Boussinesq approximation (water waves)
द्रव गतिकी में, जल तरंगों के लिए बौसिनेस्क सन्निकटन कमजोर गैर-रैखिक और काफी लंबी तरंगों के लिए मान्य एक सन्निकटन है। सन्निकटन का नाम जोसेफ बौसिनेस्क के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने पहली बार उन्हें जॉन स्कॉट रसेल द्वारा अनुवाद की लहर (जिसे एकान्त तरंग या सॉलिटन के रूप में भी जाना जाता है) के अवलोकन के जवाब में प्राप्त किया था। 1872 के बौसिनेस्क के शोध पत्र में उन समीकरणों का परिचय दिया गया है जिन्हें अब बौसिनेस्क समीकरण के रूप में जाना जाता है। जल तरंगों के लिए बौसिनेस्क सन्निकटन क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर प्रवाह वेग की ऊर्ध्वाधर संरचना को ध्यान में रखता है। इसके परिणामस्वरूप गैर-रैखिक आंशिक विभेदक समीकरण बनते हैं, जिन्हें बौसिनेस्क-प्रकार के समीकरण कहा जाता है, जो आवृत्ति फैलाव को शामिल करते हैं (उथले जल समीकरणों के विपरीत, जो आवृत्ति-फैलाव नहीं हैं)। तटीय इंजीनियरिंग में, उथले समुद्रों और बंदरगाहों में जल तरंगों के अनुकरण के लिए कंप्यूटर मॉडल में बौसिनेस्क-प्रकार के समीकरणों का अक्सर उपयोग किया जाता है। जबकि बौसिनेस्क सन्निकटन काफी लंबी तरंगों पर लागू होता है-यानी, जब तरंग दैर्ध्य पानी की गहराई की तुलना में बड़ा होता है-स्टोक्स विस्तार छोटी तरंगों के लिए अधिक उपयुक्त होता है (जब तरंग दैर्ध्य पानी की गहराई के समान क्रम का होता है, या छोटा होता है)। बौसिनेस्क सन्निकटन बौसिनेस्क सन्निकटन में आवश्यक विचार प्रवाह समीकरणों से ऊर्ध्वाधर निर्देशांक का उन्मूलन है, जबकि जल तरंगों के तहत प्रवाह की ऊर्ध्वाधर संरचना के कुछ प्रभावों को बनाए रखना है। यह उपयोगी है क्योंकि तरंगें क्षैतिज तल में फैलती हैं और ऊर्ध्वाधर दिशा में एक अलग (तरंग जैसी नहीं) व्यवहार करती हैं। अक्सर, जैसा कि बौसिनेस्क के मामले में, रुचि मुख्य रूप से तरंग प्रसार में होती है। ऊर्ध्वाधर निर्देशांक का यह उन्मूलन पहली बार 1871 में जोसेफ बौसिनेस्क द्वारा किया गया था, ताकि एकल तरंग (या अनुवाद की तरंग) के लिए एक अनुमानित समाधान का निर्माण किया जा सके। इसके बाद, 1872 में, बौसिनेस्क ने उन समीकरणों को प्राप्त किया जिन्हें आजकल बौसिनेस्क समीकरण के रूप में जाना जाता है। बौसिनेस्क सन्निकटन में चरण हैंः एक टेलर विस्तार एक निश्चित ऊंचाई के आसपास क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर प्रवाह वेग (या वेग क्षमता) से बना होता है, इस टेलर विस्तार को सीमित संख्या में शब्दों में काटा जाता है, एक असंपीड़ित प्रवाह के लिए द्रव्यमान का संरक्षण (निरंतरता समीकरण देखें) और एक इर्रोटेशनल प्रवाह के लिए शून्य-कर्ल स्थिति का उपयोग किया जाता है, ताकि टेलर विस्तार में मात्राओं के ऊर्ध्वाधर आंशिक व्युत्पन्न को क्षैतिज आंशिक व्युत्पन्न के साथ प्रतिस्थापित किया जा सके। इसके बाद, ऊर्ध्वाधर निर्देशांक पर निर्भरता को समाप्त करने के लिए, शेष प्रवाह समीकरणों पर बौसिनेस्क सन्निकटन लागू किया जाता है। नतीजतन, परिणामी आंशिक विभेदक समीकरण क्षैतिज निर्देशांक (और समय) के कार्यों के संदर्भ में होते हैं। उदाहरण के लिए, समतल में क्षैतिज