Hochschild homology
गणित में, होक्सचाइल्ड होमोलॉजी (और कोहोमोलॉजी) रिंग्स पर एसोसिएटिव अल्जेब्रा के लिए एक होमोलॉजी सिद्धांत है। कुछ फंकटरों के होक्सचाइल्ड समरूपता के लिए भी एक सिद्धांत है। होक्सचाइल्ड कोहोमोलॉजी को एक क्षेत्र में बीजगणित के लिए पेश किया गया था, और अधिक सामान्य वलय पर बीजगणित तक विस्तारित किया गया था। अल्जेब्रा के होक्सचाइल्ड समरूपता की परिभाषा मान लीजिए कि k एक क्षेत्र है, A एक सहयोगी k-बीजगणित है और M एक A-द्विगुणित है। ए का घेरने वाला बीजगणित ए का टेंसर उत्पाद है जिसका विपरीत बीजगणित है। ए पर बाइमॉड्यूल्स अनिवार्य रूप से ए के आवरण बीजगणित पर मॉड्यूल के समान हैं, इसलिए विशेष रूप से ए और एम को ए-मॉड्यूल माना जा सकता है। होक्सचाइल्ड कॉम्प्लेक्स द्वारा टोर फ़ंक्टर और एक्सट फ़ंक्टर के संदर्भ में एम में गुणांक के साथ ए के होक्सचाइल्ड समरूपता और समरूपता समूह को परिभाषित किया गया है। मान लीजिए कि के एक रिंग है, ए एक सहयोगी के-बीजगणित है जो एक प्रोजेक्टिव के-मॉड्यूल है, और एम एक ए-द्विगुणित है। हम ए ओवर के के एन-गुना टेंसर उत्पाद के लिए लिखेंगे। श्रृंखला परिसर जो होक्सचाइल्ड समरूपता को जन्म देता है, सीमा प्रचालक द्वारा परिभाषित किया जाता है जहां सभी के लिए ए में है और। यदि हम तब जाने देते हैं, तो होचस्चिल्ड कॉम्प्लेक्स नामक एक श्रृंखला परिसर भी है, और इसकी समरूपता एम में गुणांक के साथ ए की होचस्चिल्ड समरूपता है। टिप्पणी मानचित्र चेहरे के नक्शे हैं जो मॉड्यूल के परिवार को के-मॉड्यूल की श्रेणी में एक सरल वस्तु बनाते हैं, यानी, एक फंक्टर के-मॉड, जहां के सिंप्लेक्स श्रेणी है और के-मॉड के-मॉड्यूल की श्रेणी है। यहाँ α, α की विपरीत श्रेणी है। अपक्षय मानचित्रों को होक्सचाइल्ड समरूपता द्वारा परिभाषित किया गया है जो इस सरल मॉड्यूल की समरूपता है। बार कॉम्प्लेक्स के साथ संबंध एक समान दिखने वाला कॉम्प्लेक्स है जिसे बार कॉम्प्लेक्स कहा जाता है जो औपचारिक रूप से होचस्चिल्ड कॉम्प्लेक्स पीजी 4-5 के समान दिखता है। वास्तव में, होक्सचाइल्ड परिसर को बार परिसर से एक स्पष्ट समरूपता के रूप में पुनर्प्राप्त किया जा सकता है। एक व्युत्पन्न स्व-छेदन के रूप में परिवर्तनीय रिंगों के मामले में होक्सचाइल्ड कॉम्प्लेक्स की एक और उपयोगी व्याख्या है, और अधिक सामान्य रूप से, परिवर्तनीय रिंगों के शीव के लिएः इसका निर्माण किसी आधार योजना पर एक योजना (या यहां तक कि व्युत्पन्न योजना) के व्युत्पन्न स्व-छेदन से किया जाता है। उदाहरण के लिए, हम व्युत्पन्न फाइबर उत्पाद बना सकते हैं जिसमें व्युत्पन्न छल्लों का आवरण होता है। फिर, यदि विकर्ण मानचित्र के साथ एम्बेड किया जाता है, तो होचस्चिल्ड कॉम्प्लेक्स का निर्माण विकर्ण उत्पाद योजना में विकर्ण के व्युत्पन्न स्व-प्रतिच्छेदन के पुलबैक के रूप में किया जाता हैइस व्याख्या से, यह स्पष्ट होना चाहिए कि होचस्चिल्ड समरूपता का कहलर विभेदों के साथ कुछ संबंध होना चाहिए क्योंकि कहलर विभेदों को विकर्ण से एक स्व-विच्छेदन का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है, या अधिक सामान्य रूप से, कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स क्योंकि यह कहलर विभेदों के लिए व्युत्पन्न प्रतिस्थापन है। हम एक कम्यूटेटिव-बीजगणित की होचस्चिल्ड कॉम्प्लेक्स की मूल परिभाषा को सेटिंग द्वारा पुनर्प्राप्त कर सकते हैं और फिर, होचस्चिल्ड कॉम्प्लेक्स अर्ध-समरूप