CCR and CAR algebras
गणित और भौतिकी में सी. सी. आर. बीजगणित (कैनॉनिकल कम्यूटेशन संबंधों के बाद) और सी. ए. आर. बीजगणित (कैनॉनिकल एंटीकॉम्यूटेशन संबंधों के बाद) क्रमशः बोसॉन और फर्मियन के क्वांटम यांत्रिक अध्ययन से उत्पन्न होते हैं। वे क्वांटम सांख्यिकीय यांत्रिकी और क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में एक प्रमुख भूमिका निभाते हैं। सी. सी. आर. और सी. ए. आर. को *-अल्जेब्रा के रूप में मान लीजिए कि यह एक वास्तविक सदिश स्थान है जो एक गैर-एकल वास्तविक सममितिविरोधी द्वि-रेखीय रूप से सुसज्जित है। एक सिंप्लेक्टिक वेक्टर स्पेस)। किसी भी इन के लिए संबंधों के विषय के तत्वों द्वारा उत्पन्न एकात्मक *-बीजगणित को विहित कम्यूटेशन संबंध (सी. सी. आर.) बीजगणित कहा जाता है। इस बीजगणित की विशिष्टता की चर्चा स्टोन-वॉन न्यूमैन प्रमेय में की गई है जब यह परिमित आयामी होता है। यदि इसके बजाय एक गैर-एकल वास्तविक सममित द्वि-रेखीय रूप से सुसज्जित है, तो किसी भी संबंध के लिए विषय के तत्वों द्वारा उत्पन्न एकात्मक *-बीजगणित को कैनॉनिकल एंटीकॉम्यूटेशन रिलेशंस (CAR) बीजगणित कहा जाता है। सी. सी. आर. का सी *-बीजगणित सी. सी. आर. बीजगणित का एक अलग, लेकिन निकटता से संबंधित अर्थ है, जिसे सी. सी. आर. सी *-बीजगणित कहा जाता है। मान लीजिए कि गैर-एकल सिंप्लेक्टिक रूप के साथ एक वास्तविक सिंप्लेक्टिक वेक्टर स्थान है। प्रचालक बीजगणित के सिद्धांत में, सी. सी. आर. बीजगणित एकात्मक सी *-बीजगणित है जो इसके अधीन तत्वों द्वारा उत्पन्न होता है इन्हें कैनॉनिकल कम्यूटेशन संबंधों का वेल रूप कहा जाता है और विशेष रूप से, वे इंगित करते हैं कि प्रत्येक एकात्मक है और। यह सर्वविदित है कि सी. सी. आर. बीजगणित एक सरल गैर-विभाज्य बीजगणित है और समरूपता तक अद्वितीय है। जब एक हिल्बर्ट स्थान होता है और आंतरिक-उत्पाद के काल्पनिक भाग द्वारा दिया जाता है, तो सी. सी. आर. बीजगणित को किसी के लिए सेटिंग करके सममित फॉक्स स्थान पर ईमानदारी से दर्शाया जाता है। फील्ड प्रचालक प्रत्येक के लिए सममित फ़ॉक स्थान पर एक-पैरामीटर एकात्मक समूह के जनरेटर के रूप में परिभाषित किए जाते हैं। ये स्व-संयुक्त असीमित प्रचालक हैं, हालांकि वे औपचारिक रूप से संतुष्ट करते हैं क्योंकि असाइनमेंट वास्तविक-रैखिक है, इसलिए प्रचालक धारा 1 के अर्थ में एक सी. सी. आर. बीजगणित को परिभाषित करते हैं। सीएआर का सी *-बीजगणित एक हिल्बर्ट स्थान माना जाता है। प्रचालक बीजगणित के सिद्धांत में सीएआर बीजगणित किसी भी के लिए संबंधों के अधीन तत्वों द्वारा उत्पन्न जटिल एकात्मक *-बीजगणित का अद्वितीय सी *-समापन है। जब अलग किया जा सकता है तो सीएआर बीजगणित एक एएफ बीजगणित है और विशेष मामले में अनंत आयामी है जिसे अक्सर के रूप में लिखा जाता है। आइए एंटीसिमेट्रिक फ़ॉक स्पेस हो और एंटीसिमेट्रिक वैक्टरों पर ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण होने देंः सीएआर बीजगणित को सभी और के लिए सेटिंग करके ईमानदारी से दर्शाया जाता है। तथ्य यह है कि ये एक सी *-बीजगणित बनाते हैं, इस तथ्य के कारण है कि एंटीसिमेट्रिक फॉक स्पेस पर निर्माण और विनाश प्रचालक प्रामाणिक रूप से बंधे हुए प्रचालक हैं। इसके अलावा, फील्ड ऑपरेटर धारा 1 के साथ संबंध देने से संतुष्ट होते हैं। अति-बीजगणित सामान्यीकरण मान लीजिए कि यह एक वास्तविक श्रेणीबद्ध वेक्टर स्थान है जो एक गैर-एकल प्रति-सममित द्वि-रेखीय सुपरफॉर्म (अर्थात) से सुसज्जित है। ऐसा जो या तो वास्तविक है या एक सम तत्व है और काल्पनिक है यदि दोनों विषम हैं। किसी भी दो शुद्ध तत्वों के संबंधों के अधीन तत्वों द्वारा उत्पन्न एकात्मक *-बीजगणित स्पष्ट अति-बीजगणित सामान्यीकरण है जो सी. सी. आर. को सी. ए. आर. के साथ एकीकृत करता हैः यदि सभी शुद्ध तत्व सम हैं, तो एक सी. सी. आर. प्राप्त करता है, जबकि यदि सभी शुद्ध तत्व विषम हैं, तो एक सी. ए. आर. प्राप्त करता है। गणित में, सी. सी. आर. और सी. ए. आर. बीजगणित की अमूर्त संरचना, किसी भी क्षेत्र पर, न कि केवल जटिल संख्याओं का, वेल और क्लिफोर्ड बीजगणित के नाम से अध्ययन किया जाता है, जहां कई महत्वपूर्ण परिणाम प्राप्त हुए हैं। इनमें से एक यह है कि वेल और क्लिफोर्ड अल्जेब्रा के श्रेणीबद्ध सामान्यीकरण एक सिंप्लेक्टिक और एक सममित गैर-अपक्षयी द्विरेखीय रूप के संदर्भ में कैनॉनिकल कम्यूटेशन और एंटीकॉम्यूटेशन संबंधों के आधार-मुक्त निर्माण की अनुमति देते हैं। इसके अलावा, इस श्रेणीबद्ध वेल बीजगणित में द्विआधारी तत्व सिंप्लेक्टिक और अनिश्चित ऑर्थोगोनल लाइ अल्जेब्रा के कम्यूटेशन संबंधों का एक आधार-मुक्त संस्करण देते हैं। बोस-आइंस्टीन सांख्यिकी फर्मी-डीराक सांख्यिकी स्ट्रिंग सिद्धांत की शब्दावली हाइजेनबर्ग समूह बोगोलियुबोव परिवर्तन (−1) एफ संदर्भ क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत स्वयंसिद्ध क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत कार्यात्मक विश्लेषण अल्जेब्रा सी *-अल्जेब्रा