Van den Berg–Kesten inequality
संभाव्यता सिद्धांत में, वैन डेन बर्ग-केस्टन (बी. के.) असमानता या वैन डेन बर्ग-केस्टन-रीमर (बी. के. आर.) असमानता बताती है कि दोनों यादृच्छिक घटनाओं के होने की संभावना, और एक ही समय में यह दिखाने के लिए "असंबद्ध प्रमाण पत्र" मिल सकते हैं कि वे दोनों होते हैं, अधिक से अधिक उनकी व्यक्तिगत संभावनाओं का उत्पाद है। दो मोनोटोन घटनाओं के लिए विशेष मामला (एफ. के. जी. असमानता में उपयोग की जाने वाली धारणा) पहली बार 1985 में वैन डेन बर्ग और केस्टन द्वारा साबित किया गया था, जिन्होंने यह भी अनुमान लगाया था कि असमानता सामान्य रूप से होती है, जिसमें मोनोटोनिकता की आवश्यकता नहीं होती है। बाद में इस अनुमान को साबित कर दिया। असमानता को उत्पाद संरचना के साथ प्रायिकता रिक्त स्थान पर लागू किया जाता है, जैसे कि परकोलेशन समस्याओं में। कथन आइए संभाव्यता रिक्त स्थान हों, जिनमें से प्रत्येक सीमित रूप से कई तत्वों में से एक है। असमानता उत्पाद माप से सुसज्जित रूप के रिक्त स्थान पर लागू होती है, ताकि प्रत्येक तत्व को संभावना दी जाए दो घटनाओं के लिए, उनकी असंबद्ध घटना को उस घटना के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसमें विन्यास होते हैं जिनकी सदस्यता को सूचकांकों के असंबद्ध उपसमुच्चय पर सत्यापित किया जा सकता है। औपचारिक रूप से, यदि ऐसे उपसमुच्चय मौजूद हैं जोः उन सभी के लिए जो (दूसरे शब्दों में,) से सहमत हैं, वे भी हैं और इसी तरह हर वह जो सहमत है वह है असमानता इस बात पर जोर देती है किः घटनाओं और उदाहरणों के प्रत्येक जोड़े के लिए सिक्का उछलता है यदि एक उचित सिक्का बार उछालने के अनुरूप है, तो प्रत्येक में दो संभावित परिणाम, सिर या पूंछ, समान संभावना के साथ होते हैं। इस घटना पर विचार करें कि लगातार 3 शीर्ष मौजूद हैं, और इस घटना पर विचार करें कि कुल मिलाकर कम से कम 5 शीर्ष हैं। फिर निम्नलिखित घटना होगीः लगातार 3 सिर हैं, और उन्हें त्यागते हुए 5 और सिर शेष हैं। इस घटना की अधिक से अधिक संभावना है जो कहने के लिए 10 टॉस में आने की संभावना है, और एक दूसरे से स्वतंत्र, एक और 10 टॉस में आने की संभावना है। संख्यात्मक रूप से, और उनकी असंबद्ध घटना कम से कम 8 शीर्षों का संकेत देगी, इसलिए एक ग्राफ के (बर्नौली) बंधन परावर्तन में, 's को किनारों द्वारा अनुक्रमित किया जाता है। प्रत्येक किनारे को कुछ संभावना के साथ (या "खुला") रखा जाता है या अन्यथा हटा दिया जाता है (या "बंद"), अन्य किनारों से स्वतंत्र, और एक शेष ग्राफ की कनेक्टिविटी के बारे में प्रश्नों का अध्ययन करता है, उदाहरण के लिए घटना कि दो शीर्षों के बीच एक रास्ता है और केवल खुले किनारों का उपयोग कर रहा है। इस तरह की घटनाओं के लिए, असंगत घटना वह घटना है जहां दो खुले रास्ते मौजूद होते हैं जो किसी भी किनारे को साझा नहीं करते हैं (सबसेट के अनुरूप और परिभाषा में), जैसे कि पहला जो आवश्यक कनेक्शन प्रदान करता है और दूसरा असमानता के लिए उप-महत्वपूर्ण शासन में घातीय क्षय घटना के एक संस्करण को साबित करने के लिए उपयोग किया जा सकता है, अर्थात् एक उपयुक्त रूप से परिभाषित महत्वपूर्ण संभावना के लिए पूर्णांक जाली ग्राफ पर, मूल वाले जुड़े घटक की त्रिज्या तेजी से छोटी पूंछ के साथ एक वितरण का पालन करती हैः कुछ स्थिरांक के लिए यहाँ ऐसे शीर्ष होते हैं जो विस्तार को संतुष्ट करते हैं कई घटनाएं जब तीन या अधिक घटनाएँ होती हैं, तो ऑपरेटर सहयोगी नहीं हो सकता है, क्योंकि सूचकांकों का एक सबसेट दिया गया है जिस पर हो सकता है उदाहरण के लिए, एक ऐसी घटना मौजूद है कि फिर भी, कोई भी घटनाओं के बी. के. आर. संचालन को विन्यासों के समूह के रूप में परिभाषित कर सकता है जहां सूचकांकों के जोड़ीदार असंबद्ध उपसमुच्चय होते हैं जैसे कि इस ऑपरेशन में सदस्यता की गवाही देते हैंः जहां से मूल बी. के. असमानता का बार-बार उपयोग किया जाता है। इस असमानता का उपयोग फ्लोरिडा लॉटरी के विजेता आंकड़ों का विश्लेषण करने और गणित पत्रिका द्वारा "अविश्वसनीय रूप से भाग्यशाली" व्यक्तियों की पहचान करने के लिए किया गया था, जिसकी बाद में प्रवर्तन जांच द्वारा पुष्टि की गई कि कानून का उल्लंघन शामिल था। बड़े कार्डिनलिटी के स्थान जब अनंत होने की अनुमति दी जाती है, तो सैद्धांतिक मुद्दे उत्पन्न होते हैं। और लेबेस्ग्यू माप के लिए, ऐसे मापने योग्य उपसमुच्चय हैं जो गैर-मापने योग्य हैं (इसलिए असमानता को परिभाषित नहीं किया गया है), लेकिन निम्नलिखित प्रमेय अभी भी मानती हैः यदि लेबेस्ग्यू मापने योग्य हैं, तो कुछ बोरेल सेट हैं जो इस प्रकार हैंः और संदर्भ परकोलेशन सिद्धांत संभाव्यता असमानताएँ