Paradoxes of set theory
इस लेख में समुच्चय सिद्धांत के विरोधाभासों पर चर्चा की गई है। अधिकांश गणितीय विरोधाभासों के साथ, वे आम तौर पर आधुनिक स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत के भीतर वास्तविक तार्किक विरोधाभासों के बजाय आश्चर्यजनक और प्रति-सहज गणितीय परिणामों को प्रकट करते हैं। मूल बातें कार्डिनल संख्याएँ जॉर्ज कैंटर द्वारा परिकल्पित सेट सिद्धांत अनंत सेटों के अस्तित्व को मानता है। चूंकि इस धारणा को पहले सिद्धांतों से साबित नहीं किया जा सकता है, इसलिए इसे अनंत के स्वयंसिद्ध द्वारा स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत में पेश किया गया है, जो प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय एन के अस्तित्व का दावा करता है। प्रत्येक अनंत समुच्चय जिसे प्राकृतिक संख्याओं द्वारा गिना जा सकता है, उसका आकार (कार्डिनलिटी) एन के समान होता है, और इसे गणना योग्य कहा जाता है। गणना योग्य अनंत समुच्चयों के उदाहरण प्राकृतिक संख्याएँ, सम संख्याएँ, अभाज्य संख्याएँ और सभी परिमेय संख्याएँ, अर्थात भिन्न हैं। इन समुच्चयों में सामान्य रूप से कार्डिनल संख्या |N। = (एलेफ-शून्य) होती है, जो प्रत्येक प्राकृतिक संख्या से बड़ी संख्या होती है। कार्डिनल संख्याओं को निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है। समान आकार के लिए दो सेटों को परिभाषित करेंः दो सेटों के बीच एक बाइजेक्शन मौजूद है (तत्वों के बीच एक-से-एक पत्राचार)। फिर एक कार्डिनल संख्या, परिभाषा के अनुसार, एक वर्ग है जिसमें एक ही आकार के सभी सेट होते हैं। समान आकार का होना एक समतुल्य संबंध है, और मूल संख्याएँ समतुल्य वर्ग हैं। क्रमिक संख्याएँ कार्डिनलिटी के अलावा, जो एक सेट के आकार का वर्णन करता है, क्रमबद्ध सेट भी सेट सिद्धांत का एक विषय बनाते हैं। चयन का स्वयंसिद्ध सूत्र इस बात की गारंटी देता है कि प्रत्येक समूह को अच्छी तरह से क्रमबद्ध किया जा सकता है, जिसका अर्थ है कि इसके तत्वों पर कुल क्रम इस तरह लगाया जा सकता है कि प्रत्येक गैर-खाली उपसमुच्चय का उस क्रम के संबंध में पहला तत्व हो। एक सुव्यवस्थित समुच्चय का क्रम एक क्रमिक संख्या द्वारा वर्णित किया जाता है। उदाहरण के लिए, 3 सामान्य क्रम 0 <1 <2 के साथ समुच्चय {0,1,2} की क्रमिक संख्या है और ω सामान्य तरीके से क्रमबद्ध सभी प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय की क्रमिक संख्या है। क्रम को नजरअंदाज करते हुए, हमारे पास कार्डिनल संख्या |N। = |ω। = रह जाती है। क्रमिक संख्याओं को मूल संख्याओं के लिए उपयोग की जाने वाली समान विधि से परिभाषित किया जा सकता है। एक ही क्रम प्रकार के लिए दो अच्छी तरह से क्रमबद्ध सेटों को इस प्रकार परिभाषित करें कि क्रम के संबंध में दो सेटों के बीच एक बाइजेक्शन मौजूद हैः छोटे तत्वों को छोटे तत्वों के लिए मैप किया जाता है। फिर एक क्रमिक संख्या, परिभाषा के अनुसार, एक वर्ग है जिसमें एक ही क्रम प्रकार के सभी सुव्यवस्थित समूह होते हैं। समान