Poincaré disk model
ज्यामिति में, पोइनकेयर डिस्क मॉडल, जिसे अनुरूप डिस्क मॉडल भी कहा जाता है, 2-आयामी हाइपरबोलिक ज्यामिति का एक मॉडल है जिसमें सभी बिंदु इकाई डिस्क के अंदर होते हैं, और सीधी रेखाएं या तो डिस्क के भीतर निहित गोलाकार चाप होती हैं जो इकाई वृत्त या इकाई वृत्त के व्यास के लिए ऑर्थोगोनल होती हैं। डिस्क मॉडल के अभिविन्यास संरक्षित सममितियों का समूह प्रोजेक्टिव विशेष एकात्मक समूह द्वारा दिया जाता है, जो इसके केंद्र द्वारा विशेष एकात्मक समूह एसयू (1,1) का भागफल है। क्लेन मॉडल और पोइनकेयर अर्ध-अंतरिक्ष मॉडल के साथ, यह यूजीनियो बेलट्रामी द्वारा प्रस्तावित किया गया था, जिन्होंने इन मॉडलों का उपयोग यह दिखाने के लिए किया था कि हाइपरबोलिक ज्यामिति यूक्लिडियन ज्यामिति के बराबर थी। इसका नाम हेनरी पोइनकेरे के नाम पर रखा गया है, क्योंकि चौदह साल बाद इस प्रतिनिधित्व की उनकी पुनः खोज बेलट्रामी के मूल काम से बेहतर जानी गई। पोइनकेयर बॉल मॉडल 3 या एन-आयामी हाइपरबोलिक ज्यामिति के लिए समान मॉडल है जिसमें ज्यामिति के बिंदु एन-आयामी इकाई गेंद में होते हैं। डिस्क मॉडल का वर्णन पहली बार बर्नहार्ड रीमैन द्वारा 1854 के एक व्याख्यान (1868 में प्रकाशित) में किया गया था, जिसने यूजेनियो बेलट्रामी द्वारा 1868 के एक पेपर को प्रेरित किया था। हेनरी पोइनकेयर ने 1882 में हाइपरबोलिक, पैराबोलिक और एलिप्टिक कार्यों के अपने उपचार में इसका उपयोग किया, लेकिन पोइनकेयर के 1905 के दार्शनिक ग्रंथ, साइंस एंड हाइपोथिसिस में प्रस्तुति के बाद यह व्यापक रूप से जाना जाने लगा। वहाँ उन्होंने एक ऐसी दुनिया का वर्णन किया, जिसे अब पोइनकेयर डिस्क के रूप में जाना जाता है, जिसमें स्थान यूक्लिडियन था, लेकिन जो इसके निवासियों को हाइपरबोलिक ज्यामिति के स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करने के लिए दिखाई दियाः "मान लीजिए, उदाहरण के लिए, एक बड़े गोले में घिरी हुई दुनिया और निम्नलिखित नियमों के अधीन हैः तापमान समान नहीं है; यह उनके केंद्र में सबसे बड़ा है, और धीरे-धीरे कम हो जाता है क्योंकि हम गोले की परिधि की ओर बढ़ते हैं, जहां यह पूर्ण शून्य है। इस तापमान का नियम इस प्रकार हैः यदि गोले की त्रिज्या और केंद्र से माने जाने वाले बिंदु की दूरी हो, तो निरपेक्ष तापमान इसके समानुपाती होगा। इसके अलावा, मैं मान लूंगा कि इस दुनिया में सभी पिंडों में फैलाव का समान गुणांक है, ताकि किसी भी पिंड का रैखिक फैलाव उसके निरपेक्ष तापमान के समानुपाती हो। अंत में, मैं यह मान लूंगा कि अलग-अलग तापमान के एक बिंदु से दूसरे बिंदु पर ले जाया जाने वाला पदार्थ अपने नए वातावरण के साथ तुरंत तापीय संतुलन में है। .. यदि वे एक ज्यामिति का निर्माण करते हैं, तो यह हमारी तरह नहीं होगा, जो हमारे अपरिवर्तनीय ठोस पदार्थों की गतिविधियों का अध्ययन है; यह स्थिति के परिवर्तनों का अध्ययन होगा