Shimura variety
संख्या सिद्धांत में, शिमुरा किस्म एक मॉड्यूलर वक्र का एक उच्च-आयामी अनुरूप है जो क्यू पर परिभाषित एक अपचयी बीजगणितीय समूह के एक सर्वांगसम उपसमूह द्वारा एक हर्मिशियन सममित स्थान की एक भागफल विविधता के रूप में उत्पन्न होता है। शिमुरा किस्में बीजगणितीय किस्में नहीं हैं, बल्कि बीजगणितीय किस्मों के परिवार हैं। शिमुरा वक्र एक आयामी शिमुरा किस्में हैं। हिल्बर्ट मॉड्यूलर सतह और सीगल मॉड्यूलर किस्में शिमुरा किस्मों के सबसे प्रसिद्ध वर्गों में से हैं। शिमुरा किस्मों के विशेष उदाहरण मूल रूप से गोरो शिमुरा द्वारा जटिल गुणन सिद्धांत के सामान्यीकरण के दौरान पेश किए गए थे। शिमुरा ने दिखाया कि शुरू में विश्लेषणात्मक रूप से परिभाषित होने के बावजूद, वे अंकगणितीय वस्तुएं हैं, इस अर्थ में कि वे एक संख्या क्षेत्र, शिमुरा किस्म के प्रतिवर्त क्षेत्र पर परिभाषित मॉडल को स्वीकार करते हैं। 1970 के दशक में, पियरे डेलीग्ने ने शिमुरा के काम के लिए एक स्वयंसिद्ध ढांचा बनाया। 1979 में, रॉबर्ट लैंगलैंड्स ने टिप्पणी की कि शिमुरा किस्में उदाहरणों का एक प्राकृतिक क्षेत्र बनाती हैं जिनके लिए लैंगलैंड्स कार्यक्रम में अभिनिर्धारित प्रेरक और स्वचालित एल-कार्यों के बीच समानता का परीक्षण किया जा सकता है। शिमुरा किस्म के कोहोमोलॉजी में महसूस किए गए ऑटोमोर्फिक रूप सामान्य ऑटोमोर्फिक रूपों की तुलना में अध्ययन के लिए अधिक अनुकूल हैं; विशेष रूप से, उनके साथ गैलोइस प्रतिनिधित्व को जोड़ने वाली एक संरचना है। परिभाषा शिमुरा डेटम मान लीजिए कि एस = आर. एस. सी./आर. जी. एम. जटिल संख्याओं से वास्तविक संख्याओं में गुणक समूह का वाइल प्रतिबंध है। यह एक वास्तविक बीजगणितीय समूह है, जिसके आर-बिंदुओं का समूह, एस (आर), सी * है और सी-बिंदुओं का समूह सी * × सी * है। एक शिमुरा डेटम एक जोड़ी (जी, एक्स) है जिसमें परिमेय संख्याओं के क्षेत्र क्यू पर परिभाषित एक (जुड़ा हुआ) अपवर्तक बीजगणितीय समूह जी होता है और एक जी (आर)-संयुग्म वर्ग एक्स होमोमोर्फिज्म एचः एस → जीआर निम्नलिखित स्वयंसिद्धियों को संतुष्ट करता हैः एक्स में किसी भी एच के लिए, केवल भार (0,0), (1,-1), (-1,1) जी. सी. में हो सकता है, यानी। G का जटिल लाइ बीजगणित एक प्रत्यक्ष योग में विघटित हो जाता है जहां किसी भी z ωS के लिए, h (z) पहले योग पर तुच्छ रूप से और दूसरे (क्रमशः, तीसरे) योग पर (क्रमशः,) कार्य करता है। एच (आई) की संलग्न क्रिया जी. आर. के संलग्न समूह पर एक कार्टन आक्रमण को प्रेरित करती है। जी. आर. का संलग्न समूह क्यू पर परिभाषित एक कारक एच को इस तरह स्वीकार नहीं करता है कि एच पर एच का प्रक्षेपण तुच्छ है। इन स्वयंसिद्धियों से यह पता चलता है कि X में एक जटिल मैनिफोल्ड (संभवतः, डिस्कनेक्टेड) की एक अनूठी संरचना है जैसे कि प्रत्येक प्रतिनिधित्व के लिए ρ: GR → GL (V), परिवार (V, ρ ⋅h) हॉज संरचनाओं का एक होलोमोर्फिक परिवार है; इसके अलावा, यह हॉज संरचना की एक भिन्नता बनाता है, और X हर्मिशियन सममित