C0-semigroup
गणित में, एक C0-अर्धसमूह, जिसे दृढ़ता से निरंतर एक-पैरामीटर अर्धसमूह के रूप में भी जाना जाता है, घातीय फलन का एक सामान्यीकरण है। जिस तरह घातीय कार्य स्केलर रैखिक स्थिरांक गुणांक साधारण विभेदक समीकरणों के समाधान प्रदान करते हैं, उसी तरह दृढ़ता से निरंतर अर्धसमूह बनाच रिक्त स्थान में रैखिक स्थिरांक गुणांक सामान्य विभेदक समीकरणों के समाधान प्रदान करते हैं। बनाच रिक्त स्थान में इस तरह के विभेदक समीकरण उत्पन्न होते हैं जैसे। अवकल समीकरणों और आंशिक अवकल समीकरणों में देरी। औपचारिक रूप से, एक दृढ़ता से निरंतर अर्धसमूह कुछ बनाच स्पेस एक्स पर अर्धसमूह (आर +, +) का प्रतिनिधित्व है जो मजबूत प्रचालक टोपोलॉजी में निरंतर है। इस प्रकार, कड़ाई से बोलते हुए, एक दृढ़ता से निरंतर अर्धसमूह एक अर्धसमूह नहीं है, बल्कि एक बहुत ही विशेष अर्धसमूह का निरंतर प्रतिनिधित्व है। औपचारिक परिभाषा बनाच स्थान पर एक दृढ़ता से निरंतर अर्धसमूह एक ऐसा मानचित्र है जो, (पहचान संचालक), के रूप में है। पहले दो स्वयंसिद्ध बीजगणितीय हैं, और बताते हैं कि अर्धसमूह का प्रतिनिधित्व है; अंतिम टोपोलॉजिकल है, और बताता है कि नक्शा मजबूत ऑपरेटर टोपोलॉजी में निरंतर है। असीम जनित्र एक प्रबल निरंतर अर्धसमूह टी के असीम जनित्र ए को तब परिभाषित किया जाता है जब भी सीमा मौजूद होती है। ए, डी (ए) का क्षेत्र, x ω एक्स का समूह है जिसके लिए यह सीमा मौजूद है; डी (ए) एक रैखिक उपक्षेत्र है और ए इस क्षेत्र पर रैखिक है। प्रचालक ए बंद है, हालांकि आवश्यक रूप से बाध्य नहीं है, और डोमेन एक्स में घना है। जनरेटर ए के साथ दृढ़ता से निरंतर अर्धसमूह टी को अक्सर प्रतीक (या, समतुल्य,) द्वारा दर्शाया जाता है। यह संकेतन मैट्रिक्स घातांक के लिए संकेतन के साथ संगत है, और कार्यात्मक कलन के माध्यम से परिभाषित एक ऑपरेटर के कार्यों के लिए (उदाहरण के लिए, वर्णक्रमीय प्रमेय के माध्यम से)। समान रूप से निरंतर अर्धसमूह एक समान रूप से निरंतर अर्धसमूह एक दृढ़ता से निरंतर अर्धसमूह टी है जो धारण करता है। इस मामले में, टी का असीम जनरेटर ए बंधा हुआ है और हमारे पास है और इसके विपरीत, कोई भी बंधा हुआ ऑपरेटर एक समान रूप से निरंतर अर्धसमूह का असीम जनरेटर है। इस प्रकार, एक रैखिक प्रचालक ए एक समान रूप से निरंतर अर्धसमूह का असीम जनित्र है यदि और केवल तभी जब ए एक बद्ध रैखिक प्रचालक है। यदि एक्स एक परिमित-आयामी बनाच स्थान है, तो कोई भी दृढ़ता से निरंतर अर्धसमूह एक समान रूप से निरंतर अर्धसमूह है। एक प्रबल निरंतर अर्धसमूह के लिए जो एक समान रूप से निरंतर अर्धसमूह नहीं है, असीम जनित्र ए बाध्य नहीं है। इस मामले में, अभिसरण करने की आवश्यकता नहीं है। गुणन अर्धसमूह के उदाहरण बनाच स्थान पर विचार