Multipole radiation
बहुध्रुवीय विकिरण दूर के स्रोतों के समय-निर्भर वितरण से विद्युत चुम्बकीय या गुरुत्वाकर्षण विकिरण के विवरण के लिए एक सैद्धांतिक ढांचा है। इन उपकरणों को भौतिक घटनाओं पर लागू किया जाता है जो विभिन्न लंबाई के पैमाने पर होती हैं-आकाशगंगा टकराव के कारण गुरुत्वाकर्षण तरंगों से लेकर परमाणु क्षय के परिणामस्वरूप होने वाले गामा विकिरण तक। बहुध्रुवीय विकिरण का विश्लेषण समान बहुध्रुवीय विस्तार तकनीकों का उपयोग करके किया जाता है जो स्थिर स्रोतों से क्षेत्रों का वर्णन करते हैं, हालांकि विश्लेषण के विवरण में महत्वपूर्ण अंतर हैं क्योंकि बहुध्रुवीय विकिरण क्षेत्र स्थिर क्षेत्रों से काफी अलग व्यवहार करते हैं। यह लेख मुख्य रूप से विद्युत चुम्बकीय बहुध्रुवीय विकिरण से संबंधित है, हालांकि गुरुत्वाकर्षण तरंगों का उपचार समान है। विद्युत चुम्बकीय विकिरण विद्युत आवेश और विद्युत प्रवाह की स्रोत प्रणाली के संरचनात्मक विवरणों पर निर्भर करता है। यदि संरचना अज्ञात या जटिल है तो प्रत्यक्ष विश्लेषण अव्यवहारिक हो सकता है। बहुध्रुवीय विश्लेषण विकिरण को बढ़ती जटिलता के क्षणों में अलग करने का एक तरीका प्रदान करता है। चूँकि विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र उच्च क्रम के क्षणों की तुलना में निचले क्रम के क्षणों पर अधिक निर्भर करता है, इसलिए संरचना को विस्तार से जाने बिना विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र का अनुमान लगाया जा सकता है। बहुध्रुवीय विकिरण के गुण क्षणों की रैखिकता चूंकि मैक्सवेल के समीकरण रैखिक हैं, इसलिए विद्युत क्षेत्र और चुंबकीय क्षेत्र स्रोत वितरण पर रैखिक रूप से निर्भर करते हैं। रैखिकता विभिन्न बहुध्रुवीय क्षणों के क्षेत्रों को स्वतंत्र रूप से गणना करने और प्रणाली के कुल क्षेत्र को देने के लिए एक साथ जोड़ने की अनुमति देती है। यह सुपरपोजिशन का प्रसिद्ध सिद्धांत है। बहुध्रुवीय क्षणों की उत्पत्ति निर्भरता की गणना एक निश्चित विस्तार बिंदु के संबंध में की जाती है जिसे किसी दिए गए निर्देशांक प्रणाली का मूल माना जाता है। मूल का अनुवाद करने से पहले गैर-लुप्त होने वाले क्षण के अपवाद के साथ प्रणाली के बहुध्रुवीय क्षण बदल जाते हैं। उदाहरण के लिए, आवेश का एकध्रुवीय क्षण केवल प्रणाली में कुल आवेश है। मूल को बदलना इस क्षण कभी नहीं बदलेगा। यदि एकध्रुवीय आघूर्ण शून्य है तो प्रणाली का द्विध्रुवीय आघूर्ण अनुवाद अपरिवर्तनीय होगा। यदि मोनोपोल और द्विध्रुव क्षण दोनों शून्य हैं तो चतुर्भुज क्षण अनुवाद अपरिवर्तनीय है, और इसी तरह आगे। चूंकि उच्च क्रम के क्षण मूल की स्थिति पर निर्भर करते हैं, इसलिए उन्हें प्रणाली के अपरिवर्तनीय गुणों के रूप में नहीं माना जा सकता है। दूरी पर क्षेत्र की निर्भरता एक बहुध्रुवीय क्षण से क्षेत्र मूल से दूरी और समन्वय प्रणाली के संबंध में मूल्यांकन बिंदु के कोणीय अभिविन्यास दोनों पर निर्भर करता