है यदि एक सपाट-बीजगणित है, तो होचस्चिल्ड कॉम्प्लेक्स की एक वैकल्पिक लेकिन समकक्ष प्रस्तुति देने वाली समरूपता की श्रृंखला है। हॉक्सचाइल्ड होमोलॉजी ऑफ़ फ़ंक्टर्स सरल वृत्त परिमित नुकीले समुच्चयों की श्रेणी में एक सरल वस्तु है, यानी एक फ़ंक्टर इस प्रकार, यदि F एक फ़ंक्टर है, तो हम F के साथ रचना करके एक सरल मॉड्यूल प्राप्त करते हैं। इस सरल मॉड्यूल की समरूपता फ़ंक्टर एफ की होक्सचाइल्ड समरूपता है। कम्यूटेटिव अल्जेब्रा की होक्सचाइल्ड समरूपता की उपरोक्त परिभाषा विशेष मामला है जहाँ एफ लोडे फ़ंक्टर है। लोडे फ़ंक्टर परिमित नुकीले समुच्चय की श्रेणी के लिए एक कंकाल उन वस्तुओं द्वारा दिया जाता है जहाँ 0 आधार बिंदु है, और आकृतिवाद आधार बिंदु संरक्षित सेट मानचित्र हैं। मान लीजिए कि A एक परिवर्तनीय k-बीजगणित है और M एक सममित A-द्विगुणित है। एक आकृतिवाद द्वारा वस्तुओं पर लोडे फ़ंक्टर दिया जाता है जिसके द्वारा आकृतिवाद को भेजा जाता है जहाँ बीजगणित के होक्सचाइल्ड समरूपता का एक और विवरण सममित ए-बाइमॉड्यूल एम में गुणांक के साथ एक कम्यूटेटिव बीजगणित ए की होक्सचाइल्ड समरूपता संरचना से जुड़ी समरूपता है और यह परिभाषा उपरोक्त से सहमत है। उदाहरण होक्सचाइल्ड समरूपता संगणनाओं के उदाहरणों को कई अलग-अलग मामलों में स्तरीकृत किया जा सकता है, जिसमें समरूपता समूहों की संरचना और एक सहयोगी बीजगणित के लिए समरूपता रिंग का वर्णन करने वाले काफी सामान्य प्रमेय हैं। कम्यूटेटिव अल्जेब्रा के मामले में, कई प्रमेय हैं जो विशेषता 0 पर गणना का वर्णन करते हैं जो एक सीधी समझ प्रदान करते हैं कि समरूपता और समरूपता की गणना क्या है। कम्यूटेटिव विशेषता 0 मामला कम्यूटेटिव अल्जेब्रा के मामले में जहां, होक्सचाइल्ड समरूपता में चिकनी अल्जेब्रा से संबंधित दो मुख्य प्रमेय हैं, और अधिक सामान्य गैर-सपाट अल्जेब्रा; लेकिन, दूसरा पहले का प्रत्यक्ष सामान्यीकरण है। चिकनी स्थिति में, अर्थात। एक चिकने बीजगणित के लिए, होक्सचाइल्ड-कोस्टेंट-रोसेनबर्ग प्रमेय 43-44 बताता है कि प्रत्येक के लिए एक समरूपता है। समरूपता विरोधी मानचित्र का उपयोग करके इस समरूपता को स्पष्ट रूप से वर्णित किया जा सकता है। अर्थात्, एक विभेदक-रूप में मानचित्र होता है यदि बीजगणित चिकना या सपाट भी नहीं है, तो कोटेनजेंट कॉम्प्लेक्स का उपयोग करते हुए एक अनुरूप प्रमेय है। एक सरल समाधान के लिए, हम निर्धारित करते हैं। फिर, एक अवरोही-निस्पंदन मौजूद है जिसके श्रेणीबद्ध टुकड़े समरूप हैं ध्यान दें कि यह प्रमेय हॉक्सचाइल्ड समरूपता की गणना करने के लिए न केवल चिकनी बीजगणित के लिए, बल्कि स्थानीय पूर्ण प्रतिच्छेदन बीजगणित के लिए भी सुलभ बनाता है। इस मामले में, के लिए एक प्रस्तुति दी गई है, कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स दो-अवधि का कॉम्प्लेक्स है। तर्कसंगत पर बहुपद वलय एक सरल उदाहरण-जनरेटर के साथ एक बहुपद वलय के होक्सचाइल्ड समरूपता की गणना करना है। एच. के. आर. प्रमेय समरूपता देता है जहाँ बीजगणित इन-जनरेटर पर मुक्त प्रतिसमितीय बीजगणित है। इसकी उत्पाद संरचना वैक्टर के वेज उत्पाद द्वारा दी जाती है, इसलिए। कम्यूटेटिव कैरेक्टरिस्टिक पी केस कैरेक्टरिस्टिक पी केस में, होचस्चिल्ड-कोस्टेंट-रोसेनबर्ग थ्योरम के लिए एक यूजरफुल काउंटर-उदाहरण है जो होचस्चिल्ड होमोलॉजी को परिभाषित करने के लिए सरल बीजगणित से परे एक सिद्धांत की आवश्यकता को स्पष्ट करता है। - बीजगणित पर