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आंशिक विभेदक समीकरणों के अध्ययन में, एम. यू. एस. सी. एल. योजना एक सीमित आयतन विधि है जो किसी दिए गए प्रणाली के लिए अत्यधिक सटीक संख्यात्मक समाधान प्रदान कर सकती है, उन मामलों में भी जहां समाधान झटके, असंतुलन या बड़े प्रवणता प्रदर्शित करते हैं। एम. यू. एस. सी. एल. का अर्थ है मोनोटोनिक अपस्ट्रीम-सेंटर्ड स्कीम फॉर कंजर्वेशन लॉज़ (वैन लीयर, 1979), और इस शब्द को ब्रैम वैन लीयर (वैन लीयर, 1979) द्वारा एक मौलिक पेपर में पेश किया गया था। इस पेपर में उन्होंने पहले उच्च क्रम, कुल भिन्नता घटाने (टीवीडी) योजना का निर्माण किया जहां उन्होंने दूसरे क्रम की स्थानिक सटीकता प्राप्त की। विचार यह है कि गोडुनोव की योजना के टुकड़ों में निरंतर सन्निकटन को पुनर्निर्मित अवस्थाओं द्वारा प्रतिस्थापित किया जाए, जो पिछले समय-चरण से प्राप्त कोशिका-औसत अवस्थाओं से प्राप्त होते हैं। प्रत्येक कोशिका के लिए, ढलान सीमित, पुनर्निर्मित बाएँ और दाएँ अवस्थाएँ प्राप्त की जाती हैं और कोशिका सीमाओं (किनारों) पर प्रवाह की गणना करने के लिए उपयोग की जाती हैं। इन प्रवाहों का उपयोग, बदले में, एक रीमान सॉल्वर के लिए इनपुट के रूप में किया जा सकता है, जिसके बाद समाधानों को औसत किया जाता है और समय पर समाधान को आगे बढ़ाने के लिए उपयोग किया जाता है। वैकल्पिक रूप से, फ्लक्स का उपयोग रीमान-सॉल्वर-मुक्त योजनाओं में किया जा सकता है, जो मूल रूप से रुसानोव जैसी योजनाएं हैं। रैखिक पुनर्निर्माण हम निम्नलिखित सरल प्रथम क्रम, स्केलर, 1 डी प्रणाली पर विचार करके एम. यू. एस. सी. एल. योजना के मूल सिद्धांतों पर विचार करेंगे, जिसे सकारात्मक दिशा में प्रसार करने वाली तरंग माना जाता है, जहां एक अवस्था चर का प्रतिनिधित्व करता है और एक फ्लक्स चर का प्रतिनिधित्व करता है। गोडुनोव की मूल योजना प्रत्येक कोशिका के लिए टुकड़ों में निरंतर सन्निकटन का उपयोग करती है, और इसके परिणामस्वरूप कोशिका केंद्रों के रूप में अनुक्रमित उपरोक्त समस्या का प्रथम-क्रम अपविंड विवेचना में परिणाम मिलता है। एक अर्ध-विविक्त योजना को निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है, यह मूल योजना झटकों या तेज विसंगतियों को संभालने में सक्षम नहीं है क्योंकि वे धब्बेदार हो जाते हैं। इस प्रभाव का एक उदाहरण विपरीत आरेख में दिखाया गया है, जो दाईं ओर फैलती एक चरण तरंग के साथ एक 1 डी एडवेक्टिव समीकरण को दर्शाता है। सिमुलेशन को 200 कोशिकाओं के जाल के साथ किया गया था और इसमें चौथे क्रम के रुंग-कुट्टा टाइम इंटीग्रेटर (RK4) का उपयोग किया गया था। असंतुलन का उच्च संकल्प प्रदान