क्रम प्रकार का होना सुव्यवस्थित समुच्चयों के वर्ग पर एक समतुल्यता संबंध है, और क्रमिक संख्याएँ समतुल्यता वर्ग हैं। एक ही क्रम प्रकार के दो सेटों में एक ही कार्डिनलिटी होती है। इसके विपरीत अनंत समुच्चयों के लिए सामान्य रूप से सही नहीं हैः प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय पर अलग-अलग क्रम-क्रम लागू करना संभव है जो अलग-अलग क्रमिक संख्याओं को जन्म देते हैं। ऑर्डिनल्स पर एक प्राकृतिक क्रम है, जो अपने आप में एक अच्छा क्रम है। किसी भी क्रमिक α को देखते हुए, सभी क्रमिकों के समूह को α से कम माना जा सकता है। इस समूह में क्रमिक संख्या α पाई जाती है। इस अवलोकन का उपयोग ऑर्डिनल्स को पेश करने के एक अलग तरीके के लिए किया जाता है, जिसमें एक ऑर्डिनल को सभी छोटे ऑर्डिनल्स के सेट के साथ बराबर किया जाता है। क्रमिक संख्या का यह रूप इस प्रकार समतुल्यता वर्ग के पहले के रूप का एक विहित प्रतिनिधि है। एक समूह एस के सभी उपसमुच्चय (इसके तत्वों के सभी संभावित विकल्प) बनाकर, हम शक्ति समूह पी (एस) प्राप्त करते हैं। जॉर्ज कैंटर ने साबित किया कि पावर सेट हमेशा सेट से बड़ा होता है, यानी, |P (S)।> |S। कैंटर के प्रमेय का एक विशेष मामला यह साबित करता है कि सभी वास्तविक संख्याओं आर के समुच्चय को प्राकृतिक संख्याओं द्वारा गणना नहीं की जा सकती है। आर अनगिनत हैः |R।> |N।। "जिसे बढ़ाया नहीं जा सकता" या "बिना सीमा के बढ़ रहा है" जैसे अस्पष्ट विवरणों पर भरोसा करने के बजाय, सेट सिद्धांत "सभी प्राकृतिक संख्याओं का सेट अनंत है" जैसे वाक्यांशों को एक स्पष्ट अर्थ देने के लिए अनंत सेट शब्द की परिभाषा प्रदान करता है। जैसे कि परिमित समुच्चयों के लिए, सिद्धांत आगे की परिभाषाएँ बनाता है जो हमें लगातार दो अनंत समुच्चयों की तुलना करने की अनुमति देता है कि क्या एक समुच्चय दूसरे से "बड़ा", "छोटा" या "समान आकार" है। लेकिन परिमित समुच्चय के आकार के बारे में प्रत्येक अंतर्ज्ञान अनंत समुच्चय के आकार पर लागू नहीं होता है, जिससे गणना, आकार, माप और क्रम के संबंध में विभिन्न स्पष्ट रूप से विरोधाभासी परिणाम मिलते हैं। गणना के विरोधाभास सेट सिद्धांत पेश किए जाने से पहले, एक सेट के आकार की धारणा समस्याग्रस्त थी। गैलीलियो गैलीली और बर्नार्ड बोलजानो सहित अन्य लोगों ने इस पर चर्चा की थी। जब गणना की विधि द्वारा मापा जाता है तो क्या प्राकृतिक संख्याओं के वर्ग के रूप में कई प्राकृतिक संख्याएँ हैं? इसका उत्तर हाँ है, क्योंकि प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n के लिए एक वर्ग संख्या n2 है, और इसी तरह दूसरी तरफ भी। इसका उत्तर नहीं है, क्योंकि वर्ग प्राकृतिक का एक उचित उपसमुच्चय हैः प्रत्येक वर्ग एक प्राकृतिक संख्या है लेकिन 2 की तरह प्राकृतिक संख्याएँ हैं, जो प्राकृतिक संख्याओं के वर्ग नहीं हैं। किसी समूह के आकार की धारणा को उसकी प्रधानता के संदर्भ में परिभाषित करके, इस मुद्दे को सुलझाया जा सकता है। चूँकि इसमें शामिल दो सेटों के बीच एक बाइजेक्शन