Inverse-variance weighting
सांख्यिकी में, व्युत्क्रम-विचरण भारित औसत के विचरण को कम करने के लिए दो या दो से अधिक यादृच्छिक चरों को एकत्रित करने की एक विधि है। प्रत्येक यादृच्छिक चर को इसके विचरण के व्युत्क्रम अनुपात में भारित किया जाता है, यानी इसकी परिशुद्धता के समानुपाती। भिन्नताओं के साथ स्वतंत्र टिप्पणियों के एक क्रम को देखते हुए, व्युत्क्रम-प्रसरण भारित औसत द्वारा दिया जाता है व्युत्क्रम-प्रसरण भारित औसत में सभी भारित औसतों में सबसे कम भिन्नता होती है, जिसकी गणना इस प्रकार की जा सकती है यदि मापों के सभी विचलन समान हैं, तो व्युत्क्रम-प्रसरण भारित औसत सरल औसत बन जाता है। व्युत्क्रम-प्रसरण भार का उपयोग आमतौर पर स्वतंत्र मापों से परिणामों को संयोजित करने के लिए सांख्यिकीय मेटा-विश्लेषण या संवेदक संलयन में किया जाता है। संदर्भ मान लीजिए कि एक प्रयोगकर्ता किसी मात्रा के मूल्य को मापना चाहता है, मान लीजिए कि पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण, जिसका वास्तविक मूल्य होता है। एक सावधान प्रयोगकर्ता कई माप करता है, जिसे हम यादृच्छिक चर के साथ दर्शाते हैं। यदि वे सभी शोर करते हैं लेकिन निष्पक्ष हैं, यानी मापने वाला उपकरण व्यवस्थित रूप से सही मूल्य को अधिक नहीं आंकता है या कम नहीं आंकता है और त्रुटियां सममित रूप से बिखरे हुए हैं, तो अपेक्षा मूल्य। माप में बिच्छुरन को यादृच्छिक चरों के विचरण द्वारा चिह्नित किया जाता है, और यदि माप समान परिदृश्यों के तहत किए जाते हैं, तो सभी समान होते हैं, जिन्हें हम संदर्भित करेंगे। मापों को देखते हुए, के लिए एक विशिष्ट अनुमानक, के रूप में निरूपित, सरल औसत द्वारा दिया जाता है। ध्यान दें कि यह अनुभवजन्य औसत भी एक यादृच्छिक चर है, जिसका अपेक्षा मूल्य है लेकिन इसका एक बिच्छुरन भी है। यदि व्यक्तिगत माप असंबद्ध हैं, तो अनुमान में त्रुटि का वर्ग इसके द्वारा दिया जाता है। इसलिए, यदि सभी समान हैं, तो अनुमान में त्रुटि के रूप में वृद्धि के साथ कम हो जाती है, इस प्रकार अधिक टिप्पणियों को प्राथमिकता दी जाती है। एक उपकरण से बार-बार मापने के बजाय, यदि प्रयोगकर्ता माप की अलग-अलग गुणवत्ता वाले अलग-अलग उपकरणों के साथ एक ही मात्रा में माप करता है, तो अलग-अलग समान होने की उम्मीद करने का कोई कारण नहीं है। कुछ वाद्ययंत्र दूसरों की तुलना में अधिक शोर वाले हो सकते हैं। गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण को मापने के उदाहरण में, विभिन्न "उपकरणों" को एक साधारण पेंडुलम से मापा जा सकता है, एक प्रक्षेप्य गति आदि का विश्लेषण करने से। सरल औसत अब एक इष्टतम अनुमानक नहीं है, क्योंकि त्रुटि वास्तव में कम से कम शोर माप में त्रुटि से अधिक हो सकती है यदि विभिन्न मापों में बहुत अलग त्रुटियां हैं। अंतिम त्रुटि को बढ़ाने वाले शोर मापों को त्यागने के बजाय, प्रयोगकर्ता सभी मापों को उचित वजन के साथ जोड़ सकता है ताकि कम से कम शोर मापों को अधिक महत्व दिया जा सके और इसके विपरीत। के ज्ञान को देखते हुए, मापने के लिए एक इष्टतम अनुमानक माप का एक भारित माध्य होगा, भार के विशेष विकल्प के लिए। प्राक्कलनकर्ता की भिन्नता, जो भार के इष्टतम विकल्प के लिए बन जाती है, ध्यान दें कि चूंकि, प्राक्कलनकर्ता के पास किसी भी व्यक्तिगत माप में बिच्छुरन की तुलना में छोटा बिच्छुरन होता है। इसके अलावा, अधिक माप जोड़ने के साथ बिच्छुरन कम हो जाता है, हालांकि वे माप अधिक शोर वाले हो सकते हैं। व्युत्पत्ति एक सामान्य भारित राशि पर विचार करें, जहां भार को इस तरह सामान्य किया जाता है कि। यदि सभी स्वतंत्र हैं, तो का विचरण द्वारा दिया जाता है इष्टतमता के लिए, हम चाहते हैं कि बाधा को बनाए रखते हुए, शून्य के भार के संबंध में ढाल को बराबर करके क्या किया जा सकता है। बाधा को लागू करने के लिए एक लैग्रेंज गुणक का उपयोग करते हुए, हम भिन्नता को व्यक्त करते हैंः के लिए, जिसका अर्थ है किः यहाँ मुख्य मार्ग वह है। चूंकि, व्यक्तिगत सामान्यीकृत भार हैंः यह देखना आसान है कि यह चरम समाधान दूसरे आंशिक व्युत्पन्न परीक्षण से न्यूनतम से मेल खाता है, यह देखते हुए कि विचलन भार का एक द्विघात कार्य है। इस प्रकार, प्राक्कलनकर्ता का न्यूनतम विचरण इस प्रकार दिया जाता हैः सामान्य वितरण सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर के लिए व्युत्क्रम-विचरण भारित औसत को भी सही मूल्य के लिए अधिकतम संभावना अनुमान के रूप में प्राप्त किया जा सकता है। इसके अलावा, एक बायेसियन दृष्टिकोण से सामान्य रूप से वितरित टिप्पणियों और एक सपाट पूर्व दिए गए सही मूल्य के लिए पश्च वितरण एक सामान्य वितरण है जिसमें व्युत्क्रम-प्रसरण भारित औसत एक औसत और प्रसरण बहुभिन्न मामले के रूप में होता है। भारित न्यूनतम वर्ग पोर्टफोलियो सिद्धांत क्रैमर-राव बाध्य संदर्भ मेटा-विश्लेषण अनुमान विधियाँ भी देखें।