Mohr's circle
मोहर वृत्त कॉची तनाव टेंसर के लिए परिवर्तन नियम का एक द्वि-आयामी चित्रमय प्रतिनिधित्व है। मोहर वृत्त का उपयोग अक्सर सामग्री की ताकत के लिए यांत्रिक इंजीनियरिंग, मिट्टी की ताकत के लिए भू-तकनीकी इंजीनियरिंग और निर्मित संरचनाओं की ताकत के लिए संरचनात्मक इंजीनियरिंग से संबंधित गणनाओं में किया जाता है। इसका उपयोग कई स्तरों में तनावों को ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज घटकों तक कम करके उनकी गणना करने के लिए भी किया जाता है। इन्हें प्रमुख तल कहा जाता है जिसमें प्रमुख तनावों की गणना की जाती है; मोहर के वृत्त का उपयोग चित्रात्मक प्रतिनिधित्व में प्रमुख स्तरों और प्रमुख तनावों को खोजने के लिए भी किया जा सकता है, और ऐसा करने के सबसे आसान तरीकों में से एक है। एक निरंतरता के रूप में मानी गई सामग्री पर तनाव विश्लेषण करने के बाद, एक विशेष सामग्री बिंदु पर कॉची तनाव टेंसर के घटकों को एक समन्वय प्रणाली के संबंध में जाना जाता है। मोहर वृत्त का उपयोग फिर एक घूर्णित निर्देशांक प्रणाली पर कार्य करने वाले तनाव घटकों को ग्राफिक रूप से निर्धारित करने के लिए किया जाता है, यानी उस बिंदु से गुजरने वाले एक अलग उन्मुख तल पर कार्य करना। वृत्त पर प्रत्येक बिंदु के एब्सिसा और ऑर्डिनेट (,) घूर्णित निर्देशांक प्रणाली पर कार्य करते हुए क्रमशः सामान्य तनाव और अपरूपण तनाव घटकों के परिमाण हैं। दूसरे शब्दों में, वृत्त उन बिंदुओं का स्थान है जो अलग-अलग विमानों पर उनके सभी अभिविन्यासों पर तनाव की स्थिति का प्रतिनिधित्व करते हैं, जहां अक्ष तनाव तत्व के प्रमुख अक्षों का प्रतिनिधित्व करते हैं। 19वीं शताब्दी के जर्मन इंजीनियर कार्ल कलमैन ने झुकने के दौरान क्षैतिज किरणों में अनुदैर्ध्य और ऊर्ध्वाधर तनावों पर विचार करते हुए तनावों के लिए एक चित्रमय प्रतिनिधित्व की कल्पना करने वाले पहले व्यक्ति थे। उनके काम ने साथी जर्मन इंजीनियर क्रिश्चियन ओटो मोहर (वृत्त के नाम) को प्रेरित किया, जिन्होंने इसे दो-और त्रि-आयामी तनाव दोनों तक बढ़ाया और तनाव वृत्त के आधार पर एक विफलता मानदंड विकसित किया। एक बिंदु पर तनाव अवस्था के प्रतिनिधित्व के लिए वैकल्पिक चित्रमय विधियों में लैमे का तनाव दीर्घवृत्त और कॉची का तनाव चतुर्भुज शामिल हैं। मोहर वृत्त को किसी भी सममित 2x2 टेंसर मैट्रिक्स पर लागू किया जा सकता है, जिसमें जड़ता टेंसर का तनाव और क्षण शामिल हैं। अभिप्रेरणा आंतरिक बल एक विकृत वस्तु के कणों के बीच उत्पन्न होते हैं, जिन्हें एक निरंतरता के रूप में माना जाता है, लागू बाहरी बलों की प्रतिक्रिया के रूप में, यानी, या तो सतह बल या शरीर बल। यह प्रतिक्रिया एक निरंतरता के लिए यूलर के गति के नियमों का अनुसरण करती है, जो एक कण के लिए न्यूटन के गति के नियमों के बराबर हैं। इन आंतरिक बलों की तीव्रता के माप को तनाव कहा जाता है। चूँकि वस्तु को एक निरंतरता के रूप में माना जाता है, ये आंतरिक बल वस्तु के आयतन के भीतर लगातार वितरित किए जाते हैं। इंजीनियरिंग में, उदाहरण के लिए, संरचनात्मक, यांत्रिक या भू-तकनीकी, किसी वस्तु के भीतर तनाव वितरण, उदाहरण के लिए एक सुरंग, हवाई जहाज के पंखों या भवन स्तंभों के आसपास एक चट्टान के द्रव्यमान में