Reversible cellular automaton
एक प्रतिवर्ती सेलुलर ऑटोमेटन एक सेलुलर ऑटोमेटन है जिसमें प्रत्येक विन्यास का एक अद्वितीय पूर्ववर्ती होता है। अर्थात्, यह कोशिकाओं का एक नियमित ग्रिड है, जिसमें प्रत्येक में अवस्थाओं के एक सीमित समूह से खींची गई स्थिति होती है, जिसमें सभी कोशिकाओं को उनके पड़ोसियों की स्थिति के आधार पर एक साथ अद्यतन करने के लिए एक नियम होता है, जैसे कि किसी अद्यतन से पहले किसी भी कोशिका की पिछली स्थिति को सभी कोशिकाओं की अद्यतन स्थितियों से विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जा सकता है। एक प्रतिवर्ती सेलुलर ऑटोमेटन की समय-विपरीत गतिशीलता को हमेशा एक अन्य सेलुलर ऑटोमेटन नियम द्वारा वर्णित किया जा सकता है, संभवतः एक बहुत बड़े पड़ोस पर। कई विधियाँ सेलुलर ऑटोमेटा नियमों को परिभाषित करने के लिए जानी जाती हैं जो प्रतिवर्ती हैं; इनमें ब्लॉक सेलुलर ऑटोमेटन विधि शामिल है, जिसमें प्रत्येक अद्यतन कोशिकाओं को ब्लॉकों में विभाजित करता है और प्रत्येक ब्लॉक पर अलग से एक व्युत्क्रमणीय कार्य लागू करता है, और द्वितीय-क्रम सेलुलर ऑटोमेटन विधि, जिसमें अद्यतन नियम ऑटोमेटन के दो पिछले चरणों से राज्यों को जोड़ता है। जब एक ऑटोमेटन को इनमें से किसी एक विधि द्वारा परिभाषित नहीं किया जाता है, लेकिन इसके बजाय एक नियम तालिका के रूप में दिया जाता है, तो यह परीक्षण करने की समस्या कि क्या यह प्रतिवर्ती है, ब्लॉक सेलुलर ऑटोमेटा और एक-आयामी सेलुलर ऑटोमेटा के लिए हल करने योग्य है, लेकिन अन्य प्रकार के सेलुलर ऑटोमेटा के लिए अनिश्चित है। रिवर्सिबल सेलुलर ऑटोमेटा रिवर्सिबल कंप्यूटिंग का एक प्राकृतिक मॉडल बनाता है, एक ऐसी तकनीक जो अल्ट्रा-लो-पावर कंप्यूटिंग उपकरणों की ओर ले जा सकती है। क्वांटम सेलुलर ऑटोमेटा, क्वांटम यांत्रिकी के सिद्धांतों का उपयोग करके गणना करने का एक तरीका, अक्सर प्रतिवर्ती होने की आवश्यकता होती है। इसके अतिरिक्त, भौतिक प्रतिरूपण में कई समस्याएं, जैसे कि एक आदर्श गैस में कणों की गति या चुंबकीय आवेशों के संरेखण का आइसिंग मॉडल, स्वाभाविक रूप से प्रतिवर्ती हैं और प्रतिवर्ती कोशिकीय स्वचालित द्वारा अनुकरण किया जा सकता है। प्रतिवर्तीता से संबंधित गुणों का उपयोग सेलुलर ऑटोमेटा का अध्ययन करने के लिए भी किया जा सकता है जो अपने पूरे विन्यास स्थान पर प्रतिवर्ती नहीं हैं, लेकिन जिनमें एक आकर्षक के रूप में विन्यास स्थान का एक उपसमुच्चय है जिसकी ओर सभी प्रारंभिक यादृच्छिक विन्यास अभिसरण करते हैं। जैसा कि स्टीफन वोल्फ्रैम लिखते हैं, "एक बार आकर्षक होने पर, कोई भी प्रणाली-भले ही इसमें प्रतिवर्ती अंतर्निहित नियम न हों-कुछ अर्थों में अनुमानित प्रतिवर्तीता दिखानी चाहिए।" उदाहरण एक-आयामी स्वचालित एक सेलुलर स्वचालित को इसकी कोशिकाओं (अक्सर एक-या दो-आयामी सरणी) द्वारा परिभाषित किया जाता है, मूल्यों या स्थितियों का एक सीमित समूह जो प्रत्येक कोशिका में जा सकता है, एक पड़ोस जो प्रत्येक कोशिका को पास की कोशिकाओं के एक सीमित समूह के साथ जोड़ता है, और एक अद्यतन नियम जिसके अनुसार सभी कोशिकाओं के मूल्यों को उनके पड़ोसी कोशिकाओं के मूल्यों के एक कार्य के रूप में एक साथ अद्यतन किया जाता है। सबसे सरल संभव सेलुलर ऑटोमेटा में कोशिकाओं की एक-आयामी सरणी होती है, जिनमें से प्रत्येक का द्विआधारी मान (या तो 0 या 1) हो सकता है, जिसमें प्रत्येक कोशिका में केवल इसका एक पड़ोस होता है और दोनों तरफ इसकी दो निकटतम कोशिकाएं होती हैं; इन्हें प्राथमिक सेलुलर ऑटोमेटा कहा जाता है। यदि इस तरह के ऑटोमेटन के लिए अद्यतन नियम प्रत्येक कोशिका को हमेशा एक ही स्थिति में रहने का कारण बनता है, तो ऑटोमेटन प्रतिवर्ती हैः सभी कोशिकाओं की पिछली स्थिति को उनकी वर्तमान स्थितियों से पुनर्प्राप्त किया जा सकता है, क्योंकि प्रत्येक कोशिका के लिए पिछली और वर्तमान स्थितियां समान हैं। इसी तरह, यदि अद्यतन नियम प्रत्येक सेल को 0 से 1 और इसके विपरीत अपनी स्थिति में बदलने का कारण बनता है, या यदि यह एक निश्चित पड़ोसी सेल से स्थिति की प्रतिलिपि बनाने के लिए एक सेल का कारण बनता है, या यदि यह किसी स्थिति की प्रतिलिपि बनाने का कारण बनता है और फिर इसके मूल्य को उलट देता है, तो यह आवश्यक रूप से प्रतिवर्ती है। इस प्रकार के प्रतिवर्ती सेलुलर ऑटोमेटा को कॉल करें, जिसमें प्रत्येक कोशिका की स्थिति केवल एक पड़ोसी कोशिका की पिछली स्थिति पर निर्भर करती है, "तुच्छ"। अपनी सरलता के बावजूद, अद्यतन नियम जो प्रत्येक कोशिका को पड़ोसी कोशिका की स्थिति की नकल करने का कारण बनता है, प्रतीकात्मक गतिकी के सिद्धांत में महत्वपूर्ण है, जहाँ इसे शिफ्ट मानचित्र के रूप में जाना जाता है। थोड़ा कम तुच्छ रूप से, मान लीजिए कि कोशिकाएं फिर से एक आयामी सरणी बनाती हैं, लेकिन प्रत्येक अवस्था एक क्रमबद्ध जोड़ी (l, r) है जिसमें एक बायां भाग l और एक दाहिना भाग r होता है, प्रत्येक संभावित मूल्यों के एक सीमित सेट से खींचा जाता है। एक संक्रमण कार्य को परिभाषित करें जो एक कोशिका के बाएँ हिस्से को उसके बाएँ पड़ोसी के बाएँ हिस्से और एक कोशिका के दाएँ हिस्से को उसके दाएँ पड़ोसी के दाएँ हिस्से के रूप में निर्धारित करता है। अर्थात्, यदि बाएँ पड़ोसी की स्थिति है और दाएँ पड़ोसी की स्थिति है, तो एक कोशिका की नई स्थिति समीकरण द्वारा परिभाषित जोड़ीदार संचालन का उपयोग करके इन स्थितियों के संयोजन का परिणाम है। इस निर्माण का एक उदाहरण चित्रण में दिया गया है, जिसमें बाएँ हिस्से को आकृति के रूप में दर्शाया गया है और दाएँ हिस्से को रंग के रूप में दर्शाया गया है; इस उदाहरण में, प्रत्येक कोशिका को उसके बाएँ पड़ोसी के आकार और उसके दाएँ पड़ोसी के रंग के साथ अद्यतन किया गया है। फिर यह स्वचालित प्रतिवर्ती होता हैः प्रत्येक जोड़ी के बाईं ओर के मान दाईं ओर स्थानांतरित होते हैं और दाईं ओर के मान बाईं ओर स्थानांतरित होते हैं, इसलिए प्रत्येक कोशिका की पूर्व स्थिति को पड़ोसी कोशिकाओं में इन मूल्यों को देखकर पुनर्प्राप्त किया जा सकता