Skolem–Mahler–Lech theorem
योगात्मक और बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में, स्कोलेम-माहलर-लेच प्रमेय बताता है कि यदि संख्याओं का एक अनुक्रम एक रैखिक अंतर समीकरण को संतुष्ट करता है, तो परिमित रूप से कई अपवादों के साथ वे स्थान जिन पर अनुक्रम शून्य है, एक नियमित रूप से दोहराया जाने वाला पैटर्न बनाते हैं। इस परिणाम का नाम थोराल्फ स्कोलेम (जिन्होंने परिमेय संख्याओं के अनुक्रमों के लिए प्रमेय को साबित किया), कर्ट माहलर (जिन्होंने इसे बीजगणितीय संख्याओं के अनुक्रमों के लिए साबित किया), और क्रिस्टर लेच (जिन्होंने इसे उन अनुक्रमों के लिए साबित किया जिनके तत्व विशेषता 0 के किसी भी क्षेत्र से संबंधित हैं) के नाम पर रखा गया है। इसके ज्ञात प्रमाण पी-एडिक विश्लेषण का उपयोग करते हैं और गैर-रचनात्मक होते हैं। प्रमेय कथन मान लीजिए कि यह सभी के लिए संतोषजनक जटिल संख्याओं का एक क्रम है, जहाँ जटिल संख्या स्थिरांक (अर्थात, क्रम का एक स्थिर-पुनरावर्ती अनुक्रम) हैं। तब शून्यों का समुच्चय एक परिमित समुच्चय और परिमित रूप से कई अंकगणितीय प्रगति के संघ के बराबर होता है। यदि हमारे पास (1,0,0,0, जैसे अनुक्रमों को छोड़कर) है, तो शून्यों का सेट वास्तव में एक परिमित सेट और परिमित रूप से कई पूर्ण अंकगणितीय प्रगति के संघ के बराबर है, जहां एक अनंत अंकगणितीय प्रगति पूर्ण होती है यदि पूर्णांक a और b मौजूद होते हैं तो प्रगति में b मॉडुलो a के बराबर सभी सकारात्मक पूर्णांक होते हैं। उदाहरण उस अनुक्रम पर विचार करें जो शून्य और फिबोनाची संख्याओं के बीच बारी-बारी से आता है। यह अनुक्रम रैखिक पुनरावृत्ति संबंध (फिबोनाची पुनरावृत्ति का एक संशोधित रूप) द्वारा उत्पन्न किया जा सकता है, जो आधार मामलों F (1) = F (2) = F (4) = 0 और F (3) = 1 से शुरू होता है। इस अनुक्रम के लिए, F (i) = 0 यदि और केवल तभी जब i या तो एक या सम हो। इस प्रकार, जिन स्थितियों पर अनुक्रम शून्य है, उन्हें एक परिमित समुच्चय (एकल टन समुच्चय {1}) और एक पूर्ण अंकगणितीय प्रगति (धनात्मक सम संख्या) में विभाजित किया जा सकता है। इस उदाहरण में, केवल एक अंकगणितीय प्रगति की आवश्यकता थी, लेकिन अन्य पुनरावृत्ति अनुक्रमों में कई अंकगणितीय प्रगति बनाने वाली स्थितियों में शून्य हो सकते हैं। संबंधित परिणाम स्कोलेम समस्या यह निर्धारित करने की समस्या है कि किसी दिए गए पुनरावृत्ति अनुक्रम में शून्य है या नहीं। यह जाँचने के लिए एक एल्गोरिथ्म मौजूद है कि क्या अनंत रूप से कई शून्य हैं, और यदि ऐसा है तो इन शून्यों के आवधिक सेटों में अपघटन का पता लगाने के लिए स्कोलेम-माहलर-लेक प्रमेय द्वारा मौजूद होने की गारंटी है। हालाँकि, यह अज्ञात है कि क्या यह निर्धारित करने के लिए कोई एल्गोरिथ्म मौजूद है कि क्या पुनरावृत्ति अनुक्रम में कोई गैर-आवधिक शून्य है। लेच 1953 में उद्धृत संदर्भ, लेच 1953 में उद्धृत। .. .. संख्या सिद्धांत में प्रमेय बीजगणितीय संख्या सिद्धांत योगात्मक संख्या सिद्धांत पुनरावृत्ति संबंध