Q-Gaussian distribution
क्यू-गॉसियन एक संभाव्यता वितरण है जो उचित बाधाओं के तहत सैलिस एन्ट्रापी के अधिकतमकरण से उत्पन्न होता है। यह सैलिस वितरण का एक उदाहरण है। क्यू-गॉसियन उसी तरह से गॉसियन का एक सामान्यीकरण है जिस तरह से सैलिस एन्ट्रापी मानक बोल्ट्ज़मैन-गिब्स एन्ट्रापी या शैनन एन्ट्रापी का सामान्यीकरण है। सामान्य वितरण को q → 1 के रूप में पुनर्प्राप्त किया जाता है। क्यू-गॉसियन को सांख्यिकीय यांत्रिकी, भूविज्ञान, शरीर रचना विज्ञान, खगोल विज्ञान, अर्थशास्त्र, वित्त और मशीन सीखने के क्षेत्रों में समस्याओं पर लागू किया गया है। 1 <q <3 के लिए गॉसियन की तुलना में इसकी भारी पूंछ के लिए वितरण अक्सर अनुकूल होता है। क्यू-गॉसियन वितरण के लिए एक बाध्य यादृच्छिक चर का पीडीएफ है। यह जीव विज्ञान और अन्य क्षेत्रों में क्यू-गॉसियन वितरण को बाहरी यादृच्छिकता के प्रभाव को मॉडल करने के लिए गॉसियन वितरण की तुलना में अधिक उपयुक्त बनाता है। 2008 में शास्त्रीय केंद्रीय सीमा प्रमेय का एक सामान्यीकृत क्यू-एनालॉग प्रस्तावित किया गया था, जिसमें स्वतंत्रता बाधा अर्थात डी। चर को q पैरामीटर द्वारा परिभाषित सीमा तक शिथिल किया जाता है, जिसमें स्वतंत्रता को q → 1 के रूप में पुनर्प्राप्त किया जाता है। हालाँकि, इस तरह के प्रमेय के प्रमाण का अभी भी अभाव है। भारी पूंछ वाले क्षेत्रों में, वितरण क्यू और स्वतंत्रता की डिग्री के बीच सीधे मानचित्रण के साथ छात्र के टी-वितरण के बराबर है। इन वितरणों में से एक का उपयोग करने वाला एक व्यवसायी इसलिए एक ही वितरण को दो अलग-अलग तरीकों से मानकीकृत कर सकता है। क्यू-गॉसियन रूप का विकल्प तब उत्पन्न हो सकता है जब प्रणाली गैर-व्यापक हो, या यदि छोटे नमूनों के आकार के साथ संबंध की कमी हो। लक्षण वर्णन संभाव्यता घनत्व फलन मानक q-गौसी में संभाव्यता घनत्व फलन होता है जहाँ q-घातीय होता है और सामान्यीकरण कारक नोट द्वारा दिया जाता है कि q-गौसी वितरण के लिए एक बाध्य यादृच्छिक चर का PDF होता है। संचयी घनत्व फलन संचयी घनत्व फलन के लिए जहाँ हाइपरजियोमेट्रिक फलन है। जैसा कि हाइपरजियोमेट्रिक फ़ंक्शन को परिभाषित किया गया है लेकिन x असीमित है, पी. एफ. ए. एफ. परिवर्तन का उपयोग किया जा सकता है। जैसे सामान्य वितरण पहले क्षण और दूसरे क्षण के निश्चित मूल्यों के लिए अधिकतम सूचना एन्ट्रापी वितरण है (सामान्यीकरण स्थिति के अनुरूप निश्चित शून्य क्षण के साथ), वैसे ही इन तीन क्षणों के निश्चित मूल्यों के लिए क्यू-गॉसियन वितरण अधिकतम सैलिस एन्ट्रापी वितरण है। संबंधित वितरण छात्र का टी-वितरण हालांकि इसे एन्ट्रापी के एक दिलचस्प वैकल्पिक रूप द्वारा उचित ठहराया जा सकता है, सांख्यिकीय रूप से यह छात्र के टी-वितरण का एक स्केल्ड रिपैरामेट्राइजेशन है जिसे 1908 में डब्ल्यू. गोसेट द्वारा छोटे-नमूने के आंकड़ों का वर्णन करने के लिए पेश किया गया था। गोसेट की मूल प्रस्तुति में स्वतंत्रता पैरामीटर ν की डिग्री को नमूने के आकार से संबंधित