Datar–Mathews method for real option valuation
दातार-मैथ्यूज विधि (डी. एम. विधि) वास्तविक विकल्प मूल्यांकन के लिए एक विधि है। यह विधि परियोजना के लिए सकारात्मक परिणामों के औसत का उपयोग करके किसी परियोजना के वास्तविक विकल्प मूल्य को निर्धारित करने का एक आसान तरीका प्रदान करती है। विधि को जोखिम से बचने और आर्थिक निर्णय लेने के लिए एक समायोजन के साथ शुद्ध वर्तमान मूल्य (एन. पी. वी.) बहु-परिदृश्य मोंटे कार्लो मॉडल के विस्तार के रूप में समझा जा सकता है। विधि उस जानकारी का उपयोग करती है जो एक मानक रियायती नकदी प्रवाह (डी. सी. एफ.), या एन. पी. वी., परियोजना वित्तीय मूल्यांकन में स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होती है। इसे 2000 में सिएटल विश्वविद्यालय के प्रोफेसर विनय दातार और द बोइंग कंपनी के तकनीकी अध्येता स्कॉट एच. मैथ्यूज द्वारा बनाया गया था। विधि डी. एम. विधि के लिए गणितीय समीकरण नीचे दिखाया गया है। विधि आर, बाजार जोखिम दर पर परिचालन लाभ के वितरण में छूट देकर और अपेक्षित भुगतान की गणना से पहले आर, जोखिम मुक्त दर पर विवेकाधीन निवेश के वितरण में छूट देकर वास्तविक विकल्प मूल्य को पकड़ती है। विकल्प मूल्य तब दो रियायती वितरणों या शून्य के बीच के अंतर का अधिकतम अपेक्षित मूल्य होता है। चित्र. 1. एक यादृच्छिक चर है जो भविष्य के लाभों का प्रतिनिधित्व करता है, या समय टी पर परिचालन लाभ का प्रतिनिधित्व करता है। उपयोग आर का वर्तमान मूल्यांकन, आर के जोखिम स्तर के अनुरूप छूट दर लक्षित बाजार में भागीदारी के लिए वापसी की आवश्यक दर है, जिसे कभी-कभी बाधा दर कहा जाता है। स्ट्राइक मूल्य का प्रतिनिधित्व करने वाला एक यादृच्छिक चर है। उपयोग का वर्तमान मूल्यांकन आर, निवेश के जोखिम के अनुरूप दर कई सामान्यीकृत विकल्प अनुप्रयोगों में, जोखिम मुक्त छूट दर का उपयोग किया जाता है। हालाँकि अन्य छूट दरों पर विचार किया जा सकता है, जैसे कि कॉर्पोरेट बॉन्ड दर, विशेष रूप से जब आवेदन एक आंतरिक कॉर्पोरेट उत्पाद विकास परियोजना है। एकल चरणीय परियोजना के लिए वास्तविक विकल्प मूल्य है। विकल्प मूल्य को जोखिम-समायोजित आधार पर नुकसान को सीमित करने वाली आर्थिक रूप से तर्कसंगत सीमा के साथ दो वर्तमान मूल्य वितरणों के अंतर के अपेक्षित मूल्य के रूप में समझा जा सकता है। इस मूल्य को यादृच्छिक वितरण के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है। आर और आर के लिए अंतर छूट दर अंतर्निहित रूप से डी. एम. विधि को अंतर्निहित जोखिम के लिए जिम्मेदार ठहराती है। यदि आर> आर है, तो विकल्प जोखिम-विरोधी होगा, जो वित्तीय और वास्तविक दोनों विकल्पों के लिए विशिष्ट होगा। यदि आर <आर है, तो विकल्प जोखिम लेने वाला होगा। यदि आर = आर, तो इसे एक जोखिम-तटस्थ विकल्प कहा जाता है, और निर्णय लेने के साथ एनपीवी-प्रकार के विश्लेषणों के साथ समानताएं हैं, जैसे कि निर्णय पेड़। डी. एम. विधि ब्लैक-स्कोल्स और द्विपद जाली विकल्प मॉडल के समान परिणाम देती है, बशर्ते समान निवेश और छूट विधियों का उपयोग किया जाए। इसलिए यह गैर-व्यापारिक वास्तविक विकल्प मूल्य एक निजी निवेश संपत्ति के सापेक्ष बाजार संपत्ति के प्रति मूल्यांकनकर्ता की जोखिम धारणा पर निर्भर करता है। डी. एम. विधि वास्तविक विकल्प अनुप्रयोगों में उपयोग के लिए फायदेमंद है क्योंकि कुछ अन्य विकल्प मॉडलों के विपरीत इसे सिग्मा (अनिश्चितता का एक उपाय) या एस0 (आज की परियोजना का मूल्य) के लिए मूल्य की आवश्यकता नहीं है, दोनों को नए उत्पाद विकास