Cayley–Klein metric
गणित में, एक केले-क्लेन मीट्रिक एक प्रोजेक्टिव स्पेस में एक निश्चित चतुर्भुज के पूरक पर एक मीट्रिक है जिसे क्रॉस-अनुपात का उपयोग करके परिभाषित किया जाता है। निर्माण की उत्पत्ति आर्थर केले के निबंध "ऑन द थ्योरी ऑफ डिस्टेंस" से हुई, जहाँ वे चतुर्भुज को निरपेक्ष कहते हैं। निर्माण को फेलिक्स क्लेन द्वारा 1871 और 1873 में और बाद की पुस्तकों और पत्रों में और अधिक विस्तार से विकसित किया गया था। केले-क्लेन मेट्रिक्स ज्यामिति में एक एकीकृत विचार है क्योंकि विधि का उपयोग हाइपरबोलिक ज्यामिति, अण्डाकार ज्यामिति और यूक्लिडियन ज्यामिति में मेट्रिक्स प्रदान करने के लिए किया जाता है। गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति का क्षेत्र काफी हद तक केले-क्लेन मेट्रिक्स द्वारा प्रदान किए गए आधार पर निर्भर करता है। कार्ल वॉन स्टॉड्ट (1847) द्वारा फेंका गया बीजगणित ज्यामिति के लिए एक दृष्टिकोण है जो मीट्रिक से स्वतंत्र है। एक रेखा पर माप के लिए मौलिक के रूप में प्रोजेक्टिव हार्मोनिक संयुग्म और क्रॉस-अनुपात के संबंध का उपयोग करने का विचार था। एक अन्य महत्वपूर्ण अंतर्दृष्टि एडमंड लैगुएरे (1853) का लैगुएरे सूत्र था, जिसने दिखाया कि दो रेखाओं के बीच यूक्लिडियन कोण को क्रॉस-अनुपात के लघुगणक के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। अंततः, केले (1859) ने एक प्रोजेक्टिव मीट्रिक के संदर्भ में दूरी को व्यक्त करने के लिए संबंध तैयार किए, और उन्हें ज्यामिति के निरपेक्ष के रूप में कार्य करने वाले सामान्य चतुर्भुज या शंकु से संबंधित किया। क्लेन (1871,1873) ने वॉन स्टॉड्ट के काम से मीट्रिक अवधारणाओं के अंतिम अवशेषों को हटा दिया और इसे केली के सिद्धांत के साथ जोड़ा, ताकि चार अंकों की ज्यामितीय व्यवस्था द्वारा उत्पन्न संख्या के रूप में केली के नए मीट्रिक को लघुगणक और क्रॉस-अनुपात पर आधारित किया जा सके। यह प्रक्रिया दूरी की वृत्ताकार परिभाषा से बचने के लिए आवश्यक है यदि पार-अनुपात केवल पहले से परिभाषित दूरी का दोहरा अनुपात है। विशेष रूप से, उन्होंने दिखाया कि गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति केली-क्लेन मीट्रिक पर आधारित हो सकती है। केले-क्लेन ज्यामिति उन गतियों के समूह का अध्ययन है जो केले-क्लेन मीट्रिक को अपरिवर्तनीय छोड़ देते हैं। यह एक चतुर्भुज या शंकु के चयन पर निर्भर करता है जो स्थान का निरपेक्ष बन जाता है। यह समूह उन सम्मिश्रणों के रूप में प्राप्त किया जाता है जिनके लिए निरपेक्ष स्थिर होता है। वास्तव में, क्रॉस-अनुपात किसी भी संरेखण के तहत अपरिवर्तनीय है, और स्थिर निरपेक्ष मीट्रिक तुलना को सक्षम बनाता है, जो समानता होगी। उदाहरण के लिए, इकाई वृत्त हाइपरबोलिक ज्यामिति में पोइनकेयर डिस्क मॉडल और बेल्ट्रामी-क्लेन मॉडल का निरपेक्ष है। इसी तरह, वास्तविक रेखा पोइनकेयर अर्ध-समतल मॉडल का निरपेक्ष है। केली-क्लेन ज्यामिति की सीमा को 2004 में होर्स्ट