Wilks' theorem
सांख्यिकी में विल्क्स की प्रमेय लॉग-आजीविका अनुपात सांख्यिकी का एक स्पर्शोन्मुख वितरण प्रदान करती है, जिसका उपयोग अधिकतम-आजीविका अनुमानों के लिए विश्वास अंतराल का उत्पादन करने के लिए या संभावना-अनुपात परीक्षण करने के लिए एक परीक्षण सांख्यिकी के रूप में किया जा सकता है। सांख्यिकीय परीक्षणों (जैसे परिकल्पना परीक्षण) के लिए आम तौर पर परीक्षण सांख्यिकीय के संभाव्यता वितरण के ज्ञान की आवश्यकता होती है। यह अक्सर संभावना अनुपात के लिए एक समस्या है, जहां संभावना वितरण को निर्धारित करना बहुत मुश्किल हो सकता है। सैमुअल एस. विल्क्स द्वारा एक सुविधाजनक परिणाम कहता है कि जैसे-जैसे नमूना आकार करीब आता है, परीक्षण सांख्यिकीय का वितरण शून्य परिकल्पना के तहत ची-वर्ग () वितरण तक पहुंचता है। यहाँ, संभावना अनुपात को दर्शाता है, और वितरण में और की आयामीता में अंतर के बराबर स्वतंत्रता की डिग्री होती है, जहाँ पूर्ण पैरामीटर स्थान है और इसके साथ जुड़े पैरामीटर स्थान का सबसेट है। इस परिणाम का मतलब है कि बड़े नमूनों और परिकल्पनाओं की एक बड़ी विविधता के लिए, एक व्यवसायी डेटा के लिए संभावना अनुपात की गणना कर सकता है और एक अनुमानित सांख्यिकीय परीक्षण के रूप में वांछित सांख्यिकीय महत्व के अनुरूप मूल्य की तुलना कर सकता है। जब पैरामीटर का सही मान पैरामीटर स्पेस की सीमा पर होता है तो प्रमेय अब लागू नहीं होता हैः विल्क्स की प्रमेय मानती है कि अनुमानित मापदंडों के 'सही' लेकिन अज्ञात मान समर्थित पैरामीटर स्पेस के आंतरिक भाग में होते हैं। व्यवहार में, यदि अनुमान उस सीमा पर है तो समस्या का पता चलेगा। उस स्थिति में, संभावना परीक्षण अभी भी एक समझदार परीक्षण सांख्यिकीय है और यहां तक कि कुछ एसिम्प्टोटिक इष्टतम गुण भी रखता है, लेकिन विल्क्स द्वारा निर्धारित स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या के साथ ची-वर्ग वितरण का उपयोग करके महत्व (-मान) का विश्वसनीय रूप से अनुमान नहीं लगाया जा सकता है। कुछ मामलों में, सांख्यिकी का असिम्प्टोटिक नल-हाइपोथिसिस वितरण स्वतंत्रता की डिग्री की अलग-अलग संख्या के साथ ची-वर्ग वितरण का मिश्रण है। दो प्रतिस्पर्धी मॉडलों में से प्रत्येक का उपयोग करें, नल मॉडल और वैकल्पिक मॉडल, डेटा और लॉग-लाइक्लिहुड रिकॉर्ड करने के लिए अलग से फिट किया जाता है। परीक्षण आँकड़ा (अक्सर द्वारा निरूपित) संभावना अनुपात के लॉग का दोगुना है, यानी, यह लॉग-लाइकीलीहुड्स में दो गुना अंतर हैः अधिक मापदंडों वाला मॉडल (यहाँ वैकल्पिक) हमेशा कम से कम फिट होगा-यानी, कम मापदंडों वाले मॉडल (यहाँ शून्य) की तुलना में समान या अधिक लॉग-लाइकीलीहुड होगा। क्या फिट काफी बेहतर है और इस प्रकार इसे प्राथमिकता दी