तनाव, एक तनाव विश्लेषण के माध्यम से निर्धारित किया जाता है। तनाव वितरण की गणना करने का अर्थ है वस्तु में प्रत्येक बिंदु (भौतिक कण) पर तनाव का निर्धारण। कौची के अनुसार, किसी वस्तु (चित्र 2) में किसी भी बिंदु पर तनाव, जिसे एक निरंतरता के रूप में माना जाता है, पूरी तरह से कौची तनाव टेंसर के रूप में जाने जाने वाले प्रकार (2,0) के दूसरे क्रम के टेंसर के नौ तनाव घटकों द्वारा परिभाषित किया जाता हैः एक समन्वय प्रणाली के संबंध में वस्तु के भीतर तनाव वितरण निर्धारित होने के बाद, एक घूर्णित समन्वय प्रणाली के संबंध में एक विशेष सामग्री बिंदु पर तनाव टेंसर के घटकों की गणना करना आवश्यक हो सकता है, यानी, उस रुचि के बिंदु से गुजरने वाले एक अलग अभिविन्यास के साथ एक विमान पर कार्य करने वाले तनाव-समन्वय प्रणाली (चित्र 3) के साथ एक कोण बनाते हैं। उदाहरण के लिए, अधिकतम सामान्य तनाव और अधिकतम कतरनी तनाव के साथ-साथ उन विमानों के अभिविन्यास का पता लगाना दिलचस्प है जहां वे कार्य करते हैं। इसे प्राप्त करने के लिए, समन्वय प्रणाली के घूर्णन के तहत एक टेंसर परिवर्तन करना आवश्यक है। टेंसर की परिभाषा से, कौची तनाव टेंसर टेंसर परिवर्तन नियम का पालन करता है। कौची तनाव टेंसर के लिए इस परिवर्तन नियम का एक चित्रमय प्रतिनिधित्व तनाव के लिए मोहर वृत्त है। दो आयामी तनाव की स्थिति के लिए मोहर का वृत्त दो आयामों में, किसी भी दो लंबवत दिशाओं के संबंध में किसी दिए गए भौतिक बिंदु पर तनाव टेंसर को पूरी तरह से केवल तीन तनाव घटकों द्वारा परिभाषित किया जाता है। विशेष समन्वय प्रणाली के लिए ये तनाव घटक हैंः सामान्य तनाव और, और कतरनी तनाव। कोणीय संवेग के संतुलन से, कौची तनाव टेंसर की समरूपता का प्रदर्शन किया जा सकता है। यह समरूपता इसका तात्पर्य है। इस प्रकार, कौची तनाव टेंसर को इस प्रकार लिखा जा सकता हैः इसका उद्देश्य दबाव घटकों को खोजने के लिए मोहर वृत्त का उपयोग करना है और एक घूर्णित निर्देशांक प्रणाली पर, यानी-तल से गुजरने वाले और लंबवत एक अलग उन्मुख तल पर (चित्र 4)। घूर्णित निर्देशांक प्रणाली मूल निर्देशांक प्रणाली के साथ एक कोण बनाती है। मोहर वृत्त का समीकरण समतल तनाव और समतल तनाव के द्वि-आयामी मामलों के लिए मोहर वृत्त का समीकरण प्राप्त करने के लिए, पहले एक भौतिक बिंदु (चित्र 4) के आसपास एक द्वि-आयामी असीम सामग्री तत्व पर विचार करें, जिसमें-तल के समानांतर दिशा में एक इकाई क्षेत्र, यानी पृष्ठ या स्क्रीन के लंबवत हो। असीम तत्व पर बलों के संतुलन से, सामान्य तनाव और अपरूपण तनाव के परिमाण इस प्रकार दिए जाते हैंः {। वर्ग = "टोक्कलर संकुचित" चौड़ाई = "60 प्रतिशत" शैली = "पाठ-संरेखितः बाएँ"! मोहर के वृत्त पैरामीट्रिक समीकरणों की व्युत्पत्ति-बलों का संतुलन।-|From (-अक्ष) की दिशा में बलों का संतुलन (चित्र 4), और यह जानते हुए कि तल का क्षेत्र जहां कार्य करता है, हमारे पास हैः हालाँकि, यह जानते हुए कि हम अब प्राप्त करते हैं, (-अक्ष) (चित्र 4) की दिशा में बलों के संतुलन से, और यह जानते हुए कि मोह्र के वृत्त पैरामीट्रिक समीकरणों की व्युत्पत्ति-टेंसर परिवर्तन।