Leibniz integral rule
कलन में, समाकलन चिह्न के तहत विभेदन के लिए लीबनिज़ समाकलन नियम में कहा गया है कि इस समाकलन के व्युत्पन्न पर निर्भर रूप के एक समाकलन के लिए जहां और समाकलन कार्य हैं, व्यक्त किया जा सकता है क्योंकि जहां आंशिक व्युत्पन्न इंगित करता है कि समाकलन के अंदर, व्युत्पन्न लेने में केवल के साथ की भिन्नता पर विचार किया जाता है। इसका नाम गॉटफ्राइड लीबनिज़ के नाम पर रखा गया है। विशेष मामले में जहां कार्य और स्थिरांक हैं और उन मूल्यों के साथ जो इस पर निर्भर नहीं करते हैं, सरल हो जाता हैः यदि स्थिर है और, जो एक और सामान्य स्थिति है (उदाहरण के लिए, कौची के दोहराए गए एकीकरण सूत्र के प्रमाण में), तो लीबनिज़ अभिन्न नियम बन जाता हैः इस महत्वपूर्ण परिणाम का उपयोग कुछ शर्तों के तहत, अभिन्न और आंशिक अंतर ऑपरेटरों को बदलने के लिए किया जा सकता है, और विशेष रूप से अभिन्न परिवर्तनों के विभेदन में उपयोगी है। इसका एक उदाहरण संभाव्यता सिद्धांत में क्षण उत्पन्न करने वाला कार्य है, जो लाप्लास परिवर्तन की एक भिन्नता है, जिसे यादृच्छिक चर के क्षण उत्पन्न करने के लिए अलग किया जा सकता है। क्या लीबनिज़ का अभिन्न नियम लागू होता है, यह अनिवार्य रूप से सीमाओं के आदान-प्रदान के बारे में एक सवाल है। सामान्य रूपः अभिन्न संकेत के तहत विभेदन दाहिने हाथ की ओर को लैग्रेंज के संकेतन का उपयोग करके भी लिखा जा सकता हैः प्रमेय के मजबूत संस्करणों के लिए केवल यह आवश्यक है कि आंशिक व्युत्पन्न लगभग हर जगह मौजूद हो, न कि यह निरंतर हो। यह सूत्र लीबनिज़ समाकलन नियम का सामान्य रूप है और इसे कलन के मौलिक प्रमेय का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है। कलन का (पहला) मौलिक प्रमेय केवल उपरोक्त सूत्र का विशेष मामला है जहां स्थिर है, और इस पर निर्भर नहीं करता है यदि ऊपरी और निचली दोनों सीमाओं को स्थिरांक के रूप में लिया जाता है, तो सूत्र एक प्रचालक समीकरण का आकार लेता हैः जहां के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न है और एक निश्चित अंतराल से अधिक के संबंध में अभिन्न प्रचालक है। अर्थात्, यह दूसरे व्युत्पन्न की समरूपता से संबंधित है, लेकिन इसमें समाकलन के साथ-साथ व्युत्पन्न भी शामिल हैं। इस मामले को लीबनिज़ इंटीग्रल नियम के रूप में भी जाना जाता है। सीमाओं के आदान-प्रदान पर निम्नलिखित तीन बुनियादी प्रमेय अनिवार्य रूप से समतुल्य हैंः एक व्युत्पन्न और एक समाकलन का आदान-प्रदान (समाकलन संकेत के तहत विभेदन; यानी, लीबनिज़ समाकलन नियम); आंशिक व्युत्पन्न के क्रम में परिवर्तन; समाकलन के क्रम में परिवर्तन (समाकलन संकेत के तहत एकीकरण; यानी, फुबिनी का प्रमेय)। त्रि-आयामी, समय-निर्भर मामला त्रि-आयामी अंतरिक्ष में चलने वाली दो आयामी सतह के लिए एक लीबनिज़ समाकलन नियम है जहाँः समय पर स्थानिक स्थिति में एक सदिश क्षेत्र है, बंद वक्र से घिरा एक सतह है, सतह का एक सदिश तत्व है, वक्र का एक सदिश तत्व है, क्षेत्र की गति का वेग है, सदिश विचलन है, सदिश