Mixed Hodge module
गणित में, मिश्रित हॉज मॉड्यूल हॉज सिद्धांत, मिश्रित हॉज संरचनाओं, प्रतिच्छेदन समरूपता और अपघटन प्रमेय की पराकाष्ठा हैं जो छह फ़ंक्टर औपचारिकताओं के माध्यम से अपक्षयी मिश्रित हॉज संरचनाओं की विविधताओं पर चर्चा करने के लिए एक सुसंगत ढांचा प्रदान करते हैं। अनिवार्य रूप से, ये वस्तुएं एक विकृत आवरण के साथ एक फ़िल्टर किए गए डी-मॉड्यूल की एक जोड़ी हैं, जिसे रीमान-हिल्बर्ट पत्राचार से फ़ंक्टर भेजता है। इससे प्रतिच्छेदन समरूपता पर एक हॉज संरचना का निर्माण संभव हो जाता है, जो विषय की खोज के समय प्रमुख समस्याओं में से एक थी। इसे मोरिहिको सैतो द्वारा हल किया गया था जिन्होंने एक हॉज संरचना के लिए हॉज निस्पंदन के अनुरूप के रूप में एक सुसंगत डी-मॉड्यूल पर निस्पंदन का उपयोग करने का एक तरीका खोजा। इसने एक प्रतिच्छेदन समरूपता आवरण पर एक हॉज संरचना देना संभव बना दिया, जो विकृत आवरणों की एबेलियन श्रेणी में सरल वस्तुएँ हैं। मिश्रित हॉज मॉड्यूल को परिभाषित करने के बारीक विवरण में जाने से पहले, जो काफी विस्तृत है, यह समझना उपयोगी है कि मिश्रित हॉज मॉड्यूल की श्रेणी वास्तव में क्या प्रदान करती है। एक जटिल बीजगणितीय विविधता को देखते हुए निम्नलिखित कार्यात्मक गुणों के साथ एक अबेलियन श्रेणी pg 339 है। यह एक मिश्रित हॉज मॉड्यूल का अंतर्निहित तर्कसंगत विकृत आवरण देता है। इसके अंतर्निहित डी-मॉड्यूल में एक मिश्रित हॉज मॉड्यूल भेजने वाला एक वफादार फ़ंक्टर है ये फ़ंक्टर रीमान-हिल्बर्ट पत्राचार के संबंध में अच्छा व्यवहार करते हैं, जिसका अर्थ है कि प्रत्येक मिश्रित हॉज मॉड्यूल के लिए एक समरूपता होती है। इसके अलावा, निम्नलिखित श्रेणीगत गुण हैं एक बिंदु पर मिश्रित हॉज मॉड्यूल की श्रेणी मिश्रित हॉज संरचनाओं की श्रेणी के लिए समरूप है, प्रत्येक वस्तु एक वजन निस्पंदन को इस तरह स्वीकार करती है कि प्रत्येक आकृतिवाद वजन निस्पंदन को सख्ती से संरक्षित करता है, संबंधित श्रेणीबद्ध वस्तुएं अर्ध-सरल होती हैं, और एक बिंदु पर मिश्रित हॉज मॉड्यूल की श्रेणी में, यह एक मिश्रित हॉज संरचना के वजन निस्पंदन से मेल खाती है। वर्डीयर डुअलाइज़िंग फ़ंक्टर को उठाने वाला एक डुअलाइज़िंग फ़ंक्टर होता है जिसमें एक इनवोलुशन होता है। बीजगणितीय किस्मों के रूपात्मकता के लिए, संबंधित छह कारक और निम्नलिखित गुण मिश्रित हॉज मॉड्यूल के एक परिसर के भार को नहीं बढ़ाते हैं। मिश्रित हॉज मॉड्यूल के परिसर के वजन को कम न करें। व्युत्पन्न श्रेणियों के बीच संबंध मिश्रित हॉज मॉड्यूल की व्युत्पन्न श्रेणी विकृत आवरणों की व्युत्पन्न श्रेणी के समतुल्य निर्माण योग्य आवरणों