Nichols algebra
बीजगणित में, एक ब्रैडेड वेक्टर स्पेस का निकोल्स बीजगणित (अक्सर एक परिमित समूह द्वारा प्रेरित ब्रैडिंग के साथ) एक ब्रैडेड होप्फ बीजगणित है जिसे गणितशास्त्री वारेन निकोल्स द्वारा दर्शाया जाता है और उनके नाम पर रखा जाता है। यह एक नुकीले होप्फ बीजगणित के क्वांटम बोरेल भाग की भूमिका निभाता है जैसे कि एक क्वांटम समूह और उनके प्रसिद्ध परिमित-आयामी ट्रंकेशन। रेडफोर्ड बाइप्रोडक्ट का उपयोग करके ऐसे नए क्वांटम समूहों को लिखने के लिए निकोल्स बीजगणित का तुरंत उपयोग किया जा सकता है। ऐसे सभी निकोल्स अल्जेब्रा और यहां तक कि सभी संबंधित क्वांटम समूहों का वर्गीकरण (अनुप्रयोग देखें) तेजी से आगे बढ़ रहा है, हालांकि अभी भी बहुत कुछ खुला हैः एक अबेलियन समूह का मामला 2005 में हल किया गया था, लेकिन अन्यथा यह घटना बहुत दुर्लभ प्रतीत होती है, जिसमें मुट्ठी भर ज्ञात और शक्तिशाली निषेध मानदंड स्थापित किए गए हैं (नीचे देखें)। परिमित-आयामी निकोल्स बीजगणित की इस सूची को भी देखें। परिमित-आयामी सिद्धांत जड़ प्रणालियों और डायनकिन आरेखों के एक सिद्धांत द्वारा बहुत नियंत्रित होता है, जो आश्चर्यजनक रूप से अर्ध-सरल लाइ अल्जेब्रा के समान है। हेकेनबर्गर के व्याख्यान में एक व्यापक परिचय पाया जाता है। परिभाषा येटर-ड्रिनफेल्ड श्रेणी में एक येटर-ड्रिनफेल्ड मॉड्यूल V पर विचार करें। यह विशेष रूप से एक ब्रैडेड वैक्टरस्पेस है, ब्रैडेड मोनोइडल श्रेणी देखें। येटर-ड्रिनफेल्ड मॉड्यूल का टेंसर बीजगणित हमेशा एक ब्रैडेड होप्फ बीजगणित होता है। निकोल्स बीजगणित को कई समतुल्य लक्षण वर्णनों द्वारा विशिष्ट रूप से परिभाषित किया जा सकता है, जिनमें से कुछ होप्फ बीजगणित संरचना पर ध्यान केंद्रित करते हैं और कुछ अधिक संयोजनात्मक होते हैं। इसके बावजूद, निकोल्स बीजगणित को स्पष्ट रूप से निर्धारित करना (यहां तक कि यह तय करना कि क्या यह सीमित-आयामी है) बहुत मुश्किल हो सकता है और कई ठोस उदाहरणों में खुला है (नीचे देखें)। परिभाषा I: संयोजन सूत्र मान लीजिए कि एक ब्रैडेड वेक्टर स्पेस है, इसका मतलब है कि किसी भी के लिए ब्रैड समूह की एक क्रिया है, जहां स्थानांतरण के रूप में कार्य करता है। स्पष्ट रूप से सममित समूह के लिए एक समरूपता है लेकिन न तो यह एक खंड को स्वीकार करता है, न ही सामान्य रूप से इस पर कार्रवाई गुणनखंडित होती है। फिर भी एक सेट-सैद्धांतिक खंड पर विचार करें जो किसी भी कम अभिव्यक्ति के माध्यम से स्थानांतरण और मनमाने तत्वों को स्थानांतरण भेजता है। यह एक समूह समरूपता नहीं है, लेकिन मात्सुमोतो की प्रमेय (समूह सिद्धांत) हमें बताती है कि किसी भी ऑन की क्रिया एक कम अभिव्यक्ति के विकल्प से स्वतंत्र रूप से अच्छी तरह से परिभाषित है। अंत में निकोल्स बीजगणित तब है यह परिभाषा बाद में (लेकिन स्वतंत्र रूप से) वोरोनोविज़ द्वारा दी गई थी। इसका बीजगणितीय प्रमाणों में शायद ही कभी उपयोगी होने का नुकसान है, लेकिन यह अपने आप में एक अंतर्ज्ञान का प्रतिनिधित्व करता है और इसमें होप्फ बीजगणित के संकेतन से बहुत स्पष्ट और स्वतंत्र होने का उपदेशात्मक लाभ है। परिभाषा II: निर्धारित आदिम निकोल्स बीजगणित दिए गए द्वारा उत्पन्न ब्रैडेड श्रेणी में अद्वितीय होप्फ बीजगणित है, जैसे कि केवल आदिम तत्व हैं। निकोल्स के कारण यह मूल परिभाषा है और यह होप्फ बीजगणित के वर्गीकरण में एक मौलिक धारणा के रूप में निकोल्स बीजगणित की भूमिका को बहुत पारदर्शी बनाता है। परिभाषा III: सार्वभौमिक भागफल लीजिए। निम्नलिखित गुणों के साथ एक सबसे बड़ा आदर्श मौजूद हैः (यह स्वचालित है) निकोल्स बीजगणित परिभाषा IV: गैर-आनुवंशिक युग्मन है अद्वितीय होप्फ युग्मन एक गैर-आनुवंशिक होप्फ युग्मन को कारक बनाता है और यह तथ्य निकोल्स बीजगणित को विशिष्ट रूप से दर्शाता है। यह सैद्धांतिक रूप से बहुत उपयोगी लक्षण वर्णन लुज़्टिग के कारण है। परिभाषा V: तिरछे व्युत्पन्न यह पिछली परिभाषा का कुछ हद तक स्पष्ट रूप हैः एक सजातीय आधार चुना (अर्थात। कोएक्शन/ग्रेजुएशन) टेंसर बीजगणित के सार्वभौमिक गुण का उपयोग करके तिरछे व्युत्पत्तियों को परिभाषित किया जा सकता हैः फिर निकोल्स बीजगणित सबसे बड़े सजातीय आदर्श का भागफल है जिसमें कोई स्थिरांक नहीं है और सभी व्युत्पत्तियों के तहत अपरिवर्तनीय है। मोटे तौर पर, कोई भी सभी तिरछे-व्युत्पन्न के कर्नेल में तत्वों की तलाश कर सकता है और उन्हें विभाजित कर सकता है; फिर उन सभी तत्वों के लिए फिर से देखें जो अब सभी तिरछे-व्युत्पन्न के कर्नेल में हैं और उन्हें विभाजित भी कर सकते हैं आदि। उदाहरण हम परिमित-आयामी निकोल्स बीजगणित के उदाहरण देते हैं। विशेषता पी पर, यह प्रभाव पहले से ही गैर-ब्रैडेड स्थिति में दिखाई दे सकता है, अर्थात् पी-प्रतिबंधित लाइ अल्जेब्रा के कटे हुए सार्वभौमिक आवरण। विशेषता शून्य में और एक अबेलियन समूह से आने वाली एक चोटी के साथ, यह एक समान बार-बार होने वाली घटना प्रतीत होती है (हालांकि अधिक शामिल, वर्गीकरण देखें)। दूसरी ओर जी नॉनबेलियन के लिए, अब तक केवल बहुत कम उदाहरण ज्ञात हैं, और शक्तिशाली निषेध मानदंड कई समूहों को बिल्कुल भी बाहर करते हैं (वर्गीकरण देखें)। 