Roberts's triangle theorem
रॉबर्ट्स त्रिभुज प्रमेय, जो असतत ज्यामिति में एक परिणाम है, बताता है कि रेखाओं की प्रत्येक सरल व्यवस्था में कम से कम त्रिकोणीय चेहरे होते हैं। इस प्रकार, तीन रेखाएँ एक त्रिकोण बनाती हैं, चार रेखाएँ कम से कम दो त्रिकोण बनाती हैं, पाँच रेखाएँ कम से कम तीन त्रिकोण बनाती हैं, आदि। इसका नाम एक ब्रिटिश गणितशास्त्री सैमुअल रॉबर्ट्स के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने इसे 1889 में प्रकाशित किया था। कथन और उदाहरण प्रमेय में कहा गया है कि यूक्लिडियन तल में रेखाओं की प्रत्येक सरल व्यवस्था में कम से कम त्रिकोणीय चेहरे होते हैं। यहाँ, एक व्यवस्था सरल होती है जब इसमें कोई दो समानांतर रेखाएँ नहीं होती हैं और एक ही बिंदु से कोई तीन रेखाएँ नहीं होती हैं। बिल्कुल त्रिकोणीय चेहरों वाली रेखाओं की व्यवस्था बनाने का एक तरीका यह है कि रेखाओं को अर्धवृत्त के स्पर्शरेखा के रूप में चुना जाए। इस तरह से व्यवस्थित रेखाओं के लिए, केवल वे त्रिभुज हैं जो लगातार स्पर्शता के बिंदुओं के साथ तीन रेखाओं से बनते हैं। चूंकि रेखाओं में लगातार त्रिभुज होते हैं, इसलिए उनमें भी त्रिभुज होते हैं। प्रूफ ब्रांको ग्रनबॉम ने रॉबर्ट्स के मूल पेपर "अविश्वसनीय" में सबूत पाया, और 1979 में रॉबर्ट डब्ल्यू. शैनन को रॉबर्ट्स के प्रमेय के पहले सही प्रमाण का श्रेय दिया। इसके बजाय वह निम्नलिखित अधिक प्राथमिक तर्क प्रस्तुत करते हैं, जिसे पहली बार रूसी में अलेक्सी बेलोव द्वारा प्रकाशित किया गया था। यह स्पष्ट रूप से एक ही प्रमेय के एक सरल संस्करण पर निर्भर करता है, जिसके अनुसार तीन या अधिक रेखाओं की प्रत्येक सरल व्यवस्था में कम से कम एक त्रिकोणीय चेहरा होता है। यह आसानी से इस तथ्य से प्रेरित होता है कि एक व्यवस्था में एक रेखा जोड़ने से त्रिकोणीय चेहरों की संख्या में कमी नहीं आ सकती हैः यदि रेखा एक मौजूदा त्रिभुज को काटती है, तो परिणामी दो टुकड़ों में से एक फिर से एक त्रिभुज है। दूसरी ओर, हालांकि रॉबर्ट्स के प्रमेय की सीमा प्रत्येक जोड़ी गई रेखा के साथ बढ़ती है, किसी भी विशेष व्यवस्था में त्रिकोणों की संख्या कभी-कभी अपरिवर्तित रह सकती है। यदि दी गई सभी रेखाओं को उनकी ढलानों को बदले बिना स्थानांतरित किया जाता है, तो उनकी नई स्थिति को वास्तविक संख्याओं की एक प्रणाली द्वारा वर्णित किया जा सकता है, प्रत्येक रेखा के ऑफसेट अपनी मूल स्थिति से। प्रत्येक त्रिकोणीय चेहरे के लिए, इसकी तीन रेखाओं के ऑफसेट पर एक रैखिक समीकरण होता है, जो संतुष्ट होने पर, चेहरे को अपने मूल क्षेत्र को बनाए रखने का कारण बनता है। यदि त्रिभुज से कम हो सकते हैं, तो (क्योंकि उन्हें बाधित करने वाले समीकरणों की तुलना में अधिक चर होंगे) दो रेखाओं को ठीक करना और उनकी ढलानों को स्थिर रखते हुए सभी शेष रेखाओं की एक साथ रैखिक गति खोजना संभव होगा, जो सभी त्रिभुज क्षेत्रों को संरक्षित करता है। इस तरह की गति को उन व्यवस्थाओं से गुजरना चाहिए जो सरल नहीं हैं, उदाहरण के लिए जब चलती रेखाओं में से एक दो निश्चित रेखाओं के पार करने के बिंदु से गुजरती है। उस समय जब चलती रेखाएँ पहली बार एक गैर-सरल व्यवस्था बनाती हैं, तीन या अधिक रेखाएँ एक बिंदु पर मिलती हैं। इन रेखाओं के मिलने से ठीक पहले, रेखाओं के इस उपसमुच्चय में एक त्रिकोणीय चेहरा (मूल व्यवस्था में भी मौजूद) होगा जिसका क्षेत्रफल शून्य तक पहुंच जाता है। लेकिन यह चेहरे के क्षेत्रों की अपरिवर्तनीयता का खंडन करता है। विरोधाभास से पता चलता है कि यह धारणा कि त्रिभुज से कम हैं, सच नहीं हो सकती है। संबंधित परिणाम जबकि रॉबर्ट्स की प्रमेय रेखाओं की दी गई संख्या द्वारा बनाए गए सबसे कम संभावित त्रिकोणों से संबंधित है, संबंधित कोबोन त्रिभुज समस्या सबसे बड़ी संख्या से संबंधित है। दोनों समस्याएं पहले से ही भिन्न हैं, जहाँ रॉबर्ट्स की प्रमेय गारंटी देती है कि तीन त्रिभुज मौजूद होंगे, लेकिन कोबोन त्रिभुज समस्या के समाधान में पाँच त्रिभुज हैं। रॉबर्ट्स के प्रमेय को सरल रेखा व्यवस्था से लेकर कुछ गैर-सरल व्यवस्थाओं तक, यूक्लिडियन तल के बजाय प्रोजेक्टिव तल में व्यवस्था और उच्च-आयामी स्थानों में हाइपरप्लेन की व्यवस्था तक सामान्यीकृत किया जा सकता है। रेखा व्यवस्था से परे, रॉबर्ट्स के प्रमेय के समान सीमा सूडोलिन्स की व्यवस्था के लिए है। संदर्भ विविक्त ज्यामिति त्रिकोण