Bloch group
गणित में, ब्लॉच समूह ब्लॉच-सुसलिन परिसर का एक समरूपता समूह है, जिसका नाम स्पेंसर ब्लॉच और आंद्रेई सुसलिन के नाम पर रखा गया है। यह बहुपतिकी, अतिसंवेदनशील ज्यामिति और बीजगणितीय के-सिद्धांत से निकटता से संबंधित है। ब्लॉच-विग्नर फलन डाइलोगैरिथम फलन शक्ति श्रृंखला द्वारा परिभाषित फलन है इसे विश्लेषणात्मक निरंतरता द्वारा बढ़ाया जा सकता है, जहां एकीकरण का मार्ग 1 से + ≤ तक कटौती से बचाता है ब्लॉच-विग्नर फलन डाइलोगैरिथम फलन से संबंधित है, यदि यह फलन कई उल्लेखनीय गुणों का आनंद लेता है, जैसे। अंतिम समीकरण डाइलोगैरिथम के लिए एबेल के कार्यात्मक समीकरण का एक रूप है। परिभाषा K को एक क्षेत्र होने दें और प्रतीकों [x] द्वारा उत्पन्न मुक्त अबेलियन समूह के रूप में परिभाषित करें। आबेल के कार्यात्मक समीकरण का तात्पर्य है कि D2 तत्व द्वारा उत्पन्न Z (K) के उपसमूह D (K) पर गायब हो जाता है A (K) द्वारा निरूपित भागफल उपसमूह D (K) द्वारा। ब्लॉच-सुसलिन कॉम्प्लेक्स को निम्नलिखित कोचेन कॉम्प्लेक्स के रूप में परिभाषित किया गया है, जो एक और दो डिग्री में केंद्रित है, जहां, तब ब्लॉच समूह को ब्लॉच द्वारा परिभाषित किया गया था। ब्लॉच-सुसलिन कॉम्प्लेक्स को एक सटीक अनुक्रम के रूप में विस्तारित किया जा सकता है यह दावा क्षेत्रों के लिए के2 पर मात्सुमोटो प्रमेय के कारण है। के3 और ब्लॉच समूह के बीच संबंध यदि सी तत्व को दर्शाता है और क्षेत्र अनंत है, तो सुसलिन ने साबित कर दिया कि तत्व सी x की पसंद पर निर्भर नहीं करता है, और जहां जी. एम. (के) जी. एल. (के) का उपसमूह है, जिसमें मोनोमियल मैट्रिक्स शामिल हैं, और बीजीएम (के) + क्विलेन का प्लस-निर्माण है। इसके अलावा, K3M को मिलनर के K-समूह को दर्शाने दें, फिर एक सटीक अनुक्रम मौजूद है जहां K3 (K) ind = coker (K3M (K) → K3 (K)) और टोर (K *, K *) ~ Z/2 के माध्यम से टोर (K *, K *) का अद्वितीय गैर-तुच्छ विस्तार है। तीन-आयामों में हाइपरबोलिक ज्यामिति से संबंध ब्लॉच-विग्नर फ़ंक्शन, जिसे परिभाषित किया गया है, का निम्नलिखित अर्थ हैः मान लीजिए कि 3-आयामी हाइपरबोलिक स्पेस और इसका आधा स्पेस मॉडल है। के तत्वों को अनंत पर बिंदु माना जा सकता है। एक टेट्राहेड्रॉन, जिसके सभी शीर्ष अनंत पर होते हैं, एक आदर्श टेट्राहेड्रॉन कहा जाता है। हम इस तरह के टेट्राहेड्रॉन को और उसके (हस्ताक्षरित) आयतन को दर्शाते हैं जहां शीर्ष हैं। फिर उपयुक्त मीट्रिक के तहत स्थिरांक तक हम इसका क्रॉस-अनुपात प्राप्त कर सकते हैंः विशेष रूप से,। पाँच शब्दों के संबंध के कारण, गैर-अपक्षयी आदर्श टेट्राहेड्रॉन की सीमा का आयतन 0 के बराबर होता है यदि और केवल तभी जब इसके अलावा, एक हाइपरबोलिक मैनिफोल्ड दिए जाने पर, कोई व्यक्ति विघटित हो सकता है जहां वे आदर्श टेट्राहेड्रा हैं। जिनके सभी शीर्ष अनंत पर हैं। यहाँ कुछ जटिल संख्याएँ हैं। प्रत्येक आदर्श टेट्राहेड्रॉन एक के लिए सममितीय होता है और कुछ के लिए इसके शीर्ष होते हैं। यहाँ टेट्राहेड्रॉन के शीर्षों का क्रॉस-अनुपात है। इस प्रकार टेट्राहेड्रॉन का आयतन केवल एक ही पैरामीटर पर निर्भर करता है। यह दर्शाता है कि आदर्श टेट्राहेड्रॉन के लिए, ब्लॉच-विग्नर डाइलोगेरिथम कहाँ है। सामान्य हाइपरबोलिक 3-मैनिफोल्ड के लिए उन्हें चिपकाकर प्राप्त किया जाता है। मोस्टो कठोरता प्रमेय सभी के लिए आयतन के केवल एक ही मूल्य की गारंटी देता है। सामान्यीकरण त्रिलोगरिदम या उससे भी उच्च बहुपद द्वारा द्विगुणित को प्रतिस्थापित करने के माध्यम से, ब्लॉच समूह की धारणा को गोंचारोव और ज़ागियर द्वारा विस्तारित किया गया था। यह व्यापक रूप से अनुमान लगाया जाता है कि वे सामान्यीकृत ब्लॉच समूह बीएन बीजगणितीय के-सिद्धांत या प्रेरक समरूपता से संबंधित होने चाहिए। अन्य दिशाओं में भी ब्लॉच समूह के सामान्यीकरण हैं, उदाहरण के लिए, न्यूमैन द्वारा परिभाषित विस्तारित ब्लॉच समूह। संदर्भ (यह 1826 की पांडुलिपि केवल मरणोपरांत प्रकाशित हुई थी।) बीजगणितीय स्थलविज्ञान