Ordinary differential equation
गणित में, एक साधारण विभेदक समीकरण (ODE) एक विभेदक समीकरण (DE) है जो केवल एक स्वतंत्र चर पर निर्भर करता है। अन्य डी. ई. की तरह, इसके अज्ञात (ओं) में एक (या अधिक) फलन (ओं) होते हैं और इसमें उन कार्यों के व्युत्पन्न शामिल होते हैं। "साधारण" शब्द का उपयोग आंशिक विभेदक समीकरणों के विपरीत किया जाता है जो एक स्वतंत्र चर के संबंध में हो सकते हैं। विभेदक समीकरण एक रैखिक विभेदक समीकरण एक विभेदक समीकरण है जिसे अज्ञात फलन और उसके व्युत्पन्न में एक रैखिक बहुपद द्वारा परिभाषित किया जाता है, जो कि उस रूप का एक समीकरण है जहां,, और मनमाने ढंग से अवकलनीय फलन हैं जिन्हें रैखिक होने की आवश्यकता नहीं है, और चर के अज्ञात फलन के क्रमिक व्युत्पन्न हैं। साधारण अवकल समीकरणों में, रैखिक अवकल समीकरण कई कारणों से एक प्रमुख भूमिका निभाते हैं। भौतिकी और अनुप्रयुक्त गणित में पाए जाने वाले अधिकांश प्राथमिक और विशेष कार्य रैखिक विभेदक समीकरणों के समाधान हैं (होलोनोमिक फ़ंक्शन देखें)। जब भौतिक घटनाओं को गैर-रैखिक समीकरणों के साथ मॉडल किया जाता है, तो उन्हें आम तौर पर एक आसान समाधान के लिए रैखिक विभेदक समीकरणों द्वारा अनुमानित किया जाता है। कुछ गैर-रैखिक ओ. डी. ई. जिन्हें स्पष्ट रूप से हल किया जा सकता है, उन्हें आम तौर पर समीकरण को एक समतुल्य रैखिक ओ. डी. ई. में बदलकर हल किया जाता है (उदाहरण के लिए, रिकाटी समीकरण देखें)। कुछ ओ. डी. ई. को ज्ञात कार्यों और समाकलन के संदर्भ में स्पष्ट रूप से हल किया जा सकता है। जब यह संभव नहीं होता है, तो समाधानों की टेलर श्रृंखला की गणना के लिए समीकरण उपयोगी हो सकता है। प्रयुक्त समस्याओं के लिए, साधारण विभेदक समीकरणों के लिए संख्यात्मक तरीके समाधान का एक अनुमान प्रदान कर सकते हैं। पृष्ठभूमि सामान्य विभेदक समीकरण (ओ. डी. ई.) गणित और सामाजिक और प्राकृतिक विज्ञान के कई संदर्भों में उत्पन्न होते हैं। परिवर्तन के गणितीय विवरण में विभेदक और व्युत्पन्न का उपयोग किया जाता है। विभिन्न विभेदक, व्युत्पन्न और कार्य समीकरणों के माध्यम से संबंधित हो जाते हैं, जैसे कि एक विभेदक समीकरण एक ऐसा परिणाम है जो गतिशील रूप से बदलती घटनाओं, विकास और भिन्नता का वर्णन करता है। अक्सर, मात्राओं को अन्य मात्राओं के परिवर्तन की दर (उदाहरण के लिए, समय के संबंध में विस्थापन के व्युत्पन्न), या मात्राओं के प्रवणता के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो कि वे विभेदक समीकरणों में कैसे प्रवेश करते हैं। विशिष्ट गणितीय क्षेत्रों में ज्यामिति और विश्लेषणात्मक यांत्रिकी शामिल हैं। वैज्ञानिक क्षेत्रों में भौतिकी और खगोल विज्ञान (खगोलीय यांत्रिकी), मौसम विज्ञान (मौसम मॉडलिंग), रसायन विज्ञान (प्रतिक्रिया दर), जीव विज्ञान (संक्रामक रोग, आनुवंशिक भिन्नता), पारिस्थितिकी और जनसंख्या मॉडलिंग (जनसंख्या प्रतिस्पर्धा), अर्थशास्त्र (स्टॉक रुझान, ब्याज दर और बाजार संतुलन मूल्य परिवर्तन) शामिल हैं। कई गणितविदों ने विभेदक समीकरणों का अध्ययन किया है और इस क्षेत्र में