Elliptic boundary value problem
गणित में, एक अण्डाकार सीमा मूल्य समस्या एक विशेष प्रकार की सीमा मूल्य समस्या है जिसे एक विकास समस्या की स्थिर स्थिति के रूप में सोचा जा सकता है। उदाहरण के लिए, लाप्लेशियन के लिए डिरिचलेट समस्या हीटिंग चालू होने के कई घंटों बाद एक कमरे में गर्मी का अंतिम वितरण देती है। विभेदक समीकरण प्राकृतिक घटनाओं के एक बड़े वर्ग का वर्णन करते हैं, (उदाहरण के लिए) एक धातु की प्लेट में गर्मी के विकास का वर्णन करने वाले ऊष्मा समीकरण से लेकर तरल पदार्थों की गति का वर्णन करने वाले नेवियर-स्टोक्स समीकरण तक, जिसमें आइंस्टीन के समीकरण भौतिक ब्रह्मांड का वर्णन सापेक्ष तरीके से करते हैं। हालाँकि ये सभी समीकरण सीमा मूल्य की समस्याएँ हैं, फिर भी इन्हें आगे श्रेणियों में विभाजित किया गया है। यह आवश्यक है क्योंकि प्रत्येक श्रेणी का विभिन्न तकनीकों का उपयोग करके विश्लेषण किया जाना चाहिए। वर्तमान लेख सीमा मूल्य समस्याओं की श्रेणी से संबंधित है जिन्हें रैखिक दीर्घवृत्तीय समस्याओं के रूप में जाना जाता है। सीमा मूल्य समस्याएं और आंशिक विभेदक समीकरण दो या दो से अधिक मात्राओं के बीच संबंधों को निर्दिष्ट करते हैं। उदाहरण के लिए, ऊष्मा समीकरण में, एक बिंदु पर तापमान के परिवर्तन की दर उस बिंदु और आस-पास के बिंदुओं के बीच तापमान के अंतर से संबंधित है, ताकि समय के साथ, ऊष्मा गर्म बिंदुओं से ठंडे बिंदुओं पर बह जाए। सीमा मूल्य समस्याओं में स्थान, समय और अन्य मात्राएँ जैसे तापमान, वेग, दबाव, चुंबकीय क्षेत्र आदि शामिल हो सकते हैं। कुछ समस्याओं में समय नहीं लगता है। उदाहरण के लिए, यदि कोई घर और पेड़ के बीच कपड़ों की रेखा लटकाता है, तो हवा के अभाव में, कपड़ों की रेखा आगे नहीं बढ़ेगी और एक कोमल लटकते हुए घुमावदार आकार को अपनाएगी जिसे कैटेनरी के रूप में जाना जाता है। इस घुमावदार आकार की गणना स्थिति, तनाव, कोण और गुरुत्वाकर्षण से संबंधित विभेदक समीकरण के समाधान के रूप में की जा सकती है, लेकिन चूंकि आकार समय के साथ नहीं बदलता है, इसलिए कोई समय चर नहीं है। अण्डाकार सीमा मूल्य समस्याएं समस्याओं का एक वर्ग है जिसमें समय चर शामिल नहीं होता है, और इसके बजाय केवल स्थान चर पर निर्भर करता है। मुख्य उदाहरण दो आयामों में, निर्देशांक होने दें। हम के संबंध में पहले और दूसरे आंशिक व्युत्पन्न के लिए संकेतन का उपयोग करेंगे, और के लिए एक समान संकेतन। हम और में प्रतीकों और आंशिक विभेदक प्रचालक के लिए उपयोग करेंगे। दूसरे आंशिक व्युत्पन्न को और दर्शाया जाएगा। हम ढाल, लाप्लास प्रचालक और विचलन को भी परिभाषित करते हैं। परिभाषाओं से ध्यान दें कि। सीमा मूल्य समस्याओं का मुख्य उदाहरण लाप्लास प्रचालक है, जहाँ तल में एक क्षेत्र है और उस क्षेत्र की सीमा है। कार्य ज्ञात डेटा है और समाधान वह है जिसकी गणना की जानी चाहिए। इस उदाहरण में अन्य सभी अण्डाकार सीमा मूल्य समस्याओं के समान ही आवश्यक गुण हैं। समाधान की व्याख्या धातु की प्लेट में गर्मी के स्थिर या सीमित वितरण के रूप में की जा सकती है, जैसे कि इस धातु की प्लेट की सीमा बर्फ के बगल में है (जिसे शून्य डिग्री पर रखा जाता है, इस प्रकार