Matsubara frequency
थर्मल क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में, मात्सुबारा आवृत्ति योग (टेको मात्सुबारा के नाम पर) असतत काल्पनिक आवृत्तियों पर योग है। यह निम्नलिखित रूप लेता है जहाँ व्युत्क्रम तापमान होता है और आवृत्तियों को आमतौर पर निम्नलिखित दो सेटों में से किसी एक से लिया जाता है (के साथ): बोसोनिक आवृत्तियाँः फर्मियोनिक आवृत्तियाँः यदि योग सीमा में 0 की ओर जाता है तो उससे अधिक तेजी से अभिसरण होगा। बोसोनिक आवृत्तियों पर योग को (के साथ) के रूप में दर्शाया जाता है, जबकि फर्मियोनिक आवृत्तियों पर इसे (के साथ) के रूप में दर्शाया जाता है। सांख्यिकीय संकेत है। तापीय क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के अलावा, मात्सुबारा आवृत्ति योग विधि भी ठोस अवस्था भौतिकी के लिए आरेखात्मक दृष्टिकोण में एक आवश्यक भूमिका निभाती है, अर्थात्, यदि कोई सीमित तापमान पर आरेखों पर विचार करता है। आम तौर पर, यदि एक निश्चित फेनमैन आरेख को एक समाकलन द्वारा दर्शाया जाता है, तो परिमित तापमान पर यह योग द्वारा दिया जाता है। सारांश औपचारिकता सामान्य औपचारिकता मात्सुबारा आवृत्ति योग का मूल्यांकन करने की चाल मात्सुबारा भार फलन hη (z) का उपयोग करना है जिसमें सरल ध्रुव बिल्कुल पर स्थित होते हैं। बोसॉन मामले में भार फलन η = + 1 और फर्मियन मामले में η =-1 भिन्न होते हैं। भार फलन के चयन पर बाद में चर्चा की जाएगी। भार फलन के साथ, योग को काल्पनिक अक्ष के आसपास एक समोच्च समाकलन द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। जैसा कि चित्र में है। 1, भार फलन काल्पनिक अक्ष पर ध्रुव (लाल क्रॉस) उत्पन्न करता है। समोच्च समाकलन इन ध्रुवों के अवशेषों को उठाता है, जो योग के बराबर है। इस प्रक्रिया को कभी-कभी सॉमरफेल्ड-वॉटसन परिवर्तन कहा जाता है। जी (जेड) (चित्र में हरा क्रॉस) के ध्रुवों को घेरने के लिए समोच्च रेखाओं के विरूपण से। 2), योग को औपचारिक रूप से g (z) के सभी ध्रुवों पर g (z) hη (z) के अवशेषों को जोड़कर पूरा किया जा सकता है, ध्यान दें कि एक माइनस संकेत उत्पन्न होता है, क्योंकि समोच्च को ध्रुवों को घड़ी की दिशा में घेरने के लिए विकृत किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप नकारात्मक अवशेष होते हैं। मात्सुबारा भार फलन का चयन बोसॉन आवृत्तियों पर सरल ध्रुवों का उत्पादन करने के लिए, निम्नलिखित दो प्रकार के मात्सुबारा भार फलन में से किसी एक को चुना जा सकता है, जो इस बात पर निर्भर करता है कि अभिसरण को किस आधे तल में नियंत्रित किया जाना है। बाएँ आधे तल (Re z <0) में अभिसरण को नियंत्रित करता है, जबकि दाएँ आधे तल (Re z> 0) में अभिसरण को नियंत्रित करता है। यहाँ बोस-आइंस्टीन वितरण कार्य है। यह मामला फर्मियन आवृत्तियों के लिए समान है। दो प्रकार के मात्सुबारा भार फलन भी हैं जो बाएं आधे तल (Re z <0) में अभिसरण को नियंत्रित करते हुए सरल ध्रुवों का उत्पादन करते हैं, जबकि दाएं आधे तल (Re z> 0) में अभिसरण को नियंत्रित करते हैं। यहाँ फर्मी-डीराक वितरण कार्य है। ग्रीन के फलन गणना के अनुप्रयोग में, g (z) में हमेशा वह संरचना होती है जो 0 <τ <β दिए गए बाएं आधे तल में अलग हो जाती है। अभिसरण को नियंत्रित करने के लिए, पहले प्रकार के भार फलन को हमेशा चुना जाता है। हालाँकि, अभिसरण को नियंत्रित करने की कोई आवश्यकता नहीं है यदि मात्सुबारा योग अलग नहीं होता है, तो उस स्थिति में, मात्सुबारा भार फलन के किसी भी विकल्प से समान परिणाम मिलेंगे। मात्सुबारा आवृत्ति योगों की तालिका निम्नलिखित तालिका में कुछ सरल परिमेय फलन g (z) हैं। प्रतीक η = ±1 सांख्यिकीय चिह्न है, बोसॉन के लिए + 1 और फर्मियन के लिए-1। [1] चूँकि योग अभिसरण नहीं करता है, इसलिए मात्सुबारा भार फलन के विभिन्न विकल्पों पर परिणाम भिन्न हो सकता है। [2] (1 * 2) पहले की तरह ही अभिव्यक्ति को दर्शाता है लेकिन सूचकांक 1 और 2 के साथ आपस में बदल जाता है। भौतिकी में अनुप्रयोग शून्य तापमान सीमा इस सीमा में, मात्सुबारा आवृत्ति योग काल्पनिक अक्ष पर काल्पनिक