Berry connection and curvature
भौतिकी में, बेरी कनेक्शन और बेरी वक्रता संबंधित अवधारणाएँ हैं जिन्हें क्रमशः बेरी चरण या ज्यामितीय चरण से जुड़े स्थानीय गेज क्षमता और गेज क्षेत्र के रूप में देखा जा सकता है। इस अवधारणा को पहली बार एस. पंचरत्नम द्वारा ज्यामितीय चरण के रूप में पेश किया गया था और बाद में 1984 में प्रकाशित एक पेपर में माइकल बेरी द्वारा विस्तृत रूप से समझाया और लोकप्रिय किया गया था कि कैसे ज्यामितीय चरण शास्त्रीय और क्वांटम भौतिकी की कई शाखाओं में एक शक्तिशाली एकीकृत अवधारणा प्रदान करते हैं। बेरी चरण और चक्रीय एडियाबेटिक विकास क्वांटम यांत्रिकी में, बेरी चरण एक चक्रीय एडियाबेटिक विकास में उत्पन्न होता है। क्वांटम एडियाबेटिक प्रमेय एक ऐसी प्रणाली पर लागू होता है जिसका हैमिल्टनियन एक (वेक्टर) पैरामीटर पर निर्भर करता है जो समय के साथ बदलता है। यदि 'th आइगेनवैल्यू पथ के साथ हर जगह गैर-अपक्षयी रहता है और समय t के साथ भिन्नता पर्याप्त रूप से धीमी है, तो शुरू में सामान्यीकृत आइगेनस्टेट में एक प्रणाली हैमिल्टनियन के एक तात्कालिक आइगेनस्टेट में, एक चरण तक, पूरी प्रक्रिया में रहेगी। चरण के संबंध में, समय t पर स्थिति को लिखा जा सकता है जहाँ दूसरा घातीय शब्द "गतिशील चरण कारक" है। पहला घातीय शब्द ज्यामितीय शब्द है, जिसमें बेरी चरण है। समय-निर्भर श्रोडिंगर समीकरण को संतुष्ट करने वाली आवश्यकता से, यह दिखाया जा सकता है कि बेरी चरण केवल पैरामीटर स्थान में पथ पर निर्भर करता है, न कि उस दर पर जिस पर पथ पार किया जाता है। एक बंद पथ के चारों ओर एक चक्रीय विकास के मामले में, बंद पथ बेरी चरण भौतिक प्रणाली का एक उदाहरण है जहां एक इलेक्ट्रॉन एक बंद पथ के साथ चलता है, वह है साइक्लोट्रॉन गति (विवरण बेरी चरण के पृष्ठ में दिए गए हैं)। सही परिमाणीकरण स्थिति प्राप्त करने के लिए बेरी चरण पर विचार किया जाना चाहिए। गेज परिवर्तन एक गेज परिवर्तन को अवस्थाओं के एक नए समूह में किया जा सकता है जो केवल एक निर्भर चरण कारक द्वारा मूल से भिन्न होता है। यह ओपन-पाथ बेरी चरण को संशोधित करता है। एक बंद पथ के लिए, निरंतरता के लिए (एक पूर्णांक) की आवश्यकता होती है, और यह एक मनमाने गेज परिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय, मॉड्यूलो का अनुसरण करता है। बेरी कनेक्शन ऊपर परिभाषित बंद-पथ बेरी चरण को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है कि बेरी कनेक्शन (या बेरी क्षमता) के रूप में जाना जाने वाला एक वेक्टर-मूल्यवान फलन कहाँ है। बेरी कनेक्शन गेज-निर्भर है, के रूप में परिवर्तित हो रहा है। इसलिए स्थानीय बेरी कनेक्शन कभी भी भौतिक रूप से अवलोकन योग्य नहीं हो सकता है। हालांकि, एक बंद पथ, बेरी चरण के साथ इसका अभिन्न, के एक पूर्णांक गुणक तक गेज-अपरिवर्तनीय है। इस प्रकार, यह पूरी तरह से माप-अपरिवर्तनीय है, और भौतिक अवलोकन से संबंधित हो सकता है। बेरी वक्रता बेरी वक्रता एक सममित-विरोधी दूसरी श्रेणी का टेंसर है जो बेरी कनेक्शन से प्राप्त होता है एक त्रि-आयामी पैरामीटर स्पेस में बेरी वक्रता को स्यूडोवेक्टर रूप में लिखा जा सकता है बेरी वक्रता के टेंसर और स्यूडोवेक्टर रूप लेवी-सिविटा एंटीसिमेट्रिक टेंसर के माध्यम से एक दूसरे से संबंधित हैं। बेरी कनेक्शन के विपरीत, जो एक बंद पथ के आसपास एकीकृत होने के बाद ही भौतिक होता है, बेरी वक्रता पैरामीटर