Edge-of-the-wedge theorem
गणित में, बोगोलिउबोव के एज-ऑफ-द-वेज प्रमेय का तात्पर्य है कि समान रूप से "एज" वाले दो "वेज" पर होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन एक दूसरे के विश्लेषणात्मक निरंतरता हैं बशर्ते वे दोनों किनारे पर समान निरंतर फ़ंक्शन दें। इसका उपयोग क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में वाइटमैन कार्यों की विश्लेषणात्मक निरंतरता के निर्माण के लिए किया जाता है। प्रमेय का सूत्रीकरण और पहला प्रमाण निकोले बोगोलिउबोव द्वारा सैद्धांतिक भौतिकी पर अंतर्राष्ट्रीय सम्मेलन, सिएटल, यू. एस. ए. (सितंबर, 1956) में प्रस्तुत किया गया था और इसे प्रोब्लेम्स इन द थ्योरी ऑफ डिस्पर्शन रिलेशंस पुस्तक में भी प्रकाशित किया गया था। प्रमेय के और प्रमाण और सामान्यीकरण आर. जोस्ट और एच. लेहमन (1957), एफ. डायसन (1958), एच. एपस्टीन (1960) और अन्य शोधकर्ताओं द्वारा दिए गए थे। एक-आयामी मामले में निरंतर सीमा मान एक आयाम में, एज-ऑफ-द-वेज प्रमेय का एक सरल मामला निम्नानुसार कहा जा सकता है। मान लीजिए कि f जटिल तल पर एक निरंतर जटिल-मूल्यवान फलन है जो ऊपरी अर्ध-तल पर और निचले अर्ध-तल पर होलोमोर्फिक है। फिर यह हर जगह होलोमोर्फिक है। इस उदाहरण में, दो वेज ऊपरी आधा तल और निचला आधा तल हैं, और उनका सामान्य किनारा वास्तविक अक्ष है। इस परिणाम को मोरेरा के प्रमेय से साबित किया जा सकता है। वास्तव में, एक फलन होलोमोर्फिक है बशर्ते कि इसका अभिन्न गोल कोई भी समोच्च गायब हो जाए; एक समोच्च जो वास्तविक अक्ष को पार करता है, उसे ऊपरी और निचले आधे तल में समोच्चों में विभाजित किया जा सकता है और अभिन्न गोल ये परिकल्पना द्वारा गायब हो जाते हैं। एक वृत्त पर वितरण सीमा मान अधिक सामान्य मामले को वितरण के संदर्भ में व्यक्त किया जाता है। यह तकनीकी रूप से उस मामले में सबसे सरल है जहां सामान्य सीमा जटिल तल में इकाई वृत्त है। उस स्थिति में क्षेत्रों में होलोमोर्फिक फलन f, g और लॉरेंट विस्तार एक ही क्षेत्र में पूरी तरह से अभिसारी होते हैं और औपचारिक फूरियर श्रृंखला द्वारा दिए गए वितरण सीमा मान होते हैं। उनके वितरण सीमा मान समान होते हैं यदि सभी n के लिए। तब यह प्राथमिक होता है कि सामान्य लॉरेंट श्रृंखला पूरे क्षेत्र में पूरी तरह से अभिसारी होती है। एक अंतराल पर वितरण सीमा मान सामान्य रूप से वास्तविक अक्ष पर एक खुला अंतराल और कुछ गैर-नकारात्मक पूर्णांक एन में परिभाषित और संतुष्ट करने वाले होलोमोर्फिक कार्यों को देखते हुए, के सीमा मूल्यों को सूत्रों द्वारा वास्तविक अक्ष पर वितरण के रूप में परिभाषित किया जा सकता है अस्तित्व यह नोट करके साबित किया जा सकता है कि, परिकल्पना के तहत, एक होलोमोर्फिक फ़ंक्शन का-th जटिल व्युत्पन्न है जो सीमा पर एक निरंतर फ़ंक्शन तक फैला हुआ है। यदि f को वास्तविक अक्ष के ऊपर और नीचे के रूप में परिभाषित किया गया है और F सूत्र द्वारा आयत पर परिभाषित वितरण है तो F वास्तविक अक्ष के बराबर है और वितरण वास्तविक अक्ष पर वितरण द्वारा प्रेरित होता है। विशेष रूप से यदि एज-ऑफ-द-वेज प्रमेय की परिकल्पनाएँ लागू होती हैं, अर्थात। फिर अण्डाकार नियमितता से यह पता चलता है कि फलन F समरूप है। इस मामले में अण्डाकार नियमितता का अनुमान सीधे इस तथ्य से लगाया जा सकता है जो कॉची-रीमान प्रचालक के लिए एक मौलिक समाधान प्रदान करने के लिए जाना जाता है। वृत्त और वास्तविक रेखा के बीच केली परिवर्तन का उपयोग करते हुए, इस तर्क को वृत्त पर फूरियर श्रृंखला और सोबोलेव रिक्त स्थान के संदर्भ में एक मानक तरीके से फिर से व्यक्त किया जा सकता है। वास्तव में, इकाई वृत्त पर किसी चाप के लिए बाहरी और आंतरिक रूप से परिभाषित होलोमोर्फिक कार्यों को इस तरह परिभाषित किया जाता है कि स्थानीय रूप से उनकी कुछ सोबोलेव स्थान में रेडियल सीमाएँ हों, फिर, समीकरणों को स्थानीय रूप से इस तरह से हल किया जा सकता है कि जी और एफ की रेडियल सीमाएँ स्थानीय रूप से उच्च सोबोलेव स्थान में एक ही कार्य के लिए प्रवृत्त हों। काफी बड़े k के लिए, यह अभिसरण सोबोलेव एम्बेडिंग प्रमेय द्वारा