Finite extensions of local fields
बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में, पूर्णता के माध्यम से, एक अभाज्य आदर्श के विखंडन के अध्ययन को अक्सर स्थानीय क्षेत्रों के मामले में कम किया जा सकता है जहां विखंडन समूहों जैसे उपकरणों की सहायता से अधिक विस्तृत विश्लेषण किया जा सकता है। इस लेख में, एक स्थानीय क्षेत्र गैर-आर्किमिडियन है और इसमें सीमित अवशेष क्षेत्र है। अनरामिफाइड एक्सटेंशन को परिमित अवशेष क्षेत्रों और गैलोइस समूह के साथ गैर-आर्किमिडियन स्थानीय क्षेत्रों का एक परिमित गैलोइस विस्तार माना जाता है। फिर निम्नलिखित समतुल्य हैं। (i) अनरामिफाइड है। (ii) एक क्षेत्र है, जहाँ का अधिकतम आदर्श है। (iii) (iv) का जड़ता उपसमूह तुच्छ है। (v) यदि एक एकरूपता तत्व है, तो एक एकरूपता तत्व भी है। जब (iv) (या (iii)) द्वारा असंक्रमित किया जाता है, तो G को इसके साथ पहचाना जा सकता है, जो कि परिमित चक्रीय है। उपरोक्त का तात्पर्य है कि एक स्थानीय क्षेत्र K के परिमित असंक्रमित विस्तार और K के अवशिष्ट क्षेत्र के परिमित पृथक्कृत विस्तार के बीच श्रेणियों की समानता है। निम्नलिखित समान हैं। यह पूरी तरह से अपने जड़ता उपसमूह के साथ मेल खाता है। जहाँ एक आइजेनस्टीन बहुपद का मूल है। मानक में एक यूनिफॉर्माइज़र होता है। अभ्यंकर का लेम्मा अनरैमिफाइड मॉर्फिज्म संदर्भ बीजगणितीय संख्या सिद्धांत भी देखें।