Order of integration (calculus)
कलन में, समाकलन के क्रम का आदान-प्रदान एक ऐसी पद्धति है जो समाकलन किए जाने के क्रम को बदलकर कार्यों के पुनरावृत्त समाकलन (या फुबिनी के प्रमेय के उपयोग के माध्यम से कई समाकलन) को अन्य, उम्मीद है कि सरल, समाकलन में बदल देती है। कुछ मामलों में, एकीकरण के क्रम को वैध रूप से आपस में बदला जा सकता है; दूसरों में यह नहीं हो सकता है। समस्या कथन परीक्षा के लिए समस्या उस रूप के एक अभिन्न अंग का मूल्यांकन है जहाँ डी xy-तल में कुछ द्वि-आयामी क्षेत्र है। कुछ कार्यों के लिए सीधा एकीकरण संभव है, लेकिन जहां यह सच नहीं है, एकीकरण के क्रम को बदलकर समाकलन को कभी-कभी सरल रूप में कम किया जा सकता है। इस आदान-प्रदान के साथ कठिनाई डोमेन डी के विवरण में परिवर्तन का निर्धारण करना है। यह विधि अन्य कई समाकलनों पर भी लागू होती है। कभी-कभी, भले ही एक पूर्ण मूल्यांकन कठिन हो, या शायद एक संख्यात्मक एकीकरण की आवश्यकता हो, एक दोहरे समाकलन को एक एकल एकीकरण में कम किया जा सकता है, जैसा कि आगे दिखाया गया है। एकल एकीकरण में कमी एक संख्यात्मक मूल्यांकन को बहुत आसान और अधिक कुशल बनाती है। भागों द्वारा समाकलन से संबंध पुनरावृत्त समाकलन पर विचार करें जिसे हम भौतिकी में आमतौर पर देखे जाने वाले उपसर्ग संकेतन का उपयोग करके लिखेंगेः इस अभिव्यक्ति में, दूसरे समाकलन की गणना पहले y के संबंध में की जाती है और x को स्थिर रखा जाता है-चौड़ाई dx की एक पट्टी को पहले y-दिशा में एकीकृत किया जाता है (x दिशा में चौड़ाई dx की एक पट्टी को y दिशा में y चर के संबंध में एकीकृत किया जाता है), y-अक्ष के साथ चौड़ाई dy के आयतों की एक अनंत मात्रा को जोड़ते हुए। यह x-अक्ष के साथ एक त्रि-आयामी टुकड़ा dx चौड़ा बनाता है, y-अक्ष के साथ y = a से y = x तक, और z दिशा में z = h (y)। ध्यान दें कि यदि मोटाई dx असीम है, तो x टुकड़े पर केवल असीम रूप से भिन्न होता है। हम मान सकते हैं कि x स्थिर है। यह एकीकरण चित्र 1 के बाएँ पैनल में दिखाया गया है, लेकिन विशेष रूप से असुविधाजनक है जब फलन h (y) आसानी से एकीकृत नहीं होता है। समाकलन के क्रम को उलटकर समाकलन को एकल समाकलन तक कम किया जा सकता है जैसा कि चित्र के दाहिने पैनल में दिखाया गया है। चर के इस आदान-प्रदान को पूरा करने के लिए, चौड़ाई dy की पट्टी को पहले रेखा x = y से सीमा x = z में एकीकृत किया जाता है, और फिर परिणाम को y = a से y = z में एकीकृत किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूपः इस परिणाम को भागों द्वारा एकीकरण के सूत्र का एक उदाहरण के रूप में देखा जा सकता है, जैसा कि नीचे कहा गया हैः प्रतिस्थापनः जो परिणाम देता है। प्रिंसिपल-वैल्यू इंटीग्रल, प्रिंसिपल-वैल्यू इंटीग्रल में अनुप्रयोग के लिए, व्हिटेकर और वाटसन, गखोव, लू, या ज़्विलिंगर देखें। ओबोलाश्विली में पोइनकेयर-बर्ट्रैंड परिवर्तन की चर्चा भी देखें। एक उदाहरण जहाँ एकीकरण के क्रम का आदान-प्रदान नहीं किया जा सकता है, वह कंवल द्वारा दिया गया हैः जबकिः दूसरे रूप का मूल्यांकन आंशिक अंश विस्तार और सोखोत्स्की-प्लेमेल्ज सूत्र का उपयोग करके किया जाता है। कंवल को देखें। बुनियादी प्रमेय एकीकरण के क्रम को उलटने के आधार की चर्चा टी. डब्ल्यू. की पुस्तक फूरियर एनालिसिस में पाई जाती है। कोर्नर। उन्होंने अपनी चर्चा का परिचय एक उदाहरण के साथ दिया जहां एकीकरण का आदान-प्रदान दो अलग-अलग उत्तरों की ओर ले जाता है क्योंकि नीचे दिए गए प्रमेय II की शर्तें संतुष्ट नहीं हैं। यहाँ उदाहरण दिया गया हैः आदान-प्रदान की स्वीकार्यता को नियंत्रित करने वाले दो बुनियादी प्रमेय चौधरी और जुबैर से नीचे उद्धृत किए गए हैंः अनुप्रयोगों के लिए सबसे महत्वपूर्ण प्रमेय प्रोटेर और मोरे से उद्धृत किया गया हैः फुबिनी की प्रमेय भी देखें संदर्भ और नोट पॉल के ऑनलाइन गणित टिप्पणियाँः कैलकुलस III ओरेगन स्टेट यूनिवर्सिटी में गणित विभाग, पुनरावृत्त समाकलन का उपयोग करके "दोहरे समाकलन" की गणना को दिखाने वाली अच्छी 3डी छवियाँ। रॉन माइक की यू. सी. एल. ए. कैलकुलस प्रॉब्लम्स एकीकरण के क्रम को बदलने के अधिक जटिल उदाहरण (देखें समस्याएँ 33,35,37,39,41 और 43) डुएन निकैम्प की मिनेसोटा विश्वविद्यालय की वेबसाइट इंटीग्रल कैलकुलस