Grandi's series
गणित में, अनंत श्रृंखला, जिसे कभी-कभी ग्रैंडी की श्रृंखला भी कहा जाता है, इतालवी गणितशास्त्री, दार्शनिक और पादरी गुइडो ग्रांडी के नाम पर, जिन्होंने 1703 में श्रृंखला का एक यादगार उपचार दिया था। यह एक अलग श्रृंखला है, जिसका अर्थ है कि इसका कोई योग नहीं है। हालाँकि, इसे गणितीय रूप से कई दिलचस्प परिणाम देने के लिए हेरफेर किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, गणित में कई योग विधियों का उपयोग एक भिन्न श्रृंखला को भी संख्यात्मक मान निर्धारित करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, इस श्रृंखला का सेसेरो योग और रामानुजन योग 1/2 है। अपरिष्कृत विधियाँ 1-1 + 1-1 + 1-1 + 1-1 + 1 + 1 श्रृंखला के योग का पता लगाने के लिए एक स्पष्ट विधि यह है कि इसे एक दूरबीन श्रृंखला की तरह माना जाए और घटाव को इस स्थान पर किया जाएः (1-1) + (1-1) + (1-1) +. = 0 + 0 + 0 +. = 0। दूसरी ओर, एक समान कोष्ठक प्रक्रिया स्पष्ट रूप से विरोधाभासी परिणाम 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) +. = 1 + 0 + 0 +. = 1 की ओर ले जाती है। इस प्रकार, ग्रांडी की श्रृंखला में विभिन्न तरीकों से कोष्ठक लागू करके, कोई भी "मान" के रूप में 0 या 1 प्राप्त कर सकता है। (इस विचार के परिवर्तन, जिन्हें आइलेनबर्ग-मज़ूर धोखाधड़ी कहा जाता है, कभी-कभी गाँठ सिद्धांत और बीजगणित में उपयोग किए जाते हैं।) इन दो "मूल्यों" का औसत लेकर, कोई भी यह उचित ठहरा सकता है कि श्रृंखला में अभिसरण होता है। ग्रैंडी की श्रृंखला को एक भिन्न ज्यामितीय श्रृंखला के रूप में मानते हुए और वही बीजगणितीय विधियों का उपयोग करते हुए जो तीसरा मान प्राप्त करने के लिए अभिसारी ज्यामितीय श्रृंखला का मूल्यांकन करते हैंः S = 1 − 1 + 1 − 1 +., इसलिए 1 − S = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 +.) = 1 − 1 + 1 − 1 +. = S '1 − S = S1 = 2S, जिसके परिणामस्वरूप S =। यही निष्कर्ष −S की गणना करने, S से परिणाम को घटाने और 2S = 1 को हल करने से प्राप्त होता है। उपरोक्त हेरफेर इस बात पर विचार नहीं करते हैं कि एक श्रृंखला के योग का वास्तव में क्या अर्थ है और अलग-अलग ज्यामितीय श्रृंखलाओं पर बीजगणितीय विधियों को कैसे लागू किया जा सकता है। फिर भी, इस हद तक कि अपनी इच्छानुसार श्रृंखला को कोष्ठक में रखने में सक्षम होना महत्वपूर्ण है, और यह कि उनके साथ अंकगणितीय प्रदर्शन करने में सक्षम होना अधिक महत्वपूर्ण है, कोई भी दो निष्कर्षों पर पहुंच सकता हैः श्रृंखला 1-1 + 1-1 +. का कोई sum.Davis p.152 नहीं है. लेकिन इसका योग होना चाहिए। वास्तव में, इन दोनों कथनों को सटीक और औपचारिक रूप से सिद्ध किया जा सकता है, लेकिन केवल 19वीं शताब्दी में उत्पन्न हुई अच्छी तरह से परिभाषित गणितीय अवधारणाओं का उपयोग किया जा सकता है। यूरोप में 17वीं शताब्दी के उत्तरार्ध में कलन की शुरुआत के बाद, लेकिन आधुनिक कठोरता के आगमन से पहले, इन उत्तरों के बीच तनाव ने ज्यामितीय श्रृंखला के संबंध के बीच एक "अंतहीन" और "हिंसक" विवाद के रूप में वर्णित किया गया है। अंतराल में किसी भी संख्या के लिए, एक ज्यामितीय श्रृंखला के अनंत के योग का मूल्यांकन किया जा सकता है। जटिल विश्लेषण के संदर्भ में, इस प्रकार श्रृंखला की विश्लेषणात्मक निरंतरता के मूल्य के रूप में देखा जाता है, जिसे केवल जटिल इकाई डिस्क पर परिभाषित किया जाता है। प्रारंभिक विचार विचलन