Poincaré metric
गणित में, पोइनकेयर मीट्रिक, जिसका नाम हेनरी पोइनकेयर के नाम पर रखा गया है, वह मीट्रिक टेंसर है जो निरंतर नकारात्मक वक्रता की द्वि-आयामी सतह का वर्णन करता है। यह प्राकृतिक मीट्रिक है जिसका उपयोग आमतौर पर हाइपरबोलिक ज्यामिति या रीमान सतहों में विभिन्न गणनाओं में किया जाता है। द्वि-आयामी हाइपरबोलिक ज्यामिति में आमतौर पर तीन समतुल्य प्रतिनिधित्वों का उपयोग किया जाता है। एक पोइनकेयर अर्ध-तल मॉडल है, जो ऊपरी अर्ध-तल पर हाइपरबोलिक स्थान के एक मॉडल को परिभाषित करता है। पोइनकेयर डिस्क मॉडल इकाई डिस्क पर हाइपरबोलिक स्थान के लिए एक मॉडल को परिभाषित करता है। डिस्क और ऊपरी आधा तल एक अनुरूप मानचित्र द्वारा संबंधित हैं, और सममितियाँ मोबियस परिवर्तनों द्वारा दी गई हैं। एक तीसरा प्रतिनिधित्व पंचर डिस्क पर होता है, जहाँ कभी-कभी क्यू-एनालॉग के लिए संबंध व्यक्त किए जाते हैं। इन विभिन्न प्रपत्रों की समीक्षा नीचे की गई है। रीमान सतहों पर मेट्रिक्स का अवलोकन जटिल तल पर एक मीट्रिक को आम तौर पर इस रूप में व्यक्त किया जा सकता है जहां λ और का एक वास्तविक, सकारात्मक कार्य है। इस प्रकार जटिल तल में एक वक्र की लंबाई γ द्वारा दी जाती है जटिल तल के सबसेट का क्षेत्रफल इस प्रकार दिया जाता है कि आयतन रूप के निर्माण के लिए उपयोग किया जाने वाला बाहरी उत्पाद कहाँ है। मीट्रिक का निर्धारक बराबर है, इसलिए निर्धारक का वर्गमूल है। समतल पर यूक्लिडियन आयतन रूप है और इसलिए किसी के पास एक फलन है जिसे मीट्रिक की क्षमता कहा जाता है यदि लाप्लास-बेल्ट्रामी प्रचालक को मीट्रिक की गौसी वक्रता द्वारा दिया जाता है तो यह वक्रता रिक्की स्केलर वक्रता का आधा है। सममितियाँ कोणों और चाप-लंबाई को संरक्षित करती हैं। रीमान सतहों पर, सममितियाँ निर्देशांक के परिवर्तनों के समान होती हैंः अर्थात, लाप्लास-बेल्ट्रामी प्रचालक और वक्रता दोनों सममितियों के तहत अपरिवर्तनीय होते हैं। इस प्रकार, उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि एस मीट्रिक के साथ एक रीमान सतह है और टी मीट्रिक के साथ एक रीमान सतह है। फिर एक मानचित्र के साथ एक सममिति है यदि और केवल अगर यह अनुरूप है और यदि। यहाँ, मानचित्र के अनुरूप होने की आवश्यकता उस कथन से अधिक कुछ नहीं है जो कि पोइनकेयर तल पर मीट्रिक और आयतन तत्व है पोइनकेयर अर्ध-तल मॉडल में पोइनकेयर मीट्रिक टेंसर ऊपरी अर्ध-तल एच पर दिया गया है जहाँ हम लिखते हैं और। एस. एल. (2, आर) की क्रिया के तहत यह मीट्रिक टेंसर अपरिवर्तनीय है। अर्थात्, यदि हम इसके लिए लिखते हैं तो हम उस पर काम कर सकते हैं और असीम रूप से परिवर्तित हो जाता है और इस प्रकार यह स्पष्ट हो जाता है कि एस. एल. (2, आर) के तहत मीट्रिक टेंसर अपरिवर्तनीय है। वास्तव में, अपरिवर्तनीय आयतन तत्व