Infinitary combinatorics
गणित में, इन्फिनिटरी कॉम्बिनेटोरिक्स, या कॉम्बिनेटोरिअल सेट थ्योरी, कॉम्बिनेटोरिक्स में विचारों का अनंत सेटों तक विस्तार है। अध्ययन की गई कुछ चीजों में निरंतर ग्राफ और ट्री, रैमसे के प्रमेय के विस्तार और मार्टिन के स्वयंसिद्ध शामिल हैं। हाल के विकास एकवचन कार्डिनलों के उत्तराधिकारियों पर निरंतरता और संयोजन के संयोजन से संबंधित हैं। अनंत समुच्चयों के लिए रैमसे सिद्धांत κ लिखें, λ क्रमिक के लिए, m एक कार्डिनल संख्या के लिए और n एक प्राकृतिक संख्या के लिए। संकेतन को यह कहने के एक संक्षिप्त तरीके के रूप में पेश किया गया कि m टुकड़ों में n-तत्व सबसेट के सेट [κ] n के प्रत्येक विभाजन में क्रम प्रकार λ का एक सजातीय सेट होता है। एक सजातीय समुच्चय इस मामले में κ का एक उपसमुच्चय है जैसे कि प्रत्येक n-तत्व उपसमुच्चय विभाजन के एक ही तत्व में हो। जब m 2 होता है तो इसे अक्सर छोड़ दिया जाता है। पसंद के स्वयंसिद्ध को मानते हुए, κ → (ω) ω के साथ कोई क्रमिक κ नहीं हैं, इसलिए n को आमतौर पर परिमित माना जाता है। एक विस्तार जहाँ n को लगभग अनंत होने की अनुमति है, वह संकेतन है जो यह कहने का एक संक्षिप्त तरीका है कि κ के परिमित सबसेट के सेट के प्रत्येक विभाजन में m टुकड़ों में क्रम प्रकार λ का एक सबसेट होता है जैसे कि किसी भी परिमित n के लिए, आकार n के सभी सबसेट विभाजन के एक ही तत्व में होते हैं। जब m 2 होता है तो इसे अक्सर छोड़ दिया जाता है। एक अन्य भिन्नता संकेतन है जो यह कहने का एक संक्षिप्त तरीका है कि 2 रंगों के साथ κ के n-तत्व उपसमुच्चय के सेट [κ] n के प्रत्येक रंग में क्रम प्रकार λ का एक उपसमुच्चय होता है जैसे कि [λ] n के सभी तत्वों में पहला रंग होता है, या क्रम प्रकार μ का एक उपसमुच्चय होता है जैसे कि [μ] n के सभी तत्वों में दूसरा रंग होता है। इसके कुछ गुणों में शामिल हैंः (जो निम्नलिखित में एक कार्डिनल है) सभी परिमित n और k (रैमसे की प्रमेय) के लिए। (एर्दोस-राडो प्रमेय।) (सियेरपिन्स्की प्रमेय) (एर्दोस-दुशनिक-मिलर प्रमेय)। चयनहीन ब्रह्मांडों में, अनंत प्रतिपादकों के साथ विभाजन गुण हो सकते हैं, और उनमें से कुछ निर्धारण के स्वयंसिद्ध (एडी) के परिणाम के रूप में प्राप्त किए जाते हैं। उदाहरण के लिए, डोनाल्ड ए. मार्टिन ने साबित किया कि एडी का अर्थ है बड़े कार्डिनल्स इस संकेतन का उपयोग करके कई बड़े कार्डिनल गुणों को परिभाषित किया जा सकता है। विशेष रूप सेः कमजोर कॉम्पैक्ट कार्डिनल्स वे हैं जो संतुष्ट करते हैं κ → (κ) 2 α-एर्डोस कार्डिनल्स κ सबसे छोटे हैं जो संतुष्ट करते हैं κ → (α) <ω रैमसे कार्डिनल्स κ वे हैं जो संतुष्ट करते हैं κ → (κ) <ω नोट्स संदर्भ सेट सिद्धांत संयोजन