Totally bounded space
टोपोलॉजी और गणित की संबंधित शाखाओं में, कुल-सीमा उन परिस्थितियों के लिए कॉम्पैक्टनेस का एक सामान्यीकरण है जिसमें एक सेट आवश्यक रूप से बंद नहीं होता है। एक पूरी तरह से बंधे हुए समूह को प्रत्येक निश्चित "आकार" के सीमित रूप से कई उपसमुच्चय द्वारा कवर किया जा सकता है (जहां "आकार" का अर्थ परिवेशी स्थान की संरचना पर निर्भर करता है)। प्री-कॉम्पैक्ट (या प्री-कॉम्पैक्ट) शब्द का उपयोग कभी-कभी एक ही अर्थ के साथ किया जाता है, लेकिन प्री-कॉम्पैक्ट का उपयोग अपेक्षाकृत कॉम्पैक्ट अर्थ के लिए भी किया जाता है। ये परिभाषाएँ एक पूर्ण मीट्रिक स्थान के सबसेट के लिए मेल खाती हैं, लेकिन सामान्य रूप से नहीं। मीट्रिक रिक्त स्थान में एक मीट्रिक स्थान पूरी तरह से सीमित होता है यदि और केवल तभी जब प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए, त्रिज्या की खुली गेंदों का एक सीमित संग्रह मौजूद होता है जिनके केंद्र एम में होते हैं और जिनके संघ में होते हैं। समान रूप से, मीट्रिक स्थान M पूरी तरह से बाध्य है यदि और केवल तभी जब प्रत्येक के लिए, एक परिमित आवरण मौजूद है जैसे कि आवरण के प्रत्येक तत्व की त्रिज्या अधिक से अधिक हो। यह एक परिमित ε-नेट के अस्तित्व के बराबर है। एक मीट्रिक स्थान को पूरी तरह से बंधा हुआ कहा जाता है यदि प्रत्येक अनुक्रम एक कॉची अनुक्रम को स्वीकार करता है; पूर्ण मीट्रिक स्थानों में, एक सेट कॉम्पैक्ट होता है यदि और केवल तभी जब यह बंद हो और पूरी तरह से बंधा हो। प्रत्येक पूरी तरह से घिरा हुआ स्थान घिरा हुआ है (क्योंकि सीमित रूप से कई घिरा हुआ सेटों का संघ घिरा हुआ है)। इसके विपरीत यूक्लिडियन स्पेस (सबस्पेस टोपोलॉजी के साथ) के सबसेट के लिए सच है, लेकिन सामान्य रूप से नहीं। उदाहरण के लिए, असतत मीट्रिक से लैस एक अनंत सेट बंधा होता है लेकिन पूरी तरह से बंधा नहीं होता हैः त्रिज्या या उससे कम की प्रत्येक असतत गेंद एक सिंगलटन होती है, और सिंगलटन का कोई भी परिमित संघ एक अनंत सेट को कवर नहीं कर सकता है। समान (स्थलाकृतिक) रिक्त स्थान एक मीट्रिक कुल सीमा की परिभाषा में केवल यह सुनिश्चित करने के लिए दिखाई देता है कि परिमित आवरण का प्रत्येक तत्व तुलनीय आकार का है, और इसे एक समान संरचना के लिए कमजोर किया जा सकता है। एक समान स्थान का एक उपसमुच्चय पूरी तरह से तब सीमित होता है जब किसी भी दल के लिए, प्रत्येक उपसमुच्चय का एक सीमित आवरण मौजूद होता है जिसका कार्टेशियन वर्ग एक उपसमुच्चय होता है। (दूसरे शब्दों में, "आकार" को प्रतिस्थापित करता है, और एक उपसमुच्चय आकार का होता है यदि इसका कार्टेशियन वर्ग एक उपसमुच्चय है।) परिभाषा को और भी आगे बढ़ाया जा सकता है, कॉम्पैक्टनेस और कॉची पूर्णता की धारणा के साथ रिक्त स्थान की किसी भी श्रेणी के लिएः एक स्थान पूरी तरह से सीमित है यदि और केवल तभी जब इसका (कॉची) समापन कॉम्पैक्ट हो। उदाहरण और प्राथमिक गुण जब भी अवधारणा को परिभाषित किया जाता है, हर कॉम्पैक्ट सेट पूरी तरह से