Dirac comb
गणित में, एक डीराक कंघी (जिसे शा फलन, आवेग ट्रेन या नमूना फलन के रूप में भी जाना जाता है) कुछ निश्चित अवधि के लिए सूत्र के साथ एक आवधिक फलन है। यहाँ t एक वास्तविक चर है और योग सभी पूर्णांक k पर फैला हुआ है। डीराक डेल्टा फलन और डीराक कंघी समशीतोष्ण वितरण हैं। फ़ंक्शन का ग्राफ एक कंघी जैसा दिखता है (कंघी के दांतों के रूप में एस के साथ), इसलिए इसका नाम और फ़ंक्शन को दर्शाने के लिए कंघी जैसे सिरिलिक अक्षर शा (ष्) का उपयोग। प्रतीक, जहाँ अवधि को छोड़ दिया गया है, इकाई अवधि के एक डीराक कंघी का प्रतिनिधित्व करता है। इसका तात्पर्य यह है कि क्योंकि डीराक कंघी फलन आवधिक है, इसे डिरिचलेट कर्नेल पर आधारित एक फूरियर श्रृंखला के रूप में दर्शाया जा सकता हैः डीराक कंघी फलन किसी को निरंतर और असतत दोनों घटनाओं का प्रतिनिधित्व करने की अनुमति देता है, जैसे कि टेम्पर्ड डिस्ट्रीब्यूशन पर निरंतर फूरियर विश्लेषण के एकल ढांचे में, फूरियर श्रृंखला के किसी भी संदर्भ के बिना। डीराक कंघी का फूरियर रूपांतरण एक और डीराक कंघी है। टेम्पर्ड डिस्ट्रीब्यूशन पर कन्वोलुशन थ्योरम के कारण, जो संकेत प्रसंस्करण में पॉइसन योग सूत्र बन जाता है, डीराक कंघी इसके साथ गुणन द्वारा मॉडलिंग नमूने की अनुमति देता है, लेकिन यह इसके साथ कन्वोलुशन द्वारा मॉडलिंग अवधि की भी अनुमति देता है। डीराक-कंघी पहचान डीराक कंघी का निर्माण दो तरीकों से किया जा सकता है, या तो निरंतर कार्य पर लागू कंघी प्रचालक (नमूना प्रदर्शन) का उपयोग करके, या, वैकल्पिक रूप से, डीराक डेल्टा पर लागू प्रतिनिधि प्रचालक (अवधि प्रदर्शन) का उपयोग करके। औपचारिक रूप से, यह उपज (;) जहां और संकेत प्रसंस्करण में, यह गुण एक ओर गुणन द्वारा एक फलन का नमूना लेने की अनुमति देता है, और दूसरी ओर यह () के साथ अभिसरण द्वारा अवधि निर्धारण की भी अनुमति देता है। डीराक कंघी पहचान समशीतोष्ण वितरण के लिए कन्वोलुशन प्रमेय का एक विशेष मामला है। स्केलिंग डीराक कंघी का स्केलिंग गुण डीराक डेल्टा फ़ंक्शन के गुणों से मिलता है। चूंकि सकारात्मक वास्तविक संख्याओं के लिए, यह इस प्रकार हैः ध्यान दें कि नकारात्मक के बजाय सकारात्मक स्केलिंग संख्याओं की आवश्यकता एक प्रतिबंध नहीं है क्योंकि नकारात्मक संकेत केवल भीतर के योग के क्रम को उलट देगा, जो परिणाम को प्रभावित नहीं करता है। फूरियर श्रृंखला यह स्पष्ट है कि अवधि के साथ आवधिक है। अर्थात्, सभी टी के लिए। इस तरह के आवधिक फलन के लिए जटिल फूरियर श्रृंखला वह है जहां फूरियर गुणांक (प्रतीकात्मक रूप से) सभी फूरियर गुणांक 1/टी होते हैं जिसके परिणामस्वरूप जब अवधि एक इकाई होती है, तो यह टिप्पणी करने के लिए सरल हो जाता हैः सबसे कठोरता से, डीराक डेल्टा फलन सहित किसी भी उत्पाद पर रीमान या लेबस्ग एकीकरण से शून्य प्राप्त होता है। इस कारण से, उपरोक्त एकीकरण (फूरियर श्रृंखला गुणांक निर्धारण) को "सामान्यीकृत कार्यों के अर्थ में" समझा जाना चाहिए। इसका मतलब है कि, डीराक कंघी पर लागू अंतराल के विशिष्ट कार्य का उपयोग करने के बजाय, एक तथाकथित लाइटहिल एकात्मक कार्य का उपयोग कटआउट कार्य के रूप में किया जाता है, विवरण के लिए देखें, पी. 