Busemann function
ज्यामितीय स्थलविज्ञान में, बुसमैन कार्यों का उपयोग हडमर्ड रिक्त स्थान में भूगणितीय के बड़े पैमाने पर ज्यामिति का अध्ययन करने के लिए किया जाता है और विशेष रूप से हडमर्ड मैनिफोल्ड्स (बस गैर-सकारात्मक वक्रता के पूर्ण रीमानियन मैनिफोल्ड्स से जुड़े)। उनका नाम हर्बर्ट बुसमैन के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने उन्हें पेश किया; उन्होंने अपनी 1955 की पुस्तक "द ज्योमेट्री ऑफ जियोडेसिक्स" में इस विषय का व्यापक उपचार दिया। परिभाषा और प्राथमिक गुण मान लीजिए कि यह एक मीट्रिक स्थान है। एक भूगणितीय किरण एक ऐसा मार्ग है जो अपनी लंबाई के साथ हर जगह दूरी को कम करता है। अर्थात्, सभी के लिए, समान रूप से, एक किरण "कैनॉनिकल किरण" (यूक्लिडियन मीट्रिक से सुसज्जित सेट) से मीट्रिक स्पेस X में एक सममिति है। एक किरण γ को देखते हुए, बुसमैन फलन को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है, जब t बहुत बड़ा होता है, तो दूरी लगभग के बराबर होती है। एक किरण γ को देखते हुए, इसका बुसमैन फलन हमेशा अच्छी तरह से परिभाषित होता हैः वास्तव में ऊपर का दाहिना हाथ पक्ष, कॉम्पैक्ट पर बाएं हाथ की ओर बिंदु की ओर जाता है, क्योंकि ऊपर से घिरा हुआ है और गैर-बढ़ता है क्योंकि, यदि, यह त्रिभुज असमानता से तत्काल है जो कि समान रूप से निरंतर है। अधिक विशेष रूप से, उपरोक्त अनुमान से पता चलता है कि बुसमैन फलन स्थिरांक 1 वाले लिप्सिट्ज़ फलन हैं। दीनी के प्रमेय के अनुसार, कॉम्पैक्ट सेटों पर कार्य समान रूप से होते हैं क्योंकि टी अनंत की ओर जाता है। उदाहरण के लिएः पोइनकेयर डिस्क को पोइनकेयर मीट्रिक के साथ जटिल तल में इकाई डिस्क होने दें फिर, और के लिए, बुसमैन फलन दिया जाता है जहां दाहिने हाथ की ओर कोष्ठक में शब्द इकाई डिस्क के लिए पॉइसन कर्नेल है और मूल से रेडियल जियोडेसिक से मेल खाता है। की गणना को कम किया जा सकता है, क्योंकि मोबियस परिवर्तनों के तहत मीट्रिक अपरिवर्तनीय है; इसके माध्यम से भूगणितीय रूप में 1-पैरामीटर उपसमूह है, उपरोक्त सूत्र भी पूरी तरह से मोबियस अपरिवर्तनीयता द्वारा बुसमैन फ़ंक्शन को निर्धारित करता है। एक हडमर्ड स्थान में, जहां कोई भी दो बिंदु एक अद्वितीय भूगणितीय खंड से जुड़े होते हैं, फलन उत्तल होता है, अर्थात। भूगणितीय खंडों पर उत्तल। स्पष्ट रूप से इसका अर्थ है कि यदि वह बिंदु है जो अनुपात में विभाजित होता है, तो। स्थिर के लिए फलन उत्तल है और इसलिए इसके अनुवाद भी हैं; विशेष रूप से, यदि एक भूगणितीय किरण है, तो उत्तल है। चूँकि बुसमैन फलन की बिंदुवार सीमा है, बुसमैन फलन हैडमर्ड रिक्त स्थान पर उत्तल होते हैं। एक हैडमर्ड स्थान पर, फलन किसी भी बंधे हुए उपसमुच्चय पर समान रूप से अभिसरण करते हैं। जाने दीजिए। चूंकि आर्क्लेन्थ द्वारा मानकीकृत किया जाता है, इसलिए हडमर्ड रिक्त स्थान के लिए अलेक्जेंड्रोव की पहली तुलना प्रमेय का तात्पर्य है कि फलन उत्तल है। इसलिए इस प्रकार कि t को φ की ओर ले जाने के लिए, यह इस प्रकार है कि बंधे हुए समुच्चयों पर अभिसरण समान है। ध्यान दें कि (इसके प्रमाण के साथ) के लिए उपरोक्त असमानता भूगणितीय खंडों के लिए भी लागू होती हैः यदि एक भूगणितीय खंड है जो आर्क्लेन्थ से शुरू होता है और आर्क्लेन्थ द्वारा मानकीकृत किया जाता है तो अगला मान लीजिए कि वे एक हैडमर्ड स्थान में बिंदु हैं, और मान लीजिए कि भूगणितीय के माध्यम से और कहाँ। यह भूगणितीय बिंदु पर बंद गेंद की सीमा को काटता है। इस प्रकार अगर, इस तरह के साथ एक बिंदु है। यह स्थिति बुसमैन कार्यों के लिए बनी रहती है। बुसमैन फलन के लिए गुण का कथन और प्रमाण एक हडमर्ड स्थान के बंद उत्तल उपसमुच्चय पर एक मौलिक प्रमेय पर निर्भर करता है, जो एक हिल्बर्ट स्थान में ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण को सामान्य करता हैः यदि एक हडमर्ड स्थान में एक बंद उत्तल सेट है, तो प्रत्येक बिंदु में एक अद्वितीय निकटतम बिंदु होता है और; इसके अलावा विशिष्ट रूप से उस गुण द्वारा निर्धारित किया जाता है, जिसके लिए, ताकि यूक्लिडियन तुलना त्रिभुज में कोण से बड़ा या बराबर हो। यदि एक हैडमर्ड स्थान पर एक बुसमैन फलन है, तो, और में दिया गया है, इस तरह के साथ एक अद्वितीय बिंदु है। स्थिर के लिए, बिंदु बंद उत्तल बिंदुओं के समूह का निकटतम बिंदु है और इसलिए इस पर लगातार निर्भर करता है। मान लीजिए कि यह सबसे निकटतम बिंदु है। फिर और इसलिए कम किया जाता है जहाँ अद्वितीय बिंदु है जहाँ कम किया जाता है। लिपशिट्ज़ की स्थिति से। दावे को साबित करने के लिए, यह दिखाने के लिए पर्याप्त है कि, अर्थात। .. दूसरी ओर, फ़ंक्शंस की किसी भी बंद गेंद पर एक समान सीमा है। इन पर, इन्हें अंकों के साथ न्यूनतम किया जाता है। इसलिए असीम है और करने की प्रवृत्ति रखता है। इस प्रकार के साथ और की ओर झुकाव। मान लीजिए कि यह सबसे निकटतम बिंदु है। जाने दीजिए। फिर, और, लिपशिट्ज़ की शर्त से, चालू। विशेष रूप से करते हैं। यदि आवश्यक हो तो बाद की ओर बढ़ते हुए यह माना जा सकता है कि और दोनों बढ़ रहे हैं। उत्तल अनुकूलन के लिए असमानता का तात्पर्य है कि तो यह एक कौची अनुक्रम है। यदि इसकी सीमा है, तो और। विशिष्टता से यह उसका अनुसरण करता है और इसलिए, आवश्यकतानुसार। समान सीमाएँ। उपरोक्त तर्क अधिक सामान्य रूप से साबित करता है कि यदि कार्य अनंत की ओर प्रवृत्त होते हैं और बंधे हुए समुच्चयों पर समान रूप से प्रवृत्त होते हैं, तो उत्तल होता है, लिपशिट्ज़ स्थिरांक 1 के साथ लिपशिट्ज़ और, और में दिया जाता है, तो इसके साथ एक अनूठा बिंदु होता है। यदि दूसरी ओर अनुक्रम बंधा हुआ है, तो सभी शब्द किसी बंद गेंद