Ideal lattice
असतत गणित में, आदर्श जाली जाली का एक विशेष वर्ग है और चक्रीय जाली का सामान्यीकरण है। आदर्श जाली स्वाभाविक रूप से संख्या सिद्धांत के कई हिस्सों में होती है, लेकिन अन्य क्षेत्रों में भी होती है। विशेष रूप से, उनका क्रिप्टोग्राफी में एक महत्वपूर्ण स्थान है। माइकियांसियो ने चक्रीय जाली के सामान्यीकरण को आदर्श जाली के रूप में परिभाषित किया। इनका उपयोग क्रिप्टोसिस्टम में एक जाली का वर्णन करने के लिए आवश्यक मापदंडों की संख्या को वर्गमूल से कम करने के लिए किया जा सकता है, जिससे वे अधिक कुशल हो जाते हैं। आदर्श जाली एक नई अवधारणा है, लेकिन इसी तरह के जाली वर्गों का उपयोग लंबे समय से किया जा रहा है। उदाहरण के लिए, एन. टी. आर. यू. एनक्रिप्ट और एन. टी. आर. यू. एस. साइन में आदर्श जाली का एक विशेष मामला, चक्रीय जाली का उपयोग किया जाता है। रिंग लर्निंग विद एरर्स पर आधारित क्वांटम कंप्यूटर अटैक रेसिस्टेंट क्रिप्टोग्राफी के लिए आदर्श जाली भी आधार हैं। ये क्रिप्टोसिस्टम इस धारणा के तहत सुरक्षित हैं कि इन आदर्श जाली में सबसे छोटी वेक्टर समस्या (एसवीपी) कठिन है। परिचय सामान्य शब्दों में, आदर्श जाली कुछ डिग्री के अपरिवर्तनीय बहुपद के लिए रूप के वलय में आदर्शों के अनुरूप जाली होती हैं। पूर्व कार्य से आदर्श जाली की सभी परिभाषाएँ निम्नलिखित सामान्य धारणा के उदाहरण हैंः मान लीजिए कि एक वलय जिसका योगात्मक समूह समरूप है (यानी, यह श्रेणी का एक मुक्त-मॉड्यूल है), और मान लीजिए कि एक आयामी वास्तविक सदिश स्थान (जैसे,) में कुछ जाली के लिए एक योगात्मक समरूपता मानचित्रण है। एम्बेडिंग के नीचे रिंग के लिए आदर्श जाली का परिवार सभी जाली का समूह है, जहां परिभाषा संकेतन में एक आदर्श है मान लीजिए कि यह डिग्री का एक मोनिक बहुपद है, और भागफल रिंग पर विचार करें। प्रतिनिधियों के मानक समूह का उपयोग करते हुए, और वैक्टर के साथ बहुपदों की पहचान करते हुए, भागफल वलय पूर्णांक जाली के समरूप (एक योगात्मक समूह के रूप में) होता है, और कोई भी आदर्श एक संबंधित पूर्णांक उप-जाली को परिभाषित करता है। एक आदर्श जाली एक पूर्णांक जाली है जो डिग्री और आदर्श के कुछ मोनिक बहुपद के लिए होती है। संबंधित गुण यह पता चलता है कि परिणामी फलन के टकराव प्रतिरोधी होने के लिए प्रासंगिक गुण हैंः इरेड्यूसिबल होना चाहिए। मात्रात्मक अर्थ में रिंग मानक किसी भी बहुपद की तुलना में बहुत बड़ा नहीं है। पहले गुण का तात्पर्य है कि रिंग का प्रत्येक आदर्श एक पूर्ण श्रेणी के जाली को परिभाषित करता है और प्रमाण में एक मौलिक भूमिका निभाता है। लेम्माः प्रत्येक आदर्श, जहाँ डिग्री का एक मोनिक, अपरिवर्तनीय पूर्णांक बहुपद है, एक पूर्ण-श्रेणी जाली के लिए समरूप है। डिंग और लिंडनर ने प्रमाण दिया कि आदर्श जाली को सामान्य जाली से अलग करना बहुपद समय में किया जा सकता है और यह दिखाया कि व्यवहार में यादृच्छिक