Sphere–cylinder intersection
वास्तविक त्रि-आयामी स्थान के लिए विश्लेषणात्मक ज्यामिति के सिद्धांत में, एक गोले और एक सिलेंडर के बीच प्रतिच्छेदन से बना वक्र एक वृत्त, एक बिंदु, खाली सेट या एक विशेष प्रकार का वक्र हो सकता है। इस स्थिति के विश्लेषण के लिए, मान लें (सामान्यता के नुकसान के बिना) कि सिलेंडर का अक्ष z-अक्ष के साथ मेल खाता है; सिलेंडर पर बिंदु (त्रिज्या के साथ) संतुष्ट करते हैं। इसके बिंदु संतुष्ट करते हैं प्रतिच्छेदन दोनों समीकरणों को संतुष्ट करने वाले बिंदुओं का संग्रह है। तुच्छ मामले क्षेत्र पूरी तरह से सिलेंडर के भीतर स्थित है यदि, क्षेत्र पूरी तरह से सिलेंडर के आंतरिक भाग में स्थित है। प्रतिच्छेदन खाली समुच्चय है। क्षेत्र एक बिंदु पर सिलेंडर को छूता है यदि क्षेत्र सिलेंडर () से छोटा है और, क्षेत्र एक बिंदु को छोड़कर सिलेंडर के आंतरिक भाग में स्थित है। प्रतिच्छेदन एकल बिंदु है। यदि गोले का केंद्र सिलेंडर के अक्ष पर स्थित है, तो क्षेत्र सिलेंडर अक्ष पर केंद्रित है। उस स्थिति में, प्रतिच्छेदन में त्रिज्या के दो वृत्त होते हैं। ये वृत्त समतल में स्थित हैं यदि, प्रतिच्छेदन समतल में एक एकल वृत्त है। गैर-तुच्छ मामलों में ऊपर दिए गए दो समीकरणों को घटाने से मिलता है क्योंकि यह एक द्विघात फलन है, xz-तल पर प्रतिच्छेदन का प्रक्षेपण एक ऑर्थोगोनल परवलय का खंड है; यह केवल इस तथ्य के कारण एक खंड है कि। पैराबोला का शीर्ष बिंदु पर स्थित है, जहां छेदन में दो बंद वक्र होते हैं यदि, स्थिति पैराबोला को दो खंडों में काटती है। इस मामले में, गोले और सिलेंडर के प्रतिच्छेदन में दो बंद वक्र होते हैं, जो एक दूसरे की दर्पण छवियां होती हैं। xy-तल में उनका प्रक्षेपण त्रिज्या के वृत्त हैं। प्रतिच्छेदन के प्रत्येक भाग को एक कोण द्वारा मानकीकृत किया जा सकता हैः वक्रों में निम्नलिखित चरम बिंदु होते हैंः प्रतिच्छेदन एक एकल बंद वक्र है यदि, गोले और सिलेंडर के प्रतिच्छेदन में एक एकल बंद वक्र होता है। इसे पिछले खंड के समान पैरामीटर समीकरण द्वारा वर्णित किया जा सकता है, लेकिन कोण को कहाँ तक सीमित किया जाना चाहिए। वक्र में निम्नलिखित चरम बिंदु होते हैंः सीमित मामले में, सिलेंडर और क्षेत्र बिंदु पर एक दूसरे के लिए स्पर्शरेखा हैं। प्रतिच्छेदन एक आकृति आठ जैसा दिखता हैः यह एक बंद वक्र है जो खुद को काटता है। उपरोक्त पैरामीटराइजेशन बन जाता है जहां अब दो पूर्ण क्रांतियों से गुजरता है। विशेष मामले में, प्रतिच्छेदन को विवियानी वक्र के रूप में जाना जाता है। इसका पैरामीटर प्रतिनिधित्व है दो निकायों के प्रतिच्छेदन का आयतन, जिसे कभी-कभी विवियानी का आयतन कहा जाता है, विवियानी की वक्र ज्यामिति भी देखें विश्लेषणात्मक ज्यामिति गोलाकार वक्र ज्यामितीय प्रतिच्छेदन