Kardar–Parisi–Zhang equation
गणित में, कारदार-पारिसी-झांग (केपीजेड) समीकरण एक गैर-रैखिक यादृच्छिक आंशिक विभेदक समीकरण है, जिसे 1986 में मेहरान कारदार, जियोर्जियो पारिसी और यी-चेंग झांग द्वारा पेश किया गया था। यह स्थानिक निर्देशांक और समय निर्देशांक के साथ ऊंचाई क्षेत्र के अस्थायी परिवर्तन का वर्णन करता हैः यहाँ, औसत और दूसरे क्षण के साथ सफेद गौसी शोर है, और मॉडल के मापदंड हैं, और आयाम है। एक स्थानिक आयाम में, केपीजेड समीकरण प्रतिस्थापन के माध्यम से क्षेत्र के साथ बर्गर के समीकरण के एक यादृच्छिक संस्करण से मेल खाता है। पुनर्नवीकरण समूह के माध्यम से, केपीजेड समीकरण को कई सतह विकास मॉडल के क्षेत्र सिद्धांत के रूप में माना जाता है, जैसे कि ईडन मॉडल, बैलिस्टिक निक्षेपण, और ठोस प्रक्रिया (एसओएस) मॉडल पर कमजोर असममित एकल चरण ठोस। एस. ओ. एस. मॉडल के मामले में बर्टिनी और गियाकोमिन द्वारा एक कठोर प्रमाण दिया गया है। के. पी. जेड. सार्वभौमिकता वर्ग कई अंतःक्रियाशील कण प्रणालियाँ, जैसे कि पूरी तरह से असममित सरल बहिष्करण प्रक्रिया, के. पी. जेड. सार्वभौमिकता वर्ग में स्थित हैं। इस वर्ग को एक स्थानिक आयाम (1 + 1 आयाम) में निम्नलिखित महत्वपूर्ण प्रतिपादकों द्वारा चिह्नित किया जाता हैः खुरदरापन प्रतिपादक, विकास प्रतिपादक और गतिशील प्रतिपादक। यह जाँचने के लिए कि क्या कोई विकास मॉडल केपीजेड वर्ग के भीतर है, कोई सतह की चौड़ाई की गणना कर सकता हैः उस समय औसत सतह की ऊँचाई कहाँ है और प्रणाली का आकार कहाँ है। केपीजेड वर्ग के भीतर मॉडल के लिए, सतह के मुख्य गुणों को एक स्केलिंग फ़ंक्शन को संतुष्ट करने के साथ खुरदरापन के परिवार-विसेक स्केलिंग संबंध द्वारा चिह्नित किया जा सकता है 2014 में, हेयरर और क्वास्टेल ने दिखाया कि आम तौर पर, निम्नलिखित केपीजेड जैसे समीकरण केपीजेड सार्वभौमिकता वर्ग के भीतर हैंः जहां कोई भी सम-डिग्री बहुपद है। (1 + 1) केपीजेड सार्वभौमिकता वर्ग में सार्वभौमिक सीमाएँ मानी जाने वाली और लंबे समय तक उतार-चढ़ाव को नियंत्रित करने वाली प्रक्रियाओं का एक परिवार हवादार प्रक्रियाएँ हैं। के. पी. जेड. समीकरण को हल करना समीकरण में गैर-रैखिकता और अंतरिक्ष-समय सफेद शोर की उपस्थिति के कारण, के. पी. जेड. समीकरण के समाधान को चिकना या नियमित नहीं, बल्कि 'फ्रैक्टल' या 'खुरदरा' माना जाता है। यहां तक कि अरैखिक पद के बिना भी, समीकरण यादृच्छिक ऊष्मा समीकरण तक कम हो जाता है, जिसका समाधान अंतरिक्ष चर में अवकलनीय नहीं है, लेकिन 1/2 से कम घातांक के साथ एक होल्डर स्थिति को संतुष्ट करता है। इस प्रकार, अरैखिक शब्द शास्त्रीय अर्थ में गलत तरीके से परिभाषित है। 2013 में, मार्टिन हेयरर ने कोल-हॉप परिवर्तन के विस्तार और फेनमैन आरेखों का उपयोग करके अनुमानों का निर्माण करके केपीजेड समीकरण को हल करने में सफलता हासिल की। 