Van Cittert–Zernike theorem
भौतिक विज्ञानी पीटर हेंड्रिक वैन सिटर और फ्रिट्स ज़र्निके के नाम पर वैन सिटर-ज़र्निके प्रमेय, सुसंगतता सिद्धांत में एक सूत्र है जो बताता है कि कुछ स्थितियों में एक दूर, असंगत स्रोत के तीव्रता वितरण कार्य का फ़ोरियर परिवर्तन इसकी जटिल दृश्यता के बराबर है। इसका तात्पर्य यह है कि एक असंगत स्रोत से लहर का अग्रभाग बड़ी दूरी पर ज्यादातर सुसंगत दिखाई देगा। सहज रूप से, इसे दो असंगत स्रोतों द्वारा बनाए गए तरंगों पर विचार करके समझा जा सकता है। यदि हम स्रोतों में से किसी एक के सामने तरंगमुख को तुरंत मापते हैं, तो हमारे माप पर पास के स्रोत का प्रभुत्व होगा। यदि हम एक ही माप को स्रोतों से दूर करते हैं, तो हमारे माप पर अब किसी एक स्रोत का प्रभुत्व नहीं रहेगा; दोनों स्रोत बड़ी दूरी पर तरंग के सामने लगभग समान रूप से योगदान देंगे। एक शांत तालाब के बीच में दो पत्थर गिराकर इस तर्क को आसानी से देखा जा सकता है। तालाब के केंद्र के पास, दो पत्थरों से उत्पन्न गड़बड़ी बहुत जटिल होगी। हालाँकि, जैसे-जैसे विक्षोभ तालाब के किनारे की ओर फैलता है, लहरें सुचारू हो जाएंगी और लगभग गोलाकार दिखाई देंगी। रेडियो खगोल विज्ञान के लिए वैन सिटर-ज़र्निक प्रमेय के महत्वपूर्ण निहितार्थ हैं। पल्सर और मेसर को छोड़कर, सभी खगोलीय स्रोत स्थानिक रूप से असंगत हैं। फिर भी, क्योंकि वे वैन सिटर-ज़र्निक प्रमेय को संतुष्ट करने के लिए पर्याप्त दूरी पर देखे जाते हैं, ये वस्तुएं इमेजिंग प्लेन में विभिन्न बिंदुओं पर गैर-शून्य डिग्री सुसंगतता प्रदर्शित करती हैं। एक खगोलीय वस्तु के इमेजिंग प्लेन (तथाकथित "दृश्यता कार्य") में विभिन्न बिंदुओं पर सुसंगतता की डिग्री को मापकर, एक रेडियो खगोलशास्त्री स्रोत की चमक वितरण का पुनर्निर्माण कर सकता है और स्रोत की उपस्थिति का एक द्वि-आयामी मानचित्र बना सकता है। प्रमेय का कथन दो बहुत दूर के समानांतर तलों पर विचार करें, दोनों दृष्टि रेखा के लंबवत हैं, और आइए उन्हें स्रोत तल और अवलोकन तल कहते हैं; यदि अवलोकन तल में दो बिंदुओं के बीच पारस्परिक सुसंगतता कार्य है, तो स्रोत तल में एक दूर के स्रोत पर एक बिंदु की दिशा कोसाइन कहाँ और कहाँ हैं, और वे तरंग दैर्ध्य की इकाई में अवलोकन तल पर दो अवलोकन बिंदुओं के बीच क्रमशः x-दूरी और y-दूरी हैं और स्रोत की तीव्रता है। यह प्रमेय पहली बार 1934 में पीटर हेंड्रिक वैन सिटर द्वारा 1938 में फ्रिट्स ज़र्निक द्वारा प्रदान किए गए एक सरल प्रमाण के साथ प्राप्त किया गया था। यह प्रमेय अपनी सांख्यिकीय प्रकृति और सरल सहसंबंध या यहां तक कि सहप्रसरण प्रसंस्करण विधियों से अंतर के कारण कुछ इंजीनियरों या वैज्ञानिकों के लिए भ्रमित करने वाला रहेगा। एक अच्छा