Convexity in economics
कन्वेक्सिटी अर्थशास्त्र में एक महत्वपूर्ण विषय है। सामान्य आर्थिक संतुलन के एरो-डेब्रेउ मॉडल में, एजेंटों के पास उत्तल बजट सेट और उत्तल वरीयताएँ होती हैंः संतुलन कीमतों पर, बजट हाइपरप्लेन सर्वोत्तम प्राप्य उदासीनता वक्र का समर्थन करता है। लाभ फलन लागत फलन का उत्तल संयुग्म है। कन्वेक्स विश्लेषण पाठ्यपुस्तक अर्थशास्त्र के विश्लेषण के लिए मानक उपकरण है। अर्थशास्त्र में गैर-उत्तल घटनाओं का अध्ययन असंवेदनशील विश्लेषण के साथ किया गया है, जो उत्तल विश्लेषण को सामान्यीकृत करता है। प्रारम्भिक अर्थशास्त्र उत्तल ज्यामिति की निम्नलिखित परिभाषाओं और परिणामों पर निर्भर करता है। दो आयामों के एक वास्तविक सदिश स्थान को एक कार्टेशियन निर्देशांक प्रणाली दी जा सकती है जिसमें प्रत्येक बिंदु को दो वास्तविक संख्याओं की सूची द्वारा पहचाना जाता है, जिन्हें "निर्देशांक" कहा जाता है, जिन्हें पारंपरिक रूप से x और y द्वारा दर्शाया जाता है। कार्टेशियन तल में दो बिंदुओं को समन्वय-वार (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) जोड़ा जा सकता है; इसके अलावा, एक बिंदु को प्रत्येक वास्तविक संख्या λ समन्वय-वार λ (x, y) = (λx, λy) से गुणा किया जा सकता है। अधिक सामान्य रूप से, (परिमित) आयाम D के किसी भी वास्तविक सदिश स्थान को दो संचालनों के साथ D वास्तविक संख्याओं की सभी संभावित सूचियों के समूह के रूप में देखा जा सकता हैः सदिश जोड़ और एक वास्तविक संख्या द्वारा गुणन। सीमित-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान के लिए, कार्टेशियन तल के उदाहरण का अनुसरण करते हुए, वेक्टर जोड़ और वास्तविक-संख्या गुणन के संचालन को समन्वय-वार परिभाषित किया जा सकता है। एक वास्तविक सदिश स्थान में, एक समुच्चय को उत्तल के रूप में परिभाषित किया जाता है यदि, इसके प्रत्येक जोड़े के लिए, रेखा खंड पर प्रत्येक बिंदु जो उनसे जुड़ता है, वह समुच्चय द्वारा कवर किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक ठोस घन उत्तल है; हालाँकि, कुछ भी जो खोखला या डेंट है, उदाहरण के लिए, एक अर्धचंद्र आकार, गैर-उत्तल है। तुच्छ रूप से, खाली समूह उत्तल होता है। अधिक औपचारिक रूप से, एक समुच्चय क्यू उत्तल है यदि, क्यू में सभी बिंदुओं v0 और v1 के लिए और इकाई अंतराल में प्रत्येक वास्तविक संख्या λ के लिए, बिंदु (1 − λ) v0 + λv1 क्यू का सदस्य है। गणितीय प्रेरण द्वारा, एक समुच्चय क्यू उत्तल होता है यदि और केवल तभी जब क्यू के सदस्यों का प्रत्येक उत्तल संयोजन भी क्यू से संबंधित हो। परिभाषा के अनुसार, एक अनुक्रमित उपसमुच्चय {v0, v1,... का उत्तल संयोजन। एक सदिश स्थान का vD} गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं के कुछ अनुक्रमित समुच्चय के लिए कोई भी भारित औसत है जो समीकरण = 1 को संतुष्ट करता है। उत्तल समुच्चय की परिभाषा का तात्पर्य है कि दो उत्तल समुच्चय का प्रतिच्छेदन