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ग्राफ सिद्धांत में, एक पुस्तक एम्बेडिंग एक पुस्तक में एम्बेडिंग के लिए एक ग्राफ के समतल एम्बेडिंग का एक सामान्यीकरण है, आधे-विमानों का एक संग्रह जिसमें सभी की सीमा के समान रेखा होती है। आम तौर पर, ग्राफ के शीर्षों को इस सीमा रेखा पर स्थित होना आवश्यक है, जिसे रीढ़ की हड्डी कहा जाता है, और किनारों को एक अर्ध-तल के भीतर रहने की आवश्यकता होती है। ग्राफ की पुस्तक मोटाई ग्राफ के किसी भी पुस्तक एम्बेडिंग के लिए आधे समतल की सबसे छोटी संभव संख्या है। पुस्तक की मोटाई को पेजनम्बर, स्टैकनम्बर या निश्चित बाहरी मोटाई भी कहा जाता है। पेजविड्थ और बुक क्रॉसिंग नंबर सहित कई अन्य ग्राफ अपरिवर्तकों को परिभाषित करने के लिए भी बुक एम्बेडिंग का उपयोग किया गया है। शीर्ष वाले प्रत्येक ग्राफ में अधिक से अधिक पुस्तक की मोटाई होती है, और यह सूत्र पूर्ण ग्राफ के लिए सटीक पुस्तक की मोटाई देता है। पुस्तक की मोटाई वाले ग्राफ बाहरी समतल ग्राफ हैं। अधिकतम दो पर पुस्तक की मोटाई वाले ग्राफ सबहैमिल्टनियन ग्राफ हैं, जो हमेशा समतल होते हैं; आम तौर पर, प्रत्येक समतल ग्राफ में अधिकतम चार पर पुस्तक की मोटाई होती है। सभी छोटे-बंद ग्राफ परिवारों, और विशेष रूप से बंधे हुए त्रि-चौड़ाई या बंधे हुए वंश वाले ग्राफों में भी बंधी हुई पुस्तक की मोटाई होती है। किसी दिए गए आलेख की सटीक पुस्तक मोटाई का निर्धारण करना एन. पी.-कठिन है, पुस्तक की रीढ़ के साथ एक निश्चित शीर्ष क्रम के साथ या उसके बिना। एम्बेडिंग की रीढ़ के साथ शीर्षों के एक निश्चित क्रम को देखते हुए, एक ग्राफ के तीन-पृष्ठ पुस्तक एम्बेडिंग के अस्तित्व का परीक्षण, अज्ञात कम्प्यूटेशनल जटिलता हैः यह न तो बहुपद समय में हल करने योग्य होने के लिए जाना जाता है और न ही एनपी-हार्ड होने के लिए जाना जाता है। पुस्तक एम्बेडिंग का अध्ययन करने के लिए मूल प्रेरणाओं में से एक में वी. एल. एस. आई. डिजाइन में अनुप्रयोग शामिल थे, जिसमें एक पुस्तक एम्बेडिंग के शीर्ष एक परिपथ के घटकों का प्रतिनिधित्व करते हैं और तार उनके बीच संबंधों का प्रतिनिधित्व करते हैं। पुस्तक एम्बेडिंग के ग्राफ ड्राइंग में भी अनुप्रयोग हैं, जहां ग्राफ के लिए दो मानक दृश्य शैलियों, चाप आरेख और गोलाकार लेआउट का निर्माण पुस्तक एम्बेडिंग का उपयोग करके किया जा सकता है। परिवहन योजना में, पैदल और वाहन यातायात के विभिन्न स्रोत और गंतव्य जो एक यातायात प्रकाश पर मिलते हैं और परस्पर क्रिया करते हैं, उन्हें गणितीय रूप से एक ग्राफ के शीर्ष के रूप में मॉडल किया जा सकता है, जिसमें किनारे विभिन्न स्रोत-गंतव्य जोड़े को जोड़ते हैं। इस ग्राफ की एक पुस्तक एम्बेडिंग का उपयोग एक अनुसूची तैयार करने के लिए किया जा सकता है जो सभी यातायात को कम से कम संकेत चरणों के साथ चौराहे पर जाने देता है। आर. एन. ए. की तह संरचना से जुड़ी जैव सूचना विज्ञान समस्याओं में, एकल-पृष्ठ पुस्तक एम्बेडिंग न्यूक्लिक एसिड माध्यमिक संरचना के शास्त्रीय रूपों का प्रतिनिधित्व करती है, और दो-पृष्ठ पुस्तक एम्बेडिंग सूडोकनॉट्स का प्रतिनिधित्व करती है। पुस्तक एम्बेडिंग के अन्य अनुप्रयोगों में अमूर्त बीजगणित और गाँठ सिद्धांत शामिल हैं। एक पुस्तक की धारणा, एक स्थलवैज्ञानिक स्थान के रूप में, 1960 के दशक में सी. ए. पर्सिंगर और गेल एटनीसन द्वारा परिभाषित की गई थी। इस काम के हिस्से के रूप में, एटनीसन ने पहले से ही पुस्तकों में ग्राफ को शामिल करने पर विचार किया। उन्होंने जिन एम्बेडिंग का अध्ययन किया, वे किसी भी अन्य टोपोलॉजिकल स्थान में ग्राफ के एम्बेडिंग के समान परिभाषा का उपयोग करते थेः शीर्षों को अलग-अलग बिंदुओं द्वारा दर्शाया जाता है, किनारों को वक्रों द्वारा दर्शाया जाता है, और दो किनारों को प्रतिच्छेद करने का एकमात्र तरीका उनके लिए एक सामान्य अंतिम बिंदु पर मिलना है। 