The Erdős Distance Problem
एर्डोस दूरी समस्या असतत ज्यामिति में एर्डोस विशिष्ट दूरी समस्या पर एक मोनोग्राफ हैः एक स्थान कैसे-आयामी यूक्लिडियन स्थान में इंगित कर सकता है ताकि बिंदुओं के जोड़े सबसे छोटी संभव दूरी निर्धारित कर सकें? यह जूलिया गैरिबाल्डी, एलेक्स इयोसेविच और स्टीवन सेंगर द्वारा लिखा गया था, और 2011 में अमेरिकन मैथमेटिकल सोसाइटी द्वारा स्टूडेंट मैथमेटिकल लाइब्रेरी के खंड 56 के रूप में प्रकाशित किया गया था। अमेरिका के गणितीय संघ की बुनियादी पुस्तकालय सूची समिति ने इसे स्नातक गणित पुस्तकालयों में शामिल करने का सुझाव दिया है। विषय एर्डोस दूरी समस्या में बारह अध्याय और तीन परिशिष्ट शामिल हैं। पॉल एर्दोस और एर्दोस द्वारा समस्या के निर्माण का वर्णन करने वाले एक परिचयात्मक अध्याय के बाद कि दूरी की संख्या हमेशा कम से कम आनुपातिक होती है, अगले छह अध्याय समस्या के द्वि-आयामी संस्करण को शामिल करते हैं। वे समस्या पर ज्ञात परिणामों में क्रमिक सुधारों का वर्णन करने के लिए एक दूसरे पर निर्माण करते हैं, जो अध्याय 7 में दिए गए निम्न सीमा अनुपात तक पहुंचते हैं। ये परिणाम समस्या को अन्य विषयों से जोड़ते हैं जिनमें कॉची-श्वार्ज असमानता, पार संख्या असमानता, बिंदुओं और रेखाओं के बीच की घटनाओं पर स्ज़ेमेरेडी-ट्रॉटर प्रमेय और सूचना सिद्धांत से विधियाँ शामिल हैं। बाद के अध्यायों में समस्या की विविधताओं पर चर्चा की गईः उच्च आयाम, तल के लिए अन्य मीट्रिक स्थान, वैक्टरों के बीच अलग-अलग आंतरिक उत्पादों की संख्या, और उन स्थानों में समान समस्याएं जिनके निर्देशांक वास्तविक संख्याओं के बजाय एक सीमित क्षेत्र से आते हैं। हालाँकि यह पुस्तक काफी हद तक स्व-निहित है, यह उन्नत विश्वविद्यालय स्तर के गणित के छात्रों के उद्देश्य से गणितीय परिष्कार का एक स्तर मानती है। अभ्यास शामिल हैं, जिससे इसे एक विशेष पाठ्यक्रम के लिए पाठ्यपुस्तक के रूप में उपयोग करना संभव हो जाता है। समीक्षक माइकल वीस का सुझाव है कि यह पुस्तक अपने लेखकों की तुलना में कम सफल है जो "गणितीय अनुभव के विभिन्न स्तरों पर पाठकों" तक पहुंचने की उम्मीद कर रहे थेः इसकी कुछ सामग्री का घनत्व, जो उस सामग्री को अच्छी तरह से कवर करने के लिए आवश्यक है, प्रारंभिक गणितविदों की पहुंच के साथ असंगत है। वीस पुस्तक में कुछ छोटी गणितीय त्रुटियों के बारे में भी शिकायत करते हैं, जो हालांकि इसकी समग्र सामग्री में हस्तक्षेप नहीं करती हैं। समस्या के द्वि-आयामी संस्करण पर पुस्तक की अधिकांश सामग्री, लैरी गुथ और नेट्स काट्ज़ के नए परिणामों द्वारा इसके प्रकाशन के तुरंत बाद अप्रचलित कर दी गई थी, जिन्होंने साबित किया कि इस मामले में दूरी की संख्या निकट-रैखिक होनी चाहिए। फिर भी, समीक्षक विलियम गैसार्क का तर्क है कि इस परिणाम से पुस्तक पाठकों के लिए अधिक दिलचस्प बननी चाहिए, कम नहीं, क्योंकि यह उन बाधाओं को समझाने में मदद करता है जिन्हें गुथ और काट्ज़ को अपने परिणाम को साबित करने में पार करना पड़ा था। इसके अतिरिक्त, पुस्तक में जिन तकनीकों का वर्णन किया गया है, उनके असतत ज्यामिति में कई उपयोग हैं। संदर्भ गणित पुस्तकें 2011 गैर-काल्पनिक पुस्तकें डिस्क्रीट ज्यामिति अमेरिकन मैथमेटिकल सोसाइटी