Vaughan's identity
गणित और विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत में, वॉन की पहचान एक ऐसी पहचान है जिसका उपयोग त्रिकोणमितीय योग पर विनोग्रादोव के काम को सरल बनाने के लिए किया जा सकता है। इसका उपयोग उस रूप के योगात्मक कार्यों का अनुमान लगाने के लिए किया जा सकता है जहां f प्राकृतिक पूर्णांक n का कुछ अंकगणितीय कार्य है, जिनके अनुप्रयोगों में मान अक्सर एकता के मूल होते हैं, और λ वॉन मैंगोल्ट कार्य है। विधि को लागू करने की प्रक्रिया डेवनपोर्ट में अध्याय 24 की शुरुआत में वॉन की अपनी पहचान के निर्माण के लिए प्रेरणा पर संक्षेप में चर्चा की गई है। अभी के लिए, हम पहचान और अनुप्रयोगों में इसके उपयोग को प्रेरित करने वाले अधिकांश तकनीकी विवरणों को छोड़ देंगे, और इसके बजाय भागों द्वारा इसके निर्माण के सेटअप पर ध्यान केंद्रित करेंगे। संदर्भ के बाद, हम उन कार्यों के संदर्भ में रीमान जीटा फलन के लघुगणक व्युत्पन्न के विस्तार के आधार पर चार अलग-अलग योगों का निर्माण करते हैं जो क्रमशः और की ऊपरी सीमाओं पर आंशिक डिरिचलेट श्रृंखला हैं। अधिक सटीक रूप से, हम परिभाषित करते हैं और, जो हमें सटीक पहचान की ओर ले जाता है कि इस अंतिम विस्तार का तात्पर्य है कि हम लिख सकते हैं जहां घटक कार्यों को परिभाषित किया गया है। हम फिर संबंधित सारांश कार्यों को परिभाषित करते हैं ताकि हम लिख सकें। अंत में, तकनीकी के एक बहु-पृष्ठ तर्क के समापन पर और कभी-कभी इन राशियों के नाजुक अनुमानों पर, हम वॉन की पहचान का निम्नलिखित रूप प्राप्त करते हैं जब हम यह मान लेते हैं, औरः यह टिप्पणी की जाती है कि कुछ उदाहरणों में वॉन की पहचान से घटक राशि को अधिक सावधानीपूर्वक व्यवहार करके तेज अनुमान प्राप्त किए जा सकते हैं। कई लेखकों द्वारा विचार किए गए विभिन्न संदर्भों में उत्पन्न होने वाले विशिष्ट उदाहरणों के लिए अगले खंड में उद्धृत अनुप्रयोगों को देखें। अनुप्रयोग वॉन की पहचान का उपयोग बॉम्बेरी-विनोग्रादोव प्रमेय के प्रमाण को सरल बनाने और कुम्मर योग का अध्ययन करने के लिए किया गया है (नीचे दिए गए संदर्भ और बाहरी लिंक देखें)। डेवनपोर्ट के अध्याय 25 में, वॉन की पहचान का एक अनुप्रयोग विनोग्रादोव के एक महत्वपूर्ण अभाज्य-संबंधित घातीय योग का अनुमान लगाना है जिसे द्वारा परिभाषित किया गया है। विशेष रूप से, हम इन राशियों के लिए एक असिम्प्टोटिक ऊपरी सीमा प्राप्त करते हैं (आमतौर पर तर्कहीन पर मूल्यांकन किया जाता है) जिनके तर्कसंगत सन्निकटन रूप को संतुष्ट करते हैं। इस अनुमान के लिए तर्क वॉन की पहचान से कुछ जटिल तर्क द्वारा साबित होता है कि और फिर गैर-तुच्छ मामलों में ऊपर दिए गए पहले सूत्र का अनुमान कब और कब लगाया जाता है। वॉन की पहचान का एक और अनुप्रयोग डेवनपोर्ट के अध्याय 26 में पाया जाता है जहाँ तीन अभाज्य संख्याओं के योग (घातीय योग) के लिए अनुमान प्राप्त करने के लिए विधि का उपयोग किया जाता है। व्यवहार में वॉन की पहचान के उदाहरण इस सूचनात्मक पोस्ट में निम्नलिखित संदर्भों/उद्धरणों के रूप में दिए गए हैंः सामान्यीकरण वॉन की पहचान को सामान्यीकृत किया गया था। टिप्पणियाँ संदर्भ वॉन की पहचान पर विकी के सबूत जोनी के गणित नोट्स (बहुत विस्तृत व्याख्या) गणित का विश्वकोश बड़ी छलनी पर टेरी ताओ का ब्लॉग और विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत में बॉम्बीरी-विनोग्रादोव प्रमेय प्रमेय गणितीय पहचान