Confluent hypergeometric function
गणित में, एक संयुग्मित अति-ज्यामितीय फलन एक संयुग्मित अति-ज्यामितीय समीकरण का एक समाधान है, जो एक अति-ज्यामितीय विभेदक समीकरण का एक अपक्षयी रूप है जहां तीन नियमित विलक्षणताओं में से दो एक अनियमित विलक्षणता में विलय हो जाते हैं। कन्फ़्लुएंट शब्द विभेदक समीकरणों के परिवारों के एकवचन बिंदुओं के विलय को संदर्भित करता है; कन्फ़्लुएरे लैटिन में "एक साथ बहने" के लिए है। कॉन्फ़्लुएंट हाइपरजियोमेट्रिक फ़ंक्शंस के कई सामान्य मानक रूप हैंः कुम्मर का (कॉन्फ़्लुएंट हाइपरजियोमेट्रिक) फ़ंक्शंस, कुमार के विभेदक समीकरण का एक समाधान है। इसे पहली तरह के कॉन्फ्लुएंट हाइपरजियोमेट्रिक फंक्शन के रूप में भी जाना जाता है। एक ही नाम का एक अलग और असंबंधित कुम्मर कार्य है। ट्रिकोमी का (मिश्रित हाइपरजियोमेट्रिक) फलन, जिसे कभी-कभी इसके द्वारा दर्शाया जाता है, कुमेर के समीकरण का एक और समाधान है। इसे दूसरे प्रकार के कॉन्फ्लुएंट हाइपरजियोमेट्रिक फंक्शन के रूप में भी जाना जाता है। व्हिटेकर फलन (एडमंड टेलर व्हिटेकर के लिए) व्हिटेकर के समीकरण के समाधान हैं। कूलम्ब तरंग फलन कूलम्ब तरंग समीकरण के समाधान हैं। कुम्मर कार्य, व्हिटेकर कार्य और कूलम्ब तरंग कार्य अनिवार्य रूप से समान हैं, और केवल प्राथमिक कार्य और चर के परिवर्तन से एक दूसरे से भिन्न होते हैं। कुम्मर के समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता हैः एक नियमित एकवचन बिंदु पर और एक अनियमित एकवचन बिंदु पर। इसके दो (आमतौर पर) रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान हैं। कुम्मर का प्रथम प्रकार का कार्य एक सामान्यीकृत हाइपरजियोमेट्रिक श्रृंखला है जिसे इस प्रकार प्रस्तुत किया गया हैः कहाँः बढ़ती हुई भाज्य है। इस समाधान के लिए एक और सामान्य संकेतन है। एक फलन के रूप में माना जाता है, या अन्य दो स्थिरांक के साथ, यह या के एक पूरे फलन को परिभाषित करता है, सिवाय इसके कि जब इसका एक फलन गैर-सकारात्मक पूर्णांकों पर ध्रुवों को छोड़कर विश्लेषणात्मक हो। कुछ मूल्य और उपज समाधान जिन्हें अन्य ज्ञात कार्यों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है। #Special मामले देखें। जब एक गैर-सकारात्मक पूर्णांक होता है, तो कुमेर का फलन (यदि इसे परिभाषित किया गया है) एक सामान्यीकृत लैगुएरे बहुपद होता है। जिस तरह संयुग्म विभेदक समीकरण अति-ज्यामितीय विभेदक समीकरण की एक सीमा है क्योंकि 1 पर एकवचन बिंदु को एकवचन बिंदु पर एकवचन बिंदु की ओर ले जाया जाता है, उसी तरह संयुग्म अति-ज्यामितीय फलन को अति-ज्यामितीय फलन की सीमा के रूप में दिया जा सकता है और संयुग्म अति-ज्यामितीय फलन के कई गुण अति-ज्यामितीय फलन के गुणों के सीमित मामले हैं। चूँकि कुम्मर का समीकरण दूसरे क्रम का है, इसलिए एक और स्वतंत्र समाधान होना चाहिए। फ्रोबेनियस की विधि का सांकेतिक समीकरण हमें बताता है कि कुमेर समीकरण के लिए एक शक्ति श्रृंखला समाधान की सबसे कम