Countable Borel relation
वर्णनात्मक समुच्चय सिद्धांत में, विशेष रूप से अपरिवर्तनीय वर्णनात्मक समुच्चय सिद्धांत, गणना योग्य बोरेल संबंध मानक बोरेल स्थान के बीच संबंधों का एक वर्ग है जो विशेष रूप से अच्छा व्यवहार करते हैं। यह अवधारणा विभिन्न अधिक विशिष्ट अवधारणाओं को समाहित करती है, जैसे कि एक अति-परिमित समतुल्यता संबंध, लेकिन इसमें और अपने आप में रुचि है। अभेद्य वर्णनात्मक समुच्चय सिद्धांत में अध्ययन का एक मुख्य क्षेत्र समतुल्यता संबंधों की सापेक्ष जटिलता है। एक समुच्चय पर एक समतुल्यता संबंध को एक समुच्चय पर एक समतुल्यता संबंध की तुलना में अधिक जटिल माना जाता है यदि कोई "उपयोग करके गणना" कर सकता है-औपचारिक रूप से, यदि कोई ऐसा कार्य है जो किसी अर्थ में अच्छी तरह से व्यवहार करता है (उदाहरण के लिए, किसी को अक्सर बोरेल मापने योग्य की आवश्यकता होती है) जैसे कि। ऐसा फलन यदि यह दोनों दिशाओं में लागू होता है, तो कोई "उपयोग करके गणना" और "उपयोग करके गणना" दोनों कर सकता है, और जटिलता का एक समान स्तर हो सकता है। जब कोई बोरेल समतुल्यता संबंधों के बारे में बात करता है और बोरेल को मापने योग्य होने की आवश्यकता होती है, तो इसे अक्सर द्वारा दर्शाया जाता है। गणना योग्य बोरेल समतुल्यता संबंध, और ऊपर वर्णित अर्थ में समान जटिलता के संबंध, गणित में विभिन्न स्थानों पर दिखाई देते हैं (नीचे उदाहरण देखें, और अधिक के लिए देखें)। विशेष रूप से, नीचे वर्णित फेल्डमैन-मूर प्रमेय कुछ वॉन न्यूमैन बीजगणित के अध्ययन में उपयोगी साबित हुआ (देखें)। परिभाषा मान लीजिए और मानक बोरेल रिक्त स्थान हों। और के बीच एक गणना योग्य बोरेल संबंध कार्टेशियन उत्पाद का एक सबसेट है जो एक बोरेल सेट है (उत्पाद टोपोलॉजी में एक सबसेट के रूप में) और संतुष्ट करता है कि किसी के लिए भी, सेट गणना योग्य है। ध्यान दें कि यह परिभाषा और में सममित नहीं है, और इस प्रकार यह संभव है कि एक संबंध और के बीच एक गणना योग्य बोरेल संबंध है लेकिन विपरीत संबंध और के बीच एक गणना योग्य बोरेल संबंध नहीं है। उदाहरण गणना योग्य बोरेल संबंधों का एक गणना योग्य संयोजन भी एक गणना योग्य बोरेल संबंध है। किसी भी बोरेल उपसमुच्चय के साथ एक गणना योग्य बोरेल संबंध का प्रतिच्छेदन एक गणना योग्य बोरेल संबंध है। यदि मानक बोरेल रिक्त स्थान के बीच एक फलन है, तो फलन का ग्राफ और के बीच एक गणना योग्य बोरेल संबंध है और केवल अगर बोरेल मापने योग्य है (यह लुज़िन-सुसलिन प्रमेय और इस तथ्य का परिणाम है कि)। ग्राफ का विपरीत संबंध, एक गणना योग्य बोरेल संबंध है यदि और केवल तभी जब बोरेल मापने योग्य हो और इसमें गणना योग्य फाइबर हों। यदि एक तुल्यता संबंध है, तो यह एक गणना योग्य बोरेल संबंध है यदि और केवल तभी जब यह एक बोरेल सेट है और सभी तुल्यता वर्ग गणना योग्य हैं। विशेष रूप से अति-परिमित समतुल्यता संबंध गणना योग्य बोरेल संबंध हैं। एक गणना योग्य समूह की निरंतर क्रिया से प्रेरित समतुल्यता संबंध एक गणना योग्य बोरेल संबंध है। एक ठोस उदाहरण के रूप में, आइए रैंक 2 के मुक्त समूह के उपसमूहों का समूह बनें, जिसमें फॉर्म के बुनियादी खुले सेटों द्वारा उत्पन्न टोपोलॉजी के साथ और कुछ के लिए (यह उत्पाद टोपोलॉजी है)। समतुल्यता