Cerf theory
गणित में, विलक्षणता सिद्धांत और विभेदक टोपोलॉजी के संगम पर, सर्फ सिद्धांत एक चिकनी बहुगुणित पर चिकनी वास्तविक-मूल्यवान कार्यों के परिवारों का अध्ययन है, उनकी सामान्य विलक्षणताएँ और उपस्थानों की टोपोलॉजी इन विलक्षणताओं को कार्य स्थान के उपस्थान के रूप में परिभाषित करती हैं। इस सिद्धांत का नाम जीन सर्फ के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने 1960 के दशक के अंत में इसकी शुरुआत की थी। एक उदाहरण मार्स्टन मोर्स ने साबित किया कि, बशर्ते कि कॉम्पैक्ट हो, किसी भी स्मूथ फ़ंक्शन को मोर्स फ़ंक्शन द्वारा अनुमानित किया जा सकता है। इस प्रकार, कई उद्देश्यों के लिए, मोर्स कार्यों द्वारा मनमाने कार्यों को प्रतिस्थापित किया जा सकता है। अगले चरण के रूप में, कोई पूछ सकता है, 'यदि आपके पास कार्यों का एक-पैरामीटर परिवार है जो मोर्स समारोहों से शुरू होता है और समाप्त होता है, तो क्या आप मान सकते हैं कि पूरा परिवार मोर्स है?' सामान्य तौर पर, जवाब नहीं है। उदाहरण के लिए, द्वारा दिए गए कार्यों के एक-पैरामीटर परिवार पर विचार करें। समय पर, इसके कोई महत्वपूर्ण बिंदु नहीं हैं, लेकिन समय पर, यह दो महत्वपूर्ण बिंदुओं के साथ एक मोर्स फ़ंक्शन है। सेर्फ ने दिखाया कि दो मोर्स कार्यों के बीच कार्यों के एक-पैरामीटर परिवार को एक से अनुमानित किया जा सकता है जो कि मोर्स है लेकिन सीमित रूप से कई पतित समय है। अपक्षय में महत्वपूर्ण बिंदुओं का जन्म/मृत्यु संक्रमण शामिल होता है, जैसा कि उपरोक्त उदाहरण में, जब वृद्धि के रूप में एक सूचकांक 0 और सूचकांक 1 महत्वपूर्ण बिंदु बनाए जाते हैं। एक अनंत-आयामी स्थान का एक स्तरीकरण सामान्य मामले में लौटना जहां एक कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड है, आइए मोर्स कार्यों के स्थान को दर्शाते हैं, और वास्तविक मूल्य वाले चिकने कार्यों के स्थान को दर्शाते हैं। मोर्स ने साबित किया कि यह टोपोलॉजी में एक खुला और घना उपसमुच्चय है। अंतर्ज्ञान के उद्देश्यों के लिए, यहाँ एक सादृश्य है। के स्तरीकरण में मोर्स कार्यों को शीर्ष-आयामी खुले स्तर के रूप में सोचें (हम यह दावा नहीं करते हैं कि ऐसा स्तरीकरण मौजूद है, लेकिन मान लीजिए कि कोई करता है)। ध्यान दें कि स्तरीकृत स्थानों में, सह-आयाम 0 खुला स्तर खुला और घना होता है। सांकेतिक उद्देश्यों के लिए, एक स्तरीकृत स्थान में स्तरीकरणों को अनुक्रमित करने के लिए परंपराओं को उलट दें, और खुले स्तर को उनके आयाम से नहीं, बल्कि उनके सह-आयाम से अनुक्रमित करें। यह सुविधाजनक है क्योंकि यह अनंत-आयामी है यदि यह एक परिमित समुच्चय नहीं है। अनुमान के अनुसार, का खुला सह-आयाम 0 स्तर है, अर्थात। :. एक स्तरीकृत स्थान में, अक्सर डिस्कनेक्ट किया जाता है। सह-आयाम 1 स्तर का आवश्यक गुण यह है कि कोई भी मार्ग जिसमें शुरू होता है और समाप्त होता है, उसे एक ऐसे मार्ग द्वारा अनुमानित किया जा सकता है जो सीमित रूप से कई बिंदुओं में अनुप्रस्थ रूप से प्रतिच्छेद करता है, और किसी के लिए भी प्रतिच्छेद नहीं करता