Tangle (mathematics)
गणित में, एक उलझन आम तौर पर दो संबंधित अवधारणाओं में से एक हैः जॉन कॉनवे की परिभाषा में, एक एन-उलझन 3-गेंद में एन चापों के असंबद्ध संघ का एक उचित एम्बेडिंग है; एम्बेडिंग को चापों के अंतिम बिंदुओं को गेंद की सीमा पर 2एन चिह्नित बिंदुओं पर भेजना चाहिए। लिंक सिद्धांत में, एक उलझन n चापों और m वृत्तों का एक एम्बेडिंग है-पिछली परिभाषा से अंतर यह है कि इसमें वृत्तों के साथ-साथ चाप भी शामिल हैं, और सीमा को दो (समरूप) टुकड़ों में विभाजित करता है, जो बीजगणितीय रूप से अधिक सुविधाजनक है-यह उदाहरण के लिए, उन्हें ढेर करके उलझन जोड़ने की अनुमति देता है। (एन. रॉबर्टसन और पी. डी. सीमोर, जर्नल ऑफ कॉम्बिनेटोरियल थ्योरी बी 52 (1991) 153-190 द्वारा ग्राफ माइनर एक्स. ऑब्सट्रक्शंस टू ट्री-डीकंपोजिशन में 'टेंगल' का एक बिल्कुल अलग उपयोग दिखाई देता है, जिन्होंने इसका उपयोग ग्राफ में पृथक्करण का वर्णन करने के लिए किया था। यह उपयोग मैट्रोइड तक बढ़ा दिया गया है)। इस लेख का संतुलन कॉनवे की उलझनों की भावना पर चर्चा करता है; लिंक सिद्धांत की समझ के लिए, उस लेख को देखें। दो एन-टेंगल को समतुल्य माना जाता है यदि 3-गेंद की सीमा को स्थिर रखते हुए एक टेंगल की दूसरे के लिए एक परिवेशी समस्थानिक हो। टेंगल सिद्धांत को गाँठ सिद्धांत के अनुरूप माना जा सकता है, सिवाय बंद लूप के, जिन तारों के सिरों को नीचे खींचा जाता है, उनका उपयोग किया जाता है। ब्रैड सिद्धांत भी देखें। उलझे हुए आरेख सामान्यता को खोए बिना, 3-गेंद की सीमा पर चिह्नित अंकों को एक महान वृत्त पर रखने पर विचार करें। उलझन को विशाल वृत्त से घिरी समतल डिस्क पर प्रक्षेपण के संबंध में सामान्य स्थिति में व्यवस्थित किया जा सकता है। प्रक्षेपण तब हमें एक उलझन आरेख देता है, जहाँ हम गाँठ आरेख के साथ ओवर और अंडरक्रॉसिंग को नोट करते हैं। टेंगल अक्सर गाँठ या लिंक आरेख में टेंगल आरेख के रूप में दिखाई देते हैं और इनका उपयोग लिंक आरेखों के लिए निर्माण खंड के रूप में किया जा सकता है, जैसे। प्रेट्ज़ेल लिंक। तर्कसंगत और बीजगणितीय उलझन एक 2-उलझन है जो 3-गेंद और दो चापों से युक्त जोड़े के मानचित्र द्वारा तुच्छ 2-उलझन के लिए समरूप है। एक उलझन आरेख के सीमा वृत्त पर चाप के चार अंतिम बिंदुओं को आमतौर पर एन. ई., एन. डब्ल्यू., एस. डब्ल्यू., एस. ई. के रूप में संदर्भित किया जाता है, जिसमें प्रतीक कम्पास दिशाओं को संदर्भित करते हैं। एक तर्कसंगत उलझन का एक मनमाना उलझन आरेख बहुत जटिल लग सकता है, लेकिन हमेशा एक विशेष सरल रूप का एक आरेख होता हैः दो क्षैतिज (ऊर्ध्वाधर) चापों से युक्त एक उलझन आरेख से शुरू करें; एक "मोड़" जोड़ें, यानी। एन. ई. और एस. ई. अंतिम बिंदुओं (एस. डब्ल्यू. और एस. ई. अंतिम