Versine
पद्य या पद्य साइन एक त्रिकोणमितीय कार्य है जो कुछ प्रारंभिक (संस्कृत आर्यभट्टिया, खंड I) त्रिकोणमितीय तालिकाओं में पाया जाता है। एक कोण का वर्सिन 1 माइनस इसकी कोसाइन है। कई संबंधित कार्य हैं, विशेष रूप से कवरसाइन और हैवरसाइन। उत्तरार्द्ध, आधा वर्सिन, नौवहन के हैवर्साइन सूत्र में विशेष महत्व का है। सारांश वर्सिन या वर्स्ड साइन एक त्रिकोणमितीय कार्य है जो पहले से ही कुछ प्रारंभिक त्रिकोणमितीय तालिकाओं में दिखाई देता है। इसे संक्षिप्त रूप,,, या का उपयोग करके सूत्रों में दर्शाया गया है। लैटिन में, इसे साइनस बनाम (फ़्लिप्ड साइन), वर्सिनस, बनाम, या सागिट्टा (तीर) के रूप में जाना जाता है। सामान्य त्रिकोणमितीय कार्यों साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा के संदर्भ में व्यक्त किया गया, वर्सिन बराबर है। वर्सिन के अनुरूप कई संबंधित कार्य हैंः वर्स्ड कोसाइन, या वर्कोसिन, संक्षिप्त, या। आच्छादित साइन या कवरसिन (लैटिन में, कोसिनस बनाम या कवरसिनस), संक्षिप्त,, या आच्छादित कोसाइन या कवरकोसिन, संक्षिप्त, या उपरोक्त चार कार्यों के पूर्ण सादृश्य में चार "अर्ध-मूल्य" कार्यों का एक और समूह भी मौजूद हैः हैवर्सड साइन या हैवर्सिन (लैटिन सेमीवर्सस), संक्षिप्त,,,,, या, नेविगेशन में ऐतिहासिक रूप से उपयोग किए जाने वाले हैवर्सिन सूत्र से सबसे प्रसिद्ध हैवर्सड कोसाइन या हैवर्सिन, संक्षिप्त, या हैकोवर्सड साइन, हैकोवर्सिन, या कोहेवर्सिन, संक्षिप्त,, या हैकोवर्सड कोसाइन, हैकोवरकोसिन। इन शब्दों का अर्थ स्पष्ट है यदि कोई उनकी परिभाषा के लिए मूल संदर्भ में कार्यों को देखता है, एक इकाई वृत्तः इकाई वृत्त के एक ऊर्ध्वाधर कॉर्ड AB के लिए, कोण θ (कम किए गए कोण के आधे हिस्से का प्रतिनिधित्व करने वाला) का साइन दूरी AC (कॉर्ड का आधा) है। दूसरी ओर, θ का वर्स्ड साइन तार के केंद्र से चाप के केंद्र तक की दूरी CD है। इस प्रकार, कॉस (θ) (रेखा ओसी की लंबाई के बराबर) और वर्सिन (θ) (रेखा सीडी की लंबाई के बराबर) का योग त्रिज्या ओडी (लंबाई 1 के साथ) है। इस तरह से चित्रित किया गया है, साइन ऊर्ध्वाधर है (रेक्टस, शाब्दिक रूप से "सीधा") जबकि वर्सिन क्षैतिज है (बनाम, शाब्दिक रूप से "खिलाफ, स्थान से बाहर"); दोनों सी से वृत्त की दूरी हैं। यह आंकड़ा इस कारण को भी दर्शाता है कि क्यों वर्साइन को कभी-कभी सागिट्टा कहा जाता था, तीर के लिए लैटिन, उसी अर्थ के अरबी उपयोग सहेम से। यह स्वयं भारतीय शब्द 'सारा' (तीर) से आया है जिसका उपयोग आमतौर पर 'उत्कर्ष-ज्या' को संदर्भित करने के लिए किया जाता था। यदि दोहरे कोण के चाप ADB को "धनुष" के रूप में देखा जाता है और तार AB को इसकी "स्ट्रिंग" के रूप में देखा जाता है, तो वर्सिन CD स्पष्ट रूप से "तीर शाफ्ट" है। साइन की व्याख्या को "ऊर्ध्वाधर" और पारखी साइन को "क्षैतिज" के रूप में आगे रखते हुए, सागिट्टा भी एब्सिसा (एक ग्राफ का क्षैतिज अक्ष) के लिए एक अप्रचलित पर्यायवाची है। 