रूप से चुने गए जाली कभी भी आदर्श नहीं होते हैं। उन्होंने केवल उस मामले पर विचार किया जहां जाली का पूर्ण पद होता है, अर्थात। आधार में रैखिक स्वतंत्र वैक्टर होते हैं। यह एक मौलिक प्रतिबंध नहीं है क्योंकि ल्युबाशेव्स्की और मिकियान्सिओ ने दिखाया है कि यदि एक जाली एक अपरिवर्तनीय मोनिक बहुपद के संबंध में आदर्श है, तो इसका पूर्ण रैंक है, जैसा कि उपरोक्त लेम्मा में दिया गया है। एल्गोरिदमः पूर्ण श्रेणी आधार के साथ आदर्श जाली की पहचान करना डेटाः एक पूर्ण श्रेणी आधार परिणामः सही और, यदि एक आदर्श जाली के संबंध में फैला हुआ है, अन्यथा गलत। एच. एन. एफ. गणना में परिवर्तित करें, और उत्पाद की गणना करें यदि केवल पी का अंतिम कॉलम गैर-शून्य है तो इस कॉलम के बराबर सेट करें अन्यथा गलत लौटें यदि इसके लिए सी. आर. टी. का उपयोग करें और फिर गलत लौटें यदि फिर सही लौटें, अन्यथा गलत लौटें जहां मैट्रिक्स एम कर रहा है इस एल्गोरिथम का उपयोग करते हुए, यह देखा जा सकता है कि कई जाली आदर्श जाली नहीं हैं। उदाहरण के लिए, चलो और, तो आदर्श है, लेकिन नहीं है। के साथ एक उदाहरण ल्युबाशेव्स्की और मिकियान्सिओ द्वारा दिया गया है। इस पर एल्गोरिथ्म निष्पादित करना और आधार को बी के रूप में संदर्भित करना, मैट्रिक्स बी पहले से ही हर्माइट सामान्य रूप में है इसलिए पहले चरण की आवश्यकता नहीं है। निर्धारक है, एडजुगेट मैट्रिक्स और अंत में, उत्पाद है इस बिंदु पर एल्गोरिथ्म रुक जाता है, क्योंकि अंतिम कॉलम को छोड़कर सभी को शून्य होना चाहिए यदि एक आदर्श जाली का विस्तार होता है। क्रिप्टोग्राफी में उपयोग माइकियांसियो ने संरचित चक्रीय जाली के वर्ग की शुरुआत की, जो बहुपद वलय में आदर्शों के अनुरूप है, और चक्रीय जाली के लिए पॉली (एन)-एसवीपी के प्रतिबंध की सबसे खराब स्थिति कठोरता के आधार पर पहला प्रमाणित रूप से सुरक्षित एक तरफा कार्य प्रस्तुत किया। (समस्या γ-SVP में किसी दिए गए जाली के गैर-शून्य सदिश की गणना करना शामिल है, जिसका मानक सबसे छोटे गैर-शून्य जाली सदिश के मानक से γ गुना अधिक बड़ा नहीं है।) साथ ही, अपनी बीजगणितीय संरचना के लिए धन्यवाद, यह एकतरफा कार्य एनटीआरयू योजना मूल्यांकन समय और भंडारण लागत की तुलना में उच्च दक्षता का आनंद लेता है)। इसके बाद, ल्युबाशेव्स्की और मिसिएनसिओ और स्वतंत्र रूप से पिकर्ट और रोसेन ने दिखाया कि एक कुशल और सुरक्षित टकराव प्रतिरोधी हैश फ़ंक्शन का निर्माण करने के लिए मिसिएनसिओ के कार्य को कैसे संशोधित किया जाए। इसके लिए, उन्होंने आदर्श जाली के अधिक सामान्य वर्ग की शुरुआत की, जो बहुपद वलय में आदर्शों के अनुरूप हैं। टक्कर प्रतिरोध आदर्श जाली (जिसे पॉली (एन)-आइडियल-एसवीपी कहा जाता है) के लिए पॉली (एन)-एसवीपी के प्रतिबंध की कठोरता पर निर्भर करता है। औसत-स्थिति टकराव-खोज समस्या एक प्राकृतिक कम्प्यूटेशनल समस्या है जिसे आदर्श-एस. आई. एस. कहा जाता है, जिसे