Harris chain
यादृच्छिक प्रक्रियाओं के गणितीय अध्ययन में, एक हैरिस श्रृंखला एक मार्कोव श्रृंखला है जहां श्रृंखला अवस्था स्थान के एक विशेष हिस्से में असीमित संख्या में लौटती है। हैरिस चेन पुनर्योजी प्रक्रियाएँ हैं और इनका नाम थियोडोर हैरिस के नाम पर रखा गया है। हैरिस जंजीरों और हैरिस पुनरावृत्ति का सिद्धांत सामान्य (संभवतः अनगिनत अनंत) अवस्था स्थानों पर मार्कोव जंजीरों के उपचार के लिए उपयोगी है। परिभाषा मान लीजिए कि स्टोकेस्टिक कर्नेल के साथ एक सामान्य अवस्था स्थान पर एक मार्कोव श्रृंखला हो। कर्नेल एक सामान्यीकृत एक-चरणीय संक्रमण संभाव्यता कानून का प्रतिनिधित्व करता है, ताकि सभी राज्यों और सभी मापने योग्य सेटों के लिए। श्रृंखला एक हैरिस श्रृंखला है यदि मौजूद है, और संभावना इस तरह से मापी जाती है कि यदि, तो सभी के लिए। यदि और (जहाँ मापने योग्य है), तो। परिभाषा का पहला भाग यह सुनिश्चित करता है कि श्रृंखला संभावना 1 के साथ किसी स्थिति में लौटती है, चाहे वह कहीं से भी शुरू हो। यह इस प्रकार है कि यह असीम रूप से अक्सर राज्य का दौरा करता है (संभावना 1 के साथ)। दूसरे भाग का तात्पर्य है कि एक बार मार्कोव श्रृंखला राज्य में होने के बाद, इसकी अगली स्थिति एक स्वतंत्र बर्नौली सिक्का फ़्लिप की मदद से उत्पन्न की जा सकती है। इसे देखने के लिए, पहले ध्यान दें कि पैरामीटर 0 और 1 के बीच होना चाहिए (इसे सेट पर परिभाषा के दूसरे भाग को लागू करके दिखाया जा सकता है)। अब एक बिंदु होने दें और मान लें। अगला राज्य चुनने के लिए, सफलता की संभावना के साथ एक पक्षपाती सिक्के को स्वतंत्र रूप से पलट दें। यदि सिक्का पलटने में सफलता मिलती है, तो संभाव्यता माप के अनुसार अगली स्थिति का चयन करें। अन्यथा (और यदि), माप के अनुसार अगली अवस्था का चयन करें (सभी मापने योग्य उपसमुच्चय के लिए परिभाषित)। दो यादृच्छिक प्रक्रियाएँ और जिनमें समान संभाव्यता नियम है और उपरोक्त परिभाषा के अनुसार हैरिस श्रृंखलाएँ हैं, उन्हें निम्नानुसार जोड़ा जा सकता हैः मान लीजिए कि और, कहाँ और कहाँ में बिंदु हैं। दोनों प्रक्रियाओं की अगली स्थिति तय करने के लिए एक ही सिक्का पलट का उपयोग करते हुए, यह इस प्रकार है कि कम से कम संभावना के साथ अगली स्थितियां समान हैं। उदाहरण 1: गणना योग्य अवस्था स्थान मान लीजिए कि ω एक गणना योग्य अवस्था स्थान है। कर्नेल K को x के लिए एक-चरण सशर्त संक्रमण संभावनाओं P [Xn + 1 = y। Xn = x] द्वारा परिभाषित किया जाता है। माप ρ अवस्थाओं पर एक प्रायिकता द्रव्यमान फलन है, ताकि सभी x ω के लिए ρ (x) ω0, और ρ (x) प्रायिकताओं का योग एक के बराबर हो। मान लीजिए कि उपरोक्त परिभाषा किसी दिए गए समुच्चय A′ ′ ′ ′ और दिए गए पैरामीटर ε> 0 के लिए संतुष्ट है। फिर P [Xn + 1 = c। Xn = x] ≤ ερ (c) सभी x ω A और सभी c ω ω के लिए। उदाहरण 2: निरंतर घनत्व वाली श्रृंखलाएँ मान लीजिए कि {Xn}, Xn bul Rd एक कर्नेल के साथ एक मार्कोव श्रृंखला है जो लेबस्ग्यू माप के संबंध में बिल्कुल निरंतर हैः K (x, dy) = K (x, y) dy जैसे कि K (x, y) एक निरंतर फलन है। (x0, y0) को ऐसे चुनें कि K (x0, y0)> 0 हो, और A और ω को क्रमशः x0 और y0 वाले खुले समुच्चय होने दें जो पर्याप्त रूप से छोटे हों ताकि A × ω पर K (x, y) ≤ ε> 0 हो। मान लीजिए कि ρ (C) = |Ω θC।/|Ω। जहाँ |Ω। ω का लेबस्ग्यू माप है, हमारे पास उपरोक्त परिभाषा में (2) है। यदि (1) धारण करता है, तो {Xn} एक हैरिस श्रृंखला है। निम्नलिखित में कमी और आवधिकता; अर्थात। यह समय 0 के बाद पहली बार है जब प्रक्रिया क्षेत्र में प्रवेश करती है। आइए मार्कोव श्रृंखला के प्रारंभिक वितरण को दर्शाते हैं, अर्थात। .. परिभाषाः यदि सभी के लिए, तो हैरिस श्रृंखला को आवर्तक कहा जाता है। परिभाषाः एक आवर्ती हैरिस श्रृंखला अपेरियोडिक है यदि, इस तरह से, प्रमेयः स्थिर वितरण के साथ एक अपेरियोडिक आवर्ती हैरिस श्रृंखला होने दें। यदि तब के रूप में, जहां एक ही मापने योग्य स्थान पर परिभाषित हस्ताक्षरित उपायों के लिए कुल भिन्नता को दर्शाता है। संदर्भ मार्कोव प्रक्रियाएँ