Sum and Product Puzzle
सम एंड प्रोडक्ट पजल, जिसे इम्पॉसिबल पजल के रूप में भी जाना जाता है क्योंकि ऐसा लगता है कि इसमें समाधान के लिए पर्याप्त जानकारी की कमी है, एक तर्क पहेली है। यह पहली बार 1969 में हंस फ्रायडेन्थल द्वारा प्रकाशित किया गया था, और इम्पॉसिबल पजल नाम मार्टिन गार्डनर द्वारा गढ़ा गया था। पहेली हल करने योग्य है, हालांकि आसानी से नहीं। इसी तरह की कई पहेलियाँ मौजूद हैं। पहेली X और Y दो अलग-अलग पूर्ण संख्याएँ हैं जो 1 से बड़ी हैं। इनकी राशि 100 से अधिक नहीं है। एस और पी दो गणितशास्त्री हैं (और परिणामस्वरूप पूर्ण तर्कशास्त्री); एस एक्स + वाई के योग को जानता है और पी उत्पाद एक्स × वाई को जानता है। एस और पी दोनों इस पैराग्राफ की सारी जानकारी जानते हैं। निम्नलिखित वार्तालाप में, दोनों प्रतिभागी हमेशा सच बोल रहे हैंः एस कहता है "पी एक्स और वाई को नहीं जानता"। पी कहता है "अब मैं एक्स और वाई को जानता हूँ।" एस कहता है "अब मैं एक्स और वाई को भी जानता हूँ।" एक्स और वाई क्या हैं? व्याख्या अवधारणाओं और दृष्टिकोण को स्पष्ट करने के बाद समस्या को आसानी से हल किया जा सकता है। इसमें तीन पक्ष शामिल हैं, एस, पी और ओ। एस योग एक्स + वाई जानता है, पी उत्पाद एक्स · वाई जानता है, और पर्यवेक्षक ओ मूल समस्या कथन के अलावा और कुछ नहीं जानता है। तीनों पक्ष एक ही जानकारी रखते हैं लेकिन इसकी अलग-अलग व्याख्या करते हैं। फिर यह जानकारी का खेल बन जाता है। आइए हम एक संख्या ए के दो शब्दों में विभाजन को ए = बी + सी ए 2-विभाजन कहते हैं। गोल्डबैक के अनुमान या इस तथ्य जैसे किसी भी उन्नत ज्ञान की कोई आवश्यकता नहीं है कि इस तरह के 2-विभाजन के उत्पाद बी. सी. के लिए अद्वितीय होना (यानी। ऐसी कोई अन्य दो संख्याएँ नहीं हैं जो गुणा करने पर भी समान परिणाम देती हैं)। लेकिन गोल्डबैक के अनुमान के साथ, इस तथ्य के साथ कि P को तुरंत पता चल जाएगा कि X और Y का गुणनफल एक अर्ध-अभाज्य राशि है, यह अनुमान लगाया जा सकता है कि योग x + y सम नहीं हो सकता है, क्योंकि प्रत्येक सम संख्या को दो अभाज्य संख्याओं के योग के रूप में लिखा जा सकता है। उन दो संख्याओं का गुणनफल तब एक अर्ध-अभाज्य होगा। निम्नलिखित चरण समाधान देते हैंः एस (सू), पी (पीट), और ओ (ओटो) उन सभी उत्पादों की तालिका बनाते हैं जिन्हें सीमा में योग के 2-विभाजन से बनाया जा सकता है, अर्थात। 5 से 100 तक (X> 1 और Y> X के लिए हमें 5 से शुरू करने की आवश्यकता है)। उदाहरण के लिए, 11 को 2 + 9,3 + 8,4 + 7 और 5 + 6 में विभाजित किया जा सकता है। संबंधित उत्पाद 18,24,28 और 30 हैं और खिलाड़ी अपनी मेज में इन उत्पादों में से प्रत्येक के बगल में एक टिक चिह्न लगाते हैं (तालिका 1)। जब वे किए जाते हैं, तो कुछ संख्याओं में कोई टिक चिह्न नहीं होते हैं, कुछ में एक होता है, और कुछ में एक से अधिक होते हैं। सू अब अपने योग और उसके सभी 2-विभाजनों को देखती है। वह देखती है कि सभी 2-विभाजनों में ऐसे उत्पाद हैं जो अद्वितीय नहीं हैं, अर्थात। एक अलग गुणनखंडन मौजूद है जो किसी अन्य संभावित योग का 2-विभाजन है। वह इसे चरण 1 में टेबल से देखती है जहाँ उसके सभी उत्पादों पर एक से अधिक टिक चिह्न होते हैं। वह महसूस करती है कि इस तथ्य के कारण, पीट उत्पाद को देखकर एक्स और वाई कारकों को विशिष्ट रूप से निर्धारित करने में असमर्थ होगा (जिसके लिए उम्मीदवार उत्पादों में से कम से कम एक में केवल एक टिक चिह्न होना आवश्यक होता)। इस प्रकार वह कहती है "पी एक्स और वाई को नहीं जान सकता"। जब