-|The तनाव टेंसर परिवर्तन नियम को दाहिने हाथ की ओर विस्तार के रूप में कहा जा सकता है, और यह जानते हुए कि हमारे पास हैः हालाँकि, यह जानते हुए कि हम प्राप्त करते हैं हालाँकि, यह जानते हुए कि हम प्राप्त करते हैं इस समय आवश्यक नहीं है कि हम क्रिया के तल के लंबवत तल पर कार्य करने वाले तनाव घटक की गणना करें क्योंकि मोहर वृत्त के लिए समीकरण प्राप्त करने के लिए इसकी आवश्यकता नहीं है। ।} ये दोनों समीकरण मोहर वृत्त के पैरामीट्रिक समीकरण हैं। इन समीकरणों में, पैरामीटर है, और और निर्देशांक हैं। इसका मतलब है कि एब्सिसा और ऑर्डिनेट के साथ एक समन्वय प्रणाली का चयन करके, पैरामीटर को मान देने से प्राप्त अंकों को एक वृत्त पर रखा जाएगा। इन पैरामीट्रिक समीकरणों से पैरामीटर को समाप्त करने से मोहर वृत्त का गैर-पैरामीट्रिक समीकरण प्राप्त होगा। इसे और के लिए समीकरणों को पुनर्व्यवस्थित करके प्राप्त किया जा सकता है, पहले पहले समीकरण में पहले पद को स्थानांतरित करके और प्रत्येक समीकरण के दोनों पक्षों को वर्ग करके फिर उन्हें जोड़ा जा सकता है। इस प्रकार हमारे पास कहाँ है यह निर्देशांक प्रणाली में निर्देशांक के साथ एक बिंदु पर केंद्रित त्रिज्या के साथ एक वृत्त (मोहर वृत्त) का समीकरण है। मोहर वृत्त का उपयोग करते समय संकेत सम्मेलनों के दो अलग-अलग समूह हैं जिन पर विचार करने की आवश्यकता हैः "भौतिक स्थान" में तनाव घटकों के लिए एक संकेत सम्मेलन, और दूसरा "मोहर-सर्कल-स्पेस" में तनाव घटकों के लिए। इसके अलावा, संकेत परंपराओं के दो सेटों में से प्रत्येक के भीतर, इंजीनियरिंग यांत्रिकी (संरचनात्मक इंजीनियरिंग और यांत्रिक इंजीनियरिंग) साहित्य भू-यांत्रिकी साहित्य से एक अलग संकेत परंपरा का पालन करता है। कोई मानक संकेत परंपरा नहीं है, और एक विशेष संकेत परंपरा का चयन हाथ में विशेष समस्या के लिए गणना और व्याख्या की सुविधा से प्रभावित होता है। इन संकेत परंपराओं का अधिक विस्तृत विवरण नीचे प्रस्तुत किया गया है। चित्र 4 का उपयोग करके मोहर वृत्त के समीकरण के लिए पिछली व्युत्पत्ति इंजीनियरिंग यांत्रिकी संकेत परंपरा का अनुसरण करती है। इस लेख के लिए इंजीनियरिंग यांत्रिकी संकेत परंपरा का उपयोग किया जाएगा। भौतिक-अंतरिक्ष संकेत परिपाटी कॉची तनाव टेंसर (चित्र 3 और चित्र 4) की परिपाटी से, तनाव घटकों में पहला अभिलिखन उस चेहरे को दर्शाता है जिस पर तनाव घटक कार्य करता है, और दूसरा अभिलिखन तनाव घटक की दिशा को इंगित करता है। इस प्रकार-अक्ष की सकारात्मक दिशा में और-अक्ष की सकारात्मक दिशा में सामान्य सदिश के साथ चेहरे पर कार्य करने वाला कतरनी तनाव है। भौतिक-अंतरिक्ष संकेत परिपाटी में, सकारात्मक सामान्य तनाव क्रिया के तल (तनाव) के लिए बाहर की ओर होते हैं, और नकारात्मक सामान्य तनाव क्रिया के तल (संपीड़न) के लिए अंदर की ओर होते हैं (चित्र 5)। भौतिक-अंतरिक्ष संकेत परिपाटी में, सकारात्मक कतरनी तनाव एक अक्ष की सकारात्मक दिशा में भौतिक तत्व के सकारात्मक चेहरों पर कार्य करते हैं। इसके अलावा, सकारात्मक कतरनी तनाव एक अक्ष की नकारात्मक दिशा में भौतिक तत्व के नकारात्मक चेहरों पर कार्य करते हैं। एक सकारात्मक चेहरे का अपना सामान्य सदिश एक अक्ष की सकारात्मक दिशा में होता है, और एक नकारात्मक चेहरे का अपना सामान्य सदिश एक अक्ष की नकारात्मक दिशा में होता है। उदाहरण