Empty lattice approximation
खाली जाली सन्निकटन एक सैद्धांतिक इलेक्ट्रॉनिक बैंड संरचना मॉडल है जिसमें क्षमता आवधिक और कमजोर (स्थिरांक के करीब) होती है। एक खाली अनियमित जाली पर भी विचार किया जा सकता है, जिसमें क्षमता आवधिक भी नहीं होती है। खाली जाली सन्निकटन गैर-परस्पर मुक्त इलेक्ट्रॉनों के ऊर्जा फैलाव संबंधों के कई गुणों का वर्णन करता है जो एक क्रिस्टल जाली के माध्यम से चलते हैं। "खाली जाली" में इलेक्ट्रॉनों की ऊर्जा मुक्त इलेक्ट्रॉनों की ऊर्जा के समान होती है। मॉडल उपयोगी है क्योंकि यह स्पष्ट रूप से ठोस पदार्थों में ऊर्जा फैलाव संबंधों की कई बार बहुत जटिल विशेषताओं को दर्शाता है जो सभी इलेक्ट्रॉनिक बैंड संरचनाओं के लिए मौलिक हैं। प्रकीर्णन और आवधिकता इस मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल में जाली की आवधिक क्षमता कमजोर होनी चाहिए क्योंकि अन्यथा इलेक्ट्रॉन मुक्त नहीं होते। प्रकीर्णन की ताकत मुख्य रूप से प्रणाली की ज्यामिति और टोपोलॉजी पर निर्भर करती है। स्थलवैज्ञानिक रूप से परिभाषित मापदंड, जैसे स्कैटरिंग क्रॉस सेक्शन, क्षमता के परिमाण और क्षमता के आकार पर निर्भर करते हैं। 1-, 2-और 3-आयामी स्थानों के लिए संभावित कुएं हमेशा तरंगों को बिखेरते रहते हैं, चाहे उनकी क्षमता कितनी भी छोटी क्यों न हो, उनके संकेत क्या हों या उनका आकार कितना ही सीमित क्यों न हो। एक आयामी जाली में एक कण के लिए, जैसे क्रोनिग-पेनी मॉडल, क्षमता, जाली के अंतराल और क्षमता के आकार के मूल्यों को प्रतिस्थापित करके विश्लेषणात्मक रूप से बैंड संरचना की गणना करना संभव है। दो और त्रि-आयामी समस्याओं के लिए कुछ मापदंडों के साथ एक समान मॉडल के आधार पर एक बैंड संरचना की गणना करना अधिक कठिन है। फिर भी, बैंड संरचना के गुणों को अधिकांश क्षेत्रों में गड़बड़ी विधियों द्वारा आसानी से अनुमानित किया जा सकता है। सिद्धांत रूप में जाली असीम रूप से बड़ी है, इसलिए एक कमजोर आवधिक प्रकीर्णन क्षमता अंततः तरंग को प्रतिबिंबित करने के लिए पर्याप्त मजबूत होगी। प्रकीर्णन प्रक्रिया के परिणामस्वरूप क्रिस्टल संरचना की आवधिक क्षमता द्वारा इलेक्ट्रॉनों के प्रसिद्ध ब्रैग प्रतिबिंब होते हैं। यह फैलाव संबंध की आवधिकता और ब्रिलौइन क्षेत्रों में के-स्पेस के विभाजन की उत्पत्ति है। आवधिक ऊर्जा फैलाव संबंध को इस प्रकार व्यक्त किया जाता हैः ये पारस्परिक जाली वैक्टर हैं जिनसे बैंड संबंधित हैं। दाहिनी ओर का चित्र ए लंबाई की जाली कोशिकाओं के साथ एक आयामी जाली के पारस्परिक स्थान में तीन अवधियों के लिए फैलाव संबंध को दर्शाता है। ऊर्जा पट्टियाँ और अवस्थाओं का घनत्व एक आयामी जाली में ऊर्जा अंतराल में पट्टियों को निर्धारित करने वाले पारस्परिक जाली वैक्टरों की संख्या दो तक सीमित होती है जब ऊर्जा बढ़ती है। दो और तीन आयामी जाली में मुक्त इलेक्ट्रॉन पट्टियों को निर्धारित करने वाले पारस्परिक जाली