Eigenvalue perturbation
गणित में, एक आइगेनवैल्यू विकृति समस्या एक प्रणाली के आइगेनवेक्टर्स और आइगेनवैल्यूज को खोजने की है जो ज्ञात आइगेनवेक्टर्स और आइगेनवैल्यूज के साथ एक से विचलित है। यह अध्ययन करने के लिए उपयोगी है कि मूल प्रणाली के आइगेनवेक्टर और आइगेनवैल्यू सिस्टम में परिवर्तनों के प्रति कितने संवेदनशील हैं। इस प्रकार के विश्लेषण को लॉर्ड रेले ने छोटी विसंगतियों से परेशान एक तार के हार्मोनिक कंपन की अपनी जांच में लोकप्रिय बनाया था। इस लेख में व्युत्पत्तियाँ अनिवार्य रूप से स्व-निहित हैं और संख्यात्मक रैखिक बीजगणित या संख्यात्मक कार्यात्मक विश्लेषण पर कई ग्रंथों में पाई जा सकती हैं। यह लेख एक साधारण आइगेनवैल्यू के गड़बड़ी के मामले पर केंद्रित है (आइगेनवैल्यू की बहुलता में देखें)। सामान्यीकृत आइगेनवैल्यूज क्यों? आइगेनवैल्यूज और आइगेनवेक्टर्स के प्रवेश अनुप्रयोगों में हम कई वैज्ञानिक क्षेत्र पाते हैं जिनमें समाधान प्राप्त करने के लिए आइगेनवैल्यूज का उपयोग किया जाता है। सामान्यीकृत आइगेनवैल्यू समस्याएं कम व्यापक हैं लेकिन कंपन के अध्ययन में महत्वपूर्ण हैं। वे तब उपयोगी होते हैं जब हम तार और प्लेट जैसी संरचनाओं के आंशिक विभेदक समीकरण मॉडलिंग कंपन के अनुमानित समाधान खोजने के लिए गैलरकिन विधि या रेले-रिट्ज़ विधि का उपयोग करते हैं; कोरेंट (1943) का पेपर मौलिक है। परिमित तत्व विधि एक व्यापक विशेष मामला है। शास्त्रीय यांत्रिकी में, हम सामान्यीकृत आईगन मान पा सकते हैं जब हम संतुलन के करीब स्वतंत्रता प्रणालियों की कई डिग्री के कंपन की तलाश करते हैं; गतिज ऊर्जा द्रव्यमान मैट्रिक्स प्रदान करती है, संभावित तनाव ऊर्जा कठोरता मैट्रिक्स प्रदान करती है। विवरण प्राप्त करने के लिए, उदाहरण के लिए वेनस्टीन के इस लेख का पहला खंड देखें (1941, फ्रेंच में) दोनों विधियों के साथ, हम द्रव्यमान मैट्रिक्स, डैंपिंग मैट्रिक्स और कठोरता मैट्रिक्स के साथ विभेदक समीकरण या मैट्रिक्स विभेदक समीकरण की एक प्रणाली प्राप्त करते हैं। यदि हम अवमंदन प्रभाव की उपेक्षा करते हैं, तो हम उपयोग करते हैं, हम निम्नलिखित रूप का समाधान देख सकते हैं; हम इसे प्राप्त करते हैं और सामान्यीकृत आइगेनवैल्यू समस्या का समाधान हैं। अर्थात्, हम इसके लिए आइगेनवैल्यू और आइगेनवेक्टर्स को जानते हैं। यह भी आवश्यक है कि आइगेनवैल्यू अलग हों। अब मान लीजिए कि हम मैट्रिक्स को थोड़ी मात्रा में बदलना चाहते हैं। अर्थात्, हम जहां गड़बड़ी के साथ आइगेनवैल्यू और आइगेनवेक्टर खोजना चाहते हैं और क्रमशः उससे बहुत छोटे हैं। फिर हम उम्मीद करते हैं कि नए आइगेनवेल्यू और आइगेनवेक्टर्स मूल के समान होंगे, साथ ही छोटे विक्षोभः कदम हम मानते हैं कि मैट्रिक्स सममित और सकारात्मक निश्चित