Representation up to homotopy
होमोटॉपी तक के प्रतिनिधित्व के कई अर्थ हैं। सबसे पहले में से एक सीमित हैमिल्टनियन प्रणालियों के 'भौतिक' संदर्भ में दिखाई दिया। आवश्यक विचार भागफल के संकल्प पर मजबूत समरूपता तक एक प्रतिनिधित्व के लिए एक भागफल पर गैर-प्रतिनिधित्व को उठाना है। विभेदक ज्यामिति में एक अवधारणा के रूप में, यह लाइ बीजगणित से लाइ बीजगणितीय और गैर-तुच्छ वेक्टर बंडलों के प्रतिनिधित्व की धारणा को सामान्यीकृत करता है। इस प्रकार, इसे आबाद और क्रेनिक द्वारा पेश किया गया था। एक प्रेरणा के रूप में एक नियमित लाइ अल्जेब्रॉइड (ए, ρ, [.,]) पर विचार करें। (नियमित अर्थ है कि एंकर ρ की स्थिर श्रेणी है) जहाँ हमारे पास क्रमशः g (A) = ker ρ और ν (A) = TM/IM ρ पर दो प्राकृतिक A-कनेक्शन हैंः लाइ अल्जेब्रॉइड A के विरूपण सिद्धांत में एक लंबा सटीक अनुक्रम है यह बताता है कि विरूपण के लिए सही समरूपता (यहाँ Hdef के रूप में निरूपित) दो मॉड्यूल g (A) और ν (A) के प्रत्यक्ष योग से आती है और इसे संलग्न प्रतिनिधित्व कहा जाना चाहिए। हालाँकि ध्यान दें कि अधिक सामान्य मामले में जहाँ ρ में स्थिर श्रेणी नहीं है, हम आसानी से प्रतिनिधित्व g (A) और ν (A) को परिभाषित नहीं कर सकते हैं। इसके बजाय हमें 2-टर्म कॉम्प्लेक्स A → TM और उस पर एक प्रतिनिधित्व पर विचार करना चाहिए। यह यहाँ वर्णित धारणा की ओर ले जाता है। परिभाषा दें (ए, ρ, [.,]) एक चिकनी मैनिफोल्ड एम पर एक लाइ अल्जेब्रॉइड हो और मान लीजिए कि ω (ए) अपने लाइ अल्जेब्रॉइड कॉम्प्लेक्स को दर्शाता है। मान लीजिए कि E, M पर एक Z-श्रेणीकृत वेक्टर बंडल है और ω (A, E) = ω (A) (E), E में मानों के साथ इसकी Z-श्रेणीकृत A-श्रृंखला है। D2 = 0। होमोटॉपी प्रचालक जैसा कि ऊपर प्रस्तुत किया गया है, होमोटॉपी तक का प्रतिनिधित्व निम्नलिखित डेटा के बराबर है-एक डिग्री 1 प्रचालक, जो कि 0 से वर्ग करता है, ई पर एक ए-कनेक्शन, जो कुल डिग्री 1 के अंत (ई)-मूल्य वाले ए-2-रूप ω2 के रूप में संगत है, जैसे कि वक्रता कुल डिग्री 1 के अंत (ई)-मूल्य वाले ए-पी-रूपों को पूरा करती है जो होमोटॉपी संबंधों को पूरा करते हैं। पत्राचार को समरूपता के रूप में चिह्नित किया जाता है एक ही समरूपता के समरूपता (ई, डी. ई.) और (एफ, डी. एफ.) तक के अभ्यावेदन के बीच एक समरूपता एक डिग्री 0 मानचित्र है जो अंतरों के साथ परिवर्तित होता है, अर्थात। एक समरूपता अब एक व्युत्क्रमणीय समरूपता है। हम समरूपता के समतुल्य वर्गों के साथ समरूपता तक प्रतिनिधित्व के समतुल्य वर्गों की श्रेणी को निरूपित करते हैं। एक कोचेन मानचित्र में डी के उपरोक्त अपघटन के अर्थ में, एक संबंध ρ, और उच्च समस्थानिक, हम φ को φ0 + φ1 + के रूप में भी विघटित कर सकते हैं और फिर संगतता की स्थिति पढ़ती है उदाहरण लाइ अलजेब्रोइड्स या अधिक विशेष रूप से लाइ अलजेब्रा के सामान्य प्रतिनिधित्व हैं, अर्थात। मॉड्यूल। एक अन्य उदाहरण एक पी-रूप ωp द्वारा E = M × R [0] ωR [p] और प्रचालक D = ρ + ωp के साथ दिया गया है जहां ρ तुच्छ बंडल M × R पर सपाट संबंध है। होमोटॉपी तक के प्रतिनिधित्व को देखते हुए D = ष्ण + ंड्र + ω2 +. हम संयुग्मन द्वारा होमोटॉपी तक एक नए प्रतिनिधित्व का निर्माण कर सकते हैं, अर्थात। D "'= ष्णू − ρ + ω2 − ω3 + −। संयुक्त प्रतिनिधित्व एक लाइ अल्जेब्रॉइड (ए, ρ, [.,]) दिया गया है। इसके वेक्टर बंडल पर एक कनेक्शन के साथ हम दो संबंधित ए-कनेक्शन को निम्नानुसार परिभाषित कर सकते हैं इसके अलावा, हम मिश्रित वक्रता को इस रूप में पेश कर सकते हैं कि यह वक्रता कनेक्शन के साथ लाइ ब्रैकेट की संगतता को मापती है और ए की दो शर्तों में से एक है जो टी. एम. के साथ मिलकर लाइ अलजेब्रॉइड की एक मिलान जोड़ी बनाती है। पहला अवलोकन यह है कि यह शब्द एंकर मानचित्र ρ से सजाया गया है, तदनुसार, दोनों कनेक्शनों की वक्रता को व्यक्त करता है। दूसरा हम होमोटॉपी तक के प्रतिनिधित्व के लिए तीनों अवयवों का मिलान इस प्रकार कर सकते हैंः एक और अवलोकन यह है कि होमोटॉपी तक का परिणामी प्रतिनिधित्व चुने गए कनेक्शन से स्वतंत्र है, मूल रूप से क्योंकि दो ए-कनेक्शनों के बीच का अंतर एक (ए-1-फॉर्म एंड (ई ") में मानों के साथ है। संदर्भ लाइ अलजेब्रा का प्रतिनिधित्व सिद्धांत विभेदक ज्यामिति