है। विशेष रूप से, एक स्थिर-ध्रुव पैमाने से विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की रेडियल निर्भरता। अर्थात्, विद्युत एकध्रुव क्षण से विद्युत क्षेत्र व्युत्क्रम दूरी वर्ग के रूप में मापा जाता है। इसी तरह, विद्युत द्विध्रुव क्षण एक क्षेत्र बनाता है जो व्युत्क्रम दूरी घन के रूप में मापता है, और इसी तरह। जैसे-जैसे दूरी बढ़ती है, उच्च-क्रम के क्षणों का योगदान निम्न-क्रम के क्षणों के योगदान की तुलना में बहुत छोटा हो जाता है, इसलिए गणना को सरल बनाने के लिए उच्च-क्रम के क्षणों को नजरअंदाज किया जा सकता है। विकिरण तरंगों की रेडियल निर्भरता स्थिर क्षेत्रों से अलग है क्योंकि ये तरंगें ऊर्जा को प्रणाली से दूर ले जाती हैं। चूँकि ऊर्जा को संरक्षित किया जाना चाहिए, सरल ज्यामितीय विश्लेषण से पता चलता है कि गोलाकार विकिरण, त्रिज्या का ऊर्जा घनत्व, के रूप में मापा जाना चाहिए। जैसे-जैसे एक गोलाकार तरंग का विस्तार होता है, तरंग की निश्चित ऊर्जा सतह क्षेत्र के एक बढ़ते हुए क्षेत्र में फैलनी चाहिए। तदनुसार, प्रत्येक समय-निर्भर बहुध्रुवीय क्षण को विकिरण ऊर्जा घनत्व में योगदान देना चाहिए जो क्षण के क्रम की परवाह किए बिना मापता है। इसलिए, उच्च क्रम के क्षणों को स्थिर मामले की तरह आसानी से त्याग नहीं दिया जा सकता है। फिर भी, एक प्रणाली के बहुध्रुवीय गुणांक आम तौर पर बढ़ते क्रम के साथ कम हो जाते हैं, आमतौर पर, इसलिए विकिरण क्षेत्रों को अभी भी उच्च-क्रम क्षणों को काटकर अनुमानित किया जा सकता है। समय-निर्भर विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र स्रोत समय-निर्भर स्रोत वितरण को फूरियर विश्लेषण का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है। यह अलग-अलग आवृत्तियों का स्वतंत्र रूप से विश्लेषण करने की अनुमति देता है। सुविधा के लिए, इस बिंदु से आगे केवल एक एकल कोणीय आवृत्ति ω पर विचार किया जाता है; इस प्रकार सुपरपोजिशन सिद्धांत को कई आवृत्तियों के लिए परिणामों को सामान्य बनाने के लिए लागू किया जा सकता है। वेक्टर मात्राएँ बोल्ड में दिखाई देती हैं। भौतिक मात्राओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए जटिल मात्राओं के वास्तविक भाग को लेने की मानक परंपरा का उपयोग किया जाता है। प्राथमिक कणों की आंतरिक कोणीय गति (स्पिन (भौतिकी) देखें) कुछ स्रोत पदार्थों से विद्युत चुम्बकीय विकिरण को भी प्रभावित कर सकती है। इन प्रभावों को ध्यान में रखते हुए, प्रणाली के आंतरिक चुंबकत्व को ध्यान में रखना होगा। हालाँकि, सरलता के लिए, इन प्रभावों को सामान्यीकृत बहुध्रुवीय विकिरण की चर्चा के लिए स्थगित कर दिया जाएगा। क्षमताएँ स्रोत वितरण को समय-निर्भर विद्युत क्षमता और चुंबकीय क्षमता φ और A प्राप्त करने के लिए एकीकृत किया जा सकता है। एस. आई. इकाइयों में लोरेंज़ गेज में सूत्र व्यक्त किए जाते हैं। इन सूत्रों में सी निर्वात में प्रकाश की गति