Obstacle problem
बाधा समस्या परिवर्तनशील असमानताओं और मुक्त सीमा समस्याओं के गणितीय अध्ययन में एक उत्कृष्ट प्रेरक उदाहरण है। समस्या यह है कि एक लोचदार झिल्ली की संतुलन स्थिति का पता लगाया जाए जिसकी सीमा स्थिर रखी गई है, और जो किसी दिए गए बाधा के ऊपर होने के लिए विवश है। यह न्यूनतम सतहों के अध्ययन और संभावित सिद्धांत में एक समूह की क्षमता से भी गहराई से संबंधित है। अनुप्रयोगों में छिद्रपूर्ण माध्यम में द्रव निस्पंदन, बाधित ताप, इलास्टो-प्लास्टिसिटी, इष्टतम नियंत्रण और वित्तीय गणित का अध्ययन शामिल है। समस्या का गणितीय सूत्रीकरण डिरिचलेट ऊर्जा कार्यात्मक के न्यूनतम की तलाश करना है, कुछ क्षेत्रों में जहां कार्य झिल्ली के ऊर्ध्वाधर विस्थापन का प्रतिनिधित्व करते हैं। झिल्ली की निश्चित सीमा के अनुरूप डिरिचलेट सीमा स्थितियों को संतुष्ट करने के अलावा, कार्य कुछ दिए गए बाधा कार्य से अधिक होने के लिए विवश हैं। समाधान एक ऐसे क्षेत्र में टूट जाता है जहां समाधान बाधा कार्य के बराबर होता है, जिसे संपर्क सेट के रूप में जाना जाता है, और एक ऐसा क्षेत्र जहां समाधान बाधा से ऊपर होता है। दोनों क्षेत्रों के बीच अंतरफलक मुक्त सीमा है। सामान्य तौर पर, समाधान निरंतर होता है और इसमें लिप्सिट्ज़ निरंतर प्रथम व्युत्पन्न होते हैं, लेकिन यह कि समाधान आम तौर पर मुक्त सीमा के पार दूसरे व्युत्पन्न में असंतत होता है। मुक्त सीमा को कुछ एकवचन बिंदुओं को छोड़कर एक होल्डर निरंतर सतह के रूप में चिह्नित किया जाता है, जो एक चिकनी मैनिफोल्ड पर रहते हैं। ऐतिहासिक टिप्पणी समस्याओं को प्रेरित करना एक बाधा के ऊपर एक झिल्ली का आकार बाधा समस्या तब उत्पन्न होती है जब कोई एक क्षेत्र में एक साबुन फिल्म द्वारा लिए गए आकार पर विचार करता है जिसकी सीमा स्थिति तय होती है (पठार की समस्या देखें), इस अतिरिक्त बाधा के साथ कि झिल्ली क्षेत्र के आंतरिक भाग में भी किसी बाधा से ऊपर होने के लिए विवश है। इस मामले में, ऊर्जा कार्यात्मक को न्यूनतम किया जाना सतह क्षेत्र अभिन्न है, या इस समस्या को अपनी टेलर श्रृंखला के संदर्भ में ऊर्जा कार्यात्मक का विस्तार करके और केवल पहली अवधि लेकर छोटी गड़बड़ी के मामले में रैखिक किया जा सकता है, इस मामले में कम की जाने वाली ऊर्जा मानक डिरिचलेट ऊर्जा इष्टतम रोक है नियंत्रण सिद्धांत में भी बाधा समस्या उत्पन्न होती है, विशेष रूप से भुगतान समारोह के साथ एक यादृच्छिक प्रक्रिया के लिए इष्टतम रुकने का समय खोजने का सवाल। सरल मामले में जहां प्रक्रिया ब्राउनियन गति है, और प्रक्रिया को डोमेन से बाहर निकलने पर रोकने के लिए मजबूर किया जाता है, बाधा समस्या के समाधान को भुगतान के अपेक्षित मूल्य के रूप में वर्णित किया जा सकता है, प्रक्रिया को शुरू करते हुए, यदि इष्टतम रोक रणनीति का पालन किया जाता है। रुकने का मानदंड केवल यह है कि किसी को संपर्क सेट तक पहुंचने पर रुकना चाहिए। औपचारिक कथन मान लीजिए कि निम्नलिखित डेटा दिया गया हैः चिकनी सीमा के साथ एक खुला बाउंडेड डोमेन Rn एक स्मूथ फ़ंक्शन पर एक स्मूथ फ़ंक्शन इस तरह के सभी पर परिभाषित किया गया है कि <, यानी। (इसके निशान) की सीमा का प्रतिबंध इससे कम है। फिर उस समुच्चय पर विचार करें जो वर्ग समाकलनीय कमजोर प्रथम व्युत्पन्न के साथ वर्ग समाकलनीय कार्यों के सोबोलेव स्थान का एक बंद उत्तल उपसमुच्चय है, जिसमें वांछित सीमा स्थितियों के साथ सटीक रूप से वे कार्य शामिल हैं जो बाधा से भी ऊपर हैं। बाधा समस्या का समाधान वह कार्य है जो संबंधित सभी कार्यों पर ऊर्जा समाकलन को न्यूनतम करता है; इस तरह के लघुकरण का अस्तित्व हिल्बर्ट अंतरिक्ष सिद्धांत के विचारों से सुनिश्चित होता है। वैकल्पिक सूत्रीकरण परिवर्तनशील असमानता बाधा समस्या को हिल्बर्ट स्थानों पर परिवर्तनशील असमानताओं के सिद्धांत में एक मानक समस्या के