Euler–Rodrigues formula
गणित और यांत्रिकी में, यूलर-रोड्रिग्स सूत्र तीन आयामों में एक सदिश के घूर्णन का वर्णन करता है। यह रोड्रिग्स के घूर्णन सूत्र पर आधारित है, लेकिन एक अलग मापदंड का उपयोग करता है। लियोनहार्ड यूलर के कारण घूर्णन को चार यूलर मापदंडों द्वारा वर्णित किया गया है। रोड्रिग्स सूत्र (ओलिन्डे रोड्रिग्स के नाम पर), एक घूर्णित बिंदु की स्थिति की गणना करने की एक विधि, कुछ सॉफ्टवेयर अनुप्रयोगों में उपयोग की जाती है, जैसे कि उड़ान सिमुलेटर और कंप्यूटर गेम। परिभाषा मूल के बारे में एक घूर्णन को चार वास्तविक संख्याओं द्वारा दर्शाया जाता है, जैसे कि जब घूर्णन लागू किया जाता है, तो स्थिति में एक बिंदु अपनी नई स्थिति वेक्टर फॉर्मूलेशन में घूमता है। मानक सदिश संकेतन में, रोड्रिग्स घूर्णन सूत्र सममिति मापदंडों का संक्षिप्त रूप लेता है और उसी घूर्णन का वर्णन करता है। इस समरूपता के अलावा, चार मापदंडों का प्रत्येक समूह त्रि-आयामी स्थान में एक अद्वितीय घूर्णन का वर्णन करता है। घूर्णन की संरचना दो घूर्णन की संरचना स्वयं एक घूर्णन है। मान लीजिए और दो आवर्तनों के यूलर मापदंड हैं। यौगिक घूर्णन (घूर्णन 1 के बाद घूर्णन 2) के लिए मापदंड इस प्रकार हैंः इसकी जाँच करना सीधा है, हालांकि थकाऊ है। (यह अनिवार्य रूप से यूलर की चार वर्ग पहचान है, जिसका उपयोग रोड्रिग्स द्वारा भी किया जाता है।) घूर्णन कोण और घूर्णन अक्ष तीन आयामों में कोई भी केंद्रीय घूर्णन विशिष्ट रूप से इसके घूर्णन अक्ष (एक इकाई सदिश द्वारा दर्शाया गया) और घूर्णन कोण द्वारा निर्धारित किया जाता है। इस घूर्णन के लिए यूलर मापदंडों की गणना इस प्रकार की जाती हैः ध्यान दें कि यदि 360 डिग्री के पूर्ण घूर्णन से बढ़ाया जाता है, तो साइन और कोसाइन के तर्क केवल 180 डिग्री तक बढ़ते हैं। परिणामी मापदंड मूल मूल्यों के विपरीत हैं; वे एक ही घूर्णन का प्रतिनिधित्व करते हैं। विशेष रूप से, पहचान परिवर्तन (नल रोटेशन,) पैरामीटर मूल्यों से मेल खाता है। किसी भी अक्ष के आसपास 180 डिग्री के घूर्णन का परिणाम होता है। चतुर्थक के साथ संबंध यूलर मापदंडों को एक चतुर्थक के गुणांक के रूप में देखा जा सकता है; स्केलर पैरामीटर वास्तविक भाग है, वेक्टर पैरामीटर, काल्पनिक भाग हैं। इस प्रकार हमारे पास चतुर्थक है जो इकाई लंबाई (या व्युत्क्रम) का एक चतुर्थक है क्योंकि सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि घूर्णन की संरचना के लिए उपरोक्त समीकरण निश्चित रूप से चतुर्थक के गुणन के लिए समीकरण हैं। दूसरे शब्दों में, गुणन के साथ इकाई चतुर्थक का समूह, मॉड्यूलो नकारात्मक संकेत, संरचना के साथ घूर्णन के समूह के लिए समरूप है। एस. यू. (2) स्पिन मैट्रिक्स के साथ संबंध लाइ समूह एस. यू. (2) का उपयोग जटिल मैट्रिक्स में त्रि-आयामी घूर्णन का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जा सकता है। एक घूर्णन के अनुरूप एस. यू. (2)-मैट्रिक्स, इसके यूलर मापदंडों के संदर्भ में, वैकल्पिक रूप से, इसे उस योग के रूप में लिखा जा सकता है जहां पाउली स्पिन मैट्रिक्स हैं। इस प्रकार, यूलर मापदंड एक एस. यू. (2) मैट्रिक्स में स्पिन समूह स्पिन (3) के एक तत्व के अनुरूप वास्तविक और काल्पनिक निर्देशांक हैं, जो दोहरे आवरण मानचित्रण द्वारा ऑर्थोगोनल समूह एस. ओ. (3) में एक घूर्णन के लिए मानचित्रित करते हैं। यह लाइ समूह एसयू (2) ≈ स्पिन (3) के अद्वितीय त्रि-आयामी अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व के रूप में महसूस होता है। तीन आयामों में क्वाटर्नियन और स्थानिक घूर्णन बनाम स्पिनर्स में घूर्णन औपचारिकताएं भी देखें तीन आयामों में SO (4) 3D घूर्णन समूह संदर्भ तीन आयामों में घूर्णन यूक्लिडियन समरूपता लियोनहार्ड यूलर