Permutationally invariant quantum state tomography
पर्म्यूटेशनली इनवेरिएंट क्वांटम स्टेट टोमोग्राफी (पी. आई. क्वांटम स्टेट टोमोग्राफी) कई उप-प्रणालियों से युक्त क्वांटम प्रणाली की स्थिति के आंशिक निर्धारण के लिए एक विधि है। सामान्य तौर पर, उप-प्रणालियों से युक्त प्रणाली की क्वांटम यांत्रिक स्थिति का वर्णन करने के लिए आवश्यक मापदंडों की संख्या तेजी से बढ़ रही है। क्यूबिट्स से युक्त प्रणाली के मामले में, जो शायद सबसे अधिक प्रासंगिक मामला है, एक शुद्ध अवस्था के अवस्था सदिश का वर्णन करने के लिए वास्तविक मापदंडों की आवश्यकता होती है, या एक मिश्रित अवस्था के घनत्व मैट्रिक्स का वर्णन करने के लिए वास्तविक मापदंडों की आवश्यकता होती है। क्वांटम स्टेट टोमोग्राफी कई स्वतंत्र और समान रूप से तैयार प्रणालियों पर माप की एक श्रृंखला से इन सभी मापदंडों को निर्धारित करने की एक विधि है। इस प्रकार, पूर्ण क्वांटम अवस्था टोमोग्राफी के मामले में, कणों या क्यूबिट्स की संख्या के साथ तेजी से माप की संख्या की आवश्यकता होती है। बड़ी प्रणालियों के लिए, पूरे क्वांटम अवस्था का निर्धारण अब व्यवहार में संभव नहीं है और कोई भी उन तरीकों में रुचि रखता है जो क्वांटम अवस्था को चिह्नित करने के लिए आवश्यक मापदंडों के केवल एक उपसमुच्चय को निर्धारित करते हैं जिसमें अभी भी अवस्था के बारे में महत्वपूर्ण जानकारी होती है। पर्म्यूटेशनल रूप से अपरिवर्तनीय क्वांटम टोमोग्राफी एक ऐसी विधि है जिसमें स्टेट टोमोग्राफी की तुलना में कम माप की आवश्यकता होती है। पी. आई. क्वांटम टोमोग्राफी केवल घनत्व मैट्रिक्स के क्रमसूचक रूप से अपरिवर्तनीय भाग को मापती है। प्रक्रिया के लिए, यह उप-प्रणालियों पर स्थानीय माप करने के लिए पर्याप्त है। यदि अवस्था क्रमसूचक रूप से अपरिवर्तनीय होने के करीब है, जो कि कई व्यावहारिक स्थितियों में होता है, तो यह प्रणाली के घनत्व मैट्रिक्स के करीब है। भले ही अवस्था क्रमवाचक रूप से अपरिवर्तनीय न हो, फिर भी इसका उपयोग उलझाव का पता लगाने और प्रासंगिक प्रचालक अपेक्षाओं के मूल्यों की गणना के लिए किया जा सकता है। इस प्रकार, प्रक्रिया क्वांटम अवस्था के क्रमचयात्मक रूप से अपरिवर्तनीयता को नहीं मानती है। क्यूबिट्स स्केल के लिए स्वतंत्र वास्तविक मापदंडों की संख्या स्थानीय माप सेटिंग्स स्केल की संख्या के रूप में इस प्रकार, क्रमपरिवर्तनशील रूप से अपरिवर्तनीय क्वांटम टोमोग्राफी को बड़े पैमाने पर भी प्रबंधनीय माना जाता है। दूसरे शब्दों में, क्रमात्मक रूप से अपरिवर्तनीय क्वांटम टोमोग्राफी को मापनीय माना जाता है। इस विधि का उपयोग, उदाहरण के लिए, 10 से अधिक कणों वाली प्रणालियों के घनत्व मैट्रिक्स के पुनर्निर्माण के लिए, फोटोनिक प्रणालियों के लिए, ठंडे परमाणुओं में फंसे हुए ठंडे आयनों या प्रणालियों के लिए किया जा सकता