Tilting theory
गणित में, विशेष रूप से प्रतिनिधित्व सिद्धांत, झुकाव सिद्धांत तथाकथित झुकाव मॉड्यूल और संबंधित झुकाव फ़ंक्टर का उपयोग करके दो बीजगणों की मॉड्यूल श्रेणियों को संबंधित करने के तरीके का वर्णन करता है। यहाँ, दूसरा बीजगणित पहले बीजगणित पर एक झुकाव मॉड्यूल का एंडोमोर्फिज्म बीजगणित है। झुकाव सिद्धांत प्रतिबिंब फ़ंक्टरों की शुरुआत से प्रेरित था; इन फ़ंक्टरों का उपयोग दो क्विवर्स के प्रतिनिधित्व को संबंधित करने के लिए किया गया था। इन फ़ंक्टरों को उनके द्वारा सुधार किया गया और सामान्यीकृत किया गया जिन्होंने झुकाव वाले फ़ंक्टरों की शुरुआत की। इसके आगे के सामान्यीकरण के रूप में झुके हुए बीजगणित और झुकने वाले मॉड्यूल को परिभाषित किया गया है। परिभाषाएँ मान लीजिए कि ए किसी क्षेत्र पर एक परिमित-आयामी एकात्मक सहयोगी बीजगणित है। एक परिमित रूप से उत्पन्न सही ए-मॉड्यूल टी को झुकाव मॉड्यूल कहा जाता है यदि इसमें निम्नलिखित तीन गुण हैंः टी में अधिकतम 1 पर प्रोजेक्टिव आयाम है, दूसरे शब्दों में यह एक प्रोजेक्टिव उप-मॉड्यूल द्वारा एक प्रोजेक्टिव मॉड्यूल का भागफल है। एक्सट (टी, टी) = 0। सही ए-मॉड्यूल ए टी के प्रत्यक्ष योगों के सीमित प्रत्यक्ष योगों के बीच एक सर्जेक्टिव मॉर्फिज्म का कर्नेल है। इस तरह के झुकाव मॉड्यूल को देखते हुए, हम एंडोमोर्फिज्म बीजगणित बी = एंडए (टी) को परिभाषित करते हैं। यह एक और परिमित-आयामी बीजगणित है, और टी एक परिमित रूप से उत्पन्न बाएं बी-मॉड्यूल है। झुकाव कारक होमए (टी,-), एक्स्ट (टी,-),-बीटी और टोर (-, टी) परिमित रूप से उत्पन्न सही ए-मॉड्यूल की श्रेणी मॉड-ए को परिमित रूप से उत्पन्न सही बी-मॉड्यूल की श्रेणी मॉड-बी से संबंधित करते हैं। व्यवहार में कोई भी अक्सर वंशानुगत परिमित-आयामी बीजगणित ए पर विचार करता है क्योंकि ऐसे बीजगणित पर मॉड्यूल श्रेणियां काफी अच्छी तरह से समझी जाती हैं। वंशानुगत परिमित-आयामी बीजगणित पर एक झुकाव मॉड्यूल के एंडोमोर्फिज्म बीजगणित को झुका हुआ बीजगणित कहा जाता है। तथ्य मान लीजिए कि ए एक परिमित-आयामी बीजगणित है, टी ए पर एक झुकाव मॉड्यूल है, और बी = एंड ए (टी) है। एफ = होमए (टी,-), एफ′ = एक्सट (टी,-), जी =-बीटी, और जी′ = टोर (-, टी) लिखें। F, G के ठीक बगल में है और F′, G′ के ठीक बगल में है। यह दर्शाता है कि झुकाव कारक मॉड-ए और मॉड-बी की कुछ उपश्रेणियों के बीच समानता देते हैं। विशेष रूप से, यदि हम दो उपश्रेणियों और ए-मॉड, और दो उपश्रेणियों और बी-मॉड को परिभाषित करते हैं, तो ए-मॉड (यानी ए-मॉड) में एक मरोड़ जोड़ी है। और गुण के साथ अधिकतम उपश्रेणियाँ हैं; इसका तात्पर्य है कि ए-मॉड में प्रत्येक एम यू इन और वी इन के साथ एक प्राकृतिक लघु सटीक अनुक्रम को स्वीकार करता है) और बी-मॉड में एक मरोड़ जोड़ी है। इसके अलावा, फंक्टर एफ और जी के प्रतिबंधों से और के बीच व्युत्क्रम समतुल्यता प्राप्त होती है, जबकि एफ और जी के प्रतिबंधों से और के बीच व्युत्क्रम समतुल्यता प्राप्त होती है। (ध्यान दें कि ये समतुल्यताएँ मरोड़ जोड़े के क्रम को बदलती हैं और।) झुकाव सिद्धांत को मोरिता समतुल्यता के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है