहिए, जिससे तीन नियमित टेसेलेशन प्राप्त होते हैं। C & R: कंडी और रोलेट का संकेतन GJ-H: गोमजाऊ-हॉग आर्किमिडियन का संकेतन, एक समान या अर्धरेखीय झुकाव वर्टेक्स-पारगमन का अर्थ है कि शीर्षों की प्रत्येक जोड़ी के लिए पहले शीर्ष को दूसरे पर मानचित्रित करने के लिए एक समरूपता ऑपरेशन है। यदि फ्लैग-ट्रांजिटिविटी की आवश्यकता को शीर्ष-ट्रांजिटिविटी में से एक के लिए शिथिल किया जाता है, जबकि टाइलिंग के किनारे से किनारे की स्थिति रखी जाती है, तो आठ अतिरिक्त झुकाव संभव हैं, जिन्हें आर्किमिडियन, यूनिफॉर्म या सेमीरेगुलर झुकाव के रूप में जाना जाता है। ध्यान दें कि 34.6 (स्नब हेक्सागोनल) टाइलिंग के दो दर्पण छवि (एनेंटिओमोर्फिक या कायरल) रूप हैं, जिनमें से केवल एक को निम्नलिखित तालिका में दिखाया गया है। अन्य सभी नियमित और अर्धरेगुलर झुकाव अकिराल हैं। C & R: Cundy & Rollet का संकेतन GJ-H: GomJau-Hogg Grünbaum और शेफर्ड का संकेतन इन झुकावों के विवरण को आर्किमिडियन के रूप में अलग करता है क्योंकि प्रत्येक शीर्ष के चारों ओर टाइलों की व्यवस्था की स्थानीय संपत्ति का उल्लेख करना समान है, और यह शीर्ष-पारगमन की वैश्विक संपत्ति का उल्लेख करने के लिए समान है। यद्यपि ये समतल में झुकाव का एक ही सेट उत्पन्न करते हैं, अन्य स्थानों में आर्किमिडियन झुकाव होते हैं जो समान नहीं होते हैं। प्लेन-वर्टेक्स झुकाव नियमित उत्तल बहुभुज के 17 संयोजन हैं जो 21 प्रकार के प्लेन-वर्टेक्स झुकाव बनाते हैं। इनमें बहुभुज बिना किसी अंतराल या ओवरलैप के एक बिंदु पर मिलते हैं। उनके शीर्ष आकृतियों से सूचीबद्ध करते हुए, एक में 6 बहुभुज होते हैं, तीन में 5 बहुभुज होते हैं, सात में 4 बहुभुज होते हैं, और दस में 3 बहुभुज होते हैं। जैसा कि उपरोक्त खंडों में विस्तृत है, उनमें से तीन नियमित झुकाव (63,44,36) कर सकते हैं, और आठ और अर्धरेगुलर या आर्किमिडियन झुकाव बना सकते हैं, (3.12.12,4.6.12,4.8.8, (3.6) 2,3.4.6.4,3.3.4.3.4,3.3.3.4.4,3.3.3.3.6)। उनमें से चार उच्च के-समान झुकाव (3.3.4.12,3.4.3.12,3.3.6.6,3.4.4.6) में मौजूद हो सकते हैं, जबकि छह का उपयोग नियमित बहुभुज द्वारा तल को पूरी तरह से टाइल करने के लिए नहीं किया जा सकता है, जिसमें कोई अंतराल या ओवरलैप नहीं होता है-वे केवल अनियमित बहुभुज शामिल होने पर पूरी तरह से टेसलेट स्थान होते हैं (3.7.42,3.8.24,3.9.18,3.10.15,4.5.20,5.5.10)। के-समान झुकाव इस तरह के आवधिक झुकाव को शीर्षों, किनारों और टाइलों की कक्षाओं की संख्या के आधार पर वर्गीकृत किया जा सकता है। यदि शीर्षों की कक्षाएं हैं, तो एक टाइलिंग को-यूनिफॉर्म या-आइसोगोनल के रूप में जाना जाता है; यदि टाइलों की कक्षाएं हैं, तो-आइसोहेड्रल के रूप में; यदि किनारों की कक्षाएं हैं, तो-आइसोटोक्सल के रूप में। समान शीर्ष आकृतियों के साथ के-समान झुकाव को आगे उनकी वालपेपर समूह समरूपता द्वारा पहचाना जा सकता है। 1-समान झुकाव में 2 या अधिक प्रकार के नियमित बहुभुज चेहरों के साथ 3 नियमित झुकाव और 8 अर्धरेखीय झुकाव शामिल हैं। 20 2-समान टिलिंग, 61 3-समान टिलिंग, 151 4-समान टिलिंग, 332 5-समान टिलिंग और 673 6-समान टिलिंग हैं। प्रत्येक को अलग-अलग शीर्ष आकृतियों की संख्या m द्वारा समूहीकृत किया जा सकता है, जिन्हें m-आर्किमिडियन झुकाव भी कहा जाता है। अंत में, यदि शीर्षों के प्रकारों की संख्या एकरूपता (नीचे m = k) के समान है, तो टाइलिंग को क्रोटेनहर्ड कहा जाता है। सामान्य तौर पर, एकरूपता शीर्षों के प्रकारों की संख्या से अधिक या उसके बराबर होती है, क्योंकि विभिन्न प्रकार के शीर्षों में आवश्यक रूप से अलग-अलग कक्षाएं