है। इस स्वचालित यंत्र में अवस्थाओं के जोड़े को संयोजित करने के लिए उपयोग किया जाने वाला संचालन एक बीजगणितीय संरचना बनाता है जिसे आयताकार पट्टी के रूप में जाना जाता है। दशमलव संख्याओं का दो या पाँच से गुणा प्रति कोशिका दस अवस्थाओं (दस दशमलव अंक) के साथ एक आयामी प्रतिवर्ती सेलुलर स्वचालित द्वारा किया जा सकता है। उत्पाद का प्रत्येक अंक केवल दी गई संख्या में दो अंकों के पड़ोस पर निर्भर करता हैः एक ही स्थिति में अंक और दाईं ओर एक स्थिति में अंक। अधिक आम तौर पर, किसी भी मूलांक में दोगुने अनंत अंकों के अनुक्रमों का गुणन या विभाजन, एक गुणक या भाजक द्वारा, जिसके सभी प्रमुख कारक भी प्रमुख कारक हैं, एक ऐसा ऑपरेशन है जो एक सेलुलर ऑटोमेटन बनाता है क्योंकि यह केवल पास के अंकों की एक सीमित संख्या पर निर्भर करता है, और गुणक व्युत्क्रम के अस्तित्व के कारण प्रतिवर्ती है। अन्य मूल्यों द्वारा गुणन (उदाहरण के लिए, दशमलव संख्याओं का तीन से गुणन) प्रतिवर्ती बना रहता है, लेकिन एक सेलुलर स्वचालित को परिभाषित नहीं करता है, क्योंकि प्रारंभिक मूल्य में अंकों की संख्या पर कोई निश्चित सीमा नहीं होती है जो परिणाम में एक अंक निर्धारित करने के लिए आवश्यक होती है। कोई गैर-तुच्छ प्रतिवर्ती प्राथमिक सेलुलर स्वचालित नहीं हैं। हालांकि, एक नियर-मिस नियम 90 और अन्य प्राथमिक सेलुलर ऑटोमेटा द्वारा विशेष या कार्य के आधार पर प्रदान किया जाता है। नियम 90 में, प्रत्येक कोशिका की स्थिति उसके दो पड़ोसियों की अनन्य या पिछली अवस्थाओं की होती है। अनन्य का यह उपयोग या संक्रमण नियम को स्थानीय रूप से व्युत्क्रमणीय बनाता है, इस अर्थ में कि राज्यों का कोई भी सन्निहित परिणाम इस नियम द्वारा उत्पन्न किया जा सकता है। नियम 90 एक प्रतिवर्ती सेलुलर स्वचालित नियम नहीं है, क्योंकि नियम 90 में कोशिकाओं की पूरी श्रृंखला के लिए अवस्थाओं के प्रत्येक असाइनमेंट में ठीक चार संभावित पूर्ववर्ती होते हैं, जबकि प्रतिवर्ती नियमों के लिए प्रति विन्यास बिल्कुल एक पूर्ववर्ती होना आवश्यक है। क्रिटर्स नियम कॉनवे का गेम ऑफ लाइफ, सबसे प्रसिद्ध सेलुलर ऑटोमेटन नियमों में से एक, प्रतिवर्ती नहीं हैः उदाहरण के लिए, इसमें कई पैटर्न हैं जो पूरी तरह से समाप्त हो जाते हैं, इसलिए जिस विन्यास में सभी कोशिकाएं मृत हैं, उसके कई पूर्ववर्ती हैं, और इसमें गार्डन ऑफ ईडन पैटर्न भी हैं जिनमें कोई पूर्ववर्ती नहीं है। हालांकि, इसके आविष्कारकों, टॉमासो टोफोली और नॉर्मन मार्गोलस द्वारा "क्रिटर्स" नामक एक अन्य नियम प्रतिवर्ती है और इसका जीवन के समान गतिशील व्यवहार है। क्रिटर्स नियम एक ब्लॉक सेलुलर ऑटोमेटन है जिसमें, प्रत्येक चरण में, ऑटोमेटन की कोशिकाओं को 2 × 2 ब्लॉकों में विभाजित किया जाता है और प्रत्येक ब्लॉक को अन्य ब्लॉकों से स्वतंत्र रूप से अद्यतन किया जाता है। इसका संक्रमण कार्य एक ब्लॉक में प्रत्येक कोशिका की स्थिति को पलट देता है जिसमें बिल्कुल दो जीवित कोशिकाएं नहीं होती हैं, और इसके अलावा ठीक तीन जीवित कोशिकाओं के साथ 180 डिग्री ब्लॉक तक घूमती है। क्योंकि यह कार्य व्युत्क्रमणीय है, इन नियमों द्वारा परिभाषित स्वचालन एक व्युत्क्रमणीय कोशिकीय स्वचालन है। जब मृत कोशिकाओं के एक बड़े क्षेत्र के भीतर केंद्रित यादृच्छिक कोशिकाओं के एक छोटे क्षेत्र के साथ शुरू किया जाता है, तो जीवन के ग्लाइडर के समान कई छोटे पैटर्न केंद्रीय यादृच्छिक क्षेत्र से बच जाते हैं और एक दूसरे के साथ बातचीत करते हैं। क्रिटर्स नियम अलग-अलग गति के अधिक जटिल अंतरिक्ष यानों के साथ-साथ असीम रूप से कई अलग-अलग अवधियों वाले ऑसिलेटर का भी समर्थन कर सकता है। निर्माण कई सामान्य विधियों को सेलुलर ऑटोमेटन नियमों के निर्माण के लिए जाना जाता है जो स्वचालित रूप से प्रतिवर्ती हैं। ब्लॉक सेलुलर ऑटोमेटा एक ब्लॉक सेलुलर ऑटोमेटन एक ऑटोमेटन है जिस पर, प्रत्येक समय चरण में, ऑटोमेटन की कोशिकाओं को सर्वांगसम उपसमुच्चय (ब्लॉक कहा जाता है) में विभाजित किया जाता है, और प्रत्येक ब्लॉक पर समान परिवर्तन स्वतंत्र रूप से लागू किया जाता है। आमतौर पर, इस तरह का एक स्वचालित यंत्र ब्लॉकों में एक से अधिक विभाजन का उपयोग करेगा, और सिस्टम के अलग-अलग समय चरणों में इन विभाजनों के बीच घूमेगा। इस डिजाइन के अक्सर उपयोग किए जाने वाले रूप में, जिसे मार्गोलस पड़ोस कहा जाता है, ऑटोमेटन की कोशिकाएं एक वर्गाकार ग्रिड बनाती हैं और प्रत्येक चरण में बड़े 2 × 2 वर्ग खंडों में विभाजित होती हैं। एक समय चरण पर एक ब्लॉक का केंद्र अगले समय चरण में चार ब्लॉकों का कोना बन जाता है, और इसके विपरीत; इस तरह, प्रत्येक 2 × 2 में चार कक्ष पिछले विभाजन के चार अलग-अलग 2 × 2 वर्गों से संबंधित हैं। ऊपर चर्चा किया गया क्रिटर्स नियम इस प्रकार के स्वचालित यंत्र का एक उदाहरण है। ब्लॉक सेलुलर ऑटोमेटा के लिए प्रतिवर्ती नियमों को तैयार करना, और यह निर्धारित करना कि क्या दिया गया नियम प्रतिवर्ती है, आसान हैः एक ब्लॉक सेलुलर ऑटोमेटन के प्रतिवर्ती होने के लिए यह आवश्यक और पर्याप्त है कि ऑटोमेटन के प्रत्येक चरण में अलग-अलग ब्लॉकों पर लागू परिवर्तन स्वयं प्रतिवर्ती हो। जब एक ब्लॉक सेलुलर ऑटोमेटन प्रतिवर्ती होता है, तो इसकी गतिशीलता के समय-प्रतिवर्ती संस्करण को एक ही ब्लॉक संरचना के साथ एक ब्लॉक सेलुलर ऑटोमेटन के रूप में भी वर्णित किया जा सकता है, जिसमें ब्लॉकों में कोशिकाओं के विभाजन के समय-प्रतिवर्ती अनुक्रम का उपयोग किया जाता है, और प्रत्येक ब्लॉक के लिए संक्रमण कार्य मूल नियम का व्युत्क्रम कार्य होता है। अपरिवर्तनीय स्वचालित के अनुकरण ने दिखाया कि किसी भी अपरिवर्तनीय-आयामी सेलुलर स्वचालित नियम को प्रतिवर्ती-आयामी नियम में कैसे जोड़ा जाए। नए प्रतिवर्ती नियम का प्रत्येक आयामी टुकड़ा मूल नियम के एक एकल समय चरण का अनुकरण करता है। इस तरह, टोफोली ने दिखाया कि अपरिवर्तनीय सेलुलर ऑटोमेटा की कई विशेषताएँ, जैसे कि मनमाने ढंग से ट्यूरिंग मशीनों का अनुकरण करने की क्षमता, को भी प्रतिवर्ती सेलुलर ऑटोमेटा तक बढ़ाया जा सकता