जानी चाहिए, यह इस बात से निर्धारित किया जाता है कि अकेले संयोग से इस तरह के अंतर का निरीक्षण करने की कितनी संभावना (-मान) है, यदि कम मापदंडों वाला मॉडल सही था। जहाँ शून्य परिकल्पना वैकल्पिक परिकल्पना के एक विशेष मामले का प्रतिनिधित्व करती है, परीक्षण सांख्यिकीय का प्रायिकता वितरण लगभग एक ची-वर्ग वितरण है जिसमें स्वतंत्रता की डिग्री क्रमशः वैकल्पिक और शून्य मॉडल के मुक्त मापदंडों की संख्या के बराबर है। उदाहरण के लिएः यदि शून्य मॉडल में 1 पैरामीटर और-8024 की लॉग-लाइक्लीहुड है और वैकल्पिक मॉडल में 3 पैरामीटर और-8012 की लॉग-लाइक्लीहुड है, तो इस अंतर की संभावना स्वतंत्रता की डिग्री के साथ काइ-वर्ग मूल्य की है, और इसके बराबर है। ची-वर्ग वितरण का पालन करने के लिए सांख्यिकी के लिए कुछ धारणाओं को पूरा किया जाना चाहिए, लेकिन यदि उन शर्तों को पूरा नहीं किया जाता है तो अनुभवजन्य-मूल्यों की गणना भी की जा सकती है। सिक्का उछालने के उदाहरण पियर्सन के परीक्षण का एक उदाहरण यह निर्धारित करने के लिए दो सिक्कों की तुलना है कि क्या उनके सिर ऊपर आने की समान संभावना है। टिप्पणियों को सिक्के के अनुरूप पंक्तियों और सिर या पूंछ के अनुरूप स्तंभों के साथ एक आकस्मिक तालिका में रखा जा सकता है। आकस्मिकता तालिका के तत्व प्रत्येक सिक्के के सिर या पूंछ पर आने की संख्या होगी। इस तालिका की सामग्री हमारे अवलोकन हैं। यहाँ मापदंडों के मूल्यों के संभावित संयोजन शामिल हैं, और, जो संभावना है कि सिक्के 1 और 2 सिर या पूंछ पर आते हैं। इसके बाद क्या, और। परिकल्पना स्थान संभाव्यता वितरण पर सामान्य बाधाओं द्वारा बाधित है, और। शून्य परिकल्पना का स्थान उपस्थान है जहाँ। पूर्ण पैरामीटर स्पेस की आयामीता 2 है (परिकल्पना के तहत और दोनों में से किसी एक को मुक्त मापदंडों के रूप में माना जा सकता है), और की आयामीता 1 है (शून्य परिकल्पना के तहत केवल एक को मुक्त मापदंड माना जा सकता है)। परिकल्पना के तहत सर्वोत्तम अनुमानों के लिए लिखते हुए, अधिकतम संभावना अनुमान द्वारा दिया जाता है इसी तरह, शून्य परिकल्पना के तहत अधिकतम संभावना अनुमान दिए जाते हैं जिनके द्वारा सिक्का पर निर्भर नहीं होता है। परिकल्पना और शून्य परिकल्पना को थोड़ा फिर से लिखा जा सकता है ताकि वे वांछित वितरण करने के लिए संभावना अनुपात के लघुगणक के लिए बाधाओं को पूरा कर सकें। चूँकि बाधा दो-आयामी को एक-आयामी तक कम करने का कारण बनती है, इसलिए परीक्षण के लिए एसिम्प्टोटिक वितरण होगा, एक डिग्री स्वतंत्रता के साथ वितरण। सामान्य आकस्मिकता तालिका के लिए, हम लॉग-लाइक्लीहुड अनुपात सांख्यिकीय को यादृच्छिक या मिश्रित प्रभाव मॉडल के लिए अमान्य के रूप में लिख सकते हैं विल्क्स की प्रमेय यह मानती है