Rindler coordinates
रिंडलर निर्देशांक एक समन्वय प्रणाली है जिसका उपयोग विशेष सापेक्षता के संदर्भ में सपाट अंतरिक्ष काल में एक समान रूप से त्वरित संदर्भ फ्रेम के अतिध्रुवीय त्वरण का वर्णन करने के लिए किया जाता है। सापेक्षवादी भौतिकी में एक हाइपरबोलिक रूप से त्वरित संदर्भ फ्रेम के निर्देशांक एक महत्वपूर्ण और उपयोगी समन्वय चार्ट का गठन करते हैं जो सपाट मिन्कोव्स्की स्पेसटाइम के हिस्से का प्रतिनिधित्व करता है। विशेष सापेक्षता में, एक समान रूप से त्वरित होने वाला कण अतिध्रुवीय गति से गुजरता है, जिसके लिए एक समान रूप से त्वरित होने वाले संदर्भ ढांचे को इसके उचित संदर्भ ढांचे के रूप में चुना जा सकता है। इस हाइपरबोलिक रूप से त्वरित फ्रेम में घटनाओं की तुलना एक सजातीय गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में उत्पन्न होने वाले प्रभावों से की जा सकती है। समतल स्थान-काल में त्वरण के सामान्य अवलोकन के लिए, त्वरण (विशेष सापेक्षता) और उचित संदर्भ फ्रेम (समतल स्थान-काल) देखें। इस लेख में, प्रकाश की गति को परिभाषित किया गया है, जड़त्वीय निर्देशांक हैं, और हाइपरबोलिक निर्देशांक हैं। इन हाइपरबोलिक निर्देशांकों को त्वरित पर्यवेक्षक की स्थिति के आधार पर दो मुख्य रूपों में विभाजित किया जा सकता हैः यदि पर्यवेक्षक स्थिति में समय पर स्थित है (एक गतिशील त्वरक द्वारा मापा जाने वाला निरंतर उचित त्वरण के रूप में), तो हाइपरबोलिक निर्देशांकों को अक्सर संबंधित रिंडलर मीट्रिक के साथ रिंडलर निर्देशांक कहा जाता है। यदि पर्यवेक्षक समय पर स्थिति में स्थित है, तो हाइपरबोलिक निर्देशांक को कभी-कभी संबंधित कोटलर-मोलर मीट्रिक के साथ मोलर निर्देशांक या कोटलर-मोलर निर्देशांक कहा जाता है। अक्सर हाइपरबोलिक गति में पर्यवेक्षकों से संबंधित एक वैकल्पिक चार्ट रडार निर्देशांक का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है जिन्हें कभी-कभी लास निर्देशांक कहा जाता है। कोटलर-मोलर निर्देशांक के साथ-साथ लास निर्देशांक दोनों को रिंडलर निर्देशांक के रूप में भी दर्शाया जाता है। इतिहास के संबंध में, इस तरह के निर्देशांक विशेष सापेक्षता के आगमन के तुरंत बाद पेश किए गए थे, जब उनका अध्ययन (पूरी तरह से या आंशिक रूप से) हाइपरबोलिक गति की अवधारणा के साथ किया गया थाः अल्बर्ट आइंस्टीन (1907,1912), मैक्स बॉर्न (1909), अर्नोल्ड सॉमरफेल्ड (1910), मैक्स वॉन लॉ (1911), हेंड्रिक लॉरेंट्ज़ (1913), फ्रेडरिक कोटलर (1914), वोल्फगैंग पाउली (1921), कार्ल बोलर्ट (1922), स्टेजेपन मोहोरोविचिक (1922), जॉर्जेस लेमैत्रे (1924), आइंस्टीन और नाथन रोसेन (1935), क्रिश्चियन मोलर (1943,1952), फ्रिट्ज़ रोह्रलिच (1913) द्वारा फ्लैट मिन्कोव्स्की स्पेसटाइम के संबंध में। विवरण और स्रोतों के लिए, देखें। रिंडलर फ्रेम की विशेषताएँ हाइपरबोलिक गति में एक वस्तु की विश्व रेखा जिसमें उचित समय और तेजी के कार्य के रूप में-दिशा में निरंतर उचित त्वरण होता है, जहां स्थिर है और परिवर्तनीय है, जिसमें विश्व रेखा हाइपरबोला से मिलती-जुलती है। सोमरफेल्ड ने दिखाया कि समीकरणों को चर और स्थिर के रूप में परिभाषित करके फिर से व्याख्या की जा सकती है, ताकि यह एक गतिशील पर्यवेक्षक द्वारा मापी गई हाइपरबोलिक गति में एक वस्तु के एक साथ "विश्राम आकार" का प्रतिनिधित्व करे। पर्यवेक्षक के उचित समय को सेटिंग द्वारा पूरे हाइपरबोलिक रूप से त्वरित फ्रेम के समय के रूप में उपयोग करके, जड़त्वीय निर्देशांक और हाइपरबोलिक निर्देशांक के बीच परिवर्तन सूत्र परिणामस्वरूप हैंः व्युत्क्रम विभेदक के साथ और मिन्कोव्स्की मीट्रिक में डाला गया, हाइपरबोलिक रूप से त्वरित फ्रेम में मीट्रिक का अनुसरण करता है ये परिवर्तन रिंडलर पर्यवेक्षक को एक पर्यवेक्षक के रूप में परिभाषित करते हैं जो रिंडलर निर्देशांक में "आराम में" है, यानी, स्थिर x, y, z बनाए रखना और समय बीतने के साथ केवल बदल रहा है। निर्देशांक उस क्षेत्र में मान्य होते हैं, जिसे अक्सर रिंडलर वेज कहा जाता है, यदि रिंडलर पर्यवेक्षक के उचित त्वरण (हाइपरबोला के साथ) का प्रतिनिधित्व करता है जिसका