योगदान दिया है, जिसमें न्यूटन, लीबनिज़, बर्नौली परिवार, रिकाटी, क्लेयरॉट, डी 'अलेम्बर्ट और यूलर शामिल हैं। एक सरल उदाहरण न्यूटन का गति का दूसरा नियम है-बल F के तहत किसी वस्तु के विस्थापन x और समय t के बीच का संबंध विभेदक समीकरण द्वारा दिया जाता है जो स्थिर द्रव्यमान m के कण की गति को बाधित करता है। सामान्य तौर पर, F समय t पर कण की स्थिति x (t) का एक फलन है। अज्ञात फलन x (t) विभेदक समीकरण के दोनों ओर दिखाई देता है, और इसे संकेतन F (x (t) में दर्शाया गया है। परिभाषाएँ निम्नलिखित में, y एक आश्रित चर है जो स्वतंत्र चर x के एक अज्ञात फलन का प्रतिनिधित्व करता है। विभेदन के लिए संकेतन लेखक के आधार पर भिन्न होता है और जिस कार्य के लिए कौन सा संकेतन सबसे अधिक उपयोगी है। इस संदर्भ में, लीबनिज़ का संकेतन विभेदन और एकीकरण के लिए अधिक उपयोगी है, जबकि लैग्रेंज का संकेतन उच्च-क्रम व्युत्पन्न को सघन रूप से प्रस्तुत करने के लिए अधिक उपयोगी है, और न्यूटन के संकेतन का उपयोग अक्सर भौतिकी में समय के संबंध में निम्न क्रम के व्युत्पन्न का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है। सामान्य परिभाषा एफ, x, y का एक फलन और y के व्युत्पन्न दिए गए हैं। फिर इस रूप के समीकरण को n क्रम का एक स्पष्ट साधारण अवकल समीकरण कहा जाता है। अधिक सामान्य रूप से, n क्रम का एक अंतर्निहित साधारण अवकल समीकरण इस रूप को लेता हैः आगे वर्गीकरण हैंः ODE की प्रणाली कई युग्मित अवकल समीकरण समीकरणों की एक प्रणाली बनाते हैं। यदि y एक सदिश है जिसके तत्व फलन हैं; y (x) = [y1 (x), y2 (x),., ym (x)], और F, y और उसके व्युत्पन्न का सदिश-मूल्यवान फलन है, तो n क्रम और आयाम m के साधारण अवकल समीकरणों की एक स्पष्ट प्रणाली है। स्तंभ सदिश रूप मेंः ये आवश्यक रूप से रैखिक नहीं हैं। अंतर्निहित अनुरूप हैः जहाँ 0 = (0,0,., 0) शून्य सदिश है। मैट्रिक्स रूप में रूप की एक प्रणाली के लिए, कुछ स्रोतों को यह भी आवश्यक है कि जैकोबियन मैट्रिक्स गैर-एकल हो ताकि इसे एक अंतर्निहित ODE [प्रणाली] कहा जा सके; इस जैकोबियन गैर-एकलता स्थिति को संतुष्ट करने वाली एक अंतर्निहित ODE प्रणाली को एक स्पष्ट ODE प्रणाली में बदला जा सकता है। समान स्रोतों में, एकवचन जैकोबियन के साथ अंतर्निहित ओ. डी. ई. प्रणालियों को अंतर बीजगणितीय समीकरण (डी. ए. ई.) कहा जाता है। यह अंतर केवल शब्दावली में से एक नहीं है; डी. ए. ई. में मौलिक रूप से अलग-अलग विशेषताएं हैं और आम तौर पर (गैर-एकल) ओ. डी. ई. प्रणालियों की तुलना में हल करने के लिए अधिक शामिल हैं। संभवतः अतिरिक्त व्युत्पन्नों के लिए, हेसियन मैट्रिक्स आदि को भी इस योजना के अनुसार गैर-एकल माना जाता है, हालांकि ध्यान दें कि एक से अधिक क्रम के किसी भी ODE को प्रथम क्रम के ODE की प्रणाली के रूप में फिर से लिखा जा सकता है (और आमतौर पर किया जाता है), जो जैकोबियन विलक्षणता मानदंड को इस वर्गीकरण के लिए सभी क्रमों में व्यापक होने के लिए पर्याप्त बनाता है। ODEs की एक प्रणाली के व्यवहार को एक चरण चित्र के उपयोग के माध्यम