Linear complex structure
गणित में, एक वास्तविक सदिश स्थान V पर एक जटिल संरचना V की एक स्वरूपता है जो ऋणात्मक पहचान,-I के लिए वर्ग है। V पर ऐसी संरचना किसी को विहित तरीके से जटिल स्केलर द्वारा गुणन को परिभाषित करने की अनुमति देती है ताकि V को एक जटिल सदिश स्थान के रूप में माना जा सके। प्रत्येक जटिल वेक्टर स्थान को एक संगत जटिल संरचना से सुसज्जित किया जा सकता है, हालांकि, सामान्य रूप से ऐसी कोई विहित संरचना नहीं है। जटिल संरचनाओं के अनुप्रयोग प्रतिनिधित्व सिद्धांत के साथ-साथ जटिल ज्यामिति में भी होते हैं जहां वे जटिल मैनिफोल्ड के विपरीत लगभग जटिल मैनिफोल्ड की परिभाषा में एक आवश्यक भूमिका निभाते हैं। "जटिल संरचना" शब्द अक्सर कई गुना पर इस संरचना को संदर्भित करता है; जब यह वेक्टर रिक्त स्थान पर एक संरचना को संदर्भित करता है, तो इसे एक रैखिक जटिल संरचना कहा जा सकता है। परिभाषा और गुण एक वास्तविक सदिश स्थान V पर एक जटिल संरचना एक वास्तविक रैखिक परिवर्तन है जिसका अर्थ है स्वयं के साथ रचित और पहचान मानचित्र है। अर्थात्, दो बार लगाने का प्रभाव गुणा द्वारा करने के समान होता है। यह काल्पनिक इकाई द्वारा गुणा की याद दिलाता है। एक जटिल संरचना किसी को एक जटिल वेक्टर स्थान की संरचना के साथ संपन्न करने की अनुमति देती है। जटिल अदिश गुणन को सभी वास्तविक संख्याओं और सभी सदिशों के लिए परिभाषित किया जा सकता है। यह जांचा जा सकता है कि यह वास्तव में एक जटिल वेक्टर स्थान की संरचना देता है जिसे हम दर्शाते हैं। दूसरी दिशा में जाते हुए, यदि कोई एक जटिल सदिश स्थान से शुरू करता है तो सभी के लिए परिभाषित करके अंतर्निहित वास्तविक स्थान पर एक जटिल संरचना को परिभाषित किया जा सकता है। अधिक औपचारिक रूप से, एक वास्तविक सदिश स्थान पर एक रैखिक जटिल संरचना जटिल संख्याओं का एक बीजगणित प्रतिनिधित्व है, जिसे वास्तविक संख्याओं पर एक सहयोगी बीजगणित के रूप में माना जाता है। इस बीजगणित को ठोस रूप से महसूस किया जाता है जो इसके अनुरूप है। फिर एक प्रतिनिधित्व एक वास्तविक वेक्टर स्थान है, साथ में एक क्रिया के साथ (एक मानचित्र)। वास्तव में, यह केवल एक क्रिया है, क्योंकि यह बीजगणित उत्पन्न करता है, और ऑपरेटर (इन की छवि) का प्रतिनिधित्व करता है। यदि इसका आयाम जटिल है तो इसका वास्तविक आयाम होना चाहिए। अर्थात्, एक परिमित-आयामी स्थान एक जटिल संरचना को तभी स्वीकार करता है जब वह सम-आयामी हो। यह देखना कठिन नहीं है कि प्रत्येक सम-आयामी सदिश स्थान एक जटिल संरचना को स्वीकार करता है। कोई भी आधार वैक्टर के जोड़े को परिभाषित कर सकता है और फिर सभी के लिए रैखिकता द्वारा विस्तारित कर सकता है। यदि जटिल सदिश स्थान के लिए एक आधार है तो अंतर्निहित वास्तविक स्थान के लिए एक आधार है। एक वास्तविक रैखिक परिवर्तन