जिसे पुनर्प्राप्त किया जाता है यदि T एक प्रोजेक्टिव जनरेटर है; उस मामले में और। यदि A का परिमित वैश्विक आयाम है, तो B का भी सीमित वैश्विक आयाम है, और F और F का अंतर ग्रोथेन्डिक समूहों K0 (A) और K0 (B) के बीच एक सममिति को प्रेरित करता है। यदि ए वंशानुगत है (अर्थात। बी एक झुका हुआ बीजगणित है), बी का वैश्विक आयाम अधिकतम 2 है, और मरोड़ जोड़ी विभाजित होती है, अर्थात। बी-मॉड की प्रत्येक असंकलनीय वस्तु या तो अंदर या अंदर होती है। और यह दिखाया कि सामान्य रूप से ए और बी समतुल्य हैं (अर्थात। व्युत्पन्न श्रेणियाँ डी. बी. (ए-मॉड) और डी. बी. (बी-मॉड) त्रिकोणीय श्रेणियों के बराबर हैं। सामान्यीकरण और विस्तार सीमित-आयामी बीजगणित ए पर एक सामान्यीकृत झुकाव मॉड्यूल निम्नलिखित तीन गुणों के साथ एक सही ए-मॉड्यूल टी हैः टी में सीमित प्रोजेक्टिव आयाम है। सभी i> 0 के लिए एक्सट (T, T) = 0। एक सटीक अनुक्रम है जहां टीआई टी के प्रत्यक्ष योगों के सीमित प्रत्यक्ष योग हैं। ये सामान्यीकृत झुकाव मॉड्यूल ए और बी के बीच व्युत्पन्न समतुल्यता भी प्रदान करते हैं, जहां बी = एंड ए (टी) है। यह साबित करके व्युत्पन्न समतुल्यता पर परिणामों का विस्तार किया कि दो परिमित-आयामी बीजगणित आर और एस समतुल्य प्राप्त होते हैं यदि और केवल तभी जब एस आर पर "झुकाव परिसर" का एंडोमोर्फिज्म बीजगणित है। झुकाव परिसर सामान्यीकृत झुकाव मॉड्यूल के सामान्यीकरण हैं। इस प्रमेय का एक संस्करण मनमाने वलय आर और एस के लिए मान्य है. वंशानुगत अबेलियन श्रेणियों में झुकी हुई वस्तुओं को परिभाषित किया गया है जिसमें सभी होम-और एक्सट-स्पेस कुछ बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र k पर सीमित-आयामी हैं। इन झुकी हुई वस्तुओं के एंडोमोर्फिज्म बीजगणित अर्ध-झुके हुए बीजगणित हैं, जो झुके हुए बीजगणित का सामान्यीकरण है। k पर अर्ध-झुके हुए बीजगणित ठीक वैश्विक आयाम ≤2 के k पर परिमित-आयामी बीजगणित हैं जैसे कि प्रत्येक असंयोजित मॉड्यूल में या तो प्रोजेक्टिव आयाम ≤1 या इंजेक्टिव आयाम ≤1 होता है. वंशानुगत अबेलियन श्रेणियों को वर्गीकृत किया जाता है जो उपरोक्त निर्माण में दिखाई दे सकते हैं। एक मनमाना अबेलियन श्रेणी सी में झुकी हुई वस्तुओं को परिभाषित किया गया है; उनकी परिभाषा के लिए आवश्यक है कि सी में टी की प्रतियों की मनमाना (संभवतः अनंत) संख्या का प्रत्यक्ष योग हो, इसलिए यह ऊपर विचार की गई सीमित-आयामी स्थिति का प्रत्यक्ष सामान्यीकरण नहीं है। एंडोमोर्फिज्म रिंग आर के साथ ऐसी झुकने वाली वस्तु को देखते हुए, वे झुकने वाले फंक्टर स्थापित करते हैं जो सी में एक मरोड़ जोड़ी और आर-मॉड में एक मरोड़ जोड़ी के बीच समानता प्रदान करते हैं, जो सभी आर-मॉड्यूल की श्रेणी है। क्लस्टर बीजगणित के सिद्धांत से वंशानुगत बीजगणित ए से जुड़े क्लस्टर श्रेणी (से) और क्लस्टर झुके हुए बीजगणित '() की परिभाषा आई। एक क्लस्टर झुका हुआ बीजगणित एक निश्चित अर्ध-अप्रत्यक्ष उत्पाद के रूप में एक झुका हुआ बीजगणित से उत्पन्न होता है, और ए की क्लस्टर श्रेणी ए से उत्पन्न होने वाले क्लस्टर झुका हुआ बीजगणित की सभी मॉड्यूल श्रेणियों का सारांश देती है। संदर्भ प्रतिनिधित्व सिद्धांत