में होते हैं और वहाँ एक समान अभिसरण का अर्थ है कि यह एक कौची अनुक्रम है इसलिए कुछ में अभिसरण होता है। तो समान रूप से एक ही रूप के कार्य के लिए प्रवृत्त होता है। यही तर्क यह भी दर्शाता है कि कार्यों का वह वर्ग जो उन्हीं तीन शर्तों (उत्तल, लिपशिट्ज़ और बंद गेंदों पर मिनीमा होना) को संतुष्ट करता है, सीमित सेटों पर समान सीमा लेने के तहत बंद किया जाता है। टिप्पणी करें। ध्यान दें कि, चूंकि एक हडमर्ड स्थान के हडमर्ड उपसमुच्चय का कोई भी बंद उत्तल उपसमुच्चय भी एक हडमर्ड स्थान है, इसलिए हडमर्ड स्थान में कोई भी बंद गेंद एक हडमर्ड स्थान है। विशेष रूप से यह आवश्यक नहीं है कि प्रत्येक भूगणितीय खंड पूरे या यहां तक कि एक अर्ध-अनंत अंतराल पर परिभाषित भूगणितीय में निहित हो। हिल्बर्ट स्पेस की बंद इकाई गेंद एक स्पष्ट उदाहरण देती है जो एक उचित मीट्रिक स्थान नहीं है। यदि एक उत्तल फलन है, तो स्थिरांक 1 के साथ लिपशिट्ज़ और सीमा पर एक अद्वितीय बिंदु पर त्रिज्या के साथ केंद्रित किसी भी बंद गेंद पर अपना न्यूनतम मानता है, तो प्रत्येक के लिए एक अद्वितीय भूगणितीय किरण होती है जो प्रत्येक बंद उत्तल सेट को काटती है। विशेष रूप से यह प्रत्येक बुसमैन फलन के लिए लागू होता है। तीसरी शर्त का तात्पर्य है कि बंद उत्तल बिंदुओं के समूह में सबसे निकटतम बिंदु है। मान लीजिए कि यह जियोडेसिक जॉइनिंग है। फिर एक उत्तल लिपशिट्ज़ फलन चालू होता है जिसमें लिपशिट्ज़ स्थिरांक 1 संतोषजनक और और होता है। तो हर जगह गायब हो जाता है, क्योंकि अगर और। इसलिए। विशिष्टता से यह इस प्रकार है कि यह सबसे निकटतम बिंदु है और यह न्यूनतम करने वाला अद्वितीय बिंदु है। विशिष्टता का तात्पर्य है कि ये भूगणितीय खंड मनमाने ढंग से मेल खाते हैं और इसलिए यह बताए गए गुण के साथ एक भूगणितीय किरण तक फैला हुआ है। यदि, तो शुरू होने वाली भूगणितीय किरण संतुष्ट होती है। अगर एक और किरण तब से शुरू होती है। पहले दावे को साबित करने के लिए, यह पर्याप्त रूप से बड़े होने की जाँच करने के लिए पर्याप्त है। उस मामले में और बंद उत्तल सेट के और पर अनुमान हैं। इसलिए,। इसलिए। दूसरा दावा इस प्रकार है क्योंकि यह उत्तल और बंधा हुआ है, इसलिए, यदि यह गायब हो जाता है, तो इसे हर जगह गायब होना चाहिए। मान लीजिए कि यह एक निरंतर उत्तल फलन है और प्रत्येक के लिए एक अद्वितीय भूगणितीय किरण है जो प्रत्येक बंद उत्तल सेट को काटती है, ताकि; फिर एक बुसमैन फलन है। एक निरंतर कार्य है। के साथ बिंदुओं का बंद उत्तल समूह होने दें। चूंकि प्रत्येक बिंदु के लिए एक हैडमर्ड स्थान है, इसलिए एक अद्वितीय निकटतम बिंदु है। यह लगातार निर्भर करता है और यदि बाहर स्थित है, तो हाइपरसर्फेस-की सीमा-पर स्थित है और उत्तल अनुकूलन की असमानता को संतुष्ट करता है। मान लीजिए कि जियोडेसिक किरण यहाँ से शुरू होती है। ठीक करें। मान लीजिए कि जियोडेसिक किरण यहाँ से शुरू होती है। मान लीजिए, बुसमैन आधार बिंदु के साथ कार्य करता है। विशेष रूप से। यह दिखाने के लिए पर्याप्त है। अब के साथ ले लो और जियोडेसिक किरण के अनुरूप शुरू होने दें। फिर दूसरी ओर, किसी भी चार बिंदुओं के लिए,, एक हदमार्ड स्थान में, रेशेत्न्यक की निम्नलिखित चतुर्भुज असमानता मानती हैः सेटिंग,,, यह इस प्रकार है ताकि इसलिए। उसी तरह। अतः धारण की स्तर सतह पर। अब के लिए और अंदर, जियोडेसिक किरण को शुरू होने दें। फिर और। इसके अलावा, सीमा से,। प्रवाह का उपयोग इस परिणाम को सभी स्तर की सतहों पर ले जाने के लिए किया जा सकता है। सामान्य तौर पर, अगर, ऐसा लें और सेट करें। फिर, कहाँ। लेकिन फिर, इतना कि। इसलिए, आवश्यकतानुसार। इसी तरह अगर, तो ऐसा ही लें। जाने दीजिए। फिर, तो। इसलिए, आवश्यकतानुसार। अंत में एक ही बुसमैन फलन को स्थिरांक तक परिभाषित करने के लिए दो भूगणकविज्ञान के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तें हैंः एक हैडमर्ड स्थान पर, दो भूगणक किरणों के बुसमैन फलन और एक स्थिरांक यदि और केवल यदि से भिन्न होते हैं। मान लीजिए कि सबसे पहले और दो भूगणितीय किरणें हैं जिनमें बुसमैन फलन एक स्थिरांक से भिन्न हैं। किसी एक भूगणितीय के तर्क को एक स्थिरांक द्वारा स्थानांतरित करते हुए, यह माना जा सकता है कि, मान लीजिए। मान लीजिए कि बंद उत्तल सेट किस पर है। फिर और इसी तरह। फिर के लिए, अंक और निकटतम अंक हैं और में, ताकि। इसलिए। अब मान लीजिए कि। मान लीजिए कि जियोडेसिक किरण संबंधित से शुरू होती है। फिर. इसलिए। चूंकि और दोनों शुरू होते हैं, यह उसी के बाद आता है। पिछले परिणाम से और एक स्थिरांक से भिन्न होता है; तो और एक स्थिरांक से भिन्न होता है। संक्षेप में, उपरोक्त परिणाम एक हैडमर्ड स्थान पर बुसमैन कार्यों का निम्नलिखित लक्षण वर्णन देते हैंः थ्योरम। एक हैडमर्ड स्थान पर, एक फलन पर निम्नलिखित शर्तें समतुल्य हैंः एक बुसमैन फलन है। एक उत्तल फलन है, स्थिरांक के साथ लिपशिट्ज़ और सीमा पर एक अद्वितीय बिंदु पर त्रिज्या के साथ केंद्रित किसी भी बंद गेंद पर अपना न्यूनतम मानता है। एक निरंतर उत्तल फलन है और प्रत्येक के लिए एक अद्वितीय भूगणितीय किरण होती है और किसी के लिए, किरण प्रत्येक बंद उत्तल पर सेट को काटती है। पिछले खंड में यह दिखाया गया था कि यदि एक हैडमर्ड स्थान है और एक निश्चित बिंदु है तो बुसमैन कार्यों के स्थान का संयोजन गायब हो जाता है और कार्यों का स्थान बंधे सेटों पर समान सीमा लेने के तहत बंद हो जाता है। इस परिणाम को सीमा निर्धारण की धारणा में औपचारिक रूप दिया जा सकता है। इस टोपोलॉजी में, बिंदु एक भूगणितीय किरण की ओर रुख करते हैं जो अगर और केवल तभी शुरू होती है जब प्रत्येक खंड पर बिंदु को लेने से