Schwarz–Ahlfors–Pick theorem
गणित में, श्वार्ज़-अहल्फ़ोर्स-पिक प्रमेय हाइपरबोलिक ज्यामिति के लिए श्वार्ज़ लेम्मा का एक विस्तार है, जैसे कि पोइनकेयर हाफ-प्लेन मॉडल। श्वार्ज-पिक लेम्मा में कहा गया है कि इकाई डिस्क यू से लेकर स्वयं तक, या ऊपरी अर्ध-तल एच से लेकर स्वयं तक प्रत्येक होलोमोर्फिक फ़ंक्शन, बिंदुओं के बीच पोइनकेयर दूरी को नहीं बढ़ाएगा। पोइनकेयर मीट्रिक के साथ इकाई डिस्क यू में नकारात्मक गॉसियन वक्रता-1 है। 1938 में, लार्स अहल्फ़ोर्स ने इकाई डिस्क से अन्य नकारात्मक घुमावदार सतहों के मानचित्रों के लिए लेम्मा को सामान्यीकृत कियाः प्रमेय (श्वार्ज़-अहल्फ़ोर्स-पिक)। मान लीजिए कि यू पोइनकेयर मीट्रिक के साथ इकाई डिस्क है; मान लीजिए कि एस एक रीमान सतह है जो एक हर्मिशियन मीट्रिक के साथ संपन्न है जिसकी गौसी वक्रता ≤-1 है; मान लीजिए कि यह एक होलोमोर्फिक फ़ंक्शन है। फिर 1973 में शिंग-तुंग याउ द्वारा इस प्रमेय के सामान्यीकरण को साबित किया गया। संदर्भ हाइपरबोलिक ज्यामिति रीमान जटिल विश्लेषण में प्रमेयों को सतह पर लाता है विभेदक ज्यामिति में प्रमेय