Non-convexity (economics)
अर्थशास्त्र में, गैर-उत्तलता प्राथमिक अर्थशास्त्र की उत्तल धारणाओं के उल्लंघन को संदर्भित करता है। बुनियादी अर्थशास्त्र की पाठ्यपुस्तकें उत्तल प्राथमिकताओं वाले उपभोक्ताओं (जो मूल्यों के बीच में चरम सीमाओं को पसंद नहीं करते हैं) और उत्तल बजट सेट और उत्तल उत्पादन सेट वाले उत्पादकों पर ध्यान केंद्रित करती हैं; उत्तल मॉडल के लिए, अनुमानित आर्थिक व्यवहार को अच्छी तरह से समझा जाता है। जब उत्तल धारणाओं का उल्लंघन किया जाता है, तो प्रतिस्पर्धी बाजारों के कई अच्छे गुणों को बनाए रखने की आवश्यकता नहीं होती हैः इस प्रकार, गैर-उत्तलता बाजार की विफलताओं से जुड़ी होती है, जहां आपूर्ति और मांग भिन्न होती है या जहां बाजार संतुलन अक्षम हो सकता है। गैर-उत्तल अर्थव्यवस्थाओं का अध्ययन असंवेदनशील विश्लेषण के साथ किया जाता है, जो उत्तल विश्लेषण का एक सामान्यीकरण है। कई उपभोक्ताओं के साथ मांग यदि वरीयता सेट गैर-उत्तल है, तो कुछ कीमतें एक बजट-रेखा निर्धारित करती हैं जो दो अलग-अलग इष्टतम-टोकरी का समर्थन करती हैं। उदाहरण के लिए, हम कल्पना कर सकते हैं कि चिड़ियाघरों के लिए, एक शेर की कीमत एक उकाब जितनी है, और इसके अलावा चिड़ियाघर का बजट एक उकाब या एक शेर के लिए पर्याप्त है। हम यह भी मान सकते हैं कि चिड़ियाघर का रखवाला किसी भी जानवर को समान रूप से मूल्यवान मानता है। इस मामले में चिड़ियाघर या तो एक शेर या एक चील खरीदेगा। बेशक, एक समकालीन चिड़ियाघर-रक्षक आधे चील और आधे शेर को खरीदना नहीं चाहता है। इस प्रकार, चिड़ियाघर-रखवाले की प्राथमिकताएँ गैर-उत्तल हैंः चिड़ियाघर-रखवाले दोनों के किसी भी सख्ती से उत्तल संयोजन के बजाय किसी भी जानवर को रखना पसंद करते हैं। जब उपभोक्ता की वरीयता सेट गैर-उत्तल होता है, तो (कुछ कीमतों के लिए) उपभोक्ता की मांग जुड़ी नहीं होती है; एक असंबद्ध मांग उपभोक्ता द्वारा कुछ असंतुलित व्यवहार का संकेत देती है, जैसा कि हेरोल्ड हॉटलिंग द्वारा चर्चा की गई हैः यदि खरीद के लिए उदासीनता वक्र को एक लहरदार चरित्र रखने के रूप में सोचा जाता है, जो कुछ क्षेत्रों में मूल के लिए उत्तल और दूसरों में अवतल है, तो हम इस निष्कर्ष पर पहुंचने के लिए मजबूर होते हैं कि यह केवल मूल के लिए उत्तल भाग है जिसे कोई महत्व माना जा सकता है, क्योंकि अन्य अनिवार्य रूप से अवलोकन योग्य नहीं हैं। उन्हें केवल मूल्य-अनुपात में भिन्नता के साथ मांग में होने वाली विसंगतियों से पता लगाया जा सकता है, जिससे सीधी रेखा को घुमाने पर एक खाई के पार स्पर्शता के एक बिंदु की अचानक छलांग लग जाती है। लेकिन, जबकि इस तरह की विसंगतियां दरारों के अस्तित्व को प्रकट कर सकती हैं, वे कभी भी उनकी गहराई को माप नहीं सकती हैं। उदासीनता वक्रों के अवतल भाग और उनके बहु-आयामी सामान्यीकरण, यदि वे मौजूद हैं, तो हमेशा अपरिमेय अस्पष्टता में रहना चाहिए। गैर-संवहन वरीयताओं का अध्ययन करने की कठिनाइयों पर हर्मन वोल्ड और फिर पॉल सैमुएलसन द्वारा जोर दिया गया था, जिन्होंने लिखा था कि गैर-संवहन "डायवर्ट के अनुसार शाश्वत रूप से ढके हुए हैं। जब उत्तल धारणाओं का उल्लंघन किया जाता है, तो प्रतिस्पर्धी बाजारों के कई अच्छे गुणों को बनाए रखने की आवश्यकता नहीं होती हैः इस प्रकार, गैर-उत्तलता बाजार की विफलताओं से जुड़ी होती है, जहां आपूर्ति और मांग भिन्न होती है या जहां बाजार संतुलन