Symmetric space
गणित में, एक सममित स्थान एक रीमानियन मैनिफोल्ड (या अधिक आम तौर पर, एक छद्म-रीमानियन मैनिफोल्ड) है जिसकी सममितियों के समूह में प्रत्येक बिंदु के बारे में एक व्युत्क्रम समरूपता होती है। इसका अध्ययन रीमानियन ज्यामिति के उपकरणों के साथ किया जा सकता है, जिससे होलोनॉमी के सिद्धांत में परिणाम सामने आते हैं; या बीजगणितीय रूप से लाइ सिद्धांत के माध्यम से, जिसने कार्टन को एक पूर्ण वर्गीकरण देने की अनुमति दी। सममित रिक्त स्थान आमतौर पर विभेदक ज्यामिति, प्रतिनिधित्व सिद्धांत और हार्मोनिक विश्लेषण में होते हैं। ज्यामितीय शब्दों में, एक पूर्ण, सरल रूप से जुड़ा हुआ रीमानियन मैनिफोल्ड एक सममित स्थान है यदि और केवल तभी जब इसका वक्रता टेंसर समानांतर परिवहन के तहत अपरिवर्तनीय हो। अधिक आम तौर पर, एक रीमानियन मैनिफोल्ड (एम, जी) को सममित कहा जाता है यदि और केवल तभी, जब एम के प्रत्येक बिंदु पी के लिए, एम फिक्सिंग पी की एक सममिति मौजूद हो और स्पर्शरेखा स्थान पर माइनस पहचान के रूप में कार्य करे (प्रत्येक सममित स्थान पूरा हो जाता है, क्योंकि किसी भी भूगणितीय को अंतिम बिंदुओं के बारे में सममितियों के माध्यम से अनिश्चित काल तक बढ़ाया जा सकता है)। दोनों विवरणों को स्वाभाविक रूप से छद्म-रीमानियन मैनिफोल्ड्स की सेटिंग तक भी बढ़ाया जा सकता है। लाइ सिद्धांत के दृष्टिकोण से, एक सममित स्थान एक लाइ उपसमूह एच द्वारा जुड़े हुए लाइ समूह जी का भागफल जी/एच है जो जी के अंतर्वेशन के अपरिवर्तनीय समूह का (एक जुड़ा हुआ घटक) है। इस परिभाषा में रीमानियन परिभाषा से अधिक शामिल है, और जब एच कॉम्पैक्ट होता है तो यह कम हो जाता है। रीमानियन सममित रिक्त स्थान गणित और भौतिकी दोनों में विभिन्न प्रकार की स्थितियों में उत्पन्न होते हैं। होलोनॉमी के सिद्धांत में उनकी केंद्रीय भूमिका की खोज मार्सेल बर्जर ने की थी। वे प्रतिनिधित्व सिद्धांत और हार्मोनिक विश्लेषण के साथ-साथ विभेदक ज्यामिति में अध्ययन के महत्वपूर्ण विषय हैं। ज्यामितीय परिभाषा मान लीजिए कि एम एक जुड़ा हुआ रीमानियन मैनिफोल्ड है और पी एम का एक बिंदु है। पी के पड़ोस के एक डिफियोमोर्फिज्म एफ को एक जियोडेसिक समरूपता कहा जाता है यदि यह बिंदु पी को ठीक करता है और उस बिंदु के माध्यम से जियोडेसिक को उलट देता है, अर्थात। यदि γ के साथ एक जियोडेसिक है तो यह इस प्रकार है कि p पर मानचित्र f का व्युत्पन्न p के स्पर्शरेखा स्थान पर पहचान मानचित्र को घटाता है। एक सामान्य रीमानियन मैनिफोल्ड पर, f को सममितीय होने की आवश्यकता नहीं है, न ही इसे सामान्य रूप से, p के पड़ोस से सभी M तक बढ़ाया जा सकता है। M को स्थानीय रूप से रीमानियन सममित कहा जाता है यदि इसकी जियोडेसिक सममितियां वास्तव में सममितीय हैं। यह वक्रता टेंसर के सहपरिवर्तन व्युत्पन्न के गायब होने के बराबर है। एक स्थानीय रूप से सममित स्थान को एक (वैश्विक रूप से) सममित स्थान कहा जाता है यदि इसके अलावा इसकी भूगणितीय सममितियों को सभी एम पर सममितियों तक बढ़ाया जा सकता है। मूल गुण कार्टन-एम्ब्रोस-हिक्स प्रमेय का तात्पर्य है कि एम स्थानीय रूप से रीमानियन सममित है यदि और केवल तभी जब