है। जैसा कि टोफोली ने अनुमान लगाया और साबित किया, टोफोली की विधि द्वारा किए गए आयाम में वृद्धि इसकी व्यापकता के लिए एक आवश्यक भुगतान हैः हल्की धारणाओं के तहत (जैसे कि एम्बेडिंग का अनुवाद-भिन्नता), एक सेलुलर ऑटोमेटन का कोई भी एम्बेडिंग जिसमें एक गार्डन ऑफ ईडन है एक प्रतिवर्ती सेलुलर ऑटोमेटन में आयाम को बढ़ाना चाहिए। एक अन्य प्रकार के अनुकरण का वर्णन करता है जो हर्टलिंग की धारणाओं का पालन नहीं करता है और आयाम को नहीं बदलता है। मोरिता की विधि किसी भी अपरिवर्तनीय स्वचालित के सीमित विन्यास का अनुकरण कर सकती है जिसमें एक "शांत" या "मृत" स्थिति होती है, जैसे कि यदि कोई कोशिका और उसके सभी पड़ोसी शांत हैं तो कोशिका अगले चरण में शांत रहती है। सिमुलेशन मूल अपरिवर्तनीय स्वचालित के समान आयाम के एक प्रतिवर्ती ब्लॉक सेलुलर स्वचालित का उपयोग करता है। सिम्युलेटेड ऑटोमेटन के अपरिवर्तनीय चरणों से जो जानकारी नष्ट हो जाएगी, उसे इसके बजाय कॉन्फ़िगरेशन से सिम्युलेटिंग ऑटोमेटन के अनंत शांत क्षेत्र में भेज दिया जाता है। यह अनुकरण सिम्युलेटेड ऑटोमेटन की सभी कोशिकाओं को एक साथ अद्यतन नहीं करता है; बल्कि, एक ही चरण का अनुकरण करने का समय सिम्युलेटेड किए जा रहे विन्यास के आकार के समानुपाती होता है। फिर भी, अनुकरण नकली स्वचालित यंत्र के व्यवहार को सटीक रूप से संरक्षित करता है, जैसे कि इसकी सभी कोशिकाओं को एक साथ अद्यतन किया जा रहा था। इस विधि का उपयोग करके यह दिखाना संभव है कि एक-आयामी प्रतिवर्ती सेलुलर ऑटोमेटा भी सार्वभौमिक गणना में सक्षम हैं। द्वितीय-क्रम सेलुलर ऑटोमेटन तकनीक किसी भी सेलुलर ऑटोमेटन को एक प्रतिवर्ती सेलुलर ऑटोमेटन में बदलने की एक विधि है, जिसका आविष्कार एडवर्ड फ्रेडकिन ने किया था और पहली बार 1984 में कई अन्य लेखकों द्वारा प्रकाशित किया गया था। इस तकनीक में, समय पर ऑटोमेटन में प्रत्येक कोशिका की स्थिति समय पर उसके पड़ोस और समय पर अपनी स्थिति दोनों का एक कार्य है। विशेष रूप से, ऑटोमेटन का संक्रमण कार्य प्रत्येक पड़ोस को समय पर अवस्थाओं के सेट पर एक क्रमपरिवर्तन के लिए मानचित्रित करता है, और फिर उस क्रमपरिवर्तन को समय पर राज्य पर लागू करता है। ऑटोमेटन की विपरीत गतिकी की गणना प्रत्येक पड़ोस को व्युत्क्रम क्रमपरिवर्तन के लिए मानचित्रित करके और उसी तरह आगे बढ़कर की जा सकती है। द्विआधारी-मूल्य वाली अवस्थाओं (शून्य या एक) के साथ स्वचालित के मामले में, अवस्थाओं पर केवल दो संभावित क्रमपरिवर्तन होते हैं (पहचान क्रमपरिवर्तन और क्रमपरिवर्तन जो दोनों अवस्थाओं को बदल देता है), जिन्हें स्वयं अनन्य या द्विआधारी मूल्य वाली अवस्था के रूप में दर्शाया जा सकता है। इस तरह, किसी भी पारंपरिक दो-मूल्यवान सेलुलर ऑटोमेटन को उस समय अवस्थाओं पर पारंपरिक ऑटोमेटन के संक्रमण कार्य का उपयोग करके दूसरे क्रम के सेलुलर ऑटोमेटन नियम में परिवर्तित किया जा सकता है, और फिर विशिष्ट या इन अवस्थाओं की गणना अवस्थाओं के साथ समय पर अवस्थाओं को निर्धारित करने के लिए की जा सकती है। हालांकि, इस तरह से निर्धारित प्रतिवर्ती सेलुलर ऑटोमेटन का व्यवहार सेलुलर ऑटोमेटन के व्यवहार से कोई समानता नहीं रख सकता है जिससे इसे परिभाषित किया गया था। किसी भी दूसरे क्रम के ऑटोमेटन को एक पारंपरिक सेलुलर ऑटोमेटन में बदला जा सकता है, जिसमें दूसरे क्रम के ऑटोमेटन के लगातार समय चरणों से पारंपरिक सेलुलर ऑटोमेटन की एकल अवस्थाओं में अवस्थाओं के जोड़े को मिलाकर संक्रमण कार्य केवल पिछले एकल समय चरण पर निर्भर करता है। संरक्षित परिदृश्य एक आयामी सेलुलर ऑटोमेटन जो चार सन्निहित कोशिकाओं से युक्त पड़ोस का उपयोग करता है। इस स्वचालित यंत्र में, एक कोशिका अपनी स्थिति को पलट देती है जब भी वह "?" पर कब्जा कर लेती है। "0? 10" पैटर्न में स्थिति। इस तरह के कोई भी दो पैटर्न ओवरलैप नहीं हो सकते हैं, इसलिए संक्रमण के बाद फ़्लिप्ड सेल के आसपास एक ही "परिदृश्य" मौजूद रहता है। अगले चरण में, सेल उसी "?" में है। स्थिति फिर से अपनी मूल स्थिति में वापस आ जाएगी। इसलिए, यह स्वचालित स्वयं का व्युत्क्रम है, और प्रतिवर्ती है। पैट ने छोटे पड़ोस के साथ सभी दो-अवस्था एक-आयामी सेलुलर स्वचालित की एक क्रूर बल खोज की; इस खोज ने इस स्वचालित की खोज की, और दिखाया कि यह सबसे सरल संभव गैर-तुच्छ एक-आयामी दो-अवस्था प्रतिवर्ती सेलुलर स्वचालित था। तीन-कोशिका पड़ोस के साथ कोई गैर-तुच्छ प्रतिवर्ती दो-राज्य स्वचालित नहीं हैं, और चार-कोशिका पड़ोस के साथ सभी दो-राज्य प्रतिवर्ती स्वचालित पैट के स्वचालित पर सरल रूप हैं। पैट के ऑटोमेटन को पूर्वावलोकन में प्रतिवर्ती सेलुलर ऑटोमेटा को डिजाइन करने के लिए "संरक्षित परिदृश्य" तकनीक के एक उदाहरण के रूप में देखा जा सकता है। इस तकनीक में, एक कोशिका की स्थिति में परिवर्तन पड़ोसियों के एक समूह के बीच एक पैटर्न से शुरू होता है जो स्वयं अवस्थाओं को नहीं बदलते हैं। इस तरह, एक ही पैटर्न के अस्तित्व का उपयोग ऑटोमेटन की समय-विपरीत गतिशीलता में व्युत्क्रम परिवर्तन को ट्रिगर करने के लिए किया जा सकता है। पैट के स्वचालित यंत्र में बहुत सरल गतिशीलता होती है (विन्यास के सभी चक्रीय अनुक्रमों की लंबाई दो होती है), लेकिन एक से अधिक ट्रिगर पैटर्न के साथ एक ही संरक्षित परिदृश्य तकनीक का उपयोग करने वाले स्वचालित यंत्र अधिक जटिल व्यवहार करने में सक्षम हैं। विशेष रूप से वे किसी भी दूसरे क्रम के सेलुलर ऑटोमेटन का अनुकरण कर सकते हैं। एस. ए. एल. टी. मॉडल संरक्षित परिदृश्य तकनीक का एक विशेष मामला है। इस मॉडल में, एक पूर्णांक ग्रिड की कोशिकाओं को सम और विषम उपसमुच्चय में विभाजित किया जाता है। प्रत्येक समय चरण में एक समानता की कोशिकाओं के कुछ जोड़े दूसरे समानता की आस-पास की कोशिकाओं के विन्यास के आधार पर बदले जाते हैं। इस मॉडल का उपयोग करने वाले नियम बिलियर्ड बॉल कंप्यूटर का अनुकरण कर सकते हैं, या जीवित कोशिकाओं के लंबे तारों का समर्थन कर सकते हैं जो कई अलग-अलग गति से आगे बढ़ सकते हैं या कई अलग-अलग आवृत्तियों पर कंपन कर