Tight span
मीट्रिक ज्यामिति में, एक मीट्रिक स्थान M का मीट्रिक लिफाफा या तंग अवधि एक इंजेक्टिव मीट्रिक स्थान है जिसमें M को एम्बेड किया जा सकता है। कुछ अर्थों में इसमें एम के बिंदुओं के बीच के सभी बिंदु होते हैं, जो एक यूक्लिडियन स्थान में निर्धारित बिंदु के उत्तल पतवार के समान होते हैं। तंग अवधि को कभी-कभी इंजेक्टिव लिफाफा या एम के हाइपरकॉन्वेक्स पतवार के रूप में भी जाना जाता है, इसे इंजेक्टिव पतवार भी कहा जाता है, लेकिन बीजगणित में एक मॉड्यूल के इंजेक्टिव पतवार के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए, एक अवधारणा जो मीट्रिक रिक्त स्थान के बजाय आर-मॉड्यूल की श्रेणी के सापेक्ष समान विवरण के साथ है। तंग अवधि का वर्णन पहली बार 1960 के दशक में होल्ज़्टिंस्की द्वारा किया गया था और इसका अध्ययन और उपयोग किया गया था। बाद में इसे स्वतंत्र रूप से और द्वारा फिर से खोजा गया; इस इतिहास के लिए देखें। तंग विस्तार टी-सिद्धांत के केंद्रीय निर्माणों में से एक है। परिभाषा एक मीट्रिक स्थान की तंग अवधि को निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है। मान लीजिए (X, d) एक मीट्रिक स्थान है, और मान लीजिए कि T (X) X पर चरम कार्यों का समूह है, जहाँ हम X पर एक चरम कार्य कहते हैं जिसका अर्थ है X से R तक एक फलन f, जैसे कि किसी भी x के लिए, x में y, d (x, y) ≤ f (x) + f (y), और X में प्रत्येक x के लिए, f (x) = सुपर {d (x, y)-f (y): x में y। विशेष रूप से (उपरोक्त गुण 1 में x = y लेते हुए) सभी x के लिए f (x) ≤ 0। उपरोक्त पहली आवश्यकता की व्याख्या करने का एक तरीका यह है कि f किसी नए बिंदु से X में बिंदुओं तक संभावित दूरी के एक समूह को परिभाषित करता है जो त्रिभुज असमानता को (X, d) में दूरी के साथ संतुष्ट करता है। दूसरी आवश्यकता में कहा गया है कि त्रिभुज असमानता का उल्लंघन किए बिना इनमें से किसी भी दूरी को कम नहीं किया जा सकता है। (X, d) की तंग अवधि मीट्रिक स्थान (T (X), δ) है, जहां मानक द्वारा प्रेरित मीट्रिक के अनुरूप है। (यदि d बंधा हुआ है, तो δ मानक द्वारा प्रेरित मीट्रिक द्वारा प्रेरित उपस्थान मीट्रिक है। यदि d बाध्य नहीं है, तो X पर प्रत्येक चरम फलन असीमित है और इसलिए इसके बावजूद, यह सच होगा कि T (X) में किसी भी f, g के लिए, अंतर संबंधित है, यानी, बाध्य है।) चरम फलन की समतुल्य परिभाषाएँ एक्स से आर तक के फलन के लिए पहली आवश्यकता को पूरा करने के लिए, दूसरी आवश्यकता के निम्नलिखित संस्करण समतुल्य हैंः एक्स में प्रत्येक एक्स के लिए, एफ (एक्स) = सुपर {डी (एक्स, वाई)-एफ (वाई): एक्स में वाई। एफ उपरोक्त पहली आवश्यकता के संबंध में न्यूनतम है, अर्थात, एक्स से आर तक किसी भी फलन जी के लिए जैसे कि डी (एक्स, वाई) ≤ जी (एक्स) + जी (वाई) सभी एक्स के लिए, एक्स में वाई, यदि जी ≤ एफ बिंदु की दिशा में, तो एफ = जी। बुनियादी गुण और उदाहरण X में सभी x के लिए, X में प्रत्येक x के लिए, चरम है। (प्रमाणः समरूपता और त्रिभुज असमानता का उपयोग करें।) यदि X परिमित है, तो X से R तक के किसी भी फलन के लिए जो पहली आवश्यकता को पूरा करता है, दूसरी आवश्यकता इस शर्त के बराबर है कि X में प्रत्येक x के लिए, X में y मौजूद है जैसे कि f (x) + f (y) = d (x, y)। (यदि दोनों शर्तें सही हैं। यदि तब सर्वोच्चता प्राप्त हो जाती है, और पहली आवश्यकता समतुल्यता का तात्पर्य है।) |X। = 2 कहें, और अलग a, b ऐसे चुनें कि X = {a, b} हो। फिर {{(a, 1), (b, 0)}, {(a, 0), (b, 1)}} का