62, प्रमेय 22। डीराक कंघी का फूरियर परिवर्तन भी एक डीराक कंघी है। फ्रीक्वेंसी डोमेन (Hz) में व्यक्त किए गए फूरियर परिवर्तन के लिए अवधि की डीराक कंघी अवधि की एक पुनर्स्थापित डीराक कंघी में बदल जाती है। के लिए एक अन्य डीराक कंघी के समानुपाती है, लेकिन आवृत्ति क्षेत्र (रेडियन/एस) में अवधि के साथ। इस प्रकार इकाई अवधि का डीराक कंघी आइगेनवैल्यू का एक आइगेनफ़ंक्शन है इस परिणाम को () द्वारा परिभाषित कार्यों के परिवार के संबंधित फ़ोरियर परिवर्तनों पर विचार करके स्थापित किया जा सकता है क्योंकि गॉसियन कार्यों की एक अभिसारी श्रृंखला है, और गॉसियन गॉसियन में बदल जाते हैं, उनके प्रत्येक संबंधित फ़ोरियर परिवर्तनों का परिणाम भी गॉसियन की एक श्रृंखला में होता है, और स्पष्ट गणना यह स्थापित करती है कि कार्य और इस प्रकार प्रत्येक समान दूरी के गॉसियन स्पाइक्स की एक श्रृंखला से युक्त एक आवधिक कार्य से मिलता-जुलता है और जिनकी संबंधित "ऊंचाई" (पूर्व-कारक) धीरे-धीरे घटते हुए गॉसियन लिफाफा कार्यों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं जो अनंत पर शून्य तक गिर जाते हैं। ध्यान दें कि सीमा में प्रत्येक गॉसियन स्पाइक एक असीम रूप से तेज डीराक आवेग बन जाता है जो क्रमशः और प्रत्येक संबंधित के लिए केंद्रित होता है और इसलिए सभी पूर्व-कारक भी अंततः उनसे अप्रभेद्य हो जाते हैं। इसलिए कार्य और उनके संबंधित फूरियर परिवर्तन एक ही कार्य में अभिसरण करते हैं और यह सीमा कार्य अनंत समतुल्य गौसियन स्पाइक्स की एक श्रृंखला है, प्रत्येक स्पाइक को एक के समान पूर्व-कारक से गुणा किया जाता है, अर्थात। इकाई अवधि के लिए डीराक कंघीः और चूंकि, हम इस सीमा में प्रदर्शित किए जाने वाले परिणाम प्राप्त करते हैंः अवधि के लिए संबंधित परिणाम फूरियर परिवर्तन के स्केलिंग गुण का दोहन करके पाया जा सकता है, यह स्थापित करने का एक और तरीका है कि डीराक कंघी एक अन्य डीराक कंघी में बदल जाती है, सामान्य रूप से आवधिक कार्यों के निरंतर फूरियर परिवर्तनों की जांच करके शुरू होती है, और फिर डीराक कंघी के मामले में विशेषज्ञता प्राप्त होती है। यह भी दिखाने के लिए कि विशिष्ट नियम फूरियर परिवर्तन के लिए परंपरा पर निर्भर करता है, इसे किसी भी आवधिक कार्य के लिए कोणीय आवृत्ति का उपयोग करते हुए दिखाया जाएगा जिसका फूरियर परिवर्तन पालन करता हैः क्योंकि फूरियर परिवर्तन करता है और और इस समीकरण का तात्पर्य है कि लगभग हर जगह केवल संभावित अपवादों के साथ और जब संबंधित फूरियर श्रृंखला अभिव्यक्ति पर फूरियर परिवर्तन का मूल्यांकन किया जाता है तो एक संबंधित डेल्टा कार्य परिणाम होता है। डीराक कंघी के फूरियर परिवर्तन के विशेष मामले के लिए, एक ही अवधि में फूरियर श्रृंखला समाकलन मूल पर केवल डीराक फलन को शामिल करता है और इस प्रकार प्रत्येक के लिए देता है इसे डीराक कंघी की व्याख्या डिरिचलेट कर्नेल की सीमा के रूप में इस तरह से की जा सकती है कि, स्थितियों पर योग बिंदु में सभी घातांक एक ही दिशा में हों और रचनात्मक रूप से जुड़ें। दूसरे शब्दों में, आवधिक कार्यों का निरंतर फूरियर परिवर्तन सभी के लिए के साथ और फूरियर श्रृंखला गुणांक की ओर ले जाता है जब, अर्थात। एक और डीराक कंघी है, लेकिन कोणीय आवृत्ति क्षेत्र (रेडियन/एस) में अवधि के साथ। जैसा कि उल्लेख किया गया है, विशिष्ट नियम उपयोग किए गए फूरियर परिवर्तन के लिए परंपरा पर निर्भर करता है। वास्तव में, डीराक डेल्टा फलन के स्केलिंग गुण का उपयोग करते समय, उपरोक्त को साधारण आवृत्ति क्षेत्र (Hz) में फिर से व्यक्त किया जा सकता है और इसे फिर से प्राप्त किया जा सकता हैः जैसे कि इकाई अवधि डीराक कंघी अपने आप में बदल जाती हैः अंत में, डीराक कंघी भी कोणीय आवृत्ति स्थान में एकात्मक निरंतर फूरियर परिवर्तन का एक आइगेन फ़ंक्शन है जो आइगेनवैल्यू 1 में परिवर्तित हो जाता है, क्योंकि एकात्मक फूरियर परिवर्तन के लिए उपरोक्त को नमूना के रूप में फिर से व्यक्त किया जा सकता है और किसी भी फ़ंक्शन को एक डीराक कंघी द्वारा गुणा करना इसे कंघी के नोड्स पर फ़ंक्शन के मूल्य के बराबर इंटीग्रल के साथ आवेगों की एक ट्रेन में बदल देता है। इस ऑपरेशन का उपयोग अक्सर नमूने का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है। डीराक कंघी के स्व-परिवर्तन गुण और कन्वोलुशन प्रमेय के कारण, यह आवृत्ति क्षेत्र में डीराक कंघी के साथ कन्वोलुशन से मेल खाता है। चूँकि डेल्टा फलन के साथ अभिसरण फलन को स्थानांतरित करने के बराबर है, डीराक कंघी के साथ अभिसरण प्रतिकृति या आवधिक योग से मेल खाता हैः यह न्यक्विस्ट-शैनन नमूना प्रमेय के प्राकृतिक निर्माण की ओर ले जाता है। यदि फलन के वर्णक्रम में बी से अधिक आवृत्तियाँ नहीं हैं (यानी, इसका वर्णक्रम केवल अंतराल में गैर-शून्य है) तो अंतराल पर मूल फलन के नमूने मूल संकेत के पुनर्निर्माण के लिए पर्याप्त हैं। यह एक उपयुक्त आयताकार फलन द्वारा नमूना कार्य के वर्णक्रम को गुणा करने के लिए पर्याप्त है, जो एक ईंट-दीवार लोपास फिल्टर लगाने के बराबर है। टाइम डोमेन में, यह "रेक्ट फ़ंक्शन के साथ गुणन" "सिंक फ़ंक्शन के साथ कन्वोलुशन" (, p.33-34) के बराबर है। इसलिए, यह अपने नमूनों से मूल कार्य को पुनर्स्थापित करता है। इसे व्हिटेकर-शैनन अंतर्वेशन सूत्र के रूप में जाना जाता है। टिप्पणीः सबसे कठोरता से, एक सामान्यीकृत फ़ंक्शन के साथ रेक्ट फ़ंक्शन का गुणन, जैसे कि डीराक कंघी, विफल हो जाता है। यह अंतराल सीमाओं पर गुणन उत्पाद के अनिर्धारित परिणामों के कारण होता है। एक समाधान के रूप में, रेक्ट फ़ंक्शन के बजाय एक लाइटहिल एकात्मक फ़ंक्शन का उपयोग किया जाता है। यह अंतराल सीमाओं पर चिकना होता है, इसलिए यह हर जगह निर्धारित गुणन उत्पाद देता है, विवरण के लिए पृष्ठ 62, प्रमेय 22 देखें। दिशात्मक सांख्यिकी में उपयोग दिशात्मक सांख्यिकी में, अवधि का डीराक कंघी एक लिपटे डीराक डेल्टा फ़ंक्शन के बराबर है और रैखिक सांख्यिकी में डीराक डेल्टा फ़ंक्शन का अनुरूप है। रैखिक सांख्यिकी में, यादृच्छिक चर को आमतौर पर वास्तविक संख्या रेखा, या उसके कुछ सबसेट पर वितरित किया जाता है, और का प्रायिकता घनत्व एक ऐसा फलन है जिसका क्षेत्र वास्तविक संख्याओं का समूह है, और जिसका समाकलन से एकता है। दिशात्मक सांख्यिकी में, यादृच्छिक चर को इकाई वृत्त पर वितरित किया जाता है, और का संभाव्यता घनत्व एक ऐसा फलन है जिसका क्षेत्र लंबाई की वास्तविक संख्याओं का कुछ अंतराल है और जिसका उस अंतराल पर समाकलन एकता है। जिस तरह वास्तविक संख्या रेखा पर एक मनमाने फलन के साथ एक डीराक डेल्टा फलन के उत्पाद का समाकलन शून्य पर उस फलन का मूल्य देता है, उसी तरह इकाई वृत्त पर अवधि के मनमाने फलन के साथ अवधि के डीराक कंघी के उत्पाद का समाकलन शून्य पर उस फलन का मूल्य देता है। कॉम्ब फ़िल्टर फ्रीक्वेंसी कॉम्ब पॉइसन समेशन फॉर्मूला भी देखें। .. .. विशेष कार्य सामान्यीकृत कार्य संकेत प्रसंस्करण दिशात्मक सांख्यिकी