Mathematical chess problem
एक गणितीय शतरंज समस्या एक गणितीय समस्या है जिसे शतरंज की पटिया और शतरंज के टुकड़ों का उपयोग करके तैयार किया जाता है। ये समस्याएं मनोरंजक गणित से संबंधित हैं। इस तरह की सबसे प्रसिद्ध समस्याएं आठ रानियों की पहेली और शूरवीर की यात्रा समस्या हैं, जिनका ग्राफ सिद्धांत और संयोजन से संबंध है। कई प्रसिद्ध गणितविदों ने गणितीय शतरंज समस्याओं का अध्ययन किया, जैसे, थाबित, यूलर, लीजेंड्रे और गॉस। किसी विशेष समस्या का समाधान खोजने के अलावा, गणितशास्त्री आमतौर पर संभावित समाधानों की कुल संख्या की गिनती करने, कुछ गुणों के साथ समाधान खोजने के साथ-साथ एन × एन या एम × एन बोर्डों की समस्याओं के सामान्यीकरण में रुचि रखते हैं। एक स्वतंत्रता समस्या (या अनगार्ड) एक ऐसी समस्या है जिसमें, एक निश्चित प्रकार के शतरंज के टुकड़े (रानी, रुक, बिशप, नाइट या राजा) को देखते हुए, किसी को अधिकतम संख्या मिलनी चाहिए जिसे शतरंज की बिसात पर रखा जा सके ताकि कोई भी टुकड़ा एक दूसरे पर हमला न करे। यह भी आवश्यक है कि टुकड़ों की इस अधिकतम संख्या के लिए एक वास्तविक व्यवस्था पाई जाए। इस प्रकार की सबसे प्रसिद्ध समस्या आठ रानियों की पहेली है। यह पूछकर समस्याओं को आगे बढ़ाया जाता है कि कितने संभावित समाधान मौजूद हैं। आगे के सामान्यीकरण एनएक्सएन बोर्डों पर समस्या को लागू करते हैं। एक 8×8 शतरंज की बिसात में 16 स्वतंत्र राजा, 8 स्वतंत्र रानी, 8 स्वतंत्र रूक्स, 14 स्वतंत्र बिशप या 32 स्वतंत्र शूरवीर हो सकते हैं। राजाओं, बिशपों, रानियों और शूरवीरों के लिए समाधान नीचे दिखाए गए हैं। 8 स्वतंत्र रूक्स प्राप्त करने के लिए उन्हें मुख्य विकर्णों में से एक पर रखने के लिए पर्याप्त है। प्रभुत्व की समस्याएं एक प्रभुत्व (या आवरण) समस्या में एक शतरंज की बिसात पर रखने के लिए दिए गए प्रकार के टुकड़ों की न्यूनतम संख्या खोजना शामिल है ताकि सभी खाली वर्गों पर कम से कम एक बार हमला किया जा सके। यह शीर्ष आवरण समस्या का एक विशेष मामला है। हावी राजाओं की न्यूनतम संख्या 9 है, रानियाँ 5 हैं, रूक्स 8 हैं, बिशप 8 हैं, और शूरवीर 12 हैं। 8 प्रमुख रूक्स प्राप्त करने के लिए, प्रत्येक फाइल पर एक रखने के लिए पर्याप्त है। अन्य टुकड़ों के लिए समाधान नीचे दिए गए आरेखों में दिए गए हैं। वर्चस्व की समस्याओं को कभी-कभी इस रूप में भी तैयार किया जाता है कि किसी को बोर्ड पर सभी वर्गों पर हमला करने के लिए आवश्यक टुकड़ों की न्यूनतम संख्या खोजने की आवश्यकता होती है, जिसमें कब्जे वाले भी शामिल हैं। रूक्स के लिए, आठ की आवश्यकता होती है; समाधान यह है कि उन सभी को एक फ़ाइल या रैंक पर रखा जाए। अन्य टुकड़ों के लिए समाधान नीचे दिए गए हैं। किसी भी आकार के शतरंज की बिसात के मुख्य विकर्ण पर रानियों द्वारा प्रभुत्व को सलेम-स्पेंसर सेट खोजने के संख्या सिद्धांत में एक समस्या के बराबर दिखाया जा सकता है, संख्याओं का एक समूह जिसमें कोई भी संख्या दो अन्य का औसत नहीं है। रानियों की इष्टतम नियुक्ति वर्गों के एक समूह को खाली करके प्राप्त की जाती है जिसमें सभी की समान समानता होती है (सभी सम स्थिति में होते हैं या सभी विकर्ण के साथ विषम स्थिति में होते हैं) और जो एक सलेम-स्पेंसर सेट बनाते हैं। पीस टूर की समस्याएं इस प्रकार की समस्याएं शतरंज के कुछ टुकड़ों का दौरा करने के लिए कहती हैं, जो शतरंज बोर्ड पर सभी चौराहों पर जाते हैं। इस तरह की सबसे ज्ञात समस्या नाइट्स टूर है। शूरवीर के अलावा, राजा, रानी और हाथी के लिए इस तरह के दौरे मौजूद हैं। बिशप बोर्ड पर प्रत्येक वर्ग तक पहुंचने में असमर्थ होते हैं, इसलिए उनके लिए समस्या एक रंग के सभी वर्गों तक पहुंचने के लिए तैयार की जाती है। शतरंज अदला-बदली की समस्याएं शतरंज अदला-बदली की समस्याओं में, सफेद टुकड़े काले टुकड़ों के साथ अदला-बदली करते हैं। यह एक खेल के दौरान टुकड़ों की सामान्य कानूनी चालों के साथ किया जाता है, लेकिन बारी-बारी से बारी की आवश्यकता नहीं होती है। उदाहरण के लिए, एक सफेद शूरवीर एक पंक्ति में दो बार चल सकता है। टुकड़ों को पकड़ने की अनुमति नहीं है। ऐसी दो समस्याओं को नीचे दिखाया गया है। पहले में लक्ष्य सफेद और काले शूरवीरों की स्थिति का आदान-प्रदान करना है। दूसरे में बिशप के पदों का आदान-प्रदान एक अतिरिक्त सीमा के साथ किया जाना चाहिए, ताकि दुश्मन के टुकड़े एक-दूसरे पर हमला न करें। शतरंज पहेली नोट्स संदर्भ (जर्मन में) भी देखें। पुस्तक के कुछ अध्याय ऑनलाइन उपलब्ध हैंः एवगेनी गीक और डी. जे. वी. यू. फाइल (रूसी में)। मैथवर्ल्ड के वीज़स्टीन, एरिक डब्ल्यू. द्वारा शतरंज को बाहरी लिंक। जॉर्ज जेलिस द्वारा शतरंज-टुकड़े की व्यवस्था की समस्याएं (द गेम्स एंड पज़ल्स जर्नल से)। एड पेग जूनियर द्वारा शतरंज का कार्य