Fluctuation-dissipation theorem
उतार-चढ़ाव-अपव्यय प्रमेय (एफ. डी. टी.) या उतार-चढ़ाव-अपव्यय संबंध (एफ. डी. आर.) सांख्यिकीय भौतिकी में विस्तृत संतुलन का पालन करने वाली प्रणालियों के व्यवहार की भविष्यवाणी करने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण है। यह देखते हुए कि एक प्रणाली विस्तृत संतुलन का पालन करती है, प्रमेय एक प्रमाण है कि एक भौतिक चर में ऊष्मागतिकीय उतार-चढ़ाव एक ही भौतिक चर (जैसे वोल्टेज, तापमान अंतर, आदि) के प्रवेश या प्रतिबाधा (उनके सामान्य अर्थों में, न केवल विद्युत चुम्बकीय शब्दों में) द्वारा मात्रात्मक प्रतिक्रिया की भविष्यवाणी करते हैं। ), और इसके विपरीत। उतार-चढ़ाव-अपव्यय प्रमेय शास्त्रीय और क्वांटम यांत्रिक प्रणालियों दोनों पर लागू होता है। हर्बर्ट कॉलन और थियोडोर वेल्टन ने 1951 में उतार-चढ़ाव-अपव्यय प्रमेय को सिद्ध किया और रियोगो कुबो ने इसका विस्तार किया। सामान्य प्रमेय के पूर्ववर्ती हैं, जिसमें आइंस्टीन द्वारा अपने एनस मिराबिलिस के दौरान ब्राउनियन गति की व्याख्या और 1928 में हैरी न्यक्विस्ट द्वारा विद्युत प्रतिरोधकों में जॉनसन शोर की व्याख्या शामिल है। गुणात्मक अवलोकन और उदाहरण उतार-चढ़ाव-अपव्यय प्रमेय कहता है कि जब कोई प्रक्रिया होती है जो ऊर्जा को नष्ट करती है, तो उसे ऊष्मा में बदल देती है (जैसे, घर्षण), तो ऊष्मीय उतार-चढ़ाव से संबंधित एक विपरीत प्रक्रिया होती है। इसे कुछ उदाहरणों पर विचार करके सबसे अच्छी तरह से समझा जा सकता हैः ड्रैग और ब्राउनियन गति यदि कोई वस्तु किसी तरल पदार्थ के माध्यम से आगे बढ़ रही है, तो वह ड्रैग (वायु प्रतिरोध या द्रव प्रतिरोध) का अनुभव करती है। ड्रैग गतिज ऊर्जा को नष्ट कर देता है, इसे गर्मी में बदल देता है। संबंधित उतार-चढ़ाव ब्राउनियन गति है। तरल पदार्थ में एक वस्तु स्थिर नहीं बैठती है, बल्कि एक छोटे और तेजी से बदलते वेग के साथ घूमती है, क्योंकि तरल पदार्थ में अणु उसमें टकराते हैं। ब्राउनियन गति ऊष्मा ऊर्जा को गतिज ऊर्जा में परिवर्तित करती है-खिंचाव के विपरीत। प्रतिरोध और जॉनसन शोर यदि विद्युत प्रवाह एक प्रतिरोधक के साथ एक तार लूप के माध्यम से चल रहा है, तो प्रतिरोध के कारण धारा तेजी से शून्य हो जाएगी। प्रतिरोध विद्युत ऊर्जा को नष्ट कर देता है, इसे गर्मी (जूल हीटिंग) में बदल देता है। संबंधित उतार-चढ़ाव जॉनसन शोर है। एक रेसिस्टर के साथ एक तार लूप में वास्तव में शून्य धारा नहीं होती है, इसमें रेसिस्टर में इलेक्ट्रॉनों और परमाणुओं के थर्मल उतार-चढ़ाव के कारण एक छोटा और तेजी से उतार-चढ़ाव वाला प्रवाह होता है। जॉनसन शोर ऊष्मा ऊर्जा