Standard error
एक सांख्यिकी की मानक त्रुटि (एस. ई.) (आमतौर पर एक पैरामीटर का अनुमान) इसके नमूना वितरण का मानक विचलन या उस मानक विचलन का अनुमान है। यदि सांख्यिकी नमूना माध्य है, तो इसे माध्य की मानक त्रुटि (एस. ई. एम.) कहा जाता है। विश्वास अंतराल उत्पन्न करने में मानक त्रुटि एक प्रमुख घटक है। एक औसत का नमूना वितरण एक ही आबादी से बार-बार नमूने लेने और प्राप्त नमूने के साधनों की रिकॉर्डिंग से उत्पन्न होता है। यह विभिन्न साधनों का एक वितरण बनाता है, और इस वितरण का अपना माध्य और भिन्नता है। गणितीय रूप से, प्राप्त नमूने के औसत वितरण का विचलन, नमूने के आकार से विभाजित जनसंख्या के विचलन के बराबर होता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि जैसे-जैसे नमूने का आकार बढ़ता है, नमूना का अर्थ है जनसंख्या औसत के आसपास अधिक निकटता से समूह। इसलिए, माध्य और मानक विचलन की मानक त्रुटि के बीच संबंध ऐसा है कि, दिए गए नमूना आकार के लिए, माध्य की मानक त्रुटि नमूना आकार के वर्गमूल द्वारा विभाजित मानक विचलन के बराबर होती है। दूसरे शब्दों में, माध्य की मानक त्रुटि जनसंख्या माध्य के आसपास नमूना माध्य के फैलाव का एक उपाय है। प्रतिगमन विश्लेषण में, "मानक त्रुटि" शब्द या तो कम किए गए ची-वर्ग सांख्यिकीय के वर्गमूल को संदर्भित करता है या किसी विशेष प्रतिगमन गुणांक के लिए मानक त्रुटि (जैसा कि विश्वास अंतराल में उपयोग किया जाता है)। मान लीजिए कि टिप्पणियों का एक सांख्यिकीय रूप से स्वतंत्र नमूना एक सांख्यिकीय जनसंख्या से लिया गया है जिसके मानक विचलन के साथ। नमूने से गणना किए गए माध्य मूल्य में, माध्य पर एक संबद्ध मानक त्रुटि होगी, जो इस प्रकार दी गई हैः व्यावहारिक रूप से यह हमें बताता है कि जब जनसंख्या माध्य के मूल्य का अनुमान लगाने की कोशिश की जाती है, तो कारक के कारण, दो के कारक द्वारा अनुमान पर त्रुटि को कम करने के लिए नमूने में चार गुना अधिक अवलोकन प्राप्त करने की आवश्यकता होती है; इसे दस के कारक से कम करने के लिए सौ गुना अधिक टिप्पणियों की आवश्यकता होती है। नमूना लिए जा रहे जनसंख्या के मानक विचलन का अनुमान शायद ही कभी ज्ञात हो। इसलिए, माध्य की मानक त्रुटि का अनुमान आमतौर पर इसके बजाय नमूना मानक विचलन के साथ लगाया जाता हैः चूंकि यह केवल सही "मानक त्रुटि" के लिए एक अनुमानक है, इसलिए यहां अन्य संकेतनों को देखना आम है जैसे किः जनसंख्या का मानक विचलन (), नमूने का मानक विचलन (), माध्य का ही मानक विचलन (, जो मानक त्रुटि है), और माध्य के मानक विचलन का अनुमानक (, जो अक्सर गणना की गई मात्रा है, और जिसे अक्सर बोलचाल की भाषा में मानक त्रुटि भी कहा जाता है) के बीच स्पष्ट रूप से अंतर करने में विफल रहने पर भ्रम का एक सामान्य स्रोत होता है। अनुमानकर्ता की सटीकता जब नमूने का आकार छोटा होता है, तो जनसंख्या के सही मानक विचलन के बजाय नमूने के मानक विचलन का उपयोग करने से जनसंख्या मानक विचलन को व्यवस्थित रूप से कम करके आंका जाएगा, और इसलिए मानक त्रुटि भी होगी। एन = 2 के साथ, कम आंकलन लगभग 25 प्रतिशत है, लेकिन एन = 6 के लिए, कम आंकलन