Linear group
गणित में, एक मैट्रिक्स समूह एक समूह G है जिसमें मैट्रिक्स गुणन के संचालन के साथ एक निर्दिष्ट क्षेत्र K पर व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स होते हैं। एक रैखिक समूह एक समूह है जो एक मैट्रिक्स समूह के लिए समरूप है (यानी, K पर एक वफादार, परिमित-आयामी प्रतिनिधित्व को स्वीकार करना)। कोई भी परिमित समूह रैखिक होता है, क्योंकि इसे केले के प्रमेय का उपयोग करके क्रमपरिवर्तन मैट्रिक्स द्वारा प्राप्त किया जा सकता है। अनंत समूहों के बीच, रैखिक समूह एक दिलचस्प और व्यवहार्य वर्ग बनाते हैं। रैखिक नहीं होने वाले समूहों के उदाहरणों में ऐसे समूह शामिल हैं जो "बहुत बड़े" हैं (उदाहरण के लिए, एक अनंत समूह के क्रमपरिवर्तन का समूह), या जो कुछ रोगजनक व्यवहार प्रदर्शित करते हैं (उदाहरण के लिए, परिमित रूप से उत्पन्न अनंत मरोड़ समूह)। परिभाषा और बुनियादी उदाहरण एक समूह G को रैखिक कहा जाता है यदि कोई क्षेत्र K, एक पूर्णांक d और G से सामान्य रैखिक समूह GLd (K) में एक इंजेक्टिव होमोमोर्फिज्म मौजूद है (आयाम का एक विश्वसनीय रैखिक प्रतिनिधित्व): यदि आवश्यक हो तो कोई यह कहकर क्षेत्र और आयाम का उल्लेख कर सकता है कि G डिग्री d का K पर रैखिक है। बुनियादी उदाहरण ऐसे समूह हैं जिन्हें एक रैखिक समूह के उपसमूहों के रूप में परिभाषित किया जाता है, उदाहरण के लिएः समूह GLn (K) स्वयं; विशेष रैखिक समूह SLn (K) (निर्धारक 1 के साथ मैट्रिक्स का उपसमूह); व्युत्क्रमणीय ऊपरी (या निचले) त्रिकोणीय मैट्रिक्स का समूह यदि gi GLn (K) में तत्वों का एक संग्रह है। लाइ समूहों के अध्ययन में, कभी-कभी लाइ समूहों पर ध्यान केंद्रित करना शैक्षणिक रूप से सुविधाजनक होता है जिन्हें जटिल संख्याओं के क्षेत्र में ईमानदारी से दर्शाया जा सकता है। (कुछ लेखकों को समूह को जी. एल. एन. (सी) के एक बंद उपसमूह के रूप में प्रस्तुत करने की आवश्यकता होती है।) इस दृष्टिकोण का पालन करने वाली पुस्तकों में हॉल (2015) और रॉसमैन (2002) शामिल हैं। रैखिक समूहों के वर्ग शास्त्रीय समूह और संबंधित उदाहरण तथाकथित शास्त्रीय समूह उपरोक्त उदाहरण 1 और 2 को सामान्यीकृत करते हैं। वे रैखिक बीजगणितीय समूहों के रूप में उत्पन्न होते हैं, अर्थात, समीकरणों की एक सीमित संख्या द्वारा परिभाषित जी. एल. एन. के उपसमूहों के रूप में। बुनियादी उदाहरण ऑर्थोगोनल, एकात्मक और सिंप्लेक्टिक समूह हैं लेकिन विभाजन बीजगणित का उपयोग करके अधिक निर्माण करना संभव है (उदाहरण के लिए एक चतुर्थक बीजगणित का इकाई समूह एक शास्त्रीय समूह है)। ध्यान दें कि इन समूहों से जुड़े प्रोजेक्टिव समूह भी रैखिक हैं, हालांकि कम स्पष्ट रूप से। उदाहरण के लिए, समूह पी. एस. एल. 2 (आर) 2 × 2 मैट्रिक्स का समूह नहीं है, लेकिन इसमें 3 × 3 मैट्रिक्स (संलग्न प्रतिनिधित्व) के रूप में एक विश्वसनीय प्रतिनिधित्व है, जिसका उपयोग सामान्य मामले में किया जा सकता है। कई लाइ समूह रैखिक होते हैं, लेकिन उनमें से सभी नहीं। एस. एल. 2 (आर) का सार्वभौमिक आवरण रैखिक नहीं है, जैसा कि कई हल करने योग्य समूह हैं, उदाहरण के लिए एक केंद्रीय चक्रीय उपसमूह द्वारा हाइजेनबर्ग समूह