Tangential and normal components
गणित में, एक वक्र पर एक बिंदु पर एक सदिश दिए जाने पर, उस सदिश को दो सदिशों के योग के रूप में विशिष्ट रूप से विघटित किया जा सकता है, एक वक्र के लिए स्पर्शरेखा, जिसे सदिश का स्पर्शरेखा घटक कहा जाता है, और दूसरा वक्र के लंबवत, जिसे सदिश का सामान्य घटक कहा जाता है। इसी तरह, सतह पर एक बिंदु पर एक सदिश को उसी तरह से तोड़ा जा सकता है। अधिक आम तौर पर, एक मैनिफोल्ड M का सबमैनिफोल्ड N, और N के एक बिंदु पर M के लिए स्पर्शरेखा स्थान में एक वेक्टर दिए जाने पर, इसे N के लिए स्पर्शरेखा घटक और N के लिए सामान्य घटक में विघटित किया जा सकता है। औपचारिक परिभाषा सतह अधिक औपचारिक रूप से, एक सतह होने दें, और सतह पर एक बिंदु होने दें। मान लीजिए कि वेक्टर एक विशिष्ट योग के रूप में लिखा जा सकता है जहां योग में पहला वेक्टर स्पर्शरेखा घटक है और दूसरा सामान्य घटक है। यह तुरंत होता है कि ये दोनों वैक्टर एक दूसरे के लंबवत हैं। स्पर्शरेखा और सामान्य घटकों की गणना करने के लिए, सतह के लिए एक इकाई सामान्य पर विचार करें, यानी, तब पर लंबवत एक इकाई सदिश, और इस प्रकार जहां "" बिंदु उत्पाद को दर्शाता है। स्पर्शरेखा घटक के लिए एक अन्य सूत्र यह है कि जहाँ "क्रॉस उत्पाद को दर्शाता है। ध्यान दें कि ये सूत्र उपयोग की जाने वाली विशेष इकाई सामान्य पर निर्भर नहीं करते हैं (किसी दिए गए बिंदु पर किसी भी सतह पर दो इकाई सामान्य होते हैं, जो विपरीत दिशाओं में इंगित करते हैं, इसलिए इकाई सामान्य में से एक दूसरे का नकारात्मक होता है)। सबमैनिफोल्ड अधिक आम तौर पर, एक मैनिफोल्ड एम और एक बिंदु के सबमैनिफोल्ड एन को देखते हुए, हमें स्पर्शरेखा रिक्त स्थान को शामिल करते हुए एक छोटा सटीक अनुक्रम मिलता हैः भागफल स्थान सामान्य वैक्टर का एक सामान्यीकृत स्थान है। यदि एम एक रीमानियन मैनिफोल्ड है, तो उपरोक्त अनुक्रम विभाजित हो जाता है, और पी पर एम का स्पर्शरेखा स्थान एन के लिए घटक स्पर्शरेखा और एन के लिए सामान्य घटक के प्रत्यक्ष योग के रूप में विघटित हो जाता हैः इस प्रकार प्रत्येक स्पर्शरेखा सदिश कहाँ और के रूप में विभाजित होता है। गणनाएँ मान लीजिए कि एन गैर-अपक्षयी समीकरणों द्वारा दिया गया है। यदि एन को स्पष्ट रूप से पैरामीट्रिक समीकरणों (जैसे पैरामीट्रिक वक्र) के माध्यम से दिया जाता है, तो व्युत्पन्न स्पर्शरेखा बंडल के लिए एक विस्तारित सेट देता है (यह एक आधार है यदि और केवल अगर पैरामीट्रीकरण एक विसर्जन है)। यदि एन को अंतर्निहित रूप से (जैसा कि किसी सतह के उपरोक्त विवरण में, (या अधिक सामान्य रूप से) एक अति सतह के रूप में) एक स्तर सेट या स्तर सतहों के प्रतिच्छेदन के रूप में दिया जाता है, तो सामान्य स्थान के विस्तार के ढाल। दोनों ही मामलों में, हम फिर से डॉट उत्पाद का उपयोग करके गणना कर सकते हैं; क्रॉस उत्पाद हालांकि 3 आयामों के लिए विशेष है। अनुप्रयोग लैग्रेंज गुणकः सीमित महत्वपूर्ण बिंदु वे हैं जहाँ कुल व्युत्पन्न का स्पर्शरेखा घटक गायब हो जाता है। सतह सामान्य फ्रेनेट-सेरेट सूत्र संदर्भ विभेदक ज्यामिति