Riemann–Hilbert correspondence
गणित में, रीमान-हिल्बर्ट पत्राचार शब्द बीजगणितीय वेक्टर बंडलों और मौलिक समूह के प्रतिनिधित्वों पर नियमित एकवचन सपाट कनेक्शनों के बीच पत्राचार को संदर्भित करता है, और आम तौर पर इसके कई सामान्यीकरणों में से एक को संदर्भित करता है। हिल्बर्ट की 21वीं समस्या में दिखाई देने वाली मूल सेटिंग रीमान क्षेत्र के लिए थी, जहां यह निर्धारित मोनोड्रोमी अभ्यावेदन के साथ रैखिक नियमित अंतर समीकरणों की प्रणालियों के अस्तित्व के बारे में थी। पहले रीमान गोले को एक मनमाना रीमान सतह द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है और फिर, उच्च आयामों में, रीमान सतहों को आयाम> 1 के जटिल मैनिफोल्ड्स द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। आंशिक अवकल समीकरणों की कुछ प्रणालियों (रैखिक और उनके समाधानों के लिए बहुत विशेष गुण रखने वाली) और उनके समाधानों की संभावित मोनोड्रोमियों के बीच एक पत्राचार है। इस तरह का परिणाम पियरे डेलिग्ने (1970, रीमान सतहों के मामले में मौजूदा काम को सामान्य करते हुए) द्वारा नियमित विलक्षणताओं के साथ बीजगणितीय कनेक्शन के लिए और आम तौर पर नियमित होलोनोमिक डी-मॉड्यूल के लिए मसाकी काशीवारा (1980,1984) और ज़ोगमैन मेबखौट (1980,1984) द्वारा स्वतंत्र रूप से साबित किया गया था। गैर-एबेलियन हॉज सिद्धांत की स्थापना में, रीमान-हिल्बर्ट पत्राचार मॉडुली रिक्त स्थान पर तीन प्राकृतिक बीजगणितीय संरचनाओं में से दो के बीच एक जटिल विश्लेषणात्मक समरूपता प्रदान करता है, और इसलिए स्वाभाविक रूप से डी राम समरूपता और एकवचन/बेट्टी समरूपता के बीच तुलना समरूपता के एक गैर-एबेलियन अनुरूप के रूप में देखा जाता है। कथन मान लीजिए कि X एक चिकनी जटिल बीजगणितीय किस्म है। रीमान-हिल्बर्ट पत्राचार (नियमित एकल कनेक्शनों के लिए): एक फंक्टर सोल है जिसे स्थानीय समाधान फंक्टर कहा जाता है, जो एक्स पर सीमित-आयामी जटिल वेक्टर रिक्त स्थान की स्थानीय प्रणालियों की श्रेणी के लिए नियमित विलक्षणताओं के साथ एक्स पर बीजगणितीय वेक्टर बंडलों पर सपाट कनेक्शनों की श्रेणी से एक तुल्यता है। एक्स कनेक्टेड के लिए, स्थानीय प्रणालियों की श्रेणी भी एक्स के मौलिक समूह के जटिल प्रतिनिधित्व की श्रेणी के बराबर है। इस प्रकार इस तरह के संबंध टोपोलॉजिकल मौलिक समूह के परिमित आयामी प्रतिनिधित्वों तक पहुँचने के लिए एक विशुद्ध रूप से बीजगणितीय तरीका देते हैं। नियमित एकलता की स्थिति का अर्थ है कि बंडल के स्थानीय रूप से स्थिर वर्गों (सपाट संबंध के संबंध में) में Y-X के बिंदुओं पर मध्यम वृद्धि होती है, जहां Y, X का बीजगणितीय संकुचन है। विशेष रूप से, जब X सघन होता है, तो नियमित विलक्षणता की स्थिति शून्य होती है। अधिक आम तौर पर रीमान-हिल्बर्ट पत्राचार (नियमित होलोनोमिक डी-मॉड्यूल के लिए) हैः डी राम फंक्शन नामक एक फंक्शन डी. आर. है, जो एक्स पर होलोनोमिक डी-मॉड्यूल की श्रेणी से एक समानता है जो नियमित विलक्षणताओं के साथ एक्स पर विकृत शीव की श्रेणी के बराबर है। प्रत्येक श्रेणी के अपरिवर्तनीय तत्वों पर विचार करने से, यह नियमित विलक्षणताओं के साथ एक्स पर अपरिवर्तनीय होलोनोमिक डी-मॉड्यूल के समरूपता वर्गों और अपरिवर्तनीय स्थानीय प्रणालियों में गुणांक के साथ एक्स की अपरिवर्तनीय बंद उप-विविधताओं के प्रतिच्छेदन समरूपता परिसरों के बीच 1:1 का पत्राचार देता है। एक डी-मॉड्यूल एक्स पर विभेदक समीकरणों की एक प्रणाली की तरह है, और एक