Principles and Standards for School Mathematics
स्कूली गणित के लिए सिद्धांत और मानक (पी. एस. एस. एम.) 2000 में राष्ट्रीय गणित शिक्षक परिषद (एन. सी. टी. एम.) द्वारा तैयार किए गए दिशानिर्देश हैं, जो गणित शिक्षकों के लिए सिफारिशें निर्धारित करते हैं। वे अमेरिका और कनाडा में बारहवीं कक्षा की गणित शिक्षा के माध्यम से पूर्वस्कूली के लिए एक राष्ट्रीय दृष्टि बनाते हैं। यह मानक-आधारित गणित के लिए प्राथमिक मॉडल है। एन. सी. टी. एम. ने एक सर्वसम्मति प्रक्रिया को नियोजित किया जिसमें कक्षा के शिक्षक, गणितशास्त्री और शैक्षिक शोधकर्ता शामिल थे। परिणामी दस्तावेज़ छह सिद्धांतों (समानता, पाठ्यक्रम, शिक्षण, शिक्षा, मूल्यांकन और प्रौद्योगिकी) का एक समूह निर्धारित करता है जो गणित कार्यक्रमों के लिए एन. सी. टी. एम. के अनुशंसित ढांचे का वर्णन करता है, और दस सामान्य स्ट्रैंड या मानक जो स्कूली गणित पाठ्यक्रम में कटौती करते हैं। इन श्रेणियों को गणित सामग्री (संख्या और संचालन, बीजगणित, ज्यामिति, माप, और डेटा विश्लेषण और संभावना) और प्रक्रियाओं (समस्या समाधान, तर्क और प्रमाण, संचार, कनेक्शन और प्रतिनिधित्व) में विभाजित किया गया है। छात्र के सीखने के लिए विशिष्ट अपेक्षाओं को ग्रेड की श्रेणियों (पूर्वस्कूली से 2,3 से 5,6 से 8 और 9 से 12) के लिए वर्णित किया गया है। मूल स्कूली गणित के लिए सिद्धांत और मानक एन. सी. टी. एम. द्वारा विकसित किए गए थे। एन. सी. टी. एम. का घोषित उद्देश्य गणित शिक्षा में सुधार करना था। सामग्री मौजूदा पाठ्यक्रम सामग्री, पाठ्यक्रम और कई देशों की नीतियों, शैक्षिक अनुसंधान प्रकाशनों और यू. एस. नेशनल साइंस फाउंडेशन जैसी सरकारी एजेंसियों के सर्वेक्षण पर आधारित थी। मूल मसौदे की 1998 के अंत में व्यापक रूप से समीक्षा की गई और शिक्षकों के सैकड़ों सुझावों के जवाब में इसे संशोधित किया गया। पी. एस. एस. एम. का उद्देश्य "एक एकल संसाधन होना है जिसका उपयोग गणित पाठ्यक्रम, शिक्षण और मूल्यांकन में सुधार के लिए किया जा सकता है।" नवीनतम अद्यतन 2000 में प्रकाशित किया गया था। पी. एस. एस. एम. एक पुस्तक के रूप में और एन. सी. टी. एम. वेब साइट पर हाइपरटेक्स्ट प्रारूप में उपलब्ध है। पी. एस. एस. एम. एन. सी. टी. एम. द्वारा तीन पूर्व प्रकाशनों को प्रतिस्थापित करता हैः स्कूली गणित के लिए पाठ्यक्रम और मूल्यांकन मानक (1989), जो एक सरकारी एजेंसी के बजाय एक स्वतंत्र पेशेवर संगठन द्वारा इस तरह का पहला प्रकाशन था और यह रेखांकित करता था कि छात्रों को क्या सीखना चाहिए और उनके सीखने को कैसे मापना चाहिए। गणित पढ़ाने के लिए व्यावसायिक मानक (1991), जिसमें गणित पढ़ाने के लिए सर्वोत्तम प्रथाओं के बारे में जानकारी जोड़ी गई। स्कूली गणित के लिए मूल्यांकन मानक (1995), जो सटीक मूल्यांकन विधियों के उपयोग पर केंद्रित था। छह सिद्धांत समानता-समानता के लिए एन. सी. टी. एम. मानक, जैसा कि पी. एस. एस. एम. में उल्लिखित है, सभी छात्रों के लिए गणित तक समान पहुंच को प्रोत्साहित करते हैं, "विशेष रूप से वे छात्र जो गरीब हैं, अंग्रेजी