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प्रचालक सिद्धांत में, गणित की एक शाखा, प्रत्येक बनाच बीजगणित को एक समूह के साथ जोड़ा जा सकता है जिसे इसका अमूर्त सूचकांक समूह कहा जाता है। परिभाषा ए में ए को बनाच बीजगणित और जी को व्युत्क्रमणीय तत्वों का समूह माना जाता है। समूह जी खुला है और एक स्थलाकृतिक समूह है। पहचान घटक जी0 पर विचार करें, या दूसरे शब्दों में ए की पहचान 1 वाले जुड़े हुए घटक पर विचार करें; जी0 जी का एक सामान्य उपसमूह है। क्योंकि G0, एक खुले समुच्चय का घटक होने के नाते, G में खुला और बंद दोनों है, सूचकांक समूह एक असतत समूह है। मान लीजिए कि एल (एच) हिल्बर्ट स्पेस पर बाउंडेड ऑपरेटरों का बनाच बीजगणित है। एल (एच) में व्युत्क्रमणीय तत्वों का समुच्चय पथ से जुड़ा हुआ है। इसलिए, λL (H) एक तुच्छ समूह है। माना T जटिल तल में इकाई वृत्त को दर्शाता है। टी से जटिल संख्याओं तक निरंतर कार्यों का बीजगणित सी (टी) एक समान अभिसरण की स्थलविज्ञान के साथ बनाच बीजगणित है। सी (टी) में एक फलन व्युत्क्रमणीय है (जिसका अर्थ है कि इसका एक बिंदुवार गुणक व्युत्क्रम है, यह नहीं कि यह एक व्युत्क्रमणीय फलन है) यदि यह टी के किसी भी तत्व को शून्य से मानचित्रित नहीं करता है। समूह G0 में तत्व समस्थानिक होते हैं, G में, G में पहचान के लिए, स्थिर फलन 1। मानचित्रों के अलग-अलग समरूपी वर्गों के जी में प्रतिनिधियों के रूप में कार्य fn (z) = zn का चयन किया जा सकता है। इस प्रकार सूचकांक समूह λC (T) होमोटॉपी वर्गों का समूह है, जिसे इसके सदस्यों की घुमावदार संख्या द्वारा अनुक्रमित किया जाता है। इस प्रकार λC (T) T के मौलिक समूह के लिए समरूप है। यह एक गणना योग्य असतत समूह है। काल्किन बीजगणित के कॉम्पैक्ट ऑपरेटरों के संबंध में एल (एच) का भागफल सी *-बीजगणित है। मान लीजिए कि π भागफल मानचित्र है। एटकिंसन के प्रमेय के अनुसार, K में एक व्युत्क्रमणीय तत्व π (T) के रूप में होता है जहाँ T एक फ्रेडहोल्म प्रचालक है। सूचकांक समूह λK फिर से एक गणना योग्य असतत समूह है। वास्तव में, फ्रेडहोल्म सूचकांक के माध्यम से पूर्णांक Z के योगात्मक समूह के लिए λK समरूप है। दूसरे शब्दों में, फ्रेडहोल्म ऑपरेटरों के लिए, सूचकांक की दो धारणाएं मेल खाती हैं। संदर्भ झू, केह (1993)। प्रचालक अल्जेब्रा, सी. आर. सी. प्रेस, बोका रैटन, एल. ए., प्रचालक सिद्धांत बनाच अल्जेब्रा विविक्त समूहों का परिचय