करने के लिए, गोडुनोव की योजना को प्रत्येक कोशिका के टुकड़ों में रैखिक सन्निकटन का उपयोग करने के लिए बढ़ाया जा सकता है, जिसके परिणामस्वरूप एक केंद्रीय अंतर योजना होती है जो अंतरिक्ष में दूसरे क्रम की सटीक होती है। इस प्रकार, कोशिका किनारों पर फ्लक्स का मूल्यांकन करते हुए हमें निम्नलिखित अर्ध-विविक्त योजना मिलती है जहां और कोशिका किनारे चर के पीसवाइज अनुमानित मूल्य हैं, अर्थात, हालांकि उपरोक्त द्वितीय-क्रम योजना चिकने समाधानों के लिए अधिक सटीकता प्रदान करती है, यह कुल भिन्नता घटती (टीवीडी) योजना नहीं है और समाधान में नकली दोलनों का परिचय देती है जहां असंतुलन या झटके मौजूद हैं। इस प्रभाव का एक उदाहरण विपरीत आरेख में दिखाया गया है, जो एक 1 डी एडवेक्टिव समीकरण को दर्शाता है, जिसमें एक चरण तरंग दाईं ओर फैलती है। सटीकता का यह नुकसान गोडुनोव के प्रमेय के कारण होने की उम्मीद है। सिमुलेशन को 200 कोशिकाओं के जाल के साथ किया गया था और समय एकीकरण के लिए RK4 का उपयोग किया गया था। एम. यू. एस. सी. एल. आधारित संख्यात्मक योजनाएं ढलान सीमित बाएँ और दाएँ बहिर्वेष्टित अवस्थाओं का उपयोग करके प्रत्येक कोशिका के लिए एक रैखिक टुकड़ों में सन्निकटन का उपयोग करने के विचार का विस्तार करती हैं। इसके परिणामस्वरूप निम्नलिखित उच्च रिज़ॉल्यूशन, टीवीडी डिस्क्रीटाइजेशन योजना होती है, जिसे, वैकल्पिक रूप से, अधिक संक्षिप्त रूप में लिखा जा सकता है, संख्यात्मक फ्लक्स निरंतर फ्लक्स फ़ंक्शन के लिए पहले और दूसरे क्रम के सन्निकटन के एक अरैखिक संयोजन के अनुरूप होते हैं। प्रतीक और योजना पर निर्भर कार्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं (सीमित बहिर्वेष्टित कोशिका किनारे चर के), यानी, जहां, डाउनविंड ढलानों का उपयोग करनाः और कार्य एक सीमित कार्य है जो समाधान को टीवीडी सुनिश्चित करने के लिए पीसवाइस सन्निकटन के ढलान को सीमित करता है, जिससे नकली दोलनों से बचा जा सकता है जो अन्यथा असंतुलन या झटकों के आसपास होते हैं-फ्लक्स लिमिटर अनुभाग देखें। सीमा शून्य के बराबर है जब और एकता के बराबर है जब। इस प्रकार, एक टीवीडी विवेचना की सटीकता स्थानीय चरम पर पहले क्रम में गिर जाती है, लेकिन डोमेन के चिकने हिस्सों पर दूसरे क्रम में जाती है। एल्गोरिथ्म को लागू करने के लिए सीधे आगे है। एक बार एक उपयुक्त योजना चुने जाने के बाद, जैसे कि कुर्गानोव और टाडमोर योजना (नीचे देखें), समाधान मानक संख्यात्मक एकीकरण तकनीकों का उपयोग करके आगे बढ़ सकता है। कुर्गानोव और टाडमोर केंद्रीय योजना कुर्गानोव और टाडमोर (केटी) केंद्रीय योजना, (कुर्गानोव और टाडमोर, 2000) के लिए एक अग्रदूत, नेस्याहु