Quantum pendulum
क्वांटम पेंडुलम रसायन विज्ञान में बाधित आंतरिक घूर्णन, प्रकीर्णन परमाणुओं की क्वांटम विशेषताओं के साथ-साथ कई अन्य क्वांटम घटनाओं को समझने में मौलिक है। यद्यपि लघु-कोण सन्निकटन के अधीन नहीं होने वाले पेंडुलम में एक अंतर्निहित अरैखिकता होती है, लेकिन मात्रात्मक प्रणाली के लिए श्रोडिंगर समीकरण को अपेक्षाकृत आसानी से हल किया जा सकता है। श्रोडिंगर समीकरण शास्त्रीय यांत्रिकी से लैग्रैन्जियन यांत्रिकी का उपयोग करके, कोई भी प्रणाली के लिए हैमिल्टनियन विकसित कर सकता है। एक साधारण पेंडुलम में एक सामान्यीकृत निर्देशांक (कोणीय विस्थापन) और दो बाधाएं (तार की लंबाई और गति का तल) होती हैं। प्रणाली की गतिज और स्थितिज ऊर्जाएँ पाई जा सकती हैं यह हैमिल्टनियन में परिणाम प्रणाली के लिए समय-निर्भर श्रोडिंगर समीकरण है ऊर्जा स्तरों और संबंधित आइगेनस्टेट को खोजने के लिए समय-स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण को हल करना चाहिए। यह सबसे अच्छा स्वतंत्र चर को निम्नानुसार बदलकर पूरा किया जाता हैः यह केवल मैथ्यू का अवकल समीकरण है जिसका समाधान मैथ्यू फलन हैं। समाधान ऊर्जाएँ, कई विशेष मूल्यों के लिए, जिन्हें विशेषता मूल्य कहा जाता है, मैथ्यू समीकरण उन समाधानों को स्वीकार करता है जो अवधि के साथ आवधिक होते हैं। मैथ्यू कोसाइन, साइन फलन के विशिष्ट मान क्रमशः लिखे जाते हैं, जहाँ एक प्राकृतिक संख्या होती है। मैथ्यू कोसाइन और साइन कार्यों के आवधिक विशेष मामलों को अक्सर क्रमशः लिखा जाता है, हालांकि उन्हें पारंपरिक रूप से एक अलग सामान्यीकरण दिया जाता है (अर्थात्, कि उनका मानक बराबर है)। क्वांटम पेंडुलम में सीमा स्थितियों का अर्थ है कि दिए गए के लिए निम्नानुसार हैंः प्रणाली की ऊर्जा, क्रमशः सम/विषम समाधानों के लिए, मैथ्यू समीकरण को हल करके पाए जाने वाले विशिष्ट मूल्यों के आधार पर निर्धारित की जाती है। प्रभावी स्थितिज गहराई को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है कि एक गहरी स्थितिज क्षमता एक स्वतंत्र स्थितिज क्षमता में एक कण की गतिशीलता प्रदान करती है। इसके विपरीत, एक उथली क्षमता में, ब्लॉच तरंगों के साथ-साथ क्वांटम टनलिंग भी महत्वपूर्ण हो जाती है। a और q के दिए गए मान के लिए उपरोक्त अवकल समीकरण का सामान्य समाधान रैखिक रूप से स्वतंत्र मैथ्यू कोसाइन और मैथ्यू साइन का एक समूह है, जो क्रमशः सम और विषम समाधान हैं। सामान्य तौर पर, मैथ्यू फलन अपेरियोडिक होते हैं; हालाँकि, के विशिष्ट मूल्यों के लिए, मैथ्यू कोसाइन और साइन की अवधि के साथ आवधिक हो जाते हैं। आइगेनस्टेट q के धनात्मक मानों के लिए, निम्नलिखित सत्य हैः यहाँ के लिए पहले कुछ आवधिक मैथ्यू कोसाइन फलन हैं। ध्यान दें कि, उदाहरण के लिए, (हरा) एक कोसाइन फ़ंक्शन जैसा दिखता है, लेकिन चपटी पहाड़ियों और उथली घाटियों के साथ। क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर ग्रंथ सूची मुहम्मद अयूब, एटम ऑप्टिक्स क्वांटम पेंडुलम, 2011, इस्लामाबाद, पाकिस्तान, https://arxiv.org/abs/1012.6011 क्वांटम मॉडल पेंडुलम भी देखें।