Quantum Fourier transform
क्वांटम कम्प्यूटिंग में, क्वांटम फूरियर परिवर्तन (क्यू. एफ. टी.) क्वांटम बिट्स पर एक रैखिक परिवर्तन है, और असतत फूरियर परिवर्तन का क्वांटम एनालॉग है। क्वांटम फूरियर परिवर्तन कई क्वांटम एल्गोरिदम का एक हिस्सा है, विशेष रूप से असतत लघुगणक को फैक्टरिंग और कंप्यूटिंग के लिए शोर का एल्गोरिदम, एकात्मक प्रचालक के आइगेनवैल्यूज का अनुमान लगाने के लिए क्वांटम चरण आकलन एल्गोरिदम और छिपी हुई उपसमूह समस्या के लिए एल्गोरिदम। क्वांटम फूरियर परिवर्तन की खोज डॉन कॉपरस्मिथ ने की थी। क्वांटम फूरियर परिवर्तन को एक क्वांटम कंप्यूटर पर सरल एकात्मक मैट्रिक्स के उत्पाद में अपघटन के साथ कुशलता से किया जा सकता है। आयामों पर असतत फूरियर परिवर्तन को एक क्वांटम परिपथ के रूप में लागू किया जा सकता है जिसमें केवल हैडमर्ड द्वार और नियंत्रित चरण शिफ्ट द्वार होते हैं, जहां क्यूबिट्स की संख्या होती है। इसकी तुलना शास्त्रीय असतत फूरियर परिवर्तन से की जा सकती है, जो द्वार लेता है (जहां बिट्स की संख्या है), जो तेजी से उससे अधिक है। क्वांटम फूरियर परिवर्तन एक क्वांटम अवस्था सदिश (एक क्वांटम रजिस्टर) पर कार्य करता है, और शास्त्रीय फूरियर परिवर्तन एक सदिश पर कार्य करता है। दोनों प्रकार के वैक्टरों को जटिल संख्याओं की सूचियों के रूप में लिखा जा सकता है। क्वांटम मामले में यह माप पर सभी संभावित परिणामों के लिए प्रायिकता आयामों का एक क्रम है (जिसे आधार अवस्थाएँ या आइगेनस्टेट कहा जाता है)। चूँकि माप क्वांटम अवस्था को एकल आधार अवस्था में ध्वस्त कर देता है, इसलिए शास्त्रीय फूरियर परिवर्तन का उपयोग करने वाला प्रत्येक कार्य क्वांटम फूरियर परिवर्तन की घातीय गति का लाभ नहीं उठा सकता है। ज्ञात सर्वोत्तम क्वांटम फूरियर परिवर्तन एल्गोरिदम (2000 के अंत तक) के लिए एक कुशल सन्निकटन प्राप्त करने के लिए केवल गेट की आवश्यकता होती है, बशर्ते कि एक नियंत्रित चरण गेट को एक मूल संचालन के रूप में लागू किया जाए। परिभाषा क्वांटम फूरियर परिवर्तन एक शास्त्रीय असतत फूरियर परिवर्तन है जो एक क्वांटम अवस्था के आयामों के सदिश पर लागू होता है, जिसकी आमतौर पर लंबाई होती है। शास्त्रीय फूरियर परिवर्तन एक सदिश पर कार्य करता है और सूत्र के अनुसार इसे सदिश में मानचित्रित करता हैः जहाँ और एकता का एक एन-th मूल है। इसी तरह, क्वांटम फूरियर परिवर्तन एक क्वांटम अवस्था पर कार्य करता है और सूत्र के अनुसार इसे एक क्वांटम अवस्था में मानचित्रित करता हैः (चरण कारक प्रतिपादक के संकेत के लिए परंपराएं भिन्न होती हैं; यहाँ क्वांटम फूरियर परिवर्तन का विपरीत असतत फूरियर परिवर्तन के समान प्रभाव होता है, और इसके विपरीत।) चूंकि यह एक घूर्णन