Triple correlation
वास्तविक रेखा पर एक साधारण फलन का त्रिक सहसंबंध उस फलन के उत्पाद का अभिन्न अंग है जिसमें स्वयं की दो स्वतंत्र रूप से स्थानांतरित प्रतियां होती हैंः त्रिक सहसंबंध का फूरियर परिवर्तन द्वि-वर्णक्रम है। ट्रिपल सहसंबंध ऑटोकोरिलेशन की अवधारणा का विस्तार करता है, जो एक फ़ंक्शन को स्वयं की एक एकल स्थानांतरित प्रति के साथ सहसंबंधित करता है और इस तरह इसकी अव्यक्त आवधिकताओं को बढ़ाता है। इतिहास ट्रिपल सहसंबंध के सिद्धांत की जांच सबसे पहले सांख्यिकीविदों द्वारा गैर-गौसी यादृच्छिक प्रक्रियाओं की संचयी संरचना की जांच करने के लिए की गई थी। भौतिकविदों द्वारा लेजर किरणों की स्पेक्ट्रोस्कोपी के लिए एक उपकरण के रूप में भी इसका स्वतंत्र रूप से अध्ययन किया गया था। 1963 में हिदेया गामो ने एक लेजर किरण के तिहरे सहसंबंध को मापने के लिए एक उपकरण का वर्णन किया, और यह भी दिखाया कि कैसे द्वि-वर्णक्रम के वास्तविक भाग से चरण की जानकारी को पुनर्प्राप्त किया जा सकता है-संकेत प्रत्यावर्तन और रैखिक ऑफसेट तक। हालांकि, गामो की विधि में स्पष्ट रूप से फूरियर परिवर्तन की आवश्यकता होती है जो किसी भी आवृत्ति पर कभी भी शून्य न हो। इस आवश्यकता में ढील दी गई थी, और येलोट और इवरसन (1992) के अध्ययन द्वारा उन कार्यों के वर्ग का काफी विस्तार किया गया था जिन्हें उनके ट्रिपल (और उच्च-क्रम) सहसंबंधों द्वारा विशिष्ट रूप से पहचाना जाता है। येलोट और इवरसन ने बेला जूल्ज़ द्वारा प्रस्तावित ट्रिपल सहसंबंध और दृश्य बनावट भेदभाव सिद्धांत के बीच संबंध की ओर भी इशारा किया। अनुप्रयोग योगात्मक सफेद गौसी शोर द्वारा दूषित संकेतों के उपचार के लिए संकेत प्रसंस्करण में ट्रिपल सहसंबंध विधियों का अक्सर उपयोग किया जाता है; विशेष रूप से, ट्रिपल सहसंबंध तकनीकें उपयुक्त होती हैं जब संकेत के कई अवलोकन उपलब्ध होते हैं और संकेत टिप्पणियों के बीच में अनुवाद कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, एक शोर पृष्ठभूमि पर अनुवाद करने वाली वस्तु की छवियों का एक क्रम। ऐसे कार्यों के लिए जो बात ट्रिपल सहसंबंध को विशेष रूप से उपयोगी बनाती है, वह तीन गुण हैंः (1) यह अंतर्निहित संकेत के अनुवाद के तहत अपरिवर्तनीय है; (2) यह योगात्मक गॉसियन शोर में निष्पक्ष है; और (3) यह अंतर्निहित संकेत में लगभग सभी प्रासंगिक चरण जानकारी को बरकरार रखता है। ट्रिपल सहसंबंध के गुण (1)-(3) कई मामलों में एक मनमाने स्थानीय रूप से सघन समूह पर कार्यों तक विस्तारित होते हैं, विशेष रूप से यूक्लिडियन स्थान के घूर्णन और कठोर गतियों के समूहों के लिए जो कंप्यूटर दृष्टि और संकेत प्रसंस्करण में उत्पन्न होते हैं। समूहों तक विस्तार समूह के बाएं-अपरिवर्तनीय हार माप का उपयोग करके किसी भी स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट समूह के लिए ट्रिपल सहसंबंध को परिभाषित किया जा सकता है। यह आसानी से दिखाया जाता है कि परिणामी वस्तु अंतर्निहित कार्य के बाएं अनुवाद के तहत अपरिवर्तनीय है और योगात्मक गौसी शोर में निष्पक्ष है। विशिष्टता का सवाल अधिक दिलचस्प हैः जब दो कार्यों का एक ही ट्रिपल सहसंबंध होता है, तो कार्य कैसे संबंधित होते हैं? व्यावहारिक रुचि के कई मामलों के लिए, एक अमूर्त समूह पर एक फ़ंक्शन का ट्रिपल सहसंबंध विशिष्ट रूप से उस फ़ंक्शन की पहचान करता है जो एक एकल अज्ञात समूह कार्रवाई तक है। यह विशिष्टता एक गणितीय परिणाम है जो पोंट्रियागिन द्वैत प्रमेय, तन्नाका-क्रेइन द्वैत प्रमेय और इवाहोरी-सुगिउरा और तात्सुमा के संबंधित परिणामों पर निर्भर करता है। यूक्लिडियन स्पेस पर उनके ट्रिपल सहसंबंध के साथ-साथ दो और तीन आयामों में घूर्णन समूहों से बैंड-सीमित कार्यों को पुनर्प्राप्त करने के लिए एल्गोरिदम मौजूद हैं। वीनर के टाउबेरियन प्रमेय के साथ एक दिलचस्प संबंध भी हैः कोई भी कार्य जिसका अनुवाद घने हैं, जहां एक स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट एबेलियन समूह है, को भी इसके ट्रिपल सहसंबंध द्वारा विशिष्ट रूप से पहचाना जाता है। संदर्भ के. हैसलमैन, डब्ल्यू. मंक, और जी. मैकडोनाल्ड (1963), टाइम सीरीज़ एनालिसिस में "बिस्पेक्ट्रा ऑफ़ ओशन वेव्स", एम. रोसेनब्लैट, एड., न्यूयॉर्कः विली, 125-139। आर. काकराला (1992) ट्रिपल कोरिलेशन ऑन ग्रुप्स, पीएचडी थीसिस, गणित विभाग, कैलिफोर्निया विश्वविद्यालय, इरविन। आर. कोंडोर (2007), "छवियों के लिए घूर्णन और अनुवादात्मक रूप से अपरिवर्तनीय विशेषताओं का एक पूरा सेट", इंटीग्रल फूरियर विश्लेषण को परिवर्तित करता है संकेत प्रसंस्करण सहप्रसरण और सहसंबंध