Subgroup distortion
ज्यामितीय समूह सिद्धांत में, गणित का एक विषय, उपसमूह विरूपण इस बात को मापता है कि एक अतिसमूह किसी समूह की शब्द समस्या की जटिलता को किस हद तक कम कर सकता है। अधिकांश ज्यामितीय समूह सिद्धांत की तरह, यह अवधारणा मिशा ग्रोमोव के कारण है, जिन्होंने इसे 1993 में पेश किया था। औपचारिक रूप से, समूह उत्पन्न करें, और द्वारा उत्पन्न के लिए एक ओवरग्रुप होने दें। फिर प्रत्येक उत्पन्न करने वाला सेट संबंधित समूह पर एक शब्द मीट्रिक को परिभाषित करता है; इन का विरूपण फ़ंक्शन का एसिम्प्टोटिक समतुल्यता वर्ग है जहां त्रिज्या की गेंद केंद्र में है और इसका व्यास है। निरंतर विरूपण वाले उपसमूहों को क्वासिकोन्वेक्स कहा जाता है। उदाहरण के लिए, अनंत चक्रीय समूह पर विचार करें, जो बॉम्सलैग-सॉलिटर समूह के एक सामान्य उपसमूह के रूप में अंतर्निहित है। फिर मूल से दूरी है, लेकिन मूल से दूरी है। विशेष रूप से, कम से कम आधार के साथ तेजी से विकृत होता है। इसी तरह, दो जनरेटरों पर मुक्त अबेलियन समूह में अंतर्निहित एक ही अनंत चक्रीय समूह में रैखिक विरूपण होता है; अपने आप में एम्बेडिंग केवल निरंतर विरूपण पैदा करती है। प्राथमिक गुण समूहों के एक मीनार में, अंदर की विकृति कम से कम अंदर की विकृति है। एक सामान्य अबेलियन उपसमूह में विकृति संयुग्मन समूह प्रतिनिधित्व के आइगेनवैल्यू द्वारा निर्धारित की जाती है; औपचारिक रूप से, यदि आइगेनवैल्यू के साथ कार्य करता है, तो कम से कम आधार के साथ तेजी से विकृत होता है। कई गैर-सामान्य लेकिन अभी भी अबेलियन उपसमूहों के लिए, सामान्य कोर की विकृति एक मजबूत निचली सीमा देती है। ज्ञात मान अधिकतम घातीय वृद्धि के साथ प्रत्येक कम्प्यूटेबल फ़ंक्शन एक उपसमूह विरूपण हो सकता है, लेकिन एक निलपोटेन्ट लाइ समूह के लाइ उपसमूहों में हमेशा कुछ तर्कसंगत के लिए विरूपण होता है। परिभाषा में भाजक हमेशा होता है; इस कारण से, इसे अक्सर छोड़ दिया जाता है। उस स्थिति में, एक उपसमूह जो स्थानीय रूप से सीमित नहीं है, उसमें सुपरएडिटिव विरूपण होता है; इसके विपरीत हर सुपरएडिटिव फ़ंक्शन (एसिम्प्टोटिक समतुल्यता तक) को इस तरह से पाया जा सकता है। क्रिप्टोग्राफी में उपसमूह विरूपण द्वारा प्रेरित शब्द समस्या में सरलीकरण एक गुप्त प्रणाली, गुप्त संदेशों को कूटबद्ध करने और कूटबद्ध करने के लिए एल्गोरिदम के निर्माण के लिए पर्याप्त है। औपचारिक रूप से, सादा पाठ संदेश कोई भी वस्तु (जैसे पाठ, चित्र या संख्या) है जिसे एक संख्या के रूप में कूटबद्ध किया जा सकता है। ट्रांसमीटर तब शब्द की लंबाई के साथ एक तत्व के रूप में कूटबद्ध होता है। उस विकृतियों के साथ एक सार्वजनिक अतिसमूह में, तत्व में बहुत कम लंबाई का एक शब्द होता है, जिसे गुप्त उपसमूह को अस्पष्ट करने के लिए कई "डिकॉय" के साथ प्राप्तकर्ता को प्रेषित किया जाता है। रिसीवर तब के तत्व को चुनता है, के जनरेटर के संदर्भ में शब्द को फिर से व्यक्त करता है, और ठीक हो जाता है। संदर्भ ज्यामितीय समूह सिद्धांत निम्न-आयामी स्थलविज्ञान