Nonholonomic system
भौतिकी और गणित में एक गैर-होलोनोमिक प्रणाली एक ऐसी भौतिक प्रणाली है जिसकी स्थिति इसे प्राप्त करने के लिए लिए गए मार्ग पर निर्भर करती है। इस तरह की प्रणाली को विभेदक बाधाओं और गैर-रैखिक बाधाओं के अधीन मापदंडों के एक समूह द्वारा वर्णित किया जाता है, जैसे कि जब प्रणाली अपने पैरामीटर स्थान में एक पथ के साथ विकसित होती है (मापदंड मूल्यों में लगातार भिन्न होते हैं) लेकिन अंत में पथ की शुरुआत में पैरामीटर मूल्यों के मूल सेट पर लौट आती है, तो प्रणाली स्वयं अपनी मूल स्थिति में नहीं लौटी होगी। नॉनहोलोनोमिक यांत्रिकी न्यूटनियन यांत्रिकी का स्वायत्त विभाजन है। अधिक सटीक रूप से, एक गैर-होलोनोमिक प्रणाली, जिसे एनहोलोनोमिक प्रणाली भी कहा जाता है, वह है जिसमें शासी मापदंडों का एक निरंतर बंद परिपथ होता है, जिसके द्वारा प्रणाली को किसी भी राज्य से किसी अन्य राज्य में बदला जा सकता है। चूँकि प्रणाली की अंतिम स्थिति पैरामीटर स्पेस के माध्यम से इसके प्रक्षेपवक्र के मध्यवर्ती मूल्यों पर निर्भर करती है, इसलिए प्रणाली को एक रूढ़िवादी संभावित कार्य द्वारा नहीं दर्शाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, गुरुत्वाकर्षण बल का व्युत्क्रम वर्ग नियम। यह बाद वाला एक समग्र प्रणाली का एक उदाहरण हैः प्रणाली में पथ समाकलन केवल प्रणाली की प्रारंभिक और अंतिम अवस्थाओं (क्षमता में स्थिति) पर निर्भर करता है, जो उन अवस्थाओं के बीच संक्रमण के प्रक्षेपवक्र से पूरी तरह से स्वतंत्र है। इसलिए इस प्रणाली को समाकलनीय कहा जाता है, जबकि गैर-होलोनोमिक प्रणाली को गैर-समाकलनीय कहा जाता है। जब एक पथ समाकलन की गणना एक गैर-होलोनोमिक प्रणाली में की जाती है, तो मान स्वीकार्य मूल्यों की कुछ सीमा के भीतर एक विचलन का प्रतिनिधित्व करता है और इस विचलन को विचाराधीन विशिष्ट पथ द्वारा उत्पादित एक होलोनोमी कहा जाता है। यह शब्द हेनरिक हर्ट्ज द्वारा 1894 में पेश किया गया था। एन्होलोनोमिक प्रणालियों का सामान्य चरित्र अंतर्निहित रूप से निर्भर मापदंडों का होता है। यदि अंतर्निहित निर्भरता को हटाया जा सकता है, उदाहरण के लिए स्थान के आयाम को बढ़ाकर, जिससे कम से कम एक अतिरिक्त पैरामीटर जोड़ा जाता है, तो सिस्टम वास्तव में गैर-होलोनोमिक नहीं है, बल्कि केवल निम्न-आयामी स्थान द्वारा अपूर्ण रूप से मॉडल किया गया है। इसके विपरीत, यदि प्रणाली को आंतरिक रूप से स्वतंत्र निर्देशांकों (मापदंडों) द्वारा दर्शाया नहीं जा सकता है, तो यह वास्तव में एक अनहोलोनोमिक प्रणाली है। कुछ लेखक प्रणाली की तथाकथित आंतरिक और बाहरी अवस्थाओं के बीच अंतर पैदा करके इसका बहुत कुछ करते हैं, लेकिन वास्तव में, सभी मापदंड प्रणाली को चिह्नित करने के लिए आवश्यक हैं, चाहे वे "आंतरिक" या "बाहरी" प्रक्रियाओं के प्रतिनिधि हों, इसलिए अंतर वास्तव में कृत्रिम