Hermite's problem
हर्माइट की समस्या 1848 में चार्ल्स हर्माइट द्वारा गणित में एक खुली समस्या है। उन्होंने वास्तविक संख्याओं को प्राकृतिक संख्याओं के अनुक्रमों के रूप में व्यक्त करने का एक तरीका मांगा, जैसे कि अनुक्रम अंततः सटीक रूप से आवधिक हो जब मूल संख्या एक घन अपरिमेय हो। अभिप्रेरणा वास्तविक संख्याओं को लिखने का एक मानक तरीका उनके दशमलव प्रतिनिधित्व द्वारा है, जैसे किः जहाँ a0 एक पूर्णांक है, x का पूर्णांक भाग, और a1, a2, a3.0 और 9 के बीच के पूर्णांक हैं। वास्तविक संख्या x एक परिमेय संख्या केवल तभी है जब इसका दशमलव विस्तार अंततः आवधिक हो, अर्थात यदि प्राकृतिक संख्याएँ N और p ऐसी हों कि प्रत्येक n ≤ N के लिए यह मामला हो कि an + p = an। संख्याओं को व्यक्त करने का एक अन्य तरीका उन्हें निरंतर अंशों के रूप में लिखना है, जैसे किः जहाँ a0 एक पूर्णांक है और a1, a2, a3. प्राकृतिक संख्याएँ हैं। इस प्रतिनिधित्व से हम x को पुनर्प्राप्त कर सकते हैं क्योंकि यदि x एक परिमेय संख्या है तो अनुक्रम (an) परिमित रूप से कई शब्दों के बाद समाप्त हो जाता है। दूसरी ओर, यूलर ने साबित किया कि अपरिमेय संख्याओं को निरंतर अंशों के रूप में व्यक्त करने के लिए एक अनंत अनुक्रम की आवश्यकता होती है। इसके अलावा, यह अनुक्रम अंततः आवधिक है (फिर से, ताकि प्राकृतिक संख्याएँ N और p ऐसी हों कि प्रत्येक n ≤ N के लिए हमारे पास एक + p = an हो), यदि और केवल तभी जब x एक द्विघात अपरिमेय हो। हर्माइट का प्रश्न तर्कसंगत संख्याएँ बीजगणितीय संख्याएँ हैं जो डिग्री 1 के बहुपद को संतुष्ट करती हैं, जबकि द्विघात अपरिमेय बीजगणितीय संख्याएँ हैं जो डिग्री 2 के बहुपद को संतुष्ट करती हैं। संख्याओं के इन दोनों सेटों के लिए हमारे पास प्राकृतिक संख्याओं (ए) के अनुक्रम का निर्माण करने का एक तरीका है जिसमें प्रत्येक अनुक्रम एक अद्वितीय वास्तविक संख्या देता है और इस तरह कि यह वास्तविक संख्या संबंधित सेट से संबंधित है यदि और केवल तभी जब अनुक्रम अंततः आवधिक हो। 1848 में, चार्ल्स हर्माइट ने कार्ल गुस्ताव जैकब जैकोबी को एक पत्र लिखकर पूछा कि क्या इस स्थिति को सामान्यीकृत किया जा सकता है, कि क्या कोई प्रत्येक वास्तविक संख्या x को प्राकृतिक संख्याओं का एक अनुक्रम इस तरह से निर्दिष्ट कर सकता है कि अनुक्रम अंततः सटीक रूप से आवधिक हो जब x एक घन अपरिमेय हो, जो कि डिग्री 3 की एक बीजगणितीय संख्या है? या, अधिक सामान्य रूप से, प्रत्येक प्राकृतिक संख्या d के लिए प्रत्येक वास्तविक संख्या x को प्राकृतिक संख्याओं का एक अनुक्रम निर्धारित करने का एक तरीका है जो तब चुन सकता है जब x डिग्री d का बीजगणितीय हो? हर्माइट की समस्या को हल करने का प्रयास करने वाले अनुक्रमों को अक्सर बहुआयामी निरंतर अंश कहा जाता है। जैकोबी स्वयं एक प्रारंभिक उदाहरण के साथ आए, जिसमें वास्तविक संख्याओं (x, y) की प्रत्येक जोड़ी के अनुरूप एक अनुक्रम पाया गया जो निरंतर अंशों के उच्च-आयामी अनुरूप के रूप में कार्य करता है। उन्होंने यह दिखाने की उम्मीद की कि (x, y) से जुड़ा अनुक्रम अंततः आवधिक था यदि और केवल तभी जब x और y दोनों एक घन संख्या क्षेत्र से संबंधित थे, लेकिन ऐसा करने में असमर्थ थे और क्या यह मामला अनसुलझा है। 2015 में, पहली बार, किसी भी घन अपरिमेय के लिए एक आवधिक प्रतिनिधित्व त्रयी निरंतर अंशों के माध्यम से प्रदान किया गया है, यानी, परिमेय या पूर्णांक संख्याओं के आवधिक अनुक्रम के रूप में घन अपरिमेय लिखने की समस्या का समाधान किया गया है। हालांकि, आवधिक प्रतिनिधित्व सभी वास्तविक संख्याओं पर परिभाषित एक एल्गोरिथ्म से प्राप्त नहीं होता है और यह केवल घन अपरिमेय के न्यूनतम बहुपद के ज्ञान से शुरू होता है। निरंतर अंशों को सामान्य बनाने के बजाय, समस्या का एक और तरीका मिन्कोव्स्की के प्रश्न चिह्न कार्य को सामान्य बनाना है। यह कार्य? : [0,1] → [0,1] भी द्विघात अपरिमेय संख्याओं को चुनता है? (x) तर्कसंगत है यदि और केवल तभी जब x या तो परिमेय है या एक द्विघात अपरिमेय संख्या है, और इसके अलावा x परिमेय है यदि और केवल यदि? (x) एक द्विघात परिमेय है, इस प्रकार x एक द्विघात अपरिमेय है ठीक कब? (x) एक गैर-डायडिक परिमेय संख्या है। इकाई वर्ग [0,1] × [0,1] या द्वि-आयामी सिम्प्लेक्स के लिए इस फलन के विभिन्न सामान्यीकरण किए गए हैं, हालांकि किसी ने भी अभी तक हर्माइट की समस्या का समाधान नहीं किया है। 2021 में ओलेग कार्पेनकोव द्वारा घन वैक्टर के आवधिक प्रतिनिधि को खोजने के लिए दो घटाव एल्गोरिदम प्रस्तावित किए गए थे। पहला (एल्गोरिथ्म) केवल पूरी तरह से वास्तविक मामले के लिए काम करता है। एल्गोरिदम के लिए इनपुट घन वैक्टर के तीन गुना है। एक घन सदिश कोई भी सदिश है जो 3 डिग्री का विस्तार उत्पन्न करता है। इस मामले में घन वैक्टर संयुग्मित होते हैं यदि और केवल तभी जब एल्गोरिथ्म का आउटपुट आवधिक हो। दूसरा (एच. ए. पी. डी. एल्गोरिदम) सभी मामलों (जटिल घन वैक्टर सहित) और सभी आयामों के लिए काम करने का अनुमान है। संदर्भ निरंतर अंश बीजगणितीय संख्या सिद्धांत संख्या सिद्धांत में अनसुलझी समस्याएं