Fundamental theorems of welfare economics
कल्याणकारी अर्थशास्त्र के दो मूलभूत सिद्धांत हैं। पहला यह बताता है कि आर्थिक संतुलन में, पूर्ण सूचना के साथ और पूर्ण प्रतिस्पर्धा में, पूर्ण बाजारों का एक समूह, पेरेटो इष्टतम होगा (इस अर्थ में कि आगे कोई भी आदान-प्रदान एक व्यक्ति को दूसरे को बदतर बनाए बिना बेहतर नहीं बनाएगा)। पूर्ण प्रतिस्पर्धा के लिए आवश्यकताएँ ये हैंः कोई बाह्यता नहीं होती है और प्रत्येक अभिनेता के पास पूर्ण जानकारी होती है। फर्म और उपभोक्ता दिए गए अनुसार मूल्य लेते हैं (किसी भी आर्थिक कर्ता या कर्ताओं के समूह के पास बाजार शक्ति नहीं होती है)। इस प्रमेय को कभी-कभी एडम स्मिथ के "अदृश्य हाथ" सिद्धांत की विश्लेषणात्मक पुष्टि के रूप में देखा जाता है, अर्थात् प्रतिस्पर्धी बाजार संसाधनों का एक कुशल आवंटन सुनिश्चित करते हैं। हालांकि, इस बात की कोई गारंटी नहीं है कि पारेतो इष्टतम बाजार परिणाम सामाजिक रूप से वांछनीय है, क्योंकि संसाधनों के कई संभावित पारेतो कुशल आवंटन हैं जो उनकी वांछनीयता में भिन्न हैं (जैसे। एक व्यक्ति के पास सब कुछ हो सकता है और बाकी सभी के पास कुछ भी नहीं)। दूसरे प्रमेय में कहा गया है कि किसी भी पारेतो इष्टतम को कुछ प्रारंभिक दानों के लिए एक प्रतिस्पर्धी संतुलन के रूप में समर्थित किया जा सकता है। निहितार्थ यह है कि किसी भी वांछित पारेतो इष्टतम परिणाम का समर्थन किया जा सकता है; पारेतो दक्षता को प्रारंभिक धन के किसी भी पुनर्वितरण के साथ प्राप्त किया जा सकता है। हालाँकि, वितरण को ठीक करने के प्रयासों से विकृतियाँ आ सकती हैं, और इसलिए पुनर्वितरण के साथ पूर्ण इष्टतमता प्राप्त नहीं हो सकती है। एड्जवर्थ बॉक्स आरेख के माध्यम से एक सरल शुद्ध विनिमय अर्थव्यवस्था के लिए प्रमेयों को चित्रमय रूप से देखा जा सकता है। बुनियादी सिद्धांतों का इतिहास एडम स्मिथ (1776) आयात शुल्कों की चर्चा में एडम स्मिथ ने लिखा हैः प्रत्येक व्यक्ति अनिवार्य रूप से समाज के वार्षिक राजस्व को जितना हो सके उतना महान बनाने के लिए श्रम करता है। वह कई अन्य तरीकों की तरह इस मामले में भी एक ऐसे लक्ष्य को बढ़ावा देने के लिए एक अदृश्य हाथ के नेतृत्व में हैं जो उनके इरादे का हिस्सा नहीं था। अपने स्वयं के हित का पीछा करके वे अक्सर समाज को अधिक प्रभावी ढंग से बढ़ावा देते हैं, जब वे वास्तव में इस बात को बढ़ावा देने का इरादा रखते हैं कि स्मिथ के विचार विशेष रूप से कल्याणकारी अर्थशास्त्र की ओर निर्देशित नहीं थे, क्योंकि अर्थशास्त्र का यह क्षेत्र उस समय नहीं बनाया गया था। हालाँकि, उनके तर्कों को शाखा के निर्माण के साथ-साथ कल्याणकारी अर्थशास्त्र के मौलिक सिद्धांतों के लिए श्रेय दिया गया है। लियोन वाल्रास (1870) वाल्रास ने लिखा है कि 'मुक्त प्रतिस्पर्धा के तहत विनिमय एक ऐसा संचालन है जिसके द्वारा सभी पक्ष एक समान मूल्य पर खरीद और बिक्री के अधीन अधिकतम संतुष्टि प्राप्त करते हैं'। एफ. वाई. एजवर्थ (1881) एजवर्थ ने बिना किसी उत्पादन के एक शुद्ध विनिमय अर्थव्यवस्था को देखते हुए अपने 'गणितीय मनोविज्ञान' में पहले मौलिक प्रमेय की ओर एक कदम बढ़ाया। उन्होंने अपने विश्लेषण में अपूर्ण प्रतिस्पर्धा को शामिल किया। संतुलन की उनकी परिभाषा लगभग पारेतो की बाद की इष्टतमता की परिभाषा के समान हैः