Contorsion tensor
विभेदक ज्यामिति में कंटर्शन टेंसर इसमें मरोड़ के साथ और बिना संबंध के बीच का अंतर है। यह आमतौर पर स्पिन कनेक्शन के अध्ययन में दिखाई देता है। इस प्रकार, उदाहरण के लिए, एक स्पिन कनेक्शन के साथ एक वीलबीन, जब गायब होने वाले मरोड़ की स्थिति के अधीन होता है, तो आइंस्टीन गुरुत्वाकर्षण का विवरण देता है। सुपरसिमेट्री के लिए, गायब होने वाले मरोड़ की वही बाधा, 11-आयामी सुपरग्रेविटी (के क्षेत्र समीकरण) देती है। अर्थात्, संदूषण टेंसर, कनेक्शन के साथ, सिद्धांत की गतिशील वस्तुओं में से एक बन जाता है, जो मीट्रिक को एक माध्यमिक, व्युत्पन्न भूमिका में अवनत करता है। एक संबंध में मरोड़ के उन्मूलन को मरोड़ के अवशोषण के रूप में संदर्भित किया जाता है, और ज्यामितीय संरचनाओं की समानता स्थापित करने के लिए कार्टन की समतुल्यता विधि के चरणों में से एक है। मीट्रिक ज्यामिति में परिभाषा मीट्रिक ज्यामिति में, समोच्च टेंसर क्रिस्टोफेल प्रतीक के साथ एक मीट्रिक-संगत संबंध संबंध और उसी मीट्रिक के लिए अद्वितीय मरोड़-मुक्त लेवी-सिविटा संबंध के बीच के अंतर को व्यक्त करता है। कंटॉर्सन टेंसर को मरोड़ टेंसर के संदर्भ में परिभाषित किया गया है (एक संकेत तक, नीचे देखें) जहां सूचकांकों को मीट्रिक के संबंध में उठाया और कम किया जा रहा हैः कंटोरशन टेंसर की परिभाषा में गैर-स्पष्ट योग का कारण योग-राशि अंतर है जो मीट्रिक संगतता को लागू करता है। समोच्च तनाव पहले दो सूचकांकों में प्रतिसमितीय है, जबकि मरोड़ तनाव स्वयं अपने अंतिम दो सूचकांकों में प्रतिसमितीय है; यह नीचे दिखाया गया है। पूर्ण मीट्रिक संगत एफ़ाइन संबंध को इस प्रकार लिखा जा सकता हैः जहाँ मरोड़-मुक्त लेवी-सिविटा संबंधः एफ़ाइन ज्यामिति में परिभाषा एफ़ाइन ज्यामिति में, किसी के पास न तो मीट्रिक होता है और न ही मीट्रिक संबंध, और इसलिए कोई मांग पर सूचकांकों को बढ़ाने और कम करने के लिए स्वतंत्र नहीं होता है। सोल्डर फॉर्म का उपयोग करके अभी भी एक समान प्रभाव प्राप्त किया जा सकता है, जिससे बंडल अपने आधार स्थान पर क्या हो रहा है उससे संबंधित हो सकता है। यह एक स्पष्ट रूप से ज्यामितीय दृष्टिकोण है, जिसमें टेंसर अब केवल आधार स्थान पर परिभाषित अनुक्रमित बीजगणितीय वस्तुओं के बजाय फाइबर बंडल के ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज बंडलों में ज्यामितीय वस्तुएं हैं। इस मामले में, कोई एक समोच्च टेंसर का निर्माण कर सकता है, जो स्पर्शरेखा बंडल पर एक रूप के रूप में रहता है। याद रखें कि एक कनेक्शन के मरोड़ को व्यक्त किया जा सकता है कि टांके का रूप कहाँ है (टाउटोलॉजिकल वन-फॉर्म)। सबस्क्रिप्ट केवल एक अनुस्मारक के रूप में कार्य करता है कि यह मरोड़ टेंसर कनेक्शन से प्राप्त किया गया था। उपरोक्त खंड पर मरोड़ टेंसर पर सूचकांक को कम करने के लिए सादृश्य से, कोई भी टांका रूप के साथ एक समान ऑपरेशन कर सकता है, और एक टेंसर का निर्माण कर सकता है। इस टेंसर को इस रूप में व्यक्त किया जा सकता है कि मात्रा समोच्च रूप है और ठीक वही है जो मरोड़-मुक्त लेवी-सिविटा कनेक्शन प्राप्त करने के लिए एक मनमाने कनेक्शन