Inverse curve
व्युत्क्रम ज्यामिति में, किसी दिए गए वक्र का व्युत्क्रम वक्र एक व्युत्क्रम संचालन को लागू करने का परिणाम है। विशेष रूप से, केंद्र और त्रिज्या के साथ एक निश्चित वृत्त के संबंध में एक बिंदु का व्युत्क्रम वह बिंदु है जिसके लिए किरण पर स्थित है और। वक्र का व्युत्क्रम तब एज़ रन ओवर का लोकस होता है। इस संरचना में बिंदु को व्युत्क्रम का केंद्र, वृत्त को व्युत्क्रम का वृत्त और व्युत्क्रम की त्रिज्या कहा जाता है। दो बार लागू किया गया व्युत्क्रम पहचान परिवर्तन है, इसलिए एक ही वृत्त के संबंध में एक व्युत्क्रम वक्र का व्युत्क्रम मूल वक्र है। व्युत्क्रम के वृत्त पर बिंदु व्युत्क्रम द्वारा तय किए जाते हैं, इसलिए इसका व्युत्क्रम स्वयं होता है। समीकरण इकाई वृत्त के संबंध में बिंदु का व्युत्क्रम कहाँ या समतुल्य है तो इकाई वृत्त के संबंध में निर्धारित वक्र का व्युत्क्रम यह है कि इससे स्पष्ट है कि एक वृत्त के संबंध में डिग्री के बीजगणितीय वक्र को उलटने से अधिकतम डिग्री का बीजगणितीय वक्र उत्पन्न होता है। इसी तरह, इकाई वृत्त के संबंध में समीकरणों द्वारा पैरामीट्रिक रूप से परिभाषित वक्र का व्युत्क्रम पैरामीट्रिक रूप से दिया जाता है क्योंकि इसका तात्पर्य है कि एक परिमेय वक्र का गोलाकार व्युत्क्रम भी परिमेय है। अधिक सामान्य रूप से, केंद्र और त्रिज्या के साथ वृत्त के संबंध में निर्धारित वक्र का व्युत्क्रम है उसी वृत्त के संबंध में पैरामीट्रिक रूप से परिभाषित वक्र का व्युत्क्रम पैरामीट्रिक रूप से दिया जाता है ध्रुवीय निर्देशांक में, समीकरण सरल होते हैं जब व्युत्क्रम का वृत्त इकाई वृत्त होता है। इकाई वृत्त के संबंध में बिंदु का व्युत्क्रम वह है जहाँ वक्र का व्युत्क्रम निर्धारित किया जाता है और वक्र का व्युत्क्रम होता है। डिग्री जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, डिग्री के वक्र के वृत्त के संबंध में व्युत्क्रम में अधिकतम डिग्री होती है। डिग्री ठीक तब तक होती है जब तक कि मूल वक्र व्युत्क्रम बिंदु से नहीं गुजरता है या यह गोलाकार होता है, जिसका अर्थ है कि इसमें गोलाकार बिंदु होते हैं, जब इसे जटिल प्रोजेक्टिव प्लेन में एक वक्र के रूप में माना जाता है। सामान्य तौर पर, एक मनमाना वक्र के संबंध में व्युत्क्रम आनुपातिक रूप से बड़ी डिग्री के साथ एक बीजगणितीय वक्र उत्पन्न कर सकता है। विशेष रूप से, यदि डिग्री का-वृत्ताकार है, और यदि व्युत्क्रम का केंद्र क्रम की विलक्षणता है, तो व्युत्क्रम वक्र डिग्री का एक-वृत्ताकार वक्र होगा और व्युत्क्रम का केंद्र व्युत्क्रम वक्र पर क्रम की विलक्षणता है। यहाँ यदि वक्र में व्युत्क्रम का केंद्र नहीं है और यदि व्युत्क्रम का केंद्र उस पर एक गैर-एकल बिंदु है; इसी तरह वृत्ताकार बिंदु, पर क्रम की विलक्षणताएँ हैं। मान को इन संबंधों से यह दिखाने के लिए समाप्त किया