प्राप्त अनुक्रम मनमाने ढंग से बड़ा होता है। यदि एक मीट्रिक स्थान है, तो ग्रोमोव के सीमा निर्धारण को निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है। एक बिंदु ठीक करें और आने दें। मान लीजिए कि लिपशिट्ज़ निरंतर कार्यों का स्थान चालू है, अर्थात। जिनके लिए कुछ स्थिर। स्थान को सेमिनोर्म्स द्वारा स्थलविज्ञान किया जा सकता है, जो कि बंधे हुए सेटों पर समान अभिसरण की स्थलविज्ञान है। सेमिनोर्म लिपशिट्ज़ स्थितियों द्वारा सीमित होते हैं। यह निरंतर बंधे हुए कार्यों के बनाच रिक्त स्थान के प्रत्यक्ष उत्पाद में प्राकृतिक मानचित्र द्वारा प्रेरित टोपोलॉजी है। यह मीट्रिक द्वारा दिया जाता है। फंक्शन में भेजकर स्पेस को एम्बेड किया जाता है। अंदर का बंद होने दें। फिर मापने योग्य है, क्योंकि है, और एक खुले सबसेट के रूप में शामिल है; इसके अलावा आधार बिंदु के विभिन्न विकल्पों से उत्पन्न होने वाले सीमाएं स्वाभाविक रूप से समरूप हैं। जाने दीजिए। फिर लेट जाता है। यह गैर-शून्य चालू है और केवल पर गायब हो जाता है। इसलिए यह शून्य सेट के साथ एक निरंतर फलन तक फैला हुआ है। इसके बाद आवश्यकतानुसार बंद किया जाता है। यह जांचने के लिए कि यह आधार बिंदु से स्वतंत्र है, यह दिखाने के लिए पर्याप्त है कि यह निरंतर कार्य तक फैला हुआ है। लेकिन, इसलिए, अंदर के लिए। इसलिए और के लिए कॉम्पेक्टिफिकेशन के बीच पत्राचार इन में भेजकर दिया जाता है। हडामर्ड स्थान कब होता है, ग्रोमोव की आदर्श सीमा को बुसमैन कार्यों का उपयोग करके भूगणितीय किरणों की "स्पर्शोन्मुख सीमाओं" के रूप में स्पष्ट रूप से महसूस किया जा सकता है। यदि अंदर की ओर झुकाव के साथ एक असीमित अनुक्रम है, तो अदृश्य हो जाता है, उत्तल होता है, लिप्सिट्ज़ स्थिरांक के साथ लिप्सिट्ज़ होता है और किसी भी बंद गेंद पर न्यूनतम होता है। अतः एक बुसमैन फलन एक अद्वितीय भूगणितीय किरण के अनुरूप है जो यहाँ से शुरू होता है। दूसरी ओर, बंधे हुए सेटों पर समान रूप से तब होता है जब और केवल तभी जब प्रत्येक खंड पर एक दूरी पर बिंदु लेने से प्राप्त अनुक्रम मनमाने ढंग से बड़ा होता है। के लिए, के साथ बिंदु होने दें। मान लीजिए कि पहले जो समान रूप से चालू हो जाता है। फिर, के लिए। यह एक उत्तल फलन है। यह जैसे-जैसे गायब हो रहा है और इसलिए बढ़ रहा है। इसलिए इसे अधिकतम किया जाता है। तो प्रत्येक के लिए, 0 की ओर जाता है। चलो, और। फिर बड़े के साथ करीब है। इसलिए यूक्लिडियन तुलना में त्रिभुज बड़े के करीब है। अतः कोण छोटा है। तो उसी दूरी पर बिंदु जो करीब है। इसलिए, भूगणितीय त्रिकोणों के लिए पहली तुलना प्रमेय छोटी है। इसके विपरीत मान लीजिए कि स्थिर और पर्याप्त रूप से बड़े के लिए 0 की ओर जाता है। फिर उपरोक्त से संतुष्ट होता है इसलिए यह पर्याप्त दिखाता है कि किसी भी बंधे हुए सेट पर पर्याप्त रूप से बड़े के लिए समान रूप से करीब है। एक निश्चित गेंद के लिए, ठीक करें ताकि। यह दावा तब एक हडमर्ड स्थान में भूगणितीय खंडों के लिए असमानता का एक तत्काल परिणाम है, क्योंकि इसलिए, यदि इसमें और पर्याप्त रूप से बड़ा है, तो बुसमैन एक हडमर्ड मैनिफोल्ड पर कार्य करता है मान लीजिए कि वे एक हडमर्ड मैनिफोल्ड में बिंदु हैं और मान लीजिए कि इसके माध्यम से भूगणितीय हैं। यह भूगणितीय दो बिंदुओं पर बंद गेंद की सीमा को काटता है। इस प्रकार अगर, इस तरह के साथ अंक हैं। निरंतरता से यह स्थिति बुसमैन फलन के लिए बनी रहती हैः यदि एक हैडमर्ड मैनिफोल्ड पर एक बुसमैन फलन है, तो, और में दिए गए हैं, ऐसे अद्वितीय बिंदु हैं, जिनके साथ और हैं। निश्चित के लिए, अंक और लगातार निर्भर करते हैं। और की ओर झुकाव रखने वाले अनुक्रम को लेते हुए, ऐसे अंक हैं और जो पर्याप्त रूप से बड़े के लिए इन शर्तों को पूरा करते हैं। यदि आवश्यक हो तो बाद की ओर बढ़ते हुए, यह माना जा सकता है और ऐसा करने की प्रवृत्ति हो सकती है। निरंतरता से ये बिंदु शर्तों को पूरा करते हैं। विशिष्टता साबित करने के लिए, ध्यान दें कि सघनता अपने अधिकतम और न्यूनतम को मानती है। लिपशिट्ज़ स्थिति से पता चलता है कि वहाँ के मान अधिक से अधिक भिन्न होते हैं। अतः न्यूनतम और अधिकतम किया जाता है। दूसरी ओर, और के लिए और अंक और इस दूरी को अधिकतम करने में अद्वितीय बिंदु हैं। लिपशिट्ज़ की स्थिति तुरंत इंगित करती है और अधिकतम और न्यूनतम करने में अद्वितीय बिंदु होना चाहिए। अब मान लीजिए कि ऐसा होता है। फिर संबंधित अंक और एक बंद गेंद में स्थित होते हैं इसलिए अभिसारी बाद को स्वीकार करें। लेकिन विशिष्टता से और इस तरह के किसी भी परिणाम को निरंतरता स्थापित करने के लिए प्रवृत्त होना चाहिए। उपरोक्त परिणाम आम तौर पर हदामर्ड स्थान में अधिक होता है। यदि एक हैडमर्ड मैनिफोल्ड पर एक बुसमैन फलन है, तो सभी के लिए लगातार अवकलनीय है। के पिछले गुणों से, प्रत्येक के लिए एक अद्वितीय जियोडेसिक γ (t) होता है जिसे आर्क्लेन्थ द्वारा इस तरह से मानकीकृत किया जाता है। इसमें वह गुण है जिस पर यह कटौती करता हैः पिछले संकेतन में और। इकाई सदिश द्वारा परिभाषित सदिश क्षेत्र निरंतर है, क्योंकि यह एक निरंतर कार्य है और जिस मानचित्र को भेजा जाता है वह कार्टन-हैडमर्ड प्रमेय द्वारा ऊपर से एक भिन्नरूपता है। मान लीजिए कि आर्क्लेन्थ के माध्यम से एक और जियोडेसिक मानकीकृत किया गया है। फिर. वास्तव में, ऐसा ही होने दें। फिर इसे और के साथ लागू करना, यह इस प्रकार है कि बाहरी शब्दों के लिए 0 की प्रवृत्ति होती है, इसलिए मध्य अवधि की वही सीमा होती है, जैसा कि दावा किया गया है। एक समान तर्क इसके लिए लागू होता है। बाहरी शब्दों पर दावा आर्क्लेन्थ के लिए पहले भिन्नता सूत्र से मिलता है, लेकिन