उचित समय रिंडलर समन्वय समय के बराबर होने के लिए परिभाषित किया गया है। इस विश्व रेखा को बनाए रखने के लिए, पर्यवेक्षक को एक निरंतर उचित त्वरण के साथ तेजी लानी चाहिए, जिसमें रिंडलर पर्यवेक्षक (रिंडलर क्षितिज) के करीब अधिक उचित त्वरण रखते हैं। सभी रिंडलर पर्यवेक्षक जड़त्वीय फ्रेम में समय पर तुरंत आराम करते हैं, और इस समय उचित त्वरण के साथ एक रिंडलर पर्यवेक्षक स्थिति में होगा (वास्तव में, लेकिन हम इकाइयों को कहाँ मानते हैं), जो कि रिंडलर निर्देशांक में रिंडलर क्षितिज से पर्यवेक्षक की स्थिर दूरी भी है। यदि सभी रिंडलर पर्यवेक्षक अपनी घड़ियों को शून्य पर निर्धारित करते हैं, तो एक रिंडलर समन्वय प्रणाली को परिभाषित करते समय हमारे पास एक विकल्प होता है कि रिंडलर पर्यवेक्षक का उचित समय रिंडलर निर्देशांक में समन्वय समय के बराबर होगा, और इस पर्यवेक्षक का उचित त्वरण उपरोक्त के मूल्य को परिभाषित करता है (रिंडलर क्षितिज से अलग-अलग दूरी पर अन्य रिंडलर पर्यवेक्षकों के लिए, समन्वय समय उनके अपने उचित समय के कुछ स्थिर गुणक के बराबर होगा)। रिंडलर समन्वय प्रणाली को परिभाषित करना एक आम परंपरा है ताकि रिंडलर पर्यवेक्षक जिसका उचित समय समन्वय समय से मेल खाता है, उसके पास उचित त्वरण हो, ताकि इसे समीकरणों से समाप्त किया जा सके। उपरोक्त समीकरण के लिए सरल किया गया है। एक त्वरण को देखते हुए, रिंडलर क्षितिज दूरी का पता लगाने के लिए सरल समीकरण अधिक सुविधाजनक है। लेख का शेष भाग और दोनों को स्थापित करने की परंपरा का पालन करेगा, इसलिए इकाइयों के लिए और 1 इकाई होगी। ध्यान रखें कि प्रकाश-सेकंड/सेकंड 2 की सेटिंग प्रकाश-वर्ष/वर्ष 2 की सेटिंग से बहुत अलग है। यहां तक कि अगर हम इकाइयों को चुनते हैं, तो भी उचित त्वरण का परिमाण इकाइयों की हमारी पसंद पर निर्भर करेगाः उदाहरण के लिए, यदि हम दूरी के लिए प्रकाश-वर्ष की इकाइयों का उपयोग करते हैं, (या) और समय के लिए वर्षों का उपयोग करते हैं, (या), तो इसका मतलब होगा प्रकाश वर्ष/वर्ष2, लगभग 9 मीटर/सेकंड2 के बराबर, जबकि यदि हम दूरी के लिए प्रकाश-सेकंड की इकाइयों का उपयोग करते हैं, (या), और समय के लिए सेकंड, (या), इसका मतलब होगा प्रकाश-सेकंड/सेकंड2, या 299 792 458 मीटर/सेकंड2)। परिवर्तन सूत्रों के प्रकार परिवर्तन सूत्रों की एक अधिक सामान्य व्युत्पत्ति दी जाती है, जब संबंधित फर्मी-वॉकर टेट्राड तैयार किया जाता है जिससे फर्मी निर्देशांक या उचित निर्देशांक प्राप्त किए जा सकते हैं। इन निर्देशांकों की उत्पत्ति के चयन के आधार पर, कोई भी मीट्रिक, मूल और बिंदु पर समय के बीच का फैलाव, और समन्वय प्रकाश गति प्राप्त कर सकता है (प्रकाश की यह परिवर्तनीय गति विशेष सापेक्षता का खंडन नहीं करती है, क्योंकि यह केवल नियोजित त्वरित निर्देशांकों की एक कलाकृति है, जबकि जड़त्वीय निर्देशांक में यह स्थिर रहता है)। फर्मी निर्देशांकों के बजाय, रडार निर्देशांकों का भी उपयोग किया जा सकता है, जो प्रकाश संकेतों का उपयोग करके दूरी निर्धारित करके प्राप्त किए जाते हैं (खंड देखें दूरी की धारणाएँ), जिसके द्वारा मीट्रिक, समय फैलाव और प्रकाश की गति अब निर्देशांकों पर निर्भर नहीं करती है-विशेष रूप से, प्रकाश की निर्देशांक गति जड़त्वीय फ्रेमों में प्रकाश की गति के साथ समान रहती हैः रिंडलर पर्यवेक्षक नए चार्ट में () के साथ और, सह-फ्रेम क्षेत्र लेना स्वाभाविक है जिसमें दोहरी फ्रेम क्षेत्र है यह प्रत्येक घटना पर स्पर्शरेखा स्थान में एक स्थानीय लॉरेंट्ज़ फ्रेम को परिभाषित करता है (हमारे रिंडलर चार्ट द्वारा कवर किए गए क्षेत्र में, अर्थात् रिंडलर वेज)। समतुल्य इकाई सदिश क्षेत्र के अभिन्न वक्र एक समतुल्य समरूपता देते हैं, जिसमें पर्यवेक्षकों के एक परिवार की विश्व रेखाएँ होती हैं जिन्हें रिंडलर पर्यवेक्षक कहा जाता है। रिंडलर चार्ट में, ये विश्व रेखाएँ ऊर्ध्वाधर निर्देशांक रेखाओं के रूप में दिखाई देती हैं। ऊपर दिए गए समन्वय परिवर्तन का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं कि ये मूल कार्टेशियन चार्ट में हाइपरबोलिक चापों के अनुरूप हैं। किसी भी लॉरेंट्ज़ियन