Orthogonal polynomials
गणित में, एक ऑर्थोगोनल बहुपद अनुक्रम बहुपदों का एक परिवार है जैसे कि अनुक्रम में कोई भी दो अलग-अलग बहुपद किसी आंतरिक उत्पाद के तहत एक दूसरे के लिए ऑर्थोगोनल होते हैं। सबसे व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले ऑर्थोगोनल बहुपद शास्त्रीय ऑर्थोगोनल बहुपद हैं, जिनमें हर्माइट बहुपद, लैगुएरे बहुपद और जैकोबी बहुपद शामिल हैं। गेगेनबॉयर बहुपद जैकोबी बहुपदों का सबसे महत्वपूर्ण वर्ग बनाते हैं; उनमें चेबीशेव बहुपद और विशेष मामलों के रूप में लीजेंड्रे बहुपद शामिल हैं। ऑर्थोगोनल बहुपदों का क्षेत्र 19वीं शताब्दी के अंत में पी. एल. चेबिशेव द्वारा निरंतर अंशों के अध्ययन से विकसित हुआ और ए. ए. मार्कोव और टी. जे. स्टील्टजेस। वे विभिन्न प्रकार के क्षेत्रों में दिखाई देते हैंः संख्यात्मक विश्लेषण (चतुर्भुज नियम), संभाव्यता सिद्धांत, प्रतिनिधित्व सिद्धांत (लाइ समूहों, क्वांटम समूहों और संबंधित वस्तुओं का), गणनात्मक संयोजन, बीजगणितीय संयोजन, गणितीय भौतिकी (यादृच्छिक मैट्रिक्स का सिद्धांत, समाकलनीय प्रणालियाँ, आदि)। ), और संख्या सिद्धांत। ऑर्थोगोनल बहुपदों पर काम करने वाले कुछ गणितविदों में गैबर सेगो, सर्गेई बर्नस्टीन, नौम अखीज़र, आर्थर एर्डेली, यकोव जेरोनिमस, वोल्फगैंग हैन, थियोडोर सेइओ चिहारा, मुराद इस्माइल, वलीद अल-सलाम, रिचर्ड अस्की और रेहुएल लोबेटो शामिल हैं। एक वास्तविक माप के लिए 1-चर मामले के लिए परिभाषा वास्तविक संख्याओं पर किसी भी गैर-घटते फलन को देखते हुए, हम एक फलन f के लेबेस्ग्यू-स्टील्टजेस समाकलन को परिभाषित कर सकते हैं। यदि यह समाकलन सभी बहुपदों f के लिए परिमित है, तो हम एक आंतरिक उत्पाद को बहुपदों f और g के जोड़े पर परिभाषित कर सकते हैं। यह क्रिया सभी बहुपदों के सदिश स्थान पर एक सकारात्मक अर्ध-निश्चित आंतरिक उत्पाद है, और सकारात्मक निश्चित है यदि फलन α में वृद्धि के अनंत बिंदु हैं। यह सामान्य तरीके से ऑर्थोगोनलिटी की धारणा को प्रेरित करता है, अर्थात् कि दो बहुपद ऑर्थोगोनल हैं यदि उनका आंतरिक उत्पाद शून्य है। फिर ऑर्थोगोनल बहुपदों के अनुक्रम को संबंधों द्वारा परिभाषित किया जाता है दूसरे शब्दों में, अनुक्रम इस आंतरिक उत्पाद के संबंध में ग्राम-श्मिट प्रक्रिया द्वारा मोनोमियल्स 1, x, x2 के अनुक्रम से प्राप्त किया जाता है। आम तौर पर अनुक्रम को ऑर्थोनॉर्मल होना आवश्यक है, हालांकि, कभी-कभी अन्य सामान्यीकरणों का उपयोग किया जाता है। बिल्कुल निरंतर मामला कभी-कभी हमारे पास वास्तविक रेखा में कुछ अंतराल पर समर्थन के साथ एक गैर-नकारात्मक कार्य होता है (जहां और अनुमति दी जाती है)। इस तरह के ए को वेट फंक्शन कहा जाता है। हालाँकि, ऑर्थोगोनल बहुपदों के कई उदाहरण हैं जहाँ माप में गैर-शून्य माप के साथ बिंदु होते