Tangent measure
माप सिद्धांत में, स्पर्शरेखा माप का उपयोग रेडॉन माप के स्थानीय व्यवहार का अध्ययन करने के लिए किया जाता है, ठीक उसी तरह जैसे स्पर्शरेखा रिक्त स्थान का उपयोग विभेदक मैनिफोल्ड के स्थानीय व्यवहार का अध्ययन करने के लिए किया जाता है। स्पर्श माप (डेविड प्रीस द्वारा सुधार योग्य समुच्चयों के अपने अध्ययन में पेश किए गए) ज्यामितीय माप सिद्धांत में एक उपयोगी उपकरण हैं। उदाहरण के लिए, उनका उपयोग मार्स्ट्रैंड की प्रमेय और प्रीज़ प्रमेय को साबित करने में किया जाता है। परिभाषा एन-आयामी यूक्लिडियन स्पेस आरएन के एक खुले उपसमुच्चय पर परिभाषित एक रेडॉन माप पर विचार करें और मान लीजिए कि ए, ए में एक मनमाना बिंदु है। हम a, Br (a) के आसपास त्रिज्या r की एक छोटी सी खुली गेंद पर "ज़ूम इन" कर सकते हैं, उस परिवर्तन के माध्यम से जो त्रिज्या r की गेंद को लगभग a से 0 पर केंद्रित त्रिज्या 1 की गेंद तक बढ़ा देता है। इसके साथ, अब हम इस बात पर ज़ूम इन कर सकते हैं कि जहां r छोटा हो जाता है, माप पर यह परिवर्तन बाहर फैलता है और बिंदु a के आसपास समर्थित μ के हिस्से को बड़ा करता है, उसके द्वारा परिभाषित पुश-फॉरवर्ड माप को देखकर हम किस प्रकार बर्र (a) पर व्यवहार करते हैं। हम यह देखकर अपने माप के बारे में जानकारी प्राप्त कर सकते हैं कि ये उपाय सीमा में कैसे दिखते हैं क्योंकि r शून्य के करीब आता है। परिभाषा. एक रेडॉन माप का एक स्पर्शरेखा माप एक बिंदु a पर एक दूसरा रेडॉन माप ν है जैसे कि सकारात्मक संख्या ci> 0 और घटती त्रिज्या ry → 0 के अनुक्रम मौजूद हैं जैसे कि जहां सीमा को कमजोर-ऱ्ऱं टोपोलॉजी में लिया जाता है, यानी, किसी भी निरंतर फ़ंक्शन के लिए φ में कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ, हम a द्वारा टैन (μ, a) पर μ के स्पर्शरेखा मापों के सेट को दर्शाते हैं। अस्तित्व एक बिंदु पर एक माप के स्पर्शरेखा मापों का सेट टैन (μ, a), जो कि μ के समर्थन में एक बिंदु पर होता है, μ पर हल्की स्थितियों पर खाली नहीं होता है। रेडॉन मापों की कमजोर सघनता से, टैन (μ, a) खाली नहीं होता है यदि निम्नलिखित स्थितियों में से कोई एक हैः μ लक्षणरहित रूप से a पर दोगुना हो जाता है, अर्थात। माइक्रोन में धनात्मक और परिमित ऊपरी घनत्व होता है, अर्थात। कुछ लोगों के लिए। गुण एक बिंदु पर स्पर्शरेखा मापों का संग्रह दो प्रकार के स्केलिंग के तहत बंद किया जाता है। उपायों के शंकुओं को भी प्रीज़ द्वारा परिभाषित किया गया था। एक बिंदु पर एक माप के स्पर्शरेखा मापों का सेट टैन (μ, a), जो कि एक बिंदु a पर होता है, मापों का एक शंकु है, अर्थात। अगर और, तब। एक बिंदु पर एक माप के स्पर्शरेखा मापों का शंकु टैन (μ, a) एक डी-शंकु या फैलाव अपरिवर्तनीय है, अर्थात। अगर और, तब। एक माप के समर्थन में विशिष्ट बिंदुओं पर, स्पर्शरेखा मापों के शंकु को भी अनुवाद के तहत बंद किया जाता है। लगभग प्रत्येक ए पर ए के समर्थन में, ए पर ए के स्पर्शरेखा मापों का शंकु टैन (ए, ए) अनुवाद अपरिवर्तनीय है, अर्थात। यदि और x, ν के समर्थन में है, तो। उदाहरण के लिए मान लीजिए कि हमारे पास R2 में एक वृत्त है जिस पर एक समान माप है। फिर, वृत्त में किसी भी बिंदु a के लिए, स्पर्शरेखा मापों का सेट केवल सकारात्मक स्थिरांक गुणा 1-आयामी हौसडॉर्फ माप होगा जो उस बिंदु पर वृत्त के लिए रेखा स्पर्शरेखा पर समर्थित होगा। 1995 में, टोबी ओ 'नील ने आरडी पर एक रेडॉन माप का एक उदाहरण इस तरह से प्रस्तुत किया कि, लगभग हर बिंदु के लिए ए, आरडी, टैन (एम, ए) में सभी गैर-शून्य रेडॉन माप होते हैं। संबंधित अवधारणाएँ एक माप के स्पर्शरेखा स्थान की एक संबंधित धारणा है। आर. एन. के एक के-आयामी उपक्षेत्र पी. को के-आयामी स्पर्शरेखा स्थान कहा जाता है जो एक ω पर होता है यदि-उचित पुनः मापन के बाद-पी. पर के-आयामी हौसडॉर्फ माप एच. के. की तरह दिखता है। पी एक पर के-आयामी स्पर्शरेखा स्थान है यदि एक θ> 0 ऐसा है कि जहाँ μa, r द्वारा दिया गया अनुवाद और पुनर्निर्धारित माप है। स्पर्शरेखा मापों और स्पर्शरेखा रिक्त स्थान के आगे के अध्ययन से एक वैरीफोल्ड की धारणा सामने आती है। संदर्भ उपाय (माप सिद्धांत)