डोमेन का एक सीमित असंबद्ध संघ है। शिमुरा किस्म मान लीजिए कि ए. एफ. क्यू. के परिमित एडिल्स का वलय है। जी (ए. एफ.) के प्रत्येक पर्याप्त रूप से छोटे कॉम्पैक्ट ओपन सबग्रुप के के लिए, डबल कोसेट स्पेस रूप की स्थानीय रूप से सममित किस्मों का एक सीमित असंगत संघ है, जहां प्लस सुपरस्क्रिप्ट एक जुड़े हुए घटक को इंगित करता है। एस. एच. के. (जी, एक्स) किस्में जटिल बीजगणितीय किस्में हैं और वे सभी पर्याप्त रूप से छोटे कॉम्पैक्ट खुले उपसमूहों के. पर एक व्युत्क्रम प्रणाली बनाती हैं। यह व्युत्क्रम प्रणाली जी (ए. एफ.) की प्राकृतिक सही क्रिया को स्वीकार करती है। इसे शिमुरा दातुम (जी, एक्स) से जुड़ी शिमुरा किस्म कहा जाता है और इसे एस. एच. (जी, एक्स) कहा जाता है। इतिहास विशेष प्रकार के हर्मिशियन सममित डोमेन और सर्वांगसम उपसमूहों के लिए, 1960 के दशक के दौरान गोरो शिमुरा के शोध पत्रों की एक श्रृंखला में बीजगणितीय किस्मों को प्रस्तुत किया गया था। शिमुरा का दृष्टिकोण, जिसे बाद में उनके मोनोग्राफ में प्रस्तुत किया गया था, काफी हद तक घटनात्मक था, जो जटिल गुणन सिद्धांत के पारस्परिकता नियम निर्माण के व्यापक सामान्यीकरण का अनुसरण करता था। पूर्वावलोकन में, "शिमुरा किस्म" नाम डेलीग्ने द्वारा पेश किया गया था, जिन्होंने शिमुरा के सिद्धांत में एक भूमिका निभाने वाली अमूर्त विशेषताओं को अलग करने के लिए आगे बढ़े। डेलिग्ने के सूत्रीकरण में, शिमुरा किस्में कुछ प्रकार की हॉज संरचनाओं के पैरामीटर स्थान हैं। इस प्रकार वे स्तर संरचना के साथ दीर्घवृत्ताकार वक्रों के मॉड्यूली रिक्त स्थान के रूप में देखे जाने वाले मॉड्यूलर वक्रों का एक प्राकृतिक उच्च-आयामी सामान्यीकरण बनाते हैं। कई मामलों में, जिन मॉडुली समस्याओं के लिए शिमुरा किस्में समाधान हैं, उनकी भी इसी तरह पहचान की गई है। उदाहरण के लिए मान लीजिए कि F पूरी तरह से एक वास्तविक संख्या क्षेत्र है और D, F पर एक चतुर्थक विभाजन बीजगणित है। इसका आयाम डी उन अनंत स्थानों की संख्या है जिन पर डी विभाजित होता है। विशेष रूप से, यदि डी = 1 (उदाहरण के लिए, यदि एफ = क्यू और डी आर आर एम 2 (आर)), डी × के पर्याप्त रूप से छोटे अंकगणितीय उपसमूह को ठीक करते हैं, तो एक शिमुरा वक्र प्राप्त होता है, और इस निर्माण से उत्पन्न होने वाले वक्र पहले से ही कॉम्पैक्ट हैं (यानी। प्रोजेक्टिव)। स्पष्ट रूप से ज्ञात समीकरणों के साथ शिमुरा वक्रों के कुछ उदाहरण निम्न वंश के हर्विट्ज़ वक्रों द्वारा दिए गए हैंः क्लेन क्वार्टिक (जीनस 3) मैकबीथ सतह (जीनस 7) फर्स्ट हर्विट्ज़ ट्रिपलेट (जीनस 14) और डिग्री 7 के फर्माट वक्र द्वारा। शिमुरा किस्मों के अन्य उदाहरणों में पिकार्ड मॉड्यूलर सतह और हिल्बर्ट मॉड्यूलर सतह शामिल हैं, जिन्हें हिल्बर्ट-ब्लुमेंथल किस्मों के रूप में भी जाना जाता है। कैनोनिकल मॉडल और विशेष बिंदु प्रत्येक शिमुरा किस्म को एक कैनोनिकल संख्या क्षेत्र E पर परिभाषित किया जा सकता है जिसे प्रतिवर्त क्षेत्र कहा जाता है। शिमुरा के कारण