Spectral element method
आंशिक विभेदक समीकरणों के संख्यात्मक समाधान में, गणित में एक विषय, वर्णक्रमीय तत्व विधि (एस. ई. एम.) परिमित तत्व विधि (एफ. ई. एम.) का एक सूत्रीकरण है जो आधार कार्यों के रूप में उच्च डिग्री पीसवाइज बहुपदों का उपयोग करता है। वर्णक्रमीय तत्व विधि ए. टी. पटेरा द्वारा 1984 के एक शोध पत्र में पेश की गई थी। यद्यपि पटेरा को विधि के विकास का श्रेय दिया जाता है, उनका काम एक मौजूदा विधि की पुनः खोज था (विकास इतिहास देखें) चर्चा वर्णक्रमीय विधि त्रिकोणमितीय श्रृंखला में समाधान का विस्तार करती है, एक मुख्य लाभ यह है कि परिणामी विधि बहुत उच्च क्रम की है। यह दृष्टिकोण इस तथ्य पर निर्भर करता है कि त्रिकोणमितीय बहुपद एक ऑर्थोनॉर्मल आधार हैं। वर्णक्रमीय तत्व विधि इसके बजाय एक उच्च डिग्री पीसवाइज बहुपद आधार कार्यों को चुनती है, जो सटीकता का एक बहुत ही उच्च क्रम भी प्राप्त करती है। इस तरह के बहुपद आमतौर पर गैर-समान अंतराल वाले नोड्स पर ऑर्थोगोनल चेबीशेव बहुपद या बहुत उच्च क्रम के लैग्रेंज बहुपद होते हैं। एस. ई. एम. में संगणकीय त्रुटि तेजी से कम होती जाती है जैसे-जैसे बहुपद को अनुमानित करने का क्रम बढ़ता है, इसलिए एफ. ई. एम. की तुलना में संरचना की स्वतंत्रता की कम डिग्री के साथ सटीक समाधान के समाधान का तेजी से अभिसरण महसूस किया जाता है। संरचनात्मक स्वास्थ्य निगरानी में, एफ. ई. एम. का उपयोग संरचना में बड़ी खामियों का पता लगाने के लिए किया जा सकता है, लेकिन जैसे-जैसे दोष का आकार कम होता है, उच्च आवृत्ति तरंग का उपयोग करने की आवश्यकता होती है। उच्च आवृत्ति तरंग के प्रसार का अनुकरण करने के लिए, आवश्यक एफ. ई. एम. जाल बहुत अच्छा होता है जिसके परिणामस्वरूप कम्प्यूटेशनल समय में वृद्धि होती है। दूसरी ओर, एस. ई. एम. कम स्वतंत्रता के साथ अच्छी सटीकता प्रदान करता है। नोड्स की गैर-एकरूपता द्रव्यमान मैट्रिक्स विकर्ण बनाने में मदद करती है, जिससे समय और स्मृति की बचत होती है और यह केंद्रीय अंतर विधि (सी. डी. एम.) को अपनाने के लिए भी उपयोगी है। एस. ई. एम. के नुकसान में एफ. ई. एम. के लचीलेपन की तुलना में जटिल ज्यामिति के प्रतिरूपण में कठिनाई शामिल है। यद्यपि विधि को एक मोडल पीसवाइज ऑर्थोगोनल बहुपद आधार के साथ लागू किया जा सकता है, लेकिन इसे अक्सर एक नोडल टेंसर उत्पाद लैग्रेंज आधार के साथ लागू किया जाता है। विधि लीजेंड्रे-गॉस-लोबेटो (एल. जी. एल.) बिंदुओं पर नोडल बिंदुओं को रखकर और समान नोड्स का उपयोग करके कम गॉस-लोबेटो चतुर्भुज के साथ गैलर्किन विधि एकीकरण का प्रदर्शन करके अपनी दक्षता प्राप्त करती है। इस संयोजन के साथ, सरलीकरण के परिणामस्वरूप सभी नोड्स पर द्रव्यमान गांठ होती है और आंतरिक बिंदुओं पर एक कोलोकेशन प्रक्रिया का परिणाम होता है। पद्धति के सबसे लोकप्रिय अनुप्रयोग कम्प्यूटेशनल द्रव गतिकी और भूकंपीय तरंग प्रसार के प्रतिरूपण में हैं। ए-प्रायोरी त्रुटि का अनुमान गैलरकिन विधियों और सी. ई. ए. के लेम्मा का उत्कृष्ट विश्लेषण यहाँ है और यह दिखाया जा सकता है कि, यदि कमजोर समीकरण का समाधान है, तो अनुमानित समाधान हैः जहाँ डोमेन के विवेकीकरण से संबंधित है (यानी। तत्व की लंबाई), से स्वतंत्र है, और पीसवाइस बहुपद