Coherent states in mathematical physics
सुसंगत अवस्थाओं को एक भौतिक संदर्भ में पेश किया गया है, पहले क्वांटम यांत्रिकी में अर्ध-शास्त्रीय अवस्थाओं के रूप में, फिर क्वांटम प्रकाशिकी की रीढ़ के रूप में और उन्हें लेख सुसंगत अवस्थाओं में उस भावना में वर्णित किया गया है (यह भी देखें)। हालाँकि, उन्होंने सामान्यीकरणों की एक विशाल विविधता उत्पन्न की है, जिसके कारण गणितीय भौतिकी में साहित्य की एक जबरदस्त मात्रा उत्पन्न हुई है। इस लेख में, हम इस रेखा पर शोध की मुख्य दिशाओं का चित्रण करते हैं। अधिक जानकारी के लिए, हम कई मौजूदा सर्वेक्षणों का उल्लेख करते हैं। एक सामान्य परिभाषा एक जटिल, अलग करने योग्य हिल्बर्ट स्थान, एक स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट स्थान और एक माप होना चाहिए। प्रत्येक इन के लिए, एक वेक्टर को निरूपित करें। मान लीजिए कि वैक्टरों के इस समूह में निम्नलिखित गुण हैंः मानचित्रण कमजोर रूप से निरंतर है, यानी, प्रत्येक वेक्टर के लिए, कार्य निरंतर है (की टोपोलॉजी में)। पहचान का संकल्प हिल्बर्ट स्थान पर कमजोर अर्थ में होता है, अर्थात, किसी भी दो वैक्टर के लिए, निम्नलिखित समानता हैः उपरोक्त दो गुणों को संतुष्ट करने वाले वैक्टरों के एक समूह को सामान्यीकृत सुसंगत अवस्थाओं का परिवार कहा जाता है। विहित या मानक सुसंगत अवस्थाओं (सी. सी. एस.) की पिछली परिभाषा (लेख सुसंगत अवस्था में दी गई) को पुनर्प्राप्त करने के लिए, यह लेने के लिए पर्याप्त है, जटिल तल और कभी-कभी पहचान स्थिति के संकल्प को एक कमजोर स्थिति द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, जिसमें वैक्टर केवल एक कुल सेट बनाते हैं और कार्य, जैसा कि चलता है, एक पुनरुत्पादक कर्नेल हिल्बर्ट स्थान बनाते हैं। दोनों ही मामलों में उद्देश्य यह सुनिश्चित करना है कि एक मनमाना सदिश इन सदिशों के रैखिक (अभिन्न) संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सके। वास्तव में, पहचान के संकल्प का तुरंत तात्पर्य है कि कहाँ। ये वैक्टर वर्ग समाकलनीय, निरंतर कार्य हैं और पुनरुत्पादन गुण को संतुष्ट करते हैं जहां पुनरुत्पादन कर्नेल है, जो निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करता है कुछ उदाहरण हम इस खंड में ऊपर दी गई सामान्य संरचना के चित्रों के रूप में कुछ अधिक सामान्य रूप से उपयोग किए जाने वाले सुसंगत अवस्थाओं को प्रस्तुत करते हैं। गैर-रैखिक सुसंगत अवस्थाएँ सी. सी. एस. के सामान्यीकरण का एक बड़ा वर्ग उनकी विश्लेषणात्मक संरचना के सरल संशोधन द्वारा प्राप्त किया जाता है। मान लीजिए कि धनात्मक संख्याओं () का एक अनंत अनुक्रम है। कन्वेंशन सेट द्वारा परिभाषित करें। उसी फ़ॉक स्थान में जिसमें सी. सी. एस. का वर्णन किया गया था, अब हम विस्तार द्वारा संबंधित विकृत या अरैखिक सुसंगत अवस्थाओं को परिभाषित करते हैं सामान्यीकरण कारक को चुना जाता है ताकि। ये सामान्यीकृत सुसंगत अवस्थाएँ फ़ॉक स्थान में