Plane-based Geometric Algebra
विमान-आधारित ज्यामितीय बीजगणित विमानों, रेखाओं, बिंदुओं और कठोर परिवर्तनों के प्रतिरूपण के लिए क्लिफोर्ड बीजगणित का एक अनुप्रयोग है। आम तौर पर यह 3डी स्पेस में इन तत्वों और उनके प्रतिच्छेदन, अनुमानों और एक दूसरे से उनके कोण से जुड़ी इंजीनियरिंग समस्याओं को हल करने के लक्ष्य के साथ होता है। मूल रूप से स्पिन समूहों पर शोध से बाहर निकलते हुए, इसे रोबोटिक्स के अनुप्रयोगों को ध्यान में रखते हुए विकसित किया गया था। इसके बाद से इसे मशीन लर्निंग, रिजिड बॉडी डायनामिक्स और कंप्यूटर विज्ञान, विशेष रूप से कंप्यूटर ग्राफिक्स पर लागू किया गया है। इसे आमतौर पर एक द्वैत संचालन के साथ एक प्रणाली में जोड़ा जाता है जिसे "प्रोजेक्टिव ज्यामितीय बीजगणित" के रूप में जाना जाता है, नीचे देखें। विमान-आधारित ज्यामितीय बीजगणित समतलीय प्रतिबिंबों को मूल तत्वों के रूप में लेता है, और उनमें से अन्य सभी परिवर्तनों और ज्यामितीय वस्तुओं का निर्माण करता है। तकनीकी भाषा मेंः यह क्लिफोर्ड बीजगणित के ग्रेड-1 तत्वों के साथ समतलीय प्रतिबिंबों की पहचान करता है, यानी, ऐसे तत्व जो एक एकल अभिलिख के साथ लिखे जाते हैं जैसे ""। नीचे वर्णित कुछ दुर्लभ अपवादों के साथ, बीजगणित लगभग हमेशा होता है, जिसका अर्थ है कि इसमें तीन आधार श्रेणी-1 तत्व हैं जिनका वर्ग है और एक आधार तत्व जिसका वर्ग है। विमान-आधारित जी. ए. इंजीनियरिंग में लागू की गई बड़ी संख्या में बीजगणितीय संरचनाओं को समाहित करता है, जिसमें घूर्णन का अक्ष-कोण प्रतिनिधित्व, घूर्णन और अनुवाद के चतुर्थक और दोहरे चतुर्थक प्रतिनिधित्व, रेखाओं का प्लकर प्रतिनिधित्व, विमानों का बिंदु सामान्य प्रतिनिधित्व और बिंदुओं का सजातीय प्रतिनिधित्व शामिल है। दोहरे चतुर्थक तब शास्त्रीय यांत्रिकी के पेंच, मोड़ और रेंच मॉडल का निर्माण करने की अनुमति देते हैं। ज्यामिति के लिए समतल-आधारित दृष्टिकोण उस दृष्टिकोण के विपरीत हो सकता है जो क्रॉस उत्पाद का उपयोग करता है, जिसमें बिंदु, अनुवाद, घूर्णन अक्ष और समतल सामान्य सभी को "वैक्टर" के रूप में मॉडल किया जाता है। हालांकि, उन्नत इंजीनियरिंग समस्याओं में वैक्टर के उपयोग के लिए अक्सर गिब्स वैक्टर, छद्म वैक्टर और विपरीत वैक्टर सहित विभिन्न प्रकार के वेक्टर के बीच सूक्ष्म अंतर की आवश्यकता होती है। इन दोनों में से बाद वाला, समतल-आधारित जी. ए. में, "घूर्णन अक्ष" और "बिंदु" की अवधारणाओं का मानचित्र बनाता है, जिसमें उनके बीच का अंतर संकेतन द्वारा स्पष्ट किया जाता हैः घूर्णन अक्ष जैसे (दो निचले सूचकांक) हमेशा (तीन निचले सूचकांक) जैसे बिंदुओं की तुलना में अलग-अलग नोट किए जाते