Ptolemy's table of chords
दूसरी शताब्दी ईस्वी के दौरान मिस्र में यूनानी खगोलशास्त्री, ज्यामितिज्ञ और भूगोलवेत्ता टॉलेमी द्वारा बनाई गई तारों की तालिका, टॉलेमी के अल्माजेस्ट की पुस्तक I, अध्याय 11 में एक त्रिकोणमितीय तालिका है, जो गणितीय खगोल विज्ञान पर एक ग्रंथ है। यह अनिवार्य रूप से साइन फलन के मूल्यों की एक तालिका के बराबर है। यह सबसे पुरानी त्रिकोणमितीय तालिका थी जो कई व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए पर्याप्त व्यापक थी, जिसमें खगोल विज्ञान भी शामिल था (हिप्पार्कस द्वारा तारों की एक पिछली तालिका ने केवल उन चापों के लिए तार दिए थे जो गुणक थे)। 8वीं और 9वीं शताब्दी से, साइन और अन्य त्रिकोणमितीय कार्यों का उपयोग इस्लामी गणित और खगोल विज्ञान में किया गया है, जिससे साइन तालिकाओं के उत्पादन में सुधार हुआ है। ख्वारिज़्मी और हबाश अल-हसीब ने बाद में त्रिकोणमितीय तालिकाओं का एक समूह तैयार किया। कॉर्ड फ़ंक्शन और टेबल एक वृत्त का एक कॉर्ड एक रेखा खंड है जिसका अंतिम बिंदु वृत्त पर होते हैं। टॉलेमी ने एक वृत्त का उपयोग किया जिसका व्यास 120 भाग है। उन्होंने एक तार की लंबाई को सारणीबद्ध किया जिसके अंतिम बिंदु n डिग्री के चाप द्वारा अलग किए जाते हैं, n के लिए 180 की वृद्धि द्वारा। आधुनिक संकेतन में, θ डिग्री के चाप के अनुरूप तार की लंबाई 0 से 180 तक जाती है, तो θ डिग्री के चाप की तार 0 से 120 तक जाती है। छोटे चापों के लिए, तार चाप कोण के लिए डिग्री में 3 है, या अधिक सटीक रूप से, अनुपात को θ को पर्याप्त रूप से छोटा करके ≈ के जितना वांछित उतना करीब बनाया जा सकता है। इस प्रकार, के चाप के लिए, तार की लंबाई डिग्री में चाप कोण से थोड़ी अधिक होती है। जैसे-जैसे चाप बढ़ता है, तार और चाप का अनुपात कम होता जाता है। जब चाप पहुँचता है, तो तार की लंबाई चाप में डिग्री की संख्या के बराबर होती है, अर्थात। कॉर्ड 60° = 60। 60° से अधिक के चापों के लिए, तार चाप से कम होता है, जब तक कि 180° के चाप तक नहीं पहुँच जाता है, जब तार केवल 120 होता है। तार की लंबाई के आंशिक भागों को सेक्साजेसिमल (आधार 60) अंकों में व्यक्त किया गया था। उदाहरण के लिए, जहां 112° चाप द्वारा कम किए गए तार की लंबाई 99.29.5 बताई जाती है, इसकी लंबाई निकटतम तक गोल होती है। चाप और तार के स्तंभों के बाद, एक तीसरे स्तंभ को "साठवां" लेबल किया जाता है। θ° के चाप के लिए, "साठवें" स्तंभ में प्रविष्टि है यह एक इकाई के साठवें की औसत संख्या है जिसे θ° के प्रवेश के बीच, प्रत्येक बार जब कोण चाप के एक मिनट से बढ़ता है, तो तार (θ°) में जोड़ा जाना चाहिए। इस प्रकार, इसका उपयोग रैखिक अंतर्वेशन के लिए किया जाता है। ग्लोवात्ज़्की और गोत्शे ने दिखाया कि टॉलेमी ने "साठवें" कॉलम में पाई जाने वाली सटीकता की डिग्री प्राप्त करने के लिए पांच लैंगिक स्थानों पर कॉर्ड की गणना की होगी। टॉलेमी ने कॉर्ड की गणना कैसे की अल्माजेस्ट की पुस्तक I का अध्याय 10 कॉर्ड की गणना के लिए उपयोग किए जाने वाले ज्यामितीय प्रमेयों को प्रस्तुत करता है। टॉलेमी ने 72° और 36° के तारों को खोजने के लिए यूक्लिड के तत्वों की पुस्तक XIII के प्रस्ताव 10 के आधार पर ज्यामितीय तर्क का उपयोग किया। उस प्रस्ताव में कहा गया है कि यदि एक समबाहु पंचभुज को एक वृत्त में अंकित किया जाता है, तो पंचभुज के किनारे पर वर्ग का क्षेत्रफल षट्कोण के किनारों पर वर्गों के क्षेत्रों और उसी वृत्त में अंकित विकर्ण के योग के बराबर होता है। उन्होंने एक वृत्त में उत्कीर्ण चतुर्भुज पर टॉलेमी के प्रमेय का उपयोग एक अर्ध-चाप की तार, दो चापों के योग की तार और दो चापों के अंतर की तार के लिए सूत्र प्राप्त करने के लिए किया। प्रमेय में कहा गया है कि एक वृत्त में उत्कीर्ण चतुर्भुज के लिए, विकर्णों की लंबाई का गुणनफल विपरीत भुजाओं की लंबाई के दो जोड़े के गुणनफल के योग के बराबर होता है। त्रिकोणमितीय पहचानों की व्युत्पत्तियाँ एक चक्रीय चतुर्भुज पर निर्भर करती हैं जिसमें एक तरफ वृत्त का व्यास होता है। 