Bounded type (mathematics)
गणित में, जटिल तल के एक क्षेत्र पर परिभाषित एक फलन को सीमित प्रकार का कहा जाता है यदि यह उस क्षेत्र में बंधे दो विश्लेषणात्मक कार्यों के अनुपात के बराबर है। लेकिन आम तौर पर, एक फलन किसी क्षेत्र में सीमित प्रकार का होता है यदि और केवल तभी जब वह विश्लेषणात्मक होता है और कहाँ पर एक हार्मोनिक प्रमुख होता है। दो सीमित विश्लेषणात्मक कार्यों का अनुपात होने के कारण एक कार्य के सीमित प्रकार (एक हार्मोनिक प्रमुख के संदर्भ में परिभाषित) होने के लिए एक पर्याप्त शर्त है, और यदि बस जुड़ा हुआ है तो स्थिति भी आवश्यक है। इन सभी के वर्ग को आम तौर पर दर्शाया जाता है और कभी-कभी इसके लिए नेवनलिन्ना वर्ग कहा जाता है। नेवनलिन्ना वर्ग में सभी हार्डी वर्ग शामिल हैं। बंधे हुए प्रकार के कार्य आवश्यक रूप से बंधे नहीं होते हैं, न ही उनके पास "प्रकार" नामक एक गुण होता है जो बंधे होते हैं। नाम का कारण शायद यह है कि जब एक डिस्क पर परिभाषित किया जाता है, तो नेवनलिन्ना विशेषता (डिस्क के केंद्र से दूरी का एक कार्य) बंधी होती है। स्पष्ट रूप से, यदि कोई फलन दो बंधे हुए फलन का अनुपात है, तो इसे दो फलन के अनुपात के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जो 1 से बंधे हैंः के और के लघुगणक क्षेत्र में गैर-नकारात्मक हैं, इसलिए बाद वाला एक विश्लेषणात्मक फलन का वास्तविक हिस्सा है और इसलिए हार्मोनिक है, जो दर्शाता है कि ω पर एक हार्मोनिक प्रमुख है। किसी दिए गए क्षेत्र के लिए, राशि, अंतर और बंधे हुए प्रकार के कार्यों के उत्पाद बंधे हुए प्रकार के होते हैं, जैसा कि दो ऐसे कार्यों का भागफल है जब तक कि भाजक समान रूप से शून्य न हो। उदाहरण बहुपद किसी भी बंधे हुए क्षेत्र में बंधे हुए प्रकार के होते हैं। वे ऊपरी अर्ध-तल (यूएचपी) में भी सीमित प्रकार के होते हैं, क्योंकि डिग्री एन के बहुपद को यूएचपी में सीमित दो विश्लेषणात्मक कार्यों के अनुपात के रूप में व्यक्त किया जा सकता हैः एक बहुपद का व्युत्क्रम भी एक क्षेत्र में सीमित प्रकार का होता है, जैसा कि कोई भी परिमेय कार्य है। फलन यू. एच. पी. में सीमित प्रकार का होता है यदि और केवल तभी जब ए वास्तविक हो। यदि ए धनात्मक है तो फलन स्वयं यूएचपी में बंधा हुआ है (इसलिए हम उपयोग कर सकते हैं), और यदि ए ऋणात्मक है तो फलन 1/क्यू (जेड) के बराबर होता है। साइन और कोसाइन यूएचपी में बाउंडेड प्रकार के होते हैं। वास्तव में, दोनों के साथ यूएचपी में बंधे हैं। उपरोक्त सभी उदाहरण विभिन्न पी और क्यू कार्यों का उपयोग करते हुए निचले आधे तल में भी सीमित प्रकार के हैं। लेकिन "बाउंडेड टाइप" शब्द की परिभाषा में उल्लिखित क्षेत्र संपूर्ण जटिल तल नहीं हो सकता है जब तक कि फलन स्थिर न हो क्योंकि किसी को पूरे क्षेत्र पर एक ही पी और क्यू का उपयोग करना चाहिए, और केवल पूरे कार्य (यानी पूरे जटिल तल में विश्लेषणात्मक) जो लिउविल के प्रमेय द्वारा सीमित हैं, वे स्थिर हैं। ऊपरी अर्ध-तल में एक और उदाहरण "नेवनलिन्ना फ़ंक्शन" है, जो एक विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन है जो यूएचपी को बंद यूएचपी में मैप करता है। यदि f (z) इस प्रकार का है, तो जहाँ P और Q बंधे हुए फलन हैंः (यह स्पष्ट रूप से एक ऐसे फलन पर भी लागू होता है, जिसका वास्तविक भाग UHP में गैर-नकारात्मक है।) गुण किसी दिए गए क्षेत्र के लिए, बंधे हुए प्रकार के दो (गैर-शून्य) कार्यों का योग, उत्पाद या भागफल भी बंधे हुए प्रकार का होता है। सीमित प्रकार के कार्यों का समुच्चय जटिल संख्याओं पर एक बीजगणित है और वास्तव में एक क्षेत्र है। ऊपरी अर्ध-तल में सीमित प्रकार के किसी भी कार्य (0 के कुछ पड़ोस में जड़ों की एक सीमित संख्या के साथ) को एक ब्लास्के उत्पाद (एक विश्लेषणात्मक कार्य, जो क्षेत्र में सीमित है, जो शून्यों को कारक बनाता है) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जो भागफल को गुणा करता है जहां और 1 से घिरा हुआ है और यूएचपी में कोई शून्य नहीं है। तब कोई भी इस भागफल को व्यक्त कर सकता है कि यूएचपी में गैर-नकारात्मक वास्तविक भाग वाले विश्लेषणात्मक कार्य कहाँ और कहाँ हैं। इनमें से प्रत्येक को एक पॉइसन प्रतिनिधित्व द्वारा व्यक्त किया जा सकता है (नेवनलिन्ना कार्य देखें): जहां c और d काल्पनिक स्थिरांक हैं, p और q गैर-नकारात्मक वास्तविक स्थिरांक हैं, और μ और ν एक वास्तविक चर के गैर-घटते कार्य हैं (अच्छी तरह से व्यवहार किया जाता है ताकि समाकलन अभिसरण करें)। अंतर q−p को लुई डी ब्रांजेस द्वारा "माध्य प्रकार" नाम दिया गया है और काल्पनिक अक्ष के साथ फलन की वृद्धि या क्षय का वर्णन करता हैः ऊपरी अर्ध-तल में माध्य प्रकार फलन के निरपेक्ष मान के लघुगणक के भारित औसत की सीमा है जिसे शून्य से दूरी से विभाजित किया जाता है, इस तरह से सामान्यीकृत किया जाता है कि मान 1 हैः यदि एक पूरा फलन ऊपरी और निचले अर्ध-तल दोनों में सीमित प्रकार का है तो यह दो संबंधित "माध्य प्रकारों" में से उच्च के बराबर घातीय प्रकार का है (और उच्चतर एक गैर-नकारात्मक होगा)। 1 से अधिक क्रम का एक संपूर्ण फलन (जिसका अर्थ है कि किसी दिशा में यह घातीय प्रकार के फलन की तुलना में तेजी से बढ़ता है) किसी भी अर्ध-तल में सीमित प्रकार का नहीं हो सकता है। इस प्रकार हम z के उपयुक्त घातांक और मनमाने नेवनलिन्ना फलन के घातांक को i से गुणा करके सीमित प्रकार के फलन का उत्पादन कर सकते हैं, उदाहरण के लिएः ऊपर दिए गए उदाहरणों के संबंध में, बहुपदों का माध्य प्रकार या उनका व्युत्क्रम शून्य है। ऊपरी अर्ध-तल में इसका औसत प्रकार-a है, जबकि निचले अर्ध-तल में यह a है। दोनों अर्ध-समतल में माध्य प्रकार 1 है। गैर-सकारात्मक माध्य प्रकार के साथ ऊपरी अर्ध-तल में सीमित प्रकार के कार्यों और वास्तविक अक्ष के लिए एक निरंतर, वर्ग-अभिन्न विस्तार होने पर दिलचस्प गुण (अनुप्रयोगों में उपयोगी) होता है कि समाकलन (वास्तविक अक्ष के साथ) बराबर होता है यदि z ऊपरी अर्ध-तल में है और शून्य यदि z निचले अर्ध-तल में है। इसे ऊपरी अर्ध-तल के लिए कौची सूत्र कहा जा सकता है। डी ब्रांजेस स्पेस रॉल्फ नेवनलिन्ना संदर्भ परिसर विश्लेषण विशेष कार्यों के प्रकार भी देखें।