Van Hiele model
गणित शिक्षा में, वान हीले मॉडल एक सिद्धांत है जो वर्णन करता है कि छात्र ज्यामिति कैसे सीखते हैं। इस सिद्धांत की उत्पत्ति 1957 में नीदरलैंड के यूट्रेक्ट विश्वविद्यालय में दीना वैन हीले-गेल्डोफ़ और पियरे वैन हीले (पत्नी और पति) के डॉक्टरेट शोध प्रबंध में हुई थी। सोवियत संघ ने 1960 के दशक में इस सिद्धांत पर शोध किया और अपने निष्कर्षों को अपने पाठ्यक्रम में एकीकृत किया। अमेरिकी शोधकर्ताओं ने 1970 के दशक के अंत और 1980 के दशक की शुरुआत में वैन हीले सिद्धांत पर कई बड़े अध्ययन किए, जिसमें निष्कर्ष निकाला गया कि छात्रों के कम वैन हीले स्तरों ने प्रमाण-उन्मुख ज्यामिति पाठ्यक्रमों में सफल होना और पहले के ग्रेड स्तरों पर बेहतर तैयारी की सलाह देना मुश्किल बना दिया। पियरे वैन हीले ने 1986 में अपने सिद्धांत का वर्णन करते हुए स्ट्रक्चर एंड इनसाइट प्रकाशित किया। इस मॉडल ने प्रारंभिक ग्रेड स्तरों पर गुणों के विश्लेषण और आकृतियों के वर्गीकरण पर जोर देने के माध्यम से दुनिया भर में ज्यामिति पाठ्यक्रम को बहुत प्रभावित किया है। संयुक्त राज्य अमेरिका में, इस सिद्धांत ने राष्ट्रीय गणित शिक्षक परिषद और सामान्य मूल मानकों द्वारा प्रकाशित मानकों की ज्यामिति को प्रभावित किया है। वान हीले स्तर छात्र रट्टे से उन [गणितीय] संबंधों के साथ काम करना सीखता है जिन्हें वह नहीं समझता है, और जिनकी उत्पत्ति उसने नहीं देखी है। इसलिए संबंधों की प्रणाली एक स्वतंत्र संरचना है जिसका बच्चे के अन्य अनुभवों के साथ कोई संबंध नहीं है। इसका मतलब है कि छात्र केवल यह जानता है कि उसे क्या सिखाया गया है और उससे क्या निकाला गया है। उन्होंने प्रणाली और संवेदी दुनिया के बीच संबंध स्थापित करना नहीं सीखा है। वह नहीं जानता कि उसने जो सीखा है उसे एक नई स्थिति में कैसे लागू किया जाए। - पियरे वैन हीले, 1959 वैन हीले मॉडल का सबसे प्रसिद्ध हिस्सा पाँच स्तर हैं जिन्हें वैन हील्स ने यह वर्णन करने के लिए प्रस्तुत किया कि बच्चे ज्यामिति में तर्क करना कैसे सीखते हैं। जब तक वे ज्यामितीय विचारों के बीच संबंधों की प्रणालियों की व्यापक समझ का निर्माण नहीं कर लेते, तब तक छात्रों से ज्यामितीय प्रमेयों को साबित करने की उम्मीद नहीं की जा सकती है। इन प्रणालियों को रटने से नहीं सीखा जा सकता है, लेकिन कई उदाहरणों और प्रति-उदाहरणों, ज्यामितीय आकृतियों के विभिन्न गुणों, गुणों के बीच संबंधों और इन गुणों को कैसे क्रमबद्ध किया जाता है, का अनुभव करके परिचितता के माध्यम से विकसित किया जाना चाहिए। वैन हील्स द्वारा प्रतिपादित पाँच स्तरों में वर्णन किया गया है कि छात्र इस समझ के माध्यम से कैसे आगे बढ़ते हैं। पाँच वैन हीले स्तरों को कभी-कभी इस विवरण के रूप में गलत समझा जाता है कि छात्र आकार वर्गीकरण को कैसे समझते हैं, लेकिन स्तर वास्तव में उस तरीके का वर्णन करते हैं जिससे