Plethysm
बीजगणित में, प्लैथिस्म डडली ई. लिटिलवुड द्वारा शुरू किए गए सममित कार्यों पर एक ऑपरेशन है, जिन्होंने इसे {λ} χ {μ} द्वारा निरूपित किया। इस ऑपरेशन के लिए "प्लेथिस्म" शब्द (ग्रीक शब्द πληθyσμodς के बाद जिसका अर्थ है "गुणन") बाद में पेश किया गया था, जिन्होंने कहा कि नाम का सुझाव एम. एल. क्लार्क ने दिया था। यदि लैम्ब्डा रिंग्स में संचालन के साथ सममित कार्यों की पहचान की जाती है, तो प्लेथिस्म संचालन की संरचना से मेल खाता है। प्रतिनिधित्व सिद्धांत में मान लीजिए कि V जटिल संख्याओं पर एक सदिश स्थान है, जिसे सामान्य रैखिक समूह GL (V) का प्रतिनिधित्व माना जाता है। प्रत्येक युवा आरेख λ, GL (V)-प्रतिनिधित्वों की श्रेणी पर एक शूर फ़ंक्टर Lλ (-) से मेल खाता है। दो युवा आरेखों λ और μ को देखते हुए, समूह के अपरिवर्तनीय अभ्यावेदन के प्रत्यक्ष योग में Lλ (Lμ (V)) के अपघटन पर विचार करें। सामान्य रैखिक समूह के प्रतिनिधित्व सिद्धांत से हम जानते हैं कि प्रत्येक योग एक युवा आरेख के लिए समरूप है। तो कुछ गैर-नकारात्मक गुणन के लिए एक समरूपता है (बाहरी) पूर्णांक की समस्या गुणन के लिए एक अभिव्यक्ति खोजना है। यह सूत्रीकरण शास्त्रीय प्रश्न से निकटता से संबंधित है। GL (V)-प्रतिनिधित्व Lλ (V) का वर्ण मंद (V) चर में एक सममित फलन है, जिसे युवा आरेख λ के अनुरूप शूर बहुपद sλ के रूप में जाना जाता है। शूर बहुपद सममित कार्यों के स्थान में एक आधार बनाते हैं। इसलिए दो सममित कार्यों के बहुतायत को समझने के लिए उनकी अभिव्यक्तियों को उस आधार पर जानना और दो मनमाने शूर बहुपदों के बहुतायत के लिए एक अभिव्यक्ति को जानना पर्याप्त होगा। डेटा का दूसरा टुकड़ा सटीक रूप से Lλ (Lμ (V)) का चरित्र है। संदर्भ सममित कार्य