Mittag-Leffler polynomials
गणित में, मिटैग-लेफलर बहुपद बहुपद हैं जिनका अध्ययन gn (x) या Mn (x) द्वारा किया जाता है। एमएन (एक्स) बी = 0, सी =-1 पर मैक्सनर बहुपद एमएन (एक्स; बी, सी) का एक विशेष मामला है। परिभाषा और उदाहरण कार्य उत्पन्न करने वाले मिटैग-लेफलर बहुपदों को क्रमशः उत्पन्न करने वाले कार्यों द्वारा परिभाषित किया जाता है और उनके पास द्विभिन्नता उत्पन्न करने वाला कार्य भी होता है उदाहरण निम्नलिखित तालिका में पहले कुछ बहुपदों को दिया गया है। के अंशों के गुणांक ओ. ई. आई. एस. में पाए जा सकते हैं, हालांकि बिना किसी संदर्भ के, और के गुणांक ओ. ई. आई. एस. में भी हैं। {। वर्ग = "विकिटेबल"! एन! ! gn (x)! ! ।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।। वह भी। स्पष्ट सूत्र स्पष्ट सूत्र हैं (अंतिम एक तुरंत दिखाता है, एक प्रकार का प्रतिबिंब सूत्र), और, जिसे इस रूप में भी लिखा जा सकता है, जहां गिरने वाले भाज्य को दर्शाता है। जैसा कि ऊपर बताया गया है, गॉसियन हाइपरजियोमेट्रिक फलन के संदर्भ में, हमारे पास परावर्तन सूत्र है, क्योंकि हमारे पास परावर्तन सूत्र है। पुनरावृत्ति सूत्र बहुपदों को और से शुरू करके पुनरावर्ती रूप से परिभाषित किया जा सकता है। एक अन्य पुनरावृत्ति सूत्र, जो पूर्ववर्ती सम से विषम उत्पन्न करता है और इसके विपरीत, फिर से शुरू होता है। जहाँ तक इसका संबंध है, हमारे पास कई अलग-अलग पुनरावर्तन सूत्र हैंः पुनरावर्तन सूत्र (3) के संबंध में, बहुपद अंतर समीकरण का अद्वितीय बहुपद समाधान है, जिसे सामान्यीकृत किया गया है। आगे ध्यान दें कि (2) और (3) इस अर्थ में एक दूसरे के लिए दोहरे हैं कि हम एक पहचान पर प्रतिबिंब सूत्र लागू कर सकते हैं और फिर दूसरे को प्राप्त करने के लिए अदला-बदली कर सकते हैं। (जैसा कि ये बहुपद हैं, वैधता प्राकृतिक से सभी वास्तविक मूल्यों तक फैली हुई है।) प्रारंभिक मान (इन मानों को ओ. ई. आई. एस. में "एन-आयामी क्रॉस पॉलीटोप के लिए अंकीय संख्या" भी कहा जाता है) के प्रारंभिक मूल्यों की तालिका पुनरावृत्ति सूत्र (1) को स्पष्ट कर सकती है, जिसका अर्थ यह लिया जा सकता है कि प्रत्येक प्रविष्टि तीन पड़ोसी प्रविष्टियों का योग हैः इसके बाईं ओर, ऊपर और ऊपर बाईं ओर, जैसे। .. यह मुख्य विकर्ण के संबंध में परावर्तन सूत्र को भी दर्शाता है, जैसे। .. {। वर्ग = "विकिटेबल"! ! ! 1!! 2! ! 3! ! 4! ! 5! ! 6! ! 7! ! 8! ! 9! ! 10।-! 