Rule of marteloio
मार्टेलियो का नियम नौवहन गणना की एक मध्ययुगीन तकनीक है जो कम्पास दिशा, दूरी और एक सरल त्रिकोणमितीय तालिका का उपयोग करती है जिसे टोलेटा डी मार्टेलियो के रूप में जाना जाता है। नियम ने नाविकों को बताया कि टोलेटा और मूल अंकगणित की मदद से त्रिकोणों को हल करने के माध्यम से दो अलग-अलग नौवहन पाठ्यक्रमों के बीच पारगमन की योजना कैसे बनाई जाए। जो संख्या में हेरफेर करने में असहज होते हैं, वे दृश्य टोंडो ई क्वाड्रो (वृत्त और वर्ग) का सहारा ले सकते हैं और विभाजक के साथ अपना उत्तर प्राप्त कर सकते हैं। खगोलीय नौवहन के विकास से पहले 14वीं और 15वीं शताब्दी के दौरान भूमध्यसागरीय नाविकों द्वारा आमतौर पर मार्टेलियो के नियम का उपयोग किया जाता था। व्युत्पत्ति वेनिस भाषा से आती है। अपने 1436 के एटलस में, विनीशियन कप्तान और मानचित्रकार एंड्रिया बियांको ने संख्याओं की एक तालिका पेश की जिसे उन्होंने टोलेटा डी मार्टेलियो ("मार्टेलियो की तालिका") कहा, और इसे रैक्सन डी मार्टेलियो ("मार्टेलियो का कारण") के रूप में उपयोग करने की विधि। मार्टेलियो का अर्थ ही अनिश्चित है। सबसे व्यापक रूप से स्वीकृत परिकल्पना, सबसे पहले ए. ई. नोर्डेनस्किल्ड, यह है कि मार्टेलियो "हथौड़ा" (विनीशियन में "मार्टेलो") से संबंधित है, जो उस छोटे हथौड़े का उल्लेख करता है जिसका उपयोग समय के बीतने को चिह्नित करने के लिए जहाज पर जहाज की घंटी को मारने के लिए किया जाता था। यह सुझाव दिया गया है कि-ओइओ प्रत्यय का तात्पर्य है कि मार्टेलियो का अर्थ न तो हथौड़ा है और न ही हथौड़ा चलाने वाला, बल्कि "हथौड़ा मारना" है, जिसका उद्देश्य हर चार घंटे में घड़ी बदलने से "हथौड़ा मारना, शोर मचाना, रैकेट" को इंगित करना है। चूंकि घड़ी बदलने के दौरान डेक पर कई हाथ थे, इसलिए जहाज के पायलट के लिए असर में बदलाव (यदि आवश्यक हो) का आदेश देना एक उपयुक्त क्षण होगा। वैकल्पिक परिकल्पना (लगभग स्वीकार नहीं की गई) यह है कि "मार्टेलियो" मारी लोगियो (जिसका अर्थ है "समुद्र का शासन"), या मारे टेला (जिसका अर्थ है "समुद्री नेटवर्क") से एक अपभ्रंश है, या यह कि यह ग्रीक होमर्टोलोगियम ("साथी टुकड़ा"), या ग्रीक इमेरलोजियम ("दैनिक गणना") से लिया गया है, या यह उत्तरी फ्रांसीसी मैटेलोट से हो सकता है, जो बदले में ब्रेटन मार्टोलोड (जिसका अर्थ है "नाविक") से आता है। उद्देश्य "मार्टेलियो के नियम" का उपयोग मध्य युग में यूरोपीय नौवहन में किया गया था, विशेष रूप से 14 वीं और 16 वीं शताब्दी के बीच भूमध्य सागर में, हालांकि इसकी जड़ें पुरानी हो सकती हैं। यह भौगोलिक निर्देशांकों के आगमन और यूरोप में खगोलीय नौवहन के विकास से पहले "कम्पास और चार्ट" द्वारा नौवहन का एक अभिन्न अंग था। मध्यकालीन नौपरिवहन दो मापदंडों, दिशा और दूरी पर निर्भर था। जहाज पर, दिशा नाविक के कम्पास (जो 1300 के आसपास उभरा) द्वारा निर्धारित की गई थी। दूरी को मृत गणना द्वारा मापा जाता था, (यानी, दूरी = गति × समय), जहां समय को आधे घंटे के गिलास द्वारा मापा जाता था, और गति रीडिंग को चिप लॉग के किसी रूप के साथ लिया जाता था (14वीं और 15वीं शताब्दी में उपयोग की जाने वाली पुरातन विधि में लकड़ी या फ्लोटसम का एक टुकड़ा ऊपर से बुनना शामिल था; चालक दल चिप को जहाज की लंबाई से आगे तैरने में लगने वाले समय को चिह्नित करने के लिए एक लयबद्ध मंत्र में लगा हुआ था)। कम्पास की दिशा और बिंदु ए और बिंदु बी के बीच की दूरी को जानने के लिए आवश्यक पाठ्यक्रम तैयार करना। समुद्र में लंबे अनुभव से नाविकों द्वारा एक दूसरे के सापेक्ष बंदरगाहों का ज्ञान प्राप्त किया गया था। इस जानकारी को कभी-कभी एक पायलट की पुस्तिका में एकत्र और लिखा जाता था, जिसे पोर्टोलानो (इतालवी में "पोर्ट बुक", ग्रीक पेरिप्लस, पुर्तगाली रोटेरो और अंग्रेजी रटर के बराबर) के रूप में जाना जाता था। इन पुस्तिकाओं का उपयोग समुद्री मानचित्रों के एक वर्ग के निर्माण के लिए किया जाता था जिसे पोर्टोलन चार्ट के रूप में जाना जाता था। 13वीं शताब्दी के अंत में जेनोआ में पोर्टोलन चार्ट का निर्माण शुरू हुआ और जल्द ही वेनिस और मेजरका में फैल गया। पोर्टोलन चार्ट देशांतर और अक्षांश रेखाओं द्वारा ग्रिड नहीं किए गए थे, बल्कि कम्पास रम्ब लाइनों के एक जाल द्वारा किए गए थे, जिससे नाविकों को केवल स्थानों के बीच की दूरी और दिशा का अंदाजा था। एक पुस्तिका या एक पोर्टोलन चार्ट द्वारा, एक नाविक तुरंत देख सकता था कि, उदाहरण के लिए, पीसा जेनोआ के 85 मील दक्षिण-पूर्व (पारंपरिक कम्पास गुलाब नामकरण में "सिरोको") में स्थित है, और इसलिए जेनोआ से पीसा जाने वाला एक जहाज बस उस दूरी के लिए उस असर को बनाए रखेगा। हालाँकि, अधिकांश नौकायन मार्ग लगभग उतने साफ-सुथरे नहीं थे। मेजरका से नेपल्स तक नौकायन करने के इच्छुक एक नाविक बता सकता था कि बाद वाला लगभग 600 मील पूर्व ("लेवांटे") की ओर था-लेकिन सार्डिनिया द्वीप रास्ते में है, इसलिए मार्ग के साथ जहाज के असर को बदलना होगा। यह करने की तुलना में कहना आसान है, क्योंकि इस युग के दौरान भौगोलिक निर्देशांक मौजूद नहीं थे। समुद्र में जहाज की सटीक स्थिति निर्धारित करने का एकमात्र तरीका पिछले असर और यात्रा की गई दूरी के माध्यम से गणना करना होगा। द्वीप एक अनुमानित बाधा थे-सार्डिनिया को दरकिनार करना केवल एक निर्धारित दूरी के लिए दक्षिण-पूर्व में नौकायन करने और फिर शेष के लिए असर को उत्तर-पूर्व ("ग्रीको") में बदलने की बात होगी। अधिक समस्या यह है कि यदि जहाज को अनुकूल हवाओं द्वारा अपने इच्छित मार्ग से उड़ा दिया गया था, या बार-बार असर बदलते हुए उसे संभालने में संलग्न होना पड़ा था। यह अपने इच्छित मार्ग पर कैसे लौटता है? यही वह जगह है जहाँ मार्टेलियो का शासन आया था। ट्रेवर्स समस्या मार्टेलियो के नियम ने समुद्र में असर बदलने की समस्या को संबोधित किया। विशेष रूप से, इसने एक नाविक को एक नौवहन मार्ग से दूसरे मार्ग पर जाने में मदद की। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि एक जहाज को कोर्सिका से जेनोआ जाना था, जो लगभग 130 मील तक सीधे उत्तर ("ट्रामोंटाना") की ओर जाता था। लेकिन हवाएँ सहयोग नहीं कर रही हैं, और जहाज को लगभग 70 मील तक उत्तर-पश्चिम ("मेस्ट्रो") जाने के लिए मजबूर होना पड़ा। यह अपने मूल मार्ग पर कैसे लौटता है? पूर्वोत्तर ("ग्रीको") में इसके असर को फिर से स्थापित करना काफी समझदारी भरा लगता है, लेकिन इसे उस असर पर कब तक चलना चाहिए? एक नाविक को कैसे पता चलेगा कि जहाज अपने पुराने मार्ग पर कब पहुँच गया है और उसे फिर से उत्तर की ओर मुड़ना चाहिए? पुराने पाठ्यक्रम को ओवरशूटिंग या अंडरशूटिंग से कैसे बचा जाए? यह एक त्रिभुज को हल करने की गणितीय समस्या है। यदि एक नाविक को पता है कि जहाज ने गलत मार्ग पर कितनी देर तक यात्रा की है, तो वह अपने इच्छित मार्ग से अपनी वर्तमान दूरी की गणना कर सकता है, और अनुमान लगा सकता है कि जब तक वह अपने पुराने मार्ग को ठीक नहीं कर लेता, तब तक उसे नए असर पर वापस कितना समय चलना होगा। कोर्सिका-से-जेनोआ उदाहरण में, एक निहित त्रिभुज ए. सी. डी. है, जिसकी एक तरफ (वास्तविक एन. डब्ल्यू. पाठ्यक्रम पर ए. सी. = 70 मील), ए. पर 45° कोण (वास्तविक पाठ्यक्रम एन. डब्ल्यू. और इच्छित पाठ्यक्रम एन. के बीच अंतर का कोण) और सी. पर 90° का दूसरा कोण (वास्तविक पाठ्यक्रम एन. डब्ल्यू. और वापसी पाठ्यक्रम एन. ई. के बीच अंतर का कोण) दिया गया है। नाविक के लिए चुनौती यह पता लगाना है कि किसी को एन. ई. वापसी मार्ग (साइड सी. डी. की लंबाई, जिसे रिटोर्नो कहा जाता है) पर कितनी देर तक चलना चाहिए और जब तक कोई सीधा हो जाता है तब तक वह इच्छित मार्ग पर कितनी दूर आगे बढ़ चुका होता है (हाइपोटेन्यूज ए. डी. की लंबाई, या जिसे कुल एवैंजो कहा जाता है)। यह प्राथमिक त्रिकोणमिति है, जो एक पक्ष (70) और दो कोण (45° और 90°) दिए गए दो भुजाओं के लिए हल करती है। यह जल्दी से साइन के नियम को लागू करके किया जाता हैः समाधान रिटोर्नो = 70 मील और कुल अवैंजो = 98.99 मील। इसका मतलब है कि यदि जहाज अपनी वर्तमान स्थिति (सी) से एन. ई. को वहन करता है, तो यह एन. ई. असर पर 70 मील की यात्रा के बाद अपने मूल इच्छित मार्ग पर पहुंच जाएगा। जब तक यह अपने जंक्शन बिंदु (डी) तक पहुंचता है, तब तक यह अपने मूल इच्छित मार्ग से 98.99 मील की दूरी तय कर चुका होगा। वहाँ यह अपने असर एन को सीधा कर सकता है और शेष 30 मील या उससे अधिक जेनोआ तक जा सकता है। दुर्भाग्य से, 14वीं और 15वीं शताब्दी के प्राथमिक शैक्षिक स्तरों वाले मध्ययुगीन नाविकों को साइन के कानून के बारे में जानने या आसानी से हेरफेर करने की संभावना नहीं थी। नतीजतन, मध्यकालीन नाविकों को गणना की सरल और अधिक सुलभ विधि की आवश्यकता थी। रूल्स रेमन लल्ल की "मिलियारिया" विद्वान-पादरी मेजरका के रेमन लल्ल, नौवहन की पार समस्या को हल करने के लिए एक नियम का उल्लेख करने वाले पहले लेखक थे। अपनी आर्बोर साइंटिया (1295) में, ज्यामिति पर प्रश्नों के खंड में, लुल लिखते हैंः ऐसा लगता है कि लुल जो समझाने की कोशिश कर रहा है, वह यह है कि एक जहाज वास्तव में ई की यात्रा कर रहा है, लेकिन एसई की यात्रा करने का इरादा रखता है, यह पता लगा सकता है कि इसकी दक्षिण-पूर्व की ओर की दूरी कितनी है जो पहले ही अच्छी हो चुकी है-जिसे इटालियंस "अवंजार" कहते हैं, लेकिन लुल "मिलियारिया इन मारी" कहते हैं। लल्ल ठीक से यह नहीं बताते हैं कि कैसे, लेकिन केवल एक "उपकरण" को संदर्भित करता है, संभवतः किसी प्रकार की त्रिकोणमितीय तालिका। लूल का अर्थ है कि नाविक गलत मार्ग पर वास्तव में तय की गई दूरी को दो मार्गों के बीच के कोण की कोसाइन से गुणा करके इच्छित मार्ग पर मिलियारिया की गणना कर सकते हैं। मारी में मिलियारिया = दूरी पार × कॉस (θ) जहाँ θ दोनों मार्गों के बीच अंतर का कोण है। लुल के उदाहरण का उपयोग करते हुए, एक जहाज जो दक्षिण-पूर्व में यात्रा करने का इरादा रखता था ("एक्सलोक" "सिरोको" के लिए कैटलन है) लेकिन इसके बजाय पूर्व में यात्रा करने के लिए मजबूर किया गया था ("लेवेंट"), तो अंतर का कोण θ = 45° है। गलत मार्ग पर 100 मील के बाद, इच्छित मार्ग पर मिलियारिया 100 × cos 45° = 70.71 है। गलत मार्ग पर नौकायन को 200 मील तक दोगुना करने से 141.42 मील (= 200 cos 45°) के इच्छित मार्ग पर मिलियारिया दोगुना हो जाएगा। (आरेखात्मक रूप से, मारी में लुल्स मिलियारिया को एक दाएँ कोण वाले त्रिभुज का निर्माण करके मापा जाता है, जिसमें वास्तविक मार्ग से इच्छित मार्ग तक की दूरी से एक रस्सी चलाई जाती है, जो बाद वाले को 90° कोण पर मिलती है)। लल्ल अपने आर्स मैग्ना जनरलिस एट अल्टिमा (1305 में लिखा गया) में थोड़ा और स्पष्ट है। अपने उदाहरण को उलटते हुए, एक जहाज के साथ वास्तव में दक्षिण-पूर्व की ओर नौकायन कर रहा है, लेकिन पूर्व की ओर नौकायन करने का इरादा रखता है, लल्ल ने नोट किया कि दक्षिण-पूर्व की ओर हर चार मील के लिए, यह पूर्व की ओर इच्छित मार्ग पर "तीन मील" (वास्तव में 2.83) प्राप्त करता है। इस प्रकार, लुल नोट करता है, जहाज वर्तमान मार्ग पर हर 100 मील के लिए अपने इच्छित मार्ग से "25 मील" (वास्तव में 29) खो देता है। ध्यान दें कि अपने अंशों में, रेमन लुल नियम की सिफारिश नहीं कर रहे हैं, बल्कि इसे रिपोर्ट कर रहे हैं, यह संकेत देते हुए कि इस नियम को पहले से ही समकालीन नाविकों द्वारा व्यवहार में जाना और उपयोग किया जाता था। यह शायद आश्चर्यजनक नहीं है-हालाँकि त्रिकोणमिति ईसाई यूरोप में केवल अपनी प्रारंभिक अवस्था में थी, अरब गणित में साइन और कोसाइन तालिकाएँ पहले से ही ज्ञात थीं। 