Belinfante–Rosenfeld stress–energy tensor
गणितीय भौतिकी में, बेलिनफैंट-रोसेनफेल्ड टेंसर ऊर्जा-गति टेंसर का एक संशोधन है जो कैनॉनिकल ऊर्जा-गति टेंसर और स्पिन करंट से बनाया गया है ताकि सममित हो लेकिन अभी भी संरक्षित हो। एक शास्त्रीय या क्वांटम स्थानीय क्षेत्र सिद्धांत में, लोरेंट्ज़ परिवर्तनों के जनरेटर को एक स्थानीय धारा के अभिन्न अंग के रूप में लिखा जा सकता है। कोणीय संवेग के स्थानीय संरक्षण के लिए आवश्यक है कि इस प्रकार स्पिन-धारा का एक स्रोत एक गैर-सममित कैनॉनिकल ऊर्जा-गति टेंसर का तात्पर्य है। बेलिनफैंट-रोसेनफेल्ड टेंसर ऊर्जा संवेग टेंसर का एक संशोधन है जो कैनॉनिकल ऊर्जा संवेग टेंसर और स्पिन करंट से बनाया गया है ताकि सममित हो लेकिन अभी भी संरक्षित हो। भागों द्वारा एक एकीकरण से पता चलता है कि और इसलिए बेलिनफैंट टेंसर की एक भौतिक व्याख्या यह है कि इसमें आंतरिक कोणीय संवेग के प्रवणता से जुड़े "बाध्य संवेग" शामिल हैं। दूसरे शब्दों में, जोड़ा गया शब्द चुंबकत्व घनत्व से जुड़े "बाध्य धारा" का एक अनुरूप है। सममित बनाने के लिए आवश्यक स्पिन-वर्तमान घटकों का जिज्ञासु संयोजन और फिर भी संरक्षित पूरी तरह से तदर्थ लगता है, लेकिन यह रोसेनफेल्ड और बेलिनफेंट दोनों द्वारा दिखाया गया था कि संशोधित टेंसर सटीक रूप से सममित हिल्बर्ट ऊर्जा-गति टेंसर है जो सामान्य सापेक्षता में गुरुत्वाकर्षण के स्रोत के रूप में कार्य करता है। जिस तरह यह बाध्य और मुक्त धाराओं का योग है जो चुंबकीय क्षेत्र के स्रोत के रूप में कार्य करता है, उसी तरह यह बद्ध और मुक्त ऊर्जा-गति का योग है जो गुरुत्वाकर्षण के स्रोत के रूप में कार्य करता है। बेलिनफैंट-रोसेनफेल्ड और हिल्बर्ट ऊर्जा-संवेग टेंसर हिल्बर्ट ऊर्जा-संवेग टेंसर को मीट्रिक के संबंध में कार्यात्मक क्रिया की भिन्नता के रूप में या समकक्ष रूप से परिभाषित किया जाता है (दूसरे समीकरण में माइनस संकेत उत्पन्न होता है क्योंकि) हम प्राप्त करने के लिए एक मिन्कोव्स्की-ऑर्थोनॉर्मल वायर्बिन को बदलकर एक ऊर्जा-संवेग टेंसर को भी परिभाषित कर सकते हैं। वाइरबीन भिन्नता के साथ सममित होने का कोई तत्काल स्पष्ट कारण नहीं है। हालांकि, एक असीम स्थानीय लॉरेंट्ज़ परिवर्तन के तहत क्रिया कार्यात्मक अपरिवर्तनीय होना चाहिए, और इसलिए शून्य होना चाहिए। जैसा कि एक मनमाना स्थिति-निर्भर तिरछा सममित मैट्रिक्स है, हम देखते हैं कि स्थानीय लॉरेंट्ज़ और घूर्णन अपरिवर्तनीयता दोनों की आवश्यकता है और इसका तात्पर्य है। एक बार जब हम जानते हैं कि यह सममित है, तो यह दिखाना आसान है, और इसलिए वाइरबीन-वैरिएशन ऊर्जा-गति टेंसर मीट्रिक-वैरिएशन हिल्बर्ट टेंसर के बराबर है। अब हम नोइथर कैनोनिकल ऊर्जा संवेग टेंसर के बेलिनफैंट-रोसेनफेल्ड संशोधन की उत्पत्ति को समझ सकते हैं। कार्रवाई करें कि स्पिन कनेक्शन कहाँ है जो मीट्रिक संगत और मरोड़ मुक्त होने की स्थिति के माध्यम से निर्धारित किया जाता है। स्पिन धारा को तब ऊर्ध्वाधर पट्टी के परिवर्तन द्वारा परिभाषित किया जाता है जो दर्शाता है कि परिवर्तन के दौरान स्थिर रखे जाते हैं। "कैनॉनिकल" नोइथर ऊर्जा संवेग टेंसर वह हिस्सा है जो उस भिन्नता से उत्पन्न होता है जहां हम स्पिन कनेक्शन को स्थिर रखते हैंः फिर, एक मरोड़-मुक्त और मीट्रिक-संगत कनेक्शन के लिए, हमारे पास वह है जहां हम संकेतन का उपयोग कर रहे हैं स्पिन-कनेक्शन भिन्नता का उपयोग करते हुए, और भागों द्वारा एकीकरण के बाद, हम पाते हैं। एक उदाहरण के रूप में, डीराक क्षेत्र के लिए शास्त्रीय लैग्रैन्जियन पर विचार करें यहाँ स्पिनोर सहपरिवर्तन व्युत्पन्न हैं इसलिए हमें मिलता है यदि हम गति के समीकरणों का उपयोग करते हैं, तो इसका कोई योगदान नहीं है, अर्थात। हम शेल पर हैं। अब अगर अलग हैं और अन्यथा शून्य हैं। नतीजतन, यह पूरी तरह से सममित-विरोधी है। अब, इस परिणाम का उपयोग करते हुए, और फिर से गति के समीकरणों का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं कि इस प्रकार बेलिनफैंट-रोसेनफेल्ड टेंसर बन जाता है इसलिए डीराक क्षेत्र के लिए बेलिनफैंट-रोसेनफेल्ड टेंसर को सममित कैनॉनिकल ऊर्जा-गति टेंसर के रूप में देखा जाता है। वेनबर्ग की परिभाषा स्टीवन वेनबर्ग ने बेलिनफैंट टेंसर को इस प्रकार परिभाषित किया है कि जहाँ लैग्रैन्जियन घनत्व है, सेट {ेडआई] लैग्रैन्जियन में दिखाई देने वाले क्षेत्र हैं, गैर-बेलिनफैंट ऊर्जा संवेग टेंसर को परिभाषित किया गया है और मैट्रिक्स का एक समूह है जो सजातीय लॉरेंट्ज़ समूह के बीजगणित को संतुष्ट करता है। सामान्य सापेक्षता में संदर्भ टेंसर