Hardy field
गणित में, हार्डी क्षेत्र एक ऐसा क्षेत्र है जिसमें अनंत पर वास्तविक मूल्य वाले कार्यों के कीटाणु होते हैं जो विभेदन के तहत बंद होते हैं। इनका नाम अंग्रेजी गणितशास्त्री जी. एच. हार्डी के नाम पर रखा गया है। परिभाषा प्रारंभ में कम से कम, हार्डी क्षेत्रों को अनंत पर वास्तविक कार्यों के कीटाणुओं के संदर्भ में परिभाषित किया गया था। विशेष रूप से हम उन कार्यों के संग्रह H पर विचार करते हैं जो सभी बड़ी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित किए जाते हैं, जो कि वास्तविक संख्या R के लिए (u, ≤) को मैप करने वाले कार्य हैं, कुछ वास्तविक संख्या u के लिए जो f पर निर्भर करता है। यहाँ और बाकी लेख में हम कहते हैं कि एक फ़ंक्शन में "अंततः" गुण होता है यदि इसमें सभी पर्याप्त रूप से बड़े x के लिए गुण होता है, इसलिए उदाहरण के लिए हम कहते हैं कि H में एक फ़ंक्शन f अंततः शून्य है यदि कोई वास्तविक संख्या U है जैसे कि सभी x ≤ U के लिए f (x) = 0 है। हम यह कहकर H पर एक समतुल्यता संबंध बना सकते हैं कि f, g के बराबर है यदि और केवल तभी जब f-g अंततः शून्य हो। इस संबंध के समतुल्यता वर्गों को अनंत पर कीटाणु कहा जाता है। यदि H सामान्य जोड़ और कार्यों के गुणन के तहत एक क्षेत्र बनाता है तो H प्रेरित जोड़ और गुणन संचालन के तहत इस समतुल्यता संबंध को मॉड्यूलो करेगा। इसके अलावा, यदि H में प्रत्येक फलन अंततः अवकलनीय है और H में किसी भी फलन का व्युत्पन्न भी H में है, तो H मॉडुलो उपरोक्त समतुल्यता संबंध को हार्डी क्षेत्र कहा जाता है। इस प्रकार एक हार्डी क्षेत्र के तत्व समतुल्य वर्ग हैं और उन्हें उन कार्यों के वर्ग को निरूपित करने के लिए निरूपित किया जाना चाहिए जो अंततः प्रतिनिधि फलन f के बराबर हैं। हालाँकि, व्यवहार में तत्वों को आम तौर पर केवल प्रतिनिधियों द्वारा ही निरूपित किया जाता है, इसलिए [f] ≤ के बजाय कोई केवल f लिखेगा। उदाहरण के लिए यदि F, R का एक उपक्षेत्र है तो हम F के तत्वों को स्थिर कार्यों के रूप में मानते हुए इसे एक हार्डी क्षेत्र के रूप में मान सकते हैं, अर्थात F में संख्या α को स्थिर कार्य fα के रूप में मानते हुए जो R से α में प्रत्येक x को मैप करता है। यह एक क्षेत्र है क्योंकि F है, और चूंकि इस क्षेत्र में प्रत्येक फलन का व्युत्पन्न 0 है जो कि F में होना चाहिए, यह एक हार्डी क्षेत्र है। हार्डी क्षेत्र का एक कम तुच्छ उदाहरण आर पर परिमेय फलन का क्षेत्र है, जिसे आर (एक्स) दर्शाया जाता है। यह पी (एक्स)/क्यू (एक्स) रूप के कार्यों का समूह है जहां पी और क्यू वास्तविक गुणांक वाले बहुपद हैं। चूँकि बहुपद Q में बीजगणित की मौलिक प्रमेय द्वारा केवल परिमित रूप से कई शून्य हो सकते हैं, इसलिए इस तरह के परिमेय फलन को सभी पर्याप्त रूप से बड़े x के लिए परिभाषित किया