Ordinal Pareto efficiency
साधारण पारेतो दक्षता पारेतो-दक्षता की अवधारणा के कई अनुकूलनों को संदर्भित करती है जिसमें एजेंट केवल वस्तुओं पर क्रमिक उपयोगिताओं को व्यक्त करते हैं, लेकिन बंडलों पर नहीं। अर्थात्, अभिकर्ता वस्तुओं को सर्वोत्तम से सबसे खराब श्रेणी में रखते हैं, लेकिन वे वस्तुओं के उपसमुच्चय को श्रेणीबद्ध नहीं करते हैं। विशेष रूप से, वे प्रत्येक वस्तु के लिए एक संख्यात्मक मूल्य निर्दिष्ट नहीं करते हैं। यह इस बारे में अस्पष्टता पैदा कर सकता है कि क्या कुछ आवंटन पारेटो-कुशल हैं या नहीं। एक उदाहरण के रूप में, तीन वस्तुओं और दो एजेंटों वाली अर्थव्यवस्था पर विचार करें, जिसमें निम्नलिखित रैंकिंग हैः एलिसः x> y> z. जॉर्जः x> z> y। आबंटन पर विचार करें [एलिसः x, जॉर्जः y, z]। यह आवंटन पारेतो-कुशल है या नहीं, यह एजेंटों के संख्यात्मक मूल्यांकन पर निर्भर करता है। उदाहरण के लिएः यह संभव है कि एलिस {y, z} को {x} से अधिक पसंद करे और जॉर्ज {x} को {y, z} से अधिक पसंद करे (उदाहरण के लिएः x, y, z के लिए एलिस का मूल्यांकन 8,7,6 है और जॉर्ज का मूल्यांकन 7,1,2 है, इसलिए उपयोगिता प्रोफ़ाइल 8,3 है)। फिर आवंटन पारेतो-कुशल नहीं है, क्योंकि एलिस और जॉर्ज दोनों अपने बंडलों का आदान-प्रदान करके बेहतर होंगे (उपयोगिता प्रोफ़ाइल 13,7 होगी)। इसके विपरीत, यह संभव है कि एलिस {x} को {y, z} से अधिक पसंद करे और जॉर्ज {y, z} को {x} से अधिक पसंद करे (उदाहरण के लिएः एलिस के मूल्यांकन 12,4,2 हैं और जॉर्ज के मूल्यांकन 6,3,4 हैं)। फिर आवंटन पारेतो-कुशल हैः किसी भी अन्य आवंटन में, यदि एलिस को अभी भी x मिलता है, तो जॉर्ज की उपयोगिता कम है; यदि एलिस को x नहीं मिलता है, तो एलिस की उपयोगिता कम है। इसके अलावा, आवंटन पारेतो-कुशल है, भले ही आइटम विभाज्य हों (यानी, यह आंशिक रूप से पारेतो कुशल है): यदि एलिस जॉर्ज को x की कोई भी राशि r देता है, तो जॉर्ज को अपनी उपयोगिता को समान स्तर पर रखने के लिए उसे कम से कम 3r का y या 6r का z देना होगा। लेकिन फिर जॉर्ज की उपयोगिता 6r-9r या 6r-24r से बदल जाएगी, जो नकारात्मक है। चूंकि किसी आवंटन की पारेतो-दक्षता बंडलों की रैंकिंग पर निर्भर करती है, इसलिए यह स्पष्ट नहीं है कि जब केवल वस्तुओं की रैंकिंग दी जाती है तो आवंटन की दक्षता कैसे निर्धारित की जाती है। परिभाषा एक आबंटन X = (X1,., Xn) पारेतो एक अन्य आबंटन Y = (Y1,., Yn) पर हावी है, यदि प्रत्येक अभिकर्ता i कमजोर रूप से बंडल Xi को बंडल Yi की तुलना में पसंद करता है, और कम से कम एक अभिकर्ता j सख्ती