Radon's theorem
ज्यामिति में, 1921 में जोहान रेडॉन द्वारा प्रकाशित उत्तल समुच्चयों पर रेडॉन की प्रमेय में कहा गया है किः Rd में d + 2 बिंदुओं के किसी भी समुच्चय को दो समुच्चयों में विभाजित किया जा सकता है जिनके उत्तल पतवार प्रतिच्छेद करते हैं। इन उत्तल पतवारों के प्रतिच्छेदन में एक बिंदु को set.For उदाहरण का रेडॉन बिंदु कहा जाता है, मामले में d = 2, यूक्लिडियन तल में चार बिंदुओं के किसी भी सेट को दो तरीकों में से एक में विभाजित किया जा सकता है। यह एक ट्रिपल और एक सिंगलटन बना सकता है, जहां ट्रिपल (एक त्रिकोण) के उत्तल पतवार में सिंगलटन होता है; वैकल्पिक रूप से, यह दो जोड़े बिंदु बना सकता है जो दो प्रतिच्छेदन रेखा खंडों के अंतिम बिंदु बनाते हैं। प्रमाण और निर्माण डी-आयामी स्थान में डी + 2 बिंदुओं के किसी भी समूह पर विचार करें। फिर a1,., ad + 2 गुणकों का एक समूह मौजूद है, जिनमें से सभी शून्य नहीं हैं, जो रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करते हैं क्योंकि d + 2 अज्ञात (गुणक) हैं लेकिन केवल d + 1 समीकरण हैं जिन्हें उन्हें संतुष्ट करना चाहिए (अंकों के प्रत्येक निर्देशांक के लिए एक, एक अंतिम समीकरण के साथ जिसमें गुणकों का योग शून्य होना आवश्यक है)। कुछ विशेष गैर-शून्य समाधान a1,., ad + 2 को ठीक करें। मान लीजिए कि सकारात्मक गुणकों के साथ अंकों का समूह है, और गुणकों के साथ अंकों का समूह है जो नकारात्मक या शून्य हैं। फिर और उत्तल पतवारों को काटते हुए दो उपसमुच्चय में बिंदुओं का आवश्यक विभाजन करें। उत्तल पतवार और उन्हें एक दूसरे को काटना चाहिए, क्योंकि दोनों में वह बिंदु होता है जहां सूत्र के बाएं हाथ की ओर इस बिंदु को अंदर के बिंदुओं के उत्तल संयोजन के रूप में व्यक्त करता है, और दाहिने हाथ की ओर इसे अंदर के बिंदुओं के उत्तल संयोजन के रूप में व्यक्त करता है। इसलिए, प्रमाण को पूरा करते हुए, दोनों उत्तल पतवारों से संबंधित है। यह प्रमाण विधि गुणकों के लिए समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए गॉसियन उन्मूलन या अन्य कुशल एल्गोरिदम का उपयोग करके, आयाम में बहुपद समय में एक रेडॉन बिंदु के कुशल निर्माण की अनुमति देती है। टोपोलॉजिकल रेडॉन थ्योरम रेडॉन थ्योरम का एक समतुल्य सूत्रीकरण हैः यदि f, a (d + 1)-आयामी सिम्प्लेक्स δd + 1 से Rd तक कोई अफाइन फ़ंक्शन है, तो δd + 1 के दो असंबद्ध चेहरे हैं जिनकी छवियाँ f intersect.They के तहत समतुल्य हैं क्योंकि एक सिम्प्लेक्स पर कोई भी अफाइन फ़ंक्शन विशिष्ट रूप से उसके शीर्षों की छवियों द्वारा निर्धारित किया जाता है। औपचारिक रूप से, मान लीजिए कि f एक एफ़ाइन फलन है जो Δd + 1 से Rd तक है। मान लीजिए कि वे δd + 1 के शीर्ष हैं, और मान लीजिए कि उनकी छवियाँ f के नीचे हैं। मूल सूत्रीकरण द्वारा, इसे दो अलग-अलग उपसमुच्चय में विभाजित किया जा सकता है, जैसे। (xi) i में I और (xj) j में J, अतिव्यापी उत्तल पतवार के साथ। क्योंकि f एफ़ाइन है, I में (xi) i का उत्तल पतवार I में शीर्ष (vi) i द्वारा फैले चेहरे की छवि है, और इसी तरह J में (xj) j का उत्तल पतवार j में शीर्ष (vj) j द्वारा फैले चेहरे की छवि है। ये दोनों चेहरे अलग-अलग हैं, और एफ के नीचे उनकी छवियां प्रतिच्छेदन करती हैं-जैसा कि नए सूत्र द्वारा दावा किया गया है। टोपोलॉजिकल रेडॉन प्रमेय इस सूत्रीकरण को सामान्यीकृत करता है। यह f को किसी भी निरंतर फलन की अनुमति देता है-जरूरी नहीं कि एफ़ाइन