Cantor–Dedekind axiom
गणितीय तर्क में, कैंटर-डेडेकाइंड स्वयंसिद्ध सिद्धांत यह है कि वास्तविक संख्याएँ ज्यामिति की रैखिक निरंतरता के लिए क्रम-समरूप हैं। दूसरे शब्दों में, स्वयंसिद्ध में कहा गया है कि एक रेखा पर वास्तविक संख्याओं और बिंदुओं के बीच एक-से-एक पत्राचार होता है। यह स्वयंसिद्ध एक प्रमेय बन गया जिसे एमिल आर्टिन ने अपनी पुस्तक ज्यामितीय बीजगणित में साबित किया। अधिक सटीक रूप से, वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र पर परिभाषित यूक्लिडियन रिक्त स्थान यूक्लिडियन ज्यामिति के स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करते हैं, और यूक्लिडियन ज्यामिति के स्वयंसिद्धों से, कोई भी ऐसे क्षेत्र का निर्माण कर सकता है जो वास्तविक संख्याओं के समरूप हो। विश्लेषणात्मक ज्यामिति का विकास रेने डेसकार्टेस द्वारा शुरू की गई कार्टेशियन निर्देशांक प्रणाली से किया गया था। इसने एक रेखा पर वास्तविक संख्याओं और बिंदुओं की विशिष्ट अवधारणाओं को मिलाकर इस स्वयंसिद्ध को निहित रूप से ग्रहण किया, जिसे कभी-कभी वास्तविक संख्या रेखा के रूप में संदर्भित किया जाता है। आर्टिन का प्रमाण, न केवल इस मिश्रण को स्पष्ट बनाता है, बल्कि यह भी कि विश्लेषणात्मक ज्यामिति पारंपरिक सिंथेटिक ज्यामिति के साथ सख्ती से समतुल्य है, इस अर्थ में कि दोनों संरचनाओं में बिल्कुल एक ही प्रमेय साबित किए जा सकते हैं। एक अन्य परिणाम यह है कि वास्तविक संख्याओं के प्रथम क्रम के सिद्धांतों की निर्णायकता के अल्फ्रेड टार्स्की के प्रमाण को यूक्लिडियन ज्यामिति में किसी भी प्रथम क्रम की समस्या को हल करने के लिए एक एल्गोरिथ्म के रूप में देखा जा सकता है। संदर्भ एरलिच, पी. (1994)। "सामान्य परिचय"। वास्तविक संख्याएँ, वास्तविकताओं के सामान्यीकरण, और निरंतरता के सिद्धांत, vi-XXXII। पी. एरलिच, क्लूवर अकादमिक प्रकाशकों, डोरड्रेक्ट ब्रूस ई. मेसर्व (1953) बी. ई. द्वारा संपादित। मेसर्व (1955) वास्तविक संख्याएँ गणितीय स्वयंसिद्धियाँ