Arc (projective geometry)
परिमित प्रोजेक्टिव ज्यामिति में एक (सरल) चाप बिंदुओं का एक समूह है जो एक सहज ज्ञान युक्त तरीके से, निरंतर ज्यामिति में घुमावदार आकृतियों की एक विशेषता को संतुष्ट करता है। धीरे-धीरे कहें तो ये उन बिंदुओं के समूह हैं जो एक समतल में "रेखा जैसे" से बहुत दूर हैं या त्रि-आयामी स्थान में "समतल जैसे" से बहुत दूर हैं। इस परिमित सेटिंग में नाम में सेट में बिंदुओं की संख्या को शामिल करना विशिष्ट है, इसलिए इन सरल चापों को-आर्क्स कहा जाता है। - आर्क अवधारणा का एक महत्वपूर्ण सामान्यीकरण, जिसे साहित्य में आर्क के रूप में भी जाना जाता है, ()-आर्क हैं। एक परिमित प्रोजेक्टिव तल में (आवश्यक रूप से डेसारगुएशियन नहीं) बिंदुओं का एक समूह जिसमें कोई भी तीन बिंदु (एक रेखा पर) संरेखीय नहीं होते हैं, उन्हें {{math|k-arc}} कहा जाता है। यदि तल का क्रम है तो, हालांकि का अधिकतम मूल्य केवल तभी प्राप्त किया जा सकता है जब सम हो। क्रम के तल में, ए-आर्क को अंडाकार कहा जाता है और, यदि सम है, तो ए-आर्क को हाइपरवल कहा जाता है। डेसारग्यूशियन प्रोजेक्टिव प्लेन पीजी (2,) में प्रत्येक शंकु, यानी एक अपरिवर्तनीय सजातीय द्विघात समीकरण के शून्यों का सेट, एक अंडाकार है। बेनियामिनो सेग्रे के एक प्रसिद्ध परिणाम में कहा गया है कि जब विषम होता है, तो पीजी (2,) में प्रत्येक-आर्क एक शंकु (सेग्रे की प्रमेय) होता है। यह परिमित ज्यामिति में अग्रणी परिणामों में से एक है। यदि सम है और एक-चाप है, तो इसे संयोजन तर्कों के माध्यम से दिखाया जा सकता है कि एक अद्वितीय बिंदु मौजूद होना चाहिए (जिसे केंद्रक कहा जाता है) जैसे कि का और यह बिंदु एक (+ 2)-चाप है। इस प्रकार, प्रत्येक अंडाकार को विशिष्ट रूप से सम क्रम के एक परिमित प्रोजेक्टिव तल में एक हाइपरवल तक बढ़ाया जा सकता है। ए-आर्क जिसे बड़े चाप तक नहीं बढ़ाया जा सकता है, उसे पूर्ण चाप कहा जाता है। डेसारग्यूशियन प्रोजेक्टिव प्लेन, पीजी (2,) में, कोई-आर्क पूरा नहीं होता है, इसलिए उन सभी को अंडाकार तक बढ़ाया जा सकता है। एक प्रोजेक्टिव स्पेस में-आर्क्स परिमित प्रोजेक्टिव स्पेस में पीजी () के साथ, बिंदुओं का एक समूह जैसे कि एक सामान्य हाइपरप्लेन में कोई बिंदु नहीं होता है, जिसे ए (स्थानिक)-आर्क कहा जाता है। यह परिभाषा एक तल (जहाँ) में एक-आर्क की परिभाषा को सामान्यीकृत करती है। ()-arcs एक प्रोजेक्टिव प्लेन A ()-arc () में एक परिमित प्रोजेक्टिव प्लेन (जरूरी नहीं कि डेसारगुएशियन) में इस तरह के बिंदुओं का एक समूह है कि प्रत्येक रेखा अधिकांश बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है, और कम से कम एक रेखा होती है जो बिंदुओं में प्रतिच्छेद करती है। A ()-arc एक-arc है और इसे केवल एक चाप के रूप में संदर्भित किया जा सकता है यदि आकार एक चिंता का विषय नहीं है। क्रम के एक प्रोजेक्टिव तल में a ()-arc के बिंदुओं की संख्या अधिक से अधिक होती है। जब समानता होती है, तो इसे अधिकतम चाप कहा जाता है। हाइपरोवल अधिकतम चाप होते हैं। पूर्ण चापों को अधिकतम चाप होने की आवश्यकता नहीं है। सामान्य तर्कसंगत वक्र टिप्पणियाँ भी देखें संदर्भ बाहरी लिंक प्रोजेक्टिव ज्यामिति घटना ज्यामिति