से Xj से Yj को पसंद करता है। एक आवंटन X पारेतो-कुशल है यदि कोई अन्य आवंटन पारेतो-हावी नहीं है। कभी-कभी, असतत-पारेतो-दक्षता के बीच एक अंतर किया जाता है, जिसका अर्थ है कि एक आवंटन एक असतत आवंटन द्वारा हावी नहीं है, और भिन्न पारेतो दक्षता की मजबूत अवधारणा, जिसका अर्थ है कि एक आवंटन एक आंशिक आवंटन द्वारा भी हावी नहीं है। उपरोक्त परिभाषाएँ एजेंटों की बंडलों (वस्तुओं के सेट) की श्रेणी पर निर्भर करती हैं। हमारी सेटिंग में, एजेंट केवल वस्तुओं की अपनी रैंकिंग की रिपोर्ट करते हैं। एक बंडल रैंकिंग को एक आइटम रैंकिंग के अनुरूप कहा जाता है यदि यह सिंगलटन बंडलों को उनके आइटम के समान क्रम में रैंक करता है। उदाहरण के लिए, यदि एलिस की रैंकिंग है, तो किसी भी सुसंगत बंडल रैंकिंग में {w} <{x} <{y} <{z] होना चाहिए। अक्सर, कोई भी स्वीकृत बंडल रैंकिंग के सेट पर अतिरिक्त धारणाएं करता है, जो निरंतरता पर अतिरिक्त प्रतिबंध लगाता है। उदाहरण धारणाएँ हैंः एकरसताः एक बंडल में एक वस्तु जोड़ने से हमेशा बंडल में सुधार होता है। यह इस धारणा के अनुरूप है कि सभी वस्तुएं अच्छी हैं। इस प्रकार, एलिस की बंडल श्रेणी होनी चाहिए। {y} <{y, x}। उत्तरदायित्वः किसी वस्तु को बेहतर वस्तु से बदलने से हमेशा बंडल में सुधार होता है। इस प्रकार, एलिस की बंडल श्रेणी होनी चाहिए। {w, x} <{w, y} <{x, y} <{x, z}। यह निरंतरता से अधिक मजबूत है। योगात्मकताः अभिकर्ता प्रत्येक वस्तु के लिए एक मूल्य निर्धारित करता है, और प्रत्येक बंडल को उसकी सामग्री के योग पर महत्व देता है। यह धारणा उत्तरदायित्व से अधिक मजबूत है। उदाहरण के लिए, यदि एलिस रैंक {x, y} <{z} करती है तो उसे रैंक {w, x, y} <{w, z} करनी चाहिए। लेक्सिकोग्राफिकः एजेंट हमेशा एक बंडल को रैंक करता है जिसमें किसी भी बंडल के ऊपर कुछ आइटम x होता है जिसमें केवल x से कम रैंक वाली आइटम होती हैं। उपरोक्त उदाहरण में, एलिस को {w, x, y} <{z} श्रेणी में होना चाहिए। आवश्यक पेरेटो-दक्षता ब्रैम्स, एडलमैन और फिशबर्न एक आवंटन पेरेटो-सुनिश्चित करते हैं यदि यह सभी बंडल रैंकिंग के लिए पेरेटो-कुशल है जो एजेंटों की वस्तु रैंकिंग के अनुरूप है (वे सभी एकरस और उत्तरदायी बंडल रैंकिंग की अनुमति देते हैं)। उदाहरण के लिएः यदि एजेंटों के मूल्यांकन को सकारात्मक माना जाता है, तो एक ही एजेंट को सभी वस्तुओं को देने वाला प्रत्येक आवंटन पारेटो-एन्सरिंग है। यदि एलिस की श्रेणी x> y है और जॉर्ज की श्रेणी y> x है, तो आवंटन [एलिसः x, जॉर्जः y] पेरेटो-सुनिश्चित करने वाला है। यदि एलिस