Multicollinearity
सांख्यिकी में, मल्टीकोलिनियरिटी (कॉलिनियरिटी भी) एक ऐसी घटना है जिसमें कई प्रतिगमन मॉडल में एक भविष्यवक्ता चर को दूसरों से पूरी तरह से भविष्यवाणी की जा सकती है। इस स्थिति में, कई प्रतिगमन के गुणांक अनुमान डेटा में छोटे परिवर्तनों या मॉडल को फिट करने के लिए उपयोग की जाने वाली प्रक्रिया के जवाब में अनियमित रूप से बदल सकते हैं। लोकप्रिय धारणा के विपरीत, संरेखीय चर सहित समग्र रूप से मॉडल की भविष्यसूचक शक्ति या विश्वसनीयता को कम नहीं करता है, और न ही यह कम करता है कि गुणांक का सटीक अनुमान कितना लगाया जाता है। वास्तव में, उच्च संरेखणता इंगित करती है कि सभी चरों को शामिल करना असाधारण रूप से महत्वपूर्ण है, क्योंकि किसी भी चर को छोड़कर मजबूत भ्रम पैदा होगा। ध्यान दें कि सामान्य न्यूनतम वर्ग जैसे प्रतिगमन विश्लेषणों में अंतर्निहित धारणाओं के बयानों में, वाक्यांश "कोई बहुरेखीयता नहीं" आमतौर पर बहुरेखीयता की अनुपस्थिति को संदर्भित करता है, जो भविष्यवक्ताओं के बीच एक सटीक (गैर-यादृच्छिक) रैखिक संबंध है। ऐसे मामले में, डिज़ाइन मैट्रिक्स में पूर्ण श्रेणी से कम होती है, और इसलिए मोमेंट मैट्रिक्स को उल्टा नहीं किया जा सकता है। इन परिस्थितियों में, एक सामान्य रैखिक मॉडल के लिए, साधारण न्यूनतम वर्ग अनुमानक मौजूद नहीं है। परिभाषा मल्टीकोलिनियरिटी एक ऐसी स्थिति को संदर्भित करती है जिसमें कई प्रतिगमन मॉडल में व्याख्यात्मक चर अत्यधिक रैखिक रूप से संबंधित होते हैं। गणितीय रूप से, चरों का एक समूह पूरी तरह से बहुकोशीय होता है यदि कुछ चरों के बीच एक या अधिक सटीक रैखिक संबंध मौजूद होते हैं। अर्थात्, सभी अवलोकनों के लिए, स्थिरांक कहाँ हैं और व्याख्यात्मक चर पर अवलोकन है। मल्टीकोलिनियरिटी के कारण होने वाले एक मुद्दे का पता लगाने के लिए, मल्टीपल रिग्रेशन समीकरण के मापदंडों के लिए अनुमान प्राप्त करने का प्रयास करने की प्रक्रिया पर विचार करें। साधारण न्यूनतम वर्ग अनुमानों में मैट्रिक्स को उलटना शामिल है, जहां एक मैट्रिक्स है, जहां टिप्पणियों की संख्या है, व्याख्यात्मक चर की संख्या है, और। यदि स्वतंत्र चरों के बीच एक सटीक रैखिक संबंध (पूर्ण बहुरेखीय) है, तो के स्तंभों में से कम से कम एक अन्य का एक रैखिक संयोजन है, और इसलिए (और इसलिए) की श्रेणी कम है, और मैट्रिक्स व्युत्क्रमणीय नहीं होगा। कच्चे डेटासेट के साथ काम करते समय सही समरूपता आम है, जिसमें अक्सर अनावश्यक जानकारी होती है। एक बार जब अतिरेक की पहचान की जाती है और उन्हें हटा दिया जाता है, हालांकि, लगभग समरेखीय चर अक्सर अध्ययन की जा रही प्रणाली में निहित सहसंबंधों के कारण बने रहते हैं। ऐसे मामले