Zero to the power of zero
शून्य की शक्ति के लिए शून्य, द्वारा निरूपित, एक गणितीय अभिव्यक्ति है जिसे या तो 1 के रूप में परिभाषित किया जाता है या संदर्भ के आधार पर परिभाषित नहीं किया जाता है। बीजगणित और संयोजन विज्ञान में, एक आम तौर पर परिभाषित करता है। गणितीय विश्लेषण में, अभिव्यक्ति को कभी-कभी अनिर्धारित छोड़ दिया जाता है। कंप्यूटर प्रोग्रामिंग भाषाओं और सॉफ्टवेयर में भी इस अभिव्यक्ति को संभालने के अलग-अलग तरीके हैं। असतत प्रतिपादक प्राकृतिक-संख्या प्रतिपादकों को शामिल करने वाले कई व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले सूत्रों को परिभाषित करने की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, की निम्नलिखित तीन व्याख्याएँ उतनी ही अर्थपूर्ण हैं जितनी वे सकारात्मक पूर्णांकों के लिए करती हैंः एक खाली उत्पाद के रूप में की व्याख्या इसे मूल्य प्रदान करती है। एक-तत्व समुच्चय से तत्वों के 0-टुपलों की संख्या की संयुक्त व्याख्या है; ठीक एक 0-टुपल है। की समुच्चय-सैद्धांतिक व्याख्या खाली समुच्चय से एक-तत्व समुच्चय तक कार्यों की संख्या है; ठीक ऐसा ही एक कार्य है, अर्थात्, खाली कार्य। ये तीनों देने में माहिर हैं। बहुपदों और शक्ति श्रृंखला का मूल्यांकन करते समय, के रूप में परिभाषित करना सुविधाजनक है। ए (वास्तविक) बहुपद रूप की एक अभिव्यक्ति है, जहाँ एक अनिश्चित है, और गुणांक वास्तविक संख्याएँ हैं। बहुपदों को अवधि के अनुसार जोड़ा जाता है, और घातांकों के लिए वितरण नियम और सामान्य नियमों को लागू करके गुणा किया जाता है। इन संक्रियाओं के साथ, बहुपद एक वलय बनाते हैं। की गुणक पहचान बहुपद है; अर्थात, कोई भी बहुपद सही है। इसके अलावा, बहुपदों का मूल्यांकन एक वास्तविक संख्या में विशेषज्ञता प्राप्त करके किया जा सकता है। अधिक सटीक रूप से, किसी भी वास्तविक संख्या के लिए, एक अद्वितीय एकात्मक-बीजगणित समरूपता है। क्योंकि यह एकात्मक है। अर्थात् 0 सहित प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए। यही तर्क किसी भी रिंग द्वारा प्रतिस्थापित के साथ लागू होता है। कई बहुपद पहचानों के लिए परिभाषित करना आवश्यक है। उदाहरण के लिए, द्विपद प्रमेय केवल यदि के लिए है। इसी तरह, सभी विशेषज्ञताओं के लिए शक्ति श्रृंखला के वलय को 1 के रूप में परिभाषित करने की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, पहचान केवल अगर के लिए पसंद और धारण करती है। बहुपद को एक निरंतर फलन को परिभाषित करने के लिए, किसी को परिभाषित करना होगा। कलन में, शक्ति नियम केवल अगर के लिए मान्य है। निरंतर घातांक बीजगणितीय संचालन से जुड़ी सीमाओं का मूल्यांकन अक्सर उप-अभिव्यक्तियों को उनकी सीमाओं से बदलकर किया जा सकता है; यदि परिणामी अभिव्यक्ति मूल सीमा का निर्धारण नहीं करती है, तो अभिव्यक्ति को एक अनिश्चित रूप के रूप में जाना जाता है। अभिव्यक्ति एक अनिश्चित रूप हैः वास्तविक मूल्य वाले कार्यों को देखते हुए और (जैसा कि एक वास्तविक संख्या के करीब आता है या) के साथ, की सीमा कोई भी गैर-नकारात्मक वास्तविक संख्या हो सकती है या, या यह और के आधार पर अलग हो सकती है। उदाहरण के लिए, नीचे दी गई प्रत्येक सीमा में (एक तरफा सीमा) के साथ एक फलन शामिल है, लेकिन उनके मान अलग-अलग