Taylor expansions for the moments of functions of random variables
संभाव्यता सिद्धांत में, टेलर विस्तार का उपयोग करके एक यादृच्छिक चर X के फलन f के क्षणों का अनुमान लगाना संभव है, बशर्ते कि f पर्याप्त रूप से अवकलनीय हो और X के क्षण परिमित हों। पहला क्षण दिया गया और, का माध्य और विचरण, क्रमशः, के अपेक्षित मूल्य का एक टेलर विस्तार के माध्यम से पाया जा सकता है क्योंकि दूसरा पद गायब हो जाता है। भी है। इसलिए,। मल्टीवेरिएट टेलर एक्सपान्शन का उपयोग करके इसे एक से अधिक चर के कार्यों के लिए सामान्यीकृत करना संभव है। उदाहरण के लिए, दूसरा क्षण इसी तरह, उपरोक्त को पहले क्षण का अनुमान लगाने में उपयोग की जाने वाली विधि का पालन करते हुए दूसरे क्रम के सन्निकटन का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है। यह उन मामलों में एक खराब अनुमान होगा जहां अत्यधिक गैर-रैखिक है। यह डेल्टा विधि का एक विशेष मामला है। वास्तव में, हम लेते हैं। के साथ, हम पाते हैं। फिर सूत्र का उपयोग करके विचरण की गणना की जाती है। एक उदाहरण है, दूसरा क्रम सन्निकटन, जब X एक सामान्य वितरण का अनुसरण करता है, हैः पहला उत्पाद क्षण दो यादृच्छिक चर (दोनों पर लागू एक ही कार्य के साथ) के कार्यों के सहप्रसरण के लिए दूसरा क्रम सन्निकटन खोजने के लिए, कोई भी निम्नानुसार आगे बढ़ सकता है। सबसे पहले, इस पर ध्यान दें। चूँकि एक दूसरे क्रम का विस्तार पहले से ही ऊपर प्राप्त किया जा चुका है, यह केवल खोजना बाकी है। दो-चर कार्य के रूप में माने जाने पर, दूसरे क्रम का टेलर विस्तार इस प्रकार हैः उपरोक्त की अपेक्षा करना और पहचान और-का उपयोग करना सरल बनाना। इसलिए, यादृच्छिक सदिश यदि X एक यादृच्छिक सदिश है, तो माध्य और विचरण के लिए सन्निकटन यहाँ द्वारा दिए जाते हैं और क्रमशः ढाल और हेसियन मैट्रिक्स को दर्शाते हैं, और X का सहप्रसरण मैट्रिक्स है। यह भी देखें कि अनिश्चितता का प्रसार डब्ल्यूकेबी सन्निकटन डेल्टा विधि टिप्पणियाँ आगे पढ़ने के लिए सांख्यिकीय सन्निकटन यादृच्छिक चर क्षण का बीजगणित (गणित)