रूप में फिर से परिभाषित किया जा सकता है। उपयुक्त कार्यों के सेट में ऊर्जा मिनीमाइज़र की तलाश करना इस तरह की तलाश करने के बराबर है कि जहाँ ̃। ,. ω: Rn × Rn → R परिमित-आयामी वास्तविक सदिश स्थान Rn में साधारण अदिश उत्पाद है। यह हिल्बर्ट रिक्त स्थान पर परिवर्तनशील असमानताओं के लिए अधिक सामान्य रूप का एक विशेष मामला है, जिनके समाधान समग्र स्थान के कुछ बंद उत्तल उपसमुच्चय में कार्य हैं, जैसे कि बलपूर्वक, वास्तविक-मूल्य वाले, बंधे हुए द्विरेखीय रूपों और बंधे हुए रैखिक कार्यों के लिए। एक परिवर्तनशील तर्क से पता चलता है कि, संपर्क सेट से दूर, बाधा समस्या का समाधान हार्मोनिक है। एक समान तर्क जो खुद को सकारात्मक भिन्नताओं तक सीमित रखता है, यह दर्शाता है कि समाधान संपर्क सेट पर सुपरहार्मोनिक है। एक साथ, दोनों तर्कों का तात्पर्य है कि समाधान एक सुपरहार्मोनिक कार्य है। वास्तव में, अधिकतम सिद्धांत का एक अनुप्रयोग तब दर्शाता है कि बाधा समस्या का समाधान स्वीकार्य कार्यों के सेट में सबसे कम सुपरहार्मोनिक कार्य है। नियमितता गुण इष्टतम नियमितता बाधा समस्या के समाधान में नियमितता या सीमित द्वितीय व्युत्पन्न होते हैं, जब बाधा में ही ये गुण होते हैं। अधिक सटीक रूप से, समाधान का निरंतरता का मापांक और इसके व्युत्पन्न के लिए निरंतरता का मापांक बाधा से संबंधित हैं। यदि बाधा में निरंतरता का मापांक है, तो समाधान में निरंतरता का मापांक दिया जाता है, जहां स्थिरांक केवल क्षेत्र पर निर्भर करता है न कि बाधा पर। यदि बाधा के पहले व्युत्पन्न में निरंतरता का मापांक है, तो समाधान के पहले व्युत्पन्न में निरंतरता का मापांक है, जहां स्थिरांक फिर से केवल डोमेन पर निर्भर करता है। स्तर की सतह और मुक्त सीमा एक अपक्षय की स्थिति के अधीन, समाधान और बाधा के बीच के अंतर के स्तर सेट, सतह हैं। मुक्त सीमा, जो उस समुच्चय की सीमा है जहाँ समाधान बाधा को पूरा करता है, एकवचन बिंदुओं के एक समूह को छोड़कर भी है, जो या तो अलग-थलग हैं या स्थानीय रूप से कई गुना पर निहित हैं। सामान्यीकरण बाधा समस्या के सिद्धांत को अन्य विचलन रूपों में समान रूप से अण्डाकार प्रचालक और उनके संबंधित ऊर्जा कार्यों तक विस्तारित किया गया है। इसे डिजनरेट एलिप्टिक ऑपरेटरों के लिए भी सामान्यीकृत किया जा सकता है। दोहरी बाधा समस्या, जहाँ कार्य एक बाधा कार्य के ऊपर और दूसरे के नीचे होने के लिए विवश है, भी दिलचस्प है। सिग्नोरिनी समस्या बाधा समस्या का एक प्रकार है, जहां ऊर्जा कार्यात्मकता को एक बाधा के अधीन न्यूनतम किया जाता है जो केवल एक कम आयाम की सतह पर रहती है, जिसमें सीमा बाधा समस्या शामिल है, जहां बाधा डोमेन की सीमा पर काम करती है। बाधा समस्या के परवलयिक, समय-निर्भर मामले और इसके रूप भी अध्ययन के विषय हैं। न्यूनतम सतह भिन्नता असमानता सिग्नोरिनी समस्या नोट्स ऐतिहासिक संदर्भ भी देखें। "लियोनिडा टोनेली एंड द पीसा मैथमेटिकल स्कूल" पीसा में टोनेली के काम और स्कूल के विकास पर उनके प्रभाव का एक सर्वेक्षण है, जिसे मौरो पिकोने और लियोनिडा टोनेली (6-9 मई, 1985 को रोम में आयोजित) के जन्म शताब्दी समारोह के अवसर पर अंतर्राष्ट्रीय कांग्रेस में प्रस्तुत किया गया था। लेखक उनके शिष्यों में से एक थे और उनकी मृत्यु के बाद, उन्होंने पीसा विश्वविद्यालय में गणितीय विश्लेषण की अपनी कुर्सी संभाली, विज्ञान संकाय के डीन और फिर रेक्टर बनेः उन्होंने विश्वविद्यालय के विकास पर एक मजबूत सकारात्मक प्रभाव डाला। संदर्भ। जैसा कि लेखक स्वयं कहते हैं, "बहुत अधिक सटीक विवरणों के बिना, संभाव्यता के मूल सिद्धांत, यादृच्छिक विभेदक समीकरण और कुछ अनुप्रयोगों" का सर्वेक्षण करते हुए व्याख्यान का एक समूह नोट करता है। .. .. 1998 में स्कूला नॉर्मल सुपरियोर में लेखक द्वारा दिए गए बाहरी लिंक। आंशिक विभेदक समीकरण भिन्नताओं की गणना