Cauchy–Rassias stability
कार्यात्मक समीकरणों के सिद्धांत में स्टैनिस्लाव उलाम की एक शास्त्रीय समस्या निम्नलिखित हैः यह कब सच है कि एक फलन जो लगभग एक कार्यात्मक समीकरण E को संतुष्ट करता है, वह E के सटीक समाधान के करीब होना चाहिए? 1941 में, डोनाल्ड एच. हायर्स ने बनाच स्पेस के संदर्भ में इस प्रश्न का आंशिक सकारात्मक उत्तर दिया। यह पहली महत्वपूर्ण सफलता थी और अनुसंधान के इस क्षेत्र में अधिक अध्ययन की दिशा में एक कदम था। तब से, उलम की समस्या और हायर्स प्रमेय के विभिन्न सामान्यीकरणों के संबंध में बड़ी संख्या में शोध पत्र प्रकाशित किए गए हैं। 1978 में, थेमिस्टोकल्स एम. रस्सियास एक असीम कॉची अंतर पर विचार करके हायर्स प्रमेय का विस्तार करने में सफल रहे। वह बनाच स्थानों में रैखिक मानचित्रण की स्थिरता को साबित करने वाले पहले व्यक्ति थे। 1950 में, टी. एओकी ने रसियास के परिणाम के एक विशेष मामले का प्रमाण प्रदान किया था जब दिया गया कार्य योगात्मक होता है। उलाम की समस्या के संदर्भ में कार्यात्मक समीकरणों की स्थिरता की व्यापक प्रस्तुति के लिए, इच्छुक पाठक को स्प्रिंगर, न्यूयॉर्क, 2011 द्वारा प्रकाशित एस. एम. जंग की हालिया पुस्तक का उल्लेख किया जाता है (नीचे संदर्भ देखें)। टी. एम. रस्सियास की प्रमेय ने कई गणितविदों को आकर्षित किया जिन्हें कार्यात्मक समीकरणों के स्थिरता सिद्धांत में शोध करने के लिए प्रेरित किया जाने लगा। एस. एम. उलाम, डी. एच. हायर्स और टी. एच. के बड़े प्रभाव के बारे में। कार्यात्मक समीकरणों की स्थिरता समस्याओं के अध्ययन पर एम. रस्सियास, इस अवधारणा को हायर्स-उलम-रस्सियास स्थिरता कहा जाता है। विशेष मामले में जब उलम की समस्या कौची के कार्यात्मक समीकरण f (x + y) = f (x) + f (y) के लिए एक समाधान स्वीकार करती है, तो समीकरण E को कौची-रसियास स्थिरता को संतुष्ट करने के लिए कहा जाता है। इस नाम को ऑगस्टिन-लुई कॉची और थेमिस्टोकल्स एम. रस्सियास के नाम से जाना जाता है। संदर्भ पी. एम. पारदालोस, पी. जी. जॉर्जिव और एच. एम. श्रीवास्तव (संस्करण। ), अरैखिक विश्लेषण। स्थिरता, सन्निकटन और असमानताएँ। थेमिस्टोकल्स एम. रस्सियास के सम्मान में उनके 60वें जन्मदिन के अवसर पर, स्प्रिंगर, न्यूयॉर्क, 2012। डी. एच. हायर्स, रैखिक कार्यात्मक समीकरण की स्थिरता पर, प्रोसी। नताल। एके. विज्ञान. संयुक्त राज्य अमेरिका, 27 (1941), 222-224। टी. एम. रस्सियास, बनाच स्पेस में रैखिक मानचित्रण की स्थिरता पर, प्रोसीडिंग्स ऑफ द अमेरिकन मैथमेटिकल सोसाइटी 72 (1978), 297-300। [चीनी में अनुवादित और अनुवाद में गणितीय प्रगति, चीनी विज्ञान अकादमी 4 (2009), 382-384 में प्रकाशित।] टी. एम. रस्सियास, कार्यात्मक समीकरणों की स्थिरता और उलम की एक समस्या पर, एक्टा एप्लैंडे मैथेमेटिका, 62 (1) (2000), 23-130। एस. एम. जंग, हायर्स-उलम-रस्सियास स्टेबिलिटी ऑफ फंक्शनल इक्वेशन्स इन नॉनलीनियर एनालिसिस, स्प्रिंगर, न्यूयॉर्क, 2011। टी. एओकी, बनाच रिक्त स्थान में रैखिक परिवर्तन की स्थिरता पर, जे। गणित। एस. सी. जेपीएन., 2 (1950), 64-66। सी. जी. पार्क, कई चर में सामान्यीकृत द्विघात मानचित्रण, अरैखिक गुदा, 57 (2004), 713-722। जे. आर. ली और डी. वाई शिन, एक सामान्यीकृत योगात्मक कार्यात्मक समीकरण की कौची-रस्सियास स्थिरता पर, जे। गणित। गुदा। एपल। 339 (1) (2008), 372-383। सी. बाक, कौची-बनाच स्थानों, एक्टा मठ में कौची-जेन्सेन योगात्मक मानचित्रण की रस्सिया स्थिरता। सिनिका (अंग्रेजी श्रृंखला), 15 (1) (1999), 1-11। सी. जी. पार्क, लाइ जे. सी. *-बीजगणित व्युत्पत्तियों की लाइ जे. सी. * और कौची-रस्सियास स्थिरता के बीच समरूपता, जे. झूठ सिद्धांत, 15 (2005), 393-414। जे. आर. ली, डी. वाई. शिन, सी *-अल्जेब्रा में ट्रिफ कार्यात्मक समीकरण की कौची-रस्सियास स्थिरता पर। जे. गणित। गुदा। एपल। 296 (1) (2004), 351-363। सी. बाक, एच. वाई. चू और एम. एस. मोस्लेहियान, कॉची-रसिया असमानता और रैखिक एन-इन्नर उत्पाद संरक्षण मानचित्रण पर, गणित। असमान। एपल। 9 (3) (2006), 453-464। सी. जी. पार्क, एम. एशाघी गोर्डजी और एच. खोदाई, सामान्य जेनसन प्रकार के द्विघात-चतुष्कोणीय मानचित्रण, बुल की कौची-रसिया स्थिरता के लिए एक निश्चित बिंदु दृष्टिकोण। कोरियाई गणित। एस. सी. 47 (2010), नं. 5, 987-996 A. नजाती, एक पेक्सिडराईज़्ड कॉची-जेन्सेन प्रकार के कार्यात्मक समीकरण से जुड़े समरूपता की कॉची-रसियस स्थिरता, J. गणित। असमान। 3 (2) (2009), 257-265। सी. जी. पार्क और एस. वाई. जांग, बनाच मॉड्यूल में सेस्क्विलिनियर एन-क्वाड्रैटिक मैपिंग की कॉची-रसिया की स्थिरता, रॉकी माउंटेन जे। गणित। 39 (6) (2009), 2015-2027। पीएल। कन्नप्पन, कार्यात्मक समीकरण और अनुप्रयोगों के साथ असमानताएँ, स्प्रिंगर, न्यूयॉर्क, 2009। पी. के. साहू और पी. कन्नप्पन, इंट्रोडक्शन टू फंक्शनल इक्वेशन्स, सी. आर. सी. प्रेस, चैपमैन एंड हॉल बुक, फ्लोरिडा, 2011। टी. एम. रस्सियास और जे. ब्रज़डेक (संस्करण। ), गणितीय विश्लेषण में कार्यात्मक समीकरण, स्प्रिंगर, न्यूयॉर्क, 2012,। गणितीय विश्लेषण कार्यात्मक विश्लेषण कार्यात्मक समीकरण