Baire set
गणित में, विशेष रूप से माप सिद्धांत में, बेयर सेट एक टोपोलॉजिकल स्पेस का एक σ-बीजगणित बनाते हैं जो बोरेल सेट के कुछ पैथोलॉजिकल गुणों से बचाता है। बेयर समुच्चय की कई असमान परिभाषाएँ हैं, लेकिन सबसे व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले, स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ स्थान के बेयर समुच्चय सबसे छोटे σ-बीजगणित का निर्माण करते हैं जैसे कि सभी कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित निरंतर कार्य मापने योग्य होते हैं। इस प्रकार, इस σ-बीजगणित पर परिभाषित माप, जिन्हें बेयर माप कहा जाता है, स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ रिक्त स्थान पर एकीकरण के लिए एक सुविधाजनक ढांचा है। विशेष रूप से, इस तरह के स्थान पर कोई भी सघन रूप से समर्थित निरंतर फलन किसी भी परिमित बेयर माप के संबंध में समाकलन योग्य है। प्रत्येक बेयर सेट एक बोरेल सेट है। इसके विपरीत कई, लेकिन सभी, स्थलवैज्ञानिक स्थानों में नहीं है। बेयर सेट टोपोलॉजी के लिए एक गणना योग्य आधार के बिना रिक्त स्थान पर बोरेल सेट के कुछ रोगजनक गुणों से बचते हैं। व्यवहार में, बेयर सेटों पर बेयर उपायों के उपयोग को अक्सर बोरेल सेटों पर नियमित बोरेल उपायों के उपयोग से बदला जा सकता है। बेयर सेटों को पेश किया गया था, और, जिन्होंने उन्हें बेयर कार्यों के नाम पर रखा, जिनका नाम बदले में रेने-लुई बेयर के नाम पर रखा गया है। बुनियादी परिभाषाएँ स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ रिक्त स्थान पर बेयर सेट की कम से कम तीन असमान परिभाषाएँ हैं, और सामान्य टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के लिए और भी अधिक परिभाषाएँ हैं, हालाँकि ये सभी परिभाषाएँ स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट σ-कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ रिक्त स्थान के लिए समतुल्य हैं। इसके अलावा, कुछ लेखक उस स्थलवैज्ञानिक स्थान पर प्रतिबंध जोड़ते हैं जिस पर बेयर सेट को परिभाषित किया गया है, और केवल उन स्थानों पर बेयर सेट को परिभाषित करते हैं जो कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ, या स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ, या σ-कॉम्पैक्ट हैं। पहली परिभाषा कुनिहिको कोडायरा ने कुछ टोपोलॉजिकल स्पेस के जिसे हम बेयर सेट कहते हैं (हालांकि वे उन्हें भ्रमित रूप से "बोरेल सेट" कहते हैं) को उन सेटों के रूप में परिभाषित किया है जिनका विशिष्ट कार्य एक बेयर फ़ंक्शन है (सभी निरंतर वास्तविक-मूल्यवान कार्यों वाले कार्यों का सबसे छोटा वर्ग और अनुक्रमों की बिंदु-वार सीमाओं के तहत बंद)। एक समतुल्य परिभाषा देता है और एक टोपोलॉजिकल स्पेस के बेयरे सेट को सबसे छोटे σ-बीजगणित के तत्वों के रूप में परिभाषित करता है जैसे कि सभी निरंतर वास्तविक-मूल्यवान कार्य मापने योग्य हों। स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट σ-कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ रिक्त स्थान के लिए यह निम्नलिखित परिभाषाओं के बराबर है, लेकिन सामान्य रूप से परिभाषाएं समकक्ष नहीं हैं। इसके विपरीत, बेयरे फलन वास्तव में वास्तविक मूल्य वाले फलन हैं जो बेयरे मापने योग्य हैं। मीट्रिक रिक्त स्थान के लिए, बेयर सेट बोरेल सेट के साथ मेल खाते हैं। दूसरी परिभाषा ने स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ स्थान के बेयर सेट को कॉम्पैक्ट Gδ सेटों द्वारा उत्पन्न σ-रिंग के तत्वों के रूप में परिभाषित किया। इस परिभाषा का अब ज्यादा उपयोग नहीं किया जाता है, क्योंकि σ-रिंग कुछ हद तक फैशन से बाहर हैं। जब स्थान σ-कॉम्पैक्ट होता है, तो यह परिभाषा अगली परिभाषा के बराबर होती है। बंद जी. डी. ए. सेटों के बजाय कॉम्पैक्ट जी. डी. ए. सेटों के साथ काम करने का एक कारण यह है कि बेयर माप स्वचालित रूप से नियमित होते हैं। तीसरी परिभाषा तीसरी और सबसे व्यापक रूप से उपयोग की जाने वाली परिभाषा हैल्मोस की परिभाषा के समान है, जिसे