Semisimple Lie algebra
गणित में, एक लाइ बीजगणित अर्ध-सरल है यदि यह सरल लाइ बीजगणित का प्रत्यक्ष योग है। (एक सरल लाइ बीजगणित एक गैर-एबेलियन लाइ बीजगणित है जिसमें कोई गैर-शून्य उचित आदर्श नहीं है)। पूरे लेख में, जब तक कि अन्यथा नहीं कहा गया है, एक लाइ बीजगणित विशेषता 0 के क्षेत्र पर एक परिमित-आयामी लाइ बीजगणित है। ऐसे लाइ बीजगणित के लिए, यदि गैर-शून्य है, तो निम्नलिखित शर्तें समतुल्य हैंः अर्ध-सरल है; हत्या रूप, κ (x, y) = tr (ad (x) ad (y)), गैर-अपक्षयी है; कोई गैर-शून्य अबेलियन आदर्श नहीं है; कोई गैर-शून्य समाधान योग्य आदर्श नहीं है; का मूल (अधिकतम समाधान योग्य आदर्श) शून्य है। महत्व अर्ध-सरलीकरण का महत्व सबसे पहले लेवी अपघटन से आता है, जिसमें कहा गया है कि प्रत्येक परिमित आयामी लाइ बीजगणित एक हल करने योग्य आदर्श (इसके मूल) और एक अर्ध-सरल बीजगणित का अर्ध-अप्रत्यक्ष उत्पाद है। विशेष रूप से, कोई गैर-शून्य लाइ बीजगणित नहीं है जो हल करने योग्य और अर्ध-सरल दोनों हो। सेमीसिम्पल लाइ अलजेब्रा में एक बहुत ही सुरुचिपूर्ण वर्गीकरण है, जो हल करने योग्य लाइ अलजेब्रा के बिल्कुल विपरीत है। लाक्षणिकता शून्य के बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर अर्ध-सरल लाइ बीजगणकों को पूरी तरह से उनकी मूल प्रणाली द्वारा वर्गीकृत किया जाता है, जिन्हें बदले में डायंकिन आरेखों द्वारा वर्गीकृत किया जाता है। गैर-बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्रों पर अर्ध-सरल बीजगणित को बीजगणितीय समापन के संदर्भ में समझा जा सकता है, हालांकि वर्गीकरण कुछ अधिक जटिल है; वास्तविक अर्ध-सरल लाइ बीजगणित के मामले के लिए वास्तविक रूप देखें, जिन्हें एली कार्टन द्वारा वर्गीकृत किया गया था। इसके अलावा, अर्ध-सरल लाइ बीजगणित का प्रतिनिधित्व सिद्धांत सामान्य लाइ बीजगणित की तुलना में बहुत अधिक स्वच्छ है। उदाहरण के लिए, एक अर्ध-सरल लाइ बीजगणित में जॉर्डन अपघटन इसके प्रतिनिधित्व में जॉर्डन अपघटन के साथ मेल खाता है; सामान्य रूप से लाइ बीजगणित के लिए ऐसा नहीं है। यदि अर्ध-सरल है, तो। विशेष रूप से, प्रत्येक रैखिक अर्ध-सरल लाइ बीजगणित, विशेष रैखिक लाइ बीजगणित का एक उप-बीजगणित है। संरचना का अध्ययन अर्ध-सरल लाइ अल्जेब्रा के लिए प्रतिनिधित्व सिद्धांत का एक महत्वपूर्ण हिस्सा है। जटिल संख्याओं पर अर्ध-सरल लाइ बीजगणित को पहली बार विल्हेम किलिंग (1888-90) द्वारा वर्गीकृत किया गया था, हालांकि उनके प्रमाण में कठोरता का अभाव था। उनके प्रमाण को एली कार्टन (1894) ने अपने पीएचडी थीसिस में कठोर बनाया था, जिन्होंने अर्ध-सरल वास्तविक लाइ अल्जेब्रा को भी वर्गीकृत किया था। इसे बाद में