होः यदि f, a (d + 1)-आयामी सिम्प्लेक्स Δd + 1 से Rd तक कोई भी निरंतर फलन है, तो Δd + 1 के दो असंबद्ध चेहरे हैं जिनकी छवियां f intersect.More के तहत आम तौर पर होती हैं, यदि K कोई (d + 1)-आयामी कॉम्पैक्ट उत्तल समुच्चय है, और f, K से d-आयामी स्थान तक कोई भी निरंतर फलन है, तो एक रैखिक फलन g मौजूद होता है कि कुछ बिंदु जहां g अपने अधिकतम मूल्य को प्राप्त करता है और कुछ अन्य बिंदु जहां g अपने न्यूनतम मूल्य को प्राप्त करता है, उसे f द्वारा उसी बिंदु पर मैप किया जाता है। जिस मामले में के एक सिंप्लेक्स है, जी के अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं से बने दो सिंप्लेक्स चेहरे तब दो असंबद्ध चेहरे होने चाहिए जिनकी छवियों में एक गैर-खाली प्रतिच्छेदन है। यही सामान्य कथन, जब एक सिंप्लेक्स के बजाय एक हाइपरस्फेयर पर लागू किया जाता है, तो बोर्सुक-उलम प्रमेय देता है, कि f को गोले के दो विपरीत बिंदुओं को एक ही बिंदु पर मानचित्रित करना चाहिए। प्रमाण टोपोलॉजिकल रेडॉन प्रमेय को मूल रूप से बाजमोक्सी और बरनी द्वारा निम्नलिखित तरीके से साबित किया गया थाः Sd (d-आयामी क्षेत्र) से αd + 1 तक एक निरंतर मानचित्र g का निर्माण करें, जैसे कि गोले पर प्रत्येक बिंदु x के लिए, g (x) और g (-x) αd + 1 के दो अलग-अलग चेहरों पर हों। बोर्सुक-उलम प्रमेय को फलन पर लागू करें, जो एस. डी. से आर. डी. तक एक निरंतर फलन है। प्रमेय कहता है कि, ऐसे किसी भी फलन के लिए, Sd पर कुछ बिंदु y मौजूद है, जैसे कि f (g (y)) = f (g (-y))। बिंदु g (y) और g (-y) δd + 1 के दो अलग-अलग चेहरों पर हैं, और उन्हें Rd के समान बिंदु पर f द्वारा मैप किया जाता है। इसका तात्पर्य यह है कि इन दो असंबद्ध चेहरों की छवियाँ एक दूसरे को काटती हैं। एक अन्य प्रमाण लोवास्ज और श्राइज्वर द्वारा दिया गया था। एक तीसरा प्रमाण मातौसेक द्वारा दिया गया हैः मान लीजिए कि K सिंप्लेक्स Δd + 1 है, और मान लीजिए कि यह स्वयं के साथ K का हटा दिया गया जोड़ है। की ज्यामितीय प्राप्ति गोले Sd + 1 के लिए समरूप है। अतः इसका Z2-सूचकांक d + 1 के बराबर होता है। टोपोलॉजिकल रेडॉन प्रमेय निम्नलिखित अधिक सामान्य प्रमेय का अनुसरण करता है। किसी भी सरल जटिल K के लिए, यदि का Z2-सूचकांक d से बड़ा है, तो। |K।। से Rd तक प्रत्येक निरंतर मानचित्रण के लिए, K के दो असंबद्ध चेहरों की छवियां प्रतिच्छेद करती हैं। अनुप्रयोग समतल में किसी भी चार बिंदुओं का रेडॉन बिंदु उनका ज्यामितीय माध्यिका होता है, वह बिंदु जो अन्य बिंदुओं की दूरी के योग को न्यूनतम करता है। रेडॉन की प्रमेय उत्तल समुच्चय के प्रतिच्छेदन पर हेली की प्रमेय के एक मानक प्रमाण का एक प्रमुख कदम है; यह प्रमाण रेडॉन की रेडॉन की प्रमेय की मूल खोज के लिए प्रेरणा थी। रेडॉन के प्रमेय का उपयोग रैखिक पृथक्करण के संबंध में डी-आयामी बिंदुओं के वीसी आयाम की गणना करने के लिए भी किया जा सकता है। डी + 1 बिंदुओं के समूह मौजूद हैं (उदाहरण के लिए, एक नियमित सिम्प्लेक्स के बिंदु) जैसे कि हर दो गैर-खाली उपसमुच्चय को एक हाइपरप्लेन द्वारा एक दूसरे से अलग किया जा सकता है। हालाँकि, कोई फर्क नहीं पड़ता कि d + 2 बिंदुओं का कौन सा सेट दिया गया है, एक रेडॉन विभाजन के दो सबसेट को रैखिक रूप से अलग नहीं किया जा सकता है। इसलिए, इस प्रणाली का वी. सी. आयाम बिल्कुल डी + 1 है। एक यादृच्छिक एल्गोरिथ्म जो बार-बार डी + 2 बिंदुओं के सेट को उनके रेडॉन बिंदु से बदल देता है, उसका