Schwinger function
क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में, वाइटमैन वितरण को यूक्लिडियन स्थान में विश्लेषणात्मक कार्यों के लिए विश्लेषणात्मक रूप से जारी रखा जा सकता है, जिसमें क्षेत्र यूक्लिडियन स्थान में बिंदुओं के क्रमबद्ध सेट तक सीमित है, जिसमें कोई संयोग बिंदु नहीं हैं। इन कार्यों को श्विंगर कार्य (जूलियन श्विंगर के नाम पर) कहा जाता है और ये वास्तविक-विश्लेषणात्मक, तर्कों के क्रमपरिवर्तन (फर्मियोनिक क्षेत्रों के लिए एंटीसिमेट्रिक), यूक्लिडियन सहपरिवर्तन के तहत सममित होते हैं और प्रतिबिंब सकारात्मक के रूप में जाने जाने वाले गुण को संतुष्ट करते हैं। श्विंगर फलन के गुणों को ओस्टरवाल्डर-श्रेडर स्वयंसिद्ध के रूप में जाना जाता है (कोनराड ओस्टरवाल्डर और रॉबर्ट श्रेडर के नाम पर)। श्विंगर कार्यों को यूक्लिडियन सहसंबंध कार्यों के रूप में भी जाना जाता है। यहाँ हम एक हर्मिशियन स्केलर क्षेत्र के यूक्लिडियन क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के लिए ओस्टरवाल्डर-स्क्रैडर (ओएस) स्वयंसिद्धियों का वर्णन करते हैं। ध्यान दें कि एक विशिष्ट क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में असीम रूप से कई स्थानीय प्रचालक शामिल होंगे, जिनमें समग्र प्रचालक भी शामिल हैं, और उनके सहसंयोजकों को भी नीचे वर्णित के समान ओएस स्वयंसिद्धियों को संतुष्ट करना चाहिए। के श्विंगर कार्यों को ओएस स्वयंसिद्धों के रूप में दर्शाया जाता है जो क्रमांकित (ई0)-(ई4) हैं और इनका निम्नलिखित अर्थ हैः (ई0) संयम (ई1) यूक्लिडियन सहप्रसरण (ई2) सकारात्मकता (ई3) समरूपता (ई4) क्लस्टर गुण संयम स्वभाव स्वयंसिद्ध (ई0) का कहना है कि श्विंगर कार्य संयोग बिंदुओं से दूर समशीतोष्ण वितरण हैं। इसका मतलब है कि उन्हें श्वार्ट्ज परीक्षण कार्यों के खिलाफ एकीकृत किया जा सकता है जो दो या दो से अधिक अंकों के मेल खाने पर अपने सभी व्युत्पन्न के साथ गायब हो जाते हैं। यह इस स्वयंसिद्ध और अन्य ओएस स्वयंसिद्ध से दिखाया जा सकता है (लेकिन रैखिक विकास स्थिति नहीं) कि श्विंगर कार्य वास्तव में संयोग बिंदुओं से दूर वास्तविक-विश्लेषणात्मक हैं। यूक्लिडियन सहप्रसरण यूक्लिडियन सहप्रसरण स्वयंसिद्ध (E1) का कहना है कि श्विंगर फलन घूर्णन और अनुवाद के तहत सहप्रसरण रूप से परिवर्तित होते हैं, अर्थात्ः एक मनमाने घूर्णन मैट्रिक्स और एक मनमाने अनुवाद वेक्टर के लिए। घूर्णन समूह के मनमाने प्रतिनिधित्व में परिवर्तित होने वाले क्षेत्रों के श्विंगर कार्यों के लिए ओएस स्वयंसिद्धियों को तैयार किया जा सकता है। सममिति सममिति स्वयंसिद्ध (E3) का कहना है कि श्विंगर फलन बिंदुओं के क्रमपरिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय हैंः, जहाँ का एक मनमाना क्रमपरिवर्तन है। इसके बजाय फर्मियोनिक क्षेत्रों के श्विंगर कार्य सममितिविरोधी होते हैं; उनके लिए