Direct stiffness method
संरचनात्मक विश्लेषण के तरीकों में से एक के रूप में, प्रत्यक्ष कठोरता विधि, जिसे मैट्रिक्स कठोरता विधि के रूप में भी जाना जाता है, विशेष रूप से स्थिर रूप से अनिश्चित प्रकार सहित जटिल संरचनाओं के कंप्यूटर-स्वचालित विश्लेषण के लिए उपयुक्त है। यह एक मैट्रिक्स विधि है जो संरचनाओं में सदस्य बलों और विस्थापन की गणना के लिए सदस्यों के कठोरता संबंधों का उपयोग करती है। प्रत्यक्ष कठोरता विधि परिमित तत्व विधि (एफ. ई. एम.) का सबसे आम कार्यान्वयन है। विधि को लागू करने में, प्रणाली को नोड्स पर आपस में जुड़े सरल, आदर्श तत्वों के एक समूह के रूप में मॉडल किया जाना चाहिए। इन तत्वों के भौतिक कठोरता गुणों को तब, मैट्रिक्स गणित के माध्यम से, एक एकल मैट्रिक्स समीकरण में संकलित किया जाता है जो पूरी आदर्श संरचना के व्यवहार को नियंत्रित करता है। संरचना के अज्ञात विस्थापन और बलों को इस समीकरण को हल करके निर्धारित किया जा सकता है। प्रत्यक्ष कठोरता विधि अधिकांश वाणिज्यिक और मुक्त स्रोत सीमित तत्व सॉफ्टवेयर के लिए आधार बनाती है। प्रत्यक्ष कठोरता विधि की उत्पत्ति एयरोस्पेस के क्षेत्र में हुई थी। शोधकर्ताओं ने जटिल हवाई जहाज़ के ढांचे के विश्लेषण के लिए विभिन्न दृष्टिकोणों को देखा। इनमें लोच सिद्धांत, संरचनात्मक यांत्रिकी में ऊर्जा सिद्धांत, लचीलापन विधि और मैट्रिक्स कठोरता विधि शामिल थे। इन विधियों के विश्लेषण के माध्यम से ही प्रत्यक्ष कठोरता विधि कंप्यूटर कार्यान्वयन के लिए आदर्श रूप से उपयुक्त एक कुशल विधि के रूप में उभरी। 1934 और 1938 के बीच ए. आर. कॉलर और डब्ल्यू. जे. डंकन ने आज उपयोग की जाने वाली मैट्रिक्स प्रणालियों के लिए प्रतिनिधित्व और शब्दावली के साथ पहला शोध पत्र प्रकाशित किया। एयरोइलास्टिक अनुसंधान द्वितीय विश्व युद्ध के दौरान जारी रहा लेकिन 1938 से 1947 तक प्रकाशन प्रतिबंधों के कारण इस काम का पता लगाना मुश्किल हो गया। मैट्रिक्स संरचनात्मक विश्लेषण में दूसरी बड़ी सफलता 1954 और 1955 के दौरान हुई जब प्रोफेसर जॉन एच. आर्गिरिस ने एक संरचना के मौलिक घटकों को समीकरणों की प्रणाली में इकट्ठा करने की अवधारणा को व्यवस्थित किया। अंत में, 6 नवंबर 1959 को, बोइंग की स्ट्रक्चरल डायनेमिक्स यूनिट के प्रमुख, एम. जे. टर्नर ने कंप्यूटर कार्यान्वयन के लिए एक कुशल मॉडल के रूप में प्रत्यक्ष कठोरता विधि को रेखांकित करते हुए एक पेपर प्रकाशित किया। सदस्य कठोरता संबंध एक विशिष्ट सदस्य कठोरता संबंध का निम्नलिखित सामान्य रूप होता हैः जहाँ m = सदस्य संख्या m. = सदस्य के विशिष्ट बलों का सदिश, जो अज्ञात आंतरिक बल हैं। = सदस्य कठोरता मैट्रिक्स जो विकृतियों के खिलाफ सदस्य के प्रतिरोध को दर्शाता है। = सदस्य के विशिष्ट विस्थापन या विरूपण का सदिश। = सदस्य पर लागू बाहरी प्रभावों (जैसे ज्ञात बल और तापमान परिवर्तन) के