Multipole expansion
एक बहुध्रुवीय विस्तार एक गणितीय श्रृंखला है जो एक ऐसे कार्य का प्रतिनिधित्व करती है जो कोणों पर निर्भर करता है-आमतौर पर त्रि-आयामी यूक्लिडियन स्थान के लिए गोलाकार निर्देशांक प्रणाली (ध्रुवीय और अजीमुथल कोण) में उपयोग किए जाने वाले दो कोण। इसी तरह टेलर श्रृंखला के लिए, बहुध्रुवीय विस्तार उपयोगी हैं क्योंकि अक्सर मूल फलन का एक अच्छा अनुमान प्रदान करने के लिए केवल पहले कुछ शब्दों की आवश्यकता होती है। विस्तारित किया जा रहा कार्य वास्तविक या जटिल-मूल्यवान हो सकता है और कुछ अन्य बहुध्रुवीय विस्तारों के लिए या तो परिभाषित किया जाता है, या कम बार विद्युत चुम्बकीय और गुरुत्वाकर्षण क्षेत्रों के अध्ययन में अक्सर उपयोग किया जाता है, जहां दूर के बिंदुओं पर क्षेत्र एक छोटे से क्षेत्र में स्रोतों के संदर्भ में दिए जाते हैं। कोणों के साथ बहुध्रुवीय विस्तार को अक्सर त्रिज्या में विस्तार के साथ जोड़ा जाता है। इस तरह का संयोजन त्रि-आयामी स्थान में एक कार्य का वर्णन करने वाला विस्तार देता है। बहुध्रुवीय विस्तार को उत्तरोत्तर सूक्ष्म कोणीय विशेषताओं (क्षणों) के साथ शब्दों के योग के रूप में व्यक्त किया जाता है। पहले (शून्य-क्रम) शब्द को मोनोपोल मोमेंट कहा जाता है, दूसरे (प्रथम-क्रम) शब्द को द्विध्रुवीय मोमेंट कहा जाता है, तीसरे (दूसरे-क्रम) को चतुर्भुज मोमेंट, चौथे (तीसरे-क्रम) शब्द को ऑक्टुपोल मोमेंट कहा जाता है, और इसी तरह। यूनानी अंक उपसर्गों की सीमा को देखते हुए, उच्च क्रम के शब्दों को पारंपरिक रूप से ध्रुवों की संख्या में "-ध्रुव" जोड़कर नामित किया जाता है-उदाहरण के लिए, 32-ध्रुव (शायद ही कभी डॉट्रियाकॉन्टापोल या ट्राइएकॉन्टैडिपोल) और 64-ध्रुव (शायद ही कभी टेट्राहेक्साकॉन्टापोल या हेक्साकॉन्टैटेट्रापोल)। एक बहुध्रुवीय क्षण में आमतौर पर मूल की दूरी की शक्तियाँ (या व्युत्क्रम शक्तियाँ) शामिल होती हैं, साथ ही कुछ कोणीय निर्भरता भी होती है। सिद्धांत रूप में, एक बहुध्रुवीय विस्तार क्षमता का एक सटीक विवरण प्रदान करता है, और आम तौर पर दो शर्तों के तहत अभिसरण करता हैः (1) यदि स्रोत (जैसे। आवेश) मूल के निकट स्थानीयकृत होते हैं और जिस बिंदु पर विभव देखा जाता है वह मूल से बहुत दूर होता है; या (2) विपरीत, यानी, यदि स्रोत मूल से बहुत दूर स्थित होते हैं और विभव को मूल के करीब देखा जाता है। पहले (अधिक सामान्य) मामले में, श्रृंखला विस्तार के गुणांक को बाहरी बहुध्रुवीय क्षण या केवल बहुध्रुवीय क्षण कहा जाता है, जबकि दूसरे मामले में, उन्हें आंतरिक बहुध्रुवीय क्षण कहा जाता है। गोलाकार हार्मोनिक्स में विस्तार सबसे आम तौर पर, श्रृंखला को गोलाकार हार्मोनिक्स के योग के रूप में लिखा जाता है। इस प्रकार, हम एक फलन को उस योग के रूप में लिख सकते हैं जहां मानक गोलाकार हार्मोनिक्स हैं, और स्थिर गुणांक हैं जो फलन पर निर्भर करते हैं। यह शब्द मोनोपोल का प्रतिनिधित्व करता है; द्विध्रुव