अक्षम हो सकता है। गैर-उत्तल वरीयताओं को 1959 से 1961 तक द जर्नल ऑफ पॉलिटिकल इकोनॉमी (जेपीई) में पत्रों के एक क्रम द्वारा प्रकाशित किया गया था। मुख्य योगदानकर्ता माइकल फैरेल, फ्रांसिस बेटर, त्जालिंग कूपमन्स और जेरोम रोथेनबर्ग थे। विशेष रूप से, रोथेनबर्ग के शोध पत्र में गैर-उत्तल समुच्चय के योग की अनुमानित उत्तलता पर चर्चा की गई। इन जेपीई-पत्रों ने लॉयड शेपली और मार्टिन शुबिक के एक शोध पत्र को प्रेरित किया, जिसमें उत्तल उपभोक्ता-वरीयताओं पर विचार किया गया और एक "अनुमानित संतुलन" की अवधारणा पेश की गई। जे. पी. ई.-पेपरों और शेपली-शुबिक पेपर ने रॉबर्ट औमन के कारण "अर्ध-संतुलन" की एक और धारणा को प्रभावित किया। गैर-उत्तल वरीयताओं के उत्तल आवरण को लेने पर पहले और बाद में चर्चा की गई थी। सामान्य आर्थिक संतुलन के सिद्धांतों में गैर-उत्तल समुच्चय को शामिल किया गया है। पृष्ठ <ID2 और पृष्ठ 188:145-146,152-153, और 274-275: पृष्ठ 37 पर प्रमेय C (6) और पृष्ठ 115-116,122 पर अनुप्रयोग। शेपली-फॉकमैन लेम्मा यह स्थापित करता है कि गैर-संवहन कई उपभोक्ताओं के साथ बाजारों में अनुमानित संतुलन के साथ संगत हैं; ये परिणाम कई छोटी फर्मों के साथ उत्पादन अर्थव्यवस्थाओं पर भी लागू होते हैं। अल्पाधिकारों और विशेष रूप से एकाधिकार के तहत कुछ उत्पादकों के साथ आपूर्ति गैर-संवहन महत्वपूर्ण है। बाजार शक्ति का दोहन करने वाले बड़े उत्पादकों के साथ चिंताओं ने गैर-उत्तल समूह पर साहित्य की शुरुआत की, जब पिएरो स्राफा ने 1926 में पैमाने पर बढ़ते रिटर्न वाली फर्मों के बारे में लिखा, जिसके बाद हैरोल्ड हॉटलिंग ने 1938 में सीमांत लागत मूल्य निर्धारण के बारे में लिखा। स्रफा और होटललिंग दोनों ने बिना प्रतियोगियों के उत्पादकों की बाजार शक्ति को रोशन किया, जिससे अर्थव्यवस्था के आपूर्ति-पक्ष पर एक साहित्य स्पष्ट रूप से प्रोत्साहित हुआ। समकालीन अर्थशास्त्र अर्थशास्त्र में हाल के शोध ने अर्थशास्त्र के नए क्षेत्रों में गैर-संवहन को मान्यता दी है। इन क्षेत्रों में, गैर-संवहन बाजार की विफलताओं से जुड़ा हुआ है, जहां संतुलन को कुशल होने की आवश्यकता नहीं है या जहां कोई प्रतिस्पर्धी संतुलन मौजूद नहीं है क्योंकि आपूर्ति और मांग अलग-अलग हैं। गैर-उत्तल समुच्चय पर्यावरणीय वस्तुओं (और अन्य बाहरी वस्तुओं), और बाजार की विफलताओं और सार्वजनिक अर्थशास्त्र के साथ भी उत्पन्न होते हैं। गैर-परिसंचरण सूचना अर्थशास्त्र और शेयर बाजारों (और अन्य अधूरे बाजारों) के साथ भी होते हैं। इस तरह के अनुप्रयोगों ने अर्थशास्त्रियों को गैर-उत्तल समुच्चय का अध्ययन करने के लिए प्रेरित करना जारी रखा। कुछ मामलों में, गैर-रैखिक मूल्य निर्धारण या सौदेबाजी प्रतिस्पर्धी मूल्य निर्धारण के साथ बाजारों की विफलताओं को दूर कर सकती है; अन्य मामलों में, विनियमन उचित हो सकता है। समय के साथ अनुकूलन पहले उल्लिखित अनुप्रयोग सीमित-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान में गैर-संवहन से संबंधित हैं, जहां बिंदु वस्तु बंडलों का प्रतिनिधित्व करते हैं। हालांकि, अर्थशास्त्री समय के साथ विभेदक समीकरणों, गतिशील प्रणालियों, यादृच्छिक प्रक्रियाओं और कार्यात्मक विश्लेषण के सिद्धांतों का उपयोग करके अनुकूलन की गतिशील समस्याओं पर भी विचार करते हैंः अर्थशास्त्री निम्नलिखित अनुकूलन विधियों का उपयोग करते हैंः फ्रैंक