Brianchon's theorem
ज्यामिति में, ब्रायनचोन की प्रमेय एक प्रमेय है जिसमें कहा गया है कि जब एक षट्कोण को एक शंकु खंड के चारों ओर घेर लिया जाता है, तो इसके प्रमुख विकर्ण (जो विपरीत शीर्षों को जोड़ते हैं) एक ही बिंदु पर मिलते हैं। इसका नाम चार्ल्स जूलियन ब्रायनचोन (1783-1864) के नाम पर रखा गया है। औपचारिक कथन मान लीजिए कि एक शंकु खंड की छह स्पर्शरेखा रेखाओं से बना एक षट्कोण है। फिर रेखाएँ (विस्तारित विकर्ण प्रत्येक विपरीत शीर्षों को जोड़ते हुए) एक ही बिंदु, ब्रायनचोन बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं। पास्कल की प्रमेय से संबंध इस प्रमेय का ध्रुवीय पारस्परिक और प्रोजेक्टिव डुअल पास्कल की प्रमेय देता है। जहां तक पास्कल के प्रमेय का संबंध है, ब्रायनचोन के प्रमेय के लिए भी अपक्षय मौजूद हैंः आइए दो पड़ोसी स्पर्शरेखाओं के साथ मेल खाते हैं। उनका प्रतिच्छेदन बिंदु शंकु का एक बिंदु बन जाता है। आरेख में पड़ोसी स्पर्शरेखाओं के तीन जोड़े मेल खाते हैं। इस प्रक्रिया के परिणामस्वरूप त्रिभुजों के दीर्घवृत्त पर एक बयान मिलता है। प्रक्षेपात्मक दृष्टिकोण से दोनों त्रिभुज केंद्र के साथ स्पष्ट रूप से स्थित हैं। इसका मतलब है कि एक केंद्रीय संरेखण मौजूद है, जो एक को दूसरे त्रिभुज पर मानचित्रित करता है। लेकिन केवल विशेष मामलों में यह सम्मिश्रण एक एफ़ाइन स्केलिंग है। उदाहरण के लिए एक स्टेनर दीर्घवृत्त के लिए, जहां ब्रायनचोन बिंदु केंद्रक है। एफ़ाइन तल में ब्रायनचॉन की प्रमेय एफ़ाइन तल और वास्तविक प्रोजेक्टिव तल दोनों में सही है। हालांकि, एफ़ाइन तल में इसका कथन एक मायने में प्रोजेक्टिव तल की तुलना में कम जानकारीपूर्ण और अधिक जटिल है। उदाहरण के लिए, एक परवलय के लिए पाँच स्पर्शरेखा रेखाओं पर विचार करें। इन्हें एक षट्कोण की भुजाएँ माना जा सकता है जिसकी छठी भुजा अनंत पर रेखा है, लेकिन एफ़ाइन तल में अनंत पर कोई रेखा नहीं है। दो उदाहरणों में, एक (गैर-मौजूद) शीर्ष से विपरीत शीर्ष तक एक रेखा पाँच स्पर्शरेखा रेखाओं में से एक के समानांतर एक रेखा होगी। ब्रायनचोन के प्रमेय में कहा गया है कि केवल एफ़ाइन तल के लिए ऐसी स्थिति में अलग तरीके से कहा जाना चाहिए। ब्रायनचोन के प्रमेय के प्रोजेक्टिव डुअल में एफ़ाइन तल में अपवाद हैं लेकिन प्रोजेक्टिव तल में नहीं। ब्रायनचोन की प्रमेय को मूल अक्ष या पारस्परिकता के विचार से साबित किया जा सकता है। इसे साबित करने के लिए एक मनमाना लंबाई (एमएन) लेनी चाहिए और इसे संपर्क बिंदुओं से शुरू होने वाली स्पर्शरेखाओं पर ले जाना चाहिएः पीएल = आरजे = क्यूएच = एमएन आदि। षट्कोण की विपरीत भुजाओं पर निर्मित बिंदुओं (एच, डब्ल्यू), (जे, वी) और (एल, वाई) पर क्रमशः वृत्त ए, बी, सी स्पर्शरेखा बनाएँ। कोई भी आसानी से देख सकता है कि समवर्ती रेखाएं जोड़े में ली गई तीन वृत्तों के मूल अक्षों एबी, बीसी, सीए के साथ मेल खाती हैं। इस प्रकार ओ इन तीन वृत्तों के मूल केंद्र के साथ मेल खाता है। प्रमेय परिधीय पेंटागन के मामले में विशेष रूप लेता है जैसे। जब आर और क्यू एफ के साथ मेल खाते हैं, एक ऐसा मामला जहां ए. एफ. ई. एफ पर स्पर्शरेखा में बदल जाता है। फिर, बिंदु टी, सी और यू की एक और समान पहचान लेते हुए, हम चतुर्भुज के लिए एक संबंधित प्रमेय प्राप्त करते हैं। सात वृत्त प्रमेय भी देखें पास्कल की प्रमेय संदर्भ शंकु खंड प्रमेय प्रोजेक्टिव ज्यामिति में यूक्लिडियन समतल ज्यामिति बहुभुज के बारे में प्रमेय