जिसे उन्होंने इस प्रकार अलग किया होगा, और यह 'गैर-यूक्लिडियन विस्थापन' होगा, और यह गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति होगी। ताकि हम जैसे जीव, जो ऐसी दुनिया में शिक्षित हैं, उनकी ज्यामिति हमारे जैसी न हो। (pp.65-68) पोइनकेयर की डिस्क इस परिकल्पना के लिए एक महत्वपूर्ण प्रमाण था कि स्थानिक ज्यामिति का चयन तथ्यात्मक के बजाय पारंपरिक है, विशेष रूप से रुडोल्फ कार्नेप और हंस रीचेनबाख की प्रभावशाली दार्शनिक चर्चाओं में। गुण रेखाएं हाइपरबोलिक सीधी रेखाओं में डिस्क के भीतर निहित यूक्लिडियन वृत्तों के सभी चाप होते हैं जो डिस्क की सीमा के लिए ऑर्थोगोनल होते हैं, साथ ही डिस्क के सभी व्यास होते हैं। कम्पास और सीधी धार का निर्माण सीमा वृत्त के व्यास पर नहीं बल्कि दो बिंदुओं के माध्यम से अद्वितीय हाइपरबोलिक रेखा का निर्माण इस प्रकार किया जा सकता हैः मान लीजिए कि बिंदु के सीमा वृत्त में व्युत्क्रम बिंदु के सीमा वृत्त में व्युत्क्रम हो, मान लीजिए कि खंड का मध्य बिंदु खंड का मध्य बिंदु हो। केंद्र के साथ वृत्त बनाएँ और (और) से गुजरें। वृत्त का वह भाग जो डिस्क के अंदर है, हाइपरबोलिक रेखा है। यदि पी और क्यू सीमा वृत्त के व्यास पर हैं तो व्यास हाइपरबोलिक रेखा है। दूसरा तरीका हैः खंड का मध्य बिंदु होने दें खंड के लंबवत रेखा m को खींचें बिंदु के सीमा वृत्त में व्युत्क्रम होने दें खंड के मध्य बिंदु होने दें खंड के लंबवत रेखा खींचें जहां रेखा और रेखा प्रतिच्छेद करती हैं। केंद्र के साथ वृत्त बनाएँ और (और) से गुजरें। वृत्त का वह भाग जो डिस्क के अंदर है, हाइपरबोलिक रेखा है। इस मॉडल में दूरी केली-क्लेन मेट्रिक्स हैं। डिस्क के अंदर दो अलग-अलग बिंदुओं p और q को देखते हुए, उन्हें जोड़ने वाली अद्वितीय हाइपरबोलिक रेखा दो आदर्श बिंदुओं, a और b पर सीमा को काटती है, उन्हें लेबल करती है ताकि बिंदु क्रम में, a, p, q, b और और हों। ऊर्ध्वाधर पट्टियाँ मॉडल में उनके बीच के बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखा खंड की यूक्लिडियन लंबाई को इंगित करती हैं (वृत्त चाप के साथ नहीं), ln प्राकृतिक लघुगणक है। दो बिंदुओं के बीच हाइपरबोलिक दूरी की गणना करने का एक अन्य तरीका यह है कि डिस्क के केंद्र में p संबंधित q की दूरी कहाँ और कहाँ है, p और q के बीच की दूरी, डिस्क के सीमा वृत्त की त्रिज्या और हाइपरबोलिक कोसाइन का व्युत्क्रम हाइपरबोलिक कार्य है। जब उपयोग की जाने वाली डिस्क खुली इकाई डिस्क है और बिंदुओं में से एक मूल है और बिंदुओं के बीच यूक्लिडियन दूरी r है तो हाइपरबोलिक दूरी हैः जहां हाइपरबोलिक स्पर्शरेखा का व्युत्क्रम हाइपरबोलिक कार्य है। जब डिस्क का उपयोग खुला इकाई डिस्क होता है और बिंदु मूल और बिंदु के बीच स्थित होता है (अर्थात। दोनों बिंदु एक ही त्रिज्या पर हैं, एक ही ध्रुवीय कोण है और), उनकी हाइपरबोलिक दूरी है यह पिछले