डिरिचलेट सीमा स्थिति)। कार्य प्लेट में प्रत्येक बिंदु पर गर्मी उत्पादन की तीव्रता का प्रतिनिधित्व करता है (शायद धातु की प्लेट पर एक विद्युत हीटर है, जो दर पर प्लेट में गर्मी पंप करता है, जो समय के साथ भिन्न नहीं होता है, लेकिन धातु की प्लेट पर स्थान में गैर-समान हो सकता है।) लंबे समय तक प्रतीक्षा करने के बाद, धातु की प्लेट में तापमान वितरण निकट आ जाएगा। नामकरण मान लीजिए कि कहाँ और कहाँ स्थिर हैं। इसे सेकंड ऑर्डर डिफरेंशियल ऑपरेटर कहा जाता है। यदि हम औपचारिक रूप से व्युत्पन्न को और द्वारा प्रतिस्थापित करते हैं, तो हम अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं। यदि हम इस अभिव्यक्ति को किसी स्थिरांक के बराबर निर्धारित करते हैं, तो हम या तो एक दीर्घवृत्त (यदि सभी एक ही संकेत हैं) या एक हाइपरबोला (यदि और विपरीत संकेतों के हैं) प्राप्त करते हैं। इस कारण से, इसे अण्डाकार कहा जाता है जब और हाइपरबोलिक अगर। इसी तरह, प्रचालक एक परवलय की ओर ले जाता है, और इसलिए इसे परवलय कहा जाता है। अब हम अण्डाकारता की धारणा को सामान्यीकृत करते हैं। हालांकि यह स्पष्ट नहीं हो सकता है कि हमारा सामान्यीकरण सही है, यह पता चला है कि यह विश्लेषण के उद्देश्य के लिए अधिकांश आवश्यक गुणों को संरक्षित करता है। द्वितीय डिग्री की सामान्य रैखिक अण्डाकार सीमा मूल्य समस्याएं अंतरिक्ष चर हैं। मान लीजिए कि वास्तविक मूल्यवान कार्य हैं। मान लीजिए कि यह सेकंड डिग्री लीनियर ऑपरेटर है। अर्थात्, (विचलन रूप)। (नॉनडिवर्जेंस फॉर्म) हमने स्पेस वेरिएबल के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न को दर्शाने के लिए सबस्क्रिप्ट का उपयोग किया है। दोनों सूत्र बराबर हैं, बशर्ते कि। मैट्रिक्स संकेतन में, हम एक मैट्रिक्स मूल्यवान कार्य हो सकते हैं और एक-आयामी कॉलम वेक्टर-मूल्यवान कार्य हो सकते हैं, और फिर हम (विचलन रूप) लिख सकते हैं। सामान्यता को खोए बिना, कोई यह मान सकता है कि मैट्रिक्स सममित है (यानी, सभी के लिए,। हम इस लेख के बाकी हिस्सों में यह धारणा बनाते हैं। हम कहते हैं कि प्रचालक दीर्घवृत्ताकार है यदि, कुछ स्थिरांक के लिए, निम्नलिखित समकक्ष शर्तों में से कोई भी हैः (आइगेनवैल्यू देखें)। .. .. एक अण्डाकार सीमा मूल्य समस्या तब (पीडीई) और (सीमा मूल्य) जैसे समीकरणों की एक प्रणाली होती है। यह विशेष उदाहरण डिरिचलेट समस्या है। न्यूमैन समस्या है और जहाँ का व्युत्पन्न बाहर की ओर सामान्य की दिशा में है। सामान्य तौर पर, यदि कोई ट्रेस ऑपरेटर है, तो कोई सीमा मूल्य समस्या का निर्माण कर सकता है और। इस लेख के बाकी हिस्सों में, हम मानते हैं कि यह अण्डाकार है और सीमा की स्थिति डिरिचलेट स्थिति है। सोबोलेव रिक्त स्थान अण्डाकार सीमा मूल्य समस्याओं के विश्लेषण के लिए कार्यात्मक विश्लेषण के कुछ काफी परिष्कृत उपकरणों की आवश्यकता होती है। हमें स्थान की आवश्यकता होती है, "एक बार-अवकलनीय" कार्यों के सोबोलेव स्थान की, जैसे कि कार्य और इसके आंशिक व्युत्पन्न दोनों, सभी वर्ग समाकलन योग्य हों। यहाँ एक सूक्ष्मता है कि आंशिक व्युत्पन्न को "कमजोर अर्थों में" परिभाषित किया जाना चाहिए (विवरण के लिए