कारण सदस्य के विशिष्ट बलों का सदिश। यदि पूर्ण विस्थापन के बजाय सदस्य विरूपण हैं, तो स्वतंत्र सदस्य बल हैं, और ऐसे मामले में (1) को तथाकथित सदस्य लचीलापन मैट्रिक्स प्राप्त करने के लिए उल्टा किया जा सकता है, जिसका उपयोग लचीलापन विधि में किया जाता है। प्रणाली कठोरता संबंध नोड्स नामक बिंदुओं पर आपस में जुड़े कई सदस्यों के साथ एक प्रणाली के लिए, सदस्यों की कठोरता संबंध जैसे Eq। (1) निम्नलिखित टिप्पणियों का उपयोग करके एकीकृत किया जा सकता हैः सदस्यों के बीच संगतता सुनिश्चित करने के लिए सदस्यों की विकृतियों को सिस्टम नोडल विस्थापन के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है। इसका तात्पर्य है कि r प्राथमिक अज्ञात होंगे। सदस्य बल नोडल बलों आर के तहत नोड्स को संतुलन में रखने में मदद करते हैं। इसका तात्पर्य है कि (1) के दाहिने हाथ की ओर को पूरी प्रणाली के लिए निम्नलिखित नोडल संतुलन समीकरणों के दाहिने हाथ की ओर एकीकृत किया जाएगाः जहाँ = नोडल बलों का वेक्टर, जो प्रणाली के नोड्स पर लागू बाहरी बलों का प्रतिनिधित्व करता है। = प्रणाली कठोरता मैट्रिक्स, जो सदस्यों की कठोरता मैट्रिक्स को इकट्ठा करके स्थापित किया जाता है। = प्रणाली के नोडल विस्थापन का वेक्टर जो मनमाने नोडल बलों के अधीन प्रणाली के सभी संभावित विकृत विन्यासों को परिभाषित कर सकता है आर = समतुल्य नोडल बलों का वेक्टर, नोडल बलों के अलावा सभी बाहरी प्रभावों का प्रतिनिधित्व करता है जो पहले से ही पूर्ववर्ती नोडल बल वेक्टर आर में शामिल हैं। यह वेक्टर सदस्यों को इकट्ठा करके स्थापित किया जाता है। समाधान प्रणाली कठोरता मैट्रिक्स K वर्ग है क्योंकि वैक्टर आर और आर का आकार समान है। इसके अलावा, यह सममित है क्योंकि सममित है। एक बार जब समर्थन की बाधाओं को (2) में गिना जाता है, तो रैखिक समीकरणों (2) की प्रणाली को प्रतीकात्मक रूप से हल करके नोडल विस्थापन पाए जाते हैंः इसके बाद, सदस्यों की विशेषता बलों को Eq से पाया जा सकता है। (1) जहाँ संगतता पर विचार करके r से पाया जा सकता है। प्रत्यक्ष कठोरता विधि Eq होना आम बात है। (1) एक ऐसे रूप में जहां और हैं, क्रमशः, सदस्य-अंत विस्थापन और बल r और R के साथ दिशा में मेल खाते हैं। इस विधि को तब प्रत्यक्ष कठोरता विधि के रूप में जाना जाता है। मैट्रिक्स कठोरता विधि के फायदे और नुकसान की तुलना और लचीलेपन विधि लेख में चर्चा की गई है। उदाहरण विघटन प्रत्यक्ष कठोरता विधि का उपयोग करते समय पहला कदम संरचना को बनाने वाले अलग-अलग तत्वों की पहचान करना है। एक बार जब तत्वों की पहचान हो जाती है, तो संरचना को नोड्स पर डिस्कनेक्ट कर दिया जाता है, वे बिंदु जो विभिन्न तत्वों को एक साथ जोड़ते हैं। फिर प्रत्येक तत्व का व्यक्तिगत रूप से विश्लेषण किया जाता है ताकि सदस्य कठोरता समीकरण विकसित किए जा सकें। बल और विस्थापन तत्व कठोरता मैट्रिक्स के माध्यम से संबंधित हैं जो तत्व की ज्यामिति और गुणों पर निर्भर करता है। एक ट्रस तत्व केवल संपीड़न या तनाव में बलों को संचारित कर सकता है। इसका मतलब है कि दो आयामों में, प्रत्येक नोड में दो डिग्री ऑफ़ फ्रीडम (डी. ओ. एफ.) हैंः क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर विस्थापन। परिणामी समीकरण में चार गुणा चार कठोरता मैट्रिक्स होता है। एक फ्रेम तत्व संपीड़न और तनाव के अलावा झुकने वाले क्षणों का सामना करने में सक्षम है। इसके परिणामस्वरूप स्वतंत्रता की तीन डिग्री होती हैंः क्षैतिज विस्थापन, ऊर्ध्वाधर विस्थापन और समतल में घूर्णन। इस मामले में कठोरता मैट्रिक्स छह गुणा छह है। प्लेटों और कवच जैसे अन्य तत्वों को भी प्रत्यक्ष कठोरता विधि में शामिल किया जा सकता है और इसी तरह के समीकरणों को विकसित किया जाना चाहिए। एक बार जब व्यक्तिगत तत्व कठोरता संबंध विकसित हो जाते हैं तो उन्हें मूल संरचना में इकट्ठा किया जाना चाहिए। इस प्रक्रिया में पहला कदम व्यक्तिगत तत्वों के लिए कठोरता संबंधों को पूरी संरचना के लिए एक वैश्विक प्रणाली में बदलना है। ट्रस तत्व के मामले में, कठोरता विधि का वैश्विक रूप वैश्विक समन्वय प्रणाली के संबंध में तत्व के कोण पर निर्भर करता है (यह प्रणाली आमतौर पर पारंपरिक कार्टेशियन समन्वय प्रणाली है)। (β कोण पर एक ट्रस तत्व के लिए) समान रूप से, जहां और ट्रस तत्व की दिशा कोसाइन हैं (यानी, वे सदस्य के साथ संरेखित एक इकाई सदिश के घटक हैं)। यह रूप बताता है कि इस सूत्रीकरण में स्पष्ट पैटर्न का विस्तार करके तत्व की कठोरता को 3-डी स्पेस ट्रस में सामान्यीकृत कैसे किया जाए। वैश्विक समन्वय प्रणाली में तत्व कठोरता मैट्रिक्स विकसित करने के बाद, उन्हें एक एकल "मास्टर" या "वैश्विक" कठोरता मैट्रिक्स में विलय किया जाना चाहिए। इन मैट्रिक्स को एक साथ मिलाते समय दो नियमों का पालन किया जाना चाहिएः विस्थापन की संगतता और प्रत्येक नोड पर बल संतुलन। इन नियमों को तत्व नोडल विस्थापन को वैश्विक नोडल विस्थापन से संबंधित करके बरकरार रखा जाता है। वैश्विक विस्थापन और बल वैक्टर में से प्रत्येक में संरचना में स्वतंत्रता की प्रत्येक डिग्री के लिए एक प्रविष्टि होती है। तत्व कठोरता मैट्रिक्स को वैश्विक विस्थापन और भार वैक्टर के अनुरूप प्रत्येक मैट्रिक्स को बढ़ाकर या विस्तारित करके विलय किया जाता है। (उपरोक्त संरचना के तत्व (1) के लिए) अंत में, वैश्विक कठोरता मैट्रिक्स का निर्माण व्यक्तिगत विस्तारित तत्व मैट्रिक्स को एक साथ जोड़कर किया जाता है। समाधान एक बार वैश्विक कठोरता मैट्रिक्स, विस्थापन वेक्टर और बल वेक्टर का निर्माण हो जाने के बाद, प्रणाली को एकल मैट्रिक्स समीकरण के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। संरचना में स्वतंत्रता की प्रत्येक डिग्री के लिए, विस्थापन या बल