Ehresmann connection
विभेदक ज्यामिति में, एक एहरेसमैन संबंध (फ्रांसीसी गणितशास्त्री चार्ल्स एहरेसमैन के बाद, जिन्होंने पहली बार इस अवधारणा को औपचारिक रूप दिया) एक संबंध की धारणा का एक संस्करण है, जो किसी भी चिकने फाइबर बंडल पर समझ में आता है। विशेष रूप से, यह अंतर्निहित फाइबर बंडल की संभावित वेक्टर बंडल संरचना पर निर्भर नहीं करता है, लेकिन फिर भी, रैखिक कनेक्शन को एक विशेष मामले के रूप में देखा जा सकता है। एहरेसमैन कनेक्शनों का एक अन्य महत्वपूर्ण विशेष मामला प्रमुख बंडलों पर प्रमुख कनेक्शन हैं, जिन्हें प्रमुख लाइ समूह कार्रवाई में समान होना आवश्यक है। परिचय विभेदक ज्यामिति में एक सहपरिवर्तन व्युत्पन्न एक रैखिक विभेदक प्रचालक है जो एक सदिश बंडल के एक खंड के दिशात्मक व्युत्पन्न को सहपरिवर्तन तरीके से लेता है। यह एक वेक्टर की दिशा में एक बंडल के समानांतर खंड की धारणा तैयार करने की भी अनुमति देता हैः एक खंड s एक वेक्टर X के साथ समानांतर है यदि। इसलिए एक सहपरिवर्तन व्युत्पन्न कम से कम दो चीजें प्रदान करता हैः एक विभेदक प्रचालक, और प्रत्येक दिशा में समानांतर होने का क्या अर्थ है, इसकी धारणा। एक एहरेसमैन कनेक्शन अंतर ऑपरेटर को पूरी तरह से छोड़ देता है और प्रत्येक दिशा में समानांतर वर्गों के संदर्भ में एक कनेक्शन को स्वयंसिद्ध रूप से परिभाषित करता है। विशेष रूप से, एक एहरेसमैन कनेक्शन प्रत्येक स्पर्शरेखा स्थान के एक वेक्टर उपक्षेत्र को फाइबर बंडल के कुल स्थान के लिए अलग करता है, जिसे क्षैतिज स्थान कहा जाता है। एक खंड s तब X दिशा में क्षैतिज (यानी समानांतर) है यदि एक क्षैतिज स्थान में स्थित है। यहाँ हम s को आधार M से फाइबर बंडल E तक एक फलन के रूप में देख रहे हैं, इसलिए यह स्पर्शरेखा वैक्टर का आगे की ओर धक्का है। क्षैतिज रिक्त स्थान एक साथ वेक्टर सबबंडल बनाते हैं। यह केवल वेक्टर बंडलों की तुलना में संरचनाओं के एक बहुत व्यापक वर्ग पर परिभाषित होने का तत्काल लाभ है। विशेष रूप से, यह एक सामान्य फाइबर बंडल पर अच्छी तरह से परिभाषित है। इसके अलावा, सहपरिवर्तन व्युत्पन्न की कई विशेषताएं अभी भी बनी हुई हैंः समानांतर परिवहन, वक्रता और होलोनॉमी। रैखिकता के अलावा, संबंध का अनुपस्थित घटक सहप्रसरण है। शास्त्रीय सहपरिवर्तन व्युत्पन्न के साथ, सहप्रसरण व्युत्पन्न की एक पश्च विशेषता है। उनके निर्माण में क्रिस्टोफेल प्रतीकों के परिवर्तन नियम को निर्दिष्ट किया जाता है-जो सहपरिवर्तन नहीं है-और फिर परिणामस्वरूप व्युत्पन्न का सामान्य सहपरिवर्तन होता है। एक एहरेसमैन कनेक्शन के लिए, फाइबर बंडल के तंतुओं पर काम करने वाले एक लाइ समूह को पेश करके शुरू से ही एक सामान्यीकृत सहप्रसरण सिद्धांत लागू करना संभव है। उपयुक्त शर्त यह है कि क्षैतिज रिक्त स्थान, एक निश्चित अर्थ में, समूह क्रिया के संबंध में समान हों। एक एहरेसमैन कनेक्शन के लिए अंतिम स्पर्श यह है कि इसे एक अंतर रूप के रूप में दर्शाया जा सकता है, ठीक उसी तरह जैसे एक कनेक्शन फॉर्म