List of uniform polyhedra
ज्यामिति में, एक समान बहुफलक एक बहुफलक है जिसमें नियमित बहुभुज चेहरे के रूप में होते हैं और यह शीर्ष-सकर्मक (इसके शीर्षों पर सकर्मक, समभुज, अर्थात। किसी भी अन्य शीर्ष पर एक सममिति मानचित्रण होता है)। यह इस प्रकार है कि सभी शीर्ष सर्वांगसम हैं, और बहुफलक में उच्च स्तर की परावर्तन और घूर्णन समरूपता होती है। समान बहुभुज को उत्तल नियमित बहुभुज चेहरे और तारा रूपों के साथ उत्तल रूपों के बीच विभाजित किया जा सकता है। तारा रूपों में या तो नियमित तारा बहुभुज चेहरे या शीर्ष आकृति या दोनों होते हैं। इस सूची में ये शामिल हैंः सभी 75 गैर-प्रिज्मेटिक समान पॉलीहेड्रा; प्रिज्म और एंटीप्रिज्म के अनंत सेट के कुछ प्रतिनिधि; एक अपक्षयी पॉलीहेड्रॉन, अतिव्यापी किनारों के साथ स्किलिंग की आकृति। यह साबित हुआ कि प्रिज्म और एंटीप्रिज्म के अनंत परिवारों के अलावा केवल 75 समान पॉलीहेड्रा हैं। जॉन स्किलिंग ने एक उपेक्षित पतित उदाहरण की खोज की, इस स्थिति को शिथिल करके कि केवल दो चेहरे एक किनारे पर मिल सकते हैं। यह एक समान पॉलीहेड्रॉन के बजाय एक पतित समान पॉलीहेड्रॉन है, क्योंकि किनारों के कुछ जोड़े मेल खाते हैं। इसमें शामिल नहीं हैंः एक समान पॉलीहेड्रॉन यौगिक। अपक्षयी शीर्ष आकृतियों के साथ 40 संभावित समान पॉलीहेड्रा जिनमें अतिव्यापी किनारे होते हैं (कॉक्सेटर द्वारा नहीं गिने जाते हैं); समान झुकाव (अनंत पॉलीहेड्रा) 11 यूक्लिडियन उत्तल समान झुकाव; 28 यूक्लिडियन गैर-उत्तल या एपिरोगोनल समान झुकाव; हाइपरबोलिक तल में समान झुकाव की अनंत संख्या। समान बहुफलक के लिए कोई भी बहुभुज या 4-बहुपद अनुक्रमण चार क्रमांकन योजनाएं आम उपयोग में हैं, जिन्हें अक्षरों द्वारा अलग किया जाता हैः [सी] कॉक्सेटर एट अल., 1954, उत्तल रूपों को 15 से 32 के रूप में दिखाया गया; तीन प्रिज्मेटिक रूप, आंकड़े 33-35; और गैर-उत्तल रूप, आंकड़े 36-92। [डब्ल्यू] वेनिंगर, 1974 में 119 आंकड़े हैंः प्लेटोनिक ठोसों के लिए 1-5, आर्किमिडियन ठोसों के लिए 6-18,4 नियमित गैर-उत्तल बहुफलक सहित स्टेलेटेड रूपों के लिए 19-66, और गैर-उत्तल समान बहुफलक के लिए 67-119 के साथ समाप्त। [के] कैलिडो, 1993:80 आकृतियों को समरूपता द्वारा समूहीकृत किया गया थाः 1-5 डायहेड्रल समरूपता के साथ प्रिज्मेटिक रूपों के अनंत परिवारों के प्रतिनिधियों के रूप में, 6-9 टेट्राहेड्रल समरूपता के साथ, 10-26 ऑक्टाहेड्रल समरूपता के साथ, 27-80 आइकोसाहेड्रल समरूपता के साथ। [यू] मैथेमेटिका, 1993, कैलिडो श्रृंखला का अनुसरण करता है जिसमें 5 प्रिज्मेटिक रूप लंबे समय तक चले जाते हैं, ताकि गैर-प्रिज्मेटिक रूप 1-75 बन जाएं। भुजाओं की संख्या के अनुसार पॉलीहेड्रा के नाम सबसे आम पॉलीहेड्रा के लिए सामान्य ज्यामितीय नाम हैं। 5 प्लेटोनिक ठोस पदार्थों को क्रमशः 4,6,8,12 और 20 भुजाओं के साथ टेट्राहेड्रॉन, हेक्साहेड्रॉन, ऑक्टाहेड्रॉन, डोडेकाहेड्रॉन और आइकोसाहेड्रॉन कहा जाता है। नियमित हेक्साहेड्रन एक घन है। पॉलीहेड्रा की तालिका उत्तल रूपों को 3 चेहरे/शीर्ष और ऊपर से शीर्ष विन्यास की डिग्री के क्रम में और प्रति चेहरे बढ़ती भुजाओं में सूचीबद्ध किया गया है। यह क्रम टोपोलॉजिकल समानताओं को दिखाने की अनुमति देता है। असीम रूप से कई प्रिज्म और एंटीप्रिज्म हैं, प्रत्येक नियमित बहुभुज के लिए एक; 12-गॉनल मामलों तक सूचीबद्ध हैं। कन्वेक्स यूनिफॉर्म पॉलीहेड्रा यूनिफॉर्म स्टार पॉलीहेड्रा केवल उत्तल चेहरे वाले रूपों को पहले सूचीबद्ध किया जाता है, इसके बाद तारों के चेहरे वाले रूप होते हैं। फिर से अनंत रूप से कई प्रिज्म और एंटीप्रिज्म मौजूद हैं; वे यहां 8-पक्षीय तक सूचीबद्ध हैं। समान बहुफलक 3 3,3,3, और () (3) में कुछ चेहरे कोप्लानर जोड़े के रूप में पाए जाते हैं। (कॉक्सेटर एट अल। 