है, इसलिए व्युत्क्रम क्वांटम फूरियर परिवर्तन इसी तरह कार्य करता है लेकिन इसके साथः यदि यह एक आधार अवस्था है, तो क्वांटम फूरियर परिवर्तन को मानचित्र के रूप में भी समान रूप से व्यक्त किया जा सकता है, क्वांटम फूरियर परिवर्तन को क्वांटम अवस्था वैक्टर पर कार्य करने वाले एकात्मक मैट्रिक्स (या क्वांटम गेट) के रूप में देखा जा सकता है, जहां एकात्मक मैट्रिक्स डी. एफ. टी. मैट्रिक्स है। उदाहरण के लिए, और चरण के मामले में परिवर्तन मैट्रिक्स गुण एकता है क्वांटम फूरियर परिवर्तन के अधिकांश गुण इस तथ्य से अनुसरण करते हैं कि यह एकात्मक परिवर्तन है। इसे मैट्रिक्स गुणन करके और यह सुनिश्चित करके जांचा जा सकता है कि संबंध कायम है, जहाँ का हर्मिशियन संयोजन है। वैकल्पिक रूप से, कोई जांच कर सकता है कि मानक 1 के ऑर्थोगोनल वैक्टर मानक 1 के ऑर्थोगोनल वैक्टर के लिए मैप किए जाते हैं। एकात्मक गुण से यह पता चलता है कि क्वांटम फूरियर परिवर्तन का व्युत्क्रम फूरियर मैट्रिक्स का हर्मिशियन संयोजन है। चूँकि क्वांटम फूरियर परिवर्तन को लागू करने वाला एक कुशल क्वांटम परिपथ है, इसलिए व्युत्क्रम क्वांटम फूरियर परिवर्तन करने के लिए परिपथ को विपरीत दिशा में चलाया जा सकता है। इस प्रकार दोनों परिवर्तनों को क्वांटम कंप्यूटर पर कुशलता से किया जा सकता है। परिपथ कार्यान्वयन क्यूबिट्स के परिपथ में उपयोग किए जाने वाले क्वांटम गेट हैडमर्ड गेट और चरण गेट हैंः परिपथ द्वारों और नियंत्रित संस्करण से बना होता हैः एक ऑर्थोनॉर्मल आधार में आधार अवस्थाएँ होती हैं ये आधार अवस्थाएँ क्यूबिट्स की सभी संभावित अवस्थाओं में फैली होती हैंः जहाँ, टेंसर उत्पाद संकेतन के साथ, इंगित करता है कि क्यूबिट 0 या 1 के साथ स्थिति में है। परंपरा के अनुसार, आधार अवस्था सूचकांक सबसे महत्वपूर्ण बिट के साथ, द्वारा कूटबद्ध द्विआधारी संख्या है। हदामर्ड गेट की क्रिया है, जहाँ संकेत निर्भर करता है। क्वांटम फूरियर परिवर्तन को शब्दों की एक श्रृंखला के टेंसर उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता हैः भिन्नात्मक द्विआधारी संकेतन का उपयोग करके क्वांटम फूरियर परिवर्तन की क्रिया को एक संक्षिप्त तरीके से व्यक्त किया जा सकता हैः ऊपर दर्शाए गए परिपथ से इस स्थिति को प्राप्त करने के लिए, उनके क्रम को उलटने के लिए क्यूबिट्स का एक अदला-बदली संचालन किया जाना चाहिए। अधिकतर अदला-बदली की आवश्यकता होती है। क्योंकि असतत फूरियर रूपांतरण, एन क्यूबिट्स पर एक ऑपरेशन, को एन एकल-क्यूबिट संचालन के टेंसर उत्पाद में फैक्टर किया जा सकता है, इसे आसानी से एक क्वांटम सर्किट के रूप में दर्शाया जाता है (आउटपुट के एक क्रम उलटने तक)। उन एकल-क्यूबिट संचालनों में से प्रत्येक को एक