सकते हैं। एक सेलुलर ऑटोमेटन में कोशिकाओं की एक श्रृंखला होती है, जिनमें से प्रत्येक में संभावित अवस्थाओं की एक सीमित संख्या होती है, साथ ही केवल पड़ोसी कोशिकाओं की अवस्थाओं के आधार पर सभी कोशिकाओं को एक साथ अद्यतन करने के लिए एक नियम होता है। एक सेलुलर ऑटोमेटन का विन्यास ऑटोमेटन के प्रत्येक सेल के लिए एक अवस्था का एक कार्य है; एक सेलुलर ऑटोमेटन का अद्यतन नियम विन्यास से लेकर विन्यास तक एक कार्य बनाता है, इस आवश्यकता के साथ कि किसी भी सेल का अद्यतन मूल्य केवल सेल के कुछ सीमित पड़ोस पर निर्भर करता है, और यह कि कार्य इनपुट सरणी के अनुवाद के तहत अपरिवर्तनीय है। इन परिभाषाओं के साथ, एक सेलुलर ऑटोमेटन प्रतिवर्ती होता है जब यह निम्नलिखित स्थितियों में से किसी एक को संतुष्ट करता है, जिनमें से सभी गणितीय रूप से एक दूसरे के बराबर हैंः ऑटोमेटन के प्रत्येक विन्यास में एक अद्वितीय पूर्ववर्ती होता है जिसे अद्यतन नियम द्वारा मैप किया जाता है। ऑटोमेटन का अद्यतन नियम एक बाइजेक्शन है; यानी, एक ऐसा कार्य जो एक-से-एक और ऑनटू दोनों है। अद्यतन नियम एक इंजेक्टिव फ़ंक्शन है, अर्थात, कोई दो विन्यास नहीं हैं जो दोनों एक ही सामान्य विन्यास के लिए मानचित्रित करते हैं। यह शर्त स्पष्ट रूप से इस धारणा से निहित है कि अद्यतन नियम एक बाइजेक्शन है। दूसरी दिशा में, सेलुलर ऑटोमेटा के लिए गार्डन ऑफ ईडन थ्योरम का तात्पर्य है कि प्रत्येक इंजेक्टिव अपडेट नियम बाइजेक्टिव है। ऑटोमेटन की समय-विपरीत गतिशीलता को एक अन्य सेलुलर ऑटोमेटन द्वारा वर्णित किया जा सकता है। स्पष्ट रूप से, यह संभव होने के लिए, अद्यतन नियम पक्षपातपूर्ण होना चाहिए। दूसरी दिशा में, यदि अद्यतन नियम बाइजेक्टिव है, तो इसका एक व्युत्क्रम कार्य है जो बाइजेक्टिव भी है। यह व्युत्क्रम कार्य एक सेलुलर ऑटोमेटन नियम होना चाहिए। इस तथ्य का प्रमाण कर्टिस-हेडलंड-लिंडन प्रमेय का उपयोग करता है, जो सेलुलर ऑटोमेटा नियमों का एक टोपोलॉजिकल लक्षण वर्णन है जो अनुवाद-अपरिवर्तनीय कार्यों के रूप में है जो विन्यास के स्थान पर कैंटर टोपोलॉजी के संबंध में निरंतर हैं। ऑटोमेटन का अद्यतन नियम अवस्था स्थान और कोशिकाओं के जाली के अनुवाद द्वारा परिभाषित शिफ्ट गतिशील प्रणाली का एक ऑटोमोर्फिज्म है। अर्थात्, यह एक समरूपता है जो शिफ्ट मानचित्र के साथ परिवर्तित होती है, जैसा कि कर्टिस-हेडलंड-लिंडन प्रमेय से पता चलता है। सेलुलर ऑटोमेटा के लिए प्रतिवर्तीता की कई वैकल्पिक परिभाषाओं का विश्लेषण करें। इनमें से अधिकांश या तो इंजेक्टिविटी या ऑटोमेटन के संक्रमण कार्य की सर्जेक्टिविटी के बराबर निकलते हैं; हालाँकि, एक और विकल्प है जो इन दोनों परिभाषाओं में से किसी से भी मेल नहीं खाता है। यह गेम ऑफ लाइफ जैसे ऑटोमेटा पर लागू होता है जिसमें एक शांत या मृत स्थिति होती है। इस तरह के ऑटोमेटन में, कोई भी कॉन्फ़िगरेशन को "परिमित" के रूप में परिभाषित कर सकता है यदि इसमें केवल सीमित रूप से कई गैर-शांत कोशिकाएं हैं, और कोई भी ऑटोमेटा के उस वर्ग पर विचार कर सकता है जिसके लिए प्रत्येक सीमित कॉन्फ़िगरेशन में कम से कम एक सीमित पूर्ववर्ती है। यह वर्ग सर्जेक्टिव और इंजेक्टिव ऑटोमेटा दोनों से अलग होता है, और कुछ बाद के शोधों में, इस गुण के साथ ऑटोमेटा को इनवर्टिबल फाइनाइट ऑटोमेटा कहा गया है। परीक्षण प्रत्यावर्तनशीलता यह पहली बार दिखाया गया था कि किसी दिए गए एक-आयामी सेलुलर ऑटोमेटन की प्रत्यावर्तनशीलता परीक्षण की समस्या का एक एल्गोरिथमिक समाधान है। स्वचालित सिद्धांत और डी ब्रुइजन ग्राफ पर आधारित वैकल्पिक एल्गोरिदम क्रमशः और द्वारा दिए गए थे। कुलिक इस अवलोकन के साथ शुरू होता है कि एक सेलुलर ऑटोमेटन में एक इंजेक्टिव ट्रांजिशन फ़ंक्शन होता है यदि और केवल तभी जब ट्रांजिशन फ़ंक्शन आवधिक विन्यास के सबसेट पर इंजेक्टिव होता है (एक ही सबस्ट्रिंग को दोनों दिशाओं में असीम रूप से दोहराता है)। वह एक गैर-निर्धारक परिमित-अवस्था ट्रांसड्यूसर को परिभाषित करता है जो आवधिक तारों पर ऑटोमेटन के संक्रमण नियम का प्रदर्शन करता है। यह ट्रांसड्यूसर स्ट्रिंग की शुरुआत में ऑटोमेटन के पड़ोस को याद करके और एक स्वीकार करने वाली स्थिति में प्रवेश करके काम करता है जब वह पड़ोस इनपुट के अंत तक जुड़ जाता है जिससे इसके गैर-निर्धारित रूप से चुने गए संक्रमण सही हो जाते हैं। कुलिक तब ट्रांसड्यूसर के इनपुट और आउटपुट की अदला-बदली करता है। इस अदला-बदली से उत्पन्न ट्रांसड्यूसर दिए गए ऑटोमेटन की व्युत्क्रम गतिकी का अनुकरण करता है। अंत में, कुलिक पहले से ज्ञात एल्गोरिदम को यह परीक्षण करने के लिए लागू करता है कि क्या परिणामी स्वैप्ड ट्रांसड्यूसर प्रत्येक इनपुट को एकल आउटपुट में मैप करता है। सटनर एक निर्देशित ग्राफ (डी ब्रुइजन ग्राफ का एक प्रकार) को परिभाषित करता है जिसमें प्रत्येक शीर्ष कोशिकाओं के एक सन्निहित अनुक्रम में कोशिकाओं के लिए अवस्थाओं के असाइनमेंट की एक जोड़ी का प्रतिनिधित्व करता है। इस अनुक्रम की लंबाई को ऑटोमेटन के पड़ोस के आकार से एक कम होने के लिए चुना जाता है। सटनर के ग्राफ में एक किनारा कोशिकाओं के अनुक्रमों की एक जोड़ी का प्रतिनिधित्व करता है जो एक कोशिका को छोड़कर सभी में ओवरलैप होता है, ताकि अनुक्रमों का संयोजन सेलुलर ऑटोमेटन में एक पूर्ण पड़ोस हो। इस तरह के प्रत्येक किनारे को बाईं ओर अतिव्यापी अनुक्रम से दाईं ओर अनुक्रम तक निर्देशित किया जाता है। किनारों को ग्राफ में केवल तभी शामिल किया जाता है जब वे अपने कोशिका अनुक्रमों के अतिव्यापी भागों पर संगत राज्य असाइनमेंट का प्रतिनिधित्व करते हैं, और जब स्वचालित नियम (संभावित किनारे द्वारा निर्धारित पड़ोस पर लागू होता है) राज्यों के दोनों असाइनमेंट के लिए समान परिणाम देगा। इस ग्राफ का एक रैखिक-समय मजबूत संपर्क विश्लेषण करके, यह निर्धारित करना संभव है कि इसके कौन से शीर्ष चक्रों से संबंधित हैं। संक्रमण नियम गैर-इंजेक्टिव है यदि और केवल तभी जब इस ग्राफ में एक निर्देशित चक्र होता है जिसमें कम से कम एक शीर्ष में दो अलग-अलग