इसका वक्रता टेंसर सह-परिवर्तनशील रूप से स्थिर हो, और इसके अलावा कि प्रत्येक सरल रूप से जुड़ा हुआ, पूर्ण स्थानीय रूप से रीमानियन सममित स्थान वास्तव में रीमानियन सममित हो। प्रत्येक रीमानियन सममित स्थान एम पूर्ण और रीमानियन सजातीय है (जिसका अर्थ है कि एम का सममिति समूह एम पर पारगमन रूप से कार्य करता है)। वास्तव में, आइसोमेट्री समूह का पहचान घटक पहले से ही एम पर पारगमन रूप से कार्य करता है (क्योंकि एम जुड़ा हुआ है)। स्थानीय रूप से रीमानियन सममित रिक्त स्थान जो रीमानियन सममित नहीं हैं, उन्हें बिना किसी निश्चित बिंदु के सममितियों के असतत समूहों द्वारा और (स्थानीय रूप से) रीमानियन सममित रिक्त स्थान के खुले उपसमुच्चय के रूप में रीमानियन सममित रिक्त स्थान के भाग के रूप में बनाया जा सकता है। उदाहरण रीमानियन सममित रिक्त स्थान के बुनियादी उदाहरण यूक्लिडियन स्थान, गोले, प्रोजेक्टिव स्थान और हाइपरबोलिक स्थान हैं, जिनमें से प्रत्येक अपने मानक रीमानियन मेट्रिक्स के साथ हैं। अधिक उदाहरण एक द्वि-अपरिवर्तनीय रीमानियन मीट्रिक से लैस कॉम्पैक्ट, अर्ध-सरल लाइ समूहों द्वारा प्रदान किए जाते हैं। 1 से अधिक वंश की प्रत्येक सघन रीमान सतह (निरंतर वक्रता के अपने सामान्य मीट्रिक-1 के साथ) एक स्थानीय रूप से सममित स्थान है लेकिन एक सममित स्थान नहीं है। प्रत्येक लेंस स्थान स्थानीय रूप से सममित है लेकिन सममित नहीं है, जिसके अपवाद के साथ सममित है। लेंस स्पेस एक असतत सममिति द्वारा 3-गोले के भाग हैं जिनके कोई निश्चित बिंदु नहीं हैं। गैर-रीमैनियन सममित स्थान का एक उदाहरण एंटी-डी सिटर स्थान है। बीजगणितीय परिभाषा मान लीजिए कि जी एक जुड़ा हुआ लाइ समूह है। फिर G के लिए एक सममित स्थान एक सजातीय स्थान G/H है जहाँ एक विशिष्ट बिंदु का स्थिरीकारक H ऑट (G) में एक अंतर्वेशन σ के निश्चित बिंदु समूह का एक खुला उपसमूह है। इस प्रकार σ, σ2 = आई. डी. जी. के साथ जी का एक ऑटोमोर्फिज्म है और एच अपरिवर्तनीय समुच्चय का एक खुला उपसमूह है क्योंकि एच खुला है, यह जी. एस. के घटकों का एक संघ है (निश्चित रूप से, पहचान घटक सहित)। जी के ऑटोमोर्फिज्म के रूप में, σ पहचान तत्व को ठीक करता है, और इसलिए, पहचान पर अंतर करके, यह जी के लाइ बीजगणित के एक ऑटोमोर्फिज्म को प्रेरित करता है, जिसे σ द्वारा भी दर्शाया जाता है, जिसका वर्ग पहचान है। यह इस प्रकार है कि σ के आइगेनवैल्यू ±1 हैं। + 1 आइगेनस्पेस H का लाइ बीजगणित है (क्योंकि यह Gσ का लाइ बीजगणित है), और −1 आइगेनस्पेस को दर्शाया जाएगा। पहली शर्त किसी भी सजातीय स्थान के लिए स्वचालित हैः यह सिर्फ इतना कहता है कि असीम स्टेबलाइज़र का एक लाइ उप-बीजगणित है। दूसरी शर्त का मतलब है कि यह एक-अपरिवर्तनीय पूरक है। इस प्रकार कोई भी सममित स्थान एक अपवर्तक सजातीय स्थान है, लेकिन कई अपवर्तक सजातीय स्थान हैं जो सममित स्थान नहीं हैं। सममित रिक्त स्थान की प्रमुख विशेषता तीसरी स्थिति है जो कोष्ठक में प्रवेश करती है। इसके विपरीत, इन तीन स्थितियों को संतुष्ट करने वाले प्रत्यक्ष योग अपघटन के साथ किसी भी लाइ बीजगणित को देखते हुए, रैखिक मानचित्र σ, पहचान पर और माइनस पर पहचान के