Carathéodory function
गणितीय विश्लेषण में, कैराथिओडोरी फलन (या कैराथिओडोरी समाकलन) एक बहु-परिवर्तनीय फलन है जो हमें निम्नलिखित समस्या को प्रभावी ढंग से हल करने की अनुमति देता हैः दो लेबसेग्यू-मापने योग्य कार्यों की संरचना को लेबसेग्यू-मापने योग्य भी नहीं होना चाहिए। फिर भी, एक निरंतर फलन के साथ एक मापने योग्य फलन की संरचना वास्तव में लेबस्ग्यू-मापने योग्य है, लेकिन कई स्थितियों में, निरंतरता एक बहुत ही प्रतिबंधात्मक धारणा है। कैराथियोडोरी कार्य निरंतर कार्यों की तुलना में अधिक सामान्य होते हैं, लेकिन फिर भी लेबस्ग्यू-मापने योग्य कार्य के साथ एक संरचना को मापने योग्य होने की अनुमति देते हैं। कैराथियोडोरी कार्य भिन्नता के कलन में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं, और इसका नाम यूनानी गणितशास्त्री कॉन्स्टेंटिन कैराथियोडोरी के नाम पर रखा गया है। परिभाषा, लेब्सग्यू माप के साथ संपन्न के लिए, एक कैराथियोडोरी फ़ंक्शन है यदिः 1। मानचित्रण प्रत्येक के लिए लेबस्ग्यू-मापने योग्य है। 2. मानचित्रण लगभग हर एक के लिए निरंतर है। कैराथिओडोरी फलन की मुख्य योग्यता निम्नलिखित हैः यदि कैराथिओडोरी फलन और लेबसेग्यू-मापने योग्य है, तो रचना लेबसेग्यू-मापने योग्य है। उदाहरण भिन्नता के कलन में कई समस्याओं को निम्नलिखित तरीके से तैयार किया गया हैः कार्यात्मक का न्यूनतम ज्ञात करें जहां सोबोलेव स्थान है, वह स्थान जिसमें सभी कार्य शामिल हैं जो कमजोर रूप से अवकलनीय हैं और यह कि कार्य स्वयं और इसके सभी प्रथम क्रम व्युत्पन्न हैं; और जहां कुछ के लिए, एक कैराथियोडोरी कार्य। तथ्य यह है कि एक कैराथियोडोरी फ़ंक्शन हमें यह सुनिश्चित करता है कि यह अच्छी तरह से परिभाषित है। पी-वृद्धि यदि कैराथिओडोरी है और कुछ के लिए संतुष्ट करता है (इस स्थिति को "पी-वृद्धि" कहा जाता है), तो जहां सीमित है, और मजबूत टोपोलॉजी में निरंतर है (यानी। मानक में) का। संदर्भ भिन्नताओं की गणना