छात्र आकार और अन्य ज्यामितीय विचारों के बारे में तर्क करते हैं। पियरे वैन हीले ने देखा कि उनके छात्रों ने ज्यामिति की अपनी समझ में कुछ बिंदुओं पर "पठार" की ओर रुख किया और उन्होंने इन पठार बिंदुओं को स्तरों के रूप में पहचाना। सामान्य तौर पर, ये स्तर उम्र के बजाय अनुभव और निर्देश का एक उत्पाद हैं। यह पियाजे के संज्ञानात्मक विकास के सिद्धांत के विपरीत है, जो उम्र पर निर्भर है। एक बच्चे को उच्च स्तर के परिष्कार की ओर बढ़ने के लिए इन ज्यामितीय विचारों के साथ पर्याप्त अनुभव (कक्षा या अन्यथा) होना चाहिए। समृद्ध अनुभवों के माध्यम से, बच्चे प्राथमिक विद्यालय में स्तर 2 तक पहुँच सकते हैं। इस तरह के अनुभवों के बिना, कई वयस्क (शिक्षकों सहित) अपने पूरे जीवन स्तर 1 में रहते हैं, भले ही वे माध्यमिक विद्यालय में एक औपचारिक ज्यामिति पाठ्यक्रम लें। स्तर इस प्रकार हैंः स्तर 0। विज़ुअलाइज़ेशनः इस स्तर पर, बच्चे की सोच का ध्यान अलग-अलग आकारों पर होता है, जिन्हें बच्चा उनके समग्र रूप का आकलन करके वर्गीकृत करना सीख रहा है। बच्चे बस कहते हैं, "यह एक वृत्त है", आमतौर पर आगे के विवरण के बिना। बच्चे बुनियादी ज्यामितीय आकृतियों (त्रिकोण, वृत्त, वर्ग) के प्रोटोटाइप की पहचान करते हैं। इन दृश्य प्रतिरूपों का उपयोग अन्य आकृतियों की पहचान करने के लिए किया जाता है। एक आकृति एक वृत्त है क्योंकि यह एक सूर्य की तरह दिखता है; एक आकृति एक आयत है क्योंकि यह एक दरवाजे या एक डिब्बे की तरह दिखता है; और इसी तरह। एक वर्ग एक आयत की तुलना में एक अलग प्रकार का आकार प्रतीत होता है, और एक समभुज अन्य समानांतर चतुर्भुज की तरह नहीं दिखता है, इसलिए इन आकृतियों को बच्चे के दिमाग में पूरी तरह से अलग से वर्गीकृत किया जाता है। बच्चे आकृतियों को उनके गुणों का विश्लेषण किए बिना समग्र रूप से देखते हैं। यदि कोई आकृति अपने प्रोटोटाइप से पर्याप्त रूप से मिलती-जुलती नहीं है, तो बच्चा वर्गीकरण को अस्वीकार कर सकता है। इस प्रकार, इस स्तर पर बच्चे एक पतले, वेज के आकार के त्रिभुज (पक्षों 1,20,20 या पक्षों 20,20,39 के साथ) को "त्रिभुज" कहने से हिचकिचा सकते हैं, क्योंकि यह एक समबाहु त्रिभुज से आकार में बहुत अलग है, जो "त्रिभुज" के लिए सामान्य प्रोटोटाइप है। यदि त्रिभुज का क्षैतिज आधार ऊपर और विरोधी शीर्ष नीचे है, तो बच्चा इसे एक त्रिभुज के रूप में पहचान सकता है, लेकिन दावा कर सकता है कि यह "उल्टा" है। गोल या अपूर्ण भुजाओं वाले आकारों को "त्रिकोण" के रूप में स्वीकार किया जा सकता है यदि वे एक समबाहु त्रिभुज के साथ एक समग्र समानता रखते हैं। वर्ग को "हीरा" कहा जाता है और वर्ग के रूप में पहचाना नहीं जाता है यदि उनकी भुजाएँ क्षैतिज रूप से 45° पर उन्मुख हों। इस स्तर के बच्चे अक्सर मानते हैं कि एक ही उदाहरण के आधार पर कुछ सच है। स्तर 1. विश्लेषणः इस स्तर पर, आकृतियाँ अपने