Fraunhofer diffraction equation
प्रकाशिकी में, फ्राउनहोफर विवर्तन समीकरण का उपयोग तरंगों के विवर्तन को मॉडल करने के लिए किया जाता है जब विवर्तन पैटर्न को विवर्तनकारी वस्तु से लंबी दूरी पर देखा जाता है, और यह भी जब इसे एक इमेजिंग लेंस के केंद्र तल पर देखा जाता है। समीकरण का नाम जोसेफ वॉन फ्राउनहोफर के सम्मान में रखा गया था, हालांकि वे वास्तव में सिद्धांत के विकास में शामिल नहीं थे। यह लेख विभिन्न गणितीय रूपों में समीकरण देता है, और विक्षेपण छिद्रों के कई अलग-अलग रूपों के लिए फ्राउनहोफर विवर्तन पैटर्न की विस्तृत गणना प्रदान करता है, विशेष रूप से सामान्य रूप से घटना एकवर्णी समतल तरंग के लिए। फ्राउनहोफर विवर्तन की एक गुणात्मक चर्चा कहीं और पाई जा सकती है। परिभाषा जब प्रकाश की किरण को किसी बाधा द्वारा आंशिक रूप से अवरुद्ध किया जाता है, तो कुछ प्रकाश वस्तु के चारों ओर बिखरा होता है, और प्रकाश और गहरे रंग की पट्टियाँ अक्सर छाया के किनारे पर देखी जाती हैं-इस प्रभाव को विवर्तन के रूप में जाना जाता है। किरचॉफ विवर्तन समीकरण एक अभिव्यक्ति प्रदान करता है, जो तरंग समीकरण से प्राप्त होता है, जो एक छिद्र द्वारा विक्षेपित तरंग का वर्णन करता है; इस समीकरण के विश्लेषणात्मक समाधान अधिकांश विन्यासों के लिए उपलब्ध नहीं हैं। फ्राउनहोफर विवर्तन समीकरण एक अनुमान है जिसे तब लागू किया जा सकता है जब विवर्तित तरंग को दूर के क्षेत्र में देखा जाता है, और यह भी जब एक लेंस का उपयोग विवर्तित प्रकाश को केंद्रित करने के लिए किया जाता है; कई उदाहरणों में, फ्राउनहोफर समीकरण के लिए एक सरल विश्लेषणात्मक समाधान उपलब्ध है-इनमें से कई नीचे दिए गए हैं। कार्टेशियन निर्देशांक में यदि छिद्र समतल में है, छिद्र में उत्पत्ति के साथ और तरंग दैर्ध्य λ की एक एकवर्णी तरंग द्वारा प्रकाशित है, तो जटिल आयाम के साथ तरंग संख्या, और विक्षेपित तरंग को धनात्मक-अक्ष के साथ गैर-प्राथमिक तल में देखा जाता है, जहां मूल के संबंध में बिंदु की दिशा कोसाइन हैं। विवर्तन तरंग का जटिल आयाम फ्राउनहोफर विवर्तन समीकरण द्वारा इस प्रकार दिया गया हैः इस समीकरण से यह देखा जा सकता है कि विवर्तन पैटर्न का रूप केवल देखने की दिशा पर निर्भर करता है, इसलिए विवर्तन पैटर्न आकार में बदलता है लेकिन देखने की दूरी के परिवर्तन के साथ रूप में नहीं। फ्राउनहोफर विवर्तन समीकरण को विभिन्न गणितीय रूपों में व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिएः यह देखा जा सकता है कि उपरोक्त समीकरणों में समाकलन आवृत्तियों पर मूल्यांकन किए गए एपर्चर फ़ंक्शन का फूरियर परिवर्तन है। इस प्रकार, हम समीकरण को फ़ोरियर परिवर्तन के संदर्भ में भी लिख सकते हैंः जहाँ का फ़ोरियर परिवर्तन है। फूरियर परिवर्तन सूत्रीकरण विवर्तन समस्याओं को हल करने में बहुत उपयोगी हो सकता है। एक अन्य रूप हैः जहां क्रमशः अवलोकन बिंदु और छिद्र में एक बिंदु का प्रतिनिधित्व करता है, और क्रमशः छिद्र और