Harmonic tensors
इस लेख में गोलाकार कार्यों को बहुपदों द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है जो मैक्सवेल के समय से इलेक्ट्रोस्टैटिक्स में अच्छी तरह से ज्ञात हैं और बहुध्रुवीय क्षणों से जुड़े हैं। भौतिकी में, द्विध्रुव और चतुर्भुज क्षण आमतौर पर दिखाई देते हैं क्योंकि भौतिकी की मौलिक अवधारणाएं उनके साथ सटीक रूप से जुड़ी होती हैं। द्विध्रुव और चतुर्भुज क्षण हैंः, जहाँ आवेशों का घनत्व (या अन्य मात्रा) है। ऑक्टुपोल मोमेंट का उपयोग शायद ही कभी किया जाता है। एक नियम के रूप में, उच्च श्रेणी के क्षणों की गणना गोलाकार कार्यों की मदद से की जाती है। प्रकीर्णन समस्याओं में गोलाकार कार्य सुविधाजनक होते हैं। विभेदक प्रचालक के साथ गणना में बहुपद बेहतर होते हैं। यहाँ, उच्च श्रेणी के क्षणों सहित टेंसर के गुणों को मूल रूप से ठोस गोलाकार कार्यों की विशेषताओं को दोहराने के लिए माना जाता है, लेकिन उनकी अपनी विशिष्टताएँ होती हैं। कार्टेशियन निर्देशांक में अपरिवर्तनीय बहुपद टेंसरों का उपयोग, जैसा कि हाल के कई अध्ययनों में दिखाया गया है, बेहतर है और गणना की मौलिक योजना को सरल बनाता है। गोलाकार निर्देशांक यहाँ शामिल नहीं हैं। हार्मोनिक सममित टेंसरों का उपयोग करने के नियमों को प्रदर्शित किया जाता है जो सीधे उनके गुणों का पालन करते हैं। ये नियम स्वाभाविक रूप से विशेष कार्यों के सिद्धांत में परिलक्षित होते हैं, लेकिन हमेशा स्पष्ट नहीं होते हैं, भले ही समूह के गुण सामान्य हों। किसी भी दर पर, आइए हम हार्मोनिक टेंसर के मुख्य गुण को याद करते हैंः सूचकांकों की किसी भी जोड़ी पर निशान गायब हो जाता है। यहाँ, टेंसर के उन गुणों का चयन किया जाता है जो न केवल विश्लेषणात्मक गणनाओं को अधिक संक्षिप्त बनाते हैं और 'फैक्टोरियल की संख्या' को कम करते हैं, बल्कि सैद्धांतिक भौतिकी के कुछ मौलिक प्रश्नों को सही ढंग से तैयार करने की भी अनुमति देते हैं। सामान्य गुण सममित टेंसर के चार गुण भौतिकी में इसके उपयोग की ओर ले जाते हैं। ए. टेंसर सजातीय बहुपद हैः, जहां सूचकांकों की संख्या है, यानी, टेंसर रैंक; बी. टेंसर सूचकांकों के संबंध में सममित है; सी. टेंसर हार्मोनिक है, यानी, यह लाप्लास समीकरण का एक समाधान हैः डी. किसी भी दो सूचकांकों पर ट्रेस गायब हो जाता हैः, जहां प्रतीक समीकरण के बाद शेष सूचकांकों को दर्शाता है। टेंसर के घटक ठोस गोलाकार कार्य होते हैं। टेंसर को गोलाकार कार्यों के रूप में घटकों को प्राप्त करने के लिए कारक द्वारा विभाजित किया जा सकता है। विद्युतस्थैतिकी में बहुध्रुवीय टेंसर बहुध्रुवीय क्षमता तब उत्पन्न होती है जब एक बिंदु आवेश की क्षमता त्रिज्या सदिश ('मैक्सवेल ध्रुव') के निर्देशांकों की शक्तियों में विस्तारित होती है। विभव के लिए, एक प्रसिद्ध