Markov random field
भौतिकी और संभाव्यता के क्षेत्र में, एक मार्कोव यादृच्छिक क्षेत्र (एम. आर. एफ.), मार्कोव नेटवर्क या अनिर्दिष्ट ग्राफिकल मॉडल यादृच्छिक चरों का एक समूह है जिसमें एक अनिर्दिष्ट ग्राफ द्वारा वर्णित मार्कोव गुण होता है। दूसरे शब्दों में, एक यादृच्छिक क्षेत्र को मार्कोव यादृच्छिक क्षेत्र कहा जाता है यदि यह मार्कोव गुणों को संतुष्ट करता है। अवधारणा शेरिंगटन-किर्कपैट्रिक मॉडल से उत्पन्न होती है। एक मार्कोव नेटवर्क या एम. आर. एफ. निर्भरताओं के प्रतिनिधित्व में एक बायेसियन नेटवर्क के समान है; अंतर यह है कि बायेसियन नेटवर्क निर्देशित और चक्रीय हैं, जबकि मार्कोव नेटवर्क दिशाहीन हैं और चक्रीय हो सकते हैं। इस प्रकार, एक मार्कोव नेटवर्क कुछ निर्भरताओं का प्रतिनिधित्व कर सकता है जो एक बायेसियन नेटवर्क नहीं कर सकता है (जैसे कि चक्रीय निर्भरता); दूसरी ओर, यह कुछ निर्भरताओं का प्रतिनिधित्व नहीं कर सकता है जो एक बायेसियन नेटवर्क कर सकता है (जैसे कि प्रेरित निर्भरता)। मार्कोव यादृच्छिक क्षेत्र का अंतर्निहित ग्राफ परिमित या अनंत हो सकता है। जब यादृच्छिक चर का संयुक्त संभाव्यता घनत्व कड़ाई से सकारात्मक होता है, तो इसे गिब्स यादृच्छिक क्षेत्र के रूप में भी संदर्भित किया जाता है, क्योंकि हैमर्सली-क्लिफोर्ड प्रमेय के अनुसार, इसे एक उपयुक्त (स्थानीय रूप से परिभाषित) ऊर्जा फलन के लिए गिब्स माप द्वारा दर्शाया जा सकता है। प्रोटोटाइप मार्कोव यादृच्छिक क्षेत्र इसिंग मॉडल है; वास्तव में, मार्कोव यादृच्छिक क्षेत्र को इसिंग मॉडल के लिए सामान्य सेटिंग के रूप में पेश किया गया था। कृत्रिम बुद्धिमत्ता के क्षेत्र में, एक मार्कोव यादृच्छिक क्षेत्र का उपयोग छवि प्रसंस्करण और कंप्यूटर दृष्टि में विभिन्न निम्न से मध्य-स्तरीय कार्यों को मॉडल करने के लिए किया जाता है। परिभाषा एक दिशाहीन ग्राफ को देखते हुए, यादृच्छिक चरों का एक समूह जिसे मार्कोव यादृच्छिक क्षेत्र के रूप में अनुक्रमित किया जाता है, इस संबंध में कि क्या वे स्थानीय मार्कोव गुणों को संतुष्ट करते हैंः जोड़ीदार मार्कोव गुणः कोई भी दो गैर-आसन्न चर अन्य सभी चरों को देखते हुए सशर्त रूप से स्वतंत्र होते हैंः स्थानीय मार्कोव गुणः एक चर अपने पड़ोसियों को देखते हुए अन्य सभी चरों से सशर्त रूप से स्वतंत्र होता हैः पड़ोसियों का समूह कहाँ है, और इसका बंद पड़ोस कहाँ है। वैश्विक मार्कोव गुणः एक अलग उपसमुच्चय दिए जाने पर चरों के कोई भी दो उपसमुच्चय सशर्त रूप से स्वतंत्र होते हैंः जहां एक नोड से एक नोड तक का प्रत्येक मार्ग गुजरता है। वैश्विक मार्कोव संपत्ति स्थानीय मार्कोव संपत्ति की तुलना में अधिक मजबूत है, जो बदले में जोड़ीदार संपत्ति की तुलना में अधिक मजबूत है। हालाँकि, उपरोक्त तीन मार्कोव गुण सकारात्मक वितरण के लिए समतुल्य हैं (वे जो संबंधित चर को केवल