Heesch's problem
ज्यामिति में, किसी आकृति की हीश संख्या उसी आकार की प्रतियों की परतों की अधिकतम संख्या है जो इसे बिना किसी ओवरलैप और बिना किसी अंतराल के घेर सकती है। हीश की समस्या उन संख्याओं के समूह को निर्धारित करने की समस्या है जो हीश संख्याएँ हो सकती हैं। दोनों का नाम ज्यामितिज्ञ हेनरिक हेश के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने हेश संख्या 1 (एक वर्ग, समबाहु त्रिभुज और 30-60-90 समकोण त्रिभुज का मिलन) के साथ एक टाइल की खोज की और अधिक सामान्य समस्या का प्रस्ताव रखा। उदाहरण के लिए, एक वर्ग वर्ग टाइलिंग में सर्वांगसम वर्गों की असीम रूप से कई परतों से घिरा हो सकता है, जबकि एक वृत्त को कुछ अंतराल छोड़े बिना सर्वांगसम वृत्तों की एक भी परत से घिरा नहीं जा सकता है। वर्ग की हीश संख्या अनंत है और वृत्त की हीश संख्या शून्य है। अधिक जटिल उदाहरणों में, जैसे कि चित्रण में दिखाया गया है, एक बहुभुज टाइल कई परतों से घिरी हो सकती है, लेकिन असीम रूप से कई से नहीं; परतों की अधिकतम संख्या टाइल की हीश संख्या है। औपचारिक परिभाषाएँ समतल का एक टेसेलेशन समतल का छोटे क्षेत्रों में विभाजन है जिसे टाइल्स कहा जाता है। एक टाइल के शून्य कोरोना को टाइल के रूप में परिभाषित किया गया है, और k> 0 के लिए kth कोरोना (k−1) th कोरोना के साथ एक सीमा बिंदु साझा करने वाली टाइलों का समूह है। एक आकृति S की हीश संख्या का अधिकतम मान k है कि तल की एक टाइलिंग मौजूद है, और उस टाइलिंग के भीतर टाइल t है, जिसके लिए t के kth कोरोनस के माध्यम से शून्य में सभी टाइल्स S के लिए सर्वांगसम हैं। इस समस्या पर कुछ काम में इस परिभाषा को अतिरिक्त रूप से संशोधित किया गया है कि t के kth कोरोनस के माध्यम से शून्य का मिलन एक सरल रूप से जुड़ा हुआ क्षेत्र है। यदि परतों की संख्या पर कोई ऊपरी सीमा नहीं है जिससे एक टाइल को घेर लिया जा सकता है, तो इसकी हीश संख्या को अनंत कहा जाता है। इस मामले में, कनिग के लेम्मा पर आधारित एक तर्क का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि टाइल की सर्वांगसम प्रतियों द्वारा पूरे तल का एक टेसेलेशन मौजूद है। उदाहरण दायीं ओर के चित्र में दिखाए गए गैर-उत्तल बहुभुज पी पर विचार करें, जो एक नियमित षट्कोण से इसकी दो तरफ अनुमानों को जोड़कर और तीन तरफ इंडेंटेशन का मिलान करके बनता है। इस आकृति में चौथी परत के भीतर पी की 61 प्रतियां, एक बड़ा अनंत क्षेत्र और चार छोटे हीरे के आकार के बहुभुज शामिल हैं। केंद्रीय बहुभुज के पहले से चौथे कोरोना में पूरी तरह से पी की सर्वांगसम प्रतियां होती हैं, इसलिए इसकी हीश संख्या कम से कम चार होती है। छोटे हीरे के आकार के बहुभुज बनाने से बचने के लिए इस आकृति में बहुभुज की प्रतियों को पुनर्व्यवस्थित नहीं किया जा सकता है, क्योंकि पी की 61 प्रतियों में अनुमानों की संख्या के सापेक्ष बहुत अधिक संकेत हैं जो उन्हें भर सकते हैं। इस तर्क को औपचारिक रूप देकर, यह साबित किया जा सकता है कि पी की हेश संख्या बिल्कुल चार है। संशोधित परिभाषा के अनुसार जिसके लिए आवश्यक है कि कोरोना को बस जोड़ा जाए, हेश संख्या तीन है। इस उदाहरण की खोज रॉबर्ट अम्मान ने की थी। ज्ञात परिणाम यह अज्ञात है कि क्या सभी सकारात्मक पूर्णांक हीश संख्याएँ हो सकती हैं। हीश संख्या 2 वाले बहुभुज के पहले उदाहरण उनके द्वारा प्रदान किए गए थे, जिन्होंने दिखाया कि असीम रूप से कई बहुपद में यह गुण है। केसी मान ने टाइलों के एक परिवार का निर्माण किया है, जिनमें से प्रत्येक में हीश संख्या 5 है। मान की टाइलों में सीमित परिभाषा के साथ हीश संख्या 5 है जिसमें प्रत्येक कोरोना को बस जोड़ा जाना चाहिए। 2020 में, बोजन बासिक को हेश संख्या 6 के साथ एक आंकड़ा मिला, जो वर्तमान तक की सबसे अधिक परिमित संख्या है। हाइपरबोलिक तल में संबंधित समस्या के लिए, हीश संख्या मनमाने ढंग से बड़ी हो सकती है। संदर्भ स्रोत आगे पढ़ने के लिए बाहरी लिंक नंबरफाइल वीडियो हीश नंबरों के बारे में। ज्यामिति में अनसुलझी समस्याएं