के मामले में होता है। यदि समूह तंतुओं पर कार्य करता है और संबंध समरूप है, तो रूप भी समरूप होगा। इसके अलावा, कनेक्शन फॉर्म वक्रता को एक वक्रता रूप के रूप में भी परिभाषित करने की अनुमति देता है। औपचारिक परिभाषा एक चिकना फाइबर बंडल होने दें। मान लीजिए कि ऊर्ध्वाधर बंडल में ई के "तंतुओं के लिए स्पर्शरेखा" वैक्टर होते हैं, अर्थात। वी एट का फाइबर है। (बेशक, यह विषमता एक फाइबर बंडल की परिभाषा से आती है, जिसमें "केवल एक प्रक्षेपण होता है" जबकि एक उत्पाद में दो होते हैं।) क्षैतिज उपस्थानों के माध्यम से परिभाषा E पर एक एहरेसमैन कनेक्शन एक चिकना उपबंध H है, जिसे कनेक्शन का क्षैतिज बंडल कहा जाता है, जो V का पूरक है, इस अर्थ में कि यह एक प्रत्यक्ष योग अपघटन को परिभाषित करता है। अधिक विस्तार से, क्षैतिज बंडल में निम्नलिखित गुण हैं। प्रत्येक बिंदु के लिए, ई पर ई के लिए स्पर्शरेखा स्थान का एक सदिश उपक्षेत्र है, जिसे ई पर संबंध का क्षैतिज उपक्षेत्र कहा जाता है. आसानी से ई पर निर्भर करता है। प्रत्येक के लिए,। टी. ई. ई. में कोई भी स्पर्शरेखा सदिश (किसी भी ई. के लिए) एक क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटक का योग है, ताकि टी. ई. ई. = हे + वी. अधिक परिष्कृत शब्दों में, इन गुणों को संतुष्ट करने वाले क्षैतिज स्थानों का ऐसा कार्य जेट बंडल J1E → E के एक चिकने खंड से सटीक रूप से मेल खाता है। एक कनेक्शन रूप के माध्यम से परिभाषा समान रूप से, मान लीजिए कि H के साथ ऊर्ध्वाधर बंडल V पर प्रक्षेपण हो (ताकि H = ker)। यह टी. ई. के क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर भागों में उपरोक्त प्रत्यक्ष योग अपघटन द्वारा निर्धारित किया जाता है और इसे कभी-कभी एहरेसमैन कनेक्शन का कनेक्शन रूप कहा जाता है। इस प्रकार निम्नलिखित गुणों (सामान्य रूप से अनुमानों के) के साथ टीई से अपने आप में एक वेक्टर बंडल समरूपता हैः 2 =; वी = आईएम पर पहचान है। इसके विपरीत, यदि टी. ई. का एक वेक्टर बंडल एंडोमोर्फिज्म इन दो गुणों को संतुष्ट करता है, तो एच = केर एक एहरेसमैन कनेक्शन का क्षैतिज उप-बंडल है। अंत में, ध्यान दें कि, अपने आप में प्रत्येक स्पर्शरेखा स्थान का एक रैखिक मानचित्रण होने के कारण, इसे ई पर टीई-मूल्यवान 1-रूप के रूप में भी माना जा सकता है। यह आने वाले खंडों में एक उपयोगी परिप्रेक्ष्य होगा। क्षैतिज लिफ्टों के माध्यम से समानांतर परिवहन एक एहरेसमैन कनेक्शन भी फाइबर बंडल ई के कुल स्थान में आधार मैनिफोल्ड एम से वक्रों को उठाने के लिए एक तरीका निर्धारित करता है ताकि वक्र के स्पर्शरेखा क्षैतिज हों। ये क्षैतिज लिफ्ट कनेक्शन औपचारिकता के अन्य संस्करणों के लिए समानांतर परिवहन का एक सीधा अनुरूप हैं। विशेष रूप से, मान लीजिए कि γ (t) बिंदु x = γ (0) के माध्यम से M में एक चिकनी वक्र है। मान लीजिए कि x के ऊपर फाइबर में e bul Ex एक बिंदु है। γ से e की लिफ्ट कुल स्थान E में एक वक्र है, और एक लिफ्ट क्षैतिज है यदि इसके अलावा, वक्र का