सीधे निम्नानुसार निकाला जा सकता है। माना और, दोनों इकाई वैक्टर। फिर स्पर्शरेखा वैक्टर के लिए और इकाई गेंद में समान रूप से बंधी हुई। चलो और। फिर यहाँ दाहिने हाथ की ओर 0 की ओर जाता है क्योंकि वही विधि अन्य शब्दों के लिए काम करती है। इसलिए यह इस प्रकार है कि वेक्टर क्षेत्र के लिए दोहरे के साथ एक फलन है, ताकि। वेक्टर क्षेत्र इस प्रकार के लिए ढाल वेक्टर क्षेत्र है। किसी भी बिंदु के माध्यम से भूगणितीय प्रवाह के लिए प्रवाह रेखाएँ हैं, इसलिए यह प्रवणता प्रवाह है। थ्योरम। एक हैडमर्ड मैनिफोल्ड पर एक निरंतर फलन पर निम्नलिखित शर्तें समतुल्य हैंः एक बुसमैन फलन है। एक उत्तल है, स्थिरांक 1 के साथ लिपशिट्ज़ फलन, और प्रत्येक के लिए इस तरह से एक दूरी पर बिंदु हैं। के साथ एक उत्तल फलन है। यह पहले ही साबित हो चुका है कि (1) का तात्पर्य (2) है। उपरोक्त तर्क उत्परिवर्तन को दर्शाते हैं कि (2) का तात्पर्य (3) है। इसलिए यह दिखाना बाकी है कि (3) का तात्पर्य (1) है। ठीक करें। मान लीजिए कि यह प्रवणता प्रवाह है। यह इसका अनुसरण करता है और यह आर्क्लेन्थ द्वारा मानकीकृत एक जियोडेसिक है। वास्तव में, यदि, तो ऐसा ही है। मान लीजिए, बुसमैन आधार बिंदु के साथ कार्य करता है। विशेष रूप से। (1) को साबित करने के लिए, यह दिखाने के लिए पर्याप्त है। के साथ बिंदुओं का बंद उत्तल समूह होने दें। चूंकि प्रत्येक बिंदु के लिए एक हैडमर्ड स्थान है, इसलिए एक अद्वितीय निकटतम बिंदु है। यह लगातार निर्भर करता है और यदि बाहर स्थित है, तो हाइपरसर्फेस पर स्थित है-की सीमा-और जियोडेसिक से ऑर्थोगोनल है। इस मामले में भूगणितीय न्यायसंगत है। वास्तव में, तथ्य यह है कि प्रवणता प्रवाह और स्थितियों का तात्पर्य है कि प्रवाह रेखाएं आर्क्लेन्थ द्वारा मानकीकृत भूगणितीय हैं और ऑर्थोगोनली के स्तर वक्रों को काटती हैं। दूसरी ओर, किसी भी चार बिंदुओं के लिए, और के साथ लेते हुए, एक हदामर्ड स्थान में, रेशेत्न्यक की निम्नलिखित चतुर्भुज असमानता मानती हैः सेटिंग,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, प्रवाह का उपयोग इस परिणाम को सभी स्तर की सतहों पर ले जाने के लिए किया जा सकता है। सामान्य तौर पर ऐसा लें और सेट करें। फिर, कहाँ। लेकिन फिर, इतना कि। इसलिए, आवश्यकतानुसार। ध्यान दें कि इस तर्क को इस तथ्य का उपयोग करके छोटा किया जा सकता है कि दो बुसमैन कार्य करते हैं और एक स्थिरांक से केवल तभी भिन्न होते हैं जब संबंधित भूगणितीय किरणें संतुष्ट हों। वास्तव में, प्रवाह द्वारा परिभाषित सभी भूगणितीय बाद की स्थिति को संतुष्ट करते हैं, इसलिए स्थिरांक से भिन्न होते हैं। चूँकि इनमें से कोई भी भूगणितीय व्युत्पन्न 1 के साथ रैखिक है, इसलिए स्थिरांक द्वारा इन बुसमैन कार्यों से भिन्न होना चाहिए। एक उचित हैडमर्ड स्थान के संकुचन ने एक हैडमर्ड मैनिफोल्ड के संकुचन को परिभाषित किया जो बुसमैन कार्यों का उपयोग करता है। उनका निर्माण, जिसे आम तौर पर उचित तक बढ़ाया जा सकता है (यानी। स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट) हैडमार्ड स्पेस, उचित मीट्रिक स्पेस के अधिक सामान्य वर्ग के लिए-एक "आदर्श सीमा" जोड़कर-ग्रोमोव द्वारा परिभाषित एक कॉम्पेक्टिफिकेशन का एक स्पष्ट ज्यामितीय अहसास देता है, जिनके लिए प्रत्येक बंद गेंद कॉम्पैक्ट होती है। ध्यान दें कि चूंकि कोई भी कौची अनुक्रम एक बंद गेंद में निहित होता है, इसलिए कोई भी उचित मीट्रिक स्थान स्वचालित रूप से पूरा हो जाता है। आदर्श सीमा एक मीट्रिक स्थान के लिए आदर्श सीमा का एक विशेष मामला है। हैडमर्ड रिक्त स्थान के मामले में, यह अंतरिक्ष के सीमा निर्धारण में बुसमैन कार्यों का उपयोग करके वर्णित किसी भी निश्चित बिंदु से निकलने वाली भूगणितीय किरणों के स्थान से सहमत है। यदि एक उचित मीट्रिक स्थान है, तो ग्रोमोव के संकुचन को निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है। एक बिंदु ठीक करें और आने दें। मान लीजिए कि Lipschitz निरंतर कार्यों का स्थान... पर है। जिनके लिए कुछ स्थिर। स्थान को सेमिनोर्म्स द्वारा स्थलविज्ञान किया जा सकता है, जो कॉम्पैक्ट पर समान अभिसरण की स्थलविज्ञान है। यह बनाच रिक्त स्थान के प्रत्यक्ष उत्पाद में सी (एक्स) के प्राकृतिक मानचित्र द्वारा प्रेरित टोपोलॉजी है। यह मीट्रिक द्वारा दिया जाता है। फंक्शन में भेजकर स्पेस को एम्बेड किया जाता है। अंदर का बंद होने दें। फिर कॉम्पैक्ट (मापने योग्य) होता है और एक खुले उपसमुच्चय के रूप में होता है; इसके अलावा आधार बिंदु के विभिन्न विकल्पों से उत्पन्न होने वाले कॉम्पेक्टिफिकेशन स्वाभाविक रूप से समरूप होते हैं। आर्ज़ेला-एस्कोली प्रमेय से कॉम्पैक्टनेस का अनुसरण किया जाता है क्योंकि छवि समतुल्य है और मानक में समान रूप से बंधी हुई है। अंदर की ओर झुकाव में एक क्रम होने दें। फिर सभी लेकिन परिमित रूप से कई शब्दों को बाहर होना चाहिए क्योंकि कॉम्पैक्ट है, ताकि कोई भी अनुक्रम एक बिंदु में अभिसरण कर सके; इसलिए अनुक्रम को असीमित होना चाहिए। जाने दीजिए। फिर लेट जाता है। यह गैर-शून्य चालू है और केवल पर गायब हो जाता है। इसलिए यह शून्य सेट के साथ एक निरंतर फलन तक फैला हुआ है। इसके बाद आवश्यकतानुसार बंद किया जाता है। यह जांचने के लिए कि संकुचन आधार बिंदु से स्वतंत्र है, यह दिखाने के लिए पर्याप्त है कि यह एक निरंतर कार्य तक फैला हुआ है। लेकिन, इसलिए, अंदर के लिए। इसलिए और के लिए कॉम्पेक्टिफिकेशन के बीच पत्राचार इन में भेजकर दिया जाता है। जब एक हैडमर्ड मैनिफोल्ड (या अधिक सामान्य रूप से एक उचित हैडमर्ड स्थान) होता है, तो ग्रोमोव की आदर्श सीमा को बुसमैन कार्यों का उपयोग करके भूगणितीय