Random polytope
गणित में, एक यादृच्छिक पॉलीटोप एक संरचना है जिसका उपयोग आमतौर पर उत्तल विश्लेषण और डी-आयामी यूक्लिडियन स्थान में रैखिक कार्यक्रमों के विश्लेषण में किया जाता है। निर्माण और परिभाषा के उपयोग के आधार पर, यादृच्छिक पॉलीटोप भिन्न हो सकते हैं। परिभाषा यादृच्छिक पॉलीटोप की कई गैर-समतुल्य परिभाषाएँ हैं। निम्नलिखित परिभाषाओं के लिए। मान लीजिए कि K एक यूक्लिडियन स्थान में एक बद्ध उत्तल समुच्चय हैः K के अंदर एक समान वितरण के संबंध में चयनित यादृच्छिक बिंदुओं का उत्तल पतवार। निम्नलिखित पैरामीटराइजेशन का उपयोग किया गया हैः जैसे कि (नोटः ये पॉलीटोप खाली हो सकते हैं)। गुण परिभाषा 1 आइए उत्तल निकायों का समूह होने दें। मान लीजिए और समान रूप से वितरित बिंदुओं के एक समूह पर विचार करें। इन बिंदुओं के उत्तल पतवार को यादृच्छिक पॉलीटोप कहा जाता है। जहाँ सेट सेट के उत्तल पतवार के लिए खड़ा है। हम अपेक्षित मात्रा के रूप में परिभाषित करते हैं। काफी बड़े और दिए गए के लिए। वॉल्यूम वॉल्यूम नोटः कोई भी निर्धारित करने के बजाय, के परिमाण का क्रम प्राप्त करने के लिए गीले हिस्से की मात्रा निर्धारित कर सकता है। इकाई गेंद के लिए, गीला भाग वलयाकार होता है जहाँ एच क्रम का होता हैः वॉल्यूम दिया गया है कि हमारे पास एफ़ द्वारा काटे गए एक छोटे कैप का आयतन है, और एक पहलू है यदि और केवल अगर सभी एफ़ के एक तरफ हों। .. नोटः यदि (एक फलन जो डी-1 आयामी चेहरों की मात्रा देता है), तो और सूत्र का मूल्यांकन चिकने उत्तल समुच्चय और तल में बहुभुज के लिए किया जा सकता है। गुण परिभाषा 2 मान लीजिए कि हमें एक बहुभिन्न संभावना वितरण दिया गया है जो लेब्सग्यू माप के संबंध में बिल्कुल निरंतर है। प्रत्येक की संभावना के साथ s के लिए 0 या 1 उत्पन्न करता है। खाली पॉलीटोप के अनुरूप तत्वों के समूह को 0 का माप निर्धारित करता है। इस वितरण और हमारी धारणाओं को देखते हुए, निम्नलिखित गुण हैंः बाधाओं के साथ एक पॉलीटोप पर आयामी चेहरों की अपेक्षित संख्या के लिए एक सूत्र प्राप्त किया जाता हैः (नोटः कहाँ)। बाधाओं वाले शीर्षों की संख्या के लिए ऊपरी सीमा, या सबसे खराब स्थिति, बहुत बड़ी हैः एक नई बाधा के अनावश्यक होने की संभावना हैः (नोटः, और जैसे-जैसे हम अधिक बाधाओं को जोड़ते हैं, संभावना है कि एक नई बाधा अनावश्यक दृष्टिकोण 100% है)। गैर-अनावश्यक बाधाओं की अपेक्षित संख्या हैः (नोटः)। उदाहरण न्यूनतम कैप मैकबीथ क्षेत्रों का उपयोग करता है सन्निकटन (उत्तल निकायों के सन्निकटन परिभाषा 1 के गुणों को देखते हैं) आर्थिक कैप कवरिंग प्रमेय (परिभाषा 1 के गुणों से तैरते निकायों के संबंध को देखते हैं) संदर्भ मीट्रिक ज्यामिति संवहन कम्प्यूटेशनल ज्यामिति