Spherical mean
गणित में, किसी बिंदु के आसपास किसी फलन का गोलाकार माध्य उस बिंदु पर केंद्रित त्रिज्या के गोले पर उस फलन के सभी मूल्यों का औसत होता है। परिभाषा यूक्लिडियन स्पेस आरएन में एक खुले समुच्चय यू और वास्तविक या जटिल मूल्यों के साथ यू पर परिभाषित एक निरंतर फलन यू पर विचार करें। मान लीजिए कि x, U में एक बिंदु है और r> 0 ऐसा हो कि केंद्र x और त्रिज्या r की बंद गेंद B (x, r) U में निहित हो। x पर केंद्रित त्रिज्या r के गोले पर गोलाकार माध्य को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है कि जहां B (x, r) की सीमा बनाने वाला (n−1)-क्षेत्र ष्णू B (x, r) है, dS गोलाकार माप के संबंध में एकीकरण को दर्शाता है और ωn−1 (r) इस (n−1)-क्षेत्र का "सतह क्षेत्र" है। समान रूप से, गोलाकार माध्य इस प्रकार दिया जाता है जहाँ ωn−1 त्रिज्या 1 के (n−1)-गोले का क्षेत्रफल है। गोलाकार माध्य को अक्सर इस रूप में दर्शाया जाता है कि गोलाकार माध्य को प्राकृतिक तरीके से रीमानियन मैनिफोल्ड्स के लिए भी परिभाषित किया जाता है। गुण और उपयोग इसकी निरंतरता से यह पता चलता है कि फलन निरंतर है, और इसकी सीमा का उपयोग विषम अंतरिक्ष आयाम में तरंग समीकरण के लिए कौची समस्या को हल करने के लिए किया जा सकता है। परिणाम, जिसे किरचॉफ के सूत्र के रूप में जाना जाता है, तरंग समीकरण को (विषम के लिए) तरंग समीकरण में कम करने के लिए गोलाकार साधनों का उपयोग करके और फिर डी 'एलेम्बर्ट के सूत्र का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है। अभिव्यक्ति को स्वयं तरंग समीकरण लेख में प्रस्तुत किया गया है। यदि एक खुला सेट है और एक C2 फ़ंक्शन पर परिभाषित किया गया है, तो हार्मोनिक है यदि और केवल तभी जब सभी के लिए और ऐसे सभी के लिए कि बंद गेंद एक में निहित है इस परिणाम का उपयोग हार्मोनिक कार्यों के लिए अधिकतम सिद्धांत को साबित करने के लिए किया जा सकता है। संदर्भ बाहरी लिंक आंशिक विभेदक समीकरण का अर्थ