गुणों की वाहक बन जाती हैं। विचार की वस्तुएँ आकृतियों के वर्ग हैं, जिनका बच्चे ने गुण होने के रूप में विश्लेषण करना सीख लिया है। इस स्तर पर एक व्यक्ति कह सकता है, "एक वर्ग की 4 बराबर भुजाएँ और 4 बराबर कोण होते हैं। इसके विकर्ण सर्वांगसम और लंबवत हैं, और वे एक दूसरे को द्विभाजित करते हैं। आकृति की उपस्थिति की तुलना में गुण अधिक महत्वपूर्ण हैं। यदि ब्लैकबोर्ड पर एक आकृति को स्केच किया गया है और शिक्षक का दावा है कि इसकी सर्वांगसम भुजाएँ और कोण हैं, तो छात्र स्वीकार करते हैं कि यह एक वर्ग है, भले ही यह खराब तरीके से खींचा गया हो। इस स्तर पर अभी तक संपत्तियों का ऑर्डर नहीं दिया गया है। बच्चे मूल आकृतियों के गुणों पर चर्चा कर सकते हैं और उन्हें इन गुणों से पहचान सकते हैं, लेकिन आम तौर पर श्रेणियों को ओवरलैप करने की अनुमति नहीं देते हैं क्योंकि वे प्रत्येक गुण को दूसरों से अलग समझते हैं। उदाहरण के लिए, वे अभी भी इस बात पर जोर देंगे कि "एक वर्ग एक आयत नहीं है"। (वे ऐसी मान्यताओं का समर्थन करने के लिए बाहरी गुणों को पेश कर सकते हैं, जैसे कि एक आयत को एक आकार के रूप में परिभाषित करना जिसमें भुजाओं की एक जोड़ी भुजाओं की दूसरी जोड़ी की तुलना में लंबी होती है।) बच्चे आकृतियों के कई गुणों को देखना शुरू कर देते हैं, लेकिन गुणों के बीच संबंधों को नहीं देखते हैं; इसलिए वे आवश्यक और पर्याप्त शर्तों के साथ गुणों की सूची को संक्षिप्त परिभाषा तक कम नहीं कर सकते हैं। वे आम तौर पर कई उदाहरणों से प्रेरक रूप से तर्क करते हैं, लेकिन अभी तक अनुमानात्मक रूप से तर्क नहीं कर सकते हैं क्योंकि वे यह नहीं समझते हैं कि आकृतियों के गुण कैसे संबंधित हैं। स्तर 2. सारः इस स्तर पर, गुणों का आदेश दिया जाता है। विचार की वस्तुएँ ज्यामितीय गुण हैं, जिन्हें छात्र ने अनुमानात्मक रूप से जोड़ना सीखा है। छात्र समझता है कि गुण संबंधित हैं और गुणों का एक समूह दूसरी संपत्ति का संकेत दे सकता है। छात्र ज्यामितीय आकृतियों के बारे में सरल तर्कों के साथ तर्क कर सकते हैं। इस स्तर पर एक छात्र कह सकता है, "समद्विबाहु त्रिभुज सममित हैं, इसलिए उनके आधार कोण समान होने चाहिए।" शिक्षार्थी आकृतियों के प्रकारों के बीच संबंधों को पहचानते हैं। वे पहचानते हैं कि सभी वर्ग आयत हैं, लेकिन सभी आयत वर्ग नहीं हैं, और वे समझते हैं कि प्रत्येक के गुणों की समझ के आधार पर वर्ग एक प्रकार का आयत क्यों हैं। वे बता सकते हैं कि एक आयत होना संभव है या नहीं, उदाहरण के लिए, एक समभुज भी। वे आवश्यक और पर्याप्त शर्तों को समझते हैं और संक्षिप्त परिभाषाएँ लिख सकते हैं। हालाँकि, वे अभी तक कटौती के आंतरिक अर्थ को नहीं समझ पाए हैं। वे एक जटिल तर्क का पालन नहीं कर सकते हैं, परिभाषाओं के स्थान को नहीं समझ सकते हैं, या स्वयंसिद्धियों की आवश्यकता को नहीं समझ सकते हैं, इसलिए वे अभी तक औपचारिक