स्थिति असाइनमेंट होते हैं। ये विधियाँ बहुपद समय लेती हैं, जो इनपुट ऑटोमेटन की अवस्था संक्रमण तालिका के आकार के वर्ग के समानुपाती होती हैं। एक संबंधित एल्गोरिथ्म यह निर्धारित करता है कि क्या कोई दिया गया नियम सर्जेक्टिव है जब आवधिक सीमा स्थितियों के साथ कोशिकाओं की परिमित-लंबाई सरणियों पर लागू किया जाता है, और यदि ऐसा है, तो किस लंबाई के लिए। एक ब्लॉक सेलुलर ऑटोमेटन के लिए, परीक्षण प्रतिवर्तीता भी आसान हैः ऑटोमेटन प्रतिवर्ती है यदि और केवल तभी जब ऑटोमेटन के ब्लॉकों पर संक्रमण कार्य व्युत्क्रमणीय है, और इस मामले में रिवर्स ऑटोमेटन में व्युत्क्रम संक्रमण कार्य के साथ समान ब्लॉक संरचना है। हालांकि, दो या अधिक आयामों में अन्य पड़ोस के साथ सेलुलर ऑटोमेटा के लिए, परीक्षण प्रतिवर्तीता की समस्या अनिश्चित है, जिसका अर्थ है कि एक एल्गोरिथ्म मौजूद नहीं हो सकता है जो हमेशा रुकता है और हमेशा समस्या का सही उत्तर देता है। इस तथ्य का प्रमाण वांग टाइलों द्वारा तल को टाइल करने की पहले से ज्ञात अनिर्णायकता पर आधारित है, उनके किनारों पर चिह्नों के साथ वर्गाकार टाइलों के सेट जो बाधा देते हैं कि टाइलों के कौन से जोड़े किनारे से किनारे तक फिट हो सकते हैं। कारी वांग टाइलों के एक सेट से एक सेलुलर ऑटोमेटन को परिभाषित करता है, जैसे कि ऑटोमेटन इंजेक्टिव होने में विफल रहता है अगर और केवल तभी जब दिया गया टाइल सेट पूरे तल को टाइल कर सकता है। उनके निर्माण में वॉन न्यूमैन पड़ोस और बड़ी संख्या में राज्यों वाले कक्षों का उपयोग किया गया है। उसी पेपर में, कारी ने यह भी दिखाया कि यह परीक्षण करना अनिश्चित है कि क्या दो या दो से अधिक आयामों का दिया गया सेलुलर ऑटोमेटन नियम सर्जेक्टिव है (यानी, क्या इसमें गार्डन ऑफ ईडन है)। प्रति कोशिका अवस्थाओं के साथ एक आयामी प्रतिवर्ती सेलुलर स्वचालित में, जिसमें एक कोशिका का पड़ोस कोशिकाओं का एक अंतराल होता है, विपरीत गतिशीलता का प्रतिनिधित्व करने वाले स्वचालित में ऐसे पड़ोस होते हैं जिनमें अधिकांश कोशिकाएं होती हैं। इस सीमा को तंग होने के लिए जाना जाता हैः दो-कोशिका पड़ोस के साथ-राज्य प्रतिवर्ती सेलुलर ऑटोमेटा मौजूद है जिनकी समय-प्रतिवर्ती गतिशीलता पड़ोस के आकार के साथ एक सेलुलर ऑटोमेटन बनाती है। किसी भी पूर्णांक के लिए वॉन न्यूमैन पड़ोस के साथ केवल सीमित रूप से कई द्वि-आयामी प्रतिवर्ती-अवस्था सेलुलर ऑटोमेटा होते हैं। इसलिए, एक अच्छी तरह से परिभाषित कार्य है कि वॉन न्यूमैन पड़ोस के साथ-स्टेट सेलुलर ऑटोमेटा के सभी उलट अधिक से अधिक त्रिज्या के साथ एक पड़ोस का उपयोग करते हैंः बस अधिकतम होने दें, सभी सीमित रूप से कई प्रतिवर्ती-स्टेट सेलुलर ऑटोमेटा के बीच, पड़ोस के आकार का स्वचालित के समय-विपरीत गतिशीलता का प्रतिनिधित्व करने के लिए आवश्यक है। हालाँकि, कारी के अनिश्चित परिणाम के कारण, कंप्यूटिंग के लिए कोई एल्गोरिथ्म नहीं है और इस फ़ंक्शन के मूल्यों को किसी भी कम्प्यूटेबल फ़ंक्शन की तुलना में बहुत तेज़ी से बढ़ना चाहिए। वोल्फ्राम का वर्गीकरण स्टीफन वोल्फ्राम द्वारा सेलुलर ऑटोमेटा का एक प्रसिद्ध वर्गीकरण यादृच्छिक प्रारंभिक स्थितियों पर उनके व्यवहार का अध्ययन करता है। एक प्रतिवर्ती सेलुलर ऑटोमेटन के लिए, यदि प्रारंभिक विन्यास को सभी संभावित विन्यासों के बीच यादृच्छिक रूप से समान रूप से चुना जाता है, तो वही समान यादृच्छिकता बाद की सभी स्थितियों के लिए बनी रहती है। इस प्रकार यह प्रतीत होता है कि अधिकांश प्रतिवर्ती सेलुलर ऑटोमेटा वोल्फ्राम के क्लास 3: ऑटोमेटा के हैं जिसमें लगभग सभी प्रारंभिक विन्यास छद्म-यादृच्छिक या अव्यवस्थित रूप से विकसित होते हैं। हालांकि, ऑटोमेटन के व्यवहार पर स्थानीय गड़बड़ी के प्रभाव का विश्लेषण करके विभिन्न प्रतिवर्ती सेलुलर ऑटोमेटा के बीच अंतर करना अभी भी संभव है। एक प्रतिवर्ती कोशिकीय स्वचालित की प्रारंभिक स्थिति में परिवर्तन करने से बाद की अवस्थाओं में परिवर्तन केवल एक सीमित क्षेत्र के भीतर ही रह सकते हैं, अनियमित रूप से लेकिन असीम रूप से प्रसार कर सकते हैं, या जल्दी से फैल सकते हैं, और इन तीनों प्रकार के व्यवहार को प्रदर्शित करने वाले एक-आयामी प्रतिवर्ती कोशिकीय स्वचालित नियमों को सूचीबद्ध कर सकते हैं। वोल्फ्रैम द्वारा बाद में किए गए काम में एक-आयामी नियम 37आर ऑटोमेटन की पहचान इस संबंध में विशेष रूप से दिलचस्प होने के रूप में की गई है। जब आवधिक सीमा स्थितियों के साथ कोशिकाओं की एक सीमित श्रृंखला पर चलाया जाता है, तो एक बड़े खाली पड़ोस के भीतर केंद्रित यादृच्छिक कोशिकाओं के एक छोटे से बीज से शुरू होता है, यह क्रमबद्ध और अराजक अवस्थाओं के बीच उतार-चढ़ाव करता है। हालांकि, कोशिकाओं के एक असीम समूह पर समान प्रारंभिक स्थितियों के साथ इसके विन्यास खुद को कई प्रकार के सरल गतिशील कणों में व्यवस्थित करते हैं। अपवर्तनीय कोशिकीय स्वचालित को औपचारिक बनाने का एक अन्य तरीका अमूर्त बीजगणित है, और यह औपचारिकरण प्रतिवर्ती कोशिकीय स्वचालित नियमों के लिए कम्प्यूटरीकृत खोजों को विकसित करने में उपयोगी रहा है। एक अर्ध-केंद्रीय बिगग्रुपॉइड को एक बीजगणितीय संरचना के रूप में परिभाषित किया गया है जिसमें तत्वों का एक समूह और दो संचालन और तत्वों के जोड़े शामिल होते हैं, जो दो समतुल्य स्वयंसिद्धियों को संतुष्ट करते हैंः सभी तत्वों के लिए, और में, और सभी तत्वों के लिए, और में। उदाहरण के लिए, यह उन दो संचालनों के लिए सच है जिसमें संचालन अपने दाहिने तर्क को लौटाता है और संचालन अपने बाएं तर्क को लौटाता है। जैसा कि बॉयकेट का तर्क है, कोई भी एक-आयामी प्रतिवर्ती सेलुलर ऑटोमेटन आयताकार रूप में एक ऑटोमेटन के बराबर है, जिसमें कोशिकाओं को प्रत्येक समय चरण में एक आधा इकाई की भरपाई की जाती है, और जिसमें ऑटोमेटन के आगे और पीछे दोनों विकास में केवल दो कोशिकाओं के साथ पड़ोस होते हैं, कोशिकाएं प्रत्येक दिशा में एक आधा इकाई दूर होती हैं। यदि एक प्रतिवर्ती स्वचालित यंत्र में दो कोशिकाओं से बड़े पड़ोस होते हैं, तो इसे प्रति कोशिका