Epsilon number
गणित में, एप्सिलॉन संख्याएँ अनंत संख्याओं का एक संग्रह है जिसका परिभाषित गुण यह है कि वे एक घातीय मानचित्र के निश्चित बिंदु हैं। नतीजतन, वे चुने गए घातीय मानचित्र और जोड़ और गुणन जैसे "कमजोर" संचालन के अनुप्रयोगों की एक सीमित श्रृंखला के माध्यम से 0 से पहुंचने योग्य नहीं हैं। मूल एप्सिलॉन संख्याओं को जॉर्ज कैंटर द्वारा क्रमिक अंकगणित के संदर्भ में पेश किया गया था; वे क्रमिक संख्याएँ हैं जो उस समीकरण को संतुष्ट करती हैं जिसमें ω सबसे छोटा अनंत क्रमिक है। इस तरह का सबसे कम क्रमिक ε0 (उच्चारण एप्सिलॉन शून्य या एप्सिलॉन शून्य) है, जिसे छोटे सीमा क्रमिकों के अनुक्रम से पारगमन पुनरावर्तन द्वारा प्राप्त "सीमा" के रूप में देखा जा सकता हैः जहां सर्वोच्च कार्य है, जो क्रमिकों के वॉन न्यूमैन प्रतिनिधित्व के मामले में सेट यूनियन के बराबर है। घातीय मानचित्र के बड़े क्रमिक निश्चित बिंदुओं को क्रमिक अभिलिखनों द्वारा अनुक्रमित किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप। क्रमिक ε0 अभी भी गणना योग्य है, जैसा कि कोई भी एप्सिलॉन संख्या है जिसका सूचकांक गणना योग्य है (अनगिनत क्रमिक और अनगिनत एप्सिलॉन संख्याएँ मौजूद हैं जिनका सूचकांक एक अनगिनत क्रमिक है)। सबसे छोटी एप्सिलॉन संख्या ε0 कई प्रेरण प्रमाणों में दिखाई देती है, क्योंकि कई उद्देश्यों के लिए, ट्रांसफाइनाइट प्रेरण केवल ε0 तक की आवश्यकता होती है (जैसा कि जेंट्ज़न के स्थिरता प्रमाण और गुडस्टीन के प्रमेय के प्रमाण में)। गेन्टजेन द्वारा पीनो अंकगणित की स्थिरता को साबित करने के लिए इसका उपयोग, गोडेल के दूसरे अपूर्णता प्रमेय के साथ, यह दर्शाता है कि पीनो अंकगणित इस क्रम की अच्छी नींव को साबित नहीं कर सकता है (यह वास्तव में इस गुण के साथ सबसे कम क्रमिक है, और इस तरह, प्रमाण-सैद्धांतिक क्रमिक विश्लेषण में, पीनो अंकगणित के सिद्धांत की ताकत के माप के रूप में उपयोग किया जाता है)। कई बड़ी एप्सिलॉन संख्याओं को वेब्लेन फलन का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है। जॉन हॉर्टन कॉनवे और डोनाल्ड क्नुथ द्वारा अवास्तविक संख्या प्रणाली में एप्सिलॉन संख्याओं के एक अधिक सामान्य वर्ग की पहचान की गई है, जिसमें सभी अवास्तविक शामिल हैं जो आधार ω घातीय मानचित्र x → ωx के निश्चित बिंदु हैं। परिभाषित गामा संख्याएँ (योगात्मक रूप से असंकलनीय क्रमिक देखें) संख्याएँ γ> 0 ऐसी हों कि α + γ = γ जब भी α <γ हो, और डेल्टा संख्याएँ (गुणक रूप से असंकलनीय क्रमिक देखें) संख्याएँ δ> 1 ऐसी हों कि αδ = δ जब भी 0 <α <δ हो, और एप्सिलॉन संख्याएँ संख्याएँ ε> 2 ऐसी हों कि αε = ε जब भी 1 <α <ε हो। उनकी गामा संख्याएँ ωβ के रूप में हैं, और उनकी डेल्टा संख्याएँ ωωβ के रूप में हैं। क्रमिक ε संख्याएँ आधार α के साथ क्रमिक घातांक की मानक परिभाषा हैः जब एक तत्काल पूर्ववर्ती होता है। , जब भी एक सीमा क्रमिक होती है। इस परिभाषा से, यह पता चलता है कि किसी भी निश्चित क्रमिक के लिए, मानचित्रण एक सामान्य