Weak Hausdorff space
गणित में, एक कमजोर हौसडॉर्फ स्थान या कमजोर हौसडॉर्फ स्थान एक टोपोलॉजिकल स्थान है जहां एक कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ स्थान से अंतरिक्ष में प्रत्येक निरंतर मानचित्र की छवि बंद होती है। विशेष रूप से, प्रत्येक हौसडॉर्फ स्थान कमजोर हौसडॉर्फ है। एक पृथक्करण गुण के रूप में, यह T1 से अधिक मजबूत है, जो इस कथन के बराबर है कि बिंदु बंद हैं। विशेष रूप से, प्रत्येक कमजोर हौसडॉर्फ स्थान एक टी1 स्थान है। इस धारणा को एम. सी. मैककॉर्ड द्वारा हौसडॉर्फ स्थानों की श्रेणी के साथ काम करने की असुविधा को दूर करने के लिए पेश किया गया था। इसका उपयोग अक्सर बीजगणितीय स्थलविज्ञान में सघन रूप से उत्पन्न रिक्त स्थान के साथ किया जाता है। उसके लिए, सघन रूप से उत्पन्न कमजोर हौसडॉर्फ रिक्त स्थान की श्रेणी देखें। के-हौसडॉर्फ स्पेस ए एक टोपोलॉजिकल स्पेस है जो निम्नलिखित समकक्ष स्थितियों में से किसी को भी संतुष्ट करता हैः प्रत्येक कॉम्पैक्ट सबस्पेस हौसडॉर्फ है। विकर्ण में के-बंद है एक सबसेट है, अगर प्रत्येक कॉम्पैक्ट के लिए बंद है तो प्रत्येक कॉम्पैक्ट सबस्पेस बंद है और स्थानीय रूप से दृढ़ता से कॉम्पैक्ट है। एक स्थान तब होता है जब वहाँ के प्रत्येक और प्रत्येक (जरूरी नहीं कि खुला हो) पड़ोस के लिए इस तरह का एक कॉम्पैक्ट पड़ोस मौजूद हो कि गुण ए के-हौसडॉर्फ स्थान कमजोर हौसडॉर्फ हो। यदि के-हौसडॉर्फ है और एक कॉम्पैक्ट स्थान से एक निरंतर मानचित्र है तो कॉम्पैक्ट है, इसलिए हौसडॉर्फ, इसलिए बंद है। एक हौसडॉर्फ स्थान के-हौसडॉर्फ है। किसी स्थान के लिए हौसडॉर्फ तब होता है जब विकर्ण बंद होता है और प्रत्येक बंद उपसमुच्चय एक के-बंद समुच्चय होता है। एक के-हौसडॉर्फ स्थान केसी है। ए एक टोपोलॉजिकल स्पेस है जिसमें हर कॉम्पैक्ट सबस्पेस बंद होता है। यह दिखाने के लिए कि कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ उपस्थानों द्वारा प्रेरित सुसंगत टोपोलॉजी कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ उपस्थानों को संरक्षित करती है और उनकी उपस्थान टोपोलॉजी के लिए आवश्यक है कि स्थान के-हौसडॉर्फ हो; कमजोर हौसडॉर्फ पर्याप्त नहीं है। इसलिए के-हौसडॉर्फ को अधिक मौलिक परिभाषा के रूप में देखा जा सकता है। δ-हौसडॉर्फ स्पेस A एक टोपोलॉजिकल स्पेस है जहां हर पथ की छवि बंद होती है; यानी, जब भी निरंतर होता है तो हर कमजोर हौसडॉर्फ स्पेस में बंद होता है-हौसडॉर्फ, और हर-हौसडॉर्फ स्पेस एक T1 स्पेस होता है। एक स्थान तब होता है जब इसकी टोपोलॉजी सबसे अच्छी टोपोलॉजी होती है जैसे कि एक टोपोलॉजिकल-सिम्प्लेक्स से प्रत्येक मानचित्र निरंतर होता है। - हौसडॉर्फ रिक्त स्थान से उत्पन्न रिक्त स्थान होते हैं क्योंकि कमजोर हौसडॉर्फ रिक्त स्थान से सघन रूप से उत्पन्न रिक्त स्थान होते हैं। यह भी देखें, एक हौसडॉर्फ स्थान जहां अंतरिक्ष से अपने आप में प्रत्येक निरंतर फलन का एक निश्चित बिंदु होता है। संदर्भ टोपोलॉजिकल स्पेस के गुण पृथक्करण स्वयंसिद्ध