आदर्श-एस. वी. पी. के सबसे खराब-स्थिति उदाहरणों के रूप में कठिन दिखाया गया है। आदर्श जाली से सुरक्षित कुशल हस्ताक्षर योजनाओं का भी प्रस्ताव किया गया है, लेकिन आदर्श जाली से कुशल रूप से सुरक्षित सार्वजनिक कुंजी एन्क्रिप्शन का निर्माण एक दिलचस्प खुली समस्या थी। कुंजी विनिमय के लिए एल. डब्ल्यू. ई. और रिंग एल. डब्ल्यू. ई. का उपयोग करने का मौलिक विचार 2011 में सिनसिनाटी विश्वविद्यालय में जिन्ताई डिंग द्वारा प्रस्तावित और दायर किया गया था और रिंग एल. डब्ल्यू. ई. का उपयोग करके क्वांटम प्रतिरोधी कुंजी विनिमय का एक अत्याधुनिक विवरण प्रदान किया गया था। 2012 में एक अस्थायी पेटेंट आवेदन दायर किए जाने के बाद पेपर 2012 में दिखाई दिया। 2014 में, पिकर्ट ने डिंग के समान बुनियादी विचार का पालन करते हुए एक प्रमुख परिवहन योजना प्रस्तुत की, जहां डिंग के निर्माण में गोल करने के लिए अतिरिक्त संकेत भेजने के नए विचार का भी उपयोग किया जाता है। इसी अवधारणा का उपयोग करते हुए एक डिजिटल हस्ताक्षर कई साल पहले वादिम ल्युबाशेव्स्की द्वारा "ट्रैपडोर्स के बिना जाली हस्ताक्षर" में किया गया था। एक साथ, पीकर्ट और ल्यूबाशेव्स्की का काम समान सुरक्षा कटौती के साथ रिंग-एलडब्ल्यूई आधारित क्वांटम हमले प्रतिरोधी एल्गोरिदम का एक समूह प्रदान करता है। कुशल टक्कर प्रतिरोधी हैश कार्य क्रिप्टोग्राफी में आदर्श जाली की मुख्य उपयोगिता इस तथ्य से उपजी है कि इस तरह के जाली में लगभग सबसे छोटे वेक्टर को खोजने की कठोरता के आधार पर बहुत कुशल और व्यावहारिक टक्कर प्रतिरोधी हैश कार्यों का निर्माण किया जा सकता है। पीकर्ट और रोसेन द्वारा स्वतंत्र रूप से निर्मित टकराव प्रतिरोधी हैश कार्य, साथ ही साथ ल्युबाशेव्स्की और मिकियान्सिओ, आदर्श जाली (चक्रीय जाली का सामान्यीकरण) पर आधारित, और एक तेज़ और व्यावहारिक कार्यान्वयन प्रदान किया। इन परिणामों ने पहचान योजनाओं और हस्ताक्षर सहित अन्य कुशल क्रिप्टोग्राफिक निर्माणों का मार्ग प्रशस्त किया। ल्युबाशेव्स्की और मिचियान्सिओ ने कुशल टकराव प्रतिरोधी हैश कार्यों का निर्माण किया जो आदर्श जाली के लिए सबसे छोटी वेक्टर समस्या की सबसे खराब स्थिति कठोरता के आधार पर सुरक्षित साबित हो सकते हैं। उन्होंने हैश फ़ंक्शन परिवारों को इस प्रकार परिभाषित कियाः एक रिंग को देखते हुए, जहां डिग्री का एक मोनिक, इरेड्यूसिबल बहुपद है और मोटे तौर पर क्रम का एक पूर्णांक है, यादृच्छिक तत्व उत्पन्न करता है, जहां एक स्थिरांक है। ऑर्डर किया गया-टुपल हैश फ़ंक्शन को निर्धारित करता है। यह तत्वों को मानचित्रित करेगा, जहाँ एक रणनीतिक रूप से चुना गया उपसमुच्चय है। एक तत्व के लिए, हैश है। यहाँ कुंजी (हैश कार्य) का आकार है, और बहुपद के उचित चयन के लिए फास्ट फूरियर ट्रांसफॉर्म (एफ. एफ. टी.) का उपयोग करके समय पर संचालन किया जा सकता है। चूंकि यह एक स्थिरांक है, इसलिए हैशिंग के लिए समय की आवश्यकता होती है। उन्होंने यह साबित किया कि हैश फ़ंक्शन परिवार टकराव प्रतिरोधी है, यह दर्शाते हुए कि यदि कोई बहुपद-समय एल्गोरिथ्म है जो इस तरह से खोजने में गैर-नगण्य संभावना के साथ सफल होता है कि, यादृच्छिक रूप से चुने गए हैश फ़ंक्शन के लिए, तो "सबसे छोटी वेक्टर समस्या" नामक एक निश्चित समस्या रिंग के प्रत्येक आदर्श के लिए बहुपद समय में हल करने योग्य है। 