मैनिफोल्ड में किसी भी समय-समान अनुरूपता के साथ, इस अनुरूपता में एक गतिज अपघटन होता है (रायचौधरी समीकरण देखें)। इस मामले में, रिंडलर पर्यवेक्षकों की एकरूपता का विस्तार और वर्टिसिटी गायब हो जाती है। एक्सपेंशन टेंसर के गायब होने का मतलब है कि हमारे प्रत्येक पर्यवेक्षक अपने पड़ोसियों से निरंतर दूरी बनाए रखते हैं। वर्टिसिटी टेंसर के गायब होने का तात्पर्य है कि हमारे पर्यवेक्षकों की विश्व रेखाएं एक दूसरे के बारे में घूम नहीं रही हैं; यह "घूमते" की एक प्रकार की स्थानीय अनुपस्थिति है। प्रत्येक पर्यवेक्षक का त्वरण सदिश सहपरिवर्तन व्युत्पन्न द्वारा दिया जाता है अर्थात प्रत्येक रिंडलर पर्यवेक्षक उस दिशा में गति बढ़ा रहा है। व्यक्तिगत रूप से, प्रत्येक पर्यवेक्षक वास्तव में इस दिशा में निरंतर परिमाण के साथ त्वरित हो रहा है, इसलिए उनकी विश्व रेखाएं वृत्तों के लोरेंट्ज़ियन अनुरूप हैं, जो यूक्लिडियन ज्यामिति में स्थिर पथ वक्रता के वक्र हैं। क्योंकि रिंडलर पर्यवेक्षक वर्टिसिटी-मुक्त होते हैं, वे हाइपरसर्फेस ऑर्थोगोनल भी होते हैं। ऑर्थोगोनल स्थानिक हाइपरस्लिक्स हैं; ये रिंडलर चार्ट में क्षैतिज अर्ध-समतल के रूप में और कार्टेशियन चार्ट में अर्ध-समतल के रूप में दिखाई देते हैं (ऊपर की आकृति देखें)। रेखा तत्व में सेटिंग करते हुए, हम देखते हैं कि इनमें साधारण यूक्लिडियन ज्यामिति है। इस प्रकार, रिंडलर चार्ट में स्थानिक निर्देशांक की एक बहुत ही सरल व्याख्या है जो इस दावे के अनुरूप है कि रिंडलर पर्यवेक्षक पारस्परिक रूप से स्थिर हैं। हम इस लेख में कुछ समय बाद रिंडलर पर्यवेक्षकों के इस कठोरता गुण पर लौटेंगे। एक "विरोधाभासी" गुण ध्यान दें कि छोटे स्थिरांक x निर्देशांक वाले रिंडलर पर्यवेक्षकों को बनाए रखना कठिन हो रहा है। यह आश्चर्यजनक लग सकता है क्योंकि न्यूटोनियन भौतिकी में, जो पर्यवेक्षक निरंतर सापेक्ष दूरी बनाए रखते हैं, उन्हें समान त्वरण साझा करना चाहिए। लेकिन सापेक्षवादी भौतिकी में, हम देखते हैं कि एक छड़ का पिछला अंतिम बिंदु जो किसी बाहरी बल (अपने समरूपता अक्ष के समानांतर) द्वारा त्वरित किया जाता है, उसे अग्रणी अंतिम बिंदु की तुलना में थोड़ा कठिन होना चाहिए, अन्यथा इसे अंततः टूटना होगा। यह लोरेंट्ज़ संकुचन की अभिव्यक्ति है। जैसे-जैसे छड़ की गति बढ़ती है, इसका वेग बढ़ता है और इसकी लंबाई कम होती जाती है। चूँकि यह छोटा होता जा रहा है, इसलिए पीछे के छोर को सामने की तुलना में अधिक तेज होना चाहिए। इसे देखने का एक और तरीका हैः पिछले छोर को कम समय में वेग में समान परिवर्तन प्राप्त करना चाहिए। यह एक अंतर समीकरण की ओर ले जाता है जो दर्शाता है कि, कुछ दूरी पर, पीछे के छोर का त्वरण अलग हो जाता है, जिसके परिणामस्वरूप रिंडलर क्षितिज होता है। यह घटना एक प्रसिद्ध "विरोधाभास", बेल के अंतरिक्ष यान विरोधाभास का आधार है। हालाँकि, यह सापेक्षता संबंधी गतिविज्ञान का एक सरल परिणाम है। इसे देखने का एक तरीका यह है कि त्वरण सदिश का परिमाण केवल संबंधित विश्व रेखा की पथ वक्रता है। लेकिन हमारे रिंडलर पर्यवेक्षकों की विश्व रेखाएं यूक्लिडियन तल में संकेंद्रित वृत्तों के एक परिवार के अनुरूप हैं, इसलिए हम केवल गति स्केटरों से परिचित तथ्य के लॉरेंट्ज़ियन अनुरूप के साथ काम कर रहे हैंः संकेंद्रित वृत्तों के एक परिवार में, आंतरिक वृत्तों को बाहरी वृत्तों की तुलना में तेजी से (प्रति इकाई चाप लंबाई) झुकना चाहिए। मिन्कोव्स्की पर्यवेक्षक प्राकृतिक विकल्प द्वारा मिन्कोव्स्की चार्ट में दिए गए एक वैकल्पिक फ्रेम को भी पेश करना सार्थक है, ऊपर दिए गए समन्वय परिवर्तन का उपयोग करके इन वेक्टर क्षेत्रों को परिवर्तित करते हुए, हम पाते हैं कि रिंडलर चार्ट में (रिंडर वेज में) यह फ्रेम बन जाता है। दूसरे शब्दों में, यह एक भूगणितीय अनुरूपता है; संबंधित पर्यवेक्षक जड़त्वीय गति की स्थिति में हैं। मूल कार्टेशियन चार्ट में, ये पर्यवेक्षक, जिन्हें हम मिन्कोव्स्की पर्यवेक्षक कहेंगे, आराम में हैं। रिंडलर चार्ट में, मिन्कोव्स्की पर्यवेक्षकों की विश्व रेखाएं समन्वय तल के लिए अतिसंवेदनशील सेकेंट वक्रों के रूप में