Orthogonality (mathematics)
गणित में, दोरेखीय रूपों के रैखिक बीजगणित के लंबवतता की ज्यामितीय धारणा का सामान्यीकरण ऑर्थोगोनलिटी है। द्विरेखीय रूप B के साथ एक सदिश स्थान के दो तत्व u और v ऑर्थोगोनल होते हैं। द्विरेखीय रूप के आधार पर, वेक्टर स्पेस में गैर-शून्य स्व-ऑर्थोगोनल वैक्टर हो सकते हैं। फंक्शन स्पेस के मामले में, ऑर्थोगोनल फंक्शन के परिवारों का उपयोग आधार बनाने के लिए किया जाता है। इस अवधारणा का उपयोग ऑर्थोगोनल कार्यों, ऑर्थोगोनल बहुपदों और संयोजन के संदर्भ में किया गया है। परिभाषाएँ ज्यामिति में, दो यूक्लिडियन वैक्टर ऑर्थोगोनल होते हैं यदि वे लंबवत होते हैं, यानी वे एक समकोण बनाते हैं। एक आंतरिक उत्पाद स्थान V में दो वैक्टर x और y ऑर्थोगोनल हैं यदि उनका आंतरिक उत्पाद शून्य है। इस संबंध को दर्शाया जाता है। एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स एक मैट्रिक्स है जिसके कॉलम वैक्टर एक दूसरे के लिए ऑर्थोनॉर्मल होते हैं। एक ऑर्थोनॉर्मल आधार एक ऐसा आधार है जिसके वैक्टर ऑर्थोगोनल और सामान्यीकृत दोनों होते हैं (वे इकाई वैक्टर हैं)। एक अनुरूप रैखिक परिवर्तन कोणों और दूरी के अनुपात को संरक्षित करता है, जिसका अर्थ है कि समान अनुरूप रैखिक परिवर्तन द्वारा ऑर्थोगोनल वैक्टरों को बदलना उन वैक्टरों को ऑर्थोगोनल रखेगा। एक आंतरिक उत्पाद स्थान V के दो सदिश उपस्थान A और B को ऑर्थोगोनल उपस्थान कहा जाता है यदि A में प्रत्येक सदिश B में प्रत्येक सदिश के लिए ऑर्थोगोनल है। V का सबसे बड़ा उपक्षेत्र जो किसी दिए गए उपक्षेत्र के लिए ऑर्थोगोनल है, उसका ऑर्थोगोनल पूरक है। एक मॉड्यूल M और उसके दोहरे M िऱ को देखते हुए, M िऱ का एक तत्व m′ और M का एक तत्व m ऑर्थोगोनल हैं यदि उनकी प्राकृतिक जोड़ी शून्य है, अर्थात। दो समूह और ऑर्थोगोनल हैं यदि S′ का प्रत्येक तत्व S के प्रत्येक तत्व के लिए ऑर्थोगोनल है। एक शब्द पुनर्लेखन प्रणाली को ऑर्थोगोनल कहा जाता है यदि यह बाएं-रैखिक है और गैर-स्पष्ट है। ऑर्थोगोनल शब्द पुनर्लेखन प्रणालियाँ समृद्ध हैं। एक आंतरिक उत्पाद स्थान में वैक्टरों के एक समूह को जोड़ीदार ऑर्थोगोनल कहा जाता है यदि उनकी प्रत्येक जोड़ी ऑर्थोगोनल है। इस तरह के सेट को ऑर्थोगोनल सेट कहा जाता है। कुछ मामलों में, सामान्य शब्द का उपयोग ऑर्थोगोनल अर्थ के लिए किया जाता है, विशेष रूप से ज्यामितीय अर्थ में जैसा कि सतह के लिए सामान्य है। उदाहरण के लिए, y-अक्ष मूल पर वक्र के लिए सामान्य है। हालांकि, सामान्य एक वेक्टर के परिमाण को भी संदर्भित कर सकता है। विशेष रूप से, एक समुच्चय को ऑर्थोनॉर्मल (ऑर्थोगोनल प्लस नॉर्मल) कहा जाता है यदि यह इकाई वैक्टर का एक ऑर्थोगोनल समुच्चय है। नतीजतन, "ऑर्थोगोनल" के अर्थ में सामान्य शब्द के उपयोग से अक्सर बचा जाता है। "सामान्य" शब्द का संभावना और सांख्यिकी में भी एक अलग अर्थ है। द्विरेखीय रूप वाला एक सदिश स्थान एक आंतरिक उत्पाद के मामले को सामान्यीकृत करता है। जब दो वैक्टरों पर लागू द्विरेखीय रूप शून्य में परिणाम देता है, तो वे ऑर्थोगोनल होते हैं। छद्म-यूक्लिडियन तल का मामला हाइपरबोलिक ऑर्थोगोनलिटी शब्द का उपयोग करता है। आरेख में, किसी भी दिए गए φ के लिए अक्ष x′ और t′ हाइपरबोलिक-ऑर्थोगोनल हैं। यूक्लिडियन वेक्टर स्पेस यूक्लिडियन स्पेस में, दो वैक्टर ऑर्थोगोनल हैं यदि और केवल तभी जब उनका डॉट उत्पाद शून्य हो, अर्थात। वे 90° (π/2 रेडियन) का कोण बनाते हैं, या वैक्टरों में से एक शून्य होता है। इसलिए वैक्टर की ऑर्थोगोनलिटी किसी भी आयाम के रिक्त स्थान के लिए लंबवत वैक्टर की अवधारणा का विस्तार है। सबस्पेस का ऑर्थोगोनल पूरक उन सभी वैक्टरों का स्थान है जो सबस्पेस में