Curve fitting
वक्र फिटिंग एक वक्र, या गणितीय कार्य के निर्माण की प्रक्रिया है, जो डेटा बिंदुओं की एक श्रृंखला के लिए सबसे उपयुक्त है, संभवतः बाधाओं के अधीन है। वक्र फिटिंग में या तो अंतर्वेशन शामिल हो सकता है, जहां डेटा के लिए एक सटीक फिट की आवश्यकता होती है, या स्मूथिंग, जिसमें एक "स्मूथ" फ़ंक्शन का निर्माण किया जाता है जो लगभग डेटा को फिट करता है। एक संबंधित विषय प्रतिगमन विश्लेषण है, जो सांख्यिकीय अनुमान के प्रश्नों पर अधिक ध्यान केंद्रित करता है जैसे कि एक वक्र में कितनी अनिश्चितता मौजूद है जो यादृच्छिक त्रुटियों के साथ देखे गए डेटा के लिए उपयुक्त है। फिट किए गए वक्रों का उपयोग डेटा विज़ुअलाइज़ेशन के लिए एक सहायता के रूप में किया जा सकता है, एक फ़ंक्शन के मूल्यों का अनुमान लगाने के लिए जहां कोई डेटा उपलब्ध नहीं है, और दो या दो से अधिक चरों के बीच संबंधों को संक्षेप में प्रस्तुत करने के लिए। एक्सट्रापोलेशन अवलोकन किए गए डेटा की सीमा से परे एक फिट किए गए वक्र के उपयोग को संदर्भित करता है, और यह कुछ हद तक अनिश्चितता के अधीन है क्योंकि यह वक्र के निर्माण के लिए उपयोग की जाने वाली विधि को उतना ही प्रतिबिंबित कर सकता है जितना कि यह अवलोकन किए गए डेटा को दर्शाता है। डेटा के रैखिक-बीजगणितीय विश्लेषण के लिए, "फिटिंग" का अर्थ आमतौर पर उस वक्र को खोजने की कोशिश करना होता है जो वक्र से किसी बिंदु के ऊर्ध्वाधर (y-अक्ष) विस्थापन को कम करता है (जैसे, साधारण न्यूनतम वर्ग)। हालांकि, चित्रात्मक और छवि अनुप्रयोगों के लिए, ज्यामितीय फिटिंग सबसे अच्छा दृश्य फिट प्रदान करने का प्रयास करती है; जिसका आम तौर पर अर्थ है वक्र के लिए ऑर्थोगोनल दूरी को कम करने का प्रयास करना (जैसे, कुल कम से कम वर्ग), या अन्यथा वक्र से एक बिंदु के विस्थापन के दोनों अक्षों को शामिल करना। ज्यामितीय फ़िट लोकप्रिय नहीं हैं क्योंकि उन्हें आमतौर पर गैर-रैखिक और/या पुनरावृत्ति गणना की आवश्यकता होती है, हालांकि उनके पास अधिक सौंदर्य और ज्यामितीय रूप से सटीक परिणाम का लाभ होता है। डेटा बिंदुओं के लिए कार्यों की बीजगणितीय फिटिंग सबसे आम तौर पर, एक रूप के एक कार्य को फिट करता है। डेटा बिंदुओं के लिए उपयुक्त रेखाएँ और बहुपद कार्य प्रथम डिग्री बहुपद समीकरण ढलान a के साथ एक रेखा है। एक रेखा किसी भी दो बिंदुओं को जोड़ेगी, इसलिए एक प्रथम डिग्री बहुपद समीकरण अलग-अलग x निर्देशांक वाले किसी भी दो बिंदुओं के माध्यम से एक सटीक फिट है। यदि समीकरण के क्रम को द्वितीय डिग्री बहुपद तक बढ़ाया जाता है, तो निम्नलिखित परिणाम मिलते हैंः यह बिल्कुल तीन बिंदुओं के लिए एक सरल वक्र में फिट होगा। यदि समीकरण के क्रम को तीसरी डिग्री बहुपद तक बढ़ाया जाता है, तो निम्नलिखित प्राप्त होता हैः यह बिल्कुल चार बिंदुओं में फिट होगा। एक अधिक सामान्य कथन यह कहना होगा कि यह बिल्कुल चार बाधाओं में फिट होगा। प्रत्येक बाधा एक बिंदु, कोण या वक्रता (जो एक