Real hyperelliptic curve
दो प्रकार के अति-दीर्घवृत्तीय वक्र होते हैं, जो बीजगणितीय वक्रों का एक वर्ग हैः वास्तविक अति-दीर्घवृत्तीय वक्र और काल्पनिक अति-दीर्घवृत्तीय वक्र जो अनंत पर बिंदुओं की संख्या से भिन्न होते हैं। प्रत्येक वंश के लिए अति-दीर्घवृत्ताकार वक्र मौजूद हैं। एक परिमित क्षेत्र पर अति-दीर्घवृत्ताकार वक्र का सामान्य सूत्र कुछ शर्तों को पूरा करने के द्वारा दिया जाता है। इस पृष्ठ में, हम वास्तविक अति-दीर्घवृत्ताकार वक्रों के बारे में अधिक वर्णन करते हैं, ये ऐसे वक्र हैं जिनमें अनंत पर दो बिंदु होते हैं जबकि काल्पनिक अति-दीर्घवृत्ताकार वक्रों में अनंत पर एक बिंदु होता है। परिभाषा के पर जीनस जी का एक वास्तविक अति-दीर्घवृत्ताकार वक्र उस रूप के समीकरण द्वारा परिभाषित किया जाता है जिसमें डिग्री जी + 1 से बड़ी नहीं होती है जबकि डिग्री 2 जी + 1 या 2 जी + 2 होनी चाहिए। यह वक्र एक गैर-एकल वक्र है जहाँ के बीजगणितीय समापन में कोई भी बिंदु वक्र समीकरण और दोनों आंशिक व्युत्पन्न समीकरणों को संतुष्ट नहीं करता हैः और। सी पर (परिमित)-रैशनल बिंदुओं का समुच्चय इस प्रकार दिया जाता है कि अनंत पर बिंदुओं का समुच्चय कहाँ है। वास्तविक अति-दीर्घवृत्ताकार वक्रों के लिए, अनंत पर दो बिंदु हैं, और। किसी भी बिंदु के लिए, के विपरीत बिंदु द्वारा दिया जाता है; यह x-निर्देशांक a के साथ दूसरा बिंदु है जो वक्र पर भी स्थित है। उदाहरण लेट्स ओवर। चूंकि और इसकी डिग्री 6 है, इसलिए यह जीनस जी = 2 का एक वक्र है। वक्र समीकरण का सजातीय संस्करण इसके द्वारा दिया गया है (0:1:0) द्वारा दिए गए अनंत पर एक बिंदु है लेकिन यह बिंदु एकवचन है। के विस्फोट में अनंत पर 2 अलग-अलग बिंदु होते हैं, जिन्हें हम और दर्शाते हैं। इसलिए यह वक्र एक वास्तविक अति-दीर्घवृत्ताकार वक्र का एक उदाहरण है। सामान्य तौर पर, एक समीकरण द्वारा दिए गए प्रत्येक वक्र में जहाँ f की सम डिग्री होती है, अनंत पर दो बिंदु होते हैं और यह एक वास्तविक अति-दीर्घवृत्ताकार वक्र होता है, जबकि जहाँ f की विषम डिग्री होती है, वहाँ (0:1:0) पर केवल एक ही बिंदु होता है और इस प्रकार काल्पनिक अति-दीर्घवृत्ताकार वक्र होते हैं। दोनों ही मामलों में यह माना जाता है कि वक्र का अफाइन भाग गैर-एकल है (उपरोक्त व्युत्पन्न पर स्थितियाँ देखें) एक वास्तविक अति-दीर्घवृत्ताकार वक्र में अंकगणितीय वास्तविक अति-दीर्घवृत्ताकार वक्र में, जोड़ को अब अंडाकार वक्रों की तरह बिंदुओं पर परिभाषित नहीं किया जाता है, बल्कि भाजकों और जैकोबियन पर परिभाषित किया जाता है। मान लीजिए कि एक परिमित क्षेत्र के. पर जीनस जी का एक अति-दीर्घवृत्ताकार वक्र है। हम कहाँ और लगभग सभी के लिए लिखते हैं। द्वारा परिभाषित की गई डिग्री को परिभाषित किया जाता है यदि सभी ऑटोमोर्फिज्म σ के लिए। परिभाषित ओवर के भाजकों का समूह जोड़ नियम के तहत एक योगात्मक अबेलियन