Wallis product
गणित में, जॉन वालिस द्वारा 1656 में प्रकाशित वालिस उत्पाद में कहा गया है कि एकीकरण का उपयोग करके प्रूफ वालिस ने अंतर्वेशन का उपयोग करके इस अनंत उत्पाद को प्राप्त किया, हालांकि उनकी विधि को कठोर नहीं माना जाता है। एक आधुनिक व्युत्पत्ति को सम और विषम मूल्यों की जांच करके पाया जा सकता है, और यह ध्यान में रखते हुए कि बड़े के लिए, 1 से बढ़ने से परिवर्तन होता है जो बढ़ने के साथ हमेशा छोटा हो जाता है। माना (यह वालिस के समाकलन का एक रूप है।) भागों द्वारा समाकलनः अब, हम प्राप्त करने की सुविधा के लिए दो परिवर्तनीय प्रतिस्थापन करते हैंः हम उपयोग के लिए और बाद में उपयोग के लिए मूल्य प्राप्त करते हैं। अब, हम भागों द्वारा एकीकरण से पुनरावृत्ति संबंध परिणाम को बार-बार लागू करके सम मूल्यों की गणना करते हैं। आखिरकार, हम नीचे उतरते हैं, जिसकी हमने गणना की है। विषम मूल्यों के लिए प्रक्रिया को दोहराते हुए, हम निम्नलिखित अवलोकन करते हैं, इस तथ्य के आधार पर कि विभाजित करनाः, जहां समानता हमारे पुनरावृत्ति संबंध से आती है। निचोड़ प्रमेय द्वारा, लाप्लास की विधि का उपयोग करते हुए प्रमाण गॉसियन समाकलन पर मुख्य पृष्ठ देखें। साइन फलन के लिए यूलर के अनंत उत्पाद का उपयोग करते हुए प्रमाण जबकि उपरोक्त प्रमाण आमतौर पर आधुनिक कलन पाठ्यपुस्तकों में चित्रित किया जाता है, वालिस उत्पाद, पूर्वावलोकन में, साइन फलन के लिए बाद के यूलर अनंत उत्पाद का एक आसान परिणाम है। मान लीजिएः स्टर्लिंग के सन्निकटन से संबंध फैक्टोरियल फ़ंक्शन के लिए स्टर्लिंग का सन्निकटन इस बात पर जोर देता है कि अब वालिस उत्पाद के लिए सीमित सन्निकटनों पर विचार करें, जो उत्पाद में पहले शब्दों को लेकर प्राप्त किए गए हैं, जहां इस अभिव्यक्ति में स्टर्लिंग के सन्निकटन को प्रतिस्थापित करने के रूप में लिखा जा सकता है (दोनों के लिए और) कोई भी (एक छोटी गणना के बाद) अनुमान लगा सकता है जो के रूप में अभिसरण करता है। शून्य पर रीमान जीटा फलन का व्युत्पन्न रीमान जीटा फलन और डिरिचलेट एटा फलन को परिभाषित किया जा सकता हैः बाद की श्रृंखला में एक यूलर परिवर्तन को लागू करते हुए, निम्नलिखित प्राप्त किया जाता हैः जॉन वालिस, अंग्रेजी गणितशास्त्री को भी देखें, जिन्हें अनंत कलन और पाई के विकास के लिए आंशिक श्रेय दिया जाता है। वाइटे का सूत्र, के लिए एक अलग अनंत उत्पाद सूत्र। एक अनंत राशि के लिए लीबनिज़ सूत्र जिसे एक अनंत यूलर उत्पाद में परिवर्तित किया जा सकता है। वालिस छलनी पिपेंजर उत्पाद सूत्र वालिस उत्पाद में शब्दों की जड़ें लेकर ई प्राप्त करता है। टिप्पणियाँ बाहरी लिंक सबूत वाले लेख पाई एल्गोरिदम अनंत उत्पाद