André–Oort conjecture
गणित में, आंद्रे-ओर्ट अनुमान डायोफैंटाइन ज्यामिति में एक समस्या है, जो संख्या सिद्धांत की एक शाखा है, जिसे मैनिन-मम्फोर्ड अनुमान के गैर-एबेलियन अनुरूप के रूप में देखा जा सकता है, जो अब एक प्रमेय है (कई अलग-अलग तरीकों से सिद्ध)। यह अनुमान शिमुरा किस्मों में विशेष बिंदुओं के सेट के ज़ारिस्की बंद होने के लक्षण वर्णन से संबंधित है। अनुमान का एक विशेष मामला 1989 में यवेस आंद्रे द्वारा कहा गया था और 1995 में फ़्रांस ऊर्ट द्वारा एक अधिक सामान्य कथन (यद्यपि शिमुरा किस्म के प्रकार पर प्रतिबंध के साथ) का अनुमान लगाया गया था। आधुनिक संस्करण इन दो अनुमानों का एक स्वाभाविक सामान्यीकरण है। कथन अपने आधुनिक रूप में अनुमान इस प्रकार है। शिमुरा किस्म में विशेष बिंदुओं के एक समूह के ज़ारिस्की समापन का प्रत्येक अपरिवर्तनीय घटक एक विशेष उप-विविधता है। आंद्रे का अनुमान का पहला संस्करण केवल एक आयामी अपरिवर्तनीय घटकों के लिए था, जबकि ऊर्ट ने प्रस्ताव दिया कि यह आयाम जी की मुख्य रूप से ध्रुवीकृत अबेलियन किस्मों के मॉड्यूली स्पेस में मनमाने आयाम के अपरिवर्तनीय घटकों के लिए सही होना चाहिए। ऐसा लगता है कि आंद्रे पारगमन सिद्धांत के अनुप्रयोगों से प्रेरित था जबकि ऊर्ट मैनिन-मम्फोर्ड अनुमान के साथ सादृश्य से। आंशिक परिणाम बेन मूनेन, यवेस आंद्रे, आंद्रेई याफेव, बास एडिक्सहोवेन, लॉरेंट क्लोज़ेल, ब्रूनो क्लिंगलर और इमैनुएल उल्मो सहित अन्य लोगों द्वारा पूर्ण अनुमान की दिशा में विभिन्न परिणाम स्थापित किए गए हैं। इनमें से कुछ परिणाम सामान्यीकृत रीमान परिकल्पना (जी. आर. एच.) के सही होने पर सशर्त थे। वास्तव में, जीआरएच के तहत पूर्ण अनुमान का प्रमाण ब्रूनो क्लिंगलर, इमैनुएल उल्मो और आंद्रेई याफेव द्वारा 2014 में एनल्स ऑफ मैथेमैटिक्स में प्रकाशित किया गया था। 2006 में, अम्बर्टो ज़ैनियर और जोनाथन पिला ने मैनिन-ममफोर्ड-आंद्रे-ओर्ट प्रकार की समस्याओं के लिए एक दृष्टिकोण विकसित करने के लिए ओ-न्यूनतम ज्यामिति और दिव्य संख्या सिद्धांत से तकनीकों का उपयोग किया। 2009 में, जोनाथन पिला ने मॉड्यूलर वक्रों के मनमाने उत्पादों के लिए आंद्रे-ओर्ट अनुमान को बिना शर्त साबित किया, जिसके परिणामस्वरूप उन्हें 2011 का क्ले रिसर्च अवार्ड मिला। ब्रूनो क्लिंगलर, इमैनुएल उल्मो और आंद्रेई याफेव ने 2014 में, सामान्य पिला-ज़ैनियर दृष्टिकोण के लिए आवश्यक कार्यात्मक उत्कृष्टता परिणाम को साबित किया और इमैनुएल उल्मो ने इससे रणनीति में प्रेरण चरण के लिए आवश्यक तकनीकी परिणाम का अनुमान लगाया है। शेष तकनीकी घटक विशेष बिंदुओं