Lagrange inversion theorem
गणितीय विश्लेषण में, लैग्रेंज व्युत्क्रम प्रमेय, जिसे लैग्रेंज-बर्मन सूत्र के रूप में भी जाना जाता है, एक विश्लेषणात्मक फलन के व्युत्क्रम फलन का टेलर श्रृंखला विस्तार देता है। कथन मान लीजिए कि इसे उस रूप के समीकरण के रूप में परिभाषित किया गया है जहां एक बिंदु पर विश्लेषणात्मक है और फिर समीकरण को उलटना या हल करना संभव है, इसे एक शक्ति श्रृंखला द्वारा दिए गए रूप में व्यक्त करना जहां प्रमेय आगे बताता है कि इस श्रृंखला में अभिसरण की गैर-शून्य त्रिज्या है, यानी, इसके पड़ोस में एक विश्लेषणात्मक कार्य का प्रतिनिधित्व करता है। यदि विश्लेषणात्मकता के बारे में अभिकथनों को छोड़ दिया जाता है, तो सूत्र औपचारिक शक्ति श्रृंखला के लिए भी मान्य है और इसे विभिन्न तरीकों से सामान्यीकृत किया जा सकता हैः इसे कई चर के कार्यों के लिए तैयार किया जा सकता है; इसे किसी भी विश्लेषणात्मक कार्य के लिए एक तैयार सूत्र प्रदान करने के लिए बढ़ाया जा सकता है; और इसे उस मामले में सामान्यीकृत किया जा सकता है जहां व्युत्क्रम एक बहु-मूल्यवान कार्य है। इस प्रमेय को 18वीं शताब्दी के अंत में लैग्रेंज द्वारा साबित किया गया था और हंस हेनरिक बर्मन द्वारा सामान्यीकृत किया गया था। जटिल विश्लेषण और समोच्च एकीकरण का उपयोग करके एक सीधी व्युत्पत्ति है; जटिल औपचारिक शक्ति श्रृंखला संस्करण बहुपदों के सूत्र को जानने का एक परिणाम है, इसलिए विश्लेषणात्मक कार्यों के सिद्धांत को लागू किया जा सकता है। वास्तव में, विश्लेषणात्मक कार्य सिद्धांत से तंत्र इस प्रमाण में केवल औपचारिक तरीके से प्रवेश करता है, जिसमें वास्तव में औपचारिक अवशेष के कुछ गुण की आवश्यकता होती है, और एक अधिक प्रत्यक्ष औपचारिक प्रमाण उपलब्ध है। यदि एक औपचारिक शक्ति श्रृंखला है, तो उपरोक्त सूत्र संरचनात्मक व्युत्क्रम श्रृंखला के गुणांक को सीधे श्रृंखला के गुणांक के संदर्भ में नहीं देता है। यदि कोई कार्यों को और औपचारिक शक्ति श्रृंखला में और के रूप में व्यक्त कर सकता है, तो व्युत्क्रम गुणांक का एक स्पष्ट रूप बेल बहुपदों के संदर्भ में दिया जा सकता हैः बढ़ती भाज्य कहाँ है। उदाहरण के लिए, डिग्री के बीजगणितीय समीकरण को फलन के लिए लैग्रेंज व्युत्क्रम सूत्र के माध्यम से हल किया जा सकता है, जिसके परिणामस्वरूप एक औपचारिक श्रृंखला समाधान होता है अभिसरण परीक्षणों द्वारा, यह श्रृंखला वास्तव में अभिसारी है जिसके लिए सबसे बड़ी डिस्क भी है जिसमें एक स्थानीय व्युत्क्रम को परिभाषित किया जा सकता है। सरलता के लिए प्रमाण का रेखाचित्र मान लीजिए। यदि हम ज्यामितीय श्रृंखला का उपयोग करके समाकलन का विस्तार करते हैं तो हम पाते हैं कि अंतिम चरण में हमने इस तथ्य का उपयोग किया है जिसमें एक सरल शून्य है। अंत में हम ध्यान में रखते हुए ओवर