1970 के दशक की शुरुआत में, पॉल सी. कैनेन और एल. टेलर ओलमैन ने एक अधिक प्रतिबंधित प्रकार का एम्बेडिंग विकसित किया जिसका उपयोग बाद के अधिकांश शोधों में किया गया। उनके सूत्रीकरण में, ग्राफ के शीर्षों को पुस्तक की रीढ़ के साथ रखा जाना चाहिए, और प्रत्येक किनारा एक पृष्ठ में होना चाहिए। पुस्तक एम्बेडिंग के बाद के विकास में महत्वपूर्ण मील के पत्थर में 1980 के दशक के अंत में मिहालिस यन्नाकाकिस द्वारा प्रमाण शामिल है कि समतल ग्राफ में पुस्तक की मोटाई अधिकतम चार है, और 1990 के दशक के अंत में पुस्तक एम्बेडिंग और जैव सूचना विज्ञान के बीच घनिष्ठ संबंधों की खोज। परिभाषा एक पुस्तक एक विशेष प्रकार का स्थलवैज्ञानिक स्थान है, जिसे अर्ध-समतल का प्रशंसक भी कहा जाता है। इसमें एक ही पंक्ति होती है, जिसे पुस्तक की रीढ़ या पीछे कहा जाता है, साथ में एक या अधिक आधे-समतल के संग्रह के साथ, जिसे पुस्तक के पृष्ठ या पत्ते कहा जाता है, प्रत्येक में रीढ़ की हड्डी होती है। सीमित संख्या में पृष्ठों वाली पुस्तकों को त्रि-आयामी स्थान में एम्बेड किया जा सकता है, उदाहरण के लिए कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के-अक्ष को चुनकर और पृष्ठों को अर्ध-तल के रूप में चुनकर जिसका द्वि-तल के संबंध में द्वि-तल कोण एक पूर्णांक गुणक है। एक पुस्तक पर एक सीमित ग्राफ का एक पुस्तक ड्राइंग इस तरह से एक ड्राइंग है कि प्रत्येक शीर्ष को रीढ़ की हड्डी पर एक बिंदु के रूप में खींचा जाता है, और प्रत्येक किनारे को एक वक्र के रूप में खींचा जाता है जो एक ही पृष्ठ के भीतर होता है। एक-पृष्ठ पुस्तक पार करने की संख्या एक-पृष्ठ पुस्तक ड्राइंग में पार करने की न्यूनतम संख्या है। एक पुस्तक एम्बेडिंग एक पुस्तक ड्राइंग है जो एक ग्राफ एम्बेडिंग बनाता है। अर्थात्, यह एक पुस्तक रेखाचित्र है जिसमें कोई किनारा नहीं है। प्रत्येक सीमित ग्राफ में एक पुस्तक होती है जो पर्याप्त संख्या में पृष्ठों के साथ एक पुस्तक में संलग्न होती है। उदाहरण के लिए, ग्राफ के प्रत्येक किनारे को अपने अलग पृष्ठ पर एम्बेड करना हमेशा संभव है। पुस्तक की मोटाई, पेजन नंबर, या स्टैक नंबर एक पुस्तक को एम्बेड करने के लिए आवश्यक पृष्ठों की न्यूनतम संख्या है। एक अन्य मापदंड जो पृष्ठों की संख्या से परे पुस्तक एम्बेडिंग की गुणवत्ता को मापता है, वह है इसकी पृष्ठ चौड़ाई। इसे कटविड्थ के अनुरूप किनारों की अधिकतम संख्या के रूप में परिभाषित किया गया है जिसे एक पृष्ठ के भीतर रीढ़ की हड्डी के लंबवत किरण द्वारा पार किया जा सकता है। समान रूप से (पुस्तक एम्बेडिंग के लिए जिसमें प्रत्येक किनारे को एक मोनोटोनिक वक्र के रूप में खींचा जाता है), यह एक पृष्ठ के भीतर किनारों के सबसेट का अधिकतम आकार है जैसे कि किनारों के अंतिम बिंदुओं के जोड़े द्वारा रीढ़ पर परिभाषित अंतराल सभी एक दूसरे को काटते हैं। इन परिभाषाओं के लिए यह महत्वपूर्ण है कि किनारों को केवल पुस्तक के एक पृष्ठ के भीतर रहने की अनुमति है। जैसा कि एटनीसन पहले ही देख चुके हैं, यदि इसके बजाय किनारे पुस्तक की रीढ़ की हड्डी के पार एक पृष्ठ से दूसरे पृष्ठ पर जा सकते हैं, तो प्रत्येक ग्राफ को तीन पृष्ठ की पुस्तक में एम्बेड किया जा सकता है। इस तरह की तीन पृष्ठ की टोपोलॉजिकल पुस्तक एम्बेडिंग के लिए जिसमें रीढ़ की हड्डी को पार करने की अनुमति है, प्रत्येक ग्राफ को प्रति किनारे रीढ़ की हड्डी को पार करने की अधिक से अधिक लॉगरिदमिक संख्या के साथ एम्बेड किया जा सकता है, और कुछ ग्राफों को रीढ़ की हड्डी को पार करने की आवश्यकता होती है। विशिष्ट ग्राफ जैसा कि पहले चित्र में दिखाया गया है, पूर्ण ग्राफ की पुस्तक मोटाई तीन हैः एक गैर-समतलीय ग्राफ के रूप में इसकी पुस्तक मोटाई दो से अधिक है, लेकिन तीन पृष्ठों के साथ एक पुस्तक एम्बेडिंग मौजूद है। अधिक आम तौर पर, शीर्षों के साथ प्रत्येक पूर्ण ग्राफ की पुस्तक की मोटाई बिल्कुल होती है। यह परिणाम किसी भी-वर्टेक्स ग्राफ की अधिकतम संभव पुस्तक मोटाई पर एक ऊपरी सीमा भी देता है। पूर्ण ग्राफ की दो-पृष्ठ पार संख्या एंथनी हिल के अभी भी अप्रमाणित अनुमान से मेल खा रही है कि इस ग्राफ की अप्रतिबंधित पार संख्या क्या होनी चाहिए। अर्थात्, यदि हिल का अनुमान सही है, तो इस ग्राफ का ड्राइंग जो क्रॉसिंग की संख्या को कम करता है, दो पृष्ठ का ड्राइंग है। पूर्ण द्विदलीय ग्राफ की पुस्तक की मोटाई अधिक से अधिक है। इस पुस्तक की मोटाई के साथ एक चित्र बनाने के लिए, द्विदल के छोटे हिस्से पर प्रत्येक शीर्ष के लिए, कोई भी उस शीर्ष के साथ किनारों को अपने स्वयं के पृष्ठ पर रख सकता है। यह सीमा हमेशा तंग नहीं होती है; उदाहरण के लिए, पुस्तक की मोटाई तीन होती है, चार नहीं। हालाँकि, जब ग्राफ के दोनों पक्ष बहुत असंतुलित होते हैं, तो पुस्तक की मोटाई बिल्कुल होती है। तुरान ग्राफ के लिए (प्रति स्वतंत्र सेट के शीर्षों के स्वतंत्र