Desargues graph
ग्राफ सिद्धांत के गणितीय क्षेत्र में, डेसारग्यूज ग्राफ 20 शीर्षों और 30 किनारों के साथ एक दूरी-संक्रमणशील, घन ग्राफ है। इसका नाम गिरार्ड डेसारग्यूज के नाम पर रखा गया है, जो कई अलग-अलग संयोजन निर्माणों से उत्पन्न होता है, जिसमें उच्च स्तर की समरूपता होती है, यह एकमात्र ज्ञात गैर-समतल घन आंशिक घन है, और इसे रासायनिक डेटाबेस में लागू किया गया है। "डेसारग्यूज ग्राफ" नाम का उपयोग दस-वर्टेक्स ग्राफ को संदर्भित करने के लिए भी किया गया है, जो पीटरसन ग्राफ का पूरक है, जिसे 20-वर्टेक्स डेसारग्यूज ग्राफ के द्विदलीय आधे के रूप में भी बनाया जा सकता है। निर्माण डेसारग्यूज ग्राफ के निर्माण के कई अलग-अलग तरीके हैंः यह सामान्यीकृत पीटरसन ग्राफ है। इस तरह से डेसारग्यूज ग्राफ बनाने के लिए, दस शीर्षों को एक नियमित विकर्ण में जोड़ें, और अन्य दस शीर्षों को एक दस-नुकीले तारे में जोड़ें जो दूसरे विकर्ण में तीन की दूरी पर शीर्षों के जोड़े को जोड़ता है। डेसारग्यूज ग्राफ में इन दो बहुभुज के 20 किनारे होते हैं और एक अतिरिक्त 10 किनारे होते हैं जो एक विकर्ण के बिंदुओं को दूसरे के संबंधित बिंदुओं से जोड़ते हैं। यह डेसारग्यूज विन्यास का लेवी ग्राफ है। इस विन्यास में दस बिंदु और दस रेखाएँ होती हैं जो दो परिप्रेक्ष्य त्रिकोणों, उनकी परिप्रेक्ष्यता के केंद्र और उनकी परिप्रेक्ष्यता की धुरी का वर्णन करती हैं। डेसारग्यूज ग्राफ में प्रत्येक बिंदु के लिए एक शीर्ष, प्रत्येक रेखा के लिए एक शीर्ष और प्रत्येक आपतित बिंदु-रेखा जोड़ी के लिए एक किनारा होता है। डेसारग्यूज की प्रमेय, जिसका नाम 17वीं शताब्दी के फ्रांसीसी गणितशास्त्री जेरार्ड डेसारग्यूज के नाम पर रखा गया है, इस विन्यास को बनाने वाले बिंदुओं और रेखाओं के एक समूह का वर्णन करती है, और विन्यास और ग्राफ इसी से अपना नाम लेते हैं। यह पीटरसन ग्राफ का द्विदलीय दोहरा आवरण है, जो प्रत्येक पीटरसन ग्राफ शीर्ष को शीर्षों की एक जोड़ी और प्रत्येक पीटरसन ग्राफ किनारे को पार किए गए किनारों की एक जोड़ी द्वारा प्रतिस्थापित करके बनाया गया है। यह द्विदलीय नेसर ग्राफ है। इसके शीर्षों को दस दो-तत्व उपसमुच्चय और पांच-तत्व समुच्चय के दस तीन-तत्व उपसमुच्चय द्वारा चिह्नित किया जा सकता है, जिसमें दो शीर्षों को जोड़ने वाला एक किनारा होता है जब संबंधित समुच्चय में से एक दूसरे का उपसमुच्चय होता है। समान रूप से, डेसारग्यूज ग्राफ वजन 2 और वजन 3 के शीर्षों द्वारा निर्धारित 5-आयामी हाइपरक्यूब का प्रेरित उपग्राफ है। डेसारग्यूज ग्राफ हैमिल्टनियन है और इसे एल. सी. एफ. संकेतन से बनाया जा सकता हैः जैसा कि एर्डोस ने अनुमान लगाया कि, वजन के शीर्षों द्वारा प्रेरित-आयामी हाइपरक्यूब का उपग्राफ और हैमिल्टनियन है, डेसारग्यूस ग्राफ की हैमिल्टोनसिटी कोई आश्चर्य की बात नहीं है। (यह लोवाज़ के मजबूत अनुमान से भी मिलता है कि कुछ ज्ञात