उपयोग किसी भी बिंदु सेट के केंद्र बिंदु के लिए एक सन्निकटन की गणना करने के लिए किया जा सकता है, उस समय में जो अंकों की संख्या और आयाम दोनों में बहुपद है। संबंधित अवधारणाएँ ज्यामितीय माध्यिका। एक आयामी स्थान में तीन बिंदुओं का रेडॉन बिंदु केवल उनका माध्यिका है। अंकों के एक समूह का ज्यामितीय माध्यिका वह बिंदु है जो सेट में बिंदुओं की दूरी के योग को कम करता है; यह एक आयामी माध्यिका को सामान्यीकृत करता है और सुविधा स्थान और मजबूत सांख्यिकी दोनों के दृष्टिकोण से अध्ययन किया गया है। समतल में चार बिंदुओं के समुच्चयों के लिए, ज्यामितीय माध्यिका रेडॉन बिंदु के साथ मेल खाती है। ट्वेरबर्ग की प्रमेय। आर सेट में विभाजन के लिए एक सामान्यीकरण द्वारा दिया गया था और अब इसे ट्वेरबर्ग की प्रमेय के रूप में जाना जाता है। यह बताता है कि यूक्लिडियन डी-स्पेस में बिंदुओं के किसी भी समूह के लिए, आर उपसमुच्चय में एक विभाजन होता है जिसका उत्तल पतवार कम से कम एक सामान्य बिंदु में प्रतिच्छेद करता है। कैराथिओडोरी के प्रमेय में कहा गया है कि उत्तल पतवार में कुछ बिंदुओं के समूह का कोई भी बिंदु अधिक से अधिक d + 1 बिंदुओं के उपसमुच्चय के उत्तल पतवार के भीतर भी होता है; अर्थात, दिया गया बिंदु एक रेडॉन विभाजन का हिस्सा है जिसमें यह एक सिंगलटन है। कैराथिओडोरी के प्रमेय का एक प्रमाण रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के समाधानों की जांच करने की तकनीक का उपयोग करता है, जो रेडॉन के प्रमेय के प्रमाण के समान है, ताकि एक समय में एक बिंदु को तब तक समाप्त किया जा सके जब तक कि अधिकतम d + 1 न रह जाए। कन्वेक्स ज्यामिति। रेडॉन के प्रमेय से संबंधित अवधारणाओं पर उत्तल ज्यामितियों के लिए भी विचार किया गया है, सीमित समुच्चयों के परिवारों के गुणों के साथ कि परिवार में किसी भी दो समुच्चयों का प्रतिच्छेदन परिवार में रहता है, और यह कि खाली समुच्चय और सभी समुच्चयों का संयोजन परिवार से संबंधित है। इस अधिक सामान्य संदर्भ में, एक समुच्चय S का उत्तल पतवार परिवार के सदस्यों का प्रतिच्छेदन है जिसमें S होता है, और एक स्थान की रेडॉन संख्या सबसे छोटी r होती है जैसे कि किसी भी r बिंदु के दो उपसमुच्चय होते हैं जिनके उत्तल पतवार प्रतिच्छेद करते हैं। इसी तरह, यूक्लिडियन रिक्त स्थान में उत्तल समुच्चयों के लिए उनकी परिभाषाओं के अनुरूप हेली संख्या एच और कैराथियोडोरी संख्या सी को परिभाषित किया जा सकता है, और यह दिखाया जा सकता है कि ये संख्याएँ एच <आर ≤ सीएच + 1 असमानताओं को संतुष्ट करती हैं। ग्राफ के लिए रेडॉन प्रमेय। एक मनमाने दिशाहीन ग्राफ में, एक उत्तल समुच्चय को शीर्षों के एक समुच्चय के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसमें समुच्चय में शीर्षों की एक जोड़ी को जोड़ने वाला प्रत्येक प्रेरित पथ शामिल होता है। इस परिभाषा के साथ, ग्राफ में ω + 1 शीर्षों के प्रत्येक समूह को दो उपसमुच्चय में विभाजित किया जा सकता है जिनके उत्तल पतवार प्रतिच्छेद करते हैं, और ω + 1 वह न्यूनतम संख्या है जिसके लिए यह संभव है, जहां ω दिए गए ग्राफ की गुट संख्या है। प्रेरित पथ के बजाय सबसे छोटे पथों से जुड़े संबंधित परिणामों के लिए और देखें। टिप्पणियाँ संदर्भ। .. .. जैसा कि उद्धृत किया गया है। .. .. .. जैसा कि उद्धृत किया गया है। .. .. .. .. .. .. विविक्त ज्यामिति में प्रमेय उत्तल ज्यामिति में प्रमेय कन्वेक्स हल का ज्यामितीय अनुप्रस्थ सिद्धांत