Solid angle
ज्यामिति में, एक ठोस कोण (प्रतीकः) किसी विशेष बिंदु से देखने के क्षेत्र की मात्रा का एक माप है जिसे कोई दी गई वस्तु कवर करती है। अर्थात्, यह एक माप है कि उस बिंदु से देखने वाले पर्यवेक्षक को वस्तु कितनी बड़ी दिखाई देती है। जिस बिंदु से वस्तु को देखा जाता है, उसे ठोस कोण का शीर्ष कहा जाता है, और कहा जाता है कि वस्तु उस बिंदु पर अपने ठोस कोण को कम करती है। इकाइयों की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली (एस. आई.) में, एक ठोस कोण को एक आयामहीन इकाई में व्यक्त किया जाता है जिसे स्टेरेडियन (प्रतीकः एस. आर.) कहा जाता है। एक स्टेरेडियन शीर्ष के आसपास के इकाई गोले पर क्षेत्र की एक इकाई से मेल खाता है, इसलिए एक वस्तु जो शीर्ष से सभी किरणों को अवरुद्ध करती है, इकाई गोले के कुल सतह क्षेत्र के बराबर कई स्टेरेडियन को कवर करेगी। ठोस कोणों को कोणीय मापों जैसे डिग्री, मिनट और सेकंड के वर्गों में भी मापा जा सकता है। पास की एक छोटी सी वस्तु दूर की एक बड़ी वस्तु के समान ठोस कोण को कम कर सकती है। उदाहरण के लिए, हालांकि चंद्रमा सूर्य की तुलना में बहुत छोटा है, लेकिन यह पृथ्वी के भी बहुत करीब है। वास्तव में, जैसा कि पृथ्वी पर किसी भी बिंदु से देखा जाता है, दोनों वस्तुओं का लगभग एक ही ठोस कोण (और इसलिए स्पष्ट आकार) होता है। यह सूर्य ग्रहण के दौरान स्पष्ट होता है। परिभाषा और गुण स्टेरेडियन में एक वस्तु का ठोस कोण एक इकाई गोले के खंड के क्षेत्र के बराबर होता है, जो शीर्ष पर केंद्रित होता है, जिसे वस्तु ढकती है। स्टेरेडियन में एक इकाई गोले के एक खंड का क्षेत्रफल देना रेडियन में एक इकाई वृत्त के चाप की लंबाई देने के समान है। जिस तरह रेडियन में एक समतलीय कोण एक चाप की लंबाई और उसकी त्रिज्या का अनुपात है, उसी तरह स्टेरेडियन में एक ठोस कोण एक गोले पर एक वस्तु द्वारा आच्छादित क्षेत्र और उक्त गोले की त्रिज्या के वर्ग द्वारा दिए गए क्षेत्र का अनुपात है। सूत्र वह है जहाँ गोलाकार सतह क्षेत्र है और माने गए गोले की त्रिज्या है। ठोस कोणों का उपयोग अक्सर खगोल विज्ञान, भौतिकी और विशेष रूप से खगोल भौतिकी में किया जाता है। बहुत दूर किसी वस्तु का ठोस कोण क्षेत्रफल और वर्ग दूरी के अनुपात के लगभग आनुपातिक होता है। यहाँ "क्षेत्र" का अर्थ है वस्तु का क्षेत्र जब देखने की दिशा के साथ प्रक्षेपित किया जाता है। किसी गोले का उसके आंतरिक भाग में किसी भी बिंदु से मापा जाने वाला ठोस कोण 4 एस. आर. होता है, और एक घन के केंद्र में उसके एक चेहरे से घटा हुआ ठोस कोण उसका छठा हिस्सा या 2/3 एस. आर. होता है। ठोस कोणों को वर्ग डिग्री (1 एस. आर. = 2 वर्ग डिग्री), वर्ग चाप-मिनट और वर्ग चाप-सेकंड में, या गोले के अंशों (1 एस. आर. = आंशिक क्षेत्र) में भी मापा जा सकता है, जिसे स्पैट (1 एस. पी. = 4 एस. आर.) के रूप में भी जाना जाता है। गोलाकार निर्देशांक में विभेदक के लिए एक सूत्र है, जहाँ अक्षांश (उत्तरी ध्रुव से कोण) है और देशांतर है। एक बिंदु पर एक मनमाना उन्मुख सतह के लिए ठोस कोण केंद्र के साथ इकाई गोले के लिए सतह के प्रक्षेपण के ठोस कोण के बराबर होता है, जिसकी गणना सतह अभिन्न के रूप में की जा