Theil–Sen estimator
गैर-पैरामीट्रिक सांख्यिकी में, थील-सेन अनुमानक, बिंदुओं के जोड़े के माध्यम से सभी रेखाओं की ढलानों के मध्यक का चयन करके समतल (सरल रैखिक प्रतिगमन) में नमूना बिंदुओं के लिए एक रेखा को मजबूती से फिट करने की एक विधि है। इसे सेन का ढलान अनुमानक, ढलान चयन, एकल माध्य विधि, केंडल मजबूत रेखा-फिट विधि और केंडल-थील मजबूत रेखा भी कहा जाता है। इसका नाम हेनरी थील और प्रणब के. सेन के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने क्रमशः 1950 और 1968 में इस पद्धति पर शोध पत्र प्रकाशित किए थे, और केंडल ताऊ श्रेणी सहसंबंध गुणांक से इसके संबंध के कारण मौरिस केंडल के नाम पर रखा गया था। थील-सेन प्रतिगमन के साधारण न्यूनतम वर्ग प्रतिगमन की तुलना में कई फायदे हैं। यह बाहरी लोगों के प्रति असंवेदनशील है। इसका उपयोग महत्व परीक्षणों के लिए किया जा सकता है, तब भी जब अवशेष सामान्य रूप से वितरित नहीं होते हैं। यह तिरछे और विषमस्केडास्टिक डेटा के लिए गैर-तेज सरल रैखिक प्रतिगमन (कम से कम वर्ग) की तुलना में काफी अधिक सटीक हो सकता है, और सांख्यिकीय शक्ति के संदर्भ में सामान्य रूप से वितरित डेटा के लिए भी कम से कम वर्गों के खिलाफ अच्छी तरह से प्रतिस्पर्धा करता है। इसे "एक रैखिक प्रवृत्ति का अनुमान लगाने के लिए सबसे लोकप्रिय गैर-पैरामीट्रिक तकनीक" कहा गया है। मापदंडों की कुशलता से गणना करने के लिए तेज़ एल्गोरिदम हैं। परिभाषा जैसा कि द्वारा परिभाषित किया गया है, द्वि-आयामी बिंदुओं के एक समूह का थील-सेन अनुमानक सभी जोड़े के नमूना बिंदुओं द्वारा निर्धारित ढलानों का मध्यक है। इस परिभाषा को उस मामले को संभालने के लिए विस्तारित किया जिसमें दो डेटा बिंदुओं का एक ही समन्वय होता है। सेन की परिभाषा में, केवल अलग-अलग निर्देशांक वाले बिंदुओं के जोड़े से परिभाषित ढलानों का मध्यक लिया जाता है। एक बार जब ढलान निर्धारित हो जाता है, तो कोई भी मानों के मध्यक के रूप में-अवरोधन निर्धारित करके नमूना बिंदुओं से एक रेखा निर्धारित कर सकता है। फिट रेखा तब गुणांक वाली रेखा होती है और ढलान-अवरोधन रूप में होती है। जैसा कि सेन ने देखा, ढलान का यह विकल्प केंडल ताऊ श्रेणी सहसंबंध गुणांक को लगभग शून्य बना देता है, जब इसका उपयोग उनके संबंधित अवशिष्टों के साथ मूल्यों की तुलना करने के लिए किया जाता है। सहज रूप से, इससे पता चलता है कि फिट रेखा डेटा बिंदु के ऊपर या नीचे कितनी दूर तक जाती है, यह इस बात से संबंधित नहीं है कि वह बिंदु डेटा सेट के बाईं या दाईं ओर है या नहीं। का चयन केंडल गुणांक को प्रभावित नहीं करता है, लेकिन माध्यिका अवशिष्ट को लगभग शून्य होने का कारण बनता है; यानी, फिट रेखा अंकों की समान संख्या के ऊपर और नीचे से गुजरती है। ढलान अनुमान के लिए एक विश्वास अंतराल को बिंदुओं के जोड़े द्वारा निर्धारित रेखाओं की ढलानों के मध्य 95 प्रतिशत वाले अंतराल के रूप में निर्धारित किया जा सकता है और बिंदुओं के जोड़े का नमूना लेकर और नमूना ढलानों के 95 प्रतिशत अंतराल का निर्धारण करके जल्दी से अनुमान लगाया जा सकता है। सिमुलेशन के अनुसार, लगभग 600 नमूना जोड़े एक सटीक विश्वास अंतराल निर्धारित करने के