Category O
सेमीसिम्पल लाइ अलजेब्रा के प्रतिनिधित्व सिद्धांत में, श्रेणी ओ (या श्रेणी) एक ऐसी श्रेणी है जिसकी वस्तुएं एक सेमीसिम्पल लाइ अलजेब्रा के कुछ प्रतिनिधित्व हैं और मॉर्फिज्म प्रतिनिधित्व के समरूपता हैं। परिचय मान लीजिए कि एक (आमतौर पर जटिल) अर्ध-सरल लाइ बीजगणित एक कार्टन उप-बीजगणित के साथ, एक मूल प्रणाली है और सकारात्मक मूल की एक प्रणाली है। एक मूल और एक निलपोटेन्ट उप-बीजगणित के अनुरूप मूल स्थान द्वारा निरूपित करें। यदि एक-मॉड्यूल है और, तो वजन स्थान है श्रेणी ओ की परिभाषा श्रेणी की वस्तुएं-मॉड्यूल हैं जो परिमित रूप से उत्पन्न होती हैं जो स्थानीय रूप से-परिमित होती हैं। अर्थात्, प्रत्येक के लिए, द्वारा उत्पन्न-मॉड्यूल परिमित-आयामी है। इस श्रेणी के मॉर्फिज्म इन मॉड्यूल के-होमोमोर्फिज्म हैं। बुनियादी गुण ओ श्रेणी के प्रत्येक मॉड्यूल में सीमित आयामी भार स्थान होते हैं। श्रेणी ओ में प्रत्येक मॉड्यूल एक नोथेरियन मॉड्यूल है। ओ एक अबेलियन श्रेणी है ओ में पर्याप्त प्रोजेक्टिव और इंजेक्टिव होते हैं। ओ उप-मॉड्यूल, भागफल और परिमित प्रत्यक्ष योग लेने के तहत बंद होता है। ओ में वस्तुएँ-अनंत हैं, अर्थात। यदि एक वस्तु है और, तो सार्वभौमिक आवरण बीजगणित के केंद्र की क्रिया के तहत उत्पन्न उपस्थान, परिमित-आयामी है। उदाहरण सभी परिमित-आयामी-मॉड्यूल और उनके-समरूपता श्रेणी ओ. वर्मा मॉड्यूल और सामान्यीकृत वर्मा मॉड्यूल में हैं और उनके-समरूपता श्रेणी ओ में हैं। उच्चतम-भार मॉड्यूल सार्वभौमिक आवरण बीजगणित उच्चतम-भार श्रेणी संदर्भ लाइ बीजगणित का प्रतिनिधित्व सिद्धांत भी देखें।