सेटों से बना एक पूर्ण बहुपक्षीय ग्राफ, विभिन्न स्वतंत्र सेटों के प्रत्येक दो शीर्षों के बीच एक किनारे के साथ) पुस्तक की मोटाई के बीच सैंडविच किया जाता है और जब विषम होता है तो ऊपरी सीमा में सुधार किया जा सकता है। गुण-समतलीयता और बाह्य-समतलीयता किसी दिए गए ग्राफ की पुस्तक की मोटाई अधिकतम एक होती है यदि वह एक बाह्य-समतलीय ग्राफ हो। एक बाहरी समतल ग्राफ एक ग्राफ है जिसमें एक समतल एम्बेडिंग होती है जिसमें सभी शीर्ष एम्बेडिंग के बाहरी चेहरे से संबंधित होते हैं। इस तरह के ग्राफ के लिए, शीर्षों को रीढ़ की हड्डी के साथ उसी क्रम में रखना जैसा कि वे बाहरी चेहरे में दिखाई देते हैं, दिए गए ग्राफ की एक पृष्ठ की पुस्तक एम्बेडिंग प्रदान करता है। (ग्राफ का एक अभिव्यक्ति बिंदु आवश्यक रूप से बाहरी चेहरे के चारों ओर शीर्षों के चक्रीय क्रम में एक से अधिक बार दिखाई देगा, लेकिन उन प्रतियों में से केवल एक को पुस्तक एम्बेडिंग में शामिल किया जाना चाहिए।) इसके विपरीत, एक पृष्ठ की पुस्तक एम्बेडिंग स्वचालित रूप से एक बाहरी समतल एम्बेडिंग है। क्योंकि, यदि एक ग्राफ को एक पृष्ठ पर एम्बेड किया गया है, और एक अन्य अर्ध-तल को रीढ़ की हड्डी से जोड़ा गया है ताकि इसके पृष्ठ को एक पूर्ण तल तक बढ़ाया जा सके, तो एम्बेडिंग के बाहरी चेहरे में पूरे जोड़े गए अर्ध-तल शामिल हैं, और सभी शीर्ष इस बाहरी चेहरे पर स्थित हैं। प्रत्येक दो पृष्ठ की पुस्तक एम्बेडिंग एक समतल एम्बेडिंग का एक विशेष मामला है, क्योंकि एक पुस्तक के दो पृष्ठों का संयोजन एक स्थान है जो स्थलाकृतिक रूप से पूरे तल के बराबर है। इसलिए, पुस्तक की मोटाई दो वाला प्रत्येक ग्राफ स्वचालित रूप से एक समतलीय ग्राफ होता है। अधिक सटीक रूप से, एक ग्राफ की पुस्तक मोटाई अधिकतम दो होती है यदि और केवल तभी जब एक समतल ग्राफ का एक उपग्राफ है जिसमें हैमिल्टनियन चक्र है। यदि एक ग्राफ को दो-पृष्ठ एम्बेडिंग दी जाती है, तो इसे रीढ़ की हड्डी के साथ किसी भी दो लगातार शीर्षों के बीच (किसी भी पृष्ठ में) अतिरिक्त किनारों को जोड़कर एक समतल हैमिल्टनियन ग्राफ में बढ़ाया जा सकता है जो पहले से ही आसन्न नहीं हैं, और पहले और अंतिम रीढ़ के शीर्षों के बीच हैं। गोल्डनर-हैरी ग्राफ एक समतलीय ग्राफ का एक उदाहरण प्रदान करता है जिसमें पुस्तक की मोटाई दो नहीं होती हैः यह एक अधिकतम समतलीय ग्राफ है, इसलिए समतलीयता को संरक्षित करते हुए इसमें किसी भी किनारे को जोड़ना संभव नहीं है, और इसमें हैमिल्टनियन चक्र नहीं है। हैमिल्टनियन चक्रों द्वारा इस लक्षण वर्णन के कारण, जिन ग्राफों में दो पृष्ठ की पुस्तक एम्बेडिंग होती है, उन्हें सबहैमिल्टनियन ग्राफ के रूप में भी जाना जाता है। जिन सभी समतल ग्राफों की अधिकतम डिग्री अधिकतम चार है, उनकी पुस्तक की मोटाई अधिकतम दो होती है। समतल 3-पेड़ों की पुस्तक की मोटाई अधिकतम तीन होती है। अधिक आम तौर पर, सभी समतल ग्राफों में पुस्तक की मोटाई चार होती है। 1986 में मिहालिस यन्नाकाकिस द्वारा यह दावा किया गया है कि कुछ समतल ग्राफ मौजूद हैं जिनकी पुस्तक की मोटाई ठीक चार है। हालाँकि, इस दावे का एक विस्तृत प्रमाण, जो बाद के एक जर्नल पेपर में घोषित किया गया था, 2020 तक ज्ञात नहीं था, जब बेकोस एट अल। तीन चौड़ाई 4 के साथ समतल ग्राफ प्रस्तुत किए गए हैं जिनके लिए किसी भी पुस्तक एम्बेडिंग में चार पृष्ठों की आवश्यकता होती है। उपखंडों के तहत व्यवहार ग्राफ के प्रत्येक किनारे को दो-किनारे वाले रास्तों में विभाजित करना, प्रत्येक किनारे के भीतर नए शीर्ष जोड़कर, कभी-कभी इसकी पुस्तक की मोटाई को बढ़ा सकता है। उदाहरण के लिए, हीरे के ग्राफ में पुस्तक की मोटाई एक है (यह बाहरी समतल है) लेकिन इसके उपखंड में पुस्तक की मोटाई दो है (यह समतल और उप-हेमिल्टोनियन है लेकिन बाहरी समतल नहीं है)। हालांकि, यह उपखंड प्रक्रिया कभी-कभी उपविभाजित ग्राफ की पुस्तक की मोटाई को भी काफी कम कर सकती है। उदाहरण के लिए, पूर्ण ग्राफ की पुस्तक की मोटाई इसके शीर्षों की संख्या के समानुपाती होती है, लेकिन इसके प्रत्येक किनारे को दो-किनारे वाले मार्ग में विभाजित करने से एक उपखंड उत्पन्न होता है जिसकी पुस्तक की मोटाई बहुत कम होती है। इस तरह के उदाहरणों के अस्तित्व के बावजूद, अनुमान लगाया कि एक उपखंड की पुस्तक की मोटाई मूल ग्राफ की तुलना में बहुत कम नहीं हो सकती है। विशेष रूप से, उन्होंने अनुमान