दोलन वृत्त की त्रिज्या का पारस्परिक है) हो सकती है। कोण और वक्रता बाधाओं को अक्सर एक वक्र के सिरों में जोड़ा जाता है, और ऐसे मामलों में उन्हें अंतिम स्थितियां कहा जाता है। समान अंत स्थितियों का उपयोग अक्सर एकल स्प्लाइन के भीतर निहित बहुपद वक्रों के बीच एक सुचारू संक्रमण सुनिश्चित करने के लिए किया जाता है। उच्च-क्रम की बाधाओं, जैसे कि "वक्रता की दर में परिवर्तन" को भी जोड़ा जा सकता है। उदाहरण के लिए, यह राजमार्ग क्लोवरलीफ डिजाइन में एक कार पर लागू बलों के परिवर्तन की दर को समझने के लिए उपयोगी होगा (झटका देखें), क्योंकि यह क्लोवरलीफ का अनुसरण करता है, और तदनुसार उचित गति सीमा निर्धारित करने के लिए। प्रथम डिग्री बहुपद समीकरण भी एक बिंदु और एक कोण के लिए एक सटीक फिट हो सकता है जबकि तृतीय डिग्री बहुपद समीकरण भी दो बिंदुओं, एक कोण बाधा और एक वक्रता बाधा के लिए एक सटीक फिट हो सकता है। इनके लिए और उच्च क्रम बहुपद समीकरणों के लिए बाधाओं के कई अन्य संयोजन संभव हैं। यदि n + 1 से अधिक बाधाएँ हैं (n बहुपद की डिग्री है), तो बहुपद वक्र को अभी भी उन बाधाओं के माध्यम से चलाया जा सकता है। सभी बाधाओं के लिए एक सटीक फिट निश्चित नहीं है (लेकिन ऐसा हो सकता है, उदाहरण के लिए, एक प्रथम डिग्री बहुपद के मामले में जो बिल्कुल तीन संरेखीय बिंदुओं को फिट करता है)। सामान्य तौर पर, हालांकि, प्रत्येक सन्निकटन का मूल्यांकन करने के लिए कुछ विधि की आवश्यकता होती है। सबसे कम वर्ग विधि विचलन की तुलना करने का एक तरीका है। एक अनुमानित फिट प्राप्त करने के लिए कई कारण दिए गए हैं जब बहुपद समीकरण की डिग्री को बढ़ाना और एक सटीक मिलान प्राप्त करना संभव है। : भले ही एक सटीक मिलान मौजूद हो, यह जरूरी नहीं है कि इसे आसानी से खोजा जा सके। उपयोग किए गए एल्गोरिदम के आधार पर एक अलग मामला हो सकता है, जहां सटीक फिट की गणना नहीं की जा सकती है, या समाधान खोजने में कंप्यूटर को बहुत अधिक समय लग सकता है। इस स्थिति के लिए एक अनुमानित समाधान की आवश्यकता हो सकती है। एक नमूने में संदिग्ध डेटा बिंदुओं को औसत करने का प्रभाव, वक्र को ठीक से फिट करने के लिए विकृत करने के बजाय, वांछनीय हो सकता है। रुंगे की घटनाः उच्च क्रम के बहुपद अत्यधिक दोलनशील हो सकते हैं। यदि एक वक्र दो बिंदुओं ए और बी के माध्यम से चलता है, तो यह उम्मीद की जाएगी कि वक्र ए और बी के मध्य बिंदु के पास भी कुछ हद तक चलेगा। यह उच्च-क्रम बहुपद वक्रों के साथ नहीं हो सकता है; उनके पास ऐसे मान भी हो सकते हैं जो सकारात्मक या नकारात्मक परिमाण में बहुत बड़े हों। निम्न-क्रम बहुपदों के साथ, वक्र के मध्य बिंदु के पास गिरने की अधिक संभावना होती है (यह पहली डिग्री बहुपद पर मध्य बिंदु के माध्यम से ठीक से चलने की गारंटी भी है)। निम्न-क्रम बहुपद चिकने होते हैं और उच्च-क्रम बहुपद वक्र "गांठदार" होते हैं। इसे अधिक सटीक रूप से परिभाषित करने के लिए, एक बहुपद वक्र में संभव विक्षेपण