Law of cotangents
त्रिकोणमिति में, कोटेनजेंट का नियम एक त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई और तीन कोणों के हिस्सों के कोटेनजेंट के बीच का संबंध है। जिस तरह तीन मात्राएँ जिनकी समानता साइन के नियम द्वारा व्यक्त की जाती है, वे त्रिभुज के परिवेष्टित वृत्त के व्यास के बराबर होती हैं (या इसके पारस्परिक के लिए, यह इस बात पर निर्भर करता है कि नियम कैसे व्यक्त किया जाता है), उसी तरह कोटैंजेंट्स का नियम भी त्रिभुज (त्रिज्या) के उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या को इसकी भुजाओं और कोणों से संबंधित करता है। कथन एक त्रिभुज के लिए सामान्य संकेतनों का उपयोग करते हुए (ऊपरी दाएँ की आकृति देखें), जहां, तीन भुजाओं की लंबाई हैं,, उन तीन संबंधित भुजाओं के विपरीत शीर्ष हैं,, उन शीर्षों पर संबंधित कोण हैं, अर्ध-परिधि है, जो उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या है, कोटेनजेंट का नियम बताता है कि और इसके अलावा त्रिज्या प्रमाण द्वारा दी गई है ऊपरी आकृति में, त्रिभुज की भुजाओं के साथ अंतःवृत्त की स्पर्शता के बिंदु परिधि को 6 खंडों में, 3 जोड़े में तोड़ते हैं। प्रत्येक जोड़ी में खंड समान लंबाई के होते हैं। उदाहरण के लिए, शीर्ष से सटे 2 खंड बराबर हैं। यदि हम प्रत्येक जोड़ी से एक खंड चुनते हैं, तो उनका योग अर्ध-परिधि होगा। इसका एक उदाहरण चित्र में रंग में दिखाए गए खंड हैं। लाल रेखा को बनाने वाले दो खंड जोड़ते हैं, इसलिए नीले खंड की लंबाई होनी चाहिए। जाहिर है, अन्य पांच खंडों की लंबाई भी होनी चाहिए, या, जैसा कि निचले चित्र में दिखाया गया है। आकृति के निरीक्षण द्वारा, कोटेनजेंट फ़ंक्शन की परिभाषा का उपयोग करते हुए, हमारे पास और इसी तरह अन्य दो कोणों के लिए, पहला दावा साबित करते हैं। दूसरे के लिए-त्रिज्या सूत्र-हम सामान्य जोड़ सूत्र से शुरू करते हैंः इसे लागू करते हुए, हम प्राप्त करते हैंः (यह भी ट्रिपल कोटैंजेंट पहचान है) पहले भाग में प्राप्त मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हुए, हम प्राप्त करते हैंः के माध्यम से गुणा करने से मूल्य मिलता है, दूसरे दावे को साबित करता है। कोटेनजेंट के नियम का उपयोग करते हुए कुछ प्रमाण कई अन्य परिणाम कोटेनजेंट के नियम से प्राप्त किए जा सकते हैं। हेरॉन का सूत्र। ध्यान दें कि त्रिभुज के क्षेत्र को भी 6 छोटे त्रिकोणों में विभाजित किया गया है, जो 3 जोड़े में भी हैं, जिसमें प्रत्येक जोड़े में त्रिकोण का क्षेत्रफल समान है। उदाहरण के लिए, शीर्ष के पास दो त्रिभुज, चौड़ाई और ऊंचाई के समकोण त्रिभुज होने के कारण, प्रत्येक का क्षेत्रफल है। तो उन दो त्रिकोणों का एक साथ क्षेत्रफल है, और इसलिए पूरे त्रिभुज का क्षेत्रफल है यह आवश्यकतानुसार परिणाम देता है। मोलवाइड का पहला सूत्र। जोड़ सूत्र और कोटैंजेंट्स के नियम से हमारे पास यह आवश्यकतानुसार परिणाम देता है। मोलवाइड का दूसरा सूत्र। यहाँ, योग/उत्पाद सूत्र के अनुसार, किसी उत्पाद को योग में बदलने के लिए एक अतिरिक्त चरण की आवश्यकता होती है। इससे आवश्यकतानुसार परिणाम मिलता है। स्पर्शरेखाओं का नियम भी इससे प्राप्त किया जा सकता है। अन्य पहचान जिन्हें "कोटेनजेंट का नियम" कहा जाता है, कोटेनजेंट का नियम साइन, कोसाइन या स्पर्शरेखा के नियमों के रूप में सामान्य या अच्छी तरह से स्थापित नहीं है, इसलिए यही नाम कभी-कभी कोटेनजेंट से जुड़ी अन्य त्रिभुज पहचानों पर भी लागू किया जाता है। उदाहरण के लिएः दो कोणों के कोटैंजेंट्स का योग तीसरे शीर्ष के माध्यम से उनके बीच की भुजा और ऊंचाई के अनुपात के बराबर होता हैः कोसाइन के नियम को कोसाइन के बजाय कोटैंजेंट्स के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है, जो त्रिभुज के क्षेत्र को पहचान में लाता हैः क्योंकि एक त्रिभुज के तीन कोण अपने कोटैंजेंट्स के युग्म उत्पाद के योग के लिए एक हैंः कोसाइन के नियम का नियम भी देखें।