विवर्तित तरंगों पर विक्षोभ के तरंग वैक्टर का प्रतिनिधित्व करता है, और छिद्र पर विक्षोभ के परिमाण का प्रतिनिधित्व करता है। ध्रुवीय निर्देशांक में जब विवर्तन छिद्र में गोलाकार समरूपता होती है, तो कार्टेशियन निर्देशांक के बजाय ध्रुवीय निर्देशांक का उपयोग करना उपयोगी होता है। छिद्र में एक बिंदु में निर्देशांक देते हैंः और जटिल आयाम द्वारा दिया जाता है, और क्षेत्र ρ′dρ′dω′ में परिवर्तित हो जाता है, जो देता है। कोई निर्भरता नहीं है। इस मामले में, हमारे पास एपर्चर फ़ंक्शन के फूरियर-बेसल या हैंकेल परिवर्तन के बराबर है, उदाहरण यहाँ सामान्य रूप से घटना मोनोक्रोमैटिक प्लेन तरंग के साथ फ्रॉनहोफर विवर्तन के उदाहरण दिए गए हैं। प्रत्येक मामले में, विवर्तनशील वस्तु समतल में स्थित होती है, और आपतित समतल तरंग का जटिल आयाम इस प्रकार दिया जाता है कि तरंग विक्षोभ का परिमाण कहाँ है, तरंग दैर्ध्य कहाँ है, प्रकाश का वेग कहाँ है, समय = तरंग संख्या है और चरण समय पर शून्य है। समय पर निर्भर कारक को पूरी गणना में छोड़ दिया जाता है, क्योंकि यह स्थिर रहता है, और जब तीव्रता की गणना की जाती है तो इसका औसत निकाला जाता है। पर तीव्रता आयाम गुना इसके जटिल संयुग्म के समानुपाती होती है ये व्युत्पत्तियाँ अधिकांश मानक प्रकाशिकी पुस्तकों में अलग-अलग संकेतनों का उपयोग करके थोड़े अलग रूपों में पाई जा सकती हैं। यहाँ मॉडल किए गए प्रत्येक सिस्टम के लिए एक संदर्भ दिया गया है। उपयोग किए गए फूरियर परिवर्तन यहाँ पाए जा सकते हैं। संकीर्ण आयताकार चीरा छिद्र चौड़ाई का एक चीरा है जो-अक्ष के साथ स्थित है, एकीकरण द्वारा समाधान यह मानते हुए कि चीरा का केंद्र स्थित है, उपरोक्त पहला समीकरण, सभी मूल्यों के लिए हैः यूलर के सूत्र का उपयोग करते हुए, इसे सरल बनाया जा सकता हैः कहाँ। सिंक फलन को कभी-कभी इस रूप में परिभाषित किया जाता है और यह विभिन्न ग्रंथों में व्युत्पत्तियों को देखते समय भ्रम पैदा कर सकता है। इसे इस प्रकार भी लिखा जा सकता हैः z-अक्ष और मूल से जुड़ने वाली रेखा के बीच का कोण कहाँ है और कब। फ़ोरियर परिवर्तन समाधान स्लिट को रेक्ट फ़ंक्शन द्वारा इस प्रकार दर्शाया जा सकता हैः इस फ़ंक्शन का फ़ोरियर परिवर्तन इस प्रकार दिया गया है कि फ़ोरियर परिवर्तन आवृत्ति कहाँ है, और फ़ंक्शन को यहाँ के रूप में परिभाषित किया गया है। तीव्रता आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है, और इसलिए एपर्चर आयताकार छिद्र होता है जब चौड़ाई W और ऊंचाई H का एक आयताकार चीरा तरंग दैर्ध्य की एक एकवर्णी समतल तरंग द्वारा सामान्य रूप से प्रकाशित किया जाता है (सामान्य कोण पर प्रकाशित चीरा), तो जटिल आयाम पिछले खंड के समान विश्लेषणों का उपयोग करके पाया जा सकता है, जिसे दो स्वतंत्र ऑर्थोगोनल आयामों पर लागू किया जाता हैः तीव्रता इस प्रकार दी जाती है जहां और अक्ष अवलोकन के तल या छवि तल (उपरोक्त आकृति में वर्णित) पर अनुप्रस्थ दिशाओं को परिभाषित करते हैं, और