Falkner–Skan boundary layer
द्रव गतिकी में, फ़ॉकनर-स्कैन सीमा परत (वी. एम. फ़ॉकनर और सिल्विया डब्ल्यू. स्कैन के नाम पर) स्थिर द्वि-आयामी लैमिनार सीमा परत का वर्णन करती है जो एक वेज पर बनती है, अर्थात। वह प्रवाह जिसमें प्लेट प्रवाह के समानांतर नहीं होती है। यह प्लेट की लंबाई के साथ एक लगाए गए दबाव ढाल के साथ एक सपाट प्लेट पर प्रवाह का भी प्रतिनिधि है, एक ऐसी स्थिति जिसका अक्सर पवन सुरंग प्रवाह में सामना करना पड़ता है। यह सपाट प्लेट ब्लासियस सीमा परत का एक सामान्यीकरण है जिसमें प्लेट के साथ दबाव प्रवणता शून्य होती है। प्रांड्टल की सीमा परत समीकरण फ़ॉकनर-स्कान दृष्टिकोण का आधार प्रांड्टल सीमा परत समीकरण हैं। लुडविग प्रांड्टल ने प्रवाह को दो क्षेत्रों में विभाजित करके एक दीवार (वेज) के साथ बहने वाले तरल पदार्थ के लिए समीकरणों को सरल बनायाः एक चिपचिपाहट के प्रभुत्व वाली दीवार के करीब, और एक इस निकट-दीवार सीमा परत क्षेत्र के बाहर जहां चिपचिपाहट को समाधान पर महत्वपूर्ण प्रभाव के बिना उपेक्षित किया जा सकता है। इसका मतलब है कि नेवियर-स्टोक्स समीकरणों में लगभग आधे शब्द निकट-दीवार सीमा परत प्रवाह में नगण्य हैं (प्लेट के अग्रणी किनारे के पास एक छोटे से क्षेत्र को छोड़कर)। समीकरणों के इस कम किए गए समूह को प्रांड्टल सीमा परत समीकरण के रूप में जाना जाता है। स्थिर चिपचिपाहट और घनत्व के साथ स्थिर असंपीड़ित प्रवाह के लिए, ये पढ़ते हैंः द्रव्यमान निरंतरताः-गतिः-गतिः यहाँ निर्देशांक प्रणाली को प्रवाह की दिशा में प्लेट के समानांतर इंगित करने के साथ चुना जाता है और निर्देशांक मुक्त धारा की ओर इंगित करता है, और वेग घटक हैं, दबाव है, घनत्व है और गतिज चिपचिपाहट है। विभिन्न प्रकार के प्रवाह के लिए इन समीकरणों के कई समानता समाधान पाए गए हैं। फॉकनर और स्कैन ने 1930 में एक वेज के साथ लैमिनार प्रवाह के मामले के लिए समानता समाधान विकसित किया। समानता शब्द इस गुण को संदर्भित करता है कि प्रवाह में विभिन्न स्थितियों पर वेग प्रोफाइल सीमा परत की मोटाई में स्केलिंग कारकों और एक विशेषता सीमा परत वेग के अलावा समान दिखते हैं। ये स्केलिंग कारक आंशिक विभेदक समीकरणों को सामान्य विभेदक समीकरणों के अपेक्षाकृत आसानी से हल किए गए सेट में कम कर देते हैं। फॉकनर-स्कैन समीकरण-प्रथम क्रम सीमा परत फॉकनर और स्कैन ने कुछ समान वेग क्षेत्र से एक कोण के साथ एक वेज पर विचार करके ब्लासियस सीमा परत को सामान्यीकृत किया। फ़ॉकनर और स्कैन की पहली प्रमुख धारणा यह थी कि प्रांड्टल एक्स-मोमेंटम समीकरण में दबाव प्रवणता शब्द को उच्च रेनॉल्ड्स संख्या सीमा में बर्नौली समीकरण के विभेदक रूप से प्रतिस्थापित किया जा सकता है। इस प्रकारः यहाँ सीमा परत के किनारे पर का वेग है और बाहरी क्षेत्र में यूलर समीकरणों (द्रव गतिकी) का समाधान है। बर्नौली समीकरण प्रतिस्थापन करने के बाद, फ़ॉकनर और स्कैन ने बताया कि समानता समाधान तब प्राप्त होते हैं जब सीमा परत की मोटाई और वेग स्केलिंग कारकों को x के सरल शक्ति कार्य माना जाता है। अर्थात्, उन्होंने मान लिया कि वेग समानता स्केलिंग कारक इस प्रकार दिया गया हैः जहाँ वेज की लंबाई है और m एक आयामहीन स्थिरांक है। फॉकनर और स्कैन ने यह भी माना कि सीमा परत की मोटाई स्केलिंग कारक निम्न के लिए पोर्पोशनल हैः द्रव्यमान