Energy distance
ऊर्जा दूरी संभाव्यता वितरण के बीच एक सांख्यिकीय दूरी है। यदि X और Y क्रमशः संचयी वितरण फलन (सी. डी. एफ.) F और G के साथ Rd में स्वतंत्र यादृच्छिक सदिश हैं, तो वितरण F और G के बीच ऊर्जा दूरी को वर्गमूल के रूप में परिभाषित किया जाता है जहां (X, X ', Y, Y') स्वतंत्र हैं, X और X 'का सी. डी. एफ. F है, Y और Y' का सी. डी. एफ. G है, अपेक्षित मूल्य है, और।।। ।। वेक्टर की लंबाई को दर्शाता है। ऊर्जा दूरी एक मीट्रिक के सभी स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करती है इस प्रकार ऊर्जा दूरी वितरण की समानता को दर्शाती हैः डी (एफ, जी) = 0 यदि और केवल तभी जब एफ = जी. सांख्यिकीय अनुप्रयोगों के लिए ऊर्जा दूरी 1985 में गैबर जे. स्ज़ेकली द्वारा पेश की गई थी, जिन्होंने साबित किया कि वास्तविक मूल्य वाले यादृच्छिक चर के लिए हैराल्ड क्रैमर की दूरी का ठीक दोगुना हैः इस समानता के सरल प्रमाण के लिए, स्ज़ेकली (2002) देखें। हालांकि, उच्च आयामों में, दोनों दूरी अलग-अलग हैं क्योंकि ऊर्जा दूरी घूर्णन अपरिवर्तनीय है जबकि क्रैमर की दूरी नहीं है। (ध्यान दें कि क्रैमर की दूरी वितरण-मुक्त क्रैमर-वॉन मिसेस मानदंड के समान नहीं है।) मीट्रिक रिक्त स्थान में सामान्यीकरण मीट्रिक रिक्त स्थान पर संभावना वितरण के लिए ऊर्जा दूरी की धारणा को सामान्यीकृत किया जा सकता है। मान लीजिए कि बोरेल सिग्मा बीजगणित के साथ एक मीट्रिक स्थान है। आइए मापने योग्य स्थान पर सभी संभाव्यता उपायों के संग्रह को निरूपित करें। यदि μ और ν संभाव्यता माप हैं, तो μ और ν की ऊर्जा-दूरी को इसके वर्गमूल के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। यदि एक प्रबल नकारात्मक निश्चित कर्नेल है, तो एक मीट्रिक है, और इसके विपरीत। इस स्थिति को यह कहकर व्यक्त किया जाता है कि इसका प्रकार नकारात्मक है। नकारात्मक प्रकार एक मीट्रिक होने के लिए पर्याप्त नहीं है; बाद की स्थिति को यह कहकर व्यक्त किया जाता है कि इसमें मजबूत नकारात्मक प्रकार है। इस स्थिति में, ऊर्जा की दूरी शून्य होती है यदि और केवल तभी जब X और Y समान रूप से वितरित किए जाते हैं। नकारात्मक प्रकार के मीट्रिक का एक उदाहरण, लेकिन मजबूत नकारात्मक प्रकार का नहीं, टैक्सिकैब मीट्रिक वाला तल है। सभी यूक्लिडियन रिक्त स्थान और यहाँ तक कि अलग किए जा सकने वाले हिल्बर्ट रिक्त स्थान भी प्रबल नकारात्मक प्रकार के होते हैं। मशीन लर्निंग के लिए कर्नेल विधियों पर साहित्य में, ऊर्जा दूरी की इन सामान्यीकृत धारणाओं का अध्ययन अधिकतम औसत विसंगति के नाम से किया जाता है। परिकल्पना परीक्षण के लिए दूरी आधारित और कर्नेल विधियों की समानता कई लेखकों द्वारा कवर की गई है। ऊर्जा सांख्यिकी एक संबंधित सांख्यिकीय अवधारणा, ई-सांख्यिकीय या ऊर्जा-सांख्यिकीय की धारणा 1980 के दशक में गैबर जे. स्ज़ेकली द्वारा पेश की गई थी जब वे बुडापेस्ट, हंगरी और एम. आई. टी., येल और कोलंबिया में बोलचाल के व्याख्यान दे रहे थे। यह अवधारणा न्यूटन की स्थितिज ऊर्जा की धारणा पर आधारित है। विचार सांख्यिकीय टिप्पणियों को एक सांख्यिकीय स्थितिज ऊर्जा द्वारा शासित स्वर्गीय निकायों के रूप में मानना है जो केवल शून्य है जब एक अंतर्निहित सांख्यिकीय शून्य परिकल्पना सच है। ऊर्जा सांख्यिकी सांख्यिकीय प्रेक्षणों के बीच की दूरी के कार्य हैं। जिंजर ए. ए., काकोस्यान ए. वी., क्लेबानोव एल. बी. में ऊर्जा दूरी और ई-सांख्यिकीय को एन-दूरी और एन-सांख्यिकीय माना गया था। कुछ संभाव्यता मेट्रिक्स, स्टोकेस्टिक मॉडल के लिए स्थिरता समस्याओं के संबंध में कुछ आंकड़ों के औसत