Distortion problem
कार्यात्मक विश्लेषण में, गणित की एक शाखा, विरूपण समस्या यह निर्धारित करने के लिए है कि कोई एक समतुल्य मानक का उपयोग करके दिए गए बनाच स्थान में इकाई क्षेत्र को कितना विकृत कर सकता है। विशेष रूप से, एक बनाच स्थान X को λ-विकृत करने योग्य कहा जाता है यदि X पर एक समतुल्य मानक |x। मौजूद है, जैसे कि X में सभी अनंत-आयामी उपस्थानों Y के लिए, (विकृति (गणित) देखें)। ध्यान दें कि प्रत्येक बनाच स्थान मामूली रूप से 1-विकृत है। बनाच स्पेस को विकृत करने योग्य कहा जाता है यदि यह कुछ λ> 1 के लिए λ-विकृत करने योग्य है और इसे मनमाने ढंग से विकृत करने योग्य कहा जाता है यदि यह किसी भी λ के लिए λ-विकृत करने योग्य है। विकृतता पहली बार 1960 के दशक में बनाच स्पेस के एक महत्वपूर्ण गुण के रूप में उभरी, जहां इसका अध्ययन और द्वारा किया गया था। जेम्स ने साबित किया कि c0 और l1 विकृत नहीं हैं। मिल्मन ने दिखाया कि यदि X एक बनाच स्थान है जिसमें कुछ के लिए c0 या lp की समरूप प्रतिलिपि नहीं है (अनुक्रम स्थान देखें), तो X का कुछ अनंत-आयामी उपक्षेत्र विकृत है। इसलिए विरूपण समस्या अब मुख्य रूप से रिक्त स्थान lp पर रुचि की है, जो सभी अलग करने योग्य और समान उत्तल हैं। पृथक्कृत और समान उत्तल स्थानों में, विरूपता को आसानी से इस स्पष्ट रूप से अधिक सामान्य प्रश्न के बराबर देखा जाता है कि क्या X में गोले पर परिभाषित प्रत्येक वास्तविक-मूल्यवान लिप्सिट्ज़ फ़ंक्शन f एक अनंत आयामी उपक्षेत्र के गोले पर स्थिर होता है या नहीं, यानी, क्या कोई वास्तविक संख्या a ω R है ताकि प्रत्येक δ> 0 के लिए X का एक अनंत आयामी उपक्षेत्र Y हो, ताकि |a −f (y)। <δ, सभी y ω Y के लिए,। |y। = 1 के साथ। लेकिन इसका परिणाम यह है कि l1 पर लिपशिट्ज़ फ़ंक्शन हैं जो स्थिर नहीं होते हैं, हालांकि यह स्थान इसके द्वारा विकृत नहीं है। एक पृथक्कृत हिल्बर्ट स्थान में, विरूपण समस्या इस सवाल के बराबर है कि क्या एक धनात्मक दूरी से अलग किए गए इकाई गोले के उपसमुच्चय मौजूद हैं और फिर भी प्रत्येक अनंत-आयामी बंद उपक्षेत्र को काटते हैं। बनाच रिक्त स्थान के कई गुणों के विपरीत, हिलबर्ट रिक्त स्थान पर विरूपण की समस्या उतनी ही कठिन प्रतीत होती है जितनी कि अन्य बनाच रिक्त स्थान पर होती है। एक अलग किए जा सकने वाले हिल्बर्ट स्थान पर, और अन्य एलपी-स्थानों के लिए, 1 <पी <φ, विरूपण समस्या को सकारात्मक रूप से हल किया गया था, जिन्होंने दिखाया कि एल 2 मनमाने ढंग से विकृत है, द्वारा निर्मित पहले ज्ञात मनमाने ढंग से विकृत स्थान का उपयोग करते हुए। साइरेलसन अंतरिक्ष बनाच अंतरिक्ष संदर्भ भी देखें। .. .. .. .. .. कार्यात्मक विश्लेषण