1-आयामी उदाहरण पहले उदाहरण के रूप में, समूह होप्फ बीजगणित H = k [Z/2Z] पर 1-आयामी येटर-ड्रिनफेल्ड मॉड्यूल पर विचार करें, जिसमें चक्रीय समूह को गुणक रूप से दर्शाया गया है (बीजगणित में हमेशा की तरह) और कुछ g द्वारा उत्पन्न किया गया है। जेड/2जेड-ग्रेजुएशन) ऑनः एच-एक्शन (रेस्प) के रूप में लें। Z/2Z-एक्शन) ऑनः इस प्रकार ब्रैडिंग है फिर, संकेत विकल्प के आधार पर, निकोल्स अल्जेब्रा हैंः ध्यान दें कि पहला अपेक्षित है (गैर-ब्रैडेड केस), जबकि दूसरे को इस बिंदु तक काट दिया गया है कि यह सीमित-आयामी है! इसी तरह, k में कुछ q द्वारा कार्य करने वाले g के साथ एक उच्च चक्रीय समूह पर Vq में निकोल्स बीजगणित होता है यदि q §1 एकता का एक आदिम n-th मूल है, और अन्यथा। (भौतिक दृष्टिकोण से, V + एक बोसॉन से मेल खाता है, जबकि V-पाउली अपवर्जन सिद्धांत द्वारा प्रतिबंधित एक फर्मियन का प्रतिनिधित्व करता है; एक सादृश्य जो ब्रैडेड कम्यूटेटरों पर विचार करते समय दोहराता है, इन मामलों में (विरोधी) कम्यूटेटर होने के नाते, एक क्वांटम समूह और चर्चा के रूप में सुपरसिमेट्री को भी देखें) G अबेलियन पर उच्च श्रेणी के उदाहरणः ब्रैडेड कम्यूटेटर अगले उदाहरण दो आधार तत्वों की परस्पर क्रिया को दर्शाते हैंः दो आयामी येटर-ड्रिनफेल्ड मॉड्यूल V0,1 = kx ky पर विचार करें समूह हॉपफ बीजगणित H = k [Z/2Z × Z/2Z] के साथ क्लेन चार समूह गुणक रूप से कुछ g, h द्वारा निरूपित और उत्पन्न होता है। V0,1: पर H-कार्रवाई/स्नातक के रूप में लें और H-कार्रवाई के रूप में लें। Z/2Z-एक्शन) V0,1 परः "+" के साथ V0 के लिए (सममित) और "-" के लिए V1 के लिए (असममित) इस प्रकार ब्रेडिंग है तब, संकेत विकल्प के आधार पर, निकोल्स अल्जेब्रा आयाम 4 और 8 के होते हैं (वे नीचे दिए गए वर्गीकरण में दिखाई देते हैं): वहाँ कोई भी सेमीसिम्पल लाइ अल्जेब्रा के साथ हड़ताली समानता देख सकता हैः पहले मामले में, ब्रेडेड कम्यूटेटर [x, y] (यहाँः एंटीकमुटेटर) शून्य है, जबकि दूसरे में, रूट स्ट्रिंग लंबी है [x, [x, y]] = 0। इसलिए ये दोनों डायनकिन आरेख और ए2 से संबंधित हैं। डैनकिन आरेख बी2, जी2 के अनुरूप और भी लंबे मूल तार वी2, वी3 के साथ उदाहरणों का निर्माण भी किया जाता है (लेकिन साथ ही कोई उच्चतर नहीं)। लाइ अलजेब्रा, क्वांटम समूह निकोल्स अलजेब्रा के सार्वभौमिक आवरण को संभवतः क्वांटम समूहों के बोरेल भाग और उनके सामान्यीकरण के लिए जाना जाता है। अधिक सटीक रूप से एक अबेलियन समूह पर विकर्ण यटर-ड्रिन्फेल्ड मॉड्यूल को ब्रैडिंग के साथ होने दें जहां एक अर्ध-सरल (सीमित-आयामी) लाइ बीजगणित का हत्या रूप