Autoregressive integrated moving average
सांख्यिकी और अर्थशास्त्र में, और विशेष रूप से समय श्रृंखला विश्लेषण में, एक ऑटोरेग्रेसिव इंटीग्रेटेड मूविंग एवरेज (एआरआईएमए) मॉडल एक ऑटोरेग्रेसिव मूविंग एवरेज (एआरएमए) मॉडल का सामान्यीकरण है। डेटा को बेहतर ढंग से समझने या आगामी श्रृंखला बिंदुओं का पूर्वानुमान लगाने के लिए, ये दोनों मॉडल समय श्रृंखला डेटा के लिए उपयुक्त हैं। ए. आर. आई. एम. ए. मॉडल को कुछ मामलों में लागू किया जाता है जहां डेटा माध्य के अर्थ में गैर-स्थिरता का प्रमाण दिखाता है (लेकिन भिन्नता/स्व-सहप्रसरण नहीं), जहां एक प्रारंभिक भिन्नता चरण (मॉडल के "एकीकृत" भाग के अनुरूप) को एक या अधिक बार लागू किया जा सकता है ताकि माध्य फलन (यानी प्रवृत्ति) की गैर-स्थिरता को समाप्त किया जा सके। जब मौसमीता एक समय श्रृंखला में दिखाई देती है, तो मौसमी घटक को खत्म करने के लिए मौसमी-अंतर लागू किया जा सकता है। चूँकि ए. आर. एम. ए. मॉडल, वोल्ड के अपघटन प्रमेय के अनुसार, सैद्धांतिक रूप से एक नियमित (ए. के. ए.) का वर्णन करने के लिए पर्याप्त है। विशुद्ध रूप से गैर-निर्धारक) व्यापक-भावना स्थिर समय श्रृंखला, हम स्थिर को एक गैर-स्थिर समय श्रृंखला बनाने के लिए प्रेरित हैं, उदाहरण के लिए, ए. आर. एम. ए. मॉडल का उपयोग करने से पहले, भिन्नता का उपयोग करके। ध्यान दें कि यदि समय श्रृंखला में एक अनुमानित उप-प्रक्रिया है (उर्फ। शुद्ध साइन या जटिल-मूल्यवान घातीय प्रक्रिया), अनुमानित घटक को ए. आर. आई. एम. ए. ढांचे में एक गैर-शून्य-अर्थ लेकिन आवधिक (यानी, मौसमी) घटक के रूप में माना जाता है ताकि इसे मौसमी भिन्नता द्वारा समाप्त किया जा सके। ए. आर. आई. एम. ए. का स्वतःगामी () भाग इंगित करता है कि ब्याज का विकसित होने वाला चर अपने स्वयं के विलंबित (यानी पूर्व) मूल्यों पर प्रतिगामी होता है। चलती औसत () भाग इंगित करता है कि प्रतिगमन त्रुटि वास्तव में त्रुटि शब्दों का एक रैखिक संयोजन है जिसके मान समकालीन रूप से और अतीत में विभिन्न समय पर हुए थे। ("एकीकृत" के लिए) इंगित करता है कि डेटा मूल्यों को उनके मूल्यों और पिछले मूल्यों के बीच के अंतर से बदल दिया गया है (और यह भिन्नता प्रक्रिया एक से अधिक बार की गई हो सकती है)। इनमें से प्रत्येक विशेषता का उद्देश्य मॉडल को यथासंभव डेटा के अनुरूप बनाना है। गैर-मौसमी ए. आर. आई. एम. ए. मॉडल को आम तौर पर ए. आर. आई. एम. ए. (पी, डी, क्यू) के रूप में दर्शाया जाता है, जहां पैरामीटर पी, डी और क्यू गैर-नकारात्मक पूर्णांक हैं, पी स्वतःगामी मॉडल का क्रम (समय अंतराल की