सूत्र में कम हो जाता है यदि। वृत्त (वृत्त) (एक समतल में सभी बिंदुओं का समूह जो किसी दिए गए बिंदु, उसके केंद्र से दी गई दूरी पर होता है) डिस्क के अंदर पूरी तरह से एक वृत्त होता है जो इसकी सीमा को छूता या काटता नहीं है। मॉडल में वृत्त का हाइपरबोलिक केंद्र सामान्य रूप से वृत्त के यूक्लिडियन केंद्र के अनुरूप नहीं है, लेकिन वे सीमा वृत्त के समान त्रिज्या पर हैं। एक अतिचक्र (एक समतल में सभी बिंदुओं का समूह जो एक तरफ और किसी दी गई रेखा, उसके अक्ष से दी गई दूरी पर होते हैं) एक यूक्लिडियन वृत्त चाप या सीमा वृत्त का तार है जो सीमा वृत्त को एक सकारात्मक लेकिन गैर-समकोण कोण पर काटता है। इसकी धुरी अतिध्रुवीय रेखा है जो समान दो आदर्श बिंदुओं को साझा करती है। इसे समदूरवर्ती वक्र के रूप में भी जाना जाता है। कुंडली एक कुंडली (एक वक्र जिसका सामान्य या लंबवत भूगणितीय सभी एक ही दिशा में स्पर्शोन्मुख रूप से अभिसरण करते हैं), डिस्क के अंदर एक वृत्त है जो डिस्क के सीमा वृत्त को छूता है। जिस बिंदु पर यह सीमा वृत्त को छूता है वह कुंडली का हिस्सा नहीं है। यह एक आदर्श बिंदु है और कुंडली का अतिध्रुवीय केंद्र है। यूक्लिडियन सारांश एक यूक्लिडियन वृत्तः जो पूरी तरह से डिस्क के अंदर है, एक हाइपरबोलिक वृत्त है। (जब डिस्क का केंद्र वृत्त के अंदर नहीं होता है, तो यूक्लिडियन केंद्र हमेशा डिस्क के केंद्र के करीब होता है, जो कि हाइपरबोलिक केंद्र है, अर्थात। धारण करता है।) जो डिस्क के अंदर है और सीमा को छूता है वह एक कुंडली है; जो सीमा को ऑर्थोगोनली रूप से काटता है वह एक हाइपरबोलिक रेखा है; और जो सीमा को नॉन-ऑर्थोगोनली रूप से काटता है वह एक हाइपरसाइकल है। सीमा वृत्त का एक यूक्लिडियन कॉर्डः जो केंद्र से गुजरता है वह एक हाइपरबोलिक रेखा है; और जो केंद्र से नहीं गुजरता है वह एक हाइपरसाइकिल है। मीट्रिक और वक्रता यदि u और v वास्तविक n-आयामी सदिश स्थान Rn में सामान्य यूक्लिडियन मानक के साथ दो सदिश हैं, जिनमें से दोनों का मानक 1 से कम है, तो हम एक सममितीय अपरिवर्तनीय को परिभाषित कर सकते हैं जहां सामान्य यूक्लिडियन मानक को दर्शाता है। फिर दूरी फलन है इस तरह के एक दूरी फलन को एक से कम मानक के किसी भी दो वैक्टर के लिए परिभाषित किया जाता है, और ऐसे वैक्टरों के समूह को एक मीट्रिक स्थान में बनाता है जो स्थिर वक्रता-1 के हाइपरबोलिक स्थान का एक मॉडल है। मॉडल में अनुरूप गुण है कि हाइपरबोलिक स्पेस में दो प्रतिच्छेदन वक्रों के बीच का कोण मॉडल में कोण के समान है। पोइनकेयर डिस्क मॉडल का संबद्ध मीट्रिक टेंसर इस प्रकार दिया जाता है जहाँ xi परिवेशी यूक्लिडियन स्थान के कार्टेशियन निर्देशांक हैं। डिस्क मॉडल के भूगणितीय वृत्त सीमा क्षेत्र एस. एन.