Kähler identities
जटिल ज्यामिति में, कहलर पहचान एक कहलर मैनिफोल्ड पर ऑपरेटरों के बीच पहचान का एक संग्रह है जो डॉल्बेल्ट ऑपरेटरों और उनके संलग्न, कहलर रूप के संकुचन और वेज ऑपरेटरों और कहलर मीट्रिक के लाप्लासियन से संबंधित है। कहलर पहचान हॉज सिद्धांत के परिणामों के साथ मिलकर कॉम्पैक्ट कहलर मैनिफोल्ड्स के डी राम और डॉल्बेल्ट कोहोमोलॉजी पर कई संबंध उत्पन्न करते हैं, जैसे कि लेफशेट्ज़ हाइपरप्लेन प्रमेय, हार्ड लेफशेट्ज़ प्रमेय, हॉज-रीमैन द्विरेखीय संबंध, और हॉज सूचकांक प्रमेय। उन्हें फिर से हॉज सिद्धांत के साथ जोड़ा जाता है, जो कहलर मैनिफोल्ड्स पर मौलिक विश्लेषणात्मक परिणामों को साबित करने में महत्वपूर्ण है, जैसे कि-लेम्मा, नाकानो असमानताएँ और कोडाइरा लुप्त प्रमेय। कहलर की पहचान पहली बार डब्ल्यू. वी. डी. हॉज द्वारा साबित की गई थी, जो 1941 में हार्मोनिक इंटीग्रल पर उनकी पुस्तक में दिखाई दी थी। के आधुनिक संकेतन को आंद्रे वेल द्वारा कहलर ज्यामिति पर पहली पाठ्यपुस्तक, इंट्रोडक्शन ए ल 'एटुडे डेस वेरिएट्स कहलेरिएंस में पेश किया गया था। प्रचालक ए कहलर मैनिफोल्ड चिकनी संरचना (एस), जटिल संरचना (सी) और रीमानियन संरचना (आर) से निर्मित जटिल विभेदक रूपों के अपने बीजगणित पर बड़ी संख्या में प्रचालक स्वीकार करते हैं। जटिल विभेदक ज्यामिति पर साहित्य में इन प्रचालक का निर्माण मानक है। निम्नलिखित में कोष्ठक में मोटे अक्षर इंगित करते हैं कि प्रचालक को परिभाषित करने के लिए किन संरचनाओं की आवश्यकता है। विभेदक प्रचालक निम्नलिखित प्रचालक विभेदक प्रचालक हैं और बाहरी व्युत्पन्न की चिकनी और जटिल संरचना से उत्पन्न होते हैं। (एस),-डॉल्बीऑल्ट प्रचालक। (सी),-डॉल्बीऑल्ट प्रचालक। (ग) डॉल्बीऑल्ट प्रचालक सूत्र द्वारा सीधे बाहरी व्युत्पन्न से संबंधित होते हैं। बाहरी व्युत्पन्न का विशिष्ट गुण जो तब निहित होता है और। कुछ स्रोत कहलर पहचान को व्यक्त करने के लिए निम्नलिखित प्रचालक का उपयोग करते हैं। .. (सी) यह प्रचालक उपयोगी है क्योंकि कहलर पहचानों का अनुमान द्विगुणों की तुलना करके अधिक संक्षिप्त रूप से व्यक्त पहचानों से लगाया जा सकता है। यह उस संपत्ति के लिए भी उपयोगी है। इसे टेंसोरियल प्रचालक सूत्र द्वारा जटिल संरचना के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है निम्नलिखित प्रचालक प्रकृति में टेंसोरियल हैं, यानी वे प्रचालक हैं जो केवल एक बिंदु पर जटिल विभेदक रूप के मूल्य पर निर्भर करते हैं। विशेष रूप से उनमें से प्रत्येक को व्यक्तिगत रूप से प्रत्येक बिंदु पर रूपों के वेक्टर रिक्त स्थान के बीच प्रचालक के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। , जटिल संयुग्म प्रचालक। (सी), लेफशेट्ज़ प्रचालक द्वारा परिभाषित किया गया है कि कहलर रूप कहाँ है। (सी. आर.), हॉज स्टार ऑपरेटर। (आर) जटिल विभेदक रूपों का द्विगुणित (पी, क्यू) रूपों में प्रत्यक्ष योग अपघटन कई प्रक्षेपण संचालकों को प्रकट करता है। , डिग्री