संदर्भ (जो अभी भी कुछ उपयोगकर्ताओं के लिए समस्या को स्पष्ट नहीं कर सकता है, लेकिन विधि को घर ले जाने के लिए एक अच्छा स्केच है) गुडमैन है, जो पृष्ठ 207 से शुरू होता है। पारस्परिक सुसंगतता फलन अवलोकन के तल में दो बिंदुओं पर मापा जाने वाले कुछ विद्युत क्षेत्र के लिए पारस्परिक सुसंगतता फलन (उन्हें 1 और 2 कहें), को परिभाषित किया जाता है कि अवलोकन बिंदु 1 और 2 पर माप के बीच का समय कहाँ है। दो बिंदुओं पर क्षेत्र की पारस्परिक सुसंगतता को समय में अलग किए गए दो बिंदुओं पर विद्युत क्षेत्रों के बीच समय-औसत क्रॉस-सहसंबंध के रूप में सोचा जा सकता है। इस प्रकार, यदि हम दो पूरी तरह से असंगत स्रोतों का निरीक्षण कर रहे हैं तो हमें उम्मीद करनी चाहिए कि अवलोकन तल में दो यादृच्छिक बिंदुओं के बीच पारस्परिक सुसंगतता कार्य अपेक्षाकृत छोटा होगा, क्योंकि स्रोत विनाशकारी के साथ-साथ रचनात्मक रूप से भी हस्तक्षेप करेंगे। हालांकि, स्रोतों से बहुत दूर, हमें पारस्परिक सुसंगतता फलन के अपेक्षाकृत बड़े होने की उम्मीद करनी चाहिए क्योंकि देखे गए क्षेत्रों का योग किसी भी दो बिंदुओं पर लगभग समान होगा। दो विद्युत क्षेत्रों की तीव्रताओं के वर्गमूलों के उत्पाद के लिए पारस्परिक सुसंगतता फलन के सामान्यीकरण से (द्वितीय क्रम) सुसंगतता (सहसंबंध गुणांक फलन) की जटिल डिग्री प्राप्त होती हैः प्रमेय का प्रमाण मान लीजिए और क्रमशः स्रोत तल और अवलोकन तल के कार्टेशियन निर्देशांक हों। मान लीजिए कि स्रोत तल में स्रोत से किसी बिंदु के कारण विद्युत क्षेत्र को दो बिंदुओं पर मापा जाता है, और, अवलोकन तल में। स्रोत में किसी बिंदु की स्थिति को उसकी दिशा कोसाइनों द्वारा संदर्भित किया जा सकता है। (चूँकि स्रोत दूर है, इसलिए इसकी दिशा पर के समान होनी चाहिए।) मापा गया विद्युत क्षेत्र तब फेजर का उपयोग करके लिखा जा सकता हैः जहाँ स्रोत से दूरी है, प्रकाश की कोणीय आवृत्ति है, और विद्युत क्षेत्र का जटिल आयाम है। इसी तरह, जिस विद्युत क्षेत्र पर मापा जाता है, उसे इस प्रकार लिखा जा सकता है कि आइए अब विद्युत क्षेत्र के बीच समय-औसत क्रॉस-सहसंबंध की गणना करें औरः क्योंकि कोण कोष्ठकों में मात्रा समय-औसत है, इसलिए आयामों की अस्थायी अवधि के लिए एक मनमाना ऑफसेट जोड़ा जा सकता है जब तक कि दोनों में एक ही ऑफसेट जोड़ा जाता है। आइए अब दोनों आयामों के अस्थायी पद को जोड़ते हैं। लेकिन यदि स्रोत दूर के क्षेत्र में है तो प्रकाश द्वारा समय में तय की गई दूरी की तुलना में और के बीच का अंतर कम होगा। (व्युत्क्रम बैंडविड्थ के समान क्रम पर है।) इसलिए इस छोटे से सुधार की उपेक्षा की जा सकती है, जिससे विद्युत क्षेत्र के पार-सहसंबंध के लिए हमारी अभिव्यक्ति को और सरल बनाया जा