Pareto front
बहु-उद्देश्य अनुकूलन में, पेरेटो फ्रंट (जिसे पेरेटो फ्रंटियर या पेरेटो वक्र भी कहा जाता है) सभी पेरेटो कुशल समाधानों का समूह है। इंजीनियरिंग में इस अवधारणा का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। यह डिजाइनर को कुशल विकल्पों के सेट पर ध्यान केंद्रित करने और प्रत्येक पैरामीटर की पूरी श्रृंखला पर विचार करने के बजाय इस सेट के भीतर ट्रेडऑफ़ करने की अनुमति देता है। परिभाषा पारेतो सीमा, पी (वाई), को अधिक औपचारिक रूप से निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है। फलन के साथ एक प्रणाली पर विचार करें, जहां X मीट्रिक स्थान में व्यवहार्य निर्णयों का एक कॉम्पैक्ट सेट है, और Y मानदंड वैक्टर का व्यवहार्य सेट है, जैसे कि। हम मानते हैं कि मानदंड मूल्यों की पसंदीदा दिशाएँ ज्ञात हैं। एक बिंदु को दूसरे बिंदु (सख्ती से हावी) के रूप में लिखा जाता है। पारेतो सीमा को इस प्रकार लिखा गया हैः प्रतिस्थापन की सीमांत दर अर्थशास्त्र में पारेतो सीमा का एक महत्वपूर्ण पहलू यह है कि पारेतो-कुशल आवंटन पर, प्रतिस्थापन की सीमांत दर सभी उपभोक्ताओं के लिए समान है। एक औपचारिक कथन m उपभोक्ताओं और n वस्तुओं के साथ एक प्रणाली पर विचार करके प्राप्त किया जा सकता है, और प्रत्येक उपभोक्ता के एक उपयोगिता कार्य के रूप में जहां वस्तुओं का वेक्टर है, दोनों के लिए i। व्यवहार्यता बाधा इसके लिए है। पेरेटो इष्टतम आवंटन का पता लगाने के लिए, हम लैग्रैन्जियन को अधिकतम करते हैंः जहां और गुणकों के वैक्टर हैं। प्रत्येक अच्छे के संबंध में लैग्रैन्जियन के आंशिक व्युत्पन्न को लेना और प्रथम क्रम की स्थितियों की निम्नलिखित प्रणाली देता हैः जहां के संबंध में के आंशिक व्युत्पन्न को दर्शाता है। अब, किसी भी और को ठीक करें। उपरोक्त प्रथम-क्रम शर्त का तात्पर्य है कि इस प्रकार, पारेतो-इष्टतम आवंटन में, प्रतिस्थापन की सीमांत दर सभी उपभोक्ताओं के लिए समान होनी चाहिए। कंप्यूटर विज्ञान और पावर इंजीनियरिंग में विकल्पों के एक सीमित समूह के पारेतो फ्रंटियर की गणना के लिए गणना एल्गोरिदम का अध्ययन किया गया है। इनमें शामिल हैंः "एक बिंदु समूह का अधिकतम" "अधिकतम वेक्टर समस्या" या क्षितिज प्रश्न "स्केलराइजेशन एल्गोरिथ्म" या भारित योगों की विधि "द-कंस्ट्रेंट्स मेथड" मल्टी-ऑब्जेक्टिव इवोल्यूशनरी एल्गोरिथ्म एप्रोक्सिमेशंस चूंकि पूरे पेरेटो फ्रंट को उत्पन्न करना अक्सर कम्प्यूटेशनल रूप से कठिन होता है, इसलिए अनुमानित पेरेटो-फ्रंट की गणना के लिए एल्गोरिदम होते हैं। उदाहरण के लिए, लेग्रियल एट अल। यदि एस और पी के बीच निर्देशित हौसडॉर्फ दूरी अधिकतम ε है, तो एस सेट को पारेटो-फ्रंट पी का ε-सन्निकटन कहें। वे देखते हैं कि (1/ε) d प्रश्नों का उपयोग करके डी आयामों में किसी भी पारेटो फ्रंट पी का ε-सन्निकटन पाया जा सकता है। जिट्ज़लर, नोल्स और थिएल विभिन्न मानदंडों पर पारेटो-सेट सन्निकटन के लिए कई एल्गोरिदम की तुलना करते हैं, जैसे कि स्केलिंग, एकरसता और कम्प्यूटेशनल जटिलता के लिए अपरिवर्तनीयता। संदर्भ पावर इंजीनियरिंग पारेतो दक्षता