Ddbar lemma
जटिल ज्यामिति में, लेम्मा (उच्चारण डी. डी. बार लेम्मा) एक जटिल विभेदक रूप के डी राम कोहोमोलॉजी वर्ग के बारे में एक गणितीय लेम्मा है। - लेम्मा हॉज सिद्धांत और एक कॉम्पैक्ट कहलर मैनिफोल्ड पर कहलर पहचान का परिणाम है। कभी-कभी इसे-लेम्मा के रूप में भी जाना जाता है, एक संबंधित ऑपरेटर के उपयोग के कारण, दो ऑपरेटरों के बीच संबंध के साथ और इसी तरह। कथन लेम्मा दावा करता है कि यदि एक कॉम्पैक्ट कहलर मैनिफोल्ड है और बाइडीग्री (पी, क्यू) (के साथ) का एक जटिल विभेदक रूप है जिसका वर्ग डी राम कोहोमोलॉजी में शून्य है, तो बाइडीग्री (पी-1, क्यू-1) का एक रूप मौजूद है जैसे कि कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड के डॉल्बीऑल्ट ऑपरेटर कहाँ और कहाँ हैं। डी. डी. बार. क्षमता इस रूप को-क्षमता कहा जाता है। कारक का समावेश यह सुनिश्चित करता है कि वह एक वास्तविक विभेदक प्रचालक है, अर्थात यदि वास्तविक गुणांक के साथ एक विभेदक रूप है, तो ऐसा ही है। इस लेम्मा की तुलना डी राम कोहोमोलॉजी में एक सटीक विभेदक रूप की धारणा से की जानी चाहिए। विशेष रूप से यदि एक बंद विभेदक के-रूप (किसी भी चिकनी मैनिफोल्ड पर) है जिसका वर्ग डी राम कोहोमोलॉजी में शून्य है, तो कुछ विभेदक (के-1)-रूप के लिए जिसे-पोटेंशियल (या सिर्फ पोटेंशियल) कहा जाता है, बाहरी व्युत्पन्न कहाँ है। वास्तव में, चूंकि डॉल्बीऑल्ट प्रचालक बाहरी व्युत्पन्न और शून्य देने के लिए वर्ग देने के लिए योग करते हैं, इसलिए-लेम्मा का तात्पर्य है कि, कॉम्पैक्ट कहलर मैनिफोल्ड्स की सेटिंग में-पोटेंशियल को-पोटेंशियल के लिए परिष्कृत करना। सबूत-लेम्मा एक कॉम्पैक्ट कहलर मैनिफोल्ड पर लागू हॉज सिद्धांत का एक परिणाम है। अण्डाकार परिसर के लिए हॉज प्रमेय किसी भी प्रचालक पर और क्रमशः उनके लाप्लास प्रचालक पर लागू किया जा सकता है। इन प्रचालकों के लिए कर्नेल द्वारा दिए गए हार्मोनिक विभेदक रूपों के रिक्त स्थान को परिभाषित किया जा सकता हैः हॉज अपघटन प्रमेय इस बात पर जोर देता है कि हार्मोनिक रूपों के इन रिक्त स्थान से जुड़े तीन ऑर्थोगोनल अपघटन हैं, जो क्रमशः कहलर मैनिफोल्ड के रीमानियन मीट्रिक के संबंध में औपचारिक संयोजन के आधार पर दिए गए हैं। ये अपघटन किसी भी कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड पर अलग से होते हैं। मैनिफोल्ड कहलर होने का महत्व यह है कि ऊपर दिए गए ऑर्थोगोनल अपघटन के लैपलेसियन और इसलिए के बीच एक संबंध है। विशेष रूप से एक कॉम्पैक्ट कहलर मैनिफोल्ड पर जो एक ऑर्थोगोनल अपघटन का तात्पर्य है जहां और-हार्मोनिक रूपों के रिक्त स्थान से संबंधित आगे के संबंध हैं। उपरोक्त अपघटनों के परिणामस्वरूप, निम्नलिखित सिद्धांत को सिद्ध किया जा सकता है। इसका प्रमाण