Possibility theory
संभाव्यता सिद्धांत कुछ प्रकार की अनिश्चितताओं से निपटने के लिए एक गणितीय सिद्धांत है और संभाव्यता सिद्धांत का एक विकल्प है। यह 0 और 1 के बीच संभावना और आवश्यकता के उपायों का उपयोग करता है, जो क्रमशः असंभव से लेकर संभव और अनावश्यक से लेकर आवश्यक तक होते हैं। प्रोफेसर लोटफी ज़ादेह ने पहली बार 1978 में अस्पष्ट समुच्चय और अस्पष्ट तर्क के अपने सिद्धांत के विस्तार के रूप में संभावना सिद्धांत पेश किया। डिडिएर डुबोइस और हेनरी प्रादे ने इसके विकास में और योगदान दिया। इससे पहले, 1950 के दशक में, अर्थशास्त्री जी. एल. एस. शेकल ने संभावित आश्चर्य की डिग्री का वर्णन करने के लिए न्यूनतम/अधिकतम बीजगणित का प्रस्ताव रखा था। संभावना का औपचारिकरण सरलता के लिए, यह मान लें कि प्रवचन का ब्रह्मांड एक सीमित समूह है। एक संभावना माप [0,1] से एक ऐसा फलन है किः स्वयंसिद्ध 1: स्वयंसिद्ध 2: स्वयंसिद्ध 3: किसी भी असंबद्ध उपसमुच्चय के लिए और। यह इस प्रकार है कि, सीमित संभाव्यता रिक्त स्थान पर संभाव्यता की तरह, संभावना माप को एकल पर इसके व्यवहार से निर्धारित किया जाता हैः स्वयंसिद्ध 1 को इस धारणा के रूप में व्याख्या की जा सकती है कि ω दुनिया की भविष्य की स्थितियों का एक विस्तृत विवरण है, क्योंकि इसका मतलब है कि ω के बाहर के तत्वों को कोई विश्वास भार नहीं दिया गया है। स्वयंसिद्ध 2 की व्याख्या इस धारणा के रूप में की जा सकती है कि जिस साक्ष्य से निर्माण किया गया था वह किसी भी विरोधाभास से मुक्त है। तकनीकी रूप से, इसका तात्पर्य है कि संभावना 1 के साथ ω में कम से कम एक तत्व है। स्वयंसिद्ध 3 संभावनाओं में योगात्मकता स्वयंसिद्ध से मेल खाता है। लेकिन एक महत्वपूर्ण व्यावहारिक अंतर है। संभाव्यता सिद्धांत कम्प्यूटेशनल रूप से अधिक सुविधाजनक है क्योंकि स्वयंसिद्ध 1-3 का अर्थ है किः किसी भी उपसमुच्चय के लिए और। चूँकि प्रत्येक घटक की संभावना से संघ की संभावना को जाना जा सकता है, इसलिए यह कहा जा सकता है कि संघ संचालक के संबंध में संभावना संरचनात्मक है। हालाँकि ध्यान दें कि यह प्रतिच्छेदन प्रचालक के संबंध में संरचनात्मक नहीं है। आम तौर परः जब ω परिमित नहीं होता है, तो स्वयंसिद्ध 3 को निम्न द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता हैः सभी सूचकांक सेटों के लिए, यदि सबसेट जोड़ीदार रूप से असंबद्ध हैं, तो आवश्यकता जबकि संभाव्यता सिद्धांत एक संख्या, संभाव्यता का उपयोग करता है, यह वर्णन करने के लिए कि कोई घटना होने की कितनी संभावना है, संभावना सिद्धांत दो अवधारणाओं, घटना की संभावना और आवश्यकता का उपयोग करता है। किसी भी समूह के लिए, आवश्यकता माप द्वारा परिभाषित किया जाता है। उपरोक्त सूत्र में, के पूरक को दर्शाता है, अर्थात जिसके तत्व संबंधित नहीं हैं। यह दिखाना सीधा है किः किसी के लिए और वहः। ध्यान दें कि संभाव्यता सिद्धांत के विपरीत, संभावना आत्म-दोहरी नहीं है। अर्थात्, किसी भी घटना के लिए, हमारे पास केवल असमानता हैः हालाँकि, निम्नलिखित द्वैत नियम हैः किसी भी घटना के लिए, या तो, या तदनुसार, किसी घटना के बारे में मान्यताओं को एक संख्या और एक बिट द्वारा दर्शाया जा सकता है। व्याख्या चार मामले हैं जिनकी व्याख्या निम्नानुसार की जा सकती हैः इसका अर्थ है कि यह आवश्यक है। निश्चित रूप से सच है। इसका तात्पर्य यह है। इसका मतलब है कि यह असंभव है। निश्चित रूप से गलत है। इसका तात्पर्य यह है। इसका मतलब है कि यह संभव है। अगर ऐसा होता है तो मुझे बिल्कुल भी आश्चर्य नहीं होगा। यह अनियंत्रित छोड़ देता है। इसका मतलब है कि यह अनावश्यक है। अगर ऐसा नहीं होता है तो मुझे बिल्कुल भी आश्चर्य नहीं होगा। यह अनियंत्रित छोड़ देता है। अंतिम दो मामलों का प्रतिच्छेदन है और इसका मतलब है कि मैं इसके बारे में कुछ भी नहीं मानता। क्योंकि यह इस तरह की