सोबोलेव रिक्त स्थान पर लेख देखें।) यह स्थान एक हिल्बर्ट स्थान है, जिसके कारण इन समस्याओं का विश्लेषण बहुत आसानी से किया जाता है। सोबोलेव स्थानों के विवरण में चर्चा इस लेख के दायरे से बाहर है, लेकिन हम आवश्यक परिणामों को उद्धृत करेंगे जैसे ही वे उत्पन्न होते हैं। जब तक कि अन्यथा उल्लेख नहीं किया जाता है, इस लेख के सभी व्युत्पन्नों की व्याख्या कमजोर, सोबोलेव अर्थ में की जानी चाहिए। हम कलन के शास्त्रीय व्युत्पन्न को संदर्भित करने के लिए "मजबूत व्युत्पन्न" शब्द का उपयोग करते हैं। हम यह भी निर्दिष्ट करते हैं कि रिक्त स्थान में ऐसे कार्य होते हैं जो बार दृढ़ता से अवकलनीय होते हैं, और यह कि th व्युत्पन्न निरंतर होता है। कमजोर या परिवर्तनशील सूत्रीकरण सीमा मूल्य समस्या को सोबोलेव रिक्त स्थान की भाषा में डालने के लिए पहला कदम इसे इसके कमजोर रूप में फिर से लिखना है। लाप्लास समस्या पर विचार करें। समीकरण के प्रत्येक पक्ष को "परीक्षण फलन" से गुणा करें और प्राप्त करने के लिए ग्रीन के प्रमेय का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें। हम डिरिचलेट समस्या को हल करेंगे, ताकि। तकनीकी कारणों से, यह मान लेना उपयोगी है कि यह कार्यों के उसी स्थान से लिया गया है जैसा कि है इसलिए हम यह भी मानते हैं। यह शब्द को हटा देता है, जिससे (*) कहाँ और मिलता है। यदि एक सामान्य दीर्घवृत्ताकार प्रचालक है, तो वही तर्क द्विरेखीय रूप की ओर ले जाता है। हम न्यूमैन समस्या पर चर्चा नहीं करते हैं लेकिन ध्यान दें कि इसका विश्लेषण इसी तरह किया जाता है। निरंतर और जबरदस्त द्विमितीय रूप मानचित्र को उन कार्यों के सोबोलेव स्थान पर परिभाषित किया गया है जो एक बार अवकलनीय और सीमा पर शून्य होते हैं, बशर्ते हम और पर कुछ शर्तें लागू करें। कई संभावित विकल्प हैं, लेकिन इस लेख के उद्देश्य के लिए, हम मान लेंगे कि निरंतर अवकलनीय है क्योंकि निरंतर चालू है और बाध्य है। पाठक यह सत्यापित कर सकता है कि मानचित्र और भी द्विरेखीय और निरंतर है, और यह कि मानचित्र रैखिक है, और निरंतर है यदि (उदाहरण के लिए) वर्ग समाकलन योग्य है। हम कहते हैं कि मानचित्र जबरदस्त है यदि सभी के लिए एक है, यह लाप्लेशियन (के साथ) के लिए मामूली रूप से सच है और एक अण्डाकार प्रचालक के लिए भी सच है यदि हम मानते हैं और। (याद रखें कि कब अण्डाकार होता है।) कमजोर समाधान का अस्तित्व और विशिष्टता, लक्ष्मी-मिलग्राम सिद्धांत के माध्यम से, यह दिखाया जा सकता है कि जब भी जबरदस्ती होती है और निरंतर होती है, तो कमजोर समस्या (*) का एक अनूठा समाधान मौजूद होता है। यदि आगे सममित (अर्थात,) है, तो इसके बजाय रीज़ प्रतिनिधित्व प्रमेय का उपयोग करके एक ही परिणाम दिखाया जा सकता है। यह उस तथ्य पर निर्भर करता है जो एक आंतरिक उत्पाद बनाता है, जो खुद पॉइनकेयर की असमानता पर निर्भर करता है। मजबूत समाधान हमने दिखाया है कि एक ऐसा है जो कमजोर प्रणाली को हल करता है, लेकिन हम नहीं जानते कि यह मजबूत प्रणाली को हल करता है या नहीं। स्थिति को सुधारने के कई तरीके हैं, जिनमें से मुख्य नियमितता है। नियमितता दूसरे क्रम की एक रैखिक दीर्घवृत्ताकार सीमा मूल्य समस्या