Lift (mathematics)
श्रेणी सिद्धांत में, गणित की एक शाखा, एक रूपात्मकता f: X → Y और एक रूपात्मकता g: Z → Y को देखते हुए, f को Z पर उठाना या उठाना एक रूपात्मकता h: X → Z है। हम कहते हैं कि एच के माध्यम से एफ कारक। टोपोलॉजी में एक बुनियादी उदाहरण एक टोपोलॉजिकल स्थान में एक पथ को एक आवरण स्थान में एक पथ तक उठाना है। उदाहरण के लिए, एक गोले पर एक ही बिंदु पर विपरीत बिंदुओं के मानचित्रण पर विचार करें, प्रोजेक्टिव प्लेन को कवर करने वाले गोले से एक निरंतर मानचित्र। प्रोजेक्टिव प्लेन में एक पथ इकाई अंतराल [0,1] से एक निरंतर मानचित्र है। हम पथ पर पहले बिंदु पर मानचित्रण करने वाले दो गोले बिंदुओं में से एक को चुनकर गोले के लिए इस तरह के मार्ग को उठा सकते हैं, फिर निरंतरता बनाए रख सकते हैं। इस मामले में, दो प्रारंभिक बिंदुओं में से प्रत्येक गोले पर एक अद्वितीय पथ को मजबूर करता है, प्रोजेक्टिव प्लेन में पथ का उत्थान। इस प्रकार मॉर्फिज्म के रूप में निरंतर मानचित्रों के साथ टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणी में, हमारे पास लिफ्ट सर्वव्यापी हैं; उदाहरण के लिए, फाइब्रेशन की परिभाषा (होमोटोपी लिफ्टिंग प्रॉपर्टी देखें) और योजनाओं के अलग और उचित मानचित्रों के मूल्यांकन मानदंड अस्तित्व और (अंतिम मामले में) कुछ लिफ्टों की विशिष्टता के संदर्भ में तैयार किए जाते हैं। बीजगणितीय टोपोलॉजी और होमोलॉजिकल बीजगणित में, टेंसर उत्पाद और होम फंक्शन संलग्न हैं; हालाँकि, वे हमेशा एक सटीक अनुक्रम तक नहीं पहुंच सकते हैं। यह एक्स्ट फ़ंक्टर और टोर फ़ंक्टर की परिभाषा की ओर ले जाता है। बीजगणितीय तर्क प्रथम-क्रम विधेय तर्क के संकेतन तब सुव्यवस्थित होते हैं जब परिमापकों को स्थापित क्षेत्रों और द्विआधारी संबंधों की श्रेणियों में स्थानांतरित किया जाता है। गुंथर श्मिट और माइकल विंटर ने अपनी पुस्तक रिलेशनल टोपोलॉजी में टोपोलॉजी की पारंपरिक तार्किक अभिव्यक्तियों को संबंधों की गणना के लिए उठाने की विधि का सचित्र चित्रण किया है। उनका उद्देश्य "अवधारणाओं को एक संबंधपरक स्तर तक उठाना है जिससे वे स्वतंत्र होने के साथ-साथ परिमाणीकरण से भी मुक्त हों, इस प्रकार उन्हें प्रथम क्रम विधेय तर्क की शैली से मुक्त किया जा सके और बीजगणितीय तर्क की स्पष्टता तक पहुँचा जा सके।" उदाहरण के लिए, एक आंशिक कार्य M समावेशन से मेल खाता है जहां M की सीमा पर पहचान संबंध को दर्शाता है। "परिमाणीकरण के लिए संकेतन छिपा हुआ है और संबंधपरक संचालन (यहाँ स्थानांतरण और संरचना) और उनके नियमों के टाइपिंग में गहराई से शामिल रहता है।" वृत्त मानचित्र एक वृत्त के मानचित्रों के लिए, वास्तविक रेखा तक लिफ्ट की परिभाषा थोड़ी अलग है (एक सामान्य अनुप्रयोग घूर्णन संख्या की गणना है)। एक वृत्त पर एक मानचित्र को देखते हुए, एक लिफ्ट, वास्तविक रेखा पर कोई भी मानचित्र है, जिसके लिए एक प्रक्षेपण (या, आवरण मानचित्र) मौजूद है, जैसे कि। कवरिंग स्पेस प्रोजेक्टिव मॉड्यूल भी देखें औपचारिक रूप से चिकना मानचित्र एक असीम उठाने के गुण को संतुष्ट करता है। मॉन्स्की-वाश्निट्ज़र कोहोमोलॉजी श्रेणियों में लिफ्टिंग प्रॉपर्टी पी-एडिक किस्मों को विशेषता शून्य तक ले जाती है। एस. बी. आई. रिंग इडेम्पोटेंट को जैकबसन रेडिकल से ऊपर उठाने की अनुमति देता है। इकेडा लिफ्ट मियावाकी सीगल मॉड्यूलर रूपों की लिफ्ट साइटो-कुरोकावा मॉड्यूलर रूपों की लिफ्ट घूर्णन संख्या वृत्त के समरूपता को वास्तविक रेखा तक उठाने का उपयोग करती है। अंकगणितीय ज्यामितिः एंड्रयू वाइल्स (1995) ने हेन्सेल के लेम्मा मोनाड (कार्यात्मक प्रोग्रामिंग) को मापने के लिए सरल प्रचालक को मोनडिक रूप में उठाने के लिए मानचित्र कार्यात्मक का उपयोग किया। संदर्भ श्रेणी सिद्धांत