का प्रतिनिधित्व करता है; और इसी तरह। समान रूप से, श्रृंखला को अक्सर इस रूप में भी लिखा जाता है जहां कोणों द्वारा दी गई दिशा में एक इकाई सदिश के घटकों का प्रतिनिधित्व करते हैं और सूचकांकों को निहित रूप से संक्षेपित किया जाता है। यहाँ, शब्द मोनोपोल है; द्विध्रुव का प्रतिनिधित्व करने वाली तीन संख्याओं का एक समूह है; और इसी तरह। उपरोक्त विस्तारों में, गुणांक वास्तविक या जटिल हो सकते हैं। यदि एक बहुध्रुवीय विस्तार के रूप में व्यक्त किया जा रहा फलन वास्तविक है, तो गुणांक को कुछ गुणों को संतुष्ट करना चाहिए। बहु-सदिश विस्तार में, प्रत्येक गुणांक वास्तविक होना चाहिएः जबकि स्केलर कार्यों का विस्तार बहुध्रुव विस्तार का अब तक का सबसे आम अनुप्रयोग है, उन्हें मनमाने दर्जे के टेंसर का वर्णन करने के लिए भी सामान्यीकृत किया जा सकता है। इसका उपयोग विद्युत चुंबकत्व में सदिश क्षमता के बहुध्रुवीय विस्तार में या गुरुत्वाकर्षण तरंगों के विवरण में मीट्रिक विक्षोभ में किया जाता है। तीन आयामों के कार्यों का वर्णन करने के लिए, निर्देशांक मूल से दूर, बहुध्रुवीय विस्तार के गुणांक को मूल तक की दूरी के कार्यों के रूप में लिखा जा सकता है-अक्सर, की शक्तियों में लॉरेंट श्रृंखला के रूप में। उदाहरण के लिए, विद्युत चुम्बकीय क्षमता का वर्णन करने के लिए, मूल के पास एक छोटे से क्षेत्र में एक स्रोत से, गुणांक को इस प्रकार लिखा जा सकता हैः अनुप्रयोग बहुध्रुवीय विस्तार का व्यापक रूप से द्रव्यमान प्रणालियों के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्रों, आवेश और वर्तमान वितरण के विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों और विद्युत चुम्बकीय तरंगों के प्रसार से जुड़ी समस्याओं में उपयोग किया जाता है। एक उत्कृष्ट उदाहरण इलेक्ट्रॉनिक कक्षकों के आंतरिक बहुध्रुवों के साथ उनकी अंतःक्रिया ऊर्जाओं से परमाणु नाभिक के बाहरी बहुध्रुवीय क्षणों की गणना है। नाभिक के बहुध्रुवीय क्षण नाभिक के भीतर आवेशों के वितरण पर रिपोर्ट करते हैं और इस प्रकार, नाभिक के आकार पर। बहुध्रुवीय विस्तार को उसके पहले गैर-शून्य पद तक काटना अक्सर सैद्धांतिक गणनाओं के लिए उपयोगी होता है। बहुध्रुवीय विस्तार संख्यात्मक अनुकरणों में भी उपयोगी हैं, और ग्रीनगार्ड और रोकलिन की तेज बहुध्रुवीय विधि का आधार हैं, जो परस्पर क्रिया करने वाले कणों की प्रणालियों में ऊर्जाओं और बलों की कुशल गणना के लिए एक सामान्य तकनीक है। मूल विचार कणों को समूहों में विघटित करना है; एक समूह के भीतर कण सामान्य रूप से परस्पर क्रिया करते हैं (यानी, पूर्ण क्षमता से), जबकि कणों के समूहों के बीच ऊर्जा और बलों की गणना उनके बहुध्रुवीय क्षणों से की जाती है। तेज बहुध्रुवीय विधि की दक्षता आम तौर पर इवाल्ड योग के समान होती है, लेकिन बेहतर होती है यदि कण समूहबद्ध होते हैं, अर्थात। प्रणाली में बड़े घनत्व उतार-चढ़ाव होते हैं। स्थिरविद्युत आवेश