Weak stability boundary
कम ऊर्जा हस्तांतरण सहित कमजोर स्थिरता सीमा (डब्ल्यू. एस. बी.), 1987 में एडवर्ड बेलब्रुनो द्वारा शुरू की गई एक अवधारणा है। अवधारणा ने समझाया कि कैसे एक अंतरिक्ष यान बहुत कम ईंधन का उपयोग करके कक्षाओं को बदल सकता है। तीन-शरीर समस्या के लिए कमजोर स्थिरता सीमा को परिभाषित किया गया है। यह समस्या दो बड़े निकायों, पी1, पी2 के संबंध में गति करने वाले नगण्य द्रव्यमान के कण पी की गति को बिंदु द्रव्यमान के रूप में मॉडल करती है, जहां ये निकाय एक दूसरे के संबंध में गोलाकार या अण्डाकार कक्षाओं में गति करते हैं, और पी2 पी1 से छोटा होता है। तीनों पिंडों के बीच का बल शास्त्रीय न्यूटनियन गुरुत्वाकर्षण बल है। उदाहरण के लिए, पी1 पृथ्वी है, पी2 चंद्रमा है और पी एक अंतरिक्ष यान है; या पी1 सूर्य है, पी2 बृहस्पति है और पी एक धूमकेतु है, आदि। इस मॉडल को प्रतिबंधित तीन-शरीर समस्या कहा जाता है। कमजोर स्थिरता सीमा पी2 के आसपास एक क्षेत्र को परिभाषित करती है जहाँ पी अस्थायी रूप से कब्जा कर लिया जाता है। यह क्षेत्र स्थिति-वेग स्थान में है। ग्रहण का अर्थ है कि पी और पी 2 के बीच केपलर ऊर्जा नकारात्मक है। इसे कमजोर पकड़ना भी कहा जाता है। पृष्ठभूमि इस सीमा को पहली बार 1987 में प्रिंसटन विश्वविद्यालय के एडवर्ड बेलब्रुनो द्वारा परिभाषित किया गया था। उन्होंने एक निम्न-ऊर्जा हस्तांतरण का वर्णन किया जो एक अंतरिक्ष यान को बहुत कम ईंधन का उपयोग करके कक्षाओं को बदलने की अनुमति देगा। यह पी1 = पृथ्वी के साथ चंद्रमा (पी2) के बारे में गति के लिए था। इसे चंद्रमा के बारे में पी की साइक्लिंग गति की निगरानी करके और उस क्षेत्र का पता लगाकर परिभाषित किया जाता है जहां एक चक्र के बाद स्थिर और अस्थिर के बीच साइक्लिंग गति संक्रमण होता है। स्थिर गति का अर्थ है कि पी एक संदर्भ खंड के सापेक्ष एक चक्र के लिए चंद्रमा के चारों ओर पूरी तरह से चक्कर लगा सकता है, जो कमजोर पकड़ में शुरू होता है। पी को नकारात्मक केपलर ऊर्जा के साथ संदर्भ खंड में लौटने की आवश्यकता है। अन्यथा, गति को अस्थिर कहा जाता है, जहाँ पी एक चक्र के भीतर संदर्भ खंड में वापस नहीं आता है या यदि यह लौटता है, तो इसमें गैर-नकारात्मक केपलर ऊर्जा होती है। चंद्रमा के बारे में सभी संक्रमण बिंदुओं के समूह में कमजोर स्थिरता सीमा शामिल है। की गति संवेदनशील या अराजक होती है क्योंकि यह चंद्रमा के भीतर घूमती है। एक गणितीय प्रमाण कि भीतर की गति अराजक है, 2004 में दिया गया था। यह यह दर्शाकर पूरा किया जाता है कि प्रतिबंधित तीन-शरीर समस्या में एक मनमाने शरीर P2 के बारे में सेट में भिन्नात्मक आयाम का एक हाइपरबोलिक अपरिवर्तनीय सेट होता है जिसमें अनंत रूप से कई प्रतिच्छेदन हाइपरबोलिक मैनिफोल्ड होते हैं। कमजोर स्थिरता सीमा