Orthogonal trajectory
गणित में, एक ऑर्थोगोनल प्रक्षेपवक्र एक वक्र है जो (समतलीय) वक्रों की दी गई पेंसिल के किसी भी वक्र को ऑर्थोगोनली रूप से काटता है। उदाहरण के लिए, संकेंद्रित वृत्तों की एक पेंसिल के ऑर्थोगोनल प्रक्षेपवक्र उनके सामान्य केंद्र के माध्यम से रेखाएं हैं (आरेख देखें)। डिफरेंशियल समीकरणों को हल करके ऑर्थोगोनल प्रक्षेपवक्रों के निर्धारण के लिए उपयुक्त तरीके प्रदान किए जाते हैं। मानक विधि एक प्रथम क्रम साधारण अवकल समीकरण स्थापित करती है और इसे चरों के पृथक्करण द्वारा हल करती है। दोनों कदम कठिन या असंभव भी हो सकते हैं। ऐसे मामलों में संख्यात्मक विधियों को लागू करना पड़ता है। ऑर्थोगोनल प्रक्षेपवक्र का उपयोग गणित में किया जाता है, उदाहरण के लिए घुमावदार निर्देशांक प्रणालियों के रूप में (अर्थात। अण्डाकार निर्देशांक) और भौतिकी में विद्युत क्षेत्रों और उनके समतुल्य वक्रों के रूप में दिखाई देते हैं। यदि प्रक्षेपवक्र दिए गए वक्रों को एक मनमाने (लेकिन निश्चित) कोण से काटता है, तो एक समभुज प्रक्षेपवक्र प्राप्त होता है। ऑर्थोगोनल प्रक्षेपवक्र का निर्धारण कार्टेशियन निर्देशांक में आम तौर पर, यह माना जाता है कि वक्रों की पेंसिल को एक समीकरण (0) 1 द्वारा निहित रूप से दिया जाता है. उदाहरण 2. पेंसिल का पैरामीटर कहाँ है। यदि पेंसिल को स्पष्ट रूप से एक समीकरण द्वारा दिया जाता है, तो कोई प्रतिनिधित्व को एक अंतर्निहित में बदल सकता हैः नीचे दिए गए विचारों के लिए, यह माना जाता है कि सभी आवश्यक व्युत्पन्न मौजूद हैं। चरण 1. उपज के लिए निहित रूप से अंतर करना (1) 1 में. उदाहरण 2. उदाहरण चरण 2। अब यह माना जाता है कि समीकरण (0) को पैरामीटर के लिए हल किया जा सकता है, जिसे इस प्रकार समीकरण (1) से समाप्त किया जा सकता है। 1 में प्रथम क्रम (2) का अवकल समीकरण मिलता है. उदाहरण 2. उदाहरण जो वक्रों की दी गई पेंसिल से पूरा होता है। चरण 3. क्योंकि एक बिंदु पर ऑर्थोगोनल प्रक्षेपवक्र का ढलान इस बिंदु पर दिए गए वक्र के ढलान का नकारात्मक गुणक व्युत्क्रम है, ऑर्थोगोनल प्रक्षेपवक्र 1 में पहले क्रम (3) के विभेदक समीकरण को संतुष्ट करता है. उदाहरण 2. उदाहरण चरण 4। इस विभेदक समीकरण को (उम्मीद है) एक उपयुक्त विधि द्वारा हल किया जा सकता है। दोनों उदाहरणों के लिए चर का पृथक्करण उपयुक्त है। समाधान हैंः उदाहरण के लिए 1, रेखाएँ और उदाहरण के लिए 2, दीर्घवृत्त ध्रुवीय निर्देशांक में यदि वक्रों की पेंसिल को ध्रुवीय निर्देशांक में (0p) द्वारा निहित रूप से दर्शाया जाता है, तो कोई भी पेंसिल के पैरामीटर मुक्त अंतर समीकरण (1p) (2p) को कार्टेशियन मामले के समान निर्धारित करता है। ऑर्थोगोनल प्रक्षेपवक्रों का विभेदक समीकरण तब होता है (देखें रेडहेफर और पोर्ट पी. 