Supplee's paradox
सापेक्षवादी भौतिकी में, सप्ली का विरोधाभास (जिसे पनडुब्बी विरोधाभास भी कहा जाता है) एक भौतिक विरोधाभास है जो एक सापेक्षवादी गोली (या एक पनडुब्बी में) पर लगाए गए उत्प्लावन बल पर विचार करते समय उत्पन्न होता है जो एक परिवेशी गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के विषय में एक तरल पदार्थ में डूबा होता है। यदि एक गोली में तटस्थ उत्प्लावनता होती है जब वह एक पूर्ण तरल पदार्थ में आराम करती है और फिर इसे सापेक्ष गति के साथ लॉन्च किया जाता है, तो तरल पदार्थ के भीतर आराम करने वाले पर्यवेक्षकों का निष्कर्ष होगा कि गोली को डूब जाना चाहिए, क्योंकि लंबाई के संकुचन प्रभाव के कारण इसका घनत्व बढ़ जाएगा। दूसरी ओर, गोली के उचित ढांचे में यह गतिशील तरल पदार्थ होता है जो घना हो जाता है और इसलिए गोली तैरती है। लेकिन गोली एक फ्रेम में डूब नहीं सकती और दूसरे में तैर नहीं सकती, इसलिए एक विरोधाभासी स्थिति है। विरोधाभास को पहली बार जेम्स एम. सप्ली (1989) द्वारा तैयार किया गया था, जहाँ एक गैर-कठोर व्याख्या प्रस्तुत की गई थी। जॉर्ज मात्सास ने सामान्य सापेक्षता के दायरे में इस विरोधाभास का विश्लेषण किया है और यह भी बताया है कि ये सापेक्षवादी उत्प्लावन प्रभाव ब्लैक होल के ऊष्मागतिकी के संबंध में कुछ प्रश्नों में महत्वपूर्ण हो सकते हैं। विशेष और सामान्य सापेक्षता सिद्धांत दोनों के माध्यम से सप्ली के विरोधाभास की एक व्यापक व्याख्या विएरा द्वारा प्रस्तुत की गई थी। हर्वोजे निकोलिक ने देखा कि पनडुब्बी की कठोरता आवश्यक नहीं है और एक सामान्य सापेक्षवादी विश्लेषण प्रस्तुत किया जिससे पता चलता है कि विरोधाभास इस तथ्य से हल होता है कि पनडुब्बी का प्रासंगिक वेग पृथ्वी (जो गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र का स्रोत है) के सापेक्ष है, न कि पर्यवेक्षक के सापेक्ष। विश्लेषण को सरल बनाने के लिए, खिंचाव और चिपचिपाहट की उपेक्षा करना और यहां तक कि यह मान लेना भी प्रथागत है कि तरल पदार्थ में निरंतर घनत्व है। एक समान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के अधीन तरल पदार्थ के पात्र में डूबी हुई एक छोटी सी वस्तु, तरल पदार्थ के समान आयतन पर शुद्ध नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण बल की तुलना में, शुद्ध नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण बल के अधीन होगी। यदि वस्तु द्रव की तुलना में कम घनी है, तो इन दो वैक्टरों के बीच का अंतर एक ऊपर की ओर इंगित करने वाला वेक्टर, उत्प्लावक बल है, और वस्तु ऊपर उठेगी। अगर चीजें दूसरी तरह से होती हैं, तो यह डूब जाएगी। यदि वस्तु और द्रव का घनत्व समान है, तो कहा जाता है कि वस्तु में तटस्थ उत्प्लावनता है और यह न तो बढ़ेगी और न ही डूब जाएगी। संकल्प प्रस्ताव यह देखने के लिए आता है कि सामान्य आर्किमिडीज़ सिद्धांत को सापेक्ष मामले में लागू नहीं किया जा सकता है। यदि सापेक्षता के सिद्धांत को शामिल बलों का विश्लेषण करने के लिए सही ढंग से नियोजित किया जाता है, तो कोई वास्तविक विरोधाभास नहीं होगा। सप्ली