बोलने वाले मूल निवासी, विकलांग, महिला या अल्पसंख्यक समूहों के सदस्य नहीं हैं।" पी. एस. एस. एम. स्पष्ट रूप से यह लक्ष्य रखता है कि सभी छात्रों को उच्च स्तर का गणित सीखना चाहिए, विशेष रूप से अल्पसंख्यकों और महिलाओं जैसे वंचित समूहों को। यह सिद्धांत उन छात्रों को अतिरिक्त सहायता के प्रावधान को प्रोत्साहित करता है जो संघर्ष कर रहे हैं और सभी छात्रों के लिए उच्च अपेक्षाओं और उत्कृष्ट शिक्षण की वकालत करते हैं। पाठ्यक्रमः पी. एस. एस. एम. के पाठ्यक्रम खंड में, एन. सी. टी. एम. एक "सुसंगत" पाठ्यक्रम को बढ़ावा देता है, जिसमें एक व्यवस्थित और तार्किक प्रगति छात्रों की गणित की समझ को बढ़ाती है और अनावश्यक पुनरावृत्ति के साथ समय बर्बाद करने से बचती है। वे स्वीकार करते हैं कि कुछ विशिष्ट विषयों का सापेक्ष महत्व समय के साथ बदलता है। उदाहरण के लिए, उन छात्रों के लिए पुनरावृत्ति की बुनियादी समझ महत्वपूर्ण है जो कंप्यूटर प्रोग्रामिंग सीख रहे हैं, और 19 वीं शताब्दी की पाठ्यपुस्तकों से लगभग अनुपस्थित हैं। इसी तरह, पुरानी अमेरिकी गणित की पाठ्यपुस्तकों में ऐसे पाठ शामिल थे जिन्हें अब महत्वपूर्ण नहीं माना जाता है, जैसे कि घास के बुशेल की संख्या की गणना के लिए नियम जिन्हें बताए गए आयामों के एक बिन में संग्रहीत किया जा सकता था, क्योंकि यह कौशल उस समय किसानों के लिए उपयोगी था। एन. सी. टी. एम. का प्रस्ताव है कि आधुनिक कक्षाओं में पढ़ाए जाने वाले गणित वे कौशल हों जो छात्रों के जीवन और करियर के लिए सबसे महत्वपूर्ण हैं। शिक्षणः पी. एस. एस. एम. में, एन. सी. टी. एम. एक-आकार-फिट-सभी दृष्टिकोण निर्धारित किए बिना, अच्छी शिक्षण विधियों को बढ़ावा देता है। एन. सी. टी. एम. चाहता है कि शिक्षक शिक्षण तकनीकों को चुनने में अपने पेशेवर निर्णय का उपयोग करने में सक्षम हों। वे गणित (विषय-वस्तु) और प्रभावी शिक्षण तकनीकों (विधियों) दोनों में व्यावसायिक विकास के अवसरों का समर्थन करते हैं। सीखनाः पी. एस. एस. एम. के अनुसार, छात्रों के लिए गणित का उपयोग करने के लिए "तथ्यात्मक ज्ञान, प्रक्रियात्मक सुविधा और वैचारिक समझ" का संयोजन आवश्यक है। जबकि वे कहते हैं कि "मूल बातें सीखना महत्वपूर्ण है", एन. सी. टी. एम. दोहराव द्वारा याद रखने के सबसे सरल रूपों को गणित में पर्याप्त उपलब्धि नहीं मानता है। एक अच्छा छात्र न केवल यह समझता है कि तथ्यों, प्रक्रियाओं और अवधारणाओं का उपयोग कैसे और कब करना है, बल्कि वह चीजों का पता लगाना चाहता है और चुनौती का सामना करने के लिए दृढ़ रहता है। एन. सी. टी. एम. विशेष रूप से स्कूलों में दृष्टिकोण की निंदा करता है जो सुझाव देता है कि केवल कुछ छात्र ही गणित में महारत हासिल करने में सक्षम हैं। मूल्यांकन प्रौद्योगिकी मानक गणित की सामग्री और प्रक्रियाओं के दस सामान्य मानकों को परिभाषित किया गया था जो स्कूली गणित पाठ्यक्रम में कटौती करते हैं। परिणाम-आधारित शिक्षा के दर्शन से प्राप्त छात्र सीखने के लिए विशिष्ट अपेक्षाओं को ग्रेड की श्रेणियों (पूर्वस्कूली से 2,3 से 5,6 से 8 और 9 से 12) के लिए वर्णित