McShane integral
एकीकरण सिद्धांत के रूप में जानी जाने वाली गणित की शाखा में, एडवर्ड जे. मैकशेन द्वारा बनाया गया मैकशेन समाकलन, हेनस्टॉक-कुर्ज़वेल समाकलन का एक संशोधन है। मैकशेन समाकलन लेबस्ग्यू समाकलन के बराबर है। परिभाषा मुक्त टैग विभाजन वास्तविक रेखा के एक बंद अंतराल को देखते हुए, का एक मुक्त टैग विभाजन एक सेट है जहाँ और प्रत्येक टैग। तथ्य यह है कि टैग को उप-अंतराल के बाहर होने की अनुमति है, यही कारण है कि विभाजन को मुक्त कहा जाता है। हेनस्टॉक-कुर्ज़वेल इंटीग्रल और मैकशेन इंटीग्रल की परिभाषाओं के बीच भी यही एकमात्र अंतर है। एक फ़ंक्शन और एक मुक्त टैग विभाजन के लिए, गेज को परिभाषित करें इस संदर्भ में एक सकारात्मक फ़ंक्शन को गेज कहा जाता है। हम कहते हैं कि एक मुक्त टैग विभाजन-ठीक है यदि सभी सहज ज्ञान के लिए, गेज उप-अंतराल की चौड़ाई को नियंत्रित करता है। हेनस्टॉक-कुर्ज़वेल समाकलन की तरह, यह लचीलापन प्रदान करता है (विशेष रूप से समस्याग्रस्त बिंदुओं के पास) जो रीमान समाकलन द्वारा नहीं दिया गया है। मैकशेन समाकलन मान मैकशेन समाकलन है यदि प्रत्येक के लिए हम एक गेज पा सकते हैं जैसे कि सभी के लिए-ठीक मुक्त टैग किए गए विभाजन, उदाहरण यह स्पष्ट है कि यदि कोई फ़ंक्शन मैकशेन परिभाषा के अनुसार समाकलन योग्य है, तो हेनस्टॉक-कुर्ज़वेल समाकलन भी है। दोनों समाकलन इसकी विशिष्टता के संबंध में मेल खाते हैं। उपरोक्त परिभाषा को स्पष्ट करने के लिए हम निम्नलिखित उदाहरणों में वर्णित कार्यों की मैकशेन समाकलनशीलता का विश्लेषण करते हैं, जिन्हें पहले से ही हेनस्टॉक-कुर्ज़वेल समाकलन के रूप में जाना जाता है (इस विकिपीडिया "हेनस्टॉक-कुर्ज़वेल समाकलन" की साइट का पैराग्राफ 3 देखें)। उदाहरण 1 मान लीजिए कि यह ऐसा हो और यदि जैसा कि सर्वविदित है, तो यह फलन रीमान समाकलनीय है और संवाददाता समाकलनीय इसके बराबर है। उस उद्देश्य के लिए, दिए गए के लिए, आइए गेज को इस तरह चुनें कि और यदि किसी भी फ्री टैग किए गए विभाजन को अनुक्रमों में विघटित किया जा सकता है जैसे कि, के लिए, के लिए, और, कहाँ, जैसे कि इस तरह से, हमारे पास रीमान योग है और परिणाम से इसलिए यदि एक फ्री टैग किया गया-ठीक विभाजन है तो हमारे पास प्रत्येक के लिए, और, प्रत्येक के लिए है। चूँकि उन अंतरालों में से प्रत्येक शेष सभी के आंतरिक भाग को ओवरलैप नहीं करता है, इसलिए हम प्राप्त करते हैं इस प्रकार मैकशेन इंटीग्रेबल है और अगला उदाहरण रीमान और मैकशेन इंटीग्रल के बीच अंतर के अस्तित्व को साबित करता है। उदाहरण 2 प्रसिद्ध डिरिचलेट के कार्य को दीजिए जिसके द्वारा कोई व्यक्ति