में जोड़ने के लिए आवश्यक है। अर्थात्, एक एहरेसमैन कनेक्शन को देखते हुए, एक और कनेक्शन है जो मरोड़-मुक्त है। मरोड़ का गायब होना तब होने के बराबर होता है या इसे एक क्षेत्र समीकरण के रूप में देखा जा सकता है जो समोच्च टेंसर के संबंध की गतिशीलता से संबंधित है। व्युत्पत्ति जल्दी से एक मीट्रिक संगत संबंध संबंध प्राप्त करने का एक तरीका लेवी-सिविटा संबंध की व्युत्पत्ति में उपयोग किए गए योग-राशि अंतर विचार को दोहराना है, लेकिन मरोड़ को शून्य नहीं लेना है। नीचे एक व्युत्पत्ति दी गई है। व्युत्पत्ति के लिए परिपाटी (इस तरह से कनेक्शन गुणांक को परिभाषित करने के लिए चुनें। गेज सिद्धांत में प्रेरणा कनेक्शन-वन रूपों की है): हम मीट्रिक संगत स्थिति से शुरू करते हैंः अब हम योग-राशि अंतर का उपयोग करते हैं (स्थिति पर सूचकांकों का चक्र): अब हम कनेक्शन को फिर से लिखने के लिए नीचे दी गई मरोड़ टेंसर परिभाषा (एक होलोनोमिक फ्रेम के लिए) का उपयोग करते हैंः ध्यान दें कि मरोड़ की इस परिभाषा में कनेक्शन गुणांक के निचले सूचकांक क्रम के लिए उपरोक्त परंपरा का उपयोग करते समय सामान्य परिभाषा के रूप में विपरीत संकेत होता है, अर्थात। ज्यामिति पर नीचे दिए गए खंड में समन्वय-मुक्त परिभाषा के रूप में इसका विपरीत संकेत है। इस असंगति (जो साहित्य में आम प्रतीत होती है) को सुधारने से विपरीत संकेत के साथ एक समोच्च तनाव पैदा होगा। टॉरशन टेंसर परिभाषा को प्रतिस्थापित करें जो हमारे पास हैः इसे साफ करें और शब्दों की तरह संयोजन करें टॉरशन शब्द एक ऐसी वस्तु बनाने के लिए गठबंधन करते हैं जो टेंसोरियल रूप से बदल जाती है। चूँकि ये शब्द एक मीट्रिक संगत तरीके से एक साथ जुड़ते हैं, इसलिए उन्हें एक नाम दिया जाता है, कंटर्शन टेंसर, जो एक मीट्रिक संगत एफ़ाइन कनेक्शन के तिरछे-सममित भाग को निर्धारित करता है। हम इसे यहाँ इस प्रेरणा के साथ परिभाषित करेंगे कि यह उपरोक्त समीकरण के बाईं ओर के सूचकांकों से मेल खाता है। मरोड़ टेंसर की विरोधी समरूपता का उपयोग करके सफाई करने से वह प्राप्त होता है जिसे हम समोच्च टेंसर के रूप में परिभाषित करेंगेः इसे अपनी अभिव्यक्ति में वापस डालते हुए, हमारे पास हैः अब कनेक्शन गुणांक को अलग करें, और मरोड़ शब्दों को एक साथ समूहबद्ध करें। याद रखें कि आंशिक व्युत्पन्न के साथ पहला शब्द लेवी-सिविटा कनेक्शन अभिव्यक्ति है जिसका उपयोग अक्सर सापेक्षतावादियों द्वारा किया जाता है। निम्नलिखित सूट को मरोड़-मुक्त लेवी-सिविटा कनेक्शन के रूप में परिभाषित करेंः फिर हमारे पास यह है कि पूर्ण मीट्रिक संगत संबंध को अब इस प्रकार लिखा जा सकता हैः टेलीपैरलेलिज्म के साथ संबंध टेलीपैरलेलिज्म के सिद्धांत में, एक संबंध, वेट्ज़ेनबॉक कनेक्शन का सामना करना पड़ता है, जो सपाट है (रीमान वक्रता को गायब कर रहा है) लेकिन इसमें एक गैर-लुप्त होने वाला मरोड़ है। समतलता ठीक वही है जो समानांतर फ्रेम क्षेत्रों का निर्माण करने की अनुमति देता है। इन धारणाओं को सुपरमैनिफोल्ड तक बढ़ाया जा सकता है। बेलिनफैंट-रोसेनफेल्ड तनाव-ऊर्जा टेंसर संदर्भ टेंसर रीमानियन ज्यामिति कनेक्शन (गणित) भी देखें।