के गैलोइस डिग्री से नीचे की सीमा की समस्या थी। सीगल मॉड्यूलर किस्म के मामले में, इस सीमा का अनुमान 2015 में जैकब सिमरमैन द्वारा औसत कोल्मेज़ अनुमान और मैसर-वुस्टहोल्ट्ज़ आइसोजेनी अनुमानों से लगाया गया था। औसत कोल्मेज़ अनुमान शिनयी युआन और शौ-वू झांग द्वारा और स्वतंत्र रूप से एंड्रीटा, गोरेन, हावर्ड और मादापुसी-पेरा द्वारा साबित किया गया था। 2019-2020 में, गैल बिनियामिनी, हैरी श्मिट और आंद्रेई याफेव ने टोरी और अबेलियन किस्मों में मरोड़ के बिंदुओं पर हैरी श्मिट के पिछले काम और विचारों और गैल बिनियामिनी के बिंदु गिनती के परिणामों के आधार पर, विशेष बिंदुओं की ऊंचाइयों की सीमा पर एक अनुमान तैयार किया है और इसकी वैधता से पूर्ण आंद्रे-ओर्ट अनुमान के प्रमाण के लिए आवश्यक विशेष बिंदुओं की गैलोइस डिग्री की सीमा का अनुमान लगाया है। सितंबर 2021 में, जोनाथन पिला, अनंत शंकर और जैकब सिमरमैन ने एक पेपर में (हेलेन एस्नाल्ट और माइकल ग्रोचेनिग द्वारा लिखित एक परिशिष्ट की विशेषता) बिनियामिनी-श्मिट-याफेव ऊंचाई अनुमान के प्रमाण का दावा किया, इस प्रकार पिला-ज़ैनियर रणनीति का उपयोग करके आंद्रे-ऑर्ट अनुमान के प्रमाण को पूरा किया। कोलमैन-ओर्ट अनुमान एक संबंधित अनुमान जिसके दो रूप हैं, समतुल्य यदि आंद्रे-ओर्ट अनुमान माना जाता है, कोलमैन-ओर्ट अनुमान है। रॉबर्ट कोलमैन ने अनुमान लगाया कि पर्याप्त रूप से बड़े जी के लिए, जीनस जी के केवल सीमित रूप से कई चिकने प्रोजेक्टिव वक्र सी हैं, जैसे कि जैकोबियन किस्म जे (सी) सीएम-प्रकार की एक अबेलियन किस्म है। ऊर्ट ने तब अनुमान लगाया कि टोरेली लोकस-आयाम जी की अबेलियन किस्मों के मॉड्यूली स्थान का-पर्याप्त रूप से बड़ा जी के लिए आयाम> 0 की कोई विशेष उप-विविधता नहीं है जो टोरेली मानचित्रण की छवि को एक घने खुले उपसमुच्चय में काटती है। सामान्यीकरण मैनिन-ममफोर्ड और आंद्रे-ओर्ट अनुमानों को कई दिशाओं में सामान्यीकृत किया जा सकता है, उदाहरण के लिए 'विशेष' होने वाले बिंदुओं के गुणों में ढील देकर (और इसके बजाय तथाकथित 'असंभव लोकस' पर विचार करके) या अधिक सामान्य परिवेशी किस्मों को देखकरः अबेलियन या अर्ध-एबेलियन योजनाएं, मिश्रित शिमुरा किस्में आदि। इन सामान्यीकरणों को बोलचाल की भाषा में जिल्बर-गुलाबी अनुमानों के रूप में जाना जाता है क्योंकि इस प्रकार की समस्याओं को रिचर्ड पिंक और बोरिस जिल्बर द्वारा प्रस्तावित किया गया था। इनमें से अधिकांश प्रश्न खुले हैं और वर्तमान सक्रिय शोध का विषय हैं। ज़िलबर-गुलाबी अनुमान संदर्भ भी देखें आगे पढ़ने के लिए डायोफ़ेनटाइन ज्यामिति अनुमान