Quasisymmetric map
गणित में, मीट्रिक रिक्त स्थान के बीच एक अर्धसममित समरूपता एक मानचित्र है जो द्वि-लिपशिट्ज़ मानचित्रों को सामान्यीकृत करता है। जबकि द्वि-लिपशिट्ज़ मानचित्र एक सेट के व्यास को एक गुणक कारक से अधिक नहीं सिकोड़ते या विस्तारित करते हैं, अर्धसममित मानचित्र कमजोर ज्यामितीय गुण को संतुष्ट करते हैं कि वे सेट के सापेक्ष आकार को संरक्षित करते हैंः यदि दो सेट ए और बी का व्यास टी है और दूरी टी से अधिक नहीं हैं, तो उनके आकारों का अनुपात एक गुणक स्थिरांक से अधिक नहीं बदलता है। ये मानचित्र अर्ध-औपचारिक मानचित्रों से भी संबंधित हैं, क्योंकि कई परिस्थितियों में वे वास्तव में समतुल्य हैं। मान लीजिए (X, dX) और (Y, dY) दो मीट्रिक रिक्त स्थान हैं। एक समरूपता f: X → Y को η-सममित कहा जाता है यदि कोई बढ़ता हुआ फलन η: [0, ≤) → [0, ≤) ऐसा है कि X में अलग-अलग बिंदुओं के किसी भी ट्रिपल x, y, z के लिए, हमारे पास बुनियादी गुण हैं व्युत्क्रम सममित हैं यदि f: X → Y ऊपर के रूप में एक व्युत्क्रमणीय η-सममित मानचित्र है, तो इसका व्युत्क्रम मानचित्र-सममित है, जहां सममित मानचित्र सेट के सापेक्ष आकार को संरक्षित करते हैं। हालांकि, अगर जुड़ा हुआ है और दोगुना हो रहा है, तो सभी कमजोर अर्धसममित मानचित्र अर्धसममित हैं। इस परिणाम की अपील यह है कि कमजोर-क्वासिसिमेट्री को साबित करना क्वासिसिमेट्री को सीधे साबित करने की तुलना में बहुत आसान है, और कई प्राकृतिक स्थितियों में दोनों धारणाएं समान हैं। δ-मोनोटोन मानचित्र एक मोनोटोन मानचित्र एक हिल्बर्ट स्थान पर f: H → H δ-मोनोटोन है यदि H में सभी x और y के लिए, यह समझने के लिए कि इस स्थिति का ज्यामितीय रूप से क्या अर्थ है, मान लीजिए कि f (0) = 0 और उपरोक्त अनुमान पर विचार करें जब y = 0 हो। फिर इसका तात्पर्य यह है कि सदिश x और इसकी छवि f (x) के बीच का कोण 0 और आर्कोस δ <π/2 के बीच रहता है। ये मानचित्र अर्धसममित हैं, हालाँकि ये अर्धसममित मानचित्रों का एक बहुत ही संकीर्ण उपवर्ग हैं। उदाहरण के लिए, जबकि जटिल तल में एक सामान्य अर्धसममित मानचित्र वास्तविक रेखा को हौसडॉर्फ आयाम के एक समूह में मैप कर सकता है जो सख्ती से एक से अधिक है, एक δ-मोनोटोन हमेशा वास्तविक रेखा को लिपशिट्ज़ फ़ंक्शन L: R → R के घूर्णित ग्राफ में मैप करेगा। द्विगुणित करने के उपाय वास्तविक रेखा की वास्तविक रेखा क्वासिसिमेट्रिक होमोमोर्फिज्म को उनके व्युत्पन्न के संदर्भ में चिह्नित किया जा सकता है। एक बढ़ता हुआ समरूपता f: R → R अर्धसममित है यदि और केवल तभी जब वास्तविक रेखा पर एक स्थिरांक C> 0 और एक दोहरीकरण माप है जैसे कि यूक्लिडियन स्थान एक अनुरूप परिणाम यूक्लिडियन स्थान में होता है। मान लीजिए कि C = 0 और हम f के लिए उपरोक्त समीकरण को फिर से लिखते हैं इसे इस तरह से लिखते हुए, हम इसी समाकलन का उपयोग करके एक मानचित्र को परिभाषित करने का प्रयास कर सकते हैं, लेकिन इसके बजाय Rn पर समाकलन (जो अब एक वेक्टर मूल्यवान समाकलन है) कर सकते हैंः यदि Rn पर एक दोहरीकरण माप है और फिर मानचित्र अर्धसममित है (वास्तव में, यह माप के आधार पर कुछ δ के लिए δ-मोनोटोन है)। यूक्लिडियन स्पेस में क्वासिसिमेट्री और क्वासिकोफॉर्मैलिटी Rn के खुले उपसमुच्चय होने दें। यदि f: ω → ω 'η-क्वासिसिमेट्रिक है, तो यह K-क्वासिकोफॉर्मल भी है, जहां पर एक स्थिरांक निर्भर करता है। इसके विपरीत, यदि f: ω → ω 'K-क्वासिकोफॉर्मल है और इसमें निहित है, तो η-क्वासिसिमेट्रिक है, जहां केवल निर्भर करता है। क्वासी-मोबियस मानचित्र ए संबंधित लेकिन कमजोर स्थिति क्वासी-मोबियस मानचित्रों की धारणा है जहां अनुपात के बजाय केवल क्रॉस-अनुपात पर विचार किया जाता हैः परिभाषा मान लीजिए (एक्स, डीएक्स) और (वाई, डीवाई) दो मीट्रिक रिक्त स्थान हैं और मान लीजिए कि η: [0, ν) → [0, ν) एक बढ़ता हुआ फलन है। एक η-अर्ध-मोबियस समरूपता f: X → Y एक समरूपता है जिसके लिए X में अलग-अलग बिंदुओं के प्रत्येक चतुर्भुज x, y, z, t के लिए, हमारे पास है।