Abel transform
गणित में, एबेल परिवर्तन, जिसका नाम नील्स हेनरिक एबेल के नाम पर रखा गया है, एक अभिन्न परिवर्तन है जिसका उपयोग अक्सर गोलाकार सममित या अक्षीय सममित कार्यों के विश्लेषण में किया जाता है। एक फलन f (r) का आबेल परिवर्तन यह मानते हुए दिया जाता है कि f (r) 1/r की तुलना में अधिक तेज़ी से शून्य पर गिर जाता है, व्युत्क्रम आबेल परिवर्तन द्वारा दिया जाता है। छवि विश्लेषण में, आगे आबेल परिवर्तन का उपयोग एक समतल पर एक प्रकाशिक रूप से पतले, अक्षीय रूप से सममित उत्सर्जन कार्य को प्रक्षेपित करने के लिए किया जाता है, और व्युत्क्रम आबेल परिवर्तन का उपयोग एक प्रक्षेपण (यानी। उस उत्सर्जन फलन का एक स्कैन या एक चित्र)। बेलनाकार ज्वालाओं या प्लूम्स की अवशोषण स्पेक्ट्रोस्कोपी में, आगे का एबेल परिवर्तन लौ के केंद्र से निकटतम दूरी y के साथ एक किरण के साथ एकीकृत अवशोषण है, जबकि व्युत्क्रम एबेल परिवर्तन केंद्र से दूरी r पर स्थानीय अवशोषण गुणांक देता है। आबेल परिवर्तन अक्षीय रूप से सममित ज्यामिति वाले अनुप्रयोगों तक सीमित है। अधिक सामान्य असममित मामलों के लिए, अधिक सामान्य-उन्मुख पुनर्निर्माण एल्गोरिदम जैसे कि बीजगणितीय पुनर्निर्माण तकनीक (ए. आर. टी.), अधिकतम संभावना अपेक्षा अधिकतमकरण (एम. एल. ई. एम.), फ़िल्टर्ड बैक-प्रोजेक्शन (एफ. बी. पी.) एल्गोरिदम को नियोजित किया जाना चाहिए। हाल के वर्षों में, व्युत्क्रम एबेल परिवर्तन (और इसके रूप) फोटोफ्रेगमेंट-आयन इमेजिंग और फोटोइलेक्ट्रॉन इमेजिंग में डेटा विश्लेषण की आधारशिला बन गया है। व्युत्क्रम एबेल परिवर्तन के हाल के सबसे उल्लेखनीय विस्तारों में फोटोइलेक्ट्रॉन और फोटोयन छवि विश्लेषण के "प्याज छीलना" और "आधार सेट विस्तार" (बी. ए. एस. ई. एक्स) तरीके हैं। ज्यामितीय व्याख्या दो आयामों में, एबेल परिवर्तन F (y) को मूल से दूरी y पर दृष्टि की समानांतर रेखाओं के एक समूह के साथ एक गोलाकार सममित फलन f (r) के प्रक्षेपण के रूप में व्याख्या की जा सकती है। दाहिनी ओर की आकृति का उल्लेख करते हुए, पर्यवेक्षक (I) देखेगा कि आकृति में धूसर रंग द्वारा दर्शाया गया वृत्ताकार सममित फलन f (r) कहाँ है। यह माना जाता है कि पर्यवेक्षक वास्तव में x = ≤ पर है, इसलिए एकीकरण की सीमाएँ ± ≤ हैं, और दृष्टि की सभी रेखाएँ x अक्ष के समानांतर हैं। यह महसूस करते हुए कि त्रिज्या r, x और y से r2 = x2 + y2 के रूप में संबंधित है, यह x> 0 के लिए अनुसरण करता है। चूँकि f (r) x में एक सम फलन है, इसलिए हम लिख सकते हैं जो f (r) का एबेल रूपांतरण देता है। आबेल परिवर्तन को उच्च आयामों तक बढ़ाया जा सकता है। विशेष रुचि तीन आयामों का विस्तार है। यदि हमारे पास एक अक्षीय सममित फलन f (ρ, z) है, जहाँ ρ2 = x2 + y2 बेलनाकार त्रिज्या है, तो हम z अक्ष के समानांतर एक तल पर उस फलन के प्रक्षेपण को जानना चाह सकते हैं। सामान्यता के नुकसान के बिना, हम उस तल को yz तल के रूप में ले सकते हैं, जो कि ρ और y में f (ρ, z) का केवल एबेल परिवर्तन है। एक विशेष प्रकार की अक्षीय समरूपता गोलाकार समरूपता है। इस मामले में, हमारे