बिंदुओं की अधिकतम संख्या n-2 है, जहाँ n बहुपद समीकरण का क्रम है। एक विक्षेपण बिंदु वक्र पर एक स्थान है जहाँ यह एक सकारात्मक त्रिज्या से नकारात्मक में बदल जाता है। हम यह भी कह सकते हैं कि यह वह जगह है जहाँ यह "जल धारण" से "जल छोड़ने" में परिवर्तित हो जाता है। ध्यान दें कि यह केवल "संभव" है कि उच्च क्रम के बहुपद गांठदार होंगे; वे चिकने भी हो सकते हैं, लेकिन निम्न क्रम के बहुपद वक्रों के विपरीत इसकी कोई गारंटी नहीं है। पंद्रहवीं डिग्री के बहुपद में, अधिक से अधिक, तेरह विक्षेपण बिंदु हो सकते हैं, लेकिन इसमें ग्यारह, या नौ या कोई विषम संख्या भी हो सकती है। (सम संख्या वाले बहुपदों में n-2 से शून्य तक किसी भी सम संख्या में विक्षेपण बिंदु हो सकते हैं।) एक सटीक फिट के लिए बहुपद वक्र की डिग्री आवश्यकता से अधिक होना उच्च क्रम बहुपदों के लिए पहले सूचीबद्ध सभी कारणों के लिए अवांछनीय है, लेकिन यह एक ऐसे मामले की ओर भी ले जाता है जहां अनंत संख्या में समाधान हैं। उदाहरण के लिए, सामान्य दो के बजाय केवल एक बिंदु से बाधित एक प्रथम डिग्री बहुपद (एक रेखा) अनंत संख्या में समाधान देगा। यह इस समस्या को सामने लाता है कि कैसे तुलना की जाए और केवल एक समाधान का चयन किया जाए, जो सॉफ्टवेयर और मनुष्यों के लिए भी एक समस्या हो सकती है। इस कारण से, आमतौर पर सभी बाधाओं पर एक सटीक मिलान के लिए जितना संभव हो उतना कम डिग्री चुनना सबसे अच्छा होता है, और शायद इससे भी कम डिग्री, अगर एक अनुमानित फिट स्वीकार्य है। डेटा बिंदुओं के लिए अन्य कार्यों को फिट करना अन्य प्रकार के वक्र, जैसे कि त्रिकोणमितीय कार्य (जैसे साइन और कोसाइन) का भी कुछ मामलों में उपयोग किया जा सकता है। स्पेक्ट्रोस्कोपी में, डेटा को गॉसियन, लॉरेंट्ज़ियन, वोइट और संबंधित कार्यों के साथ फिट किया जा सकता है। जीव विज्ञान, पारिस्थितिकी, जनसांख्यिकी, महामारी विज्ञान और कई अन्य विषयों में, जनसंख्या में वृद्धि, संक्रामक रोग का प्रसार आदि। लॉजिस्टिक फ़ंक्शन का उपयोग करके फिट किया जा सकता है। कृषि में इनवर्टेड लॉजिस्टिक सिग्मॉइड फंक्शन (एस-कर्व) का उपयोग फसल की उपज और विकास कारकों के बीच संबंध का वर्णन करने के लिए किया जाता है। नीली आकृति कृषि भूमि में मापी गई जानकारी के सिग्मॉइड प्रतिगमन द्वारा बनाई गई थी। यह देखा जा सकता है कि शुरू में, अर्थात। कम मृदा लवणता पर, मृदा लवणता बढ़ने पर फसल की उपज धीरे-धीरे कम हो जाती है, जबकि उसके बाद कमी तेजी से बढ़ती है। यदि रूप के एक कार्य को अभिनिर्धारित नहीं किया जा सकता है, तो भी एक समतल वक्र को फिट करने का प्रयास किया जा सकता है। अन्य प्रकार के वक्र, जैसे शंकु खंड (गोलाकार, अण्डाकार, परवलयिक और अतिबोलिक चाप) या त्रिकोणमितीय कार्य (जैसे साइन और कोसाइन) का भी कुछ मामलों में उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में वस्तुओं के प्रक्षेपवक्र एक परवलयिक पथ का अनुसरण करते हैं, जब वायु प्रतिरोध को नजरअंदाज