शक्ति या तो 0 या है। यदि हम ऐसा होने देते हैं तो अवकल समीकरण देता है जो, विभाजित करने और सरल बनाने पर, बन जाता है इसका मतलब है कि यह एक समाधान है जब तक कि यह 1 से बड़ा पूर्णांक नहीं है, ठीक उसी तरह जब तक कि यह 1 से कम पूर्णांक नहीं है। हम ट्रिकोमी कॉन्फ़्लुएंट हाइपरजियोमेट्रिक फ़ंक्शन का भी उपयोग कर सकते हैं, और कभी-कभी इसके द्वारा दर्शाया जाता है। यह उपरोक्त दो समाधानों का एक संयोजन है, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है, हालांकि यह अभिव्यक्ति पूर्णांक के लिए अव्याख्यायित है, इसका लाभ यह है कि इसे निरंतरता द्वारा किसी भी पूर्णांक तक बढ़ाया जा सकता है। कुम्मर के फलन के विपरीत, जो एक संपूर्ण फलन है, आमतौर पर शून्य पर एक विलक्षणता होती है। उदाहरण के लिए, यदि और फिर शून्य के रूप में एसिम्प्टोटिक है। लेकिन कुछ उदाहरणों के लिए #Special मामले देखें जहां यह एक संपूर्ण फलन (बहुपद) है। ध्यान दें कि कुम्मर के समीकरण का समाधान समाधान के समान है, #Kummer का परिवर्तन देखें। वास्तविक या जटिल के अधिकांश संयोजनों के लिए और, कार्य और स्वतंत्र हैं, और यदि एक गैर-सकारात्मक पूर्णांक है, तो मौजूद नहीं है, तो हम दूसरे समाधान के रूप में उपयोग करने में सक्षम हो सकते हैं। लेकिन अगर एक गैर-सकारात्मक पूर्णांक है और एक गैर-सकारात्मक पूर्णांक नहीं है, तो इसका एक गुणक है। उस स्थिति में भी, दूसरे समाधान के रूप में उपयोग किया जा सकता है यदि यह मौजूद है और अलग है। लेकिन जब एक पूर्णांक 1 से बड़ा होता है, तो यह समाधान मौजूद नहीं होता है, और यदि तब यह मौजूद होता है लेकिन और का एक गुणक होता है। उन मामलों में निम्नलिखित रूप का एक दूसरा समाधान मौजूद होता है और किसी भी वास्तविक या जटिल और किसी भी सकारात्मक पूर्णांक के लिए मान्य होता है, सिवाय इसके कि जब एक सकारात्मक पूर्णांक कम होता हैः जब a = 0 हम वैकल्पिक रूप से उपयोग कर सकते हैंः जब यह घातीय समाकलन होता है। एक समान समस्या तब होती है जब एक नकारात्मक पूर्णांक होता है और एक पूर्णांक 1 से कम होता है। इस मामले में मौजूद नहीं है, और एक दूसरे समाधान का एक गुणक है फिर इस रूप का हैः अन्य समीकरणों का उपयोग विस्तारित संगम हाइपरजियोमेट्रिक समीकरण को हल करने के लिए किया जा सकता है जिसका सामान्य रूप इस प्रकार दिया गया हैः ध्यान दें कि जब या जब योग में केवल एक शब्द शामिल होता है, तो यह पारंपरिक संगम हाइपरजियोमेट्रिक समीकरण में कम हो जाता है। इस प्रकार संगम हाइपरजियोमेट्रिक कार्यों का उपयोग "अधिकांश" द्वितीय-क्रम के साधारण विभेदक समीकरणों को हल करने के लिए किया जा सकता है जिनके परिवर्तनीय गुणांक सभी के रैखिक कार्य हैं, क्योंकि उन्हें विस्तारित संगम हाइपरजियोमेट्रिक समीकरण में परिवर्तित किया जा सकता है। समीकरण पर विचार कीजिएः पहले हम के प्रतिस्थापन का उपयोग करके नियमित एकवचन बिंदु को स्थानांतरित करते हैं, जो समीकरण कोः के नए मानों के साथ, और में परिवर्तित