अति-पूर्ण होती हैं और त्रिज्या के जटिल तल में एक खुली डिस्क होने के कारण पहचान के एक संकल्प को संतुष्ट करती हैं, श्रृंखला के अभिसरण की त्रिज्या (सी. सी. एस. के मामले में)। माप सामान्य रूप से (के लिए) का होता है, जहां यह पल की स्थिति के माध्यम से संबंधित होता है। एक बार फिर, हम देखते हैं कि फ़ॉक स्पेस में एक मनमाने वेक्टर के लिए, फ़ंक्शन इस रूप का है, जहाँ डोमेन पर एक विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन है। इन सुसंगत अवस्थाओं से जुड़े पुनरुत्पादक कर्नेल बारूट-गिरार्डेलो सुसंगत अवस्थाएँ हैं। सी. सी. एस. मामले के साथ सादृश्य से, कोई भी वैक्टर और उसके संलग्न ऑपरेटर पर अपनी कार्रवाई से एक सामान्यीकृत विनाश ऑपरेटर को परिभाषित कर सकता है। ये फॉक्स अवस्थाओं पर इस प्रकार कार्य करते हैं कि मात्राओं के सटीक मूल्यों के आधार पर, ये दोनों प्रचालक, पहचान और उनके सभी कम्यूटेटरों के साथ, विभिन्न प्रकार के विकृत क्वांटम अल्जेब्रा सहित अल्जेब्रा की एक विस्तृत श्रृंखला उत्पन्न कर सकते हैं। 'अरैखिक' शब्द, जैसा कि अक्सर इन सामान्यीकृत सुसंगत अवस्थाओं पर लागू किया जाता है, क्वांटम प्रकाशिकी से फिर से आता है जहां अवस्थाओं के कई ऐसे परिवारों का उपयोग विकिरण क्षेत्र और परमाणुओं के बीच बातचीत का अध्ययन करने में किया जाता है, जहां बातचीत की ताकत स्वयं विकिरण की आवृत्ति पर निर्भर करती है। बेशक, इन सुसंगत अवस्थाओं में सामान्य रूप से सी. सी. एस. के समूह सैद्धांतिक या न्यूनतम अनिश्चितता गुण नहीं होंगे (अधिक सामान्य गुण हो सकते हैं)। ऊपर परिभाषित सामान्य प्रकार के प्रचालक को सीढ़ी प्रचालक के रूप में भी जाना जाता है। जब ऐसे प्रचालक लाइ अल्जेब्रा के प्रतिनिधित्व के जनरेटर के रूप में दिखाई देते हैं, तो इनके आइगेनवेक्टर्स को आमतौर पर बारूट-गिरार्डेलो सुसंगत अवस्था कहा जाता है। एक विशिष्ट उदाहरण फॉक्स स्पेस पर एसयू (1,1) के लाइ बीजगणित के अभ्यावेदन से प्राप्त किया जाता है। गैर-रैखिक सुसंगत अवस्थाओं की उपरोक्त अभिव्यक्ति का एक गैर-विश्लेषणात्मक विस्तार अक्सर शुद्ध बिंदु स्पेक्ट्रा वाले भौतिक हैमिल्टनियन से जुड़े सामान्यीकृत सुसंगत अवस्थाओं को परिभाषित करने के लिए उपयोग किया जाता है। ये सुसंगत अवस्थाएँ, जिन्हें गेज़ौ-क्लाउडर सुसंगत अवस्थाओं के रूप में जाना जाता है, क्रिया-कोण चर द्वारा लेबल की जाती हैं। मान लीजिए कि हमें भौतिक हैमिल्टनियन दिया गया है, जिसमें, यानी, इसमें ऊर्जा आइगेनवैल्यू और आइगेनवेक्टर हैं, जिन्हें हम अवस्थाओं के हिल्बर्ट स्थान के लिए एक ऑर्थोनॉर्मल आधार बनाने के लिए मानते हैं। आइए हम आयामहीन मात्राओं के अनुक्रम को इस प्रकार क्रमबद्ध करके आइगेनवैल्यू को लिखेंः फिर, सभी के लिए और, गेज़ौ-क्लाउडर सुसंगत अवस्थाओं को परिभाषित किया जाता है जहां फिर से एक सामान्यीकरण कारक है, जो केवल पर निर्भर होता है। ये सुसंगत अवस्थाएँ लौकिक स्थिरता की स्थिति और क्रिया पहचान को संतुष्ट