Conjugate points
विभेदक ज्यामिति में, संयुग्म बिंदु या केंद्र बिंदु, मोटे तौर पर, ऐसे बिंदु हैं जिन्हें लगभग भूगणितीय के 1-पैरामीटर परिवार द्वारा जोड़ा जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक गोले पर, उत्तर-ध्रुव और दक्षिण-ध्रुव किसी भी मेरिडियन से जुड़े होते हैं। एक अन्य दृष्टिकोण यह है कि संयुग्म बिंदु बताते हैं कि भूगणितीय कब लंबाई को कम करने में विफल रहते हैं। सभी भूगणितीय स्थानीय रूप से लंबाई को कम करने वाले हैं, लेकिन वैश्विक स्तर पर नहीं। उदाहरण के लिए एक गोले पर, उत्तर-ध्रुव से गुजरने वाले किसी भी भूगणितीय को दक्षिण-ध्रुव तक बढ़ाया जा सकता है, और इसलिए ध्रुवों को जोड़ने वाला कोई भी भूगणितीय खंड (विशिष्ट रूप से) विश्व स्तर पर लंबाई को कम नहीं करता है। यह हमें बताता है कि मानक 2-गोले पर एंटीपोडल बिंदुओं की कोई भी जोड़ी संयुग्म बिंदु हैं। परिभाषा मान लीजिए कि पी और क्यू एक रीमानियन मैनिफोल्ड पर बिंदु हैं, और एक जियोडेसिक है जो पी और क्यू को जोड़ता है। फिर p और q संयुग्म बिंदु हैं यदि एक गैर-शून्य जैकोबी क्षेत्र मौजूद है जो p और q पर गायब हो जाता है। याद रखें कि किसी भी जैकोबी क्षेत्र को भूगणितीय भिन्नता के व्युत्पन्न के रूप में लिखा जा सकता है (जैकोबी क्षेत्रों पर लेख देखें)। इसलिए, यदि p और q संयुग्मित हैं, तो कोई भी भूगणितीय के एक परिवार का निर्माण कर सकता है जो p से शुरू होता है और लगभग q पर समाप्त होता है। विशेष रूप से, यदि भूगणितीय का परिवार है जिसका व्युत्पन्न s में जैकोबी क्षेत्र J उत्पन्न करता है, तो भिन्नता का अंतिम बिंदु, अर्थात्, केवल s में पहले क्रम तक का बिंदु q है। इसलिए, यदि दो बिंदु संयुग्मित हैं, तो यह आवश्यक नहीं है कि उनमें दो अलग-अलग भूगणितीय मौजूद हों। उदाहरण गोले पर, एंटीपोडल बिंदु संयुग्म होते हैं। वास्तविक निर्देशांक स्थान पर, कोई संयुग्म बिंदु नहीं होते हैं। गैर-सकारात्मक अनुभागीय वक्रता वाले रीमानियन मैनिफोल्ड पर, कोई संयुग्म बिंदु नहीं होते हैं। कट लोकस जैकोबी क्षेत्र संदर्भ रीमानियन ज्यामिति भी देखें।