Mathematics: The Loss of Certainty
गणितः निश्चितता का नुकसान मॉरिस क्लाइन की सदियों से गणितीय संस्कृतियों के भीतर विकासशील दृष्टिकोण पर एक पुस्तक है। यह पुस्तक इस इतिहास का पता लगाती है कि कैसे गणित में नए परिणामों ने युगों-युगों से गणितविदों को आश्चर्यचकित किया है। उदाहरणों में शामिल हैं कि कैसे 19वीं शताब्दी के गणितशास्त्री गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति की खोज से आश्चर्यचकित थे और कैसे गोडेल की अपूर्णता प्रमेय ने कई तर्कविदों को निराश किया। क्लाइन ने इसके अलावा न्यूटन और लीबनिज़ जैसे कुछ सबसे प्रमुख गणितविदों के भगवान के साथ घनिष्ठ संबंध पर चर्चा की। उनका मानना है कि न्यूटन के धार्मिक हित उनके गणितीय और वैज्ञानिक कार्य की वास्तविक प्रेरणा थे। उन्होंने 10 दिसंबर, 1692 को रेवरेंड रिचर्ड बेंटले को लिखे एक पत्र से न्यूटन को उद्धृत कियाः जब मैंने अपनी प्रणाली के बारे में अपना ग्रंथ द मैथमेटिकल प्रिंसिपल्स ऑफ नेचुरल फिलॉसफी लिखा था, तो मेरी नजर ऐसे सिद्धांतों पर थी जो एक देवता में विश्वास के लिए मनुष्यों पर विचार करने के साथ काम कर सकते हैं; और मुझे इसके लिए उपयोगी होने से ज्यादा खुशी नहीं हो सकती है क्योंकि लीबनिज़ विज्ञान को एक धार्मिक मिशन के रूप में मानते थे जिसे करने के लिए वैज्ञानिक कर्तव्यबद्ध थे। क्लाइन 1699 या 1700 के एक दिनांकित पत्र से लीबनिज़ को उद्धृत करते हैंः मुझे ऐसा लगता है कि पूरी मानव जाति का प्रमुख लक्ष्य ईश्वर के चमत्कारों का ज्ञान और विकास होना चाहिए, और यही कारण है कि भगवान ने उन्हें globe.Kline का साम्राज्य दिया, यह भी तर्क देता है कि गणित का एक सार्वभौमिक रूप से स्वीकार्य, तार्किक रूप से मजबूत निकाय स्थापित करने का प्रयास विफल हो गया है। उनका मानना है कि आज अधिकांश गणितशास्त्री अनुप्रयोगों पर काम नहीं करते हैं। इसके बजाय वे लगातार बढ़ती गति से शुद्ध गणित में नए परिणाम देना जारी रखते हैं। आलोचना इस पुस्तक की समीक्षाओं में, कई विशेषज्ञ, लेखक के दृष्टिकोण को श्रद्धांजलि देते हुए, उन पर पक्षपातपूर्ण भावनात्मकता, बेईमानी और अक्षमता का आरोप लगाते हैं। विशेष रूप से, द अमेरिकन मैथमेटिकल मंथली में रेमंड जी. अयूब लिखते हैंः सदियों से, यूक्लिडियन ज्यामिति अंतरिक्ष का एक अच्छा मॉडल प्रतीत होती थी। परिणाम खगोल विज्ञान और नौवहन में प्रभावी रूप से उपयोग किए गए थे और अभी भी हैं। जब इसे औपचारिकता की बारीकी से जांच के अधीन किया गया था, तो इसमें कमजोरियां पाई गईं और यह देखना दिलचस्प है कि, इस बार, यह औपचारिकता की बारीकी से जांच थी जिसके कारण गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति की खोज (कुछ लोग आविष्कार कहेंगे) हुई। (यह कई वर्षों बाद था कि एक संतोषजनक यूक्लिडियन मॉडल तैयार किया गया था।) यह