और टाडमोर (एनटी) एक चौंका देने वाली केंद्रीय योजना है, (नेस्याहु और टाडमोर, 1990)। यह एक रीमान-समाधान-मुक्त, द्वितीय-क्रम, उच्च-रिज़ॉल्यूशन योजना है जो एम. यू. एस. सी. एल. पुनर्निर्माण का उपयोग करती है। यह एक पूरी तरह से असतत विधि है जिसे लागू करने के लिए सीधा है और इसका उपयोग स्केलर और वेक्टर समस्याओं पर किया जा सकता है, और इसे उच्च क्रम पुनर्निर्माण के साथ एक रुसानोव फ्लक्स (जिसे स्थानीय लैक्स-फ्रीड्रिक्स फ्लक्स भी कहा जाता है) के रूप में देखा जा सकता है। एल्गोरिथ्म रीमान प्रकार के समाधानकर्ताओं के तुलनीय प्रदर्शन के साथ केंद्रीय अंतरों पर आधारित होता है जब इसका उपयोग पी. डी. ई. की वर्णन प्रणालियों के लिए समाधान प्राप्त करने के लिए किया जाता है जो उच्च-ढाल वाली घटनाओं को प्रदर्शित करते हैं। के. टी. योजना एन. टी. योजना का विस्तार करती है और इसमें मूल एन. टी. योजना की तुलना में संख्यात्मक चिपचिपाहट की मात्रा कम होती है। इसका अतिरिक्त लाभ यह भी है कि इसे पूरी तरह से असतत या अर्ध-असतत योजना के रूप में लागू किया जा सकता है। यहाँ हम अर्ध-विविक्त योजना पर विचार करते हैं। गणना को नीचे दिखाया गया हैः जहां स्थानीय प्रसार गति, सी. एफ. एल. से संबंधित गति से परे जैकोबियन के अधि कोशिकाओं के आइगेन वैल्यू का अधिकतम निरपेक्ष मूल्य है और वर्णक्रमीय त्रिज्या का प्रतिनिधित्व करता है, कोई विशिष्ट जानकारी की आवश्यकता नहीं है। उपरोक्त फ्लक्स गणना को अक्सर लक्स-फ्रीड्रिक्स फ्लक्स कहा जाता है (हालांकि यह उल्लेखनीय है कि इस तरह की फ्लक्स अभिव्यक्ति लक्स, 1954 में नहीं बल्कि रुसानोव, 1961 में दिखाई देती है)। एक उच्च रिज़ॉल्यूशन योजना का उपयोग करने की प्रभावशीलता का एक उदाहरण विपरीत आरेख में दिखाया गया है, जो 1 डी एडवेक्टिव समीकरण को दर्शाता है, जिसमें दाईं ओर एक चरण तरंग फैलती है। सुपरबी लिमिटर के साथ कुर्गानोव और टैडमोर केंद्रीय योजना का उपयोग करते हुए 200 कोशिकाओं के जाल पर अनुकरण किया गया था और समय एकीकरण के लिए आर. के.-4 का उपयोग किया गया था। यह अनुकरण परिणाम ऊपर दिखाए गए उपरोक्त प्रथम-क्रम अपविंड और द्वितीय-क्रम केंद्रीय अंतर परिणामों के खिलाफ बहुत अच्छी तरह से विपरीत है। समीकरणों के सेट पर लागू होने पर यह योजना भी अच्छे परिणाम प्रदान करती है-यूलर समीकरणों पर लागू इस योजना के लिए नीचे दिए गए परिणाम देखें। हालांकि, एक उपयुक्त लिमिटर चुनने में सावधानी बरतनी होगी क्योंकि, उदाहरण के लिए, सुपरबी लिमिटर कुछ चिकनी तरंगों के लिए अवास्तविक तीक्ष्णता का कारण बन सकता है। यदि वे मौजूद हैं तो योजना में आसानी से प्रसार की शर्तें शामिल हो सकती