Engel's theorem
प्रतिनिधित्व सिद्धांत में, गणित की एक शाखा, एंगेल की प्रमेय बताती है कि एक परिमित-आयामी लाइ बीजगणित एक निलपोटेन्ट लाइ बीजगणित है यदि और केवल तभी जब प्रत्येक के लिए, द्वारा दिया गया संलग्न मानचित्र, एक निलपोटेन्ट एंडोमोर्फिज्म है; यानी, कुछ के के लिए। यह प्रमेय का एक परिणाम है, जिसे एंगेल की प्रमेय भी कहा जाता है, जो कहता है कि यदि मैट्रिक्स के लाइ बीजगणित में निलपोटेन्ट मैट्रिक्स होते हैं, तो सभी मैट्रिक्स को एक साथ सख्ती से ऊपरी त्रिकोणीय रूप में लाया जा सकता है। ध्यान दें कि यदि हमारे पास केवल मैट्रिक्स का एक लाइ बीजगणित है जो एक लाइ बीजगणित के रूप में निलपोटेन्ट है, तो यह निष्कर्ष अनुसरण नहीं करता है (यानी। लाइ के प्रमेय में "हल करने योग्य" के साथ "निलपोटेन्ट" और "ऊपरी त्रिकोणीय" के साथ "सख्ती से ऊपरी त्रिकोणीय" का सरल प्रतिस्थापन गलत है; यह पहले से ही स्केलर मैट्रिक्स के एक-आयामी लाइ उप-बीजगणित के लिए विफल है)। इस प्रमेय का नाम गणितशास्त्री फ्रेडरिक एंगेल के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने 20 जुलाई 1890 को विल्हेम किलिंग को लिखे एक पत्र में इसका प्रमाण तैयार किया था। एंगेल के छात्र के. ए. उमलाफ ने अपने 1891 के शोध प्रबंध में एक पूर्ण प्रमाण दिया, जिसे के रूप में पुनर्मुद्रित किया गया। कथन एक परिमित-आयामी सदिश स्थान V और एक उप-बीजगणित के एंडोमोर्फिज्म का लाइ बीजगणित माना जाता है। फिर एंगेल के प्रमेय में कहा गया है कि निम्नलिखित समतुल्य हैंः प्रत्येक वी पर एक नीलपोटेन्ट एंडोमोर्फिज्म है। ध्यान दें कि अंतर्निहित आधार क्षेत्र पर किसी धारणा की आवश्यकता नहीं है। हम ध्यान देते हैं कि कथन 2. विभिन्न और V के लिए कथन के बराबर है प्रत्येक गैर-शून्य परिमित-आयामी सदिश स्थान V और एक उप-बीजगणित के लिए, V में एक गैर-शून्य सदिश v इस तरह मौजूद है कि प्रत्येक के लिए यह #Proof में सिद्ध प्रमेय का रूप है। (यह कथन मामूली रूप से कथन 2 के समतुल्य है क्योंकि यह किसी को आवश्यक गुण के साथ एक ध्वज का निर्माण करने की अनुमति देता है।) सामान्य तौर पर, एक लाइ बीजगणित को निलपोटेन्ट कहा जाता है यदि इसकी निचली केंद्रीय श्रृंखला एक सीमित चरण में गायब हो जाती है; यानी, = (i + 1)-th घात के लिए, कुछ k ऐसा होता है। फिर एंगेल की प्रमेय का तात्पर्य निम्नलिखित प्रमेय से है (जिसे एंगेल की प्रमेय भी कहा जाता है): जब इसका परिमित आयाम होता है, तो यह शून्यसूचक होता है यदि और केवल तभी जब प्रत्येक के लिए शून्यसूचक होता है। वास्तव में, यदि इसमें निलपोटेन्ट प्रचालक शामिल हैं, तो 1 से। 2. बीजगणित पर लागू होने पर, एक ध्वज मौजूद होता है। चूँकि, इसका तात्पर्य नीलपोटेन्ट है। (इसके विपरीत परिभाषा से सीधे तौर पर मिलता है।) प्रमाण हम प्रमेय के निम्नलिखित रूप को साबित करते हैंः यदि एक लाइ उप-बीजगणित ऐसा है कि प्रत्येक एक नीलपोटेन्ट एंडोमोर्फिज्म है और यदि V का सकारात्मक आयाम है, तो V में एक गैर-शून्य सदिश v मौजूद है जैसे कि प्रत्येक X के लिए। प्रमाण के आयाम पर प्रेरण द्वारा होता है और इसमें कुछ चरण होते हैं। (ध्यान दें कि प्रमाण की संरचना लाइ के प्रमेय के समान है, जो एक हल करने योग्य बीजगणित से संबंधित है।) मूल मामला तुच्छ है और हम मानते हैं कि इसका आयाम सकारात्मक है। चरण 1: कोडिमेंशन का एक आदर्श ढूंढें। यह सबसे कठिन कदम है। मान लीजिए कि यह एक अधिकतम (उचित) उप-बीजगणित है, जो परिमित-आयामीता द्वारा मौजूद है। हम दावा करते हैं कि यह कोडिमेंशन का एक आदर्श है। प्रत्येक के लिए, यह जांचना आसान है कि (1) एक रैखिक एंडोमोर्फिज्म को प्रेरित करता है और (2) यह प्रेरित मानचित्र नीलपोटेन्ट है (वास्तव में, नीलपोटेन्ट के रूप में नीलपोटेन्ट है; जॉर्डन-चेवली decomposition#Lie अल्जेब्रा देखें)। इस प्रकार, द्वारा उत्पन्न लाइ उप-बीजगणित पर लागू प्रेरक परिकल्पना द्वारा, प्रत्येक के लिए एक गैर-शून्य सदिश v मौजूद है। इसका मतलब है, अगर कुछ Y के लिए लेकिन अंदर नहीं, तो हर एक के लिए। लेकिन फिर Y द्वारा फैला हुआ उपक्षेत्र एक लाइ उप-बीजगणित है जिसमें कोडिमेंशन का एक आदर्श है। इसलिए, अधिकतमता से,। यह दावे की पुष्टि करता है। चरण 2: चलो। फिर डब्ल्यू को स्थिर करता है; यानी, प्रत्येक के लिए। वास्तव में, अंदर और अंदर के लिए, हमारे पास हैः क्योंकि एक आदर्श है और इसलिए। इस प्रकार, डब्ल्यू. चरण 3 में हैः एक गैर-शून्य वेक्टर का पता लगाकर प्रमाण को समाप्त करें जो इसके द्वारा नष्ट हो जाता है। लिखि जेराव Lआ मोनसे आयामी भेक्टर साबस्पेस। मान लीजिए कि L में Y एक गैर-शून्य सदिश है और W में v एक गैर-शून्य सदिश है। अब, एक नीलपोटेंट एंडोमोर्फिज्म (परिकल्पना द्वारा) है और इसलिए कुछ k के लिए। फिर एक आवश्यक सदिश है क्योंकि सदिश चरण 2 द्वारा W में स्थित है। लाइ की प्रमेय हाइजेनबर्ग समूह नोट्स साइटेशन वर्क्स को भी देखें, जिसमें प्रतिनिधित्व सिद्धांत में लाइ अल्जेब्रा प्रमेयों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत का हवाला दिया गया है।