Coxeter notation
ज्यामिति में, कॉक्सेटर संकेतन (कॉक्सेटर प्रतीक भी) समरूपता समूहों को वर्गीकृत करने की एक प्रणाली है, जो कॉक्सेटर-डाइन्किन आरेख की संरचना को व्यक्त करने वाले कोष्ठक वाले संकेतन में एक कॉक्सेटर समूह के मौलिक प्रतिबिंबों के बीच के कोणों का वर्णन करती है, जिसमें कुछ उपसमूहों को इंगित करने के लिए परिवर्तक होते हैं। संकेतन का नाम एच. एस. एम. कॉक्सेटर के नाम पर रखा गया है, और नॉर्मन जॉनसन द्वारा अधिक व्यापक रूप से परिभाषित किया गया है। शुद्ध प्रतिबिंबों द्वारा परिभाषित कॉक्सेटर समूहों के लिए, कोष्ठक संकेतन और कॉक्सेटर-डिंकिन आरेख के बीच एक सीधा पत्राचार होता है। कोष्ठक संकेतन में संख्याएँ कॉक्सेटर आरेख की शाखाओं में दर्पण प्रतिबिंब आदेशों का प्रतिनिधित्व करती हैं। यह समान सरलीकरण का उपयोग करता है, ऑर्थोगोनल दर्पणों के बीच 2s को दबाता है। रैखिक आरेख के लिए एक पंक्ति में शाखाओं की संख्या का प्रतिनिधित्व करने के लिए कॉक्सेटर संकेतन को घातांक के साथ सरल बनाया गया है। तो एन समूह को [3n−1] द्वारा दर्शाया जाता है, जो एन-1 क्रम-3 शाखाओं से जुड़े एन नोड्स को दर्शाता है। उदाहरण A2 = [3,3] = [32] या [31,1] आरेखों का प्रतिनिधित्व करता है या। कॉक्सेटर ने शुरू में संख्याओं की ऊर्ध्वाधर स्थिति के साथ द्विभाजित आरेखों का प्रतिनिधित्व किया, लेकिन बाद में एक प्रतिपादक संकेतन के साथ संक्षिप्त किया, जैसे [., 3p, q] या [3p, q, r], [31,1,1] या [3,31,1] = या D4 के रूप में शुरू होता है। कॉक्सेटर ने एक परिवार में फिट होने के लिए विशेष मामलों के रूप में शून्य की अनुमति दी, जैसे A3 = [3,3,3,3] = [34,0,0] = [34,0] = [33,1] = [32,2], जैसे = =। चक्रीय आरेख द्वारा गठित कॉक्सेटर समूहों को कोष्ठक के अंदर कोष्ठक द्वारा दर्शाया जाता है, जैसे [(p, q, r)] = त्रिभुज समूह (p q r) के लिए। यदि शाखा क्रम बराबर हैं, तो उन्हें कोष्ठक में चक्र की लंबाई के रूप में एक प्रतिपादक के रूप में समूहीकृत किया जा सकता है, जैसे [(3,3,3,3)] = [3 [4], जो कॉक्सेटर आरेख का प्रतिनिधित्व करता है या। इसे [3, (3,3,3)] या [3,3 [3]] के रूप में दर्शाया जा सकता है। अधिक जटिल लूपिंग आरेखों को भी सावधानी से व्यक्त किया जा सकता है। पैराकॉम्पैक्ट कॉक्सेटर समूह को कॉक्सेटर संकेतन [(3,3, (3), 3,3)] द्वारा दर्शाया जा सकता है, जिसमें दो निकटवर्ती [(3,3,3)] लूप दिखाने वाले नेस्टेड/ओवरलैपिंग कोष्ठक हैं, और इसे [3 [] × [] के रूप में भी अधिक सघन रूप से दर्शाया जाता है, जो कॉक्सेटर आरेख की समरूपता का प्रतिनिधित्व करता है। पैराकॉम्पैक्ट पूर्ण ग्राफ आरेख या, को इसके नियमित टेट्राहेड्रॉन कॉक्सिटर आरेख की समरूपता के रूप में सुपरस्क्रिप्ट [3,3] के साथ [3,3] के रूप में दर्शाया जाता है। एफाइन और हाइपरबोलिक समूहों के लिए, सदस्यता प्रत्येक मामले में नोड्स की संख्या से एक कम है, क्योंकि इनमें से प्रत्येक समूह को एक सीमित समूह के आरेख में एक नोड जोड़कर प्राप्त किया गया था। असंबद्ध समूह कॉक्सेटर आरेख आमतौर पर क्रम-2 शाखाओं को छोड़ देता है, लेकिन कोष्ठक संकेतन में उपग्राफ को जोड़ने के लिए एक स्पष्ट 2 शामिल होता है। तो कॉक्सेटर आरेख = A2 × A2 = 2A2 को [3] × [3] = [3] 2 = [3,2,3] द्वारा दर्शाया जा सकता है। कभी-कभी स्पष्ट 2-शाखाओं को या तो 2 लेबल के साथ, या एक अंतराल के साथ एक पंक्ति के साथ शामिल किया जा सकता हैः या, [3,2,3] के समान प्रस्तुति के रूप में। रैंक और आयाम कॉक्सेटर बिंदु समूह रैंक नोड्स की संख्या के बराबर है जो आयाम के बराबर भी है। एक एकल दर्पण 1-आयाम में मौजूद है, [], जबकि 2-आयामों में [1], या [] × [] +। 1 एक स्थान-धारक है, एक वास्तविक शाखा क्रम नहीं है, बल्कि एक ऑर्थोगोनल निष्क्रिय दर्पण के लिए एक मार्कर है। संकेतन [n, 1], एक श्रेणी 3 समूह का प्रतिनिधित्व करता है, जैसे [n] × [] + या। इसी तरह, [1,1] के रूप में [] × [] + × [] + या क्रम 2 और [1,1] + के रूप में [] + × [] + × [] + या, क्रम 1! उपसमूह कॉक्सेटर का संकेतन कोष्ठक के बाहर एक + सुपरस्क्रिप्ट ऑपरेटर जोड़कर घूर्णन/अनुवादात्मक समरूपता का प्रतिनिधित्व करता है, [X] + जो समूह [X] के क्रम को आधे में काटता है, इस प्रकार एक सूचकांक 2 उपसमूह। इस प्रचालक का तात्पर्य है कि प्रचालक की एक सम संख्या को लागू किया जाना चाहिए, प्रतिबिंबों को घूर्णन (या अनुवाद) के साथ प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए। जब एक कॉक्सेटर समूह पर लागू किया जाता है, तो इसे एक प्रत्यक्ष उपसमूह कहा जाता है क्योंकि जो बचा रहता है वह केवल परावर्तक समरूपता के बिना प्रत्यक्ष सममितियाँ होती हैं। + प्रचालक को कोष्ठक के अंदर भी लागू किया जा सकता है, जैसे [X, Y +] या [X, (Y, Z) +], और "अर्ध-अप्रत्यक्ष" उपसमूह बनाता है जिसमें परावर्तक और गैर-परावर्तक दोनों जनरेटर शामिल हो सकते हैं। अर्ध-अप्रत्यक्ष उपसमूह केवल कॉक्सेटर समूह उपसमूहों पर लागू हो सकते हैं जिनके पास सम क्रम शाखाएँ हैं। एक कॉक्सेटर समूह के अंदर कोष्ठक द्वारा तत्वों को एक + सुपरस्क्रिप्ट ऑपरेटर दिया जा सकता है, जो आसन्न क्रमबद्ध शाखाओं को आधे क्रम में विभाजित करने का प्रभाव रखता है, इस प्रकार आमतौर पर केवल सम संख्याओं के साथ लागू किया जाता है। उदाहरण के लिए, [4,3 +] और [4, (3,3) +] ()। यदि निकटवर्ती विषम शाखा के साथ लागू किया जाता है, तो यह सूचकांक 2 का एक उपसमूह नहीं बनाता है, बल्कि इसके बजाय अतिव्यापी मौलिक