Hopfian object
गणित की शाखा में जिसे श्रेणी सिद्धांत कहा जाता है, एक हॉफियन वस्तु एक ऐसी वस्तु है कि ए पर ए का कोई भी एपिमॉर्फिज्म आवश्यक रूप से एक ऑटोमोर्फिज्म है। दोहरी धारणा एक कोहोफियन वस्तु की है, जो एक वस्तु बी ऐसी है कि बी से बी में प्रत्येक एकरूपता आवश्यक रूप से एक ऑटोमोर्फिज्म है। दोनों स्थितियों का अध्ययन समूहों, रिंगों, मॉड्यूल और टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणियों में किया गया है। "हॉफियन" और "कोहोफियन" शब्द 1960 के दशक से उत्पन्न हुए हैं, और कहा जाता है कि ये हेंज हॉफ और सतहों के मौलिक समूहों पर उनके काम में हॉफियन समूह की अवधारणा के उनके उपयोग के सम्मान में हैं। गुण दोनों स्थितियों को उनकी श्रेणी में सीमितता स्थितियों के प्रकार के रूप में देखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत को पसंद के स्वयंसिद्ध के साथ मानते हुए और सेटों की श्रेणी में काम करते हुए, हॉफियन और कोहोफियन वस्तुएं सटीक रूप से परिमित सेट हैं। इससे यह देखना आसान है कि सभी परिमित समूह, परिमित मॉड्यूल और परिमित रिंग अपनी श्रेणियों में हॉफियन और कोहोफियन हैं। हॉपफियन वस्तुओं और कॉपफियन वस्तुओं में प्रोजेक्टिव वस्तुओं और इंजेक्टिव वस्तुओं के साथ एक प्राथमिक अंतःक्रिया होती है। दो परिणाम हैंः एक इंजेक्टिव हॉफियन ऑब्जेक्ट कोहोफियन है। एक प्रोजेक्टिव कोफ़ियन ऑब्जेक्ट हॉफ़ियन है। पहले कथन का प्रमाण छोटा हैः मान लीजिए कि ए एक इंजेक्टिव हॉफियन ऑब्जेक्ट है, और मान लीजिए कि एफ ए से ए तक एक इंजेक्टिव मॉर्फिज्म है। इंजेक्टिविटी द्वारा, पहचान के माध्यम से f कारक A पर IA को मैप करते हैं, जिससे एक मॉर्फिज्म g प्राप्त होता है जैसे कि gf = IA। नतीजतन, g एक सर्जेक्टिव मॉर्फिज्म है और इसलिए एक ऑटोमोर्फिज्म है, और फिर f आवश्यक रूप से g का व्युत्क्रम ऑटोमोर्फिज्म है। इस प्रमाण को दूसरे कथन को साबित करने के लिए दोहरा किया जा सकता है। हॉपफियन और कॉपफियन समूह हॉपफियन और कॉपफियन मॉड्यूल यहाँ मॉड्यूल की श्रेणी में कई बुनियादी परिणाम हैं। यह विशेष रूप से याद रखना महत्वपूर्ण है कि आर. आर. का मॉड्यूल के रूप में हॉफियन या कोहोफियन होना आर के रिंग के रूप में हॉफियन या कोहोफियन होने से अलग है। एक नोएथेरियन मॉड्यूल हॉफियन है, और एक आर्टिनियन मॉड्यूल कॉफियन है। मॉड्यूल आर. आर. आशाजनक है यदि और केवल तभी जब आर एक सीधे परिमित वलय हो। सममित रूप से, ये दोनों मॉड्यूल आर. आर. के हॉफियन होने के बराबर भी हैं। उपरोक्त के विपरीत, मॉड्यूल आर. आर. या आर. आर. कोहोफियन हो सकते हैं या किसी भी संयोजन में नहीं हो सकते हैं। एक तरफ रिंग कोहोफियन का उदाहरण दिया गया था, लेकिन दूसरी तरफ नहीं। हालाँकि, यदि इन दोनों मॉड्यूल में से कोई भी कोहोफ़ियन है, तो आर दोनों तरफ से हॉफ़ियन है (क्योंकि आर बाएं या दाएं मॉड्यूल के रूप में प्रोजेक्टिव है) और सीधे सीमित है। हॉपफियन और कॉपफियन रिंग्स रिंग्स की श्रेणी में स्थिति मॉड्यूल की श्रेणी से काफी अलग है। एकता के साथ वलय की श्रेणी में आकृतिवाद की आवश्यकता पहचान को संरक्षित करने के लिए होती है, अर्थात 1 से 1 भेजने के लिए। यदि R आदर्शों पर आरोही श्रृंखला की स्थिति को संतुष्ट करता है, तो R आशाजनक है। यह नोथेरियन मॉड्यूल के तथ्य के साथ सादृश्य से साबित किया जा सकता है। "कोहोफ़ियन" के लिए समकक्ष विचार हालांकि मौजूद नहीं है, क्योंकि यदि f पहचान को संरक्षित करते हुए R में R से एक रिंग समरूपता है, और f की छवि R नहीं है, तो छवि निश्चित रूप से R का आदर्श नहीं है। किसी भी मामले में, यह दर्शाता है कि एक तरफा नोएथेरियन या आर्टिनियन रिंग हमेशा हॉफ़ियन होती है। कोई भी सरल वलय हॉफियन होता है, क्योंकि किसी भी एंडोमोर्फिज्म का कर्नेल एक आदर्श होता है, जो एक साधारण वलय में अनिवार्य रूप से शून्य होता है। इसके विपरीत, एक गैर-शराबी क्षेत्र का एक उदाहरण दिया गया था। एक गणना योग्य आयामी सदिश स्थान का पूर्ण रैखिक वलय एंड डी (वी) एक हॉफियन वलय है जो एक मॉड्यूल के रूप में हॉफियन नहीं है, क्योंकि इसमें केवल तीन आदर्श हैं, लेकिन यह सीधे रूप से परिमित नहीं है। पेपर एक कोहोफियन रिंग का एक उदाहरण भी देता है जो एक मॉड्यूल के रूप में कोहोफियन नहीं है। इसके अलावा, यह दिखाया गया है कि एक बूलियन रिंग आर और उससे संबंधित स्टोन स्पेस एक्स के लिए, रिंग आर रिंग की श्रेणी में हॉफियन है यदि और केवल तभी जब एक्स टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणी में कॉहॉफियन है, और आर एक रिंग के रूप में कॉहॉफियन है यदि और केवल तभी जब एक्स एक टोपोलॉजिकल स्पेस के रूप में हॉफियन है। होपफियन और कोहोफियन टोपोलॉजिकल स्पेस में, कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड्स पर परिणामों की एक श्रृंखला शामिल है। सबसे पहले, केवल कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड जो हॉफियन हैं, वे परिमित असतत स्थान हैं। दूसरा, बिना सीमा के कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड हमेशा कोहोप्फियन होते हैं। अंत में, गैर-खाली सीमा के साथ कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड कोहोफियन नहीं हैं। संदर्भ बाहरी लिंक होप्फियन समूह सह-होप्फियन समूह श्रेणी सिद्धांत समूह सिद्धांत मॉड्यूल सिद्धांत रिंग सिद्धांत