कि अनुमानित मापदंडों के सही लेकिन अज्ञात मान पैरामीटर स्थान के आंतरिक भाग में हैं। यह आमतौर पर यादृच्छिक या मिश्रित प्रभाव मॉडल में उल्लंघन किया जाता है, उदाहरण के लिए, जब भिन्नता घटकों में से एक अन्य के सापेक्ष नगण्य होता है। ऐसे कुछ मामलों में, एक विचरण घटक प्रभावी रूप से शून्य हो सकता है, दूसरों के सापेक्ष, या अन्य मामलों में मॉडल को अनुचित रूप से निहित किया जा सकता है। स्पष्ट रूप सेः विल्क्स के प्रमेय पर ये सीमाएँ किसी विशेष संभावना अनुपात परीक्षण के किसी भी शक्ति गुणों को नकारती नहीं हैं। एकमात्र मुद्दा यह है कि परिणाम के सांख्यिकीय महत्व का अनुमान लगाने के लिए वितरण कभी-कभी एक खराब विकल्प होता है। खराब उदाहरण पिनहेइरो और बेट्स (2000) ने दिखाया कि इस संभावना अनुपात ची-वर्ग सांख्यिकीय का सही वितरण सरल से काफी अलग हो सकता है-अक्सर नाटकीय रूप से ऐसा होता है। सरल धारणाएँ महत्वपूर्ण संभावनाएँ (-मान) दे सकती हैं जो, औसतन, कुछ मामलों में बहुत बड़ी हैं और दूसरों में बहुत छोटी हैं। सामान्य तौर पर, यादृच्छिक प्रभावों का परीक्षण करने के लिए, वे प्रतिबंधित अधिकतम संभावना (आरईएमएल) का उपयोग करने की सलाह देते हैं। निश्चित प्रभाव परीक्षण के लिए, वे कहते हैं, "आरईएमएल फ़िट के लिए एक संभावना अनुपात परीक्षण संभव नहीं है", क्योंकि निश्चित प्रभाव विनिर्देश को बदलने से मिश्रित प्रभावों का अर्थ बदल जाता है, और इसलिए प्रतिबंधित मॉडल को बड़े मॉडल के भीतर नहीं रखा जाता है। एक प्रदर्शन के रूप में, उन्होंने नकली परीक्षणों में एक या दो यादृच्छिक प्रभाव भिन्नताओं को शून्य पर सेट किया। उन विशेष उदाहरणों में, प्रतिबंधों के साथ नकली-मान और के 50-50 मिश्रण से सबसे निकटता से मेल खाते हैं। (के साथ, संभावना 1 के साथ 0 है। इसका मतलब है कि एक अच्छा अनुमान था) पिनहेइरो और बेट्स ने भी विभिन्न निश्चित प्रभावों के परीक्षणों का अनुकरण किया। 4 स्तरों (स्वतंत्रता की डिग्री = 3) वाले कारक के एक परीक्षण में, उन्होंने पाया कि एक 50-50 मिश्रण और अनुकरण द्वारा प्राप्त वास्तविक-मूल्यों के लिए एक अच्छा मिलान था-और सरलता का उपयोग करने में त्रुटि "बहुत खतरनाक नहीं हो सकती है।" हालांकि, 15 स्तरों वाले कारक के एक अन्य परीक्षण में, उन्होंने विल्क्स के प्रमेय के सरलतापूर्ण (अनुचित) अनुप्रयोग से प्राप्त होने वाले 14 की तुलना में-4 अधिक स्वतंत्रता की डिग्री के लिए एक उचित मिलान पाया, और नकली-मूल्य सरलता से कई गुना अधिक था। वे निष्कर्ष निकालते हैं कि निश्चित प्रभावों के परीक्षण के लिए, "अनुकरण का उपयोग करना बुद्धिमानी है।" बेयस कारक मॉडल चयन सुपर-एलआर परीक्षण टिप्पणियाँ भी देखें अन्य स्रोत बाहरी लिंक सांख्यिकीय अनुपात सांख्यिकीय परीक्षण