Free-by-cyclic group
समूह सिद्धांत में, विशेष रूप से, ज्यामितीय समूह सिद्धांत में, महत्वपूर्ण उदाहरणों के रूप में मुक्त-द्वारा-चक्रीय समूहों के वर्ग का गहराई से अध्ययन किया गया है। एक समूह को मुक्त-दर-चक्रीय कहा जाता है यदि इसका एक मुक्त सामान्य उपसमूह ऐसा है कि भागफल समूह चक्रीय है। दूसरे शब्दों में, मुक्त-द्वारा-चक्रीय है यदि इसे एक चक्रीय समूह द्वारा एक मुक्त समूह के समूह विस्तार के रूप में व्यक्त किया जा सकता है (एन. बी. 'द्वारा' के लिए दो परंपराएं हैं)। आमतौर पर, हम मानते हैं कि यह परिमित रूप से उत्पन्न होता है और भागफल एक अनंत चक्रीय समूह है। समान रूप से, हम एक मुक्त-दर-चक्रीय समूह को रचनात्मक रूप से परिभाषित कर सकते हैंः यदि एक स्वरूपता है, तो अर्ध-अप्रत्यक्ष उत्पाद एक मुक्त-दर-चक्रीय समूह है। एक मुक्त-द्वारा-चक्रीय समूह का एक समरूपता वर्ग एक बाहरी स्वरूपता द्वारा निर्धारित किया जाता है। यदि दो ऑटोमोर्फिज्म एक ही बाहरी ऑटोमोर्फिज्म का प्रतिनिधित्व करते हैं, यानी कुछ आंतरिक ऑटोमोर्फिज्म के लिए, फ्री-बाय-साइक्लिक समूह और आइसोमोर्फिक हैं। उदाहरण मुक्त-द्वारा-चक्रीय समूहों के वर्ग में निम्नलिखित रूप में विभिन्न समूह होते हैंः एक मुक्त-द्वारा-चक्रीय समूह हाइपरबोलिक होता है यदि और केवल तभी जब संलग्न करने वाला मानचित्र एटोरॉइडल हो। कुछ फ्री-बाय-साइक्लिक समूह फ्री-एबेलियन उपसमूहों के सापेक्ष हाइपरबोलिक होते हैं। अधिक आम तौर पर, सभी मुक्त-दर-चक्रीय समूह उपसमूहों के एक संग्रह के सापेक्ष अतिसंवेदनशील होते हैं जो बहुपद वृद्धि के स्व-आकृति के लिए मुक्त-दर-चक्रीय होते हैं। विशेष रूप से, एक गैर-सीएटी (0) फ्री-बाय-साइक्लिक समूह है। संदर्भ ए. मार्टिनो और ई. वेंचुरा (2004), फ्री-बाय-साइक्लिक समूहों के लिए संयुग्म समस्या। सेंटर डी रेसरका माटेमेटिका, बार्सिलोना, कैटेलोनिया, स्पेन से प्रीप्रिंट। फीघन, मार्क; हैंडेल, मुक्त समूह ऑटोमोर्फिज्म के माइकल मैपिंग टोरी सुसंगत हैं, एन। मठ., खंड 149 (1999) सं। 3 घोष, पी. (2023)। फ्री-बाय-साइक्लिक एक्सटेंशन की रिलेटिव हाइपरबोलिसिटी। कम्पोजिटियो मैथेमेटिका, 159 (1), 153-183। एफ. दहमानी और आर. ली, रिलेटिव हाइपरबोलिसिटी फॉर ऑटोमोर्फिज्म ऑफ फ्री प्रोडक्ट्स एंड फ्री ग्रुप्स, जर्नल ऑफ टोपोलॉजी एंड एनालिसिसवोल। 14, नं. 01, पीपी। 55-92 (2022) अनंत समूह सिद्धांत समूहों के गुण