से देखा जा सकता है। समाधान एक अवकल समीकरण को देखते हुए, एक फलन, जहां I एक अंतराल है, को F के लिए समाधान या समाकलन वक्र कहा जाता है, यदि u, I पर n-गुना अवकलनीय है, और दो समाधान दिए गए हैं और, u को v का विस्तार कहा जाता है यदि और A समाधान जिसका कोई विस्तार नहीं है, उसे अधिकतम समाधान कहा जाता है। आर के सभी पर परिभाषित समाधान को वैश्विक समाधान कहा जाता है। एक nवें क्रम के समीकरण का एक सामान्य समाधान एक ऐसा समाधान है जिसमें समाकलन के n मनमाने स्वतंत्र स्थिरांक होते हैं। स्थिरांकों को विशेष मानों पर सेट करके सामान्य समाधान से एक विशेष समाधान प्राप्त किया जाता है, जिसे अक्सर सेट 'प्रारंभिक शर्तों या सीमा शर्तों' को पूरा करने के लिए चुना जाता है। एकवचन समाधान एक ऐसा समाधान है जिसे सामान्य समाधान में मनमाने स्थिरांकों को निश्चित मान निर्धारित करके प्राप्त नहीं किया जा सकता है। रैखिक ODE के संदर्भ में, शब्दावली विशेष समाधान ODE के किसी भी समाधान को भी संदर्भित कर सकता है (आवश्यक रूप से प्रारंभिक स्थितियों को संतुष्ट नहीं करता है), जिसे फिर सजातीय समाधान (सजातीय ODE का एक सामान्य समाधान) में जोड़ा जाता है, जो तब मूल ODE का एक सामान्य समाधान बनाता है। यह इस लेख में अनुमान विधि खंड में उपयोग की जाने वाली शब्दावली है, और अक्सर अनिर्धारित गुणांक और मापदंडों की भिन्नता की विधि पर चर्चा करते समय इसका उपयोग किया जाता है। सीमित अवधि के समाधान गैर-रैखिक स्वायत्त ओ. डी. ई. के लिए कुछ स्थितियों में सीमित अवधि के समाधान विकसित करना संभव है, जिसका अर्थ है कि यहाँ अपनी स्वयं की गतिशीलता से, प्रणाली एक अंतिम समय पर शून्य मान तक पहुँच जाएगी और उसके बाद हमेशा शून्य में रहेगी। ये परिमित-अवधि के समाधान पूरी वास्तविक रेखा पर विश्लेषणात्मक कार्य नहीं हो सकते हैं, और क्योंकि वे अपने अंतिम समय पर गैर-लिप्सिट्ज़ कार्य होंगे, वे लिप्सिट्ज़ विभेदक समीकरणों के समाधानों की विशिष्टता प्रमेय में शामिल नहीं हैं। उदाहरण के लिए, समीकरणः सीमित अवधि के समाधान को स्वीकार करता हैः सिद्धांत एकल समाधान साधारण और आंशिक विभेदक समीकरणों के एकवचन समाधान का सिद्धांत लीबनिज़ के समय से शोध का विषय था, लेकिन केवल उन्नीसवीं शताब्दी के मध्य से ही इस पर विशेष ध्यान दिया गया है। इस विषय पर एक मूल्यवान लेकिन कम ज्ञात काम हौटेन (1854) का है। डार्बौक्स (1873 से) इस सिद्धांत में अग्रणी थे, और इन समाधानों की ज्यामितीय व्याख्या में उन्होंने विभिन्न लेखकों, विशेष रूप से कैसोराटी और केले द्वारा काम किए गए क्षेत्र को खोला। बाद वाले के लिए (1872) प्रथम क्रम के विभेदक समीकरणों के एकवचन समाधान का सिद्धांत लगभग 1900 में स्वीकार किया गया है। चतुर्भुज में कमी अवकल समीकरणों से निपटने के आदिम प्रयास में चतुर्भुज में कमी देखी गई थी। जैसा कि अठारहवीं शताब्दी के बीजगणितविदों को उम्मीद थी कि वे nवीं डिग्री के सामान्य समीकरण को हल करने के लिए एक विधि खोजेंगे, इसलिए विश्लेषकों को उम्मीद थी कि वे किसी भी विभेदक समीकरण को एकीकृत करने के लिए