के लिए, कतरनी दबाव डालती है और सकारात्मक होती है क्योंकि वे सकारात्मक चेहरों पर कार्य करती हैं, और वे क्रमशः-अक्ष और-अक्ष की सकारात्मक दिशा में भी कार्य करती हैं (चित्र 3)। इसी तरह, संबंधित विपरीत कतरनी तनाव और नकारात्मक चेहरों में कार्य करने का एक नकारात्मक संकेत होता है क्योंकि वे क्रमशः-अक्ष और-अक्ष की नकारात्मक दिशा में कार्य करते हैं। मोहर-सर्कल-स्पेस साइन कन्वेंशन मोहर-सर्कल-स्पेस साइन कन्वेंशन में, सामान्य तनावों का संकेत भौतिक-अंतरिक्ष संकेत कन्वेंशन में सामान्य तनावों के समान होता हैः सकारात्मक सामान्य तनाव क्रिया के तल के लिए बाहर की ओर कार्य करते हैं, और नकारात्मक सामान्य तनाव क्रिया के तल के अंदर की ओर कार्य करते हैं। हालाँकि, भौतिक स्थान में परिपाटी की तुलना में मोहर-वृत्त स्थान में कतरनी का एक अलग परिपाटी है। मोहर-सर्कल-स्पेस साइन कन्वेंशन में, सकारात्मक कतरनी तनाव सामग्री तत्व को घड़ी की विपरीत दिशा में घुमाते हैं, और नकारात्मक कतरनी तनाव सामग्री को घड़ी की दिशा में घुमाते हैं। इस तरह, मोहर-वृत्त स्थान में कतरनी तनाव घटक सकारात्मक है, और मोहर-वृत्त स्थान में कतरनी तनाव घटक नकारात्मक है। मोहर-वृत्त स्थान को खींचने के लिए दो विकल्प मौजूद हैं, जो गणितीय रूप से सही मोहर वृत्त का उत्पादन करते हैंः सकारात्मक कतरनी तनाव को ऊपर की ओर प्लॉट किया जाता है (चित्र 5, साइन कन्वेंशन #1) सकारात्मक कतरनी तनाव को नीचे की ओर प्लॉट किया जाता है, यानी-अक्ष उल्टा होता है (चित्र 5, साइन कन्वेंशन #2)। सकारात्मक कतरनी तनावों को ऊपर की ओर प्लॉट करने से मोहर वृत्त पर कोण का सकारात्मक घूर्णन घड़ी की दिशा में होता है, जो भौतिक अंतरिक्ष परिपाटी के विपरीत है। यही कारण है कि कुछ लेखक सकारात्मक अपरूपण तनाव को नीचे की ओर प्लॉट करना पसंद करते हैं, जिससे मोहर वृत्त पर कोण का घड़ी की विपरीत दिशा में सकारात्मक घूर्णन होता है, जो अपरूपण तनाव के लिए भौतिक स्थान परिपाटी के समान है। मोहर-वृत्त स्थान में कतरनी तनाव अक्ष को नीचे की ओर रखने के "मुद्दे" को दूर करने के लिए, एक वैकल्पिक संकेत परंपरा है जहां सकारात्मक कतरनी तनाव को सामग्री तत्व को घड़ी की दिशा में घुमाने के लिए माना जाता है और नकारात्मक कतरनी तनाव को सामग्री तत्व को घड़ी की विपरीत दिशा में घुमाने के लिए माना जाता है (चित्र 5, विकल्प 3)। इस तरह, सकारात्मक कतरनी तनाव को मोहर-वृत्त स्थान में ऊपर की ओर प्लॉट किया जाता है और मोहर-वृत्त स्थान में कोण का घड़ी की विपरीत दिशा में एक सकारात्मक घूर्णन होता है। यह वैकल्पिक संकेत परिपाटी एक वृत्त उत्पन्न करती है जो चित्र 5 में संकेत परिपाटी #2 के समान है क्योंकि एक सकारात्मक अपरूपण तनाव भी एक घड़ी की विपरीत दिशा में अपरूपण तनाव है, और दोनों को नीचे की ओर प्लॉट किया गया है। इसके अलावा, एक नकारात्मक कतरनी तनाव एक घड़ी की दिशा में कतरनी तनाव है, और दोनों को ऊपर की ओर प्लॉट किया गया है। यह लेख भौतिक स्थान के लिए इंजीनियरिंग यांत्रिकी संकेत परंपरा और मोहर-वृत्त स्थान के लिए वैकल्पिक संकेत परंपरा का अनुसरण करता है (चित्र 5 में संकेत परंपरा #3) मोहर का वृत्त आरेखित करना यह मानते हुए कि हम तनाव घटकों को जानते हैं, और