Mixed volume
गणित में, विशेष रूप से, उत्तल ज्यामिति में, मिश्रित आयतन एक गैर-ऋणात्मक संख्या को उत्तल पिंडों के एक टुपल से जोड़ने का एक तरीका है। यह संख्या शरीर के आकार और आकार और एक दूसरे के प्रति उनके सापेक्ष अभिविन्यास पर निर्भर करती है। परिभाषा आइए उत्तल निकाय हों और उस कार्य पर विचार करें जहां-आयामी आयतन का अर्थ है, और इसका तर्क स्केल किए गए उत्तल निकायों का मिन्कोव्स्की योग है। कोई यह दिखा सकता है कि यह डिग्री का एक सजातीय बहुपद है, इसलिए इसे लिखा जा सकता है जहां कार्य सममित हैं। एक विशेष सूचकांक फलन के लिए, गुणांक को मिश्रित आयतन कहा जाता है। गुण मिश्रित आयतन विशिष्ट रूप से निम्नलिखित तीन गुणों द्वारा निर्धारित किया जाता हैः; अपने तर्कों में सममित है; बहुरेखीय हैः के लिए। मिश्रित आयतन गैर-नकारात्मक है और प्रत्येक चर में नीरस रूप से बढ़ रहा हैः के लिए। अलेक्जेंडर डैनिलोविच अलेक्जेंड्रोव और वर्नर फ़ेंचेल द्वारा खोजी गई अलेक्जेंड्रोव-फ़ेंचेल असमानताएँः कई ज्यामितीय असमानताएँ, जैसे कि उत्तल निकायों के लिए ब्रून-मिन्कोव्स्की असमानता और मिन्कोव्स्की की पहली असमानता, अलेक्जेंड्रोव-फ़ेंचेल असमानता के विशेष मामले हैं। क्वेरमासिंटेग्रल्स मान लीजिए कि यह एक उत्तल पिंड है और इकाई त्रिज्या की यूक्लिडियन गेंद है। मिश्रित आयतन को जे-थ क्वेरमासिंटेग्रल ऑफ कहा जाता है। मिश्रित आयतन की परिभाषा से स्टेनर सूत्र प्राप्त होता है (जैकब स्टेनर के नाम पर नामित): आंतरिक आयतन का जे-th आंतरिक आयतन क्वर्मासिंटेग्रल का एक अलग सामान्यीकरण है, जिसे दूसरे शब्दों में परिभाषित किया गया है या जहाँ-आयामी इकाई गेंद का आयतन है। हैडविगर की चरित्र चित्रण प्रमेय हैडविगर की प्रमेय इस बात पर जोर देती है कि उत्तल पिंडों पर प्रत्येक मूल्यांकन निरंतर और अपरिवर्तनीय है और इसकी कठोर गतियों के तहत क्वेरमासिंटेग्रल (या, समकक्ष रूप से, आंतरिक मात्राओं का) का एक रैखिक संयोजन है। टिप्पणियाँ बाहरी लिंक कन्वेक्स ज्यामिति इंटीग्रल ज्यामिति