परिष्कृत किया गया और डिंकिन आरेखों द्वारा वर्तमान वर्गीकरण 1947 में तत्कालीन 22 वर्षीय यूजीन डिंकिन द्वारा दिया गया था। कुछ मामूली संशोधन किए गए हैं (विशेष रूप से जे. पी. सेरे द्वारा), लेकिन प्रमाण अपने आवश्यक में अपरिवर्तित है और किसी भी मानक संदर्भ में पाया जा सकता है, जैसे कि। बुनियादी गुण अर्ध-सरल लाइ अल्जेब्रा का प्रत्येक आदर्श, भागफल और उत्पाद फिर से अर्ध-सरल है। एक अर्ध-सरल लाइ बीजगणित का केंद्र तुच्छ है (क्योंकि केंद्र एक अबेलियन आदर्श है)। दूसरे शब्दों में, संलग्न प्रतिनिधित्व इंजेक्टिव है। इसके अलावा, छवि व्युत्पन्न की निकली है। अतः यह एक समरूपता है। (यह व्हाइटहेड के लेम्मा का एक विशेष मामला है।) चूंकि संलग्न प्रतिनिधित्व इंजेक्टिव है, एक अर्ध-सरल लाइ बीजगणित संलग्न प्रतिनिधित्व के तहत एक रैखिक लाइ बीजगणित है। इससे कुछ अस्पष्टता पैदा हो सकती है, क्योंकि प्रत्येक लाइ बीजगणित पहले से ही किसी अन्य सदिश स्थान (एडो की प्रमेय) के संबंध में रैखिक है, हालांकि आवश्यक रूप से संलग्न प्रतिनिधित्व के माध्यम से नहीं। लेकिन व्यवहार में, ऐसी अस्पष्टता शायद ही कभी होती है। यदि एक अर्ध-सरल लाइ बीजगणित है, तो (क्योंकि अर्ध-सरल और अबेलियन है)। विशेषता शून्य के क्षेत्र k पर एक परिमित-आयामी लाइ बीजगणित अर्ध-सरल है यदि और केवल तभी जब प्रत्येक क्षेत्र विस्तार के लिए आधार विस्तार अर्ध-सरल हो। इस प्रकार, उदाहरण के लिए, एक परिमित-आयामी वास्तविक लाइ बीजगणित अर्ध-सरल है यदि और केवल तभी जब इसका जटिलता अर्ध-सरल हो। जॉर्डन अपघटन विशेषता शून्य के क्षेत्र पर एक परिमित-आयामी सदिश स्थान के प्रत्येक एंडोमोर्फिज्म x को विशिष्ट रूप से एक अर्ध-सरल (यानी, बीजगणितीय समापन पर विकर्णनीय) और नीलपोटेन्ट भाग में विघटित किया जा सकता है जैसे कि s और n एक दूसरे के साथ संचार करते हैं। इसके अलावा, s और n में से प्रत्येक x में एक बहुपद है। यह x का जॉर्डन अपघटन है। उपरोक्त एक अर्ध-सरल लाइ बीजगणित के संलग्न प्रतिनिधित्व पर लागू होता है। एक तत्व x को अर्ध-सरल (रेस्प) कहा जाता है। निलपोटेन्ट) यदि एक अर्ध-सरल (रेस्प) है। निलपोटेन्ट) प्रचालक। यदि, तो अमूर्त जॉर्डन अपघटन में कहा गया है कि x को विशिष्ट रूप से इस प्रकार लिखा जा सकता हैः जहाँ अर्ध-सरल है, नीलपोटेन्ट है और। इसके अलावा, यदि एक्स के साथ आवागमन होता है, तो यह दोनों के साथ भी आवागमन करता है। किसी भी प्रतिनिधित्व के माध्यम से अमूर्त जॉर्डन अपघटन कारक इस अर्थ में कि किसी भी प्रतिनिधित्व को ρ दिया गया है, प्रतिनिधित्व स्थान के एंडोमोर्फिज्म बीजगणित में ρ (x) का जॉर्डन अपघटन है। (यह वेल के पूर्ण अपचयन प्रमेय के परिणाम के रूप में