1230 के दशक तक मुस्लिम शासन के तहत मलोर्का साम्राज्य, लुल के समय में एक बहुसांस्कृतिक केंद्र बना रहा, जिसमें यहूदी समुदाय फलते-फूलते रहे, जिनमें से कई गणित और खगोल विज्ञान में तल्लीन थे, और जिनके नाविकों का भूमध्य सागर के पार व्यापक संपर्क था। यह असंभव नहीं है कि मेजरकैन नाविकों के हाथ में किसी प्रकार की त्रिकोणमितीय मेज थी। फिर भी, 1295 में रेमन लल्ल द्वारा निहित इस तालिका की सटीक सामग्री और लेआउट अनिश्चित है। एंड्रिया बियांको की "टोलेटा" हमें लल्ल के एक सदी से भी अधिक समय बाद एक नाविक की त्रिकोणमितीय मेज की हमारी पहली झलक मिलती है। अपने 1436 के पोर्टोलन एटलस के पहले फोलियो में, विनीशियन कप्तान एंड्रिया बियांको ने रैक्सन डी मार्टेलियो को समझाया कि कैसे पार की गणना की जाए और पाठ्यक्रम को पुनर्प्राप्त किया जाए। वह एक साधारण त्रिकोणमितीय तालिका तैयार करता है जिसे वह टोलेटा डी मार्टेलियो कहता है और अनुशंसा करता है कि नाविक मेज को स्मृति के लिए समर्पित करें। टोलेटा डी मार्टेलियो को निम्नानुसार निर्धारित किया गया हैः टोलेटा में संख्याओं को आधुनिक सूत्रों द्वारा अनुमानित किया जा सकता हैः अलार्गर = अवंजार = रिटोर्नो = अवंजो डी रिटोर्नो = जहां q = चौथाई हवाओं की संख्या (चौथाई हवाओं की संख्या में व्यक्त अंतर का कोण)। (ध्यान दें कि संख्याएँ 11.25 ° के बजाय 11.15 ° अंतराल पर सेट क्वार्टर-विंड के साथ काम करती हैं, जो एक चौथाई हवा की सामान्य परिभाषा है)। टोलेटा एक साधारण तालिका है जिसमें कई संख्याएँ होती हैं। पहले कॉलम में वास्तविक और इच्छित पाठ्यक्रमों के बीच अंतर का कोण है, जिसे चौथाई हवाओं की संख्या द्वारा व्यक्त किया जाता है। एक बार जब यह अंतर निर्धारित हो जाता है, तो दूसरा स्तंभ अलार्गर ("चौड़ीकरण", जहाज की वर्तमान दूरी इच्छित मार्ग से है) देता है, जबकि तीसरा स्तंभ अवंजार ("अग्रिम", इच्छित मार्ग पर कितनी दूरी पहले से ही वर्तमान असर पर नौकायन द्वारा तय की गई है-यह रेमन लल्ल के मिलियारिया दी मारी के बराबर है) बताता है। वर्तमान मार्ग पर 100 मील की नौकायन के लिए बियांको की मेज पर अलारगर और अवंजार संख्याएँ दिखाई गई हैं। उदाहरण के लिएः मान लीजिए कि एक जहाज जिसका उद्देश्य बिंदु ए से बिंदु बी तक पूर्व ("लेवांटे") को ले जाना है। लेकिन मान लीजिए कि हवाओं ने इसे दक्षिण-पूर्व-पूर्व मार्ग (एस. ई. बी. ई., "क्वार्टो डी सिरोको वर्सो लेवंटे") पर चलने के लिए मजबूर किया। दक्षिण-पूर्व से पूर्व की ओर तीन चौथाई हवाएँ (या 33.75 °) पूर्व से दूर होती हैं (32-बिंदु कम्पास पर, पूर्व से चौथाई हवाओं के क्रम में, 1 चौथाई पूर्व-दक्षिण, 2 चौथाई पूर्व-दक्षिण पूर्व, 3 चौथाई दक्षिण-पूर्व-पूर्व)। इसका मतलब है कि नाविक को टॉलेटा पर तीसरी पंक्ति, q = 3, से परामर्श करना चाहिए। मान लीजिए कि जहाज एसई-बाय-ई असर पर 100 मील की दूरी तय किया। पूर्व की ओर के इच्छित मार्ग से अपनी दूरी की जांच करने के लिए, नाविक अलार्गर कॉलम पर संबंधित प्रविष्टि को पढ़ेगा और तुरंत देखेगा कि वह इच्छित मार्ग से 55 मील दूर है। अवंजार कॉलम उन्हें सूचित करता है कि वर्तमान एस. ई. बी. ई. पाठ्यक्रम पर 100 मील की यात्रा करने के बाद, उन्होंने इच्छित ई पाठ्यक्रम के 83 मील की दूरी तय की है। अगला कदम यह निर्धारित करना है कि इच्छित पाठ्यक्रम पर कैसे लौटना है। उदाहरण को जारी रखते हुए, पूर्व की ओर इच्छित मार्ग पर वापस जाने के लिए, हमारे नाविक को जहाज के असर को उत्तर-पूर्वी दिशा में फिर से उन्मुख करना होगा। लेकिन विभिन्न उत्तर-पूर्वी कोण हैं-एन. बी. ई., एन. एन. ई., एन. ई., ई. एन. ई., आदि। नाविक के पास एक चयन असर होता है-यदि वह एक तेज कोण से लौटता है (जैसे। उत्तर से पूर्व की ओर), वह अधिक कोमल ढाल की तुलना में तेजी से इच्छित मार्ग पर लौट आएगा (जैसे। पूर्व से उत्तर)। वह जो भी कोण चुनता है, उसे यह पता लगाना होगा कि उसे अपने पुराने मार्ग तक पहुंचने के लिए उस असर पर कितनी देर तक चलना होगा। यदि वह बहुत लंबा पाल करता है, तो वह इसे पार करने का जोखिम उठाता है। वापसी पाठ्यक्रम की गणना करना वह है जिसके लिए टॉलेटा के अंतिम तीन कॉलम हैं। चौथे कॉलम में, वापसी कोणों को इच्छित पाठ्यक्रम असर से चौथाई के रूप में व्यक्त किया जाता है (वर्तमान पाठ्यक्रम असर नहीं)। हमारे उदाहरण में, नाविक का इरादा पूर्व की ओर जाने का था, लेकिन वह 100 मील तक दक्षिण-पूर्व की ओर नौकायन कर रहा है। हवाओं को देखते हुए, वह तय करता है कि जहाज को पूर्व-उत्तर-पूर्व (ई. एन. ई., "ग्रीको-लेवांटे") की ओर फिर से उन्मुख करके मूल मार्ग पर लौटना सबसे अच्छा