संरक्षण स्वचालित रूप से सुनिश्चित किया जाता है जब प्रांड्टल संवेग सीमा परत समीकरणों को एक धारा कार्य दृष्टिकोण का उपयोग करके हल किया जाता है। स्केलिंग कारकों के संदर्भ में, धारा फलन इस प्रकार दिया जाता हैः कहाँ और वेग इस प्रकार दिए जाते हैंः इसका अर्थ है गैर-आयामी प्रांड्टल एक्स-मोमेंटम समीकरण, धारा फलन आधारित वेगों के साथ समानता लंबाई और वेग स्केलिंग कारकों का उपयोग करके एक समीकरण में परिणाम देता है जिसे फ़ॉकनर-स्कैन समीकरण के रूप में जाना जाता है और इसके द्वारा दिया जाता हैः जहां प्रत्येक डैश के संबंध में विभेदन का प्रतिनिधित्व करता है (ध्यान दें कि एक अलग शामिल एक के साथ एक अन्य समकक्ष समीकरण का कभी-कभी उपयोग किया जाता है। यह f और इसके व्युत्पन्न को बदल देता है लेकिन अंततः उसी बैक-आउट और समाधान में परिणाम देता है)। इस समीकरण को सीमा शर्तों के साथ एक ODE के रूप में निश्चित रूप से हल किया जा सकता हैः वेज कोण, कुछ हेरफेर के बाद, इस प्रकार दिया जाता हैः मामला ब्लासियस सीमा परत समाधान से मेल खाता है। कब, समस्या हाइमेंज़ प्रवाह तक कम हो जाती है। यहाँ, m <0 एक प्रतिकूल दबाव प्रवणता (अक्सर सीमा परत पृथक्करण के परिणामस्वरूप) से मेल खाता है जबकि m> 0 एक अनुकूल दबाव प्रवणता का प्रतिनिधित्व करता है। 1937 में डगलस हार्ट्री ने दिखाया कि फ़ॉकनर-स्कान समीकरण के भौतिक समाधान केवल सीमा में मौजूद हैं। m के अधिक नकारात्मक मूल्यों के लिए, यानी, मजबूत प्रतिकूल दबाव प्रवणताओं के लिए, η = 0 पर सीमा शर्तों को संतुष्ट करने वाले सभी समाधानों का गुण है कि η के मूल्यों की एक श्रृंखला के लिए f (η)> 1 है। यह भौतिक रूप से अस्वीकार्य है क्योंकि इसका तात्पर्य है कि सीमा परत में वेग मुख्य प्रवाह की तुलना में अधिक है। अधिक विवरण विल्कोक्स (2007) में पाया जा सकता है। हाथ में f और उसके व्युत्पन्नों के समाधान के साथ, फ़ॉकनर और स्कैन वेग बन जाते हैंः और प्रांड्टल-संवेग समीकरण को-दबाव प्रवणता प्राप्त करने के लिए पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है,/, (यह = 1 और = 2m/(m + 1) मामले के लिए उपयुक्त सूत्र है) जहां विस्थापन मोटाई, फ़ॉकनर-स्कैन प्रोफ़ाइल के लिए इस प्रकार दी गई हैः और वेज पर कार्य करने वाले अपरूपण तनाव को संपीड़ित फ़ॉकनर-स्कैन सीमा परत द्वारा दिया जाता है यहाँ दीवार पर एक निर्दिष्ट विशिष्ट एन्थैल्पी के साथ फ़ॉकनर-स्कैन सीमा परत का अध्ययन किया जाता है। घनत्व, चिपचिपाहट और तापीय चालकता अब यहाँ स्थिर नहीं हैं। निम्न मैक संख्या सन्निकटन में, द्रव्यमान, संवेग और ऊर्जा के संरक्षण के लिए समीकरण बन जाता है जहां अनंत पर मूल्यांकन किए गए गुणों का प्रतिनिधित्व करने वाले प्रत्यय के साथ प्रांड्टल संख्या है। सीमा की शर्तें बन जाती हैं। असंपीड़ित सीमा परत के विपरीत, समानता समाधान केवल तभी मौजूद हो सकता है जब परिवर्तन बना रहे और यह केवल तभी संभव है जब। हावर्थ परिवर्तन हावर्थ-डोरोडनित्सिन परिवर्तन का उपयोग करके स्व-समान चर का परिचय समीकरणों को घटाकर हावर्थ-डोरोडनित्सिन परिवर्तन किया जाता है समीकरण को एक बार निर्दिष्ट होने पर हल किया जा सकता है। सीमा स्थितियाँ हैं हवा के लिए आमतौर पर उपयोग की जाने वाली अभिव्यक्तियाँ हैं। यदि स्थिर है, तो। ब्लासियस सीमा परत संदर्भ सीमा परत द्रव गतिकी भी देखें।