Singular submodule
अमूर्त बीजगणित की शाखाओं में जिन्हें रिंग सिद्धांत और मॉड्यूल सिद्धांत के रूप में जाना जाता है, प्रत्येक अधिकार (रेस्प। बाएँ) आर-मॉड्यूल एम में एक एकल उप-मॉड्यूल होता है जिसमें ऐसे तत्व होते हैं जिनके विनाशक आवश्यक होते हैं। बाएं) आर में आदर्श. सेट संकेतन में इसे आमतौर पर के रूप में दर्शाया जाता है। सामान्य रिंग्स के लिए, टॉरशन सबमॉड्यूल टॉर्स (एम) का एक अच्छा सामान्यीकरण है जिसे अक्सर डोमेन के लिए परिभाषित किया जाता है। इस मामले में कि आर एक कम्यूटेटिव डोमेन है,। यदि आर कोई रिंग है, तो आर को एक दाएँ मॉड्यूल के रूप में मानते हुए परिभाषित किया जाता है, और इस मामले में आर का एक दो-तरफा आइडियल है जिसे आर का दाएँ एकवचन आइडियल कहा जाता है। के लिए संभव है। परिभाषाएँ यहाँ एकवचन उप-मॉड्यूल और एकवचन आदर्शों का अध्ययन करते समय उपयोग की जाने वाली कई परिभाषाएँ हैं। निम्नलिखित में, एम एक आर-मॉड्यूल हैः एम को एकवचन मॉड्यूल कहा जाता है यदि। एम को एक गैर-एकल मॉड्यूल कहा जाता है। आर को सही नॉनसिंगुलर कहा जाता है। बाएँ एकवचन आदर्श का उपयोग करते हुए एक बाएँ गैर-कोणीय वलय को इसी तरह परिभाषित किया जाता है, और एक वलय के लिए दाएँ-लेकिन-बाएँ नहीं-गैर-कोणीय होना पूरी तरह से संभव है। एकता वाले रिंगों में हमेशा ऐसा होता है कि, और इसलिए "सही एकवचन रिंग" को आमतौर पर एकवचन मॉड्यूल के समान परिभाषित नहीं किया जाता है। कुछ लेखकों ने "सिंगुलर रिंग" का उपयोग किया है जिसका अर्थ है "एक गैर-शून्य सिंगुलर आइडियल है", हालांकि यह उपयोग मॉड्यूल के लिए विशेषणों के उपयोग के अनुरूप नहीं है। एकवचन उप-मॉड्यूल के कुछ सामान्य गुणों में शामिल हैंः जहाँ एम के सॉकल को दर्शाता है। यदि एफ एम से एन तक आर-मॉड्यूल का समरूपता है, तो। यदि N, M का उप-मॉड्यूल है, तो। "एकवचन" और "गैर-एकवचन" गुण मोरिता अपरिवर्तनीय गुण हैं। रिंग के एकवचन आदर्शों में रिंग के केंद्रीय निलपोटेन्ट तत्व होते हैं। नतीजतन, एक कम्यूटेटिव रिंग के एकवचन आदर्श में रिंग का निल्रैडिकल होता है। मरोड़ उप-मॉड्यूल का एक सामान्य गुण यह है कि, लेकिन यह आवश्यक रूप से एकवचन उप-मॉड्यूल के लिए नहीं है। हालाँकि, यदि आर एक समकोण गैर-कोणीय वलय है, तो। यदि एन एम (दोनों सही मॉड्यूल) का एक आवश्यक उप-मॉड्यूल है तो एम/एन एकवचन है। यदि एम एक मुक्त मॉड्यूल है, या यदि आर सही गैर-एकल है, तो विपरीत सच है। एक अर्ध-सरल मॉड्यूल गैर-एकल है यदि और केवल तभी जब यह एक प्रोजेक्टिव मॉड्यूल हो। यदि आर एक सही स्व-इंजेक्टिव रिंग है, तो, जहां जे (आर) आर का जैकबसन रेडिकल है। उदाहरण के लिए दाएं गैर-एकल रिंग एक बहुत व्यापक वर्ग हैं, जिसमें कम रिंग, दाएं (अर्ध) वंशानुगत रिंग, वॉन न्यूमैन नियमित रिंग, डोमेन, अर्ध-सरल रिंग, बेयर रिंग और दाएं रिकार्ट रिंग शामिल हैं। कम्यूटेटिव रिंग्स के लिए, नॉन-सिंगुलर होना एक रिड्यूस्ड रिंग होने के बराबर है। महत्वपूर्ण प्रमेय जॉनसन के प्रमेय (आर. ई. जॉनसन के कारण) में कई महत्वपूर्ण समतुल्यताएँ हैं। किसी भी वलय आर के लिए, निम्नलिखित समतुल्य हैंः आर सही गैर-कोणीय है। इंजेक्टिव पतवार ई (आर. आर.) एक नॉनसिंगुलर राइट आर-मॉड्यूल है। एंडोमोर्फिज्म रिंग एक सेमीप्रिमिटिव रिंग (यानी,) है। भागफल का अधिकतम दाहिना वलय वॉन न्यूमैन नियमित है। राइट नॉन-सिंगुलरिटी का राइट सेल्फ इंजेक्टिव रिंग्स के साथ भी एक मजबूत अंतःक्रिया होती है। प्रमेयः यदि आर एक सही स्व-इंजेक्टिव रिंग है, तो आर पर निम्नलिखित स्थितियां समतुल्य हैंः सही नॉनसिंगुलर, वॉन न्यूमैन नियमित, सही अर्ध-वंशानुगत, सही रिकार्ट, बेयर, अर्ध-विशिष्ट। कागज ने रिंगों के वर्ग को चिह्नित करने के लिए नॉन-सिंगुलर मॉड्यूल का उपयोग किया, जिनके अधिकतम दाहिने रिंग की एक निश्चित संरचना होती है। प्रमेयः यदि आर एक रिंग है, तो एक सही पूर्ण रैखिक रिंग है यदि और केवल तभी जब आर में एक गैर-एकल, वफादार, समान मॉड्यूल हो। इसके अलावा, पूर्ण रैखिक वलय का एक परिमित प्रत्यक्ष उत्पाद है यदि और केवल तभी जब R में सीमित समान आयाम के साथ एक गैर-एकल, विश्वसनीय मॉड्यूल हो। पाठ्यपुस्तकें प्राथमिक स्रोत मॉड्यूल सिद्धांत रिंग सिद्धांत