Freund–Rubin compactification
फ्रायन्ड-रुबिन कम्पैक्टफिकेशन आयामी कमी का एक रूप है जिसमें डी-आयामी अंतरिक्ष काल में एक क्षेत्र सिद्धांत, जिसमें गुरुत्वाकर्षण होता है और कुछ क्षेत्र जिनकी क्षेत्र शक्ति एक श्रेणी एस एंटीसिमेट्रिक टेंसर होती है, को एस या डी-एस के आयाम के साथ एक अंतरिक्ष काल तक कम करने के लिए 'पसंद' किया जाता है। व्युत्पत्ति डी स्पेसटाइम आयामों में सामान्य सापेक्षता पर विचार करें। एक एंटीसिमेट्रिक टेंसर क्षेत्र (बाहरी स्रोतों के बिना) की उपस्थिति में, आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण, और एंटीसिमेट्रिक टेंसर के लिए गति के समीकरण हैं जहां तनाव-ऊर्जा टेंसर एक रैंक एस एंटीसिमेट्रिक टेंसर होने के नाते रूप लेता है, क्षेत्र की ताकत में इसके समाधान के लिए एक प्राकृतिक ansatz होता है, जो कुछ एस-आयामी मैनिफोल्ड पर लेवी-सिविटा टेंसर के समानुपाती होता है। यहाँ, सूचकांक परिवेशी डी-आयामी अंतरिक्ष काल के आयामों के एस पर चलते हैं, इस एस-आयामी उपक्षेत्र के मीट्रिक का निर्धारक है, और द्रव्यमान-वर्ग (प्राकृतिक इकाइयों में) के आयामों के साथ कुछ स्थिर है। चूँकि क्षेत्र की ताकत केवल एक एस-आयामी सबमैनिफोल्ड पर गैर-शून्य होती है, इसलिए मीट्रिक को स्वाभाविक रूप से दो भागों में विभाजित किया जाता है, ब्लॉक-विकर्ण रूप के साथ, और क्षेत्र की ताकत के समान एस आयामों पर विस्तारित होता है, और, और शेष डी-एस आयामों को कवर करता है। हमारे डी आयामी स्थान को दो उपस्थानों के गुणनफल में अलग करने के बाद, आइंस्टीन के क्षेत्र समीकरण हमें इन दो उप-मैनिफोल्डों की वक्रता के लिए हल करने की अनुमति देते हैं, और हम पाते हैं कि हम पाते हैं कि एस-और (डी-एस)-आयामी उप-मैनिफोल्डों की रिक्की वक्रता अनिवार्य रूप से संकेत में विपरीत हैं। एक में सकारात्मक वक्रता होनी चाहिए, और दूसरे में नकारात्मक वक्रता होनी चाहिए, और इसलिए इनमें से एक मैनिफोल्ड कॉम्पैक्ट होना चाहिए। नतीजतन, कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड की तुलना में काफी बड़े पैमाने पर, ब्रह्मांड में अंतर्निहित डी के विपरीत या तो एस या (डी-एस) आयाम प्रतीत होते हैं। इसके एक महत्वपूर्ण उदाहरण के रूप में, 11डी-सुपरग्रेविटी में 4-रूप क्षेत्र शक्ति के साथ 3-रूप एंटीसिमेट्रिक टेंसर होता है, और इसके परिणामस्वरूप इसके 7 या 4 अंतरिक्ष जैसे आयामों को कॉम्पैक्ट करना पसंद करता है, इसलिए बड़े पैमाने पर स्पेसटाइम या तो 4 या 7 आयामी होना चाहिए, जिनमें से पहला स्ट्रिंग सिद्धांत से एक घटनात्मक दृष्टिकोण से आकर्षक है। स्ट्रिंग सिद्धांत में फ्रॉन्ड-रुबिन कॉम्पेक्टिफिकेशन के कुछ महत्वपूर्ण उदाहरण ब्रैन के व्यवहार को देखने से आते हैं। जिस तरह से विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के साथ युग्मन विद्युत आवेशित कणों को स्थिर करता है, उसी तरह एक स्ट्रिंग सिद्धांत में विभिन्न श्रेणी के प्रतिसमितीय टेंसर क्षेत्रों की उपस्थिति विभिन्न आयामों की शाखाओं को स्थिर करती है। बदले में, ब्रैन्स के ढेर के पास स्पेसटाइम की ज्यामिति इस तरह से विकृत हो जाती है कि फ्रायंड-रुबिन कॉम्पेक्टिफिकेशन का एहसास होता है। टाइप II-B स्ट्रिंग सिद्धांत में, जिसके लिए दस स्पेसटाइम आयामों की आवश्यकता होती है, एक पाँच-रूप क्षेत्र शक्ति है जो त्रि-आयामी डी-ब्रेन के लिए अनुमति देती है, और डी 3-ब्रेन के ढेर की निकट क्षितिज ज्यामिति पाँच-आयामी एंटी-डी सिटर स्पेस गुना पाँच-आयामी क्षेत्र है, जो पाँच आयामों में कॉम्पैक्ट है। यह ज्यामिति ए. डी. एस./सी. एफ. टी. पत्राचार का एक महत्वपूर्ण हिस्सा है। इसी तरह, एम-सिद्धांत और 11डी-सुपरग्रेविटी की इसकी कम ऊर्जा सीमा में 4-रूप क्षेत्र शक्ति होती है, जो एम2 और एम5 शाखाओं को स्थिर करती है। इन शाखाओं के ढेर की निकट क्षितिज ज्यामिति क्रमशः और है। संदर्भ सामान्य सापेक्षता सुपरसिमेट्री स्ट्रिंग सिद्धांत