Carl Johan Malmsten
कार्ल जोहान माल्मस्टेन (9 अप्रैल, 1814, उडेटोर्प, स्कारा काउंटी, स्वीडन में-11 फरवरी, 1886, उप्साला, स्वीडन में) एक स्वीडिश गणितशास्त्री और राजनीतिज्ञ थे। वह एक जटिल चर के कार्यों के सिद्धांत में प्रारंभिक शोध के लिए, कई महत्वपूर्ण लघुगणक समाकलन और श्रृंखलाओं के मूल्यांकन के लिए, जीटा-कार्य से संबंधित श्रृंखला और समाकलन के सिद्धांत में अपने अध्ययन के साथ-साथ मिटैग-लेफलर को पत्रिका शुरू करने में मदद करने के लिए उल्लेखनीय हैं। माल्मस्टन 1840 में डॉक्टर बने और फिर 1842 में उप्साला विश्वविद्यालय में गणित के प्रोफेसर बने। उन्हें 1844 में रॉयल स्वीडिश एकेडमी ऑफ साइंसेज का सदस्य चुना गया था। वह 1859-1866 में बिना पोर्टफोलियो के मंत्री और 1866-1879 में स्कारबोर्ग काउंटी के गवर्नर भी थे। मुख्य योगदान आमतौर पर, माल्मस्टन को जटिल विश्लेषण में उनके पहले के कार्यों के लिए जाना जाता है। हालाँकि, उन्होंने गणित की अन्य शाखाओं में भी बहुत योगदान दिया, लेकिन उनके परिणामों को अनुचित रूप से भुला दिया गया और उनमें से कई को गलती से अन्य व्यक्तियों के लिए जिम्मेदार ठहराया गया। इस प्रकार, यह तुलनात्मक रूप से हाल ही में Iaroslav Blagouchine द्वारा खोजा गया था कि माल्मस्टेन पहले थे जिन्होंने कई महत्वपूर्ण लघुगणक समाकलन और श्रृंखलाओं का मूल्यांकन किया था, जो गामा-और जीटा-कार्यों से निकटता से संबंधित हैं, और जिनमें से हम तथाकथित वार्डी का समाकलन और गामा फलन के लघुगणक के लिए कुम्मर की श्रृंखला पा सकते हैं। विशेष रूप से, 1842 में उन्होंने निम्नलिखित एल. एन. एल. एन.-लघुगणक समाकलन का मूल्यांकन किया। विवरण और एक दिलचस्प ऐतिहासिक विश्लेषण ब्लागौचिन के शोध पत्र में दिया गया है। इनमें से कई इंटीग्रल को बाद में वर्डी, एडमचिक, मदीना और मोल सहित विभिन्न शोधकर्ताओं द्वारा फिर से खोजा गया। इसके अलावा, कुछ लेखकों ने इनमें से पहले समाकलन का नाम भी वार्डी के नाम पर रखा, जिन्होंने 1988 में इसका पुनर्मूल्यांकन किया (वे इसे वार्डी का समाकलन कहते हैं), और इसी तरह कई प्रसिद्ध इंटरनेट संसाधन जैसे कि वोल्फ्रैम मैथवर्ल्ड साइट या ओ. ई. आई. एस. फाउंडेशन साइट (इस तरह के लघुगणक समाकलन के मूल्यांकन में निस्संदेह माल्मस्टन की प्राथमिकता को ध्यान में रखते हुए, ऐसा लगता है कि माल्मस्टन के समाकलन नाम उनके लिए अधिक उपयुक्त होंगे)। माल्मस्टेन ने विभिन्न श्रृंखला प्रतिनिधित्वों का उपयोग करके उपरोक्त सूत्रों को प्राप्त किया। साथ ही, यह दिखाया गया है कि उनका मूल्यांकन समोच्च एकीकरण के तरीकों से, हर्विट्ज़ जीटा फ़ंक्शन का उपयोग करके, पॉलीलोगरिदम का उपयोग करके और एल-फ़ंक्शंस का उपयोग करके भी किया जा सकता है। माल्मस्टेन के समाकलन के अधिक जटिल रूप एडमचिक और ब्लागौचिन (70 से अधिक समाकलन) के कार्यों में दिखाई देते हैं। नीचे ऐसे समाकलनों के कई उदाहरण दिए गए हैं जहाँ m और n सकारात्मक पूर्णांक हैं जैसे कि m <n, G कैटलन का स्थिरांक है, ζ का अर्थ है रीमान जीटा-फलन, म्बा दिगम्मा फलन है, और म्बा 1 त्रिगमा फलन है; क्रमशः eq देखें। (43), (47) और (48) एडमचिक में पहले तीन समाकलन के लिए, और अभ्यास संख्या। 