Differentially closed field
गणित में, एक विभेदक क्षेत्र K को विभेदक रूप से बंद किया जाता है यदि K का विस्तार करने वाले किसी विभेदक क्षेत्र में समाधान के साथ विभेदक समीकरणों की प्रत्येक परिमित प्रणाली का पहले से ही K में समाधान हो। विभेदक रूप से बंद क्षेत्र बहुपद समीकरणों के लिए बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्रों के विभेदक समीकरणों के अनुरूप हैं। विभेदक रूप से बंद क्षेत्रों का सिद्धांत हम याद करते हैं कि विभेदक क्षेत्र एक व्युत्पत्ति प्रचालक से सुसज्जित क्षेत्र है। मान लीजिए कि K व्युत्पत्ति प्रचालक के साथ एक विभेदक क्षेत्र है। x में एक विभेदक बहुपद औपचारिक अभिव्यक्तियों x, ष्ण, ष्ण, में एक बहुपद है. K में गुणांक के साथ। x में एक गैर-शून्य विभेदक बहुपद का क्रम सबसे बड़ा n है जिसमें ष्ण होता है, या-1 यदि विभेदक बहुपद एक स्थिरांक है। n ≤ 0 क्रम के विभेदक बहुपद का विभाजक Sf, ≤nx के संबंध में f का व्युत्पन्न है। के के स्थिरांक का क्षेत्र ए तत्वों का उपक्षेत्र है जिसमें ए = 0 है। गैर-शून्य विशेषता p के अंतर क्षेत्र K में, सभी pth शक्तियाँ स्थिरांक होती हैं। यह इस प्रकार है कि न तो K और न ही इसके स्थिरांक का क्षेत्र परिपूर्ण है, जब तक कि ष्णू तुच्छ न हो। व्युत्पत्ति के साथ एक क्षेत्र K को विभेदक रूप से परिपूर्ण कहा जाता है यदि यह या तो विशेषता 0 का है, या विशेषता p का है और प्रत्येक स्थिरांक K के एक तत्व की एक pth शक्ति है। एक विभेदक रूप से बंद क्षेत्र एक विभेदक रूप से पूर्ण विभेदक क्षेत्र K है जैसे कि यदि f और g विभेदक बहुपद हैं जैसे कि Sf ष्णांक 0 और g ष्णांक 0 और f का क्रम g से अधिक है, तो K में कुछ x है जिसमें f (x) = 0 और g (x) ष्णांक 0 है। (कुछ लेखक इस शर्त को जोड़ते हैं कि K की विशेषता 0 है, जिस स्थिति में Sf स्वचालित रूप से गैर-शून्य है, और K स्वचालित रूप से परिपूर्ण है।) डी. सी. एफ. पी. विशेषता पी के विभेदक रूप से बंद क्षेत्रों का सिद्धांत है (जहाँ पी 0 या एक अभाज्य है)। किसी भी साधारण पृथक्कृत बहुपद को g = 1 और f लेने से पता चलता है कि कोई भी विभेदक रूप से बंद क्षेत्र पृथक्कृत रूप से बंद है। विशेषता 0 में इसका तात्पर्य है कि यह बीजगणितीय रूप से बंद है, लेकिन विशेषता p> 0 में भिन्न रूप से बंद क्षेत्र कभी भी बीजगणितीय रूप से बंद नहीं होते हैं। बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्रों के सिद्धांत में जटिल संख्याओं के विपरीत, एक भिन्न रूप से बंद क्षेत्र का कोई प्राकृतिक उदाहरण नहीं है। किसी भी डिफरेंशियल रूप से परिपूर्ण क्षेत्र K में एक डिफरेंशियल क्लोजर होता है, एक प्राइम मॉडल एक्सटेंशन, जो डिफरेंशियल रूप से बंद होता है। शेलाह ने यह भी दिखाया कि अभिलक्षण 0 का अभाज्य अवकल बंद क्षेत्र न्यूनतम नहीं है; यह एक आश्चर्यजनक परिणाम था, क्योंकि यह वह नहीं है जो बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्रों के साथ सादृश्य से कोई उम्मीद करेगा। डी. सी. एफ. पी. का सिद्धांत पूर्ण है और मॉडल पूर्ण है (पी = 0 के लिए यह रॉबिन्सन द्वारा दिखाया गया था, और पी> 0 द्वारा)। डी. सी. एफ. पी. सिद्धांत