Linear relation
रैखिक बीजगणित में, एक सदिश स्थान या एक मॉड्यूल के तत्वों के बीच एक रैखिक संबंध, या बस संबंध, एक रैखिक समीकरण है जिसमें इन तत्वों को एक समाधान के रूप में होता है। अधिक सटीक रूप से, यदि एक रिंग पर एक (बाएं) मॉड्यूल के तत्व हैं (एक क्षेत्र पर एक वेक्टर स्थान का मामला एक विशेष मामला है), तो बीच का संबंध ऐसे तत्वों का एक अनुक्रम है जो एक मॉड्यूल बनाते हैं। एक आम तौर पर उस मामले में रुचि रखता है जहां एक परिमित रूप से उत्पन्न मॉड्यूल का एक जनरेटिंग सेट है, जिस मामले में संबंधों के मॉड्यूल को अक्सर एक सिज़ीजी मॉड्यूल कहा जाता है। सिज़ीजी मॉड्यूल एक उत्पन्न करने वाले सेट की पसंद पर निर्भर करता है, लेकिन यह एक मुक्त मॉड्यूल के साथ प्रत्यक्ष राशि तक अद्वितीय है। अर्थात्, यदि और एक ही मॉड्यूल के दो उत्पन्न करने वाले सेटों के अनुरूप सिज़ीजी मॉड्यूल हैं, तो वे स्थिर रूप से समरूप हैं, जिसका अर्थ है कि दो मुक्त मॉड्यूल मौजूद हैं और ऐसे हैं जो समरूप हैं। उच्च क्रम के सिज़ीगी मॉड्यूल को पुनरावर्ती रूप से परिभाषित किया जाता हैः एक मॉड्यूल का पहला सिज़ीगी मॉड्यूल बस इसका सिज़ीगी मॉड्यूल होता है। के लिए, का एक th सिज़ीगी मॉड्यूल एक th सिज़ीगी मॉड्यूल का एक सिज़ीगी मॉड्यूल है। हिल्बर्ट के सिज़ाइजी प्रमेय में कहा गया है कि, यदि किसी क्षेत्र पर एक बहुपद वलय अनिश्चित है, तो प्रत्येक th सिज़ाइजी मॉड्यूल मुक्त है। मामला यह है कि प्रत्येक परिमित आयामी सदिश स्थान का एक आधार होता है, और मामला यह है कि यह एक प्रमुख आदर्श क्षेत्र है और एक परिमित रूप से उत्पन्न मुक्त मॉड्यूल का प्रत्येक उप-मॉड्यूल भी मुक्त है। उच्च क्रम के समरूपता मॉड्यूल के निर्माण को मुक्त संकल्पों की परिभाषा के रूप में सामान्यीकृत किया गया है, जो हिल्बर्ट के समरूपता प्रमेय को एक क्षेत्र पर अनिश्चित में एक बहुपद वलय के रूप में फिर से स्थापित करने की अनुमति देता है जिसमें वैश्विक समरूपता आयाम होता है। यदि और कम्यूटेटिव रिंग के दो तत्व हैं, तो एक ऐसा संबंध है जिसे तुच्छ कहा जाता है। एक आदर्श के तुच्छ संबंधों का मॉड्यूल आदर्श के पहले सिज़ीजी मॉड्यूल का उप-मॉड्यूल है जो एक आदर्श के उत्पन्न करने वाले समूह के तत्वों के बीच तुच्छ संबंधों से उत्पन्न होता है। तुच्छ संबंधों की अवधारणा को उच्च क्रम के सिज़ीजी मॉड्यूल के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, और यह एक आदर्श के कोसजुल परिसर की अवधारणा की ओर ले जाता है, जो एक आदर्श के जनरेटर के बीच गैर-तुच्छ संबंधों पर जानकारी प्रदान करता है। बुनियादी परिभाषाएँ मान लीजिए कि यह एक रिंग है, और एक लेफ्ट-मॉड्यूल है। एक रैखिक संबंध, या बस के तत्वों के बीच एक संबंध इस तरह के तत्वों का एक अनुक्रम है कि यदि एक उत्पन्न करने वाला सेट है, तो संबंध को अक्सर का सिज़ीगी कहा जाता है। इसे बिना किसी परवाह