Schubert variety
बीजगणितीय ज्यामिति में, एक शुबर्ट विविधता एक वेक्टर स्पेस के-आयामी उपस्थानों की एक ग्रासमैनियन की एक निश्चित उप-विविधता है, जो आमतौर पर एकवचन बिंदुओं के साथ होती है। ग्रासमैनियन की तरह, यह एक प्रकार का मॉडुली स्थान है, जिसके तत्व एक निर्दिष्ट पूर्ण ध्वज के तत्वों के साथ अपने तत्वों के प्रतिच्छेदन के आयामों को निचली सीमा देने वाली स्थितियों को पूरा करते हैं। यहाँ एक मनमाना क्षेत्र पर एक सदिश स्थान हो सकता है, लेकिन आमतौर पर इसे या तो वास्तविक या जटिल संख्या माना जाता है। एक विशिष्ट उदाहरण 4-आयामी स्थान के-आयामी उपस्थानों का समूह है जो एक निश्चित (संदर्भ) 2-आयामी उपस्थान को गैर-तुच्छ रूप से काटता है। वास्तविक संख्या क्षेत्र पर, इसे सामान्य xyz-स्पेस में निम्नानुसार चित्रित किया जा सकता है। अपने संबंधित प्रोजेक्टिव स्पेस के साथ उपस्थानों को प्रतिस्थापित करते हुए, और एक एफ़ाइन निर्देशांक पैच के साथ प्रतिच्छेदन करते हुए, हम एक खुला उपसमुच्चय X°X प्राप्त करते हैं। यह सभी रेखाओं एल (आवश्यक रूप से मूल के माध्यम से नहीं) के सेट के लिए समरूप है जो एक्स-अक्ष से मिलते हैं। ऐसी प्रत्येक रेखा L, X° के एक बिंदु से मेल खाती है, और अंतरिक्ष में लगातार L को घुमाते हुए (x-अक्ष के साथ संपर्क रखते हुए) X° में एक वक्र से मेल खाती है। चूँकि L को स्थानांतरित करने में स्वतंत्रता की तीन डिग्री होती हैं (x-अक्ष पर बिंदु को स्थानांतरित करना, घूमना और झुकना), X एक त्रि-आयामी वास्तविक बीजगणितीय विविधता है। हालाँकि, जब L, x-अक्ष के बराबर होता है, तो इसे अक्ष पर किसी भी बिंदु के चारों ओर घुमाया या झुका जा सकता है, और संभावित गतियों की यह अधिकता L को X का एकवचन बिंदु बनाती है। अधिक आम तौर पर, एक शुबर्ट किस्म को एक निश्चित संदर्भ पूर्ण ध्वज में प्रत्येक स्थान के साथ एक-आयामी उपक्षेत्र के प्रतिच्छेदन के न्यूनतम आयाम को निर्दिष्ट करके परिभाषित किया जाता है, जहां। (उपरोक्त उदाहरण में, इसका अर्थ होगा कि x-अक्ष और xy-तल के साथ रेखा L के कुछ प्रतिच्छेदन की आवश्यकता होगी।) इससे भी अधिक सामान्यता में, एक बोरेल उपसमूह और एक मानक परवलयिक उपसमूह के साथ एक अर्ध-सरल बीजगणितीय समूह को देखते हुए, यह ज्ञात है कि सजातीय स्थान, जो एक ध्वज विविधता का एक उदाहरण है, में परिमित रूप से कई-कक्ष होते हैं, जिन्हें वेइल समूह के कुछ तत्वों द्वारा मानकीकृत किया जा सकता है। किसी तत्व से जुड़े-कक्षा के बंद होने को दर्शाया जाता है और इसे शूबर्ट किस्म कहा जाता है। शास्त्रीय मामला, के साथ, th अधिकतम परवलयिक उपसमूह से मेल खाता है, इसलिए यह-प्लेन का ग्रासमैनियन है। महत्व शुबर्ट किस्में एकवचन बीजगणितीय किस्मों के सबसे महत्वपूर्ण और सर्वोत्तम अध्ययन किए गए वर्गों में से एक हैं। शुबर्ट किस्मों की विलक्षणता का एक निश्चित माप कज़दान-लुज़्टिग बहुपदों द्वारा प्रदान किया जाता है, जो उनके स्थानीय गोरेस्की-मैकफर्सन प्रतिच्छेदन समरूपता को कूटबद्ध करते हैं। शूबर्ट किस्मों पर नियमित कार्यों के बीजगणित का बीजगणितीय संयोजन विज्ञान में गहरा महत्व है और ये एक सीधे नियम के साथ बीजगणित के उदाहरण हैं। (सह) ग्रासमैनियन की समरूपता, और अधिक सामान्य रूप से, अधिक सामान्य ध्वज किस्मों का, एक आधार है जिसमें शूबर्ट किस्मों के (सह) समरूपता वर्ग, या शूबर्ट चक्र शामिल हैं। ग्रासमैनियन पर प्रतिच्छेदन सिद्धांत का अध्ययन हर्मन शुबर्ट द्वारा शुरू किया गया था और 19 वीं शताब्दी में ज़्यूथेन द्वारा गणनात्मक ज्यामिति के शीर्षक के तहत जारी रखा गया था। डेविड हिल्बर्ट ने इस क्षेत्र को अपनी प्रसिद्ध 23 समस्याओं में से पंद्रहवीं के रूप में शामिल करने के लिए पर्याप्त महत्वपूर्ण माना था। यह अध्ययन 20वीं शताब्दी में बीजगणितीय टोपोलॉजी और प्रतिनिधित्व सिद्धांत के सामान्य विकास के हिस्से के रूप में जारी रहा, लेकिन 1990 के दशक में विलियम फुल्टन के डीजनरेसी लोकी और शुबर्ट बहुपदों पर काम के साथ तेजी आई, 1970 के दशक में प्रतिनिधित्व सिद्धांत में बर्नस्टीन-गेलफैंड-गेलफैंड और डेमाज़्योर, 1980 के दशक में संयोजन विज्ञान में लास्कॉक्स और शुट्ज़ेनबर्गर और 1980 के दशक में भी एकवचन बीजगणितीय किस्मों के प्रतिच्छेदन सिद्धांत में फुल्टन और मैकफर्सन की पिछली जांचों के बाद। शुबर्ट कैलकुलस ब्रुहाट अपघटन बॉट-सैमलसन संकल्प संदर्भ पी. ए. भी देखें। ग्रिफिथ्स, जे. ई. हैरिस, प्रिंसिपल्स ऑफ अलजेब्रिक ज्योमेट्री, विली (इंटरसाइंस) (1978) एच. शुबर्ट, लसुंग डेस चरकटेरिस्टिकेन-प्रोब्लेम्स फर लाइनेयर र्यूम बिलीबिगर डाइमेंशन मिट। गणित। गेसेलशाफ्ट हैम्बर्ग, 1 (1889) पीपी। 134-155 बीजगणितीय ज्यामिति प्रतिनिधित्व सिद्धांत कम्यूटेटिव बीजगणित बीजगणितीय संयोजन