रीमान समाकलन योग्य नहीं होना जानता है। हम दिखाएँगे कि यह मैकशेन अर्थ में समाकलन योग्य है और इसका समाकलन शून्य है। अंतराल की सभी परिमेय संख्याओं के समुच्चय द्वारा निरूपित करते हुए, किसी भी के लिए निम्नलिखित गेज तैयार करें किसी भी-ठीक मुक्त टैग किए गए विभाजन के लिए इसके रीमान योग पर विचार करें। इस बात को ध्यान में रखते हुए कि जब भी तर्कहीन होता है, तो हम क्रमबद्ध जोड़े के अनुक्रम में बाहर कर सकते हैं जो जोड़ों का गठन करते हैं, जहां तर्कहीन होता है। शेष इस प्रकार के अनुक्रम हैं कि, चूंकि उन अंतरालों में से प्रत्येक शेष के आंतरिक भाग को ओवरलैप नहीं करता है, इसलिए इनमें से प्रत्येक अनुक्रम रीमान योग में प्रकार के उपसमुच्चय को जन्म देता है। इस प्रकार, जो साबित करता है कि डिरिचलेट का कार्य मैकशेन समाकलन योग्य है और व्युत्पन्न के साथ संबंध एक अंतराल पर परिभाषित वास्तविक कार्यों के लिए, हेनस्टॉक-कुर्ज़वेल और मैकशेन समाकलन दोनों नीचे बताए गए प्राथमिक गुणों को संतुष्ट करते हैं, जहां हम उन अभिलक्षणों में से किसी के भी मूल्य को अस्पष्ट रूप से दर्शाते हैं। यदि एकीकृत किया जा सकता है तो प्रत्येक उप अंतराल पर एकीकृत किया जा सकता है। अगर इंटीग्रेबल है और फिर और पर इंटीग्रेबल है। यदि निरंतर चालू है तो समाकलनीय है। यदि मोनोटोनस ऑन है तो इंटीग्रेबल ऑन है। माना कि यह एक विभेदक और सख्ती से नीरस कार्य है। फिर अगर और केवल तभी समाकलनीय है जब समाकलनीय हो। ऐसे में। यदि समाकलनीय है तो प्रत्येक के लिए समाकलनीय है। चलो और एकीकृत होने दें। फिरः और पर समाकलन योग्य है। उन्हें। ऊपर वर्णित समाकलन के संबंध में, इन गुणों के प्रमाण समान हैं, सिवाय संवाददाता परिभाषाओं के अंतर के लिए अंतर्निहित मामूली भिन्नताओं को छोड़कर (वाशेक फेफर देखें [सेक। 6. 1])। इस तरह दोनों समाकलनों के बीच एक निश्चित समानता देखी जाती है। हालांकि एक अदृश्य टूटना तब होता है जब अन्य गुणों का विश्लेषण किया जाता है, जैसे कि पूर्ण समाकलन और समाकलन योग्य अवकलनीय कार्यों के व्युत्पन्न की समाकलनशीलता। इस मामले पर निम्नलिखित प्रमेय हैं (देखें [Prop.2.2.3 e Th। 6. 1. 2])। प्रमेय 1 (मैकशेन समाकलन की पूर्ण समाकलनशीलता पर) यदि मैकशेन समाकलन योग्य है तो मैकशेन भी और पर समाकलन योग्य है। प्रमेय 2 (हेनस्टॉक-कुर्ज़वेल समाकलन की मौलिक प्रमेय) यदि पर अवकलनीय है, तो हेनस्टॉक-कुर्ज़वेल और पर समाकलन योग्य है। इन प्रमेयों को स्पष्ट करने के लिए हम उदाहरण 2.4.12 के आधार पर निम्नलिखित उदाहरण का विश्लेषण करते हैं। उदाहरण 3 आइए फलन पर विचार करेंः स्पष्ट रूप से किसी