हैं। उदाहरण के लिए, यदि उपरोक्त 1डी स्केलर समस्या को एक प्रसार शब्द को शामिल करने के लिए बढ़ाया जाता है, तो हम पाते हैं कि जिसके लिए कुर्गानोव और टाडमोर निम्नलिखित केंद्रीय अंतर सन्निकटन का प्रस्ताव करते हैं, जहां, एल्गोरिथ्म (पूर्ण और अर्ध-विविक्त संस्करण) और इसकी व्युत्पत्ति का पूरा विवरण मूल पेपर (कुर्गानोव और टाडमोर, 2000) में पाया जा सकता है, साथ ही कई 1डी और 2डी उदाहरण भी हैं। अतिरिक्त जानकारी नेस्याहु और तादमोर (1990) द्वारा पहले से संबंधित पेपर में भी उपलब्ध है। नोटः यह योजना मूल रूप से कुर्गानोव और टाडमोर द्वारा रैखिक बहिर्वेशन पर आधारित द्वितीय क्रम योजना के रूप में प्रस्तुत की गई थी। एक बाद के पेपर (कुर्गानोव और लेवी, 2000) से पता चलता है कि यह तीसरे क्रम की योजना का आधार भी बन सकता है। पैराबोलिक पुनर्निर्माण (तीसरा क्रम) का उपयोग करते हुए उनकी योजना का एक 1 डी एडवेक्टिव उदाहरण और एक यूलर समीकरण उदाहरण, नीचे परवलयिक पुनर्निर्माण और यूलर समीकरण अनुभागों में दिखाया गया है। टुकड़ों में परवलयिक पुनर्निर्माण रैखिक-बहिर्वेशन के विचार को उच्च क्रम पुनर्निर्माण तक विस्तारित करना संभव है, और एक उदाहरण विपरीत आरेख में दिखाया गया है। हालांकि, इस मामले के लिए बाएं और दाएं अवस्थाओं का अनुमान दूसरे क्रम, ऊपर की ओर पक्षपाती, अंतर समीकरण के अंतर्वेशन द्वारा किया जाता है। इसके परिणामस्वरूप एक परवलयिक पुनर्निर्माण योजना होती है जो अंतरिक्ष में तीसरे क्रम की सटीक होती है। हम करमानी (करमानी, एट अल., 2003) के दृष्टिकोण का पालन करते हैं, और एक तीसरे क्रम की अपविंड पक्षपाती योजना प्रस्तुत करते हैं, जहां प्रतीक और फिर से योजना निर्भर कार्यों (सीमित पुनर्निर्मित कोशिका किनारे चर के) का प्रतिनिधित्व करते हैं। लेकिन इस मामले के लिए वे परवलयिक रूप से पुनर्निर्मित अवस्थाओं पर आधारित हैं, अर्थात, और जहाँ = 1/3 और, और सीमित फलन, ऊपर के समान है। परवलयिक पुनर्निर्माण को लागू करने के लिए सीधे आगे बढ़ाया जाता है और इसका उपयोग ऊपर दिखाए गए रैखिक बहिर्वेशन के बदले में कुर्गानोव और टाडमोर योजना के साथ किया जा सकता है। इसका प्रभाव केटी योजना के स्थानिक समाधान को तीसरे क्रम तक बढ़ाने का है। यूलर समीकरणों को हल करते समय यह अच्छा प्रदर्शन करता है, नीचे देखें। स्थानिक क्रम में इस वृद्धि के सुचारू समाधान के लिए दूसरे क्रम की योजनाओं की तुलना में कुछ फायदे हैं, हालांकि, झटकों के लिए यह अधिक अपव्ययकारी है-रैखिक बहिर्वेशन और सुपरबी लिमिटर के साथ केटी एल्गोरिदम का उपयोग करके प्राप्त उपरोक्त समाधान के विपरीत आरेख की तुलना करें। यह अनुकरण 200 कोशिकाओं के जाल पर एक ही केटी एल्गोरिथ्म का उपयोग करके किया गया था, लेकिन परवलयिक पुनर्निर्माण के साथ। समय एकीकरण आर. के.