ज्यामितीय प्रमाणों की भूमिका को नहीं समझ सकते हैं। स्तर 3. कटौतीः इस स्तर के छात्र कटौती का अर्थ समझते हैं। विचार का उद्देश्य अनुमानात्मक तर्क (सरल प्रमाण) है, जिसे छात्र औपचारिक प्रमाणों (यूक्लिडियन ज्यामिति) की एक प्रणाली बनाने के लिए जोड़ना सीखता है। शिक्षार्थी माध्यमिक विद्यालय स्तर पर ज्यामितीय प्रमाणों का निर्माण कर सकते हैं और उनका अर्थ समझ सकते हैं। वे यूक्लिडियन ज्यामिति में अनिर्धारित शब्दों, परिभाषाओं, स्वयंसिद्धियों और प्रमेयों की भूमिका को समझते हैं। हालांकि, इस स्तर के छात्रों का मानना है कि स्वयंसिद्ध और परिभाषाएं मनमाने के बजाय निश्चित हैं, इसलिए वे अभी तक गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति की कल्पना नहीं कर सकते हैं। ज्यामितीय विचारों को अभी भी यूक्लिडियन तल में वस्तुओं के रूप में समझा जाता है। स्तर 4. कठोरताः इस स्तर पर ज्यामिति को एक गणितशास्त्री के स्तर पर समझा जाता है। छात्र समझते हैं कि परिभाषाएँ मनमाना हैं और वास्तव में किसी भी ठोस प्राप्ति को संदर्भित करने की आवश्यकता नहीं है। विचार का उद्देश्य अनुमानात्मक ज्यामितीय प्रणालियाँ हैं, जिनके लिए शिक्षार्थी स्वयंसिद्ध प्रणालियों की तुलना करता है। शिक्षार्थी गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति का अध्ययन समझ के साथ कर सकते हैं। लोग ज्यामिति के अनुशासन को समझ सकते हैं और यह कैसे गैर-गणितीय अध्ययनों से दार्शनिक रूप से अलग है। अमेरिकी शोधकर्ताओं ने स्तरों को 1 से 5 के रूप में पुनः क्रमांकित किया ताकि वे एक "स्तर 0" जोड़ सकें जिसमें छोटे बच्चों का वर्णन किया गया था जो आकारों को बिल्कुल भी पहचान नहीं सकते थे। दोनों संख्या प्रणाली अभी भी उपयोग में हैं। कुछ शोधकर्ता स्तरों को अलग-अलग नाम भी देते हैं। स्तरों के गुण वैन हीले स्तरों के पाँच गुण हैंः 1. स्थिर क्रमः स्तर पदानुक्रमित होते हैं। छात्र एक स्तर को "छोड़" नहीं सकते। वैन हील्स का दावा है कि ज्यामिति के छात्रों द्वारा अनुभव की जाने वाली अधिकांश कठिनाई कटौती स्तर पर पढ़ाए जाने के कारण होती है जब वे अभी तक अमूर्तता स्तर को प्राप्त नहीं कर पाए हैं। 2. समायोजनः जो गुण एक स्तर पर आंतरिक होते हैं, वे अगले स्तर पर बाह्य हो जाते हैं। (ये गुण दृश्य स्तर पर हैं, लेकिन छात्र अभी तक विश्लेषण स्तर तक उनके बारे में सचेत रूप से नहीं जानते हैं। गुण वास्तव में विश्लेषण स्तर पर संबंधित हैं, लेकिन छात्र अभी तक संबंधों के बारे में स्पष्ट रूप से नहीं जानते हैं।) 