Tangent half-angle substitution
समाकलन कलन में, स्पर्शरेखा अर्ध-कोण प्रतिस्थापन समाकलन के मूल्यांकन के लिए उपयोग किए जाने वाले चर का एक परिवर्तन है, जो त्रिकोणमितीय कार्यों के एक परिमेय कार्य को सेटिंग द्वारा एक साधारण परिमेय कार्य में परिवर्तित करता है। यह वास्तविक रेखा पर कोण माप द्वारा मानकीकृत इकाई वृत्त का एक-आयामी स्टीरियोग्राफिक प्रक्षेपण है। सामान्य परिवर्तन सूत्र हैः अर्ध कोण का स्पर्शरेखा गोलाकार त्रिकोणमिति में महत्वपूर्ण है और कभी-कभी 17 वीं शताब्दी में अर्ध स्पर्शरेखा या अर्ध स्पर्शरेखा के रूप में जाना जाता था। लियोनहार्ड यूलर ने अपनी 1768 की अभिन्न कलन पाठ्यपुस्तक में समाकलन का मूल्यांकन करने के लिए इसका उपयोग किया, और एड्रियन-मैरी लीजेंड्रे ने 1817 में सामान्य विधि का वर्णन किया। प्रतिस्थापन का वर्णन 19वीं शताब्दी के उत्तरार्ध से अधिकांश अभिन्न कलन पाठ्यपुस्तकों में किया गया है, आमतौर पर बिना किसी विशेष नाम के। रूस में इसे सार्वभौमिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन के रूप में जाना जाता है, और इसे अर्ध-स्पर्श प्रतिस्थापन या अर्ध-कोण प्रतिस्थापन जैसे भिन्न नामों से भी जाना जाता है। इसे कभी-कभी वेयरस्ट्रास प्रतिस्थापन के रूप में गलत बताया जाता है। माइकल स्पिवाक ने इसे "दुनिया का सबसे गुप्त प्रतिस्थापन" कहा। प्रतिस्थापन एक नए चर साइन और कोसाइन का परिचय तर्कसंगत कार्यों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है और इसे निम्नानुसार के गुणनफल और तर्कसंगत कार्य के रूप में व्यक्त किया जा सकता हैः व्युत्पत्ति दोहरे कोण वाले सूत्रों का उपयोग करके, पाइथागोरियन प्रमेय के लिए एक के बराबर भाजकों को पेश करना, और फिर अंशों और भाजकों को एक से विभाजित करना अंत में, क्योंकि, विभेदन नियम इंगित करते हैं और इस प्रकार कोसेकेंट के विरोधी उदाहरण हम कोसेकेंट इंटीग्रल का मूल्यांकन करने की एक मानक विधि का उपयोग करके पुष्टि कर सकते हैं। ये दोनों उत्तर समान हैं क्योंकि सेकेंट इंटीग्रल का मूल्यांकन समान तरीके से किया जा सकता है। एक निश्चित समाकलन पहली पंक्ति में, कोई भी समाकलन की दोनों सीमाओं को प्रतिस्थापित नहीं कर सकता है। एट की विलक्षणता (इस मामले में, एक ऊर्ध्वाधर एसिम्प्टोट) को ध्यान में रखा जाना चाहिए। वैकल्पिक रूप से, पहले अनिश्चित समाकलन का मूल्यांकन करें, फिर सीमा मूल्यों को लागू करें। सममिति द्वारा, जो पिछले उत्तर के समान है। तीसरा उदाहरण हैः साइन और कोसाइन दोनों यदि ज्यामिति x भिन्न होता है, तो बिंदु (cos x, sin x) बार-बार (0,0) पर केंद्रित इकाई वृत्त के चारों ओर घूमता है। यह बिंदु वृत्त के चारों ओर केवल एक बार जाता है क्योंकि t − ≤ से + ≤ तक जाता है, और कभी भी बिंदु (− 1,0) तक नहीं पहुंचता है, जिसे एक सीमा के रूप में देखा जाता है क्योंकि t ± ≤ तक पहुंचता है। जैसे-जैसे t, −1 से −1 तक जाता है, t द्वारा निर्धारित बिंदु तीसरे चतुर्थांश में वृत्त के हिस्से से होकर (−1,0) से (0, −1) तक जाता है। जैसे-जैसे टी −1 से 0 तक जाता है, बिंदु (0, −1) से (1,0) तक चौथे चतुर्थांश में वृत्त के हिस्से का अनुसरण करता है। जैसे ही टी 0 से 1 तक जाता है, बिंदु (1,0) से (0,1) तक पहले चतुर्थांश में वृत्त के हिस्से का अनुसरण करता है। अंत में, जैसे ही t 1 से + ν तक जाता है, बिंदु दूसरे चतुर्थांश में वृत्त के हिस्से का अनुसरण (0,1) से (−1,0) तक करता है। यहाँ एक और ज्यामितीय दृष्टिकोण है। इकाई वृत्त बनाएँ, और पी को बिंदु होने दें। पी के माध्यम से एक रेखा (ऊर्ध्वाधर रेखा को छोड़कर) इसकी ढलान द्वारा निर्धारित की जाती है। इसके अलावा, प्रत्येक रेखा (ऊर्ध्वाधर रेखा को छोड़कर) इकाई वृत्त को ठीक दो बिंदुओं में काटती है, जिनमें से एक पी है। त्रिकोणमितीय फलन इकाई वृत्त पर कोण से बिंदु तक एक फलन निर्धारित करते हैं, और इन दोनों कार्यों को मिलाकर हमारे पास कोण से ढलान तक एक फलन होता है। त्रिकोणमितीय कार्यों और अतिबोलिक कार्यों के बीच साझा किए गए अन्य गुणों के साथ, प्रतिस्थापन के समान रूप का निर्माण करने के लिए अतिबोलिक पहचान का उपयोग करना संभव हैः ज्यामितीय रूप से, चर का यह परिवर्तन पोइनकेयर डिस्क प्रक्षेपण का एक आयामी अनुरूप है। तर्कसंगत वक्र स्टीरियोग्राफिक प्रक्षेपण स्पर्शरेखा अर्ध-कोण सूत्र त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन यूलर प्रतिस्थापन आगे पढ़ना दूसरा संस्करण 1916, पीपी। 52-62 टिप्पणियाँ और संदर्भ प्लैनेटमैथ इंटीग्रल कैलकुलस में बाहरी लिंक वीयरस्ट्रास प्रतिस्थापन सूत्र