-1 के लंबवत हैं। इस रीमानियन मीट्रिक के संबंध में एक ऑर्थोनॉर्मल फ्रेम को दो आयामों में 1-रूपों के दोहरे कोफ्रेम के साथ दिया जाता है, इन फ्रेमों और लेवी-सिविटा कनेक्शन के संबंध में, कनेक्शन फॉर्म को 1-रूपों के अद्वितीय तिरछे-सममित मैट्रिक्स द्वारा दिया जाता है जो मरोड़-मुक्त है, यानी, जो मैट्रिक्स समीकरण को संतुष्ट करता है। पैदावार के लिए इस समीकरण को हल करना जहां वक्रता मैट्रिक्स है इसलिए, हाइपरबोलिक डिस्क की वक्रता हाइपरबोलिक ज्यामिति के अन्य मॉडलों के साथ संबंध है क्लेन डिस्क मॉडल के साथ संबंध क्लेन डिस्क मॉडल (जिसे बेल्ट्रामी-क्लेन मॉडल के रूप में भी जाना जाता है) और पॉइनकेयर डिस्क मॉडल दोनों मॉडल हैं जो डिस्क में पूरे हाइपरबोलिक तल को प्रक्षेपित करते हैं। दोनों मॉडल गोलार्ध मॉडल पर या उससे एक प्रक्षेपण के माध्यम से संबंधित हैं। क्लेन डिस्क मॉडल गोलार्ध मॉडल के लिए एक ऑर्थोग्राफिक प्रक्षेपण है जबकि पोइनकेयर डिस्क मॉडल एक स्टीरियोग्राफिक प्रक्षेपण है। क्लेन डिस्क मॉडल का एक लाभ यह है कि इस मॉडल में रेखाएं यूक्लिडियन सीधी तार हैं। एक नुकसान यह है कि क्लेन डिस्क मॉडल अनुरूप नहीं है (वृत्त और कोण विकृत हैं)। एक डिस्क पर दोनों मॉडलों में एक ही रेखा को प्रक्षेपित करते समय दोनों रेखाएँ एक ही दो आदर्श बिंदुओं से गुजरती हैं। (आदर्श बिंदु एक ही स्थान पर रहते हैं) क्लेन डिस्क मॉडल में तार का ध्रुव उस वृत्त का केंद्र होता है जिसमें पोइनकेयर डिस्क मॉडल में चाप होता है। पोइनकेयर डिस्क मॉडल में एक बिंदु (x, y) क्लेन मॉडल में मानचित्रित होता है। क्लेन मॉडल में एक बिंदु (x, y) पॉइनकेयर डिस्क मॉडल में मानचित्रित होता है। आदर्श अंकों के लिए और सूत्र इस तरह बन जाते हैं कि अंक तय हो जाते हैं। यदि एक से कम मानक का वेक्टर पॉइनकेयर डिस्क मॉडल के एक बिंदु का प्रतिनिधित्व करता है, तो क्लेन डिस्क मॉडल का संबंधित बिंदु इस प्रकार दिया जाता हैः इसके विपरीत, बेल्ट्रामी-क्लेन मॉडल के एक बिंदु का प्रतिनिधित्व करने वाले एक से कम मानक के वेक्टर से, पॉइनकेयर डिस्क मॉडल का संबंधित बिंदु इस प्रकार दिया जाता हैः पॉइनकेयर अर्ध-तल मॉडल से संबंध पॉइनकेयर डिस्क मॉडल और पॉइनकेयर अर्ध-तल मॉडल दोनों का नाम हेनरी पॉइनकेयर के नाम पर रखा गया है। यदि मानक की एक जटिल संख्या पॉइनकेयर डिस्क मॉडल के एक बिंदु का प्रतिनिधित्व करने वाले एक से कम है, तो अर्ध-तल मॉडल का संबंधित बिंदु केली परिवर्तन के व्युत्क्रम द्वारा दिया जाता हैः डिस्क मॉडल में एक बिंदु (x, y) अर्ध-तल मॉडल में मानचित्रित होता है। अर्ध समतल मॉडल में एक बिंदु (x, y) डिस्क मॉडल में मानचित्रित होता है। हाइपरबोलॉइड मॉडल से संबंध पोइनकेयर डिस्क मॉडल, साथ ही क्लेन मॉडल, प्रोजेक्टिव रूप से हाइपरबोलॉइड मॉडल से संबंधित हैं। यदि हमारे पास हाइपरबोलॉइड मॉडल के हाइपरबोलॉइड की ऊपरी शीट पर एक बिंदु [t, x1,., xn] है, जिससे हाइपरबोलॉइड मॉडल में एक बिंदु को परिभाषित किया जाता है, तो हम इसे [−1,0,., 0] के माध्यम से खींची गई रेखा के साथ काटकर हाइपरप्लेन