Bretagnolle–Huber inequality
सूचना सिद्धांत में, ब्रेटैग्नोल-ह्यूबर असमानता दो संभाव्यता वितरणों के बीच कुल भिन्नता दूरी को और कुलबैक-लीबलर विचलन के एक अवतल और सीमित कार्य द्वारा सीमित करती है। सीमा को प्रसिद्ध पिंस्कर की असमानता के विकल्प के रूप में देखा जा सकता हैः जब बड़ी हो (उदाहरण के लिए 2 से बड़ी)। ), पिंस्कर की असमानता शून्य है, जबकि ब्रेटैग्नोल-ह्यूबर बंधी हुई है और इसलिए गैर-रिक्त है। इसका उपयोग सांख्यिकी और मशीन लर्निंग में परिकल्पना परीक्षण पर निर्भर करते हुए सूचना-सैद्धांतिक निचली सीमा को साबित करने के लिए किया जाता है औपचारिक कथन प्रारंभिक परिभाषाएँ एक मापने योग्य स्थान पर दो संभाव्यता वितरण होने चाहिए। याद रखें कि कुलबैक-लीबलर विचलन द्वारा परिभाषित और के बीच कुल भिन्नता को निम्नानुसार परिभाषित किया गया हैः उपरोक्त में, संकेतन के संबंध में निरपेक्ष निरंतरता के लिए खड़ा है, और के संबंध में रेडॉन-निकोडियम व्युत्पन्न के लिए खड़ा है। सामान्य कथन द ब्रेटैग्नोल-ह्यूबर असमानता कहता हैः वैकल्पिक संस्करण निम्नलिखित संस्करण सीधे ऊपर की सीमा से निहित है लेकिन कुछ लेखक इसे इस तरह से बताना पसंद करते हैं। किसी भी घटना को होने दें। फिर कहाँ का पूरक है। वास्तव में, कुल भिन्नता की परिभाषा के अनुसार, किसी भी, पुनर्व्यवस्था के लिए, हम दावा की गई निचली सीमा प्राप्त करते हैं। सबूत हम त्सिबकोव की पुस्तक (लेम्मा 2.6, पृष्ठ 89) के विचारों के बाद मुख्य कथन को साबित करते हैं, जो मूल प्रमाण से अलग है (उनके तर्क के आधुनिक पुनर्लेखन के लिए C.Canonne का नोट देखें)। प्रमाण दो चरणों में हैः 1. कौची-श्वार्ज का उपयोग करके साबित करें कि कुल भिन्नता भट्टाचार्य गुणांक (असमानता के दाहिने हाथ की ओर) से संबंधित हैः जेनसन की असमानता को चतुराई से लागू करके साबित करें कि चरण 1: पहले ध्यान दें कि इसे देखने के लिए, सामान्यता को खोए बिना, यह मान लें कि ऐसा है। फिर हम फिर से लिख सकते हैं और फिर जोड़ना और हटाना हम दोनों पहचान प्राप्त करते हैं। फिर क्योंकि चरण 2: हम जेनसन की असमानता को लिखते और लागू करते हैंः चरण 1 और 2 के परिणामों को मिलाने से कुल भिन्नता पर दावा किया गया बंधन हो जाता है। अनुप्रयोगों के उदाहरण पक्षपाती सिक्के के उछालने की नमूना जटिलता स्रोतः सवाल यह है कि एक निष्पक्ष सिक्के को पक्षपाती सिक्के से अलग करने के लिए मुझे कितने सिक्के उछालने की आवश्यकता है? मान लीजिए कि आपके पास 2 सिक्के हैं, एक उचित सिक्का (बर्नौली औसत के साथ वितरित) और एक पक्षपातपूर्ण सिक्का ()। फिर, कम से कम (कुछ के लिए) प्रायिकता के साथ पक्षपाती सिक्के की पहचान करने के लिए, कम से कम इस निचली सीमा को प्राप्त करने के लिए हम लागू करते हैं कि नमूनों के दो अनुक्रमों के बीच कुल भिन्नता दूरी कम से कम है। ऐसा इसलिए है क्योंकि कुल भिन्नता ऊपरी सीमा सिक्कों के साधनों को कम या अधिक अनुमान लगाने की संभावना को दर्शाती है। प्रत्येक सिक्के के लिए सिक्के के संबंधित संयुक्त वितरण को इंगित करें, फिर हमारे पास है शर्तों को फिर से व्यवस्थित करके परिणाम प्राप्त किया जाता है। के-सशस्त्र डाकू खेलों के लिए सूचना-सैद्धांतिक निचली सीमा बहु-सशस्त्र डाकू में, किसी भी डाकू एल्गोरिदम के मिनीमैक्स अफसोस पर एक निचली सीमा को ब्रेटैग्नोल-ह्यूबर और परिकल्पना परीक्षण पर इसके परिणाम का उपयोग करके साबित किया जा सकता है (डाकू एल्गोरिदम का अध्याय 15 देखें)। परिणाम पहली बार 1979 में जीन ब्रेटैग्नोल और कैथरीन ह्यूबर द्वारा साबित किया गया था, और स्ट्रासबर्ग प्रोबेबिलिटी सेमिनार की कार्यवाही में प्रकाशित किया गया था। अलेक्जेंड्रे त्सिबाकोव की पुस्तक में असमानता का प्रारंभिक पुनः प्रकाशन और ब्रेटैग्नोल और ह्यूबर के लिए इसका श्रेय दिया गया है, जिसे असौड के लेम्मा के प्रारंभिक और कम सामान्य संस्करण के रूप में प्रस्तुत किया गया है (टिप्पणियाँ देखें)। 2014 में फ़ानो की असमानता के विस्तार के परिणामस्वरूप ब्रेटैग्नोल-ह्यूबर पर एक निरंतर सुधार साबित हुआ। ऊपरी सीमा की सूची के लिए कुल भिन्नता भी देखें संदर्भ सूचना सिद्धांत संभाव्यता संबंधी असमानताएँ