की "एसिम्प्टोटिक सीमाओं" के रूप में स्पष्ट रूप से महसूस किया जा सकता है। एक आधार बिंदु को ठीक करने के लिए, एक अद्वितीय जियोडेसिक पैरामीटर होता है जिसे आर्क्लेन्थ द्वारा इस तरह से निर्धारित किया जाता है और यह एक दिया गया इकाई सदिश है। यदि संबंधित बुसमैन फलन है, तो इकाई-गोले के समरूपता को प्रेरित करता है और प्रेरित करता है। पोइनकेयर डिस्क, कैट (-1) और हाइपरबोलिक रिक्त स्थान में क्वासिगोडिक्स मोर्स-मोस्टो लेम्मा नकारात्मक वक्रता वाले रिक्त स्थान जैसे पोइनकेयर डिस्क, कैट (-1) और हाइपरबोलिक रिक्त स्थान के मामले में, उनकी ग्रोमोव सीमा पर एक मीट्रिक संरचना होती है। इस संरचना को अर्ध-सममितियों के समूह द्वारा संरक्षित किया जाता है जो भूगणितीय किरणों को अर्धसूत्री किरणों तक ले जाते हैं। क्वासिगोडिक्स का अध्ययन पहली बार नकारात्मक रूप से घुमावदार सतहों के लिए किया गया था-विशेष रूप से हाइपरबोलिक ऊपरी अर्ध तल और इकाई डिस्क-मोर्स द्वारा और असतत समूहों की कठोरता पर उनके काम के लिए मोस्टो द्वारा नकारात्मक रूप से घुमावदार सममित स्थानों के लिए सामान्यीकृत किया गया था। इसका मूल परिणाम भूगणितीय स्थिरता पर मोर्स-मोस्टो का सिद्धांत है। परिभाषा के अनुसार, एक अंतराल पर परिभाषित एक क्वासिगोडेसिक जात एक मीट्रिक स्थान में एक मानचित्र है, जो आवश्यक रूप से निरंतर नहीं है, जिसके लिए स्थिरांक हैं और सभी के लिए ऐसे हैं औरः निम्नलिखित परिणाम अनिवार्य रूप से मार्स्टन मोर्स (1924) के कारण है। भूगणित की स्थिरता पर मोर्स का सिद्धांत। हाइपरबोलिक डिस्क में एक स्थिरांक होता है जो इस पर निर्भर करता है और इस तरह कि एक सीमित अंतराल पर परिभाषित कोई भी क्वासिगोडेसिक खंड जियोडेसिक खंड की हौसडॉर्फ दूरी के भीतर होता है। पोइनकेयर डिस्क के लिए शास्त्रीय प्रमाण पोइनकेयर इकाई डिस्क या ऊपरी अर्ध तल के लिए मोर्स के लेम्मा का शास्त्रीय प्रमाण भूगणितीय खंड पर ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण का उपयोग करके अधिक सीधे आगे बढ़ता है। यह माना जा सकता है कि γ मजबूत "छद्म-भूगणितीय" स्थिति को संतुष्ट करता हैः इसे एक निरंतर टुकड़े-टुकड़े भूगणितीय वक्र द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है जिसमें समान अंतिम बिंदु एक सीमित हौसडॉर्फ दूरी पर कम से हैंः उस अंतराल को तोड़ें जिस पर लंबाई के समान उप-अंतराल में परिभाषित किया गया है और उप-अंतराल के अंतिम बिंदुओं के नीचे छवियों के बीच भूगणितीय को लें। चूँकि यह पीसवाइज जियोडेसिक है, तो क्या लिप्सिट्ज़ स्थिरांक के साथ निरंतर है, जहाँ। अंतराल के अंतिम बिंदुओं पर निचली सीमा स्वचालित होती है। निर्माण द्वारा अन्य मान केवल और पर निर्भर करते हुए एक समान रूप से बंधे हुए से भिन्न होते हैं; निचली सीमा असमानता इस समान सीमा को दोगुना जोड़कर ε को बढ़ाती है। यदि एक भूगणितीय रेखा के एक-पड़ोसी के बाहर स्थित एक टुकड़े में चिकना वक्र खंड है और भूगणितीय रेखा पर ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण है तोः ऊपरी आधे तल में एक सममिति लागू करते हुए, यह माना जा सकता है कि जियोडेसिक रेखा सकारात्मक काल्पनिक अक्ष है जिस स्थिति में उस पर ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण और द्वारा दिया जाता है। इसलिए परिकल्पना का तात्पर्य है कि केवल और ऐसे पर निर्भर करने वाला एक स्थिरांक है जो भूगणितीय खंड के एक-पड़ोसी के भीतर स्थित है। मान लीजिए कि भूगणितीय खंड वाली भूगणितीय रेखा है। फिर एक स्थिरांक होता है जो केवल और ऐसे पर निर्भर करता है कि-पड़ोसी एक-पड़ोसी के भीतर होता है। वास्तव में किसी के लिए, जिसका उपसमुच्चय पड़ोस के बंद होने के बाहर स्थित है, खुला है, इसलिए खुले अंतराल का एक गणना योग्य संघ है। फिर चूंकि बाएँ हाथ की ओर से कम या बराबर है और इसलिए प्रत्येक बिंदु से कम या बराबर दूरी पर स्थित है। अभिकथन का अनुमान लगाने के लिए, ध्यान दें कि जिसका उपसमुच्चय-पड़ोसी के बंद होने के बाहर स्थित है, खुला है, इसलिए या दोनों में से किसी एक से दूरी पर और दोनों के साथ अंतरालों का एक संघ है। तब से इसलिए दावा किसी भी अधिक से अधिक लेने के बाद आता है। केवल और इस तरह के आधार पर एक स्थिरांक है कि भूगणितीय खंड एक-पड़ोसी के भीतर स्थित है। प्रत्येक बिंदु की दूरी के भीतर है। इस प्रकार ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण प्रत्येक बिंदु को बंद उत्तल सेट में एक बिंदु पर कम दूरी पर ले जाता है। चूंकि यह निरंतर और जुड़ा हुआ है, इसलिए मानचित्र पर होना चाहिए क्योंकि छवि में इसके अंतिम बिंदु हैं। लेकिन फिर का प्रत्येक बिंदु एक बिंदु की दूरी के भीतर है। पोइनकेयर डिस्क के लिए ग्रोमोव का प्रमाण मोर्स के लेम्मा के कैट (-1) रिक्त स्थान के सामान्यीकरण को अक्सर मोर्स-मोस्टो लेम्मा के रूप में संदर्भित किया जाता है और शास्त्रीय प्रमाण के सीधे सामान्यीकरण से साबित किया जा सकता है। ग्रोमोव के कारण हाइपरबोलिक मीट्रिक रिक्त स्थान के अधिक सामान्य वर्ग के लिए भी एक सामान्यीकरण है। पोइनकेयर इकाई डिस्क के लिए ग्रोमोव का प्रमाण नीचे दिया गया है; हाइपरबोलिक मीट्रिक रिक्त स्थान के गुण प्रमाण के दौरान विकसित किए जाते हैं, ताकि यह कैट (-1) या हाइपरबोलिक मीट्रिक रिक्त स्थान पर उत्परिवर्तन उत्परिवर्तन लागू करे। चूँकि यह एक बड़े पैमाने की घटना है, इसलिए यह जांचने के लिए पर्याप्त है कि असमानताओं को संतुष्ट करने वाले किसी भी डिस्क के लिए कोई भी मानचित्र भूगणितीय खंड के हौसडॉर्फ दूरी के भीतर है। तब के लिए यह माना जा सकता है कि सामान्यता के नुकसान के बिना इसे परिभाषित किया जाता है और फिर, (पूर्णांक भाग) लेते