परियोजनाओं के लिए प्राप्त करना मुश्किल है; वास्तविक विकल्प मूल्यांकन के तहत आगे देखें। अंत में, डी. एम. विधि किसी भी वितरण प्रकार के वास्तविक-विश्व मूल्यों का उपयोग करती है, जो जोखिम-तटस्थ मूल्यों में परिवर्तन की आवश्यकता और एक लॉग्नॉर्मल वितरण के प्रतिबंध से बचती है; विकल्प मूल्य निर्धारण के लिए मोंटे कार्लो विधियों के तहत आगे देखें। अन्य वास्तविक विकल्प मूल्यांकनों के लिए विधि के विस्तार विकसित किए गए हैं जैसे अनुबंध गारंटी (पुट विकल्प), बहु-चरण (चक्रवृद्धि विकल्प), प्रारंभिक प्रक्षेपण (अमेरिकी विकल्प), और अन्य। कार्यान्वयन डी. एम. विधि को मोंटे-कार्लो अनुकरण का उपयोग करके, या एक सरलीकृत बीजगणितीय या अन्य रूप में लागू किया जा सकता है (नीचे रेंज विकल्प देखें)। सिमुलेशन का उपयोग करते हुए, प्रत्येक नमूने के लिए, इंजन दोनों से एक यादृच्छिक चर खींचता है जो उनके वर्तमान मूल्यों की गणना करता है, और अंतर लेता है। चित्र. 2ए। अंतर मूल्य की तुलना शून्य से की जाती है, दोनों में से अधिकतम निर्धारित किया जाता है, और परिणामी मूल्य सिमुलेशन इंजन द्वारा दर्ज किया जाता है। यहाँ, परियोजना में निहित ऐच्छिकता को दर्शाते हुए, शुद्ध नकारात्मक मूल्य परिणाम का पूर्वानुमान एक परित्यक्त परियोजना से मेल खाता है, और इसका मूल्य शून्य है। चित्र. 2बी। परिणामी मूल्य एक भुगतान वितरण बनाते हैं जो समय T0 पर परियोजना के प्रशंसनीय, रियायती मूल्य पूर्वानुमानों के आर्थिक रूप से तर्कसंगत सेट का प्रतिनिधित्व करता है। जब पर्याप्त भुगतान मूल्य दर्ज किए जाते हैं, आमतौर पर कुछ सौ, तो भुगतान वितरण के औसत या अपेक्षित मूल्य की गणना की जाती है। चित्र. 2सी। विकल्प मूल्य अपेक्षित मूल्य है, जो भुगतान वितरण के सभी सकारात्मक एन. पी. वी. और शून्य का पहला क्षण है। एक सरल व्याख्या यह हैः जहां परिचालन लाभ और प्रक्षेपण लागत समय T0 के लिए नकदी प्रवाह की उचित रूप से रियायती सीमा है। विकल्प मूल्य को एक वितरण () के रूप में भी समझा जा सकता है जो अंतर्निहित चर की अनिश्चितता को दर्शाता है। डी. एम. विकल्प भिन्नताएं बीजगणितीय लॉग्नॉर्मल रूप डी. एम. वास्तविक विकल्प को विकल्प मूल्यांकन के लिए एक सामान्यीकृत रूप माना जा सकता है। इसका अनुकरण एक कटा हुआ वर्तमान मूल्य वितरण उत्पन्न करता है जिसके औसत मूल्य को विकल्प मूल्य के रूप में व्याख्या की जाती है। कुछ सीमा शर्तों के साथ, डी. एम. विकल्प को बीजगणितीय रूप से एक विशिष्ट वित्तीय विकल्प के रूप और विशेषताओं के समान एक लॉग्नॉर्मल वितरण की सशर्त अपेक्षा के रूप में पुनर्गठित किया जा सकता है, जैसे कि यूरोपीय, एकल चरण ब्लैक-स्कोल्स वित्तीय विकल्प। यह खंड डी. एम. वास्तविक विकल्प के अपने बीजगणितीय लॉग्नॉर्मल रूप में परिवर्तन और ब्लैक-स्कोल्स वित्तीय विकल्प सूत्र के साथ इसके संबंध को दर्शाता है। यह प्रक्रिया विकल्प निर्माण के कुछ अधिक तकनीकी तत्वों को उजागर करती है जिससे अंतर्निहित अवधारणाओं को और अधिक अंतर्दृष्टि मिलती है। डी. एम. विधि का लॉग्नॉर्मल रूप अनुकरण रूप के समान गणना प्रक्रियाओं पर आधारित एक सरल अवधारणा बनी हुई है। यह रियायती अनुमानित भविष्य मूल्य परिणाम वितरण की सशर्त अपेक्षा है, एक पूर्व निर्धारित खरीद लागत (हड़ताल मूल्य या प्रक्षेपण लागत) से कम, (इस उदाहरण में एक स्केलर मूल्य के रूप में मॉडल किया गया है) उस कटे हुए वितरण की संभावना से गुणा किया जाता है जो एक सीमा से अधिक है-नाममात्र 0। एक सशर्त अपेक्षा कटे हुए वितरण (पूंछ का माध्य), एम. टी. का अपेक्षित मूल्य है, जिसकी गणना इसके सशर्त संभावना वितरण (चित्र। 