Christopher Deninger
क्रिस्टोफर डेनिंगर (जन्म 8 अप्रैल 1958) मुंस्टर विश्वविद्यालय में एक जर्मन गणितशास्त्री हैं। डेनिंगर का शोध एल-कार्यों के अनुप्रयोगों सहित अंकगणितीय ज्यामिति पर केंद्रित है। करियर डेनिंगर ने कर्ट मेयर की देखरेख में 1982 में कोलोन विश्वविद्यालय से डॉक्टरेट की उपाधि प्राप्त की। 1992 में उन्होंने माइकल रैपोपोर्ट, पीटर श्नाइडर और थॉमस ज़िंक के साथ गॉटफ्राइड विल्हेम लीबनिज़ पुरस्कार साझा किया। 1998 में वे बर्लिन में 1998 में अंतर्राष्ट्रीय गणित सम्मेलन में पूर्ण वक्ता थे। 2012 में वे अमेरिकन मैथमेटिकल सोसाइटी के सदस्य बने। गणितीय कार्य आर्टिन-वर्डियर द्वैत 1984 और 1987 के बीच शोध पत्रों की एक श्रृंखला में, डेनिंगर ने आर्टिन-वर्डियर द्वैत के विस्तार का अध्ययन किया। मोटे तौर पर, आर्टिन-वर्डियर द्वैत, वर्ग क्षेत्र सिद्धांत का एक परिणाम, पोइनकेयर द्वैत का एक अंकगणितीय अनुरूप है, जो एक कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड पर शीफ कोहोमोलॉजी के लिए एक द्वैत है। इस समानांतर में, एक संख्या क्षेत्र में पूर्णांकों का (स्पेक्ट्रम का) वलय 3-मैनिफोल्ड से मेल खाता है। मज़ूर के काम के बाद, डेनिंगर (1984) ने आर्टिन-वर्डियर द्वंद्व को कार्य क्षेत्रों में विस्तारित किया। डेनिंगर ने तब इन परिणामों को विभिन्न दिशाओं में विस्तारित किया, जैसे कि गैर-मरोड़ आवरण (1986), अंकगणितीय सतह (1987), साथ ही उच्च-आयामी स्थानीय क्षेत्र (विंगबर्ग, 1986 के साथ)। बाद के पत्रों में विचार किए गए ब्लॉच के प्रेरक परिसरों की उपस्थिति ने कई लेखकों के काम को प्रभावित किया, जिनमें ब्लॉच के परिसरों को उच्च-आयामी योजनाओं पर दोहरीकरण परिसरों के रूप में पहचाना गया। एल-कार्यों के विशेष मूल्य डेनिंगर के शोध पत्रों का एक अन्य समूह एल-कार्यों और उनके विशेष मूल्यों का अध्ययन करता है। एल-फलन का एक शास्त्रीय उदाहरण रीमान जीटा फलन ζ (s) है, जिसके लिए ζ (2) = π2/6 जैसे सूत्र यूलर के बाद से ज्ञात हैं। एक ऐतिहासिक शोधपत्र में, एल-कार्यों के विशेष मूल्यों, अर्थात पूर्णांकों पर एल-कार्यों के मूल्यों का वर्णन करने वाले दूरगामी अनुमानों का एक समूह प्रस्तावित किया गया था। बहुत मोटे शब्दों में, बेइलिन्सन के अनुमान इस बात पर जोर देते हैं कि क्यू पर एक चिकनी प्रोजेक्टिव बीजगणितीय विविधता एक्स के लिए, एक्स की प्रेरक समरूपता एक्स के डेलीग्ने समरूपता से निकटता से संबंधित होनी चाहिए। इसके अलावा, बेइलिंसन के अनुमान के अनुसार, इन दो समरूपता सिद्धांतों के बीच संबंध को पूर्णांक एस पर ध्रुव क्रम और एल (एचएन (एक्स), एस) के मूल्यों की व्याख्या करनी चाहिए। ब्लॉच और बेइलिंसन ने एच1 (एक्स) के लिए इस अनुमान के आवश्यक भागों को इस मामले में साबित किया जहां एक्स जटिल गुणन और एस = 2 के साथ एक दीर्घवृत्ताकार वक्र है। 1988 में, डेनिंगर एंड विंगबर्ग ने उस परिणाम की व्याख्या की। 1989 और 1990 में, डेनिंगर ने इस परिणाम को शिमुरा द्वारा विचार किए गए कुछ दीर्घवृत्ताकार वक्रों तक विस्तारित किया, बिल्कुल भी s ≤ 2। डेनिंगर और नार्ट (1995) ने ऊंचाई की जोड़ी को व्यक्त किया, जो बेलिंसन के अनुमान का एक प्रमुख घटक है, जो उद्देश्यों की एक निश्चित श्रेणी में अतिरिक्त समूहों की एक प्राकृतिक जोड़ी है। 