From Zero to Infinity
फ्रॉम जीरो टू इन्फिनिटीः व्हाट मेक नंबर्स इंट्रेस्टिंग कॉन्स्टेंस रीड की लोकप्रिय गणित और संख्या सिद्धांत में एक पुस्तक है। यह मूल रूप से 1955 में थॉमस वाई. क्रोवेल कंपनी द्वारा प्रकाशित किया गया था। चौथा संस्करण 1992 में मैथमेटिकल एसोसिएशन ऑफ अमेरिका द्वारा उनकी एमएए स्पेक्ट्रम श्रृंखला में प्रकाशित किया गया था। ए. के. पीटर्स ने 2006 में पाँचवीं "पचासवीं वर्षगांठ संस्करण" प्रकाशित किया। पृष्ठभूमि रीड स्वयं एक पेशेवर गणितशास्त्री नहीं थे, बल्कि एक गणितीय परिवार से थे जिसमें उनकी बहन जूलिया रॉबिन्सन और बहनोई राफेल एम. रॉबिन्सन शामिल थे। उन्होंने एक स्कूल शिक्षक के रूप में काम किया था, लेकिन फ्रॉम ज़ीरो टू इन्फिनिटी के प्रकाशन के समय तक वह एक "गृहिणी और फ्री-लैंस लेखिका" थीं। वह गणित और गणितविदों के बारे में अपनी कई पुस्तकों के लिए जानी गईं, जिनका उद्देश्य लोकप्रिय दर्शकों के लिए था, जिनमें से यह पहली थी। संख्या सिद्धांत में रीड की रुचि उनकी बहन द्वारा मर्सेन अभाज्य संख्याओं की खोज के लिए कंप्यूटर के उपयोग से शुरू हुई थी। उन्होंने 1953 में साइंटिफिक अमेरिकन में एक निकट से संबंधित विषय, पूर्ण संख्या पर एक लेख प्रकाशित किया, और इसके तुरंत बाद इस पुस्तक को लिखा। उनका इच्छित शीर्षक था व्हाट मेक नंबर्स इंटरेस्टिंग; शीर्षक फ्रॉम ज़ीरो टू इन्फिनिटी प्रकाशक द्वारा किया गया एक बदलाव था। विषय शून्य से अनंत तक के बारह अध्यायों को दस दशमलव अंकों (यूलर की संख्या, लगभग 2.71828) और सबसे छोटी अनंत कार्डिनल संख्या द्वारा गिना जाता है। प्रत्येक अध्याय का विषय किसी न किसी तरह से इसकी अध्याय संख्या से संबंधित है, पुस्तक के आगे बढ़ने के साथ-साथ आमतौर पर परिष्कार के बढ़ते स्तर के साथः अध्याय 0 में संख्या प्रणालियों के इतिहास, स्थितिगत संकेतन के विकास और शून्य के लिए एक प्लेसहोल्डर प्रतीक की आवश्यकता पर चर्चा की गई है, और शून्य की बहुत बाद की समझ एक संख्या के रूप में है। इसमें अन्य सभी संख्याओं के बीच शून्य द्वारा धारण किए गए विशेष गुणों और शून्य द्वारा विभाजन से उत्पन्न होने वाले अनिश्चित रूपों की अवधारणा पर चर्चा की गई है। अध्याय 1 वस्तुओं, अंकगणित, और अभाज्य संख्याओं की अवधारणाओं और पूर्णांक गुणनखंडन को गिनने के लिए संख्याओं के उपयोग से संबंधित है। अध्याय 2 के विषयों में द्विआधारी प्रतिनिधित्व, किसान गुणन और आधुनिक कंप्यूटर अंकगणित में इसका प्राचीन उपयोग और गॉटफ्राइड लीबनिज़ द्वारा एक संख्या प्रणाली के रूप में इसका औपचारिकरण शामिल है। अधिक सामान्य रूप से, यह विभिन्न आधारों और हेक्साडेसिमल सहित विशिष्ट आधारों के साथ संख्या प्रणालियों के विचार पर चर्चा करता है। अध्याय 3 अभाज्य संख्याओं पर लौटता है, जिसमें उन्हें उत्पन्न करने के लिए एराटोस्थनीज की छलनी के साथ-साथ अधिक आधुनिक प्राथमिकता परीक्षण भी शामिल हैं। अध्याय 4 वर्ग संख्याओं से संबंधित है, गैलीलियो द्वारा अवलोकन कि वर्ग गणना संख्याओं के बराबर हैं, पाइथागोरियन प्रमेय, फर्माट की अंतिम प्रमेय और डायोफैंटाइन समीकरण अधिक सामान्य रूप से। अध्याय 5 में इन दो अवधारणाओं को जोड़ने वाले अंकीय संख्याओं, पूर्णांक विभाजनों और उत्पन्न करने वाले कार्यों और पंचकोणीय संख्या प्रमेय पर चर्चा की गई है। अध्याय 6 में, रीड ने अपने पहले के लेख से पूर्ण संख्याओं (जिनमें से 6 सबसे छोटा गैर-तुच्छ उदाहरण है), मर्सेन अभाज्य संख्याओं के साथ उनके संबंध, बड़ी अभाज्य संख्याओं की खोज, और रीड के रिश्तेदारों द्वारा नए मर्सेन अभाज्य संख्याओं