Loewy ring
गणित में, एक लोवी रिंग या अर्ध-आर्टिनियन रिंग एक रिंग है जिसमें प्रत्येक गैर-शून्य मॉड्यूल में एक गैर-शून्य सॉल होता है, या समकक्ष रूप से यदि प्रत्येक मॉड्यूल की लोवी लंबाई को परिभाषित किया जाता है। अवधारणाओं का नाम अल्फ्रेड लोवी के नाम पर रखा गया है। लोवी लंबाई लोवी लंबाई और लोवी श्रृंखला द्वारा शुरू की गई थी। यदि एम एक मॉड्यूल है, तो क्रमवार α के लिए लोवी श्रृंखला Mα को M0 = 0, Mα + 1/Mα = सॉकल (M/Mα), और Mα = ≤ λ <α Mλ द्वारा परिभाषित करें यदि α एक सीमा क्रमवार है। M की लोवी लंबाई को सबसे छोटी α के रूप में परिभाषित किया गया है जिसमें M = Mα मौजूद है। सेमीआर्टिनियन मॉड्यूल एक सेमीआर्टिनियन मॉड्यूल है यदि, सभी एपिमॉर्फिज्म के लिए, जहाँ, का सॉकल आवश्यक है ध्यान दें कि यदि एक आर्टिनियन मॉड्यूल है तो एक सेमीआर्टिनियन मॉड्यूल है। स्पष्ट रूप से 0 सेमीआर्टिनियन है। यदि सटीक है तो और अर्ध-आर्टीनियन हैं यदि और केवल यदि अर्ध-आर्टीनियन हैं। यदि-मॉड्यूल का एक परिवार है, तो सेमीआर्टिनियन है यदि और केवल अगर सभी सेमीआर्टिनियन रिंगों के लिए सेमीआर्टिनियन है तो लेफ्ट सेमीआर्टिनियन कहा जाता है यदि सेमीआर्टिनियन है, यानी, सेमीआर्टिनियन छोड़ दिया जाता है यदि किसी भी लेफ्ट आइडियल के लिए, एक सरल सबमॉड्यूल होता है। ध्यान दें कि लेफ्ट सेमीआर्टिनियन का मतलब यह नहीं है कि लेफ्ट आर्टिनियन है। संदर्भ रिंग सिद्धांत