Formally étale morphism
कम्यूटेटिव बीजगणित और बीजगणितीय ज्यामिति में, एक आकृतिवाद को औपचारिक रूप से एटेल कहा जाता है यदि इसमें एक उठाने का गुण होता है जो एक स्थानीय डिफियोमोर्फिज्म होने के समान होता है। औपचारिक रूप से रिंगों के समरूपता A को एक टोपोलॉजिकल रिंग होने दें, और B को एक टोपोलॉजिकल A-बीजगणित होने दें। फिर B औपचारिक रूप से étale है यदि सभी असतत A-बीजगणित C, C के सभी निल्पोटेंट आदर्श J, और सभी निरंतर A-समरूपताओं के लिए, एक अद्वितीय निरंतर A-बीजगणित मानचित्र मौजूद है, जहां विहित प्रक्षेपण है। औपचारिक रूप से एटेल औपचारिक रूप से चिकनी और औपचारिक रूप से अनरामिफाइड के बराबर है। चूंकि किसी योजना के संरचना आवरण में स्वाभाविक रूप से केवल असतत स्थलविज्ञान होता है, इसलिए योजनाओं के लिए औपचारिक रूप से एटेल की धारणा औपचारिक रूप से रिंगों के लिए असतत स्थलविज्ञान के लिए एटेल के समान है। अर्थात्, योजनाओं का एक आकृतिवाद औपचारिक रूप से एटेल है यदि प्रत्येक एफाइन Y-योजना Z के लिए, J पर Z आदर्शों का प्रत्येक नीलपोटेन्ट आवरण J द्वारा निर्धारित बंद विसर्जन के साथ, और प्रत्येक Y-आकृतिवाद, एक अद्वितीय Y-आकृतिवाद मौजूद है जैसे कि। यह Z को किसी भी Y-योजना के बराबर माना जाता है और J को Z पर आदर्शों का एक स्थानीय रूप से निर्गुणित आवरण माना जाता है। गुण खुले विसर्जन औपचारिक रूप से étale हैं। औपचारिक रूप से एटेल होने के गुण को कंपोजिट, बेस चेंज और फाइबर वाले उत्पादों के तहत संरक्षित किया जाता है। यदि और योजनाओं के रूपात्मकताएँ हैं, तो g औपचारिक रूप से अनरामिफाइड है, और gf औपचारिक रूप से étale है, तो f औपचारिक रूप से étale है। विशेष रूप से, यदि g औपचारिक रूप से étale है, तो f औपचारिक रूप से étale है यदि और केवल अगर gf है। औपचारिक रूप से एटेल होने का गुण स्रोत और लक्ष्य पर स्थानीय है। औपचारिक रूप से एटेल होने के गुण को डंठल पर जांचा जा सकता है। यह दिखाया जा सकता है कि वलय की आकृति औपचारिक रूप से एटेल होती है यदि और केवल तभी जब बी के प्रत्येक अभाज्य क्यू के लिए, प्रेरित मानचित्र औपचारिक रूप से एटेल हो। नतीजतन, f औपचारिक रूप से étale है यदि और केवल तभी जब B के प्रत्येक अभाज्य Q के लिए, मानचित्र औपचारिक रूप से étale है, जहाँ। स्थानीयकरण के उदाहरण औपचारिक रूप से étale हैं। परिमित पृथक्कृत क्षेत्र विस्तार औपचारिक रूप से एटेल होते हैं। अधिक आम तौर पर, कोई भी (कम्यूटेटिव) फ्लैट सेपरेबल ए-बीजगणित बी औपचारिक रूप से étale है। यह भी देखें कि औपचारिक रूप से अनरामिफाइड औपचारिक रूप से स्मूथ एटेल मॉर्फिज्म नोट्स संदर्भ योजनाओं के मॉर्फिज्म