है, यह वास्तव में एक सेट की कार्डिनलिटी की परिभाषा से सीधे अनुसरण करता है। गणना के विरोधाभासों पर अधिक जानकारी के लिए हिल्बर्ट का ग्रैंड होटल का विरोधाभास देखें। जे ले वॉइस, लेकिन जे ने क्रोइस पास "मैं इसे देखता हूं लेकिन मुझे विश्वास नहीं है", कैंटर ने यह साबित करने के बाद रिचर्ड डेडेकिंड को लिखा कि एक वर्ग के बिंदुओं के समूह में वर्ग के सिर्फ एक किनारे पर बिंदुओं के समान कार्डिनलिटी हैः निरंतरता की कार्डिनलिटी। यह दर्शाता है कि अकेले कार्डिनलिटी द्वारा परिभाषित सेटों का "आकार" सेटों की तुलना करने का एकमात्र उपयोगी तरीका नहीं है। माप सिद्धांत आकार का एक अधिक सूक्ष्म सिद्धांत प्रदान करता है जो हमारे अंतर्ज्ञान के अनुरूप है कि लंबाई और क्षेत्र आकार के असंगत उपाय हैं। साक्ष्य दृढ़ता से सुझाव देते हैं कि कैंटर परिणाम में ही काफी आश्वस्त थे और डेडेकिंड के लिए उनकी टिप्पणी इसके बजाय उनके प्रमाण की वैधता के बारे में उनकी तत्कालीन-अभी भी चिंताओं को संदर्भित करती है। फिर भी, कैंटर की टिप्पणी इस आश्चर्य को व्यक्त करने के लिए भी अच्छी तरह से काम करेगी कि उनके बाद इतने सारे गणितविदों ने पहली बार एक ऐसे परिणाम का सामना करने का अनुभव किया है जो इतना विरोधाभासी है। 1904 में अर्न्स्ट ज़र्मेलो ने पसंद के स्वयंसिद्ध सिद्धांत (जो इस कारण से पेश किया गया था) के माध्यम से साबित किया कि प्रत्येक सेट को अच्छी तरह से व्यवस्थित किया जा सकता है। 1963 में पॉल जे. कोहेन ने दिखाया कि ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत में विकल्प के स्वयंसिद्ध के बिना वास्तविक संख्याओं के एक अच्छी तरह से क्रम के अस्तित्व को साबित करना संभव नहीं है। हालांकि, किसी भी सेट को अच्छी तरह से ऑर्डर करने की क्षमता कुछ निर्माणों को करने की अनुमति देती है जिन्हें विरोधाभासी कहा गया है। एक उदाहरण बनाच-टार्स्की विरोधाभास है, एक प्रमेय जिसे व्यापक रूप से गैर-अंतर्ज्ञानी माना जाता है। इसमें कहा गया है कि एक निश्चित त्रिज्या की गेंद को सीमित संख्या में टुकड़ों में विघटित करना और फिर एक मूल प्रति से दो प्रतियां प्राप्त करने के लिए सामान्य अनुवाद और आवर्तन (बिना किसी स्केलिंग के) द्वारा उन टुकड़ों को स्थानांतरित करना और फिर से इकट्ठा करना संभव है। इन टुकड़ों के निर्माण के लिए पसंद के स्वयंसिद्ध सिद्धांत की आवश्यकता होती है; टुकड़े गेंद के सरल क्षेत्र नहीं हैं, बल्कि जटिल उपसमुच्चय हैं। सुपरटास्क के विरोधाभास समुच्चय सिद्धांत में, एक अनंत समुच्चय को कुछ गणितीय प्रक्रिया द्वारा बनाया नहीं माना जाता है जैसे कि "एक तत्व जोड़ना" जिसे फिर "अनंत संख्या में बार" किया जाता है। इसके बजाय, एक विशेष अनंत समुच्चय (जैसे कि सभी प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय) को एक धारणा या स्वयंसिद्ध के रूप में "फिएट द्वारा" पहले से ही मौजूद कहा जाता है। इस अनंत समुच्चय को देखते हुए, अन्य अनंत समुच्चय भी एक तार्किक परिणाम के रूप में मौजूद साबित होते हैं। लेकिन