3)। विकल्प गणना प्रक्रिया परियोजना निवेश (विकल्प खरीद), C0, को T0 पर मान देती है। डी. एम. विकल्प के लिए समय विभेदक छूट (आर और आर) के परिणामस्वरूप अनुमानित मूल्य परिणाम वितरण में एक स्पष्ट बदलाव होता है, जो चित्र में दिखाए गए उदाहरण में स्केलर माध्य के सापेक्ष है। 4. यह सापेक्ष बदलाव T0 पर कटे हुए वितरण की सशर्त अपेक्षा को निर्धारित करता है। एक परियोजना के भविष्य के मूल्य परिणाम के लिए एक लॉग्नॉर्मल वितरण में, माध्य और मानक विचलन दोनों को निर्दिष्ट किया जाना चाहिए। वितरण के मानक विचलन को वितरण के साथ आनुपातिक रूप से छूट दी जाती है, टी0 पर एक लॉग्नॉर्मल वितरण के मापदंडों को क्रमशः मूल्यों से प्राप्त किया जा सकता है, क्योंकिः रियायती मूल्य परिणाम की सशर्त अपेक्षा टेल एमटी का माध्य हैः मानक सामान्य वितरण (एन (0,1)) का संचयी वितरण कार्य है। परियोजना के धन में होने और शुरू होने ("प्रयोग") की संभावना है परियोजना निवेश (विकल्प) मूल्य हैः शामिल लॉग्नॉर्मल गणित एक निगम के भीतर कुछ व्यावसायिक प्रथाओं के लिए बोझिल और अपारदर्शी हो सकता है। हालांकि, कई सरलीकरण उस बोझ को कम कर सकते हैं और विकल्प गणना की मजबूती का त्याग किए बिना स्पष्टता प्रदान कर सकते हैं। एक सरलीकरण मानक सामान्य वितरण का उपयोग है, जिसे जेड-वितरण के रूप में भी जाना जाता है, जिसका माध्य 0 और मानक विचलन 1 है। सामान्य वितरण को मानक सामान्य में बदलना और फिर संभावनाओं के मूल्य का पता लगाने के लिए मानक सामान्य तालिका का उपयोग करना आम बात है। मानक सामान्य चर के रूप में परिभाषित करेंः रियायती मूल्य परिणाम की सशर्त अपेक्षा हैः फिर परियोजना के पैसे में होने और शुरू होने ("प्रयोग") की संभावना हैः दातार-मैथ्यूज लॉग्नॉर्मल विकल्प मूल्य सरल हो जाता हैः ब्लैक-स्कोल्स विकल्प में परिवर्तन ब्लैक-स्कोल्स विकल्प सूत्र (साथ ही साथ द्विपद जाली) नकली डीएम वास्तविक विकल्प का एक विशेष मामला है। सूक्ष्म, लेकिन उल्लेखनीय अंतरों के साथ, डी. एम. विकल्प के लघुगणक रूप को बीजगणितीय रूप से द ब्लैक-स्कोल्स विकल्प सूत्र में बदला जा सकता है। वास्तविक विकल्प मूल्यांकन भविष्य के मूल्य परिणाम वितरण के एक अनुमान पर आधारित है, जो सामान्य हो सकता है, उस समय टी. टी. को टी0 के लिए अनुमानित (छूट) किया जाता है। इसके विपरीत, ब्लैक-स्कोल्स ऐतिहासिक परिसंपत्ति रिटर्न से लेकर वर्तमान समय T0 तक अनुमानित लॉग्नॉर्मल वितरण पर आधारित है। इन ऐतिहासिक रुझानों के विश्लेषण के परिणामस्वरूप एक गणना होती है जिसे अस्थिरता (वित्त) कारक कहा जाता है। ब्लैक-स्कोल्स (बीएस) के लिए अस्थिरता कारक है। एक मानक विचलन के साथ निम्नलिखित लॉग्नॉर्मल वितरण को अस्थिरता कारक द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। ब्लैक-स्कोल्स विकल्प मान अपने परिचित रूप में सरल हो जाता हैः एन (डी1) और एन (डी2) शब्द ब्लैक-स्कोल्स सूत्र की गणना में लागू होते हैं, और लॉग्नॉर्मल वितरण पर संचालन से संबंधित अभिव्यक्तियाँ हैं; ब्लैक-स्कोल्स के तहत अनुभाग "व्याख्या" देखें। चित्र का उल्लेख करते हुए। 