आवृत्ति के एकीकरण के बराबर है। कुछ समाकलन अभिसरण नहीं करते हैं। उन्हें आवृत्ति कटौती शुरू करके नियमित किया जाना चाहिए, और फिर की सीमा लेने से पहले समाकलन से विचलन भाग (-निर्भर) को घटाया जाना चाहिए। उदाहरण के लिए, मुक्त ऊर्जा लघुगणक के समाकलन द्वारा प्राप्त की जाती है, जिसका अर्थ है कि शून्य तापमान पर, मुक्त ऊर्जा केवल रासायनिक क्षमता से नीचे की आंतरिक ऊर्जा से संबंधित होती है। इसके अलावा वितरण कार्य निम्नलिखित समाकलन द्वारा प्राप्त किया जाता है जो शून्य तापमान पर चरण कार्य व्यवहार को दर्शाता है। काल्पनिक समय अंतराल (0, β) पर परिभाषित एक फलन G (τ) पर विचार करें। इसे फ़ोरियर श्रृंखला के संदर्भ में दिया जा सकता है, जहाँ आवृत्ति केवल 2/β के अंतराल पर असतत मान लेती है। आवृत्ति का विशेष विकल्प फलन G (τ) की सीमा स्थिति पर निर्भर करता है। भौतिकी में, G (τ) हरित फलन के काल्पनिक समय प्रतिनिधित्व के लिए खड़ा है यह एक बोसॉन क्षेत्र के लिए आवधिक सीमा शर्त G (τ + β) = G (τ) को संतुष्ट करता है। जबकि एक फर्मियन क्षेत्र के लिए सीमा स्थिति एंटी-पेरियोडिक G (τ + β) = −G (τ) है। आवृत्ति क्षेत्र में हरित फलन G (iω) को देखते हुए, इसके काल्पनिक समय प्रतिनिधित्व G (τ) का मूल्यांकन मात्सुबारा आवृत्ति योग द्वारा किया जा सकता है। बोसन या फर्मियन आवृत्तियों के आधार पर, जिसका योग किया जाना है, परिणामी G (τ) भिन्न हो सकता है। भेद करने के लिए, नोट के साथ परिभाषित करें कि τ मुख्य अंतराल (0, β) में प्रतिबंधित है। सीमा शर्त का उपयोग जी (τ) को प्रमुख अंतराल से बाहर बढ़ाने के लिए किया जा सकता है। कुछ अक्सर उपयोग किए जाने वाले परिणाम निम्नलिखित तालिका में दिए गए हैं। प्रचालक परिवर्तन प्रभाव छोटा काल्पनिक समय यहाँ एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। यदि छोटा सा काल्पनिक समय संकेत बदलता है तो प्रचालक का क्रम बदल जाएगा। वितरण फलन τ = 0 पर हरित फलन G (τ) की असंतुलन के कारण वितरण फलन का मूल्यांकन मुश्किल हो जाता है। योग का मूल्यांकन करने के लिए भार फलन के दोनों विकल्प स्वीकार्य हैं, लेकिन परिणाम अलग हैं। इसे समझा जा सकता है यदि हम G (τ) को τ = 0 से थोड़ा दूर धकेलते हैं, तो अभिसरण को नियंत्रित करने के लिए, हमें के लिए भार फलन के रूप में लेना चाहिए। बोसन्स फर्मियन्स मुक्त ऊर्जा बोसन्स फर्मियन्स आरेख मूल्यांकन अक्सर सामना किए जाने वाले आरेखों का मूल्यांकन यहाँ एकल मोड सेटिंग के साथ किया जाता है। एक स्पेक्ट्रल फ़ंक्शन इंटीग्रल द्वारा कई मोड समस्याओं से संपर्क किया जा सकता है। फर्मीयन स्व-ऊर्जा कण-छिद्र बुलबुला कण-कण बुलबुला परिशिष्टः वितरण कार्यों के गुण वितरण कार्य सामान्य संकेतन या तो बोस (η = + 1) या फर्मी (η =-1) वितरण कार्य के लिए खड़ा है यदि आवश्यक हो, तो विशिष्ट संकेतन nB और nF का उपयोग क्रमशः बोस और फर्मी वितरण कार्यों को इंगित करने के लिए किया जाता है। बोस-फर्मी संक्रमण बोस और फर्मी वितरण कार्य फर्मीयोनिक आवृत्ति द्वारा चर के एक बदलाव के तहत पारगमन करते हैं, हालांकि बोसोनिक आवृत्तियों द्वारा स्थानांतरण से कोई फर्क नहीं पड़ता है। व्युत्पन्न प्रथम क्रम उत्पाद के संदर्भ मेंः शून्य तापमान सीमा मेंः अंतर का द्वितीय क्रम सूत्र केस a = 0 केस a → 0 केस b → 0 फलन cη परिभाषाः बोस और फर्मी प्रकार के लिएः हाइपरबोलिक कार्यों से संबंध यह स्पष्ट है कि सकारात्मक निश्चित है। संख्यात्मक गणना में अतिप्रवाह से बचने के लिए, तान्ह और कोथ कार्यों का उपयोग किया जाता है केस ए = 0 केस बी = 0 निम्न तापमान सीमा ए = 0 के लिएः बी = 0 के लिएः सामान्य रूप से, काल्पनिक समय थर्मल क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत भी देखें। arXiv: हेप-पी/9311210 गिथब रिपॉजिटरीः मात्सुबारा सम मात्सुबारा आवृत्ति योग के लिए एक गणितीय पैकेज। ए. ताहेरिदेहकोर्डी, एस. कर्नो, जे. पी. एफ. लेब्लांकः हब्बार्ड जैसे मॉडलों के लिए एल्गोरिदमिक मात्सुबारा एकीकरण. arXiv: कंड-मैट/1808.05188 संदर्भ क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत