Visual calculus
मामिकॉन नात्सकानियन (मामिकॉन के रूप में जाना जाता है) द्वारा आविष्कार किया गया दृश्य कलन, विभिन्न प्रकार की अभिन्न कलन समस्याओं को हल करने का एक तरीका है। कई समस्याएं जो अन्यथा गणना की मुश्किल से एक पंक्ति के साथ विधि के लिए काफी कठिन प्रतीत होती हैं, अक्सर मार्टिन गार्डनर की याद दिलाती हैं जिसे "आह! समाधान "या रोजर नेलसन बिना शब्दों के एक प्रमाण। वर्णन मामिकॉन ने 1959 में एक स्नातक के रूप में अपनी विधि तैयार की, पहली बार इसे एक प्रसिद्ध ज्यामिति समस्या पर लागू कियाः आंतरिक परिधि के लिए एक तार स्पर्शरेखा की लंबाई को देखते हुए एक वलय (वलय) के क्षेत्र का पता लगाएं। शायद आश्चर्यजनक रूप से, किसी अतिरिक्त जानकारी की आवश्यकता नहीं है; समाधान रिंग के आंतरिक और बाहरी आयामों पर निर्भर नहीं करता है। पारंपरिक दृष्टिकोण में बीजगणित और पायथागोरस प्रमेय का अनुप्रयोग शामिल है। मामिकॉन की विधि, हालांकि, रिंग के एक वैकल्पिक निर्माण की कल्पना करती हैः पहले केवल आंतरिक वृत्त को खींचा जाता है, फिर एक स्थिर-लंबाई स्पर्शरेखा को इसकी परिधि के साथ यात्रा करने के लिए बनाया जाता है, रिंग को "बाहर निकालते हुए" जाता है। अब यदि रिंग के निर्माण में उपयोग की जाने वाली सभी (स्थिर-लंबाई) स्पर्शरेखाओं का अनुवाद किया जाता है ताकि उनके स्पर्शरेखा के बिंदु मेल खा सकें, तो परिणाम ज्ञात त्रिज्या (और आसानी से गणना किए गए क्षेत्र) की एक गोलाकार डिस्क है। वास्तव में, चूंकि आंतरिक वृत्त की त्रिज्या अप्रासंगिक है, इसलिए कोई भी त्रिज्या शून्य (एक बिंदु) के वृत्त के साथ शुरू कर सकता था-और शून्य त्रिज्या के वृत्त के चारों ओर एक वलय को बाहर निकालना केवल एक रेखा खंड को उसके अंतिम बिंदु में से एक के बारे में घुमाने और एक डिस्क को बाहर निकालने से अलग नहीं है। मामिकॉन की अंतर्दृष्टि दो निर्माणों की समानता को पहचानने के लिए थी; और क्योंकि वे समान हैं, वे समान क्षेत्र देते हैं। इसके अलावा, जब तक यह दिया जाता है कि स्पर्शरेखा की लंबाई स्थिर है, तब तक दो प्रारंभिक वक्रों को गोलाकार होने की आवश्यकता नहीं है-एक खोज जो अधिक पारंपरिक ज्यामितीय तरीकों से आसानी से साबित नहीं होती है। इससे मामिकॉन की प्रमेय प्राप्त होती हैः मूल वक्र के आकार की परवाह किए बिना, एक स्पर्शरेखा स्वीप का क्षेत्र इसके स्पर्शरेखा समूह के क्षेत्र के बराबर होता है। अनुप्रयोग एक साइक्लायड का क्षेत्र एक साइक्लायड के क्षेत्र की गणना उसके और एक संलग्न आयत के बीच के क्षेत्र पर विचार करके की जा सकती है। इन सभी स्पर्शरेखाओं को एक वृत्त बनाने के लिए क्लस्टर किया जा सकता है। यदि साइक्लायड उत्पन्न करने वाले वृत्त की त्रिज्या है तो इस वृत्त की त्रिज्या और क्षेत्रफल भी है। आयत का क्षेत्रफल है। इसलिए साइक्लायड का क्षेत्रफल हैः यह उत्पन्न करने वाले वृत्त के क्षेत्रफल का 3 गुना है। स्पर्शरेखा समूह को एक वृत्त के रूप में देखा जा सकता है क्योंकि साइक्लायड एक वृत्त द्वारा उत्पन्न होता है और साइक्लायड के लिए स्पर्शरेखा उत्पादन बिंदु से रोलिंग बिंदु तक रेखा के समकोण पर होगी। इस प्रकार स्पर्शरेखा और संपर्क बिंदु की रेखा उत्पन्न करने वाले वृत्त में एक समकोण त्रिभुज बनाती है। इसका मतलब है कि एक साथ क्लस्टर किए गए स्पर्शरेखा उत्पन्न करने वाले वृत्त के आकार का वर्णन करेंगे। कैवेलीरी का सिद्धांत होडोग्राफ भी देखें-यह एक संबंधित संरचना है जो एक ध्रुवीय आरेख का उपयोग करके एक बिंदु के वेग का मानचित्रण करती है। मैकेनिकल प्रमेयों की विधि पैपस की केंद्रक प्रमेय प्लैनीमीटर संदर्भ बाहरी लिंक प्रोजमैथ मामिकॉन प्रमाण बिना शब्दों के मैथवर्ल्ड वोल्फ्रम इंटरएक्टिव डेमॉन्स्ट्रेशन ऑफ मामिकॉन थ्योरम कैलकुलस ज्योमेट्री इंटीग्रल्स सबूत बिना शब्दों के