यह एक ऐसा बिंदु है कि. जिस भी दिशा में हम एक असीम रूप से छोटा कदम उठाते हैं, पी और पी [खरीदार और विक्रेता की उपयोगिताएँ] एक साथ नहीं बढ़ती हैं, लेकिन जब एक बढ़ती है, तो दूसरी घटती है। यह निष्कर्ष निकालने के बजाय कि संतुलन पारेतो इष्टतम था, एजवर्थ ने निष्कर्ष निकाला कि संतुलन पक्षों की उपयोगिताओं के योग को अधिकतम करता है, जो पारेतो दक्षता का एक विशेष मामला हैः यह इस विशेष मामले में लागू सामान्य गतिशील सिद्धांतों का पालन करता प्रतीत होता है कि संतुलन तब प्राप्त होता है जब ठेकेदारों की कुल आनंद-ऊर्जा शर्तों के लिए अधिकतम सापेक्ष या विषय हो। विल्फ्रेडो पारेतो (1906/9) पारेतो ने अपने मैनुअल (1906) में पहला मौलिक प्रमेय बताया और अपने फ्रांसीसी संशोधन (मैनुअल, 1909) में अधिक कठोरता के साथ कहा। वह अपने स्वयं के मानदंड के तहत इष्टतमता का दावा करने वाले या विश्वसनीय तर्कों द्वारा दावे का समर्थन करने वाले पहले व्यक्ति थे। उन्होंने एजवर्थ की तुलना में संतुलन को अधिक अमूर्त रूप से एक ऐसे राज्य के रूप में परिभाषित किया है जो बाहरी दबावों के अभाव में खुद को अनिश्चित काल तक बनाए रखेगा और यह दर्शाता है कि एक विनिमय अर्थव्यवस्था में यह वह बिंदु है जिस पर पक्षों की उदासीनता वक्रों के लिए एक सामान्य स्पर्शरेखा बंदोबस्ती से गुजरती है। उनकी इष्टतमता की परिभाषा अध्याय में दी गई है। VI: हम कहेंगे कि सामूहिकता के सदस्य अधिकतम अपारदर्शिता का आनंद लेते हैं [अर्थात। उपयोगिता] एक निश्चित स्थिति में जब एक छोटे से कदम को दूर करना असंभव है जैसे कि सामूहिकता में प्रत्येक व्यक्ति द्वारा आनंदित अपारदर्शिता बढ़ जाती है, या ऐसी है कि यह कम हो जाती है। [उन्होंने पहले व्यक्तिगत अस्पष्टता में वृद्धि को एक उच्च उदासीनता वक्र की ओर बढ़ने के रूप में परिभाषित किया है।] इसका मतलब यह है कि कोई भी छोटा कदम कुछ व्यक्तियों की अपारदर्शिता को बढ़ाता है जबकि दूसरों की अपारदर्शिता को कम करता है। निम्नलिखित अनुच्छेद हमें एक प्रमेय देता हैः प्रकार I की घटनाओं के लिए [अर्थात। पूर्ण प्रतिस्पर्धा], जब संतुलन उदासीनता वक्रों की स्पर्शता के एक बिंदु पर होता है, तो सामूहिकता के सदस्य अधिकतम अपारदर्शिता का आनंद लेते हैं। वे कहते हैं कि 'गणित की मदद के बिना एक कठोर प्रमाण नहीं दिया जा सकता है' और उनके परिशिष्ट का उल्लेख करते हैं। विक्सेल ने इष्टतमता की अपनी परिभाषा का उल्लेख करते हुए टिप्पणी कीः इस तरह की परिभाषा के साथ यह लगभग स्पष्ट है कि यह तथाकथित अधिकतम मुक्त प्रतिस्पर्धा के तहत प्राप्त होता है, क्योंकि यदि, एक विनिमय प्रभावित होने के बाद, प्रतिभागियों की जरूरतों की अतिरिक्त संतुष्टि पैदा करने के लिए प्रत्यक्ष या अप्रत्यक्ष आदान-प्रदान की एक और श्रृंखला के माध्यम से यह संभव था, तो उस हद तक इस तरह का निरंतर आदान-प्रदान निस्संदेह हुआ होगा, और मूल स्थिति अंतिम संतुलन में से एक नहीं हो सकती थी। पारेतो को यह इतना सीधा नहीं लगा। वह अपने पाठ में एक आरेखात्मक तर्क देते हैं, जो पूरी तरह से आदान-प्रदान के लिए लागू होता है, और परिशिष्ट में एक 32-पृष्ठ का गणितीय तर्क जिसे सैमुएलसन ने 'पालन करना आसान नहीं' पाया। पारेतो को उत्पादन-संभावना सीमा की अवधारणा नहीं होने से बाधित किया गया था, जिसका विकास आंशिक रूप से