O-minimal theory
गणितीय तर्क में, और विशेष रूप से मॉडल सिद्धांत में, एक अनंत संरचना (एम, <,) जिसे पूरी तरह से <द्वारा क्रमबद्ध किया जाता है, उसे ओ-न्यूनतम संरचना कहा जाता है यदि और केवल तभी जब प्रत्येक परिभाषित उपसमुच्चय एक्सएम (एम से लिए गए मापदंडों के साथ) अंतराल और बिंदुओं का एक सीमित संघ हो। ओ-न्यूनतमता को परिमापक उन्मूलन का एक कमजोर रूप माना जा सकता है। एक संरचना एम ओ-न्यूनतम है यदि और केवल तभी जब एम में एक मुक्त चर और मापदंडों वाला प्रत्येक सूत्र एक मात्रक-मुक्त सूत्र के बराबर है जिसमें केवल क्रम शामिल है, एम में मापदंडों के साथ भी। यह न्यूनतम संरचनाओं के अनुरूप है, जो वास्तव में समानता के अनुरूप गुण हैं। एक सिद्धांत टी एक ओ-न्यूनतम सिद्धांत है यदि टी का प्रत्येक मॉडल ओ-न्यूनतम है। यह ज्ञात है कि एक ओ-न्यूनतम संरचना का पूर्ण सिद्धांत टी एक ओ-न्यूनतम सिद्धांत है। यह परिणाम उल्लेखनीय है क्योंकि, इसके विपरीत, एक न्यूनतम संरचना का पूर्ण सिद्धांत एक प्रबल न्यूनतम सिद्धांत होने की आवश्यकता नहीं है, अर्थात, एक मौलिक रूप से समतुल्य संरचना हो सकती है जो न्यूनतम नहीं है। सेट-सैद्धांतिक परिभाषा ओ-न्यूनतम संरचनाओं को मॉडल सिद्धांत का सहारा लिए बिना परिभाषित किया जा सकता है। यहाँ हम एक गैर-खाली समुच्चय M पर एक संरचना को एक सेट-सैद्धांतिक तरीके से परिभाषित करते हैं, एक अनुक्रम S = (Sn), n = 0,1,2 के रूप में. जैसे कि Sn Mn के उपसमुच्चय का एक बूलियन बीजगणित है यदि A ω Sn तो M × A और A × M Sn + 1 में हैं सेट {(x1,, xn) ω Mn: x1 = xn} Sn में है यदि A ω Sn + 1 और π: Mn + 1 → Mn पहले n निर्देशांक पर प्रक्षेपण मानचित्र है, तो π (A) ω Sn। यदि एम में अंत बिंदुओं के बिना एक घना रैखिक क्रम है, तो मान लीजिए कि एम पर एक संरचना एस को ओ-न्यूनतम कहा जाता है यदि यह अतिरिक्त स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है। "ओ" का अर्थ है "क्रम", क्योंकि किसी भी ओ-न्यूनतम संरचना के लिए अंतर्निहित सेट पर एक क्रम की आवश्यकता होती है। मॉडल सैद्धांतिक परिभाषा ओ-न्यूनतम संरचनाएं मॉडल सिद्धांत में उत्पन्न हुई हैं और इसलिए मॉडल सिद्धांत की भाषा का उपयोग करके एक सरल-लेकिन समकक्ष-परिभाषा है। विशेष रूप से यदि L एक द्विआधारी संबंध सहित एक भाषा है, और (M, <,.) एक L-संरचना है जहां एक घने रैखिक क्रम के स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करने के लिए व्याख्या की जाती है, तो (M, <,.) को एक o-न्यूनतम संरचना कहा जाता है यदि किसी भी परिभाषित समुच्चय X के लिए सीमित रूप से कई खुले अंतराल I1,., M में IR और एक परिमित समुच्चय X0 ऐसे हैं जो केवल क्रम के साथ भाषा में घने रैखिक आदेशों का पूरा सिद्धांत हैं। आर. सी. एफ., वास्तविक बंद क्षेत्रों का सिद्धांत। प्रतिबंधित विश्लेषणात्मक कार्यों के साथ वास्तविक क्षेत्र का पूरा सिद्धांत जोड़ा गया (अर्थात। [0,1] n के पड़ोस पर विश्लेषणात्मक कार्य, [0,1] n तक सीमित; ध्यान दें कि अप्रतिबंधित साइन कार्य में असीम रूप से कई मूल हैं, और इसलिए एक ओ-न्यूनतम संरचना में परिभाषित नहीं किया जा सकता है। विल्की के प्रमेय द्वारा घातीय फलन के लिए एक प्रतीक के साथ वास्तविक क्षेत्र का पूरा सिद्धांत। अधिक सामान्य रूप से, फाफियन कार्यों के साथ वास्तविक संख्याओं का पूरा सिद्धांत जोड़ा गया। अंतिम दो उदाहरणों को जोड़ा जा सकता हैः वास्तविक क्षेत्र के किसी भी ओ-न्यूनतम विस्तार को देखते हुए (जैसे कि प्रतिबंधित विश्लेषणात्मक कार्यों के साथ वास्तविक क्षेत्र), कोई भी इसके फाफियन क्लोजर को परिभाषित कर सकता है, जो फिर से एक ओ-न्यूनतम संरचना है। (एक संरचना का फाफियन बंद, विशेष रूप से, फाफियन श्रृंखलाओं के तहत बंद किया जाता है जहां बहुपदों के स्थान पर मनमाने ढंग से परिभाषित कार्यों का उपयोग किया जाता है।) आर. सी. एफ. के मामले में, परिभाषित समुच्चय अर्ध-बीजगणितीय समुच्चय हैं। इस प्रकार ओ-न्यूनतम संरचनाओं और सिद्धांतों का अध्ययन वास्तविक बीजगणितीय ज्यामिति को सामान्य बनाता है। वर्तमान अनुसंधान की एक प्रमुख पंक्ति वास्तविक क्रमबद्ध क्षेत्र के विस्तार की खोज पर आधारित है जो ओ-न्यूनतम हैं। अनुप्रयोग की व्यापकता के बावजूद, कोई भी ओ-न्यूनतम संरचनाओं में परिभाषित सेट की ज्यामिति के बारे में बहुत कुछ दिखा सकता है। एक कोशिका अपघटन प्रमेय, व्हिटनी और वर्डियर स्तरीकरण प्रमेय और आयाम और यूलर विशेषता की एक अच्छी धारणा है। इसके अलावा, एक ओ-न्यूनतम संरचना में निरंतर अवकलनीय परिभाषित कार्य लोजासिविक्ज़ असमानता के सामान्यीकरण को संतुष्ट करते हैं, एक ऐसा गुण जिसका उपयोग कुछ गैर-चिकनी अनुकूलन विधियों के अभिसरण की गारंटी के लिए किया गया है, जैसे कि यादृच्छिक उप-प्रवणता विधि (कुछ हल्की धारणाओं के तहत)। अर्ध-बीजगणितीय समुच्चय वास्तविक बीजगणितीय ज्यामिति मजबूत न्यूनतम सिद्धांत कमजोर ओ-न्यूनतम संरचना सी-न्यूनतम सिद्धांत नियंत्रित स्थलविज्ञान टिप्पणियाँ संदर्भ बाहरी लिंक मॉडल सिद्धांत प्रीप्रिंट सर्वर वास्तविक बीजगणितीय और विश्लेषणात्मक ज्यामिति प्रीप्रिंट सर्वर गणितीय तर्क मॉडल सिद्धांत वास्तविक बीजगणितीय ज्यामिति स्थलविज्ञान