Minimal coupling
विश्लेषणात्मक यांत्रिकी और क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में, न्यूनतम युग्मन उन क्षेत्रों के बीच एक युग्मन को संदर्भित करता है जिसमें केवल आवेश वितरण शामिल होता है न कि आवेश वितरण के उच्च बहुध्रुवीय क्षण। यह न्यूनतम युग्मन, उदाहरण के लिए, पाउली युग्मन के विपरीत है, जिसमें सीधे लैग्रैन्जियन में एक इलेक्ट्रॉन का चुंबकीय क्षण शामिल है। इलेक्ट्रोडायनामिक्स इलेक्ट्रोडायनामिक्स में, सभी विद्युत चुम्बकीय अंतःक्रियाओं के लिए न्यूनतम युग्मन पर्याप्त है। कणों के उच्च क्षण न्यूनतम युग्मन और गैर-शून्य स्पिन के परिणाम हैं। एक विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र में गैर-सापेक्ष आवेशित कण कार्टेशियन निर्देशांक में, एक विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र में एक गैर-सापेक्ष शास्त्रीय कण का लैग्रैन्जियन (एस. आई. इकाइयों में) हैः जहां कण का विद्युत आवेश है, विद्युत स्केलर क्षमता है, और चुंबकीय सदिश क्षमता के घटक हैं जो सभी स्पष्ट रूप से और पर निर्भर कर सकते हैं। यह लैग्रैन्जियन, यूलर-लैग्रैन्ज समीकरण के साथ मिलकर, लॉरेंट्ज़ बल नियम उत्पन्न करता है और इसे न्यूनतम युग्मन कहा जाता है। ध्यान दें कि एक गेज परिवर्तन के दौरान अदिश विभव और सदिश विभव के मान बदल जाएंगे, और लग्रांजियन स्वयं अतिरिक्त शब्दों को भी उठाएगा, लेकिन लग्रांजियन में अतिरिक्त शब्द एक अदिश फलन के कुल समय व्युत्पन्न तक जोड़ते हैं, और इसलिए अभी भी एक ही यूलर-लग्रांज समीकरण का उत्पादन करते हैं। कैनोनिकल मोमेंटा नोट द्वारा दिए गए हैं कि कैनोनिकल मोमेंटा गेज अपरिवर्तनीय नहीं हैं, और भौतिक रूप से मापने योग्य नहीं हैं। हालांकि, गतिज मोमेंटा गेज अपरिवर्तनीय और भौतिक रूप से मापने योग्य हैं। हैमिल्टनियन, लैग्रैन्जियन के लीजेंड्रे परिवर्तन के रूप में, इसलिए इस समीकरण का उपयोग क्वांटम यांत्रिकी में अक्सर किया जाता है। एक गेज परिवर्तन के तहत, जहां f (r, t) स्थान और समय का कोई भी अदिश फलन है, उपरोक्त लैग्रैन्जियन, कैनॉनिकल मोमेंटा और हैमिल्टनियन परिवर्तन जो अभी भी उसी हैमिल्टन के समीकरण का उत्पादन करते हैंः क्वांटम यांत्रिकी में, तरंग फलन भी गेज परिवर्तन के दौरान एक स्थानीय U (1) समूह परिवर्तन से गुजरेगा, जिसका अर्थ है कि सभी भौतिक परिणाम स्थानीय U (1) परिवर्तनों के तहत अपरिवर्तनीय होने चाहिए। एक विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र में सापेक्ष आवेशित कण एक कण (शेष द्रव्यमान और आवेश) के लिए सापेक्ष लैग्रैन्जियन इस प्रकार दिया जाता हैः इस प्रकार कण की विहित गति है, जो गतिज गति और स्थितिज गति का योग है। उपरोक्त व्युत्पत्ति सदिश कलन पहचान का उपयोग करती हैः सापेक्ष (गतिज) संवेग के फलन के रूप में हैमिल्टनियन के लिए एक समतुल्य अभिव्यक्ति है, यह इसका लाभ है कि गतिज संवेग को प्रयोगात्मक रूप से मापा जा सकता है जबकि विहित संवेग नहीं। ध्यान दें कि हैमिल्टनियन (कुल ऊर्जा) को सापेक्ष ऊर्जा (गतिज + विश्राम), और स्थितिज ऊर्जा के योग के रूप में देखा जा सकता है। मुद्रास्फीति ब्रह्मांड संबंधी मुद्रास्फीति के अध्ययन में, एक अदिश क्षेत्र का न्यूनतम युग्मन आमतौर पर गुरुत्वाकर्षण के लिए न्यूनतम युग्मन को संदर्भित करता है। इसका मतलब है कि इन्फ़्लैटन क्षेत्र के लिए क्रिया स्केलर वक्रता के साथ युग्मित नहीं है। गुरुत्वाकर्षण के लिए इसका एकमात्र युग्मन मीट्रिक (प्लैंक इकाइयों में) से निर्मित लॉरेंट्ज़ अपरिवर्तनीय माप के लिए युग्मन हैः जहाँ, और गेज सहपरिवर्तन व्युत्पन्न का उपयोग करना। संदर्भ गेज सिद्धांत हैमिल्टनियन यांत्रिकी लैग्रैन्जियन यांत्रिकी