के एक सिज़ीगी कहना समझ में आता है क्योंकि, हालांकि सिज़ीगी मॉड्यूल चुने गए जनरेटिंग सेट पर निर्भर करता है, इसके अधिकांश गुण स्वतंत्र हैं; नीचे देखें। यदि रिंग नोएथेरियन है, या, कम से कम सुसंगत है, और यदि परिमित रूप से उत्पन्न किया जाता है, तो सिज़ीजी मॉड्यूल भी परिमित रूप से उत्पन्न होता है। इस सिज़ीजी मॉड्यूल का एक सिज़ीजी मॉड्यूल एक दूसरा सिज़ीजी मॉड्यूल है। इस तरह से जारी रखते हुए प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक के लिए एक th सिज़ीजी मॉड्यूल को परिभाषित किया जा सकता है। हिल्बर्ट का सिज़ाइजी प्रमेय इस बात पर जोर देता है कि, यदि किसी क्षेत्र पर एक बहुपद वलय पर एक परिमित रूप से उत्पन्न मॉड्यूल है, तो कोई भी th सिज़ाइजी मॉड्यूल एक मुक्त मॉड्यूल है। स्थिर गुण आम तौर पर, के-सिद्धांत की भाषा में, एक गुण स्थिर होता है यदि यह पर्याप्त रूप से बड़े मुक्त मॉड्यूल के साथ एक प्रत्यक्ष योग करके सही हो जाता है। सिजिजी मॉड्यूल का एक मौलिक गुण यह है कि शामिल मॉड्यूल के लिए सेट बनाने के विकल्पों पर "स्थिर रूप से स्वतंत्र" हैं। निम्नलिखित परिणाम इन स्थिर properties.Proof का आधार है। जैसा कि एक जनरेटिंग सेट है, प्रत्येक को लिखा जा सकता है यह अब, यदि कोई संबंध है, तो केवल के बीच एक संबंध है। दूसरे शब्दों में, प्रत्येक संबंध s और s के रैखिक संयोजन के बीच के संबंध का योग है। यह साबित करना सीधा है कि यह अपघटन अद्वितीय है, और यह परिणाम साबित करता है। यह साबित करता है कि पहला सिज़ीगी मॉड्यूल "स्थिर रूप से अद्वितीय" है। अधिक सटीक रूप से, दो जनरेटिंग सेट और एक मॉड्यूल को देखते हुए, यदि और संबंधों के संबंधित मॉड्यूल हैं, तो दो मुक्त मॉड्यूल मौजूद हैं और ऐसे हैं जो समरूप हैं। इसे साबित करने के लिए, दो उत्पन्न करने वाले सेटों के संघ के बीच संबंधों के मॉड्यूल के दो अपघटन प्राप्त करने के लिए पूर्ववर्ती प्रस्ताव को दो बार लागू करना पर्याप्त है। उच्च सिज़ाईजी मॉड्यूल के लिए एक समान परिणाम प्राप्त करने के लिए, यह साबित करना बाकी है कि, यदि कोई मॉड्यूल है, और एक मुक्त मॉड्यूल है, तो आइसोमोर्फिक सिज़ाईजी मॉड्यूल हैं। यह एक उत्पादक समूह पर विचार करने के लिए पर्याप्त है जिसमें एक उत्पादक समूह और एक आधार शामिल है। इस उत्पन्न करने वाले समुच्चय के तत्वों के बीच प्रत्येक संबंध के लिए, के आधार तत्वों के गुणांक सभी शून्य हैं, और के समरूपताएँ बिल्कुल शून्य गुणांक के साथ विस्तारित के समरूपताएँ हैं। यह निम्नलिखित प्रमेय के प्रमाण को पूरा करता है। मुक्त संकल्पों के साथ संबंध एक-मॉड्यूल के उत्पन्न करने वाले सेट को देखते हुए, कोई भी आधार के एक मुक्त मॉड्यूल पर विचार कर सकता है जहां नए अनिश्चित हैं। यह एक सटीक अनुक्रम को परिभाषित करता है जहां बायां तीर रैखिक मानचित्र है जो प्रत्येक को संबंधित के लिए मानचित्रित करता है। के