Beta-model
मॉडल सिद्धांत में, एक गणितीय विषय, एक β-मॉडल (फ्रांसीसी "बोन ऑर्ड्रे", अच्छी तरह से क्रमबद्ध) एक मॉडल है जो "X अच्छी तरह से क्रमबद्ध है" रूप के बयानों के बारे में सही है। इस शब्द को मोस्टोव्स्की (1959) द्वारा ω-मॉडल की धारणा को मजबूत करने के रूप में पेश किया गया था। क्रमिक द्वारा नामित सेट-सैद्धांतिक गुणों के लिए संकेतन के विपरीत, जैसे-वर्णनीयता, यहाँ β अक्षर केवल सांकेतिक है। समुच्चय सिद्धांत में यह शोएनफील्ड के निरपेक्षता प्रमेय का एक परिणाम है कि निर्माण योग्य ब्रह्मांड L एक β-मॉडल है। विश्लेषण में β-मॉडल द्वितीय क्रम के अंकगणित की उप प्रणालियों के विपरीत गणित के अध्ययन में दिखाई देते हैं। इस संदर्भ में, द्वितीय-क्रम अंकगणित की उप-प्रणाली का एक β-मॉडल एक मॉडल M है जहां M से मापदंडों के साथ किसी भी σ11 सूत्र के लिए, iff. p. 243 द्वितीय-क्रम अंकगणित का प्रत्येक β-मॉडल भी एक ω-मॉडल है, क्योंकि मॉडल के भीतर काम करने से हम साबित कर सकते हैं कि <एक अच्छी तरह से क्रमबद्ध है, इसलिए <वास्तव में मॉडल की प्राकृतिक संख्याओं का एक अच्छी तरह से क्रमबद्ध है। β-मॉडलों के लिए एक अपूर्णता प्रमेय है, यदि T द्वितीय क्रम के अंकगणित की भाषा में एक पुनरावर्ती स्वयंसिद्ध सिद्धांत है, तो T + का एक मॉडल कैसे है, इसके अनुरूप "T का कोई मॉडल नहीं है" यदि T का एक मॉडल है, तो T + का एक β-मॉडल है "T के कोई गणना योग्य कोडित β-मॉडल नहीं हैं" यदि T का एक β-मॉडल है। β-मॉडल पर आधारित स्वयंसिद्ध दूसरे क्रम के अंकगणित की उप-प्रणालियों की ताकत का एक प्राकृतिक सूक्ष्म विभाजन प्रदान करते हैं, और प्रतिबिंब सिद्धांतों को तैयार करने का एक तरीका भी प्रदान करते हैं। उदाहरण के लिए, ओवर, इस कथन के बराबर है "सभी [दूसरे क्रम के प्रकार] के लिए, एक गणना योग्य β-मॉडल M मौजूद है जैसे कि. p. 253 (गणना योग्य ω-मॉडल को उनके पूर्णांकों के सेट द्वारा दर्शाया जाता है, और उनकी संतुष्टि एक प्रेरक परिभाषा द्वारा विश्लेषण की भाषा में औपचारिक होती है। इसके अलावा, एक पुनरावर्ती माहलो ब्रह्मांड (जिसे अक्सर कहा जाता है) के लिए एक विहित स्वयंसिद्ध योजना के साथ केपी का विस्तार करने वाला सिद्धांत तार्किक रूप से सिद्धांत δ-CA + BI + के बराबर है (प्रत्येक वास्तविक Π-सूत्र δ-CA के β-मॉडल द्वारा संतुष्ट होता है)। इसके अतिरिक्त, β-मॉडल और हाइपरजंप के बीच एक संबंध है, जिसमें सिद्ध होता हैः पूर्णांक के सभी सेटों के लिए, एक हाइपरजंप है यदि एक गणना योग्य β-मॉडल मौजूद है जैसे कि. p. 251 संदर्भ गणितीय तर्क