की व्युत्पन्न श्रेणी से घनिष्ठ रूप से संबंधित है। ऐसा इसलिए है क्योंकि तर्कसंगतकरण फ़ंक्टर मिश्रित हॉज मॉड्यूल के एक परिसर के कोहोमोलॉजी फ़ंक्टर के साथ संगत है। तर्कसंगतकरण लेते समय, मध्य विकृति के लिए एक समरूपता होती है। नोटः 310 यह फंक्शन सेंडिंग है, जो स्यूडोमैनिफोल्ड्स के मामले से अलग है जहां विकृति एक फंक्शन है। याद रखें कि इसे शिफ्ट फ़ंक्टर के साथ विकृत ट्रंकेशन की संरचना को लेने के रूप में परिभाषित किया गया है, एस. ओ. पी. जी. 341 इस तरह का सेटअप व्युत्पन्न धक्का और खींचने वाले फ़ंक्टरों में भी परिलक्षित होता है और पास के और गायब होने वाले चक्रों के साथ, तर्कसंगतकरण फ़ंक्टर इन्हें विकृत आवरणों की व्युत्पन्न श्रेणी पर उनके अनुरूप विकृत फ़ंक्टरों में ले जाता है। टेट मॉड्यूल और कोहोमोलॉजी यहाँ हम कैनॉनिकल प्रक्षेपण को एक बिंदु से निरूपित करते हैं। उपलब्ध पहले मिश्रित हॉज मॉड्यूल में से एक वजन 0 टेट ऑब्जेक्ट है, जिसे दर्शाया गया है जिसे इसकी संबंधित वस्तु के पुलबैक के रूप में परिभाषित किया गया है, इसलिए इसका वजन शून्य है, इसलिए मिश्रित हॉज संरचनाओं की श्रेणी में वजन 0 टेट ऑब्जेक्ट से मेल खाता है। यह वस्तु उपयोगी है क्योंकि इसका उपयोग छह फ़ंक्टर औपचारिकताओं के माध्यम से विभिन्न समरूपताओं की गणना करने और उन्हें एक मिश्रित हॉज संरचना देने के लिए किया जा सकता है। इन्हें तालिका के साथ संक्षेपित किया जा सकता है, इसके अलावा, एक बंद एम्बेडिंग को देखते हुए स्थानीय समरूपता समूह मिश्रित हॉज संरचनाओं की विविधताएँ हैं विभिन्न प्रकारों के रूपांकन के लिए पुशफॉरवर्ड मानचित्र और मिश्रित हॉज संरचनाओं की अपक्षयी विविधताएँ देते हैं। इन भिन्नताओं को बेहतर ढंग से समझने के लिए, अपघटन प्रमेय और प्रतिच्छेदन समरूपता की आवश्यकता होती है। इंटरसेक्शन कोहोमोलॉजी मिश्रित हॉज मॉड्यूल की श्रेणी की परिभाषित विशेषताओं में से एक यह है कि इंटरसेक्शन कोहोमोलॉजी को इसकी भाषा में व्यक्त किया जा सकता है। इससे किस्मों के मानचित्रों के लिए अपघटन प्रमेय का उपयोग करना संभव हो जाता है। प्रतिच्छेदन परिसर को परिभाषित करने के लिए, विभिन्नता का खुला चिकना हिस्सा होने दें। फिर के प्रतिच्छेदन परिसर को विकृत आवरण 311 के साथ परिभाषित किया जा सकता है। विशेष रूप से, इस सेटअप का उपयोग प्रतिच्छेदन समरूपता समूह को एक शुद्ध वजन हॉज संरचना दिखाने के लिए किया जा सकता है। यह भी देखें मिश्रित उद्देश्य (गणित) डीलिग्ने कोहोमोलॉजी संदर्भ मिश्रित हॉज मॉड्यूल के लिए एक युवा व्यक्ति की मार्गदर्शिका बीजगणितीय ज्यामिति सामान्यीकृत कई गुना होमोलॉजिकल बीजगणित हॉज सिद्धांत