Standard probability space
संभाव्यता सिद्धांत में, एक मानक संभाव्यता स्थान, जिसे लेबेस्ग्यू-रोकलिन संभाव्यता स्थान या केवल लेबेस्ग्यू स्थान भी कहा जाता है (बाद वाला शब्द अस्पष्ट है) एक संभाव्यता स्थान है जो 1940 में व्लादिमीर रोकलिन द्वारा पेश की गई कुछ मान्यताओं को संतुष्ट करता है। अनौपचारिक रूप से, यह एक प्रायिकता स्थान है जिसमें एक अंतराल और/या परमाणुओं की एक सीमित या गणना योग्य संख्या होती है। मानक संभाव्यता रिक्त स्थान का सिद्धांत 1932 में वॉन न्यूमैन द्वारा शुरू किया गया था और 1940 में व्लादिमीर रोकलिन द्वारा आकार दिया गया था। रोखलिन ने दिखाया कि लेबस्ग्यू माप के साथ संपन्न इकाई अंतराल के सामान्य संभाव्यता रिक्त स्थान पर महत्वपूर्ण फायदे हैं, फिर भी संभाव्यता सिद्धांत में इनमें से कई के लिए प्रभावी रूप से प्रतिस्थापित किया जा सकता है। इकाई अंतराल का आयाम कोई बाधा नहीं है, जैसा कि नॉर्बर्ट वीनर के लिए पहले से ही स्पष्ट था। उन्होंने इकाई अंतराल से निरंतर कार्यों के स्थान तक मापने योग्य मानचित्र के रूप में वीनर प्रक्रिया (जिसे ब्राउनियन गति भी कहा जाता है) का निर्माण किया। मानक संभाव्यता रिक्त स्थान का सिद्धांत 1932 में वॉन न्यूमैन द्वारा शुरू किया गया था और 1940 में व्लादिमीर रोकलिन द्वारा आकार दिया गया था। आधुनिक प्रस्तुतियों के लिए देखें, और। आजकल मानक संभाव्यता रिक्त स्थान का वर्णन वर्णनात्मक समुच्चय सिद्धांत के ढांचे में किया जा सकता है (और अक्सर किया जाता है), मानक बोरेल रिक्त स्थान के माध्यम से, उदाहरण के लिए देखें। यह दृष्टिकोण मानक बोरेल रिक्त स्थान के लिए समरूपता प्रमेय पर आधारित है। माप सिद्धांत पर आधारित रोकलिन का एक वैकल्पिक दृष्टिकोण, वर्णनात्मक समुच्चय सिद्धांत के विपरीत, शून्य समुच्चय की उपेक्षा करता है। एर्गोडिक सिद्धांत में मानक संभाव्यता रिक्त स्थान का नियमित रूप से उपयोग किया जाता है। परिभाषा मानकता की कई प्रसिद्ध समतुल्य परिभाषाओं में से एक कुछ तैयारी के बाद नीचे दी गई है। सभी संभाव्यता रिक्त स्थान पूर्ण माने जाते हैं। समरूपता दो संभाव्यता रिक्त स्थान के बीच एक समरूपता, एक व्युत्क्रमणीय मानचित्र है जो और दोनों (मापने योग्य और) माप संरक्षित मानचित्र हैं। दो संभाव्यता रिक्त स्थान समरूप हैं यदि उनके बीच एक समरूपता मौजूद है। समरूपता मॉड्यूलो शून्य दो संभाव्यता रिक्त स्थान समरूपी होते हैं यदि शून्य समुच्चय मौजूद होते हैं, जैसे कि संभाव्यता रिक्त स्थान समरूपी होते हैं (प्राकृतिक रूप से सिग्मा-क्षेत्रों और संभाव्यता उपायों के साथ संपन्न होते हैं)। एक मानक संभाव्यता स्थान मानक है, यदि यह लेबेस्ग्यू माप के साथ एक अंतराल के लिए समरूप है, परमाणुओं का एक परिमित या गणना योग्य सेट, या दोनों का एक संयोजन (असंबद्ध संघ) है। देखिए, और। यह भी देखें, और। माप में परिमित माना जाता है, आवश्यक रूप से संभावित नहीं। परमाणुओं में अनुमति नहीं है। गैर-मानक संभाव्यता रिक्त स्थान के उदाहरण एक सरल सफेद शोर सभी कार्यों के स्थान को वास्तविक रेखा की प्रतियों की निरंतरता के उत्पाद के रूप में सोचा जा सकता है। एक