होती हैं, लेकिन इसके विपरीत नहीं। m = n = k को निर्धारित करते हुए, n = 1 के लिए 11 ऐसे झुकाव हैं; n = 2 के लिए 20 ऐसे झुकाव; n = 3 के लिए 39 ऐसे झुकाव; n = 4 के लिए 33 ऐसे झुकाव; n = 5 के लिए 15 ऐसे झुकाव; n = 6 के लिए 10 ऐसे झुकाव; और n = 7 के लिए 7 ऐसे झुकाव हैं। नीचे 3-यूनिफ़ॉम टाइलिंग का एक उदाहरण दिया गया हैः 2-यूनिफ़ॉर्म टिलिंग यूक्लिडियन तल के बीस (20) 2-यूनिफ़ॉर्म टिलिंग हैं। (जिसे 2-आइसोगोनल टिलिंग या डिमिरेगुलर टिलिंग भी कहा जाता है) वर्टेक्स के प्रकार प्रत्येक के लिए सूचीबद्ध हैं। यदि दो झुकाव एक ही दो शीर्ष प्रकारों को साझा करते हैं, तो उन्हें अनुलेखन 1,2 दिया जाता है। उच्च के-यूनिफॉर्म टिलिंग के-यूनिफॉर्म टिलिंग को 6 तक गिना गया है। यूक्लिडियन तल के 673 6-समान झुकाव हैं। ब्रायन गेलबैक की खोज ने क्रोटेनहर्ड की 6 अलग-अलग शीर्ष प्रकारों के साथ 10-समान झुकाव की सूची को पुनः प्रस्तुत किया, साथ ही उनमें से 92 को 5 शीर्ष प्रकारों के साथ पाया, उनमें से 187 को 4 शीर्ष प्रकारों के साथ, उनमें से 284 को 3 शीर्ष प्रकारों के साथ और 100 को 2 शीर्ष प्रकारों के साथ पाया। फ्रेक्टलाइजिंग के-यूनिफॉर्म टिलिंग्स पुराने के-यूनिफॉर्म टिलिंग्स से नए के-यूनिफॉर्म टिलिंग्स उत्पन्न करने के कई तरीके हैं। उदाहरण के लिए, ध्यान दें कि 2-वर्दी [3.12.12; 3.4.3.12] टाइलिंग में एक वर्गाकार जाली होती है, 4 (3-1)-वर्दी [343.12; (3.122) 3] टाइलिंग में एक स्नब वर्ग जाली होती है, और 5 (3-1-1)-वर्दी [334.12; 343.12; (3.12.12) 3] टाइलिंग में एक लंबा त्रिकोणीय जाली होता है। ये उच्च-क्रम के समान झुकाव एक ही जाली का उपयोग करते हैं लेकिन इनमें अधिक जटिलता होती है। इन झुकावों के लिए फ्रैक्टलाइज़िंग आधार इस प्रकार हैः पक्ष की लंबाई एक कारक द्वारा फैली हुई है। यह इसी तरह एक आधार के रूप में कटे हुए त्रिभुजाकार टाइलिंग के साथ किया जा सकता है, जिसके अनुरूप फैलाव के साथ। विखंडनकारी उदाहरण टिलिंग्स जो किनारे से किनारे तक कन्वेक्स नियमित बहुभुज नहीं हैं, वे समतल टिलिंग्स भी बना सकते हैं जो किनारे से किनारे तक नहीं हैं। इस तरह के झुकाव को आसन्न कोलिनियर किनारों के साथ गैर-नियमित बहुभुज के रूप में किनारे से किनारे पर माना जा सकता है। प्रत्येक परिवार में आइसोगोनल के सात परिवार होते हैं जिनमें एक वास्तविक-मूल्यवान पैरामीटर होता है जो आसन्न टाइलों के किनारों के बीच ओवरलैप या विभिन्न टाइलों की किनारे की लंबाई के बीच के अनुपात को निर्धारित करता है। दो परिवार स्थानांतरित वर्ग से उत्पन्न होते हैं, या तो प्रगतिशील या ज़िग-जैगिंग स्थिति। ग्रनबॉम और शेफर्ड इन झुकावों को एक समान कहते हैं, हालांकि यह एकरूपता के लिए कॉक्सेटर की परिभाषा का खंडन करता है जिसके लिए किनारे से किनारे तक नियमित बहुभुज की आवश्यकता होती है। इस तरह के समभुज झुकाव वास्तव में विभिन्न ज्यामितीय अनुपात के साथ समान झुकाव के लिए स्थलाकृतिक रूप से समान हैं। यह भी देखें ग्रिड (स्थानिक सूचकांक) हाइपरबोलिक तल में समान झुकाव समान झुकाव की सूची वाइथॉफ प्रतीक टेसेलेशन वालपेपर समूह नियमित पॉलीहेड्रॉन (प्लेटोनिक ठोस) अर्धरेखीय पॉलीहेड्रॉन (आर्किमिडियन ठोस सहित) हाइपरबोलिक ज्यामिति पेनरोज टाइलिंग आयताकार जाली के साथ टाइलिंग (समूह) अंतरिक्ष में संदर्भ आदेशः एक डिजाइन स्रोत पुस्तक, कीथ क्रिचलो, 1970 अध्याय एक्सः नियमित पॉलीटोप डेल सीमोर और जिल ब्रिटन, टेसेलेशन का परिचय, 1989, पीपी। 50-57 बाहरी लिंक यूक्लिडियन और सामान्य टाइलिंग लिंकः एन-यूनिफॉर्म टिलिंग, ब्रायन गेलेबैक यूक्लिडियन प्लेन ज्यामिति नियमित टिलिंग टेसेलेशन