Magic hexagon
क्रम n का एक जादुई षट्कोण प्रत्येक किनारे पर n कोशिकाओं के साथ एक केंद्रित षट्कोणीय पैटर्न में संख्याओं की एक व्यवस्था है, इस तरह से कि प्रत्येक पंक्ति में संख्याएँ, तीनों दिशाओं में, एक ही जादुई स्थिरांक M का योग करती हैं। एक सामान्य जादू षट्कोण में 1 से 3n2−3n + 1 तक लगातार पूर्णांक होते हैं। यह पता चला है कि सामान्य जादू षट्कोण केवल n = 1 (जो तुच्छ है, क्योंकि यह केवल 1 कोशिका से बना है) और n = 3 के लिए मौजूद हैं। इसके अलावा, क्रम 3 का समाधान अनिवार्य रूप से अद्वितीय है। मेंग ने एक कम जटिल रचनात्मक प्रमाण भी दिया। ऑर्डर-3 जादू षट्कोण को कई बार एक 'नई' खोज के रूप में प्रकाशित किया गया है। एक प्रारंभिक संदर्भ, और संभवतः पहला खोजकर्ता, अर्न्स्ट वॉन हैसेलबर्ग (1887) है। सामान्य जादू षट्कोणों का प्रमाण षट्कोण में संख्याएँ लगातार होती हैं, और 1 से लेकर 1 तक चलती हैं। अतः उनका योग एक त्रिकोणीय संख्या है, अर्थात् r = 2n-1 पंक्तियाँ किसी भी दिशा (E-W, NE-SW, या NW-SE) के साथ चलती हैं। इन पंक्तियों में से प्रत्येक का योग एक ही संख्या M तक होता है। इसलिएः इसे 32 से गुणा करके फिर से लिखा जा सकता है जो दर्शाता है कि यह एक पूर्णांक होना चाहिए, इसलिए 2n−1 को 5 का कारक होना चाहिए, अर्थात् 2n−1 = ±1 या 2n−1 = ±5। केवल वही हैं जो इस शर्त को पूरा करते हैं और, यह साबित करते हुए कि क्रम 1 और 3 के अलावा कोई सामान्य जादू षट्कोण नहीं हैं। असामान्य जादू षट्कोण हालांकि 3 से अधिक क्रम वाले कोई सामान्य जादुई षट्कोण नहीं हैं, कुछ असामान्य मौजूद हैं। इस मामले में, असामान्य का अर्थ है 1 के अलावा अन्य संख्याओं का अनुक्रम शुरू करना। आर्सेन ज़हरे ने इन क्रम 4 और 5 षट्कोणों की खोज कीः क्रम 4 षट्कोण 3 से शुरू होता है और 39 के साथ समाप्त होता है, इसकी पंक्तियों का योग 111 है। क्रम 5 षट्कोण 6 से शुरू होता है और 66 के साथ समाप्त होता है और 244 का योग होता है। एक क्रम 5 षट्कोण 15 से शुरू होता है, 75 से समाप्त होता है और 305 का योग यह हैः क्रम 5 षट्कोण के लिए 305 से अधिक राशि संभव नहीं है। ऑर्डर 5 षट्कोण, जहाँ "X" ऑर्डर 3 षट्कोण के लिए प्लेसहोल्डर हैं, जो संख्या अनुक्रम को पूरा करते हैं। बाएँ वाले में योग 38 (संख्या 1 से 19) के साथ षट्कोण और दाएँ वाले में, योग 0 (संख्या −9 से 9) के साथ 26 षट्कोणों में से एक है। अधिक जानकारी के लिए जर्मन विकिपीडिया लेख देखें। एक क्रम 6 षट्कोण नीचे देखा जा सकता है। यह लुई होलब्लिंग द्वारा 11 अक्टूबर, 2004 को बनाया गया थाः यह 21 से शुरू होता है, 111 के साथ समाप्त होता है, और इसका योग 546 है। क्रम 7 के इस जादुई षट्कोण की खोज 22 मार्च 2006 को आर्सेन ज़हरे द्वारा नकली एनीलिंग का उपयोग करके की गई थीः यह 2 से शुरू होता है, 128 के साथ समाप्त होता है और इसका योग 635 है। लुई के. होलब्लिंग द्वारा 5 फरवरी, 2006 को एक ऑर्डर 8 जादू षट्कोण उत्पन्न किया गया थाः यह-84 से शुरू होता है और 84 के साथ समाप्त होता है, और इसका योग 0 है। मैजिक टी-हेक्सागन्स हेक्सागन्स को त्रिकोणों के साथ भी बनाया जा सकता है, जैसा कि निम्नलिखित आरेखों से पता चलता है। इस प्रकार के विन्यास को टी-हेक्सागोन कहा जा सकता है और इसमें हेक्सागोन के हेक्सागोन की तुलना में कई अधिक गुण हैं। उपरोक्त के साथ, त्रिभुजों की पंक्तियाँ तीन दिशाओं में चलती हैं और 2 क्रम के टी-हेक्सागोन में 24 त्रिभुज होते हैं। सामान्य तौर पर, n क्रम के एक T-षट्कोण में त्रिकोण होते हैं। इन सभी संख्याओं का योग इस प्रकार दिया गया हैः यदि हम n पक्ष के एक जादुई T-षट्कोण का निर्माण करने का प्रयास करते हैं, तो हमें n को सम होने के लिए चुनना होगा, क्योंकि पंक्तियाँ हैं इसलिए प्रत्येक पंक्ति में योग होना चाहिए। आज तक 2,4,6 और 8 क्रम के जादुई टी-षट्कोणों की खोज की गई है। पहला ऑर्डर 2 का एक जादुई टी-हेक्सागोन था, जिसकी खोज 13 सितंबर 2003 को जॉन बेकर ने की थी। उस समय से, जॉन डेविड किंग के साथ सहयोग कर रहे हैं, जिन्होंने पाया कि क्रम 2 के 59,674,527 गैर-संगत जादू टी-हेक्सागन हैं। मैजिक टी-हेक्सागन्स में मैजिक स्क्वेयर्स के साथ कई गुण समान हैं, लेकिन उनकी अपनी विशेष विशेषताएं भी हैं। इनमें से सबसे आश्चर्यजनक बात यह है कि ऊपर की ओर इंगित करने वाले त्रिकोणों में संख्याओं का योग नीचे की ओर इंगित करने वाले त्रिकोणों में संख्याओं के योग के बराबर होता है (चाहे टी-हेक्सागोन कितना भी बड़ा क्यों न हो)। उपरोक्त उदाहरण में, नोट्स रेफेरेंसेस बेकर। जे. ई. और किंग, डी. आर. (2004) "एक षट्कोण के गुणों को खोजने के लिए दृश्य योजना का उपयोग" दृश्य गणित, खंड 5, संख्या 3 बेकर, जे. ई. और बेकर, ए. जे. (2004) "षट्कोण, प्रकृति की पसंद" आर्किमिडीज़, खंड 4 भी देखें षट्कोणीय कछुआ समस्या जादू षट्कोण जादू आकार