हैं जहाँ फलन असंतत होता है, इसलिए ऊपर दिए गए भार फलन द्वारा नहीं दिया जा सकता है। ऑर्थोगोनल बहुपदों के उदाहरण सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले ऑर्थोगोनल बहुपद एक वास्तविक अंतराल में समर्थन के साथ एक माप के लिए ऑर्थोगोनल होते हैं। इसमें शामिल हैंः शास्त्रीय ऑर्थोगोनल बहुपद (जैकोबी बहुपद, लैगुएरे बहुपद, हर्माइट बहुपद, और उनके विशेष मामले गेजेनबॉयर बहुपद, चेबीशेव बहुपद और लीजेंड्रे बहुपद)। विल्सन बहुपद, जो जैकोबी बहुपदों को सामान्यीकृत करते हैं। इनमें कई ऑर्थोगोनल बहुपदों को विशेष मामलों के रूप में शामिल किया गया है, जैसे कि मैक्सनर-पोलेक्ज़ेक बहुपद, निरंतर हैन बहुपद, निरंतर दोहरे हैन बहुपद और शास्त्रीय बहुपद, जिन्हें एसकी योजना द्वारा वर्णित किया गया है। असतत ऑर्थोगोनल बहुपद कुछ असतत माप के संबंध में ऑर्थोगोनल होते हैं। कभी-कभी माप का सीमित समर्थन होता है, इस मामले में ऑर्थोगोनल बहुपदों का परिवार एक अनंत अनुक्रम के बजाय सीमित होता है। राका बहुपद असतत ऑर्थोगोनल बहुपदों के उदाहरण हैं, और विशेष मामलों के रूप में हैन बहुपदों और दोहरे हैन बहुपदों को शामिल करते हैं, जो बदले में विशेष मामलों के रूप में मैक्सनर बहुपदों, क्राउटचौक बहुपदों और चार्लियर बहुपदों को शामिल करते हैं। मैक्सनर ने सभी ऑर्थोगोनल शेफर अनुक्रमों को वर्गीकृत कियाः केवल हर्माइट, लैगुएरे, चार्लियर, मैक्सनर और मैक्सनर-पोलाक्जेक हैं। कुछ अर्थों में क्राउटचौक को भी इस सूची में होना चाहिए, लेकिन वे एक सीमित अनुक्रम हैं। ये छह परिवार एन. ई. एफ.-क्यू. वी. एफ. के अनुरूप हैं और कुछ लेवी प्रक्रियाओं के लिए मार्टिंगेल बहुपद हैं। सीवड ऑर्थोगोनल बहुपदों, जैसे कि सीवड अल्ट्रास्पेरिकल बहुपदों, सीवड जैकोबी बहुपदों और सीवड पोलैकजेक बहुपदों में पुनरावृत्ति संबंधों को संशोधित किया गया है। जटिल तल में कुछ वक्र के लिए ऑर्थोगोनल बहुपदों पर भी विचार किया जा सकता है। सबसे महत्वपूर्ण मामला (वास्तविक अंतरालों के अलावा) तब होता है जब वक्र इकाई वृत्त होता है, जो इकाई वृत्त पर ऑर्थोगोनल बहुपद देता है, जैसे कि रोजर्स-सेगो बहुपद। ऑर्थोगोनल बहुपदों के कुछ परिवार हैं जो त्रिभुज या डिस्क जैसे समतल क्षेत्रों पर ऑर्थोगोनल हैं। इन्हें कभी-कभी जैकोबी बहुपदों के संदर्भ में लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, ज़र्निक बहुपद इकाई डिस्क पर ऑर्थोगोनल होते हैं। हर्माइट बहुपदों के विभिन्न क्रमों के बीच ऑर्थोगोनलिटी का लाभ सामान्यीकृत आवृत्ति विभाजन मल्टीप्लेक्सिंग (जी. एफ. डी. एम.) संरचना पर लागू होता है। समय-आवृत्ति जाली के प्रत्येक ग्रिड में एक से अधिक प्रतीक ले जाया जा सकता है। वास्तविक रेखा पर गैर-ऋणात्मक माप द्वारा परिभाषित एक चर के ऑर्थोगोनल बहुपदों के गुणों में