को विद्युत ऊर्जा में परिवर्तित करता है-प्रतिरोध के विपरीत। प्रकाश अवशोषण और तापीय विकिरण जब प्रकाश किसी वस्तु पर प्रभाव डालता है, तो प्रकाश का कुछ अंश अवशोषित हो जाता है, जिससे वस्तु गर्म हो जाती है। इस तरह, प्रकाश अवशोषण प्रकाश ऊर्जा को गर्मी में बदल देता है। संबंधित उतार-चढ़ाव तापीय विकिरण है (उदाहरण के लिए, एक "लाल गर्म" वस्तु की चमक)। तापीय विकिरण ऊष्मा ऊर्जा को प्रकाश ऊर्जा में बदल देता है-प्रकाश अवशोषण के विपरीत। वास्तव में, किरचॉफ का तापीय विकिरण का नियम इस बात की पुष्टि करता है कि कोई वस्तु जितनी अधिक प्रभावी ढंग से प्रकाश को अवशोषित करती है, उतनी ही अधिक तापीय विकिरण उत्सर्जित करती है। विस्तार से उदाहरण उतार-चढ़ाव-अपसरण प्रमेय सांख्यिकीय ऊष्मागतिकी का एक सामान्य परिणाम है जो एक प्रणाली में उतार-चढ़ाव के बीच संबंध की मात्रा निर्धारित करता है जो विस्तृत संतुलन और लागू गड़बड़ी के लिए प्रणाली की प्रतिक्रिया का पालन करता है। उदाहरण के लिए, अल्बर्ट आइंस्टीन ने ब्राउनियन गति पर अपने 1905 के पेपर में उल्लेख किया कि वही यादृच्छिक बल जो ब्राउनियन गति में एक कण की अनियमित गति का कारण बनते हैं, यदि कण को तरल पदार्थ के माध्यम से खींचा जाता है तो वह भी खिंचाव का कारण बन सकता है। दूसरे शब्दों में, यदि कोई किसी विशेष दिशा में प्रणाली को बाधित करने की कोशिश करता है, तो विश्राम में कण के उतार-चढ़ाव की उत्पत्ति वही होती है जो अपव्ययकारी घर्षण बल के खिलाफ काम करती है। इस अवलोकन से आइंस्टीन आइंस्टीन-स्मोलुचोव्स्की संबंध प्राप्त करने के लिए सांख्यिकीय यांत्रिकी का उपयोग करने में सक्षम था जो प्रसार स्थिरांक डी और कण गतिशीलता को जोड़ता है, जो एक लागू बल के लिए कण के अंतिम बहाव वेग का अनुपात है। kB बोल्ट्जमैन स्थिरांक है, और T निरपेक्ष तापमान है। 1928 में, जॉन बी. जॉनसन ने खोज की और हैरी न्यक्विस्ट ने जॉनसन-न्यक्विस्ट शोर की व्याख्या की। बिना किसी लागू धारा के, माध्य-वर्ग वोल्टेज प्रतिरोध, और उस बैंडविड्थ पर निर्भर करता है जिस पर वोल्टेज को मापा जाता हैः इस अवलोकन को उतार-चढ़ाव-अपव्यय प्रमेय के लेंस के माध्यम से समझा जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक सरल परिपथ को लें जिसमें एक प्रतिरोध के साथ एक प्रतिरोधक और एक छोटे संधारित्र के साथ एक संधारित्र होता है। किरचॉफ का नियम उपज देता है और इसलिए इस परिपथ के लिए प्रतिक्रिया कार्य है कम आवृत्ति सीमा में, इसका काल्पनिक भाग सरल है जिसे तब उतार-चढ़ाव-अपव्यय प्रमेय के माध्यम से वोल्टेज के शक्ति वर्णक्रमीय घनत्व कार्य से जोड़ा जा सकता है