करती हैं, जबकि ये सामान्यीकृत सुसंगत अवस्थाएँ एक अति-पूर्ण सेट बनाती हैं, पहचान का संकल्प आम तौर पर ऊपर के रूप में एक अभिन्न संबंध द्वारा नहीं दिया जाता है, बल्कि बोहर के अर्थ में एक अभिन्न द्वारा दिया जाता है, जैसे कि यह लगभग आवधिक कार्यों के सिद्धांत में उपयोग में है। वास्तव में गेज़ौ-क्लाउडर सी. एस. के निर्माण को वेक्टर सी. एस. और अपक्षयी स्पेक्ट्रा वाले हैमिल्टनियन तक बढ़ाया जा सकता है, जैसा कि अली और बागरेलो द्वारा दिखाया गया है। एक अन्य प्रकार की सुसंगत अवस्था तब उत्पन्न होती है जब एक कण पर विचार किया जाता है जिसका विन्यास स्थान एक कॉम्पैक्ट लाइ समूह के समूह मैनीफोल्ड है के. हॉल ने सुसंगत अवस्थाओं को पेश किया जिसमें यूक्लिडियन स्थान पर सामान्य गॉसियन को के पर ऊष्मा कर्नेल द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। इन सुसंगत अवस्थाओं में पहचान का एक संकल्प होता है जो जटिलता पर एक सेगल-बर्गमैन स्थान की ओर ले जाता है। हॉल के परिणामों को स्टेंज़ेल द्वारा गोले सहित कॉम्पैक्ट सममित स्थानों तक विस्तारित किया गया था। इस मामले में, थिमान और उनके सहयोगियों द्वारा क्वांटम गुरुत्वाकर्षण के सिद्धांत में ऊष्मा कर्नेल सुसंगत अवस्थाओं को लागू किया गया है। हालांकि निर्माण में दो अलग-अलग लाइ समूह शामिल हैं, गर्मी कर्नेल सुसंगत अवस्थाएं पेरेलोमोव प्रकार की नहीं हैं। समूह-सैद्धांतिक दृष्टिकोण गिलमोर और पेरेलोमोव ने स्वतंत्र रूप से महसूस किया कि सुसंगत अवस्थाओं के निर्माण को कभी-कभी एक समूह सैद्धांतिक समस्या के रूप में देखा जा सकता है। इसे देखने के लिए, आइए हम कुछ समय के लिए सी. सी. एस. के मामले पर वापस जाएं। वहाँ, वास्तव में, विस्थापन प्रचालक हाइजेनबर्ग समूह (जिसे वेल-हाइजेनबर्ग समूह भी कहा जाता है) के एक तत्व के फॉक्स स्थान में प्रतिनिधि के अलावा और कुछ नहीं है, जिसका लाइ बीजगणित और द्वारा उत्पन्न होता है। हालाँकि, सी. सी. एस. के साथ आगे बढ़ने से पहले, सामान्य मामले को लें। मान लीजिए कि एक स्थानीय रूप से सघन समूह है और एकात्मक प्रचालक द्वारा हिल्बर्ट स्थान पर इसका निरंतर, अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व है। इस प्रतिनिधित्व को वर्ग समाकलन कहा जाता है यदि कोई गैर-शून्य सदिश मौजूद है जिसमें समाकलन अभिसरण करता है। यहाँ बाएं अपरिवर्तनीय हार माप है। एक वेक्टर जिसके लिए स्वीकार्य कहा जाता है, और यह दिखाया जा सकता है कि ऐसे एक वेक्टर का अस्तित्व ऐसे वैक्टरों के एक पूरे घने समूह के अस्तित्व की गारंटी देता है। इसके अलावा, यदि समूह एक-आयामी है, यानी, यदि बाएं और दाएं अपरिवर्तनीय उपाय मेल खाते हैं, तो एक स्वीकार्य वेक्टर का अस्तित्व इंगित करता है कि प्रत्येक वेक्टर स्वीकार्य है। एक वर्ग समाकलन प्रतिनिधित्व और एक स्वीकार्य सदिश को देखते हुए, आइए हम सदिशों को परिभाषित करें ये सदिश विहित सुसंगत अवस्थाओं के अनुरूप हैं, जिन्हें हाइजेनबर्ग समूह के प्रतिनिधित्व