इस प्रकार है। मान लीजिए कि एक कॉम्पैक्ट कहलर मैनिफोल्ड पर एक बंद (पी, क्यू)-रूप हो। यह तेजी से आगे बढ़ता है कि (डी) का अर्थ है (ए), (बी), और (सी)। इसके अलावा, ऊपर दिए गए ऑर्थोगोनल अपघटन का अर्थ है कि (ए), (बी), या (सी) में से कोई भी (ई) का संकेत देता है। इसलिए, मुख्य कठिनाई यह दिखाना है कि (ई) का तात्पर्य (डी) है। उस अंत तक, मान लीजिए कि यह सबस्पेस के लिए ऑर्थोगोनल है। फिर. चूंकि-बंद है और, यह भी-बंद है (यानी)। यदि कहाँ और इसमें निहित है तो यह योग रीमानियन मीट्रिक द्वारा प्रेरित आंतरिक उत्पाद के संबंध में एक ऑर्थोगोनल अपघटन से है, या दूसरे शब्दों में और। इस प्रकार यह स्थिति है। यह हमें कुछ विभेदक रूप में लिखने की अनुमति देता है। हॉज अपघटन को लागू करना, जहाँ-हार्मोनिक है, और। समानता का तात्पर्य है कि यह भी-सामंजस्यपूर्ण है और इसलिए। इस प्रकार। हालाँकि, चूंकि यह बंद है, इसलिए यह भी बंद है। फिर ऊपर के समान चाल का उपयोग करते हुए, कहलर पहचान को भी लागू करें। इस प्रकार और सेटिंग-पोटेंशियल उत्पन्न करती है। स्थानीय संस्करण-लेम्मा का एक स्थानीय संस्करण है और इसे हॉज अपघटन प्रमेय को अपील करने की आवश्यकता के बिना साबित किया जा सकता है। यह प्रचालक के लिए पोइनकेयर लेम्मा या डॉल्बेल्ट-ग्रोथेन्डिक लेम्मा का अनुरूप है। स्थानीय-लेम्मा किसी भी क्षेत्र पर अधिकार रखता है जिस पर उपरोक्त लेम्मा का अधिकार है। प्रमाण उपरोक्त लेम्मास से जल्दी से आता है। सबसे पहले ध्यान दें कि अगर स्थानीय रूप से कुछ लोगों के लिए रूप है तो क्योंकि, और। दूसरी ओर, मान लीजिए-बंद है। फिर पोइनकेयर लेम्मा द्वारा किसी भी बिंदु का एक खुला पड़ोस और एक ऐसा रूप मौजूद है। अब इसके लिए लिखना और ध्यान दें कि और रूपों की द्विगुणों की तुलना करने का अर्थ है कि और और वह। संभवतः खुले पड़ोस के आकार को सिकोड़ने के बाद, डॉल्बेल्ट-ग्रोथेन्डिक लेम्मा को और (बाद वाला क्योंकि) स्थानीय रूपों को प्राप्त करने के लिए लागू किया जा सकता है जैसे कि और। यह ध्यान में रखते हुए कि यह सबूत को पूरा करता है। बॉट-चेर्न कोहोमोलॉजी कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड्स के लिए एक कोहोमोलॉजी सिद्धांत है जो ऑपरेटरों पर निर्भर करता है और यह मापता है कि-लेम्मा किस हद तक पकड़ में नहीं आता है। विशेष रूप से जब एक कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड एक कहलर मैनिफोल्ड होता है, तो बॉट-चेर्न कोहोमोलॉजी डॉल्बेल्ट कोहोमोलॉजी के लिए समरूप है, लेकिन सामान्य रूप से इसमें अधिक जानकारी होती है। एक कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड के बॉट-चेरन कोहोमोलॉजी समूहों को इस प्रकार परिभाषित किया गया है क्योंकि एक अंतर रूप जो दोनों है