है। ई. एन. ई. इच्छित असर, पूर्व से दो चौथाई ऊपर है, इसलिए अब वह मेज के चौथे स्तंभ पर दूसरी पंक्ति ("चौथाई = 2") को देखता है। पाँचवाँ स्तंभ रिटोर्नो है, वह दूरी जो उसे मूल मार्ग को पुनर्प्राप्त करने के लिए चुने गए वापसी कोण पर तय करनी चाहिए। यह देखते हुए कि उसने ई. एन. ई. असर (क्यू = 2) से लौटने का विकल्प चुना है, उसे रिटोर्नो कॉलम की दूसरी पंक्ति को पढ़ना चाहिए, जो संख्या 26 दिखाती है। यह दर्शाता है कि उसे हर 10 मील के विचलन के लिए ई. एन. ई. असर पर यात्रा करनी चाहिए। याद रखें, उनका अलार्गर (इच्छित मार्ग से दूरी) 55 मील था। इसलिए अपने इच्छित मार्ग पर लौटने के लिए उसे ई. एन. ई. पर 5,5 × 26 = 143 मील की यात्रा करनी होगी। दूसरे शब्दों में, उसे अपने ईएनई असर को 143 मील तक पकड़ने की आवश्यकता है; एक बार जब वह दूरी तय हो जाती है, तो उसे अपने जहाज को पूर्व की ओर सीधा करना चाहिए, और वह ठीक इच्छित मार्ग पर वापस आ जाएगा। छठा और अंतिम स्तंभ (अवान्जो दी रिटोर्नो) बताता है कि उसने अपनी वापसी यात्रा के माध्यम से कितना अच्छा किया है। यह प्रति 10 मील अलार्गर के संदर्भ में भी व्यक्त किया जाता है। उनका अलार्गर 55 था, और उनका वापसी का कोण ई. एन. ई. (इस प्रकार क्यू = 2) था, जिसका अर्थ है कि उनका अवैंजो डी रिटोर्नो 5.5x24 = 132 है। दूसरे शब्दों में, अगर सब कुछ ठीक रहता है, और हमारे नाविक 143 मील (रिटोर्नो) के लिए अपने ईएनई असर को पकड़ते हैं, तो उस वापसी के दौरान, उन्होंने अपने इच्छित पूर्व की ओर के मार्ग (अवैंजो डी रिटोर्नो) पर अतिरिक्त 132 मील की दूरी तय की होगी। अंत में, अपने पूरे साहसिक कार्य द्वारा पूर्व की ओर की कुल दूरी (कुल अवैंजो) की गणना करने के लिए, उसे विचलन (83 मील) और अवैंजो डी रिटोर्नो (132 मील) के दौरान अवैंजर को जोड़ना होगा। इस प्रकार कुल मिलाकर उन्होंने इच्छित मार्ग पर 83 + 132 = 215 मील की दूरी तय की है। मानचित्र पर प्रारंभिक बिंदु (ए) से उस दूरी को मापते हुए, नाविक अपनी सटीक वर्तमान स्थिति का पता लगा सकता है। यह टोलेटा डी मार्टेलियो का सबसे सरल उपयोग है। यह मूल रूप से एक त्रिकोणमितीय तालिका है। हालाँकि, यह साइन के नियम की तरह एक बार में पार करने की समस्या से नहीं निपटता है, बल्कि समस्या को दो समकोण वाले त्रिकोणों में विभाजित करता है जिन्हें यह क्रमिक रूप से हल करने के लिए आगे बढ़ता है। आधुनिक त्रिकोणमिति अलार्गर की गणना करने के चरण को समाप्त करती है, और सीधे रिटोर्नो की गणना करती है-लेकिन इसके लिए, एक पूर्ण साइन टेबल के साथ सशस्त्र होने की आवश्यकता होती है। टॉलेटा एक अपेक्षाकृत सरल मेज है, जिससे परामर्श करना और गणना करना आसान है, और नाविकों द्वारा याद रखने के लिए पर्याप्त रूप से कॉम्पैक्ट है (जैसा कि बियांको अनुशंसा करते हैं)। तीन का नियम टोलेटा डी मार्टेलियो को अच्छी गोल संख्या, 100 और 10 के लिए व्यक्त किया जाता है। लेकिन, व्यवहार में, एक जहाज आमतौर पर लौटने की कोशिश करने से पहले 100 मील की यात्रा नहीं करता है, लेकिन कुछ अन्य दूरी, जैसे 65 मील। इसकी गणना करने के लिए अनुपात को हल करने की एक सरल समस्या है। उदाहरण के लिए, यदि जहाज ने दक्षिण-पूर्व से पूर्व की ओर 65 मील की यात्रा की थी, तो इच्छित पूर्व की ओर के मार्ग से अलार्गर की गणना करना केवल निम्नलिखित के लिए हल करने की बात हैः जहां 55 100 मील के लिए अलार्गर है (जैसा कि q = 3 पर तालिका के दूसरे स्तंभ में दिया गया है)। यह आसानी से सरल "तीन के नियम" द्वारा किया जाता है, जो क्रॉस-गुणन की एक विधि है, जिसमें लगातार गुणन और विभाजन द्वारा चौथे के लिए हल करने के लिए तीन संख्याओं का उपयोग किया जाता हैः इसलिए, एसई पर ई द्वारा 65 मील की यात्रा का अर्थ है अलार्गर = = 35.75 मील। अवंजार, आदि। समान रूप से पता लगाया जा सकता है। जबकि "तीन का नियम" पहले से ही 14वीं शताब्दी में जाना जाता था, मध्ययुगीन नाविकों के लिए गुणा और विभाजन को निष्पादित करने का कौशल मायावी हो सकता है जो बड़े पैमाने पर अनपढ़ समाज से आए थे। फिर भी, यह दुर्गम नहीं था। जैसा कि एंड्रिया बियांको ने आग्रह किया, नाविकों को "अच्छी तरह से गुणा करना और अच्छी तरह से विभाजित करना जानना चाहिए" ("सेवर बेन मोल्टिप्लिचर ए बेन पार्टिर") यह वह जगह है जहाँ हम वाणिज्य और नौवहन का महत्वपूर्ण इंटरफेस देखते हैं। वाणिज्य का गणित-अरबी अंक, गुणन, विभाजन, अंश, वस्तुओं की खरीद और बिक्री की गणना करने के लिए आवश्यक उपकरण और अन्य वाणिज्यिक लेनदेन-अनिवार्य रूप से नौवहन के गणित के समान थे। और इस तरह का गणित एबेकस स्कूलों में पढ़ाया जाता था जो 13 वीं शताब्दी में उत्तरी इटली के वाणिज्यिक केंद्रों में व्यापारियों के बेटों को प्रशिक्षित करने के लिए स्थापित किए गए थे, वही वर्ग जहां से इतालवी नाविकों को खींचा गया था। इतिहासकार ई. जी. आर. टेलर टिप्पणी करते हैं, "नाविक अपने रोजमर्रा के काम में गणित का उपयोग करने वाले पहले पेशेवर समूह थे" वृत्त और वर्ग उन लोगों के लिए जो संख्याओं में हेरफेर करने की उच्च कला से परेशान थे, एक विकल्प था। यह दृश्य उपकरण था जिसे "वृत्त और वर्ग" (टोंडो ई क्वाड्रो) के रूप में जाना जाता था, जिसे एंड्रिया बियांको ने अपने 1436 एटलस में भी आपूर्ति की थी। वृत्त एक 32-वायु कम्पास गुलाब (या रम्ब-लाइनों का संग्रह) था। वृत्त को 8 × 8 वर्ग ग्रिड के साथ अंकित किया गया था। केंद्र में उभरे कम्पास को