यह चित्र तल पर चीरा केंद्र और अवलोकन के बिंदु के बीच की दूरी है। व्यवहार में, सभी चीरे सीमित आकार के होते हैं इसलिए (चौड़ाई डब्ल्यू परिभाषित) और (ऊंचाई एच परिभाषित) अक्षों के साथ दोनों अनुप्रस्थ दिशाओं पर विवर्तन उत्पन्न करते हैं। यदि चीरे की ऊँचाई H इसकी चौड़ाई W से बहुत अधिक है, तो ऊर्ध्वाधर (ऊंचाई या अक्ष के साथ) विवर्तन किनारे की दूरी क्षैतिज (चौड़ाई या अक्ष के साथ) किनारे की दूरी की तुलना में बहुत कम है। यदि ऊर्ध्वाधर फ्रिंज अंतर अपेक्षाकृत इतने बड़े एच से इतना कम है, तो ऊर्ध्वाधर फ्रिंज का अवलोकन इतना कठिन है कि अवलोकन के तल या छवि तल पर विवर्तित तरंग तीव्रता पैटर्न को देखने वाला व्यक्ति केवल क्षैतिज फ्रिंज को उनकी संकीर्ण ऊंचाई के साथ पहचानता है। यही कारण है कि एक ऊंचाई-लंबी स्लिट या स्लिट सरणी जैसे कि विवर्तन ग्रेटिंग का विश्लेषण आमतौर पर केवल चौड़ाई के साथ आयाम में किया जाता है। यदि प्रज्ज्वलित किरण चीरे की पूरी ऊँचाई को रोशन नहीं करती है, तो ऊर्ध्वाधर किनारों का अंतर चीरे की ऊँचाई के साथ लेजर किरण के आयाम से निर्धारित किया जाता है। नीचे दिए गए दो-स्लिट पैटर्न की बारीकी से जांच से पता चलता है कि मुख्य धब्बों के ऊपर और नीचे बहुत महीन ऊर्ध्वाधर विवर्तन किनारे हैं, साथ ही अधिक स्पष्ट क्षैतिज किनारे भी हैं। वृत्ताकार छिद्र छिद्र का व्यास होता है। अवलोकन तल में जटिल आयाम एकीकरण द्वारा समाधान द्वारा दिया जाता है पुनरावृत्ति संबंध का उपयोग करते हुए देने के लिए यदि हम प्रतिस्थापित करते हैं और एकीकरण की सीमाएँ 0 हो जाती हैं और, हम पुटिंग प्राप्त करते हैं, तो हमें फूरियर-बेसल परिवर्तन का उपयोग करके समाधान मिलता है। इस प्रकार, हम तीव्रता प्राप्त करते हैं तीव्रता इस प्रकार दी जाती हैः विवर्तन पैटर्न का रूप इसे हवादार विवर्तन पैटर्न के रूप में जाना जाता है विवर्तन पैटर्न सामान्य अक्ष के बारे में सममित है। गॉसियन प्रोफाइल वाला एपर्चर, उदाहरण के लिए, एक गॉसियन प्रोफाइल वाला एपर्चर, एक फोटोग्राफिक स्लाइड जिसके संचरण में गॉसियन भिन्नता होती है, ताकि मूल से r 'की दूरी पर स्थित एपर्चर में एक बिंदु पर आयाम को फूरियर-बेसल परिवर्तन का उपयोग करके समाधान देकर दिया जाए। हैंकेल परिवर्तन दे रहा है और तीव्रता तीव्रता इस प्रकार दी गई हैः यह कार्य दाईं ओर प्लॉट किया गया है, और यह देखा जा सकता है कि आयताकार या गोलाकार छिद्रों द्वारा उत्पादित विवर्तन पैटर्न के विपरीत, इसमें कोई माध्यमिक वलय नहीं है। इसका उपयोग एपोडाइजेशन नामक प्रक्रिया में किया जा सकता है-एपर्चर एक फिल्टर द्वारा कवर किया जाता है जिसका संचरण गॉसियन फ़ंक्शन के रूप में भिन्न होता है, जो बिना किसी माध्यमिक रिंग के एक विवर्तन पैटर्न देता है। स्लिट टू स्लिट वह पैटर्न जो तब होता है जब प्रकाश दो स्लिट ओवरलैप से विक्षेपित होता है, भौतिकी में काफी रुचि रखता है, पहला यंग के हस्तक्षेप प्रयोग के माध्यम से प्रकाश के तरंग सिद्धांत को