सकती हैः जहां इकाई सदिश के अनुरूप है, बिंदु के संबंध में सतह के एक असीम क्षेत्र का स्थिति सदिश, और जहां इकाई सामान्य सदिश का प्रतिनिधित्व करता है। भले ही सतह पर इकाई गोले पर प्रक्षेपण समरूप नहीं है, लेकिन स्केलर उत्पाद के संकेत द्वारा वर्णित सतह अभिविन्यास के अनुसार कई तहों को सही ढंग से माना जाता है। इस प्रकार एक सपाट सतह क्षेत्र, अभिविन्यास और दर्शक से दूरी वाले एक छोटे से पहलू द्वारा कम किए गए ठोस कोण का अनुमान इस प्रकार लगाया जा सकता हैः जहां एक गोले का सतह क्षेत्र है। व्यावहारिक अनुप्रयोग चमकदार तीव्रता और प्रकाश को परिभाषित करना, और संवाददाता रेडियोमेट्रिक मात्राएं एक गोलाकार त्रिभुज की गोलाकार अधिकता की गणना करना एक गोलाकार त्रिभुज की विकिरण तीव्रता और विकिरण की गणना करना सीमा तत्व विधि (बी. ई. एम.) का उपयोग करके क्षमता की गणना धातु परिसरों में लिगेंड के आकार का मूल्यांकन करते हुए, लिगेंड शंकु कोण देखें आवेश वितरण के आसपास विद्युत क्षेत्र और चुंबकीय क्षेत्र की शक्ति की गणना करना गॉस के नियम से प्राप्त ऊष्मा हस्तांतरण में उत्सर्जक शक्ति और विकिरण की गणना करना रदरफोर्ड स्कैटरिंग में क्रॉस सेक्शन की गणना करना रमन स्कैटरिंग में क्रॉस सेक्शन की गणना करना सामान्य वस्तुओं के लिए ऑप्टिकल फाइबर ठोस कोण की स्वीकृति का ठोस कोण शंकु, गोलाकार टोपी, गोलार्ध का ठोस कोण उपरोक्त को गोलाकार निर्देशांक में इकाई सतह तत्व का उपयोग करके निम्नलिखित दोहरे समाकलन की गणना करके पाया जाता हैः इस सूत्र को कलन के उपयोग के बिना भी प्राप्त किया जा सकता है। 2200 से अधिक वर्ष पहले आर्किमिडीज ने साबित किया कि एक गोलाकार टोपी का सतह क्षेत्र हमेशा एक वृत्त के क्षेत्र के बराबर होता है जिसकी त्रिज्या गोलाकार टोपी के किनारे से उस बिंदु तक की दूरी के बराबर होती है जहां टोपी की समरूपता का अक्ष टोपी को काटता है। रेखाचित्र में इस त्रिज्या को इस प्रकार दिया गया है इसलिए एक इकाई गोले के लिए गोलाकार कैप का ठोस कोण इस प्रकार दिया जाता है जब =, गोलाकार कैप एक ठोस कोण 2 वाला गोलार्ध बन जाता है। शंकु के पूरक का ठोस कोण है यह खगोलीय गोले के हिस्से का ठोस कोण भी है जिसे अक्षांश पर स्थित एक खगोलीय पर्यवेक्षक पृथ्वी के घूमते हुए देख सकता है। भूमध्य रेखा पर सभी खगोलीय गोले दिखाई देते हैं; दोनों ध्रुवों पर, केवल एक आधा। शंकु के अक्ष से कोण पर एक समतल द्वारा काटे गए गोलाकार कैप के एक खंड द्वारा घटाया गया ठोस कोण और शंकु के शीर्ष से गुजरने की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है उदाहरण के लिए, यदि, तो सूत्र ऊपर के गोलाकार कैप सूत्र तक कम हो जाता हैः पहला पद बन जाता है, और दूसरा। टेट्राहेड्रॉन मान लीजिए कि ओ. ए. बी. सी. एक टेट्राहेड्रॉन के शीर्ष हैं जिनकी उत्पत्ति ओ पर त्रिकोणीय चेहरे ए. बी. सी. द्वारा कम की गई है जहां शीर्ष ए, बी और सी की सदिश स्थितियां हैं। मान लीजिए कि उन तलों के बीच डायहेड्रल कोण हो जिसमें टेट्राहेड्रल चेहरे ओएसी और ओ. बी. सी. हैं और तदनुसार परिभाषित करते हैं। त्रिकोणीय सतह ए. बी. सी. द्वारा घटाया गया ठोस कोण इस प्रकार दिया गया है यह गोलाकार अधिशेष के सिद्धांत से मिलता