बिंदुओं) को बदलकर एकल क्रॉसिंग; एन. ई. और एस. ई. अंतिम बिंदुओं या एस. डब्ल्यू. और एस. ई. अंतिम बिंदुओं का उपयोग करके अधिक मोड़ जोड़कर जारी रखें। कोई यह मान सकता है कि प्रत्येक मोड़ पहले से बनाए गए क्रॉसिंग वाले डिस्क के अंदर आरेख को नहीं बदलता है। हम अंतिम बिंदुओं के एक ही समूह के आसपास लगातार मोड़ द्वारा दी गई संख्याओं पर विचार करके इस तरह के आरेख का वर्णन कर सकते हैं, जैसे। (2,1,-3) का अर्थ है दो क्षैतिज चापों से शुरू करना, फिर एन. ई./एस. ई. अंतिम बिंदुओं का उपयोग करके 2 मोड़, फिर एस. डब्ल्यू./एस. ई. अंतिम बिंदुओं का उपयोग करके 1 मोड़, और फिर एन. ई./एस. ई. अंतिम बिंदुओं का उपयोग करके 3 मोड़ लेकिन पहले से विपरीत दिशा में मुड़ना। यदि आप दो ऊर्ध्वाधर चापों से शुरू करते हैं तो सूची 0 से शुरू होती है। दो क्षैतिज चापों वाला आरेख तब (0) होता है, लेकिन हम ऊर्ध्वाधर चापों वाले आरेख को (0,0) निर्दिष्ट करते हैं। "सकारात्मक" या "नकारात्मक" मोड़ का वर्णन करने के लिए एक परंपरा की आवश्यकता होती है। अक्सर, "परिमेय उलझन" एक सरल आरेख का प्रतिनिधित्व करने वाली संख्याओं की सूची को संदर्भित करता है जैसा कि वर्णित है। एक परिमेय उलझन के अंश को तब निरंतर अंश द्वारा दी गई संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है। (0,0) द्वारा दिए गए अंश को इस प्रकार परिभाषित किया गया है। कॉनवे ने साबित किया कि अंश अच्छी तरह से परिभाषित है और पूरी तरह से उलझन समतुल्यता तक तर्कसंगत उलझन को निर्धारित करता है। इस तथ्य का एक सुलभ प्रमाण दिया गया हैः कॉनवे ने अलेक्जेंडर बहुपद का उपयोग करके एक मनमाना उलझन के एक अंश को भी परिभाषित किया। उलझनों पर संचालन जोड़, गुणन और पारस्परिक संचालन के साथ उलझनों का एक "अंकगणित" होता है। एक बीजगणितीय उलझन तर्कसंगत उलझनों के जोड़ और गुणा से प्राप्त होती है। एक परिमेय उलझन के अंश समापन को "उत्तर" अंतिम बिंदुओं को एक साथ और "दक्षिण" अंतिम बिंदुओं को भी एक साथ जोड़कर प्राप्त कड़ी के रूप में परिभाषित किया जाता है। विभाजक समापन को इसी तरह "पूर्व" और "पश्चिम" अंतिम बिंदुओं को समूहीकृत करके परिभाषित किया जाता है। तर्कसंगत संबंधों को तर्कसंगत उलझनों के ऐसे समापन के रूप में परिभाषित किया गया है। कॉनवे संकेतन कॉनवे के उलझनों के अध्ययन के लिए एक प्रेरणा तालिकाओं में पाए जाने वाले पारंपरिक गणना की तुलना में अधिक व्यवस्थित गाँठों के लिए एक संकेतन प्रदान करना था। अनुप्रयोग टेंगल को डी. एन. ए. टोपोलॉजी के अध्ययन में उपयोगी दिखाया गया है। किसी दिए गए एंजाइम की क्रिया का विश्लेषण उलझन सिद्धांत की मदद से किया जा सकता है। यह भी देखें उलझन पहेली संदर्भ आगे पढ़ने के लिए बाहरी लिंक नॉट सिद्धांत जॉन हॉर्टन कॉनवे