सकता है। तो क्रॉस-सहसंबंध के लिए हमारी अभिव्यक्ति आगे सरल हो जाती है इस अभिव्यक्ति से पारस्परिक सुसंगतता फलन की गणना करने के लिए, बस पूरे स्रोत पर एकीकृत करें। ध्यान दें कि फॉर्म के क्रॉस शब्दों को इस धारणा के कारण शामिल नहीं किया गया है कि स्रोत असंगत है। इसलिए स्रोत से दो अलग-अलग बिंदुओं के बीच समय-औसत सहसंबंध शून्य होगा। इसके बाद और का उपयोग करके शब्द को फिर से लिखें। ऐसा करने के लिए, चलो और। यह बताता है कि अवलोकन के तल के केंद्र और स्रोत के केंद्र के बीच की दूरी कहाँ है। लेकिन क्योंकि और सभी की तुलना में बहुत कम हैं, वर्गमूल टेलर विस्तारित हो सकते हैं, पहले क्रम में, जो, कुछ बीजगणितीय हेरफेर के बाद, सरल हो जाता है। इसी तरह,। इसके अलावा, याद रखें कि इसे और के बीच-अक्ष के साथ तरंग दैर्ध्य की संख्या के रूप में परिभाषित किया गया था। तो इसी तरह,-अक्ष के बीच और साथ तरंग दैर्ध्य की संख्या है, इसलिए क्योंकि और सभी उससे बहुत कम हैं। विभेदक क्षेत्र तत्व को तब के ठोस कोण के विभेदक तत्व के रूप में लिखा जा सकता है। लेकिन इन दो समाकलन की सीमाओं को स्रोत के पूरे तल को कवर करने के लिए बढ़ाया जा सकता है जब तक कि स्रोत की तीव्रता कार्य इन क्षेत्रों पर शून्य निर्धारित किया जाता है। अतः, जो तीव्रता फलन का द्वि-आयामी फूरियर रूपांतरण है। यह प्रमाण को पूरा करता है। वैन सिटर-ज़र्निक प्रमेय कई मान्यताओं पर आधारित है, जिनमें से सभी लगभग सभी खगोलीय स्रोतों के लिए लगभग सही हैं। प्रमेय की सबसे महत्वपूर्ण धारणाओं और खगोलीय स्रोतों के लिए उनकी प्रासंगिकता पर यहां चर्चा की गई है। स्रोत की असंगतता एक स्थानिक रूप से सुसंगत स्रोत वैन सिटर-ज़र्निक प्रमेय का पालन नहीं करता है। यह देखने के लिए कि यह क्यों है, मान लीजिए कि हम दो बिंदुओं वाले स्रोत का निरीक्षण करते हैं, और। आइए हम अवलोकन के तल में और उसके बीच पारस्परिक सुसंगतता फलन की गणना करें। सुपरपोजिशन के सिद्धांत से, विद्युत क्षेत्र है और है इसलिए पारस्परिक सुसंगतता फलन है जो बन जाता है यदि बिंदु और सुसंगत हैं तो उपरोक्त समीकरण में क्रॉस शब्द गायब नहीं होते हैं। इस मामले में, जब हम एक विस्तारित सुसंगत स्रोत के लिए पारस्परिक सुसंगतता फलन की गणना करते हैं, तो हम स्रोत के तीव्रता फलन पर बस एकीकृत करने में सक्षम नहीं होंगे; गैर-शून्य क्रॉस शब्दों की उपस्थिति पारस्परिक सुसंगतता फलन को कोई सरल रूप नहीं देगी। यह धारणा अधिकांश खगोलीय स्रोतों के लिए लागू होती है। पल्सर और मेसर एकमात्र खगोलीय स्रोत हैं जो सुसंगतता प्रदर्शित करते हैं। स्रोत से दूरी प्रमेय के प्रमाण में हम मानते हैं कि और। अर्थात्, हम मानते हैं कि स्रोत की दूरी अवलोकन क्षेत्र के आकार से बहुत