Higher local field
गणित में, एक उच्च (-आयामी) स्थानीय क्षेत्र एक पूर्ण असतत मूल्यांकन क्षेत्र का एक महत्वपूर्ण उदाहरण है। ऐसे क्षेत्रों को कभी-कभी बहु-आयामी स्थानीय क्षेत्र भी कहा जाता है। सामान्य स्थानीय क्षेत्रों में (आम तौर पर संख्या क्षेत्रों की पूर्णता या बीजगणितीय वक्रों के स्थानीय वलय के भागफल क्षेत्र) क्षेत्रों के स्थानीय पैरामीटर के चयन से जुड़ा एक अद्वितीय अनुमानात्मक असतत मूल्यांकन (श्रेणी 1 का) होता है, जब तक कि वे वास्तविक संख्या और जटिल संख्या जैसे प्राचीन स्थानीय क्षेत्र न हों। इसी तरह, क्षेत्र के n स्थानीय मापदंडों के चयन से जुड़े लगभग सभी n-आयामी स्थानीय क्षेत्रों पर श्रेणी n का एक असतत मूल्यांकन होता है। एक-आयामी स्थानीय क्षेत्रों के विपरीत, उच्च स्थानीय क्षेत्रों में अवशेष क्षेत्रों का एक क्रम होता है। उच्च स्थानीय क्षेत्रों पर अलग-अलग अभिन्न संरचनाएँ हैं, जो इस बात पर निर्भर करती हैं कि कोई कितने अवशेष क्षेत्रों की जानकारी को ध्यान में रखना चाहता है। ज्यामितीय रूप से, उच्च स्थानीय क्षेत्र स्थानीयकरण और उच्च आयामी योजनाओं के स्थानीय वलय के पूरा होने की प्रक्रिया के माध्यम से दिखाई देते हैं। उच्च स्थानीय क्षेत्र उच्च आयामी संख्या सिद्धांत के विषय का एक महत्वपूर्ण हिस्सा हैं, जो स्थानीय विचारों के लिए वस्तुओं का उपयुक्त संग्रह बनाते हैं। परिभाषा परिमित क्षेत्रों में आयाम 0 होता है और परिमित अवशेष क्षेत्र के साथ पूर्ण असतत मूल्यांकन क्षेत्रों में आयाम एक होता है (आर या सी जैसे आर्किमिडियन स्थानीय क्षेत्रों को आयाम 1 के रूप में परिभाषित करना भी स्वाभाविक है), तो हम कहते हैं कि एक पूर्ण असतत मूल्यांकन क्षेत्र में आयाम n होता है यदि इसके अवशेष क्षेत्र में आयाम n-1 होता है। उच्च स्थानीय क्षेत्र एक से अधिक आयाम वाले होते हैं, जबकि एक आयामी स्थानीय क्षेत्र पारंपरिक स्थानीय क्षेत्र होते हैं। हम एक परिमित-आयामी उच्च स्थानीय क्षेत्र के अवशेष क्षेत्र को 'पहला' अवशेष क्षेत्र कहते हैं, इसका अवशेष क्षेत्र फिर दूसरा अवशेष क्षेत्र होता है, और पैटर्न तब तक जारी रहता है जब तक कि हम एक सीमित क्षेत्र तक नहीं पहुंच जाते। उदाहरण द्वि-आयामी स्थानीय क्षेत्रों को निम्नलिखित वर्गों में विभाजित किया गया हैः सकारात्मक विशेषता वाले क्षेत्र, वे एक-आयामी स्थानीय क्षेत्र पर चर टी में औपचारिक शक्ति श्रृंखला हैं, अर्थात। एफक्यू ((यू)) ((टी))। विशेषता शून्य के समरूपता क्षेत्र, वे विशेषता शून्य के एक आयामी स्थानीय क्षेत्र F पर औपचारिक शक्ति श्रृंखला F ((t)) हैं। मिश्रित-विशेषता वाले क्षेत्र, वे प्रकार F {{t}} के क्षेत्रों के परिमित विस्तार हैं, F विशेषता शून्य का एक आयामी स्थानीय क्षेत्र है। इस क्षेत्र को औपचारिक शक्ति श्रृंखला के समूह के रूप में परिभाषित किया गया है, दोनों दिशाओं में अनंत, F से गुणांक के साथ इस तरह कि गुणांक के मूल्यांकन का न्यूनतम एक पूर्णांक है, और इस तरह कि गुणांक का मूल्यांकन शून्य हो जाता है क्योंकि उनका सूचकांक शून्य से अनंत तक जाता है। आर्किमिडियन द्वि-आयामी स्थानीय क्षेत्र, जो वास्तविक संख्या आर या जटिल संख्या सी पर औपचारिक शक्ति श्रृंखला हैं। निर्माण उच्च स्थानीय क्षेत्र विभिन्न संदर्भों में दिखाई देते हैं। एक ज्यामितीय उदाहरण इस प्रकार है। विशेषता p के एक सीमित क्षेत्र पर एक सतह को देखते हुए, सतह पर एक वक्र और वक्र पर एक बिंदु, बिंदु पर स्थानीय वलय लें। फिर, इस रिंग को पूरा करें, इसे वक्र पर स्थानीयकृत करें और परिणामी रिंग को पूरा करें। अंत में, भागफल क्षेत्र लें। परिणाम एक परिमित क्षेत्र पर एक द्वि-आयामी स्थानीय क्षेत्र है। परिवर्तनीय बीजगणित का उपयोग करते हुए एक निर्माण भी है, जो गैर-नियमित वलय के लिए तकनीकी बन जाता है। प्रारंभिक बिंदु एक नोथेरियन, नियमित, एन-आयामी वलय है और अभाज्य आदर्शों का एक पूर्ण ध्वज है जैसे कि उनकी संबंधित भागफल वलय नियमित है। पूर्णता और स्थानीयकरण की एक श्रृंखला ऊपर के रूप में तब तक होती है जब तक कि एक एन-आयामी स्थानीय क्षेत्र तक नहीं पहुंच जाता। उच्च स्थानीय क्षेत्रों पर स्थलविज्ञान एक-आयामी स्थानीय क्षेत्रों पर आमतौर पर मूल्यांकन स्थलविज्ञान में विचार किया जाता है, जिसमें स्वतंत्र मूल्यांकन का उपयोग खुले समुच्चय को परिभाषित करने के लिए किया जाता है। यह उच्च आयामी स्थानीय क्षेत्रों के लिए पर्याप्त नहीं होगा, क्योंकि अवशेष स्तर पर भी टोपोलॉजी को ध्यान में रखने की आवश्यकता है। उच्च स्थानीय क्षेत्रों को उपयुक्त स्थलविज्ञान (विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं) से संपन्न किया जा सकता है जो इस मुद्दे को संबोधित करते हैं। इस तरह के टोपोलॉजी रैंक एन के असतत मूल्यांकन से जुड़े टोपोलॉजी नहीं हैं, अगर एन> 1 है। आयाम दो और उससे अधिक में क्षेत्र का योगात्मक समूह एक टोपोलॉजिकल समूह बन जाता है जो स्थानीय रूप से सघन नहीं होता है और टोपोलॉजी का आधार गणना योग्य नहीं होता है। सबसे आश्चर्यजनक बात यह है कि गुणन निरंतर नहीं है; हालाँकि, यह क्रमिक रूप से निरंतर है, जो सभी उचित अंकगणितीय उद्देश्यों के लिए पर्याप्त है। अधिक औपचारिक लोगों द्वारा स्थलाकृतिक विचारों को बदलने के लिए पुनरावृत्त इंड-प्रो दृष्टिकोण भी हैं। उच्च स्थानीय क्षेत्रों पर माप, एकीकरण और हार्मोनिक विश्लेषण द्वि-आयामी स्थानीय क्षेत्रों पर कोई अनुवाद अपरिवर्तनीय माप नहीं है। इसके बजाय, क्षेत्र पर द्वि-आयामी असतत मूल्यांकन के संबंध में बंद गेंदों द्वारा उत्पन्न सेटों के वलय पर परिभाषित एक परिमित रूप से योगात्मक अनुवाद अपरिवर्तनीय माप है, और वास्तविक पर औपचारिक शक्ति श्रृंखला आर ((एक्स)) में मान लेते हैं। यह माप एक निश्चित परिष्कृत अर्थ में गणना योग्य योगात्मक भी है। इसे उच्च स्थानीय क्षेत्रों में उच्च हार माप के रूप में देखा जा सकता है। प्रत्येक उच्च स्थानीय क्षेत्र का योगात्मक समूह गैर-प्रामाणिक रूप से स्व-द्वैत होता है, और कोई भी कार्य के उपयुक्त स्थानों पर एक उच्च फूरियर परिवर्तन को परिभाषित कर सकता है। इससे उच्च हार्मोनिक विश्लेषण होता है। उच्च स्थानीय वर्ग क्षेत्र सिद्धांत आयाम एक में स्थानीय वर्ग क्षेत्र सिद्धांत के उच्च आयामों में अनुरूप हैं। गुणक समूह के लिए उपयुक्त प्रतिस्थापन n वां मिलनर के-समूह बन जाता है, जहां n क्षेत्र का आयाम है, जो तब क्षेत्र पर अधिकतम अबेलियन विस्तार के गैलोइस समूह के लिए एक पारस्परिकता मानचित्र के क्षेत्र के रूप में दिखाई देता है। प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक द्वारा विभाज्य तत्वों के उपसमूह द्वारा nवें मिलनर के-समूह के भागफल के साथ काम करना और भी बेहतर है। फेसेनको प्रमेय के कारण, इस भागफल को उपयुक्त उच्च आयामी स्थलविज्ञान से संपन्न के-समूह के अधिकतम अलग किए गए स्थलवैज्ञानिक भागफल के रूप में भी देखा जा सकता है। उच्च स्थानीय क्षेत्र के अधिकतम अबेलियन विस्तार के गैलोइस समूह के लिए nवें मिलनर के-समूह के इस भागफल से उच्च स्थानीय पारस्परिकता समरूपता में एक आयामी स्थानीय वर्ग क्षेत्र सिद्धांत के समान कई विशेषताएं हैं। उच्च स्थानीय वर्ग क्षेत्र सिद्धांत अवशेष क्षेत्र स्तर पर वर्ग क्षेत्र सिद्धांत के साथ संगत है, जिसमें क्षेत्र और अवशेष क्षेत्र के स्तर पर पारस्परिकता मानचित्र को शामिल करते हुए एक परिवर्तनीय आरेख बनाने के लिए मिलनर के-सिद्धांत के सीमा मानचित्र का उपयोग किया गया है। सामान्य उच्च स्थानीय वर्ग क्षेत्र सिद्धांत काजुया काटो और इवान फेसेनको द्वारा विकसित किया गया था। सकारात्मक विशेषता में उच्च स्थानीय वर्ग क्षेत्र सिद्धांत अलेक्सी पारशिन द्वारा प्रस्तावित किया गया था। टिप्पणियाँ संदर्भ क्षेत्र (गणित) बीजगणितीय संख्या सिद्धांत सामंजस्यपूर्ण विश्लेषण