Standard conjectures on algebraic cycles
गणित में, बीजगणितीय चक्रों के बारे में मानक अनुमान बीजगणितीय चक्रों और वेल कोहोमोलॉजी सिद्धांतों के संबंध का वर्णन करने वाले कई अनुमान हैं। अलेक्जेंडर ग्रोथेन्डिक द्वारा परिकल्पित इन अनुमानों के मूल अनुप्रयोगों में से एक यह साबित करना था कि उनके शुद्ध उद्देश्यों के निर्माण ने एक अबेलियन श्रेणी दी जो अर्ध-सरल है। इसके अलावा, जैसा कि उन्होंने बताया, मानक अनुमान भी वेइल अनुमानों के सबसे कठिन हिस्से का संकेत देते हैं, अर्थात् "रीमान परिकल्पना" अनुमान जो 1960 के दशक के अंत में खुला रहा और बाद में पियरे डेलीग्ने द्वारा साबित किया गया था; वेइल और मानक अनुमानों के बीच संबंध के विवरण के लिए, देखें। मानक अनुमान खुली समस्याएं बनी रहती हैं, ताकि उनके आवेदन से केवल परिणामों का सशर्त प्रमाण मिल सके। वाइल अनुमानों सहित कुछ मामलों में, इस तरह के परिणामों को बिना शर्त साबित करने के लिए अन्य तरीके पाए गए हैं। मानक अनुमानों के शास्त्रीय सूत्रीकरण में एक निश्चित वेल कोहोमोलॉजी सिद्धांत शामिल है। सभी अनुमान "बीजगणितीय" समरूपता वर्गों से संबंधित हैं, जिसका अर्थ है चक्र वर्ग मानचित्र के माध्यम से उत्पाद पर तर्कसंगत गुणांक के साथ एक बीजगणितीय चक्र द्वारा प्रेरित एक चिकनी प्रक्षेपात्मक विविधता के समरूपता पर एक आकृतिवाद, जो एक वेल समरूपता सिद्धांत की संरचना का हिस्सा है। अनुमान ए, अनुमान बी के बराबर है (देखें, पृष्ठ 196), और इसलिए इसे सूचीबद्ध नहीं किया गया है। लेफशेट्ज़ प्रकार मानक अनुमान (अनुमान बी) एक वेल सिद्धांत के स्वयंसिद्धों में से एक तथाकथित हार्ड लेफशेट्ज़ प्रमेय (या स्वयंसिद्ध) हैः एक निश्चित चिकनी हाइपरप्लेन खंड के साथ शुरू करें, जहां परिवेशी प्रोजेक्टिव स्थान में एक दी गई चिकनी प्रोजेक्टिव विविधता है और एक हाइपरप्लेन है। फिर के लिए, लेफशेट्ज़ प्रचालक, जिसे समरूपता वर्गों को प्रतिच्छेदन करके परिभाषित किया जाता है, एक समरूपता देता है। अब, परिभाषित करने के लिएः अनुमान में कहा गया है कि लेफशेट्ज़ प्रचालक () एक बीजगणितीय चक्र द्वारा प्रेरित है। कुनेथ प्रकार मानक अनुमान (अनुमान सी) यह अनुमान लगाया जाता है कि प्रक्षेपक बीजगणितीय हैं, अर्थात। परिमेय गुणांक के साथ एक चक्र द्वारा प्रेरित। इसका तात्पर्य यह है कि किसी भी सुचारू प्रोजेक्टिव विविधता (और अधिक सामान्य रूप से, प्रत्येक शुद्ध उद्देश्य) का उद्देश्य उद्देश्यों के रूप में विघटित हो जाता है और इसे हमेशा प्रत्यक्ष योग के रूप में विभाजित किया जा सकता है। इसलिए अनुमान तुरंत वक्रों के लिए लागू होता है। यह सतहों के लिए साबित हुआ था। परिमित क्षेत्रों पर परिभाषित बीजगणितीय किस्मों के लिए मनमाने आयाम में अनुमान दिखाने के लिए वेइल अनुमानों का उपयोग किया है। अबेलियन किस्मों ए के लिए कुनेथ अपघटन को साबित किया. ए के चाउ उद्देश्य के एक कार्यात्मक कुनेथ अपघटन को प्रदर्शित करके इस परिणाम को परिष्कृत किया कि अबेलियन किस्म पर एन-गुणन