हैडमर्ड गेट और नियंत्रित चरण द्वारों की एक रैखिक संख्या का उपयोग करके कुशलता से लागू किया जा सकता है। पहले पद के लिए एक हैडमर्ड गेट और नियंत्रित चरण गेट की आवश्यकता होती है, अगले पद के लिए एक हैडमर्ड गेट और नियंत्रित चरण गेट की आवश्यकता होती है, और प्रत्येक निम्नलिखित पद के लिए एक कम नियंत्रित चरण गेट की आवश्यकता होती है। आउटपुट रिवर्सल के लिए आवश्यक गेटों को छोड़कर, गेटों की संख्या को जोड़कर, गेट देता है, जो क्यूबिट्स की संख्या में द्विघात बहुपद है। एक रैखिक निकटतम पड़ोसी वास्तुकला पर क्वांटम फूरियर परिवर्तन के परिपथ-स्तरीय कार्यान्वयन का पहले अध्ययन किया जा चुका है। क्यूबिट्स की संख्या में परिपथ की गहराई रैखिक होती है। उदाहरण तीन क्यूबिट्स पर क्वांटम फूरियर परिवर्तन, के साथ, निम्नलिखित परिवर्तन द्वारा दर्शाया जाता हैः जहाँ एकता का आठवाँ मूल संतोषजनक है। तीन क्यूबिट्स पर फूरियर ट्रांसफॉर्म का मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व इस प्रकार हैः 3-क्यूबिट क्वांटम फूरियर ट्रांसफॉर्म को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता हैः निम्नलिखित रेखाचित्र संबंधित परिपथ को दर्शाता है (उचित क्यू. एफ. टी. के संबंध में आउटपुट क्यूबिट्स के विपरीत क्रम के साथ): जैसा कि ऊपर गणना की गई है, उपयोग किए गए फाटकों की संख्या है जो इसके बराबर है, के लिए। परिमित (अबेलियन) समूहों पर सामान्यीकृत फूरियर परिवर्तन का उपयोग करते हुए, वास्तव में एक एन-क्यूबिट क्वांटम रजिस्टर पर क्वांटम फूरियर परिवर्तन को परिभाषित करने के दो प्राकृतिक तरीके हैं। ऊपर परिभाषित क्यू. एफ. टी. डी. एफ. टी. के बराबर है, जो इन एन. क्यूबिट्स को चक्रीय समूह द्वारा अनुक्रमित मानता है। हालाँकि, बूलियन समूह द्वारा अनुक्रमित क्यूबिट्स पर विचार करना भी समझदारी है, और इस मामले में फूरियर परिवर्तन हैडमर्ड परिवर्तन है। यह समानांतर में प्रत्येक एन क्यूबिट पर एक हडमर्ड गेट लगाकर प्राप्त किया जाता है। शोर का एल्गोरिथ्म दोनों प्रकार के फूरियर परिवर्तनों का उपयोग करता है, एक प्रारंभिक हैडमर्ड परिवर्तन के साथ-साथ एक क्यू. एफ. टी.। संदर्भ के. आर. पार्थसारथी, क्वांटम कम्प्यूटेशन और क्वांटम एरर करेक्टिंग कोड्स पर व्याख्यान (भारतीय सांख्यिकी संस्थान, दिल्ली केंद्र, जून 2001) जॉन प्रेस्किल, भौतिकी के लिए व्याख्यान नोट्स 229: क्वांटम सूचना और गणना (सी. आई. टी., सितंबर 1998) बाहरी लिंक वोल्फ्रम प्रदर्शन परियोजनाः क्वांटम सर्किट ग्रोवर की खोज एल्गोरिदम को लागू करना वोल्फ्रम प्रदर्शन परियोजनाः क्वांटम सर्किट को लागू करना क्वांटम फूरियर ट्रांसफॉर्म ऑनलाइन जीवन क्वांटम फूरियर ट्रांसफॉर्म क्वांटम एल्गोरिदम फूरियर विश्लेषण