मूल्यों के माध्यम से वितरण की विशेषता। मास्को, वीएनआईआईएसआई, 1989,47-55। (रूसी में), अंग्रेजी अनुवादः सांख्यिकी के औसत मूल्यों और कुछ संभावित मेट्रिक्स ए द्वारा वितरण का एक लक्षण वर्णन। ए. जिंजर, ए. वी. काकोस्यान, एल. बी. क्लेबानोव जर्नल ऑफ सोवियत मैथेमैटिक्स (1992) में। उसी पेपर में दृढ़ता से नकारात्मक निश्चित कर्नेल की परिभाषा दी गई थी, और मीट्रिक रिक्त स्थान पर एक सामान्यीकरण प्रदान किया गया था, जिस पर ऊपर चर्चा की गई थी। यह पुस्तक इन परिणामों और सांख्यिकीय परीक्षण के लिए उनके अनुप्रयोगों को भी देती है। इस पुस्तक में इस उपाय को अपनी क्षमता से पुनः प्राप्त करने के लिए कुछ अनुप्रयोग भी हैं। समान वितरण के लिए परीक्षण शून्य परिकल्पना पर विचार करें कि दो यादृच्छिक चर, X और Y, में समान संभाव्यता वितरण हैंः X और Y: और से सांख्यिकीय नमूनों के लिए, X और Y नमूनों के बीच दूरी के निम्नलिखित अंकगणितीय औसत की गणना की जाती हैः अंतर्निहित शून्य परिकल्पना के ई-सांख्यिकीय को निम्नानुसार परिभाषित किया गया हैः कोई यह साबित कर सकता है कि और यह कि संबंधित जनसंख्या मूल्य शून्य है यदि और केवल तभी जब X और Y का समान वितरण () हो। इस शून्य परिकल्पना के तहत परीक्षण सांख्यिकीय स्वतंत्र मानक सामान्य यादृच्छिक चर के द्विघात रूप में वितरण में परिवर्तित हो जाता है। वैकल्पिक परिकल्पना के तहत टी अनंत की ओर जाता है। इससे एक सुसंगत सांख्यिकीय परीक्षण, समान वितरण के लिए ऊर्जा परीक्षण का निर्माण संभव हो जाता है। एकरूपता के ई-गुणांक को भी पेश किया जा सकता है। यह हमेशा 0 और 1 के बीच होता है और इसे परिभाषित किया जाता है जहां अपेक्षित मूल्य को दर्शाता है। H = 0 ठीक तब जब X और Y का वितरण समान हो। एक बहुभिन्न प्रकार की अच्छाई-की-फिट माप को मनमाने आयाम (नमूने के आकार द्वारा प्रतिबंधित नहीं) में वितरण के लिए परिभाषित किया गया है। ऊर्जा अच्छाई-उपयुक्त आँकड़ा वह है जहाँ X और X 'स्वतंत्र हैं और परिकल्पना किए गए वितरण के अनुसार समान रूप से वितरित हैं, और। एकमात्र आवश्यक शर्त यह है कि शून्य परिकल्पना के तहत X के पास परिमित क्षण है। शून्य परिकल्पना के तहत, और क्यूएन का एसिम्प्टोटिक वितरण केंद्रित गौसी यादृच्छिक चर का एक द्विघात रूप है। एक वैकल्पिक परिकल्पना के तहत, क्यूएन यादृच्छिक रूप से अनंत की ओर जाता है, और इस प्रकार एक सांख्यिकीय रूप से सुसंगत परीक्षण निर्धारित करता है। अधिकांश अनुप्रयोगों के लिए घातांक 1 (यूक्लिडियन दूरी) लागू किया जा सकता है। बहुभिन्नरूपी सामान्यता के परीक्षण का महत्वपूर्ण विशेष मामला आर के लिए ऊर्जा पैकेज में लागू किया जाता है। परीक्षण भी भारी पूंछ वाले वितरण जैसे कि पेरेटो (शक्ति कानून), या (0,1) में घातकों के अनुप्रयोग द्वारा स्थिर वितरण के लिए विकसित किए जाते हैं। अनुप्रयोग अनुप्रयोगों में शामिल हैंः पदानुक्रमित क्लस्टरिंग (वार्ड की विधि का एक सामान्यीकरण) बहुभिन्नरूपी सामान्यता का परीक्षण समान वितरण की बहु-नमूना परिकल्पना का परीक्षण, परिवर्तन बिंदु का पता लगाने के लिए बहुभिन्नरूपी स्वतंत्रताः दूरी सहसंबंध, ब्राउनियन सहप्रसरण। स्कोरिंग नियमः नीटिंग और राफ्टरी संभावित भविष्यवाणियों के लिए एक नए और बहुत सामान्य प्रकार के उचित स्कोरिंग नियम, ऊर्जा स्कोर को विकसित करने के लिए ऊर्जा दूरी को लागू करते हैं। मजबूत सांख्यिकी परिदृश्य में कमी जीन चयन माइक्रोएरे डेटा विश्लेषण सामग्री संरचना विश्लेषण मॉर्फोमेट्रिक और कीमोमेट्रिक डेटा ऊर्जा सांख्यिकी के अनुप्रयोगों को आर के लिए मुक्त स्रोत ऊर्जा पैकेज में लागू किया जाता है।