वितरण के बाहर किसी विभव का बहुध्रुवीय विस्तार स्थिति वैक्टर के साथ बिंदु आवेशों से युक्त एक असतत आवेश वितरण पर विचार करें। हम मान लेते हैं कि आवेश मूल के आसपास समूहबद्ध हैं, ताकि सभी के लिए i:, जहाँ कुछ सीमित मूल्य हो। क्षमता, आवेश वितरण के कारण, आवेश वितरण के बाहर एक बिंदु पर, यानी, की शक्तियों में विस्तारित की जा सकती है। इस विस्तार को करने के दो तरीके साहित्य में पाए जा सकते हैंः पहला कार्टेशियन निर्देशांक में एक टेलर श्रृंखला है, और, जबकि दूसरा गोलाकार सामंजस्य के संदर्भ में है जो गोलाकार ध्रुवीय निर्देशांक पर निर्भर करता है। कार्टेशियन दृष्टिकोण का लाभ यह है कि लीजेंड्रे कार्यों, गोलाकार हार्मोनिक्स आदि के पूर्व ज्ञान की आवश्यकता नहीं है। इसका नुकसान यह है कि व्युत्पत्तियाँ काफी बोझिल हैं (वास्तव में इसका एक बड़ा हिस्सा लेजेंड्रे विस्तार का अंतर्निहित पुनर्जनन है, जिसे 1780 के दशक में लेजेंड्रे द्वारा एक बार और हमेशा के लिए किया गया था)। इसके अलावा बहुध्रुवीय विस्तार के सामान्य शब्द के लिए एक बंद अभिव्यक्ति देना मुश्किल है-आमतौर पर केवल पहले कुछ शब्दों के बाद एक दीर्घवृत्त दिया जाता है। कार्टेशियन निर्देशांक में विस्तार सुविधा के लिए मान लीजिए। यदि लाप्लास समीकरण को संतुष्ट करता है, तो उपरोक्त विस्तार से हमारे पास है और विस्तार को एक ट्रेसलेस कार्टेशियन द्वितीय श्रेणी के टेंसर के घटकों के संदर्भ में फिर से लिखा जा सकता हैः क्रोनेकर डेल्टा और कहाँ है। निशान को हटाना आम है, क्योंकि यह दूसरी श्रेणी के टेंसर से घूर्णन रूप से अपरिवर्तनीय लेता है। उदाहरण अब निम्नलिखित रूप पर विचार करेंः फिर प्रत्यक्ष विभेदन द्वारा यह इस प्रकार है कि एक मोनोपोल, द्विध्रुव और (ट्रेसलेस) चतुर्भुज को क्रमशः परिभाषित करें, और हम अंत में कुल विभव के बहुध्रुव विस्तार के पहले कुछ शब्दों को प्राप्त करते हैं, जो अलग-अलग आवेशों की कुलम्ब विभवों का योग हैः एक असतत आवेश वितरण की विभव का यह विस्तार नीचे दिए गए वास्तविक ठोस हार्मोनिक्स के समान है। मुख्य अंतर यह है कि वर्तमान एक रैखिक रूप से निर्भर मात्राओं के संदर्भ में है, नोटः यदि आवेश वितरण में विपरीत संकेत के दो आवेश होते हैं जो एक असीम दूरी पर होते हैं, ताकि, यह आसानी से दिखाया जा सके कि विस्तार में प्रमुख शब्द विद्युत द्विध्रुवीय विभव क्षेत्र है। गोलाकार रूप आवेश वितरण के बाहर एक बिंदु पर क्षमता, अर्थात। , को लाप्लास विस्तार द्वारा विस्तारित किया जा सकता हैः जहां एक अनियमित ठोस हार्मोनिक (नीचे एक गोलाकार हार्मोनिक फ़ंक्शन द्वारा विभाजित के रूप में परिभाषित किया गया है) और एक नियमित ठोस हार्मोनिक (एक गोलाकार हार्मोनिक समय) है। हम आवेश वितरण के गोलाकार बहुध्रुवीय क्षण को निम्नानुसार परिभाषित करते हैं ध्यान दें कि एक बहुध्रुवीय क्षण पूरी तरह से आवेश वितरण (एन आवेशों की स्थिति और परिमाण) द्वारा निर्धारित किया जाता है। एक गोलाकार