करें जो सुपर मानक से संपन्न है। के साथ एक निरंतर फलन होने दें। डोमेन के साथ ऑपरेटर एक बंद घनी परिभाषित ऑपरेटर है और गुणन अर्धसमूह उत्पन्न करता है जहां गुणन ऑपरेटरों को विकर्ण मैट्रिक्स के अनंत आयामी सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है और इसके बहुत सारे गुणों को के गुणों द्वारा प्राप्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए यदि और केवल यदि बाध्य है तो पर बाध्य है। अनुवाद अर्धसमूह आइए सुपर मानक के साथ संपन्न पर बंधे हुए, समान रूप से निरंतर कार्यों का स्थान हो। (बाएँ) अनुवाद अर्धसमूह द्वारा दिया गया है। इसका जनरेटर डोमेन के साथ व्युत्पन्न है। सार कौची समस्याएँ सार कौची समस्या पर विचार करेंः जहाँ A बनाच स्पेस X और x ω X पर एक बंद प्रचालक है। इस समस्या के समाधान की दो अवधारणाएँ हैंः एक निरंतर अवकलनीय फलन को कौची समस्या का एक शास्त्रीय समाधान कहा जाता है यदि सभी टी> 0 के लिए यू (टी और हेयरएसपी;) bul डी (ए) और यह प्रारंभिक मूल्य समस्या को संतुष्ट करता है, एक निरंतर फलन को कौची समस्या का एक हल्का समाधान कहा जाता है यदि कोई भी शास्त्रीय समाधान एक हल्का समाधान है। एक हल्का समाधान एक शास्त्रीय समाधान है यदि और केवल तभी जब यह लगातार अवकलनीय हो। निम्नलिखित प्रमेय अमूर्त कौची समस्याओं और दृढ़ता से निरंतर अर्धसमूहों को जोड़ता है। प्रमेयः मान लीजिए कि A बनाच स्पेस X पर एक बंद प्रचालक है। निम्नलिखित अभिकथन समतुल्य हैंः सभी x Π X के लिए अमूर्त कौची समस्या का एक अद्वितीय हल्का समाधान मौजूद है, प्रचालक A एक दृढ़ता से निरंतर अर्धसमूह उत्पन्न करता है, A का विलायक सेट गैर-खाली है और सभी x Π D (A) के लिए कौची समस्या का एक अद्वितीय शास्त्रीय समाधान मौजूद है। जब ये दावे कायम रहते हैं, तो कौची समस्या का समाधान यू (टी एंड हेयरस्प;) = टी (टी एंड हेयरस्प;) एक्स द्वारा टी के साथ ए द्वारा उत्पन्न दृढ़ता से निरंतर अर्धसमूह द्वारा दिया जाता है। जनरेशन थ्योरम कॉची समस्याओं के संबंध में, आमतौर पर एक रैखिक प्रचालक ए दिया जाता है और सवाल यह है कि क्या यह एक प्रबल निरंतर अर्धसमूह का जनरेटर है। इस प्रश्न का उत्तर देने वाले प्रमेयों को पीढ़ी प्रमेय कहा जाता है। हिल-योसिडा प्रमेय द्वारा उन प्रचालकों का एक पूर्ण लक्षण वर्णन दिया गया है जो तेजी से बाध्य दृढ़ता से निरंतर अर्धसमूह उत्पन्न करते हैं। हालाँकि, अधिक व्यावहारिक महत्व के लिए ल्यूमर-फिलिप्स प्रमेय द्वारा दी गई शर्तों को सत्यापित करना बहुत आसान है। अर्धसमूहों के विशेष वर्ग समान रूप से निरंतर अर्धसमूह प्रबल रूप से निरंतर अर्धसमूह टी को समान रूप से निरंतर कहा जाता है यदि मानचित्र टी → टी (टी और हेयरएसपी;) [0, φ) से एल (एक्स) तक निरंतर है। एक