Quadrature (geometry)
गणित में, विशेष रूप से ज्यामिति में, चतुर्भुज (जिसे वर्ग भी कहा जाता है) एक दिए गए समतल आकृति के समान क्षेत्र के साथ एक वर्ग को खींचने या उस क्षेत्र के संख्यात्मक मूल्य की गणना करने की एक ऐतिहासिक प्रक्रिया है। एक शास्त्रीय उदाहरण वृत्त का चतुर्भुज (या वृत्त का वर्ग) है। चतुर्भुज समस्याओं ने कलन के विकास में समस्याओं के मुख्य स्रोतों में से एक के रूप में कार्य किया। वे गणितीय विश्लेषण में महत्वपूर्ण विषयों का परिचय देते हैं। प्राचीन यूनानी गणितविदों ने एक आकृति के क्षेत्र के निर्धारण को ज्यामितीय रूप से एक ही क्षेत्र (वर्ग) वाले वर्ग के निर्माण की प्रक्रिया के रूप में समझा, इस प्रकार इस प्रक्रिया का नाम चतुर्भुज है। यूनानी ज्यामिति हमेशा सफल नहीं थे (वृत्त का वर्ग देखें), लेकिन उन्होंने कुछ आकृतियों के चतुर्भुज किए जिनके किनारे केवल रेखा खंड नहीं थे, जैसे कि हिप्पोक्रेट्स का लून और परवलय। एक निश्चित यूनानी परंपरा के अनुसार, इन निर्माणों को केवल एक कम्पास और सीधी धार का उपयोग करके किया जाना था, हालांकि सभी यूनानी गणितविदों ने इस उक्ति का पालन नहीं किया था। a और b भुजाओं वाले आयत के चतुर्भुज के लिए एक वर्ग का निर्माण करना आवश्यक है जिसमें एक भुजा (a और b का ज्यामितीय माध्य) हो। इस उद्देश्य के लिए निम्नलिखित का उपयोग करना संभव हैः यदि कोई a और b लंबाई के रेखा खंडों को जोड़ने से बना व्यास वाला वृत्त खींचता है, तो व्यास के लंबवत खींचे गए रेखा खंड की ऊंचाई (आरेख में BH), उनके संबंध के बिंदु से उस बिंदु तक जहां यह वृत्त को पार करता है, a और b के ज्यामितीय माध्य के बराबर होती है। एक समान ज्यामितीय संरचना एक समानांतर चतुर्भुज और एक त्रिभुज के चतुर्भुज की समस्याओं को हल करती है। वक्ररेखीय आकृतियों के लिए चतुर्भुज की समस्याएं बहुत अधिक कठिन हैं। कम्पास और सीधी धार वाले वृत्त का चतुर्भुज 19वीं शताब्दी में असंभव साबित हुआ था। फिर भी, कुछ आंकड़ों के लिए एक चतुर्भुज का प्रदर्शन किया जा सकता है। आर्किमिडीज द्वारा खोजे गए गोले की सतह के चतुर्भुज और एक परवलय खंड प्राचीन काल में विश्लेषण की सर्वोच्च उपलब्धि बन गए। एक गोले की सतह का क्षेत्रफल इस गोले के एक बड़े वृत्त द्वारा बनाए गए वृत्त के क्षेत्रफल के चार गुना के बराबर होता है। एक परवलय के एक खंड का क्षेत्रफल एक सीधी रेखा द्वारा निर्धारित किया जाता है जो इस खंड में उत्कीर्ण त्रिभुज के क्षेत्रफल का 3/4 है। इन परिणामों के प्रमाण के लिए, आर्किमिडीज ने यूडॉक्सस को जिम्मेदार ठहराते हुए थकावट की विधि का उपयोग किया। मध्यकालीन गणित मध्ययुगीन यूरोप में, चतुर्भुज का अर्थ किसी भी विधि द्वारा क्षेत्र की गणना करना था। अक्सर अविभाज्य की विधि का उपयोग किया जाता था; यह यूनानियों के ज्यामितीय निर्माण की तुलना में कम कठोर था, लेकिन यह सरल और अधिक शक्तिशाली था। इसकी मदद से, गैलीलियो गैलीली और गिल्स डी रोबर्वल ने एक साइक्लॉइड आर्क के क्षेत्र को पाया, ग्रेगोइर डी सेंट-विंसेंट ने एक हाइपरबोला (ओपस जियोमेट्रिकम, 1647) के तहत क्षेत्र की जांच की, और अल्फोंस एंटोनियो डी सारसा, डी सेंट-विंसेंट के छात्र और टिप्पणीकार ने इस क्षेत्र के लघुगणक के संबंध को नोट किया। इंटीग्रल कैलकुलस जॉन वालिस ने इस विधि को अलग किया; उन्होंने अपने अर्थमेटिका इनफिनिटोरम (1656) में कुछ श्रृंखलाएँ लिखीं जो अब निश्चित समाकलन के बराबर हैं, और उन्होंने उनके मूल्यों की गणना की। आइज़ैक बैरो और जेम्स ग्रेगरी ने आगे प्रगति कीः कुछ बीजगणितीय वक्रों और सर्पिलों के लिए चतुर्भुज। क्रिस्टियन ह्यूजेन्स ने क्रांति के कुछ ठोस पदार्थों के सतह क्षेत्र का एक चतुर्भुज सफलतापूर्वक प्रदर्शन किया। सेंट-विंसेंट और डी सारसा द्वारा हाइपरबोला के चतुर्भुज ने महत्वपूर्ण महत्व का एक नया कार्य, प्राकृतिक लघुगणक प्रदान किया। समाकलन कलन के आविष्कार के साथ क्षेत्र गणना के लिए एक सार्वभौमिक विधि आई। जवाब में, शब्द चतुर्भुज पारंपरिक हो गया है, और इसके बजाय क्षेत्र का पता लगाने वाले आधुनिक वाक्यांश का उपयोग आमतौर पर तकनीकी रूप से एक अविभाज्य निश्चित समाकलन की गणना के लिए किया जाता है। गॉसियन क्वाड्रेचर हाइपरबोलिक कोण संख्यात्मक एकीकरण क्वाड्रेट्रिक्स तान्ह-सिन क्वाड्रेचर नोट्स संदर्भ बोयर, सी. बी. भी देखें। (1989) गणित का इतिहास, दूसरा संस्करण। रेव. उटा सी. मर्जबाख द्वारा। न्यूयॉर्कः विली, (1991 पी. बी. के. संस्करण। )। एव्स, हावर्ड (1990) एन इंट्रोडक्शन टू द हिस्ट्री ऑफ मैथमेटिक्स, सॉन्डर्स, क्रिस्टियन ह्यूजेन्स (1651) थियोरेमाटा डी क्वाड्रातुरा हाइपरबोल्स, एलिप्सिस एट सर्कुली जीन-एटिने मोंटुक्ला (1873) हिस्ट्री ऑफ द क्वाड्रेचर ऑफ द सर्कल, जे. बाबिन अनुवादक, विलियम अलेक्जेंडर मायर्स संपादक, हैथीट्रस्ट से लिंक। क्रिस्टोफ स्क्रिब (1983) "ग्रेगरी का कन्वर्जिंग डबल सीक्वेंसः वृत्त के 'विश्लेषणात्मक' चतुर्भुज पर ह्यूजेन्स और ग्रेगरी के बीच विवाद पर एक नया नज़र", हिस्टोरिया मैथेमेटिका 10:274-85। समाकलन कलन गणित का इतिहास ज्यामिति का इतिहास गणितीय शब्दावली