संभाव्यता माप, मान लीजिए, मानक सामान्य वितरण के साथ प्रदान किया जा सकता है, और कार्यों के स्थान को समान संभाव्यता रिक्त स्थान की निरंतरता के उत्पाद के रूप में माना जा सकता है। उत्पाद माप एक संभाव्यता माप है। सरलता से ऐसा लग सकता है कि यह सफेद शोर का वर्णन करता है। हालांकि, 0 से 1 तक एक सफेद शोर फलन का समाकलन एक यादृच्छिक चर वितरित एन (0,1) होना चाहिए। इसके विपरीत, का समाकलन (0 से 1 तक) अव्याख्यायित है। f भी लगभग निश्चित रूप से मापने योग्य होने में विफल रहता है, और f के मापने योग्य होने की संभावना अनिर्धारित है। वास्तव में, यदि X एक यादृच्छिक चर है जो (0,1) पर समान रूप से वितरित (मान लीजिए) है और f से स्वतंत्र है, तो f (X) एक यादृच्छिक चर नहीं है (इसमें मापनीयता का अभाव है)। एक छिद्रित अंतराल माना एक समूह है जिसका आंतरिक लेबस्ग माप 0 के बराबर है, लेकिन बाहरी लेबस्ग माप 1 के बराबर है (इस प्रकार, चरम से अपरिमेय है)। इस पर एक संभाव्यता माप मौजूद है जो प्रत्येक लेबस्ग्यू के लिए मापने योग्य है। (यहाँ लेबस्ग्यू उपाय है।) संभाव्यता स्थान (उपचारित) पर घटनाएँ और यादृच्छिक चर संभाव्यता स्थान पर घटनाओं और यादृच्छिक चर के साथ एक प्राकृतिक एक-से-एक पत्राचार में होते हैं। ऐसा लग सकता है कि प्रायिकता स्थान उतना ही अच्छा है। हालांकि, ऐसा नहीं है। द्वारा परिभाषित एक यादृच्छिक चर समान रूप से वितरित किया जाता है। सशर्त माप, दिया गया है, केवल एक परमाणु (एट) है, बशर्ते कि यह अंतर्निहित संभाव्यता स्थान हो। हालाँकि, यदि इसके बजाय उपयोग किया जाता है, तो सशर्त उपाय कब मौजूद नहीं है। एक छिद्रित वृत्त इसी तरह बनाया गया है। इसकी घटनाएँ और यादृच्छिक चर सामान्य वृत्त के समान हैं। घूर्णन समूह उन पर स्वाभाविक रूप से कार्य करता है। हालाँकि, यह छिद्रित वृत्त पर कार्य करने में विफल रहता है। यह भी देखें। एक अनावश्यक मापने योग्य समुच्चय मान लीजिए जैसा कि पिछले उदाहरण में था। उस रूप के समुच्चय जहाँ और मनमाने लेबस्ग्यू मापने योग्य समुच्चय हैं, एक σ-बीजगणित हैं जिसमें लेबस्ग्यू σ-बीजगणित शामिल है और सूत्र एक संभाव्यता माप का सामान्य रूप देता है जो लेबस्ग्यू माप का विस्तार करता है; यहाँ एक पैरामीटर है। विशिष्ट होने के लिए, हम इसे चुनते हैं ऐसा लग सकता है कि लेबस्ग्यू उपाय का ऐसा विस्तार कम से कम हानिरहित है। हालाँकि, यह भेस में छिद्रित अंतराल है। मानचित्र और छिद्रित अंतराल के बीच एक समरूपता है जो सेट के अनुरूप आंतरिक लेबस्ग माप 0 का एक और सेट है लेकिन बाहरी लेबस्ग माप 1 है। यह भी देखें। मानकता का एक मानदंड किसी दिए गए संभाव्यता स्थान की मानकता एक मापने योग्य स्थान से मापने योग्य मानचित्र के एक निश्चित गुण के बराबर है उत्तर (मानक, या नहीं) और के चयन पर निर्भर नहीं करता है। यह तथ्य काफी उपयोगी है; कोई भी सभी मामलों की जांच करने की आवश्यकता नहीं के विकल्प को अनुकूलित कर सकता है। एक यादृच्छिक चर एक यादृच्छिक सदिश एक यादृच्छिक अनुक्रम या दो-मूल्यवान यादृच्छिक चर के अनुक्रम के रूप में मानी जाने वाली घटनाओं के अनुक्रम की जांच करना सुविधाजनक