Moreau envelope
मोरौ लिफाफा (या मोरौ-योसिदा नियमितकरण) एक उचित निचले अर्ध-निरंतर उत्तल कार्य का एक चिकना संस्करण है। यह 1965 में जीन-जैक्स मोरौ द्वारा प्रस्तावित किया गया था। मोरौ लिफाफे के गणितीय अनुकूलन में महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैंः कम से कम करना और कम से कम करना इस अर्थ में समतुल्य समस्याएं हैं कि कम से कम करने वालों का सेट और समान हैं। हालांकि, प्रथम-क्रम अनुकूलन एल्गोरिदम को सीधे लागू किया जा सकता है, क्योंकि यह गैर-अवकलनीय हो सकता है जबकि हमेशा निरंतर अवकलनीय होता है। वास्तव में, कई समीपस्थ प्रवणता विधियों की व्याख्या एक प्रवणता अवरोहण विधि के रूप में की जा सकती है। परिभाषा एक हिल्बर्ट स्थान से एक उचित निचले अर्ध-निरंतर उत्तल फलन के मोरौ लिफाफे को इस रूप में परिभाषित किया गया है एक पैरामीटर दिए जाने पर, मोरौ लिफाफे को पैरामीटर के साथ मोरौ लिफाफा भी कहा जाता है। गुण मोरयू लिफाफे को और के बीच के असीम अभिसरण के रूप में भी देखा जा सकता है। एक फलन का समीपस्थ प्रचालक निम्नलिखित पहचान द्वारा मोरौ लिफाफे के ढाल से संबंधित हैः अनुक्रम को परिभाषित करके और उपरोक्त पहचान का उपयोग करके, हम मोरौ लिफाफे पर एक ढाल वंश एल्गोरिथ्म के रूप में समीपस्थ प्रचालक की व्याख्या कर सकते हैं। फेंचेल के द्वैत प्रमेय का उपयोग करते हुए, कोई भी मोरौ लिफाफे के निम्नलिखित दोहरे सूत्रीकरण को प्राप्त कर सकता हैः जहां के उत्तल संयुग्म को दर्शाता है। चूँकि हिल्बर्ट स्थान पर एक उचित, उत्तल, निम्न अर्ध-सतत फलन का उप-विभेदक उसके उत्तल संयुग्म के उप-विभेदक के विपरीत होता है, इसलिए हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि यदि उपरोक्त अभिव्यक्ति का अधिकतमक है, तो प्राथमिक सूत्रीकरण में न्यूनतमक है और इसके विपरीत। होप्फ-लैक्स सूत्र के अनुसार, मोरौ लिफाफा हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण का एक चिपचिपाहट समाधान है। स्टेनली ओशर और सह-लेखकों ने इस गुण और कोल-हॉफ परिवर्तन का उपयोग एक फलन के समीपस्थ प्रचालक के लिए सन्निकटन की गणना करने के लिए एक एल्गोरिथ्म प्राप्त करने के लिए किया। प्रॉक्सिमल ऑपरेटर प्रॉक्सिमल ग्रेडिएंट विधि भी देखें संदर्भ बाहरी लिंक ए हैमिल्टन-जैकोबी-आधारित प्रॉक्सिमल ऑपरेटरः एक यूट्यूब वीडियो जो प्रॉक्सिमल ऑपरेटर गणितीय अनुकूलन को अनुमानित करने के लिए एक एल्गोरिथ्म की व्याख्या करता है।