जॉनसन-नाइक्विस्ट वोल्टेज शोर को एक छोटी आवृत्ति बैंडविड्थ के भीतर देखा गया था जो चारों ओर केंद्रित था। इसलिए सामान्य सूत्रीकरण उतार-चढ़ाव-अपव्यय प्रमेय को कई तरीकों से तैयार किया जा सकता है; एक विशेष रूप से उपयोगी रूप निम्नलिखित हैः तापीय उतार-चढ़ाव के अधीन हैमिल्टनियन के साथ एक गतिशील प्रणाली का अवलोकन किया जा सकता है। अवलोकन योग्य एक शक्ति स्पेक्ट्रम द्वारा विशेषता वाले उतार-चढ़ाव के साथ अपने औसत मूल्य के आसपास उतार-चढ़ाव करेगा। मान लीजिए कि हम एक समय-परिवर्तनशील, स्थानिक रूप से स्थिर क्षेत्र को चालू कर सकते हैं जो हैमिल्टनियन को बदल देता है। एक समय-निर्भर क्षेत्र के लिए अवलोकन योग्य की प्रतिक्रिया प्रणाली की संवेदनशीलता या रैखिक प्रतिक्रिया कार्य द्वारा प्रथम क्रम की विशेषता है जहां गड़बड़ी को एडियाबेटिक रूप से (बहुत धीरे-धीरे) चालू किया जाता है। उतार-चढ़ाव-अपव्यय प्रमेय दो-तरफा शक्ति स्पेक्ट्रम से संबंधित है (अर्थात। सकारात्मक और नकारात्मक दोनों आवृत्तियाँ) संवेदनशीलता के फूरियर परिवर्तन के काल्पनिक भाग केः जो फूरियर परिवर्तन परंपरा के तहत होता है। बाएँ हाथ की ओर उतार-चढ़ाव का वर्णन करता है, दाएँ हाथ की ओर एक दोलन क्षेत्र द्वारा पंप किए जाने पर प्रणाली द्वारा विघटित ऊर्जा से निकटता से संबंधित है। यह प्रमेय का शास्त्रीय रूप है; क्वांटम उतार-चढ़ाव को (जिसकी सीमा है) के साथ प्रतिस्थापित करके ध्यान में रखा जाता है। एलएसजेड रिडक्शन के माध्यम से एक प्रमाण पाया जा सकता है, जो क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत से एक पहचान है। उतार-चढ़ाव-अपव्यय प्रमेय को अंतरिक्ष-निर्भर क्षेत्रों के मामले में, कई चरों के मामले में या क्वांटम-यांत्रिकी सेटिंग के मामले में सीधे तरीके से सामान्यीकृत किया जा सकता है। एक विशेष मामला जिसमें उतार-चढ़ाव की मात्रा स्वयं ऊर्जा है, आवृत्ति-निर्भर विशिष्ट ऊष्मा के लिए उतार-चढ़ाव-अपव्यय प्रमेय है। व्युत्पत्ति शास्त्रीय संस्करण हम उसी संकेतन का उपयोग करके ऊपर दिए गए रूप में उतार-चढ़ाव-अपव्यय प्रमेय प्राप्त करते हैं। निम्नलिखित परीक्षण मामले पर विचार करेंः क्षेत्र f अनंत समय से चालू है और t = 0 पर बंद है जहाँ हेविसाइड फलन है। हम संभावना वितरण डब्ल्यू (x, 0) और संक्रमण संभावना द्वारा अपेक्षा मूल्य को व्यक्त कर सकते हैं संभावना वितरण फलन डब्ल्यू (x, 0) एक संतुलन वितरण है और इसलिए हैमिल्टनियन के लिए बोल्ट्जमैन वितरण द्वारा दिया जाता है। एक कमजोर क्षेत्र के लिए, हम दाहिने हाथ की ओर का विस्तार कर सकते हैं यहाँ एक क्षेत्र की अनुपस्थिति में संतुलन वितरण है। इस सन्निकटन