Infinity Laplacian
गणित में, अनंत लाप्लास (या-लाप्लास) प्रचालक एक द्वितीय क्रम का आंशिक विभेदक प्रचालक है, जिसे आमतौर पर संक्षिप्त किया जाता है। पहला संस्करण एकलता से बचाता है जो तब होती है जब ढाल गायब हो जाती है, जबकि दूसरा संस्करण ढाल में शून्य क्रम का सजातीय होता है। मौखिक रूप से, दूसरा संस्करण ढाल की दिशा में दूसरा व्युत्पन्न है। अनन्त लाप्लास समीकरण के मामले में, दोनों परिभाषाएँ समतुल्य हैं। जबकि समीकरण में दूसरे व्युत्पन्न शामिल होते हैं, आमतौर पर (सामान्यीकृत) समाधान दो बार अवकलनीय नहीं होते हैं, जैसा कि प्रसिद्ध एरोनसन समाधान से पता चलता है। इस कारण से समाधान की सही धारणा चिपचिपाहट समाधान द्वारा दी गई है। समीकरण के चिपचिपापन समाधान को अनंत हार्मोनिक कार्यों के रूप में भी जाना जाता है। यह शब्दावली इस तथ्य से उत्पन्न होती है कि अनंत लाप्लास प्रचालक पहली बार निरपेक्ष न्यूनतम के अध्ययन में उत्पन्न हुआ, और इसे एक निश्चित अर्थ में पी-लाप्लेशियन की सीमा के रूप में देखा जा सकता है। हाल ही में, अनंत लाप्लास समीकरण के चिपचिपाहट समाधानों की पहचान यादृच्छिक रस्साकशी खेलों से भुगतान कार्यों के साथ की गई है। खेल सिद्धांत के दृष्टिकोण ने आंशिक विभेदक समीकरण की समझ में काफी सुधार किया है। विविक्त संस्करण और खेल सिद्धांत सामान्य-हार्मोनिक कार्यों का एक परिभाषित गुण औसत मूल्य गुण है। इसका एक प्राकृतिक और महत्वपूर्ण असतत संस्करण हैः एक परिमित या अनंत ग्राफ पर एक वास्तविक-मूल्यवान फलन एक उपसमुच्चय पर असतत हार्मोनिक है यदि सभी के लिए। इसी तरह, ढाल की दिशा में गायब होने वाले दूसरे व्युत्पन्न का एक प्राकृतिक असतत संस्करण हैः इस समीकरण में, हमने अधिकतम और न्यूनतम के बजाय सुपर और इन्फ का उपयोग किया क्योंकि ग्राफ को स्थानीय रूप से सीमित नहीं होना चाहिए (यानी, सीमित डिग्री रखने के लिए): एक प्रमुख उदाहरण यह है कि किसी क्षेत्र में बिंदुओं का सेट कब है, और यदि उनकी यूक्लिडियन दूरी अधिक से अधिक है। इस उदाहरण का महत्व निम्नलिखित में निहित है। चिकनी सीमा के साथ एक बाउंडेड ओपन सेट और एक निरंतर कार्य पर विचार करें। - मामले में, f से D के हार्मोनिक विस्तार का एक अनुमान छोटे जाल आकार के साथ एक जाली लेकर, 2d से कम डिग्री वाले शीर्षों के समूह को एक प्राकृतिक सन्निकटन लेते हुए, और फिर V के अद्वितीय असतत हार्मोनिक विस्तार को लेते हुए दिया जाता है। हालांकि, उदाहरणों से यह देखना आसान है कि यह-मामले के लिए काम नहीं करता है। इसके बजाय, जैसा कि यह पता चला है, किसी को ऊपर उल्लिखित लंबाई के सभी किनारों के साथ निरंतरता ग्राफ लेना चाहिए। अब, फ्रॉम टू के-हार्मोनिक विस्तार को देखने का एक संभावित तरीका यह है कि, सरल यादृच्छिक चलना कहाँ से शुरू होता है, और यह हिट करने का समय है। - केस के लिए, हमें गेम थ्योरी की आवश्यकता है। एक टोकन स्थान पर शुरू किया जाता है, और दिया जाता है। दो खिलाड़ी होते हैं, प्रत्येक मोड़ में वे एक उचित सिक्का पलटते हैं, और विजेता वर्तमान स्थान के किसी भी पड़ोसी को टोकन स्थानांतरित कर सकता है। खेल तब समाप्त होता है जब टोकन किसी समय और स्थान पर पहुंच जाता है, जिस बिंदु पर पहले खिलाड़ी को दूसरे खिलाड़ी से राशि मिलती है। इसलिए, पहला खिलाड़ी अधिकतम करना चाहता है, जबकि दूसरा खिलाड़ी इसे कम करना चाहता है। यदि दोनों खिलाड़ी इष्टतम रूप से खेलते हैं (जिसका खेल सिद्धांत में एक अच्छी तरह से परिभाषित अर्थ है), तो पहले खिलाड़ी को अपेक्षित भुगतान एक असतत अनंत हार्मोनिक कार्य है, जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है। पी-लैप्लेशियन के लिए एक खेल सिद्धांत दृष्टिकोण भी है, जो सरल यादृच्छिक चलने और उपरोक्त यादृच्छिक रस्साकशी खेल के बीच प्रक्षेपित होता है। स्रोत हैं। विभेदक प्रचालक अण्डाकार आंशिक विभेदक समीकरण