ने स्वयं यह निष्कर्ष निकाला कि गोली पर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण उत्प्लावन बलों के अधिक सावधानीपूर्वक विश्लेषण के साथ विरोधाभास को हल किया जा सकता है। इस उचित (लेकिन न्यायोचित नहीं) धारणा को ध्यान में रखते हुए कि गुरुत्वाकर्षण बल पिंडों की गतिज ऊर्जा सामग्री पर निर्भर करता है, सप्ली ने दिखाया कि गोली त्वरण के साथ द्रव के साथ आराम से फ्रेम में डूब जाती है, जहां गुरुत्वाकर्षण त्वरण है और लॉरेंट्ज़ कारक है। गोली के उचित संदर्भ फ्रेम में, वही परिणाम यह ध्यान में रखते हुए प्राप्त किया जाता है कि यह फ्रेम जड़त्वीय नहीं है, जिसका अर्थ है कि कंटेनर का आकार अब सपाट नहीं होगा, इसके विपरीत, समुद्र का तल ऊपर की ओर घुमावदार हो जाता है, जिसके परिणामस्वरूप गोली समुद्र की सतह से बहुत दूर हो जाती है, यानी गोली अपेक्षाकृत डूब जाती है। सप्ली द्वारा विचार की गई गैर-न्यायोचित धारणा कि गोली पर गुरुत्वाकर्षण बल इसकी ऊर्जा सामग्री पर निर्भर होना चाहिए, जॉर्ज मात्सास द्वारा समाप्त कर दिया गया था, जिन्होंने सप्ली विरोधाभास की व्याख्या करने के लिए सामान्य सापेक्षता के पूर्ण गणितीय तरीकों का उपयोग किया और सप्ली के परिणामों से सहमत हुए। विशेष रूप से, उन्होंने एक रिंडलर चार्ट का उपयोग करके स्थिति का प्रतिरूपण किया, जहां एक पनडुब्बी को बाकी से एक दिए गए वेग बनाम मात्सास तक बढ़ाया जाता है, निष्कर्ष निकाला कि विरोधाभास को इस बात पर ध्यान देकर हल किया जा सकता है कि द्रव के ढांचे में, गोली का आकार बदल जाता है, और वही परिणाम प्राप्त किया जो सप्ली द्वारा प्राप्त किया गया था। मात्सास ने ब्लैक होल के ऊष्मागतिकी से जुड़े कुछ प्रश्नों पर प्रकाश डालने के लिए इसी तरह के विश्लेषण को लागू किया है। अंत में, विएरा ने हाल ही में विशेष और सामान्य सापेक्षता दोनों के माध्यम से पनडुब्बी विरोधाभास का विश्लेषण किया है। पहले मामले में, उन्होंने दिखाया कि पानी के नीचे चलती पनडुब्बी में कार्य करने वाले बलों का वर्णन करने के लिए गुरुत्वाकर्षण चुंबकीय प्रभावों को ध्यान में रखा जाना चाहिए। जब इन प्रभावों पर विचार किया जाता है, तो एक सापेक्षतावादी आर्किमिडीज़ सिद्धांत तैयार किया जा सकता है, जिससे उन्होंने दिखाया कि पनडुब्बी को दोनों फ्रेमों में डूबना चाहिए। विएरा ने पृथ्वी की निकटता में एक घुमावदार अंतरिक्ष-समय के मामले पर भी विचार किया। इस मामले में उन्होंने माना कि अंतरिक्ष-समय को लगभग एक सपाट स्थान लेकिन एक घुमावदार समय के रूप में माना जा सकता है। उन्होंने दिखाया कि इस मामले में पृथ्वी और एक गतिशील पिंड के बीच गुरुत्वाकर्षण बल शरीर की गति के साथ उसी तरह बढ़ता है जैसे सप्ली () द्वारा माना जाता है, इस तरह से उनकी धारणा के लिए एक औचित्य प्रदान करता है। इस गति-निर्भर गुरुत्वाकर्षण बल के साथ फिर से विरोधाभास का विश्लेषण करते हुए, सप्ली विरोधाभास को समझाया गया है और परिणाम सप्ली और मात्सास द्वारा प्राप्त परिणामों से सहमत हैं। बेल्स स्पेसशिप पैराडॉक्स एहरेनफेस्ट 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