भी समय अवकलनीय और अवकलनीय है, साथ ही, पर, क्योंकि। इसके अलावा चूंकि फलन निरंतर है और प्रमेय 2 द्वारा, फलन हेनस्टॉक-कुर्ज़वेल समाकलनीय है, फिर गुण 6 और 7 द्वारा, वही फलन के लिए लागू होता है, लेकिन यह फलन उल्लिखित समाकलनों में से किसी के लिए भी समाकलनीय नहीं है। वास्तव में, अन्यथा, ऐसे किसी भी समाकलन को दर्शाते हुए, हमारे पास किसी भी सकारात्मक पूर्णांक के लिए आवश्यक रूप से होना चाहिए। फिर चर के परिवर्तन के माध्यम से, हमें गुण 5: को ध्यान में रखते हुए प्राप्त करना चाहिए। जैसा कि एक मनमाना सकारात्मक पूर्णांक है और हम एक विरोधाभास प्राप्त करते हैं। इस उदाहरण से हम निम्नलिखित प्रासंगिक परिणामों का निष्कर्ष निकाल सकते हैंः I) प्रमेय 1 अब हेनस्टॉक-कुर्ज़वेल समाकलन के लिए सही नहीं है क्योंकि यह हेनस्टॉक-कुर्ज़वेल समाकलन योग्य है और नहीं है। II) प्रमेय 2 मैकशेन समाकलन के लिए मान्य नहीं है। अन्यथा मैकशेन को प्रमेय 1 के साथ-साथ समाकलन योग्य होना चाहिए, जो कि बेतुका है। III), इस तरह, एक हेनस्टॉक-कुर्ज़वेल इंटीग्रेबल फ़ंक्शन का एक उदाहरण है जो मैकशेन इंटीग्रेबल नहीं है। अर्थात्, मैकशेन समाकलनीय कार्यों का वर्ग हेनस्टॉक-कुर्ज़वेल समाकलनीय कार्यों का एक सख्त उपवर्ग है। लेब्सग्यू इंटीग्रल के साथ संबंध मैकशेन इंटीग्रल का अधिक आश्चर्यजनक परिणाम निम्नलिखित प्रमेय में बताया गया है, जिसकी घोषणा पहले ही परिचय में की जा चुकी है। प्रमेय 3 लीट। फिर मैकशेन इंटीग्रेबल लेबस्ग इंटीग्रेबल है। संवाददाता समाकलन मेल खाते हैं। यह तथ्य यह निष्कर्ष निकालने में सक्षम बनाता है कि मैकशेन समाकलन के साथ रीमान योग के आसपास समाकलन सिद्धांत का एक प्रकार का एकीकरण तैयार किया जाता है, जो आखिरकार उस सिद्धांत की उत्पत्ति का गठन करता है। अब तक इस तरह के प्रमेय का तत्काल प्रमाण ज्ञात नहीं है। वाशेक फेफर में [Ch. 4] यह मैकशेन समाकलन के सिद्धांत के विकास के माध्यम से कहा गया है, जिसमें माप सिद्धांत भी शामिल है, जो लेब्सग्यू समाकलन के पहले से ज्ञात गुणों के संबंध में है। रसेल गॉर्डन की पुस्तक के अलावा, इस विषय पर हम पाठकों का ध्यान रॉबर्ट मैकलियोड [Ch. 8], [Ch. 10] और डगलस कर्ट्ज़ और चार्ल्स स्वार्टज़। मैकशेन समाकलन का एक अन्य दृष्टिकोण यह है कि इसे फ्रिगियस रीज़ और बेला सज़ के पाठ्यक्रमों के विकल्प के रूप में माप सिद्धांत का उपयोग किए बिना लेबस्ग इंटीग्रल के नए सूत्रीकरण के रूप में देखा जा सकता है। नागी [Ch.II] या सर्ज लैंग [Ch. X, §4 परिशिष्ट] (यह भी देखें)। हेनस्टॉक-कुर्ज़वेल अभिन्न संदर्भ गणितीय एकीकरण की परिभाषाएँ भी देखें।