Kolmogorov–Zurbenko filter
सांख्यिकी के भीतर, कोल्मोगोरोव-ज़ुर्बेंको (केजेड) फ़िल्टर को पहली बार ए. एन. कोल्मोगोरोव द्वारा प्रस्तावित किया गया था और औपचारिक रूप से ज़ुर्बेंको द्वारा परिभाषित किया गया था। यह लंबाई m के एक चलती औसत फिल्टर की पुनरावृत्तियों की एक श्रृंखला है, जहाँ m एक सकारात्मक, विषम पूर्णांक है। केजेड फ़िल्टर लो-पास फ़िल्टरों के वर्ग से संबंधित है। केजेड फ़िल्टर में दो मापदंड होते हैं, चलती औसत खिड़की की लंबाई मीटर और चलती औसत के पुनरावृत्तियों की संख्या k। इसे वर्णक्रमीय रिसाव को खत्म करने के लिए डिज़ाइन किए गए एक विशेष विंडो फ़ंक्शन के रूप में भी माना जा सकता है। पृष्ठभूमि ए. एन. कोल्मोगोरोव के पास प्रशांत महासागर में अशांति के अध्ययन के दौरान के. जेड. फिल्टर के लिए मूल विचार था। कोल्मोगोरोव को अभी-अभी अशांति के ऊर्जा स्पेक्ट्रा में 5/3 के अपने नियम के लिए अंतर्राष्ट्रीय बाल्ज़ान पुरस्कार मिला था। आश्चर्य की बात है कि प्रशांत महासागर में 5/3 कानून का पालन नहीं किया गया, जिससे बहुत चिंता हुई। मानक तेज फूरियर परिवर्तन (एफ. एफ. टी.) शोर और गैर-स्थिर महासागर वातावरण द्वारा पूरी तरह से मूर्ख बना दिया गया था। केजेड निस्पंदन ने समस्या का समाधान किया और उस क्षेत्र में कोल्मोगोरोव के नियम के प्रमाण को सक्षम किया। फ़िल्टर निर्माण निरंतर फ़ोरियर परिवर्तन की मुख्य अवधारणाओं और उनके असतत अनुरूपों पर निर्भर था। केजेड फ़िल्टर का एल्गोरिथ्म उच्च-क्रम अंतर के रूप में असतत कार्यों के लिए उच्च-क्रम व्युत्पन्न की परिभाषा से आया है। यह मानते हुए कि गौसी खिड़की में अनंत चिकनीपन वास्तव में एक असतत दुनिया का एक सुंदर लेकिन अवास्तविक अनुमान था, कोल्मोगोरोव ने सीमित समर्थन के साथ एक परिमित रूप से विभेदक टेपरिंग खिड़की का चयन किया, और असतत मामले के लिए इस गणितीय निर्माण का निर्माण किया। केजेड फिल्टर मजबूत और लगभग इष्टतम है। क्योंकि इसका संचालन एक सरल मूविंग एवरेज (एमए) है, केजेड फिल्टर एक लापता डेटा वातावरण में अच्छा प्रदर्शन करता है, विशेष रूप से बहुआयामी समय श्रृंखला में जहां गायब डेटा समस्या स्थानिक विरलता से उत्पन्न होती है। केजेड फ़िल्टर की एक और अच्छी विशेषता यह है कि दोनों मापदंडों की स्पष्ट व्याख्या है ताकि इसे विभिन्न क्षेत्रों के विशेषज्ञों द्वारा आसानी से अपनाया जा सके। लोकप्रिय सांख्यिकीय सॉफ्टवेयर आर में समय श्रृंखला, अनुदैर्ध्य और स्थानिक डेटा के लिए कुछ सॉफ्टवेयर पैकेज विकसित किए गए हैं, जो केजेड फिल्टर और विभिन्न क्षेत्रों में इसके विस्तार के उपयोग की सुविधा प्रदान करते हैं। यू. सी. बर्कले में जर्जी नेमैन और एलिजाबेथ स्कॉट के साथ पोस्टडॉक्टरल स्थिति ने मुर्रे रोसेनब्लैट, रॉबर्ट शुमवे, हेराल्ड क्रैमर, डेविड ब्रिलिंगर, हर्बर्ट रॉबिन्स, विल्फ्रिड डिक्सन, इमानुएल पारज़न के संपर्क में समर्थित अनुप्रयोगों के बहुत सारे विचार प्रदान किए। परिभाषा केजेड फ़िल्टर आइए एक वास्तविक-मूल्यवान समय श्रृंखला हो, मापदंडों के साथ केजेड फ़िल्टर और इसे परिभाषित किया जाता है जहां समीकरण से प्राप्त बहुपद