संख्या) है, डी भिन्नता की डिग्री है (डेटा के पिछले मूल्यों को घटाने की संख्या), और क्यू गतिशील-औसत मॉडल का क्रम है। मौसमी ए. आर. आई. एम. ए. मॉडल को आमतौर पर ए. आर. आई. एम. ए. (पी, डी, क्यू) (पी, डी, क्यू) एम. के रूप में दर्शाया जाता है, जहां एम. प्रत्येक मौसम में अवधि की संख्या को संदर्भित करता है, और बड़े अक्षर पी, डी, क्यू. ए. आर. आई. एम. ए. मॉडल के मौसमी भाग के लिए स्वतःगामी, भिन्न और गतिशील औसत शब्दों को संदर्भित करता है। जब तीन में से दो शब्द शून्य होते हैं, तो मॉडल को गैर-शून्य पैरामीटर के आधार पर संदर्भित किया जा सकता है, मॉडल का वर्णन करने वाले संक्षिप्त नाम से "" या "" छोड़ दिया जा सकता है। उदाहरण के लिए, है, है और है। ए. आर. आई. एम. ए. मॉडल का अनुमान बॉक्स-जेनकिंस दृष्टिकोण का पालन करते हुए लगाया जा सकता है। परिभाषा समय श्रृंखला डेटा Xt को देखते हुए जहाँ t एक पूर्णांक सूचकांक है और Xt वास्तविक संख्याएँ हैं, एक मॉडल द्वारा या उसके समकक्ष दिया जाता है जहाँ लैग ऑपरेटर है, मॉडल के ऑटोरेग्रेसिव भाग के पैरामीटर हैं, गतिशील औसत भाग के पैरामीटर हैं और त्रुटि शब्द हैं। त्रुटि शब्दों को आम तौर पर शून्य माध्य के साथ सामान्य वितरण से नमूने के रूप में स्वतंत्र, समान रूप से वितरित चर माना जाता है। अब मान लीजिए कि बहुपद में गुणन d का एक इकाई मूल (एक कारक) है। फिर इसे इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता हैः एक एआरआईएमए (पी, डी, क्यू) प्रक्रिया इस बहुपद गुणनखंडन गुण को पी = पी '-डी के साथ व्यक्त करती है, और इसके द्वारा दी जाती हैः और इस प्रकार एआरएमए (पी + डी, क्यू) प्रक्रिया के एक विशेष मामले के रूप में सोचा जा सकता है जिसमें डी इकाई मूल के साथ स्वतःगामी बहुपद होता है। (इस कारण से, डी> 0 के साथ ए. आर. आई. एम. ए. मॉडल द्वारा सटीक रूप से वर्णित कोई भी प्रक्रिया व्यापक-भावना स्थिर नहीं है।) उपरोक्त को निम्नानुसार सामान्यीकृत किया जा सकता है। यह ड्रिफ्ट के साथ एक एआरआईएमए (पी, डी, क्यू) प्रक्रिया को परिभाषित करता है। अन्य विशेष रूप उपरोक्त कारकों में स्वतःगमन बहुपद के गुणनखंडन की स्पष्ट पहचान को अन्य मामलों में भी बढ़ाया जा सकता है, पहला गतिशील औसत बहुपद पर लागू करने के लिए और दूसरा अन्य विशेष कारकों को शामिल करने के लिए। उदाहरण के लिए, एक मॉडल में एक कारक होना मॉडल में अवधि s की गैर-स्थिर मौसमीता को शामिल करने का एक तरीका है; इस कारक का डेटा को पहले की अवधि से परिवर्तन के रूप में फिर से व्यक्त करने का प्रभाव पड़ता है। एक अन्य उदाहरण कारक