Silver's dichotomy
वर्णनात्मक समुच्चय सिद्धांत में, गणित की एक शाखा, सिल्वर की द्विभाजन (जिसे सिल्वर की प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है) समानता संबंधों के बारे में एक कथन है, जिसका नाम जैक सिल्वर के नाम पर रखा गया है। कथन और इतिहास एक संबंध को सहविश्लेषक कहा जाता है यदि इसका पूरक एक विश्लेषणात्मक समूह है। सिल्वर की द्विभाजन एक सह-विश्लेषणात्मक समतुल्यता संबंध के समतुल्यता वर्गों के बारे में एक कथन है, जिसमें कहा गया है कि किसी भी सह-विश्लेषणात्मक समतुल्यता संबंध में या तो कई समतुल्यता वर्ग हैं, या फिर वास्तविक का एक सही सेट है जो प्रत्येक एक दूसरे के लिए अतुलनीय है। बाद के मामले में, संबंध के अनगिनत समतुल्यता वर्ग होने चाहिए। सिल्वर के द्विभाजन का पहला प्रकाशित प्रमाण जैक सिल्वर द्वारा किया गया था, जो हार्वे फ्रीडमैन द्वारा पूछे गए एक प्रश्न का उत्तर देने के लिए 1980 में दिखाई दिया था। पुनरावर्ती समुच्चय सिद्धांत में दिखाई देने वाले सिल्वर के द्विभाजन का एक अनुप्रयोग यह है कि चूंकि एक समुच्चय तक सीमित समानता सहविश्लेषक है, इसलिए कोई बोरेल समतुल्यता संबंध नहीं है, जहां बोरेल-ह्रास को दर्शाता है। सिल्वर के द्विभाजन से प्रेरित कुछ बाद के परिणामों ने एक नए क्षेत्र की स्थापना की जिसे अपरिवर्तनीय वर्णनात्मक सेट सिद्धांत के रूप में जाना जाता है, जो परिभाषित समतुल्यता संबंधों का अध्ययन करता है। सिल्वर की द्विभाजन कई कमजोर पुनरावर्ती संस्करणों को भी स्वीकार करती है, जिनकी तुलना विपरीत गणित से दूसरे क्रम के अंकगणित की उप-प्रणालियों के साथ ताकत में की गई है, जबकि सिल्वर की द्विभाजन स्वयं साबित रूप से ओवर के बराबर है। संदर्भ सेट सिद्धांत