Chopsticks (hand game)
चॉपस्टिक (जिसे कभी-कभी कैलकुलेटर या सिर्फ स्टिक्स कहा जाता है) दो या दो से अधिक खिलाड़ियों के लिए एक हाथ का खेल है, जिसमें खिलाड़ी प्रत्येक हाथ से कई उंगलियां फैलाते हैं और एक हाथ को दूसरे के खिलाफ टैप करने के लिए बारी-बारी से उन अंकों को स्थानांतरित करते हैं। चॉपस्टिक एक संयुक्त खेल का एक उदाहरण है, और इसे इस अर्थ में हल किया जाता है कि सही खेल के साथ, किसी भी बिंदु से एक इष्टतम रणनीति ज्ञात होती है। यदि आपके प्रत्येक हाथ पर उंगलियों की संख्या समान है तो आप उन्हें एक साथ मार सकते हैं और प्रत्येक हाथ पर एक उंगली छोड़ कर उन्हें विभाजित कर सकते हैं। जब खिलाड़ी के पास केवल एक उंगली बची होती है तो इसे हाथों के बीच नहीं बदला जा सकता है और उसे प्रतिद्वंद्वी पर हमला करना चाहिए। एक चॉपस्टिक की स्थिति को आसानी से चार अंकों के कोड [ए. बी. सी. डी] में संक्षिप्त किया जा सकता है। ए और बी खिलाड़ी के हाथ (उंगलियों के आरोही क्रम में) हैं जो अपनी बारी लेने वाले हैं। सी और डी खिलाड़ी के हाथ (उंगलियों के आरोही क्रम में) हैं जो अपनी बारी लेने वाले नहीं हैं। प्रत्येक खिलाड़ी के हाथों को आरोही क्रम में नोट करना महत्वपूर्ण है, ताकि एक अलग स्थिति को गलती से दो कोड द्वारा दर्शाया न जाए। उदाहरण के लिए, कोड [1032] की अनुमति नहीं है, और इसे [0123] नोट किया जाना चाहिए। इसलिए, प्रारंभिक स्थिति [1111] है। अगला स्थान [1211] होना चाहिए। अगला स्थान या तो [1212] या [1312] होना चाहिए। प्रत्येक स्थिति को 4 अंकों की संख्या मानते हुए, सबसे छोटी स्थिति 0000 है, और सबसे बड़ी स्थिति 4444 है। यह संक्षिप्त सूत्र अधिक खिलाड़ियों वाले खेलों में आसानी से फैल जाता है। तीन खिलाड़ियों के खेल को छह अंकों से दर्शाया जा सकता है। [111211]), जहाँ निकटवर्ती अंकों की प्रत्येक जोड़ी एक खिलाड़ी का प्रतिनिधित्व करती है, और प्रत्येक जोड़ी को इस आधार पर क्रमबद्ध किया जाता है कि खिलाड़ी कब अपनी बारी लेंगे। सबसे बाईं जोड़ी खिलाड़ी के हाथों का प्रतिनिधित्व करती है जो अपनी बारी लेने वाला है; बीच की जोड़ी उस खिलाड़ी का प्रतिनिधित्व करती है जो आगे जाएगा, और इसी तरह। सबसे दाहिनी जोड़ी उस खिलाड़ी का प्रतिनिधित्व करती है जिसे अपनी बारी से पहले सबसे लंबा इंतजार करना पड़ता है (आमतौर पर क्योंकि वह अभी गया था)। चाल सामान्य नियमों के तहत, अधिकतम 14 संभावित चालें होती हैंः चार हमले (ए-सी, ए-डी, बी-सी, बी-डी) चार प्रभाग (02-11,03-12,04-13,04-22) छह स्थानांतरण (13-22,22-13,14-23,23-14,24-33,33-24) हालांकि, इनमें से केवल 5 या उससे कम एक दिए गए मोड़ पर उपलब्ध हैं। उदाहरण के लिए, प्रारंभिक स्थिति 1312 2213,1313,2413,0113, या 1222 तक जा सकती है। खेल की लंबाई सबसे कम संभव खेल 5 चाल है। एक उदाहरण हैः 1111 1211 1312 0113 1401 0014 सबसे लंबा संभव खेल जो प्रत्येक चाल के साथ शुरुआती बिंदु से दूर हो जाता है वह है 9 चालें। दो उदाहरण हैंः 1111 1211 1212 2212 2322 0223 0202 0402 0104 0001 1111 1211 1212 2323 0323 0303 0103 0401 0004 पुनरीक्षण के साथ सबसे लंबा संभव खेल अनिश्चित है। पद चूंकि रोल-ओवर राशि 5 है, इसलिए चॉपस्टिक एक आधार-5 खेल है। प्रत्येक पद चार अंकों का होता है। 