2014 में, उन्हें रफ पाथ थ्योरी और नियमितता संरचनाओं के साथ केपीजेड समीकरण पर इस काम के लिए फील्ड्स मेडल से सम्मानित किया गया था। भौतिक व्युत्पत्ति यह व्युत्पत्ति और से है। मान लीजिए कि हम किसी आंशिक विभेदक समीकरण द्वारा सतह की वृद्धि का वर्णन करना चाहते हैं। स्थिति और समय पर सतह की ऊँचाई का प्रतिनिधित्व करते हैं। उनके मूल्य निरंतर हैं। हम उम्मीद करते हैं कि एक प्रकार का चिकना तंत्र होगा। फिर सतह के विकास के लिए सबसे सरल समीकरण को प्रसार समीकरण के रूप में लिया जा सकता है, लेकिन यह एक निर्धारक समीकरण है, जिसका अर्थ है कि सतह में कोई यादृच्छिक उतार-चढ़ाव नहीं है। उतार-चढ़ाव को शामिल करने का सबसे सरल तरीका शोर शब्द जोड़ना है। फिर हम माध्य शून्य और सहप्रसरण के साथ गॉसियन सफेद शोर के रूप में लिए गए समीकरण को नियोजित कर सकते हैं। इसे एडवर्ड्स-विल्किंसन (ई. डब्ल्यू.) समीकरण या योगात्मक शोर (एस. एच. ई.) के साथ यादृच्छिक ऊष्मा समीकरण के रूप में जाना जाता है। चूँकि यह एक रैखिक समीकरण है, इसलिए इसे ठीक-ठीक फूरियर विश्लेषण का उपयोग करके हल किया जा सकता है। लेकिन चूंकि शोर गौसी है और समीकरण रैखिक है, इसलिए इस समीकरण के लिए देखे गए उतार-चढ़ाव अभी भी गौसी हैं। इसका मतलब है कि ई. डब्ल्यू. समीकरण ब्याज की सतह की वृद्धि का वर्णन करने के लिए पर्याप्त नहीं है, इसलिए हमें विकास के लिए एक अरैखिक कार्य जोड़ने की आवश्यकता है। इसलिए, समय के साथ सतह के विकास में परिवर्तन के तीन योगदान हैं। रूप के एक अरैखिक कार्य के रूप में पार्श्व विकास का पहला मॉडल। दूसरा प्रसार शब्द के माध्यम से एक विश्राम, या नियमितकरण है, और तीसरा सफेद शोर बल है। इसलिए, प्रमुख शब्द, विकास का निर्धारक भाग, केवल ढलान का एक कार्य माना जाता है, और एक सममित कार्य माना जाता है। कारदार, पारिसी और झांग (केपीजेड) का एक महान अवलोकन यह था कि जब एक सतह सामान्य दिशा (सतह पर) बढ़ती है, तो हम ऊंचाई अक्ष पर ऊंचाई को माप रहे हैं, जो अंतरिक्ष अक्ष के लंबवत है, और इसलिए इस सरल ज्यामितीय प्रभाव से आने वाली एक अरैखिकता दिखाई देनी चाहिए। जब सतह का ढलान छोटा होता है, तो प्रभाव रूप ले लेता है, लेकिन यह एक प्रतीत होने वाले कठिन समीकरण की ओर ले जाता है। इस कठिनाई को दरकिनार करने के लिए, कोई एक सामान्य शब्द ले सकता है और इसे एक टेलर श्रृंखला के रूप में विस्तारित कर सकता है, पहले पद को समीकरण से एक समय बदलाव द्वारा हटाया जा सकता है, क्योंकि यदि केपीजेड समीकरण को हल करता है, तो हल करता है दूसरी को समरूपता के कारण गायब हो जाना चाहिए, लेकिन वैसे भी निर्देशांकों के एक स्थिर वेग बदलाव द्वारा समीकरण से हटा दिया जा सकता था, क्योंकि यदि केपीजेड समीकरण को हल करता है, तो हल करता है। हम केपीजेड समीकरण पर पहुंचते हैं फोकर-प्लैंक समीकरण फ्रैक्टल क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत पुनर्निर्धारण समूह रफ पाथ यादृच्छिक आंशिक अंतर समीकरण सतह विकास ट्रेसी-विडॉम वितरण सार्वभौमिकता (गतिशील प्रणालियाँ) स्रोत सांख्यिकीय यांत्रिकी यादृच्छिक अंतर समीकरण आंशिक अंतर समीकरण