साबित होता है; पूर्ण reducibility#Application: जॉर्डन अपघटन के संरक्षण पर वेल के प्रमेय को देखें। संरचना मान लीजिए कि यह विशेषता शून्य के बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर एक (परिमित-आयामी) अर्ध-सरल लाइ बीजगणित है। की संरचना को उस पर एक निश्चित विशिष्ट उप-बीजगणित, एक कार्टन उप-बीजगणित की एक आसन्न क्रिया द्वारा वर्णित किया जा सकता है। परिभाषा के अनुसार, एक कार्टन उप-बीजगणित (जिसे अधिकतम तोरल उप-बीजगणित भी कहा जाता है) एक अधिकतम उप-बीजगणित है जो प्रत्येक के लिए विकर्णनीय है। जैसा कि यह पता चला है, अबेलियन है और इसलिए सभी ऑपरेटर एक साथ विकर्ण हैं। के प्रत्येक रैखिक कार्यात्मक के लिए, चलो। (ध्यान दें कि यह केंद्रीयक है।) फिर (दिखाने के लिए सबसे कठिन वस्तु है। मानक प्रमाण सभी प्रतिनिधित्व सिद्धांत में कुछ तथ्यों का उपयोग करते हैं; उदाहरण के लिए, सेरे इस तथ्य का उपयोग करता है कि नकारात्मक वजन के आदिम तत्व के साथ एक-मॉड्यूल अनंत-आयामी, विरोधाभासी है।) चलो कम्यूटेशन संबंधों के साथ; यानी, के मानक आधार के अनुरूप। में रैखिक कार्यों को सापेक्ष के मूल कहा जाता है। जड़ों का विस्तार (यदि, तो शून्य प्रचालक है; यानी, केंद्र में है, जो शून्य है।) इसके अलावा, के प्रतिनिधित्व सिद्धांत से, निम्नलिखित समरूपता और अभिन्न गुणों का अनुमान लगाया जाता हैः प्रत्येक के लिए, ध्यान दें कि गुण (1) और (2) निश्चित-बिंदु सेट है, जिसका अर्थ है कि हाइपरप्लेन के संबंध में प्रतिबिंब है। उपरोक्त तब कहता है कि यह एक मूल प्रणाली है। यह एक मूल प्रणाली के सामान्य सिद्धांत का अनुसरण करता है जिसमें इस तरह का आधार होता है कि प्रत्येक मूल एक ही चिह्न के पूर्णांक गुणांक के साथ एक रैखिक संयोजन होता है; जड़ों को सरल मूल कहा जाता है। चलो, आदि। फिर तत्व (जिन्हें चेवले जनरेटर कहा जाता है) एक लाइ बीजगणित के रूप में उत्पन्न होते हैं। इसके अलावा, वे संबंधों को संतुष्ट करते हैं (जिन्हें सेरे संबंध कहा जाता है): के साथ,। इसका उल्टा भी सच हैः अर्थात, जनरेटरों द्वारा उत्पन्न लाइ बीजगणित और उपरोक्त जैसे संबंध एक (परिमित-आयामी) अर्ध-सरल लाइ बीजगणित है जिसमें ऊपर के रूप में मूल स्थान अपघटन है (बशर्ते कि एक कार्टन मैट्रिक्स हो)। यह सेर का एक प्रमेय है। विशेष रूप से, दो अर्ध-सरल लाइ अल्जेब्रा समरूप होते हैं यदि उनकी मूल प्रणाली समान होती है। एक मूल प्रणाली और सेर के प्रमेय की स्वयंसिद्ध प्रकृति का निहितार्थ यह है कि कोई भी सभी संभावित मूल प्रणालियों की गणना कर सकता है; इसलिए, "सभी संभव" अर्ध-सरल लाइ अल्जेब्रा (विशेषता शून्य के बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर सीमित-आयामी)। वेइल समूह s द्वारा उत्पन्न रैखिक परिवर्तनों का समूह है। वेइल समूह समस्या की एक महत्वपूर्ण समरूपता है; उदाहरण के लिए, वेइल समूह के तहत किसी भी परिमित-आयामी प्रतिनिधित्व के भार अपरिवर्तनीय हैं। उदाहरण एसएलएन (सी) में रूट स्पेस अपघटन के लिए और विकर्ण मैट्रिक्स के कार्टन उप-बीजगणित, द्वारा परिभाषित, जहां विकर्ण पर विकर्ण मैट्रिक्स को दर्शाता है। फिर अपघटन मानक (मैट्रिक्स) आधार के साथ वेक्टर के लिए दिया जाता है, जिसका अर्थ-th पंक्ति और-th स्तंभ में आधार वेक्टर का प्रतिनिधित्व करता है। एस. एल. 2 (सी) के इस अपघटन में एक संबंधित मूल प्रणाली होती हैः उदाहरण के लिए, अपघटन में है और संबंधित मूल प्रणाली एस. एल. 3 (सी) है अपघटन में है और संबंधित मूल प्रणाली उदाहरणों द्वारा दी गई है जैसा कि #Structure में उल्लेख किया गया है, अर्ध-सरल लाइ बीजगणित (या अधिक सामान्य रूप से विशेषता शून्य का एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र) को उनके कार्टन उप-बीजगणित से जुड़े मूल प्रणाली द्वारा वर्गीकृत किया जाता है, और मूल प्रणालियों को, बदले में, उनके डायंकिन आरेखों द्वारा वर्गीकृत किया जाता है। अर्ध-सरल लाइ बीजगणित के उदाहरण, शास्त्रीय लाइ बीजगणित, जिनके डायनकिन आरेखों से आने वाले संकेतन के साथ, हैंः, विशेष रैखिक लाइ बीजगणित। , विषम-आयामी विशेष ऑर्थोगोनल लाइ बीजगणित। , सिंप्लेक्टिक लाइ बीजगणित। , सम-आयामी विशेष ऑर्थोगोनल लाइ बीजगणित ()। परिवार में प्रतिबंध की आवश्यकता है क्योंकि यह एक-आयामी और परिवर्तनीय है और इसलिए अर्ध-सरल नहीं है। इन लाइ अल्जेब्रा को क्रमांकित किया जाता है ताकि n रैंक हो। इनमें से लगभग सभी अर्ध-सरल लाइ अल्जेब्रा वास्तव में सरल हैं और इन परिवारों के सदस्य लगभग सभी अलग-अलग हैं, सिवाय छोटी श्रेणी के कुछ टकरावों के। उदाहरण के लिए और। ये चार परिवार, पांच अपवादों (E6, E7, E8, F4 और G2) के साथ, वास्तव में जटिल संख्याओं पर एकमात्र सरल लाइ बीजगणित हैं। वर्गीकरण विशेषता 0 के बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर प्रत्येक अर्ध-सरल लाइ बीजगणित सरल लाइ बीजगणित का एक प्रत्यक्ष योग है (परिभाषा के अनुसार), और सीमित-आयामी सरल लाइ बीजगणित चार परिवारों-ए, बीएन, सीएन और डीएन में आते हैं-पांच अपवादों ई 6, ई 7, ई 8, एफ 4 और जी 2 के साथ। सरल लाइ बीजगणित को जुड़े हुए डायनकिन आरेखों द्वारा वर्गीकृत किया जाता है, जो दाईं ओर दिखाए गए हैं, जबकि अर्ध-सरल लाइ बीजगणित आवश्यक रूप से जुड़े हुए डायनकिन आरेखों के अनुरूप नहीं हैं, जहां आरेख का प्रत्येक घटक अर्ध-सरल लाइ बीजगणित के सरल लाइ बीजगणित में अपघटन के योग से मेल खाता है। वर्गीकरण