Picard–Vessiot theory
विभेदक बीजगणित में, पिकार्ड-वेसियोट सिद्धांत क्षेत्र विस्तार के विभेदक गैलोइस समूह का उपयोग करते हुए एक रैखिक विभेदक समीकरण के समाधान द्वारा उत्पन्न विभेदक क्षेत्र विस्तार का अध्ययन है। एक प्रमुख लक्ष्य यह वर्णन करना है कि अंतर गैलोइस समूह के गुणों के संदर्भ में विभेदक समीकरण को चतुर्भुज द्वारा कब हल किया जा सकता है। यह सिद्धांत लगभग 1883 से 1904 तक एमिल पिकार्ड और अर्नेस्ट वेसियोट द्वारा शुरू किया गया था. और पिकार्ड-वेसियोट सिद्धांत का विस्तृत विवरण देता है। पिकार्ड-वेसियट सिद्धांत के इतिहास पर उनके द्वारा चर्चा की गई है। पिकार्ड-वेसियोट सिद्धांत 1883 और 1898 के बीच पिकार्ड द्वारा और 1892 से 1904 तक वेसियोट द्वारा विकसित किया गया था। उनके सिद्धांत का मुख्य परिणाम बहुत मोटे तौर पर कहता है कि एक रैखिक विभेदक समीकरण को चतुर्भुज द्वारा तभी हल किया जा सकता है जब इसका विभेदक गैलोइस समूह जुड़ा हुआ हो और हल करने योग्य हो। दुर्भाग्य से यह बताना मुश्किल है कि उन्होंने क्या साबित किया क्योंकि "चतुर्भुज द्वारा हल करने योग्य" होने की अवधारणा को सटीक रूप से परिभाषित नहीं किया गया है या उनके पत्रों में लगातार उपयोग नहीं किया गया है। आवश्यक अवधारणाओं की सटीक परिभाषाएँ दीं और इस प्रमेय का एक कठोर संस्करण साबित किया। पिकार्ड-वेसियोट सिद्धांत को आंशिक विभेदक क्षेत्रों (कई आवागमन व्युत्पत्तियों के साथ) तक विस्तारित किया। यह तय करने के लिए कि क्या द्वितीय क्रम के सजातीय रैखिक समीकरणों को चतुर्भुज द्वारा हल किया जा सकता है, एक एल्गोरिथ्म का वर्णन किया, जिसे कोवासिक एल्गोरिथ्म के रूप में जाना जाता है। पिकार्ड-वेसियोट विस्तार और वलय अवकल क्षेत्रों के एक विस्तार F-K को पिकार्ड-वेसियोट विस्तार कहा जाता है यदि सभी स्थिरांक F में हों और K को एक सजातीय रैखिक साधारण अवकल बहुपद के समाधानों को संलग्न करके उत्पन्न किया जा सकता है। विभेदक क्षेत्र F पर एक पिकार्ड-वेसियोट रिंग R, F पर एक विभेदक रिंग है जो सरल है (0 और R के अलावा कोई विभेदक आदर्श नहीं है) और A और 1/डेट (A) के गुणांकों द्वारा k-बीजगणित के रूप में उत्पन्न होता है, जहां A, F पर एक व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स है जैसे कि B =/A के गुणांक F में होते हैं। (इसलिए A विभेदक समीकरण = by के लिए एक मौलिक मैट्रिक्स है।) लिउविलियन विस्तार अवकल क्षेत्रों के एक विस्तार F-K को लिउविलियन कहा जाता है यदि सभी स्थिरांक F में हों, और K को परिमित संख्या में समाकलन, समाकलन के घातांक और बीजगणितीय कार्यों को संलग्न करके उत्पन्न किया जा सकता है। यहाँ, एक तत्व a के समाकलन को = a के किसी भी समाधान के रूप में परिभाषित किया गया है, और a के समाकलन के घातांक को = ay के किसी भी समाधान के रूप में परिभाषित किया गया है। एक पिकार्ड-वेसियोट विस्तार लियोविलियन है यदि और केवल तभी जब इसके विभेदक गैलोइस समूह का पहचान घटक हल करने योग्य हो (,)। अधिक सटीक रूप से, बीजगणितीय कार्यों द्वारा विस्तार सीमित विभेदक गैलोइस समूहों के अनुरूप होते हैं, समाकलन द्वारा विस्तार विभेदक गैलोइस समूह के उप-भागों के अनुरूप होते हैं जो 1-आयामी और एक-शक्तिशाली होते हैं, और समाकलन के घातांक द्वारा विस्तार विभेदक गैलोइस समूह के उप-भागों के अनुरूप होते हैं जो 1-आयामी और अपवर्तक (टोरी) होते हैं। स्रोत बाहरी लिंक विभेदक बीजगणित