हैं। नीचे विचार की गई सभी वस्तुएं अभी भी तकनीकी अर्थों में "वैक्टर" हैं कि वे वेक्टर रिक्त स्थान के तत्व हैं; हालाँकि वे इस अर्थ में (आम तौर पर) वैक्टर नहीं हैं कि कोई सार्थक रूप से उनके क्रॉस उत्पाद को ले सकता है-इसलिए उन्हें तीर के रूप में देखना जानकारीपूर्ण नहीं है। वेक्टर शब्द से आने वाले विभिन्न बीजगणितीय और दृश्य अर्थों पर टकराव से बचने के लिए, यह लेख शब्द के उपयोग से बचेगा। विमान-आधारित ज्यामितीय बीजगणित विमानों से शुरू होता है और फिर विमानों के प्रतिच्छेदन करके रेखाओं और बिंदुओं का निर्माण करता है। इसके विहित आधार में समतल होता है, जिसे लेबल किया जाता है, द, जिसे लेबल किया जाता है, और तल,। अन्य विमानों को आधार विमानों के भारित योग के रूप में प्राप्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, y-और z-तल के बीच का तल होगा। सामान्य तौर पर, समतल-आधारित जी. ए. में दो ज्यामितीय वस्तुओं का संयोजन हमेशा उनके भारित औसत के रूप में होगा-अंकों का संयोजन उनके बीच एक बिंदु देगा, जैसा कि रेखाओं का संयोजन होगा, और वास्तव में घूर्णन। तत्वों की किसी भी जोड़ी के लिए और, उनका ज्यामितीय उत्पाद परिवर्तन के बाद परिवर्तन है। इसका परिणाम सामान्य रूप से और के समान प्रकार की वस्तु नहीं होगी-लेकिन फिर भी यह समतल-आधारित जी. ए. के भीतर एक वस्तु होगी। उदाहरण के लिएः इस समीकरण की ज्यामितीय रूप से व्याख्या यह कहते हुए की जा सकती है कि यदि हम लेते हैं (जो तल में एक समतलीय प्रतिबिंब है) और (जो x-अक्ष के चारों ओर 180 डिग्री का घूर्णन है), और उनके ज्यामितीय उत्पाद को लेते हैं, तो हम प्राप्त करते हैं, जो मूल में एक बिंदु प्रतिबिंब है। परिवर्तन संरचना-ज्यामितीय उत्पाद-को परिवर्तन अनुप्रयोग के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए, जिसे सैंडविच उत्पाद के साथ लागू किया जाता है, नीचे देखें। इस ज्यामितीय व्याख्या को आमतौर पर निम्नलिखित अभिकथन के साथ जोड़ा जाता हैः पहले तीन परिभाषित समीकरणों की ज्यामितीय व्याख्या यह है कि यदि हम एक ही समतलीय प्रतिबिंब को दो बार करते हैं तो हम वापस वहाँ पहुँच जाते हैं जहाँ से हमने शुरुआत की थी; जैसे। एक श्रेणी-1 तत्व (तल) को स्वयं से गुणा करने पर पहचान कार्य होता है। वह कथन जो अधिक सूक्ष्म हो। अनन्त पर तत्व बीजगणितीय तत्व अनन्त पर समतल का प्रतिनिधित्व करता है। यह किसी भी अन्य स्तर से अलग व्यवहार करता है-सहज ज्ञान से, इसे "संपर्क किया जा सकता है लेकिन कभी नहीं पहुँचा जा सकता है"। 