Cardinality of the continuum
समुच्चय सिद्धांत में, निरंतरता की प्रधानता वास्तविक संख्याओं के समुच्चय की प्रधानता या "आकार" है, जिसे कभी-कभी निरंतरता कहा जाता है। यह एक अनंत कार्डिनल संख्या है और इसे (छोटे अक्षर फ्राक्टूर "सी") या द्वारा दर्शाया जाता है। वास्तविक संख्याएँ प्राकृतिक संख्याओं से अधिक संख्या में हैं। इसके अलावा, प्रतीकात्मक रूप से शक्ति समूह के रूप में तत्वों की समान संख्या है, यदि की कार्डिनलिटी को दर्शाया जाता है, तो निरंतरता की कार्डिनलिटी है यह जॉर्ज कैंटर द्वारा 1874 के अपने अनगिनत प्रमाण में साबित किया गया था, जो विभिन्न अनंतताओं के अपने अभूतपूर्व अध्ययन का हिस्सा है। असमानता को बाद में 1891 में उनके विकर्ण तर्क में अधिक सरलता से कहा गया था। कैंटर ने बाइजेक्टिव फ़ंक्शंस के संदर्भ में कार्डिनलिटी को परिभाषित कियाः दो सेटों में समान कार्डिनलिटी होती है यदि, और केवल तभी जब उनके बीच एक बाइजेक्टिव फ़ंक्शंस मौजूद हों। किसी भी दो वास्तविक संख्याओं a <b के बीच, चाहे वे एक दूसरे के कितने भी करीब क्यों न हों, हमेशा असीम रूप से कई अन्य वास्तविक संख्याएँ होती हैं, और कैंटर ने दिखाया कि वे वास्तविक संख्याओं के पूरे समूह में निहित संख्याएँ हैं। दूसरे शब्दों में, खुला अंतराल (ए, बी) के साथ समतुल्य है यह कई अन्य अनंत सेटों के लिए भी सच है, जैसे कि किसी भी एन-आयामी यूक्लिडियन स्थान (अंतरिक्ष भरने वक्र देखें)। अर्थात्, सबसे छोटी अनंत कार्डिनल संख्या (एलेफ-नल) है। दूसरा सबसे छोटा (एलेफ-वन) है। निरंतरता परिकल्पना, जो दावा करती है कि ऐसे कोई समूह नहीं हैं जिनकी कार्डिनलिटी सख्ती से बीच में है और इसका मतलब है कि। इस परिकल्पना की सच्चाई या असत्यता अनिश्चित है और इसे व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत के भीतर पसंद के स्वयंसिद्ध (ZFC) के साथ साबित नहीं किया जा सकता है। गुण गणनाहीनता जॉर्ज कैंटर ने अनंत समुच्चयों के आकारों की तुलना करने के लिए कार्डिनलिटी की अवधारणा की शुरुआत की। उन्होंने प्रसिद्ध रूप से दिखाया कि वास्तविक संख्याओं का समुच्चय अनगिनत रूप से अनंत है। अर्थात्, प्राकृतिक संख्याओं की प्रधानता से सख्ती से अधिक हैः व्यवहार में, इसका मतलब है कि पूर्णांकों की तुलना में सख्ती से अधिक वास्तविक संख्याएँ हैं। कैंटर ने इस कथन को कई अलग-अलग तरीकों से साबित किया। इस विषय पर अधिक जानकारी के लिए, कैंटर का पहला असंवेदनशीलता प्रमाण और कैंटर का विकर्ण तर्क देखें। कार्डिनल समानताएं कैंटर के विकर्ण तर्क की एक भिन्नता का उपयोग कैंटर के प्रमेय को साबित करने के लिए किया जा सकता है, जिसमें कहा गया है कि किसी भी समूह की कार्डिनलिटी उसके शक्ति सेट की तुलना