उनके सहयोगी एनरिको बैरन के कारण हुआ था। उनका अपना 'बाधाओं के प्रति उदासीनता वक्र' एक गलत रास्ता प्रतीत होता है। पहला मौलिक प्रमेय बताने के कुछ ही समय बाद, पारेतो वितरण के बारे में एक सवाल पूछता हैः एक सामूहिक समाज पर विचार करें जो अपने सदस्यों की अपारदर्शिता को अधिकतम करना चाहता है। समस्या दो भागों में विभाजित होती है। सबसे पहले, हमारे पास वितरण की समस्या हैः समाज के भीतर वस्तुओं को उसके सदस्यों के बीच कैसे बांटा जाना चाहिए? और दूसरा, उत्पादन को कैसे व्यवस्थित किया जाना चाहिए ताकि जब वस्तुओं को इस तरह से वितरित किया जाए, तो समाज के सदस्य अधिकतम अपारदर्शिता प्राप्त कर सकें? उनका उत्तर दूसरे प्रमेय का एक अनौपचारिक अग्रदूत हैः पहली समस्या के उत्तर के अनुसार वस्तुओं को वितरित करने के बाद, राज्य को सामूहिकता के सदस्यों को दूसरा वितरण संचालित करने की अनुमति देनी चाहिए, या इसे स्वयं संचालित करना चाहिए, दोनों ही मामलों में यह सुनिश्चित करना चाहिए कि यह मुक्त प्रतिस्पर्धा के कामकाज के अनुरूप किया गया है। पेरेटो के एक सहयोगी एनरिको बैरन (1908) बैरन ने पूर्ण प्रतिस्पर्धा का एक इष्टतम गुण साबित किया, अर्थात्-बहिर्जात कीमतों को मानते हुए-यह उत्पादक गतिविधि से लाभ के मौद्रिक मूल्य को अधिकतम करता है, यह अवकाश, बचत और उपभोग के लिए वस्तुओं के मूल्यों का योग है, जो सभी वांछित अनुपात में लिए गए हैं। वह कोई तर्क नहीं देते हैं कि बाजार द्वारा चुनी गई कीमतें स्वयं इष्टतम हैं। 1935 तक उनके लेख का अंग्रेजी में अनुवाद नहीं किया गया था। इसे सैमुएलसन से एक अनुमोदन सारांश प्राप्त हुआ लेकिन ऐसा लगता है कि इसने कल्याणकारी प्रमेयों के विकास को प्रभावित नहीं किया जैसा कि वे अब हैं। अब्बा लर्नर (1934) 1934 में लर्नर ने विनिमय के लिए एजवर्थ की शर्त को दोहराया कि उदासीनता वक्र को स्पर्शरेखा के रूप में मिलना चाहिए, इसे एक इष्टतम गुण के रूप में प्रस्तुत किया। उन्होंने उत्पादन के लिए एक समान शर्त बताई, अर्थात् उत्पादन-संभावना सीमा (पी. पी. एफ., जिसे उन्होंने 'उत्पादक उदासीनता वक्र' का वैकल्पिक नाम दिया) समुदाय के लिए एक उदासीनता वक्र के साथ स्पर्शात्मक होनी चाहिए। वह पी. पी. एफ. के प्रवर्तकों में से एक थे, जिन्होंने 1932 में अंतर्राष्ट्रीय व्यापार पर एक पेपर में इसका इस्तेमाल किया था। वह दिखाता है कि दोनों तर्कों को एक ही शब्द में प्रस्तुत किया जा सकता है, क्योंकि पी. पी. एफ. एजवर्थ बॉक्स में दर्पण-छवि उदासीनता वक्र के समान भूमिका निभाता है। उन्होंने यह भी उल्लेख किया है कि वक्रों को विभेदक होने की कोई आवश्यकता नहीं है, क्योंकि वही परिणाम प्राप्त होता है यदि वे नुकीले कोनों को छूते हैं। उनकी इष्टतमता की परिभाषा पारेतो के बराबर थीः यदि. एक व्यक्ति को किसी अन्य व्यक्ति को बदतर स्थिति में स्थानांतरित किए बिना पसंदीदा स्थिति में ले जाना संभव है. तो हम कह सकते हैं कि सापेक्ष इष्टतम तक नहीं पहुंचा है। उत्पादन के लिए इष्टतम स्थिति आवश्यकताओं की जोड़ी के बराबर है कि (i) कीमत सीमांत लागत के बराबर होनी चाहिए और (ii) (i) के अधीन उत्पादन को अधिकतम किया जाना चाहिए। लर्नर इस प्रकार उत्पादन और विनिमय दोनों के लिए अनुकूलता को कम कर देता है, लेकिन यह नहीं बताता है कि पी. पी. एफ. पर निहित बिंदु