समान रूप से निरंतर अर्धसमूह का जनरेटर एक बंधा हुआ प्रचालक होता है। विश्लेषणात्मक अर्धसमूह संकुचन अर्धसमूह एक प्रबल निरंतर अर्धसमूह टी को अंततः अवकलनीय कहा जाता है यदि ऐसा कोई मौजूद हो जो (समतुल्यः सभी के लिए और टी तुरंत अवकलनीय हो यदि सभी के लिए। प्रत्येक विश्लेषणात्मक अर्धसमूह तुरंत अवकलनीय होता है। कौची समस्याओं के संदर्भ में एक समतुल्य लक्षण वर्णन निम्नलिखित हैः ए द्वारा उत्पन्न दृढ़ता से निरंतर अर्धसमूह अंततः अवकलनीय है यदि और केवल तभी जब ऐसा कोई मौजूद हो कि अमूर्त कौची समस्या के सभी समाधान के लिए यू पर अवकलनीय हो। यदि टी1 को शून्य चुना जा सकता है तो अर्धसमूह तुरंत अवकलनीय हो जाता है। कॉम्पैक्ट सेमीग्रुप एक प्रबल निरंतर सेमीग्रुप टी को अंततः कॉम्पैक्ट कहा जाता है यदि एक टी0> 0 मौजूद है जैसे कि टी (टी0) एक कॉम्पैक्ट ऑपरेटर है (समकक्ष रूप से यदि टी (टी एंड हेयरएसपी;) सभी टी ≤ टी0 के लिए एक कॉम्पैक्ट ऑपरेटर है)। सेमीग्रुप को तुरंत कॉम्पैक्ट कहा जाता है यदि टी (टी एंड हेयरएसपी;) सभी टी> 0 के लिए एक कॉम्पैक्ट ऑपरेटर है। मानक निरंतर अर्धसमूह एक प्रबल रूप से निरंतर अर्धसमूह को अंततः मानक निरंतर कहा जाता है यदि एक t0 ≤ 0 मौजूद है जैसे कि मानचित्र t → T (t & हेरस्प;) (t0, ≤) से L (X) तक निरंतर है। यदि t0 को शून्य चुना जा सकता है तो अर्धसमूह को तुरंत मानक निरंतर कहा जाता है। ध्यान दें कि एक तत्काल मानक निरंतर अर्धसमूह के लिए मानचित्र टी → टी (टी और हेयरएसपी;) टी = 0 में निरंतर नहीं हो सकता है (जो अर्धसमूह को समान रूप से निरंतर बना देगा)। विश्लेषणात्मक अर्धसमूह, (अंततः) अवकलनीय अर्धसमूह और (अंततः) सघन अर्धसमूह सभी अंततः निरंतर मानक हैं। स्थिरता घातीय स्थिरता एक अर्धसमूह T की वृद्धि सीमा स्थिरांक है इसे इसलिए कहा जाता है क्योंकि यह संख्या सभी वास्तविक संख्याओं ω की अनंत भी है जैसे कि सभी t ≤ 0 के लिए एक स्थिरांक M (≤ 1) मौजूद है। निम्नलिखित समतुल्य हैंः M, ω> 0 इस प्रकार मौजूद है कि सभी t ≤ 0 के लिएः विकास सीमा ऋणात्मक हैः ω0 <0, एक समान प्रचालक टोपोलॉजी में अर्धसमूह शून्य में परिवर्तित हो जाता हैः, एक t0> 0 इस तरह मौजूद है कि, एक t1> 0 इस तरह मौजूद है कि T (t1) की वर्णक्रमीय त्रिज्या 1 से सख्ती से छोटी है, एक p ≤ [1, ≤] इस तरह मौजूद है कि सभी x ≤ X के लिएः, सभी p ≤ [1, ≤] के लिए और सभी x ≤ X: एक अर्धसमूह जो इन समतुल्य शर्तों को पूरा करता है उसे घातीय रूप से स्थिर या समान रूप से स्थिर कहा जाता है (उपरोक्त बयानों में से पहले तीन में से किसी एक को इस तरह से लिया जाता है)। कि एल. पी. स्थितियाँ घातीय स्थिरता के बराबर हैं, इसे डाटको-पाज़ी प्रमेय कहा जाता है। यदि X एक हिल्बर्ट स्थान है तो एक और शर्त