संबंधित जटिल स्थान का एक जटिल रैखिक परिवर्तन है यदि और केवल तभी जब इसके साथ आवागमन होता है, अर्थात। यदि और केवल यदि इसी तरह, का एक वास्तविक उपक्षेत्र एक जटिल उपक्षेत्र है यदि और केवल यदि संरक्षित किया जाता है, अर्थात। यदि और केवल यदि उदाहरण प्राथमिक उदाहरण वास्तविक क्षेत्र पर 2x2 वास्तविक मैट्रिक्स M (2, R) का संग्रह 4-आयामी है। a2 + bc =-1 वाले किसी भी मैट्रिक्स का वर्ग पहचान मैट्रिक्स के ऋणात्मक के बराबर होता है। एक जटिल संरचना M (2, R) में बनाई जा सकती हैः पहचान मैट्रिक्स I के साथ, तत्व x I + y J, मैट्रिक्स गुणन के साथ जटिल संख्याएँ बनाते हैं। एक रैखिक जटिल संरचना का मौलिक उदाहरण R2n पर संरचना है जो Cn पर जटिल संरचना से आती है। अर्थात्, जटिल n-आयामी स्थान Cn भी एक वास्तविक 2n-आयामी स्थान है-एक ही सदिश जोड़ और वास्तविक अदिश गुणन का उपयोग करते हुए-जबकि जटिल संख्या i द्वारा गुणन न केवल अंतरिक्ष का एक जटिल रैखिक परिवर्तन है, जिसे एक जटिल सदिश स्थान के रूप में माना जाता है, बल्कि अंतरिक्ष का एक वास्तविक रैखिक परिवर्तन भी है, जिसे एक वास्तविक सदिश स्थान के रूप में माना जाता है। ठोस रूप से, ऐसा इसलिए है क्योंकि i द्वारा स्केलर गुणन वास्तविक संख्याओं द्वारा स्केलर गुणन के साथ परिवर्तित होता है-और वेक्टर जोड़ में वितरित होता है। एक जटिल n × n मैट्रिक्स के रूप में, यह केवल विकर्ण पर i के साथ स्केलर मैट्रिक्स है। संबंधित वास्तविक 2n × 2n मैट्रिक्स को J दर्शाया जाता है। जटिल स्थान के लिए एक आधार दिए जाने पर, यह समुच्चय, इन वैक्टरों के साथ i से गुणा करके, वास्तविक स्थान के लिए एक आधार बनाता है। इस आधार को क्रमबद्ध करने के दो प्राकृतिक तरीके हैं, जो अमूर्त रूप से इस बात के अनुरूप हैं कि क्या कोई टेंसर उत्पाद को के रूप में या इसके बजाय के रूप में लिखता है यदि कोई आधार का आदेश देता है तो J के लिए मैट्रिक्स ब्लॉक विकर्ण रूप लेता है (आयाम को इंगित करने के लिए जोड़े गए अंश): इस क्रम का लाभ यह है कि यह जटिल वेक्टर रिक्त स्थान के प्रत्यक्ष योग का सम्मान करता है, जिसका अर्थ है कि यहाँ के लिए आधार उसी के समान है। वास्तविक सदिश स्थान और जे मैट्रिक्स का डेटा बिल्कुल जटिल सदिश स्थान के डेटा के समान है, क्योंकि जे मैट्रिक्स किसी को जटिल गुणन को परिभाषित करने की अनुमति देता है। लाइ अलजेब्रा और लाइ समूहों के स्तर पर, यह ग्ल (2एन, आर) में ग्ल (एन, सी) (लाइ अलजेब्रा-मैट्रिक्स, आवश्यक रूप से व्युत्क्रमणीय नहीं) और जीएल (2एन, आर) में जीएल (एन, सी) को शामिल करने के अनुरूप हैः समावेश जटिल संरचना को भूलने (और केवल वास्तविक रखने) के अनुरूप है, जबकि उपसमूह जीएल (एन, सी) को जे के साथ संचार करने वाले मैट्रिक्स के रूप में (समीकरणों में दिया जा सकता है): लाइ अलजेब्रा के बारे