Bethe–Salpeter equation
बेथ-साल्पीटर समीकरण (हंस बेथ और एडविन साल्पीटर के नाम पर) एक सापेक्ष रूप से सहपरिवर्तन औपचारिकता में दो-पिंड (कण) क्वांटम क्षेत्र सैद्धांतिक प्रणाली की बाध्य अवस्थाओं का वर्णन करता है। समीकरण पहली बार 1950 में योइचिरो नाम्बू द्वारा एक पेपर के अंत में प्रकाशित किया गया था, लेकिन बिना व्युत्पत्ति के। इसकी व्यापकता और सैद्धांतिक भौतिकी की कई शाखाओं में इसके अनुप्रयोग के कारण, बेथ-साल्पेटर समीकरण कई अलग-अलग रूपों में प्रकट होता है। एक रूप, जिसका अक्सर उच्च ऊर्जा भौतिकी में उपयोग किया जाता है, वह है जहाँ कुलु बेथे-साल्पीटर आयाम है, K परस्पर क्रिया है और S दो भाग लेने वाले कणों के प्रसारक हैं। क्वांटम सिद्धांत में, बाध्य अवस्थाएँ जीवनकाल वाली वस्तुएँ हैं जो अपनी संरचना को नियंत्रित करने वाले अंतःक्रिया के समय-पैमाने से बहुत लंबी होती हैं (अन्यथा उन्हें अनुनाद कहा जाता है)। इस प्रकार घटक अनिवार्य रूप से अनंत रूप से कई बार परस्पर क्रिया करते हैं। दो घटकों के बीच होने वाली सभी संभावित अंतःक्रियाओं को अनंत रूप से कई बार जोड़कर, बेथ-साल्पीटर समीकरण बाध्य अवस्थाओं के गुणों की गणना करने का एक उपकरण है। इसका समाधान, बेथ-साल्पीटर आयाम, विचाराधीन बाध्य अवस्था का वर्णन है। चूँकि इसे एस-मैट्रिक्स में ध्रुवों के साथ बंधी अवस्थाओं की पहचान के माध्यम से प्राप्त किया जा सकता है, इसे प्रकीर्णन प्रक्रियाओं और ग्रीन के कार्यों के क्वांटम सैद्धांतिक विवरण से जोड़ा जा सकता है। बेथ-साल्पीटर समीकरण एक सामान्य क्वांटम क्षेत्र सैद्धांतिक उपकरण है, इस प्रकार इसके लिए अनुप्रयोग किसी भी क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में पाए जा सकते हैं। कुछ उदाहरण पॉज़िट्रोनियम (एक इलेक्ट्रॉन-पॉज़िट्रॉन जोड़ी की बंधी अवस्था), एक्साइटॉन (एक इलेक्ट्रॉन-छेद जोड़े की बंधी अवस्था), और मेसन (क्वार्क-एंटीक्वार्क बंधी अवस्थाओं के रूप में) हैं। यहाँ तक कि पॉज़िट्रोनियम जैसी सरल प्रणालियों के लिए भी, समीकरण को ठीक से हल नहीं किया जा सकता है, हालाँकि सिद्धांत रूप में इसे ठीक से तैयार किया जा सकता है। सटीक समाधान की आवश्यकता के बिना राज्यों का वर्गीकरण किया जा सकता है। यदि एक कण दूसरे की तुलना में काफी अधिक विशाल है, तो समस्या काफी सरल हो जाती है क्योंकि एक भारी कण की बाहरी क्षमता के तहत हल्के कण के लिए डीराक समीकरण को हल करता है। व्युत्पत्ति बेथे-साल्पीटर समीकरण की व्युत्पत्ति के लिए प्रारंभिक बिंदु संवेग स्थान में दो-कण (या चार बिंदु) डायसन समीकरण है, जहां "जी" दो-कण हरा फलन है, "एस" मुक्त प्रसारक हैं और "के" एक अंतःक्रिया कर्नेल है, जिसमें दो कणों के बीच सभी संभावित अंतःक्रियाएं शामिल हैं। अब महत्वपूर्ण कदम यह मान लेना है कि बाध्य अवस्थाएँ हरित फलन में ध्रुवों के रूप में दिखाई देती हैं। एक यह मानता है कि दो कण एक साथ आते हैं और द्रव्यमान "एम" के साथ एक बंधी अवस्था बनाते हैं, यह बंधी अवस्था स्वतंत्र रूप से फैलती है, और फिर बंधी अवस्था अपने दो घटकों में फिर से विभाजित हो जाती है। इसलिए, बेथ-साल्पीटर तरंग फलन का परिचय दिया जाता है, जो एक बाध्य अवस्था में दो घटकों का एक संक्रमण आयाम है, और फिर ध्रुव के आसपास के क्षेत्र में ग्रीन फलन के लिए एक ansatz बनाता है जहां P प्रणाली की कुल गति है। कोई यह देखता है कि यदि इस संवेग के लिए समीकरण धारण करता है, जो कि आइंस्टीन ऊर्जा-संवेग संबंध (चार-संवेग और के साथ) है, तो चार-बिंदु हरे फलन में एक ध्रुव होता है। यदि कोई उस अनुपात को ऊपर के डायसन समीकरण में