एक कार्टन उप-बीजगणित (नीचे देखें) और लाइ बीजगणित पर इसकी सहायक कार्रवाई पर विचार करके आगे बढ़ता है। क्रिया की मूल प्रणाली तब दोनों मूल लाइ बीजगणित को निर्धारित करती है और इसका एक बहुत ही सीमित रूप होना चाहिए, जिसे डायंकिन आरेखों द्वारा वर्गीकृत किया जा सकता है। अधिक जानकारी के लिए कार्टन सबएलजेब्रा और रूट सिस्टम का वर्णन करने वाले नीचे दिए गए खंड को देखें। वर्गीकरण को व्यापक रूप से गणित में सबसे सुरुचिपूर्ण परिणामों में से एक माना जाता है-स्वयंसिद्ध निष्कर्षों की एक संक्षिप्त सूची, अपेक्षाकृत छोटे प्रमाण के माध्यम से, आश्चर्यजनक संरचना के साथ एक पूर्ण लेकिन गैर-तुच्छ वर्गीकरण। इसकी तुलना सीमित सरल समूहों के वर्गीकरण से की जानी चाहिए, जो काफी अधिक जटिल है। चार परिवारों की गणना गैर-अनावश्यक है और इसमें केवल सरल बीजगणित शामिल हैं यदि ए के लिए, बीएन के लिए, सीएन के लिए और डीएन के लिए। यदि कोई कम संख्या देना शुरू करता है, तो गणना निरर्थक है, और किसी में सरल लाइ बीजगणित के बीच असाधारण समरूपता होती है, जो डायनकिन आरेखों के समरूपता में परिलक्षित होते हैं; एन को नीचे भी बढ़ाया जा सकता है, लेकिन E6 के नीचे अन्य, गैर-अपवादात्मक बीजगणित के लिए समरूपता होती है। एक गैर-बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर, वर्गीकरण अधिक जटिल है-एक बीजगणितीय बंद पर सरल लाइ बीजगणित को वर्गीकृत करता है, फिर इनमें से प्रत्येक के लिए, मूल क्षेत्र पर सरल लाइ बीजगणित को वर्गीकृत करता है जिसमें यह रूप (बंद पर) होता है। उदाहरण के लिए, सरल वास्तविक लाइ बीजगणित को वर्गीकृत करने के लिए, एक दिए गए जटिलता के साथ वास्तविक लाइ बीजगणित को वर्गीकृत किया जाता है, जिन्हें जटिल लाइ बीजगणित के वास्तविक रूपों के रूप में जाना जाता है; यह साटेक आरेखों द्वारा किया जा सकता है, जो अतिरिक्त डेटा ("सजावट") के साथ डायंकिन आरेख हैं। अर्ध-सरल लाइ बीजगणित का प्रतिनिधित्व सिद्धांत मान लीजिए कि यह एक (परिमित-आयामी) अर्ध-सरल लाइ बीजगणित है जो विशेषता शून्य के बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर है। फिर, जैसा कि #Structure में है, रूट सिस्टम कहाँ है। सरल मूल चुनें; के मूल को तब धनात्मक कहा जाता है और इसे इस प्रकार दर्शाया जाता है कि क्या यह गैर-ऋणात्मक पूर्णांक गुणांक के साथ सरल मूल का एक रैखिक संयोजन है। मान लीजिए, जो बोरेल उप-बीजगणित का अधिकतम हल करने योग्य उप-बीजगणित है। मान लीजिए कि V एक (संभवतः-अनंत-आयामी) सरल-मॉड्यूल है। यदि V एक-भार सदिश को स्वीकार करता है, तो यह स्केलिंग तक अद्वितीय है और इसे V का उच्चतम भार सदिश कहा जाता है। यह एक-भार सदिश भी है और-भार, एक