Riemann invariant
रीमान अपरिवर्तनीय गणितीय परिवर्तन हैं जो संरक्षण समीकरणों की एक प्रणाली पर किए गए हैं ताकि उन्हें अधिक आसानी से हल किया जा सके। रीमान अपरिवर्तनीय आंशिक विभेदक समीकरणों के विशिष्ट वक्रों के साथ स्थिर होते हैं जहां वे नाम अपरिवर्तनीय प्राप्त करते हैं। वे पहली बार बर्नहार्ड रीमैन द्वारा गैस गतिकी में समतल तरंगों पर अपने काम में प्राप्त किए गए थे। गणितीय सिद्धांत संरक्षण समीकरणों के समूह पर विचार करेंः मैट्रिक्स के तत्व कहाँ और कहाँ हैं और कहाँ वेक्टर के तत्व हैं। यह पूछा जाएगा कि क्या इस समीकरण को फिर से लिखना संभव है ऐसा करने के लिए वक्रों को वेक्टर क्षेत्र द्वारा परिभाषित तल में पेश किया जाएगा। कोष्ठक में शब्द को कुल व्युत्पन्न के संदर्भ में फिर से लिखा जाएगा जहां पिछले दो समीकरणों की तुलना के रूप में मानकीकृत किया जाता है जिन्हें हम पाते हैं जिन्हें अब विशेषता के रूप में लिखा जा सकता है जहां हमारे पास ऐसी स्थितियां होनी चाहिए जहां आवश्यक शर्त देने के लिए समाप्त किया जा सकता है, इसलिए एक गैर-तुच्छ समाधान निर्धारक है रीमान अपरिवर्तकों के लिए हम इस मामले से चिंतित हैं जब मैट्रिक्स एक पहचान मैट्रिक्स है, ध्यान दें कि वेक्टर शून्य होने के कारण यह सजातीय है। विशेषता रूप में प्रणाली के साथ है मैट्रिक्स का बायां आइगेनवेक्टर कहाँ है और मैट्रिक्स के आइगेनवैल्यूज की विशेषता गति है जो संतुष्ट करती है इन विशेषता समीकरणों को सरल बनाने के लिए हम परिवर्तन कर सकते हैं जो एक एकीकृत कारक बनाते हैं जिसे इसे एकीकृत करने में मदद करने के लिए गुणा किया जा सकता है। तो प्रणाली में अब विशेषता रूप है जिस पर विकर्ण प्रणाली के बराबर है इस प्रणाली का समाधान सामान्यीकृत होडोग्राफ विधि द्वारा दिया जा सकता है। उदाहरण घनत्व और वेग के संदर्भ में लिखे गए एक-आयामी यूलर समीकरणों पर विचार करें जो ध्वनि की गति के साथ हैं जो आइसेंट्रोपिक धारणा के कारण पेश किया गया है। इस प्रणाली को मैट्रिक्स के रूप में लिखें जहां आइगेनवैल्यूज और आइगेनवेक्टर्स के ऊपर के विश्लेषण से मैट्रिक्स को खोजने की आवश्यकता है। आइगेनवैल्यूज को देने के लिए संतुष्ट पाया जाता है और आइगेनवेक्टर्स को वहाँ पाया जाता है जहाँ रीमान अपरिवर्तनीय हैं (और गैस गतिकी में व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले संकेतन हैं)। स्थिर विशिष्ट ऊष्मा के साथ पूर्ण गैस के लिए, समीकरण देने के लिए रीमान अपरिवर्तक देने के लिए संबंध है, जहाँ विशिष्ट ऊष्मा अनुपात है। दूसरे शब्दों में, कहाँ और कहाँ विशिष्ट वक्र हैं। इसे होडोग्राफ परिवर्तन द्वारा हल किया जा सकता है। होडोग्राफिक तल में, यदि सभी विशेषताएँ एक ही वक्र में गिर जाती हैं, तो हम सरल तरंगें प्राप्त करते हैं। यदि पी. डी. ई. की प्रणाली का मैट्रिक्स रूप इस रूप में है तो व्युत्क्रम मैट्रिक्स द्वारा गुणा करना संभव हो सकता है जब तक कि का मैट्रिक्स निर्धारक शून्य न हो। सरल तरंग संदर्भ अपरिवर्तनीय सिद्धांत आंशिक विभेदक समीकरण संरक्षण समीकरण बर्नहार्ड रीमैन भी देखें।