Prime model
गणित में, और विशेष रूप से मॉडल सिद्धांत में, एक प्रमुख मॉडल एक ऐसा मॉडल है जो जितना संभव हो उतना सरल है। विशेष रूप से, एक मॉडल प्रमुख है यदि यह किसी भी मॉडल में एक प्राथमिक एम्बेडिंग को स्वीकार करता है जिसके लिए यह मौलिक रूप से समतुल्य है (यानी, किसी भी मॉडल में जो उसी पूर्ण सिद्धांत को संतुष्ट करता है)। कार्डिनलिटी संतृप्त मॉडल की धारणा के विपरीत, प्रमुख मॉडल लोवेनहेम-स्कोलेम प्रमेय द्वारा बहुत विशिष्ट कार्डिनलिटी तक सीमित हैं। यदि कार्डिनलिटी के साथ एक प्रथम क्रम की भाषा है और एक पूर्ण सिद्धांत है तो यह प्रमेय कार्डिनलिटी के लिए एक मॉडल की गारंटी देता है इसलिए किसी भी प्राइम मॉडल में बड़ी कार्डिनलिटी नहीं हो सकती है क्योंकि कम से कम इसे ऐसे मॉडल में मौलिक रूप से अंतर्निहित किया जाना चाहिए। यह अभी भी वास्तविक कार्डिनलिटी में बहुत अस्पष्टता छोड़ता है। गणना योग्य भाषाओं के मामले में, सभी प्रमुख मॉडल अधिक से अधिक गणना योग्य रूप से अनंत हैं। संतृप्त मॉडल के साथ संबंध अभाज्य और संतृप्त मॉडल की परिभाषाओं के बीच एक द्वंद्व है। इस द्वंद्व के आधे हिस्से की चर्चा संतृप्त मॉडल पर लेख में की गई है, जबकि दूसरा आधा इस प्रकार है। जबकि एक संतृप्त मॉडल यथासंभव कई प्रकारों का अनुभव करता है, एक प्रमुख मॉडल जितना संभव हो उतना कम का अनुभव करता हैः यह एक परमाणु मॉडल है, जो केवल उन प्रकारों का अनुभव करता है जिन्हें छोड़ा नहीं जा सकता है और शेष को छोड़ देता है। इसकी व्याख्या इस अर्थ में की जा सकती है कि एक प्रमुख मॉडल "नो फ्रिल्स" स्वीकार करता हैः एक मॉडल की कोई भी विशेषता जो वैकल्पिक है, उसे इसमें नजरअंदाज कर दिया जाता है। उदाहरण के लिए, मॉडल एक उत्तराधिकारी ऑपरेशन S के साथ प्राकृतिक संख्या N के सिद्धांत का एक प्रमुख मॉडल है; एक गैर-प्राथमिक मॉडल का अर्थ यह हो सकता है कि पूर्ण पूर्णांकों की एक प्रति है जो इस मॉडल के भीतर प्राकृतिक संख्याओं की मूल प्रति से अलग है; इस ऐड-ऑन में, अंकगणित हमेशा की तरह काम करता है। ये मॉडल मौलिक रूप से समतुल्य हैं; उनका सिद्धांत निम्नलिखित स्वयंसिद्धीकरण (मौखिक रूप से) को स्वीकार करता हैः एक अद्वितीय तत्व है जो किसी भी तत्व का उत्तराधिकारी नहीं है; किसी भी दो अलग-अलग तत्वों का एक ही उत्तराधिकारी नहीं है; कोई भी तत्व Sn (x) = x को n> 0 से संतुष्ट नहीं करता है। ये, वास्तव में, पीनो के दो स्वयंसिद्ध हैं, जबकि तीसरा प्रेरण द्वारा पहले से अनुसरण करता है (पीनो के स्वयंसिद्धों में से एक और)। इस सिद्धांत के किसी भी मॉडल में प्राकृतिक संख्याओं के अलावा पूर्ण पूर्णांकों की असंबद्ध प्रतियां होती हैं, क्योंकि एक बार जब कोई 0 से एक उप-मॉडल उत्पन्न करता है तो सभी शेष बिंदु पूर्ववर्तियों और उत्तराधिकारियों दोनों को अनिश्चित काल के लिए स्वीकार करते हैं। यह एक प्रमाण की रूपरेखा है जो एक प्रमुख मॉडल है। संदर्भ गणितीय तर्क मॉडल सिद्धांत