Algebraic interior
कार्यात्मक विश्लेषण में, गणित की एक शाखा, एक सदिश स्थान के सबसेट का बीजगणितीय आंतरिक या रेडियल कर्नेल आंतरिक की अवधारणा का एक परिष्करण है। परिभाषा मान लीजिए कि वेक्टर स्पेस का एक उपसमुच्चय है के संबंध में बीजगणितीय आंतरिक (या रेडियल कर्नेल) उन सभी बिंदुओं का समुच्चय है जिन पर एक रेडियल सेट है। इस अंतिम स्थिति को इस रूप में भी लिखा जा सकता है जहां सेट रेखा खंड (या बंद अंतराल) है जो इस रेखा खंड से शुरू होता है और समाप्त होता है जिसका एक उपसमुच्चय है जो (यानी, समानांतर/अनुवाद) की दिशा से निकलता है। इस प्रकार ज्यामितीय रूप से, एक उपसमुच्चय का एक आंतरिक बिंदु उस गुण के साथ एक बिंदु है जिसमें हर संभव दिशा (वेक्टर) में कुछ (गैर-अपक्षयी) रेखा खंड होता है जो उस दिशा से शुरू होता है और उस दिशा में जाता है (यानी। किरण का एक उपसमुच्चय)। (के संबंध में) का बीजगणितीय आंतरिक ऐसे सभी बिंदुओं का समुच्चय है। कहने का मतलब है, यह किसी दिए गए समुच्चय में निहित बिंदुओं का उपसमुच्चय है जिसके संबंध में यह समुच्चय के रेडियल बिंदु हैं। यदि एक रैखिक उपक्षेत्र है और फिर इस परिभाषा को इस के संबंध में बीजगणितीय आंतरिक के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता हैः जहाँ हमेशा धारण करता है और यदि तब कहाँ का एफ़ाइन पतवार है (जो इसके बराबर है)। बीजगणितीय समापन एक बिंदु को एक उपसमुच्चय से कहा जाता है यदि कुछ ऐसा मौजूद है कि रेखा खंड द में निहित है, जिसके द्वारा दर्शाया जाता है और सभी बिंदु जो बीजगणितीय आंतरिक (कोर) से रैखिक रूप से सुलभ हैं विशेष मामले में जहां सेट को या या कहा जाता है और इसे या औपचारिक रूप से दर्शाया जाता है, यदि एक वेक्टर स्थान है तो बीजगणितीय आंतरिक है यदि गैर-खाली है, तो ये अतिरिक्त उपसमुच्चय उत्तल कार्यात्मक विश्लेषण में कई प्रमेयों के बयानों के लिए भी उपयोगी हैं (जैसे कि उर्सेस्कू प्रमेय): यदि एक फ्रेचेट स्थान है, तो उत्तल है, और तब बंद है लेकिन सामान्य रूप से खाली होने के दौरान होना संभव है। उदाहरण यदि तब लेकिन और कोर के गुण मान लीजिए कि सामान्य रूप से, लेकिन यदि एक उत्तल समुच्चय हैः और सभी के लिए एक वास्तविक सदिश स्थान का एक अवशोषित करने वाला उपसमुच्चय है यदि और केवल तभी जब एक उत्तल समुच्चय का कोर और बीजगणितीय समापन दोनों फिर से उत्तल हों। यदि उत्तल है, और फिर रेखा खंड में निहित है टोपोलॉजिकल इंटीरियर के संबंध में मान लीजिए कि यह एक टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस है, आंतरिक ऑपरेटर को दर्शाता है, और फिरः यदि गैर-खाली उत्तल है और सीमित-आयामी है, तो यदि गैर-खाली आंतरिक के साथ उत्तल है, तो यदि एक बंद उत्तल सेट है और एक पूर्ण मीट्रिक स्पेस है, तो सापेक्ष बीजगणितीय आंतरिक है। सापेक्ष आंतरिक यदि एक टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस का एक उपसमुच्चय है तो इसका सापेक्ष आंतरिक समुच्चय है अर्थात, यह ए का टोपोलॉजिकल आंतरिक है जिसमें सबसे छोटा एफ़ाइन रैखिक उपक्षेत्र है। निम्नलिखित समुच्चय भी उपयोगी हैः अर्ध सापेक्ष आंतरिक यदि एक टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस का एक उपसमुच्चय है तो इसका अर्ध सापेक्ष आंतरिक समुच्चय है।