Gaudin model
भौतिकी में, गौडिन मॉडल, जिसे कभी-कभी क्वांटम गौडिन मॉडल के रूप में जाना जाता है, सांख्यिकीय यांत्रिकी में एक मॉडल, या मॉडल का एक बड़ा वर्ग है, जिसे पहली बार मिशेल गौडिन द्वारा अपने सबसे सरल मामले में वर्णित किया गया है। वे बिल्कुल हल करने योग्य मॉडल हैं, और क्वांटम स्पिन श्रृंखलाओं के उदाहरण भी हैं। इतिहास सबसे सरल मामले को पहली बार 1976 में मिशेल गौडिन द्वारा वर्णित किया गया था, जिसमें संबंधित लाइ बीजगणित को द्वि-आयामी विशेष रैखिक समूह माना गया था। गणितीय सूत्रीकरण मान लीजिए कि यह सीमित आयाम का अर्ध-सरल लाइ बीजगणित है। मान लीजिए कि यह एक सकारात्मक पूर्णांक है। जटिल तल पर, विभिन्न बिंदुओं का चयन करें। प्रमुख अभिन्न तत्व के अनुरूप परिमित-आयामी अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व द्वारा निरूपित करें। मान लीजिए कि प्रमुख समाकलन भार का एक समूह है। टेंसर उत्पाद को परिभाषित करें। मॉडल को तब संचालनकर्ताओं के एक समूह द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है, जिन्हें गौडिन हैमिल्टनियन के रूप में जाना जाता है। इनका वर्णन इस प्रकार किया गया है। अपरिवर्तनीय स्केलर उत्पाद द्वारा चिह्नित करें (इसे अक्सर हत्या का रूप माना जाता है)। मान लीजिए कि यह स्केलर उत्पाद के माध्यम से दिया गया आधार है और इसका दोहरा आधार है। एक तत्व के लिए, प्रचालक द्वारा दर्शाया जाता है जो अन्य कारकों के th कारक पर और पहचान के रूप में कार्य करता है। फिर ये प्रचालक पारस्परिक रूप से आवागमन कर रहे हैं। गौडिन मॉडल के सिद्धांत में रुचि की एक समस्या इन प्रचालक के एक साथ आइगेनवेक्टर और आइगेनवैल्यू का पता लगाना है। कई गौडिन हैमिल्टनियन के साथ काम करने के बजाय, एक और ऑपरेटर है, जिसे कभी-कभी गौडिन हैमिल्टनियन के रूप में जाना जाता है। यह एक जटिल पैरामीटर पर निर्भर करता है, और द्विघात कासिमिर पर भी निर्भर करता है, जो सार्वभौमिक आवरण बीजगणित का एक तत्व है, जिसे इस रूप में परिभाषित किया गया है। इसे कभी-कभी प्रतिनिधित्व का सूचकांक कहा जाता है। गौडिन हैमिल्टनियन को तब की कम्यूटेटिविटी से निम्नलिखित के विभिन्न मूल्यों के लिए कम्यूटेटिविटी को परिभाषित किया जाता है। उच्च गौडिन हैमिल्टनियन जब 1 से अधिक रैंक होता है, तो गौडिन हैमिल्टनियन द्वारा फैले आने-जाने वाले बीजगणित और पहचान को एक बड़े आने-जाने वाले बीजगणित में विस्तारित किया जा सकता है, जिसे गौडिन बीजगणित के रूप में जाना जाता है। इसी तरह हरीश-चंद्र समरूपता के लिए, इन कम्यूटिंग तत्वों में संबद्ध डिग्री हैं, और विशेष रूप से गौडिन हैमिल्टनियन बीजगणित के डिग्री 2 भाग का निर्माण करते हैं। के लिए, गौडिन हैमिल्टनियन और पहचान गौडिन बीजगणित में फैले हुए हैं। एक और कम्यूटिंग बीजगणित है जो 'सार्वभौमिक' है, जो साइटों और भारों के किसी भी विकल्प के लिए गौडिन बीजगणित में अंतर्निहित है, जिसे फीगिन-फ्रेंकेल केंद्र कहा जाता है। यहाँ देखें। फिर गौडिन बीजगणित के आइगेनवेक्टर बीजगणित पर रैखिक कार्यों को परिभाषित करते हैं। यदि गौडिन बीजगणित का एक तत्व है, और गौडिन बीजगणित का एक आइगेनवेक्टर है, तो कोई एक रैखिक कार्यात्मक प्राप्त करता है जो रैखिक कार्यात्मक को गौडिन बीजगणित का एक चरित्र कहा जाता है। वर्णक्रमीय समस्या, अर्थात, गौडिन बीजगणित के आइगेनवैल्यूज और एक साथ आइगेनवेक्टर्स का निर्धारण, तब गौडिन बीजगणित पर वर्णों को निर्धारित करने का विषय बन जाता है। समाधान गौडिन मॉडल के समाधान का अर्थ अक्सर गौडिन हैमिल्टनियन या गौडिन हैमिल्टनियन के वर्णक्रम का निर्धारण करना होता है। समाधान की कई विधियाँ हैं, जिनमें बीजगणितीय बेथे अन्सात्ज़ शामिल है, जिसका उपयोग चरों के गौडिन पृथक्करण द्वारा किया जाता है, जिसका उपयोग स्क्लेनिन सहसंबंध कार्यों/ऑपर्स द्वारा किया जाता है, जिसमें फीगिन, फ्रेंकेल और रेशेतिखिन द्वारा