है। इस प्रकार सेर्फ सिद्धांत सकारात्मक सह-आयामी स्तर का अध्ययन है, अर्थात। : के लिए। के मामले में, केवल के लिए कार्य मोर्स नहीं है, और जन्म/मृत्यु संक्रमण के अनुरूप एक घन अपक्षयी महत्वपूर्ण बिंदु है। एक एकल समय पैरामीटर, प्रमेय द मोर्स थ्योरम का कथन यह दावा करता है कि यदि एक मोर्स फ़ंक्शन है, तो एक महत्वपूर्ण बिंदु के पास यह उस रूप के फ़ंक्शन के लिए संयुग्मित है जहाँ। सेर्फ की एक-पैरामीटर प्रमेय सह-आयाम एक स्तर के आवश्यक गुण पर जोर देती है। सटीक रूप से, यदि के साथ, और मोर्स पर चिकने कार्यों का एक-पैरामीटर परिवार है, तो एक चिकना एक-पैरामीटर परिवार मौजूद है जैसे कि, कार्यों पर-टोपोलॉजी में समान रूप से करीब है। इसके अलावा, मोर्स कई बार सीमित रूप से होता है। एक गैर-शोक के समय कार्य में केवल एक अपक्षयी महत्वपूर्ण बिंदु होता है, और उस बिंदु के करीब परिवार परिवार के साथ संयुग्मित होता है। यदि यह कार्यों का एक-पैरामीटर परिवार है जहां दो महत्वपूर्ण बिंदु बनाए जाते हैं (वृद्धि के रूप में), और इसके लिए कार्यों का एक-पैरामीटर परिवार है जहां दो महत्वपूर्ण बिंदु नष्ट हो जाते हैं। पी. एल.-स्कोनफ्लाइज समस्या का समाधान 1924 में जे. डब्ल्यू. अलेक्जेंडर द्वारा किया गया था। उनके सबूत को मोर्स और एमिलियो बाइडा द्वारा सुचारू मामले में रूपांतरित किया गया था। आवश्यक गुण का उपयोग सर्फ द्वारा यह साबित करने के लिए किया गया था कि प्रत्येक अभिविन्यास-संरक्षित डिफियोमोर्फिज्म पहचान के लिए समस्थानिक है, जिसे स्कोनफ्लाइज प्रमेय के एक-पैरामीटर विस्तार के रूप में देखा जाता है। उस समय के परिणाम का विभेदक स्थलविज्ञान में व्यापक प्रभाव पड़ा। आवश्यक गुण का उपयोग बाद में सेर्फ द्वारा उच्च-आयामी सरल-जुड़े मैनिफोल्ड्स के लिए छद्म-समस्थानिक प्रमेय को साबित करने के लिए किया गया था। प्रमाण स्टीफन स्मेल के एच-कोबोर्डिज़्म प्रमेय के प्रमाण का एक-पैरामीटर विस्तार है (कार्यात्मक ढांचे में स्मेल के प्रमाण का पुनर्लेखन मोर्स द्वारा किया गया था, और जॉन मिलनर द्वारा भी और सर्फ, आंद्रे ग्रामैन और बर्नार्ड मोरिन द्वारा रेने थॉम के सुझाव का पालन करते हुए)। सेर्फ का प्रमाण थॉम और जॉन मैथर के काम पर बनाया गया है। मार्टी गोलुबिट्स्की और विक्टर गिलेमिन की पुस्तक उस अवधि के थॉम और माथेर के काम का एक उपयोगी आधुनिक सारांश है। उपर्युक्त अनुप्रयोगों के अलावा, रॉबियन किर्बी ने किर्बी कलन को उचित ठहराने में एक महत्वपूर्ण कदम के रूप में सर्फ सिद्धांत का उपयोग किया। सामान्यीकरण चिकने मानचित्रों के स्थान के एक अनंत सह-आयाम उपक्षेत्र के पूरक का एक स्तरीकरण अंततः फ्रांसिस सर्जर्ट द्वारा विकसित किया गया था। सत्तर के दशक के दौरान, गैर-सरल रूप से जुड़े मैनिफोल्ड्स की छद्म-समस्थानिकियों के लिए वर्गीकरण समस्या को एलन हैचर और जॉन वैगनर द्वारा हल किया गया था, जिसमें () और () पर बीजगणितीय-अवरोधों की खोज की गई थी और कियोशी इगुसा द्वारा () पर समान प्रकृति की बाधाओं की खोज की गई थी। संदर्भ विभेदक स्थलविज्ञान एकात्मकता सिद्धांत