करता है। इसके बाद हम प्रतिस्थापन का उपयोग करते हैंः और समीकरण को उसी कारक से गुणा करते हुए प्राप्त करते हैंः जिसका समाधान है जहाँ कुमेर के समीकरण का समाधान है ध्यान दें कि वर्गमूल एक काल्पनिक या जटिल संख्या दे सकता है। यदि यह शून्य है, तो एक अन्य समाधान का उपयोग किया जाना चाहिए, अर्थात् जहां एक कॉन्फ़्लुएंट हाइपरजियोमेट्रिक सीमा फ़ंक्शन संतोषजनक है जैसा कि नीचे उल्लेख किया गया है, यहां तक कि बेसल समीकरण को भी कॉन्फ़्लुएंट हाइपरजियोमेट्रिक फ़ंक्शंस का उपयोग करके हल किया जा सकता है। समाकलन प्रतिनिधित्व यदि, एक समाकलन के रूप में दर्शाया जा सकता है तो यह बीटा वितरण का विशिष्ट कार्य है। सकारात्मक वास्तविक भाग के साथ लाप्लास समाकलन द्वारा प्राप्त किया जा सकता है समाकलन दाहिने अर्ध-तल में एक समाधान को परिभाषित करता है। उन्हें बार्न्स इंटीग्रल के रूप में भी दर्शाया जा सकता है जहां समोच्च ध्रुवों के एक तरफ और ध्रुवों के दूसरी तरफ जाता है। असिंप्टोटिक व्यवहार यदि कुमेर के समीकरण का कोई समाधान ए. एस. की शक्ति के लिए एसिम्प्टोटिक है, तो शक्ति होनी चाहिए। यह वास्तव में ट्रिकोमी के समाधान के लिए मामला है। इसके असिम्प्टोटिक व्यवहार का अनुमान इंटीग्रल रिप्रेजेंटेशन से लगाया जा सकता है। यदि, तब समाकलन में चर का परिवर्तन करने के बाद द्विपद श्रृंखला का विस्तार करने और इसे औपचारिक रूप से शब्द दर शब्द एकीकृत करने से एक असिम्प्टोटिक श्रृंखला विस्तार होता है, जो इस प्रकार मान्य हैः जहां 1 के साथ एक सामान्यीकृत हाइपरजियोमेट्रिक श्रृंखला है, जो आम तौर पर कहीं भी अभिसरण नहीं करती है, लेकिन इसमें एक औपचारिक शक्ति श्रृंखला के रूप में मौजूद होती है। यह एसिम्प्टोटिक विस्तार वास्तविक के बजाय जटिल के लिए भी मान्य है, जिसमें बड़े के लिए कुम्मर के समाधान का एसिम्प्टोटिक व्यवहार हैः की शक्तियों का उपयोग करके लिया जाता है। पहले पद की आवश्यकता तब नहीं होती है जब वह परिमित हो, अर्थात तब जब वह गैर-सकारात्मक पूर्णांक न हो और उसका वास्तविक भाग नकारात्मक अनंत में चला जाए, जबकि दूसरे पद की आवश्यकता तब नहीं होती जब वह सीमित हो, अर्थात जब वह गैर-सकारात्मक पूर्णांक न हो और उसका वास्तविक भाग सकारात्मक अनंत में चला जाए। कुमेर के समीकरण का हमेशा कुछ समाधान होता है जो एसिम्प्टोटिक है। आमतौर पर यह दोनों का संयोजन होगा और लेकिन इसे इस रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है। विभिन्न तर्कों और उनके व्युत्पन्न के लिए कुम्मर कार्यों के बीच कई संबंध हैं। यह खंड कुछ विशिष्ट उदाहरण देता है। सन्निहित संबंधों को देखते हुए, इन चार कार्यों को सन्निहित कहा जाता है। फलन को, और के संदर्भ में परिमेय गुणांक के साथ, इसके किसी भी दो सन्निहित फलन के रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है। यह संबंध देता है, ऊपर दिए गए संकेतन में,,, आदि के दाहिने हाथ की ओर किसी भी दो रेखाओं की पहचान करके दिया गया है। इन संबंधों को