अनिश्चितता की अनुमति देता है, संभावना सिद्धांत शास्त्रीय दो-मूल्यवान तर्क के बजाय अंतर्ज्ञानी तर्क जैसे कई-मूल्यवान तर्क के स्नातक से संबंधित है। ध्यान दें कि संभावना के विपरीत, अस्पष्ट तर्क संघ और प्रतिच्छेदन प्रचालक दोनों के संबंध में संरचनात्मक है। अस्पष्ट सिद्धांत के साथ संबंध को निम्नलिखित उत्कृष्ट उदाहरण के साथ समझाया जा सकता है। अस्पष्ट तर्कः जब एक बोतल आधी भरी होती है, तो यह कहा जा सकता है कि "बोतल भरी हुई है" प्रस्ताव की सच्चाई का स्तर 0.5 है। "पूर्ण" शब्द को बोतल में तरल की मात्रा का वर्णन करने वाले एक अस्पष्ट विधेय के रूप में देखा जाता है। संभाव्यता सिद्धांतः एक बोतल है, जो या तो पूरी तरह से भरी हुई है या पूरी तरह से खाली है। यह प्रस्ताव "बोतल के भरे होने की संभावना का स्तर 0.5 है" विश्वास की एक डिग्री का वर्णन करता है। उस प्रस्ताव में 0.5 की व्याख्या करने का एक तरीका इसके अर्थ को इस प्रकार परिभाषित करना हैः मैं शर्त लगाने के लिए तैयार हूं कि यह खाली है जब तक कि बाधाएं समान (1:1) या बेहतर हैं, और मैं किसी भी दर पर शर्त नहीं लगाऊंगा कि यह भरा हुआ है। संभावना सिद्धांत एक अस्पष्ट संभावना सिद्धांत के रूप में संभावना और संभावना सिद्धांतों के बीच एक व्यापक औपचारिक पत्राचार है, जहां जोड़ ऑपरेटर अधिकतम ऑपरेटर से मेल खाता है। डेम्पस्टर-शेफर साक्ष्य के सिद्धांत में एक संभावना माप को एक व्यंजन संभाव्यता माप के रूप में देखा जा सकता है। संभावना सिद्धांत के संचालकों को हस्तांतरणीय विश्वास मॉडल के संचालकों के अति-सतर्क संस्करण के रूप में देखा जा सकता है, जो साक्ष्य के सिद्धांत का एक आधुनिक विकास है। संभाव्यता को एक उच्च संभाव्यता के रूप में देखा जा सकता हैः कोई भी संभावना वितरण स्वीकार्य संभाव्यता वितरण के एक अद्वितीय प्रमाणिक समूह को परिभाषित करता है। हम सामान्यीकृत संभावना को स्वयंसिद्ध 1 और स्वयंसिद्ध 3 को संतुष्ट करने वाला प्रत्येक कार्य कहते हैं। हम सामान्यीकृत आवश्यकता को सामान्यीकृत संभावना का दोहरा नाम देते हैं। सामान्यीकृत आवश्यकताएँ एक बहुत ही सरल और दिलचस्प अस्पष्ट तर्क से संबंधित हैं जिसे आवश्यकता तर्क कहा जाता है। आवश्यकता तर्क के निष्कर्षण उपकरण में तार्किक स्वयंसिद्ध सामान्य शास्त्रीय स्वरलिपि हैं। इसके अलावा, सामान्य मोडस पोनेंस का विस्तार करने के लिए केवल एक अस्पष्ट अनुमान नियम है। इस तरह का एक नियम कहता है कि यदि α और α → β क्रमशः λ और μ डिग्री पर साबित होते हैं, तो हम β को न्यूनतम {λ, μ} डिग्री पर दावा कर सकते हैं। यह देखना आसान है कि इस तरह के तर्क के सिद्धांत सामान्यीकृत आवश्यकताएं हैं और पूरी तरह से सुसंगत सिद्धांत आवश्यकताओं के साथ मेल खाते हैं (उदाहरण के लिए गेरला 2001 देखें)। अस्पष्ट माप सिद्धांत तार्किक संभावना मॉडल तर्क यादृच्छिक-अस्पष्ट चर हस्तांतरणीय विश्वास मॉडल ऊपरी और निचली संभावनाएँ संदर्भ डुबोइस, डिडिएर और प्राडे, हेनरी, "संभावना सिद्धांत, संभावना सिद्धांत और बहु-मूल्यवान तर्कः एक स्पष्टीकरण", गणित और कृत्रिम बुद्धिमत्ता के इतिहास 32:35-66,2002। गेर्ला जियांगियाकोमो, फजी लॉजिकः मैथमेटिकल टूल्स फॉर एप्रोक्सिमेट रीजनिंग, क्लूवर एकेडेमिक पब्लिशर्स, डोरड्रेक्ट 2001। लाडिस्लाव जे. कोहौट, "थियरीज़ ऑफ़ पॉसिबिलिटीः मेटा-एक्सिओमैटिक्स एंड सेमेंटिक्स", फज़ी सेट्स एंड सिस्टम्स 25:357-367,1988। ज़ादेह, लोटफ़ी, "फ़ज़ी सेट्स एज़ द बेसिस फॉर ए थ्योरी ऑफ़ पॉसिबिलिटी", फ़ज़ी सेट्स एंड सिस्टम्स 1:3-28,1978। (फजी सेट्स एंड सिस्टम्स 100 में पुनर्मुद्रित (पूरक): 9-34,1999।) ब्रायन आर. गेन्स और लाडिस्लाव जे. कोहाउट, "पॉसिबल ऑटोमेटा", प्रोसीडिंग्स ऑफ द इंटरनेशनल सिम्पोजियम ऑन मल्टीपल-वैल्यूड लॉजिक, पीपी। 183-192, ब्लूमिंगटन, इंडियाना, मई 13-16,1975। संभाव्यता सिद्धांत अस्पष्ट तर्क संभाव्यता