Hyers–Ulam–Rassias stability
कार्यात्मक समीकरणों की स्थिरता समस्या समूह समरूपता की स्थिरता के संबंध में 1940 में स्टानिस्लाव उलाम के एक प्रश्न से उत्पन्न हुई थी। अगले वर्ष, डोनाल्ड एच. हायर्स ने योगात्मक मानचित्रण के मामले में बनाच रिक्त स्थान के संदर्भ में उलम के प्रश्न का आंशिक सकारात्मक उत्तर दिया, जो इस क्षेत्र में पहली महत्वपूर्ण सफलता और अधिक समाधान की दिशा में एक कदम था। तब से, उलम की समस्या और हायर्स प्रमेय के विभिन्न सामान्यीकरणों के संबंध में बड़ी संख्या में शोध पत्र प्रकाशित किए गए हैं। 1978 में, थेमिस्टोकल्स एम. रस्सियास ने मानचित्रण पर निरंतरता की शर्त के अधीन एक असीमित कॉची अंतर पर विचार करके बनाच रिक्त स्थान के बीच मानचित्रण के लिए हायर्स के प्रमेय का विस्तार करने में सफलता प्राप्त की। वह रैखिक मानचित्रण की स्थिरता को साबित करने वाले पहले व्यक्ति थे। रस्सियास के इस परिणाम ने दुनिया भर के कई गणितविदों को आकर्षित किया जो कार्यात्मक समीकरणों की स्थिरता समस्याओं की जांच करने के लिए प्रेरित होने लगे। एस. एम. उलम, डी. एच. हायर्स और टी. एच. के बड़े प्रभाव के बारे में। एम. रस्सियास ने कार्यात्मक समीकरणों की स्थिरता समस्याओं के अध्ययन पर, स्थिरता घटना को टीएच द्वारा साबित किया। एम. रस्सियास ने कार्यात्मक समीकरणों की जिसे अब हायर्स-उलम-रस्सियास स्थिरता के रूप में जाना जाता है, के विकास का नेतृत्व किया। उलाम की समस्या के संदर्भ में कार्यात्मक समीकरणों की स्थिरता की व्यापक प्रस्तुति के लिए, इच्छुक पाठक को एस. एम. जंग, एस. ज़ेरविक, वाई. जे. द्वारा पुस्तकों के लिए संदर्भित किया जाता है। चो, सी. पार्क, टी. एम. रस्सियास और आर. सादाती, वाई. जे. चो, टी. एम. रस्सियास और आर. सादाती, और पी. एल. कन्नप्पन, साथ ही निम्नलिखित पत्रों के लिए। 1950 में, टी. एओकी ने एक असीम कॉची अंतर पर विचार किया जिसे बाद में रस्सियास द्वारा रैखिक मामले में सामान्यीकृत किया गया था। इस परिणाम को योगात्मक मानचित्रण की हायर्स-उलम-आओकी स्थिरता के रूप में जाना जाता है। एओकी (1950) ने मानचित्रण पर निरंतरता पर विचार नहीं किया था, जबकि रस्सियास (1978) ने अतिरिक्त निरंतरता परिकल्पना लागू की थी जिससे औपचारिक रूप से एक मजबूत निष्कर्ष निकला। संदर्भ भी देखें थ। एम. रस्सियास, कार्यात्मक समीकरणों की स्थिरता और उलम की एक समस्या पर, एक्टा एप्लैंडे मैथेमेटिका, 62 (1) (2000), 23-130। पी. गावरुता, ए जनरलाइजेशन ऑफ द हायर्स-उलम-रसियस स्टेबिलिटी ऑफ लगभग एडिटिव मैपिंग्स, जे. गणित। गुदा। एपल। 184 (1994), 431-436। पी. गाव्रुत और एल. गाव्रुत, ए न्यू मेथड फॉर द जनरलाइज्ड हायर्स-उलम-रसियस स्टेबिलिटी, इंट। जे. अरैखिक गुदा। एपल। 1 (2010), नं. 2, 6 पीपी। जे. चुंग, श्वार्ट्ज वितरण के क्षेत्र में काउची समीकरण की हायर्स-उलम-रसियस स्थिरता, जे। गणित। गुदा। एपल। 300 (2) (2004), 343-350। टी. मिउरा, एस. ई. ताकाहासी, और जी. हिरासावा, हाइर्स-उलम-रसियस स्टेबिलिटी ऑफ जॉर्डन होमोमोर्फिज्म ऑन बनाच अल्जेब्रा, जे. इनइक्वल। एपल। 4 (2005), 435-441। ए. नजाती और सी. पार्क, हायर्स-उलम-रस्सिया की अर्ध-बनाच बीजगणित में समरूपता की स्थिरता जो पेक्सिडराईज़्ड कॉची कार्यात्मक समीकरण, जे. गणित। गुदा। एपल। 335 (2007), 763-778। टी. एम. रस्सियास और जे. ब्रज़डेक (संस्करण। ), गणितीय विश्लेषण में कार्यात्मक समीकरण, स्प्रिंगर, न्यूयॉर्क, 2012,। डी. झांग और जे. वांग, जेन्सेन के समीकरण की हायर्स-उलम-रसियस स्थिरता पर, बुल। कोरियाई गणित। एस. सी. 46 (4) (2009), 645-656। टी. ट्रिफ, जेन्सेन प्रकार के कार्यात्मक समीकरण की हायर्स-उलम-रसियस स्थिरता, जे। गणित। गुदा। एपल। 250 (2000), 579-588। पीएल। कन्नप्पन, कार्यात्मक समीकरण और अनुप्रयोगों के साथ असमानताएँ, स्प्रिंगर, न्यूयॉर्क, 2009। पी. के. साहू और पी. कन्नप्पन, इंट्रोडक्शन टू फंक्शनल इक्वेशन्स, सी. आर. सी. प्रेस, चैपमैन एंड हॉल बुक, फ्लोरिडा, 2011। डब्ल्यू. डब्ल्यू. ब्रेकनर और टी. ट्रिफ, कन्वेक्स फंक्शन और संबंधित कार्यात्मक समीकरण। चयनित विषय, क्लुज यूनिवर्सिटी प्रेस, क्लुज, 2008। गणितीय विश्लेषण कार्यात्मक समीकरण कार्यात्मक विश्लेषण