Ross–Littlewood paradox
रॉस-लिटिलवुड विरोधाभास (जिसे गेंद और फूलदान समस्या या पिंग पोंग गेंद समस्या के रूप में भी जाना जाता है) अमूर्त गणित और तर्क में एक काल्पनिक समस्या है जिसे अनंत की विरोधाभासी, या कम से कम गैर-सहज, प्रकृति को स्पष्ट करने के लिए डिज़ाइन किया गया है। अधिक विशेष रूप से, थॉमसन के लैंप विरोधाभास की तरह, रॉस-लिटिलवुड विरोधाभास एक सुपरटास्क की धारणा के साथ वैचारिक कठिनाइयों को स्पष्ट करने की कोशिश करता है, जिसमें अनंत संख्या में कार्य क्रमिक रूप से पूरे किए जाते हैं। इस समस्या का वर्णन मूल रूप से गणितशास्त्री जॉन ई. लिटिलवुड ने अपनी 1953 की पुस्तक लिटिलवुड्स मिसेलनी में किया था, और बाद में शेल्डन रॉस ने अपनी 1988 की पुस्तक ए फर्स्ट कोर्स इन प्रोबेबिलिटी में इसका विस्तार किया था। समस्या एक खाली फूलदान और गेंदों की एक अनंत आपूर्ति के साथ शुरू होती है। इसके बाद अनंत संख्या में कदम उठाए जाते हैं, जैसे कि प्रत्येक चरण में 10 गेंदें फूलदान में डाली जाती हैं और उसमें से 1 गेंद को हटा दिया जाता है। फिर सवाल पूछा जाता हैः कार्य समाप्त होने पर फूलदान में कितनी गेंदें होती हैं? अनन्त संख्या में चरणों को पूरा करने के लिए, यह माना जाता है कि दोपहर से एक मिनट पहले फूलदान खाली हो जाता है, और निम्नलिखित चरण किए जाते हैंः पहला चरण दोपहर से 30 सेकंड पहले किया जाता है। दूसरा चरण दोपहर से 15 सेकंड पहले किया जाता है। प्रत्येक बाद का चरण पिछले चरण के आधे समय में किया जाता है, यानी, चरण एन दोपहर से 2 मिनट पहले किया जाता है। यह गारंटी देता है कि दोपहर तक अनगिनत संख्या में कदम उठाए जाते हैं। चूँकि प्रत्येक बाद के चरण में पिछले चरण की तुलना में आधा समय लगता है, इसलिए एक मिनट बीत जाने तक अनंत संख्या में कदम उठाए जाते हैं। फिर सवाल यह है कि दोपहर में फूलदान में कितनी गेंदें होती हैं? समाधान पहेली के उत्तर कई श्रेणियों में आते हैं। फूलदान में असीम रूप से कई गेंदें होती हैं सबसे सहज उत्तर यह प्रतीत होता है कि फूलदान में दोपहर तक अनंत संख्या में गेंदें होती हैं, क्योंकि रास्ते में हर कदम पर हटाने की तुलना में अधिक गेंदें जोड़ी जा रही हैं। परिभाषा के अनुसार, प्रत्येक चरण में, पिछले चरण की तुलना में गेंदों की संख्या अधिक होगी। वास्तव में ऐसा कोई कदम नहीं है, जहां पिछले चरण से गेंदों की संख्या कम हो। यदि हर बार गेंदों की संख्या बढ़ती है, तो अनंत चरणों के बाद अनंत संख्या में गेंदें होंगी। मान लीजिए कि गेंदों की अनंत आपूर्ति की गेंदों को क्रमांकित किया गया था, और चरण 1 गेंद 1 से 10 को फूलदान में डाला जाता है, और गेंद संख्या 1 को हटा दिया जाता है। चरण 2 पर, 11 से 20 