बराबर, एक अनैच्छिक ऑटोमोर्फिज्म है। यदि एम एक रीमानियन सममित स्थान है, तो एम के सममिति समूह का पहचान घटक जी एक लाइ समूह है जो एम पर पारगमन रूप से कार्य करता है (यानी, एम रीमानियन सजातीय है)। इसलिए, यदि हम M के कुछ बिंदु p को ठीक करते हैं, तो M भागफल G/K के लिए भिन्न है, जहां K, p पर M पर G की क्रिया के समस्थानिक समूह को दर्शाता है। यह क्रिया विश्वसनीय है (उदाहरण के लिए, कोस्टेंट के एक प्रमेय द्वारा, पहचान घटक में कोई भी सममिति किसी भी बिंदु पर इसके 1-जेट द्वारा निर्धारित की जाती है) और इसलिए के टी. पी. एम. के ऑर्थोगोनल समूह का एक उपसमूह है, इसलिए कॉम्पैक्ट है। इसके अलावा, यदि हम sp: M → M द्वारा p पर M की भूगणितीय समरूपता को दर्शाते हैं, तो मानचित्र एक अनैच्छिक लाइ समूह स्वरूपता है जैसे कि समस्थानिक समूह K निश्चित बिंदु समूह और उसके पहचान घटक (इसलिए एक खुला उपसमूह) के बीच निहित है और आगे की जानकारी के लिए हेलगासन की विभेदक ज्यामिति, लाइ समूहों और सममित स्थानों में पृष्ठ 209, अध्याय IV, खंड 3 पर परिभाषा और निम्नलिखित प्रस्ताव देखें। संक्षेप में, एम एक सममित स्थान जी/के है जिसमें एक कॉम्पैक्ट समस्थानिक समूह के है। इसके विपरीत, कॉम्पैक्ट समस्थानिक समूह के साथ सममित स्थान रीमानियन सममित स्थान हैं, हालांकि जरूरी नहीं कि एक अद्वितीय तरीके से। एक रीमानियन सममित अंतरिक्ष संरचना प्राप्त करने के लिए हमें पहचान कोसेट eK पर G/K के स्पर्शरेखा स्थान पर एक K-अपरिवर्तनीय आंतरिक उत्पाद को ठीक करने की आवश्यकता हैः ऐसा आंतरिक उत्पाद हमेशा औसत से मौजूद होता है, क्योंकि K सघन होता है, और G के साथ कार्य करके, हम G/K पर एक G-अपरिवर्तनीय रीमानियन मीट्रिक g प्राप्त करते हैं। यह दिखाने के लिए कि G/K रीमानियन सममित है, किसी भी बिंदु p = hK (K का एक कोसेट, जहां h ω G) पर विचार करें और परिभाषित करें कि σ G निर्धारण K का अंतर्वेशन है। फिर कोई यह जांच कर सकता है कि sp एक सममिति है जिसमें (स्पष्ट रूप से) sp (p) = p और (अंतर करके) dsp माइनस के बराबर है। इस प्रकार sp एक भूगणितीय समरूपता है और चूंकि p मनमाना था, इसलिए M एक रीमानियन सममित स्थान है। यदि कोई एक रीमानियन सममित स्थान M से शुरू करता है, और फिर इन दो निर्माणों को अनुक्रम में करता है, तो प्राप्त रीमानियन सममित स्थान मूल स्थान के सममित है। इससे पता चलता है कि "बीजगणितीय डेटा" (जी, के, σ, जी) पूरी तरह से एम की संरचना का वर्णन करता है। रीमानियन सममित रिक्त स्थान का वर्गीकरण रीमानियन सममित रिक्त स्थान के बीजगणितीय विवरण ने 1926 में एली कार्टन को उनका पूरा वर्गीकरण प्राप्त करने में सक्षम बनाया। किसी दिए गए रीमानियन सममित स्थान M के लिए मान लीजिए (G, K, σ, g) इससे जुड़े बीजगणितीय डेटा हैं। एम के संभावित सममिति वर्गों को वर्गीकृत करने के लिए, पहले ध्यान दें कि एक रीमानियन सममिति स्थान का सार्वभौमिक आवरण फिर से रीमानियन सममिति है, और आवरण मानचित्र को आवरण के जुड़े सममिति समूह जी को इसके केंद्र के एक उपसमूह द्वारा विभाजित करके वर्णित किया गया है। इसलिए, हम व्यापकता को खोए बिना मान सकते हैं कि एम बस जुड़ा हुआ है। (इसका