बार-बार लागू करने से रूप के किसी भी तीन कार्यों (और उनके उच्च व्युत्पन्न) के बीच एक रैखिक संबंध मिलता है, जहां, पूर्णांक हैं। के लिए समान संबंध हैं। कुमेर के परिवर्तन, कुमेर के कार्य भी कुमेर के परिवर्तनों से संबंधित हैंः निम्नलिखित गुणन प्रमेय सही हैः लैगुएरे बहुपदों के साथ संबंध और समान प्रतिनिधित्व लैगुएरे बहुपदों के संदर्भ में, कुमेर के कार्यों में कई विस्तार होते हैं, उदाहरण के लिए या विशेष मामले जिन कार्यों को कॉन्फ्लुएंट हाइपरजियोमेट्रिक फ़ंक्शन के विशेष मामलों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है उनमें शामिल हैंः कुछ प्राथमिक कार्य जहां बाएं हाथ की ओर को परिभाषित नहीं किया जाता है जब एक गैर-सकारात्मक पूर्णांक होता है, लेकिन दाएं हाथ की ओर अभी भी संबंधित कुमेर समीकरण का समाधान हैः (एक बहुपद यदि एक गैर-सकारात्मक पूर्णांक है) गैर-सकारात्मक पूर्णांक के लिए एक सामान्यीकृत लैगुएरे बहुपद है। गैर-सकारात्मक पूर्णांक के लिए एक सामान्यीकृत लैगुएरे बहुपद का एक गुणक होता है, जो बाद वाले के मौजूद होने के बराबर होता है। एक सकारात्मक पूर्णांक कब होता है, एक बंद रूप है जिसकी शक्तियाँ, बाद वाले के मौजूद होने के बराबर होती हैं। गैर-ऋणात्मक पूर्णांक के लिए एक बेसल बहुपद है (नीचे देखें)। आदि। सन्निहित संबंध का उपयोग करके हम प्राप्त करते हैं, उदाहरण के लिए, बेटमैन का कार्य बेसल कार्य और कई संबंधित कार्य जैसे ऐरी कार्य, केल्विन कार्य, हैंकेल कार्य। उदाहरण के लिए, विशेष मामले में फलन एक बेसल फलन में बदल जाता हैः इस पहचान को कभी-कभी कुम्मर का दूसरा परिवर्तन भी कहा जाता है। इसी तरह जब एक गैर-सकारात्मक पूर्णांक होता है, तो यह एक बेसल बहुपद के बराबर होता है। त्रुटि फलन को कूलम्ब तरंग फलन कनिंघम फलन घातीय समाकलन और संबंधित फलन जैसे साइन समाकलन, लघुगणक समाकलन हर्माइट बहुपद अपूर्ण गामा फलन लैगुएरे बहुपद परवलयिक सिलेंडर फलन (या वेबर फलन) पॉइसन-चार्लियर फलन टोरंटो व्हिटेकर फलन व्हिटेकर के समीकरण के समाधान हैं जिन्हें कुम्मर फलन के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है और सामान्य-th कच्चे क्षण (आवश्यक रूप से एक पूर्णांक नहीं) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है दूसरे सूत्र में फलन की दूसरी शाखा कटौती को गुणा करके चुना जा सकता है। निरंतर अंशों के लिए अनुप्रयोग गॉस के निरंतर अंश पर एक सीमित तर्क लागू करके यह दिखाया जा सकता है कि और यह निरंतर अंश प्रत्येक बंधे हुए क्षेत्र में एक मेरोमॉर्फिक फ़ंक्शन के लिए समान रूप से अभिसरण करता है जिसमें एक ध्रुव शामिल नहीं होता है। टिप्पणियाँ संदर्भ बाहरी लिंक एन. आई. एस. टी. में संगम हाइपरजियोमेट्रिक कार्य गणितीय कार्यों की डिजिटल लाइब्रेरी वोल्फ्रम कार्यों की साइट पर कमर हाइपरजियोमेट्रिक कार्य वोल्फ्रम कार्यों की साइट पर ट्रिकोमी हाइपरजियोमेट्रिक कार्य हाइपरजियोमेट्रिक कार्य विशेष हाइपरजियोमेट्रिक कार्य विशेष कार्य