Fuzzy mathematics
अस्पष्ट गणित गणित की वह शाखा है जिसमें अस्पष्ट समुच्चय सिद्धांत और अस्पष्ट तर्क शामिल हैं जो सरल द्विआधारी "हां" या "नहीं" (0 या 1) समावेशन के विपरीत स्पेक्ट्रम पर एक समुच्चय में तत्वों के आंशिक समावेश से संबंधित है। यह 1965 में लोटफी अस्कर ज़ादेह के मौलिक कार्य फ़ज़ी सेट के प्रकाशन के बाद शुरू हुआ। भाषाविज्ञान एक ऐसे क्षेत्र का उदाहरण है जो अस्पष्ट समुच्चय सिद्धांत का उपयोग करता है। परिभाषा किसी समुच्चय X का एक अस्पष्ट उपसमुच्चय A एक फलन A: X → L है, जहाँ L अंतराल [0,1] है। इस कार्य को सदस्यता कार्य भी कहा जाता है। एक सदस्यता कार्य एल = {0,1} के लिए परिभाषित एक उपसमुच्चय के एक सूचक कार्य (जिसे एक विशेषता कार्य भी कहा जाता है) का सामान्यीकरण है। अधिक सामान्य रूप से, किसी भी पूर्ण जाली एल का उपयोग एक अस्पष्ट उपसमुच्चय ए. फ़ज़ीफ़िकेशन की परिभाषा में किया जा सकता है गणितीय अवधारणाओं के फ़ज़ीफ़िकेशन के विकास को तीन चरणों में विभाजित किया जा सकता हैः साठ और सत्तर के दशक के दौरान सीधा फ़ज़ीफ़िकेशन, अस्सी के दशक के दौरान सामान्यीकरण प्रक्रिया में संभावित विकल्पों का विस्फोट, नब्बे के दशक में मानकीकरण, स्वयंसिद्धीकरण और एल-फ़ज़ीफ़िकेशन। आम तौर पर, गणितीय अवधारणाओं का एक अस्पष्टीकरण विशेषता कार्यों से लेकर सदस्यता कार्यों तक इन अवधारणाओं के सामान्यीकरण पर आधारित होता है। मान लीजिए कि ए और बी एक्स के दो अस्पष्ट उपसमुच्चय हैं। X में सभी x के लिए प्रतिच्छेदन A ≤ B और संघ A ≤ B को निम्नानुसार परिभाषित किया गया हैः (A ≤ B) (x) = न्यूनतम (A (x), B (x), (A ≤ B) (x) = अधिकतम (A (x), B (x))। इसके बजाय और कोई क्रमशः टी-नॉर्म और टी-कॉनरम का उपयोग कर सकता है; उदाहरण के लिए, न्यूनतम (ए, बी) को गुणन ए. बी. द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। एक सीधा अस्पष्टीकरण आमतौर पर और संचालन पर आधारित होता है क्योंकि इस मामले में पारंपरिक गणित के अधिक गुणों को अस्पष्ट मामले तक बढ़ाया जा सकता है। बीजगणितीय संचालन के अस्पष्टीकरण में उपयोग किया जाने वाला एक महत्वपूर्ण सामान्यीकरण सिद्धांत एक समापन गुण है। मान लीजिए कि * X पर एक द्विआधारी क्रिया है। एक्स के एक अस्पष्ट उपसमुच्चय ए के लिए समापन गुण यह है कि सभी एक्स के लिए, एक्स में वाई, ए (एक्स * वाई) ≤ मिनट (ए (एक्स), ए (वाई))। मान लीजिए कि (G, *) एक समूह है और A, G का एक अस्पष्ट उपसमुच्चय है। फिर A, G का एक अस्पष्ट उपसमूह है यदि सभी x के लिए, G में y, A (x * y−1) ≤ मिनट (A (x), A (y−1))। एक समान सामान्यीकरण सिद्धांत का उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए, पारगमन गुण के अस्पष्टीकरण के लिए। मान लीजिए कि R, X पर एक अस्पष्ट संबंध है। आर एक्स × एक्स का एक अस्पष्ट उपसमुच्चय है। तब R (फ़ज़ी-) सकर्मक है यदि X में सभी x, y, z के लिए, R (x, z) ≤ मिनट (R (x, y), R (y, z))। ए. रोसेनफेल्ड द्वारा 1971 में अस्पष्ट अनुरूप अस्पष्ट उपसमूह और अस्पष्ट उपसमूह पेश किए गए थे। अन्य गणितीय विषयों के अनुरूपों का अनुवाद अस्पष्ट गणित में किया गया है, जैसे कि अस्पष्ट क्षेत्र सिद्धांत और अस्पष्ट गैलोइस सिद्धांत, अस्पष्ट टोपोलॉजी, अस्पष्ट ज्यामिति, अस्पष्ट क्रम और अस्पष्ट ग्राफ। फ़ज़ी माप सिद्धांत फ़ज़ी उप-बीजगणित मोनोइडल टी-मानक तर्क संभावना सिद्धांत टी-मानक संदर्भ बाहरी लिंक ज़ादेह, एल. ए. फजी लॉजिक-स्कॉलरपीडिया हाजेक में लेख, पी. फजी लॉजिक-स्टैनफोर्ड एनसाइक्लोपीडिया ऑफ फिलॉसफी में लेख नवारा, एम. ट्राइएंगुलर नॉर्म्स एंड कॉनॉर्म्स-स्कॉलरपीडिया डुबोइस, डी., प्राइड एच. पॉसिबिलिटी थ्योरी में लेख-स्कॉलरपीडिया सेंटर फॉर मैथेमैटिक्स ऑफ अनसर्टेनिटी फजी मैथ रिसर्च में लेख-क्रेइटन यूनिवर्सिटी सीज़िंग, आर. बुक ऑन द हिस्ट्री ऑफ द मैथमेटिकल थ्योरी ऑफ फजी सेट्सः द फज़ीफिकेशन ऑफ सिस्टम्स में होस्ट की गई वेब साइट। द जेनेसिस ऑफ फजी सेट थ्योरी एंड इट्स इनिशियल एप्लिकेशन्स-1970 के दशक तक के विकास (स्टडीज इन फजीनेस एंड सॉफ्ट कम्प्यूटिंग, वॉल्यूम। 216) बर्लिन, न्यूयॉर्क, [एट अल। ]: स्प्रिंगर 2007। अस्पष्ट तर्क