की खोज पर सामग्री लाई है। मर्सेन अभाज्य संख्याएँ वे अभाज्य संख्याएँ हैं जो दो की घात से एक इकाई कम होती हैं। इसके बजाय अध्याय 7 उन अभाज्य संख्याओं से संबंधित है जो दो की शक्ति से एक अधिक हैं, फर्माट अभाज्य संख्याएँ, और निर्माण योग्य बहुभुज के साथ उनका घनिष्ठ संबंध। सात भुजाओं वाला अष्टभुज सबसे छोटा बहुभुज है जो निर्माण योग्य नहीं है, क्योंकि यह फर्माट अभाज्य संख्याओं का उत्पाद नहीं है। अध्याय 8 घनों और पूर्णांकों को घनों या अन्य शक्तियों के योग के रूप में प्रस्तुत करने पर वारिंग की समस्या से संबंधित है। अध्याय 9 का विषय मॉड्यूलर अंकगणितीय, विभाज्यता और स्थितिगत संकेतन के साथ उनके संबंध हैं, जिसमें नौ से विभाज्यता निर्धारित करने के लिए नौ को बाहर निकालना शामिल है। अध्याय में, शून्य से अनंत पूर्णांकों से अपरिमेय संख्याओं, जटिल संख्याओं, लघुगणक और यूलर के सूत्र में बदल जाता है। यह निरंतर अंशों के सिद्धांत और अभाज्य संख्या प्रमेय के माध्यम से इन विषयों को पूर्णांकों से जोड़ता है। अंतिम अध्याय, अध्याय, अलेफ संख्याओं और अनंत सेटों के सिद्धांत का एक बुनियादी परिचय प्रदान करता है, जिसमें अनगिनत अनंत सेटों के अस्तित्व के लिए कैंटर का विकर्ण तर्क भी शामिल है। पहले संस्करण में केवल अध्याय 0 से 9 शामिल थे। असीम सेटों पर अध्याय को दूसरे संस्करण में जोड़ा गया था, जिसने दिलचस्प संख्या विरोधाभास पर एक खंड की जगह ली थी। पुस्तक के बाद के संस्करणों को रीड द्वारा "पूरी तरह से अद्यतन" किया गया था; विशेष रूप से, पांचवें संस्करण में मर्सेन अभाज्य संख्याओं की खोज और फर्माट के अंतिम प्रमेय का प्रमाण शामिल है, और एक सूचकांक को पुनर्स्थापित करता है जिसे पहले के संस्करणों से हटा दिया गया था। शून्य से अनंत तक दर्शकों और स्वागत को छात्रों और गैर-गणितीय वयस्कों दोनों के लिए सुलभ होने के लिए लिखा गया है, जिसमें पृष्ठभूमि के रूप में केवल उच्च विद्यालय स्तर के गणित की आवश्यकता होती है। अंत अध्याय में "प्रश्नोत्तरी प्रश्नों" के छोटे सेट कक्षा की चर्चा को बढ़ावा देने में सहायक हो सकते हैं, जिससे यह माध्यमिक विद्यालय के गणित पाठ्यक्रमों के लिए पूरक सामग्री के रूप में उपयोगी हो सकता है। चौथे संस्करण की समीक्षा करते हुए, गणितशास्त्री डेविड सिंगमास्टर ने इसे "अपनी प्रारंभिक उपस्थिति के बाद से गणितीय लोकप्रियता के उत्कृष्ट कार्यों में से एक" और "गणित के बारे में एक सुखद परिचय" के रूप में वर्णित किया है। समीक्षक लिन गॉडशाल इसे "संख्याओं का एक अत्यधिक पठनीय इतिहास" कहते हैं, जिसे "शिक्षकों और उनके छात्रों दोनों द्वारा समान रूप से आसानी से समझा जा सकता है।" मुर्रे सीगल ने इसे "प्रत्येक गणित शिक्षक और विश्वविद्यालय के संकाय के लिए आवश्यक पुस्तकालय के रूप में वर्णित किया है जो छात्रों को गणित पढ़ाने के लिए तैयार करते हैं।" सिंगमास्टर पुस्तक में गणित के केवल दो टुकड़ों के बारे में शिकायत करते हैंः अध्याय 4 में दावा किया गया है कि मिस्रवासी 3-4-5 समकोण त्रिभुज (अभी भी काफी विद्वानों की बहस का विषय) से परिचित थे और इस बात की किसी भी चर्चा के अध्याय 7 से चूक कि क्यों रचनात्मक बहुभुज को वर्गीकृत किया जा सकता है, पक्षों की अभाज्य संख्या के मामले में कम किया जा सकता है। सीगल बीजगणितीय गुणनखंडन पर एक और छोटी सी त्रुटि की ओर इशारा करते हैं, लेकिन सुझाव देते हैं कि इसका पता लगाने से छात्रों के लिए एक और उपयोगी अभ्यास हो सकता है। संदर्भ लोकप्रिय गणित पुस्तकें 1955 गैर-काल्पनिक पुस्तकें प्राथमिक संख्या सिद्धांत