Automorphic L-function
गणित में, एक ऑटोमोर्फिक एल-फ़ंक्शन एक जटिल चर एस का एक फ़ंक्शन एल (एस, π, आर) है, जो एक वैश्विक क्षेत्र पर एक अपवर्तक समूह जी के एक ऑटोमोर्फिक प्रतिनिधित्व π से जुड़ा हुआ है और लैंगलैंड के दोहरे समूह एलजी ऑफ जी के एक सीमित-आयामी जटिल प्रतिनिधित्व आर, डिरिचलेट चरित्र की डिरिचलेट एल-श्रृंखला और एक मॉड्यूलर रूप के मेलिन परिवर्तन को सामान्यीकृत करता है। उनके द्वारा परिचय कराया गया। और ऑटोमोर्फिक एल-कार्यों का सर्वेक्षण दिया। ऑटोमोर्फिक-फंक्शन के गुणों में निम्नलिखित गुण होने चाहिए (जो कुछ मामलों में साबित हुए हैं लेकिन फिर भी अन्य मामलों में अनुमानात्मक हैं)। एल-फलन स्थानीय कार्यों के स्थानों पर एक उत्पाद होना चाहिए। यहाँ ऑटोमोर्फिक प्रतिनिधित्व स्थानीय समूहों के प्रतिनिधित्व का एक टेंसर उत्पाद है। एल-फलन से उम्मीद की जाती है कि वह सभी जटिलों के एक मेरोमॉर्फिक फलन के रूप में एक विश्लेषणात्मक निरंतरता रखता है, और एक कार्यात्मक समीकरण को संतुष्ट करता है जहां कारक "स्थानीय स्थिरांक" का एक उत्पाद है जिसमें से लगभग सभी 1 हैं। सामान्य रैखिक समूहों ने टेट की थीसिस में विधि के सामान्यीकरण का उपयोग करके मानक प्रतिनिधित्व (तथाकथित मानक एल-कार्य) और सत्यापित विश्लेषणात्मक निरंतरता और कार्यात्मक समीकरण के साथ सामान्य रैखिक समूहों के लिए स्वचालित एल-कार्यों का निर्माण किया। लैंगलैंड्स कार्यक्रम में सर्वव्यापी जीएल (एम) और जीएल (एन) के प्रतिनिधित्व के रैंकिन-सेलबर्ग उत्पाद हैं। परिणामस्वरूप रैंकिन-सेलबर्ग एल-कार्य कई विश्लेषणात्मक गुणों को संतुष्ट करते हैं, उनके कार्यात्मक समीकरण को पहली बार लैंगलैंड-शाहिदी विधि के माध्यम से साबित किया गया है। सामान्य तौर पर, लैंगलैंड्स फंक्शनलिटी अनुमानों का तात्पर्य है कि एक जुड़े हुए रिडक्टिव समूह के ऑटोमोर्फिक एल-फंक्शन सामान्य रैखिक समूहों के ऑटोमोर्फिक एल-फंक्शन के उत्पादों के बराबर हैं। लैंगलैंड की कार्यात्मकता का प्रमाण भी ऑटोमोर्फिक एल-कार्यों के विश्लेषणात्मक गुणों की पूरी तरह से समझ की ओर ले जाएगा। संदर्भ ऑटोमोर्फिक रूप जीटा और एल-फंक्शन लैंगलैंड्स प्रोग्राम