Λ-ring
बीजगणित में, एक λ-रिंग या लैम्ब्डा रिंग एक कम्यूटेटिव रिंग है जिस पर कुछ ऑपरेशन λn होते हैं जो वेक्टर स्पेस की बाहरी शक्तियों की तरह व्यवहार करते हैं। के-सिद्धांत में माने जाने वाले कई वलय प्राकृतिक λ-वलय संरचना रखते हैं। λ-रिंग्स बहुपदों के रिंग पर सममित कार्यों की एक क्रिया का अध्ययन करने के लिए एक शक्तिशाली औपचारिकता भी प्रदान करते हैं, कई शास्त्रीय परिणामों () को पुनर्प्राप्त और विस्तारित करते हैं। द्वारा λ-रिंग पेश किए गए थे। λ-रिंग के बारे में अधिक जानकारी के लिए देखें, और। अभिप्रेरणा यदि V और W एक क्षेत्र k पर परिमित-आयामी सदिश रिक्त स्थान हैं, तो हम प्रत्यक्ष योग V ≤ W, टेंसर उत्पाद V ≤ W, और V की n-th बाहरी शक्ति, λn (V) बना सकते हैं। ये सभी फिर से k पर परिमित-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान हैं। प्रत्यक्ष योग, टेंसर उत्पाद और बाहरी शक्ति के वही तीन संचालन भी उपलब्ध हैं जब एक सीमित समूह के k-रैखिक अभ्यावेदन के साथ काम करते हैं, जब कुछ टोपोलॉजिकल स्थान पर वेक्टर बंडलों के साथ काम करते हैं, और अधिक सामान्य स्थितियों में। λ-रिंग्स को इन तीन संचालनों के सामान्य बीजगणितीय गुणों को अमूर्त करने के लिए डिज़ाइन किया गया है, जहां हम प्रत्यक्ष योग संचालन के संबंध में औपचारिक व्युत्क्रम की भी अनुमति देते हैं। (ये औपचारिक व्युत्क्रम ग्रोथेन्डिक समूहों में भी दिखाई देते हैं, यही कारण है कि अधिकांश λ-रिंगों के अंतर्निहित योगात्मक समूह ग्रोथेन्डिक समूह हैं।) रिंग में जोड़ प्रत्यक्ष योग से मेल खाता है, रिंग में गुणन टेंसर उत्पाद से मेल खाता है, और बाहरी शक्तियों के लिए λ-संचालन। उदाहरण के लिए, समरूपता सभी λ-रिंगों में मान्य सूत्र से मेल खाती है, और समरूपता सभी λ-रिंगों में मान्य सूत्र से मेल खाती है। समान लेकिन (अधिक) अधिक जटिल सूत्र उच्च क्रम λ-प्रचालक को नियंत्रित करते हैं। वेक्टर बंडलों के साथ प्रेरणा यदि हमारे पास एक चिकनी योजना पर वेक्टर बंडलों का एक छोटा सटीक अनुक्रम है तो स्थानीय रूप से, एक छोटे से पर्याप्त खुले पड़ोस के लिए हमारे पास समरूपता है। अतः एक λ-रिंग में मूल संबंध का प्रदर्शन करते हुए, कि परिभाषा A λ-रिंग एक कम्यूटेटिव रिंग R है जो संचालन के साथ एक साथ है λn: R → R प्रत्येक गैर-नकारात्मक पूर्णांक n के लिए। इन संचालन के लिए निम्नलिखित गुणों की आवश्यकता होती है जो सभी x, y R में और सभी n के लिए मान्य हों, m ≤ 0: λ0 (x) = 1 λ1 (x) = x λn (1) = 0 यदि n ≤ 2 λn (x + y) = σi + j = n λi (x) λj (y) λn (xy) = Pn (λ1 (x), λn (λn)। इन बहुपदों को निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है। मान लीजिए कि ई1,., ई. एम. एन. चर एक्स1,., एक्स. एम. एन. में प्राथमिक सममित बहुपद हैं। फिर Pn, m पूर्णांक गुणांक वाले nm चर में अद्वितीय बहुपद है जैसे कि Pn, m (e1,., emn) अभिव्यक्ति में tn का गुणांक है (ऐसा बहुपद मौजूद है, क्योंकि अभिव्यक्ति xi में सममित है और प्राथमिक सममित बहुपद सभी सममित बहुपदों को उत्पन्न करते हैं।) अब मान लीजिए कि e1,.., चर X1,.., Xn और f1 