Adequality
समानता एक तकनीक है जिसे पियरे डी फर्माट ने अपने ग्रंथ मेथोडस एड डिसक्वायरेंडम मैक्सिमम एट मिनिमम (फ्रांस में लगभग 1636 में प्रसारित एक लैटिन ग्रंथ) में विकसित किया है, जिसमें कार्यों के मैक्सिमा और मिनीमा, वक्रों के स्पर्शरेखा, क्षेत्र, द्रव्यमान का केंद्र, न्यूनतम क्रिया और कलन में अन्य समस्याओं की गणना की गई है। आंद्रे वेइल के अनुसार, फर्माट "तकनीकी शब्द एडेक्वालितास, एडेक्वायर, आदि का परिचय देता है, जिसके बारे में उनका कहना है कि उन्होंने डायोफेंटस से उधार लिया है। जैसा कि डायोफेंटस वी. 11 से पता चलता है, इसका अर्थ एक अनुमानित समानता है, और वास्तव में फर्माट ने अपने बाद के लेखन में इस शब्द की व्याख्या इस तरह की है। (वेल 1973)। डायोफेंटस ने एक अनुमानित समानता को संदर्भित करने के लिए παρισοντης (पेरिसोटस) शब्द गढ़ा। क्लॉड गैस्पर्ड बाचेट डी मेजिरिएक ने डायोफेंटस के यूनानी शब्द का लैटिन में एडेक्वालितास के रूप में अनुवाद किया। मैक्सिमा और मिनीमा पर फर्माट के लैटिन ग्रंथों के पॉल टैनरी के फ्रांसीसी अनुवाद में एडेक्वेशन और एडेगलर शब्दों का उपयोग किया गया है। फर्माट की विधि फर्माट ने पहले कार्यों की अधिकतमता का पता लगाने के लिए पर्याप्तता का उपयोग किया, और फिर इसे वक्रों के लिए स्पर्शरेखा रेखाओं को खोजने के लिए अनुकूलित किया। फर्माट के अपने उदाहरण से विधि को स्पष्ट करने के लिए, अधिकतम खोजने की समस्या पर विचार करें (फर्माट के शब्दों में, यह एक बिंदु पर लंबाई की एक रेखा को विभाजित करना है, जैसे कि दो परिणामी भागों का उत्पाद अधिकतम हो)। फर्माट के साथ पर्याप्त। अर्थात् (पॉल टैनरी द्वारा प्रस्तुत, पर्याप्तता को दर्शाने के लिए संकेतन का उपयोग करते हुए): शब्दों को रद्द करने और फर्माट द्वारा विभाजित करने से फर्माट वाले शब्दों को हटाने से वांछित परिणाम प्राप्त हुआ कि अधिकतम कब हुआ। फर्माट ने अपने सिद्धांत का उपयोग स्नेल के अपवर्तन के नियमों की गणितीय व्युत्पत्ति देने के लिए भी किया, सीधे इस सिद्धांत से कि प्रकाश सबसे तेज रास्ता अपनाता है। डेसकार्टेस की आलोचना फर्माट के तरीके की उनके समकालीनों, विशेष रूप से डेसकार्टेस द्वारा अत्यधिक आलोचना की गई थी। विक्टर काट्ज़ का सुझाव है कि ऐसा इसलिए है क्योंकि डेसकार्टेस ने स्वतंत्र रूप से उसी नए गणित की खोज की थी, जिसे उनकी सामान्य पद्धति के रूप में जाना जाता है, और डेसकार्टेस को उनकी खोज पर काफी गर्व था। काट्ज़ ने यह भी नोट किया कि जबकि फर्माट के तरीके कलन में भविष्य के विकास के करीब थे, डेसकार्टेस के तरीकों का विकास पर अधिक तत्काल प्रभाव पड़ा। विद्वानों का विवाद न्यूटन और लीबनिज़ दोनों ने फर्माट के काम को असीम कलन के पूर्ववर्ती के रूप में संदर्भित किया। फिर भी, फर्माट की पर्याप्तता के सटीक अर्थ के बारे में आधुनिक विद्वानों के बीच असहमति है। कई विद्वतापूर्ण अध्ययनों में फर्माट की पर्याप्तता का विश्लेषण किया गया था। 