की श्रेणी x> y> z है और जॉर्ज की श्रेणी x> z> y है और आवंटन असतत होना चाहिए, तो आवंटन [एलिसः x, y; जॉर्जः z] पारेटो-सुनिश्चित करने वाला है। उपरोक्त रैंकिंग के साथ, आवंटन [एलिसः x, जॉर्जः y, z] पेरेटो-सुनिश्चित करने वाला नहीं है। जैसा कि परिचय में समझाया गया है, यह पारेतो-कुशल नहीं है जैसे। जब x, y, z के लिए एलिस का मूल्यांकन 8,7,6 है और जॉर्ज का मूल्यांकन 7,1,2 है। ध्यान दें कि ये दोनों मूल्यांकन एजेंटों की रैंकिंग के अनुरूप हैं। बोवेरेट, एंड्रिस और लैंग। एक समान परिभाषा का उपयोग करें। उनका कहना है कि एक आवंटन X संभवतः पारेतो-एक आवंटन Y पर हावी होता है यदि एजेंटों की वस्तु रैंकिंग के अनुरूप कुछ बंडल रैंकिंग मौजूद है, जिसके लिए X पारेतो-Y पर हावी है। यदि कोई अन्य आवंटन संभवतः-पेरेटो-हावी नहीं है तो एक आवंटन को आवश्यक-पेरेटो-कुशल (एन. ई. सी. पी. ई.) कहा जाता है। दोनों परिभाषाएँ तार्किक रूप से समतुल्य हैंः "एक्स पारेतो-सुनिश्चित करने वाला है" "प्रत्येक सुसंगत बंडल रैंकिंग के लिए, प्रत्येक अन्य आवंटन के लिए वाई, वाई पारेतो-हावी एक्स नहीं है" के बराबर है। "एक्स एन. ई. सी. पी. ई है" के बराबर है "प्रत्येक अन्य आवंटन वाई के लिए, प्रत्येक सुसंगत बंडल रैंकिंग के लिए, वाई एक्स पर हावी नहीं होता है"। "सभी के लिए" परिमापकों के क्रम का आदान-प्रदान करने से तार्किक अर्थ नहीं बदलता है। एन. ई. सी. पी. ई. शर्त समान रहती है चाहे हम सभी योगात्मक बंडल रैंकिंग की अनुमति दें, या हम केवल उन रैंकिंग की अनुमति देते हैं जो घटते अंतर के साथ योगात्मक मूल्यांकन पर आधारित हों। अस्तित्व एन. ई. सी. पी. ई. एक बहुत मजबूत आवश्यकता है, जिसे अक्सर पूरा नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि दो एजेंटों की आइटम रैंकिंग समान है। एलिस का कहना है कि उनमें से एक को अनिवार्य रूप से सबसे कम रैंक वाली वस्तु मिलती है। लगातार योगात्मक बंडल-रैंकिंग होती है जिसमें एलिसेस इस वस्तु को 0 पर मान देता है जबकि जॉर्ज इसे 1 पर मान देता है। इसलिए, इसे एलिस को देना पेरेटो-कुशल नहीं है। अगर हम चाहते हैं कि सभी वस्तुओं का सख्ती से सकारात्मक मूल्य हो, तो सभी वस्तुओं को एक ही एजेंट को देना मामूली रूप से एन. ई. सी. पी. ई. है, लेकिन यह बहुत अनुचित है। यदि आंशिक आवंटन की अनुमति है, तो कोई एन. ई. सी. पी. ई. आवंटन नहीं हो सकता है जो दोनों एजेंटों को एक सकारात्मक मूल्य देता है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि एलिस और जॉर्ज दोनों की श्रेणी x> y है। यदि दोनों को सकारात्मक मान मिलता है, तो या तो एलिस को कुछ x मिलता है और जॉर्ज को कुछ y मिलता है, या इसके विपरीत। पहले मामले में, यह संभव है कि एलिस का मूल्यांकन उदाहरण के लिए हो। 