में प्राथमिक सममित बहुपद हैं, fn चर Y1,., Yn में प्राथमिक सममित बहुपद हैं। फिर Pn पूर्णांक गुणांक वाले 2n चर में अद्वितीय बहुपद है जैसे कि अभिव्यक्ति भिन्नताओं में tn का गुणांक है ऊपर परिभाषित λ-वलय को कुछ लेखकों द्वारा "विशेष λ-वलय" कहा जाता है, जो अधिक सामान्य अवधारणा के लिए "λ-वलय" शब्द का उपयोग करते हैं जहां λn (1), λn (xy) और λm (λn (x)) पर शर्तों को हटा दिया जाता है। उदाहरण पूर्णांकों का वलय Z, संचालन के रूप में द्विपद गुणांक के साथ (जिसे ऋणात्मक x के लिए भी परिभाषित किया जाता है) एक λ-वलय है। वास्तव में, यह Z पर एकमात्र λ-संरचना है। यह उदाहरण उपरोक्त अभिप्रेरणा खंड में उल्लिखित परिमित-आयामी सदिश रिक्त स्थान के मामले से निकटता से संबंधित है, प्रत्येक सदिश स्थान को उसके आयाम के साथ पहचानना और उसे याद रखना। अधिक आम तौर पर, कोई भी द्विपद वलय एक λ-वलय बन जाता है यदि हम λ-संक्रियाओं को द्विपद गुणांक, λn (x) = () के रूप में परिभाषित करते हैं। इन λ-रिंगों में, सभी एडम्स ऑपरेशन पहचान हैं। एक टोपोलॉजिकल स्पेस एक्स का के-सिद्धांत के (एक्स) एक λ-रिंग है, जिसमें लैम्ब्डा ऑपरेशन एक वेक्टर बंडल की बाहरी शक्तियों को लेने से प्रेरित होते हैं। एक समूह G और एक आधार क्षेत्र k को देखते हुए, प्रतिनिधित्व रिंग R (G) एक λ-रिंग है; λ-संचालन समूह G के k-रैखिक प्रतिनिधित्व की बाहरी शक्तियों द्वारा प्रेरित होते हैं। पूर्णांक गुणांक पर λ-संचालन को ऊपर के रूप में द्विपद गुणांक द्वारा परिभाषित किया जाता है, और यदि e1, e2,. प्राथमिक सममित कार्यों को दर्शाते हैं, तो हम λn (e1) = en निर्धारित करते हैं। λ-संक्रियाओं के लिए स्वयंसिद्धियों का उपयोग करते हुए, और यह तथ्य कि फलन एक बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र हैं और रिंग λZ उत्पन्न करते हैं, इस परिभाषा को एक अद्वितीय तरीके से बढ़ाया जा सकता है ताकि λZ को λ-रिंग में बदला जा सके। वास्तव में, यह एक जनरेटर पर मुक्त λ-रिंग है, जनरेटर e1 है। ()। आगे के गुण और परिभाषाएँ प्रत्येक λ-रिंग की विशेषता 0 होती है और इसमें λ-रिंग Z को λ-सबरिंग के रूप में शामिल किया जाता है। परिवर्तनीय बीजगणित की कई धारणाओं को λ-रिंग तक बढ़ाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, λ-रिंग R और S के बीच एक λ-समरूपता एक रिंग समरूपता f: R → S है जैसे कि f (λn (x)) = λn (f (x)) R में सभी x और सभी n ≤ 0 के लिए। λ-रिंग R में एक λ-आदर्श R में एक आदर्श I है जैसे कि R में सभी x और सभी n ≤ 1 के लिए λn (x) εI। यदि x एक λ-रिंग का एक तत्व है और m एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक है जैसे कि सभी n> m के लिए λm (x)  ऒत्त 0 और λn (x) = 0 है, तो हम डिम (x) = m लिखते हैं और तत्व को x परिमित-आयामी कहते हैं। सभी तत्वों को सीमित-आयामी होने की आवश्यकता नहीं है। हमारे पास मंद (x + y) ≤ मंद (x) + मंद (y) है और तत्वों का गुणनफल है। चेरन क्लास सिमेट्रिक फंक्शन के-थ्योरी एडम्स ऑपरेशन प्लेथिस्टिक एक्सपोनेंशियल रेफेरेंस एक्सपो 0 और रिंग थ्योरी के-थ्योरी का वी भी देखें।