Lagrange multipliers on Banach spaces
गणित में भिन्नताओं के कलन के क्षेत्र में, बनाच रिक्त स्थान पर लैग्रेंज गुणक की विधि का उपयोग कुछ अनंत-आयामी सीमित अनुकूलन समस्याओं को हल करने के लिए किया जा सकता है। विधि लैग्रेंज गुणकों की शास्त्रीय विधि का एक सामान्यीकरण है जिसका उपयोग परिमित रूप से कई चरों के फलन की चरम सीमा का पता लगाने के लिए किया जाता है। बनाच रिक्त स्थान के लिए लैग्रेंज गुणक प्रमेय मान लीजिए कि X और Y वास्तविक बनाच रिक्त स्थान हैं। मान लीजिए कि U, X का एक खुला उपसमुच्चय है और मान लीजिए कि f: U → R एक निरंतर अवकलनीय फलन है। मान लीजिए कि g: U → Y एक और निरंतर अवकलनीय फलन है, बाधाः उद्देश्य f के चरम बिंदुओं (अधिकतम या न्यूनतम) को इस बाधा के अधीन खोजना है कि g शून्य है। मान लीजिए कि यू0 एफ का एक सीमित छोर है, अर्थात। मान लीजिए कि फ्रेचेट व्युत्पन्न Dg (u0): X → Y का g का u0 पर एक सर्जेक्टिव रैखिक मानचित्र है। फिर एक लैग्रेंज गुणक मौजूद है λ: Y → R, Y में दोहरी जगह है, जैसे कि Df (u0) दोहरी जगह X ≤ का एक तत्व है, समीकरण (L) को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है जहां (Dg (u0)) ≤ (λ) का पुलबैक है λ बटा Dg (u0), अर्थात। λ पर संलग्न मानचित्र (Dg (u0)) की क्रिया, जैसा कि परिमित-आयामी मामले के संबंध द्वारा परिभाषित किया गया है, इस मामले में कि X और Y दोनों सीमित-आयामी (यानी। कुछ प्राकृतिक संख्याओं m और n के लिए Rm और Rn के लिए रैखिक रूप से समरूप) फिर मैट्रिक्स के रूप में समीकरण (L) लिखने से पता चलता है कि λ सामान्य लैग्रेंज गुणक सदिश है; n = 1 के मामले में, λ सामान्य लैग्रेंज गुणक है, जो एक वास्तविक संख्या है। अनुप्रयोग कई अनुकूलन समस्याओं में, एक अनंत-आयामी स्थान जैसे कि बनाच स्थान पर परिभाषित एक कार्यात्मक को कम करने का प्रयास किया जाता है। उदाहरण के लिए, सोबोलेव स्थान और द्वारा दिए गए कार्यात्मक पर विचार करें बिना किसी बाधा के, f का न्यूनतम मान 0 होगा, जो-1 और + 1 के बीच सभी x के लिए u0 (x) = 0 द्वारा प्राप्त किया जाएगा। सीमित अनुकूलन समस्या पर भी विचार किया जा सकता है, उन सभी u ω X के बीच f को कम करने के लिए जैसे कि u का औसत मान + 1 हो। उपरोक्त प्रमेय के संदर्भ में, बाधा g द्वारा दी जाएगी हालांकि इस समस्या को परिमित आयामी मामले में हल किया जा सकता है क्योंकि लैग्रेंज गुणक केवल एक अदिश है। पोंट्रियागिन का न्यूनतम सिद्धांत, भिन्नताओं के संदर्भों की गणना में हैमिल्टनियन विधि भी देखें (खंड 4.14, pp.270-271 देखें।) भिन्नताओं की गणना