हुए, परिणाम को परिभाषित करने के लिए लागू किया जा सकता है। और की छवियों के बीच हौसडॉर्फ दूरी स्पष्ट रूप से केवल और के आधार पर एक स्थिरांक से घिरी हुई है। अब एक भूगणितीय त्रिभुज के अंतःवृत्त का व्यास कहाँ से कम है; वास्तव में इसे एक आदर्श त्रिभुज द्वारा सख्ती से अधिकतम किया जाता है जहाँ यह बराबर होता है। विशेष रूप से, चूंकि अंतःवृत्त त्रिभुज को तीन समद्विबाहु त्रिभुजों में तोड़ता है और मूल त्रिभुज के शीर्ष के विपरीत तीसरी तरफ की लंबाई उससे कम होती है, इसलिए यह इस प्रकार है कि एक भूगणितीय त्रिभुज का प्रत्येक पक्ष अन्य दो पक्षों के एक-पड़ोसी में निहित होता है। एक सरल प्रेरण तर्क से पता चलता है कि एक भूगणितीय बहुभुज के शीर्षों के साथ प्रत्येक पक्ष दूसरे पक्षों के पड़ोस में होता है (ऐसा बहुभुज दो भूगणितीय बहुभुज को एक सामान्य पक्ष के साथ भुजाओं के संयोजन से बनाया जाता है)। इसलिए यदि, वही अनुमान भुजाओं वाले बहुभुज के लिए लागू होता है। लेट के लिए, एक बंद गेंद के लिए सबसे बड़ा त्रिज्या जिस पर केंद्रित होता है, उसके अंदर कोई नहीं होता है। यह एक निरंतर फलन गैर-शून्य है इसलिए इस खंड में किसी बिंदु पर अपने अधिकतम को प्राप्त करता है। फिर किसी के लिए छवि के एक पड़ोसी के भीतर स्थित है। इसलिए यह स्वतंत्र के लिए एक ऊपरी सीमा खोजने के लिए पर्याप्त है। सेगमेंट में पहले और बाद में और के साथ चुनें (या एक अंतिम बिंदु यदि यह उससे कम की दूरी के भीतर है)। फिर साथ हैं,। इसलिए, ताकि। त्रिभुज असमानता द्वारा खंडों पर सभी बिंदु और उनसे दूरी पर हैं। इस प्रकार सेगमेंट को लेने से पहले सेगमेंट पर पहले झूठ बोलने वाले और फिर अंकों के माध्यम से आगे बढ़ने वाले बिंदुओं का एक सीमित क्रम शुरू होता है और समाप्त होता है। क्रमिक बिंदुओं को एक दूरी से अलग किया जाता है जो उससे अधिक नहीं होती है और इस स्थिति को पूरा करने के लिए भूगणितीय खंडों पर क्रमिक बिंदुओं को भी चुना जा सकता है। इस तरह के अनुक्रम में अंकों की न्यूनतम संख्या संतुष्ट करती है। ये बिंदु एक भूगणितीय बहुभुज बनाते हैं, जिसकी एक भुजा होती है। लें, ताकि के-पड़ोसी में बहुभुज के अन्य सभी पक्ष न हों। इसलिए, उपरोक्त परिणाम से, यह इस प्रकार है। इसलिए इस असमानता का तात्पर्य है कि यह समान रूप से बंधी हुई है, स्वतंत्र रूप से, जैसा कि दावा किया गया है। यदि सभी अंक के भीतर हैं, तो परिणाम आगे आता है। अन्यथा वे बिंदु जो अधिकतम उपसमुच्चय में नहीं आते हैं। इस प्रकार अंकों का एक बिंदु होता है जो दूरी के भीतर के पूरक के साथ होता है। लेकिन और के साथ एक असंबद्ध संघ का पूरक। की संयोजकता का तात्पर्य है कि खंड में एक बिंदु है जो बिंदुओं की दूरी के भीतर और और के साथ है। लेकिन फिर, तो। इसलिए कम से कम की दूरी के भीतर झूठ के लिए अंक। क्वासिगोडेसिक किरणों और रेखाओं का विस्तार याद रखें कि एक हडमर्ड स्थान में यदि और दो जियोडेसिक खंड और मध्यवर्ती बिंदु हैं और उन्हें अनुपात में विभाजित करते हैं, तो यह एक उत्तल फलन है। विशेष रूप से यदि और एक ही बिंदु से शुरू होने पर परिभाषित इकाई गति के भूगणितीय खंड हैं तो विशेष रूप से इसका तात्पर्य निम्नलिखित हैः एक कैट (-1) स्थान में, केवल और इस तरह के आधार पर एक स्थिरांक होता है कि कोई भी अर्ध-भूगणितीय किरण एक भूगणितीय किरण की एक बंधी हुई हौसडॉर्फ दूरी के भीतर होती है। एक समान परिणाम क्वासिगोडेसिक और जियोडेसिक रेखाओं के लिए लागू होता है। यदि एक जियोडेसिक है तो स्थिरांक के साथ कहें और, खंड के लिए इकाई गति जियोडेसिक होने दें। उपरोक्त अनुमान से पता चलता है कि स्थिर और पर्याप्त रूप से बड़े के लिए, एक समान मीट्रिक के साथ एक कौची अनुक्रम है। इस प्रकार कॉम्पैक्ट पर एक समान रूप से एक भूगणितीय किरण की ओर जाता है जो हौसडॉर्फ और खंडों के बीच की दूरी पर बंधी होती है और सीमित भूगणितीय पर भी लागू होती है। क्वासिगोडेसिक रेखाओं के लिए अभिकथन जियोडेसिक खंड के अनुरूप लेने के बाद होता है। एफ्रेमोविच-तिखोमिरोवा प्रमेय कैट (-1) रिक्त स्थान पर चर्चा करने से पहले, यह खंड पोइनकेयर मीट्रिक के साथ इकाई डिस्क के लिए एफ्रेमोविच-तिखोमिरोवा प्रमेय का वर्णन करेगा। यह दावा करता है कि अर्ध-सममितियाँ यूक्लिडियन मीट्रिक के साथ इकाई डिस्क के अर्ध-मोबियस समरूपता तक फैली हुई हैं। यह प्रमेय कैट (-1) रिक्त स्थान के अधिक सामान्य सिद्धांत के लिए प्रोटोटाइप बनाता है। उनकी मूल प्रमेय को थोड़ा कम सामान्य और कम सटीक रूप में साबित किया गया था और पॉइनकेयर मीट्रिक के लिए इकाई डिस्क के द्वि-लिप्सिट्ज़ होमोमोर्फिज्म पर लागू किया गया था; इससे पहले, मरणोपरांत पेपर में, जापानी गणितशास्त्री अकीरा मोरी ने टेचमुलर सिद्धांत के भीतर एक संबंधित परिणाम साबित किया था जिसमें आश्वासन दिया गया था कि डिस्क का प्रत्येक क्वासिकोफॉर्मल होमोमोर्फिज्म होल्डर निरंतर है और इसलिए यह लगातार इकाई वृत्त के होमोमोर्फिज्म तक फैला हुआ है (यह ज्ञात है कि यह विस्तार अर्ध-मोबियस है)। यदि पोइनकेयर इकाई डिस्क, या अधिक सामान्य रूप से एक सी. ए. टी. (-1) स्थान है, तो क्वासिगोडिक्स की स्थिरता पर मोर्स लेम्मा का तात्पर्य है कि प्रत्येक अर्ध-सममिति विशिष्ट रूप से सीमा तक फैली हुई है। परिभाषा के अनुसार दो स्व-मानचित्रण अर्ध-समतुल्य हैं यदि, ताकि संबंधित बिंदु एक दूसरे की समान रूप से बंधी हुई दूरी पर हों। एक अर्ध-सममिति का एक स्व-मानचित्रण होता है, जो आवश्यक रूप से निरंतर नहीं होता है, जिसमें एक अर्ध-व्युत्क्रम होता है और जो उपयुक्त पहचान मानचित्रों के लिए अर्ध-समतुल्य होता है और ऐसे स्थिरांक होते हैं और जो सभी के लिए और दोनों मानचित्रों के लिए ऐसे