Eigenform
गणित में, एक आइगेनफॉर्म (जिसका अर्थ है मॉड्यूलर समूह SL (2, Z) के साथ एक साथ हेक आइगेनफॉर्म) एक मॉड्यूलर रूप है जो सभी हेक ऑपरेटरों Tm, m = 1,2,3, के लिए एक आइगेनवेक्टर है। आइगेनफॉर्म संख्या सिद्धांत के दायरे में आते हैं, लेकिन गणित और विज्ञान के अन्य क्षेत्रों जैसे विश्लेषण, संयोजन और भौतिकी में पाए जा सकते हैं। एक आइगेनफॉर्म का एक सामान्य उदाहरण, और केवल गैर-कस्पिडल आइगेनफॉर्म, आइजेनस्टीन श्रृंखला हैं। एक अन्य उदाहरण δ फलन है। सामान्यीकरण एक आइगेनफॉर्म (या सामान्य रूप से एक मॉड्यूलर रूप के लिए) के लिए दो अलग-अलग सामान्यीकरण हैं। बीजगणितीय सामान्यीकरण एक आइगेनफॉर्म को मापने पर सामान्यीकृत कहा जाता है ताकि इसकी फूरियर श्रृंखला में q-गुणांक एक होः जहाँ q = e2πiz। चूँकि फलन f भी प्रत्येक हेक प्रचालक Ti के तहत एक आइगेनवेक्टर है, इसका एक संबंधित आइगेनवैल्यू है। अधिक विशेष रूप से एआई, आई ≤ 1 हेक ऑपरेटर टीआई के अनुरूप एफ का आइगेनवैल्यू निकलता है। ऐसे मामले में जब f एक कस्प रूप नहीं है, तो आइगेनवैल्यू स्पष्ट रूप से दिए जा सकते हैं। विश्लेषणात्मक सामान्यीकरण एक आइगेनफॉर्म जो कौस्पिडल है, को इसके आंतरिक उत्पाद के संबंध में सामान्यीकृत किया जा सकता हैः अस्तित्व आइगेनफॉर्म का अस्तित्व एक गैर-तुच्छ परिणाम है, लेकिन यह सीधे इस तथ्य से आता है कि हेक बीजगणित परिवर्तनीय है। उच्च स्तर इस मामले में कि मॉड्यूलर समूह पूर्ण एस. एल. (2, जेड) नहीं है, प्रत्येक एन. जेड. के लिए एक हेक ऑपरेटर नहीं है, और इस तरह एक आइगेनफॉर्म की परिभाषा को तदनुसार बदल दिया जाता हैः एक आइगेनफॉर्म एक मॉड्यूलर रूप है जो अंतरिक्ष पर कार्य करने वाले सभी हेक ऑपरेटरों के लिए एक साथ आइगेनवेक्टर है। साइबरनेटिक्स में साइबरनेटिक्स में, एक आइगेनफॉर्म की धारणा को एक रिफ्लेक्सिव सिस्टम के उदाहरण के रूप में समझा जाता है। यह हेंज वॉन फॉर्स्टर के काम में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है, और "दूसरे क्रम के साइबरनेटिक्स के साथ अटूट रूप से जुड़ा हुआ है"। संदर्भ मॉड्यूलर रूप साइबरनेटिक्स