सूत्र हैः, जहाँ निम्नलिखित संकेतन का उपयोग किया जाता है। त्रिज्या सदिश की th टेंसर शक्ति के लिए, और श्रेणी के एक सममित हार्मोनिक टेंसर के लिए,। टेंसर वर्णित सामान्य गुणों के साथ एक सजातीय हार्मोनिक बहुपद है। किन्हीं दो सूचकांकों पर संकुचन (जब दो ढाल प्रचालक बन जाते हैं) शून्य होता है। यदि टेंसर को विभाजित किया जाता है, तो एक बहुध्रुवीय हार्मोनिक टेंसर उत्पन्न होता है, जो एकरूपता डिग्री के साथ एक सजातीय हार्मोनिक कार्य भी है। विभव के सूत्र से वह आता है, जो एक सीढ़ी प्रचालक का निर्माण करने की अनुमति देता है। विद्युतस्थैतिकी में शक्ति-नियम समतुल्य क्षणों पर प्रमेय संकुचन का एक स्पष्ट गुण है, जो सैद्धांतिक भौतिकी में क्षणों की गणना को अनिवार्य रूप से सरल बनाने वाले एक प्रमेय को जन्म देता है। मान लीजिए कि प्रमेय आवेश का वितरण है। एक बहुध्रुवीय विभव की गणना करते समय, हार्मोनिक टेंसर (या गोलाकार कार्यों के बजाय) के बजाय शक्ति-नियम क्षणों का उपयोग किया जा सकता हैः यह गोलाकार कार्यों के उपयोग के साथ तुलना करने में एक लाभ है। उदाहरण 1. चतुर्भुज क्षण के लिए, समाकलन के बजाय, कोई 'लघु' समाकलन का उपयोग कर सकता है। क्षण अलग होते हैं लेकिन क्षमताएँ एक दूसरे के बराबर होती हैं। टेंसर के लिए एक हार्मोनिक टेंसर सूत्र के लिए सूत्र पर एक सीढ़ी ऑपरेटर का उपयोग करने पर विचार किया गया था। इसे लाप्लास प्रचालक का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है। इसी तरह के दृष्टिकोण को विशेष कार्यों के सिद्धांत में जाना जाता है। सूत्र में पहला पद, जैसा कि एक बिंदु आवेश क्षमता के विस्तार से देखना आसान है, के बराबर है। शेष शब्दों को लाप्लास प्रचालक को बार-बार लागू करके और मापांक की सम शक्ति से गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है। लाप्लास समीकरण में विस्तार को प्रतिस्थापित करके गुणांक निर्धारित करना आसान है। नतीजतन, सूत्र निम्नलिखित हैः यह रूप क्वांटम यांत्रिकी और इलेक्ट्रोस्टैटिक्स के विभेदक प्रचालकों को लागू करने के लिए उपयोगी है। विभेदन क्रोनेकर प्रतीकों का उत्पाद उत्पन्न करता है। उदाहरण 2,। अंतिम गुणवत्ता को संकुचन का उपयोग करके सत्यापित किया जा सकता है। सममिति संक्रिया के संदर्भ में विभेदन सूत्र लिखना सुविधाजनक है। सूचकांकों के सभी स्वतंत्र क्रमपरिवर्तनों पर लिए गए योग की मदद से इसके लिए एक प्रतीक प्रस्तावित किया गया थाः नतीजतन, निम्नलिखित सूत्र प्राप्त होता हैः, जहां प्रतीक का उपयोग क्रोनेकर प्रतीक की टेंसर शक्ति के लिए किया जाता है और पारंपरिक प्रतीक [.] का उपयोग दो अभिलिखनों के लिए किया जाता है जिन्हें समरूपता के तहत बदला जा रहा है। निम्नलिखित में टेंसर और ठोस गोलाकार कार्यों के बीच संबंध पाया जा सकता है। दो इकाई