है, जिसमें अवधि 2 की (गैर-स्थिर) मौसमी शामिल है। पहले प्रकार के कारक का प्रभाव प्रत्येक मौसम के मूल्य को समय के साथ अलग-अलग प्रवाहित करने की अनुमति देना है, जबकि दूसरे प्रकार के साथ आसन्न मौसमों के लिए मूल्य एक साथ चलते हैं। ए. आर. आई. एम. ए. मॉडल में उपयुक्त कारकों की पहचान और विनिर्देशन मॉडलिंग में एक महत्वपूर्ण कदम हो सकता है क्योंकि यह अनुमान लगाने के लिए मापदंडों की समग्र संख्या में कमी की अनुमति दे सकता है, जबकि व्यवहार के प्रकारों के मॉडल पर अधिरोपण की अनुमति देता है जो तर्क और अनुभव से पता चलता है कि होना चाहिए। एक स्थिर समय श्रृंखला के गुण उस समय पर निर्भर नहीं करते हैं जिस पर श्रृंखला देखी जाती है। विशेष रूप से, एक व्यापक-भावना स्थिर समय श्रृंखला के लिए, माध्य और भिन्नता/स्व-सहप्रसरण समय के साथ स्थिर रहते हैं। सांख्यिकी में अंतर एक परिवर्तन है जो एक गैर-स्थिर समय-श्रृंखला पर लागू किया जाता है ताकि इसे औसत अर्थ में स्थिर बनाया जा सके (अर्थात, गैर-स्थिर प्रवृत्ति को हटाने के लिए), लेकिन इसका विचलन या स्व-सहप्रसरण की गैर-स्थिरता से कोई लेना-देना नहीं है। इसी तरह, मौसमी घटक को हटाने के लिए मौसमी समय-श्रृंखला पर मौसमी भिन्नता लागू की जाती है। संकेत प्रसंस्करण के दृष्टिकोण से, विशेष रूप से फूरियर वर्णक्रमीय विश्लेषण सिद्धांत, प्रवृत्ति एक गैर-स्थिर समय श्रृंखला के स्पेक्ट्रम में कम आवृत्ति वाला हिस्सा है, जबकि मौसम इसके स्पेक्ट्रम में आवधिक आवृत्ति वाला हिस्सा है। इसलिए, डिफरेंसिंग एक हाई-पास (यानी, लो-स्टॉप) फिल्टर के रूप में काम करता है और स्पेक्ट्रम डोमेन में कम-आवृत्ति प्रवृत्ति और आवधिक-आवृत्ति मौसम को दबाने के लिए एक कंघी फिल्टर के रूप में मौसमी-अंतर क्रमशः (सीधे समय डोमेन में नहीं)। आंकड़ों में अंतर करने के लिए, लगातार टिप्पणियों के बीच के अंतर की गणना की जाती है। गणितीय रूप से, यह दिखाया गया है कि अंतर एक समय श्रृंखला के स्तर में परिवर्तन को हटा देता है, प्रवृत्ति और मौसमीता को समाप्त करता है और परिणामस्वरूप समय श्रृंखला के माध्य को स्थिर करता है। कभी-कभी एक स्थिर समय श्रृंखला प्राप्त करने के लिए दूसरी बार डेटा में अंतर करना आवश्यक हो सकता है, जिसे दूसरे क्रम के अंतर के रूप में संदर्भित किया जाता हैः अंतर डेटा की एक अन्य विधि मौसमी अंतर है, जिसमें एक अवलोकन और पिछले मौसम में संबंधित अवलोकन के बीच के अंतर की गणना करना शामिल है, जैसे कि एक वर्ष। इसे इस प्रकार दिखाया गया हैः अलग-अलग डेटा का उपयोग एक ए. आर. एम. ए. मॉडल के अनुमान के लिए किया जाता