Injective sheaf
गणित में, आबेलियन समूहों के इंजेक्टिव शीव्स का उपयोग शीफ कोहोमोलॉजी (और अन्य व्युत्पन्न फ़ंक्टर, जैसे शीफ एक्स्ट) को परिभाषित करने के लिए आवश्यक संकल्पों के निर्माण के लिए किया जाता है। शीव्स पर लागू संबंधित अवधारणाओं का एक और समूह हैः फ्लेबी (फ्रेंच में फ्लास्क), फाइन, सॉफ्ट (फ्रेंच में मौ), एसाइक्लिक। विषय के इतिहास में उन्हें अलेक्जेंडर ग्रोथेन्डिक के 1957 के "टोहोकू पेपर" से पहले पेश किया गया था, जिसमें दिखाया गया था कि इंजेक्टिव ऑब्जेक्ट की अबेलियन श्रेणी की धारणा इस सिद्धांत को खोजने के लिए पर्याप्त थी। शीव्स के अन्य वर्ग ऐतिहासिक रूप से पुरानी धारणाएँ हैं। कोहोमोलॉजी और व्युत्पन्न फ़ंक्टरों को परिभाषित करने के लिए अमूर्त ढांचे की आवश्यकता नहीं है। हालांकि, अधिकांश ठोस स्थितियों में, चक्रीय आवरणों द्वारा संकल्प का निर्माण करना अक्सर आसान होता है। एसाइक्लिक शीव्स इसलिए कम्प्यूटेशनल उद्देश्यों के लिए काम करते हैं, उदाहरण के लिए लेरे वर्णक्रमीय अनुक्रम। एक इंजेक्टिव शीफ एक शीफ है जो अबेलियन शीव की श्रेणी की एक इंजेक्टिव वस्तु है; दूसरे शब्दों में, होमोमोर्फिज्म को हमेशा किसी भी शीफ तक बढ़ाया जा सकता है जिसमें अबेलियन शीव की श्रेणी में पर्याप्त इंजेक्टिव वस्तुएं होती हैंः इसका मतलब है कि कोई भी शीफ एक इंजेक्टिव शीफ का एक उपशीफ है। ग्रोथेन्डीक का यह परिणाम श्रेणी के जनरेटर के अस्तित्व का अनुसरण करता है (इसे स्पष्ट रूप से लिखा जा सकता है, और यह उप-वस्तु वर्गीकरण से संबंधित है)। यह दिखाने के लिए पर्याप्त है कि किसी भी बाएं सटीक फ़ंक्टर के दाएं व्युत्पन्न फ़ंक्टर मौजूद हैं और कैनॉनिकल समरूपता तक अद्वितीय हैं। तकनीकी उद्देश्यों के लिए, इंजेक्टिव शीव आमतौर पर ऊपर उल्लिखित शीव के अन्य वर्गों की तुलना में बेहतर होते हैंः वे लगभग कुछ भी कर सकते हैं जो अन्य वर्ग कर सकते हैं, और उनका सिद्धांत सरल और अधिक सामान्य है। वास्तव में, इंजेक्टिव शीव्स दुबले-पतले, नरम और एसाइक्लिक होते हैं। हालांकि, ऐसी स्थितियां हैं जहां आवरण के अन्य वर्ग स्वाभाविक रूप से होते हैं, और यह ठोस कम्प्यूटेशनल स्थितियों में विशेष रूप से सच है। दोहरी अवधारणा, प्रोजेक्टिव शीव्स, का बहुत अधिक उपयोग नहीं किया जाता है, क्योंकि शीव्स की एक सामान्य श्रेणी में उनमें से पर्याप्त नहीं हैंः हर शीफ एक प्रोजेक्टिव शीफ का भागफल नहीं है, और विशेष रूप से प्रोजेक्टिव संकल्प हमेशा मौजूद नहीं होते हैं। यह मामला है, उदाहरण के लिए, जब ज़ारिस्की टोपोलॉजी में प्रोजेक्टिव स्पेस पर शीव्स की श्रेणी को देखा जाता है। यह एक सही सटीक फ़ंक्टर (जैसे टोर) के बाएं व्युत्पन्न फ़ंक्टरों को परिभाषित करने का प्रयास करते समय समस्याओं का कारण बनता है। यह कभी-कभी तदर्थ साधनों द्वारा किया जा सकता हैः उदाहरण के लिए, टोर के बाएं व्युत्पन्न फंक्टर्स को एक प्रोजेक्टिव के बजाय एक फ्लैट रिज़ॉल्यूशन का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है, लेकिन यह दिखाने के लिए कुछ काम करना पड़ता है कि यह रिज़ॉल्यूशन से स्वतंत्र है। शीव्स की सभी श्रेणियां इस समस्या का सामना नहीं करती हैं; उदाहरण के लिए, एक एफ़ाइन