Orthodiagonal quadrilateral
यूक्लिडियन ज्यामिति में, एक ऑर्थोडायगोनल चतुर्भुज एक चतुर्भुज है जिसमें विकर्ण समकोण पर पार होते हैं। दूसरे शब्दों में, यह एक चार-तरफा आकृति है जिसमें गैर-आसन्न शीर्षों के बीच रेखा खंड एक दूसरे के लिए ऑर्थोगोनल (लंबवत) होते हैं। विशेष मामले एक पतंग एक ऑर्थोडायगोनल चतुर्भुज है जिसमें एक विकर्ण समरूपता की एक रेखा है। पतंग बिल्कुल ऑर्थोडायगोनल चतुर्भुज हैं जिनमें उनकी चारों तरफ एक वृत्त स्पर्शरेखा होती है; यानी, पतंग स्पर्शरेखा ऑर्थोडायगोनल चतुर्भुज हैं। समभुज एक ऑर्थोडायगोनल चतुर्भुज है जिसमें समानांतर भुजाओं के दो जोड़े होते हैं (यानी, एक ऑर्थोडायगोनल चतुर्भुज जो एक समानांतर चतुर्भुज भी है)। एक वर्ग एक पतंग और एक समभुज दोनों का एक सीमित मामला है। ऑर्थोडायगोनल इक्विडियागोनल चतुर्भुज जिसमें विकर्ण कम से कम उतने लंबे होते हैं जितना कि चतुर्भुज की सभी भुजाओं में सभी चतुर्भुजों के बीच उनके व्यास के लिए अधिकतम क्षेत्र होता है, जो सबसे बड़ी छोटी बहुभुज समस्या के n = 4 मामले को हल करता है। वर्ग ऐसा ही एक चतुर्भुज है, लेकिन अनंत रूप से कई अन्य हैं। एक ऑर्थोडायगोनल चतुर्भुज जो समभुज भी है, एक मध्य वर्ग चतुर्भुज है क्योंकि इसका वैरिग्नन समानांतर चतुर्भुज एक वर्ग है। इसके क्षेत्र को विशुद्ध रूप से इसके किनारों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है। किसी भी ऑर्थोडायगोनल चतुर्भुज के लिए, दो विपरीत भुजाओं के वर्गों का योग अन्य दो विपरीत भुजाओं के बराबर होता हैः क्रमिक भुजाओं के लिए a, b, c, और d, हमारे पास है यह पाइथागोरियन प्रमेय से मिलता है, जिसके द्वारा दो वर्गों के इन दो योगों में से किसी एक को चतुर्भुज के शीर्षों से चार वर्ग दूरी के योग के बराबर किया जा सकता है जहां विकर्ण प्रतिच्छेद करते हैं। इसके विपरीत, कोई भी चतुर्भुज जिसमें a2 + c2 = b2 + d2 ऑर्थोडायगोनल होना चाहिए। इसे कई तरीकों से साबित किया जा सकता है, जिसमें कोसाइन, वैक्टर, एक अप्रत्यक्ष प्रमाण और जटिल संख्याओं के नियम का उपयोग करना शामिल है। एक उत्तल चतुर्भुज के विकर्ण लंबवत होते हैं यदि और केवल तभी जब दोनों द्विमानों की लंबाई समान हो। एक अन्य लक्षण वर्णन के अनुसार, एक उत्तल चतुर्भुज ए. बी. सी. डी. के विकर्ण लंबवत होते हैं यदि और केवल तभी जब पी विकर्णों के प्रतिच्छेदन का बिंदु हो। इस समीकरण से यह लगभग तुरंत पता चलता है कि एक उत्तल चतुर्भुज के विकर्ण लंबवत होते हैं यदि और केवल तभी जब चतुर्भुज के किनारों पर विकर्ण प्रतिच्छेदन के अनुमान एक चक्रीय चतुर्भुज के शीर्ष हों। एक उत्तल चतुर्भुज ऑर्थोडायगोनल होता है यदि और केवल तभी जब इसका वैरिग्नन समानांतर चतुर्भुज (जिसका