पार उत्पाद है, दोहरे समाकलन सतह पर सतह समाकलन हैं, और रेखा समाकलन सीमा वक्र पर है। उच्च आयाम लीबनिज़ इंटीग्रल नियम को बहुआयामी इंटीग्रल तक बढ़ाया जा सकता है। दो और तीन आयामों में, इस नियम को रेनॉल्ड्स परिवहन प्रमेय के रूप में द्रव गतिकी के क्षेत्र से बेहतर जाना जाता हैः जहां एक अदिश फलन है, और क्रमशः R3 और इसकी सीमा के समय-परिवर्तनशील जुड़े क्षेत्र को दर्शाता है, सीमा का यूलरियन वेग है (लैग्रैन्जियन और यूलरियन निर्देशांक देखें) और सतह तत्व का इकाई सामान्य घटक है। लीबनिज इंटीग्रल नियम के सामान्य कथन के लिए विभेदक ज्यामिति, विशेष रूप से विभेदक रूपों, बाहरी व्युत्पन्न, वेज उत्पादों और आंतरिक उत्पादों से अवधारणाओं की आवश्यकता होती है। उन उपकरणों के साथ, n आयामों में लीबनिज़ समाकलन नियम यह है कि जहां समाकलन का एक समय-भिन्न क्षेत्र है, ω एक p-रूप है, वेग का सदिश क्षेत्र है, आंतरिक उत्पाद को दर्शाता है, dxω केवल अंतरिक्ष चर के संबंध में ω का बाहरी व्युत्पन्न है और ω का समय व्युत्पन्न है। हालाँकि, इन सभी पहचानों को लाइ व्युत्पन्न के बारे में एक सबसे सामान्य कथन से प्राप्त किया जा सकता हैः यहाँ, परिवेशी कई गुना जिस पर विभेदक रूप रहता है, उसमें स्थान और समय दोनों शामिल हैं। एक दिए गए क्षण में एकीकरण का क्षेत्र (एक सबमैनिफोल्ड) है (यह इस पर निर्भर नहीं करता है, क्योंकि एक सबमैनिफोल्ड के रूप में इसका पैरामीटर समय में अपनी स्थिति को परिभाषित करता है), लाइ व्युत्पन्न है, जो पिछले सूत्रों (यानी, स्पेसटाइम वेग है) से विशुद्ध रूप से स्थानिक वेक्टर क्षेत्र में समय की दिशा में एकात्मक वेक्टर क्षेत्र को जोड़ने से प्राप्त स्पेसटाइम वेक्टर क्षेत्र है, के प्रवाह द्वारा उत्पन्न एक-पैरामीटर समूह से एक डिफियोमोर्फिज्म है, और इस तरह के डिफियोमोर्फिज्म के तहत छवि है। इस रूप के बारे में कुछ उल्लेखनीय बात यह है कि यह समय के साथ अपने आकार और आकार को बदलने पर मामले के लिए जिम्मेदार हो सकता है, क्योंकि इस तरह की विकृतियों को पूरी तरह से निर्धारित किया जाता है। मापन सिद्धांत कथन मान लीजिए कि यह एक खुला उपसमुच्चय है और एक माप स्थान है। मान लीजिए कि निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता हैः प्रत्येक के लिए एक लेबस्ग्यू-इंटीग्रेबल फ़ंक्शन है। लगभग सभी के लिए, आंशिक व्युत्पन्न सभी के लिए मौजूद है। एक एकीकृत कार्य है जो सभी के लिए और लगभग हर किसी के लिए है। फिर, सभी के लिए, प्रमाण प्रमुख अभिसरण प्रमेय और माध्य मूल्य प्रमेय (नीचे विवरण) पर निर्भर करता है। मूल रूप का प्रमाण हम पहले समाकलन ए और बी की स्थिर सीमाओं के मामले को साबित करते हैं। हम एकीकरण के क्रम को बदलने के लिए फुबिनी के प्रमेय का उपयोग करते हैं। प्रत्येक और, जैसे कि और दोनों के लिए और भीतर हैं, हमारे पास हैः ध्यान दें कि हाथ में समाकलन अच्छी तरह से परिभाषित हैं क्योंकि बंद आयत पर निरंतर है और इस प्रकार वहां भी समान रूप से निरंतर है; इस प्रकार इसके समाकलन या तो dt या dx द्वारा