छोटे पड़ोस और अधिक अवस्थाओं के साथ एक प्रतिवर्ती स्वचालित यंत्र द्वारा अनुकरण किया जा सकता है, जिसमें अनुकरण स्वचालित यंत्र की प्रत्येक कोशिका नकली स्वचालित यंत्र में कोशिकाओं के एक सन्निहित खंड का अनुकरण करती है। एक अर्ध-केंद्रीय बिगग्रुपॉइड के दो स्वयंसिद्ध इन दो-कोशिका पड़ोस के आगे और पीछे संक्रमण कार्यों पर एक दूसरे के विपरीत होने के लिए आवश्यक स्थितियां हैं। अर्थात्, प्रत्येक अर्ध-केंद्रीय बिगग्रुपॉइड आयताकार रूप में एक प्रतिवर्ती सेलुलर ऑटोमेटन को परिभाषित करता है, जिसमें ऑटोमेटन का संक्रमण कार्य अपने पड़ोस की दो कोशिकाओं को संयोजित करने के लिए ऑपरेशन का उपयोग करता है, और जिसमें ऑपरेशन समान रूप से ऑटोमेटन की विपरीत गतिशीलता को परिभाषित करता है। प्रत्येक एक-आयामी प्रतिवर्ती सेलुलर ऑटोमेटन इस रूप में एक के बराबर है। बॉयकेट ने इस बीजगणितीय सूत्रीकरण का उपयोग एल्गोरिदम के लिए आधार के रूप में किया जो सभी संभावित असमान प्रतिवर्ती सेलुलर ऑटोमेटा को पूरी तरह से सूचीबद्ध करता है। जब शोधकर्ता भौतिक प्रणालियों का अनुकरण करने के लिए प्रतिवर्ती सेलुलर ऑटोमेटा डिजाइन करते हैं, तो वे आम तौर पर प्रणाली के संरक्षण नियमों को डिजाइन में शामिल करते हैं; उदाहरण के लिए, एक सेलुलर ऑटोमेटन जो एक आदर्श गैस का अनुकरण करता है, उसे गैस कणों की संख्या और उनकी कुल गति को संरक्षित करना चाहिए, अन्यथा यह एक सटीक अनुकरण प्रदान नहीं करेगा। हालांकि, संरक्षण कानूनों पर कुछ शोध भी हुए हैं जो प्रतिवर्ती सेलुलर ऑटोमेटा में किसी भी जानबूझकर डिजाइन से स्वतंत्र हो सकते हैं। इन अध्ययनों में मापी गई विशिष्ट प्रकार की संरक्षित मात्रा, स्वचालित कोशिकाओं के सभी सन्निहित उपसमुच्चय पर, प्रत्येक उपसमुच्चय में कोशिकाओं की अवस्थाओं के कुछ संख्यात्मक कार्य के योग का रूप लेती है। इस तरह की मात्रा को संरक्षित किया जाता है यदि, जब भी यह एक सीमित मूल्य लेता है, तो वह मूल्य स्वचालित रूप से स्वचालित के प्रत्येक समय चरण के माध्यम से स्थिर रहता है, और इस मामले में इसे स्वचालित का एक th-क्रम अपरिवर्तनीय कहा जाता है। उदाहरण के लिए, एक आयामी सेलुलर ऑटोमेटन को याद करें जिसे एक आयताकार बैंड से एक उदाहरण के रूप में परिभाषित किया गया है, जिसमें सेल अवस्थाएं सेट और बाएं मानों और सही मानों से खींचे गए मानों (l, r) के जोड़े हैं, प्रत्येक सेल का बायां मान प्रत्येक समय चरण पर दाएं की ओर बढ़ता है, और प्रत्येक सेल का सही मान बाएं की ओर बढ़ता है। इस मामले में, बैंड के प्रत्येक बाएँ या दाएँ मूल्य के लिए, कोई भी एक संरक्षित मात्रा को परिभाषित कर सकता है, उन कोशिकाओं की कुल संख्या जिनके पास वह मूल्य है। यदि बाएं मान और सही मान हैं, तो स्वतंत्र प्रथम-क्रम-अपरिवर्तनीय हैं, और किसी भी प्रथम-क्रम अपरिवर्तनीय को इन मौलिक मानों के रैखिक संयोजन के रूप में दर्शाया जा सकता है। बाएँ मानों से जुड़ी संरक्षित मात्राएँ एक स्थिर दर पर समान रूप से दाएँ की ओर प्रवाहित होती हैंः अर्थात, यदि रेखा के कुछ क्षेत्र के भीतर बराबर बाएँ मानों की संख्या समय पर एक निश्चित मान लेती है, तो यह समय पर स्थानांतरित क्षेत्र के लिए समान मान लेगी। इसी तरह, सही मूल्यों से जुड़ी संरक्षित मात्राएं समान रूप से बाईं ओर बहती हैं। किसी भी एक-आयामी प्रतिवर्ती सेलुलर ऑटोमेटन को आयताकार रूप में रखा जा सकता है, जिसके बाद इसके संक्रमण नियम को एक निष्क्रिय अर्ध-केंद्रीय बिगग्रुपॉइड (एक प्रतिवर्ती नियम जिसके लिए एकल अवस्था मूल्य वाली कोशिकाओं के क्षेत्र केवल अपनी सीमाओं पर बदलते हैं) की क्रिया में शामिल किया जा सकता है। स्वचालित नियम (क्रमपरिवर्तन को हटाकर बनाया गया संशोधित नियम) के निष्क्रिय उठाने के लिए प्रथम क्रम के अपरिवर्तक अनिवार्य रूप से एक आयताकार पट्टी के लिए समान व्यवहार करते हैंः उनके पास अपरिवर्तकों का एक आधार होता है जो बिना परस्पर क्रिया के एक स्थिर दर पर बाएं या दाएं की ओर बहते हैं। समग्र ऑटोमेटन के लिए प्रथम क्रम अपरिवर्तनीय तब इडेम्पोटेंट लिफ्टिंग के लिए बिल्कुल अपरिवर्तनीय होते हैं जो क्रमपरिवर्तन की एक ही कक्षा से संबंधित अवस्थाओं के प्रत्येक जोड़े को समान वजन देते हैं। हालांकि, नियम में अवस्थाओं के क्रमपरिवर्तन के कारण ये अपरिवर्तक निष्क्रिय उठाने से अलग व्यवहार कर सकते हैं, जो गैर-समान रूप से और अंतःक्रियाओं के साथ बहते हैं। भौतिक प्रणालियों में, नोइथर की प्रमेय प्रणाली के संरक्षण नियमों और सममितियों के बीच एक समानता प्रदान करती है। हालांकि, सेलुलर ऑटोमेटा के लिए यह प्रमेय सीधे लागू नहीं होता है, क्योंकि प्रणाली की ऊर्जा द्वारा नियंत्रित होने के बजाय ऑटोमेटन का व्यवहार इसके नियमों में एन्कोड किया जाता है, और ऑटोमेटन को कुछ समरूपताओं (स्थान और समय दोनों में अनुवाद अपरिवर्तनीयता) का पालन करने की गारंटी दी जाती है, चाहे वह किसी भी संरक्षण नियमों का पालन करे। फिर भी, कुछ प्रतिवर्ती प्रणालियों की संरक्षित मात्राएँ कुछ मामलों में ऊर्जा के समान व्यवहार करती हैं। उदाहरण के लिए, यदि ऑटोमेटन के विभिन्न क्षेत्रों में कुछ संरक्षित मात्रा के अलग-अलग औसत मूल्य हैं, तो ऑटोमेटन के नियम इस मात्रा को नष्ट कर सकते हैं, ताकि बाद की अवस्थाओं में मात्रा का वितरण अधिक समान हो। प्रणाली की ऊर्जा के लिए एक स्टैंड-इन के रूप में इन संरक्षित मात्राओं का उपयोग शास्त्रीय भौतिकी के तरीकों का उपयोग करके इसका विश्लेषण करने की अनुमति दे सकता है। अनुप्रयोग जाली गैस स्वचालित एक जाली गैस स्वचालित एक सेलुलर स्वचालित है जिसे एक तरल पदार्थ या एक आदर्श गैस में कणों की गति का अनुकरण करने के लिए डिज़ाइन किया गया है। ऐसी प्रणाली में, गैस के कण स्थिर वेग के साथ सीधी रेखाओं पर चलते हैं, जब तक कि अन्य कणों के साथ लोचदार टकराव नहीं हो जाता। जाली गैस ऑटोमेटा केवल स्थिर संख्या में वेगों (आमतौर पर, केवल एक गति और गति की चार या छह दिशाओं) की अनुमति देकर और टकराव के प्रकारों को सरल बनाकर इन मॉडलों को सरल बनाता है जो संभव हैं। विशेष रूप से, एच. पी. पी. जाली