Arnold conjecture
अर्नोल्ड अनुमान, जिसका नाम गणितशास्त्री व्लादिमीर अर्नोल्ड के नाम पर रखा गया है, सिंप्लेक्टिक ज्यामिति के क्षेत्र में एक गणितीय अनुमान है, जो विभेदक ज्यामिति की एक शाखा है। कथन एक कॉम्पैक्ट सिंप्लेक्टिक मैनिफोल्ड होना चाहिए। किसी भी चिकने फलन के लिए, सिंप्लेक्टिक रूप एक हैमिल्टनियन वेक्टर क्षेत्र को प्रेरित करता है, जिसे पहचान द्वारा परिभाषित किया जाता हैः फलन को हैमिल्टनियन फलन कहा जाता है। मान लीजिए कि हैमिल्टनियन फलन का एक-पैरामीटर परिवार है, जो हैमिल्टनियन वेक्टर क्षेत्रों के एक-पैरामीटर परिवार को प्रेरित करता है। वेक्टर क्षेत्रों का परिवार डिफियोमोर्फिज्म के 1-पैरामीटर परिवार में एकीकृत होता है। प्रत्येक व्यक्ति एक हैमिल्टनियन डिफियोमोर्फिज्म है। अर्नोल्ड अनुमान कहता है कि प्रत्येक हैमिल्टनियन डिफियोमोर्फिज्म के लिए, इसमें कम से कम उतने ही निश्चित बिंदु होते हैं जितना कि महत्वपूर्ण बिंदुओं पर एक चिकना फलन होता है। गैर-आनुवंशिक हैमिल्टनियन और कमजोर अर्नोल्ड अनुमान ए हैमिल्टनियन डिफियोमोर्फिज्म को गैर-आनुवंशिक कहा जाता है यदि इसका ग्राफ अनुप्रस्थ के विकर्ण को काटता है। गैर-अपक्षयी हैमिल्टनियन डिफियोमोर्फिज्म के लिए, अर्नोल्ड अनुमान का एक प्रकार कहता है कि निश्चित बिंदुओं की संख्या कम से कम एक मोर्स फलन के महत्वपूर्ण बिंदुओं की न्यूनतम संख्या के बराबर होती है, जिसे मोर्स संख्या कहा जाता है। मोर्स असमानता को देखते हुए, मोर्स संख्या भी एक समरूपी अपरिवर्तनीय से अधिक या उसके बराबर है, उदाहरण के लिए, एक क्षेत्र पर बेट्टी संख्याओं का योगः कमजोर अर्नोल्ड अनुमान कहता है कि उपरोक्त पूर्णांक पर एक गैर-अपक्षयी हैमिल्टनियन डिफियोमोर्फिज्म के लिए इसके निश्चित बिंदुओं की संख्या की निचली सीमा है। अर्नोल्ड-गिवेंटल अनुमान संदर्भ प्रतीकात्मक ज्यामिति अनुमान भी देखें।