हैंः इस प्रकार, दो-चर फलन, हालांकि सेट पर निरंतर है, एक निरंतर फलन तक विस्तारित नहीं किया जा सकता है, चाहे कोई भी परिभाषित करने के लिए कैसे भी चुनता हो। दूसरी ओर, यदि और एक संख्या के एक खुले पड़ोस पर विश्लेषणात्मक कार्य हैं, तो किसी भी पक्ष से दृष्टिकोण सकारात्मक है। यह और अधिक सामान्य परिणाम कार्य के सीमित व्यवहार का अध्ययन करके प्राप्त किए जा सकते हैं। जटिल क्षेत्र में, फलन को गैर-शून्य के लिए एक शाखा का चयन करके और के रूप में परिभाषित करके परिभाषित किया जा सकता है। यह परिभाषित नहीं करता है क्योंकि के पड़ोस में परिभाषित की कोई शाखा नहीं है। एक मूल्य के रूप में इतिहास 1752 में, यूलर ने एनलाइसिन इनफिनिटोरम में इंट्रोडक्टियो में लिखा और स्पष्ट रूप से इसका उल्लेख किया। यूलर की पुस्तक इंस्टीट्यूशन्स कैलकुली डिफरेंशियल के 1787 के संस्करण में मास्चेरोनी की एक टिप्पणी ने "औचित्य" के साथ-साथ एक और अधिक शामिल औचित्य की पेशकश की। 1830 के दशक में, लिब्री ने दावे को सही ठहराने का प्रयास करते हुए कई और तर्क प्रकाशित किए, हालांकि ये उस समय के कठोरता के मानकों से भी आश्वस्त करने से बहुत दूर थे। एक सीमित रूप के रूप में यूलर ने, सेटिंग करते समय, उल्लेख किया कि परिणामस्वरूप फ़ंक्शन के मान एक "बड़ी छलांग" लेते हैं, के लिए, से पर, के लिए। 1814 में, फाफ ने इसे साबित करने के लिए एक निचोड़ प्रमेय तर्क का उपयोग किया। दूसरी ओर, 1821 में कौची ने समझाया कि कुछ निश्चित संबंध द्वारा बाधित होने के बावजूद सकारात्मक संख्याओं और दृष्टिकोण की सीमा को उचित रूप से संबंध का चयन करके किसी भी मूल्य को ग्रहण करने के लिए क्यों बनाया जा सकता है। उन्होंने अनुमान लगाया कि एक निर्दिष्ट बाधा के बिना पूर्ण दो-चर फलन की सीमा "अनिश्चित" है। इस औचित्य के साथ, उन्होंने अनिश्चित रूपों की एक तालिका में अभिव्यक्तियों के साथ सूचीबद्ध किया। जाहिरा तौर पर कॉची के काम से अनजान, मोबियस ने 1834 में, फाफ के तर्क पर निर्माण करते हुए, गलत तरीके से दावा किया कि जब भी किसी संख्या के करीब आता है (संभवतः सकारात्मक माना जाता है)। मोबियस ने मामले को कम कर दिया, लेकिन फिर यह मानने की गलती की कि प्रत्येक और कुछ निरंतर फ़ंक्शन पर गायब नहीं होने और कुछ गैर-नकारात्मक पूर्णांक के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जो विश्लेषणात्मक कार्यों के लिए सही है, लेकिन सामान्य रूप से नहीं। एक अनाम टिप्पणीकार ने अनुचित कदम की ओर इशारा किया; फिर एक अन्य टिप्पणीकार जिसने अपने नाम पर केवल "एस" के रूप में हस्ताक्षर किए, ने स्पष्ट प्रति-उदाहरण प्रदान किए और लिखा कि "कई अलग-अलग मूल्य हो सकते हैं"। वर्तमान स्थिति कुछ लेखकों ने परिभाषित किया है क्योंकि यह कई प्रमेय कथनों को सरल बनाता है। बेन्सन (1999) के अनुसार, "परिभाषित करने का विकल्प सुविधा पर आधारित है, शुद्धता पर नहीं। यदि हम परिभाषित करने से बचते हैं, तो कुछ दावे अनावश्यक रूप से अजीब हो जाते हैं। .. सर्वसम्मति परिभाषा का उपयोग करने के लिए है, हालांकि ऐसी पाठ्यपुस्तकें हैं जो परिभाषित करने से बचती हैं। क्नुथ (1992) अधिक दृढ़ता से तर्क देते हैं कि "होना ही चाहिए"; वह मूल्य, जो बराबर होना चाहिए, और सीमित रूप (जहां की सीमा के लिए एक