दिखाई देती हैं। विशेष रूप से, रिंडलर निर्देशांक में, घटना से गुजरने वाले मिन्कोव्स्की पर्यवेक्षक की विश्व रेखा यह है कि इस मिन्कोव्स्की पर्यवेक्षक का उचित समय कहाँ है। ध्यान दें कि उनके इतिहास का केवल एक छोटा सा हिस्सा रिंडलर चार्ट द्वारा कवर किया गया है। यह स्पष्ट रूप से दर्शाता है कि क्यों रिंडलर चार्ट भूगणितीय रूप से पूर्ण नहीं है; समय के समान भूगणितीय सीमित उचित समय में चार्ट द्वारा कवर किए गए क्षेत्र के बाहर चलते हैं। बेशक, हम पहले से ही जानते थे कि रिंडलर चार्ट भूगणितीय रूप से पूर्ण नहीं हो सकता है, क्योंकि यह मूल कार्टेशियन चार्ट के केवल एक हिस्से को शामिल करता है, जो एक भूगणितीय रूप से पूर्ण चार्ट है। चित्र में दर्शाए गए मामले में, और हमने प्रकाश शंकु को खींचा है (सही ढंग से मापा और बढ़ाया गया है)। रिंडलर क्षितिज रिंडलर निर्देशांक चार्ट में x = 0 पर एक निर्देशांक विलक्षणता होती है, जहां मीट्रिक टेंसर (रिंडलर निर्देशांक में व्यक्त) का निर्धारक गायब हो जाता है। ऐसा इसलिए होता है क्योंकि x → 0 के रूप में रिंडलर पर्यवेक्षकों का त्वरण अलग हो जाता है। जैसा कि हम रिंडलर वेज को दर्शाने वाले चित्र से देख सकते हैं, रिंडलर चार्ट में लोकस x = 0 कार्टेशियन चार्ट में लोकस T2 = X2, X> 0 से मेल खाता है, जिसमें दो शून्य अर्ध-तल होते हैं, जिनमें से प्रत्येक एक शून्य भूगणितीय अनुरूपता द्वारा शासित होता है। अभी के लिए, हम केवल रिंडलर क्षितिज को रिंडलर निर्देशांक की सीमा मानते हैं। यदि हम रिंडलर निर्देशांकों में एक स्थिर स्थिति रखने वाले त्वरित पर्यवेक्षकों के समूह पर विचार करते हैं, तो उनमें से कोई भी कभी भी T ≤ X के साथ घटनाओं से प्रकाश संकेत प्राप्त नहीं कर सकता है (आरेख पर, ये रेखा T = X के ऊपर या बाईं ओर की घटनाएं होंगी जो ऊपरी लाल क्षितिज के साथ स्थित हैं; ये पर्यवेक्षक हालांकि T ≤ X के साथ घटनाओं से संकेत प्राप्त कर सकते हैं यदि वे अपना त्वरण रोक देते हैं और इस रेखा को स्वयं पार कर लेते हैं) और न ही वे कभी T ≤ − X के साथ घटनाओं को संकेत भेज सकते हैं (रेखा T = − X के बाईं ओर या बाईं ओर की घटनाएं जो निचली लाल क्षितिज के साथ स्थित हैं; वे घटनाएं अपनी पिछली विश्व रेखा के भविष्य के सभी प्रकाश शंकुओं के बाहर स्थित हैं)। इसके अलावा, यदि हम क्षितिज के करीब और करीब तेजी से बढ़ते पर्यवेक्षकों के इस समूह के सदस्यों पर विचार करते हैं, तो सीमा में क्षितिज की दूरी शून्य के करीब पहुंचती है, इस दूरी पर एक पर्यवेक्षक द्वारा अनुभव किया जाने वाला निरंतर उचित त्वरण (जो ऐसे पर्यवेक्षक द्वारा अनुभव किया जाने वाला जी-बल भी होगा) अनंत के करीब पहुंच जाएगा। ये दोनों तथ्य भी सही होंगे यदि हम एक ब्लैक होल के घटना क्षितिज के बाहर मंडराते पर्यवेक्षकों के एक समूह पर विचार कर रहे थे, प्रत्येक पर्यवेक्षक श्वार्जस्चिल्ड निर्देशांक में एक स्थिर त्रिज्या पर मंडराते हुए। वास्तव में, एक ब्लैक होल के निकट पड़ोस में, घटना क्षितिज के करीब ज्यामिति को रिंडलर निर्देशांक में वर्णित किया जा सकता है। एक त्वरित फ्रेम के मामले में हॉकिंग विकिरण को अनरुह विकिरण के रूप में संदर्भित किया जाता है। यह संबंध गुरुत्वाकर्षण के साथ त्वरण का समतुल्य है। जियोडेसिक रिंडलर चार्ट में जियोडेसिक समीकरण आसानी से जियोडेसिक लैग्रैन्जियन से प्राप्त किए जाते हैं; वे हैं। बेशक, मूल कार्टेशियन चार्ट में, जियोडेसिक सीधी रेखाओं के रूप में दिखाई देते हैं, इसलिए हम अपने समन्वय परिवर्तन का उपयोग करके उन्हें रिंडलर चार्ट में आसानी से प्राप्त कर सकते हैं। हालाँकि, मूल चार्ट से स्वतंत्र रूप से उन्हें प्राप्त करना और उनका अध्ययन करना शिक्षाप्रद है, और हम इस खंड में ऐसा करेंगे। पहले, तीसरे और चौथे से हम तुरंत पहले इंटीग्रल प्राप्त करते हैं लेकिन रेखा तत्व से हमारे पास क्रमशः टाइमलाइक, नल और स्पेसलाइक जियोडेसिक के लिए जगह है। यह चौथा पहला समाकलन देता है, अर्थात्। यह भूगणितीय समीकरणों का पूर्ण समाधान देने के लिए पर्याप्त है। शून्य भूगणितीय के मामले में, गैर-शून्य के साथ, हम देखते हैं कि x निर्देशांक अंतराल