1896 में, पॉल टैनरी ने मैक्सिमा और मिनीमा (फर्माट, üuvres, वॉल्यूम) पर फर्माट के लैटिन ग्रंथों का फ्रांसीसी अनुवाद प्रकाशित किया। III, pp. 121-156)। टैनरी ने फर्माट के शब्द का अनुवाद "एडगेलर" के रूप में किया और फर्माट के "एडक्वेशन" को अपनाया। चमड़ा उद्योग ने गणितीय सूत्रों में पर्याप्तता के लिए प्रतीक भी पेश किया। हेनरिक वीलेटनर (1929) ने लिखाः फर्माट ने ए को ए + ई से बदल दिया। फिर वह नई अभिव्यक्ति को मोटे तौर पर पुराने के बराबर (एंजिनहर्ट ग्लीच) सेट करता है, दोनों तरफ के समान शब्दों को रद्द कर देता है, और ई की उच्चतम संभव शक्ति से विभाजित करता है। फिर वह उन सभी शब्दों को रद्द कर देता है जिनमें ई होता है और जो एक दूसरे के बराबर रहते हैं उन्हें सेट करता है। उस [आवश्यक] ए परिणाम से। यह कि ई जितना संभव हो उतना छोटा होना चाहिए, कहीं भी नहीं कहा गया है और इसे "एडेक्वालितास" शब्द द्वारा व्यक्त किया गया है। (विलेइटनर प्रतीक का उपयोग करता है।) मैक्स मिलर (1934) ने लिखाः इसके बाद किसी को दोनों शब्दों को रखना चाहिए, जो अधिकतम और न्यूनतम को व्यक्त करते हैं, लगभग बराबर (नहेरुंगस्वीज़ ग्लीच), जैसा कि डायोफेंटस कहते हैं। (मिलर प्रतीक का उपयोग करता है।) जीन इटार्ड (1948) ने लिखाः कोई भी जानता है कि "एडगेलर" अभिव्यक्ति को डायोफेंटस से फर्माट द्वारा अपनाया गया है, जिसका अनुवाद ज़ायलैंडर और बाचेत द्वारा किया गया है। यह एक अनुमानित समानता (égalité आनुमानिक) के बारे में है। (इटार्ड प्रतीक का उपयोग करता है।) जोसेफ एहरेनफ्राइड हॉफमैन (1963) ने लिखाः फर्माट एक मात्रा एच चुनता है, जिसे पर्याप्त रूप से छोटा माना जाता है, और एफ (एक्स + एच) को मोटे तौर पर एफ (एक्स) के बराबर रखता है। उनका तकनीकी शब्द एडेक्वायर है। (हॉफमैन प्रतीक का उपयोग करता है।) पीयर स्ट्रॉमहोल्म (1968) ने लिखाः फर्माट के दृष्टिकोण का आधार दो अभिव्यक्तियों की तुलना थी, जो, हालांकि उनका एक ही रूप था, लेकिन बिल्कुल समान नहीं थे। प्रक्रिया के इस हिस्से को उन्होंने "कम्पेरेयर पार एडेक्वालिटेटम" या "कम्पेरेयर पर एडेक्वालिटेटम" कहा, और इसका तात्पर्य यह था कि "समीकरण" के दोनों पक्षों के बीच अन्यथा सख्त पहचान को एक छोटी राशि से चर के संशोधन से नष्ट कर दिया गया थाः यह, मेरा मानना है, भिन्नता के छोटेपन पर जोर देते हुए, डायोफैंटोस के π ἀρισον के उनके उपयोग का वास्तविक महत्व था। 'एडेक्वालितास' का साधारण अनुवाद "अनुमानित समानता" प्रतीत होता है, लेकिन मैं इस पर फर्माट के विचार को प्रस्तुत करने के लिए "छद्म-समानता" को अधिक पसंद करता हूं point.He आगे नोट करता है कि "M1 (विधि 1) में कभी भी भिन्नता E को शून्य के बराबर रखे जाने का कोई सवाल नहीं था। ई युक्त शब्दों को दबाने की प्रक्रिया को व्यक्त करने के लिए उपयोग किए जाने वाले फर्माट शब्द 'एलिडो', 'डेलियो' और 'एक्सपंगो' थे, और फ्रेंच में 'आई' एफेस 'और' आई 'ओटे' थे। हम शायद ही विश्वास कर सकते हैं कि एक समझदार व्यक्ति जो अपने अर्थ को व्यक्त करना चाहता है और शब्दों की खोज करना चाहता है, वह लगातार इस सरल तथ्य को प्रदान करने के ऐसे कष्टप्रद तरीकों पर प्रहार करेगा कि शब्द गायब हो गए क्योंकि ई शून्य था। 