Closeness (mathematics)
निकटता टोपोलॉजी और गणित में संबंधित क्षेत्रों में एक बुनियादी अवधारणा है। स्वाभाविक रूप से, हम कहते हैं कि दो समूह करीब हैं यदि वे मनमाने ढंग से एक दूसरे के करीब हैं। अवधारणा को स्वाभाविक रूप से एक मीट्रिक स्थान में परिभाषित किया जा सकता है जहां स्थान के तत्वों के बीच दूरी की धारणा को परिभाषित किया जाता है, लेकिन इसे टोपोलॉजिकल स्थानों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है जहां हमारे पास दूरी को मापने का कोई ठोस तरीका नहीं है। क्लोजर ऑपरेटर किसी दिए गए सेट को एक बंद सेट में मैप करके बंद कर देता है जिसमें मूल सेट और उसके करीब के सभी बिंदु होते हैं। निकटता की अवधारणा सीमा बिंदु से संबंधित है। परिभाषा एक मीट्रिक स्थान को देखते हुए एक बिंदु को एक सेट के करीब या निकट कहा जाता है, जहां एक बिंदु और एक सेट के बीच की दूरी को परिभाषित किया जाता है जहां inf का अर्थ है असीम। इसी तरह एक सेट को एक सेट के करीब कहा जाता है यदि कहाँ। गुण यदि एक बिंदु एक सेट और एक सेट के करीब है और करीब है (विपरीत सच नहीं है!)। एक बिंदु और एक समुच्चय के बीच निकटता को निरंतर कार्यों द्वारा संरक्षित किया जाता है दो समुच्चय के बीच निकटता को समान रूप से निरंतर कार्यों द्वारा संरक्षित किया जाता है एक बिंदु और एक समुच्चय के बीच निकटता संबंध। के बिंदुओं और उपसमुच्चय के बीच का संबंध एक निकटता संबंध है यदि यह निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता हैः मान लीजिए कि एक बिंदु के दो उपसमुच्चय हैं। अगर तब करीब है। यदि निकट है तो यदि निकट है और फिर निकट है तो निकट है या निकट है यदि निकट है और प्रत्येक बिंदु के लिए, निकट है, तो निकट है। टोपोलॉजिकल स्पेस में एक निकटता संबंध होता हैः एक बिंदु को एक सबसेट के करीब होने के लिए परिभाषित करना यदि और केवल तभी जब उपरोक्त शर्तों को संतुष्ट करता है। इसी तरह, एक निकटता संबंध के साथ एक सेट दिया गया है, एक उपसमुच्चय के समापन में होने के लिए एक बिंदु को परिभाषित करना यदि और केवल अगर कुराटोव्स्की समापन स्वयंसिद्धियों को संतुष्ट करने के करीब है। इस प्रकार, एक सेट पर एक निकटता संबंध को परिभाषित करना उस सेट पर एक टोपोलॉजी को परिभाषित करने के बराबर है। दो समुच्चयों के बीच निकटता संबंध मान लीजिए, और समुच्चय बनें। यदि और निकट हैं तो और यदि और निकट हैं तो और निकट हैं यदि और निकट हैं और फिर और निकट हैं यदि और निकट हैं तो या तो निकट हैं या और निकट हैं यदि और निकट हैं तो सामान्यीकृत परिभाषा एक समुच्चय और एक बिंदु के बीच निकटता संबंध को किसी भी स्थलाकृतिक स्थान के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। एक टोपोलॉजिकल स्थान और एक बिंदु को देखते हुए, इसे एक सेट के करीब कहा जाता है यदि। दो समुच्चयों के बीच निकटता संबंध को परिभाषित करने के लिए स्थलवैज्ञानिक संरचना बहुत कमजोर है और हमें एक समान संरचना का उपयोग करना होगा। एक समान स्थान को देखते हुए, सेट ए और बी को एक दूसरे के करीब कहा जाता है यदि वे सभी प्रवेश द्वारों को काटते हैं, यानी किसी भी दल यू के लिए, (ए × बी) θ यू खाली नहीं है। समान अंतरिक्ष संदर्भ सामान्य टोपोलॉजी भी देखें।