अधिक है। अधिक सटीक रूप से, वैन सिटर-ज़र्निक प्रमेय के लिए आवश्यक है कि हम तथाकथित सुदूर क्षेत्र में स्रोत का निरीक्षण करें। इसलिए यदि अवलोकन क्षेत्र का विशिष्ट आकार है (जैसे। दो-डिश रेडियो दूरबीन के मामले में, दो दूरबीनों के बीच की आधार रेखा की लंबाई) फिर 1 सेमी की तरंग दैर्ध्य पर बहुत बड़ी सरणी के लिए 20 किमी की उचित आधार रेखा का उपयोग करते हुए, दूर क्षेत्र की दूरी m क्रम की होती है। इसलिए कोई भी खगोलीय वस्तु एक पारसेक से अधिक दूर दूर क्षेत्र में होती है। हालाँकि, सौर मंडल में वस्तुएँ आवश्यक रूप से दूर के क्षेत्र में नहीं हैं, और इसलिए वैन सिटर-ज़र्निक प्रमेय उन पर लागू नहीं होता है। स्रोत का कोणीय आकार वैन सिटर-ज़र्निक प्रमेय की व्युत्पत्ति में हम दिशा कोसाइन और और के रूप में लिखते हैं। हालाँकि, एक तीसरी दिशा कोसाइन है जिसकी उपेक्षा की जाती है और इन धारणाओं के तहत यह एकता के बहुत करीब है। लेकिन अगर स्रोत में एक बड़ी कोणीय सीमा है, तो हम इस तीसरी दिशा कोसाइन की उपेक्षा नहीं कर सकते हैं और वैन सिटर-ज़र्निक प्रमेय अब नहीं है। क्योंकि अधिकांश खगोलीय स्रोत आकाश पर बहुत छोटे कोण (आमतौर पर एक डिग्री से बहुत कम) रखते हैं, इस प्रमेय की यह धारणा रेडियो खगोल विज्ञान के क्षेत्र में आसानी से पूरी हो जाती है। अर्ध-एकवर्णी तरंग वान सिट्टर्ट-ज़र्निक प्रमेय यह मानता है कि स्रोत अर्ध-एकवर्णी है। अर्थात्, यदि स्रोत आवृत्तियों की एक श्रृंखला पर प्रकाश उत्सर्जित करता है, औसत आवृत्ति के साथ, तो इसे संतुष्ट करना चाहिए इसके अलावा, बैंडविड्थ इतना संकीर्ण होना चाहिए कि स्रोत के आकार को इंगित करने वाली दिशा कोसाइन फिर से कहाँ है और एपर्चर के एक छोर और दूसरे के बीच तरंग दैर्ध्य की संख्या है। इस धारणा के बिना, हम इसकी तुलना में उपेक्षा नहीं कर सकते हैं इस आवश्यकता का तात्पर्य है कि एक रेडियो खगोलशास्त्री को बैंडपास फिल्टर के माध्यम से संकेतों को प्रतिबंधित करना चाहिए। क्योंकि रेडियो दूरबीन लगभग हमेशा संकेत को अपेक्षाकृत संकीर्ण बैंडपास फिल्टर के माध्यम से पारित करते हैं, यह धारणा आमतौर पर व्यवहार में संतुष्ट होती है। द्वि-आयामी स्रोत हम मानते हैं कि हमारा स्रोत द्वि-आयामी तल में स्थित है। वास्तव में, खगोलीय स्रोत त्रि-आयामी हैं। हालाँकि, क्योंकि वे दूर के क्षेत्र में हैं, उनका कोणीय वितरण दूरी के साथ नहीं बदलता है। इसलिए जब हम किसी खगोलीय स्रोत को मापते हैं, तो उसकी त्रि-आयामी संरचना द्वि-आयामी तल पर प्रक्षेपित हो जाती है। इसका मतलब है कि वैन सिटर-ज़र्निक प्रमेय को खगोलीय स्रोतों के माप पर लागू किया जा सकता है, लेकिन हम इस तरह के माप के साथ दृष्टि रेखा के साथ संरचना का निर्धारण नहीं कर सकते हैं। माध्यम