का भागफल। शास्त्रीय लाइ समूहों के असतत उपसमूह (उदाहरण के लिए जाली या पतले समूह) भी दिलचस्प रैखिक समूहों के उदाहरण हैं। परिमित समूह n क्रम का एक परिमित समूह G किसी भी क्षेत्र K पर अधिकतम n पर डिग्री का रैखिक होता है। इस कथन को कभी-कभी केले की प्रमेय कहा जाता है, और बस इस तथ्य से परिणाम मिलता है कि समूह रिंग K [G] पर G की क्रिया बाएं (या दाएं) से गुणा रैखिक और विश्वसनीय है। लाइ प्रकार के परिमित समूह (परिमित क्षेत्रों पर शास्त्रीय समूह) सीमित सरल समूहों का एक महत्वपूर्ण परिवार है, क्योंकि वे सीमित सरल समूहों के वर्गीकरण में अधिकांश स्थान लेते हैं। जबकि ऊपर दिया गया उदाहरण 4 एक विशिष्ट वर्ग को परिभाषित करने के लिए बहुत सामान्य है (इसमें सभी रैखिक समूह शामिल हैं), एक सीमित सूचकांक सेट I तक सीमित, यानी परिमित रूप से उत्पन्न समूहों के लिए कई दिलचस्प उदाहरणों का निर्माण करने की अनुमति देता है। उदाहरण के लिएः पिंग-पोंग लेम्मा का उपयोग रैखिक समूहों के कई उदाहरणों के निर्माण के लिए किया जा सकता है जो मुक्त समूह हैं (उदाहरण के लिए द्वारा उत्पन्न समूह मुक्त है)। अंकगणितीय समूहों को परिमित रूप से उत्पन्न होने के लिए जाना जाता है। दूसरी ओर, किसी दिए गए अंकगणितीय समूह के लिए जनरेटर का एक स्पष्ट सेट खोजना एक कठिन समस्या है। ब्रैड समूहों (जिन्हें एक परिमित रूप से प्रस्तुत समूह के रूप में परिभाषित किया गया है) में एक सीमित-आयामी जटिल वेक्टर स्थान पर विश्वसनीय रैखिक प्रतिनिधित्व होता है जहां जनरेटर स्पष्ट मैट्रिक्स द्वारा कार्य करते हैं। ज्यामिति के उदाहरण कुछ मामलों में मैनिफोल्ड के मौलिक समूह को ज्यामितीय संरचना से आने वाले अभ्यावेदन का उपयोग करके रैखिक दिखाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, कम से कम 2 वंश की सभी बंद सतह हाइपरबोलिक रीमान सतह हैं। एकरूपता प्रमेय के माध्यम से यह हाइपरबोलिक तल के सममिति समूह में अपने मौलिक समूह के प्रतिनिधित्व को जन्म देता है, जो पी. एस. एल. 2 (आर) के लिए समरूप है और यह एक फ्यूशियन समूह के रूप में मौलिक समूह का एहसास करता है। इस संरचना का एक सामान्यीकरण कई गुना पर एक (जी, एक्स)-संरचना की धारणा द्वारा दिया जाता है। एक अन्य उदाहरण सीफर्ट मैनिफोल्ड्स का मौलिक समूह है। दूसरी ओर, यह ज्ञात नहीं है कि 3-मैनिफोल्ड के सभी मौलिक समूह रैखिक हैं या नहीं। जबकि रैखिक समूह उदाहरणों का एक विशाल वर्ग है, सभी अनंत समूहों के बीच वे कई उल्लेखनीय गुणों से अलग हैं। परिमित रूप से उत्पन्न रैखिक समूहों में निम्नलिखित गुण होते हैंः वे अवशिष्ट रूप से परिमित हैं; बर्नसाइड की प्रमेय-परिमित प्रतिपादक का एक मरोड़ समूह जो विशेषता 0 के क्षेत्र पर रैखिक है, सीमित होना चाहिए; शूर की प्रमेय-एक मरोड़ रैखिक समूह स्थानीय रूप से सीमित है। विशेष रूप से, यदि यह परिमित रूप से उत्पन्न होता है तो यह परिमित है। सेलबर्ग की व्याख्याः किसी भी परिमित रूप से उत्पन्न रैखिक समूह में परिमित सूचकांक का एक मरोड़-मुक्त उपसमूह होता है। टिट्स वैकल्पिक में कहा गया है कि एक रैखिक समूह में या तो एक गैर-एबेलियन मुक्त समूह होता है या अन्यथा वस्तुतः हल