Closed monoidal category
गणित में, विशेष रूप से श्रेणी सिद्धांत में, एक बंद एकल श्रेणी (या एक एकल बंद श्रेणी) एक ऐसी श्रेणी है जो एक एकल श्रेणी और एक बंद श्रेणी दोनों इस तरह से है कि संरचनाएं संगत हैं। एक उत्कृष्ट उदाहरण समुच्चय की श्रेणी है, समुच्चय, जहाँ समुच्चय का एकपक्षी उत्पाद और सामान्य कार्टेशियन उत्पाद है, और आंतरिक होम से से कार्यों का समुच्चय है। एक गैर-कार्टेशियन उदाहरण एक क्षेत्र पर वेक्टर रिक्त स्थान, के-वेक्ट की श्रेणी है। यहाँ मोनोइडल उत्पाद वेक्टर रिक्त स्थान का सामान्य टेंसर उत्पाद है, और आंतरिक होम एक वेक्टर स्थान से दूसरे वेक्टर स्थान तक रैखिक मानचित्रों का वेक्टर स्थान है। बंद सममित मोनोइडल श्रेणियों की आंतरिक भाषा रैखिक तर्क है और प्रकार प्रणाली रैखिक प्रकार प्रणाली है। बंद मोनोइडल श्रेणियों के कई उदाहरण सममित हैं। हालाँकि, हमेशा ऐसा होने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि गैर-सममित मोनोइडल श्रेणियों का सामना भाषाविज्ञान के श्रेणी-सैद्धांतिक सूत्रीकरण में किया जा सकता है; मोटे तौर पर, ऐसा इसलिए है क्योंकि प्राकृतिक भाषा मामलों में शब्द-क्रम होता है। परिभाषा एक बंद मोनोइडल श्रेणी एक मोनोइडल श्रेणी है जिसमें प्रत्येक वस्तु के लिए सही टेंसर द्वारा दिए गए फ़ंक्टर का एक सही संयोजन होता है, लिखा जाता है इसका मतलब है कि होम-सेटों के बीच एक बाइजेक्शन मौजूद है, जिसे 'करीइंग' कहा जाता है, जो ए और सी दोनों में प्राकृतिक है। एक अलग, लेकिन सामान्य संकेतन में, कोई यह कहेगा कि फ़ंक्टर का एक समान रूप से सही संयोजन है, एक बंद मोनोइडल श्रेणी एक श्रेणी है जो सुसज्जित है, प्रत्येक दो वस्तुओं ए और बी के लिए, एक वस्तु, एक आकृतिवाद के साथ, निम्नलिखित सार्वभौमिक गुण को संतुष्ट करती हैः प्रत्येक आकृतिवाद के लिए एक अद्वितीय आकृतिवाद मौजूद है जैसे कि यह दिखाया जा सकता है कि यह निर्माण एक फ़ंक्टर को परिभाषित करता है। इस फ़ंक्टर को आंतरिक होम फ़ंक्टर कहा जाता है, और वस्तु को आंतरिक होम ऑफ़ एंड कहा जाता है। आंतरिक होम के लिए कई अन्य संकेतन आम उपयोग में हैं। जब टेंसर उत्पाद कार्टेशियन उत्पाद होता है, तो सामान्य संकेतन होता है और इस वस्तु को घातीय वस्तु कहा जाता है। बाइक्लोज़्ड और सिमेट्रिक श्रेणियाँ कड़ाई से बोलते हुए, हमने एक सही बंद मोनोइडल श्रेणी को परिभाषित किया है, क्योंकि हमें आवश्यक है कि किसी भी वस्तु के साथ सही टेंसर करने का एक सही संयोजन हो। लेफ्ट क्लोज्ड मोनोइडल श्रेणी में, हम इसके बजाय मांग करते हैं कि किसी भी वस्तु के साथ लेफ्ट टेंसर करने के फंक्शन में एक राइट एडजॉइंट हो। एक सममित मोनोइडल