नजरअंदाज किया जा सकता है-वास्तव में, वृत्त को ही नजरअंदाज किया जा सकता है, क्योंकि ऐसा लगता है कि इसका ग्रिड के पार चलने वाली किरणों के निर्माण के अलावा कोई अन्य उद्देश्य नहीं है। ब्याज का गुलाब वर्गाकार ग्रिड के ऊपरी बाएँ कोने में है। उस कोने से, कम्पास रम्ब लाइनों की एक श्रृंखला निकलती है। अपने मूल 1436 टोंडो ई क्वाड्रो में, बियांको में सोलह उत्सर्जित किरणें हैं-यानी, बियांको में आधा-चौथाई हवाएं, या आठवीं हवाएं (ओटावा) शामिल हैं, ताकि उत्सर्जित किरणें 5.625 डिग्री के अंतराल पर हों। वृत्त और वर्ग के अन्य निर्माण, उदाहरण के लिए। कॉर्नारो एटलस, चौथाई-हवा की दूरी (11.25 डिग्री) पर निकलने वाली केवल आठ किरणों का उपयोग करता है। दृश्य रूप से, ये किरणें 32-पवन कम्पास गुलाब के निचले दाएं चौथाई हिस्से की प्रतिकृति बनाती हैंः पूर्व (0क्यू), ई द्वारा एस (1क्यू), ईएसई (2क्यू), एसई द्वारा ई (3क्यू), एसई (4क्यू), एसई द्वारा एस (5क्यू), एसएसई (6क्यू), एस द्वारा ई (7क्यू) और दक्षिण (8क्यू)। ग्रिड के ऊपर एक दूरी बार स्केल है, जो उप-इकाइयों के साथ नोकदार है। पैमाने पर संख्याओं के दो समूह हैं, एक प्रत्येक ग्रिड वर्ग को 20 मील से मापने के लिए, दूसरा प्रत्येक ग्रिड वर्ग को 100 मील से मापने के लिए (आरेख देखें)। शीर्ष पट्टी 20 मीटर प्रति वर्ग पैमाना है, जिसमें प्रत्येक काला बिंदु एक मील को दर्शाता है। निचला पट्टी 100 मीटर-प्रति-वर्ग पैमाना है, जहाँ एक इकाई वर्ग की लंबाई को दो बराबर 50 मीटर उप-वर्गों में विभाजित किया जाता है, और बिंदुओं और लाल रेखाओं का एक समूह इसे आगे 10 मील की लंबाई में तोड़ देता है। इसलिए इस बात पर निर्भर करते हुए कि कोई कौन सा पैमाना चुनता है, पूरे ग्रिड (आठ वर्ग) के किनारे की लंबाई को 160 मील (20 मीटर-प्रति-वर्ग पैमाने का उपयोग करके) या 800 मील (100 मीटर-प्रति-वर्ग पैमाने का उपयोग करके) तक मापा जा सकता है। विभाजक के साथ करूब से पता चलता है कि कैसे एक नाविक को संख्याओं में हेरफेर करने के बजाय दृश्य माप द्वारा अलार्गर और अवंजार की गणना करने के लिए ग्रिड का उपयोग करना चाहिए। उदाहरण के लिएः मान लीजिए कि जहाज ने इच्छित मार्ग से नीचे दो चौथाई हवाओं में 120 मील की यात्रा की है (जैसे। ई. एस. ई. में यात्रा की, जब इच्छित मार्ग पूर्व है)। विभाजक और 20 मीटर पैमाने का उपयोग करके, नाविक अपने विभाजक के साथ 120 मील की दूरी तय कर सकता है। फिर ऊपरी बाएँ कोने (ए) पर एक छोर स्थापित करते हुए, वह ई. एस. ई. किरण (= पूर्वी किरण के नीचे दो चौथाई हवाएँ, या ग्रिड के क्षैतिज शीर्ष) के साथ विभाजक को बाहर रखता है और स्थान (आरेख पर बिंदु बी) को चिह्नित करता है। फिर एक सीधी धार शासक का उपयोग करके पूर्वी किरण तक एक रेखा खींची जाती है, और संबंधित स्थान सी को चिह्नित किया जाता है। यह तुरंत देखना आसान है कि एक समकोण त्रिभुज एबीसी बनाया गया है। ईसा पूर्व की लंबाई अलार्गर (इच्छित मार्ग से दूरी) है, जिसे 46 मील के रूप में मापा जा सकता है (इसे दो ग्रिड वर्गों के साथ एक बिट के रूप में देखा जा सकता है, जो कि 20 मीटर + 20 मीटर है और थोड़ा सा जिसे विभाजक और 20 मीटर बार पैमाने का उपयोग करके 6 मीटर के रूप में आंका जा सकता है)। एसी की लंबाई अवंजार (दूरी को अच्छा बनाया गया) है, जो 111 मील है-दृश्य रूप से, पांच ग्रिड वर्ग और एक बिट, या (20 × 5) + 11, विभाजक द्वारा मापा जाता है और फिर से मापा जाता है। इस तरह "वृत्त और वर्ग" गुणन और विभाजन या तीन के नियम द्वारा संख्याओं में हेरफेर करता है। नाविक केवल माप द्वारा अवंजार और अलार्गर का दृश्य रूप से आकलन कर सकता है। इस विधि का उपयोग किसी भी इच्छित असर और विचलन के लिए किया जा सकता है, क्योंकि इसका एकमात्र उद्देश्य त्रिभुज को विभाजक और पैमाने द्वारा हल करना है। उदा. हमारे पहले कोर्सिका-से-जेनोआ उदाहरण का उपयोग करते हुए, जहां इच्छित असर उत्तर था लेकिन जहाज वास्तव में उत्तर-पश्चिम की ओर रवाना हुआ, नाविक विभाजक को 70 मील की लंबाई पर सेट करेगा और इसे चौथी तिमाही हवा के साथ रखेगा (= टोंडो ई क्वाड्रो में एसई किरण, क्योंकि एनडब्ल्यू उत्तर से चार चौथाई दूर हवा है)। वे अलार्गर और अवंजार की गणना ठीक उसी तरह करते थे-ग्रिड के क्षैतिज शीर्ष पर एक रेखा खींचें, वर्गों को मापें, आदि। टोंडो ई क्वाड्रो उपकरण अरब साइन क्वाड्रेंट (रुबुल मुजयाब) के समान है, जिसमें कोने की किरणें समायोज्य नलसाजी रेखा की भूमिका को दोहराती हैं। अन्य अनुप्रयोग जबकि टोलेटा डी मार्टेलियो (और इसके दृश्य समकक्ष, टोंडो ई क्वाड्रो) को एक इच्छित पाठ्यक्रम को पुनर्प्राप्त करने के स्पष्ट कार्य के लिए डिज़ाइन किया गया है, उनका उपयोग कई तरीकों से किया जा सकता है, नौवहन समस्याओं के कई वर्गों के लिए, जैसे। बहु-असर वाले परिवर्तनों आदि के साथ एक पाठ्यक्रम तैयार करना। त्रिभुज त्रिभुज के लिए मार्टेलियो के नियम के दिलचस्प अनुप्रयोगों में से एक है, उदाहरण के लिए। तट स्थलचिह्न से जहाज की दूरी निर्धारित करना। (यह रोड्स के विनीशियन नाविक माइकल की नोटबुक में अंतिम अभ्यास का प्रयास था, जिसे हम यहां दोहराते हैं।) उदाहरण के लिएः मान लीजिए कि एन. डब्ल्यू. ("मेस्ट्रो") पर चलने वाला एक जहाज एक शाम पश्चिम ("पोंटेने") के कारण एक ऐतिहासिक स्थल को देखता है, लेकिन दूरी अज्ञात है। मान लीजिए कि जहाज रात भर एन. डब्ल्यू. मार्ग पर यात्रा जारी रखता है, और