एक सामान्य विधि खोजेंगे। हालांकि, गॉस (1799) ने दिखाया कि जटिल विभेदक समीकरणों के लिए जटिल संख्याओं की आवश्यकता होती है। इसलिए, विश्लेषकों ने कार्यों के अध्ययन को प्रतिस्थापित करना शुरू कर दिया, इस प्रकार एक नया और उपजाऊ क्षेत्र खुला। इस दृष्टिकोण के महत्व की सराहना करने वाले पहले व्यक्ति कौची थे। इसके बाद, वास्तविक प्रश्न यह नहीं था कि क्या ज्ञात फलन या उनके समाकलन के माध्यम से कोई समाधान संभव है, बल्कि यह था कि क्या दिया गया विभेदक समीकरण स्वतंत्र चर या चर के फलन की परिभाषा के लिए पर्याप्त है, और यदि ऐसा है, तो विशेषता गुण क्या हैं। फ्यूशियाई सिद्धांत फ्यूश के दो संस्मरणों ने एक नए दृष्टिकोण को प्रेरित किया, जिसे बाद में थोम और फ्रोबेनियस द्वारा विस्तृत किया गया। 1869 की शुरुआत में कोलेट एक प्रमुख योगदानकर्ता थे। गैर-रैखिक प्रणाली को एकीकृत करने के लिए उनकी विधि 1868 में बर्ट्रेंड को सूचित की गई थी। क्लेबश (1873) ने अबेलियन समाकलन के अपने सिद्धांत के समानांतर रेखाओं के साथ सिद्धांत पर हमला किया। जैसा कि बाद वाले को मौलिक वक्र के गुणों के अनुसार वर्गीकृत किया जा सकता है जो एक तर्कसंगत परिवर्तन के तहत अपरिवर्तित रहता है, क्लेबश ने परिमेय एक-से-एक परिवर्तनों के तहत संबंधित सतहों f = 0 के अपरिवर्तनीय गुणों के अनुसार अंतर समीकरणों द्वारा परिभाषित उत्कृष्ट कार्यों को वर्गीकृत करने का प्रस्ताव रखा। झूठ का सिद्धांत 1870 से, सोफस लाइ के काम ने विभेदक समीकरणों के सिद्धांत को एक बेहतर नींव पर रखा। उन्होंने दिखाया कि पुराने गणितविदों के एकीकरण सिद्धांतों को, लाइ समूहों का उपयोग करके, एक सामान्य स्रोत के रूप में संदर्भित किया जा सकता है, और सामान्य विभेदक समीकरण जो समान असीम परिवर्तनों को स्वीकार करते हैं, तुलनीय एकीकरण कठिनाइयों को प्रस्तुत करते हैं। उन्होंने संपर्क के परिवर्तन के विषय पर भी जोर दिया। विभेदक समीकरणों के लाइ के समूह सिद्धांत को प्रमाणित किया गया है, अर्थात्ः (1) यह विभेदक समीकरणों को हल करने के लिए जानी जाने वाली कई तदर्थ विधियों को एकीकृत करता है, और (2) यह समाधान खोजने के लिए शक्तिशाली नए तरीके प्रदान करता है। इस सिद्धांत के साधारण और आंशिक विभेदक समीकरणों दोनों के लिए अनुप्रयोग हैं। एक सामान्य समाधान दृष्टिकोण विभेदक समीकरणों के समरूपता गुण का उपयोग करता है, समाधानों के समाधान के निरंतर असीम परिवर्तन (झूठ सिद्धांत)। निरंतर समूह सिद्धांत, लाइ अल्जेब्रा और विभेदक ज्यामिति का उपयोग समाकलनीय समीकरणों को उत्पन्न करने के लिए रैखिक और गैर-रैखिक (आंशिक) विभेदक समीकरणों की संरचना को समझने के लिए किया जाता है, ताकि इसके लैक्स जोड़े, पुनरावर्तन प्रचालक, बैक्लंड परिवर्तन और अंत में डी. ई. के सटीक विश्लेषणात्मक समाधान खोजे जा सकें। गणित, भौतिकी, इंजीनियरिंग और अन्य विषयों में उत्पन्न होने वाले विभेदक समीकरणों पर सममिति विधियों को लागू किया गया है। स्टर्म-लिउविल सिद्धांत एक विशेष प्रकार के द्वितीय क्रम रैखिक साधारण विभेदक समीकरण का एक सिद्धांत है। उनके समाधान