पीट और ओटो यह सुनते हैं, तो उन्हें जानकारी मिलती है कि सू की राशि से जुड़ा कोई भी उत्पाद अद्वितीय नहीं है। संभावित राशियों का अध्ययन करके, एक-एक करके, सू, पीट और ओटो अब सभी पात्र राशियों की एक सूची बना सकते हैं (तालिका 2)। तालिका में वे योग हैं जिनके सभी 2-विभाजनों में ऐसे उत्पाद हैं जो गैर-अद्वितीय हैं, अर्थात। तालिका 1 में एक से अधिक टिक चिह्न हैं। सू, पीट और ओटो ने उम्मीदवार राशि की तालिका बनाई है (सू निश्चित रूप से पहले से ही अपनी राशि जानता है लेकिन पीट की सोच का पता लगाने की आवश्यकता है)। तालिका 2 में नई जानकारी को ध्यान में रखते हुए, पीट एक बार फिर अपने उत्पाद को देखते हैं। 5 और 100 के बीच की सभी संख्याओं की तुलना में, जिन्हें शुरू से ही योग माना जाता था, एक को छोड़कर उनके उत्पाद के सभी संभावित 2-विभाजनों का योग तालिका 2 से गायब हो गया है। केवल एक जो बचा है वह दो छिपी हुई संख्याओं X और Y का योग होना चाहिए जिसका गुणनफल X·Y वह जानता है। योग और उत्पाद से, अलग-अलग संख्याओं को जानना आसान है और इस प्रकार वह सू से कहता है कि "अब मैं एक्स और वाई को जानता हूँ।" पीट अब खेल से बाहर हो जाता है। सू और ओटो ने तालिका 1 की पुनः गणना की, इस बार मूल तालिका 1 में 5 से 100 की सीमा में सभी संख्याओं के बजाय तालिका 2 में दिए गए योग से केवल 2-विभाजन के उत्पादों की गणना की गई। इस अद्यतन तालिका को तालिका 1बी कहा जाता है। सू अपने योग के 2-विभाजन के सभी उत्पादों को देखती है और पाती है कि उनमें से केवल एक ही तालिका 1बी में ठीक एक बार दिखाई देता है। यह तब उत्पाद पीट के पास होना चाहिए, और वह उनके योग और उत्पाद से दो संख्याओं का अनुमान उतनी ही आसानी से लगा सकती है जितनी पीट ने किया था। इस प्रकार, वह ओटो (पीट पहले ही चला गया है) से कहती है कि "अब मैं एक्स और वाई को भी जानती हूँ।" सू भी अब खेल से बाहर हो गया है, केवल ओटो बचा है। चरण 4 की जानकारी से, ओटो तालिका 2 में सभी राशियों को स्कैन करता है, जिसमें से केवल एक 2-विभाजन में तालिका 1बी में एक ही टिक चिह्न होता है। वांछित व्यक्ति के पास केवल एक टिक चिह्न हो सकता है, या सू निश्चित रूप से एक्स और वाई को जानने में सक्षम नहीं होता। अंत में, ओटो वांछित राशि पर पहुँचता है जो इन गुणों के साथ एकमात्र ऐसी राशि भी होती है जो मूल समस्या को एक अद्वितीय समाधान के साथ हल करने योग्य बनाती है। ओटो का काम भी अब पूरा हो गया है। समाधान समाधान में एक्स और वाई 4 और 13 के रूप में हैं, पी को शुरू में पता है कि उत्पाद 52 है और एस को पता है कि योग 17 है। प्रारंभ में पी समाधान नहीं जानता है, क्योंकि 52 = 4 × 13 = 2 × 26 और एस जानता है कि पी समाधान नहीं जानता है क्योंकि बाधाओं के भीतर 17 के सभी संभावित योग समान रूप से अस्पष्ट उत्पाद उत्पन्न करते हैं। हालाँकि एक बार जब पी को पता चल जाता है कि एस का मानना है कि उत्पाद को देखते हुए कई संभावित समाधान हैं, तो पी 2 x 26 को खारिज कर सकता है, क्योंकि उस स्थिति में योग 28 है। यदि S को 28 बताया गया होता, तो वह निश्चित रूप से यह नहीं बता सकती थी कि P को मान नहीं पता था, क्योंकि एक संभावित जोड़ी 5 और 23 होगी, और यदि P को कुल 5 x 23 बताया गया होता, तो वे दो संख्याएँ ही एकमात्र संभावित समाधान हैं। तो P अब जानता है कि संख्याएँ 4 और 13 हैं और S को बताता है कि वह संख्याएँ जानता है। इससे, एस अब योग के आधार पर संभावित जोड़े के बारे में जानता है (अर्थात। 