Hadamard space
ज्यामिति में, एक हैडमर्ड स्थान, जिसका नाम जैक्स हैडमर्ड के नाम पर रखा गया है, एक हिल्बर्ट स्थान का एक गैर-रैखिक सामान्यीकरण है। साहित्य में उन्हें पूर्ण कैट (0) रिक्त स्थान के रूप में भी परिभाषित किया गया है। एक हैडमर्ड स्थान को एक गैर-खाली पूर्ण मीट्रिक स्थान के रूप में परिभाषित किया गया है, जैसे कि किसी भी बिंदु को देखते हुए और एक बिंदु ऐसा मौजूद है कि प्रत्येक बिंदु के लिए बिंदु तब का मध्य बिंदु है और एक हिल्बर्ट स्थान में, उपरोक्त असमानता समानता (के साथ) है, और सामान्य रूप से एक हैडमर्ड स्थान को कहा जाता है यदि उपरोक्त असमानता समानता है। एक सपाट हैडमर्ड स्थान हिल्बर्ट स्थान के एक बंद उत्तल उपसमुच्चय के लिए समरूप है। विशेष रूप से, एक मानक स्थान एक हैडमर्ड स्थान है यदि और केवल अगर यह एक हिल्बर्ट स्थान है। हैडमर्ड रिक्त स्थान की ज्यामिति हिल्बर्ट रिक्त स्थान की ज्यामिति से मिलती-जुलती है, जो इसे कठोरता प्रमेयों के अध्ययन के लिए एक प्राकृतिक सेटिंग बनाती है। हडमर्ड स्थान में, किसी भी दो बिंदुओं को उनके बीच एक अद्वितीय भूगणितीय द्वारा जोड़ा जा सकता है; विशेष रूप से, यह संकुचन योग्य है। काफी आम तौर पर, यदि एक मीट्रिक स्थान का एक बंधी हुई उपसमुच्चय है, तो इसे धारण करने वाली न्यूनतम त्रिज्या की बंद गेंद के केंद्र को सबसे छोटी बंद गेंद (जो इसके उत्तल पतवार के बंद होने के समान है) में निहित एक हडमर्ड स्थान के प्रत्येक बंधी हुई उपसमुच्चय का परिधि केंद्र कहा जाता है। यदि एक हदामर्ड स्थान के सममितियों का समूह अपरिवर्तनीय छोड़ रहा है तो (बृहत-टिट्स निश्चित बिंदु प्रमेय) के परिधि केंद्र को तय करता है। एक गैर-सकारात्मक रूप से घुमावदार मैनिफोल्ड का मूल परिणाम कार्टन-हैडमर्ड प्रमेय है। एनालॉग एक हैडमर्ड स्थान के लिए धारण करता हैः एक पूर्ण, जुड़ा हुआ मीट्रिक स्थान जो एक हैडमर्ड स्थान के लिए स्थानीय रूप से सममितीय है, उसके सार्वभौमिक आवरण के रूप में एक हैडमर्ड स्थान है। इसका संस्करण गैर-सकारात्मक रूप से घुमावदार ऑर्बिफोल्ड के लिए लागू होता है। (सी. एफ. लूरी।) हैडमर्ड रिक्त स्थान के उदाहरण हैं हिल्बर्ट रिक्त स्थान, पोइनकेयर डिस्क, पूर्ण वास्तविक वृक्ष (उदाहरण के लिए, पूर्ण ब्रुहट-टिट्स बिल्डिंग), और हैडमर्ड मैनिफोल्ड के साथ-स्थान, यानी गैर-सकारात्मक अनुभागीय वक्रता के पूर्ण सरल रूप से जुड़े रीमानियन मैनिफोल्ड। हैडमर्ड मैनिफोल्ड्स के महत्वपूर्ण उदाहरण बस गैर-सकारात्मक रूप से घुमावदार सममित रिक्त स्थान से जुड़े हुए हैं। हैडमर्ड रिक्त स्थान के अनुप्रयोग ज्यामिति तक ही सीमित नहीं हैं। 1998 में, दिमित्री बुरागो और सर्ज फर्लेगर ने गतिशील बिलियर्ड्स में एक समस्या को हल करने के लिए कैट (0) ज्यामिति का उपयोग कियाः कठोर गेंदों की गैस में, क्या टकराव की संख्या पर एक समान बंधन है? समाधान गतिशील प्रणाली के लिए एक विन्यास स्थान का निर्माण करके शुरू होता है, जो संबंधित बिलियर्ड टेबल की प्रतियों को एक साथ जोड़कर प्राप्त किया जाता है, जो एक हैडमर्ड स्थान बन जाता है। बुरागो, दिमित्री, यूरी बुरागो और सर्गेई इवानोव के संदर्भ भी देखें। मीट्रिक ज्यामिति में एक पाठ्यक्रम। अमेरिकन मैथमेटिकल सोसाइटी। (1984) जैकब लुरीः नोट्स ऑन द थ्योरी ऑफ हैडमर्ड स्पेस अलेक्जेंडर एस., कपोविच वी., पेट्रूनिन ए। अलेक्जेंड्रोव ज्यामिति कार्यात्मक विश्लेषण पर टिप्पणियाँ ज्यामितीय स्थलविज्ञान हिल्बर्ट रिक्त स्थान मीट्रिक रिक्त स्थान