Extrinsic Geometric Flows
बाह्य ज्यामितीय प्रवाह एक उन्नत गणित पाठ्यपुस्तक है जो ज्यामितीय प्रवाह, गणितीय समस्याओं का अवलोकन करती है जिसमें एक वक्र या सतह किसी नियम के अनुसार लगातार चलती है। यह बाहरी प्रवाहों पर ध्यान केंद्रित करता है, जिसमें नियम आंतरिक प्रवाह जैसे कि रिची प्रवाह के बजाय अंतरिक्ष में एक सतह के एम्बेडिंग पर निर्भर करता है, जो सतह की आंतरिक ज्यामिति पर निर्भर करता है और एक एम्बेडिंग के संबंध में परिभाषित किया जा सकता है। बाह्य ज्यामितीय प्रवाह बेन एंड्रयूज, बेनेट चाउ, क्रिस्टीन गुंथर और मैट लैंगफोर्ड द्वारा लिखा गया था, और 2020 में अमेरिकन मैथमेटिकल सोसाइटी की एक पुस्तक श्रृंखला, ग्रेजुएट स्टडीज इन मैथमेटिक्स के खंड 206 के रूप में प्रकाशित किया गया था। विषय पुस्तक में चार अध्याय हैं, जिन्हें मोटे तौर पर चार खंडों में विभाजित किया गया हैः अध्याय 1 से 4 ऊष्मा समीकरण और उससे परिभाषित वक्र-संक्षिप्त प्रवाह से संबंधित हैं, जिसमें एक वक्र यूक्लिडियन तल में, अपने आप में, अपनी वक्रता के आनुपातिक गति से चलता है। इसमें उन वक्रों पर सामग्री शामिल है जो प्रवाहित होने पर स्वयं-समान रहती है, जैसे कि वृत्त और गंभीर रीपर वक्र, गेज-हैमिल्टन-ग्रेसन प्रमेय जिसके अनुसार प्रत्येक सरल बंद वक्र एक वृत्त में तब तक परिवर्तित होता है जब तक कि अंततः एक बिंदु पर नहीं गिर जाता है, बिना कभी स्वयं-विच्छेद के, और प्रवाह के प्राचीन समाधानों का वर्गीकरण। अध्याय 5 से 14 माध्य वक्रता प्रवाह से संबंधित है, जो वक्र-लघु प्रवाह का एक उच्च आयामी सामान्यीकरण है जो अपनी लंबवत गति की गति को नियंत्रित करने के लिए सतह की माध्य वक्रता का उपयोग करता है। अतिसूक्ष्म सतहों की ज्यामिति पर एक परिचयात्मक अध्याय के बाद, इसमें एकर और हुइस्केन के परिणाम शामिल हैं जो "स्थानीय रूप से पूरे लिपशिट्ज़ ग्राफ" से संबंधित हैं, और हुइस्केन का सिद्धांत है कि समान रूप से उत्तल सतह चिकनी और उत्तल रहती हैं, एक गोले में परिवर्तित होती हैं, इससे पहले कि वे एक बिंदु पर गिरें। हुइस्केन के एकरसता सूत्र को शामिल किया गया है, जैसा कि ब्रेक और व्हाइट के नियमितता प्रमेय हैं जिनके अनुसार प्रवाह लगभग हर जगह चिकना है। इस खंड के कई अध्याय इस प्रवाह में विकसित होने वाली विलक्षणताओं के साथ-साथ उन सतहों से संबंधित हैं जो प्रवाहित होने पर स्वयं समान रहती हैं। अध्याय 15 से 17 गॉस वक्रता प्रवाह से संबंधित है, जो औसत वक्रता के स्थान पर गॉसियन वक्रता का उपयोग करके उच्च आयामों के लिए वक्र-लघु प्रवाह को सामान्य बनाने का एक अलग तरीका है। हालांकि गॉसियन वक्रता आंतरिक है, औसत वक्रता के विपरीत, गॉस वक्रता प्रवाह बाह्य है, क्योंकि इसमें एक अंतर्निहित सतह की गति शामिल है। यहाँ, प्रवाह की विविधताओं में प्रवाह की गति को परिभाषित करने के लिए वक्रता के बजाय वक्रता की शक्ति का उपयोग करना शामिल है, और यह सीमित