स्थापित करने में इसके महत्व के लिए, और दूसरा क्वांटम यांत्रिकी में डबल-स्लिट प्रयोग में एक विचार प्रयोग के रूप में इसकी भूमिका के कारण। लाल लेजर का उपयोग करके संकीर्ण स्लिट्स right|thumb |Two स्लिट हस्तक्षेप मान लीजिए कि हमारे पास तरंग दैर्ध्य की एक समतल तरंग द्वारा प्रकाशित दो लंबे स्लिट्स हैं। चीरे समतल में, अक्ष के समानांतर, दूरी से अलग होते हैं और मूल के बारे में सममित होते हैं। स्लिट्स की चौड़ाई तरंग दैर्ध्य की तुलना में छोटी होती है। समाकलन द्वारा समाधान आपतित प्रकाश को चीरा द्वारा समान गोलाकार तरंगों में विक्षेपित किया जाता है। इन दोनों छिद्रों से एक दी गई दिशा में यात्रा करने वाली तरंगों के अलग-अलग चरण होते हैं। उद्गम के सापेक्ष ऊपरी और निचले छिद्रों से तरंगों का चरण इस प्रकार दिया गया है और संक्षेपित तरंगों का जटिल आयाम इस प्रकार दिया गया हैः फूरियर परिवर्तन का उपयोग करके समाधान छिद्र को इस फलन द्वारा दर्शाया जा सकता हैः डेल्टा फलन कहाँ है। हमारे पास है और यह वही अभिव्यक्ति है जो एकीकरण द्वारा ऊपर व्युत्पन्न की गई है। तीव्रता यह संयुक्त तरंगों की तीव्रता इस प्रकार देता हैः सीमित चौड़ाई के चीरे चीरे की चौड़ाई, सीमित है। एकीकरण द्वारा समाधान विवर्तन पैटर्न इस प्रकार दिया जाता हैः फूरियर परिवर्तन का उपयोग करके समाधान एपर्चर फ़ंक्शन इस प्रकार दिया जाता हैः इस फ़ंक्शन का फूरियर परिवर्तन इस प्रकार दिया जाता है कि फूरियर परिवर्तन आवृत्ति कहाँ है, और फ़ंक्शन को यहाँ परिभाषित किया गया है और हमारे पास है या यह वही अभिव्यक्ति है जो एकीकरण द्वारा प्राप्त की गई थी। तीव्रता इस प्रकार दी जाती हैः यह देखा जा सकता है कि तीव्रता पैटर्न का रूप व्यक्तिगत स्लिट विवर्तन पैटर्न का उत्पाद है, और हस्तक्षेप पैटर्न जो नगण्य चौड़ाई के स्लिट्स के साथ प्राप्त किया जाएगा। यह दाईं ओर की छवि में चित्रित किया गया है जो एक लेजर बीम द्वारा एकल स्लिट विवर्तन को दर्शाता है, और दो समान स्लिट्स द्वारा दिए गए विवर्तन/हस्तक्षेप पैटर्न को भी दर्शाता है। ग्रेटिंग्स ए ग्रेटिंग को बोर्न एंड वुल्फ में "किसी भी व्यवस्था के रूप में परिभाषित किया गया है जो एक आपतित तरंग पर आयाम या चरण, या दोनों की आवधिक भिन्नता को लागू करती है।" नैरो स्लिट ग्रेटिंग एक साधारण ग्रेटिंग में स्लिट्स के साथ एक स्क्रीन होती है जिसकी चौड़ाई आपतित प्रकाश की तरंग दैर्ध्य से काफी कम होती है। समाकलन द्वारा समाधान एक कोण पर विवर्तित तरंग का जटिल आयाम इस प्रकार दिया जाता हैः क्योंकि यह एक ज्यामितीय श्रृंखला का योग है। फूरियर परिवर्तन का उपयोग करके समाधान एपर्चर द्वारा दिया जाता है इस फ़ंक्शन का फूरियर परिवर्तन हैः 20 और 50 संकीर्ण स्लिट ग्रेटिंग विवर्तन पैटर्न में मुख्य अधिकतम की तीव्रता thumb|200px |right |Detail तीव्रता इस प्रकार दी जाती हैः इस फ़ंक्शन में अधिकतम और न्यूनतम की एक श्रृंखला होती है। नियमित रूप से अंतर "प्रमुख अधिकतम" होते हैं, और