Griffiths inequality
सांख्यिकीय यांत्रिकी में, ग्रिफिथ्स असमानता, जिसे कभी-कभी ग्रिफिथ्स-केली-शेरमैन असमानता या जी. के. एस असमानता भी कहा जाता है, जिसे रॉबर्ट बी. ग्रिफिथ्स के नाम पर रखा गया है, लौह चुम्बकीय स्पिन प्रणालियों के लिए एक सहसंबंध असमानता है। अनौपचारिक रूप से, यह कहता है कि फेरोमैग्नेटिक स्पिन प्रणालियों में, यदि स्पिन का 'ए-प्रायोरी वितरण' स्पिन फ़्लिपिंग के तहत अपरिवर्तनीय है, तो स्पिन के किसी भी एकाधिकार का सहसंबंध गैर-नकारात्मक है; और स्पिन के दो एकाधिकार का दो बिंदु सहसंबंध गैर-नकारात्मक है। असमानता को ग्रिफिथ्स द्वारा दो-शरीर अंतःक्रियाओं के साथ इसिंग फेरोमैग्नेट के लिए साबित किया गया था, फिर केली और शेरमेन द्वारा मनमाने ढंग से संख्या में स्पिन से जुड़े अंतःक्रियाओं के लिए सामान्यीकृत किया गया था, और फिर ग्रिफिथ्स द्वारा मनमाने ढंग से स्पिन वाले सिस्टम के लिए। एक अधिक सामान्य सूत्रीकरण गिनीबर द्वारा दिया गया था, और अब इसे गिनीबर असमानता कहा जाता है। परिभाषाएँ मान लीजिए कि एक जाली पर (निरंतर या असतत) स्पिन का विन्यास λ है। यदि एआरएल जाली साइटों की एक सूची है, संभवतः डुप्लिकेट के साथ, तो ए में स्पिन का उत्पाद माना जाता है। स्पिन पर एक ए-प्रायोरी माप डी. एम. (σ) निर्धारित करें; मान लीजिए कि एच उस रूप का एक ऊर्जा कार्यात्मक है जहां योग साइट ए की सूचियों पर है, और मान लीजिए कि विभाजन कार्य है। हमेशा की तरह, समूह औसत के लिए खड़ा है। इस प्रणाली को लौह चुम्बकीय कहा जाता है यदि, साइटों की किसी भी सूची के लिए ए, जे. ए. 0। इस प्रणाली को स्पिन फ़्लिपिंग के तहत अपरिवर्तनीय कहा जाता है यदि, λ में किसी भी j के लिए, माप μ को संकेत फ़्लिपिंग मानचित्र σ → τ के तहत संरक्षित किया जाता है, जहां असमानताओं का कथन पहले ग्रिफ़िथ असमानता एक लौह चुम्बकीय स्पिन प्रणाली में जो स्पिन फ़्लिपिंग के तहत अपरिवर्तनीय है, स्पिन A की किसी भी सूची के लिए। दूसरा ग्रिफिथ्स असमानता एक लौह चुम्बकीय स्पिन प्रणाली में जो स्पिन फ़्लिपिंग के तहत अपरिवर्तनीय है, स्पिन ए और बी की किसी भी सूची के लिए। पहली असमानता दूसरे का एक विशेष मामला है, जो बी = आइएल के अनुरूप है। सबूत देखें कि विभाजन कार्य परिभाषा के अनुसार गैर-नकारात्मक है। पहली असमानता का प्रमाणः विस्तार करें फिर जहाँ एन. ए. (जे) का अर्थ है ए में जे के प्रकट होने की संख्या। अब, स्पिन फ़्लिपिंग के तहत अपरिवर्तनीयता से, यदि कम से कम एक n (j) विषम है, और वही अभिव्यक्ति स्पष्ट रूप से n के सम मूल्यों के लिए गैर-नकारात्मक है। इसलिए, Z <σA> ≤ 0, इसलिए भी <σA> ≤ 0। दूसरी असमानता का प्रमाण। दूसरी ग्रिफिथ्स असमानता के लिए, यादृच्छिक चर को दोगुना करें, अर्थात। स्पिन की दूसरी प्रति पर विचार करें, उसी वितरण के साथ। फिर नए चर का परिचय दें दोहरी प्रणाली में फेरोमॅग्नेटिक है क्योंकि सकारात्मक गुणांक के साथ एक बहुपद है इसके अलावा माप स्पिन फ़्लिपिंग के तहत अपरिवर्तनीय है क्योंकि है। अंत में मोनोमियल्स, सकारात्मक गुणांक वाले बहुपद हैं पहली ग्रिफिथ्स असमानता परिणाम देने के लिए लागू होती