संशोधित किया गया है ताकि बेयर सेट केवल एक σ-रिंग के बजाय एक σ-बीजगणित का निर्माण करें। स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ टोपोलॉजिकल स्पेस के एक सबसेट को बेयर सेट कहा जाता है यदि यह सभी कॉम्पैक्ट Gδ सेटों वाले सबसे छोटे σ-बीजगणित का सदस्य है। दूसरे शब्दों में, बेयर समुच्चयों का σ-बीजगणित सभी कॉम्पैक्ट Gδ समुच्चयों द्वारा उत्पन्न σ-बीजगणित है। वैकल्पिक रूप से, बेयर सेट सबसे छोटे σ-बीजगणित का निर्माण करते हैं जैसे कि कॉम्पैक्ट समर्थन के सभी निरंतर कार्य मापने योग्य होते हैं (कम से कम स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ रिक्त स्थान पर; सामान्य टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान पर इन दोनों स्थितियों को समकक्ष होने की आवश्यकता नहीं होती है)। σ-कॉम्पैक्ट स्पेस के लिए यह हैल्मोस की परिभाषा के बराबर है। उन रिक्त स्थान के लिए जो σ-कॉम्पैक्ट नहीं हैं, इस परिभाषा के तहत बेयर सेट वे हैं जो हैल्मोस की परिभाषा के तहत उनके पूरक के साथ हैं। हालांकि, इस मामले में यह अब सच नहीं है कि एक सीमित बेयरे माप आवश्यक रूप से नियमित हैः उदाहरण के लिए, बेयरे संभावना माप जो एक अनगिनत असतत स्थान के प्रत्येक गणना योग्य सबसेट को माप 0 प्रदान करता है और प्रत्येक सह-गणना योग्य सबसेट को 1 मापता है, एक बेयरे संभावना माप है जो नियमित नहीं है। उदाहरण बेयर समुच्चय की विभिन्न परिभाषाएँ समतुल्य नहीं हैं स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के लिए जो σ-कॉम्पैक्ट नहीं हैं, उपरोक्त तीन परिभाषाएँ समतुल्य होने की आवश्यकता नहीं है। एक असतत स्थलवैज्ञानिक स्थान स्थानीय रूप से सघन और हौसडॉर्फ है। एक असतत स्थान पर परिभाषित कोई भी फलन निरंतर है, और इसलिए, पहली परिभाषा के अनुसार, एक असतत स्थान के सभी उपसमुच्चय बेयरे हैं। हालाँकि, चूंकि एक असतत स्थान के संक्षिप्त उप-स्थान सटीक रूप से परिमित उप-स्थान हैं, इसलिए दूसरी परिभाषा के अनुसार, बेयर सेट, सटीक रूप से सबसे अधिक गणना योग्य सेट हैं, जबकि तीसरी परिभाषा के अनुसार बेयर सेट सबसे अधिक गणना योग्य सेट और उनके पूरक हैं। इस प्रकार, तीन परिभाषाएँ एक अनगिनत असतत स्थान पर गैर-समतुल्य हैं। गैर-हौसडॉर्फ स्थानों के लिए निरंतर कार्यों के संदर्भ में बेयर सेट की परिभाषाएँ जी. डी. ए. कॉम्पैक्ट सेटों से जुड़ी परिभाषाओं के बराबर नहीं होनी चाहिए। उदाहरण के लिए, यदि X एक अनंत गणना योग्य समुच्चय है जिसके बंद समुच्चय परिमित समुच्चय और संपूर्ण स्थान हैं, तो X पर केवल निरंतर वास्तविक फलन स्थिर हैं, लेकिन X के सभी उपसमुच्चय कॉम्पैक्ट बंद Gδ समुच्चय द्वारा उत्पन्न σ-बीजगणित में हैं। एक बोरेल सेट जो एक बेयर सेट नहीं है एक से अधिक बिंदु के साथ अनगिनत कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ रिक्त स्थान के एक कार्टेशियन उत्पाद में, एक बिंदु कभी भी बेयर सेट नहीं होता है, इस तथ्य के बावजूद कि यह बंद है, और इसलिए एक बोरेल सेट है। बैयर सेट के गुण यूक्लिडियन स्थानों में बोरेल सेट के साथ मेल खाते हैं। प्रत्येक सघन हौसडॉर्फ स्थान के लिए, प्रत्येक परिमित बेयर माप (यानी सभी बेयर सेटों के σ-बीजगणित पर एक माप) नियमित होता है। प्रत्येक सघन हौसडॉर्फ स्थान के लिए, प्रत्येक परिमित बेयर माप का एक नियमित बोरेल माप के लिए एक अद्वितीय विस्तार होता है। कोल्मोगोरोव विस्तार प्रमेय में कहा गया है कि परिमित-आयामी संभाव्यता वितरणों का प्रत्येक सुसंगत संग्रह कार्यों के स्थान पर एक बेयर माप की ओर ले जाता है। सघनता (दिए गए स्थान की, और इसलिए कार्य स्थान भी) को मानते हुए इसे एक नियमित बोरेल माप तक बढ़ाया जा सकता है। पूरा होने के बाद किसी को एक संभावना स्थान मिलता है जो आवश्यक रूप से मानक नहीं है। टिप्पणियाँ संदर्भ विशेष रूप से संप्रदाय देखें। 51 "बोरेल सेट और बेयर सेट"। .. विशेष रूप से संप्रदाय देखें। 7. 1 "बेयर और बोरेल अल्जेब्रा और उपायों की नियमितता" और संप्रदाय। 7. 3 "नियमितता विस्तार"। सामान्य स्थलविज्ञान मापन सिद्धांत