Donaldson–Thomas theory
गणित में, विशेष रूप से बीजगणितीय ज्यामिति में, डोनाल्डसन-थॉमस सिद्धांत डोनाल्डसन-थॉमस अपरिवर्तनों का सिद्धांत है। कैलाबी-यू तीन गुना पर शीव्स के एक कॉम्पैक्ट मॉड्यूली स्थान को देखते हुए, इसका डोनाल्डसन-थॉमस अपरिवर्तनीय इसके अंकों की आभासी संख्या है, यानी, आभासी मौलिक वर्ग के खिलाफ कोहोमोलॉजी वर्ग 1 का अभिन्न अंग है। डोनाल्डसन-थॉमस अपरिवर्तनीय कैसन अपरिवर्तनीय का एक होलोमोर्फिक एनालॉग है। द्वारा अपरिवर्तनीयों को पेश किया गया था। डोनाल्डसन-थॉमस अपरिवर्तकों का बीजगणितीय तीन-तहों के ग्रोमोव-विटन अपरिवर्तकों और राहुल पंढरीपांडे और थॉमस के कारण स्थिर जोड़े के सिद्धांत के साथ घनिष्ठ संबंध है। डोनाल्डसन-थॉमस सिद्धांत भौतिक रूप से कुछ बी. पी. एस. स्थितियों से प्रेरित है जो स्ट्रिंग और गेज सिद्धांत में होते हैं। यह इस तथ्य के कारण है कि अपरिवर्तनीय अध्ययन किए जा रहे मॉड्यूली रिक्त स्थान की व्युत्पन्न श्रेणी पर स्थिरता की स्थिति पर निर्भर करते हैं। अनिवार्य रूप से, ये स्थिरता स्थितियाँ कैलाबी-यू मैनिफोल्ड के कहलर मॉड्यूली स्थान में बिंदुओं के अनुरूप होती हैं, जैसा कि दर्पण समरूपता में माना जाता है, और परिणामी उपश्रेणी संबंधित एससीएफटी के लिए बीपीएस स्थितियों की श्रेणी है। परिभाषा और उदाहरण ग्रोमोव-विटन अपरिवर्तकों का मूल विचार रीमान सतहों से एक चिकने लक्ष्य तक छद्महोलोमोर्फिक मानचित्रों का अध्ययन करके एक स्थान की ज्यामिति की जांच करना है। ऐसे सभी मानचित्रों का मॉडुली स्टैक एक आभासी मौलिक वर्ग को स्वीकार करता है, और इस स्टैक पर प्रतिच्छेदन सिद्धांत संख्यात्मक अपरिवर्तनीयता उत्पन्न करता है जिसमें अक्सर गणनात्मक जानकारी हो सकती है। इसी तरह, डोनाल्डसन-थॉमस सिद्धांत का दृष्टिकोण एक बीजगणितीय में वक्रों का उनके समीकरणों द्वारा तीन गुना अध्ययन करना है। अधिक सटीक रूप से, एक स्थान पर आदर्श शीव का अध्ययन करके। यह मॉडुली स्थान एक आभासी मौलिक वर्ग को भी स्वीकार करता है और कुछ संख्यात्मक अपरिवर्तनीय उत्पन्न करता है जो गणनात्मक हैं। जबकि ग्रोमोव-विटन सिद्धांत में, मानचित्रों को डोमेन वक्र के कई आवरण और ध्वस्त घटकों के रूप में अनुमति दी गई है, डोनाल्डसन-थॉमस सिद्धांत आवरणों में निहित नीलपोटेंट जानकारी की अनुमति देता है, हालांकि, ये पूर्णांक मूल्य वाले अपरिवर्तनीय हैं। देवेश मौलिक, आंद्रेई ओकौनकोव, निकिता नेक्रासोव और राहुल पंढरीपांडे के कारण गहरे अनुमान हैं, जो बढ़ती व्यापकता में साबित हुए हैं कि बीजगणितीय तीन-तह के ग्रोमोव-विटेन और डोनाल्डसन-थॉमस सिद्धांत वास्तव में समतुल्य हैं। अधिक ठोस रूप से, चरों के उचित परिवर्तन के बाद उनके उत्पन्न करने वाले कार्य बराबर होते