Ihara zeta function
गणित में, इहारा जीटा फलन एक परिमित ग्राफ से जुड़ा एक जीटा फलन है। यह निकटता से सेलबर्ग जीटा फलन से मिलता-जुलता है, और इसका उपयोग निकटता मैट्रिक्स के स्पेक्ट्रम से बंद चलने को संबंधित करने के लिए किया जाता है। इहारा जीटा फलन को पहली बार 1960 के दशक में यासुताका इहारा द्वारा दो-बाई-दो पी-एडिक विशेष रैखिक समूह के असतत उपसमूहों के संदर्भ में परिभाषित किया गया था। जीन-पियरे सेरे ने अपनी पुस्तक ट्रीज़ में सुझाव दिया कि इहारा की मूल परिभाषा को ग्राफ-सैद्धांतिक रूप से फिर से समझा जा सकता है। यह तोशिकाज़ू सुनादा थे जिन्होंने 1985 में इस सुझाव को अमल में लाया था। जैसा कि सुनादा द्वारा देखा गया है, एक नियमित ग्राफ रामानुजन ग्राफ है यदि और केवल तभी जब इसका इहारा जीटा फलन रीमान परिकल्पना के अनुरूप को संतुष्ट करता है। परिभाषा इहारा जीटा फलन को अनंत उत्पाद की विश्लेषणात्मक निरंतरता के रूप में परिभाषित किया गया है जहाँ L (p) की लंबाई है। परिभाषा में उत्पाद को ग्राफ के सभी प्रमुख बंद भूगणितीय पर लिया जाता है, जहां भूगणितीय जो एक चक्रीय घूर्णन से भिन्न होते हैं, उन्हें समान माना जाता है। एक बंद जियोडेसिक ऑन (ग्राफ सिद्धांत में "रिड्यूस्ड क्लोज्ड वॉक" के रूप में जाना जाता है; यह एक ग्राफ जियोडेसिक नहीं है) शीर्षों का एक सीमित अनुक्रम है जैसे कि पूर्णांक लंबाई है। बंद भूगणितीय अभाज्य है यदि इसे एक पूर्णांक के लिए एक बंद भूगणितीय समय को दोहराकर प्राप्त नहीं किया जा सकता है। यह ग्राफ-सैद्धांतिक सूत्रीकरण सुनादा के कारण है। इहारा का सूत्र इहारा (और ग्राफ-सैद्धांतिक सेटिंग में सुनादा) ने दिखाया कि नियमित ग्राफ के लिए जीटा फ़ंक्शन एक तर्कसंगत कार्य है। यदि निकटता मैट्रिक्स के साथ एक-नियमित ग्राफ है तो सर्किट रैंक कहाँ है। यदि जुड़ा हुआ है और शीर्ष हैं,। इहारा जीटा-फलन वास्तव में हमेशा एक ग्राफ बहुपद का पारस्परिक होता हैः जहाँ की-इचिरो हाशिमोटो का किनारा आसन्न प्रचालक होता है। हाइमन बास ने निकटता प्रचालक को शामिल करते हुए एक निर्धारक सूत्र दिया। अनुप्रयोग इहारा जीटा फलन मुक्त समूहों, वर्णक्रमीय ग्राफ सिद्धांत और गतिशील प्रणालियों, विशेष रूप से प्रतीकात्मक गतिकी के अध्ययन में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है, जहां इहारा जीटा फलन एक रूले जीटा फलन का एक उदाहरण है। संदर्भ जीटा और एल-कार्य बीजगणितीय ग्राफ सिद्धांत