Projection-slice theorem
गणित में, दो आयामों में प्रोजेक्शन-स्लाइस थ्योरम, सेंट्रल स्लाइस थ्योरम या फूरियर स्लाइस थ्योरम बताती है कि निम्नलिखित दो गणनाओं के परिणाम बराबर हैंः एक द्वि-आयामी फलन f (r), परियोजना (जैसे। रेडॉन रूपांतरण का उपयोग करके) इसे एक (एक-आयामी) रेखा पर, और उस प्रक्षेपण का एक फूरियर रूपांतरण करें। उसी कार्य को लें, लेकिन पहले एक द्वि-आयामी फूरियर परिवर्तन करें, और फिर इसे अपने मूल के माध्यम से काटें, जो प्रक्षेपण रेखा के समानांतर है। प्रचालक के संदर्भ में, यदि एफ1 और एफ2 ऊपर उल्लिखित 1-और 2-आयामी फूरियर परिवर्तन प्रचालक हैं, तो पी1 प्रक्षेपण प्रचालक है (जो 1-डी लाइन पर 2-डी फ़ंक्शन को प्रक्षेपित करता है), एस1 एक टुकड़ा प्रचालक है (जो एक फ़ंक्शन से 1-डी केंद्रीय टुकड़ा निकालता है), तो इस विचार को उच्च आयामों तक बढ़ाया जा सकता है। इस प्रमेय का उपयोग, उदाहरण के लिए, चिकित्सा सी. टी. स्कैन के विश्लेषण में किया जाता है जहां एक "प्रक्षेपण" एक आंतरिक अंग की एक्स-रे छवि है। इन छवियों के फूरियर परिवर्तनों को आंतरिक अंग के 3-आयामी घनत्व के फूरियर परिवर्तन के माध्यम से टुकड़ों के रूप में देखा जाता है, और इन टुकड़ों को उस घनत्व के पूर्ण फूरियर परिवर्तन का निर्माण करने के लिए प्रक्षेपित किया जा सकता है। इसके बाद व्युत्क्रम फूरियर परिवर्तन का उपयोग वस्तु के त्रि-आयामी घनत्व को पुनर्प्राप्त करने के लिए किया जाता है। यह तकनीक पहली बार 1956 में रोनाल्ड एन. ब्रेसवेल द्वारा एक रेडियो-खगोल विज्ञान समस्या के लिए विकसित की गई थी। एन आयामों में प्रक्षेपण-टुकड़ा प्रमेय एन आयामों में, प्रक्षेपण-टुकड़ा प्रमेय बताता है कि एक एन-आयामी फलन f (r) के प्रक्षेपण का एक m-आयामी रैखिक सबमैनिफोल्ड पर फूरियर परिवर्तन उस फलन के N-आयामी फूरियर परिवर्तन के एक m-आयामी टुकड़े के बराबर है जिसमें फूरियर स्थान में मूल के माध्यम से एक m-आयामी रैखिक सबमैनिफोल्ड होता है जो प्रक्षेपण सबमैनिफोल्ड के समानांतर होता है। प्रचालक के संदर्भ मेंः सामान्यीकृत फूरियर-स्लाइस प्रमेय एन आयामों के सामान्यीकरण के अलावा, प्रक्षेपण-स्लाइस प्रमेय को आधार के मनमाने परिवर्तन के साथ आगे सामान्यीकृत किया जा सकता है। संकेतन की सुविधा के लिए, हम आधार के परिवर्तन को बी के रूप में दर्शाया जाता है, जो एन-आयामी कॉलम वैक्टर पर काम करने वाला एन-बाय-एन इनवर्टिबल मैट्रिक्स है। फिर सामान्यीकृत फूरियर-स्लाइस प्रमेय को कहा जा सकता है कि आधार परिवर्तन के परिवर्तन के व्युत्क्रम का स्थानांतर कहाँ है। दो आयामों में प्रमाण प्रक्षेपण-टुकड़ा प्रमेय दो आयामों के मामले में आसानी से सिद्ध हो जाता है। व्यापकता के नुकसान के बिना, हम प्रक्षेपण रेखा को x-अक्ष के रूप में ले सकते हैं। व्यापकता का कोई नुकसान नहीं है क्योंकि अगर हम एक स्थानांतरित और घूर्णित रेखा का उपयोग करते हैं, तो कानून अभी भी लागू होता है। एक स्थानांतरित रेखा (y में) का उपयोग करने से वही प्रक्षेपण मिलता है और इसलिए वही 1D फूरियर परिवर्तन परिणाम मिलता है। घूर्णित फलन घूर्णित फूरियर रूपांतरण की फूरियर जोड़ी है, जिसके लिए प्रमेय फिर से धारण करता है। यदि f (x, y) एक द्वि-आयामी फलन है, तो x अक्ष पर f (x, y) का प्रक्षेपण p (x) है जहाँ का फूरियर रूपांतरण है। उपरोक्त उदाहरण से उच्च आयामों के प्रमाण को आसानी से सामान्यीकृत किया जाता है। एफ. एच. ए. चक्र यदि द्वि-आयामी फलन f (r) गोलाकार रूप से सममित है, तो इसे f (r) के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहाँ r = |r। है। इस मामले में किसी भी प्रक्षेपण रेखा पर प्रक्षेपण f (r) का एबेल रूपांतरण होगा। f (r) का द्वि-आयामी फूरियर रूपांतरण एक गोलाकार सममित फलन होगा जो f (r) के शून्य-क्रम वाले हैंकेल रूपांतरण द्वारा दिया जाता है, जो इसलिए मूल के माध्यम से किसी भी टुकड़े का प्रतिनिधित्व भी करेगा। प्रोजेक्शन-स्लाइस थ्योरम तब बताता है कि प्रोजेक्शन का फूरियर ट्रांसफॉर्म स्लाइस के बराबर होता है या जहाँ A1 एबेल-ट्रांसफॉर्म ऑपरेटर का प्रतिनिधित्व करता है, एक आयामी रेखा पर दो आयामी गोलाकार सममित फ़ंक्शन को पेश करता है, F1 1-D फूरियर-ट्रांसफॉर्म ऑपरेटर का प्रतिनिधित्व करता है, और H शून्य-क्रम हैंकेल-ट्रांसफॉर्म ऑपरेटर का प्रतिनिधित्व करता है। पंखे की किरण या शंकु-किरण सी. टी. तक विस्तार प्रक्षेपण-टुकड़ा प्रमेय समानांतर किरण प्रक्षेपणों के साथ सी. टी. छवि पुनर्निर्माण के लिए उपयुक्त है। यह सीधे फैनबीम या कोनबीम सीटी पर लागू नहीं होता है। इस प्रमेय को 1995 में शुआंग-रेन झाओ द्वारा फैन-बीम और कोनबीम सी. टी. छवि पुनर्निर्माण तक बढ़ाया गया था। यह भी देखें कि रेडॉन परिवर्तन § फूरियर परिवर्तन के साथ संबंध संदर्भ आगे पढ़ने के लिए बाहरी लिंक फूरियर विश्लेषण में प्रमेय इंटीग्रल परिवर्तन छवि प्रसंस्करण