Monodromy theorem
जटिल विश्लेषण में, मोनोड्रोमी प्रमेय एक बड़े समूह के लिए एक जटिल-विश्लेषणात्मक कार्य की विश्लेषणात्मक निरंतरता के बारे में एक महत्वपूर्ण परिणाम है। विचार यह है कि कोई भी एक जटिल-विश्लेषणात्मक कार्य (यहाँ से बस विश्लेषणात्मक कार्य कहा जाता है) को कार्य के मूल क्षेत्र में शुरू होने और बड़े समूह में समाप्त होने वाले वक्रों के साथ बढ़ा सकता है। एक वक्र रणनीति के साथ इस विश्लेषणात्मक निरंतरता की एक संभावित समस्या यह है कि आमतौर पर कई वक्र होते हैं जो बड़े समूह में एक ही बिंदु पर समाप्त होते हैं। मोनोड्रोमी प्रमेय किसी दिए गए बिंदु पर समान मूल्य देने के लिए विश्लेषणात्मक निरंतरता के लिए पर्याप्त शर्तें देता है, चाहे वहां पहुंचने के लिए उपयोग किए जाने वाले वक्र की परवाह किए बिना, ताकि परिणामी विस्तारित विश्लेषणात्मक कार्य अच्छी तरह से परिभाषित और एकल-मूल्यवान हो। इस प्रमेय को बताने से पहले एक वक्र के साथ विश्लेषणात्मक निरंतरता को परिभाषित करना और इसके गुणों का अध्ययन करना आवश्यक है। एक वक्र के साथ विश्लेषणात्मक निरंतरता एक वक्र के साथ विश्लेषणात्मक निरंतरता की परिभाषा थोड़ी तकनीकी है, लेकिन मूल विचार यह है कि कोई एक बिंदु के आसपास परिभाषित विश्लेषणात्मक कार्य के साथ शुरू होता है, और उस वक्र को कवर करने वाले छोटे अतिव्यापी डिस्क पर परिभाषित विश्लेषणात्मक कार्यों के माध्यम से उस कार्य को एक वक्र के साथ विस्तारित करता है। औपचारिक रूप से, एक वक्र (एक निरंतर कार्य) पर विचार करें, मान लीजिए कि यह एक विश्लेषणात्मक कार्य है जिसे एक खुली डिस्क पर परिभाषित किया गया है। प्रत्येक के लिए ऐसा मौजूद है कि एक के साथ सभी के लिए वह है (जिसका अर्थ है कि और एक गैर-खाली प्रतिच्छेदन है) और कार्य और प्रतिच्छेदन पर मेल खाते हैं एक वक्र के साथ विश्लेषणात्मक निरंतरता के गुण एक वक्र के साथ विश्लेषणात्मक निरंतरता अनिवार्य रूप से अद्वितीय है, इस अर्थ में कि दो विश्लेषणात्मक निरंतरता और कार्यों के साथ और अनौपचारिक रूप से मेल खाते हैं, यह कहता है कि साथ की कोई भी दो विश्लेषणात्मक निरंतरता एक के पड़ोस में समान मानों के साथ समाप्त होगी। मोनोड्रोमी प्रमेय जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, एक ही वक्र के साथ दो विश्लेषणात्मक निरंतरताएँ वक्र के अंतिम बिंदु पर समान परिणाम देती हैं। हालाँकि, एक ही बिंदु से बाहर निकलने वाले दो अलग-अलग वक्रों को देखते हुए, जिसके चारों ओर एक विश्लेषणात्मक कार्य परिभाषित किया गया है, वक्रों के अंत में फिर से जुड़ने के साथ, यह सामान्य रूप से सच नहीं है कि दो वक्रों के साथ उस कार्य की विश्लेषणात्मक निरंतरता उनके सामान्य अंतिम बिंदु पर समान मूल्य प्राप्त करेगी। वास्तव में, पिछले खंड की तरह, एक बिंदु के पड़ोस में परिभाषित जटिल लघुगणक और मूल और त्रिज्या पर केंद्रित वृत्त पर विचार किया जा सकता है। फिर, इस वृत्त के ऊपरी अर्ध-समतल चाप पर घड़ी की विपरीत दिशा में और निचले अर्ध-समतल चाप पर घड़ी की विपरीत दिशा में यात्रा करना संभव है। इन दोनों चापों के साथ विश्लेषणात्मक निरंतरता द्वारा प्राप्त लघुगणक के मान अलग-अलग होंगे यदि, हालांकि, कोई प्रारंभिक बिंदु और अंतिम बिंदु को स्थिर रखते हुए एक वक्र को दूसरे में लगातार विकृत कर सकता है, और प्रत्येक मध्यवर्ती वक्र पर विश्लेषणात्मक निरंतरता संभव है, तो दोनों वक्रों के साथ विश्लेषणात्मक निरंतरता उनके सामान्य अंतिम बिंदु पर समान परिणाम देगी। इसे मोनोड्रोमी प्रमेय कहा जाता है और इसका कथन नीचे सटीक किया गया है। माना कि एक बिंदु पर केंद्रित जटिल तल में एक खुली डिस्क हो और एक जटिल-विश्लेषणात्मक कार्य हो। माना कि जटिल तल में एक और बिंदु है। यदि वक्रों का एक परिवार मौजूद है और सभी कार्यों के लिए निरंतर है, और प्रत्येक के लिए एक विश्लेषणात्मक निरंतरता करना संभव है तो साथ की विश्लेषणात्मक निरंतरता और समान मान प्राप्त करेंगे। वह प्रमेय जिसके नीचे कहा गया है कि इसे मोनोड्रोमी प्रमेय भी कहा जाता है। माना कि एक बिंदु पर केंद्रित जटिल तल में एक खुली डिस्क हो और एक जटिल-विश्लेषणात्मक कार्य हो। यदि एक खुला सरल रूप से जुड़ा हुआ समूह है और जिसमें किसी भी वक्र पर एक विश्लेषणात्मक निरंतरता का प्रदर्शन करना संभव है जिसमें शुरू होता है तो एक प्रत्यक्ष विश्लेषणात्मक निरंतरता को स्वीकार करता है जिसका अर्थ है कि एक जटिल-विश्लेषणात्मक कार्य मौजूद है जिसका प्रतिबंध है।