कार्य है, इसलिए इसमें सामान्य कार्यों के लिए निश्चित-बिंदु लेम्मा द्वारा मनमाने ढंग से बड़े निश्चित बिंदु हैं। कब, ये निश्चित बिंदु सटीक रूप से क्रमिक एप्सिलॉन संख्याएँ हैं। जब कोई तत्काल पूर्ववर्ती हो। , जब भी एक सीमा क्रमिक होती है। क्योंकि एक ही सर्वोच्चता के साथ एक अलग अनुक्रम,, 0 से शुरू करके और इसके बजाय आधार ε0 के साथ घातांक करके प्राप्त किया जाता हैः आम तौर पर, किसी भी क्रमिक द्वारा अनुक्रमित एप्सिलॉन संख्या जिसका तत्काल पूर्ववर्ती होता है, उसी तरह बनाया जा सकता है। विशेष रूप से, सूचकांक β एक सीमा क्रमिक है या नहीं, यह न केवल आधार ω घातांक का एक निश्चित बिंदु है, बल्कि सभी क्रमांकों के लिए आधार δ घातांक का भी है। चूँकि एप्सिलॉन संख्याएँ क्रमिक संख्याओं का एक असीमित उपवर्ग हैं, इसलिए उन्हें क्रमिक संख्याओं का उपयोग करके गणना की जाती है। किसी भी क्रमिक संख्या के लिए, सबसे कम एप्सिलॉन संख्या (घातीय मानचित्र का निश्चित बिंदु) है जो पहले से ही सेट में नहीं है। ऐसा प्रतीत हो सकता है कि यह पुनरावृत्त घातांक का उपयोग करके रचनात्मक परिभाषा का गैर-रचनात्मक समतुल्य है; लेकिन दोनों परिभाषाएं सीमा क्रमिक द्वारा अनुक्रमित चरणों पर समान रूप से गैर-रचनात्मक हैं, जो एक घातीय श्रृंखला के सर्वोच्चता को लेने की तुलना में उच्च क्रम के पारगमन पुनरावृत्ति का प्रतिनिधित्व करती हैं। एप्सिलॉन संख्याओं के बारे में निम्नलिखित तथ्यों को साबित करना सीधा हैः हालाँकि यह काफी बड़ी संख्या है, फिर भी गणना योग्य है, जो गणना योग्य क्रमिकों का एक गणना योग्य संयोजन है; वास्तव में, गणना योग्य है यदि और केवल तभी जब गणना योग्य हो। एप्सिलॉन संख्याओं के किसी भी गैर-खाली समूह का संघ (या सर्वोच्च) एक एप्सिलॉन संख्या है; इसलिए उदाहरण के लिए एक एप्सिलॉन संख्या है। इस प्रकार, मानचित्रण एक सामान्य कार्य है। किसी भी अनगिनत कार्डिनल का प्रारंभिक क्रमिक एक एप्सिलॉन संख्या है। जड़ वाले पेड़ों द्वारा ε0 का प्रतिनिधित्व किसी भी एप्सिलॉन संख्या ε का कैंटर सामान्य रूप होता है, जिसका अर्थ है कि कैंटर सामान्य रूप एप्सिलॉन संख्याओं के लिए बहुत उपयोगी नहीं है। हालाँकि, ε0 से कम क्रमिक रूपों को उनके कैंटर सामान्य रूपों द्वारा उपयोगी रूप से वर्णित किया जा सकता है, जो सभी सीमित जड़ वाले पेड़ों के क्रमबद्ध समूह के रूप में ε0 का प्रतिनिधित्व करता है, जो निम्नानुसार है। किसी भी क्रमिक में कैंटर सामान्य रूप होता है जहाँ k एक प्राकृतिक संख्या है और इसके साथ क्रमिक होते हैं, जो विशिष्ट रूप से द्वारा निर्धारित किए जाते हैं। बदले में प्रत्येक ऑर्डिनल्स का एक समान कैंटर सामान्य रूप होता है। हम एक नई जड़ का प्रतिनिधित्व करने वाले पेड़ों की जड़ों को जोड़कर α का प्रतिनिधित्व करने वाले परिमित जड़ वाले पेड़ को प्राप्त करते हैं। (इसका परिणाम यह है कि संख्या 0 को एक मूल द्वारा दर्शाया जाता है जबकि संख्या को एक पेड़ द्वारा दर्शाया जाता है जिसमें एक जड़ और एक पत्ता होता है।) परिमित जड़ वाले पेड़ों के समूह पर एक क्रम को पुनरावर्ती रूप से परिभाषित किया जाता हैः हम पहले घटते क्रम में जड़ से जुड़े उप-पेड़ों का आदेश देते हैं, और फिर उप-पेड़ों के इन क्रमबद्ध अनुक्रमों पर शब्दकोश क्रम का उपयोग करते हैं। इस तरह सभी परिमित जड़ वाले पेड़ों का समूह एक सुव्यवस्थित समूह बन जाता है जो ε0 के लिए क्रम-समरूपी होता है। यह प्रतिनिधित्व हाइड्रा प्रमेय के प्रमाण से संबंधित है, जो एक ग्राफ-सैद्धांतिक खेल के रूप में क्रमिक के घटते अनुक्रमों का प्रतिनिधित्व करता है। वेब्लेन पदानुक्रम "एप्सिलॉन मानचित्रण" के निश्चित बिंदु एक सामान्य कार्य बनाते हैं, जिनके निश्चित बिंदु एक सामान्य कार्य बनाते हैं; इसे वेब्लेन पदानुक्रम (आधार φ0 (α) = ωα के साथ वेब्लेन कार्य) के रूप में जाना जाता है। वेब्लेन पदानुक्रम के संकेतन में, एप्सिलॉन मानचित्रण φ1 है, और इसके निश्चित बिंदुओं को φ2 द्वारा गिना जाता है। इस नस में जारी रखते हुए, कोई भी मानचित्र φα को उत्तरोत्तर बड़े क्रमिक α के लिए परिभाषित कर सकता है (जिसमें, ट्रांसफाइनाइट रिकर्शन के इस दुर्लभ रूप से, सीमित क्रमिक शामिल हैं), जिसमें उत्तरोत्तर बड़े कम से कम निश्चित बिंदु φα + 1 (0) हैं। इस प्रक्रिया द्वारा 0 से पहुँचने योग्य सबसे कम क्रमिक-i। ई., सबसे कम क्रमिक α जिसके लिए φα (0) = α, या समकक्ष रूप से मानचित्र का पहला निश्चित बिंदु-फेफरमैन-शूटे क्रमिक κ0 है। एक सेट सिद्धांत में जहां इस तरह के एक क्रमिक को मौजूद साबित किया जा सकता है, किसी के पास एक मानचित्र होता है जो निश्चित बिंदुओं की गणना करता है γ0, γ1, γ2,. की; ये सभी अभी भी एप्सिलॉन संख्याएँ हैं, क्योंकि वे प्रत्येक β ≤ γ0 के लिए φβ की छवि में स्थित हैं, जिसमें मानचित्र φ1 भी शामिल है जो एप्सिलॉन संख्याओं की गणना करता है। सर्रियल ε संख्याएँ ऑन नंबर्स एंड गेम्स में, सर्रियल संख्याओं पर क्लासिक प्रदर्शनी, जॉन हॉर्टन कॉनवे ने उन अवधारणाओं के कई उदाहरण प्रदान किए जिनमें ऑर्डिनल्स से लेकर सर्रियल तक प्राकृतिक विस्तार थे। ऐसा ही एक कार्य है-मानचित्र; यह मानचित्रण अपने क्षेत्र में सभी वास्तविक संख्याओं को शामिल करने के लिए स्वाभाविक रूप से सामान्यीकृत करता है, जो बदले में वास्तविक संख्याओं के लिए कैंटर सामान्य रूप का एक प्राकृतिक सामान्यीकरण प्रदान करता है। इस विस्तारित मानचित्र के किसी भी निश्चित बिंदु को एप्सिलॉन संख्या मानना स्वाभाविक है, चाहे वह सख्ती से एक क्रमिक संख्या हो या नहीं। गैर-क्रमिक एप्सिलॉन संख्याओं के कुछ उदाहरण हैं और प्रत्येक वास्तविक संख्या n के लिए परिभाषित करने का एक प्राकृतिक तरीका है, और मानचित्र क्रम-संरक्षित रहता है। कॉनवे "अपरिवर्तनीय" वास्तविक संख्याओं के एक व्यापक वर्ग को परिभाषित करते हैं जिसमें एप्सिलॉन संख्याएँ एक विशेष रूप से दिलचस्प उपवर्ग के रूप में शामिल हैं। साधारण अंकगणितीय बड़े गणना योग्य क्रमिक संदर्भ जे. एच. भी देखें। कॉनवे, ऑन नंबर्स एंड गेम्स (1976) अकादमिक प्रेस सेक्शन XIV.20 ऑफ़ ऑर्डिनल नंबर्स