द्वितीय-क्रम सजातीय रैखिक समीकरणों के माध्यम से परिभाषित रैखिक प्रचालक के आइगेनवैल्यू और संबंधित आइगेनफ़ंक्शंस पर आधारित हैं। इन समस्याओं की पहचान स्टर्म-लिउविल प्रॉब्लम्स (एसएलपी) के रूप में की गई है और इनका नाम जे. सी. एफ. के नाम पर रखा गया है। स्टर्म और जे. लिउविल, जिन्होंने 1800 के दशक के मध्य में उनका अध्ययन किया। एस. एल. पी. में अनंत संख्या में आइगेनवैल्यू होते हैं, और संबंधित आइगेनफ़ंक्शंस एक पूर्ण, ऑर्थोगोनल सेट बनाते हैं, जो ऑर्थोगोनल विस्तार को संभव बनाता है। यह व्यावहारिक गणित, भौतिकी और इंजीनियरिंग में एक प्रमुख विचार है। एसएलपी कुछ आंशिक विभेदक समीकरणों के विश्लेषण में भी उपयोगी हैं। समाधानों का अस्तित्व और विशिष्टता ऐसे कई प्रमेय हैं जो स्थानीय और वैश्विक दोनों स्तरों पर ओ. डी. ई. से जुड़ी प्रारंभिक मूल्य समस्याओं के समाधान के अस्तित्व और विशिष्टता को स्थापित करते हैं। दो मुख्य प्रमेय हैं {। वर्ग = "विकिटेबल"।-! प्रमेय! अनुमान! निष्कर्ष।-|Peano अस्तित्व प्रमेय। |F निरंतर। |local अस्तित्व केवल।-|Picard-Lindelöf प्रमेय। |F Lipschitz निरंतर। |local अस्तित्व और विशिष्टता।-। अपने मूल रूप में ये दोनों प्रमेय केवल स्थानीय परिणामों की गारंटी देते हैं, हालांकि बाद वाले को वैश्विक परिणाम देने के लिए बढ़ाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, यदि ग्रोनवाल की असमानता की शर्तों को पूरा किया जाता है। इसके अलावा, ऊपर दिए गए लिपशिट्ज़ जैसे विशिष्टता प्रमेय डी. ए. ई. प्रणालियों पर लागू नहीं होते हैं, जिनके कई समाधान अकेले उनके (गैर-रैखिक) बीजगणितीय भाग से उत्पन्न हो सकते हैं। स्थानीय अस्तित्व और विशिष्टता प्रमेय को सरल बनाया गया प्रमेय को सरलता से इस प्रकार कहा जा सकता है। समीकरण और प्रारंभिक मूल्य समस्या के लिएः यदि x-y तल में एक बंद आयत में F और ष्णू F/ष्णू y निरंतर हैं, जहां a और b वास्तविक हैं (प्रतीकात्मक रूप सेः) और कार्टेशियन उत्पाद को दर्शाते हैं, तो वर्ग कोष्ठक बंद अंतराल को दर्शाते हैं, तो कुछ के लिए एक अंतराल होता है जहां उपरोक्त समीकरण और प्रारंभिक मूल्य समस्या का समाधान पाया जा सकता है। अर्थात्, एक समाधान है और यह अद्वितीय है। चूँकि F के रैखिक होने पर कोई प्रतिबंध नहीं है, यह गैर-रैखिक समीकरणों पर लागू होता है जो F (x, y) का रूप लेते हैं, और इसे समीकरणों की प्रणालियों पर भी लागू किया जा सकता है। वैश्विक विशिष्टता और समाधान का अधिकतम क्षेत्र जब पिकार्ड-लिंडेलॉफ प्रमेय की परिकल्पनाएँ संतुष्ट होती हैं, तो स्थानीय अस्तित्व और विशिष्टता को वैश्विक परिणाम तक बढ़ाया जा सकता है। अधिक सटीक रूप सेः प्रत्येक प्रारंभिक स्थिति (x0, y0) के लिए एक अद्वितीय अधिकतम (संभवतः अनंत) खुला अंतराल मौजूद है जैसे कि कोई भी समाधान जो इस प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करता है, वह समाधान का एक प्रतिबंध है जो इस प्रारंभिक स्थिति को डोमेन के साथ संतुष्ट करता है। इस मामले में कि, सीमित समय में ठीक दो संभावनाएं विस्फोट होती हैंः परिभाषा के