2+15,3+14,4+13,5+12,6+11,7+10,8 + 9) केवल एक के पास एक उत्पाद है जो P को उत्तर का अनुमान लगाने की अनुमति देगा, जो कि 4 + 13 है। पाठक तब इस तथ्य के आधार पर एकमात्र संभावित समाधान का अनुमान लगा सकता है कि एस इसे निर्धारित करने में सक्षम था। ध्यान दें कि उदाहरण के लिए, यदि एस को 97 (48 + 49) और पी को 2352 (48 * 49) बताया गया होता, तो पी एकमात्र संभावित समाधान का अनुमान लगाने में सक्षम होता, लेकिन एस नहीं, क्योंकि 44 और 53 अभी भी एक तार्किक रूप से संभव विकल्प होते। अन्य समाधान समस्या को सामान्यीकृत किया जा सकता है। बाध्य X + Y ≤ 100 को जानबूझकर चुना जाता है। यदि X + Y की सीमा बदल दी जाती है, तो समाधानों की संख्या बदल सकती है। X + Y <62 के लिए कोई समाधान नहीं है। यह शुरू में विरोधाभासी लग सकता है क्योंकि समाधान X = 4, Y = 13 सीमा के भीतर फिट बैठता है। लेकिन इन सीमाओं के बीच की संख्याओं के योग वाले कारकों के साथ उत्पादों के बहिष्कार से, अब सभी गैर-समाधानों को फैक्टरिंग करने के कई तरीके नहीं हैं, जिससे जानकारी से समस्या का कोई समाधान नहीं मिलता है। उदाहरण के लिए, यदि X = 2, Y = 62, X + Y = 64, X·Y = 124 पर विचार नहीं किया जाता है, तो 124 का केवल एक गुणनफल रहता है, अर्थात। 4·31,35 का योग देता है। फिर 35 को हटा दिया जाता है जब एस घोषणा करता है कि पी उत्पाद के कारकों को नहीं जान सकता है, जो कि 64 के योग की अनुमति दी गई होती तो ऐसा नहीं होता। दूसरी ओर, जब सीमा X + Y ≤ 1685 या उससे अधिक होती है, तो दूसरा समाधान X = 4, Y = 61 दिखाई देता है। इस प्रकार, तब से, समस्या इस अर्थ में हल करने योग्य नहीं है कि अब कोई अनूठा समाधान नहीं है। इसी तरह, यदि X + Y ≤ 1970 या उससे अधिक है तो एक तीसरा समाधान दिखाई देता है (X = 16, Y = 73)। इन तीनों समाधानों में एक अभाज्य संख्या होती है। पहला समाधान जिसमें कोई अभाज्य संख्या नहीं है, वह चौथा है जो X + Y ≤ 2522 या उससे अधिक पर X = 16 = 2·2·2 और Y = 111 = 3·37 मानों के साथ दिखाई देता है। यदि शर्त Y> X> 1 को Y> X> 2 में बदल दिया जाता है, तो 124 <t <5045 के लिए सीमा X + Y ≤ t के लिए एक अद्वितीय समाधान है, जिसके बाद कई समाधान हैं। 124 और उससे नीचे, कोई समाधान नहीं हैं। यह आश्चर्य की बात नहीं है कि समाधान की सीमा बढ़ गई है। सहज रूप से, समस्या स्थान "विरंजन" हो गया जब अभाज्य संख्या 2 अब कारक X के रूप में उपलब्ध नहीं है, जिससे दिए गए योग A से कम संभावित उत्पाद X·Y बनते हैं। जब कई समाधान होते हैं, यानी उच्च t के लिए, कुछ समाधान Y> X> 1 के साथ मूल समस्या के लिए उन समाधानों के साथ मेल खाते हैं, उदाहरण के लिए X = 16, Y = 163। यदि कुछ सीमा t के लिए स्थिति X + Y ≤ t को इसके बजाय X·Y ≤ u के लिए बदल दिया जाता है, तो समस्या का रूप बदल जाता है। कम गणना की आवश्यकता के साथ इसे हल करना आसान हो जाता है। यू के लिए एक उचित मूल्य दो कारकों के सबसे बड़े उत्पाद के आधार पर संबंधित टी के लिए यू = टी · टी/4 हो सकता है जिसका योग टी (टी/2) · (टी/2) है। अब समस्या का 47 <t <60,71 <t <80,107 <t <128, और 131 <t <144 की सीमा में एक अनूठा समाधान है और उस सीमा से नीचे कोई समाधान नहीं है। वैकल्पिक सूत्रीकरण के परिणाम मूल सूत्रीकरण के साथ मेल नहीं खाते हैं, न तो समाधानों की संख्या में, न ही सामग्री में। चेरिल के जन्मदिन के संदर्भ भी देखें बाहरी लिंक टॉर्स्टन सिल्के की द इम्पॉसिबल प्रॉब्लम दो गणितविदों की गणित मंच पर समस्या योगफल और मैथवर्क्स कोडी मॉडल पर उत्पाद समस्या योगफल और उत्पाद तर्क पहेली की जाँच