Cassini and Catalan identities
कैसिनी की पहचान (जिसे कभी-कभी सिमसन की पहचान कहा जाता है) और कैटलन की पहचान फिबोनाची संख्याओं के लिए गणितीय पहचान हैं। कैसिनी की पहचान, कैटलन की पहचान का एक विशेष मामला, बताता है कि nवें फिबोनाची संख्या के लिए, यहाँ नोट को 0 लिया गया है, और 1 लिया गया है। कैटलन की पहचान इसे सामान्य बनाती हैः वाजदा की पहचान इसे सामान्य बनाती हैः इतिहास कैसिनी के सूत्र की खोज 1680 में पेरिस वेधशाला के तत्कालीन निदेशक जियोवानी डोमेनिको कैसिनी द्वारा की गई थी, और स्वतंत्र रूप से रॉबर्ट सिमसन (1753) द्वारा सिद्ध किया गया था। हालाँकि जोहान्स केपलर संभवतः 1608 में पहले से ही इस पहचान को जानते थे। कैटलन की पहचान का नाम यूजीन कैटलन (1814-1894) के नाम पर रखा गया है। यह उनके निजी शोध टिप्पणियों में से एक में पाया जा सकता है, जिसका शीर्षक है "सुर ला सेरी डी लेमे" और दिनांक अक्टूबर 1879। हालाँकि, यह पहचान उनके संग्रहित कार्यों के हिस्से के रूप में दिसंबर 1886 तक मुद्रित नहीं हुई थी। यह बताता है कि क्यों कुछ लोग 1879 और अन्य 1886 को कैटलन की पहचान की तारीख के रूप में देते हैं। हंगेरियन-ब्रिटिश गणितशास्त्री स्टीवन वाजदा (1901-95) ने फिबोनाची संख्याओं (फिबोनाची और लुकास नंबर्स, और गोल्डन सेक्शनः थ्योरी एंड एप्लीकेशन, 1989) पर एक पुस्तक प्रकाशित की, जिसमें उनके नाम की पहचान शामिल है। हालाँकि यह पहचान पहले से ही 1960 में डस्टन एवरमैन द्वारा द अमेरिकन मैथमेटिकल मंथली में समस्या 1396 के रूप में प्रकाशित की गई थी। मैट्रिक्स सिद्धांत द्वारा कैसिनी पहचान का प्रमाण समीकरण के बाईं ओर को फिबोनाची संख्याओं के 2 × 2 मैट्रिक्स के निर्धारक के रूप में पहचानकर कैसिनी की पहचान का एक त्वरित प्रमाण दिया जा सकता है। परिणाम लगभग तत्काल होता है जब मैट्रिक्स को निर्धारक के साथ एक मैट्रिक्स की th शक्ति के रूप में देखा जाता है-1: प्रेरण द्वारा प्रमाण प्रेरण कथन पर विचार करेंः आधार मामला सही है। मान लीजिए कि कथन सही है। फिरः तो कथन सभी पूर्णांकों के लिए सही है। कैटलन पहचान का प्रमाण हम बिनेट के सूत्र का उपयोग करते हैं, वह, कहाँ और। अतः, और। तो, उपयोग करना, और फिर से के रूप में, लुकास संख्या को परिभाषित किया गया है, इसलिए क्योंकि रद्द करने से परिणाम मिलता है। टिप्पणियाँ संदर्भ बाहरी लिंक कैसिनी की पहचान का प्रमाण कैटलन की पहचान कैसिनी सूत्र का प्रमाण फिबोनाची संख्या फिबोनाची और फाई सूत्र गणितीय पहचान फिबोनाची संख्याएँ जियोवानी डोमेनिको कैसिनी प्रमाण वाले लेख