गैस मॉडल में चार अक्ष-समानांतर दिशाओं में इकाई वेग से चलने वाले कण होते हैं। जब दो कण एक ही रेखा पर विपरीत दिशाओं में मिलते हैं, तो वे टकराते हैं और लंबवत रेखा पर टकराव बिंदु से बाहर की ओर भेजे जाते हैं। यह प्रणाली भौतिक गैसों के संरक्षण नियमों का पालन करती है, और ऐसे अनुकरण उत्पन्न करती है जो भौतिक गैसों के व्यवहार से मिलते-जुलते हैं। हालाँकि, यह अवास्तविक अतिरिक्त संरक्षण कानूनों का पालन करते हुए पाया गया। उदाहरण के लिए, किसी भी एक रेखा के भीतर कुल संवेग संरक्षित है। साथ ही, इस मॉडल (इसकी अनिसोट्रोपी) में अक्ष-समानांतर और गैर-अक्ष-समानांतर दिशाओं के बीच अंतर अवांछनीय रूप से अधिक है। एफ. एच. पी. जाली गैस मॉडल केवल चार दिशाओं के बजाय एक दूसरे से 60 डिग्री कोण पर छह अलग-अलग दिशाओं में कणों को घुमाकर एच. पी. पी. मॉडल में सुधार करता है। किसी भी आमने-सामने की टक्कर में, दो बाहर जाने वाले कण दो आने वाले कणों से 60 डिग्री कोण पर विक्षेपित होते हैं। एफ. एच. पी. मॉडल में तीन-तरफा टकराव भी संभव हैं और इन्हें इस तरह से संभाला जाता है कि दोनों कुल गति को संरक्षित करते हैं और एच. पी. पी. मॉडल के गैर-भौतिक अतिरिक्त संरक्षण नियमों से बचते हैं। चूंकि इन प्रणालियों में कणों की गति प्रतिवर्ती है, इसलिए उन्हें आम तौर पर प्रतिवर्ती सेलुलर ऑटोमेटा के साथ लागू किया जाता है। विशेष रूप से, एचपीपी और एफएचपी जाली गैस ऑटोमेटा दोनों को मार्गोलस पड़ोस का उपयोग करके दो-राज्य ब्लॉक सेलुलर ऑटोमेटन के साथ लागू किया जा सकता है। इसिंग मॉडल इसिंग मॉडल का उपयोग चुंबकीय प्रणालियों के व्यवहार को मॉडल करने के लिए किया जाता है। इसमें कोशिकाओं की एक श्रृंखला होती है, जिनमें से प्रत्येक की स्थिति एक स्पिन का प्रतिनिधित्व करती है, या तो ऊपर या नीचे। प्रणाली की ऊर्जा को एक ऐसे कार्य द्वारा मापा जाता है जो कोशिकाओं के पड़ोसी जोड़े की संख्या पर निर्भर करता है जो एक दूसरे के समान घूमते हैं। इसलिए, यदि किसी कोशिका के दोनों अवस्थाओं में पड़ोसियों की संख्या समान है, तो वह कुल ऊर्जा को बदले बिना अपनी स्थिति को पलट सकती है। हालांकि, इस तरह का मोड़ केवल तभी ऊर्जा की बचत करता है जब कोई भी दो आसन्न कोशिकाएं एक ही समय में पलट न जाएं। इस प्रणाली के सेलुलर ऑटोमेटन मॉडल वर्गाकार जाली को दो वैकल्पिक उपसमुच्चय में विभाजित करते हैं, और एक समय में दो उपसमुच्चय में से एक पर अद्यतन करते हैं। प्रत्येक अद्यतन में, प्रत्येक कक्ष जो पलट सकता है, ऐसा करता है। यह एक प्रतिवर्ती सेलुलर ऑटोमेटन को परिभाषित करता है जिसका उपयोग आइसिंग मॉडल की जांच करने के लिए किया जा सकता है। बिलियर्ड-बॉल कम्प्यूटेशन और लो-पावर कंप्यूटिंग ने बिलियर्ड-बॉल कंप्यूटर को प्रतिवर्ती कंप्यूटिंग में अपनी जांच के हिस्से के रूप में प्रस्तावित किया। एक बिलियर्ड-बॉल कंप्यूटर में समक्रमित कणों (बिलियर्ड गेंदें) की एक प्रणाली होती है जो पटरियों में चलती है और बाधाओं के एक निश्चित समूह द्वारा निर्देशित होती है। जब कण एक-दूसरे से या बाधाओं से टकराते हैं, तो वे एक लोचदार टक्कर से गुजरते हैं जैसा कि वास्तविक बिलियर्ड गेंदें करती हैं। कंप्यूटर में इनपुट को कुछ इनपुट पटरियों पर कणों की उपस्थिति या अनुपस्थिति का उपयोग करके एन्कोड किया जाता है, और इसके आउटपुट को आउटपुट पटरियों पर कणों की उपस्थिति या अनुपस्थिति का उपयोग करके इसी तरह एन्कोड किया जाता है। पटरियों को स्वयं तारों के रूप में कल्पना की जा सकती है, और कणों को उन तारों पर बुलियन संकेतों के रूप में ले जाया जा सकता है। जब कोई कण किसी बाधा से टकराता है, तो वह उससे परावर्तित होता है। इस परावर्तन की व्याख्या तार की दिशा में परिवर्तन के रूप में की जा सकती है जिसका कण अनुसरण कर रहा है। अलग-अलग पटरियों पर दो कण टकरा सकते हैं, जिससे उनके टकराव बिंदु पर एक लॉजिक गेट बन जाता है। जैसा कि दिखाया गया है, बिलियर्ड-बॉल कंप्यूटरों को मार्गोलस पड़ोस के साथ दो-राज्य प्रतिवर्ती ब्लॉक सेलुलर ऑटोमेटन का उपयोग करके अनुकरण किया जा सकता है। इस ऑटोमेटन के अद्यतन नियम में, बिल्कुल एक जीवित कोशिका वाले ब्लॉक 180° से घूमते हैं, दो विकर्ण रूप से विपरीत जीवित कोशिकाओं वाले ब्लॉक 90° से घूमते हैं, और अन्य सभी ब्लॉक अपरिवर्तित रहते हैं। ये नियम अलग-अलग जीवित कोशिकाओं को विकर्ण प्रक्षेपवक्र पर चलते हुए बिलियर्ड गेंदों की तरह व्यवहार करने का कारण बनते हैं। एक से अधिक जीवित कोशिकाओं के जुड़े समूह बिलियर्ड-बॉल कंप्यूटर की निश्चित बाधाओं की तरह व्यवहार करते हैं। एक परिशिष्ट में, मार्गोलस ने यह भी दिखाया कि दो-आयामी मूर पड़ोस का उपयोग करते हुए एक तीन-राज्य द्वितीय-क्रम सेलुलर स्वचालित बिलियर्ड-बॉल कंप्यूटर का अनुकरण कर सकता है। बिलियर्ड-बॉल मॉडल जैसे गणना के प्रतिवर्ती सार्वभौमिक मॉडल का अध्ययन करने का एक कारण यह है कि वे सैद्धांतिक रूप से वास्तविक कंप्यूटर प्रणालियों की ओर ले जा सकते हैं जो बहुत कम मात्रा में ऊर्जा का उपभोग करते हैं। लैंडाउर के सिद्धांत के अनुसार, अपरिवर्तनीय कम्प्यूटेशनल चरणों के लिए प्रति चरण एक निश्चित न्यूनतम मात्रा में ऊर्जा की आवश्यकता होती है, लेकिन प्रतिवर्ती चरणों को प्रति चरण ऊर्जा की मात्रा के साथ किया जा सकता है जो मनमाने ढंग से शून्य के करीब है। हालांकि, लैंडॉयर की सीमा की तुलना में कम ऊर्जा का उपयोग करके गणना करने के लिए, एक सेलुलर ऑटोमेटन के लिए एक संक्रमण कार्य होना पर्याप्त नहीं है जो विश्व स्तर पर प्रतिवर्ती हैः जो आवश्यक है वह यह है कि संक्रमण कार्य की स्थानीय गणना भी प्रतिवर्ती तरीके से की जाए। उदाहरण के लिए, प्रतिवर्ती ब्लॉक सेलुलर ऑटोमेटा हमेशा स्थानीय रूप से प्रतिवर्ती होते हैंः प्रत्येक व्यक्तिगत ब्लॉक के व्यवहार में सीमित रूप से कई इनपुट और आउटपुट के साथ एक प्रतिवर्ती कार्य का अनुप्रयोग शामिल होता है। वे सबसे पहले यह पूछने वाले थे कि क्या प्रत्येक प्रतिवर्ती सेलुलर ऑटोमेटन में स्थानीय रूप से प्रतिवर्ती अद्यतन नियम है। यह दर्शाता है कि एक और दो