5 और डी. एम. विकल्प के लॉग्नॉर्मल रूप का उपयोग करते हुए, एक विकल्प के आंतरिक संचालन के लिए कुछ अंतर्दृष्टि प्राप्त करना संभव हैः एन (-जेड) या एन (डी 2) वितरण की पूंछ के क्षेत्र का एक माप है, एम. टी. (एक्स0 द्वारा चित्रित), पूरे वितरण के सापेक्ष, जैसे। वितरण की पूंछ की संभावना, समय T0 पर। चित्र. 5, सही। वास्तविक ("भौतिक") दुनिया में इन-द-मनी समाप्त होने की वास्तविक संभावना की गणना समय T0, प्रक्षेपण या प्रहार तिथि पर की जाती है, जिसे वितरण की पूंछ के क्षेत्र द्वारा मापा जाता है। एन (σ-Z) या एन (डी1) परिसंपत्ति के सापेक्ष विकल्प भुगतान का मूल्य है। जहाँ एम. टी. समय टी0 पर पूंछ का माध्य है। डेटा पैटर्न एक सरलीकृत डी. एम. विधि गणना समान आवश्यक विशेषताओं के अनुरूप है-यह रियायती अनुमानित भविष्य के मूल्य परिणाम वितरण की सशर्त अपेक्षा है, या, कम रियायती लागत, अभ्यास की संभावना से गुणा, डी. एम. विधि विकल्प के मूल्य को समझा जा सकता है क्योंकि इस सरलीकृत सूत्रीकरण में अपेक्षित मूल्य गणना के लिए मजबूत समानताएं हैं। ऐतिहासिक डेटा एकत्र करने वाले व्यवसाय विकल्प मूल्यों की गणना को सुविधाजनक बनाने वाली संबंधित परियोजनाओं में मान्यताओं की समानता का लाभ उठाने में सक्षम हो सकते हैं। एक परिणामी सरलीकरण अनिश्चितता अनुपात है, जिसे अक्सर समान परियोजनाओं के लिए एक स्थिरांक के रूप में मॉडल किया जा सकता है। यू. आर. निश्चितता की वह डिग्री है जिसके द्वारा भविष्य के अनुमानित नकदी प्रवाह का अनुमान लगाया जा सकता है। कई बहु-वर्षीय व्यावसायिक परियोजनाओं के लिए आमतौर पर 0.35 और 1 के बीच मूल्यों के साथ यू. आर. समय का अपरिवर्तनीय है। उपरोक्त सूत्रों में इस अवलोकन को स्थिरांक के रूप में लागू करने से एक सरल सूत्रीकरण होता हैः सामान्य रूप से वितरित किया जाता है और मानों को मानक सामान्य चर की तालिका में प्राप्त किया जा सकता है। एक बार के निर्धारित होने के बाद परिणामी वास्तविक विकल्प मूल्य को केवल एक हाथ से पकड़े जाने वाले कैलकुलेटर पर प्राप्त किया जा सकता हैः मान लीजिए कि यूआर स्थिर है, तो विकल्प का सापेक्ष मूल्य केवल के अनुपात से निर्धारित किया जा सकता है, जो परियोजना के धन में होने और शुरू होने (प्रयोग) की संभावना के समानुपाती है। फिर (चित्र। 6) एक वास्तविक विकल्प मूल्यांकन आमतौर पर तब लागू किया जाता है जब अभ्यास की संभावना लगभग 50 प्रतिशत से कम होती है व्यवसायों को प्रासंगिक पैरामीटर मूल्य स्थापित करने के लिए समान परियोजनाओं में अपने स्वयं के डेटा को लागू करने की आवश्यकता होती है। त्रिकोणीय रूप (सीमा विकल्प) लॉग्नॉर्मल वितरण माध्य और भविष्य के रिटर्न के मानक विचलन का अनुमान लगाने में कठिनाई को देखते हुए, इसके बजाय अन्य वितरणों को अक्सर व्यावसायिक निर्णय लेने में उपयोग किए जाने वाले वास्तविक विकल्पों के लिए लागू किया जाता है। नमूना वितरण किसी भी रूप में हो सकता है, हालांकि त्रिकोणीय वितरण का अक्सर उपयोग किया जाता है, जैसा कि कम डेटा स्थितियों के लिए विशिष्ट है, इसके बाद एक समान वितरण (निरंतर) या बीटा वितरण होता है। यह दृष्टिकोण परियोजना विकल्प मूल्य के प्रारंभिक चरण के अनुमानों के लिए उपयोगी है जब एक पूर्ण नकदी प्रवाह अनुकरण के लिए आवश्यक मात्रात्मक जानकारी एकत्र करने के लिए पर्याप्त समय या संसाधन नहीं हैं, या परियोजनाओं के एक पोर्टफोलियो में जब सभी परियोजनाओं का अनुकरण बहुत अधिक है। चुने गए वितरण के बावजूद, वास्तविक विकल्प मूल्यांकन के लिए प्रक्रिया समान रहती है। एक त्रिकोणीय वितरण के लिए, जिसे कभी-कभी तीन-बिंदु अनुमान के रूप में संदर्भित किया जाता है, मोड मूल्य "सबसे अधिक संभावित" परिदृश्य से मेल खाता है, और अन्य दो परिदृश्य, "निराशावादी" और "आशावादी", सबसे अधिक संभावित परिदृश्य से प्रशंसनीय विचलन का प्रतिनिधित्व करते हैं (अक्सर दो-तरफा 1-आउट-ऑफ-10 संभावना या 90 प्रतिशत आत्मविश्वास के रूप में अनुमानित)। अनुमानों की इस श्रृंखला के परिणामस्वरूप विकल्प के लिए नामित नाम, डी. एम. रेंज विकल्प होता है। डी. एम. रेंज विकल्प विधि वास्तविक विकल्पों के लिए अस्पष्ट विधि के समान है। निम्नलिखित उदाहरण (चित्र। 