हैं। कैलाबी-यू थ्रीफोल्ड्स के लिए, डोनाल्डसन-थॉमस अपरिवर्तकों को मॉडुली स्पेस पर भारित यूलर विशेषता के रूप में तैयार किया जा सकता है। इन अपरिवर्तनीयों, प्रेरक हॉल बीजगणित और क्वांटम टोरस पर कार्यों के वलय के बीच हाल ही में संबंध भी रहे हैं। क्विंटिक तीन गुना पर रेखाओं का मॉडुली स्थान 2875 बिंदुओं का एक असतत समूह है। अंकों की आभासी संख्या अंकों की वास्तविक संख्या है, और इसलिए इस मॉडुली स्थान का डोनाल्डसन-थॉमस अपरिवर्तनीय पूर्णांक 2875 है। इसी तरह, क्विंटिक पर शंकु के मॉड्यूली स्थान का डोनाल्डसन-थॉमस अपरिवर्तनीय 609250 है। परिभाषा एक कैलाबी-यू तीन गुना और एक निश्चित समरूपता वर्ग के लिए चेरन चरित्र के साथ सुसंगत शीव्स का एक संबद्ध मॉड्यूली ढेर है। सामान्य तौर पर, यह अनंत प्रकार का एक गैर-विभाजित आर्टिन ढेर है जिस पर संख्यात्मक अपरिवर्तकों को परिभाषित करना मुश्किल है। इसके बजाय, ऐसे सुसंगत आवरणों को मानकीकृत करने वाले खुले उपस्तंभ होते हैं जिन पर एक स्थिरता शर्त लागू होती है, अर्थात। - स्थिर शीव्स। इन मॉडुली ढेरों में बहुत अच्छे गुण होते हैं, जैसे कि सीमित प्रकार से अलग होना। एकमात्र तकनीकी कठिनाई यह है कि एक निश्चित आवरण के विरूपण की बाधाओं के अस्तित्व के कारण उनमें खराब विलक्षणता हो सकती है। विशेष रूप से अब क्योंकि कैलाबी-यू है, सेरे द्वैत का तात्पर्य है जो आयाम 0 का एक पूर्ण बाधा सिद्धांत देता है। विशेष रूप से, इसका तात्पर्य है कि संबंधित आभासी मौलिक वर्ग समरूपता की डिग्री में है। फिर हम डी. टी. अपरिवर्तनीय को परिभाषित कर सकते हैं जो स्थिरता की स्थिति और समरूपता वर्ग पर निर्भर करता है। थॉमस द्वारा यह साबित किया गया था कि एक चिकने परिवार के लिए ऊपर परिभाषित अपरिवर्तनीय नहीं बदलता है। शुरुआत में शोधकर्ताओं ने गीसेकर स्थिरता स्थिति का चयन किया, लेकिन हाल के वर्षों में अन्य डीटी-परिवर्तनों का अध्ययन अन्य स्थिरता स्थितियों के आधार पर किया गया है, जिससे दीवार पार करने के सूत्र सामने आए हैं। तथ्य मॉडुली स्पेस एम का डोनाल्डसन-थॉमस अपरिवर्तनीय एम की भारित यूलर विशेषता के बराबर है। भार फलन एम में प्रत्येक बिंदु को एक हाइपरप्लेन विलक्षणता की मिलनर संख्या के अनुरूप जोड़ता है। शीव्स के मॉड्यूली रिक्त स्थान के बजाय सामान्यीकरण, व्युत्पन्न श्रेणी की वस्तुओं के मॉड्यूली रिक्त स्थान पर विचार करता है। यह पंढरीपांडे-थॉमस अपरिवर्तनीय देता है जो कालाबी-यौ के स्थिर जोड़े को 3 गुना गिनता है। पूर्णांक मूल्यवान अपरिवर्तकों के बजाय, प्रेरक अपरिवर्तकों पर विचार किया जाता है। गणनात्मक ज्यामिति ग्रोमोव-विटन अपरिवर्तनीय हिल्बर्ट योजना क्वांटम कोहोमोलॉजी संदर्भ बीजगणितीय ज्यामिति स्ट्रिंग सिद्धांत भी देखें।