स्थान पर इस कर्नेल के साथ इस निर्माण को दोहराया जा सकता है। इस निर्माण को बार-बार दोहराते हुए, एक लंबा सटीक अनुक्रम मिलता है जहां सभी मुक्त मॉड्यूल होते हैं। परिभाषा के अनुसार, इस तरह का एक लंबा सटीक अनुक्रम एक मुक्त संकल्प है। प्रत्येक के लिए, से शुरू होने वाले तीर की गुठली का एक th सिज़ीजी मॉड्यूल है। यह इस प्रकार है कि मुक्त संकल्पों का अध्ययन सिज़ीजी मॉड्यूल के अध्ययन के समान है। एक मुक्त संकल्प लंबाई की सीमा है यदि मुक्त है। इस मामले में, कोई भी प्रत्येक के लिए और (शून्य मॉड्यूल) ले सकता है। यह हिल्बर्ट के समरूपता प्रमेय को दोहराने की अनुमति देता हैः यदि किसी क्षेत्र पर एक बहुपद वलय अनिश्चित है, तो प्रत्येक मुक्त संकल्प अधिकतम लंबाई का सीमित होता है। एक कम्यूटेटिव नोथेरियन रिंग का वैश्विक आयाम या तो अनंत है, या न्यूनतम ऐसा है कि प्रत्येक मुक्त संकल्प अधिकतम लंबाई के लिए सीमित है। एक परिवर्तनीय नोथेरियन वलय नियमित होता है यदि इसका वैश्विक आयाम सीमित होता है। इस मामले में, वैश्विक आयाम इसके क्रुल आयाम के बराबर होता है। इसलिए, हिल्बर्ट के सिज़ीजी प्रमेय को एक बहुत ही छोटे वाक्य में दोहराया जा सकता है जो बहुत सारे गणित को छुपाता हैः एक क्षेत्र पर एक बहुपद वलय एक नियमित ring.Trivial संबंध है। इसका तात्पर्य तुच्छ रूप से है कि और के बीच एक रैखिक संबंध है। इसलिए, एक आदर्श के उत्पन्न करने वाले समूह को देखते हुए, दो उत्पन्न करने वाले तत्वों के बीच इन तुच्छ संबंधों से उत्पन्न होने वाले उप-मॉड्यूल के प्रत्येक तत्व को तुच्छ संबंध या तुच्छ सिज़ीजी कहा जाता है। अधिक सटीक रूप से, तुच्छ सिज़ाइजिज़ का मॉड्यूल इस तरह के संबंधों द्वारा उत्पन्न होता है और अन्यथा। सिज़ीजी शब्द आर्थर केले के काम के साथ गणित में आया। उस पेपर में, केले ने इसका उपयोग परिणाम और भेदभाव के सिद्धांत में किया। जैसा कि ग्रहों के बीच एक रैखिक संबंध को दर्शाने के लिए खगोल विज्ञान में सिज़ीजी शब्द का उपयोग किया गया था, केले ने इसका उपयोग एक मैट्रिक्स के नाबालिगों के बीच रैखिक संबंधों को दर्शाने के लिए किया, जैसे कि 2 × 3 मैट्रिक्स के मामले मेंः फिर, सिज़ीजी शब्द को डेविड हिल्बर्ट द्वारा अपने 1890 के लेख में (गणितविदों के बीच) लोकप्रिय बनाया गया था, जिसमें बहुपदों पर तीन मौलिक प्रमेय, हिल्बर्ट का सिज़ीजी प्रमेय, हिल्बर्ट का आधार प्रमेय और हिल्बर्ट का नलस्टेलेनसैट्ज़ शामिल हैं। अपने लेख में, केले ने एक विशेष मामले में, जिसे बाद में कोज़ुल परिसर कहा गया, का उपयोग किया है, जो गणितशास्त्री जीन-लुई कोज़ुल द्वारा अंतर ज्यामिति में एक समान निर्माण के बाद किया गया था। टिप्पणियाँ संदर्भ डेविड आइजेनबड, द ज्योमेट्री ऑफ़ सिज़ीजीज़, ग्रेजुएट टेक्स्ट्स इन मैथेमैटिक्स, वॉल्यूम। 229, स्प्रिंगर, 2005। कम्यूटेटिव बीजगणित समरूपी बीजगणित रैखिक बीजगणित बहुपद