इस समीकरण में क्रमपरिवर्तन के हस्ताक्षर के बराबर एक ± चिह्न होगा। क्लस्टर गुण क्लस्टर गुण (ई4) का कहना है कि यदि बिंदुओं के दो समूहों को एक बड़े स्थिर अनुवाद द्वारा एक दूसरे से अलग किया जाता है तो श्विंगर कार्य उत्पाद में कम हो जाता हैः सीमा को वितरण के अर्थ में समझा जाता है। एक तकनीकी धारणा यह भी है कि बिंदुओं के दो समूह हाइपरप्लेन के दोनों किनारों पर स्थित हैं, जबकि वेक्टर इसके समानांतर हैः रिफ्लेक्शन पॉज़िटिविटी एक्सिओम्स (E2) निम्नलिखित गुण पर जोर देता है जिसे (ओस्टरवाल्डर-श्रेडर) रिफ्लेक्शन पॉज़िटिविटी कहा जाता है। किसी भी मनमाने निर्देशांक τ को चुनें और तर्क के रूप में N अंकों के साथ एक परीक्षण फलन fN चुनें। मान लीजिए कि 0 <τ1 <. <τN के साथ N अंकों के "समय-आदेशित" सबसेट में fN का समर्थन है। प्रत्येक धनात्मक N के लिए एक ऐसा fN चुनें, जिसमें किसी पूर्णांक M से बड़े सभी N के लिए f का शून्य होना। एक बिंदु दिए जाने पर, मान लीजिए कि यह τ = 0 हाइपरप्लेन के बारे में परावर्तित बिंदु है। फिर, जहाँ * जटिल संयुग्मन का प्रतिनिधित्व करता है। कभी-कभी सैद्धांतिक भौतिकी साहित्य में प्रतिबिंब सकारात्मकता को इस आवश्यकता के रूप में कहा जाता है कि मनमाने सम क्रम के श्विंगर फलन को गैर-नकारात्मक होना चाहिए यदि बिंदुओं को हाइपरप्लेन के संबंध में सममित रूप से डाला जाता हैः यह गुण वास्तव में प्रतिबिंब सकारात्मकता का अनुसरण करता है लेकिन यह पूर्ण प्रतिबिंब सकारात्मकता की तुलना में कमजोर है। अंतर्ज्ञानी समझ (औपचारिक रूप से) श्विंगर कार्यों के निर्माण का एक तरीका जो उपरोक्त गुणों को संतुष्ट करता है, यूक्लिडियन पथ समाकलन के माध्यम से है। विशेष रूप से, यूक्लिडियन पथ समाकलन (औपचारिक रूप से) प्रतिबिंब सकारात्मकता को संतुष्ट करते हैं। मान लीजिए कि F क्षेत्र φ का कोई भी बहुपद कार्यात्मक है जो केवल उन बिंदुओं x के लिए φ (x) के मूल्य पर निर्भर करता है जिनके τ निर्देशांक गैर-ऋणात्मक हैं। फिर चूंकि क्रिया S वास्तविक है और इसे विभाजित किया जा सकता है, जो केवल धनात्मक अर्ध-स्थान () पर φ पर निर्भर करता है, और जो केवल ऋणात्मक अर्ध-स्थान () पर φ पर निर्भर करता है, और यदि S भी सभी क्षेत्रों को प्रतिबिंबित करने और जटिल संयुग्मित करने की संयुक्त क्रिया के तहत अपरिवर्तनीय होता है, तो पिछली मात्रा गैर-ऋणात्मक होनी चाहिए। ओस्टरवाल्डर-श्रेडर प्रमेय ओस्टरवाल्डर-श्रेडर प्रमेय में कहा गया है कि यूक्लिडियन श्विंगर कार्य जो उपरोक्त स्वयंसिद्धियों (E0)-(E4) को संतुष्ट करते हैं और एक अतिरिक्त गुण (E0 ') जिसे रैखिक विकास स्थिति कहा जाता है, विश्लेषणात्मक रूप से लॉरेंट्ज़ियन वाइटमैन वितरणों को जारी रखा जा सकता है जो वाइटमैन स्वयंसिद्धियों को संतुष्ट करते हैं और इस प्रकार एक क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत को परिभाषित करते