3 आयामों में, आकाश के रूप में देखा जा सकता है। इसमें वे बिंदु होते हैं जिन्हें "लुप्त बिंदु", या वैकल्पिक रूप से "आदर्श बिंदु", या "अनंत पर बिंदु" कहा जाता है। समानान्तर रेखाएँ ऐसे बिंदुओं पर एक दूसरे से मिलती हैं। अनन्त रेखाएँ भी मौजूद हैं; क्षितिज रेखा ऐसी रेखा का एक उदाहरण है। एक समतल पर खड़े एक पर्यवेक्षक के लिए, सभी समतल जिस समतल पर वे खड़े हैं, उसके समानांतर क्षितिज रेखा पर एक दूसरे से मिलते हैं। बीजगणितीय रूप से, यदि हम जमीन को लेते हैं, तो जमीन के समानांतर एक तल होगा। ये दोनों समानांतर विमान अनंत रेखा पर एक दूसरे से मिलते हैं। अधिकांश रेखाएँ, उदाहरण के लिए, घूर्णन के लिए अक्ष के रूप में कार्य कर सकती हैं; वास्तव में उन्हें काल्पनिक चतुर्थक के रूप में माना जा सकता है। लेकिन जो रेखाएँ समतल-पर-अनंत में स्थित होती हैं, जैसे कि रेखा, एक "घूर्णन" के लिए अक्ष के रूप में कार्य नहीं कर सकती हैं। इसके बजाय, ये अनुवाद के लिए अक्ष हैं, और जटिल संख्याओं या चतुर्थकों के समान बीजगणित होने के बजाय, उनका बीजगणितीय व्यवहार दोहरी संख्याओं के समान है, क्योंकि वे 0 से वर्ग करते हैं। तीन आधार रेखाओं-मूल के माध्यम से-का संयोजन, जो अनंत पर तीन आधार रेखाओं के साथ वर्ग है, दोहरे चतुर्थक के लिए आवश्यक तत्व देता है। ज्यामितीय उत्पाद से अन्य कार्यों की व्युत्पत्ति कई उपयोगी उत्पाद हैं जिन्हें ज्यामितीय उत्पाद से निकाला जा सकता है, जैसे कि चतुर्थक उत्पाद से बिंदु उत्पाद और क्रॉस उत्पाद को निकाला गया था। इनमें शामिल हैंः ओर से परिवर्तन है, और फिर से बिंदु, रेखाएँ या तल हैं; यहाँ, विपरीत है (अनिवार्य रूप से व्युत्क्रम)। परिवर्तन और के बीच के कोण या दूरी के दोगुने से होगा; यदि सटीक दूरी या कोण से परिवर्तन की आवश्यकता है, तो इसे दोहरे चतुर्थक घातीय और लघुगणक के साथ प्राप्त किया जा सकता है। मिलन (या "वेज उत्पाद"), जो वस्तुओं के प्रतिच्छेदन लेने के लिए उपयोगी है; उदाहरण के लिए, रेखा के साथ तल का प्रतिच्छेदन बिंदु है। आंतरिक उत्पाद, जो वस्तुओं के अनुमानों को अन्य वस्तुओं पर ले जाने के लिए उपयोगी है; का प्रक्षेपण है-यह सूत्र रखता है कि क्या वस्तुएँ बिंदु, रेखाएँ या तल हैं। यह डॉट उत्पाद का सामान्यीकरण है। का मानक है और दर्शाया गया है। इसका उपयोग अधिकांश वस्तुओं के बीच कोण लेने के लिए किया जा सकता हैः और के बीच का कोण, चाहे वे रेखाएँ हों या तल, है। यह मानता है कि और दोनों का मानक है, उदाहरण के लिए। किसी भी वस्तु में किसी भी कठोर परिवर्तन (दोहरे चतुर्थक) या प्रतिबिंब का अनुप्रयोग, जिसमें बिंदु, रेखाएं, तल और वास्तव में अन्य कठोर परिवर्तन शामिल हैं, वह है, जहां वस्तु को परिवर्तित किया जाना है; यह "सैंडविच उत्पाद" है। लाइनों के लिए परिभाषित कम्यूटेटर उत्पाद, अद्वितीय रेखा देगा जो