है, डीराक डेल्टा फलन है, और स्रोत बिंदु x′ से मूल्यांकन बिंदु x तक यूक्लिडियन दूरी है। उपज से ऊपर समय-निर्भर स्रोत वितरण को एकीकृत करना। ये सूत्र बहुध्रुवीय विकिरण के विश्लेषण के लिए आधार प्रदान करते हैं। निकट क्षेत्र में बहुध्रुवीय विस्तार निकट क्षेत्र एक स्रोत के आसपास का क्षेत्र है जहाँ विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र का अर्ध-स्थिर मूल्यांकन किया जा सकता है। यदि बहुध्रुवीय उत्पत्ति से लक्ष्य की दूरी विकिरण तरंग दैर्ध्य से बहुत कम है, तो। नतीजतन, इस क्षेत्र में घातांक का अनुमान इस प्रकार लगाया जा सकता हैः टेलर विस्तार देखें। इस सन्निकटन का उपयोग करके, शेष निर्भरता वही है जो एक स्थिर प्रणाली के लिए है, वही विश्लेषण लागू होता है। अनिवार्य रूप से, क्षमता का मूल्यांकन किसी दिए गए क्षण में निकट क्षेत्र में केवल प्रणाली का एक स्नैपशॉट लेकर और इसे स्थिर मानते हुए किया जा सकता है-इसलिए इसे अर्ध-स्थैतिक कहा जाता है। निकट और सुदूर क्षेत्र और बहुध्रुवीय विस्तार देखें। विशेष रूप से, व्युत्क्रम दूरी को गोलाकार हार्मोनिक्स का उपयोग करके विस्तारित किया जाता है जो गोलाकार बहुध्रुवीय गुणांक प्राप्त करने के लिए अलग से एकीकृत होते हैं। सुदूर क्षेत्र में बहुध्रुवीय विस्तारः बहुध्रुवीय विकिरण एक उच्च आवृत्ति स्रोत से बड़ी दूरी पर, निम्नलिखित अनुमान हैंः चूंकि केवल प्रथम-क्रम शब्द बड़ी दूरी पर महत्वपूर्ण है, इसलिए विस्तार एक अलग बहुध्रुवीय क्षण के अनुरूप प्रत्येक शक्ति देने के लिए गठबंधन करते हैं। पहले कुछ क्षणों का मूल्यांकन सीधे नीचे किया गया है। विद्युत एकध्रुवीय विकिरण, अस्तित्वहीन शून्य क्रम शब्द, स्केलर क्षमता पर लागू किया जाता है, जहां कुल चार्ज आवृत्ति पर दोलन करने वाला विद्युत एकध्रुवीय क्षण होता है। यदि प्रणाली बंद है तो कुल आवेश में उतार-चढ़ाव नहीं हो सकता है जिसका अर्थ है कि दोलन आयाम q शून्य होना चाहिए। इसलिए,। संबंधित क्षेत्र और विकिरण शक्ति भी शून्य होनी चाहिए। विद्युत द्विध्रुवीय विकिरण विद्युत द्विध्रुवीय विभव विद्युत द्विध्रुवीय विकिरण को सदिश विभव पर शून्य-क्रम शब्द लागू करके प्राप्त किया जा सकता है। भागों की पैदावार और आवेश निरंतरता समीकरण द्वारा एकीकरण से पता चलता है कि स्केलर क्षमता पर प्रथम क्रम शब्द लागू करके समान परिणाम प्राप्त किए जा सकते हैं। प्रणाली के विद्युत द्विध्रुव क्षण का आयाम है, जो क्षमता को विद्युत द्विध्रुव क्षेत्रों के रूप में व्यक्त करने की अनुमति देता है एक बार समय-निर्भर क्षमता को समझने के बाद, समय-निर्भर विद्युत क्षेत्र और चुंबकीय क्षेत्र की गणना सामान्य तरीके से की जा सकती है। अर्थात्, या, अंतरिक्ष के स्रोत-मुक्त क्षेत्र में, चुंबकीय क्षेत्र और विद्युत क्षेत्र के बीच संबंध का उपयोग यह प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है कि मुक्त स्थान की प्रतिबाधा कहाँ है। विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र जो उपरोक्त क्षमताओं के अनुरूप हैं, वे गोलाकार विकिरण तरंगों के अनुरूप हैं। शुद्ध विद्युत द्विध्रुवीय शक्ति शक्ति घनत्व, ऊर्जा प्रति इकाई क्षेत्र प्रति इकाई समय, को पोइन्टिंग वेक्टर द्वारा व्यक्त किया जाता है। यह इस प्रकार है कि समय औसत शक्ति घनत्व प्रति इकाई ठोस कोण उत्सर्जन परिमाण को निकालने के साथ बिंदु उत्पाद द्वारा दिया जाता है और 1/2 का कारक समय के साथ औसत से आता है। जैसा कि ऊपर बताया गया है, विकिरण ऊर्जा घनत्व की रेडियल निर्भरता को रद्द कर देता है। एक शुद्ध विद्युत द्विध्रुव पर अनुप्रयोग देता है जहाँ θ के संबंध में मापा जाता है। एक गोले पर एकीकरण से कुल विकिरणित शक्ति प्राप्त होती हैः चुंबकीय द्विध्रुवीय विकिरण चुंबकीय द्विध्रुवीय क्षमता वेक्टर क्षमता पर लागू प्रथम क्रम शब्द, चुंबकीय द्विध्रुवीय विकिरण और विद्युत चतुर्भुज विकिरण देता है। इंटीग्रैंड को जे और एक्स में सममित और सममित-विरोधी भागों में अलग किया जा सकता है दूसरे पद में धारा के कारण प्रभावी चुंबकत्व होता है और एकीकरण चुंबकीय द्विध्रुव क्षण देता है। ध्यान दें कि इसका एक समान रूप है। इसका मतलब है कि एक चुंबकीय द्विध्रुव से चुंबकीय क्षेत्र एक विद्युत द्विध्रुव से विद्युत क्षेत्र के समान व्यवहार करता है। इसी तरह, एक चुंबकीय द्विध्रुव से विद्युत क्षेत्र एक विद्युत द्विध्रुव से चुंबकीय क्षेत्र की तरह व्यवहार करता है। पिछले परिणामों पर परिवर्तन लेने से चुंबकीय द्विध्रुवीय परिणाम प्राप्त होते हैं। चुंबकीय द्विध्रुव क्षेत्र शुद्ध चुंबकीय द्विध्रुव शक्ति एक चुंबकीय द्विध्रुव द्वारा प्रति इकाई ठोस कोण पर विकिरणित औसत शक्ति है जहाँ θ को चुंबकीय द्विध्रुव के संबंध में मापा जाता है। कुल विकिरणित शक्ति हैः विद्युत चतुर्भुज विकिरण विद्युत चतुर्भुज क्षमता पिछले खंड से समाकलन के सममित भाग को भागों द्वारा एकीकरण और आवेश निरंतरता समीकरण लागू करके हल किया जा सकता है जैसा कि विद्युत द्विध्रुव विकिरण के लिए किया गया था। यह ट्रेसलेस इलेक्ट्रिक क्वाड्रुपोल मोमेंट टेंसर से मेल खाता है। सामान्य सदिश के साथ दूसरे सूचकांक को संकुचित करने से सदिश क्षमता को विद्युत चतुर्भुज क्षेत्रों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जिसके परिणामस्वरूप चुंबकीय और विद्युत क्षेत्र हैंः शुद्ध विद्युत चतुर्भुज शक्ति एक विद्युत चतुर्भुज द्वारा प्रति इकाई ठोस कोण पर विकिरणित औसत शक्ति वह है जहां θ को चुंबकीय द्विध्रुव के संबंध में मापा जाता है। कुल विकिरणित शक्ति हैः सामान्यीकृत बहुध्रुवीय विकिरण जैसे-जैसे स्रोत वितरण का बहुध्रुवीय क्षण बढ़ता है, अब तक नियोजित प्रत्यक्ष गणनाएँ जारी रखने के लिए बहुत बोझिल हो जाती हैं। उच्च क्षणों के विश्लेषण के लिए अधिक सामान्य सैद्धांतिक तंत्र की आवश्यकता होती है। पहले की तरह, एकल स्रोत आवृत्ति पर विचार किया जाता है। अतः आवेश, धारा