पास एक फलन f (r) है, जहाँ r2 = x2 + y2 + z2 है। मान लीजिए, yz तल पर प्रक्षेपण तब गोलाकार सममित होगा और F (s) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ s2 = y2 + z2 है। समाकलन को पूरा करते हुए, हमारे पास है जो फिर से है, r और s में f (r) का आबेल रूपांतरण। व्युत्क्रम आबेल रूपांतरण का सत्यापन यह मानते हुए कि यह लगातार अवकलनीय है और, शून्य पर तेजी से गिरता है, हम और निर्धारित कर सकते हैं। अब इसे व्युत्क्रम एबेल परिवर्तन सूत्र में प्रतिस्थापित करेंः फुबिनी के प्रमेय के अनुसार, अंतिम समाकलन एबेल के असंतत F (y) में परिवर्तन के सामान्यीकरण के बराबर है उस मामले पर विचार करें जहां असंतत है, जहां यह अचानक एक सीमित मात्रा से अपने मूल्य को बदल देता है। वह है, और इसके द्वारा परिभाषित किया जाता है। इस तरह की स्थिति का सामना एक ऊर्ध्वाधर चरण पृथक्करण को प्रदर्शित करने वाले बंधे हुए पॉलिमर (पॉलिमर ब्रश) में किया जाता है, जहां पॉलिमर घनत्व प्रोफ़ाइल का अर्थ है और यह पॉलिमर के अंतिम, गैर-बंधे हुए मोनोमर्स के स्थानिक वितरण से संबंधित है। एक फलन f (r) का आबेल रूपांतरण इन परिस्थितियों में फिर से इस प्रकार दिया जाता हैः यह मानते हुए कि f (r) 1/r की तुलना में अधिक तेज़ी से शून्य हो जाता है, व्युत्क्रम आबेल रूपांतरण हालांकि दिया जाता है जहां डीराक डेल्टा फलन और हेविसाइड चरण फलन है। असंतुलित एफ के लिए एबेल परिवर्तन का विस्तारित संस्करण एबेल परिवर्तन को स्थानांतरित, निरंतर रूप में लागू करने पर सिद्ध होता है, और यह कब शास्त्रीय एबेल परिवर्तन में कम हो जाता है। यदि एक से अधिक विसंगति है, तो उनमें से किसी को भी व्युत्क्रम एबेल परिवर्तन के सामान्यीकृत संस्करण के साथ आने के लिए बदलाव पेश करना होगा जिसमें n अतिरिक्त शब्द शामिल हैं, जिनमें से प्रत्येक n विसंगतियों में से एक के अनुरूप है। अन्य अभिन्न परिवर्तनों के साथ संबंध फूरियर और हैंकेल परिवर्तनों के साथ संबंध एबेल परिवर्तन अभिन्न प्रचालक के एफ. एच. ए. चक्र का एक सदस्य है। उदाहरण के लिए, दो आयामों में, यदि हम ए को एबेल परिवर्तन प्रचालक के रूप में परिभाषित करते हैं, एफ को फूरियर परिवर्तन प्रचालक के रूप में और एच को शून्य-क्रम हैंकेल परिवर्तन प्रचालक के रूप में, तो वृत्ताकार सममित कार्यों के लिए प्रक्षेपण-टुकड़ा प्रमेय का विशेष मामला बताता है कि दूसरे शब्दों में, एबेल परिवर्तन को 1-आयामी कार्य में लागू करना और फिर उस परिणाम के लिए फूरियर परिवर्तन को लागू करना उस कार्य में हैंकेल परिवर्तन को लागू करने के समान है। इस अवधारणा को उच्च आयामों तक बढ़ाया जा सकता है। रेडॉन परिवर्तन एबेल परिवर्तन के साथ संबंध को एक समस्थानिक 2डी फलन f (r) के रेडॉन परिवर्तन के रूप में देखा जा सकता है। चूँकि f (r) समस्थानिक है, इसलिए इसका रेडॉन रूपांतरण देखने की धुरी के विभिन्न कोणों पर समान होता है। इस प्रकार, एबेल परिवर्तन केवल देखने के अक्ष के साथ दूरी का एक कार्य है। जीपीएस रेडियो गुप्तता संदर्भ इंटीग्रल ट्रांसफॉर्म छवि प्रसंस्करण नील्स हेनरिक एबेल भी देखें।