श्रेणी को बंद छोड़ दिया जाता है यदि और केवल तभी जब यह सही बंद हो। इस प्रकार हम सुरक्षित रूप से एक 'सममित मोनोइडल बंद श्रेणी' की बात कर सकते हैं, यह निर्दिष्ट किए बिना कि यह बाएँ या दाएँ बंद है। वास्तव में, ब्रैडेड मोनोइडल श्रेणियों के लिए भी यही बात आम तौर पर सच हैः चूंकि ब्रैडिंग स्वाभाविक रूप से आइसोमोर्फिक बनाती है, इसलिए बाईं ओर टेंसर करने और दाईं ओर टेंसर करने के बीच का अंतर महत्वहीन हो जाता है, इसलिए हर दाईं ओर बंद ब्रैडेड मोनोइडल श्रेणी को विहित तरीके से बंद छोड़ दिया जाता है, और इसके विपरीत। हमने बंद मोनोइडल श्रेणियों को एक अतिरिक्त गुण के साथ मोनोइडल श्रेणियों के रूप में वर्णित किया है। समान रूप से एक बंद एकल श्रेणी को एक अतिरिक्त संपत्ति के साथ एक बंद श्रेणी के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। अर्थात्, हम एक टेंसर उत्पाद के अस्तित्व की मांग कर सकते हैं जो आंतरिक होम फंक्टर के बगल में छोड़ दिया जाता है। इस दृष्टिकोण में, बंद मोनोइडल श्रेणियों को मोनोइडल बंद श्रेणियां भी कहा जाता है। उदाहरण प्रत्येक कार्टेशियन बंद श्रेणी एक सममित, मोनोइडल बंद श्रेणी है, जब मोनोइडल संरचना कार्टेशियन उत्पाद संरचना है। आंतरिक होम फंक्टर घातीय वस्तु द्वारा दिया जाता है। विशेष रूप से, समुच्चयों की श्रेणी, सेट, एक सममित, बंद मोनोइडल श्रेणी है। यहाँ आंतरिक होम केवल से से कार्यों का समूह है। मॉड्यूल की श्रेणी, आर-मॉड एक कम्यूटेटिव रिंग आर पर एक गैर-कार्टेशियन, सममित, मोनोइडल बंद श्रेणी है। मोनोइडल उत्पाद मॉड्यूल के टेंसर उत्पाद द्वारा दिया जाता है और आंतरिक होम अपनी प्राकृतिक आर-मॉड्यूल संरचना के साथ आर-रैखिक मानचित्रों के स्थान द्वारा दिया जाता है। विशेष रूप से, किसी क्षेत्र पर सदिश रिक्त स्थान की श्रेणी एक सममित, बंद एकल श्रेणी है। आबेलियन समूहों को जेड-मॉड्यूल के रूप में माना जा सकता है, इसलिए आबेलियन समूहों की श्रेणी भी एक सममित, बंद मोनोइडल श्रेणी है। एक सममित कॉम्पैक्ट बंद श्रेणी एक सममित मोनोइडल बंद श्रेणी है जिसमें आंतरिक होम फ़ंक्टर द्वारा दिया जाता है। विहित उदाहरण परिमित-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान, FdVect की श्रेणी है। काउंटरएक्साम्पल्स रिंग्स की श्रेणी रिंग्स के टेंसर उत्पाद के तहत एक सममित, मोनोइडल श्रेणी है, जो इकाई वस्तु के रूप में कार्य करती है। यह श्रेणी बंद नहीं है। यदि ऐसा होता, तो रिंगों की किसी भी जोड़ी के बीच बिल्कुल एक समरूपता होतीः एक कम्यूटेटिव रिंग आर पर आर-बीजगणित की श्रेणी के लिए भी यही बात लागू होती है। इसबेल संयुग्म संदर्भ भी देखें बंद श्रेणियां