De Moivre's law
डी मोइवर का नियम बीमाकृत विज्ञान में लागू एक उत्तरजीविता मॉडल है, जिसका नाम अब्राहम डी मोइवर के नाम पर रखा गया है। यह एक रैखिक उत्तरजीविता कार्य पर आधारित मृत्यु दर का एक सरल नियम है। परिभाषा डी मोइवर के नियम में एक ही पैरामीटर है जिसे अंतिम आयु कहा जाता है। डी मोइवर के नियम के तहत, एक नवजात शिशु के जीवित रहने के कार्य द्वारा दिए गए कम से कम x वर्ष जीवित रहने की संभावना होती है बीमांकिक संकेतन (x) एक स्थिति या जीवन को दर्शाता है जो x वर्ष की आयु तक जीवित रहा है, और T (x) (x) का भावी जीवनकाल है (T (x) एक यादृच्छिक चर है)। सशर्त संभाव्यता कि (x) आयु x + t तक जीवित रहता है, वह है Pr [T (0) ≤ x + t। T (0) ≤ x] = S (x + t)/S (x), जिसे इसके द्वारा दर्शाया जाता है। डी मोइवर के नियम के तहत, सशर्त संभावना है कि x वर्ष की आयु का जीवन कम से कम t अधिक वर्षों तक जीवित रहता है और भविष्य का जीवनकाल यादृच्छिक चर T (x) इसलिए एक समान वितरण का अनुसरण करता है। विफलता की सशर्त संभावना के लिए बीमांकिक संकेतन = Pr [0 ≤ T (x) ≤ t|T (0) ≤ x] है। डी मोइवर के नियम के तहत, संभावना है कि (x) उम्र x + t तक जीवित रहने में विफल रहता है मृत्यु दर का बल (खतरे की दर या विफलता दर) वह है जहां f (x) संभावना घनत्व कार्य है। डी मोइवर के कानून के तहत, x वर्ष की आयु के लिए मृत्यु दर का बल वह है जिसमें आयु के संबंध में बढ़ती विफलता दर का गुण है। डी मोइवर के नियम को मृत्यु दर के एक सरल विश्लेषणात्मक नियम के रूप में लागू किया जाता है और रैखिक धारणा को जीवन तालिका जैसे असतत उत्तरजीविता मॉडल के लिए अंतर्वेशन के लिए एक मॉडल के रूप में भी लागू किया जाता है। डी मोइवर का कानून पहली बार उनकी 1725 की वार्षिकी ऑन लाइव्स में दिखाई दिया, जो एक बीमांकिक पाठ्यपुस्तक का सबसे पहला ज्ञात उदाहरण है। अब इसे दिए गए नाम के बावजूद, डी मोइवर ने स्वयं अपने कानून (उन्होंने इसे "परिकल्पना" कहा) को मानव मृत्यु दर के पैटर्न का सही विवरण नहीं माना। इसके बजाय, उन्होंने वार्षिकी की लागत की गणना करते समय इसे एक उपयोगी अनुमान के रूप में पेश किया। अपने पाठ में, डी मोइवर ने उल्लेख किया कि ". हालांकि जीवन की एक समान गिरावट की धारणा. तालिकाओं से बिल्कुल सहमत नहीं है, फिर भी इस धारणा को सफलतापूर्वक युगों के लिए वार्षिकी के मूल्यों की एक तालिका के निर्माण में नियोजित किया जा सकता है जो बारह के लिए अनुमानित नहीं है।" इसके अलावा, हालांकि उनके पाठ में एक बीजगणितीय प्रदर्शन था जो पूरे अपेक्षित भविष्य के जीवन काल पर लागू होता था, डी मोइवर ने एक बीजगणितीय प्रदर्शन भी प्रदान किया जो केवल सीमित वर्षों के लिए लागू होता था। यह बाद का परिणाम था जिसका उपयोग उनके बाद के संख्यात्मक उदाहरणों में किया गया था। इन उदाहरणों ने डी