Ex-tangential quadrilateral
यूक्लिडियन ज्यामिति में, एक पूर्व-स्पर्शरेखा चतुर्भुज एक उत्तल चतुर्भुज है जहाँ सभी चार पक्षों के विस्तार चतुर्भुज के बाहर एक वृत्त के लिए स्पर्शरेखा हैं। इसे एक वर्णनातीत चतुर्भुज भी कहा गया है। वृत्त को इसका एक्ससर्कल कहा जाता है, इसकी त्रिज्या एक्सरेडियस और इसके केंद्र को एक्सेंटर (आकृति में) कहा जाता है। एक्सेंटर छह कोण वाले द्विभाजक के प्रतिच्छेदन पर स्थित है। ये दो विपरीत शीर्ष कोणों पर आंतरिक कोण द्विभाजक हैं, अन्य दो शीर्ष कोणों पर बाहरी कोण द्विभाजक (पूरक कोण द्विभाजक) हैं, और उन कोणों पर बाहरी कोण द्विभाजक हैं जहां विपरीत पक्षों के विस्तार प्रतिच्छेद करते हैं (दाईं ओर की आकृति देखें, जहां इन छह में से चार बिंदीदार रेखा खंड हैं)। पूर्व-स्पर्शरेखा चतुर्भुज स्पर्शरेखा चतुर्भुज से निकटता से संबंधित है (जहां चार पक्ष एक वृत्त के स्पर्शरेखा हैं)। एक वृत्त के लिए एक और नाम एक निर्दिष्ट वृत्त है, लेकिन उस नाम का उपयोग उत्तल चतुर्भुज के एक तरफ एक वृत्त स्पर्शरेखा और आस-पास के दो पक्षों के विस्तार के लिए भी किया गया है। उस संदर्भ में सभी उत्तल चतुर्भुजों में चार निर्दिष्ट वृत्त होते हैं, लेकिन उनमें अधिक से अधिक एक वृत्त हो सकता है। विशेष मामले पतंग पूर्व-स्पर्शरेखा चतुर्भुजों के उदाहरण हैं। पैरेललोग्राम (जिसमें वर्ग, समभुज और आयत शामिल हैं) को अनंत एक्सरेडियस के साथ एक्स-टेंजेंशियल चतुर्भुज माना जा सकता है क्योंकि वे अगले खंड में लक्षण वर्णन को संतुष्ट करते हैं, लेकिन एक्ससर्कल विपरीत पक्षों के विस्तार के दोनों जोड़े के लिए स्पर्शरेखा नहीं हो सकता है (क्योंकि वे समानांतर हैं)। उत्तल चतुर्भुज जिनकी पार्श्व लंबाई एक अंकगणितीय प्रगति बनाती है, वे हमेशा पूर्व-स्पर्शरेखा होते हैं क्योंकि वे निकटवर्ती पार्श्व लंबाई के लिए नीचे दिए गए लक्षण वर्णन को संतुष्ट करते हैं। विशेषताएँ एक उत्तल चतुर्भुज पूर्व-स्पर्शरेखा है यदि और केवल तभी जब छह समवर्ती कोण द्विभाजक हों। ये दो विपरीत शीर्ष कोणों पर आंतरिक कोण द्विभाजक हैं, अन्य दो शीर्ष कोणों पर बाहरी कोण द्विभाजक हैं, और उन कोणों पर बाहरी कोण द्विभाजक हैं जहां विपरीत पक्षों के विस्तार प्रतिच्छेद करते हैं। गणना के उद्देश्य के लिए, एक अधिक उपयोगी लक्षण वर्णन यह है कि क्रमिक भुजाओं वाला एक उत्तल चतुर्भुज स्पर्शरेखा है यदि और केवल तभी जब दो आसन्न भुजाओं का योग अन्य दो भुजाओं के योग के बराबर हो। यह दो अलग-अलग तरीकों से संभव हैः या यह 1846 में जैकब स्टेनर द्वारा साबित किया गया था। पहले मामले में, अग्रवृत्त सबसे बड़े शीर्षों के बाहर है या, जबकि दूसरे मामले में यह सबसे बड़े शीर्षों के बाहर है या, बशर्ते कि चतुर्भुज की भुजाएँ भुजाओं के संबंध में इन लक्षण वर्णनों को संयोजित करने का एक तरीका यह है कि विपरीत भुजाओं के बीच अंतर के निरपेक्ष मान विपरीत भुजाओं के दो जोड़े के लिए बराबर हैं, ये समीकरण स्पर्शरेखा चतुर्भुज के लिए पिटोट प्रमेय से निकटता से संबंधित हैं, जहां विपरीत भुजाओं के योग विपरीत भुजाओं के दो जोड़े के लिए बराबर हैं। उर्कहार्ट की प्रमेय यदि एक उत्तल चतुर्भुज में