65, ह्यूसर, पी. 120) (3 पी) (3 पी) उदाहरण कार्डियोइड्सः (0 पी) (आरेख मेंः नीले रंग में) (1 पी) दिए गए पेंसिल के विभेदक समीकरण की पैदावार का उन्मूलनः (2 पी) इसलिए ऑर्थोगोनल प्रक्षेपवक्रों का विभेदक समीकरण हैः (3 पी) चरों को अलग करके इस विभेदक समीकरण को हल करने के बाद एक प्राप्त होता है जो कार्डियोइड्स की पेंसिल (आरेख में लाल) का वर्णन करता है, जो दी गई पेंसिल के सममित होता है। समभुज प्रक्षेपवक्र एक वक्र, जो (समतलीय) वक्रों की दी गई पेंसिल के किसी भी वक्र को एक निश्चित कोण से काटता है, समभुज प्रक्षेपवक्र कहलाता है। एक समभुज प्रक्षेपवक्र की ढलान और एक बिंदु पर पेंसिल के वक्र की ढलान के बीच निम्नलिखित संबंध हैः यह संबंध सूत्र के कारण है। एक के लिए ऑर्थोगोनल प्रक्षेपवक्र के लिए शर्त मिलती है। समभुज प्रक्षेपवक्र के निर्धारण के लिए किसी को उपरोक्त निर्देश के 3. चरण को समायोजित करना होगाः 3. चरण (समभुज)। ट्राज.) समभुज प्रक्षेपवक्र का विभेदक समीकरण हैः (3i) 1. उदाहरण के लिए (संकेंद्रित वृत्त) और जो कोण एक को मिलता है (3i) यह एक विशेष प्रकार का विभेदक समीकरण है, जिसे प्रतिस्थापन द्वारा एक विभेदक समीकरण में बदला जा सकता है, जिसे चर के पृथक्करण द्वारा हल किया जा सकता है। प्रतिस्थापन को उलटने के बाद समाधान का समीकरण प्राप्त होता हैः ध्रुवीय निर्देशांक का परिचय सरल समीकरण की ओर ले जाता है जो लघुगणक सर्पिल का वर्णन करता है (आरेख देखें)। संख्यात्मक विधियाँ यदि प्रक्षेपवक्रों के विभेदक समीकरण को सैद्धांतिक विधियों द्वारा हल नहीं किया जा सकता है, तो इसे संख्यात्मक रूप से हल करना होगा, उदाहरण के लिए रुंगे-कुट्टा विधियों द्वारा। कैसिनी अंडाकार कॉन्फोकल शंकु खंड प्रक्षेपवक्र अपोलोनियन वृत्त, वृत्तों के परिवारों के जोड़े जो एक दूसरे के लिए ऑर्थोगोनल हैं भी देखें संदर्भ ए. जेफ्रीः उन्नत इंजीनियरिंग गणित, हार्टकोर्ट/अकादमिक प्रेस, 2002, पृष्ठ 233। एस. बी. रावः विभेदक समीकरण, विश्वविद्यालय प्रेस, 1996, पृष्ठ 95। आर. एम. रेडहेफर, डी. पोर्टः विभेदक समीकरणः सिद्धांत और अनुप्रयोग, जोन्स एंड बार्टलेट, 1991, पृष्ठ 63। एच. ह्यूसरः गेवोह्नलिचे डिफरेंशियलग्लीचुन्गेन, व्यूएग + ट्यूब्नर, 2009, पृष्ठ 120.। बाहरी लिंक ऑर्थोगोनल प्रक्षेपवक्रों की खोज-एपलेट उपयोगकर्ता को वक्रों के परिवारों और उनके ऑर्थोगोनल प्रक्षेपवक्रों को आकर्षित करने की अनुमति देता है। गणित वक्रः फ़ील्ड लाइन्स, ऑर्थोगोनल लाइन्स, डबल ऑर्थोगोनल सिस्टम वक्र