Schwarzschild geodesics
सामान्य सापेक्षता में, श्वार्जस्चिल्ड भूगणित एक केंद्रीय निश्चित द्रव्यमान के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में परीक्षण कणों की गति का वर्णन करता है, जो श्वार्जस्चिल्ड मीट्रिक में गति है। आइंस्टीन के सामान्य सापेक्षता के सिद्धांत के सत्यापन में श्वार्जस्चिल्ड भूगणित महत्वपूर्ण रहा है। उदाहरण के लिए, वे सौर मंडल में ग्रहों के विसंगत पूर्वगमन और गुरुत्वाकर्षण द्वारा प्रकाश के विक्षेपण की सटीक भविष्यवाणियां प्रदान करते हैं। श्वार्जस्चिल्ड भूगणित केवल द्रव्यमान के कणों की गति से संबंधित है जो इतने छोटे होते हैं कि वे गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में बहुत कम योगदान देते हैं। हालाँकि, वे कई खगोलीय परिदृश्यों में अत्यधिक सटीक हैं बशर्ते कि वे केंद्रीय द्रव्यमान से कई गुना छोटे हों, उदाहरण के लिए, अपने तारे की परिक्रमा करने वाले ग्रहों के लिए। श्वार्ज़्सचाइल्ड भूगणितीय भी मनमाने द्रव्यमान के दो निकायों की सापेक्ष गति के लिए एक अच्छा अनुमान है, बशर्ते कि श्वार्ज़्सचाइल्ड द्रव्यमान दो व्यक्तिगत द्रव्यमानों के योग के बराबर निर्धारित किया गया हो और। सामान्य सापेक्षता में द्विआधारी तारों की गति की भविष्यवाणी करने में यह महत्वपूर्ण है। ऐतिहासिक संदर्भ श्वार्ज़्सचाइल्ड मीट्रिक का नाम इसके खोजकर्ता कार्ल श्वार्ज़्सचाइल्ड के सम्मान में रखा गया है, जिन्होंने 1915 में आइंस्टीन के सामान्य सापेक्षता के सिद्धांत के प्रकाशन के लगभग एक महीने बाद ही समाधान खोजा था। यह तुच्छ समतल स्थान समाधान के अलावा आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों का पहला सटीक समाधान था। 1931 में, युसुके हागिहारा ने एक पेपर प्रकाशित किया जिसमें दिखाया गया था कि श्वार्जस्चिल्ड मीट्रिक में एक परीक्षण कण के प्रक्षेपवक्र को अण्डाकार कार्यों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है। 1949 में सैमुइल कप्लान ने दिखाया है कि श्वार्जस्चिल्ड मीट्रिक में गोलाकार कक्षा के स्थिर रहने के लिए न्यूनतम त्रिज्या है। आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों का एक सटीक समाधान श्वार्जस्चिल्ड मीट्रिक है, जो द्रव्यमान के एक आवेशित, गैर-घूर्णन, गोलाकार सममित शरीर के बाहरी गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से मेल खाता है। श्वार्ज़्सचाइल्ड समाधान को इस प्रकार लिखा जा सकता है कि, छोटे धनात्मक द्रव्यमान के परीक्षण कण के मामले में, सेकंड में उचित समय (कण के साथ चलने वाली घड़ी द्वारा मापा जाने वाला समय) है, मीटर प्रति सेकंड में प्रकाश की गति है, क्योंकि, समय निर्देशांक (अनंत पर एक स्थिर घड़ी द्वारा मापा जाने वाला समय) सेकंड में है, क्योंकि, रेडियल निर्देशांक (तारे पर केंद्रित एक वृत्त की परिधि को विभाजित करके) मीटर में, रेडियंस में कोलैटीट्यूड (उत्तर से कोण) है, रेडियंस में देशांतर है, और विशाल पिंड (मीटर में) का श्वार्ज़्सचाइल्ड त्रिज्या है, जो इसके द्रव्यमान से संबंधित है जहां गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है। गुरुत्वाकर्षण के शास्त्रीय न्यूटनियन सिद्धांत को सीमा में पुनर्प्राप्त किया जाता है क्योंकि अनुपात शून्य हो जाता है। उस सीमा में, मीट्रिक विशेष सापेक्षता द्वारा परिभाषित पर लौटता है। व्यवहार में, यह अनुपात लगभग हमेशा बहुत कम होता है। उदाहरण के लिए, पृथ्वी की श्वार्जस्चिल्ड त्रिज्या लगभग 9 मिमी (इंच) है; पृथ्वी की सतह पर, न्यूटनियन गुरुत्वाकर्षण में सुधार एक अरब में