के लिए एक नियमितता प्रमेय प्रमेय का रूप लेती है यदि (कुछ शर्त), तो समाधान "दो बार अवकलनीय" कार्यों के स्थान में है, जिनके दूसरे व्युत्पन्न वर्ग समाकलन योग्य हैं। प्रमेय के निष्कर्ष के लिए कोई ज्ञात सरल शर्त आवश्यक और पर्याप्त नहीं है, लेकिन निम्नलिखित शर्तों को पर्याप्त माना जाता हैः की सीमा है, या उत्तल है। यह अनुमान लगाना लुभावना हो सकता है कि अगर यह टुकड़ों में है तो वास्तव में है, लेकिन दुर्भाग्य से यह गलत है। लगभग हर जगह समाधान इस मामले में कि तब के दूसरे व्युत्पन्न लगभग हर जगह परिभाषित किए जाते हैं, और उस मामले में लगभग हर जगह। मजबूत समाधान कोई भी आगे यह साबित कर सकता है कि यदि की सीमा एक चिकनी कई गुना है और मजबूत अर्थों में असीम रूप से अवकलनीय है, तो मजबूत अर्थों में भी असीम रूप से अवकलनीय है। इस मामले में, व्युत्पन्न की मजबूत परिभाषा के साथ। इसका प्रमाण एक बेहतर नियमितता प्रमेय पर निर्भर करता है जो कहता है कि यदि है और, तो, एक सोबोलेव अंतःस्थापित प्रमेय के साथ यह कहते हुए कि कार्य भी जब भी होते हैं। संख्यात्मक समाधान हालांकि असाधारण परिस्थितियों में, अण्डाकार समस्याओं को स्पष्ट रूप से हल करना संभव है, सामान्य रूप से यह एक असंभव कार्य है। प्राकृतिक समाधान एक सरल समस्या के साथ दीर्घवृत्तीय समस्या का अनुमान लगाना और कंप्यूटर पर इस सरल समस्या को हल करना है। हमारे द्वारा गणना किए गए अच्छे गुणों के कारण (साथ ही कई हमारे पास नहीं हैं), रैखिक अण्डाकार सीमा मूल्य समस्याओं के लिए अत्यंत कुशल संख्यात्मक समाधानक हैं (उदाहरण के लिए परिमित तत्व विधि, सीमित अंतर विधि और वर्णक्रमीय विधि देखें।) आइगेनवैल्यूज और आइगेनसोल्यूशंस एक अन्य सोबोलेव अंतःस्थापित प्रमेय बताता है कि समावेशन एक संक्षिप्त रैखिक मानचित्र है। कॉम्पैक्ट लीनियर ऑपरेटरों के लिए वर्णक्रमीय प्रमेय से लैस, निम्नलिखित परिणाम प्राप्त होता है। मान लीजिए कि यह जबरदस्ती, निरंतर और सममित है। से का नक्शा एक संक्षिप्त रैखिक नक्शा है। इसमें आइगेनवेक्टर्स और मिलान करने वाले आइगेनवैल्यूज का आधार है जैसे कि, जब भी और सभी श्रृंखला समाधानों के लिए और आइगेनसोल्यूशन का महत्व यदि किसी ने आइगेनवैल्यूज और आइगेनवेक्टर्स की गणना की है, तो सूत्र के माध्यम से "स्पष्ट" समाधान मिल सकता है जहां (फूरियर श्रृंखला देखें)। श्रृंखला में अभिसरण होता है। संख्यात्मक सन्निकटन का उपयोग करके कंप्यूटर पर लागू किया गया, इसे वर्णक्रमीय विधि के रूप में जाना जाता है। एक उदाहरण (डिरिचलेट स्थितियों) पर समस्या पर विचार करें। पाठक यह सत्यापित कर सकता है कि आइगेनवेक्टर्स ठीक हैं, आइगेनवैल्यूज के साथ फूरियर गुणांक को एक टेबल में देखा जा सकता है। इसलिए, अधिकतम सिद्धांत का समाधान देते हुए अधिकतम सिद्धांत के कई रूप हैं। हम एक सरल देते हैं। प्रमेय। (कमजोर अधिकतम सिद्धांत।) मान लीजिए और मान लीजिए। इसे अंदर कहें। फिर. दूसरे शब्दों में, सीमा पर अधिकतम प्राप्त किया जाता है। एक मजबूत अधिकतम सिद्धांत यह निष्कर्ष निकालेगा कि सभी के लिए जब तक कि स्थिर न हो। संदर्भ आगे पढ़ने के लिए गणितीय विश्लेषण आंशिक विभेदक समीकरण सीमा मूल्य समस्याएं