सदिशों की आवश्यकता होती हैः-अक्ष के साथ निर्देशित सदिश और जटिल सदिश। उनकी शक्तियों के साथ संकुचन आवश्यक संबंध देता है, जहाँ एक लीजेंड्रे बहुपद है। विशेष संकुचन विकृति सिद्धांत में, गोलाकार कार्यों के संदर्भ में स्रोत का विस्तार करना आवश्यक है। यदि स्रोत एक बहुपद है, उदाहरण के लिए, स्टार्क प्रभाव की गणना करते समय, तो समाकलन मानक हैं, लेकिन बोझिल हैं। अपरिवर्तनीय टेंसर की मदद से गणना करते समय, विस्तार गुणांक को सरल बनाया जाता है, और तब समाकलन की कोई आवश्यकता नहीं होती है। जैसा कि इसमें दिखाया गया है, यह उन संकुचनों की गणना करने के लिए पर्याप्त है जो विचाराधीन टेंसरों की श्रेणी को कम करते हैं। समाकलन के बजाय, दो सूचकांकों पर एक टेंसर के निशान की गणना करने के संचालन का उपयोग किया जाता है। निम्नलिखित श्रेणी में कमी का सूत्र उपयोगी हैः जहाँ प्रतीक [m] सभी बाएं (l-2) सूचकांकों को दर्शाता है। यदि कोष्ठकों में क्रोनेकर डेल्टा के साथ कई कारक हैं, तो निम्नलिखित संबंध सूत्र हैः ट्रेस की गणना करने से क्रोनेकर प्रतीकों की संख्या एक से कम हो जाती है, और समीकरण के दाहिने हाथ की ओर हार्मोनिक टेंसर की श्रेणी दो से कम हो जाती है। ट्रेस के समय की गणना को दोहराने से सभी क्रोनेकर प्रतीक समाप्त हो जाते हैंः हार्मोनिक 4डी टेंसर चार आयामी 4डी स्पेस में लाप्लास समीकरण की अपनी विशिष्टताएँ हैं। 4डी स्पेस में एक बिंदु आवेश की क्षमता के बराबर है। शक्तियों के संबंध में बिंदु-आवेश क्षमता के विस्तार से बहुध्रुवीय 4डी क्षमता उत्पन्न होती हैः न्यूमिनेटर में हार्मोनिक टेंसर की संरचना 3डी हार्मोनिक टेंसर के समान होती है। किन्हीं दो सूचकांकों के संबंध में इसका संकुचन गायब होना चाहिए। द्विध्रुव और चतुर्भुज 4-डी टेंसर, जैसा कि यहाँ से निम्नानुसार व्यक्त किया जाता है, विस्तार का अग्रणी पद, जैसा कि देखा जा सकता है, 3 डी टेंसर के लिए वर्णित विधि, संबंध देती है, के बराबर है। चार-आयामी टेंसर संरचनात्मक रूप से 3डी टेंसर की तुलना में सरल होते हैं। हार्मोनिक कार्यों के संदर्भ में बहुपदों का अपघटन संकुचन नियमों को लागू करने से हार्मोनिक कार्यों के संबंध में टेंसर का अपघटन होता है। विक्षोभ सिद्धांत में, यहां तक कि तीसरे सन्निकटन को भी अक्सर अच्छा माना जाता है। यहाँ, श्रेणी l = 6 तक टेंसर शक्ति का अपघटन प्रस्तुत किया गया हैः,,,,,,,,:। सूत्रों को प्राप्त करने के लिए, दो सूचकांकों, यानी ट्रेस के संबंध में संकुचन की गणना करना उपयोगी है। तब के लिए सूत्र का तात्पर्य है के लिए सूत्र। निशान को लागू करते हुए, पिछले खंड के नियमों का उपयोग करना सुविधाजनक है। विशेष रूप से, सम मूल्यों के लिए संबंधों के अंतिम पद का रूप होता है। सभी सूचकांकों पर अक्सर होने वाला संकुचन भी उपयोगी है, जो राज्यों को सामान्य करते समय उत्पन्न होता है। 