Parabolic geometry (differential geometry)
विभेदक ज्यामिति और लाइ समूहों के अध्ययन में, एक परवलयिक ज्यामिति एक सजातीय स्थान जी/पी है जो एक परवलयिक उपसमूह पी द्वारा एक अर्ध-सरल लाइ समूह जी का भागफल है। अधिक सामान्य रूप से, इस अर्थ में एक परवलयिक ज्यामिति के घुमावदार अनुरूपों को भी परवलयिक ज्यामिति कहा जाता हैः कोई भी ज्यामिति जिसे कार्टन कनेक्शन के माध्यम से ऐसे स्थान पर मॉडल किया जाता है। उदाहरण प्रोजेक्टिव स्पेस पीएन एक उदाहरण है। यह सजातीय स्थान पी. जी. एल. (एन + 1)/एच है जहाँ एच एक रेखा का समस्थानिक समूह है। इस ज्यामितीय स्थान में, एक सीधी रेखा की धारणा सार्थक है, लेकिन रेखाओं के साथ कोई पसंदीदा ("एफ़ाइन") पैरामीटर नहीं है। प्रोजेक्टिव स्पेस का घुमावदार एनालॉग एक मैनिफोल्ड है जिसमें एक जियोडेसिक की धारणा समझ में आती है, लेकिन जिसके लिए उन जियोडेसिक पर कोई पसंदीदा मापदंड नहीं हैं। एक प्रोजेक्टिव कनेक्शन प्रासंगिक कार्टन कनेक्शन है जो प्रोजेक्टिव स्पेस की प्रतियों को आधार मैनिफोल्ड के स्पर्श स्थान पर चिपकाकर एक प्रोजेक्टिव ज्यामिति का वर्णन करने का एक साधन देता है। मोटे तौर पर, प्रोजेक्टिव ज्यामिति इस तरह के संबंध के साथ कई गुना के अध्ययन को संदर्भित करती है। एक अन्य उदाहरण अनुरूप क्षेत्र है। स्थलवैज्ञानिक रूप से, यह एन-क्षेत्र है, लेकिन इस पर परिभाषित लंबाई की कोई धारणा नहीं है, केवल वक्रों के बीच के कोण की। समान रूप से, इस ज्यामिति को गोले पर रीमानियन मेट्रिक्स के एक समतुल्य वर्ग के रूप में वर्णित किया गया है (जिसे एक अनुरूप वर्ग कहा जाता है)। गोले पर कोणों को संरक्षित करने वाले परिवर्तनों का समूह लोरेंट्ज़ समूह O (n + 1,1) है, और इसलिए Sn = O (n + 1,1)/P है। अनौपचारिक ज्यामिति, अधिक व्यापक रूप से, रीमानियन मेट्रिक्स के एक अनुरूप समतुल्यता वर्ग के साथ मैनिफोल्ड का अध्ययन है, यानी, अनुरूप गोले पर मॉडल किए गए मैनिफोल्ड। यहाँ संबंधित कार्टन कनेक्शन अनुरूप कनेक्शन है। अन्य उदाहरणों में शामिल हैंः सी. आर. ज्यामिति, एक वास्तविक हाइपरक्वाड्रिक पर मॉडल किए गए मैनिफोल्ड्स का अध्ययन, जहां एक समस्थानिक रेखा का स्टेबलाइज़र है (सी. आर. मैनिफोल्ड देखें) संपर्क प्रोजेक्टिव ज्यामिति, मैनिफोल्ड्स का अध्ययन जहां पर मॉडल किया गया है कि सिंप्लेक्टिक समूह का वह उपसमूह कहां है जो संदर्भों में पहले मानक आधार वेक्टर द्वारा उत्पन्न रेखा को स्थिर करता है स्लोवाक, जे. पैराबोलिक ज्यामिति, अनुसंधान व्याख्यान नोट्स, डॉ. एस. सी.-विसर्जन का हिस्सा, मसारिक विश्वविद्यालय, 1997,70पी. पी., आई. जी. ए. प्रीप्रिंट (एडिलेड विश्वविद्यालय) विभेदक ज्यामिति सजातीय स्थान