और आंतरिक चुंबकत्व घनत्व क्रमशः दिए जाते हैं। परिणामी विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र स्रोतों के समान समय-निर्भरता साझा करते हैं। इन परिभाषाओं और निरंतरता समीकरण का उपयोग करने से मैक्सवेल के समीकरणों को लिखा जा सकता है क्योंकि इन समीकरणों को अंतिम समीकरणों के कर्ल को लेकर और पहचान को लागू करके जोड़ा जा सकता है। यह गैर-सजातीय हेल्महोल्ट्ज़ समीकरण के सदिश रूप देता है। तरंग समीकरण के समाधान एक स्रोत-मुक्त क्षेत्र में आवृत्ति के साथ विद्युत चुम्बकीय विकिरण का वर्णन करने वाले सजातीय तरंग समीकरणों का रूप होता है। तरंग फलन को वेक्टर गोलाकार हार्मोनिक्स के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जहाँ सामान्यीकृत वेक्टर गोलाकार हार्मोनिक्स हैं और और गोलाकार हैंकेल फ़ंक्शन हैं। गोलाकार बेसल फलन देखें। विभेदक प्रचालक गुण के साथ कोणीय संवेग प्रचालक है। गुणांक और क्रमशः विस्तार और संकुचन तरंगों के अनुरूप हैं। तो विकिरण के लिए। अन्य गुणांक निर्धारित करने के लिए, तरंग समीकरण के लिए हरित फलन लागू किया जाता है। यदि स्रोत समीकरण है तो समाधान हैः हरित फलन को सदिश गोलाकार हार्मोनिक्स में व्यक्त किया जा सकता है। ध्यान दें कि यह एक विभेदक प्रचालक है जो स्रोत फलन पर कार्य करता है। इस प्रकार, तरंग समीकरण का समाधान हैः विद्युत बहुध्रुवीय क्षेत्र विद्युत बहुध्रुवीय तरंग समीकरण के लिए उपरोक्त समाधान को लागू करने से चुंबकीय क्षेत्र का समाधान मिलता हैः विद्युत क्षेत्र हैः सूत्र को इंटीग्रैंड में पहचान को लागू करके सरल बनाया जा सकता है, जिसके परिणामस्वरूप ग्रीन की प्रमेय और भागों द्वारा एकीकरण सूत्र को हेरफेर करता है। केवल निम्नतम क्रम शब्दों को बनाए रखने से विद्युत बहुध्रुव गुणांक के लिए सरलीकृत रूप में परिणाम मिलता हैः स्थिर मामले में विद्युत बहुध्रुव क्षण के समान है यदि इसे स्थिर आवेश वितरण पर लागू किया जाता है, जबकि स्रोत सामग्री के आंतरिक चुंबकत्व से प्रेरित विद्युत बहुध्रुव क्षण से मेल खाता है। चुंबकीय बहुध्रुवीय क्षेत्र चुंबकीय बहुध्रुवीय तरंग समीकरण के लिए उपरोक्त समाधान को लागू करने से विद्युत क्षेत्र के लिए समाधान मिलता हैः चुंबकीय क्षेत्र हैः पहले की तरह, फोरमुला सरल करता हैः केवल सबसे कम क्रम के शब्दों को बनाए रखने से चुंबकीय बहुध्रुवीय गुणांक के लिए सरल रूप में परिणाम मिलता हैः प्रभावी चुंबकत्व से चुंबकीय बहुध्रुवीय क्षण है जबकि आंतरिक चुंबकत्व से मेल खाता है। सामान्य समाधान विद्युत और चुंबकीय बहुध्रुवीय क्षेत्र कुल क्षेत्र देने के लिए एकजुट होते हैंः ध्यान दें कि रेडियल कार्य को सुदूर क्षेत्र सीमा में सरल बनाया जा सकता है। इस प्रकार विकिरण की रेडियल निर्भरता को पुनः प्राप्त किया जाता है। बहुध्रुवीय विस्तार गोलाकार हार्मोनिक्स वेक्टर गोलाकार हार्मोनिक्स निकट और दूर क्षेत्र चतुर्भुज सूत्र संदर्भ विद्युत चुम्बकीय विकिरण