Double centralizer theorem
अमूर्त बीजगणित की शाखा में जिसे रिंग सिद्धांत कहा जाता है, डबल सेंट्रलाइज़र प्रमेय कई समान परिणामों में से किसी एक को संदर्भित कर सकता है। ये परिणाम एक रिंग आर के सबरिंग एस के केंद्रीकरण से संबंधित हैं, जिसे इस लेख में सीआर (एस) दर्शाया गया है। यह हमेशा ऐसा मामला है कि सी. आर. (सी. आर. (एस)) में एस होता है, और एक दोहरा केंद्रीकरण प्रमेय आर और एस पर शर्तें देता है जो गारंटी देता है कि सी. आर. (सी. आर. (एस)) एस के बराबर है। दोहरा केंद्रीकरण प्रमेय ऐसी स्थितियाँ प्रदान करते हैं जिनके तहत कोई यह निष्कर्ष निकाल सकता है कि समानता होती है। ब्याज का एक और विशेष मामला है। मान लीजिए कि एम एक दाएं आर मॉड्यूल है और एम को प्राकृतिक बाएं ई-मॉड्यूल संरचना देता है, जहां ई अंत (एम) है, जो अबेलियन समूह एम का एंडोमोर्फिज्म का वलय है। एमआर (एक्स) = एक्सआर द्वारा दिया गया प्रत्येक मानचित्र एमआर एम का एक योगात्मक एंडोमोर्फिज्म बनाता है, जो कि ई का एक तत्व है। मानचित्र आर → एमआर रिंग ई में आर का एक रिंग होमोमोर्फिज्म है, और हम आरएम द्वारा ई के अंदर आर की छवि को दर्शाते हैं। यह जांचा जा सकता है कि इस विहित मानचित्र का कर्नेल एनिहिलेटर एन (एम. आर.) है। इसलिए, रिंगों के लिए एक समरूपता प्रमेय द्वारा, आर. एम. भागफल रिंग आर/एन (एम. आर.) के लिए समरूप है। स्पष्ट रूप से जब M एक विश्वसनीय मॉड्यूल है, तो R और RM समरूपी वलय हैं। तो अब ई एक रिंग है जिसमें आर. एम. एक सबरिंग के रूप में है, और सी. ई. (आर. एम.) बनाया जा सकता है। परिभाषा के अनुसार कोई यह जांच कर सकता है कि सीई (आरएम) = एंड (एमआर), एम के आर मॉड्यूल एंडोमोर्फिज्म का वलय है। इस प्रकार यदि यह होता है कि सीई (सीई (आरएम)) = आरएम, तो यह वही बात है जो सीई (एंड (एमआर)) = आरएम कहने के समान है। केंद्रीय सरल बीजगणित शायद सबसे आम संस्करण केंद्रीय सरल बीजगणित के लिए संस्करण है, जैसा कि इसमें दिखाई देता हैः प्रमेयः यदि ए एक क्षेत्र एफ पर एक परिमित-आयामी केंद्रीय सरल बीजगणित है और बी ए का एक सरल उप-बीजगणित है, तो सीए (सीए (बी)) = बी, और इसके अलावा आयाम आर्टिनियन रिंगों को संतुष्ट करते हैं। एक सरल आर मॉड्यूल यूआर को देखते हुए, हम उपरोक्त प्रेरणा खंड से संकेतन उधार लेंगे जिसमें आरयू और ई = एंड (यू) शामिल हैं। इसके अतिरिक्त, हम आर-समरूपताओं से युक्त ई के उपरिंग के लिए डी = एंड (यूआर) लिखेंगे। शूर्स लेम्मा के अनुसार, डी एक विभाजन रिंग है। प्रमेयः मान लीजिए कि आर एक सरल राइट मॉड्यूल यूआर के साथ एक राइट आर्टिनियन रिंग है, और आरयू, डी और ई को पिछले पैराग्राफ की तरह दिया गया है। फिर. टिप्पणी इस संस्करण में, वलय को जैकबसन घनत्व प्रमेय को साबित करने के इरादे से चुना जाता है। ध्यान दें कि यह केवल यह निष्कर्ष निकालता है कि केंद्रीय सरल बीजगणित संस्करण के विपरीत, एक विशेष सबरिंग में केंद्रीकरण गुण होता है। चूँकि अल्जेब्रा को आम तौर पर कम्यूटेटिव रिंग पर परिभाषित किया जाता है, और ऊपर दिए गए सभी शामिल रिंग गैर-कम्यूटेटिव हो सकते हैं, यह स्पष्ट है कि अल्जेब्रा आवश्यक रूप से शामिल नहीं हैं। यदि यू अतिरिक्त रूप से एक विश्वसनीय मॉड्यूल है, ताकि आर एक सही आदिम रिंग है, तो आरयू आर के लिए रिंग समरूप है। बहुपद पहचान रिंग में, बहुपद पहचान रिंग के लिए एक संस्करण दिया जाता है। Z (R) संकेतन का उपयोग एक वलय R के केंद्र को निरूपित करने के लिए किया जाएगा। प्रमेयः यदि R एक सरल बहुपद पहचान वलय है, और A, R का एक सरल Z (R) उप-बीजगणित है, तो CR (CR (A)) = A। टिप्पणी इस संस्करण को केंद्रीय सरल बीजगणित संस्करण और आर्टिनियन रिंग संस्करण के बीच माना जा सकता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि सरल बहुपद पहचान वलय आर्टिनियन होते हैं, लेकिन आर्टिनियन संस्करण के विपरीत, निष्कर्ष अभी भी आर. वॉन न्यूमैन अल्जेब्रा के सभी केंद्रीय सरल उपश्रेणियों को संदर्भित करता है वॉन न्यूमैन द्वि-उत्परिवर्ती प्रमेय बताता है कि एक हिल्बर्ट स्पेस एच पर बाउंडेड ऑपरेटर बी (एच) के बीजगणित का एक *-उप-बीजगणित ए एक वॉन न्यूमैन बीजगणित है (यानी। कमजोर रूप से बंद है) यदि और केवल अगर ए = सीबी (एच) सीबी (एच) (ए)। दोहरा केंद्रीकरण गुण एक मॉड्यूल एम को दोहरा केंद्रीकरण गुण या एक संतुलित मॉड्यूल कहा जाता है यदि सीई (सीई (आरएम)) = आरएम, जहां ई = अंत (एम) और आरएम प्रेरणा खंड में दिए गए हैं। इस शब्दावली में, डबल सेंट्रलाइज़र प्रमेय के आर्टिनियन रिंग संस्करण में कहा गया है कि सही आर्टिनियन रिंग के लिए सरल सही मॉड्यूल संतुलित मॉड्यूल हैं। टिप्पणियाँ संदर्भ रिंग सिद्धांत में 1994 के मूल प्रमेयों का पुनर्मुद्रण