Transfer operator
गणित में, स्थानांतरण प्रचालक एक पुनरावृत्त मानचित्र के बारे में जानकारी को कूटबद्ध करता है और अक्सर गतिशील प्रणालियों, सांख्यिकीय यांत्रिकी, क्वांटम अराजकता और अस्थिभंग के व्यवहार का अध्ययन करने के लिए उपयोग किया जाता है। सभी सामान्य मामलों में, सबसे बड़ा आइगेनवैल्यू 1 है, और संबंधित आइगेनवेक्टर प्रणाली का अपरिवर्तनीय माप है। ऑपरेटर के आइगेनवैल्यूज के निर्धारण के लिए पेरॉन-फ्रॉबेनियस प्रमेय की प्रयोज्यता के संदर्भ में हस्तांतरण ऑपरेटर को कभी-कभी डेविड रुएल के बाद रुएल ऑपरेटर, या पेरॉन-फ्रॉबेनियस ऑपरेटर या रुएल-फ्रॉबेनियस ऑपरेटर कहा जाता है। परिभाषा अध्ययन किए जाने वाले पुनरावृत्त कार्य एक मनमाने समुच्चय के लिए एक मानचित्र है। स्थानांतरण प्रचालक को एक प्रचालक के रूप में परिभाषित किया गया है जो कार्यों के स्थान पर कार्य करता है जहां एक सहायक मूल्यांकन कार्य है। जब एक जैकोबियन निर्धारक होता है, तो आमतौर पर माना जाता है। स्थानांतरण प्रचालक की उपरोक्त परिभाषा को जी के माप-सैद्धांतिक आगे बढ़ाने की बिंदु-निर्धारित सीमा के रूप में दिखाया जा सकता हैः संक्षेप में, स्थानांतरण प्रचालक मापने योग्य स्थानों की श्रेणी में प्रत्यक्ष छवि कारक है। फ्रोबेनियस-पेरॉन प्रचालक का बायीं ओर का जोड़ कूपमैन प्रचालक या संयोजन प्रचालक है। सामान्य सेटिंग बोरेल कार्यात्मक कलन द्वारा प्रदान की जाती है। एक सामान्य नियम के रूप में, स्थानांतरण प्रचालक को आमतौर पर एक शिफ्ट स्थान पर कार्य करने वाले (बाएं) शिफ्ट प्रचालक के रूप में व्याख्या की जा सकती है। सबसे अधिक अध्ययन किए गए बदलाव सीमित प्रकार के उप-बदलाव हैं। इसी तरह स्थानांतरण प्रचालक के निकटवर्ती को आमतौर पर एक सही-स्थानांतरण के रूप में व्याख्या की जा सकती है। विशेष रूप से अच्छी तरह से अध्ययन किए गए राइट-शिफ्ट में जैकोबी ऑपरेटर और हेसेनबर्ग मैट्रिक्स शामिल हैं, जो दोनों राइट-शिफ्ट के माध्यम से ऑर्थोगोनल बहुपदों की प्रणाली उत्पन्न करते हैं। अनुप्रयोग जहाँ एक फलन की पुनरावृत्ति स्वाभाविक रूप से पुनरावृत्ति (बिंदु गतिकी का अध्ययन) के तहत एक्स के बिंदुओं की कक्षाओं के अध्ययन की ओर ले जाती है, स्थानांतरण प्रचालक परिभाषित करता है कि पुनरावृत्ति के तहत (चिकने) मानचित्र कैसे विकसित होते हैं। इस प्रकार, स्थानांतरण प्रचालक आम तौर पर भौतिकी की समस्याओं में दिखाई देते हैं, जैसे कि क्वांटम अराजकता और सांख्यिकीय यांत्रिकी, जहां ध्यान सुचारू कार्यों के समय विकास पर केंद्रित होता है। बदले में, आणविक गतिकी के क्षेत्र के माध्यम से तर्कसंगत दवा डिजाइन के लिए इसके चिकित्सा अनुप्रयोग हैं। अक्सर ऐसा होता है कि स्थानांतरण प्रचालक सकारात्मक होता है, जिसमें असतत सकारात्मक वास्तविक-मूल्य वाले आइगेनवैल्यू होते हैं, जिसमें सबसे बड़ा आइगेनवैल्यू एक के बराबर होता है। इस कारण से, स्थानांतरण प्रचालक को कभी-कभी फ्रोबेनियस-पेरॉन प्रचालक कहा जाता है। स्थानांतरण प्रचालक के आइगेनफ़ंक्शंस आमतौर पर फ्रैक्टल होते हैं। जब स्थानांतरण प्रचालक का लघुगणक एक क्वांटम हैमिल्टनियन से मेल खाता है, तो आइगेनवैल्यू आम तौर पर बहुत निकट दूरी पर होंगे, और इस प्रकार क्वांटम अवस्थाओं का एक बहुत ही संकीर्ण और सावधानीपूर्वक चयनित समूह भी पूरी मात्रा में गैर-शून्य समर्थन के साथ बड़ी संख्या में बहुत अलग फ्रैक्टल आइगेनस्टेट को शामिल करेगा। इसका उपयोग शास्त्रीय सांख्यिकीय यांत्रिकी के कई परिणामों की व्याख्या करने के लिए किया जा सकता है, जिसमें समय की अपरिवर्तनीयता और एन्ट्रापी की वृद्धि शामिल है। बर्नौली मानचित्र का स्थानांतरण प्रचालक बिल्कुल हल करने योग्य है और नियतात्मक अराजकता का एक उत्कृष्ट उदाहरण है; असतत आईगन मान बर्नौली बहुपदों के अनुरूप हैं। इस प्रचालक के पास एक निरंतर वर्णक्रम भी है जिसमें हर्विट्ज़ जीटा फलन शामिल है। गॉस मानचित्र के स्थानांतरण प्रचालक को गॉस-कुज़मिन-विर्सिंग (जी. के. डब्ल्यू.) प्रचालक कहा जाता है। जी. के. डब्ल्यू. का सिद्धांत निरंतर अंशों पर गॉस की एक परिकल्पना से संबंधित है और रीमान जीटा फलन से निकटता से संबंधित है। बर्नौली स्कीम शिफ्ट ऑफ फाइनाइट टाइप क्रेइन-रुटमैन थ्योरम रेफरेंस भी देखें (एक परिचयात्मक सर्वेक्षण प्रदान करता है)। अराजकता सिद्धांत गतिशील प्रणाली प्रचालक सिद्धांत वर्णक्रमीय सिद्धांत