एक उत्तल समुच्चय है। अधिक आम तौर पर, उत्तल समुच्चय के एक परिवार का प्रतिच्छेदन एक उत्तल समुच्चय है। कन्वेक्स पतवार एक वास्तविक सदिश स्थान के प्रत्येक उपसमुच्चय क्यू के लिए, यह न्यूनतम उत्तल समुच्चय है जिसमें क्यू होता है। इस प्रकार कोनवी (क्यू) सभी उत्तल समुच्चयों का प्रतिच्छेदन है जो क्यू को कवर करते हैं। एक समुच्चय के उत्तल पतवार को समतुल्य रूप से क्यू में बिंदुओं के सभी उत्तल संयोजनों के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। द्वैतताः अर्ध-स्थानों को काटना ज्यामिति में एक अवधारणा है जो अति समतल का समर्थन करती है। एक हाइपरप्लेन एक स्थान को दो आधे स्थानों में विभाजित करता है। एक हाइपरप्लेन को वास्तविक एन-स्पेस में एक सेट का समर्थन करने के लिए कहा जाता है यदि यह निम्नलिखित दोनों को पूरा करता हैः हाइपरप्लेन द्वारा निर्धारित दो बंद आधे स्थानों में से एक में पूरी तरह से निहित है, हाइपरप्लेन पर कम से कम एक बिंदु है। यहाँ, एक बंद आधा-स्थान आधा-स्थान है जिसमें हाइपरप्लेन शामिल है। सहायक हाइपरप्लेन प्रमेय यह प्रमेय बताती है कि यदि एक बंद उत्तल सेट है और सीमा पर एक बिंदु है तो एक सहायक हाइपरप्लेन मौजूद है जिसमें प्रमेय में हाइपरप्लेन अद्वितीय नहीं हो सकता है, जैसा कि दाईं ओर दूसरी तस्वीर में देखा गया है। यदि बंद समुच्चय उत्तल नहीं है, तो प्रमेय का कथन सीमा पर सभी बिंदुओं पर सही नहीं है जैसा कि दाईं ओर तीसरी तस्वीर में दिखाया गया है। अर्थशास्त्र वस्तुओं की एक इष्टतम टोकरी तब होती है जब उपभोक्ता की उत्तल वरीयता सेट बजट बाधा द्वारा समर्थित होती है, जैसा कि आरेख में दिखाया गया है। यदि वरीयता सेट उत्तल है, तो उपभोक्ता के इष्टतम निर्णयों का सेट एक उत्तल सेट है, उदाहरण के लिए, एक अद्वितीय इष्टतम टोकरी (या इष्टतम टोकरी का एक रेखा खंड भी)। सरलता के लिए, हम मान लेंगे कि एक उपभोक्ता की प्राथमिकताओं को एक उपयोगिता कार्य द्वारा वर्णित किया जा सकता है जो एक निरंतर कार्य है, जिसका अर्थ है कि वरीयता सेट बंद हैं। (अनुकूलन अनुप्रयोगों पर उपखंड में "बंद समूह" के अर्थ नीचे बताए गए हैं।) गैर-संवहन यदि एक वरीयता सेट गैर-उत्तल है, तो कुछ कीमतें दो अलग-अलग इष्टतम उपभोग निर्णयों का समर्थन करने वाले बजट का उत्पादन करती हैं। उदाहरण के लिए, हम कल्पना कर सकते हैं कि चिड़ियाघरों के लिए, एक शेर की कीमत एक उकाब जितनी है, और इसके अलावा चिड़ियाघर का बजट एक उकाब या एक शेर के लिए पर्याप्त है। हम यह भी मान सकते हैं कि चिड़ियाघर का रखवाला किसी भी जानवर को समान रूप से मूल्यवान मानता है। इस मामले में चिड़ियाघर या तो एक शेर या एक चील खरीदेगा। बेशक, एक समकालीन चिड़ियाघर-रक्षक आधा चील और एक (या एक ग्रिफिन) नहीं खरीदना चाहता है! इस प्रकार, समकालीन चिड़ियाघर-रखवाले की प्राथमिकताएँ गैर-उत्तल हैंः चिड़ियाघर-रखवाले दोनों के किसी भी सख्ती से उत्तल संयोजन के बजाय किसी भी जानवर को रखना