1821 में, कॉची ने वर्सिन के लिए साइनस बनाम (सिव) और कवरसिन के लिए कोसिनस बनाम (कोसिव) शब्दों का उपयोग किया। ऐतिहासिक रूप से, पारंगत साइन को सबसे महत्वपूर्ण त्रिकोणमितीय कार्यों में से एक माना जाता था। जैसा कि θ शून्य पर जाता है, वर्सिन (θ) दो लगभग समान मात्राओं के बीच का अंतर है, इसलिए अकेले कोसाइन के लिए एक त्रिकोणमितीय तालिका के उपयोगकर्ता को विनाशकारी रद्दीकरण से बचने के लिए वर्सिन प्राप्त करने के लिए बहुत उच्च सटीकता की आवश्यकता होगी, जिससे बाद वाले के लिए अलग-अलग तालिकाएँ सुविधाजनक हो जाएंगी। यहाँ तक कि एक कैलकुलेटर या कंप्यूटर के साथ, राउंड-ऑफ त्रुटियाँ छोटे θ के लिए sin2 सूत्र का उपयोग करने की सलाह देती हैं। वर्सिन का एक अन्य ऐतिहासिक लाभ यह है कि यह हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है, इसलिए इसका लघुगणक एकल कोण (θ = 0,2,) को छोड़कर हर जगह परिभाषित किया जाता है जहां यह शून्य है-इस प्रकार, कोई भी वर्सिन वाले सूत्रों में गुणन के लिए लघुगणक तालिकाओं का उपयोग कर सकता है। वास्तव में, तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व में भारत के सूर्य सिद्धांत से गणना की गई साइन (अर्ध-तार) मूल्यों की सबसे पुरानी जीवित तालिका (टॉलेमी और अन्य यूनानी लेखकों द्वारा सारणीबद्ध तारों के विपरीत), साइन और पारंगत साइन के लिए मूल्यों की एक तालिका थी (0 से 90 डिग्री तक 3.75 डिग्री वृद्धि में)। वर्सिन टॉलेमी द्वारा व्युत्पन्न अर्ध-कोण सूत्र sin2 = versin (θ) के अनुप्रयोग में एक मध्यवर्ती चरण के रूप में दिखाई देता है, जिसका उपयोग ऐसी तालिकाओं के निर्माण के लिए किया जाता था। हैवर्साइन, विशेष रूप से, नौवहन में महत्वपूर्ण था क्योंकि यह हैवर्साइन सूत्र में दिखाई देता है, जिसका उपयोग कोणीय स्थितियों (जैसे, देशांतर और अक्षांश) को देखते हुए एक खगोलीय गोलाकार पर दूरी की यथोचित रूप से सटीक गणना करने के लिए किया जाता है। कोई भी सीधे sin2 का उपयोग कर सकता है, लेकिन हैवर्साइन की एक तालिका होने से वर्ग और वर्गमूल की गणना करने की आवश्यकता समाप्त हो गई। जोस डी मेंडोज़ा वाई रियोस द्वारा एक प्रारंभिक उपयोग जिसे बाद में हैवरसिन कहा जाएगा, 1801 में प्रलेखित किया गया है। हैवरसाइन की मेज के बराबर पहली ज्ञात अंग्रेजी 1805 में जेम्स एंड्रयू द्वारा "स्क्वेयर्स ऑफ नेचुरल सेमी-कॉर्ड्स" के नाम से प्रकाशित की गई थी। 1835 में, शब्द हैवर्साइन (स्वाभाविक रूप से हैव के रूप में चिह्नित)। या आधार-10 लॉग के रूप में लघुगणकीय रूप से। हैवरसिन या लॉग। हैवर्स।) जेम्स इनमैन द्वारा अपने काम नेविगेशन एंड नॉटिकल एस्ट्रोनॉमीः फॉर द यूज़ ऑफ ब्रिटिश सीमेन के तीसरे संस्करण में नेविगेशन में अनुप्रयोगों के लिए गोलाकार त्रिकोणमिति का उपयोग करके पृथ्वी की सतह पर दो बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना को सरल बनाने के लिए गढ़ा गया था। इनमान ने नट शब्दों का भी इस्तेमाल किया। वर्सिन और नाट। इसके विपरीत। संस्करणों के लिए। 1856 में रिचर्ड फार्ले और 1876 में जॉन कॉलफील्ड हैनिंगटन की अन्य उच्च-सम्मानित मेज़ें थीं। हैवर्साइन का उपयोग नौवहन में किया जाना जारी है और हाल के दशकों में नए अनुप्रयोग पाए गए हैं, जैसा कि 1995 से गॉसियन लघुगणक का उपयोग करके चंद्र दूरी को साफ करने के लिए ब्रूस डी. स्टार्क की विधि में या 2014 से दृष्टि में कमी के लिए अधिक सघन विधि में। जबकि वर्सिन, कवरसिन और हैवरसिन के उपयोग के साथ-साथ उनके व्युत्क्रम कार्यों का पता सदियों पहले लगाया जा सकता है, अन्य पांच सह-कार्यों के नाम बहुत छोटे मूल के प्रतीत होते हैं। एक वर्सिन की एक अवधि (0 <θ <2π) या, अधिक