और रॉल्फ स्ट्रूव द्वारा संक्षेप में प्रस्तुत किया गया थाः वास्तविक प्रक्षेपात्मक रेखा में तीन निरपेक्ष हैं, वास्तविक प्रक्षेपात्मक तल में सात और वास्तविक प्रक्षेपात्मक स्थान में 18। सभी शास्त्रीय गैर-यूक्लिडियन प्रोजेक्टिव स्पेस जैसे हाइपरबोलिक, एलिप्टिक, गैलीलियन और मिंकॉव्स्कियन और उनके डुअल्स को इस तरह से परिभाषित किया जा सकता है। केले-क्लेन वोरोनोई आरेख रैखिक हाइपरप्लेन द्विभाजक के साथ संबद्ध आरेख हैं। क्रॉस अनुपात और दूरी केले-क्लेन मीट्रिक को पहले वास्तविक प्रोजेक्टिव रेखा पी (आर) और प्रोजेक्टिव निर्देशांक पर चित्रित किया गया है। आम तौर पर प्रोजेक्टिव ज्यामिति मीट्रिक ज्यामिति से जुड़ी नहीं होती है, लेकिन समरूपता और प्राकृतिक लघुगणक के साथ एक उपकरण संबंध बनाता है। पी (आर) पर दो बिंदुओं पी और क्यू से शुरू करें। कैनोनिकल एम्बेडिंग में वे हैं [पीः 1] और [क्यूः 1]। समरूपी मानचित्र पी को शून्य और क्यू को अनंत तक ले जाता है। इसके अलावा, मध्य बिंदु (पी + क्यू)/2 [1:1] पर जाता है। प्राकृतिक लघुगणक अंतराल [p, q] की छवि को वास्तविक रेखा पर ले जाता है, जिसमें मध्य बिंदु की छवि का लॉग 0 होता है। अंतराल में दो बिंदुओं के बीच की दूरी के लिए, केले-क्लेन मीट्रिक अंकों के अनुपात के लघुगणक का उपयोग करता है। जब अंश और भाजक समान रूप से पुनः आनुपातिक होते हैं तो अनुपात संरक्षित रहता है, इसलिए ऐसे अनुपातों का लघुगणक संरक्षित रहता है। अनुपात का यह लचीलापन दूरी के लिए शून्य बिंदु की गति को सक्षम बनाता हैः इसे ए पर ले जाने के लिए, उपरोक्त समरूपता को लागू करें, मान लीजिए कि डब्ल्यू प्राप्त करना। फिर इस समरूपता को बनाएँः जो [डब्ल्यू, 1] से [1:1] तक लेता है। पहले और दूसरे समरूपियों की संरचना में a से 1 तक का समय लगता है, इस प्रकार अंतराल में एक मनमाना a को सामान्य किया जाता है। रचित समरूपताओं को पी, क्यू और ए का क्रॉस अनुपात समरूपता कहा जाता है। अक्सर क्रॉस अनुपात को चार मूल्यों के फलन के रूप में पेश किया जाता है। यहाँ तीन एक समरूपता को परिभाषित करते हैं और चौथा समरूपता का तर्क है। 0 से इस चौथे बिंदु की दूरी मूल्यांकन की गई समरूपता का लघुगणक है। पी (आर) वाले प्रोजेक्टिव स्पेस में, मान लीजिए कि एक शंकु K दिया गया है, जिसमें के पर पी और क्यू है। बड़े स्पेस पर एक होमोग्राफी में एक अपरिवर्तनीय सेट के रूप में के हो सकता है क्योंकि यह स्पेस के बिंदुओं को क्रमबद्ध करता है। इस तरह की समरूपता पी (आर) पर एक को प्रेरित करती है, और चूंकि पी और क्यू के पर रहते हैं, इसलिए क्रॉस अनुपात अपरिवर्तनीय रहता है। उच्च समरूपताएँ K से घिरे क्षेत्र की गतियाँ प्रदान करती हैं, जिसमें गति संरक्षित दूरी, एक सममिति होती है। डिस्क अनुप्रयोग मान लीजिए कि निरपेक्ष के लिए एक इकाई वृत्त का चयन किया गया है। दूसरी ओर, साधारण जटिल तल में इकाई वृत्त जटिल संख्या अंकगणित का उपयोग करता है और जटिल प्रोजेक्टिव रेखा पी (सी) में पाया जाता