लगाया कि एक ऐसा कार्य मौजूद है कि, प्रत्येक ग्राफ के लिए और प्रत्येक किनारे को दो-किनारे वाले पथ से बदलकर बनाए गए ग्राफ के लिए, यदि पुस्तक की मोटाई है तो पुस्तक की मोटाई अधिक से अधिक है। उनका अनुमान गलत निकलाः तारों और त्रिकोणीय झुकाव के कार्टेशियन उत्पादों द्वारा बनाए गए ग्राफों में असीमित पुस्तक की मोटाई होती है, लेकिन उनके किनारों को छह-किनारे वाले रास्तों में विभाजित करने से उनकी पुस्तक की मोटाई तीन हो जाती है। अन्य ग्राफ अपरिवर्तनीयों से संबंध पुस्तक की मोटाई मोटाई से संबंधित है, जो दिए गए ग्राफ के किनारों को कवर करने के लिए आवश्यक समतल ग्राफ की संख्या है। एक ग्राफ की मोटाई होती है यदि इसे समतल में खींचा जा सकता है, और इसके किनारों को रंगों से इस तरह से रंगा जाता है कि एक दूसरे के समान रंग के किनारे पार न हों। समान रूप से, एक ग्राफ में पुस्तक की मोटाई होती है यदि इसे आधे तल में खींचा जा सकता है, इसके शीर्ष आधे तल की सीमा पर होते हैं, इसके किनारे रंगों से रंगीन होते हैं और एक ही रंग के दो किनारों के बीच कोई पार नहीं होता है। पुस्तक की मोटाई के इस सूत्रीकरण में, किनारों के रंग पुस्तक एम्बेडिंग के पृष्ठों के अनुरूप होते हैं। हालांकि, मोटाई और पुस्तक की मोटाई एक दूसरे से बहुत अलग हो सकती हैः दो मोटाई होने के बावजूद, ऐसे ग्राफ (पूर्ण ग्राफ के उपखंड) मौजूद हैं जिनमें असीमित पुस्तक की मोटाई होती है। त्रि-चौड़ाई के ग्राफों में अधिक से अधिक पुस्तक की मोटाई होती है और यह सीमा के लिए तंग होती है। किनारों वाले ग्राफों में पुस्तक की मोटाई होती है, और वंश के ग्राफों में पुस्तक की मोटाई होती है। आम तौर पर, प्रत्येक लघु-बंद ग्राफ परिवार में पुस्तक की मोटाई सीमित होती है। दूसरी ओर, 1-समतलीय ग्राफ, जो नाबालिगों के नीचे बंद नहीं होते हैं, उनमें भी पुस्तक की मोटाई सीमित होती है, लेकिन कुछ 1-समतलीय ग्राफों में पुस्तक की मोटाई कम से कम चार होती है। बाउंडेड बुक थिकनेस के ग्राफ का प्रत्येक उथला माइनर एक विरल ग्राफ होता है, जिसके किनारों और शीर्षों का अनुपात एक स्थिरांक से घिरा होता है जो केवल माइनर की गहराई और बुक थिकनेस पर निर्भर करता है। अर्थात्, की शब्दावली में, बाउंडेड बुक थिकनेस के ग्राफ ने बाउंडेड एक्सपेंशन किया है। हालाँकि, यहाँ तक कि बाउंडेड डिग्री के ग्राफ, जो बाउंडेड एक्सपेंशन की तुलना में बहुत अधिक मजबूत आवश्यकता है, में भी असीमित पुस्तक मोटाई हो सकती है। क्योंकि पुस्तक की मोटाई दो के ग्राफ समतलीय ग्राफ होते हैं, वे समतलीय विभाजक प्रमेय का पालन करते हैंः उनके पास विभाजक होते हैं, शीर्षों के उपसमुच्चय जिनके हटाने से ग्राफ को टुकड़ों में विभाजित किया जाता है, जिनमें से प्रत्येक में अधिक से अधिक शीर्ष होते हैं, विभाजक में केवल शीर्ष होते हैं। यहाँ, ग्राफ में शीर्षों की संख्या को संदर्भित करता है। हालांकि, पुस्तक की मोटाई तीन के ग्राफ मौजूद हैं जिनमें उपरेखीय आकार के विभाजक नहीं हैं। एक पुस्तक एम्बेडिंग के एकल पृष्ठ के भीतर के किनारे कुछ तरीकों से स्टैक डेटा संरचना की तरह व्यवहार करते हैं। इसे एक स्टैक पर पुश और पॉप संचालन के एक मनमाने अनुक्रम पर विचार करके औपचारिक रूप दिया जा सकता है, और एक ग्राफ बनाया जा सकता है जिसमें स्टैक संचालन ग्राफ के शीर्षों के अनुरूप होता है, जिसे एक पुस्तक एम्बेडिंग की रीढ़ के साथ अनुक्रम क्रम में रखा जाता है। फिर, यदि कोई प्रत्येक पॉप ऑपरेशन से एक किनारा खींचता है जो स्टैक से किसी वस्तु को पॉप करता है, तो पिछले पुश ऑपरेशन को धक्का देता है, जिसके परिणामस्वरूप ग्राफ में स्वचालित रूप से एक-पृष्ठ एम्बेडिंग होगी। एहि कारणसँ ग्राफक पृष्ठ संख्याकेँ एकर स्टैक संख्या सेहो कहल गेल अछि। इसी तरह, कोई भी कतार डेटा संरचना के एनक्यू और डीक्यू संचालन के एक मनमाने अनुक्रम पर विचार कर सकता है, और एक ग्राफ बना सकता है जिसमें इन कार्यों को इसके शीर्ष के रूप में रखा गया है, जिसे प्रत्येक एनक्यू ऑपरेशन और संबंधित डीक्यू के बीच एक किनारे के साथ एक पृष्ठ की रीढ़ पर रखा गया है। फिर, इस ग्राफ में, प्रत्येक दो किनारे या तो रीढ़ की हड्डी पर अलग-अलग अंतराल को पार करेंगे या कवर करेंगे। सादृश्य से, शोधकर्ताओं ने एक ग्राफ की कतार एम्बेडिंग को एक टोपोलॉजिकल पुस्तक में एम्बेडिंग के रूप में परिभाषित किया है कि प्रत्येक शीर्ष रीढ़ की हड्डी पर स्थित है, प्रत्येक किनारा एक पृष्ठ में स्थित है, और एक ही पृष्ठ में प्रत्येक दो किनारे या तो पार करते हैं या रीढ़ पर अलग-अलग अंतराल को कवर करते हैं। ग्राफ की कतार एम्बेडिंग के लिए आवश्यक पृष्ठों की न्यूनतम संख्या को इसकी कतार संख्या कहा जाता है। कम्प्यूटेशनल जटिलता ग्राफ की पुस्तक की मोटाई खोजना एन. पी.