इंटीग्रेट कर सकते हैं योग सूचकांक को फिर से परिभाषित करने पर हमें बताया गया सूत्र मिलता है। अनुप्रयोग लैग्रेंज-बर्मन सूत्र लैग्रेंज व्युत्क्रम प्रमेय का एक विशेष मामला है जो संयोजन विज्ञान में उपयोग किया जाता है और तब लागू होता है जब कुछ विश्लेषणात्मक के लिए इसे प्राप्त करने के लिए लिया जाता है फिर व्युत्क्रम (संतोषजनक) के लिए, हमारे पास ऐसा है जिसे वैकल्पिक रूप से लिखा जा सकता है जहां एक प्रचालक है जो के फलन की टेलर श्रृंखला में गुणांक निकालता है। सूत्र के एक सामान्यीकरण को लैग्रेंज-बर्मन सूत्र के रूप में जाना जाता हैः जहाँ एक मनमाना विश्लेषणात्मक कार्य है। कभी-कभी, व्युत्पन्न काफी जटिल हो सकता है। सूत्र का एक सरल संस्करण पाने के लिए प्रतिस्थापित करता है जिसमें इसके बजाय शामिल होता है। लैम्बर्ट फलन वह फलन है जिसे निहित रूप से समीकरण द्वारा परिभाषित किया जाता है हम इस प्रमेय का उपयोग टेलर श्रृंखला की गणना करने के लिए कर सकते हैं और यह मानते हुए कि यह इस श्रृंखला के अभिसरण की त्रिज्या देता है (लैम्बर्ट फलन की प्रमुख शाखा दे रहा है)। एक श्रृंखला जो (लगभग) के लिए अभिसरण करती है, उसे श्रृंखला व्युत्क्रम द्वारा भी प्राप्त किया जा सकता है। फलन समीकरण को संतुष्ट करता है फिर एक शक्ति श्रृंखला में विस्तारित किया जा सकता है और उल्टा किया जा सकता है। यह एक श्रृंखला देता है जिसकी गणना उपरोक्त श्रृंखला में प्रतिस्थापित करके की जा सकती है। उदाहरण के लिए, के लिए प्रतिस्थापन द्विआधारी पेड़ों का मूल्य देता है बिना लेबल वाले द्विआधारी पेड़ों के समूह पर विचार करें। एक तत्व या तो शून्य आकार का एक पत्ता है, या दो सबट्री के साथ एक रूट नोड है। नोड्स पर द्विआधारी पेड़ों की संख्या से दर्शाएँ। जड़ को हटाने से एक द्विआधारी पेड़ छोटे आकार के दो पेड़ों में विभाजित हो जाता है। यह उत्पन्न करने वाले फलन लेटिंग पर कार्यात्मक समीकरण देता है, इस प्रकार उपज के साथ प्रमेय को लागू करना यह दर्शाता है कि यह th कैटलन संख्या है। समाकलन का असिम्प्टोटिक सन्निकटन लाप्लास-एर्डेली प्रमेय में जो लाप्लास-प्रकार समाकलन के लिए असिम्प्टोटिक सन्निकटन देता है, फलन व्युत्क्रम को एक महत्वपूर्ण चरण के रूप में लिया जाता है। फा डी ब्रूनो का सूत्र उन दो श्रृंखलाओं के गुणांक के संदर्भ में दो औपचारिक शक्ति श्रृंखलाओं की संरचना के गुणांक देता है। समान रूप से, यह एक समग्र फलन के nवें व्युत्पन्न के लिए एक सूत्र है। एक अन्य प्रमेय के लिए लैग्रेंज प्रत्यावर्तन प्रमेय जिसे कभी-कभी व्युत्क्रम प्रमेय कहा जाता है औपचारिक शक्ति series#The लैग्रेंज व्युत्क्रम सूत्र संदर्भ स्प्रिंगर ई. ओ. एम. व्युत्क्रम कार्यों में बाहरी लिंक बर्मन-लैग्रेंज श्रृंखला वास्तविक विश्लेषण में प्रमेय जटिल विश्लेषण में प्रमेय संयोजन में प्रमेय