को मूल रूप से अस्पष्ट सीमा के रूप में संदर्भित किया गया था। इस शब्द का उपयोग इसलिए किया गया था क्योंकि एल्गोरिथ्म में परिभाषित कैप्चर और एस्केप के बीच का संक्रमण अच्छी तरह से परिभाषित नहीं है और संख्यात्मक सटीकता द्वारा सीमित है। यह संक्रमण बिंदुओं के लिए एक "अस्पष्ट" स्थान को परिभाषित करता है। यह संक्रमण बिंदुओं के पास पी की गति में अंतर्निहित अराजकता के कारण भी है। इसे एक अस्पष्ट अराजकता क्षेत्र के रूप में सोचा जा सकता है। जैसा कि डिस्कवर पत्रिका में एक लेख में वर्णित है, डब्ल्यू. एस. बी. को मोटे तौर पर एक शरीर (चंद्रमा) के बारे में एक क्षेत्र के अस्पष्ट किनारे के रूप में देखा जा सकता है, जिसे गुरुत्वाकर्षण कुआँ के रूप में संदर्भित किया जाता है, जहां इसका गुरुत्वाकर्षण बल इतना छोटा हो जाता है कि दूसरे शरीर (पृथ्वी) के गुरुत्वाकर्षण बल पर हावी हो जाता है और वहां की गति अराजक होती है। 2007 में एक बहुत अधिक सामान्य एल्गोरिथ्म परिभाषित किया गया था। यह-चक्रों के सापेक्ष परिभाषित करता है, जहाँ = 1,2,3,., n क्रम की सीमाओं को दर्शाता है। यह एक बहुत अधिक जटिल क्षेत्र देता है जिसमें n क्रम की सभी कमजोर स्थिरता सीमाओं का मिलन होता है। इस परिभाषा को 2010 में आगे खोजा गया था। परिणामों ने सुझाव दिया कि डब्ल्यू में, आंशिक रूप से, पी 2 के पास एल 1, एल 2 लैग्रेंज बिंदुओं के बारे में लियापुनोव कक्षाओं से जुड़े अपरिवर्तनीय मैनिफोल्ड्स के हाइपरबोलिक नेटवर्क शामिल हैं। पी2 = बृहस्पति के बारे में समुच्चय का स्पष्ट निर्धारण, जहाँ पी1 सूर्य है, "कमजोर स्थिरता सीमाओं की गणनाः सूर्य-बृहस्पति मामले" में वर्णित है। यह पता चला है कि एक कमजोर स्थिरता क्षेत्र को बड़े द्रव्यमान बिंदु, पी1 के सापेक्ष भी परिभाषित किया जा सकता है। पी1 के बारे में कमजोर स्थिरता सीमा के अस्तित्व का प्रमाण 2012 में दिया गया था, लेकिन एक अलग परिभाषा का उपयोग किया जाता है। गति की अराजकता विश्लेषणात्मक रूप से "कमजोर स्थिरता सीमाओं की ज्यामिति" में साबित होती है। सीमा का अध्ययन "प्रभाव के चंद्र क्षेत्र में एल्गोरिदमिक कमजोर स्थिरता सीमा के संबद्ध सेटों की प्रयोज्यता और गतिशील विशेषता" में किया जाता है। कमजोर स्थिरता सीमा (डब्ल्यू. एस. बी.) के लिए कई महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं। चूंकि डब्ल्यू. एस. बी. अस्थायी कब्जा के क्षेत्र को परिभाषित करता है, इसलिए इसका उपयोग, उदाहरण के लिए, पृथ्वी से चंद्रमा तक स्थानांतरण प्रक्षेपवक्र खोजने के लिए किया जा सकता है जो कमजोर कब्जा में डब्ल्यू. एस. बी. क्षेत्र के भीतर चंद्रमा पर पहुंचते हैं, जिसे अंतरिक्ष यान के लिए बैलिस्टिक कब्जा कहा जाता है। इस मामले में पकड़ने के लिए किसी ईंधन की आवश्यकता नहीं है। यह 1987 में संख्यात्मक