पसंद करते हैं। गैर-उत्तल समुच्चयों को सामान्य आर्थिक संतुलन, बाजार विफलताओं और सार्वजनिक अर्थशास्त्र के सिद्धांतों में शामिल किया गया है। इन परिणामों को सूक्ष्म अर्थशास्त्र, सामान्य संतुलन सिद्धांत, खेल सिद्धांत, गणितीय अर्थशास्त्र और व्यावहारिक गणित (अर्थशास्त्रियों के लिए) में स्नातक स्तर की पाठ्यपुस्तकों में वर्णित किया गया है। शेपली-फॉकमैन लेम्मा परिणाम यह स्थापित करते हैं कि गैर-उत्तलताएँ कई उपभोक्ताओं के साथ बाजारों में अनुमानित संतुलन के साथ संगत हैं; ये परिणाम कई छोटी फर्मों के साथ उत्पादन अर्थव्यवस्थाओं पर भी लागू होते हैं। "अल्पाधिकार" (कुछ उत्पादकों के प्रभुत्व वाले बाजार) में, विशेष रूप से "एकाधिकार" (एक उत्पादक के प्रभुत्व वाले बाजार) में, गैर-उत्तलता महत्वपूर्ण बनी हुई है। बाजार शक्ति का दोहन करने वाले बड़े उत्पादकों के साथ चिंताओं ने वास्तव में गैर-उत्तल सेटों पर साहित्य की शुरुआत की, जब पिएरो स्राफा ने 1926 में पैमाने पर बढ़ते रिटर्न वाली फर्मों के बारे में लिखा, जिसके बाद हैरोल्ड हॉटलिंग ने 1938 में सीमांत लागत मूल्य निर्धारण के बारे में लिखा। स्रफा और होटललिंग दोनों ने बिना प्रतियोगियों के उत्पादकों की बाजार शक्ति को रोशन किया, जिससे अर्थव्यवस्था के आपूर्ति-पक्ष पर एक साहित्य स्पष्ट रूप से प्रोत्साहित हुआ। गैर-उत्तल समूह पर्यावरणीय वस्तुओं (और अन्य बाह्यताओं), सूचना अर्थशास्त्र और शेयर बाजारों (और अन्य अधूरे बाजारों) के साथ भी उत्पन्न होते हैं। इस तरह के अनुप्रयोगों ने अर्थशास्त्रियों को गैर-उत्तल समुच्चय का अध्ययन करने के लिए प्रेरित करना जारी रखा। अर्थशास्त्रियों ने गैर-उत्तल विश्लेषण के साथ गैर-उत्तल समुच्चयों का तेजी से अध्ययन किया है, जो उत्तल विश्लेषण को सामान्यीकृत करता है। "उत्पादन और खपत दोनों में गैर-उत्तलताएँ. आवश्यक गणितीय उपकरण जो उत्तलता से परे थे, और आगे के विकास को गैर-चिकनी कलन के आविष्कार का इंतजार करना पड़ा" (उदाहरण के लिए, फ्रांसिस क्लार्क की स्थानीय रूप से लिपशिट्ज़ कलन), जैसा कि और के अनुसार वर्णित है। उन्होंने लिखा है कि "मूल्य निर्धारण नियमों के साथ फर्मों के सामान्य संतुलन विश्लेषण में प्रमुख पद्धतिगत नवाचार" "वैश्विक विश्लेषण (विभेदक टोपोलॉजी) और उत्तल विश्लेषण के [संश्लेषण] के रूप में गैर-सुचारू विश्लेषण के तरीकों की शुरुआत" थी। के अनुसार, "गैर-चिकना विश्लेषण स्पर्शरेखा विमानों द्वारा मैनिफोल्ड्स के स्थानीय सन्निकटन का विस्तार करता है [और स्पर्शरेखा शंकुओं द्वारा उत्तल समुच्चय के अनुरूप सन्निकटन को समुच्चय तक विस्तारित करता है" जो गैर-चिकना या गैर-उत्तल हो सकता है। अर्थशास्त्रियों ने बीजगणितीय टोपोलॉजी का भी उपयोग किया है। कन्वेक्स द्वैत टिप्पणियाँ संदर्भ लुएनबर्गर, डेविड जी. माइक्रोइकॉनॉमिक थ्योरी, मैकग्रा-हिल, इंक., न्यूयॉर्क, 1995 भी देखें। कन्वेक्स पतवार कन्वेक्स ज्यामिति सामान्य संतुलन सिद्धांत