गैर-शून्य संभावनाएँ प्रदान करते हैं)। तीन मार्कोव गुणों के बीच का संबंध निम्नलिखित सूत्रीकरण में विशेष रूप से स्पष्ट हैः युग्मितः किसी भी समान या आसन्न नहीं के लिए,। स्थानीयः किसी के लिए और इसमें शामिल या उससे सटे नहीं। वैश्विकः किसी भी प्रतिच्छेदन या आसन्न नहीं के लिए,। क्लीक फैक्टराइजेशन चूंकि एक मनमाने संभाव्यता वितरण के मार्कोव गुण को स्थापित करना मुश्किल हो सकता है, मार्कोव यादृच्छिक क्षेत्रों का एक सामान्य रूप से उपयोग किया जाने वाला वर्ग वे हैं जिन्हें ग्राफ के गुटों के अनुसार फैक्टराइज़ किया जा सकता है। यादृच्छिक चरों के एक समूह को देखते हुए, किसी विशेष क्षेत्र विन्यास की संभाव्यता मान लीजिए-अर्थात, यह पता लगाने की संभाव्यता है कि यादृच्छिक चर विशेष मूल्य को लेते हैं। क्योंकि यह एक समुच्चय है, इसकी संभावना को संयुक्त वितरण के संबंध में लिया जाना चाहिए। यदि इस संयुक्त घनत्व को के गुटों पर फैक्टराइज़ किया जा सकता है तो इसके संबंध में एक मार्कोव यादृच्छिक क्षेत्र बनता है। यहाँ, के गुटों का समूह है। परिभाषा समकक्ष है यदि केवल अधिकतम गुटों का उपयोग किया जाता है। इन कार्यों को कभी-कभी कारक क्षमता या गुट क्षमता के रूप में संदर्भित किया जाता है। ध्यान दें, हालांकि, परस्पर विरोधी शब्दावली का उपयोग किया जाता हैः विभव शब्द को अक्सर के लघुगणक पर लागू किया जाता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि, सांख्यिकीय यांत्रिकी में, एक विन्यास की स्थितिज ऊर्जा के रूप में एक सीधी व्याख्या है। कुछ एम. आर. एफ. कारक नहीं होते हैंः एक सरल उदाहरण कुछ अनंत ऊर्जाओं के साथ 4 नोड्स के चक्र पर बनाया जा सकता है, अर्थात। शून्य संभावनाओं के विन्यास, भले ही एक, अधिक उचित रूप से, अनंत ऊर्जाओं को पूर्ण ग्राफ पर कार्य करने की अनुमति देता है। एम. आर. एफ. का गुणनखंडन यदि निम्नलिखित शर्तों में से कम से कम एक शर्त पूरी हो जाती हैः घनत्व सकारात्मक है (हैमर्सले-क्लिफोर्ड प्रमेय द्वारा) ग्राफ कॉर्डल है (एक बायेसियन नेटवर्क के समतुल्यता द्वारा) जब इस तरह का गुणनखंडन मौजूद होता है, तो नेटवर्क के लिए एक कारक ग्राफ का निर्माण करना संभव है। घातीय परिवार किसी भी सकारात्मक मार्कोव यादृच्छिक क्षेत्र को विशेषता कार्यों के साथ विहित रूप में घातीय परिवार के रूप में लिखा जा सकता है जैसे कि पूर्ण-संयुक्त वितरण को लिखा जा सकता है जहां संकेतन केवल क्षेत्र विन्यास पर एक बिंदु उत्पाद है, और Z विभाजन कार्य हैः यहाँ, सभी नेटवर्क के यादृच्छिक चर के लिए मूल्यों के सभी संभावित असाइनमेंट के सेट को दर्शाता है। आम तौर पर, विशेषता कार्यों को इस तरह से परिभाषित किया जाता है कि वे गुट के विन्यास के संकेतक हैं, अर्थात। यदि k-th गुट के i-th संभावित विन्यास से मेल खाता है और अन्यथा 0। यह मॉडल ऊपर दिए गए समूह गुणनखंडन मॉडल के बराबर