Montel's theorem
जटिल विश्लेषण में, गणित के एक क्षेत्र में, मोंटेल की प्रमेय समरूपी कार्यों के परिवारों के बारे में दो प्रमेयों में से एक को संदर्भित करती है। इनका नाम फ्रांसीसी गणितशास्त्री पॉल मोंटेल के नाम पर रखा गया है, और ऐसी स्थितियाँ देते हैं जिनके तहत होलोमोर्फिक कार्यों का एक परिवार सामान्य होता है। स्थानीय रूप से समान रूप से बंधे परिवार सामान्य हैं प्रमेय के पहले और सरल संस्करण में कहा गया है कि जटिल संख्याओं के एक खुले सबसेट पर परिभाषित होलोमॉर्फिक कार्यों का एक परिवार सामान्य है यदि और केवल तभी जब यह स्थानीय रूप से समान रूप से बंधा हो। इस प्रमेय में निम्नलिखित औपचारिक रूप से मजबूत परिणाम है। मान लीजिए कि यह एक खुले समुच्चय पर मेरोमॉर्फिक कार्यों का एक परिवार है। यदि ऐसा है जो सामान्य नहीं है, और एक पड़ोस है, तो जटिल तल में घना है। मॉन्टेल के प्रमेय (कभी-कभी मौलिक सामान्यता परीक्षण के रूप में संदर्भित) के मजबूत संस्करण में कहा गया है कि होलोमोर्फिक कार्यों का एक परिवार, जिनमें से सभी एक ही दो मूल्यों को छोड़ देते हैं, सामान्य है। आवश्यकता उपरोक्त प्रमेयों में स्थितियां पर्याप्त हैं, लेकिन सामान्यता के लिए आवश्यक नहीं हैं। वास्तव में, परिवार सामान्य है, लेकिन किसी भी जटिल मूल्य को नहीं छोड़ता है। सबूत मोंटेल के प्रमेय का पहला संस्करण मार्टी के प्रमेय (जिसमें कहा गया है कि एक परिवार सामान्य है यदि और केवल तभी जब गोलाकार व्युत्पन्न स्थानीय रूप से बंधे हों) और कॉची के अभिन्न सूत्र का प्रत्यक्ष परिणाम है। थॉमस जोनेस स्टील्टजेस और विलियम फॉग ऑसगुड के बाद इस प्रमेय को स्टील्टजेस-ऑसगुड प्रमेय भी कहा गया है। ऊपर बताए गए उपसंहार का निष्कर्ष इस प्रकार निकाला गया है। मान लीजिए कि सभी कार्य बिंदु के एक ही पड़ोस को छोड़ देते हैं। मानचित्र के साथ उत्तर रचना करके हम एक समान रूप से बंधा हुआ परिवार प्राप्त करते हैं, जो प्रमेय के पहले संस्करण द्वारा सामान्य है। मोंटेल के प्रमेय के दूसरे संस्करण का अनुमान पहले से इस तथ्य का उपयोग करके लगाया जा सकता है कि इकाई डिस्क से दो बार पंचर किए गए तल तक एक होलोमोर्फिक सार्वभौमिक आवरण मौजूद है। (इस तरह का आवरण अण्डाकार मॉड्यूलर फ़ंक्शन द्वारा दिया जाता है)। मोंटेल के प्रमेय के इस संस्करण को ज़ाल्कमैन के लेम्मा का उपयोग करके पिकार्ड के प्रमेय से भी प्राप्त किया जा सकता है। पूरे कार्यों के लिए प्रमेयों के साथ संबंध ब्लॉच के सिद्धांत के रूप में जाना जाने वाला एक शोध सिद्धांत (ज़ाल्कमैन के सिद्धांत द्वारा सटीक बनाया गया) बताता है कि जो गुण यह दर्शाते हैं कि एक पूरा कार्य स्थिर है, वे उन गुणों के अनुरूप हैं जो यह सुनिश्चित करते हैं कि होलोमोर्फिक कार्यों का एक परिवार सामान्य है। उदाहरण के लिए, ऊपर बताए गए मोंटेल के प्रमेय का पहला संस्करण लिउविल के प्रमेय का अनुरूप है, जबकि दूसरा संस्करण पिकार्ड के प्रमेय से मेल खाता है। मोंटेल स्पेस फंडामेंटल नॉर्मलिटी टेस्ट रीमान मैपिंग थ्योरम नोट्स संदर्भ कॉम्पैक्टनेस थ्योरम जटिल विश्लेषण में प्रमेय भी देखें।