अध्ययन के तहत वस्तु में एक बिंदु पर, जैसा कि चित्र 4 में दिखाया गया है, तनाव की स्थिति के लिए मोहर वृत्त का निर्माण करने के लिए निम्नलिखित चरण हैंः क्षैतिज-अक्ष और एक ऊर्ध्वाधर-अक्ष के साथ कार्टेशियन निर्देशांक प्रणाली बनाएँ। दो बिंदुओं को प्लॉट करें और दोनों लंबवत विमानों पर ज्ञात तनाव घटकों के अनुरूप स्थान में और, क्रमशः (चित्र 4 और 6), चुने गए संकेत परंपरा का पालन करते हुए। बिन्दुओं को जोड़कर और एक सीधी रेखा के साथ वृत्त का व्यास बनाएँ। मोहर वृत्त बनाएँ। वृत्त का केंद्र व्यास रेखा का मध्य बिंदु है, जो अक्ष के साथ इस रेखा के प्रतिच्छेदन से मेल खाता है। प्रमुख सामान्य तनावों का पता लगाना प्रमुख तनावों का परिमाण बिंदुओं के एब्सिसा हैं और (चित्र 6) जहां वृत्त-अक्ष को काटता है। प्रमुख प्रमुख तनाव का परिमाण हमेशा इन दो बिंदुओं में से किसी एक के एब्सिसा का सबसे बड़ा निरपेक्ष मूल्य होता है। इसी तरह, लघु प्रधान तनाव का परिमाण हमेशा इन दो बिंदुओं के एब्सिसा का सबसे कम निरपेक्ष मूल्य होता है। जैसा कि अपेक्षित था, इन दो बिंदुओं के अध्यादेश शून्य हैं, जो प्रमुख विमानों पर कतरनी तनाव घटकों के परिमाण के अनुरूप हैं। वैकल्पिक रूप से, प्रमुख तनावों के मानों को पाया जा सकता है जहां औसत सामान्य तनाव का परिमाण केंद्र का एब्सिसा है, जो वृत्त की त्रिज्या की लंबाई (दो बिंदुओं से गुजरने वाले वृत्त के समीकरण के आधार पर) द्वारा दिया जाता है, अधिकतम और न्यूनतम अपरूपण तनावों को खोजने द्वारा दिया जाता है अधिकतम और न्यूनतम अपरूपण तनाव वृत्त पर क्रमशः उच्चतम और निम्नतम बिंदुओं के अध्यादेशों के अनुरूप होते हैं। ये बिंदु वृत्त के केंद्र से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा के साथ वृत्त के प्रतिच्छेदन पर स्थित हैं। इस प्रकार, अधिकतम और न्यूनतम कतरनी तनाव का परिमाण वृत्त की त्रिज्या के मूल्य के बराबर होता है एक मनमाना तल पर तनाव घटकों को ढूंढना जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, द्वि-आयामी तनाव विश्लेषण किए जाने के बाद हम तनाव घटकों को जानते हैं, और एक भौतिक बिंदु पर। ये तनाव घटक दो लंबवत तलों में कार्य करते हैं और चित्र 5 और 6 में दिखाए गए अनुसार गुजरते हैं। मोहर वृत्त का उपयोग तनाव घटकों को खोजने के लिए किया जाता है और, यानी, वृत्त पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक, समतल के साथ एक कोण बनाने से गुजरने वाले किसी भी अन्य तल पर कार्य करते हैं। इसके लिए, दो दृष्टिकोणों का उपयोग किया जा सकता हैः दोहरे कोण, और ध्रुव या विमानों की उत्पत्ति। दोहरे कोण जैसा कि चित्र 6 में दिखाया गया है, एक समतल पर घड़ी की विपरीत दिशा में एक कोण पर कार्य करने वाले तनाव घटकों को निर्धारित करने के लिए, जिस पर हम कार्य करते हैं, हम ज्ञात तनाव बिंदु से बिंदु तक वृत्त के चारों ओर एक ही घड़ी की विपरीत दिशा में एक कोण की यात्रा करते हैं, अर्थात, रेखाओं के बीच और मोहर वृत्त में एक कोण। दोहरे कोण का दृष्टिकोण इस तथ्य पर निर्भर करता है कि किसी भी दो भौतिक तल से गुजरने वाले सामान्य वैक्टरों के बीच का कोण (चित्र 4) मोहर वृत्त और वृत्त के केंद्र पर उनके संबंधित तनाव बिंदुओं को जोड़ने वाली दो रेखाओं के