Kepler's equation
कक्षीय यांत्रिकी में, केपलर का समीकरण एक केंद्रीय बल के अधीन किसी वस्तु की कक्षा के विभिन्न ज्यामितीय गुणों से संबंधित है। यह जोहान्स केपलर द्वारा 1609 में अपने एस्ट्रोनोमिया नोवा के अध्याय 60 में व्युत्पन्न किया गया था, और उनकी पुस्तक वी ऑफ एपिटोम ऑफ कोपरनिकन एस्ट्रोनॉमी (1621) में केपलर ने समीकरण के लिए एक पुनरावृत्ति समाधान का प्रस्ताव रखा था। हालाँकि, यह समीकरण और इसका समाधान पहली बार पैरलैक्स की समस्याओं से संबंधित हबाश अल-हसीब अल-मरवाज़ी के 9वीं शताब्दी के काम में दिखाई दिया। समीकरण ने भौतिकी और गणित, विशेष रूप से शास्त्रीय खगोलीय यांत्रिकी, दोनों के इतिहास में महत्वपूर्ण भूमिका निभाई है। समीकरण केपलर का समीकरण है जहाँ माध्य विसंगति है, विलक्षण विसंगति है, और विलक्षणता है। 'विलक्षण विसंगति' केपलरियन कक्षा में चलने वाले बिंदु की स्थिति की गणना करने के लिए उपयोगी है। उदाहरण के लिए, यदि पिंड निर्देशांक पर पेरीएस्ट्रॉन को पार करता है, तो किसी भी समय पिंड की स्थिति का पता लगाने के लिए, आप पहले समय से औसत विसंगति और सूत्र द्वारा औसत गति की गणना करते हैं, फिर प्राप्त करने के लिए ऊपर केप्लर समीकरण को हल करें, फिर निर्देशांक प्राप्त करें जहाँ से अर्ध-प्रमुख अक्ष, अर्ध-लघु अक्ष है। केप्लर का समीकरण एक दिव्य समीकरण है क्योंकि साइन एक दिव्य फलन है, जिसका अर्थ है कि इसे बीजगणितीय रूप से हल नहीं किया जा सकता है। मूल्यांकन के लिए आम तौर पर संख्यात्मक विश्लेषण और श्रृंखला विस्तार की आवश्यकता होती है। वैकल्पिक रूप केपलर के समीकरण के कई रूप हैं। प्रत्येक रूप एक विशिष्ट प्रकार की कक्षा से जुड़ा होता है। मानक केपलर समीकरण का उपयोग अण्डाकार कक्षाओं () के लिए किया जाता है। हाइपरबोलिक केप्लर समीकरण का उपयोग हाइपरबोलिक प्रक्षेपवक्र () के लिए किया जाता है। रेडियल केपलर समीकरण का उपयोग रैखिक (रेडियल) प्रक्षेपवक्र () के लिए किया जाता है। बार्कर के समीकरण का उपयोग परवलयिक प्रक्षेपवक्र () के लिए किया जाता है। कब, कक्षा गोलाकार होती है। बढ़ने से वृत्त अण्डाकार हो जाता है। जब, तीन संभावनाएँ होती हैंः एक परवलयिक प्रक्षेपवक्र, आकर्षण के केंद्र से निकलने वाली एक अनंत किरण के साथ अंदर या बाहर जाने वाला प्रक्षेपवक्र, या एक प्रक्षेपवक्र जो आकर्षण के केंद्र से कुछ दूरी पर एक बिंदु तक एक रेखा खंड के साथ आगे-पीछे जाता है। 1 से ऊपर थोड़ी सी वृद्धि के परिणामस्वरूप 180 डिग्री से कम के मोड़ कोण के साथ एक हाइपरबोलिक कक्षा होती है। आगे बढ़ने से मोड़ कोण कम हो जाता है, और जैसे-जैसे अनंत की ओर जाता है, कक्षा अनंत लंबाई की एक सीधी रेखा बन जाती है। हाइपरबोलिक केप्लर समीकरण हाइपरबोलिक केप्लर समीकरण हैः जहां हाइपरबोलिक विलक्षण विसंगति है। यह समीकरण एम को अण्डाकार समीकरण के दाहिने हाथ की तरफ के-1 गुना के वर्गमूल के रूप में पुनर्परिभाषित करके प्राप्त किया गया हैः (जिसमें अब काल्पनिक है) और फिर इसके द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। रेडियल केपलर समीकरण रेडियल केपलर समीकरण हैः जहाँ समय के समानुपाती है और किरण के साथ आकर्षण के केंद्र से दूरी के समानुपाती है। यह समीकरण केपलर के समीकरण को 1/2 से गुणा करके और 1: पर सेट करके प्राप्त किया जाता है और फिर प्रतिस्थापन व्युत्क्रम समस्या बनाना किसी दिए गए मान के लिए गणना करना सीधा है। हालांकि, कब दिया जाता है, इसका समाधान करना काफी अधिक चुनौतीपूर्ण हो सकता है। कोई बंद-रूप समाधान नहीं है। लैग्रेंज व्युत्क्रम का उपयोग करके केपलर के समीकरण के समाधान के लिए एक अनंत श्रृंखला अभिव्यक्ति लिखी जा सकती है, लेकिन श्रृंखला और के सभी संयोजनों के लिए अभिसरण नहीं करती है (नीचे देखें)। केपलर के समीकरण की समाधानशीलता पर भ्रम चार शताब्दियों से साहित्य में बना हुआ है। केप्लर ने स्वयं एक सामान्य समाधान खोजने की संभावना पर संदेह व्यक्त कियाः बेसल कार्यों का उपयोग करके फूरियर श्रृंखला विस्तार (के संबंध में) है। व्युत्क्रम केपलर समीकरण व्युत्क्रम केपलर समीकरण सभी वास्तविक मूल्यों के लिए केपलर के समीकरण का समाधान हैः इस उपज का मूल्यांकनः इन श्रृंखलाओं को व्युत्क्रम श्रृंखला संचालन के साथ गणित में पुनः प्रस्तुत किया जा सकता है। व्युत्क्रम श्रृंखला [श्रृंखला [एम-सिन [एम], {एम, 0,10}]] व्युत्क्रम श्रृंखला [श्रृंखला [एम-ई सिन [एम], {एम, 0,10}]] ये कार्य सरल मैकलौरिन श्रृंखला हैं। दिव्य कार्यों के इस तरह के टेलर श्रृंखला प्रतिनिधित्व को उन कार्यों की परिभाषा माना जाता है। इसलिए, यह समाधान व्युत्क्रम केपलर समीकरण की एक औपचारिक परिभाषा है। हालाँकि, किसी दिए गए गैर-शून्य पर का एक संपूर्ण कार्य नहीं है। वास्तव में, व्युत्पन्न जटिल संख्याओं के एक अनंत समूह पर शून्य पर जाता है जब शून्य के निकटतम बिंदु पर और इन दो बिंदुओं पर होता है (जहां व्युत्क्रम कोश को धनात्मक माना जाता है), और के इन मूल्यों पर अनंत पर जाता है। इसका मतलब है कि मैकलौरिन श्रृंखला के अभिसरण की त्रिज्या है और इससे बड़े मूल्यों के लिए श्रृंखला अभिसरण नहीं करेगी। श्रृंखला का उपयोग हाइपरबोलिक मामले के लिए भी किया जा सकता है, इस मामले में अभिसरण की त्रिज्या श्रृंखला है जब कब अभिसरण होता है। जबकि यह समाधान एक निश्चित गणितीय अर्थ में सबसे सरल है, अन्य समाधान अधिकांश अनुप्रयोगों के लिए बेहतर हैं। वैकल्पिक रूप से, केपलर के समीकरण को संख्यात्मक रूप से हल किया जा सकता है। इसका समाधान 1968 में कार्ल स्टंपफ ने खोजा था, लेकिन इसके महत्व को पहचाना नहीं गया था। मैकलौरिन श्रृंखला भी लिखी जा सकती है। यह श्रृंखला लाप्लास सीमा (लगभग 0.66) से बड़ी होने पर अभिसरण नहीं करती है, इसके