अगली सुबह, 40 मील बाद, यह नोटिस करता है कि लैंडमार्क अब अपनी वर्तमान स्थिति का पश्चिम-दक्षिण पश्चिम (डब्ल्यू. एस. डब्ल्यू., "पोंटेने-लिबेसिओ") है। जहाज से लैंडमार्क की दूरी का पता लगाना केवल मार्टेलियो के नियम का एक अनुप्रयोग है। समस्या को हल करने के लिए, शाम की स्थिति (मानचित्र पर ए) से शुरू करें और जहाज और लैंडमार्क (लंबाई एबी) के बीच की दूरी को इच्छित मार्ग के रूप में और जहाज के वास्तविक मार्ग (एनडब्ल्यू) को विचलन के रूप में लें। सुबह (सी) में जहाज की स्थिति से लैंडमार्क की दूरी का पता लगाने के लिए ईसा पूर्व की दूरी को गणना की गई रिटोर्नो के रूप में माना जाता है। चूँकि हमें रिटोर्नो की गणना करने के लिए अलार्गर को जानने की आवश्यकता है, यह एक दो-चरणीय प्रक्रिया है। सबसे पहले, ध्यान दें कि एन. डब्ल्यू. डब्ल्यू. के ऊपर चार चौथाई हवाएँ हैं, इसलिए टोल्टा पर देखते हुए, क्यू = 4 पंक्ति में, एलार्गर एन. डब्ल्यू. पाठ्यक्रम पर प्रत्येक 100 मील के लिए 71 मील है। लेकिन जहाज ने रात भर में केवल 40 मील की यात्रा की, इसलिए हमें 71/100 = x/40 के अनुपात को हल करना होगा, जिसका तीन के नियम से अर्थ है x = अलार्गर = 28.4 मील। दूसरे शब्दों में, ए से सी तक 40 मील की दूरी से रात भर चलने वाले एन. डब्ल्यू. द्वारा, जहाज अब अपने "इच्छित" पश्चिम की ओर के मार्ग से 28.4 मील दूर है। अब रिटोर्नो के लिए। लैंडमार्क, जैसा कि उल्लेख किया गया है, जहाज की सुबह की स्थिति (सी) का डब्ल्यूएसडब्ल्यू है। इसलिए लैंडमार्क पर "लौटने" के लिए, जहाज को अपने वर्तमान एन. डब्ल्यू. असर से डब्ल्यू. एस. डब्ल्यू. असर में बदलना होगा-यानी, एन. डब्ल्यू. से नीचे 6 चौथाई हवाएँ। हालांकि, टॉलेटा "इच्छित" दिशा (इस मामले में, पश्चिम) के संदर्भ में चौथाई हवाओं को निर्दिष्ट करता है, और डब्ल्यूएसडब्ल्यू पश्चिम के नीचे दो चौथाई हवाएं हैं, इसलिए हमें क्यू = 2 पंक्ति को देखने की आवश्यकता है। इसका मतलब है कि रिटोर्नो प्रत्येक 10 मील अलार्गर के लिए 26 मील है। चूँकि अलार्गर 28.4 है, इसका मतलब है कि रिटोर्नो 26 × 2.84 = 73.84 है। और यही वह है जो हमारे पास है। यह स्थलचिह्न जहाज की सुबह की स्थिति से 73.84 मील दूर है। (कहानी को पूरा करने के लिए, हम यह पता लगाना चाह सकते हैं कि वह सीमाचिह्न शाम से पहले की दूरी थी (यानी। बिंदु ए से सीमाचिह्न बी तक)। यह केवल रिटोर्नो में अवंजार और अवंजो को जोड़ने की बात है। त्वरित गणना से पता चलता है कि अवंजार (40 मील के लिए @q = 4) 28.4 मील (= 71 × 40/100) है और अवंजो डि रिटोर्नो (28.4 मील अलार्गर के लिए @q = 2) 2.84 × 24 = 68.16 है। अतः कुल एवैंजो = 28.4 + 68.16 = 96.56 मील। यह एक शाम पहले स्थलचिह्न और जहाज के बीच की दूरी थी।) स्थानों का पता लगाना मार्टेलियो के नियम का उपयोग लक्ष्य के रूप में अवंजार के साथ भी किया जा सकता है, जैसे। मान लीजिए कि एक जहाज केप वर्डे के पश्चिम में 370 लीगों में 1494 की संधि में कानूनी रूप से निर्धारित मेरिडियन, टॉर्डेसिलस रेखा को खोजने के इरादे से निकलता है। जहाज को केप वर्डे से निकलने की आवश्यकता नहीं है और इसे खोजने के लिए लगातार वेस्ट बेयरिंग पर रवाना होता है। बल्कि, यह अधिक सुविधाजनक असर पर बाहर निकल सकता है (जैसे। एस. डब्ल्यू.), और पश्चिम को एक "इच्छित" पाठ्यक्रम के रूप में मानते हैं। इसलिए मार्टेलियो नियम का उपयोग करते हुए, यह तब तक चल सकता है जब तक कि "इच्छित" वेस्ट कोर्स पर अवंजार 370 लीग तक नहीं पहुंच जाता। वास्तव में, इसे केप वर्डे से निकलने की भी आवश्यकता नहीं है, लेकिन दूसरे स्थान से निकल सकता है, जैसे कि सेविले, और केप वर्डे की ज्ञात दूरी और असर का उपयोग कर सकता है। सेविले) और मार्टेलियो का नियम यह गणना करने के लिए कि यह अंततः टॉर्डेसिलस मेरिडियन तक कब पहुँच गया है। इसमें कुछ कदम लगते हैं। मान लीजिए कि केप वर्डे (मानचित्र पर बी) सेविले (मानचित्र पर ए) के दक्षिण-पश्चिम में 400 लीग है, लेकिन जहाज खुले समुद्र में टॉर्डेसिलस मेरिडियन तक पहुंचने के लिए सेविले से सीधे पश्चिम जाने का इरादा रखता है। इसे नौकायन करने में कितना समय लगता है? मार्टेलियो के नियम द्वारा इसे हल करने का तरीका समस्या को विपरीत रूप में प्रस्तुत करना हैः पश्चिम को इच्छित असर के रूप में और एस. डब्ल्यू. को वास्तविक मार्ग के रूप में लें। एस. डब्ल्यू. डब्ल्यू. के नीचे चार चौथाई हवाएँ हैं, इसलिए क्यू = 4 के लिए टोल्टा को देखते हुए, अवंजार हर 100 मील की यात्रा के लिए 71 है। इसलिए यदि एक जहाज केप वर्डे के लिए "वास्तविक" एस. डब्ल्यू. मार्ग पर 400 लीगों में यात्रा करता है, तो यह "इच्छित" पश्चिम की ओर मार्ग पर 284 लीगों (= 71 × 4) का अवंजार प्राप्त करेगा। बेशक, जहाज वास्तव में एस. डब्ल्यू. से केप वर्डे नहीं जा रहा है, बल्कि डब्ल्यू. से खुले समुद्र में जा रहा है। दूसरे शब्दों में, जब जहाज सेविले से पश्चिम की ओर रवाना होता है, तो वह जानता है कि निहित केप वर्डे मेरिडियन (मानचित्र पर बिंदु सी) तक पहुंचने से पहले उसे पश्चिम की ओर 284 लीग की यात्रा करने की आवश्यकता है, और उसके बाद केवल 370 लीग की गिनती शुरू करनी चाहिए। दूसरे शब्दों में, इसे टोर्डेसिलास रेखा (मानचित्र पर बिंदु डी) तक पहुंचने के लिए सेविले के पश्चिम में कुल 284 + 370 = 654 लीग की आवश्यकता होती है। जबकि यह विशेष उदाहरण मार्टेलियो के नियम के लचीलेपन को