0000 से 4444 (आधार-5 में) तक की गिनती से 625 स्थान प्राप्त होते हैं। हालाँकि, इनमें से अधिकांश पद गलत संकेतन हैं (जैसे। 0132,1023 और 1032)। वे अलग-अलग दिखाई देते हैं लेकिन गेमप्ले में कार्यात्मक रूप से समान हैं। कार्यात्मक रूप से अलग-अलग स्थितियों की संख्या का पता लगाने के लिए, कार्यात्मक रूप से अलग-अलग जोड़े की संख्या का वर्ग करें। 15 अलग-अलग जोड़े हैं (00,01,02,03,04,11,12,13,14,22,23,24,33,34 और 44)। चूँकि किसी भी खिलाड़ी के पास इनमें से कोई भी जोड़ी हो सकती है, हम बस 15 * 15 को गुणा करते हैं, जो 225 कार्यात्मक रूप से अलग स्थिति देता है। रिक्तियों सहित 625 पद हैं। 225 कार्यात्मक रूप से अलग-अलग पद हैं। 204 पहुँच योग्य पद हैं। 21 अप्राप्य पद हैंः 0000,0100,0200,0300,0400,1100,1101,1200,1300,1400,2200,2200,2300,2400,3300,343,344,4400,444 और 4444। इनमें से 15 केवल एक खिलाड़ी है जिसमें 15 अलग-अलग जोड़े हैं, और दूसरा खिलाड़ी मृत है। समस्या यह है कि मृत खिलाड़ी वह खिलाड़ी होता है जिसने अभी-अभी अपनी बारी ली (इसलिए दाईं ओर "00")। चूँकि खिलाड़ी अपनी बारी पर नहीं हार सकता है, इसलिए ये स्थान स्पष्ट रूप से पहुंच से बाहर हैं। उन जोड़ों में से 4 वे हैं जहाँ खिलाड़ी को [kk] के साथ आगे बढ़ना है, और दूसरे खिलाड़ी के पास [0k] है, जहाँ। यह पहुंच से बाहर है क्योंकि जो खिलाड़ी अभी गया था वह विभाजित नहीं हो पाएगा, इसलिए उस खिलाड़ी ने अपने [0k] का उपयोग करके हमला किया होगा। लेकिन दुश्मन पर हमला करने के लिए [0k] का उपयोग करने का कोई तरीका नहीं है ताकि वे [kk] की ओर बढ़ सकें। इसके लिए मृत हाथ पर हमला करने की आवश्यकता होगी, जो अवैध है। शेष दो पद 3444 और 4444 हैं। 4444 पहुँच योग्य नहीं है क्योंकि एक खिलाड़ी विभाजन से [44] तक नहीं पहुँच सकता है, और इसलिए पहले से ही [44] होना चाहिए था। एकमात्र संभावित जोड़ी जो [44] द्वारा हमला किए जाने के बाद [44] पर जाती है, वह है [04], जिसके लिए फिर से एक मृत हाथ पर हमला करने की आवश्यकता होती है। 3444 वास्तव में पहुँच योग्य है, लेकिन केवल 4444 से। चूँकि 4444 से 4444 पहुँच योग्य नहीं है, न ही 3444 है। 14 पहुँच योग्य अंतिम खेल हैंः 0001,0002,0003,0004,0011,0012,0013,0014,0022,0023,0024,0033,0034,0044। संतोषजनक रूप से पर्याप्त, ये सभी 14 संभावित अंतिम खेल हैं; दूसरे शब्दों में, कोई भी 14 अलग-अलग जीवित जोड़ों में से किसी का उपयोग करके जीत सकता है। इन 14 अंतिम खेलों में से, पहला खिलाड़ी उनमें से 8 जीतता है, यह मानते हुए कि खेल न्यूनतम चालों में समाप्त होते हैं। वैरिएशन मिसेरेः पहला