Density estimation
सांख्यिकी में, संभाव्यता घनत्व अनुमान या बस घनत्व अनुमान एक अवलोकन योग्य अंतर्निहित संभाव्यता घनत्व कार्य के अवलोकन किए गए डेटा के आधार पर एक अनुमान का निर्माण है। अदृश्य घनत्व कार्य को उस घनत्व के रूप में माना जाता है जिसके अनुसार एक बड़ी आबादी वितरित की जाती है; डेटा को आमतौर पर उस आबादी से एक यादृच्छिक नमूने के रूप में माना जाता है। घनत्व आकलन के लिए विभिन्न दृष्टिकोणों का उपयोग किया जाता है, जिसमें पारज़न विंडो और वेक्टर क्वांटाइजेशन सहित डेटा क्लस्टरिंग तकनीकों की एक श्रृंखला शामिल है। घनत्व आकलन का सबसे बुनियादी रूप एक पुनर्निर्धारित हिस्टोग्राम है। उदाहरण हम मधुमेह की घटनाओं के अभिलेख पर विचार करेंगे। डेटा सेट विवरण से निम्नलिखित शब्दशः उद्धृत किया गया हैः विश्व स्वास्थ्य संगठन के मानदंडों के अनुसार पिमा भारतीय विरासत और फीनिक्स, एरिज़ोना के पास रहने वाली महिलाओं की कम से कम 21 वर्ष की आयु की आबादी का मधुमेह मेलिटस के लिए परीक्षण किया गया था। डेटा यूएस नेशनल इंस्टीट्यूट ऑफ डायबिटीज एंड डाइजेस्टिव एंड किडनी डिजीज द्वारा एकत्र किया गया था। हमने 532 पूर्ण अभिलेखों का उपयोग किया। इस उदाहरण में, हम "ग्लू" (प्लाज्मा ग्लूकोज सांद्रता) के लिए तीन घनत्व अनुमान बनाते हैं, एक मधुमेह की उपस्थिति पर सशर्त, दूसरा मधुमेह की अनुपस्थिति पर सशर्त, और तीसरा मधुमेह पर सशर्त नहीं। सशर्त घनत्व अनुमानों का उपयोग तब "ग्लू" पर सशर्त मधुमेह की संभावना का निर्माण करने के लिए किया जाता है। "ग्लू" डेटा आर प्रोग्रामिंग भाषा के एम. ए. एस. एस. पैकेज से प्राप्त किया गया था। आर के भीतर,? Pima.tr और? Pima.te डेटा का एक पूर्ण विवरण दें। मधुमेह के मामलों में "ग्लू" का औसत 143.1 है और मानक विचलन 31.26 है। गैर-मधुमेह मामलों में "ग्लू" का औसत 110.0 है और मानक विचलन 24.29 है। इससे हम देखते हैं कि, इस डेटा सेट में, मधुमेह के मामले "ग्लू" के उच्च स्तर से जुड़े होते हैं। यह अनुमानित घनत्व कार्यों के भूखंडों द्वारा स्पष्ट किया जाएगा। पहला आंकड़ा पी (ग्लू। मधुमेह = 1), पी (ग्लू। मधुमेह = 0), और पी (ग्लू) के घनत्व अनुमानों को दर्शाता है। घनत्व अनुमान एक गौसियन कर्नेल का उपयोग करके कर्नेल घनत्व अनुमान हैं। अर्थात्, प्रत्येक डेटा बिंदु पर एक गॉसियन घनत्व फलन रखा जाता है, और घनत्व कार्यों के योग की गणना डेटा की सीमा पर की जाती है। मधुमेह पर सशर्त "ग्लू" के घनत्व से, हम बेयस के नियम के माध्यम से "ग्लू" पर सशर्त मधुमेह की संभावना प्राप्त कर सकते हैं। संक्षिप्तता के लिए, "मधुमेह" को संक्षिप्त रूप से "डी. बी". कहा जाता है। इस सूत्र में। दूसरा आंकड़ा अनुमानित पश्च संभावना पी (मधुमेह = 1। ग्लू) को दर्शाता है। इन आंकड़ों से, ऐसा प्रतीत होता है कि "ग्लू" का बढ़ा हुआ स्तर मधुमेह से जुड़ा हुआ है। अनुप्रयोग और उद्देश्य घनत्व अनुमानों का एक बहुत