4, 2 और जॉर्ज का मूल्यांकन 8,1 है, इसलिए एलिस x की एक छोटी राशि r को y की एक छोटी राशि 3r के लिए बदल सकती है। एलिस 6r-4r और जॉर्ज 8r-3r प्राप्त करता है, इसलिए दोनों लाभ सकारात्मक हैं। बाद के मामले में, एक अनुरूप तर्क है। संभावित पेरेटो-दक्षता ब्रैम्स, एडलमैन और फिशबर्न एक आवंटन पेरेटो-संभव कहते हैं यदि यह कुछ बंडल रैंकिंग के लिए पेरेटो-कुशल है जो एजेंटों की वस्तु रैंकिंग के अनुरूप हैं। जाहिर है, हर पारेतो-आश्वासन आवंटन पारेतो-संभव है। इसके अलावाः यदि एलिस की श्रेणी x> y> z है और जॉर्ज की श्रेणी x> z> y है, तो आवंटन [एलिसः x, जॉर्जः y, z] पारेतो-संभव है। जैसा कि परिचय में समझाया गया है, यह पारेतो-कुशल है जैसे। जब x, y, z के लिए एलिस का मूल्यांकन 12,4,2 है और जॉर्ज का मूल्यांकन 6,3,4 है। ध्यान दें कि ये दोनों मूल्यांकन एजेंटों की रैंकिंग के अनुरूप हैं। यदि एलिस की श्रेणी x> y है और जॉर्ज की श्रेणी y> x है, तो आवंटन [एलिसः y, जॉर्जः x] पेरेटो-संभव नहीं है, क्योंकि यह हमेशा आवंटन [एलिसः x, जॉर्जः y] द्वारा पेरेटो-प्रभुत्व रखता है। बोवेरेट, एंड्रिस और लैंग। एक अलग परिभाषा का उपयोग करें। उनका कहना है कि एक आवंटन X आवश्यक रूप से एक आवंटन Y पर हावी होता है यदि एजेंटों की आइटम रैंकिंग के अनुरूप सभी बंडल रैंकिंग के लिए, X Pareto-Y पर हावी होता है। एक आवंटन को पॉसिबल-पेरेटो-एफिशिएंट (पी. ओ. एस. पी. ई.) कहा जाता है यदि कोई अन्य आवंटन आवश्यक रूप से-पेरेटो-हावी नहीं है। दोनों परिभाषाएँ तार्किक रूप से समतुल्य नहीं हैंः "एक्स पारेतो-संभव है" "एक सुसंगत बंडल रैंकिंग मौजूद है जिसके लिए, प्रत्येक अन्य आवंटन के लिए वाई, वाई एक्स पर हावी नहीं होता है"। यह अन्य सभी आवंटन Y के लिए समान बंडल रैंकिंग होनी चाहिए। "एक्स पॉस्पी है" के बराबर है "प्रत्येक अन्य आवंटन वाई के लिए, एक सुसंगत बंडल रैंकिंग मौजूद है, जिसके लिए वाई एक्स पर हावी नहीं है"। प्रत्येक अन्य आवंटन Y के लिए एक अलग बंडल रैंकिंग हो सकती है। यदि एक्स पारेतो-संभव है तो यह पॉस्पी है, लेकिन दूसरा निहितार्थ (तार्किक रूप से) सही नहीं है। पेरेटो-संभावित स्थिति वही रहती है चाहे हम सभी योगात्मक बंडल रैंकिंग की अनुमति दें, या हम केवल उन रैंकिंग की अनुमति देते हैं जो घटते अंतर के साथ योगात्मक मूल्यांकन पर आधारित हों। स्टोकेस्टिक-डोमिनेंस पेरेटो-एफिशिएंसी