Parity-check matrix
कोडिंग सिद्धांत में, एक रैखिक ब्लॉक कोड सी का एक पैरिटी-चेक मैट्रिक्स एक मैट्रिक्स है जो रैखिक संबंधों का वर्णन करता है जिसे एक कोडवर्ड के घटकों को संतुष्ट करना चाहिए। इसका उपयोग यह तय करने के लिए किया जा सकता है कि क्या कोई विशेष वेक्टर एक कूटशब्द है और इसका उपयोग डिकोडिंग एल्गोरिदम में भी किया जाता है। परिभाषा औपचारिक रूप से, एक रैखिक कोड सी का एक पैरिटी चेक मैट्रिक्स एच दोहरे कोड, सी डी का एक जनरेटर मैट्रिक्स है। इसका मतलब है कि एक कूटशब्द सी सी में है यदि और केवल मैट्रिक्स-वेक्टर उत्पाद (कुछ लेखक इसे एक समकक्ष रूप में लिखेंगे, सी. एच. = 0।) पैरिटी चेक मैट्रिक्स की पंक्तियाँ पैरिटी चेक समीकरणों के गुणांक हैं। अर्थात्, वे दिखाते हैं कि प्रत्येक कूटशब्द के कुछ अंकों (घटकों) के रैखिक संयोजन कैसे शून्य के बराबर होते हैं। उदाहरण के लिए, पैरिटी चेक मैट्रिक्स, कॉम्पैक्ट रूप से पैरिटी चेक समीकरणों का प्रतिनिधित्व करता है, जो वेक्टर के लिए सी का कोडवर्ड होने के लिए संतुष्ट होना चाहिए। पैरिटी-चेक मैट्रिक्स की परिभाषा से यह सीधे कोड की न्यूनतम दूरी का अनुसरण करता है जो न्यूनतम संख्या डी है जैसे कि पैरिटी-चेक मैट्रिक्स एच के प्रत्येक डी-1 कॉलम रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं जबकि एच के डी कॉलम मौजूद हैं जो रैखिक रूप से निर्भर हैं। पैरिटी चेक मैट्रिक्स बनाना किसी दिए गए कोड के लिए पैरिटी चेक मैट्रिक्स को उसके जनरेटर मैट्रिक्स (और इसके विपरीत) से प्राप्त किया जा सकता है। यदि एक [n, k]-कोड के लिए जनरेटर मैट्रिक्स मानक रूप में है, तो पैरिटी चेक मैट्रिक्स द्वारा दिया जाता है, क्योंकि। नकारात्मकता परिमित क्षेत्र Fq में की जाती है। ध्यान दें कि यदि अंतर्निहित क्षेत्र की विशेषता 2 है (यानी, उस क्षेत्र में 1 + 1 = 0), जैसा कि द्विआधारी कोड में है, तो-पी = पी, इसलिए निषेध अनावश्यक है। उदाहरण के लिए, यदि एक द्विआधारी कोड में जनरेटर मैट्रिक्स है, तो इसका पैरिटी चेक मैट्रिक्स है। यह सत्यापित किया जा सकता है कि G एक मैट्रिक्स है, जबकि H एक मैट्रिक्स है। परिवेशी वेक्टर स्थान के किसी भी (पंक्ति) वेक्टर x के लिए, s = Hx′ को x का सिंड्रोम कहा जाता है। सदिश x एक कूटशब्द है यदि और केवल यदि s = 0 हो। सिंड्रोम की गणना सिंड्रोम डिकोडिंग एल्गोरिदम का आधार है। हैमिंग कोड नोट्स संदर्भ कोडिंग सिद्धांत भी देखें।