कुछ भौतिक क्रियाओं पर विचार करना अभी भी एक स्वाभाविक दार्शनिक प्रश्न है जो वास्तव में अनंत संख्या में असतत चरणों के बाद पूरी होती है; और सेट सिद्धांत का उपयोग करके इस प्रश्न की व्याख्या सुपरटास्क के विरोधाभासों को जन्म देती है। लॉरेंस स्टर्न के उपन्यास के नायक ट्रिस्ट्राम शैंडी ट्रिस्ट्राम शैंडी की डायरी में उनकी आत्मकथा इतनी ईमानदारी से लिखी गई है कि उन्हें एक दिन की घटनाओं को बताने में एक साल का समय लगता है। यदि वह नश्वर है तो वह कभी समाप्त नहीं कर सकता; लेकिन यदि वह हमेशा के लिए जीवित रहता तो उसकी डायरी का कोई भी हिस्सा अलिखित नहीं रहेगा, क्योंकि उसके जीवन के प्रत्येक दिन उस दिन के विवरण के लिए समर्पित एक वर्ष के अनुरूप होगा। रॉस-लिटिलवुड विरोधाभास इस प्रकार के विरोधाभास का एक बढ़ा हुआ संस्करण असीम दूरस्थ समाप्ति को एक सीमित समय में बदल देता है। एक विशाल जलाशय को 1 से 10 की संख्या में गिने गए गेंदों से भरें और गेंद संख्या 1 को उतारें। फिर 11 से 20 नंबरों द्वारा गिनाई गई गेंदों को जोड़ें और नंबर 2 को हटा दें। 10n-9 से 10n संख्या द्वारा गणना की गई गेंदों को जोड़ना जारी रखें और सभी प्राकृतिक संख्याओं n = 3,4,5 के लिए गेंद संख्या n को हटाना जारी रखें। पहले लेनदेन को आधे घंटे तक चलने दें, दूसरे लेनदेन को एक घंटे की तिमाही तक चलने दें, और इसी तरह, ताकि सभी लेनदेन एक घंटे के बाद समाप्त हो जाएं। जाहिर है कि जलाशय में गेंदों का सेट बिना किसी सीमा के बढ़ता है। फिर भी, एक घंटे के बाद जलाशय खाली हो जाता है क्योंकि प्रत्येक गेंद को हटाने का समय ज्ञात होता है। हटाने के अनुक्रम के महत्व से विरोधाभास और बढ़ जाता है। यदि गेंदों को अनुक्रम 1,2,3 में नहीं हटाया जाता है, लेकिन अनुक्रम 1,11,21 में, एक घंटे के बाद अनंत रूप से कई गेंदें जलाशय को आबाद करती हैं, हालांकि पहले की तरह ही सामग्री की मात्रा को स्थानांतरित कर दिया गया है। प्रमाण और निश्चितता के विरोधाभास अनंत समुच्चय के बारे में प्रश्नों को हल करने में इसकी सभी उपयोगिताओं के लिए, सरल समुच्चय सिद्धांत में कुछ घातक खामियां हैं। विशेष रूप से, यह तार्किक विरोधाभासों का शिकार है जैसे कि रसेल के विरोधाभास से उजागर हुए। इन विरोधाभासों की खोज से पता चला कि सभी समुच्चय जिन्हें सरल समुच्चय सिद्धांत की भाषा में वर्णित किया जा सकता है, उन्हें वास्तव में विरोधाभास पैदा किए बिना मौजूद नहीं कहा जा सकता है। 20वीं शताब्दी में आज आम उपयोग में जेडएफसी और एनबीजी जैसे सेट सिद्धांतों के विभिन्न स्वयंसिद्धीकरणों के विकास में इन विरोधाभासों का समाधान देखा गया। हालाँकि, इन सिद्धांतों की बहुत औपचारिक और प्रतीकात्मक भाषा और गणितीय भाषा के हमारे विशिष्ट अनौपचारिक उपयोग के बीच का अंतर विभिन्न विरोधाभासी स्थितियों में परिणाम देता है, साथ ही साथ दार्शनिक प्रश्न भी है कि वास्तव में ऐसी औपचारिक प्रणालियाँ वास्तव में किस बारे में बात करने का प्रस्ताव करती हैं। प्रारंभिक विरोधाभासः सभी समुच्चयों का समुच्चय 