को पैदावार के सूत्र में जोड़ते हुए जहाँ A (t) एक क्षेत्र के अभाव में x का स्वतः-सहसंबंध फलन हैः ध्यान दें कि क्षेत्र के अभाव में प्रणाली समय-परिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय है। हम प्रणाली की संवेदनशीलता का उपयोग करके फिर से लिख सकते हैं और इसलिए उपरोक्त समीकरण (*) के साथ पा सकते हैं नतीजतन, आवृत्ति निर्भरता के बारे में एक बयान देने के लिए, समीकरण (* *) का फूरियर परिवर्तन लेना आवश्यक है। भागों द्वारा एकीकृत करके, यह दिखाना संभव है कि चूंकि यह वास्तविक और सममित है, इसलिए यह इस प्रकार है कि अंत में, स्थिर प्रक्रियाओं के लिए, वीनर-खिंचिन प्रमेय बताता है कि दो-तरफा वर्णक्रमीय घनत्व स्वतः-सहसंबंध फलन के फूरियर परिवर्तन के बराबर हैः इसलिए, यह क्वांटम संस्करण का अनुसरण करता है। इन मात्राओं के बीच एक कड़ी तथाकथित कुबो सूत्र के माध्यम से पाई जा सकती है, जो रैखिक प्रतिक्रिया सिद्धांत की धारणाओं के तहत, एक विचलित स्रोत की उपस्थिति में अवलोकन योग्य के समूह औसत के समय विकास से होती है। एक बार फूरियर के परिवर्तित होने के बाद, कुबो सूत्र प्रतिक्रिया फलन के काल्पनिक भाग को लिखने की अनुमति देता है क्योंकि कैनॉनिकल एन्सेम्बल में, दूसरे पद को फिर से व्यक्त किया जा सकता है जहां दूसरी समानता में हम ट्रेस के चक्रीय गुण का उपयोग करके फिर से स्थित होते हैं। इसके बाद, तीसरी समानता में, हमने निशान के बगल में डाला और काल्पनिक समय अंतराल के साथ एक समय विकास प्रचालक के रूप में व्याख्या की। फ़ोरियर परिवर्तन के बाद काल्पनिक समय परिवर्तन एक कारक में बदल जाता है और इस प्रकार के लिए अभिव्यक्ति को आसानी से क्वांटम उतार-चढ़ाव-अपव्यय संबंध के रूप में फिर से लिखा जा सकता है जहां शक्ति वर्णक्रमीय घनत्व स्वतः-सहसंबंध का फ़ोरियर परिवर्तन है और बोस-आइंस्टीन वितरण कार्य है। यही गणना भी इस प्रकार उपज देती है, जो शास्त्रीय मामले में प्राप्त की गई तुलना में अलग है, शक्ति वर्णक्रमीय घनत्व क्वांटम सीमा में बिल्कुल आवृत्ति-सममित नहीं है। लगातार, ऑपरेटरों के कम्यूटेशन नियमों से उत्पन्न होने वाला एक काल्पनिक हिस्सा है। सकारात्मक आवृत्तियों की अभिव्यक्ति में अतिरिक्त "" शब्द को सहज उत्सर्जन से जुड़ा हुआ भी माना जा सकता है। एक अक्सर उद्धृत परिणाम सममित शक्ति वर्णक्रमीय घनत्व भी है "द" को क्वांटम उतार-चढ़ाव, या अवलोकन योग्य की शून्य-बिंदु गति से जुड़ा हुआ माना जा सकता है। पर्याप्त उच्च तापमान पर, अर्थात। क्वांटम योगदान नगण्य है, और हम शास्त्रीय संस्करण को पुनर्प्राप्त करते हैं। जबकि उतार-चढ़ाव-अपव्यय प्रमेय विस्तृत