में, समीकरण () को एक त्रुटि शब्द को शामिल करने के लिए संशोधित किया जा सकता हैः इस मामले में, चर के बीच कोई सटीक रैखिक संबंध नहीं है, लेकिन चर लगभग समरेखीय हैं यदि का विचरण छोटा है। इस मामले में, मैट्रिक्स में एक व्युत्क्रम होता है, लेकिन यह खराब स्थिति में होता है। एक कंप्यूटर एल्गोरिथ्म एक अनुमानित व्युत्क्रम की गणना करने में सक्षम हो सकता है या नहीं भी हो सकता है; भले ही यह हो सकता है, परिणामी व्युत्क्रम में बड़ी गोल त्रुटियां हो सकती हैं। उपाय निम्नलिखित बहुकोशीयता के उपाय हैंः भिन्नता मुद्रास्फीति कारक (वी. आई. एफ.): जहां यह मापा जाता है कि अन्य सभी प्रतिगामी का उपयोग करके th चर का अनुमान कितनी अच्छी तरह से लगाया जा सकता है। यह एक लोकप्रिय गलत धारणा है कि 5,10,20 या 40 से अधिक कारक "गंभीर" बहुकोशीयता का संकेत देते हैं, लेकिन यह गलत है। एक बड़ा वी. आई. एफ. इस बात की परवाह किए बिना मौजूद हो सकता है कि प्रतिगमन का अनुमान कितना सटीक है। स्थिति संख्याः एक मैट्रिक्स में खराब स्थिति का मानक माप स्थिति सूचकांक है। यह निर्धारित करता है कि क्या मैट्रिक्स का व्युत्क्रम सीमित-परिशुद्धता संख्याओं (मानक कंप्यूटर फ्लोट्स और डबल्स) के साथ संख्यात्मक रूप से अस्थिर है, जो मूल मैट्रिक्स में छोटे परिवर्तनों के लिए संगणित व्युत्क्रम की संभावित संवेदनशीलता को दर्शाता है। शर्त संख्या की गणना डिज़ाइन मैट्रिक्स के न्यूनतम एकवचन मूल्य से विभाजित अधिकतम एकवचन मूल्य का पता लगाकर की जाती है। यदि स्थिति संख्या 30 से ऊपर है, तो प्रतिगमन में गंभीर बहुसंरेखण हो सकता है; बहुसंरेखण मौजूद है यदि, इसके अलावा, उच्च स्थिति संख्या से संबंधित दो या दो से अधिक चरों में भिन्नता के उच्च अनुपात बताए गए हैं। इस विधि का एक लाभ यह है कि यह यह भी दर्शाता है कि कौन से चर समस्या का कारण बन रहे हैं। सहसंबंध मैट्रिक्सः व्याख्यात्मक चर की प्रत्येक जोड़ी के बीच सहसंबंध की गणना करने से इस संभावना के संकेत मिलते हैं कि दाएँ हाथ के चर का कोई भी जोड़ा बहुसंरेखीय समस्याएं पैदा कर रहा है। कम से कम 0.4 के सहसंबंध मानों (ऑफ-डायगोनल तत्वों) की व्याख्या कभी-कभी एक बहुकोशीय समस्या के संकेत के रूप में की जाती है, लेकिन यह गलत है; बहुकोशीयता का पता केवल सभी चरों को एक साथ देखकर लगाया जा सकता है, और तब भी मौजूद हो सकता है जब सभी सहसंबंध छोटे हों। परिणाम अनुमानित बहुकोशीयता का प्राथमिक परिणाम यह है कि, भले ही मैट्रिक्स व्युत्क्रमणीय हो, एक कंप्यूटर एल्गोरिथ्म एक अनुमानित व्युत्क्रम प्राप्त करने में असफल हो सकता है। यहां तक कि अगर यह एक प्राप्त करता है, तो व्युत्क्रम संख्यात्मक रूप से गलत हो