Auslander–Reiten theory
बीजगणित में, ऑसलैंडर-रेइटन सिद्धांत ऑसलैंडर-रेइटन अनुक्रम (जिसे लगभग विभाजित अनुक्रम भी कहा जाता है) और ऑसलैंडर-रेइटन क्विवर्स जैसी तकनीकों का उपयोग करके आर्टिनियन रिंग्स के प्रतिनिधित्व सिद्धांत का अध्ययन करता है। ऑसलैंडर-रेइटन सिद्धांत को उनके द्वारा कई बाद के शोध पत्रों में पेश किया गया और विकसित किया गया। ऑसलैंडर-रेइटन सिद्धांत पर सर्वेक्षण लेखों के लिए देखें, और पुस्तक। ऑसलैंडर-रेइटन सिद्धांत पर कई मूल लेख पुनः मुद्रित किए गए हैं। लगभग-विभाजित अनुक्रम मान लीजिए कि आर एक आर्टिन बीजगणित है। आर पर परिमित रूप से उत्पन्न बाएं मॉड्यूल के एक अनुक्रम को लगभग-विभाजन अनुक्रम (या ऑसलैंडर-रेइटन अनुक्रम) कहा जाता है यदि इसमें निम्नलिखित गुण हैंः अनुक्रम विभाजित नहीं है सी अवियोजी है और एक अवियोजी मॉड्यूल से सी तक कोई भी समरूपता जो बी के माध्यम से समरूपता कारक नहीं है। ए असंकलनीय है और ए से एक असंकलनीय मॉड्यूल में कोई भी समरूपता जो बी के माध्यम से समरूपता कारक नहीं है। किसी भी परिमित रूप से उत्पन्न बाएं मॉड्यूल सी के लिए जो अभेद्य है लेकिन प्रोजेक्टिव नहीं है, ऊपर के रूप में एक लगभग-विभाजन अनुक्रम है, जो समरूपता तक अद्वितीय है। इसी तरह किसी भी परिमित रूप से उत्पन्न बाएं मॉड्यूल ए के लिए जो अभेद्य है लेकिन इंजेक्टिव नहीं है, ऊपर के रूप में एक लगभग-विभाजन अनुक्रम है, जो समरूपता तक अद्वितीय है। लगभग विभाजित अनुक्रम में मॉड्यूल ए, डी. टी. आर. सी. के समरूपी है, जो सी. के पारगमन का दोहरा है। उदाहरण के लिए मान लीजिए कि आर एक क्षेत्र के लिए वलय k [x]/(xn) है और एक पूर्णांक n ≤ 1 है। असंयोजित मॉड्यूल 1 ≤ m ≤ n के लिए k [x]/(xm) में से एक के लिए समरूप हैं, और एकमात्र प्रोजेक्टिव मॉड्यूल में m = n है। लगभग विभाजित अनुक्रम 1 ≤ m <n के लिए समरूप हैं। पहला आकृतिवाद a को (xa, a) और दूसरा (b, c) को b − xc पर ले जाता है। ऑसलैंडर-रेइटन क्विवर एक आर्टिन बीजगणित के ऑसलैंडर-रेइटन क्विवर में प्रत्येक असंकलनीय मॉड्यूल के लिए एक शीर्ष होता है और शीर्षों के बीच एक तीर होता है यदि संबंधित मॉड्यूल के बीच एक अपरिवर्तनीय आकृतिवाद होता है। इसमें एक मानचित्र τ = D Tr है जिसे गैर-प्रोजेक्टिव शीर्षों से गैर-इंजेक्टिव शीर्षों में अनुवाद कहा जाता है, जहां D दोहरी और Tr ट्रांसपोज़ है। संदर्भ बाहरी लिंक प्रतिनिधित्व सिद्धांत