में संबंधित कथन यह है कि जटिल मैट्रिक्स का उप-बीजगणित ग्ल (एन, सी) वे हैं जिनका जे के साथ लाइ ब्रैकेट गायब हो जाता है, जिसका अर्थ है दूसरे शब्दों में, प्रत्यक्ष योग यदि V कोई वास्तविक सदिश स्थान है तो प्रत्यक्ष योग V पर एक विहित जटिल संरचना है जो द्वारा दी गई है। J का ब्लॉक मैट्रिक्स रूप है जहां V पर पहचान मानचित्र है। यह टेंसर उत्पाद पर जटिल संरचना से मेल खाता है अन्य संरचनाओं के साथ संगतता यदि एक द्विरेखीय रूप है तो हम कहते हैं कि यदि सभी के लिए संरक्षित है। एक समतुल्य लक्षण वर्णन यह है कि इसके संबंध में तिरछा-संयुग्म हैः यदि एक आंतरिक उत्पाद चालू है तो संरक्षित होता है यदि और केवल यदि एक ऑर्थोगोनल परिवर्तन है। इसी तरह, एक गैर-अपक्षयी, तिरछा-सममित रूप को संरक्षित करता है यदि और केवल अगर एक सिंप्लेक्टिक परिवर्तन (यानी, यदि) हो। सिंप्लेक्टिक रूपों के लिए और के बीच एक दिलचस्प संगतता स्थिति है जो सभी गैर-शून्य के लिए होती है। यदि यह शर्त पूरी हो जाती है, तो हम कहते हैं कि वश में करना (पर्यायवाची रूप सेः यह संबंध में वश में करना है; यह संबंध में वश में करना है; या यह कि जोड़ी वश में करना है)। एक सिंप्लेक्टिक रूप और एक रैखिक जटिल संरचना को देखते हुए, कोई भी एक संबंधित द्विरेखीय रूप को परिभाषित कर सकता है क्योंकि एक सिंप्लेक्टिक रूप गैर-अपक्षयी है, इसलिए संबंधित द्विरेखीय रूप भी है। संबंधित रूप को अगर और केवल तभी संरक्षित किया जाता है जब सिंप्लेक्टिक रूप है। इसके अलावा, यदि सिंप्लेक्टिक रूप को संरक्षित किया जाता है, तो संबंधित रूप सममित होता है। यदि जोड़ द्वारा नियंत्रित किया जाता है, तो संबंधित रूप सकारात्मक निश्चित है। इस प्रकार इस मामले में के संबंध में एक आंतरिक उत्पाद स्थान है। यदि सिंप्लेक्टिक रूप को संरक्षित किया जाता है (लेकिन आवश्यक रूप से वश में नहीं किया जाता है), तो हर्मिशियन रूप का वास्तविक हिस्सा (पहले तर्क में कन्वेंशन एंटीलिनियर द्वारा) है जिसे जटिलताओं के संबंध द्वारा परिभाषित किया जाता है किसी भी वास्तविक वेक्टर स्थान V को देखते हुए हम इसके जटिलता को स्केलर के विस्तार द्वारा परिभाषित कर सकते हैंः यह एक जटिल वेक्टर स्थान है जिसका जटिल आयाम V के वास्तविक आयाम के बराबर है। इसमें एक विहित जटिल संयुग्मन है जिसे परिभाषित किया गया है यदि J, V पर एक जटिल संरचना है, तो हम J को रैखिकता द्वारा VC तक बढ़ा सकते हैंः चूंकि C बीजगणितीय रूप से बंद है, J में ऐसे आइगेनवैल्यू होने की गारंटी है जो λ2 = −1 को संतुष्ट करते हैं, अर्थात् λ = ±i। इस प्रकार हम लिख सकते हैं कि जहाँ V + और V-क्रमशः + i और-i के आइगेनस्पेस हैं। जटिल संयुग्मन अंतर-विनिमय V + और V-करते हैं। इसलिए VJ और V + के बीच एक प्राकृतिक जटिल रैखिक समरूपता है, इसलिए इन सदिश रिक्त स्थान