Free boundary problem
गणित में, एक मुक्त सीमा समस्या (एफ. बी. समस्या) एक आंशिक विभेदक समीकरण है जिसे एक अज्ञात फलन और एक अज्ञात क्षेत्र दोनों के लिए हल किया जाता है। जिस सीमा का खंड समस्या की शुरुआत में ज्ञात नहीं है, वह मुक्त सीमा है। एफ. बी. विभिन्न गणितीय मॉडलों में उत्पन्न होते हैं जो भौतिक से लेकर किफायती, वित्तीय और जैविक घटनाओं तक के अनुप्रयोगों को शामिल करते हैं, जहां माध्यम का एक अतिरिक्त प्रभाव होता है। यह प्रभाव सामान्य रूप से माध्यम का एक गुणात्मक परिवर्तन है और इसलिए एक चरण संक्रमण की उपस्थिति हैः बर्फ से पानी, तरल से क्रिस्टल, खरीद से बिक्री (संपत्ति), सक्रिय से निष्क्रिय (जीव विज्ञान), नीले से लाल (रंग के खेल), अव्यवस्थित से संगठित (आत्म-व्यवस्थित आलोचनात्मकता)। इस तरह की महत्वपूर्णता का एक दिलचस्प पहलू तथाकथित सैंडपाइल डायनामिक (या आंतरिक डी. एल. ए.) है। सबसे शास्त्रीय उदाहरण बर्फ का पिघलना हैः बर्फ के एक खंड को देखते हुए, कोई भी इसके तापमान को निर्धारित करने के लिए उपयुक्त प्रारंभिक और सीमा स्थितियों को देखते हुए गर्मी समीकरण को हल कर सकता है। लेकिन, यदि किसी भी क्षेत्र में तापमान बर्फ के पिघलने के बिंदु से अधिक है, तो इस क्षेत्र पर तरल पानी का कब्जा हो जाएगा। बर्फ/तरल इंटरफेस से बनी सीमा को पीडीई के समाधान द्वारा गतिशील रूप से नियंत्रित किया जाता है। दो-चरण स्टीफन समस्याएं बर्फ का पिघलना तापमान क्षेत्र के लिए एक स्टीफन समस्या है, जिसे निम्नानुसार तैयार किया गया है। दो चरणों वाले क्षेत्र पर कब्जा करने वाले माध्यम पर विचार करें, चरण 1 जो कब मौजूद है और चरण 2 जो कब मौजूद है। मान लीजिए कि दोनों चरणों में तापीय विसरण हैं और। उदाहरण के लिए, पानी की तापीय विसरणता 1.4x10−7 m2/s है, जबकि बर्फ की विसरणता 1.335 ×10−6 m2/s है। केवल एक चरण वाले क्षेत्रों में, तापमान गर्मी समीकरण द्वारा निर्धारित किया जाता हैः क्षेत्र में, जबकि क्षेत्र में, यह (ज्ञात) सीमा पर उपयुक्त स्थितियों के अधीन है; गर्मी के स्रोतों या डूब का प्रतिनिधित्व करता है। मान लीजिए कि वह सतह जहाँ समय पर; यह सतह दो चरणों के बीच का इंटरफेस है। आइए इकाई को बाहर की ओर सामान्य सदिश को दूसरे (ठोस) चरण में निरूपित करें। स्टीफन स्थिति उस दिशा में मुक्त सतह के वेग को नियंत्रित करने वाला एक समीकरण देकर सतह के विकास को निर्धारित करती है, विशेष रूप से जहां पिघलने की अव्यक्त गर्मी है। हम क्षेत्र से दृष्टिकोण के रूप में ढाल की सीमा का मतलब है, और हम क्षेत्र से दृष्टिकोण के रूप में ढाल की सीमा का मतलब है। इस समस्या में, हम पूरे क्षेत्र को पहले से जानते हैं लेकिन हम केवल उस समय बर्फ-तरल इंटरफेस को जानते हैं। स्टीफन समस्या को हल करने के लिए हमें न केवल प्रत्येक क्षेत्र में ऊष्मा समीकरण को हल करना होगा, बल्कि हमें मुक्त सीमा को भी ट्रैक करना होगा। एक-चरण स्टीफन समस्या या तो लेने या शून्य होने से मेल खाती है; यह दो-चरण समस्या का एक विशेष मामला है। अधिक जटिलता की दिशा में हम चरणों की एक मनमाना संख्या के साथ समस्याओं पर भी विचार कर सकते हैं। बाधा समस्याएं एक अन्य प्रसिद्ध मुक्त-सीमा समस्या बाधा समस्या है, जो शास्त्रीय पॉइसन समीकरण के साथ निकट संबंध रखती है। विभेदक समीकरण के समाधान एक परिवर्तनशील सिद्धांत को संतुष्ट करते हैं, अर्थात वे सीमा पर मूल्य लेने वाले सभी कार्यों पर कार्यात्मकता को कम करते हैं। बाधा समस्या में, हम एक अतिरिक्त बाधा लगाते हैंः हम किसी दिए गए कार्य