Pickands–Balkema–De Haan theorem
पिकैंड्स-बाल्केमा-डी हान प्रमेय एक यादृच्छिक चर का स्पर्शोन्मुख पूंछ वितरण देता है, जब इसका सही वितरण अज्ञात होता है। चरम मूल्य सिद्धांत में इसे अक्सर दूसरा प्रमेय कहा जाता है। पहले प्रमेय (फिशर-टिपेट-गेनेडेंको प्रमेय) के विपरीत, जो एक नमूने के अधिकतम मूल्य से संबंधित है, पिकैंड्स-बाल्केमा-डी हान प्रमेय एक सीमा से ऊपर के मूल्यों का वर्णन करता है। इस प्रमेय का नाम गणितविदों जेम्स पिकैंड्स, गुस बाल्केमा और लॉरेंस डी हान के नाम पर रखा गया है। सशर्त अतिरिक्त वितरण फलन एक यादृच्छिक चर के अज्ञात वितरण फलन के लिए, पिकैंड्स-बाल्केमा-डी हान प्रमेय एक निश्चित सीमा से ऊपर चर के सशर्त वितरण फलन का वर्णन करता है। यह तथाकथित सशर्त अतिरिक्त वितरण कार्य है, जिसे परिभाषित किया गया है, जहां अंतर्निहित वितरण का या तो परिमित या अनंत सही अंतिम बिंदु है। फलन एक सीमा पर अतिरिक्त मूल्य के वितरण का वर्णन करता है, यह देखते हुए कि सीमा पार हो गई है। कथन सशर्त अतिरिक्त वितरण कार्य माना जाता है। पिकैंड्स, बाल्केमा और डी हान ने प्रस्तुत किया कि अंतर्निहित वितरण कार्यों के एक बड़े वर्ग के लिए, और बड़े, निम्नलिखित अर्थों में सामान्यीकृत पेरेटो वितरण द्वारा अच्छी तरह से अनुमानित है। मान लीजिए कि ऐसे कार्य मौजूद हैं, जिनके साथ एक गैर-अपक्षयी वितरण में अभिसरण होता है, तो ऐसी सीमा सामान्यीकृत पारेतो वितरण के बराबर हैः, जहाँ, यदि, यहाँ σ> 0 है, और y ≤ 0 जब k ≤ 0 और 0 ≤ y ≤ − σ/k जब k <0 है। इन विशेष मामलों को माध्य के साथ घातीय वितरण के रूप में भी जाना जाता है, यदि k = 0, पर समान वितरण, यदि k =-1, पारेटो वितरण, यदि k> 0। अंतर्निहित वितरण कार्यों का वर्ग फिशर-टिपेट-गेनेडेंको प्रमेय को संतुष्ट करने वाले वितरण कार्यों के वर्ग से संबंधित है। चूँकि सामान्यीकृत पारेतो वितरण का एक विशेष मामला एक शक्ति-नियम है, इसलिए कभी-कभी चरम घटनाओं के प्रतिरूपण के लिए शक्ति-नियम के उपयोग को सही ठहराने के लिए पिकैंड्स-बाल्केमा-डी हान प्रमेय का उपयोग किया जाता है। इस प्रमेय को वितरण की एक विस्तृत श्रृंखला को शामिल करने के लिए विस्तारित किया गया है। जबकि विस्तारित संस्करण कवर करते हैं, उदाहरण के लिए सामान्य और लॉग-सामान्य वितरण, अभी भी निरंतर वितरण मौजूद हैं जो कवर नहीं किए गए हैं। स्थिर वितरण संदर्भ संभावना प्रमेय भी देखें चरम मूल्य डेटा संभावना वितरण की पूंछ