51) क्लॉज़ जेन्सेन (1969) ने लिखाः इसके अलावा, एडेगालिटे की धारणा को लागू करने में-जो स्पर्शरेखाओं के निर्माण की फर्माट की सामान्य विधि का आधार है, और जिसके द्वारा दो परिमाणों की तुलना का अर्थ है जैसे कि वे बराबर थे, हालांकि वे वास्तव में नहीं हैं ("टैम्क्वाम एसेन्ट एक्वालिया, लाइसेट रिवेरा एक्वालिया नॉन सिंट")-मैं आजकल अधिक सामान्य प्रतीक का उपयोग करूंगा। लैटिन उद्धरण टैनरी के 1891 के फर्मेट के संस्करण, खंड 1, पृष्ठ 140 से आता है। माइकल सीन महोनी (1971) ने लिखाः फर्माट की अधिकतम और न्यूनतम की विधि, जो स्पष्ट रूप से किसी भी बहुपद पी (एक्स) पर लागू होती है, मूल रूप से विशुद्ध रूप से परिमित बीजगणितीय नींव पर आधारित है। इसने, विपरीत रूप से, दो समान जड़ों की असमानता को निर्धारित करने के लिए, विएट के समीकरणों के सिद्धांत द्वारा, उन जड़ों और बहुपद के गुणांकों में से एक के बीच एक संबंध, एक ऐसा संबंध जो पूरी तरह से सामान्य था। इस संबंध ने तब एक चरम-मूल्य समाधान का नेतृत्व किया जब फर्माट ने अपनी विरोधाभासी धारणा को हटा दिया और जड़ों को बराबर कर दिया। डायोफेंटस से एक शब्द उधार लेते हुए, फर्माट ने इस विरोधाभासी समानता को 'पर्याप्तता' कहा। (महोनी प्रतीक का उपयोग करता है।) पृष्ठ 164 पर, फुटनोट 46 के अंत में, महोनी ने नोट किया कि पर्याप्तता का एक अर्थ सीमित मामले में अनुमानित समानता या समानता है। चार्ल्स हेनरी एडवर्ड्स, जूनियर (1979) ने लिखाः उदाहरण के लिए, यह निर्धारित करने के लिए कि लंबाई के एक खंड को दो खंडों में कैसे उपविभाजित किया जाए और जिसका उत्पाद अधिकतम है, वह है अधिकतम क्षेत्र वाले परिधि वाले आयत का पता लगाना, वह [फर्माट] निम्नानुसार आगे बढ़ता है। पहले उन्होंने अज्ञात x के लिए प्रतिस्थापित किया (उन्होंने x, e के बजाय A, E का उपयोग किया), और फिर मूल के साथ परिणामी अभिव्यक्ति की तुलना करने के लिए निम्नलिखित "छद्म-समानता" लिखीः शब्दों को रद्द करने के बाद, उन्होंने प्राप्त करने के लिए e से विभाजित किया अंत में उन्होंने e युक्त शेष शब्द को त्याग दिया, छद्म-समानता को वास्तविक समानता में बदल दिया जो x का मान देता है जो अधिकतम बनाता है। दुर्भाग्य से, फर्माट ने कभी भी इस पद्धति के लिए तार्किक आधार को पर्याप्त स्पष्टता या पूर्णता के साथ समझाया नहीं ताकि ऐतिहासिक विद्वानों के बीच असहमति को रोका जा सके कि उनका क्या मतलब या इरादा था। किर्स्टी एंडरसन (1980) ने लिखाः अधिकतम या न्यूनतम की दो अभिव्यक्तियों को "पर्याप्त" बनाया जाता है, जिसका अर्थ है जितना संभव हो उतना लगभग बराबर। (एंडरसन प्रतीक का उपयोग करता है।) हर्बर्ट ब्रेगर (1994) ने लिखाः मैं अपनी परिकल्पना को सामने रखना चाहता हूंः फर्माट ने "बराबर रखने" के अर्थ में "एडेक्वायर" शब्द का उपयोग किया। गणितीय संदर्भ में, "समतुल्य" और "समतुल्य" के बीच एकमात्र अंतर यह प्रतीत होता है कि बाद वाला इस तथ्य पर अधिक जोर देता है कि समानता प्राप्त की जाती है। (पृष्ठ 