है, फिर निकोल्स बीजगणित लुज़्टिग के छोटे क्वांटम समूह का सकारात्मक हिस्सा है जिसमें सुपर-लाइ बीजगणित शामिल हैं हेकेनबर्गर्स सूची में लाइ बीजगणित की तुलना में अधिक विकर्ण निकोल्स बीजगणित हैं, और मूल प्रणाली सिद्धांत व्यवस्थित है, लेकिन अधिक जटिल है (नीचे देखें)। विशेष रूप से इसमें सुपर-लाइ-अल्जेब्रा (नीचे उदाहरण) के साथ-साथ कुछ लाइ अल्जेब्रा और सुपर-लाइ-अल्जेब्रा का वर्गीकरण भी शामिल है जो केवल एक विशिष्ट सीमित विशेषता में दिखाई देते हैं। इस प्रकार निकोल्स बीजगणित सिद्धांत और मूल प्रणाली सिद्धांत इन अवधारणाओं के लिए एक एकीकृत ढांचा प्रदान करते हैं। नानडायगोनल ब्रैडिंग्स, नानबेलियन समूह अब तक k = C पर केवल कुछ मुट्ठी भर परिमित-आयामी निकोल्स बीजगणित ज्ञात हैं। यह ज्ञात है कि इस मामले में प्रत्येक इरेड्यूसिबल येटर-ड्रिनफेल्ड मॉड्यूल समूह के संयुग्म वर्ग (जी के केंद्रीकारक के एक इरेड्यूसिबल प्रतिनिधित्व के साथ) से मेल खाता है। एक मनमाना येटर-ड्रिनफेल्ड मॉड्यूल इस तरह का एक प्रत्यक्ष योग है, योगों की संख्या को रैंक कहा जाता है; प्रत्येक योग डाइनकिन आरेख में एनोड से मेल खाता है (नीचे देखें)। ध्यान दें कि उपरोक्त अबेलियन समूहों के लिए, अपरिवर्तनीय योग 1-आयामी हैं, इसलिए श्रेणी और आयाम मेल खाते हैं। विशेष उदाहरणों में एक कॉक्सेटर समूह में प्रतिबिंबों के संयुग्म वर्ग (एस) से जुड़े निकोल्स बीजगणित शामिल हैं, वे फोमिन किरिलोव बीजगणित से संबंधित हैं। यह ज्ञात है कि ये निकोल्स अल्जेब्रा सीमित आयामी हैं लेकिन पहले से ही मामला 2000 से खुला है। उदाहरणों के एक अन्य वर्ग का निर्माण अबेलियन मामले से आरेख ऑटोमोर्फिज्म के माध्यम से एक तह द्वारा किया जा सकता है। हमारे ज्ञान की सीमा तक सीमित-आयामी निकोल्स बीजगणित की सूची के लिए यहां देखें। जड़ प्रणाली एक बहुत ही उल्लेखनीय विशेषता यह है कि प्रत्येक निकोल बीजगणित के लिए (पर्याप्त परिमितता स्थितियों के तहत) जड़ों के एक समूह के साथ एक सामान्यीकृत मूल प्रणाली मौजूद है, जो निकोल बीजगणित को नियंत्रित करती है। इसकी खोज विकर्ण निकोल्स बीजगणित के लिए द्वि-वर्णक के संदर्भ में और सामान्य अर्ध-सरल निकोल्स बीजगणित के लिए की गई है। लाइ अलजेब्रा से ज्ञात साधारण क्रिस्टलोग्राफिक जड़ प्रणालियों के विपरीत, एक ही सामान्यीकृत जड़ प्रणाली में कई अलग-अलग वेल कक्ष हो सकते हैं, जो सकारात्मक जड़ों और सरल सकारात्मक जड़ों के सेट के गैर-समतुल्य विकल्पों के अनुरूप हो सकते हैं, जिनमें अलग-अलग कार्टन मैट्रिक्स और अलग-अलग डाइनकिन आरेख होते हैं। विभिन्न