खिलाड़ी जिसके दोनों हाथ मारे गए, वह जीत जाता है। आत्महत्याः खिलाड़ियों को विभाजन के साथ अपने एक हाथ को मारने की अनुमति है। उदाहरण के लिए, स्थिति [1201] में, एक खिलाड़ी 12-03 निष्पादित कर सकता है, इस प्रकार खेल को [0103] पर ला सकता है। प्रतिद्वंद्वी को बी-डी खेलने के लिए मजबूर किया जाता है, जिससे खेल [0401] पर आ जाता है, जिस बिंदु पर पहले खिलाड़ी के लिए एक त्वरित जीत संभव है। अदला-बदली/चेरीः यदि खिलाड़ियों के पास दो असमान जीवित हाथ हैं, तो वे उन्हें अदला-बदली कर सकते हैं (हालांकि अपनी बारी खो देते हैं)। यह भिन्नता आमतौर पर स्पष्ट कारणों से पुनरावृत्ति या अनंत लूप द्वारा एक ड्रॉ प्राप्त करती है। इससे बचने के लिए, एक खिलाड़ी को हमला करने के लिए मजबूर होने से पहले बिना हमला किए लगातार अदला-बदली की संख्या पर सीमा रखी जा सकती है। अचानक मृत्युः खिलाड़ी तब हार जाते हैं जब उनके पास केवल एक उंगली (दोनों हाथों पर) बची होती है। वैकल्पिक रूप से, प्रत्येक खिलाड़ी तीन जीवन के साथ शुरुआत कर सकता है, और हर बार जब वे नीचे उतरते हैं [1], तो वे एक जीवन खो देते हैं। मेटाः यदि किसी खिलाड़ी के हाथ पाँच से अधिक हो जाते हैं, तो वे उन्हें जोड़ सकते हैं, कुल में से पाँच को घटा सकते हैं, और फिर शेष को विभाजित कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, [44] 8 तक जोड़ता है। मेटा नियमों के तहत, 4 और 4 को 8 में जोड़ा जा सकता है, जो पाँच को घटाने के बाद 3 हो जाता है; इन्हें फिर [12] में विभाजित किया जा सकता है। इसलिए, एक ही चाल में [44] से [12] तक जाना संभव है। मेटा 2 नए संभावित चालों (34-11,44-12) को खोलता है। यदि मेटा और सुसाइड दोनों खेलते हैं, तो कुल मिलाकर अधिकतम 20 संभावित चालों के लिए चार अतिरिक्त चालें (24-01,33-01,34-02,44-03) खोली जाती हैं। लोगान क्लॉजः खिलाड़ियों को आत्महत्या करने और अदला-बदली करने की अनुमति है, लेकिन केवल तभी जब दोनों को एक साथ किया जाए (यानी। एक जीवित के लिए एक मृत हाथ की अदला-बदली)। मृत्यु हमलाः खिलाड़ियों को मृत हाथों पर हमला करने की अनुमति है। मृत हाथ पर हमला करने से पहले मृत हाथ को 0 माना जाएगा। कटऑफः यदि कोई हाथ पाँच उंगलियों से ऊपर हो जाता है, तो वह मृत है (आधिकारिक नियमों में वर्णित रोलओवर के विपरीत)। लाशः तीन या अधिक खिलाड़ियों के साथ, यदि कोई खिलाड़ी बाहर हो जाता है, तो उन्हें स्थायी रूप से एक हाथ की एक उंगली तक सीमित कर दिया जाता है। अपनी बारी पर, वे हमला कर सकते हैं, लेकिन विभाजित नहीं हो सकते हैं या हमला नहीं किया जा सकता है (क्रिस बैंडी द्वारा आविष्कार किया गया)। केवल स्थानांतरणः प्रभागों की अनुमति नहीं है। केवल अनुमति प्राप्त विभाजन स्थानांतरण हैं। केवल प्रभागः स्थानांतरण की अनुमति नहीं है। केवल विभाजन की अनुमति है। आधाः विभाजन की अनुमति केवल तब दी जाती है जब एक सम संख्या को दो बराबर हिस्सों में विभाजित किया जाता है, या