Inverse problem for Lagrangian mechanics
गणित में, लैग्रैन्जियन यांत्रिकी के लिए व्युत्क्रम समस्या यह निर्धारित करने की समस्या है कि क्या साधारण विभेदक समीकरणों की एक दी गई प्रणाली कुछ लैग्रैन्जियन फलन के लिए यूलर-लैग्रैन्ज समीकरणों के रूप में उत्पन्न हो सकती है। 20वीं शताब्दी की शुरुआत से इस समस्या के अध्ययन में बहुत अधिक गतिविधि हुई है। इस क्षेत्र में एक उल्लेखनीय प्रगति अमेरिकी गणितशास्त्री जेसी डगलस का 1941 का एक शोध पत्र था, जिसमें उन्होंने समस्या के समाधान के लिए आवश्यक और पर्याप्त स्थितियां प्रदान कीं; इन स्थितियों को अब जर्मन भौतिक विज्ञानी हर्मन वॉन हेल्महोल्ट्ज के बाद हेल्महोल्ट्ज स्थितियों के रूप में जाना जाता है। समस्या की पृष्ठभूमि और कथन एन-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष आरएन पर लैग्रैन्जियन यांत्रिकी की सामान्य व्यवस्था इस प्रकार है। एक अवकलनीय पथ u: [0, T] → Rn पर विचार करें। पथ यू की क्रिया, जिसे एस (यू) दर्शाया जाता है, इस प्रकार दी जाती है जहाँ एल समय, स्थिति और वेग का एक फलन है जिसे लैग्रैन्जियन के रूप में जाना जाता है। न्यूनतम क्रिया के सिद्धांत में कहा गया है कि, एक प्रारंभिक अवस्था x0 और Rn में एक अंतिम अवस्था x1 को देखते हुए, L द्वारा निर्धारित प्रणाली वास्तव में जिस कार्यात्मक S का अनुसरण करेगी, वह सीमा शर्तों u (0) = x0, u (T) = x1 को संतुष्ट करने वाली क्रिया कार्यात्मक S का एक न्यूनतम होना चाहिए। इसके अलावा, S के महत्वपूर्ण बिंदुओं (और इसलिए न्यूनतम) को S के लिए यूलर-लैग्रेंज समीकरणों को संतुष्ट करना चाहिएः जहां ऊपरी सूचकांक i, u = (u1,., un) के घटकों को दर्शाता है। शास्त्रीय मामले में यूलर-लैग्रेंज समीकरण दूसरे क्रम के साधारण विभेदक समीकरण हैं जिन्हें न्यूटन के गति के नियमों के रूप में जाना जाता हैः लैग्रैन्जियन यांत्रिकी की व्युत्क्रम समस्या इस प्रकार हैः दूसरे क्रम के साधारण विभेदक समीकरणों की एक प्रणाली को देखते हुए जो 0 ≤ t ≤ T समय के लिए होती है, क्या एक लैग्रैन्जियन L मौजूद हैः [0, T] × Rn × Rn → R जिसके लिए ये साधारण विभेदक समीकरण (E) यूलर-लैग्रेंज समीकरण हैं? सामान्य तौर पर, यह समस्या यूक्लिडियन स्पेस Rn पर नहीं, बल्कि एक n-आयामी मैनिफोल्ड M पर उत्पन्न होती है, और लैग्रैन्जियन एक फलन L: [0, T] × TM → R है, जहाँ TM, M. डगलस प्रमेय और हेल्महोल्ट्ज स्थितियों के स्पर्शरेखा बंडल को दर्शाता है। (डगलस 1941) एक लैग्रैन्जियन L मौजूद हैः [0, T] × TM → R ऐसा है कि समीकरण (E) इसके यूलर-लैग्रैन्ज समीकरण हैं यदि और केवल तभी जब प्रविष्टियों gij के साथ एक गैर-एकल सममित मैट्रिक्स g मौजूद हो जो u और v दोनों पर निर्भर करता है जो निम्नलिखित तीन हेल्महोल्ट्ज़ स्थितियों को संतुष्ट करता हैः (आइंस्टीन योग परंपरा दोहराए गए सूचकांकों के लिए उपयोग में है।) डगलस के प्रमेय को लागू करना पहली