Chiral knot
गाँठ सिद्धांत के गणितीय क्षेत्र में, एक कायरल गाँठ एक गाँठ है जो अपनी दर्पण छवि के बराबर नहीं है (जब समान होता है जबकि उल्टा होता है)। एक उन्मुख गाँठ जो अपनी दर्पण छवि के बराबर है, एक एम्फीचेयरल गाँठ है, जिसे अकिरल गाँठ भी कहा जाता है। गाँठ की कायरलिटी एक गाँठ अपरिवर्तनीय है। गाँठ की कायरलिटी को आगे इस आधार पर वर्गीकृत किया जा सकता है कि यह व्युत्क्रमणीय है या नहीं। केवल पाँच गाँठ समरूपता प्रकार हैं, जो कायरलिटी और व्युत्क्रमता द्वारा इंगित किए जाते हैंः पूरी तरह से कायरल, व्युत्क्रमणीय, सकारात्मक रूप से एम्फीचेयरल गैर-व्युत्क्रमणीय, नकारात्मक रूप से एम्फीचेयरल गैर-व्युत्क्रमणीय, और पूरी तरह से एम्फीचेयरल व्युत्क्रमणीय। पृष्ठभूमि कुछ गांठों की संभावित कायरलिटी का संदेह 1847 से था जब जोहान लिस्टिंग ने जोर देकर कहा कि ट्रेफॉइल कायरल था, और यह 1914 में मैक्स डेहन द्वारा साबित किया गया था। पी. जी. टेट ने 10 क्रॉसिंग तक सभी एम्फीशेयरल गाँठों को पाया और अनुमान लगाया कि सभी एम्फीशेयरल गाँठों में सम क्रॉसिंग संख्या थी। मैरी गर्ट्रूड हैसमैन ने 1910 के दशक के अंत में सभी 12-क्रॉसिंग और कई 14-क्रॉसिंग एम्फीशेयरल गाँठ पाए। लेकिन टैट के अनुमान का एक विपरीत उदाहरण, एक 15-क्रॉसिंग एम्फीशेयरल गाँठ, 1998 में जिम होस्ट, मोरवेन थिस्टलेथवेट और जेफ वीक्स द्वारा पाया गया था। हालाँकि, टैट का अनुमान अभाज्य, वैकल्पिक गांठों के लिए सही साबित हुआ। सबसे सरल कायरल गाँठ ट्रेफॉइल गाँठ है, जिसे मैक्स डेहन द्वारा कायरल दिखाया गया था। सभी गैर-तुच्छ टोरस गांठ कायरल हैं। अलेक्जेंडर बहुपद एक गाँठ को उसकी दर्पण छवि से अलग नहीं कर सकता है, लेकिन जोन्स बहुपद कुछ मामलों में कर सकता है; यदि Vk (q)  ऒत्त Vk (q−1) है, तो गाँठ कायरल है, हालांकि विपरीत सच नहीं है। HOMFLY बहुपद कायरलिटी का पता लगाने में और भी बेहतर है, लेकिन कोई ज्ञात बहुपद गाँठ अपरिवर्तनीय नहीं है जो कायरलिटी का पूरी तरह से पता लगा सके। व्युत्क्रमणीय गाँठ एक कायरल गाँठ जिसे विपरीत अभिविन्यास के साथ आसानी से विकृत किया जा सकता है, एक व्युत्क्रमणीय गाँठ के रूप में वर्गीकृत किया जाता है। उदाहरणों में ट्रेफॉइल गाँठ शामिल है। पूर्णतया कायरल गाँठ यदि एक गाँठ अपने व्युत्क्रम या दर्पण छवि के बराबर नहीं है, तो यह एक पूर्णतया कायरल गाँठ है, उदाहरण के लिए 9 32 गाँठ। एम्फीशेयरल गाँठ एक एम्फीशेयरल गाँठ है जिसमें 3-क्षेत्र, α का अभिविन्यास-उलट आत्म-समरूपता होती है, जो गाँठ को सेट-वार ठीक करती है। सभी एम्फीशेयरल प्रत्यावर्ती गांठों में सम पार करने की संख्या होती है। विषम क्रासिंग संख्या के साथ पहली एम्फीशेयरल गाँठ होस्ट एट अल द्वारा खोजी गई 15-क्रासिंग गाँठ है। यदि कोई गाँठ अपनी पिछली और दर्पण छवि दोनों के लिए समस्थानिक है, तो यह पूरी तरह से उभयचर है। इस गुण के साथ सबसे सरल गाँठ आकृति-आठ गाँठ है। सकारात्मक एम्फीशेयरल यदि स्व-समरूपता, α, गाँठ के अभिविन्यास को संरक्षित करती है, तो इसे सकारात्मक एम्फीशेयरल कहा जाता है। यह गाँठ के अपने दर्पण के समस्थानिक होने के बराबर है। बारह से छोटी क्रासिंग संख्या वाले कोई भी गाँठ सकारात्मक एम्फीचेयरल और गैर-परिवर्तनीय नहीं होते हैं। नकारात्मक एम्फीशेयरल यदि स्व-समरूपता, α, गाँठ के अभिविन्यास को उलट देता है, तो इसे नकारात्मक एम्फीशेयरल कहा जाता है। यह गाँठ के दर्पण छवि के विपरीत समस्थानिक होने के बराबर है। इस संपत्ति के साथ गैर-परिवर्तनीय गाँठ जिसमें सबसे कम क्रॉसिंग हैं, गाँठ 817 है। संदर्भ