Viviani's theorem
विवियानी की प्रमेय, जिसका नाम विन्सेन्ज़ो विवियानी के नाम पर रखा गया है, बताती है कि किसी भी आंतरिक बिंदु से एक समबाहु त्रिभुज के किनारों तक की दूरी का योग त्रिभुज की ऊँचाई की लंबाई के बराबर होता है। यह एक प्रमेय है जिसे आमतौर पर विभिन्न गणित प्रतियोगिताओं, माध्यमिक विद्यालय की गणित परीक्षाओं में नियोजित किया जाता है और वास्तविक दुनिया में कई समस्याओं के लिए व्यापक रूप से लागू होता है। प्रमाण यह प्रमाण आसानी से सिद्ध किए गए इस प्रस्ताव पर निर्भर करता है कि एक त्रिभुज का क्षेत्रफल उसके आधार गुना उसकी ऊँचाई का आधा है-यानी उस तरफ की ऊँचाई के साथ एक तरफ का आधा गुणनफल। मान लीजिए कि ए. बी. सी. एक समबाहु त्रिभुज है जिसकी ऊँचाई एच है और जिसकी भुजा ए है। मान लीजिए कि पी त्रिभुज के अंदर कोई भी बिंदु है, और यू, एस, टी पक्षों से पी की दूरी है। तीन त्रिभुज पी. ए. बी., पी. बी. सी. और पी. सी. ए. बनाते हुए ए, बी और सी में से प्रत्येक के लिए पी से एक रेखा बनाएँ। अब, इन त्रिभुजों के क्षेत्र हैं, और। वे बिल्कुल घेरने वाले त्रिभुज को भरते हैं, इसलिए इन क्षेत्रों का योग घेरने वाले त्रिभुज के क्षेत्र के बराबर होता है। तो हम लिख सकते हैंः और इस प्रकार क्यू. ई. डी। व्युत्क्रम यह भी मानता हैः यदि किसी त्रिभुज के आंतरिक बिंदु से भुजाओं तक की दूरी का योग बिंदु के स्थान से स्वतंत्र है, तो त्रिभुज समबाहु है। विवियानी के प्रमेय के अनुप्रयोगों का अर्थ है कि एक समबाहु त्रिभुज की भुजाओं के समानांतर रेखाएं त्रयी भूखंड बनाने के लिए निर्देशांक देती हैं, जैसे कि ज्वलनशीलता आरेख। अधिक आम तौर पर, वे उसी तरह एक नियमित सिम्प्लेक्स पर निर्देशांक देने की अनुमति देते हैं। विस्तार समान्तर चतुर्भुज एक समान्तर चतुर्भुज के किसी भी आंतरिक बिंदु से भुजाओं तक की दूरी का योग बिंदु के स्थान से स्वतंत्र है। इसके विपरीत यह भी माना जाता हैः यदि एक चतुर्भुज के आंतरिक भाग में एक बिंदु से भुजाओं तक की दूरी का योग बिंदु के स्थान से स्वतंत्र है, तो चतुर्भुज एक समानांतर चतुर्भुज है। परिणाम विपरीत पक्षों के समानांतर किसी भी 2n-गॉन के लिए सामान्यीकृत होता है। चूँकि विपरीत समानांतर भुजाओं के किसी भी जोड़े के बीच दूरी का योग स्थिर होता है, इसलिए समानांतर भुजाओं के जोड़े के बीच सभी युग्मों का योग भी स्थिर होता है। सामान्य रूप से विपरीत सत्य नहीं है, क्योंकि परिणाम एक समबाहु षट्कोण के लिए होता है, जिसमें आवश्यक रूप से विपरीत भुजाएँ समानांतर नहीं होती हैं। नियमित बहुभुज यदि एक बहुभुज नियमित (समकोणीय और समबाहु दोनों) है, तो एक आंतरिक बिंदु से पक्षों की दूरी का योग बिंदु के स्थान से स्वतंत्र है। विशेष रूप से, यह एपोथेम के n गुना के बराबर है, जहाँ n भुजाओं की संख्या है और एपोथेम केंद्र से एक तरफ की दूरी है। हालाँकि, व्युत्क्रम धारण नहीं करता है; गैर-वर्ग समानांतर चतुर्भुज एक विपरीत उदाहरण है। समभुजाकार बहुभुज एक समभुजाकार बहुभुज के आंतरिक बिंदु से किनारों तक की दूरी का योग बिंदु के स्थान पर निर्भर नहीं करता है। एक उत्तल बहुभुज के लिए किसी भी आंतरिक बिंदु से भुजाओं तक की दूरी का एक स्थिर योग होने के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त यह है कि दूरी के समान योग के साथ तीन गैर-संरेखीय आंतरिक बिंदु मौजूद हैं। नियमित पॉलीहेड्रन एक नियमित पॉलीहेड्रन के आंतरिक भाग में किसी भी बिंदु से किनारों तक की दूरी का योग बिंदु के स्थान से स्वतंत्र होता है। हालाँकि, विपरीत नहीं पकड़ता है, यहाँ तक कि टेट्राहेड्रा के लिए भी नहीं। संदर्भ आगे पढ़ने के लिए बाहरी लिंक ली झोउ, विवियानी पॉलीटोप और फर्माट पॉइंट्स एट कट द गाँठ। वोल्फ्राम प्रदर्शन परियोजना। डायनेमिक ज्योमेट्री स्केचेस, एक इंटरैक्टिव डायनेमिक ज्योमेट्री स्केच। समबाहु त्रिभुज के बारे में प्रमेय प्रमाण वाले लेख