-कठिन है। यह इस तथ्य से मिलता है कि अधिकतम समतलीय ग्राफ में हैमिल्टनियन चक्रों का पता लगाना एन. पी.-पूर्ण है। एक अधिकतम समतलीय ग्राफ में, पुस्तक की मोटाई दो होती है यदि और केवल तभी जब एक हैमिल्टनियन चक्र मौजूद हो। इसलिए, यह परीक्षण करने के लिए भी एन. पी.-पूर्ण है कि क्या दिए गए अधिकतम समतलीय ग्राफ की पुस्तक की मोटाई दो है। यदि एक एम्बेडिंग की रीढ़ के साथ एक ग्राफ के शीर्षों का एक क्रम तय किया जाता है, तो एक दो-पृष्ठ एम्बेडिंग (यदि यह मौजूद है) रैखिक समय में पाया जा सकता है, एक ग्राफ के लिए प्लेनेरिटी परीक्षण के एक उदाहरण के रूप में दिए गए ग्राफ को उनके रीढ़ के क्रम में शीर्षों को जोड़ने वाले चक्र के साथ बढ़ाते हुए बनाया गया है। दावा किया कि एक निश्चित रीढ़ के क्रम के साथ तीन-पृष्ठ एम्बेडिंग का पता लगाना भी बहुपद समय में किया जा सकता है, हालांकि इस परिणाम के उनके लेखन में कई विवरण शामिल नहीं हैं। हालांकि, जिन ग्राफों के लिए चार या अधिक पृष्ठों की आवश्यकता होती है, उनमें पृष्ठों की न्यूनतम संभव संख्या के साथ एक एम्बेडिंग खोजने की समस्या एन. पी.-हार्ड बनी रहती है, जो वृत्त ग्राफों को रंगने की एन. पी.-हार्ड समस्या, एक वृत्त के तारों के प्रतिच्छेदन ग्राफ के समतुल्यता के माध्यम से होती है। अपने शीर्षों के लिए एक निश्चित रीढ़ क्रम के साथ एक ग्राफ को देखते हुए, इन शीर्षों को एक वृत्त के चारों ओर एक ही क्रम में खींचना और रेखा खंडों के रूप में किनारों को खींचना तारों का एक संग्रह उत्पन्न करता है। इसके बाद एक वृत्त ग्राफ बनाया जा सकता है जिसमें इस आरेख के तार शीर्ष के रूप में होते हैं और तारों के जोड़े को किनारों के रूप में पार किया जाता है। वृत्त ग्राफ का एक रंग उपसमुच्चय के किनारों के विभाजन का प्रतिनिधित्व करता है जिसे एक पृष्ठ पर पार किए बिना खींचा जा सकता है। इसलिए, एक इष्टतम रंग एक इष्टतम पुस्तक एम्बेडिंग के बराबर है। चूँकि चार या अधिक रंगों के साथ वृत्त ग्राफ का रंग एन. पी.-कठोर होता है, और चूँकि किसी भी वृत्त ग्राफ को किसी पुस्तक एम्बेडिंग समस्या से इस तरह से बनाया जा सकता है, इसलिए यह इस प्रकार है कि इष्टतम पुस्तक एम्बेडिंग भी एन. पी.-कठोर है। दो पृष्ठ के पुस्तक रेखाचित्र की रीढ़ पर एक निश्चित शीर्ष क्रम के लिए, जब यह संख्या गैर-शून्य होती है तो क्रॉसिंग की संख्या को कम करना भी एन. पी.-कठिन होता है। यदि रीढ़ की हड्डी का क्रम अज्ञात है लेकिन किनारों का दो पृष्ठों में विभाजन दिया गया है, तो एस. पी. क्यू. आर. पेड़ों पर आधारित एक एल्गोरिथ्म द्वारा रैखिक समय में 2-पृष्ठ एम्बेडिंग (यदि यह मौजूद है) खोजना संभव है। हालांकि, यह 2-पृष्ठ एम्बेडिंग खोजने के लिए एन. पी.-पूर्ण है जब न तो रीढ़ की हड्डी का क्रम और न ही किनारे विभाजन ज्ञात है। ग्राफ की बुक क्रॉसिंग संख्या का पता लगाना भी एन. पी.-कठिन है, क्योंकि परीक्षण के विशेष मामले की एन. पी.-पूर्णता के कारण कि क्या 2-पृष्ठ क्रॉसिंग संख्या शून्य है। बाउंडेड एक्सपेंशन के परिणामस्वरूप, सबग्राफ आइसोमोर्फिज्म समस्या, यह पता लगाने के लिए कि क्या बाउंडेड साइज का एक पैटर्न ग्राफ एक बड़े ग्राफ के सबग्राफ के रूप में मौजूद है, रैखिक समय में हल किया जा सकता है जब बड़े ग्राफ ने पुस्तक की मोटाई को बाउंडेड किया हो। यही बात यह पता लगाने के लिए भी सच है कि क्या पैटर्न ग्राफ बड़े ग्राफ का एक प्रेरित उपग्राफ है, या क्या इसमें बड़े ग्राफ के लिए एक ग्राफ समरूपता है। इसी कारण से, यह परीक्षण करने की समस्या कि क्या बाउंडेड बुक थिकनेस का ग्राफ फर्स्ट ऑर्डर लॉजिक के दिए गए सूत्र का पालन करता है, फिक्स्ड-पैरामीटर ट्रैक्टेबल है। समस्या को बूलियन संतोषजनक समस्या के एक उदाहरण में बदलकर और परिणामी समस्या के लिए एक एस. ए. टी. समाधानक लागू करके इष्टतम पुस्तक एम्बेडिंग खोजने के लिए एक प्रणाली का वर्णन करें। उनका कहना है कि उनकी प्रणाली लगभग 20 मिनट में 400-वर्टेक्स अधिकतम समतल ग्राफ के लिए एक इष्टतम एम्बेडिंग खोजने में सक्षम है। अनुप्रयोग