प्रत्येक स्पर्शरेखा टीई के क्षैतिज उप-बंडल में स्थित हैः इसे π पर लागू रैंक-शून्यता प्रमेय का उपयोग करके दिखाया जा सकता है और प्रत्येक वेक्टर X ω TxM में एक वेक्टर के लिए एक अद्वितीय क्षैतिज लिफ्ट है। विशेष रूप से, स्पर्शरेखा क्षेत्र से γ पुलबैक बंडल γ * E के कुल स्थान में एक क्षैतिज सदिश क्षेत्र उत्पन्न करता है। पिकार्ड-लिंडेलॉफ प्रमेय के अनुसार, यह सदिश क्षेत्र समाकलनीय है। इस प्रकार, x = γ (0) पर किसी भी वक्र γ और बिंदु e के लिए, छोटे समय t के लिए γ से e का एक अद्वितीय क्षैतिज लिफ्ट मौजूद है। ध्यान दें कि, सामान्य एहरेसमैन कनेक्शन के लिए, क्षैतिज लिफ्ट पथ-निर्भर है। जब M में दो चिकने वक्र, γ1 (0) = γ2 (0) = x0 पर मेल खाते हैं और एक अन्य बिंदु x1 ωM पर भी प्रतिच्छेद करते हैं, तो समान e ωπ−1 (x0) के माध्यम से E की ओर क्षैतिज रूप से उठाए जाते हैं, तो वे आम तौर पर π−1 (x1) के विभिन्न बिंदुओं से गुजरेंगे। फाइबर बंडलों की विभेदक ज्यामिति के लिए इसके महत्वपूर्ण परिणाम हैंः एच के खंडों का स्थान ई पर वेक्टर क्षेत्रों के स्थान का लाइ उप-बीजगणित नहीं है, क्योंकि यह (सामान्य रूप से) वेक्टर क्षेत्रों के लाइ कोष्ठक के तहत बंद नहीं है। लाइ ब्रैकेट के तहत बंद करने की इस विफलता को वक्रता द्वारा मापा जाता है। गुण वक्रता को एक एहरेसमैन कनेक्शन माना जाता है। फिर की वक्रता इस प्रकार दी जाती है जहाँ [-,-] स्वयं के साथ ω1 (ई, टीई) के फ्रोलिचर-निजेनहुइस कोष्ठक को दर्शाता है। इस प्रकार आर, ई, टीई द्वारा परिभाषित टीई में मानों के साथ ई पर दो रूप है, या, अन्य शब्दों में, जहां एक्स = एक्सएच + एक्सवी क्रमशः एच और वी घटकों में प्रत्यक्ष योग अपघटन को दर्शाता है। वक्रता के लिए इस अंतिम अभिव्यक्ति से, यह समान रूप से गायब होने के लिए देखा जाता है यदि, और केवल तभी जब क्षैतिज सबबंडल फ्रोबेनियस इंटीग्रेबल हो। इस प्रकार वक्रता क्षैतिज उपबंडल के लिए फाइबर बंडल E → M के अनुप्रस्थ खंडों को प्राप्त करने के लिए समाकलन स्थिति है। एक एहरेसमैन कनेक्शन की वक्रता भी बियांची पहचान के एक संस्करण को संतुष्ट करती हैः जहां फिर से [-,-] फ्रॉलिचर-निजेनहुइस ब्रैकेट है जो ω1 (E, TE) और R ω2 (E, TE) का है। पूर्णता एक एहरेसमैन कनेक्शन वक्रों को स्थानीय रूप से अद्वितीय क्षैतिज लिफ्ट रखने की अनुमति देता है। एक पूर्ण एहरेसमैन कनेक्शन के लिए, एक वक्र को उसके पूरे क्षेत्र पर क्षैतिज रूप से उठाया जा सकता है। होलोनॉमी कनेक्शन की सपाटता स्थानीय रूप से क्षैतिज रिक्त स्थान की फ्रोबेनियस समाकलनशीलता से मेल खाती है। दूसरे चरम पर, गैर-लुप्त होने वाली वक्रता का अर्थ है संबंध की समग्रता की उपस्थिति। विशेष मामलों में प्रिंसिपल बंडल्स और प्रिंसिपल कनेक्शन मान लीजिए कि E, M पर एक स्मूथ प्रिंसिपल G-बंडल है। फिर E पर एक एहरेसमैन कनेक्शन H को एक प्रिंसिपल (एहरेसमैन) कनेक्शन कहा जाता है यदि यह E पर G कार्रवाई के संबंध में इस अर्थ में अपरिवर्तनीय है कि किसी भी e ω E और g ω G