सकता है। जब जनसंख्या में भविष्यसूचक चरों के बीच एक मजबूत सहसंबंध होता है, तो यह पहचानना मुश्किल होता है कि कई चरों में से किसे शामिल किया जाना चाहिए। हालाँकि, यह खराब मॉडलिंग की कलाकृति नहीं है। अनुमानित मानक त्रुटियाँ बड़ी होती हैं क्योंकि विभिन्न चरों की आंशिक गड़बड़ी होती है, जिससे यह पहचानना मुश्किल हो जाता है कि कौन सा प्रतिगामी वास्तव में परिणाम चर का कारण बन रहा है। यह उलझन तब भी बनी रहती है जब शोधकर्ता इसे अनदेखा करने का प्रयास करता है (प्रतिगमन से चर को छोड़कर)। नतीजतन, प्रतिगमन से बहुकोशीय चर को छोड़कर अक्सर महत्वपूर्ण कन्फाउंडर्स को हटाकर कारणात्मक अनुमान को अमान्य कर देगा। संख्यात्मक समस्याओं के उपचार सुनिश्चित करें कि डेटा अनावश्यक न हो। डेटासेट में अक्सर अनावश्यक चर शामिल होते हैं। उदाहरण के लिए, एक डेटासेट में आय, व्यय और बचत के लिए चर शामिल हो सकते हैं। हालाँकि, क्योंकि आय खर्च और बचत (परिभाषा के अनुसार) के बराबर है, इसलिए सभी 3 चर को एक साथ शामिल करना गलत है। इसी तरह, प्रत्येक श्रेणी (जैसे, गर्मी, शरद ऋतु, सर्दी और वसंत) के लिए एक नकली चर को शामिल करने के साथ-साथ एक स्थिर शब्द सही बहुसंरेखीयता पैदा करता है। प्रेडिक्टर चर को मानकीकृत करें। बहुपद पद उत्पन्न करना (अर्थात, के लिए,, आदि) या अंतःक्रिया शब्द (अर्थात,, आदि) यदि विचाराधीन चर की सीमा सीमित है तो यह बहुकोशीयता का कारण बन सकता है। मीन-सेंटरिंग इस विशेष प्रकार की मल्टीकोलिनियरिटी को समाप्त कर देगा। डेटा के ऑर्थोगोनल प्रतिनिधित्व का उपयोग करें। खराब-लिखित सांख्यिकीय सॉफ्टवेयर कभी-कभी एक सही प्रतिनिधित्व में अभिसरण करने में विफल हो जाता है जब चर दृढ़ता से सहसंबद्ध होते हैं। हालाँकि, आधार में परिवर्तन करके केवल असंबद्ध चर का उपयोग करने के लिए प्रतिगमन को फिर से लिखना अभी भी संभव है। मॉडल को वैसे ही छोड़ दिया जाना चाहिए। मल्टीकोलिनियरिटी मॉडल की सटीकता या इसकी भविष्यवाणियों को प्रभावित नहीं करती है। यह एक संख्यात्मक समस्या है, सांख्यिकीय नहीं। संरेखीय चर को छोड़कर मानक त्रुटियों के लिए कृत्रिम रूप से छोटे अनुमान लगते हैं, लेकिन प्रतिगमन गुणांक के लिए सही (अनुमानित नहीं) मानक त्रुटियों को कम नहीं करते हैं। उच्च प्रसरण मुद्रास्फीति कारक वाले चर को छोड़कर, प्रतिगमन के परिणामों को पोस्ट हॉक विश्लेषण में बदलकर, सभी गणना की गई मानक त्रुटियों और पी-मानों को अमान्य कर देता है। यह भी देखें कि गैर-वातानुकूलित मैट्रिक्स रैखिक निर्भरता संदर्भ आगे पढ़ने के लिए बाहरी लिंक सबसे पहले उपयोगः बहुरेखीयता पर प्रविष्टि में कुछ ऐतिहासिक जानकारी है। प्रतिगमन विश्लेषण प्रयोगों की रूपरेखा