होते हैं कि अर्ध-व्युत्क्रम अर्ध-समतुल्यता तक अद्वितीय होते हैं; यह समतुल्य परिभाषा संभवतः अलग-अलग दाएं और बाएं-समतुल्य व्युत्क्रमों का उपयोग करके दी जा सकती है, लेकिन वे आवश्यक रूप से अर्ध-समतुल्य होंगे; कि अर्ध-सममितियां संरचना के तहत बंद होती हैं जो अर्ध-समतुल्यता तक केवल अर्ध-समतुल्यता वर्गों पर निर्भर करती हैं; और वह, मॉड्यूलो अर्ध-समतुल्यता, अर्ध-समतुल्यता। एक बिंदु को ठीक करने के लिए, एक भूगणितीय किरण को देखते हुए, एक अर्ध-सममिति के तहत छवि एक अर्ध-भूगणितीय किरण है। मोर्स-मोस्टो लेम्मा के अनुसार यह एक अद्वितीय भूगणितीय किरण से शुरू होने वाली एक सीमित दूरी के भीतर है। यह अर्ध-समतुल्यता वर्ग से स्वतंत्र सीमा पर एक मानचित्रण को परिभाषित करता है, जैसे कि। इस प्रकार के स्व-मानचित्रण के समूह में अर्ध-सममितियों के समूह का एक समरूपता है। यह जाँचने के लिए कि यह निरंतर है, ध्यान दें कि यदि और वे भूगणितीय किरणें हैं जो एक दूरी के भीतर समान रूप से करीब हैं, तो और एक दूरी के भीतर स्थित हैं, ताकि और एक दूरी के भीतर स्थित हों; इसलिए एक छोटे अंतराल पर, और उत्तलता द्वारा दूरी के भीतर स्थित हैं। कैट (-1) रिक्त स्थान पर, निरंतरता का एक सूक्ष्म संस्करण दावा करता है कि मीट्रिक के एक प्राकृतिक वर्ग के संबंध में एक अर्ध-मोबियस मानचित्रण है, "दृश्य मेट्रिक्स" इकाई वृत्त पर यूक्लिडियन मीट्रिक को सामान्यीकृत करता है और मोबियस समूह के तहत इसके परिवर्तन होते हैं। इन दृश्य मेट्रिक्स को बुसमैन कार्यों के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है। इकाई डिस्क के मामले में, टेइकम्यूलर सिद्धांत का तात्पर्य है कि समरूपता वृत्त के अर्ध-मोबियस समरूपता के समूह पर डिस्क के अर्ध-समरूपता को वहन करती है (उदाहरण के लिए अहलफोर्स-बर्लिंग या डौडी-अर्ल विस्तार का उपयोग करते हुए): यह इस प्रकार है कि अर्ध-समरूपता समूह से अर्ध-मोबियस समूह में समरूपता अनुमानात्मक है। दूसरी दिशा में, यह साबित करना सीधा है कि समरूपता इंजेक्टिव है। मान लीजिए कि यह इकाई डिस्क की एक अर्ध-सममिति है जो कि पहचान है। धारणा और मोर्स लेम्मा का तात्पर्य है कि यदि एक भूगणितीय रेखा है, तो एक-पड़ोसी में स्थित है। अब एक दूसरी भूगणितीय रेखा लें जैसे कि और एक दिए गए बिंदु पर ऑर्थोगोनली रूप से प्रतिच्छेद करें। फिर और के-पड़ोसियों के प्रतिच्छेदन में स्थित है। मोबियस परिवर्तन को लागू करते हुए, यह माना जा सकता है कि इकाई डिस्क की उत्पत्ति पर है और भूगणितीय वास्तविक और काल्पनिक अक्ष हैं। उत्तलता द्वारा, इन अक्षों के-पड़ोसी मूल के एक-पड़ोसी में प्रतिच्छेद करते हैंः यदि दोनों पड़ोस में स्थित हैं, तो मान लीजिए और-और-अक्षों पर के ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण हों; फिर-अक्ष पर अनुमान लगाते हुए, इसलिए। इसलिए, यह पहचान के अर्ध-समतुल्य है, जैसा कि दावा किया गया है। क्रॉस अनुपात और गैर-छेदक भूगणितीय रेखाओं के बीच की दूरी इकाई वृत्त या वास्तविक अक्ष पर दो अलग-अलग बिंदुओं को देखते हुए उनमें एक अद्वितीय हाइपरबोलिक भूगणितीय जुड़ाव होता है। यह वृत्त (या सीधी रेखा) द्वारा दिया जाता है जो इकाई वृत्त इकाई वृत्त या वास्तविक अक्ष को उन दो बिंदुओं पर ऑर्थोगोनली रूप से काटता है। विस्तारित जटिल तल में चार अलग-अलग बिंदुओं को देखते हुए उनके क्रॉस अनुपात को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है यदि एक जटिल मोबियस परिवर्तन है तो यह क्रॉस अनुपात को अपरिवर्तनीय छोड़ देता हैः चूँकि मोबियस समूह केवल तीन अंकों पर पारगमन रूप से कार्य करता है, क्रॉस अनुपात को वैकल्पिक रूप से जटिल संख्या के रूप में वर्णित किया जा सकता है जैसे कि मोबियस परिवर्तन के लिए। क्योंकि, और सभी क्रॉस अनुपात को परिभाषित करने वाले अंश में दिखाई देते हैं, के क्रमपरिवर्तन के तहत क्रॉस अनुपात के व्यवहार को समझने के लिए, और, यह उन क्रमपरिवर्तनों पर विचार करने के लिए पर्याप्त है जो ठीक करते हैं, इसलिए केवल क्रमपरिवर्तन, और। क्रॉस अनुपात और को भेजने वाले मोबियस परिवर्तनों द्वारा उत्पन्न क्रम 6 के अनहार्मोनिक समूह के अनुसार बदल जाता है। अन्य तीन परिवर्तन भेजने के लिए, करने के लिए और करने के लिए। अब उस क्रम में इकाई वृत्त या वास्तविक अक्ष पर बिंदु होने दें। फिर भूगणितीय और प्रतिच्छेदन नहीं करते हैं और इन भूगणितीय के बीच की दूरी को अच्छी तरह से परिभाषित किया गया हैः इन दो भूगणितीय को ऑर्थोगोनली रूप से काटने वाली एक अनूठी भूगणितीय रेखा है और दूरी उनके बीच भूगणितीय खंड की लंबाई से दी जाती है। यह स्पष्ट रूप से वास्तविक मोबियस परिवर्तनों के तहत अपरिवर्तनीय है। क्रॉस अनुपात और भूगणितीय के बीच की दूरी की तुलना करने के लिए, मोबियस अपरिवर्तनीयता गणना को एक सममित विन्यास तक कम करने की अनुमति देती है। के लिए, ले लो। फिर कहाँ। दूसरी ओर, भूगणितीय और त्रिज्या के ऊपरी आधे तल में अर्धवृत्त हैं और। जियोडेसिक जो उन्हें ऑर्थोगोनली रूप से काटता है वह सकारात्मक काल्पनिक अक्ष है, इसलिए उनके बीच की दूरी और, के बीच की हाइपरबोलिक दूरी है। मान लीजिए, ताकि एक स्थिरांक ऐसा हो कि, यदि, तब से ऊपर और नीचे में बंधा हो। ध्यान दें कि इकाई वृत्त के चारों ओर यदि और केवल यदि क्रम में हैं। क्रॉस अनुपात की एक अधिक सामान्य और सटीक ज्यामितीय व्याख्या एक जियोडेसिक रेखा पर आदर्श बिंदुओं के अनुमानों का उपयोग करके दी जा सकती है; यह वृत्त पर बिंदुओं के क्रम पर निर्भर नहीं करता है और इसलिए यह भी कि जियोडेसिक रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं या नहीं। यदि और भूगणितीय रेखा से और उसके लंबवत पैर हैं, तो। चूँकि