शीर्ष इसकी भुजाओं के मध्य बिंदु हैं) एक आयत हो। एक संबंधित लक्षण वर्णन में कहा गया है कि एक उत्तल चतुर्भुज ऑर्थोडायगोनल है यदि और केवल तभी जब पक्षों के मध्य बिंदु और चार अक्षांशों के पैर आठ चक्रीय बिंदु हों; आठ बिंदु वृत्त। इस वृत्त का केंद्र चतुर्भुज का केंद्रक है। माल्टीट्यूड के पैरों से बने चतुर्भुज को प्रमुख ऑर्थिक चतुर्भुज कहा जाता है। यदि विकर्ण प्रतिच्छेदन के माध्यम से एक उत्तल चतुर्भुज ए. बी. सी. डी. की भुजाओं के नॉर्मल आर, एस, टी, यू और के, एल, एम, एन में विपरीत भुजाओं को काटते हैं, तो ए. बी. सी. डी. ऑर्थोडायगोनल है यदि और केवल तभी जब आठ बिंदु के, एल, एम, एन, आर, एस, टी और यू चक्रीय हों; दूसरा आठ बिंदु वृत्त। एक संबंधित लक्षण वर्णन बताता है कि एक उत्तल चतुर्भुज ऑर्थोडायगोनल है यदि और केवल तभी जब आरएसटीयू एक आयत है जिसकी भुजाएँ एबीसीडी के विकर्णों के समानांतर हैं। विकर्ण प्रतिच्छेदन पी और एक उत्तल चतुर्भुज ए. बी. सी. डी. के शीर्षों द्वारा बनाए गए चार त्रिभुजों के संबंध में कई मीट्रिक लक्षण वर्णन हैं। ए. बी. पी., बी. सी. पी., सी. डी. पी., डी. ए. पी. त्रिकोणों में माध्यिकाओं को एम1, एम2, एम3, एम4 द्वारा पी से लेकर क्रमशः ए. बी., बी. सी., सी. डी., डी. ए. तक दर्शाएँ। यदि आर1, आर2, आर3, आर4 और एच1, एच2, एच3, एच4 क्रमशः इन त्रिभुजों की परिधि और ऊंचाई को दर्शाते हैं, तो चतुर्भुज ए. बी. सी. डी. ऑर्थोडायगोनल है यदि और केवल तभी जब निम्नलिखित समानताओं में से कोई एक होः इसके अलावा, विकर्णों के प्रतिच्छेदन पी के साथ एक चतुर्भुज ए. बी. सी. डी. ऑर्थोडायगोनल है यदि और केवल तभी जब त्रिभुज ए. बी. पी., बी. सी. पी., सी. डी. पी. और डी. ए. पी. के परिधि केंद्र चतुर्भुज की भुजाओं के मध्य बिंदु हैं। एक स्पर्शरेखा चतुर्भुज के साथ तुलना स्पर्शरेखा चतुर्भुज और ऑर्थोडायगोनल चतुर्भुज के कुछ मीट्रिक लक्षण दिखने में बहुत समान हैं, जैसा कि इस तालिका में देखा जा सकता है। ए, बी, सी, डी, परिधि आर1, आर2, आर3, आर4 और ऊंचाई एच1, एच2, एच3, एच4 दोनों प्रकार के चतुर्भुज में ऊपर के समान हैं। क्षेत्रफल एक ऑर्थोडायगोनल चतुर्भुज का क्षेत्रफल K, विकर्ण p और q की लंबाई के गुणनफल के आधे के बराबर होता हैः इसके विपरीत, कोई भी उत्तल चतुर्भुज जहाँ इस सूत्र के साथ क्षेत्रफल की गणना की जा सकती है, ऑर्थोडायगोनल होना चाहिए। ऑर्थोडायगोनल चतुर्भुज में दिए गए विकर्णों के साथ सभी उत्तल चतुर्भुजों का सबसे बड़ा क्षेत्र है। अन्य गुण ऑर्थोडायगोनल चतुर्भुज केवल चतुर्भुज हैं जिनके लिए विकर्णों द्वारा बनाए गए पक्ष और कोण विशिष्ट रूप से क्षेत्र का निर्धारण नहीं करते हैं। उदाहरण के लिए, दो समभुज दोनों का समान पक्ष a