Parity anomaly
सैद्धांतिक भौतिकी में एक क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत को एक समानता विसंगति कहा जाता है यदि इसकी शास्त्रीय क्रिया ब्रह्मांड की समानता के परिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय है, लेकिन क्वांटम सिद्धांत अपरिवर्तनीय नहीं है। इस तरह की विसंगति विषम-आयामी गेज सिद्धांतों में उन फर्मियनों के साथ हो सकती है जिनके गेज समूहों में विषम दोहरी कॉक्सेटर संख्या होती है। उन्हें पहली बार एंटी जे. नीमी और गॉर्डन वाल्टर सीमेनॉफ द्वारा विषम-आयामी अंतरिक्ष-समय में अक्षीय-विसंगति-प्रेरित फर्मियन फ्रैक्शनाइजेशन और प्रभावी गेज-सिद्धांत कार्यों में और ए. नॉर्मन रेडलिच द्वारा तीन-आयामी फर्मियन के गेज गैर-विचलन और समानता गैर-संरक्षण और लेख समानता उल्लंघन और तीन आयामों में प्रभावी गेज क्षेत्र कार्रवाई के गैर-विचलन को मापने के लिए पेश किया गया था। यह कुछ अर्थों में 4-आयामों में एडवर्ड विटन की एसयू (2) विसंगति का एक विषम-आयामी संस्करण है, और वास्तव में रेडलिच लिखते हैं कि उनका प्रदर्शन विटन का अनुसरण करता है। 3-आयामों में विसंगति एक शास्त्रीय रूप से समानता-अपरिवर्तनीय गेज सिद्धांत पर विचार करें जिसके गेज समूह जी में 3-आयामों में दोहरी कॉक्सेटर संख्या एच है। एन मजोराना फर्मियन को शामिल करें जो जी के वास्तविक प्रतिनिधित्व के तहत परिवर्तित होते हैं। यह सिद्धांत सरलता से एक पराबैंगनी विचलन से ग्रस्त है। यदि एक गेज-अपरिवर्तनीय नियामक शामिल है तो सिद्धांत की क्वांटम पैरिटी अपरिवर्तनीयता टूट जाएगी यदि एच और एन विषम हैं। प्रदर्शन का रेखाचित्र विसंगति केवल संकेत का एक विकल्प हो सकता है उदाहरण के लिए पाउली-विलार के नियमितीकरण पर विचार करें। विपरीत आंकड़ों के साथ बड़े पैमाने पर मजोराना फर्मियन जोड़ने और उनके द्रव्यमान को अनंत तक ले जाने की आवश्यकता है। जटिलता इस तथ्य से उत्पन्न होती है कि 3-आयामी मजोराना द्रव्यमान शब्द, समानता अपरिवर्तनीय नहीं है, इसलिए संभावना मौजूद है कि जब द्रव्यमान अनंत तक जाता है तो समानता अपरिवर्तनीयता का उल्लंघन बना रह सकता है। वास्तव में, यह विसंगति का स्रोत है। यदि एन सम है, तो कोई एन मेजराना फर्मियन को एन/2 डीराक फर्मियन के रूप में फिर से लिख सकता है। इनमें समानता अपरिवर्तनीय द्रव्यमान शब्द हैं, और इसलिए पाउली-विलार्स का उपयोग विचलन को नियंत्रित करने के लिए किया जा सकता है और कोई समानता विसंगति उत्पन्न नहीं होती है। इसलिए, सम n के लिए कोई विसंगति नहीं है। इसके अलावा, चूंकि विभाजन फलन में 2n मेजराना फर्मियन का योगदान n फर्मियन के योगदान का वर्ग है, इसलिए n फर्मियन की विसंगति में योगदान का वर्ग एक के बराबर होना चाहिए। इसलिए, विसंगत चरण केवल एक के वर्गमूल के बराबर हो सकता है, दूसरे शब्दों में, प्लस या माइनस एक। यदि यह एक के बराबर है, तो कोई विसंगति नहीं है। इसलिए, सवाल यह है कि-1 के कारक के विभाजन फलन में अस्पष्टता कब है। सूचकांक प्रमेय से विसंगति हम जानना चाहते हैं कि विभाजन फलन के संकेत का चयन कब गलत तरीके से परिभाषित है। यह संभावना है कि इसे गलत तरीके से परिभाषित किया गया है क्योंकि इस क्रिया में फर्मिऑन गतिज शब्द होता है जहां ± एक मेजराना फर्मिऑन है और A वेक्टर क्षमता है। पथ समाकलन में, क्रिया का घातांक सभी क्षेत्रों में एकीकृत होता है। जब उपरोक्त पद को फर्मियन क्षेत्रों पर एकीकृत किया जाता है तो प्रत्येक एन मेजराना फर्मियन के लिए डीराक प्रचालक के निर्धारक के वर्गमूल का एक कारक प्राप्त होता है। जैसा कि एक वर्गमूल के साथ हमेशा होता है, किसी को इसके संकेत को निर्धारित करने की आवश्यकता होती है। विभाजन फलन का समग्र चरण क्वांटम यांत्रिकी में अवलोकन योग्य नहीं है, और इसलिए दिए गए विन्यास के लिए यह संकेत चयन मनमाने ढंग से किया जा सकता है। लेकिन यह जांचने की आवश्यकता है कि संकेत का चयन सुसंगत है या नहीं। ऐसा करने के लिए, आइए हम कॉन्फ़िगरेशन स्पेस के माध्यम से कॉन्फ़िगरेशन को विकृत करते हैं, एक ऐसे पथ पर जो अंततः मूल कॉन्फ़िगरेशन पर लौटता है। यदि संकेत का चुनाव