Aleksandrov–Rassias problem
बनाच रिक्त स्थान के ढांचे में सममितियों के सिद्धांत की शुरुआत 1932 में स्टानिस्लाव मजूर और स्टानिस्लाव एम. उलाम के एक शोध पत्र से हुई थी। उन्होंने मजूर-उलम प्रमेय को साबित करते हुए कहा कि एक मानक वास्तविक रैखिक स्थान पर एक मानक वास्तविक रैखिक स्थान की प्रत्येक सममिति अनुवाद तक एक रैखिक मानचित्रण है। 1970 में, अलेक्जेंडर डेनिलोविच अलेक्जेंड्रोव ने पूछा कि क्या मानचित्रण के लिए एकल रूढ़िवादी दूरी का अस्तित्व इंगित करता है कि यह एक सममिति है। थेमिस्टोकल्स एम. रस्सियास ने निम्नलिखित समस्या प्रस्तुत कीः अलेक्जेंड्रोव-रस्सियास समस्या। यदि और मानकीकृत रैखिक रिक्त स्थान हैं और यदि एक निरंतर और/या सर्जेक्टिव मानचित्रण ऐसा है कि जब भी वैक्टर और संतुष्ट होते हैं, तो (संपत्ति या डीओपीपी को संरक्षित करने वाली दूरी), तो आवश्यक रूप से एक सममिति है? इस समस्या के समाधान के लिए कई शोधकर्ताओं द्वारा गणितीय साहित्य में कई प्रयास किए गए हैं। संदर्भ पी. एम. पारदालोस, पी. जी. जॉर्जिव और एच. एम. श्रीवास्तव (संस्करण। ), अरैखिक विश्लेषण। स्थिरता, सन्निकटन और असमानताएँ। थेमिस्टोकल्स एम. रस्सियास के सम्मान में उनके 60वें जन्मदिन के अवसर पर, स्प्रिंगर, न्यूयॉर्क, 2012। ए. डी. अलेक्जेंड्रोव, सेटों के परिवारों का मानचित्रण, सोवियत मठ। डॉकल। 11 (1970), 116-120। आइसोमेट्रिक मानचित्रण के लिए अलेक्जेंड्रोव-रस्सियास समस्या पर अलेक्जेंड्रोव-रस्सियास समस्या और हिल्बर्ट रिक्त स्थान में ज्यामितीय अपरिवर्तनीयता पर एस. एम. जंग और के. एस. ली, 2एन बिंदुओं और अलेक्जेंड्रोव-रस्सियास समस्या के बीच की दूरी के लिए एक असमानता, जे. गणित। गुदा। एपल। 324 (2) (2006), 1363-1369। एस. शियांग, मैपिंग्स ऑफ कंजर्वेटिव डिस्टेंस एंड द मजूर-उलम थ्योरम, जे. गणित। गुदा। एपल। 254 (1) (2001), 262-274। एस. शियांग, आइसोमेट्रिक मानचित्रण के लिए अलेक्जेंड्रोव समस्या और रस्सिया समस्या पर, अरैखिक कार्यात्मक विश्लेषण और एप्ल्स। 6 (2001), 69-77। एस. शियांग, अनुमानित सममितियों पर, इनः 21वीं सदी में गणित (संस्करण। के. के. दीवान और एम. मुस्तफा), दीप पब्ल्स। लिमिटेड, नई दिल्ली, 2004, पीपी. 198-210। गणितीय विश्लेषण मीट्रिक ज्यामिति कार्यात्मक समीकरण