जाएगा, विशेष रूप से सभी x के लिए जो Q के सबसे बड़े वास्तविक मूल से बड़े हैं। तर्कसंगत कार्यों को जोड़ना और गुणा करना अधिक तर्कसंगत कार्य देता है, और भागफल नियम से पता चलता है कि तर्कसंगत कार्य का व्युत्पन्न फिर से एक तर्कसंगत कार्य है, इसलिए R (x) एक हार्डी क्षेत्र बनाता है। एक अन्य उदाहरण कार्यों का क्षेत्र है जिसे मानक अंकगणितीय संचालन, घातांक और लघुगणक का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है, और रूप के कुछ अंतराल पर अच्छी तरह से परिभाषित किया जाता है। इस तरह के कार्यों को कभी-कभी हार्डी एल-फंक्शन कहा जाता है। बहुत बड़े हार्डी फ़ील्ड्स (जिनमें सबफ़ील्ड के रूप में हार्डी एल-फ़ंक्शंस होते हैं) को ट्रांससीरीज़ का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है। गुण एक हार्डी क्षेत्र का प्रत्येक तत्व अंततः या तो सख्ती से सकारात्मक, सख्ती से नकारात्मक या शून्य होता है। यह तथ्यों से काफी तुरंत मिलता है कि हार्डी क्षेत्र में तत्व अंततः अवकलनीय होते हैं और इसलिए निरंतर होते हैं और अंततः या तो उनका गुणक व्युत्क्रम होता है या शून्य होते हैं। इसका मतलब है कि हार्डी क्षेत्रों में साइन और कोसाइन फलन जैसे आवधिक फलन मौजूद नहीं हो सकते हैं। आवधिक कार्यों के इस परिहार का अर्थ यह भी है कि हार्डी क्षेत्र में प्रत्येक तत्व की अनंत पर एक (संभवतः अनंत) सीमा होती है, इसलिए यदि f, H का एक तत्व है, तो R ≤ {− ≤, + ≤} में मौजूद है। इसका मतलब यह भी है कि हम f <g कहकर H पर एक क्रम लगा सकते हैं यदि g − f अंततः सख्ती से सकारात्मक है। ध्यान दें कि यह कहने के समान नहीं है कि f <g यदि f की सीमा g की सीमा से कम है। उदाहरण के लिए, यदि हम पहचान फलन f (x) = x और घातीय फलन g (x) = ex के कीटाणुओं पर विचार करते हैं तो चूंकि g (x) − f (x)> 0 सभी x के लिए हमारे पास वह g> f है। लेकिन वे दोनों अनंत की ओर प्रवृत्त होते हैं। इस अर्थ में क्रम हमें बताता है कि सभी असीम कार्य कितनी जल्दी अनंत की ओर मुड़ते हैं। यहाँ तक कि परिमित सीमाओं का बराबर होना भी पर्याप्त नहीं हैः f (x) = 1/x और g (x) = 0 पर विचार करें। मॉडल सिद्धांत में हार्डी क्षेत्रों का आधुनिक सिद्धांत वास्तविक कार्यों तक ही सीमित नहीं है, बल्कि वास्तविक बंद क्षेत्रों का विस्तार करने वाली कुछ संरचनाओं में परिभाषित कार्यों तक सीमित है। वास्तव में, यदि आर किसी क्षेत्र का ओ-न्यूनतम विस्तार है, तो आर में अपरिवर्तनीय परिभाषित कार्यों का समूह जो सभी पर्याप्त रूप से बड़े तत्वों के लिए परिभाषित हैं, एक हार्डी क्षेत्र बनाता है जिसे एच (आर) दर्शाया जाता है। वास्तविक परिवेश में हार्डी क्षेत्रों के गुण अभी भी इस अधिक सामान्य परिवेश में बने हुए हैं। संदर्भ असिम्प्टोटिक विश्लेषण मॉडल सिद्धांत क्षेत्र (गणित) बीजगणितीय संरचनाएँ