उत्तल पतवार है। [एक चित्र जोड़ें। शीर्षकः यदि X = {0,1} है, तो {(0,1), (1,0)} का उत्तल पतवार है।] एक्स पर प्रत्येक चरम फलन एफ कैटेटोव हैः एफ पहली आवश्यकता को पूरा करता है और या समकक्ष रूप से, एफ पहली आवश्यकता को पूरा करता है और (1-लिप्सिट्ज़ है), या समकक्ष रूप से, एफ पहली आवश्यकता को पूरा करता है और टी (एक्स) सी (एक्स)। (लिपशिट्ज़ कार्य निरंतर होते हैं।) टी (एक्स) समतुल्य है। (X के 1-लिप्सिट्ज़ होने पर प्रत्येक चरम फलन का अनुसरण करता है; cf. Equicontinuity#Examples.) एक्स पर प्रत्येक कैटेटोव फलन चरम नहीं होता है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि a, b अलग हैं, मान लीजिए कि X = {a, b}, मान लीजिए कि d = ([x  ऒत्त y]) x, X में y, X पर असतत मीट्रिक है, और मान लीजिए कि f = {(a, 1), (b, 2)}। फिर f कैटेटोव है लेकिन चरम नहीं है। (यह लगभग तत्काल है कि एफ कैटेटोव है। च चरम नहीं है क्योंकि यह इस खंड की तीसरी गोली में गुण को विफल कर देता है।) यदि d बंधा हुआ है, तो T (X) में प्रत्येक f बंधा हुआ है। वास्तव में, टी (एक्स) में प्रत्येक एफ के लिए, (नोट) (उपरोक्त खंड में तीसरे समतुल्य गुण से अनुसरण करता है।) यदि d असीमित है, तो T (X) में प्रत्येक f असीमित है। (पहली आवश्यकता का पालन करता है।) बिंदुवार सीमा के तहत बंद किया जाता है। यदि (X, d) सघन है, तो (T (X), δ) सघन है। (प्रमाणः चरम-मूल्य प्रमेय का तात्पर्य है कि d, एक फलन के रूप में निरंतर होने के कारण बंधा हुआ है, इसलिए (पिछले बुलेट को देखें) C (X) का एक बंधा हुआ सबसेट है। हमने दिखाया है कि टी (एक्स) समतुल्य है, इसलिए आर्ज़ेला-एस्कोली प्रमेय का तात्पर्य है कि टी (एक्स) अपेक्षाकृत सघन है। हालांकि, पिछली गोली का तात्पर्य है कि टी (एक्स) मानक के तहत बंद है, क्योंकि अभिसरण का अर्थ बिंदु के अनुसार अभिसरण है। अतः टी (एक्स) कॉम्पैक्ट है।) X से R तक के किसी भी फलन g के लिए जो पहली आवश्यकता को पूरा करता है, T (X) में f मौजूद है जैसे कि f ≤ g बिंदु की दिशा में। एक्स पर किसी भी चरम फलन एफ के लिए, किसी भी एफ के लिए, टी (एक्स) में जी, अंतर से संबंधित है, यानी, बाध्य है। (उपरोक्त गोली का उपयोग करें।) कुराटोव्स्की मानचित्र एक सममिति है। (जब एक्स = आइएल हो, तो परिणाम स्पष्ट होता है। जब X ष्णू ष्णू, विपरीत त्रिभुज असमानता परिणाम को दर्शाती है।) मान लीजिए कि टी (एक्स) में एफ। X में किसी भी a के लिए, यदि f (a) = 0 है, तो f = e (a) है। (एक्स में प्रत्येक एक्स के लिए हमारे पास एफ की न्यूनतमता (उपरोक्त खंड में दूसरा समतुल्य लक्षण वर्णन) है और यह तथ्य कि यह पहली आवश्यकता को पूरा करता है) (एक्स, डी) हाइपरबोलिक है यदि और केवल अगर (टी (एक्स), δ) हाइपरबोलिक है। हाइपरकॉन्वेक्सिटी गुण (टी (एक्स), δ) और दोनों हाइपरकॉन्वेक्स हैं। किसी भी Y के लिए जो हाइपरकॉन्वेक्स नहीं है। ("(टी (एक्स), δ) (एक्स, डी)" का एक अतिपरिवर्तक पतवार है।) मान लीजिए कि और के साथ एक हाइपरकॉन्वेक्स मीट्रिक स्पेस है। यदि सभी के लिए I के साथ हाइपरकॉन्वेक्स नहीं है, तो और (T (X), δ) सममित हैं। ("(X, d) का प्रत्येक हाइपरकॉन्वेक्स पतवार (T (X), δ) के साथ सममित है।") उदाहरण के लिए कहें कि |X। = 3, विशिष्ट a, b, c को ऐसे चुनें कि X = {a, b, c}, और मान लीजिए कि i = d (a, b), j = d (a, c), k = d (b, c)। फिर कहाँ [एक चित्र जोड़ें। शीर्षकः यदि X = {0,1,2}, तो T (X) = कान्व {(,,), (,,)} u कान्व {(,,), (,,)} u कान्व {(,,), (,,)} को Y अक्षर की