Dual bundle
गणित में, दोहरे बंडल वेक्टर बंडलों पर एक ऑपरेशन है जो वेक्टर रिक्त स्थान के लिए द्वैतता के संचालन का विस्तार करता है। परिभाषा वेक्टर बंडल का दोहरा बंडल वेक्टर बंडल होता है जिसके तंतुओं के लिए दोहरे स्थान होते हैं। समान रूप से, इसे होम बंडल के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जो कि मामूली रेखा बंडल से रूपात्मकता का वेक्टर बंडल है निर्माण और उदाहरण संक्रमण कार्यों के साथ एक स्थानीय तुच्छता को देखते हुए संक्रमण कार्यों के साथ एक ही खुले आवरण (ट्रांसपोज़ का व्युत्क्रम) द्वारा दिया जाता है। दोहरा बंडल फिर फाइबर बंडल निर्माण प्रमेय का उपयोग करके बनाया जाता है। विशेष मामलों के रूप मेंः एक संबंधित बंडल का दोहरा बंडल संरचना समूह के दोहरे प्रतिनिधित्व से जुड़ा बंडल है। एक विभेदक मैनिफोल्ड के स्पर्शरेखा बंडल का दोहरा बंडल इसका कोटेनजेंट बंडल है। गुण यदि आधार स्थान पैराकॉम्पैक्ट और हौसडॉर्फ है तो एक वास्तविक, परिमित श्रेणी का वेक्टर बंडल और इसका दोहरा वेक्टर बंडलों के रूप में समरूप है। हालांकि, वेक्टर रिक्त स्थान के लिए, समरूपता का कोई प्राकृतिक विकल्प नहीं है जब तक कि एक आंतरिक उत्पाद से सुसज्जित न हो। यह जटिल वेक्टर बंडलों के मामले में सच नहीं हैः उदाहरण के लिए, रीमान गोले पर स्वतःगामी रेखा बंडल अपने दोहरे के लिए समरूप नहीं है। एक जटिल वेक्टर बंडल का दोहरा वास्तव में संयुग्म बंडल के लिए समरूप है लेकिन समरूपता का विकल्प गैर-कैनॉनिकल है जब तक कि एक हर्मिशियन उत्पाद से सुसज्जित न हो। एक ही स्थान पर वेक्टर बंडलों की एक आकृति को देखते हुए, उनके दोहरे बंडलों (विपरीत क्रम में) के बीच एक आकृतिवाद होता है, जिसे प्रत्येक रैखिक मानचित्र के पारगमन के रूप में परिभाषित किया जाता है। तदनुसार, दोहरे बंडलों का संचालन वेक्टर बंडलों की श्रेणी और उनके रूपात्मकता से एक विपरीत कारक को परिभाषित करता है। संदर्भ वेक्टर ज्यामिति को जोड़ता है