किया गया है। इन मानकों को लगभग सभी परिणाम-आधारित शिक्षा और बाद में मानकों-आधारित शिक्षा सुधार कार्यक्रमों का एक अभिन्न अंग बनाया गया था जिन्हें संयुक्त राज्य भर में व्यापक रूप से अपनाया गया था। विषय वस्तु मानक संख्या और संचालनः ये सभी गणित का मौलिक आधार हैं, और इस महत्वपूर्ण क्षेत्र को पढ़ाना पहला विषय वस्तु मानक है। सभी छात्रों को "संख्याओं, संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के तरीकों, संख्याओं के बीच संबंधों और संख्या प्रणालियों को समझना; संचालन के अर्थों को समझना और वे एक दूसरे से कैसे संबंधित हैं; [और] धाराप्रवाह गणना करना और उचित अनुमान लगाना" सिखाया जाना चाहिए। मानसिक गणना करने और कागज पर उत्तरों की गणना करने की क्षमता "आवश्यक" है। बीजगणितः पी. एस. एस. एम. बीजगणित से संबंधित चार कौशलों का नाम देता है जिन्हें सभी छात्रों को पढ़ाया जाना चाहिएः "प्रतिरूपों, संबंधों और कार्यों को समझना; बीजगणितीय प्रतीकों का उपयोग करके गणितीय स्थितियों और संरचनाओं का प्रतिनिधित्व और विश्लेषण करना; मात्रात्मक संबंधों का प्रतिनिधित्व और समझने के लिए गणितीय मॉडल का उपयोग करना; [और] विभिन्न संदर्भों में परिवर्तन का विश्लेषण करना।" बहुत सरल बीजगणित कौशल अक्सर छोटे बच्चों को सिखाए जाते हैं। उदाहरण के लिए, एक छात्र 19 + 15 =? जैसे जोड़ समीकरण को परिवर्तित कर सकता है। एक सरल समीकरण में, 20 + 14 =? आसान गणना के लिए। औपचारिक रूप से, इसे बीजगणितीय संकेतन में इस तरह वर्णित किया गया हैः (19 + 1) + (15-1) = x, लेकिन एक युवा छात्र भी इस तकनीक का उपयोग बीजगणित कहे बिना कर सकता है। पी. एस. एस. एम. अनुशंसा करता है कि सभी छात्र आठवीं कक्षा के अंत तक पूर्व-बीजगणित पाठ्यक्रम पूरा करें और हाई स्कूल के दौरान बीजगणित कक्षा लें। ज्यामितिः ज्यामिति सीखने के लिए समग्र लक्ष्य "दो और त्रि-आयामी ज्यामितीय आकृतियों की विशेषताओं और गुणों का विश्लेषण करना और ज्यामितीय संबंधों के बारे में गणितीय तर्क विकसित करना; समन्वय ज्यामिति और अन्य प्रतिनिधित्व प्रणालियों का उपयोग करके स्थानों को निर्दिष्ट करना और स्थानिक संबंधों का वर्णन करना; गणितीय स्थितियों का विश्लेषण करने के लिए परिवर्तनों को लागू करना और समरूपता का उपयोग करना; [और] समस्याओं को हल करने के लिए दृश्य, स्थानिक तर्क और ज्यामितीय प्रतिरूपण का उपयोग करना" हैं। कुछ ज्यामिति कौशल का उपयोग कई रोजमर्रा के कार्यों में किया जाता है, जैसे कि मानचित्र पढ़ना, किसी वस्तु के आकार का वर्णन करना, फर्नीचर की व्यवस्था करना ताकि वह एक कमरे में फिट हो, या किसी परियोजना के लिए आवश्यक कपड़े या निर्माण सामग्री की मात्रा निर्धारित करना। शिक्षण छात्रों के विकास के स्तर के लिए उपयुक्त होना चाहिएः युवा छात्रों को एक आयत और एक वर्ग के बीच के अंतर को समझाने में सक्षम होना चाहिए, जबकि बड़े छात्रों को सरल गणितीय प्रमाणों सहित अधिक जटिल तर्क व्यक्त करने में सक्षम होना चाहिए। (वैन हीले मॉडल देखें।) पी. एस. एस. एम. ज्यामिति सिखाने के लिए भौतिक वस्तुओं, चित्रों