Weakened weak form
कमजोर रूप (या डब्ल्यू2 रूप) का उपयोग जाली मुक्त विधियों और/या सीमित तत्व विधि सेटिंग्स के आधार पर सामान्य संख्यात्मक विधियों के निर्माण में किया जाता है। ये संख्यात्मक विधियाँ ठोस यांत्रिकी के साथ-साथ द्रव गतिकी समस्याओं पर भी लागू होती हैं। सरलता के लिए हम अपनी चर्चा के लिए लोच की समस्याओं (द्वितीय क्रम पीडीई) का चयन करते हैं। हमारी चर्चा प्रसिद्ध कमजोर और मजबूत रूप के संदर्भ में भी सबसे सुविधाजनक है। एक अनुमानित समाधान के लिए एक मजबूत सूत्रीकरण में, हमें विस्थापन कार्यों को ग्रहण करने की आवश्यकता है जो दूसरे क्रम के अवकलनीय हैं। एक कमजोर सूत्रीकरण में, हम रैखिक और द्विरेखीय रूप बनाते हैं और फिर एक विशेष कार्य (एक अनुमानित समाधान) की खोज करते हैं जो कमजोर कथन को संतुष्ट करता है। द्विरेखीय रूप उन कार्यों के प्रवणता का उपयोग करता है जिनमें केवल प्रथम क्रम विभेदन होता है। इसलिए, अनुमानित विस्थापन कार्यों की निरंतरता की आवश्यकता मजबूत सूत्रीकरण की तुलना में कमजोर है। एक असतत रूप में (जैसे परिमित तत्व विधि, या एफ. ई. एम.), एक अनुमानित विस्थापन फलन के लिए एक पर्याप्त आवश्यकता पूरी समस्या क्षेत्र पर टुकड़ों में निरंतर है। यह हमें तत्वों का उपयोग करके कार्य का निर्माण करने की अनुमति देता है (लेकिन यह सुनिश्चित करते हुए कि यह एक लंबे सभी तत्व इंटरफेस के साथ निरंतर है), जिससे शक्तिशाली एफ. ई. एम. बनता है। अब, एक कमजोर कमजोर (डब्ल्यू2) सूत्रीकरण में, हम आवश्यकता को और कम करते हैं। हम केवल कल्पित फलन (यहाँ तक कि ढाल भी नहीं) का उपयोग करके एक द्विरेखीय रूप बनाते हैं। यह तथाकथित सामान्यीकृत ढाल चिकनाई तकनीक का उपयोग करके किया जाता है, जिसके साथ कोई भी असंतत कार्यों के कुछ वर्ग के लिए विस्थापन कार्यों के ढाल का अनुमान लगा सकता है, जब तक कि वे एक उचित जी स्थान में हों। चूँकि हमें वास्तव में अनुमानित विस्थापन कार्यों के लिए पहला विभेदन भी नहीं करना पड़ता है, इसलिए कार्यों की निरंतरता की आवश्यकता और कम हो जाती है, और इसलिए कमजोर या W2 सूत्रीकरण होता है। इतिहास कमजोर रूप के व्यवस्थित सिद्धांत का विकास जाली मुक्त तरीकों पर काम से शुरू हुआ। यह अपेक्षाकृत नया है, लेकिन पिछले कुछ वर्षों में इसका बहुत तेजी से विकास हुआ है। डब्ल्यू2 सूत्रीकरण की विशेषताएं डब्ल्यू2 सूत्रीकरण विभिन्न (समान रूप से) "नरम" मॉडल तैयार करने की संभावनाएं प्रदान करता है जो त्रिकोणीय जाली के साथ अच्छी तरह से काम करते हैं। क्योंकि त्रिकोणीय जाल स्वचालित रूप से उत्पन्न किया जा सकता है, यह पुनः मेशिंग में बहुत आसान हो जाता है और इसलिए मॉडलिंग और सिमुलेशन में स्वचालन होता है। यह पूरी तरह से स्वचालित कम्प्यूटेशनल विधियों के विकास के हमारे दीर्घकालिक लक्ष्य के लिए बहुत महत्वपूर्ण है। इसके अलावा, डब्ल्यू2 मॉडल को काफी नरम (एक समान फैशन में) बनाया जा सकता है ताकि ऊपरी बाध्य समाधान (बल-ड्राइविंग समस्याओं के लिए) का उत्पादन किया जा सके। कठोर मॉडल (जैसे कि पूरी तरह से संगत एफ. ई. एम. मॉडल) के