Metaplectic structure
विभेदक ज्यामिति में, एक मेटाप्लेक्टिक संरचना उन्मुख रीमानियन मैनिफोल्ड पर स्पिन संरचना का सिंप्लेक्टिक एनालॉग है। एक सिंप्लेक्टिक मैनिफोल्ड पर एक मेटाप्लेक्टिक संरचना किसी को सिंप्लेक्टिक स्पिनोर बंडल को परिभाषित करने की अनुमति देती है, जो कि मेटाप्लेक्टिक प्रतिनिधित्व के माध्यम से मेटाप्लेक्टिक संरचना से जुड़ा हिल्बर्ट स्पेस बंडल है, जो अंतर ज्यामिति में एक सिंप्लेक्टिक स्पिनोर क्षेत्र की धारणा को जन्म देता है। सिंप्लेक्टिक स्पिन संरचनाओं के गणितीय भौतिकी के लिए व्यापक अनुप्रयोग हैं, विशेष रूप से क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के लिए जहां वे इस विचार को स्थापित करने में एक आवश्यक घटक हैं कि सिंप्लेक्टिक स्पिन ज्यामिति और सिंप्लेक्टिक डीराक ऑपरेटर सिंप्लेक्टिक ज्यामिति और सिंप्लेक्टिक टोपोलॉजी में मूल्यवान उपकरण दे सकते हैं। वे विशुद्ध रूप से विभेदक ज्यामिति, बीजगणितीय टोपोलॉजी और के सिद्धांत में गणितीय रुचि रखते हैं। वे सिंप्लेक्टिक स्पिन ज्यामिति की नींव बनाते हैं। औपचारिक परिभाषा एक सिमप्लेक्टिक मैनिफोल्ड पर एक मेटाप्लेक्टिक संरचना दोहरे आवरण के संबंध में सिमप्लेक्टिक फ्रेम बंडल का एक समरूप लिफ्ट है दूसरे शब्दों में, एक जोड़ी मुख्य बंडल पर एक मेटाप्लेक्टिक संरचना है जब ए) एक प्रमुख-बंडल है, बी) एक समरूप-गुना आवरण मानचित्र है और सभी के लिए और मुख्य बंडल को मेटाप्लेक्टिक फ्रेम का बंडल भी कहा जाता है। दो मेटाप्लेक्टिक संरचनाओं और एक ही सिंप्लेक्टिक मैनिफोल्ड को समतुल्य कहा जाता है यदि एक-समरूप मानचित्र मौजूद है और सभी के लिए और निश्चित रूप से, इस मामले में और दिए गए सिंप्लेक्टिक मैनिफोल्ड के सिंप्लेक्टिक फ्रेम-बंडल के दो समतुल्य दोहरे आवरण हैं। बाधा चूंकि प्रत्येक सिमप्लेक्टिक मैनिफोल्ड आवश्यक रूप से सम आयाम और उन्मुख होता है, इसलिए यह साबित किया जा सकता है कि मेटाप्लेक्टिक संरचनाओं के अस्तित्व के लिए टोपोलॉजिकल बाधा ठीक उसी तरह है जैसे रीमानियन स्पिन ज्यामिति में है। दूसरे शब्दों में, एक सिंप्लेक्टिक मैनिफोल्ड एक मेटाप्लेक्टिक संरचनाओं को तभी स्वीकार करता है जब दूसरा स्टीफेल-व्हिटनी वर्ग गायब हो जाता है। वास्तव में, पहले चेरन वर्ग का मॉडुलो रिडक्शन दूसरा स्टीफेल-व्हिटनी वर्ग है। इसलिए, मेटाप्लेक्टिक संरचनाओं को स्वीकार करता है यदि और केवल यदि सम है, यानी यदि और केवल यदि शून्य है। यदि ऐसा है, तो मेटाप्लेक्टिक संरचनाओं के समरूपता वर्गों को-गुणांक के साथ पहले समरूपता समूह द्वारा वर्गीकृत किया जाता है। जैसा कि मैनिफोल्ड को उन्मुख माना जाता है, पहला स्टीफेल-व्हिटनी वर्ग भी गायब हो जाता है। उदाहरण एक मेटाप्लेक्टिक संरचना को स्वीकार करते हुए मैनिफोल्ड करता है चरण किसी भी उन्मुख मैनिफोल्ड को स्थान देता है। जटिल प्रोजेक्टिव स्पेस चूंकि बस जुड़े हुए हैं, इसलिए ऐसी संरचना अद्वितीय होनी चाहिए। ग्रासमैनियन आदि। मेटाप्लेक्टिक ग्रुप सिम्प्लेक्टिक फ्रेम बंडल सिम्प्लेक्टिक ग्रुप सिम्प्लेक्टिक स्पिनोर बंडल नोट्स संदर्भ सिम्प्लेक्टिक ज्यामिति मैनिफोल्ड्स पर संरचनाएं बीजगणितीय टोपोलॉजी भी देखें।