L-semi-inner product
गणित में, अर्ध-लघु-उत्पाद की दो अलग-अलग धारणाएँ हैं। पहला, और अधिक सामान्य, एक आंतरिक उत्पाद है जो सख्ती से सकारात्मक होने की आवश्यकता नहीं है। यह लेख दूसरे के बारे में बताएगा, जिसे ल्यूमर के अर्थ में एल-सेमी-इनर उत्पाद या सेमी-इनर उत्पाद कहा जाता है, जो एक आंतरिक उत्पाद है जिसे संयुग्मित सममित होने की आवश्यकता नहीं है। यह कार्यात्मक विश्लेषण में बनाच रिक्त स्थान तक हिल्बर्ट अंतरिक्ष प्रकार तर्कों का विस्तार करने के उद्देश्य से गुंटर लूमेर द्वारा तैयार किया गया था। बाद में जाइल्स द्वारा मौलिक गुणों की खोज की गई। परिभाषा हम फिर से उल्लेख करते हैं कि यहाँ प्रस्तुत परिभाषा मानक कार्यात्मक विश्लेषण पाठ्यपुस्तकों में "अर्ध-लघु उत्पाद" से अलग है, जहाँ एक "अर्ध-लघु उत्पाद" आंतरिक उत्पादों (संयुग्म समरूपता सहित) के सभी गुणों को संतुष्ट करता है, सिवाय इसके कि इसे सख्ती से सकारात्मक होने की आवश्यकता नहीं है। एक सेमी-इनर-प्रोडक्ट, एल-सेमी-इनर प्रोडक्ट, या जटिल संख्याओं के क्षेत्र पर एक रैखिक सदिश स्थान के लिए ल्यूमेर के अर्थ में एक सेमी-इनर प्रोडक्ट एक फ़ंक्शन है जिसे आम तौर पर दर्शाया जाता है, जैसे कि सभी गैर-नकारात्मक-परिभाषा के लिएः पहले तर्क में रैखिकता, जिसका अर्थ हैः पहले तर्क में योगात्मकताः पहले तर्क में समरूपताः दूसरे तर्क में संयुग्मित समरूपताः कॉची-श्वार्ज असमानता-आंतरिक उत्पादों से अंतर एक सेमी-इनर-प्रोडक्ट आंतरिक उत्पादों से अलग है जिसमें यह सामान्य रूप से संयुग्मित सममित नहीं होता है, यानी आम तौर पर। यह कहने के बराबर है कि दूसरे शब्दों में, अर्ध-लघु-उत्पाद आम तौर पर अपने दूसरे चर के बारे में अरैखिक होते हैं। मानकीकृत स्थानों के लिए अर्ध-लघु-उत्पाद यदि एक रैखिक वेक्टर स्थान के लिए एक अर्ध-लघु-उत्पाद है तो एक मानक को परिभाषित करता है। इसके विपरीत, यदि मानक के साथ एक मानक वेक्टर स्थान है तो हमेशा एक (आवश्यक रूप से अद्वितीय नहीं) अर्ध-लघु-उत्पाद मौजूद होता है जो इस अर्थ में मानक के अनुरूप होता है कि उदाहरण यूक्लिडियन स्थान में मानक () के साथ सुसंगत अर्ध-लघु-उत्पाद होता हैः जहां सामान्य रूप से, एक माप स्थान पर-अभिन्न कार्यों का स्थान जहां मानक के साथ सुसंगत अर्ध-लघु-उत्पाद होता हैः अनुप्रयोग ल्यूमेर के विचार के बाद, अर्ध-लघु-उत्पादों को व्यापक रूप से बनाच स्थानों पर रैखिक संचालकों का अध्ययन करने के लिए लागू किया गया था। 2007 में, डेर और ली ने बनाच स्थानों में बड़े मार्जिन वर्गीकरण को विकसित करने के लिए अर्ध-लघु-उत्पादों को लागू किया। हाल ही में, मशीन लर्निंग के लिए कर्नेल बनाच स्पेस को पुनः पेश करने की अवधारणा को स्थापित करने में अर्ध-लघु-उत्पादों का उपयोग मुख्य उपकरण के रूप में किया गया है। सेमी-इनर-उत्पादों का उपयोग फ्रेम के सिद्धांत को स्थापित करने के लिए भी किया जा सकता है, बनाच रिक्त स्थान के लिए रीज़ आधार। संदर्भ कार्यात्मक विश्लेषण भी देखें।