की समरूपता वैन सिटर-ज़र्निक प्रमेय यह मानता है कि स्रोत और इमेजिंग तल के बीच का माध्यम समरूप है। यदि माध्यम सजातीय नहीं है तो माध्यम के माध्यम से प्रकाश यात्रा समय में अंतर के कारण स्रोत के एक क्षेत्र से प्रकाश स्रोत के अन्य क्षेत्रों के सापेक्ष भिन्न रूप से अपवर्तित होगा। एक विषम माध्यम के मामले में किसी को वैन सिटर-ज़र्निक प्रमेय के सामान्यीकरण का उपयोग करना चाहिए, जिसे हॉपकिंस का सूत्र कहा जाता है। क्योंकि तरंगमुख एक पूरी तरह से समान माध्यम से नहीं गुजरता है क्योंकि यह अंतरतारकीय (और संभवतः अंतरग्यालाक्टिक) माध्यम से और पृथ्वी के वायुमंडल में यात्रा करता है, वैन सिटर-ज़र्निक प्रमेय खगोलीय स्रोतों के लिए बिल्कुल सही नहीं है। व्यवहार में, हालांकि, अंतरतारकीय और अंतरग्यालाक्टिक मीडिया और पृथ्वी के वायुमंडल के अपवर्तक सूचकांक में भिन्नताएं इतनी कम हैं कि प्रमेय किसी भी उचित प्रयोगात्मक त्रुटि के लिए लगभग सही है। माध्यम के अपवर्तक सूचकांक में इस तरह की भिन्नताओं के परिणामस्वरूप एक सजातीय माध्यम से यात्रा करने वाले तरंग के सामने के मामले में केवल थोड़ी गड़बड़ी होती है। हॉपकिंस का सूत्र मान लीजिए कि हमारे पास वैसी ही स्थिति है जिस पर विचार किया गया था जब वैन सिटर-ज़र्निक प्रमेय व्युत्पन्न किया गया था, सिवाय इसके कि माध्यम अब विषम है। इसलिए हम माध्यम के संचरण कार्य का परिचय देते हैं। पहले की तरह एक समान व्युत्पत्ति के बाद, हम पाते हैं कि यदि हम परिभाषित करते हैं तो पारस्परिक सुसंगतता फलन बन जाता है जो हॉपकिंस का वैन सिटर-ज़र्निक प्रमेय का सामान्यीकरण है। एक सजातीय माध्यम के विशेष मामले में, संचरण कार्य बन जाता है जिस स्थिति में पारस्परिक सुसंगतता कार्य स्रोत के चमक वितरण के फूरियर परिवर्तन में कम हो जाता है। हॉपकिंस के सूत्र का प्राथमिक लाभ यह है कि कोई व्यक्ति किसी स्रोत के चमक वितरण को मापकर अप्रत्यक्ष रूप से उसके पारस्परिक सुसंगतता कार्य की गणना कर सकता है। एपर्चर संश्लेषण प्रमेय के अनुप्रयोग एक स्रोत के चमक वितरण के मापन के लिए वैन सिटर-ज़र्निक प्रमेय महत्वपूर्ण है। दो दूरबीनों के साथ, एक रेडियो खगोलशास्त्री (या एक अवरक्त या उप-मिलीमीटर खगोलशास्त्री) स्रोत से किसी बिंदु के कारण दो पात्रों पर विद्युत क्षेत्र के बीच संबंध को माप सकता है। स्रोत पर कई बिंदुओं के लिए इस सहसंबंध को मापकर, खगोलशास्त्री स्रोत के दृश्यता कार्य का पुनर्निर्माण कर सकते हैं। वैन सिटर-ज़र्निक प्रमेय को लागू करके, खगोलशास्त्री तब स्रोत के चमक वितरण की खोज करने के लिए दृश्यता फलन के व्युत्क्रम फूरियर परिवर्तन को ले सकते हैं। इस तकनीक को एपर्चर सिंथेसिस या सिंथेसिस इमेजिंग के रूप में जाना जाता है। व्यवहार