आई-th योग के रूप में कार्य करता है। एक चिकनी सतह में बिंदुओं की हिल्बर्ट योजना के लिए कुनेथ अपघटन को साबित किया। अनुमान डी (संख्यात्मक समतुल्यता बनाम समरूपता) अनुमान डी बताता है कि संख्यात्मक और समरूपता समतुल्यता सहमत हैं। (इसका विशेष रूप से तात्पर्य है कि बाद वाला वेइल कोहोमोलॉजी सिद्धांत के चयन पर निर्भर नहीं करता है)। यह अनुमान लेफशेट्ज़ अनुमान का तात्पर्य है। यदि हॉज मानक अनुमान लागू होता है, तो लेफशेट्ज़ अनुमान और अनुमान डी समतुल्य हैं। यह अनुमान लिबरमैन द्वारा अधिकतम 4 आयामों की किस्मों और अबेलियन किस्मों के लिए दिखाया गया था। हॉज मानक अनुमान हॉज सूचकांक प्रमेय पर आधारित है। यह आदिम बीजगणितीय समरूपता वर्गों पर कप उत्पाद जोड़ी की निश्चितता (आयाम के अनुसार सकारात्मक या नकारात्मक) बताता है। यदि यह माना जाता है, तो लेफशेट्ज़ अनुमान का तात्पर्य अनुमान डी है। हॉज मानक अनुमान हॉज सिद्धांत का एक परिणाम है। सकारात्मक विशेषता में हॉज मानक अनुमान सतहों () और आयाम 4 () की अबेलियन किस्मों के लिए जाना जाता है। हॉज मानक अनुमान को हॉज अनुमान के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए जो बताता है कि सुचारू प्रोजेक्टिव किस्मों के लिए, प्रत्येक तर्कसंगत-वर्ग बीजगणितीय है। हॉज अनुमान का तात्पर्य लेफ्टशेट्ज़ और कुनेथ अनुमानों और विशेषता शून्य के क्षेत्रों पर किस्मों के लिए अनुमान डी से है। टेट अनुमान का तात्पर्य सभी क्षेत्रों में एल-एडिक कोहोमोलॉजी के लिए लेफशेट्ज़, कुनेथ और अनुमान डी से है। मानक अनुमानों के स्थायी गुण दो बीजगणितीय किस्मों X और Y के लिए, एक शर्त पेश की गई है कि Y, X से प्रेरित है। सटीक स्थिति यह है कि Y का उद्देश्य (आंद्रे के उद्देश्यों की श्रेणी में) योग, योग और उत्पादों के माध्यम से X के उद्देश्य से शुरू होता है। उदाहरण के लिए, यदि कोई सर्जेक्टिव मॉर्फिज्म है तो Y प्रेरित होता है। यदि Y श्रेणी में नहीं पाया जाता है, तो यह उस संदर्भ में अप्रेरित है। चिकनी प्रक्षेपात्मक जटिल बीजगणितीय किस्मों एक्स और वाई के लिए, जैसे कि वाई एक्स द्वारा प्रेरित है, मानक अनुमान डी (समरूप समतुल्यता संख्यात्मक के बराबर है), बी (लेफशेट्ज़), हॉज अनुमान और सामान्यीकृत हॉज अनुमान भी वाई के लिए पकड़ते हैं यदि वे एक्स की सभी शक्तियों के लिए पकड़ रखते हैं। इस तथ्य को, उदाहरण के लिए, एक बीजगणितीय सतह पर बिंदुओं की हिल्बर्ट योजना के लिए लेफशेट्ज़ अनुमान को दिखाने के लिए लागू किया जा सकता है। अन्य अनुमानों के संबंध से पता चला है कि उद्देश्यों की त्रिकोणीय श्रेणी पर तथाकथित प्रेरक टी-संरचना का (अनुमानात्मक) अस्तित्व लेफ्टशेट्ज़ और कुनेथ मानक अनुमान बी और सी का तात्पर्य है। .. .. बाहरी लिंक बीजगणितीय चक्रों पर मानक अनुमानों पर प्रगति एनालॉग केलेरियन डी निश्चित अनुमान डी वेइल। जे. पी. सेरे (एक्स्ट्राइट डी 'यूने लेट्रे ए. वेइल, 9 नवंबर 1959) बीजगणितीय ज्यामिति स्कैन ज्यामिति में अनसुलझी समस्याओं का अनुमान लगाता है