Geometric analysis
ज्यामितीय विश्लेषण एक गणितीय विषय है जहाँ विभेदक समीकरणों के उपकरणों, विशेष रूप से अण्डाकार आंशिक विभेदक समीकरणों (पी. डी. ई.) का उपयोग विभेदक ज्यामिति और विभेदक टोपोलॉजी में नए परिणाम स्थापित करने के लिए किया जाता है। रैखिक अण्डाकार पी. डी. ई. का उपयोग कम से कम हॉज सिद्धांत से पहले का है। हाल ही में, यह बड़े पैमाने पर रिक्त स्थान के ज्यामितीय और स्थलवैज्ञानिक गुणों का अध्ययन करने के लिए अरैखिक आंशिक विभेदक समीकरणों के उपयोग को संदर्भित करता है, जैसे कि यूक्लिडियन स्पेस के सबमैनिफोल्ड, रीमानियन मैनिफोल्ड और सिंप्लेक्टिक मैनिफोल्ड। यह दृष्टिकोण न्यूनतम सतहों पर टिबोर राडो और जेसी डगलस, यूक्लिडियन स्पेस में रीमानियन मैनिफोल्ड्स के आइसोमेट्रिक एम्बेडिंग पर जॉन फोर्ब्स नैश जूनियर, मिन्कोव्स्की समस्या और वेल समस्या पर लुई निरेनबर्ग द्वारा काम, और उत्तल अति सतहों पर अलेक्जेंडर डेनिलोविच अलेक्जेंड्रोव और अलेक्सी पोगोरलोव द्वारा काम करने के लिए है। 1980 के दशक में करेन उहलेनबेक, क्लिफोर्ड टौब्स, शिंग-तुंग याउ, रिचर्ड शोएन और रिचर्ड हैमिल्टन के मौलिक योगदान ने ज्यामितीय विश्लेषण का एक विशेष रूप से रोमांचक और उत्पादक युग शुरू किया जो आज भी जारी है। एक प्रसिद्ध उपलब्धि ग्रिगोरी पेरेलमैन द्वारा पोइनकेयर अनुमान का समाधान था, जिसने रिचर्ड हैमिल्टन द्वारा शुरू किए गए और बड़े पैमाने पर किए गए एक कार्यक्रम को पूरा किया। ज्यामितीय विश्लेषण के दायरे में आंशिक विभेदक समीकरणों के अध्ययन में ज्यामितीय विधियों का उपयोग (जब इसे "ज्यामितीय पीडीई" के रूप में भी जाना जाता है) और ज्यामिति में आंशिक विभेदक समीकरणों के सिद्धांत का अनुप्रयोग दोनों शामिल हैं। इसमें वक्र और सतहों, या घुमावदार सीमाओं वाले क्षेत्रों से जुड़ी समस्याएं शामिल हैं, लेकिन मनमाने आयाम में रीमानियन मैनिफोल्ड्स का अध्ययन भी शामिल है। भिन्नताओं के कलन को कभी-कभी ज्यामितीय विश्लेषण का हिस्सा माना जाता है, क्योंकि परिवर्तनशील सिद्धांतों से उत्पन्न होने वाले विभेदक समीकरणों में एक मजबूत ज्यामितीय सामग्री होती है। ज्यामितीय विश्लेषण में वैश्विक विश्लेषण भी शामिल है, जो कई गुना पर विभेदक समीकरणों के अध्ययन और विभेदक समीकरणों और टोपोलॉजी के बीच संबंध से संबंधित है। निम्नलिखित ज्यामितीय विश्लेषण के भीतर प्रमुख विषयों की एक आंशिक सूची हैः गेज सिद्धांत हार्मोनिक मानचित्र कहलर-आइंस्टीन मेट्रिक्स औसत वक्रता प्रवाह न्यूनतम उपमैनिफोल्ड सकारात्मक ऊर्जा प्रमेय स्यूडोहोलोमोर्फिक वक्र रिक्की प्रवाह यामाबे समस्या यांग-मिल्स समीकरण संदर्भ आगे पढ़ने के लिए भिन्नताओं की गणना विभेदक समीकरण