डोमेन बनाता है, जैसे [5,1 +] = [5/2], जो एक पेंटाग्राम की तरह दोगुने लिपटे बहुभुज को परिभाषित कर सकता है, और [5,3 +] श्वार्ज त्रिभुज [5/2,3], घनत्व 2 से संबंधित है। समान पॉलीटोप के लिए रिंग वाले नोड्स में पड़ोसी + तत्वों के बिना समूहों को देखा जा सकता है और हनीकोम्ब + तत्वों के आसपास छेद नोड्स से संबंधित होते हैं, वैकल्पिक नोड्स के साथ खाली वृत्त हटाए जाते हैं। तो स्नब क्यूब में समरूपता [4,3] + () है, और स्नब टेट्राहेड्रॉन में समरूपता [4,3 +] () है, और एक डेमिक्यूब, एच {4,3} = {3,3} (या =) में समरूपता [1 +, 4,3] = [3,3] (या = =) है। नोटः पायरिटोहेड्रल समरूपता को इस प्रकार लिखा जा सकता है, स्पष्टता के लिए अंतराल के साथ ग्राफ को अलग करते हुए, कॉक्सेटर समूह से जनरेटर {0,1,2} के साथ, पायरिटोहेड्रल जनरेटर {0,12} का उत्पादन, एक प्रतिबिंब और 3 गुना घूर्णन। और कायरल टेट्राहेड्रल समरूपता को जनरेटर {12,0120} के साथ या, [1 +, 4,3 +] = [3,3] + के रूप में लिखा जा सकता है। उपसमूहों और विस्तारित समूहों को आधा करते हुए जॉनसन + ऑपरेटर को प्लेसहोल्डर 1 + नोड्स के साथ काम करने के लिए विस्तारित करता है, जो दर्पण को हटा देता है, मौलिक डोमेन के आकार को दोगुना कर देता है और समूह क्रम को आधे में काट देता है। सामान्य तौर पर यह क्रिया केवल सम-क्रम शाखाओं से घिरे अलग-अलग दर्पणों पर लागू होती है। 1 एक दर्पण का प्रतिनिधित्व करता है इसलिए [2p] को [2p, 1], [1,2p], या [1,2p, 1] के रूप में देखा जा सकता है, आरेख की तरह या, एक क्रम-2p डायहेड्रल कोण से संबंधित 2 दर्पणों के साथ। दर्पण हटाने का प्रभाव कनेक्टिंग नोड्स को डुप्लिकेट करना है, जिसे कॉक्सेटर आरेखों में देखा जा सकता हैः =, या कोष्ठक संकेतन मेंः [1 +, 2p, 1] = [1, p, 1] = [p]। इनमें से प्रत्येक दर्पण को हटाया जा सकता है इसलिए h [2p] = [1 +, 2p, 1] = [1,2p, 1 +] = [p], एक परावर्तक उपसमूह सूचकांक 2। इसे एक कॉक्सेटर आरेख में नोड के ऊपर एक + प्रतीक जोड़कर दिखाया जा सकता हैः = =। यदि दोनों दर्पणों को हटा दिया जाता है, तो एक चौथाई उपसमूह उत्पन्न होता है, जिसमें शाखा क्रम आधे क्रम का एक युग्मन बिंदु बन जाता हैः q [2p] = [1 +, 2p, 1 +] = [p] +, सूचकांक 4 का एक घूर्णन उपसमूह। = = = = =। उदाहरण के लिए, (पी = 2 के साथ): [4,1 +] = [1 +, 4] = [2] = [] × [], क्रम 4। [1 +, 4,1 +] = [2] +, क्रम 2। आधा करने के विपरीत दोहरीकरण है जो एक दर्पण जोड़ता है, एक मौलिक क्षेत्र को द्विभाजित करता है, और समूह क्रम को दोगुना करता है। = [2 पी] आधा संचालन उच्च श्रेणी समूहों के लिए लागू होता है, जैसे कि टेट्राहेड्रल समरूपता ऑक्टाहेड्रल समूह का एक आधा समूह हैः एच [4,3] = [1 +, 4,3] = [3,3], 4-शाखा पर आधे दर्पणों को हटाता है। दर्पण हटाने का प्रभाव सभी जोड़ने वाले नोड्स को डुप्लिकेट करना है, जिसे कॉक्सेटर आरेखों में देखा जा सकता हैः =, h [2p, 3] = [1 +, 2p, 3] = [(p, 3,3)]। यदि नोड्स को अनुक्रमित किया जाता है, तो आधे उपसमूहों को नए दर्पणों के साथ संयोजन के रूप में लेबल किया जा सकता है। जैसे, जनरेटर {0,1} में उपसमूह =, जनरेटर {1,010} होता है, जहाँ दर्पण 0 को हटा दिया जाता है, और दर्पण 0 पर प्रतिबिंबित दर्पण 1 की एक प्रति द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। इसके अलावा दिया गया है, जनरेटर {0,1,2}, इसमें आधा समूह =, जनरेटर {1,2,010} है। दर्पण जोड़कर दोगुना करना आधे ऑपरेशन को उलटने में भी लागू होता हैः = [4,3], या अधिक सामान्य रूप से = [2p, q]। रेडिकल उपसमूह जॉनसन ने "रेडिकल" उपसमूहों के लिए एक तारांकन या स्टार * प्रचालक भी जोड़ा, जो + प्रचालक के समान कार्य करता है, लेकिन घूर्णन समरूपता को हटा देता है। रेडिकल उपसमूह का सूचकांक हटाए गए तत्व का क्रम है। उदाहरण के लिए, [4,3 *] [2,2]। हटा दिया गया [3] उपसमूह क्रम 6 है इसलिए [2,2] [4,3] का सूचकांक 6 उपसमूह है। कट्टरपंथी उपसमूह एक विस्तारित समरूपता संचालन के व्युत्क्रम संचालन का प्रतिनिधित्व करते हैं। उदाहरण के लिए, [4,3 *] [2,2], और इसके विपरीत [2,2] को [3 [2,2]] [4,3] के रूप में बढ़ाया जा सकता है। उपसमूहों को कॉक्सेटर आरेख के रूप में व्यक्त किया जा सकता हैः या। हटाए गए नोड (दर्पण) के कारण निकटवर्ती दर्पण आभासी दर्पण वास्तविक दर्पण बन जाते हैं। यदि [4,3] में जनरेटर {0,1,2}, [4,3 +], सूचकांक 2 में जनरेटर {0,12} हैं; [1 +, 4,3] [3,3], सूचकांक 2 में जनरेटर {010,1,2} हैं; जबकि मूल उपसमूह [4,3 *] [2,2], सूचकांक 6 में जनरेटर {01210,2, (012) 3} हैं; और अंत में [1 +, 4,3 *], सूचकांक 12 में जनरेटर {0 (12) 20, (012) 201} हैं। त्रिआनिक उपसमूह एक त्रिआनिक उपसमूह एक सूचकांक 3 उपसमूह है। जॉनसन प्रचालक, सूचकांक 3 के साथ एक त्रिकोणीय उपसमूह को परिभाषित करता है। रैंक 2 कॉक्सेटर समूहों के लिए, [3], ट्रायोनिक उपसमूह, [3] एक एकल दर्पण है। और [3p] के लिए, त्रिकोणीय उपसमूह [3p] [p] है। दिए गए, जनरेटर {0,1} के साथ, 3 ट्रायोनिक उपसमूह हैं। उन्हें हटाने के लिए दर्पण जनित्र के बगल में, या दोनों के लिए एक शाखा पर प्रतीक लगाकर अलग किया जा सकता हैः [3p, 1] = =, =, और [3p] = = जनित्रों के साथ {0,10101}, {01010,1}, या {101,010}। टेट्राहेड्रल समरूपता के त्रिकोणीय उपसमूहः [3,3] [2 +, 4], नियमित टेट्राहेड्रॉन और टेट्रागोनल डिस्पेनॉइड की समरूपता से संबंधित। रैंक 3 कॉक्सेटर समूहों के लिए, [पी, 3], एक त्रिकोणीय उपसमूह [पी, 3] [पी/2, पी], या = है। उदाहरण के लिए, परिमित समूह [4,3] [2,4], और यूक्लिडियन समूह [6,3] [3,6], और हाइपरबोलिक समूह [8,3] [4,8]। एक विषम-क्रम आसन्न शाखा, पी, समूह क्रम को कम नहीं करेगी, बल्कि अतिव्यापी मौलिक डोमेन बनाएगी। समूह क्रम समान रहता है, जबकि घनत्व बढ़ता है। उदाहरण के लिए, नियमित पॉलीहेड्रा आइकोसाहेड्रॉन की आइकोसाहेड्रल समरूपता, [5,3], [5/2,5] बन जाती है, जो 2 नियमित तारा पॉलीहेड्रा की समरूपता है। यह हाइपरबोलिक टिलिंग्स {p, 3}, और स्टार हाइपरबोलिक टिलिंग्स {p/2, p} को रैंक 4 के लिए, [q, 2p, 3] = [2p, ((p, q, q))], = से भी संबंधित करता है। उदाहरण के लिए, [3,4,3] = [4,3,3], या =, जनरेटर {0,1,2,3} [3,4,3] में ट्रायोनिक उपसमूह [4,3,3] जनरेटर {0,1,2,32123} के साथ। हाइपरबोलिक समूहों के लिए, [3,6,3] = [6,3 [3], और [4,4,3] = [4,4,4]। टेट्राहेड्रल समरूपता के त्रिकोणीय उपसमूह] जॉनसन ने [3,3] के दो विशिष्ट त्रिकोणीय उपसमूहों की पहचान की, पहले एक सूचकांक 3 उपसमूह [3,3] [2 +, 4], [3,3] (= =) जनरेटर {0,1,2} के साथ। इसे इसके जनरेटर {02,1} के अनुस्मारक के रूप में [(3,3,2)] () के रूप में भी लिखा जा सकता है। यह समरूपता कमी नियमित टेट्राहेड्रॉन और टेट्रागोनल डिस्पेनॉइड के बीच का संबंध है, जो दो विपरीत किनारों पर एक टेट्राहेड्रॉन के लंबवत विस्तार का प्रतिनिधित्व करता है। दूसरे वह एक संबंधित सूचकांक 6 उपसमूह [3,3] α या [(3,3,2)] + (), सूचकांक 3 को [3,3] + [2,2] + से, जनरेटर {02,1021} के साथ, [3,3] और इसके जनरेटर {0,1,2} से पहचानता है। ये उपसमूह पड़ोसी शाखाओं के साथ [3,3] उपसमूह वाले बड़े कॉक्सेटर समूहों के भीतर भी लागू होते हैं। उदाहरण के लिए, [(3,3) +, 4], [(3,3)], 4], और [(3,3), 4] क्रमशः [3,3,4], सूचकांक 2,3 और 6 के उपसमूह हैं। [(3,3), 4], [8,2 +, 8], क्रम 128 के जनरेटर, [3,3,4] जनरेटर {0,1,2,3} से {02,1,3} हैं। और [(3,3) α, 4] α, क्रम 64 में जनरेटर {02,1021,3} हैं। साथ ही, [3], 4,3] [(3,3), 4]। इसके अलावा संबंधित [31,1,1] = [3,3,4,1 +] में त्रिकोणीय उपसमूह हैंः [31,1,1] ′ = [(3,3) ′, 4,1 +], क्रम 64, और 1 = [31,1,1] ′ = [(3,3) ′, 4,1 +] ′ [[4,2 +, 4]] +, क्रम 32। केंद्रीय व्युत्क्रम एक केंद्रीय व्युत्क्रम, क्रम 2, आयाम द्वारा परिचालन रूप से अलग है। समूह [] n = [2n−1] एन-आयामी स्थान में एन ऑर्थोगोनल दर्पणों का प्रतिनिधित्व करता है, या एक उच्च आयामी स्थान के एन-फ्लैट उपक्षेत्र का प्रतिनिधित्व करता है। समूह के दर्पण [2n−1] क्रमांकित हैं। व्युत्क्रम के मामले में दर्पणों का क्रम मायने नहीं रखता है। एक केंद्रीय व्युत्क्रम का मैट्रिक्स है, विकर्ण पर नकारात्मक के साथ पहचान मैट्रिक्स। उस आधार से, केंद्रीय व्युत्क्रम में सभी ऑर्थोगोनल दर्पणों के उत्पाद के रूप में एक जनरेटर होता है। कॉक्सेटर संकेतन में इस व्युत्क्रम समूह को प्रत्येक 2 शाखा में एक प्रत्यावर्तन + जोड़कर व्यक्त किया जाता है। कॉक्सेटर आरेख नोड्स पर वैकल्पिक समरूपता को खुले नोड्स के रूप में चिह्नित किया जाता है। एक कॉक्सेटर-डिंकिन आरेख को स्पष्ट 2 शाखाओं के साथ चिह्नित किया जा सकता है जो प्रतिबिंब जनित्रों की श्रृंखला दिखाने के लिए दर्पणों, खुले-नोड्स और साझा दोहरे-खुले नोड्स के एक रैखिक अनुक्रम को परिभाषित करते हैं। उदाहरण के लिए, [2 +, 2] और [2,2 +] [2,2] के उपसमूह सूचकांक 2 हैं, और क्रमशः जनरेटर {1,0,2} और {0,12} के साथ (या) और (या) के रूप में दर्शाए जाते हैं। उनका सामान्य उपसमूह सूचकांक 4 [2 +, 2 +] है, और इसे (या) द्वारा दर्शाया जाता है, जिसमें दोहरे-खुले दो विकल्पों में एक साझा नोड को चिह्नित करते हैं, और एक एकल रोटरफ़्लेक्शन जनरेटर {012} होता है। घूर्णन और घूर्णन परावर्तन घूर्णन और घूर्णन परावर्तन का निर्माण एक प्रिज्मेटिक समूह के सभी परावर्तनों के एकल एकल-उत्पादक उत्पाद द्वारा किया जाता है, [2p] × [2q] ×. जहाँ gcd (p, q,.) = 1, वे n = 2pq क्रम के अमूर्त चक्रीय समूह Zn के समरूप हैं। 4-आयामी दोहरे घूर्णन, [2p +, 2 +, 2q +] (gcd (p, q) = 1 के साथ), जिसमें एक केंद्रीय समूह शामिल है, और कॉनवे द्वारा ± [Cp × Cq], क्रम 2pq के रूप में व्यक्त किए जाते हैं। कॉक्सेटर आरेख से, जनरेटर {0,1,2,3}, के लिए दो जनरेटर की आवश्यकता होती है [2p +, 2 +, 2q +], के रूप में {0123,0132}। अर्ध समूह, [2p +, 2 +, 2q +] +, या चक्रीय ग्राफ, [(2p +, 2 +, 2q +, 2 +)], कॉनवे द्वारा व्यक्त किया गया है [Cp × Cq], एक जनरेटर के साथ क्रम pq, जैसे {0123}। यदि एक सामान्य कारक f है, तो दोहरे घूर्णन को [2pf +, 2 +, 2qf +] (gcd (p, q) = 1 के साथ), जनरेटर {0123,0132}, क्रम 2pqf के रूप में लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, पी = क्यू = 1, एफ = 2, [4 +, 2 +, 4 +] क्रम 4 है। और [2pf +, 2 +, 2qf +] +, जनरेटर {0123}, क्रम pqf है। उदाहरण के लिए, [4 +, 2 +, 4 +] + क्रम 2 है, एक केंद्रीय व्युत्क्रम। सामान्य तौर पर एक एन-घूर्णन समूह, [2p1 +, 2,2p2 +, 2,., pn +] को सभी दर्पणों के उत्पाद के रूप में n जनरेटर तक की आवश्यकता हो सकती है यदि gcd (p1,., pn)> 1, और फिर अनुक्रमिक जोड़े की अदला-बदली। आधा समूह, [2p1 +, 2,2p2 +, 2,., pn +] + में जनरेटर वर्ग हैं। एन-रोटरी परावर्तन समान हैं। कम्यूटेटर उपसमूह केवल विषम-क्रम शाखा तत्वों वाले सरल समूहों में क्रम 2 का केवल एक ही घूर्णन/अनुवाद उपसमूह होता है, जो कम्यूटेटर