Dirac–Kähler equation
सैद्धांतिक भौतिकी में, डीराक-कहलर समीकरण, जिसे इवानेंको-लैंडौ-कहलर समीकरण के रूप में भी जाना जाता है, डीराक समीकरण का ज्यामितीय अनुरूप है जिसे लाप्लास-डी राम प्रचालक का उपयोग करके किसी भी छद्म-रीमानियन मैनिफोल्ड पर परिभाषित किया जा सकता है। चार आयामी सपाट अंतरिक्ष काल में, यह डीराक समीकरण की चार प्रतियों के बराबर है जो लोरेंट्ज़ परिवर्तनों के तहत एक दूसरे में बदल जाते हैं, हालांकि यह अब घुमावदार अंतरिक्ष काल में सच नहीं है। ज्यामितीय संरचना समीकरण को एक प्राकृतिक पृथक्करण देती है जो जाली क्षेत्र सिद्धांत में अस्थिर फर्मियन औपचारिकता के बराबर है, जिससे डीराक-कहलर फर्मियन को अस्थिर फर्मियन की औपचारिक निरंतरता सीमा बनाती है। समीकरण की खोज 1928 में दिमित्री इवानेंको और लेव लैंडौ द्वारा की गई थी और बाद में 1962 में एरिक कहलर द्वारा फिर से खोजा गया था। गणितीय अवलोकन चार आयामी यूक्लिडियन स्पेसटाइम में विभेदक रूपों के एक सामान्य क्षेत्र को सोलह आधार रूपों के एक रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जाता है, जो सूचकांकों के सोलह क्रमबद्ध संयोजनों पर चलता है। प्रत्येक सूचकांक एक से चार तक चलता है। यहाँ एंटीसिमेट्रिक टेंसर फ़ील्ड हैं जबकि संबंधित विभेदक रूप आधार तत्व हैं हॉज स्टार ऑपरेटर का उपयोग करते हुए, बाहरी व्युत्पन्न कोडफ़ीरेंशियल के माध्यम से संबंधित है। ये लाप्लास-डी-राम प्रचालक बनाते हैं जिसे लाप्लासियन प्रचालक के वर्गमूल के रूप में देखा जा सकता है। यह समीकरण सामान्य डीराक समीकरण से निकटता से संबंधित है, एक संबंध जो विभेदक रूपों के बाहरी बीजगणित और क्लिफोर्ड बीजगणित के बीच निकट संबंध से उभरता है, जिसमें डीराक स्पिनर्स अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व हैं। क्लिफोर्ड बीजगणित को संतुष्ट करने के लिए आधार तत्वों के लिए, आधार तत्वों पर कार्य करने वाले एक नए क्लिफोर्ड उत्पाद को पेश करने की आवश्यकता होती है क्योंकि इस उत्पाद का उपयोग करते हुए, लाप्लास-डी-रैम प्रचालक की विभेदक रूप के आधार पर तत्वों की क्रिया को इस प्रकार लिखा जाता है कि डीराक समीकरण प्राप्त करने के लिए, आधार में परिवर्तन किया जाना चाहिए, जहां नए आधार को डीराक मैट्रिक्स का उपयोग करके परिभाषित मैट्रिक्स में पैक किया जा सकता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि इस आधार पर क्लिफोर्ड उत्पाद केवल अनुक्रमित स्तंभ तत्वों को मिलाता है। इस आधार पर विभेदक रूप को लिखने से डीराक-कहलर समीकरण को डीराक समीकरण के चार सेटों में बदल दिया जाता है। अबेलियन मामले में, जबकि गैर-अबेलियन मामले में अतिरिक्त रंग सूचकांक होते हैं। डीराक-कहलर फर्मियन भी रंग सूचकांकों को उठाता है, यह औपचारिक रूप से स्थानीय रंग स्थानों के वेक्टर बंडल के साथ अंतर रूपों के अतियाह-कहलर बंडल के व्हिटनी उत्पाद के क्रॉस-सेक्शन के अनुरूप है। डिस्क्रीटाइजेशन एक प्राकृतिक तरीका है जिसमें बाहरी बीजगणित और सरल परिसरों के बीच पत्राचार का उपयोग करके डीराक-कहलर समीकरण को डिस्क्रीटाइज़ किया जाता है। चार आयामी स्थान में एक जाली को एक सरल परिसर के रूप में माना जा सकता है, जिसके