दोनों के लिए ऑर्थोगोनल है। उदाहरण के लिए, याद रखें कि यह एक तल है, जैसा कि है। उनका ज्यामितीय उत्पाद उनकी "परावर्तन संरचना" है-एक परावर्तन जिसके बाद एक परावर्तन होता है, जिसके परिणामस्वरूप दोहरा चतुर्थक होता है। लेकिन यह वांछित से अधिक हो सकता है; यदि हम केवल दो विमानों की प्रतिच्छेदन रेखा लेना चाहते हैं, तो हमें बस इस परिणाम के केवल "ग्रेड-2 भाग" को देखने की आवश्यकता है, जैसे। दो निम्न सूचकांकों वाला भाग। यह निर्दिष्ट करने के लिए आवश्यक जानकारी कि प्रतिच्छेदन रेखा दो विमानों की परिवर्तन संरचना के अंदर निहित है, क्योंकि विमानों की एक जोड़ी में एक प्रतिबिंब के परिणामस्वरूप उनकी प्रतिच्छेदन रेखा के चारों ओर एक घूर्णन होगा। परावर्तनों के बीजगणित के रूप में व्याख्या 3डी में सभी दूरी-संरक्षित परिवर्तनों (अनिवार्य रूप से, कठोर परिवर्तन और प्रतिबिंब) के बीजगणित को यूक्लिडियन समूह कहा जाता है। कार्टन-डिउडोन्ने प्रमेय के अनुसार, इसके किसी भी तत्व को समतल में प्रतिबिंबों की एक श्रृंखला के रूप में लिखा जा सकता है। समतल-आधारित जी. ए. में, अनिवार्य रूप से सभी ज्यामितीय वस्तुओं को एक परिवर्तन के रूप में सोचा जा सकता है। प्लेन जैसे प्लेनर रिफ्लेक्शन, पॉइंट जैसे पॉइंट रिफ्लेक्शन और लाइन्स जैसे लाइन रिफ्लेक्शन-जो 3डी में 180-डिग्री रोटेशन के समान हैं। पहचान परिवर्तन एक अनूठी वस्तु है जिसका निर्माण शून्य प्रतिबिंबों से किया जाता है। ये सभी तत्व हैं। कुछ तत्व, उदाहरण के लिए किसी भी कोण से घूर्णन जो 180 डिग्री नहीं है, में एक भी विशिष्ट ज्यामितीय वस्तु नहीं होती है जिसका उपयोग उन्हें देखने के लिए किया जाता है; फिर भी, उन्हें हमेशा प्रतिबिंबों से बना माना जा सकता है, और हमेशा समतल-आधारित ज्यामितीय बीजगणित में वस्तुओं के कुछ तत्वों के रैखिक संयोजन के रूप में दर्शाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, अक्ष के बारे में एक मामूली घूर्णन है, और इसे और के ज्यामितीय उत्पाद (एक परिवर्तन संरचना) के रूप में लिखा जा सकता है, जो दोनों रेखा पर प्रतिच्छेदन करने वाले समतलीय प्रतिबिंब हैं। वास्तव में, किसी भी घूर्णन को दो समतलीय प्रतिबिंबों की संरचना के रूप में लिखा जा सकता है जो इसकी धुरी से गुजरते हैं; इस प्रकार इसे 2-प्रतिबिंब कहा जा सकता है। घूर्णन परावर्तन, ग्लाइड परावर्तन और बिंदु परावर्तन को हमेशा 3 समतलीय परावर्तनों की रचनाओं के रूप में भी लिखा जा सकता है और इसलिए इन्हें 3-परावर्तन कहा जाता है। 