तल पर क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर निर्देशांक के साथ संभावित प्रवाह पर विचार करें। तल कहाँ स्थित है, जहाँ पानी की औसत गहराई है। एक टेलर विस्तार तल स्तर के आसपास वेग क्षमता से बना हैः तल पर वेग क्षमता कहाँ है। असम्पीडित प्रवाह के लिए मान्य लाप्लास के समीकरण को लागू करने से पता चलता हैः क्योंकि ऊर्ध्वाधर वेग-अभेद्य-क्षैतिज तल पर शून्य है। इस श्रृंखला को बाद में सीमित संख्या में शब्दों में काटा जा सकता है। मूल बौसिनेस्क समीकरण व्युत्पत्ति समतल में एक असंपीड़ित द्रव और घूर्णनशील प्रवाह पर जल तरंगों के लिए, मुक्त सतह की ऊँचाई पर सीमा स्थितियाँ हैंः जहाँः क्षैतिज प्रवाह वेग घटक हैः, ऊर्ध्वाधर प्रवाह वेग घटक हैः, गुरुत्वाकर्षण द्वारा त्वरण है। अब वेग क्षमता के लिए बौसिनेस्क सन्निकटन, जैसा कि ऊपर दिया गया है, इन सीमा स्थितियों में लागू किया जाता है। इसके अलावा, परिणामी समीकरणों में केवल और के संबंध में रैखिक और द्विघात पद बनाए रखे जाते हैं (तल पर क्षैतिज वेग के साथ)। घन और उच्च क्रम की शर्तों को नगण्य माना जाता है। फिर, निम्नलिखित आंशिक विभेदक समीकरण प्राप्त किए जाते हैंः समुच्चय ए-बौसिनेस्क (1872), समीकरण (25) समीकरणों का यह समुच्चय एक समतल क्षैतिज तल के लिए प्राप्त किया गया है, अर्थात। औसत गहराई स्थिति से स्वतंत्र एक स्थिरांक है। जब उपरोक्त समीकरणों के दाहिने हाथ की भुजाओं को शून्य पर सेट किया जाता है, तो वे उथले जल समीकरणों में कम हो जाते हैं। कुछ अतिरिक्त सन्निकटनों के तहत, लेकिन सटीकता के एक ही क्रम पर, उपरोक्त समुच्चय ए को मुक्त सतह उन्नयन के लिए एकल आंशिक विभेदक समीकरण में घटाया जा सकता हैः सेट बी-बौसिनेस्क (1872), समीकरण (26) कोष्ठकों के बीच के शब्दों से, समीकरण की अरैखिकता का महत्व उर्सेल संख्या के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है। आयामहीन मात्राओं में, गैर-आयामीकरण के लिए पानी की गहराई और गुरुत्वाकर्षण त्वरण का उपयोग करते हुए, यह समीकरण सामान्यीकरण के बाद पढ़ता हैः रैखिक आवृत्ति फैलाव विभिन्न तरंग लंबाई की जल तरंगें विभिन्न चरण गति के साथ यात्रा करती हैं, एक घटना जिसे आवृत्ति फैलाव के रूप में जाना जाता है। असीम तरंग आयाम के मामले में, शब्दावली रैखिक आवृत्ति फैलाव है। एक बौसिनेस्क-प्रकार के समीकरण की आवृत्ति फैलाव विशेषताओं का उपयोग तरंग लंबाई की सीमा निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है, जिसके लिए यह एक वैध सन्निकटन है। समीकरणों के उपरोक्त समुच्चय ए के लिए रैखिक आवृत्ति फैलाव विशेषताएँ हैंः के साथः चरण गति, तरंग संख्या (, तरंग की लंबाई के साथ)। समुच्चय ए के लिए चरण गति में सापेक्ष त्रुटि, जल तरंगों के लिए रैखिक सिद्धांत की तुलना में, एक सापेक्ष तरंग संख्या के लिए 4 प्रतिशत से कम है। तो, इंजीनियरिंग अनुप्रयोगों में, सेट ए पानी की गहराई के 4 गुना से बड़ी तरंग दैर्ध्य के लिए मान्य है। समीकरण बी की रैखिक आवृत्ति फैलाव विशेषताएँ इस प्रकार हैंः समीकरण बी के लिए चरण गति में सापेक्ष त्रुटि 4 प्रतिशत से कम है, जो पानी की गहराई के 7 गुना से अधिक लंबी तरंग लंबाई के बराबर है, जिसे काफी