प्रति-उदाहरणों को छोड़कर, सभी शीर्ष-सकर्मक ग्राफों में हैमिल्टनियन चक्र होते हैं।) बीजगणितीय गुण डेसारग्यूज ग्राफ एक सममित ग्राफ हैः इसमें ऐसी समरूपता होती है जो किसी भी शीर्ष को किसी अन्य शीर्ष और किसी भी किनारे को किसी अन्य किनारे तक ले जाती है। एकर सममिति समूहक क्रम 240 छैक आ ई क्रम 2क समूहक सङ्ग 5 बिन्दु पर एकटा सममित समूहक गुणनक समरूप छैक। समरूपता समूह के इस उत्पाद प्रतिनिधित्व की व्याख्या डेसारग्यूज ग्राफ के निर्माण के संदर्भ में की जा सकती हैः पांच बिंदुओं पर सममित समूह डेसारग्यूज विन्यास का समरूपता समूह है, और क्रम-2 उपसमूह उन शीर्षों की भूमिकाओं की अदला-बदली करता है जो डेसारग्यूज विन्यास के बिंदुओं और रेखाओं का प्रतिनिधित्व करने वाले शीर्षों का प्रतिनिधित्व करते हैं। वैकल्पिक रूप से, द्विदलीय नेसर ग्राफ के संदर्भ में, पाँच बिंदुओं पर सममित समूह पाँच बिंदुओं के दो-तत्व और तीन-तत्व उपसमुच्चय पर अलग-अलग कार्य करता है, और उपसमुच्चय का पूरकता क्रम दो का एक समूह बनाता है जो एक प्रकार के उपसमुच्चय को दूसरे में बदल देता है। पाँच बिंदुओं पर सममित समूह भी पीटरसन ग्राफ का समरूपता समूह है, और क्रम-2 उपसमूह दोहरे आवरण निर्माण में बने शीर्षों की प्रत्येक जोड़ी के भीतर शीर्षों को बदल देता है। सामान्यीकृत पीटरसन ग्राफ शीर्ष-संक्रमणशील है यदि और केवल यदि और यदि और केवल निम्नलिखित सात मामलों में धार-संक्रमणशील हैः,,,,,,। इसलिए डेसारग्यूज ग्राफ केवल सात सममित सामान्यीकृत पीटरसन ग्राफों में से एक है। इन सात ग्राफों में घन ग्राफ, पीटरसन ग्राफ, मोबियस-कांटोर ग्राफ, डोडेकाहेड्रल ग्राफ और नौरू ग्राफ शामिल हैं। डेसारग्यूज ग्राफ की विशेषता बहुपद है इसलिए, डेसारग्यूज ग्राफ एक अभिन्न ग्राफ हैः इसके स्पेक्ट्रम में पूरी तरह से पूर्णांक होते हैं। रसायन विज्ञान में, डेसारग्यूज ग्राफ को डेसारग्यूज-लेवी ग्राफ के रूप में जाना जाता है; इसका उपयोग 5-लिगैंड यौगिकों के स्टीरियोआइसोमर्स की प्रणालियों को व्यवस्थित करने के लिए किया जाता है। इस अनुप्रयोग में, ग्राफ के तीस किनारे लिगेंड के छद्म रोटेशन के अनुरूप होते हैं। अन्य गुण डेसारग्यूज ग्राफ में आयताकार क्रॉसिंग संख्या 6 है, और यह उस क्रॉसिंग संख्या के साथ सबसे छोटा घन ग्राफ है। यह एकमात्र ज्ञात गैर-समतल घन आंशिक घन है। डेसारग्यूज ग्राफ में वर्णात्मक संख्या 2, वर्णात्मक सूचकांक 3, त्रिज्या 5, व्यास 5 और परिधि 6 है। यह एक 3-वर्टेक्स से जुड़ा हुआ और 3-किनारे से जुड़ा हैमिल्टनियन ग्राफ भी है। इसमें पुस्तक की मोटाई 3 और कतार संख्या 2 है। सभी घन दूरी-नियमित ग्राफ ज्ञात हैं। डेसारग्यूज ग्राफ ऐसे 13 ग्राफों में से एक है। डेसारग्यूज ग्राफ को विकर्ण चेहरों के साथ जीनस 6 के गैर-उन्मुख कई गुना में एक स्व-पेट्री दोहरे नियमित मानचित्र के रूप में एम्बेड किया जा सकता है। चित्रशाला संदर्भ व्यक्तिगत ग्राफ नियमित ग्राफ