3डी के लिए इसकी ऊपरी सीमा एक पेंच गति है, जो एक 4-प्रतिबिंब है। इस कारण से, पेंच की गति पर विचार करते समय, 3डी विमान-आधारित जीए के ग्रेड-4 तत्व का उपयोग करना आवश्यक है, जो उच्चतम श्रेणी का तत्व है। ज्यामितीय उत्पाद की ज्यामितीय व्याख्या "रद्द करने वाले" प्रतिबिंबों के रूप में एक तल में एक प्रतिबिंब के बाद एक ही तल में एक प्रतिबिंब के परिणामस्वरूप कोई परिवर्तन नहीं होता है। इस ज्यामिति के लिए बीजगणितीय व्याख्या यह है कि वर्ग-1 तत्व जैसे वर्ग से। इस सरल तथ्य का उपयोग ज्यामितीय उत्पाद के सामान्य व्यवहार के लिए एक ज्यामितीय व्याख्या देने के लिए एक उपकरण के रूप में किया जा सकता है जो "दर्पणों को रद्द करके" ज्यामितीय समस्याओं को हल करता है। इसकी उपयोगिता का एक उदाहरण देने के लिए, मान लीजिए कि हम 3डी में एक निश्चित रेखा के लिए एक समतल ऑर्थोगोनल खोजना चाहते हैं और एक निश्चित बिंदु से गुजरना चाहते हैं। यह एक 2-परावर्तन है और एक 3-परावर्तन है, इसलिए उनके ज्यामितीय उत्पाद को किसी अर्थ में लेने से 5-परावर्तन होता है; हालाँकि, जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में है, इनमें से दो परावर्तन रद्द हो जाते हैं, जिससे 3-परावर्तन हो जाता है (जिसे कभी-कभी घूर्णन के रूप में जाना जाता है)। समतल-आधारित ज्यामितीय बीजगणित संकेतन में, इस घूर्णन परावर्तन को एक बिंदु परावर्तन में "जोड़े गए" समतलीय परावर्तन के रूप में सोचा जा सकता है। इस घूर्णन का समतल भाग वह तल है जो रेखा और मूल बिंदु के लिए ऑर्थोगोनल है। एक समान प्रक्रिया का उपयोग एक तल के लिए ऑर्थोगोनल रेखा का पता लगाने और एक बिंदु से गुजरने के लिए किया जा सकता है, या एक रेखा और एक तल का प्रतिच्छेदन, या किसी अन्य तल के साथ एक तल की प्रतिच्छेदन रेखा। घूर्णन और अनुवाद भी उप-बीजगणित के रूप में घूर्णन और अनुवाद ऐसे परिवर्तन हैं जो दूरी और हस्तता (कायरलिटी) को संरक्षित करते हैं, जैसे। जब उन्हें वस्तुओं के सेट पर लगाया जाता है, तो उन वस्तुओं के बीच सापेक्ष दूरी नहीं बदलती है और न ही उनका हाथ, जिसका अर्थ है कि दाएं हाथ का दस्ताने बाएं हाथ के दस्ताने में नहीं बदलेंगे। 3डी यूक्लिडियन समतल-आधारित ज्यामितीय बीजगणित में सभी परिवर्तन दूरी को संरक्षित करते हैं, लेकिन प्रतिबिंब, घूर्णन और आधान हस्तता को संरक्षित नहीं करते हैं। घूर्णन और अनुवाद हस्तता को संरक्षित करते हैं, जो 3डी विमान-आधारित जी. ए. का तात्पर्य है कि उन्हें सम संख्या में प्रतिबिंबों की संरचना के रूप में लिखा जा सकता है। एक घूर्णन को एक तल में एक प्रतिबिंब के रूप में सोचा जा सकता है जिसके बाद दूसरे तल में एक प्रतिबिंब होता है जो पहले के समानांतर नहीं होता है (चतुर्थक, जो ऊपर पीजीए के संदर्भ में सेट किए गए हैं)। यदि तल समानांतर होते, तो उनके प्रतिबिंबों की रचना एक अनुवाद