Quasitoric manifold
गणित में, एक क्वासिटोरिक मैनिफोल्ड बीजगणितीय ज्यामिति की नॉन-सिंगुलर प्रोजेक्टिव टॉरिक विविधता का एक टोपोलॉजिकल एनालॉग है। एक चिकना-आयामी मैनिफोल्ड एक क्वासिटोरिक मैनिफोल्ड है यदि यह एक-आयामी टोरस की एक चिकनी, स्थानीय रूप से मानक क्रिया को स्वीकार करता है, जिसमें कक्षा अंतरिक्ष एक-आयामी सरल उत्तल पॉलीटोप होता है। क्वासिटोरिक मैनिफोल्ड्स को 1991 में एम. डेविस और टी. जानुस्ज़कीविज़ द्वारा पेश किया गया था, जिन्होंने उन्हें "टॉरिक मैनिफोल्ड्स" कहा था। हालांकि, "क्वासिटोरिक मैनिफोल्ड" शब्द को अंततः कॉम्पैक्ट स्मूथ टॉरिक किस्मों के वर्ग के साथ भ्रम से बचने के लिए अपनाया गया था, जिन्हें बीजगणितीय ज्यामिति के लिए टॉरिक मैनिफोल्ड के रूप में जाना जाता है। क्वासिटोरिक मैनिफोल्ड्स का अध्ययन बीजगणितीय टोपोलॉजी में विभिन्न संदर्भों में किया जाता है, जैसे कि जटिल कोबोर्डिज़्म सिद्धांत और अन्य उन्मुख कोहोमोलॉजी सिद्धांत। परिभाषाएँ-टोरस के-th उपवृत्त को इस प्रकार दर्शाती हैं। फिर ऑन के समन्वय-वार गुणन को मानक प्रतिनिधित्व कहा जाता है। इन और इन में खुले समुच्चयों को देखते हुए, जो की क्रिया के तहत बंद होते हैं, a-एक्शन ऑन को मानक प्रतिनिधित्व के लिए स्थानीय रूप से समरूप होने के लिए परिभाषित किया जाता है यदि, सभी के लिए इन, इन, जहां एक समरूपता है, और की एक स्वरूपता है। पहलुओं के साथ एक साधारण उत्तल पॉलीटोप को देखते हुए, एक-मैनिफोल्ड एक क्वासिटोरिक मैनिफोल्ड है, यदि-क्रिया मानक प्रतिनिधित्व के लिए स्थानीय रूप से समरूप है, तो एक प्रक्षेपण है जो प्रत्येक-आयामी कक्षा को एक-आयामी चेहरे के आंतरिक बिंदु पर मैप करता है। परिभाषा का तात्पर्य है कि-क्रिया के तहत के निश्चित बिंदुओं को द्वारा के शीर्षों पर मैप किया जाता है, जबकि वे बिंदु जहां क्रिया मुक्त होती है, पॉलीटोप के आंतरिक भाग में प्रक्षेपित होती है। द्विगुणात्मक फलन ए क्वासिटोरिक मैनिफोल्ड को एक द्विगुणात्मक फलन और एक संबंधित द्विगुणात्मक मैट्रिक्स के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है। इस सेटिंग में यह मान लेना उपयोगी है कि के पहलुओं को क्रमबद्ध किया गया है ताकि प्रतिच्छेदन एक शीर्ष हो, जिसे प्रारंभिक शीर्ष कहा जाता है। एक द्विरूपात्मक फलन एक समरूपता है, जैसे कि यदि एक कोडीमेंशन-फेस है, तो इसमें सबटोरस के प्रतिबंध पर एक समरूपता है। प्रारंभिक शीर्ष के अनुरूप उपसमूह के लिए λ का प्रतिबंध एक समरूपता है, और इसलिए के लाइ बीजगणित के लिए एक आधार के रूप में लिया जा सकता है। λ से जुड़े लाइ अल्जेब्रा के एपिमॉर्फिज्म को एक रैखिक परिवर्तन के रूप में वर्णित किया जा सकता है, जिसे द्वारा दिए गए डाइकैरेक्टरिस्टिक मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया जाता है। चूँकि प्रत्येक पहलू सदिश आदिम होता है, जब भी पहलू एक शीर्ष में मिलते हैं, तो संबंधित स्तंभ एक आधार बनाते हैं, जिसमें निर्धारक के बराबर होता है। प्रत्येक पहलू से जुड़े समस्थानिक उपसमूह को कुछ लोगों द्वारा वर्णित किया गया है। क्वासिटोरिक मैनिफोल्ड्स के अपने मूल उपचार में, डेविस और जानुस्कीविक्ज़ ने एक विशिष्ट कार्य की धारणा पेश की जो पॉलीटोप के प्रत्येक पहलू को एक वेक्टर के लिए मैप करता है जो पहलू के समस्थानिक उपसमूह को निर्धारित करता है, लेकिन इसे केवल संकेत के लिए परिभाषित किया जाता है। क्वासिटोरिक मैनिफोल्ड्स के हाल के अध्ययनों में, इस अस्पष्टता को डाइकैरेक्टरिस्टिक फ़ंक्शन की शुरुआत और प्रत्येक वृत्त को उन्मुख होने के आग्रह से हटा दिया गया है, जिससे प्रत्येक वेक्टर के लिए संकेत का विकल्प