है। हालांकि, संरक्षण सिद्धांतों का पालन करने वाली भौतिक प्रणालियों और न करने वाली प्रणालियों के बीच एक बहुत ही वास्तविक और अपरिवर्तनीय अंतर है। एक गोले पर समानांतर परिवहन के मामले में, अंतर स्पष्ट हैः एक रीमानियन मैनिफोल्ड में यूक्लिडियन स्थान से मौलिक रूप से एक मीट्रिक अलग होता है। एक गोले पर समानांतर परिवहन के लिए, अंतर्निहित निर्भरता गैर-यूक्लिडियन मीट्रिक के लिए आंतरिक है। एक गोले की सतह एक द्वि-आयामी स्थान है। आयाम को ऊपर उठाकर, हम मीट्रिक की प्रकृति को अधिक स्पष्ट रूप से देख सकते हैं, लेकिन यह अभी भी मूल रूप से एक द्वि-आयामी स्थान है जिसमें रीमानियन मीट्रिक द्वारा निर्भरता में अपरिवर्तनीय रूप से जुड़े मापदंड हैं। इसके विपरीत, एक X-Y प्लॉटर को एक समग्र प्रणाली के उदाहरण के रूप में माना जा सकता है जहां प्रणाली के यांत्रिक घटकों की स्थिति में प्लॉटर पेन की किसी भी स्थिति के लिए एक ही निश्चित विन्यास होगा। यदि कलम 0,0 और 3,3 पदों के बीच स्थानांतरित होती है, तो तंत्र के गियर में समान अंतिम स्थिति होगी, भले ही स्थानांतरण तंत्र द्वारा पहले x-अक्ष पर 3 इकाइयों और फिर y-अक्ष पर 3 इकाइयों को बढ़ाते हुए, पहले Y-अक्ष स्थिति को बढ़ाते हुए, या स्थिति-परिवर्तनों के किसी अन्य अनुक्रम को संचालित करते हुए होता है, जिसके परिणामस्वरूप 3,3 की अंतिम स्थिति होती है। चूँकि प्लॉटर-पेन द्वारा अपनी नई स्थिति तक पहुँचने के लिए लिए गए मार्ग की परवाह किए बिना मशीन की अंतिम स्थिति समान होती है, इसलिए अंतिम परिणाम को पथ-निर्भर नहीं कहा जा सकता है। यदि हम एक कछुए प्लॉटर को प्रतिस्थापित करते हैं, तो कलम को 0,0 से 3,3 तक ले जाने की प्रक्रिया के परिणामस्वरूप रोबोट के तंत्र के गियर दोनों स्थितियों के बीच जाने के लिए लिए गए मार्ग के आधार पर अलग-अलग स्थितियों में समाप्त हो सकते हैं। गणितीय व्याख्या के लिए इस बहुत ही समान गैन्ट्री क्रेन उदाहरण को देखें कि ऐसी प्रणाली होलोनोमिक क्यों है। इतिहास एन. एम. फेरर्स ने पहली बार 1871 में गैर-होलोनोमिक बाधाओं के साथ गति के समीकरणों का विस्तार करने का सुझाव दिया। उन्होंने सामान्यीकृत वेगों के संदर्भ में कार्टेशियन वेगों के लिए अभिव्यक्तियों की शुरुआत की। 1877 में, ई. राउथ ने लैग्रेंज गुणकों के साथ समीकरण लिखे। कठोर पिंडों की रैखिक गैर-होलोनोमिक बाधाओं के लिए अपनी पुस्तक के तीसरे संस्करण में, उन्होंने गुणकों के साथ रूप की शुरुआत की, जिसे अब गुणकों के साथ दूसरे प्रकार के लैग्रेंज समीकरण कहा जाता है। होलोनोमिक और नॉनहोलोनोमिक सिस्टम शब्द हेनरिक हर्ट्ज द्वारा 1894 में पेश किए गए थे। 1897 में, एस. ए. चैप्लिन ने पहली बार लैग्रेंज गुणकों के बिना गति के समीकरण बनाने का सुझाव दिया। कुछ रैखिक बाधाओं के तहत, उन्होंने गति के समीकरणों के बाईं ओर लैग्रेंज-ऑपरेटर प्रकार के अतिरिक्त शब्दों का एक समूह पेश किया। शेष अतिरिक्त शब्द प्रणाली की अपूर्णता को दर्शाते हैं और जब दिए गए अवरोध समाकलन योग्य होते हैं तो वे शून्य हो जाते हैं। 