अन्य चर में निरंतर हैं और इसके द्वारा भी समाकलन योग्य हैं (अनिवार्य रूप से ऐसा इसलिए है क्योंकि समान रूप से निरंतर कार्यों के लिए, कोई भी एकीकरण संकेत के माध्यम से सीमा को पार कर सकता है, जैसा कि नीचे विस्तृत किया गया है)। इसलिएः जहाँ हमने परिभाषित किया हैः (हम यहाँ x0 को x0 और x के बीच किसी अन्य बिंदु से प्रतिस्थापित कर सकते हैं) F व्युत्पन्न के साथ अवकलनीय है, इसलिए हम उस सीमा को ले सकते हैं जहाँ शून्य पहुँचता है। बाएं हाथ की ओर के लिए यह सीमा हैः दाहिने हाथ की ओर के लिए, हम प्राप्त करते हैंः और इस प्रकार हम वांछित परिणाम साबित करते हैंः बाउंडेड कन्वर्जेंस थ्योरम का उपयोग करके एक और प्रमाणः यदि हाथ में इंटीग्रल लेब्सग्यू इंटीग्रल हैं, तो हम बाउंडेड कन्वर्जेंस थ्योरम का उपयोग कर सकते हैं (इन इंटीग्रल के लिए मान्य, लेकिन रीमान इंटीग्रल के लिए नहीं) यह दिखाने के लिए कि सीमा को इंटीग्रल साइन के माध्यम से पारित किया जा सकता है। ध्यान दें कि यह प्रमाण इस अर्थ में कमजोर है कि यह केवल यह दर्शाता है कि fx (x, t) लेबस्ग इंटीग्रेबल है, लेकिन यह नहीं कि यह रीमान इंटीग्रेबल है। पूर्ववर्ती (मजबूत) प्रमाण में, यदि f (x, t) रीमान समाकलनीय है, तो fx (x, t) भी है (और इस प्रकार स्पष्ट रूप से लेबस्ग्यू समाकलनीय भी है)। मान लीजिए व्युत्पन्न की परिभाषा के अनुसार, समीकरण () को समीकरण () में प्रतिस्थापित करें। दो समाकलनों का अंतर अंतर के समाकलन के बराबर होता है, और 1/एच एक स्थिरांक है, इसलिए अब हम दिखाते हैं कि सीमा को समाकलन चिह्न से पार किया जा सकता है। हम दावा करते हैं कि समाकलन चिह्न के तहत सीमा का पारित होना बाध्य अभिसरण प्रमेय (प्रबल अभिसरण प्रमेय का एक परिणाम) द्वारा मान्य है। प्रत्येक δ> 0 के लिए, अंतर भागफल पर विचार करें निश्चित t के लिए, औसत मूल्य प्रमेय का तात्पर्य है कि अंतराल [x, x + δ] में z मौजूद है जैसे कि fx (x, t) की निरंतरता और डोमेन की सघनता एक साथ यह दर्शाती है कि fx (x, t) बंधा हुआ है। अतः माध्य मूल्य प्रमेय का उपरोक्त अनुप्रयोग एक समान (स्वतंत्र) बंधन प्रदान करता है। अंतर भागफल इस धारणा से आंशिक व्युत्पन्न fx में बिंदु की दिशा में अभिसरण करते हैं कि आंशिक व्युत्पन्न मौजूद है। उपरोक्त तर्क से पता चलता है कि प्रत्येक अनुक्रम {δn} → 0 के लिए, अनुक्रम समान रूप से बंधा हुआ है और बिंदु की दिशा में fx में परिवर्तित होता है। बाउंडेड कन्वर्जेंस थ्योरम में कहा गया है कि यदि परिमित माप के एक सेट पर कार्यों का एक अनुक्रम समान रूप से बाउंडेड है और बिंदु की दिशा में अभिसरण करता है, तो इंटीग्रल के तहत सीमा का मार्ग मान्य है। विशेष रूप से, प्रत्येक अनुक्रम {δn} → 0 के लिए सीमा और समाकलन का आदान-प्रदान किया जा सकता है। इसलिए, δ → 0 के रूप में सीमा को समाकलन चिह्न से पार किया जा सकता है। परिवर्तनीय सीमाएँ एक वास्तविक चर के निरंतर वास्तविक मूल्य वाले फलन g के लिए, और वास्तविक मूल्य वाले अवकलनीय फलन और एक वास्तविक चर के लिए, यह श्रृंखला