पर होता है। रिंडलर वेज में किसी भी घटना के माध्यम से किसी भी शून्य भूगणितीय को देने वाला पूरा सात पैरामीटर परिवार, किसी दिए गए घटना के माध्यम से कुछ प्रतिनिधि शून्य भूगणितीय के ट्रैक को प्लॉट कर रहा है (यानी, हाइपरस्लिस को पेश करते हुए), हम एक ऐसी तस्वीर प्राप्त करते हैं जो एक बिंदु के माध्यम से सभी अर्धवृत्त के परिवार की तरह संदिग्ध रूप से दिखती है और रिंडलर क्षितिज के लिए ऑर्थोगोनल (चित्र देखें)। तथ्य यह है कि रिंडलर चार्ट में, रिंडलर पर्यवेक्षकों के लिए किसी भी स्थानिक अतिसंवेदनशीलता में शून्य भूगणितीय के अनुमान केवल अर्धवृत्ताकार चाप हैं जिन्हें सीधे दिए गए सामान्य समाधान से सत्यापित किया जा सकता है, लेकिन इसे देखने का एक बहुत ही सरल तरीका है। एक स्थिर स्पेसटाइम वह है जिसमें एक वर्टिसिटी-मुक्त टाइमलाइक किलिंग वेक्टर क्षेत्र पाया जा सकता है। इस मामले में, हमारे पास संबंधित स्थैतिक पर्यवेक्षकों (जिन्हें जड़त्वीय पर्यवेक्षक होने की आवश्यकता नहीं है) के लिए ऑर्थोगोनल (समान) स्थानिक हाइपरस्लिक्स का एक विशिष्ट रूप से परिभाषित परिवार है। यह हमें इनमें से किसी भी हाइपरस्लिक्स पर एक नए मीट्रिक को परिभाषित करने की अनुमति देता है जो अंतरिक्ष काल से विरासत में मिले मूल मीट्रिक के अनुरूप है, लेकिन इस गुण के साथ कि नए मीट्रिक में भूगणितीय (ध्यान दें कि यह एक रीमानियन तीन-मैनिफोल्ड पर एक रीमानियन मीट्रिक है) सटीक रूप से अंतरिक्ष काल के शून्य भूगणितीय के अनुमान हैं। इस नए मीट्रिक को फर्माट मीट्रिक कहा जाता है, और एक स्थिर अंतरिक्ष काल में एक निर्देशांक चार्ट के साथ संपन्न होता है जिसमें रेखा तत्व का रूप फर्माट मीट्रिक होता है (जहां मीट्रिक गुणांक का मूल्यांकन किया जाता है)। रिंडलर चार्ट में, टाइमलाइक अनुवाद एक ऐसा किलिंग वेक्टर क्षेत्र है, इसलिए यह एक स्थिर स्पेसटाइम है (आश्चर्य की बात नहीं है, क्योंकि मिंकॉव्स्की स्पेसटाइम निश्चित रूप से आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण का एक स्थिर निर्वात समाधान है)। इसलिए, हम तुरंत रिंडलर पर्यवेक्षकों के लिए फर्माट मीट्रिक लिख सकते हैंः लेकिन यह ऊपरी आधे अंतरिक्ष चार्ट में हाइपरबोलिक तीन-स्थान H3 का प्रसिद्ध रेखा तत्व है। यह हाइपरबोलिक प्लेन H2 के लिए प्रसिद्ध ऊपरी आधे समतल चार्ट के समान है, जो अनुरूप मानचित्रण समस्याओं (और बहुत कुछ) के संबंध में जटिल विश्लेषण छात्रों की पीढ़ियों से परिचित है, और कई गणितीय रूप से दिमाग वाले पाठक पहले से ही जानते हैं कि ऊपरी आधे समतल मॉडल में H2 के भूगणितीय केवल अर्धवृत्त हैं (वास्तविक अक्ष द्वारा दर्शाए गए अनंत पर वृत्त के लिए ऑर्थोगोनल)। सममिति चूंकि रिंडलर चार्ट मिन्कोव्स्की स्पेसटाइम के लिए एक समन्वय चार्ट है, इसलिए हम दस रैखिक रूप से स्वतंत्र किलिंग वेक्टर क्षेत्रों को खोजने की उम्मीद करते हैं। वास्तव में, कार्टेशियन चार्ट में हम आसानी से दस रैखिक रूप से स्वतंत्र किलिंग वेक्टर क्षेत्रों को पा सकते हैं, जो क्रमशः समय अनुवाद के एक पैरामीटर उपसमूह, तीन स्थानिक, तीन घूर्णन और तीन बूस्ट उत्पन्न करते हैं। ये एक साथ (उचित आइसोक्रोनस) पोइनकेयर समूह उत्पन्न करते हैं, जो मिन्कोव्स्की स्पेसटाइम का समरूपता समूह है। हालाँकि, किलिंग वेक्टर समीकरणों को सीधे लिखना और हल करना शिक्षाप्रद है। हम चार परिचित दिखने वाले हत्या वेक्टर क्षेत्रों (समय अनुवाद, स्थानिक अनुवाद त्वरण की दिशा के लिए ऑर्थोगोनल, और स्थानिक घूर्णन त्वरण की दिशा के लिए ऑर्थोगोनल) और छह और प्राप्त करते हैंः (जहां संकेतों को लगातार + या-चुना जाता है)। हम इसे यह पता लगाने के लिए एक अभ्यास के रूप में छोड़ते हैं कि ये मानक जनरेटर से कैसे संबंधित हैं; यहाँ हम यह इंगित करना चाहते हैं कि हमें कार्टेशियन चार्ट के बराबर जनरेटर प्राप्त करने में सक्षम होना चाहिए, फिर भी इस अनुवाद के तहत रिंडलर वेज स्पष्ट रूप से अपरिवर्तनीय नहीं है। यह कैसे हो सकता है? इसका उत्तर यह है कि आंशिक विभेदक समीकरणों की एक प्रणाली द्वारा परिभाषित किसी भी चीज़ की तरह, हत्या समीकरण में सामान्य रूप से स्थानीय रूप से परिभाषित