Reflection principle (Wiener process)
यादृच्छिक प्रक्रियाओं के लिए संभाव्यता के सिद्धांत में, एक वीनर प्रक्रिया के लिए परावर्तन सिद्धांत में कहा गया है कि यदि एक वीनर प्रक्रिया का पथ f (t) समय t = s पर f (s) = a मान तक पहुंच जाता है, तो समय s के बाद के पथ का समान वितरण होता है जो a मान के बारे में बाद के पथ के परावर्तन के समान होता है। अधिक औपचारिक रूप से, प्रतिबिंब सिद्धांत वीनर प्रक्रिया, या ब्राउनियन गति के सर्वोच्चता के वितरण से संबंधित एक सिद्धांत को संदर्भित करता है। परिणाम समय t तक ब्राउनियन गति के सर्वोच्चता के वितरण को समय t पर प्रक्रिया के वितरण से संबंधित करता है। यह ब्राउनियन गति के मजबूत मार्कोव गुण का एक परिणाम है। कथन यदि एक वीनर प्रक्रिया है, और एक सीमा है (जिसे पार करने का बिंदु भी कहा जाता है), तो लेम्मा में कहा गया हैः यह मानते हुए कि वीनर प्रक्रियाओं की निरंतरता के कारण, वीनर प्रक्रिया का प्रत्येक मार्ग (एक नमूना प्राप्ति) जिस पर समय () मूल्य/स्तर/सीमा/पार करने के बिंदु पर या उससे ऊपर समाप्त होता है, पहली बार किसी पहले के समय में एक सीमा () को पार (पहुँच गया) होना चाहिए। (यह अंतराल पर कई बार स्तर को पार कर सकता है, हम सबसे पहले लेते हैं।) ऐसे प्रत्येक पथ के लिए, आप एक अन्य पथ को परिभाषित कर सकते हैं जो मूल पथ से स्तर के आसपास सममित रूप से उप-अंतराल पर परावर्तित या ऊर्ध्वाधर रूप से फ़्लिप किया जाता है। ये प्रतिबिंबित पथ वीनर प्रक्रिया के नमूने भी हैं जो अंतराल पर मूल्य तक पहुँचते हैं, लेकिन नीचे समाप्त होते हैं। इस प्रकार, अंतराल पर पहुँचने वाले सभी रास्तों में से आधा नीचे समाप्त होगा, और आधा ऊपर समाप्त होगा। इसलिए, ऊपर समाप्त होने की संभावना पहुंचने की संभावना से आधी है। एक मजबूत रूप में, परावर्तन सिद्धांत कहता है कि यदि एक रुकने का समय है तो पर शुरू होने वाली वीनर प्रक्रिया का परावर्तन भी एक वीनर प्रक्रिया है, जहाँः और सूचक कार्य और इसी तरह परिभाषित किया गया है। मजबूत रूप चुनकर मूल लेम्मा का संकेत देता है। क्रासिंग प्वाइंट a तक पहुँचने के लिए सबसे पहला रुकने का समय लगभग निश्चित रूप से एक सीमित रुकने का समय है। फिर हम मजबूत मार्कोव गुण को यह पता लगाने के लिए लागू कर सकते हैं कि इसके बाद दिया गया एक सापेक्ष पथ भी सरल ब्राउनियन गति से स्वतंत्र है। फिर अंतिम समय के लिए प्रायिकता वितरण समय अंतराल में सीमा पर या उससे ऊपर है जिसे विघटित किया जा सकता है। सशर्त अपेक्षाओं के लिए मीनार संपत्ति द्वारा, दूसरा पद निम्न तक कम हो जाता हैः क्योंकि यह एक मानक ब्राउनियन गति से स्वतंत्र है और इसके कम होने की संभावना है। लेम्मा का प्रमाण इसे पहले समीकरण की दूसरी पंक्ति में प्रतिस्थापित करके पूरा किया जाता है। .. परिणाम परावर्तन सिद्धांत का उपयोग अक्सर ब्राउनियन गति के वितरण गुणों को सरल बनाने के लिए किया जाता है। प्रतिबंधित अंतराल पर ब्राउनियन गति को ध्यान में रखते हुए, परावर्तन सिद्धांत हमें यह साबित करने की अनुमति देता है कि अधिकतम के स्थान, संतोषजनक, में आर्क्साइन वितरण है। यह लेवी आर्क्साइन नियमों में से एक है। संदर्भ यादृच्छिक कलन संभाव्यता प्रमेय