197एफ.) जॉन स्टिलवेल (स्टिलवेल 2006 पृष्ठ 91) ने लिखाः फर्माट ने 1630 के दशक में पर्याप्तता का विचार पेश किया लेकिन वह अपने समय से आगे थे। उनके उत्तराधिकारी सामान्य समीकरणों की सुविधा को छोड़ने के लिए तैयार नहीं थे, वे पर्याप्तता का सटीक रूप से उपयोग करने के बजाय समानता का उपयोग करना पसंद करते थे। पर्याप्तता के विचार को केवल बीसवीं शताब्दी में तथाकथित गैर-मानक विश्लेषण में पुनर्जीवित किया गया था। एनरिको गिउस्टी (2009) ने मारिन मर्सेन को लिखे फर्मेट के पत्र का हवाला दिया, जिसमें फर्मेट ने लिखा थाः केट कम्पैरिज़न पार एडगैलिटे प्रोडक्ट ड्यूक्स टर्मस इनगाक्स क्वि एनफिन प्रोड्युसेंट ल 'एगालिटे (सेलोन मा मेथोड) क्वि नौस डोने ला सॉल्यूशन डे ला क्वेश्चन (पर्याप्तता द्वारा यह तुलना दो असमान शब्दों का उत्पादन करती है जो अंत में समानता (मेरे तरीके का पालन करते हुए) उत्पन्न करती है जो हमें समस्या का समाधान देती है। गिउस्टी ने एक फुटनोट में नोट किया कि यह पत्र ब्रेगर के ध्यान से बच गया है। क्लाउस बार्नर (2011) का कहना है कि फर्मेट दो अलग-अलग लैटिन शब्दों (एक्वाबिटुर और एडेक्वाबिटुर) का उपयोग करता है जो आजकल के सामान्य समान संकेत को प्रतिस्थापित करते हैं, एक्वाबिटुर जब समीकरण दो स्थिरांकों के बीच एक वैध पहचान से संबंधित है, एक सार्वभौमिक रूप से मान्य (सिद्ध) सूत्र, या एक सशर्त समीकरण, एडेक्वाबिटुर, हालांकि, जब समीकरण दो चरों के बीच संबंध का वर्णन करता है, जो स्वतंत्र नहीं हैं (और समीकरण कोई वैध सूत्र नहीं है)। पृष्ठ 36 पर, बार्नर लिखते हैंः "फर्मेट ने स्पर्शरेखाओं की विधि के लिए अपने सभी उदाहरणों के लिए अपनी असंगत प्रक्रिया को लगातार क्यों दोहराया? उन्होंने उस सेकेंट का कभी उल्लेख क्यों नहीं किया, जिसके साथ वे वास्तव में काम करते थे? मुझे नहीं पता "। काट्ज़, स्कैप्स, श्नाइडर (2013) का तर्क है कि साइक्लॉइड जैसे दिव्य वक्रों के लिए तकनीक के फर्माट के अनुप्रयोग से पता चलता है कि फर्माट की पर्याप्तता की तकनीक विशुद्ध रूप से बीजगणितीय एल्गोरिथ्म से परे है, और ब्रेगर की व्याख्या के विपरीत, डायोफेंटस द्वारा उपयोग किए जाने वाले तकनीकी शब्द पेरिसोट और फर्माट द्वारा उपयोग किए जाने वाले एडेक्वालिटास दोनों का अर्थ "अनुमानित समानता" है। वे मानक भाग फलन के रूप में आधुनिक गणित में पर्याप्तता की फर्माट की तकनीक का एक औपचारिकरण विकसित करते हैं जो एक परिमित अतियथार्थिक संख्या को उसकी निकटतम वास्तविक संख्या से जोड़ता है। फर्मेट का सिद्धांत सजातीयता का दिव्य नियम संदर्भ ग्रंथ सूची गिउस्टी, ई. (2009) "लेस मेथोड्स डेस मैक्सिमा एट मिनिमा डी फर्मेट", एन भी देखें। फा. विज्ञान. टूलूज़ गणित। (6) 18, फासिकुल स्पेशल, 59-85। स्टिलवेल, जे। (2006) असंभव के लिए लालसा। गणित की आश्चर्यजनक सच्चाई, पृष्ठ 91, ए. के. पीटर्स, लिमिटेड, वेलेस्ली, एमए। वेइल, ए., बुक रिव्यूः द मैथमेटिकल करियर ऑफ पियरे डी फर्माट। बैल। आमेर। गणित। एस. सी. 79 (1973), नं. 6, 1138-1149। गणितीय शब्दावली कलन का इतिहास