हार्मोनिक इकाई सदिश पर निर्भर करता है। (एक इकाई सदिश दो गोलाकार ध्रुवीय कोणों द्वारा निर्धारित किया जाता है।) इस प्रकार, परिभाषा के अनुसार, अनियमित ठोस हार्मोनिक्स को इस प्रकार लिखा जा सकता है कि आवेश वितरण के बाहर के बिंदु पर क्षेत्र का बहुध्रुवीय विस्तार इस प्रकार दिया जाता है कि यह विस्तार पूरी तरह से सामान्य है कि यह सभी शब्दों के लिए एक बंद रूप देता है, न कि केवल पहले कुछ के लिए। यह दर्शाता है कि गोलाकार बहुध्रुवीय क्षण विभव के विस्तार में गुणांक के रूप में दिखाई देते हैं। पहले कुछ शब्दों पर वास्तविक रूप में विचार करना दिलचस्प है, जो आमतौर पर स्नातक पाठ्यपुस्तकों में पाए जाने वाले एकमात्र शब्द हैं। चूँकि m योग का योग एक साथ दोनों कारकों के एकात्मक परिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय है और चूंकि जटिल गोलाकार हार्मोनिक्स का वास्तविक रूप में परिवर्तन एकात्मक परिवर्तन द्वारा होता है, इसलिए हम केवल वास्तविक अनियमित ठोस हार्मोनिक्स और वास्तविक बहुध्रुवीय क्षणों को प्रतिस्थापित कर सकते हैं। शब्द बन जाता है यह वास्तव में फिर से कूलम्ब का नियम है। जिस शब्द का हम परिचय देते हैं उसके लिए यह शब्द कार्टेशियन रूप में पाए जाने वाले शब्द के समान है। इस शब्द को लिखने के लिए, हमें चतुर्भुज क्षण के पांच वास्तविक घटकों और वास्तविक गोलाकार हार्मोनिक्स के लिए आशुलिपि संकेतों का परिचय देना होगा। इस प्रकार की टिप्पणियाँ साहित्य में पाई जा सकती हैं। स्पष्ट रूप से वास्तविक संकेतन बहुत जल्द अजीब हो जाता है, जो जटिल संकेतन की उपयोगिता को प्रदर्शित करता है। दो गैर-अतिव्यापी आवेश वितरणों की अंतःक्रिया बिंदु आवेशों के दो सेटों पर विचार करें, एक सेट एक बिंदु के चारों ओर क्लस्टर किया गया और एक सेट एक बिंदु के चारों ओर क्लस्टर किया गया। उदाहरण के लिए दो अणुओं के बारे में सोचें और याद रखें कि परिभाषा के अनुसार एक अणु में इलेक्ट्रॉन (नकारात्मक बिंदु आवेश) और नाभिक (सकारात्मक बिंदु आवेश) होते हैं। दोनों वितरणों के बीच कुल स्थिरविद्युत अंतःक्रिया ऊर्जा यह है कि इस ऊर्जा को और की व्युत्क्रम दूरी में एक शक्ति श्रृंखला में विस्तारित किया जा सकता है। इस विस्तार को यू. ए. बी. के बहुध्रुवीय विस्तार के रूप में जाना जाता है। इस बहुध्रुवीय विस्तार को प्राप्त करने के लिए, हम लिखते हैं, जो एक वेक्टर है जो दिशा की ओर इशारा करता है। ध्यान दें कि हम मानते हैं कि दोनों वितरण ओवरलैप नहीं करते हैंः इस स्थिति में हम लाप्लास विस्तार को निम्नलिखित रूप में लागू कर सकते हैं जहां और क्रमशः अनियमित और नियमित ठोस हार्मोनिक्स हैं। नियमित ठोस हार्मोनिक का अनुवाद एक सीमित विस्तार देता है, जहां नुकीले कोष्ठकों के बीच की मात्रा एक क्लेबश-गोर्डन गुणांक है। आगे हमने गोलाकार बहुध्रुवों की परिभाषा का उपयोग किया और कुछ अलग क्रम में योग श्रेणियों को कवर करना (जो केवल एक अनंत सीमा के लिए अनुमत