आधुनिक गणित में, एक अनंत श्रृंखला के योग को इसके आंशिक योगों के अनुक्रम की सीमा के रूप में परिभाषित किया जाता है, यदि यह मौजूद है। ग्रांडी की श्रृंखला के आंशिक योग का क्रम वह है जो स्पष्ट रूप से किसी भी संख्या तक नहीं पहुंचता है (हालाँकि इसमें 0 और 1 पर दो संचय बिंदु हैं)। इसलिए, ग्रांडी की श्रृंखला अलग है। यह दिखाया जा सकता है कि एक श्रृंखला पर कई प्रतीत होने वाले हानिरहित संचालन करना मान्य नहीं है, जैसे कि व्यक्तिगत शब्दों को फिर से व्यवस्थित करना, जब तक कि श्रृंखला पूरी तरह से अभिसारी न हो। अन्यथा ये संचालन योग के परिणाम को बदल सकते हैं। इसके अलावा, ग्रांडी की श्रृंखला की शर्तों को दो या दो से अधिक लगातार पूर्णांक संख्याओं के किसी भी अंतराल पर अपने संचय बिंदु रखने के लिए पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है, न कि केवल 0 या 1। उदाहरण के लिए, श्रृंखला (जिसमें, पांच प्रारंभिक + 1 शब्दों के बाद, + 1 और-1 शब्दों के जोड़े में वैकल्पिक शब्द-+ 1 और-1 दोनों का अनंत 1 या-1 की किसी भी सीमित संख्या को ग्रांडी की श्रृंखला का एक क्रमपरिवर्तन है जिसमें पुनर्व्यवस्थित श्रृंखला में प्रत्येक मान मूल श्रृंखला में उससे अधिकतम चार स्थानों की दूरी पर एक मान से मेल खाता है; इसके संचय बिंदु 3,4 और 5 हैं। शिक्षा संज्ञानात्मक प्रभाव 1987 के आसपास, अन्ना सिएरपिन्स्का ने ग्रांडी की श्रृंखला को वारसॉ लाइसियम में 17 वर्षीय प्रीकैल्कुलस छात्रों के एक समूह के साथ पेश किया। उन्होंने मानविकी के छात्रों पर इस उम्मीद के साथ ध्यान केंद्रित किया कि उनका गणितीय अनुभव गणित और भौतिकी का अध्ययन करने वाले उनके साथियों की तुलना में कम महत्वपूर्ण होगा, इसलिए वे जो ज्ञानशास्त्रीय बाधाएं प्रदर्शित करते हैं, वे उन बाधाओं के अधिक प्रतिनिधि होंगे जो अभी भी लाइसियम के छात्रों में मौजूद हो सकती हैं। सियेरपिन्स्का शुरू में उम्मीद करती थी कि छात्र ग्रैंडी की श्रृंखला को एक मूल्य निर्धारित करने से पीछे हटेंगे, जिस बिंदु पर वह यह दावा करके उन्हें चौंका सकती है कि यह ज्यामितीय श्रृंखला सूत्र का परिणाम है। आदर्श रूप से, तर्क में त्रुटि की खोज करके और विभिन्न सामान्य अनुपातों के लिए सूत्र की जांच करके, छात्र "देखेंगे कि दो प्रकार की श्रृंखलाएँ हैं और अभिसरण की एक अंतर्निहित अवधारणा पैदा होगी"। हालाँकि, छात्रों को यह बताने पर कोई आश्चर्य नहीं हुआ। सियेरपिन्स्का टिप्पणी करते हैं कि एक प्राथमिकता, छात्रों की प्रतिक्रिया बहुत आश्चर्यजनक नहीं होनी चाहिए क्योंकि लीबनिज़ और ग्रांडी ने सोचा कि यह एक प्रशंसनीय परिणाम है; "एक उत्तरवर्ती, हालांकि, छात्रों की ओर से सदमे की इस कमी की व्याख्या कुछ अलग हो सकती है। उन्होंने शांति से बेतुकेपन को स्वीकार किया क्योंकि आखिरकार, 'गणित पूरी तरह से अमूर्त है और वास्तविकता से बहुत दूर है', और 'उन गणितीय परिवर्तनों के साथ आप सभी प्रकार की मूर्खता साबित कर सकते हैं', जैसा कि एक लड़के ने बाद में कहा था। छात्र अंततः अभिसरण के सवाल से अछूते नहीं थे; सिएरपिन्स्का अगले दिन दशमलव विस्तार से जोड़कर उन्हें इस मुद्दे में शामिल करने में सफल रहे। जैसे ही 0.999. = 1 ने छात्रों को आश्चर्यचकित कर दिया, उनकी बाकी सामग्री "उनके कानों के पार चली गई"। वर्ष 2000 के आसपास ट्रेविसो, इटली में किए गए एक अन्य अध्ययन में, तीसरे वर्ष और चौथे वर्ष के लिसियो साइंटिफिको छात्रों (16 और 18 वर्ष की आयु के बीच) को निम्नलिखित पूछने वाले कार्ड दिए गए थेः "1703 में, गणितशास्त्री गुइडो ग्रांडी ने जोड़ का अध्ययन कियाः 1-1 + 1-1 +. (जोड़, असीम रूप से कई, हमेशा + 1 और-1 होते हैं)। इस बारे में आपकी क्या राय है? " छात्रों को एक अनंत समूह के विचार से परिचित कराया गया था, लेकिन उन्हें अनंत श्रृंखला के साथ कोई पूर्व अनुभव नहीं था। उन्हें बिना किताबों या कैलकुलेटर के दस मिनट का समय दिया गया था। 