देती। घूर्णन और अनुवाद दोनों पेंच गति के विशेष मामले हैं, उदाहरण के लिए। अंतरिक्ष में एक रेखा के चारों ओर एक घूर्णन जिसके बाद एक ही रेखा के साथ निर्देशित अनुवाद होता है। इस समूह को आमतौर पर एस. ई. (3) कहा जाता है, जो 3 आयामों में विशेष (हस्त-संरक्षण) यूक्लिडियन (दूरी-संरक्षण) परिवर्तनों का समूह है। इस समूह में दो सामान्य रूप से उपयोग किए जाने वाले प्रतिनिधित्व हैं जो उन्हें बीजगणित और गणना में उपयोग करने की अनुमति देते हैं, एक वास्तविक संख्याओं के 4 × 4 मैट्रिक्स हैं, और दूसरा दोहरे चतुर्थक हैं। दोहरा चतुर्थक प्रतिनिधित्व (सामान्य चतुर्थक की तरह) वास्तव में एस. ई. (3) का दोहरा आवरण है। चूँकि दोहरे चतुर्थक बीजगणितीय रूप से बंद होते हैं और सम संख्या में आधार तत्वों से बने होते हैं, इसलिए उन्हें 3डी यूक्लिडियन समतल-आधारित ज्यामितीय बीजगणित का सम उप-बीजगणित कहा जाता है। इस उप-बीजगणित का वर्णन करने के लिए कभी-कभी 'स्पिनोर' शब्द का उपयोग किया जाता है। केमिली जॉर्डन के काम में विमानों का उपयोग करके कठोर परिवर्तनों का वर्णन करना एक प्रमुख लक्ष्य था। और मिशेल चेसल्स क्योंकि यह उपचार को आयाम-स्वतंत्र होने की अनुमति देता है। सामान्यीकरण व्युत्क्रम ज्यामिति व्युत्क्रम ज्यामिति वृत्त और क्षेत्रों में व्युत्क्रम द्वारा उत्पन्न ज्यामितीय वस्तुओं और व्यवहारों का अध्ययन है। समतलों में प्रतिबिंब गोले में व्युत्क्रम का एक विशेष मामला है, क्योंकि एक तल अनंत त्रिज्या वाला एक गोला है। चूँकि समतल-आधारित ज्यामितीय बीजगणित प्रतिबिंबों की संरचना से उत्पन्न होता है, यह व्युत्क्रम ज्यामिति का एक विशेष मामला है। व्युत्क्रम ज्यामिति को स्वयं एक बड़ी प्रणाली के साथ किया जा सकता है जिसे अनौपचारिक ज्यामितीय बीजगणित (सी. जी. ए.) के रूप में जाना जाता है, जिसमें विमान-आधारित जी. ए. एक उप-बीजगणित है। सी. जी. ए. को आमतौर पर 3डी स्थान पर भी लागू किया जाता है, और यह सामान्य क्षेत्रों, वृत्तों और अनुरूप (कोण-संरक्षण) परिवर्तनों को मॉडल करने में सक्षम है, जिसमें पोइनकेयर डिस्क पर देखे गए परिवर्तन शामिल हैं। पी. जी. ए. और सी. जी. ए. के बीच संबंध को देखना मुश्किल हो सकता है, क्योंकि सी. जी. ए. अक्सर "बिंदु आधारित" होता है, हालांकि कुछ लेखक सी. जी. ए. के लिए एक समतल-आधारित दृष्टिकोण लेते हैं जो विमान-आधारित जी. ए. और सी. जी. ए. के लिए संकेतन को समान बनाता है। प्रोजेक्टिव ज्यामितीय बीजगणित प्लेन-आधारित ज्यामितीय बीजगणित सभी यूक्लिडियन परिवर्तनों का प्रतिनिधित्व करने में सक्षम है, लेकिन व्यवहार में इसे लगभग हमेशा किसी न किसी प्रकार के दोहरे संचालन के साथ जोड़ा जाता है