केवल एक हिस्सा है। सूर्य की श्वार्जस्चिल्ड त्रिज्या बहुत बड़ी है, लगभग 2953 मीटर, लेकिन इसकी सतह पर, अनुपात लगभग 10 लाख में 4 भाग है। एक सफेद बौना तारा बहुत घना होता है, लेकिन यहाँ भी इसकी सतह पर अनुपात दस लाख में लगभग 250 भाग है। यह अनुपात केवल न्यूट्रॉन सितारों (जहां अनुपात लगभग 50 प्रतिशत है) और ब्लैक होल जैसी अति-घनी वस्तुओं के करीब बड़ा हो जाता है। परीक्षण कणों के ऑर्बिट्स हम समरूपता का उपयोग करके एक चर को विचार से समाप्त करने के लिए समस्या को सरल बना सकते हैं। चूँकि श्वार्जस्चिल्ड मीट्रिक लगभग सममित है, कोई भी भूगणितीय जो उस तल में चलना शुरू कर देता है वह अनिश्चित काल तक उस तल में रहेगा (तल पूरी तरह से भूगणितीय है)। इसलिए, हम निर्देशांक प्रणाली को उन्मुख करते हैं ताकि कण की कक्षा उस तल में स्थित हो, और निर्देशांक को ठीक करें ताकि मीट्रिक (इस तल का) गति के दो स्थिरांक (मान जो उचित समय पर नहीं बदलते हैं) को सरल बना सके। व्युत्पत्ति नीचे दी गई है)। एक कुल ऊर्जा हैः और दूसरा विशिष्ट कोणीय संवेग हैः जहां दोनों निकायों की कुल कोणीय संवेग है, और कम द्रव्यमान है। जब, घटाया द्रव्यमान लगभग के बराबर होता है। कभी-कभी ऐसा माना जाता है। बुध ग्रह के मामले में यह सरलीकरण सापेक्ष प्रभाव से दोगुने से अधिक बड़ी त्रुटि का परिचय देता है। जब भूगणितीय पर चर्चा की जाती है, तो इसे काल्पनिक माना जा सकता है, और जो मायने रखता है वह है स्थिरांक और। सभी संभावित भूगणितीय को शामिल करने के लिए, हमें उन मामलों पर विचार करने की आवश्यकता है जिनमें अनंत (फोटॉनों का प्रक्षेपवक्र देना) या काल्पनिक (टैक्योनिक भूगणितीय के लिए) है। फोटोनिक मामले के लिए, हमें दो स्थिरांकों के अनुपात के अनुरूप एक संख्या भी निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है, अर्थात्, जो शून्य या गैर-शून्य वास्तविक संख्या हो सकती है। इन स्थिरांकों को श्वार्जस्चिल्ड मीट्रिक की परिभाषा में प्रतिस्थापित करने से उचित समय के फलन के रूप में त्रिज्या के लिए गति का एक समीकरण प्राप्त होता हैः इसका औपचारिक समाधान यह है कि ध्यान दें कि वर्गमूल टैक्योनिक भूगणितीय के लिए काल्पनिक होगा। और के बीच उच्च संबंध का उपयोग करते हुए, हम यह भी लिख सकते हैं कि चूंकि एसिम्प्टोटिक रूप से समाकलन व्युत्क्रमानुपाती है, यह दर्शाता है कि संदर्भ के ढांचे में यदि यह आता है तो यह कभी भी उस तक पहुंचे बिना तेजी से करता है। हालाँकि, एक कार्य के रूप में, पहुंचता है। उपरोक्त समाधान मान्य हैं जबकि समाकलन परिमित है, लेकिन कुल समाधान में दो या अनंत टुकड़े शामिल हो सकते हैं, जिनमें से प्रत्येक समाकलन द्वारा वर्णित है लेकिन वर्गमूल के लिए वैकल्पिक संकेतों के साथ। कब और, हम स्पष्ट रूप से और शून्य कोणीय संवेग के साथ फोटोनिक भूगणितीय () के लिए हल कर सकते हैं (हालांकि फोटोनिक मामले में उचित समय तुच्छ है, कोई एक एफ़ाइन पैरामीटर को परिभाषित कर सकता है, और फिर भूगणितीय समीकरण का समाधान है।) एक अन्य हल करने योग्य मामला वह है जिसमें और और स्थिर हैं। आयतन में जहां यह उचित समय के लिए देता है यह छोटे और सकारात्मक समाधान के करीब है। घोल के बाहर टैक्योनिक होता है और "उचित समय" स्थान की तरह होता हैः यह छोटे और नकारात्मक के साथ अन्य टैक्योनिक घोल के करीब होता है। बाहर का स्थिर टैक्योनिक भूगणितीय अंदर एक स्थिर भूगणितीय द्वारा जारी नहीं रहता है, बल्कि एक "समानांतर बाहरी क्षेत्र" में जारी रहता है (क्रुस्कल-ज़ेकेरेस निर्देशांक देखें)। अन्य टैक्योनिक समाधान एक