Detrended fluctuation analysis
यादृच्छिक प्रक्रियाओं में, अराजकता सिद्धांत और समय श्रृंखला विश्लेषण, अवरोधित उतार-चढ़ाव विश्लेषण (डी. एफ. ए.) एक संकेत की सांख्यिकीय आत्म-आत्मीयता निर्धारित करने के लिए एक विधि है। यह समय श्रृंखला के विश्लेषण के लिए उपयोगी है जो लंबी-स्मृति प्रक्रियाएँ प्रतीत होती हैं (भिन्न सहसंबंध समय, जैसे। पावर-लॉ क्षयकारी ऑटोकोरिलेशन फंक्शन) या 1/एफ शोर। प्राप्त प्रतिपादक हर्स्ट प्रतिपादक के समान है, सिवाय इसके कि डी. एफ. ए. को उन संकेतों पर भी लागू किया जा सकता है जिनके अंतर्निहित आंकड़े (जैसे माध्य और भिन्नता) या गतिशीलता गैर-स्थिर (समय के साथ बदलते) हैं। यह ऑटोकोरिलेशन और फूरियर ट्रांसफॉर्म जैसी वर्णक्रमीय तकनीकों पर आधारित उपायों से संबंधित है। पेंग एट अल। 1994 में डी. एफ. ए. को एक पेपर में पेश किया गया जिसे 2022 तक 3,000 से अधिक बार उद्धृत किया गया है और (सामान्य) उतार-चढ़ाव विश्लेषण (एफ. ए.) के विस्तार का प्रतिनिधित्व करता है, जो गैर-स्थिरताओं से प्रभावित है। परिभाषा एल्गोरिदम दिया गयाः एक समय श्रृंखला। इसके औसत मूल्य की गणना करें। इसे एक प्रक्रिया में जोड़ें। यह मूल समय श्रृंखला का संचयी योग या रूपरेखा है। उदाहरण के लिए, एक आई. आई. डी. का प्रोफाइल। सफेद शोर एक मानक यादृच्छिक चलना है। पूर्णांकों का एक समूह चुनें, जैसे कि, सबसे छोटा, सबसे बड़ा, और अनुक्रम मोटे तौर पर लॉग-स्केल में समान रूप से वितरित किया जाता हैः दूसरे शब्दों में, यह लगभग एक ज्यामितीय प्रगति है। प्रत्येक के लिए, अनुक्रम को लंबाई के लगातार खंडों में विभाजित करें। प्रत्येक खंड के भीतर, न्यूनतम वर्ग सीधी रेखा फिट (स्थानीय प्रवृत्ति) की गणना करें। मान लीजिए कि यह परिणामी पीसवाइज-लीनियर फिट है। स्थानीय प्रवृत्ति (स्थानीय उतार-चढ़ाव) से मूल-अर्थ-वर्ग विचलन की गणना कीजिएः और उनका मूल-अर्थ-वर्ग कुल उतार-चढ़ाव हैः (यदि इससे विभाज्य नहीं है, तो कोई या तो शेष अनुक्रम को त्याग सकता है, या प्रक्रिया को उलट क्रम पर दोहरा सकता है, फिर उनका मूल-अर्थ-वर्ग लें।) लॉग-लॉग प्लॉट बनाएँ। व्याख्या लॉग-लॉग प्लॉट पर ढलान की एक सीधी रेखा रूप की सांख्यिकीय आत्म-आत्मीयता को इंगित करती है। चूँकि नीरसता के साथ बढ़ती है, हमारे पास हमेशा होती है। स्केलिंग एक्सपोनेंट हर्स्ट एक्सपोनेंट का एक सामान्यीकरण है, जिसमें सटीक मूल्य श्रृंखला के आत्म-सहसंबंधों के बारे में जानकारी देता हैःः विरोधी-सहसंबद्धः असंबंधित, सफेद शोरः सहसंबद्धः 1/एफ-शोर, गुलाबी शोरः गैर-स्थिर, असीमितः ब्राउनियन शोर क्योंकि लंबाई एन