1901 में पी. V.Voronets ने गैर-चक्रीय होलोनोमिक निर्देशांक और गैर-स्थिर बाधाओं के मामलों में चैप्लिगिन के काम को सामान्यीकृत किया। बाधाएँ किसी दिए गए संदर्भ फ्रेम के संबंध में स्थितियों के साथ कणों की एक प्रणाली पर विचार करें। शास्त्रीय यांत्रिकी में, कोई भी बाधा जो एक गैर-होलोनोमिक बाधा के रूप में व्यक्त नहीं की जा सकती है। दूसरे शब्दों में, एक गैर-होलोनोमिक बाधा अविभाज्य है और फाफियन रूप मेंः निर्देशांकों की संख्या है। बाधा समीकरणों की संख्या है। निर्देशांक हैं। गुणांक हैं। उपरोक्त रूप को गैर-होलोनोमिक होने के लिए, यह भी आवश्यक है कि बाएं हाथ की ओर न तो कुल अंतर हो और न ही एक में परिवर्तित किया जा सके, शायद एक समाकलन कारक के माध्यम से। केवल आभासी विस्थापन के लिए, बाधा का अंतर रूप यह है कि सभी गैर-होलोनोमिक बाधाओं के लिए इस रूप को लेना आवश्यक नहीं है, वास्तव में इसमें उच्च व्युत्पन्न या असमानताएं शामिल हो सकती हैं। असमानता बाधा का एक शास्त्रीय उदाहरण एक गोले की सतह पर रखे गए कण का है, फिर भी इसे गिरने की अनुमति दी जाती हैः गोले के केंद्र से कण की दूरी है। यह गोले की त्रिज्या है। उदाहरण रोलिंग व्हील एक पहिया (कभी-कभी एक साइकिल या एक रोलिंग सिक्के के रूप में देखा जाता है) एक गैर-होलोनोमिक प्रणाली है। सामान्य व्यक्ति का स्पष्टीकरण साइकिल के पहिये पर विचार करें जो एक निश्चित स्थान (जमीन पर) पर खड़ा है। प्रारंभ में मुद्रास्फीति वाल्व चक्र पर एक निश्चित स्थिति में होता है। यदि साइकिल को इधर-उधर घुमाया जाता है, और फिर ठीक उसी स्थान पर खड़ा किया जाता है, तो वाल्व लगभग निश्चित रूप से पहले की तरह उसी स्थिति में नहीं होगा। इसकी नई स्थिति लिए गए रास्ते पर निर्भर करती है। यदि पहिया होलोनोमिक होता, तो वाल्व स्टेम हमेशा उसी स्थिति में समाप्त होता जब तक कि पहिया हमेशा पृथ्वी पर उसी स्थान पर वापस लुढ़क जाता। स्पष्ट रूप से, हालांकि, यह मामला नहीं है, इसलिए प्रणाली गैर-होलोनोमिक है। गणितीय व्याख्या चक्र को गणितीय रूप से बाधा समीकरणों की एक प्रणाली के साथ मॉडल करना संभव है, और फिर साबित करें कि वह प्रणाली गैर-होलोनोमिक है। सबसे पहले, हम विन्यास स्थान को परिभाषित करते हैं। पहिया अपनी स्थिति को तीन तरीकों से बदल सकता हैः अपने धुरी के चारों ओर एक अलग घूर्णन होना, एक अलग संचालन कोण होना और एक अलग स्थान पर होना। हम कह सकते हैं कि यह धुरी के बारे में घूर्णन है,-अक्ष के सापेक्ष संचालन कोण है, और स्थानिक स्थिति को परिभाषित करता है। इस प्रकार, विन्यास स्थान हैः अब हमें इन चरों को एक दूसरे से संबंधित करना चाहिए। हम देखते हैं कि जैसे-जैसे पहिया अपना घूर्णन