बोगोमोल्निया और मौलिन उचित यादृच्छिक कार्य की स्थापना के लिए एक दक्षता धारणा प्रस्तुत करते हैं (जहां बंडल रैंकिंग योगात्मक होती है, आवंटन आंशिक होते हैं, और प्रत्येक एजेंट को दिए गए अंशों का योग अधिकतम 1 होना चाहिए)। यह यादृच्छिक प्रभुत्व की धारणा पर आधारित है। प्रत्येक अभिकर्ता i के लिए, एक बंडल xi एक बंडल xi पर कमजोर रूप से हावी (डब्ल्यू. एस. डी.) होता है यदि प्रत्येक वस्तु z के लिए, xi में z से बेहतर वस्तुओं का कुल अंश कम से कम yi जितना बड़ा है (यदि आवंटन असतत हैं, तो xi sd yi का मतलब है कि प्रत्येक वस्तु z के लिए, xi में z से बेहतर वस्तुओं की संख्या कम से कम उतनी ही बड़ी है जितनी कि yi में है)। एस. डी. संबंध में कई समतुल्य परिभाषाएँ हैं; उत्तरदायी सेट विस्तार देखें। विशेष रूप से, शी एस डी यी यदि-और-केवल-यदि, आइटम रैंकिंग के अनुरूप प्रत्येक बंडल रैंकिंग के लिए, शी कम से कम यी जितना अच्छा है। एक बंडल शी सख्ती से-यादृच्छिक रूप से एक बंडल यी पर हावी (एसएसडी) होता है यदि शी डब्ल्यूएसडी यी और शी ष्ण यी। समान रूप से, कम से कम एक वस्तु z के लिए, "कम से कम Yi जितना बड़ा" "Yi की तुलना में सख्ती से बड़ा" हो जाता है। एस. एस. डी. संबंध में "xi>> yi" लिखा जाता है। एक आबंटन X = (X1,., Xn) यादृच्छिक रूप से एक अन्य आबंटन Y = (Y1,., Yn) पर हावी है, यदि प्रत्येक अभिकर्ता i: xi wsd Yi, और y ष्ण (समतुल्यः कम से कम एक अभिकर्ता i, xi ssd Yi के लिए)। यादृच्छिक प्रभुत्व में आवंटन के बीच संबंध को "X>> Y" के रूप में भी लिखा जाता है। यह आवश्यक पेरेटो-डोमिनेशन के बराबर है। एक आवंटन को एस. डी.-कुशल कहा जाता है (जिसे सामान्य रूप से कुशल या ओ-कुशल भी कहा जाता है) यदि कोई आवंटन नहीं है जो उस पर हावी हो। यह पी. ओ. एस. पी. ई. के समान है, लेकिन इस बात पर जोर देता है कि बंडल रैंकिंग योगात्मक उपयोगिता कार्यों पर आधारित होनी चाहिए, और आवंटन आंशिक हो सकते हैं। जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, पेरेटो-पॉसिबल का तात्पर्य पॉस्पी है, लेकिन दूसरी दिशा तार्किक रूप से सही नहीं है। मैकलेनन साबित करते हैं कि वे निष्पक्ष यादृच्छिक असाइनमेंट समस्या (सख्त या कमजोर आइटम रैंकिंग के साथ) में समकक्ष हैं। विशेष रूप से, वह साबित करता है कि निम्नलिखित समतुल्य हैंः (ए) एक्स एस. डी.