है और यह इस तथ्य की ओर ले जाता है कि इस प्रमेय के लिए एक अनुरूप प्रमेय है कि "एक समतलीय त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग बराबर है", एक टेट्राहेड्रॉन के चार आंतरिक ठोस कोणों के योग के लिए निम्नानुसारः जहां टेट्राहेड्रल चेहरे ओ. ए. बी., ओ. ए. सी., ओ. बी. सी. और ए. बी. सी. वाले किसी भी दो विमानों के बीच सभी छह डाइहेड्रल कोणों पर सीमाएं होती हैं। मूल O पर टेट्राहेड्रॉन के ठोस कोण की गणना के लिए एक उपयोगी सूत्र जो विशुद्ध रूप से शीर्ष कोणों का एक कार्य है, L 'Huilier के प्रमेय द्वारा दिया गया है जहां एक अन्य दिलचस्प सूत्र में शीर्षों को 3 आयामी स्थान में वैक्टर के रूप में व्यक्त करना शामिल है। मान लीजिए कि शीर्ष ए, बी और सी की सदिश स्थितियाँ हैं, और मान लीजिए, और प्रत्येक सदिश (मूल-बिंदु दूरी) का परिमाण है। त्रिकोणीय सतह ए. बी. सी. द्वारा घटाया गया ठोस कोण हैः जहां तीन वैक्टरों के अदिश त्रिगुण उत्पाद को दर्शाता है और अदिश उत्पाद को दर्शाता है। नकारात्मक या गलत ठोस कोणों से बचने के लिए यहां ध्यान रखा जाना चाहिए। संभावित त्रुटियों का एक स्रोत यह है कि स्केलर ट्रिपल उत्पाद नकारात्मक हो सकता है यदि, गलत वाइंडिंग है। निरपेक्ष मान की गणना करना एक पर्याप्त समाधान है क्योंकि समीकरण का कोई अन्य भाग घुमावदार पर निर्भर नहीं करता है। दूसरा नुकसान तब उत्पन्न होता है जब स्केलर ट्रिपल उत्पाद सकारात्मक होता है लेकिन भाजक नकारात्मक होता है। इस मामले में एक नकारात्मक मूल्य लौटाता है जिसे बढ़ाया जाना चाहिए। पिरामिड शीर्ष कोणों के साथ एक चार-तरफा दाएं आयताकार पिरामिड का ठोस कोण और (पिरामिड के विपरीत तरफ के चेहरों पर मापा जाने वाला द्विध्रुवीय कोण) है यदि पिरामिड के आधार की दोनों तरफ की लंबाई (और) और आधार आयत के केंद्र से पिरामिड के शीर्ष (गोले का केंद्र) तक की दूरी () ज्ञात है, तो उपरोक्त समीकरण को एक दाएं-गोलाकार पिरामिड का ठोस कोण देने के लिए हेरफेर किया जा सकता है, जहां पिरामिड आधार परिधि का एक नियमित-तरफा बहुभुज है, एक पिरामिड ऊंचाई के साथ। किनारों का प्रतिनिधित्व करने वाले इकाई वैक्टरों के अनुक्रम द्वारा परिभाषित एक एकतरफा आधार के साथ एक मनमाना पिरामिड का ठोस कोण कुशलता से गणना की जा सकती हैः जहां कोष्ठक हैंः सूचकांक चक्रीय होते हैंः और। जटिल उत्पाद बहुभुज के प्रत्येक शीर्ष कोण से जुड़े चरण को जोड़ते हैं। हालांकि, शाखा कट में का एक गुणक खो जाता है और इसे अलग से ट्रैक किया जाना चाहिए। इसके अलावा, लगभग समानांतर खंडों की सीमा में अधोप्रवाह से बचने के लिए जटिल चरणों के चलने वाले उत्पाद को कभी-कभी बढ़ाया जाना चाहिए। अक्षांश-देशांतर आयत किसी ग्रह पर अक्षांश-देशांतर आयत का ठोस कोण वह होता है जहां अक्षांश की उत्तर और दक्षिण रेखाएँ होती हैं (भूमध्य रेखा से उत्तर की ओर बढ़ते कोण के साथ मापा जाता है), और देशांतर की पूर्व और पश्चिम रेखाएँ होती हैं (जहां त्रिभुज में कोण पूर्व की ओर बढ़ता है)। गणितीय रूप से, यह रेडियन द्वारा एक गोले के चारों ओर बहने वाले कोण के चाप का प्रतिनिधित्व करता है। जब देशांतर 2 रेडियन तक फैला होता है और अक्षांश रेडियन तक फैला होता है, तो