लेखक यह समझने में विफल रहा कि यह खोज, क्लाइन के शब्दों में, एक "पराजय" क्यों थी। इसके विपरीत, क्या यह एक बड़ी जीत नहीं है? प्रोफेसर क्लाइन अपने पाठकों के साथ ईमानदारी से व्यवहार नहीं करते हैं। वह एक विद्वान व्यक्ति हैं और पूरी तरह से जानते हैं कि अमूर्त में बनाए गए कई गणितीय विचारों का वास्तविक दुनिया में महत्वपूर्ण उपयोग हुआ है। वह इस तथ्य को नजरअंदाज करने का विकल्प चुनता है, जिसे गणित के सबसे कट्टर विरोधियों ने भी स्वीकार किया है। वह एक असमर्थनीय हठधर्मिता का समर्थन करने के लिए ऐसा करता है। एक को लुई XIV के दरबार के विदूषक की कहानी याद आती हैः बाद वाले ने एक कविता लिखी थी और विदूषक से उसकी राय पूछी थी। "आपकी महिमा कुछ भी करने में सक्षम है। आपकी महिमा डॉगगेरेल लिखने के लिए निकली है और आपकी महिमा सफल हुई है। संतुलन पर, अफ़सोस, इस पुस्तक के बारे में ऐसा कहा जाना चाहिए। गणितीय समीक्षाओं में जॉन कोरकोरनः पुस्तक का समग्र उद्देश्य गणित के दर्शन के रूप में एक मानसिक व्यावहारिकता को आगे बढ़ाना है जो "व्यावहारिक गणित" को बढ़ाता है और "शुद्ध गणित" और मूलभूत अध्ययन दोनों को बदनाम करता है। हालाँकि इसकी थीसिस कुछ हद तक बीसवीं शताब्दी के तर्कविदों की गहरी मूलभूत उपलब्धियों पर आधारित है, बुनियादी दर्शन विभिन्न दर्शनों का एक करीबी चचेरा भाई है जो उन्नीसवीं शताब्दी में प्रभावशाली थे। इसके अलावा, जैसा कि उपरोक्त सूचीबद्ध विचारों से देखा जा सकता है, बीसवीं शताब्दी के तर्क की लेखक की समझ विश्वसनीय नहीं है। तदनुसार उन्हें यह आश्चर्यजनक लगता है (पृष्ठ 322,323) कि हिल्बर्ट, गोडेल, चर्च, बोरबाकी स्कूल के सदस्य, और नींव पर काम करने वाले अन्य नेता इस बात की पुष्टि करते हैं कि गणितीय अवधारणाएं और गुण कुछ वस्तुनिष्ठ अर्थों में मौजूद हैं और उन्हें मानव मस्तिष्क द्वारा पकड़ा जा सकता है। अभी-अभी उल्लिखित गणितविदों के प्लेटोनिस्ट यथार्थवाद के खिलाफ उनका एकमात्र तर्क (मानव) त्रुटि और (गणितीय) झूठ (पृष्ठ 324) के बीच अंतर करने में उनकी विफलता पर आधारित है। ऐसा प्रतीत होता है कि लेखक को यह एहसास नहीं है कि ज्ञान प्राप्त करने के लिए अचूक होना आवश्यक नहीं है, और न ही वह यह स्वीकार करता है कि निश्चितता की हानि सत्य की हानि के समान नहीं है। लेखक के तर्क के दार्शनिक और मूलभूत पहलुओं को गणित के इतिहास के व्यापक सर्वेक्षण और व्याख्या में बुना गया है। यह उम्मीद की जा सकती है कि ठोस ऐतिहासिक कार्य से इस तर्क को कुछ हद तक भुनाया जा सकेगा, लेकिन ऐसा नहीं है। लेखक के दृष्टिकोण के लिए सबसे महत्वपूर्ण दो अवधियों की व्याख्या असंगत रूप से की गई है। (क) कुछ अंशों में लेखक इस स्पष्ट सत्य को स्वीकार करता है कि अनुभव और अवलोकन ने शास्त्रीय यूनानी गणित के विकास में महत्वपूर्ण भूमिका निभाई। 