ब्लैक होल में प्रवेश कर सकते हैं और समानांतर बाहरी क्षेत्र में फिर से बाहर निकल सकते हैं। घटना क्षितिज () के अंदर स्थिर समाधान को एक सफेद छेद में स्थिर समाधान द्वारा जारी रखा जाता है। जब कोणीय संवेग शून्य नहीं होता है तो हम उचित समय पर निर्भरता को उस कोण पर निर्भरता द्वारा प्रतिस्थापित कर सकते हैं जिसकी परिभाषा का उपयोग करके कक्षा के लिए समीकरण प्राप्त होता है, जहां संक्षिप्तता के लिए, दो लंबाई-पैमाने, और, नोट द्वारा परिभाषित किया गया है कि टैक्योनिक मामले में, काल्पनिक और वास्तविक या अनंत होगा। इसी समीकरण को लैग्रैन्जियन दृष्टिकोण या हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण (नीचे देखें) का उपयोग करके भी प्राप्त किया जा सकता है। कक्षा समीकरण का समाधान यह है कि इसे वेयरस्ट्रास अण्डाकार फलन के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है। स्थानीय और विलंबित वेग शास्त्रीय यांत्रिकी के विपरीत, श्वार्जस्चिल्ड निर्देशांक में और स्थानीय वेग (एक स्थिर पर्यवेक्षक के सापेक्ष) के रेडियल और अनुप्रस्थ घटक नहीं हैं, इसके बजाय वे त्वरण के लिए घटक देते हैं जो रेडियल और गति के अनुप्रस्थ घटक के लिए संबंधित हैं। दृश्य से बहुत दूर समन्वय बहीखाताधारी शापिरो-विलंबित वेग का निरीक्षण करता है, जो संबंध और द्वारा दिया जाता है। बहीखाता और गतिशील परीक्षण-कण के बीच समय फैलाव कारक को उस रूप में भी रखा जा सकता है जहां अंश गुरुत्वाकर्षण है, और भाजक समय फैलाव का गतिज घटक है। अनन्तता से गिरने वाले कण के लिए बायां कारक सही कारक के बराबर होता है, क्योंकि इस मामले में गिरने वाला वेग पलायन वेग से मेल खाता है। द्रव्यमान के साथ एक परीक्षण-कण की दो स्थिरांक कोणीय संवेग और कुल ऊर्जा के संदर्भ में हैं और कहाँ और बड़े परीक्षण कणों के लिए लॉरेंट्ज़ कारक है और उचित समय है, जबकि फोटॉन जैसे द्रव्यमान रहित कणों के लिए सेट किया जाता है और एक एफ़ाइन पैरामीटर की भूमिका निभाता है। यदि कण द्रव्यमानहीन है और उसके साथ प्रतिस्थापित किया जाता है, तो प्लैंक स्थिरांक और स्थानीय रूप से देखी गई आवृत्ति कहाँ है। अण्डाकार कार्यों का उपयोग करके सटीक समाधान कक्षा के मौलिक समीकरण को हल करना आसान है यदि इसे व्युत्क्रम त्रिज्या के संदर्भ में व्यक्त किया जाता है तो इस समीकरण का दाहिना हाथ एक घन बहुपद है, जिसमें तीन मूल हैं, जिन्हें यहां इस रूप में दर्शाया गया है, और तीन मूलों का योग शब्द के गुणांक के बराबर है वास्तविक गुणांक वाले एक घन बहुपद में या तो तीन वास्तविक मूल हो सकते हैं, या एक वास्तविक मूल और दो जटिल संयुग्म मूल हो सकते हैं। यदि तीनों मूल वास्तविक संख्याएँ हैं, तो मूल को लेबल किया जाता है ताकि। यदि इसके बजाय केवल एक ही वास्तविक मूल है, तो उसे इस रूप में दर्शाया जाता है; जटिल संयुग्म मूल को लेबल किया जाता है और। डेसकार्टेस के संकेतों के नियम का उपयोग करते हुए, अधिक से अधिक एक नकारात्मक मूल हो सकता है; नकारात्मक है अगर और केवल अगर। जैसा कि नीचे चर्चा की गई है, जड़ें संभावित कक्षाओं के प्रकारों को निर्धारित करने में उपयोगी हैं। जड़ों की इस लेबलिंग को देखते हुए, मौलिक कक्षीय समीकरण का समाधान वह है जहां कार्य (जैकोबी अण्डाकार कार्यों में से एक) का प्रतिनिधित्व करता है और प्रारंभिक स्थिति को दर्शाने वाले एकीकरण का एक स्थिरांक है। इस दीर्घवृत्ताकार फलन का दीर्घवृत्ताकार मापांक सूत्र न्यूटोनियन सीमा द्वारा दिया गया है ग्रहों की कक्षाओं के लिए न्यूटोनियन समाधान को पुनर्प्राप्त करने के लिए, कोई भी