Papoulis-Marks-Cheung Approach
पापौलिस-मार्क्स-चेउंग दृष्टिकोण बहुआयामी शैनन नमूना सिद्धांत में एक प्रमेय है जो दर्शाता है कि द्वि-आयामी बैंड-सीमित फलन के नमूना घनत्व को फलन के फूरियर परिवर्तन के समर्थन में कम किया जा सकता है। एथानासियोस पापौलिस द्वारा एक प्रमेय के बहुआयामी सामान्यीकरण को लागू करते हुए, दृष्टिकोण को सबसे पहले रॉबर्ट जे द्वारा प्रस्तावित किया गया था। मार्क्स द्वितीय और क्वांग फाई चेउंग। इस दृष्टिकोण को "सुरुचिपूर्ण", "उल्लेखनीय रूप से" बंद "और" दिलचस्प "कहा गया है। प्रमेय एक फलन का द्वि-आयामी फूरियर रूपांतरण, या आवृत्ति वर्णक्रम, वह स्थान है जहाँ और और के अनुरूप स्थानिक आवृत्तियाँ हैं। कब और कब लंबाई होती है, स्थानिक आवृत्ति में प्रति इकाई लंबाई चक्रों की इकाइयाँ होती हैं। प्रेली और न्यूहॉफ ने पापोलिस-मार्क्स-चेउंग दृष्टिकोण का वर्णन इस प्रकार किया है। अपने परिणाम प्राप्त करने में, मार्क्स और चेउंग ने पापौलिस के सामान्यीकृत नमूना विस्तार पर भरोसा किया। व्याख्या पापौलिस-मार्क्स-चेउंग दृष्टिकोण को उदाहरण द्वारा सबसे अच्छी तरह से समझाया गया है। चित्र 1 से दाहिने आधे तल पर दिखाए गए आधे वृत्त पर विचार करें। एक संकेत का वर्णक्रम, आधे वृत्त के बाहर शून्य होता है। वृत्त के अंदर, 'स्पेक्ट्रम' मनमाना होता है लेकिन अच्छा व्यवहार करता है। इकाई त्रिज्या के साथ अर्ध-वृत्त का क्षेत्रफल (चक्र प्रति इकाई लंबाई) वर्ग होता है। पापौलिस-मार्क्स-चेउंग दृष्टिकोण के अनुसार, छवि के लिए नमूना घनत्व को प्रति इकाई क्षेत्र के नमूनों तक कम किया जा सकता है। पापौलिस-मार्क्स-चेउंग दृष्टिकोण बताता है कि यह कैसे किया जाए। चित्र 1 में दाईं ओर आधे वृत्त की एक आयताकार प्रतिकृति को चित्रित किया गया है जो तब होता है जब चित्र 2 में दिखाए गए स्थानिक स्थानों पर द्वि-आयामी कार्य का नमूना लिया जाता है। यह प्रतिकृति बहुआयामी नमूना प्रमेय का एक परिणाम है जो दर्शाता है कि स्थानिक क्षेत्र में द्वि-आयामी संकेत के नमूने के परिणामस्वरूप फूरियर क्षेत्र में वर्णक्रम प्रतिकृति होती है। यदि समान नमूना घनत्व कम था, तो प्रतिकृतियाँ ओवरलैप होंगी और मूल कार्य के पुनर्निर्माण के प्रयास के परिणामस्वरूप छवि अलियासिंग होगी। इसे प्राप्त करने के लिए नमूना घनत्व स्पेक्ट्रम प्रतिकृति के आयताकार जाली कोशिका के क्षेत्र के बराबर है। प्रतिकृति में उपयोग किए जाने वाले आयत का संबंधित क्षेत्र (चक्र प्रति इकाई लंबाई) वर्ग के बराबर है। जैसा कि चित्र 2 द्वारा पुष्टि की गई है, वर्णक्रमीय प्रतिकृति प्राप्त करने के लिए आवश्यक नमूना घनत्व इसलिए प्रति इकाई क्षेत्र के नमूने हैं। पापौलिस-मार्क्स-चेउंग दृष्टिकोण कहता है कि इस नमूने के घनत्व को आधे वृत्त के क्षेत्र तक कम किया जा सकता है, अर्थात् प्रति इकाई क्षेत्र के नमूनों तक। यह देखने के लिए कि यह कमी कैसे होती है, चित्र 3 पर विचार करें जहां आयताकार जाली कोशिका को समान वर्गों में विभाजित किया गया है। ध्यान दें कि इनमें से दो वर्ग पूरी तरह से एक ऐसे क्षेत्र में स्थित हैं जहाँ वर्णक्रमीय प्रतिकृति समान रूप से शून्य है। ये वर्ग हल्के हरे रंग के छायांकित हैं। प्रत्येक वर्ग को विभिन्न द्वि-आयामी संकेतों के स्पेक्ट्रा के रूप में सोचें। हल्के हरे क्षेत्रों से संबंधित संकेतों के लिए सभी नमूने शून्य हैं और उन पर विचार करने की आवश्यकता नहीं है। दो हरे वर्गों का क्षेत्रफल है। चूंकि इन वर्गों के अनुरूप नमूनों पर विचार करने की आवश्यकता नहीं है (वे सभी शून्य हैं), इसलिए समग्र नमूना घनत्व प्रति इकाई क्षेत्र के नमूनों से घटाकर प्रति इकाई क्षेत्र के नमूने कर दिया जाता है। नमूना घनत्व में संबंधित कमी को चित्र 4 में दिखाया गया है जहां लाल बिंदु ऐसे स्थान हैं जहां नमूने लेने की आवश्यकता नहीं है। एक लाल बिंदु वाली एकल कोशिका को छायांकित दिखाया गया है। कोशिका का क्षेत्रफल नमूना घनत्व में संबंधित कमी को चित्र 4 में दिखाया गया है जहाँ लाल बिंदु ऐसे स्थान हैं जहाँ नमूने लेने की आवश्यकता नहीं है। एक लाल बिंदु वाली एकल कोशिका को छायांकित दिखाया गया है। कोशिका का क्षेत्रफल इकाइयाँ हैं। इसलिए नमूना घनत्व, जैसा कि चित्र 3 में दो हरे वर्गों के क्षेत्रों से भी देखा जाता है, प्रति इकाई क्षेत्र में नमूनों द्वारा कम किया जाता है। विस्तार पिछले उदाहरण में, चित्र 3 में वर्गों को मनमाने ढंग से छोटा किया जा सकता है और संख्या में बढ़ाया जा सकता है ताकि, स्पर्शोन्मुख रूप से, शून्य के बराबर सभी क्षेत्र को कवर किया जा सके। इस प्रकार, नमूने के घनत्व को स्पेक्ट्रम के समर्थन तक कम किया जा सकता है, यानी उस क्षेत्र तक जहां स्पेक्ट्रम समान रूप से शून्य नहीं है। पापौलिस-मार्क्स-चेउंग दृष्टिकोण को सीधे उच्च आयामों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। इसके अलावा, प्रतिकृति ज्यामिति आयताकार होने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन कोई भी आकार हो सकता है जो पूरे तल को टाइल करेगा जैसे कि समानांतर चतुर्भुज और षट्कोण। पापौलिस-मार्क्स-चेउंग दृष्टिकोण का एक अधिक विस्तृत गणितीय विवरण मार्क्स और चेउंग और उनके व्युत्पन्न कार्य द्वारा मूल पेपर में उपलब्ध है। फूरियर विश्लेषण में संदर्भ प्रमेय