मोइवर को अपनी परिकल्पना का उपयोग टुकड़ों में करते हुए दिखाया, जिसमें उन्होंने मान लिया कि मानव मृत्यु दर के समग्र पैटर्न को कई सीधी रेखा खंडों द्वारा अनुमानित किया जा सकता है (दाईं ओर उनका चित्रण देखें)। उन्होंने लिखा है कि "चूंकि जीवन की गिरावट को किसी भी विवेकपूर्ण त्रुटि के बिना, किसी भी छोटे अंतराल के लिए बराबर माना जा सकता है, इसलिए यदि जीवन के पूरे विस्तार को कई छोटे अंतरालों में विभाजित किया जाए, तो जीवन के लिए वार्षिकी के मूल्यों की गणना आसानी से की जा सकती है। दोनों उद्धरणों के लिए, डी मोइवर के "तालिकाओं" के संदर्भ बीमांकिक जीवन तालिकाओं के लिए थे। आधुनिक लेखक मृत्यु दर कानूनों के इतिहास में डी मोइवर की भूमिका के बारे में अपने उपचार में सुसंगत नहीं हैं। एक ओर, डिक लंदन डी मोइवर के नियम को मानव उत्तरजीविता के मॉडल के रूप में उपयोग करने के लिए "सुझाव दिया जाने वाला पहला निरंतर संभावना वितरण" के रूप में वर्णित करता है। रॉबर्ट बैटन एक समान दृष्टिकोण रखते हैं, यह कहते हुए कि "[डी मोइवर की] परिकल्पना. निश्चित रूप से अवास्तविक पाई गई है।" इसके विपरीत, स्पीगलमैन और बेंजामिन द्वारा विश्लेषणात्मक मानव उत्तरजीविता मॉडल के सर्वेक्षणों में डी मोइवर का बिल्कुल भी उल्लेख नहीं है (दोनों ही मामलों में, सर्वेक्षण बेंजामिन गोम्पर्ट्ज़ के काम से शुरू होते हैं)। एक्चुरियल विज्ञान के इतिहास पर अपने निबंध में, स्टीफन हैबरमैन ने डी मोइवर का उल्लेख किया है, लेकिन "जीवन बीमा गणित" पर खंड में, न कि "जीवन तालिकाओं और उत्तरजीविता मॉडल" पर। सी. डब्ल्यू. जॉर्डन ने अपनी जीवन आकस्मिकताओं में एक तरह का मध्यम आधार लिया था, जहां उन्होंने "मृत्यु दर के कुछ प्रसिद्ध नियमों" पर अपने खंड में डी मोइवर को शामिल किया था, लेकिन उन्होंने कहा कि "डी मोइवर ने माना कि यह जीवन वार्षिकी मूल्यों की गणना को सरल बनाने का एक बहुत ही मोटा अनुमान था, जो उन दिनों एक कठिन काम था।" एक अन्य संकेत है कि डी मोइवर ने स्वयं अपनी "परिकल्पना" को मानव मृत्यु दर का सही प्रतिबिंब नहीं माना, यह तथ्य है कि उन्होंने एन्युटीज ऑन लाइव्स में दो अलग-अलग परिकल्पनाएँ प्रस्तुत कीं। जब उन्होंने एक से अधिक जीवन पर देय वार्षिकी के मूल्यांकन के सवाल पर अपना ध्यान केंद्रित किया, तो डी मोइवर ने प्रत्येक वर्ष में मृत्यु की समान संभावनाओं की धारणा के पक्ष में मौतों की समान संख्या (प्रति वर्ष) की अपनी धारणा को छोड़ना सुविधाजनक पाया। यद्यपि स्थिर-बल धारणा को आज मृत्यु दर के एक सरल विश्लेषणात्मक नियम के रूप में भी मान्यता दी गई है, लेकिन इसे कभी भी "डी मोइवर के दूसरे नियम" या ऐसे किसी अन्य नाम के रूप में नहीं जाना गया है। नोट्स एक्सटर्नल लिंक्स एन्युटीज ऑन लाइव्स एक्चुरियल साइंस सर्वाइवल एनालिसिस अब्राहम डी मोइवर का 1725 संस्करण