Pushforward (differential)
विभेदक ज्यामिति में, पुशफॉरवर्ड स्पर्शरेखा रिक्त स्थान पर चिकने मानचित्रों का एक रैखिक सन्निकटन है। मान लीजिए कि यह स्मूथ मैनिफोल्ड्स के बीच एक स्मूथ मैप है; तो एक बिंदु पर का डिफरेंशियल, कुछ अर्थों में, नियर का सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन है। इसे साधारण कलन के कुल व्युत्पन्न के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है। स्पष्ट रूप से, अंतर एट के स्पर्शरेखा स्थान से एट के स्पर्शरेखा स्थान तक एक रैखिक मानचित्र है। इसलिए इसका उपयोग स्पर्शरेखा वैक्टरों को स्पर्शरेखा वैक्टरों पर आगे धकेलने के लिए किया जा सकता है। मानचित्र के विभेदक को विभिन्न लेखकों द्वारा व्युत्पन्न या कुल व्युत्पन्न भी कहा जाता है। प्रेरणा एक खुले उपसमुच्चय से एक खुले उपसमुच्चय तक एक चिकना मानचित्र होने दें। किसी भी बिंदु के लिए, एट का जैकोबियन (मानक निर्देशांक के संबंध में) एट के कुल व्युत्पन्न का मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व है, जो उनके स्पर्शरेखा रिक्त स्थान के बीच एक रैखिक मानचित्र है। ध्यान दें कि स्पर्शरेखा रिक्त स्थान क्रमशः और के समरूप हैं। पुशफॉरवर्ड इस निर्माण को उस मामले में सामान्यीकृत करता है जो किसी भी चिकनी मैनिफोल्ड और के बीच एक सहज कार्य है। एक चिकने नक्शे का अंतर आइए चिकने कई गुना का एक चिकना नक्शा बनें। ए. टी. के अंतर को देखते हुए ए. टी. के स्पर्शरेखा स्थान से स्पर्शरेखा स्थान तक का एक रैखिक मानचित्र है। नीचे एक स्पर्शरेखा सदिश की छवि को कभी-कभी पुशफॉरवर्ड कहा जाता है। इस पुशफॉरवर्ड की सटीक परिभाषा स्पर्शरेखा सदिशों के लिए उपयोग की जाने वाली परिभाषा पर निर्भर करती है (विभिन्न परिभाषाओं के लिए स्पर्शरेखा स्थान देखें)। यदि स्पर्शरेखा सदिशों को वक्रों के समतुल्य वर्गों के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिसके लिए अंतर यहाँ दिया गया है, एक वक्र है और वक्र के लिए स्पर्शरेखा सदिश है। दूसरे शब्दों में, स्पर्शरेखा सदिश का स्पर्शरेखा सदिश पर वक्र के लिए स्पर्शरेखा सदिश है। वैकल्पिक रूप से, यदि स्पर्शरेखा सदिशों को चिकने वास्तविक-मूल्य वाले कार्यों पर कार्य करने वाली व्युत्पत्तियों के रूप में परिभाषित किया जाता है, तो अंतर को एक मनमाने कार्य और बिंदु पर मनमाने ढंग से व्युत्पत्ति के लिए दिया जाता है (एक व्युत्पत्ति को एक रैखिक मानचित्र के रूप में परिभाषित किया जाता है जो लीबनिज़ नियम को संतुष्ट करता है, देखें व्युत्पत्तियों के माध्यम से स्पर्शरेखा स्थान की परिभाषा)। परिभाषा के अनुसार, का पुशफॉरवर्ड अंदर है और इसलिए स्वयं एक व्युत्पत्ति है। आसपास और आसपास दो चार्ट चुनने के बाद स्थानीय रूप से और के खुले सेटों के बीच एक सुचारू