समूह बनाता है परिभाषित ओवर के सभी डिग्री शून्य भाजकों का समूह एक उपसमूह है। हम एक उदाहरण लेते हैंः चलो और। अगर हम उन्हें जोड़ते हैं। की डिग्री और की डिग्री है। फिर, बहुपदों के लिए, के भाजक को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है यदि फलन में एक बिंदु पर एक ध्रुव है तो एट के गायब होने का क्रम है। मान लीजिए कि इनमें बहुपद हैं; परिमेय फलन के भाजक को प्रमुख भाजक कहा जाता है और इसे इस प्रकार परिभाषित किया जाता है। हम प्रमुख भाजकों के समूह को दर्शाते हैं, अर्थात। जैकोबियन ऑफ ओवर को परिभाषित किया गया है। कारक समूह को विभाजक वर्ग समूह भी कहा जाता है। जिन तत्वों को परिभाषित किया गया है वे समूह बनाते हैं। हम इन के वर्ग द्वारा निरूपित करते हैं। वास्तविक अति-दीर्घवृत्ताकार वक्रों के लिए भाजक वर्गों का प्रतिनिधित्व करने के दो विहित तरीके हैं जिनमें दो बिंदु अनंत हैं। पहला एक डिग्री शून्य भाजक को इस तरह से प्रदर्शित करना है कि, कहाँ, और यदि के प्रतिनिधि को अर्ध कम कहा जाता है। यदि अतिरिक्त शर्त को पूरा करता है तो प्रतिनिधि को कम कर दिया जाता है। ध्यान दें कि कुछ i के लिए अनुमति है। यह इस प्रकार है कि प्रत्येक डिग्री 0 भाजक वर्ग में एक अद्वितीय प्रतिनिधि होता है जिसमें भाजक कहाँ होता है जो और, और दोनों के साथ सहमौलिक होता है। अन्य प्रतिनिधित्व अनंत पर संतुलित है। मान लीजिए कि यह भाजक-तर्कसंगत है, भले ही वे स्वतंत्र रूप से न हों। वर्ग के प्रतिनिधि को इस प्रकार लिखें, जहाँ इसे एफ़ाइन भाग कहा जाता है और इसमें और, और लेट नहीं होता है। उदाहरण के लिए, दो भाजकों के संबंध भागों को दिए जाने दें और फिर संतुलित भाजक हैं और वास्तविक अति-दीर्घवृत्ताकार वक्र से काल्पनिक अति-दीर्घवृत्ताकार वक्र में परिवर्तन। यदि डिग्री 1 का एक विस्तृत अभाज्य भाजक मौजूद है तो हम एक काल्पनिक द्विघात वक्र में द्विवार्षिक परिवर्तन करने में सक्षम हैं। ए (परिमित या अनंत) बिंदु को श्रेणीबद्ध कहा जाता है यदि यह अपने स्वयं के विपरीत के बराबर है। इसका मतलब है कि, अर्थात। वह। यदि श्रेणीबद्ध किया जाता है तो यह एक श्रेणीबद्ध अभाज्य भाजक है। एक विस्तृत-तर्कसंगत परिमित बिंदु के साथ जीनस का वास्तविक अति-दीर्घवृत्ताकार वक्र द्विवार्षिक रूप से जीनस के एक काल्पनिक मॉडल के बराबर है, अर्थात। और फलन क्षेत्र बराबर हैं। यहाँः हमारे उदाहरण में जहाँ, h (x) 0 के बराबर है। किसी भी बिंदु के लिए, 0 के बराबर है और इसलिए पी को विस्तृत करने की आवश्यकता हो जाती है। प्रतिस्थापित करना और, हम प्राप्त करते हैं, जहाँ, अर्थात। () से हम और प्राप्त करते हैं। g = 2 के लिए, हमारे पास है। उदाहरण के लिए, चलो तब और, हम प्राप्त करते हैं भाजकों को हटाने के लिए इस अभिव्यक्ति को गुणा किया जाता है, फिरः वक्र देना जहां एक काल्पनिक द्विघात वक्र है क्योंकि इसकी डिग्री है। संदर्भ बीजगणितीय वक्र