t = 0 पर प्रोजेक्ट कर सकते हैं। परिणाम पोइनकेयर डिस्क मॉडल का संबंधित बिंदु है। हाइपरबोलॉइड पर कार्टेशियन निर्देशांक (t, xi) और तल पर (yi) के लिए, रूपांतरण सूत्र हैंः एक गोले और एक तल के बीच स्टीरियोग्राफिक प्रक्षेपण के लिए सूत्रों की तुलना करें। हाइपरबोलिक तल में विश्लेषणात्मक ज्यामिति निर्माण विश्लेषणात्मक ज्यामिति का एक बुनियादी निर्माण दो दिए गए बिंदुओं के माध्यम से एक रेखा का पता लगाना है। पोइनकेयर डिस्क मॉडल में, समतल में रेखाओं को वृत्तों के उन हिस्सों द्वारा परिभाषित किया जाता है जिनके रूप के समीकरण होते हैं जो इकाई वृत्त के लिए एक वृत्त ऑर्थोगोनल का सामान्य रूप है, या फिर व्यास द्वारा। डिस्क में दो बिंदु u = (u1, u2) और v = (v1, v2) दिए गए हैं जो व्यास पर नहीं होते हैं, हम दोनों बिंदुओं से गुजरने वाले इस रूप के वृत्त के लिए हल कर सकते हैं, और प्राप्त कर सकते हैं। चूँकि क्लेन मॉडल और पोइनकेयर डिस्क मॉडल में आदर्श बिंदु समान हैं, इसलिए प्रत्येक मॉडल के लिए सूत्र समान हैं। यदि दोनों मॉडलों की रेखाएं व्यास हैं, ताकि v = −u और t = −s, तो हम केवल दो इकाई वैक्टरों के बीच का कोण ढूंढ रहे हैं, और कोण θ का सूत्र है, यदि v = −u लेकिन t = −s नहीं, तो सूत्र बन जाता है, वेज उत्पाद () के संदर्भ में, जहां यदि दोनों कॉर्ड व्यास नहीं हैं, तो सामान्य सूत्र प्राप्त होता है जहां बिनेट-काउची पहचान का उपयोग करके और यह तथ्य कि ये इकाई वैक्टर हैं, हम उपरोक्त अभिव्यक्तियों को विशुद्ध रूप से डॉट उत्पाद के संदर्भ में फिर से लिख सकते हैं, जैसा कि कलात्मक प्राप्ति M. C. एशर ने द्वि-आयामी तल पर अनंत का प्रतिनिधित्व करने की अवधारणा की खोज की। कनाडाई गणितशास्त्री एच. एस. एम. के साथ चर्चा। 1956 के आसपास कॉक्सेटर ने हाइपरबोलिक टेसेलेशन में एस्चर की रुचि को प्रेरित किया, जो हाइपरबोलिक तल के नियमित झुकाव हैं। एस्चर की लकड़ी की नक्काशी वृत्त सीमा I-IV 1958 और 1960 के बीच इस अवधारणा को प्रदर्शित करती है, अंतिम एक वृत्त सीमा IV: 1960 में स्वर्ग और नरक है। ब्रूनो अर्न्स्ट के अनुसार, उनमें से सबसे अच्छा सर्कल लिमिट III है। हाइपररोग, एक रोग्वेलिक खेल, अपनी विश्व ज्यामिति के लिए हाइपरबोलिक तल का उपयोग करता है, और पोइनकेयर डिस्क मॉडल का भी उपयोग करता है। हाइपरबोलिक ज्यामिति बेलट्रामी-क्लेन मॉडल पोइनकेयर अर्ध-समतल मॉडल पोइनकेयर मीट्रिक स्यूडोस्फेयर हाइपरबोलॉइड मॉडल व्युत्क्रम ज्यामिति हाइपरबोलिक तल में समान झुकाव संदर्भ आगे पढ़ने के लिए जेम्स डब्ल्यू. एंडरसन, हाइपरबोलिक ज्यामिति, दूसरा संस्करण, स्प्रिंगर, 2005 देखें। यूजीनियो बेलट्रामी, टियोरिया फन्डामेंटेल डिगली स्पाज़ी डी कर्वातुरा कोस्टेंट, अन्नाली। दि माट., सेर II 2 (1868), 232-255। शाऊल स्टाल, द पोइनकेयर हाफ-प्लेन, जोन्स एंड बार्टलेट, 1993। बाहरी लिंक बहु-आयामी ज्यामिति हाइपरबोलिक ज्यामिति डिस्क