उपसमूह भी है, उदाहरण [3,3] +, [3,5] +, [3,3,3] +, [3,3,5] +। सम-क्रम शाखाओं वाले अन्य कॉक्सेटर समूहों के लिए, कम्यूटेटर उपसमूह में सूचकांक 2 सी होता है, जहां सी सभी सम-क्रम शाखाओं को हटाने पर डिस्कनेक्ट किए गए सबग्राफ की संख्या होती है। उदाहरण के लिए, जब 4s को हटा दिया जाता है तो कॉक्सेटर आरेख में [4,4] के तीन स्वतंत्र नोड्स होते हैं, इसलिए इसका कम्यूटेटर उपसमूह सूचकांक 23 है, और तीन + ऑपरेटरों के साथ अलग-अलग प्रतिनिधित्व हो सकते हैंः [4 +, 4 +] +, [1 +, 4,1 +, 4,1 +], [1 +, 4,4,1 +] +, या [(4 +, 4 +, 2 +)]। समूह प्रतिपादक के रूप में + c के साथ एक सामान्य संकेतन का उपयोग किया जा सकता है, जैसे [4,4] + 3। उदाहरण उपसमूह श्रेणी 2 उदाहरण उपसमूह सम-क्रम वाले डायहेड्रल समरूपता समूहों में कई उपसमूह होते हैं। यह उदाहरण लाल और हरे रंग में [4] के दो जनरेटर दर्पण दिखाता है, और सभी उपसमूहों को आधे, श्रेणी-कटौती और उनके प्रत्यक्ष उपसमूहों द्वारा देखता है। समूह [4] में दो दर्पण जनरेटर 0 और 1 हैं। प्रत्येक दूसरे पर प्रतिबिंब द्वारा दो आभासी दर्पण 101 और 010 उत्पन्न करता है। श्रेणी 3 यूक्लिडियन उदाहरण उपसमूह [4,4] समूह में 15 छोटे सूचकांक उपसमूह हैं। यह तालिका उन सभी को दिखाती है, जिसमें शुद्ध प्रतिबिंबीत समूहों के लिए एक पीला मौलिक क्षेत्र है, और बारी-बारी से सफेद और नीले क्षेत्र हैं जो घूर्णन क्षेत्र बनाने के लिए जोड़े गए हैं। सायन, लाल और हरी दर्पण रेखाएँ कॉक्सेटर आरेख में समान रंगीन नोड्स के अनुरूप हैं। उपसमूह जनरेटर को मौलिक डोमेन के मूल 3 दर्पणों के उत्पादों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जो कॉक्सेटर आरेख के 3 नोड्स के अनुरूप है। दो प्रतिच्छेदन प्रतिबिंब रेखाओं का एक उत्पाद एक घूर्णन करता है, जैसे {012}, {12}, या {02}। एक दर्पण को हटाने से हटाए गए दर्पण के पार पड़ोसी दर्पणों की दो प्रतियां होती हैं, जैसे {010}, और {212}। श्रृंखला में दो घूर्णन घूर्णन क्रम को आधे में काटते हैं, जैसे {0101} या {(01) 2}, {1212} या {(02) 2}। तीनों दर्पणों का एक उत्पाद एक रूपांतरण बनाता है, जैसे {012} या {120}। अतिसंवेदनशील उदाहरण उपसमूह सभी त्रिभुज समूहों पर सम क्रम तत्वों के साथ 15 छोटे उपसमूहों का एक ही समूह मौजूद है, जैसे कि अतिसंवेदनशील तल में [6,4]: परवलयिक उपसमूह एक कॉक्सेटर समूह के एक परवलयिक उपसमूह को कॉक्सेटर आरेख के साथ दर्शाए गए एक या अधिक जनरेटर दर्पणों को हटाकर पहचाना जा सकता है। उदाहरण के लिए ऑक्टाहेड्रल समूह में परवलयिक उपसमूह हैं,,,,,। कोष्ठक संकेतन में [4,3] में परवलयिक उपसमूह [4], [2], [3], और एक एकल दर्पण [] होता है। उपसमूह का क्रम ज्ञात है, और हमेशा एक पूर्णांक भाजक समूह क्रम, या सूचकांक होता है। परवलयिक उपसमूहों को x नोड्स के साथ भी लिखा जा सकता है, जैसे = [4,3] उपसमूह दूसरे दर्पण को हटाकरः या = = [4,1 ×, 3] = [2]। पेट्री उपसमूह एक इरेड्यूसिबल कॉक्सिटर समूह का पेट्री उपसमूह सभी जनरेटरों के उत्पाद द्वारा बनाया जा सकता है। यह एक नियमित पॉलीटोप के तिरछे नियमित पेट्री बहुभुज में देखा जा सकता है। नए समूह के क्रम को मूल कॉक्सेटर समूह का कॉक्सेटर नंबर कहा जाता है। एक कॉक्सेटर समूह की कॉक्सेटर संख्या 2m/n है, जहाँ n श्रेणी है, और m प्रतिबिंबों की संख्या है। एक पेट्री उपसमूह को एक सुपरस्क्रिप्ट के साथ लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, [3,3] एक चतुष्फलकीय समूह का पेट्री उपसमूह है, चक्रीय समूह क्रम 4, जो एक घूर्णन द्वारा उत्पन्न होता है। एक रैंक 4 कॉक्सेटर समूह में एक दोहरा घूर्णन जनरेटर होगा, जैसे [4,3,3] क्रम 8 है। विस्तारित समरूपता कॉक्सेटर के संकेतन में डबल स्क्वायर ब्रैकेट संकेतन शामिल है, जो एक कॉक्सेटर आरेख के भीतर ऑटोमोर्फिक समरूपता को व्यक्त करता है। जॉनसन ने एंगल्ड-ब्रैकेट <[X]> द्वारा वैकल्पिक दोहरीकरण जोड़ा। जॉनसन ने एक उपसर्ग समरूपता परिवर्तक [Y [X]] भी जोड़ा, जहाँ Y या तो [X] के कॉक्सेटर आरेख की समरूपता, या [X] के मौलिक क्षेत्र की समरूपता का प्रतिनिधित्व कर सकता है। उदाहरण के लिए, 3डी में ये समतुल्य आयत और समभुज ज्यामिति आरेख हैंः और, पहले वर्ग कोष्ठक के साथ दोगुना, या दो बार [2 [3 [4]] के रूप में दोगुना, [2] के साथ, क्रम 4 उच्च समरूपता। दूसरे को अलग करने के लिए, कोण कोष्ठक का उपयोग दोहरीकरण के लिए किया जाता है, <[3 [4]]> और दो बार दोहरीकरण <2 [3 [4]]> के रूप में, एक अलग [2], क्रम 4 समरूपता के साथ भी। अंत में एक पूर्ण समरूपता जहां सभी 4 नोड्स समतुल्य हैं, वर्ग की समरूपता के क्रम 8, [4] के साथ [4 [3 [4]] द्वारा दर्शाया जा सकता है। लेकिन टेट्रागोनल डिस्पेनॉइड फंडामेंटल डोमेन पर विचार करके वर्ग ग्राफ की [4] विस्तारित समरूपता को अधिक स्पष्ट रूप से [(2 +, 4) [3 [4]] या [2 +, 4 [3 [4]] के रूप में चिह्नित किया जा सकता है। आगे की समरूपता चक्रीय और शाखाओं और आरेखों में मौजूद है। एक नियमित n-गॉन, {n} की क्रम 2n समरूपता है, और [n [3 [n]] द्वारा दर्शाया जाता है। और क्रमशः [3 [31,1,1] = [3,4,3] और [3 [32,2,2]] द्वारा दर्शाए जाते हैं, जबकि [(3,3) [31,1,1,1] = [3,3,4,3], आरेख के साथ जिसमें नियमित टेट्राहेड्रॉन, {3,3} की क्रम 24 समरूपता होती है। पैराकॉम्पैक्ट हाइपरबोलिक समूह = [31,1,1,1,1], में 5-कोशिका, {3,3,3} की समरूपता होती है, और इस प्रकार इसे [(3,3,3) [31,1,1,1,1]] = [3,4,3,3,3] द्वारा दर्शाया जाता है। एक तारांकन * सुपरस्क्रिप्ट प्रभावी रूप से एक व्युत्क्रम संचालन है, जो विषम-आदेशित दर्पणों से जुड़े कट्टरपंथी उपसमूहों को हटाता है। उदाहरण-जनित्रों को देखते हुए, दोहरी समरूपता को एक नए प्रचालक को जोड़ने के रूप में देखा जाता है जो कॉक्सेटर आरेख में सममित स्थितियों का मानचित्रण करता है, जिससे कुछ मूल जनित्र अनावश्यक हो जाते हैं। 