Continuous geometry
गणित में, निरंतर ज्यामिति जटिल प्रोजेक्टिव ज्यामिति का एक एनालॉग है, जिसके द्वारा प्रस्तुत किया गया है, जहां एक सबस्पेस के आयाम के एक असतत सेट में होने के बजाय, यह इकाई अंतराल का एक तत्व हो सकता है। वॉन न्यूमैन को आयामों की एक निरंतर सीमा लेने वाले आयाम फलन के साथ वॉन न्यूमैन बीजगणित की उनकी खोज से प्रेरित किया गया था, और प्रोजेक्टिव स्पेस के अलावा एक निरंतर ज्यामिति का पहला उदाहरण हाइपरफाइनाइट टाइप II कारक का अनुमान था। परिभाषा मेंगर और बिरखॉफ ने प्रोजेक्टिव स्पेस के रैखिक उपस्थानों के जाली के संदर्भ में प्रोजेक्टिव ज्यामिति के लिए स्वयंसिद्ध दिए। निरंतर ज्यामिति के लिए वॉन न्यूमैन के स्वयंसिद्ध इन स्वयंसिद्धों का एक कमजोर रूप हैं। एक निरंतर ज्यामिति एक जाली एल है जिसमें निम्नलिखित गुण एल मॉड्यूलर है। एल पूरा हो गया है। जाली संचालन एक निश्चित निरंतरता गुण को संतुष्ट करते हैं, जहां A एक निर्देशित समुच्चय है और यदि है तो, और वही स्थिति जो कि और विपरीत के साथ होती है। एल में प्रत्येक तत्व का एक पूरक होता है (जरूरी नहीं कि अद्वितीय हो)। एक तत्व ए का पूरक एक तत्व बी है, जिसके साथ, जहां 0 और 1 एल के न्यूनतम और अधिकतम तत्व हैं। एल इरेड्यूसिबल हैः इसका मतलब है कि केवल अद्वितीय पूरक वाले तत्व 0 और 1 हैं। उदाहरण परिमित-आयामी जटिल प्रोजेक्टिव स्पेस, या बल्कि इसके रैखिक उपस्थानों का सेट, एक निरंतर ज्यामिति है, जिसमें आयाम असतत सेट में मान लेते हैं एक सीमित प्रकार II वॉन न्यूमैन बीजगणित के अनुमान एक निरंतर ज्यामिति बनाते हैं जिसमें आयाम इकाई अंतराल में मान लेते हैं। यह दर्शाता है कि कोई भी ऑर्थोकंप्लीमेंटेड पूर्ण मॉड्यूलर जाली एक निरंतर ज्यामिति है। यदि V एक क्षेत्र (या विभाजन वलय) F पर एक सदिश स्थान है, तो V के उपस्थानों के जाली पीजी (V) से उस उपस्थानों के जाली तक एक प्राकृतिक मानचित्र है जो आयामों को 2 से गुणा करता है। तो हम इसकी एक सीधी सीमा ले सकते हैं इसका एक डायमेंशन फंक्शन है जो 0 और 1 के बीच सभी डायडिक रैशनल को मान देता है। इसका पूरा होना एक निरंतर ज्यामिति है जिसमें प्रत्येक आयाम के तत्व होते हैं। इस ज्यामिति का निर्माण एफ आयाम पर निरंतर ज्यामिति द्वारा किया गया था और इसे एफ आयाम पर निरंतर ज्यामिति कहा जाता है। ये परिणाम वॉन न्यूमैन अल्जेब्रा में अनुमानों पर वॉन न्यूमैन के काम के समान हैं और उनसे प्रेरित थे। एल के दो तत्वों ए और बी को परिप्रेक्ष्य कहा जाता है, लिखा जाता है, अगर उनके पास एक सामान्य पूरक है। यह L पर एक समतुल्यता संबंध है; यह प्रमाण कि यह सकर्मक है, काफी कठिन है। समतुल्यता वर्ग ए, बी, एल. के कुल क्रम को इस प्रकार परिभाषित किया गया है कि क्या ए में कुछ ए और बी में बी के साथ है। (यह ए में ए और बी में बी सभी के लिए आवश्यक नहीं है।) L से इकाई अंतराल तक आयाम फलन D को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है। यदि समतुल्यता वर्ग ए और बी में तत्व ए और बी होते हैं तो उनके योग को समतुल्यता वर्ग के रूप में परिभाषित किया जाता है। अन्यथा योग को परिभाषित नहीं किया जाता है। एक सकारात्मक पूर्णांक