दोष-सहिष्णु बहु-प्रसंस्करण पुस्तक एम्बेडिंग का अध्ययन करने के लिए मुख्य प्रेरणाओं में से एक, जिसमें दोष-सहिष्णु बहु-प्रोसेसरों के संगठन के लिए वी. एल. एस. आई. डिजाइन में एक अनुप्रयोग शामिल है। इन लेखकों द्वारा विकसित डी. आई. ओ. जी. एन. ई. एस. प्रणाली में, एक मल्टीप्रोसेसर प्रणाली के सी. पी. यू. को एक पुस्तक की रीढ़ के अनुरूप एक तार्किक अनुक्रम में व्यवस्थित किया जाता है (हालांकि इस अनुक्रम को आवश्यक रूप से इस प्रणाली के भौतिक लेआउट में एक रेखा के साथ नहीं रखा जा सकता है)। इन प्रोसेसरों को जोड़ने वाले संचार लिंक को "बंडलों" में समूहीकृत किया जाता है जो एक पुस्तक के पृष्ठों के अनुरूप होते हैं और ढेर की तरह काम करते हैंः प्रोसेसरों में से एक को एक नए संचार लिंक की शुरुआत से जोड़ना बंडल में सभी पिछले लिंक को ऊपर की ओर धकेलता है, और एक संचार लिंक के अंत में दूसरे प्रोसेसर को जोड़ना इसे बंडल के नीचे वाले से जोड़ता है और अन्य सभी को नीचे गिरा देता है। इस ढेर व्यवहार के कारण, एक एकल बंडल संचार लिंक के एक समूह को संभाल सकता है जो एक पुस्तक एम्बेडिंग में एक पृष्ठ के किनारों का निर्माण करता है। इस तरह से लिंक को व्यवस्थित करके, विभिन्न प्रकार के नेटवर्क टोपोलॉजी को लागू किया जा सकता है, चाहे कौन से प्रोसेसर दोषपूर्ण हो गए हों, जब तक कि नेटवर्क को लागू करने के लिए पर्याप्त गैर-दोषपूर्ण प्रोसेसर बने रहते हैं। इस प्रणाली द्वारा जिन नेटवर्क टोपोलॉजी को लागू किया जा सकता है, वे ठीक वही हैं जिनकी पुस्तक की मोटाई उपलब्ध कराए गए बंडलों की संख्या के बराबर है। बुक एम्बेडिंग का उपयोग सर्किट की परतों में वी. एल. एस. आई. घटकों को जोड़ने वाले तारों के स्थान का मॉडल बनाने के लिए भी किया जा सकता है। स्टैक छँटाई स्टैक का उपयोग करके क्रमपरिवर्तन को छँटाई करने की चिंताओं द्वारा उद्धृत एक अन्य अनुप्रयोग है। एक प्रभावशाली परिणाम से पता चला कि एक प्रणाली जो आने वाले तत्वों को एक स्टैक पर धकेलकर एक डेटा स्ट्रीम को संसाधित करती है और फिर, उचित रूप से चुने गए समय पर, उन्हें स्टैक से एक आउटपुट स्ट्रीम पर डालती है, वह डेटा को तभी क्रमबद्ध कर सकती है जब इसके प्रारंभिक क्रम को एक क्रमपरिवर्तन द्वारा वर्णित किया जाता है जो क्रमपरिवर्तन पैटर्न 232 से बचाता है। तब से, ढेर और कतारों की अधिक सामान्य प्रणालियों द्वारा डेटा धाराओं को छांटने की समान समस्याओं पर बहुत काम किया गया है। द्वारा विचार की गई प्रणाली में, एक इनपुट डेटा स्ट्रीम से प्रत्येक तत्व को कई ढेरों में से एक पर धकेल दिया जाना चाहिए। फिर, एक बार जब सभी डेटा को इस तरह से आगे बढ़ाया जाता है, तो वस्तुओं को इन ढेरों से (एक उपयुक्त क्रम में) एक आउटपुट स्ट्रीम पर पॉप किया जाता है। चुंग एट अल के रूप में। ध्यान दें, एक दिए गए क्रमपरिवर्तन को इस प्रणाली द्वारा तभी क्रमबद्ध किया जा सकता है जब क्रमपरिवर्तन से प्राप्त एक निश्चित ग्राफ में रीढ़ की हड्डी के साथ एक निश्चित निश्चित क्रम में शीर्षों के साथ एक पुस्तक अंतर्निहित हो और कई पृष्ठ हों जो ढेर की संख्या के बराबर हों। यातायात नियंत्रण जैसा कि वर्णित है, एक नियंत्रित चौराहे पर यातायात संकेत के चरणों का वर्णन करने के लिए एक पुस्तक एम्बेडिंग का उपयोग किया जा सकता है। एक चौराहे पर, यातायात की आने वाली और जाने वाली लेन (पैदल चलने वालों के क्रॉसवॉक और साइकिल लेन के साथ-साथ मोटर वाहनों के लिए लेन सहित) को एक ग्राफ के शीर्ष के रूप में दर्शाया जा सकता है, जो जंक्शन के चारों ओर घड़ी की दिशा में एक पुस्तक की रीढ़ की हड्डी पर रखा जाता है। आने वाली लेन से बाहर जाने वाली लेन तक जाने के लिए यातायात द्वारा लिए गए चौराहे के माध्यम से रास्तों को एक दिशाहीन ग्राफ के किनारों के रूप में दर्शाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, इस ग्राफ में यातायात की आने वाली लेन से बाहर जाने वाली लेन का एक किनारा हो सकता है जो दोनों सड़क के एक ही खंड से संबंधित हैं, जो उस खंड से उस खंड में वापस यू-टर्न का प्रतिनिधित्व करता है, केवल तभी जब जंक्शन पर यू-टर्न की अनुमति हो। इन किनारों के दिए गए उपसमुच्चय के लिए, उपसमुच्चय पथों के एक संग्रह का प्रतिनिधित्व करता है जिन्हें एक-दूसरे के हस्तक्षेप के बिना पार किया जा सकता है यदि और केवल तभी जब उपसमुच्चय में किनारों की कोई जोड़ी शामिल नहीं है जो पार होगी