तात्पर्य है कि K एक तंतु के लंबे सटीक अनुक्रम से जुड़ा हुआ है, क्योंकि G धारणा से जुड़ा हुआ है।) वर्गीकरण योजना एक सरल रूप से जुड़े हुए रीमानियन सममित स्थान को अपरिवर्तनीय कहा जाता है यदि यह दो या दो से अधिक रीमानियन सममित स्थानों का गुणनफल नहीं है। इसके बाद यह दिखाया जा सकता है कि कोई भी सरल रूप से जुड़ा हुआ रीमानियन सममित स्थान अपरिवर्तनीय का रीमानियन उत्पाद है। इसलिए, हम अपने आप को अपरिवर्तनीय, बस जुड़े हुए रीमानियन सममित रिक्त स्थान को वर्गीकृत करने तक सीमित कर सकते हैं। अगला कदम यह दिखाना है कि कोई भी अपरिवर्तनीय, बस जुड़ा हुआ रीमानियन सममित स्थान M निम्नलिखित तीन प्रकारों में से एक हैः यूक्लिडियन प्रकारः एम में लुप्त होती वक्रता है, और इसलिए एक यूक्लिडियन स्थान के लिए सममित है। 2. कॉम्पैक्ट प्रकारः एम में गैर-नकारात्मक (लेकिन समान रूप से शून्य नहीं) अनुभागीय वक्रता होती है। 3. गैर-संक्षिप्त प्रकारः एम में गैर-सकारात्मक (लेकिन समान रूप से शून्य नहीं) अनुभागीय वक्रता होती है। एक अधिक परिष्कृत अपरिवर्तनीय श्रेणी है, जो स्पर्शरेखा स्थान (किसी भी बिंदु पर) के एक उपक्षेत्र का अधिकतम आयाम है जिस पर वक्रता समान रूप से शून्य है। श्रेणी हमेशा कम से कम एक होती है, समानता के साथ यदि अनुभागीय वक्रता सकारात्मक या नकारात्मक है। यदि वक्रता धनात्मक है, तो स्थान संक्षिप्त प्रकार का है, और यदि ऋणात्मक है, तो यह गैर-संक्षिप्त प्रकार का है। यूक्लिडियन प्रकार के रिक्त स्थान अपने आयाम के बराबर श्रेणी में होते हैं और उस आयाम के यूक्लिडियन स्थान के सममित होते हैं। इसलिए, यह कॉम्पैक्ट और गैर-कॉम्पैक्ट प्रकार के अपरिवर्तनीय, बस जुड़े हुए रीमानियन सममित रिक्त स्थान को वर्गीकृत करने के लिए बना हुआ है। दोनों ही मामलों में दो वर्ग हैं। ए. जी. एक (वास्तविक) सरल लाइ समूह है; बी. जी. या तो अपने साथ एक कॉम्पैक्ट सरल लाइ समूह (कॉम्पैक्ट प्रकार) का उत्पाद है, या इस तरह के लाइ समूह (गैर-कॉम्पैक्ट प्रकार) का एक जटिलता है। बी श्रेणी के उदाहरणों को पूरी तरह से सरल झूठ समूहों के वर्गीकरण द्वारा वर्णित किया गया है। कॉम्पैक्ट प्रकार के लिए, एम एक कॉम्पैक्ट सरल रूप से जुड़ा हुआ सरल लाइ समूह है, जी एम × एम है और के विकर्ण उपसमूह है। गैर-कॉम्पैक्ट प्रकार के लिए, जी एक सरल रूप से जुड़ा हुआ जटिल सरल लाइ समूह है और के इसका अधिकतम कॉम्पैक्ट उपसमूह है। दोनों ही मामलों में, श्रेणी जी की श्रेणी है। संक्षिप्त रूप से जुड़े लाइ समूह शास्त्रीय लाइ समूहों के सार्वभौमिक आवरण हैं, और पाँच असाधारण लाइ समूह ई6, ई7, ई8, एफ4, जी2 हैं। वर्ग ए के उदाहरण पूरी तरह से गैर-कॉम्पैक्ट बस जुड़े वास्तविक सरल लाइ समूहों के वर्गीकरण द्वारा वर्णित हैं। गैर-सघन प्रकार के लिए, जी एक ऐसा समूह है और के इसका अधिकतम सघन उपसमूह है। इस तरह के प्रत्येक उदाहरण में कॉम्पैक्ट प्रकार का एक संबंधित उदाहरण है, जी के जटिलता के एक अधिकतम कॉम्पैक्ट उपसमूह पर विचार करके जिसमें के शामिल है। अधिक सीधे तौर पर, कॉम्पैक्ट प्रकार के उदाहरणों को कॉम्पैक्ट सरल रूप से जुड़े सरल लाइ समूहों जी (संयुग्मन तक) के अनैच्छिक