Riemannian submersion
विभेदक ज्यामिति में, गणित की एक शाखा, एक रीमानियन पनडुब्बी एक रीमानियन मैनिफोल्ड से दूसरे में डूबना है जो मेट्रिक्स का सम्मान करता है, जिसका अर्थ है कि यह स्पर्शरेखा रिक्त स्थान पर एक ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण है। औपचारिक परिभाषा मान लीजिए (एम, जी) और (एन, एच) दो रीमानियन मैनिफोल्ड और एक (सर्जेक्टिव) सबमर्सन, यानी एक फाइबर मैनिफोल्ड हैं। क्षैतिज वितरण स्पर्शरेखा बंडल का एक उप-बंडल है जिसका प्रक्षेपण और मीट्रिक दोनों पर निर्भर करता है। फिर, f को रीमानियन पनडुब्बी कहा जाता है यदि और केवल तभी जब, सभी के लिए, सदिश स्थान समरूपता सममित है, यानी, लंबाई-संरक्षण। उदाहरण रीमानियन पनडुब्बी का एक उदाहरण तब उत्पन्न होता है जब एक लाइ समूह रीमानियन मैनिफोल्ड पर सममितीय, स्वतंत्र रूप से और ठीक से कार्य करता है। भागफल मीट्रिक से सुसज्जित भागफल स्थान के लिए प्रक्षेपण एक रीमानियन पनडुब्बी है। उदाहरण के लिए, इकाई जटिल संख्याओं के समूह द्वारा घटक-वार गुणन से होप्फ फाइब्रेशन प्राप्त होता है। गुण एक रीमानियन पनडुब्बी के लक्ष्य स्थान की अनुभागीय वक्रता की गणना ओ 'नील के सूत्र द्वारा कुल स्थान की वक्रता से की जा सकती है, जिसे बैरेट ओ' नील के नाम से नामित किया गया हैः जहां ऑर्थोनॉर्मल वेक्टर क्षेत्र हैं, उनके क्षैतिज लिफ्ट, वेक्टर क्षेत्रों का लाइ ब्रैकेट है और ऊर्ध्वाधर वितरण के लिए वेक्टर क्षेत्र का प्रक्षेपण है। विशेष रूप से अनुभागीय वक्रता के लिए निचली सीमा कम से कम उतनी ही बड़ी होती है जितनी कि अनुभागीय वक्रता के लिए निचली सीमा। सामान्यीकरण और विविधता फाइबर बंडल सबमेट्री को-लिप्सिट्ज़ मानचित्र फाइबर मैनिफोल्ड ज्यामितीय टोपोलॉजी मैनिफोल्ड नोट्स संदर्भ भी देखें। बैरेट ओ 'नील। एक पनडुब्बी के मौलिक समीकरण। मिशिगन गणित। जे. 13 (1966), 459-469। रीमानियन ज्यामिति मैनिफोल्ड्स के मानचित्र