सीमा लेता है क्योंकि श्वार्जस्चिल्ड त्रिज्या शून्य हो जाती है। इस मामले में, तीसरी जड़ मोटे तौर पर, और या से बहुत बड़ी हो जाती है। इसलिए, मापांक शून्य की ओर जाता है; उस सीमा में, त्रिकोणमितीय साइन फ़ंक्शन बन जाता है जो ग्रहों की गतियों के लिए न्यूटन के समाधानों के अनुरूप है, यह सूत्र उत्केन्द्रता के एक फोकल शंकु का वर्णन करता है यदि एक सकारात्मक वास्तविक संख्या है, तो कक्षा एक दीर्घवृत्त है जहां और क्रमशः सबसे दूर और निकटतम दृष्टिकोण की दूरी का प्रतिनिधित्व करती है। यदि शून्य या ऋणात्मक वास्तविक संख्या है, तो कक्षा क्रमशः एक परवलय या एक अतिध्रुव है। इन बाद के दो मामलों में, निकटतम दृष्टिकोण की दूरी का प्रतिनिधित्व करता है; चूंकि कक्षा अनंत () तक जाती है, इसलिए सबसे दूर के दृष्टिकोण की कोई दूरी नहीं है। संभावित कक्षाओं की जड़ें और अवलोकन एक मूल कक्षा के एक बिंदु का प्रतिनिधित्व करता है जहां व्युत्पन्न गायब हो जाता है, यानी, कहाँ। इस तरह के मोड़ पर, दूसरे व्युत्पन्न के मूल्य के आधार पर अधिकतम, न्यूनतम या एक विक्षेपण बिंदु तक पहुंचता है, जो सूत्र द्वारा दिया जाता है यदि तीनों मूल अलग-अलग वास्तविक संख्याएँ हैं, तो दूसरा व्युत्पन्न क्रमशः धनात्मक, ऋणात्मक और धनात्मक है। यह इस प्रकार है कि यू बनाम φ का ग्राफ या तो यू1 और यू2 के बीच दोलन कर सकता है, या यह यू3 से अनंत की ओर बढ़ सकता है (जो शून्य पर जाने वाले आर के अनुरूप है)। यदि यू1 ऋणात्मक है, तो वास्तव में "दोलन" का केवल एक हिस्सा ही होगा। यह अनंत से आने वाले कण से मेल खाता है, जो केंद्रीय द्रव्यमान के करीब आता है, और फिर अनंत की ओर फिर से आगे बढ़ता है, जैसे कि शास्त्रीय समाधान में हाइपरबोलिक प्रक्षेपवक्र। यदि कण के पास अपनी कोणीय गति के लिए ऊर्जा की सही मात्रा है, तो u2 और u3 का विलय हो जाएगा। इस मामले में तीन समाधान हैं। कक्षा में सर्पिल हो सकता है, उस त्रिज्या के करीब (एसिम्प्टोटिक रूप से) φ में घटते घातांक के रूप में, या। या उस त्रिज्या पर एक गोलाकार कक्षा हो सकती है। या किसी की एक कक्षा हो सकती है जो उस त्रिज्या से केंद्रीय बिंदु तक सर्पिल होती है। विचाराधीन त्रिज्या को आंतरिक त्रिज्या कहा जाता है और यह 3 गुना rs के बीच होती है। एक वृत्ताकार कक्षा का परिणाम भी तब होता है जब यह बराबर होता है, और इसे बाहरी त्रिज्या कहा जाता है। इन विभिन्न प्रकार की कक्षाओं की चर्चा नीचे की गई है। यदि कण पर्याप्त ऊर्जा और पर्याप्त रूप से कम कोणीय संवेग के साथ केंद्रीय द्रव्यमान पर आता है तो ही वास्तविक होगा। यह ब्लैक होल में गिरने वाले कण से मेल खाता है। कक्षा सर्पिल φ में एक सीमित परिवर्तन के साथ होती है। कक्षाओं की पूर्वगमन फलन sn और इसके वर्ग sn2 में क्रमशः 4K और 2K की अवधि होती है, जहां K को समीकरण द्वारा परिभाषित किया जाता है। इसलिए, φ में एक दोलन (या, समतुल्य रूप से, एक दोलन) पर परिवर्तन बराबर होता है। शास्त्रीय सीमा में, u3 पहुँचता है और या से बहुत बड़ा होता है। चूंकि मापांक शून्य के करीब है, इसलिए अवधि K को की शक्तियों में विस्तारित किया जा सकता है; सबसे कम क्रम में, यह विस्तार इन सन्निकटनों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हुए प्राप्त होता है, जो एक दीर्घवृत्ताकार कक्षा के लिए कोणीय अग्रिम प्रति रेडियल दोलन के लिए एक सूत्र देता है, और क्रमशः सबसे लंबी और सबसे कम दूरी के व्युत्क्रम का प्रतिनिधित्व करता है। इन्हें दीर्घवृत्त के अर्ध-प्रमुख अक्ष और इसकी कक्षीय उत्केन्द्रता