के. (एस) के हिस्से पर प्रक्षेपण, द्विगुणित (पी, क्यू) के हिस्से पर प्रक्षेपण। (ग) गिनती संचालक के रूप में जाना जाता है। (एस), जटिल सदिश स्थान पर जटिल संरचना प्रचालक। (सी) ध्यान दें कि अंतिम प्रचालक कहलर मैनिफोल्ड की लगभग जटिल संरचना का उच्च डिग्री जटिल अंतर रूपों का विस्तार है, जहां कोई याद करता है कि एक-रूप के लिए और एक-रूप के लिए, इसलिए एक-रूप पर कारक के साथ कार्य करता है। रीमानियन मीट्रिक के साथ-साथ जटिल संरचना से उत्पन्न होने वाले इसके प्राकृतिक अभिविन्यास का उपयोग उपरोक्त अंतर और टेंसोरियल ऑपरेटरों के औपचारिक संयोजनों को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है। इन संयोजनों को या तो भागों द्वारा एकीकरण के माध्यम से या हॉज स्टार ऑपरेटर का उपयोग करके स्पष्ट सूत्रों द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। समाकलन द्वारा संलग्नों को परिभाषित करने के लिए, ध्यान दें कि रीमानियन मीट्रिक ऑन, सूत्र के अनुसार एक-इनर उत्पाद को परिभाषित करता है जहां रीमानियन मीट्रिक द्वारा प्रेरित कोटेनजेंट स्पेस के बाहरी उत्पादों पर आंतरिक उत्पाद है। इस-इनर उत्पाद का उपयोग करते हुए, उपरोक्त ऑपरेटरों में से किसी के औपचारिक संयोजन (द्वारा निरूपित) को सूत्र द्वारा परिभाषित किया जा सकता है जब कहलर मैनिफोल्ड गैर-कॉम्पैक्ट होता है, तो-इनर उत्पाद औपचारिक रूप से समझ में आता है बशर्ते कि कम से कम एक कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित अंतर रूप हो। विशेष रूप से उपरोक्त विभेदक और टेन्सोरियल प्रचालक के निम्नलिखित औपचारिक सहायक प्रचालक प्राप्त होते हैं। हॉज स्टार ऑपरेटर के संदर्भ में इन संयोजनों के लिए स्पष्ट सूत्र शामिल हैं। द्वारा स्पष्ट रूप से दिया गया। (एस. आर.) द्वारा स्पष्ट रूप से दिया गया है। (सी. आर.) द्वारा स्पष्ट रूप से दिया गया। (सी. आर.) द्वारा स्पष्ट रूप से दिया गया। (सी. आर.) द्वारा स्पष्ट रूप से दिया गया। (सी. आर.) अंतिम प्रचालक, लेफ्टशेट्ज़ प्रचालक के सहायक, को कहलर रूप के साथ संकुचन प्रचालक के रूप में जाना जाता है, और आमतौर पर इसके द्वारा दर्शाया जाता है। ऑपरेटरों और उनके औपचारिक संयोजनों से निर्मित लाप्लासियन औरः के अनुरूप कई लाप्लास ऑपरेटर हैं, जिन्हें अन्यथा लाप्लास-डी राम ऑपरेटर के रूप में जाना जाता है। (एसआर)। (सीआर)। (सी. आर.) उपरोक्त लैपलेसियन में से प्रत्येक स्व-संयोजन संचालक हैं। वास्तविक और जटिल प्रचालक भले ही उपरोक्त प्रचालक को परिभाषित करने के लिए जटिल संरचना (सी) आवश्यक हो, फिर भी उन्हें वास्तविक अंतर रूपों पर लागू किया जा सकता है। जब परिणामी प्रपत्र में भी वास्तविक गुणांक होते हैं, तो प्रचालक को वास्तविक प्रचालक कहा जाता है। इसे आगे दो तरीकों से वर्णित किया जा सकता हैः यदि प्रचालक का जटिल संयुग्म स्वयं है, या यदि प्रचालक जटिल विभेदक रूपों पर कार्य करने वाली लगभग जटिल संरचना के साथ आवागमन करता है। दो वास्तविक प्रचालक की