संतुलन का पालन करने वाली प्रणालियों की प्रतिक्रिया के बीच एक सामान्य संबंध प्रदान करता है, जब विस्तृत संतुलन का उल्लंघन किया जाता है तो अपव्यय के लिए उतार-चढ़ाव की तुलना अधिक जटिल होती है। तथाकथित कांच के तापमान से नीचे, कांच की प्रणालियाँ संतुलित नहीं होती हैं, और धीरे-धीरे अपनी संतुलन स्थिति तक पहुँचती हैं। संतुलन के लिए यह धीमा दृष्टिकोण विस्तृत संतुलन के उल्लंघन का पर्याय है। इस प्रकार इन प्रणालियों को अध्ययन करने के लिए बड़े समय-पैमाने की आवश्यकता होती है जबकि वे धीरे-धीरे संतुलन की ओर बढ़ते हैं। शीशा प्रणालियों, विशेष रूप से स्पिन चश्मे में उतार-चढ़ाव-अपव्यय संबंध के उल्लंघन का अध्ययन करने के लिए, संदर्भ। मैक्रोस्कोपिक प्रणालियों के संख्यात्मक अनुकरण (अर्थात। सुपर कंप्यूटरों का उपयोग करते हुए त्रि-आयामी एडवर्ड्स-एंडरसन मॉडल द्वारा वर्णित उनकी सहसंबंध लंबाई की तुलना में बड़ा)। उनके अनुकरण में, प्रणाली को शुरू में उच्च तापमान पर तैयार किया जाता है, कांच के तापमान से नीचे के तापमान पर तेजी से ठंडा किया जाता है, और एक चुंबकीय क्षेत्र के तहत बहुत लंबे समय तक संतुलन के लिए छोड़ दिया जाता है। फिर, बाद में, दो गतिशील अवलोकनों की जांच की जाती है, अर्थात् प्रतिक्रिया कार्य और स्पिन-अस्थायी सहसंबंध कार्य जहां आयतन के घन जाली के नोड पर रहने वाला स्पिन है, और चुंबकत्व घनत्व है। इस प्रणाली में उतार-चढ़ाव-अपव्यय संबंध को इन अवलोकन के संदर्भ में लिखा जा सकता है क्योंकि उनके परिणाम इस उम्मीद की पुष्टि करते हैं कि जैसे-जैसे प्रणाली को लंबे समय तक संतुलित करने के लिए छोड़ दिया जाता है, उतार-चढ़ाव-अपव्यय संबंध संतुष्ट होने के करीब होता है। 1990 के दशक के मध्य में, स्पिन ग्लास मॉडल की गतिशीलता के अध्ययन में, उतार-चढ़ाव-विसरण प्रमेय का एक सामान्यीकरण खोजा गया था जो स्पर्शोन्मुख गैर-स्थिर अवस्थाओं के लिए है, जहां संतुलन संबंध में दिखाई देने वाले तापमान को समय पैमाने पर गैर-तुच्छ निर्भरता के साथ एक प्रभावी तापमान द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। यह संबंध उन मॉडलों से परे कांच की प्रणालियों में रखने के लिए प्रस्तावित है जिनके लिए इसे शुरू में पाया गया था। गैर-संतुलन ऊष्मागतिकी हरित-कुबो संबंध ऑन्सेजर पारस्परिक संबंध उपकरण विभाजन प्रमेय बोल्ट्ज़मैन वितरण प्रसार प्रणाली टिप्पणियाँ संदर्भ आगे पढ़ना पर्ड्यू विश्वविद्यालय के प्रो. ई. डब्ल्यू. कार्लसन द्वारा एक व्याख्यान की ऑडियो रिकॉर्डिंग कुबो का प्रसिद्ध ग्रंथः उतार-चढ़ाव-विघटन प्रमेय सांख्यिकीय यांत्रिकी गैर-संतुलन ऊष्मागतिकी भौतिकी प्रमेय