Cyclotomic field
संख्या सिद्धांत में, एक साइक्लोटोमिक क्षेत्र एक संख्या क्षेत्र है जो तर्कसंगत संख्याओं के क्षेत्र में एकता के एक जटिल मूल को संलग्न करके प्राप्त किया जाता है। साइक्लोटोमिक क्षेत्रों ने फर्माट के अंतिम प्रमेय के साथ अपने संबंध के कारण आधुनिक बीजगणित और संख्या सिद्धांत के विकास में महत्वपूर्ण भूमिका निभाई। यह इन क्षेत्रों (अभाज्य के लिए) के अंकगणित की अपनी गहरी जांच की प्रक्रिया में था-और अधिक सटीक रूप से, पूर्णांकों के उनके वलय में अद्वितीय गुणनखंडन की विफलता के कारण-कि अर्न्स्ट कुमार ने पहली बार एक आदर्श संख्या की अवधारणा पेश की और अपने प्रसिद्ध अनुरूपताओं को साबित किया। परिभाषा के लिए, चलो; यह एकता का एक आदिम मूल है। फिर th साइक्लोटोमिक क्षेत्र द्वारा उत्पन्न का विस्तार है। गुण th साइक्लोटोमिक बहुपद इरेड्यूसिबल है, इसलिए यह ओवर का न्यूनतम बहुपद है। इसलिए इन के संयुग्म एकता के अन्य आदिम मूल हैंः के साथ। इसलिए की डिग्री है, जहाँ यूलर का टोशिएंट फलन है। इसकी जड़ें इसकी शक्तियाँ हैं, इसलिए इसका (या का) विभाजन क्षेत्र भी है। इसलिए एक गैलोइस विस्तार है। गैलोइस समूह स्वाभाविक रूप से गुणक समूह के लिए समरूप है, जिसमें व्युत्क्रमणीय अवशेष मॉड्यूलो होते हैं, जो और के साथ अवशेष होते हैं। समरूपता प्रत्येक को भेजती है, जहाँ एक पूर्णांक ऐसा है। पूर्णांकों का वलय है। क्योंकि, विस्तार का विभेदक विशेष रूप से, प्रत्येक अभाज्य के ऊपर अविभाजित होता है जो विभाजित नहीं होता है। यदि एक अभाज्य की घात है, तो पूरी तरह से ऊपर श्रेणीबद्ध किया जाता है। यदि एक अभाज्य है जो विभाजित नहीं कर रहा है, तो फ्रोबेनियस तत्व इन के अवशेष से मेल खाता है। एकता की जड़ों के समूह में क्रम होता है या, इसके अनुसार कि क्या सम या विषम है। इकाई समूह डिरिचलेट इकाई प्रमेय द्वारा किसी के लिए श्रेणी का एक परिमित रूप से उत्पन्न अबेलियन समूह है। विशेष रूप से, केवल} के लिए परिमित है। के मरोड़ उपसमूह में एकता की जड़ों का समूह है, जिसका वर्णन पिछले आइटम में किया गया था। साइक्लोटोमिक इकाइयाँ एक स्पष्ट परिमित-सूचकांक उपसमूह बनाती हैं। क्रोनेकर-वेबर प्रमेय बताता है कि इन का प्रत्येक परिमित अबेलियन विस्तार कुछ के लिए निहित है। समान रूप से, सभी साइक्लोटोमिक क्षेत्रों का संयोजन का अधिकतम अबेलियन विस्तार है। नियमित बहुभुज के साथ संबंध गॉस ने एक कम्पास और सीधी धार के साथ एक नियमित-गॉन के निर्माण की समस्या के संबंध में साइक्लोटोमिक क्षेत्रों के सिद्धांत में शुरुआती पैठ बनाई। उनका आश्चर्यजनक परिणाम जो उनके पूर्ववर्तियों से बच गया था, वह यह था कि एक नियमित 17-गॉन का निर्माण किया जा सकता था। अधिक आम तौर पर, किसी भी पूर्णांक के लिए, निम्नलिखित समतुल्य हैंः एक नियमित-गॉन निर्माण योग्य है; क्षेत्रों का एक क्रम है, जो शुरू होता है और समाप्त होता है, जैसे कि प्रत्येक पिछले क्षेत्र का एक द्विघात विस्तार है; 2 की शक्ति है; कुछ पूर्णांकों और फर्मेट अभाज्य संख्याओं के लिए। (एक फर्माट अभाज्य एक विषम अभाज्य है जो 2 की घात है। ज्ञात फर्माट अभाज्य संख्याएँ 