गुणांक द्वारा गुणांक दिए जाते हैं एक अन्य दृष्टिकोण से, मापदंडों के साथ केजेड फ़िल्टर और इसे बिंदुओं के चलती औसत (एमए) फ़िल्टर के समय पुनरावृत्ति के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। इसे पुनरावृत्तियों के माध्यम से प्राप्त किया जा सकता है। पहली पुनरावृत्ति प्रक्रिया पर एक एमए फ़िल्टर लागू करना है दूसरी पुनरावृत्ति पहले पुनरावृत्ति के परिणाम के लिए एमए ऑपरेशन को लागू करना है, आम तौर पर kth पुनरावृत्ति (k−1) th पुनरावृत्ति के लिए एमए फ़िल्टर का एक अनुप्रयोग है। एमए के एक सरल संचालन की पुनरावृत्ति प्रक्रिया कम्प्यूटेशनल रूप से बहुत सुविधाजनक है। गुण फ़िल्टर के उत्पाद का आवेग प्रतिक्रिया कार्य आवेग प्रतिक्रियाओं का अभिसरण है। के. जेड. फिल्टर के गुणांक की व्याख्या उस अंतराल पर के समान असतत वितरण के अभिसरण द्वारा प्राप्त वितरण के रूप में की जा सकती है जहां एम एक विषम पूर्णांक है। इसलिए, गुणांक एक टेपरिंग विंडो बनाता है जिसमें सीमित समर्थन होता है। के. जेड. फिल्टर का मुख्य वजन लंबाई पर केंद्रित होता है और वजन बाहर से शून्य तक गायब हो जाता है। के. जेड. फिल्टर के आवेग प्रतिक्रिया कार्य में निरंतर व्युत्पन्न होते हैं और यह असिंप्टोटिक रूप से गौसीयन वितरित होता है। आवेग प्रतिक्रिया फलन के लिए किनारों पर शून्य व्युत्पन्न इससे एक तेजी से घटता हुआ फलन बनाते हैं, जो उच्च आवृत्ति संकल्प में हल हो रहा है। केजेड फ़िल्टर का ऊर्जा हस्तांतरण कार्य है यह एक एम. ए. फ़िल्टर की तुलना में कट-ऑफ आवृत्ति के साथ एक लो-पास फ़िल्टर है, केजेड फ़िल्टर में कट-ऑफ आवृत्ति से ऊपर आवृत्ति घटकों को कम करने के मामले में बहुत बेहतर प्रदर्शन होता है। के. जेड. फिल्टर अनिवार्य रूप से एक दोहराव वाला एम. ए. फिल्टर है। यह गणना करने में आसान है और लापता डेटा से निपटने के लिए एक सीधे तरीके की अनुमति देता है। इस प्रक्रिया का मुख्य भाग अंतराल के भीतर लापता टिप्पणियों की उपेक्षा करते हुए m अंकों के अंतराल के भीतर उपलब्ध जानकारी का एक सरल औसत है। इसी विचार को आसानी से स्थानिक डेटा विश्लेषण तक बढ़ाया जा सकता है। यह दिखाया गया है कि लापता मानों का केजेड फ़िल्टर के स्थानांतरण कार्य पर बहुत कम प्रभाव पड़ता है। मनमाना k इस स्थानांतरण फलन की k शक्ति प्रदान करेगा और साइड लोब मान को कम कर देगा। यह एक पूर्ण लो पास फ़िल्टर होगा। व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए 3 से 5 की सीमा के भीतर के का एक विकल्प आमतौर पर पर्याप्त होता है, जब नियमित एमए (के = 1) लगभग 5 प्रतिशत का मजबूत वर्णक्रमीय रिसाव प्रदान कर रहा होता है। अनुकूलता केजेड फिल्टर मजबूत और लगभग इष्टतम है। क्योंकि इसका संचालन एक सरल चलती औसत है, केजेड फ़िल्टर एक लापता डेटा वातावरण में अच्छा प्रदर्शन करता है, विशेष रूप से बहुआयामी समय और स्थान में जहां लापता डेटा स्थानिक विरलता से उत्पन्न होने वाली समस्याओं का कारण बन सकता है। केजेड फ़िल्टर की एक और अच्छी विशेषता यह है कि दोनों मापदंडों में से प्रत्येक की स्पष्ट व्याख्या होती है ताकि इसे विभिन्न क्षेत्रों