है, यदि समूह की प्रधानता है, और एक विशेषता का वजन संबंधित समूह कारक के लघुगणक से मेल खाता है, अर्थात। , k-th गुट का i-th संभावित विन्यास कहाँ है, अर्थात। गुट के क्षेत्र में i-th मान। प्रायिकता पी को अक्सर गिब्स माप कहा जाता है। एक लॉजिस्टिक मॉडल के रूप में एक मार्कोव क्षेत्र की यह अभिव्यक्ति केवल तभी संभव है जब सभी गुट कारक गैर-शून्य हों, अर्थात। यदि किसी भी तत्व को 0 की संभावना नहीं दी गई है। यह मैट्रिक्स बीजगणित से तकनीकों को लागू करने की अनुमति देता है, जैसे। कि एक मैट्रिक्स का निशान निर्धारक का लॉग है, जिसमें ग्राफ के आपतन मैट्रिक्स से उत्पन्न होने वाले ग्राफ का मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व होता है। विभाजन फलन Z का महत्व यह है कि सांख्यिकीय यांत्रिकी से कई अवधारणाएँ, जैसे कि एन्ट्रापी, सीधे मार्कोव नेटवर्क के मामले में सामान्यीकृत होती हैं, और इस तरह एक सहज ज्ञान युक्त समझ प्राप्त की जा सकती है। इसके अलावा, विभाजन कार्य समस्या के समाधान के लिए परिवर्तनशील तरीकों को लागू करने की अनुमति देता हैः कोई भी एक या अधिक यादृच्छिक चर के लिए एक प्रेरक बल संलग्न कर सकता है, और इस गड़बड़ी के जवाब में नेटवर्क की प्रतिक्रिया का पता लगा सकता है। इस प्रकार, उदाहरण के लिए, ग्राफ के प्रत्येक शीर्ष v के लिए, विभाजन कार्य में एक प्रेरक शब्द Jv जोड़ा जा सकता हैः Jv के संबंध में औपचारिक रूप से अंतर करने से शीर्ष v से जुड़े यादृच्छिक चर Xv का अपेक्षित मूल्य मिलता हैः सहसंबंध कार्यों की गणना इसी तरह की जाती है; दो-बिंदु सहसंबंध हैः दुर्भाग्य से, हालांकि एक लॉजिस्टिक मार्कोव नेटवर्क की संभावना उत्तल है, एक मॉडल की संभावना की संभावना या ढाल का मूल्यांकन करने के लिए मॉडल में अनुमान की आवश्यकता होती है, जो आम तौर पर कम्प्यूटेशनल रूप से अक्षम है (नीचे 'अनुमान' देखें)। उदाहरण गौसी एक बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण एक ग्राफ के संबंध में एक मार्कोव यादृच्छिक क्षेत्र बनाता है यदि लापता किनारे सटीक मैट्रिक्स (व्युत्क्रम सहप्रसरण मैट्रिक्स) पर शून्य के अनुरूप हैंः जैसे कि अनुमान जैसा कि एक बायेसियन नेटवर्क में, कोई भी सभी संभावित कार्यों को जोड़कर मार्कोव यादृच्छिक क्षेत्र में नोड्स के दूसरे समूह को दिए गए नोड्स के एक समूह के सशर्त वितरण की गणना कर सकता है; इसे सटीक अनुमान कहा जाता है। हालांकि, सटीक अनुमान एक #P-पूर्ण समस्या है, और इस प्रकार सामान्य मामले में कम्प्यूटेशनल रूप से जटिल है। मार्कोव श्रृंखला मोंटे कार्लो और पागल विश्वास प्रसार जैसी सन्निकटन तकनीकें अक्सर व्यवहार में अधिक व्यवहार्य होती हैं। एम. आर. एफ. के कुछ विशेष उपवर्ग, जैसे पेड़ (चाउ-लिउ पेड़ देखें), में बहुपद-समय अनुमान एल्गोरिदम होते हैं; ऐसे उपवर्गों की खोज एक सक्रिय शोध विषय है। एम. आर. एफ. के