Conway polynomial (finite fields)
गणित में, सीमित क्षेत्र एफ. पी. एन. के लिए कॉनवे बहुपद सी. पी., एन. एफ. पी. पर डिग्री एन. का एक विशेष अपरिवर्तनीय बहुपद है जिसका उपयोग सी. पी., एन. के विभाजन क्षेत्र के रूप में एफ. पी. एन. के मानक प्रतिनिधित्व को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है। कॉनवे बहुपदों का नाम रिचर्ड ए. पार्कर द्वारा जॉन एच. कॉनवे के नाम पर रखा गया था, जो उन्हें परिभाषित करने और उदाहरणों की गणना करने वाले पहले व्यक्ति थे। कॉनवे बहुपद एक निश्चित संगतता शर्त को पूरा करते हैं जिसे कॉनवे द्वारा एक क्षेत्र के प्रतिनिधित्व और उसके उपक्षेत्रों के प्रतिनिधित्व के बीच प्रस्तावित किया गया था। वे कंप्यूटर बीजगणित में महत्वपूर्ण हैं जहां वे विभिन्न गणितीय डेटाबेस और कंप्यूटर बीजगणित प्रणालियों के बीच सुवाह्यता प्रदान करते हैं। चूँकि कॉनवे बहुपदों की गणना करना महंगा है, इसलिए उन्हें व्यवहार में उपयोग करने के लिए संग्रहीत किया जाना चाहिए। कॉनवे बहुपदों के डेटाबेस कंप्यूटर बीजगणित प्रणालियों जी. ए. पी., मैकाले2, मैग्मा, सेजमैथ और फ्रैंक ल्यूबेक की वेबसाइट पर उपलब्ध हैं। एफ. पी. एन. के पृष्ठभूमि तत्वों को एक −1βn −1 +. + a1β + a0 के रूप के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है जहां β एफ. पी. पर डिग्री एन के अपरिवर्तनीय बहुपद का मूल है और ए. जे. एफ. पी. के तत्व हैं। इस प्रतिनिधित्व में क्षेत्र तत्वों का जोड़ केवल वेक्टर जोड़ है। जबकि समरूपता तक क्रम pn का एक अद्वितीय परिमित क्षेत्र है, क्षेत्र तत्वों का प्रतिनिधित्व अपरिवर्तनीय बहुपद के चयन पर निर्भर करता है। कॉनवे बहुपद इस विकल्प को मानकीकृत करने का एक तरीका है। एक परिमित क्षेत्र के गैर-शून्य तत्व गुणन के तहत एक चक्रीय समूह बनाते हैं। एफ. पी. एन. का एक आदिम तत्व, α, एक तत्व है जो इस समूह को उत्पन्न करता है। गैर-शून्य क्षेत्र तत्वों को α की शक्तियों के रूप में प्रस्तुत करने से क्षेत्र में गुणा को कुशलता से किया जा सकता है। α के लिए आदिम बहुपद Fp में गुणांक के साथ सबसे छोटी संभव डिग्री का मोनिक बहुपद है जिसमें α Fpn (α के लिए न्यूनतम बहुपद) में मूल के रूप में होता है। यह अनिवार्य रूप से अपरिवर्तनीय है। कॉनवे बहुपद को आदिम होने के लिए चुना जाता है, ताकि इसकी प्रत्येक जड़ संबंधित परिमित क्षेत्र के गुणक समूह को उत्पन्न कर सके। एफ. पी. एन. के उपक्षेत्र एफ. पी. एम. वाले क्षेत्र हैं जो एम. को एन. से विभाजित करते हैं। एफ. पी. एम. के गैर-शून्य तत्वों से बना चक्रीय समूह एफ. पी. एन. के चक्रीय समूह का एक उपसमूह है। यदि α उत्तरार्द्ध उत्पन्न करता है, तो α की सबसे छोटी शक्ति जो पूर्व उत्पन्न करती है वह αr है जहाँ r = (pn−1)/(pm−1) है। यदि fn मूल α के साथ Fpn के लिए एक आदिम बहुपद है, और यदि fm FPM के लिए एक आदिम बहुपद है, तो कॉनवे की परिभाषा के अनुसार, fm और fn संगत हैं यदि αr fm का मूल है। इसके लिए आवश्यक है कि fm (x) fn (xr) को विभाजित करे। अनुकूलता की इस धारणा को कुछ लेखकों द्वारा मानक-संगतता कहा जाता है। एक परिमित क्षेत्र के लिए कॉनवे बहुपद को चुना जाता है ताकि इसके प्रत्येक उपक्षेत्र के कॉनवे बहुपदों के साथ संगत हो सके। वर्नर निकेल ने साबित किया कि इस तरह से चुनाव करना संभव है। परिभाषा कॉनवे बहुपद Cp, n को Fp पर डिग्री n के लेक्सिकोग्राफिक रूप से न्यूनतम मोनिक आदिम बहुपद के रूप में परिभाषित किया गया है जो Cp के साथ संगत है, n को विभाजित करने वाले सभी m के लिए m। यह n पर एक प्रेरक परिभाषा हैः आधार मामला Cp, 1 (x) = x − α है जहां α लेक्सिकोग्राफिक रूप से Fp का न्यूनतम आदिम तत्व है। प्रयुक्त शब्दकोश क्रम की धारणा निम्नलिखित हैः एफ. पी. के तत्वों को 0 <1 <2 <. <पी.-1 क्रमबद्ध किया जाता है। Fp [x] में डिग्री d की एक बहुपद को adxd − ad − 1xd − 1 +. + (−1) ga0 लिखा जाता है और फिर इसे adad − 1. a0 शब्द के रूप में व्यक्त किया जाता है। डिग्री डी के दो बहुपदों को उनके संबंधित शब्दों के शब्दकोश क्रम के अनुसार क्रमबद्ध किया जाता है। चूँकि ऐसा कोई प्राकृतिक गणितीय मानदंड प्रतीत नहीं होता है जो एक मोनिक आदिम बहुपद को अन्य सभी पर अनुकूलता शर्तों को संतुष्ट करता हो, इसलिए कॉनवे बहुपद की परिभाषा में लेक्सिकोग्राफिक क्रम को लागू करना एक परंपरा के रूप में माना जाना चाहिए। कॉनवे बहुपदों की गणना के लिए संगणना एल्गोरिदम जो ब्रूट-फोर्स खोज की तुलना में अधिक कुशल हैं, हीथ और लोहर द्वारा विकसित किए गए हैं। ल्यूबेक इंगित करते हैं कि उनका एल्गोरिथ्म पार्कर की विधि की एक पुनः खोज है। टिप्पणियाँ संदर्भ परिमित क्षेत्र कंप्यूटर बीजगणित जॉन हॉर्टन कॉनवे