गेंदें डाली जाती हैं, और फिर गेंद 2 को हटा दिया जाता है। इसका मतलब है कि दोपहर तक, फूलदान में डाली गई एन लेबल वाली प्रत्येक गेंद को अंततः बाद के चरण (अर्थात्, चरण एन पर) में हटा दिया जाता है। इसलिए दोपहर में फूलदान खाली हो जाता है। यह गणितविदों एलिस और कोएत्सियर द्वारा समर्थित समाधान है। यह इस तर्क का संयोजन है कि दोपहर में फूलदान खाली होता है, साथ ही अधिक सहज उत्तर है कि फूलदान में असीम रूप से कई गेंदें होनी चाहिए, जिसने इस समस्या को रॉस-लिटिलवुड विरोधाभास नाम दिया है। रॉस के समस्या के संभावित संस्करण ने हटाने की विधि को उस मामले तक विस्तारित किया जहां जब भी किसी गेंद को वापस लिया जाना हो तो उस गेंद को समान रूप से यादृच्छिक रूप से उस समय फूलदान में मौजूद गेंद में से चुना जाता है। उन्होंने इस मामले में दिखाया कि दोपहर में कोई विशेष गेंद फूलदान में रहने की संभावना 0 थी और इसलिए, बूल की असमानता का उपयोग करके और गेंदों पर एक गणना योग्य राशि लेने से, दोपहर में फूलदान खाली होने की संभावना 1 थी। परिस्थितियों पर निर्भर करता है वास्तव में, गेंदों की संख्या जो किसी के साथ समाप्त होती है, उस क्रम पर निर्भर करती है जिसमें गेंदों को फूलदान से हटाया जाता है। जैसा कि पहले कहा गया है, गेंदों को इस तरह से जोड़ा और हटाया जा सकता है कि दोपहर में फूलदान में कोई गेंद न बचे। हालाँकि, यदि गेंद संख्या 10 को फूलदान से चरण 1 पर, गेंद संख्या 20 को चरण 2 पर, और इसी तरह आगे हटा दिया जाता है, तो यह स्पष्ट है कि दोपहर में फूलदान में अनंत संख्या में गेंदें बची होंगी। वास्तव में, विभिन्न चरणों में किस गेंद को हटाया जाता है, इसके आधार पर दोपहर तक किसी भी चुनी हुई संख्या में गेंदों को फूलदान में रखा जा सकता है, जैसा कि नीचे दी गई प्रक्रिया से पता चलता है। यह दार्शनिक तर्कशास्त्री टॉम टिमोस्को और गणितशास्त्री तर्कशास्त्री जिम हेनले द्वारा समर्थित समाधान है। यह समाधान गणितीय रूप से सेटों के अनुक्रम की निम्नतम सीमा लेने के अनुरूप है। निम्नलिखित प्रक्रिया में स्पष्ट रूप से बताया गया है कि फूलदान में बची हुई गेंदों की एक चुनी हुई संख्या कैसे प्राप्त की जाए। मान लीजिए कि n फूलदान में गेंदों की वांछित अंतिम संख्या को दर्शाता है। आइए i वर्तमान में हो रहे ऑपरेशन की संख्या को दर्शाता है (i ≤ 1)। प्रक्रियाः i = 1 से अनंत के लिएः (10 * i-9) से (10 * i) तक की गेंदों को फूलदान में डालें यदि i ≤ n है तो गेंद संख्या 2 * i को हटा दें यदि i> n है तो गेंद संख्या n + i को हटा दें स्पष्ट रूप से, पहली n विषम गेंदों को नहीं हटाया जाता है, जबकि 2n से बड़ी या बराबर सभी गेंदें हैं। इसलिए, बिल्कुल n गेंदें