केवल 5 प्रतिशत है। गुरलैंड और त्रिपाठी (1971) इस प्रभाव के लिए एक सुधार और समीकरण प्रदान करते हैं। सोकल और रोहल्फ (1981) n <20 के छोटे नमूनों के लिए सुधार कारक का समीकरण देते हैं। आगे की चर्चा के लिए मानक विचलन का निष्पक्ष अनुमान देखें। व्युत्पत्ति माध्य पर मानक त्रुटि, विचरण की परिभाषा और उसके कुछ सरल गुणों को देखते हुए, स्वतंत्र यादृच्छिक चर के योग के विचरण से प्राप्त की जा सकती है। यदि औसत और मानक विचलन के साथ जनसंख्या से स्वतंत्र टिप्पणियों का एक नमूना है, तो हम कुल को परिभाषित कर सकते हैं जो कि बियेनयमे सूत्र के कारण, भिन्नता होगी जहां हमने मानक विचलनों का अनुमान लगाया है, यानी, अनिश्चितताएँ, जनसंख्या के मानक विचलन के लिए सबसे अच्छे मूल्य के साथ माप। मानक त्रुटि, परिभाषा के अनुसार, जिसका मानक विचलन केवल विचरण का वर्गमूल हैः सहसंबद्ध यादृच्छिक चर के लिए नमूना विचरण की गणना मार्कोव श्रृंखला केंद्रीय सीमा प्रमेय के अनुसार की जानी चाहिए। यादृच्छिक नमूना आकार के साथ स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर ऐसे मामले हैं जब एक नमूना बिना यह जाने लिए लिया जाता है कि कुछ मानदंडों के अनुसार कितने अवलोकन स्वीकार्य होंगे। ऐसे मामलों में, नमूना आकार एक यादृच्छिक चर है जिसकी भिन्नता इस तरह की भिन्नता में जोड़ती है, जो कुल भिन्नता के नियम का पालन करती है। यदि पॉइसन वितरण है, तो अनुमानक के साथ। अतः का अनुमानक बन जाता है, जो मानक त्रुटि के लिए निम्नलिखित सूत्र का नेतृत्व करता हैः (चूंकि मानक विचलन विचरण का वर्गमूल है)। छात्र सन्निकटन जब σ मान अज्ञात है कई व्यावहारिक अनुप्रयोगों में, σ का सही मान अज्ञात है। नतीजतन, हमें एक ऐसे वितरण का उपयोग करने की आवश्यकता है जो संभावित σs के प्रसार को ध्यान में रखता है। जब वास्तविक अंतर्निहित वितरण गौसियन के रूप में जाना जाता है, हालांकि अज्ञात σ के साथ, तो परिणामी अनुमानित वितरण छात्र टी-वितरण का अनुसरण करता है। मानक त्रुटि छात्र टी-वितरण का मानक विचलन है। टी-वितरण गौसियन से थोड़े अलग हैं, और नमूने के आकार के आधार पर भिन्न होते हैं। छोटे नमूने कुछ हद तक जनसंख्या मानक विचलन को कम आंकने की संभावना रखते हैं और एक औसत है जो वास्तविक जनसंख्या माध्य से अलग है, और छात्र टी-वितरण एक गौसी की तुलना में कुछ भारी पूंछ के साथ इन घटनाओं की संभावना के लिए जिम्मेदार है। छात्र टी-वितरण की मानक त्रुटि का अनुमान लगाने के लिए σ के बजाय नमूना मानक विचलन "s" का उपयोग करना पर्याप्त है, और हम इस मान का उपयोग विश्वास अंतराल की गणना करने के लिए कर सकते हैं। नोटः नमूना का आकार 100 से अधिक होने पर छात्र का संभाव्यता वितरण गौसी वितरण द्वारा अच्छी तरह से अनुमानित किया जाता है। ऐसे नमूनों के लिए कोई भी बाद के वितरण का उपयोग कर सकता है, जो बहुत सरल है। इसके अलावा, भले ही जनसंख्या का 'सही' वितरण अज्ञात है, यह मानते हुए कि नमूना वितरण की सामान्यता उचित नमूना आकार के लिए समझ में आती है, और कुछ नमूना स्थितियों के तहत, सी. एल. टी. देखें। यदि इन शर्तों को पूरा नहीं किया जाता है, तो मानक त्रुटि