समाधान होंगे, लेकिन ये विश्व स्तर पर मौजूद नहीं हो सकते हैं। अर्थात्, समूह मापदंड पर उपयुक्त प्रतिबंधों के साथ, एक हत्या प्रवाह को हमेशा एक उपयुक्त स्थानीय पड़ोस में परिभाषित किया जा सकता है, लेकिन प्रवाह को विश्व स्तर पर अच्छी तरह से परिभाषित नहीं किया जा सकता है। इसका लोरेंट्ज़ियन मैनिफोल्ड्स प्रति से से कोई लेना-देना नहीं है, क्योंकि सामान्य चिकनी मैनिफोल्ड्स के अध्ययन में भी यही समस्या उत्पन्न होती है। दूरी की धारणाएँ रिंडलर चार्ट के अध्ययन से सीखने के लिए कई मूल्यवान सबक में से एक यह है कि वास्तव में दूरी की कई अलग (लेकिन उचित) धारणाएँ हैं जिनका उपयोग रिंडलर पर्यवेक्षकों द्वारा किया जा सकता है। पहला वह है जिसे हमने ऊपर मौन रूप से नियोजित किया हैः स्थानिक हाइपरस्लिक्स पर प्रेरित रीमानियन मीट्रिक। हम इसे शासक दूरी कहेंगे क्योंकि यह इस प्रेरित रीमानियन मीट्रिक से मेल खाता है, लेकिन इसका परिचालन अर्थ तुरंत स्पष्ट नहीं हो सकता है। भौतिक मापन के दृष्टिकोण से, दो विश्व रेखाओं के बीच की दूरी की एक अधिक प्राकृतिक धारणा रडार दूरी है। इसकी गणना हमारे पर्यवेक्षक (घटना ए) की विश्व रेखा से किसी छोटी वस्तु की विश्व रेखा पर एक शून्य भूगणितीय भेजकर की जाती है, जिसके बाद यह परावर्तित होता है (घटना बी) और पर्यवेक्षक (घटना सी) को लौटता है। रडार दूरी तब राउंड ट्रिप यात्रा समय को विभाजित करके प्राप्त की जाती है, जैसा कि हमारे पर्यवेक्षक द्वारा ले जाए गए एक आदर्श घड़ी द्वारा मापा जाता है। (मिन्कोव्स्की स्पेसटाइम में, सौभाग्य से, हम दो विश्व रेखाओं के बीच कई शून्य भूगणितीय पथों की संभावना को नजरअंदाज कर सकते हैं, लेकिन ब्रह्मांड संबंधी मॉडल और अन्य अनुप्रयोगों में चीजें इतनी सरल नहीं हैं। हमें यह मानने के खिलाफ भी सावधानी बरतनी चाहिए कि दो पर्यवेक्षकों के बीच दूरी की यह धारणा एक धारणा देती है जो पर्यवेक्षकों के आदान-प्रदान के तहत सममित है।) विशेष रूप से, निर्देशांक और क्रमशः के साथ रिंडलर पर्यवेक्षकों की एक जोड़ी पर विचार करें। (ध्यान दें कि इनमें से पहला, पीछे रहने वाला पर्यवेक्षक, अग्रणी पर्यवेक्षक के साथ बने रहने के लिए थोड़ा कठिन हो रहा है)। रिंडलर रेखा तत्व में स्थापित करते हुए, हम त्वरण की दिशा में आगे बढ़ते शून्य भूगणितीय समीकरण को आसानी से प्राप्त करते हैंः इसलिए, इन दोनों पर्यवेक्षकों के बीच रडार दूरी द्वारा दी जाती है यह शासक दूरी से थोड़ी कम है, लेकिन पास के पर्यवेक्षकों के लिए विसंगति नगण्य है। दूरी की तीसरी संभावित धारणा यह हैः हमारा पर्यवेक्षक किसी वस्तु (बिंदु वस्तु नहीं) पर रखी इकाई डिस्क द्वारा कम किए गए कोण को मापता है, जैसा कि उसके स्थान से दिखाई देता है। हम इसे ऑप्टिकल व्यास की दूरी कहते हैं। मिन्कोव्स्की स्पेसटाइम में शून्य भूगणितीय के सरल चरित्र के कारण, हम आसानी से रिंडलर पर्यवेक्षकों की अपनी जोड़ी (त्वरण की दिशा के साथ संरेखित) के बीच ऑप्टिकल दूरी निर्धारित कर सकते हैं। एक रेखाचित्र से यह प्रशंसनीय होना चाहिए कि ऑप्टिकल व्यास की दूरी इस तरह होती है। इसलिए, एक अग्रणी पर्यवेक्षक (मामले में) के लिए दूरी का अनुमान लगाने वाले एक पीछे के पर्यवेक्षक के मामले में, ऑप्टिकल दूरी शासक दूरी से थोड़ी बड़ी होती है, जो रडार दूरी से थोड़ी बड़ी होती है। पाठक को अब एक प्रमुख पर्यवेक्षक के मामले पर विचार करने के लिए कुछ समय लेना चाहिए जो एक पीछे के पर्यवेक्षक से दूरी का अनुमान लगा रहा है। दूरी की अन्य धारणाएँ हैं, लेकिन मुख्य बिंदु स्पष्ट हैः जबकि इन विभिन्न धारणाओं के मूल्य सामान्य रूप से रिंडलर पर्यवेक्षकों की एक जोड़ी के लिए असहमत होंगे, वे सभी इस बात से सहमत हैं कि रिंडलर पर्यवेक्षकों की प्रत्येक जोड़ी निरंतर दूरी बनाए रखती है। तथ्य यह है कि बहुत पास के रिंडलर पर्यवेक्षक पारस्परिक रूप से स्थिर हैं, इस तथ्य से, ऊपर उल्लेख किया गया है, कि रिंडलर अनुरूपता का विस्तार टेंसर समान रूप से गायब हो जाता है। हालाँकि, हमने यहाँ दिखाया है कि विभिन्न अर्थों में, यह कठोरता गुण बड़े पैमाने पर होता है। यह वास्तव में एक उल्लेखनीय कठोरता गुण है, इस