वैकल्पिक रूप से, एक विषम संख्या को यथासंभव समान रूप से विभाजित किया जाता है (पूर्ण संख्याओं का उपयोग करके)। इस भिन्नता में, दूसरे खिलाड़ी के पास जीतने की रणनीति होती है (हमेशा जीत के लिए मजबूर कर सकता है)। स्टंप्सः यदि कोई खिलाड़ी [1] पर है, तो [0.05] में विभाजित होना वैध है। अधिक हाथः प्रत्येक खिलाड़ी के दो से अधिक हाथ होते हैं। यह आमतौर पर कई लोगों की टीमों में खेला जाता है, क्योंकि लोगों के केवल दो हाथ होते हैं। प्रति खिलाड़ी अधिक हाथों के साथ, अलग-अलग स्थानांतरण, विभाजन, अदला-बदली और आत्महत्या के नियम संभव हैं, और इसमें शामिल हैं लेकिन इन तक सीमित नहीं हैंः एकल स्थानांतरणः प्रत्येक खिलाड़ी केवल दो हाथों के बीच उंगलियों को स्थानांतरित कर सकता है। एकाधिक स्थानान्तरणः प्रत्येक खिलाड़ी दो से अधिक हाथों के बीच उंगलियों को स्थानांतरित कर सकता है, जब तक कि परिणामी स्थिति मूल अवस्था से अलग हो एकल विभाजनः खिलाड़ी केवल एक हाथ से केवल एक मृत हाथ में उंगलियों को स्थानांतरित कर सकता है। विभाजनः खिलाड़ी केवल एक हाथ से कई मृत हाथों में उंगलियों को स्थानांतरित कर सकता है। स्थानांतरण और विभाजनः खिलाड़ी मृत हाथों को पुनर्जीवित करने के लिए कई हाथों से उंगलियों को स्थानांतरित कर सकता है। अलग-अलग संख्याएँः एक हाथ तब मर जाता है जब वह एक सकारात्मक संख्या तक पहुँच जाता है। यह मानक चॉपस्टिक्स संस्करण है। 5 से अधिक संख्याओं के लिए अलग-अलग हाथ गणना प्रणालियों का उपयोग किया जा सकता है जैसे कि चीनी हाथ अंक, सेनरी फिंगर काउंटिंग और फिंगर बाइनरी। इस भिन्नता में अक्सर रोलओवर शामिल होते हैं। सूर्यः दोनों खिलाड़ी अपने प्रत्येक हाथ में 4 से शुरुआत करते हैं ([4444])। यह एक ऐसी स्थिति है जो सामान्य गेमप्ले में पहुंच से बाहर है (यानी। शुरुआती स्थिति से [1111])। पूर्णांकः हाथ के +/- चिह्न को बदलकर, इसे पलटकर अपने हाथों में से किसी एक को बदलने की अनुमति है। यह नकारात्मक और शून्य मूल्य वाले हाथों के लिए अनुमति देता है, हालांकि एक हाथ अभी भी 5 या-5 पर मर जाता है। रोल-ओवर के साथ, यह क्रिया हाथ के मूल्य को 5 माइनस मूल्य के साथ बदलने के समान हो जाती है। अनामितः दो अतिरिक्त चालें (ए-बी, बी-ए) जोड़कर अपने हाथों पर हमला करने की अनुमति है। आमतौर पर स्वैप और कटऑफ संस्करणों के साथ संयोजन में खेला जाता है। चेरी बमः ठीक 5 पर स्थानांतरित करने से उपयोगकर्ता का हाथ बन जाएगा [1 1] और एक हमला करने वाले खिलाड़ी का हाथ खो जाएगा, और उस खिलाड़ी का दूसरा हाथ 1 हो जाएगा। मूल रूप से, 1 बनाम 1 खेल में स्थिति [1101] बन जाती है। 