के विशेषज्ञों द्वारा आसानी से अपनाया जा सके। समय श्रृंखला, अनुदैर्ध्य और स्थानिक डेटा के लिए सॉफ्टवेयर कार्यान्वयन लोकप्रिय सांख्यिकीय पैकेज आर में विकसित किए गए हैं, जो केजेड फिल्टर और विभिन्न क्षेत्रों में इसके विस्तार के उपयोग की सुविधा प्रदान करते हैं। केजेड फ़िल्टर का उपयोग पीरियडोग्राम को चिकना करने के लिए किया जा सकता है। स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के एक वर्ग के लिए, ज़ुर्बेंको ने सबसे खराब स्थिति पर विचार किया, जहां किसी प्रक्रिया के बारे में उपलब्ध एकमात्र जानकारी उसके वर्णक्रमीय घनत्व और हेल्डर स्थिति द्वारा परिमापित चिकनीपन है। उन्होंने वर्णक्रमीय विंडो की इष्टतम बैंडविड्थ प्राप्त की, जो वर्णक्रमीय घनत्व की अंतर्निहित चिकनाई पर निर्भर है। ज़ुर्बेन्को ने कोल्मोगोरोव-ज़ुर्बेन्को (केज़ेड) विंडो के प्रदर्शन की तुलना बार्टलेट विंडो, पारज़न विंडो, टुकी-हैमिंग विंडो और यूनिफ़ॉर्म विंडो सहित अन्य आम तौर पर उपयोग की जाने वाली वर्णक्रमीय खिड़कियों से की और दिखाया कि केज़ेड विंडो से परिणाम इष्टतम के सबसे करीब है। एक अमूर्त असतत निर्माण के रूप में विकसित, केजेड निस्पंदन मजबूत और सांख्यिकीय रूप से लगभग इष्टतम है। साथ ही, अपने प्राकृतिक रूप के कारण, इसके कम्प्यूटेशनल लाभ हैं, जो डेटा के साथ स्थान/समय की समस्याओं के विश्लेषण की अनुमति देते हैं, जिसमें 90 प्रतिशत अवलोकन गायब हैं, और जो कई अलग-अलग भौतिक घटनाओं के गन्दा संयोजन का प्रतिनिधित्व करते हैं। अक्सर "अनसुलझी" समस्याओं के लिए स्पष्ट उत्तर पाए जा सकते हैं। कुछ गणितीय विकासों के विपरीत, केजेड विभिन्न क्षेत्रों के विशेषज्ञों द्वारा अनुकूलित किया जा सकता है क्योंकि इसके पीछे एक स्पष्ट भौतिक व्याख्या है। केजेड फ़िल्टर के विस्तार में केजेड अनुकूली (केजेडए) फ़िल्टर, स्थानिक केजेड फ़िल्टर और केजेड फ़ोरियर परिवर्तन (केजेडएफटी) शामिल हैं। यांग और ज़ुर्बेंको ने केजेड फ़िल्टर और इसके विस्तार की विस्तृत समीक्षा प्रदान की। आर पैकेज केजेड निस्पंदन को लागू करने के लिए भी उपलब्ध हैं केजेडएफटी केजेडएफटी फ़िल्टर आवधिक संकेतों या भारी शोर से ढके मौसमी के पुनर्निर्माण के लिए डिज़ाइन किया गया है। मौसमी गैर-स्थिरता के प्रमुख रूपों में से एक है जो अक्सर समय श्रृंखला में देखा जाता है। इसे आमतौर पर समय श्रृंखला के भीतर आवधिक घटकों के रूप में परिभाषित किया जाता है। मौसमी के साथ समय श्रृंखला का विश्लेषण करने के लिए वर्णक्रमीय विश्लेषण एक शक्तिशाली उपकरण है। यदि कोई प्रक्रिया स्थिर है, तो उसका वर्णक्रम भी एक निरंतर रूप है। भविष्यवाणी की सरलता के लिए इसे पैरामीट्रिक रूप से इलाज किया जा सकता है। यदि एक स्पेक्ट्रम में रेखाएँ हैं, तो यह इंगित करता है कि प्रक्रिया स्थिर नहीं है और इसमें आवधिकताएँ हैं। इस स्थिति में, पैरामीट्रिक फिटिंग के परिणामस्वरूप आम तौर पर कम ऊर्जा के साथ मौसमी अवशिष्ट होते हैं। यह मौसम से लेकर मौसम की विविधताओं के कारण होता है। इस समस्या से बचने के लिए, बैंड पास फिल्टर सहित गैर-पैरामीट्रिक तरीकों की सिफारिश की जाती