36-ए, 36-बी, 11-बी और 13-बी क्रमशः अंतिम चार समाकलन के लिए (दोनों कार्यों में तीसरे समाकलन की गणना की जा रही है)। यह दिलचस्प है कि माल्मस्टेन के कुछ समाकलन एक जटिल तर्क के गामा-और बहु-गामा कार्यों की ओर ले जाते हैं, जिनका अक्सर विश्लेषण में सामना नहीं किया जाता है। उदाहरण के लिए, जैसा कि Iaroslav Blagouchine द्वारा दिखाया गया है, या, क्रमशः अभ्यास 7-ए और 37 देखें। वैसे, माल्मस्टेन के समाकलन भी स्टील्टजेस स्थिरांक से निकटता से जुड़े हुए पाए जाते हैं। 1842 में, माल्मस्टेन ने कई महत्वपूर्ण लघुगणक श्रृंखलाओं का भी मूल्यांकन किया, जिनमें से हम इन दो श्रृंखलाओं को पा सकते हैं और बाद की श्रृंखला को बाद में अर्न्स्ट कुमेर द्वारा थोड़ा अलग रूप में फिर से खोजा गया, जिन्होंने 1847 में एक समान अभिव्यक्ति प्राप्त की (कड़ाई से बोलते हुए, कुमेर का परिणाम माल्मस्टेन के एक से a = π (2x-1) लगाकर प्राप्त किया जाता है)। इसके अलावा, इस श्रृंखला को विश्लेषण में गामा फलन के लघुगणक के लिए कुमेर की श्रृंखला के रूप में भी जाना जाता है, हालांकि माल्मस्टन ने इसे कुमेर से 5 साल पहले प्राप्त किया था। माल्समटेन ने जीटा-फ़ंक्शन से संबंधित श्रृंखला और समाकलन के सिद्धांत में भी उल्लेखनीय योगदान दिया। 1842 में उन्होंने एल-फलन के साथ-साथ एम-फलन के लिए महत्वपूर्ण कार्यात्मक संबंध का पालन करना साबित किया, जहां दोनों सूत्र 0 <s <1 हैं। इनमें से पहला सूत्र लियोनहार्ड यूलर द्वारा पहले ही 1749 में प्रस्तावित किया गया था, लेकिन यह माल्मस्टन थे जिन्होंने इसे साबित किया (यूलर ने केवल इस सूत्र का सुझाव दिया और इसे एस के कई पूर्णांक और अर्ध-पूर्णांक मूल्यों के लिए सत्यापित किया)। दिलचस्प बात यह है कि एल (एस) के लिए एक ही सूत्र को 1849 में ऑस्कर श्लोमिल्च द्वारा अनजाने में फिर से खोजा गया था (सबूत केवल 1858 में प्रदान किया गया था)। चार साल बाद, माल्मस्टेन ने कई अन्य समान प्रतिबिंब सूत्र प्राप्त किए, जो हर्विट्ज़ के कार्यात्मक समीकरण के विशेष मामले साबित हुए। जीटा-कार्यों के सिद्धांत में माल्मस्टन के योगदान के बारे में बोलते हुए, हम तर्कसंगत तर्क पर पहले सामान्यीकृत स्टील्टजेस स्थिरांक के लिए प्रतिबिंब सूत्र के उनके लेखक की हाल की खोज का उल्लेख करने में विफल नहीं हो सकते हैं, जहां m और n सकारात्मक पूर्णांक हैं जैसे कि m <n। यह पहचान, हालांकि थोड़े अलग रूप में, पहले से ही 1846 में माल्मस्टन द्वारा प्राप्त की गई थी और विभिन्न लेखकों द्वारा कई बार स्वतंत्र रूप से भी खोजी गई है। विशेष रूप से, स्टिल्टजेस स्थिरांक को समर्पित साहित्य में, इसका श्रेय अक्सर अल्मक्विस्ट और मेरमैन को दिया जाता है जिन्होंने इसे 1990 के दशक में प्राप्त किया था। 19वीं शताब्दी के स्वीडिश गणितशास्त्री रॉयल स्वीडिश एकेडमी ऑफ साइंसेज के सदस्य 1814 जन्म 1886 मृत्यु गोटिंगन एकेडमी ऑफ साइंसेज के सदस्य और उप्साला में रॉयल सोसाइटी ऑफ साइंसेज के मानविकी सदस्य