-4 द्वारा किया गया था, और वैन अलबाडा लिमिटर के वैकल्पिक रूप का उपयोग नकली दोलनों से बचने के लिए किया गया था। उदाहरण-1 डी यूलर समीकरण सरलता के लिए हम 1 डी मामले को ऊष्मा हस्तांतरण के बिना और शरीर बल के बिना मानते हैं। इसलिए, संरक्षण सदिश के रूप में, सामान्य यूलर समीकरण कहाँ और कहाँ अवस्थाओं का सदिश है और प्रवाहों का सदिश है। उपरोक्त समीकरण द्रव्यमान, संवेग और ऊर्जा के संरक्षण का प्रतिनिधित्व करते हैं। इस प्रकार तीन समीकरण और चार अज्ञात हैं, (घनत्व) (द्रव वेग), (दबाव) और (कुल ऊर्जा)। कुल ऊर्जा इसके द्वारा दी जाती है, जहाँ यह विशिष्ट आंतरिक ऊर्जा का प्रतिनिधित्व करती है। प्रणाली को बंद करने के लिए अवस्था के समीकरण की आवश्यकता होती है। एक जो हमारे उद्देश्य के अनुकूल है वह है जहाँ तरल पदार्थ के लिए विशिष्ट ऊष्मा के अनुपात के बराबर है। अब हम आगे बढ़ सकते हैं, जैसा कि सरल 1डी उदाहरण में ऊपर दिखाया गया है, प्रत्येक अवस्था चर के लिए बाएं और दाएं बहिर्वेष्टित अवस्थाओं को प्राप्त करके। इस प्रकार, घनत्व के लिए हम प्राप्त करते हैं जहाँ समान रूप से, संवेग और कुल ऊर्जा के लिए। वेग की गणना संवेग से की जाती है और दबाव की गणना अवस्था के समीकरण से की जाती है। सीमित बहिर्वेष्टित अवस्थाओं को प्राप्त करने के बाद, हम इन मूल्यों का उपयोग करके किनारे के प्रवाह का निर्माण करने के लिए आगे बढ़ते हैं। ज्ञात किनारे के प्रवाह के साथ, अब हम अर्ध-विविक्त योजना का निर्माण कर सकते हैं, अर्थात समाधान अब मानक संख्यात्मक तकनीकों का उपयोग करके एकीकरण द्वारा आगे बढ़ सकता है। उपरोक्त एम. यू. एस. सी. एल. योजना के मूल विचार को दर्शाता है। हालाँकि, यूलर समीकरणों के व्यावहारिक समाधान के लिए, फलन को परिभाषित करने के लिए एक उपयुक्त योजना (जैसे उपरोक्त के. टी. योजना) को भी चुनना पड़ता है। विपरीत आरेख जी ए सोड की शॉक ट्यूब समस्या (सोड, 1978) के लिए रैखिक एक्सट्रापोलेशन और ऑस्प्रे लिमिटर के साथ उपरोक्त उच्च रिज़ॉल्यूशन कुर्गानोव और टैडमोर सेंट्रल स्कीम (केटी) का उपयोग करके दूसरे क्रम का समाधान दिखाता है। यह स्पष्ट रूप से यूलर समीकरणों को हल करने के लिए एम. यू. एस. सी. एल. दृष्टिकोण की प्रभावशीलता को दर्शाता है। सिमुलेशन को मैटलैब कोड (वेसलिंग, 2001) का उपयोग करके 200 कोशिकाओं के जाल पर किया गया था, जिसे केटी एल्गोरिदम और ऑस्प्रे लिमिटर का उपयोग करने के लिए अनुकूलित किया गया था। समय एकीकरण एक चौथे क्रम एसएचके (आरके-4 के समतुल्य प्रदर्शन) समाकलक द्वारा किया गया था। निम्नलिखित