आयामी स्वचालित के लिए उत्तर सकारात्मक है, और यह दर्शाता है कि किसी भी प्रतिवर्ती सेलुलर स्वचालित को स्थानीय रूप से प्रतिवर्ती सेलुलर स्वचालित द्वारा अनुकरण किया जा सकता है। हालांकि, यह सवाल कि क्या प्रत्येक प्रतिवर्ती संक्रमण कार्य स्थानीय रूप से प्रतिवर्ती है, दो से अधिक आयामों के लिए खुला रहता है। समक्रमण टोफोली और मार्गोलस का "ट्रॉन" नियम मार्गोलस पड़ोस के साथ एक प्रतिवर्ती ब्लॉक सेलुलर नियम है। जब कोशिकाओं के सभी 2 × 2 ब्लॉक की स्थिति समान होती है, तो ब्लॉक की सभी कोशिकाओं की स्थिति बदल जाती है; अन्य सभी मामलों में, ब्लॉक की कोशिकाएं अपरिवर्तित रहती हैं। जैसा कि टोफोली और मार्गोलस का तर्क है, इस नियम द्वारा उत्पन्न पैटर्न के विकास का उपयोग मार्गोलस पड़ोस पर किसी भी अन्य नियम को समन्वित करने के लिए एक घड़ी के रूप में किया जा सकता है। इस तरह से समक्रमित एक सेलुलर ऑटोमेटन एक अतुल्यकालिक सेलुलर ऑटोमेटन पर चलते समय मानक मार्गोलस-पड़ोसी नियम के समान गतिशीलता का पालन करता है। एन्क्रिप्शन प्रणाली के रूप में बहुआयामी प्रतिवर्ती सेलुलर ऑटोमेटा का उपयोग करके एन्क्रिप्शन का प्रस्ताव किया गया है। कारी के प्रस्ताव में, सेलुलर ऑटोमेटन नियम एन्क्रिप्शन कुंजी होगी। एन्क्रिप्शन नियम को एक कदम आगे चलाकर किया जाएगा, और इसे एक कदम पीछे चलाकर डिक्रिप्शन किया जाएगा। कारी का सुझाव है कि इस तरह की प्रणाली का उपयोग सार्वजनिक-कुंजी गुप्त प्रणाली के रूप में किया जा सकता है। सिद्धांत रूप में, एक हमलावर परीक्षण प्रतिवर्तीता की अनिर्णायकता के कारण दिए गए एन्क्रिप्शन कुंजी (फॉरवर्ड नियम) से डिक्रिप्शन कुंजी (रिवर्स नियम) को एल्गोरिथम रूप से निर्धारित नहीं कर सकता था, इसलिए सिस्टम की सुरक्षा से समझौता किए बिना फॉरवर्ड नियम को सार्वजनिक किया जा सकता था। हालांकि, कारी ने यह निर्दिष्ट नहीं किया कि इस तरह की प्रणाली के लिए किस प्रकार के प्रतिवर्ती सेलुलर ऑटोमेटन का उपयोग किया जाना चाहिए, या यह नहीं दिखाया कि इस दृष्टिकोण का उपयोग करने वाला एक क्रिप्टोसिस्टम एन्क्रिप्शन/डिक्रिप्शन कुंजी जोड़े उत्पन्न करने में कैसे सक्षम होगा। एक वैकल्पिक कूटलेखन प्रणाली का प्रस्ताव दिया है। उनके सिस्टम में, एन्क्रिप्शन कुंजी एक आयामी सेलुलर ऑटोमेटन के प्रत्येक सेल के लिए स्थानीय नियम निर्धारित करती है। उस नियम पर आधारित एक दूसरे क्रम के स्वचालित यंत्र को एक एन्क्रिप्टेड आउटपुट में बदलने के लिए एक इनपुट पर कई दौरों के लिए चलाया जाता है। ऑटोमेटन का प्रतिवर्ती गुण यह सुनिश्चित करता है कि किसी भी एन्क्रिप्टेड संदेश को उसी प्रणाली को विपरीत रूप से चलाकर डिक्रिप्ट किया जा सकता है। इस प्रणाली में, कुंजियों को गुप्त रखा जाना चाहिए, क्योंकि एन्क्रिप्शन और डिक्रिप्शन दोनों के लिए एक ही कुंजी का उपयोग किया जाता है। क्वांटम कम्प्यूटिंग क्वांटम सेलुलर ऑटोमेटा ऑटोमेटा की सरणियाँ हैं जिनकी अवस्थाएँ और अवस्था संक्रमण क्वांटम गतिकी के नियमों का पालन करते हैं। क्वांटम सेलुलर ऑटोमेटा को गणना के एक मॉडल के रूप में सुझाया गया था और पहली बार द्वारा औपचारिक रूप दिया गया था। इन ऑटोमेटा की कई प्रतिस्पर्धी धारणाएं अनुसंधान के तहत बनी हुई हैं, जिनमें से कई के लिए आवश्यक है कि इस तरह से निर्मित ऑटोमेटा प्रतिवर्ती हो। भौतिक सार्वभौमिकता ने पूछा कि क्या एक सेलुलर ऑटोमेटन के लिए भौतिक रूप से सार्वभौमिक होना संभव था, जिसका अर्थ है कि, ऑटोमेटन की कोशिकाओं के किसी भी बंधे हुए क्षेत्र के लिए, उस क्षेत्र को कोशिकाओं से घेरना संभव होना चाहिए, जिनकी अवस्थाएं एक उपयुक्त समर्थन मचान बनाती हैं जो ऑटोमेटन को क्षेत्र के भीतर अवस्थाओं के सेट पर किसी भी मनमाने परिवर्तन को लागू करने का कारण बनती हैं। इस तरह का ऑटोमेटन प्रतिवर्ती होना चाहिए, या कम से कम स्थानीय रूप से इंजेक्टिव होना चाहिए, क्योंकि इस संपत्ति के बिना ऑटोमेटा में गार्डन ऑफ ईडन पैटर्न हैं, और ऐसे परिवर्तन को लागू करना संभव नहीं है जो गार्डन ऑफ ईडन बनाता है। एक प्रतिवर्ती सेलुलर ऑटोमेटन का निर्माण किया जो इस अर्थ में भौतिक रूप से सार्वभौमिक है। शेफ़र का ऑटोमेटन दो राज्यों और मार्गोलिस पड़ोस के साथ एक ब्लॉक सेलुलर ऑटोमेटन है, जो बिलियर्ड बॉल मॉडल और एच. पी. पी. जाली गैस के लिए ऑटोमेटा से निकटता से संबंधित है। हालाँकि, बिलियर्ड बॉल मॉडल भौतिक रूप से सार्वभौमिक नहीं है, क्योंकि इसका उपयोग अभेद्य दीवारों के निर्माण के लिए किया जा सकता है जो कुछ क्षेत्रों के भीतर राज्य को पढ़ने और बदलने से रोकती हैं। शेफर के मॉडल में, प्रत्येक पैटर्न अंततः चार दिशाओं में विकर्ण रूप से चलने वाले कणों में विघटित हो जाता है। इस प्रकार, उनका ऑटोमेटन ट्यूरिंग पूर्ण नहीं है। हालांकि, शेफर ने दिखाया कि मचान द्वारा किसी भी सीमित विन्यास को घेरना संभव है जो इससे अधिक धीरे-धीरे क्षय होता है। विन्यास के कणों में विघटित होने के बाद, मचान उन कणों को रोकता है, और मचान के भीतर निर्मित बूलियन परिपथ की प्रणाली के लिए इनपुट के रूप में उनका उपयोग करता है। इन परिपथों का उपयोग प्रारंभिक विन्यास के मनमाने कार्यों की गणना करने के लिए किया जा सकता है। मचान तब परिपथ के उत्पादन को फिर से गतिशील कणों की एक प्रणाली में परिवर्तित करता है, जो प्रारंभिक क्षेत्र पर अभिसरण करते हैं और परिवर्तित अवस्था की एक प्रति बनाने के लिए एक दूसरे से टकराते हैं। इस तरह, शेफ़र की प्रणाली का उपयोग राज्य स्थान के किसी भी सीमित क्षेत्र में किसी भी कार्य को लागू करने के लिए किया जा सकता है, यह दर्शाता है कि यह स्वचालित नियम भौतिक रूप से सार्वभौमिक है। टिप्पणियाँ संदर्भ। .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. में पुनर्मुद्रित। .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. में, और में पुनर्मुद्रित। .. .. .. .. .. .. .. .. .. में पुनर्मुद्रित। .. .. जैसा कि और द्वारा उद्धृत किया गया है। .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. सेलुलर ऑटोमेटा रिवर्सिबल कंप्यूटिंग