एक मुक्त बाजार के लिए संतुलन की स्थिति क्यों होनी चाहिए। शायद उन्होंने इसे पहले से ही पर्याप्त रूप से स्थापित माना। लर्नर अपने एल. एस. ई. सहयोगी विक्टर एडलबर्ग को उदासीनता वक्रों के उपयोग का सुझाव देने का श्रेय देते हैं। सैमुएलसन ने अनुमान लगाया कि लर्नर ने पारेतो के काम से स्वतंत्र रूप से अपने परिणाम प्राप्त किए। हेरोल्ड होटलिंग (1938) होटलिंग ने यह दिखाने के लिए एक नया तर्क दिया कि 'सीमांत लागत पर बिक्री अधिकतम सामान्य कल्याण की शर्त है' (पारेटो की परिभाषा के तहत)। उन्होंने स्वीकार किया कि यह शर्त पूर्ण प्रतिस्पर्धा से संतुष्ट थी, लेकिन इसके परिणामस्वरूप तर्क दिया कि पूर्ण प्रतिस्पर्धा इष्टतम नहीं हो सकती क्योंकि कुछ लाभकारी परियोजनाएं इस दर पर शुल्क लेकर अपनी निश्चित लागत की भरपाई करने में असमर्थ होंगी (उदाहरण के लिए, एक प्राकृतिक एकाधिकार में)। ऑस्कर लैंग (1942) लैंग का पेपर 'द फाउंडेशन ऑफ वेलफेयर इकोनॉमिक्स' दो प्रमेयों, एक शासी बाजार और दूसरे वितरण की अब-पारंपरिक जोड़ी का स्रोत है। उन्होंने लियोनेल रॉबिन्स द्वारा पारस्परिक उपयोगिता तुलनाओं की अस्वीकृति के संदर्भ में पहले प्रमेय के लिए इष्टतमता की पारेतो परिभाषा को उचित ठहराया, और दूसरे प्रमेय के लिए पारस्परिक तुलनाओं को फिर से पेश करने के विभिन्न तरीकों का सुझाव दिया जैसे कि लोकतांत्रिक रूप से निर्वाचित कांग्रेस के निर्णय। लैंग का मानना था कि इस तरह की कांग्रेस एक पूंजीपति के समान कार्य कर सकती हैः मूल्य वैक्टर निर्धारित करने के माध्यम से, यह दक्षता और सामाजिक समानता प्राप्त करने के लिए किसी भी इष्टतम उत्पादन योजना को प्राप्त कर सकती है। उनका तर्क लर्नर के चित्रमय तर्क का गणितीय अनुवाद (लैग्रेंज गुणकों में) है। दूसरा प्रमेय अपने परिचित रूप को अपने हाथों में नहीं लेता है; बल्कि वह केवल यह दर्शाता है कि एक वास्तविक सामाजिक उपयोगिता कार्य के लिए अनुकूलन स्थितियां पारेतो इष्टतमता के लिए समान हैं। अब्राम बर्गसन और पॉल सैमुएलसन (1947) सैमुएलसन (अपने विचारों के सार के लिए अब्राम बर्गसन को श्रेय देते हुए) ने लैंग के दूसरे कल्याण प्रमेय को लगभग अपने आधुनिक रूप में लाया। वह समीकरणों का एक समूह प्राप्त करने में लैंग का अनुसरण करते हैं जो पारेतो इष्टतमता के लिए आवश्यक हैं, और फिर इस बात पर विचार करते हैं कि यदि अर्थव्यवस्था को एक वास्तविक सामाजिक कल्याण कार्य को संतुष्ट करने की आवश्यकता है तो क्या अतिरिक्त बाधाएं उत्पन्न होती हैं, समीकरणों का एक और समूह ढूंढते हैं जिससे यह पता चलता है कि 'किसी दिए गए नैतिक इच्छा को प्राप्त करने के लिए आवश्यक सभी कार्रवाई एकमुश्त करों या उपहारों का रूप ले सकती है'। केनेथ एरो और जेरार्ड डेब्रेउ (अलग से, 1951) एरो और डेब्रेउ के दो शोध पत्रों (स्वतंत्र रूप से लिखे गए और लगभग एक साथ प्रकाशित) ने लैंग के पहले प्रमेय की कठोरता में सुधार करने की कोशिश की। उनके खाते (अल्पकालिक) उत्पादन के साथ-साथ विनिमय का उल्लेख करते हैं, जो रैखिक कार्यों के माध्यम से दोनों के लिए शर्तों को व्यक्त करते हैं। उत्पादन के लिए संतुलन उस बाधा से व्यक्त किया जाता है जो एक निर्माता के शुद्ध उत्पादन का मूल्य है, अर्थात। मूल्य सदिश के साथ उत्पादन सदिश के बिंदु उत्पाद को निर्माता के उत्पादन सेट पर