जा सकता है कि डिग्री के-गोलाकार वक्रों का सेट, जहां भिन्न हो सकता है लेकिन एक निश्चित सकारात्मक पूर्णांक है, व्युत्क्रम के तहत अपरिवर्तनीय है। बर्नौली के लेमनिस्केट में उपरोक्त परिवर्तन को लागू करने के उदाहरण हमें एक हाइपरबोला का समीकरण देते हैं; चूंकि व्युत्क्रम एक द्विवार्षिक परिवर्तन है और हाइपरबोला एक तर्कसंगत वक्र है, यह दर्शाता है कि लेमनिस्केट भी एक तर्कसंगत वक्र है, जिसे जीनस शून्य का वक्र कहना है। यदि हम फर्माट वक्र में परिवर्तन को लागू करते हैं, जहां विषम है, तो हम प्राप्त करते हैं कि फर्माट वक्र पर किसी भी परिमेय बिंदु का इस वक्र पर एक संबंधित परिमेय बिंदु होता है, जो फर्माट के अंतिम प्रमेय का एक समतुल्य सूत्रीकरण देता है। विशेष मामले सरलता के लिए, निम्नलिखित मामलों में व्युत्क्रम वृत्त इकाई वृत्त होगा। व्युत्क्रम के अन्य वृत्तों के परिणाम मूल वक्र के अनुवाद और आवर्धन द्वारा पाए जा सकते हैं। रेखाएँ मूल से गुजरने वाली रेखा के लिए, ध्रुवीय समीकरण वह है जहाँ स्थिर है। यह व्युत्क्रम के तहत अपरिवर्तित रहता है। मूल से नहीं गुजरने वाली रेखा के लिए ध्रुवीय समीकरण है और व्युत्क्रम वक्र का समीकरण है जो मूल से गुजरने वाले वृत्त को परिभाषित करता है। व्युत्क्रम को फिर से लागू करने से पता चलता है कि मूल से गुजरने वाले वृत्त का व्युत्क्रम एक रेखा है। वृत्त ध्रुवीय निर्देशांक में, एक वृत्त के लिए सामान्य समीकरण जो मूल से नहीं गुजरता है (अन्य मामलों को कवर किया गया है) वह है जहां त्रिज्या है और केंद्र के ध्रुवीय निर्देशांक हैं। व्युत्क्रम वक्र का समीकरण तब है या यह त्रिज्या और केंद्र के साथ एक वृत्त का समीकरण है जिसके ध्रुवीय निर्देशांक नकारात्मक हो सकते हैं। यदि मूल वृत्त इकाई वृत्त के साथ प्रतिच्छेद करता है, तो दो वृत्तों के केंद्र और प्रतिच्छेदन का एक बिंदु भुजाओं के साथ एक त्रिभुज बनाते हैं यह एक समकोण त्रिभुज है, अर्थात। त्रिज्याएँ समकोण पर होती हैं, ठीक जब। लेकिन ऊपर के समीकरणों से, मूल वृत्त ठीक व्युत्क्रम वृत्त के समान होता है जब वृत्त का व्युत्क्रम एक ही वृत्त होता है यदि और केवल तभी जब यह समकोण पर इकाई वृत्त को काटता है। इसे और पिछले खंड को संक्षेप में और सामान्यीकृत करने के लिएः किसी रेखा या वृत्त का व्युत्क्रम एक रेखा या वृत्त होता है। यदि मूल वक्र एक रेखा है तो व्युत्क्रम वक्र व्युत्क्रम के केंद्र से होकर गुजरेगा। यदि मूल वक्र व्युत्क्रम के केंद्र से गुजरता है तो उल्टा वक्र एक रेखा होगी। उल्टा वक्र मूल के समान ही होगा जब वक्र व्युत्क्रम के वृत्त को समकोण पर काटता है। शीर्ष पर व्युत्क्रम के केंद्र के साथ परवलय एक परवलय का समीकरण, समानता तक, अनुवादित होता है ताकि शीर्ष मूल पर हो और घूमता हो ताकि अक्ष क्षैतिज हो। ध्रुवीय निर्देशांक में यह व्युत्क्रम वक्र बन जाता है फिर समीकरण होता