Pre-Lie algebra
गणित में, एक पूर्व-झूठ बीजगणित एक वेक्टर स्थान पर एक बीजगणितीय संरचना है जो जड़ वाले पेड़ों और एफ़ाइन स्थान पर वेक्टर क्षेत्रों जैसी वस्तुओं के कुछ गुणों का वर्णन करती है। पूर्व-झूठ बीजगणित की धारणा को मुर्रे गेर्स्टेनहेबर ने बीजगणित की विकृतियों पर अपने काम में पेश किया है। प्री-लाइ अल्जेब्रा को कुछ अन्य नामों के तहत माना गया है, जिनमें से कोई भी लेफ्ट-सिमेट्रिक अल्जेब्रा, राइट-सिमेट्रिक अल्जेब्रा या विनबर्ग अल्जेब्रा का हवाला दे सकता है। परिभाषा एक पूर्व-झूठ बीजगणित एक रैखिक मानचित्र के साथ एक सदिश स्थान है, जो संबंध को संतुष्ट करता है इस पहचान को दो चरों के आदान-प्रदान के तहत सहयोगी के अपरिवर्तनीयता के रूप में देखा जा सकता है और। इसलिए प्रत्येक सहयोगी बीजगणित भी एक पूर्व-झूठ बीजगणित है, क्योंकि सहयोगी समान रूप से गायब हो जाता है। यद्यपि सहयोगीता से कमजोर, एक पूर्व-झूठ बीजगणित के परिभाषित संबंध का अभी भी तात्पर्य है कि कम्यूटेटर एक झूठ कोष्ठक है। विशेष रूप से, कम्यूटेटर के लिए जैकोबी पहचान ऊपर दिए गए प्री-लाइ अल्जेब्रा के लिए परिभाषित संबंध में शब्दों को साइकिल चलाने से मिलती है। एक एफ़ाइन स्थान पर वेक्टर फ़ील्ड के उदाहरण चलो एक खुला पड़ोस, चर द्वारा मानकीकृत होना चाहिए। वेक्टर क्षेत्रों को देखते हुए, हम परिभाषित करते हैं। और के बीच का अंतर है जो और में सममित है। इस प्रकार एक पूर्व-झूठ बीजगणित संरचना को परिभाषित करता है। एक मैनिफोल्ड और होमोमोर्फिज्म को ओवरलैपिंग ओपन नेबरहुड्स से देखते हुए, वे प्रत्येक ओवरलैप पर परिभाषित वेक्टर क्षेत्रों पर एक प्री-लाइ बीजगणित संरचना को परिभाषित करते हैं। जबकि सहमत होने की आवश्यकता नहीं है, उनके कम्यूटेटर सहमत हैंः, और के लाइ ब्रैकेट। जड़ वाले पेड़ों को सभी जड़ वाले पेड़ों द्वारा फैला हुआ मुक्त वेक्टर स्थान होना चाहिए। निम्नलिखित रूप में एक द्विरेखीय उत्पाद पेश किया जा सकता है। आओ और दो जड़ वाले पेड़ बनें। जहाँ जड़ वाला पेड़ के असंबद्ध संघ में जोड़कर प्राप्त किया जाता है और एक किनारा के शीर्ष से जड़ शीर्ष तक जाता है। फिर एक जनरेटर पर एक मुक्त प्री-लाइ बीजगणित है। अधिक आम तौर पर, जनरेटर के किसी भी सेट पर मुक्त पूर्व-झूठ बीजगणित का निर्माण पेड़ों से उसी तरह किया जाता है जिसमें प्रत्येक शीर्ष को जनरेटर में से एक द्वारा लेबल किया जाता है। संदर्भ। .. झूठ समूह गैर-संबद्ध बीजगणित