Jellium
जेलियम, जिसे समान इलेक्ट्रॉन गैस (यू. ई. जी.) या सजातीय इलेक्ट्रॉन गैस (एच. ई. जी.) के रूप में भी जाना जाता है, एक ठोस में परस्पर क्रिया करने वाले इलेक्ट्रॉनों का एक क्वांटम यांत्रिक मॉडल है जहां सकारात्मक आवेश (यानी। परमाणु नाभिक) को अंतरिक्ष में समान रूप से वितरित माना जाता है; इलेक्ट्रॉन घनत्व अंतरिक्ष में भी एक समान मात्रा है। यह मॉडल किसी को परमाणु जाली और एक वास्तविक सामग्री बनाने वाली संरचना के स्पष्ट परिचय के बिना इलेक्ट्रॉनों की क्वांटम प्रकृति और उनकी पारस्परिक प्रतिकारक अंतःक्रियाओं (समान आवेश के कारण) के कारण होने वाले ठोस पदार्थों में प्रभावों पर ध्यान केंद्रित करने की अनुमति देता है। जेलियम का उपयोग अक्सर ठोस अवस्था भौतिकी में एक धातु में डीलोकलाइज्ड इलेक्ट्रॉनों के एक सरल मॉडल के रूप में किया जाता है, जहां यह वास्तविक धातुओं की विशेषताओं जैसे स्क्रीनिंग, प्लाजमोन, विग्नर क्रिस्टलीकरण और फ्रीडेल दोलनों को गुणात्मक रूप से पुनः उत्पन्न कर सकता है। शून्य तापमान पर, जेलियम के गुण पूरी तरह से स्थिर इलेक्ट्रॉनिक घनत्व पर निर्भर करते हैं। यह गुण इसे घनत्व कार्यात्मक सिद्धांत के भीतर एक उपचार के लिए प्रदान करता है; औपचारिकता स्वयं विनिमय-सहसंबंध ऊर्जा घनत्व कार्यात्मक के लिए स्थानीय-घनत्व सन्निकटन के लिए आधार प्रदान करती है। जेलियम शब्द 1952 में कॉनयर्स हेरिंग द्वारा गढ़ा गया था, जो "सकारात्मक जेली" पृष्ठभूमि और विशिष्ट धातु व्यवहार को प्रदर्शित करता है। हैमिल्टनियन जेलियम मॉडल इलेक्ट्रॉन-इलेक्ट्रॉन युग्मन को सख्ती से व्यवहार करता है। कृत्रिम और संरचनाहीन पृष्ठभूमि आवेश विद्युतस्थैतिक रूप से स्वयं और इलेक्ट्रॉनों के साथ अंतःक्रिया करता है। N इलेक्ट्रॉनों के लिए जेलियम हैमिल्टनियन स्थान के आयतन के भीतर सीमित है, और इलेक्ट्रॉनिक घनत्व ρ (r) और (स्थिर) पृष्ठभूमि आवेश घनत्व n (R) = N/ω के साथ जहाँ हेल इलेक्ट्रॉनिक हैमिल्टनियन है जिसमें गतिज और इलेक्ट्रॉन-इलेक्ट्रॉन प्रतिकर्षण शब्द शामिल हैंः H-बैक सकारात्मक पृष्ठभूमि आवेश का हैमिल्टनियन है जो अपने साथ विद्युतस्थैतिक रूप से बातचीत करता हैः हेल-बैक इलेक्ट्रॉन-पृष्ठभूमि अंतःक्रियात्मक हैमिल्टनियन है, फिर से एक विद्युतस्थैतिक अंतःक्रियाः H-बैक एक स्थिरांक है और, एक अनंत आयतन की सीमा में, हेल-बैक के साथ भिन्न है। विचलन को इलेक्ट्रॉन-इलेक्ट्रॉन युग्मन से एक शब्द द्वारा रद्द कर दिया जाता हैः पृष्ठभूमि अंतःक्रियाएँ रद्द हो जाती हैं और प्रणाली पर गतिज ऊर्जा और इलेक्ट्रॉनों के युग्मन का प्रभुत्व होता है। इस तरह का विश्लेषण फ़ोरियर स्पेस में किया जाता है; हैमिल्टनियन की अंतःक्रिया शर्तें जो इलेक्ट्रॉन युग्मन के फ़ोरियर विस्तार के अनुरूप रहती हैं जिसके लिए q § 0 है। कुल ऊर्जा में योगदान इलेक्ट्रॉन गैस का अध्ययन करने का पारंपरिक तरीका गैर-परस्पर क्रिया करने वाले इलेक्ट्रॉनों से शुरू करना