की एक असंबंधित यादृच्छिक सैर में अपेक्षित विस्थापन इस तरह बढ़ता है, जिसका एक एक्सपोनेंट असंबंधित सफेद शोर के अनुरूप होगा। जब घातांक 0 और 1 के बीच होता है, तो परिणाम आंशिक गौसी शोर होता है। व्याख्या में नुकसान हालांकि डी. एफ. ए. एल्गोरिथ्म हमेशा किसी भी समय श्रृंखला के लिए एक सकारात्मक संख्या उत्पन्न करता है, लेकिन इसका मतलब यह नहीं है कि समय श्रृंखला स्वयं समान है। स्व-समानता के लिए लॉग-लॉग ग्राफ की एक विस्तृत श्रृंखला पर पर्याप्त रूप से रैखिक होने की आवश्यकता होती है। इसके अलावा, न्यूनतम-वर्ग के बजाय एम. एल. ई. सहित तकनीकों के संयोजन को स्केलिंग, या शक्ति-नियम, प्रतिपादक का बेहतर अनुमान लगाने के लिए दिखाया गया है। इसके अलावा, कई स्केलिंग एक्सपोनेंट जैसी मात्राएँ हैं जिन्हें एक स्व-समान समय श्रृंखला के लिए मापा जा सकता है, जिसमें विभाजक आयाम और हर्स्ट एक्सपोनेंट शामिल हैं। इसलिए, डी. एफ. ए. स्केलिंग प्रतिपादक एक फ्रैक्टल आयाम नहीं है, और इसमें कुछ वांछनीय गुण नहीं हैं जो हौसडॉर्फ आयाम में हैं, हालांकि कुछ विशेष मामलों में यह एक समय श्रृंखला के ग्राफ के लिए बॉक्स-गिनती आयाम से संबंधित है। बहुपद प्रवृत्तियों के लिए सामान्यीकरण (उच्च क्रम डी. एफ. ए.) ऊपर दिया गया मानक डी. एफ. ए. एल्गोरिदम प्रत्येक खंड में एक रैखिक प्रवृत्ति को हटा देता है। यदि हम प्रत्येक खंड में एक डिग्री-एन बहुपद प्रवृत्ति को हटा देते हैं, तो इसे डी. एफ. ए. एन. या उच्च क्रम डी. एफ. ए. कहा जाता है। चूंकि एक संचयी योग है, एक रैखिक प्रवृत्ति एक निरंतर प्रवृत्ति है, जो एक निरंतर प्रवृत्ति है ("सपाट पठारों" के छोटे वर्गों के रूप में दिखाई देती है)। इस संबंध में, डी. एफ. ए. 1 उतार-चढ़ाव की मात्रा निर्धारित करने से पहले समय श्रृंखला के खंडों से माध्य को हटा देता है। इसी तरह, एक डिग्री एन प्रवृत्ति एक डिग्री (एन-1) प्रवृत्ति है। उदाहरण के लिए, डी. एफ. ए. 1 उतार-चढ़ाव की मात्रा निर्धारित करने से पहले समय श्रृंखला के खंडों से रैखिक रुझानों को हटा देता है, डी. एफ. ए. 1 परवलयिक रुझानों को हटा देता है, और इसी तरह। हर्स्ट आर/एस विश्लेषण मूल अनुक्रम में निरंतर रुझानों को हटा देता है और इस प्रकार, इसके अवरोधन में यह डी. एफ. ए. 1 के बराबर है। विभिन्न क्षणों के लिए सामान्यीकरण (बहुआयामी डी. एफ. ए.) डी. एफ. ए. को गणना करके और फिर लॉग-लॉग प्लॉट बनाकर सामान्यीकृत किया जा सकता है, यदि के प्लॉट में एक मजबूत रैखिकता है, तो वह ढलान है। डी. एफ. ए. विशेष मामला है। बहुक्रियाशील प्रणालियाँ एक कार्य के रूप में मापन करती