7) ए (निराशावादी), बी (आशावादी) और एम (मोड या सबसे अधिक संभावना) के भविष्य के अनुमानित परिचालन लाभों की एक श्रृंखला का उपयोग करता है। छूट के लिए ए, बी और एम द्वारा क्लासिक डीएम विधि यह मानती है कि स्ट्राइक मूल्य को सिमुलेशन द्वारा प्राप्त विकल्प समाधान के साथ एक यादृच्छिक चर (वितरण) द्वारा दर्शाया जाता है। वैकल्पिक रूप से, एक अनुकरण करने के बोझ के बिना, प्रक्षेपण लागत वितरण (स्ट्राइक मूल्य) के औसत या औसत स्केलर मूल्य को लागू करने से डीएम रेंज विकल्प मूल्य का एक रूढ़िवादी अनुमान लगता है। यदि प्रक्षेपण लागत एक स्केलर मूल्य के रूप में पूर्व निर्धारित है, तो डीएम रेंज विकल्प मूल्य की गणना सटीक है। कटे हुए त्रिकोणीय वितरण (दाहिनी पूंछ का माध्य) का अपेक्षित मूल्य, परियोजना के धन में होने और शुरू होने की संभावना पूर्ण त्रिकोणीय वितरण के सापेक्ष कटे हुए वितरण का आनुपातिक क्षेत्र है। इस आंशिक अपेक्षा की गणना संचयी वितरण कार्य (सी. डी. एफ.) द्वारा की जाती है क्योंकि संभाव्यता वितरण एक दाहिनी पूंछ के लिए एक्स से अधिक या उसके बराबर मूल्य पर पाया जाएगाः डी. एम. रेंज विकल्प मूल्य, या परियोजना निवेश हैः डी. एम. रेंज विकल्प का उपयोग भविष्य के परियोजना निवेशों के लिए वास्तविक विकल्प मूल्यांकन के अनुप्रयोग को सुविधाजनक बनाता है। डी. एम. रेंज विकल्प मूल्यांकन का एक अनुमान प्रदान करता है जो डी. एम. विकल्प बीजगणितीय लॉगनोर्मल वितरण रूप के साथ मामूली रूप से भिन्न होता है। हालांकि, किसी परियोजना का अनुमानित भविष्य मूल्य परिणाम, एस, शायद ही कभी ऐतिहासिक परिसंपत्ति रिटर्न से प्राप्त लॉग्नॉर्मल वितरण पर आधारित होता है, जैसा कि एक वित्तीय विकल्प है। बल्कि, भविष्य का मूल्य परिणाम, एस, (साथ ही स्ट्राइक मूल्य, एक्स, और मानक विचलन, एस. डी.), इंजीनियरिंग और विपणन मापदंडों के आधार पर तीन-बिंदु अनुमान की संभावना से अधिक है। इसलिए, डी. एम. रेंज विकल्प के उपयोग में आसानी को अक्सर इसकी समीचीनता के आधार पर उचित ठहराया जाता है और यह भविष्य की परियोजना के सशर्त मूल्य का अनुमान लगाने के लिए पर्याप्त है। मांग वक्र एकीकरण कई प्रारंभिक चरण की परियोजनाओं में पाया गया है कि प्रमुख अज्ञात मूल्य परिचालन लाभ के प्रमुख घटकों के प्रथम क्रम सीमा अनुमान हैंः बेचे गए माल की राजस्व और विनिर्माण लागत (सी. ओ. जी. एस.)। बदले में राजस्व के बारे में अनिश्चितता बाजार मांग मूल्य या आकार के अनुमानों से प्रेरित होती है। बाजार मूल्य और आकार का अनुमान स्वतंत्र रूप से लगाया जा सकता है, हालांकि बाजार मांग संबंध में उन्हें एक साथ जोड़ना एक बेहतर तरीका है। सी. ओ. जी. एस., बेचे जाने वाले उत्पाद की मात्रा की कुल लागत, बाजार के आकार से जुड़े अनुभव या सीखने की अवस्था लागत संबंध के अनुसार अंतिम घटक और रुझान है। डी. एम. रियल ऑप्शंस सिमुलेशन के भीतर इन तीन बाजार तत्वों की परस्पर क्रिया, यहां तक कि प्रारंभिक चरण की श्रेणियों के साथ, उत्पाद मूल्य निर्धारण और उत्पादन के आकार के लिए उचित रूप से संकुचित लक्ष्य अनुमानों को प्राप्त करके परियोजना योजना के लिए अनिश्चितता को कम कर सकती है जो संभावित परिचालन लाभ को अधिकतम करती है और विकल्प मूल्य में सुधार करती है। एक बाजार मूल्य मांग