वेल कक्ष वास्तव में विभिन्न गैर-समरूपी निकोल्स बीजगणित से मेल खाते हैं जिन्हें वेल-समतुल्य कहा जाता है। क्वांटम समूह इस तथ्य के संबंध में बहुत विशेष हैं कि यहाँ सभी बोरेल भाग समरूप हैं; फिर भी इस मामले में भी लुज़्टिग का परावर्तन प्रचालक फिर से होप्फ बीजगणित समरूपता नहीं है! वेल ग्रुपॉइड और सामान्यीकृत जड़ प्रणाली की परिभाषा औपचारिक आधार के साथ रैंक कहाँ है। हम सबसे पहले सामान्यीकृत कार्टन ग्राफ की चर्चा इस प्रकार करते हैंः एक सामान्यीकृत कार्टन मैट्रिक्स एक अभिन्न मैट्रिक्स है जैसे कि एक कार्टन ग्राफ वस्तुओं/कक्षों के एक समूह द्वारा मानकीकृत ऐसे कार्टन मैट्रिक्स का एक समूह है, जो (वस्तु परिवर्तन) आकृतिवाद के साथ मिलकर मानचित्रों को परिभाषित करता है (ध्यान दें कि लाइ बीजगणित साहित्य में भी ट्रांसपोज़ कन्वेंशन है, उदाहरण के लिए। हम्फ्री की पुस्तक में) वेइल ग्रुपॉइड वस्तुओं और रूपात्मकताओं के साथ औपचारिक रूप से समूह द्वारा उत्पन्न समूहों की श्रेणी है वास्तविक जड़ों का समूह सेट को परिभाषित करता है, फिर प्रकार की एक मूल प्रणाली क्रिस्टलीय हाइपरप्लेन व्यवस्था के लिए परिमित समतुल्यता के साथ एक सेट है। इसमें दिखाया गया था कि वेइल ग्रुपॉइड क्रिस्टलोग्राफिक हाइपरप्लेन व्यवस्था के 1:1 अनुरूप हैं। ये सामान्य वैक्टरों की उत्पत्ति और विकल्पों के माध्यम से हाइपरप्लेन का एक समूह है जैसे कि सामान्य वैक्टरों के साथ हाइपरप्लेन से घिरे प्रत्येक सरल कक्ष के लिए अन्य सभी चुने गए सामान्य वेक्टर को इसके अभिन्न रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। सभी परिमित क्रिस्टलोग्राफिक हाइपरप्लेन व्यवस्थाओं के समूह में (और इसलिए परिमित वेल समूह या परिमित सामान्यीकृत मूल प्रणालियों) को वर्गीकृत किया गया है। प्रतिबिम्ब व्यवस्था के अलावा एक और अनंत परिवार है और कुल मिलाकर 74 अपवाद हैं। रैंक 3 का उदाहरण (एक सुपर लाइ बीजगणित भी) सबसे छोटी क्रिस्टलोग्राफिक हाइपरप्लेन व्यवस्था, वेल ग्रुपॉइड, सामान्यीकृत मूल प्रणाली, जो साधारण लाइ प्रकार की नहीं है, निम्नानुसार है। यह एक विकर्ण निकोल्स बीजगणित के लिए दिखाई देता है, यहां तक कि एक सुपर लाइ बीजगणित भी। हाइपरप्लेन व्यवस्था का निर्माण एक क्यूबोक्टेहेड्रॉन (एक प्लेटोनिक ठोस) से किया जा सकता हैः इसकी जड़ें (रेसप) होती हैं। हाइपरप्लेन, चित्रों में समबाहु त्रिभुज रेसप को बांधते हुए। वर्ग में विकर्ण, सुपर लाइ बीजगणित विषम रेस्प में। जड़ें भी)। इसमें स्पष्ट रूप से विभिन्न प्रकार के वेल कक्ष (समबाहु त्रिभुज रेस्प) हैं। दाएँ त्रिभुज) विभिन्न