Cavalieri's quadrature formula
कलन में, कैवलियरी का चतुर्भुज सूत्र, जिसका नाम 17वीं शताब्दी के इतालवी गणितशास्त्री बोनावेंटुरा कैवलियरी के नाम पर रखा गया है, उसका अभिन्न और सामान्यीकरण है। यह निश्चित समाकलन रूप है; अनिश्चित समाकलन रूप हैः नीचे सूचीबद्ध अतिरिक्त रूप हैं। समाकलन की रैखिकता के साथ, यह सूत्र सभी बहुपदों के समाकलन की गणना करने की अनुमति देता है। "चतुर्भुज" शब्द क्षेत्र के लिए एक पारंपरिक शब्द है; समाकलन को ज्यामितीय रूप से वक्र y = xn के तहत क्षेत्र के रूप में व्याख्या की जाती है। पारंपरिक रूप से महत्वपूर्ण मामले हैं y = x2, परवलय का चतुर्भुज, जिसे प्राचीन काल में जाना जाता है, और y = 1/x, हाइपरबोला का चतुर्भुज, जिसका मान एक लघुगणक है। रूप ऋणात्मक n n (x की ऋणात्मक शक्तियाँ) के ऋणात्मक मानों के लिए, x = 0 पर एकवचनता होती है, और इस प्रकार निश्चित समाकलन 0 के बजाय 1 पर आधारित होता है, जिससे पता चलता हैः इसके अलावा, n के ऋणात्मक भिन्नात्मक (गैर-पूर्णांक) मानों के लिए, घात xn अच्छी तरह से परिभाषित नहीं है, इसलिए अनिश्चित समाकलन को केवल धनात्मक x के लिए परिभाषित किया जाता है। हालांकि, n एक नकारात्मक पूर्णांक के लिए शक्ति xn को सभी गैर-शून्य x के लिए परिभाषित किया गया है, और अनिश्चित समाकलन और निश्चित समाकलन को परिभाषित किया गया है, और एक समरूपता तर्क के माध्यम से गणना की जा सकती है, x को −x से प्रतिस्थापित किया जा सकता है, और नकारात्मक निश्चित समाकलन को −1 पर आधारित किया जा सकता है। जटिल संख्याओं पर निश्चित समाकलन (n और x के ऋणात्मक मानों के लिए) को समोच्च समाकलन के माध्यम से परिभाषित किया जा सकता है, लेकिन फिर पथ के चयन पर निर्भर करता है, विशेष रूप से घुमावदार संख्या-ज्यामितीय मुद्दा यह है कि फलन 0 पर एक विलक्षणता के साथ एक आवरण स्थान को परिभाषित करता है। आधार e = 2.71828.) के लिए लघुगणक। अनुचित समाकलन को अक्सर पारंपरिक विकल्प के माध्यम से x के नकारात्मक मूल्यों तक बढ़ाया जाता हैः अनिश्चित समाकलन में निरपेक्ष मूल्य के उपयोग पर ध्यान दें; यह समाकलन के लिए एक एकीकृत रूप प्रदान करने के लिए है, और इसका मतलब है कि इस विषम फलन का समाकलन एक सम फलन है, हालांकि लघुगणक को केवल सकारात्मक निवेश के लिए परिभाषित किया गया है, और वास्तव में, C के विभिन्न स्थिर मानों को 0 के दोनों ओर चुना जा सकता है, क्योंकि ये व्युत्पन्न को नहीं बदलते हैं। अधिक सामान्य रूप इस प्रकार हैः जटिल संख्याओं पर 1/x के लिए कोई वैश्विक विरोधी नहीं है, इस कार्य के कारण एक गैर-तुच्छ आवरण स्थान को परिभाषित करता है; यह रूप वास्तविक संख्याओं के लिए विशेष है। ध्यान दें कि 1 से शुरू होने वाले निश्चित समाकलन को a के ऋणात्मक मूल्यों के लिए परिभाषित नहीं किया गया है, क्योंकि यह एक विलक्षणता से गुजरता है, हालांकि 1/x एक विषम फलन है, इसलिए कोई भी ऋणात्मक शक्तियों के लिए निश्चित समाकलन को −1 पर आधार बना सकता है। यदि कोई अनुचित समाकलन का उपयोग करने और कॉची मूल मूल्य की गणना करने के लिए तैयार है, तो वह प्राप्त करता है जिसे समरूपता द्वारा भी तर्क दिया जा सकता है (क्योंकि लघुगणक विषम है), इसलिए इससे कोई फर्क नहीं पड़ता है यदि निश्चित समाकलन 1 या-1 पर आधारित है। अनिश्चितकालीन समाकलन की तरह, यह वास्तविक संख्याओं के लिए विशेष है, और जटिल संख्याओं पर विस्तारित नहीं होता है। वैकल्पिक रूप समाकलन को स्थानांतरित अनुक्रमणिकाओं के साथ भी लिखा जा सकता है, जो परिणाम को सरल बनाता है और एन-आयामी विभेदन और एन-घन के संबंध को स्पष्ट करता हैः अधिक सामान्य रूप से, इन सूत्रों को इस प्रकार दिया जा सकता हैः अधिक सामान्य रूप सेः प्रमाण आधुनिक प्रमाण एक विरोधी का उपयोग करना हैः गैर-नकारात्मक पूर्णांकों के लिए xn का व्युत्पन्न nxn−1 दिखाया गया है। यह द्विपद सूत्र और व्युत्पन्न की परिभाषा से दिखाया गया है-और इस प्रकार कलन के मौलिक प्रमेय द्वारा विरोधी अविभाज्य है। यह विधि विफल हो जाती है क्योंकि उम्मीदवार एंटीडेरिवेटिव है, जो शून्य से विभाजन के कारण अनिर्धारित है। लघुगणक फलन, जो 1/x का वास्तविक एंटीडेरिवेटिव है, को अलग से पेश किया जाना चाहिए और जांच की जानी चाहिए। सकारात्मक पूर्णांकों के लिए, इस प्रमाण को ज्यामितीय किया जा सकता हैः यदि कोई मात्रा xn को n-घन (n आयामों में अति घन) के आयतन के रूप में मानता है, तो व्युत्पन्न आयतन में परिवर्तन है क्योंकि पक्ष की लंबाई बदल जाती है-यह xn−1 है, जिसे n चेहरों के क्षेत्र के रूप में व्याख्या की जा सकती है, प्रत्येक आयाम n−1 (मूल पर एक शीर्ष को ठीक करना, ये n चेहरे हैं जो शीर्ष को नहीं छू रहे हैं), इन चेहरों की दिशा में बढ़ते हुए आकार में बढ़ते घन के अनुरूप-3-आयामी मामले में, 3 असीम रूप से पतले वर्ग जोड़कर, इनमें से प्रत्येक चेहरे के लिए एक। इसके विपरीत, कलन के मौलिक प्रमेय की ज्यामिति करते हुए, इन असीम (एन-1) घनों को जोड़कर एक (अति)-पिरामिड प्राप्त होता है, और इन पिरामिडों में से एन-घन बनाता है, जो सूत्र प्राप्त करता है। इसके अलावा, इन पिरामिडों के विकर्ण चक्रण के चारों ओर एन-क्यूब की एक एन-गुना चक्रीय समरूपता है (जिसके लिए एक पिरामिड एक मौलिक क्षेत्र है)। घन (3-घन) के मामले में, इस तरह से एक पिरामिड का आयतन मूल रूप से सख्ती से स्थापित किया गया थाः घन में 3 गुना समरूपता होती है, मौलिक क्षेत्र के साथ एक पिरामिड होता है, जो घन को 3 पिरामिडों में विभाजित करता है, इस तथ्य के अनुरूप कि एक पिरामिड का आयतन ऊंचाई के आधार गुना का एक तिहाई होता है। यह ज्यामितीय रूप से परवलय के चतुर्भुज और एक पिरामिड के आयतन के बीच समानता को दर्शाता है, जिसकी गणना विभिन्न तरीकों से शास्त्रीय रूप से की गई थी। वैकल्पिक प्रमाण मौजूद हैं-उदाहरण के लिए, फर्माट ने क्षेत्र को असमान लंबाई के कुछ अंतरालों में विभाजित करने की एक बीजगणितीय चाल के माध्यम से क्षेत्र की गणना की; वैकल्पिक रूप से, कोई भी इसे असमान फैलाव के तहत ग्राफ y = xn की समरूपता को पहचानकर (x दिशा में d और y दिशा में dn द्वारा, y दिशा के n आयामों को बीजगणितीय रूप देकर), या n = −1 के लिए परिणाम का विस्तार करके और गुणांक की तुलना करके सभी पूर्णांक मूल्यों के लिए सूत्र प्राप्त करके साबित कर सकता है। मूल स्रोतों के साथ इतिहास की एक विस्तृत चर्चा दी गई है; कलन का इतिहास और एकीकरण का इतिहास भी देखें। पैराबोला के मामले को प्राचीन यूनानी गणितशास्त्री आर्किमिडीज ने अपनी द क्वाड्रेचर ऑफ द पैराबोला (तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व) में थकावट की विधि के माध्यम से प्राचीन काल में साबित किया था। ध्यान देने योग्य बात यह है कि आर्किमिडीज़ ने एक परवलय के अंदर के क्षेत्र की गणना की-एक तथाकथित "परवलयिक खंड"-ग्राफ y = x2 के तहत क्षेत्र के बजाय, जो कि कार्टेशियन ज्यामिति का परिप्रेक्ष्य है। ये समतुल्य गणनाएँ हैं, लेकिन परिप्रेक्ष्य में अंतर को दर्शाती हैं। प्राचीन यूनानियों ने, दूसरों के बीच, एक पिरामिड या शंकु के आयतन की गणना भी की, जो गणितीय रूप से समतुल्य है। 