बीच का आधा कोण है। यह दोहरा कोण संबंध इस तथ्य से आता है कि मोहर वृत्त के लिए पैरामीट्रिक समीकरण एक फलन हैं। यह भी देखा जा सकता है कि चित्र 5 के आसपास के समतल और भौतिक तत्व में एक कोण द्वारा अलग किया गया है, जिसे मोहर वृत्त में एक कोण (कोण का दोगुना) द्वारा दर्शाया गया है। ध्रुव या विमानों की उत्पत्ति दूसरे दृष्टिकोण में मोहर वृत्त पर एक बिंदु का निर्धारण शामिल है जिसे ध्रुव या विमानों की उत्पत्ति कहा जाता है। ध्रुव से खींची गई कोई भी सीधी रेखा मोहर वृत्त को एक ऐसे बिंदु पर काटती है जो अंतरिक्ष में उसी अभिविन्यास (समानांतर) पर झुके हुए तल पर तनाव की स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है। इसलिए, तनाव घटकों को जानने और किसी विशेष तल पर, कोई भी विशेष निर्देशांक और मोहर वृत्त के माध्यम से उस तल के समानांतर एक रेखा खींच सकता है और ध्रुव को मोहर वृत्त के साथ ऐसी रेखा के प्रतिच्छेदन के रूप में पा सकता है। एक उदाहरण के रूप में, मान लीजिए कि हमारे पास तनाव घटकों के साथ तनाव की स्थिति है, और, जैसा कि चित्र 7 में दिखाया गया है। सबसे पहले, हम क्रिया के तल के समानांतर बिंदु से एक रेखा खींच सकते हैं, या, यदि हम अन्यथा चुनते हैं, तो क्रिया के तल के समानांतर बिंदु से एक रेखा। मोहर वृत्त के साथ इन दोनों रेखाओं में से किसी एक का प्रतिच्छेदन ध्रुव है। एक बार जब ध्रुव का निर्धारण हो जाता है, तो ऊर्ध्वाधर के साथ एक कोण बनाने वाले तल पर तनाव की स्थिति का पता लगाने के लिए, या दूसरे शब्दों में एक समतल जिसका सामान्य सदिश क्षैतिज तल के साथ एक कोण बनाता है, तो हम ध्रुव से उस तल के समानांतर एक रेखा खींच सकते हैं (चित्र 7 देखें)। उस तल पर सामान्य और अपरूपण दबाव तब रेखा और मोहर वृत्त के बीच प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक होते हैं। प्रमुख विमानों के अभिविन्यास का पता लगाना उन विमानों का अभिविन्यास जहां अधिकतम और न्यूनतम प्रमुख तनाव कार्य करते हैं, जिन्हें प्रमुख विमानों के रूप में भी जाना जाता है, को मोहर वृत्त में कोणों को मापकर निर्धारित किया जा सकता है, क्रमशः ए. एन. टी. बी. ओ. सी. और ए. एन. टी. बी. ओ. ई., और उन कोणों में से प्रत्येक का आधा लेते हुए। इस प्रकार, और के बीच का कोण ए. एन. टी. बी. ओ. सी. उस कोण से दोगुना है जो प्रमुख मुख्य तल समतल के साथ बनाता है। कोण और निम्नलिखित समीकरण से भी पाया जा सकता है यह समीकरण दो मानों को परिभाषित करता है जिनके लिए अलग हैं (चित्र)। यह समीकरण सीधे वृत्त की ज्यामिति से प्राप्त किया जा सकता है, या शून्य के बराबर के लिए वृत्त के पैरामीट्रिक समीकरण बनाकर (प्रमुख तलों में कतरनी तनाव हमेशा शून्य होता है)। उदाहरण के लिए चित्र 8 और चित्र 9 में दिखाए गए तनाव की स्थिति के तहत एक भौतिक तत्व को मान लें, जिसकी एक तरफ का तल क्षैतिज तल के संबंध में 10° उन्मुख है। मोहर वृत्त का उपयोग करके, ज्ञात कीजिएः उनके कार्यस्थलों का अभिविन्यास। अधिकतम कतरनी उनके कार्य स्तरों पर जोर देती है और उनका अभिविन्यास करती है। क्षैतिज तल पर तनाव घटक। तनाव परिवर्तन सूत्र या तनाव परिवर्तन नियम का उपयोग करके उत्तरों की जाँच करें। समाधानः भौतिक स्थान के लिए इंजीनियरिंग यांत्रिकी