वक्र आकार या मांग की गई मात्रा के साथ मूल्य के संबंध को ग्राफ करता है। मांग के नियम में कहा गया है कि कीमत और मांग की गई मात्रा के बीच एक विपरीत संबंध है, या बस जैसे ही कीमत घटती है, मांग की गई उत्पाद की मात्रा बढ़ जाएगी। एक दूसरा वक्र, विनिर्माण लागत ग्राफ, सीखने के वक्र प्रभाव को मॉडल करता है जो उत्पादित वस्तुओं की मात्रा और उस उत्पादन की दक्षता लाभ के बीच संबंध को दर्शाता है। चित्र. 9. गणितीय रूप से, सीखने की अवस्था एक शक्ति फलन का रूप लेती है। एक मांग वक्र को एक व्युत्क्रम लॉग्नॉर्मल वितरण का उपयोग करके वास्तविक रूप से मॉडल किया जा सकता है जो बाजार मूल्य वितरण अनुमान को बाजार के आकार की सीमा के साथ जोड़ता है। एक मांग वक्र कुशलता से अत्यधिक विभेदित बाजारों को मॉडल करता है जो मूल्य निर्धारण के माध्यम से चुनिंदा उत्पाद या सेवा विशेषताओं जैसे गुणवत्ता या ग्रेड, कार्यात्मक विशेषताओं और उपलब्धता के साथ-साथ बेची गई मात्रा को अलग करता है। उदाहरण हैं ऑटोमोबाइल, जूते, स्मार्ट फोन और कंप्यूटर। हवाई किराया बाजार अत्यधिक भिन्न होते हैं जहां मांग मूल्य निर्धारण और बेची गई मात्रा मौसमी, सप्ताह का दिन, दिन का समय, मार्ग निर्धारण, बिक्री प्रचार और बैठने या किराया वर्ग पर निर्भर होती है। हवाई किराया मांग वितरण पैटर्न को एक व्युत्क्रम लॉग्नॉर्मल वितरण के साथ अच्छी तरह से दर्शाया गया है जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। 10. उपरोक्त सभी घटकों, बाजार मूल्य, आकार और सी. ओ. जी. एस. के लिए वक्र, वास्तविक विकल्प गणना के लिए एक इष्टतम परिचालन लाभ इनपुट प्राप्त करने के लिए परिवर्तनशीलता के साथ अनुकरण किया जा सकता है (चित्र। 11)। उदाहरण के लिए, चित्र में दर्शाए गए अनुकरण परिणाम। 12. मूल्य और इकाई मात्रा के लिए श्रेणियों को इंगित करें जो संभावित रूप से लाभप्रदता को अधिकतम करेंगे। इन प्रथम-क्रम सीमा अनुमानों से निकाले गए, शिखर (आवृत्ति) मूल्यों का चयन आशाजनक अनुमानों के काफी संकीर्ण प्रसार की पहचान करता है। इन इष्टतम मूल्य प्रसार को जानना अनिश्चितता को काफी हद तक कम करता है और मानकों का एक बेहतर, अधिक लक्षित सेट प्रदान करता है जिससे नवाचार विकास योजनाओं और विकल्प मूल्य को आत्मविश्वास से आधार बनाया जा सके। अन्य विधियों से तुलना 2009 में बनाई गई वास्तविक विकल्प मूल्यांकन के लिए अस्पष्ट भुगतान विधि, वास्तविक विकल्प मूल्यांकन के लिए एक और सुलभ दृष्टिकोण प्रदान करती है। यद्यपि प्रत्येक अलग-अलग गणितीय विधियों का उपयोग करता है (अस्पष्टः अस्पष्ट तर्क; डी. एम.: संख्यात्मक अनुकरण और ज्यामिति) अंतर्निहित सिद्धांत आश्चर्यजनक रूप से समान हैः एक सकारात्मक भुगतान की संभावना। अलग-अलग दो कारकों (संभावना/संभावना, और सकारात्मक लाभ) की जांच करना इस समानता को दर्शाता है। अस्पष्ट भुगतान के लिए संभावना कार्य है। एक सरल व्याख्या अस्पष्ट एन. पी. वी. के कुल क्षेत्र पर अस्पष्ट एन. पी. वी. के सकारात्मक क्षेत्र का आनुपातिकता अनुपात है। डी. एम. रेंज विकल्प के लिए परियोजना भुगतान की संभावना पूर्ण वितरण के सापेक्ष सकारात्मक वितरण के क्षेत्र (सी. डी. एफ.) के समानुपाती होती है। इसकी गणना इस प्रकार की जाती है कि प्रत्येक क्षेत्र के अनुपात में एक ही संभावना/संभाव्यता मूल्य की गणना की जाती है। अस्पष्ट भुगतान का सकारात्मक भुगतान केवल अस्पष्ट एन. पी. वी. के सकारात्मक क्षेत्र का माध्य है। इसी तरह, डी. एम. रेंज विकल्प के लिए सकारात्मक भुगतान दाएँ पूंछ (एम. टी.) का माध्य