स्थान में तरंग कार्यों के ज्यामितीय गुणों की एक गेज-अपरिवर्तनीय स्थानीय अभिव्यक्ति है, और विभिन्न प्रकार के इलेक्ट्रॉनिक गुणों को समझने के लिए एक आवश्यक भौतिक घटक साबित हुआ है। एक बंद पथ के लिए जो एक सतह की सीमा बनाता है, बंद पथ बेरी चरण को स्टोक्स के प्रमेय का उपयोग करके फिर से लिखा जा सकता है जैसे कि यदि सतह एक बंद मैनिफोल्ड है, तो सीमा शब्द गायब हो जाता है, लेकिन सीमा शब्द मॉड्यूलो की अनिश्चितता खुद को चेरन प्रमेय में प्रकट करती है, जिसमें कहा गया है कि एक बंद मैनिफोल्ड पर बेरी वक्रता का अभिन्न अंग की इकाइयों में मापा जाता है। यह संख्या तथाकथित चेरन संख्या है, और विभिन्न मात्रात्मक प्रभावों को समझने के लिए आवश्यक है। अंत में, ध्यान दें कि बेरी वक्रता को अन्य सभी आइगेनस्टेटों के योग के रूप में भी लिखा जा सकता है उदाहरण के लिएः एक चुंबकीय क्षेत्र में स्पिनोर एक चुंबकीय क्षेत्र में एक स्पिन-1/2 कण के हैमिल्टनियन को इस प्रकार लिखा जा सकता है जहां पाउली मैट्रिक्स को दर्शाता है, चुंबकीय क्षण है, और बी चुंबकीय क्षेत्र है। तीन आयामों में, आइगेनस्टेट में ऊर्जा होती है और उनके आइगेनवेक्टर अब अवस्था पर विचार करते हैं। यदि हम (या किसी अन्य चरण) से गुणा करके एक नया गेज चुनते हैं, तो बेरी कनेक्शन और हैं, जबकि बेरी वक्रता समान रहती है। यह इस निष्कर्ष के अनुरूप है कि बेरी कनेक्शन गेज-निर्भर है जबकि बेरी वक्रता नहीं है। बेरि वक्रता प्रति ठोस कोण इसके द्वारा दी जाती है। इस मामले में, चुंबकीय क्षेत्र स्थान में इकाई क्षेत्र पर किसी भी दिए गए पथ के अनुरूप बेरी चरण पथ द्वारा कम किए गए ठोस कोण का सिर्फ आधा है। इसलिए पूरे गोले पर बेरी वक्रता का अभिन्न अंग बिल्कुल ठीक है, इसलिए चेरन संख्या एकता है, जो चेरन प्रमेय के अनुरूप है। क्रिस्टलों में अनुप्रयोग बेरी चरण क्रिस्टलीय ठोस पदार्थों में इलेक्ट्रॉनिक गुणों की आधुनिक जांच और क्वांटम हॉल प्रभाव के सिद्धांत में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। क्रिस्टलीय विभव की आवधिकता ब्लॉच प्रमेय के अनुप्रयोग की अनुमति देती है, जिसमें कहा गया है कि हैमिल्टनियन आइगेनस्टेट उस रूप को लेते हैं जहां एक बैंड सूचकांक होता है, पारस्परिक-स्थान (ब्रिलौइन क्षेत्र) में एक तरंगवाहक होता है, और इसका एक आवधिक कार्य होता है। फिर, पैरामीटर की भूमिका निभाने के लिए, पारस्परिक स्थान में बेरी चरणों, कनेक्शन और वक्रता को परिभाषित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, पारस्परिक स्थान में बेरी संबंध है क्योंकि ब्लॉच प्रमेय का यह भी तात्पर्य है कि पारस्परिक स्थान स्वयं बंद है, ब्रिलौइन क्षेत्र में तीन आयामों में 3-कोरस की टोपोलॉजी है, एक बंद लूप या मैनिफोल्ड पर एकीकृत करने की आवश्यकताओं को आसानी से पूरा किया जा सकता है। इस तरह, विद्युत ध्रुवीकरण, कक्षीय चुंबकत्व, विसंगत कक्ष चालकता और कक्षीय चुंबक विद्युत युग्मन जैसे गुणों को बेरी चरणों, कनेक्शन और वक्रता के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है। संदर्भ बाहरी लिंक पाँच साल बाद क्वांटम चरण। एम. बेरी द्वारा इलेक्ट्रॉनिक संरचना सिद्धांत में बेरी चरण और वक्रता डी. वेंडरबिल्ट द्वारा एक वार्ता। बेरी-ऑलॉजी, ऑर्बिटल मैग्नेटोइलेक्ट्रिक इफेक्ट्स, और टोपोलॉजिकल इंसुलेटर-डी. वेंडरबिल्ट द्वारा एक वार्ता। शास्त्रीय यांत्रिकी क्वांटम चरण