मानचित्र द्वारा निर्धारित किया जाता है, और आइंस्टीन योग संकेतन में, जहां आंशिक व्युत्पन्न का मूल्यांकन दिए गए चार्ट के अनुरूप बिंदु पर किया जाता है। रैखिकता द्वारा विस्तार निम्नलिखित मैट्रिक्स देता है इस प्रकार अंतर प्रत्येक बिंदु पर चिकने मानचित्र से जुड़े स्पर्शरेखा रिक्त स्थान के बीच एक रैखिक परिवर्तन है। इसलिए, कुछ चुने हुए स्थानीय निर्देशांकों में, इसे संबंधित चिकने मानचित्र के जैकोबियन मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया जाता है। सामान्य तौर पर, अंतर को व्युत्क्रमणीय होने की आवश्यकता नहीं है। हालांकि, यदि एक स्थानीय भिन्नरूपता है, तो व्युत्क्रम व्युत्क्रम का पुलबैक देता है विभेदक को अक्सर विभिन्न प्रकार के अन्य संकेतनों का उपयोग करके व्यक्त किया जाता है जैसे कि यह परिभाषा से इस प्रकार है कि एक समग्र का विभेदक विभेदक का समग्र है (यानी, कार्यात्मक व्यवहार)। यह चिकने मानचित्रों के लिए श्रृंखला नियम है। इसके अलावा, एक स्थानीय डिफियोमोर्फिज्म का अंतर स्पर्शरेखा रिक्त स्थान का एक रैखिक समरूपता है। स्पर्शरेखा बंडल पर अंतर एक चिकने मानचित्र का अंतर, एक स्पष्ट तरीके से, एक बंडल मानचित्र (वास्तव में एक वेक्टर बंडल समरूपता) को स्पर्शरेखा बंडल से स्पर्शरेखा बंडल तक प्रेरित करता है, जो निम्नलिखित परिवर्तनीय आरेख में फिट बैठता हैः जहां और क्रमशः स्पर्शरेखा बंडलों के बंडल अनुमानों को दर्शाता है। एक बंडल मानचित्र को जहां और उसके माध्यम से पुलबैक बंडल तक प्रेरित करता है, बाद वाले मानचित्र को बदले में एम पर वेक्टर बंडल के एक खंड के रूप में देखा जा सकता है। बंडल मानचित्र को स्पर्शरेखा मानचित्र द्वारा भी दर्शाया जाता है और कहा जाता है। इस तरह से, एक फंक्टर है। सदिश क्षेत्रों का आगे बढ़ना M पर एक चिकना मानचित्र और एक सदिश क्षेत्र X दिए जाने पर, आमतौर पर N पर कुछ सदिश क्षेत्र Y के साथ X/φ के आगे बढ़ने की पहचान करना संभव नहीं है। उदाहरण के लिए, यदि मानचित्र φ अधिक्षेपक नहीं है, तो φ की छवि के बाहर इस तरह के आगे बढ़ने को परिभाषित करने का कोई प्राकृतिक तरीका नहीं है। इसके अलावा, यदि φ इंजेक्टिव नहीं है तो किसी दिए गए बिंदु पर पुशफॉरवर्ड के एक से अधिक विकल्प हो सकते हैं। फिर भी, एक मानचित्र के साथ एक वेक्टर क्षेत्र की धारणा का उपयोग करके इस कठिनाई को सटीक बनाया जा सकता है। एम के ऊपर टीएन के एक खंड को φ के साथ एक सदिश क्षेत्र कहा जाता है। उदाहरण के लिए, यदि M, N का एक सबमैनिफोल्ड है और φ समावेशन है, तो φ के साथ एक वेक्टर क्षेत्र M के साथ N के स्पर्शरेखा बंडल का सिर्फ एक खंड है; विशेष रूप से, M पर एक वेक्टर क्षेत्र टी. एन. के अंदर टी. एम. के समावेश के माध्यम से ऐसे खंड को परिभाषित करता है। यह विचार मनमाने ढंग से