11वीं शताब्दी में, इस्लामी गणितशास्त्री इब्न अल-हेथम (जिसे यूरोप में अलहाज़ेन के नाम से जाना जाता है) ने अपनी पुस्तक प्रकाशिकी में गणितीय प्रेरण के माध्यम से घन और चतुर्थक (डिग्री तीन और चार) के समाकलन की गणना की। उच्च पूर्णांकों के मामले की गणना कैवलियरी द्वारा n से 9 तक के लिए की गई थी, जिसमें अविभाज्य की उनकी विधि (कैवलियरी का सिद्धांत) का उपयोग किया गया था। उन्होंने इन्हें उच्च आयामी आयतनों की गणना के रूप में उच्च समाकलन के रूप में व्याख्या की, हालांकि केवल अनौपचारिक रूप से, क्योंकि उच्च आयामी वस्तुएं अभी तक अपरिचित थीं। चतुर्भुज की इस विधि को तब इतालवी गणितशास्त्री इवांजेलिस्टा टोरिसेली द्वारा साइक्लॉइड जैसे अन्य वक्रों तक विस्तारित किया गया था, फिर इस सूत्र को अंग्रेजी गणितशास्त्री जॉन वालिस द्वारा अपने अर्थमेटिका इनफिनिटोरम (1656) में आंशिक और नकारात्मक शक्तियों के लिए सामान्यीकृत किया गया था, जिसने तर्कसंगत शक्तियों की धारणा और संकेतन को भी मानकीकृत किया-हालांकि वालिस ने असाधारण मामले एन =-1 (हाइपरबोला का चतुर्भुज) की गलत व्याख्या की-अंत में अभिन्न कलन के विकास के साथ कठोर आधार पर रखे जाने से पहले। वालिस द्वारा आंशिक और नकारात्मक शक्तियों के औपचारिकरण से पहले, जो स्पष्ट कार्यों की अनुमति देते थे, इन वक्रों को समीकरणों और (पी और क्यू हमेशा सकारात्मक पूर्णांक) के माध्यम से निहित रूप से संभाला जाता था और इन्हें क्रमशः उच्च परवलय और उच्च हाइपरबोला (या "उच्च परवलय" और "उच्च हाइपरबोला") के रूप में संदर्भित किया जाता था। पियरे डी फर्माट ने एक बीजगणितीय चाल से इन क्षेत्रों (-1 के असाधारण मामले को छोड़कर) की गणना भी की-उन्होंने रेखा को समान अंतरालों में विभाजित करके उच्च हाइपरबोला के चतुर्भुज की गणना की, और फिर असमान अंतरालों में विभाजन का उपयोग करके उच्च पैराबोले के चतुर्भुज की गणना की, संभवतः हाइपरबोला के लिए उपयोग किए गए विभाजनों को उलटकर। हालाँकि, उनके बाकी कार्यों की तरह, फर्माट की तकनीकें व्यवस्थित उपचारों की तुलना में अधिक तदर्थ चालें थीं, और उन्हें कलन के बाद के विकास में महत्वपूर्ण भूमिका नहीं निभाने वाला माना जाता है। ध्यान देने योग्य बात यह है कि कैवलियरी ने क्षेत्रों की तुलना केवल क्षेत्रों से और आयतन की तुलना आयतन से की-इनमें हमेशा आयाम होते हैं, जबकि किसी क्षेत्र को क्षेत्र की इकाइयों (एक मानक इकाई के सापेक्ष) से युक्त मानने की धारणा, इसलिए इकाईहीन होने के कारण, वालिस के साथ उत्पन्न हुई प्रतीत होती है; वालिस ने आंशिक और नकारात्मक शक्तियों का अध्ययन किया, और गणना किए गए मूल्यों को इकाईहीन संख्या के रूप में मानने का विकल्प आंशिक और नकारात्मक आयामों की व्याख्या करना था। - 1 (मानक हाइपरबोला) के असाधारण मामले का पहली बार ग्रेगोइर डी सेंट-विंसेंट द्वारा अपने ओपस ज्यामितीय चतुर्भुज परिपथ एट सेक्शनम कोनी (1647) में सफलतापूर्वक इलाज किया गया था, हालांकि एक औपचारिक उपचार को प्राकृतिक लघुगणक के विकास के लिए इंतजार करना पड़ा, जिसे निकोलस मर्केटर ने अपने लघुगणक तकनीक (1668) में पूरा किया था। (पी. बी. के.) में संदर्भ इतिहास। - वालेस पर चर्चा करता है मुख्य रूप से प्रूफ के अंत में प्रिंट में दिखाई देता हैः मलिक, एम. ए. (1984) "ए नोट ऑन कैवलियरी इंटीग्रेशन", गणित पत्रिका 57 (3): 154-6 V. फ्रेडरिक रिकी (2011) फर्माट्स इंटीग्रेशन ऑफ पॉवर्स, इन हिस्टोरिकल नोट्स फॉर कैलकुलस टीचर्स एक्सटर्नल लिंक्स कैवलियरी इंटीग्रेशन इनफिनिटसिमल कैलकुलस, एनसाइक्लोपीडिया ऑफ मैथमेटिक्स इंटीग्रल्स पोलीनोमियल्स