3,5,17,257,65537 हैं, और यह संभावना है कि कोई अन्य नहीं हैं।) छोटे उदाहरण औरः समीकरण और दर्शाते हैं कि, जो का एक द्विघात विस्तार है। तदनुसार, एक नियमित 3-गॉन और एक नियमित 6-गॉन निर्माण योग्य हैं। : इसी तरह, तो, और एक नियमित 4-गॉन निर्माण योग्य है। : क्षेत्र का एक द्विघात विस्तार नहीं है, लेकिन यह द्विघात विस्तार का एक द्विघात विस्तार है, इसलिए एक नियमित 5-गॉन निर्माण योग्य है। फर्माट के अंतिम प्रमेय के साथ संबंध फर्माट के अंतिम प्रमेय को साबित करने के लिए एक स्वाभाविक दृष्टिकोण द्विपद को कारक बनाना है, जहां एक विषम अभाज्य है, जो फर्माट के समीकरण के एक तरफ निम्नानुसार दिखाई देता हैः यहाँ और साधारण पूर्णांक हैं, जबकि कारक साइक्लोटोमिक क्षेत्र में बीजगणितीय पूर्णांक हैं। यदि साइक्लोटोमिक पूर्णांकों में अद्वितीय गुणनखंडन होता है, तो इसका उपयोग फर्माट के समीकरण के गैर-तुच्छ समाधानों के अस्तित्व को खारिज करने के लिए किया जा सकता है। फर्माट के अंतिम प्रमेय से निपटने के कई प्रयास इन तर्ज पर आगे बढ़े, और दोनों के लिए फर्माट के प्रमाण और यूलर के प्रमाण को इन शब्दों में पुनर्गठित किया जा सकता है। जिनकी पूरी सूची में 1 से लेकर 22,24,25,26,27,28,30,32,33,34,35,36,38,40,42,44,45,48,50,54,60,66,70,84,90 तक अद्वितीय गुणनखंडन है। कुमार ने अद्वितीय गुणनखंडन की विफलता से निपटने का एक तरीका खोजा। उन्होंने साइक्लोटोमिक पूर्णांकों में अभाज्य संख्याओं के लिए एक प्रतिस्थापन पेश किया, वर्ग संख्या के माध्यम से अद्वितीय गुणनखंडन की विफलता को मापा और साबित किया कि यदि एक अभाज्य से विभाज्य नहीं है (जैसे कि नियमित अभाज्य संख्या कहा जाता है) तो फर्माट की प्रमेय प्रतिपादक के लिए सही है। इसके अलावा, उन्होंने यह निर्धारित करने के लिए एक मानदंड दिया कि कौन से अभाज्य संख्या नियमित हैं, और अनियमित अभाज्य संख्या 37,59 और 67 को छोड़कर, 100 से कम के सभी अभाज्य घातकों के लिए फर्माट की प्रमेय स्थापित की। साइक्लोटोमिक क्षेत्रों की वर्ग संख्या के लिए एकरूपता पर कुम्मर के काम को बीसवीं शताब्दी में इवासावा सिद्धांत में इवासावा द्वारा और पी-एडिक जीटा कार्यों के अपने सिद्धांत में कुबोटा और लियोपोल्ट द्वारा सामान्यीकृत किया गया था। साइक्लोटोमिक क्षेत्रों की वर्ग संख्या की सूची, या-भाग के लिए (अभाज्य n के लिए) जे. डब्ल्यू. एस. में क्रोनेकर-वेबर प्रमेय साइक्लोटोमिक बहुपद संदर्भ स्रोत ब्रायन बिर्च, "साइक्लोटोमिक क्षेत्र और कुम्मर विस्तार" भी देखें। कैसल्स और ए. फ्रोलिच (एडीडी), बीजगणितीय संख्या सिद्धांत, अकादमिक प्रेस, 1973। Chap.III, pp. 45-93। डेनियल ए. मार्कस, नंबर फील्ड्स, पहला संस्करण, स्प्रिंगर-वेरलैग, 1977 सर्ज लैंग, साइक्लोटोमिक फील्ड्स I और II, संयुक्त दूसरा संस्करण। कार्ल रुबिन द्वारा एक परिशिष्ट के साथ। गणित में स्नातक पाठ, 121। स्प्रिंगर-वेरलैग, न्यूयॉर्क, 1990। आगे पढ़ना वास्तविक साइक्लोटोमिक क्षेत्रों के पूर्णांक के वलय पर। कोजी यामागाता और मसाकाज़ु यामागिशीः प्रोक, जापान अकादमी, 92. सेर ए (2016) बीजगणितीय संख्या सिद्धांत