1897 में इतालवी गणितशास्त्री सिजेर बुराली-फोर्टी ने पाया कि सभी क्रमिक संख्याओं वाला कोई समुच्चय नहीं है। चूँकि प्रत्येक क्रमिक संख्या को छोटी क्रमिक संख्याओं के एक समूह द्वारा परिभाषित किया जाता है, सभी क्रमिक संख्याओं का अच्छी तरह से क्रमबद्ध सेट (यदि यह मौजूद है) परिभाषा में फिट बैठता है और अपने आप में एक क्रमिक है। दूसरी ओर, कोई भी क्रमिक संख्या अपने आप को समाहित नहीं कर सकती है, इसलिए ω एक क्रमिक नहीं हो सकता है। इसलिए, सभी क्रमिक संख्याओं का समुच्चय मौजूद नहीं हो सकता है। 19वीं शताब्दी के अंत तक कैंटर को सभी मूल संख्याओं के समूह और सभी क्रमिक संख्याओं के समूह के अस्तित्व के बारे में पता था। डेविड हिल्बर्ट और रिचर्ड डेडेकिंड को लिखे पत्रों में उन्होंने असंगत सेटों के बारे में लिखा, जिनके तत्वों को एक साथ नहीं माना जा सकता है, और उन्होंने इस परिणाम का उपयोग यह साबित करने के लिए किया कि प्रत्येक सुसंगत सेट में एक कार्डिनल संख्या होती है। इन सबके बाद, 1903 में बर्ट्रेंड रसेल द्वारा परिकल्पित "सभी सेटों के सेट" विरोधाभास के संस्करण ने सेट सिद्धांत में एक गंभीर संकट पैदा कर दिया। रसेल ने माना कि कथन x = x प्रत्येक समुच्चय के लिए सही है, और इस प्रकार सभी समुच्चय के समुच्चय को {x। x = x} द्वारा परिभाषित किया जाता है। 1906 में उन्होंने कई विरोधाभास सेटों का निर्माण किया, जिनमें से सबसे प्रसिद्ध उन सभी सेटों का सेट है जो खुद को शामिल नहीं करते हैं। रसेल ने स्वयं कुछ बहुत ही ठोस चित्रों के माध्यम से इस अमूर्त विचार को समझाया। एक उदाहरण, जिसे नाई विरोधाभास के रूप में जाना जाता है, कहता हैः पुरुष नाई जो सभी और केवल उन पुरुषों को मुंडन करता है जो खुद को मुंडन नहीं करते हैं, उन्हें केवल तभी खुद को मुंडन करना पड़ता है जब वह खुद को मुंडन नहीं करता है। समुच्चय सिद्धांत में रसेल के विरोधाभास और ग्रेलिंग-नेल्सन विरोधाभास के बीच निकट समानताएं हैं, जो प्राकृतिक भाषा में एक विरोधाभास को प्रदर्शित करता है। भाषा के परिवर्तन से विरोधाभास कोनिग का विरोधाभास 1905 में, हंगरी के गणितशास्त्री जूलियस कोनिग ने इस तथ्य के आधार पर एक विरोधाभास प्रकाशित किया कि केवल कई सीमित परिभाषाएँ हैं। यदि हम वास्तविक संख्याओं को एक सुव्यवस्थित समुच्चय के रूप में कल्पना करते हैं, तो वे वास्तविक संख्याएँ जिन्हें परिमित रूप से परिभाषित किया जा सकता है, एक उपसमुच्चय का निर्माण करती हैं। इसलिए इस क्रम में एक पहली वास्तविक संख्या होनी चाहिए जो परिमित रूप से परिभाषित नहीं है। यह विरोधाभासी है, क्योंकि इस वास्तविक संख्या को अंतिम वाक्य द्वारा सीमित रूप से परिभाषित किया गया है। यह निष्कपट समुच्चय सिद्धांत में एक विरोधाभास की ओर ले जाता है। स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत में इस विरोधाभास से बचा जाता है। यद्यपि एक समुच्चय के बारे में एक प्रस्ताव को एक समुच्चय के रूप में प्रस्तुत करना संभव है, कोडों की एक प्रणाली द्वारा जिसे गोडेल संख्याओं