Virtually
गणित में, विशेष रूप से अमूर्त बीजगणित के क्षेत्र में जो अनंत समूहों का अध्ययन करता है, क्रियाविशेषण का उपयोग वस्तुतः एक गुण को संशोधित करने के लिए किया जाता है ताकि इसे केवल परिमित सूचकांक के उपसमूह के लिए धारण करने की आवश्यकता हो। एक गुण पी को देखते हुए, समूह जी को वस्तुतः पी कहा जाता है यदि एक सीमित सूचकांक उपसमूह है जैसे कि एच का गुण पी है। इसके लिए सामान्य उपयोग तब होगा जब पी अबेलियन, निलपोटेन्ट, सॉल्वेबल या फ्री हो। उदाहरण के लिए, वस्तुतः हल करने योग्य समूह टिट्स विकल्प में दो विकल्पों में से एक हैं, जबकि ग्रोमोव के प्रमेय में कहा गया है कि बहुपद वृद्धि के साथ परिमित रूप से उत्पन्न समूह सटीक रूप से परिमित रूप से उत्पन्न वस्तुतः निलपोटेन्ट समूह हैं। इस शब्दावली का उपयोग तब भी किया जाता है जब पी सिर्फ एक अन्य समूह होता है। अर्थात्, यदि जी और एच समूह हैं तो जी वस्तुतः एच है यदि जी में परिमित सूचकांक का एक उपसमूह के है जैसे कि के एच के लिए समरूप है। विशेष रूप से, एक समूह वस्तुतः तुच्छ है यदि और केवल तभी जब यह सीमित है। दो समूह लगभग बराबर होते हैं यदि और केवल तभी जब वे तुलनीय हों। उदाहरण वस्तुतः अबेलियन निम्नलिखित समूह वस्तुतः अबेलियन हैं। कोई भी अबेलियन समूह। कोई भी अर्ध-अप्रत्यक्ष उत्पाद जहाँ N अबेलियन है और H परिमित है। (उदाहरण के लिए, कोई भी सामान्यीकृत डायहेड्रल समूह।) कोई भी अर्ध-अप्रत्यक्ष उत्पाद जहाँ N परिमित है और H अबेलियन है। कोई भी परिमित समूह (चूंकि तुच्छ उपसमूह अबेलियन है)। वस्तुतः निलपोटेन्ट कोई भी समूह जो वस्तुतः अबेलियन है। कोई भी नीलपोटेंट समूह। कोई भी अर्ध-अप्रत्यक्ष उत्पाद जहाँ N नीलपोटेन्ट है और H परिमित है। कोई भी अर्ध-अप्रत्यक्ष उत्पाद जहाँ N परिमित है और H निलपोटेन्ट है। ग्रोमोव की प्रमेय कहती है कि एक परिमित रूप से उत्पन्न समूह वस्तुतः निलपोटेन्ट होता है यदि और केवल तभी जब इसमें बहुपद वृद्धि होती है। वस्तुतः पॉलीसाइक्लिक वस्तुतः किसी भी मुक्त समूह से मुक्त है। कोई भी वस्तुतः चक्रीय समूह। कोई भी अर्ध-अप्रत्यक्ष उत्पाद जहाँ N मुक्त है और H परिमित है। कोई भी अर्ध-अप्रत्यक्ष उत्पाद जहाँ N परिमित है और H मुक्त है। कोई भी मुक्त उत्पाद, जहाँ H और K दोनों सीमित हैं। (उदाहरण के लिए, मॉड्यूलर समूह।) यह स्टॉलिंग के प्रमेय से मिलता है कि कोई भी मरोड़ मुक्त वस्तुतः मुक्त समूह स्वतंत्र है। अन्य 2 जनरेटर पर मुक्त समूह वस्तुतः नील्सन-श्रेयर प्रमेय और श्रेयर सूचकांक सूत्र के परिणामस्वरूप किसी के लिए भी है। समूह वस्तुतः जुड़ा हुआ है क्योंकि इसमें सूचकांक 2 है। संदर्भ समूह सिद्धांत