Hecke algebra of a locally compact group
गणित में, एक स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट समूह का एक हेक बीजगणित कन्वोलुशन के तहत द्वि-अपरिवर्तनीय मापों का एक बीजगणित है। परिभाषा मान लीजिए कि (G, K) एक ऐसा जोड़ा है जिसमें एक एकीकृत स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट टोपोलॉजिकल समूह G और G का एक बंद उपसमूह K है। फिर कॉम्पैक्ट समर्थन C [K\ G/K] के द्वि-K-अपरिवर्तनीय निरंतर कार्यों के स्थान को कन्वोलुशन के संचालन के तहत एक सहयोगी बीजगणित की संरचना के साथ संपन्न किया जा सकता है। इस बीजगणित को एच (जी/के) से दर्शाया जाता है और इसे जोड़ी (जी, के) का हेक रिंग कहा जाता है। यदि हम एक गेलफैंड जोड़ी से शुरू करते हैं तो परिणामी बीजगणित परिवर्तनीय हो जाता है। एस. एल. (2) के उदाहरण विशेष रूप से, यह तब होता है जब जी = एस. एल. एन. (क्यू. पी.) और के = एस. एल. एन. (जेड. पी.) और संबंधित कम्यूटेटिव हेक रिंग के प्रतिनिधित्व का अध्ययन इयान जी. मैकडोनाल्ड द्वारा किया गया था। दूसरी ओर, G = GL2 (Q) और K = GL2 (Z) के मामले में हमारे पास शास्त्रीय हेक बीजगणित है, जो मॉड्यूलर रूपों के सिद्धांत में हेक ऑपरेटरों का कम्यूटेटिव रिंग है। इवाहोरी एक परिमित वेल समूह के इवाहोरी-हेक्के बीजगणित की ओर ले जाने वाला मामला तब होता है जब G pk तत्वों के साथ एक परिमित क्षेत्र पर परिमित चेवलली समूह होता है, और B इसका बोरेल उपसमूह होता है। इवाहोरी ने दिखाया कि हेक वलय H (G// B) को G के वेल समूह W के सामान्य हेक बीजगणित Hq से प्राप्त किया जाता है, जो बाद के बीजगणित के अनिश्चित q को pk में विशेषज्ञता देता है, जो कि परिमित क्षेत्र की प्रधानता है। जॉर्ज लुज़्टिग ने 1984 में टिप्पणी की (एक सीमित क्षेत्र पर अपचायक समूहों के वर्ण, xi, फुटनोट): इवाहोरी और मात्सुमोटो (1965) ने उस मामले पर विचार किया जब G एक गैर-आर्किमिडियन स्थानीय क्षेत्र F पर एक अपचायक बीजगणितीय समूह के बिंदुओं का एक समूह है, जैसे कि Qp, और K जिसे अब G का एक इवाहोरी उपसमूह कहा जाता है। परिणामी हेक रिंग G के एफाइन वेल समूह के हेक बीजगणित या एफाइन हेक बीजगणित के लिए समरूप है, जहां अनिश्चित q को F के अवशिष्ट क्षेत्र की प्रधानता के लिए विशिष्ट किया गया है। स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट समूह संदर्भों का समूह बीजगणित भी देखें।