88 प्रतिक्रियाओं को निम्नानुसार वर्गीकृत किया गया थाः (26) परिणाम 0 है (18) परिणाम या तो 0 या 1 हो सकता है (5) परिणाम मौजूद नहीं है (4) परिणाम 1⁄2 है (3) परिणाम 1 है (2) परिणाम अनंत है (30) कोई उत्तर नहीं शोधकर्ता, जियोर्जियो बागनी ने अपने तर्क को निर्धारित करने के लिए कई छात्रों का साक्षात्कार लिया। उनमें से कुछ 16 ने ग्रांडी और रिकाटी के समान तर्क का उपयोग करते हुए 0 के उत्तर को उचित ठहराया। अन्य लोगों ने 1⁄2 को 0 और 1 का औसत होने के रूप में उचित ठहराया। बागनी ने नोट किया कि उनके तर्क में, जबकि लीबनिज़ के समान, संभावित आधार का अभाव है जो 18 वीं शताब्दी के गणित के लिए इतना महत्वपूर्ण था। उन्होंने निष्कर्ष निकाला कि प्रतिक्रियाएं ऐतिहासिक विकास और व्यक्तिगत विकास के बीच एक कड़ी के अनुरूप हैं, हालांकि सांस्कृतिक संदर्भ अलग है। संभावनाएँ जोएल लेहमन विभिन्न योग अवधारणाओं के बीच अंतर करने की प्रक्रिया को एक वैचारिक दरार पर एक पुल के निर्माण के रूप में वर्णित करते हैंः विचलन पर भ्रम जिसने 18 वीं शताब्दी के गणित को प्रभावित किया। "चूंकि श्रृंखलाओं को आम तौर पर इतिहास के बिना और अनुप्रयोगों से अलग प्रस्तुत किया जाता है, इसलिए छात्र को न केवल यह सोचना चाहिए कि" ये चीजें क्या हैं? " लेकिन यह भी "हम ऐसा क्यों कर रहे हैं?" अभिसरण निर्धारित करने में व्यस्तता लेकिन योग नहीं, पूरी प्रक्रिया को कई छात्रों और प्रशिक्षकों के लिए कृत्रिम और व्यर्थ लगती है। नतीजतन, कई छात्र यूलर के समान दृष्टिकोण विकसित करते हैंः ". जो समस्याएं स्वाभाविक रूप से (यानी प्रकृति से) उत्पन्न होती हैं, उनके पास समाधान होते हैं, इसलिए यह धारणा कि चीजें अंततः काम करेंगी, अस्तित्व के प्रकार के प्रमाण की आवश्यकता के बिना प्रयोगात्मक रूप से उचित है। मान लीजिए कि सब कुछ ठीक है, और यदि समाधान काम करता है, तो आप शायद सही थे, या कम से कम काफी सही थे। . तो उन विवरणों से परेशान क्यों हों जो केवल गृहकार्य की समस्याओं में दिखाई देते हैं? " लेहमन इस आपत्ति को उसी उदाहरण के साथ पूरा करने की सलाह देते हैं जो यूलर द्वारा कैलेट द्वारा ग्रांडी की श्रृंखला के साथ किए गए व्यवहार के खिलाफ दिया गया था। (अनंत तक) श्रृंखला 1-2 + 3-4 + 5-6 + 7-8 +. भी भिन्न है, लेकिन इसे योग करने के लिए कुछ विधियों का उपयोग किया जा सकता है। यह ग्रैंडी की श्रृंखला के लिए निर्धारित सबसे अधिक योग विधियों के मूल्य का वर्ग है, जो उचित है क्योंकि इसे ग्रैंडी की श्रृंखला की दो प्रतियों के कॉची उत्पाद के रूप में देखा जा सकता है। यह भी देखें कि 1-1 + 2-6 + 24-120 + ··1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ··1-2 + 3-4 + ··1 + 2 + 3 + 4 + ··1 + 2 + 4 + 8 + ··1-2 + 4-8 + ꯘꯥ रामानुजन योग सेसेरो योग थॉमसन के संदर्भ एक शून्य से एक योग एक शून्य से एक-संख्या राशि, ग्रांडी की श्रृंखला भिन्न ज्यामितीय श्रृंखला ज्यामितीय श्रृंखला 1 (संख्या) गणितीय विरोधाभास समानता (गणित)