ताकि "प्रोजेक्टिव ज्यामितीय बीजगणित", पीजीए के रूप में जानी जाने वाली बड़ी प्रणाली बनाई जा सके। द्वैतता, जैसा कि अन्य क्लिफोर्ड और ग्रासमैन बीजगणित में है, प्रतिगामी उत्पाद की परिभाषा की अनुमति देता है। यह इंजीनियरिंग अनुप्रयोगों के लिए बेहद उपयोगी है-समतल-आधारित जी. ए. में, प्रतिगामी उत्पाद एक रेखा प्राप्त करने के लिए एक बिंदु को दूसरे बिंदु से जोड़ सकता है, और एक समतल प्राप्त करने के लिए एक बिंदु और एक रेखा को जोड़ सकता है। इसमें यह और सुविधा है कि यदि किसी भी दो तत्वों (बिंदु, रेखाएँ या तल) का मानक (ऊपर देखें) उनके बराबर है, तो उनके प्रतिगामी उत्पाद का मानक उनके बीच की दूरी के बराबर है। कई बिंदुओं के जुड़ाव को उनके एफ़ाइन पतवार के रूप में भी जाना जाता है। द्वैतता और शब्दावली के प्रकार दोहरे के लिए दी गई सटीक परिभाषा के रूप में लेखकों में भिन्नता है जिसका उपयोग पीजीए में प्रतिगामी उत्पाद को परिभाषित करने के लिए किया जाता है। कोई फर्क नहीं पड़ता कि कौन सी परिभाषा दी गई है, प्रतिगामी उत्पाद पूरी तरह से समान आउटपुट देने के लिए कार्य करता है; इस कारण से, दोहरी की सटीक चर्चा आमतौर पर प्रोजेक्टिव ज्यामितीय बीजगणित पर परिचयात्मक सामग्री में शामिल नहीं की जाती है। महत्वपूर्ण वैचारिक और दार्शनिक अंतर हैंः हॉज डुअल समतल-आधारित ज्यामितीय बीजगणित के तत्वों को समतल आधारित ज्यामितीय बीजगणित के अन्य तत्वों से संबंधित करता है (उदाहरण के लिए, अन्य यूक्लिडियन परिवर्तन); उदाहरण के लिए, एक समतलीय प्रतिबिंब का हॉज डुअल एक बिंदु प्रतिबिंब है। पीजीए को मूल रूप से हॉज डुअल का उपयोग करके परिभाषित किया गया था। प्रोजेक्टिव डुअल भी समतल को बिंदुओं पर मानचित्रित करता है, लेकिन ऐसा नहीं है कि दोनों प्रतिबिंब हैं; इसके बजाय, प्रोजेक्टिव डुअल उस स्थान के बीच बदल जाता है जिसमें समतल-आधारित ज्यामितीय बीजगणित संचालित होता है और एक अलग, गैर-यूक्लिडियन स्थान, दोहरी जगह देखते हैं। उदाहरण के लिए, समतल-आधारित ज्यामितीय बीजगणित में विमान, जो समतलीय प्रतिबिंब करते हैं, को दोहरे स्थान में उन बिंदुओं पर मैप किया जाता है जो सम्मिश्रण में शामिल होते हैं। विभिन्न लेखकों ने पी. जी. ए. के विमान-आधारित जी. ए. भाग को "यूक्लिडियन स्पेस" और "एंटीस्पेस" कहा है। द्वैतता का यह रूप, इस तथ्य के साथ संयुक्त है कि ज्यामितीय वस्तुओं को सजातीय रूप से दर्शाया जाता है (जिसका अर्थ है कि स्केलर द्वारा गुणन उन्हें नहीं बदलता है), यही कारण है कि प्रणाली को "प्रोजेक्टिव" ज्यामितीय बीजगणित के रूप में जाना जाता है (भले ही इसमें पूर्ण प्रोजेक्टिव समूह नहीं होता है, अनौपचारिक ज्यामितीय बीजगणित