के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है, जिससे गुरुत्वाकर्षण द्वारा प्रकाश के झुकने की अंतिम समीकरण की परिभाषा को प्रतिस्थापित किया जा सकता है सीमा में जैसे-जैसे कण द्रव्यमान m शून्य की ओर जाता है (या, समकक्ष रूप से यदि प्रकाश सीधे केंद्रीय द्रव्यमान की ओर बढ़ रहा है, जैसे-जैसे लंबाई-पैमाना a अनंत की ओर जाता है), कक्षा के लिए समीकरण की शक्तियों में विस्तार होता है, इस सूत्र में अग्रणी क्रम शब्द अनंत से आने वाले द्रव्यमान रहित कण के लिए अनुमानित कोणीय विक्षेपण δφ देता है और अनंत की ओर वापस जाता हैः यहाँ, प्रभाव पैरामीटर है, जो निकटतम दृष्टिकोण की दूरी से कुछ अधिक हैः हालाँकि यह सूत्र अनुमानित है, यह है सूर्य की सतह पर प्रकाश चराई के लिए, अनुमानित कोणीय विक्षेपण लगभग 1.75 आर्कसेकंड है, जो एक वृत्त का लगभग दस लाखवां हिस्सा है। न्यूटोनियन भौतिकी से संबंध प्रभावी रेडियल स्थितिज ऊर्जा ऊपर प्राप्त कण के लिए गति के समीकरण को श्वार्जस्चिल्ड त्रिज्या rs की परिभाषा का उपयोग करके फिर से लिखा जा सकता है जो एक आयामी प्रभावी क्षमता में चलने वाले कण के बराबर है पहले दो शब्द प्रसिद्ध शास्त्रीय ऊर्जा हैं, जिनमें से पहला आकर्षक न्यूटोनियन गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा है और दूसरा प्रतिकारक "अपकेंद्र" स्थितिज ऊर्जा के अनुरूप है; हालाँकि, तीसरा पद सामान्य सापेक्षता के लिए अद्वितीय एक आकर्षक ऊर्जा है। जैसा कि नीचे और अन्य जगहों पर दिखाया गया है, यह व्युत्क्रम-घन ऊर्जा अण्डाकार कक्षाओं को धीरे-धीरे एक कोण δφ प्रति क्रांति द्वारा पूर्ववत करने का कारण बनती है जहां अर्ध-प्रमुख अक्ष है और उत्केन्द्रता है। तीसरा पद आकर्षक है और छोटे मूल्यों पर हावी होता है, जिससे एक महत्वपूर्ण आंतरिक त्रिज्या रिनर मिलता है जिस पर एक कण को अंदर की ओर खींचा जाता है; यह आंतरिक त्रिज्या कण के कोणीय संवेग प्रति इकाई द्रव्यमान या, समतुल्य रूप से, ऊपर परिभाषित लंबाई-पैमाने का एक कार्य है। वृत्ताकार कक्षाएँ और उनकी स्थिरता प्रभावी क्षमता को लंबाई के संदर्भ में फिर से लिखा जा सकता है। वृत्ताकार कक्षाएं तब संभव होती हैं जब प्रभावी बल शून्य होता है, यानी जब दो आकर्षक बल-न्यूटोनियन गुरुत्वाकर्षण (पहला पद) और सामान्य सापेक्षता के लिए अद्वितीय आकर्षण (तीसरा पद)-प्रतिकारक अपकेंद्र बल (दूसरा पद) द्वारा बिल्कुल संतुलित होते हैं। दो त्रिज्याएँ हैं जिन पर यह संतुलन हो सकता है, जिन्हें यहाँ रिनर और राउटर के रूप में दर्शाया गया है जो द्विघात सूत्र का उपयोग करके प्राप्त किए जाते हैं। आंतरिक त्रिज्या रिनर अस्थिर है, क्योंकि आकर्षक तीसरा बल अन्य दो बलों की तुलना में बहुत तेजी से मजबूत होता है जब r छोटा हो जाता है; यदि कण रिनर से थोड़ा अंदर की ओर फिसल जाता है (जहां तीनों बल संतुलन में होते हैं), तो तीसरा बल अन्य दो पर हावी हो जाता है और कण को r = 0 की ओर अंदर की ओर खींचता है। हालांकि, बाहरी त्रिज्या पर, गोलाकार कक्षाएं स्थिर हैं; तीसरा पद कम महत्वपूर्ण है और प्रणाली गैर-सापेक्षवादी केपलर समस्या की तरह व्यवहार करती है। जब (शास्त्रीय मामले) की तुलना में बहुत अधिक होता है, तो ये सूत्र लगभग बन जाते हैं और rs की परिभाषाओं को राउटर में प्रतिस्थापित करने से द्रव्यमान के शरीर की परिक्रमा करने वाले द्रव्यमान के कण के लिए शास्त्रीय सूत्र प्राप्त होता है। जहाँ ωφ कण की कक्षीय कोणीय गति है। यह सूत्र गैर-सापेक्षवादी यांत्रिकी में न्यूटोनियन गुरुत्वाकर्षण बल के बराबर केंद्रापसारक बल निर्धारित करके प्राप्त किया