Jacobi polynomials
गणित में, जैकोबी बहुपद (कभी-कभी हाइपरजियोमेट्रिक बहुपद कहा जाता है) शास्त्रीय ऑर्थोगोनल बहुपदों का एक वर्ग है। वे अंतराल पर वजन के संबंध में ऑर्थोगोनल हैं। गेगेनबॉयर बहुपद, और इस प्रकार लीजेंड्रे, ज़र्निके और चेबीशेव बहुपद भी जैकोबी बहुपदों के विशेष मामले हैं। जैकोबी बहुपदों को कार्ल गुस्ताव जैकब जैकोबी द्वारा पेश किया गया था। परिभाषाएँ हाइपरजियोमेट्रिक फ़ंक्शन के माध्यम से जैकोबी बहुपदों को हाइपरजियोमेट्रिक फ़ंक्शन के माध्यम से निम्नानुसार परिभाषित किया गया हैः जहाँ पोचामर का प्रतीक (बढ़ते भाज्य के लिए) है। इस मामले में, हाइपरजियोमेट्रिक फ़ंक्शन के लिए श्रृंखला सीमित है, इसलिए कोई निम्नलिखित समतुल्य अभिव्यक्ति प्राप्त करता हैः रोड्रिग्स का सूत्र एक समतुल्य परिभाषा रोड्रिग्स के सूत्र द्वारा दी गई हैः यदि, तो यह लीजेंड्रे बहुपदों तक कम हो जाता हैः वास्तविक तर्क के लिए वैकल्पिक अभिव्यक्ति वास्तविक के लिए जैकोबी बहुपद को वैकल्पिक रूप से लिखा जा सकता है और पूर्णांक के लिए गामा फ़ंक्शन कहाँ है। इस विशेष मामले में कि चार मात्राएँ,,, गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं, जैकोबी बहुपद को इस प्रकार लिखा जा सकता है कि योग उन सभी पूर्णांक मूल्यों पर फैला हुआ है जिनके लिए भाज्यों के तर्क गैर-ऋणात्मक हैं। विशेष मामले ऑर्थोगोनलिटी के बुनियादी गुण जैकोबी बहुपद ऑर्थोगोनलिटी की स्थिति को पूरा करते हैं जैसा कि परिभाषित किया गया है, उनके पास वजन के संबंध में इकाई मानक नहीं है। इसे उपरोक्त समीकरण के दाहिने हाथ की ओर के वर्गमूल से विभाजित करके ठीक किया जा सकता है, जब। यद्यपि यह एक ऑर्थोनॉर्मल आधार नहीं देता है, लेकिन कभी-कभी इसकी सरलता के कारण एक वैकल्पिक सामान्यीकरण को प्राथमिकता दी जाती हैः सममिति संबंध बहुपदों में सममिति संबंध होता है इस प्रकार अन्य अंतिम मूल्य व्युत्पन्न होता है स्पष्ट अभिव्यक्ति का th व्युत्पन्न विभेदक समीकरण की ओर ले जाता है जैकोबी बहुपद दूसरे क्रम के रैखिक सजातीय विभेदक समीकरण पुनरावृत्ति संबंधों का एक समाधान है स्थिर के जैकोबी बहुपदों के लिए पुनरावृत्ति संबंध हैः के लिए। संक्षिप्तता के लिए लिखना, और, यह के संदर्भ में बन जाता है क्योंकि जैकोबी बहुपदों को हाइपरजियोमेट्रिक फ़ंक्शन के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है, हाइपरजियोमेट्रिक फ़ंक्शन की पुनरावृत्ति जैकोबी बहुपदों के बराबर पुनरावृत्ति देती है। विशेष रूप से, गॉस के सन्निहित संबंध पहचान उत्पन्न करने वाले कार्य से मेल खाते हैं जैकोबी बहुपदों का उत्पन्न करने वाला कार्य कहाँ और वर्गमूल की शाखा द्वारा चुना जाता है ताकि। जैकोबी बहुपदों के असिंप्टोटिक्स के लिए, बड़े के लिए के एसिम्प्टोटिक्स को डार्बॉक्स सूत्र द्वारा दिया जाता है जहां और "" शब्द प्रत्येक के लिए अंतराल पर समान होता है। बिंदुओं के पास जैकोबी बहुपदों के असिम्प्टोटिक्स मेहलर-हाइन सूत्र द्वारा दिए जाते हैं जहां सीमाएँ एक बंधे हुए क्षेत्र के लिए समान होती हैं। बाहर के एसिम्प्टोटिक्स कम स्पष्ट हैं। अनुप्रयोग विग्नर डी-मैट्रिक्स अभिव्यक्ति () जैकोबी बहुपदों के संदर्भ में विग्नर डी-मैट्रिक्स (के लिए) की अभिव्यक्ति की अनुमति देती हैः एस्की-गैस्पर असमानता भी देखें बिग क्यू-जैकोबी बहुपद निरंतर क्यू-जैकोबी बहुपद छोटे क्यू-जैकोबी बहुपद छद्म जैकोबी बहुपद जैकोबी प्रक्रिया गेगेनबॉयर बहुपद रोमानोवस्की बहुपद नोट्स आगे पढ़ने के लिए बाहरी लिंक विशेष हाइपरजियोमेट्रिक कार्य ऑर्थोगोनल बहुपद