है, या स्ट्राइक मूल्य से कम दोनों विधियों के यांत्रिकी के लिए यह अंतर्दृष्टि न केवल उनकी समानता बल्कि उनकी समानता को भी दर्शाती है। एडवांसेज इन डिसिजन साइंसेज जर्नल में 2016 के एक लेख में, लप्पीनरांटा यूनिवर्सिटी ऑफ टेक्नोलॉजी स्कूल ऑफ बिजनेस एंड मैनेजमेंट के शोधकर्ताओं ने वास्तविक विकल्प मूल्यांकन के लिए डी. एम. विधि की तुलना अस्पष्ट भुगतान विधि से की और नोट किया कि मूल्यांकन परिणाम समान थे, लेकिन अस्पष्ट भुगतान कुछ स्थितियों में अधिक मजबूत था। कुछ तुलनात्मक मामलों में, दातार-मैथ्यूज विधि का एक महत्वपूर्ण लाभ है कि इसे संचालित करना आसान है और एन. पी. वी. मूल्यांकन और परिदृश्य विश्लेषण को मोंटे कार्लो अनुकरण (या ज्यामिति) तकनीक के साथ जोड़ना आसान है, इस प्रकार प्रबंधकीय निर्णय और तीसरे पक्ष को स्पष्टीकरण में वास्तविक विकल्प विधियों के उपयोग में अंतर्ज्ञान में बहुत सुधार होता है। अपने अनुकरण इंटरफेस के माध्यम से, दातार-मैथ्यूज विधि आसानी से कई और कभी-कभी सहसंबद्ध नकदी प्रवाह परिदृश्यों को समायोजित करती है, जिसमें गतिशील प्रोग्रामिंग शामिल है, जो एयरोस्पेस जैसी जटिल परियोजनाओं की विशिष्टता है, जिन्हें अस्पष्ट सेट का उपयोग करके मॉडल करना मुश्किल है। डी. एम. विधि और संभावना सिद्धांत वास्तविक विकल्प वस्तुनिष्ठ रूप से नवाचार के अवसरों का मूल्यांकन करने के बारे में हैं। अफसोस की बात है कि इन अवसरों को, जो लुप्तप्राय और जोखिम भरा प्रतीत होते हैं, अक्सर व्यक्तिपरक रूप से समझा जाता है। हालांकि, वस्तुनिष्ठ मूल्यांकन तंत्र और परिणामों की व्यक्तिपरक व्याख्या दोनों को अक्सर गलत समझा जाता है जिससे निवेश अनिच्छा और संभावित रूप से कम मूल्यांकन के अवसर पैदा होते हैं। डी. एम. वास्तविक विकल्प वस्तुनिष्ठ मूल्यांकन सूत्र को नियोजित करता है जहां एक अवसर घटना को समाप्त (त्याग) करना आर्थिक रूप से तर्कसंगत होने पर डिफ़ॉल्ट सीमा होती है। यदि एक अनुकरण घटना ('ड्रॉ') एक नकारात्मक परिणाम (यानी, प्रक्षेपण लागत से कम परिचालन लाभ) की गणना करती है, तो उस घटना के परिणाम को तर्कसंगत रूप से काटा जाना चाहिए, या समाप्त किया जाना चाहिए, एक अवशिष्ट को दर्ज करना चाहिए। केवल शुद्ध सकारात्मक आर्थिक परिणामों की गणना की जाती है। यह ऑपरेशन केवल सकारात्मक परिणामों के पक्ष में 'बाधाओं को ढेर किया जा रहा है' की गलत धारणा को छोड़ देता है जिसके परिणामस्वरूप असामान्य रूप से उच्च मूल्यांकन होता है। हालांकि, सूत्र की गणना गणितीय रूप से इन सकारात्मक परिणामों को उनकी संभावना, यानी सफलता की संभावना (पी. ओ. एस.) के अनुसार समायोजित करके सही विकल्प मूल्य की गणना करती है। वास्तविक डी. एम. सूत्र वह है जहाँ सीमा ('तल') डिफ़ॉल्ट सहित किसी भी मूल्य (या वैकल्पिक सूत्र) को ग्रहण कर सकती है। सूत्र को बाधा-भारित विकल्प भिन्नता में बदलने के अलावा एक सीमा का उपयोग करना। परिणाम अब वित्तीय विकल्प के मूल्य के बराबर नहीं है। एक वास्तविक विकल्प मूल्यांकन के कथित उच्च मूल्य का अधिकांश अनुपातहीन रूप से अनुकरण वितरण की पूंछ के दूर-दाएं छोर में स्थित है, जो कम संभावना लेकिन उच्च मूल्य परिणामों का क्षेत्र है। यदि विभिन्न परिणाम धारणाओं को मान्य किया जाता है तो विकल्प मूल्यांकन संभावित अवसर मूल्य को दर्शाता है। लक्षित, वृद्धिशील निवेश इन कम संभावना धारणाओं को मान्य कर सकते हैं। यदि नहीं, तो मान्यताओं को सिद्ध 'प्रशंसनीय' तत्वों से बदल दें, फिर नई सीख के आधार पर मूल्य की पुनः गणना करें। वास्तविक विकल्पों के