निम्नलिखित गुण होते हैं। क्षणों से संबंध ऑर्थोगोनल बहुपदों Pn को निम्नलिखित क्षणों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता हैः जहां स्थिरांक cn मनमाने हैं (Pn के सामान्यीकरण पर निर्भर करता है)। यह सीधे एकाक्षरों पर ग्राम-श्मिट प्रक्रिया को लागू करने से आता है, जिसमें प्रत्येक बहुपद को पिछले वाले के संबंध में ऑर्थोगोनल माना जाता है। उदाहरण के लिए, निर्धारित के साथ ऑर्थोगोनलिटी जिसमें वह रूप होना चाहिए जो निर्धारक के साथ पहले दी गई अभिव्यक्ति के अनुरूप देखा जा सकता है। पुनरावृत्ति संबंध बहुपद पी. एन. उस रूप के पुनरावृत्ति संबंध को संतुष्ट करता है जहाँ ए. एन. 0 नहीं है। इसके विपरीत भी सच है; फेवर्ड की प्रमेय देखें। क्रिस्टोफेल-डार्बौक्स सूत्र शून्य यदि माप dα एक अंतराल [a, b] पर समर्थित है, तो Pn के सभी शून्य [a, b] में स्थित हैं। इसके अलावा, शून्यों में निम्नलिखित अंतर्वेशन गुण हैंः यदि m <n है, तो Pm के किसी भी दो शून्यों के बीच Pn का शून्य होता है। शून्यों की इलेक्ट्रोस्टैटिक व्याख्या दी जा सकती है। 1980 के दशक से, एक्स. जी. वियनोट, जे. लेबल, वाई. एन. ये, डी. फोआटा और अन्य के काम के साथ, सभी शास्त्रीय ऑर्थोगोनल बहुपदों के लिए संयुक्त व्याख्याएँ पाई गईं। अन्य प्रकार के ऑर्थोगोनल बहुपद बहुभिन्नरूपी ऑर्थोगोनल बहुपद मैकडोनाल्ड बहुपद कई चर में ऑर्थोगोनल बहुपद होते हैं, जो एक एफ़ाइन रूट प्रणाली के चयन पर निर्भर करता है। इनमें जैक बहुपदों, हॉल-लिटिलवुड बहुपदों, हेकमैन-ऑप्डम बहुपदों और कूर्नविंदर बहुपदों सहित विशेष मामलों के रूप में बहुभिन्नरूपी ऑर्थोगोनल बहुपदों के कई अन्य परिवार शामिल हैं। अस्की-विल्सन बहुपद श्रेणी 1 की एक निश्चित गैर-कम मूल प्रणाली के लिए मैकडोनाल्ड बहुपदों का विशेष मामला है। एकाधिक ऑर्थोगोनल बहुपद एक चर में बहुपद हैं जो मापों के एक सीमित परिवार के संबंध में ऑर्थोगोनल हैं। सोबोलेव ऑर्थोगोनल बहुपद ये सोबोलेव आंतरिक उत्पाद के संबंध में ऑर्थोगोनल बहुपद हैं, अर्थात। व्युत्पन्न के साथ एक आंतरिक उत्पाद। व्युत्पन्नों को शामिल करने से बहुपदों के लिए बड़े परिणाम होते हैं, सामान्य रूप से वे अब शास्त्रीय ऑर्थोगोनल बहुपदों की कुछ अच्छी विशेषताओं को साझा नहीं करते हैं। मैट्रिक्स के साथ ऑर्थोगोनल बहुपदों में या तो गुणांक होते हैं जो मैट्रिक्स होते हैं या अनिश्चित एक मैट्रिक्स होता है। एपेल अनुक्रम भी देखें हाइपरजियोमेट्रिक ऑर्थोगोनल बहुपदों की कुंजी योजना फेवर्ड की प्रमेय बहुपद अनुक्रम द्विपद प्रकार के बायॉर्थोगोनल बहुपद सामान्यीकृत फूरियर श्रृंखला माध्यमिक माप शेफर अनुक्रम स्टर्म-लिउविल सिद्धांत उम्ब्रल कैलकुलस प्लानचेरेल-रोटाच एसिम्प्टोटिक्स संदर्भ सी. चान, ए. मिरोनोव, ए. मोरोज़ोव, ए. स्लेप्टसोव,। प्रमाण वाले लेख