Tutte–Coxeter graph
ग्राफ सिद्धांत के गणितीय क्षेत्र में, टुटे-कॉक्सेटर ग्राफ या टुटे आठ-पिंजरे या क्रेमोना-रिचमंड ग्राफ 30 शीर्षों और 45 किनारों के साथ एक 3-नियमित ग्राफ है। परिधि 8 के अद्वितीय सबसे छोटे घन ग्राफ के रूप में, यह एक पिंजरे और एक मूर ग्राफ है। यह द्विदलीय है, और इसे सामान्यीकृत चतुर्भुज W2 (जिसे क्रेमोना-रिचमंड विन्यास के रूप में जाना जाता है) के लेवी ग्राफ के रूप में बनाया जा सकता है। ग्राफ का नाम विलियम थॉमस टुटे और एच. एस. एम. कॉक्सेटर के नाम पर रखा गया है; इसकी खोज टुटे (1947) द्वारा की गई थी, लेकिन ज्यामितीय विन्यास के साथ इसके संबंध की जांच दोनों लेखकों द्वारा संयुक्त रूप से प्रकाशित पत्रों (टुटे 1958; कॉक्सेटर 1958ए) की एक जोड़ी में की गई थी। सभी घन दूरी-नियमित ग्राफ ज्ञात हैं। टुटे-कोक्जेटर ऐसे 13 ग्राफों में से एक है। इसमें क्रासिंग नंबर 13, बुक थिकनेस 3 और कतार नंबर 2 है। निर्माण और ऑटोमोर्फिज्म टुटे-कॉक्सेटर ग्राफ एक द्विदलीय लेवी ग्राफ है जो 6-वर्टेक्स पूर्ण ग्राफ K6 के 15 पूर्ण मिलानों को इसके 15 किनारों से जोड़ता है, जैसा कि सिल्वेस्टर (1844) के काम पर आधारित कॉक्सेटर (1958b) द्वारा वर्णित है। प्रत्येक शीर्ष एक किनारे या एक पूर्ण मिलान से मेल खाता है, और जुड़े हुए शीर्ष किनारों और मिलान के बीच आपतन संरचना का प्रतिनिधित्व करते हैं। इस निर्माण के आधार पर, कॉक्सेटर ने दिखाया कि टुटे-कॉक्सेटर ग्राफ एक सममित ग्राफ है; इसमें 1440 ऑटोमोर्फिज्म का एक समूह है, जिसे छह तत्वों (कॉक्सेटर 1958बी) पर क्रमपरिवर्तन के समूह के ऑटोमोर्फिज्म के साथ पहचाना जा सकता है। इस समूह के आंतरिक ऑटोमोर्फिज्म के6 ग्राफ के छह शीर्षों को क्रमबद्ध करने के अनुरूप हैं; ये क्रमपरिवर्तन दोनों पक्षों में से प्रत्येक को एक सेट के रूप में स्थिर रखते हुए अपने द्विदलीय विभाजन के प्रत्येक तरफ के शीर्षों को क्रमबद्ध करके टुटे-कॉक्सेटर ग्राफ पर कार्य करते हैं। इसके अलावा, क्रमपरिवर्तनों के समूह के बाहरी ऑटोमोर्फिज्म द्विदल विभाजन के एक तरफ दूसरे के लिए अदला-बदली करते हैं। जैसा कि कॉक्सेटर ने दिखाया, टुटे-कॉक्सेटर ग्राफ में पांच किनारों तक का कोई भी मार्ग इस तरह के एक ऑटोमोर्फिज्म द्वारा किसी भी अन्य ऐसे मार्ग के बराबर है। एक इमारत के रूप में टुटे-कोक्सेटर ग्राफ यह ग्राफ सिंप्लेक्टिक समूह से जुड़ी गोलाकार इमारत है (इस समूह और सममित समूह के बीच एक असाधारण समरूपता है)। अधिक विशेष रूप से, यह एक सामान्यीकृत चतुर्भुज का आपतन ग्राफ है। ठोस रूप से, टुटे-कॉक्सेटर ग्राफ को 4-आयामी सिंप्लेक्टिक वेक्टर स्थान से निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता हैः शीर्ष या तो गैर-शून्य वैक्टर हैं, या समस्थानिक 2-आयामी उपस्थान हैं, एक गैर-शून्य वेक्टर v और एक समस्थानिक 2-आयामी उपस्थान के बीच एक किनारा है यदि और केवल यदि। गैलरी संदर्भ बाहरी लिंक एक्सू, जी. "प्रसिद्ध ग्राफों के आयताकार चित्र"। 1958 परिचय व्यक्तिगत ग्राफ विन्यास (ज्यामिति) नियमित ग्राफ