हो सकता है, दो शर्तों को (इंजेक्टिव होने और उत्पन्न करने के लिए) लगाया जाएगा। नीचे यह माना गया है कि ऐसा दिया गया है। इसके अस्तित्व के सवाल पर बाद में चर्चा की जाएगी। संभाव्यता स्थान को पूर्ण माना जाता है (अन्यथा यह मानक नहीं हो सकता है)। एक एकल यादृच्छिक चर एक मापने योग्य कार्य एक पुशफॉरवर्ड माप को प्रेरित करता है,-बोरेल सेटों के लिए परिभाषित संभाव्यता माप अर्थात। यादृच्छिक चर का वितरण। छवि हमेशा पूर्ण बाहरी माप का एक समूह होती है, लेकिन इसका आंतरिक माप भिन्न हो सकता है (एक छिद्रित अंतराल देखें)। दूसरे शब्दों में, पूर्ण माप का एक समूह होने की आवश्यकता नहीं है एक मापने योग्य फलन को उत्पन्न करना कहा जाता है यदि व्युत्क्रम छवियों के σ-बीजगणित के संबंध में पूर्णता है जहां सभी बोरेल सेटों पर चलता है। सावधानी बरतें। निम्नलिखित स्थिति उत्पन्न करने के लिए पर्याप्त नहीं हैः प्रत्येक के लिए एक बोरेल सेट मौजूद है जैसे कि (जिसका अर्थ है सममित अंतर)। प्रमेय। मान लीजिए कि एक मापने योग्य कार्य इंजेक्टिव और उत्पन्न करने वाला है, तो निम्नलिखित दो स्थितियां समतुल्य हैंः (अर्थात। आंतरिक माप में भी पूर्ण माप होता है, और छवि पूर्णता के संबंध में मापने योग्य होती है); एक मानक संभाव्यता स्थान है। यह भी देखें। एक यादृच्छिक सदिश किसी भी (के स्थान पर) के लिए एक ही प्रमेय है। एक मापने योग्य फलन को यादृच्छिक चर के एक सीमित अनुक्रम के रूप में सोचा जा सकता है और यह तभी उत्पन्न हो रहा है जब एक यादृच्छिक अनुक्रम द्वारा उत्पन्न σ-बीजगणित का पूरा होना प्रमेय अभी भी अनंत अनुक्रमों के स्थान के लिए धारण करता है। एक मापने योग्य फलन को यादृच्छिक चरों के एक अनंत अनुक्रम के रूप में सोचा जा सकता है और केवल तभी उत्पन्न हो रहा है जब घटनाओं के एक अनुक्रम द्वारा उत्पन्न σ-बीजगणित का पूरा होना है विशेष रूप से, यदि यादृच्छिक चर केवल दो मानों 0 और 1 पर लेते हैं, तो हम एक मापने योग्य फलन और समुच्चयों के अनुक्रम से निपटते हैं। एक आधार को पूर्ण मॉड 0 कहा जाता है, यदि पूर्ण माप का है तो देखें। उसी खंड में रोखलिन ने साबित किया कि यदि कोई प्रायिकता स्थान किसी आधार के संबंध में पूर्ण मॉड 0 है, तो यह हर दूसरे आधार के संबंध में पूर्ण मॉड 0 है, और इस पूर्णता गुण द्वारा लेबस्ग्यू रिक्त स्थान को परिभाषित करता है। और भी देखें। अतिरिक्त टिप्पणी ऊपर इलाज किए गए चार मामले पारस्परिक रूप से समतुल्य हैं, और एकजुट हो सकते हैं, क्योंकि मापने योग्य स्थान और पारस्परिक रूप से समरूप हैं; वे सभी मानक मापने योग्य स्थान हैं (दूसरे शब्दों में, मानक बोरेल स्थान)। एक मानक मापने योग्य स्थान से एक इंजेक्टिव मापने योग्य कार्य का अस्तित्व इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि हम गुण को गणना योग्य रूप से अलग करने के रूप में अच्छी तरह से जानते हैं (लेकिन इसे अलग करने योग्य कहा जाता है)। एक जनरेटिंग मेजरेबल फ़ंक्शन का एक मानक मापने योग्य स्थान से अस्तित्व भी इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि हम गुण को अच्छी तरह से गणना योग्य रूप से उत्पन्न (मॉड 0) के रूप में जानते हैं, देखें। एक मानक संभाव्यता स्थान से एक मानक मापने योग्य स्थान तक प्रत्येक इंजेक्टिव मापने योग्य कार्य उत्पन्न हो रहा है। देखिए,। यह गुण उपरोक्त उपखंड "एक अनावश्यक मापने योग्य समूह" में वर्णित गैर-मानक संभाव्यता स्थान के लिए नहीं है। सावधानी बरतें। गणना योग्य रूप से उत्पन्न होने का गुण मॉड 0 समरूपता के तहत अपरिवर्तनीय है, लेकिन गणना योग्य रूप से अलग होने का गुण नहीं है। वास्तव में, एक मानक संभाव्यता स्थान को गणना योग्य रूप से अलग किया जाता है यदि और केवल तभी जब की कार्डिनलिटी निरंतरता से अधिक न हो (देखें)। एक मानक संभाव्यता स्थान में किसी भी कार्डिनलिटी का एक शून्य सेट हो सकता है, इस प्रकार, इसे गणना योग्य रूप से अलग करने की आवश्यकता नहीं है। हालाँकि, इसमें हमेशा पूर्ण माप का एक गणना योग्य रूप से अलग उपसमुच्चय होता है। समतुल्य परिभाषाएँ एक पूर्ण संभाव्यता स्थान होना चाहिए जैसे कि की कार्डिनलिटी निरंतरता से अधिक न हो (सामान्य मामले को इस विशेष मामले में कम कर दिया गया है, ऊपर सावधानी देखें)। निरपेक्ष मापन क्षमता परिभाषा के माध्यम से। यह मानक है यदि यह गणना योग्य रूप से अलग किया गया है, गणना योग्य रूप से उत्पन्न किया गया है, और पूरी तरह से मापने योग्य है। और देखें। "बिल्कुल मापने योग्य" का अर्थः प्रत्येक गणना योग्य रूप से अलग, गणना योग्य रूप से उत्पन्न संभाव्यता स्थान में मापने योग्य। पूर्णता परिभाषा के माध्यम से। मानक है यदि यह गणना योग्य रूप से अलग और परिपूर्ण है। देखिए। "पूर्ण" का अर्थ है कि प्रत्येक मापने योग्य कार्य के लिए छवि माप नियमित है। (यहाँ छवि माप को उन सभी सेटों पर परिभाषित किया गया है जिनकी व्युत्क्रम छवियाँ संबंधित हैं, चाहे उनकी बोरेल संरचना कुछ भी हो)। टोपोलॉजी परिभाषा के माध्यम से। यह मानक है यदि इस तरह से एक टोपोलॉजी मौजूद है कि टोपोलॉजिकल स्पेस मापने योग्य है; (यानी, सभी खुले सेटों द्वारा) उत्पन्न σ-बीजगणित का समापन है; प्रत्येक के लिए एक कॉम्पैक्ट सेट मौजूद है जैसे कि देखें। मानकीकरण को सत्यापित करना अंतरिक्ष पर प्रत्येक संभाव्यता वितरण इसे एक मानक संभाव्यता स्थान में बदल देता है। (यहाँ, संभाव्यता वितरण का अर्थ है एक संभाव्यता माप जिसे शुरू में बोरेल सिग्मा-बीजगणित पर परिभाषित किया गया है और पूरा किया गया है।) यही बात हर पोलिश स्थान पर लागू होती है, देखें, और। उदाहरण के लिए, वीनर माप पोलिश स्थान (स्थानीय समान अभिसरण की स्थलविज्ञान के साथ संपन्न सभी निरंतर कार्यों के) को एक मानक संभाव्यता स्थान में बदल देता है। एक अन्य उदाहरण यादृच्छिक चर के प्रत्येक अनुक्रम के लिए, उनका संयुक्त वितरण पोलिश स्थान (अनुक्रमों का; उत्पाद टोपोलॉजी के साथ संपन्न) को एक मानक संभाव्यता स्थान में बदल देता है। (इस प्रकार, आयाम का विचार, जो टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के लिए बहुत स्वाभाविक है, मानक संभाव्यता रिक्त स्थान के लिए पूरी तरह से अनुचित है।) दो मानक संभाव्यता रिक्त स्थान का गुणनफल एक मानक संभाव्यता स्थान है। गिनती में कई रिक्त स्थान, देखें, और