प्रसिद्ध तथ्य को देखते हुए कि सापेक्षवादी भौतिकी में, किसी भी छड़ को सख्ती से तेज नहीं किया जा सकता है (और किसी भी डिस्क को सख्ती से घुमाया नहीं जा सकता है)-कम से कम, असमान तनावों को बनाए रखे बिना नहीं। इसे देखने का सबसे आसान तरीका यह देखना है कि न्यूटनियन भौतिकी में, यदि हम एक कठोर पिंड को "लात" मारते हैं, तो शरीर में पदार्थ के सभी तत्व तुरंत अपनी गति की स्थिति को बदल देंगे। यह निश्चित रूप से सापेक्षवादी सिद्धांत के साथ असंगत है कि कोई भी भौतिक प्रभाव वाली जानकारी प्रकाश की गति से तेजी से प्रेषित नहीं की जा सकती है। यह इस प्रकार है कि यदि एक छड़ को उसकी लंबाई के साथ कहीं भी लगाए गए किसी बाहरी बल द्वारा त्वरित किया जाता है, तो छड़ में विभिन्न स्थानों पर पदार्थ के तत्व सभी त्वरण के समान परिमाण को महसूस नहीं कर सकते हैं यदि छड़ बिना बंधे विस्तारित नहीं होती है और अंततः टूट जाती है। दूसरे शब्दों में, एक त्वरित छड़ जो नहीं टूटती है, उसे तनाव को बनाए रखना चाहिए जो इसकी लंबाई के साथ भिन्न होता है। इसके अलावा, समय बदलने वाली ताकतों के साथ किसी भी विचार प्रयोग में, चाहे हम किसी वस्तु को "लात" मारें या धीरे-धीरे उसे तेज करने की कोशिश करें, हम यांत्रिक मॉडल से बचने की समस्या से बच नहीं सकते हैं जो सापेक्ष गतिविज्ञान के साथ असंगत हैं (क्योंकि शरीर के दूर के हिस्से एक लागू बल के लिए बहुत जल्दी प्रतिक्रिया करते हैं)। शासक दूरी के परिचालन महत्व के सवाल पर लौटते हुए, हम देखते हैं कि यह वह दूरी होनी चाहिए जो हमारे पर्यवेक्षकों को प्राप्त होगी यदि वे बहुत धीरे-धीरे एक छोटे से शासक को हाथ से हाथ करने के लिए गुजरते हैं जिसे बार-बार अंत से अंत तक निर्धारित किया जाता है। लेकिन इस व्याख्या को विस्तार से उचित ठहराने के लिए किसी प्रकार के भौतिक मॉडल की आवश्यकता होगी। घुमावदार स्थान-काल के लिए सामान्यीकरण रिंडलर निर्देशांक जैसा कि ऊपर वर्णित है, घुमावदार स्थान-काल के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, फर्मी सामान्य निर्देशांक के रूप में। सामान्यीकरण में अनिवार्य रूप से एक उपयुक्त ऑर्थोनॉर्मल टेट्राड का निर्माण और फिर फर्मी-वॉकर परिवहन नियम का उपयोग करके दिए गए प्रक्षेपवक्र के साथ इसे परिवहन करना शामिल है। अधिक जानकारी के लिए नीचे दिए गए संदर्भों में नी और ज़िमरमैन का शोध-पत्र देखें। इस तरह का सामान्यीकरण वास्तव में पृथ्वी-आधारित प्रयोगशाला में जड़त्वीय और गुरुत्वाकर्षण प्रभावों के साथ-साथ अधिक दिलचस्प युग्मित जड़त्वीय-गुरुत्वाकर्षण प्रभावों का अध्ययन करने में सक्षम बनाता है। इतिहास अवलोकन कोटलर-मोलर और रिंडलर निर्देशांक अल्बर्ट आइंस्टीन (1907) ने एक समान रूप से त्वरित फ्रेम के भीतर प्रभावों का अध्ययन किया, समन्वय आश्रित समय फैलाव और () के बराबर प्रकाश की गति के लिए समीकरण प्राप्त किए, और पर्यवेक्षक की उत्पत्ति से स्वतंत्र सूत्रों को बनाने के लिए, उन्होंने रडार निर्देशांक के साथ औपचारिक समझौते में समय फैलाव () प्राप्त किया। बोर्न रिगिडिटी की अवधारणा को पेश करते हुए, मैक्स बोर्न (1909) ने नोट किया कि हाइपरबोलिक गति के लिए सूत्रों का उपयोग "हाइपरबोलिक रूप से त्वरित संदर्भ प्रणाली" () के समतुल्य () में परिवर्तन के रूप में किया जा सकता है। बोर्न के काम को अर्नोल्ड सोमरफेल्ड (1910) और मैक्स वॉन लाउ (1911) द्वारा आगे विस्तृत किया गया था, जिन्होंने दोनों ने काल्पनिक संख्याओं का उपयोग करके () प्राप्त किया था, जिसे वोल्फगैंग पाउली (1921) द्वारा संक्षेपित किया गया था, जिन्होंने निर्देशांक () के अलावा काल्पनिक संख्याओं का उपयोग करके मीट्रिक () भी प्राप्त किया था। आइंस्टीन (1912) ने एक स्थिर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र का अध्ययन किया और प्रकाश की एक समन्वय आश्रित गति का उपयोग करके कोटलर-मोलर मीट्रिक () के साथ-साथ सूत्रों () के सन्निकटन प्राप्त किए। हेंड्रिक लॉरेंट्ज़ (1913) ने आइंस्टीन के समतुल्यता सिद्धांत और समान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र का अध्ययन करते हुए (,,) के समान निर्देशांक