कर दिया जाता है। इसलिए, एक परवलयिक वक्र के लिए प्रक्षेपवक्र डेटा बिंदुओं का मिलान करना समझ में आएगा। ज्वार-भाटा साइनसॉइडल पैटर्न का पालन करते हैं, इसलिए ज्वारीय डेटा बिंदुओं को एक साइन तरंग, या अलग-अलग अवधि की दो साइन तरंगों के योग से मिलान किया जाना चाहिए, यदि चंद्रमा और सूर्य दोनों के प्रभावों पर विचार किया जाता है। एक पैरामीट्रिक वक्र के लिए, चाप की लंबाई के एक अलग कार्य के रूप में इसके प्रत्येक निर्देशांक को फिट करना प्रभावी है; यह मानते हुए कि डेटा बिंदुओं को क्रमबद्ध किया जा सकता है, तार दूरी का उपयोग किया जा सकता है। ज्यामितीय फिट कूप द्वारा एक वृत्त को फिट करना 2 डी डेटा बिंदुओं के एक सेट के लिए वृत्त के सर्वोत्तम दृश्य फिट को खोजने की कोशिश करने की समस्या का समाधान करता है। यह विधि सामान्य रूप से गैर-रैखिक समस्या को एक रैखिक समस्या में बदल देती है जिसे पुनरावृत्ति संख्यात्मक विधियों का उपयोग किए बिना हल किया जा सकता है, और इसलिए पिछली तकनीकों की तुलना में बहुत तेज है। ज्यामितीय फिट द्वारा एक दीर्घवृत्त को फिट करना उपरोक्त तकनीक को एक गैर-रैखिक चरण जोड़कर सामान्य दीर्घवृत्त तक बढ़ाया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप एक ऐसी विधि होती है जो तेज होती है, फिर भी मनमाने अभिविन्यास और विस्थापन के दृश्य रूप से सुखद दीर्घवृत्त पाए जाते हैं। उपयुक्त सतहों पर ध्यान दें कि जबकि यह चर्चा 2 डी वक्रों के संदर्भ में थी, इस तर्क का अधिकांश हिस्सा 3 डी सतहों तक भी फैला हुआ है, जिनमें से प्रत्येक पैच को दो पैरामीट्रिक दिशाओं में वक्रों के जाल द्वारा परिभाषित किया जाता है, जिसे आमतौर पर यू और वी कहा जाता है। सॉफ्टवेयर आर और संख्यात्मक सॉफ्टवेयर जैसे कि गनुप्लॉट, जीएनयू साइंटिफिक लाइब्रेरी, एमएलएबी, मेपल, मैटलैब, टीके सॉल्वर 6, साइलैब, मैथेमेटिका, जीएनयू ऑक्टेव और साइपाई जैसे कई सांख्यिकीय पैकेजों में विभिन्न परिदृश्यों में वक्र फिटिंग करने के लिए कमांड शामिल हैं। कर्व फिटिंग करने के लिए विशेष रूप से लिखे गए प्रोग्राम भी हैं; वे सांख्यिकीय और संख्यात्मक-विश्लेषण कार्यक्रमों की सूचियों के साथ-साथः श्रेणीः प्रतिगमन और कर्व फिटिंग सॉफ्टवेयर में पाए जा सकते हैं। कैलिब्रेशन कर्व-फिटिंग कम्पैक्शन एस्टिमेशन थ्योरी फंक्शन एप्रोक्सिमेशन फिट जेनेटिक प्रोग्रामिंग की अच्छाई सबसे कम वर्ग समायोजन लेवेनबर्ग-मार्कवार्ड एल्गोरिथम लाइन फिटिंग रैखिक अंतर्वेशन गणितीय मॉडल बहु अभिव्यक्ति प्रोग्रामिंग गैर-रैखिक प्रतिगमन ओवरफिटिंग प्लेन कर्व वितरण फिटिंग साइनसॉइडल मॉडल स्मूथिंग स्प्लाइन (अंतर्वेशन, स्मूथिंग) समय श्रृंखला कुल कम से कम वर्ग रैखिक प्रवृत्ति अनुमान संदर्भ आगे पढ़ने के लिए एन. चेर्नोव (2010), परिपत्र और रैखिक प्रतिगमनः कम से कम वर्गों द्वारा उपयुक्त वृत्त और रेखाएं, चैपमैन और हॉल/सीआरसी, सांख्यिकी और अनुप्रयुक्त संभावना पर मोनोग्राफ, वॉल्यूम 117 (256 पीपी। )।