3. भेदः प्रत्येक स्तर के अपने भाषाई प्रतीक और संबंधों का नेटवर्क होता है। एक भाषाई प्रतीक का अर्थ इसकी स्पष्ट परिभाषा से अधिक है; इसमें वे अनुभव शामिल हैं जो वक्ता दिए गए प्रतीक के साथ जोड़ता है। जो एक स्तर पर "सही" हो सकता है वह जरूरी नहीं कि दूसरे स्तर पर भी सही हो। स्तर 0 पर एक वर्ग कुछ ऐसा है जो एक बॉक्स की तरह दिखता है। स्तर 2 पर एक वर्ग एक विशेष प्रकार का आयत है। इनमें से कोई भी स्तर 1 पर तर्क करने वाले व्यक्ति के लिए "वर्ग" के अर्थ का सही विवरण नहीं है। यदि छात्र को अवधारणा के साथ सार्थक अनुभव विकसित करने की अनुमति दिए बिना केवल परिभाषा और उससे जुड़े गुण सौंपे जाते हैं, तो छात्र इस ज्ञान को पाठ में उपयोग की जाने वाली स्थितियों से परे लागू करने में सक्षम नहीं होगा। 4. पृथक्करणः एक शिक्षक जो एक स्तर पर तर्क कर रहा है, वह निचले स्तर पर एक छात्र से अलग "भाषा" बोलता है, जिससे समझ में बाधा आती है। जब कोई शिक्षक "वर्ग" की बात करता है तो उसका अर्थ होता है एक विशेष प्रकार का आयत। स्तर 0 या 1 पर एक छात्र को इस शब्द की समान समझ नहीं होगी। छात्र शिक्षक को नहीं समझता है, और शिक्षक यह नहीं समझता है कि छात्र कैसे तर्क कर रहा है, अक्सर यह निष्कर्ष निकालते हुए कि छात्र के उत्तर बस "गलत" हैं। वैन हील्स का मानना था कि यह गुण ज्यामिति में विफलता के मुख्य कारणों में से एक था। शिक्षकों का मानना है कि वे खुद को स्पष्ट और तार्किक रूप से व्यक्त कर रहे हैं, लेकिन उनके स्तर 3 या 4 का तर्क निचले स्तर के छात्रों के लिए समझ में नहीं आता है, न ही शिक्षक अपने छात्रों की विचार प्रक्रियाओं को समझते हैं। आदर्श रूप से, शिक्षक और छात्रों को अपनी भाषा के पीछे साझा अनुभवों की आवश्यकता होती है। 5. प्राप्तिः वैन हील्स ने किसी दिए गए विषय पर छात्रों को एक स्तर से दूसरे स्तर तक मार्गदर्शन करने के लिए पांच चरणों की सिफारिश कीः जानकारी या पूछताछः छात्र सामग्री से परिचित हो जाते हैं और इसकी संरचना की खोज करना शुरू कर देते हैं। शिक्षक एक नया विचार प्रस्तुत करते हैं और छात्रों को नई अवधारणा के साथ काम करने की अनुमति देते हैं। छात्रों को नई अवधारणा की संरचना को इसी तरह से अनुभव कराने से, वे इसके बारे में सार्थक बातचीत कर सकते हैं। (एक शिक्षक कह सकता है, "यह एक रम्बस है। अपने कागज पर कुछ और रोंबी बनाएँ। ") निर्देशित या निर्देशित अभिविन्यासः छात्र ऐसे कार्य करते हैं जो उन्हें अंतर्निहित संबंधों का पता लगाने में सक्षम बनाते हैं। शिक्षक एक उचित रूप से निर्देशित प्रकृति की गतिविधियों का प्रस्ताव करते हैं जो छात्रों को नई अवधारणा के गुणों से परिचित होने की अनुमति देते हैं जो शिक्षक उन्हें सीखना चाहते हैं। (एक शिक्षक पूछ सकता है, "क्या होता है जब आप एक विकर्ण के साथ समभुज को काटते और मोड़ते हैं? दूसरा विकर्ण? " और इसी तरह, चर्चा के बाद)। व्याख्याः छात्र व्यक्त करते हैं कि उन्होंने क्या खोजा है और शब्दावली का परिचय दिया जाता है। छात्रों के अनुभव साझा भाषाई प्रतीकों से जुड़े होते हैं। वैन हील्स का मानना है कि छात्रों को अवधारणा से परिचित होने का अवसर मिलने के बाद शब्दावली सीखना अधिक लाभदायक है। खोजों को यथासंभव स्पष्ट किया जाता है। (एक शिक्षक कह