-कुशल है (यानी, एक्स. पॉस्पी है); (बी) एजेंटों की वस्तु-श्रेणी के अनुरूप योगात्मक बंडल-श्रेणी मौजूद है जिसके लिए एक्स आंशिक रूप से-पेरेटो-कुशल है (यानी, एक्स. पेरेटो-संभव है); (सी) एजेंटों की वस्तु-श्रेणी के अनुरूप योगात्मक बंडल-श्रेणी मौजूद है जिसके लिए एक्स एजेंटों की उपयोगिताओं के योग को अधिकतम करता है। निहितार्थ (सी)-(बी)-(ए) आसान हैं; चुनौतीपूर्ण हिस्सा यह साबित करना है कि (ए)-(सी)। मैकलेनन इसे पॉलीहेड्रल सेपेरिंग हाइपरप्लेन थ्योरम का उपयोग करके साबित करते हैं। बोगोमोलेनिया और मौलिन एस. डी.-दक्षता का एक और उपयोगी लक्षण वर्णन साबित करते हैं, एक ही उचित यादृच्छिक असाइनमेंट सेटिंग के लिए लेकिन सख्त आइटम रैंकिंग के साथ। किसी दिए गए आंशिक आवंटन के विनिमय ग्राफ को एक निर्देशित ग्राफ के रूप में परिभाषित करें जिसमें नोड्स आइटम हैं, और एक चाप x → y iff है जो एक एजेंट i मौजूद है जो x को पसंद करता है और y का एक सकारात्मक अंश प्राप्त करता है। एक आवंटन को चक्रीय के रूप में परिभाषित करें यदि इसके विनिमय ग्राफ में कोई निर्देशित चक्र नहीं है। फिर, एक आवंटन एस. डी.-कुशल आई. एफ. एफ. यह एसाइक्लिक है। फिशबर्न ने प्रतिक्रियाशील बंडल रैंकिंग के साथ असतत बंडलों के प्रभुत्व संबंधों पर निम्नलिखित समानता को साबित कियाः यदि xi>> yi (अर्थात्ः xi § yi, और प्रत्येक वस्तु z के लिए, xi के पास कम से कम उतने ही आइटम हैं जो कम से कम z के रूप में अच्छे हैं), तो प्रत्येक प्रतिक्रियाशील बंडल-रैंकिंग के लिए आइटम-रैंकिंग के अनुरूप, xi> yi। यदि xi>> yi नहीं है, तो आइटम-रैंकिंग के अनुरूप कम से कम एक उत्तरदायी बंडल-रैंकिंग मौजूद है, जिसके लिए xi <yi है। इसलिए, असतत आबंटन के प्रभुत्व संबंधों के लिए निम्नलिखित धारण करता हैः X>> Y यदि X आवश्यक रूप से Y पर पारेतो-प्रभुत्व रखता है। गुण यदि xi wsd yi है, तो xi में वस्तुओं की कुल मात्रा (असतत या आंशिक) कम से कम yi में जितनी बड़ी होनी चाहिए। ऐसा इसलिए है क्योंकि, यदि |Xi। <|Yi।, तो मूल्यांकन के लिए जो सभी वस्तुओं के लिए लगभग समान मूल्य निर्धारित करता है, v (xi) <v (yi)। इसका मतलब है कि, यदि एक्स डब्ल्यूएसडी वाई और दोनों एक्स और वाई पूर्ण आवंटन हैं (सभी वस्तुओं को आवंटित किया गया है), तो आवश्यक रूप से सभी एजेंटों के लिए |Xi। = |Yi। दूसरे शब्दों में, एक पूर्ण आवंटन X को केवल एक आवंटन Y द्वारा अनिवार्य रूप से हावी किया जा सकता है जो प्रत्येक एजेंट को X के समान राशि प्रदान करता है। इसका मतलब है कि, विशेष रूप से, यदि X सभी आवंटन के सेट में sd-कुशल है जो प्रत्येक एजेंट को बिल्कुल 1 इकाई देता है, तो X सामान्य रूप से sd-कुशल है। लेक्सिकोग्राफिक-प्रभुत्व पेरेटो-दक्षता चो लेक्सिकोग्राफिक प्रभुत्व के आधार पर निष्पक्ष यादृच्छिक कार्य की स्थापना के लिए दो अन्य दक्षता धारणाओं को प्रस्तुत करता है। एक आवंटन X = (X1,., Xn) डाउनवर्ड-लेक्सिकोग्राफिक रूप से (dl) एक अन्य आवंटन Y = (Y1,., Yn) पर हावी होता है, अगर प्रत्येक एजेंट i के लिए, xi कमजोर-dl-डोमिनेट्स Yi, और कम से कम एक एजेंट j के लिए, Xj सख्ती से-dl-डोमिनेट्स Yj। एक आवंटन को डीएल-कुशल कहा जाता है यदि कोई अन्य आवंटन नहीं है जो इसे डीएल-हावी करता है। इसी तरह, ऊपर की ओर-लेक्सिकोग्राफिक (उल) वर्चस्व की धारणा के आधार पर, एक आवंटन को उल-कुशल कहा जाता है यदि कोई अन्य आवंटन नहीं है जो इसे उल-हावी करता है। सामान्य तौर पर, एस. डी.-डोमिनेशन का अर्थ है डी. एल.-डोमिनेशन और उल-डोमिनेशन। इसलिए, डीएल-दक्षता और अल-दक्षता का अर्थ एसडी-दक्षता है। समानताएं उचित यादृच्छिक असाइनमेंट सेटिंग पर विचार करें (बंडल रैंकिंग योगात्मक है, आवंटन आंशिक हो सकता है, और प्रत्येक एजेंट को दिया गया कुल अंश 1 होना चाहिए), सख्त आइटम रैंकिंग के साथ, जहां एजेंटों की तुलना में अधिक आइटम हो सकते हैं (इसलिए कुछ आइटम आवंटित नहीं रह सकते हैं)। चो और डोगन साबित करते हैं कि, इस विशेष मामले में, डीएल-दक्षता और उल-दक्षता एसडी-दक्षता के बराबर हैं। विशेष रूप से, वे साबित करते हैं कि यदि कोई आवंटन X एस. डी./एल. डी./यू. एल. कुशल है, तोः X का विनिमय ग्राफ चक्रीय है, और-X गैर-व्यर्थ है ("व्यर्थ" का अर्थ है कि कुछ एजेंट i, जो एक वस्तु x का सकारात्मक अंश प्राप्त करता है, किसी अन्य वस्तु y को पसंद करता है जो पूरी तरह से आवंटित नहीं है)। यदि वितरण संबंधी बाधाएं हैं तो समानता नहीं होती हैः ऐसे आवंटन हैं जो एस. डी.-कुशल हैं लेकिन डी. एल.-कुशल नहीं हैं। आगे पढ़कर अज़ीज़, गैस्पर्स, मैकेंज़ी और वॉल्श सामान्य निष्पक्षता की धारणाओं से संबंधित कम्प्यूटेशनल मुद्दों का अध्ययन करते हैं। खंड 7 में वे संक्षेप में एस. डी.-पेरेटो-दक्षता का अध्ययन करते हैं। डोगन, डोगन और यिल्डिज़ आबंटन के बीच एक अलग प्रभुत्व संबंध का अध्ययन करते हैंः एक आबंटन X एक आबंटन Y पर हावी होता है यदि यह आइटम रैंकिंग के अनुरूप बंडल-रैंकिंग के एक बड़े सेट के लिए पारेटो-कुशल है। अब्दुलकादिरोलू और सोनमेज़ एस. डी.-दक्षता और पूर्व-पोस्ट पेरेटो-दक्षता (यादृच्छिक कार्य के संदर्भ में) के बीच संबंध की जांच करते हैं। वे असाइनमेंट के सेट के लिए वर्चस्व की एक नई धारणा पेश करते हैं, और दिखाते हैं कि एक लॉटरी एस. डी.-कुशल है यदि लॉटरी के समर्थन का प्रत्येक उपसमुच्चय अनिर्दिष्ट है। संदर्भ पारेतो दक्षता यादृच्छिक चर क्रम