नियम और कैलकुलस के पहले मौलिक प्रमेय से अनुसरण करता है। परिभाषित करें और (निचली सीमा केवल के क्षेत्र में कुछ संख्या होनी चाहिए) फिर, एक रचना के रूप में लिखा जा सकता हैः श्रृंखला नियम का तात्पर्य है कि कैलकुलस के पहले मौलिक प्रमेय द्वारा,। इसलिए, ऊपर इस परिणाम को प्रतिस्थापित करते हुए, हमें वांछित समीकरण मिलता हैः नोटः यह रूप विशेष रूप से उपयोगी हो सकता है यदि विभेदन की जाने वाली अभिव्यक्ति इस रूप की होः क्योंकि यह समाकलन की सीमाओं पर निर्भर नहीं करता है, इसे समाकलन संकेत के तहत से बाहर ले जाया जा सकता है, और उपरोक्त रूप का उपयोग उत्पाद नियम के साथ किया जा सकता है, यानी, चर सीमाओं के साथ सामान्य रूप सेट करें जहां a और b α के कार्य हैं जो क्रमशः α और αb की वृद्धि प्रदर्शित करते हैं, जब α को α से बढ़ाया जाता है। फिर, मीन वैल्यू थ्योरम का एक रूप, जहाँ a <ω <b, ऊपर दिए गए सूत्र के पहले और अंतिम इंटीग्रल पर लागू किया जा सकता है, जिसके परिणामस्वरूप α से विभाजित होता है और माना जाता है कि α → 0। ध्यान दें कि ω1 = a और ω2 = b। हम सीमा को समाकलन चिह्न के माध्यम से पार कर सकते हैंः फिर से बाध्य अभिसरण प्रमेय द्वारा। यह लीबनिज़ समाकलन नियम का सामान्य रूप देता है, चर सीमाओं के साथ सामान्य रूप का वैकल्पिक प्रमाण, श्रृंखला नियम का उपयोग करते हुए लीबनिज़ के समाकलन नियम का सामान्य रूप परिवर्तनीय सीमाओं के साथ लीबनिज़ के समाकलन नियम के मूल रूप, बहु-परिवर्तनीय श्रृंखला नियम और कैलकुलस के पहले मौलिक प्रमेय के परिणामस्वरूप प्राप्त किया जा सकता है। मान लीजिए कि समतल में एक आयत में परिभाषित किया गया है, और के लिए। इसके अलावा, मान लीजिए और आंशिक व्युत्पन्न दोनों इस आयत पर निरंतर कार्य हैं। मान लीजिए कि (अर्थात) में मानों के साथ परिभाषित अवकलनीय वास्तविक मूल्यवान कार्य हैं। सभी के लिए)। अब, सेट करें और फिर, डेफिनिट इंटीग्रल्स के गुणों द्वारा, हम लिख सकते हैं क्योंकि सभी कार्य अवकलनीय हैं (प्रमाण के अंत में टिप्पणी देखें), मल्टीवेरिएबल चेन नियम द्वारा, यह इस प्रकार है जो अवकलनीय है, और इसका व्युत्पन्न सूत्र द्वारा दिया गया हैः अब, ध्यान दें कि प्रत्येक के लिए, और प्रत्येक के लिए, हमारे पास यह है, क्योंकि जब के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न लेते हैं, तो हम अभिव्यक्ति में स्थिर रहते हैं; इस प्रकार एकीकरण की निरंतर सीमाओं के साथ लीबनिज़ के इंटीग्रल नियम का मूल रूप लागू होता है। इसके बाद, कैलकुलस के प्रथम मौलिक प्रमेय द्वारा, हमारे पास वह है; क्योंकि जब के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न लेते हैं, तो पहला चर निश्चित होता है, इसलिए मौलिक प्रमेय को वास्तव में लागू किया जा सकता है। उपरोक्त समीकरण में इन परिणामों को प्रतिस्थापित करने से मिलता हैः जैसा वांछित है। उपरोक्त प्रमाण में एक तकनीकी बिंदु है जो ध्यान देने योग्य हैः श्रृंखला नियम को लागू करने के लिए आवश्यक है कि पहले से ही अवकलनीय हो। यही वह जगह