समान है। निरंतर कार्यों के लिए तर्क से, F और G चाप के पास एक होलोमोर्फिक फ़ंक्शन देने के लिए पैच करते हैं और इसलिए f और g भी करते हैं। मान लीजिए कि वास्तविक सदिश स्थान में एक खुला शंकु है, जिसका शीर्ष मूल स्थान पर है। माना E एक खुला उपसमुच्चय है, जिसे किनारा कहा जाता है। जटिल वेक्टर स्थान में वेज के लिए W लिखें, और विपरीत वेज के लिए W 'लिखें। फिर दो वेज W और W 'E के किनारे पर मिलते हैं, जहाँ हम शंकु की नोक के साथ E के उत्पाद के साथ E की पहचान करते हैं। मान लीजिए कि f उस संघ पर एक निरंतर फलन है जो दोनों वेज W और W 'पर समरूप है। फिर एज-ऑफ-द-वेज प्रमेय कहता है कि f भी E पर होलोमोर्फिक है (या अधिक सटीक रूप से, इसे E के पड़ोस पर एक होलोमोर्फिक फ़ंक्शन तक बढ़ाया जा सकता है)। प्रमेय के सही होने की शर्तों को कमजोर किया जा सकता है। यह मान लेना आवश्यक नहीं है कि f को पूरे वेज पर परिभाषित किया गया हैः यह मान लेना पर्याप्त है कि यह किनारे के पास परिभाषित किया गया है। यह मान लेना भी आवश्यक नहीं है कि f किनारे पर परिभाषित या निरंतर हैः यह मान लेना पर्याप्त है कि किसी भी वेज पर परिभाषित कार्यों के किनारे पर समान वितरण सीमा मान हैं। क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के लिए अनुप्रयोग क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में वाइटमैन वितरण मिंकॉव्स्की स्पेसटाइम के जटिलता में चर ज़ी पर निर्भर करते हुए वाइटमैन फ़ंक्शन डब्ल्यू (जेड1,., जेडएन) के सीमा मान हैं। उन्हें वेज में परिभाषित और होलोमोर्फिक किया जाता है जहां प्रत्येक ज़ी-ज़ी-1 का काल्पनिक भाग खुले सकारात्मक टाइमलाइक शंकु में स्थित होता है। चरों को क्रमबद्ध करने से हम n प्राप्त करते हैं! विभिन्न वाइटमैन फलन एन में परिभाषित किए गए हैं! अलग-अलग पट्टियाँ। एज-ऑफ-द-वेज प्रमेय को लागू करके (पूरी तरह से स्पेसिलाइक बिंदुओं के सेट द्वारा दिए गए किनारे के साथ) कोई यह अनुमान लगा सकता है कि वाइटमैन फ़ंक्शन सभी एक ही होलोमोर्फिक फ़ंक्शन के विश्लेषणात्मक निरंतरता हैं, जो सभी n वाले जुड़े क्षेत्र पर परिभाषित हैं! गुलाल। (किनारे पर सीमा मूल्यों की समानता कि हमें किनारे के किनारे के प्रमेय को लागू करने की आवश्यकता है, क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के स्थानीय स्वयंसिद्ध से मिलती है।) हाइपरफंक्शंस के साथ संबंध एज-ऑफ-द-वेज प्रमेय की हाइपरफंक्शंस की भाषा में एक प्राकृतिक व्याख्या है। एक अति फलन मोटे तौर पर होलोमोर्फिक कार्यों के सीमा मूल्यों का योग है, और इसे "अनंत क्रम के वितरण" के रूप में भी सोचा जा सकता है। प्रत्येक बिंदु पर एक हाइपरफंक्शंस का विश्लेषणात्मक तरंग अग्र समूह उस बिंदु के कोटैंजेंट स्थान में एक शंकु है, और इसे उन दिशाओं का वर्णन करने के रूप में सोचा जा सकता है जिसमें उस बिंदु पर विलक्षणता चल रही है। एज-ऑफ-द-वेज प्रमेय में, हमारे पास किनारे पर एक वितरण (या अति-फलन) f है, जिसे दो वेजों पर दो होलोमोर्फिक कार्यों के सीमा मूल्यों के रूप में दिया गया है। यदि एक हाइपरफ़ंक्शन एक वेज पर एक होलोमोर्फिक फ़ंक्शन का सीमा मूल्य है, तो इसका विश्लेषणात्मक तरंग फ्रंट सेट संबंधित शंकु के दोहरे में स्थित है। तो f का विश्लेषणात्मक तरंग अग्र समूह दो विपरीत शंकुओं के युग्मों में स्थित है। लेकिन इन द्विगुणों का प्रतिच्छेदन खाली है, इसलिए f का विश्लेषणात्मक तरंग सामने का सेट खाली है, जिसका अर्थ है कि f "विश्लेषणात्मक है। यह एज-ऑफ-द-वेज प्रमेय है। हाइपरफंक्शंस के सिद्धांत में उस मामले में एज-ऑफ-द-वेज प्रमेय का विस्तार होता है जब दो के बजाय कई वेज होते हैं, जिन्हें मार्टीनो का एज-ऑफ-द-वेज प्रमेय कहा जाता है। विवरण के लिए होर्मेंडर की पुस्तक देखें। टिप्पणियाँ संदर्भ आगे पढ़ें। हाइपरफंक्शंस के साथ संबंध का वर्णन इस प्रकार किया गया हैः क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में एज-ऑफ-द-वेज प्रमेय के अनुप्रयोग के लिए देखें स्वयंसिद्ध क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत जटिल विश्लेषण में प्रमेय गणितीय भौतिकी में प्रमेय