प्रमुख अधिकतम के बीच में कई बहुत छोटे अधिकतम होते हैं। प्रमुख अधिकतम तब होता है जब और मुख्य विवर्तित किरणें इसलिए कोणों पर होती हैंः यह सामान्य रूप से आपतित प्रकाश के लिए ग्रेटिंग समीकरण है। छोटे मध्यवर्ती अधिकतम की संख्या स्लिट्स की संख्या के बराबर होती है, और उनका आकार और आकार भी इसके द्वारा निर्धारित किया जाता है। = 50 के लिए पैटर्न का रूप पहली आकृति में दिखाया गया है। 20 और 50 स्लिट्स ग्रेटिंग्स के लिए विस्तृत संरचना दूसरे आरेख में चित्रित की गई है। फाइनाइट विड्थ स्लिट ग्रेटिंग ग्रेटिंग में अब इंटीग्रेशन का उपयोग करके चौड़ाई और दूरी के समाधान के एन "स्लिट्स हैं आयाम इस प्रकार दिया गया हैः फूरियर परिवर्तन का उपयोग करके समाधान एपर्चर फ़ंक्शन को इस प्रकार लिखा जा सकता हैः कन्वोलुशन थ्योरम का उपयोग करते हुए, जो कहता है कि यदि हमारे पास दो कार्य हैं और, और हमारे पास जहां कन्वोलुशन ऑपरेशन को दर्शाता है, तो हम एपर्चर फ़ंक्शन को भी लिख सकते हैं। मुख्य विवर्तित चोटियों के आकार को अलग-अलग स्लिट्स के विवर्तन पैटर्न के साथ संशोधित किया जाता है। उपरोक्त फूरियर परिवर्तन विधि का उपयोग किसी भी आवधिक संरचना के लिए विवर्तन के रूप को खोजने के लिए किया जा सकता है जहां संरचना का फूरियर परिवर्तन ज्ञात है। गुडमैन इस विधि का उपयोग साइनसॉइडल आयाम और चरण मॉड्यूलेशन ग्रेटिंग के साथ प्राप्त विवर्तन पैटर्न के लिए अभिव्यक्तियों को प्राप्त करने के लिए करते हैं। ये होलोग्राफी में विशेष रुचि रखते हैं। विस्तार गैर-सामान्य रोशनी यदि छिद्र एक दिशा में एक एकवर्णी समतल तरंग घटना द्वारा प्रकाशित होता है, तो ऊपर दिए गए फ्राउनहोफर समीकरण का पहला संस्करण बन जाता हैः उपरोक्त प्रत्येक प्रणाली को मॉडल करने के लिए उपयोग किए जाने वाले समीकरण केवल स्थिरांकों में परिवर्तन से बदल जाते हैं और इसलिए विवर्तन प्रकाश पैटर्न का रूप होगा, सिवाय इसके कि वे अब आपतित समतल तरंग की दिशा के आसपास केंद्रित होंगे। फ्रेनहोफर विवर्तन के उपरोक्त सभी उदाहरणों में, प्रज्ज्वलित प्रकाश की तरंग दैर्ध्य को बढ़ाने का प्रभाव विवर्तन संरचना के आकार को कम करना है, और इसके विपरीत, जब तरंग दैर्ध्य कम हो जाता है, तो पैटर्न का आकार बढ़ जाता है। यदि प्रकाश मोनो-क्रोमेटिक नहीं है, अर्थात। इसमें विभिन्न तरंग दैर्ध्य की एक श्रृंखला होती है, प्रत्येक तरंग दैर्ध्य को अपने पड़ोसियों से थोड़ा अलग आकार के पैटर्न में विक्षेपित किया जाता है। यदि तरंग दैर्ध्य का प्रसार औसत तरंग दैर्ध्य की तुलना में काफी कम है, तो अलग-अलग पैटर्न आकार में बहुत कम भिन्न होंगे, और इसलिए मूल विवर्तन अभी भी थोड़ा कम कंट्रास्ट के साथ दिखाई देगा। जैसे-जैसे तरंग दैर्ध्य का प्रसार बढ़ता है, वैसे-वैसे देखे जा सकने वाले "किनारों" की संख्या कम होती जाती है। किरचॉफ का विवर्तन सूत्र फ्रेसेल विवर्तन ह्यूजेन्स सिद्धांत हवादार डिस्क फूरियर प्रकाशिकी संदर्भ विवर्तन फूरियर विश्लेषण भी देखें।