Cotorsion group
अबेलियन समूह सिद्धांत में, एक अबेलियन समूह को कोटोरशन कहा जाता है यदि एक मरोड़-मुक्त समूह द्वारा इसका प्रत्येक विस्तार विभाजित हो जाता है। यदि समूह है, तो यह कहता है कि सभी मरोड़-मुक्त समूहों के लिए। परिमेय संख्याओं के समूह की स्थिति की जाँच करने के लिए यह पर्याप्त है। अधिक आम तौर पर, एक रिंग आर पर एक मॉड्यूल एम को एक कोटोरशन मॉड्यूल कहा जाता है यदि सभी फ्लैट मॉड्यूल एफ के लिए एक्स्ट 1 (एफ, एम) = 0 है। यह अबेलियन समूहों की परिभाषा के बराबर है (पूर्णांक के रिंग जेड पर मॉड्यूल के रूप में माना जाता है) क्योंकि ओवर जेड फ्लैट मॉड्यूल मरोड़ मुक्त मॉड्यूल के समान होते हैं। कोटोर्शन समूहों के कुछ गुणः कोटोर्शन समूह का कोई भी भागफल कोटोर्शन होता है। समूहों का एक प्रत्यक्ष उत्पाद कोटोर्शन है यदि और केवल तभी जब प्रत्येक कारक है। प्रत्येक विभाज्य समूह या इंजेक्टिव समूह कोटोर्शन होता है। बेयर फोमिन प्रमेय में कहा गया है कि एक मरोड़ समूह कोटोर्शन है यदि और केवल तभी जब यह एक विभाज्य समूह और एक बंधे हुए समूह, यानी बंधे हुए प्रतिपादक का एक समूह का प्रत्यक्ष योग हो। एक मरोड़-मुक्त अबेलियन समूह कोटोर्शन है यदि और केवल तभी जब यह बीजगणितीय रूप से कॉम्पैक्ट हो। कोटोर्शन समूहों के उल्म उपसमूह कोटोर्शन हैं और कोटोर्शन समूहों के उल्म कारक बीजगणितीय रूप से कॉम्पैक्ट हैं। बाहरी लिंक आबेलियन समूह सिद्धांत समूहों के गुण