है) अंत में देता है यह दो गैर-अतिव्यापी आवेश वितरणों की अंतःक्रिया ऊर्जा का बहुध्रुवीय विस्तार है जो एक दूरी आरएबी से अलग हैं। चूँकि यह विस्तार स्पष्ट रूप से की शक्तियों में है। यह कार्य एक सामान्यीकृत गोलाकार हार्मोनिक है। आणविक क्षण सभी परमाणुओं और अणुओं (एस-अवस्था परमाणुओं को छोड़कर) में एक या अधिक गैर-लुप्त होने वाले स्थायी बहुध्रुवीय क्षण होते हैं। साहित्य में अलग-अलग परिभाषाएँ पाई जा सकती हैं, लेकिन गोलाकार रूप में निम्नलिखित परिभाषा का लाभ यह है कि यह एक सामान्य समीकरण में निहित है। क्योंकि यह जटिल रूप में है, इसका एक और लाभ यह है कि गणना में हेरफेर करना अपने वास्तविक समकक्ष की तुलना में आसान है। हम एक अणु पर विचार करते हैं जिसमें एन कण (इलेक्ट्रॉन और नाभिक) होते हैं जिनके आवेश ईज़ी होते हैं। (इलेक्ट्रॉनों का Z-मान −1 है, जबकि नाभिक के लिए यह परमाणु संख्या है)। कण I में गोलाकार ध्रुवीय निर्देशांक ri, θi और φi हैं और कार्टेशियन निर्देशांक xi, yi और zi हैं। (जटिल) स्थिरविद्युत बहुध्रुवीय प्रचालक वह स्थान है जहाँ राका के सामान्यीकरण में एक नियमित ठोस हार्मोनिक कार्य होता है (जिसे श्मिट के अर्ध-सामान्यीकरण के रूप में भी जाना जाता है)। यदि अणु में कुल सामान्यीकृत तरंग फलन है (इलेक्ट्रॉनों और नाभिकों के निर्देशांक के आधार पर), तो अणु के क्रम का बहुध्रुव क्षण अपेक्षा (अपेक्षित) मूल्य द्वारा दिया जाता हैः यदि अणु में कुछ बिंदु समूह समरूपता है, तो यह तरंग फलन में परिलक्षित होता हैः समूह के एक निश्चित अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व λ के अनुसार ेडिसी परिवर्तन होता है ("ेडिसी में समरूपता प्रकार λ")। इसका परिणाम यह है कि चयन नियम बहुध्रुव प्रचालक के अपेक्षा मूल्य के लिए मानते हैं, या दूसरे शब्दों में, कि अपेक्षा मूल्य समरूपता के कारण गायब हो सकता है। इसका एक प्रसिद्ध उदाहरण यह तथ्य है कि व्युत्क्रम केंद्र वाले अणुओं में द्विध्रुव नहीं होता है (के लिए अपेक्षा मूल्य गायब हो जाते हैं। समरूपता के बिना अणु के लिए, कोई भी चयन नियम क्रियाशील नहीं होते हैं और इस तरह के अणु में किसी भी क्रम के गैर-लुप्त होने वाले बहुध्रुव होंगे (यह एक द्विध्रुव और साथ ही एक चतुर्भुज, ऑक्टुपोल, हेक्साडेकैपोल, आदि ले जाएगा)। नियमित ठोस हार्मोनिक्स के सबसे कम स्पष्ट रूप (कॉन्डन-शॉर्टली चरण के साथ) देते हैंः (अणु का कुल आवेश)। (जटिल) द्विध्रुवीय घटक इस प्रकार हैंः ध्यान दें कि एक सरल रैखिक संयोजन से जटिल बहुध्रुवीय प्रचालक को वास्तविक प्रचालक में बदला जा सकता है। वास्तविक बहुध्रुव प्रचालक कोसाइन प्रकार या साइन प्रकार के होते हैं। सबसे कम में से कुछ हैंः परंपराओं पर ध्यान दें ऊपर दी गई जटिल आणविक बहुध्रुवीय क्षण की परिभाषा इस लेख में दी गई परिभाषा का जटिल संयुग्म है, जो सामान्यीकरण को छोड़कर जैक्सन द्वारा शास्त्रीय विद्युतगतिकी पर मानक पाठ्यपुस्तक की परिभाषा का