अधिकतम किया जाना चाहिए। इसकी व्याख्या अधिकतम लाभ के रूप में की जाती है। विनिमय के लिए संतुलन की व्याख्या इस अर्थ के रूप में की जाती है कि व्यक्ति की उपयोगिता को विनिमय के माध्यम से बंदोबस्ती से प्राप्त होने वाले पदों पर अधिकतम किया जाना चाहिए, ये वे पद हैं जिनका मूल्य उसके बंदोबस्ती के मूल्य से अधिक नहीं है, जहां एक आवंटन का मूल्य मूल्य सदिश के साथ इसका विशिष्ट उत्पाद है। तीर ने अंतरिक्ष के किनारे पर संतुलन को कवर करने के लिए सबूतों को बढ़ाने की आवश्यकता के संदर्भ में अपने पेपर को प्रेरित किया, और डेब्रेउ ने उदासीनता वक्रों के गैर-विभेदनीय होने की संभावना से प्रेरित किया। आधुनिक ग्रंथ उनकी प्रमाण शैली का अनुसरण करते हैं। ग्रीनवाल्ड-स्टिग्लिट्ज़ प्रमेय अपने 1986 के पेपर, "अपूर्ण सूचना और अपूर्ण बाजारों के साथ अर्थव्यवस्थाओं में बाहरी" में, ब्रूस ग्रीनवाल्ड और जोसेफ स्टिग्लिट्ज़ ने दिखाया कि यदि अपूर्ण बाजार या अपूर्ण जानकारी है तो मौलिक कल्याण प्रमेय नहीं हैं। पेपर यह स्थापित करता है कि असममित जानकारी के साथ एक अर्थव्यवस्था का प्रतिस्पर्धी संतुलन सामान्य रूप से पारेतो कुशल को भी बाधित नहीं करता है। अर्थव्यवस्था में निजी व्यक्तियों के समान सूचना बाधाओं का सामना करने वाली सरकार फिर भी पारेतो-सुधार नीति हस्तक्षेप पा सकती है। ग्रीनवाल्ड और स्टिग्लिट्ज़ ने कई प्रासंगिक स्थितियों का उल्लेख किया, जिसमें यह भी शामिल है कि कैसे नैतिक खतरा किसी स्थिति को अक्षम बना सकता है (जैसे। शराब कर में सुधार हो सकता है क्योंकि यह वाहन दुर्घटनाओं को कम करता है)। मौलिक प्रमेयों के लिए धारणाएं सिद्धांत रूप में, मौलिक प्रमेयों के दो सामान्य रूप से पाए जाने वाले संस्करण हैं, एक विनिमय अर्थव्यवस्था से संबंधित है जिसमें दान बाह्य रूप से दिए जाते हैं, और एक ऐसी अर्थव्यवस्था से संबंधित है जिसमें उत्पादन होता है। उत्पादन अर्थव्यवस्था अधिक सामान्य है और इसमें अतिरिक्त धारणाएँ शामिल हैं। ये सभी धारणाएँ मानक स्नातक सूक्ष्म अर्थशास्त्र पाठ्यपुस्तक पर आधारित हैं। मौलिक प्रमेय आम तौर पर अस्तित्व सुनिश्चित नहीं करते हैं, न ही संतुलन की विशिष्टता। प्रथम मौलिक प्रमेय वरीयता संबंध प्रत्येक उपभोक्ता के लिए स्थानीय रूप से असंतुष्ट है। एजेंट (उपभोक्ता और, उत्पादन अर्थव्यवस्था में, फर्म) दिए गए अनुसार कीमतें लेते हैं। बाजार पूरे हो गए हैं। एकदम सही जानकारी। एजेंट तर्कसंगत व्यवहार करते हैं। वरीयताएँ स्वार्थी होती हैं। कोई बाहरी नहीं। दूसरा मौलिक प्रमेय दूसरी मौलिक प्रमेय में अधिक मांग की शर्तें हैं। पहले प्रमेय की सभी धारणाएँ; इसके अलावाः वरीयता संबंध प्रत्येक उपभोक्ता के लिए स्थानीय रूप से असंतृप्त और उत्तल है i प्रत्येक फर्म जे के लिए उत्पादन सेट उत्तल है। मूल्य अर्ध-संतुलन से लेकर हस्तांतरण के साथ मूल्य संतुलन तक के कदम के लिएः प्रत्येक एजेंट का प्रारंभिक दान पूरी तरह से सकारात्मक है। मान्यताओं की सामान्य विफलताएँ निम्नलिखित मौलिक प्रमेयों में अंतर्निहित धारणाओं की सामान्य विफलताओं की एक गैर-विस्तृत सूची प्रदान करती हैं। मूल्य लेने वाला व्यवहारः खेल सैद्धांतिक बातचीत में, उदाहरण के लिए। जब फर्मों के पास एकाधिकार शक्ति होती है, तो परिणामी संतुलन परेटो-कुशल बाहरी नहीं होता हैः कई मामलों