Kulkarni–Nomizu product
विभेदक ज्यामिति के गणितीय क्षेत्र में, कुलकर्णी-नोमिज़ु उत्पाद (रवींद्र श्रीपद कुलकर्णी और कात्सुमी नोमिज़ु के नाम पर) को दो-टेंसरों के लिए परिभाषित किया गया है और इसके परिणामस्वरूप एक-टेंसर मिलता है। परिभाषा यदि h और k सममित-टेंसर हैं, तो उत्पाद को इस प्रकार परिभाषित किया जाता हैः जहाँ Xj स्पर्शरेखा वैक्टर हैं और मैट्रिक्स निर्धारक है। ध्यान दें कि, जैसा कि दूसरी अभिव्यक्ति से स्पष्ट है। स्पर्शरेखा स्थान के आधार के संबंध में, यह कॉम्पैक्ट रूप लेता है जहां कुल एंटीसिमेट्रीशन प्रतीक को दर्शाता है। कुलकर्णी-नोमिज़ु उत्पाद श्रेणीबद्ध बीजगणित में उत्पाद का एक विशेष मामला है जहाँ, सरल तत्वों पर, (सममित उत्पाद को दर्शाता है)। सममित टेंसरों की एक जोड़ी के कुलकर्णी-नोमिज़ु उत्पाद में रीमान टेंसर की बीजगणितीय समरूपता होती है। उदाहरण के लिए, अंतरिक्ष रूपों पर (अर्थात। स्थिर अनुभागीय वक्रता के रिक्त स्थान) और द्वि-आयामी चिकनी रीमानियन मैनिफोल्ड्स, रीमान वक्रता टेंसर में मीट्रिक के कुलकर्णी-नोमिज़ु उत्पाद के संदर्भ में एक सरल अभिव्यक्ति है; अर्थात्, यदि हम-वक्रता टेंसर और रीमान वक्रता टेंसर द्वारा निरूपित करते हैं, तो स्केलर वक्रता कहाँ है और रिक्की टेंसर है, जो घटकों में पढ़ता है। ऊपर से परिभाषा का उपयोग करके कुलकर्णी-नोमिज़ु उत्पाद का विस्तार करते हुए, यह वही अभिव्यक्ति है जो रीमान वक्रता टेंसर पर लेख में बताई गई है। इसी कारण से, इसका उपयोग आमतौर पर उस योगदान को व्यक्त करने के लिए किया जाता है जो रिची वक्रता (या बल्कि, स्काउटन टेंसर) और वेल टेंसर प्रत्येक एक रीमानियन मैनिफोल्ड की वक्रता में करते हैं। यह तथाकथित रिक्की अपघटन विभेदक ज्यामिति में उपयोगी है। जब एक मीट्रिक टेंसर g होता है, तो अपने आप में g का कुलकर्णी-नोमिज़ु उत्पाद 2-रूपों के स्थान का पहचान एंडोमोर्फिज्म होता है, ω2 (M), एंडोमोर्फिज्म रिंग एंड (ω2 (M)) की पहचान (मीट्रिक का उपयोग करके) के तहत टेंसर उत्पाद ω2 (M) ω2 (M) के साथ। एक रीमानियन मैनिफोल्ड में स्थिर अनुभागीय वक्रता k होती है यदि और केवल तभी जब रीमान टेंसर का वह रूप हो जहाँ g मीट्रिक टेंसर हो। टिप्पणियाँ संदर्भ। विभेदक ज्यामिति टेंसर