Pure subgroup
गणित में, विशेष रूप से अबेलियन समूहों के सिद्धांत का अध्ययन करने वाले बीजगणित के क्षेत्र में, एक शुद्ध उपसमूह प्रत्यक्ष योग का सामान्यीकरण है। अबेलियन समूह सिद्धांत और संबंधित क्षेत्रों में इसके कई उपयोग पाए गए हैं। परिभाषा (आमतौर पर अबेलियन) समूह के एक उपसमूह को शुद्ध कहा जाता है यदि जब भी किसी तत्व की जड़ होती है, तो आवश्यक रूप से इसकी जड़ होती है। औपचारिक रूप सेः, G में an का अस्तित्व ऐसा है कि S में a का अस्तित्व ऐसा है। शुद्ध उपसमूहों को पृथक उपसमूह या सेवारत उपसमूह भी कहा जाता है और पहली बार प्रूफर के 1923 के पेपर में जांच की गई थी जिसमें प्राथमिक अबेलियन समूहों के अपघटन की स्थितियों को शुद्ध उपसमूहों का उपयोग करके चक्रीय समूहों के प्रत्यक्ष योग के रूप में वर्णित किया गया था। प्रूफर के काम को कुलिकॉफ द्वारा पूरक किया गया था जहां कई परिणाम व्यवस्थित रूप से शुद्ध उपसमूहों का उपयोग करके फिर से साबित किए गए थे। विशेष रूप से, एक प्रमाण दिया गया था कि परिमित प्रतिपादक के शुद्ध उपसमूह प्रत्यक्ष योग हैं। शुद्ध उपसमूहों की एक अधिक पूर्ण चर्चा, अनंत अबेलियन समूह सिद्धांत के साथ उनके संबंध और उनके साहित्य का एक सर्वेक्षण इरविंग कप्लान्स्की की छोटी लाल पुस्तक में दिया गया है। उदाहरण किसी समूह का प्रत्येक प्रत्यक्ष योग एक शुद्ध उपसमूह होता है। शुद्ध उपसमूह का प्रत्येक शुद्ध उपसमूह शुद्ध होता है। आबेलियन समूह का एक विभाज्य उपसमूह शुद्ध होता है। यदि भागफल समूह मरोड़-मुक्त है, तो उपसमूह शुद्ध है। एबेलियन समूह का मरोड़ उपसमूह शुद्ध होता है। शुद्ध उपसमूहों का निर्देशित संघ एक शुद्ध उपसमूह है। चूँकि एक परिमित रूप से उत्पन्न अबेलियन समूह में मरोड़ उपसमूह एक प्रत्यक्ष योग है, कोई यह पूछ सकता है कि क्या मरोड़ उपसमूह हमेशा एक अबेलियन समूह का प्रत्यक्ष योग है। यह पता चला है कि यह हमेशा एक योग नहीं है, लेकिन यह एक शुद्ध उपसमूह है। कुछ हल्की स्थितियों में, शुद्ध उपसमूह प्रत्यक्ष योग होते हैं। इसलिए, कोई भी अभी भी उन परिस्थितियों में वांछित परिणाम प्राप्त कर सकता है, जैसा कि कुलिकॉफ के पेपर में है। शुद्ध उपसमूहों का उपयोग सीमितता स्थितियों के साथ प्रत्यक्ष योग के परिणाम और कम प्रतिबंधात्मक सीमितता स्थितियों के साथ प्रत्यक्ष योग पर पूर्ण परिणाम के बीच एक मध्यवर्ती संपत्ति के रूप में किया जा सकता है। इस उपयोग का एक और उदाहरण प्रूफर का पेपर है, जहां यह तथ्य कि "परिमित मरोड़ एबेलियन समूह चक्रीय समूहों के प्रत्यक्ष योग हैं" को इस परिणाम तक बढ़ाया जाता है कि शुद्ध उपसमूहों के मध्यवर्ती विचार के माध्यम से "सीमित प्रतिपादक के सभी मरोड़ एबेलियन समूह चक्रीय समूहों के प्रत्यक्ष योग हैं"। सामान्यीकरण शुद्ध उपसमूहों को अबेलियन समूहों और मॉड्यूल के सिद्धांत में कई तरीकों से सामान्यीकृत किया गया था। शुद्ध उप-मॉड्यूल को विभिन्न तरीकों से परिभाषित किया गया था, लेकिन अंततः टेंसर उत्पादों या समीकरणों की प्रणालियों के संदर्भ में आधुनिक परिभाषा पर बस गए; पहले की परिभाषाएं आमतौर पर अधिक प्रत्यक्ष सामान्यीकरण थीं जैसे कि n 'th मूल के लिए ऊपर उपयोग किया गया एकल समीकरण। शुद्ध इंजेक्टिव और शुद्ध प्रोजेक्टिव मॉड्यूल प्रूफर के 1923 के पेपर के विचारों का बारीकी से पालन करते हैं। जबकि शुद्ध प्रोजेक्टिव मॉड्यूल को शुद्ध इंजेक्टिव के रूप में कई अनुप्रयोग नहीं मिले हैं, वे मूल कार्य से अधिक निकटता से संबंधित हैंः एक मॉड्यूल शुद्ध प्रोजेक्टिव है यदि यह परिमित रूप से प्रस्तुत मॉड्यूल के प्रत्यक्ष योग का प्रत्यक्ष योग है। पूर्णांकों और एबेलियन समूहों के मामले में एक शुद्ध प्रोजेक्टिव मॉड्यूल चक्रीय समूहों के प्रत्यक्ष योग के बराबर होता है। संदर्भ अध्याय III। उपसमूह गुण आबेलियन समूह सिद्धांत