वर्णित विधि का उपयोग किया जाता है। एस. एल. 2 के लिए, मान लीजिए कि यह मानक आधार है। किसी भी के लिए, कोई भी प्रचालक-मूल्य वाले मेरोमॉर्फिक फलन को परिभाषित कर सकता है इसका अवशेष है, जबकि 'पूर्ण' टेंसर प्रतिनिधित्व। और कई उपयोगी गुणों को संतुष्ट करते हैं लेकिन एक प्रतिनिधित्व नहीं बनाते हैंः तीसरा गुण उपयोगी है क्योंकि यह हमें इसके संबंध में विकर्ण बनाने की भी अनुमति देता है, जिसके लिए एक विकर्ण (लेकिन विकृत) आधार ज्ञात है। साइट और भार द्वारा निर्दिष्ट एक गौडिन मॉडल के लिए, वैक्यूम वेक्टर को प्रत्येक प्रतिनिधित्व से उच्चतम भार स्थितियों के टेंसर उत्पाद के रूप में परिभाषित करें। एक बेथे वेक्टर (स्पिन विचलन का) के लिए रूप का एक वेक्टर है। बेथ वैक्टर के रूप के आइगेनवेक्टर का अनुमान लगाना बेथ एंसात्ज़ है। यह दिखाया जा सकता है कि एक बेथ वेक्टर गौडिन हैमिल्टनियन का एक आइगेनवेक्टर है यदि समीकरणों का सेट 1 और 1 के बीच प्रत्येक के लिए होता है। स्पिन विचलन के लिए ये बेथे अन्सात्ज़ समीकरण हैं। सिद्धांत रूप में, बेथ एंसाट्ज़ समीकरणों को गौडिन हैमिल्टनियन के आइगेनवेक्टर और आइगेनवैल्यू देने के लिए हल किया जा सकता है। व्यवहार में, यदि समीकरणों को वर्णक्रमीय समस्या को पूरी तरह से हल करना है, तो किसी को यह भी जांचना चाहिए कि बेथ समीकरणों द्वारा अनुमानित समाधानों की संख्या समाधानों की बहुलता यदि, साइटों और भारों के एक विशिष्ट विन्यास के लिए, बेथ एंसात्ज़ सभी आइगेनवेक्टर उत्पन्न करता है, तो इसे गौडिन मॉडल के उस विन्यास के लिए पूर्ण कहा जाता है। गौडिन मॉडल के उदाहरणों का निर्माण करना संभव है जो अधूरे हैं। गौडिन मॉडल के सिद्धांत में एक समस्या यह निर्धारित करना है कि कोई दिया गया विन्यास कब पूरा होता है या नहीं, या कम से कम 'मॉडल के स्थान' की विशेषता है जिसके लिए बेथ एंसात्ज़ पूरा हो गया है। सामान्य जटिल सरल जी के लिए बेथे एनसैट्ज़ समीकरण के अनुरूप उच्च श्रेणी के लाइ बीजगणित के लिए प्राप्त किया जा सकता है। हालाँकि, इन्हें प्राप्त करना और हल करना मामले की तुलना में बहुत अधिक कठिन है। इसके अलावा, 1 से अधिक रैंक के लिए, यानी, अन्य सभी के अलावा, उच्च गौडिन हैमिल्टनियन हैं, जिनके लिए यह अज्ञात है कि बेथ अन्सात्ज़ को सामान्य कैसे किया जाए। ओ. डी. ई./आई. एम. समरूपता गौडिन बीजगणित (या सार्वभौमिक फीगिन-फ्रेंकल केंद्र) के बीच एक ओ. डी. ई./आई. एम. समरूपता है, जो सिद्धांत के लिए 'गति के समाकलन' हैं, और ओपर्स, जो इस मामले में साधारण अंतर प्रचालक हैं। सामान्यीकरण एक सख्ती से अर्ध-सरल लाइ बीजगणित होने पर प्रतिबंध को कमजोर करने से उत्पन्न होने वाले सामान्यीकरण मौजूद हैं। उदाहरण के लिए, जब एक एफ़ाइन लाइ बीजगणित होने की अनुमति दी जाती है, तो मॉडल को एफ़ाइन गौडिन मॉडल कहा जाता है। सामान्यीकरण का एक अलग तरीका एक विशेष लाइ बीजगणित के पसंदीदा ऑटोमोर्फिज्म को चुनना है। फिर कोई हैमिल्टनियन को परिभाषित कर सकता है जो ऑटोमोर्फिज्म की क्रिया के तहत अच्छी तरह से बदल जाते हैं। ऐसे मॉडलों का एक वर्ग साइक्लोटोमिक गौडिन मॉडल है। शास्त्रीय गौडिन मॉडल की भी एक धारणा है। ऐतिहासिक रूप से, अधिकांश भौतिक प्रणालियों के विपरीत, क्वांटम गौडिन मॉडल को पहले परिभाषित और अध्ययन किया गया था। कुछ शास्त्रीय समाकलनीय क्षेत्र सिद्धांतों को शास्त्रीय डायहेड्रल एफ़ाइन गौडिन मॉडल के रूप में देखा जा सकता है। इसलिए, क्वांटम एफाइन गौडिन मॉडल को समझने से क्वांटम इंटीग्रेबल फील्ड सिद्धांतों की इंटीग्रेबल संरचना को समझने में मदद मिल सकती है। इस तरह के शास्त्रीय क्षेत्र सिद्धांतों में प्रमुख कायरल मॉडल, कोसेट सिग्मा मॉडल और एफ़ाइन टोडा क्षेत्र सिद्धांत शामिल हैं। संदर्भ बाहरी लिंक एन. एल. ए. बी. में गौडिन इंटीग्रेबल मॉडल (वीडियो में 8:40 से 15:14 देखें।) स्पिन मॉडल क्वांटम जाली मॉडल क्वांटम चुंबकत्व