J-integral
जे-इंटीग्रल एक सामग्री में तनाव ऊर्जा रिलीज दर, या कार्य (ऊर्जा) प्रति इकाई फ्रैक्चर सतह क्षेत्र की गणना करने के एक तरीके का प्रतिनिधित्व करता है। जे-इंटीग्रल की सैद्धांतिक अवधारणा 1967 में जी. पी. चेरेपानोव द्वारा और स्वतंत्र रूप से 1968 में जेम्स आर. राइस द्वारा विकसित की गई थी, जिन्होंने दिखाया कि एक ऊर्जावान समोच्च पथ इंटीग्रल (जिसे जे कहा जाता है) एक दरार के आसपास के मार्ग से स्वतंत्र था। प्रायोगिक विधियों को समाकलन का उपयोग करके विकसित किया गया था जो नमूने के आकार में महत्वपूर्ण फ्रैक्चर गुणों के माप की अनुमति देता है जो रैखिक लोचदार फ्रैक्चर यांत्रिकी (एल. ई. एफ. एम.) के लिए मान्य होने के लिए बहुत छोटे हैं। ये प्रयोग फ्रैक्चर ऊर्जा जे. आई. सी. के महत्वपूर्ण मूल्य से फ्रैक्चर कठोरता के निर्धारण की अनुमति देते हैं, जो उस बिंदु को परिभाषित करता है जिस पर प्रसार के दौरान बड़े पैमाने पर प्लास्टिक की पैदावार मोड I लोडिंग के तहत होती है। जे-इंटीग्रल मोनोटोनिक लोडिंग के अधीन शरीर में दरार के लिए तनाव ऊर्जा रिलीज दर के बराबर है। यह आम तौर पर केवल रैखिक लोचदार पदार्थों के लिए, अर्धस्थैतिक परिस्थितियों में सच है। उन सामग्रियों के लिए जो दरार की नोक पर छोटे पैमाने पर उपज का अनुभव करते हैं, जे का उपयोग विशेष परिस्थितियों में ऊर्जा रिलीज दर की गणना करने के लिए किया जा सकता है जैसे कि मोड III (एंटीप्लेन कतरनी) में मोनोटोनिक लोडिंग। शुद्ध शक्ति-नियम सख्त प्लास्टिक सामग्री के लिए जे से तनाव ऊर्जा रिलीज दर की गणना भी की जा सकती है जो दरार की नोक पर छोटे पैमाने पर उपज से गुजरती है। मात्रा J लोचदार-प्लास्टिक सामग्री के मोनोटोनिक मोड I और मोड II लोडिंग के लिए पथ-स्वतंत्र नहीं है, इसलिए केवल दरार की नोक के बहुत करीब एक समोच्च ऊर्जा रिलीज दर देता है। इसके अलावा, चावल ने दिखाया कि जे प्लास्टिक सामग्री में पथ-स्वतंत्र है जब कोई गैर-आनुपातिक लोडिंग नहीं होती है। अनलोडिंग इसका एक विशेष मामला है, लेकिन गैर-आनुपातिक प्लास्टिक लोडिंग भी पथ-स्वतंत्रता को अमान्य कर देती है। इस तरह की गैर-आनुपातिक लोडिंग लोचदार-प्लास्टिक सामग्री पर इन-प्लेन लोडिंग मोड के लिए पथ-निर्भरता का कारण है। द्वि-आयामी जे-समाकलन द्वि-आयामी जे-समाकलन को मूल रूप से इस प्रकार परिभाषित किया गया था (एक चित्रण के लिए चित्र 1 देखें) जहाँ डब्ल्यू (x1, x2) तनाव ऊर्जा घनत्व है, x1, x2 निर्देशांक दिशाएँ हैं, टी = [σ] एन सतह कर्षण सदिश है, एन वक्र के लिए सामान्य है, [σ] कौची तनाव संवेदक है, और यू विस्थापन सदिश है। एक दरार नोक के आसपास जे-इंटीग्रल द्वारा तनाव ऊर्जा घनत्व दिया जाता है जिसे अक्सर अधिक सामान्य रूप (और सूचकांक संकेतन में) में व्यक्त किया जाता है, जहां दिशा में दरार खुलने के लिए जे-इंटीग्रल का घटक है और दरार नोक के आसपास एक छोटा सा क्षेत्र है। ग्रीन के प्रमेय का उपयोग करके हम दिखा सकते हैं कि यह समाकलन शून्य है जब सीमा बंद होती है और एक ऐसे क्षेत्र को घेरती है जिसमें कोई विलक्षणता नहीं होती है और बस जुड़ा होता है। यदि दरार के चेहरों पर कोई सतह ट्रैक्शन नहीं है तो जे-इंटीग्रल भी पथ स्वतंत्र है। चावल ने यह भी दिखाया कि जे-इंटीग्रल का मूल्य समतल दरार वृद्धि के लिए ऊर्जा रिलीज दर का प्रतिनिधित्व करता है। जे-इंटीग्रल को गैर-रैखिक लोचदार या लोचदार-प्लास्टिक सामग्री में दरार के करीब तनाव की गणना करने में आने वाली कठिनाइयों के कारण विकसित किया गया था। चावल ने दिखाया कि यदि मोनोटोनिक लोडिंग (बिना किसी प्लास्टिक अनलोडिंग के) मानी जाती है तो जे-इंटीग्रल का उपयोग प्लास्टिक सामग्री की ऊर्जा रिलीज दर की गणना करने के लिए भी किया जा सकता है। {। वर्ग = "टॉकलर संकुचित ढह" चौड़ाई = "80 प्रतिशत" शैली = "पाठ-संरेखितः बाएँ"! सबूत है कि जे-इंटीग्रल एक बंद पथ पर शून्य है।-|To जे-इंटीग्रल की पथ स्वतंत्रता दिखाता है, हमें पहले यह दिखाना होगा कि का मान एक सीधे जुड़े हुए डोमेन में एक बंद समोच्च पर शून्य है। हम इसे ग्रीन के प्रमेय (या द्वि-आयामी विचलन प्रमेय) से लिख सकते हैं जो हमारे पास है इस परिणाम का उपयोग करके हम व्यक्त कर सकते हैं कि समोच्च से घिरा क्षेत्र कहाँ है। अब, यदि कोई भौतिक बल मौजूद नहीं हैं, तो संतुलन (रैखिक संवेग का संरक्षण) की आवश्यकता है कि इसके अलावा, इसलिए, कोणीय संवेग के संतुलन से हमारे पास है। इसलिए, जे-इंटीग्रल को तब इस रूप में लिखा जा सकता है अब, एक लोचदार सामग्री के लिए तनाव का उपयोग करके संग्रहीत ऊर्जा फ़ंक्शन से प्राप्त किया जा सकता है फिर, यदि लोचदार मापांक टेंसर विभेदन के श्रृंखला नियम का उपयोग करके सजातीय है, तो हमारे पास एक बंद समोच्च है जो बिना किसी लोचदार एकरूपता के एक सरल रूप से जुड़े क्षेत्र को घेरता है, जैसे कि शून्य और दरारें। ।} {। वर्ग = "टोक्कलर संकुचित ढह" चौड़ाई = "80 प्रतिशत" शैली = "पाठ-संरेखितः बाएँ"! सबूत है कि जे-समाकलन पथ-स्वतंत्र है।-। समोच्च पर विचार करें। चूँकि यह समोच्च बंद है और एक सरल रूप से जुड़े हुए क्षेत्र को घेरता है, समोच्च के चारों ओर जे-इंटीग्रल शून्य है, अर्थात। यह मानते हुए कि दरार की नोक के आसपास घड़ी की विपरीत दिशा में समाकलन सकारात्मक संकेत है। अब, चूंकि दरार की सतहें अक्ष के समानांतर होती हैं, इन सतहों पर सामान्य घटक होता है। इसके अलावा, चूंकि दरार की सतह कर्षण मुक्त होती हैं। इसलिए, और जे-इंटीग्रल पथ स्वतंत्र है। ।} जे-इंटीग्रल और फ्रैक्चर कठोरता समस्थानिक, पूरी तरह से भंगुर, रैखिक लोचदार पदार्थों के लिए, जे-इंटीग्रल सीधे फ्रैक्चर कठोरता से संबंधित हो सकता है यदि दरार अपने मूल अभिविन्यास के संबंध में सीधे आगे बढ़ती है। प्लेन स्ट्रेन के लिए, मोड I लोडिंग स्थितियों के तहत, यह संबंध वह है जहां क्रिटिकल स्ट्रेन ऊर्जा रिलीज दर है, मोड I लोडिंग में फ्रैक्चर कठोरता है, पॉइसन का अनुपात है, और ई सामग्री का यंग का मापांक है। मोड II लोडिंग के लिए, जे-इंटीग्रल और मोड II फ्रैक्चर टफनेस () के बीच का संबंध मोड III लोडिंग के लिए है, संबंध लोचदार-प्लास्टिक सामग्री है और एचआरआर समाधान हचिंसन, राइस और रोसेनग्रेन ने बाद में दिखाया कि जे गैर-रेखीय (शक्ति कानून सख्त) लोचदार-प्लास्टिक सामग्री में दरार की नोक पर एकल तनाव और तनाव क्षेत्रों की विशेषता है जहां दरार की लंबाई की तुलना में प्लास्टिक क्षेत्र