के संदर्भ में लिखा गया है (हालाँकि, नीचे गिलमोर-पेरेलोमोव सीएस पर खंड देखें)। इसके बाद, यह दिखाया जा सकता है कि पहचान का संकल्प बना रहता है। इस प्रकार, वैक्टर सामान्यीकृत सुसंगत अवस्थाओं के एक परिवार का गठन करते हैं। माप और ऐसे कार्यों के समूह के संबंध में सभी वैक्टरों के लिए कार्य वर्ग समाकलनीय हैं, जो वास्तव में के टोपोलॉजी में निरंतर हैं, एक बंद उपक्षेत्र बनाते हैं। इसके अलावा, मानचित्रण और और के बीच एक रैखिक सममिति है और इस सममिति के तहत प्रतिनिधित्व को बाएं नियमित प्रतिनिधित्व के उप-प्रतिनिधित्व के लिए मैप किया जाता है। एक उदाहरण हैः वेवलेट उपरोक्त निर्माण का एक विशिष्ट उदाहरण रेखा के एफाइन समूह द्वारा प्रदान किया गया है। यह इस प्रकार के सभी 2 × 2 मेट्रिसीज़ का समूह है, और इसके साथ वास्तविक संख्याएँ हैं। हम द्वारा दी गई कार्रवाई के साथ भी लिखेंगे। यह समूह गैर-यूनिमॉड्यूलर है, जिसमें बाएं अपरिवर्तनीय माप (दाएं अपरिवर्तनीय माप) द्वारा दिया जा रहा है। एफ़ाइन समूह का हिल्बर्ट स्थान पर एकात्मक अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व है। वेक्टर वास्तविक चर के मापने योग्य कार्य हैं और इस प्रतिनिधित्व के (एकात्मक) प्रचालक उन पर इस प्रकार कार्य करते हैं यदि एक ऐसा कार्य है जिसमें इसका फूरियर परिवर्तन (स्वीकार्यता) स्थिति को संतुष्ट करता है तो इसे एक स्वीकार्य सदिश के रूप में दिखाया जा सकता है, अर्थात, इस प्रकार, ऊपर उल्लिखित सामान्य संरचना के बाद, सदिश सामान्यीकृत सुसंगत अवस्थाओं के एक परिवार को परिभाषित करते हैं और एक पर पहचान का संकल्प होता है। संकेत विश्लेषण साहित्य में, उपरोक्त स्वीकार्यता स्थिति को संतुष्ट करने वाले वेक्टर को मदर वेवलेट कहा जाता है और सामान्यीकृत सुसंगत अवस्थाओं को वेवलेट कहा जाता है। संकेतों को तब वैक्टर के साथ पहचाना जाता है और इस कार्य को संकेत का निरंतर तरंग परिवर्तन कहा जाता है। इस अवधारणा को दो आयामों तक बढ़ाया जा सकता है, समूह को समतल के तथाकथित समानता समूह द्वारा प्रतिस्थापित किया जा रहा है, जिसमें समतल अनुवाद, घूर्णन और वैश्विक फैलाव शामिल हैं। परिणामी 2डी वेवलेट, और उनके कुछ सामान्यीकरण, छवि प्रसंस्करण में व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं। गिलमोर-पेरेलोमोव सुसंगत अवस्थाएँ ऊपर वर्णित समूह प्रतिनिधित्वों का उपयोग करके सुसंगत अवस्थाओं का निर्माण पर्याप्त नहीं है। पहले से ही यह सी. सी. एस. प्राप्त नहीं कर सकता है, क्योंकि ये हाइजेनबर्ग समूह के तत्वों द्वारा अनुक्रमित नहीं हैं, बल्कि इसके केंद्र द्वारा बाद के भागफल के बिंदुओं द्वारा अनुक्रमित हैं, जो भागफल सटीक रूप से है। प्रमुख अवलोकन यह है कि हाइजेनबर्ग समूह का केंद्र वैक्यूम वेक्टर को एक चरण तक अपरिवर्तनीय छोड़ देता है। इस विचार को सामान्य करते हुए, गिलमोर और पेरेलोमोव एक स्थानीय रूप से सघन समूह और हिल्बर्ट स्थान पर एकात्मक अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व पर विचार करते हैं, जो आवश्यक रूप से वर्ग समाकलन योग्य नहीं है। इकाई मानक के एक वेक्टर को ठीक करें, और उन सभी तत्वों से युक्त उपसमूह द्वारा निरूपित करें जो इसे एक चरण तक अपरिवर्तनीय छोड़ देते हैं, यानी, जहां का एक वास्तविक-मूल्यवान कार्य है। मान लीजिए कि बायीं ओर कोसेट स्थान और एक मनमाना तत्व है। एक कोसेट प्रतिनिधि का चयन करते हुए, प्रत्येक कोसेट के लिए, हम वैक्टर को परिभाषित करते हैं। कोसेट प्रतिनिधि की विशिष्ट पसंद पर इन वैक्टर की निर्भरता केवल एक चरण के माध्यम से होती है। वास्तव में, अगर इसके बजाय, हमने एक ही कोसेट के लिए एक अलग प्रतिनिधि लिया, तो कुछ के लिए, हमारे पास होगा। इसलिए, क्वांटम यांत्रिक रूप से, दोनों एक ही भौतिक स्थिति का प्रतिनिधित्व करते हैं और विशेष रूप से, प्रक्षेपण प्रचालक केवल कोसेट पर निर्भर करता है। इस तरह से परिभाषित वेक्टरों को गिलमोर-पेरेलोमोव सुसंगत अवस्था कहा जाता है। चूंकि इसे इरेड्यूसिबल माना जाता है, इसलिए इन सभी वैक्टरों का सेट घने होते हैं। सामान्यीकृत सुसंगत अवस्थाओं की इस परिभाषा में, पहचान का कोई संकल्प नहीं माना जाता है। हालाँकि, यदि प्राकृतिक क्रिया के तहत एक अपरिवर्तनीय माप होता है, और यदि औपचारिक प्रचालक को परिभाषित किया गया है कि वह बंधा हुआ है, तो यह आवश्यक रूप से पहचान का एक गुणक है और पहचान का एक संकल्प फिर से प्राप्त किया जाता है। गिलमोर-पेरेलोमोव सुसंगत अवस्थाओं को क्वांटम समूहों के लिए सामान्यीकृत किया गया है, लेकिन इसके लिए हम साहित्य का उल्लेख करते हैं। आगे सामान्यीकरणः कोसेट रिक्त स्थान पर सुसंगत अवस्थाएँ पेरेलोमोव निर्माण का उपयोग किसी भी स्थानीय रूप से सघन समूह के लिए सुसंगत अवस्थाओं को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है। दूसरी ओर, विशेष रूप से गिलमोर-पेरेलोमोव निर्माण की विफलता के मामले में, समूह प्रतिनिधित्व का उपयोग करके सामान्यीकृत सुसंगत अवस्थाओं के अन्य निर्माण मौजूद हैं, जो समूह के सजातीय स्थानों के लिए वर्ग समाकलन की धारणा को सामान्यीकृत करते हैं। संक्षेप में, इस दृष्टिकोण में एक एकात्मक इरेड्यूसिबल प्रतिनिधित्व के साथ शुरू होता है और एक वेक्टर, एक उपसमूह और एक ऐसे खंड को खोजने का प्रयास करता है जहां, एक बाउंडेड, पॉजिटिव ऑपरेटर है जो बाउंडेड इनवर्स के साथ है और एक अर्ध-अपरिवर्तनीय माप है। यह नहीं माना जाता है कि क्रिया के तहत एक चरण तक अपरिवर्तनीय हो और स्पष्ट रूप से, सबसे अच्छी स्थिति तब होती है जब पहचान का एक गुणक होता है। हालांकि कुछ हद तक तकनीकी, यह सामान्य निर्माण इस प्रकार के अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद समूहों के लिए भारी बहुमुखी प्रतिभा का है, जहां इसका एक बंद उपसमूह है। इस प्रकार, यह कई भौतिक रूप से महत्वपूर्ण समूहों के लिए उपयोगी है, जैसे कि पोइनकेयर समूह या यूक्लिडियन समूह, जिनमें पहले की परिभाषा के अर्थ में वर्ग