बदलता है, यह अपनी स्थिति बदल देता है। घूर्णन और स्थिति का संकेत देने वाले वेगों में परिवर्तन मौजूद होना चाहिए, हम उपयुक्त शब्दों के सरल समय-व्युत्पन्न लेते हुए कोणीय वेग और संचालन कोण को रैखिक वेगों से संबंधित करने का प्रयास करते हैंः दिशा में वेग कोणीय वेग गुना त्रिज्या गुना संचालन कोण की कोसाइन के बराबर होता है, और वेग समान होता है। अब हम समीकरण को फाफियन रूप में बदलने के लिए कुछ बीजगणितीय हेरफेर करते हैं ताकि यह परीक्षण करना संभव हो कि क्या यह होलोनोमिक है, शुरू करते हुएः फिर, चलो चर को उनके गुणांक से अलग करते हैं (समीकरण का बायां पक्ष, ऊपर से प्राप्त)। हम यह भी महसूस करते हैं कि हम सभी शब्दों को गुणा कर सकते हैं इसलिए हम केवल अंतर (समीकरण का दाहिना पक्ष) के साथ समाप्त होते हैंः समीकरण का दाहिना पक्ष अब फाफियन रूप में हैः अब हम होलोनोमिक बाधाओं के लिए सार्वभौमिक परीक्षण का उपयोग करते हैं। यदि यह प्रणाली होलोनोमिक होती, तो हमें आठ परीक्षण करने पड़ सकते हैं। हालाँकि, हम गणितीय अंतर्ज्ञान का उपयोग यह साबित करने के लिए अपनी पूरी कोशिश कर सकते हैं कि प्रणाली पहले परीक्षण पर गैर-होलोनोमिक है। परीक्षण समीकरण को ध्यान में रखते हुए हम देख सकते हैं कि यदि कोई भी पद, या शून्य थे, तो परीक्षण समीकरण का वह हिस्सा हल करने के लिए तुच्छ होगा और शून्य के बराबर होगा। इसलिए, यह अक्सर सबसे अच्छा अभ्यास है कि पहले परीक्षण समीकरण में शून्य के बराबर नहीं होने की संभावना को अधिकतम करने के लिए जितना संभव हो उतने गैर-शून्य शब्द हों। इसलिए, हम चुनते हैंः हम अपने परीक्षण समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैंः और सरल करते हैंः हम आसानी से देख सकते हैं कि यह प्रणाली, जैसा कि वर्णित है, गैर-होलोनोमिक है, क्योंकि हमेशा शून्य के बराबर नहीं होती है। अतिरिक्त निष्कर्ष हमने अपना प्रमाण पूरा कर लिया है कि प्रणाली गैर-होलोनोमिक है, लेकिन हमारे परीक्षण समीकरण ने हमें इस बारे में कुछ अंतर्दृष्टि दी कि क्या प्रणाली, यदि आगे बाधित है, तो होलोनोमिक हो सकती है। कई बार परीक्षण समीकरण एक परिणाम देंगे जैसे कि प्रणाली को मौलिक रूप से बदले बिना प्रणाली को कभी भी होलोनोमिक होने के लिए विवश नहीं किया जा सकता है, लेकिन हमारे परिणाम में हम देख सकते हैं कि शून्य के बराबर हो सकता है, दो अलग-अलग तरीकों सेः, चक्र की त्रिज्या, शून्य हो सकती है। यह मददगार नहीं है क्योंकि व्यवहार में प्रणाली अपनी स्वतंत्रता के सभी स्तरों को खो देगी। शून्य के बराबर सेट करके शून्य हो सकता है। इसका तात्पर्य यह है कि यदि पहिये को घूमने की अनुमति नहीं दी जाती थी और उसे हर समय केवल एक सीधी रेखा में चलना पड़ता था, तो यह एक समग्र प्रणाली होगी। हालाँकि, एक बात है जिस पर हमने अभी तक विचार नहीं किया है, कि एक प्रणाली के लिए ऐसे सभी