प्राप्त किए। फ्रेडरिक कोटलर (1914) द्वारा एक विस्तृत विवरण दिया गया था, जिन्होंने संबंधित ऑर्थोनॉर्मल टेट्राड, परिवर्तन सूत्र और मीट्रिक (,) तैयार किया था। इसके अलावा कार्ल बोलर्ट (1922) ने समान त्वरण और समान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्रों के अपने अध्ययन में मीट्रिक () प्राप्त किया। बॉर्न रिगिडिटी से संबंधित एक पेपर में, जॉर्जेस लेमैत्रे (1924) ने निर्देशांक और मीट्रिक (,) प्राप्त किए। अल्बर्ट आइंस्टीन और नाथन रोसेन (1935) ने (,) को एक समान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के लिए "प्रसिद्ध" अभिव्यक्तियों के रूप में वर्णित किया। क्रिश्चियन मोलर (1943) द्वारा सजातीय गुरुत्वाकर्षण क्षेत्रों से संबंधित अध्ययन के रूप में (,) प्राप्त करने के बाद, उन्होंने (1952) के साथ-साथ मिसनर एंड थोर्न एंड व्हीलर (1973) ने समान समीकरण प्राप्त करने के लिए फर्मी-वॉकर परिवहन का उपयोग किया। जबकि ये जांच सपाट स्थान-काल से संबंधित थीं, वोल्फगैंग रिंडलर (1960) ने घुमावदार स्थान-काल में हाइपरबोलिक गति का विश्लेषण किया, और (1966) श्वार्जस्चिल्ड स्थान में क्रुस्कल निर्देशांक के साथ सपाट स्थान-काल में हाइपरबोलिक निर्देशांक (,) के बीच समानता दिखाई। इसने बाद के लेखकों को हाइपरबोलिक गति में एक पर्यवेक्षक द्वारा मापे गए अनरुह विकिरण के निर्माण में प्रभावित किया, जो ब्लैक होल के हॉकिंग विकिरण के विवरण के समान है। होराइजन बोर्न (1909) ने दिखाया कि हाइपरबोलिक गति में बोर्न रिजिड बॉडी के आंतरिक बिंदु केवल इस क्षेत्र में हो सकते हैं। सोमरफेल्ड (1910) ने परिभाषित किया कि जड़त्वीय और हाइपरबोलिक निर्देशांकों के बीच परिवर्तन के लिए अनुमत निर्देशांकों को संतुष्ट करना चाहिए। कोटलर (1914) ने इस क्षेत्र को इस रूप में परिभाषित किया, और एक "सीमा तल" () के अस्तित्व की ओर इशारा किया, जिसके आगे कोई भी संकेत हाइपरबोलिक गति में पर्यवेक्षक तक नहीं पहुंच सकता है। इसे बोलर्ट (1922) द्वारा "पर्यवेक्षक का क्षितिज" कहा गया था। रिंडलर (1966) ने क्रुस्कल निर्देशांक में इस तरह के क्षितिज और क्षितिज के बीच संबंध का प्रदर्शन किया। रडार निर्देशांक बोलर्ट की औपचारिकता का उपयोग करते हुए, स्टेजेपन मोहोरोविसिच (1922) ने कुछ मापदंड के लिए एक अलग विकल्प बनाया और एक मुद्रण त्रुटि के साथ मीट्रिक () प्राप्त किया, जिसे बोलर्ट (1922बी) द्वारा एक अन्य मुद्रण त्रुटि के साथ ठीक किया गया था, जब तक कि मुद्रण त्रुटि के बिना एक संस्करण मोहोरोविसिच (1923) द्वारा नहीं दिया गया था। इसके अलावा, मोहोरोविचिक ने गलती से तर्क दिया कि मीट्रिक (जिसे अब कोटलर-मोलर मीट्रिक कहा जाता है) गलत है, जिसका खंडन बोलर्ट (1922) ने किया था। मेट्रिक () को हैरी लास (1963) द्वारा फिर से खोजा गया था, जिन्होंने संबंधित निर्देशांक () भी दिए जिन्हें कभी-कभी "लास निर्देशांक" कहा जाता है। मीट्रिक (), साथ ही (,), भी फ्रिट्ज रोहरलिच (1963) द्वारा व्युत्पन्न किया गया था। आखिरकार, लास निर्देशांक (,) की पहचान डेसलोज और फिलपॉट (1987) द्वारा रडार निर्देशांक के साथ की गई। ऐतिहासिक सूत्रों के साथ तालिका बेल के अंतरिक्ष यान विरोधाभास को भी देखें, कभी-कभी विवादास्पद विषय के लिए अक्सर रिंडलर निर्देशांक का उपयोग करके अध्ययन किया जाता है। मिन्कोव्स्की स्पेसटाइम में कुछ त्वरित पर्यवेक्षकों की गति के लिए अनुकूलित एक अन्य महत्वपूर्ण समन्वय प्रणाली के लिए बोर्न निर्देशांक। समरूपता (सामान्य सापेक्षता) एहरेनफेस्ट विरोधाभास, कभी-कभी विवादास्पद विषय के लिए अक्सर बॉर्न निर्देशांक का उपयोग करके अध्ययन किया जाता है। सामान्य सापेक्षता में फ्रेम क्षेत्र सामान्य सापेक्षता संसाधन मिल्ने मॉडल रायचौधरी समीकरण अनरुह प्रभाव संदर्भ ऐतिहासिक स्रोत आगे पढ़ना उपयोगी पृष्ठभूमिः चिकनी मैनिफोल्ड पर वेक्टर क्षेत्रों से संबंधित पृष्ठभूमि के लिए अध्याय 4 देखें। फर्माट मीट्रिक की व्युत्पत्ति के लिए अध्याय 8 देखें। रिंडलर निर्देशांकः खंड 6.6 देखें। रिंडलर क्षितिज सापेक्षता का सिद्धांत सामान्य सापेक्षता त्वरण में चार्ट कोऑर्डिनेट करें