करने योग्य होता है (यानी, इसमें परिमित सूचकांक का एक हल करने योग्य समूह होता है)। इसके कई और परिणाम हैं, उदाहरण के लिएः एक परिमित रूप से उत्पन्न रैखिक समूह का डेहन फलन केवल बहुपद या घातीय हो सकता है; एक अनुकूल रैखिक समूह वस्तुतः हल करने योग्य है, विशेष रूप से प्राथमिक रूप से उपयुक्त; वॉन न्यूमैन अनुमान रैखिक समूहों के लिए सही है। गैर-रैखिक समूहों के उदाहरण गैर-रैखिक समूहों के असीम रूप से उत्पन्न उदाहरण देना कठिन नहीं हैः उदाहरण के लिए अनंत अबेलियन समूह (Z/2Z) N x (Z/3Z) N रैखिक नहीं हो सकता है। चूँकि एक अनंत समुच्चय पर सममित समूह में यह समूह होता है, इसलिए यह रैखिक भी नहीं है। परिमित रूप से उत्पन्न उदाहरणों को खोजना अधिक सूक्ष्म होता है और आमतौर पर ऊपर सूचीबद्ध गुणों में से एक के उपयोग की आवश्यकता होती है। चूँकि कोई भी परिमित रैखिक समूह अवशिष्ट रूप से सीमित है, इसलिए यह सरल और अनंत दोनों नहीं हो सकता है। इस प्रकार परिमित रूप से उत्पन्न अनंत सरल समूह, उदाहरण के लिए थॉम्पसन का समूह एफ, और अधिकतम उचित सामान्य उपसमूह द्वारा हिगमैन के समूह का भागफल, रैखिक नहीं हैं। ऊपर वर्णित टिट्स विकल्प के परिणाम के अनुसार, ग्रिगोरचुक समूह जैसे मध्यवर्ती विकास के समूह रैखिक नहीं हैं। फिर से टिट्स विकल्प द्वारा, जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, वॉन न्यूमैन अनुमान के सभी प्रति-उदाहरण रैखिक नहीं हैं। इसमें थॉम्पसन के समूह एफ और टार्स्की राक्षस समूह शामिल हैं। बर्नसाइड के प्रमेय के अनुसार, टार्स्की राक्षस समूहों जैसे अनंत, परिमित रूप से उत्पन्न मरोड़ समूह रैखिक नहीं हो सकते हैं। हाइपरबोलिक समूहों के उदाहरण हैं जो रैखिक नहीं हैं, जिन्हें लाइ समूहों एसपी (एन, 1) में जाली के भाग के रूप में प्राप्त किया जाता है। मुक्त समूह के बाहरी ऑटोमोर्फिज्म समूह आउट (एफएन) को कम से कम एन 4 के लिए रैखिक नहीं माना जाता है। ब्रैड समूहों के मामले के विपरीत, यह एक खुला सवाल है कि क्या जीनस> 1 की सतह का मानचित्रण वर्ग समूह रैखिक है। प्रतिनिधित्व सिद्धांत एक बार जब एक समूह को रैखिक होने के लिए स्थापित किया जाता है, तो इसके लिए "इष्टतम" वफादार रैखिक प्रतिनिधित्व खोजने की कोशिश करना दिलचस्प होता है, उदाहरण के लिए सबसे कम संभव आयाम, या यहां तक कि इसके सभी रैखिक प्रतिनिधित्वों को वर्गीकृत करने की कोशिश करना (जिनमें वे भी शामिल हैं जो वफादार नहीं हैं)। ये प्रश्न प्रतिनिधित्व सिद्धांत के उद्देश्य हैं। सिद्धांत के मुख्य भागों में शामिल हैंः परिमित समूहों का प्रतिनिधित्व सिद्धांत; झूठ समूहों का प्रतिनिधित्व सिद्धांत और अधिक आम तौर पर रैखिक बीजगणितीय समूह। अनंत परिमित रूप से उत्पन्न समूहों का प्रतिनिधित्व सिद्धांत सामान्य रूप से रहस्यमय है; इस मामले में रुचि का उद्देश्य समूह के चरित्र प्रकार हैं, जिन्हें केवल बहुत कम मामलों में अच्छी तरह से समझा जाता है, उदाहरण के लिए मुक्त समूह, सतह समूह और लाइ समूहों में अधिक आम तौर पर जाली (उदाहरण के लिए मार्गुलिस के अति कठोरता प्रमेय और अन्य कठोरता परिणामों के माध्यम से)। टिप्पणियाँ संदर्भ। .. अनंत समूह सिद्धांत मैट्रिक