1 बनाम एक खेल में, यह एक आसान मजबूर जीत बन जाती है, इसलिए इसे 2 से अधिक लोगों के साथ खेला जाता है। स्व-संयोजनः खिलाड़ी अपनी बारी में किसी भी जीवित हाथ में 1 उंगली जोड़ सकते हैं और इस क्रिया से खिलाड़ी की बारी समाप्त हो जाएगी। वे 4 उंगलियों को ऊपर उठाते हुए एक जीवित हाथ में 1 जोड़कर भी आत्म-विनाश कर सकते हैं। और कई उंगलियों को मृत हाथ में स्थानांतरित करने की अनुमति है। खेल की विविधता के कारण इसकी रणनीति जटिल हो जाती है। इष्टतम रणनीति उपरोक्त नियमों का उपयोग करते हुए, दो परिपूर्ण खिलाड़ी अनिश्चित काल तक खेलेंगे; खेल एक लूप में जारी रहेगा। वास्तव में, बहुत अनुभवहीन खिलाड़ी भी केवल एक कदम आगे देखकर हारने से बच सकते हैं। कटऑफ भिन्नता में, पहला खिलाड़ी जीत के लिए मजबूर कर सकता है। एक जीतने की रणनीति यह है कि प्रत्येक चाल के बाद हमेशा निम्नलिखित विन्यासों में से एक तक पहुंचना है, अधिमानतः सूची में पहले एक को चुनना यदि एक से अधिक विकल्प हैं। [1211] (यहाँ से शुरू) [एबी12], जहाँ ए और बी किसी भी संख्या में उंगलियाँ हो सकती हैं (यदि संभव हो तो तुरंत जीतना) इसके विपरीत, केवल विभाजन और आत्महत्या भिन्नता में, तो दूसरे खिलाड़ी की जीत की रणनीति होती है। सामान्यीकरण चॉपस्टिक को (पी, आर)-प्रकार के खेल में सामान्यीकृत किया जा सकता है, जहाँ पी खिलाड़ियों की संख्या है और आर रोल-ओवर राशि है। दो से कम खिलाड़ी एक खिलाड़ी के साथ एक खेल मामूली रूप से खेल में अंतिम खिलाड़ी होने के कारण खेल जीतता है। शून्य खिलाड़ियों वाला खेल भी इसी तरह तुच्छ है क्योंकि खेल में कोई खिलाड़ी नहीं होता है और इसलिए कोई विजेता नहीं होता है। दो खिलाड़ियों के रोल-ओवर को देखते हुए, पद हैं, जिसमें अतिरेक भी शामिल हैं। कार्यात्मक रूप से अलग-अलग पद हैं। क्योंकि, पहुँच योग्य पद हैं। चूँकि रोल-ओवर राशि है, चॉपस्टिक एक बेस-गेम है। प्रत्येक स्थिति लंबे अंकों की होती है। आधार में सभी संख्याओं को अंकों के साथ गिनने से हमें स्थिति मिलती है। हालाँकि, इनमें से अधिकांश पद गलत संकेतन हैं (जैसे। 1002,0120, और 1020)। वे अलग-अलग दिखाई देते हैं लेकिन गेमप्ले में कार्यात्मक रूप से समान हैं। कार्यात्मक रूप से अलग-अलग स्थितियों की संख्या का पता लगाने के लिए, हम कार्यात्मक रूप से अलग-अलग जोड़े की संख्या का वर्ग करते हैं। एक रोल-ओवर के लिए, अलग-अलग जोड़े हैं, जहाँ-th त्रिकोणीय संख्या है। चूँकि किसी भी खिलाड़ी के पास इनमें से कोई भी जोड़ी हो सकती है, हम बस परिणामी मूल्य का वर्ग करते हैं, जो हमें कार्यात्मक रूप से अलग स्थिति देता है। के लिए अप्राप्य पद हैं। इनमें से केवल एक खिलाड़ी के पास अलग-अलग जोड़े होते हैं, और दूसरे खिलाड़ी की मृत्यु हो जाती है। समस्या यह है कि मृत खिलाड़ी वह खिलाड़ी है जिसने अभी-अभी अपनी बारी ली है। चूँकि खिलाड़ी अपनी बारी पर नहीं हार सकता है, इसलिए ये स्थान स्पष्ट रूप से पहुंच से बाहर हैं। उन स्थितियों में से एक तब होता है जब खिलाड़ी, जिसकी बारी होती है, के पास दो हाथ होते हैं और दूसरे खिलाड़ी के पास केवल एक जीवित हाथ होता है। ये स्थितियाँ पहुंच से बाहर हैं क्योंकि जिस खिलाड़ी का केवल एक जीवित हाथ है वह विभाजित नहीं हो पाएगा, इसलिए उस खिलाड़ी ने अपने एकमात्र जीवित सिर का उपयोग