बंधा होता है। प्रत्येक पूरी तरह से बंधा हुआ सेट बंधा हुआ है। वास्तविक रेखा का एक उपसमुच्चय, या अधिक सामान्य रूप से परिमित-आयामी यूक्लिडियन स्थान का, पूरी तरह से बंधा होता है यदि और केवल तभी जब यह बंधा होता है। हिल्बर्ट स्पेस में यूनिट बॉल, या आम तौर पर बनाच स्पेस में, पूरी तरह से बंधी होती है (मानक टोपोलॉजी में) अगर और केवल तभी जब स्पेस का आयाम सीमित हो। एक कॉम्पैक्ट सेट पर इक्विकॉन्टिनियस बाउंडेड फंक्शन यूनिफॉर्म टोपोलॉजी में प्री-कॉम्पैक्ट होते हैं; यह आर्ज़ेला-एस्कोली थ्योरम है। एक मीट्रिक स्थान को तभी अलग किया जा सकता है जब यह पूरी तरह से बंधे हुए मीट्रिक स्थान के समरूप हो। एक पूरी तरह से बंधे हुए सबसेट का बंद होना फिर से पूरी तरह से बंधा हुआ है। सघन समुच्चय के साथ तुलना मीट्रिक रिक्त स्थान में, एक समुच्चय तभी सघन होता है जब वह पूर्ण और पूरी तरह से बंधा होता है; पसंद के स्वयंसिद्ध के बिना केवल आगे की दिशा होती है। प्री-कॉम्पैक्ट सेट कॉम्पैक्ट सेट के साथ कई गुणों को साझा करते हैं। कॉम्पैक्ट सेटों की तरह, पूरी तरह से बंधे हुए सेटों का एक सीमित संघ पूरी तरह से बंधा होता है। कॉम्पैक्ट सेटों के विपरीत, पूरी तरह से बंधे हुए सेट का प्रत्येक सबसेट फिर से पूरी तरह से बंधा होता है। एक कॉम्पैक्ट सेट की निरंतर छवि कॉम्पैक्ट होती है। एक प्री-कॉम्पैक्ट सेट की समान रूप से निरंतर छवि प्री-कॉम्पैक्ट होती है। टोपोलॉजिकल समूहों में हालांकि कुल सीमा की धारणा मीट्रिक रिक्त स्थान से निकटता से जुड़ी हुई है, टोपोलॉजिकल समूहों की बड़ी बीजगणितीय संरचना किसी को कुछ पृथक्करण गुणों को दूर करने की अनुमति देती है। उदाहरण के लिए, मीट्रिक रिक्त स्थान में, एक सेट कॉम्पैक्ट होता है यदि और केवल पूर्ण और पूरी तरह से बंधा हुआ हो। नीचे दी गई परिभाषा के तहत, यह किसी भी टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस के लिए लागू होता है (जरूरी नहीं कि हौसडॉर्फ हो और न ही पूर्ण)। परिभाषा का सामान्य तार्किक रूप हैः किसी स्थान का एक उपसमुच्चय पूरी तरह से बंधा होता है यदि और केवल तभी जब किसी भी आकार को देखते हुए इसका एक सीमित आवरण मौजूद होता है कि प्रत्येक तत्व का अधिकतम आकार होता है तो पूरी तरह से बंधा होता है यदि और केवल तभी जब इसे पूरी तरह से बंधा होता है जब इसे स्वयं का एक उपसमुच्चय माना जाता है। हम इस परंपरा को अपनाते हैं कि पहचान के किसी भी पड़ोस के लिए, एक उपसमुच्चय को () कहा जाता है यदि और केवल तभी जब एक टोपोलॉजिकल समूह का एक उपसमुच्चय () है यदि यह निम्नलिखित समकक्ष शर्तों में से किसी को भी संतुष्ट करता हैः पहचान के किसी भी पड़ोस के लिए सीमित रूप से कई ऐसे मौजूद हैं कि किसी भी पड़ोस के लिए एक सीमित उपसमुच्चय मौजूद है जैसे कि (जहां दाहिने हाथ की ओर मिन्कोव्स्की योग है)। किसी भी पड़ोस के लिए ऐसे सीमित रूप से कई उपसमुच्चय मौजूद हैं और प्रत्येक-छोटा है। पहचान तत्व के पड़ोस फ़िल्टर के किसी भी दिए गए फ़िल्टर उप-आधार के लिए (जिसमें अंदर