विपरीत भुजाएँ और पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो दाईं ओर के निहितार्थ का नाम एल. एम. उर्कहार्ट (1902-1966) के नाम पर रखा गया है, हालांकि यह 1841 में ऑगस्टस डी मॉर्गन द्वारा बहुत पहले साबित किया गया था। डेनियल पेडो ने इसे यूक्लिडियन ज्यामिति में सबसे प्राथमिक प्रमेय नाम दिया क्योंकि यह केवल सीधी रेखाओं और दूरियों से संबंधित है। यह कि वास्तव में एक समानता है, मोवफैक हज्जा द्वारा साबित किया गया था, जो दक्षिण की समानता को एक चतुर्भुज के लिए पूर्व-स्पर्शात्मक होने के लिए एक और आवश्यक और पर्याप्त शर्त बनाता है। एक स्पर्शरेखा चतुर्भुज के साथ तुलना स्पर्शरेखा चतुर्भुज (तालिका में बाएं स्तंभ) के कुछ मीट्रिक लक्षण वर्णनों में पूर्व स्पर्शरेखा चतुर्भुज (तालिका में मध्य और दाएं स्तंभ) के लिए बहुत समान समकक्ष हैं, जैसा कि नीचे दी गई तालिका में देखा जा सकता है। इस प्रकार एक उत्तल चतुर्भुज में उपयुक्त शीर्ष (स्तंभ के आधार पर) के बाहर एक अंतःवृत्त या एक बाह्यवृत्त होता है यदि और केवल तभी जब नीचे दी गई पांच आवश्यक और पर्याप्त शर्तों में से कोई एक संतुष्ट हो। इस तालिका में संकेतन इस प्रकार हैंः एक उत्तल चतुर्भुज में, विकर्ण प्रतिच्छेद करते हैं। त्रिभुजों में परिधीय हैं; एक ही चार त्रिभुजों में क्रमशः भुजाओं से ऊँचाई हैं; शीर्षों से दूरी क्रमशः हैं; कोण क्रमशः हैं; और वृत्तों में त्रिज्याएँ हैं जो क्रमशः भुजाओं के लिए बाहरी रूप से स्पर्शरेखा हैं और प्रत्येक पक्ष के लिए निकटवर्ती दो भुजाओं का विस्तार है। क्षेत्रफल भुजाओं के साथ एक पूर्व-स्पर्शरेखा चतुर्भुज का क्षेत्रफल होता है ध्यान दें कि यह एक स्पर्शरेखा चतुर्भुज के क्षेत्रफल के लिए एक ही सूत्र है और यह भी उसी तरह ब्रेत्श्नाइडर के सूत्र से लिया गया है। त्रिज्या लगातार भुजाओं वाले एक पूर्व-स्पर्शरेखा चतुर्भुज के लिए त्रिज्या इस प्रकार दी जाती है कि चतुर्भुज का क्षेत्रफल कहाँ है। दी गई भुजाओं के साथ एक पूर्व-स्पर्शरेखा चतुर्भुज के लिए, एक्सरेडियस अधिकतम होता है जब चतुर्भुज भी चक्रीय होता है (और इसलिए एक पूर्व-द्वि-केंद्रित चतुर्भुज)। ये सूत्र बताते हैं कि सभी समानांतर चतुर्भुज में अनंत एक्सरेडियस क्यों होता है। पूर्व-द्वि-केंद्रित चतुर्भुज यदि एक पूर्व-स्पर्शरेखा चतुर्भुज में भी एक परिधि होती है, तो इसे पूर्व-द्वि-केंद्रित चतुर्भुज कहा जाता है। फिर, चूंकि इसके दो विपरीत पूरक कोण हैं, इसलिए इसका क्षेत्रफल दिया जाता है जो एक द्वि-केंद्रित चतुर्भुज के लिए समान है। यदि परिधीय केंद्र और परिधीय केंद्र के बीच की दूरी है, तो परिधीय और परिधीय क्षेत्र क्रमशः कहाँ हैं। यह एक द्विकेन्द्री चतुर्भुज के लिए फ़ुस के प्रमेय के समान समीकरण है। लेकिन जब के लिए हल करते हैं, तो हमें द्वि-केंद्रित की तुलना में पूर्व-द्वि-केंद्रित चतुर्भुज के लिए द्विघात समीकरण का दूसरा मूल चुनना चाहिए। इसलिए, हमारे पास एक्स-बाइसेंट्रिक के लिए इस सूत्र से यह इस प्रकार है जिसका अर्थ है कि परिधि और एक्ससर्कल कभी भी एक दूसरे को काट नहीं सकते हैं। पूर्ण चतुर्भुज चक्रीय चतुर्भुज संदर्भ भी देखें चतुर्भुज के प्रकार