का आकार छोटा है। हचिंसन ने डब्ल्यू. रैम्बर्ग और डब्ल्यू. ओस्गुड द्वारा सुझाए गए रूप के एक भौतिक संरचनात्मक नियम का उपयोग कियाः जहां σ एक अक्षीय तनाव में तनाव है, σy एक उपज तनाव है, ε तनाव है, और εy = σy/E संबंधित उपज तनाव है। मात्रा ई सामग्री का लोचदार यंग का मापांक है। मॉडल को α द्वारा मानकीकृत किया जाता है, जो सामग्री की एक आयामहीन स्थिर विशेषता है, और n, कार्य कठोरता का गुणांक है। यह मॉडल केवल उन स्थितियों पर लागू होता है जहां तनाव नीरस रूप से बढ़ता है, तनाव घटक लगभग उसी अनुपात में रहते हैं जैसे लोडिंग प्रगति (आनुपातिक लोडिंग), और कोई अनलोडिंग नहीं होती है। यदि निकटवर्ती आकृति में दिखाए गए शरीर पर एक दूर-क्षेत्र तन्यता तनाव σfar लागू किया जाता है, तो पथ के चारों ओर J-समाकलन (पूरी तरह से लोचदार क्षेत्र के अंदर होने के लिए चुना गया) द्वारा दिया जाता है क्योंकि दरार के चारों ओर कुल समाकलन गायब हो जाता है और दरार की सतह के साथ योगदान शून्य होते हैं, हमारे पास है। जे-इंटीग्रल के बीच संबंध, जो कि जे1 और जे2 के आसपास है, दूर-क्षेत्र तनाव के संदर्भ में के के लिए बाधा और एक अभिव्यक्ति की ओर ले जाता है, जहाँ समतल तनाव के लिए β = 1 और समतल तनाव के लिए β = 1 − ν2 (ν पॉइसन का अनुपात है)। तनाव क्षेत्र के असिम्प्टोटिक विस्तार और उपरोक्त विचारों का उपयोग जे-इंटीग्रल के संदर्भ में तनाव और तनाव क्षेत्रों को निर्धारित करने के लिए किया जा सकता हैः जहाँ और आयामहीन कार्य हैं। इन अभिव्यक्तियों से संकेत मिलता है कि जे को तनाव तीव्रता कारक (के) के प्लास्टिक अनुरूप के रूप में व्याख्या की जा सकती है जिसका उपयोग रैखिक लोचदार फ्रैक्चर यांत्रिकी में किया जाता है, अर्थात, हम जे> जे. आई. सी. जैसे मानदंड का उपयोग दरार वृद्धि मानदंड के रूप में कर सकते हैं। फ्रैक्चर टफनेस फ्रैक्चर मैकेनिक्स तनाव तीव्रता कारक स्लिप बैंड की प्रकृति स्थानीय क्षेत्र संदर्भ बाहरी लिंक जे. आर. राइस, "ए पाथ इंडिपेंडेंट इंटीग्रल एंड द एप्रोक्सिमेट एनालिसिस ऑफ स्ट्रेन कॉन्सेंट्रेशन बाय नॉचेस एंड क्रैक्स", जर्नल ऑफ एप्लाइड मैकेनिक्स, 35,1968, पीपी. 379-386 भी देखें। वान वलिएट, क्रिस्टीन जे। (2006); "3.032 मैकेनिकल बिहेवियर ऑफ मैटेरियल्स", एक्स. चेन (2014), "पाथ-इंडिपेंडेंट इंटीग्रल", इनः एनसाइक्लोपीडिया ऑफ थर्मल स्ट्रेस, आर. बी. हेटनार्स्की, स्प्रिंगर, द्वारा संपादित। नॉनलीनियर फ्रैक्चर मैकेनिक्स नोट्स प्रो. जॉन हचिंसन (हार्वर्ड विश्वविद्यालय से) नोट्स ऑन फ्रैक्चर ऑफ थिन फिल्म्स एंड मल्टिलेयर्स प्रो. जॉन हचिंसन (हार्वर्ड विश्वविद्यालय से) मिक्स्ड मोड क्रैकिंग इन लेयर्ड मैटेरियल्स प्रो. जॉन हचिंसन और झिगांग सुओ (हार्वर्ड विश्वविद्यालय से) पीट श्रेअर्स द्वारा फ्रैक्चर मैकेनिक्स (टीयू आइंडहोवेन, नीदरलैंड से) डॉ. सी. एच. वांग (डीएसटीओ-ऑस्ट्रेलिया) द्वारा फ्रैक्चर मैकेनिक्स का परिचय प्रोफेसर रुई हुआंग (विश्वविद्यालय से) द्वारा फ्रैक्चर मैकेनिक्स पाठ्यक्रम नोट्स। ऑस्टिन में टेक्सास का) लुडोविक नोएल द्वारा एचआरआर समाधान (लीज विश्वविद्यालय) विफलता ठोस यांत्रिकी सामग्री परीक्षण यांत्रिकी फ्रैक्चर यांत्रिकी