सिम्प्लेक्स का निर्माण एक आधार बिंदु और एक अभिविन्यास के साथ-आयामी हाइपरक्यूब के आधार का उपयोग करके किया जाता है। फिर एक एच-चेन एक औपचारिक रैखिक संयोजन है एच-चेन एक सीमा प्रचालक को स्वीकार करती है जिसे (एच-1)-सिम्प्लेक्स के रूप में परिभाषित किया गया है जो एच-चेन की सीमा बनाता है। एक कोबाउंडरी प्रचालक को इसी तरह एक (एच + 1)-श्रृंखला प्राप्त करने के लिए परिभाषित किया जा सकता है। जंजीरों के दोहरे स्थान में-कोचेन होते हैं, जो एच-चेन पर कार्य करने वाले रैखिक कार्य होते हैं जो उन्हें वास्तविक संख्याओं में मैप करते हैं। बाहरी बीजगणित और सरल परिसरों के बीच पत्राचार के तहत, विभेदक रूप कोचेन के बराबर होते हैं, जबकि बाहरी व्युत्पन्न और कोडिफरेंशियल क्रमशः दोहरी सीमा और दोहरी कोबाउंडरी के अनुरूप होते हैं। इसलिए, डीराक-कहलर समीकरण को सरल परिसरों पर इस रूप में लिखा जाता है जिसके परिणामस्वरूप विभेदीकृत डीराक-कहलर फर्मियन जाली क्षेत्र सिद्धांत में पाए जाने वाले अस्थिर फर्मियन के बराबर है, जिसे आधार के स्पष्ट परिवर्तन द्वारा स्पष्ट रूप से देखा जा सकता है। इस समतुल्यता से पता चलता है कि निरंतरता डीराक-कहलर फर्मियन फर्मियन स्टैगर्ड फर्मियन की औपचारिक निरंतरता सीमा है। डीराक समीकरण से संबंध जैसा कि पहले वर्णित किया गया है, समतल स्थानकाल में डीराक-कहलर समीकरण डीराक समीकरण की चार प्रतियों के बराबर है, इसके बावजूद कि यह प्रतिसमितीय टेंसर क्षेत्रों के लिए समीकरणों का एक समूह है। आधा पूर्णांक स्पिन क्षेत्र का वर्णन करने के लिए पूर्णांक स्पिन टेंसर क्षेत्रों की क्षमता को इस तथ्य से समझाया गया है कि लॉरेंट्ज़ परिवर्तन आंतरिक डीराक-कहलर समरूपता के साथ कम्यूट नहीं करते हैं, इस समरूपता के मापदंड स्केलर के बजाय टेंसर होते हैं। इसका मतलब है कि लोरेंट्ज़ परिवर्तन अलग-अलग स्पिनों को एक साथ मिलाते हैं और डीराक फर्मियन क्लिफोर्ड बीजगणित के आधे-पूर्णांक स्पिन प्रतिनिधित्व को सख्ती से नहीं बोल रहे हैं। इसके बजाय वे विभेदक रूपों के एक सुसंगत सुपरपोजिशन के अनुरूप हैं। उच्च आयामों में, विशेष रूप से आयामी सतहों पर, डीराक-कहलर समीकरण डीराक समीकरणों के बराबर है। घुमावदार स्थानकाल में, डीराक-कहलर समीकरण अब चार डीराक समीकरणों में विघटित नहीं होता है। बल्कि यह एक संशोधित डीराक समीकरण है जिसे तब प्राप्त किया जाता है जब डीराक प्रचालक लाप्लास प्रचालक का वर्गमूल बना रहता है, एक ऐसा गुण जो वक्र अंतरिक्ष काल में डीराक समीकरण द्वारा साझा नहीं किया जाता है। यह लॉरेंट्ज़ इनवेरियंस की कीमत पर आता है, हालांकि इन प्रभावों को प्लैंक द्रव्यमान की शक्तियों द्वारा दबा दिया जाता है। समीकरण इस मायने में भी भिन्न होता है कि जब भी कुछ बेट्टी संख्याएँ गायब हो जाती हैं, तो एक सघन मैनिफोल्ड पर इसके शून्य मोड हमेशा मौजूद रहने की गारंटी देते हैं, जो हार्मोनिक रूपों द्वारा दिए जाते हैं, जो कि डीराक समीकरण के विपरीत होता है, जिसमें कभी भी सकारात्मक वक्रता वाले मैनिफोल्ड पर शून्य मोड नहीं होते हैं। फर्मीयन दोहरीकरण जाली क्यू. सी. डी. संदर्भ सैद्धांतिक भौतिकी डीराक समीकरण जाली क्षेत्र सिद्धांत लेव लैंडौ भी देखें।