2006 में ल्युबाशेव्स्की और मिचियान्सिओ के काम के आधार पर, मिचियान्सिओ और रेगेव ने आदर्श जाली के आधार पर हैश कार्यों के निम्नलिखित एल्गोरिदम को परिभाषित कियाः मापदंडः पूर्णांक के साथ, और वेक्टर एफ। कुंजीः यादृच्छिक रूप से स्वतंत्र रूप से और समान रूप से चुने गए वैक्टर। हैश फंक्शनः द्वारा दिया गया। यहाँ पैरामीटर हैं, f एक वेक्टर है और संरचित ब्लॉकों के साथ एक ब्लॉक-मैट्रिक्स है। औसत में छोटे वैक्टरों का पता लगाना (केवल व्युत्क्रम बहुपद संभावना के साथ भी) उतना ही कठिन है जितना कि विभिन्न जाली समस्याओं (जैसे अनुमानित एस. वी. पी. और एस. आई. वी. पी.) को हल करना, आदर्श जाली पर सबसे खराब स्थिति में, बशर्ते कि वेक्टर एफ निम्नलिखित दो गुणों को संतुष्ट करता हैः किसी भी दो इकाई वैक्टरों के लिए यू, वी, वेक्टर [एफ िऱू] वी में छोटा (मान लीजिए, बहुपद में, आमतौर पर मानक) होता है। बहुपद पूर्णांकों पर अपरिवर्तनीय है, अर्थात, यह छोटी डिग्री के पूर्णांक बहुपदों के गुणनफल में कारक नहीं है। पहला गुण परिसंचारी मैट्रिक्स के अनुरूप वेक्टर द्वारा संतुष्ट किया जाता है, क्योंकि [F iru] v के सभी निर्देशांक 1 से बंधे होते हैं, और इसलिए। हालांकि, संबंधित बहुपद इरेड्यूसिबल नहीं है क्योंकि यह कारक है, और यही कारण है कि टकराव को कुशलता से पाया जा सकता है। इसलिए, टकराव प्रतिरोधी हैश कार्य प्राप्त करने के लिए एक अच्छा विकल्प नहीं है, लेकिन कई अन्य विकल्प संभव हैं। उदाहरण के लिए, f के कुछ विकल्प जिनके लिए दोनों गुण संतुष्ट हैं (और इसलिए, सबसे खराब स्थिति सुरक्षा गारंटी के साथ टकराव प्रतिरोधी हैश कार्यों में परिणाम) जहां अभाज्य है, और 2 की शक्ति के बराबर है। डिजिटल हस्ताक्षर डिजिटल हस्ताक्षर योजनाएं सबसे महत्वपूर्ण क्रिप्टोग्राफिक आदिम में से हैं। जाली की समस्याओं की सबसे खराब स्थिति कठोरता के आधार पर एक तरफा कार्यों का उपयोग करके उन्हें प्राप्त किया जा सकता है। हालांकि, वे अव्यावहारिक हैं। त्रुटियों के साथ सीखने, त्रुटियों के साथ रिंग लर्निंग और ट्रैपडोर जाली पर आधारित कई नई डिजिटल हस्ताक्षर योजनाएं विकसित की गई हैं क्योंकि त्रुटियों के साथ सीखने की समस्या को क्रिप्टोग्राफिक संदर्भ में लागू किया गया था। आदर्श (जैसे, चक्रीय) जाली में सबसे छोटे वेक्टर को अनुमानित करने की जटिलता के आधार पर डिजिटल हस्ताक्षर का उनका प्रत्यक्ष निर्माण। ल्युबाशेव्स्की और मिसिएनसिओ की योजना में आदर्श जाली के आधार पर