रूप से प्रदर्शित किया गया था। अंतरिक्ष यान के लिए बैलिस्टिक कैप्चर और कमजोर स्थिरता सीमा की परिभाषा के लिए यह पहला संदर्भ है। सीमा को 1991 में परिचालन रूप से प्रदर्शित किया गया था जब इसका उपयोग जापान के हितेन अंतरिक्ष यान के लिए चंद्रमा पर एक बैलिस्टिक कैप्चर हस्तांतरण खोजने के लिए किया गया था। अन्य मिशनों ने हितेन के समान स्थानांतरण प्रकार का उपयोग किया है, जिसमें ग्रेल, कैपस्टोन, दानुरी, हाकुटो-आर मिशन 1 और एस. एल. आई. एम शामिल हैं। मंगल के लिए डब्ल्यू. एस. बी. का अध्ययन "बैलिस्टिक कैप्चर के साथ पृथ्वी-मंगल स्थानांतरण" में किया जाता है और मंगल ग्रह पर बैलिस्टिक कैप्चर स्थानांतरण की गणना की जाती है। ई. एस. ए. का बेपी-कोलंबो मिशन 2025 में डब्ल्यू. एस. बी. ऑफ मर्करी में बैलिस्टिक कब्जा हासिल करेगा। डब्ल्यू. एस. बी. क्षेत्र का उपयोग खगोल भौतिकी के क्षेत्र में किया जा सकता है। इसे खुले तारा समूहों के भीतर तारों के लिए परिभाषित किया जा सकता है। यह "ग्रह प्रणालियों के बीच ठोस सामग्री का अराजक आदान-प्रदानः लिथोपैंस्पर्मिया परिकल्पना के लिए प्रभाव" में किया जाता है ताकि लिथोपैंस्पर्मिया परिकल्पना की वैधता का अध्ययन करने के लिए सौर मंडल की उम्र में पृथ्वी पर आने वाली ठोस सामग्री को पकड़ने का विश्लेषण किया जा सके। डब्ल्यू. एस. बी. क्षेत्र में पी2 के बारे में शुरू होने वाले पी. के लिए प्रक्षेपवक्रों के संख्यात्मक अन्वेषणों से पता चलता है कि कमजोर ग्रहण के अंत में पी2 कण के पी2 से बचने के बाद, यह पी1 के बारे में पी2 के साथ अनुनाद में, एक निकट अनुनाद कक्षा में प्राथमिक पिंड, पी1 के आसपास चलता है। इस गुण का उपयोग उन धूमकेतुओं का अध्ययन करने के लिए किया गया था जो बृहस्पति के साथ कक्षीय अनुनाद में सूर्य के चारों ओर कक्षाओं में चलते हैं, जो बृहस्पति द्वारा कमजोर रूप से कब्जा करके अनुनाद कक्षाओं को बदलते हैं। इस तरह के धूमकेतु का एक उदाहरण 39पी/ओटर्मा है। पी1 के बारे में कक्षाओं के अनुनाद के परिवर्तन का यह गुण जब पी2 के डब्ल्यू. एस. बी. द्वारा पी. को कमजोर रूप से पकड़ा जाता है, तो हाइड्रोजन परमाणु में प्रोटॉन के बारे में एक इलेक्ट्रॉन की गति के लिए क्वांटम यांत्रिकी के क्षेत्र में एक दिलचस्प अनुप्रयोग है। श्रोडिंगर समीकरण द्वारा वर्णित विभिन्न ऊर्जा अवस्थाओं के बीच प्रोटॉन के बारे में एक इलेक्ट्रॉन की संक्रमण गति को संक्रमण अनुनाद कक्षाओं के एक परिवार के लिए पी 2 द्वारा कमजोर कब्जा के माध्यम से पी 1 के बारे में पी के अनुनाद के परिवर्तन के बराबर दिखाया गया है। यह एक इलेक्ट्रॉन की गति के लिए न्यूटनियन गुरुत्वाकर्षण के साथ अराजक गतिकी का उपयोग करते हुए एक शास्त्रीय मॉडल देता है। संदर्भ आगे 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