द्वारा दिया जाता है मीट्रिक के लिए दिया जाता है मीट्रिक का एक और दिलचस्प रूप क्रॉस-अनुपात के संदर्भ में दिया जा सकता है। किसी भी चार बिंदुओं को देखते हुए और कॉम्पैक्ट किए गए जटिल तल में क्रॉस-अनुपात को परिभाषित किया जाता है फिर मीट्रिक यहाँ द्वारा दिया जाता है, और वास्तविक संख्या रेखा पर, जियोडेसिक जॉइनिंग के अंतिम बिंदु हैं और। इन्हें क्रमांकित किया जाता है ताकि और के बीच में स्थित हो। इस मीट्रिक टेंसर के लिए भूगणितीय वास्तविक अक्ष के लंबवत गोलाकार चाप (अर्ध-वृत्त जिनका मूल वास्तविक अक्ष पर है) और वास्तविक अक्ष पर समाप्त होने वाली सीधी ऊर्ध्वाधर रेखाएँ हैं। समतल से डिस्क का अनौपचारिक मानचित्र ऊपरी आधे तल को मोबियस परिवर्तन के साथ इकाई डिस्क के अनुरूप मैप किया जा सकता है जहां डब्ल्यू इकाई डिस्क पर वह बिंदु है जो ऊपरी आधे तल में बिंदु z से मेल खाता है। इस मानचित्रण में, स्थिरांक z0 ऊपरी आधे तल में कोई भी बिंदु हो सकता है; इसे डिस्क के केंद्र में मैप किया जाएगा। वास्तविक अक्ष इकाई डिस्क के किनारे पर नक्शा बनाता है स्थिर वास्तविक संख्या का उपयोग डिस्क को मनमाने ढंग से निश्चित राशि से घुमाने के लिए किया जा सकता है। कैनोनिकल मैपिंग वह है जो i को डिस्क के केंद्र में ले जाता है, और 0 को डिस्क के नीचे ले जाता है। पॉइनकेयर डिस्क पर मीट्रिक और आयतन तत्व पॉइनकेयर डिस्क मॉडल में पॉइनकेयर मीट्रिक टेंसर को ओपन यूनिट डिस्क पर दिया जाता है। पोइनकेयर डिस्क पर जियोडेसिक प्रवाह एनोसोव प्रवाह हैं; वह लेख ऐसे प्रवाहों के लिए संकेतन विकसित करता है। पंक्चर्ड डिस्क मॉडल डिस्क के ऊपरी अर्ध-तल का दूसरा सामान्य मानचित्रण क्यू-मानचित्रण है जहाँ क्यू नोम है और τ अर्ध-अवधि अनुपात हैः पिछले खंडों के संकेतन में, τ ऊपरी अर्ध-तल में निर्देशांक है। मानचित्रण पंचर डिस्क के लिए है, क्योंकि मान q = 0 मानचित्र की छवि में नहीं है। ऊपरी अर्ध-तल पर पोइनकेयर मीट्रिक क्यू-डिस्क पर एक मीट्रिक को प्रेरित करता है मीट्रिक की क्षमता श्वार्ज लेम्मा है पोइनकेयर मीट्रिक हार्मोनिक कार्यों पर दूरी को कम कर रहा है। यह श्वार्ज़ सिद्धांत का एक विस्तार है, जिसे श्वार्ज़-अहल्फ़ोर्स-पिक प्रमेय कहा जाता है। फ्यूशियन समूह फ्यूशियन मॉडल क्लेनियन समूह पोइनकेरे डिस्क मॉडल पोइनकेरे अर्ध-समतल मॉडल प्राइम जियोडेसिक संदर्भ हर्शेल एम. फारकास और इरविन क्रा, रीमान सतह (1980), स्प्रिंगर-वेरलैग, न्यूयॉर्क को भी देखें। .. जुर्गेन जोस्ट, कॉम्पैक्ट रीमान सर्फेस (2002), स्प्रिंगर-वेरलैग, न्यूयॉर्क। (खंड 2.3 देखें)। स्वेतलाना काटोक, फ्यूशियन ग्रुप्स (1992), यूनिवर्सिटी ऑफ शिकागो प्रेस, शिकागो (एक सरल, आसानी से पठनीय परिचय प्रदान करता है।) अनौपचारिक ज्यामिति हाइपरबोलिक ज्यामिति रीमानियन ज्यामिति रीमान सतह मीट्रिक