के लिए कार्यात्मक विषय को कम करते हैं। संयोग सेट सी को उस क्षेत्र के रूप में परिभाषित करें जहाँ। इसके अलावा, गैर-संयोग सेट को उस क्षेत्र के रूप में परिभाषित करें जहां बराबर नहीं है, और दोनों के बीच इंटरफेस के रूप में मुक्त सीमा। फिर की सीमा पर मुक्त सीमा समस्या को संतुष्ट करता है, और ध्यान दें कि सभी कार्यों का सेट जैसे कि उत्तल है। जहाँ पॉइसन समस्या कार्यों के एक रैखिक उपक्षेत्र पर एक द्विघात कार्यात्मक के न्यूनतमकरण से मेल खाती है, मुक्त सीमा समस्या एक उत्तल समूह पर न्यूनतमकरण से मेल खाती है। परिवर्तनशील असमानताओं के साथ संबंध कई मुक्त सीमा समस्याओं को लाभप्रद रूप से विश्लेषण के लिए परिवर्तनशील असमानताओं के रूप में देखा जा सकता है। इस बिंदु को स्पष्ट करने के लिए, हम पहले एक उत्तल समुच्चय पर वास्तविक चर के फलन के लघुकरण की ओर मुड़ते हैं; लघुकरण की विशेषता इस स्थिति से होती है कि यदि यह इसके आंतरिक भाग में है, तो इसका प्रवणता शून्य होना चाहिए; यदि यह सीमा पर है, तो इसका प्रवणता सीमा के लंबवत होना चाहिए। यही विचार हिल्बर्ट स्पेस के उत्तल उपसमुच्चय पर एक अवकलनीय कार्यात्मक के न्यूनतमकरण पर लागू होता है, जहाँ ढाल को अब एक परिवर्तनशील व्युत्पन्न के रूप में व्याख्या की जाती है। इस विचार को ठोस बनाने के लिए, हम इसे बाधा समस्या पर लागू करते हैं, जिसे इस रूप में लिखा जा सकता है यह सूत्रीकरण एक कमजोर समाधान की परिभाषा की अनुमति देता हैः अंतिम समीकरण पर भागों द्वारा एकीकरण का उपयोग करने से यह मिलता है कि इस परिभाषा के लिए केवल एक व्युत्पन्न की आवश्यकता होती है, ठीक उसी तरह जैसे अण्डाकार सीमा मूल्य समस्याओं के कमजोर सूत्रीकरण के लिए। मुक्त सीमाओं की नियमितता अण्डाकार आंशिक विभेदक समीकरणों के सिद्धांत में, कुछ कार्यात्मक विश्लेषण तर्कों का उपयोग करके उचित आसानी के साथ एक विभेदक समीकरण के कमजोर समाधान के अस्तित्व को प्रदर्शित किया जाता है। हालाँकि, प्रदर्शित कमजोर समाधान किसी की इच्छा से कम व्युत्पन्न वाले कार्यों के स्थान में निहित है; उदाहरण के लिए, पॉइसन समस्या के लिए, हम आसानी से दावा कर सकते हैं कि एक कमजोर समाधान है जो अंदर है, लेकिन इसमें दूसरे व्युत्पन्न नहीं हो सकते हैं। इसके बाद कुछ कलन अनुमानों को लागू किया जाता है ताकि यह प्रदर्शित किया जा सके कि कमजोर समाधान वास्तव में पर्याप्त रूप से नियमित है। मुक्त सीमा समस्याओं के लिए, यह कार्य दो कारणों से अधिक दुर्जेय है। एक के लिए, समाधान अक्सर मुक्त सीमा के पार असंतत व्युत्पन्न प्रदर्शित करते हैं, जबकि वे इससे दूर किसी भी पड़ोस में विश्लेषणात्मक हो सकते हैं। दूसरा, किसी को भी मुक्त सीमा की नियमितता का प्रदर्शन करना चाहिए। उदाहरण के लिए, स्टीफन समस्या के लिए, मुक्त सीमा एक सतह है। विशुद्ध रूप से अकादमिक दृष्टिकोण से मुक्त सीमाएँ समस्याओं के एक बड़े वर्ग से संबंधित हैं जिन्हें आमतौर पर अतिनिर्धारित समस्याओं के रूप में संदर्भित किया जाता है, या जैसा कि डेविड किंडरलेहरर और गुइडो स्टैम्पाचिया ने अपनी पुस्तकः द प्रॉब्लम ऑफ मैचिंग कॉची डेटा में संबोधित किया है। अन्य संबंधित एफ. बी. पी. जिनका उल्लेख किया जा सकता है, वे हैं पॉम्पेयू समस्या, शिफ़र के अनुमान। नीचे दिए गए बाहरी लिंक देखें। समान समस्याओं को मॉडल करने के लिए उपयोग किया जाने वाला एक अन्य दृष्टिकोण चरण-क्षेत्र मॉडल है। संदर्भ पीडीई में मिलान समस्या, पोम्पेयू समस्या, शिफर का अनुमान, आंशिक विभेदक समीकरण सीमा मूल्य समस्याएं