दर्शाता है, यह इसकी प्रमुख कमियों में से एक को भी दर्शाता हैः परिणाम पृथ्वी की वक्रता को पूरी तरह से अनदेखा करता है, अर्थात। तथ्य यह है कि देशांतर मेरिडियन रेखाएँ उत्तरी ध्रुव पर अभिसरण करती हैं, और इस प्रकार उच्च अक्षांशों पर संकीर्ण होती हैं। मार्टेलियो के सुझाव के विपरीत, केप वर्डे के पश्चिम में 370 लीग सेविले के पश्चिम में 654 लीग के समान देशांतर मेरिडियन पर नहीं हैं। क्योंकि सेविले केप वर्डे के उत्तर में अच्छी तरह से स्थित है, इसलिए मेरिडियन केप वर्डे के अक्षांश की तुलना में सेविले के अक्षांश पर एक दूसरे के करीब हैं। सेविले के पश्चिम में नौकायन करने वाला एक जहाज, वास्तव में, 654 लीग (बिंदु डी) के रवाना होने से पहले वास्तविक टॉर्डेसिलस मेरिडियन (मानचित्र पर बिंदु टी) तक पहुंच जाएगा। मार्टेलियो के नियम में नाविक एक चार्ट पर समतल त्रिकोण खींचकर मार्गों की साजिश रचते हैं, जैसे कि दुनिया की सतह सपाट हो। हालाँकि यह भूमध्य सागर के सघन अक्षांशों तक सीमित नौकायन के लिए पर्याप्त व्यावहारिक हो सकता है, लेकिन यह बड़े पैमाने पर काफी भ्रामक है। बाद के नियमों से संबंध "लीग की रेजिमेंट" से संबंध 15वीं और 16वीं शताब्दी के अंत में, समुद्री खगोल विज्ञान में सुधार और अक्षांश समानताओं की शुरुआत ने नाविकों को समुद्री दूरी के अनुमान पर भरोसा करने के बजाय खगोलीय रीडिंग द्वारा समुद्र में अपनी स्थिति निर्धारित करने की अनुमति दी। मार्टेलियो के शासन का उत्तराधिकारी "लीग की रेजिमेंट" (रेजिमेंट दास लेगुआस) था, जिसका उपयोग अटलांटिक महासागर में नौकायन करने वाले पुर्तगाली नाविकों द्वारा किया जाता था। या, विलियम बॉर्न (1571) द्वारा पेश किए गए शब्द का उपयोग करने के लिए, "डिग्री बढ़ाने या रखने का नियम", जिसे "लीग की तालिका" या "ध्रुव को उठाने के लिए नियम" के रूप में भी जाना जाता है। यह पहली बार पुर्तगाली नेविगेशन मैनुअल रेजिमेंट डो एस्ट्रोलाबियो ई डो क्वाड्रेंट में लिखा गया था (लिस्बन में लगभग 1509 में प्रकाशित हुआ था, लेकिन लगभग 1480 में लिखा गया था) इसे मार्टिन कोर्टेस डी अल्बाकर ने अपने 1551 ब्रेव कॉम्पेंडियो ला एस्फेरा वाई डेल आर्टे डी नेवेगर में लोकप्रिय बनाया था। "लीग की रेजिमेंट" मार्टेलियो के नियम से बहुत अलग नहीं है। लीग की रेजिमेंट हमेशा पश्चिम-पूर्व असर को "इच्छित मार्ग" मानती है और इससे विचलन निर्धारित करने के उपाय करती है। अधिक विशेष रूप से, लीग तालिका अलार्गर के एक निश्चित मूल्य पर विचार करती है-1 अक्षांश डिग्री (या, समय के माप में, 17.5 (पुर्तगाली) लीग, या समकक्ष 70 (इतालवी) मील) पर सेट। इसके बाद यह नौकायन दिशा की हर अलग-अलग चौथाई हवा (हमेशा इच्छित मार्ग से दूर के बजाय उत्तर-दक्षिण अक्ष से दूर क्वार्टर के रूप में नामित), रिलेवर और अफास्टार देता है। रिलेवर वास्तविक मार्ग पर लीगों की संख्या है जो एक जहाज को पूर्व-निर्धारित 1 डिग्री अक्षांश (शुरुआती समानांतर से अलार्गर के 17,5 लीग) को कवर करने के लिए चलना चाहिए। अफस्तार केवल पश्चिम-पूर्व असर पर संबंधित अवंजार है। उदाहरण के लिएः मान लीजिए कि एक जहाज पूर्व-दक्षिण पूर्व (ई. एस. ई.) असर पर निकलता है। यह दक्षिण से छह चौथाई हवाएँ हैं (याद रखेंः मार्टेलियो के विपरीत, लीग की रेजिमेंट हमेशा उत्तर-दक्षिण मेरिडियन से चौथाई हवाएँ मापती है)। लीग टेबल के किसी भी रेजिमेंट को देखते हुए (जैसे। मार्टिन कोर्टेस डी अल्बाकर, 1551), क्यू = 6 के लिए, तालिका रिलेवर को 45 लीग और अफास्टार को 42 लीग के रूप में देती है। इसका मतलब यह है कि ई. एस. ई. असर पर नौकायन करने वाले जहाज को अक्षांश की एक डिग्री (मार्टेलियो भाषा का उपयोग करने के लिए, पूर्व असर से अलार्गर के 17,5 लीग) को कवर करने के लिए 45.73 लीग का सफर करना होगा, और संबंधित अफास्टार (मार्टेलियो शब्दों में अवंजार) 42.25 लीग होगा। यदि, इसके बजाय, जहाज एस. ई. असर पर निकला था, जो कि दक्षिण से चार चौथाई ऊपर है, तो क्यू = 4 पर लीग तालिका के रेजिमेंट के संबंधित मान रिलेवर = 24 और अफास्टार = 17 हैं। ध्यान दें कि एस. ई. असर 1 डिग्री अलार्गर तक तेजी से पहुंचता है (अर्थात। ई. एस. ई. असर की तुलना में छोटा रिलेवर), और इसमें कम अफास्टार (एन. एस. मेरिडियन के करीब) होगा। गणितीय रूप से, रिलेवर = 17.5/cos θ अफास्टार = 17.5 × टैन θ जहाँ θ = 11.25 × उत्तर-दक्षिण अक्ष से दूर हवाओं की संख्या। शब्दावली में अंतर के बावजूद, विशेष रूप से अक्षांश डिग्री का उपयोग, मार्टेलियो और लीग की रेजिमेंट का नियम बहुत समान है-वे दोनों एक समतल चार्ट पर त्रिकोण को हल करने के बारे में हैं। मार्टेलियो पर रेजिमेंट का लाभ तालिका में अक्षांश समानांतर की शुरुआत है, ताकि स्थिति को खगोलीय अवलोकन (चतुर्थांश, एस्ट्रोलैब, आदि के माध्यम से) द्वारा जांचा जा सके। ), और पूरी तरह से दूरी और दिशा के नाविक अनुमानों पर निर्भर नहीं होना चाहिए। रेजिमेंट के साथ, भौगोलिक निर्देशांक का उपयोग नेविगेशन का मार्गदर्शन करने के लिए भी किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, टोडेसिलास रेखा (केप वर्डे के पश्चिम में मेरिडियन 370 लीग) की खोज एक सटीक अक्षांश के संदर्भ में बहुत सरल है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि दो जहाज केप वर्डे (17° उत्तर) से प्रस्थान करते हैं, एक पश्चिम में उत्तर असर से (डब्ल्यूबीएन, जो पश्चिम से एक चौथाई ऊपर है, या उत्तर