सबसे खराब स्थिति की सुरक्षा गारंटी है और यह आज तक ज्ञात सबसे एसिम्प्टोटिक रूप से कुशल निर्माण है, जो हस्ताक्षर उत्पादन और सत्यापन एल्गोरिदम प्रदान करता है जो लगभग रैखिक समय में चलता है। उनके काम द्वारा उठाई गई मुख्य खुली समस्याओं में से एक समान दक्षता के साथ एक बार के हस्ताक्षर का निर्माण है, लेकिन एक कमजोर कठोरता धारणा पर आधारित है। उदाहरण के लिए, सबसे छोटी वेक्टर समस्या (एसवीपी) (आदर्श जाली में) को एक कारक के भीतर अनुमानित करने की कठोरता के आधार पर सुरक्षा के साथ एक बार का हस्ताक्षर प्रदान करना बहुत अच्छा होगा। उनका निर्माण एक बार के हस्ताक्षर से एक मानक परिवर्तन पर आधारित है (यानी। हस्ताक्षर जो एक संदेश पर सुरक्षित रूप से हस्ताक्षर करने की अनुमति देते हैं) सामान्य हस्ताक्षर योजनाओं के लिए, एक जाली आधारित एक बार के हस्ताक्षर के एक नए निर्माण के साथ, जिसकी सुरक्षा अंततः किसी भी अपरिवर्तनीय बहुपद के लिए रिंग में आदर्शों के अनुरूप सभी जाली में सबसे छोटे वेक्टर को अनुमानित करने की सबसे खराब स्थिति कठोरता पर आधारित है। की-जेनरेशन एल्गोरिदमः इनपुटः, डिग्री का इरेड्यूसिबल पोलीनोमिअल। सेट करें,, सभी सकारात्मक के लिए, सेट को इस प्रकार परिभाषित किया जाएः जैसे कि समान रूप से यादृच्छिक चुनें एक समान रूप से यादृच्छिक स्ट्रिंग चुनें यदि फिर अन्य सेट करें स्ट्रिंग के अंत में पहले 1 की स्थिति पर सेट करें यदि स्वतंत्र रूप से और समान रूप से यादृच्छिक रूप से चुनें और क्रमशः हस्ताक्षर कुंजीः। सत्यापन कुंजीः एल्गोरिदम पर हस्ताक्षर करनाः इनपुटः संदेश इस तरह से भेजें कि; हस्ताक्षर कुंजी आउटपुटः सत्यापन एल्गोरिदमः इनपुटः संदेश; हस्ताक्षर; सत्यापन कुंजी आउटपुटः "स्वीकार करें", यदि और "अस्वीकार करें", अन्यथा। स्विफ्ट हैश फंक्शन हैश फंक्शन काफी कुशल है और जटिल संख्याओं पर फास्ट फूरियर ट्रांसफॉर्म (एफ. एफ. टी.) का उपयोग करके समय में एसिम्प्टोटिक रूप से गणना की जा सकती है। हालांकि, व्यवहार में, यह एक पर्याप्त ओवरहेड वहन करता है। माइकियांसियो और रेगेव द्वारा परिभाषित हैश कार्यों का स्विफ्ट परिवार अनिवार्य रूप से (एफ. एफ. टी.) का उपयोग करके ऊपर दिए गए हैश कार्य का एक अत्यधिक अनुकूलित संस्करण है। वेक्टर f को 2 की घात के बराबर के लिए सेट किया गया है, ताकि संबंधित बहुपद इरेड्यूसिबल हो। मान लीजिए कि यह एक अभाज्य संख्या है जो विभाजित होती है, और एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह है जिसे बाद में चुना जाएगा। एस. डब्ल्यू. आई. एफ. एफ. टी. हैश फ़ंक्शन एक कुंजी को मैप करता है जिसमें समान रूप से चुने गए वैक्टर होते हैं और एक इनपुट होता है जहां पहले की तरह है। इनवर्टिबल मैट्रिक्स द्वारा गुणा एक समान रूप से चुने गए मैप्स को एक समान रूप से चुने गए मैप्स से जोड़ता है। इसके अलावा, अगर और केवल अगर। एक साथ, ये दोनों तथ्य यह स्थापित करते