3डी अंतरिक्ष समूहों और 4डी बिंदु समूहों के लिए, कॉक्सेटर एक सूचकांक दो उपसमूह को परिभाषित करता है, जिसे वह दोहरीकरण जनित्र द्वारा [एक्स] के मूल जनरेटर के उत्पाद के रूप में परिभाषित करता है। यह + के समान दिखता है, जो इसका कायरल उपसमूह है। इसलिए उदाहरण के लिए 3डी अंतरिक्ष समूह + (I432,211) और (Pmn, 223) (IMM, 229) के अलग-अलग उपसमूह हैं। एक आयाम में, द्वैपाक्षिक समूह [] एक एकल दर्पण समरूपता, अमूर्त डिह1 या जेड2, समरूपता क्रम 2 का प्रतिनिधित्व करता है। इसे एक एकल नोड के साथ कॉक्सेटर-डिंकिन आरेख के रूप में दर्शाया गया है। पहचान समूह प्रत्यक्ष उपसमूह [] +, Z1, समरूपता क्रम 1 है। + सुपरस्क्रिप्ट का सीधा सा तात्पर्य है कि वैकल्पिक दर्पण प्रतिबिंबों को नजरअंदाज कर दिया जाता है, जिससे इस सबसे सरल मामले में पहचान समूह को छोड़ दिया जाता है। कॉक्सेटर ने एक एकल खुले नोड का उपयोग एक प्रत्यावर्तन का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया। दो आयामों में, आयताकार समूह [2], अमूर्त D22 या D4, को एक प्रत्यक्ष उत्पाद [] × [] के रूप में भी दर्शाया जा सकता है, जो दो द्विपक्षीय समूहों का उत्पाद है, जो क्रम 4 के साथ कॉक्सेटर आरेख के साथ दो ऑर्थोगोनल दर्पणों का प्रतिनिधित्व करता है। 2 में [2] कॉक्सेटर आरेख में ऑर्थोगोनल सबग्राफ के रैखिककरण से आता है, जैसा कि स्पष्ट शाखा क्रम 2 के साथ है। समस्थानिक समूह, [2] + (या), आयताकार समूह का आधा, बिंदु परावर्तन समरूपता, Z2, क्रम 2। निम्न श्रेणी समूहों के लिए 1 स्थान धारक की अनुमति देने के लिए कॉक्सेटर संकेतन, इसलिए [1] [] के समान है, और [1 +] या [1] + [] + और कॉक्सेटर आरेख के समान है। पूर्ण पी-गॉनल समूह [पी], अमूर्त डायहेड्रल समूह डी2पी, (पी> 2 के लिए नॉनबेलियन), 2पी क्रम का, कोण π/पी पर दो दर्पणों द्वारा उत्पन्न होता है, जिसे कॉक्सेटर आरेख द्वारा दर्शाया जाता है। पी-जोनल उपसमूह [पी] +, पी क्रम का चक्रीय समूह जेडपी, π/पी के घूर्णन कोण से उत्पन्न होता है। कॉक्सेटर संकेतन मौलिक डोमेन में एक द्विभाजित दर्पण जोड़कर समरूपता के स्वचालित दोहरीकरण का प्रतिनिधित्व करने के लिए डबल-ब्रेकिंग का उपयोग करता है। उदाहरण के लिए, [[पी]] एक द्विभाजित दर्पण को [पी] में जोड़ता है, और [2 पी] के लिए समरूप है। सीमा में, एक आयाम तक नीचे जाते हुए, पूर्ण एपिरोगोनल समूह तब प्राप्त होता है जब कोण शून्य पर जाता है, इसलिए [φ], अमूर्त रूप से अनंत डायहेड्रल समूह D φ, दो समानांतर दर्पणों का प्रतिनिधित्व करता है और इसमें एक कॉक्सेटर आरेख होता है। एपिरोगोनल समूह [≤] +, अमूर्त रूप से अनंत चक्रीय समूह Z ≤, पूर्णांकों के योगात्मक समूह के लिए समरूप, एक एकल गैर-शून्य अनुवाद द्वारा उत्पन्न होता है। हाइपरबोलिक तल में, एक पूर्ण छद्म समूह [iπ/λ], और छद्म उपसमूह [iπ/λ] +, होता है। ये समूह नियमित अनंत-पक्षीय बहुभुज में मौजूद हैं, जिनकी धार की लंबाई λ है। सभी दर्पण एक ही रेखा के लिए ऑर्थोगोनल हैं। श्रेणी तीन समूह 3 आयामों में बिंदु समूहों को श्रेणी 3 कॉक्सेटर समूहों से संबंधित कोष्ठक संकेतन में व्यक्त किया जा सकता हैः तीन आयामों में, पूर्ण ऑर्थोरॉम्बिक समूह या ऑर्थोरेक्टेंगुलर [2,2], अमूर्त रूप से Z23, क्रम 8, तीन ऑर्थोगोनल दर्पणों का प्रतिनिधित्व करता है, (कॉक्सेटर आरेख द्वारा तीन अलग-अलग बिंदुओं के रूप में भी दर्शाया जाता है)। इसे एक प्रत्यक्ष उत्पाद [] × [] × [] के रूप में भी दर्शाया जा सकता है, लेकिन [2,2] अभिव्यक्ति उपसमूहों को परिभाषित करने की अनुमति देती हैः पहले एक "अर्ध-अप्रत्यक्ष" उपसमूह है, ऑर्थोरोमबिक समूह, [2,2 +] (या), अमूर्त रूप से Z2 × Z2, क्रम 4 का। जब + सुपरस्क्रिप्ट कोष्ठक के अंदर दिया जाता है, तो इसका मतलब है कि केवल निकटवर्ती दर्पणों से उत्पन्न प्रतिबिंब (जैसा कि कॉक्सेटर आरेख द्वारा परिभाषित किया गया है) वैकल्पिक होते हैं। सामान्य तौर पर, + नोड के पड़ोसी शाखा आदेश सम होना चाहिए। इस मामले में [2,2 +] और [2 +, 2] दो समरूपी उपसमूहों का प्रतिनिधित्व करते हैं जो ज्यामितीय रूप से अलग हैं। अन्य उपसमूह पैराहोम्बिक समूह [2,2] + (या) हैं, जो क्रम 4 भी हैं, और अंत में क्रम 2 का केंद्रीय समूह [2 +, 2 +] (या) है। इसके बाद पूर्ण ऑर्थो-पी-गोनल समूह है, [2, पी] (), अमूर्त रूप से Z2 × D2p, 4p क्रम का, जो एक डायहेड्रल कोण π/p पर दो दर्पणों का प्रतिनिधित्व करता है, और दोनों एक तीसरे दर्पण के लिए ऑर्थोगोनल हैं। इसे कॉक्सेटर आरेख द्वारा भी दर्शाया गया है। प्रत्यक्ष उपसमूह को पैरा-पी-जोनल समूह कहा जाता है, [2, पी] + (या), अमूर्त रूप से डी2पी, 2पी क्रम का, और एक अन्य उपसमूह अमूर्त रूप से जेड2 × जेडपी है, जो 2पी क्रम का भी है। पूर्ण जाइरो-पी-गोनल समूह, [2 +, 2पी] (या), अमूर्त रूप से डी4पी, 4पी क्रम का। जाइरो-पी-गोनल समूह, [2 +, 2 पी +] (या), अमूर्त रूप से 2 पी क्रम का जेड 2 पी, [2 +, 2 पी] और [2,2 पी +] दोनों का एक उपसमूह है। पॉलीहेड्रल समूह प्लेटोनिक ठोस पदार्थों की समरूपता पर आधारित हैंः टेट्राहेड्रॉन, ऑक्टाहेड्रॉन, क्यूब, आइकोसाहेड्रॉन