संशोधनों को खोजने के लिए, सभी आठ परीक्षण समीकरणों (प्रत्येक बाधा समीकरण से चार) का प्रदर्शन करना चाहिए और यदि संभव हो तो प्रणाली को समग्र बनाने के लिए सभी आवश्यकताओं को इकट्ठा करने के लिए सभी विफलताओं को एकत्र करना चाहिए। इस प्रणाली में, सात अतिरिक्त परीक्षण समीकरणों में से, एक अतिरिक्त मामला खुद को प्रस्तुत करता हैः यह अधिक कठिनाई पैदा नहीं करता है, हालांकि, समीकरणों को जोड़ने और परिणामों से विभाजित करने के रूप मेंः जो कुछ सरल बीजगणितीय हेरफेर के साथ बन जाता हैः जिसका समाधान (से) है। ऊपर आम आदमी के स्पष्टीकरण का संदर्भ लें जहाँ यह कहा गया है, "[वाल्व स्टेम की] नई स्थिति लिए गए मार्ग पर निर्भर करती है। यदि पहिया होलोनोमिक होता, तो वाल्व स्टेम हमेशा उसी स्थिति में समाप्त होता जब तक कि पहिया हमेशा पृथ्वी पर उसी स्थान पर वापस लुढ़क जाता। स्पष्ट रूप से, हालांकि, यह मामला नहीं है, इसलिए प्रणाली गैर-होलोनोमिक है। हालाँकि यह कल्पना करना आसान है कि यदि पहिये को केवल एक पूरी तरह से सीधी रेखा और पीछे की ओर घुमाने की अनुमति दी जाती है, तो वाल्व स्टेम उसी स्थिति में समाप्त हो जाएगा! वास्तव में, दिए गए कोण के समानांतर चलना वास्तव में वास्तविक दुनिया में आवश्यक नहीं है क्योंकि निर्देशांक प्रणाली का अभिविन्यास स्वयं मनमाना है। यदि पहिया किसी दिए गए संदर्भ के सापेक्ष किसी भी निश्चित कोण पर केवल एक सीधी रेखा में चलता है तो प्रणाली समग्र हो सकती है। इस प्रकार, हमने न केवल यह साबित किया है कि मूल प्रणाली गैर-होलोनोमिक है, बल्कि हम एक प्रतिबंध भी खोजने में सक्षम हुए हैं जिसे प्रणाली में जोड़ा जा सकता है ताकि इसे होलोनोमिक बनाया जा सके। हालाँकि, गणितीय रूप से कुछ विशेष है कि प्रणाली के लिए इसे होलोनोमिक बनाने के लिए प्रतिबंध है, जैसा कि कार्टेशियन ग्रिड में है। दो समीकरणों को मिलाकर और समाप्त करते हुए, हम वास्तव में देखते हैं कि और इसलिए उन दो निर्देशांकों में से एक पूरी तरह से निरर्थक है। हम पहले से ही जानते हैं कि संचालन कोण एक स्थिरांक है, इसलिए इसका मतलब है कि यहाँ होलोनोमिक प्रणाली को केवल एक विन्यास स्थान की आवश्यकता है। जैसा कि यहाँ चर्चा की गई है, एक प्रणाली जो एक फाफ़ियन बाधा द्वारा प्रतिरूपण योग्य है, वह होलोनोमिक होनी चाहिए यदि विन्यास स्थान में दो या उससे कम चर होते हैं। हमारी मूल प्रणाली को केवल दो डिग्री ऑफ़ फ्रीडम तक सीमित करने के लिए संशोधित करके और इस प्रकार केवल दो चरों को वर्णित करने की आवश्यकता होती है, और यह मानते हुए कि इसे फाफ़ियन रूप में वर्णित किया जा सकता है (जो इस उदाहरण में हम पहले से ही जानते हैं कि सच है), हम आश्वस्त हैं कि यह होलोनोमिक है। रोलिंग स्फीयर यह उदाहरण ऊपर विचार की गई 'रोलिंग व्हील' समस्या का विस्तार है। एक त्रि-आयामी ऑर्थोगोनल कार्टेशियन निर्देशांक फ्रेम