आधार की डिग्री से बड़ी नहीं है। मजबूत टोपोलॉजी में त्रुटि को बांधने के लिए इसी तरह के परिणाम प्राप्त किए जा सकते हैं। यदि हम बढ़ाते हैं, तो हम आधार कार्यों की डिग्री भी बढ़ा सकते हैं। इस मामले में, यदि एक विश्लेषणात्मक कार्य हैः जहां केवल निर्भर करता है। हाइब्रिड-कोलोकेशन-गैलरकिन में कुछ अति अभिसरण गुण होते हैं। एस. ई. एम. का एल. जी. एल. रूप समतुल्य है, इसलिए यह समान अति अभिसरण गुणों को प्राप्त करता है। विधि के सबसे लोकप्रिय एल. जी. एल. रूप के विकास का श्रेय आम तौर पर मैडे और पटेरा को दिया जाता है। हालाँकि, इसे एक दशक से भी पहले विकसित किया गया था। सबसे पहले, हाइब्रिड-कोलोकेशन-गैलरकिन विधि (एचसीजीएम) है, जो आंतरिक लोबेटो बिंदुओं पर कोलोकेशन लागू करती है और तत्व इंटरफेस पर गैलरकिन जैसी अभिन्न प्रक्रिया का उपयोग करती है। यंग द्वारा वर्णित लोबेटो-गैलरकिन विधि एस. ई. एम. के समान है, जबकि एच. सी. जी. एम. इन विधियों के बराबर है। इस पहले के काम को वर्णक्रमीय साहित्य में नजरअंदाज कर दिया गया है। संबंधित विधियाँ जी-एनआई या एसईएम-एनआई सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली वर्णक्रमीय विधियाँ हैं। जी-एन. आई. या एस. ई. एम.-एन. आई. के लिए क्रमशः वर्णक्रमीय विधियों या वर्णक्रमीय तत्व विधियों के गैलरकिन सूत्रीकरण को संशोधित किया गया है और द्विरेखीय रूप की परिभाषा में और कार्यात्मक में समाकलन के बजाय गॉस-लोबेटो एकीकरण का उपयोग किया जाता है। उनका अभिसरण स्ट्रांग के लेम्मा का एक परिणाम है। एस. ई. एम. एक गैलरकिन आधारित एफ. ई. एम. (परिमित तत्व विधि) है जिसमें लैग्रेंज आधार (आकार) कार्य होते हैं और समान नोड्स का उपयोग करके लोबेटो चतुर्भुज द्वारा संख्यात्मक एकीकरण को कम किया जाता है। छद्म स्पेक्ट्रल विधि, ऑर्थोगोनल कोलोकेशन, विभेदक चतुर्भुज विधि और जी-एन. आई. एक ही विधि के लिए अलग-अलग नाम हैं। ये विधियाँ टुकड़ों में बहुपद आधार कार्यों के बजाय वैश्विक कार्यों को नियोजित करती हैं। टुकड़ों में एफ. ई. एम. या एस. ई. एम. आधार तक विस्तार लगभग तुच्छ है। वर्णक्रमीय तत्व विधि गॉस-लोबेटो बिंदुओं से जुड़े नोडल आधार कार्यों द्वारा फैले एक टेंसर उत्पाद स्थान का उपयोग करती है। इसके विपरीत, पी-संस्करण परिमित तत्व विधि उच्च क्रम बहुपदों के एक स्थान को नोडलेस आधार कार्यों द्वारा फैलाती है, जिसे संख्यात्मक स्थिरता के लिए लगभग ऑर्थोगोनल चुना जाता है। चूँकि सभी आंतरिक आधार कार्यों को मौजूद होने की आवश्यकता नहीं है, पी-संस्करण परिमित तत्व विधि एक ऐसा स्थान बना सकती है जिसमें स्वतंत्रता की कम डिग्री के साथ दिए गए डिग्री तक के सभी बहुपदों को शामिल किया जा सकता है। हालाँकि, उनके टेंसर-उत्पाद चरित्र के कारण वर्णक्रमीय विधियों में संभव कुछ स्पीडअप तकनीकें अब उपलब्ध नहीं हैं। पी-संस्करण नाम का अर्थ है कि जाली के आकार को कम करने के बजाय अनुमानित बहुपदों (इस प्रकार, पी) के क्रम को बढ़ाकर सटीकता बढ़ाई जाती है, एच. एच. पी. परिमित तत्व विधि (एच. पी.-एफ. ई. एम.) घातीय अभिसरण दर प्राप्त करने के लिए एच और पी परिष्करण के लाभों को जोड़ती है। नोट संख्यात्मक विभेदक समीकरण आंशिक विभेदक समीकरण कम्प्यूटेशनल द्रव गतिकी परिमित तत्व विधि