हैं, और मान लेते हैं कि हमने आइगेनवेक्टर्स को इस तरह बढ़ाया है कि क्रोनेकर डेल्टा कहाँ है। अब हम समीकरण को हल करना चाहते हैं इस लेख में हम अध्ययन को फर्स्ट ऑर्डर पर्टर्बेशन तक सीमित करते हैं। समीकरण का प्रथम क्रम विस्तार (1) में प्रतिस्थापित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं जो (0) () से रद्द करने के लिए विस्तारित होता है उच्च-क्रम के शब्दों को हटाते हुए, यह सरल हो जाता है। चूँकि मैट्रिक्स सममित है, अप्रचलित आइगेनवेक्टर ऑर्थोगोनल हैं और इसलिए हम उन्हें विकृत आइगेनवेक्टर के लिए आधार के रूप में उपयोग करते हैं। अर्थात्, हम इसके साथ निर्माण करना चाहते हैं, जहां छोटे स्थिरांक हैं जिन्हें निर्धारित किया जाना है। इसी तरह, (2) में प्रतिस्थापित करते हुए, और उच्च क्रम के शब्दों को हटाते हुए, हमें मिलता है व्युत्पत्ति दो कांटे के साथ आगे बढ़ सकती है। पहला कांटाः पहला आइगेनवैल्यू पर्टर्बेशन प्राप्त करें आइगेनवैल्यू पर्टर्बेशन हम (3) के साथ शुरू करते हैं जिसे हमने गुणा करने और उपयोग करने के लिए छोड़ दिया है (2) साथ ही साथ इसकी पहली क्रम भिन्नता (5); हम प्राप्त करते हैं या हम देखते हैं कि यह सामान्यीकृत रेले भागफल का पहला क्रम पर्टर्बेशन है जो निश्चित हैः इसके अलावा, सूत्र की तुलना बाउर-फ़ाइक प्रमेय से की जानी चाहिए जो आइगेनवैल्यू पर्टर्बेशन के लिए एक सीमा प्रदान करता है। आइगेनवेक्टर विकृति हमने (3) को के लिए गुणा करना छोड़ दिया और हम इसके लिए उपयोग करते हैं। या जैसा कि आइगेनवैल्यूज को सरल माना जाता है, क्योंकि इसके अलावा (5) ((2) की पहली क्रम भिन्नता) पैदावार हमने इसके सभी घटकों को प्राप्त कर लिया है। दूसरा कांटेः सीधे हेरफेर (4) को (3) में प्रतिस्थापित करने और पुनर्व्यवस्थित करने से मिलता है क्योंकि आइगेनवेक्टर-ऑर्थोगोनल होते हैं जब सकारात्मक निश्चित होते हैं, तो हम बाएं-गुणा करके योग को हटा सकते हैंः समीकरण (1) का उपयोग करके फिर सेः दो शब्द शामिल हैं जो बराबर हैं क्योंकि बाएं-गुणा (1) से उन शब्दों को (6) में रद्द करने से मिलता है लेकिन (2) से, यह भाजक 1 के बराबर है। इस प्रकार, जहां तक (सरल आइगेनवैल्यू की धारणा) का संबंध है, समीकरण (5) को बाएं गुणन द्वाराः या सूचकांकों के नाम को बदलकरः यह पता लगाने के लिए, इस तथ्य का उपयोग करें किः तात्पर्यः प्रथम क्रम विक्षोभ परिणाम का सारांश जहां सभी मैट्रिक्स हर्मिशियन सकारात्मक निश्चित हैं और सभी आइगेनवैल्यू अलग हैं, असीम के लिए और ((3) में उच्च क्रम के शब्दों की उपेक्षा की जा रही है)। अब तक, हमने यह साबित नहीं किया है कि इन उच्च क्रम की शर्तों की उपेक्षा की जा सकती है। इस बिंदु को अंतर्निहित फलन प्रमेय का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है; अगले