में सख्ती से कम है। अर्थात् (और इसलिए कि प्राकृतिक संख्याओं का घात समुच्चय अनगिनत है)। वास्तव में, कोई यह दिखा सकता है कि की कार्डिनलिटी निम्नानुसार हैः प्रत्येक वास्तविक संख्या को सभी रैशनल से कम या बराबर के सेट पर भेजकर, वास्तविक से रैशनल के पावर सेट तक एक मानचित्र को परिभाषित करें (वास्तविक को डेडेकाइंड कट के रूप में देखा जाता है, यह रैशनल के सेट में समावेशन मानचित्र के अलावा और कुछ नहीं है)। चूँकि रैशनल्स घने हैं, इसलिए यह नक्शा इंजेक्टिव है, और क्योंकि रैशनल्स गणना योग्य हैं, हमारे पास यह है। मान लीजिए कि सेट में मानों के साथ अनंत अनुक्रमों का सेट हो। इस सेट में कार्डिनलिटी होती है (द्विआधारी अनुक्रमों के सेट के बीच प्राकृतिक बाइजेक्शन और संकेतक फ़ंक्शन द्वारा दिया जाता है)। अब, ऐसे प्रत्येक अनुक्रम के साथ अंतराल में अद्वितीय वास्तविक संख्या को अंकों द्वारा दिए गए त्रयी-विस्तार के साथ संबद्ध करें, अर्थात, भिन्नात्मक बिंदु के बाद-th अंक आधार के संबंध में है। इस मानचित्र की छवि को कैंटर सेट कहा जाता है। यह देखना कठिन नहीं है कि यह मानचित्र उत्तेजक है, क्योंकि उनके त्रयी विस्तार में अंक 1 के साथ बिंदुओं से बचने से, हम इस तथ्य से उत्पन्न संघर्षों से बचते हैं कि एक वास्तविक संख्या का त्रयी-विस्तार अद्वितीय नहीं है। फिर हमारे पास वह है। कैंटर-बर्नस्टीन-श्रोएडर प्रमेय द्वारा हम निष्कर्ष निकालते हैं कि कार्डिनल समानता को कार्डिनल अंकगणित का उपयोग करके प्रदर्शित किया जा सकता हैः कार्डिनल अंकगणित के नियमों का उपयोग करके, यह भी दिखाया जा सकता है कि जहाँ n कोई परिमित कार्डिनल ω2 है, और जहाँ R के पावर सेट की कार्डिनलिटी है, और। प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए वैकल्पिक व्याख्या में कम से कम एक अनंत दशमलव विस्तार होता है। उदाहरण के लिए, (यह उस स्थिति में भी सच है जब विस्तार दोहराया जाता है, जैसा कि पहले दो उदाहरणों में है।) किसी भी मामले में, अंकों की संख्या गणना योग्य है क्योंकि उन्हें प्राकृतिक संख्याओं के समूह के साथ एक-से-एक पत्राचार में रखा जा सकता है। यह पहले, एक सौवें, या π के दस लाखवें अंक के बारे में बात करना समझदारी भरा बनाता है। चूँकि प्राकृतिक संख्याओं में कार्डिनलिटी होती है, इसलिए प्रत्येक वास्तविक संख्या के विस्तार में अंक होते हैं। चूँकि प्रत्येक वास्तविक संख्या को एक पूर्णांक भाग और एक दशमलव अंश में विभाजित किया जा सकता है, हम पाते हैंः जहाँ हमने इस तथ्य का उपयोग किया कि दूसरी ओर, यदि हम मानचित्र बनाते हैं और मानते हैं कि केवल 3 या 7 वाले दशमलव अंश केवल वास्तविक संख्याओं का एक हिस्सा हैं, तो हमें मिलता है और इस प्रकार बेथ संख्याएँ। इसी