है जहाँ हम अपनी धारणाओं का उपयोग करते हैं। जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, के आंशिक व्युत्पन्न सूत्र और द्वारा दिए गए हैं। चूंकि यह निरंतर है, इसलिए इसका समाकलन भी एक निरंतर कार्य है, और चूंकि यह भी निरंतर है, इसलिए ये दोनों परिणाम बताते हैं कि इसके दोनों आंशिक व्युत्पन्न निरंतर हैं। चूँकि आंशिक व्युत्पन्न की निरंतरता फलन की अवकलनीयता का तात्पर्य है, वास्तव में अवकलनीय है। त्रि-आयामी, समय-निर्भर रूप चित्र 1 में सतह t पर एक केंद्रक के आसपास व्यवस्थित बिंदुओं का एक समूह होता है। फलन को समय के साथ स्वतंत्र रूप से लिखा जा सकता है। चरों को चलती सतह से जुड़े संदर्भ के एक नए ढांचे में स्थानांतरित किया जाता है, जिसका मूल है। एक कठोर रूप से अनुवाद करने वाली सतह के लिए, एकीकरण की सीमाएं तब समय से स्वतंत्र होती हैं, इसलिएः जहां क्षेत्र के अभिन्न को सीमित करने वाले एकीकरण की सीमाएं अब समय पर निर्भर नहीं हैं, इसलिए विभेदन एकीकरण के माध्यम से केवल समाकलन पर कार्य करने के लिए गुजरता हैः द्वारा परिभाषित सतह की गति के वेग के साथ यह समीकरण क्षेत्र के भौतिक व्युत्पन्न को व्यक्त करता है, यानी, चलती सतह से जुड़ी एक निर्देशांक प्रणाली के संबंध में व्युत्पन्न। व्युत्पन्न को खोजने के बाद, चर को संदर्भ के मूल ढांचे में वापस बदला जा सकता है। हम देखते हैं कि (कर्ल पर लेख देखें) और यह कि स्टोक्स प्रमेय एक रेखा समाकलन के साथ कर्ल के सतह समाकलन की तुलना करता हैः रेखा समाकलन का संकेत रेखा तत्व ds की दिशा के चयन के लिए दाहिने हाथ के नियम पर आधारित है। इस संकेत को स्थापित करने के लिए, उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि क्षेत्र F धनात्मक z-दिशा में इंगित करता है, और सतह  निष्पादन xy-तल का एक भाग है जिसकी परिधि ष्णुल है। हम धनात्मक z-दिशा में होने के लिए σ के सामान्य को अपनाते हैं। सकारात्मक संचरण तब घड़ी की विपरीत दिशा में होता है (z-अक्ष के साथ अंगूठे के साथ दाहिने हाथ का नियम)। फिर बाएँ हाथ की ओर का समाकलन एफ के सकारात्मक प्रवाह को निर्धारित करता है। मान लीजिए कि वेग v पर धनात्मक x-दिशा में अनुवादित होता है। मान लीजिए कि y-अक्ष के समानांतर, ds की सीमा का एक तत्व, समय t में एक क्षेत्र vt × ds को बाहर निकालता है। यदि हम एक विपरीत घड़ी की दिशा में सीमा के चारों ओर समाकलन करते हैं, तो vt × ds, ऋणात्मक z-दिशा में, ष्णू के बाईं ओर (जहां ds नीचे की ओर इंगित करता है), और धनात्मक z-दिशा में, ष्णू के दाईं ओर (जहां ds ऊपर की ओर इंगित करता है), जो समझ में आता है क्योंकि σ दाईं ओर बढ़ रहा है, दाईं ओर क्षेत्र जोड़ रहा है और इसे बाईं ओर खो रहा है। उस आधार पर, F का प्रवाह ष्णू के दाईं ओर बढ़ रहा है और बाईं ओर कम हो रहा है। हालाँकि, डॉट उत्पाद। नतीजतन, रेखा समाकलन का संकेत नकारात्मक के रूप में लिया जाता है। यदि v एक स्थिरांक है, जो उद्धृत परिणाम है। यह प्रमाण सतह के हिलते-डुलते विकृत होने की संभावना पर विचार नहीं करता