है। अधिक विवरण और में हैं। विस्तारः गिनिबर असमानता गिनिबर असमानता ग्रिफिथ्स असमानता का एक विस्तार है, जिसे जीन गिनिबर ने पाया है। सूत्रण मान लीजिए कि (कुलु, μ) एक संभाव्यता स्थान है। मान लीजिए कि फलन f, h के लिए, मान लीजिए कि A, वास्तविक फलन का एक ऐसा समुच्चय है जो इस प्रकार है। A में प्रत्येक f1, f2,., fn के लिए, और संकेतों के किसी भी विकल्प के लिए ±, फिर, A द्वारा उत्पन्न उत्तल शंकु में किसी भी f, g, −h के लिए, सबूत दें तो अब असमानता धारणा और पहचान उदाहरणों से आती है (दूसरा) ग्रिफ़िथ्स असमानता को पुनर्प्राप्त करने के लिए, γ = {−1, + 1} λ लें, जहां λ एक जाली है, और मान लीजिए कि γ पर एक माप है जो संकेत फ़्लिपिंग के तहत अपरिवर्तनीय है। सकारात्मक गुणांक वाले बहुपदों का शंकु ए गिनीबर असमानता की धारणाओं को संतुष्ट करता है। (γ, μ) हार माप के साथ एक कम्यूटेटिव कॉम्पैक्ट समूह है, ए वास्तविक सकारात्मक निश्चित कार्यों का शंकु है। γ पूरी तरह से क्रमबद्ध सेट है, ए वास्तविक सकारात्मक गैर-घटते कार्यों का शंकु है। इससे चेबिशेव की सम असमानता पैदा होती है। आंशिक रूप से क्रमबद्ध सेटों के विस्तार के लिए, एफ. के. जी. असमानता देखें। अनुप्रयोग फेरोमैग्नेटिक आइसिंग मॉडल (गैर-नकारात्मक बाहरी क्षेत्र एच और मुक्त सीमा स्थितियों के साथ) के सहसंबंधों की ऊष्मागतिकीय सीमा मौजूद है। ऐसा इसलिए है क्योंकि मात्रा बढ़ाना एक निश्चित सबसेट बी के लिए नए कपलिंग जे. बी. को चालू करने के समान है। दूसरी ग्रिफिथ्स असमानता से इसलिए आयतन के साथ नीरस रूप से बढ़ रहा है; फिर यह अभिसरण करता है क्योंकि यह 1 से घिरा हुआ है। परस्पर क्रिया के साथ एक-आयामी, लौह चुम्बकीय आइसिंग मॉडल एक चरण संक्रमण प्रदर्शित करता है यदि। इस गुण को एक पदानुक्रमित सन्निकटन में दिखाया जा सकता है, जो कुछ अंतःक्रियाओं की अनुपस्थिति से पूर्ण मॉडल से अलग हैः दूसरे ग्रिफिथ्स असमानता के साथ ऊपर के रूप में बहस करते हुए, परिणाम पूर्ण मॉडल पर ले जाते हैं। गिनीबर असमानता द्वि-आयामी शास्त्रीय XY मॉडल के लिए मुक्त ऊर्जा और स्पिन सहसंबंधों के लिए ऊष्मागतिकीय सीमा का अस्तित्व प्रदान करती है। इसके अलावा, गिनिबर असमानता के माध्यम से, कुंज और फिस्टर ने फेरोमैग्नेटिक XY मॉडल के लिए एक चरण संक्रमण की उपस्थिति साबित की। आइज़ेनमैन और साइमन ने गिनिबर असमानता का उपयोग यह साबित करने के लिए किया कि आयाम, युग्मन और व्युत्क्रम तापमान में लौह चुम्बकीय शास्त्रीय XY मॉडल का दो बिंदु स्पिन सहसंबंध (यानी। आयतन, युग्मन और व्युत्क्रम तापमान में फेरोमैग्नेटिक आइसिंग मॉडल के दो बिंदु सहसंबंध) द्वारा दी गई ऊपरी सीमा है इसलिए XY मॉडल का महत्वपूर्ण आयाम D = 2 और युग्मन J = 1 में आइसिंग मॉडल के महत्वपूर्ण तापमान के दोगुने से छोटा नहीं हो सकता है, यह देता है कूलम्ब गैस के लिए गिनीबर असमानता का एक संस्करण मौजूद है जो सहसंबंधों की ऊष्मागतिकीय सीमा के अस्तित्व को दर्शाता है। अन्य अनुप्रयोगों (स्पिन प्रणालियों में चरण संक्रमण, XY मॉडल, XYZ क्वांटम श्रृंखला) की समीक्षा की जाती है। संदर्भ असमानताएँ सांख्यिकीय यांत्रिकी