व्यक्तिपरक अवमूल्यन को आंशिक रूप से व्यवहार विज्ञान द्वारा समझाया जा सकता है। एक नवान्वेषण निवेशक प्रारंभिक निवेश को संभावित रूप से नुकसान में समझ सकता है, विशेष रूप से यदि पी. ओ. एस. कम है। काहनेमन और टवर्स्की का संभावना सिद्धांत घोषणा करता है कि नुकसान का प्रभाव समान मूल्य के लिए लाभ से दोगुने से अधिक माना जाता है। परिणाम यह है कि नुकसान से बचने वाला निवेशक वस्तुनिष्ठ और वित्तीय रूप से सटीक वास्तविक विकल्प मूल्यांकन के बावजूद, अवसर का कम मूल्यांकन करेगा, और इसलिए निवेश। पश्चाताप घृणा, एक अन्य व्यवहार विज्ञान अवलोकन, तब होता है जब भविष्य के परिणाम पर पछतावा करने से बचने के लिए एक निराधार निर्णय लिया जाता है। उदाहरण के लिए, एक खेद-विरोधी निवेशक एक अपेक्षाकृत 'निश्चित दांव' में निवेश करने का फैसला करता है, लेकिन काफी अधिक लेकिन संभवतः अनिश्चित भुगतान के साथ एक विकल्प के सापेक्ष कम भुगतान अवसर। अफसोस से घृणा की घटना अनिश्चितता से घृणा (निश्चितता पूर्वाग्रह) के साथ निकटता से जुड़ी हुई है, जहां नवाचार अवसर के अज्ञात पहलुओं (यानी, नवीनता, नियंत्रण की कमी) को आगे के निवेश के लिए एक बाधा के रूप में तर्कसंगत बनाया जाता है। हानि-और अफसोस-प्रतिकूल निर्णय लेने के परिणाम हैं कम निवेश और शुरुआती चरण के आशाजनक नवाचार अवसरों का कम वित्तपोषण ('कम मूल्यांकन')। एक समझदार निवेशक विकल्प मूल्य के कथित गलत मूल्यांकन को दूर कर सकता है। जब पूरे विकल्प मूल्य को निवेश जोखिम के रूप में व्याख्या की जाती है तो हानि से बचने की प्रवृत्ति काफी अधिक दर्ज होती है। यह भावनात्मक प्रतिक्रिया इस बात पर विचार करने में विफल रहती है कि प्रारंभिक प्रारंभिक चरण के निवेश पूरे विकल्प मूल्य का केवल एक अंश हैं, जो आवश्यक रूप से सबसे प्रमुख धारणा को मान्य करने के लिए लक्षित हैं। इसी तरह अफसोस से बचने को जोखिम से बचने के रूप में गलत नहीं माना जाना चाहिए क्योंकि छोटे प्रारंभिक चरण के निवेशों का जोखिम आमतौर पर भौतिक नहीं होता है। इसके बजाय, ये प्रारंभिक निवेश एक अन्यथा अनिश्चित परिणाम पर नियंत्रण की भावना प्रदान करते हुए अवसर के मूल मूल्य की सावधानीपूर्वक जांच करते हैं। खेद को इस अहसास से कम किया जाता है कि यदि अनुमान के परिणाम आशाजनक नहीं हैं तो अवसर विकास को समाप्त किया जा सकता है। खर्च की गई निवेश निधियों को समझदारी से केवल एक आशाजनक अवसर की जांच करने के लिए लागू किया जाता है, और बदले में, अर्जित ज्ञान और बेहतर निर्णय लेने की क्षमता से बढ़ाया जाता है। चूंकि व्यक्ति संज्ञानात्मक पूर्वाग्रहों से ग्रस्त होते हैं, इसलिए विभिन्न हस्तक्षेप रणनीतियों को उन्हें कम करने के लिए डिज़ाइन किया गया है जिसमें पूर्वाग्रह और सरल यथार्थवाद जागरूकता के साथ विशेषज्ञ समीक्षा शामिल है। "बायस ब्लाइंड स्पॉट" नामक एक घटना किसी व्यक्ति की पूर्वाग्रहों के प्रति अचेतन संवेदनशीलता का संक्षिप्त रूप से वर्णन करती है। यह मौलिक आरोपण त्रुटि अवचेतन रूप से आत्म-आत्मनिरीक्षण के एक भ्रम से छिपी रहती है, अर्थात, हम मानते हैं कि, गलत तरीके से, हमारे आंतरिक इरादों या प्रेरणाओं तक हमारी पहुंच है। पूर्वाग्रहों को पोस्ट हॉक तर्कसंगत बनाया जा सकता है, लेकिन फिर भी निर्णय लेने को प्रभावित करता है। पूर्वाग्रहों का मुकाबला करने के लिए, केवल उनकी विशेषताओं के बारे में जागरूक होना अपर्याप्त है, लेकिन अपने स्वयं के आत्मनिरीक्षण भ्रम से शिक्षित होना भी आवश्यक है। संदर्भ वास्तविक विकल्प वित्त में मोंटे कार्लो के तरीके वित्तीय मॉडल