Manley–Rowe relations
मैनले-रो संबंध गणितीय अभिव्यक्तियाँ हैं जो मूल रूप से विद्युत इंजीनियरों के लिए विकसित की गई हैं ताकि एक तरंग में ऊर्जा की मात्रा का अनुमान लगाया जा सके जिसमें कई आवृत्तियाँ हों। वे तब से गैर-रैखिक प्रकाशिकी, द्रव यांत्रिकी और गैर-रैखिक गतिशील प्रणालियों के सिद्धांत में प्रणालियों का वर्णन करने के लिए पाए गए हैं, क्योंकि वे तीन-तरंग समीकरण के लिए अपरिवर्तनीय या संरक्षित मात्राओं की एक जोड़ी प्रदान करते हैं। उदाहरण के लिए, गैर-रैखिक प्रकाशिकी में एक अनुनाद अंतःक्रिया में, मैनले-रो संबंधों की व्याख्या यह कहते हुए की जा सकती है कि एक फोटॉन बनाया जाता है क्योंकि दो और नष्ट हो जाते हैं (या इसके विपरीत, जब एक नष्ट हो जाता है तो दो बनाए जाते हैं।) तीन-तरंग समीकरण के लिए, मैनले-रो अपरिवर्तनीय मॉड्यूलर अपरिवर्तनीय और वेयरस्ट्रास-फंक्शन से संबंधित हो सकते हैं। यह अनिवार्य रूप से अनुसरण करता है क्योंकि तीन-तरंग अंतःक्रिया में सटीक समाधान होते हैं जो अण्डाकार कार्यों द्वारा दिए जाते हैं। 1956 और 1960 के बीच बेल लैब्स के दो शोधकर्ताओं, जे. एम. मैनले और एच. ई. रो द्वारा लिखे गए मूल शोध पत्र एक विद्युत परिपथ के लिए थे जिसमें अरैखिक संधारित्र और प्रेरक थे। एक या अधिक ऑसिलेटर, जो निर्दिष्ट आवृत्तियों पर काम करते हैं, इस परिपथ के इनपुट से जुड़े होते हैं। मैनले-रो संबंध विभिन्न आवृत्तियों पर तरंगों में मौजूद ऊर्जा की भविष्यवाणी करते हैं, जिसमें नई आवृत्तियाँ (जैसे हार्मोनिक्स और साइडबैंड) शामिल हैं जो गैर-रैखिकता के कारण परिपथ में उत्पन्न होती हैं। यह सिद्धांत आंशिक रूप से ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत पर आधारित है। इसके लिए आवश्यक है कि परिपथ में ऊर्जा भंडारण एक स्थिर प्रक्रिया है जो समय के साथ केवल दोलनों के कारण बदलती है न कि समय के साथ कुछ स्थिर वृद्धि या कमी के कारण। अधिक सटीक रूप से, सिद्धांत विभिन्न अलग-अलग आवृत्तियों पर तरंगों के बीच एक अनुनाद अंतःक्रिया का वर्णन करता है; अनुनाद अंतःक्रिया वर्णन करती है कि कौन सी आवृत्तियाँ मिश्रण और अंतःक्रिया कर सकती हैं, और वे ताकतें जिनके द्वारा वे जोड़े जाते हैं। चूंकि मैनले-रो संबंध अरैखिक तरंगों और ऊर्जा संरक्षण जैसी सामान्य अवधारणाओं पर आधारित हैं, इसलिए उनका उपयोग रेडियो-आवृत्ति विद्युत परिपथों में मूल अनुप्रयोग तक सीमित नहीं है। इनका उपयोग अन्य वैज्ञानिक क्षेत्रों में भी पाया गया है, उदाहरण के लिए अरैखिक प्रकाशिकी। मैनले-रो संबंधों की मूल व्युत्पत्ति के लिए विद्युत परिपथ में, संधारित्र और प्रेरक एक तरंग से ऊर्जा संग्रहीत करते हैं और फिर इसे छोड़ते हैं। अन्य भौतिक प्रणालियाँ जिनमें तरंगों के लिए ऊर्जा भंडारण शामिल है, और नई तरंगों की अरैखिक पीढ़ी, समान संबंधों का उपयोग कर सकती हैं। जॉन मैनले और हैरिसन रो बेल लैबोरेटरीज में राल्फ हार्टले के आश्रित थे। अरैखिक अभिक्रियाओं (प्रेरक और संधारित्र) के साथ काम 1917 में जॉन बर्टन और यूजीन पीटरसन द्वारा शुरू किया गया था। जब हार्टले वेस्टर्न इलेक्ट्रिक का हिस्सा बनने के बाद बेल लैबोरेटरीज में शामिल हुए, तो उन्होंने अरैखिक दोलनों पर एक शोध समूह शुरू किया। इस समूह में बाद में पीटरसन, मैनले और रो शामिल हो गए। नोट्स अनुप्रयुक्त गणित विद्युत अभियांत्रिकी