उपवर्ग भी हैं जो कुशल एम. ए. पी., या सबसे अधिक संभावना असाइनमेंट, अनुमान की अनुमति देते हैं; इनके उदाहरणों में सहयोगी नेटवर्क शामिल हैं। एक अन्य दिलचस्प उप-वर्ग अपघटनीय मॉडलों में से एक है (जब ग्राफ कॉर्डल होता है): एम. एल. ई. के लिए एक बंद-रूप होने के कारण, सैकड़ों चरों के लिए एक सुसंगत संरचना की खोज करना संभव है। सशर्त यादृच्छिक क्षेत्र मार्कोव यादृच्छिक क्षेत्र का एक उल्लेखनीय रूप एक सशर्त यादृच्छिक क्षेत्र है, जिसमें प्रत्येक यादृच्छिक चर को वैश्विक टिप्पणियों के एक समूह पर भी अनुकूलित किया जा सकता है। इस मॉडल में, प्रत्येक फ़ंक्शन सभी असाइनमेंट से क्लीक k और गैर-नकारात्मक वास्तविक संख्याओं के अवलोकन दोनों के लिए एक मानचित्रण है। मार्कोव नेटवर्क का यह रूप भेदभावपूर्ण वर्गीकरणों के उत्पादन के लिए अधिक उपयुक्त हो सकता है, जो टिप्पणियों पर वितरण का मॉडल नहीं बनाते हैं। सी. आर. एफ. का प्रस्ताव जॉन डी. लाफर्टी, एंड्रयू मैकलम और फर्नांडो सी. एन. ने रखा था। 2001 में परेरा। विभिन्न अनुप्रयोग मार्कोव यादृच्छिक क्षेत्र कंप्यूटर ग्राफिक्स से लेकर कंप्यूटर दृष्टि, मशीन लर्निंग या कम्प्यूटेशनल जीव विज्ञान और सूचना पुनर्प्राप्ति तक विभिन्न क्षेत्रों में अनुप्रयोग पाते हैं। एम. आर. एफ. का उपयोग छवि प्रसंस्करण में बनावट उत्पन्न करने के लिए किया जाता है क्योंकि उनका उपयोग लचीले और यादृच्छिक छवि मॉडल उत्पन्न करने के लिए किया जा सकता है। छवि मॉडलिंग में, कार्य किसी दी गई छवि का एक उपयुक्त तीव्रता वितरण खोजना है, जहां उपयुक्तता कार्य के प्रकार पर निर्भर करती है और एम. आर. एफ. छवि और बनावट संश्लेषण, छवि संपीड़न और बहाली, छवि विभाजन, 2 डी छवियों से 3 डी छवि अनुमान, छवि पंजीकरण, बनावट संश्लेषण, सुपर-रिज़ॉल्यूशन, स्टीरियो मिलान और सूचना पुनर्प्राप्ति के लिए उपयोग किए जाने के लिए पर्याप्त लचीले होते हैं। इनका उपयोग विभिन्न कंप्यूटर दृष्टि समस्याओं को हल करने के लिए किया जा सकता है जिन्हें ऊर्जा न्यूनीकरण समस्याओं या समस्याओं के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है जहां क्षेत्र की श्रेणी की भविष्यवाणी करने के लिए मार्कोव यादृच्छिक क्षेत्र ढांचे के भीतर भेदभावपूर्ण विशेषताओं के एक समूह का उपयोग करके विभिन्न क्षेत्रों को अलग किया जाना है। मार्कोव यादृच्छिक क्षेत्र आईसिंग मॉडल पर एक सामान्यीकरण थे और तब से, संयोजन अनुकूलन और नेटवर्क में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता रहा है। यह भी देखें बाधा समग्र ग्राफ ग्राफिकल मॉडल निर्भरता नेटवर्क (ग्राफिकल मॉडल) हैमर्सले-क्लिफोर्ड प्रमेय होपफील्ड नेटवर्क इंटरैक्टिंग पार्टिकल सिस्टम आइसिंग मॉडल लॉग-लीनियर विश्लेषण मार्कोव श्रृंखला मार्कोव तर्क नेटवर्क अधिकतम एन्ट्रापी विधि यादृच्छिक सेलुलर स्वचालित संदर्भ ग्राफिकल मॉडल