Zwanzig projection operator
ज़्वान्जिग प्रक्षेपण प्रचालक एक गणितीय उपकरण है जिसका उपयोग सांख्यिकीय यांत्रिकी में किया जाता है। यह "धीमे" चरण अंतरिक्ष कार्यों के रैखिक उपक्षेत्र पर चरण अंतरिक्ष कार्यों और परियोजनाओं के रैखिक स्थान में काम करता है। इसे रॉबर्ट ज़्वान्जिग द्वारा एक सामान्य मास्टर समीकरण प्राप्त करने के लिए पेश किया गया था। यह ज्यादातर कुछ "धीमी" सामूहिक चर के लिए गति के समीकरण प्राप्त करने के लिए एक औपचारिक तरीके से इस या इसी तरह के संदर्भ में उपयोग किया जाता है। धीमा चर और स्केलर उत्पाद ज़्वान्जिग प्रक्षेपण प्रचालक निर्देशांक और मोमेंटा के साथ बिंदु कणों के-आयामी चरण स्थान में कार्यों पर काम करता है। इन कार्यों का एक विशेष उपसमुच्चय "धीमे चर" का एक गणना योग्य समूह है। इनमें से कुछ चर द्रव्यमान घनत्व के दीर्घ-तरंग दैर्ध्य फूरियर घटक और तरंग सदिश के साथ संवेग घनत्व के दीर्घ-तरंग दैर्ध्य फूरियर घटक हो सकते हैं। ज़्वान्जिग प्रक्षेपण प्रचालक इन कार्यों पर निर्भर करता है लेकिन यह नहीं बताता है कि किसी दिए गए हैमिल्टनियन के धीमे चर को कैसे खोजना है। दो मनमाने चरण अंतरिक्ष कार्यों के बीच एक अदिश उत्पाद और संतुलन सहसंबंध द्वारा परिभाषित किया जाता है जहां माइक्रोकैनोनिकल संतुलन वितरण को दर्शाता है। "तेज" चर, परिभाषा के अनुसार, इस स्केलर उत्पाद के तहत सभी कार्यों के लिए ऑर्थोगोनल हैं। इस परिभाषा में कहा गया है कि तेज और धीमे चर के उतार-चढ़ाव असंबद्ध हैं, और एर्गोडिक परिकल्पना के अनुसार यह समय औसत के लिए भी सच है। यदि एक सामान्य फलन कुछ धीमे चर के साथ सहसंबद्ध है, तो कोई धीमा चर के कार्यों को तब तक घटा सकता है जब तक कि इसका असंबद्ध तेज भाग न रह जाए। धीमा और तेज़ चर का गुणनफल एक तेज़ चर है। प्रक्षेपण प्रचालक स्थिरांक के साथ कार्यों के निरंतर समूह पर विचार करता है। केवल के माध्यम से निर्भर करने वाला कोई भी चरण स्थान फलन का एक कार्य है, अर्थात् एक सामान्य चरण स्थान फलन जहां का तेज भाग है, उसके अनुसार विघटित होता है। मन्द फलन के साथ स्केलर उत्पाद लेने के मन्द भाग के लिए एक अभिव्यक्ति प्राप्त करने के लिए, यह एक अभिव्यक्ति देता है, और इस प्रकार प्रचालक के लिए जो केवल माध्यम के आधार पर अपने "मन्द" भाग के लिए एक मनमाना कार्य प्रस्तुत करता है, यह अभिव्यक्ति ज़्वान्ज़ीग द्वारा दी गई अभिव्यक्ति से सहमत है, सिवाय इसके कि ज़्वान्ज़ीग मन्द चर में शामिल होता है। ज़्वान्जिग प्रक्षेपण प्रचालक पूरा करता है और। का तेज़ हिस्सा है। धीमी चरों के कार्य और विशेष रूप से धीमी चरों के उत्पाद धीमी चर होते हैं। इस प्रकार धीमी चरों का स्थान एक बीजगणित है। बीजगणित सामान्य रूप से पॉइसन कोष्ठक के तहत बंद नहीं होता