Locally profinite group
गणित में, एक स्थानीय रूप से अनंत समूह एक हौसडॉर्फ टोपोलॉजिकल समूह है जिसमें पहचान तत्व के प्रत्येक पड़ोस में एक कॉम्पैक्ट खुला उपसमूह होता है। समान रूप से, एक स्थानीय रूप से प्रोफाइनाइट समूह एक टोपोलॉजिकल समूह है जो हौसडॉर्फ है, स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट है, और पूरी तरह से डिस्कनेक्ट है। इसके अलावा, एक स्थानीय रूप से प्रोफाइनाइट समूह कॉम्पैक्ट होता है यदि और केवल तभी जब यह प्रोफाइनाइट हो; यह शब्दावली की व्याख्या करता है। स्थानीय रूप से प्रोफाइनाइट समूहों के बुनियादी उदाहरण असतत समूह और पी-एडिक लाइ समूह हैं। गैर-उदाहरण वास्तविक लाइ समूह हैं, जिनमें कोई छोटा उपसमूह गुण नहीं है। स्थानीय रूप से प्रोफाइनाइट समूह में, एक बंद उपसमूह स्थानीय रूप से प्रोफाइनाइट होता है, और प्रत्येक कॉम्पैक्ट उपसमूह एक खुले कॉम्पैक्ट उपसमूह में निहित होता है। स्थानीय रूप से प्रोफाइनाइट समूहों के महत्वपूर्ण उदाहरण बीजगणितीय संख्या सिद्धांत से आते हैं। मान लीजिए कि F एक गैर-आर्किमिडियन स्थानीय क्षेत्र है। फिर दोनों एफ और स्थानीय रूप से अनंत हैं। अधिक आम तौर पर, मैट्रिक्स रिंग और सामान्य रैखिक समूह स्थानीय रूप से प्रोफाइनाइट हैं। स्थानीय रूप से प्रोफाइनाइट समूह का एक और उदाहरण एक गैर-आर्किमिडियन स्थानीय क्षेत्र का निरपेक्ष वाइल समूह हैः यह इस तथ्य के विपरीत है कि इस तरह का निरपेक्ष गैलोइस समूह प्रोफाइनाइट (विशेष रूप से सघन) है। स्थानीय रूप से एक अनंत समूह के प्रतिनिधित्व मान लीजिए कि जी एक स्थानीय रूप से एक अनंत समूह है। फिर एक समूह समरूपता निरंतर होती है यदि और केवल तभी जब इसमें खुला कर्नेल हो। मान लीजिए कि जी का एक जटिल प्रतिनिधित्व चिकना कहा जाता है यदि वी एक संघ है जहां के सभी खुले कॉम्पैक्ट उपसमूहों के ऊपर चलता है. के को स्वीकार्य कहा जाता है यदि यह चिकना है और किसी भी खुले कॉम्पैक्ट उपसमूह के लिए सीमित-आयामी है। अब हम एक कंबल धारणा बनाते हैं जो सभी खुले कॉम्पैक्ट उपसमूहों के लिए सबसे अधिक गणना योग्य है। दोहरे स्थान में जी की क्रिया होती है। सामान्य तौर पर, चिकना नहीं होता है। इस प्रकार, हम निर्धारित करते हैं कि कहाँ कार्य किया जा रहा है और सेट करते हैं। चिकनी प्रस्तुति को तब कंट्राग्रेडिएंट या स्मूथ डुअल कहा जाता है। जी के सुचारू प्रतिनिधित्व की श्रेणी से अपने आप में विरोधाभासी कारक सटीक है। इसके अलावा, निम्नलिखित समान हैं। स्वीकार्य है। स्वीकार्य है। कैनोनिकल जी-मॉड्यूल मानचित्र एक समरूपता है। कब स्वीकार्य है, इरेड्यूसिबल है अगर और केवल अगर इरेड्यूसिबल है। शुरुआत में गणना की धारणा वास्तव में आवश्यक है, क्योंकि एक स्थानीय रूप से प्रोफाइनाइट समूह मौजूद है जो एक इरेड्यूसिबल स्मूथ प्रतिनिधित्व को स्वीकार करता है जो इरेड्यूसिबल नहीं है। स्थानीय रूप से एक अनंत समूह का हेके बीजगणित मान लीजिए कि यह एक अद्वितीय स्थानीय रूप से अनंत समूह है जो सभी खुले कॉम्पैक्ट उपसमूहों के लिए अधिक से अधिक गणना योग्य है, और एक बाएं हार माप है। आइए कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ स्थानीय रूप से स्थिर कार्यों के स्थान को दर्शाते हैं। द्वारा दी गई गुणक संरचना के साथ आवश्यक रूप से एकात्मक सहयोगी-बीजगणित नहीं बन जाता है। इसे जी का हेक बीजगणित कहा जाता है और इसके द्वारा दर्शाया जाता है। बीजगणित स्थानीय रूप से अनंत समूहों के सुचारू प्रतिनिधित्व के अध्ययन में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। वास्तव में, एक के पास निम्नलिखित हैंः जी के सुचारू प्रतिनिधित्व को देखते हुए, हम वी पर एक नई कार्रवाई को परिभाषित करते हैंः इस प्रकार, हमारे पास गैर-अपक्षयी-मॉड्यूल की श्रेणी के सुचारू प्रतिनिधित्व की श्रेणी से कार्यकर्ता है। यहाँ, "गैर-अपक्षयी" का अर्थ है। तब तथ्य यह है कि फंक्टर एक तुल्यता है। टिप्पणियाँ संदर्भ कोरिन ब्लोंडेल, अपचायक पी-एडिक समूहों का बुनियादी प्रतिनिधित्व सिद्धांत स्थलाकृतिक समूह