है जो डायोक्लिस का सिसोइड है। एक केंद्र पर व्युत्क्रम के केंद्र के साथ शंकु खंड मूल पर एक केंद्र के साथ एक शंकु खंड का ध्रुवीय समीकरण है, समानता तक जहां ई उत्केन्द्रता है। इस वक्र का व्युत्क्रम तब होगा जो पास्कल के एक लिमाकॉन का समीकरण है। जब यह व्युत्क्रम का वृत्त है। जब मूल वक्र एक दीर्घवृत्त होता है और व्युत्क्रम एक सरल बंद वक्र होता है जिसके मूल में एक एकनोड होता है। जब मूल वक्र एक परवलय होता है और व्युत्क्रम कार्डियोइड होता है जिसकी उत्पत्ति पर एक पुच्छ होता है। जब मूल वक्र एक हाइपरबोला होता है और व्युत्क्रम मूल में एक क्रुनोड के साथ दो लूप बनाता है। एक शीर्ष पर व्युत्क्रम के केंद्र के साथ एलिप्स और हाइपरबोला एक दीर्घवृत्त या हाइपरबोला का सामान्य समीकरण इसका अनुवाद कर रहा है ताकि मूल शीर्षों में से एक हो और पुनर्व्यवस्थित करने से देता है या, स्थिरांक बदलते हुए, ध्यान दें कि ऊपर का पैराबोला अब और लगाकर इस योजना में फिट बैठता है। व्युत्क्रम का समीकरण है या यह समीकरण वक्रों के एक परिवार का वर्णन करता है जिसे डी स्लुज़ का कॉन्कोइड कहा जाता है। इस परिवार में, ऊपर सूचीबद्ध डायोक्लिस के सिसोइड के अलावा, मैकलौरिन () का ट्राइसेक्ट्रिक्स और राइट स्ट्रोफॉइड () शामिल हैं। केंद्र में व्युत्क्रम के केंद्र के साथ एलिप्स और हाइपरबोला एक दीर्घवृत्त या हाइपरबोला के समीकरण को उलटते हुए जो हिप्पोपीड है देता है। जब यह बर्नौली का लेमिनिस्केट है। व्युत्क्रम के मनमाने केंद्र के साथ शंकु ऊपर के डिग्री सूत्र को लागू करते हुए, एक शंकु (एक वृत्त के अलावा) का व्युत्क्रम एक गोलाकार घन है यदि व्युत्क्रम का केंद्र वक्र पर है, और अन्यथा एक द्वि-वृत्ताकार चतुर्थक। शंकु परिमेय होते हैं इसलिए व्युत्क्रम वक्र भी परिमेय होते हैं। इसके विपरीत, कोई भी परिमेय वृत्ताकार घन या परिमेय द्वि-वृत्ताकार चतुर्थक एक शंकु का व्युत्क्रम होता है। वास्तव में, इस तरह के किसी भी वक्र में एक वास्तविक विलक्षणता होनी चाहिए और इस बिंदु को व्युत्क्रम के केंद्र के रूप में लेते हुए, व्युत्क्रम वक्र डिग्री सूत्र द्वारा एक शंकु होगा। एनलैग्मेटिक वक्र एक एनलैग्मेटिक वक्र है जो अपने आप में उल्टा हो जाता है। उदाहरणों में वृत्त, कार्डियोइड, कैसिनी का अंडाकार, स्ट्रोफॉइड और मैकलौरिन का ट्राइसेक्ट्रिक्स शामिल हैं। व्युत्क्रम ज्यामिति वक्रों और सतहों का व्युत्क्रम (जर्मन) विशेष विमान वक्रों के दृश्य शब्दकोश में संदर्भ "व्युत्क्रम" एनसाइक्लोपीडी डेस फॉर्म्स मैथमेटिक्स रिमार्केबल्स पर "व्युत्क्रम डी 'उन कोर्बे पार रैपोर्ट ए अन पॉइंट" मैकटूटर के प्रसिद्ध वक्र सूचकांक पर परिभाषा। इस साइट में व्युत्क्रम वक्रों के उदाहरण और सूचकांक में प्रत्येक वक्र के व्युत्क्रम वक्रों का पता लगाने के लिए एक जावा एप्लेट भी है। वक्र प्रोजेक्टिव ज्यामिति व्युत्क्रम ज्यामिति