हैं। रैखिक विकास स्थिति यह स्थिति, जिसे (E0 ') in कहा जाता है, यह दावा करती है कि जब क्रम के श्विंगर फलन को एक मनमाने श्वार्ट्ज परीक्षण फलन के साथ जोड़ा जाता है जो संयोग बिंदुओं पर गायब हो जाता है, तो हमारे पास निम्नलिखित सीमा होती हैः जहां एक पूर्णांक स्थिरांक है, वह क्रम का श्वार्ट्ज-स्पेस सेमिनोर्म है, अर्थात। और भाज्य वृद्धि के स्थिरांकों का एक क्रम, अर्थात। कुछ स्थिरांकों के साथ। रैखिक विकास की स्थिति सूक्ष्म होती है क्योंकि इसे एक साथ सभी श्विंगर कार्यों के लिए संतुष्ट होना पड़ता है। यह वाइटमैन स्वयंसिद्धियों से भी नहीं लिया गया है, इसलिए ओएस स्वयंसिद्धियों (E0)-(E4) और रैखिक विकास स्थिति (E0 ') की प्रणाली वाइटमैन स्वयंसिद्धियों की तुलना में अधिक मजबूत प्रतीत होती है। सबसे पहले, ओस्टरवाल्डर और श्रेडर ने एक मजबूत प्रमेय का दावा किया कि स्वयंसिद्ध (E0)-(E4) स्वयं वाइटमैन स्वयंसिद्ध का संकेत देते हैं, हालांकि उनके प्रमाण में एक त्रुटि थी जिसे अतिरिक्त धारणाओं को जोड़े बिना ठीक नहीं किया जा सकता था। दो साल बाद उन्होंने एक नई प्रमेय प्रकाशित की, जिसमें रैखिक विकास स्थिति को एक धारणा और एक सही प्रमाण के रूप में जोड़ा गया। नया प्रमाण एक जटिल प्रेरक तर्क (व्लादिमीर ग्लेज़र द्वारा भी प्रस्तावित) पर आधारित है, जिसके द्वारा श्विंगर कार्यों की विश्लेषणात्मकता के क्षेत्र को धीरे-धीरे मिंकॉव्स्की स्थान की ओर बढ़ाया जाता है, और वाइटमैन वितरण को एक सीमा के रूप में पुनर्प्राप्त किया जाता है। रैखिक विकास स्थिति (E0 ') का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जाता है कि सीमा मौजूद है और यह एक समशीतोष्ण वितरण है। ओस्टरवाल्डर और श्रेडर के शोध पत्र में एक और प्रमेय भी शामिल है जो (E0 ') को एक और धारणा द्वारा प्रतिस्थापित करता है जिसे कहा जाता है। इस अन्य प्रमेय का शायद ही कभी उपयोग किया जाता है, क्योंकि व्यवहार में इसकी जाँच करना कठिन है। श्विंगर कार्यों के लिए अन्य स्वयंसिद्ध ग्लिम्म और जैफ द्वारा स्वयंसिद्ध यूक्लिडियन सहसंबंधकों के स्वयंसिद्धीकरण के लिए एक वैकल्पिक दृष्टिकोण का वर्णन ग्लिम्म और जैफ ने अपनी पुस्तक में किया है। इस दृष्टिकोण में यह माना जाता है कि वितरण के स्थान पर एक माप दिया जाता है। इसके बाद एक जनरेटिंग फंक्शनल पर विचार किया जाता है जो ओएस0-ओएस4: (ओएस0) विश्लेषणात्मकता के गुणों को संतुष्ट करता है। यह दावा करता है कि सघन रूप से समर्थित परीक्षण कार्यों के किसी भी संग्रह के लिए यह एक संपूर्ण-विश्लेषणात्मक कार्य है। सहज रूप से, इसका मतलब है कि माप किसी भी घातांक की तुलना में तेजी से क्षय होता है। (ओएस1) नियमितता। इसके लिए विकास की आवश्यकता होती है, जैसे कि। सटीक स्थिति के लिए देखें। (OS2) यूक्लिडियन इनवेरियंस। यह कहता है कि यूक्लिडियन परिवर्तनों के तहत कार्यात्मक अपरिवर्तनीय