Bethe ansatz
भौतिकी में, बेथ एंसात्ज़ कुछ क्वांटम कई-शरीर मॉडल के सटीक तरंग कार्यों को खोजने के लिए एक एन्सात्ज़ है, जो आमतौर पर एक-आयामी जाली मॉडल के लिए होता है। इसका उपयोग पहली बार 1931 में हंस बेथे द्वारा एक-आयामी एंटीफेरोमैग्नेटिक आइसोट्रोपिक (XXX) हाइजेनबर्ग मॉडल के सटीक आइगेनवैल्यूज और आइगेनवेक्टर्स को खोजने के लिए किया गया था। तब से इस विधि का विस्तार अन्य स्पिन श्रृंखलाओं और सांख्यिकीय जाली मॉडल तक किया गया है। उनकी मृत्यु के समय रिचर्ड फेनमैन के ब्लैकबोर्ड के "सीखने के लिए" खंड में "बेथे एंसात्ज़ प्रॉब्लम्स" एक विषय था। चर्चा कई-शरीर क्वांटम यांत्रिकी के ढांचे में, बेथ एंसात्ज़ द्वारा हल किए जा सकने वाले मॉडल को मुक्त फर्मियन मॉडल के साथ तुलना की जा सकती है। यह कहा जा सकता है कि एक मुक्त मॉडल की गतिशीलता एक-शरीर कम करने योग्य हैः फर्मियन (बोसॉन) के लिए कई-शरीर तरंग फलन एक-शरीर तरंग कार्यों का विरोधी सममित (सममित) उत्पाद है। बेथे अन्सात्ज़ द्वारा हल किए जा सकने वाले मॉडल मुक्त नहीं हैंः दो-शरीर वाले क्षेत्र में एक गैर-तुच्छ प्रकीर्णन मैट्रिक्स होता है, जो सामान्य रूप से मोमेंटा पर निर्भर करता है। दूसरी ओर, बेथ एंसात्ज़ द्वारा हल किए जा सकने वाले मॉडलों की गतिशीलता दो-बॉडी रिड्यूसिबल हैः कई-बॉडी स्कैटरिंग मैट्रिक्स दो-बॉडी स्कैटरिंग मैट्रिक्स का एक उत्पाद है। कई-शरीर टकराव दो-शरीर टकरावों के अनुक्रम के रूप में होते हैं और कई-शरीर तरंग कार्य को एक ऐसे रूप में दर्शाया जा सकता है जिसमें केवल दो-शरीर तरंग कार्यों के तत्व होते हैं। मल्टी-बॉडी स्कैटरिंग मैट्रिक्स जोड़ीदार स्कैटरिंग मैट्रिक्स के उत्पाद के बराबर है। (निर्देशांक) का सामान्य रूप कई-पिंड तरंग फलन के लिए बेथ अन्सात्ज़ है जिसमें कणों की संख्या, उनकी स्थिति, पूर्णांकों के सभी क्रमपरिवर्तनों का समूह है, या तो सकारात्मक या नकारात्मक मान लेने वाले क्रमपरिवर्तन की समानता है,-th कण की (अर्ध-) गति है, प्रकीर्णन चरण स्थानांतरण कार्य है और संकेत कार्य है। यह रूप सार्वभौमिक है (कम से कम गैर-निहित प्रणालियों के लिए), जिसमें गति और प्रकीर्णन कार्य मॉडल-निर्भर हैं। यांग-बैक्सटर समीकरण निर्माण की स्थिरता की गारंटी देता है। पाउली बहिष्करण सिद्धांत बेथे अन्सात्ज़ द्वारा हल किए जा सकने वाले मॉडलों के लिए मान्य है, यहां तक कि परस्पर क्रिया करने वाले बोसॉन के मॉडलों के लिए भी। ग्राउंड स्टेट एक फर्मी स्फीयर है। आवधिक सीमा स्थितियाँ बेथे अन्सात्ज़ समीकरणों या बस बेथे समीकरणों की ओर ले जाती हैं। लघुगणक रूप में बेथे अन्सात्ज़ समीकरण यांग क्रिया द्वारा उत्पन्न किए जा सकते हैं। बेथे तरंग फलन के मानक का वर्ग यांग क्रिया के हेसियन के निर्धारक के बराबर है। एक पर्याप्त सामान्यीकरण क्वांटम व्युत्क्रम प्रकीर्णन विधि, या बीजगणितीय बेथे अन्सात्ज़ है, जो अंतर्निहित प्रचालक बीजगणित के लिए एक उत्तर देता है जिसने "अरैखिक विकास समीकरणों के एक विस्तृत वर्ग को हल करने की अनुमति दी है"। तथाकथित एस-डी मॉडल के सटीक समाधान (पी. बी. 1980 में वीगमैन और स्वतंत्र रूप से एन. आंद्रेई द्वारा, 1980 में भी) और एंडरसन मॉडल (पी. बी. 