है। वैकल्पिक व्युत्पत्ति लेम्मा। एक के पास हैः सबूत। कलन के मौलिक प्रमेय के प्रमाण से, और मान लीजिए कि a और b स्थिर हैं, और उस f (x) में एक पैरामीटर α शामिल है जो समाकलन में स्थिर है लेकिन विभिन्न समाकलन बनाने के लिए भिन्न हो सकता है। मान लीजिए कि f (x, α) कॉम्पैक्ट सेट {(x, α): α0 ≤ α ≤ α1 और a ≤ x ≤ b} में x और α का एक निरंतर फलन है, और यह कि आंशिक व्युत्पन्न fα (x, α) मौजूद है और निरंतर है। यदि कोई परिभाषित करता हैः तो समाकलन चिह्न के तहत अंतर करके α के संबंध में अंतर किया जा सकता है, अर्थात, हाइने-कैंटर प्रमेय द्वारा यह उस समूह में समान रूप से निरंतर है। दूसरे शब्दों में, किसी भी ε> 0 के लिए α मौजूद है जैसे कि [a, b] में x के सभी मानों के लिए, दूसरी ओर, इसलिए φ (α) एक निरंतर फलन है। इसी तरह यदि मौजूद है और निरंतर है, तो सभी ε> 0 के लिए α मौजूद है जैसे किः इसलिए, जहाँ ε = α = α = α = α = α = α = α = α = α = α = α = α = α = α = α = α = α = α = α = α = α = α = α = α = α = α = α = α = α = α = α = α = α = α = α = α = α = α = α = α = α = α = α = α = α = α = α = α = α = α = α = α = α = α = α = α = α अब, मान लीजिए कि जहाँ a और b, α के फलन हैं जो क्रमशः α और αb की वृद्धि करते हैं, जब α को α से बढ़ाया जाता है। फिर, मीन वैल्यू थ्योरम का एक रूप, जहां a <ω <b, को उपरोक्त ω के लिए सूत्र के पहले और अंतिम समाकलन पर लागू किया जा सकता है, जिसके परिणामस्वरूप ω को ω से विभाजित किया जा सकता है, ω को ω से विभाजित किया जा सकता है, ω को ω से विभाजित किया जा सकता है, ω को ω से विभाजित किया जा सकता है, ω को ω से विभाजित किया जा सकता है और ω से विभाजित किया जा सकता है। उदाहरण 1: निश्चित सीमाएँ फलन पर विचार करें समाकलन चिह्न के तहत फलन बिंदु (x, α) = (0,0) पर निरंतर नहीं है, और फलन φ (α) में α = 0 पर असंतुलन है क्योंकि φ (α) ±π/2 के रूप में α → 0 ± तक पहुँचता है। यदि हम समाकलन चिह्न के तहत α के संबंध में φ (α) को अलग करते हैं, तो हम प्राप्त करते हैं जो निश्चित रूप से, α = 0 को छोड़कर α के सभी मूल्यों के लिए सही है। इसे एकीकृत किया जा सकता है (α के संबंध में) उदाहरण 2: परिवर्तनीय सीमाएँ परिवर्तनीय सीमाओं के साथ एक उदाहरण अनुप्रयोग निश्चित समाकलन का मूल्यांकन सूत्र कुछ निश्चित समाकलन का मूल्यांकन करते समय उपयोगी हो सकता है। जब इस संदर्भ में उपयोग किया जाता है, तो इंटीग्रल साइन के तहत अंतर करने के लिए लीबनिज़ इंटीग्रल नियम को एकीकरण के लिए फेनमैन की चाल के रूप में भी जाना जाता है। उदाहरण 3 अब विचार करें, जैसा कि से भिन्न होता है, हमारे पास है इसलिए, दोनों पक्षों को इसके संबंध में एकीकृत करने पर, हम पाते हैंः मूल्यांकन से निम्नलिखितः उसी तरीके से निर्धारित करने के लिए, हमें 1 इंच से अधिक के मूल्य में प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता होनी चाहिए। यह कुछ असुविधाजनक है। इसके बजाय, हम स्थानापन्न करते हैं, कहाँ। फिर, इसलिए, की