Narrow class group
बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में, एक संख्या क्षेत्र K का संकीर्ण वर्ग समूह K के वर्ग समूह का एक परिष्करण है जो वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र में K के एम्बेडिंग के बारे में कुछ जानकारी को ध्यान में रखता है। औपचारिक परिभाषा मान लीजिए कि के, क्यू का एक सीमित विस्तार है। याद कीजिए कि K के साधारण वर्ग समूह को भागफल के रूप में परिभाषित किया गया है जहां IK, K के आंशिक आदर्शों का समूह है, और PK, K के प्रमुख आंशिक आदर्शों का उपसमूह है, यानी, aOK रूप के आदर्श जहां a, K का एक तत्व है। संकीर्ण वर्ग समूह को भागफल के रूप में परिभाषित किया गया है जहां अब PK +, K के पूरी तरह से सकारात्मक प्रमुख आंशिक आदर्शों का समूह है; यानी, aOK रूप के आदर्श जहां a, K का एक तत्व है जैसे कि σ (a) प्रत्येक एम्बेडिंग उपयोग के लिए सकारात्मक है संकीर्ण वर्ग समूह द्विघात रूपों द्वारा पूर्णांकों का प्रतिनिधित्व करने के सिद्धांत में प्रमुखता से विशेषता है। एक उदाहरण निम्नलिखित परिणाम है (फ्रोलिच और टेलर, अध्याय V, प्रमेय 1.25)। प्रमेय। मान लीजिए कि जहाँ d एक वर्ग-मुक्त पूर्णांक है, और K का संकीर्ण वर्ग समूह तुच्छ है। मान लीजिए कि यह K के पूर्णांकों के वलय के लिए एक आधार है। एक द्विघात रूप को परिभाषित करें, जहाँ NK/Q मानक है। फिर एक अभाज्य संख्या p कुछ पूर्णांक x और y के रूप में होती है यदि और केवल तभी जब या या जहाँ dK, K का विभेदक है, और लीजेंड्रे प्रतीक को दर्शाता है। उदाहरण के लिए, कोई यह साबित कर सकता है कि द्विघात क्षेत्र Q (), Q (), Q () सभी में तुच्छ संकीर्ण वर्ग समूह है। फिर, इन क्षेत्रों में से प्रत्येक के पूर्णांकों के लिए उपयुक्त आधारों का चयन करके, उपरोक्त प्रमेय का तात्पर्य निम्नलिखित हैः एक अभाज्य p पूर्णांक x और y के लिए p = x2 + y और 2 के रूप में होता है यदि और केवल अगर (इसे दो वर्गों के योग पर फर्माट की प्रमेय के रूप में जाना जाता है)। एक अभाज्य p पूर्णांक x और y के लिए p = x2−2y और हेयर्सस्प; 2 के रूप में होता है यदि और केवल तभी जब A अभाज्य p पूर्णांक x और y के लिए p = x2 − xy + y और हेयर्सस्प; 2 के रूप में होता है यदि और केवल यदि (cf. आइजेनस्टीन अभाज्य) संकीर्ण वर्ग समूह और सामान्य वर्ग समूह के बीच अंतर को स्पष्ट करने वाला एक उदाहरण क्यू () का मामला है। इसमें तुच्छ वर्ग समूह है, लेकिन इसके संकीर्ण वर्ग समूह में क्रम 2 है। क्योंकि वर्ग समूह तुच्छ है, निम्नलिखित कथन सत्य हैः एक अभाज्य p या इसका व्युत्क्रम −p पूर्णांक x और y के लिए ±p = x2 − 6y & हेयर्सएसपी; 2 के रूप में है यदि और केवल यदि। सकारात्मक p को वर्गीकृत करने वाला कथन निम्नलिखित हैः पूर्णांक x और y के लिए एक अभाज्य p, p = x2−6y और 2 के रूप में होता है यदि और केवल यदि p = 3 या (जबकि पहला कथन अभाज्य संख्याओं की अनुमति देता है, दूसरा केवल अभाज्य संख्याओं की अनुमति देता है।) वर्ग समूह चतुर्भुज रूप संदर्भ ए. फ्रोलिच और एम. जे. टेलर, बीजगणितीय संख्या सिद्धांत (पृष्ठ 180), कैम्ब्रिज विश्वविद्यालय प्रेस, 1991 भी देखें। बीजगणितीय संख्या सिद्धांत