Bernstein–von Mises theorem
बेयेशियन अनुमान में, बर्नस्टीन-वॉन मिसेस प्रमेय पैरामीट्रिक मॉडल में विश्वास कथन के लिए बेयेशियन विश्वसनीय सेटों का उपयोग करने के लिए आधार प्रदान करता है। यह बताता है कि कुछ स्थितियों में, एक पश्च वितरण अनंत डेटा की सीमा में सहप्रसरण मैट्रिक्स के साथ अधिकतम संभावना अनुमानक पर केंद्रित एक बहुभिन्न सामान्य वितरण में परिवर्तित हो जाता है, जहां वास्तविक जनसंख्या पैरामीटर है और वास्तविक जनसंख्या पैरामीटर मूल्य पर फिशर सूचना मैट्रिक्स हैः बर्नस्टीन-वॉन मिसेस प्रमेय बायेसियन अनुमान को लगातार अनुमान के साथ जोड़ता है। यह मानता है कि कुछ वास्तविक संभाव्यता प्रक्रिया है जो टिप्पणियों को उत्पन्न करती है, जैसा कि आवृत्तिवाद में होता है, और फिर उस प्रक्रिया को ठीक करने के लिए बायेसियन तरीकों की गुणवत्ता का अध्ययन करती है, और उस प्रक्रिया के बारे में अनिश्चितता बयान देती है। विशेष रूप से, यह कहता है कि एक निश्चित विश्वसनीयता स्तर के बायेसियन विश्वसनीय सेट लक्षणहीन रूप से आत्मविश्वास स्तर के आत्मविश्वास सेट होंगे, जो बायेसियन विश्वसनीय सेटों की व्याख्या की अनुमति देता है। एक मॉडल में, कुछ नियमितता स्थितियों (सीमित-आयामी, अच्छी तरह से निर्दिष्ट, सुचारू, परीक्षणों का अस्तित्व) के तहत, यदि पूर्व वितरण में लेबेस्ग्यू माप के संबंध में घनत्व है जो पर्याप्त रूप से चिकना है (शून्य से दूर सीमित है), तो पुनर्निर्धारित पश्च वितरण (केंद्रित और पुनर्निर्धारित करके) और किसी भी कुशल अनुमानक पर केंद्रित एक गौसी वितरण के बीच कुल भिन्नता दूरी और विचलन के रूप में व्युत्क्रम फिशर जानकारी शून्य की संभावना में अभिसरण करेगी। बर्नस्टीन-वॉन मिसेस और अधिकतम संभावना अनुमान यदि अधिकतम संभावना अनुमानक एक कुशल अनुमानक है, तो हम इसे जोड़ सकते हैं, और हम बर्नस्टीन-वॉन मिसेस प्रमेय के एक सामान्य, अधिक विशिष्ट संस्करण को पुनर्प्राप्त कर सकते हैं। प्रभाव बर्नस्टीन-वॉन मिसेस प्रमेय का सबसे महत्वपूर्ण निहितार्थ यह है कि बायेसियन अनुमान एक नियमित दृष्टिकोण से स्पर्शोन्मुख रूप से सही है। इसका मतलब है कि बड़ी मात्रा में डेटा के लिए, कोई भी अनुमान और अनिश्चितता के बारे में वैध बयान देने के लिए, एक नियमित दृष्टिकोण से, पोस्टरियर डिस्ट्रीब्यूशन का उपयोग कर सकता है। इस प्रमेय का नाम रिचर्ड वॉन मिसेस और एस. एन. बर्नस्टीन के नाम पर रखा गया है, हालांकि पहला उचित प्रमाण 1949 में जोसेफ एल. डूब द्वारा सीमित संभाव्यता स्थान के साथ यादृच्छिक चर के लिए दिया गया था। बाद में लुसिएन ले कैम, उनके पीएचडी छात्र लॉरेन श्वार्ट्ज, डेविड ए. फ्रीडमैन और पर्सी डायकोनिस ने अधिक सामान्य धारणाओं के तहत प्रमाण का विस्तार किया। सीमाएँ एक गलत निर्दिष्ट मॉडल के मामले में, पोस्टीरियर वितरण भी एक सही माध्य के साथ एसिम्प्टोटिक रूप से गॉसियन बन जाएगा, लेकिन जरूरी नहीं कि फ़िशर जानकारी के साथ भिन्नता के रूप में। इसका तात्पर्य यह है कि स्तर के बायेसियन विश्वसनीय सेटों की व्याख्या स्तर के आत्मविश्वास सेटों के रूप में नहीं की जा सकती है। गैर-पैरामीट्रिक सांख्यिकी के मामले में, बर्नस्टीन-वॉन मिसेस प्रमेय आमतौर पर डिरिचलेट प्रक्रिया के एक उल्लेखनीय अपवाद के साथ बनाए रखने में विफल रहता है। 1965 में फ्रीडमैन द्वारा एक उल्लेखनीय परिणाम पाया गयाः बर्नस्टीन-वॉन मिसेस प्रमेय लगभग निश्चित रूप से नहीं रखता है यदि यादृच्छिक चर में एक अनंत गणना योग्य संभाव्यता स्थान है; हालाँकि, यह संभावित प्राथमिकताओं की एक बहुत व्यापक श्रृंखला की अनुमति देने पर निर्भर करता है। व्यवहार में, अनुसंधान में आमतौर पर उपयोग किए जाने वाले प्राथमिकताओं में एक अनंत गणना योग्य संभाव्यता स्थान के साथ भी वांछनीय गुण होते हैं। विभिन्न सारांश सांख्यिकी जैसे कि मोड और मीन पश्च वितरण में अलग-अलग व्यवहार कर सकते हैं। फ्रीडमैन के उदाहरणों में, पश्च घनत्व और इसका माध्य गलत परिणाम पर अभिसरण कर सकते हैं, लेकिन पश्च मोड सुसंगत है और सही परिणाम पर अभिसरण करेगा। डूब, जोसेफ एल. (1949), मार्टिंगेल्स के सिद्धांत का अनुप्रयोग। कॉलॉक। इंटर्न। डु C.N.R.S (पेरिस), नं। 13, पीपी. 23-27। फ्रीडमैन, डेविड ए। (1963)। बेयस के असिम्प्टोटिक व्यवहार पर असतत मामले I में अनुमान लगाया गया है। द एनल्स ऑफ मैथमेटिकल स्टैटिस्टिक्स, वॉल्यूम। 34, पीपी. 1386-1403। फ्रीडमैन, डेविड ए। (1965)। बेयस के असिम्प्टोटिक व्यवहार पर असतत मामले II में अनुमान लगाया गया है। द एनल्स ऑफ मैथमेटिकल स्टैटिस्टिक्स, वॉल्यूम। 36, पीपी. 454-456। ले कैम, लुसिएन (1986)। सांख्यिकीय निर्णय सिद्धांत में लक्षणहीन तरीके, स्प्रिंगर। (पृष्ठ 336 और 618-621)। लोरेन श्वार्ट्ज (1965)। बेयस प्रक्रियाओं पर। जेड. वाहरशेइनलिचकेइटस्थोरी, नं। 4, पीपी. 10-26। सांख्यिकी में बायेसियन अनुमान प्रमेय