जोड़ता है, और कुल संवेग "पी" को इस तरह सेट करता है कि ऊर्जा-संवेग संबंध बना रहे, तो शब्द के दोनों ओर एक ध्रुव दिखाई देता है। अवशिष्ट उपज की तुलना करना यह पहले से ही बेथ-साल्पीटर समीकरण है, जिसे बेथ-साल्पीटर तरंग कार्यों के संदर्भ में लिखा गया है। उपरोक्त रूप को प्राप्त करने के लिए एक व्यक्ति बेथे-साल्पीटर आयामों का परिचय देता है और अंत में प्राप्त करता है जो स्पष्ट संवेग निर्भरता के साथ ऊपर लिखा गया है। इंद्रधनुष-सीढ़ी सन्निकटन सिद्धांत रूप में अंतःक्रिया कर्नेल के में सभी संभावित दो-कण-अपचनीय अंतःक्रियाएँ होती हैं जो दोनों घटकों के बीच हो सकती हैं। इस प्रकार, व्यावहारिक गणनाओं में इसे मॉडल करना होता है और केवल अंतःक्रियाओं का एक उपसमुच्चय चुनना होता है। जैसा कि क्वांटम क्षेत्र सिद्धांतों में, अंतःक्रिया को कणों के आदान-प्रदान के माध्यम से वर्णित किया जाता है (जैसे। क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स में फोटॉन, या क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स में ग्लूऑन), सबसे सरल अंतःक्रिया इन बल-कणों में से केवल एक का आदान-प्रदान है। जैसा कि बेथे-साल्पीटर समीकरण असीम रूप से कई बार अंतःक्रिया का सारांश देता है, परिणामी फेनमैन ग्राफ में एक सीढ़ी (या इंद्रधनुष) का रूप होता है। जबकि क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स में सीढ़ी सन्निकटन पार समरूपता और गेज अपरिवर्तनीयता के साथ समस्याओं का कारण बना और इस प्रकार पार सीढ़ी शब्दों को शामिल करना पड़ा, क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स में इस सन्निकटन का उपयोग हैड्रॉन द्रव्यमान की गणना करने के लिए घटनात्मक रूप से काफी किया जाता है, क्योंकि यह कायरल समरूपता टूटने का सम्मान करता है और इसलिए इन द्रव्यमानों की पीढ़ी का एक महत्वपूर्ण हिस्सा है। सामान्यीकरण किसी भी सजातीय समीकरण के लिए, बेथ-साल्पीटर समीकरण का समाधान केवल एक संख्यात्मक कारक तक निर्धारित किया जाता है। इस कारक को एक निश्चित सामान्यीकरण स्थिति द्वारा निर्दिष्ट किया जाना है। बेथ-साल्पीटर आयामों के लिए यह आमतौर पर संभाव्यता संरक्षण की मांग करके किया जाता है (क्वांटम यांत्रिक तरंग फलन के सामान्यीकरण के समान), जो समीकरण से मेल खाता है-बाध्य अवस्था के आवेश और ऊर्जा-गति टेंसर के सामान्यीकरण एक ही समीकरण की ओर ले जाते हैं। सीढ़ी सन्निकटन में अंतःक्रिया कर्नेल बेथे-साल्पीटर आयाम की कुल गति पर निर्भर नहीं करता है, इस प्रकार, इस मामले के लिए, सामान्यीकरण स्थिति का दूसरा पद गायब हो जाता है। ABINIT अराकी-सुचर सुधार भी देखें ब्रीट समीकरण लिपमैन-श्विंगर समीकरण श्विंगर-डायसन समीकरण दो-शरीर डीराक समीकरण YAMBO कोड संदर्भ ग्रंथ सूची कई आधुनिक क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत पाठ्यपुस्तकें और कुछ लेख बेथ-साल्पीटर समीकरण के संदर्भ और उपयोग के लिए शैक्षणिक विवरण प्रदान करते हैं। देखें-अभी भी नाकानिशी के समीक्षा लेख द्वारा एक अच्छा परिचय दिया गया है ऐतिहासिक पहलुओं के लिए, उन कोडों के बाहरी लिंक देखें जहां बेथे-साल्पीटर समीकरण को यम्बो-प्लेन-वेव स्यूडोपोटेंशियल बर्कलेजीडब्ल्यू-प्लेन-वेव स्यूडोपोटेंशियल एक्ससी-प्लेन-वेव स्यूडोपोटेंशियल फिएस्टा-गॉसियन ऑल-इलेक्ट्रॉन अबिनिट-प्लेन-वेव स्यूडोपोटेंशियल वीएएसपी-प्लेन-वेव स्यूडोपोटेंशियल कोड की अधिक व्यापक सूची के लिए यहां देखें-लिस्ट _ ऑफ _ क्वांटम _ केमिस्ट्री _ और _ सॉलिड-स्टेट _ फिजिक्स _ सॉफ्टवेयर भौतिकी क्वांटम फील्ड थ्योरी क्वांटम यांत्रिकी के नामित समीकरण