है (और, सभी समभुज के लिए, दोनों का विकर्णों के बीच समकोण है), लेकिन एक का दूसरे की तुलना में छोटा तीव्र कोण है, अलग-अलग क्षेत्र हैं (पूर्व का क्षेत्र शून्य की ओर बढ़ रहा है क्योंकि तीव्र कोण शून्य की ओर बढ़ रहा है)। यदि वर्ग किसी भी चतुर्भुज (उत्तल, अवतल, या पार) के किनारों पर बाहर की ओर खड़े किए जाते हैं, तो उनके केंद्र (केंद्रक) एक ऑर्थोडायगोनल चतुर्भुज के शीर्ष होते हैं जो समकोण भी होते हैं (यानी, समान लंबाई के विकर्ण होते हैं)। इसे वान ऑबेल की प्रमेय कहा जाता है। एक ऑर्थोडायगोनल चतुर्भुज के प्रत्येक पक्ष में पास्कल बिंदु वृत्त के साथ कम से कम एक सामान्य बिंदु होता है। एक चक्रीय ऑर्थोडायगोनल चतुर्भुज के लिए (जिसे एक वृत्त में अंकित किया जा सकता है), मान लीजिए कि विकर्णों का प्रतिच्छेदन एक विकर्ण को लंबाई p1 और p2 के खंडों में विभाजित करता है और दूसरे विकर्ण को लंबाई q1 और q2 के खंडों में विभाजित करता है। फिर (पहली समानता आर्किमिडीज़ की बुक ऑफ़ लेम्मास में प्रस्ताव 11 है) जहाँ डी परिधि का व्यास है। ऐसा इसलिए होता है क्योंकि विकर्ण एक वृत्त के लंबवत तार होते हैं। इस प्रकार, यूलर के चतुर्भुज प्रमेय के अनुसार, परिधि को विकर्ण p और q के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है, और विकर्णों के मध्य बिंदुओं के बीच की दूरी x को चार पक्षों के संदर्भ में एक चक्रीय ऑर्थोडायगोनल चतुर्भुज के क्षेत्र K के लिए एक सूत्र के रूप में टॉलेमी के प्रमेय और एक ऑर्थोडायगोनल चतुर्भुज के क्षेत्र के लिए सूत्र को जोड़ते समय सीधे प्राप्त किया जाता है। परिणाम है अन्य गुण एक चक्रीय ऑर्थोडायगोनल चतुर्भुज में, एंटीसेंटर उस बिंदु के साथ मेल खाता है जहां विकर्ण प्रतिच्छेद करते हैं। ब्रह्मगुप्त के प्रमेय में कहा गया है कि एक चक्रीय ऑर्थोडायगोनल चतुर्भुज के लिए, विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु के माध्यम से किसी भी तरफ से लंबवत विपरीत पक्ष को द्विभाजित करता है। यदि एक ऑर्थोडायगोनल चतुर्भुज भी चक्रीय है, तो परिधि केंद्र (परिवेष्टित वृत्त का केंद्र) से किसी भी तरफ की दूरी विपरीत पक्ष की आधी लंबाई के बराबर होती है। एक चक्रीय ऑर्थोडायगोनल चतुर्भुज में, विकर्णों के मध्य बिंदुओं के बीच की दूरी परिधि केंद्र और उस बिंदु के बीच की दूरी के बराबर होती है जहां विकर्ण प्रतिच्छेद करते हैं। उत्कीर्ण आयतों के अनंत समुच्चय प्रत्येक ऑर्थोडायगोनल चतुर्भुज के लिए, हम आयतों के दो अनंत समुच्चय लिख सकते हैंः (i) आयतों का एक समुच्चय जिसकी भुजाएँ चतुर्भुज के विकर्णों के समानांतर होती हैं (ii) पास्कल-बिंदु वृत्तों द्वारा परिभाषित आयतों का एक समुच्चय। संदर्भ चतुर्भुजों के प्रकार