Amitsur–Levitzki theorem
बीजगणित में, अमित्सुर-लेविट्ज़की प्रमेय बताता है कि एक कम्यूटेटिव रिंग पर n × n मैट्रिक्स का बीजगणित डिग्री 2n की एक निश्चित पहचान को संतुष्ट करता है। यह सिद्ध हो गया। विशेष रूप से मैट्रिक्स रिंग्स बहुपद पहचान रिंग्स होते हैं जैसे कि वे जिस सबसे छोटी पहचान को संतुष्ट करते हैं, उसकी डिग्री बिल्कुल 2n होती है। कथन डिग्री n का मानक बहुपद गैर-कम्यूटिंग चर x1,., xn में होता है, जहाँ योग को सभी n पर लिया जाता है! सममित समूह Sn के तत्व। अमित्सुर-लेविट्ज़की प्रमेय बताता है कि n × n मैट्रिक्स A1,., A2n के लिए जिनकी प्रविष्टियाँ एक कम्यूटेटिव रिंग से ली जाती हैं, तो प्रूफ ने पहला प्रमाण दिया। लाइ अल्जेब्रा के आदिम समरूपता के बारे में कोज़ुल-सैमेलसन प्रमेय से अमित्सुर-लेविट्ज़की प्रमेय का अनुमान लगाया। और निम्नानुसार एक सरल संयोजन प्रमाण दिया। रैखिकता से यह प्रमेय को साबित करने के लिए पर्याप्त है जब प्रत्येक मैट्रिक्स में केवल एक गैर-शून्य प्रविष्टि होती है, जो कि 1 है। इस मामले में प्रत्येक मैट्रिक्स को एन शीर्षों के साथ एक ग्राफ के निर्देशित किनारे के रूप में कूटबद्ध किया जा सकता है। तो सभी मैट्रिक्स एक साथ 2n निर्देशित किनारों के साथ n शीर्षों पर एक ग्राफ देते हैं। पहचान यह मानती है कि ग्राफ के किसी भी दो शीर्ष ए और बी के लिए, ए से बी तक विषम यूलरियन पथों की संख्या सम पथों की संख्या के बराबर है। (यहाँ एक पथ को विषम या सम कहा जाता है जो इस बात पर निर्भर करता है कि क्या इसके किनारों को क्रम में लिया गया है जो 2n किनारों का विषम या सम क्रमपरिवर्तन देता है।) हंस ने दिखाया कि यह मामला था बशर्ते ग्राफ में किनारों की संख्या कम से कम 2n हो, इस प्रकार अमित्सुर-लेविट्ज़की प्रमेय को साबित करता है। केली-हैमिल्टन प्रमेय से संबंधित एक प्रमाण दिया। आयाम 2n के वेक्टर स्थान के बाहरी बीजगणित का उपयोग करके एक छोटा प्रमाण दिया। उन्होंने एक और प्रमाण दिया, जिससे पता चलता है कि अमित्सुर-लेविट्ज़की प्रमेय सामान्य ग्रासमैन मैट्रिक्स के लिए केले-हैमिल्टन पहचान है। संदर्भ बीजगणित मैट्रिक्स सिद्धांत में रैखिक बीजगणित प्रमेय