Holtsmark distribution
(एक-आयामी) होल्टमार्क वितरण एक निरंतर संभाव्यता वितरण है। होल्टमार्क वितरण एक स्थिर वितरण का एक विशेष मामला है जिसमें स्थिरता का सूचकांक या आकार पैरामीटर 3/2 के बराबर होता है और शून्य का वक्रता पैरामीटर होता है। चूंकि शून्य के बराबर है, इसलिए वितरण सममित है, और इस प्रकार एक सममित अल्फा-स्थिर वितरण का एक उदाहरण है। होल्टमार्क वितरण एक स्थिर वितरण के कुछ उदाहरणों में से एक है जिसके लिए प्रायिकता घनत्व फलन की एक बंद रूप अभिव्यक्ति ज्ञात है। हालाँकि, इसका प्रायिकता घनत्व कार्य प्राथमिक कार्यों के संदर्भ में व्यक्त नहीं किया जा सकता है; बल्कि, प्रायिकता घनत्व कार्य को अति-ज्यामितीय कार्यों के संदर्भ में व्यक्त किया जाता है। होल्टमार्क वितरण के अनुप्रयोग प्लाज्मा भौतिकी और खगोल भौतिकी में हैं। 1919 में, नॉर्वे के भौतिक विज्ञानी जोहान पीटर होल्टमार्क ने आवेशित कणों की गति के कारण प्लाज्मा में उतार-चढ़ाव वाले क्षेत्रों के लिए एक मॉडल के रूप में वितरण का प्रस्ताव रखा। यह अन्य प्रकार के कूलम्ब बलों पर भी लागू होता है, विशेष रूप से गुरुत्वाकर्षण निकायों के प्रतिरूपण के लिए, और इस प्रकार खगोल भौतिकी में महत्वपूर्ण है। एक सममित स्थिर वितरण का विशिष्ट कार्य हैः जहां आकार पैरामीटर, या स्थिरता का सूचकांक, स्थान पैरामीटर है, और सी स्केल पैरामीटर है। चूँकि होल्टमार्क वितरण का अपना विशिष्ट कार्य हैः चूँकि होल्टमार्क वितरण एक स्थिर वितरण है, जो वितरण के माध्य का प्रतिनिधित्व करता है। चूंकि, यह वितरण के माध्यिका और मोड का भी प्रतिनिधित्व करता है। और तब से, होल्टमार्क वितरण का विचरण अनंत है। वितरण के सभी उच्च क्षण भी अनंत हैं। अन्य स्थिर वितरणों (सामान्य वितरण के अलावा) की तरह, चूंकि विचरण अनंत है, इसलिए वितरण में फैलाव पैमाने के मापदंड द्वारा परिलक्षित होता है, ग। वितरण के फैलाव का वर्णन करने के लिए एक वैकल्पिक दृष्टिकोण भिन्नात्मक क्षणों के माध्यम से है। प्रायिकता घनत्व फलन सामान्य तौर पर, निरंतर प्रायिकता वितरण का प्रायिकता घनत्व फलन, f (x), इसके विशिष्ट फलन से इस प्रकार प्राप्त किया जा सकता हैः अधिकांश स्थिर वितरणों में उनके प्रायिकता घनत्व कार्यों के लिए एक ज्ञात बंद रूप अभिव्यक्ति नहीं होती है। केवल सामान्य, कौची और लेवी वितरणों में प्राथमिक कार्यों के संदर्भ में बंद रूप अभिव्यक्तियों को जाना जाता है। होल्टमार्क वितरण दो सममित स्थिर वितरणों में से एक है जिसमें हाइपरजियोमेट्रिक कार्यों के संदर्भ में एक ज्ञात बंद रूप अभिव्यक्ति है। जब 0 के बराबर होता है और स्केल पैरामीटर 1 के बराबर होता है, तो होल्टमार्क वितरण में प्रायिकता घनत्व फलन होता हैः जहाँ गामा फलन होता है और यह एक हाइपरजियोमेट्रिक फलन होता है। एक में यह भी है कि दूसरे प्रकार का ऐरी फ़ंक्शन और इसका व्युत्पन्न कहाँ है। फलन के तर्क शुद्ध काल्पनिक जटिल संख्याएँ हैं, लेकिन दोनों फलन का योग वास्तविक है। धनात्मक के लिए, फलन भिन्नात्मक क्रम के बेसेल फलन से संबंधित है और इसका व्युत्पन्न भिन्नात्मक क्रम के बेसेल फलन से है। इसलिए, कोई भी संदर्भ निरंतर वितरण संभावना वितरण को गैर-अनंत विचरण शक्ति कानूनों के साथ लिख सकता है स्थिर वितरण स्थान-पैमाने पर पारिवारिक संभावना वितरण