का अनुमान लगाने के लिए बूटस्ट्रैप वितरण का उपयोग करना अक्सर एक अच्छा रास्ता है, लेकिन यह कम्प्यूटेशनल रूप से गहन हो सकता है। अनुमान और उपयोग कैसे उपयोग किया जाता है इसका एक उदाहरण अज्ञात आबादी के विश्वास अंतराल को मतलब बनाना है। यदि नमूना वितरण सामान्य रूप से वितरित किया जाता है, तो नमूना माध्य, मानक त्रुटि और सामान्य वितरण की मात्रा का उपयोग वास्तविक जनसंख्या माध्य के लिए विश्वास अंतराल की गणना करने के लिए किया जा सकता है। निम्नलिखित अभिव्यक्तियों का उपयोग ऊपरी और निचले 95 प्रतिशत विश्वास सीमाओं की गणना करने के लिए किया जा सकता है, जहां नमूना माध्य के बराबर है, नमूना माध्य के लिए मानक त्रुटि के बराबर है, और सामान्य वितरण के 97.5 प्रतिशत बिंदु का अनुमानित मूल्य 1.96 हैः विशेष रूप से, एक नमूना सांख्यिकीय (जैसे नमूना माध्य) की मानक त्रुटि उस प्रक्रिया में नमूना माध्य का वास्तविक या अनुमानित मानक विचलन है जिसके द्वारा इसे उत्पन्न किया गया था। दूसरे शब्दों में, यह नमूना सांख्यिकी के नमूना वितरण का वास्तविक या अनुमानित मानक विचलन है। मानक त्रुटि के लिए संकेतन एस. ई., एस. ई. एम. (माप या माध्य की मानक त्रुटि के लिए), या एस. ई. में से कोई एक हो सकता है। मानक त्रुटियाँ एक मूल्य में अनिश्चितता के सरल उपाय प्रदान करती हैं और अक्सर उपयोग की जाती हैं क्योंकिः कई मामलों में, यदि कई व्यक्तिगत मात्राओं की मानक त्रुटि ज्ञात होती है तो मात्राओं के कुछ कार्य की मानक त्रुटि की आसानी से गणना की जा सकती है; जब मूल्य का संभाव्यता वितरण ज्ञात होता है, तो इसका उपयोग एक सटीक विश्वास अंतराल की गणना करने के लिए किया जा सकता है; जब संभाव्यता वितरण अज्ञात होता है, तो चेबीशेव या विसोचान्स्की-पेटुनिन असमानताओं का उपयोग एक रूढ़िवादी विश्वास अंतराल की गणना करने के लिए किया जा सकता है; और जैसा कि नमूना आकार अनंत की ओर जाता है, केंद्रीय सीमा प्रमेय गारंटी देता है कि माध्य का नमूना वितरण लक्षणहीन रूप से सामान्य है। माध्य बनाम मानक विचलन की मानक त्रुटि वैज्ञानिक और तकनीकी साहित्य में, प्रयोगात्मक डेटा को अक्सर या तो नमूना डेटा के माध्य और मानक विचलन का उपयोग करके या मानक त्रुटि के साथ माध्य का उपयोग करके संक्षेपित किया जाता है। यह अक्सर उनकी विनिमेयता के बारे में भ्रम पैदा करता है। हालांकि, माध्य और मानक विचलन वर्णनात्मक सांख्यिकी हैं, जबकि माध्य की मानक त्रुटि यादृच्छिक नमूनाकरण प्रक्रिया की वर्णनात्मक है। नमूना डेटा का मानक विचलन माप में भिन्नता का विवरण है, जबकि माध्य की मानक त्रुटि एक संभावित कथन है कि केंद्रीय सीमा प्रमेय के आलोक में नमूना आकार जनसंख्या माध्य के अनुमानों पर एक बेहतर सीमा कैसे प्रदान करेगा। सीधे शब्दों में कहें तो नमूना माध्य की मानक त्रुटि इस बात का अनुमान है कि नमूना माध्य जनसंख्या माध्य से कितनी दूर होने की संभावना है, जबकि नमूने का मानक विचलन वह डिग्री है जिससे नमूने के भीतर व्यक्ति नमूना माध्य से भिन्न होते हैं। यदि जनसंख्या मानक विचलन सीमित है, तो नमूने के औसत की मानक त्रुटि नमूने के बढ़ते आकार के साथ शून्य