संकेत परंपरा का पालन करते हुए (चित्र 5), इस उदाहरण में भौतिक तत्व के लिए तनाव घटक हैंः तनाव की इस विशेष स्थिति के लिए मोहर वृत्त को खींचने के चरणों का पालन करते हुए, हम पहले-अक्ष के साथ ऊपर की ओर एक कार्टेशियन निर्देशांक प्रणाली बनाते हैं। फिर हम दो बिंदुओं ए (50,40) और बी (-10,-40) को प्लॉट करते हैं, जो विमान ए और बी पर तनाव की स्थिति का प्रतिनिधित्व करते हैं जैसा कि चित्र 8 और चित्र 9 दोनों में दिखाया गया है। ये बिंदु मोहर-वृत्त स्थान (चित्र 5) के लिए इंजीनियरिंग यांत्रिकी संकेत परंपरा का पालन करते हैं, जो मानते हैं कि सकारात्मक सामान्य पदार्थ सामग्री तत्व से बाहर की ओर दबाव डालते हैं, और सकारात्मक अपरूपण पदार्थ तत्व को घड़ी की दिशा में घुमाने वाले प्रत्येक तल पर दबाव डालते हैं। इस तरह, तल बी पर कार्य करने वाला अपरूपण तनाव नकारात्मक है और तल ए पर कार्य करने वाला अपरूपण तनाव सकारात्मक है। वृत्त का व्यास बिंदु ए और बी को जोड़ने वाली रेखा है। वृत्त का केंद्र-अक्ष के साथ इस रेखा का प्रतिच्छेदन है। केंद्र के स्थान और व्यास की लंबाई दोनों को जानते हुए, हम तनाव की इस विशेष स्थिति के लिए मोहर वृत्त को प्लॉट करने में सक्षम हैं। दोनों बिंदु ई और सी (चित्र 8 और चित्र 9) के एब्सिसा-अक्ष को काटते हुए क्रमशः न्यूनतम और अधिकतम सामान्य तनावों के परिमाण हैं; दोनों बिंदु ई और सी के अध्यादेश क्रमशः लघु और प्रमुख दोनों प्रमुख विमानों पर कार्य करने वाले अपरूपण तनावों के परिमाण हैं, जो प्रमुख विमानों के लिए शून्य है। भले ही मोहर वृत्त का उपयोग करने का विचार वास्तव में वृत्त पर विभिन्न बिंदुओं के निर्देशांक को मापकर विभिन्न तनाव घटकों को चित्रात्मक रूप से खोजना है, लेकिन परिणामों की विश्लेषणात्मक रूप से पुष्टि करना अधिक सुविधाजनक है। इस प्रकार, वृत्त के केंद्र की त्रिज्या और एब्सिसा हैं और प्रमुख तनाव हैं दोनों बिंदुओं एच और जी के निर्देशांक (चित्र 8 और चित्र 9) क्रमशः न्यूनतम और अधिकतम कतरनी तनाव के परिमाण हैं; दोनों बिंदुओं एच और जी के लिए एब्सिसा एक ही तल पर कार्य करने वाले सामान्य तनाव के लिए परिमाण हैं जहां क्रमशः न्यूनतम और अधिकतम कतरनी तनाव कार्य करते हैं। न्यूनतम और अधिकतम अपरूपण तनावों का परिमाण विश्लेषणात्मक रूप से उसी तल पर कार्य करने वाले सामान्य तनावों द्वारा पाया जा सकता है जहां न्यूनतम और अधिकतम अपरूपण तनाव कार्य बराबर होते हैं। हम या तो दोहरे कोण दृष्टिकोण (चित्र 8) या ध्रुव दृष्टिकोण (चित्र 9) का उपयोग करके प्रमुख सामान्य तनावों और प्रमुख अपरूपण तनावों के अभिविन्यास का पता लगा सकते हैं। दोहरे कोण के दृष्टिकोण का उपयोग करते हुए हम मोहर वृत्त (चित्र 8) में कोण ए. एन. टी. बी. ओ. सी. और ए. एन. टी. बी. ओ. ई. को मापते हैं ताकि भौतिक स्थान में समतल बी के साथ प्रमुख प्रमुख तनाव और लघु प्रमुख तनाव के दोहरे कोण का पता लगाया जा सके। इन कोणों के लिए अधिक सटीक मूल्य प्राप्त करने के लिए, मैन्युअल रूप से कोणों को मापने के बजाय, हम विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति का उपयोग कर सकते हैं एक समाधान हैः चित्र 8 के निरीक्षण से, यह मान कोण ए. एन. टी. बी. ओ. ई. के अनुरूप है। इस प्रकार, लघु