Hamiltonian Monte Carlo
हैमिल्टनियन मोंटे कार्लो एल्गोरिथ्म (मूल रूप से संकर मोंटे कार्लो के रूप में जाना जाता है) यादृच्छिक नमूनों का एक क्रम प्राप्त करने के लिए एक मार्कोव श्रृंखला मोंटे कार्लो विधि है जो एक लक्ष्य संभाव्यता वितरण के अनुसार वितरित होने के लिए अभिसरण करती है जिसके लिए प्रत्यक्ष नमूना लेना मुश्किल है। इस अनुक्रम का उपयोग लक्ष्य वितरण (अपेक्षित मूल्यों) के संबंध में समाकलन का अनुमान लगाने के लिए किया जा सकता है। हैमिल्टनियन मोंटे कार्लो मेट्रोपोलिस-हेस्टिंग्स एल्गोरिदम के एक उदाहरण से मेल खाता है, जिसमें हैमिल्टनियन गतिशीलता विकास का अनुकरण एक समय-प्रतिवर्ती और आयतन-संरक्षित संख्यात्मक समाकलक (आमतौर पर लीपफ्रॉग समाकलक) का उपयोग करके राज्य स्थान में एक नए बिंदु पर जाने का प्रस्ताव करने के लिए किया जाता है। मेट्रोपोलिस-हेस्टिंग्स एल्गोरिदम में एक गौसी यादृच्छिक चलने के प्रस्ताव वितरण का उपयोग करने की तुलना में, हैमिल्टनियन मोंटे कार्लो दूर के राज्यों में चाल का प्रस्ताव करके क्रमिक नमूना राज्यों के बीच सहसंबंध को कम करता है जो एक सिमप्लेक्टिक इंटीग्रेटर का उपयोग करते समय नकली हैमिल्टनियन गतिशील के अनुमानित ऊर्जा संरक्षण गुणों के कारण स्वीकृति की उच्च संभावना बनाए रखता है। कम सहसंबंध का मतलब है कि किसी दिए गए मोंटे कार्लो त्रुटि के लिए लक्ष्य संभाव्यता वितरण के संबंध में समाकलन का अनुमान लगाने के लिए कम मार्कोव श्रृंखला नमूनों की आवश्यकता होती है। एल्गोरिथ्म को मूल रूप से 1987 में साइमन डुआन, एंथनी कैनेडी, ब्रायन पेंडलटन और डंकन रोवेथ द्वारा जाली क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स में गणना के लिए प्रस्तावित किया गया था। 1996 में, रेडफोर्ड एम. नील ने दिखाया कि कैसे इस विधि का उपयोग सांख्यिकीय समस्याओं के एक व्यापक वर्ग के लिए किया जा सकता है, विशेष रूप से कृत्रिम तंत्रिका नेटवर्क में। हालांकि, संबंधित घनत्वों के प्रवणता की आपूर्ति करने के बोझ ने सांख्यिकी और अन्य मात्रात्मक विषयों में एल्गोरिदम को व्यापक रूप से अपनाने में देरी की, जब तक कि 2010 के दशक के मध्य में स्टेन के डेवलपर्स ने स्वचालित विभेदन के साथ संयोजन में एचएमसी को लागू नहीं किया। एल्गोरिदम मान लीजिए कि नमूने का लक्ष्य वितरण () के लिए है और नमूनों की एक श्रृंखला की आवश्यकता है। हैमिल्टन के समीकरण हैं जहां और क्रमशः स्थिति और संवेग सदिश के वें घटक हैं और हैमिल्टनियन हैं। मान लीजिए कि एक द्रव्यमान मैट्रिक्स है जो सममित और सकारात्मक निश्चित है, तो हैमिल्टनियन है जहां स्थितिज ऊर्जा है। लक्ष्य के लिए स्थितिज ऊर्जा दी जाती है जो बोल्ट्जमैन के कारक से आती है। एल्गोरिथम के लिए लीप फ्रॉग चरणों की संख्या के लिए एक सकारात्मक पूर्णांक और चरण आकार के लिए एक सकारात्मक संख्या की आवश्यकता होती है। मान लीजिए कि चेन पर है। जाने दीजिए। सबसे पहले, एक यादृच्छिक गॉसियन संवेग से खींचा जाता है। इसके बाद, कण समय के लिए हैमिल्टनियन गतिकी के तहत चलेगा, यह लीप फ्रॉग एल्गोरिथ्म का उपयोग करके हैमिल्टन के समीकरणों को संख्यात्मक रूप से हल करके किया जाता है। लीप फ्रॉग एल्गोरिथम का उपयोग करते हुए समय के बाद स्थिति और संवेग वैक्टर हैं ये समीकरण और प्राप्त करने के लिए समय पर लागू किए