Square packing
स्क्वायर पैकिंग एक पैकिंग समस्या है जहाँ उद्देश्य यह निर्धारित करना है कि कितने सर्वांगसम वर्गों को किसी बड़े आकार, अक्सर एक वर्ग या वृत्त में पैक किया जा सकता है। एक वर्ग में एक वर्गाकार वर्गाकार पैकिंग में वर्गाकार पैकिंग इकाई वर्गों (एक तरफ की लंबाई के वर्ग) की अधिकतम संख्या निर्धारित करने की समस्या है जिसे एक तरफ की लंबाई के बड़े वर्ग के अंदर पैक किया जा सकता है। यदि एक पूर्णांक है, तो उत्तर यह है कि एक मनमाना गैर-पूर्णांक के लिए खाली स्थान की सटीक-या यहां तक कि एसिम्प्टोटिक-मात्रा एक खुला प्रश्न है। इसका सबसे छोटा मान इकाई वर्गों की पैकिंग की अनुमति देता है जब एक पूर्ण वर्ग है (जिस स्थिति में यह है), साथ ही 2,3,5,6,7,8,10,13,14,15,24,34,35,46,47 और 48 के लिए भी ज्ञात होता है। इनमें से अधिकांश संख्याओं के लिए (केवल 5 और 10 के अपवाद के साथ), पैकिंग अक्ष-संरेखित वर्गों के साथ प्राकृतिक है, और है, जहां छत (राउंड अप) कार्य है। यह आंकड़ा 5 और 10 वर्गों के लिए इष्टतम पैकेजिंग दिखाता है, वर्ग की दो सबसे छोटी संख्या जिसके लिए इष्टतम पैकेजिंग में झुके हुए वर्ग शामिल हैं। सबसे छोटे अनसुलझे मामले में 11 इकाई वर्गों को एक बड़े वर्ग में पैक करना शामिल है। 11 इकाई वर्गों को पार्श्व लंबाई के वर्ग में पैक नहीं किया जा सकता है। इसके विपरीत, 11 वर्गों का सबसे कड़ा ज्ञात पैकिंग वाल्टर ट्रम्प द्वारा पाया गया लगभग 3.877084 पार्श्व लंबाई के एक वर्ग के अंदर है। असिंप्टोटिक परिणाम पार्श्व लंबाई के बड़े मानों के लिए, एक वर्ग को पैक करने वाले इकाई वर्गों की सटीक संख्या अज्ञात रहती है। अक्ष-संरेखित इकाई वर्गों के एक ग्रिड को पैक करना हमेशा संभव है, लेकिन यह एक बड़े क्षेत्र को लगभग खुला और बर्बाद कर सकता है। इसके बजाय, पॉल एर्दोस और रोनाल्ड ग्राहम ने दिखाया कि झुकी हुई इकाई वर्गों द्वारा एक अलग पैकिंग के लिए, बर्बाद स्थान को काफी कम किया जा सकता है (यहाँ थोड़ा ओ संकेतन में लिखा गया है)। बाद में, ग्राहम और फैन चुंग ने बर्बाद जगह को और कम कर दिया। हालाँकि, जैसा कि क्लाउस रोथ और बॉब वॉन ने साबित किया, सभी समाधानों को कम से कम जगह बर्बाद करनी चाहिए। विशेष रूप से, जब एक आधा-पूर्णांक होता है, तो बर्बाद स्थान कम से कम इसके वर्गमूल के समानुपाती होता है। बर्बाद स्थान की सटीक एसिम्प्टोटिक वृद्धि दर, यहां तक कि आधे पूर्णांक पक्ष की लंबाई के लिए भी, एक खुली समस्या बनी हुई है। इकाई वर्गों की कुछ संख्याएँ कभी भी पैकिंग में इष्टतम संख्या नहीं होती हैं। विशेष रूप से, यदि आकार का एक वर्ग इकाई वर्गों की पैकिंग की अनुमति देता है, तो यह मामला होना चाहिए और इकाई वर्गों की पैकिंग भी संभव है। एक वृत्त में वर्गाकार पैकिंग एक वृत्त में वर्गाकार पैकिंग n इकाई वर्गों को एक वृत्त में पैक करने की एक संबंधित समस्या है जिसकी त्रिज्या यथासंभव छोटी है। इस समस्या के लिए, अच्छे समाधान एन से लेकर 35 तक के लिए जाने जाते हैं। यहाँ n से 12 तक के लिए न्यूनतम समाधान दिए गए हैंः एक वर्ग में वृत्त पैकिंग भी देखें वर्गाकार आयताकार पैकिंग चलती सोफे की समस्या संदर्भ बाहरी लिंक पैकिंग समस्याएं ज्यामिति में अनसुलझी समस्याएं