साथ, कोई भी आसानी से दोनों तरफ से समाधान को बांध सकता है। यह आम तौर पर जटिल समस्याओं के लिए आसान त्रुटि अनुमान की अनुमति देता है, जब तक कि एक त्रिकोणीय जाल उत्पन्न किया जा सकता है। यह तथाकथित प्रमाणित समाधानों के उत्पादन के लिए महत्वपूर्ण है। डब्ल्यू2 मॉडल को वॉल्यूमेट्रिक लॉकिंग से मुक्त और संभवतः अन्य प्रकार की लॉकिंग घटनाओं से मुक्त बनाया जा सकता है। डब्ल्यू2 मॉडल विस्थापन कार्यों के विस्थापन प्रवणता को अलग से ग्रहण करने की स्वतंत्रता प्रदान करते हैं, जो अति-सटीक और अति-अभिसारी मॉडल के लिए अवसर प्रदान करते हैं। 2 की ऊर्जा अभिसरण दर के साथ रैखिक मॉडल का निर्माण करना संभव हो सकता है। डब्ल्यू2 मॉडल अक्सर जाली विरूपण के प्रति कम संवेदनशील पाए जाते हैं। डब्ल्यू2 मॉडल निम्न क्रम विधियों के लिए प्रभावी पाए जाते हैं मौजूदा डब्ल्यू2 मॉडल विशिष्ट डब्ल्यू2 मॉडल चिकनी बिंदु अंतर्वेशन विधियां (या एस-पीआईएम) हैं। एस-पी. आई. एम. नोड-आधारित (एन. एस.-पी. आई. एम. या एल. सी.-पी. आई. एम. के रूप में जाना जाता है), एज-आधारित (ई. एस.-पी. आई. एम.) और सेल-आधारित (सी. एस.-पी. आई. एम.) हो सकता है। एन. एस.-पी. आई. एम. को तथाकथित एस. सी. एन. आई. तकनीक का उपयोग करके विकसित किया गया था। इसके बाद यह पता चला कि एन. एस.-पी. आई. एम. ऊपरी बाउंड घोल और वॉल्यूमेट्रिक लॉकिंग मुक्त उत्पादन करने में सक्षम है। ई. एस.-पी. आई. एम. सटीकता में बेहतर पाया जाता है, और सी. एस.-पी. आई. एम. एन. एस.-पी. आई. एम. और ई. एस.-पी. आई. एम. के बीच व्यवहार करता है। इसके अलावा, डब्ल्यू2 सूत्रीकरण आकार कार्यों के निर्माण में बहुपद और रेडियल आधार कार्यों के उपयोग की अनुमति देते हैं (यह असंतत विस्थापन कार्यों को समायोजित करता है, जब तक कि यह जी1 स्थान में है), जो भविष्य के विकास के लिए आगे के कमरे खोलता है। एस-एफईएम काफी हद तक एस-पीआईएम का रैखिक संस्करण है, लेकिन एस-पीआईएम के अधिकांश गुणों के साथ और बहुत सरल है। इसमें एन. एस.-एफ. ई. एम., ई. एस.-एफ. ई. एम. और सी. एस.-एफ. ई. एम. की विविधताएं भी हैं। एस-पी. आई. एम. की प्रमुख संपत्ति एस-एफ. ई. एम. में भी पाई जा सकती है। एस-एफ. ई. एम. मॉडल हैंः नोड-आधारित स्मूथेड एफ. ई. एम. (एन. एस.-एफ. ई. एम.) एज-आधारित स्मूथेड एफ. ई. एम. (एन. एस.-एफ. ई. एम.) फेस-आधारित स्मूथेड एफ. ई. एम. (एन. एस.-एफ. ई. एम.) सेल-आधारित स्मूथेड एफ. ई. एम. (एन. एस.-एफ. ई. एम.) एज/नोड-आधारित स्मूथेड एफ. ई. एम. (एन. एस./ई. एस.-एफ. ई. एम.) अल्फा एफ. ई. एम. विधि (अल्फा एफ. ई. एम.) बीटा एफ. ई. एम. विधि (बीटा एफ. ई. एम.) अनुप्रयोग डब्ल्यू. 2 मॉडल के कुछ अनुप्रयोग हैंः ठोस, संरचनाओं और पीजोइलेक्ट्रिक के लिए यांत्रिकी; फ्रैक्चर यांत्रिकी और दरार प्रसार; गर्मी हस्तांतरण; संरचनात्मक ध्वनिकी; अरैखिक और संपर्क समस्याएं; यादृच्छिक विश्लेषण; सीमित विश्लेषण। फाइनाइट एलिमेंट मेथड मेशफ्री मेथड स्मूथेड फाइनाइट एलिमेंट मेथड भी देखें संदर्भ बाहरी लिंक संख्यात्मक विश्लेषण संख्यात्मक विभेदक समीकरण कम्प्यूटेशनल द्रव गतिकी जाः