वैक्टरों की संख्या अधिक तेजी से बढ़ जाती है जब तरंग वेक्टर की लंबाई बढ़ जाती है और ऊर्जा बढ़ जाती है। ऐसा इसलिए है क्योंकि एक अंतराल में स्थित पारस्परिक जाली वैक्टरों की संख्या बढ़ जाती है। ऊर्जा अंतराल में अवस्थाओं का घनत्व पारस्परिक स्थान में अंतराल में अवस्थाओं की संख्या और फैलाव संबंध के ढलान पर निर्भर करता है। यद्यपि जाली कोशिकाएँ गोलाकार रूप से सममित नहीं होती हैं, फिर भी एक पारस्परिक जाली कोशिका में एक निश्चित केंद्रीय बिंदु के दृष्टिकोण से फैलाव संबंध में गोलाकार समरूपता होती है यदि फैलाव संबंध केंद्रीय ब्रिलौइन क्षेत्र के बाहर विस्तारित किया जाता है। त्रि-आयामी जाली में अवस्थाओं का घनत्व जाली की अनुपस्थिति के मामले में समान होगा। त्रि-आयामी मामले के लिए अवस्थाओं का घनत्व है; त्रि-आयामी स्थान में ब्रिलौइन क्षेत्र की सीमाएँ समतल हैं। फैलाव संबंध सभी संभावित पारस्परिक जाली वैक्टरों के लिए मुक्त-इलेक्ट्रॉन ऊर्जा फैलाव परवलय के शंकु दर्शाते हैं। जब फैलाव संबंधों की गणना की जाती है तो इसके परिणामस्वरूप वक्रों का एक बहुत ही जटिल समूह प्रतिच्छेदन होता है क्योंकि मूल्यांकन प्रक्षेपवक्र, प्रथम और उच्च क्रम ब्रिलौइन क्षेत्र की सीमाओं और फैलाव परवलय प्रतिच्छेदन शंकुओं के बीच बड़ी संख्या में संभावित कोण होते हैं। दूसरा, तीसरा और उच्चतर ब्रिलौइन क्षेत्र "मुक्त इलेक्ट्रॉन" जो पहले ब्रिलौइन क्षेत्र के बाहर तरंग वैक्टर वाले ठोस के जाली से गुजरते हैं, अभी भी पहले ब्रिलौइन क्षेत्र में वापस परावर्तित होते हैं। उदाहरणों और आंकड़ों वाली साइटों के लिए बाहरी लिंक अनुभाग देखें। लगभग मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल एल्यूमीनियम जैसी अधिकांश सरल धातुओं में, जांच प्रभाव ठोस में आयनों के विद्युत क्षेत्र को दृढ़ता से कम कर देता है। स्थिरविद्युत विभव को व्यक्त किया जाता है जहाँ Z परमाणु संख्या है, e प्राथमिक इकाई आवेश है, r अंतर्निहित आयन के नाभिक की दूरी है और q एक स्क्रीनिंग पैरामीटर है जो विभव की सीमा निर्धारित करता है। जाली विभव के फूरियर परिवर्तन को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है जब हैमिल्टनियन में पारस्परिक जाली वैक्टरों के बीच ऑफ-डायगोनल तत्वों के मान लगभग शून्य हो जाते हैं। नतीजतन, बैंड अंतराल का परिमाण गिर जाता है और खाली जाली सन्निकटन प्राप्त होता है। सामान्य धातु क्रिस्टल के इलेक्ट्रॉन बैंड कुछ विदेशी अपवादों के अलावा, धातुएं तीन प्रकार की क्रिस्टल संरचनाओं में क्रिस्टलीकृत होती हैंः बी. सी. सी. और एफ. सी. सी. घन क्रिस्टल संरचनाएं और षट्कोणीय निकट-पैक एच. सी. पी. क्रिस्टल संरचना। संदर्भ बाहरी लिंक ब्रिलौइन ज़ोन सरल जाली आरेख थायर वॉटकिंस ब्रिलौइन ज़ोन 3 डी जाली आरेख द्वारा टेक्नीयन। डी. ओ. आई. टी. पी. ओ. एम. एस. शिक्षण और शिक्षण पैकेज-"ब्रिलौइन जोन" क्वांटम मॉडल इलेक्ट्रॉनिक बैंड संरचनाएँ