1° और ° के चापों के तारों को खोजने के लिए उन्होंने अरिस्टार्कस की असमानता के आधार पर अनुमानों का उपयोग किया। असमानता बताती है कि चापों α और β के लिए, यदि 0 <β <α <90°, तो टॉलेमी ने दिखाया कि 1° और ° के चापों के लिए, अनुमान सही ढंग से पूर्णांक भाग के बाद पहले दो यौन स्थान देते हैं। अंक प्रणाली और वृत्त के चापों की लंबाई, डिग्री में, और तार की लंबाई के पूर्णांक भागों की अनुवादित तालिका की उपस्थिति को एक आधार 10 अंक प्रणाली में व्यक्त किया गया था जिसमें निम्नलिखित तालिका में दिए गए अर्थों के साथ यूनानी वर्णमाला के 21 अक्षरों का उपयोग किया गया था, और एक प्रतीक, "άν", जिसका अर्थ है और एक उठाया हुआ वृत्त "′" जो एक खाली स्थान को भरता है (प्रभावी रूप से शून्य का प्रतिनिधित्व करता है)। नीचे दी गई तालिका में "पुरातन" लेबल वाले तीन अक्षर, अल्माजेस्ट लिखने से पहले कुछ शताब्दियों से यूनानी भाषा में उपयोग में नहीं थे, लेकिन अभी भी अंकों और संगीत नोटों के रूप में उपयोग में थे। इस प्रकार, उदाहरण के लिए, ° के एक चाप को ρμγ anth′ के रूप में व्यक्त किया जाता है। (चूँकि तालिका केवल 180° तक पहुँचती है, 200 और उससे अधिक के लिए यूनानी अंकों का उपयोग नहीं किया जाता है।) तार की लंबाई के आंशिक भागों को बहुत सटीकता की आवश्यकता होती है, और इन्हें तालिका में दो स्तंभों में दिया गया थाः पहला स्तंभ 0-59 की सीमा में एक पूर्णांक गुणक देता है, दूसरा = का एक पूर्णांक गुणक देता है, जो 0-59 की सीमा में भी है। इस प्रकार हाइबर्ग के अल्माजेस्ट के संस्करण में पृष्ठों 48-63 पर तारों की तालिका के साथ, तालिका की शुरुआत, चाप से इस तरह दिखती हैः बाद में तालिका में, चाप के पूर्णांक भागों और तार की लंबाई को व्यक्त करने वाले अंकों की आधार-10 प्रकृति देखी जा सकती है। इस प्रकार 85° के चाप को πε (80 के लिए π और 5 के लिए ε) के रूप में लिखा जाता है और 60 + 25 में विभाजित नहीं किया जाता है। संबंधित तार की लंबाई 81 प्लस एक आंशिक भाग है। पूर्णांक भाग πα से शुरू होता है, इसी तरह 60 + 21 में विभाजित नहीं होता है। लेकिन अंश भाग, +, को कॉलम में 4 के लिए δ के रूप में लिखा जाता है, इसके बाद कॉलम में 15 के लिए ιε लिखा जाता है। मेज पर कुल 360 पंक्तियों के लिए आठ पृष्ठों में से प्रत्येक पर 45 पंक्तियाँ हैं। आर्यभट्ट की साइन टेबल एक्ससेंट फंडामेंटम एस्ट्रोनॉमी भी देखें, जो 1500 के दशक के उत्तरार्ध में ग्रीक गणित माधव की साइन टेबल टॉलेमी स्केल ऑफ कॉर्ड वर्सिन रेफेरेंसेस ओलाफ पेडरसन (1974) ए सर्वे ऑफ द अल्माजेस्ट, ओडेन्स यूनिवर्सिटी प्रेस एक्सटर्नल लिंक्स जे. एल. हैबर्ग अल्माजेस्ट, पृष्ठों पर कॉर्ड की तालिका 48-63 में प्रकाशित एक पुस्तक है जो साइन की सटीक गणना के लिए एक एल्गोरिथ्म निर्धारित करती है। ग्लेन एलर्ट टॉलेमी की टेबल ऑफ कॉर्ड्सः ग्रीक और फ्रेंच में दूसरी शताब्दी में त्रिकोणमिति। त्रिकोणमिति त्रिकोणमिति खगोल विज्ञान का इतिहास प्राथमिक विशेष कार्य टॉलेमी गणितीय तालिकाएँ