है, जो वास्तविक प्रोजेक्टिव तल पी 2 (आर) से कुछ अलग है। पिछले खंड में शुरू की गई पी (आर) के लिए दूरी की धारणा उपलब्ध है क्योंकि पी (आर) को पी2 (आर) और पी (सी) दोनों में शामिल किया गया है। मान लीजिए कि ए और बी पी2 (आर) में वृत्त के आंतरिक हैं। फिर वे एक रेखा पर स्थित होते हैं जो वृत्त को p और q पर काटती है। ए से बी तक की दूरी समरूपता के मूल्य का लघुगणक है, जो बी पर लागू होने पर पी, क्यू और ए द्वारा ऊपर उत्पन्न होता है। इस उदाहरण में डिस्क में भूगणितीय रेखा खंड हैं। दूसरी ओर, भूगणितीय जटिल तल की डिस्क में सामान्यीकृत वृत्तों के चाप हैं। वक्रों के इस वर्ग को मोबियस परिवर्तनों द्वारा क्रमबद्ध किया जाता है, जो इस डिस्क की गति का स्रोत है जो इकाई वृत्त को एक अपरिवर्तनीय समूह के रूप में छोड़ देता है। इस डिस्क में a और b को देखते हुए, एक अद्वितीय सामान्यीकृत वृत्त है जो समकोण पर इकाई वृत्त से मिलता है, मान लीजिए कि इसे p और q पर काटता है। फिर से, a से b तक की दूरी के लिए पहले p, q और a के लिए समरूपता का निर्माण करता है, फिर इसे b पर मूल्यांकन करता है, और अंत में लघुगणक का उपयोग करता है। इस तरह से प्राप्त हाइपरबोलिक तल के दो मॉडल केले-क्लेन मॉडल और पोइनकेयर डिस्क मॉडल हैं। विशेष सापेक्षता 1926 में मरणोपरांत प्रकाशित गणित के इतिहास पर अपने व्याख्यानों में क्लेन ने लिखाः चार आयामी दुनिया में मामले या (तीन आयामों में बने रहने और सजातीय निर्देशांक का उपयोग करने के लिए) ने हाल ही में भौतिकी के सापेक्षता सिद्धांत के माध्यम से विशेष महत्व प्राप्त किया है। अर्थात्, निरपेक्ष या हाइपरबोलिक ज्यामिति में (जैसा कि ऊपर चर्चा की गई है), अंतराल या स्पेसटाइम के अनुरूप होते हैं, और निरपेक्ष अपरिवर्तनीय को छोड़कर इसका परिवर्तन लॉरेंट्ज़ परिवर्तनों से संबंधित हो सकता है। इसी तरह, हाइपरबोलिक ज्यामिति में इकाई वृत्त या इकाई गोले के समीकरण भौतिक वेग या सापेक्षता के अनुरूप होते हैं, जो प्रकाश की गति से बंधे होते हैं, ताकि किसी भी भौतिक वेग के लिए, अनुपात एक इकाई गोले के आंतरिक भाग तक सीमित हो, और गोले की सतह ज्यामिति के लिए केले निरपेक्ष बनाती है। हायपरबोलिक स्पेस के लिए केले-क्लेन मीट्रिक और विशेष सापेक्षता के मिन्कोव्स्की स्पेस के बीच संबंध के बारे में अतिरिक्त विवरण 1910 में क्लेन द्वारा बताए गए थे, साथ ही गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति पर उनके व्याख्यान के 1928 संस्करण में भी। 2008 में होर्स्ट मार्टिनी और मार्गरीटा स्पिरोवा ने केली निरपेक्ष से जुड़ी एफाइन ज्यामिति का उपयोग करके क्लिफोर्ड के वृत्त प्रमेयों और अन्य यूक्लिडियन ज्यामिति में से पहले को सामान्यीकृत कियाः यदि निरपेक्ष में एक रेखा होती है, तो कोई व्यक्ति एफाइन केली-क्लेन ज्यामिति का एक उप-परिवार प्राप्त करता है। यदि निरपेक्ष में एक रेखा f और f पर एक बिंदु F होता है, तो हमारे पास समस्थानिक ज्यामिति है। एक समस्थानिक वृत्त एफ पर एफ को छूने वाला एक शंकु है। सजातीय निर्देशांक (एक्स, वाई, जेड) का उपयोग करें। अनंत पर रेखा f, z = 0 है। यदि F = (0,1,0) है, तो y-अक्ष के समानांतर व्यास वाला एक परवलय एक समस्थानिक वृत्त है। मान लीजिए कि पी = (1,0,0) और क्यू = (0,1,0) निरपेक्ष पर हैं, इसलिए एफ ऊपर की तरह है। (x, y) तल में एक आयताकार हाइपरबोला को अनंत पर रेखा पर P और Q से गुजरना माना जाता है। ये वक्र छद्म-यूक्लिडियन वृत्त हैं। मार्टिनी और स्पिरोवा द्वारा उपचार में समस्थानिक ज्यामिति के लिए दोहरी संख्या और छद्म-यूक्लिडियन ज्यामिति के लिए विभाजित-जटिल संख्याओं का उपयोग किया जाता है। ये सामान्यीकृत जटिल संख्याएँ अपनी ज्यामितियों के साथ उसी तरह जुड़ती हैं जैसे साधारण जटिल संख्याएँ यूक्लिडियन ज्यामिति के साथ करती हैं। इतिहास केले आर्थर केले (1859) ने "निरपेक्ष" को परिभाषित किया, जिस पर उन्होंने अपने प्रोजेक्टिव मीट्रिक को सजातीय निर्देशांकों के संदर्भ में दूसरी डिग्री की सतह के सामान्य समीकरण के रूप में आधारित कियाः दो बिंदुओं के बीच की दूरी तब दो आयामों द्वारा दी जाती है। क्लेन फेलिक्स क्लेन (1871) ने केले की अभिव्यक्तियों को इस प्रकार संशोधित कियाः उन्होंने सजातीय निर्देशांक के संदर्भ में निरपेक्ष (जिसे उन्होंने मौलिक शंकु खंड कहा) लिखाः और निरपेक्ष और दो तत्वों के लिए, उन्होंने क्रॉस अनुपात के संदर्भ में उनके बीच मात्रात्मक दूरी को परिभाषित कियाः समतल में, मात्रात्मक दूरी के लिए समान संबंध हैं, सिवाय इसके और अब प्रत्येक तीन निर्देशांक से संबंधित हैं। मौलिक शंकु खंड के रूप में उन्होंने विशेष मामले पर चर्चा की, जो वास्तविक होने पर हाइपरबोलिक ज्यामिति और काल्पनिक होने पर अण्डाकार ज्यामिति से संबंधित है। इस रूप को अपरिवर्तनीय छोड़ने वाले परिवर्तन संबंधित गैर-यूक्लिडियन स्थान में गतियों का प्रतिनिधित्व करते हैं। वैकल्पिक रूप से, उन्होंने वृत्त के समीकरण का उपयोग इस रूप में किया, जो कि जब धनात्मक (बेलट्रामी-क्लेन मॉडल) होता है तो हाइपरबोलिक ज्यामिति या जब ऋणात्मक होता है तो अण्डाकार ज्यामिति से संबंधित होता है। अंतरिक्ष में, उन्होंने द्वितीय डिग्री की मौलिक सतहों पर चर्चा की, जिसके अनुसार काल्पनिक एलिप्टिक ज्यामिति को संदर्भित करते हैं, वास्तविक और रेक्टिलिनियर तीन मुख्य ज्यामितियों में से किसी एक से कोई संबंध नहीं रखते हुए एक-शीट हाइपरबोलॉइड के अनुरूप होते हैं, जबकि वास्तविक और गैर-रेक्टिलिनियर हाइपरबोलिक स्पेस को संदर्भित करते हैं। अपने 1873 के पेपर में उन्होंने केले मीट्रिक और परिवर्तन समूहों के बीच संबंध की ओर इशारा किया। विशेष रूप से, द्वितीय डिग्री की सतहों के अनुरूप वास्तविक गुणांक वाले द्विघात समीकरणों को वर्गों के योग में परिवर्तित किया जा सकता है, जिनमें से सकारात्मक और नकारात्मक संकेतों की संख्या के बीच का अंतर बराबर रहता है (इसे अब सिल्वेस्टर का जड़ता का नियम कहा जाता है)। यदि सभी वर्गों का संकेत समान है, तो