सुसंगत था, तो मूल विन्यास पर लौटने के बाद, एक के पास मूल संकेत होगा। यही जाँच करने की आवश्यकता है। मूल स्पेसटाइम 3-आयामी है, स्पेस को एम कहें। अब हम कॉन्फ़िगरेशन स्पेस में एक वृत्त पर विचार कर रहे हैं, जो स्पेस पर एकल कॉन्फ़िगरेशन के समान है। यह पता लगाने के लिए कि वृत्त के चारों ओर जाने पर वर्गमूल का चिह्न कितनी बार गायब हो जाता है, यह निर्धारक के शून्यों की संख्या को गिनने के लिए पर्याप्त है, क्योंकि हर बार जब आईगन मानों की एक जोड़ी संकेत बदलती है तो शून्य होगा। ध्यान दें कि आइगेनवैल्यू जोड़े में आते हैं, जैसा कि उदाहरण के लिए त्रि-आयामी गेज सिद्धांत के सुपरसिमेट्रिक इंडेक्स में चर्चा की गई है, और इसलिए जब भी एक आइगेनवैल्यू शून्य को पार करता है, तो दो पार हो जाएंगे। संक्षेप में, हम जानना चाहते हैं कि एक डीराक प्रचालक के निर्धारक के वर्गमूल का चिह्न कितनी बार संकेत बदलता है क्योंकि एक व्यक्ति वृत्त की परिक्रमा करता है। डीराक प्रचालक के आईगन मान जोड़े में आते हैं, और हर बार जब कोई जोड़ा शून्य को पार करता है तो संकेत बदल जाता है। इस प्रकार हम अंतरिक्ष पर डीराक प्रचालक के शून्यों की गिनती कर रहे हैं। इन शून्यों को अतिया-सिंगर सूचकांक प्रमेय द्वारा गिना जाता है, जो गेज बंडल के दूसरे चेरन वर्ग का उत्तर एच गुना देता है। यह दूसरा चेरन वर्ग कोई भी पूर्णांक हो सकता है। विशेष रूप से यह एक हो सकता है, जिस स्थिति में संकेत एच बार बदलता है। यदि संकेत विषम संख्या में बार बदलता है तो विभाजन कार्य गलत तरीके से परिभाषित होता है, और इसलिए एक विसंगति होती है। निष्कर्ष में, हमने पाया है कि एक विसंगति है यदि मजोराना फर्मियन की संख्या n विषम है और यदि गेज समूह की दोहरी कॉक्सेटर संख्या h भी विषम है। चेरन-साइमन्स गेज सिद्धांत 3-आयामी चेरन-साइमन्स गेज सिद्धांत भी विसंगत होते हैं जब उनका स्तर आधा-अभिन्न होता है। वास्तव में, व्युत्पत्ति उपरोक्त के समान है। स्टोक्स के प्रमेय और इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि चेरन-साइमन्स क्रिया का बाहरी व्युत्पन्न इंस्टैंटन संख्या के बराबर है, 4-आयामी सिद्धांत में चेरन-साइमन्स सिद्धांत के स्तर के बराबर एक थीटा कोण है, और इसलिए 4-आयामी विभाजन कार्य ठीक-ठीक-1 के बराबर है जब इंस्टैंटन संख्या विषम है। इसका तात्पर्य यह है कि 3-आयामी विभाजन फलन को-1 के कारक द्वारा गलत तरीके से परिभाषित किया जाता है जब विषम संख्या में इंस्टैंटॉन के साथ पथ पर विरूपण पर विचार किया जाता है। विशेष रूप से, फर्मियन और अर्ध-स्तर के चेरन-साइमन शब्दों से आने वाली विसंगतियां रद्द हो जाएंगी यदि और केवल तभी जब मेजराना फर्मियन की संख्या चेरन-साइमन स्तर से दोगुनी हो। एन = 1 के मामले में, यह कथन सुपरसिमेट्रिक यांग-मिल्स चेरन-साइमन्स सिद्धांतों में चेरन-साइमन्स गुणांक में प्रस्तुत सुपरसिमेट्रिक चेरन-साइमन्स गेज सिद्धांतों में अर्ध-पूर्णांक परिमाणीकरण स्थिति है। जब n = 2 विभाजन फलन में यह योगदान त्रि-आयामी गेज सिद्धांतों में ब्रेन्स और सुपरसिमेट्री ब्रेकिंग में 3 गेज सिद्धांतों में पाया गया था। चेरन-साइमन्स स्तर पर एक-लूप सुधार यह तथ्य कि चेरन-साइमन्स शब्द और मजोराना फर्मियन दोनों विषम इंस्टैंटन संख्याओं के साथ विरूपण के तहत विसंगत हैं, एक संयोग नहीं है। जब एन मेजराना फर्मियन के लिए पाउली-विलार्स द्रव्यमान को अनंत तक ले जाया जाता है, तो रेडलिच ने पाया कि विभाजन फलन में शेष योगदान-एन/2 स्तर पर चेरन-साइमन शब्द के बराबर है। इसका विशेष रूप से अर्थ है कि n आवेशित मेजराना फर्मियनों को एकीकृत करने से संबंधित गेज सिद्धांत के चेरन-साइमन्स स्तर को −n/2 द्वारा पुनः सामान्यीकृत किया जाता है। तथ्य यह है कि चेरन-साइमन्स स्तर को केवल असतत मान लेने की अनुमति है, इसका मतलब है कि युग्मन स्थिरांक स्तर तक सुधार में प्रवेश नहीं कर सकता है। यह केवल 1-लूप सुधार के लिए होता है, इसलिए चेरन-साइमन्स स्तर पर मेजराना फर्मियन के योगदान की गणना 1-लूप पर सटीक रूप से की जा सकती है और सभी उच्च लूप सुधार गायब हो जाते हैं। विसंगतियाँ (भौतिकी)