अक्ष से क्यू = 7), दूसरा पश्चिम-उत्तर पश्चिम असर से (डब्ल्यूएनडब्ल्यू, पश्चिम से दो चौथाई ऊपर, या उत्तर अक्ष से क्यू = 6)। लीग के रेजिमेंट का उपयोग करके, सटीक अक्षांशों की गणना करना संभव है जब वे टॉर्डेसिलस मेरिडियन को पार करेंगे-बस विभिन्न बीयरिंग पर निहित अफास्टार द्वारा पश्चिम में 370 लीग को विभाजित करें। डब्ल्यू. बी. एन. जहाज 21°21 'उत्तर अक्षांश तक पहुँचने पर मेरिडियन तक पहुँच जाएगा, जबकि डब्ल्यू. एन. डब्ल्यू. जहाज 29° उत्तर अक्षांश तक पहुँचने पर वहाँ पहुँच जाएगा। इसलिए घंटे के गिलास और गति रीडिंग के साथ लीग की गिनती करने के बजाय, जहाज केवल असर बनाए रख सकते हैं, और अपने अक्षांश का आकलन करने के लिए समय-समय पर खगोलीय अवलोकन कर सकते हैं। "ट्रैवर्स सेलिंग" से संबंध टोलेटा डी मार्टेलियो अधिक आधुनिक नौवहन में उपयोग की जाने वाली आधुनिक "ट्रैवर्स टेबल" का पूर्वज है। आधुनिक नामकरण में, ट्रैवर्स "एक जहाज द्वारा बनाया गया टेढ़ा रास्ता है जब वह कई क्रमिक दिशाओं में नौकायन करता है" और ट्रैवर्स को हल करना "एक एकल मार्ग और दूरी खोजने की विधि है जो एक जहाज को दो या दो से अधिक मार्गों और दूरी के रूप में एक ही स्थान पर लाएगा"। मार्टेलियो भाषा में, जब "पारगमन को हल करते हैं", तो दी गई ज्ञात जानकारी "वास्तविक पाठ्यक्रम" और "रिटोर्नो" है, जबकि अज्ञात "इच्छित असर" और "कुल अवैंजो" हैं। ट्रैवर्स टेबल प्रत्येक टेढ़े-मेढ़े पाठ्यक्रम खंड के लिए तीन मानों का उपयोग करते हैं-दूरी (डिस्ट। ), अक्षांश का अंतर (D.Lat, N-S अक्ष के साथ गति) और प्रस्थान (डेप., E-W अक्ष के साथ गति), बाद के दो की गणना सूत्रों द्वारा की जाती हैः अक्षांश का अंतर = दूरी × cos θ प्रस्थान = दूरी × sin θ जहां θ N-S अक्ष से पाठ्यक्रम का कोणीय अंतर है यदि θ के मान 45° से कम हैं; हालाँकि, यदि कोण 45° से अधिक है, तो θ को E-W अक्ष से अंतर के कोण के रूप में व्यक्त किया जाता है, और सूत्रों को पलट दिया जाता है, अर्थात। अक्षांश सूत्र का अंतर प्रस्थान बन जाता है, और प्रस्थान सूत्र अक्षांश का अंतर है)। या, इससे भी अधिक सरलता से, निकटतम प्रमुख पवन (एन, एस, ई, डब्ल्यू) से अंतर के कोण के रूप में θ की गणना करें, सूत्रों को चलाएं और फिर बड़ी संख्या को उपयुक्त स्तंभ (D.Lat) में रखें। या डेप.)। प्रत्येक पाठ्यक्रम खंड के लिए, नाविक प्रासंगिक तिकड़ी (जिला, D.Lat., डिपो) को सम्मिलित करता है। और शुरू से अंतिम बिंदु तक निहित असर और उस असर पर अच्छी दूरी की गणना कर सकते हैं। फिर वह अक्षांश और प्रस्थान के समग्र अंतर को प्राप्त करने के लिए, अक्षांश और प्रस्थान के सभी अंतरों को जोड़कर और घटाकर जोड़ता है, और उस अंतर को वापस समग्र असर और दूरी में बदल देता है। पांडुलिपि स्रोत रेमन लुल की 1295 की टिप्पणियों को एक तरफ रखते हुए, मार्टेलियो का सबसे पहला ज्ञात संदर्भ 1390 का है, जो जेनोआ के एक निश्चित ओबर्टो फोग्लिएटो की माँ की संपत्ति की सूची में है, जहाँ एक प्रविष्टि में उनम martelogium.item कार्टा उना प्रो नावेगांडो लिखा है। पहला स्पष्ट रूप और स्पष्टीकरण विनीशियन कप्तान एंड्रिया बियांको का 1436 एटलस है। अन्य प्रारंभिक पांडुलिपियाँ तब से मार्टेलियो के शासन से संबंधित पाई गई हैं, जिनमें शामिल हैंः एक अनाम 15 वीं शताब्दी का विनीशियन कोडेक्स, 1428 के बाद, जो कभी डोगे मार्को फोस्केरिनी के संग्रह का हिस्सा था, जो अब खो गया है। रोड्स के विनीशियन नाविक माइकल का लिबर (सी. 1434-36) (निजी संग्रह में सुश्री) एंकोना के ग्रेज़ियोसो बेनिनकासा का एड्रियाटिक पोर्टोलानो, संकलित 1435-45 (इटली के एंकोना में बिब्लियोटेका कम्यूनल लुसियानो बेनिनकासा में सुश्री)। वेनिस की पोर्टोलानो पांडुलिपि अल्क्यून रेक्सियन डी मैरिनरी पिएत्रो डी वर्सी द्वारा, सी. 1444 (Ms.It.IV)। 170 वेनिस, इटली में बिब्लियोटेका नाज़ियोनेल मार्सियाना में) द लिब्रो ऑफ़ वेनिसियन नेवल ट्रम्पेटर जिसे मोडोन के ज़ोरज़ी ट्रॉम्बेटा के नाम से जाना जाता है, दिनांक सी. 1444-49 (लंदन, यू. के. में ब्रिटिश लाइब्रेरी में कॉटन एम. एस. टाइटस A.XXVI) आर्टे वेनेज़ियाना डेल नेविगेयर के रूप में जानी जाने वाली बेनामी वेनिस पांडुलिपि, सी. 1444-45 (सुश्री C.M.17 इटली के पादुआ में बिब्लियोटेका डेल म्यूज़ियो सिविको डी पडोवा में)। रागियोनी प्राचीन स्पेट्टान्टी डेल 'आर्टे डेल मारे एट फेब्रिके डी वेसेली (सुश्री एनवीटी 19, ग्रीनविच, यूके में राष्ट्रीय समुद्री संग्रहालय में)। कॉर्नारो एटलस, एक पूर्व पांडुलिपि की एक सी. 1489 प्रति, (लंदन में ब्रिटिश पुस्तकालय में Ms.Egerton 73) 15 वीं शताब्दी के अनाम विनीशियन पोर्टोलानो (सुश्री 3345 * (Fosc.307) ऑस्ट्रिया के वियना में ओस्टररीचिशे नेशनल बिब्लियोथेक (±NB) में) नोट्स एक्सटर्नल रिसोर्सेज अल्टांते बियांको, 1436 पर Internetculturale.it; उच्च रिज़ॉल्यूशन Geoweb.sbn.venezia.it पर। मैकगी, डी. एट अल। (2003 के बाद) माइकल ऑफ रोड्सः एक मध्ययुगीन नाविक और उनकी पांडुलिपि वेबसाइट (20 जुलाई, 2011 तक पहुँचा गया)। (मूल रूप से एम. आई. टी. में डिबनर इंस्टीट्यूट फॉर द हिस्ट्री ऑफ साइंस एंड टेक्नोलॉजी द्वारा होस्ट किया गया, जो अब फ्लोरेंस, इटली में म्यूज़ियो गैलीलियो इंस्टीट्यूट और म्यूजियम ऑफ द हिस्ट्री ऑफ साइंस द्वारा होस्ट किया गया है) संदर्भ एसेल, ए. डी. 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