कार्टन मैट्रिक्स के साथ जिसमें सरल जड़ों के संदर्भ में जड़ें इस प्रकार हैंः चित्र में सफेद कक्ष, जैसे आधार के साथ। स्पष्ट रूप से, इस प्रकार के कक्ष का डाइनकिन आरेख एक सरल त्रिभुज है, परावर्तन हमें दूसरे प्रकार के कक्ष में लाता है चित्र में ग्रे कक्ष, जैसे आधार के साथ। इस प्रकार के कक्ष का डाइनकिन आरेख केवल (लेकिन एक और मूल) है। यह जड़ प्रणाली एक अनंत श्रृंखला का सबसे छोटा सदस्य है। चित्र वहाँ के हैं, जहाँ उदाहरण की भी अच्छी तरह से चर्चा की गई है। आबेलियन समूहों पर वर्गीकरण (विवरण) के = सी में आबेलियन समूहों पर सीमित आयाम के निकोल्स बीजगणित को इस्तवान हेकेनबर्गर द्वारा वर्षों में 2004-2005 में अंकगणितीय मूल प्रणालियों और सामान्यीकृत डाइनकिन आरेखों को वर्गीकृत करके वर्गीकृत किया गया था; जहां पहले से ही खारचेंको ने उन्हें पुनरावृत्त (ब्रैडेड) कम्यूटेटर के पोइनकेयर-बर्खोफ-विट आधार के लिए साबित कर दिया था। केवल एक जानकारी की आवश्यकता होती है ब्रेडिंग मैट्रिक्स, जो इस सेटिंग में विकर्ण है (ऊपर उदाहरण देखें) जबकि ज्यादातर केवल शास्त्रीय कार्टन-मामले दिखाई देते हैं, छोटे अभाज्य संख्याओं के लिए कई विदेशी आरेख संभव हैं, जैसे कि एक त्रिकोण इन मामलों में एक आरेख के वेल प्रतिबिंब "समान" आरेख में नहीं आ सकते हैं, लेकिन एक तथाकथित वेल समकक्ष। यही सटीक कारण भी है, कि इन विदेशी मामलों में एक सामान्य समूह के बजाय एक वेल-समूह होता है। निकोल्स बीजगणित के जनित्र और संबंध मूल प्रणाली से आसानी से उपलब्ध नहीं हैं। बल्कि, लिनॉन्ड शब्दों के साथ थकाऊ काम करना पड़ता है। यह पूरी तरह से नकारात्मक मानदंडों में किया गया हैः अबेलियन सबरैक्स विशेष रूप से इरेड्यूसिबल वी के लिए कोई सबमॉड्यूल्स नहीं हैं; हालाँकि कोई भी सबरैक्स की अधिक अमूर्त धारणा का उपयोग कर सकता है जो केवल दो निहित तत्वों की चोटी को दर्शाता है। कई पत्रों में, निकोलस एंड्रूस्कीविट्श और अन्य। नकारात्मक मानदंड दिए गए जिसमें समूहों को निकोल्स अल्जेब्रा रखने से बिल्कुल भी बाहर रखा गया था। उनकी तकनीकों को मोटे तौर पर संक्षेप में प्रस्तुत किया जा सकता है (अधिक विवरण! ): यह ansatz कभी-कभी विशेष रूप से किसी भी जी-श्रेणीकृत तत्व x को अपने साथ बांधने पर मजबूत स्थिति रखता है (जैसे। ऊपर दिया गया पहला उदाहरण q §1) दिखाता है। ध्यान दें कि क्योंकि जी केंद्रीकारक में केंद्रीय है, यह शूर लेम्मा के परिणामस्वरूप एक अदिश द्वारा अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व पर कार्य करता है; इसलिए यह आत्म-ब्रेडिंग रेस्प है। 