प्रमुख कोण है तब, प्रमुख प्रमुख कोण यह है कि याद रखें कि इस विशेष उदाहरण में और क्रिया के तल (-अक्ष में उन्मुख) के संबंध में कोण हैं, न कि क्रिया के तल (-अक्ष में उन्मुख) के संबंध में कोण। ध्रुव दृष्टिकोण का उपयोग करते हुए, हम पहले ध्रुव या विमानों की उत्पत्ति को स्थानीयकृत करते हैं। इसके लिए, हम मोहर वृत्त पर बिंदु ए के माध्यम से क्षैतिज के साथ 10° झुकी हुई एक रेखा खींचते हैं, या, दूसरे शब्दों में, तल ए के समानांतर एक रेखा जहां कार्य करता है। ध्रुव वह जगह है जहाँ यह रेखा मोहर वृत्त को काटती है (चित्र 9)। ध्रुव के स्थान की पुष्टि करने के लिए, हम बी तल के समानांतर मोहर वृत्त पर बिंदु बी के माध्यम से एक रेखा खींच सकते हैं जहां कार्य करता है। यह रेखा ध्रुव पर मोहर वृत्त को भी काटती है (चित्र 9)। ध्रुव से हम मोहर वृत्त पर विभिन्न बिंदुओं पर रेखाएँ खींचते हैं। उन बिंदुओं के निर्देशांक जहां ये रेखाएं मोहर वृत्त को काटती हैं, वे रेखा के समान झुकाव वाले भौतिक स्थान में एक तल पर कार्य करने वाले तनाव घटकों को इंगित करते हैं। उदाहरण के लिए, वृत्त में ध्रुव से बिंदु सी तक की रेखा का झुकाव भौतिक स्थान में तल के समान होता है जहां यह कार्य करता है। यह तल मोहर-वृत्त स्थान और भौतिक स्थान दोनों में तल B के साथ 63.435 ° का कोण बनाता है। इसी तरह, ध्रुव से बिंदु ई, डी, एफ, जी और एच तक रेखाओं का पता लगाया जाता है ताकि समान अभिविन्यास वाले विमानों पर तनाव घटकों का पता लगाया जा सके। तनावों की सामान्य त्रि-आयामी स्थिति के लिए मोहर वृत्त एक बिंदु पर तनावों के सामान्य त्रि-आयामी मामले के लिए मोहर वृत्त का निर्माण करने के लिए, प्रमुख तनावों के मूल्यों और उनकी प्रमुख दिशाओं का पहले मूल्यांकन किया जाना चाहिए। मुख्य अक्षों को समन्वय प्रणाली के रूप में मानते हुए, सामान्य के बजाय, समन्वय प्रणाली, और यह मानते हुए कि, तब तनाव सदिश के सामान्य और अपरूपण घटक, इकाई सदिश के साथ दिए गए तल के लिए, निम्नलिखित समीकरणों को संतुष्ट करते हैं, यह जानते हुए कि, हम गॉस उन्मूलन विधि का उपयोग करके हल कर सकते हैं, जो उपज देता है क्योंकि, और गैर-नकारात्मक है, इन समीकरणों के अंश विभाजक के रूप में और भाजक के रूप में संतुष्ट होते हैं और इन अभिव्यक्तियों को फिर से लिखा जा सकता है जो क्रमशः तनाव के लिए तीन मोहर वृत्तों के समीकरण हैं, और त्रिज्या के साथ, और निर्देशांक के साथ उनके केंद्र हैं। मोहर वृत्तों के लिए ये समीकरण बताते हैं कि सभी स्वीकार्य तनाव बिंदु इन वृत्तों पर या उनसे घिरे छायांकित क्षेत्र के भीतर होते हैं (चित्र 10 देखें)। वृत्त के लिए समीकरण को संतुष्ट करने वाले तनाव बिंदु वृत्त पर या बाहर होते हैं। वृत्त के लिए समीकरण को संतुष्ट करने वाले तनाव बिंदु वृत्त पर या उसके अंदर होते हैं। और अंत में, वृत्त के लिए समीकरण को संतुष्ट करने वाले तनाव बिंदु वृत्त पर या बाहर होते हैं। क्रिटिकल प्लेन एनालिसिस भी देखें संदर्भ ग्रंथ सूची रेबेका ब्रैनन डी. ओ. आई. टी. पी. ओ. एम. एस. टीचिंग एंड लर्निंग पैकेज-"स्ट्रेस एनालिसिस एंड मोहर सर्कल" शास्त्रीय यांत्रिकी लोच (भौतिकी) ठोस यांत्रिकी वृत्त द्वारा मोहर के वृत्त और अधिक वृत्तों को बाहरी लिंक करता है।