पर विचार करें, उदाहरण के लिए, एक स्तरीय टेबल टॉप जिस पर मूल के लिए एक बिंदु चिह्नित किया गया है, और x और y अक्षों को पेंसिल लाइनों के साथ रखा गया है। इकाई त्रिज्या का एक गोला लें, उदाहरण के लिए, एक पिंग-पोंग गेंद, और नीले रंग में एक बिंदु बी को चिह्नित करें। इस बिंदु के अनुरूप गोले का एक व्यास है, और गोले के केंद्र सी पर स्थित इस व्यास के लिए समतल ऑर्थोगोनल एक महान वृत्त को परिभाषित करता है जिसे बिंदु बी से जुड़ा भूमध्य रेखा कहा जाता है। इस भूमध्य रेखा पर, एक और बिंदु आर का चयन करें और इसे लाल रंग में चिह्नित करें। z = 0 तल पर गोले को इस तरह रखें कि बिंदु B मूल के साथ मेल खाता हो, C x = 0, y = 0, z = 1 पर स्थित हो, और R x = 1, y = 0, और z = 1, यानी। आर धनात्मक x अक्ष की दिशा में फैला हुआ है। यह गोले का प्रारंभिक या संदर्भ अभिविन्यास है। गोले को अब z = 0 तल में किसी भी निरंतर बंद पथ के साथ घुमाया जा सकता है, जरूरी नहीं कि यह एक सरल रूप से जुड़ा हुआ मार्ग हो, इस तरह से कि यह न तो फिसलता है और न ही मुड़ता है, ताकि C x = 0, y = 0, z = 1 पर लौट आए। सामान्य तौर पर, बिंदु बी अब मूल के साथ मेल नहीं खाता है, और बिंदु आर अब सकारात्मक x अक्ष के साथ नहीं फैला है। वास्तव में, एक उपयुक्त पथ के चयन द्वारा, गोले को प्रारंभिक अभिविन्यास से गोले के किसी भी संभावित अभिविन्यास के लिए फिर से उन्मुख किया जा सकता है जिसमें C x = 0, y = 0, z = 1 पर स्थित है। इसलिए यह प्रणाली गैर-होलोनोमिक है। एन्होलोनॉमी को दोगुना अद्वितीय चतुर्थक (q और-q) द्वारा दर्शाया जा सकता है, जो जब गोले का प्रतिनिधित्व करने वाले बिंदुओं पर लागू होता है, तो बिंदु B और R को उनकी नई स्थितियों में ले जाता है। फौकॉल्ट पेंडुलम एक गैर-होलोनोमिक प्रणाली का एक अतिरिक्त उदाहरण फौकॉल्ट पेंडुलम है। स्थानीय निर्देशांक फ्रेम में पेंडुलम पथ की शुरुआत में भौगोलिक उत्तर के संबंध में एक विशेष अभिविन्यास के साथ एक ऊर्ध्वाधर तल में झूल रहा है। प्रणाली का अंतर्निहित प्रक्षेपवक्र पृथ्वी पर अक्षांश की रेखा है जहाँ पेंडुलम स्थित है। भले ही पेंडुलम पृथ्वी के ढांचे में स्थिर है, यह सूर्य को संदर्भित एक ढांचे में घूम रहा है और पृथ्वी की क्रांति की दर के साथ समकालिकता में घूम रहा है, ताकि पेंडुलम तल की एकमात्र स्पष्ट गति पृथ्वी के घूर्णन के कारण हो। इस बाद के फ्रेम को एक जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम माना जाता है, हालांकि यह भी अधिक सूक्ष्म तरीकों से गैर-जड़त्वीय है। पृथ्वी के ढांचे को गैर-जड़त्वीय के रूप में जाना जाता है, एक तथ्य जिसे केंद्रापसारक बलों और कोरिओलिस बलों की स्पष्ट उपस्थिति से समझा जा सकता है। अक्षांश की रेखा के साथ गति को समय बीतने के अनुसार मानकीकृत किया जाता है, और फौकॉल्ट पेंडुलम का दोलन तल समय बीतने के