सकता है, "यहाँ वे गुण हैं जो हमने देखे हैं और जिन चीजों की आपने खोज की है उनके लिए कुछ संबंधित शब्दावली हैं। आइए चर्चा करें कि इनका क्या अर्थ है। ") मुक्त अभिविन्यासः छात्र अधिक जटिल कार्य करते हैं जिससे वे सामग्री में संबंधों के नेटवर्क में महारत हासिल कर सकते हैं। वे अध्ययन किए जा रहे गुणों को जानते हैं, लेकिन विभिन्न स्थितियों में संबंधों के नेटवर्क को नेविगेट करने में प्रवाह विकसित करने की आवश्यकता है। इस प्रकार की गतिविधि निर्देशित अभिविन्यास की तुलना में बहुत अधिक खुली है। इन कार्यों को हल करने के लिए कोई निर्धारित प्रक्रिया नहीं होगी। समस्याएँ अधिक जटिल हो सकती हैं और समाधान खोजने के लिए अधिक स्वतंत्र अन्वेषण की आवश्यकता हो सकती है। (एक शिक्षक कह सकता है, "आप एक समभुज का निर्माण कैसे कर सकते हैं, इसकी केवल दो भुजाओं को देखते हुए?" और अन्य समस्याएं जिनके लिए छात्रों ने एक निश्चित प्रक्रिया नहीं सीखी है)। एकीकरणः छात्र जो कुछ भी सीखा है उसे संक्षेप में प्रस्तुत करते हैं और उसे स्मृति के लिए समर्पित करते हैं। शिक्षक छात्रों को वह सब कुछ बता सकते हैं जो उन्होंने सीखा है। यह महत्वपूर्ण है कि शिक्षक इस चरण के दौरान कोई नई सामग्री प्रस्तुत न करें, बल्कि केवल वही सारांश प्रस्तुत करें जो पहले ही सीखा जा चुका है। शिक्षक भविष्य के काम के लिए सीखे गए सिद्धांतों और शब्दावली को याद रखने के लिए एक कार्य भी दे सकता है, संभवतः आगे के अभ्यासों के माध्यम से। (एक शिक्षक कह सकता है, "हमने जो सीखा है उसका सारांश यहाँ दिया गया है। इसे अपनी नोटबुक में लिखें और होमवर्क के लिए ये अभ्यास करें। ") वैन हीले मॉडल के समर्थक बताते हैं कि पारंपरिक निर्देश में अक्सर केवल यह अंतिम चरण शामिल होता है, जो बताता है कि छात्र सामग्री में महारत क्यों नहीं रखते हैं। दीना वैन हीले-गेल्डॉफ के डॉक्टरेट शोध प्रबंध के लिए, उन्होंने नीदरलैंड के एक मोंटेसरी माध्यमिक विद्यालय में 12 साल के बच्चों के साथ एक शिक्षण प्रयोग किया। उन्होंने बताया कि इस पद्धति का उपयोग करके वह 20 पाठों में छात्रों के स्तर को 0 से 1 तक और 50 पाठों में स्तर 1 से 2 तक बढ़ाने में सक्षम थीं। अनुसंधान मानदंड के रूप में वैन हीले स्तरों का उपयोग करते हुए, ज्यामिति के लगभग आधे छात्रों को एक ऐसे पाठ्यक्रम में रखा जाता है जिसमें उनके सफल होने की संभावना केवल 50-50 होती है। - ज़ल्मन उसिस्किन, 1982 शोधकर्ताओं ने पाया कि अमेरिकी छात्रों में वैन हीले का स्तर कम है। यूरोपीय शोधकर्ताओं ने यूरोपीय छात्रों के लिए समान परिणाम पाए हैं। कई, शायद अधिकांश, अमेरिकी छात्र एक प्रूफ-ओरिएंटेड हाई स्कूल ज्यामिति पाठ्यक्रम को सफलतापूर्वक पूरा करने के बाद भी कटौती स्तर प्राप्त नहीं करते हैं, शायद इसलिए कि सामग्री रटने से सीखी जाती है, जैसा कि वैन हील्स ने दावा किया था। ऐसा प्रतीत होता है क्योंकि