खंड में, हम प्रथम क्रम विस्तार प्राप्त करने के लिए इस प्रमेय के उपयोग को संक्षेप में प्रस्तुत करते हैं। एक अंतर्निहित कार्य की सैद्धांतिक व्युत्पत्ति विक्षोभ। अगले पैराग्राफ में, हम इम्प्लिसिट फंक्शन थ्योरम (प्रमेय का कथन) का उपयोग करेंगे; हम देखते हैं कि एक निरंतर अवकलनीय फलन के लिए, एक व्युत्क्रमणीय जैकोबियन मैट्रिक्स के साथ, के एक बिंदु समाधान से, हम के निकट के साथ समाधान प्राप्त करते हैं जहां एक निरंतर अवकलनीय फलन है; इसके अलावा जैकोबियन मैरिक्स रैखिक प्रणाली द्वारा प्रदान किया जाता है। जैसे ही प्रमेय की परिकल्पना संतुष्ट होती है, जैकोबियन मैट्रिक्स की गणना पहले क्रम के विस्तार के साथ की जा सकती है, हम प्राप्त करते हैं; जैसा कि, यह समीकरण के बराबर है। आइगेनवैल्यू विक्षोभः एक सैद्धांतिक आधार। हम पिछले पैराग्राफ (एक अंतर्निहित कार्य का विक्षोभ) का उपयोग कुछ अलग संकेतनों के साथ करते हैं जो आइगेनवैल्यू विक्षोभ के अनुकूल होते हैं। अंतर्निहित फलन प्रमेय का उपयोग करने के लिए, हम जैकोबियन की व्युत्क्रमिता का अध्ययन करते हैं। वास्तव में, का समाधान विस्तार की व्युत्पत्ति के समान गणनाओं के साथ प्राप्त किया जा सकता है। एक सरल आइगेनवैल्यू कब होता है, क्योंकि आइगेनवेक्टर एक ऑर्थोनॉर्मल आधार बनाते हैं, किसी भी दाहिने हाथ के लिए, हमने एक समाधान प्राप्त किया है, इसलिए जैकोबियन व्युत्क्रमणीय है। अंतर्निहित फलन प्रमेय एक निरंतर अवकलनीय फलन प्रदान करता है इसलिए कम o संकेतन के साथ विस्तारः यह विचलित आइगेनवैल्यूज और आइगेनवेक्टर्स का पहला क्रम विस्तार है। जो सिद्ध हो चुका है। मैट्रिक्स की प्रविष्टियों के संबंध में संवेदनशीलता विश्लेषण के परिणाम परिणाम इसका मतलब है कि मैट्रिक्स की प्रविष्टियों में परिवर्तन के कार्य के रूप में संवेदनशीलता विश्लेषण को कुशलता से करना संभव है। (याद रखें कि मैट्रिक्स सममित हैं और इसलिए परिवर्तन भी बदल जाएगा, इसलिए शब्द।) इसी तरह आइगेनवैल्यू संवेदनशीलता, एक छोटा सा उदाहरण एक सरल मामला है; हालाँकि आप ऑनलाइन उपकरणों की मदद से आइगेनवैल्यू और आइगेनवेक्टर्स की गणना कर सकते हैं जैसे कि (विकिपीडिया डब्ल्यूआईएमएस में परिचय देखें) या सेज सेजमैथ का उपयोग करके। आपको सबसे छोटा आइगेनवैल्यू और एक स्पष्ट गणना मिलती है; अधिक, एक संबंधित आइगेनवेक्टर है; यह एक एकात्मक वेक्टर नहीं है; इसलिए; हमें मिलता है और; इसलिए; इस उदाहरण के लिए, हमने इसकी जाँच की है या। आइगेनवेक्टरों का अस्तित्व ध्यान दें कि उपरोक्त उदाहरण में हमने मान लिया कि अप्रचलित और विक्षिप्त दोनों प्रणालियों में सममित मैट्रिक्स शामिल हैं, जो रैखिक रूप से स्वतंत्र आइगेनवेक्टरों के अस्तित्व की गारंटी देते हैं। गैर-सममित