और डोडेकाहेड्रॉन, क्रमशः श्लाफली प्रतीकों {3,3}, {3,4}, {4,3}, {3,5}, और {5,3} के साथ। इनके लिए कॉक्सेटर समूह हैंः [3,3] (), [3,4] (), [3,5] () जिन्हें पूर्ण टेट्राहेड्रल समरूपता, ऑक्टाहेड्रल समरूपता और 24,48 और 120 के क्रम के साथ आइकोसाहेड्रल समरूपता कहा जाता है। इन सभी सममितियों में, 12,24 और 60 क्रम के घूर्णन टेट्राहेड्रल [3,3] + (), ऑक्टाहेड्रल [3,4] + (), और आइकोसाहेड्रल [3,5] + () समूहों का उत्पादन करने वाले वैकल्पिक प्रतिबिंबों को हटाया जा सकता है। ऑक्टाहेड्रल समूह में एक अद्वितीय सूचकांक 2 उपसमूह भी होता है जिसे घूर्णन और परावर्तन समरूपता के मिश्रण के साथ क्रम 12 का पायरिटोहेड्रल समरूपता समूह, [3 +, 4] (या) कहा जाता है। पायरिटोहेड्रल समरूपता भी आइकोसाहेड्रल समरूपता का एक सूचकांक 5 उपसमूह हैः-->, आभासी दर्पण 1 के साथ 0, {010}, और 3 गुना घूर्णन {12}। टेट्राहेड्रल समूह, [3,3] (), में एक दोहरीकरण होता है (जिसे रंगीन नोड्स द्वारा दर्शाया जा सकता है), जो एक दूसरे पर पहले और अंतिम दर्पणों का मानचित्रण करता है, और यह [3,4] (या) समूह का उत्पादन करता है। उपसमूह [3,4,1 +] (या) [3,3] के समान है, और [3 +, 4,1 +] (या) [3,3] + के समान है। यूक्लिडियन तल में 3 दर्पणों द्वारा उत्पन्न 3 मौलिक परावर्तक समूह हैं, जिन्हें कॉक्सेटर आरेखों द्वारा दर्शाया गया है, और उन्हें कॉक्सेटर संकेतन [4,4], [6,3], और [(3,3,3)] के रूप में दिया गया है। अंतिम समूह के कोष्ठक आरेख चक्र को इंगित करते हैं, और इसमें एक आशुलिपि संकेतन भी है [3 [3]। [4,4] समूह के दोहरीकरण के रूप में दर्पणों के मूल सेट से π/4 घूर्णित समान समरूपता उत्पन्न हुई। घूर्णन समरूपता के प्रत्यक्ष उपसमूह हैंः [4,4] +, [6,3] +, और [(3,3,3)] +। [4 +, 4] और [6,3 +] अर्ध-अप्रत्यक्ष उपसमूह हैं। कॉक्सेटर संकेतन (ऑर्बिफोल्ड संकेतन) में दिए गए कुछ निम्न सूचकांक अफाइन उपसमूह हैंः श्रेणी चार समूह बिंदु समूह श्रेणी चार समूह 4-आयामी बिंदु समूहों को परिभाषित करते हैंः उपसमूह अंतरिक्ष समूह रेखा समूह श्रेणी चार समूह भी 3-आयामी रेखा समूहों को परिभाषित करते हैंः डुओप्रिस्मैटिक समूह श्रेणी चार समूह 4-आयामी डुओप्रिस्मैटिक समूहों को परिभाषित करते हैं। जिस सीमा में पी और क्यू अनंत तक जाते हैं, वे 2 आयामों और वालपेपर समूहों में विकृत हो जाते हैं। वालपेपर समूहों की श्रेणी चार समूहों ने कुछ द्वि-आयामी वालपेपर समूहों को भी परिभाषित किया है, जो चार-आयामी द्विरूपता समूहों के सीमित मामलों के रूप में हैंः [φ, 2, φ], (* 2222) के उपसमूहों को इसके सूचकांक 16 कम्यूटेटर उपसमूह में व्यक्त किया जा सकता हैः जटिल प्रतिबिंब कॉक्सेटर संकेतन को जटिल स्थान, सीएन तक विस्तारित किया गया है जहां नोड्स अवधि 2 या उससे अधिक के एकात्मक प्रतिबिंब हैं। नोड्स को एक सूचकांक द्वारा लेबल किया जाता है, जिसे दबाए जाने पर साधारण वास्तविक प्रतिबिंब के लिए 2 माना जाता है। जटिल प्रतिबिंब समूहों को कॉक्सेटर समूहों के बजाय शेफर्ड समूह कहा जाता है, और इनका उपयोग जटिल पॉलीटोप के निर्माण के लिए किया जा सकता है। में, एक श्रेणी 1 शेफर्ड समूह, क्रम पी, को पी [], [] पी या] पी [के रूप में दर्शाया जाता है। इसमें एक एकल जनरेटर है, जो जटिल तल में 2π/p रेडियन घूर्णन का प्रतिनिधित्व करता हैः कॉक्सेटर रैंक 2 जटिल समूह लिखते हैं, पी [क्यू] आर कॉक्सेटर आरेख का प्रतिनिधित्व करता है। पी और आर को केवल तभी दबाया जाना चाहिए जब दोनों 2 हों, जो वास्तविक मामला [क्यू] है। एक श्रेणी 2 समूह पी [क्यू] आर का क्रम है। जटिल बहुभुज उत्पन्न करने वाले श्रेणी 2 समाधान हैंः पी [4] 2 (पी 2,3,4 है,), 3 [3] 3 [6] 2,3 [4] 3,4 [3] 4,3 [8] 2,4 [6] 2,4 [4] 3,3 [5] 3,5 [3] 5,3 [10] 2,5 [6] 2, और 5 [4] 3 कॉक्सेटर आरेखों के साथ,,,,,,,,,,,। अनंत समूह 3 [12] 2,4 [8] 2,6 [6] 2,3 [6] 3,6 [4] 3,4 [4] 4, और 6 [3] 6 या,,,,,, हैं। सूचकांक 2 उपसमूह एक वास्तविक परावर्तन को हटाकर मौजूद होते हैंः p [2q] 2 → p [q] p. इसके अलावा सूचकांक r उपसमूह 4 शाखाओं के लिए मौजूद हैंः p [4] r → p [r] p. अनंत परिवार के लिए p [4] 2, किसी भी p = 2,3,4, के लिए, दो उपसमूह हैंः p [4] 2 → [p], सूचकांक p, जबकि और p [4] 2 → p [] × p [], सूचकांक 2। सममिति जनित्रक के रूप में परावर्तन मैट्रिक्स के साथ गणना एक कॉक्सेटर समूह, जिसे कॉक्सेटर आरेख द्वारा दर्शाया जाता है, को शाखा क्रम के लिए कॉक्सेटर संकेतन [पी, क्यू] दिया जाता है। कॉक्सेटर आरेख में प्रत्येक नोड एक दर्पण का प्रतिनिधित्व करता है, जिसे परंपरा के अनुसार ρi (और मैट्रिक्स Ri) कहा जाता है। इस समूह [पी, क्यू] के जनरेटर प्रतिबिंब हैंः ρ0, ρ1, और ρ2। घूर्णन उपसममिति को प्रतिबिंबों के उत्पाद के रूप में दिया जाता हैः परंपरा के अनुसार, σ0,1 (और मैट्रिक्स S0,1) = ρ0ρ1 कोण π/p के घूर्णन का प्रतिनिधित्व करता है, और σ1,2 = ρ1ρ2 कोण π/q का घूर्णन है, और σ0,2 = ρ0ρ2 कोण π/2 के घूर्णन का प्रतिनिधित्व करता है। [p, q] +, एक सूचकांक 2 उपसमूह है जिसे दो घूर्णन जनरेटरों द्वारा दर्शाया जाता है, प्रत्येक दो प्रतिबिंबों का उत्पाद हैः σ0,1, σ1,2, और क्रमशः π/p, और π/q कोणों के घूर्णन का प्रतिनिधित्व करता है। एक सम शाखा के साथ, [p +, 2q], या, सूचकांक 2 का एक और उपसमूह है, जिसे घूर्णन जनित्र σ0,1 और परावर्तन ρ2 द्वारा दर्शाया जाता है। सम शाखाओं के साथ, [2p +, 2q +], दो जनरेटरों के