और कंप्यूटर सॉफ्टवेयर के उचित उपयोग को बढ़ावा देता है। मापनः मापन कौशल के कई व्यावहारिक अनुप्रयोग हैं, साथ ही गणितीय समझ को आगे बढ़ाने और अन्य गणितीय कौशल, विशेष रूप से संख्या संचालन (जैसे, जोड़ या घटाव) और ज्यामिति का अभ्यास करने के अवसर प्रदान करते हैं। छात्रों को "वस्तुओं की मापने योग्य विशेषताओं और इकाइयों, प्रणालियों और माप की प्रक्रियाओं को समझना चाहिए; [और] माप निर्धारित करने के लिए उपयुक्त तकनीकों, उपकरणों और सूत्रों को लागू करना चाहिए।" अधिक अमूर्त कौशल के विपरीत, माप का व्यावहारिक महत्व छात्रों और माता-पिता के लिए आसानी से स्पष्ट है। डेटा विश्लेषण और संभाव्यताः पी. एस. एस. एम. का कहना है कि सभी छात्रों को "ऐसे प्रश्न तैयार करना सीखना चाहिए जिन्हें डेटा के साथ संबोधित किया जा सकता है और उनका उत्तर देने के लिए प्रासंगिक डेटा एकत्र करना, व्यवस्थित करना और प्रदर्शित करना चाहिए; डेटा का विश्लेषण करने के लिए उपयुक्त सांख्यिकीय तरीकों का चयन और उपयोग करना चाहिए; डेटा पर आधारित निष्कर्षों और भविष्यवाणियों का विकास और मूल्यांकन करना चाहिए; [और] संभाव्यता की बुनियादी अवधारणाओं को समझना और लागू करना चाहिए।" ये कौशल छात्रों को महत्वपूर्ण जानकारी की समझ बनाने में मदद करते हैं, जैसे कि चिकित्सा सांख्यिकी और राजनीतिक सर्वेक्षणों के परिणाम। ये कौशल तेजी से महत्वपूर्ण हो रहे हैं क्योंकि सांख्यिकीय डेटा का उपयोग निर्माताओं द्वारा उत्पादों को बढ़ावा देने के लिए चुनिंदा रूप से किया जाता है। जबकि युवा छात्र सरल कौशल सीखते हैं जैसे कि अपने सहपाठियों से संबंधित पालतू जानवरों की संख्या का प्रतिनिधित्व करने के तरीके, या पारंपरिक कौशल जैसे कि कई संख्याओं के अंकगणितीय माध्य की गणना करना, बड़े छात्र ऐसी अवधारणाओं को सीख सकते हैं जो पारंपरिक रूप से उपेक्षित थीं, जैसे कि कभी-कभी नाटकीय सापेक्ष जोखिम में कमी के आंकड़ों और अधिक ठोस पूर्ण जोखिम में कमी, या राजनीतिक सर्वेक्षणकर्ता अपने सर्वेक्षण परिणामों के साथ त्रुटि के अंतर की रिपोर्ट क्यों करते हैं। प्रक्रिया मानक समस्या समाधान तर्क और प्रमाण संचार कनेक्शन प्रतिनिधित्व पाठ्यक्रम केंद्र बिंदु 2006 में, एन. सी. टी. एम. ने "पाठ्यक्रम केंद्र बिंदु" नामक एक दस्तावेज़ जारी किया जिसमें प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालयों में प्रत्येक श्रेणी के लिए सबसे महत्वपूर्ण गणितीय विषय प्रस्तुत किए गए। अमेरिकी गणित निर्देश व्यापक होते हैं और हर साल बहुत सारे विषयों को शामिल करने के लिए उनकी आलोचना की जाती है। आंशिक रूप से, इस प्रकाशन का उद्देश्य शिक्षकों को लक्षित ध्यान के लिए सबसे महत्वपूर्ण सामग्री की पहचान करने में सहायता करना है। इस तरह के और प्रकाशनों की योजना बनाई गई है। एन. सी. टी. एम. ने कहा कि "फोकल पॉइंट्स" मानकों के कार्यान्वयन में एक कदम था, न कि छात्रों को वैचारिक समझ के साथ मूलभूत विषयों को सीखने के लिए पढ़ाने पर अपनी स्थिति को बदलना। कई पाठ्यपुस्तक प्रकाशकों और शैक्षिक प्रगतिवादियों की अपेक्षाओं के विपरीत, 2006 के पाठ्यक्रम केंद्र बिंदु ने निम्न और मध्यम कक्षाओं में बुनियादी अंकगणितीय कौशल के महत्व पर दृढ़ता से जोर दिया। इस वजह से, "पाठ्यक्रम केंद्र बिंदु" को मीडिया द्वारा एक स्वीकारोक्ति के रूप में माना गया था कि पी. एस. एस. एम. ने मूल रूप से सिफारिश की थी, या कम से कम बुनियादी अंकगणितीय तथ्यों में अनुशंसा, कम निर्देश के रूप में व्याख्या की गई थी। 