के रूप में जाना जाता है, समुच्चय सिद्धांत की भाषा में ऐसा कोई सूत्र नहीं है जो किसी समुच्चय के बारे में एक परिमित प्रस्ताव के लिए एक कोड है, एक समुच्चय है, और इसके लिए धारण करता है। इस परिणाम को टार्स्की की अनिश्चित प्रमेय के रूप में जाना जाता है; यह सेट सिद्धांत के सभी सामान्य रूप से अध्ययन किए गए स्वयंसिद्धीकरणों सहित औपचारिक प्रणालियों के एक विस्तृत वर्ग पर लागू होता है। रिचर्ड का विरोधाभास उसी वर्ष फ्रांसीसी गणितशास्त्री जूल्स रिचर्ड ने निष्कपट सेट सिद्धांत में एक और विरोधाभास प्राप्त करने के लिए कैंटर की विकर्ण विधि के एक प्रकार का उपयोग किया। शब्दों के सभी सीमित समूहों के समुच्चय ए पर विचार करें। वास्तविक संख्याओं की सभी परिमित परिभाषाओं का समुच्चय E, A का एक उपसमुच्चय है। मान लीजिए कि पी समुच्चय ई द्वारा परिभाषित nवीं वास्तविक संख्या का nवां दशमलव है; हम एक संख्या एन बनाते हैं जिसमें अभिन्न भाग के लिए शून्य होता है और nवें दशमलव के लिए पी + 1 होता है यदि पी 8 या 9 के बराबर नहीं है, और एकता यदि पी 8 या 9 के बराबर है। यह संख्या N समुच्चय E द्वारा परिभाषित नहीं है क्योंकि यह किसी भी परिमित रूप से परिभाषित वास्तविक संख्या से अलग है, अर्थात् nवें अंक द्वारा nवीं संख्या से। लेकिन एन को इस पैराग्राफ में सीमित संख्या में शब्दों द्वारा परिभाषित किया गया है। इसलिए यह सेट ई में होना चाहिए। यह एक विरोधाभास है। कनिग के विरोधाभास के साथ, इस विरोधाभास को स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत में औपचारिक रूप नहीं दिया जा सकता है क्योंकि इसके लिए यह बताने की क्षमता की आवश्यकता होती है कि क्या कोई विवरण किसी विशेष सेट पर लागू होता है (या, समकक्ष रूप से, यह बताने के लिए कि क्या कोई सूत्र वास्तव में एक एकल सेट की परिभाषा है)। जर्मन गणितशास्त्री लियोपोल्ड लोवेनहेम (1915) के काम के आधार पर नॉर्वे के तर्कशास्त्री थोराल्फ स्कोलेम ने 1922 में दिखाया कि सेट सिद्धांत जैसे प्रथम-क्रम विधेय कलन के प्रत्येक सुसंगत सिद्धांत का सबसे अधिक गणना योग्य मॉडल होता है। हालांकि, कैंटर की प्रमेय साबित करती है कि अनगिनत समुच्चय हैं। इस प्रतीत होने वाले विरोधाभास की जड़ यह है कि एक समूह की गणना या गैर-गणना हमेशा निरपेक्ष नहीं होती है, लेकिन यह उस मॉडल पर निर्भर कर सकती है जिसमें कार्डिनलिटी को मापा जाता है। सेट सिद्धांत के एक मॉडल में एक सेट के लिए अनगिनत होना संभव है, लेकिन एक बड़े मॉडल में गणना योग्य होना संभव है (क्योंकि गणना स्थापित करने वाले बाइजेक्शन बड़े मॉडल में होते हैं, लेकिन छोटे मॉडल में नहीं)। असंभवता का प्रमाण भी देखें बेरी पैराडॉक्स नोट्स संदर्भ जी. कैंटरः गेसमेल्टे अभंडलुंगेन मैथमेटिस्चेन अंड फिलोसोफिशेन इनहाल्ट्स, ई. ज़र्मेलो (एड। ), ओल्म्स, हिल्डेशेम 1966। एच. मेश्कोव्स्की, डब्ल्यू. निल्सनः जॉर्ज कैंटर-ब्रीफ, स्प्रिंगर, बर्लिन 1991। ए. फ्रेंकेलः मेंगेनलेहर, 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