Braided Hopf algebra
गणित में, एक ब्रेडेड होप्फ बीजगणित एक ब्रेडेड मोनोइडल श्रेणी में एक होप्फ बीजगणित है। सबसे आम ब्रैडेड होप्फ बीजगणित एक होप्फ बीजगणित एच की येटर-ड्रिनफेल्ड श्रेणी में वस्तुएं हैं, विशेष रूप से उस श्रेणी में एक ब्रैडेड वेक्टर स्पेस का निकोल्स बीजगणित। इस धारणा को चतुष्कोणीय होप्फ बीजगणित के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए। परिभाषा मान लीजिए कि H एक क्षेत्र k पर एक होप्फ बीजगणित है, और मान लीजिए कि H का एंटीपोड बाइजेक्टिव है। एच पर एक येटर-ड्रिनफेल्ड मॉड्यूल आर को येटर-ड्रिनफेल्ड श्रेणी में एक ब्रैडेड बायल्जेब्रा कहा जाता है यदि एक यूनिटल एसोसिएटिव बीजगणित है, जहां गुणन मानचित्र और इकाई येटर-ड्रिनफेल्ड मॉड्यूल के नक्शे हैं, कौनिट के साथ एक कोसोसिएटिव कोलजेब्रा है, और दोनों और येटर-ड्रिनफेल्ड मॉड्यूल के नक्शे हैं, नक्शे और श्रेणी में बीजगणित नक्शे हैं, जहां की बीजगणित संरचना इकाई और गुणन मानचित्र द्वारा निर्धारित की जाती है। यदि येटर-ड्रिनफेल्ड मॉड्यूल की आकृति ऐसी है कि सभी के लिए जहां थोड़ा संशोधित स्वीडलर संकेतन में-नीचे रेडफोर्ड के द्वि-उत्पाद में भ्रम से बचने के लिए संकेतन का परिवर्तन किया जाता है, तो एक ब्रैडेड द्वि-बीजगणित को ब्रैडेड हॉप बीजगणित कहा जाता है। उदाहरण कोई भी होप्फ बीजगणित भी एक ब्रेडेड होप्फ बीजगणित है एक सुपर होप्फ बीजगणित समूह बीजगणित पर एक ब्रेडेड होप्फ बीजगणित के अलावा और कुछ नहीं है। येटर-ड्रिनफेल्ड मॉड्यूल का टेंसर बीजगणित हमेशा एक ब्रैडेड होप्फ बीजगणित होता है। के सहउत्पादन को इस तरह से परिभाषित किया गया है कि V के तत्व आदिम हैं, अर्थात काउंट तब सभी के लिए समीकरण को संतुष्ट करता है। वे शास्त्रीय लाइ बीजगणित मामले के अनुरूप, नुकीले होप्फ बीजगणित के वर्गीकरण में क्वांटम बोरेल बीजगणित की भूमिका निभाते हैं। रेडफोर्ड का द्वि-उत्पाद किसी भी ब्रैडेड होप्फ बीजगणित आर के लिए एक प्राकृतिक होप्फ बीजगणित मौजूद है जिसमें आर एक उप-बीजगणित के रूप में और एच एक होप्फ उप-बीजगणित के रूप में होता है। इसे रेडफोर्ड का द्वि-उत्पाद कहा जाता है, जिसका नाम इसके खोजकर्ता, होप्फ बीजगणितविद् डेविड रेडफोर्ड के नाम पर रखा गया है। इसे शाहन माजिद ने फिर से खोजा, जिन्होंने इसे बोसोनाइजेशन कहा। एक वेक्टर स्थान के रूप में, बस है। की बीजगणित संरचना इस प्रकार दी गई है कि, (स्वीडलर संकेतन) कहाँ का सह-उत्पाद है, और आर पर एच की बाईं कार्रवाई है। इसके अलावा, का सह-उत्पाद सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है यहाँ आर में आर के सह-उत्पाद को दर्शाता है, और संदर्भों पर एच का बायां कोक्शन है एंड्रूस्कीविट्श, निकोलस और श्नाइडर, हंस-जुर्गेन, पॉइंटेड होप्फ अल्जेब्रा, होप्फ अल्जेब्रा में नई दिशाएँ, 1-68, गणित। विज्ञान. रेस. इंस्टा. प्रकाशन., 43, कैम्ब्रिज विश्वविद्यालय। प्रेस, कैम्ब्रिज, 2002। होप्फ अल्जेब्रा