है। उदाहरण कुछ प्रसिद्ध विशेष मामले स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होते हैं या गणितीय रूप से अन्य लोकप्रिय पूर्वानुमान मॉडल के बराबर होते हैं। उदाहरण के लिएः एक ए. आर. आई. एम. ए. (0,1,0) मॉडल (या मॉडल) द्वारा दिया जाता है-जो बस एक यादृच्छिक चलना है। एक स्थिरांक के साथ एक ए. आर. आई. एम. ए. (0,1,0), द्वारा दिया गया-जो बहाव के साथ एक यादृच्छिक चलना है। ए. आर. आई. एम. ए. (0,0,0) मॉडल एक सफेद शोर मॉडल है। ए. आर. आई. एम. ए. (0,1,2) मॉडल एक डैम्प्ड होल्ट का मॉडल है। स्थिरांक के बिना एक ए. आर. आई. एम. ए. (0,1,1) मॉडल एक बुनियादी घातीय स्मूथिंग मॉडल है। एक ए. आर. आई. एम. ए. (0,2,2) मॉडल द्वारा दिया जाता है-जो योगात्मक त्रुटियों के साथ होल्ट की रैखिक विधि, या दोहरे घातीय स्मूथिंग के बराबर है। क्रम पी और क्यू को नमूना ऑटोकोरिलेशन फ़ंक्शन (एसीएफ), आंशिक ऑटोकोरिलेशन फ़ंक्शन (पीएसीएफ), और/या विस्तारित ऑटोकोरिलेशन फ़ंक्शन (ईएसीएफ) विधि का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है। अन्य वैकल्पिक विधियों में ए. आई. सी., बी. आई. सी. आदि शामिल हैं। गैर-मौसमी ए. आर. आई. एम. ए. मॉडल के क्रम को निर्धारित करने के लिए, एक उपयोगी मानदंड अकाईके सूचना मानदंड (ए. आई. सी.) है। इसे इस प्रकार लिखा जाता है जहाँ L डेटा की संभावना है, p स्वतःगामी भाग का क्रम है और q गतिशील औसत भाग का क्रम है। के एआरआईएमए मॉडल के अवरोधन का प्रतिनिधित्व करता है। ए. आई. सी. के लिए, यदि के = 1 है तो ए. आर. आई. एम. ए. मॉडल में एक अवरोधन है और यदि के = 0 है तो ए. आर. आई. एम. ए. मॉडल में कोई अवरोधन नहीं है (सी = 0)। ए. आर. आई. एम. ए. मॉडलों के लिए सही ए. आई. सी. को बायेसियन सूचना मानदंड (बी. आई. सी.) के रूप में लिखा जा सकता है जिसका उद्देश्य एक अच्छे मॉडल के लिए ए. आई. सी., ए. आई. सी. सी. या बी. आई. सी. मूल्यों को कम करना है। जांच किए जा रहे मॉडलों की एक श्रृंखला के लिए इन मानदंडों में से एक का मूल्य जितना कम होगा, मॉडल डेटा के अनुरूप उतना ही बेहतर होगा। ए. आई. सी. और बी. आई. सी. का उपयोग दो पूरी तरह से अलग उद्देश्यों के लिए किया जाता है। जबकि ए. आई. सी. स्थिति की वास्तविकता के प्रति मॉडल का अनुमान लगाने की कोशिश करता है, बी. आई. सी. सही फिट खोजने का प्रयास करता है। बी. आई. सी. दृष्टिकोण की अक्सर आलोचना की जाती है क्योंकि वास्तविक जीवन के जटिल डेटा के लिए कभी भी एक सही फिट नहीं होता है; हालाँकि, यह अभी भी चयन के लिए एक उपयोगी विधि है क्योंकि यह ए. आई. सी. की तुलना में अधिक