संरचना वास्तविक है। उपरोक्त प्रचालक के जटिल संयुग्म इस प्रकार हैंः और। और इसी तरह और के लिए। और। .. .. और। .. .. .. इस प्रकार और सभी वास्तविक संचालक हैं। विशेष रूप से यदि इनमें से किसी भी प्रचालक को इसके द्वारा दर्शाया जाता है, तो कम्यूटेटर जहां ऊपर जटिल संरचना प्रचालक है। पहचान कहलर पहचान उपरोक्त प्रचालक के बीच कम्यूटेटर संबंधों की एक सूची है। स्पष्ट रूप से हम ऑपरेटर द्वारा उपरोक्त ऑपरेटरों की संरचना के माध्यम से प्राप्त विभिन्न डिग्री में दर्शाते हैं। कहलर पहचान अनिवार्य रूप से कहलर मैनिफोल्ड पर स्थानीय पहचान हैं, और गैर-कॉम्पैक्ट मामले में भी होती हैं। वास्तव में उन्हें एक कहलर मीट्रिक के मॉडल मामले में साबित किया जा सकता है और किसी भी कहलर मैनिफोल्ड में इस प्रमुख गुण का उपयोग करके स्थानांतरित किया जा सकता है कि कहलर स्थिति का तात्पर्य है कि कहलर मीट्रिक मानक रूप को दूसरे क्रम तक ले जाता है। चूँकि कहलर पहचान कहलर मीट्रिक में प्रथम क्रम पहचान हैं, इसलिए संबंधित कम्यूटेटर संबंध किसी भी कहलर मैनिफोल्ड पर स्थानीय रूप से कहलर पहचान को दर्शाते हैं। जब कहलर मैनिफोल्ड कॉम्पैक्ट होता है तो पहचान को हॉज सिद्धांत के साथ जोड़ा जा सकता है ताकि मैनिफोल्ड के कोहोमोलॉजी के बारे में कई परिणाम प्राप्त किए जा सकें। उपरोक्त कहलर पहचानों को उस मामले में उन्नत किया जा सकता है जहां अंतर ऑपरेटरों को एक होलोमोर्फिक वेक्टर बंडल पर एक चेरन कनेक्शन के साथ जोड़ा जाता है। यदि एक हर्मिशियन मीट्रिक चालू है और एक डॉल्बेल्ट ऑपरेटर है जो की होलोमोर्फिक संरचना को परिभाषित करता है, तो अद्वितीय संगत चेरन कनेक्शन और इसका-भाग संतुष्ट करता है। चेरन कनेक्शन के वक्रता रूप को इसके द्वारा निरूपित करें। औपचारिक संयोजनों को एक-इनर उत्पाद का उपयोग करके ऊपर के समान परिभाषित किया जा सकता है जहां हर्मिशियन मीट्रिक को रूपों पर आंतरिक उत्पाद के साथ जोड़ा जाता है। इस मामले में सभी कहलर पहचान, जिन्हें कभी-कभी नाकानो पहचान कहा जाता है, बिना किसी बदलाव के धारण करते हैं, सिवाय निम्नलिखित केः .. .. बोच्नर-कोडाइरा-नाकानो पहचान के रूप में जाना जाता है। विशेष रूप से ध्यान दें कि जब चेरन कनेक्शन एक सपाट कनेक्शन से जुड़ा होता है, ताकि वक्रता, तब भी उस संबंध को प्राप्त कर सके। आदिम समरूपता और एस. एल. (2, सी) का प्रतिनिधित्व कहलर पहचान में निहित कम्यूटेशन संबंधों के अलावा, उपरोक्त ऑपरेटरों में से कुछ अन्य दिलचस्प कम्यूटेशन संबंधों को संतुष्ट करते हैं। विशेष रूप से लेफ्टशेट्ज़ प्रचालक, संकुचन प्रचालक और ऊपर के गणना प्रचालक को याद करें। फिर कोई निम्नलिखित कम्यूटेशन संबंध दिखा सकता हैः .. .. लाइ बीजगणित के साथ तुलना करते हुए, कोई यह देखता है कि यह एक एसएल2-ट्रिपल बनाता है, और इसलिए एक कहलर मैनिफोल्ड पर जटिल विभेदक रूपों का बीजगणित इसका प्रतिनिधित्व बन जाता है। कहलर पहचान का अर्थ है कि संचालक सभी के साथ यात्रा करते हैं और इसलिए अंदर