के लिए; यहाँ e पर E पर g की सही कार्रवाई के अंतर को दर्शाता है। G के एक-पैरामीटर उपसमूह E पर ऊर्ध्वाधर रूप से कार्य करते हैं। इस कार्रवाई का अंतर किसी को ग्रुप G के लाइ बीजगणित g के साथ उपक्षेत्र की पहचान करने की अनुमति देता है, मान लीजिए मानचित्र द्वारा। एहरेसमैन कनेक्शन के कनेक्शन रूप को तब ω (X) = ι (X) द्वारा परिभाषित g में मानों के साथ E पर 1-रूप ω के रूप में देखा जा सकता है। इस प्रकार पुनः व्याख्या की गई, संबंध रूप ω निम्नलिखित दो गुणों को संतुष्ट करता हैः यह G क्रिया के तहत समान रूप से परिवर्तित होता हैः सभी h ω G के लिए, जहां Rh * सही क्रिया के तहत पुलबैक है और AD अपने लाइ बीजगणित पर G का आसन्न प्रतिनिधित्व है। यह ऊर्ध्वाधर सदिश क्षेत्रों को लाइ बीजगणित के उनके संबद्ध तत्वों के लिए मानचित्रित करता हैः सभी X ω V के लिए ω (X) = ι (X)। इसके विपरीत, यह दिखाया जा सकता है कि एक प्रमुख बंडल पर इस तरह का जी-मूल्यवान 1-रूप उपरोक्त गुणों को संतुष्ट करने वाला क्षैतिज वितरण उत्पन्न करता है। स्थानीय तुच्छकरण को देखते हुए ω को क्षैतिज सदिश क्षेत्रों में कम किया जा सकता है (इस तुच्छकरण में)। यह पुलबैक के माध्यम से M पर 1-रूप ω 'को परिभाषित करता है। रूप ω पूरी तरह से ω को निर्धारित करता है, लेकिन यह तुच्छता के विकल्प पर निर्भर करता है। (इस रूप को अक्सर एक कनेक्शन रूप भी कहा जाता है और केवल ω द्वारा दर्शाया जाता है।) वेक्टर बंडल और सहपरिवर्तन व्युत्पन्न मान लीजिए कि E, M पर एक चिकना सदिश बंडल है। फिर E पर एक एहरेसमैन संबंध H को एक रैखिक (एहरेसमैन) संबंध कहा जाता है यदि वह प्रत्येक x ω M के लिए e ω Ex पर रैखिक रूप से निर्भर करता है। इसे सटीक बनाने के लिए, Sλ को E पर λ द्वारा स्केलर गुणन को दर्शाता है। फिर H रैखिक है यदि और केवल यदि किसी भी e ω E और स्केलर λ के लिए। चूँकि E एक सदिश बंडल है, इसलिए इसका ऊर्ध्वाधर बंडल V, π * E के समरूप है। इसलिए यदि s, E का एक खंड है, तो (ds): TM → s * V = s * π * E = E। यह एक वेक्टर बंडल मॉर्फिज्म है, और इसलिए वेक्टर बंडल होम (टी. एम., ई.) के एक खंड द्वारा दिया जाता है। यह तथ्य कि एहरेसमैन संबंध रैखिक है, इसका तात्पर्य है कि इसके अलावा यह लीबनिज़ नियम पर प्रत्येक कार्य के लिए सत्यापित करता है, अर्थात। इसके विपरीत एक वेक्टर बंडल पर एक सहपरिवर्तन व्युत्पन्न एक रैखिक एहरेसमैन संबंध को परिभाषित करता है कि वह, x = π (e) के साथ e ω E के लिए, छवि dsx (TxM) होने के लिए, जहां s, s (x) = e के साथ E का एक खंड है और सभी X ω TxM के लिए ρ Xs = 0 है। ध्यान दें कि (ऐतिहासिक कारणों से) कनेक्शनों पर लागू होने पर रैखिक शब्द का उपयोग कभी-कभी स्पर्शरेखा बंडल या फ्रेम बंडल पर परिभाषित कनेक्शनों को संदर्भित करने के लिए किया जाता है (जैसे एफ़ाइन शब्द-एफ़ाइन कनेक्शन देखें)। एक फाइबर बंडल (एक संरचना समूह के साथ संपन्न) पर एक एहरेसमैन कनेक्शन कभी-कभी एक संबद्ध बंडल पर एक एहरेसमैन कनेक्शन को जन्म देता