के सभी पड़ोस शामिल हैं) और प्रत्येक के लिए सीमित रूप से कई-छोटे उपसमुच्चय का एक आवरण मौजूद हैः पहचान के प्रत्येक पड़ोस के लिए और प्रत्येक गणना के लिए अनंत उपसमुच्चय इस तरह से अलग मौजूद है कि (यदि सीमित है तो यह शर्त रिक्त रूप से संतुष्ट होती है)। निम्नलिखित तीन सेटों में से कोई भी (उपरोक्त परिभाषाओं में से कोई भी) पूरी तरह से बंधे होने (बाएं) को संतुष्ट करता हैः इस सेट के सूची में होने का मतलब है कि (बाएं) पूरी तरह से बंधे हुए हैं यदि और केवल (बाएं) पूरी तरह से बंधे हुए हैं (ऊपर उल्लिखित किसी भी परिभाषित शर्त के अनुसार)। यही लक्षण वर्णन नीचे सूचीबद्ध अन्य समुच्चयों के लिए भी लागू होता है। विहित भागफल के तहत की छवि जिसे (जहां पहचान तत्व है) द्वारा परिभाषित किया गया है। यह शब्द आमतौर पर हौसडॉर्फ टोपोलॉजिकल वेक्टर रिक्त स्थान के संदर्भ में दिखाई देता है। उस स्थिति में, निम्नलिखित शर्तें भी पूरी तरह से बंधी हुई (बाएं) होने के बराबर हैंः के समापन के पूरा होने पर कॉम्पैक्ट है। प्रत्येक अल्ट्राफिल्टर एक कौची फ़िल्टर होता है। की परिभाषा समान हैः बस उत्पादों के क्रम को अदला-बदली करें। शर्त 4 का तात्पर्य है कि का कोई भी सबसेट पूरी तरह से बंधा हुआ है (वास्तव में, कॉम्पैक्ट; ऊपर देखें)। यदि हौसडॉर्फ नहीं है तो, उदाहरण के लिए, एक कॉम्पैक्ट पूर्ण सेट है जो बंद नहीं है। टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस कोई भी टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस जोड़ के तहत एक अबेलियन टोपोलॉजिकल समूह है, इसलिए उपरोक्त शर्तें लागू होती हैं। ऐतिहासिक रूप से, परिभाषा 1 (बी) टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस के लिए कुल सीमा का पहला सुधार था; यह जॉन वॉन न्यूमैन के 1935 के पेपर से संबंधित है। इस परिभाषा में आकर्षक गुण है कि, कमजोर टोपोलॉजी से संपन्न स्थानीय रूप से उत्तल स्थान में, प्री-कॉम्पैक्ट सेट बिल्कुल बंधे हुए सेट हैं। पृथक्कृत बनाच रिक्त स्थान के लिए, फंक्शनल के कमजोर अभिसारी अनुक्रमों के संदर्भ में प्री-कॉम्पैक्ट सेट (मानक टोपोलॉजी में) का एक अच्छा लक्षण वर्णन हैः यदि एक पृथक्कृत बनाच स्थान है, तो प्री-कॉम्पैक्ट तब होता है जब और केवल तभी जब फंक्शनल का प्रत्येक कमजोर अभिसारी अनुक्रम उत्तल के साथ अंतःक्रिया पर समान रूप से अभिसारी होता है। दो कॉम्पैक्ट (पूरी तरह से बंधे) सेटों का मिन्कोव्स्की योग कॉम्पैक्ट (आर. एस. पी.) है। पूरी तरह से बंधे हुए)। स्थानीय रूप से उत्तल (हौसडॉर्फ) स्थान में, उत्तल पतवार और पूरी तरह से बंधे हुए समूह का डिस्क पतवार पूरी तरह से बंधा होता है यदि और केवल तभी जब यह पूरा हो। कॉम्पैक्ट स्पेस भी देखें गैर-कॉम्पैक्टनेस का स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट स्पेस माप ऑर्थोकॉम्पैक्ट स्पेस पैराकॉम्पैक्ट स्पेस सापेक्ष रूप से कॉम्पैक्ट सबस्पेस संदर्भ ग्रंथ सूची समान स्थान मीट्रिक ज्यामिति टोपोलॉजी कार्यात्मक विश्लेषण कॉम्पैक्टनेस (गणित)