Iwahori subgroup
बीजगणित में, एक इवाहोरी उपसमूह एक गैर-अभिलेखीय स्थानीय क्षेत्र पर एक अपवर्तक बीजगणितीय समूह का एक उपसमूह है जो एक बीजगणितीय समूह के बोरेल उपसमूह के अनुरूप है। एक पाराहोरिक उपसमूह एक उचित उपसमूह है जो एक इवाहोरी उपसमूह के दोहरे कोसेट का एक सीमित संघ है, इसलिए एक बीजगणितीय समूह के एक परवलयिक उपसमूह के अनुरूप है। इवाहोरी उपसमूहों का नाम नागायोशी इवाहोरी के नाम पर रखा गया है, और "पैराहोरिक" "परवलयिक" और "इवाहोरी" का एक संयोजन है। पी-एडिक क्षेत्रों में चेवली समूहों के लिए इवाहोरी उपसमूहों का अध्ययन किया, और अपने काम को अधिक सामान्य समूहों तक बढ़ाया। मोटे तौर पर, पूर्णांक O और अवशिष्ट क्षेत्र k के साथ एक स्थानीय क्षेत्र K के लिए एक बीजगणितीय समूह G (K) का एक इवाहोरी उपसमूह, G (k) के बोरेल उपसमूह के G (O) में व्युत्क्रम छवि है। एक स्थानीय क्षेत्र पर एक अपवर्तक समूह में एक टिट्स प्रणाली (बी, एन) होती है, जहां बी एक पाराहोरिक समूह है, और टिट्स प्रणाली का वेल समूह एक एफ़ाइन कॉक्सेटर समूह है। परिभाषा अधिक सटीक रूप से, इवाहोरी और पाराहोरिक उपसमूहों को एफ़ाइन टिट्स इमारतों के सिद्धांत का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है। जी की (कम) इमारत बी (जी) एक अपघटन को पहलुओं में स्वीकार करती है। जब जी अर्ध-सरल होता है तो पहलू सरल होते हैं और पहलू अपघटन बी (जी) को एक सरल परिसर की संरचना देता है; सामान्य रूप से, पहलू बहु-सरल होते हैं, यानी सरलता के उत्पाद। अधिकतम आयाम के पहलुओं को इमारत के अलकोव कहा जाता है। जब जी अर्ध-सरल और सरलता से जुड़ा होता है, तो पैराहोरिक उपसमूह परिभाषा के अनुसार जी में एक पहलू के स्थिरीकारक होते हैं, और इवाहोरी उपसमूह परिभाषा के अनुसार एक अलकोव के स्थिरीकारक होते हैं। यदि जी इन परिकल्पनाओं को संतुष्ट नहीं करता है तो समान परिभाषाएँ बनाई जा सकती हैं, लेकिन तकनीकी जटिलताओं के साथ। जब जी अर्ध-सरल होता है लेकिन जरूरी नहीं कि केवल जुड़ा हुआ हो, तो एक पहलू का स्टेबलाइज़र बहुत बड़ा होता है और एक पैराहोरिक को स्टेबलाइज़र के एक निश्चित परिमित सूचकांक उपसमूह के रूप में परिभाषित करता है। स्टेबलाइज़र को ओ-समूह की विहित संरचना के साथ संपन्न किया जा सकता है, और परिमित सूचकांक उपसमूह, यानी पैराहोरिक, परिभाषा के अनुसार इस ओ-समूह के बीजगणितीय जुड़े घटक के ओ-बिंदु हैं। यहाँ टोपोलॉजिकल जुड़े हुए घटक के बजाय बीजगणितीय जुड़े हुए घटक के साथ काम करना महत्वपूर्ण है क्योंकि एक गैर-आर्चीमीडियन स्थानीय क्षेत्र पूरी तरह से डिस्कनेक्ट हो गया है। जब जी एक मनमाना अपवर्तक समूह होता है, तो कोई पिछले निर्माण का उपयोग करता है, लेकिन इसके बजाय जी के उपसमूह में स्टेबलाइज़र लेता है जिसमें ऐसे तत्व होते हैं जिनकी छवि जी के किसी भी चरित्र के तहत अभिन्न होती है। उदाहरण जी. एल. एन. (के) के अधिकतम पाराहोरिक उपसमूह के. एन. में ओ-जाली के स्थिरीकारक हैं। विशेष रूप से, जी. एल. एन. (ओ) एक अधिकतम पाराहोरिक है। जी. एल. एन. (के) का प्रत्येक अधिकतम पाराहोरिक जी. एल. एन. (ओ) से संयुग्मित होता है। इवाहोरी उपसमूहों को जी. एल. एन. (ओ) में मैट्रिक्स के उपसमूह I से संयुग्मित किया जाता है जो जी. एल. एन. (के) में एक ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स तक कम हो जाता है जहां के ओ का अवशिष्ट क्षेत्र है; पाराहोरिक उपसमूह आई और जी. एल. एन. (ओ) के बीच के सभी समूह हैं, जो ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स वाले जी. एल. एन. (के) के एक-से-एक से परवलयिक उपसमूहों का मानचित्रण करते हैं। इसी तरह, एस. एल. एन. (के) के अधिकतम पाराहोरिक उपसमूह के. एन. में ओ-जाली के स्थिरीकारक हैं, और एस. एल. एन. (ओ) एक अधिकतम पाराहोरिक है। हालाँकि, जी. एल. एन. (के) के विपरीत, एस. एल. एन. (के) में अधिकतम पैराहोरिक्स के संयुग्म वर्ग हैं। जब जी परिवर्तनीय होता है, तो इसमें एक अद्वितीय अधिकतम सघन उपसमूह और एक अद्वितीय इवाहोरी उपसमूह होता है, जो पूर्व में निहित होता है। ये समूह हमेशा सहमत नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि L, श्रेणीकरण डिग्री e के K का एक परिमित पृथक्कृत विस्तार है। टोरस L ×/K × सघन है। हालांकि, इसका इवाहोरी उपसमूह OL ×/OK × है, जो सूचकांक ई का एक उपसमूह है जिसका कोकर्नल एल. के एक एकरूपक द्वारा उत्पन्न होता है।