1995 में, डेनिंगर ने डेलीग्ने कोहोमोलॉजी में मैसी उत्पादों का अध्ययन किया और उनसे s = 3 पर एक अण्डाकार वक्र के L-फलन के लिए विशेष मूल्य के लिए एक सूत्र का अनुमान लगाया, जिसकी बाद में द्वारा पुष्टि की गई थी। 2018 तक, बेइलिन्सन का अनुमान अभी भी व्यापक रूप से खुला है, और डेनिंगर का योगदान उन कुछ मामलों में से कुछ है जहां बेइलिन्सन के अनुमान पर सफलतापूर्वक हमला किया गया है (इस विषय पर सर्वेक्षणों में डेनिंगर एंड शॉल (1991) शामिल हैं)। नियमित निर्धारकों के माध्यम से एल-फलन रीमान ζ-फलन को प्रत्येक अभाज्य संख्या पी के लिए यूलर कारकों के उत्पाद का उपयोग करके परिभाषित किया जाता है। ζ (s) के लिए एक कार्यात्मक समीकरण प्राप्त करने के लिए, उन्हें गामा फलन से जुड़े एक अतिरिक्त शब्द के साथ गुणा करने की आवश्यकता होती हैः अधिक सामान्य एल-कार्यों को यूलर उत्पादों द्वारा भी परिभाषित किया जाता है, जिसमें प्रत्येक सीमित स्थान पर, कुछ प्रकार के एक्स/क्यू के एल-एडिक कोहोमोलॉजी पर कार्य करने वाले फ्रोबेनियस एंडोमोर्फिज्म का निर्धारक शामिल होता है, जबकि असीम स्थान के लिए यूलर कारक, सेर के अनुसार, एक्स/क्यू से जुड़ी हॉज संरचनाओं के आधार पर गामा कार्यों के उत्पाद होते हैं। इन γ-कारकों को शब्दों में व्यक्त किया जाता है। उदाहरण के लिए, रीमान जीटा-फलन के यूलर कारकों के लिए यह एक समान विवरण पढ़ता है यहाँ पी या तो एक अभाज्य संख्या या अनंत है, जो क्रमशः गैर-आर्किमिडियन यूलर कारकों और आर्किमिडियन यूलर कारक के अनुरूप है, और आरपी एक अभाज्य संख्या पी के लिए आर/लॉग (पी) जेड पर परिमित वास्तविक मूल्यवान फूरियर श्रृंखला का स्थान है, और आर ≤ = आर [एक्सप (−2y)]। अंत में, इस तरह के कार्यों को स्थानांतरित करके दी गई आर-क्रिया का व्युत्पन्न है। डेनिंगर (1994) ने भी ε-कारकों के लिए एक समान एकीकरण दृष्टिकोण का प्रदर्शन किया (जो s और 1−s पर पूर्ण L-कार्यों के बीच अनुपात को व्यक्त करते हैं)। अंकगणितीय साइट इन परिणामों ने डेनिंगर को एक "अंकगणितीय साइट" Y के अस्तित्व से संबंधित एक कार्यक्रम का प्रस्ताव देने के लिए प्रेरित किया जो Spec Z के संकुचन से जुड़ा हुआ है। अन्य गुणों के अलावा, यह स्थल आर की क्रिया से सुसज्जित होगा, और प्रत्येक अभाज्य संख्या पी लंबाई लॉग (पी) की आर-क्रिया की एक बंद कक्षा के अनुरूप होगी। इसके अलावा, विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत में सूत्रों और पर्णित स्थानों पर गतिशीलता के बीच समानताओं ने डेनिंगर को इस साइट पर एक फोलिएशन के अस्तित्व का अनुमान लगाने के लिए प्रेरित किया। इसके अलावा, इस स्थल को एक अनंत-आयामी समरूपता सिद्धांत से संपन्न माना जाता है कि एक उद्देश्य M का L-फलन यहाँ M द्वारा दिया गया है, एक उद्देश्य है, जैसे कि बेइलिन्सन के अनुमान में होने वाले उद्देश्य hn (X), और F (M) को उद्देश्य M से जुड़े Y पर आवरण के रूप में माना जाता है। रीमान परिकल्पना, इस कार्यक्रम के अनुसार, हॉज सिद्धांत में प्रतिच्छेदन जोड़ी की सकारात्मकता के समानांतर गुणों का एक परिणाम होगा। इस साइट पर लेफशेट्ज़ ट्रेस सूत्र का एक संस्करण, जो इस अनुमानात्मक सेटअप का हिस्सा होगा, डेनिंगर (1993) द्वारा अन्य तरीकों से साबित किया गया है। 