1। शैली = "पाठ-संरेखितः सही;" |1।। शैली = "पाठ-संरेखितः सही;" |1। शैली = "पाठ-संरेखितः सही;" |1। शैली = "पाठ-संरेखितः सही;" |1।। शैली = "पाठ-संरेखितः सही;" |1।। शैली = "पाठ-संरेखितः सही;" |1।। शैली = "पाठ-संरेखितः सही;" |1। शैली = "पाठ-संरेखितः सही;" |1। शैली = "पाठ-संरेखितः सही;" 2। शैली = "पाठ-संरेखितः सही;" |2।। शैली = "पाठ-संरेखितः सही;" |4। शैली = "पाठ-संरेखितः सही;" |6।। शैली = "पाठ-संरेखितः सही;" |8।। शैली = "पाठ-संरेखितः सही;" |10।। शैली = "पाठ-संरेखितः सही;" |12। शैली = "पाठ-संरेखितः सही;" |14। शैली = "पाठ-संरेखितः सही;" |16। शैली = "पाठ-संरेखितः सही;" 3। शैली = "पाठ-संरेखितः सही;" |3।। शैली = "पाठ-संरेखितः सही;" |9। शैली = "पाठ-संरेखितः सही;" |19।। शैली = "पाठ-संरेखितः सही;" |3 3।। शैली = "पाठ-संरेखितः सही;" |51।। शैली = "पाठ-संरेखितः सही;" |73। शैली = "पाठ-संरेखितः सही;" |9 9।। शैली = "पाठ-संरेखितः सही;" |129। शैली = "पाठ-संरेखितः सही;" 4। शैली = "पाठ-संरेखितः सही;" |4।। शैली = "पाठ-संरेखितः सही;" |16। शैली = "पाठ-संरेखितः सही;" |4 4।। शैली = "पाठ-संरेखितः सही;" |96।। शैली = "पाठ-संरेखितः सही;" |180।। शैली = "पाठ-संरेखितः सही;" |304। शैली = "पाठ-संरेखितः सही;" |476। शैली = "पाठ-संरेखितः सही;"।। शैली = "पाठ-संरेखितः सही;"। 5। शैली = "पाठ-संरेखितः सही;" |5।। शैली = "पाठ-संरेखितः सही;" |25।। शैली = "पाठ-संरेखितः सही;" |85।। शैली = "पाठ-संरेखितः सही;" |225।। शैली = "पाठ-संरेखितः सही;" |5।। शैली = "पाठ-संरेखितः सही;" |985। शैली = "पाठ-संरेखितः सही;"।। शैली = "पाठ-संरेखितः सही;"।। शैली = "पाठ-संरेखितः सही;"। 6। शैली = "पाठ-संरेखितः सही;" |6।। शैली = "पाठ-संरेखितः सही;" |36।। शैली = "पाठ-संरेखितः सही;" |146।। शैली = "पाठ-संरेखितः सही;" |456।। शैली = "पाठ-संरेखितः सही;" |1182।। शैली = "पाठ-संरेखितः सही;"।। शैली = "पाठ-संरेखितः सही;"।। शैली = "पाठ-संरेखितः सही;"।। शैली = "पाठ-संरेखितः सही;"।। शैली = "पाठ-संरेखितः सही;"। ।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।। ।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।। ।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।।। 10। शैली = "पाठ-संरेखितः सही";। 10।। शैली = "पाठ-संरेखितः सही";।। शैली = "पाठ-संरेखितः सही";।। शैली = "पाठ-संरेखितः सही";।। शैली = "पाठ-संरेखितः सही";।। शैली = "पाठ-संरेखितः सही";।। शैली = "पाठ-संरेखितः सही";।। शैली = "पाठ-संरेखितः सही";।। शैली = "पाठ-संरेखितः सही";।। शैली = "पाठ-संरेखितः सही";।। शैली = "पाठ-संरेखितः सही"; "।। शैली =" पाठ-संरेखितः सही ";"।।।