यदि दोनों किनारों को एक पुस्तक एम्बेडिंग के एक पृष्ठ में रखा गया था। इस प्रकार, इस ग्राफ की एक पुस्तक एम्बेडिंग गैर-हस्तक्षेप करने वाले उपसमुच्चय में पथों के विभाजन का वर्णन करती है, और इस ग्राफ की पुस्तक की मोटाई (रीढ़ पर इसकी निश्चित एम्बेडिंग के साथ) एक संकेत अनुसूची के लिए आवश्यक अलग-अलग चरणों की न्यूनतम संख्या देती है जिसमें जंक्शन के माध्यम से सभी संभावित यातायात मार्ग शामिल हैं। ग्राफ ड्राइंग बुक एम्बेडिंग को अक्सर नेटवर्क डेटा के विज़ुअलाइज़ेशन में भी लागू किया गया है। ग्राफ ड्राइंग में दो मानक लेआउट, चाप आरेख और गोलाकार लेआउट, को पुस्तक एम्बेडिंग के रूप में देखा जा सकता है, और पुस्तक एम्बेडिंग को क्लस्टर लेआउट, एक साथ एम्बेडिंग और त्रि-आयामी ग्राफ ड्राइंग के निर्माण में भी लागू किया गया है। एक चाप आरेख या रैखिक एम्बेडिंग एक रेखा के साथ एक ग्राफ के शीर्षों को रखता है, और ग्राफ के किनारों को इस रेखा के ऊपर या नीचे अर्धवृत्त के रूप में खींचता है, कभी-कभी रेखा के खंडों पर किनारों को खींचने की भी अनुमति देता है। यह ड्राइंग शैली या तो एक पृष्ठ (यदि सभी अर्धवृत्त रेखा के ऊपर हैं) या दो पृष्ठों (यदि रेखा के दोनों किनारों का उपयोग किया जाता है) के साथ एक पुस्तक एम्बेडिंग से मेल खाती है, और मूल रूप से ग्राफ की क्रॉसिंग संख्या का अध्ययन करने के तरीके के रूप में पेश की गई थी। जिन समतल आलेखों में दो पृष्ठ की पुस्तक एम्बेडिंग नहीं होती है, उन्हें भी इसी तरह से खींचा जा सकता है, ताकि उनके किनारों को रेखा के ऊपर और नीचे कई अर्धवृत्तों द्वारा दर्शाया जा सके। इस तरह का चित्र सामान्य परिभाषा के अनुसार एक पुस्तक एम्बेडिंग नहीं है, बल्कि इसे एक टोपोलॉजिकल पुस्तक एम्बेडिंग कहा गया है। प्रत्येक समतल ग्राफ के लिए, हमेशा ऐसा एम्बेडिंग खोजना संभव होता है जिसमें प्रत्येक किनारा रीढ़ की हड्डी को अधिक से अधिक एक बार पार कर जाए। एक अन्य ड्राइंग शैली में, वृत्ताकार लेआउट, एक ग्राफ के शीर्षों को एक वृत्त पर रखा जाता है और किनारों को वृत्त के अंदर या बाहर खींचा जाता है। फिर, वृत्त के भीतर किनारों का स्थान (उदाहरण के लिए सीधी रेखा खंडों के रूप में) एक पृष्ठ के पुस्तक चित्र से मेल खाता है, जबकि वृत्त के अंदर और बाहर दोनों स्थान दो पृष्ठ के पुस्तक चित्र से मेल खाते हैं। किसी भी शैली के एक पृष्ठ के चित्र के लिए, चित्र के दृश्य अव्यवस्था को कम करने के तरीके के रूप में क्रॉसिंग की संख्या को छोटा रखना महत्वपूर्ण है। क्रॉसिंग की संख्या को कम करना एन. पी.-पूर्ण है, लेकिन शीर्षों की संख्या के अनुमानित अनुपात के साथ अनुमानित किया जा सकता है। एक-पृष्ठ या दो-पृष्ठ क्रॉसिंग संख्या को न्यूनतम करना निश्चित-पैरामीटर ट्रैक्टेबल है जब दिए गए ग्राफ की साइक्लोमैटिक संख्या द्वारा या क्रॉसिंग संख्या और ग्राफ की त्रि-चौड़ाई के संयोजन द्वारा पैरामीटर किया जाता है। पार करने की जटिलता को कम करने के लिए अनुसंधानात्मक तरीके भी तैयार किए गए हैं, उदाहरण के लिए। एक सावधानीपूर्वक शीर्ष सम्मिलन क्रम और स्थानीय अनुकूलन पर। पृष्ठों में किनारों के एक निश्चित विभाजन के साथ दो पृष्ठों की पुस्तक एम्बेडिंग की व्याख्या क्लस्टर्ड प्लेनेरिटी के एक रूप के रूप में की जा सकती है, जिसमें दिए गए ग्राफ को इस तरह से खींचा जाना चाहिए कि ग्राफ के कुछ हिस्सों (किनारों के दो सबसेट) को ड्राइंग में इस तरह से रखा जाए जो उनकी क्लस्टरिंग को दर्शाता है। दो-पृष्ठ पुस्तक एम्बेडिंग का उपयोग ग्राफ के एक साथ एम्बेडिंग खोजने के लिए भी किया गया है, जिसमें दो ग्राफ एक ही शीर्ष सेट पर दिए गए हैं और किसी को उन शीर्षों के लिए एक स्थान खोजना चाहिए जिसमें दोनों ग्राफ सीधे किनारों के साथ समतल रूप से खींचे गए हैं। ग्राफ के त्रि-आयामी चित्र बनाने के लिए दो से अधिक पृष्ठों वाली पुस्तक एम्बेडिंग का भी उपयोग किया गया है। विशेष रूप से, पुस्तक एम्बेडिंग के लिए एक निर्माण का उपयोग किया जाता है जो कम मात्रा के त्रि-आयामी ग्रिड में ग्राफ को एम्बेड करने की विधि के हिस्से के रूप में प्रत्येक पृष्ठ के भीतर प्रत्येक शीर्ष की डिग्री को कम रखता है। आर. एन. ए. तह आर. एन. ए. अणुओं को अपनी संरचना बनाने के लिए कैसे मोड़ते हैं, इसके अध्ययन में, न्यूक्लिक एसिड द्वितीयक संरचना के मानक रूप को आरेखात्मक रूप से आधारों की एक श्रृंखला (आर. एन. ए. अनुक्रम