Carnot group
गणित में, एक कार्नोट समूह एक सरल रूप से जुड़ा हुआ निलपोटेन्ट लाइ समूह है, जो अपने लाइ बीजगणित की व्युत्पत्ति के साथ इस तरह से जुड़ा हुआ है कि आइगेनवैल्यू 1 वाला उपक्षेत्र लाइ बीजगणित उत्पन्न करता है। इस आइगेनस्पेस से जुड़े स्पर्शरेखा बंडल के उपबंडल को क्षैतिज कहा जाता है। कार्नोट समूह पर, क्षैतिज सबबंडल पर कोई भी मानक कार्नोट-कैराथिओडोरी मीट्रिक को जन्म देता है। कार्नोट-कैराथिओडोरी मेट्रिक्स में मीट्रिक फैलाव होते हैं; वे परिमित रूप से उत्पन्न निल्पोटेंट समूहों के एसिम्प्टोटिक शंकु (अल्ट्रालिमिट देखें) हैं, और निल्पोटेंट लाइ समूहों के साथ-साथ उप-रीमैनियन मैनिफोल्ड के स्पर्श शंकु भी हैं। औपचारिक परिभाषा और बुनियादी गुण एक कार्नोट (या स्तरीकृत) चरण समूह एक जुड़ा हुआ, सरल रूप से जुड़ा हुआ, परिमित-आयामी लाइ समूह है जिसका लाइ बीजगणित एक चरण-स्तरीकरण को स्वीकार करता है। अर्थात्, ऐसे गैर-तुच्छ रैखिक उप-स्थान मौजूद हैं जैसे कि, के लिए, और। ध्यान दें कि इस परिभाषा का तात्पर्य है कि पहला स्तर पूरे लाइ बीजगणित को उत्पन्न करता है। घातीय मानचित्र ऊपर से एक डिफियोमोर्फिज्म है। इन घातीय निर्देशांकों का उपयोग करके, हम बेकर-कैम्पबेल-हौसडॉर्फ सूत्र द्वारा कहाँ और संचालन के साथ पहचान कर सकते हैं। कभी-कभी किसी तत्व को लिखने के लिए अधिक सुविधाजनक होता है। इसका कारण यह है कि इसके द्वारा दिया गया एक आंतरिक फैलाव ऑपरेशन है। उदाहरण वास्तविक हाइजेनबर्ग समूह एक कार्नोट समूह है जिसे रीमानियन ज्यामिति में यूक्लिडियन स्थान के रूप में उप-रीमानियन ज्यामिति में एक सपाट मॉडल के रूप में देखा जा सकता है। एंगेल समूह भी एक कार्नोट समूह है। इतिहास कार्नोट समूहों को उस नाम के तहत और द्वारा पेश किया गया था। हालाँकि, इस अवधारणा को पहले जेराल्ड फॉलैंड (1975) द्वारा स्तरीकृत समूह के नाम से पेश किया गया था। पानसू व्युत्पन्न भी देखें, जो संदर्भ झूठ समूहों द्वारा शुरू किए गए कार्नोट समूह पर व्युत्पन्न है।