फूलदान में रहती हैं। हालाँकि गेंद और फूलदान की स्थिति दोपहर से पहले हर समय अच्छी तरह से परिभाषित होती है, लेकिन दोपहर या उसके बाद किसी भी समय के बारे में कोई निष्कर्ष नहीं निकाला जा सकता है। इस प्रकार, हम सभी जानते हैं कि दोपहर में, फूलदान जादुई रूप से गायब हो जाता है, या इसके साथ कुछ और होता है। लेकिन हम नहीं जानते, क्योंकि समस्या कथन इस बारे में कुछ नहीं कहता है। इसलिए, पिछले समाधान की तरह, यह समाधान बताता है कि समस्या कम निर्दिष्ट है, लेकिन पिछले समाधान से अलग तरीके से। इस समाधान का समर्थन गणित के दार्शनिक पॉल बेनासेराफ ने किया है। समस्या अव्यवस्थित है समस्या अव्यवस्थित है। सटीक रूप से, समस्या कथन के अनुसार, दोपहर से पहले अनंत संख्या में ऑपरेशन किए जाएंगे, और फिर दोपहर में स्थिति के बारे में पूछा जाएगा। लेकिन, जैसा कि ज़ेनो के विरोधाभासों में है, अगर दोपहर से पहले अनंत रूप से कई ऑपरेशन (क्रमिक रूप से) करने हैं, तो दोपहर एक ऐसा समय है जिस पर कभी नहीं पहुंचा जा सकता है। दूसरी ओर, यह पूछना कि दोपहर में कितनी गेंदें बची होंगी, यह मान लेना है कि दोपहर हो जाएगी। इसलिए समस्या के कथन में ही एक अंतर्विरोध निहित है, और यह अंतर्विरोध यह धारणा है कि कोई भी किसी भी तरह अनंत संख्या में चरणों को 'पूरा' कर सकता है। यह गणितशास्त्री और दार्शनिक जीन पॉल वान बेंडेगम द्वारा समर्थित समाधान है। सुपरटास्क थॉमसन के लैंप ज़ेनो के विरोधाभासों को भी देखें हिल्बर्ट का ग्रैंड होटल संदर्भों का विरोधाभास आगे पढ़ने के लिए "लिटिलवुड्स मिसेलनी" (संस्करण। बेला बोलोबास), कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस, कैम्ब्रिज, 1986. पृ. 26. (पहली बार "ए मैथेमैटिशंस मिसेलनी" के रूप में प्रकाशित (संस्करण। बेला बोलोबास, मेथुएन एंड कंपनी, 1953) "टास्क, सुपर-टास्क, एंड मॉडर्न एलिटिक्स", पॉल बेनासेराफ, जर्नल ऑफ फिलॉसफी, एलआईएक्स, 1962, पीपी। 765-784 "ए फर्स्ट कोर्स इन प्रोबेबिलिटी", शेल्डन रॉस, न्यूयॉर्कः मैकमिलन, 1976 "ऑन सम पैराडॉक्स ऑफ द इनफिनिट", विक्टर एलिस और ट्यूनिस कोएट्सियर, द ब्रिटिश जर्नल फॉर द फिलॉसफी ऑफ साइंस, v. 42 n. 2, जून 1991, pp. 187-194 "रॉस पैराडॉक्स इज एन इम्पॉसिबल सुपर-टास्क", जीन पॉल वैन बेंडेगम, द ब्रिटिश जर्नल फॉर द फिलॉसफी ऑफ साइंस, v. 45 n. 2, जून 1994, pp. 743-748 "इनफिनिट पेनसः द ट्रबल विद सुपरटास्कस", एस. स्टिच में एर्मन, जे. और नॉर्टन, जे. डी. (संस्करण) पॉल बेनासेराफः द फिलोसोफर एंड हिज क्रिटिक्स (न्यूयॉर्कः ब्लैकवेल), 1994 "स्वीट रीज़नः ए फील्ड गाइड टू मॉडर्न लॉजिक", टॉम टिमोकोको और जिम हेनले, फ्रीमैन प्रेस, 1995 सुपरटास्कस पैराडॉक्स ऑफ इनफिनिटी