1954, पृ. 423, 425, 426; स्किलिंग 1975, पी. 123) स्पेशल केस द ग्रेट डिसनब डीरहोम्बिडेकाहेड्रॉन के 360 किनारों में से 240 120 जोड़े में अंतरिक्ष में मेल खाते हैं। इस किनारे-गिरावट के कारण, इसे हमेशा एक समान पॉलीहेड्रॉन नहीं माना जाता है। कॉलम की यूनिफॉर्म इंडेक्सिंगः U01-U80 (टेट्राहेड्रॉन पहले, प्रिज्म 76 + पर) कैलिडो सॉफ्टवेयर इंडेक्सिंगः K01-K80 (n = 6 से 80 के लिए Kn = Un-5) (प्रिज्म 1-5, टेट्राहेड्रॉन आदि। 6 +) मैग्नस वेनिंगर पॉलीहेड्रॉन मॉडलः W001-W119 1-18:5 उत्तल नियमित और 13 उत्तल अर्धरेखीय 20-22,41:4 गैर-उत्तल नियमित 19-66: विशेष 48 स्टेलेशन/यौगिक (गैर-नियमित इस सूची में नहीं दिए गए हैं) 67-109:43 गैर-उत्तल गैर-स्नब वर्दी 110-119:10 गैर-उत्तल स्नब वर्दी चीः यूलर विशेषता,। समतल पर समान झुकाव एक टोरस टोपोलॉजी के अनुरूप होता है, जिसमें यूलर की विशेषता शून्य होती है। घनत्वः घनत्व (पॉलीटोप) अपने केंद्र के चारों ओर एक पॉलीहेड्रॉन के वाइंडिंग की संख्या का प्रतिनिधित्व करता है। यह गैर-उन्मुख पॉलीहेड्रा और हेमिपोलीहेड्रा (अपने केंद्रों से गुजरने वाले चेहरों के साथ पॉलीहेड्रा) के लिए खाली छोड़ दिया जाता है, जिसके लिए घनत्व अच्छी तरह से परिभाषित नहीं है। वर्टेक्स आकृति छवियों पर ध्यान देंः सफेद बहुभुज रेखाएँ "वर्टेक्स आकृति" बहुभुज का प्रतिनिधित्व करती हैं। रंगीन चेहरे शीर्ष आकृति छवियों पर शामिल हैं जो उनके संबंधों को देखने में मदद करते हैं। प्रतिच्छेदन करने वाले कुछ चेहरों को दृष्टिगत रूप से गलत तरीके से खींचा जाता है क्योंकि वे सामने के भागों को दिखाने के लिए दृष्टिगत रूप से ठीक से प्रतिच्छेदित नहीं होते हैं। यह भी देखें शीर्ष आकृति द्वारा समान पॉलीहेड्रा की सूची विथोफ प्रतीक द्वारा समान पॉलीहेड्रा की सूची श्वार्ज त्रिभुज द्वारा समान पॉलीहेड्रा की सूची संदर्भ बाहरी लिंक स्टेलाः पॉलीहेड्रॉन नेविगेटर-सभी समान पॉलीहेड्रा के लिए जाल उत्पन्न करने और प्रिंट करने में सक्षम सॉफ्टवेयर। इस पृष्ठ पर अधिकांश छवियाँ बनाने के लिए उपयोग किया जाता है। पेपर मॉडल यूनिफॉर्म इंडेक्सिंगः यू1-यू80, (टेट्राहेड्रॉन पहले) यूनिफॉर्म पॉलीहेड्रा (80), पॉल बोर्के http://www.mathconsult.ch/showroom/unipoly सभी यूनिफॉर्म पॉलीहेड्रा रोटेशन ग्रुप द्वारा <आईडी3:// ग्रैट्रिक्स. नेट/पॉलीहेड्रा/यूनिफॉर्म/सारांश/http://www.it-c.dk/edu/documentation/mathworks/math/math/u/u034.htm http://www.buddenbooks.com/jb/uniform कैलिडो इंडेक्सिंगः के1-के80 (पेंटागोनल प्रिज्म पहले) https://www.math.technion.ac.il ~ आरएल/कैलिडो https://web.archive.org/web/20110927223146/http:// मैथ. टेक्नोलॉजी. एसी. आईएल/~ आरएल/डॉक्स/यूनिफॉर्म. पी. डी. एफ. यूनिफॉर्म पॉलीहेड्रा के लिए यूनिफॉर्म सॉल्यूशन http://bulatov.org/polyhedra/uniform http://www.orchidpalms.com/polyhedra/uniform/uniform.html और http://www.polyedergarten.de/polyhedrix/e_klintro.htm यूनिफॉर्म पॉलीहेड्रा के लिए यूनिफॉर्म सॉल्यूशन