साथ सूचकांक 4 का एक उपसमूह है, जिसे सभी तीन परावर्तन मैट्रिक्स के उत्पाद के रूप में बनाया गया हैः परंपरा के अनुसारः ± 0,1,2 और ± 1,2,0, जो घूर्णन परावर्तन हैं, जो एक परावर्तन और घूर्णन या परावर्तन का प्रतिनिधित्व करते हैं। एफ़ाइन कॉक्सेटर समूहों के मामले में, या, एक दर्पण, आमतौर पर अंतिम, मूल से अनुवादित किया जाता है। एक अनुवाद जनित्र τ0,1 (और मैट्रिक्स T0,1) का निर्माण एफ़ाइन परावर्तन सहित दो (या सम संख्या) परावर्तनों के गुणनफल के रूप में किया जाता है। एक परावर्तन (परावर्तन और एक अनुवाद) विषम संख्या में परावर्तन φ 0,1,2 (और मैट्रिक्स V 0,1,2) का गुणनफल हो सकता है, जैसे सूचकांक 4 उपसमूहः [4 +, 4 +] =। एक अन्य मिश्रित जनित्र, पारंपरिक रूप से ζ (और मैट्रिक्स Z) के रूप में, व्युत्क्रम का प्रतिनिधित्व करता है, जो एक बिंदु को उसके व्युत्क्रम पर मानचित्रित करता है। [4,3] और [5,3] के लिए, ζ = (ρ0ρ1ρ2) h/2, जहाँ h क्रमशः 6 और 10 है, प्रत्येक परिवार के लिए कॉक्सेटर संख्या है। 3डी कॉक्सेटर समूह [पी, क्यू] () के लिए, यह उपसमूह एक घूर्णन परावर्तन [2 +, एच +] है। कॉक्सेटर समूहों को उनकी श्रेणी के आधार पर वर्गीकृत किया जाता है, जो इसके कॉक्सेटर-डाइन्किन आरेख में नोड्स की संख्या है। समूहों की संरचना उनके अमूर्त समूह प्रकारों के साथ भी दी गई हैः इस लेख में, अमूर्त डायहेड्रल समूहों को डिह्न के रूप में दर्शाया गया है, और चक्रीय समूहों को Zn द्वारा दर्शाया गया है, जिसमें डिह1 = Z2 है। उदाहरण के लिए, 2डी में, कॉक्सेटर समूह [पी] () को दो परावर्तन मैट्रिक्स आर0 और आर1 द्वारा दर्शाया जाता है, चक्रीय समरूपता [पी] + () को मैट्रिक्स एस0,1 के घूर्णन जनरेटर द्वारा दर्शाया जाता है। श्रेणी 3 परिमित श्रेणी 3 कॉक्सेटर समूह हैं [1, पी], [2, पी], [3,3], [3,4], और [3,5]। एक तल के माध्यम से एक बिंदु को प्रतिबिंबित करने के लिए (जो मूल के माध्यम से जाता है), कोई भी उपयोग कर सकता है, जहां 3 × 3 पहचान मैट्रिक्स है और तल के वेक्टर सामान्य के लिए त्रि-आयामी इकाई वेक्टर है। यदि L2 मानक और एकता है, तो परिवर्तन मैट्रिक्स को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता हैः [p, 2] अपचनीय 3-आयामी परिमित परावर्तक समूह डायहेड्रल समरूपता है, [p, 2], क्रम 4p,। परावर्तन जनित्र मैट्रिक्स आर0, आर1, आर2 हैं। R02 = R12 = R22 = (R0 × R1) 3 = (R1 × R2) 3 = (R0 × R2) 2 = पहचान। [p, 2] + () 3 में से 2 आवर्तनों द्वारा उत्पन्न होता हैः S0,1, S1,2, और S0,2। एक क्रम पी घूर्णन वि 0,1,2 द्वारा उत्पन्न होता है, जो सभी 3 प्रतिबिंबों का गुणनफल है। [3,3] सबसे सरल अपरिवर्तनीय 3-आयामी परिमित परावर्तक समूह टेट्राहेड्रल समरूपता है, [3,3], क्रम 24,। डी3 = ए3 संरचना से परावर्तन जनरेटर मैट्रिक्स आर0, आर1, आर2 हैं। R02 = R12 = R22 = (R0 × R1) 3 = (R1 × R2) 3 = (R0 × R2) 2 = पहचान। [3,3] + () 3 में से 2 आवर्तनों द्वारा उत्पन्न होता हैः S0,1, S1,2, और S0,2। एक त्रिकोणीय उपसमूह, समरूपी से [2 +, 4], क्रम 8, S0,2 और R1 द्वारा उत्पन्न होता है। एक क्रम 4 का घूर्णन वि 0,1,2 द्वारा उत्पन्न होता है, जो सभी 3 प्रतिबिंबों का गुणनफल है। [4,3] एक अन्य अपरिवर्तनीय 3-आयामी परिमित परावर्तक समूह ऑक्टाहेड्रल समरूपता है, [4,3], क्रम 48,। परावर्तन जनित्र मैट्रिक्स आर0, आर1, आर2 हैं। R02 = R12 = R22 = (R0 × R1) 4 = (R1 × R2) 3 = (R0 × R2) 2 = पहचान। चिरल ऑक्टाहेड्रल समरूपता, [4,3] +, () 3 में से 2 आवर्तनों द्वारा उत्पन्न होती हैः S0,1, S1,2, और S0,2। पायरिटोहेड्रल समरूपता [4,3 +], () परावर्तन R0 और घूर्णन S1,2 द्वारा उत्पन्न होती है। 6 गुना घूर्णन वि 0,1,2 द्वारा उत्पन्न होता है, जो सभी 3 प्रतिबिंबों का गुणनफल है। [5,3] एक अंतिम अपरिवर्तनीय 3-आयामी परिमित परावर्तक समूह आइकोसाहेड्रल समरूपता है, [5,3], क्रम 120,। परावर्तन जनित्र मैट्रिक्स आर0, आर1, आर2 हैं। R02 = R12 = R22 = (R0 × R1) 5 = (R1 × R2) 3 = (R0 × R2) 2 = पहचान। [5,3] + () 3 में से 2 आवर्तनों द्वारा उत्पन्न होता हैः S0,1, S1,2, और S0,2। एक 10 गुना घूर्णन वि 0,1,2 द्वारा उत्पन्न होता है, जो सभी 3 प्रतिबिंबों का गुणनफल है। श्रेणी 4 4 आयामों में 4 अपरिवर्तनीय कॉक्सेटर समूह हैंः [3,3,3], [4,3,3], [31,1,1], [3,4,4], [5,3,3], साथ ही साथ डुओप्रिस्मैटिक समूहों का एक अनंत परिवार [p, 2, q]। [p, 2, q] द्वैतवादी समूह, [p, 2, q], का क्रम 4pq है। [[पी, 2, पी]] डुओप्रिस्मैटिक समूह दो विमानों के बीच 2 गुना घूर्णन के साथ, 8 पी 2 के क्रम में दोगुना हो सकता है। [3,3,3] हाइपरटेट्राहेड्रल समरूपता, [3,3,3], 120 के क्रम में, [4,3,3,3] के उपसमूह के रूप में 5-आयामों में 4 दर्पणों के साथ प्रतिनिधित्व करना सबसे आसान है। [[3,3,3] विस्तारित समूह [[3,3,3]], क्रम 240, को 2-गुना घूर्णन मैट्रिक्स T द्वारा दोगुना किया जाता है, यहाँ निर्देशांक क्रम और संकेत को उलटते हुएः 3 जनरेटर {T, R0, R1} हैं। चूँकि T स्व-पारस्परिक R3 = TR0T है, और R2 = TR1T है। [4,3,3] एक अपरिवर्तनीय 4-आयामी परिमित परावर्तक समूह हाइपरऑक्टेहेड्रल समूह (या हेक्साडेकाकोरिक समूह (16-कोशिका के लिए), B4 = [4,3,3], क्रम 384, है। परावर्तन जनित्र मैट्रिक्स आर0, आर1, आर2, आर3 हैं। R02 = R12 = R22 = R32 = (R0 × R1) 4 = (R1 × R2) 3 = (R2 × R3) 3 = (R0 × R2) 2 = (R1 × R3) 2 = (R0 × R3) 2 = पहचान। चिरल हाइपरऑक्टेहेड्रल समरूपता, [4,3,3] +, () 6 में से 3 आवर्तनों द्वारा उत्पन्न होती हैः S0,1, S1,2, S2,3, S0,2, S1,3, और S0,3। हाइपरपाइरिटोहेड्रल समरूपता [4, (3,3) +], () परावर्तन R0 और घूर्णन S1,2 और S2,3 द्वारा उत्पन्न होती है। 