विशेषता पी के विभेदक क्षेत्रों के सिद्धांत का मॉडल साथी है। यह विशेषता पी के विभेदक रूप से परिपूर्ण क्षेत्रों के सिद्धांत का मॉडल समापन है यदि कोई भाषा में एक प्रतीक जोड़ता है जो पी> 0 होने पर स्थिरांक का पी. टी. एच. मूल देता है। विशेषता पी> 0 के विभेदक क्षेत्रों के सिद्धांत में एक मॉडल पूरा नहीं होता है, और विशेषता पी = 0 में विभेदक रूप से परिपूर्ण क्षेत्रों के सिद्धांत के समान है इसलिए इसके मॉडल पूरा होने के रूप में डीसीएफ0 है। कुछ अनंत कार्डिनलिटी κ के विभेदक रूप से बंद क्षेत्रों की संख्या 2κ है; κ अनगिनत के लिए यह साबित किया गया था, और κ के लिए ह्रुशोव्स्की और सोकोलोविक द्वारा गणना योग्य। के. एम. पर कोल्चिन टोपोलॉजी को मूल बंद समुच्चयों के रूप में एम चर में के पर अंतर समीकरणों की प्रणालियों के समाधानों के समुच्चयों को लेकर परिभाषित किया गया है। ज़ारिस्की टोपोलॉजी की तरह, कोल्चिन टोपोलॉजी नोथेरियन है। डी-कंस्ट्रक्टिबल सेट कोल्चिन टोपोलॉजी में बंद और खुले सेटों का एक सीमित संघ है। समान रूप से, एक डी-कंस्ट्रक्टिबल सेट एक क्वांटिफायर-मुक्त, या परमाणु सूत्र के समाधान का सेट है, जिसमें के. क्वांटिफायर उन्मूलन में मापदंड होते हैं। बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्रों के सिद्धांत की तरह, विशेषता 0 के भिन्न रूप से बंद क्षेत्रों का सिद्धांत डीसीएफ0 क्वांटिफायर को समाप्त करता है। इस कथन की ज्यामितीय सामग्री यह है कि एक डी-निर्माण योग्य समुच्चय का प्रक्षेपण डी-निर्माण योग्य है। यह कल्पनाओं को भी समाप्त करता है, पूर्ण होता है और मॉडल पूर्ण होता है। विशेषता पी> 0 में, सिद्धांत डी. सी. एफ. पी. अंतर क्षेत्रों की भाषा में क्वांटिफायर को एक यूनरी फ़ंक्शन आर के साथ समाप्त करता है जो कि सभी स्थिरांकों का पी. टी. एच. मूल है, और उन तत्वों पर 0 है जो स्थिर नहीं हैं। विभेदक नलस्टेलेनसैट्ज़ विभेदक नलस्टेलेनसैट्ज़ हिल्बर्ट के नलस्टेलेनसैट्ज़ के विभेदक बीजगणित में एनालॉग है। एक विभेदक आदर्श या ष्णू-आदर्श एक आदर्श है जो ष्णू के अंतर्गत बंद होता है। एक आदर्श को कट्टरपंथी कहा जाता है यदि इसमें इसके तत्वों की सभी जड़ें होती हैं। मान लीजिए कि K विशेषता 0 का एक विभेदक रूप से बंद क्षेत्र है। फिर सीडेनबर्ग के विभेदक नलस्टेलेंसैट्ज़ का कहना है कि n चर में विभेदक बहुपदों के वलय में रेडिकल विभेदक आदर्शों और Kn के ष्ण-बंद उपसमुच्चय के बीच एक द्विभाजन है। यह पत्राचार एक बंद उपसमुच्चय को उस पर गायब होने वाले तत्वों के आदर्श के लिए मानचित्रित करता है, और इसके शून्यों के समूह के लिए एक आदर्श को मानचित्रित करता है। 0 ब्लम की विशेषता में, विभेदक रूप से बंद क्षेत्रों का सिद्धांत ω-स्थिर है और इसमें मॉर्ले श्रेणी ω है। गैर-शून्य विशेषता में दिखाया गया है कि विभेदक रूप से बंद क्षेत्रों का सिद्धांत ω-स्थिर नहीं है, और अधिक सटीक रूप से दिखाया गया है कि यह स्थिर है लेकिन अतिमान्यता नहीं है। परिभाषित समुच्चयों की संरचनाः जिल्बर की ट्राइकोटॉमी डिसीडेबिलिटी मुद्दे मैनिन कर्नेल अनुप्रयोग भी देखें विभेदक गैलोइस सिद्धांत संदर्भ विभेदक बीजगणित मॉडल सिद्धांत