Kosmann lift
विभेदक ज्यामिति में, रीमानियन मैनिफोल्ड पर एक वेक्टर क्षेत्र का कोसमैन लिफ्ट, जिसका नाम यवेट कोसमैन-श्वार्जबाख के नाम पर रखा गया है, रैखिक फ्रेम के बंडल पर परिभाषित अपने प्राकृतिक लिफ्ट के ऑर्थोनॉर्मल फ्रेम बंडल पर विहित प्रक्षेपण है। किसी भी रिडक्टिव जी-संरचना के लिए सामान्यीकरण मौजूद हैं। परिचय सामान्य तौर पर, फाइबर बंडल के ऊपर एक सबबंडल और एक वेक्टर क्षेत्र को देखते हुए, इसका प्रतिबंध एक वेक्टर क्षेत्र "साथ" पर नहीं है (यानी, स्पर्शरेखा)। यदि एक कैनोनिकल एम्बेडिंग द्वारा इंगित करता है, तो पुलबैक बंडल का एक खंड है, जहां और फाइबर बंडल का स्पर्शरेखा बंडल है। मान लीजिए कि हमें पुलबैक बंडल का एक कोसमैन अपघटन दिया गया है, जैसे कि, प्रत्येक पर एक वेक्टर उपक्षेत्र है और हम एक वेक्टर बंडल मानते हैं, जिसे कोसमैन अपघटन का अनुप्रस्थ बंडल कहा जाता है। यह इस प्रकार है कि वेक्टर बंडल का एक खंड होने के कारण एक स्पर्शरेखा वेक्टर क्षेत्र और एक अनुप्रस्थ वेक्टर क्षेत्र में विभाजित होने का प्रतिबंध परिभाषा दी गई मीट्रिक के साथ एक उन्मुख-आयामी रीमानियन मैनिफोल्ड का उन्मुख ऑर्थोनॉर्मल फ्रेम बंडल होना चाहिए। यह संरचना समूह के साथ रैखिक फ्रेम के स्पर्शरेखा फ्रेम बंडल का एक प्रमुख-उप-बंडल है। परिभाषा के अनुसार, कोई कह सकता है कि हमें एक शास्त्रीय अपवर्तक-संरचना दी गई है। विशेष ऑर्थोगोनल समूह एक रिडक्टिव लाइ उपसमूह है। वास्तव में, एक प्रत्यक्ष योग अपघटन मौजूद है, जहां का लाइ बीजगणित है, का लाइ बीजगणित है, और सममित मैट्रिक्स का-अपरिवर्तनीय वेक्टर उपक्षेत्र है, अर्थात। सभी के लिए कैनॉनिकल एम्बेडिंग होने दें। तब यह साबित किया जा सकता है कि पुलबैक बंडल का एक कैनॉनिकल कोसमैन अपघटन मौजूद है जैसे कि, प्रत्येक पर सबबंडल का फाइबर होता है। यहाँ, ऊर्ध्वाधर सबबंडल है और प्रत्येक पर फाइबर सममित मैट्रिक्स के वेक्टर स्थान के लिए समरूप है। उपरोक्त विहित और समरूप अपघटन से, यह इस प्रकार है कि एक-अपरिवर्तनीय सदिश क्षेत्र का प्रतिबंध एक-अपरिवर्तनीय सदिश क्षेत्र में विभाजित हो जाता है, जिसे कोसमान सदिश क्षेत्र कहा जाता है, और एक अनुप्रस्थ सदिश क्षेत्र। विशेष रूप से, आधार मैनिफोल्ड पर एक सामान्य वेक्टर क्षेत्र के लिए, यह इस प्रकार है कि इसके प्राकृतिक लिफ्ट का प्रतिबंध एक-अपरिवर्तनीय वेक्टर क्षेत्र में विभाजित हो जाता है, जिसे कोसमान लिफ्ट ऑफ कहा जाता है, और एक अनुप्रस्थ वेक्टर क्षेत्र। फ्रेम बंडल ऑर्थोनॉर्मल फ्रेम बंडल प्रिंसिपल बंडल स्पिन बंडल कनेक्शन (गणित) जी-स्ट्रक्चर स्पिन मैनिफोल्ड स्पिन स्ट्रक्चर नोट्स संदर्भ फाइबर बंडल वेक्टर बंडल रीमानियन ज्यामिति संरचना मैनिफोल्ड पर