हैं। अनिवार्य रूप से, स्केलिंग प्रतिपादकों को प्रणाली के पैमाने से स्वतंत्र होने की आवश्यकता नहीं है। विशेष रूप से, डी. एफ. ए. दूसरे क्षण-उतार-चढ़ाव के स्केलिंग-व्यवहार को मापता है। केंटेलहार्ट एट अल। इस स्केलिंग प्रतिपादक का उद्देश्य शास्त्रीय हर्स्ट प्रतिपादक के सामान्यीकरण के रूप में था। शास्त्रीय हर्स्ट प्रतिपादक स्थिर मामलों के लिए और गैर-स्थिर मामलों के लिए मेल खाता है। अनुप्रयोग डी. एफ. ए. विधि को कई प्रणालियों पर लागू किया गया है, जैसे। डीएनए अनुक्रम, न्यूरोनल ऑसिलेशन, स्पीच पैथोलॉजी डिटेक्शन, विभिन्न नींद के चरणों में दिल की धड़कन में उतार-चढ़ाव, और पशु व्यवहार पैटर्न विश्लेषण। डी. एफ. ए. पर रुझानों के प्रभाव का अध्ययन किया गया है। अन्य विधियों के साथ संबंध, विशिष्ट प्रकार के संकेतों के लिए शक्ति-नियम-क्षयकारी स्व-संबंध के साथ संकेतों के लिए शक्ति-नियम क्षयकारी स्व-संबंध के मामले में, सहसंबंध कार्य एक प्रतिपादक के साथ क्षय होता हैः इसके अलावा बिजली का स्पेक्ट्रम क्षय हो जाता है। तीन प्रतिपादक निम्न द्वारा संबंधित हैंः और। इन संबंधों को वीनर-खिंचिन प्रमेय का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है। पावर स्पेक्ट्रम विधि के साथ डी. एफ. ए. के संबंध का अच्छी तरह से अध्ययन किया गया है। इस प्रकार, शक्ति स्पेक्ट्रम के ढलान से बंधा हुआ है और इस संबंध द्वारा शोर के रंग का वर्णन करने के लिए उपयोग किया जाता हैः भिन्नात्मक गौसी शोर (एफ. जी. एन.) के लिए, हमारे पास है, और इस प्रकार, और, हर्स्ट घातांक कहाँ है। एफ. जी. एन. के लिए बराबर है। भिन्नात्मक ब्राउनियन गति (एफ. बी. एम.) के लिए, हमारे पास है, और इस प्रकार, और, हर्स्ट घातांक कहाँ है। एफ. बी. एम. के लिए बराबर है। इस संदर्भ में, एफ. बी. एम. संचयी योग या एफ. जी. एन. का अभिन्न अंग है, इस प्रकार, उनके शक्ति स्पेक्ट्रा के प्रतिपादक 2 से भिन्न होते हैं। मल्टीफ्रैक्टल सिस्टम सेल्फ-ऑर्गनाइज्ड क्रिटिकल सेल्फ-एफ़िनिटी टाइम सीरीज़ एनालिसिस हर्स्ट एक्सपोनेंट रेफेरेंसेस एक्सटर्नल लिंक्स न्यूरोफिजियोलॉजिकल बायोमार्कर टूलबॉक्स का उपयोग करके मैटलैब में डिट्रेन्डेड फ्लक्चुएशन एनालिसिस की गणना कैसे करें, इस पर ट्यूटोरियल भी देखें। बहुत बड़े डेटासेट पर डी. एफ. ए. स्केलिंग प्रतिपादक की तेजी से गणना करने के लिए फास्ट डी. एफ. ए. मैटलैब कोड। फिजियोनेट इसकी गणना करने के लिए डी. एफ. ए. और सी कोड का एक अच्छा अवलोकन। एम. एफ. डी. एफ. ए. पायथन कार्यान्वयन (बहुक्रियाशील) अवरोधित उतार-चढ़ाव विश्लेषण। ऑटोकोरिलेशन फ्रैक्टल्स