रैखिक कार्यात्मक, को V का उच्चतम भार कहा जाता है। तब बुनियादी लेकिन गैर-तुच्छ तथ्य (1) प्रत्येक रैखिक कार्यात्मक के लिए, एक सरल-मॉड्यूल मौजूद होता है जिसका उच्चतम वजन होता है और (2) समान उच्चतम वजन वाले दो सरल मॉड्यूल समतुल्य होते हैं। संक्षेप में, बोरेल-भार सदिश को स्वीकार करने वाले सरल-मॉड्यूल के समतुल्य वर्गों के समूह और उनके बीच एक द्विभाजन मौजूद है। अनुप्रयोगों के लिए, अक्सर एक सीमित-आयामी सरल-मॉड्यूल (एक सीमित-आयामी अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व) में रुचि होती है। यह विशेष रूप से तब होता है जब एक लाइ समूह का लाइ बीजगणित (या इस तरह का जटिलता) होता है, क्योंकि, लाइ पत्राचार के माध्यम से, एक लाइ बीजगणित प्रतिनिधित्व को एक लाइ समूह प्रतिनिधित्व में एकीकृत किया जा सकता है जब बाधाओं को दूर किया जाता है। अगला मानदंड तब इस आवश्यकता को संबोधित करता हैः सकारात्मक वेल कक्ष द्वारा, हमारा मतलब उत्तल शंकु है जहां एक अद्वितीय वेक्टर है। मानदंड तब पढ़ता हैः यदि और केवल अगर, प्रत्येक सकारात्मक मूल के लिए, (1) एक पूर्णांक है और (2) में स्थित है। उपरोक्त समतुल्य स्थिति को संतुष्ट करने वाले एक रैखिक कार्यात्मक को प्रमुख समाकलन भार कहा जाता है। इसलिए, संक्षेप में, प्रमुख समाकलन भार और परिमित-आयामी सरल-मॉड्यूल के समतुल्यता वर्गों के बीच एक द्विभाजन मौजूद है, जिसका परिणाम उच्चतम भार के प्रमेय के रूप में जाना जाता है। बारी-बारी से एक परिमित-आयामी सरल मॉड्यूल के चरित्र की गणना वेल चरित्र सूत्र द्वारा की जाती है। वेल के कारण प्रमेय कहता है कि, विशेषता शून्य के क्षेत्र पर, एक अर्ध-सरल लाइ बीजगणित का प्रत्येक परिमित-आयामी मॉड्यूल पूरी तरह से कम करने योग्य है; यानी, यह सरल-मॉड्यूल का प्रत्यक्ष योग है। इसलिए, उपरोक्त परिणाम तब एक अर्ध-सरल लाइ बीजगणित के परिमित-आयामी अभ्यावेदन पर लागू होते हैं। वास्तविक अर्ध-सरल लाइ बीजगणित एक ऐसे क्षेत्र पर अर्ध-सरल लाइ बीजगणित के लिए जिसमें विशेषता शून्य है लेकिन बीजगणितीय रूप से बंद नहीं है, कोई सामान्य संरचना सिद्धांत नहीं है जो विशेषता शून्य के बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर है। लेकिन वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र में, अभी भी संरचना परिणाम हैं। मान लीजिए कि एक परिमित-आयामी वास्तविक अर्ध-सरल लाइ बीजगणित और इसका जटिलता (जो फिर से अर्ध-सरल है) है। वास्तविक लाइ बीजगणित को एक वास्तविक रूप कहा जाता है। एक वास्तविक रूप को एक कॉम्पैक्ट रूप कहा जाता है यदि उस पर हत्या रूप नकारात्मक-निश्चित है; यह आवश्यक रूप से एक कॉम्पैक्ट लाइ समूह (इसलिए, नाम) का लाइ बीजगणित है। कॉम्पैक्ट केस मान लीजिए कि यह एक कॉम्पैक्ट रूप है और एक मैक्सिमल अबेलियन सबस्पेस है। कोई भी दिखा सकता है (उदाहरण के लिए, तथ्य से एक कॉम्पैक्ट लाइ समूह का लाइ बीजगणित है) जिसमें तिरछे-हर्मिशियाई मैट्रिक्स होते हैं, जो काल्पनिक आइगेनवैल्यू के साथ विकर्णनीय होते हैं। इसलिए, एक कार्टन उप-बीजगणित है और इसके परिणामस्वरूप मूल स्थान अपघटन (सी. एफ.) होता है। #Structure) जहाँ प्रत्येक पर वास्तविक-मूल्य है; इस प्रकार, वास्तविक वेक्टर स्थान पर एक वास्तविक-रैखिक कार्यात्मक के साथ पहचाना जा सकता है। उदाहरण के लिए, सभी विकर्ण मैट्रिक्स के उपक्षेत्र को लेते हैं। नोट करें। के लिए दिए गए रैखिक कार्यात्मक होने दें। फिर प्रत्येक के लिए, वह मैट्रिक्स कहाँ है जिसमें-th स्थान पर 1 है और कहीं और शून्य है। इसलिए, प्रत्येक रूट का रूप होता है और रूट स्पेस अपघटन मैट्रिक्स का अपघटन हैः गैर-कॉम्पैक्ट मामला मान लीजिए कि यह आवश्यक रूप से एक कॉम्पैक्ट रूप नहीं है (यानी, किलिंग फॉर्म का हस्ताक्षर सभी नकारात्मक नहीं है)। मान लीजिए, इसके अलावा, इसमें एक कार्टन इनवोल्यूशन है और इसका आइगेनस्पेस अपघटन होने दें, जहां क्रमशः 1 और-1 के लिए आइगेनस्पेस हैं। उदाहरण के लिए, यदि और नकारात्मक ट्रांसपोज़, तो। मान लीजिए कि यह एक अधिकतम अबेलियन उपक्षेत्र है। अब, सममित मैट्रिक्स (एक उपयुक्त आंतरिक उत्पाद के संबंध में) होते हैं और इस प्रकार ऑपरेटर वास्तविक आइगेनवैल्यू के साथ एक साथ विकर्णनीय होते हैं। बीजगणितीय रूप से बंद आधार क्षेत्र के लिए तर्कों को दोहराते हुए, कोई अपघटन प्राप्त करता है (जिसे प्रतिबंधित मूल स्थान अपघटन कहा जाता है): जहां किसी भी रैखिक कार्यात्मक के लिए तत्वों को प्रतिबंधित मूल कहा जाता है; विशेष रूप से,। इसके अलावा, यह एक जड़ प्रणाली है लेकिन आवश्यक रूप से कम नहीं है (यानी, यह दोनों जड़ों में हो सकता है)। एस. एल. (एन, सी) के मामले में यदि, तो इसे विकर्ण उप-बीजगणित के रूप में लिया जा सकता है, जिसमें विकर्ण मैट्रिक्स होते हैं जिनकी विकर्ण प्रविष्टियों का योग शून्य होता है। चूंकि इसका आयाम है, इसलिए हम देखते हैं कि इसकी श्रेणी है। इस मामले में रूट वैक्टर को मैट्रिक्स के रूप में लिया जा सकता है, जहां स्पॉट में 1 और कहीं और शून्य के साथ मैट्रिक्स है। यदि विकर्ण प्रविष्टियों के साथ एक विकर्ण मैट्रिक्स है, तो हमारे पास है। इस प्रकार, के लिए मूल द्वारा दिए गए रैखिक कार्य हैं। इसके दोहरे के साथ पहचान करने के बाद, जड़ें-टुपल्स के स्थान में वैक्टर बन जाती हैं जो शून्य का योग करती हैं। यह मूल प्रणाली है जिसे पारंपरिक लेबलिंग में जाना जाता है। मूल से जुड़ा प्रतिबिंब