जाने हैं। लीप फ्रॉग एल्गोरिथ्म गैर-परस्पर क्रिया करने वाले शास्त्रीय कणों की गति का एक अनुमानित समाधान है। यदि सटीक है, तो समाधान कभी भी प्रारंभिक यादृच्छिक रूप से उत्पन्न ऊर्जा वितरण को नहीं बदलेगा, क्योंकि एक शास्त्रीय स्थितिज ऊर्जा क्षेत्र की उपस्थिति में प्रत्येक कण के लिए ऊर्जा संरक्षित की जाती है। एक ऊष्मागतिकीय संतुलन वितरण तक पहुँचने के लिए, कणों की किसी प्रकार की अंतःक्रिया होनी चाहिए, उदाहरण के लिए, एक आसपास के ऊष्मा स्नान, ताकि पूरी प्रणाली बोल्ट्ज़मैन वितरण के अनुसार संभावनाओं के साथ विभिन्न ऊर्जाओं को ले सके। प्रणाली को ऊष्मागतिकीय संतुलन वितरण की ओर ले जाने का एक तरीका मेट्रोपोलिस-हेस्टिंग्स एल्गोरिदम का उपयोग करके कणों की स्थिति को बदलना है। तो पहले, कोई लीप फ्रॉग स्टेप लागू करता है, फिर एक मेट्रोपोलिस-हेस्टिंग्स स्टेप। से संक्रमण वह है जहाँ इसे प्राप्त करने के लिए दोहराया जाता है। नो यू-टर्न सैंपलर नो यू-टर्न सैंपलर (एन. यू. टी. एस.) स्वचालित रूप से नियंत्रित करने वाला एक विस्तार है। ट्यूनिंग महत्वपूर्ण है। उदाहरण के लिए, एक आयामी मामले में, क्षमता वह है जो एक साधारण हार्मोनिक ऑसिलेटर की क्षमता से मेल खाती है। बहुत बड़े के लिए, कण दोलन करेगा और इस प्रकार कम्प्यूटेशनल समय बर्बाद करेगा। बहुत छोटे के लिए, कण एक यादृच्छिक चलने की तरह व्यवहार करेगा। धीरे-धीरे, एन. यू. टी. एस. हैमिल्टनियन गतिकी को यादृच्छिक रूप से समय में आगे और पीछे दोनों ओर चलाता है जब तक कि यू-टर्न स्थिति संतुष्ट न हो जाए। जब ऐसा होता है, तो एमसीएमसी नमूने के लिए पथ से एक यादृच्छिक बिंदु चुना जाता है और उस नए बिंदु से प्रक्रिया को दोहराया जाता है। विस्तार से, एक द्विआधारी पेड़ का निर्माण लीप मेंढक के कदमों के मार्ग का पता लगाने के लिए किया गया है। एमसीएमसी नमूना तैयार करने के लिए, एक पुनरावृत्ति प्रक्रिया आयोजित की जाती है। एक स्लाइस चर का नमूना लिया जाता है। मान लीजिए और क्रमशः आगे के कण की स्थिति और संवेग बनें। इसी तरह, और पिछड़े कण के लिए। प्रत्येक पुनरावृत्ति में, द्विआधारी वृक्ष समय में आगे के कण को आगे या पीछे के कण को पीछे की ओर ले जाने के लिए यादृच्छिक रूप से समान रूप से चयन करता है। इसके अलावा प्रत्येक पुनरावृत्ति के लिए, कूद मेंढक के कदमों की संख्या 2 के कारक से बढ़ जाती है। उदाहरण के लिए, पहली पुनरावृत्ति में, आगे का कण 1 लीप फ्रॉग स्टेप का उपयोग करके समय में आगे बढ़ता है। अगली पुनरावृत्ति में, पीछे का कण 2 छलांग मेंढक चरणों का उपयोग करके समय में पीछे की ओर बढ़ता है। पुनरावृत्ति प्रक्रिया तब तक जारी रहती है जब तक कि यू-टर्न की स्थिति पूरी नहीं हो जाती है, यानी जब हैमिल्टनियन गलत हो जाता है या जहाँ, उदाहरण के लिए। एक बार यू-टर्न स्थिति पूरी हो जाने के बाद, अगला एमसीएमसी नमूना, द्विआधारी पेड़ द्वारा खोजे गए लीप फ्रॉग पथ का समान रूप से नमूना लेकर प्राप्त किया जाता है जो संतुष्ट करता है। मोंटे कार्लो आणविक मॉडलिंग के लिए गतिशील मोंटे कार्लो विधि सॉफ्टवेयर भी देखें स्टैन मेट्रोपोलिस-समायोजित लैंगविन एल्गोरिथ्म संदर्भ आगे पढ़ना बाहरी लिंक हैमिल्टनियन मोंटे कार्लो को खरोंच से अनुकूलन और मोंटे कार्लो विधियाँ मोंटे कार्लो विधियाँ मार्कोव श्रृंखला मोंटे कार्लो