पी. रैमसे और हैरोल्ड हॉटलिंग का अनुसरण करते हुए भिन्नताओं की गणना; रिचर्ड बेलमैन और रोनाल्ड हॉवर्ड का अनुसरण करते हुए गतिशील प्रोग्रामिंग; और नियंत्रण सिद्धांत। इन सिद्धांतों में, नियमित समस्याओं में उत्तल क्षेत्रों पर परिभाषित उत्तल कार्य शामिल होते हैं, और यह उत्तलता तकनीकों के सरलीकरण और परिणामों की आर्थिक सार्थक व्याख्याओं की अनुमति देती है। अर्थशास्त्र में, गतिशील प्रोग्रामिंग का उपयोग मार्टिन बेकमैन और रिचर्ड एफ. मुथ द्वारा इन्वेंट्री सिद्धांत और उपभोग सिद्धांत पर काम करने के लिए किया गया था। रॉबर्ट सी. मर्टन ने अंतर-अस्थायी पूंजी परिसंपत्ति मूल्य निर्धारण मॉडल पर अपने 1973 के लेख में गतिशील प्रोग्रामिंग का उपयोग किया। (मर्टन की पोर्टफोलियो समस्या भी देखें)। मर्टन के मॉडल में, निवेशकों ने आज की आय और भविष्य की आय या पूंजीगत लाभ के बीच चयन किया, और उनका समाधान गतिशील प्रोग्रामिंग के माध्यम से पाया जाता है। स्टोकी, लुकास और प्रेस्कॉट आर्थिक सिद्धांत, यादृच्छिक प्रक्रियाओं से जुड़ी समस्याओं को हल करने के लिए गतिशील प्रोग्रामिंग का उपयोग करते हैं। गतिशील कार्यक्रम का उपयोग इष्टतम आर्थिक विकास, संसाधन निष्कर्षण, प्रमुख-अभिकर्ता समस्याओं, सार्वजनिक वित्त, व्यावसायिक निवेश, परिसंपत्ति मूल्य निर्धारण, कारक आपूर्ति और औद्योगिक संगठन में किया गया है। लुंगक्विस्ट और सार्जेंट मौद्रिक नीति, राजकोषीय नीति, कराधान, आर्थिक विकास, खोज सिद्धांत और श्रम अर्थशास्त्र में विभिन्न सैद्धांतिक प्रश्नों का अध्ययन करने के लिए गतिशील प्रोग्रामिंग लागू करते हैं। दीक्षित और पिंडिक ने पूंजीगत बजट के लिए गतिशील प्रोग्रामिंग का उपयोग किया। गतिशील समस्याओं के लिए, गैर-परिसंचरण भी बाजार की विफलताओं से जुड़े होते हैं, जैसे वे निश्चित समय की समस्याओं के लिए होते हैं। अर्थशास्त्रियों ने गैर-उत्तल विश्लेषण के साथ गैर-उत्तल समुच्चय का तेजी से अध्ययन किया है, जो उत्तल विश्लेषण को सामान्यीकृत करता है। कन्वेक्स विश्लेषण उत्तल समुच्चय और उत्तल कार्यों पर केंद्रित है, जिसके लिए यह शक्तिशाली विचार और स्पष्ट परिणाम प्रदान करता है, लेकिन यह गैर-संवहन के विश्लेषण के लिए पर्याप्त नहीं है, जैसे कि पैमाने पर रिटर्न बढ़ाना। "[दोनों] उत्पादन और खपत में गैर-संवहन. आवश्यक गणितीय उपकरणों की आवश्यकता होती है जो उत्तलता से परे चले गए, और आगे के विकास को गैर-चिकनी कलन के आविष्कार की प्रतीक्षा करनी पड़ी": उदाहरण के लिए, लिपशिट्ज़ निरंतर कार्यों के लिए क्लार्क का विभेदक कलन, जो रेडेमाकर के प्रमेय का उपयोग करता है और जिसे और द्वारा वर्णित किया गया है। उन्होंने लिखा है कि "मूल्य निर्धारण नियमों के साथ फर्मों के सामान्य संतुलन विश्लेषण में प्रमुख पद्धतिगत नवाचार" "वैश्विक विश्लेषण (विभेदक टोपोलॉजी) और उत्तल विश्लेषण के [संश्लेषण] के रूप में गैर-सहज विश्लेषण के तरीकों की शुरुआत" थी। के अनुसार, "गैर-चिकना विश्लेषण स्पर्शरेखा विमानों द्वारा मैनिफोल्ड्स के स्थानीय सन्निकटन का विस्तार करता है [और स्पर्शरेखा शंकुओं द्वारा उत्तल समुच्चय के अनुरूप सन्निकटन को समुच्चय तक विस्तारित करता है" जो गैर-चिकना या गैर-उत्तल हो सकता है। अर्थशास्त्र में कन्वेक्सिटी शेपली-फॉकमैन लेम्मा नोट्स संदर्भ बाहरी लिंक कन्वेक्स पतवार कन्वेक्स ज्यामिति सामान्य संतुलन सिद्धांत कन्वेक्स अनुकूलन