9, 18, 24, 167)। लेकिन अन्य अंशों में, उन्होंने आरोप लगाया कि शास्त्रीय यूनानी गणितविदों ने अनुभव और अवलोकन की निंदा की, और "स्वयं-स्पष्ट सत्य" (पीपी। 17, 20, 21, 22, 29, 95, 307)। (ख) कुछ अंशों में लेखक ने उन्नीसवीं शताब्दी की शुरुआत को गणित की दृढ़ता में व्यापक विश्वास के समय के रूप में चित्रित किया है। 6, 68, 78, 103, 173), लेकिन अन्य अंशों में उन्होंने इस अवधि को बौद्धिक उथल-पुथल के समय के रूप में वर्णित किया है जिसमें गणितविदों ने अपने विज्ञान के आधार के बारे में गंभीर संदेहों का मनोरंजन किया था। 152, 153, 170, 308). कोई भी केवल दार्शनिक, मूलभूत और ऐतिहासिक अपर्याप्तताओं पर खेद व्यक्त कर सकता है जो मुख्य तर्क को दूषित करते हैं और जो पुस्तक द्वारा प्रदान किए गए कई ध्वनि और आकर्षक टिप्पणियों और अंतर्दृष्टि से ध्यान भटकाते हैं। एमी दहन इन रेव्यू डी 'हिस्टॉयर डेस साइंसेजः क्वांटम ऑक्स डर्नियर्स चैपिटर्स सुर लेस ग्रैंडेस टेंडेन्स डेस मैथमेटिक्स कंटेम्पोराइंस, इल्स सॉन्ट फ़्रैंचाइंस डेसेवेंटस, एसेज़ सुपरफिसियल्स। यह गणितीय समकालीनता का विश्लेषण नहीं करता है (महान संरचनावादी, ठोस, प्रवाह, गणित और शरीर, आदि)। ई. टी. सी.: ए रिव्यू ऑफ जनरल सिमेंटिक्सः प्रोफेसर क्लाइन की पुस्तक में स्कॉट वेनस्टीन एक आकर्षक विषय का जीवंत विवरण है। हालाँकि, इसके निष्कर्ष अतिरंजित हैं और कई मामलों में अनुचित हैं। बीसवीं सदी के मूलभूत शोध से जो सबक सीखा जाना चाहिए वह यह नहीं है कि गणित एक खेदजनक स्थिति में है, बल्कि यह है कि गणित के बारे में गहरे दार्शनिक मुद्दों को गणित द्वारा ही उजागर किया जा सकता है। गोडेल के प्रमेय वास्तव में अंतरंग करते हैं कि गणित में हम जो कुछ भी जान सकते हैं उसकी सीमाएँ हो सकती हैं, लेकिन वे अपने माध्यम से उन महान ऊंचाइयों को भी प्रदर्शित करते हैं जिन पर गणितीय विचार के माध्यम से मानव तर्क चढ़ सकता है। इयान स्टीवर्ट ने गणित में शैक्षिक अध्ययन में कहाः यह पुस्तक दृढ़ता से उस परंपरा में है जिसकी हम इस लेखक से उम्मीद करने आए हैं; और इसके प्रति मेरी प्रतिक्रिया काफी हद तक इसके पूर्ववर्तियों के प्रति मेरी प्रतिक्रिया की तरह हैः मुझे लगता है कि इसका तीन चौथाई हिस्सा शानदार है, और दूसरा चौथाई अपमानजनक मूर्खतापूर्ण है; और इसका कारण यह है कि मॉरिस क्लाइन वास्तव में आज के गणित के बारे में नहीं समझते हैं, हालांकि उन्हें कल की ईर्ष्यापूर्ण समझ है। मॉरिस क्लाइन ने कहीं और कहा है कि वह बीसवीं शताब्दी के गणित की शीर्ष उपलब्धि को गोडेल प्रमेय मानते हैं। मैं सहमत नहीं हूँः जी. डी. डी. एल. प्रमेय, आश्चर्यजनक और गहरा होने के बावजूद, वास्तविक गणितीय विकास की मुख्यधारा पर बहुत कम प्रभाव डाला। यह वास्तव में एक ही प्रकार के अधिक प्रमेयों को छोड़कर कुछ भी नया और