है। कोल्मोगोरोव-ज़ुर्बेंको फ़ोरियर ट्रांसफ़ॉर्म (के. जेड. एफ. टी.) ऐसे फ़िल्टरों में से एक है। कई अनुप्रयोगों का उद्देश्य शोर वातावरण से उच्च रिज़ॉल्यूशन वेवलेट का पुनर्निर्माण करना है। यह साबित हुआ कि के. जेड. एफ. टी. वर्णक्रमीय क्षेत्र में सर्वोत्तम संभव संकल्प प्रदान करता है। यह सैद्धांतिक रूप से सबसे छोटी दूरी के किनारे पर दो संकेतों को अलग करने की अनुमति देता है, या भारी शोर से ढके आवधिक संकेतों का पुनर्निर्माण करता है और समय में अनियमित रूप से देखा जाता है। इस वजह से, केजेडएफटी विभिन्न अनुप्रयोगों के लिए एक अनूठा अवसर प्रदान करता है। आर सॉफ्टवेयर में केजेडएफटी को लागू करने के लिए एक कंप्यूटर एल्गोरिदम प्रदान किया गया है। के. जेड. एफ. टी. अनिवार्य रूप से एक बैंड पास फिल्टर है जो एक अद्वितीय समय खिड़की के साथ अल्पकालिक फूरियर परिवर्तन (एस. टी. एफ. टी.) की श्रेणी से संबंधित है। के. जेड. एफ. टी. कंप्यूटर यादृच्छिक संख्या जनरेटर के परिणामस्वरूप सफेद शोर के निरंतर वर्णक्रमीय घनत्व से छोटे विचलनों को आसानी से उजागर करता है। इस तरह के कंप्यूटर यादृच्छिक संख्या पीढ़ी लंबे समय में अनुमानित हो जाते हैं। कोल्मोगोरोव जटिलता यादृच्छिक संख्याओं के अप्रत्याशित अनुक्रम उत्पन्न करने का अवसर प्रदान करती है। औपचारिक रूप से, हमारे पास एक प्रक्रिया है, m और k मापदंडों के साथ KZFT फ़िल्टर, आवृत्ति ν0 पर गणना की जाती है, एक आउटपुट प्रक्रिया का उत्पादन करता है, जिसे निम्नलिखित रूप में परिभाषित किया गया हैः जहाँ के रूप में परिभाषित किया गया हैः,,., और बहुपद गुणांक द्वारा दिया गया है। जाहिरा तौर पर फ़िल्टर प्रक्रिया में फ़िल्टर के अनुप्रयोग के बराबर है। इसी तरह, के. जेड. एफ. टी. फिल्टर को के. जेड. फिल्टर की तरह पुनरावृत्तियों के माध्यम से प्राप्त किया जा सकता है। एस अवधि में समय में केजेडएफटी के वर्ग का औसत आवृत्ति ν0 या केजेड पीरियडोग्राम (केजेडपी) पर तरंग के वर्ग आयाम का एक अनुमान प्रदान करेगा जो क्षण टी के आसपास 2एसआर0 टिप्पणियों पर आधारित हैः केजेडएफटी का स्थानांतरण कार्य चित्र 2 में प्रदान किया गया है जिसमें सीमित बैंडविड्थ के साथ एक बहुत तेज आवृत्ति संकल्प है। एक जटिल-मूल्यवान प्रक्रिया के लिए, परिणाम अपरिवर्तित रहता है। एक वास्तविक-मूल्यवान प्रक्रिया के लिए, यह वास्तविक और जटिल क्षेत्रों में ऊर्जा को समान रूप से वितरित करता है। दूसरे शब्दों में, एक ही आवृत्ति ν0 पर एक कोसाइन या साइन तरंग का पुनर्निर्माण करता है। यह इस प्रकार है कि आवृत्ति ν0 के साथ एक अज्ञात तरंग के आयाम और चरण का सही ढंग से पुनर्निर्माण करता है। नीचे दिया गया चित्र के. जेड. एफ. टी. निस्पंदन का बिजली हस्तांतरण कार्य प्रदान कर रहा है। यह स्पष्ट रूप से प्रदर्शित करता है कि यह पूरी तरह से ब्याज की आवृत्ति ν0 = 0.4 पर कब्जा कर लेता है और व्यावहारिक रूप से एक साइड लोब से कोई वर्णक्रमीय रिसाव प्रदान नहीं करता है जो निस्पंदन के पैरामीटर k द्वारा नियंत्रित होता है। व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए 3 से 5 की सीमा के भीतर