Wallis' integrals
गणित में, और अधिक सटीक रूप से विश्लेषण में, वालिस इंटीग्रल जॉन वालिस द्वारा शुरू किए गए इंटीग्रल के एक परिवार का गठन करते हैं। परिभाषा, मूल गुण वालिस समाकलन द्वारा या समकक्ष रूप से परिभाषित अनुक्रम के पद हैं, इस अनुक्रम के पहले कुछ पद हैंः अनुक्रम कम हो रहा है और इसमें सकारात्मक शब्द हैं। वास्तव में, सभी के लिए क्योंकि यह एक गैर-नकारात्मक निरंतर फलन का एक अभिन्न अंग है जो समान रूप से शून्य नहीं है; फिर से क्योंकि अंतिम अभिन्न एक गैर-नकारात्मक निरंतर फलन का है। चूँकि अनुक्रम कम हो रहा है और 0 से नीचे सीमित है, इसलिए यह एक गैर-नकारात्मक सीमा में परिवर्तित हो जाता है। वास्तव में, सीमा शून्य है (नीचे देखें)। पुनरावृत्ति संबंध भागों द्वारा एकीकरण के माध्यम से, एक कमी सूत्र प्राप्त किया जा सकता है। पहचान का उपयोग करते हुए, हमारे पास सभी के लिए है, दूसरे समाकलन को भागों द्वारा एकीकृत करना, जिसके साथः, जिसका विरोधी-व्युत्पन्न है, जिसका व्युत्पन्न हमारे पास हैः इस परिणाम को समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने से मिलता है और इस प्रकार सभी के लिए यह एक पुनरावृत्ति संबंध है जो के संदर्भ में देता है। यह, के मूल्यों के साथ मिलकर हमें अनुक्रम में शब्दों के लिए सूत्र के दो सेट देता है, जो इस बात पर निर्भर करता है कि क्या विषम है या समः वालिस के समाकलन का मूल्यांकन करने के लिए एक और संबंध वालिस के समाकलन का मूल्यांकन यूलर समाकलन का उपयोग करके किया जा सकता हैः पहली तरह का यूलर समाकलनः बीटा कार्यः दूसरी तरह के यूलर समाकलन के लिएः गामा कार्यः के लिए। यदि हम बीटा फलन के भीतर निम्नलिखित प्रतिस्थापन करते हैंः हम प्राप्त करते हैंः तो यह हमें वालिस समाकलन का मूल्यांकन करने के लिए निम्नलिखित संबंध देता हैः तो, विषम, लेखन के लिए, हमारे पास हैः जबकि सम के लिए, लेखन और यह जानने के लिए, हमें मिलता हैः समतुल्यता उपरोक्त पुनरावृत्ति सूत्र से, हम यह (दो अनुक्रमों की समतुल्यता) निकाल सकते हैं। वास्तव में, सभी के लिएः (चूंकि अनुक्रम कम हो रहा है) (चूंकि) (समीकरण द्वारा)। सैंडविच प्रमेय से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि, और इसलिए। जाँच करने से, निम्नलिखित समानता प्राप्त होती हैः (और परिणामस्वरूप)। मान लीजिए कि हमारे पास निम्नलिखित समतुल्यता है (जिसे स्टर्लिंग सूत्र के रूप में जाना जाता है): कुछ स्थिरांक के लिए जिसे हम निर्धारित करना चाहते हैं। ऊपर से, हमारे पास है (समीकरण (3)) फैक्टोरियल के लिए उपरोक्त सूत्र का विस्तार और उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं (3) और (4) से, हम पारगमन द्वारा प्राप्त करते हैंः दोहरे फैक्टोरियल अनुपात को कम करते हुए दूसरे शब्दों में, हमारे पास हैः दोहरे फैक्टोरियल के लिए उपरोक्त सूत्र का विस्तार और उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैंः सरल बनाना, हम प्राप्त करते हैंः या गॉसियन इंटीग्रल का मूल्यांकन करना। हम पहले निम्नलिखित असमानताओं को साबित करते हैंः वास्तव में, पहली असमानता (जिसमें) समतुल्य है; जबकि दूसरी असमानता कम हो जाती है, जो बन जाती है। ये 2 बाद की असमानताएँ घातीय फलन की उत्तलता (या फलन के विश्लेषण से) का अनुसरण करती हैं। अनुचित समाकलन के मूल गुणों का उपयोग करते हुए (समाकलन का अभिसरण स्पष्ट है), हम असमानताओं को प्राप्त करते हैंः सैंडविच प्रमेय (ए. एस.) के साथ उपयोग के लिए। वालिस के समाकलन का उपयोग करके पहले और अंतिम समाकलन का आसानी से मूल्यांकन किया जा सकता है। पहले वाले के लिए, मान लीजिए (टी 0 से बदल रहा है)। फिर, समाकलन बन जाता है। अंतिम समाकलन के लिए, मान लीजिए (t से भिन्न)। फिर, यह बन जाता है। जैसा कि हम पहले भी देख चुके हैं। तो, यह इसका अनुसरण करता है। टिप्पणीः गौसी समाकलन के मूल्यांकन के अन्य तरीके हैं। उनमें से कुछ अधिक प्रत्यक्ष हैं। ध्यान दें कि वही गुण वालिस उत्पाद की ओर ले जाते हैं, जो एक अनंत उत्पाद के रूप में व्यक्त होता है (देखें)। बाहरी लिंक पास्कल सेबाह और जेवियर गौरडन हैं। गामा फलन का परिचय। पोस्टस्क्रिप्ट और एच. टी. एम. एल. प्रारूप में। समाकलन