हैं कि स्विफ्ट में टकराव का पता लगाना अंतर्निहित आदर्श जाली कार्य में टकराव का पता लगाने के बराबर है, और स्विफ्ट का दावा किया गया टक्कर प्रतिरोध गुण आदर्श जाली पर सबसे खराब स्थिति जाली समस्याओं के संबंध द्वारा समर्थित है। एस. डब्ल्यू. आई. एफ. एफ. टी. हैश फ़ंक्शन का एल्गोरिथ्म हैः पैरामीटरः ऐसे पूर्णांक जो 2 की घात है, अभाज्य है, और। कुंजीः यादृच्छिक रूप से स्वतंत्र रूप से और समान रूप से चुने गए वैक्टर। इनपुटः वैक्टर। आउटपुटः वेक्टर, जहाँ घटक-वार वेक्टर उत्पाद है। त्रुटियों के साथ सीखना (एल. डब्ल्यू. ई.) रिंग-एल. डब्ल्यू. ई. त्रुटियों के साथ सीखना (एल. डब्ल्यू. ई.) समस्या को सबसे खराब स्थिति जाली समस्याओं के रूप में कठिन दिखाया गया है और इसने कई क्रिप्टोग्राफिक अनुप्रयोगों की नींव के रूप में काम किया है। हालाँकि, ये अनुप्रयोग एल. डब्ल्यू. ई. के उपयोग में एक अंतर्निहित द्विघात उपरिभाग के कारण अक्षम हैं। वास्तव में कुशल एल. डब्ल्यू. ई. अनुप्रयोगों को प्राप्त करने के लिए, ल्युबाशेव्स्की, पीकर्ट और रेगेव ने रिंगों के एक विस्तृत वर्ग में एल. डब्ल्यू. ई. समस्या के एक उपयुक्त संस्करण को परिभाषित किया और इन रिंगों में आदर्श जाली पर सबसे खराब स्थिति धारणाओं के तहत इसकी कठोरता को साबित किया। उन्होंने अपने एल. डब्ल्यू. ई. संस्करण को रिंग-एल. डब्ल्यू. ई. कहा। मान लीजिए, जहां सुरक्षा पैरामीटर 2 की शक्ति है, जो तर्कसंगत पर इरेड्यूसिबल बनाता है। (यह विशेष रूप से साइक्लोटोमिक बहुपदों के परिवार से आता है, जो इस काम में एक विशेष भूमिका निभाते हैं)। मान लीजिए कि यह पूर्णांक बहुपद मॉडुलो का वलय है। (अर्थात, अवशेष मॉड्यूलो) के तत्वों को आम तौर पर डिग्री से कम के पूर्णांक बहुपदों द्वारा दर्शाया जाता है। मान लीजिए कि एक पर्याप्त रूप से बड़ा सार्वजनिक अभाज्य मापांक (एक बहुपद से घिरा हुआ) है, और मान लीजिए कि यह पूर्णांक बहुपद मापांक और दोनों का वलय है। के तत्वों को डिग्री से कम के बहुपदों द्वारा दर्शाया जा सकता है-जिनके गुणांक से हैं। उपरोक्त वर्णित रिंग में, आर-एल. डब्ल्यू. ई. समस्या को निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है। मान लीजिए कि यह एक समान यादृच्छिक रिंग तत्व है, जिसे गुप्त रखा जाता है। मानक एल. डब्ल्यू. ई. के अनुरूप, हमलावर का लक्ष्य मनमाने ढंग से कई (स्वतंत्र) 'यादृच्छिक शोर रिंग समीकरणों' को वास्तव में समान समीकरणों से अलग करना है। अधिक विशेष रूप से, शोर समीकरण उस रूप के होते हैं, जहाँ a समान रूप से यादृच्छिक होता है और उत्पाद कुछ 'छोटे' यादृच्छिक त्रुटि शब्द से विचलित होता है, जिसे एक निश्चित वितरण से चुना जाता है। उन्होंने रिंग-एल. डब्ल्यू. ई. के खोज संस्करण में आदर्श जाली पर अनुमानित एस. वी. पी. (सबसे खराब स्थिति में) से मात्रा में कमी की, जहां लक्ष्य मनमाने ढंग से कई शोर वाले उत्पादों से रहस्य (किसी के