और-बंद है-बंद है, बॉट-चेरन कोहोमोलॉजी समूहों से डी राम कोहोमोलॉजी समूहों के लिए एक प्राकृतिक मानचित्र है। और डॉल्बेल्ट कोहोमोलॉजी समूहों के लिए भी नक्शे हैं। जब मैनिफोल्ड-लेम्मा को संतुष्ट करता है, उदाहरण के लिए यदि यह एक कॉम्पैक्ट कहलर मैनिफोल्ड है, तो बॉट-चेरन कोहोमोलॉजी से लेकर डॉल्बेल्ट कोहोमोलॉजी तक के उपरोक्त मानचित्र समरूपता हैं, और इसके अलावा बॉट-चेरन कोहोमोलॉजी से लेकर डी राम कोहोमोलॉजी तक का मानचित्र इंजेक्टिव है। नतीजतन, जब भी-लेम्मा को संतुष्ट करता है तो एक समरूपता होती है। इस तरह, उपरोक्त मानचित्रों का कर्नेल लेम्मा को संतुष्ट करने में मैनिफोल्ड की विफलता को मापता है, और विशेष रूप से कहलर मैनिफोल्ड होने की विफलता को मापता है। बाइडीग्री (1,1) के लिए परिणाम-लेम्मा का सबसे महत्वपूर्ण परिणाम तब होता है जब जटिल विभेदक रूप में बाइडीग्री (1,1) होता है। इस मामले में लेम्मा बताता है कि एक सटीक विभेदक रूप में एक चिकने फलन द्वारा दी गई-क्षमता होती हैः विशेष रूप से यह उस मामले में होता है जहां एक कहलर रूप एक कहलर मैनिफोल्ड के एक छोटे से खुले सबसेट तक सीमित होता है (यह मामला लेम्मा के स्थानीय संस्करण से अनुसरण करता है), जहां उपरोक्त पोइनकेयर लेम्मा सुनिश्चित करता है कि यह एक सटीक विभेदक रूप है। यह एक कहलर क्षमता की धारणा की ओर ले जाता है, एक स्थानीय रूप से परिभाषित कार्य जो पूरी तरह से कहलर रूप को निर्दिष्ट करता है। एक अन्य महत्वपूर्ण मामला यह है कि दो कहलर रूपों का अंतर कब है जो एक ही डी राम कोहोमोलॉजी वर्ग में हैं। इस मामले में डी राम कोहोमोलॉजी में तो-लेम्मा लागू होता है। एकल फलन का उपयोग करके कहलर रूपों को पूरी तरह से वर्णित करने की अनुमति देकर, जो स्वचालित रूप से एक प्लुरिसुफार्मोनिक फलन है, कॉम्पैक्ट कहलर मैनिफोल्ड्स का अध्ययन प्लुरिपोटेंशियल सिद्धांत की तकनीकों का उपयोग करके किया जा सकता है, जिसके लिए कई विश्लेषणात्मक उपकरण उपलब्ध हैं। उदाहरण के लिए,-लेम्मा का उपयोग विभव के संदर्भ में कहलर-आइंस्टीन समीकरण को फिर से लिखने के लिए किया जाता है, जिससे इसे कहलर विभव के लिए एक जटिल मोंगे-एम्पीयर समीकरण में बदल दिया जाता है। डी. डी. बी. आर. मैनिफोल्ड्स जटिल मैनिफोल्ड्स जो आवश्यक रूप से कहलर नहीं हैं, लेकिन फिर भी-लेम्मा को संतुष्ट करने के लिए होते हैं, उन्हें-मैनिफोल्ड्स के रूप में जाना जाता है। उदाहरण के लिए, कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड्स जो फुजिकी वर्ग सी हैं, वे-लेम्मा को संतुष्ट करते हैं लेकिन जरूरी नहीं कि कहलर हों। पोइनकेयर लेम्मा डॉल्बेल्ट-ग्रोथेन्डिक लेम्मा संदर्भ भी देखें बाहरी लिंक हॉज सिद्धांत कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड्स