के का चयन आमतौर पर पर्याप्त होता है, जब नियमित एफ. एफ. टी. (के = 1) लगभग 5 प्रतिशत का मजबूत रिसाव प्रदान कर रहा होता है। उदाहरण-सिम्युलेटेड सिग्नल नॉर्मल रैंडम नॉइज़ एन (0,16) का उपयोग के. जेड. एफ. टी. एल्गोरिदम की गुम मानों के साथ डेटासेट के स्पेक्ट्रा को सटीक रूप से निर्धारित करने की क्षमता का परीक्षण करने के लिए किया गया था। व्यावहारिक विचारों के लिए, पी = 70 प्रतिशत पर लापता मूल्यों के प्रतिशत का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया गया था कि क्या स्पेक्ट्रम प्रमुख आवृत्तियों को पकड़ना जारी रख सकता है। m = 600 और k = 3 पुनरावृत्तियों की एक व्यापक खिड़की की लंबाई का उपयोग करते हुए, अनुकूली अनुदैर्ध्य डेटासेट के लिए स्पेक्ट्रम निर्धारित करने के लिए अनुकूली रूप से चिकनी KZP एल्गोरिथ्म का उपयोग किया गया था। चित्र 3 में यह स्पष्ट है कि प्रति इकाई समय 0.8 और 0.10 चक्रों की प्रमुख आवृत्तियों को संकेत की अंतर्निहित आवृत्तियों के रूप में पहचाना जा सकता है। अनुदैर्ध्य टिप्पणियों के उच्च शोर में अंतर्निहित मूल संकेत का केजेडएफटी पुनर्निर्माण (लापता दर 60 प्रतिशत)। आर-सॉफ्टवेयर के केजेडए पैकेज में केजेडएफटी फिल्टर में एक पैरामीटर एफ = आवृत्ति है। स्पेक्ट्रम में पाई जाने वाली ज्ञात प्रमुख आवृत्तियों में से प्रत्येक के लिए इस पैरामीटर को परिभाषित करके, प्रत्येक आवृत्ति (0.08 और 0.10 चक्र प्रति इकाई समय) के बारे में संकेत का पुनर्निर्माण करने के लिए m = 300 और k = 3 मापदंडों के साथ KZFT फ़िल्टर करें। पुनर्निर्मित संकेत का निर्धारण के. जेड. एफ. टी. फिल्टर को दो बार (प्रत्येक प्रमुख आवृत्ति के बारे में एक बार) लागू करके और फिर प्रत्येक फिल्टर के परिणामों का योग करके किया गया था। सही संकेत और पुनर्निर्मित संकेत के बीच संबंध 96.4% था; चित्र 4 में प्रदर्शित किया गया है। मूल अवलोकन जटिल, छिपी हुई आवधिकता का कोई अनुमान नहीं देते हैं, जिसे एल्गोरिथ्म द्वारा पूरी तरह से पुनर्निर्मित किया गया था। रॉ डेटा में अक्सर छिपी हुई आवृत्तियाँ होती हैं। कुछ निश्चित आवृत्ति तरंगों के संयोजन संकेतों के मिश्रण की पहचान को जटिल बना सकते हैं, लेकिन फिर भी समय के साथ अनुमानित बने रहते हैं। प्रकाशनों से पता चलता है कि वायुमंडलीय दबाव में चंद्रमा के गुरुत्वाकर्षण बल और सूर्य की दैनिक अवधि के परिणामस्वरूप छिपी आवधिकताएँ होती हैं। वायुमंडलीय ज्वारीय तरंगों के इन आवधिक संकेतों का पुनर्निर्माण चरम मौसम में मौजूद कई विसंगतियों की व्याख्या और भविष्यवाणी करने की अनुमति देता है। ग्रहों के गुरुत्वाकर्षण बल के परिणामस्वरूप सूर्य पर इसी तरह की ज्वारीय तरंगें मौजूद होनी चाहिए। अपनी अक्षों के चारों ओर सूर्य के घूर्णन से पृथ्वी पर भूमध्यरेखीय धारा के समान एक धारा उत्पन्न होगी। धारा के आसपास गड़बड़ी या धार सूर्य की सतह पर विसंगतियों का कारण बनेगी। अत्यधिक चुंबकीय प्लाज्मा में क्षैतिज घूर्णन किनारे एक ऊर्ध्वाधर विस्फोट पैदा करेंगे जो सूर्य की सतह के ऊपर गहरे, गर्म प्लाज्मा को ले जाएगा। प्रत्येक ग्रह सूर्य पर एक विशिष्ट