संबंध तब एक गणना योग्य बोरेल संबंध है। प्रकृति के उपसमुच्चय का स्थान होने दें, फिर से उत्पाद स्थलविज्ञान के साथ (एक बुनियादी खुला समूह या रूप का होता है)-इसे कैंटर स्थान के रूप में जाना जाता है। ट्यूरिंग समतुल्यता का समतुल्यता संबंध एक गणना योग्य बोरेल समतुल्यता संबंध है। मॉडल के विभिन्न वर्गों के बीच समरूपता समतुल्यता संबंध, जबकि गणना योग्य बोरेल समतुल्यता संबंध नहीं हैं, ऊपर वर्णित अर्थ में बोरेल समतुल्यता संबंध के समान जटिलता के हैं। उदाहरणों में शामिल हैंः गणना योग्य आलेखों का वह वर्ग जहां प्रत्येक शीर्ष की डिग्री सीमित है। तर्कसंगत पर परिमित पारगमन डिग्री का वर्ग क्षेत्र विस्तार। लुज़िन-नोविकोव प्रमेय निकोलाई लुज़िन और उनके डॉक्टरेट छात्र प्योत्र नोविकोव के नाम पर नामित यह प्रमेय, गणना योग्य बोरेल संबंधों के बारे में कई प्रमाणों का उपयोग करने वाला एक महत्वपूर्ण परिणाम है। प्रमेय। मान लीजिए और मानक बोरेल रिक्त स्थान हैं और और के बीच एक गणना योग्य बोरेल संबंध है। फिर सेट एक बोरेल उपसमुच्चय है। इसके अलावा, एक बोरेल फलन है (जिसे बोरेल एकरूपता के रूप में जाना जाता है) जैसे कि का ग्राफ एक उपसमुच्चय है। अंत में, बोरेल और बोरेल कार्यों के उपसमुच्चय मौजूद हैं जैसे कि ग्राफ का संयोजन है। इसके कुछ आसान परिणाम हैंः यदि गणना योग्य तंतुओं के साथ एक बोरेल मापने योग्य कार्य है, तो की छवि एक बोरेल उपसमुच्चय है (क्योंकि छवि ठीक वहीं है जहां ग्राफ का विपरीत संबंध है)। मान लीजिए कि एक मानक बोरेल स्थान पर एक बोरेल समतुल्यता संबंध है जिसमें गणना योग्य समतुल्यता वर्ग हैं। मान लीजिए कि यह एक बोरेल उपसमुच्चय है। फिर एक बोरेल उपसमुच्चय भी है (क्योंकि यह ठीक वहीं है, और एक बोरेल समूह है)। नीचे दो और परिणाम दिए गए हैं जिन्हें गणना योग्य बोरेल समतुल्यता संबंधों के संबंध में लुज़िन-नोविकोव नोविकोव प्रमेय का उपयोग करके साबित किया जा सकता हैः फेल्डमैन-मूर प्रमेय फेल्डमैन-मूर प्रमेय, जिसका नाम जैकब फेल्डमैन और केल्विन सी. मूर के नाम पर रखा गया है, कहता हैः प्रमेय। मान लीजिए कि एक मानक बोरेल स्थान पर बोरेल समतुल्यता संबंध है जिसमें गणना योग्य समतुल्यता वर्ग हैं। फिर एक गणना योग्य समूह और क्रिया मौजूद है कि प्रत्येक फलन के लिए बोरेल मापने योग्य है, और किसी के लिए, के संबंध में समतुल्यता वर्ग ठीक क्रिया के तहत की कक्षा है। कहने का मतलब है, गणना योग्य बोरेल समतुल्यता संबंध ठीक वही हैं जो गणना योग्य समूहों द्वारा बोरेल क्रियाओं द्वारा उत्पन्न होते हैं। मार्कर लेम्मा यह लेम्मा थियोडोर स्लैमन और जॉन आर. स्टील के कारण है, और इसे फेल्डमैन-मूर प्रमेय का उपयोग करके साबित किया जा सकता हैः लेम्मा। मान लीजिए कि एक मानक बोरेल स्थान पर बोरेल समतुल्यता संबंध है जिसमें गणना योग्य समतुल्यता वर्ग हैं। जाने दीजिए। फिर एक घटता हुआ अनुक्रम है जैसे कि सभी के लिए और। कम औपचारिक रूप से, लेम्मा का कहना है कि अनंत समतुल्यता वर्गों को "मनमाने ढंग से छोटे" सेट द्वारा अनुमानित किया जा सकता है (उदाहरण के लिए, यदि हमारे पास लेम्मा पर बोरेल प्रायिकता माप का तात्पर्य है कि माप की निरंतरता से)। संदर्भ वर्णनात्मक समुच्चय सिद्धांत द्विआधारी संबंध