Unipotent representation
गणित में, एक अपवर्तक समूह का एक-शक्तिशाली प्रतिनिधित्व एक ऐसा प्रतिनिधित्व है जिसमें समूहों के एक-शक्तिशाली संयुग्मता वर्गों के साथ कुछ समानताएं हैं। अनौपचारिक रूप से, लैंगलैंड के दर्शन का सुझाव है कि लैंगलैंड के दोहरे समूह के एक अपवर्तक समूह और संयुग्म वर्गों के प्रतिनिधित्व के बीच एक पत्राचार होना चाहिए, और एक-शक्तिशाली प्रतिनिधित्व मोटे तौर पर दोहरे समूह में एक-शक्तिशाली वर्गों के अनुरूप होना चाहिए। एक-शक्ति प्रतिनिधित्व को बुनियादी "निर्माण खंड" माना जाता है जिसमें से कोई भी अन्य सभी प्रतिनिधित्वों का निर्माण निम्नलिखित अर्थों में कर सकता है। यूनिपोटेंट प्रतिनिधित्वों को प्रत्येक रिडक्टिव समूह के लिए इरेड्यूसिबल प्रतिनिधित्वों का एक छोटा (अधिमानतः सीमित) सेट बनाना चाहिए, जैसे कि सभी इरेड्यूसिबल प्रतिनिधित्वों को किसी प्रकार की व्यवस्थित प्रक्रिया, जैसे (कोहोमोलॉजिकल या पैराबोलिक) इंडक्शन द्वारा संभवतः छोटे समूहों के यूनिपोटेंट प्रतिनिधित्वों से प्राप्त किया जा सकता है। परिमित क्षेत्रों में, एक-शक्तिशाली प्रतिनिधित्व वे हैं जो एक टोरस टी के तुच्छ प्रतिनिधित्व 1 के डिलिग्ने-लुज़्टिग वर्ण आर के अपघटन में होते हैं। उन्हें वर्गीकृत किया गया था। परिमित क्षेत्रों पर एक-शक्तिशाली प्रतिनिधित्व के कुछ उदाहरण हैं तुच्छ 1-आयामी प्रतिनिधित्व, स्टाइनबर्ग प्रतिनिधित्व और θ10। गैर-आर्किमिडियन स्थानीय क्षेत्रों ने गैर-आर्किमिडियन स्थानीय क्षेत्रों पर एक-शक्तिशाली वर्णों को वर्गीकृत किया। आर्किमिडियन स्थानीय क्षेत्रों में वास्तविक झूठ समूहों के एक-शक्तिशाली प्रतिनिधित्व की कई अलग-अलग संभावित परिभाषाओं पर चर्चा की गई है। डिलिग्ने-लुज़्टिग सिद्धांत संदर्भ प्रतिनिधित्व सिद्धांत भी देखें।