समय अंतराल पर प्रवाह के अस्तित्व, स्वयं-समान समाधानों के अस्तित्व और सीमित आकारों के बारे में सवाल उठाता है। वक्रता का घातांक यहाँ महत्वपूर्ण है, जिसमें उत्तल सतहें घातांक पर एक दीर्घवृत्ताकार में परिवर्तित होती हैं (एफ़ाइन वक्र-संक्षिप्त प्रवाह उत्पन्न करती हैं) और बड़े घातकों के लिए एक गोल गोले में। अध्याय 18-20 अरैखिक ज्यामितीय प्रवाह का एक व्यापक परिदृश्य प्रदान करते हैं। प्रत्येक अध्याय की सामग्री में अध्याय में चर्चा किए गए परिणामों के प्रमाण और गणित साहित्य के संदर्भ दोनों शामिल हैं; प्रत्येक अध्याय के अंत में एक टिप्पणी खंड में अतिरिक्त संदर्भ प्रदान किए गए हैं, जो अतिरिक्त अंतर्ज्ञान और खुली समस्याओं का विवरण भी प्रदान करता है, साथ ही साथ उसी क्षेत्र में अतिरिक्त परिणामों का संक्षिप्त विवरण भी प्रदान करता है। कई आंकड़ों के साथ चर्चा के तहत गणित को चित्रित करने के साथ-साथ, यह कई गणितविदों की तस्वीरें प्रदान करके सामग्री को मानवीय बनाता है जिनका यह संदर्भ देता है। अध्यायों में अभ्यास शामिल हैं, जो इस पुस्तक को स्नातक पाठ्यपुस्तकों के रूप में उपयुक्त बनाते हैं। हालाँकि ग्रिगोरी पेरेलमैन द्वारा पोइनकेयर अनुमान और ज्यामिति अनुमान दोनों को हल करने के लिए उनके उपयोग के बाद आंतरिक प्रवाह गणित में बहुत हाल ही में ध्यान का विषय रहे हैं, बाहरी प्रवाह का भी गणित में महत्वपूर्ण अनुप्रयोगों का एक लंबा इतिहास है, जो आंशिक विभेदक समीकरणों के समाधानों से निकटता से संबंधित है। उनके उपयोगों में जैविक कोशिकाओं के विकास, धातु के क्रिस्टल अनाज, फोम में बुलबुले, और यहां तक कि "समुद्र तट में लुढ़कने वाले पत्थरों की विकृति" का प्रतिरूपण शामिल है। पुस्तक के प्रमाण अक्सर शोध साहित्य में प्रमाणों के सरलीकरण होते हैं, लेकिन फिर भी यह काफी तकनीकी है, जिसका उद्देश्य ज्यामितीय विश्लेषण में स्नातक छात्रों और शोधकर्ताओं के लिए है। पाठकों से अपेक्षा की जाती है कि वे विभेदक ज्यामिति और आंशिक विभेदक समीकरणों की मूल बातों से परिचित हों। पुस्तक में एक ही पाठ्यक्रम की तुलना में अधिक सामग्री है, लेकिन यह या तो एक बहु-पाठ्यक्रम अनुक्रम या एक विषय पाठ्यक्रम का आधार बन सकता है जो केवल इसकी कुछ सामग्री को चुनता है। एक पाठ्यपुस्तक होने के साथ-साथ, बाह्य ज्यामितीय प्रवाह क्षेत्र के विशेषज्ञों के लिए प्रवाह पर संदर्भ सामग्री के रूप में काम कर सकते हैं। संबंधित कृतियाँ यह ज्यामितीय प्रवाह पर पहली पुस्तक नहीं है। अन्य में शामिल हैंः हालांकि बाहरी ज्यामितीय प्रवाह इन कार्यों की तुलना में अधिक व्यापक और अद्यतित है, लेकिन यह उनके कुछ विषयों को छोड़ देता है, जिसमें वक्रों के अनिसोट्रोपिक प्रवाह, सापेक्षता के सिद्धांत के लिए अनुप्रयोग और इसके स्तर-सेट विधियाँ शामिल हैं। संदर्भ ज्यामितीय प्रवाह गणित पाठ्यपुस्तकें 2020 गैर-काल्पनिक पुस्तकें प्रकाशन अमेरिकी गणितीय समाज