एकीकृत प्रतिनिधित्व नहीं हैं। विशेष रूप से, प्रचालक को परिभाषित करने वाली अभिन्न शर्त यह सुनिश्चित करती है कि किसी भी सदिश को सामान्यीकृत सुसंगत अवस्थाओं के संदर्भ में लिखा जा सकता है, जो कि किसी भी प्रकार की सुसंगत अवस्थाओं का प्राथमिक उद्देश्य है। सुसंगत अवस्थाएँः एक माप समुच्चय के परिमाणीकरण के लिए एक बायेसियन निर्माण अब हम मानक स्थिति से प्रस्थान करते हैं और सुसंगत अवस्थाओं के निर्माण की एक सामान्य विधि प्रस्तुत करते हैं, जो इन वस्तुओं की संरचना पर कुछ अवलोकनों से शुरू होती है जो कुछ स्व-एडजॉइंट ऑपरेटर के आइगेनस्टेट के सुपरपोजिशन के रूप में होती है, जैसा कि मानक सीएस के लिए हार्मोनिक ऑसिलेटर हैमिल्टनियन था। यह क्वांटम यांत्रिकी का सार है कि इस सुपरपोजिशन में एक संभावित स्वाद है। वास्तव में, हम देखते हैं कि विहित सुसंगत अवस्थाओं की संभावित संरचना में दो संभाव्यता वितरण शामिल हैं जो उनके निर्माण को रेखांकित करते हैं। एक प्रकार की द्वैतता में, एक पॉइसन वितरण होता है जो क्वांटम प्रणाली के सुसंगत अवस्था में होने पर उत्तेजनाओं का पता लगाने की संभावना को नियंत्रित करता है, और जटिल मापदंडों के सेट पर एक गामा वितरण होता है, जो रेडियल चर के वर्ग की सीमा पर अधिक सटीक होता है। सामान्यीकरण उस द्वैत योजना का अनुसरण करता है। मान लीजिए कि एक माप और उससे जुड़े जटिल-मूल्य वाले कार्यों के हिल्बर्ट स्थान से सुसज्जित मापदंडों का एक समूह है, जो वर्ग के संबंध में समाकलन योग्य है। आइए हम एक परिमित या गणना योग्य ऑर्थोनॉर्मल सेट में चुनेंः अनंत गणना के मामले में, इस सेट को (महत्वपूर्ण) परिमितता की स्थिति का पालन करना चाहिएः मान लीजिए कि के तत्वों के साथ एक-से-एक पत्राचार में ऑर्थोनॉर्मल आधार के साथ एक अलग करने योग्य जटिल हिल्बर्ट स्पेस हो। उपरोक्त दो शर्तों का तात्पर्य है कि सामान्यीकृत सुसंगत अवस्थाओं का परिवार, जो पहचान को हल करके परिभाषित किया जाता हैः इस तरह का संबंध हमें एक सुसंगत स्थिति या मापदंडों के सेट के फ्रेम क्वांटाइजेशन को लागू करने की अनुमति देता है जो एक ऐसे फ़ंक्शन से जुड़ता है जो निम्नलिखित ऑपरेटर को उपयुक्त शर्तों को संतुष्ट करता हैः ऑपरेटर सममित है यदि वास्तविक-मूल्य है, और यह स्वयं-समरूप (एक द्विघात रूप के रूप में) है यदि वास्तविक और अर्ध-सीमा है। ऑपरेटर के लिए मूल एक ऊपरी प्रतीक है, जो आमतौर पर गैर-अद्वितीय होता है। इसे परिवार के संबंध में एक शास्त्रीय अवलोकन योग्य कहा जाएगा यदि तथाकथित निचले प्रतीक के रूप में परिभाषित किया गया है, जिसमें हल्के कार्यात्मक गुण हैं जिन्हें मूल समूह को दिए गए आगे के स्थलाकृतिक गुणों के अनुसार सटीक बनाया जाना है। क्वांटम अवस्थाओं के स्थान के इस निर्माण का एक अंतिम बिंदु इसके सांख्यिकीय पहलुओं से संबंधित है। वास्तव में दो संभाव्यता वितरणों के बीच एक परस्पर क्रिया हैः सुसंगत अवस्थाएँ भी देखें Lieb अनुमान मात्रात्मक संदर्भ गणितीय भौतिकी