2006 के पाठ्यक्रम केंद्र बिंदु कक्षा 8 के माध्यम से प्री-किंडरगार्टन के लिए प्रत्येक श्रेणी स्तर पर तीन महत्वपूर्ण क्षेत्रों की पहचान करते हैं। तीन श्रेणियों के लिए विशिष्ट केंद्र बिंदु के नमूने नीचे दिए गए हैं। (ध्यान दें कि नीचे दिए गए सरल उदाहरण फोकल पॉइंट्स के उद्धरण नहीं हैं, बल्कि फोकल पॉइंट्स में पाई जाने वाली गतिविधियों के विवरण पर आधारित हैं।) केंद्र बिंदु न केवल अनुशंसित पाठ्यक्रम पर जोर देते हैं, बल्कि उन तरीकों को भी परिभाषित करते हैं जिनमें छात्रों को उन्हें सीखना चाहिए, जैसा कि पी. एस. एस. एम. में है। एक केंद्र बिंदु के पूर्ण विवरण का एक उदाहरण चौथी कक्षा के लिए निम्नलिखित हैः संख्या और संचालन और बीजगणितः पूर्ण संख्या गुणन के साथ गुणन तथ्यों और संबंधित विभाजन तथ्यों और प्रवाह की त्वरित याद विकसित करना. छात्र मूल गुणन तथ्यों और संबंधित विभाजन तथ्यों की त्वरित याद विकसित करने के लिए गुणन की समझ का उपयोग करते हैं। वे गुणन (जैसे, समान आकार के समूह, सरणी, क्षेत्र मॉडल, संख्या रेखा पर समान अंतराल), स्थान मूल्य और संचालन के गुणों (विशेष रूप से, वितरण गुण) के लिए मॉडल की अपनी समझ को लागू करते हैं क्योंकि वे बहु-अंकीय पूर्ण संख्याओं को गुणा करने के लिए कुशल, सटीक और सामान्यीकृत तरीकों का विकास, चर्चा और उपयोग करते हैं। वे उपयुक्त तरीकों का चयन करते हैं और संदर्भ और संख्या के आधार पर उत्पादों का अनुमान लगाने या मानसिक रूप से उनकी गणना करने के लिए उन्हें सटीक रूप से लागू करते हैं। वे पूर्ण संख्याओं को गुणा करने के लिए मानक एल्गोरिथ्म सहित कुशल प्रक्रियाओं के साथ प्रवाह विकसित करते हैं, यह समझते हैं कि प्रक्रियाएं क्यों काम करती हैं (स्थान मूल्य और संचालन के गुणों के आधार पर), और समस्याओं को हल करने के लिए उनका उपयोग करते हैं। विवाद क्योंकि संयुक्त राज्य अमेरिका में अधिकांश शिक्षा एजेंसियों ने एन. सी. टी. एम. की सिफारिशों को अलग-अलग मात्रा में अपनाया है, कई पाठ्यपुस्तक प्रकाशक अपने उत्पादों को पी. एस. एस. एम. की प्रकाशकों की व्याख्याओं के अनुरूप होने के रूप में बढ़ावा देते हैं। हालाँकि, एन. सी. टी. एम. किसी भी पाठ्यपुस्तक या अन्य उत्पादों का समर्थन, अनुमोदन या अनुशंसा नहीं करता है और कभी भी इस बात पर सहमत नहीं हुआ है कि कोई भी पाठ्यपुस्तक उनके लक्ष्यों का सटीक प्रतिनिधित्व करती है। यह भी देखें संयुक्त राज्य अमेरिका में शिक्षा सुधार गणित संदर्भ बाहरी लिंक शिक्षा संसाधन सूचना केंद्र से विकलांग छात्रों को मानक-आधारित गणित पाठ्यक्रम में भाग लेने में मदद करने वाले मानकों के ऑनलाइन संस्करण तक पहुंच। गणित शिक्षा पर पुस्तकें