है। उदाहरण के लिए, एक वेक्टर बंडल E में एक (रैखिक) कनेक्शन, जिसे ऊपर E का समानांतरता देने के बारे में सोचा गया है, E के फ्रेम PE के संबंधित बंडल पर एक कनेक्शन को प्रेरित करता है। इसके विपरीत, PE में एक कनेक्शन E में एक (रैखिक) कनेक्शन को जन्म देता है बशर्ते कि PE में कनेक्शन फ्रेम पर सामान्य रैखिक समूह की क्रिया के संबंध में समतुल्य हो (और इस प्रकार एक प्रमुख कनेक्शन)। एहरेसमैन कनेक्शन के लिए एक प्राकृतिक तरीके से, एक संबंधित बंडल पर एक कनेक्शन को प्रेरित करना हमेशा संभव नहीं होता है। उदाहरण के लिए, एक वेक्टर बंडल के फ्रेम के एक बंडल पर एक गैर-समतुल्य एहरेसमैन कनेक्शन वेक्टर बंडल पर एक कनेक्शन को प्रेरित नहीं कर सकता है। मान लीजिए कि ई पी का एक संबद्ध बंडल है, ताकि ई पर ई = पी × जी. एफ. ए. जी-कनेक्शन एक एहरेसमैन कनेक्शन है जैसे कि समानांतर परिवहन मानचित्र τ: Fx → Fx′ फाइबर के जी-परिवर्तन द्वारा दिया जाता है (एम में पर्याप्त रूप से पास के बिंदुओं x और x′ पर एक वक्र से जुड़ा हुआ)। पी पर एक प्रमुख कनेक्शन को देखते हुए, पुलबैक के माध्यम से संबंधित फाइबर बंडल ई = पी × जीएफ पर जी-कनेक्शन प्राप्त होता है। इसके विपरीत, ई पर जी-कनेक्शन दिए जाने पर संबंधित प्रमुख बंडल पी पर प्रमुख कनेक्शन को पुनर्प्राप्त करना संभव है। इस प्रमुख कनेक्शन को पुनर्प्राप्त करने के लिए, विशिष्ट फाइबर एफ पर एक फ्रेम की धारणा का परिचय दिया जाता है। चूंकि जी एक सीमित-आयामी लाइ समूह है जो एफ पर प्रभावी ढंग से कार्य करता है, इसलिए एफ के भीतर बिंदुओं (y1,., ym) का एक सीमित विन्यास होना चाहिए जैसे कि जी-कक्षा आर = {(gy1,, जिम)। जी ω जी} जी का एक प्रमुख सजातीय स्थान है। कोई भी आर को एफ पर जी-एक्शन के लिए एक फ्रेम की धारणा का सामान्यीकरण देने के रूप में सोच सकता है। ध्यान दें कि, चूंकि आर जी के लिए एक प्रमुख सजातीय स्थान है, फाइबर बंडल ई (आर) ई पर क्षैतिज रिक्त स्थान का वितरण इस उत्पाद बंडल पर रिक्त स्थान के वितरण को प्रेरित करता है। चूँकि कनेक्शन से जुड़े समानांतर परिवहन मानचित्र जी-मानचित्र हैं, वे उपक्षेत्र ई (आर) को संरक्षित करते हैं, और इसलिए जी-कनेक्शन ई (आर) पर एक प्रमुख जी-कनेक्शन पर उतरता है। संक्षेप में, संबंधित फाइबर बंडलों के प्रमुख कनेक्शनों के अवरोहण और संबंधित फाइबर बंडलों पर जी-कनेक्शन के बीच एक-से-एक पत्राचार (समतुल्यता तक) होता है। इस कारण से, संरचना समूह जी के साथ फाइबर बंडलों की श्रेणी में, प्रमुख कनेक्शन में संबंधित बंडलों पर जी-कनेक्शन के लिए सभी प्रासंगिक जानकारी होती है। इसलिए, जब तक कि संबंधित बंडलों पर कनेक्शन पर विचार करने का कोई प्रमुख कारण नहीं है (जैसा कि, उदाहरण के लिए, कार्टन कनेक्शन के मामले में है) कोई आमतौर पर सीधे मुख्य कनेक्शन के साथ काम करता है। नोट्स संदर्भ आगे पढ़ने के लिए राउल बॉट (1970) "समाकलन के लिए स्थलवैज्ञानिक बाधा", प्रोसी। सिम्प। शुद्ध मठ., 16 'आमेर। गणित। सो., प्रोविडेंस, आर. आई. संबंध (गणित)