मापदंड रखने के लिए मॉडल को अधिक भारी दंड देता है। ए. आई. सी. सी. का उपयोग केवल ए. आर. आई. एम. ए. मॉडल की तुलना करने के लिए किया जा सकता है। अलग-अलग क्रम वाले ए. आर. आई. एम. ए. के लिए, आर. एम. एस. ई. का उपयोग मॉडल की तुलना के लिए किया जा सकता है। ए. आर. आई. एम. ए. मॉडल का उपयोग करके गुणांक पूर्वानुमान का अनुमान ए. आर. आई. एम. ए. मॉडल को दो मॉडल के "कैस्केड" के रूप में देखा जा सकता है। पहला गैर-स्थिर हैः जबकि दूसरा व्यापक ज्ञान वाला स्थिर हैः अब स्वतःगामी पूर्वानुमान की विधि के सामान्यीकरण का उपयोग करके प्रक्रिया के लिए पूर्वानुमान किया जा सकता है। पूर्वानुमान अंतराल ए. आर. आई. एम. ए. मॉडल के लिए पूर्वानुमान अंतराल (पूर्वानुमान के लिए विश्वास अंतराल) इस धारणा पर आधारित हैं कि अवशिष्ट असंबद्ध हैं और सामान्य रूप से वितरित हैं। यदि इनमें से कोई भी धारणा नहीं है, तो पूर्वानुमान अंतराल गलत हो सकते हैं। इस कारण से, शोधकर्ता पूर्वानुमान अंतराल उत्पन्न करने से पहले धारणाओं की जांच करने के लिए अवशिष्टों के एसीएफ और हिस्टोग्राम की साजिश रचते हैं। 95 प्रतिशत पूर्वानुमान अंतरालः, कहाँ का भिन्नता है। सभी एआरआईएमए मॉडलों के लिए, मापदंडों और आदेशों की परवाह किए बिना। ए. आर. आई. एम. ए. (0,0, क्यू) के लिए, सामान्य रूप से, ए. आर. आई. एम. ए. मॉडल से पूर्वानुमान अंतराल बढ़ेंगे क्योंकि पूर्वानुमान क्षितिज बढ़ता है। भिन्नताएँ और विस्तार ए. आर. आई. एम. ए. मॉडल पर कई भिन्नताएँ आमतौर पर नियोजित की जाती हैं। यदि कई समय श्रृंखलाओं का उपयोग किया जाता है तो वेक्टर के रूप में सोचा जा सकता है और एक वैरिमा मॉडल उपयुक्त हो सकता है। कभी-कभी मॉडल में एक मौसमी प्रभाव का संदेह होता है; उस मामले में, आम तौर पर मॉडल के ए. आर. या एम. ए. भागों के क्रम को बढ़ाने की तुलना में सारिमा (मौसमी ए. आर. आई. एम. ए.) मॉडल का उपयोग करना बेहतर माना जाता है। यदि समय-श्रृंखला पर लंबी दूरी की निर्भरता प्रदर्शित करने का संदेह है, तो डी पैरामीटर को एक स्वचालित आंशिक रूप से एकीकृत चलती औसत मॉडल में गैर-पूर्णांक मान रखने की अनुमति दी जा सकती है, जिसे फ्रैक्शनल एआरआईएमए (एफएआरआईएमए या एआरएफआईएमए) मॉडल भी कहा जाता है। सॉफ्टवेयर कार्यान्वयन ए. आर. आई. एम. ए. मॉडल के लिए सही मापदंडों को खोजने के लिए बॉक्स-जेनकिंस पैरामीटर अनुकूलन जैसे कार्यप्रणाली को लागू करने वाले विभिन्न पैकेज उपलब्ध हैं। ए. वी. व्यूज़ः व्यापक ए. आर. आई. एम. ए. और ए. आर. आई. एम. ए. क्षमताएँ हैं। जूलियाः टाइममॉडल पैकेज मैथेमेटिका में एक एआरआईएमए