आवृत्ति के साथ एक ज्वारीय लहर पैदा करता है। कभी-कभी कोई भी दो तरंगें चरण में आती हैं और अन्य समय चरण से बाहर हो जाती हैं। परिणामी आयाम एक अंतर आवृत्ति के साथ दोलन करेगा। डी. जेड. एल्गोरिदम का उपयोग करके सनस्पॉट डेटा के स्पेक्ट्रा का अनुमान 9.9 और 11.7 वर्षों के करीब आवधिकता के साथ दो तेज आवृत्ति रेखाएं प्रदान करता है। इन आवृत्ति रेखाओं को बृहस्पति और शनि (9.9) और शुक्र और पृथ्वी (11.7) के कारण होने वाली अंतर आवृत्तियों के रूप में माना जा सकता है। 9. 9 और 11.7 के बीच की अंतर आवृत्ति 64 साल की अवधि के साथ एक आवृत्ति प्रदान करती है। इन सभी अवधियों की पहचान सनस्पॉट डेटा में की जा सकती है। 64 साल की अवधि का घटक वर्तमान में गिरावट की स्थिति में है। यह गिरावट निकट भविष्य में पृथ्वी पर शीतलन प्रभाव पैदा कर सकती है। कई ग्रहों के संयुक्त प्रभाव की जांच से सूर्य की गतिविधि में कुछ लंबी अवधि का पता चल सकता है और पृथ्वी पर जलवायु में उतार-चढ़ाव की व्याख्या करने में मदद मिल सकती है। केजेड फिल्टर का केजेडए अनुकूली संस्करण, जिसे केजेड अनुकूली (केजेडए) फिल्टर कहा जाता है, भारी शोर से ढके गैर-पैरामीट्रिक संकेतों में विराम की खोज के लिए विकसित किया गया था। के. जेड. ए. फिल्टर सबसे पहले संभावित समय अंतराल की पहचान करता है जब ब्रेक होता है। इसके बाद यह खिड़की के आकार को कम करके इन समय अंतरालों की अधिक सावधानी से जांच करता है ताकि सुचारू परिणाम का संकल्प बढ़ सके। ब्रेक प्वाइंट डिटेक्शन के एक उदाहरण के रूप में, हम एक दीर्घकालिक प्रवृत्ति का अनुकरण करते हैं जिसमें मौसमी और शोर में डूबा हुआ ब्रेक होता है। चित्र 2 1 इकाई के आयाम के साथ एक मौसमी साइन तरंग का एक भूखंड है, सामान्य रूप से वितरित शोर (), और एक विराम के साथ एक आधार संकेत है। चीजों को और अधिक चुनौतीपूर्ण बनाने के लिए, आधार संकेत में 1 इकाई की समग्र गिरावट की प्रवृत्ति और 0.5 इकाइयों का ऊपर की ओर ब्रेक होता है। मूल आंकड़ों में नीचे की ओर रुझान और गिरावट शायद ही दिखाई दे। आधार संकेत एक चरण फलन है, साथ और साथ। मूल डेटा पर एक लो-पास स्मूथिंग फिल्टर के अनुप्रयोग के परिणामस्वरूप ब्रेक का ओवर स्मूथिंग होता है जैसा कि चित्र 6 में दिखाया गया है। ब्रेक की स्थिति अब स्पष्ट नहीं है। के. जेड. फिल्टर (के. जेड. ए.) के एक अनुकूली संस्करण के अनुप्रयोग को विराम मिलता है जैसा कि चित्र 5बी में दिखाया गया है। केजेडए का निर्माण पुनरावृत्त स्मूथिंग फिल्टर केजेड के एक अनुकूली संस्करण पर आधारित है। केजेड के साथ पाए जाने वाले रुझानों के आधार पर फ़िल्टरिंग विंडो के आकार को बदलने का विचार है। यह फ़िल्टर को उन क्षेत्रों में ज़ूम करने का कारण बनेगा जहाँ डेटा बदल रहा है; परिवर्तन जितना तेज़ होगा, ज़ूम उतना ही कड़ा होगा। केजेडए के निर्माण में पहला कदम केजेड का उपयोग करना है; जहां के पुनरावृत्ति है और क्यू फ़िल्टर की लंबाई है, जहां एक पुनरावृत्त चलती औसत है जहां मूल डेटा हैं और फ़िल्टर किए गए डेटा हैं। इस परिणाम का उपयोग फ़िल्टर का एक अनुकूली संस्करण बनाने के लिए किया जाता है। फ़िल्टर