Logarithmically convex function
गणित में, एक फलन f लघुगणकीय रूप से उत्तल या अति-उत्तल है यदि, f के साथ लघुगणक की संरचना स्वयं एक उत्तल फलन है। परिभाषा मान लीजिए कि यह एक वास्तविक सदिश स्थान का उत्तल उपसमुच्चय है, और मान लीजिए कि यह गैर-ऋणात्मक मान लेने वाला फलन है। फिर हैः लॉगरिथमिक रूप से उत्तल यदि उत्तल है, और स्ट्रिक्टली लॉगरिथमिक रूप से उत्तल यदि स्ट्रिक्टली उत्तल है। यहाँ हम इस रूप में व्याख्या करते हैं। स्पष्ट रूप से, लघुगणकीय रूप से उत्तल है यदि और केवल तभी, जब सभी और सभी के लिए, निम्नलिखित दो समतुल्य स्थितियां होती हैंः इसी तरह, कड़ाई से लघुगणकीय रूप से उत्तल है यदि और केवल अगर, उपरोक्त दो अभिव्यक्तियों में, सख्त असमानता सभी के लिए होती है। उपरोक्त परिभाषा शून्य होने की अनुमति देती है, लेकिन यदि लघुगणकीय रूप से उत्तल है और कहीं भी गायब हो जाता है, तो यह शून्य के अंदर हर जगह गायब हो जाता है। समतुल्य स्थितियाँ यदि एक अंतराल पर परिभाषित एक अवकलनीय फलन है, तो लघुगणकीय रूप से उत्तल है यदि और केवल तभी जब निम्नलिखित शर्त सभी और अंदर के लिए होती हैः यह इस शर्त के बराबर है कि, जब भी और अंदर हैं और, इसके अलावा, कड़ाई से लघुगणकीय रूप से उत्तल है यदि और केवल तभी जब ये असमानताएँ हमेशा सख्त हों। यदि दो बार अवकलनीय है, तो यह लघुगणकीय रूप से उत्तल है यदि और केवल तभी जब, सभी के लिए, यदि असमानता हमेशा सख्त है, तो सख्ती से लघुगणकीय रूप से उत्तल है। हालाँकि, इसका उल्टा गलत हैः यह संभव है कि यह कड़ाई से लघुगणकीय रूप से उत्तल हो और कुछ के लिए, हमारे पास है। उदाहरण के लिए, यदि, तो सख्ती से लघुगणकीय रूप से उत्तल है, लेकिन। इसके अलावा, लघुगणकीय रूप से उत्तल है यदि और केवल तभी जब सभी के लिए उत्तल हो। पर्याप्त स्थितियाँ यदि लघुगणकीय रूप से उत्तल हैं, और यदि गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं, तो लघुगणकीय रूप से उत्तल हैं। यदि लघुगणकीय रूप से उत्तल फलन का कोई परिवार है, तो लघुगणकीय रूप से उत्तल है। यदि उत्तल है और लघुगणकीय रूप से उत्तल है और गैर-घटता है, तो लघुगणकीय रूप से उत्तल है। गुण एक लघुगणकीय उत्तल फलन f एक उत्तल फलन है क्योंकि यह बढ़ते उत्तल फलन और फलन का सम्मिश्रण है, जो परिभाषा के अनुसार उत्तल है। हालांकि, लॉगरिथमिक रूप से उत्तल होना उत्तल होने की तुलना में एक कड़ाई से मजबूत गुण है। उदाहरण के लिए, वर्ग फलन उत्तल है, लेकिन इसका लघुगणक नहीं है। इसलिए वर्ग फलन लघुगणकीय रूप से उत्तल नहीं है। उदाहरण लॉगरिदमिक रूप से उत्तल है जब और सख्ती से लॉगरिदमिक रूप से उत्तल है जब। सभी यूलर के गामा फलन के लिए कड़ाई से लघुगणकीय रूप से उत्तल है जब सकारात्मक वास्तविक संख्याओं तक सीमित होता है तो कड़ाई से लघुगणकीय रूप से उत्तल होता है। वास्तव में, बोहर-मोलरप प्रमेय द्वारा, इस गुण का उपयोग वास्तविक तर्कों के लिए भाज्य फलन के संभावित विस्तारों के बीच यूलर के गामा फलन को चिह्नित करने के लिए किया जा सकता है। लॉगरिदमिक रूप से अवतल फलन नोट्स संदर्भ जॉन बी. कॉनवे भी देखें। एक जटिल चर I, दूसरे संस्करण के कार्य। स्प्रिंगर-वेरलैग, 1995. .. .. वास्तविक विश्लेषण