अमेरिकी हाई स्कूल ज्यामिति पाठ्यक्रमों का मानना है कि छात्र पहले से ही कम से कम स्तर 2 पर हैं, स्तर 3 में जाने के लिए तैयार हैं, जबकि कई हाई स्कूल के छात्र अभी भी स्तर 1 या स्तर 0 पर हैं। ऊपर दिए गए निश्चित अनुक्रम गुण को देखें। सिद्धांत की आलोचना और संशोधन स्तर असंगत हैं, जैसा कि उपरोक्त गुणों में परिभाषित किया गया है, लेकिन शोधकर्ताओं ने इस बात पर बहस की है कि स्तर वास्तव में कितने असतत हैं। अध्ययनों में पाया गया है कि कई बच्चे कई स्तरों या मध्यवर्ती स्तरों पर तर्क करते हैं, जो सिद्धांत के विपरीत प्रतीत होते हैं। बच्चे भी विभिन्न अवधारणाओं के लिए विभिन्न दरों पर स्तरों के माध्यम से आगे बढ़ते हैं, जो विषय के साथ उनके संपर्क पर निर्भर करता है। इसलिए वे कुछ आकारों के लिए एक स्तर पर तर्क कर सकते हैं, लेकिन दूसरे स्तर पर अन्य आकारों के लिए। कुछ शोधकर्ताओं ने पाया है कि दृश्य स्तर पर कई बच्चे पूरी तरह से समग्र तरीके से तर्क नहीं करते हैं, लेकिन एक एकल विशेषता पर ध्यान केंद्रित कर सकते हैं, जैसे कि एक वर्ग के बराबर पक्ष या एक वृत्त की गोलाकारता। उन्होंने इस स्तर का नाम सिंक्रेटिक स्तर रखने का प्रस्ताव रखा है। अन्य संशोधनों का भी सुझाव दिया गया है, जैसे कि मुख्य स्तरों के बीच उप-स्तरों को परिभाषित करना, हालांकि इनमें से किसी भी संशोधन ने अभी तक लोकप्रियता हासिल नहीं की है। आगे पढ़ने के लिए मार्गरेट मेसन द्वारा ज्यामितीय समझ के वैन हीले स्तर मैरी ऐनी हैनिबल द्वारा युवा बच्चों की ज्यामितीय आकारों की विकासशील समझ संदर्भ बाहरी लिंक ज्यामितीय समझ के वैन हीले स्तर-वैन हीले मॉडल के बारे में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्नों की पीडीएफ, ग्रंथ सूची के साथ वैन हीले सिद्धांत को निर्देश से जोड़ना-वैन हीले सिद्धांत पर आधारित गतिविधियाँ स्थानिक और ज्यामितीय सोच का विकासः निर्देश का महत्व। वान हिले लेवल एंड अचीवमेंट इन सेकेंडरी स्कूल ज्योमेट्री-लार्ज 1982 शिकागो अध्ययन वान हिले मॉडल का विश्लेषण करता है और ज्यामिति में अमेरिकी हाई स्कूल के छात्रों की उपलब्धि को समझने पर इसके महत्व का विश्लेषण करता है ज्यामिति के लिए एक ढांचा के-12-पावरप्वाइंट प्रस्तुति ज्यामितीय सोच का वान हिले मॉडल वान हिले मॉडल अंतर्राष्ट्रीय सम्मेलन "वान हिले थ्योरी इन मैथमेटिकल एजुकेशन", क्रोएशिया के मुख्य पहलुओं की एक छोटी प्रस्तुति। इसका आयोजनः ज़ादर विश्वविद्यालय, शिक्षक शिक्षा विभाग और HUNI-ह्रवत्सका उद्रुगा नस्ताव्निका इस्त्राज़िवाका (शिक्षक शोधकर्ताओं का क्रोएशियाई संघ) द्वारा किया गया। पेशेवर व्याख्यानों और कार्यशालाओं में कार्रवाई अनुसंधान के पहलुओं के बारे में विषय सामग्री, कार्यों में वैन हीले सिद्धांत के स्तर के पहलू-और क्रोएशियाई राज्य स्कूल उपयोग के लिए परीक्षण प्रस्ताव शामिल थे। ज्यामिति शिक्षा शिक्षाशास्त्र