Bernstein's problem
विभेदक ज्यामिति में, बर्नस्टीन की समस्या इस प्रकार हैः यदि Rn-1 पर किसी फलन का ग्राफ Rn में एक न्यूनतम सतह है, तो क्या इसका मतलब यह है कि फलन रैखिक है? यह अधिक से अधिक n 8 के लिए सही है, लेकिन कम से कम n 9 के लिए गलत है। इस समस्या का नाम सर्गेई नटानोविच बर्नस्टीन के नाम पर रखा गया है जिन्होंने 1914 में n = 3 मामले को हल किया था। कथन मान लीजिए कि f, n-1 वास्तविक चर का एक फलन है। f का ग्राफ Rn में एक सतह है, और यह शर्त कि यह एक न्यूनतम सतह है कि f न्यूनतम सतह समीकरण को संतुष्ट करता है, बर्नस्टीन की समस्या यह पूछती है कि क्या इस समीकरण को हल करने वाला एक पूरा फलन (Rn−1 में परिभाषित एक फलन) आवश्यक रूप से एक डिग्री-1 बहुपद है। इतिहास ने बर्नस्टीन के प्रमेय को साबित किया कि R2 पर एक वास्तविक फलन का ग्राफ जो कि R3 में एक न्यूनतम सतह भी है, एक समतल होना चाहिए। बर्नस्टीन के प्रमेय का एक नया प्रमाण देते हुए इसे इस तथ्य से निकाला कि R3 में कोई गैर-समतलीय क्षेत्र-न्यूनतम शंकु नहीं है। यह दर्शाता है कि यदि आरएन-1 में कोई गैर-समतलीय क्षेत्र-न्यूनतम शंकु नहीं है, तो बर्नस्टीन के प्रमेय का अनुरूप आरएन में ग्राफ के लिए सही है, जिसका विशेष रूप से तात्पर्य है कि यह आर4 में सही है। यह दर्शाता है कि R4 में कोई गैर-समतलीय न्यूनतम शंकु नहीं हैं, इस प्रकार बर्नस्टीन के प्रमेय को R5 तक विस्तारित किया गया है। यह दर्शाता है कि R7 में कोई गैर-समतलीय न्यूनतम शंकु नहीं हैं, इस प्रकार बर्नस्टीन के प्रमेय को R8 तक विस्तारित किया गया है। उन्होंने यह भी दिखाया कि परिभाषित सतह आर8 में एक स्थानीय रूप से स्थिर शंकु है, और पूछा कि क्या यह विश्व स्तर पर क्षेत्र को कम कर रहा है। यह दर्शाता है कि साइमन्स शंकु वास्तव में विश्व स्तर पर न्यूनतम हो रहा है, और आरएन में एन ≤ 9 के लिए ऐसे ग्राफ हैं जो न्यूनतम हैं, लेकिन हाइपरप्लेन नहीं हैं। साइमन्स के परिणाम के साथ संयुक्त, यह दर्शाता है कि बर्नस्टीन के प्रमेय का एनालॉग आरएन में एन ≤ 8 के लिए सही है, और उच्च आयामों में गलत है। संदर्भ बाहरी लिंक में जर्मन अनुवाद बर्नस्टीन प्रमेय पर गणित का विश्वकोश लेख न्यूनतम सतह कार्य और मानचित्रण अंतर ज्यामिति में आयाम प्रमेय