है। (ओएस3) रिफ्लेक्शन पॉजिटिव। परीक्षण कार्यों का एक सीमित अनुक्रम लें जो सभी ऊपरी आधे स्थान में समर्थित हैं अर्थात। में। ऊपर परिभाषित रिफ्लेक्शन ऑपरेशन को कहाँ से दर्शाया गया है। यह स्वयंसिद्ध कथन कहता है कि मैट्रिक्स को धनात्मक अर्धपरिमित होना चाहिए। (ओएस4) एर्गोडिसिटी। समय अनुवाद अर्धसमूह माप स्थान पर एर्गोडिक रूप से कार्य करता है। सटीक स्थिति के लिए देखें। ओस्टरवाल्डर-श्रेडर स्वयंसिद्धियों से संबंध हालांकि उपरोक्त स्वयंसिद्धियों का नाम ओस्टरवाल्डर और श्रेडर के सम्मान में ग्लिम्म और जैफ (ओएस0)-(ओएस4) द्वारा रखा गया था, वे ओस्टरवाल्डर-श्रेडर स्वयंसिद्धियों के बराबर नहीं हैं। (ओएस0)-(ओएस4) को देखते हुए, कोई भी श्विंगर कार्यों को माप के क्षणों के रूप में परिभाषित कर सकता है, और दिखा सकता है कि ये क्षण ओस्टरवाल्डर-श्रेडर स्वयंसिद्धियों (ई0)-(ई4) और रैखिक विकास स्थितियों (ई0 ') को भी संतुष्ट करते हैं। फिर कोई भी ओस्टरवाल्डर-श्रेडर प्रमेय से यह दिखाने के लिए अपील कर सकता है कि वाइटमैन फ़ंक्शन टेम्पर्ड डिस्ट्रीब्यूशन हैं। वैकल्पिक रूप से, और बहुत आसान, कोई भी सीधे (OS0)-(OS4) से वाइटमैन स्वयंसिद्धियों को प्राप्त कर सकता है। हालाँकि ध्यान दें कि पूर्ण क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में असीम रूप से कई अन्य स्थानीय प्रचालक शामिल होंगे, जैसे कि, और इसके व्युत्पन्न से निर्मित अन्य समग्र प्रचालक। माप से इन श्विंगर कार्यों को निकालना और यह दिखाना आसान नहीं है कि वे ओएस स्वयंसिद्धियों को संतुष्ट करते हैं, जैसा कि मामला होना चाहिए। संक्षेप में, ग्लिम्म और जैफ द्वारा (ओएस0)-(ओएस4) नामक स्वयंसिद्धियाँ ओएस स्वयंसिद्धियों की तुलना में अधिक मजबूत हैं जहाँ तक क्षेत्र के सहसंयोजकों का संबंध है, लेकिन ओएस स्वयंसिद्धियों के पूर्ण सेट की तुलना में कमजोर हैं क्योंकि वे समग्र ऑपरेटरों के सहसंयोजकों के बारे में ज्यादा कुछ नहीं कहते हैं। नेल्सन के स्वयंसिद्ध शब्द ये स्वयंसिद्ध शब्द एडवर्ड नेल्सन द्वारा प्रस्तावित किए गए थे। बैरी साइमन की पुस्तक में उनका वर्णन भी देखें। ग्लिम्म और जैफ द्वारा उपरोक्त स्वयंसिद्धियों की तरह, यह माना जाता है कि क्षेत्र एक माप के साथ एक यादृच्छिक वितरण है। यह माप पर्याप्त रूप से नियमित है ताकि क्षेत्र में ऋणात्मक व्युत्पन्न क्रम के सोबोलेव स्थान की नियमितता हो। इन स्वयंसिद्धियों की महत्वपूर्ण विशेषता सतह तक सीमित क्षेत्र पर विचार करना है। स्वयंसिद्धियों में से एक मार्कोव गुण है, जो इस सहज धारणा को औपचारिक रूप देता है कि एक बंद सतह के अंदर क्षेत्र की स्थिति केवल सतह पर क्षेत्र की स्थिति पर निर्भर करती है। विक रोटेशन स्वयंसिद्ध क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत वाइटमैन स्वयंसिद्ध संदर्भ स्वयंसिद्ध क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत भी देखें।