जाता हैः कम द्रव्यमान कहाँ है। हमारे संकेतन में, शास्त्रीय कक्षीय कोणीय गति बराबर होती है दूसरे चरम पर, जब a2 ऊपर से 3r2 तक पहुंचता है, तो दोनों त्रिज्याएँ एक ही मान में परिवर्तित हो जाती हैं। उपरोक्त द्विघात समाधान यह सुनिश्चित करते हैं कि राउटर हमेशा 3r से अधिक है, जबकि रिनर rs और 3r के बीच होता है। rs से छोटी वृत्ताकार कक्षाएं संभव नहीं हैं। द्रव्यमानहीन कणों के लिए, a अनंत तक जाता है, जिसका अर्थ है कि रिनर = rs पर फोटॉनों के लिए एक गोलाकार कक्षा है। इस त्रिज्या के गोले को कभी-कभी फोटॉन गोले के रूप में जाना जाता है। त्रिज्या राउटर की एक गोलाकार कक्षा से एक छोटा सा त्रिज्या विचलन एक कोणीय आवृत्ति के साथ स्थिर रूप से दोलन करेगा जो दोनों पक्षों के वर्गमूल को लेते हुए और एक टेलर श्रृंखला विस्तार पैदावार का प्रदर्शन करने के बराबर है एक क्रांति की अवधि T से गुणा करने से प्रति क्रांति कक्षा की पूर्व गति मिलती है जहां हमने ωφT = 2p का उपयोग किया है और लंबाई-पैमाने a की परिभाषा का उपयोग करके कक्षीय पूर्व गति दर प्राप्त की जा सकती है। श्वार्ज़्सचाइल्ड त्रिज्या rs की परिभाषा को प्रतिस्थापित करने से यह मिलता है कि इसे दीर्घवृत्ताकार कक्षा के अर्ध-अक्ष A और सूत्र द्वारा संबंधित उत्केन्द्रता e का उपयोग करके सरल बनाया जा सकता है ताकि कक्षीय समीकरण क्रिस्टोफेल प्रतीकों की गणितीय व्युत्पत्तियां दी जा सकें श्वार्ज़्सचाइल्ड-मीट्रिक के लिए गैर-लुप्त क्रिस्टोफेल प्रतीक हैंः जियोडेसिक समीकरण आइंस्टीन के सामान्य सापेक्षता के सिद्धांत के अनुसार, अंतरिक्ष-समय में भूगणितीय के साथ नगण्य द्रव्यमान यात्रा के कण। सपाट अंतरिक्ष-समय में, गुरुत्वाकर्षण के स्रोत से बहुत दूर, ये भूगणितीय सीधी रेखाओं के अनुरूप होते हैं; हालाँकि, जब अंतरिक्ष-समय घुमावदार होता है तो वे सीधी रेखाओं से विचलित हो सकते हैं। भूगणितीय रेखाओं के लिए समीकरण वह है जहाँ कुलु क्रिस्टोफेल प्रतीक का प्रतिनिधित्व करता है और चर अंतरिक्ष-समय, इसकी तथाकथित विश्व रेखा के माध्यम से कण के मार्ग को मानकीकृत करता है। क्रिस्टोफेल प्रतीक केवल मीट्रिक टेंसर पर निर्भर करता है, या इस बात पर निर्भर करता है कि यह स्थिति के साथ कैसे बदलता है। चर समकालिक कक्षाओं (जो विशाल कणों द्वारा यात्रा करते हैं) के लिए उचित समय का एक स्थिर गुणक है, और आमतौर पर इसके बराबर माना जाता है। प्रकाश जैसी (या शून्य) कक्षाओं के लिए (जो फोटॉन जैसे द्रव्यमान रहित कणों द्वारा यात्रा करते हैं), उचित समय शून्य है और, कड़ाई से बोलते हुए, चर के रूप में उपयोग नहीं किया जा सकता है। फिर भी, प्रकाश जैसी कक्षाओं को समय-समान कक्षाओं की अति-सापेक्ष सीमा के रूप में प्राप्त किया जा सकता है, यानी, अपनी कुल ऊर्जा को स्थिर रखते हुए कण द्रव्यमान m के शून्य होने की सीमा। इसलिए, एक कण की गति को हल करने के लिए, सबसे सीधा तरीका जियोडेसिक समीकरण को हल करना है, जो आइंस्टीन और अन्य लोगों द्वारा अपनाया गया एक दृष्टिकोण है। श्वार्ज़्सचाइल्ड मीट्रिक को इस प्रकार लिखा जा सकता है जहाँ दो कार्यों और इसके पारस्परिक को संक्षिप्तता के लिए परिभाषित किया गया है। इस मीट्रिक से, क्रिस्टोफेल प्रतीकों की गणना की जा सकती है, और परिणामों को भूगणितीय समीकरणों में प्रतिस्थापित किया जा सकता है यह सत्यापित किया जा सकता है कि इन चार समीकरणों में से पहले में प्रतिस्थापन द्वारा एक वैध समाधान है। समरूपता द्वारा, कक्षा समतल होनी चाहिए, और हम निर्देशांक फ्रेम को व्यवस्थित करने के लिए स्वतंत्र हैं ताकि भूमध्यरेखीय