विचार करें। हम एक संकल्प की गणना मुक्त विभेदक श्रेणीबद्ध बीजगणित के रूप में कर सकते हैं जो व्युत्पन्न प्रतिच्छेदन देता है और विभेदक शून्य मानचित्र है। ऐसा इसलिए है क्योंकि हम केवल ऊपर के कॉम्प्लेक्स को टेंसर करते हैं, जिससे एक औपचारिक कॉम्प्लेक्स मिलता है जिसमें एक जनरेटर डिग्री में होता है जिसका वर्ग होता है। फिर, होक्सचाइल्ड कॉम्प्लेक्स द्वारा दिया जाता हैइसकी गणना करने के लिए, हमें एक-बीजगणित के रूप में हल करना होगा। ध्यान दें कि बीजगणित संरचना बल लगाती है। यह परिसर की डिग्री शून्य पद देता है। फिर, क्योंकि हमें कर्नेल को हल करना है, हम डिग्री में स्थानांतरित की एक प्रति ले सकते हैं और इसे डिग्री में कर्नेल के साथ मैप कर सकते हैं। किसी भी तत्व के साथ गुणा किए जाने पर इस बीजगणित को अधिक दिए जाने के साथ तनाव देना शून्य है। बीजगणित संरचना विभाजित शक्ति बीजगणित और विभेदक श्रेणीकृत बीजगणित पर सामान्य सिद्धांत से आती है। ध्यान दें कि इस गणना को एक तकनीकी कलाकृति के रूप में देखा जाता है क्योंकि अंगूठी अच्छी तरह से व्यवहार नहीं करती है। उदाहरण के लिए,। इस समस्या के लिए एक तकनीकी प्रतिक्रिया टोपोलॉजिकल होक्सचाइल्ड समरूपता के माध्यम से है, जहां आधार वलय को गोले के वर्णक्रम द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। टोपोलॉजिकल होक्सचाइल्ड समरूपता होक्सचाइल्ड परिसर के उपरोक्त निर्माण को अधिक सामान्य स्थितियों के लिए अनुकूलित किया जा सकता है, अर्थात् (के परिसरों)-मॉड्यूल की श्रेणी को एक φ-श्रेणी (एक टेंसर उत्पाद से सुसज्जित) द्वारा प्रतिस्थापित करके, और इस श्रेणी में एक सहयोगी बीजगणित द्वारा। इसे स्पेक्ट्रा की श्रेणी में लागू करने से, और एक साधारण रिंग से जुड़े आइलेनबर्ग-मैक्लेन स्पेक्ट्रम होने के कारण टोपोलॉजिकल होक्सचाइल्ड समरूपता प्राप्त होती है, जिसे दर्शाया जाता है। ऊपर पेश की गई (गैर-स्थलवैज्ञानिक) होक्सचाइल्ड समरूपता को-मॉड्यूल की व्युत्पन्न श्रेणी (एक φ-श्रेणी के रूप में) को लेकर इन पंक्तियों के साथ फिर से व्याख्या की जा सकती है। स्फीयर स्पेक्ट्रम पर टेंसर उत्पादों को टेंसर उत्पादों द्वारा प्रतिस्थापित करने से (या आइलेनबर्ग-मैक्लेन-स्पेक्ट्रम) एक प्राकृतिक तुलना मानचित्र की ओर जाता है। यह 0,1 और 2 डिग्री में समरूपता समूहों पर एक समरूपता को प्रेरित करता है। सामान्य तौर पर, हालांकि, वे अलग हैं, और एच. एच. की तुलना में सरल समूह उत्पन्न करते हैं। उदाहरण के लिए, एक चर में विभाजित शक्तियों के वलय की तुलना में बहुपद वलय (डिग्री 2 में x के साथ) है। यह दर्शाता है कि एक चिकनी उचित किस्म के हैस्से-वेइल जीटा कार्य को टोपोलॉजिकल होक्सचाइल्ड समरूपता से जुड़े नियमित निर्धारकों का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है। चक्रीय समरूपता संदर्भ जीन-लुई लोडे, चक्रीय समरूपता, ग्रुंडलेह्रेन डेर मैथमेटिस्चेन विसेंशाफ्टेन वॉल्यूम भी देखें। 301, स्प्रिंगर (1998) रिचर्ड एस. पियर्स, एसोसिएटिव अल्जेब्रास, गणित में स्नातक पाठ (88), स्प्रिंगर, 1982। परिचयात्मक लेख डायलन जी. एल. एल्लेग्रेटी, गैर-परिवर्तनीय स्थानों पर विभेदक रूप। गैर-परिवर्तनीय ज्यामिति का एक प्राथमिक परिचय जो विभेदक रूपों को सामान्य बनाने के लिए होक्सचाइल्ड समरूपता का उपयोग करता है)। अंकगणितीय ज्यामिति में टोपोलॉजिकल होचस्चिल्ड होमोलॉजी कम्यूटेटिव केस नॉन-कम्यूटेटिव केस रिंग थ्योरी होमोलॉजिकल बीजगणित