में, प्रमुख रूप से प्रदूषण और जलवायु कार्रवाई, इस धारणा का उल्लंघन किया जाता है। कुछ उदाहरणों में, एक पिगौवियन कर पेरेटो-कुशल आवंटन को बहाल कर सकता है। गैर-तृप्तीः जबकि गैर-तृप्तता एक बहुत ही कमजोर धारणा है, दो प्राथमिक मामले मौजूद हैं जिनमें यह पकड़ रखने में विफल रहता है। सबसे पहले, यदि वरीयताओं में एक संतृप्ति बिंदु है (जैसे। केंद्रीय बैंक जो मुद्रास्फीति को लक्षित करते हैं, उनके पास मुद्रास्फीति दर पर एक संतुष्टि बिंदु होता है जिसे वे लक्षित करते हैं)। दूसरा, यदि सामान केवल अलग-अलग टुकड़ों में खरीदा जा सकता है, तो इस धारणा का उल्लंघन किया जा सकता है। तर्कसंगतताः व्यवहार अर्थशास्त्र का क्षेत्र आर्थिक तर्कसंगतता के कई उल्लंघनों का दस्तावेजीकरण करता है। कन्वेक्सिटीः पैमाने पर बढ़ते रिटर्न की उपस्थिति में, कन्वेक्सिटी विफल हो जाती है। ध्यान दें कि यह धारणा पहली मौलिक प्रमेय के लिए आवश्यक नहीं है। एक अन्य उदाहरण जिसमें कल्याणकारी प्रमेय धारण करने में विफल रहते हैं, वह कैनॉनिकल ओवरलैपिंग जेनरेशन मॉडल (ओ. एल. जी.) में है। एक और धारणा जो प्रमेय के कथन में निहित है, वह यह है कि अर्थव्यवस्था में कुल दान का मूल्य (जिनमें से कुछ को उत्पादन के माध्यम से अन्य वस्तुओं में परिवर्तित किया जा सकता है) सीमित है। ओ. एल. जी. मॉडल में, बंदोबस्ती की सीमितता विफल हो जाती है, जिससे ग्रैंड होटल के हिल्बर्ट के विरोधाभास द्वारा वर्णित समान समस्याओं को जन्म मिलता है। क्या मौलिक प्रमेयों में अंतर्निहित धारणाएं बाजारों का पर्याप्त विवरण हैं, कम से कम आंशिक रूप से एक अनुभवजन्य प्रश्न है और मामले-दर-मामले भिन्न हो सकते हैं। प्रथम मौलिक प्रमेय का प्रमाण प्रथम मौलिक प्रमेय सामान्य परिस्थितियों में होता है। एक औपचारिक कथन इस प्रकार हैः यदि वरीयताएँ स्थानीय रूप से असंतुलित हैं, और यदि हस्तांतरण के साथ मूल्य संतुलन है, तो आवंटन पेरेटो इष्टतम है। इस अर्थ में एक संतुलन या तो केवल एक विनिमय अर्थव्यवस्था से संबंधित है या यह मानता है कि फर्में आबंटित रूप से और उत्पादक रूप से कुशल हैं, जिन्हें पूरी तरह से प्रतिस्पर्धी कारक और उत्पादन बाजारों से अनुसरण किया जा सकता है। वस्तुओं के प्रकारों के एक समूह को देखते हुए हम वास्तविक वेक्टर स्थान में काम करते हैं, और वेक्टर मूल्यवान चर के लिए बोल्डफेस का उपयोग करते हैं। उदाहरण के लिए, यदि तब एक त्रि-आयामी वेक्टर स्थान होगा और वेक्टर माल के बंडल का प्रतिनिधित्व करेगा जिसमें 1 यूनिट मक्खन, 2 यूनिट कुकीज़ और 3 यूनिट दूध होगा। मान लीजिए कि उपभोक्ता के पास ऐसी संपत्ति है कि वस्तुओं का कुल दान कहां है (अर्थात। सभी उपभोक्ता और उत्पादक बंदोबस्ती का योग) और फर्म जे का उत्पादन है। वरीयता अधिकतमकरण (हस्तांतरण के साथ मूल्य संतुलन की परिभाषा से) का तात्पर्य है (उपभोक्ता के लिए वरीयता संबंध को दर्शाने के लिए उपयोग करना i): यदि तब दूसरे शब्दों में, यदि माल का एक बंडल सख्ती से पसंद किया जाता है तो कीमत पर वह किफायती नहीं होना चाहिए। स्थानीय असंतुलन का अतिरिक्त अर्थ हैः यदि तो यह देखने के लिए कि क्यों, लेकिन इसकी कल्पना करें। फिर स्थानीय असंतुलन से हम मनमाने ढंग से (और इसलिए अभी भी किफायती) के करीब पा सकते हैं लेकिन जिसे सख्ती से पसंद किया जाता है। लेकिन यह वरीयता अधिकतमकरण का परिणाम है, इसलिए यह एक विरोधाभास है। एक आबंटन एक जोड़ी है जहाँ और, अर्थात। 