शक्तिशाली नहीं था। यह प्रभावित करता है कि गणितशास्त्री इस बारे में कैसे सोचते हैं कि वे क्या कर रहे थे; लेकिन उन्होंने वास्तव में जो किया उस पर इसका प्रभाव शून्य के करीब है। इसकी तुलना टोपोलॉजी के उदय से कीजिएः गणितविदों द्वारा पचास वर्षों के स्पष्ट रूप से अंतर्मुखी प्रयासों, बड़े पैमाने पर अनुप्रयुक्त विज्ञान की अनदेखी; परिष्कृत और परिपूर्ण और विशाल और अभी भी बड़े पैमाने पर अवास्तविक शक्ति की तकनीक के एक निकाय के रूप में विकसित; और पिछले दशक के भीतर व्यावहारिक विज्ञान के लगभग हर क्षेत्र में महत्वपूर्ण हो गयाः इंजीनियरिंग, भौतिकी, रसायन विज्ञान, संख्यात्मक विश्लेषण। टोपोलॉजी इस सदी की सर्वोच्च उपलब्धि होने का कहीं अधिक दावा करती है। लेकिन मॉरिस क्लाइन केवल अंतर्दृष्टि देख सकते हैं। उन्हें ऐसा नहीं लगता कि एक गणितीय समस्या के लिए गणित के केंद्रित चिंतन की आवश्यकता हो सकती है, न कि उस समस्या के लिए जिसके लिए कोई संतोषजनक समाधान प्राप्त करने के लिए परिणामी सिद्धांत को लागू करने की उम्मीद करता है। लेकिन अगर मैं एक सेब के पेड़ को काटना चाहता हूं, और मेरी आरी बहुत कुंद है, तो पेड़ के बारे में कोई भी विचार उसे तेज नहीं करेगा। अच्छा गणित है, और बुरा गणित है। ऐसे गणितशास्त्री हैं जो विज्ञान में पूरी तरह से रुचि नहीं रखते हैं, जो ऐसे उपकरण बना रहे हैं जो विज्ञान को अपरिहार्य लगेंगे। ऐसे गणितशास्त्री हैं जो विज्ञान में रुचि रखते हैं, और वहाँ विशिष्ट उपयोग के लिए उपकरण बनाते हैं, जिनका काम ज़ेपेलिन या इलेक्ट्रॉनिक वाल्व की तरह अप्रचलित हो जाएगा। खोज से उपयोगिता तक का मार्ग झूठे लक्ष्यों का एक खरगोश-युद्ध हैः अपने लिए गणित का चीजों की योजना में अपना स्थान रहा है, और रहेगा। और, आखिरकार, उस टोपोलॉजिस्ट का अलगाव जो कोई भौतिकी नहीं जानता है, उस भौतिक विज्ञानी से भी बदतर नहीं है जो कोई टोपोलॉजी नहीं जानता है। आज के विज्ञान को अपने व्यक्तियों से विशेषज्ञता की आवश्यकता हैः समग्र रूप से वैज्ञानिकों की सामूहिक गतिविधि वह जगह है जहाँ लिंक जाली हैं। अगर केवल मॉरिस क्लाइन ने इस प्रक्रिया की प्रकृति के बारे में कुछ संकेत दिखाया, तो मैं उनके तर्कों को अधिक गंभीरता से लूंगा। लेकिन उनका यह दावा कि गणित में गिरावट आई है, बहुत अधिक अज्ञानता पर आधारित है, और उनके तर्क आज के गणित के अद्भुत, चमकते जोश की तुलना में अस्पष्ट हैं। मैं भी वैज्ञानिक समस्याओं के महत्व के बारे में गणितविदों द्वारा अधिक स्पष्ट मान्यता देखना चाहूंगा; लेकिन इस तथ्य को याद रखना कि वे इस स्पष्ट अलगाव में भी शानदार काम करते हैं, युद्ध शुरू होने से पहले ही हार जाना है। ग्रंथ सूची मॉरिस क्लाइन, गणितः निश्चितता का नुकसान, ऑक्सफोर्ड यूनिवर्सिटी प्रेस, 1980 नोट्स गणित के इतिहास के बारे में आगे पढ़ने वाली किताबें