Hille–Yosida theorem
कार्यात्मक विश्लेषण में, हिल-योसिडा प्रमेय बनाच रिक्त स्थान पर रैखिक प्रचालकों के दृढ़ता से निरंतर एक-पैरामीटर अर्धसमूहों के जनरेटर की विशेषता बताता है। यह कभी-कभी संकुचन अर्धसमूहों के विशेष मामले के लिए कहा जाता है, सामान्य मामले को फेलर-मियादेरा-फिलिप्स प्रमेय (विलियम फेलर, इसाओ मियादेरा और राल्फ फिलिप्स के बाद) कहा जाता है। मार्कोव प्रक्रियाओं के सिद्धांत में संकुचन अर्धसमूह मामले का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। अन्य परिदृश्यों में, निकटता से संबंधित ल्यूमर-फिलिप्स प्रमेय अक्सर यह निर्धारित करने में अधिक उपयोगी होता है कि क्या कोई दिया गया प्रचालक एक दृढ़ता से निरंतर संकुचन अर्धसमूह उत्पन्न करता है। इस प्रमेय का नाम गणितविदों एनार हिल और कोसाकु योसिदा के नाम पर रखा गया है जिन्होंने स्वतंत्र रूप से 1948 के आसपास परिणाम की खोज की थी। औपचारिक परिभाषाएँ यदि X एक बनाच स्थान है, तो X पर प्रचालक का एक-पैरामीटर अर्धसमूह प्रचालक का एक परिवार है जो गैर-नकारात्मक वास्तविक संख्याओं {T (t)} t ω [0, ω] पर अनुक्रमित है जैसे कि अर्धसमूह को दृढ़ता से निरंतर कहा जाता है, जिसे a (C0) अर्धसमूह भी कहा जाता है, यदि और केवल यदि मानचित्रण सभी x ω X के लिए निरंतर है, जहां [0, ω] में सामान्य टोपोलॉजी है और X में मानक टोपोलॉजी है। एक-पैरामीटर अर्धसमूह टी का असीम जनित्र एक प्रचालक ए है जिसे एक्स के संभवतः उचित उपक्षेत्र पर निम्नानुसार परिभाषित किया गया हैः ए का क्षेत्र x ω एक्स का ऐसा समुच्चय है जिसकी एक सीमा है क्योंकि एच दाईं ओर से 0 तक पहुंचता है। Ax का मान उपरोक्त सीमा का मान है। दूसरे शब्दों में, फलन के 0 पर अक्ष सही-व्युत्पन्न है एक दृढ़ता से निरंतर एक-पैरामीटर अर्धसमूह का असीम जनरेटर एक बंद रैखिक प्रचालक है जिसे X के घने रैखिक उपक्षेत्र पर परिभाषित किया गया है। हिल-योसिडा प्रमेय बनाच स्थान पर एक बंद रैखिक प्रचालक ए के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त प्रदान करता है कि वह एक दृढ़ता से निरंतर एक-पैरामीटर अर्धसमूह का असीम जनरेटर हो। प्रमेय का कथन मान लीजिए कि ए एक रैखिक प्रचालक है जिसे बनाच स्पेस एक्स के एक रैखिक उपक्षेत्र डी (ए), ω एक वास्तविक संख्या और एम> 0 पर परिभाषित किया गया है। फिर A एक दृढ़ता से निरंतर अर्धसमूह T उत्पन्न करता है जो तभी संतुष्ट होता है जब A बंद हो और D (A) X में घना हो, प्रत्येक वास्तविक λ> ω A के विलायक समुच्चय से संबंधित है और ऐसे λ और सभी सकारात्मक पूर्णांकों n के लिए, संकुचन अर्धसमूहों के लिए हिल-योसिडा प्रमेय सामान्य मामले में हिल-योसिडा प्रमेय मुख्य रूप से सैद्धांतिक महत्व का है क्योंकि प्रमेय के कथन में दिखाई देने वाले विलायक प्रचालक की शक्तियों पर अनुमानों को आमतौर पर ठोस उदाहरणों में नहीं जांचा जा सकता है। संकुचन अर्धसमूहों के विशेष मामले में (उपरोक्त प्रमेय में M = 1 और ω = 0) केवल n = 1 मामले की जांच की जानी चाहिए और प्रमेय भी कुछ व्यावहारिक महत्व का हो जाता है। संकुचन अर्धसमूहों के लिए हिल-योसिडा प्रमेय का स्पष्ट कथन हैः मान लीजिए कि ए एक रैखिक प्रचालक है जिसे बनाच स्पेस एक्स के रैखिक उपक्षेत्र डी (ए) पर परिभाषित किया गया है। फिर A एक संकुचन अर्धसमूह उत्पन्न करता है यदि और केवल यदि A बंद है और D (A) X में घना है, तो प्रत्येक वास्तविक λ> 0 A के विलायक समूह से संबंधित है और ऐसे λ के लिए, एक-पैरामीटर एकात्मक समूहों पर C0 अर्धसमूह ल्यूमेर-फिलिप्स प्रमेय भी देखें।