स्वयं) के रूप में वर्णित किया जा सकता है, जिसे एक रेखा के साथ खींचा जाता है, साथ ही संरचना के आधार जोड़े का वर्णन करने वाली रेखा के ऊपर चापों के संग्रह के साथ। अर्थात्, यद्यपि इन संरचनाओं में वास्तव में एक जटिल त्रि-आयामी आकार होता है, उनकी कनेक्टिविटी (जब एक माध्यमिक संरचना मौजूद होती है) को एक अधिक अमूर्त संरचना, एक पृष्ठ की पुस्तक एम्बेडिंग द्वारा वर्णित किया जा सकता है। हालाँकि, सभी आर. एन. ए. मोड़ इस सरल तरीके से व्यवहार नहीं करते हैं। कुछ आर. एन. ए. सूडोकनॉट्स के लिए एक तथाकथित "द्वि-द्वितीयक संरचना" का प्रस्ताव दिया है जो दो-पृष्ठ पुस्तक एम्बेडिंग का रूप लेता हैः आर. एन. ए. अनुक्रम को फिर से एक रेखा के साथ खींचा जाता है, लेकिन बेसपेयर को इस रेखा के ऊपर और नीचे दोनों चापों के रूप में खींचा जाता है। एक द्वि-द्वितीयक संरचना बनाने के लिए, एक ग्राफ में अधिकतम तीन डिग्री होनी चाहिएः आधार अनुक्रम में अपने पड़ोसियों के दो लिंक के अलावा, प्रत्येक आधार आरेख के केवल एक चाप में भाग ले सकता है। इस सूत्रीकरण के लाभों में ये तथ्य शामिल हैं कि यह उन संरचनाओं को शामिल नहीं करता है जो वास्तव में अंतरिक्ष में गांठदार हैं, और यह कि यह सबसे ज्ञात आर. एन. ए. सूडोकनॉट्स से मेल खाता है। चूँकि इस अनुप्रयोग के लिए रीढ़ की हड्डी के क्रम को पहले से ही जाना जाता है, इसलिए किसी दिए गए बेसपेयरिंग के लिए द्वि-माध्यमिक संरचना के अस्तित्व के लिए परीक्षण करना सीधा है। दो पृष्ठों को संगत तरीके से किनारों को निर्दिष्ट करने की समस्या को या तो 2-संतुष्टि के उदाहरण के रूप में या वृत्त ग्राफ की द्विदलीयता का परीक्षण करने की समस्या के रूप में तैयार किया जा सकता है, जिसके शीर्ष आधार-जोड़े हैं और जिनके किनारे आधार-जोड़े के बीच क्रॉसिंग का वर्णन करते हैं। वैकल्पिक रूप से और अधिक कुशलता से, जैसा कि दिखाया गया है, एक द्वि-द्वितीयक संरचना तभी मौजूद होती है जब इनपुट का आरेख ग्राफ (आधारों को उनके अनुक्रम क्रम में एक चक्र में जोड़कर और दिए गए आधार जोड़े को किनारों के रूप में जोड़कर बनाया गया ग्राफ) एक समतलीय ग्राफ हो। यह लक्षण वर्णन द्वि-माध्यमिक संरचनाओं को रैखिक समय में समतलीय परीक्षण के एक उदाहरण के रूप में पहचाने जाने की अनुमति देता है। आर. एन. ए. माध्यमिक संरचना की तुलना में कुछ समस्याओं की एन. पी.-कठोरता के प्रमाण के हिस्से के रूप में माध्यमिक संरचनाओं और पुस्तक एम्बेडिंग के बीच संबंध का उपयोग किया गया। और यदि एक आर. एन. ए. संरचना द्वि-माध्यमिक के बजाय तृतीयक है (यानी, यदि इसे अपने आरेख में दो से अधिक पृष्ठों की आवश्यकता है), तो पृष्ठ संख्या का निर्धारण फिर से एन. पी.-हार्ड है। कम्प्यूटेशनल जटिलता सिद्धांत ने निर्देशित ग्राफ में पहुंच की समस्या के कम्प्यूटेशनल जटिलता सिद्धांत का अध्ययन करने के लिए पुस्तक एम्बेडिंग का उपयोग किया। जैसा कि उन्होंने देखा है, दो-पृष्ठ निर्देशित ग्राफों की पहुंच को असंदिग्ध लघुगणक स्थान (लघुगणक स्थान जटिलता के लिए, असंदिग्ध बहुपद-समय समस्याओं के वर्ग यूपी का अनुरूप) में हल किया जा सकता है। हालांकि, तीन पृष्ठ निर्देशित ग्राफ के लिए पहुंच के लिए गैर-निर्धारक लघुगणक स्थान की पूरी शक्ति की आवश्यकता होती है। इस प्रकार, पुस्तक एम्बेडिंग इन दो जटिलता वर्गों के बीच अंतर के साथ घनिष्ठ रूप से जुड़ी हुई प्रतीत होती है। स्थिर पृष्ठ संख्या के साथ विस्तारक ग्राफ का अस्तित्व यह साबित करने के लिए महत्वपूर्ण कदम है कि एक-टेप गैर-निर्धारक ट्यूरिंग मशीनों द्वारा दो-टेप गैर-निर्धारक ट्यूरिंग मशीनों का कोई उप-वर्गात्मक-समय अनुकरण नहीं है। गणित के अन्य क्षेत्र अमूर्त बीजगणित में पुस्तक की मोटाई के अनुप्रयोगों का अध्ययन करते हैं, जिसमें प्रत्येक शून्य भाजक के लिए एक शीर्ष और मूल्यों की प्रत्येक जोड़ी के लिए एक किनारा बनाकर एक सीमित स्थानीय वलय के शून्य भाजकों से परिभाषित ग्राफ का उपयोग किया जाता है, जिसका गुणनफल शून्य होता है। एक बहु-पेपर अनुक्रम में, डायनिकोव ने गाँठों और लिंक की स्थलाकृतिक पुस्तक एम्बेडिंग का अध्ययन किया है, जिससे पता चलता है कि इन एम्बेडिंग को प्रतीकों के एक संयोजन अनुक्रम द्वारा वर्णित किया जा सकता है और दो लिंक की स्थलाकृतिक समानता को एम्बेडिंग में स्थानीय परिवर्तनों के अनुक्रम द्वारा प्रदर्शित किया जा सकता है। संदर्भ टोपोलॉजिकल ग्राफ सिद्धांत