1-डिम सब-येटर-ड्रिनफेल्ड मॉड्यूल/ब्रेडेड वेक्टरस्पेस/1-डिम सब-रैक विकर्ण है इसका उपयोग आमतौर पर जी को बाहर करने के लिए किया जाता है। विषम क्रम का होना और/या उच्च आयाम का χ: यदि g वास्तविक है (अर्थात। इसके व्युत्क्रम से संयुग्मित) तो q =-1 (विशेष रूप से g को सम क्रम का होना चाहिए) यदि g अर्ध-वास्तविक है (अर्थात। कुछ जे-th शक्ति के साथ संयुग्मित) तो या तो ऊपर के रूप में क्यू =-1 या प्रतिनिधित्व χ एक आयामी है जिसमें क्यू = ζ3 एकता का एक आदिम तीसरा मूल है (विशेष रूप से जी का क्रम 3 से विभाज्य है) यदि इसके विपरीत जी एक अंतर्वेशन है और कुछ केंद्रीकृत एच = टीजीटी है तो एच (मैट्रिक्स के रूप में देखे जाने वाले) के आइगेनवैल्यू दृढ़ता से प्रतिबंधित हैं। गैर-एबेलियन समूहों पर जड़ प्रणालियाँ गैर-एबेलियन मामले में भी एक मूल प्रणाली का अस्तित्व तुरंत निम्नलिखित बहुत मजबूत निहितार्थ का संकेत देता हैः रैंक 2 निकोल्स अल्जेब्रा के लिए तत्काल परिणाम निहित हैं जो जी, एच असंबद्ध करते हैं; फिरः तत्वों के ब्रैडेड कम्यूटेटर [x, y] सभी शून्य नहीं हैं। ब्रेडेड कम्यूटेटरों का स्थान एक अपरिवर्तनीय उप-येटर-ड्रिनफेल्ड मॉड्यूल (यानी। जड़ अद्वितीय है जैसा कि लाइ बीजगणित मामले में) वे "आवागमन के करीब" हैं इसका मोटे तौर पर तात्पर्य है कि गैर-एबेलियन समूहों पर सीमित-आयामी निकोल्स बीजगणित बहुत कम श्रेणी का (यदि बिल्कुल भी हो) होना चाहिए या समूह को एबेलियन के करीब होना चाहिए। नकारात्मक मानदंडः गैर-एबेलियन सबरैक्स (प्रकार डी) जैसा कि एबेलियन सबरैक्स एबेलियन समूहों पर निकोल्स अल्जेब्रा के लिए हेकेनबर्गर के संरचनात्मक वर्गीकरण का उपयोग करते हैं (ऊपर देखें) कोई भी गैर-एबेलियन सबरैक्स पर भी विचार कर सकता है। यदि ऐसा उपचक्र कई टुकड़ों में विघटित हो जाता है (क्योंकि अब संयुग्मन के लिए कम तत्व मौजूद हैं), तो जड़ प्रणालियों पर उपरोक्त परिणाम लागू होते हैं। एक विशिष्ट मामला जहाँ यह अत्यधिक सफल होता है, वह है टाइप डी, अर्थात। r के लिए, s उत्पन्न उपसमूह में संयुग्म नहीं है, इस मामले में उपसमूह का निकोल्स बीजगणित अनंत-आयामी है और इसी तरह पूरा निकोल्स बीजगणित भी है ज्ञात समूह जो परिमित-आयामी निकोल्स बीजगणित को स्वीकार नहीं करते हैं, उपरोक्त दोनों निषेध तकनीकें सीमित-आयामी निकोल्स बीजगणित को नकारने के लिए बहुत उपयोगी रही हैंः सममित समूहों के लिए वैकल्पिक समूहों के लिए उदाहरणों की एक छोटी सूची को छोड़कर लाइ प्रकार के कुछ समूह (स्रोत, पूरी सूची?) संभावनाओं की एक छोटी सूची को छोड़कर सभी छिटपुट समूह (रेस्प। ए. टी. एल. ए. एस. संकेतन में संयुग्मता वर्ग) जो सभी वास्तविक हैं या जे = 3-वर्गात्मकः. फिशर समूह के लिए वर्ग. शिशु राक्षस समूह बी के लिए वर्ग. राक्षस समूह एम के लिए वर्ग आमतौर पर बड़ी मात्रा में संयुग्मता वर्ग ए. ई. प्रकार डी ("पर्याप्त परिवर्तनीय नहीं") के होते हैं, जबकि अन्य में पर्याप्त अबेलियन सबरैक्स होते हैं और उन्हें उनके विचार से बाहर रखा जा सकता है। कई मामलों को हाथ से करना पड़ता है। ध्यान दें कि खुले मामलों में बहुत छोटे केंद्रीकारक (आमतौर पर चक्रीय) और प्रतिनिधित्व χ (आमतौर पर 1-आयामी संकेत प्रतिनिधित्व) होते हैं। महत्वपूर्ण अपवाद क्रम 16,32 के संयुग्म वर्ग हैं जिनमें 2048 आर. एस. पी. क्रम के केंद्रीकृत पी-समूह हैं। 128 और वर्तमान में χ पर कोई प्रतिबंध नहीं है। अनुप्रयोग निकोल्स बीजगणित, विशेष रूप से क्वांटम समूहों, निकोलस एंड्रूस्कीविट्श और हंस-जुर्गेन श्नाइडर द्वारा परिमित-आयामी नुकीले होप्फ बीजगणित (छोटे अभाज्य अंकों के बिना) के वर्गीकरण में क्वांटम बोरेल भाग के रूप में दिखाई देता है। उदाहरण के लिए, और एकता के मूल q के लिए उनकी प्रसिद्ध छंटनी एक साधारण अर्ध-सरल लाइ बीजगणित की तरह ई (बोरेल भाग), दोहरे एफ और के (कार्टन बीजगणित) में विघटित होती हैः यहाँ, जैसा कि शास्त्रीय सिद्धांत वी में ई द्वारा फैले आयाम एन (की श्रेणी) का एक वैक्टरस्पेस है, और σ (एक तथाकथित कोकिल्स मोड़) ई और एफ के बीच गैर-तुच्छ संबंध बनाता है। ध्यान दें कि शास्त्रीय सिद्धांत के विपरीत, दो से अधिक जुड़े हुए घटक दिखाई दे सकते हैं। सी. टी. देखें। लोक "। ए3 प्रकार के 4 भागों के साथ एक विदेशी उदाहरण के लिए। वर्गीकरण मोटे तौर पर एक दिए गए काल्पनिक उदाहरण को (कोरैडिकल-) समूह और (जुड़े हुए-) भाग के रेडफोर्ड द्वि-उत्पाद में कम कर देता है, जिसमें निकोल्स बीजगणित होता है, संबंधित "श्रेणीबद्ध वस्तु" (सभी लिंकिंग को मारना) लेकर। उपरोक्त परिमित-आयामी निकोल्स बीजगणित के वर्गीकरण के ज्ञान के साथ, लेखक जुड़े हुए भाग (डिग्री 1 में पीढ़ी) में दिखाई देने के लिए कोई अतिरिक्त तत्व साबित नहीं करते हैं, और अंत में सामान्यीकृत डाइनकिन आरेखों में सभी संभावित उठाने को "बिंदीदार रेखाओं" के रूप में वर्णित करते हैं। हाल ही में, इस पत्राचार को वेल समूह के साथ 1:1 पत्राचार में होने वाले कुछ तथाकथित सहवर्ती उपांगों की पहचान करने के लिए बहुत बढ़ाया गया है, जिसे पहले "संख्यात्मक संयोग" के रूप में अनुमान लगाया गया है और कुछ मामलों में हाथ से साबित किया गया है। संदर्भ होप्फ अल्जेब्रा क्वांटम समूह