योजना पर शीव्स की श्रेणी में पर्याप्त प्रोजेक्टिव्स होते हैं। एसाइक्लिक शीव्स एक्स के ऊपर एक एसाइक्लिक शीव्स ऐसा होता है कि सभी उच्च शीफ कोहोमोलॉजी समूह गायब हो जाते हैं। किसी भी आवरण के समरूपता समूहों की गणना इसके किसी भी चक्रीय संकल्प से की जा सकती है (यह डी राम-वेल प्रमेय के नाम से जाता है)। X पर एक महीन आवरण "एकता के विभाजन" के साथ एक है; अधिक सटीक रूप से अंतरिक्ष X के किसी भी खुले आवरण के लिए हम आवरण से अपने आप में समरूपता का एक परिवार पा सकते हैं जिसमें योग 1 ऐसा है कि प्रत्येक समरूपता खुले आवरण के किसी तत्व के बाहर 0 है। महीन शीव्स का उपयोग आमतौर पर केवल पैराकॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ स्पेस एक्स पर किया जाता है। विशिष्ट उदाहरण इस तरह के स्थान पर निरंतर वास्तविक मूल्य वाले कार्यों के कीटाणुओं का आवरण, या एक चिकनी (पैराकॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ) मैनिफोल्ड पर चिकनी क्रियाएं, या रिंग्स के इन आवरणों पर मॉड्यूल हैं। इसके अलावा, पैराकॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ स्थानों पर महीन आवरण नरम और चक्रीय होते हैं। अलेक्जेंडर-स्पैनियर संकल्प का उपयोग करके महीन आवरणों द्वारा एक चिकनी कई गुना पर एक आवरण का संकल्प पाया जा सकता है। एक अनुप्रयोग के रूप में, एक वास्तविक कई गुना एक्स पर विचार करें। (चिकनी) विभेदक रूपों के महीन आवरणों द्वारा स्थिर आवरण का निम्नलिखित संकल्प होता हैः यह एक संकल्प है, अर्थात। पोइनकेरे लेम्मा द्वारा शीव्स का एक सटीक परिसर। इस प्रकार मूल्यों के साथ एक्स की समरूपता की गणना विश्व स्तर पर परिभाषित विभेदक रूपों के परिसर के समरूपता के रूप में की जा सकती हैः नरम आवरण एक्स पर एक नरम आवरण ऐसा होता है कि एक्स के किसी भी बंद उपसमुच्चय पर किसी भी खंड को वैश्विक खंड तक बढ़ाया जा सकता है। नरम आवरण पैराकॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ रिक्त स्थान पर चक्रीय होते हैं। फ्लास्क या फ्लेबी शीव्स एक फ्लास्क शीफ (जिसे फ्लेबी शीफ भी कहा जाता है) निम्नलिखित गुणों के साथ एक शीफ हैः यदि आधार टोपोलॉजिकल स्थान है जिस पर शीफ को परिभाषित किया गया है और खुले सबसेट हैं, तो प्रतिबंध मानचित्र समूहों (रिंग, मॉड्यूल, आदि) के मानचित्र के रूप में सर्जेक्टिव है। फ्लास्की शीव उपयोगी होते हैं क्योंकि (परिभाषा के अनुसार) उनके खंड विस्तारित होते हैं। इसका मतलब है कि वे समरूपी बीजगणित के संदर्भ में संभालने के लिए कुछ सबसे सरल आवरण हैं। किसी भी शीफ में étalé स्थान के सभी संभवतः असंतत वर्गों के फ्लास्की शीफ में एक कैनॉनिकल एम्बेडिंग होती है, और इसे दोहराकर हम किसी भी शीफ के लिए एक कैनॉनिकल फ्लास्की रिज़ॉल्यूशन पा सकते हैं। फ्लास्क रिजोल्यूशन, अर्थात फ्लास्क शीव्स के माध्यम से संकल्प, शीफ कोहोमोलॉजी को परिभाषित करने का एक तरीका है। फ्लास्की शीव्स नरम और एसाइक्लिक होते हैं। फ्लास्क एक फ्रांसीसी शब्द है जिसका अनुवाद कभी-कभी अंग्रेजी में फ्लेबी के रूप में किया जाता है। मैथ ओवरफ्लो बीजगणितीय होमोलॉजिकल बीजगणित शीफ सिद्धांत पर संदर्भ "शीफ कोहोमोलॉजी और इंजेक्टिव रिज़ॉल्यूशन"