2010 में, डेनिंगर ने साबित किया कि बीजगणितीय चक्रों के प्रतिच्छेदन सिद्धांत से संबंधित बेलिंसन और ब्लॉच के शास्त्रीय अनुमान उनके कार्यक्रम के आगे के परिणाम होंगे। इस कार्यक्रम का सर्वेक्षण डेनिंगर द्वारा 1992 में यूरोपीय गणित कांग्रेस में, 1998 में अंतर्राष्ट्रीय गणित कांग्रेस में और उनके द्वारा भी किया गया था। 2002 में, डेनिंगर ने एक पर्णित स्थान का निर्माण किया जो एक सीमित क्षेत्र पर एक दीर्घवृत्ताकार वक्र से मेल खाता है, और दिखाया कि एफ. पी. पर एक चिकनी उचित विविधता के हैस्से-वेइल जीटा-फ़ंक्शन को टोपोलॉजिकल होचस्चिल्ड समरूपता से जुड़े नियमित निर्धारकों का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है। इसके अलावा, अंकगणितीय टोपोलॉजी में गांठों और अभाज्य संख्याओं के बीच समानता का सार्थक अध्ययन किया गया है। हालाँकि, 2018 तक, स्पेक जेड के अनुरूप एक पर्णित स्थान का निर्माण मायावी बना हुआ है। पी-एडिक वक्रों पर वेक्टर बंडल्स एनेट वर्नर के साथ संयुक्त पत्रों की एक श्रृंखला पी-एडिक वक्रों पर वेक्टर बंडलों की जांच करती है। इस अध्ययन को प्रेरित करने वाला एक शास्त्रीय परिणाम नरसिम्हन-शेषाद्रि प्रमेय है, जो सिम्पसन पत्राचार की आधारशिला है। यह दावा करता है कि एक कॉम्पैक्ट रीमान सतह X पर एक वेक्टर बंडल स्थिर है यदि यह मौलिक समूह π1 (X) के एकात्मक प्रतिनिधित्व से उत्पन्न होता है। डेनिंगर एंड वर्नर (2005) में इसके एक पी-एडिक एनालॉग की स्थापना की गईः सी. पी. पर एक चिकनी प्रोजेक्टिव बीजगणितीय वक्र के लिए, आधार परिवर्तन द्वारा प्राप्त, उन्होंने कुछ वेक्टर बंडलों पर तंतुओं पर एटेल मौलिक समूह π1 (X) की एक क्रिया का निर्माण किया, जिसमें डिग्री 0 और संभावित रूप से जोरदार अर्धस्थायी कमी शामिल है। 2005 के एक अन्य पेपर में, उन्होंने वक्र X के मौलिक समूह के परिणामी अभ्यावेदन को X की जैकोबियन किस्म के टेट मॉड्यूल के अभ्यावेदन के साथ संबंधित किया। 2007 और 2010 में उन्होंने यह दिखाकर इस काम को जारी रखा कि इस तरह के वेक्टर बंडल एक तनाकियन श्रेणी बनाते हैं जो एक निश्चित समूह के प्रतिनिधित्व की श्रेणी के रूप में वेक्टर बंडलों के इस वर्ग की पहचान करने के बराबर है। पर्णसमूह और हाइजेनबर्ग समूह कई संयुक्त पत्रों में, डेनिंगर और विल्हेम सिंघॉफ ने विभिन्न दृष्टिकोणों से पूर्णांक-मूल्य वाले मैट्रिक्स, एक्स = एच/जात से युक्त मानक जाली द्वारा एन-आयामी हाइजेनबर्ग समूह एच के उद्धरणों का अध्ययन किया। 1984 में, उन्होंने ζ (−n) के संदर्भ में X के ई-अपरिवर्तनीय की गणना की, जो मनमाने ढंग से बड़े क्रम के क्षेत्रों के स्थिर समस्थानिक समूहों में तत्वों के निर्माण की ओर ले जाता है। 1988 में, उन्होंने निलपोटेन्ट लाइ अल्जेब्रा के कोहोमोलॉजी के आयाम पर अनुमान देने के लिए विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत के तरीकों का उपयोग किया। हॉज सिद्धांत से शास्त्रीय तथ्य कि एक कहलर मैनिफोल्ड पर कोई भी समरूपता वर्ग स्वीकार करता है कि एक अद्वितीय हार्मोनिक को रीमानियन पर्णसमूह द्वारा सामान्यीकृत किया गया था। डेनिंगर और सिंघॉफ (2001) से पता चलता है कि उपरोक्त स्थान X पर पत्ते, जो केवल थोड़ी कमजोर स्थितियों को संतुष्ट करते हैं, ऐसे हॉज सैद्धांतिक गुणों को स्वीकार नहीं करते हैं। 