में, रेडियो खगोलविद शायद ही कभी एक मापा दृश्यता फलन के व्युत्क्रम फूरियर परिवर्तन को सीधे लेकर किसी स्रोत के चमक वितरण को पुनर्प्राप्त करते हैं। इस तरह की प्रक्रिया के लिए न्यक्विस्ट सैंपलिंग थ्योरम को संतुष्ट करने के लिए पर्याप्त संख्या में नमूनों की आवश्यकता होगी; यह स्रोत के चमक वितरण को लगभग फिर से बनाने के लिए आवश्यक कई अधिक अवलोकन हैं। इसलिए खगोलविद खगोलीय स्रोतों की चमक वितरण पर भौतिक बाधाओं का लाभ उठाते हैं ताकि किए जाने वाले अवलोकनों की संख्या को कम किया जा सके। क्योंकि चमक वितरण हर जगह वास्तविक और सकारात्मक होना चाहिए, दृश्यता कार्य बिना नमूने वाले क्षेत्रों में मनमाने मूल्यों को नहीं ले सकता है। इस प्रकार, एक गैर-रैखिक विकलन एल्गोरिथ्म जैसे कि क्लीन या मैक्सिमम एन्ट्रापी का उपयोग सीमित संख्या में टिप्पणियों से स्रोत के चमक वितरण को लगभग फिर से बनाने के लिए किया जा सकता है। अनुकूली प्रकाशिकी वैन सिटर-ज़र्निक प्रमेय एक अनुकूली प्रकाशिकी प्रणाली की संवेदनशीलता पर भी प्रतिबंध लगाता है। एक अनुकूली प्रकाशिकी (एओ) प्रणाली में, एक विकृत तरंगमुख प्रदान किया जाता है और इसे विरूपण-मुक्त तरंगमुख में परिवर्तित किया जाना चाहिए। एक एओ प्रणाली को तरंग के सामने से विकृतियों को दूर करने के लिए कई अलग-अलग सुधार करने चाहिए। इस तरह के एक सुधार में वेवफ्रंट को दो समान वेवफ्रंट में विभाजित करना और वेवफ्रंट के तल में कुछ भौतिक दूरी से एक को स्थानांतरित करना शामिल है। फिर दो तरंगमुखों को अधिरोपित किया जाता है, जिससे एक फ्रिंज पैटर्न बनता है। किनारों के आकार और पृथक्करण को मापकर, एओ प्रणाली तरंग के सामने चरण अंतर निर्धारित कर सकती है। इस तकनीक को "कतरनी" के रूप में जाना जाता है। इस तकनीक की संवेदनशीलता वैन सिटर-ज़र्निक प्रमेय द्वारा सीमित है। यदि एक विस्तारित स्रोत की छवि ली जाती है, तो किनारों के बीच का अंतर स्रोत के चमक वितरण के फूरियर परिवर्तन के आनुपातिक कारक से कम हो जाएगा। वैन सिटर-ज़र्निक प्रमेय का तात्पर्य है कि एक एओ प्रणाली द्वारा चित्रित एक विस्तारित स्रोत की पारस्परिक सुसंगतता इसके चमक वितरण का फूरियर परिवर्तन होगा। एक विस्तारित स्रोत इसलिए किनारों की पारस्परिक सुसंगतता को बदल देगा, जिससे उनके विपरीतता कम हो जाएगी। मुक्त-इलेक्ट्रॉन लेजर वैन सिटर-ज़र्निक प्रमेय का उपयोग मुक्त-इलेक्ट्रॉन लेजर से विकिरण के आंशिक स्थानिक सुसंगतता की गणना करने के लिए किया जा सकता है। एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर एकर बर्कले विश्वविद्यालय, प्रो. डेविड टी. एटवुड यूट्यूब पर (एएसटी 210/ई. ई. 233 व्याख्यान 23)] भौतिक प्रकाशिकी रेडियो खगोल विज्ञान खगोल विज्ञान के समीकरण