एक सकारात्मक पूर्णांक होने के लिए विवश किया गया था, लेकिन यह आसानी से देखा जाता है कि गोसेट का घनत्व फलन ν के सभी वास्तविक मूल्यों के लिए मान्य है। स्केल्ड रिपैरामेट्राइजेशन वैकल्पिक मापदंडों q और β का परिचय देता है जो ν से संबंधित हैं। स्वतंत्रता की डिग्री के साथ एक छात्र के टी-वितरण को देखते हुए, समतुल्य क्यू-गॉसियन का व्युत्क्रम होता है जब भी, फलन केवल छात्र के टी-वितरण का एक छोटा संस्करण होता है। कभी-कभी यह तर्क दिया जाता है कि वितरण नकारात्मक और या गैर-पूर्णांक डिग्री ऑफ़ फ्रीडम के लिए छात्र के टी-वितरण का सामान्यीकरण है। हालाँकि, छात्र के टी-वितरण का सिद्धांत स्वतंत्रता की सभी वास्तविक डिग्री तक मामूली रूप से फैला हुआ है, जहाँ ν <0 के मामले में वितरण का समर्थन अब अनंत के बजाय कॉम्पैक्ट है। तीन-पैरामीटर संस्करण शून्य पर केंद्रित कई वितरणों के साथ, क्यू-गॉसियन को एक स्थान पैरामीटर को शामिल करने के लिए मामूली रूप से बढ़ाया जा सकता है। घनत्व तब यादृच्छिक विचलन उत्पन्न करके परिभाषित किया जाता है बॉक्स-मुलर परिवर्तन को क्यू-गॉसियन से यादृच्छिक नमूने की अनुमति देने के लिए सामान्यीकृत किया गया है। मानक बॉक्स-मुलर तकनीक निम्नलिखित रूप के समीकरणों से स्वतंत्र सामान्य रूप से वितरित चर के जोड़े उत्पन्न करती है। सामान्यीकृत बॉक्स-मुलर तकनीक क्यू-गॉसियन विचलन के जोड़े उत्पन्न कर सकती है जो स्वतंत्र नहीं हैं। व्यवहार में, समान रूप से वितरित चर की एक जोड़ी से केवल एक ही विचलन उत्पन्न होगा। निम्नलिखित सूत्र निर्दिष्ट पैरामीटर q के साथ एक q-गॉसियन से विचलन उत्पन्न करेगा और जहाँ q-लघुगणक है और इन विचलनों को अनुप्रयोग भौतिकी द्वारा एक मनमाने q-गॉसियन से विचलन उत्पन्न करने के लिए परिवर्तित किया जा सकता है यह दिखाया गया है कि अपसारी ऑप्टिकल जाली में ठंडे परमाणुओं का संवेग वितरण एक q-गॉसियन है। क्यू-गॉसियन वितरण को दो बलों के अधीन एक द्रव्यमान की एक-आयामी गति की स्थिति के स्पर्शोन्मुख संभाव्यता घनत्व कार्य के रूप में भी प्राप्त किया जाता हैः प्रकार का एक नियतात्मक बल (एक अनंत संभावित कुएँ का निर्धारण) और एक यादृच्छिक सफेद शोर बल, जहाँ एक सफेद शोर होता है। ध्यान दें कि ओवरडैम्प्ड/छोटे द्रव्यमान सन्निकटन में उपरोक्त अभिसरण विफल हो जाता है, जैसा कि हाल ही में दिखाया गया है। न्यूयॉर्क स्टॉक एक्सचेंज, नैस्डैक और अन्य जगहों पर वित्तीय रिटर्न वितरण की व्याख्या क्यू-गॉसियन के रूप में की गई है। कॉन्स्टेंटिनो सैलिस सैलिस सांख्यिकी सैलिस एन्ट्रापी सैलिस वितरण क्यू-एक्सपोनेंशियल वितरण क्यू-गौसियन प्रक्रिया नोट्स आगे पढ़ने के लिए जुनिपर, जे। (2007), सेंटर ऑफ फुल एम्प्लॉयमेंट एंड इक्विटी, द यूनिवर्सिटी ऑफ न्यूकैसल, ऑस्ट्रेलिया एक्सटर्नल लिंक्स सैलिस स्टैटिस्टिक्स, नॉन-एक्सटेंसिव सिस्टम्स के लिए स्टैटिस्टिकल मैकेनिक्स और लॉन्ग-रेंज इंटरैक्शन स्टैटिस्टिकल मैकेनिक्स निरंतर वितरण गैर-अनंत भिन्नता के साथ संभावना वितरण