Line group
एक रेखा समूह एक रेखा के साथ चलने से जुड़ी सममितियों का वर्णन करने का एक गणितीय तरीका है। इन सममितियों में उस रेखा के साथ दोहराना शामिल है, जिससे उस रेखा को एक आयामी जाली बना दिया जाता है। हालांकि, रेखा समूहों में एक से अधिक आयाम हो सकते हैं, और वे उन आयामों को अपनी सममितियों या समरूपता परिवर्तनों में शामिल कर सकते हैं। एक व्यक्ति स्थान के पूर्ण आयामों में एक बिंदु समूह लेकर एक रेखा समूह का निर्माण करता है, और फिर एक अंतरिक्ष समूह के निर्माण की शैली में, प्रत्येक बिंदु समूह के तत्वों के लिए रेखा के साथ अनुवाद या ऑफसेट जोड़ता है। इन ऑफसेट में दोहराव, और दोहराव का एक अंश, प्रत्येक तत्व के लिए एक अंश शामिल है। सुविधा के लिए, अंशों को दोहराव के आकार तक बढ़ाया जाता है; इस प्रकार वे रेखा के इकाई कोशिका खंड के भीतर होते हैं। एक-आयामी दो एक-आयामी रेखा समूह हैं। वे असतत द्वि-आयामी बिंदु समूहों सीएन और डीएन की अनंत सीमाएँ हैंः द्वि-आयामी 7 फ्रेज़ समूह हैं, जिनमें रेखा के साथ प्रतिबिंब, रेखा के लंबवत प्रतिबिंब और दो आयामों में 180° घूर्णन शामिल हैं। त्रि-आयामी त्रि-आयामी रेखा समूहों के 13 अनंत परिवार हैं, जो अक्षीय त्रि-आयामी बिंदु समूहों के 7 अनंत परिवारों से प्राप्त होते हैं। सामान्य रूप से अंतरिक्ष समूहों के साथ, एक ही बिंदु समूह वाले रेखा समूहों में ऑफसेट के अलग-अलग पैटर्न हो सकते हैं। प्रत्येक परिवार n क्रम के साथ अक्ष के चारों ओर घूर्णन के एक समूह पर आधारित है। समूहों को हर्मन-मौगुइन संकेतन में सूचीबद्ध किया गया है, और बिंदु समूहों के लिए, स्कोनफ्लाइज संकेतन। रेखा समूहों के लिए कोई तुलनीय संकेतन प्रतीत नहीं होता है। इन समूहों की व्याख्या तीन आयामी बिंदु समूहों और फ्रीज समूहों की तरह, एक सिलेंडर एन बार के चारों ओर लिपटे और सिलेंडर के अक्ष के साथ असीम रूप से दोहराने वाले वालपेपर समूहों के पैटर्न के रूप में भी की जा सकती है। इन समूहों की एक तालिकाः ऑफसेट प्रकार हैंः कोई नहीं। अक्ष के साथ ऑफसेट में अक्ष के चारों ओर इकाई कक्ष की पुनरावृत्ति के भीतर इसके चारों ओर कोई ऑफसेट शामिल नहीं है। हेलिसिटी q के साथ हेलिकल ऑफसेट। अक्ष के साथ एक इकाई ऑफसेट के लिए, इसके चारों ओर q का एक ऑफसेट होता है। एक बिंदु जिसमें बार-बार ऑफसेट होते हैं, वह एक हेलिक्स का पता लगाएगा। ज़िगज़ैग ऑफसेट। अक्ष के चारों ओर इकाई कोशिका के सापेक्ष 1/2 का हेलिकल ऑफसेट। ध्यान दें कि वालपेपर समूह पी. एम., पी. जी., सी. एम. और पी. एम. जी. दो बार दिखाई देते हैं। प्रत्येक रूप का रेखा-समूह अक्ष के सापेक्ष एक अलग अभिविन्यास होता है; परावर्तन समानांतर (एच) या लंबवत (वी)। अन्य समूहों का ऐसा कोई अभिविन्यास नहीं हैः पी1, पी2, पीएमएम, पीजीजी, सी. एम. एम.। यदि बिंदु समूह एक क्रिस्टलोग्राफिक बिंदु समूह, कुछ त्रि-आयामी जाली की समरूपता के लिए विवश है, तो परिणामी रेखा समूह को रॉड समूह कहा जाता है। 75 छड़ समूह हैं। कॉक्सेटर संकेतन आयताकार वालपेपर समूहों पर आधारित है, जिसमें ऊर्ध्वाधर अक्ष समरूपता क्रम n या 2n के सिलेंडर में लिपटा हुआ है। निरंतरता सीमा पर जाते हुए, n से ≤ के साथ, संभावित बिंदु समूह C ≤, C ≤ h, C ≤ v, D ≤, और D ≤ h बन जाते हैं, और रेखा समूहों के पास उपयुक्त संभावित ऑफसेट होते हैं, ज़िगज़ैग के अपवाद के साथ। हेलिकल समरूपता समूह सीएन (क्यू) और डीएन (क्यू) हेलिकल वस्तुओं की समरूपता को व्यक्त करते हैं। सीएन (क्यू) एक ही दिशा में उन्मुख एन हेलिक्स के लिए है, जबकि डीएन (क्यू) एन गैर-उन्मुख हेलिक्स और वैकल्पिक अभिविन्यास के साथ 2एन हेलिक्स के लिए है। क्यू के संकेत को उलटने से एक दर्पण छवि बनती है, जो हेलिक्स की कायरलिटी या हैंडनेस को उलट देती है। न्यूक्लिक एसिड, डी. एन. ए. और आर. एन. ए., अपनी पेचदार समरूपता के लिए जाने जाते हैं। न्यूक्लिक एसिड की एक अच्छी तरह से परिभाषित दिशा होती है, जो एकल स्ट्रैंड C1 (q) देती है। दोहरे तारों की विपरीत दिशाएँ होती हैं और वे हेलिक्स अक्ष के विपरीत दिशाओं में होते हैं, जिससे उन्हें D1 (q) मिलता है। बिन्दु समूह अंतरिक्ष समूह एक आयामी समरूपता समूह फ्रीज समूह रॉड समूह संदर्भ यूक्लिडियन समरूपता असतत समूह भी देखें।