Convergence proof techniques
अभिसरण प्रमाण तकनीक गणितीय प्रमाणों के विहित घटक हैं जो अनुक्रम या कार्य एक सीमित सीमा तक अभिसरण करते हैं जब तर्क अनंत की ओर जाता है। कई प्रकार की श्रृंखलाएँ और अभिसरण के तरीके हैं जिनके लिए विभिन्न तकनीकों की आवश्यकता होती है। नीचे कुछ अधिक सामान्य उदाहरण दिए गए हैं। इस लेख का उद्देश्य एक परिचय के रूप में है जिसका उद्देश्य चिकित्सकों को उपयुक्त तकनीकों का पता लगाने में मदद करना है। नीचे दिए गए लिंक अधिक अमूर्त सेटिंग्स के लिए आवश्यक शर्तों और सामान्यीकरण का विवरण देते हैं। श्रृंखला के अभिसरण को पहले से ही अभिसरण परीक्षणों पर लेख में शामिल किया गया है। आर. एन. में अभिसरण किसी अनुक्रम या फलन के अभिसरण को साबित करना आम बात है, जहां प्राकृतिक संख्याओं और वास्तविक संख्याओं को संदर्भित किया जाता है, और अभिसरण यूक्लिडियन मानक के संबंध में है। इसके लिए उपयोगी तरीके इस प्रकार हैं। पहला सिद्धांत एक सीमा के अभिसरण की विश्लेषणात्मक परिभाषा यह है कि सभी के लिए सभी के लिए ऐसा मौजूद है। सबसे बुनियादी प्रमाण तकनीक इस तरह का पता लगाना और आवश्यक असमानता को साबित करना है। यदि का मूल्य पहले से ज्ञात नहीं है, तो नीचे दी गई तकनीकें उपयोगी हो सकती हैं। संकुचन मानचित्रण कई मामलों में, वह कार्य जिसका अभिसरण रुचि का है, कुछ परिवर्तन का रूप रखता है। उदाहरण के लिए, कुछ अनुरूप मैट्रिक्स के लिए मैप किया जा सकता है। वैकल्पिक रूप से, एक तत्व-वार ऑपरेशन हो सकता है, जैसे कि प्रत्येक तत्व को उसके परिमाण के वर्गमूल से प्रतिस्थापित करना। ऐसे मामलों में, यदि समस्या बनाच निश्चित-बिंदु प्रमेय की शर्तों को संतुष्ट करती है (क्षेत्र एक गैर-खाली पूर्ण मीट्रिक स्थान है) तो यह साबित करने के लिए पर्याप्त है कि कुछ स्थिरांक के लिए जो सभी के लिए निश्चित है और। इस तरह के ए को संकुचन मानचित्रण कहा जाता है। इस दृष्टिकोण के उपयोग के प्रसिद्ध उदाहरण में शामिल हैं यदि कुछ मैट्रिक्स के लिए रूप है और फिर अभिसरण तब होता है जब सभी आइगेनवैल्यू का परिमाण 1 से कम हो। बोल्ज़ानो-वेयरस्ट्रास प्रमेय के अनुसार, प्रत्येक बंधे हुए अनुक्रम में एक अभिसारी अनुक्रम होता है। यदि इन सभी की सीमा समान है, तो मूल अनुक्रम उस सीमा में परिवर्तित हो जाता है। यदि यह दिखाया जा सकता है कि परिवर्तन के सभी बाद की एक ही सीमा है, जैसे कि यह दिखाना कि परिवर्तन का एक अद्वितीय निश्चित बिंदु है, तो प्रारंभिक अनुक्रम को भी उस सीमा में अभिसरण करना चाहिए। मोनोटॉनिसिटी (लियापुनोव फंक्शन) में प्रत्येक बाउंडेड मोनोटोनिक अनुक्रम एक सीमा में परिवर्तित हो जाता है। इस दृष्टिकोण को उन अनुक्रमों पर भी लागू किया जा सकता है जो एकरस नहीं हैं। इसके बजाय, किसी ऐसे फलन को परिभाषित करना संभव है जिसमें एकरसता हो। यदि एक लियापुनोव फलन होने की शर्तों को संतुष्ट करता है तो अभिसारी है। लियापुनोव की प्रमेय को आम तौर पर साधारण विभेदक समीकरणों के लिए कहा जाता है, लेकिन व्युत्पन्न को असतत अंतरों के साथ प्रतिस्थापित करके पुनरावृत्तियों के अनुक्रमों पर भी लागू किया जा सकता है। इन पर बुनियादी आवश्यकताएँ हैं