क्षेत्र को छोड़ देता हैः जहां ω खुला सेट है जिसमें F को परिभाषित किया गया है, और इसकी सीमा है। ध्यान दें कि समाधान का अधिकतम क्षेत्र हमेशा एक अंतराल होता है (विशिष्टता रखने के लिए) जो (x0, y0) के विशिष्ट विकल्प पर निर्भर करता है उससे छोटा हो सकता है। उदाहरण लीजिए। इसका मतलब है कि F (x, y) = y2, जो कि C1 है और इसलिए स्थानीय रूप से लिप्सिट्ज़ निरंतर है, पिकार्ड-लिंडेलॉफ़ प्रमेय को संतुष्ट करता है। इस तरह की सरल सेटिंग में भी, समाधान का अधिकतम डोमेन सभी नहीं हो सकता है क्योंकि समाधान वह है जिसमें अधिकतम डोमेन हैः यह स्पष्ट रूप से दर्शाता है कि अधिकतम अंतराल प्रारंभिक स्थितियों पर निर्भर हो सकता है। y के क्षेत्र को अस्तित्व के रूप में लिया जा सकता है लेकिन यह एक ऐसे क्षेत्र की ओर ले जाएगा जो एक अंतराल नहीं है, ताकि प्रारंभिक स्थिति के विपरीत पक्ष को प्रारंभिक स्थिति से अलग कर दिया जाए, और इसलिए इसके द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं किया जाता है। अधिकतम क्षेत्र इसलिए नहीं है क्योंकि उपरोक्त प्रमेय के अनुसार दो संभावित मामलों में से एक है। यदि समीकरण के क्रम को कम किया जा सकता है तो विभेदक समीकरणों को हल करना आमतौर पर आसान होता है। प्रथम-क्रम प्रणाली में कमी n क्रम के किसी भी स्पष्ट विभेदक समीकरण को i = 1,2,., n के लिए अज्ञात कार्यों के एक नए परिवार को परिभाषित करके n प्रथम-क्रम विभेदक समीकरणों की एक प्रणाली के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ कई महत्वपूर्ण कक्षाएँ दी गई हैं। नीचे दी गई तालिका में,,,, और, के कोई भी समाकलनीय कार्य हैं; और वास्तविक दिए गए स्थिरांक हैं; मनमाने स्थिरांक (सामान्य रूप से जटिल) हैं। अवकल समीकरण अपने समतुल्य और वैकल्पिक रूपों में होते हैं जो एकीकरण के माध्यम से समाधान की ओर ले जाते हैं। समाकलन समाधानों में, λ और ε समाकलन के नकली चर हैं (योग में सूचकांकों के निरंतर अनुरूप), और संकेतन का मतलब केवल समाकलन के संबंध में समाकलन करना है, फिर समाकलन विकल्प के बाद, स्थिरांक (स्पष्ट रूप से बताए गए) को जोड़े बिना। पृथक्करण समीकरण सामान्य प्रथम-क्रम समीकरण सामान्य द्वितीय-क्रम समीकरण nवें क्रम के समीकरणों के लिए रैखिक अनुमान लगाने की विधि जब किसी ODE को हल करने के लिए अन्य सभी तरीके विफल हो जाते हैं, या उन मामलों में जहां हमें इस बारे में कुछ अंतर्ज्ञान होता है कि DE का समाधान कैसा दिख सकता है, तो कभी-कभी केवल समाधान का अनुमान लगाकर और इसे मान्य करके DE को हल करना संभव होता है। इस विधि का उपयोग करने के लिए, हम केवल विभेदक समीकरण के समाधान का अनुमान लगाते हैं, और फिर समाधान को विभेदक समीकरण में जोड़ते हैं ताकि यह प्रमाणित किया जा सके कि क्या यह समीकरण को संतुष्ट करता है। यदि ऐसा होता है तो हमारे पास DE का एक विशेष समाधान है, अन्यथा हम फिर से शुरू करते हैं और एक और अनुमान लगाने की कोशिश करते हैं। उदाहरण के लिए हम अनुमान लगा सकते हैं कि एक डी. ई. के समाधान का रूप हैः क्योंकि यह एक बहुत ही सामान्य समाधान है जो