Spherical polyhedron
ज्यामिति में, एक गोलाकार बहुफलक या गोलाकार टाइलिंग उस गोले की एक टाइलिंग है जिसमें सतह को बड़े चापों द्वारा विभाजित या विभाजित किया जाता है जिन्हें गोलाकार बहुभुज कहा जाता है। सममित पॉलीहेड्रा का अधिकांश सिद्धांत इस तरह से सबसे आसानी से प्राप्त किया जाता है। सबसे परिचित गोलाकार पॉलीहेड्रॉन सॉकर बॉल है, जिसे गोलाकार कटा हुआ आइकोसाहेड्रॉन माना जाता है। अगला सबसे लोकप्रिय गोलाकार पॉलीहेड्रॉन समुद्र तट की गेंद है, जिसे होसोहेड्रॉन के रूप में माना जाता है। कुछ "अनुचित" पॉलीहेड्रा, जैसे कि होसोहेड्रा और उनके डुअल, डाइहेड्रा, गोलाकार पॉलीहेड्रा के रूप में मौजूद हैं, लेकिन उनके सपाट चेहरे वाले एनालॉग विकृत हैं। षट्कोणीय समुद्र तट गेंद का उदाहरण, एक होसोहेड्रॉन है, और इसका दोहरा डाइहेड्रॉन है। पहला ज्ञात मानव निर्मित पॉलीहेड्रा पत्थर में नक्काशीदार गोलाकार पॉलीहेड्रा है। कई स्कॉटलैंड में पाए गए हैं, और ऐसा प्रतीत होता है कि वे नवपाषाण काल (नए पाषाण युग) के हैं। 10वीं शताब्दी के दौरान, इस्लामी विद्वान अबू अल-वफा 'बुज़्जानी (अबुल वफा) ने गोलाकार पॉलीहेड्रा का पहला गंभीर अध्ययन लिखा। दो सौ साल पहले, 19वीं शताब्दी की शुरुआत में, पॉइंसॉट ने चार नियमित तारा पॉलीहेड्रा की खोज के लिए गोलाकार पॉलीहेड्रा का उपयोग किया था। 20वीं शताब्दी के मध्य में, कॉक्सेटर ने कैलिडोस्कोप (विथोफ निर्माण) के निर्माण के माध्यम से एक समान पॉलीहेड्रा को छोड़कर सभी की गणना करने के लिए उनका उपयोग किया। उदाहरण सभी नियमित पॉलीहेड्रा, सेमीरेगुलर पॉलीहेड्रा और उनके डुअल को गोले पर झुकाव के रूप में प्रक्षेपित किया जा सकता हैः अनुचित मामले गोलाकार झुकाव ऐसे मामलों की अनुमति देते हैं जो पॉलीहेड्रा नहीं करते हैं, अर्थात् होसोहेड्राः {2, n} के रूप में आंकड़े, और डाइहेड्राः {n, 2} के रूप में आंकड़े। आम तौर पर, नियमित होसोहेड्रा और नियमित डाइहेड्रा का उपयोग किया जाता है। प्रोजेक्टिव प्लेन के झुकाव से संबंध कम से कम एक व्युत्क्रम समरूपता वाले गोलाकार पॉलीहेड्रा प्रोजेक्टिव पॉलीहेड्रा (वास्तविक प्रोजेक्टिव प्लेन के टेसेलेशन) से संबंधित हैं-जैसे गोले में प्रोजेक्टिव प्लेन का 2-से-1 आवरण मानचित्र होता है, प्रोजेक्टिव पॉलीहेड्रा गोलाकार पॉलीहेड्रा के लिए 2-गुना आवरण के तहत मेल खाता है जो मूल के माध्यम से प्रतिबिंब के तहत सममित होते हैं। प्रोजेक्टिव पॉलीहेड्रा के सबसे प्रसिद्ध उदाहरण नियमित प्रोजेक्टिव पॉलीहेड्रा, केंद्रीय रूप से सममित प्लेटोनिक ठोस के भाग, साथ ही सम डाइहेड्रा और होसोहेड्रा के दो अनंत वर्ग हैंः हेमी-क्यूब, {4,3}/2 हेमी-ऑक्टेहेड्रॉन, {3,4}/2 हेमी-डोडेकाहेड्रॉन, {5,3}/2 हेमी-आइकोसाहेड्रॉन, {3,5}/2 हेमी-डाइहेड्रॉन, {2p, 2}/2, p> = 1 हेमी-होसोहेड्रॉन, {2,2p}/2, p> = 1 गोलाकार ज्यामिति गोलाकार त्रिभुज भी देखें।