है जो जनरेटर के रिज़ॉल्वेंट ऑपरेटर के संदर्भ में घातीय स्थिरता के बराबर हैः सकारात्मक वास्तविक भाग वाले सभी λ A के रिज़ॉल्वेंट सेट से संबंधित हैं और रिज़ॉल्वेंट ऑपरेटर समान रूप से दाहिने आधे तल पर बंधा हुआ है, अर्थात। (λI−A) −1 हार्डी स्पेस से संबंधित है। इसे गियरहार्ट-प्रुस प्रमेय कहा जाता है। एक प्रचालक ए की वर्णक्रमीय सीमा स्थिरांक है, इस परिपाटी के साथ कि एस (ए) = − φ यदि ए का वर्णक्रम खाली है। एक अर्धसमूह की वृद्धि सीमा और उसके जनरेटर की वर्णक्रमीय सीमा s (A) ≤ ω0 (T) से संबंधित हैं। ऐसे उदाहरण हैं जहाँ s (A) <ω0 (T) है। यदि s (A) = ω0 (T) है, तो T को वर्णक्रमीय निर्धारित वृद्धि स्थिति को संतुष्ट करने के लिए कहा जाता है। अंततः मानक-निरंतर अर्धसमूह वर्णक्रमीय निर्धारित विकास स्थिति को संतुष्ट करते हैं। यह इन अर्धसमूहों के लिए घातीय स्थिरता का एक और समतुल्य लक्षण वर्णन देता हैः एक अंततः मानक-निरंतर अर्धसमूह तेजी से स्थिर होता है यदि और केवल यदि s (A) <0 हो। ध्यान दें कि अंततः सघन, अंततः अवकलनीय, विश्लेषणात्मक और समान रूप से निरंतर अर्धसमूह अंततः मानक-निरंतर होते हैं ताकि वर्णक्रमीय निर्धारित विकास स्थिति विशेष रूप से उन अर्धसमूहों के लिए बनी रहे। मजबूत स्थिरता एक दृढ़ता से निरंतर अर्धसमूह टी को दृढ़ता से स्थिर या एसिम्प्टोटिक रूप से स्थिर कहा जाता है यदि सभी एक्स के लिएः। घातीय स्थिरता का तात्पर्य मजबूत स्थिरता है, लेकिन यदि X अनंत-आयामी है तो इसका विपरीत आम तौर पर सच नहीं है (यह X परिमित-आयामी के लिए सच है)। मजबूत स्थिरता के लिए निम्नलिखित पर्याप्त शर्त को अरेन्ड्ट-बैटी-ल्यूबिच-फोंग प्रमेय कहा जाता हैः मान लीजिए कि T बंधा हुआ हैः एक M ≤ 1 ऐसा मौजूद है कि काल्पनिक अक्ष पर A का अवशिष्ट वर्णक्रम नहीं है, और काल्पनिक अक्ष पर स्थित A का वर्णक्रम गणना योग्य है। तब टी दृढ़ता से स्थिर है। यदि X परावर्तनशील है तो स्थितियाँ सरल हो जाती हैंः यदि T बंधा हुआ है, तो काल्पनिक अक्ष पर A का कोई आईगन मान नहीं है और काल्पनिक अक्ष पर स्थित A का वर्णक्रम गणना योग्य है, तो T दृढ़ता से स्थिर है। हिल-योसिडा प्रमेय लुमार-फिलिप्स प्रमेय ट्रॉटर-काटो प्रमेय विश्लेषणात्मक अर्ध-समूह संकुचन अर्ध-समूह मैट्रिक्स घातीय प्रचालक का प्रबल निरंतर परिवार सारांश अंतर समीकरण टिप्पणियाँ संदर्भ ई हिल, आर एस फिलिप्सः कार्यात्मक विश्लेषण और अर्ध-समूह भी देखें। अमेरिकन मैथमेटिकल सोसाइटी, 1975। आर. एफ. कर्टन, एच. जे. ज़्वार्टः अनंत आयामी रैखिक प्रणाली सिद्धांत का परिचय। स्प्रिंगर वेर्लाग, 1995। ई. बी. डेविसः एक-पैरामीटर अर्धसमूह (एल. एम. एस.)। मोनोग्राफ), अकादमिक प्रेस, 1980,। कार्यात्मक विश्लेषण अर्धसमूह सिद्धांत अरैखिक प्रणालियाँ