तल कक्षा का तल हो। यह समाधान दूसरे और चौथे समीकरणों को सरल बनाता है। दूसरे और तीसरे समीकरणों को हल करने के लिए, उन्हें क्रमशः और से विभाजित करना पर्याप्त है। जो गति के दो स्थिरांक उत्पन्न करता है। लैग्रैन्जियन दृष्टिकोण क्योंकि परीक्षण कण एक निश्चित मीट्रिक में भूगणितीय का पालन करते हैं, उन कणों की कक्षाओं को भिन्नताओं के कलन का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है, जिसे लैग्रैन्जियन दृष्टिकोण भी कहा जाता है। अन्तरिक्ष-काल में भूगणितीय को ऐसे वक्रों के रूप में परिभाषित किया जाता है जिनके लिए उनके निर्देशांकों में छोटे स्थानीय परिवर्तन (उनके अंतिम बिंदुओं की घटनाओं को स्थिर रखते हुए) उनकी समग्र लंबाई s में कोई महत्वपूर्ण परिवर्तन नहीं करते हैं। इसे गणितीय रूप से भिन्नताओं के कलन का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है जहां τ उचित समय है, s = cτ अन्तरिक्ष-समय में चाप-लंबाई है और T को गतिज ऊर्जा के अनुरूप परिभाषित किया गया है। यदि उचित समय के संबंध में व्युत्पन्न को संक्षिप्तता के लिए एक बिंदु द्वारा दर्शाया जाता है तो T को स्थिर कारक (जैसे c या दो का वर्गमूल) के रूप में लिखा जा सकता है जो परिवर्तनशील समस्या के उत्तर को प्रभावित नहीं करते हैं; इसलिए, अभिन्न उपज हैमिल्टन के सिद्धांत के अंदर भिन्नता को लेते हुए परिवर्तनशील समस्या का समाधान लैग्रेंज के समीकरणों द्वारा दिया जाता है जब t और φ पर लागू किया जाता है, तो ये समीकरण गति के दो स्थिरांकों को प्रकट करते हैं जिन्हें दो स्थिर लंबाई-पैमाने के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है, और जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, श्वार्जस्चिल्ड मीट्रिक की परिभाषा में इन समीकरणों के प्रतिस्थापन से कक्षा के लिए समीकरण प्राप्त होता है। हैमिल्टनियन दृष्टिकोण एक लैग्रैन्जियन समाधान को एक समतुल्य हैमिल्टनियन रूप में पुनर्निर्मित किया जा सकता है। इस मामले में, हैमिल्टनियन द्वारा दिया गया है एक बार फिर, कक्षा को समरूपता द्वारा प्रतिबंधित किया जा सकता है। चूंकि और हैमिल्टनियन में दिखाई नहीं देते हैं, इसलिए उनके संयुग्म संवेग स्थिर हैं; उन्हें प्रकाश की गति और दो स्थिर लंबाई-पैमाने के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है और उचित समय के संबंध में व्युत्पन्न पहले समीकरण को दूसरे से विभाजित करके कक्षीय समीकरण प्राप्त करते हैं रेडियल संवेग पी आर को हैमिल्टनियन की स्थिरता का उपयोग करके आर के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है; इससे मौलिक कक्षीय समीकरण हैमिल्टन-जैकोबी दृष्टिकोण प्राप्त होता है। इस दृष्टिकोण का लाभ यह है कि यह कण की गति को एक तरंग के प्रसार के साथ जोड़ता है, और फर्माट के सिद्धांत के माध्यम से सामान्य सापेक्षता में गुरुत्वाकर्षण द्वारा प्रकाश के विक्षेपण की व्युत्पत्ति में बड़े करीने से ले जाता है। मूल विचार यह है कि, समय के गुरुत्वाकर्षण की धीमी गति के कारण, गुरुत्वाकर्षण द्रव्यमान के करीब एक तरंग-मोर्चे के कुछ हिस्से आगे की तुलना में अधिक धीरे-धीरे आगे बढ़ते हैं, इस प्रकार तरंग-मोर्चे के प्रसार की दिशा को झुकाते हैं। सामान्य सहप्रसरण का उपयोग करते हुए, इकाई द्रव्यमान के एकल कण के लिए हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण को मनमाने निर्देशांक में व्यक्त किया जा सकता है क्योंकि यह ऊपर दिए गए हैमिल्टनियन सूत्रीकरण के बराबर है, जिसमें क्रिया के आंशिक व्युत्पन्न सामान्यीकृत संवेग का स्थान