है जो केवल हैमिल्टनियन के गतिज ऊर्जा भाग द्वारा नियंत्रित होते हैं, जिसे फर्मी गैस भी कहा जाता है। प्रति इलेक्ट्रॉन गतिज ऊर्जा इस प्रकार दी जाती है कि फर्मी ऊर्जा कहाँ है, फर्मी तरंग सदिश है, और अंतिम अभिव्यक्ति विग्नर-सीट्ज़ त्रिज्या पर निर्भरता को दर्शाती है जहाँ ऊर्जा को राइडबर्ग में मापा जाता है। बहुत अधिक काम किए बिना, कोई अनुमान लगा सकता है कि इलेक्ट्रॉन-इलेक्ट्रॉन अंतःक्रिया औसत इलेक्ट्रॉन-इलेक्ट्रॉन पृथक्करण के व्युत्क्रम की तरह बढ़ेगी और इसलिए (चूंकि कूलम्ब अंतःक्रिया आवेशों के बीच की दूरी पर एक की तरह जाती है) ताकि यदि हम अंतःक्रियाओं को गतिज ऊर्जा के एक छोटे सुधार के रूप में देखें, तो हम छोटी की सीमा (यानी। ) से बड़ा होना और इसलिए उच्च इलेक्ट्रॉन घनत्व। दुर्भाग्य से, वास्तविक धातुओं में आम तौर पर 2 से 5 के बीच होते हैं जिसका अर्थ है कि इस तस्वीर में गंभीर संशोधन की आवश्यकता है। जेलियम के लिए मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल में पहला सुधार इलेक्ट्रॉन-इलेक्ट्रॉन अंतःक्रियाओं में फॉक विनिमय योगदान से है। इसे जोड़ते हुए, किसी की कुल ऊर्जा होती है जहां नकारात्मक शब्द विनिमय के कारण होता हैः विनिमय अंतःक्रिया कुल ऊर्जा को कम करती है। कुल ऊर्जा में उच्च क्रम सुधार इलेक्ट्रॉन सहसंबंध के कारण होते हैं और यदि कोई छोटे के लिए एक श्रृंखला में काम करने का फैसला करता है, तो यह पता चलता है कि श्रृंखला छोटी के लिए काफी सटीक है लेकिन वास्तविक धातुओं में पाए जाने वाले मूल्यों के लिए संदिग्ध मूल्य की है। की पूरी श्रृंखला के लिए, चाचियो के सहसंबंध ऊर्जा घनत्व का उपयोग उच्च क्रम सुधार के रूप में किया जा सकता है। इस मामले में, जो क्वांटम मोंटे कार्लो अनुकरण के साथ काफी अच्छी तरह से (मिली-हार्ट्री के क्रम पर) सहमत है। तीन और दो आयामों में जेलियम का शून्य-तापमान चरण आरेख जेलियम के शून्य-तापमान चरण व्यवहार की भौतिकी इलेक्ट्रॉनों की गतिज ऊर्जा और इलेक्ट्रॉन-इलेक्ट्रॉन अंतःक्रिया ऊर्जा के बीच प्रतिस्पर्धा द्वारा संचालित होती है। हैमिल्टनियन तराजू में गतिज-ऊर्जा प्रचालक के रूप में, जहाँ विग्नर-सीट्ज़ त्रिज्या है, जबकि अंतःक्रिया ऊर्जा प्रचालक के रूप में मापा जाता है। इसलिए गतिज ऊर्जा उच्च घनत्व (छोटे) पर हावी होती है, जबकि अंतःक्रिया ऊर्जा कम घनत्व (बड़े) पर हावी होती है। उच्च घनत्व की सीमा वह है जहाँ जेलियम एक गैर-अंतःक्रियाशील मुक्त इलेक्ट्रॉन गैस जैसा दिखता है। गतिज ऊर्जा को कम करने के लिए, एकल-इलेक्ट्रॉन अवस्थाओं को समतल तरंगों से निर्मित स्लेटर निर्धारक (गैर-परस्पर क्रिया करने वाली स्थिति) के बहुत करीब की स्थिति में अलग किया जाता है। यहाँ सबसे कम-गति समतल-तरंग अवस्थाएँ दो बार स्पिन-अप और स्पिन-डाउन इलेक्ट्रॉनों द्वारा कब्जा कर ली जाती हैं, जिससे एक पैरामैग्नेटिक फर्मी द्रव मिलता है। कम घनत्वों पर, जहां अंतःक्रिया ऊर्जा अधिक