II25,1
गणित में, II25,1 सम 26-आयामी लॉरेंट्ज़ियन यूनिमॉड्यूलर जाली है। इसमें कई असामान्य गुण हैं, जो कॉनवे की खोज से उत्पन्न होते हैं कि इसमें एक मानक शून्य वेल वेक्टर है। विशेष रूप से यह लीच जाली λ से निकटता से संबंधित है, और इसके ऑटोमोर्फिज्म समूह के शीर्ष पर कॉनवे समूह Co1 है। (a1,., am + n) और (b1,., bm + n) के आंतरिक उत्पाद के साथ m + n-आयामी सदिश स्थान Rm + n के लिए rm, n लिखें। जाली II25,1 को R25,1 में सभी वैक्टरों (a1,., a26) द्वारा इस तरह दिया जाता है कि या तो सभी एआइ पूर्णांक हैं या वे सभी पूर्णांक जमा 1/2 हैं, और उनका योग सम है। परावर्तन समूह जाली II25,1, λ ωH के समरूप है जहाँः λ लीच जाली है, H 2-आयामी सम लॉरेंट्ज़ियन जाली है, जो 2 मानक 0 वैक्टर z और आंतरिक उत्पाद-1 के साथ w द्वारा उत्पन्न होती है, और दोनों योग ऑर्थोगोनल हैं। तो हम II25,1 के वैक्टर को (λ, m, n) = λ + mz + nw के रूप में λ और m, n पूर्णांकों में λ के साथ लिख सकते हैं, जहाँ (λ, m, n) का मानक λ2-2mn है। स्पष्ट रूप से समरूपता देने के लिए, मान लीजिए, और, ताकि 2-आयामी सम लॉरेंट्ज़ियन जाली द्वारा उत्पन्न उपक्षेत्र और हो। फिर समरूपी है और हम λ की परिभाषाओं में से एक को पुनर्प्राप्त करते हैं। कॉनवे ने दिखाया कि आंतरिक उत्पाद-1 वाले मूल (मानक 2 वैक्टर) जिसमें w = (0,0,1) प्रतिबिंब समूह के सरल मूल हैं। ये लीच जाली में λ के लिए वैक्टर (λ, 1, λ 2/2-1) हैं। दूसरे शब्दों में, सरल जड़ों को लीच जाली के बिंदुओं के साथ पहचाना जा सकता है, और इसके अलावा यह सरल जड़ों के समूह से लीच जाली तक एक सममिति है। परावर्तन समूह एक अतिबोलिक परावर्तन समूह है जो 25-आयामी अतिबोलिक स्थान पर कार्य करता है। परावर्तन समूह के मौलिक क्षेत्र में शीर्षों की 1+23 + 284 कक्षाएं निम्नानुसार हैंः अनंत पर एक शीर्ष मानक 0 वेइल वेक्टर के अनुरूप है। अनंत पर शीर्षों की 23 कक्षाएं मौलिक क्षेत्र के सीमित संख्या में चेहरों से मिलती हैं। ये शीर्ष लीच जाली के गहरे छेद के अनुरूप हैं, और लीच जाली के अलावा 23 नीमियर जाली के अनुरूप इनकी 23 कक्षाएं हैं। इन शीर्षों में से एक से मिलने वाली सरल जड़ें रैंक 24 का एक एफ़ाइन डाइनकिन आरेख बनाती हैं। हाइपरबोलिक स्पेस में शीर्षों की 284 कक्षाएँ। ये लीच जाली के उथले छेदों की 284 कक्षाओं के अनुरूप हैं। इनमें से किसी भी शीर्ष से मिलने वाली सरल जड़ें 25वीं श्रेणी का एक गोलाकार डाइनकिन आरेख बनाती हैं। ऑटोमोर्फिज्म समूह ने II25,1 के ऑटोमोर्फिज्म समूह (II25,1) का वर्णन इस प्रकार किया