तरह आकार दिया जाता है।] (सी. एफ.) आकृति समतल में 16 बिंदुओं का एक सेट X दिखाती है; इन बिंदुओं से एक सीमित मीट्रिक स्थान बनाने के लिए, हम मैनहट्टन दूरी (दूरी) का उपयोग करते हैं। आकृति में दिखाया गया नीला क्षेत्र ऑर्थोगोनल उत्तल पतवार है, बिंदु z का समूह इस तरह है कि चार बंद चतुर्थांशों में से प्रत्येक में X का एक बिंदु होता है। ऐसा कोई भी बिंदु z तंग अवधि के एक बिंदु से मेल खाता हैः एक बिंदु z के अनुरूप फलन f (x) f (x) = d (z, x) है। इस रूप का एक फलन मैनहट्टन मीट्रिक के लिए त्रिभुज असमानता द्वारा मैनहट्टन-मीट्रिक तल में किसी भी z के लिए तंग अवधि के गुण 1 को संतुष्ट करता है। तंग अवधि के गुण 2 को दिखाने के लिए, X में कुछ बिंदु x पर विचार करें; हमें X में y को इस तरह खोजना चाहिए कि f (x) + f (y) = d (x, y)। लेकिन अगर x चार चतुर्थांशों में से एक में है जिसका शीर्ष z है, तो y को विपरीत चतुर्थांश में किसी भी बिंदु के रूप में लिया जा सकता है, इसलिए गुण 2 भी संतुष्ट है। इसके विपरीत यह दिखाया जा सकता है कि तंग अवधि का प्रत्येक बिंदु इस तरह से इन बिंदुओं के ऑर्थोगोनल उत्तल पतवार में एक बिंदु से मेल खाता है। हालांकि, उच्च आयामों में मैनहट्टन मीट्रिक के साथ बिंदु सेट के लिए, और डिस्कनेक्टेड ऑर्थोगोनल पतवार के साथ समतल बिंदु सेट के लिए, तंग अवधि ऑर्थोगोनल उत्तल पतवार से अलग होती है। तंग अवधि का आयाम जब X सीमित होता है तो उपरोक्त परिभाषा n () के एक समूह के तंग अवधि T (X) को RX में जोड़ती है, जो आयाम n का एक वास्तविक सदिश स्थान है। दूसरी ओर, यदि हम T (X) के आयाम को एक पॉलीहेड्रल कॉम्प्लेक्स के रूप में मानते हैं, तो पता चलता है कि मीट्रिक पर एक उपयुक्त सामान्य स्थिति धारणा के साथ, यह परिभाषा n/3 और n/2 के बीच आयाम वाले स्थान की ओर ले जाती है। वैकल्पिक परिभाषाएँ इसके उपक्षेत्र के उद्देश्य से एक मीट्रिक स्थान की धारणा के आधार पर एक वैकल्पिक परिभाषा का वर्णन किया गया था, जिन्होंने साबित किया कि बनाच स्थान की श्रेणी में बनाच स्थान का इंजेक्टिव लिफाफा, तंग अवधि के साथ (रैखिक संरचना को भूलने के बाद) मेल खाता है। यह प्रमेय कुछ समस्याओं को मनमाने बनाच रिक्त स्थान से सी (एक्स) के रूप में बनाच रिक्त स्थान तक कम करने की अनुमति देता है, जहां एक्स एक सघन स्थान है। अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु से एक दूसरे बिंदु तक की दूरी के वैक्टरों के उष्णकटिबंधीय उत्तल पतवार के रूप में एक सीमित मीट्रिक स्थान की तंग अवधि की एक वैकल्पिक परिभाषा प्रदान करने का प्रयास किया गया। हालाँकि, उसी वर्ष बाद में उन्होंने एक इर्रैटम में स्वीकार किया कि, जबकि उष्णकटिबंधीय उत्तल पतवार में हमेशा तंग अवधि होती है, यह इसके साथ मेल नहीं खाता है। अनुप्रयोग जैविक डेटा से विकासवादी पेड़ों के पुनर्निर्माण में तंग अवधि के अनुप्रयोगों का वर्णन करते हैं। तंग अवधि के-सर्वर समस्या के लिए कई ऑनलाइन एल्गोरिदम में एक भूमिका निभाती है। छह अंकों तक मीट्रिक रिक्त स्थान को वर्गीकृत करने के लिए तंग अवधि का उपयोग करता है। कट मेट्रिक्स को अधिक सामान्य सीमित मीट्रिक रिक्त स्थान में पैक करने के बारे में परिणामों को साबित करने के लिए तंग अवधि का उपयोग करता है। कुराटोव्स्की एम्बेडिंग भी देखें, जो कुराटोव्स्की मानचित्र इंजेक्टिव मीट्रिक स्पेस नोट्स संदर्भों के समान परिभाषित बनाच स्थान में किसी भी मीट्रिक स्थान का एम्बेडिंग है। .. .. .. .. .. .. .. .. .. बाहरी लिंक। मीट्रिक ज्यामिति