ऑटोमोर्फिज्म द्वारा वर्गीकृत किया जाता है। इस तरह के अंतर्वेशन जी के जटिलता के अंतर्वर्तन तक फैले हुए हैं, और ये बदले में जी के गैर-कॉम्पैक्ट वास्तविक रूपों को वर्गीकृत करते हैं। इस प्रकार वर्ग ए और वर्ग बी दोनों में कॉम्पैक्ट प्रकार और गैर-कॉम्पैक्ट प्रकार के सममित रिक्त स्थान के बीच एक पत्राचार होता है। इसे रीमानियन सममित रिक्त स्थान के लिए द्वैत के रूप में जाना जाता है। वर्गीकरण परिणाम वर्ग ए और कॉम्पैक्ट प्रकार के रीमानियन सममित रिक्त स्थान में विशेषज्ञता प्राप्त करते हुए, कार्टन ने पाया कि निम्नलिखित सात अनंत श्रृंखलाएँ और बारह असाधारण रीमानियन सममित रिक्त स्थान जी/के हैं। वे यहाँ जी और के के संदर्भ में दिए गए हैं, एक ज्यामितीय व्याख्या के साथ, यदि आसानी से उपलब्ध हो। इन स्थानों की लेबलिंग कार्टन द्वारा दी गई है। ग्रासमैनियन के रूप में एक अधिक आधुनिक वर्गीकरण एक फ्रायडेन्थल जादू वर्ग निर्माण के माध्यम से कॉम्पैक्ट और गैर-कॉम्पैक्ट दोनों, रीमानियन सममित रिक्त स्थान को समान रूप से वर्गीकृत करता है। अपरिवर्तनीय कॉम्पैक्ट रीमानियन सममित रिक्त स्थान, परिमित आवरण तक, या तो एक कॉम्पैक्ट सरल लाइ समूह, एक ग्रासमैनियन, एक लैग्रैन्जियन ग्रासमैनियन, या मानक विभाजन बीजगणित ए और बी के लिए उपस्थानों का एक दोहरा लैग्रैन्जियन ग्रासमैनियन हैं। एक समान संरचना अपूरणीय गैर-कॉम्पैक्ट रीमानियन सममित रिक्त स्थान उत्पन्न करती है। रीमानियन सममित रिक्त स्थान को सामान्य बनाने वाले सममित रिक्त स्थान का एक महत्वपूर्ण वर्ग छद्म-रीमानियन सममित रिक्त स्थान है, जिसमें रीमानियन मीट्रिक को एक छद्म-रीमानियन मीट्रिक (प्रत्येक स्पर्शरेखा स्थान पर सकारात्मक निश्चित के बजाय गैर-अपक्षयी) द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। विशेष रूप से, लोरेंट्ज़ियन सममित रिक्त स्थान, अर्थात, हस्ताक्षर के एन आयामी छद्म-रीमानियन सममित रिक्त स्थान (एन-1,1), सामान्य सापेक्षता में महत्वपूर्ण हैं, सबसे उल्लेखनीय उदाहरण मिन्कोव्स्की स्थान, डी सिटर स्थान और एंटी-डी सिटर स्थान (क्रमशः शून्य, सकारात्मक और नकारात्मक वक्रता के साथ) हैं। आयाम एन के डी सिटर स्थान को आयाम एन + 1 के मिन्कोव्स्की स्थान में 1-शीट वाले हाइपरबोलॉइड के साथ पहचाना जा सकता है। सममित और स्थानीय रूप से सममित रिक्त स्थान को सामान्य रूप से सममित रिक्त स्थान माना जा सकता है। यदि एम = जी/एच एक सममित स्थान है, तो नोमिज़ु ने दिखाया कि एक जी-अपरिवर्तनीय मरोड़-मुक्त संबंध है (अर्थात। एम पर एक अफाइन संबंध जिसका मरोड़ तनाव गायब हो जाता है) जिसकी वक्रता समानांतर होती है। इसके विपरीत इस तरह के संबंध के साथ एक मैनिफोल्ड स्थानीय रूप से सममित है (यानी, इसका सार्वभौमिक आवरण एक सममित स्थान है)। इस तरह के मैनिफोल्ड्स को उन एफ़ाइन मैनिफोल्ड्स के रूप में भी वर्णित किया जा सकता है जिनकी भूगणितीय समरूपताएँ सभी विश्व स्तर पर परिभाषित एफ़ाइन डिफियोमोर्फिज्म हैं, जो रीमानियन और छद्म-रीमानियन मामले को सामान्य बनाती हैं। वर्गीकरण के परिणाम रीमानियन सममित रिक्त स्थान का वर्गीकरण सामान्य मामले में आसानी से इस सरल कारण से नहीं फैलता है