Cyclically ordered group
गणित में, एक चक्रीय रूप से क्रमबद्ध समूह एक समूह संरचना और एक चक्रीय क्रम दोनों के साथ एक समूह है, जैसे कि बाएं और दाएं गुणन दोनों चक्रीय क्रम को संरक्षित करते हैं। चक्रीय क्रमबद्ध समूहों का पहली बार 1947 में लाडिस्लाव रीगर द्वारा गहराई से अध्ययन किया गया था। वे चक्रीय समूहों का एक सामान्यीकरण हैंः अनंत चक्रीय समूह और परिमित चक्रीय समूह। चूँकि एक रैखिक क्रम एक चक्रीय क्रम को प्रेरित करता है, चक्रीय रूप से क्रमबद्ध समूह भी रैखिक रूप से क्रमबद्ध समूहों का एक सामान्यीकरण हैंः परिमेय संख्याएँ, वास्तविक संख्याएँ, और इसी तरह। कुछ सबसे महत्वपूर्ण चक्रीय रूप से क्रमबद्ध समूह न तो पिछली श्रेणी में आते हैंः वृत्त समूह और इसके उपसमूह, जैसे तर्कसंगत बिंदुओं का उपसमूह। रैखिक समूहों के अनुपात चक्रीय रूप से क्रमबद्ध समूहों को अनुपात के रूप में चित्रित करना स्वाभाविक हैः एक के पास और है। यहाँ तक कि एक बार के रैखिक समूह जैसे, जब एक वृत्त में झुकते हैं, तो भी माना जा सकता है। यह दिखाया कि यह तस्वीर एक सामान्य घटना है। किसी भी क्रमबद्ध समूह और किसी भी केंद्रीय तत्व के लिए जो एक सह-अंतिम उपसमूह उत्पन्न करता है, भागफल समूह एक चक्रीय रूप से क्रमबद्ध समूह है। इसके अलावा, प्रत्येक चक्रीय क्रमबद्ध समूह को इस तरह के भागफल समूह के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। वृत्त समूह ने रीगर के परिणामों पर दूसरी दिशा में निर्माण किया। एक चक्रीय क्रमबद्ध समूह और एक क्रमबद्ध समूह को देखते हुए, उत्पाद एक चक्रीय क्रमबद्ध समूह है। विशेष रूप से, यदि वृत्त समूह है और एक क्रमबद्ध समूह है, तो इसका कोई भी उपसमूह एक चक्रीय रूप से क्रमबद्ध समूह है। इसके अलावा, प्रत्येक चक्रीय रूप से क्रमबद्ध समूह को ऐसे उत्पाद के उपसमूह के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। एक आर्किमिडियन रैखिक रूप से क्रमबद्ध समूह के साथ सादृश्य से, एक आर्किमिडियन चक्रीय रूप से क्रमबद्ध समूह को एक ऐसे समूह के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसमें प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक के लिए तत्वों का कोई जोड़ा नहीं होता है। चूँकि केवल सकारात्मक माना जाता है, यह अपने रैखिक समकक्ष की तुलना में एक मजबूत स्थिति है। उदाहरण के लिए, अब अर्हता प्राप्त नहीं है, क्योंकि प्रत्येक के लिए एक है। स्वियरकोव्स्की के प्रमाण के परिणाम के रूप में, प्रत्येक आर्किमिडियन चक्रीय रूप से क्रमबद्ध समूह स्वयं का एक उपसमूह है। यह परिणाम ओटो होल्डर के 1901 के प्रमेय के अनुरूप है कि प्रत्येक आर्किमिडियन रैखिक रूप से क्रमबद्ध समूह का एक उपसमूह है। प्रत्येक सघन चक्रीय क्रमबद्ध समूह का एक उपसमूह है। संबंधित संरचनाओं से पता चला कि चक्रीय रूप से क्रमबद्ध समूहों की एक निश्चित उपश्रेणी, "कमजोर इकाई के साथ प्रक्षेप्य आई. सी.-समूह", एम. वी.-बीजगणों की एक निश्चित उपश्रेणी, "प्रक्षेप्य एम. वी.-बीजगणों" के बराबर है। टिप्पणियाँ संदर्भ आगे पढ़ें। का अनुवाद। Sibirskii Matematicheskii Zhurnal से अनुवाद, 46-53 आदेशित समूह वृत्त