है। घनत्व मैट्रिक्स पी. आई. अवस्था टोमोग्राफी का क्रमपरिवर्तनशील रूप से अपरिवर्तनीय भाग घनत्व मैट्रिक्स के क्रमपरिवर्तनशील रूप से अपरिवर्तनीय भाग का पुनर्निर्माण करता है, जिसे सभी संभावित तरीकों से कणों को क्रमपरिवर्तन करने के बाद प्राप्त क्वांटम स्थितियों के समान मिश्रण के रूप में परिभाषित किया जाता है जहां kth क्रमपरिवर्तन को दर्शाता है। उदाहरण के लिए, हमारे पास दो क्रमपरिवर्तन हैं। दोनों कणों के क्रम को अपरिवर्तित छोड़ देता है। दोनों कणों का आदान-प्रदान होता है। सामान्य तौर पर, कणों के लिए, हमारे पास क्रमपरिवर्तन होते हैं। यह देखना आसान है कि घनत्व मैट्रिक्स है जो प्राप्त किया जाता है यदि कणों के क्रम को ध्यान में नहीं रखा जाता है। यह एक ऐसे प्रयोग से मेल खाता है जिसमें कणों का एक उपसमुच्चय यादृच्छिक रूप से एक बड़े समूह से चुना जाता है। इस छोटे समूह की स्थिति निश्चित रूप से क्रमपरिवर्तनशील रूप से अपरिवर्तनीय है। कणों की संख्या के साथ बहुपद में तराजू की स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या। क्यूबिट्स (स्पिन-कणों) की एक प्रणाली के लिए स्वतंत्रता की वास्तविक डिग्री की संख्या घनत्व मैट्रिक्स के क्रमचयात्मक रूप से अपरिवर्तनीय भाग को निर्धारित करने के लिए आवश्यक माप इन स्वतंत्रता की डिग्री को निर्धारित करने के लिए, स्थानीय माप सेटिंग्स की आवश्यकता होती है। यहाँ, एक स्थानीय माप सेटिंग का मतलब है कि प्रचालक को प्रत्येक कण पर मापा जाना है। माप को दोहराकर और पर्याप्त डेटा एकत्र करके, सभी दो-बिंदु, तीन-बिंदु और उच्च क्रम सहसंबंध निर्धारित किए जा सकते हैं। एक भौतिक अवस्था का कुशल निर्धारण अब तक हमने चर्चा की है कि मापों की संख्या क्यूबिट्स की संख्या के साथ बहुपद रूप से मापी जाती है। पूरी टोमोग्राफिक प्रक्रिया को स्केलेबल होने के लिए, हमें आवश्यकता है कि हम स्थिति को कंप्यूटर में स्केलेबल तरीके से संग्रहीत करें। स्पष्ट रूप से, घनत्व मैट्रिक्स में-क्यूबिट अवस्था को संग्रहीत करने का सीधा तरीका मापनीय नहीं है। हालांकि, यह अपने क्रमपरिवर्तन अपरिवर्तनीयता के कारण एक ब्लॉकडायगोनल मैट्रिक्स है और इस प्रकार इसे अधिक कुशलता से संग्रहीत किया जा सकता है। इसके अलावा, यह सर्वविदित है कि सांख्यिकीय उतार-चढ़ाव और व्यवस्थित त्रुटियों के कारण रैखिक व्युत्क्रम द्वारा मापी गई स्थिति से प्राप्त घनत्व मैट्रिक्स सकारात्मक अर्धपरिमित नहीं है और इसमें कुछ नकारात्मक आइगेनवैल्यू हैं। एक विशिष्ट टोमोग्राफी में एक महत्वपूर्ण कदम टोमोग्राफिक डेटा पर एक भौतिक, यानी, सकारात्मक अर्ध-परिमित घनत्व मैट्रिक्स को फिट करना है। यह कदम अक्सर पूर्ण अवस्था टोमोग्राफी में समग्र प्रक्रिया में एक अड़चन का प्रतिनिधित्व करता है। हालाँकि, पी. आई. टोमोग्राफी, जैसा कि हमने अभी चर्चा की है, घनत्व मैट्रिक्स