Fuzzy measure theory
गणित में, अस्पष्ट माप सिद्धांत सामान्यीकृत उपायों पर विचार करता है जिसमें योगात्मक गुण को एकरसता के कमजोर गुण से प्रतिस्थापित किया जाता है। अस्पष्ट माप सिद्धांत की केंद्रीय अवधारणा अस्पष्ट माप (क्षमता भी देखें) है, जिसे 1953 में चोक्वेट द्वारा पेश किया गया था और 1974 में सुगेनो द्वारा अस्पष्ट समाकलन के संदर्भ में स्वतंत्र रूप से परिभाषित किया गया था। अस्पष्ट उपायों के कई अलग-अलग वर्ग मौजूद हैं जिनमें संभाव्यता/विश्वास उपाय, संभावना/आवश्यकता उपाय और संभाव्यता उपाय शामिल हैं, जो शास्त्रीय उपायों का एक उपसमुच्चय हैं। परिभाषाएँ प्रवचन का एक ब्रह्मांड होने दें, और के उपसमुच्चय का एक वर्ग होने दें। एक फलन जहाँ एक अस्पष्ट माप कहा जाता है। एक अस्पष्ट उपाय को सामान्यीकृत या नियमित कहा जाता है। अस्पष्ट मापों के गुण एक अस्पष्ट माप हैः योगात्मक यदि किसी ऐसे के लिए, जो हमारे पास है; सुपरमॉड्यूलर यदि किसी के लिए, हमारे पास है; सबमॉड्यूलर यदि किसी के लिए, हमारे पास है; सुपरएडिटिव यदि किसी ऐसे के लिए, जो हमारे पास है; सबएडिटिव यदि किसी ऐसे के लिए, जो हमारे पास है; सममित यदि किसी के लिए, हमारा तात्पर्य है; बूलियन यदि किसी के लिए, हमारे पास है या है। अस्पष्ट उपायों के गुणों को समझना अनुप्रयोग में उपयोगी है। जब सुगेनो इंटीग्रल या चोक्वेट इंटीग्रल जैसे फ़ंक्शन को परिभाषित करने के लिए एक अस्पष्ट माप का उपयोग किया जाता है, तो ये गुण फ़ंक्शन के व्यवहार को समझने में महत्वपूर्ण होंगे। उदाहरण के लिए, एक योगात्मक अस्पष्ट माप के संबंध में चोक्वेट समाकलन को लेब्सग्यू समाकलन में घटा दिया जाता है। असतत मामलों में, एक सममित अस्पष्ट माप के परिणामस्वरूप आदेशित भारित औसत (ओ. डब्ल्यू. ए.) प्रचालक होगा। सबमॉड्यूलर फ़ज़ी उपायों के परिणामस्वरूप उत्तल कार्य होते हैं, जबकि सुपरमॉड्यूलर फ़ज़ी उपायों के परिणामस्वरूप अवतल कार्य होते हैं जब एक चोक्वेट इंटीग्रल को परिभाषित करने के लिए उपयोग किया जाता है। मोबियस प्रतिनिधित्व मान लीजिए कि जी एक अस्पष्ट माप है। g का मोबियस प्रतिनिधित्व समुच्चय फलन M द्वारा दिया जाता है, जहाँ प्रत्येक के लिए, मोबियस प्रतिनिधित्व में समतुल्य स्वयंसिद्ध हैंः सभी और सभी के लिए मोबियस प्रतिनिधित्व M में एक अस्पष्ट माप को सामान्यीकृत कहा जाता है यदि मोबियस प्रतिनिधित्व का उपयोग यह संकेत देने के लिए किया जा सकता है कि X के कौन से उपसमुच्चय एक दूसरे के साथ बातचीत करते हैं। उदाहरण के लिए, एक योगात्मक अस्पष्ट माप में मोबियस मान एकलटन को छोड़कर सभी शून्य के बराबर होते हैं। मानक प्रतिनिधित्व में अस्पष्ट माप जी को जीटा परिवर्तन का उपयोग करके मोबियस रूप से पुनर्प्राप्त किया जा सकता हैः अस्पष्ट मापों के लिए सरलीकरण धारणाएँ अस्पष्ट मापों को सेट या मोनोटोन वर्ग के अर्धविराम पर परिभाषित किया जाता है, जो एक्स के पावर सेट के रूप में दानेदार