तरह दूसरी बेथ संख्या, बेथ-1 हैः तीसरी बेथ संख्या, बेथ-2, (अर्थात) के पावर सेट की कार्डिनलिटी है। वास्तविक रेखा के सभी उपसमुच्चय का समुच्चय): निरंतरता परिकल्पना प्रसिद्ध निरंतरता परिकल्पना का दावा है कि यह दूसरी आलेफ संख्या भी है। दूसरे शब्दों में, निरंतरता परिकल्पना में कहा गया है कि ऐसा कोई सेट नहीं है जिसकी कार्डिनलिटी और के बीच सख्ती से निहित हो। यह कथन अब कर्ट गोडेल और पॉल कोहेन द्वारा दिखाए गए स्वयंसिद्ध (जेडएफसी) के साथ ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत के स्वयंसिद्धों से स्वतंत्र होने के लिए जाना जाता है। अर्थात्, परिकल्पना और इसका निषेध दोनों ही इन स्वयंसिद्धियों के अनुरूप हैं। वास्तव में, प्रत्येक गैर-शून्य प्राकृतिक संख्या n के लिए, समानता = ZFC से स्वतंत्र है (मामला निरंतरता परिकल्पना है)। अधिकांश अन्य आलेफ़ों के लिए भी यही सच है, हालांकि कुछ मामलों में, समानता को कोनिग के प्रमेय द्वारा कोफ़िनलिटी (जैसे,) के आधार पर खारिज किया जा सकता है। विशेष रूप से, या तो हो सकता है या, पहला अनगिनत क्रमिक हो सकता है, इसलिए यह या तो एक उत्तराधिकारी कार्डिनल या एक सीमा कार्डिनल हो सकता है, और या तो एक नियमित कार्डिनल या एकवचन कार्डिनल हो सकता है। निरंतरता की कार्डिनलिटी के साथ सेट गणित में अध्ययन किए गए कई सेटों में कार्डिनलिटी के बराबर है। कुछ सामान्य उदाहरण निम्नलिखित हैंः अधिक कार्डिनलिटी वाले समुच्चयों की तुलना में अधिक कार्डिनलिटी वाले समुच्चयों में शामिल हैंः (यानी, पावर सेट) के सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय, वास्तविक के उपसमुच्चयों पर परिभाषित संकेतक कार्यों का समुच्चय 2R (समुच्चय समरूप है-संकेतक कार्य प्रत्येक उपसमुच्चय के तत्वों को शामिल करने के लिए चुनता है) सभी कार्यों का समुच्चय, जिसमें लेब्सग्यू σ-बीजगणित, यानी सभी लेब्सग्यू मापने योग्य समुच्चयों का समुच्चय शामिल है। सभी लेबस्ग्यू-इंटीग्रेबल फ़ंक्शंस का सेट सभी लेबस्ग्यू-मापने योग्य फ़ंक्शंस के सेट से लेकर स्टोन-चेक कॉम्पेक्टिफिकेशन तक, और जटिल संख्याओं के (असतत) क्षेत्र के सभी ऑटोमोर्फिज्म का सेट। इन सभी में कार्डिनलिटी (बेथ टू) है। पॉल हैल्मोस, नाइव सेट सिद्धांत की निरंतरता संदर्भ ग्रंथ सूची की कार्डिनल विशेषता भी देखें। प्रिंसटन, एनजेः डी. वैन नोस्ट्रैंड कंपनी, 1960। स्प्रिंगर-वेरलैग, न्यूयॉर्क, 1974 द्वारा पुनर्मुद्रित। (स्प्रिंगर-वेरलैग संस्करण)। जेच, थॉमस, 2003। सेट थ्योरीः द थर्ड मिलेनियम एडिशन, संशोधित और विस्तारित। स्प्रिंगर। .. कुनेन, केनेथ, 1980। सेट सिद्धांतः स्वतंत्रता प्रमाणों का एक परिचय। एल्सेवियर। .. कार्डिनल संख्या सेट सिद्धांत अनंत