Relaxation (iterative method)
संख्यात्मक गणित में, विश्राम विधियाँ गैर-रैखिक प्रणालियों सहित समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए पुनरावृत्ति विधियाँ हैं। बड़ी विरल रैखिक प्रणालियों को हल करने के लिए विश्राम विधियों का विकास किया गया था, जो विभेदक समीकरणों के सीमित-अंतर पृथक्करण के रूप में उत्पन्न हुए थे। इनका उपयोग रैखिक न्यूनतम-वर्ग समस्याओं के लिए रैखिक समीकरणों के समाधान के लिए और रैखिक असमानताओं की प्रणालियों के लिए भी किया जाता है, जैसे कि रैखिक प्रोग्रामिंग में उत्पन्न होने वाले। इन्हें समीकरणों की अरैखिक प्रणालियों को हल करने के लिए भी विकसित किया गया है। विश्राम विधियाँ विशेष रूप से अण्डाकार आंशिक विभेदक समीकरणों के मॉडल के लिए उपयोग की जाने वाली रैखिक प्रणालियों के समाधान में महत्वपूर्ण हैं, जैसे कि लाप्लास का समीकरण और इसका सामान्यीकरण, पॉइसन का समीकरण। ये समीकरण सीमा-मूल्य समस्याओं का वर्णन करते हैं, जिसमें समाधान-फलन के मान एक डोमेन की सीमा पर निर्दिष्ट किए जाते हैं; समस्या यह है कि समाधान की गणना उसके आंतरिक भाग पर भी की जाए। विभेदक समीकरण के विवेकीकरण के परिणामस्वरूप रैखिक समीकरणों को हल करने के लिए शिथिलता विधियों का उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए सीमित अंतरों द्वारा। समाधानों की पुनरावृत्ति छूट को आमतौर पर स्मूथिंग कहा जाता है क्योंकि कुछ समीकरणों के साथ, जैसे कि लाप्लास का समीकरण, यह समाधान वेक्टर के लिए एक स्थानीय स्मूथिंग फिल्टर के बार-बार उपयोग जैसा दिखता है। इन्हें गणितीय अनुकूलन में विश्राम विधियों के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए, जो एक सरल समस्या द्वारा एक कठिन समस्या का अनुमान लगाते हैं जिसका "शिथिल" समाधान मूल समस्या के समाधान के बारे में जानकारी प्रदान करता है। संभावित सिद्धांत की मॉडल समस्या जब φ वास्तविक संख्याओं पर एक सहज वास्तविक-मूल्य वाला फलन होता है, तो इसका दूसरा व्युत्पन्न इस प्रकार अनुमानित किया जा सकता हैः बिंदु (x, y) पर दो तर्कों के फलन φ के लिए दोनों आयामों में इसका उपयोग करना और φ (x, y) के लिए हल करना, परिणाम इस प्रकार होता हैः पॉइसन समीकरण के समाधान का अनुमान लगाने के लिएः संख्यात्मक रूप से ग्रिड अंतराल h के साथ दो-आयामी ग्रिड पर, विश्राम विधि फ़ंक्शन φ के दिए गए मानों को सीमा के पास ग्रिड बिंदुओं और आंतरिक ग्रिड बिंदुओं के लिए मनमाने मूल्यों को निर्धारित करती है, और फिर बार-बार आंतरिक बिंदुओं पर असाइनमेंट φ: = φ * का प्रदर्शन करती है, जहां φ * को अभिसरण तक परिभाषित किया जाता हैः विधि को आसानी से अन्य आयामों के लिए सामान्यीकृत किया जाता है। अभिसरण और त्वरण जबकि विधि सामान्य परिस्थितियों में अभिसरण करती है, यह आमतौर पर प्रतिस्पर्धी तरीकों की तुलना में धीमी प्रगति करती है। फिर भी, विश्राम विधियों का अध्ययन रैखिक बीजगणित का एक मुख्य हिस्सा बना हुआ है, क्योंकि विश्राम सिद्धांत के परिवर्तन नई विधियों के लिए उत्कृष्ट पूर्व शर्त प्रदान करते हैं। वास्तव में, पुनरावृत्ति विधि के चयन की तुलना में पूर्व-कंडीशनर का चयन अक्सर अधिक महत्वपूर्ण होता है। विधियों में तेजी लाने के लिए मल्टीग्रिड विधियों का उपयोग किया जा सकता है। कोई भी पहले एक मोटे ग्रिड पर एक सन्निकटन की गणना कर सकता है-आमतौर पर दोहरे अंतराल 2h-और प्रारंभिक कार्य के रूप में अन्य ग्रिड बिंदुओं के लिए प्रक्षेपित मूल्यों के साथ उस समाधान का उपयोग कर सकता है। यह फिर मोटे गणना के लिए पुनरावर्ती रूप से भी किया जा सकता है। रैखिक प्रणालियों में, विश्राम विधियों के दो मुख्य वर्ग स्थिर पुनरावृत्ति विधियाँ हैं, और अधिक सामान्य क्रायलोव सबस्पेस विधियाँ हैं। जैकोबी विधि एक सरल विश्राम विधि है। गॉस-सीडेल विधि जैकोबी विधि पर एक सुधार है। अभिसरण को गति देने के लिए जैकोबी और गॉस-सीडेल विधियों में से किसी एक पर क्रमिक अति-शिथिलता लागू की जा सकती है। मल्टीग्रिड तरीके नोट्स संदर्भ अब्राहम बर्मन, रॉबर्ट जे. प्लेमन्स, गणितीय विज्ञान में गैर-नकारात्मक मैट्रिक, 1994, एस. आई. ए. एम. .. युसेफ साद, इटरेटिव मेथड्स फॉर स्पार्स लीनियर सिस्टम्स, पहला संस्करण, पीडब्ल्यूएस, 1996। रिचर्ड एस. वर्गा 2002 मैट्रिक्स इटरेटिव एनालिसिस, दूसरा संस्करण। (1962 प्रेंटिस हॉल संस्करण का), स्प्रिंगर-वेरलैग। डेविड एम. यंग, जूनियर इटरेटिव सॉल्यूशन ऑफ लार्ज लीनियर सिस्टम्स, एकेडेमिक प्रेस, 1971। (डोवर, 2003 द्वारा पुनर्मुद्रित) आगे पढ़ने के लिए साउथवेल, आर. वी. (1940) इंजीनियरिंग विज्ञान में विश्राम विधियाँ। ऑक्सफोर्ड यूनिवर्सिटी प्रेस, ऑक्सफोर्ड। साउथवेल, आर. वी. (1946) सैद्धांतिक भौतिकी में विश्राम विधियाँ। ऑक्सफोर्ड यूनिवर्सिटी प्रेस, ऑक्सफोर्ड। पी. ग्रिवेट, पी. डब्ल्यू. हॉक्स, A.Septier (1972)। इलेक्ट्रॉन ऑप्टिक्स, दूसरा संस्करण। पर्गामन प्रेस। .. डी. डब्ल्यू. ओ. हेडल (2000)। इलेक्ट्रोस्टैटिक लेंस सिस्टम, दूसरा संस्करण। सीआरसी प्रेस। .. इरविन कैस्पर (2001)। इमेजिंग और इलेक्ट्रॉन भौतिकी में प्रगति, खंड। 116, आवेशित कण प्रकाशिकी के लिए संख्यात्मक क्षेत्र गणना। अकादमिक प्रेस। .. आवर्तक विधियाँ संख्यात्मक रैखिक बीजगणित