Dense submodule
अमूर्त बीजगणित में, विशेष रूप से मॉड्यूल सिद्धांत में, एक मॉड्यूल का एक घना उप-मॉड्यूल एक आवश्यक उप-मॉड्यूल की धारणा का एक परिष्करण है। यदि N, M का एक घना उप-मॉड्यूल है, तो इसे वैकल्पिक रूप से कहा जा सकता है कि "N′M एक तर्कसंगत विस्तार है"। घने उप-मॉड्यूल गैर-परिवर्तनीय रिंग सिद्धांत में भागफल के रिंगों से जुड़े होते हैं। यहाँ दिखाई देने वाले अधिकांश परिणाम पहले और में स्थापित किए गए थे। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यह शब्दावली सामान्य टोपोलॉजी में एक घने उपसमुच्चय की धारणा से अलग है। एक घने उप-मॉड्यूल को परिभाषित करने के लिए किसी टोपोलॉजी की आवश्यकता नहीं है, और एक घने उप-मॉड्यूल टोपोलॉजी के साथ एक मॉड्यूल में टोपोलॉजिकल रूप से घना हो भी सकता है और नहीं भी। परिभाषा यह लेख और में दिखाई देने वाली प्रदर्शनी को संशोधित करता है। मान लीजिए कि R एक रिंग है, और M उप मॉड्यूल N के साथ एक सही R मॉड्यूल है। M के एक तत्व y के लिए, ध्यान दें कि अभिव्यक्ति y−1 केवल औपचारिक है क्योंकि मॉड्यूल-तत्व y के व्युत्क्रमणीय होने की बात करना सार्थक नहीं है, लेकिन संकेतन यह सुझाव देने में मदद करता है कि y· (y−1N) N। सेट y−1N हमेशा R का एक सही आदर्श है। M के एक उप मॉड्यूल N को एक घना उप मॉड्यूल कहा जाता है यदि M में सभी x और y के लिए x−0 के साथ, R में एक r मौजूद है जैसे कि xr−0 और yr N में है। दूसरे शब्दों में, शुरू किए गए संकेतन का उपयोग करते हुए, सेट इस मामले में। स्पष्ट रूप से तब, प्रत्येक घना उप-मॉड्यूल एक आवश्यक उप-मॉड्यूल है। यदि M एक नॉन-सिंगुलर मॉड्यूल है, तो N, M में घना है यदि और केवल तभी जब यह M में आवश्यक है। एक रिंग एक राइट नॉन-सिंगुलर रिंग है यदि और केवल तभी जब इसके सभी आवश्यक राइट आइडियल्स घने राइट आइडियल्स हों। यदि एन और एन 'एम के घने उप-मॉड्यूल हैं, तो एन भी एन' है। यदि N घना है और N′K′M है, तो K भी घना है। यदि B, R में एक घना दाएँ आदर्श है, तो R में किसी भी y के लिए y − 1B है। उदाहरण के लिए यदि x, R के केंद्र में एक गैर-शून्य विभाजक है, तो xR, R का एक घना दाएँ आदर्श है। विशेष रूप से कम्यूटेटिव रिंग्स में, घने आइडियल्स सटीक रूप से वे आइडियल्स हैं जो वफादार मॉड्यूल हैं। अनुप्रयोग एक मॉड्यूल का तर्कसंगत पतवार प्रत्येक सही आर मॉड्यूल एम में एक अधिकतम आवश्यक विस्तार ई (एम) होता है जो इसका इंजेक्टिव पतवार होता है। एक अधिकतम घने विस्तार का उपयोग करके अनुरूप निर्माण के परिणामस्वरूप परिमेय पतवार (एम) होता है जो ई (एम) का एक उप-मॉड्यूल है। जब किसी मॉड्यूल का कोई उचित तर्कसंगत विस्तार नहीं होता है, ताकि ′ (M) = M, तो मॉड्यूल को तर्कसंगत रूप से पूर्ण कहा जाता है। यदि आर सही गैर-एकल है, तो निश्चित रूप से (एम) = ई (एम) है। इंजेक्टिव पतवार के भीतर तर्कसंगत पतवार को आसानी से पहचाना जाता है। मान लीजिए कि एस = एंड आर (ई (एम)) इंजेक्टिव पतवार का एंडोमोर्फिज्म रिंग है। फिर इंजेक्टिव पतवार का एक तत्व x परिमेय पतवार में होता है यदि और केवल तभी जब x को S में सभी मानचित्रों द्वारा शून्य पर भेजा जाता है जो M पर शून्य हैं। प्रतीकों में, सामान्य रूप से, S में ऐसे मानचित्र हो सकते हैं जो M पर शून्य हैं और फिर भी कुछ x के लिए गैर-शून्य हैं जो M में नहीं हैं, और ऐसा x परिमेय पतवार में नहीं होगा। कोटिएंटों की अधिकतम दाहिनी रिंग कोटिएंटों की अधिकतम दाहिनी रिंग को आर के घने दाएं आदर्शों के संबंध में दो तरीकों से वर्णित किया जा सकता है। एक विधि में, आर को एक निश्चित एंडोमोर्फिज्म रिंग के लिए मॉड्यूल आइसोमोर्फिक दिखाया गया है, और रिंग संरचना को इस आइसोमोर्फिज्म के पार एक रिंग संरचना के साथ ′ (आर) को आत्मसात करने के लिए लिया जाता है, जो कि कोटिएंटों की अधिकतम दाहिनी रिंग है। एक दूसरी विधि में, उद्धरणों के अधिकतम दाएँ वलय को समरूपता के समतुल्य वर्गों के एक समूह के साथ पहचाना जाता है जिसमें आर के घने दाएँ आदर्शों से आर में समतुल्यता संबंध कहता है कि दो कार्य समतुल्य हैं यदि वे आर के घने दाएँ आदर्श पर सहमत हैं।