Lattice of subgroups
गणित में, किसी समूह के उपसमूहों की जाली वह जाली होती है जिसके तत्व उपसमूह होते हैं, जिसमें आंशिक क्रम संबंध को सम्मिलित किया जाता है। इस जाली में, दो उपसमूहों का संयोजन उनके संघ द्वारा उत्पन्न उपसमूह है, और दो उपसमूहों का मिलन उनका प्रतिच्छेदन है। उदाहरण डायहेड्रल समूह दिह4 में दस उपसमूह हैं, जो खुद को और तुच्छ उपसमूह को गिनते हैं। आठ समूह तत्वों में से पाँच क्रम दो के उपसमूह उत्पन्न करते हैं, और अन्य दो गैर-पहचान तत्व दोनों क्रम चार के समान चक्रीय उपसमूह उत्पन्न करते हैं। इसके अलावा, Z2 × Z2 रूप के दो उपसमूह हैं, जो क्रम-दो तत्वों के जोड़े द्वारा उत्पन्न होते हैं। इन दस उपसमूहों द्वारा बनाई गई जाली को चित्रण में दिखाया गया है। इस उदाहरण से यह भी पता चलता है कि किसी समूह के सभी उपसमूहों की जाली सामान्य रूप से मॉड्यूलर जाली नहीं है। वास्तव में, इस विशेष जाली में एक उप-जाली के रूप में निषिद्ध "पंचभुज" N5 शामिल है। गुण A ≤ C (C का एक उपसमूह) वाले समूह के किसी भी A, B और C उपसमूह के लिए फिर AB ≤ C = A (B ≤ C); यहाँ गुणन उपसमूहों का गुणनफल है। इस गुण को समूहों का मॉड्यूलर गुण या (डेडेकिंड का) मॉड्यूलर नियम (,) कहा गया है। चूँकि दो सामान्य उपसमूहों के लिए उत्पाद वास्तव में सबसे छोटा उपसमूह है जिसमें दोनों होते हैं, सामान्य उपसमूह एक मॉड्यूलर जाली बनाते हैं। जाली प्रमेय एक समूह के उपसमूहों के जाली और उसके भागों के बीच एक गैलोइस संबंध स्थापित करता है। ज़ासेनहॉस लेम्मा उपसमूहों के जाली में भागों और उत्पादों के कुछ संयोजनों के बीच एक समरूपता देता है। सामान्य तौर पर, उपसमूहों के जाली के आकार पर कोई प्रतिबंध नहीं है, इस अर्थ में कि प्रत्येक जाली किसी समूह के उपसमूह जाली के एक उप-जाली के लिए समरूप है। इसके अलावा, प्रत्येक परिमित जाली कुछ सीमित समूह के उपसमूह जाली के एक उप-जाली के लिए समरूप है। विशिष्ट जाली उपसमूह कुछ गुणों के साथ जाली बनाते हैं, लेकिन अन्य गुण नहीं बनाते हैं। सामान्य उपसमूह हमेशा एक मॉड्यूलर जाली बनाते हैं। वास्तव में, आवश्यक गुण जो गारंटी देता है कि जाली मॉड्यूलर है, वह यह है कि उपसमूह एक दूसरे के साथ आवागमन करते हैं, अर्थात। कि वे क्वासिनॉर्मल उपसमूह हैं। निलपोटेन्ट सामान्य उपसमूह एक जाली बनाते हैं, जो फिटिंग के प्रमेय की सामग्री (का हिस्सा) है। सामान्य तौर पर, किसी भी उपयुक्त वर्ग एफ के लिए, दोनों उप-सामान्य एफ-उपसमूह और सामान्य एफ-उपसमूह जाली बनाते हैं। इसमें नीलपोटेन्ट समूहों के वर्ग एफ के साथ उपरोक्त शामिल हैं, साथ ही साथ अन्य उदाहरण जैसे कि समाधान योग्य समूहों का वर्ग एफ। समूहों के एक वर्ग को एक उपयुक्त वर्ग कहा जाता है यदि यह समरूपता, उप-सामान्य उपसमूहों और उप-सामान्य उपसमूहों के उत्पादों के तहत बंद होता है। केंद्रीय उपसमूह एक जाली बनाते हैं। हालाँकि, न तो परिमित उपसमूह और न ही मरोड़ उपसमूह एक जाली बनाते हैंः उदाहरण के लिए, मुक्त उत्पाद दो मरोड़ तत्वों द्वारा उत्पन्न होता है, लेकिन अनंत है और इसमें अनंत क्रम के तत्व होते हैं। यह तथ्य कि सामान्य उपसमूह एक मॉड्यूलर जाली बनाते हैं, एक अधिक सामान्य परिणाम का एक विशेष मामला है, अर्थात् किसी भी माल्टसेव किस्म (जिनमें से समूह एक उदाहरण हैं) में, अनुरूपता की जाली मॉड्यूलर होती है। उपसमूहों की जाली के बारे में जाली सैद्धांतिक जानकारी का उपयोग कभी-कभी मूल समूह के बारे में जानकारी का अनुमान लगाने के लिए किया जा सकता है, एक विचार जो उनके काम पर वापस जाता है। उदाहरण के लिए, जैसा कि अयस्क ने साबित किया है, एक समूह स्थानीय रूप से चक्रीय होता है यदि और केवल तभी जब उसके उपसमूहों की जाली वितरणशील हो। यदि अतिरिक्त रूप से जाली आरोही श्रृंखला की स्थिति को संतुष्ट करती है, तो समूह चक्रीय होता है। जिन समूहों के उपसमूहों की जाली एक पूरक जाली है, उन्हें पूरक समूह कहा जाता है, और जिन समूहों के उपसमूहों की जाली मॉड्यूलर जाली होती है, उन्हें इवासावा समूह या मॉड्यूलर समूह कहा जाता है। इस प्रकार के जाली-सैद्धांतिक लक्षण वर्णन समाधान योग्य समूहों और पूर्ण समूहों के लिए भी मौजूद हैं। बुल में राल्फ फ्रीज़ द्वारा संदर्भ समीक्षा। एएमएस 33 (4): 487-492। बाहरी लिंक उपसमूहों की जाली पर प्लैनेटमैथ प्रविष्टि उदाहरण-सममित समूह के उपसमूहों की जाली एस4 जाली सिद्धांत समूह सिद्धांत