लिए पर्याप्त हैं। भिन्नता थील-सेन अनुमानक एकटा भिन्नता, एकर दोहराओल गेल मध्यक प्रतिगमन, प्रत्येक नमूना बिन्दुक लेल निर्धारित करैत अछि, ओहि बिन्दुक माध्यमसँ रेखासभक ढलानक मध्यक, आ फेर समग्र अनुमानककेँ एहि मध्यक सभक मध्यक रूपमे निर्धारित करैत अछि। यह थील-सेन अनुमानक की तुलना में अधिक संख्या में आउटलायर को सहन कर सकता है, लेकिन इसकी कुशलता से गणना करने के लिए ज्ञात एल्गोरिदम अधिक जटिल और कम व्यावहारिक हैं। एक अलग प्रकार नमूना अंकों को उनके-निर्देशांक की श्रेणी से जोड़ता हैः सबसे छोटे निर्देशांक वाले बिंदु को मध्य निर्देशांक के ऊपर पहले बिंदु के साथ जोड़ा जाता है, दूसरे सबसे छोटे बिंदु को मध्यक के ऊपर अगले बिंदु के साथ जोड़ा जाता है, और इसी तरह आगे भी। इसके बाद यह थील-सेन अनुमानक की तुलना में काफी कम जोड़ों की जांच करके गति प्राप्त करते हुए, बिंदुओं के इन जोड़े द्वारा निर्धारित रेखाओं की ढलानों के मध्यक की गणना करता है। भारित माध्यकों के आधार पर थील-सेन अनुमानक की भिन्नताओं का भी अध्ययन किया गया है, इस सिद्धांत के आधार पर कि नमूनों के जोड़े जिनके-निर्देशांक अधिक भिन्न होते हैं, उनमें सटीक ढलान होने की संभावना अधिक होती है और इसलिए उन्हें अधिक वजन प्राप्त करना चाहिए। मौसमी आंकड़ों के लिए, केवल नमूना बिंदुओं के जोड़े पर विचार करके डेटा में मौसमी भिन्नताओं को सुचारू बनाना उचित हो सकता है जो दोनों एक ही महीने या वर्ष के एक ही मौसम से संबंधित हैं, और इस अधिक प्रतिबंधात्मक जोड़े द्वारा निर्धारित रेखाओं की ढलानों का मध्यक ढूंढना। सांख्यिकीय गुण थील-सेन अनुमानक सरल रैखिक प्रतिगमन में वास्तविक ढलान का एक निष्पक्ष अनुमानक है। प्रतिक्रिया त्रुटि के कई वितरणों के लिए, इस अनुमानक में कम से कम वर्ग अनुमान के सापेक्ष उच्च एसिम्प्टोटिक दक्षता है। कम दक्षता वाले प्राक्कलनकर्ताओं को कुशल निष्पक्ष प्राक्कलनकर्ताओं के समान नमूना भिन्नता प्राप्त करने के लिए अधिक स्वतंत्र टिप्पणियों की आवश्यकता होती है। थील-सेन प्राक्कलनकर्ता कम से कम वर्ग प्राक्कलनकर्ता की तुलना में अधिक मजबूत है क्योंकि यह बाहरी क्षेत्रों के प्रति बहुत कम संवेदनशील है। इसका एक टूटना बिंदु है जिसका अर्थ है कि यह अपनी सटीकता में गिरावट के बिना इनपुट डेटा-बिंदुओं के 29.3% तक के मनमाने भ्रष्टाचार को सहन कर सकता है। हालांकि, विधि के उच्च-आयामी सामान्यीकरण के लिए टूटने का बिंदु कम हो जाता है। एक उच्च ब्रेकडाउन बिंदु, 50 प्रतिशत, एक अलग मजबूत लाइन-फिटिंग एल्गोरिदम के लिए धारण करता है, जो सीगल का दोहराए गए मध्यक अनुमानक है। थील-सेन प्राक्कलनकर्ता अपने प्रतिक्रिया चर के प्रत्येक रैखिक परिवर्तन के तहत समतुल्य है, जिसका अर्थ है कि पहले डेटा को बदलना और फिर एक रेखा को फिट करना, या पहले एक रेखा को फिट करना और फिर इसे उसी तरह से बदलना, दोनों एक ही परिणाम देते हैं। हालांकि, यह भविष्यवक्ता और प्रतिक्रिया चर दोनों के समरूप परिवर्तनों के तहत समरूप नहीं है। एल्गोरिदम और कार्यान्वयन नमूना बिंदुओं के एक समूह के मध्यक ढलान की गणना सभी रेखाओं को अंकों के जोड़े के माध्यम से गणना करके और फिर एक रैखिक समय मध्यक खोज एल्गोरिदम लागू