Additive polynomial
गणित में, योगात्मक बहुपद शास्त्रीय बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण विषय हैं। परिभाषा मान लीजिए कि k अभाज्य विशेषता p का क्षेत्र है। k में गुणांक वाले बहुपद P (x) को योगात्मक बहुपद या फ्रोबेनियस बहुपद कहा जाता है, यदि a और b में बहुपदों के रूप में। यह मानने के बराबर है कि यह समानता सभी a और b के लिए कुछ अनंत क्षेत्र में है जिसमें k है, जैसे कि इसका बीजगणितीय समापन। कभी-कभी उपरोक्त स्थिति के लिए बिल्कुल योगात्मक का उपयोग किया जाता है, और योगात्मक का उपयोग कमजोर स्थिति के लिए किया जाता है कि पी (ए + बी) = पी (ए) + पी (बी) क्षेत्र में सभी ए और बी के लिए। अनंत क्षेत्रों के लिए स्थितियाँ समतुल्य हैं, लेकिन परिमित क्षेत्रों के लिए वे नहीं हैं, और कमजोर स्थिति "गलत" है क्योंकि यह अच्छी तरह से व्यवहार नहीं करती है। उदाहरण के लिए, q क्रम के क्षेत्र पर xq−x का कोई भी एकाधिक P क्षेत्र में सभी a और b के लिए P (a + b) = P (a) + P (b) को संतुष्ट करेगा, लेकिन आमतौर पर (बिल्कुल) योगात्मक नहीं होगा। उदाहरण बहुपद xp योगात्मक है। वास्तव में, k के बीजगणितीय समापन में किसी भी a और b के लिए द्विपद प्रमेय है क्योंकि p अभाज्य है, सभी n = 1,, p-1 के लिए द्विपद गुणांक p से विभाज्य है, जिसका अर्थ है कि a और b में बहुपदों के रूप में। इसी तरह रूप के सभी बहुपदों योगात्मक हैं, जहां n एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक है। परिभाषा का अर्थ तब भी समझ में आता है जब k विशेषता शून्य का क्षेत्र है, लेकिन इस मामले में केवल योगात्मक बहुपद वे हैं जो k में कुछ a के लिए रूप अक्ष के हैं। योगात्मक बहुपदों का वलय यह साबित करना काफी आसान है कि k में गुणांक वाले बहुपदों का कोई भी रैखिक संयोजन भी एक योगात्मक बहुपद है। एक दिलचस्प सवाल यह है कि क्या इन रैखिक संयोजनों को छोड़कर अन्य योगात्मक बहुपद हैं। इसका उत्तर यह है कि केवल ये ही हैं। यह जांचा जा सकता है कि यदि पी (एक्स) और एम (एक्स) योगात्मक बहुपद हैं, तो पी (एक्स) + एम (एक्स) और पी (एम (एक्स)) भी हैं। इनका तात्पर्य है कि योगात्मक बहुपद बहुपद जोड़ और संरचना के तहत एक वलय बनाते हैं। इस वलय को दर्शाया जाता है यह वलय तब तक परिवर्तनीय नहीं है जब तक कि k क्षेत्र न हो (मॉड्यूलर अंकगणित देखें)। वास्तव में, k में एक गुणांक के लिए योगात्मक बहुपदों अक्ष और xp पर विचार करें। उनके लिए संरचना के तहत कम्यूट करने के लिए, हमारे पास होना चाहिए और इसलिए ap − a = 0। योगात्मक बहुपदों की मौलिक प्रमेय मान लीजिए कि पी (एक्स), के में गुणांक के साथ एक बहुपद है, और इसके मूल का समुच्चय है। यह मानते हुए कि पी (एक्स) के मूल अलग हैं (यानी, पी (एक्स) अलग करने योग्य है), तो पी (एक्स) योगात्मक है यदि और केवल तभी जब सेट क्षेत्र जोड़ के साथ एक समूह बनाता है। ड्रिन्फेल्ड मॉड्यूल योगात्मक मानचित्र संदर्भ डेविड गॉस, बेसिक स्ट्रक्चर्स ऑफ फंक्शन फील्ड अर्थमेटिक, 1996, स्प्रिंगर, बर्लिन भी देखें। .. बाहरी लिंक बीजगणितीय संख्या सिद्धांत मॉड्यूलर अंकगणितीय बहुपद