है, जिसमें हैमिल्टनियन के साथ पॉइसन कोष्ठक भी शामिल है। लिउविल और मास्टर समीकरण के साथ संबंध जैसा कि ऊपर दिया गया है, की परिभाषा के लिए अंतिम औचित्य यह है कि यह धीमे चर (या धीमे चर के लिए लैंगविन समीकरण) के समय निर्भर प्रायिकता वितरण के लिए एक मास्टर समीकरण प्राप्त करने की अनुमति देता है। विशिष्ट चरणों को स्केच करने के लिए, आइए चरण स्थान में समय-निर्भर संभाव्यता वितरण को निरूपित करें। चरण स्थान घनत्व (साथ ही) लिउविल समीकरण का एक समाधान है फिर महत्वपूर्ण कदम लिखना है, और लिउविल समीकरण को धीमी और तेज उपक्षेत्र पर प्रक्षेपित करना है, दूसरे समीकरण को हल करने और पहले समीकरण में डालने से इसके लिए एक बंद समीकरण मिलता है (नाकाजिमा-ज़्वान्जिग समीकरण देखें)। बाद वाला समीकरण अंत में एक समीकरण देता है जहाँ धीमा चर के संतुलन वितरण को दर्शाता है। गैर-रेखीय लैंगविन समीकरण लैंगविन समीकरण की मानक व्युत्पत्ति का प्रारंभिक बिंदु पहचान है, जहां वे तेज़ उपक्षेत्र पर प्रक्षेपित होते हैं। विकास प्रचालक के साथ असतत छोटे समय चरणों पर विचार करें, जहां लिउविल प्रचालक है। लक्ष्य और के संदर्भ में व्यक्त करना है। प्रेरणा यह है कि यह धीमे चर का एक कार्यात्मक रूप है और जो अभिव्यक्ति उत्पन्न करता है जो हर समय चरण में तेज चर होते हैं। उम्मीद है कि इस तरह से अलग किए गए तेज चर को कुछ मॉडल डेटा द्वारा दर्शाया जा सकता है, उदाहरण के लिए एक गौसी सफेद शोर द्वारा। अपघटन को बाईं ओर से गुणा करके प्राप्त किया जाता है, सिवाय अंतिम पद के, जिसे गुणा किया जाता है। पुनरावृत्ति देता है अंतिम पंक्ति को प्रेरण द्वारा भी साबित किया जा सकता है। मान लेना और सीमा को सीधे निष्पादित करना कावासाकी की प्रचालक पहचान की ओर ले जाता है एक सामान्य लैंगविन समीकरण इस समीकरण को एक धीमे चर के समय व्युत्पन्न पर लागू करके प्राप्त किया जाता है, यहाँ उतार-चढ़ाव बल है (यह केवल तेज चर पर निर्भर करता है)। मोड कपलिंग टर्म और डैम्पिंग टर्म इसके कार्यात्मक हैं और इन्हें काफी सरल बनाया जा सकता है। फ़ंक्शंस के असतत समूह, मोरी प्रोजेक्शन ऑपरेटर के संबंध में फ़ंक्शंस के निरंतर सेट में के धीमे हिस्से का विस्तार करने के बजाय कुछ गणना योग्य फ़ंक्शंस के सेट का भी उपयोग किया जा सकता है। यदि ये फ़ंक्शन एक पूर्ण ऑर्थोनॉर्मल फ़ंक्शन सेट का गठन करते हैं, तो प्रोजेक्शन ऑपरेटर केवल एक विशेष विकल्प पढ़ता है जो धीमे चर के ऑर्थोनॉर्मलाइज़्ड रैखिक संयोजन हैं। यह मोरी प्रक्षेपण प्रचालक की ओर ले जाता है। हालांकि, रैखिक कार्यों का सेट पूरा नहीं होता है, और यदि गैर-रैखिकता काम में आती है तो ऑर्थोगोनल चर तेज या यादृच्छिक नहीं होते हैं। मोरी-ज़्वान्जिग औपचारिकता भी देखें संदर्भ सांख्यिकीय यांत्रिकी