Bapat–Beg theorem
संभाव्यता सिद्धांत में, बापट-बेग प्रमेय यादृच्छिक चरों के संचयी वितरण कार्यों के संदर्भ में स्वतंत्र लेकिन आवश्यक रूप से समान रूप से वितरित यादृच्छिक चरों के क्रम सांख्यिकी का संयुक्त संभाव्यता वितरण देता है। रवींद्र बापट और बेग ने 1989 में प्रमेय प्रकाशित किया, हालांकि उन्होंने कोई प्रमाण नहीं दिया। 1994 में हांडे द्वारा एक सरल प्रमाण प्रस्तुत किया गया था। अक्सर, नमूने के सभी तत्व एक ही आबादी से प्राप्त किए जाते हैं और इस प्रकार समान संभावना वितरण होता है। बापट-बेग प्रमेय क्रम सांख्यिकी का वर्णन करता है जब नमूने के प्रत्येक तत्व को एक अलग सांख्यिकीय आबादी से प्राप्त किया जाता है और इसलिए इसका अपना प्रायिकता वितरण होता है। कथन आइए क्रमशः संचयी वितरण कार्यों के साथ स्वतंत्र वास्तविक मूल्यवान यादृच्छिक चर हों। आदेश सांख्यिकी के लिए लिखें। फिर क्रम सांख्यिकी (और के साथ) का संयुक्त संभाव्यता वितरण है जहां दिए गए ब्लॉक मैट्रिक्स का स्थायी है। (ब्रेसिज़ के नीचे के आंकड़े स्तंभों की संख्या दिखाते हैं।) स्वतंत्र रूप से समान रूप से वितरित मामले में जब चर स्वतंत्र होते हैं और सभी i के लिए संचयी संभावना वितरण कार्य के साथ समान रूप से वितरित होते हैं तो प्रमेय टिप्पणियों तक कम हो जाता है संचयी वितरण कार्यों की निरंतरता की कोई धारणा की आवश्यकता नहीं है। यदि असमानताएँ x1 <x2 <. <xk लागू नहीं की जाती हैं, तो कुछ असमानताएँ "अनावश्यक हो सकती हैं और आवश्यक कमी करने के बाद संभावना का मूल्यांकन किया जा सकता है।" जटिलता ग्लूक आदि। ध्यान दें कि बापट-बेग सूत्र कम्प्यूटेशनल रूप से अव्यवहारिक है, क्योंकि इसमें यादृच्छिक चरों की संख्या के आकार के स्थायी की एक घातीय संख्या शामिल है। हालांकि, जब यादृच्छिक चर में केवल दो संभावित वितरण होते हैं, तो जटिलता को कम किया जा सकता है। इस प्रकार, दो आबादी के मामले में, जटिलता किसी भी निश्चित संख्या में सांख्यिकी के लिए बहुपद है। संदर्भ संभाव्यता प्रमेय सांख्यिकी में प्रमेय