लिए भी उच्च संभावना के साथ) को पुनर्प्राप्त करना है। यह परिणाम सामान्य जाली के लिए रेगेव की पुनरावृत्त क्वांटम कमी की सामान्य रूपरेखा का अनुसरण करता है, लेकिन आदर्श जाली कमी के 'बीजगणितीय' और 'ज्यामितीय' दोनों घटकों में कई नई तकनीकी बाधाओं का परिचय देती है। उन्होंने इन बाधाओं को दूर करने के लिए बीजगणितीय संख्या सिद्धांत का उपयोग किया, विशेष रूप से, एक संख्या क्षेत्र की विहित अंतःस्थापन और चीनी शेष प्रमेय। उन्हें निम्नलिखित प्रमेय मिलाः मान लीजिए कि यह डिग्री का एक मनमाना संख्या क्षेत्र है। मान लीजिए कि यह मनमाना है और (परिमेय) पूर्णांक मापांक ऐसा है। जहाँ-से-तक एक संभावित बहुपद-समय क्वांटम कमी है। 2013 में, गुनीसु, ल्युबाशेव्स्की और पॉपलमैन ने त्रुटियों की समस्या के साथ रिंग लर्निंग पर आधारित एक डिजिटल हस्ताक्षर योजना का प्रस्ताव रखा। 2014 में, पिकर्ट ने अपने पेपर, "इंटरनेट के लिए जाली क्रिप्टोग्राफी" में त्रुटियों की कुंजी विनिमय (आरएलडब्ल्यूई-केईएक्स) के साथ एक रिंग लर्निंग प्रस्तुत किया। सिंह के कार्य ने इसे और विकसित किया। आदर्श-एल. डब्ल्यू. ई. स्टेहले, स्टीनफेल्ड, तनाका और ज़गावा ने आदर्श जाली में अनुमानित एस. वी. पी. की सबसे खराब स्थिति कठोरता के आधार पर एक कुशल सार्वजनिक कुंजी एन्क्रिप्शन योजना का वर्णन करने के लिए एल. डब्ल्यू. ई. समस्या (आदर्श-एल. डब्ल्यू. ई.) के एक संरचित संस्करण को परिभाषित किया। यह पहली सी. पी. ए.-सुरक्षित सार्वजनिक कुंजी कूटलेखन योजना है जिसकी सुरक्षा उप-घातीय क्वांटम हमलों के खिलाफ-आइडियल-एस. वी. पी. के सबसे खराब मामलों की कठोरता पर निर्भर करती है। यह असिम्प्टोटिक रूप से इष्टतम दक्षता प्राप्त करता हैः सार्वजनिक/निजी कुंजी की लंबाई बिट्स है और परिशोधन एन्क्रिप्शन/डिक्रिप्शन लागत प्रति संदेश बिट बिट संचालन है (एक बार में, एक लागत पर बिट्स को एन्क्रिप्ट करना)। यहाँ सुरक्षा धारणा यह है कि-आइडियल-एस. वी. पी. को किसी भी उप-घातीय समय क्वांटम एल्गोरिदम द्वारा हल नहीं किया जा सकता है। यह उल्लेखनीय है कि यह मानक सार्वजनिक कुंजी क्रिप्टोग्राफी सुरक्षा मान्यताओं से अधिक मजबूत है। दूसरी ओर, अधिकांश सार्वजनिक कुंजी क्रिप्टोग्राफी के विपरीत, जाली-आधारित क्रिप्टोग्राफी उप-घातीय क्वांटम हमलों के खिलाफ सुरक्षा की अनुमति देती है। सामान्य जाली पर आधारित अधिकांश क्रिप्टोसिस्टम त्रुटियों के साथ सीखने की औसत-स्थिति कठोरता (एल. डब्ल्यू. ई.) पर निर्भर करते हैं। उनकी योजना एल. डब्ल्यू. ई. के एक संरचित संस्करण पर आधारित है, जिसे वे आदर्श-एल. डब्ल्यू. ई. कहते हैं। आदर्श जाली पर प्रतिबंध से उत्पन्न होने वाली दो मुख्य कठिनाइयों को दरकिनार करने के लिए उन्हें कुछ तकनीकों को पेश करने की आवश्यकता थी। सबसे पहले, असंरचित जाली पर आधारित पिछले क्रिप्टोसिस्टम सभी रेगेव के सबसे खराब मामले से औसत मामले में शास्त्रीय कमी का