-। ऑर्थोगोनैलिटी संबंध निम्नलिखित ऑर्थोगोनैलिटी संबंध के लिए हैः (ध्यान दें कि यह एक जटिल नहीं है) चूँकि प्रत्येक एक सम या विषम बहुपद है, काल्पनिक तर्क केवल अपने गुणांक के लिए वैकल्पिक संकेत उत्पन्न करते हैं। इसके अलावा, यदि और अलग समानता है, तो समाकलन मामूली रूप से गायब हो जाता है।) द्विपद पहचान द्विपद प्रकार का एक शेफर अनुक्रम होने के कारण, मिटैग-लेफलर बहुपद भी द्विपद पहचान को संतुष्ट करते हैं। इंटीग्रल प्रतिनिधित्व एक हाइपरजियोमेट्रिक फ़ंक्शन के रूप में प्रतिनिधित्व के आधार पर, सीधे इंटीग्रल के रूप में प्रतिनिधित्व करने के कई तरीके हैं, उनमें से कुछ जटिल के लिए भी मान्य हैं, जैसे। .. समाकलन परिवारों के बंद रूप जीटा मूल्यों के संदर्भ में बंद-रूप अभिव्यक्तियों के साथ समाकलन के कई परिवार हैं जहां मिटैग-लेफलर बहुपदों के गुणांक गुणांक के रूप में पाए जाते हैं। उन सभी समाकलनों को एक ऐसे रूप में लिखा जा सकता है जिसमें या तो एक कारक हो या, और मिटैग-लेफलर बहुपद की डिग्री अलग-अलग होती है। उन समाकलनों को तैयार करने का एक तरीका यह है कि भागों द्वारा समाकलन का उपयोग करके मिटैग-लेफलर बहुपदों के लिए उनके लिए संबंधित पुनरावृत्ति सूत्र प्राप्त किए जाएं। 1. उदाहरण के लिए, इन समाकलनों के लिए परिभाषित करें अम्ब्रल नोटेशन में बंद रूप होता है, जिसका अर्थ है कि बहुपद का विस्तार करने के बाद, प्रत्येक शक्ति को जीटा मान द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना है। ई. जी. से हम प्राप्त करते हैं। 2. इसी तरह अम्ब्रल नोटेशन में, जहां विस्तार के बाद, डिरिचलेट एटा फ़ंक्शन द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना है, उनका बंद रूप होता है। 3. निम्नलिखित के लिए एक ही अम्ब्रल नोटेशन के साथ और, और निरंतरता द्वारा पूरा करना है। ध्यान दें कि इसके लिए, यह समाकलन 4 के लिए एक बंद रूप भी देता है। के लिए, परिभाषित करें। यदि सम है और हम परिभाषित करते हैं, तो हमारे पास अम्ब्रल नोटेशन है, अर्थात। द्वारा प्रतिस्थापित, ध्यान दें कि केवल विषम जीटा मान (विषम) यहाँ होते हैं (जब तक कि भाजकों को सम जीटा मान के रूप में नहीं डाला जाता है), उदाहरण के लिए। 5. यदि विषम है, तो वही समाकलन मूल्यांकन करने के लिए बहुत अधिक शामिल है, जिसमें प्रारंभिक भी शामिल है। फिर भी यह पता चला है कि यदि हम समतुल्य रूप से परिभाषित करते हैं तो पैटर्न बना रहता है। फिर अम्ब्रल नोटेशन में निम्नलिखित बंद रूप होता है, जिसके द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता हैः, जैसे। ध्यान दें कि यूलर के परावर्तन सूत्र को लागू करने के बाद लिए गए रीमान के कार्यात्मक समीकरण के लघुगणक व्युत्पन्न के आधार पर, इन अभिव्यक्तियों को के संदर्भ में लिखा जा सकता है, उदाहरण के लिए। 6. क्योंकि, वही समाकलन अलग हो जाता है क्योंकि समाकलन के लिए जैसा व्यवहार करता है। लेकिन संबंधित डिग्री अंतर के साथ ऐसे दो समाकलनों का अंतर अच्छी तरह से परिभाषित है और बहुत समान पैटर्न प्रदर्शित करता है, जैसे। .. दूसरे प्रकार के स्टर्लिंग बहुपदों के बर्नौली बहुपदों को भी देखें पॉली-बर्नौली संख्या संदर्भ बहुपदों