को अधिक कुशलता से संग्रहीत करने की अनुमति देता है, जो उत्तल अनुकूलन का उपयोग करके एक कुशल फिटिंग की भी अनुमति देता है। यह पूरी प्रक्रिया को मापनीय बनाता है। इसके अलावा, उत्तल अनुकूलन इस बात की गारंटी देता है कि समाधान एक वैश्विक इष्टतम है। पी. आई. टोमोग्राफी पद्धति की विशेषताओं का उपयोग आमतौर पर क्रमपरिवर्तनशील रूप से अपरिवर्तनीय अवस्थाओं वाले प्रयोगों में किया जाता है। यदि पी. आई. टोमोग्राफी द्वारा प्राप्त घनत्व मैट्रिक्स उलझा हुआ है, तो प्रणाली का घनत्व मैट्रिक्स भी उलझा हुआ है। इस कारण से, उलझाव सत्यापन के लिए सामान्य तरीके, जैसे कि उलझाव गवाह या पेरेस-होरोडेकी मानदंड, को लागू किया जा सकता है। उल्लेखनीय रूप से, इस तरह से किया गया उलझन का पता लगाने से यह नहीं लगता है कि क्वांटम प्रणाली स्वयं क्रमपरिवर्तनशील रूप से अपरिवर्तनीय है। इसके अलावा, किसी भी क्रमपरिवर्तनशील अपरिवर्तनीय प्रचालक का अपेक्षा मूल्य समान है और ऐसे प्रचालक के बहुत प्रासंगिक उदाहरण सममित अवस्थाओं के लिए प्रक्षेपक हैं, जैसे कि ग्रीनबर्गर-होर्न-ज़िलिंगर अवस्था, डब्ल्यू अवस्था और सममित डिके अवस्थाएँ। इस प्रकार, हम उपरोक्त क्वांटम अवस्थाओं के संबंध में निष्ठा प्राप्त कर सकते हैं क्योंकि अवस्था में संबंधित प्रोजेक्टरों का अपेक्षा मूल्य अन्य दृष्टिकोणों के लिए लिंक टोमोग्राफी के लिए अन्य दृष्टिकोण हैं जिन्हें पूर्ण क्वांटम अवस्था टोमोग्राफी की तुलना में कम माप की आवश्यकता होती है। जैसा कि हमने चर्चा की है, पी. आई. टोमोग्राफी आमतौर पर क्वांटम अवस्थाओं के लिए सबसे उपयोगी है जो क्रमपरिवर्तन के रूप में अपरिवर्तनीय होने के करीब हैं। संपीड़ित संवेदन विशेष रूप से निम्न श्रेणी के राज्यों के लिए उपयुक्त है। मैट्रिक्स उत्पाद अवस्था टोमोग्राफी, उदाहरण के लिए, क्लस्टर अवस्थाओं और स्पिन मॉडल की जमीनी अवस्थाओं के लिए सबसे उपयुक्त है। क्रमसूचक रूप से अपरिवर्तनीय टोमोग्राफी को संपीड़ित संवेदन के साथ जोड़ा जा सकता है। इस मामले में, आवश्यक स्थानीय माप सेटिंग्स की संख्या क्रमपरिवर्तनशील रूप से अपरिवर्तनीय टोमोग्राफी की तुलना में भी कम हो सकती है। पर्म्यूटेशनल रूप से अपरिवर्तनीय टोमोग्राफी का प्रयोग प्रायोगिक रूप से चार-क्यूबिट सममित डिके अवस्था के लिए और फोटॉन में छह-क्यूबिट सममित डिके के लिए भी किया गया है, और इसकी तुलना पूर्ण अवस्था टोमोग्राफी और संपीड़ित संवेदन से की गई है। क्रमसूचक रूप से अपरिवर्तनीय टोमोग्राफी के अनुकरण से पता चलता है कि मापा गया डेटा से 20 क्यूबिट्स के सकारात्मक अर्ध-परिमित घनत्व मैट्रिक्स का पुनर्निर्माण एक मानक कंप्यूटर पर कुछ ही मिनटों में संभव है। पारम्यूटेशनल रूप से अपरिवर्तनीय टोमोग्राफी और संपीड़ित संवेदन के संयोजन की संकर विधि का भी परीक्षण किया गया है। संदर्भ क्वांटम यांत्रिकी टोमोग्राफी