2001 के एक अन्य संयुक्त पेपर में, उन्होंने एक गतिशील लेफशेट्ज़ ट्रेस सूत्र की स्थापना कीः यह बंद कक्षाओं में दिखाई देने वाले स्थानीय निशान (आर-एक्शन के साथ कुछ पर्णित स्थानों पर) हार्मोनिक रूपों पर एक ऑपरेटर के निशान से संबंधित है। यह परिणाम ऊपर उल्लिखित डेनिंगर के कार्यक्रम की पुष्टि के रूप में इस अर्थ में कार्य करता है कि यह विश्लेषणात्मक पक्ष पर इस कार्यक्रम द्वारा की गई भविष्यवाणी की पुष्टि करता है, अर्थात, पर्णित स्थानों पर गतिशीलता से संबंधित। एन्ट्रापी और माहलर मापते हैं डेनिंगर के पत्रों का एक अन्य समूह उस स्थान के चारों ओर घूमता है जहाँ κ एक असतत समूह है, f इसके समूह वलय Zκu का एक तत्व है, और टोपी पोंट्रियागिन दोहरे को दर्शाती है। इसके अलावा, यह ज्ञात था कि कुछ बहुपदों के माहलर माप को कुछ एल-कार्यों के विशेष मूल्यों के संदर्भ में व्यक्त करने योग्य माना जाता था। 1997 में, डेनिंगर ने देखा कि माहलर माप की परिभाषा में समाकलन में डिलिग्ने कोहोमोलॉजी के संदर्भ में एक प्राकृतिक व्याख्या है। बेइलिन्सन अनुमान के ज्ञात मामलों का उपयोग करते हुए, उन्होंने निष्कर्ष निकाला कि एम (एफ) बेइलिन्सन नियामक के तहत प्रतीक {एफ, टी1,., टीएन} की छवि है, जहां विविधता एफ के शून्य सेट के एन-आयामी टोरस में पूरक है। और डेनिंगर ने बाद में 2009 में इन विचारों को पी-एडिक दुनिया में ले जाया, एक नियामक मानचित्र द्वारा सिंटोमिक कोहोमोलॉजी के लिए बेलीनसन नियामक मानचित्र को डेलीग्ने कोहोमोलॉजी में बदलकर, और एक पी-एडिक लघुगणक द्वारा एन्ट्रापी की परिभाषा में दिखाई देने वाले लघुगणक। 2006 और 2007 में, डेनिंगर और क्लाउस श्मिट ने एन्ट्रापी और माहलर उपायों के बीच समानांतर को अबेलियन समूहों से परे धकेल दिया, अर्थात् अवशिष्ट रूप से सीमित, गणना योग्य असतत उत्तरदायी समूह। उन्होंने दिखाया कि Xf पर γ-क्रिया तभी विस्तृत होती है जब γ के L1-कन्वोलुशन बीजगणित में f व्युत्क्रमणीय हो। इसके अलावा, वॉन न्यूमैन बीजगणित (जो Zn के लिए माहलर माप को प्रतिस्थापित करता है) से जुड़े वॉन न्यूमैन बीजगणित पर फुग्लेडे-कैडिसन निर्धारक का लघुगणक उपरोक्त क्रिया की एन्ट्रापी से सहमत है। विट वैक्टर जोआचिम कुंट्ज़ और डेनिंगर ने विट वैक्टर पर एक साथ काम किया। 2014 के आसपास दो शोध पत्रों में, उन्होंने मोनॉइड बीजगणित जेडआर के पूरा होने के संदर्भ में विट वैक्टर के वलय की प्रस्तुति देकर सिद्धांत को सरल बनाया। यह दृष्टिकोण विट वैक्टर के जोड़ की शास्त्रीय परिभाषा में उपयोग किए जाने वाले सार्वभौमिक बहुपदों से बचाता है। चयनित ग्रंथ सूची आर्टिन-वर्डियर द्वैत एल-कार्य और बेइलिन्सन का अनुमान पी-एडिक वेक्टर बंडल हाइजेनबर्ग समूह, लाइ अल्जेब्रा और पर्णसमूह एन्ट्रापी विट वैक्टर संदर्भ बाहरी लिंक वेबसाइट यूनिवर्सिटी ऑफ मुंस्टर 1958 में जीवित लोग 20 वीं शताब्दी के जर्मन गणितशास्त्री 21 वीं शताब्दी के जर्मन गणितविदों के मुंस्टर विश्वविद्यालय के अकादमिक कर्मचारी