4डी स्पेस में बहुपदों का अपघटन एक वेक्टर की टेंसर शक्तियों का अपघटन भी चार आयामों में सघन होता हैः,,,,,,,:। दबाए गए सूचकांकों के साथ टेंसर संकेतन का उपयोग करते समय, अंतिम समानता, हो जाती है। दो सूचकांकों पर संकुचन का उपयोग करके उच्च शक्तियों का अपघटन अधिक कठिन नहीं है। सीढ़ी प्रचालक एक सघन रूप में आइगेन कार्यों का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोगी होते हैं। वे सुसंगत अवस्थाओं के निर्माण के लिए एक आधार हैं। यहाँ माने जाने वाले प्रचालक एक ऑसिलेटर के 'निर्माण' और 'विनाश' प्रचालक के करीब हैं। एफिमोव का प्रचालक जो रैंक के मूल्य को एक से बढ़ाता है, को पेश किया गया था। यह बिंदु-आवेश क्षमता के विस्तार से प्राप्त किया जा सकता हैः समीकरण के बाईं ओर सीधे विभेदन से एक वेक्टर प्रचालक प्राप्त होता है जो एक हार्मोनिक टेंसरः पर कार्य करता है, जहाँ प्रचालक सजातीय बहुपद को सजातीयता की डिग्री से गुणा करता है। विशेष रूप से,। एकता के लिए एक-तह अनुप्रयोग के परिणामस्वरूप, हार्मोनिक टेंसर उत्पन्न होता हैः, यहाँ विभिन्न रूपों में लिखा गया है। कोणीय संवेग प्रचालक के साथ इस टेंसर का संबंध इस प्रकार हैः वेक्टर के रूप में प्रचालक के कुछ उपयोगी गुण नीचे दिए गए हैं। स्केलर उत्पाद किसी भी दो सूचकांकों पर गायब होने का निशान देता है। वैक्टरों का स्केलर उत्पाद है, और इसलिए, वेक्टर के साथ टेंसर के संकुचन को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ एक संख्या है। गोले पर स्केलर उत्पाद में कम्यूटेटर एकता के बराबर हैः एक टेंसर के विचलन की गणना करने के लिए, एक उपयोगी सूत्र है, जहाँ से (दाहिने हाथ की ओर एक संख्या है)। चार-आयामी सीढ़ी प्रचालक 4डी स्थान में उठाने वाले प्रचालक में काफी हद तक समान गुण होते हैं। इसके लिए मुख्य सूत्र यह है कि जहां एक 4डी सदिश,, है, और प्रचालक एक सजातीय बहुपद को उसकी डिग्री से गुणा करता है। भौतिक समस्याओं के लिए चर को अलग करना सुविधाजनक हैः विशेष रूप से,। सीढ़ी प्रचालक का अदिश उत्पाद और 3डी स्थान की तरह सरल हैः और का स्केलर उत्पाद है। सीढ़ी प्रचालक अब कोणीय संवेग प्रचालक और 4डी स्थान में घूर्णन के अतिरिक्त प्रचालक के साथ जुड़ा हुआ है। वे लाइ बीजगणित को कोणीय संवेग और लाप्लास-रुंग-लेंज प्रचालक के रूप में प्रदर्शित करते हैं। प्रचालक का सरल रूप होता है। अलग-अलग 3डी-घटक और उठाने वाले प्रचालक के चौथे निर्देशांक के लिए, सूत्र हैं। टेंसर गोलाकार हार्मोनिक्स प्रचालक (भौतिकी) लाप्लास-रुंग-लेंज़ वेक्टर कोणीय संवेग प्रचालक सीढ़ी प्रचालक बहुध्रुवीय विनिमय अंतःक्रिया संदर्भ बाहरी लिंक हार्मोनिक विश्लेषण घूर्णन समरूपता क्वांटम यांत्रिकी प्रचालक सिद्धांत सैद्धांतिक भौतिकी