8 गुना दोहरा घूर्णन W 0,1,2,3 द्वारा उत्पन्न होता है, जो सभी 4 प्रतिबिंबों का गुणनफल है। [4,3,3] का आधा समूह [3,31,1], क्रम 192 है। यह [4,3,3] समूह के साथ 3 जनरेटर साझा करता है, लेकिन इसमें एक आसन्न जनरेटर की दो प्रतियां होती हैं, जिनमें से एक हटाए गए दर्पण पर प्रतिबिंबित होता है। [3,4,3] एक अपरिवर्तनीय 4-आयामी परिमित परावर्तक समूह समस्थानिकीय समूह (24-कोशिका के लिए), F4 = [3,4,3], क्रम 1152, है। परावर्तन जनित्र मैट्रिक्स आर0, आर1, आर2, आर3 हैं। R02 = R12 = R22 = R32 = (R0 × R1) 3 = (R1 × R2) 4 = (R2 × R3) 3 = (R0 × R2) 2 = (R1 × R3) 2 = (R0 × R3) 2 = पहचान। चिरल आइकोसिटेट्राकोरिक समरूपता, [3,4,3] +, () 6 में से 3 आवर्तनों द्वारा उत्पन्न होती हैः S0,1, S1,2, S2,3, S0,2, S1,3, और S0,3। आयनिक क्षीणित [3,4,3 +] समूह, () परावर्तन R0 और घूर्णन S1,2 और S2,3 द्वारा उत्पन्न होता है। 12 गुना दोहरा घूर्णन W 0,1,2,3 द्वारा उत्पन्न होता है, जो सभी 4 प्रतिबिंबों का गुणनफल है। [[3,4,3] समूह [[3,4,3]] 2 गुना घूर्णन, टी, दोहरीकरण क्रम से 2304 तक [3,4,3] का विस्तार करता है। [5,3,3] हाइपर-आइकोसाहेड्रल समरूपता, [5,3,3], क्रम 14400,। परावर्तन जनित्र मैट्रिक्स आर0, आर1, आर2, आर3 हैं। R02 = R12 = R22 = R32 = (R0 × R1) 5 = (R1 × R2) 3 = (R2 × R3) 3 = (R0 × R2) 2 = (R0 × R3) 2 = (R1 × R3) 2 = पहचान। [5,3,3] + () 3 आवर्तनों द्वारा उत्पन्न होता हैः S0,1 = R0 × R1, S1,2 = R1 × R2, S2,3 = R2 × R3, आदि। रैंक 8 [34,2,1] E8 कॉक्सेटर समूह, [34,2,1], में 8 दर्पण नोड्स हैं, ऑर्डर 696729,600 (192x10!)। E7 और E6, [33,2,1], और [32,2,1], का निर्माण क्रमशः पहले दर्पण या पहले दो दर्पणों को नजरअंदाज करके किया जा सकता है। एफ़ाइन रैंक 2 एफ़ाइन मैट्रिक्स को एक अतिरिक्त पंक्ति और कॉलम जोड़कर दर्शाया जाता है, अंतिम पंक्ति अंतिम प्रविष्टि 1 को छोड़कर शून्य होती है। अंतिम स्तंभ एक अनुवाद सदिश का प्रतिनिधित्व करता है। एफाइन समूह को दो परावर्तन मैट्रिक्स, x = 0 और x = 1 द्वारा दिया जा सकता है। एफाइन श्रेणी 3 [4,4] एफाइन समूह [4,4], (p4m), को तीन परावर्तन मैट्रिक्स, x अक्ष (y = 0) के पार परावर्तन, एक विकर्ण (x = y), और रेखा के पार परावर्तन (x = 1) द्वारा दिया जा सकता है। [4,4] + () (p4) S0,1 S1,2, और S0,2 द्वारा उत्पन्न होता है। [4 +, 4 +] () (पी. जी. जी.) 2 गुना रोटेशन एस0,2 और ग्लाइड रिफ्लेक्शन (ट्रांसरिफ़्लेक्शन) वी <आई. डी1> द्वारा उत्पन्न होता है। [4 +, 4] () (p4g) S0,1 और R3 द्वारा उत्पन्न होता है। समूह [(4,4,2 +)] () (cmm), 2 गुना घूर्णन S1,3 और परावर्तन R2 द्वारा उत्पन्न होता है। [3,6] एफाइन समूह [3,6], (p6m), को तीन परावर्तन मैट्रिक्स द्वारा दिया जा सकता है, x अक्ष (y = 0), रेखा y = (√3/2) x, और ऊर्ध्वाधर रेखा x = 1 के पार परावर्तन। [3 [3] एफाइन समूह [3 [3]] का निर्माण आधे समूह के रूप में किया जा सकता है। R2 को R '2 = R2 × R1 × R2 द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, जिसे हाइपरप्लेन द्वारा प्रस्तुत किया जाता हैः y + (σ3/2) x = 2। मौलिक क्षेत्र एक समबाहु त्रिभुज है जिसके किनारे की लंबाई 2 है। एफाइन श्रेणी 4 [4,3,4] एफाइन समूह [4,3,4] () है, जिसे चार परावर्तन मैट्रिक्स द्वारा दिया जा सकता है। दर्पण R0 को z = 0 तल पर रखा जा सकता है। दर्पण R1 को समतल y = z पर रखा जा सकता है। दर्पण R2 को x = y तल पर रखा जा सकता है। दर्पण आर3 को x = 1 तल पर रखा जा सकता है। [4,3,4] + () S0,1, S1,2, और S2,3 द्वारा उत्पन्न होता है। [[4,3,4] विस्तारित समूह [[4,3,4]] समूह क्रम को दोगुना कर देता है, 2-गुना घूर्णन मैट्रिक्स T के साथ जोड़ता है, अंकों (1,1/2,0) और (1/2,1 2,1/2) के माध्यम से एक निश्चित अक्ष के साथ। जनरेटर {R0, R1, T} हैं। R2 = T × R1 × T और R3 = T × R0 × T। [4,31,1] समूह [4,31,1] का निर्माण [4,3,4] से, [4,3,4,1 +] की गणना करके, R '3 = R3 × R2 × R3 के रूप में, नए R' 3 के साथ R3 के पार R2 की छवि के रूप में किया जा सकता है। [3 [4] समूह [3 [4]] का निर्माण [4,3,4] से, पहले और अंतिम दर्पणों, [1 +, 4,3,4,1 +] को हटाकर, R '1 = R0 × R1 × R0 और R' 3 = R3 × R2 × R3 द्वारा किया जा सकता है। टिप्पणियाँ संदर्भ एच. एस. एम. कॉक्सेटरः कैलिडोस्कोपः एच. एस. एम. के चयनित लेखन। कॉक्सेटर, एफ. आर्थर शेर्क, पीटर मैकमुलन, एंथनी सी. थॉम्पसन, एशिया आइविक वीस, विली-इंटरसाइंस पब्लिकेशन, 1995, (पेपर 22) (पेपर 23) (पेपर 24) नॉर्मन जॉनसन यूनिफॉर्म पॉलीटोप, पांडुलिपि (1991) एन. डब्ल्यू. जॉनसनः द थ्योरी ऑफ यूनिफॉर्म पॉलीटोप एंड हनीकॉम्ब्स, पी. एच. डी. (1966) नॉर्मन डब्ल्यू. जॉनसन एंड एशिया आइविक वीस क्वाड्रैटिक इंटीगर्स एंड कॉक्सेटर ग्रुप्स पीडीएफ कैन। जे. गणित। खण्ड. 51 (6), 1999 पीपी। 1307-1336 N. W. जॉनसनः ज्यामिति और परिवर्तन, (2018) PDF जॉन एच. कॉनवे और डेरेक ए. स्मिथ, ऑन क्वाटर्नियंस एंड ऑक्टोनिअन्स, 2003, द सिमेट्रीज़ ऑफ़ थिंग्स 2008, जॉन एच. कॉनवे, हेइडी बर्गियल, चैम गुडमैन-स्ट्रास, Ch.22 35 प्रमुख अंतरिक्ष समूह, ch.25 184 समग्र अंतरिक्ष समूह, ch.26 उच्चतर स्थिर, 4D बिंदु समूह सममिति समूह सिद्धांत