सतह सकारात्मक वक्रता के साथ काल्पनिक है। यदि एक संकेत दूसरे से अलग होता है, तो सतह नकारात्मक वक्रता के साथ एक दीर्घवृत्ताकार या दो-शीट हाइपरबोलॉइड बन जाती है। शीतकालीन सेमेस्टर 1889/90 (प्रकाशित 1892/1893) में गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति पर अपने व्याख्यान के पहले खंड में, उन्होंने निरपेक्ष के लिए इन अभिव्यक्तियों का उपयोग करते हुए गैर-यूक्लिडियन तल पर चर्चा कीः और गैर-यूक्लिडियन स्थानों में गतियों का प्रतिनिधित्व करने वाले कोलिनीकरण और मोबियस परिवर्तनों के संबंध में उनकी अपरिवर्तनीयता पर चर्चा की। ग्रीष्मकालीन सेमेस्टर 1890 (जिसे 1892/1893 भी प्रकाशित किया गया) के व्याख्यान वाले दूसरे खंड में, क्लेन ने केली मीट्रिक के साथ गैर-यूक्लिडियन स्थान पर चर्चा की और यह दिखाया कि इस चतुर्थक द्विघात रूप के रूपों को वास्तविक रैखिक परिवर्तनों द्वारा निम्नलिखित पांच रूपों में से एक में लाया जा सकता है। उन्होंने अंततः गैर-यूक्लिडियन स्थानों में गतियों का प्रतिनिधित्व करने वाले कोलिनीकरण और मोबियस परिवर्तनों के संबंध में उनकी अपरिवर्तनीयता पर चर्चा की। रॉबर्ट फ्रिक और क्लेन ने 1897 में ऑटोमोर्फिक कार्यों पर व्याख्यान के पहले खंड की शुरुआत में इन सभी का सारांश दिया, जिसमें उन्होंने समतल ज्यामिति में निरपेक्ष के रूप में उपयोग किया, और साथ ही साथ हाइपरबोलिक स्पेस के लिए भी। गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति पर क्लेन के व्याख्यान मरणोपरांत एक खंड के रूप में पुनः प्रकाशित किए गए और 1928 में वाल्थेर रोज़मैन द्वारा महत्वपूर्ण रूप से संपादित किए गए। गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति पर क्लेन के काम का एक ऐतिहासिक विश्लेषण ए 'कैम्पो और पापाडोपोलोस (2014) द्वारा दिया गया था। हिल्बर्ट मीट्रिक नोट्स संदर्भ ऐतिहासिक (दूसरा प्रिंट, 1892 में पहला प्रिंट) (दूसरा प्रिंट, 1892 में पहला प्रिंट) माध्यमिक स्रोत बर्ट्रेंड रसेल (1898) ज्यामिति की नींव पर एक निबंध, डोवर प्रकाशन, इंक द्वारा 1956 में फिर से जारी किया गया। अल्फ्रेड नॉर्थ व्हाइटहेड (1898) सार्वभौमिक बीजगणित, पुस्तक VI अध्याय 1: दूरी का सिद्धांत, पीपी 347-70, विशेष रूप से धारा 199 केली का दूरी का सिद्धांत। डंकन सोमरविले (1910/11) "एन-डायमेंशनल स्पेस में केले-क्लेन मेट्रिक्स", एडिनबर्ग मैथमेटिकल सोसाइटी की कार्यवाही 28:25-41। डेविड डेलफेनिच द्वारा अंग्रेजी अनुवाद में पुनः मुद्रित किया गयाः लॉरेंट्ज़ समूह की ज्यामितीय नींव पर; अंग्रेजी अनुवादः एम. एकरमैन द्वारा 19 वीं शताब्दी में गणित का विकास, गणित विज्ञान प्रेस हार्वे लिपकिन (1985) जॉर्जिया प्रौद्योगिकी संस्थान से मीट्रिक ज्यामिति आगे पढ़ने के लिए जान ड्रस्लर (1979) "केले-क्लेन ज्यामिति में बहुआयामी मीट्रिक स्केलिंग की नींव", ब्रिटिश जर्नल ऑफ मैथमेटिकल एंड स्टैटिस्टिकल साइकोलॉजी 32 (2); 185-211 प्रोजेक्टिव ज्यामिति मीट्रिक ज्यामिति