Holomorph (mathematics)
गणित में, विशेष रूप से बीजगणित के क्षेत्र में जिसे समूह सिद्धांत के रूप में जाना जाता है, एक समूह का होलोमोर्फ एक ऐसा समूह है जिसमें समूह और उसके ऑटोमोर्फिज्म समूह की (प्रतियां) एक साथ होती हैं। होलोमोर्फ समूहों के दिलचस्प उदाहरण प्रदान करता है, और एक समान संदर्भ में समूह तत्वों और समूह ऑटोमोर्फिज्म का इलाज करने की अनुमति देता है। समूह सिद्धांत में, एक समूह के लिए, निरूपित के समरूप को एक अर्ध-अप्रत्यक्ष उत्पाद या एक क्रमपरिवर्तन समूह के रूप में वर्णित किया जा सकता है। होल (जी) एक अर्ध-अप्रत्यक्ष उत्पाद के रूप में यदि ऑटोमोर्फिज्म समूह है तो जहाँ गुणन [ईक्यू द्वारा दिया जाता है। 1] आमतौर पर, एक अर्ध-अप्रत्यक्ष उत्पाद को इस रूप में दिया जाता है कि कहाँ और कहाँ समूह हैं और यह एक समरूपता है और जहाँ अर्ध-अप्रत्यक्ष उत्पाद में तत्वों का गुणन दिया जाता है जो अच्छी तरह से परिभाषित है, क्योंकि और इसलिए। होलोमोर्फ के लिए, और पहचान मानचित्र है, जैसे कि हम [Eq में दिए गए गुणन में स्पष्ट रूप से लेखन को दबाते हैं। 1] ऊपर। उदाहरण के लिए, क्रम 3 का चक्रीय समूह जहाँ द्वारा दिए गए गुणन के साथः जहाँ के घातांक मॉड 3 और मॉड 2 के लिए जाते हैं। उदाहरण के लिए, देखें कि यह समूह अबेलियन नहीं है, इसलिए यह क्रम 6 का एक गैर-अबेलियन समूह है, जो मूल समूह सिद्धांत के अनुसार, सममित समूह के लिए समरूप होना चाहिए। होल (जी) एक क्रमपरिवर्तन समूह के रूप में ए समूह जी स्वाभाविक रूप से बाएँ और दाएँ गुणन द्वारा अपने आप पर कार्य करता है, प्रत्येक जी के अंतर्निहित समूह पर जी से सममित समूह में एक समरूपता को जन्म देता है। एक समरूपता को λ: जी → सिम (जी), (एच) = जी·एच के रूप में परिभाषित किया गया है। अर्थात्, जी को जी के प्रत्येक तत्व को जी द्वारा बाएं गुणा करके प्राप्त क्रमपरिवर्तन के लिए मैप किया जाता है। इसी तरह, एक दूसरा समरूपता ρ: G → SIM (G) को (h) = h·g−1 द्वारा परिभाषित किया जाता है, जहां व्युत्क्रम यह सुनिश्चित करता है कि (k) = ((k))। इन समरूपताओं को जी के बाएं और दाएं नियमित प्रतिनिधित्व कहा जाता है। प्रत्येक समरूपता इंजेक्टिव होती है, एक तथ्य जिसे केले की प्रमेय के रूप में संदर्भित किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि G = C3 = {1, x, x2} क्रम तीन का एक चक्रीय समूह है, तो (1) = x·1 = x, (x) = x·x = x2, और (x2) = x·x2 = 1, इसलिए λ (x) (1, x, x2) को (x, x2,1) ले जाता है। λ की छवि G के लिए समरूपता वाले SIM (G) का एक उपसमूह है, और SIM (G) में इसके सामान्यीकरण को G के समरूपता N के रूप में परिभाषित किया गया है। N में प्रत्येक n और G में g के लिए, G में एक h है जैसे कि n· =·n। यदि होलोमोर्फ का एक तत्व n, G की पहचान तय करता है, तो G में 1 के लिए, (n·) (1) = (n·) (1), लेकिन बाईं ओर n (g) है, और दाईं ओर h है। दूसरे शब्दों में, यदि N में n, G की पहचान तय करता है, तो G में प्रत्येक g के लिए, n· =·n। यदि g, h, G के तत्व हैं, और n, G की पहचान को निर्धारित करने वाला N का एक तत्व है, तो इस समानता को दो बार n·· पर लागू करने से और एक बार (समतुल्य) अभिव्यक्ति n· पर लागू करने से वह n (g)·n (h) = n (g·h) मिलता है। अर्थात्, एन का प्रत्येक तत्व जो जी की पहचान को ठीक करता है, वास्तव में जी का एक स्वरूपता है। ऐसा एन सामान्य करता है, और केवल वही जो पहचान को ठीक करता है वह है λ (1)। ए को पहचान के स्थिरीकारक के रूप में निर्धारित करना, ए द्वारा उत्पन्न उपसमूह और सामान्य उपसमूह और पूरक ए के साथ अर्ध-अप्रत्यक्ष उत्पाद है। चूंकि संक्रमणशील है, इसलिए द्वारा उत्पन्न उपसमूह और बिंदु स्थिरीकारक ए सभी एन का है, जो एक क्रमपरिवर्तन समूह के रूप में होलोमोर्फ को अर्ध-अप्रत्यक्ष उत्पाद के रूप में होलोमोर्फ के लिए समरूपता दर्शाता है। यह उपयोगी है, लेकिन प्रत्यक्ष रूप से प्रासंगिक नहीं है, कि सिम (जी) में केंद्रीयक है, उनका प्रतिच्छेदन है, जहां जेड (जी) जी का केंद्र है, और यह कि ए एन के इन दोनों सामान्य उपसमूहों का एक सामान्य पूरक है। गुण ρ (जी) θ ऑट (जी) = 1 ऑट (जी) ρ (जी) को सामान्य करता है ताकि विहित रूप से ρ (जी) ऑट (जी) θ जी ऑट (जी) λ (जी) ρ (जी) (एच) = जीएचजी-1 (जी के आंतरिक ऑटोमोर्फिज्म का समूह है।) के ≤ जी एक विशिष्ट उपसमूह है यदि और केवल तभी जब λ (के) होल (जी)