ज्ञात है। स्वतंत्रता की प्रत्येक डिग्री के लिए ज्ञात मान डालने के बाद, प्रमुख कठोरता समीकरण पूरा हो जाता है और मूल्यांकन के लिए तैयार हो जाता है। मैट्रिक्स समीकरण के मूल्यांकन के लिए कई अलग-अलग तरीके उपलब्ध हैं, जिनमें चोल्स्की अपघटन और समीकरणों की प्रणालियों के क्रूर बल मूल्यांकन तक सीमित नहीं हैं। यदि किसी संरचना को ठीक से नियंत्रित नहीं किया जाता है, तो एक बल के प्रयोग से यह सख्ती से आगे बढ़ेगा और अतिरिक्त समर्थन शर्तों को जोड़ा जाना चाहिए। इस खंड में वर्णित विधि प्रत्यक्ष कठोरता विधि के अवलोकन के रूप में है। प्रक्रिया के बारे में अधिक जानकारी के साथ-साथ प्रक्रिया में निहित भौतिक गुणों के बारे में धारणाओं के लिए अतिरिक्त स्रोतों से परामर्श किया जाना चाहिए। अनुप्रयोग प्रत्यक्ष कठोरता विधि विशेष रूप से जटिल संरचनाओं का मूल्यांकन करने के लिए कंप्यूटर सॉफ्टवेयर में प्रभावी ढंग से और आसानी से लागू करने के लिए विकसित की गई थी जिसमें बड़ी संख्या में तत्व होते हैं। आज, उपलब्ध लगभग हर सीमित तत्व समाधानकर्ता प्रत्यक्ष कठोरता विधि पर आधारित है। जबकि प्रत्येक कार्यक्रम एक ही प्रक्रिया का उपयोग करता है, कई को गणना समय को कम करने और आवश्यक स्मृति को कम करने के लिए सुव्यवस्थित किया गया है। इसे प्राप्त करने के लिए, शॉर्टकट विकसित किए गए हैं। प्रत्यक्ष कठोरता विधि का उपयोग करने के लिए सबसे बड़े क्षेत्रों में से एक संरचनात्मक विश्लेषण का क्षेत्र है जहां इस विधि को मॉडलिंग सॉफ्टवेयर में शामिल किया गया है। सॉफ्टवेयर उपयोगकर्ताओं को एक संरचना को मॉडल करने की अनुमति देता है और उपयोगकर्ता द्वारा तत्वों के भौतिक गुणों को परिभाषित करने के बाद, प्रोग्राम स्वचालित रूप से तत्व और वैश्विक कठोरता संबंधों को उत्पन्न करता है। जब विभिन्न लोडिंग स्थितियों को लागू किया जाता है तो सॉफ्टवेयर संरचना का मूल्यांकन करता है और उपयोगकर्ता के लिए विक्षेपण उत्पन्न करता है। फाइनाइट एलिमेंट मेथड फाइनाइट एलिमेंट मेथड इन स्ट्रक्चरल मैकेनिक्स स्ट्रक्चरल एनालिसिस फ्लेक्सिबिलिटी मेथड फाइनाइट एलिमेंट सॉफ्टवेयर पैकेजों की सूची बाहरी लिंक 1-डी स्प्रिंग सिस्टम मैट्रिक्स स्ट्रक्चरल एनालिसिस एनिमेशन ऑफ स्टिफ़नेस एनालिसिस के लिए प्रत्यक्ष कठोरता विधि का अनुप्रयोग संदर्भ फेलिप्पा, कार्लोस ए। परिमित तत्व विधि का परिचय। 2001 का पतन। कोलोराडो विश्वविद्यालय। 18 सितंबर 2005 रॉबिन्सन, जॉन। इंजीनियर के लिए संरचनात्मक मैट्रिक्स विश्लेषण। न्यूयॉर्कः जॉन विली एंड संस, 1966 रुबिनस्टीन, मोशे एफ. मैट्रिक्स कंप्यूटर एनालिसिस ऑफ स्ट्रक्चर्स। न्यू जर्सीः प्रेंटिस-हॉल, 1966 मैकगायर, डब्ल्यू., गैलेगर, आर. एच., और ज़िमियन, आर. डी. मैट्रिक्स स्ट्रक्चरल एनालिसिस, दूसरा संस्करण। न्यूयॉर्कः जॉन विली एंड संस, 2000। संरचनात्मक विश्लेषण संख्यात्मक विभेदक समीकरण