मजबूर होता है। जटिल कोबोर्डिज़्म सिद्धांत में क्वासिटोरिक मैनिफोल्ड्स के अध्ययन को सक्षम करने के लिए डायकैरेक्टरिस्टिक फ़ंक्शन की धारणा को मूल रूप से वी. बुचस्टैबर और एन. रे को पेश किया गया था। प्रारंभिक शीर्ष को परिभाषित करने के लिए पॉलीटोप के पहलुओं के क्रम को पेश करके इसे और परिष्कृत किया गया था, जो अंततः द्विरूपता मैट्रिक्स के उपरोक्त साफ-सुथरे प्रतिनिधित्व की ओर ले जाता है, जहां पहचान मैट्रिक्स है और एक उपमैट्रिक्स है। मोमेन्ट-एंगल कॉम्प्लेक्स से संबंध डाइकैरेक्टरिस्टिक फ़ंक्शन का कर्नेल मोमेन्ट एंगल कॉम्प्लेक्स पर स्वतंत्र रूप से कार्य करता है, और इसलिए परिणामी भागफल स्थान पर एक प्रमुख-बंडल को परिभाषित करता है। इस भागफल स्थान को ऐसे रूप में देखा जा सकता है जहां जोड़ों की पहचान की जाती है और केवल तभी की जा सकती है जब कुछ लोगों के लिए यह उस उपसमूह पर प्रतिबंध की छवि में हो जो बिंदु को धारण करने के अद्वितीय चेहरे से मेल खाता हो। यह दिखाया जा सकता है कि कोई भी क्वासिटोरिक मैनिफोल्ड ऊपर के भागफल स्थान के रूप के क्वासिटोरिक मैनिफोल्ड के लिए समान रूप से भिन्न होता है। उदाहरण-आयामी जटिल प्रोजेक्टिव स्पेस-सिम्प्लेक्स पर एक क्वासिटोरिक मैनिफोल्ड है। यदि इसमें अंतःस्थापित किया जाता है ताकि मूल प्रारंभिक शीर्ष हो, तो एक द्वि-वर्णात्मक कार्य चुना जा सकता है ताकि संबंधित द्वि-वर्णात्मक मैट्रिक्स हो क्षण कोण परिसर-क्षेत्र है, कर्नेल विकर्ण उपसमूह है, इसलिए क्रिया के तहत का भागफल है। बॉट मैनिफोल्ड्स जो बॉट टावर में चरणों का निर्माण करते हैं, वे-क्यूब्स पर क्वासिटोरिक मैनिफोल्ड्स होते हैं। - घन को अंतःस्थापित किया जाता है ताकि मूल प्रारंभिक शीर्ष हो, और एक द्वि-वर्णात्मक कार्य चुना जाता है ताकि संबंधित द्वि-वर्णात्मक मैट्रिक्स पूर्णांकों के लिए दिया गया हो। मोमेंट एंगल कॉम्प्लेक्स 3-गोले की प्रतियों का एक उत्पाद है, जिसमें कर्नेल दिया गया है, ताकि की क्रिया के तहत भागफल एक बॉट टॉवर का-th चरण हो। पूर्णांक मान रेखा बंडलों की टेंसर शक्तियाँ हैं जिनके उत्पाद का उपयोग बॉट टॉवर के पुनरावृत्त गोले-बंडल निर्माण में किया जाता है। द्वारा दिए गए एक क्वासिटोरिक मैनिफोल्ड कैनोनिकल कॉम्प्लेक्स लाइन बंडलों के कोहोमोलॉजी रिंग को, के लिए, जहां कार्य करता है, के प्रत्येक पहलू के साथ एम्बेडेड के-th उपवृत्त के प्रतिबंध द्वारा जोड़ा जा सकता है। इन बंडलों को क्वासिटोरिक मैनिफोल्ड से जुड़े चेहरे के बंडलों के रूप में जाना जाता है। की परिभाषा के अनुसार, एक पहलू की पूर्व छवि एक-आयामी क्वासिटोरिक फेशियल सबमैनिफोल्ड है, जिसका आइसोट्रॉपी उपसमूह के उपवृत्त पर प्रतिबंध है। का प्रतिबंध एम्बेडिंग का सामान्य 2-प्लेन बंडल देता है। आइए पहले चेरन वर्ग को दर्शाते हैं। इंटीग्रल कोहोमोलॉजी रिंग संबंधों के दो सेटों के अधीन, के लिए उत्पन्न होती है। पहला स्टेनली-रेज़नर आदर्श द्वारा उत्पन्न संबंध हैं; द्विरूपक फलन द्वारा निर्धारित रैखिक संबंधों में दूसरा समूह शामिल हैः इसलिए केवल गुणक रूप से उत्पन्न करने की आवश्यकता होती है। टॉरिक मैनिफोल्ड्स के साथ तुलना कोई भी प्रोजेक्टिव टॉरिक मैनिफोल्ड एक क्वासिटोरिक मैनिफोल्ड है, और कुछ मामलों में गैर-प्रोजेक्टिव टॉरिक मैनिफोल्ड्स भी क्वासिटोरिक मैनिफोल्ड्स हैं। सभी क्वासिटोरिक मैनिफोल्ड टॉरिक मैनिफोल्ड नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए, जुड़े हुए योग का निर्माण एक क्वासिटोरिक मैनिफोल्ड के रूप में किया जा सकता है, लेकिन यह एक टॉरिक मैनिफोल्ड नहीं है। टिप्पणियाँ संदर्भ बीजगणितीय टोपोलॉजी टोपोलॉजी मैनिफोल्ड्स