संक्षिप्त नाम) के बीच अंतर करते हैं, जो एक अनिश्चित रूप हैः "कॉची और लिब्री दोनों सही थे, लेकिन लिब्री और उनके रक्षकों को यह समझ में नहीं आया कि सच्चाई उनके पक्ष में क्यों थी।" अन्य लेखकों ने इसे अनिर्धारित छोड़ दिया है क्योंकि यह एक अनिश्चित रूप हैः इसका मतलब यह नहीं है। ऐसा प्रतीत होता है कि कोई भी लेखक 1 के अलावा कोई विशिष्ट मूल्य निर्धारित नहीं करता है। आई. ई. ई. ई. फ्लोटिंग-पॉइंट मानक आई. ई. ई. ई. 754-2008 फ्लोटिंग-पॉइंट मानक का उपयोग अधिकांश फ्लोटिंग-पॉइंट पुस्तकालयों के डिजाइन में किया जाता है। यह एक शक्ति की गणना के लिए कई संचालनों की सिफारिश करता हैः पॉन (जिसका प्रतिपादक एक पूर्णांक है) के रूप में माना जाता है; देखें। पाउ (जिसका इरादा एक गैर-एनएएन परिणाम वापस करना है जब प्रतिपादक एक पूर्णांक है, जैसे कि पाउन) के रूप में माना जाता है। अनिश्चित रूप के कारण पाव्र को NaN (नॉट-ए-नंबर) के रूप में माना जाता है; देखें। पाव संस्करण मुख्य रूप से संगतता के लिए सी99 के पाव फ़ंक्शन से प्रेरित है। यह ज्यादातर उन भाषाओं के लिए उपयोगी है जिनमें एक ही शक्ति कार्य होता है। पावर फ़ंक्शंस के परस्पर विरोधी उपयोग और विभिन्न दृष्टिकोण (जैसा कि ऊपर बताया गया है) के कारण पॉन और पावर प्रकारों को पेश किया गया है। प्रोग्रामिंग भाषाएँ सी और सी + + मानक (एक डोमेन त्रुटि हो सकती है) के परिणाम को निर्दिष्ट नहीं करते हैं। लेकिन C के लिए, C99 के रूप में, यदि मानक अनुलग्नक F समर्थित है, तो वास्तविक फ्लोटिंग-पॉइंट प्रकारों के लिए परिणाम होना आवश्यक है क्योंकि ऐसे महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं जिनके लिए यह मान NaN की तुलना में अधिक उपयोगी है (उदाहरण के लिए, असतत घातकों के साथ); जटिल प्रकारों पर परिणाम निर्दिष्ट नहीं है, भले ही सूचनात्मक अनुलग्नक G समर्थित हो। जावा मानक,. NET फ्रेमवर्क विधि System.Math.Pow, जूलिया और पायथन को भी माना जाता है। कुछ भाषाएँ दस्तावेज़ करती हैं कि उनका घातांक संचालन सी गणितीय पुस्तकालय के पाव फ़ंक्शन से मेल खाता है; यह लूआ और पर्ल के * * ऑपरेटर के मामले में है (जहाँ यह स्पष्ट रूप से उल्लेख किया गया है कि 0 * * 0 का परिणाम मंच-निर्भर है)। गणितीय और वैज्ञानिक सॉफ्टवेयर एपीएल, आर, स्टैटा, सेजमैथ, मैटलैब, मैग्मा, जीएपी, सिंगुलर, पीआरआई/जीपी, और जीएनयू ऑक्टेव का मूल्यांकन करते हैं। मैथेमेटिका और मैक्सिमा सरल हो जाते हैं भले ही कोई बाधा न रखी गई हो; हालाँकि, यदि सीधे दर्ज किया जाता है, तो इसे एक त्रुटि या अनिश्चित माना जाता है। सेजमैथ सरल नहीं करता है। मेपल, मैथेमेटिका और पी. ए. आर. आई./जी. पी. आगे पूर्णांक और फ्लोटिंग-पॉइंट मानों के बीच अंतर करते हैंः यदि घातांक पूर्णांक प्रकार का शून्य है, तो वे आधार के प्रकार का ए लौटाते हैं; मान शून्य के फ्लोटिंग-पॉइंट घातांक के साथ घातांक को अनिर्धारित, अनिश्चित या त्रुटि के रूप में माना जाता है। 0/0 संदर्भ भी देखें बाहरी लिंक sci.math अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्नः क्या है? (शून्य से शून्य शक्ति) किसके बराबर है? AskAMathematician.com घातीय गणितीय विश्लेषण पर कंप्यूटर अंकगणितीय कंप्यूटर त्रुटियाँ 0 (संख्या) सॉफ्टवेयर विसंगतियाँ 1 (संख्या)