कि एक सममित स्थान का अपरिवर्तनीय के उत्पाद में कोई सामान्य विभाजन नहीं है। यहाँ लाइ बीजगणित के साथ एक सममित स्थान G/H को इरेड्यूसिबल कहा जाता है यदि इसका एक इरेड्यूसिबल प्रतिनिधित्व है। चूँकि यह सामान्य रूप से अर्ध-सरल (या यहाँ तक कि अपचायक) नहीं है, इसलिए इसमें अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व हो सकते हैं जो अपरिवर्तनीय नहीं हैं। हालांकि, इरेड्यूसिबल सिमेट्रिक स्पेस को वर्गीकृत किया जा सकता है। जैसा कि कात्सुमी नोमिज़ु द्वारा दिखाया गया है, एक द्विभाजन हैः एक अपरिवर्तनीय सममित स्थान जी/एच या तो सपाट है (यानी, एक एफ़ाइन स्थान) या अर्ध-सरल है। यह यूक्लिडियन रिक्त स्थान और कॉम्पैक्ट या गैर-कॉम्पैक्ट प्रकार के स्थानों के बीच रीमानियन द्विभाजन का अनुरूप है, और इसने एम. बर्जर को अर्ध-सरल सममित रिक्त स्थान (यानी, अर्ध-सरल वाले) को वर्गीकृत करने और यह निर्धारित करने के लिए प्रेरित किया कि इनमें से कौन से अपरिवर्तनीय हैं। बाद वाला प्रश्न रीमानियन मामले की तुलना में अधिक सूक्ष्म हैः भले ही सरल हो, जी/एच अपरिवर्तनीय नहीं हो सकता है। जैसा कि रीमानियन मामले में G = H × H के साथ अर्ध-सरल सममित रिक्त स्थान हैं। कोई भी अर्ध-सरल सममित रिक्त स्थान इस रूप के सममित रिक्त स्थान का एक उत्पाद है जिसमें सममित रिक्त स्थान ऐसे हैं जो सरल हैं। बाद के मामले का वर्णन करना बाकी है। इसके लिए, एक (वास्तविक) सरल लाइ बीजगणित के अंतर्वेशन σ को वर्गीकृत करने की आवश्यकता है। यदि सरल नहीं है, तो एक जटिल सरल लाइ बीजगणित है, और संबंधित सममित रिक्त स्थान का रूप G/H है, जहाँ H, G का एक वास्तविक रूप हैः ये रीमानियन सममित रिक्त स्थान G/K के अनुरूप हैं, जिसमें G एक जटिल सरल लाइ समूह है, और K एक अधिकतम संक्षिप्त उपसमूह है। इस प्रकार हम मान सकते हैं कि यह सरल है। वास्तविक उप-बीजगणित को एक जटिल एंटीलिनियर इनवोल्यूशन τ के निश्चित बिंदु समूह के रूप में देखा जा सकता है, जबकि σ का विस्तार τ के साथ आने-जाने के एक जटिल एंटीलिनियर इनवोल्यूशन तक होता है और इसलिए यह एक जटिल रैखिक इनवोल्यूशन भी है। इसलिए वर्गीकरण एक जटिल लाइ बीजगणित के एंटीलिनियर इनवोल्यूशन के कम्यूटिंग जोड़े के वर्गीकरण तक कम हो जाता है। संमिश्र σ°τ एक जटिल सममित स्थान निर्धारित करता है, जबकि τ एक वास्तविक रूप निर्धारित करता है। इससे किसी भी दिए गए सममित रिक्त स्थान की तालिकाओं का निर्माण करना आसान है, और इसके अलावा, σ और τ का आदान-प्रदान करके एक स्पष्ट द्वैतता दी जाती है। यह रीमानियन मामले से कॉम्पैक्ट/गैर-कॉम्पैक्ट द्वैतता का विस्तार करता है, जहां या तो σ या τ एक कार्टन इनवोल्यूशन है, यानी, इसका निश्चित बिंदु सेट एक अधिकतम कॉम्पैक्ट उप-बीजगणित है। तालिकाएँ निम्नलिखित तालिका प्रत्येक शास्त्रीय और असाधारण जटिल सरल लाइ समूह के लिए जटिल सममित रिक्त स्थान और वास्तविक रूपों द्वारा वास्तविक सममित रिक्त स्थान को अनुक्रमित करती है। असाधारण सरल लाइ समूहों के लिए, रीमानियन मामले को स्पष्ट रूप से नीचे शामिल किया गया है, जिसमें σ को पहचान अंतर्वेशन (एक डैश द्वारा इंगित) होने की अनुमति दी गई है। उपरोक्त तालिकाओं में यह स्पष्ट रूप से मामले kl = 0 द्वारा कवर किया गया है। 