के हार्मोनिक रूपों को संरक्षित करते हैं। विशेष रूप से जब कहलर मैनिफोल्ड कॉम्पैक्ट होता है, तो हॉज अपघटन को लागू करने से ऑपरेटरों का ट्रिपल एक्स के डी राम कोहोमोलॉजी पर एक एसएल2-ट्रिपल देने के लिए उतरता है। के प्रतिनिधित्व सिद्धांत की भाषा में, प्रचालक उठाने वाला प्रचालक है और कम करने वाला प्रचालक है। जब कॉम्पैक्ट होता है, तो यह हॉज सिद्धांत का एक परिणाम है कि कोहोमोलॉजी समूह सीमित-आयामी होते हैं। इसलिए कोहोमोलॉजी एक प्रत्यक्ष योग अपघटन को इरेड्यूसिबल फाइनाइट-डायमेंशनल प्रतिनिधित्वों में स्वीकार करती है। इस तरह का कोई भी अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व एक आदिम तत्व के साथ आता है, जो एक ऐसा तत्व है। की आदिम समरूपता द्वारा दी गई है आदिम समरूपता भी एक प्रत्यक्ष योग विभाजन को स्वीकार करती है कठिन लेफशेट्ज़ अपघटन का प्रतिनिधित्व सिद्धांत अपने आदिम तत्व के संदर्भ में पूरी तरह से एक अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व का वर्णन करता है। यदि एक गैर-शून्य आदिम तत्व है, तो चूंकि विभेदक रूप आयाम के ऊपर गायब हो जाते हैं, इसलिए श्रृंखला अंततः कई घातों के बाद समाप्त हो जाती है। यह एक परिमित-आयामी सदिश स्थान को परिभाषित करता है जिसमें त्रिगुण से प्रेरित एक-क्रिया होती है। यह इसके अनुरूप इरेड्यूसिबल रिप्रेजेंटेशन है। प्रत्येक आदिम समरूपता समूह के लिए एक साथ इसे लागू करते हुए, समरूपता को इसके अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्वों में विभाजित करने को कॉम्पैक्ट कहलर मैनिफोल्ड के हार्ड लेफशेट्ज़ अपघटन के रूप में जाना जाता है। एक होलोमोर्फिक वेक्टर बंडल के साथ जोड़ी गई कहलर पहचानों द्वारा, उस मामले में जहां होलोमोर्फिक बंडल सपाट है, हॉज अपघटन मुड़े हुए डी राम कोहोमोलॉजी समूहों और डॉल्बेल्ट कोहोमोलॉजी समूहों तक फैला हुआ है। ट्रिपल अभी भी बंडल-मूल्यवान समरूपता पर एक एसएल2-ट्रिपल के रूप में कार्य करता है, और इस मामले में हार्ड लेफशेट्ज़ अपघटन का एक संस्करण है। नाकानो असमानताएँ एक कॉम्पैक्ट कहलर मैनिफोल्ड पर एक होलोमोर्फिक वेक्टर बंडल पर एक चेरन कनेक्शन की वक्रता के साथ हार्मोनिक विभेदक रूपों के आंतरिक उत्पादों से जुड़ी असमानताओं की एक जोड़ी है। विशेष रूप से एक कॉम्पैक्ट कहलर मैनिफोल्ड पर एक हर्मिशियन होलोमोर्फिक वेक्टर बंडल होने दें, और संबंधित चेरन कनेक्शन की वक्रता को दर्शाते हैं। नाकानो असमानताओं में कहा गया है कि यदि हार्मोनिक है, तो, तब, और। इन असमानताओं को ऊपर वर्णित के रूप में एक होलोमोर्फिक वेक्टर बंडल के साथ युग्मित केलर पहचानों को लागू करके साबित किया जा सकता है। यदि एक पर्याप्त रेखा बंडल है, तो चेरन वक्रता अपने आप में एक कहलर मीट्रिक है। इस मामले में नाकानो असमानताओं को लागू करना कॉम्पैक्ट कहलर मैनिफोल्ड्स के लिए कोडाइरा-नाकानो लुप्त प्रमेय को साबित करता है। टिप्पणियाँ संदर्भ परिसर विभेदक ज्यामिति को कई गुना बढ़ाता है