हो सकते हैं, और यहां तक कि असतत मामलों में चर की संख्या 2|X। जितनी बड़ी हो सकती है। इस कारण से, बहु-मानदंड निर्णय विश्लेषण और अन्य विषयों के संदर्भ में, अस्पष्ट माप पर सरलीकरण धारणाओं को पेश किया गया है ताकि इसे निर्धारित करना और उपयोग करना कम कम्प्यूटेशनल रूप से महंगा हो। उदाहरण के लिए, जब यह माना जाता है कि अस्पष्ट माप योगात्मक है, तो यह मान लेगा और अस्पष्ट माप के मूल्यों का मूल्यांकन X पर मानों से किया जा सकता है। इसी तरह, एक सममित अस्पष्ट माप को विशिष्ट रूप से |X। मानों द्वारा परिभाषित किया जाता है। दो महत्वपूर्ण अस्पष्ट उपाय जिनका उपयोग किया जा सकता है, वे हैं सुगेनो-या-फजी उपाय और के-एडिटिव उपाय, जो क्रमशः सुगेनो और ग्रैबिस्क द्वारा शुरू किए गए हैं। सुगेनो λ-माप सुगेनो-माप पुनरावृत्त रूप से परिभाषित अस्पष्ट उपायों का एक विशेष मामला है। इसकी निम्नलिखित परिभाषा हैः परिभाषा मान लीजिए कि यह एक परिमित समुच्चय है और मान लीजिए। सुगेनो-माप एक ऐसा कार्य है। अगर (वैकल्पिक रूप से) तब। एक परंपरा के रूप में, एक सिंगलटन सेट पर जी के मान को घनत्व कहा जाता है और इसके द्वारा दर्शाया जाता है। इसके अलावा, हमारे पास वह है जो संपत्ति को संतुष्ट करता है। ताहानी और केलर के साथ-साथ वांग और क्लिर ने दिखाया है कि एक बार घनत्व ज्ञात हो जाने के बाद, विशिष्ट रूप से मान प्राप्त करने के लिए पिछले बहुपद का उपयोग करना संभव है। के-एडिटिव फ़ज़ी माप के-एडिटिव फ़ज़ी माप उपसमुच्चय के बीच बातचीत को आकार तक सीमित करता है। यह अस्पष्ट माप को परिभाषित करने के लिए आवश्यक चर की संख्या को काफी कम कर देता है, और क्योंकि k 1 (जिस मामले में अस्पष्ट माप योगात्मक है) से X तक कुछ भी हो सकता है, यह मॉडलिंग क्षमता और सरलता के बीच एक समझौते की अनुमति देता है। परिभाषा एक सेट X पर एक असतत अस्पष्ट माप g को k-योजक () कहा जाता है यदि इसका मोबियस प्रतिनिधित्व, जब भी किसी के लिए, सत्यापित करता है, और k तत्वों के साथ एक सबसेट F मौजूद है। शेपली और अंतःक्रिया सूचकांक खेल सिद्धांत में, शेपली मान या शेपली सूचकांक का उपयोग खेल के वजन को इंगित करने के लिए किया जाता है। प्रत्येक सिंगलटन के महत्व का कुछ संकेत देने के लिए अस्पष्ट उपायों के लिए शेपली मानों की गणना की जा सकती है। योजक अस्पष्ट मापों के मामले में, शेपली मान प्रत्येक सिंगलटन के समान होगा। एक दिए गए अस्पष्ट माप के लिए जी, और, प्रत्येक के लिए शेपली सूचकांक हैः शेपली मान वेक्टर है संभावना सिद्धांत भी देखें संभावना सिद्धांत संदर्भ आगे पढ़ने के लिए बेलियाकोव, प्रडेरा और काल्वो, एकत्रीकरण कार्यः व्यवहारियों के लिए एक गाइड, स्प्रिंगर, न्यूयॉर्क 2007। वांग, झेनयुआन, और, जॉर्ज जे. क्लिर, फजी मेजर थ्योरी, प्लेनम प्रेस, न्यूयॉर्क, 1991। बाहरी लिंक अस्पष्ट छवि प्रसंस्करण पर अस्पष्ट माप सिद्धांत विदेशी संभावनाएं माप सिद्धांत अस्पष्ट तर्क