करके की जा सकती है। वैकल्पिक रूप से, इसका अनुमान अंकों के जोड़े के नमूने लेकर लगाया जा सकता है। यह समस्या, प्रक्षेपात्मक द्वैतता के तहत, रेखाओं की एक व्यवस्था में पार करने वाले बिंदु को खोजने की समस्या के बराबर है जिसमें ऐसे सभी पार करने वाले बिंदुओं के बीच मध्य-समन्वय होता है। कम्प्यूटेशनल ज्यामिति में ब्रूट फोर्स क्वाड्रैटिक टाइम एल्गोरिदम की तुलना में ढलान चयन को ठीक लेकिन अधिक कुशलता से करने की समस्या का व्यापक रूप से अध्ययन किया गया है। कई अलग-अलग विधियों को थील-सेन अनुमानक की ठीक समय पर गणना करने के लिए जाना जाता है, या तो नियतात्मक रूप से या यादृच्छिक एल्गोरिदम का उपयोग करके। सीगल के दोहराए गए मध्यक अनुमानक का निर्माण भी उसी समय सीमा में किया जा सकता है। गणना के मॉडल में जिसमें इनपुट निर्देशांक पूर्णांक होते हैं और जिसमें पूर्णांक पर बिटवाइज संचालन में निरंतर समय लगता है, थील-सेन अनुमानक का निर्माण यादृच्छिक अपेक्षित समय में और भी तेज़ी से किया जा सकता है। लगभग मध्य श्रेणी के साथ ढलान के लिए एक अनुमानक, थील-सेन अनुमानक के समान ब्रेकडाउन बिंदु के साथ, डेटा स्ट्रीम मॉडल में बनाए रखा जा सकता है (जिसमें नमूना बिंदुओं को एक एल्गोरिथ्म द्वारा एक-एक करके संसाधित किया जाता है जिसमें पूरे डेटा सेट का प्रतिनिधित्व करने के लिए पर्याप्त निरंतर भंडारण नहीं होता है) ε-नेट पर आधारित एक एल्गोरिथ्म का उपयोग करते हुए। आर सांख्यिकी पैकेज में, थील-सेन प्राक्कलनकर्ता और सीगल का दोहराए गए माध्यिका प्राक्कलनकर्ता दोनों एम. बी. एल. एम. पुस्तकालय के माध्यम से उपलब्ध हैं। थील-सेन आकलन के लिए एक स्वतंत्र स्वतंत्र दृश्य बुनियादी अनुप्रयोग, केटीआरलाइन, अमेरिकी भूवैज्ञानिक सर्वेक्षण द्वारा उपलब्ध कराया गया है। थील-सेन अनुमानककेँ पायथनमे साइपाई आ साइकिट-लर्न पुस्तकालयसभक हिस्साक रूपमे सेहो लागू कयल गेल अछि। अनुप्रयोग थील-सेन अनुमान को खगोल विज्ञान पर सेंसर किए गए प्रतिगमन मॉडल को संभालने की क्षमता के कारण लागू किया गया है। जैवभौतिकी में, इसके उपयोग का सुझाव रिमोट सेंसिंग अनुप्रयोगों के लिए दिया जाता है जैसे कि "गणना में सरलता, विश्वास अंतराल के विश्लेषणात्मक अनुमान, बाहरी लोगों के लिए मजबूती, अवशिष्ट के बारे में परीक्षण योग्य धारणाएं और. माप त्रुटियों के बारे में एक प्राथमिक जानकारी को सीमित करने" के कारण परावर्तन डेटा से पत्ती क्षेत्र का अनुमान। मौसमी पर्यावरणीय डेटा जैसे कि पानी की गुणवत्ता को मापने के लिए, थील-सेन अनुमानक के एक मौसमी रूप से समायोजित संस्करण को तिरछे डेटा की उपस्थिति में इसकी उच्च सटीकता के कारण कम से कम वर्ग अनुमान के लिए बेहतर के रूप में प्रस्तावित किया गया है। कंप्यूटर विज्ञान में, थील-सेन विधि का उपयोग सॉफ्टवेयर उम्र बढ़ने के रुझानों का अनुमान लगाने के लिए किया गया है। मौसम विज्ञान और जलवायु विज्ञान में, इसका उपयोग हवा की घटना और गति के दीर्घकालिक रुझानों का अनुमान लगाने के लिए किया गया है। अनुमानित प्रवृत्ति ढलानों को प्रभावित करने वाली एक अन्य समस्या के लिए प्रतिगमन मंदन भी देखें। .. .. .. .. .. 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