Atkinson's theorem
प्रचालक सिद्धांत में, एटकिंसन की प्रमेय (फ्रेडरिक वेलेंटाइन एटकिंसन के नाम पर) फ्रेडहोल्म प्रचालक की विशेषता बताती है। प्रमेय मान लीजिए कि H एक हिल्बर्ट स्थान है और L (H) H पर बंधे हुए प्रचालक का समुच्चय है। निम्नलिखित एक फ्रेडहोल्म प्रचालक की शास्त्रीय परिभाषा हैः एक प्रचालक T bul L (H) को एक फ्रेडहोल्म प्रचालक कहा जाता है यदि कर्नेल केर (T) परिमित-आयामी है, केर (T *) सीमित-आयामी है (जहां T * T के संयोजन को दर्शाता है), और रन (T) सीमा बंद है। एटकिंसन की प्रमेय में कहा गया हैः ए. टी. एल. एल. (एच) एक फ्रेडहोल्म प्रचालक है यदि और केवल तभी जब टी व्युत्क्रमणीय मॉड्यूलो कॉम्पैक्ट विक्षोभ है, अर्थात। टीएस = आई + सी1 और एसटी = आई + सी2 कुछ बाउंडेड ऑपरेटर एस और कॉम्पैक्ट ऑपरेटर सी1 और सी2 के लिए। दूसरे शब्दों में, एक प्रचालक T ω L (H) फ्रेडहोल्म है, शास्त्रीय अर्थ में, यदि और केवल तभी जब काल्किन बीजगणित में इसका प्रक्षेपण व्युत्क्रमणीय हो। प्रमाण का रेखाचित्र प्रमाण की रूपरेखा इस प्रकार है। प्रतिबंध टीः केर (टी) डी. ए. एन. (टी) एक बाइजेक्शन है, और इसलिए खुले मानचित्रण प्रमेय द्वारा व्युत्क्रम योग्य है। इस व्युत्क्रम को 0 से रन (टी) डी. डी. = केर (टी *) पर सभी एच पर परिभाषित एक ऑपरेटर एस तक बढ़ाएं। फिर आई-टी. एस. केर (टी *) पर परिमित-श्रेणी प्रक्षेपण है, और आई-एस. टी. केर (टी) पर प्रक्षेपण है। यह केवल अगर प्रमेय का हिस्सा साबित होता है। इसके विपरीत के लिए, मान लीजिए कि अब किसी कॉम्पैक्ट ऑपरेटर C2 के लिए ST = I + C2 है। यदि x ायत् केर (T) है, तो STx = x + C2x = 0 है। तो केर (टी) सी2 के एक आइगेनस्पेस में निहित है, जो परिमित-आयामी है (कॉम्पैक्ट ऑपरेटरों का वर्णक्रमीय सिद्धांत देखें)। इसलिए, केर (टी) भी परिमित-आयामी है। यही तर्क दर्शाता है कि केर (टी *) भी परिमित-आयामी है। यह साबित करने के लिए कि रान (टी) बंद है, हम सन्निकटन गुण का उपयोग करते हैंः मान लीजिए कि एफ एक परिमित-श्रेणी का प्रचालक है जैसे कि। |F −सी2।। <आर। फिर केर (एफ) में प्रत्येक एक्स के लिए,। |S।।। |Tx।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।। इस प्रकार टी केर (एफ) पर नीचे बंधा हुआ है, जिसका अर्थ है कि टी (केर (एफ)) बंद है। दूसरी ओर, टी (केर (एफ) डी) परिमित-आयामी है, क्योंकि केर (एफ) डी = रन (एफ *) परिमित-आयामी है। इसलिए, रन (टी) = टी (केर (एफ)) + टी (केर (एफ)) बंद है, और यह प्रमेय को साबित करता है। एटकिंसन के प्रमेय का एक अधिक पूर्ण उपचार अर्वेसन के संदर्भ में हैः यह दर्शाता है कि यदि बी एक बनाच स्थान है, तो एक प्रचालक फ्रेडहोल्म है यदि यह एक परिमित श्रेणी प्रचालक के रूप में व्युत्क्रमणीय मॉडुलो है (और यह कि बाद वाला एक संक्षिप्त प्रचालक के रूप में व्युत्क्रमणीय मॉडुलो होने के बराबर है, जो एनफ्लो के कॉम्पैक्ट प्रचालक के साथ एक अलग, प्रतिवर्तनीय बनाच स्थान के उदाहरण को देखते हुए महत्वपूर्ण है जो सीमित श्रेणी प्रचालक की मानक-सीमा नहीं हैं)। बनाच रिक्त स्थान के लिए, एक फ्रेडहोल्म प्रचालक वह होता है जिसमें परिमित आयामी कर्नेल और परिमित कोडीमेंशन की सीमा होती है (इसके निकटवर्ती के कर्नेल के परिमित आयामी होने के बराबर)। ध्यान दें कि यह परिकल्पना कि रन (टी) बंद है, अनावश्यक है क्योंकि परिमित कोडिमेंशन का एक स्थान जो एक बाउंडेड ऑपरेटर की सीमा भी है, हमेशा बंद रहता है (नीचे अर्वेसन संदर्भ देखें); यह ओपन-मैपिंग प्रमेय का एक परिणाम है (और यह सच नहीं है यदि स्थान एक बाउंडेड ऑपरेटर की सीमा नहीं है, उदाहरण के लिए एक असंतत रैखिक कार्यात्मक का कर्नेल)। संदर्भ अर्वेसन, विलियम बी., ए शॉर्ट कोर्स ऑन स्पेक्ट्रल थ्योरी, स्प्रिंगर ग्रेजुएट टेक्स्ट्स इन मैथमेटिक्स, वॉल्यूम 209,2002, फ्रेडहोल्म थ्योरी थ्योरम्स इन फंक्शनल एनालिसिस