कार्यान्वयन शामिल हैः एआरआईएमएप्रोसेस फ़ंक्शन शामिल है। मैटलैबः इकोनोमेट्रिक्स टूलबॉक्स में ए. आर. आई. एम. ए. मॉडल और ए. आर. आई. एम. ए. त्रुटियों के साथ प्रतिगमन एन. सी. एस. एस. शामिल हैंः ए. आर. आई. एम. ए. फिटिंग और पूर्वानुमान के लिए कई प्रक्रियाएं शामिल हैं। पायथनः "सांख्यिकी मॉडल" पैकेज में समय श्रृंखला विश्लेषण के लिए मॉडल शामिल हैं-अविभाज्य समय श्रृंखला विश्लेषणः ए. आर., ए. आर. आई. एम. ए.-वेक्टर ऑटोरिग्रेसिव मॉडल, वी. ए. आर. और संरचनात्मक वी. ए. आर.-समय श्रृंखला विश्लेषण के लिए वर्णनात्मक सांख्यिकी और प्रक्रिया मॉडल। आरः मानक आर सांख्यिकी पैकेज में एक अरिमा फ़ंक्शन शामिल है, जिसे "एआरआईएमए मॉडलिंग ऑफ टाइम सीरीज़" में प्रलेखित किया गया है। भाग के अलावा, कार्य में मौसमी कारक, एक अवरोधन शब्द और बहिजन चर (एक्सरेग, जिसे "बाहरी प्रतिगामी" कहा जाता है) भी शामिल हैं। पैकेज ए. एस. टी. ए. में मौसमी या गैर-मौसमी मॉडल का अनुमान लगाने के लिए सरीमा और इन मॉडल से अनुकरण करने के लिए sarima.sim जैसी लिपियाँ हैं। समय श्रृंखला पर सी. आर. ए. एन. कार्य दृश्य कई और लिंक के साथ संदर्भ है। आर में "पूर्वानुमान" पैकेज स्वचालित रूप से कार्य के साथ दी गई समय श्रृंखला के लिए एक एआरआईएमए मॉडल का चयन कर सकता है [जो अक्सर संदिग्ध परिणाम दे सकता है] और अपने कार्य के साथ मौसमी और गैर-मौसमी एआरआईएमए मॉडल का अनुकरण भी कर सकता है। रूबीः ए. आर. आई. एम. ए. मॉडल और कलमन फ़िल्टरिंग सहित समय श्रृंखला विश्लेषण के लिए "सांख्यिकी-नमूना-समय-श्रृंखला" रत्न का उपयोग किया जाता है। जावास्क्रिप्टः "अरिमा" पैकेज में समय श्रृंखला विश्लेषण और पूर्वानुमान के लिए मॉडल शामिल हैं (एआरआईएमए, एसएआरआईएमए, एसएआरआईएमएएक्स, ऑटोएआरआईएमए) सीः "सीटीएसए" पैकेज में एआरआईएमए, एसएआरआईएमए, एसएआरआईएमएएक्स, ऑटोएआरआईएमए और समय श्रृंखला विश्लेषण के लिए कई तरीके शामिल हैं। सुरक्षित उपकरणः इसमें ए. आर. आई. एम. ए. मॉडलिंग और ए. आर. आई. एम. ए. त्रुटियों के साथ प्रतिगमन शामिल हैं। एस. ए. एस.: अपनी आर्थिक और समय श्रृंखला विश्लेषण प्रणालीः एस. ए. एस./ई. टी. एस. में व्यापक ए. आर. आई. एम. ए. प्रसंस्करण शामिल है। आई. बी. एम. एस. पी. एस. एस.: अपने सांख्यिकी पैकेज के पेशेवर और प्रीमियम संस्करणों के साथ-साथ इसके मॉडलर पैकेज में ए. आर. आई. एम. ए. मॉडलिंग शामिल है। डिफ़ॉल्ट विशेषज्ञ मॉडलर सुविधा मौसमी और गैर-मौसमी स्वचालित (पी), एकीकृत (डी), और चलती औसत (क्यू) सेटिंग्स और सात घातीय स्मूथिंग मॉडल की एक श्रृंखला का मूल्यांकन करती है। विशेषज्ञ मॉडलर लक्ष्य समय-श्रृंखला डेटा को अपने वर्गमूल या प्राकृतिक लॉग में भी बदल सकता है। उपयोगकर्ता के पास विशेषज्ञ मॉडलर को ए. आर. आई. एम. ए. मॉडल तक सीमित करने का विकल्प भी है, या विशेषज्ञ मॉडलर के बिना ए. आर. आई. एम. ए. गैर-मौसमी और मौसमी पी, डी और क्यू सेटिंग्स को मैन्युअल रूप से दर्ज करने का विकल्प है। सात प्रकार के आउटलायरों के लिए स्वचालित आउटलायर का पता लगाना उपलब्ध है, और यदि इस सुविधा का चयन किया जाता है तो पता लगाए गए आउटलायरों को समय-श्रृंखला मॉडल में समायोजित किया जाएगा। एस. ए. पी.: एस. ए. पी. से एस. ए. पी. ई. आर. पी. में ए. पी. ओ.-एफ. सी. एस. पैकेज बॉक्स-जेनकिन्स पद्धति का उपयोग करके ए. आर. आई. एम. ए. मॉडल के निर्माण और फिटिंग की अनुमति देता है। एस. क्यू. एल. सर्वर विश्लेषण सेवाएँः माइक्रोसॉफ्ट से ए. आर. आई. एम. ए. को डेटा माइनिंग एल्गोरिदम के रूप में शामिल किया गया है। स्टैटा 9 में ए. आर. आई. एम. ए. मॉडलिंग (अपने अरिमा कमांड का उपयोग करते हुए) शामिल है। स्टेटसिमः फोरकास्ट वेब ऐप में एआरआईएमए मॉडल शामिल हैं। टेराडेटा वैंटेज में मशीन लर्निंग इंजन के हिस्से के रूप में एआरआईएमए कार्य है। टी. ओ. एल. (टाइम ओरिएंटेड लैंग्वेज) को ए. आर. आई. एम. ए. मॉडल (ए. आर. आई. एम. ए., ए. आर. आई. एम. ए. एक्स. और डी. एस. ए. आर. आई. एम. ए. एक्स. संस्करणों सहित) को मॉडल करने के लिए डिज़ाइन किया गया है। स्केलाः स्पार्क-टाइम-सीरीज़ लाइब्रेरी में स्केला, जावा और पायथन के लिए एआरआईएमए कार्यान्वयन शामिल है। कार्यान्वयन अपाचे स्पार्क पर चलने के लिए डिज़ाइन किया गया है। पोस्टग्रेएसक्यूएल/मेडलिबः समय श्रृंखला विश्लेषण/एआरआईएमए। एक्स-12-ए. आर. आई. एम. ए.: यू. एस. जनगणना ब्यूरो से ऑटोकोरिलेशन ए. आर. एम. ए. आंशिक ऑटोकोरिलेशन परिमित आवेग प्रतिक्रिया अनंत आवेग प्रतिक्रिया संदर्भ आगे पढ़ने के लिए शुमवे आर. एच. और स्टॉफर, डी. एस. भी देखें। (2017)। समय श्रृंखला विश्लेषण और इसके अनुप्रयोगः आर उदाहरणों के साथ। स्प्रिंगर। डी. ओ. आई.: 10.1007/978-3-319-52452-8 आर. में ए. आर. आई. एम. ए. मॉडल. आर. लिंक का उपयोग करके ए. आर. आई. एम. ए. (ऑटोरेग्रेसिव इंटीग्रेटेड मूविंग एवरेज) मॉडल को समय श्रृंखला डेटा में फिट करने में विशेषज्ञ बनें अमेरिकी जनगणना ब्यूरो ए. आर. आई. एम. ए. का उपयोग "मौसमी रूप से समायोजित" डेटा (प्रोग्राम, डॉक्स और पेपर यहाँ) के लिए ए. आर. आई. एम. ए. मॉडल (रॉबर्ट नौ, ड्यूक विश्वविद्यालय) समय श्रृंखला मॉडल डीः ए. आर. एम. ए.-Modell#ARIMA पर व्याख्यान टिप्पणियों के लिए करता है।