Band matrix
गणित में, विशेष रूप से मैट्रिक्स सिद्धांत में, एक बैंड मैट्रिक्स या बैंडेड मैट्रिक्स एक विरल मैट्रिक्स है जिसकी गैर-शून्य प्रविष्टियां एक विकर्ण बैंड तक सीमित होती हैं, जिसमें मुख्य विकर्ण और दोनों तरफ शून्य या अधिक विकर्ण होते हैं। बैंड मैट्रिक्स बैंडविड्थ औपचारिक रूप से, एक एन × एन मैट्रिक्स ए = (एआई, जे) पर विचार करें। यदि सभी मैट्रिक्स तत्व एक विकर्ण रूप से सीमाबद्ध बैंड के बाहर शून्य हैं जिनकी सीमा स्थिरांक k1 और k2 द्वारा निर्धारित की जाती हैः तो मात्रा k1 और k2 को क्रमशः और कहा जाता है। मैट्रिक्स का अधिकतम k1 और k2 है; दूसरे शब्दों में, यह संख्या k ऐसी है कि यदि। उदाहरण के लिए k1 = k2 = 0 के साथ एक बैंड मैट्रिक्स एक विकर्ण मैट्रिक्स है k1 = k2 = 1 के साथ एक बैंड मैट्रिक्स एक त्रिकोणीय मैट्रिक्स है। त्रिकोणीय मैट्रिक्स k1 = 0, k2 = n-1 के लिए, एक ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स की परिभाषा इसी तरह प्राप्त करता है, k1 = n-1, k2 = 0 के लिए एक निचला त्रिकोणीय मैट्रिक्स प्राप्त करता है। जब बैंडविड्थ सीमित होती है तो ऊपरी और निचले हेसेनबर्ग मैट्रिक्स टोप्लिट्ज़ मैट्रिक्स को मापते हैं। ब्लॉक विकर्ण मैट्रिक्स शिफ्ट मैट्रिक्स और कतरनी मैट्रिक्स जॉर्डन में मैट्रिक्स सामान्य रूप एक क्षितिज मैट्रिक्स, जिसे "चर बैंड मैट्रिक्स" भी कहा जाता है, बैंड मैट्रिक्स का एक सामान्यीकरण लेहमर मैट्रिक्स के व्युत्क्रम स्थिर त्रिकोणीय मैट्रिक्स हैं, और इस प्रकार बैंड मैट्रिक्स हैं। संख्यात्मक विश्लेषण में, परिमित तत्व या परिमित अंतर समस्याओं से मैट्रिक्स को अक्सर बँडेड किया जाता है। इस तरह के मैट्रिक्स को समस्या चर के बीच युग्मन के विवरण के रूप में देखा जा सकता है; बैंडेड गुण इस तथ्य से मेल खाता है कि चर मनमाने ढंग से बड़ी दूरी पर युग्मित नहीं होते हैं। इस तरह के मैट्रिक्स को आगे विभाजित किया जा सकता है-उदाहरण के लिए, बैंडेड मैट्रिक्स मौजूद हैं जहां बैंड में प्रत्येक तत्व गैर-शून्य है। ये अक्सर एक-आयामी समस्याओं को अलग करते समय उत्पन्न होते हैं। उच्च आयामों में समस्याएं भी बैंडेड मैट्रिक्स की ओर ले जाती हैं, जिस स्थिति में बैंड स्वयं भी विरल हो जाता है। उदाहरण के लिए, एक वर्ग क्षेत्र पर एक आंशिक विभेदक समीकरण (केंद्रीय अंतरों का उपयोग करते हुए) मैट्रिक्स आयाम के वर्गमूल के बराबर एक बैंडविड्थ के साथ एक मैट्रिक्स प्राप्त करेगा, लेकिन बैंड के अंदर केवल 5 विकर्ण गैर-शून्य हैं। दुर्भाग्य से, इस तरह के मैट्रिक्स में गॉसियन उन्मूलन (या समकक्ष रूप से एक एल. यू. अपघटन) को लागू करने से बैंड कई गैर-शून्य तत्वों से भर जाता है। बैंड भंडारण बैंड मैट्रिक्स को आमतौर पर बैंड में विकर्णों को संग्रहीत करके संग्रहीत किया जाता है; बाकी निहित रूप से शून्य होता है। उदाहरण के लिए, एक त्रिकोणीय मैट्रिक्स में बैंडविड्थ 1 होती है। 6-बाय-6 मैट्रिक्स को 6-बाय-3 मैट्रिक्स के रूप में संग्रहीत किया जाता है जब मैट्रिक्स सममित होता है तो आगे की बचत संभव होती है। उदाहरण के लिए, 2 की ऊपरी बैंडविड्थ के साथ एक सममित 6-बाय-6 मैट्रिक्स पर विचार करेंः इस मैट्रिक्स को 6-बाय-3 मैट्रिक्स के रूप में संग्रहीत किया जाता हैः विरल मैट्रिक्स का बैंड रूप कम्प्यूटेशनल दृष्टिकोण से, बैंड मैट्रिक्स के साथ काम करना हमेशा समान आयाम वाले वर्ग मैट्रिक्स के साथ काम करने के लिए प्राथमिकता है। एक बैंड मैट्रिक्स की तुलना जटिलता में एक आयताकार मैट्रिक्स से की जा सकती है जिसका पंक्ति आयाम बैंड मैट्रिक्स की बैंडविड्थ के बराबर होता है। इस प्रकार गुणन जैसे कार्यों को करने में शामिल कार्य में काफी गिरावट आती है, जिससे अक्सर गणना के समय और जटिलता के मामले में भारी बचत होती है। चूंकि विरल मैट्रिक्स घने मैट्रिक्स की तुलना में अधिक कुशल गणना के लिए खुद को उधार देते हैं, साथ ही कंप्यूटर भंडारण के अधिक कुशल उपयोग में, मैट्रिक्स में क्रमपरिवर्तन, या इस तरह के अन्य समतुल्यता या समानता परिवर्तनों को लागू करके बैंडविड्थ को कम करने (या सीधे भरने को कम करने) के तरीके खोजने पर बहुत शोध केंद्रित किया गया है। कुथिल-मैककी एल्गोरिदम का उपयोग एक विरल सममित मैट्रिक्स की बैंडविड्थ को कम करने के लिए किया जा सकता है। हालाँकि, ऐसे मैट्रिक्स हैं जिनके लिए रिवर्स कुथिल-मैककी एल्गोरिदम बेहतर प्रदर्शन करता है। उपयोग में कई अन्य विधियाँ हैं। पंक्तियों और स्तंभों के क्रमपरिवर्तन के माध्यम से न्यूनतम बैंडविड्थ वाले मैट्रिक्स के प्रतिनिधित्व को खोजने की समस्या एन. पी.-हार्ड है। विकर्ण मैट्रिक्स ग्राफ बैंडविड्थ नोट्स संदर्भ भी देखें। .. .. .. .. बाहरी लिंक लैपैक और बैंड मैट्रिक्स से संबंधित जानकारी बैंडेड मैट्रिक्स और अन्य विरल मैट्रिक्स प्रारूपों पर एक ट्यूटोरियल विरल मैट्रिक्स