महत्वपूर्ण होती है, इलेक्ट्रॉन गैस के लिए स्पिन-पोलराइज (यानी, स्पिन-अप और स्पिन-डाउन इलेक्ट्रॉनों की संख्या में असंतुलन होना) करना ऊर्जावान रूप से फायदेमंद होता है, जिसके परिणामस्वरूप एक लौहचुंबकीय फर्मी द्रव बनता है। इस घटना को इटिनरेंट फेरोमैग्नेटिज्म के रूप में जाना जाता है। पर्याप्त रूप से कम घनत्व पर, उच्च-गति समतल-तरंग अवस्थाओं पर कब्जा करने की आवश्यकता के परिणामस्वरूप गतिज-ऊर्जा दंड इस तथ्य के कारण अंतःक्रिया ऊर्जा में कमी से अधिक है कि विनिमय प्रभाव अप्रभेद्य इलेक्ट्रॉनों को एक दूसरे से दूर रखते हैं। अंतःक्रिया ऊर्जा में और कमी (गतिज ऊर्जा की कीमत पर) इलेक्ट्रॉन कक्षकों को स्थानीयकृत करके प्राप्त की जा सकती है। नतीजतन, पर्याप्त रूप से कम घनत्व पर शून्य तापमान पर जेलियम एक तथाकथित विग्नर क्रिस्टल बनाएगा, जिसमें एकल-कण कक्षीय लगभग गौसी रूप के होते हैं जो क्रिस्टल जाली स्थलों पर केंद्रित होते हैं। एक बार विग्नर क्रिस्टल बन जाने के बाद, सिद्धांत रूप में विभिन्न क्रिस्टल संरचनाओं के बीच और विग्नर क्रिस्टल (जैसे, एंटीफेरोमैग्नेटिक से फेरोमैग्नेटिक स्पिन कॉन्फ़िगरेशन) के लिए विभिन्न चुंबकीय अवस्थाओं के बीच आगे चरण संक्रमण हो सकते हैं क्योंकि घनत्व कम हो जाता है। जब विग्नर क्रिस्टलीकरण होता है, तो जेलियम एक बैंड अंतराल प्राप्त करता है। हार्ट्री-फॉक सिद्धांत के भीतर, लौह चुम्बकीय तरल पदार्थ तीन आयामों (3डी) और दो आयामों (2डी) में घनत्व पैरामीटर पर पैरामैग्नेटिक तरल पदार्थ की तुलना में अचानक अधिक स्थिर हो जाता है। हालांकि, हार्ट्री-फॉक सिद्धांत के अनुसार, विग्नर क्रिस्टलीकरण 3डी और 2डी में होता है, ताकि यात्रा करने वाले लौह चुंबकत्व से पहले जेलियम क्रिस्टलीकृत हो जाए। इसके अलावा, हार्ट्री-फॉक सिद्धांत विदेशी चुंबकीय व्यवहार की भविष्यवाणी करता है, जिसमें पैरामेग्नेटिक द्रव एक सर्पिल स्पिन-घनत्व तरंग के गठन के लिए अस्थिर होता है। दुर्भाग्य से, हार्ट्री-फॉक सिद्धांत में सहसंबंध प्रभावों का कोई विवरण शामिल नहीं है, जो ऊर्जावान रूप से बिल्कुल भी महत्वपूर्ण हैं, लेकिन बहुत अधिक घनत्व हैं, और इसलिए जेलियम के चरण आरेख के बारे में मात्रात्मक बयान देने के लिए सिद्धांत के अधिक सटीक स्तर की आवश्यकता है। क्वांटम मोंटे कार्लो (क्यू. एम. सी.) विधियाँ, जो इलेक्ट्रॉन सहसंबंध प्रभावों का एक स्पष्ट उपचार प्रदान करती हैं, आम तौर पर जेलियम के शून्य-तापमान चरण आरेख को निर्धारित करने के लिए सबसे सटीक मात्रात्मक दृष्टिकोण प्रदान करने के लिए सहमत हैं। प्रसार मोंटे कार्लो विधि का पहला अनुप्रयोग सेपर्ली और एल्डर की 3डी जेलियम के शून्य-तापमान चरण आरेख की प्रसिद्ध 1980 की गणना थी। उन्होंने पर होने वाले पैरामैग्नेटिक-फेरोमैग्नेटिक द्रव संक्रमण और पर होने वाले विग्नर क्रिस्टलीकरण (शरीर-केंद्रित घन क्रिस्टल में) की गणना की। बाद की क्यू. एम. सी. गणनाओं ने उनके चरण आरेख को परिष्कृत किया हैः एक पैरामैग्नेटिक द्रव अवस्था से आंशिक रूप से स्पिन-ध्रुवीकृत द्रव में एक दूसरे क्रम का संक्रमण होता है; और विग्नर क्रिस्टलीकरण होता है। 