नज़र में, हेल्महोल्ट्ज़ समीकरणों (H1)-(H3) को हल करना एक अत्यंत कठिन कार्य प्रतीत होता है। स्थिति (एच1) को हल करना सबसे आसान हैः एक जी का पता लगाना हमेशा संभव है जो (एच1) को संतुष्ट करता है, और इसका मतलब यह नहीं होगा कि लैग्रैन्जियन एकवचन है। समीकरण (H2) साधारण अवकल समीकरणों की एक प्रणाली हैः सामान्य अवकल समीकरणों के समाधानों के अस्तित्व और विशिष्टता पर सामान्य प्रमेयों का तात्पर्य है कि सिद्धांत रूप में, (H2) को हल करना संभव है। एकीकरण से अतिरिक्त स्थिरांक नहीं मिलते हैं, बल्कि इसके बजाय प्रणाली (ई) के पहले समाकलन होते हैं, इसलिए यह चरण व्यवहार में तब तक कठिन हो जाता है जब तक कि (ई) में पर्याप्त स्पष्ट पहले समाकलन न हों। कुछ अच्छे व्यवहार वाले मामलों में (जैसे। लाइ समूह पर कैनोनिकल कनेक्शन के लिए जियोडेसिक प्रवाह), यह शर्त संतुष्ट है। अंतिम और सबसे कठिन चरण समीकरण (H3) को हल करना है, जिसे बंद करने की स्थिति कहा जाता है क्योंकि (H3) यह शर्त है कि अंतर 1-रूप gi प्रत्येक i के लिए एक बंद रूप है। यह इतना चुनौतीपूर्ण होने का कारण यह है कि (H3) युग्मित आंशिक विभेदक समीकरणों की एक बड़ी प्रणाली का गठन करता हैः स्वतंत्रता की n डिग्री के लिए, (H3) 2n स्वतंत्र चर में आंशिक विभेदक समीकरणों की एक प्रणाली का गठन करता है जो कि g के घटक हैं, जहां द्विपद गुणांक को दर्शाता है। सबसे सामान्य संभव लैग्रैन्जियन का निर्माण करने के लिए, इस विशाल प्रणाली को हल करना होगा! सौभाग्य से, कुछ सहायक शर्तें हैं जो हेल्महोल्ट्ज़ स्थितियों को हल करने में मदद करने के लिए लागू की जा सकती हैं। सबसे पहले, (H1) अज्ञात मैट्रिक्स g पर एक विशुद्ध रूप से बीजगणितीय स्थिति है। g पर सहायक बीजगणितीय स्थितियों को निम्नानुसार दिया जा सकता हैः g पर सहायक स्थिति तब होती है। एक समानांतर संबंध के मामले में (जैसे कि एक लाइ समूह पर विहित संबंध), उच्च क्रम की शर्तें हमेशा संतुष्ट होती हैं, इसलिए केवल (एच2) और (ए) ब्याज के होते हैं। ध्यान दें कि (ए) में स्थितियां शामिल हैं जबकि (एच1) में स्थितियां शामिल हैं। इस प्रकार, यह संभव है कि (H1) और (A) एक साथ इंगित करते हैं कि लैग्रैन्जियन फलन एकवचन है। 2006 तक, मनमाने आयाम में इस कठिनाई को दरकिनार करने के लिए कोई सामान्य प्रमेय नहीं है, हालांकि कुछ विशेष मामलों को हल किया गया है। आक्रमण का दूसरा तरीका यह देखना है कि क्या प्रणाली (ई) एक निम्न-आयामी प्रणाली पर एक पनडुब्बी को स्वीकार करती है और निम्न-आयामी प्रणाली के लिए एक लैग्रैन्जियन को उच्च-आयामी तक "उठाने" का प्रयास करती है। यह वास्तव में हेल्महोल्ट्ज स्थितियों को हल करने का प्रयास नहीं है क्योंकि यह एक लैग्रैन्जियन का निर्माण करने और फिर यह दिखाने का प्रयास है कि इसके यूलर-लैग्रेंज समीकरण वास्तव में प्रणाली (ई) हैं। संदर्भ विभिन्नताओं की गणना लैग्रैन्जियन यांत्रिकी व्युत्क्रम समस्याएं