Cut point
टोपोलॉजी में, एक कट-पॉइंट एक जुड़े हुए स्थान का एक बिंदु है जिससे इसे हटाने से परिणामी स्थान डिस्कनेक्ट हो जाता है। यदि किसी बिंदु को हटाने के परिणामस्वरूप डिस्कनेक्ट रिक्त स्थान नहीं होते हैं, तो इस बिंदु को नॉन-कट बिंदु कहा जाता है। उदाहरण के लिए, एक रेखा का प्रत्येक बिंदु एक कट-बिंदु है, जबकि एक वृत्त का कोई भी बिंदु एक कट-बिंदु नहीं है। कट-पॉइंट प्रत्येक स्थान में कट-पॉइंट की संख्या की गिनती करके यह निर्धारित करने के लिए उपयोगी हैं कि क्या दो जुड़े हुए स्थान समरूप हैं। यदि दो रिक्त स्थान में अलग-अलग संख्या में कट-पॉइंट हैं, तो वे समरूप नहीं हैं। एक उत्कृष्ट उदाहरण यह दिखाने के लिए कट-पॉइंट का उपयोग करना है कि रेखाएँ और वृत्त समरूप नहीं हैं। कट-पॉइंट टोपोलॉजिकल निरंतरता के लक्षण वर्णन में भी उपयोगी हैं, रिक्त स्थान का एक वर्ग जो सघनता और जुड़ाव के गुणों को जोड़ता है और इसमें इकाई अंतराल, वृत्त और टोरस जैसे कई परिचित स्थान शामिल हैं। परिभाषा औपचारिक परिभाषा एक जुड़े हुए T1 स्थलवैज्ञानिक स्थान X का एक कट-बिंदु, X में एक बिंदु p है जैसे कि X-{p} जुड़ा हुआ नहीं है। एक बिंदु जो कट-पॉइंट नहीं है, उसे नॉन-कट पॉइंट कहा जाता है। एक गैर-खाली जुड़ा हुआ टोपोलॉजिकल स्थान X एक कट-पॉइंट स्थान है यदि X में प्रत्येक बिंदु X का एक कट बिंदु है। बुनियादी उदाहरण एक बंद अंतराल [ए, बी] में असीम रूप से कई कट-पॉइंट होते हैं। इसके अंतिम अंकों को छोड़कर सभी अंक कट-पॉइंट होते हैं और अंतिम बिंदु {a, b} नॉन-कट पॉइंट होते हैं। एक खुले अंतराल (ए, बी) में भी बंद अंतराल की तरह अनंत रूप से कई कट-पॉइंट होते हैं। चूँकि खुले अंतराल में अंतिम बिंदु नहीं होते हैं, इसलिए इसमें कोई गैर-कट बिंदु नहीं होते हैं। एक वृत्त में कोई कट-पॉइंट नहीं होता है और यह इस प्रकार है कि एक वृत्त का प्रत्येक बिंदु एक गैर-कट बिंदु है। संकेतन X का काटना एक समुच्चय {p, U, V} है जहाँ p, X, U और V का एक कट-बिंदु है जो X-{p} का पृथक्करण बनाता है। इसे X\ {p} = U|V के रूप में भी लिखा जा सकता है। प्रमेय कट-पॉइंट और समरूपता कट-पॉइंट आवश्यक रूप से निरंतर कार्यों के तहत संरक्षित नहीं हैं। उदाहरण के लिएः f: [0,2] → R2, f (x) = (cos x, sin x) द्वारा दिया गया है। अंतराल का प्रत्येक बिंदु (दो अंतिम बिंदुओं को छोड़कर) एक कट-पॉइंट है, लेकिन f (x) एक वृत्त बनाता है जिसमें कोई कट-पॉइंट नहीं होता है। कट-पॉइंट्स को समरूपता के तहत संरक्षित किया जाता है। इसलिए, कट-पॉइंट एक टोपोलॉजिकल अपरिवर्तनीय है। कट-पॉइंट और निरंतरता एक से अधिक अंकों के साथ प्रत्येक निरंतरता (कॉम्पैक्ट कनेक्टेड हौसडॉर्फ स्पेस) में कम से कम दो गैर-कट बिंदु होते हैं। विशेष रूप से, प्रत्येक खुला सेट जो परिणामी स्थान का पृथक्करण करता है, में कम से कम एक गैर-कट बिंदु होता है। ठीक दो गैर-कट-बिंदुओं के साथ प्रत्येक निरंतरता इकाई अंतराल के लिए समरूप है। यदि K एक निरंतरता है जिसमें बिंदु a, b और K-{a, b} जुड़े नहीं हैं, तो K इकाई वृत्त के लिए समरूप है। कट-पॉइंट स्पेस के टोपोलॉजिकल गुण मान लीजिए कि X एक जुड़ा हुआ स्थान है और X में x एक कट बिंदु है जैसे कि X\ {x} = A|B। तब {x} या तो खुला या बंद होता है। यदि {x} खुला है, तो ए और बी बंद हैं। यदि {x} बंद है, तो ए और बी खुले हैं। माना X एक कट-पॉइंट स्पेस है। एक्स के बंद बिंदुओं का समुच्चय अनंत है। इरेड्यूसिबल कट-पॉइंट स्पेस परिभाषा एक कट-पॉइंट स्पेस इरेड्यूसिबल है यदि इसका कोई उचित सबसेट कट-पॉइंट स्पेस नहीं है। खलिमस्की रेखाः आइए पूर्णांकों का समूह बनें और जहाँ एक टोपोलॉजी के लिए एक आधार है। खलिमस्की रेखा इस टोपोलॉजी से संपन्न समूह है। यह एक कट-पॉइंट स्थान है। इसके अलावा, यह अपरिवर्तनीय है। प्रमेय एक स्थलवैज्ञानिक स्थान एक अपरिवर्तनीय कट-बिंदु स्थान है यदि और केवल तभी जब X खलिमस्की रेखा के समरूप हो। कट प्वाइंट (ग्राफ सिद्धांत) संदर्भ भी देखें (मूल रूप से 1970 में एडिसन-वेस्ली पब्लिशिंग कंपनी, इंक. द्वारा प्रकाशित)। जनरल टोपोलॉजी