मोबियस परिवर्तनों के तहत दोनों पक्ष अपरिवर्तनीय हैं, इसलिए इस मामले में इसकी जाँच करना पर्याप्त है कि, और। इस मामले में भूगणितीय रेखा सकारात्मक काल्पनिक अक्ष है, दाहिने हाथ की ओर बराबर है, और। तो बाएँ हाथ का पक्ष बराबर है। ध्यान दें कि और वे बिंदु भी हैं जहाँ आदर्श त्रिभुज के अंतःवृत्त और स्पर्श होते हैं। प्रमेय का प्रमाण वृत्त का समरूपता अर्धसममित है यदि ऐसे स्थिरांक हैं जो अर्ध-मोबियस हैं तो ऐसे स्थिरांक हैं जो क्रॉस-अनुपात को दर्शाते हैं। यह तत्काल है कि अर्धसममित और अर्ध-मोबियस समरूपता व्युत्क्रम और संरचना के संचालन के तहत बंद हैं। यदि क्वासिसिमेट्रिक है तो यह अर्ध-मोबियस भी है, और के साथः इसके बाद और के लिए पहली असमानता को गुणा किया जाता है। इसके विपरीत कोई भी अर्ध-मोबियस समरूपता अर्धसममित है। इसे देखने के लिए, पहले यह जांचा जा सकता है कि (और इसलिए) होल्डर निरंतर है। आइए एकता के घन जड़ों का समूह बनें, ताकि यदि में, तो। होल्डर के अनुमान को साबित करने के लिए, यह माना जा सकता है कि यह समान रूप से छोटा है। फिर दोनों और एक निश्चित दूरी से अधिक दूर हैं, इसलिए अनुमान अर्ध-मोबियस असमानता को लागू करके अनुसरण किया जाता है। यह सत्यापित करने के लिए कि यह अर्धसममित है, समान रूप से छोटे ट्रिपल के मामले में एक समान ऊपरी सीमा खोजना पर्याप्त है। इस मामले में और से 1 से अधिक की दूरी पर एक बिंदु है। अर्ध-मोबियस असमानता को लागू करना, और आवश्यक ऊपरी सीमा प्राप्त करता है। संक्षेप मेंः वृत्त का एक समरूपता अर्ध-मोबियस है यदि और केवल तभी जब यह अर्धसममित हो। इस मामले में यह और इसका व्युत्क्रम होल्डर निरंतर हैं। अर्ध-मोबियस समरूपताएँ संरचना के तहत एक समूह बनाती हैं। प्रमेय को साबित करने के लिए यह साबित करना पर्याप्त है कि यदि ऐसे स्थिरांक हैं कि इकाई वृत्त पर अलग-अलग बिंदुओं के लिए यह पहले ही जांचा जा चुका है कि (और व्युत्क्रम है) निरंतर हैं। रचना, और इसलिए, यदि आवश्यक हो तो जटिल संयुग्मन के साथ, यह आगे माना जा सकता है कि वृत्त के अभिविन्यास को संरक्षित करता है। इस मामले में, यदि वृत्त पर क्रम में हैं, तो नीचे भी चित्र हैं; इसलिए दोनों वास्तविक हैं और एक से अधिक हैं। इस मामले में यह साबित करने के लिए, यह दिखाने के लिए पर्याप्त है। पिछले खंड से यह पर्याप्त है। यह इस तथ्य से पता चलता है कि नीचे और नीचे की छवियां और के पड़ोसियों के भीतर होती हैं; न्यूनतम दूरी का अनुमान अर्ध-सममिति स्थिरांक का उपयोग करके लगाया जा सकता है ताकि उन बिंदुओं पर लागू किया जा सके और प्राप्त किया जा सके। समायोजन और यदि आवश्यक हो, तो उपरोक्त असमानता इन पर भी लागू होती है। प्रतिस्थापित करते हुए, और नीचे उनकी छवियों द्वारा, यह इस प्रकार है कि यदि,, और इकाई वृत्त पर क्रम में हैं। अतः चतुष्कोण के तीन चक्रीय के लिए समान असमानताएँ मान्य हैं। यदि और स्विच किए जाते हैं तो क्रॉस अनुपात उनके व्युत्क्रम पर भेजे जाते हैं, इसलिए 0 और 1 के बीच स्थित होते हैं; इसी तरह अगर और स्विच किए जाते हैं। यदि दोनों जोड़ों को बदल दिया जाता है, तो क्रॉस अनुपात अपरिवर्तित रहता है। इसलिए इस मामले में असमानताएं भी मान्य हैं। अंत में अगर और आपस में बदले जाते हैं, तो क्रॉस अनुपात से बदल जाता है, जो 0 और 1 के बीच होता है। इसलिए फिर से वही असमानताएं मान्य हैं। यह जांचना आसान है कि इन परिवर्तनों का उपयोग करके असमानताएँ, और के सभी संभावित क्रमपरिवर्तनों के लिए मान्य हैं, ताकि और इसका व्युत्क्रम अर्ध-मोबियस समरूपताएँ हों। कैट (-1) रिक्त स्थान के लिए बुसमैन कार्य और दृश्य मेट्रिक्स बुसमैन कार्य का उपयोग कैट (-1) रिक्त स्थान के वर्ग पर विशेष दृश्य मेट्रिक्स निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है। ये पूर्ण भूगणितीय मीट्रिक रिक्त स्थान हैं जिनमें एक भूगणितीय त्रिभुज की सीमा पर बिंदुओं के बीच की दूरी हाइपरबोलिक ऊपरी आधे तल में तुलनात्मक त्रिकोण से कम या उसके बराबर होती है या समतुल्य रूप से पोइनकेयर मीट्रिक के साथ इकाई डिस्क होती है। यूनिट डिस्क के मामले में कॉर्डल मीट्रिक को सीधे बुसमैन कार्यों का उपयोग करके पुनर्प्राप्त किया जा सकता है और डिस्क के लिए विशेष सिद्धांत पूरी तरह से किसी भी उचित सीएटी (-1) स्थान के लिए सामान्यीकृत होता है। हाइपरबोलिक ऊपरी आधा तल एक सीएटी (0) स्थान है, क्योंकि एक हाइपरबोलिक जियोडेसिक त्रिकोण में लंबाई यूक्लिडियन तुलना त्रिकोण में लंबाई से कम होती हैः विशेष रूप से एक सीएटी (-1) स्थान एक सीएटी (0) स्थान है, इसलिए बुसमैन कार्यों और ग्रोमोव सीमा का सिद्धांत लागू होता है। हाइपरबोलिक डिस्क के सिद्धांत से, यह विशेष रूप से इस प्रकार है कि एक सीएटी (-1) स्थान में प्रत्येक जियोडेसिक किरण एक जियोडेसिक रेखा तक फैली हुई है और सीमा के दो बिंदुओं को देखते हुए एक अद्वितीय जियोडेसिक है जिसमें इन बिंदुओं की सीमा होती है। यह सिद्धांत किसी भी कैट () स्थान पर समान रूप से लागू होता है क्योंकि ये कैट (-1) स्थान पर मीट्रिक को मापने से उत्पन्न होते हैं। हाइपरबोलिक इकाई डिस्क अर्ध-सममितियों पर एक कार्यात्मक तरीके से सीमा के अर्ध-मोबियस समरूपता को प्रेरित करता है। ग्रोमोव हाइपरबोलिक स्पेस का एक अधिक सामान्य सिद्धांत है, एक समान कथन है, लेकिन सीमा के समरूपता पर कम सटीक नियंत्रण के साथ। उदाहरण-पोइनकेयर डिस्क परकोलेशन सिद्धांत में अनुप्रयोग हाल ही में बुसमैन कार्यों का उपयोग संभावित विशेषज्ञों द्वारा प्रथम-मार्ग परकोलेशन और निर्देशित अंतिम-मार्ग परकोलेशन के मॉडल में एसिम्प्टोटिक गुणों का अध्ययन करने के लिए किया गया है। टिप्पणियाँ संदर्भ, परिशिष्ट। ज्यामिति