यह महत्वपूर्ण परिणाम दर्शाता है कि शिमुरा किस्में, जो एक प्राथमिकता केवल जटिल मैनिफोल्ड हैं, परिभाषा का एक बीजगणितीय क्षेत्र है और इसलिए, अंकगणितीय महत्व है। यह उनके पारस्परिकता नियम के निर्माण में प्रारंभिक बिंदु बनाता है, जहां कुछ अंकगणितीय रूप से परिभाषित विशेष बिंदुओं द्वारा एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाई जाती है। शिमुरा किस्म पर विशेष बिंदुओं के सेट के ज़ारिस्की बंद होने की गुणात्मक प्रकृति का वर्णन आंद्रे-ओर्ट अनुमान द्वारा किया गया है। एक सामान्यीकृत रीमान परिकल्पना मानते हुए, इस अनुमान पर सशर्त परिणाम प्राप्त किए गए हैं। लैंगलैंड्स कार्यक्रम में भूमिका शिमुरा किस्में लैंगलैंड्स कार्यक्रम में एक उत्कृष्ट भूमिका निभाती हैं। प्रोटोटाइपिकल प्रमेय, आइकलर-शिमुरा समरूपता संबंध, का तात्पर्य है कि एक मॉड्यूलर वक्र का हैस्से-वेइल जीटा फलन वजन 2 के स्पष्ट रूप से निर्धारित मॉड्यूलर रूपों से जुड़े एल-कार्यों का एक उत्पाद है। वास्तव में, यह इस प्रमेय के सामान्यीकरण की प्रक्रिया में था कि गोरो शिमुरा ने अपनी किस्मों को पेश किया और अपने पारस्परिकता नियम को साबित किया। अन्य संख्या क्षेत्रों और इसके आंतरिक रूपों पर समूह जी. एल. 2 से जुड़े शिमुरा किस्मों के जीटा कार्य (अर्थात। चतुर्थक बीजगणित) के गुणक समूहों का अध्ययन आइकलर, शिमुरा, कुगा, साटो और इहारा द्वारा किया गया था। उनके परिणामों के आधार पर, रॉबर्ट लैंगलैंड्स ने एक भविष्यवाणी की कि एक संख्या क्षेत्र पर परिभाषित किसी भी बीजगणितीय किस्म W का हैस्से-वेइल जीटा फलन ऑटोमोर्फिक L-कार्यों की सकारात्मक और नकारात्मक शक्तियों का एक उत्पाद होगा, अर्थात। यह ऑटोमोर्फिक प्रतिनिधित्वों के संग्रह से उत्पन्न होना चाहिए। हालाँकि दार्शनिक रूप से इस तरह के विवरण की अपेक्षा करना स्वाभाविक हो सकता है, इस प्रकार के कथन केवल तभी साबित हुए हैं जब W एक शिमुरा प्रकार है। लैंगलैंड्स के शब्दों मेंः नोट्स संदर्भ जेम्स आर्थर, डेविड एलवुड, और रॉबर्ट कोटविट्ज़ (एड) हार्मोनिक एनालिसिस, द ट्रेस फॉर्मूला एंड शिमुरा वैराइटीज, क्ले मैथमेटिक्स प्रोसीडिंग्स, वॉल्यूम 4, ए. एम. एस., 2005 पियरे डेलिग्ने, ट्रावाक्स डी शिमुरा। सेमिनाइर बोरबाकी, 23ème annee (1970/71), एक्सप। नहीं। 389, पृ. 123-165। गणित में व्याख्यान टिप्पणियाँ, खंड। 244, स्प्रिंगर, बर्लिन, 1971., नुमडम पियरे डेलिग्ने, वेराइट्स डी शिमुराः इंटरप्रेटेशन मॉड्यूलेयर, और तकनीकें डी कंस्ट्रक्शन डी मॉडल्स कैनोनिक्स, ऑटोमोर्फिक रूपों, प्रतिनिधित्वों और एल-कार्यों में, प्रोसी। सिम्पोस। शुद्ध गणित., XXXIII (कॉर्वलिस, OR, 1977), भाग 2, pp. 247-289, आमेर। गणित। एस. सी., प्रोविडेंस, आर. आई., 1979. पियरे डेलीग्ने, जेम्स एस. मिल्ने, आर्थर ओगस, कुआंग-येन शी, हॉज चक्र, उद्देश्य और शिमुरा किस्में। गणित में व्याख्यान टिप्पणियाँ, 900। स्प्रिंगर-वेरलैग, बर्लिन-न्यूयॉर्क, 1982. 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