Sums of powers
गणित और सांख्यिकी में, शक्तियों का योग कई संदर्भों में होता हैः वर्गों का योग कई संदर्भों में उत्पन्न होता है। उदाहरण के लिए, ज्यामिति में, पायथागोरस प्रमेय में दो वर्गों का योग शामिल है; संख्या सिद्धांत में, लीजेंड्रे की तीन-वर्ग प्रमेय और जैकोबी की चार-वर्ग प्रमेय हैं; और सांख्यिकी में, भिन्नता के विश्लेषण में मात्राओं के वर्गों का योग शामिल है। फौलहाबर का सूत्र एक बहुपद के रूप में व्यक्त होता है, या वैकल्पिक रूप से एक बर्नौली बहुपद के संदर्भ में। फर्माट की समकोण त्रिभुज प्रमेय बताती है कि और के लिए धनात्मक पूर्णांकों में कोई समाधान नहीं है। फर्माट की अंतिम प्रमेय बताती है कि इसके साथ सकारात्मक पूर्णांक में असंभव है। एक दीर्घवृत्त का समीकरण है। स्क्वीर्कल मामला है,। यूलर की शक्तियों का योग अनुमान (अस्वीकृत) उन स्थितियों से संबंधित है जिनमें पूर्णांकों का योग, एक पूर्णांक की प्रत्येक th शक्ति, दूसरी th शक्ति के बराबर होती है। फर्माट-कैटलन अनुमान पूछता है कि क्या ऐसे कई उदाहरण हैं जिनमें दो सहमौलिक पूर्णांकों का योग, प्रत्येक एक पूर्णांक की शक्ति, आवश्यक रूप से बराबर शक्तियों के साथ, एक अन्य पूर्णांक के बराबर हो सकता है जो एक शक्ति है, जिसमें तीन शक्तियों के पारस्परिक योग 1 से कम हैं। बील का अनुमान इस सवाल से संबंधित है कि क्या दो सहमौलिक पूर्णांकों का योग, प्रत्येक एक पूर्णांक की 2 से अधिक शक्ति, आवश्यक रूप से बराबर शक्तियों के साथ, एक अन्य पूर्णांक के बराबर हो सकता है जो 2 से अधिक शक्ति है। जैकोबी-मैडेन समीकरण पूर्णांकों में है। प्रूहेट-टैरी-एस्कॉट समस्या पूर्णांकों की th शक्तियों के दो सेटों के योग पर विचार करती है जो के कई मूल्यों के लिए बराबर हैं। एक टैक्सिकैब संख्या सबसे छोटी पूर्णांक है जिसे दो सकारात्मक तीसरी शक्तियों के योग के रूप में अलग-अलग तरीकों से व्यक्त किया जा सकता है। रीमान जीटा फलन सकारात्मक पूर्णांकों के पारस्परिक का योग है, जिनमें से प्रत्येक को घात में उठाया जाता है, जहां एक जटिल संख्या है जिसका वास्तविक भाग 1 से अधिक है। लैंडर, पार्किन और सेल्फ्रिज का अनुमान वारिंग की समस्या के न्यूनतम मूल्य से संबंधित है जो पूछता है कि क्या प्रत्येक प्राकृतिक संख्या के लिए एक संबद्ध धनात्मक पूर्णांक मौजूद है जैसे कि प्रत्येक प्राकृतिक संख्या प्राकृतिक संख्याओं की अधिकतम th घातों का योग है। स्वर्ण अनुपात φ की क्रमिक शक्तियाँ फिबोनाची पुनरावृत्ति का पालन करती हैंः न्यूटन की पहचान बहुपद में गुणांक के संदर्भ में एक बहुपद के सभी मूल की th शक्तियों के योग को व्यक्त करती है। अंकगणितीय प्रगति में संख्याओं के घनों का योग कभी-कभी एक और घन होता है। फर्माट क्यूबिक, जिसमें तीन क्यूब्स का योग दूसरे क्यूब के बराबर होता है, का एक सामान्य समाधान होता है। शक्ति योग सममित बहुपद सममित बहुपदों के लिए एक निर्माण खंड है। डुप्लिकेट (लेकिन 1 को शामिल नहीं करते हुए) सहित सभी पूर्ण शक्तियों के पारस्परिक योग 1 के बराबर होता है। एर्डोस-मोसेर समीकरण, जहाँ और सकारात्मक पूर्णांक हैं, के अलावा कोई अन्य समाधान नहीं होने का अनुमान है। तीन घनों का योग 4 या 5 मापांक 9 के बराबर नहीं हो सकता है, लेकिन यह अज्ञात है कि सभी शेष पूर्णांकों को इस रूप में व्यक्त किया जा सकता है या नहीं। शक्तियों का योग बर्नौली बहुपदों से संबंधित है जहाँ ज्यामितीय श्रृंखला में शब्दों का योग है यह भी देखें वर्गों का योग पारस्परिक डायोफैंटाइन समीकरण का योग संख्या सिद्धांत गणित से संबंधित सूचियाँ संख्या सिद्धांत में वर्ग संदर्भ