Affine geometry of curves
विभेदक ज्यामिति के गणितीय क्षेत्र में, वक्रों की एफ़ाइन ज्यामिति एक एफ़ाइन स्थान में वक्रों का अध्ययन है, और विशेष रूप से ऐसे वक्रों के गुण जो विशेष एफ़ाइन समूह के तहत अपरिवर्तनीय हैं वक्रों की शास्त्रीय यूक्लिडियन ज्यामिति में, मौलिक उपकरण फ्रेनेट-सेरेट फ्रेम है। एफाइन ज्यामिति में, फ्रेनेट-सेरेट फ्रेम अब अच्छी तरह से परिभाषित नहीं है, लेकिन एक वक्र के साथ एक और विहित गतिशील फ्रेम को परिभाषित करना संभव है जो एक समान निर्णायक भूमिका निभाता है। इस सिद्धांत को 20वीं शताब्दी की शुरुआत में विल्हेम ब्लास्के और जीन फेवर्ड के प्रयासों से विकसित किया गया था। एफाइन फ्रेम मान लीजिए कि x (t) एक वक्र है। मान लीजिए, जैसा कि यूक्लिडियन मामले में किया जाता है, कि x (t) के पहले n व्युत्पन्न रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं ताकि, विशेष रूप से, x (t) के किसी भी निम्न-आयामी संबंध उपक्षेत्र में न हो। फिर वक्र पैरामीटर t को निर्धारक निर्धारित करके सामान्य किया जा सकता है इस तरह के वक्र को इसकी एफ़ाइन आर्क्लेन्थ द्वारा मानकीकृत कहा जाता है। इस तरह के पैरामीटराइजेशन के लिए, विशेष एफ़ाइन समूह में एक मानचित्रण निर्धारित करता है, जिसे वक्र के लिए एक विशेष एफ़ाइन फ्रेम के रूप में जाना जाता है। अर्थात्, मात्राओं के प्रत्येक बिंदु पर एफ़ाइन स्थान के लिए एक विशेष एफ़ाइन फ्रेम को परिभाषित करें, जिसमें स्थान का एक बिंदु x और x पर बिंदु से जुड़ा एक विशेष रैखिक आधार होता है। इस मानचित्र के साथ मौरर-कार्टन रूप का पुलबैक वक्र के एफ़ाइन संरचनात्मक अपरिवर्तनों का एक पूरा सेट देता है। समतल में, यह एक एकल स्केलर अपरिवर्तनीय देता है, जो वक्र की एफ़ाइन वक्रता है। विविक्त अपरिवर्तनीय वक्र पैरामीटर s का सामान्यीकरण ऊपर चुना गया था ताकि यदि n ष्ण 0 (मॉड 4) या n ष्ण 3 (मॉड 4) तो इस निर्धारक का संकेत वक्र का एक विविक्त अपरिवर्तनीय हो। एक वक्र को डेक्सट्रॉस (दाएँ घुमावदार, अक्सर जर्मन में वेनवेंडिग) कहा जाता है यदि यह + 1 है, और साइनिस्ट्रोर्स (बाएं घुमावदार, अक्सर जर्मन में हॉपफेनवेंडिग) यदि यह-1 है। तीन आयामों में, दाएं हाथ का हेलिक्स डेक्सट्रॉस होता है, और बाएं हाथ का हेलिक्स सिनिस्ट्रॉस होता है। वक्रता मान लीजिए कि वक्र x को एफ़ाइन आर्क्लेन्थ द्वारा मानकीकृत किया गया है। फिर एफ़ाइन वक्रता, k1,., kn − 1 ऑफ़ x को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है कि इस तरह की अभिव्यक्ति निर्धारक के व्युत्पन्न की गणना करके संभव है ताकि x (n + 1) x′, x (n − 1) का एक रैखिक संयोजन हो। उस मैट्रिक्स पर विचार करें जिसके कॉलम x के पहले n व्युत्पन्न हैं (अभी भी विशेष एफ़ाइन आर्क्लेन्थ द्वारा मानकीकृत)। फिर, ठोस शब्दों में, मैट्रिक्स सी एक्स के पहले एन व्युत्पन्न द्वारा दिए गए फ्रेम के साथ विशेष रैखिक समूह के मौरर-कार्टन रूप का पुलबैक है। मूविंग फ्रेम एफ़ाइन स्फीयर संदर्भ वक्र विभेदक ज्यामिति एफ़ाइन ज्यामिति भी देखें।