Martin's axiom
समुच्चय सिद्धांत के गणितीय क्षेत्र में, डोनाल्ड ए. मार्टिन और रॉबर्ट एम. सोलोवे द्वारा प्रस्तुत मार्टिन का स्वयंसिद्ध, एक ऐसा कथन है जो जेडएफसी समुच्चय सिद्धांत के सामान्य स्वयंसिद्धों से स्वतंत्र है। यह निरंतरता परिकल्पना द्वारा निहित है, लेकिन यह ZFC और निरंतरता परिकल्पना के निषेध के अनुरूप है। अनौपचारिक रूप से, यह कहता है कि निरंतरता की प्रधानता से कम सभी कार्डिनल, मोटे तौर पर वैसा ही व्यवहार करते हैं। इसके पीछे के अंतर्ज्ञान को रासियोवा-सिकोर्स्की लेम्मा के प्रमाण का अध्ययन करके समझा जा सकता है। यह एक ऐसा सिद्धांत है जिसका उपयोग कुछ बाध्यकारी तर्कों को नियंत्रित करने के लिए किया जाता है। किसी भी कार्डिनल κ के लिए, निम्नलिखित कथन पर विचार करेंः एमए (κ) किसी भी आंशिक क्रम पी के लिए गणना योग्य श्रृंखला स्थिति (इसके बाद सीसीसी) और पी के घने उपसमुच्चय के किसी भी परिवार डी को संतुष्ट करने के लिए जैसे कि |D। ≤ κ, पी पर एक फ़िल्टर एफ है जैसे कि डी में प्रत्येक डी के लिए एफ θ डी खाली नहीं है। इस मामले में (सीसीसी के अनुप्रयोग के लिए), एक एंटीचेन पी का एक उपसमुच्चय ए है जैसे कि ए के कोई भी दो अलग-अलग सदस्य असंगत हैं (दो तत्वों को संगत कहा जाता है यदि आंशिक क्रम में दोनों के नीचे एक सामान्य तत्व मौजूद हो)। उदाहरण के लिए, यह पेड़ों के संदर्भ में एंटीचेन की धारणा से अलग है। एमए (& aleph; 0) बस सच है-रसिओवा-सिकोर्स्की लेम्मा। एमए (2 और आलेफ 0) गलत हैः [0,1] एक अलग करने योग्य कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ स्थान है, और इसलिए (पी, समावेशन के तहत खुले उपसमुच्चय का स्थान है) सीसीसी। लेकिन अब निम्नलिखित दो आकार-2 पर विचार करें-0 = पी में घने समुच्चयों के परिवारः कोई x ω [0,1] अलग नहीं है, और इसलिए प्रत्येक x घने उपसमुच्चय को परिभाषित करता है। और प्रत्येक r, (0,1), घने उपसमुच्चय {S: डायम (S) <r} को परिभाषित करता है। दोनों परिवार संयुक्त रूप से आकार के भी होते हैं, और एक फिल्टर बैठक दोनों को एक साथ [0,1] के सभी बिंदुओं से बचना चाहिए, जबकि मनमाने ढंग से छोटे व्यास के सेट होते हैं। लेकिन मनमाने ढंग से छोटे व्यास के सेट वाले एक फिल्टर एफ में कॉम्पैक्टनेस द्वारा 'बिगकैप एफ' में एक बिंदु होना चाहिए। (यह भी देखें।) मार्टिन का स्वयंसिद्ध सिद्धांत यह है कि एमए (κ) "यथासंभव लंबे समय तक" रखता हैः मार्टिन का स्वयंसिद्ध (एमए) प्रत्येक κ <के लिए, एमए (κ) धारण करता है। एम. ए. (κ) के समतुल्य रूप निम्नलिखित कथन एम. ए. (κ) के समतुल्य हैंः यदि एक्स एक कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ टोपोलॉजिकल स्पेस है जो सी. सी. सी. को संतुष्ट करता है तो एक्स κ या उससे कम कहीं भी घने उपसमुच्चय का संघ नहीं है। यदि पी एक गैर-खाली ऊपर की ओर सी. सी. सी. स्थिति है और वाई पी के सह-अंतिम उपसमुच्चय का एक परिवार है जिसमें |Y। ≤ κ है तो एक ऊपर की ओर निर्देशित समुच्चय ए ऐसा है कि ए वाई के प्रत्येक तत्व को पूरा करता है। मान लीजिए कि ए एक गैर-शून्य सी. सी. सी. बूलियन बीजगणित है और एफ ए के उपसमुच्चय का एक परिवार है जिसमें |F। ≤ κ है। फिर एक बूलियन समरूपता होती है φ: A → Z/2Z जैसे कि F में प्रत्येक X के लिए या तो X में φ (a) = 1 के साथ a होता है या X के लिए φ (b) = 0 के साथ एक ऊपरी बाध्य b होता है। परिणाम मार्टिन के स्वयंसिद्ध के कई अन्य दिलचस्प संयोजन, विश्लेषणात्मक और स्थलवैज्ञानिक परिणाम हैंः एक पोलिश स्थान पर एक परमाणु रहित σ-परिमित बोरेल माप में κ या उससे कम शून्य समुच्चयों का संयोजन शून्य है। विशेष रूप से, लेबस्ग्यू माप 0 के आर के κ या उससे कम उपसमुच्चय के संयोजन में भी लेबस्ग्यू माप 0 है। |X। <2κ के साथ एक कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ स्पेस X क्रमिक रूप से कॉम्पैक्ट है, यानी, प्रत्येक अनुक्रम में एक अभिसारी अनुक्रम होता है। N पर किसी भी गैर-प्रमुख अल्ट्राफिल्टर में कार्डिनलिटी का आधार नहीं है। βN\N में किसी भी x के लिए समतुल्य रूप से हमारे पास χ (x) ≤ κ है, जहां χ x का चरित्र है, और इसलिए χ (βN) ≤ κ। MA (αleph1) का तात्पर्य है कि cCC टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान का एक उत्पाद cCC है (इसका मतलब है कि कोई सुसलिन रेखाएं नहीं हैं)। एमए + सीएच का तात्पर्य है कि एक व्हाइटहेड समूह मौजूद है जो स्वतंत्र नहीं है; शेलाह ने इसका उपयोग यह दिखाने के लिए किया कि व्हाइटहेड समस्या जेडएफसी से स्वतंत्र है। आगे के विकास में मार्टिन के स्वयंसिद्ध में सामान्यीकरण हैं जिन्हें उचित बल स्वयंसिद्ध और मार्टिन का अधिकतम कहा जाता है। शेल्डन डब्ल्यू. डेविस ने अपनी पुस्तक में सुझाव दिया है कि मार्टिन का स्वयंसिद्ध सिद्धांत बेयर श्रेणी प्रमेय से प्रेरित है। आगे पढ़ने के लिए संदर्भ जेच, थॉमस, 2003। सेट थ्योरीः द थर्ड मिलेनियम एडिशन, संशोधित और विस्तारित। स्प्रिंगर। .. कुनेन, केनेथ, 1980। सेट सिद्धांतः स्वतंत्रता प्रमाणों का एक परिचय। एल्सेवियर। .. सेट सिद्धांत के स्वयंसिद्ध सिद्धांत स्वतंत्रता परिणाम सेट सिद्धांत