'मैट्रिक्स' है (संभावित रूप से अनंत पंक्तियों/स्तंभों की अनुमति देता है) जिसका ith कॉलम उपभोक्ता i को आवंटित वस्तुओं का बंडल है और 'मैट्रिक्स' है जिसका jth कॉलम फर्म j का उत्पादन है। हम अपना ध्यान व्यवहार्य आबंटन तक सीमित रखते हैं जो वे आबंटन हैं जिनमें कोई भी उपभोक्ता उन वस्तुओं का उपभोग नहीं करता है जिनकी उनके पास कमी है, अर्थात प्रत्येक वस्तु और प्रत्येक उपभोक्ता के लिए जो उपभोक्ता प्रारंभिक दान और उनकी शुद्ध मांग उत्पादकों के लिए समान रूप से सकारात्मक होनी चाहिए। अब एक आवंटन पर विचार करें जो पारेतो पर हावी है। इसका मतलब है कि सभी के लिए i और कुछ के लिए i। उपरोक्त से, हम सभी के लिए i जानते हैं और कुछ के लिए i। संक्षेप में, हम पाते हैंः क्योंकि लाभ को अधिकतम करना है, हम जानते हैं। लेकिन वस्तुओं को संरक्षित किया जाना चाहिए। इसलिए यह संभव नहीं है। चूँकि सभी पारेतो-प्रमुख आवंटन व्यवहार्य नहीं हैं, इसलिए अपने आप में पारेतो इष्टतम होना चाहिए। ध्यान दें कि जबकि यह तथ्य कि लाभ को अधिकतम करना है, केवल प्रमेय के कथन में माना जाता है, परिणाम केवल उस हद तक उपयोगी/दिलचस्प है जब उत्पादन का अधिकतम लाभ आवंटन संभव है। सौभाग्य से, एक बंद उपसमुच्चय के लिए उत्पादन आवंटन और मूल्य के किसी भी प्रतिबंध के लिए, जिस पर सीमांत मूल्य 0 से दूर है, उदाहरण के लिए, संभावित उत्पादन को मानकीकृत करने के लिए निरंतर कार्यों का कोई भी उचित विकल्प, ऐसा अधिकतम मौजूद है। यह इस तथ्य से मिलता है कि न्यूनतम सीमांत मूल्य और सीमित धन अधिकतम व्यवहार्य उत्पादन को सीमित करता है (0 न्यूनतम को सीमित करता है) और टाइकॉनॉफ का प्रमेय यह सुनिश्चित करता है कि इन कॉम्पैक्ट रिक्त स्थान का उत्पाद कॉम्पैक्ट है जो हमें यह सुनिश्चित करता है कि हम जो भी निरंतर कार्य चाहते हैं वह अधिकतम हो। दूसरी मौलिक प्रमेय का प्रमाण दूसरी प्रमेय औपचारिक रूप से बताती है कि, इस धारणा के तहत कि प्रत्येक उत्पादन समुच्चय उत्तल है और प्रत्येक वरीयता संबंध उत्तल और स्थानीय रूप से असंतृप्त है, किसी भी वांछित पारेतो-कुशल आवंटन को हस्तांतरण के साथ मूल्य अर्ध-संतुलन के रूप में समर्थित किया जा सकता है। हस्तांतरण के साथ मूल्य संतुलन के लिए इस कथन को साबित करने के लिए आगे की धारणाओं की आवश्यकता है। प्रमाण दो चरणों में आगे बढ़ता हैः पहला, हम साबित करते हैं कि किसी भी पारेतो-कुशल आवंटन को हस्तांतरण के साथ मूल्य अर्ध-संतुलन के रूप में समर्थित किया जा सकता है; फिर, हम ऐसी शर्तें देते हैं जिनके तहत मूल्य अर्ध-संतुलन भी एक मूल्य संतुलन है। आइए हम हस्तांतरण के साथ एक मूल्य अर्ध-संतुलन को एक आवंटन के रूप में परिभाषित करें, एक मूल्य सदिश पी, और धन स्तरों के एक सदिश डब्ल्यू (एकमुश्त हस्तांतरण द्वारा प्राप्त) के साथ (जहां वस्तुओं का कुल दान है और फर्म जे का उत्पादन है) इस तरह से किः अर्थात सभी के लिए (फर्में उत्पादन करके लाभ को अधिकतम करती हैं)। सभी i के लिए, यदि तब (यदि सख्ती से पसंद किया जाता है तो इसकी लागत इससे कम नहीं हो सकती है)। (बजट बाधा संतुष्ट) इस परिभाषा और हस्तांतरण के साथ मूल्य संतुलन की मानक परिभाषा के बीच एकमात्र अंतर कथन (ii) में