साथ स्थानीय ऊर्ध्वाधर अक्ष के बारे में घूमता हुआ दिखाई देता है। प्रारंभिक अभिविन्यास के संबंध में एक समय t पर इस तल का घूर्णन कोण प्रणाली का अनहोलोनॉमी है। अक्षांश के एक पूर्ण परिपथ द्वारा प्रेरित एन्होलोनॉमी अक्षांश के उस वृत्त द्वारा कम किए गए ठोस कोण के समानुपाती होती है। मार्ग को अक्षांश वृत्तों तक सीमित करने की आवश्यकता नहीं है। उदाहरण के लिए, पेंडुलम को हवाई जहाज में लगाया जा सकता है। एन्होलोनोमी अभी भी पथ द्वारा कम किए गए ठोस कोण के समानुपाती है, जो अब काफी अनियमित हो सकता है। फौकॉल्ट पेंडुलम समानांतर परिवहन का एक भौतिक उदाहरण है। एक ऑप्टिकल फाइबर में रैखिक ध्रुवीकृत प्रकाश ऑप्टिकल फाइबर की लंबाई लें, मान लीजिए तीन मीटर, और इसे बिल्कुल सीधी रेखा में रखें। जब एक छोर पर ऊर्ध्वाधर रूप से ध्रुवीकृत किरण पेश की जाती है, तो यह दूसरे छोर से निकलती है, फिर भी ऊर्ध्वाधर दिशा में ध्रुवीकृत होती है। फाइबर के शीर्ष को एक पट्टी से चिह्नित करें, जो ऊर्ध्वाधर ध्रुवीकरण के अभिविन्यास के अनुरूप है। अब, फाइबर को एक सिलेंडर के चारों ओर दस सेंटीमीटर व्यास में कसकर कुंडलित करें। फाइबर का मार्ग अब एक हेलिक्स का वर्णन करता है, जिसमें वृत्त की तरह, निरंतर वक्रता होती है। हेलिक्स में निरंतर मरोड़ होने का दिलचस्प गुण भी है। जैसे-जैसे फाइबर की केंद्र रेखा हेलिक्स के साथ आगे बढ़ती है, वैसे-वैसे फाइबर की धुरी के आसपास फाइबर का क्रमिक घूर्णन होता है। तदनुसार, पट्टी भी हेलिक्स की धुरी के बारे में मुड़ती है। जब रैखिक रूप से ध्रुवीकृत प्रकाश को फिर से एक छोर पर पेश किया जाता है, तो ध्रुवीकरण के अभिविन्यास के साथ पट्टियों के साथ संरेखित किया जाता है, यह सामान्य रूप से पट्टियों के साथ संरेखित रैखिक ध्रुवीकृत प्रकाश के रूप में उभरेगा, लेकिन पट्टियों के कुछ निश्चित कोण पर, फाइबर की लंबाई, और हेलिक्स की पिच और त्रिज्या पर निर्भर करता है। यह प्रणाली भी नॉनहोलोनोमिक है, क्योंकि हम आसानी से फाइबर को दूसरे हेलिक्स में नीचे कुंडलित कर सकते हैं और सिरों को संरेखित कर सकते हैं, जिससे प्रकाश को उसके मूल बिंदु पर वापस लाया जा सकता है। अतः एन्होलोनॉमी को फाइबर के प्रत्येक परिपथ के साथ ध्रुवीकरण के कोण के विचलन द्वारा दर्शाया जाता है। मापदंडों के उपयुक्त समायोजन से, यह स्पष्ट है कि कोई भी संभावित कोणीय अवस्था उत्पन्न की जा सकती है। रोबोटिक्स रोबोटिक्सआव, ननहोलोनोमिकखौ जर 'खायै म' बाइल रोबोट्सनि थाखाय खारथाइ बिथांखि आरो फिडबेक लिनियाराइजेशननि बिथिङाव फरायसं खालामनाय जादों। होलोनोमिक बाधा साइकिल और मोटरसाइकिल गतिशीलता गिरने वाली बिल्ली की समस्या गोर्याचेव-चैपलगिन शीर्ष समानांतर पार्किंग समस्या फाफियन बाधा उदवाडिया-कलाबा समीकरण झूठ समूह समाकलक संदर्भ बीजगणितीय टोपोलॉजी विभेदक ज्यामिति विभेदक टोपोलॉजी गतिशील प्रणालियाँ