1950 के दशक में एटल सेलबर्ग ने कार्टन की सममित स्थान की परिभाषा को कमजोर सममित रीमानियन स्थान या वर्तमान शब्दावली में कमजोर सममित स्थान तक विस्तारित किया। इन्हें रीमानियन मैनिफोल्ड्स M के रूप में परिभाषित किया गया है जो सममितियों G के एक सकर्मक जुड़े लाइ समूह के साथ है और एक सममितियों σ को G को इस तरह सामान्य करता है कि M में x, y दिए जाने पर G में एक सममितियाँ s होती हैं जैसे कि sx = σy और sy = σx। (सेलबर्ग की यह धारणा कि σ2 को G का एक तत्व होना चाहिए, बाद में अर्नेस्ट विनबर्ग द्वारा अनावश्यक दिखाया गया था।) सेलबर्ग ने साबित किया कि कमजोर सममित रिक्त स्थान गेलफैंड जोड़े को जन्म देते हैं, ताकि विशेष रूप से L2 (M) पर G का एकात्मक प्रतिनिधित्व बहुलता मुक्त हो। सेलबर्ग की परिभाषा को भूगणितीय समरूपता के सामान्यीकरण के संदर्भ में भी समान रूप से व्यक्त किया जा सकता है। यह आवश्यक है कि एम में प्रत्येक बिंदु एक्स और एक्स पर स्पर्शरेखा सदिश एक्स के लिए, एक्स और एक्स के आधार पर एम की एक सममिति हो, जैसे कि एस x को ठीक करता है; एक्स पर एस का व्युत्पन्न एक्स को-एक्स भेजता है। जब s, X से स्वतंत्र होता है, तो M एक सममित स्थान होता है। जटिल अर्ध-सरल लाइ अलजेब्रा के आवधिक ऑटोमोर्फिज्म के वर्गीकरण के आधार पर, कमजोर सममित रिक्त स्थान और अकिएज़र और विनबर्ग द्वारा उनके वर्गीकरण का एक विवरण दिया गया है। सममित रिक्त स्थान के कुछ गुणों और रूपों पर ध्यान दिया जा सकता है। मीट्रिक टेंसर को उठाना रीमानियन मैनिफोल्ड पर मीट्रिक टेंसर को किलिंग फॉर्म के साथ मिलाकर एक स्केलर उत्पाद पर उठाया जा सकता है। यह यहाँ परिभाषित करके किया जाता है, रीमानियन मीट्रिक पर परिभाषित किया गया है, और हत्या का रूप है। माइनस संकेत दिखाई देता है क्योंकि हत्या का रूप नकारात्मक-निश्चित है इस पर सकारात्मक-निश्चित बनाता है। फैक्टराइजेशन स्पर्शरेखा स्थान को आगे किलिंग रूप द्वारा वर्गीकृत आइगेनस्पेस में फैक्टर किया जा सकता है। यह एक संलग्न मानचित्र को परिभाषित करके पूरा किया जाता है जिसमें रीमानियन मीट्रिक कहाँ है और हत्या का रूप है। इस मानचित्र को कभी-कभी सामान्यीकृत ट्रांसपोज़ कहा जाता है, जो ऑर्थोगोनल समूहों के लिए ट्रांसपोज़ और एकात्मक समूहों के लिए हर्मिशियन संयुग्म से मेल खाता है। यह एक रैखिक कार्यात्मक है, और यह स्व-संयुग्मित है, और इसलिए कोई यह निष्कर्ष निकालता है कि के साथ एक ऑर्थोनॉर्मल आधार है ये मीट्रिक के संबंध में ऑर्थोगोनल हैं, क्योंकि हत्या रूप सममित है। यह फॉर के साथ आइगेनस्पेस में फैक्टराइज़ होता है। अर्ध-सरल के मामले में, ताकि हत्या का रूप गैर-अपक्षयी हो, मीट्रिक इसी तरह फैक्टराइज़ करता हैः कुछ व्यावहारिक अनुप्रयोगों में, इस फैक्टराइजेशन को ऑपरेटरों के स्पेक्ट्रम के रूप में व्याख्या की जा सकती है, उदाहरण के लिए। हाइड्रोजन परमाणु का वर्णक्रम, एक कक्षीय के कोणीय संवेग के विभिन्न मूल्यों के अनुरूप हत्या रूप के आइगेनवैल्यू के साथ (अर्थात। किलिंग रूप एक कासिमिर प्रचालक है जो विभिन्न प्रतिनिधित्वों को वर्गीकृत