Jackson q-Bessel function
गणित में, जैक्सन क्यू-बेसल फलन (या मूल बेसल फलन) बेसल फलन के तीन क्यू-एनालॉग में से एक है। तीसरा जैक्सन क्यू-बेसल फलन हैन-एक्सटन क्यू-बेसल फलन के समान है। परिभाषा तीन जैक्सन क्यू-बेसल फ़ंक्शन को क्यू-पोचमर प्रतीक और मूल हाइपरजियोमेट्रिक फ़ंक्शन के संदर्भ में दिया जाता है उन्हें निरंतर सीमा से बेसल फ़ंक्शन में कम किया जा सकता हैः पहले और दूसरे जैक्सन क्यू-बेसल फ़ंक्शन () के बीच एक संबंध सूत्र हैः पूर्णांक क्रम के लिए, क्यू-बेसल फ़ंक्शन गुणों को संतुष्ट करते हैं नकारात्मक पूर्णांक क्रम संबंधों () का उपयोग करकेः हम शून्य हान प्राप्त करते हैं जिसमें उल्लेख किया गया है कि अनंत रूप से कई वास्तविक शून्य () हैं। इस्माइल ने साबित किया कि सभी गैर-शून्य जड़ों के लिए वास्तविक () हैं। क्यू-पोत कार्यों का अनुपात फलन पूरी तरह से एकरस फलन () है। पुनरावृत्ति संबंध पहले और दूसरे जैक्सन क्यू-बेसल फलन में निम्नलिखित पुनरावृत्ति संबंध हैं (देखें और): असमानताएँ जब, दूसरा जैक्सन क्यू-बेसल फलन संतुष्ट होता हैः (देखें।) के लिए, (देखें।) निम्नलिखित सूत्र बेसेल फलन के लिए उत्पन्न करने वाले फलन के क्यू-एनालॉग हैं (देखें): क्यू-घातीय फलन है। वैकल्पिक प्रतिनिधित्व समाकलन प्रतिनिधित्व दूसरे जैक्सन क्यू-बेसल फलन में निम्नलिखित समाकलन प्रतिनिधित्व हैं (देखें और): क्यू-पोचमेर प्रतीक कहाँ है। यह प्रतिनिधित्व सीमा में बेसल फ़ंक्शन के अभिन्न प्रतिनिधित्व तक कम हो जाता है। हाइपरजियोमेट्रिक प्रतिनिधित्व दूसरे जैक्सन क्यू-बेसल फ़ंक्शन में निम्नलिखित हाइपरजियोमेट्रिक प्रतिनिधित्व हैं (देखें,): दूसरे सूत्र के तत्काल परिणाम के रूप में एक एसिम्प्टोटिक विस्तार प्राप्त किया जा सकता है। अन्य हाइपरजियोमेट्रिक प्रतिनिधित्वों के लिए, देखें। संशोधित क्यू-बेसल कार्य संशोधित बेसल कार्यों के क्यू-एनालॉग को जैक्सन क्यू-बेसल कार्य (और) के साथ परिभाषित किया गया हैः संशोधित क्यू-बेसल कार्यों के बीच एक संबंध सूत्र हैः पुनरावृत्ति संबंध जैक्सन क्यू-बेसल कार्यों के पुनरावृत्ति संबंध और संशोधित क्यू-बेसल कार्यों की परिभाषा द्वारा, निम्नलिखित पुनरावृत्ति संबंध प्राप्त किया जा सकता है (उसी संबंध को भी संतुष्ट करता है) (): अन्य पुनरावृत्ति संबंधों के लिए, देखें। निरंतर अंश प्रतिनिधित्व संशोधित क्यू-बेसल कार्यों का अनुपात एक निरंतर अंश बनाता है (): वैकल्पिक प्रतिनिधित्व हाइपरजियोमेट्रिक प्रतिनिधित्व इस कार्य में निम्नलिखित प्रतिनिधित्व होता है (): इंटीग्रल प्रतिनिधित्व संशोधित क्यू-बेसल कार्यों में निम्नलिखित इंटीग्रल प्रतिनिधित्व होते हैं (): क्यू-बेसल बहुपद भी देखें संदर्भ विशेष कार्य क्यू-एनालॉग