हो जाएगी, क्योंकि जनसंख्या औसत के अनुमान में सुधार होगा, जबकि नमूने का मानक विचलन जनसंख्या मानक विचलन का अनुमान लगाने की प्रवृत्ति रखता है जैसे-जैसे नमूना आकार बढ़ता है। विस्तार सीमित जनसंख्या सुधार (एफ. पी. सी.) मानक त्रुटि के लिए ऊपर दिया गया सूत्र मानता है कि जनसंख्या अनंत है। फिर भी, इसका उपयोग अक्सर सीमित आबादी के लिए किया जाता है जब लोग उस प्रक्रिया को मापने में रुचि रखते हैं जिसने मौजूदा सीमित आबादी का निर्माण किया (इसे एक विश्लेषणात्मक अध्ययन कहा जाता है)। यद्यपि जनसंख्या सीमित होने पर उपरोक्त सूत्र बिल्कुल सही नहीं होता है, लेकिन जब नमूना अंश छोटा होता है तो सीमित और अनंत-जनसंख्या संस्करणों के बीच का अंतर कम होगा (जैसे। एक सीमित जनसंख्या के एक छोटे से अनुपात का अध्ययन किया जाता है)। इस मामले में लोग अक्सर सीमित आबादी के लिए सही नहीं करते हैं, अनिवार्य रूप से इसे "लगभग अनंत" आबादी के रूप में मानते हैं। यदि कोई मौजूदा सीमित जनसंख्या को मापने में रुचि रखता है जो समय के साथ नहीं बदलेगी, तो जनसंख्या के आकार (जिसे गणनात्मक अध्ययन कहा जाता है) के लिए समायोजन करना आवश्यक है। जब एक गणनात्मक अध्ययन में नमूना अंश (जिसे अक्सर एफ कहा जाता है) बड़ा (लगभग 5 प्रतिशत या उससे अधिक) होता है, तो मानक त्रुटि के अनुमान को "सीमित जनसंख्या सुधार" (ए. के. ए.) से गुणा करके ठीक किया जाना चाहिए। : एफ. पी. सी.): जो, बड़े एन. के लिएः जनसंख्या के एक बड़े प्रतिशत के करीब नमूने लेने से प्राप्त अतिरिक्त सटीकता के लिए जिम्मेदार है। एफ. पी. सी. का प्रभाव यह है कि त्रुटि शून्य हो जाती है जब नमूना आकार एन जनसंख्या आकार एन के बराबर होता है। यह सर्वेक्षण पद्धति में तब होता है जब प्रतिस्थापन के बिना नमूना लिया जाता है। यदि प्रतिस्थापन के साथ नमूना लिया जाता है, तो एफ. पी. सी. काम में नहीं आता है। नमूने में सहसंबंध के लिए सुधार यदि मापी गई मात्रा ए के मान सांख्यिकीय रूप से स्वतंत्र नहीं हैं, लेकिन पैरामीटर स्पेस x "में ज्ञात स्थानों से प्राप्त किए गए हैं, तो औसत की वास्तविक मानक त्रुटि का एक निष्पक्ष अनुमान (वास्तव में मानक विचलन भाग पर एक सुधार) नमूने की गणना की गई मानक त्रुटि को कारक f" से गुणा करके प्राप्त किया जा सकता हैः जहां नमूना पूर्वाग्रह गुणांक ρ सभी नमूना बिंदु जोड़े के लिए ऑटोकोरिलेशन-गुणांक (-1 और + 1 के बीच की मात्रा) का व्यापक रूप से उपयोग किया जाने वाला प्रैस-विंस्टन अनुमान है। यह अनुमानित सूत्र मध्यम से बड़े नमूना आकारों के लिए है; संदर्भ किसी भी नमूना आकार के लिए सटीक सूत्र देता है, और वॉल स्ट्रीट स्टॉक उद्धरण जैसे भारी ऑटोकोरिलेटेड समय श्रृंखला पर लागू किया जा सकता है। इसके अलावा, यह सूत्र सकारात्मक और नकारात्मक ρ के लिए समान रूप से काम करता है। अधिक चर्चा के लिए मानक विचलन का निष्पक्ष अनुमान भी देखें। संभावित त्रुटि के केंद्रीय सीमा प्रमेय का चित्रण भी देखें भारित माध्य की मानक त्रुटि नमूना माध्य और नमूना सहप्रसरण माध्य और अनुमानित प्रतिक्रियाओं के मध्यक भिन्नता की मानक त्रुटि संदर्भ सांख्यिकीय विचलन और फैलाव