प्रारंभिक स्थितियों (एस. आई. इकाइयों) का उपयोग किया गयाः दबाव बाएँ = 100000 [पी. ए.]; दबाव दाएँ = 10000 [पी. ए.]; घनत्व बाएँ = 1 [कि. ग्रा./एम. 3]; घनत्व दाएँ = 0.125 [कि. ग्रा./एम. 3]; लंबाई = 20 [एम.]; वेग बाएँ = 0 [एम./एस.]; वेग दाएँ = 0 [एम./एस.]; अवधि = 0.01 [एस.]; लैम्ब्डा = 0.001069 (α. टी./αx)। इसके विपरीत आरेख उपरोक्त उच्च रिज़ॉल्यूशन कुर्गानोव और टैडमोर सेंट्रल स्कीम (केटी) का उपयोग करते हुए जी ए सोड की शॉक ट्यूब समस्या (सोड, 1978) के लिए एक तीसरे क्रम का समाधान दिखाता है, लेकिन परवलयिक पुनर्निर्माण और वैन अलबाडा लिमिटर के साथ। यह फिर से यूलर समीकरणों को हल करने के लिए एम. यू. एस. सी. एल. दृष्टिकोण की प्रभावशीलता को दर्शाता है। सिमुलेशन को मैटलैब कोड (वेसलिंग, 2001) का उपयोग करके 200 कोशिकाओं के जाल पर किया गया था, जिसे पैराबोलिक एक्सट्रापोलेशन और वैन अलबाडा लिमिटर के साथ केटी एल्गोरिदम का उपयोग करने के लिए अनुकूलित किया गया था। वैन अलबाडा लिमिटर के वैकल्पिक रूप का उपयोग नकली दोलनों से बचने के लिए किया गया था। समय एकीकरण एक चौथे क्रम एसएचके समाकलक द्वारा किया गया था। समान प्रारंभिक स्थितियों का उपयोग किया गया था। कई अन्य उच्च संकल्प योजनाएं विकसित की गई हैं जो यूलर समीकरणों को अच्छी सटीकता के साथ हल करती हैं। ऐसी योजनाओं के उदाहरण हैं, ओशर योजना, और लिउ-स्टीफन ए. यू. एस. एम. (एडवेक्शन अपस्ट्रीम विभाजन विधि) योजना। इन और अन्य तरीकों के बारे में अधिक जानकारी नीचे दिए गए संदर्भों में पाई जा सकती है। कुर्गानोव और टाडमोर केंद्रीय योजना का एक खुला स्रोत कार्यान्वयन नीचे दिए गए बाहरी लिंक में पाया जा सकता है। फ़िनिट वॉल्यूम मेथड फ्लक्स लिमिटर गोडुनोव की थ्योरम हाई रिज़ॉल्यूशन स्कीम मेथड ऑफ़ लाइन्स भी देखें सर्गेई के. गोडुनोव टोटल वेरिएशन डिमिनिशिंग सॉड शॉक ट्यूब रेफेरेंसेस केरमानी, एम. जे., गर्बर, ए. जी., और स्टॉकी, जे. एम. (2003), थर्मोडायनामिकली बेस्ड मॉइस्चर प्रेडिक्शन यूजिंग रो स्कीम, द फोर्थ कॉन्फ्रेंस ऑफ़ ईरानी एयरोस्पेस सोसाइटी, अमीर कबीर यूनिवर्सिटी ऑफ़ टेक्नोलॉजी, तेहरान, ईरान, जनवरी 27-29। कुर्गानोव, अलेक्जेंडर और ईटन टैडमोर (2000), गैर-रैखिक संरक्षण कानूनों और संवहन-प्रसार समीकरणों के लिए नई उच्च-रिज़ॉल्यूशन केंद्रीय योजनाएं, जे. कंप्यूट। भौतिक., 160,241-282। कुर्गानोव, अलेक्जेंडर और डोरोन लेवी (2000), संरक्षण कानूनों और संवहन-प्रसार समीकरणों के लिए एक तृतीय-आदेश अर्ध-विविक्त केंद्रीय योजना, एस. आई. ए. एम. जे. साइ। गणना., 22,1461-1488। लक्स, पी. डी. 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