Spin chain
स्पिन चेन सांख्यिकीय भौतिकी में एक प्रकार का मॉडल है। स्पिन श्रृंखलाओं को मूल रूप से चुंबकीय प्रणालियों के मॉडल के लिए तैयार किया गया था, जिसमें आम तौर पर एक जाली पर निश्चित स्थलों पर स्थित चुंबकीय स्पिन वाले कण होते हैं। एक प्रोटोटाइपिकल उदाहरण क्वांटम हाइजेनबर्ग मॉडल है। साइटों के बीच बातचीत ऑपरेटरों द्वारा मॉडल की जाती है जो दो अलग-अलग साइटों, अक्सर पड़ोसी साइटों पर कार्य करते हैं। उन्हें सांख्यिकीय जाली मॉडल के एक क्वांटम संस्करण के रूप में देखा जा सकता है, जैसे कि इसिंग मॉडल, इस अर्थ में कि प्रत्येक साइट पर स्पिन का वर्णन करने वाले पैरामीटर को एक असतत सेट में मान लेने वाले चर (आमतौर पर, 'स्पिन अप' और 'स्पिन डाउन' का प्रतिनिधित्व करने वाले) से एक वेक्टर स्पेस में मान लेने वाले चर (आमतौर पर स्पिन-1/2 या का द्वि-आयामी प्रतिनिधित्व) में बढ़ावा दिया जाता है। एक स्पिन श्रृंखला का आदर्श उदाहरण हाइजेनबर्ग मॉडल है, जिसे 1928 में वर्नर हाइजेनबर्ग द्वारा वर्णित किया गया था। यह 1/2 स्पिन के साथ निश्चित कणों की एक आयामी जाली का मॉडल है। एक सरल संस्करण (एंटीफेरोमैग्नेटिक XXX मॉडल) को हल किया गया था, यानी हाइजेनबर्ग मॉडल के हैमिल्टनियन के स्पेक्ट्रम को हैंस बेथे द्वारा बेथ एंसात्ज़ का उपयोग करके निर्धारित किया गया था। अब बेथ एंसात्ज़ शब्द का उपयोग आम तौर पर स्पिन श्रृंखला सिद्धांत में ठीक से हल करने योग्य समस्याओं को हल करने के लिए उपयोग किए जाने वाले कई एन्सात्ज़ को संदर्भित करने के लिए किया जाता है जैसे कि हाइजेनबर्ग मॉडल (XXZ, XYZ) के अन्य बदलावों के लिए, और यहां तक कि सांख्यिकीय जाली सिद्धांत में भी, जैसे कि सिक्स-वर्टेक्स मॉडल के लिए। भौतिक अनुप्रयोगों के साथ एक और स्पिन श्रृंखला हब्बर्ड मॉडल है, जिसे 1963 में जॉन हब्बर्ड द्वारा पेश किया गया था। इस मॉडल को 1968 में इलियट लिब और फा-युएह वू द्वारा बिल्कुल हल करने योग्य दिखाया गया था। (एक वर्ग की) स्पिन श्रृंखलाओं का एक और उदाहरण गौडिन मॉडल है, जिसे 1976 में मिशेल गौडिन द्वारा गणितीय विवरण में वर्णित और हल किया गया है। मॉडल में एक संबद्ध लाइ बीजगणित है। अधिक सामान्य रूप से, इस लाइ बीजगणित को किसी भी जटिल, परिमित-आयामी अर्ध-सरल लाइ बीजगणित के रूप में लिया जा सकता है। अधिक आम तौर पर अभी भी इसे एक मनमाना लाइ बीजगणित माना जा सकता है। प्रत्येक शीर्ष में लाइ बीजगणित का एक संबंधित प्रतिनिधित्व होता है, जिसे लेबल किया जाता है। यह सांख्यिकीय जाली मॉडल का एक क्वांटम सामान्यीकरण है, जहां प्रत्येक शीर्ष में एक संबंधित 'स्पिन चर' होता है। पूरी प्रणाली के लिए हिल्बर्ट स्थान, जिसे विन्यास स्थान कहा जा सकता है, प्रत्येक शीर्ष पर प्रतिनिधित्व रिक्त स्थान का टेंसर उत्पाद हैः एक हैमिल्टनियन तब हिल्बर्ट स्थान पर एक प्रचालक है। स्पिन श्रृंखलाओं के सिद्धांत में, संभवतः कई हैमिल्टनियन हैं जो पारस्परिक रूप से आवागमन करते हैं। यह प्रचालक को एक साथ विकर्णित करने की अनुमति देता है। स्पिन श्रृंखलाओं के लिए सटीक समाधान की धारणा है, जिसे अक्सर मॉडल के स्पेक्ट्रम को निर्धारित करने के रूप में कहा जाता है। सटीक शब्दों में, इसका अर्थ है प्रणाली के हैमिल्टनियन के लिए हिल्बर्ट स्थान के समवर्ती आइगेनवेक्टरों के साथ-साथ प्रत्येक हैमिल्टनियन के संबंध में प्रत्येक आइगेनवेक्टर के आइगेनवैल्यू का निर्धारण करना। उदाहरण स्पिन 1/2 XXX मॉडल विस्तार से प्रोटोटाइप उदाहरण, और हाइजेनबर्ग स्पिन श्रृंखला का एक विशेष उदाहरण, स्पिन 1/2 हाइजेनबर्ग XXX मॉडल के रूप में जाना जाता है। ग्राफ-साइटों के साथ आवधिक 1-आयामी जाली है। स्पष्ट रूप से, यह द्वारा दिया गया है, और साथ होने के तत्वों के साथ पहचाना जाता है। संबंधित लाइ बीजगणित है। साइट पर एक संबंधित हिल्बर्ट स्पेस है जो दो आयामी प्रतिनिधित्व के लिए समरूप है (और इसलिए आगे समरूप)। सिस्टम विन्यास का हिल्बर्ट स्थान आयाम का है। के द्वि-आयामी प्रतिनिधित्व पर एक प्रचालक को दिए जाने पर, प्रचालक द्वारा दर्शाया जाता है जो दूसरे के साथ चालू और पहचान के रूप में कार्य करता है। स्पष्ट रूप से, इसे लिखा जा सकता है जहाँ 1 पहचान को दर्शाता है। हैमिल्टनियन अनिवार्य रूप से, एक एफ़ाइन परिवर्तन तक है, सूचकांक पर निहित योग के साथ, और पाउली मैट्रिक्स कहाँ हैं। हैमिल्टनियन में तीन कुल स्पिन ऑपरेटरों की क्रिया के तहत समरूपता है। केंद्रीय समस्या तब हैमिल्टनियन के स्पेक्ट्रम (आइगेनवैल्यूज और आइगेनवेक्टर्स) को निर्धारित करना है। इसे एक बीजगणितीय बेथे अन्सात्ज़ की विधि द्वारा हल किया जाता है, जिसे हंस बेथे द्वारा खोजा गया था और आगे लुडविग फैडीव द्वारा खोजा गया था। स्पिन श्रृंखलाओं की सूची क्वांटम हाइजेनबर्ग मॉडल इनोज़ेमत्सेव मॉडल हाल्डेन-शास्त्री मॉडल क्वांटम गौडिन मॉडल भी देखें जाली मॉडल (भौतिकी) ठीक से हल करने योग्य बाहरी संदर्भ एन. एल. ए. बी. स्पिन मॉडल में स्पिन श्रृंखला को जोड़ते हैं क्वांटम चुंबकत्व क्वांटम जाली मॉडल चुंबकीय क्रम