को समान माना जा सकता है, जबकि V− को VJ का जटिल संयुग्म माना जा सकता है। ध्यान दें कि यदि VJ का जटिल आयाम n है तो V + और V-दोनों का जटिल आयाम n है जबकि VC का जटिल आयाम 2n है। संक्षेप में, यदि कोई एक जटिल सदिश स्थान W से शुरू करता है और अंतर्निहित वास्तविक स्थान का जटिलता लेता है, तो वह W और उसके संयुग्म के प्रत्यक्ष योग के लिए एक समरूप स्थान प्राप्त करता हैः संबंधित सदिश स्थान तक विस्तार मान लीजिए कि V एक जटिल संरचना J के साथ एक वास्तविक सदिश स्थान है। दोहरे स्थान V * में एक प्राकृतिक जटिल संरचना J * है जो J के दोहरे (या ट्रांसपोज़) द्वारा दी गई है। इसलिए दोहरे स्थान (V *) C के जटिलता में J * के ±i आइगेनस्पेस में एक प्राकृतिक अपघटन होता है। (वीसी) * के साथ (वी *) सी की प्राकृतिक पहचान के तहत कोई भी (वी *) + को उन जटिल रैखिक कार्यों के रूप में चिह्नित कर सकता है जो वी-पर गायब हो जाते हैं। इसी तरह (V *)-में वे जटिल रैखिक कार्य होते हैं जो V + पर गायब हो जाते हैं। वी. सी. पर (जटिल) टेंसर, सममित और बाहरी बीजगणित भी अपघटन को स्वीकार करते हैं। बाहरी बीजगणित शायद इस अपघटन का सबसे महत्वपूर्ण अनुप्रयोग है। सामान्य तौर पर, यदि एक सदिश स्थान U एक अपघटन को स्वीकार करता है तो U की बाहरी शक्तियों को निम्नानुसार विघटित किया जा सकता हैः V पर एक जटिल संरचना J इसलिए एक अपघटन को प्रेरित करती है जहां सभी बाहरी शक्तियों को जटिल संख्याओं पर ले जाया जाता है। इसलिए यदि VJ का जटिल आयाम n (वास्तविक आयाम 2n) है तो आयाम वेंडरमोंडे की पहचान के परिणामस्वरूप सही ढंग से जुड़ जाते हैं। (p, q)-रूपों λp, q VJ * का स्थान VC पर (जटिल) बहुरेखीय रूपों का स्थान है जो सजातीय तत्वों पर गायब हो जाते हैं जब तक कि p, V + से और q, V− से न हो। λp, q VJ * को VJ से C तक के वास्तविक बहुरेखीय मानचित्रों के स्थान के रूप में भी माना जा सकता है जो p शब्दों में जटिल रैखिक और q शब्दों में संयुग्म-रैखिक हैं। इन विचारों के अनुप्रयोगों के लिए जटिल विभेदक रूप और लगभग जटिल कई गुना देखें। लगभग जटिल मैनिफोल्ड कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड कॉम्प्लेक्स डिफरेंशियल फॉर्म कॉम्प्लेक्स संयुग्म वेक्टर स्पेस हर्मिशियन संरचना वास्तविक संरचना संदर्भ कोबायाशी एस. और नोमिज़ु के., फ़ाउंडेशंस ऑफ़ डिफरेंशियल ज्योमेट्री, जॉन विली एंड संस, 1969. भी देखें। (जटिल संरचनाओं की चर्चा खंड II, अध्याय IX, खंड 1 में की गई है)। बुडिनिख, पी. और ट्रॉटमैन, ए. द स्पिनोरियल चेसबोर्ड, स्प्रिंगर-वेरलैग, 1988. (जटिल संरचनाओं की चर्चा खंड 3.1 में की गई है)। गोल्डबर्ग एस. आई., कर्वचर एंड होमोलॉजी, डोवर पब्लिकेशंस, 1982. (जटिल संरचनाओं और लगभग जटिल बहुगुणों की चर्चा खंड 5 में की गई है)। मैनीफोल्ड्स पर संरचनाएँ