अनुसरण करती है। इसके अलावा, जैक्सन की शास्त्रीय परिभाषा में एन-कण क्वांटम यांत्रिक अपेक्षा मूल्य का समतुल्य एक-कण आवेश वितरण पर एक अभिन्न अंग है। याद रखें कि एक-कण क्वांटम यांत्रिक प्रणाली के मामले में अपेक्षा मूल्य चार्ज वितरण (तरंग फलन वर्ग का मापांक) पर एक अभिन्न अंग के अलावा और कुछ नहीं है, ताकि इस लेख की परिभाषा जैक्सन की परिभाषा का एक क्वांटम यांत्रिक एन-कण सामान्यीकरण हो। इस लेख की परिभाषा दूसरों के बीच, फ़ानो और राका और ब्रिंक और सैचलर की परिभाषा से सहमत है। उदाहरण कई प्रकार के बहुध्रुवीय क्षण हैं, क्योंकि निर्देशांक और आवेश वितरण की समरूपता के आधार पर कई प्रकार की क्षमताएं और एक श्रृंखला विस्तार द्वारा क्षमता का अनुमान लगाने के कई तरीके हैं। सबसे आम विस्तारों में शामिल हैंः एक क्षमता के अक्षीय बहुध्रुवीय क्षण; एक क्षमता के गोलाकार बहुध्रुवीय क्षण; और एक क्षमता के बेलनाकार बहुध्रुवीय क्षण क्षमता के उदाहरणों में विद्युत क्षमता, चुंबकीय क्षमता और बिंदु स्रोतों की गुरुत्वाकर्षण क्षमता शामिल हैं। विभव का एक उदाहरण एक अनंत रेखा आवेश का विद्युत विभव है। सामान्य गणितीय गुण गणित और गणितीय भौतिकी में बहुध्रुवीय क्षण एक फलन के अपघटन के लिए एक ऑर्थोगोनल आधार बनाते हैं, जो एक दूसरे के असीम रूप से करीब लाए गए स्रोतों को इंगित करने के लिए एक क्षेत्र की प्रतिक्रिया पर आधारित होता है। इन्हें विभिन्न ज्यामितीय आकृतियों में व्यवस्थित माना जा सकता है, या, वितरण सिद्धांत के अर्थ में, दिशात्मक व्युत्पन्न के रूप में। बहुध्रुवीय विस्तार भौतिक नियमों की अंतर्निहित घूर्णन समरूपता और उनके संबंधित विभेदक समीकरणों से संबंधित हैं। भले ही स्रोत शब्द (जैसे द्रव्यमान, आवेश या धाराएं) सममित न हों, लेकिन कोई भी उन्हें घूर्णन समरूपता समूह के अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व के संदर्भ में विस्तारित कर सकता है, जो गोलाकार हार्मोनिक्स और ऑर्थोगोनल कार्यों के संबंधित सेट की ओर ले जाता है। रेडियल निर्भरताओं के लिए संबंधित समाधान निकालने के लिए चरों को अलग करने की तकनीक का उपयोग किया जाता है। व्यवहार में, कई क्षेत्रों को बहुध्रुव क्षणों की एक सीमित संख्या के साथ अच्छी तरह से अनुमानित किया जा सकता है (हालांकि एक क्षेत्र को ठीक से फिर से बनाने के लिए एक अनंत संख्या की आवश्यकता हो सकती है)। एक विशिष्ट अनुप्रयोग एक स्थानीयकृत आवेश वितरण के क्षेत्र को उसके एकध्रुवीय और द्विध्रुवीय शब्दों द्वारा अनुमानित करना है। बहुध्रुवीय क्षण के दिए गए क्रम के लिए एक बार हल की गई समस्याओं को किसी दिए गए स्रोत के लिए अंतिम अनुमानित समाधान बनाने के लिए रैखिक रूप से जोड़ा जा सकता है। बार्न्स-हट सिमुलेशन भी देखें तेज बहुध्रुवीय विधि लाप्लास विस्तार किंवदंती बहुपद चतुर्भुज चुंबक का उपयोग कण त्वरक में किया जाता है ठोस सामंजस्य टोरोइडल क्षण संदर्भ संभावित सिद्धांत वेक्टर कलन क्षण (भौतिकी)