Segre embedding
गणित में, सेग्रे एम्बेडिंग का उपयोग प्रोजेक्टिव ज्यामिति में दो प्रोजेक्टिव स्पेस के कार्टेशियन उत्पाद (सेट के) को प्रोजेक्टिव विविधता के रूप में विचार करने के लिए किया जाता है। इसका नाम कोर्राडो सेग्रे के नाम पर रखा गया है। परिभाषा सेग्रे मानचित्र को उनके उत्पाद पर एक जोड़ी अंक लेने वाले मानचित्र के रूप में परिभाषित किया जा सकता है (xiYj को शब्दकोश क्रम में लिया जाता है)। यहाँ, और कुछ मनमाने क्षेत्र पर प्रोजेक्टिव वेक्टर रिक्त स्थान हैं, और संकेतन अंतरिक्ष पर सजातीय निर्देशांक का है। मानचित्र की छवि एक प्रकार की है, जिसे सेग्रे प्रकार कहा जाता है। इसे कभी-कभी इस रूप में लिखा जाता है। चर्चा रैखिक बीजगणित की भाषा में, एक ही क्षेत्र K पर दिए गए सदिश रिक्त स्थान U और V के लिए, उनके कार्टेशियन उत्पाद को उनके टेंसर उत्पाद के साथ मानचित्रित करने का एक प्राकृतिक तरीका है। सामान्य तौर पर, इसे इंजेक्टिव होने की आवश्यकता नहीं है क्योंकि, के लिए, और किसी भी गैर-शून्य के लिए, अंतर्निहित प्रोजेक्टिव रिक्त स्थान पी (यू) और पी (वी) को ध्यान में रखते हुए, यह मानचित्रण किस्मों का एक रूपात्मक रूप बन जाता है यह न केवल सेट-सैद्धांतिक अर्थ में इंजेक्टिव हैः यह बीजगणितीय ज्यामिति के अर्थ में एक बंद विसर्जन है। अर्थात्, छवि के लिए समीकरणों का एक समूह दिया जा सकता है। सांकेतिक परेशानी को छोड़कर, यह कहना आसान है कि ऐसे समीकरण क्या हैंः वे टेंसर उत्पाद से निर्देशांक के उत्पादों को फैक्टरिंग करने के दो तरीकों को व्यक्त करते हैं, जो दो अलग-अलग तरीकों से प्राप्त होते हैं जैसे कि U से कुछ गुना V से कुछ। यह मानचित्रण या आकृतिवाद σ सेग्रे एम्बेडिंग है। आयामों की गिनती करते हुए, यह दर्शाता है कि कैसे आयाम m और n के प्रोजेक्टिव स्पेस का उत्पाद आयाम शास्त्रीय शब्दावली में अंतर्निहित है, उत्पाद पर निर्देशांक को बहु-सजातीय कहता है, और उत्पाद को k कारक k-वे प्रोजेक्टिव स्पेस के लिए सामान्यीकृत किया जाता है। गुण सेग्रे किस्म एक निर्धारक किस्म का एक उदाहरण है; यह मैट्रिक्स के 2 × 2 माइनर का शून्य स्थान है। अर्थात्, सेग्रे किस्म द्विघात बहुपदों का सामान्य शून्य स्थान है यहाँ, सेग्रे मानचित्र की छवि पर प्राकृतिक निर्देशांक के रूप में समझा जाता है। सेग्रे किस्म और का श्रेणीबद्ध उत्पाद है। पहले कारक के लिए प्रक्षेपण को सेग्रे किस्म को कवर करने वाले खुले उपसमुच्चय पर m + 1 मानचित्रों द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है, जो उपसमुच्चय के प्रतिच्छेदन पर सहमत होते हैं। नियत के लिए, मानचित्र को भेजकर दिया जाता है। समीकरण यह सुनिश्चित करते हैं कि ये नक्शे एक दूसरे से सहमत हों, क्योंकि अगर हमारे पास हैं। उत्पाद के रेशे रैखिक उपक्षेत्र होते हैं। अर्थात्, पहले कारक के लिए प्रक्षेपण होना चाहिए; और इसी तरह दूसरे कारक के लिए भी। फिर एक निश्चित बिंदु p के लिए मानचित्र की छवि कोडोमेन का एक रैखिक उपक्षेत्र है। उदाहरण चतुर्भुज उदाहरण के लिए m = n = 1 के साथ हम P3 में प्रोजेक्टिव लाइन के उत्पाद को अपने साथ जोड़ते हैं। छवि एक चतुर्भुज है, और आसानी से रेखाओं के दो एक-पैरामीटर परिवारों को शामिल करते हुए देखा जाता है। जटिल संख्याओं पर यह एक काफी सामान्य गैर-एकल चतुर्भुज है। मान लीजिए कि पी3 पर सजातीय निर्देशांक हैं, इस चतुर्भुज को निर्धारक सेग्रे तीन गुना द्वारा दिए गए द्विघात बहुपद के शून्य स्थान के रूप में दिया जाता है। यह एक तर्कसंगत सामान्य स्क्रॉल का एक उदाहरण है। सेग्रे तीन गुना और तीन तल का प्रतिच्छेदन एक मुड़ा हुआ घन वक्र है। सेग्रे मानचित्र के तहत विकर्ण की छवि डिग्री दो अनुप्रयोगों की वेरोनी किस्म है क्योंकि सेग्रे मानचित्र प्रोजेक्टिव स्पेस के श्रेणीबद्ध उत्पाद के लिए है, यह क्वांटम यांत्रिकी और क्वांटम सूचना सिद्धांत में गैर-उलझी हुई अवस्थाओं का वर्णन करने के लिए एक प्राकृतिक मानचित्रण है। अधिक सटीक रूप से, सेग्रे मानचित्र में बताया गया है कि प्रोजेक्टिव हिल्बर्ट स्पेस के उत्पादों को कैसे लिया जाता है। बीजगणितीय सांख्यिकी में, सेग्रे किस्में स्वतंत्रता मॉडल के अनुरूप होती हैं। पी8 में पी2 × पी2 का सेग्रे एम्बेडिंग आयाम 4 की एकमात्र गंभीर किस्म है। संदर्भ बीजगणितीय किस्में प्रोजेक्टिव ज्यामिति