Semifield
गणित में, एक अर्धक्षेत्र एक बीजगणितीय संरचना है जिसमें दो द्विआधारी संचालन, जोड़ और गुणन होते हैं, जो एक क्षेत्र के समान होता है, लेकिन कुछ स्वयंसिद्धों के साथ शिथिल होता है। अवलोकन सेमीफ़ील्ड शब्द के दो परस्पर विरोधी अर्थ हैं, दोनों में एक विशेष मामले के रूप में क्षेत्र शामिल हैं। प्रोजेक्टिव ज्यामिति और परिमित ज्यामिति (MSC 51A, 51E, 12K10) में, एक अर्धक्षेत्र गुणक पहचान तत्व के साथ एक गैर-संबद्ध विभाजन वलय है। अधिक सटीक रूप से, यह एक गैर-संबद्ध वलय है जिसके गैर-शून्य तत्व गुणन के तहत एक लूप बनाते हैं। दूसरे शब्दों में, एक अर्धक्षेत्र दो संक्रियाओं + (जोड़) और · (गुणन) के साथ एक समुच्चय S है, जैसे कि (S, +) एक अबेलियन समूह है, गुणन बाएं और दाएं दोनों पर वितरणात्मक है, एक गुणक पहचान तत्व मौजूद है, और विभाजन हमेशा संभव हैः S में प्रत्येक a और प्रत्येक गैर-शून्य b के लिए, S में अद्वितीय x और y मौजूद हैं जिनके लिए b·x = a और y·b = a है। विशेष रूप से ध्यान दें कि गुणन को परिवर्तनीय या सहयोगी नहीं माना जाता है। एक सेमीफ़ील्ड जो सहयोगी है वह एक विभाजन रिंग है, और जो सहयोगी और परिवर्तनीय दोनों है वह एक फ़ील्ड है। इस परिभाषा के अनुसार एक अर्धक्षेत्र एक अर्धक्षेत्र का एक विशेष मामला है। यदि S परिमित है, तो उपरोक्त परिभाषा में अंतिम स्वयंसिद्ध को इस धारणा के साथ प्रतिस्थापित किया जा सकता है कि कोई शून्य भाजक नहीं हैं, ताकि a·b = 0 का तात्पर्य है कि a = 0 या b = 0। ध्यान दें कि साहचर्य की कमी के कारण, अंतिम स्वयंसिद्ध इस धारणा के बराबर नहीं है कि प्रत्येक गैर-शून्य तत्व का गुणक व्युत्क्रम होता है, जैसा कि आमतौर पर क्षेत्रों और विभाजन रिंगों की परिभाषाओं में पाया जाता है। रिंग सिद्धांत, संयोजन, कार्यात्मक विश्लेषण और सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान (एम. एस. सी. 16वाई60) में, एक अर्धक्षेत्र एक अर्धविराम (एस, +, ·) है जिसमें सभी गैर-शून्य तत्वों का गुणक व्युत्क्रम होता है। इन वस्तुओं को उचित अर्धक्षेत्र भी कहा जाता है। इस परिभाषा में भिन्नता तब उत्पन्न होती है जब S में एक अवशोषित शून्य होता है जो गुणक इकाई e से अलग होता है, यह आवश्यक है कि गैर-शून्य तत्व व्युत्क्रमणीय हों, और a·0 = 0·a = 0। चूँकि गुणन सहयोगी है, इसलिए अर्धक्षेत्र के (गैर-शून्य) तत्व एक समूह बनाते हैं। हालांकि, जोड़ी (एस, +) केवल एक अर्धसमूह है, अर्थात। योगात्मक व्युत्क्रम मौजूद होने की आवश्यकता नहीं है, या, बोलचाल की भाषा में, 'कोई घटाव नहीं है'। कभी-कभी, यह नहीं माना जाता है कि गुणन सहयोगी है। सेमीफ़ील्ड ए सेमीफ़ील्ड डी की आदिमता को सही (रेस्प) कहा जाता है। बाएँ) आदिम यदि इसमें एक तत्व डब्ल्यू ऐसा है कि डी * के गैर-शून्य तत्वों का सेट सभी दाएँ (आर. एस. पी.) के सेट के बराबर है। बाएं) डब्ल्यू की प्रमुख शक्तियाँ। उदाहरण हम दूसरे अर्थ में केवल अर्धक्षेत्रों के उदाहरण देते हैं, अर्थात। वितरण गुणन के साथ योगात्मक अर्धसमूह। इसके अलावा, हमारे उदाहरणों में जोड़ परिवर्तनीय है और गुणन सहयोगी है। सामान्य जोड़ और गुणन के साथ धनात्मक परिमेय संख्याएँ एक परिवर्तनीय अर्धक्षेत्र बनाती हैं। इसे अवशोषित 0 द्वारा बढ़ाया जा सकता है। सामान्य जोड़ और गुणन के साथ सकारात्मक वास्तविक संख्याएँ एक परिवर्तनीय अर्धक्षेत्र बनाती हैं। इसे एक अवशोषित 0 द्वारा बढ़ाया जा सकता है, जिससे प्रायिकता अर्धसूत्रीकरण होता है, जो लॉग अर्धसूत्रीकरण के लिए समरूप है। एफ/जी रूप के तर्कसंगत कार्य, जहां एफ और जी सकारात्मक गुणांक के साथ एक चर में बहुपद हैं, एक परिवर्तनीय अर्धक्षेत्र बनाते हैं। इसे 0 को शामिल करने के लिए बढ़ाया जा सकता है। वास्तविक संख्या आर को एक अर्धक्षेत्र में देखा जा सकता है जहां दो तत्वों के योग को उनके अधिकतम और उत्पाद को उनके साधारण योग के रूप में परिभाषित किया जाता है; इस अर्धक्षेत्र को अधिक सघन रूप से दर्शाया जाता है (आर, अधिकतम, +)। इसी तरह (आर, न्यूनतम, +) एक अर्धक्षेत्र है। इन्हें उष्णकटिबंधीय अर्धविराम कहा जाता है। इसे − ini (एक अवशोषित 0) द्वारा बढ़ाया जा सकता है; यह लॉग सेमीरिंग की सीमा (उष्णकटिबंधीयकरण) है क्योंकि आधार अनंत तक जाता है। पिछले उदाहरण को सामान्य करते हुए, यदि (ए, ·, ≤) एक जाली-आदेशित समूह है तो (ए, +, ·) एक योगात्मक रूप से सक्षम अर्धक्षेत्र है जिसमें अर्धक्षेत्र योग को दो तत्वों के सर्वोच्च के रूप में परिभाषित किया गया है। इसके विपरीत, कोई भी योगात्मक रूप से सक्षम अर्धक्षेत्र (A, +, ·) एक जाली-आदेशित समूह (A, ·, ≤) को परिभाषित करता है, जहाँ a ≤ b यदि और केवल यदि a + b = b हो। बूलियन अर्धक्षेत्र B = {0,1} योग के साथ तार्किक या, और गुणन द्वारा परिभाषित किया गया है। प्लानर टरनरी रिंग (प्रथम ज्ञान) भी देखें संदर्भ बीजगणितीय संरचना रिंग सिद्धांत