Subdivision (simplicial complex)
एक सरल परिसर का एक उपखंड (जिसे परिष्करण भी कहा जाता है) एक अन्य सरल परिसर है जिसमें, सहज ज्ञान से, मूल परिसर के एक या अधिक सरलीकरणों को छोटे सरलीकरणों में विभाजित किया गया है। सबसे अधिक उपयोग किया जाने वाला उपखंड बेरीसेंट्रिक उपखंड है, लेकिन यह शब्द अधिक सामान्य है। उपखंड को अलग-अलग संदर्भों में थोड़े अलग तरीकों से परिभाषित किया गया है। ज्यामितीय सरल परिसरों में मान लीजिए कि K एक ज्यामितीय सरल परिसर (GSC) है। के का एक उपखंड एक जी. एस. सी. एल है जो इस प्रकार हैः |K। = |L।, अर्थात, के में सरलीकरणों का संयोजन एल में सरलीकरणों के संयोजन के बराबर है (वे अंतरिक्ष में एक ही क्षेत्र को कवर करते हैं)। L का प्रत्येक सिंप्लेक्स K के किसी सिंप्लेक्स में निहित है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि K एक GSC है जिसमें एक एकल त्रिभुज {A, B, C} (इसके सभी चेहरे और शीर्षों के साथ) है। मान लीजिए कि डी एबी के चेहरे पर एक बिंदु है। मान लीजिए कि L वह सम्मिश्रण है जिसमें दो त्रिभुज {A, D, C} और {B, D, C} (उनके सभी चेहरे और शीर्षों के साथ) हैं। फिर L, K का एक उपखंड है, क्योंकि दो त्रिकोण {A, D, C} और {B, D, C} दोनों {A, B, C} में निहित हैं, और इसी तरह चेहरे {A, D}, {D, B} चेहरे {A, B} में निहित हैं, और चेहरा {D, C} {A, B, C} में निहित है। K के उपखंड को प्राप्त करने का एक तरीका है |K। में एक मनमाना बिंदु x को चुनना, K में प्रत्येक सिम्प्लेक्स s को हटा देना जिसमें x होता है, और इसे निम्नलिखित सरलताओं के समूह के समापन के साथ प्रतिस्थापित करनाः जहां बिंदु x और चेहरे t का जोड़ है। इस प्रक्रिया को x पर स्टार करना कहा जाता है। एक तारकीय उपखंड एक उपखंड है जो विभिन्न बिंदुओं पर क्रमिक रूप से तारांकित करके प्राप्त किया जाता है। एक व्युत्पन्न उपखंड निम्नलिखित प्रेरक प्रक्रिया द्वारा प्राप्त एक उपखंड है। प्रत्येक 1-आयामी सिम्प्लेक्स (एक खंड) को किसी आंतरिक बिंदु पर स्टार करें; प्रत्येक 2-आयामी सिम्प्लेक्स को किसी आंतरिक बिंदु पर, 1-आयामी सिम्प्लेक्स के उपखंड पर स्टार करें; प्रत्येक के-आयामी सिम्प्लेक्स को किसी आंतरिक बिंदु पर, (के-1)-आयामी सिम्प्लेक्स के उपखंड पर स्टार करें। बैरिसेंट्रिक उपखंड एक व्युत्पन्न उपखंड है जहाँ तारांकन के लिए उपयोग किए जाने वाले बिंदु हमेशा सरलता के बैरिसेंटर होते हैं। उदाहरण के लिए, यदि D, E, F, G क्रमशः {A, B}, {A, C}, {B, C}, {A, B, C} के बेरिसेन्टर हैं, तो {A, B, C} का पहला बेरिसेन्ट्रिक उपखंड {A, D, G}, {B, D, G}, {A, E, G}, {C, E, G}, {B, F, G}, {C, F, G} का समापन है। पुनरावृत्त उपखंडों का उपयोग किसी दिए गए पॉलीहेड्रॉन के मनमाने ढंग से महीन त्रिकोण प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है। अमूर्त सरल परिसरों में मान लीजिए कि K एक अमूर्त सरल परिसर (ASC) है। के का फेस पोजेट के के सभी गैर-खाली सरलीकरणों से बना एक पोजेट है, जिसे समावेश द्वारा क्रमबद्ध किया गया है (जो एक आंशिक क्रम है)। उदाहरण के लिए, {A, B, C} के बंद होने का फेस-पोजेट निम्नलिखित श्रृंखलाओं के साथ पोजेट हैः {A} <{A, B, C} <{A, B, C} <{A, C} <{A, B, C} {B} <{A, B, C} <{A, B, C} <{A, C} <{A, C} <{A, C} <{A, C} <{A, B, C} <{A, C} <{A, C} <{A, B, C} <{A, B, C} <{A, B, C} <{A, B, C, C} एक पोजेट P का ऑर्डर कॉम्प्लेक्स एक ASC है जिसके शीर्ष P के तत्व हैं और जिनके सरलीकरण श्रृंखलाएं हैं। उपरोक्त स्थिति का क्रम परिसर निम्नलिखित सरलताओं का समापन हैः {{A}, {A, B, C}, {{A, C}, {A, C}, {A, B, C}, {{B}, {A, B, C}, {{A, B, C}, {{B, C}, {{A, B, C}, {{C}, {A, C}, {A, C}, {A, B, C}, {{C}, {B, C}, {A, C}, {A, C}, {A, C}, {A, B, C}, {A, B, C, C}} ध्यान दें कि यह ASC ASC {A, D, G}, {B, D के लिए समरूप है। के के उपखंड की ज्यामितीय प्राप्ति हमेशा के के ज्यामितीय प्राप्ति के लिए समरूपी होती है।