मैट्रिक्स से जुड़ी एक आइगेनवैल्यू समस्या में रैखिक रूप से स्वतंत्र आइगेनवेक्टर होने की गारंटी नहीं है, हालांकि एक पर्याप्त शर्त यह है कि और एक साथ विकर्णनीय हो। दोहराए गए आइगेनवैल्यू का मामला आइगेनवैल्यू समस्याओं के गड़बड़ी के लिए रेलिच की एक तकनीकी रिपोर्ट कई उदाहरण प्रदान करती है। प्रारंभिक उदाहरण अध्याय 2 में हैं। रिपोर्ट को archive.org से डाउनलोड किया जा सकता है। हम एक उदाहरण देते हैं जिसमें आइगेनवेक्टर्स का बुरा व्यवहार होता है। उदाहरण 1 निम्नलिखित मैट्रिक्स पर विचार करें और मैट्रिक्स में आइगेनवैक्टर हैं जो आइगेनवैल्यूज से संबंधित हैं। चूंकि यदि कोई सामान्यीकृत आइगेनवेक्टर क्रमशः संबंधित हैं तो कहाँ के लिए वास्तविक हैं इसे परिभाषित करना स्पष्ट रूप से असंभव है, मान लीजिए, इस तरह से जो एक सीमा तक जाता है क्योंकि इस उदाहरण में नोट के रूप में कोई सीमा नहीं है जो न केवल निरंतर है बल्कि सभी आदेशों के निरंतर व्युत्पन्न भी हैं। रेलिच निम्नलिखित महत्वपूर्ण परिणाम निकालता है। <<चूंकि सामान्य रूप से अलग-अलग आइगेनवेक्टर निरंतर गड़बड़ी पैरामीटर पर निर्भर नहीं होते हैं, भले ही ऑपरेटर करता हो, इसलिए एक आइगेनवेक्टर के साथ नहीं, बल्कि एक ही आइगेनवेल्यू से संबंधित सभी आइगेनवेक्टरों द्वारा फैले स्थान के साथ काम करना आवश्यक है। >> उदाहरण 2 यह उदाहरण पिछले उदाहरण की तुलना में कम बुरा है। मान लीजिए कि 2x2 आइडेंटिटी मैट्रिक्स है, कोई भी वेक्टर एक आइगेनवेक्टर है; तो एक संभावित आइगेनवेक्टर है। लेकिन अगर कोई एक छोटी सी गड़बड़ी करता है, जैसे कि तब आइगेनवेक्टर हैं और; वे इसके संबंध में स्थिर हैं इसलिए यह स्थिर है और शून्य पर नहीं जाता है। पर्टर्बेशन थ्योरी (क्वांटम यांत्रिकी) बाउर-फ़ाइक प्रमेय संदर्भ भी देखें। आगे पढ़ने के लिए किताबें। भाटिया, आर. (1987)। मैट्रिक्स आइगेनवैल्यूज के लिए विक्षोभ सीमाएँ। सियाम। रिपोर्ट जर्नल पेपर साइमन, बी। (1982)। आइगेनवैल्यू पर्टर्बेशन थ्योरी के बड़े क्रम और सारांशः एक गणितीय अवलोकन। इंटरनेशनल जर्नल ऑफ क्वांटम केमिस्ट्री, 21 (1), 3-25। क्रैंडल, एम. जी., और राबिनोविट्ज़, पी. एच. (1973)। द्विभाजन, सरल आइगेनवैल्यूज की गड़बड़ी, और रैखिक स्थिरता। तर्कसंगत यांत्रिकी और विश्लेषण के लिए अभिलेखागार, 52 (2), 161-180। स्टीवर्ट, जी. डब्ल्यू. (1973)। कुछ आइगेनवैल्यू समस्याओं से जुड़े उपस्थानों के लिए त्रुटि और गड़बड़ी सीमाएँ। सियाम समीक्षा, 15 (4), 727-764। लॉडिन, पी. ओ. (1962)। विक्षोभ सिद्धांत में अध्ययन। IV. प्रोजेक्शन ऑपरेटर औपचारिकता द्वारा आइगेनवैल्यू समस्या का समाधान। गणितीय भौतिकी की पत्रिका, 3 (5), 969-982। विकृति सिद्धांत विभेदक कलन बहुभिन्नरूपी कलन रैखिक बीजगणित संख्यात्मक रैखिक बीजगणित