Flat topology
गणित में, समतल स्थलविज्ञान एक ग्रोथेन्डिक स्थलविज्ञान है जिसका उपयोग बीजगणितीय ज्यामिति में किया जाता है। इसका उपयोग सपाट समरूपता के सिद्धांत को परिभाषित करने के लिए किया जाता है; यह वंश के सिद्धांत (ईमानदारी से सपाट वंश) में भी एक मौलिक भूमिका निभाता है। यहाँ फ्लैट शब्द फ्लैट मॉड्यूल से आता है। कई थोड़े अलग फ्लैट टोपोलॉजी हैं, जिनमें से सबसे आम हैं एफ. पी. पी. एफ. टोपोलॉजी और एफ. पी. क्यू. सी. टोपोलॉजी। एफ. पी. पी. एफ. का अर्थ है, और इस टोपोलॉजी में, एफ़ाइन योजनाओं का एक रूपात्मकता एक आवरण रूपात्मकता है यदि यह वफादारी से सपाट और सीमित प्रस्तुति का है। एफ. पी. क्यू. सी. का अर्थ है, और इस टोपोलॉजी में, एफ़ाइन योजनाओं का एक रूपात्मकता एक आवरण रूपात्मकता है यदि यह ईमानदारी से सपाट है। दोनों श्रेणियों में, एक आवरण परिवार को एक परिवार के रूप में परिभाषित किया गया है जो ज़ारिस्की खुले उपसमुच्चय पर एक आवरण है। एफ. पी. क्यू. सी. टोपोलॉजी में, कोई भी विश्वसनीय रूप से सपाट और अर्ध-कॉम्पैक्ट आकृतिवाद एक आवरण है। ये स्थलविज्ञान वंशावली से निकटता से संबंधित हैं। अर्ध सघनता या परिमित प्रस्तुति जैसी किसी भी अतिरिक्त परिमितता स्थितियों के बिना "शुद्ध" विश्वसनीय रूप से सपाट टोपोलॉजी का अधिक उपयोग नहीं किया जाता है क्योंकि यह सबकानोनिकल नहीं है; दूसरे शब्दों में, प्रतिनिधित्व योग्य फ़ंक्टर्स को शीव्स होने की आवश्यकता नहीं है। दुर्भाग्य से सपाट स्थलविज्ञान के लिए शब्दावली मानकीकृत नहीं है। कुछ लेखक एक प्रीटोपोलॉजी के लिए "टोपोलॉजी" शब्द का उपयोग करते हैं, और कई अलग-अलग प्रीटोपोलॉजी हैं जिन्हें कभी-कभी एफ. पी. पी. एफ. या एफ. पी. क्यू. सी. (प्री) टोपोलॉजी कहा जाता है, जो कभी-कभी एक ही टोपोलॉजी देते हैं। फ्लैट कोहोमोलॉजी की शुरुआत लगभग 1960 में ग्रोथेन्डिक द्वारा की गई थी। बड़े और छोटे एफ. पी. पी. एफ. साइटों को एक एफ़ाइन योजना होने दें। हम एक्स के एक एफ. पी. पी. एफ. आवरण को प्रत्येक एक्स. ए. एफाइन और प्रत्येक φ. ए. फ्लैट के साथ, परिमित रूप से प्रस्तुत, रूपात्मकताओं (φa: Xa → X) के एक परिमित और संयुक्त रूप से अधिक्षेपक परिवार के रूप में परिभाषित करते हैं। यह एक प्रीटोपोलॉजी उत्पन्न करता हैः एक्स मनमाने ढंग के लिए, हम एक्स के एक एफ. पी. पी. एफ. आवरण को एक परिवार (φa: Xa → X) के रूप में परिभाषित करते हैं जो एक्स के एक खुले एफ़ाइन उपशीर्षक में आधार बदलने के बाद एक एफ. पी. पी. एफ. आवरण है। यह प्रीटोपोलॉजी एक टोपोलॉजी उत्पन्न करती है जिसे एफ. पी. पी. एफ. टोपोलॉजी कहा जाता है। (यह उस टोपोलॉजी के समान नहीं है जो हमें मिलेगी यदि हम