Kuratowski's intersection theorem
गणित में, कुराटोव्स्की का प्रतिच्छेदन प्रमेय सामान्य टोपोलॉजी में एक परिणाम है जो सेटों के एक नेस्टेड अनुक्रम के लिए एक गैर-खाली प्रतिच्छेदन के लिए पर्याप्त शर्त देता है। कुराटोव्स्की का परिणाम कैंटर के प्रतिच्छेदन प्रमेय का एक सामान्यीकरण है। जबकि कैंटर के परिणाम के लिए आवश्यक है कि शामिल सेट कॉम्पैक्ट हों, कुराटोव्स्की का परिणाम उन्हें गैर-कॉम्पैक्ट होने की अनुमति देता है, लेकिन इस बात पर जोर देता है कि उनकी गैर-कॉम्पैक्टनेस उचित अर्थों में "शून्य हो जाती है"। इस प्रमेय का नाम पोलिश गणितशास्त्री काज़िमियर्ज़ कुराटोव्स्की के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने इसे 1930 में साबित किया था। प्रमेय का कथन मान लीजिए (X, d) एक पूर्ण मीट्रिक स्थान है। एक उपसमुच्चय ए एक्स को देखते हुए, इसके गैर-कॉम्पैक्टनेस के कुराटोव्स्की माप α (ए) ≤ 0 को नोट द्वारा परिभाषित किया गया है कि, यदि ए स्वयं कॉम्पैक्ट है, तो α (ए) = 0, क्योंकि मनमाने ढंग से छोटे व्यास की खुली गेंदों द्वारा ए के प्रत्येक कवर में एक परिमित सबकवर होगा। इसके विपरीत भी सच हैः यदि α (A) = 0 है, तो A को प्री-कॉम्पैक्ट होना चाहिए, और यदि A बंद है तो वास्तव में कॉम्पैक्ट होना चाहिए। इसके अलावा, यदि A, B का उपसमुच्चय है, तो α (A) ≤ α (B)। कुछ अर्थों में, मात्रा α (A) एक संख्यात्मक विवरण है कि "कितना गैर-संक्षिप्त" समूह A है। अब समुच्चयों के एक अनुक्रम पर विचार करें, प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n के लिए एक। कुराटोव्स्की का प्रतिच्छेदन प्रमेय दावा करता है कि यदि ये समुच्चय गैर-खाली हैं, तो बंद, घटते हुए नेस्टेड (यानी। प्रत्येक n के लिए an + 1-an, और α (an) → 0 के रूप में n-≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ परिणाम यह भी होता है कि यदि कोई गैर-कॉम्पैक्टनेस के गेंद माप या गैर-कॉम्पैक्टनेस के पृथक्करण माप के साथ काम करता है, क्योंकि गैर-कॉम्पैक्टनेस के ये तीन माप पारस्परिक रूप से लिप्सिट्ज़ के बराबर हैं; यदि उनमें से कोई एक शून्य हो जाता है, तो अन्य दो को भी ऐसा ही करना चाहिए। संदर्भ कॉम्पैक्टनेस प्रमेय