Integral of the secant function
कलन में, सेकेंट फलन के समाकलन का मूल्यांकन विभिन्न विधियों का उपयोग करके किया जा सकता है और एंटीडेरिवेटिव को व्यक्त करने के कई तरीके हैं, जिनमें से सभी को त्रिकोणमितीय पहचान के माध्यम से समतुल्य दिखाया जा सकता है, यह सूत्र विभिन्न त्रिकोणमितीय समाकलन के मूल्यांकन के लिए उपयोगी है। विशेष रूप से, इसका उपयोग सेकेंट क्यूब के समाकलन का मूल्यांकन करने के लिए किया जा सकता है, जो, हालांकि विशेष प्रतीत होता है, लेकिन अनुप्रयोगों में अक्सर आता है। से शुरू होने वाले सेकेंट फ़ंक्शन का निश्चित समाकलन व्युत्क्रम गुडर्मनियन फ़ंक्शन है, संख्यात्मक अनुप्रयोगों के लिए, उपरोक्त सभी अभिव्यक्तियों के परिणामस्वरूप कुछ तर्कों के लिए महत्व का नुकसान होता है। व्युत्क्रम हाइपरबोलिक साइन के संदर्भ में एक वैकल्पिक अभिव्यक्ति वास्तविक तर्कों के लिए संख्यात्मक रूप से अच्छी तरह से व्यवहार की जाती है। समाकलन फलन का समाकलन ऐतिहासिक रूप से समाकलन के अधिकांश विकास से पहले अपने प्रकार के पहले समाकलनों में से एक था जिसका मूल्यांकन किया गया था। यह महत्वपूर्ण है क्योंकि यह मर्केटर प्रक्षेपण का ऊर्ध्वाधर निर्देशांक है, जिसका उपयोग निरंतर कम्पास असर के साथ समुद्री नौवहन के लिए किया जाता है। इस बात का प्रमाण कि विभिन्न एंटीडेरिवेटिव समतुल्य त्रिकोणमितीय रूप हैं, सेकेंट के समाकलन के लिए तीन सामान्य अभिव्यक्तियाँ समतुल्य हैं क्योंकि प्रमाणः हम अलग-अलग तीन रूपों में से प्रत्येक के लिए स्पर्शरेखा अर्ध-कोण प्रतिस्थापन लागू कर सकते हैं, और उन्हें समान अभिव्यक्ति के समतुल्य दिखा सकते हैं। मर्केटर प्रोजेक्शन ऑर्डिनेट के लिए पारंपरिक समाधान निरपेक्ष मूल्य संकेतों के बिना लिखा जा सकता है क्योंकि अक्षांश और, हाइपरबॉलिक रूपों के बीच स्थित है, इसलिए, इतिहास सेकेंट फ़ंक्शन का अभिन्न अंग "सत्रहवीं शताब्दी के मध्य की उत्कृष्ट खुली समस्याओं" में से एक था, जिसे जेम्स ग्रेगरी द्वारा 1668 में हल किया गया था। उन्होंने अपने परिणाम को समुद्री तालिकाओं से संबंधित समस्या पर लागू किया। 1599 में, एडवर्ड राइट ने संख्यात्मक तरीकों से समाकलन का मूल्यांकन किया-जिसे आज हम रीमान योग कहेंगे। वह मानचित्रण के उद्देश्यों के लिए समाधान चाहते थे-विशेष रूप से एक सटीक मर्केटर प्रक्षेपण के निर्माण के लिए। 1640 के दशक में, नेविगेशन, सर्वेक्षण और अन्य गणितीय विषयों के शिक्षक, हेनरी बॉन्ड ने राइट की संख्यात्मक रूप से गणना की गई सेकेंट के समाकलन के मूल्यों की तालिका की तुलना स्पर्शरेखा फलन के लघुगणक की तालिका से की, और परिणामस्वरूप अनुमान लगाया कि यह अनुमान व्यापक रूप से ज्ञात हो गया, और 1665 में, आइज़ैक न्यूटन इसके बारे में जानते थे। एक मानक प्रतिस्थापन द्वारा मूल्यांकन (ग्रेगरी का दृष्टिकोण) विभिन्न संदर्भों में प्रस्तुत सेकेंट इंटीग्रल का मूल्यांकन करने की एक मानक विधि में अंश और भाजक को गुणा करना और फिर प्रतिस्थापन का उपयोग करना शामिल है। यह प्रतिस्थापन सेकेंट और स्पर्शरेखा के व्युत्पन्न से प्राप्त किया जा सकता है, जिन्हें एक साथ जोड़ा जाता है, जिसमें एक सामान्य कारक के रूप में सेकेंट होता है। उन्हें जोड़ने से शुरू करने से मिलता है योग का व्युत्पन्न इस प्रकार से गुणा किए