मूल्य की परवाह किए बिना (जब तक कि इसका गुणक न हो), लेकिन लाप्लास सीमा से कम होने पर यह सभी के लिए अभिसरण करती है। श्रृंखला में गुणांक, पहले (जो सरल है) के अलावा, अवधि के साथ आवधिक तरीके से निर्भर करते हैं। व्युत्क्रम रेडियल केपलर समीकरण व्युत्क्रम रेडियल केपलर समीकरण () को इस प्रकार भी लिखा जा सकता हैः इस उपज का मूल्यांकन करनाः गणितीय का उपयोग करके इस परिणाम को प्राप्त करने के लिएः व्युत्क्रम श्रृंखला [श्रृंखला [आर्कसिन [स्क्वर्ट [टी]]-स्क्वर्ट [(1-टी) टी], {टी, 0,15}] व्युत्क्रम समस्या का संख्यात्मक सन्निकटन न्यूटन की विधि अधिकांश अनुप्रयोगों के लिए, व्युत्क्रम समस्या की गणना फलन के मूल को ढूंढकर संख्यात्मक रूप से की जा सकती हैः यह न्यूटन की विधि के माध्यम से पुनरावृत्त रूप से किया जा सकता हैः ध्यान दें कि और इस गणना में रेडियन की इकाइयों में हैं। इस पुनरावृत्ति को वांछित सटीकता प्राप्त होने तक दोहराया जाता है (जैसे। जब <वांछित सटीकता)। अधिकांश अण्डाकार कक्षाओं के लिए एक प्रारंभिक मान पर्याप्त है। के साथ कक्षाओं के लिए, के प्रारंभिक मान का उपयोग किया जा सकता है। कई कार्यों ने सटीक (लेकिन अधिक जटिल भी) प्रारंभिक अनुमान विकसित किए। यदि समान रूप से 1 है, तो का व्युत्पन्न, जो न्यूटन की विधि के भाजक में है, शून्य के करीब हो सकता है, जिससे व्युत्पन्न-आधारित विधियाँ जैसे कि न्यूटन-रैफसन, सेकेंट, या रेगुला फाल्सी संख्यात्मक रूप से अस्थिर हो जाते हैं। उस स्थिति में, द्विभाजन विधि गारंटीकृत अभिसरण प्रदान करेगी, विशेष रूप से क्योंकि समाधान को एक छोटे प्रारंभिक अंतराल में सीमित किया जा सकता है। आधुनिक कंप्यूटरों पर, 17 से 18 पुनरावृत्तियों में 4 या 5 अंकों की सटीकता प्राप्त करना संभव है। केपलर के समीकरण के हाइपरबोलिक रूप के लिए भी इसी तरह के दृष्टिकोण का उपयोग किया जा सकता है। एक परवलयिक प्रक्षेपवक्र के मामले में, बार्कर के समीकरण का उपयोग किया जाता है। निश्चित-बिंदु पुनरावृत्ति एक संबंधित विधि इस पर ध्यान देने के साथ शुरू होती है। दाहिनी ओर की अभिव्यक्ति को बार-बार प्रतिस्थापित करने से मूल्यांकन के लिए एक सरल निश्चित-बिंदु पुनरावृत्ति एल्गोरिथ्म प्राप्त होता है। यह विधि केपलर के 1621 समाधान के समान है। फलन E (e, M, n) E = M के लिए k = 1 से n E = M + e * sin E अगला k रिटर्न E पुनरावृत्तियों की संख्या, के मूल्य पर निर्भर करती है। हाइपरबोलिक रूप में भी ऐसा ही होता है। यह विधि ऊपर दिए गए न्यूटन के विधि समाधान से संबंधित है जो कम मात्रा में पहले क्रम में है और,। केप्लर के ग्रहों की गति के नियम भी देखें केप्लर समस्या केप्लर समस्या सामान्य सापेक्षता में रेडियल प्रक्षेपवक्र संदर्भ बाहरी लिंक केप्लर का समीकरण वोल्फ्रम मैथवर्ल्ड में भौतिकी के जोहान्स केप्लर ऑर्बिट्स के समानार्थी समीकरण