करके हमला किया होगा। लेकिन दुश्मन पर हमला करने के लिए उसके एकमात्र जीवित हाथ का उपयोग करने का कोई तरीका नहीं है ताकि उनके दो हाथ मूल्यवान हों, क्योंकि इसके लिए एक मृत हाथ पर हमला करने की आवश्यकता होगी, जो कि अवैध है। वह स्थिति जब दोनों खिलाड़ियों के दो हाथ मूल्यवान होते हैं। ये स्थिति पहुंच से बाहर हैं क्योंकि कोई भी खिलाड़ी जिसके पास केवल मूल्यवान हाथ हैं, वह विभाजित नहीं हो पाएगा, इसलिए उस खिलाड़ी ने अपने मूल्यवान हाथों में से एक का उपयोग करके हमला किया होगा। लेकिन एक मूल्यवान हाथ का उपयोग करने का कोई तरीका नहीं है ताकि उनके पास मूल्यवान हाथ हों, क्योंकि इसके लिए एक मृत हाथ पर हमला करने की आवश्यकता होगी, जो अवैध है। स्थिति जब खिलाड़ी जिसकी बारी होती है उसका एक हाथ मूल्यवान होता है और एक हाथ मूल्यवान होता है, और दूसरे खिलाड़ी के दो हाथ मूल्यवान होते हैं। यह स्थिति केवल पिछली स्थिति से ही पहुँच योग्य है, लेकिन पिछली स्थिति शुरुआती स्थिति से पहुँच योग्य नहीं है, इसलिए यह स्थिति भी नहीं है। दो से अधिक खिलाड़ियों को 5 का रोल-ओवर दिया जाता है। 2 खिलाड़ियों के साथ, 204 स्थान हैं। 3 खिलाड़ियों के साथ 3,337 पद हैं। 4 खिलाड़ियों के साथ, 25,000 से अधिक पद हैं। 1 की रोल-ओवर राशि वाला एक खेल तुच्छ खेल है, क्योंकि सभी हाथ शुरू में मृत हो जाते हैं क्योंकि एक के मान शून्य के मान बन जाते हैं। 2 की रोल-ओवर राशि वाला खेल विकृत होता है, क्योंकि विभाजन असंभव है और रोल-ओवर और कटऑफ भिन्नताओं का परिणाम एक ही खेल में होता है। हाथ या तो 'जीवित' और 'मृत' होते हैं, और एक हाथ पर हमला करने से हाथ मर जाता है। वास्तव में, एक खिलाड़ी के हाथों की संख्या (उंगलियों या गिनती की किसी अन्य विधि का उपयोग करके) की गणना की जा सकती है, और जब कोई खिलाड़ी प्रतिद्वंद्वी पर हमला करता है, तो प्रतिद्वंद्वी के हाथों की संख्या एक से कम हो जाती है। खेल में कुल पहुँच योग्य स्थान हैं, और खेल की लंबाई है। दो खिलाड़ियों के खेल को पहले व्यक्ति की जीत के रूप में दृढ़ता से हल किया जाता है। जब दो खिलाड़ियों का केवल एक हाथ होता है, तो खेल विकृत हो जाता है, क्योंकि विभाजन नहीं हो सकता है और प्रत्येक खिलाड़ी के पास केवल एक चाल होती है। खेल में चाल के बाद प्रत्येक स्थिति के रोल-ओवर को टुपल द्वारा दर्शाया जा सकता है, जहां और के साथ-th फिबोनाची संख्या है। पदों की संख्या कम से कम धनात्मक संख्या द्वारा दी जाती है जो विभाजित होती है। इस संस्करण को फिबोनाची संख्याओं के विभाज्यता गुणों के आधार पर दोनों पक्षों के लिए एक जीत के रूप में दृढ़ता से हल किया जाता है। खेल की लंबाई है। मोर्रा (खेल) भी देखें-एक अलग हाथ-खेल, जो तर्क के बजाय संयोग पर आधारित है। संदर्भ बाहरी लिंक अजेय चॉपस्टिक्स AI बॉट। यह बॉट रोलओवर और स्थानांतरण के साथ खेल खेलता है। बच्चों के खेल हाथ के खेल अमूर्त रणनीति खेल हल किए गए खेल संयोजन खेल सिद्धांत