Càdlàg
गणित में, एक सी. ए. डी. एल. ए. जी. (फ्रेंचः "कंटिन्यू ए ड्रोइट, लिमिट ए गौचे"), आर. सी. एल. एल. ("लेफ्ट लिमिट्स के साथ राइट कंटिन्यूअस"), या कोरलोल ("(द) राइट पर कंटिन्यूअस, (द) लेफ्ट पर लिमिट") फ़ंक्शन वास्तविक संख्याओं (या उनके एक सबसेट) पर परिभाषित एक फ़ंक्शन है जो हर जगह राइट-कंटिन्यूअस है और हर जगह लेफ्ट लिमिट्स है। कैडलाग कार्य यादृच्छिक प्रक्रियाओं के अध्ययन में महत्वपूर्ण हैं जो ब्राउनियन गति के विपरीत कूद को स्वीकार करते हैं (या इसकी आवश्यकता भी होती है), जिसमें निरंतर नमूना पथ होते हैं। किसी दिए गए डोमेन पर कैडलैग कार्यों के संग्रह को स्कोरोखोड स्पेस के रूप में जाना जाता है। दो संबंधित शब्द कैग्लड हैं, जो "कंटिन्यू ए गौचे, लिमिट ए ड्रोइट" के लिए खड़े हैं, कैडलग का बाएँ-दाएँ रिवर्सल, और "कंटिन्यू ए ल 'उन, लिमिट ए ल' ऑट्रे" (एक तरफ निरंतर, दूसरी तरफ सीमा) के लिए कैल्लल, एक फ़ंक्शन के लिए जो डोमेन के प्रत्येक बिंदु पर या तो कैडलग या कैगलड है। परिभाषा मान लीजिए कि एक मीट्रिक स्थान है, और मान लीजिए। एक फलन को कैडलाग फलन कहा जाता है यदि, प्रत्येक के लिए, बाईं सीमा मौजूद है; और सही सीमा मौजूद है और बराबर है। अर्थात्, बाएँ सीमा के साथ दाएँ-निरंतर है। उदाहरण वास्तविक संख्याओं के एक उपसमुच्चय पर निरंतर सभी कार्य उस उपसमुच्चय पर कैडलैग कार्य हैं। उनकी परिभाषा के परिणामस्वरूप, सभी संचयी वितरण कार्य कैडलैग कार्य हैं। उदाहरण के लिए, बिंदु पर संचयी कम या बराबर होने की संभावना के अनुरूप है, अर्थात्। दूसरे शब्दों में, दो-पूंछ वितरण के लिए चिंता का अर्ध-खुला अंतराल सही-बंद है। एक खुले अंतराल पर परिभाषित किसी भी उत्तल फलन का सही व्युत्पन्न, एक बढ़ता हुआ कैडलाग फलन है। स्कोरोखोद अंतरिक्ष से सभी कैडलाग कार्यों के समूह को अक्सर (या बस) द्वारा दर्शाया जाता है और इसे यूक्रेनी गणितशास्त्री अनातोली स्कोरोखोद के नाम पर स्कोरोखोद अंतरिक्ष कहा जाता है। स्कोरोखोड स्थान को एक टोपोलॉजी सौंपा जा सकता है, जो सहज ज्ञान से हमें "स्थान और समय को थोड़ा हिलाने" की अनुमति देता है (जबकि समान अभिसरण की पारंपरिक टोपोलॉजी हमें केवल "स्थान को थोड़ा हिलाने" की अनुमति देती है)। सरलता के लिए, अधिक सामान्य निर्माण के लिए बिलिंग्सले देखें। हमें पहले निरंतरता के मापांक के एक अनुरूप को परिभाषित करना चाहिए। किसी भी के लिए, सेट करें और, के लिए, सी. ए. डी. एल. ए. जी. मापांक को परिभाषित करें जहां के साथ सभी विभाजनों पर असीम चलता है। यह परिभाषा गैर-काडलाग के लिए समझ में आती है (जैसे निरंतरता का सामान्य मापांक असंतत कार्यों के लिए समझ में आता है) और यह दिखाया जा सकता है कि काडलाग है यदि और केवल यदि। आइए अब सभी सख्ती से बढ़ते हुए, अपने आप में निरंतर बाइजेक्शन के समूह को दर्शाते हैं (ये "समय में विगल्स" हैं)। चलो पर कार्यों पर एक समान मानक को दर्शाते हैं। आइडेंटिटी फंक्शन कहाँ है, इसके आधार पर स्कोरोखोद मीट्रिक को परिभाषित करें। "विगल" अंतर्ज्ञान के संदर्भ में, "समय में विगल" के आकार को मापता है, और "अंतरिक्ष में विगल" के आकार को मापता है। यह दिखाया जा सकता है कि स्कोरोखोद मीट्रिक वास्तव में एक मीट्रिक है। इससे उत्पन्न टोपोलॉजी को स्कोरोखोड टोपोलॉजी कहा जाता है। एक समतुल्य मीट्रिक, स्वतंत्र रूप से पेश किया गया था और स्विचिंग सिस्टम के विश्लेषण के लिए नियंत्रण सिद्धांत में उपयोग किया गया था। स्कोरोखोद अंतरिक्ष के गुण एक समान स्थलविज्ञान का सामान्यीकरण निरंतर कार्यों का स्थान का एक उपक्षेत्र है। स्कोरोखोड टोपोलॉजी वहाँ की समान टोपोलॉजी के साथ मेल खाती है। पूर्णता यह दिखाया जा सकता है कि, हालांकि स्कोरोखोद मीट्रिक के संबंध में एक पूर्ण स्थान नहीं है, एक स्थलाकृतिक रूप से समतुल्य मीट्रिक है जिसके संबंध में पूर्ण है। पृथकता या दोनों में से किसी एक के संबंध में, एक पृथक्कृत स्थान है। इस प्रकार, स्कोरोखोद स्थान एक पोलिश स्थान है। अर्ज़ेला-अस्कोली प्रमेय के एक अनुप्रयोग द्वारा, कोई यह दिखा सकता है कि स्कोरोखोद स्थान पर संभाव्यता उपायों का एक क्रम तभी कड़ा होता है जब और केवल तभी जब निम्नलिखित दोनों शर्तों को पूरा किया जाता हैः और बीजगणितीय और स्थलवैज्ञानिक संरचना स्कोरोखोद स्थलविज्ञान और कार्यों के बिंदुवार जोड़ के तहत, एक स्थलवैज्ञानिक समूह नहीं है, जैसा कि निम्नलिखित उदाहरण से देखा जा सकता हैः मान लीजिए कि आधा खुला अंतराल हो और विशेषता कार्यों का एक क्रम हो। इस तथ्य के बावजूद कि स्कोरोखोद टोपोलॉजी में, अनुक्रम 0 पर अभिसरण नहीं करता है। यह भी देखें संदर्भ आगे पढ़ना वास्तविक विश्लेषण यादृच्छिक प्रक्रियाएँ