लेते हैं। श्वार्जस्चिल्ड मीट्रिक जी. एम. यू. एन. का उपयोग करते हुए, यह समीकरण बन जाता है जहाँ हम फिर से गोलाकार निर्देशांक प्रणाली को कक्षा के तल के साथ उन्मुख करते हैं। समय t और अजीमुथल कोण φ चक्रीय निर्देशांक हैं, ताकि हैमिल्टन के प्रमुख फलन S के लिए समाधान लिखा जा सके जहां और स्थिर सामान्यीकृत संवेग हैं। हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण रेडियल भाग के लिए एक अभिन्न समाधान देता है संरक्षित संवेग के संबंध में हैमिल्टन के प्रमुख फलन S के व्युत्पन्न को लेते हुए pφ पैदावार जो बराबर है φ और r में एक असीम भिन्नता लेने से मौलिक कक्षीय समीकरण प्राप्त होता है जहां संरक्षित लंबाई-पैमाने a और b को समीकरण हैमिल्टन के सिद्धांत द्वारा संरक्षित मोमेंटा द्वारा परिभाषित किया जाता है केवल गुरुत्वाकर्षण से प्रभावित कण के लिए क्रिया अभिन्न है जहां उचित समय है और कण की विश्व रेखा का कोई भी सुचारू मापदंड है। यदि कोई इसमें भिन्नताओं के कलन को लागू करता है, तो उसे फिर से एक भूगणितीय के लिए समीकरण मिलते हैं। गणनाओं को सरल बनाने के लिए, पहले समाकलन के वर्ग की भिन्नता को लिया जाता है। इस मामले के मीट्रिक और निर्देशांक के लिए और यह मानते हुए कि कण भूमध्यरेखीय तल में आगे बढ़ रहा है, वह वर्ग इसकी भिन्नता ले रहा है देशांतर में गति देता है देशांतर के संबंध में परिवर्तन केवल समाकलन की भिन्नता प्राप्त करने के लिए विभाजित करने के लिए इस प्रकार भागों द्वारा समाकलन से मिलता है देशांतर की भिन्नता को अंतिम बिंदुओं पर शून्य माना जाता है, इसलिए पहला पद गायब हो जाता है। समाकलन को एक विकृत विकल्प द्वारा गैर-शून्य बनाया जा सकता है जब तक कि अंदर का दूसरा कारक हर जगह शून्य न हो। तो गति का समीकरण समय के संबंध में गति है केवल समाकलन की भिन्नता प्राप्त करने के लिए विभाजित करने के लिए समय के संबंध में भिन्न होता है इस प्रकार भागों द्वारा समाकलन करने से गति का समीकरण संरक्षित क्षण देता है तो समाकलन प्राप्त करने के स्थिरांक निर्धारित करने के लिए गति के इन समीकरणों को एकीकृत करें गति के स्थिरांक (कोणीय गति) और (ऊर्जा) के लिए इन दो समीकरणों को एक समीकरण बनाने के लिए जोड़ा जा सकता है जो फोटॉन और अन्य द्रव्यमान रहित कणों के लिए भी सही है जिसके लिए एक भूगणितीय के साथ उचित समय शून्य है। रेडियल गति को मीट्रिक समीकरण में प्रतिस्थापित करने (और उपयोग करने) से पता चलता है कि किससे कोई प्राप्त कर सकता है जो गति का समीकरण है। पर की निर्भरता को प्राप्त करने के लिए इसे विभाजित करके पाया जा सकता है जो द्रव्यमान के बिना कणों के लिए भी सही है। यदि लंबाई के तराजू को परिभाषित किया जाता है और फिर उन पर निर्भरता को सरल बनाया जाता है, तो सामान्य सापेक्षता में शास्त्रीय केंद्रीय-बल समस्या फ्रेम फ़ील्ड देखें केपलर समस्या सामान्य सापेक्षता में दो-शरीर समस्या नोट्स संदर्भ ग्रंथ सूची श्वार्जस्चिल्ड, के. (1916)। ग्रेविटेशनफेल्ड ने आइंस्टीन के सिद्धांत को स्वीकार नहीं किया। प्रेउसिस्चेन अकादमी ऑफ विसेंशाफ्टेन 1,189-196। मूल पेपर के मूल पेपर पाठ का स्कैन, एंटोसी और लोइंगर द्वारा विकिस्रोत अनुवाद में पेपर पर एक टिप्पणी, एक सरल व्युत्पत्ति श्वार्जस्चिल्ड, के. (1916) देता है। ग्रेविटेशनसफेल्ड के एक प्रमुख वैज्ञानिक के रूप में काम करते हैं। प्रीउसिस्चेन अकादमी ऑफ विसेंशाफ्टेन 1,424-? (गुरुत्वाकर्षण (पुस्तक) देखें।) बाहरी लिंक केविन ब्राउन द्वारा रिफ्लेक्शंस ऑन रिलेटिविटी से अंश। सामान्य सापेक्षता में सटीक समाधान