कि सभी के लिए और (या के लिए) और "रेडियली अनबाउंडेड" हों, ताकि किसी भी अनुक्रम के लिए अनंत तक जा सके जो अनंत की ओर जाता है। कई मामलों में, रूप का एक लियापुनोव कार्य पाया जा सकता है, हालांकि अधिक जटिल रूपों का भी उपयोग किया जाता है। विलंब विभेदक समीकरणों के लिए, एक समान दृष्टिकोण लियापुनोव फलन के साथ लागू होता है जिसे लियापुनोव फलन द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है जिसे लियापुनोव-क्रासोव्स्की फलन भी कहा जाता है। यदि स्थिति 1 में असमानता कमजोर है, तो लासेल के अपरिवर्तनीयता सिद्धांत का उपयोग किया जा सकता है। फलन के अनुक्रमों का अभिसरण फलन के अनुक्रमों के अभिसरण पर विचार करने के लिए, यूक्लिडियन मानक को बदलने के लिए फलन के बीच की दूरी को परिभाषित करना आवश्यक है। इनमें अक्सर मानक में अभिसरण (मजबूत अभिसरण) शामिल होता है-एक कार्य मानक, जैसे कि परिभाषित किया गया है, और अभिसरण तब होता है जब। इस मामले के लिए, उपरोक्त सभी तकनीकों को इस कार्य मानक के साथ लागू किया जा सकता है। बिन्दुवार अभिसरण-- अभिसरण तब होता है जब प्रत्येक के लिए,। इस मामले के लिए, उपरोक्त तकनीकों को प्रत्येक बिंदु के लिए उपयुक्त मानक के साथ लागू किया जा सकता है। समान अभिसरण-बिंदुवार अभिसरण में, कुछ (खुले) क्षेत्र मनमाने ढंग से धीरे-धीरे अभिसरण कर सकते हैं। समान अभिसरण के साथ, एक निश्चित अभिसरण दर ऐसी होती है कि सभी बिंदु कम से कम उतनी तेजी से अभिसरण करते हैं। औपचारिक रूप से, प्रत्येक का क्षेत्र कहाँ है। फोरियर श्रृंखला का अभिसरण यादृच्छिक चर का अभिसरण यादृच्छिक चर के सरल तत्वों की तुलना में अधिक जटिल हैं। (औपचारिक रूप से, एक यादृच्छिक चर एक घटना स्थान से एक मूल्य स्थान तक एक मानचित्रण है। मान स्थान हो सकता है, जैसे कि एक पासा का रोल, और इस तरह के यादृच्छिक चर को अक्सर अनौपचारिक रूप से होने के रूप में कहा जाता है, लेकिन यादृच्छिक चर के अनुक्रम का अभिसरण मूल्यों के अनुक्रम के बजाय कार्यों के अनुक्रम, या वितरण के अभिसरण से मेल खाता है।) इस बात पर निर्भर करते हुए कि कार्यों के बीच की दूरी को कैसे मापा जाता है, कई प्रकार के अभिसरण होते हैं। वितरण में अभिसरण-यादृच्छिक चरों के वितरण कार्यों का सीमा तक बिंदुवार अभिसरण संभावना में अभिसरण लगभग निश्चित अभिसरण-सीमा तक मानचित्रण का बिंदुवार अभिसरण, सीमा में माप 0 के साथ एक सेट को छोड़कर। माध्य में अभिसरण प्रत्येक की अपनी प्रमाण तकनीकें हैं, जो इस लेख के वर्तमान दायरे से परे हैं। डोमिनेटेड कन्वर्जेंस कार्लसन की प्रमेय को भी देखें जो लगभग हर जगह एल2 कार्यों की फूरियर श्रृंखला के बिंदुवार (लेबस्ग्यू) कन्वर्जेंस की स्थापना करती है, डूब की मार्टिंगेल कन्वर्जेंस प्रमेय मोनोटोन कन्वर्जेंस प्रमेय टोपोलॉजिकल कन्वर्जेंस का एक यादृच्छिक चर एनालॉग उपरोक्त सभी तकनीकों के लिए, कुछ उपरोक्त कन्वर्जेंस की मूल विश्लेषणात्मक परिभाषा का निर्माण करती है। हालांकि, टोपोलॉजी की अभिसरण की अपनी परिभाषा है। उदाहरण के लिए, एक गैर-हौसडॉर्फ स्थान में, एक अनुक्रम के लिए कई अलग-अलग सीमाओं में अभिसरण करना संभव है। संदर्भ गणितीय विश्लेषण