के विपरीत, जिसमें पूर्ण अनुरूप समूह होता है)। वैकल्पिक रूप से, अनुरूप ज्यामितीय बीजगणित का उपयोग किया जा सकता है (क्योंकि समतल-आधारित जी. ए. सी. जी. ए. का एक उप-बीजगणित है), लेकिन इसके भीतर पी. जी. ए. प्रतिगामी उत्पाद को परिभाषित करना इस तथ्य से जटिल है कि सी. जी. ए. का अपना प्रतिगामी उत्पाद है, जो एक अलग उत्पाद है, अनौपचारिक रूप से क्योंकि सी. जी. ए. में तीन बिंदुओं का जुड़ाव एक वृत्त है, जबकि पी. जी. ए. में यह एक समतल है। एक अन्य समस्या यह है कि पी. जी. ए. "अंकों" में सी. जी. ए. अंकों की तुलना में मौलिक रूप से अलग बीजगणितीय प्रतिनिधित्व होता है; दो बीजगणित की तुलना करने के लिए, पी. जी. ए. अंकों को सी. जी. ए. बिंदु जोड़े के रूप में पहचाना जाना चाहिए, जहां बिंदु जोड़ी का अनंत पर एक बिंदु होता है। इस समस्या को हल करने के लिए, कुछ लेखक सी. जी. ए. में प्रोजेक्टिव डुअल को इसके भीतर दो अलग-अलग पी. जी. ए.-आइसोमोर्फिक सबएलजेब्रा के आदान-प्रदान के रूप में परिभाषित करते हैं; सी. जी. ए. के भीतर हॉज डुअल को परिभाषित करना भी संभव है, लेकिन सी. जी. ए. तत्व का उपयोग करके, जो पी. जी. ए. स्यूडोस्केलर है। गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति और 3 आयामों में शास्त्रीय झूठ समूहों का प्रोजेक्टिव ज्यामितीय बीजगणित पहले अनुमान के लिए, भौतिक दुनिया यूक्लिडियन है, अर्थात। अधिकांश परिवर्तन कठोर होते हैं; इसलिए प्रोजेक्टिव ज्यामितीय बीजगणित आमतौर पर इस पर आधारित होता है, क्योंकि कठोर परिवर्तनों को इस बीजगणित में मॉडल किया जा सकता है। हालांकि, बीजगणित में थोड़ा बदलाव करके अन्य रिक्त स्थान का मॉडल बनाना संभव है। इन प्रणालियों में, बिंदु, तल और रेखाओं के समान निर्देशांक होते हैं जो उनके समतल-आधारित जी. ए. में होते हैं। लेकिन घूर्णन और प्रतिबिंब जैसे परिवर्तनों का ज्यामिति पर बहुत अलग प्रभाव पड़ेगा। नीचे दिए गए सभी मामलों में, बीजगणित अंतरिक्ष में प्रतिबिंबों, घूर्णन और घूर्णन प्रतिबिंबों के समूह का एक दोहरा आवरण है। यूक्लिडियन मामले के सभी सूत्र इन अन्य ज्यामितियों तक ले जाते हैं-मिलन अभी भी वस्तुओं के प्रतिच्छेदन को लेने के तरीके के रूप में कार्य करता है; ज्यामितीय उत्पाद अभी भी परिवर्तनों की रचना करने के तरीके के रूप में कार्य करता है; और हाइपरबोलिक मामले में आंतरिक उत्पाद हाइपरबोलिक कोण को मापने में सक्षम हो जाता है। तीनों सम उप-बीजगण शास्त्रीय लाइ समूह हैं (स्केलर द्वारा भागफल लेने के बाद)। प्रत्येक समूह के लिए संबंधित लाइ बीजगणित क्लिफोर्ड बीजगणित के द्विभाजक हैं, जो भागफल को स्केलर द्वारा नहीं लेते हैं। संदर्भ ज्यामितीय बीजगणित