Leslie matrix
लेस्ली मैट्रिक्स जनसंख्या वृद्धि का एक असतत, आयु-संरचित मॉडल है जो पैट्रिक एच. लेस्ली के नाम पर जनसंख्या पारिस्थितिकी में बहुत लोकप्रिय है। लेस्ली मैट्रिक्स (जिसे लेस्ली मॉडल भी कहा जाता है) आबादी के विकास (और उनके अनुमानित आयु वितरण) का वर्णन करने के सबसे प्रसिद्ध तरीकों में से एक है, जिसमें एक आबादी प्रवास के लिए बंद है, एक असीमित वातावरण में बढ़ रही है, और जहां केवल एक लिंग, आमतौर पर महिला, माना जाता है। लेस्ली मैट्रिक्स का उपयोग पारिस्थितिकी में समय की अवधि में जीवों की आबादी में परिवर्तनों को मॉडल करने के लिए किया जाता है। लेस्ली मॉडल में, जनसंख्या को आयु वर्गों के आधार पर समूहों में विभाजित किया गया है। एक समान मॉडल जो ऑन्टोजेनेटिक चरणों के साथ आयु वर्गों को प्रतिस्थापित करता है, उसे लेफकोविच मैट्रिक्स कहा जाता है, जिसके द्वारा व्यक्ति दोनों एक ही चरण वर्ग में रह सकते हैं या अगले चरण में जा सकते हैं। प्रत्येक समय चरण में, जनसंख्या को प्रत्येक आयु वर्ग के लिए एक तत्व के साथ एक वेक्टर द्वारा दर्शाया जाता है जहां प्रत्येक तत्व वर्तमान में उस वर्ग में व्यक्तियों की संख्या को इंगित करता है। लेस्ली मैट्रिक्स एक वर्ग मैट्रिक्स है जिसमें पंक्तियों और स्तंभों की संख्या उतनी ही होती है जितनी जनसंख्या सदिश में तत्व होते हैं। मैट्रिक्स में (आई, जे) वीं कोशिका इंगित करती है कि चरण जे में प्रत्येक व्यक्ति के लिए अगले समय चरण में आयु वर्ग I में कितने व्यक्ति होंगे। प्रत्येक समय चरण में, जनसंख्या सदिश को लेस्ली मैट्रिक्स द्वारा गुणा किया जाता है ताकि बाद के समय चरण के लिए जनसंख्या सदिश उत्पन्न किया जा सके। एक मैट्रिक्स बनाने के लिए, जनसंख्या से निम्नलिखित जानकारी जानी जानी चाहिएः, प्रत्येक आयु वर्ग x के व्यक्तियों (एन) की गिनती, आयु वर्ग x से आयु वर्ग x + 1 तक जीवित रहने वाले व्यक्तियों का अंश, प्रजनन क्षमता, आयु वर्ग x की माँ से पैदा होने वाली महिला संतानों की प्रति व्यक्ति औसत संख्या। अधिक सटीक रूप से, इसे अगली आयु वर्ग में उत्पादित संतानों की संख्या के रूप में देखा जा सकता है जो अगली आयु वर्ग तक पहुंचने की संभावना से भारित होती है। इसलिए, इन टिप्पणियों से कि समय t + 1 केवल पिछले समय चरण से पैदा हुई सभी संतानों का योग है और समय t + 1 तक जीवित रहने वाले जीव समय t पर संभाव्यता पर जीवित रहने वाले जीव हैं, एक प्राप्त करता है। इसका तात्पर्य निम्नलिखित मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व से हैः जनसंख्या में अधिकतम आयु कहाँ प्राप्त की जा सकती है। इसे इस प्रकार लिखा जा सकता हैः याः जहाँ समय t पर जनसंख्या सदिश है और यह लेस्ली मैट्रिक्स है। प्रमुख आइगेनवैल्यू, निरूपित, जनसंख्या की एसिम्प्टोटिक वृद्धि दर (स्थिर आयु वितरण पर विकास दर) देता है। संबंधित आइगेनवेक्टर स्थिर आयु वितरण प्रदान करता है, जनसंख्या के भीतर प्रत्येक आयु के व्यक्तियों का अनुपात, जो महत्वपूर्ण दरों में परिवर्तन को छोड़कर एसिम्प्टोटिक विकास के इस बिंदु पर स्थिर रहता है। एक बार स्थिर आयु वितरण तक पहुँच जाने के बाद, जनसंख्या में तेजी से वृद्धि होती है। मैट्रिक्स की विशेषता बहुपद यूलर-लोटका समीकरण द्वारा दी गई है। लेस्ली मॉडल एक असतत-समय मार्कोव श्रृंखला के समान है। मुख्य अंतर यह है कि एक मार्कोव मॉडल में, प्रत्येक के लिए एक होगा, जबकि लेस्ली मॉडल में ये राशि 1 से अधिक या कम हो सकती है। स्थिर आयु संरचना यह आयु-संरचित विकास मॉडल एक स्थिर-स्थिति, या स्थिर, आयु-संरचना और विकास दर का सुझाव देता है। प्रारंभिक जनसंख्या के आकार, या आयु वितरण के बावजूद, जनसंख्या इस आयु-संरचना और विकास दर के प्रति असिंप्टोटिक रूप से प्रवृत्त होती है। यह गड़बड़ी के बाद इस स्थिति में भी लौटता है। यूलर-लोटका समीकरण आंतरिक विकास दर की पहचान करने का एक साधन प्रदान करता है। स्थिर आयु-संरचना विकास दर और उत्तरजीविता कार्य (अर्थात) दोनों द्वारा निर्धारित की जाती है। लेस्ली मैट्रिक्स)। उदाहरण के लिए, एक बड़ी आंतरिक विकास दर वाली आबादी में असमान रूप से "युवा" आयु-संरचना होगी। सभी उम्र में उच्च मृत्यु दर वाली जनसंख्या (अर्थात। कम उत्तरजीविता) की आयु-संरचना समान होगी। यादृच्छिक लेस्ली मॉडल जनसंख्या वृद्धि दर का एक सामान्यीकरण है जब एक लेस्ली मैट्रिक्स में यादृच्छिक तत्व होते हैं जो सहसंबद्ध हो सकते हैं। महत्वपूर्ण मापदंडों में विकार, या अनिश्चितताओं को चिह्नित करते समय; रैखिक गैर-नकारात्मक यादृच्छिक मैट्रिक्स अंतर समीकरणों से निपटने के लिए एक अव्यवस्थित औपचारिकता का उपयोग किया जाना चाहिए। फिर गैर-तुच्छ, प्रभावी आइगेनवैल्यू जो मीन-वैल्यू पॉपुलेशन स्टेट वेक्टर की दीर्घकालिक एसिम्प्टोटिक डायनामिक्स को परिभाषित करता है, को प्रभावी विकास दर के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है। इस आइगेनवैल्यू और संबंधित मीन-वैल्यू इनवेरिएंट स्टेट वेक्टर की गणना एक धर्मनिरपेक्ष बहुपद के सबसे छोटे सकारात्मक मूल और मीन-वैल्यूड ग्रीन फ़ंक्शन के अवशेष से की जा सकती है। इस प्रकार विकार के कई मॉडलों के लिए सटीक और विचलित करने वाले परिणामों का विश्लेषण किया जा सकता है। संदर्भ आगे पढ़ने के लिए जनसंख्या पारिस्थितिकी मैट्रिक्स