Lipschitz domain
गणित में, एक लिपशिट्ज़ डोमेन (या लिपशिट्ज़ सीमा के साथ डोमेन) यूक्लिडियन स्पेस में एक डोमेन है जिसकी सीमा इस अर्थ में "पर्याप्त रूप से नियमित" है कि इसे स्थानीय रूप से एक लिपशिट्ज़ निरंतर कार्य का ग्राफ माना जा सकता है। इस शब्द का नाम जर्मन गणितशास्त्री रुडोल्फ लिप्सिट्ज़ के नाम पर रखा गया है। परिभाषा दें। मान लीजिए कि यह एक डोमेन है और इसकी सीमा को दर्शाता है। फिर एक लिपशिट्ज़ डोमेन कहा जाता है यदि प्रत्येक बिंदु के लिए आयाम का एक हाइपरप्लेन मौजूद है, उस हाइपरप्लेन पर एक लिपशिट्ज़-निरंतर फ़ंक्शन है, और ऐसा है कि एक इकाई वेक्टर जो त्रिज्या की खुली गेंद के लिए सामान्य है, दूसरे शब्दों में, इसकी सीमा के प्रत्येक बिंदु पर, स्थानीय रूप से कुछ लिपशिट्ज़ फ़ंक्शन के ग्राफ के ऊपर स्थित बिंदुओं का सेट है। सामान्यीकरण एक अधिक सामान्य धारणा कमजोर लिपशिट्ज़ डोमेन की है, जो ऐसे डोमेन हैं जिनकी सीमा बिलिपशिट्ज़ मानचित्रण द्वारा स्थानीय रूप से समतल है। ऊपर दिए गए अर्थ में लिप्सिट्ज़ डोमेन को कभी-कभी कमजोर लिप्सिट्ज़ डोमेन के विपरीत दृढ़ता से लिप्सिट्ज़ कहा जाता है। एक डोमेन कमजोर रूप से लिप्सिट्ज़ है यदि प्रत्येक बिंदु के लिए एक त्रिज्या और एक मानचित्र मौजूद है जो एक बाइजेक्शन है; और दोनों लिप्सिट्ज़ निरंतर कार्य हैं; जहां इकाई गेंद को दर्शाता है और ए (दृढ़ता से) लिप्सिट्ज़ डोमेन हमेशा एक कमजोर लिप्सिट्ज़ डोमेन होता है लेकिन विपरीत सच नहीं है। कमजोर लिपशिट्ज़ डोमेन का एक उदाहरण जो एक मजबूत लिपशिट्ज़ डोमेन होने में विफल रहता है, दो ईंटों वाले डोमेन द्वारा दिया गया है लिपशिट्ज़ डोमेन के अनुप्रयोग सोबोलेव एम्बेडिंग प्रमेय में से कई के लिए आवश्यक है कि अध्ययन का डोमेन एक लिपशिट्ज़ डोमेन हो। नतीजतन, कई आंशिक विभेदक समीकरणों और परिवर्तनशील समस्याओं को लिपशिट्ज़ डोमेन पर परिभाषित किया गया है। संदर्भ ज्यामिति लिप्सिट्ज़ ने सोबोलेव रिक्त स्थान का मानचित्रण किया