है। यहाँ असमानता कमजोर है () जो इसे मूल्य अर्ध-संतुलन बनाती है। बाद में हम मूल्य संतुलन बनाने के लिए इसे मजबूत करेंगे। उपभोक्ता i द्वारा सख्ती से पसंद किए जाने वाले सभी उपभोग बंडलों के समूह के रूप में परिभाषित करें, और V को सभी का योग होने दें। वरीयता संबंध की उत्तलता के कारण उत्तल है। V उत्तल है क्योंकि प्रत्येक उत्तल है। इसी तरह, सभी उत्पादन समुच्चयों और कुल दान का संयोजन उत्तल है क्योंकि प्रत्येक उत्तल है। हम यह भी जानते हैं कि वी और का प्रतिच्छेदन खाली होना चाहिए, क्योंकि यदि ऐसा नहीं होता तो इसका मतलब यह होता कि एक बंडल मौजूद था जिसे हर कोई सख्ती से पसंद करता है और यह किफायती भी है। इसकी पैरेटो-इष्टतमता से इंकार किया जाता है। ये दो उत्तल, गैर-छेदक समुच्चय हमें अलग हाइपरप्लेन प्रमेय को लागू करने की अनुमति देते हैं। इस प्रमेय में कहा गया है कि एक मूल्य सदिश और एक संख्या r मौजूद है जो प्रत्येक के लिए और प्रत्येक के लिए है। दूसरे शब्दों में, एक मूल्य सदिश मौजूद है जो एक हाइपरप्लेन को परिभाषित करता है जो दो उत्तल समुच्चयों को पूरी तरह से अलग करता है। इसके बाद हम तर्क देते हैं कि अगर सभी के लिए मैं तो। यह स्थानीय असंतुलन के कारण हैः एक बंडल मनमाने ढंग से उसके करीब होना चाहिए जिसे सख्ती से पसंद किया जाता है और इसलिए इसका हिस्सा है। सीमा को लेने से कमजोर असमानता भी नहीं बदलती है। दूसरे शब्दों में, V के समापन में है। इस संबंध का उपयोग करते हुए हम इसे अपने लिए देखते हैं। हम भी यह जानते हैं। इन्हें मिलाकर हम यह पाते हैं। हम इस समीकरण का उपयोग यह दिखाने के लिए कर सकते हैं कि यह हस्तांतरण के साथ मूल्य अर्ध-संतुलन की परिभाषा में फिट बैठता है। क्योंकि और हम जानते हैं कि किसी भी फर्म के लिए जेः जिसका अर्थ है। इसी तरह हम जानते हैंः जिसका अर्थ है। ये दोनों कथन, पारेतो इष्टतम पर आवंटन की व्यवहार्यता के साथ, सभी के लिए धन स्तरों द्वारा समर्थित हस्तांतरण के साथ मूल्य अर्ध-संतुलन के लिए तीन शर्तों को पूरा करते हैं। अब हम उन स्थितियों की ओर रुख करते हैं जिनके तहत एक मूल्य अर्ध-संतुलन भी एक मूल्य संतुलन है, दूसरे शब्दों में, ऐसी स्थितियां जिनके तहत कथन "यदि तब" अगर तब "को दर्शाता है। यह सच होने के लिए हमें अब यह मानने की आवश्यकता है कि उपभोग सेट उत्तल है और वरीयता संबंध निरंतर है। फिर, यदि एक खपत सदिश मौजूद है और, एक मूल्य अर्ध-संतुलन एक मूल्य संतुलन है। यह देखने के लिए कि क्यों, इसके विपरीत और, और मौजूद है। फिर की उत्तलता से हमारे पास एक बंडल है। 1 के करीब की निरंतरता से हमारे पास है। यह एक विरोधाभास है, क्योंकि इस बंडल को पसंद किया जाता है और इसकी कीमत उससे कम होती है। इसलिए, मूल्य अर्ध-संतुलन के मूल्य संतुलन होने के लिए यह पर्याप्त है कि निर्धारित खपत उत्तल हो, वरीयता संबंध निरंतर हो, और इसके लिए हमेशा एक "सस्ता" उपभोग बंडल मौजूद रहे। इस तरह के बंडल के अस्तित्व को सुनिश्चित करने का एक तरीका यह है कि सभी उपभोक्ताओं के लिए धन का स्तर सख्ती से सकारात्मक होना चाहिए। कन्वेक्स वरीयताएँ वेरियन के प्रमेय भी देखें-एक प्रतिस्पर्धी संतुलन पारेतो-कुशल और ईर्ष्या-मुक्त दोनों है। सामान्य संतुलन सिद्धांत संदर्भ अर्थशास्त्र सिद्धांत सामान्य संतुलन सिद्धांत कल्याण अर्थशास्त्र