चिकने मानचित्रों को सामान्य बनाता है। मान लीजिए कि X, M पर एक सदिश क्षेत्र है, अर्थात TM का एक खंड। फिर, उपज, उपरोक्त अर्थ में, पुशफॉर्वर्ड φ * X, जो कि φ के साथ एक सदिश क्षेत्र है, यानी, M पर φ * TN का एक खंड। एम पर एक सदिश क्षेत्र एक्स और एन पर एक सदिश क्षेत्र वाई को φ-संबंधित कहा जाता है यदि वेक्टर क्षेत्र के रूप में φ के साथ। दूसरे शब्दों में, एम में सभी एक्स के लिए,। कुछ स्थितियों में, M पर एक X सदिश क्षेत्र दिए जाने पर, N पर एक अद्वितीय सदिश क्षेत्र Y है जो X से φ-संबंधित है। यह विशेष रूप से तब सच होता है जब φ एक डिफियोमोर्फिज्म है। इस मामले में, पुशफॉरवर्ड एन पर एक वेक्टर क्षेत्र वाई को परिभाषित करता है, जो ए द्वारा दी गई अधिक सामान्य स्थिति तब उत्पन्न होती है जब φ सर्जेक्टिव होता है (उदाहरण के लिए एक फाइबर बंडल का बंडल प्रक्षेपण)। फिर M पर एक सदिश क्षेत्र X को प्रक्षेप्य कहा जाता है यदि N में सभी y के लिए, dφx (Xx) φ−1 ({y}) में x की पसंद से स्वतंत्र है। यह ठीक वही शर्त है जो इस बात की गारंटी देती है कि N पर एक वेक्टर क्षेत्र के रूप में X का एक पुशफॉर्वर्ड अच्छी तरह से परिभाषित है। उदाहरण लाइ समूहों पर गुणन से पुशफॉरवर्ड एक लाइ समूह को देखते हुए, हम बाएं गुणन और दाएं गुणन मानचित्र प्राप्त करने के लिए गुणन मानचित्र का उपयोग कर सकते हैं। इन मानचित्रों का उपयोग मूल स्थान पर इसके स्पर्शरेखा स्थान से बाएं या दाएं अपरिवर्तनीय सदिश क्षेत्रों के निर्माण के लिए किया जा सकता है (जो कि इससे संबंधित लाइ बीजगणित है)। उदाहरण के लिए, दिए गए हम प्रत्येक के लिए परिभाषित पर एक संबद्ध वेक्टर क्षेत्र प्राप्त करते हैं। पुशफॉरवर्ड मानचित्रों की वक्र परिभाषा का उपयोग करके इसकी आसानी से गणना की जा सकती है। यदि हमारे पास एक वक्र है जहाँ से हम प्राप्त करते हैं तो के संबंध में स्थिर है। इसका तात्पर्य है कि हम स्पर्शरेखा रिक्त स्थान की व्याख्या इस प्रकार कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि मैट्रिक्स द्वारा दिया गया हाइजेनबर्ग समूह है तो इसमें मैट्रिक्स के सेट द्वारा दिया गया लाइ बीजगणित है क्योंकि हम (i-th पंक्ति और j-th कॉलम) के साथ ऊपरी मैट्रिक्स प्रविष्टियों में से किसी एक में कोई भी वास्तविक संख्या देने वाला मार्ग पा सकते हैं। फिर, हमारे पास जो मैट्रिक्स के मूल सेट के बराबर है। यह हमेशा ऐसा नहीं होता है, उदाहरण के लिए, समूह में हमारे पास मैट्रिक्स के सेट के रूप में इसका लाइ बीजगणित है इसलिए कुछ मैट्रिक्स के लिए हमारे पास मैट्रिक्स का एक ही सेट नहीं है। पुलबैक (विभेदक ज्यामिति) प्रवाह-आधारित उत्पादक मॉडल भी देखें संदर्भ खंड 1.6 देखें। खंड 1.7 और 2.3 देखें। व्युत्पन्न विभेदक ज्यामिति के सामान्यीकरण सुगम कार्य