मनमाने एक्स और एक्सए के साथ शुरू करते हैं और कवर परिवारों को सपाट, परिमित रूप से प्रस्तुत रूपात्मकता के संयुक्त रूप से सर्जेक्टिव परिवारों के रूप में लेते हैं।) हम एफ. पी. पी. एफ. टोपोलॉजी के साथ योजनाओं की श्रेणी के लिए एफ. पी. पी. एफ. लिखते हैं। एक्स की छोटी एफ. पी. पी. एफ. साइट श्रेणी ओ (एक्स. एफ. पी. पी. एफ.) है जिसकी वस्तुएँ एक निश्चित आकृतिवाद यू. → एक्स के साथ योजना यू हैं जो कुछ आवरण परिवार का हिस्सा है। (इसका मतलब यह नहीं है कि आकृतिवाद सपाट, परिमित रूप से प्रस्तुत है।) रूपात्मकताएँ X के लिए निश्चित मानचित्रों के साथ संगत योजनाओं की रूपात्मकताएँ हैं। एक्स की बड़ी एफ. पी. पी. एफ. साइट श्रेणी एफ. पी. पी. एफ./एक्स है, यानी एक्स के लिए एक निश्चित मानचित्र के साथ योजनाओं की श्रेणी, जिसे एफ. पी. पी. एफ. टोपोलॉजी के साथ माना जाता है। "एफ. पी. पी. एफ". "फिडेलमेंट प्लेट डी प्रेसेन्टेशन फिनि" "के लिए एक संक्षिप्त नाम है, जिसका अर्थ है," "ईमानदारी से सपाट और सीमित प्रस्तुति" "।" सपाट और परिमित रूपात्मकताओं का प्रत्येक सर्जेक्टिव परिवार इस टोपोलॉजी के लिए एक आवरण परिवार है, इसलिए इसका नाम पड़ा है। एफ. पी. पी. एफ. प्रीटोपोलॉजी की परिभाषा एक अतिरिक्त अर्ध-पूर्णता स्थिति के साथ भी दी जा सकती है; ई. जी. ए. आई. वी. 4 में कोरोलरी 17.16.2 से यह पता चलता है कि यह वही टोपोलॉजी देता है। बड़े और छोटे एफ. पी. क्यू. सी. साइटों को एक एफ़ाइन योजना होने दें। हम एक्स के एक एफ. पी. क्यू. सी. आवरण को प्रत्येक एक्स. ए. एफाइन और प्रत्येक यू. ए. फ्लैट के साथ रूपात्मकताओं के एक सीमित और संयुक्त रूप से सर्जेक्टिव परिवार के रूप में परिभाषित करते हैं। यह एक प्रीटोपोलॉजी उत्पन्न करता हैः X मनमाने ढंग के लिए, हम X के एक fpqc आवरण को एक परिवार {uα: Xα → X} के रूप में परिभाषित करते हैं जो X के एक खुले एफ़ाइन उपशीर्षक में आधार बदलने के बाद एक fpqc आवरण है। यह प्रीटोपोलॉजी एक टोपोलॉजी उत्पन्न करती है जिसे एफपीक्यूसी टोपोलॉजी कहा जाता है। (यह उस टोपोलॉजी के समान नहीं है जो हमें मिलेगी यदि हम मनमाने ढंग से X और Xα के साथ शुरू करते हैं और कवर परिवारों को फ्लैट मॉर्फिज्म के संयुक्त रूप से सर्जेक्टिव परिवारों के रूप में लेते हैं।) हम एफपीक्यूसी टोपोलॉजी के साथ योजनाओं की श्रेणी के लिए एफपीक्यूसी लिखते हैं। एक्स की छोटी एफ. पी. क्यू. सी. साइट श्रेणी ओ (एक्स. एफ. पी. क्यू. सी.) है जिसकी वस्तुएँ एक निश्चित आकृतिवाद यू. → एक्स के साथ योजना यू हैं जो कुछ आवरण परिवार का हिस्सा है। रूपात्मकताएँ X के लिए निश्चित मानचित्रों के साथ संगत योजनाओं की रूपात्मकताएँ हैं। एक्स