कर सकता है जिसके तहत विभिन्न कक्षीय परिवर्तन होते हैं।) सममित रिक्त स्थान का वर्गीकरण इस आधार पर किया जाता है कि हत्या का रूप सकारात्मक/नकारात्मक निश्चित है या नहीं। अनुप्रयोग और विशेष मामले सममित रिक्त स्थान और होलोनॉमी यदि एक बिंदु पर एक रीमानियन मैनिफोल्ड के होलोनॉमी समूह का पहचान घटक स्पर्शरेखा स्थान पर अपरिवर्तनीय रूप से कार्य करता है, तो या तो मैनिफोल्ड स्थानीय रूप से रीमानियन सममित स्थान है, या यह 7 परिवारों में से एक में है। हर्मिशियन सममित स्थान एक रीमानियन सममित स्थान जो अतिरिक्त रूप से रीमानियन मीट्रिक के साथ संगत एक समानांतर जटिल संरचना से सुसज्जित है, उसे हर्मिशियन सममित स्थान कहा जाता है। कुछ उदाहरण जटिल वेक्टर रिक्त स्थान और जटिल प्रोजेक्टिव रिक्त स्थान हैं, दोनों अपने सामान्य रीमानियन मीट्रिक के साथ, और उपयुक्त मेट्रिक्स के साथ जटिल इकाई गेंदें हैं ताकि वे पूर्ण और रीमानियन सममित हो जाएं। एक अपरिवर्तनीय सममित स्थान G/K हर्मिशियन है यदि और केवल तभी जब K में एक केंद्रीय वृत्त हो। इस वृत्त द्वारा एक चौथाई मोड़ पहचान कोसेट पर स्पर्शरेखा स्थान पर i द्वारा गुणन के रूप में कार्य करता है। इस प्रकार हर्मिशियन सममित रिक्त स्थान आसानी से वर्गीकरण से अलग हो जाते हैं। कॉम्पैक्ट और गैर-कॉम्पैक्ट दोनों मामलों में यह पता चलता है कि चार अनंत श्रृंखलाएँ हैं, अर्थात् ए. आई. आई. आई., पी = 2 के साथ बी. डी. आई., डी. आई. आई. आई. और सी. आई., और दो असाधारण स्थान, अर्थात् ई. आई. आई. आई. और ई. वी. आई. आई.। गैर-कॉम्पैक्ट हर्मिशियन सममित रिक्त स्थान को जटिल वेक्टर रिक्त स्थान में सीमित सममित डोमेन के रूप में महसूस किया जा सकता है। चतुर्थक-कहलर सममित स्थान एक रीमानियन सममित स्थान जो अतिरिक्त रूप से प्रत्येक बिंदु पर काल्पनिक चतुर्थक के लिए अंत (टी. एम.) समरूप के एक समानांतर उपबंध से सुसज्जित है, और रीमानियन मीट्रिक के साथ संगत है, को चतुर्थक-कहलर सममित स्थान कहा जाता है। एक अपरिवर्तनीय सममित स्थान G/K चतुर्थक-कहलर है यदि और केवल तभी जब K के समस्थानिक प्रतिनिधित्व में एक चतुर्थक सदिश स्थान पर इकाई चतुर्थक की तरह कार्य करने वाला एक Sp (1) योग हो। इस प्रकार चतुर्थक-कहलर सममित रिक्त स्थान को वर्गीकरण से आसानी से पढ़ा जा सकता है। कॉम्पैक्ट और गैर-कॉम्पैक्ट दोनों मामलों में यह पता चलता है कि प्रत्येक जटिल सरल लाइ समूह के लिए बिल्कुल एक है, अर्थात् पी = 2 या क्यू = 2 के साथ ए. आई. (ये समरूप हैं), पी = 4 या क्यू = 4 के साथ बी. डी. आई., पी = 1 या क्यू = 1 के साथ सी. आई. आई., ई. आई. आई., ई. वी. आई., ई. आई. एक्स., एफ. आई. और जी. बॉट आवधिकता प्रमेय में, स्थिर ऑर्थोगोनल समूह के लूप स्पेस की व्याख्या रिडक्टिव सममित रिक्त स्थान के रूप में की जा सकती है। ऑर्थोगोनल सममित लाइ बीजगणित भी देखें रिलेटिव रूट सिस्टम साटेक आरेख कार्टन इनवोल्यूशन संदर्भों में एक संक्षिप्त परिचय और कई तालिकाएँ शामिल हैं। रीमानियन सममित रिक्त स्थान पर मानक पुस्तक। अध्याय XI में रीमानियन सममित रिक्त स्थान का एक अच्छा परिचय है। विभेदक ज्यामिति रीमानियन ज्यामिति लाइ समूह सजातीय रिक्त स्थान