के उत्पाद के लिए भी यही लागू होता है। एक मानक संभाव्यता स्थान का एक मापने योग्य उपसमुच्चय एक मानक संभाव्यता स्थान है। यह माना जाता है कि सेट एक शून्य सेट नहीं है, और सशर्त माप के साथ संपन्न है। और देखें। एक मानक बोरेल स्थान पर प्रत्येक संभाव्यता माप इसे एक मानक संभाव्यता स्थान में बदल देता है। मानकता नियमित सशर्त संभावनाओं का उपयोग करना असतत व्यवस्था में, सशर्त संभावना एक और संभाव्यता माप है, और सशर्त अपेक्षा को सशर्त माप के संबंध में (सामान्य) अपेक्षा के रूप में माना जा सकता है, सशर्त अपेक्षा देखें। गैर-विविक्त व्यवस्था में, कंडीशनिंग का अक्सर अप्रत्यक्ष रूप से इलाज किया जाता है, क्योंकि स्थिति में संभावना 0 हो सकती है, सशर्त अपेक्षा देखें। नतीजतन, कई प्रसिद्ध तथ्यों में विशेष 'सशर्त' समकक्ष होते हैं। उदाहरण के लिएः अपेक्षा की रैखिकता; जेनसन की असमानता (सशर्त अपेक्षा देखें); होल्डर की असमानता; मोनोटोन अभिसरण प्रमेय, आदि। संभाव्यता स्थान पर एक यादृच्छिक चर को देखते हुए, एक सशर्त माप, यानी दिए गए के सशर्त वितरण का निर्माण करने का प्रयास करना स्वाभाविक है। सामान्य तौर पर यह असंभव है (देखें)। हालांकि, एक मानक संभाव्यता स्थान के लिए यह संभव है, और मापों की विहित प्रणाली के रूप में अच्छी तरह से जाना जाता है (देखें), जो मूल रूप से सशर्त संभाव्यता उपायों (देखें), माप का विघटन (देखें), और नियमित सशर्त संभावनाओं (देखें) के समान है। सशर्त जेन्सेन की असमानता केवल (सामान्य) जेन्सेन की असमानता है जो सशर्त उपाय पर लागू होती है। यही बात कई अन्य तथ्यों के लिए भी लागू होती है। दो संभाव्यता रिक्त स्थान और एक माप संरक्षित मानचित्र को देखते हुए, छवि को पूरे को कवर करने की आवश्यकता नहीं है, यह एक शून्य सेट से चूक सकता है। ऐसा लग सकता है कि यह 1 के बराबर होना चाहिए, लेकिन ऐसा नहीं है। का बाहरी माप 1 के बराबर है, लेकिन आंतरिक माप भिन्न हो सकता है। हालाँकि, यदि संभाव्यता रिक्त स्थान मानक हैं, तो देखें। अगर एक-से-एक भी है तो हर एक संतुष्ट करता है। इसलिए, मापने योग्य है (और संरक्षण को मापता है)। और देखें। यह भी देखें। "एक माप स्थान में माप 0 के सेट को नजरअंदाज करने का एक सुसंगत तरीका है"। शून्य समुच्चयों से छुटकारा पाने का प्रयास करते हुए, गणितशास्त्री अक्सर मापने योग्य समुच्चयों या कार्यों के समतुल्य वर्गों का उपयोग करते हैं। प्रायिकता स्थान के मापने योग्य उपसमुच्चय के समतुल्यता वर्ग एक मानक पूर्ण बूलियन बीजगणित बनाते हैं जिसे माप बीजगणित (या मीट्रिक संरचना) कहा जाता है। मानचित्र को संरक्षित करने वाला प्रत्येक उपाय माप बीजगणित के समरूपता की ओर ले जाता है; मूल रूप से, के लिए। ऐसा प्रतीत हो सकता है कि माप बीजगणित के प्रत्येक समरूपता को किसी माप संरक्षित मानचित्र के अनुरूप होना चाहिए, लेकिन ऐसा नहीं है। हालांकि, मानक संभाव्यता रिक्त स्थान के लिए प्रत्येक कुछ से मेल खाता है। देखिए,। टिप्पणियों के संदर्भ भी देखें। रूसी से अनुवादितः .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. प्रयोग (संभाव्यता सिद्धांत) मापन सिद्धांत