गए योग के बराबर होता है। यह अंश और भाजक में गुणा करने और निम्नलिखित प्रतिस्थापन करने में सक्षम बनाता हैः समाकलन का मूल्यांकन निम्नानुसार किया जाता हैः जैसा कि दावा किया गया है। यह जेम्स ग्रेगरी द्वारा खोजा गया सूत्र था। आंशिक अंशों और एक प्रतिस्थापन (बैरो का दृष्टिकोण) द्वारा हालांकि ग्रेगरी ने 1668 में अपने अभ्यास ज्यामिति में अनुमान को साबित किया, लेकिन प्रमाण को एक ऐसे रूप में प्रस्तुत किया गया जो आधुनिक पाठकों के लिए इसे समझना लगभग असंभव बनाता है; इसाक बैरो ने 1670 के अपने व्याख्यान ज्यामिति में पहला "बोधगम्य" प्रमाण दिया, हालांकि वह भी "उस समय के ज्यामितीय मुहावरे में शामिल" था। परिणाम का बैरो का प्रमाण एकीकरण में आंशिक अंशों का सबसे पहला उपयोग था। आधुनिक संकेतन के अनुकूल, बैरो का प्रमाण इस प्रकार शुरू हुआः प्रतिस्थापित करना, इसलिए, जैसा कि अपेक्षित था, इंटीग्रल को कम कर देता है। निरपेक्ष मान लेना आवश्यक नहीं है क्योंकि और स्पर्शरेखा अर्ध-कोण प्रतिस्थापन मानक द्वारा स्पर्शरेखा अर्ध-कोण प्रतिस्थापन के वास्तविक मूल्यों के लिए हमेशा गैर-नकारात्मक होते हैं इसलिए स्पर्शरेखा अर्ध-कोण प्रतिस्थापन का समाकलन पहले की तरह होता है। गैर-मानक समाकलन को स्पर्शरेखा अर्ध-कोण प्रतिस्थापन के कुछ गैर-मानक संस्करण का उपयोग करके भी प्राप्त किया जा सकता है, जो 2013 में प्रकाशित इस विशेष समाकलन के मामले में सरल है, जो इस प्रकार हैः प्रतिस्थापनः दो क्रमिक प्रतिस्थापनों द्वारा समाकलन को समाकलन में हेरफेर करके और दो बार प्रतिस्थापित करके भी हल किया जा सकता है। परिभाषा और पहचान का उपयोग करके, समाकलन को प्रतिस्थापित करने के रूप में फिर से लिखा जा सकता है, समाकलन को घटाया जा सकता है। समाकलन को अब एक सरल समाकलन में घटा दिया गया है, और बैक-सब्स्टिट्यूटिंग देता है जो समाकलन के हाइपरबोलिक रूपों में से एक है। इसी तरह की रणनीति का उपयोग कोसेकेंट, हाइपरबोलिक सेकेंट और हाइपरबोलिक कोसेकेंट कार्यों को एकीकृत करने के लिए किया जा सकता है। अन्य हाइपरबोलिक रूप अन्य दो हाइपरबोलिक रूपों को सीधे ढूंढना भी संभव है, फिर से एक सुविधाजनक शब्द से गुणा और विभाजित करकेः जहाँ का अर्थ है क्योंकि प्रतिस्थापन, एक मानक समाकलन तक कम हो जाता हैः जहाँ संकेत फलन है। इसी तरहः प्रतिस्थापित करना,, एक मानक समाकलन में कम हो जाता हैः प्रतिस्थापन के तहत जटिल घातीय रूप का उपयोग करना इसलिए समाकलन को इस प्रकार हल किया जा सकता हैः क्योंकि समाकलन का स्थिरांक कुछ भी हो सकता है, अतिरिक्त स्थिरांक पद को इसमें अवशोषित किया जा सकता है। अंत में, यदि थीटा वास्तविक-मूल्यवान है, तो हम समीकरण को इसके सबसे परिचित रूप में प्राप्त करने के लिए इसे पूर्ण मूल्य कोष्ठकों के साथ इंगित कर सकते हैंः गुडरमैनियन और लैम्बर्टियन हाइपरबोलिक सेकेंट फ़ंक्शन का अभिन्न अंग गुडरमैनियन फ़ंक्शन को परिभाषित करता हैः सेकेंट फ़ंक्शन का अभिन्न अंग लैम्बर्टियन फ़ंक्शन को परिभाषित करता है, जो गुडरमैनियन फ़ंक्शन का व्युत्क्रम हैः इन कार्यों का सामना मानचित्र अनुमानों के सिद्धांत में किया जाता हैः देशांतर और अक्षांश वाले गोले पर एक बिंदु के मर्केटर प्रक्षेपण को इस प्रकार लिखा जा सकता हैः सेकेंट क्यूब संदर्भों के एकीकृत को भी देखें।