शारीरिक रूप से साइनसॉइडल तरीके से व्यवहार करता है। प्रथम क्रम ODE के मामले में जो गैर-सजातीय है, हमें पहले DE के सजातीय हिस्से के लिए एक DE समाधान खोजने की आवश्यकता है, जिसे अन्यथा विशेषता समीकरण के रूप में जाना जाता है, और फिर अनुमान लगाकर पूरे गैर-सजातीय समीकरण का समाधान खोजने की आवश्यकता है। अंत में, हम ODE का कुल समाधान प्राप्त करने के लिए इन दोनों समाधानों को एक साथ जोड़ते हैं, अर्थात्ः ODE को हल करने के लिए सॉफ्टवेयर मैक्सिमा, एक ओपन-सोर्स कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली। सी. ओ. पी. ए. एस. आई., ओ. डी. ई. के एकीकरण और विश्लेषण के लिए एक मुफ्त (कलात्मक लाइसेंस 2) सॉफ्टवेयर पैकेज है। मैटलैब, एक तकनीकी कम्प्यूटिंग अनुप्रयोग (मैट्रिक्स लैबोरेटरी) जीएनयू ऑक्टेव, एक उच्च-स्तरीय भाषा है, जो मुख्य रूप से संख्यात्मक गणनाओं के लिए है। साइलैब, संख्यात्मक गणना के लिए एक खुला स्रोत अनुप्रयोग है। मेपल, प्रतीकात्मक गणना के लिए एक स्वामित्व अनुप्रयोग। मैथेमेटिका, एक स्वामित्व अनुप्रयोग जो मुख्य रूप से प्रतीकात्मक गणना के लिए है। सिम्पी, एक पायथन पैकेज जो ओ. डी. ई. को प्रतीकात्मक रूप से जूलिया (प्रोग्रामिंग भाषा) को हल कर सकता है, जो मुख्य रूप से संख्यात्मक गणनाओं के लिए एक उच्च-स्तरीय भाषा है। सेजमैथ, एक मुक्त-स्रोत अनुप्रयोग है जो गणित की कई शाखाओं में फैली क्षमताओं की एक विस्तृत श्रृंखला के साथ पायथन जैसे वाक्यविन्यास का उपयोग करता है। साइपाई, एक पायथन पैकेज जिसमें एक ओडीई एकीकरण मॉड्यूल शामिल है। चेबफुन, 15 अंकों की सटीकता के लिए कार्यों के साथ गणना करने के लिए MATLAB में लिखा गया एक ओपन-सोर्स पैकेज है। जी. एन. यू. आर., एक मुक्त स्रोत कम्प्यूटेशनल वातावरण है जो मुख्य रूप से सांख्यिकी के लिए है, जिसमें ओ. डी. ई. समाधान के लिए पैकेज शामिल हैं। सीमा मूल्य समस्या भी देखें विभेदक समीकरणों के उदाहरण विभेदक समीकरणों पर लागू लाप्लास परिवर्तन गतिशील प्रणालियों और विभेदक समीकरणों की सूची विषय मैट्रिक्स विभेदक समीकरण अनिर्धारित गुणांक की विधि पुनरावृत्ति संबंध टिप्पणियाँ संदर्भ। पोल्यानिन, ए. डी. और वी. एफ. ज़ैतसेव, साधारण विभेदक समीकरणों के लिए सटीक समाधान की पुस्तिका (दूसरा संस्करण), चैपमैन एंड हॉल/सी. आर. सी. प्रेस, बोका रैटन, 2003। बिब्लियोग्राफी डब्ल्यू. जॉनसन, ए ट्रीटीज ऑन ऑर्डिनरी एंड पार्शियल डिफरेंशियल इक्वेशन्स, जॉन विली एंड संस, 1913, यूनिवर्सिटी ऑफ मिशिगन हिस्टोरिकल मैथ कलेक्शन विटोल्ड ह्यूरिविज़ में, लेक्चर्स ऑन ऑर्डिनरी डिफरेंशियल इक्वेशन्स, डोवर पब्लिकेशन,। ए. डी. पोल्यानिन, वी. एफ. जैत्सेव, और ए. मूसियाक्स, हैंडबुक ऑफ फर्स्ट ऑर्डर पार्शियल डिफरेंशियल इक्वेशन्स, टेलर एंड फ्रांसिस, लंदन, 2002। डी. ज़्विलिंगर, विभेदक समीकरणों की पुस्तिका (तीसरा संस्करण), अकादमिक प्रेस, बोस्टन, 1997। बाहरी लिंक ईक्यूवर्ल्डः गणितीय समीकरणों की दुनिया, जिसमें उनके समाधानों के साथ साधारण विभेदक समीकरणों की 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