Laakso space
गणितीय विश्लेषण और मीट्रिक ज्यामिति में, लाक्सो रिक्त स्थान मीट्रिक रिक्त स्थान का एक वर्ग है जो फ्रैक्टल हैं, इस अर्थ में कि उनके पास गैर-पूर्णांक हौसडॉर्फ आयाम है, लेकिन जो अंतर कलन की धारणा को स्वीकार करते हैं। इनका निर्माण भागफल रिक्त स्थान के रूप में किया जाता है जहाँ K एक कैंटर सेट है। पृष्ठभूमि चीगर ने मीट्रिक माप स्थानों पर वास्तविक-मूल्यवान कार्यों के लिए विभेदकता की एक धारणा को परिभाषित किया जो यूक्लिडियन स्थान और रीमानियन मैनिफोल्ड पर सामान्य धारणा को सामान्य करते हुए एक पोइनकेयर असमानता को दोगुना और संतुष्ट कर रहे हैं। इन स्थितियों को संतुष्ट करने वाले स्थानों में कार्नोट समूह और अन्य उप-रीमैनियन मैनिफोल्ड शामिल हैं, लेकिन कोच स्नोफ्लेक या सियेरपिंस्की गैस्केट जैसे क्लासिक फ्रैक्टल नहीं हैं। इसलिए यह सवाल उठा कि क्या आंशिक हौसडॉर्फ आयाम के रिक्त स्थान पॉइनकेयर असमानता को संतुष्ट कर सकते हैं। बौर्डन और पाजोट इस तरह के स्थानों का निर्माण करने वाले पहले व्यक्ति थे। टॉमी जे. लाक्सो ने एक अलग संरचना दी जिसमें हौसडॉर्फ आयाम वाले रिक्त स्थान को 1 से बड़ी कोई भी वास्तविक संख्या दी गई थी। इन उदाहरणों को अब लाक्सो रिक्त स्थान के रूप में जाना जाता है। हम हौसडॉर्फ आयाम के साथ एक स्थान का वर्णन करते हैं। (पूर्णांक आयामों के लिए, यूक्लिडियन रिक्त स्थान वांछित स्थिति को पूरा करते हैं, और अंतराल में किसी भी हौसडॉर्फ आयाम के लिए, जहां एक पूर्णांक है, हम स्थान ले सकते हैं।) मान लीजिए कि K को एक अंतराल के मध्य भाग को काटकर और उस निर्माण को दोहराकर प्राप्त किए गए कैंटर सेट के रूप में परिभाषित करें। दूसरे शब्दों में, K को 0 और 1 वाले और संतुष्ट करने वाले उपसमुच्चय के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। स्थान एक भागफल होगा, जहाँ I इकाई अंतराल है और इसे मीट्रिक से प्रेरित किया जाता है। संकेतन पर बचत करने के लिए, अब हम मानते हैं कि, ताकि K सामान्य मध्य तिहाई कैंटर सेट हो। सामान्य निर्माण समान लेकिन अधिक जटिल है। याद रखें कि मध्य तिहाई कैंटर सेट में वे सभी बिंदु होते हैं जिनके त्रयी विस्तार में केवल 0 और 2 होते हैं। 0 और 2 की एक स्ट्रिंग को देखते हुए, मान लीजिए कि K के उन बिंदुओं का उपसमुच्चय है जिनमें ऐसे बिंदु शामिल हैं जिनका त्रयी विस्तार शुरू होता है। उदाहरण के लिए, अब सबसे कम शब्दों में एक अंश होने दें। 0 और 2 की लंबाई के प्रत्येक स्ट्रिंग के लिए, और प्रत्येक बिंदु के लिए, हम बिंदु के साथ पहचान करते हैं। हम परिणामी भागफल स्थान को भागफल मीट्रिक देते हैंः जहाँ प्रत्येक की पहचान की जाती है और इस रूप के सभी परिमित अनुक्रमों पर अनंत लिया जाता है। सामान्य मामले में, संख्या बी (जिसे वर्महोल स्तर कहा जाता है) और उनके क्रम के को अधिक जटिल तरीके से परिभाषित किया जाता है ताकि सही हौसडॉर्फ आयाम के साथ एक स्थान प्राप्त किया जा सके, लेकिन मूल विचार समान है। गुण एक दोहरीकरण स्थान है और एक-पॉइनकेयर असमानता को संतुष्ट करता है। किसी भी यूक्लिडियन स्थान में बिलिप्सचिट्ज़ एम्बेडिंग नहीं है। संदर्भ मीट्रिक रिक्त स्थान मीट्रिक ज्यामिति