उप-विविधता पर एक स्थानीय प्रणाली संभावित मोनोड्रोमियों के विवरण की तरह है, इसलिए इस पत्राचार को उनके समाधानों के मोनोड्रोमियों के संदर्भ में विभेदक समीकरणों की कुछ प्रणालियों का वर्णन करने के रूप में सोचा जा सकता है। यदि एक्स का आयाम एक (एक जटिल बीजगणितीय वक्र) है तो मालग्रेंज (1991), रीमान-हिल्बर्ट-बर्खोफ पत्राचार में वर्णित कोई नियमितता धारणा (या बिना नियमितता धारणा के होलोनोमिक डी-मॉड्यूल के लिए) के साथ बीजगणितीय कनेक्शन के लिए एक अधिक सामान्य रीमान-हिल्बर्ट पत्राचार है। उदाहरण एक उदाहरण जहाँ प्रमेय लागू होता है वह पंचर की गई एफ़ाइन रेखा A1 − {0} (यानी, गैर-शून्य जटिल संख्याओं C − {0} पर) पर अवकल समीकरण है। यहाँ a एक निश्चित जटिल संख्या है। इस समीकरण में प्रक्षेपात्मक रेखा P1 में 0 और φ पर नियमित विलक्षणताएँ हैं। समीकरण के स्थानीय समाधान स्थिरांक c के लिए cza के रूप में हैं। यदि a एक पूर्णांक नहीं है, तो फलन za को सभी C− {0} पर अच्छी तरह से परिभाषित नहीं किया जा सकता है। इसका मतलब है कि समीकरण में गैर-तुच्छ मोनोड्रोमी है। स्पष्ट रूप से, इस समीकरण की मोनोड्रोमी मौलिक समूह 1 (A1− {0}) = Z का 1-आयामी प्रतिनिधित्व है जिसमें जनरेटर (मूल के चारों ओर एक लूप) e2ia द्वारा गुणन द्वारा कार्य करता है। नियमित विलक्षणताओं की परिकल्पना की आवश्यकता को देखने के लिए, एफ़ाइन रेखा ए1 (यानी जटिल संख्या सी पर) पर अवकल समीकरण पर विचार करें। यह समीकरण A1 पर तुच्छ बीजगणितीय रेखा बंडल पर एक सपाट संबंध से मेल खाता है। समीकरण के समाधान स्थिरांक c के लिए CEZ के रूप में होते हैं। चूंकि इन समाधानों में प्रोजेक्टिव रेखा P1 में बिंदु φ के आसपास कुछ क्षेत्रों पर बहुपद वृद्धि नहीं होती है, इसलिए समीकरण में φ पर नियमित विलक्षणता नहीं होती है। (इसे चर डब्ल्यूः = 1/जेड के संदर्भ में समीकरण को फिर से लिखने से भी देखा जा सकता है, जहां यह बन जाता है। चूँकि सी. ई. जेड. कार्यों को पूरी एफ़ाइन रेखा ए1 पर परिभाषित किया गया है, इस सपाट संबंध की मोनोड्रोमी तुच्छ है। लेकिन यह सपाट संबंध A1 पर तुच्छ रेखा बंडल पर स्पष्ट सपाट संबंध के लिए समरूप नहीं है (सपाट संबंध के साथ एक बीजगणितीय वेक्टर बंडल के रूप में), क्योंकि इसके समाधानों में φ पर मध्यम वृद्धि नहीं होती है। यह रीमान-हिल्बर्ट पत्राचार में नियमित विलक्षणताओं के साथ सपाट कनेक्शनों तक सीमित रहने की आवश्यकता को दर्शाता है। दूसरी ओर, यदि हम ए1 = सी जैसे गैर-कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड पर सपाट कनेक्शन के साथ होलोमोर्फिक (बीजगणितीय के बजाय) वेक्टर बंडलों के साथ काम करते हैं, तो नियमित विलक्षणताओं की धारणा को परिभाषित नहीं किया जाता है। रीमान-हिल्बर्ट पत्राचार की तुलना में एक बहुत अधिक प्राथमिक प्रमेय बताता है कि होलोमोर्फिक वेक्टर बंडलों पर सपाट कनेक्शन उनके मोनोड्रोमी द्वारा समरूपता तक निर्धारित किए जाते हैं। विशेषता पी में विशेषता पी> 0 में योजनाओं के लिए, एक रीमान-हिल्बर्ट पत्राचार स्थापित करें जो विशेष रूप से दावा करता है कि जेड/पी-गुणांक के साथ एटेल शीव्स की एटेल कोहोमोलॉजी की गणना सुसंगत कोहोमोलॉजी पर फ्रोबेनियस एंडोमोर्फिज्म की क्रिया के संदर्भ में की जा सकती है। रीमान-हिल्बर्ट समस्या संदर्भ भी देखें (पृथक अति सतह विलक्षणता के मिल्नर फाइबर के लिए रीमान-हिल्बर्ट पत्राचार का स्पष्ट प्रतिनिधित्व देता है) विभेदक समीकरण प्रतिनिधित्व सिद्धांत बर्नहार्ड रीमान