n के लिए, उत्पाद nA को A की n प्रतियों के योग के रूप में परिभाषित किया जाता है, यदि यह योग परिभाषित किया गया है। समतुल्यता वर्ग ए और बी के लिए ए नहीं {0} के साथ पूर्णांक को अद्वितीय पूर्णांक के रूप में परिभाषित किया गया है। समतुल्यता वर्ग ए और बी के लिए ए के साथ वास्तविक संख्या को सी की सीमा के रूप में परिभाषित किया गया है जो एक न्यूनतम अनुक्रम से गुजरती हैः इसका मतलब है कि या तो सी में न्यूनतम गैर-शून्य तत्व होता है, या गैर-शून्य तत्वों का एक अनंत अनुक्रम होता है जिसमें से प्रत्येक पूर्ववर्ती तत्व का अधिकतम आधा होता है। D (a) को परिभाषित किया गया है, जहाँ {a} और {1} समतुल्य वर्ग हैं जिनमें a और 1 हैं। डी की छवि पूर्ण इकाई अंतराल हो सकती है, या किसी सकारात्मक पूर्णांक एन के लिए संख्याओं का समूह हो सकता है। एल के दो तत्वों की डी के तहत एक ही छवि होती है यदि और केवल यदि वे परिप्रेक्ष्य हैं, तो यह समतुल्य वर्गों से इकाई अंतराल के सबसेट को एक इंजेक्शन देता है। आयाम फलन डी के गुण हैंः यदि तब डी (ए. डब्ल्यू. बी) + डी (ए. डब्ल्यू. बी) = डी (ए) + डी (बी) यदि और केवल यदि, और केवल यदि समन्वय प्रमेय प्रोजेक्टिव ज्यामिति में, वेब्लेन-यंग प्रमेय बताता है कि कम से कम 3 आयाम की प्रोजेक्टिव ज्यामिति एक विभाजन रिंग पर एक वेक्टर स्पेस की प्रोजेक्टिव ज्यामिति के लिए समरूप है। इसे यह कहते हुए दोहराया जा सकता है कि प्रोजेक्टिव ज्यामिति में उपस्थान एक विभाजन रिंग पर एक मैट्रिक्स बीजगणित के प्रमुख सही आदर्शों के अनुरूप हैं। न्यूमैन ने इसे निरंतर ज्यामिति के लिए सामान्यीकृत किया, और अधिक सामान्य रूप से पूरक मॉड्यूलर जाली के लिए, निम्नानुसार। उनके प्रमेय में कहा गया है कि यदि एक पूरक मॉड्यूलर जाली L का क्रम कम से कम 4 है, तो L के तत्व एक वॉन न्यूमैन नियमित वलय के प्रमुख सही आदर्शों के अनुरूप हैं। अधिक सटीक रूप से यदि जाली का क्रम n है तो वॉन न्यूमैन नियमित वलय को एक अन्य वॉन न्यूमैन नियमित वलय R पर एक n गुणा n मैट्रिक्स वलय Mn (R) के रूप में लिया जा सकता है। यहाँ एक पूरक मॉड्यूलर जाली का क्रम n होता है यदि इसमें n तत्वों का एक सजातीय आधार होता है, जहाँ एक आधार n तत्व a1 होता है, ऐसा कि यदि, और, और एक आधार को सजातीय कहा जाता है यदि कोई भी दो तत्व परिप्रेक्ष्य हैं। जाली का क्रम अद्वितीय होने की आवश्यकता नहीं है; उदाहरण के लिए, किसी भी जाली का क्रम 1 होता है। यह शर्त कि जाली का क्रम कम से कम 4 है, इस शर्त से मेल खाती है कि वेब्लेन-यंग प्रमेय में आयाम कम से कम 3 है, क्योंकि एक प्रोजेक्टिव स्पेस का आयाम कम से कम 3 है यदि और केवल तभी जब इसमें कम से कम 4 स्वतंत्र बिंदुओं का सेट हो। इसके विपरीत, एक वॉन न्यूमैन नियमित वलय के प्रमुख सही आदर्श एक पूरक मॉड्यूलर जाली बनाते हैं। मान लीजिए कि आर एक वॉन न्यूमैन नियमित वलय है और एल इसके प्रमुख सही आदर्शों का जाली है, ताकि एल एक पूरक मॉड्यूलर जाली है। न्यूमैन ने दिखाया कि L एक निरंतर ज्यामिति है यदि और केवल तभी जब R एक अपरिवर्तनीय पूर्ण श्रेणी रिंग है। संदर्भ प्रोजेक्टिव ज्यामिति वॉन न्यूमैन अल्जेब्रा जाली सिद्धांत