क्रमशः एक सिर और पूंछ (qf और qb) से बना है, जिसमें f = सिर और b = पूंछ है जो डेटा के जवाब में आकार में समायोजित होता है, प्रभावी रूप से उन क्षेत्रों में ज़ूम करता है जहां डेटा तेजी से बदल रहा है। डेटा में टूटने के जवाब में हेड क्यूएफ सिकुड़ जाता है। KZ से निर्मित अंतर सदिश का उपयोग 'व्युत्पन्न' के असतत समतुल्य को खोजने के लिए किया जाता है। यह परिणाम फ़िल्टरिंग विंडो के सिर और पूंछ (क्रमशः क्यूएफ और क्यूबी) के आकार को निर्धारित करता है। यदि ढलान सकारात्मक है तो सिर सिकुड़ जाएगा और पूंछ पूर्ण आकार (', फिर और) के साथ विस्तारित हो जाएगी। यदि ढलान नकारात्मक है तो खिड़की का सिर पूर्ण आकार का होगा जबकि पूंछ सिकुड़ जाएगी (', तब और। केजेडए का विस्तृत कोड उपलब्ध है। के. जेड. ए. एल्गोरिदम में एक गैर-पैरामीट्रिक दृष्टिकोण के सभी विशिष्ट लाभ हैं; इसकी जांच के तहत समय श्रृंखला के किसी विशिष्ट मॉडल की आवश्यकता नहीं है। यह भारी शोर से ढके किसी भी प्रकृति के कम आवृत्ति संकेत पर अचानक परिवर्तनों की खोज करता है। केजेडए ब्रेक डिटेक्शन के लिए बहुत उच्च संवेदनशीलता दिखाता है, यहां तक कि बहुत कम सिग्नल-टू-शोर अनुपात के साथ भी; ब्रेक के समय का पता लगाने की सटीकता भी बहुत अधिक है। शोर-शराबे वाली द्वि-आयामी छवियों को पुनर्स्थापित करने के लिए के. जेड. ए. एल्गोरिदम को लागू किया जा सकता है। यह एक दो-स्तरीय फलन f (x, y) हो सकता है जो एक काले और सफेद चित्र के रूप में हो सकता है जो तेज शोर से क्षतिग्रस्त हो जाता है, या एक बहु-स्तरीय रंगीन चित्र हो सकता है। ब्रेक (रंग परिवर्तन) का पता लगाने के लिए केजेडए को लाइन दर लाइन लगाया जा सकता है, फिर विभिन्न लाइनों पर ब्रेक पॉइंट को नियमित केजेड फिल्टर द्वारा चिकना किया जाएगा। स्थानिक केजेडए का प्रदर्शन चित्र 7 में दिया गया है। स्पेक्ट्रा में तेज आवृत्ति रेखाओं के निर्धारण को अनुकूली रूप से चिकना पीरियडोग्राम द्वारा निर्धारित किया जा सकता है। एल्गोरिथ्म का केंद्रीय विचार एक केजेड पीरियडोग्राम के लघुगणक को अनुकूली रूप से चिकना करना है। स्मूथिंग की सीमा कुल एन्ट्रापी से सशर्त एन्ट्रापी के कुछ निश्चित प्रतिशत द्वारा प्रदान की जाती है। मोटे तौर पर, एल्गोरिथ्म आवृत्ति पैमाने के बजाय सूचना पैमाने पर समान रूप से काम करता है। इस एल्गोरिथ्म को केजेडपी में पैरामीटर के = 1 के लिए डिरिएंजो-ज़ुर्बेंको एल्गोरिथ्म के रूप में भी जाना जाता है और सॉफ्टवेयर में प्रदान किया जाता है। स्थानिक केजेड फिल्टर को समय और स्थान में दर्ज किए गए चर पर लागू किया जा सकता है। फ़िल्टर के मापदंडों को समय और स्थान में अलग से चुना जा सकता है। आम तौर पर भौतिक ज्ञान को लागू किया जा सकता है कि औसत का कौन सा पैमाना स्थान में उचित है और औसत का कौन सा पैमाना समय में उचित है। पैरामीटर के फ़िल्टर के रिज़ॉल्यूशन की तीक्ष्णता या आवृत्तियों के रिसाव के दमन को नियंत्रित कर रहा है। स्थानिक केजेड फ़िल्टर के लिए एक एल्गोरिदम आर सॉफ्टवेयर में उपलब्ध हैं। परिणाम समय पैरामीटर को आभासी समय के रूप में माना जा सकता है, फिर अंतरिक्ष में