परिभाषा अब पूरी हो गई हैः पूर्वगामी चर्चा, निश्चित रूप से, तब लागू नहीं होती है जब विभेदनशीलता की शर्तों को पूरा नहीं किया जाता है। उदाहरण 4 सबसे पहले हम गणना करते हैंः एकीकरण की सीमाएँ स्वतंत्र होने के कारण, हमारे पासः दूसरी ओरः इन दोनों संबंधों को बराबर करने पर फिर पैदावार मिलती है। इस व्युत्पत्ति को सामान्यीकृत किया जा सकता है। ध्यान दें कि यदि हम इसे परिभाषित करते हैं तो इसे आसानी से दिखाया जा सकता है कि दिया गया है, इस इंटीग्रल रिडक्शन सूत्र का उपयोग फॉर के सभी मूल्यों की गणना करने के लिए किया जा सकता है। इंटीग्रल जैसे और वेयरस्ट्रास प्रतिस्थापन का उपयोग करके भी संभाला जा सकता है। उदाहरण 5 यहाँ, हम समाकलन के तहत समाकलन अंतर पर विचार करते हैं, हमारे पास है इसलिएः लेकिन परिभाषा के अनुसार और उदाहरण 6 यहाँ, हम समाकलन पर विचार करते हैं हम एक नया चर φ पेश करते हैं और समाकलन को फिर से लिखते हैं जब φ = 1 यह मूल समाकलन के बराबर होता है। हालाँकि, इस अधिक सामान्य समाकलन को निम्न के संबंध में अलग किया जा सकता हैः अब, φ को ठीक करें, और वेक्टर क्षेत्र को इसके द्वारा परिभाषित करने पर विचार करें। इसके अलावा, द्वारा दिए गए इकाई वृत्त के सकारात्मक उन्मुख मापदंड का चयन करें, ताकि। फिर ऊपर दिया गया अंतिम समाकलन सटीक रूप से ओवर का रेखा समाकलन है। ग्रीन के प्रमेय के अनुसार, यह दोहरे समाकलन के बराबर है जहाँ बंद इकाई डिस्क है। इसका समाकलन समान रूप से 0 है, इसलिए समान रूप से शून्य है। इसका तात्पर्य है कि f (φ) स्थिर है। स्थिरांक का निर्धारण निम्न पर मूल्यांकन करके किया जा सकता हैः इसलिए, मूल समाकलन भी बराबर होता है। हल करने के लिए अन्य समस्याएं असंख्य अन्य समाकलन हैं जिन्हें समाकलन संकेत के तहत विभेदन की तकनीक का उपयोग करके हल किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित मामलों में से प्रत्येक में, मूल समाकलन को एक नए पैरामीटर के साथ एक समान समाकलन द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता हैः पहला समाकलन, डिरिचलेट समाकलन, धनात्मक α के लिए बिल्कुल अभिसारी है लेकिन केवल सशर्त रूप से अभिसारी है जब। इसलिए, अभिन्न संकेत के तहत विभेदन को सही ठहराना आसान है, लेकिन यह साबित करना कि परिणामी सूत्र मान्य रहता है जब कुछ सावधानीपूर्वक काम करने की आवश्यकता होती है। अनंत श्रृंखला अभिन्न संकेत के तहत विभेदन का माप-सैद्धांतिक संस्करण गणना माप के रूप में योग की व्याख्या करके योग (परिमित या अनंत) पर भी लागू होता है। एक अनुप्रयोग का एक उदाहरण यह तथ्य है कि शक्ति श्रृंखलाएं अपने अभिसरण की त्रिज्या में अवकलनीय होती हैं। लोकप्रिय संस्कृति में अभिन्न संकेत के तहत भेदभाव का उल्लेख स्वर्गीय भौतिक विज्ञानी रिचर्ड फेनमैन के सबसे अधिक बिकने वाले संस्मरण 'श्योरली यू आर जॉकिंग, मिस्टर फेनमैन!' में किया गया है। "ए डिफरेंट बॉक्स ऑफ टूल्स" अध्याय में। उन्होंने इसे हाई स्कूल में फ्रेडरिक एस. वुड्स (जो मैसाचुसेट्स इंस्टीट्यूट ऑफ टेक्नोलॉजी में