लंबी तरंगें कहा जाता है। समीकरण बी के साथ छोटी तरंगें भौतिक रूप से अर्थहीन हो जाती हैं, क्योंकि अब चरण गति के वास्तविक-मूल्यवान समाधान नहीं हैं। दो आंशिक अवकल समीकरणों के मूल समुच्चय (बौसिनेस्क, 1872, समीकरण 25, ऊपर का समुच्चय ए देखें) में यह कमी नहीं है। उथले जल समीकरणों में पानी की गहराई के 13 गुना से अधिक तरंग की लंबाई के लिए 4 प्रतिशत से कम चरण गति में सापेक्ष त्रुटि होती है। बौसिनेस्क-प्रकार के समीकरण और विस्तार बड़ी संख्या में गणितीय मॉडल हैं जिन्हें बौसिनेस्क समीकरण कहा जाता है। यह आसानी से भ्रम पैदा कर सकता है, क्योंकि अक्सर उन्हें बौसिनेस्क समीकरणों के रूप में संदर्भित किया जाता है, जबकि वास्तव में इसका एक प्रकार माना जाता है। इसलिए उन्हें बौसिनेस्क-प्रकार के समीकरण कहना अधिक उपयुक्त है। कड़ाई से बोलते हुए, बौसिनेस्क समीकरण उपरोक्त समूह बी है, क्योंकि इसका उपयोग उनके 1872 के पेपर के शेष भाग में विश्लेषण में किया गया है। कुछ दिशाएँ, जिनमें बौसिनेस्क समीकरणों का विस्तार किया गया है, वे हैंः अलग-अलग बैथीमेट्री, बेहतर आवृत्ति फैलाव, बेहतर गैर-रैखिक व्यवहार, विभिन्न ऊर्ध्वाधर ऊंचाई के आसपास टेलर विस्तार करना, परतों में द्रव क्षेत्र को विभाजित करना, और प्रत्येक परत में बौसिनेस्क सन्निकटन को अलग से लागू करना, तरंग टूटने का समावेश, सतह तनाव का समावेश, विभिन्न द्रव्यमान घनत्व के द्रव क्षेत्र के बीच एक इंटरफेस पर आंतरिक तरंगों का विस्तार, एक परिवर्तनशील सिद्धांत से व्युत्पत्ति। एक तरफा तरंग प्रसार के लिए आगे के अनुमान जबकि बौसिनेस्क समीकरण विपरीत दिशाओं में एक साथ यात्रा करने वाली तरंगों की अनुमति देते हैं, अक्सर केवल एक दिशा में यात्रा करने वाली तरंगों पर विचार करना फायदेमंद होता है। छोटी अतिरिक्त धारणाओं के तहत, बौसिनेस्क समीकरण निम्न तक कम हो जाते हैंः एक क्षैतिज आयाम में तरंग प्रसार के लिए कोर्टेवेग-डी व्रीस समीकरण, दो क्षैतिज आयामों में (एक-दिशात्मक के पास) तरंग प्रसार के लिए काडोमत्सेव-पेटवियाश्विली समीकरण, संकीर्ण-मूल्य वाले संकीर्ण तरंगों (धीरे-धीरे संशोधित तरंगों) के आयाम के लिए अरैखिक श्रोडिंगर समीकरण (एन. एल. एस. समीकरण)। एकान्त तरंग समाधानों के अलावा, कोर्टेवेग-डी व्रीस समीकरण में आवधिक और सटीक समाधान भी होते हैं, जिन्हें क्नोइडल तरंगें कहा जाता है। ये बौसिनेस्क समीकरण के अनुमानित समाधान हैं। संख्यात्मक मॉडल तटों और बंदरगाहों के पास तरंग गति के अनुकरण के लिए, बौसिनेस्क-प्रकार के समीकरणों को नियोजित करने वाले संख्यात्मक मॉडल-वाणिज्यिक और शैक्षणिक दोनों-मौजूद हैं। कुछ व्यावसायिक उदाहरण माइक 21 और एस. एम. एस. में बौसिनेस्क-प्रकार तरंग मॉड्यूल हैं। कुछ मुफ्त बौसिनेस्क मॉडल सेलेरिस, कुलवेव और फनवेव हैं। अधिकांश संख्यात्मक मॉडल मॉडल समीकरणों के विवेकीकरण के लिए परिमित-अंतर, सीमित-मात्रा या सीमित तत्व तकनीकों का उपयोग करते हैं। वैज्ञानिक समीक्षाएँ और कई बौसिनेस्क-प्रकार के समीकरणों की परस्पर तुलना, उनका संख्यात्मक सन्निकटन और प्रदर्शन उदाहरण के लिए हैं। , और। टिप्पणियों के संदर्भ भाग 2, अध्याय 5 देखें। द्रव गतिकी जल तरंगें द्रव गतिकी के समीकरण