की बड़ी एफ. पी. क्यू. सी. साइट श्रेणी एफ. पी. क्यू. सी./एक्स है, यानी एक्स के लिए एक निश्चित मानचित्र के साथ योजनाओं की श्रेणी, जिसे एफ. पी. क्यू. सी. टोपोलॉजी के साथ माना जाता है। "एफ. पी. क्यू. सी". "फिडेलमेंट प्लेट क्वासी-कॉम्पैक्ट" का संक्षिप्त नाम है, जिसका अर्थ है, "ईमानदारी से सपाट और क्वासी-कॉम्पैक्ट"। सपाट और अर्ध-कॉम्पैक्ट आकृति विज्ञान का प्रत्येक सर्जेक्टिव परिवार इस टोपोलॉजी के लिए एक आवरण परिवार है, इसलिए इसका नाम पड़ा है। समस्थानिक समरूपता समरूपता समूहों को परिभाषित करने की प्रक्रिया मानक हैः समरूपता को अबेलियन समूहों के आवरण के वर्गों को लेने वाले फंक्टर के व्युत्पन्न फंक्टरों के अनुक्रम के रूप में परिभाषित किया गया है। जबकि ऐसे समूहों के कई अनुप्रयोग होते हैं, उनकी गणना करना सामान्य रूप से आसान नहीं होता है, सिवाय उन मामलों के जहां वे अन्य सिद्धांतों, जैसे कि एटेल कोहोमोलॉजी तक सीमित हो जाते हैं। उदाहरण निम्नलिखित उदाहरण से पता चलता है कि बिना किसी सीमितता की स्थिति के "वफादार रूप से सपाट स्थलविज्ञान" अच्छा व्यवहार क्यों नहीं करता है। मान लीजिए कि X एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र k पर एफ़ाइन रेखा है। X के प्रत्येक बंद बिंदु x के लिए हम इस बिंदु पर स्थानीय रिंग Rx पर विचार कर सकते हैं, जो एक असतत मूल्यांकन रिंग है जिसके स्पेक्ट्रम में एक बंद बिंदु और एक खुला (सामान्य) बिंदु होता है। हम इन स्पेक्ट्रा को एक योजना Y प्राप्त करने के लिए उनके खुले बिंदुओं की पहचान करके एक साथ चिपकाते हैं। Y से X तक एक प्राकृतिक मानचित्र है। एफाइन रेखा X को विशिष्टता (Rx) समूह द्वारा कवर किया जाता है जो विश्वसनीय रूप से सपाट स्थलविज्ञान में खुले होते हैं, और इनमें से प्रत्येक समूह में Y के लिए एक प्राकृतिक मानचित्र होता है, और ये मानचित्र चौराहों पर समान होते हैं। हालाँकि उन्हें X से Y तक का नक्शा देने के लिए जोड़ा नहीं जा सकता है, क्योंकि X और Y के अंतर्निहित रिक्त स्थान में अलग-अलग स्थलविज्ञान हैं। एफ. पी. क्यू. सी. मॉर्फिज्म नोट्स रेफेरेंसेस एलिमेंट्स डी जियोमेट्री अल्जेब्रिक, वॉल्यूम भी देखें। IV. 2 मिल्ने, जेम्स एस. (1980), एटेल कोहोमोलॉजी, प्रिंसटन यूनिवर्सिटी प्रेस, माइकल आर्टिन और जे. एस. मिल्ने, "वक्रों के सपाट समरूपता में द्वैत", आविष्कार गणित, खंड 35, संख्या 1, दिसंबर, 1976 बाहरी लिंक अंकगणितीय द्वैत प्रमेय (पीडीएफ), जेम्स मिल्ने की ऑनलाइन पुस्तक, गैलोइस समरूपता बीजगणितीय ज्यामिति शीफ सिद्धांत के टेट-पोइटू द्वैतता में उत्पन्न होने वाले सपाट समरूपता द्वैतता प्रमेयों के स्तर पर बताती है।