उपयोग करते हैं जो बाउंडेड डिस्टेंस डिकोडिंग प्रॉब्लम (बी. डी. डी.) से एल. डब्ल्यू. ई. तक है (यह एस. वी. पी. से एल. डब्ल्यू. ई. तक मात्रा में कमी का शास्त्रीय कदम है)। यह कमी मानी जाने वाली जाली की असंरचितता का फायदा उठाती है, और आदर्श-एल. डब्ल्यू. ई. में शामिल संरचित जाली तक नहीं ले जाती है। विशेष रूप से, एल. डब्ल्यू. ई. मैट्रिक्स की पंक्तियों की संभावित स्वतंत्रता एकल पंक्ति पर विचार करने की अनुमति देती है। दूसरा, पिछले क्रिप्टोसिस्टम में उपयोग किया जाने वाला अन्य घटक, अर्थात् रेगेव का एल. डब्ल्यू. ई. के कम्प्यूटेशनल संस्करण से इसके निर्णयात्मक संस्करण में कमी, भी आदर्श-एल. डब्ल्यू. ई. के लिए विफल प्रतीत होता हैः यह एल. डब्ल्यू. ई. मैट्रिक्स के स्तंभों की संभावित स्वतंत्रता पर निर्भर करता है। इन कठिनाइयों को दूर करने के लिए, उन्होंने कटौती के शास्त्रीय कदम से परहेज किया। इसके बजाय, उन्होंने एस. आई. एस. (औसत-मामला टकराव-खोज समस्या) से एल. डब्ल्यू. ई. तक एक नई क्वांटम औसत-मामले की कमी का निर्माण करने के लिए क्वांटम चरण का उपयोग किया। यह आइडियल-एस. आई. एस. से आइडियल-एल. डब्ल्यू. ई. तक भी काम करता है। सबसे खराब स्थिति आइडियल-एस. वी. पी. से औसत स्थिति आइडियल-एस. आई. एस. तक की कमी के साथ, उन्होंने आइडियल-एस. वी. पी. से आइडियल-एल. डब्ल्यू. ई. तक की मात्रा में कमी प्राप्त की। यह आदर्श-एल. डब्ल्यू. ई. के कम्प्यूटेशनल संस्करण की कठोरता को दर्शाता है। क्योंकि उन्होंने निर्णयात्मक संस्करण की कठोरता प्राप्त नहीं की थी, उन्होंने एन्क्रिप्शन के लिए स्यूडोरैंडम बिट्स प्राप्त करने के लिए एक सामान्य कट्टर कार्य का उपयोग किया। यही कारण है कि उन्हें एस. वी. पी. की घातीय कठोरता को ग्रहण करने की आवश्यकता थी। पूरी तरह से समरूपी कूटलेखन एक पूरी तरह से समरूपी कूटलेखन (एफ. एच. ई.) योजना है जो कूटबद्ध डेटा पर गणना की अनुमति देती है, पहले डिक्रिप्ट करने की आवश्यकता के बिना। पूरी तरह से समरूपी कूटलेखन योजना के निर्माण की समस्या को पहली बार 1978 में रिवेस्ट, एडलमैन और डर्टोज़ोस द्वारा रिवेस्ट, एडलमैन और शमीर द्वारा आरएसए के आविष्कार के तुरंत बाद सामने रखा गया था। एक एन्क्रिप्शन योजना सर्किट के लिए समरूप है यदि, किसी भी सर्किट के लिए, दिया गया है, और, यह उसे धारण करता है। यह पूरी तरह से समरूप है यदि यह आकार के सभी परिपथों के लिए समरूप है जहां योजना का सुरक्षा पैरामीटर है। 2009 में, जेंट्री ने पूरी तरह से समरूप एन्क्रिप्शन योजना के निर्माण की समस्या का पहला समाधान प्रस्तावित किया। उनकी योजना आदर्श जाली पर आधारित थी। जाली-आधारित क्रिप्टोग्राफी होमोमोर्फिक एन्क्रिप्शन रिंग लर्निंग विद एरर्स की एक्सचेंज पोस्ट-क्वांटम क्रिप्टोग्राफी लघु पूर्णांक समाधान समस्या संदर्भ संख्या सिद्धांत जाली-आधारित क्रिप्टोग्राफी पोस्ट-क्वांटम क्रिप्टोग्राफी भी देखें।