Affine root system
गणित में, एक एफ़ाइन मूल प्रणाली एक यूक्लिडियन स्थान पर एफ़ाइन-रैखिक कार्यों की एक मूल प्रणाली है। इनका उपयोग एफ़ाइन लाइ अलजेब्रा और सुपरअलजेब्रा, और अर्ध-सरल पी-एडिक बीजगणितीय समूहों के वर्गीकरण में किया जाता है, और मैकडोनाल्ड बहुपदों के परिवारों के अनुरूप होता है। के. ए. सी. और मूडी द्वारा के. ए. सी.-मूडी बीजगणित पर अपने काम में कम एफ़ाइन जड़ प्रणालियों का उपयोग किया गया था। संभवतः गैर-कम एफ़ाइन रूट प्रणालियों को और द्वारा पेश और वर्गीकृत किया गया था (सिवाय इसके कि इन दोनों पत्रों ने गलती से डायनकिन आरेख को छोड़ दिया)। परिभाषा मान लीजिए कि E एक एफ़ाइन स्थान है और V इसके अनुवाद का वेक्टर स्थान है। याद रखें कि वी ई पर विश्वासपूर्वक और पारगमनशील रूप से कार्य करता है। विशेष रूप से, यदि, तो इसे अच्छी तरह से परिभाषित किया गया है कि वी में एक तत्व है जिसे डब्ल्यू के रूप में दर्शाया गया है। अब मान लीजिए कि हमारे पास V पर एक अदिश उत्पाद है। यह E पर एक मीट्रिक को परिभाषित करता है। एफ़ाइन-लीनियर फ़ंक्शंस के वेक्टर स्पेस F पर विचार करें। a को स्थिर करने के बाद, F में प्रत्येक तत्व को V पर एक रैखिक फलन के रूप में लिखा जा सकता है जो की पसंद पर निर्भर नहीं करता है। अब V के दोहरे को चुने गए अदिश उत्पाद की बदौलत V के साथ पहचाना जा सकता है और हम F पर एक उत्पाद को परिभाषित कर सकते हैं। किसी के लिए और क्रमशः सेट करें। पहचान आइए हम ई पर एक परावर्तन को निम्नलिखित तरीके से परिभाषित करते हैंः स्थानान्तरण द्वारा एफ पर भी कार्य करता है क्योंकि एक एफाइन रूट प्रणाली एक उपसमुच्चय है जो इस प्रकार हैः एस के तत्वों को एफाइन रूट कहा जाता है। के साथ उत्पन्न समूह के साथ चिह्नित करें। हम यह भी पूछते हैं इसका मतलब है कि किसी भी दो कॉम्पैक्ट के लिए ऐसे तत्व जो एक परिमित संख्या हैं। वर्गीकरण एफाइन जड़ प्रणालियाँ A1 = B1 = B = C1 = C समान हैं, जैसा कि जोड़े B2 = C2, B = C, और A3 = D3 हैं तालिका में दी गई कक्षाओं की संख्या वेल समूह के तहत सरल जड़ों की कक्षाओं की संख्या है। डायनकिन आरेखमे, गैर-कम सरल जड़सभ α (2αक जड़क संग) हरे रङ्गक होयत छैक। एक श्रृंखला में पहला डायनकिन आरेख कभी-कभी दूसरों के समान नियम का पालन नहीं करता है। A1, BC1, (BC1, C1), (C, BC1), (C, C1)। रैंक 2: ए2, सी2, सी, बी. सी2, (बी2, बी), (सी, सी2), (सी, सी2), जी2, जी. रैंक 3: ए3, बी3, बी, सी3, सी, बी. सी. 3, (बी. सी. 3, सी3), (सी, बी. सी. 3), (बी3, बी), (सी, सी3)। श्रेणी 4: ए4, बी4, बी, सी4, सी, बी. सी. 4, (बी. सी. 4, सी4), (सी, बी4), (बी4, बी), (सी, सी4), डी4, एफ4, एफ. श्रेणी 5: ए5, बी5, बी, सी5, सी, बी. सी5, (बी. सी. 5, सी5), (सी, बी. सी. 5), (बी5, बी), (सी, सी5), डी5। रैंक 6: ए6, बी6, बी, सी6, सी, बी. सी. 6, (बी. सी. 6, सी6), (सी, बी6), (बी6, बी), (सी, सी6), डी6, ई6, रैंक 7: ए7, बी7, बी, सी, सी, बी. सी. 7, (बी. सी. 7, सी7), (सी, बी. सी. 7), (बी7, बी), (सी, सी7), डी7, ई7, रैंक 8: ए8, बी8, बी8, सी8, सी8, (बी8, सी8), (सी, बी8), (बी8, बी), (सी, सी8), डी। अनुप्रयोगों से पता चला कि एफाइन रूट सिस्टम सूचकांक मैकडोनाल्ड पहचान ने पी-एडिक बीजगणितीय समूहों का अध्ययन करने के लिए एफाइन रूट सिस्टम का उपयोग किया। कम एफ़ाइन रूट सिस्टम एफ़ाइन काक-मूडी अल्जेब्रा को वर्गीकृत करते हैं, जबकि गैर-कम एफ़ाइन रूट सिस्टम एफ़ाइन लाइ सुपरएलजेब्रा के अनुरूप होते हैं। यह दर्शाता है कि मैकडोनाल्ड बहुपदों के मूल प्रणाली सूचकांक परिवार। संदर्भ विविक्त समूह लाइ अल्जेब्रा ऑर्थोगोनल बहुपद