निस्पंदन के परिणामों की छवियों को आभासी समय में "फिल्म" के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है। हम समय t, देशांतर x और अक्षांश y के फलन के रूप में तापमान T (t, x, y) के विश्व अभिलेखों पर लागू 3D स्थानिक KZ फिल्टर के अनुप्रयोग को प्रदर्शित कर सकते हैं। वैश्विक जलवायु उतार-चढ़ाव घटक मापदंडों का चयन करने के लिए समय t के लिए 25 महीने, देशांतर के लिए 3° और केजेड निस्पंदन के लिए अक्षांश का चयन किया गया था। पैमाने के संकल्पों को समायोजित करने के लिए मापदंड k को 5 के बराबर चुना गया था। परिणाम "फिल्म" की एकल स्लाइड नीचे चित्र 8 में दी गई है। समय और स्थान में जलवायु के उतार-चढ़ाव की पहचान करने के लिए अक्षांशों के साथ मानक औसत कोसाइन वर्ग तापमान वितरण को घटाया गया था। हम 2007 के लिए ग्लोब पर कोसाइन वर्ग नियम से तापमान में उतार-चढ़ाव की विसंगतियां देख सकते हैं। तापमान विसंगतियों को दाईं ओर चित्र पैमाने में दिए गए ग्लोब में प्रदर्शित किया जाता है। यह यूरोप और उत्तरी अफ्रीका में बहुत अधिक सकारात्मक विसंगति प्रदर्शित करता है, जो पिछले 100 वर्षों से अधिक समय से चल रही थी। निरपेक्ष आर्द्रता चर प्रमुख क्षेत्रीय जलवायु परिवर्तनों के लिए जिम्मेदारी रख रहा है क्योंकि इसे हाल ही में ज़ुर्बेंको इगोर और स्मिथ डेविन द्वारा कोल्मोगोरोव-ज़ुर्बेंको फिल्टर में स्थानिक विश्लेषण में प्रदर्शित किया गया था। केजेड निस्पंदन के परिणाम "फिल्म" में वे विसंगतियां धीरे-धीरे समय के साथ बदल रही हैं, समय के साथ देखी गई विसंगतियों की धीमी तीव्रता की पहचान की गई थी। एल नीनो पैमाने और अन्य जैसे विभिन्न पैमाने के उतार-चढ़ाव को स्थानिक केजेड निस्पंदन द्वारा भी पहचाना जा सकता है। उन तराजू की उच्च परिभाषा "फिल्म" उत्तरी अमेरिका में प्रदान की जाती है। एक अलग चर के लिए केजेड निस्पंदन द्वारा विभिन्न तराजू का चयन किया जा सकता है और संबंधित बहुभिन्नरूपी विश्लेषण अन्य सहपरिवर्तियों की तुलना में परिणाम चर की जांच के लिए उच्च दक्षता परिणाम प्रदान कर सकता है। केजेड फिल्टर रिज़ॉल्यूशन पारंपरिक तरीकों की तुलना में असाधारण रूप से अच्छा प्रदर्शन करता है और वास्तव में कम्प्यूटेशनल रूप से इष्टतम है। कार्यान्वयन डब्ल्यू. यांग और आई. ज़ुर्बेंको। kzft: कोल्मोगोरोव-ज़ुर्बेंको फ़ोरियर परिवर्तन और अनुप्रयोग। आर पैकेज, 2006। बी. बंद करें और आई. ज़ुर्बेंको। kza: छवि का पता लगाने के लिए कोल्मोगोरोव-ज़ुर्बेंको अनुकूली एल्गोरिथ्म। आर पैकेज, 2016 (https://cran.r-project.org/web/packages/kza) एंड्रियास वेइलर और माइकल ग्रॉसनिकलॉस (कॉन्स्टैंज़ विश्वविद्यालय, जर्मनी) के 1-आयामी सरणियों के लिए केजेड और केजेडए जावा कार्यान्वयन (https://web.archive.org/web/20140914054417/http:// dbis. uni-konstanz.de/research/social-media-stream-analysis) मैथ्यू शॉफर (लॉज़ेन विश्वविद्यालय, स्विट्जरलैंड) के केजेड, केजेडएफटी और केजेडपी का पायथन कार्यान्वयन (https://github.com/MathieuSchopfer/kolmogorov-zurbenko-filter) संदर्भ सांख्यिकीय संकेत प्रसंस्करण फ़िल्टर सिद्धांत