ठोस कोण एक गोले का होता है। एक अक्षांश-देशांतर आयत को आयताकार पिरामिड के ठोस कोण के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए। एक आयताकार पिरामिड के सभी चार किनारे गोले की सतह को बड़े वृत्ताकार चापों में काटते हैं। अक्षांश-देशांतर आयत के साथ, केवल देशांतर की रेखाएँ महान वृत्त चाप होती हैं; अक्षांश की रेखाएँ नहीं होती हैं। आकाशीय वस्तुएँ कोणीय व्यास की परिभाषा का उपयोग करके, किसी आकाशीय वस्तु के ठोस कोण के सूत्र को वस्तु की त्रिज्या और पर्यवेक्षक से वस्तु तक की दूरी के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता हैः सूर्य और चंद्रमा (पृथ्वी के संबंध में) के लिए उपयुक्त औसत मानों को दर्ज करके, सूर्य का औसत ठोस कोण स्टेरेडियन है और चंद्रमा का औसत ठोस कोण स्टेरेडियन है। कुल खगोलीय गोले के संदर्भ में, सूर्य और चंद्रमा क्रमशः% () और% () के औसत आंशिक क्षेत्रों को कम करते हैं। चूँकि ये ठोस कोण लगभग एक ही आकार के होते हैं, इसलिए ग्रहण के दौरान पृथ्वी और चंद्रमा के बीच की दूरी के आधार पर चंद्रमा कुल और कुंडलाकार सूर्य ग्रहण दोनों का कारण बन सकता है। मनमाने आयामों में ठोस कोण-आयामी यूक्लिडियन स्थान में इकाई गोले की पूर्ण ()-आयामी गोलाकार सतह द्वारा कम किए गए ठोस कोण को किसी भी संख्या में आयामों में परिभाषित किया जा सकता है। गोलाकार समरूपता के साथ गणना में अक्सर इस ठोस कोण कारक की आवश्यकता होती है। यह सूत्र द्वारा दिया जाता है जहाँ गामा फलन है। जब एक पूर्णांक होता है, तो गामा फलन की गणना स्पष्ट रूप से की जा सकती है। यह इस प्रकार है कि यह क्षेत्र की सतह से घिरे 3डी गोले के लिए 4 स्टेरेडियन और लंबाई की परिधि से घिरे 2डी वृत्त के लिए 2 रेडियन के अपेक्षित परिणाम देता है। यह 1डी मामले के लिए थोड़ा कम स्पष्ट 2 भी देता है, जिसमें मूल-केंद्रित 1डी "क्षेत्र" अंतराल है और यह दो सीमित बिंदुओं से घिरा हुआ है। मनमाने आयाम में वेक्टर सूत्र का समकक्ष आओमोटो द्वारा और स्वतंत्र रूप से रिबांडो द्वारा प्राप्त किया गया था। यह उन्हें एक अनंत बहुभिन्नरूपी टेलर श्रृंखला के रूप में व्यक्त करता हैः कोण को परिभाषित करने वाले इकाई वैक्टरों को देखते हुए, उन्हें मिलाकर बनाए गए मैट्रिक्स को दर्शाते हैं ताकि th कॉलम हो, और। चर एक बहुभिन्नरूपी बनाते हैं। "सर्वांगसम" पूर्णांक के लिए बहु-घटक परिभाषित करें। ध्यान दें कि यहाँ = गैर-ऋणात्मक पूर्णांक, या 0 से शुरू होने वाली प्राकृतिक संख्याएँ। के लिए संकेतन का अर्थ चर है, समान रूप से घातांक के लिए। इसलिए, इस शब्द का अर्थ है उन सभी शब्दों का योग जिसमें l या तो पहले या दूसरे सूचकांक के रूप में दिखाई देता है। जहाँ यह श्रृंखला अभिसरण करती है, यह वैक्टर द्वारा परिभाषित ठोस कोण में अभिसरण करती है। संदर्भ आगे पढ़ने के लिए इरातुम आइबिड। खण्ड 50 (2011) पृष्ठ 059801। बाहरी लिंक आर्थर पी. नॉर्टन, ए स्टार एटलस, गैल एंड इंगलिस, एडिनबर्ग, 1969। एम. जी. केंडल, ए कोर्स इन द ज्योमेट्री ऑफ एन डाइमेंशंस, नं. ग्रिफिन के सांख्यिकीय मोनोग्राफ और पाठ्यक्रमों के 8, एड। एम. जी. केंडल, चार्ल्स ग्रिफिन एंड कंपनी लिमिटेड, लंदन, 1961 एंगल यूक्लिडियन ठोस ज्यामिति