सामान्य रूप से, एक हैवरसिन (या हैवरकोसिन) तरंग का उपयोग आमतौर पर संकेत प्रसंस्करण और नियंत्रण सिद्धांत में एक पल्स या एक विंडो फ़ंक्शन (हैन्न, हैन्न-पॉइसन और टुकी खिड़कियों सहित) के आकार के रूप में किया जाता है, क्योंकि यह आसानी से (मूल्य और ढलान में निरंतर) शून्य से एक (हैवरसिन के लिए) और शून्य पर वापस "चालू" हो जाता है। इन अनुप्रयोगों में, इसे हैन फ़ंक्शन या उभरा हुआ-कोसिन फ़िल्टर नाम दिया गया है। इसी तरह, हैवरकोसिन का उपयोग संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी में उभरे हुए कोसिन वितरण में किया जाता है। sin2 (θ) के रूप में दोहरे कोण की हैवरसाइन तर्कसंगत त्रिकोणमिति में प्रसार और कोणों के बीच संबंध का वर्णन करती है, जो 2005 से नॉर्मन जॉन वाइल्डबर्गर द्वारा परिमाणीय समतलीय और ठोस ज्यामिति का एक प्रस्तावित सुधार है। गणितीय पहचान परिभाषा वृत्ताकार घूर्णन फलन एक दूसरे के वृत्ताकार घूर्णन हैं। व्युत्पन्न और समाकलन व्युत्क्रम फलन जैसे आर्कवर्सिन (आर्कवर्सिन, आर्कवर्स, एवर्स, एवेर), आर्कवर्कोसिन (आर्कवर्कोसिन, आर्कवर्कोस, एवर्कोस, एवीसीएस), आर्कोवर्सिन (आर्कोवर्सिन, आर्कोवर्स, एकोवर्स, एसीवीएस), आर्कोवर्कोसिन (आर्कोवर्कोसिन, आर्कोवर्कोस, एकोवर्कोस, एसीवीसी), आर्केवर्सिन (आर्केवर्सिन, आर्केव, हैवर्सिन-1, इनहाव, आहव, अहव, अहव, हैव-1), आर्कवेरकोसिन (आर्केवरकोसिन, आर्केवरकोस, अहव)। मैकलौरिन श्रृंखलाः सन्निकटन जब वर्सिन v त्रिज्या r की तुलना में छोटा होता है, तो इसे सूत्र द्वारा अर्ध-तार की लंबाई L (ऊपर दिखाई गई दूरी AC) से अनुमानित किया जा सकता है वैकल्पिक रूप से, यदि वर्सिन छोटा है और वर्सिन, त्रिज्या और अर्ध-तार की लंबाई ज्ञात है, तो उनका उपयोग सूत्र द्वारा चाप की लंबाई s (उपरोक्त आकृति में AD) का अनुमान लगाने के लिए किया जा सकता है यह सूत्र चीनी गणितशास्त्री शेन कुओ को ज्ञात था, और सागिट्टा को शामिल करने वाला एक अधिक सटीक सूत्र दो शताब्दियों बाद गुओ शौजिंग द्वारा विकसित किया गया था। इंजीनियरिंग में उपयोग किया जाने वाला एक अधिक सटीक सन्निकटन आर्बिट्ररी कर्व और कॉर्ड है वर्सिन शब्द का उपयोग कभी-कभी एक आर्बिट्ररी प्लेनर कर्व में स्ट्रेटनेस से विचलन का वर्णन करने के लिए भी किया जाता है, जिसमें से उपरोक्त वृत्त एक विशेष मामला है। एक वक्र में दो बिंदुओं के बीच एक तार को देखते हुए, तार से वक्र तक (आमतौर पर तार के मध्य बिंदु पर) लंबवत दूरी v को वर्साइन माप कहा जाता है। एक सीधी रेखा के लिए, किसी भी तार का वर्सिन शून्य होता है, इसलिए यह माप वक्र की सीधीता को दर्शाता है। सीमा में जैसे ही तार की लंबाई L शून्य हो जाती है, अनुपात तात्कालिक वक्रता में चला जाता है। यह उपयोग रेल परिवहन में विशेष रूप से आम है, जहां यह रेल पटरियों की सीधीता के माप का वर्णन करता है और यह रेल सर्वेक्षण के लिए हालेड विधि का आधार है। शब्द सागिट्टा (अक्सर संक्षिप्त में सैग) का उपयोग प्रकाशिकी में लेंस और दर्पण की सतहों का वर्णन करने के लिए किया जाता है। यह भी देखें कि त्रिकोणमितीय पहचान एक्ससेंट और एक्सोसेकेंट वर्सिएरा (एग्नेसिस की चुड़ैल) एक्सपोनेंशियल माइनस 1 प्राकृतिक लघुगणक प्लस 1 नोट्स संदर्भ आगे पढ़ने के लिए बाहरी लिंक GeoGebra.org त्रिकोणमितीय कार्यों पर त्रिकोणमितीय कार्य