1981 में वीगमैन, और 1981 में एन. कावाकामी और ए. ओकीजी द्वारा) दोनों भी बेथे अन्सात्ज़ पर आधारित हैं। इन दोनों मॉडलों के बहु-चैनल सामान्यीकरण भी मौजूद हैं जो सटीक समाधानों के लिए उपयुक्त हैं (एन. आंद्रेई और सी. डेस्ट्री और सी. जे. द्वारा)। बोलेच और एन. आंद्रेई)। हाल ही में बेथे अन्सात्ज़ द्वारा हल किए जा सकने वाले कई मॉडलों को ठोस अवस्थाओं और ऑप्टिकल जाली में प्रयोगात्मक रूप से महसूस किया गया था। इन प्रयोगों के सैद्धांतिक विवरण में एक महत्वपूर्ण भूमिका जीन-सेबेस्टियन कॉक्स और एलेक्सी त्स्वेलिक ने निभाई थी। शब्दावली इसी तरह की कई विधियाँ हैं जो बेथे अन्सात्ज़ बीजगणितीय बेथे अन्सात्ज़ के नाम से आती हैं। क्वांटम व्युत्क्रम प्रकीर्णन विधि बीजगणितीय बेथे अन्सात्ज़ द्वारा समाधान की विधि है, और दोनों व्यावहारिक रूप से समानार्थी हैं। विश्लेषणात्मक बेथे अन्सात्ज़ कोऑर्डिनेट बेथे अन्सात्ज़ कार्यात्मक बेथे अन्सात्ज़ नेस्टेड बेथे अन्सात्ज़ थर्मोडायनामिक बेथे अन्सात्ज़ उदाहरण हाइजेनबर्ग एंटीफेरोमैग्नेटिक श्रृंखला हाइजेनबर्ग एंटीफेरोमैग्नेटिक श्रृंखला को हैमिल्टनियन द्वारा परिभाषित किया गया है (आवधिक सीमा स्थितियों को मानते हुए) यह मॉडल (समन्वय) बेथे अन्सात्ज़ का उपयोग करके हल किया जा सकता है। स्कैटरिंग फेज शिफ्ट फ़ंक्शन है, जिसमें गति को तेजी के संदर्भ में आसानी से पुनर्निर्धारित किया गया है (यहाँ, आवधिक) सीमा स्थितियाँ बेथ समीकरणों को लागू करती हैं या अधिक आसानी से लघुगणक रूप में जहाँ क्वांटम संख्याएँ सम के लिए अलग अर्ध-विषम पूर्णांक हैं, विषम के लिए पूर्णांक (परिभाषित मॉड के साथ)। प्रयोज्यता निम्नलिखित प्रणालियों को बेथ एंसात्ज़ एंडरसन अशुद्धता मॉडल गौडिन मॉडल XXX और XXZ हाइजेनबर्ग स्पिन श्रृंखला का उपयोग करके मनमाने स्पिन हब्बार्ड मॉडल कोंडो मॉडल लिब-लिनिगर मॉडल सिक्स-वर्टेक्स मॉडल और आठ-वर्टेक्स मॉडल (हाइजेनबर्ग स्पिन श्रृंखला के माध्यम से) कालक्रम 1928 का उपयोग करके हल किया जा सकता हैः वर्नर हाइजेनबर्ग ने अपना मॉडल प्रकाशित किया। 1930: फेलिक्स ब्लॉच ने एक अति सरलीकरण ansatz का प्रस्ताव रखा जो हाइजेनबर्ग श्रृंखला के लिए श्रोडिंगर समीकरण के समाधानों की संख्या को गलत बताता है। 1931: हंस बेथे ने सही ansatz का प्रस्ताव रखा और ध्यान से दिखाया कि यह सही संख्या में आइगेनफ़ंक्शंस देता है। 1938: हाइजेनबर्ग मॉडल की सटीक ग्राउंड-स्टेट ऊर्जा प्राप्त करता है। 1958: रेमंड ली ऑर्बैक ने हाइजेनबर्ग मॉडल को अनिसोट्रोपिक अंतःक्रियाओं के साथ हल करने के लिए बेथ एंसात्ज़ का उपयोग किया। 1962: जे. डेस क्लॉइज़ॉक्स और जे. जे. पियर्सन ने हाइजेनबर्ग एंटीफेरोमैग्नेट (स्पिनन फैलाव संबंध) का सही स्पेक्ट्रम प्राप्त किया, जिससे पता चलता है कि यह एंडरसन के स्पिन-वेव सिद्धांत भविष्यवाणियों से अलग है (स्थिरांक पूर्व कारक अलग है)। 1963: इलियट एच. लिब और वर्नर लिनिगर ने बोस गैस (जिसे अब लिब-लिनिगर मॉडल के रूप में जाना जाता है) की अंतःक्रिया करने वाले 1d δ-फलन का सटीक समाधान प्रदान किया। लीब वर्णक्रम का अध्ययन करता है और दो बुनियादी प्रकार के उत्तेजनाओं को परिभाषित करता है। 1964: रॉबर्ट बी. ग्रिफिथ्स ने शून्य तापमान पर हाइजेनबर्ग मॉडल का चुंबकीयकरण वक्र प्राप्त किया। 1966: सी. एन यांग और सी. पी. यांग ने सख्ती से साबित किया कि हाइजेनबर्ग श्रृंखला की जमीनी स्थिति बेथे अन्सात्ज़ द्वारा दी गई है। वे और में गुणों और अनुप्रयोगों का अध्ययन करते हैं। 1967: सी. एन यांग लाइब और लिनिगर के δ-फलन के समाधान को सामान्यीकृत करता है जो बोस गैस को तरंग फलन की मनमाने क्रमपरिवर्तन समरूपता में अंतःक्रिया करता है, जिससे नेस्टेड बेथे अन्सात्ज़ को जन्म मिलता है। 1968: इलियट एच. लिब और एफ. वाई. वू ने 1 डी हब्बर्ड मॉडल को हल किया। 1969: सी. एन यांग और सी. पी. यांग लाइब-लिनिगर मॉडल के ऊष्मागतिकी प्राप्त करते हैं, जो ऊष्मागतिकी बेथे अन्सात्ज़ (टी. बी. ए.) का आधार प्रदान करता है। संदर्भ बाहरी लिंक बेथे अंसाट्ज़ चुंबकत्व का परिचय संघनित पदार्थ भौतिकी बिल्कुल हल करने योग्य मॉडल