One- and two-tailed tests
सांख्यिकीय महत्व परीक्षण में, एक-पूंछ परीक्षण और दो-पूंछ परीक्षण एक परीक्षण सांख्यिकीय के संदर्भ में, एक डेटा सेट से अनुमानित पैरामीटर के सांख्यिकीय महत्व की गणना करने के वैकल्पिक तरीके हैं। एक दो-पूंछ परीक्षण उपयुक्त है यदि अनुमानित मूल्य मूल्यों की एक निश्चित सीमा से अधिक या कम है, उदाहरण के लिए, क्या एक परीक्षण लेने वाला स्कोर की एक विशिष्ट सीमा से ऊपर या नीचे स्कोर कर सकता है। इस विधि का उपयोग शून्य परिकल्पना परीक्षण के लिए किया जाता है और यदि अनुमानित मूल्य महत्वपूर्ण क्षेत्रों में मौजूद है, तो वैकल्पिक परिकल्पना को शून्य परिकल्पना पर स्वीकार किया जाता है। एक-पूंछ परीक्षण उपयुक्त है यदि अनुमानित मूल्य संदर्भ मूल्य से केवल एक दिशा, बाएं या दाएं में अलग हो सकता है, लेकिन दोनों में नहीं। एक उदाहरण यह हो सकता है कि क्या एक मशीन एक प्रतिशत से अधिक दोषपूर्ण उत्पादों का उत्पादन करती है। इस स्थिति में, यदि अनुमानित मूल्य एकतरफा महत्वपूर्ण क्षेत्रों में से किसी एक में मौजूद है, जो ब्याज की दिशा (उससे अधिक या उससे कम) पर निर्भर करता है, तो वैकल्पिक परिकल्पना को शून्य परिकल्पना पर स्वीकार किया जाता है। वैकल्पिक नाम एक तरफा और दो तरफा परीक्षण हैं; शब्दावली "पूंछ" का उपयोग इसलिए किया जाता है क्योंकि वितरण के चरम भाग, जहां अवलोकन शून्य परिकल्पना की अस्वीकृति का कारण बनते हैं, छोटे होते हैं और अक्सर सामान्य वितरण की तरह शून्य की ओर "पूंछ बंद" होते हैं, पीले रंग में, या "घंटी वक्र", दाईं ओर चित्रित और हरे रंग में रंगीन होते हैं। अनुप्रयोग एक-पुच्छ परीक्षणों का उपयोग असममित वितरण के लिए किया जाता है जिसमें एक पूंछ होती है, जैसे कि ची-वर्ग वितरण, जो फिट की अच्छाई को मापने में आम है, या वितरण के एक तरफ के लिए जिसमें दो पूंछ हैं, जैसे कि सामान्य वितरण, जो स्थान का अनुमान लगाने में आम है; यह एक दिशा निर्दिष्ट करने से मेल खाता है। दो-पूंछ परीक्षण केवल तभी लागू होते हैं जब दो पूंछ होती हैं, जैसे कि सामान्य वितरण में, और दोनों दिशाओं को महत्वपूर्ण मानते हुए। रोनाल्ड फिशर के दृष्टिकोण में, शून्य परिकल्पना H0 को अस्वीकार कर दिया जाएगा जब परीक्षण सांख्यिकीय का पी-मान पर्याप्त रूप से चरम (परीक्षण सांख्यिकीय के नमूना वितरण की तुलना में) होता है और इस प्रकार यह संयोग का परिणाम होने की संभावना नहीं है। यह आमतौर पर किसी पैरामीटर के सांख्यिकीय महत्व की गणना करते समय, निर्दिष्ट महत्व स्तर के साथ परिणामी पी-मान की तुलना करके किया जाता है। एक-पूंछ परीक्षण में, "चरम" को पहले से तय किया जाता है क्योंकि या तो इसका अर्थ "पर्याप्त रूप से छोटा" या अर्थ "पर्याप्त रूप से बड़ा" होता है-दूसरी दिशा में मानों को महत्वपूर्ण नहीं माना जाता है। कोई यह बता सकता है कि बाईं या दाहिनी पूंछ की संभावना एक-पूंछ वाले पी-मान के रूप में है, जो अंततः उस दिशा से मेल खाती है जिसमें परीक्षण आँकड़ा एच0 से विचलित होता है। दो-पूंछ वाले परीक्षण में, "चरम" का अर्थ है "या तो पर्याप्त रूप से छोटा या पर्याप्त रूप से बड़ा", और दोनों दिशाओं में मानों को