विकर्ण प्रविष्टियों को स्थानांतरित करके कार्य करता है। वेइल समूह तब केवल तत्वों पर क्रमपरिवर्तन समूह है, जो मैट्रिक्स की विकर्ण प्रविष्टियों को क्रमबद्ध करके कार्य करता है। सामान्यीकरण अर्ध-सरल झूठ बीजगणित कुछ सामान्यीकरणों को स्वीकार करते हैं। सबसे पहले, कई कथन जो अर्ध-सरल लाइ अलजेब्रा के लिए सही हैं, आम तौर पर रिडक्टिव लाइ अलजेब्रा के लिए अधिक सही हैं। संक्षेप में, एक अपवर्तक लाइ बीजगणित वह है जिसका संलग्न प्रतिनिधित्व पूरी तरह से अपवर्तनीय है, जबकि ठोस रूप से, एक अपवर्तक लाइ बीजगणित एक अर्ध-सरल लाइ बीजगणित और एक अबेलियन लाइ बीजगणित का प्रत्यक्ष योग है; उदाहरण के लिए, अर्ध-सरल है, और अपवर्तक है। सेमीसिम्पल लाइ अलजेब्रा के कई गुण केवल रिड्यूसिबिलिटी पर निर्भर करते हैं। जटिल सेमीसिम्पल/रिडक्टिव लाइ अलजेब्रा के कई गुण न केवल बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्रों पर सेमीसिम्पल/रिडक्टिव लाइ अलजेब्रा के लिए सही हैं, बल्कि आम तौर पर अन्य क्षेत्रों पर विभाजित सेमीसिम्पल/रिडक्टिव लाइ अलजेब्रा के लिए भी सही हैंः सेमीसिम्पल/रिडक्टिव लाइ अलजेब्रा हमेशा बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्रों पर विभाजित होते हैं, लेकिन अन्य क्षेत्रों पर हमेशा ऐसा नहीं होता है। स्प्लिट लाइ बीजगणित में अनिवार्य रूप से बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्रों पर अर्ध-सरल लाइ बीजगणित के समान प्रतिनिधित्व सिद्धांत होता है, उदाहरण के लिए, विभाजनकारी कार्टन उप-बीजगणित वही भूमिका निभाता है जो कार्टन उप-बीजगणित बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्रों पर निभाता है। उदाहरण के लिए, यह वह दृष्टिकोण है जिसका पालन किया जाता है, जो विभाजित अर्ध-सरल/रिडक्टिव लाइ अल्जेब्रा के प्रतिनिधित्व को वर्गीकृत करता है। अर्ध-सरल और अपवर्तक समूह एक जुड़े हुए लाइ समूह को अर्ध-सरल कहा जाता है यदि इसका लाइ बीजगणित एक अर्ध-सरल लाइ बीजगणित है, अर्थात। सरल लाइ अल्जेब्राओं का एक प्रत्यक्ष योग। यदि इसका लाइ बीजगणित सरल और तुच्छ (एक-आयामी) लाइ बीजगणित का प्रत्यक्ष योग है तो इसे रिडक्टिव कहा जाता है। अपवर्तक समूह स्वाभाविक रूप से बीजगणित, ज्यामिति और भौतिकी में कई गणितीय वस्तुओं की समरूपता के रूप में होते हैं। उदाहरण के लिए, एक एन-आयामी वास्तविक सदिश स्थान की सममितियों का समूह (समतुल्य रूप से, व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स का समूह) अपवर्तनीय है। लाइ बीजगणित जड़ प्रणाली लाइ बीजगणित प्रतिनिधित्व कॉम्पैक्ट समूह सरल लाइ समूह बोरेल उप-बीजगणित जैकबसन-मोरोज़ोव प्रमेय संदर्भ भी देखें। .. .. .. लाइ अलजेब्रा के गुण