गणित के प्रोफेसर थे) के एक पुराने पाठ, एडवांस्ड कैलकुलस (1926) से सीखने का वर्णन किया है। तकनीक को अक्सर नहीं सिखाया जाता था जब फेनमैन ने बाद में कलन में अपनी औपचारिक शिक्षा प्राप्त की, लेकिन इस तकनीक का उपयोग करके, फेनमैन प्रिंसटन विश्वविद्यालय में स्नातक विद्यालय में आने पर अन्यथा कठिन एकीकरण समस्याओं को हल करने में सक्षम थेः एक चीज जो मैंने कभी नहीं सीखी वह थी समोच्च एकीकरण। मैंने एक पुस्तक में दिखाए गए विभिन्न तरीकों से समाकलन करना सीखा था जो मेरे हाई स्कूल के भौतिकी शिक्षक श्री बदर ने मुझे दिया था। एक दिन उन्होंने मुझे कक्षा के बाद रहने के लिए कहा। "फेनमैन", उन्होंने कहा, "आप बहुत ज्यादा बोलते हैं और आप बहुत ज्यादा शोर करते हैं। मुझे पता है क्यों। आप ऊब गए हैं। इसलिए मैं आपको एक किताब दूंगा। आप वहाँ पीछे, कोने में जाते हैं, और इस पुस्तक का अध्ययन करते हैं, और जब आप इस पुस्तक में सब कुछ जानते हैं, तो आप फिर से बात कर सकते हैं। इसलिए हर भौतिकी वर्ग, मैंने इस बात पर कोई ध्यान नहीं दिया कि पास्कल के नियम के साथ क्या चल रहा था, या वे जो कुछ भी कर रहे थे। मैं इस पुस्तक के साथ पीछे थाः वुड्स की "एडवांस्ड कैलकुलस"। बदर को पता था कि मैंने "कैलकुलस फॉर द प्रैक्टिकल मैन" का थोड़ा अध्ययन किया है, इसलिए उन्होंने मुझे वास्तविक काम दिए-यह कॉलेज में जूनियर या सीनियर पाठ्यक्रम के लिए था। इसमें फूरियर श्रृंखला, बेसल कार्य, निर्धारक, अण्डाकार कार्य थे-सभी प्रकार के अद्भुत सामान जिनके बारे में मुझे कुछ भी पता नहीं था। उस पुस्तक ने यह भी दिखाया कि अभिन्न संकेत के तहत मापदंडों को कैसे अलग किया जाए-यह एक निश्चित कार्य है। यह पता चला है कि विश्वविद्यालयों में बहुत अधिक नहीं पढ़ाया जाता है; वे इस पर जोर नहीं देते हैं। लेकिन मुझे पता चला कि उस विधि का उपयोग कैसे किया जाए, और मैंने उस एक उपकरण का बार-बार उपयोग किया। इसलिए क्योंकि मुझे उस पुस्तक का उपयोग करके स्वयं सिखाया गया था, मेरे पास समाकलन करने के विशिष्ट तरीके थे। परिणाम यह हुआ कि जब एम. आई. टी. या प्रिंसटन के लड़कों को एक निश्चित इंटीग्रल करने में परेशानी हुई, तो ऐसा इसलिए था क्योंकि वे इसे स्कूल में सीखी गई मानक विधियों के साथ नहीं कर सकते थे। यदि यह समोच्च एकीकरण होता, तो उन्होंने इसे पाया होता; यदि यह एक सरल श्रृंखला विस्तार होता, तो उन्होंने इसे पाया होता। फिर मैं आता हूं और अभिन्न संकेत के तहत अंतर करने की कोशिश करता हूं, और अक्सर यह काम करता है। इसलिए मुझे इंटीग्रल करने के लिए बहुत प्रतिष्ठा मिली, केवल इसलिए कि मेरे उपकरणों का बॉक्स हर किसी से अलग था, और उन्होंने मुझे समस्या देने से पहले अपने सभी उपकरणों को आजमाया था। यह भी देखें श्रृंखला नियम इंटीग्रल लीबनिज़ नियम का विभेदन (सामान्यीकृत उत्पाद नियम) रेनॉल्ड्स परिवहन प्रमेय, लीबनिज़ नियम का एक सामान्यीकरण संदर्भ आगे पढ़ने के लिए बाहरी लिंक गॉटफ्राइड विल्हेम लीबनिज़ मल्टीवेरिएबल कलन इंटीग्रल कलन डिफरेंशियल कलन प्रमाण वाले लेख