ही स्वाभाविक उपयोग डेटा के दिए गए सेट के गुणों की अनौपचारिक जांच में है। घनत्व अनुमान डेटा में तिरछापन और बहुआयामीता जैसी विशेषताओं का एक मूल्यवान संकेत दे सकते हैं। कुछ मामलों में वे ऐसे निष्कर्ष निकालेंगे जिन्हें तब स्वयं-स्पष्ट रूप से सच माना जा सकता है, जबकि अन्य मामलों में वे केवल आगे के विश्लेषण और/या डेटा संग्रह का मार्ग इंगित करेंगे। सांख्यिकी का एक महत्वपूर्ण पहलू अक्सर ग्राहक को डेटा की प्रस्तुति होती है ताकि उन निष्कर्षों का स्पष्टीकरण और चित्रण प्रदान किया जा सके जो संभवतः अन्य तरीकों से प्राप्त किए गए हो सकते हैं। घनत्व अनुमान इस उद्देश्य के लिए आदर्श हैं, सरल कारण यह है कि वे गैर-गणितविदों के लिए काफी आसानी से समझने योग्य हैं। अन्वेषणात्मक और प्रस्तुतिकरणात्मक उद्देश्यों के लिए घनत्व अनुमानों के उपयोग को दर्शाने वाले और अधिक उदाहरण, जिसमें द्विभिन्न प्रकार के डेटा का महत्वपूर्ण मामला भी शामिल है। घनत्व आकलन का उपयोग अक्सर विसंगति का पता लगाने या नवीनता का पता लगाने में भी किया जाता हैः यदि कोई अवलोकन बहुत कम घनत्व वाले क्षेत्र में होता है, तो यह एक विसंगति या नवीनता होने की संभावना है। जलविज्ञान में हिस्टोग्राम और वर्षा के अनुमानित घनत्व कार्य और नदी निर्वहन डेटा का उपयोग उनके व्यवहार और घटना की आवृत्ति में अंतर्दृष्टि प्राप्त करने के लिए किया जाता है, जिसका विश्लेषण संभाव्यता वितरण के साथ किया जाता है। एक उदाहरण नीली आकृति में दिखाया गया है। कर्नेल घनत्व अनुमान भी देखें कर्नेल घनत्व अनुमान औसत एकीकृत वर्ग त्रुटि हिस्टोग्राम बहुभिन्नरूपी कर्नेल घनत्व अनुमान वर्णक्रमीय घनत्व अनुमान कर्नेल अंतःस्थापित वितरण मॉडल आदेश सांख्यिकी का अनुप्रयोगः गैर-पैरामीट्रिक घनत्व अनुमान संभाव्यता वितरण फिटिंग संदर्भ स्रोत ट्रेवर हैस्टी, रॉबर्ट टिबशिरानी और जेरोम फ्रीडमैन। सांख्यिकीय शिक्षा के तत्व। न्यूयार्कः स्प्रिंगर, 2001. (अध्याय 6 देखें।) की ली और जेफरी एस. रेसिन। गैर-पैरामीट्रिक अर्थशास्त्रः सिद्धांत और अभ्यास। प्रिंसटन यूनिवर्सिटी प्रेस, 2007। (अध्याय 1 देखें।) डी. डब्ल्यू. स्कॉट। बहुभिन्नरूपी घनत्व अनुमान। सिद्धांत, अभ्यास और कल्पना। न्यूयार्कः विली, 1992। बी. डब्ल्यू. सिल्वरमैन। घनत्व अनुमान। लंदनः चैपमैन एंड हॉल, 1986। बाहरी लिंक क्रीमः सेंटर फॉर रिसर्च इनटू इकोलॉजिकल एंड एनवायरनमेंटल मॉडलिंग मुफ्त घनत्व आकलन सॉफ्टवेयर पैकेजों के लिए डाउनलोड दूरी 4 (वन्यजीव जनसंख्या मूल्यांकन के लिए अनुसंधान इकाई "आरयूडब्ल्यूपीए" से) और वाईएसपी। यू. सी. आई. मशीन लर्निंग रिपॉजिटरी सामग्री सारांश (732 अभिलेखों के मूल डेटा सेट और अतिरिक्त टिप्पणियों के लिए "पिमा इंडियंस डायबिटीज डेटाबेस" देखें।) परिवर्तनीय कर्नेल घनत्व आकलन के लिए एक आयामी और दो आयामी घनत्व आकलन libAGF C + + सॉफ्टवेयर के लिए MATLAB कोड। गैर-पैरामीट्रिक सांख्यिकी