महत्वपूर्ण माना जाता है। दिए गए परीक्षण आँकड़ों के लिए, एक एकल दो-पूंछ वाला परीक्षण और दो एक-पूंछ वाले परीक्षण होते हैं, दोनों दिशाओं के लिए एक-एक। जब एक महत्व स्तर प्रदान किया जाता है, तो दो-पूंछ परीक्षण के लिए प्रत्येक के क्षेत्र के साथ वितरण के दो पूंछ सिरों पर महत्वपूर्ण क्षेत्र मौजूद होंगे। वैकल्पिक रूप से, महत्वपूर्ण क्षेत्र केवल एकल पूंछ वाले छोर पर एक-पूंछ वाले परीक्षण के लिए एक क्षेत्र के साथ मौजूद होगा। एक परीक्षण सांख्यिकी के लिए दो-पूंछ वाले परीक्षण में दिए गए महत्व के स्तर के लिए, एक ही परीक्षण सांख्यिकी के लिए संबंधित एक-पूंछ वाले परीक्षणों को या तो दो बार महत्वपूर्ण माना जाएगा (पी-मान का आधा) यदि डेटा परीक्षण द्वारा निर्दिष्ट दिशा में है, या बिल्कुल भी महत्वपूर्ण नहीं है (ऊपर पी-मान) यदि डेटा परीक्षण द्वारा निर्दिष्ट महत्वपूर्ण क्षेत्र के विपरीत दिशा में है। उदाहरण के लिए, यदि एक सिक्का फ़्लिप किया जाता है, तो यह परीक्षण करना कि क्या यह सिर के प्रति पक्षपाती है, एक-पूंछ परीक्षण है, और "सभी सिर" का डेटा प्राप्त करना अत्यधिक महत्वपूर्ण माना जाएगा, जबकि "सभी पूंछ" का डेटा प्राप्त करना बिल्कुल भी महत्वपूर्ण नहीं होगा (पी = 1)। इसके विपरीत, यह परीक्षण करना कि क्या यह किसी भी दिशा में पक्षपाती है, एक दो-पूंछ वाला परीक्षण है, और या तो "सभी सिर" या "सभी पूंछ" दोनों को अत्यधिक महत्वपूर्ण डेटा के रूप में देखा जाएगा। चिकित्सा परीक्षण में, जबकि कोई आम तौर पर इस बात में रुचि रखता है कि क्या उपचार के परिणाम संयोग से बेहतर हैं, इस प्रकार एक-पूंछ वाले परीक्षण का सुझाव देते हैं; वैज्ञानिक क्षेत्र के लिए एक बदतर परिणाम भी दिलचस्प है, इसलिए किसी को दो-पूंछ वाले परीक्षण का उपयोग करना चाहिए जो यह परीक्षण करने के बजाय मेल खाता है कि क्या उपचार के परिणाम संयोग से अलग हैं, या तो बेहतर या बदतर। प्राचीन महिला चाय चखने के प्रयोग में, फिशर ने परीक्षण किया कि क्या विचाराधीन महिला दो प्रकार की चाय की तैयारी में अंतर करने में अवसर से बेहतर थी, न कि क्या उसकी क्षमता संयोग से अलग थी, और इस प्रकार उन्होंने एक पूंछ वाले परीक्षण का उपयोग किया। सिक्का फ़्लिपिंग का उदाहरण सिक्का फ़्लिपिंग में, शून्य परिकल्पना बर्नौली परीक्षणों का एक क्रम है जिसमें संभावना 0.5 है, जिससे एक यादृच्छिक चर X प्राप्त होता है जो सिर के लिए 1 और पूंछ के लिए 0 है, और एक सामान्य परीक्षण सांख्यिकीय नमूना माध्य (सिर की संख्या का) है यदि यह परीक्षण किया जाता है कि सिक्का सिर की ओर पक्षपाती है या नहीं, तो एक पूंछ वाले परीक्षण का उपयोग किया जाएगा-केवल बड़ी संख्या में सिर महत्वपूर्ण होंगे। उस स्थिति में पांच शीर्षों (एच. एच. एच. एच.) के एक डेटा सेट, 1 के नमूना माध्य के साथ, होने की संभावना है, (2 परिणामों के साथ लगातार 5 फ़्लिप-((1/2) ^ 5 = 1/32)। यदि परीक्षण का महत्व स्तर (कटऑफ बाउंड के अनुरूप महत्व स्तर) पर विश्लेषण किया जाता है तो यह महत्वपूर्ण होगा (शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करते हुए)। हालाँकि, यदि यह परीक्षण किया जाता है कि सिक्का सिर या पूंछ की ओर पक्षपाती है या नहीं, तो दो-पूंछ वाले परीक्षण का उपयोग किया जाएगा, और पाँच सिरों का एक डेटा सेट (नमूना माध्य 1) पाँच पूंछ के डेटा सेट (नमूना माध्य 0) के रूप में चरम है। नतीजतन, पी-मान होगा और यह महत्वपूर्ण नहीं होगा (शून्य परिकल्पना को अस्वीकार नहीं करते हुए) यदि परीक्षण का महत्व स्तर पर विश्लेषण किया गया था। पी-मान को कार्ल पियर्सन द्वारा पियर्सन के ची-वर्ग परीक्षण में पेश किया गया था, जहाँ उन्होंने पी (मूल संकेतन) को इस संभावना के रूप में परिभाषित किया कि सांख्यिकीय किसी दिए गए स्तर पर या उससे ऊपर होगा। यह एक-पूंछ वाली परिभाषा है, और ची-वर्ग वितरण असममित है, केवल सकारात्मक या शून्य मान मानते हुए, और इसकी केवल एक पूंछ है, ऊपरी। यह एक सैद्धांतिक वितरण के साथ डेटा के फिट होने की अच्छाई को मापता है, जिसमें शून्य सैद्धांतिक वितरण के साथ सटीक समझौते के अनुरूप होता है; पी-मान इस प्रकार मापता है कि फिट होने की संभावना कितनी खराब या बदतर होगी। एक-पूंछ और दो-पूंछ परीक्षणों के बीच के अंतर को रोनाल्ड फिशर ने प्रभावशाली पुस्तक स्टैटिस्टिकल मेथड्स फॉर रिसर्च वर्कर्स में लोकप्रिय बनाया था, जहां उन्होंने इसे विशेष रूप से सामान्य वितरण पर लागू किया, जो दो समान पूंछ के साथ एक सममित वितरण है। सामान्य वितरण उपयुक्तता के बजाय स्थान का एक सामान्य माप है, और इसकी दो पूंछ होती हैं, जो सैद्धांतिक स्थान के ऊपर या नीचे होने के अनुमान के अनुरूप होती हैं (जैसे, सैद्धांतिक माध्य की तुलना में नमूना माध्य)। सामान्य वितरण जैसे सममित वितरण के मामले में, एक-पूंछ वाला पी-मान दो-पूंछ वाले पी-मान का बिल्कुल आधा होता हैः फिशर ने अपनी द डिजाइन ऑफ एक्सपेरिमेंट्स (1935) में पूंछ को मापने के महत्व पर जोर दिया-परीक्षण सांख्यिकीय के देखे गए मूल्य और सभी अधिक चरम-केवल विशिष्ट परिणाम की संभावना के बजाय। वह इसे इस रूप में समझाते हैं क्योंकि डेटा का एक विशिष्ट सेट असंभव हो सकता है (शून्य परिकल्पना में), लेकिन अधिक चरम परिणामों की संभावना है, इसलिए इस प्रकाश में देखा जाता है, विशिष्ट लेकिन अत्यधिक असंभव डेटा को महत्वपूर्ण नहीं माना जाना चाहिए। यदि परीक्षण सांख्यिकीय शून्य परिकल्पना में एक छात्र के टी-वितरण का अनुसरण करता है-जो कि आम है जहां अंतर्निहित चर अज्ञात स्केलिंग कारक के साथ एक सामान्य वितरण का अनुसरण करता है, तो परीक्षण को एक-पूंछ या दो-पूंछ वाले टी-परीक्षण के रूप में संदर्भित किया जाता है। यदि परीक्षण एक नमूने से एक अनुमान के बजाय वास्तविक जनसंख्या माध्य और भिन्नता का उपयोग करके किया जाता है, तो इसे एक-पूंछ या दो-पूंछ वाला जेड-परीक्षण कहा जाएगा। टी और जेड के लिए सांख्यिकीय तालिका एक-और दो-पूंछ वाले परीक्षणों दोनों के लिए महत्वपूर्ण मूल्य प्रदान करती है। अर्थात्, वे महत्वपूर्ण मूल्य प्रदान करते हैं जो नमूना वितरण के एक या दूसरे छोर पर एक पूरे क्षेत्र को काटते हैं और साथ ही महत्वपूर्ण मूल्य जो नमूना वितरण के दोनों सिरों पर क्षेत्रों (आधे आकार के) को काटते हैं। युग्मित अंतर परीक्षण भी देखें, जब दो नमूनों की तुलना की जा रही हो संदर्भ सांख्यिकीय परीक्षण