प्रत्येक वेक्टर के लिए ऑर्थोगोनल हैं। त्रि-आयामी यूक्लिडियन वेक्टर स्पेस में, मूल के माध्यम से एक रेखा का ऑर्थोगोनल पूरक मूल के माध्यम से समतल होता है जो इसके लंबवत होता है, और इसके विपरीत। ध्यान दें कि दो विमानों के लंबवत होने की ज्यामितीय अवधारणा ऑर्थोगोनल पूरक के अनुरूप नहीं है, क्योंकि तीन आयामों में वैक्टर की एक जोड़ी, लंबवत विमानों के प्रत्येक जोड़े में से एक, किसी भी कोण पर मिल सकती है। चार-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में, एक रेखा का ऑर्थोगोनल पूरक एक हाइपरप्लेन होता है और इसके विपरीत, और एक तल का एक तल होता है। समाकलन कलन का उपयोग करके, एक अंतराल पर एक गैर-ऋणात्मक भार फलन के संबंध में दो कार्यों f और g के आंतरिक उत्पाद को परिभाषित करने के लिए निम्नलिखित का उपयोग करना सामान्य हैः सरल मामलों में, हम कहते हैं कि फलन f और g ऑर्थोगोनल हैं यदि उनका आंतरिक उत्पाद (समतुल्य रूप से, इस समाकलन का मान) शून्य हैः एक आंतरिक उत्पाद के संबंध में दो कार्यों की ऑर्थोगोनलिटी दूसरे आंतरिक उत्पाद के संबंध में ऑर्थोगोनलिटी का संकेत नहीं देती है। हम इस आंतरिक उत्पाद के संबंध में मानक को इस रूप में लिखते हैं कि कार्यों के एक समूह के सदस्य अंतराल पर डब्ल्यू के संबंध में ऑर्थोगोनल होते हैं यदि इस तरह के कार्यों के समूह के सदस्य अंतराल पर डब्ल्यू के संबंध में ऑर्थोनॉर्मल होते हैं यदि क्रोनेकर डेल्टा कहाँ है। दूसरे शब्दों में, उनमें से प्रत्येक जोड़ी (स्वयं के साथ एक फलन की जोड़ी को छोड़कर) ऑर्थोगोनल है, और प्रत्येक का मानक 1 है। विशेष रूप से ऑर्थोगोनल बहुपदों को देखें। उदाहरण वैक्टर (1,3,2) T, (3, −1,0) T, (1,3, −5) T एक दूसरे के लिए ऑर्थोगोनल हैं, क्योंकि (1) (3) + (3) (−1) + (2) (0) = 0, (3) (1) + (−1) (3) + (0) (−5) = 0, और (1) (1) + (3) (3) + (2) (−5) = 0। वैक्टर (1,0,1,0,) T और (0,1,0,1,) T एक दूसरे के ऑर्थोगोनल हैं। इन वैक्टरों का डॉट उत्पाद 0 है। फिर हम Z2n में वैक्टरों पर विचार करने के लिए सामान्यीकरण कर सकते हैंः कुछ सकारात्मक पूर्णांक a के लिए, और उदाहरण के लिए, ये वैक्टर ऑर्थोगोनल हैं, उदाहरण के लिए, ऑर्थोगोनल हैं। फलन और-1 से 1 के अंतराल पर एक इकाई भार फलन के संबंध में ऑर्थोगोनल हैंः फलन 1, sin (nx), cos (nx): n = 1,2,3,. अंतराल पर रीमान एकीकरण के संबंध में ऑर्थोगोनल हैं, या लंबाई 2π के किसी अन्य बंद अंतराल। यह तथ्य फूरियर श्रृंखला में एक केंद्रीय तथ्य है। ऑर्थोगोनल बहुपद अतीत के गणितविदों के लिए नामित विभिन्न बहुपद अनुक्रम ऑर्थोगोनल बहुपदों के अनुक्रम हैं। विशेष रूप सेः हर्माइट बहुपद शून्य माध्य मूल्य के साथ गौसी वितरण के संबंध में ऑर्थोगोनल हैं। लीजेंड्रे बहुपद अंतराल पर समान वितरण के संबंध में ऑर्थोगोनल हैं। लैगुएरे बहुपद घातीय वितरण के संबंध में ऑर्थोगोनल हैं। कुछ अधिक सामान्य लैगुएरे बहुपद अनुक्रम गामा वितरण के संबंध में ऑर्थोगोनल हैं। पहले प्रकार के चेबीशेव बहुपद माप के संबंध में ऑर्थोगोनल हैं दूसरे प्रकार के चेबीशेव बहुपद विग्नर अर्धवृत्त वितरण के संबंध में ऑर्थोगोनल हैं। संयोजन विज्ञान संयोजन विज्ञान में, दो n × n लैटिन वर्गों को ऑर्थोगोनल कहा जाता है यदि उनके अधिरोपण से प्रविष्टियों के सभी संभावित n2 संयोजन प्राप्त होते हैं। काल्पनिक संख्या आइसोगोनल आइसोगोनल प्रक्षेपवक्र ऑर्थोगोनल पूरक ऑर्थोगोनल समूह ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स ऑर्थोगोनल बहुपद ऑर्थोगोनलकरण ग्राम-श्मिट प्रक्रिया ऑर्थोनॉर्मल आधार ऑर्थोनॉर्मल ऑर्थोगोनल परिवर्तन पैन-ऑर्थोगोनलिटी कोक्वाटर्नियन में होता है संदर्भ सार बीजगणित रैखिक बीजगणित ऑर्थोगोनलिटी