2डी में, क्यूएमसी गणना से संकेत मिलता है कि पैरामैग्नेटिक द्रव से फेरोमैग्नेटिक द्रव संक्रमण और विग्नर क्रिस्टलीकरण सीमा में समान घनत्व मापदंडों पर होता है। सबसे हालिया क्यू. एम. सी. गणना से संकेत मिलता है कि एक लौह चुम्बकीय द्रव के लिए स्थिरता का कोई क्षेत्र नहीं है। इसके बजाय एक पैरामैग्नेटिक द्रव से एक हेक्सागोनल विग्नर क्रिस्टल में एक संक्रमण होता है। फेरोमॅग्नेटिक क्रिस्टल में आगे के संक्रमण से पहले, संभवतः एक (हताश) एंटीफेरोमैग्नेटिक विग्नर क्रिस्टल के लिए स्थिरता का एक छोटा सा क्षेत्र है। 2डी में क्रिस्टलीकरण संक्रमण प्रथम क्रम नहीं है, इसलिए द्रव से क्रिस्टल में संक्रमण की एक निरंतर श्रृंखला होनी चाहिए, जिसमें शायद धारीदार क्रिस्टल/द्रव चरण शामिल हों। एक जी. ए. ए./ए. एल. जी. ए. ए. विषम संरचना में 2डी छेद गैस के लिए प्रायोगिक परिणाम (जो, स्वच्छ होने के बावजूद, आदर्श जेलियम मॉडल के बिल्कुल अनुरूप नहीं हो सकता है) एक विग्नर क्रिस्टलीकरण घनत्व का संकेत देते हैं। अनुप्रयोग जेलियम परस्पर क्रिया करने वाले इलेक्ट्रॉनों का सबसे सरल मॉडल है। इसका उपयोग धातुओं के गुणों की गणना में किया जाता है, जहां मूल इलेक्ट्रॉनों और नाभिक को एक समान सकारात्मक पृष्ठभूमि के रूप में मॉडल किया जाता है और संयोजकता इलेक्ट्रॉनों को पूर्ण कठोरता के साथ माना जाता है। अर्ध-अनंत जेलियम स्लैब का उपयोग सतह के गुणों की जांच करने के लिए किया जाता है जैसे कि कार्य कार्य और सतह के प्रभाव जैसे कि अवशोषण; सतहों के पास इलेक्ट्रॉनिक घनत्व एक दोलनशील तरीके से भिन्न होता है, जो थोक में एक स्थिर मूल्य तक क्षय होता है। घनत्व कार्यात्मक सिद्धांत के भीतर, जेलियम का उपयोग स्थानीय-घनत्व सन्निकटन के निर्माण में किया जाता है, जो बदले में अधिक परिष्कृत विनिमय-सहसंबंध ऊर्जा कार्यों का एक घटक है। जेलियम की क्वांटम मोंटे कार्लो गणनाओं से, इलेक्ट्रॉनिक घनत्व के कई मूल्यों के लिए सहसंबंध ऊर्जा घनत्व के सटीक मूल्य प्राप्त किए गए हैं, जिनका उपयोग अर्ध-अनुभवजन्य सहसंबंध कार्यों के निर्माण के लिए किया गया है। जेलियम मॉडल को सुपरटॉम, धातु समूहों, ऑक्टाकार्बोनिल परिसरों पर लागू किया गया है और परमाणु भौतिकी में उपयोग किया जाता है। मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल भी देखें-एक मॉडल इलेक्ट्रॉन गैस जहां इलेक्ट्रॉन किसी भी चीज़ के साथ परस्पर क्रिया नहीं करते हैं। लगभग मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल-एक मॉडल इलेक्ट्रॉन गैस जहां इलेक्ट्रॉन एक दूसरे के साथ बातचीत नहीं करते हैं, लेकिन परमाणु जाली से एक (कमजोर) क्षमता महसूस करते हैं। संदर्भ संघनित पदार्थ भौतिकी घनत्व कार्यात्मक सिद्धांत परमाणु भौतिकी