है। सबसे पहले, ऑट (आई. आई. 25,1) समय की दिशा को संरक्षित करने वाले ऑटोमोर्फिज्म के सूचकांक 2 उपसमूह ऑट + (आई. आई. 25,1) द्वारा-1 द्वारा उत्पन्न क्रम 2 के समूह का उत्पाद है। समूह ऑट + (आई. आई. 25,1) में इसके प्रतिबिंबों द्वारा उत्पन्न एक सामान्य उपसमूह रेफ होता है, जिसकी सरल जड़ें लीच जाली वैक्टर के अनुरूप होती हैं। समूह ऑट + (II25,1)/रेफ लीच जाली के एफाइन ऑटोमोर्फिज्म के समूह के लिए समरूप है, और इसलिए इसमें λ = Z24 के लिए समरूप अनुवाद का एक सामान्य उपसमूह है, और भागफल लीच जाली के सभी ऑटोमोर्फिज्म के समूह के लिए समरूप है, जो एक छिटपुट सरल समूह कॉनवे समूह Co1 का दोहरा आवरण है। वेक्टर II25,1 के प्रत्येक गैर-शून्य वेक्टर को विशिष्ट रूप से एक आदिम वेक्टर के सकारात्मक पूर्णांक गुणक के रूप में लिखा जा सकता है, इसलिए सभी वैक्टरों को वर्गीकृत करने के लिए यह आदिम वैक्टरों को वर्गीकृत करने के लिए पर्याप्त है। सकारात्मक मानक वैक्टर एक ही मानक वाले कोई भी दो सकारात्मक मानक आदिम वैक्टर ऑटोमोर्फिज्म समूह के तहत संयुग्मित होते हैं। मानक शून्य वैक्टर आदिम मानक 0 वैक्टर की 24 कक्षाएँ हैं, जो 24 निमियर जाली के अनुरूप हैं। पत्राचार इस प्रकार दिया गया हैः यदि z एक मानक 0 सदिश है, तो जाली z/z एक 24-आयामी सम एक-आयामी जाली है और इसलिए यह निमियर जाली में से एक है। आई. आई. 25,1 के परावर्तन समूह के मानक 0 वेल वेक्टर के अनुरूप निमियर जाली लीच जाली है। मानक-2 वैक्टर मानक-2 के वैक्टर v की 121 कक्षाएँ हैं, जो निर्धारक 2 के 25-आयामी सम जाली L के 121 समरूपता वर्गों के अनुरूप हैं। इस पत्राचार में, जाली L वेक्टर बनाम नॉर्म-4 वैक्टर के ऑर्थोगोनल पूरक के लिए समरूप है मानक-4 के वैक्टर v की 665 कक्षाएं हैं, जो 25-आयामी यूनिमॉड्यूलर जाली L के 665 समरूपता वर्गों के अनुरूप हैं। इस पत्राचार में, जाली L के सम वैक्टर का सूचकांक 2 सबलैटिस वेक्टर v के ऑर्थोगोनल पूरक के लिए समरूप है। अन्य वैक्टर n = 3,4,5 के लिए मानक-2n के वैक्टर के समान लेकिन तेजी से जटिल विवरण हैं, और ऐसे वैक्टर की कक्षाओं की संख्या काफी तेजी से बढ़ती है। संदर्भ कॉनवे, जे. एच.; स्लोएन, एन. जे. ए. (1999)। स्फेयर पैकेजिंग, जाली और समूह। (तीसरा संस्करण) ई. बन्नाई, आर. ई. बोर्चर्डस, जॉन लीच, साइमन पी. नॉर्टन, ए. एम. ओडलीज़्को, रिचर्ड ए. पार्कर, एल. क्वीन और बी. बी. वेंकोव। ग्रुंडलेह्रेन डेर मैथमेटिस्चेन विसेंशाफ्टेन, 290। न्यूयॉर्कः स्प्रिंगर-वेरलैग। .. चतुर्भुज रूप जाली बिंदु छिटपुट समूह मूनशाइन सिद्धांत जॉन हॉर्टन कॉनवे