Z function
गणित में, जेड फलन एक फलन है जिसका उपयोग महत्वपूर्ण रेखा के साथ रीमान जीटा फलन का अध्ययन करने के लिए किया जाता है जहां तर्क आधा होता है। इसे रीमान-सीगल जेड फंक्शन, रीमान-सीगल जीटा फंक्शन, हार्डी फंक्शन, हार्डी जेड फंक्शन और हार्डी जीटा फंक्शन भी कहा जाता है। इसे रीमान-सीगल थीटा फलन और रीमान जीटा फलन के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है। यह रीमान जीटा फलन के कार्यात्मक समीकरण से पता चलता है कि टी के वास्तविक मूल्यों के लिए जेड फलन वास्तविक है। यह एक सम फलन है, और वास्तविक मूल्यों के लिए वास्तविक विश्लेषणात्मक है। यह इस तथ्य से मिलता है कि रीमान-सीगल थीटा फलन और रीमान जीटा फलन दोनों महत्वपूर्ण पट्टी में होलोमोर्फिक हैं, जहां टी का काल्पनिक भाग-1/2 और 1/2 के बीच है, कि Z फलन महत्वपूर्ण पट्टी में भी होलोमोर्फिक है। इसके अलावा, Z (t) के वास्तविक शून्य सटीक रूप से महत्वपूर्ण रेखा के साथ जीटा फ़ंक्शन के शून्य हैं, और Z फ़ंक्शन महत्वपूर्ण पट्टी में जटिल शून्य अपनी महत्वपूर्ण पट्टी में रीमान जीटा फ़ंक्शन की महत्वपूर्ण रेखा से शून्य के अनुरूप हैं। रीमान-सीगल सूत्र वास्तविक टी के लिए जेड (टी) के मूल्य की गणना, और इसलिए महत्वपूर्ण रेखा के साथ जीटा फलन की गणना, रीमान-सीगल सूत्र द्वारा बहुत तेज की जाती है। यह सूत्र हमें बताता है कि त्रुटि शब्द आर (टी) में फलन और उसके व्युत्पन्न के संदर्भ में एक जटिल असिम्प्टोटिक अभिव्यक्ति है। यदि, और फिर जहां दीर्घवृत्त इंगित करता है, हम उच्च और तेजी से जटिल शर्तों पर जारी रख सकते हैं। जेड (टी) के लिए अन्य कुशल श्रृंखलाएँ ज्ञात हैं, विशेष रूप से अपूर्ण गामा फलन का उपयोग करते हुए कई। यदि तब एक विशेष रूप से अच्छा उदाहरण Z फलन का व्यवहार है महत्वपूर्ण रेखा प्रमेय से, यह इस प्रकार है कि Z फलन के वास्तविक शून्यों का घनत्व कुछ स्थिरांक c> 2/5 के लिए है। इसलिए, किसी दिए गए आकार के अंतराल में शून्यों की संख्या धीरे-धीरे बढ़ती है। यदि रीमान परिकल्पना सत्य है, तो महत्वपूर्ण पट्टी में सभी शून्य वास्तविक शून्य हैं, और स्थिरांक c एक है। यह भी माना जाता है कि ये सभी शून्य सरल शून्य हैं। एक Omega प्रमेय Z फलन के शून्यों के कारण, यह दोलनशील व्यवहार प्रदर्शित करता है। यह धीरे-धीरे औसत और चरम मूल्य दोनों में बढ़ता है। उदाहरण के लिए, हमारे पास रीमान परिकल्पना के बिना भी, Omega प्रमेय है कि जहां संकेतन का अर्थ है कि ω के भीतर फलन द्वारा विभाजित होने पर t बढ़ने के साथ शून्य नहीं होता है। औसत वृद्धि Z फलन की औसत वृद्धि का भी बहुत अध्ययन किया गया है। हम मूल माध्य वर्ग (संक्षिप्त आर. एम. एस.) का औसत पा सकते हैं या जो हमें बताता है कि जेड (टी) का आर. एम. एस. आकार बढ़ता है। यदि हम घातांक को बढ़ाते हैं, तो हमें एक औसत मूल्य मिलता है जो Z के शिखर मूल्यों पर अधिक निर्भर करता है। चौथी शक्तियों के लिए, हमारे पास ऐसा निष्कर्ष है जिससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि औसत चौथी शक्ति का चौथा मूल बढ़ता है क्योंकि द लिंडेलॉफ परिकल्पना उच्च सम शक्तियों का बहुत अध्ययन किया गया है, लेकिन संबंधित औसत मूल्य के बारे में कम जानकारी है। यह अनुमान लगाया जाता है, और रीमान परिकल्पना से अनुसरण किया जाता है, कि प्रत्येक सकारात्मक ε के लिए। यहाँ छोटे "ओ" संकेतन का अर्थ है कि दाहिने हाथ की ओर से विभाजित बाईं ओर शून्य में परिवर्तित हो जाता है; दूसरे शब्दों में छोटा ओ ω का निषेध है। इस अनुमान को लिंडेलॉफ परिकल्पना कहा जाता है, और यह रीमान परिकल्पना से कमजोर है। यह आम तौर पर एक महत्वपूर्ण समतुल्य रूप में कहा जाता है, जो कि किसी भी रूप में हमें बताता है कि शिखर मूल्यों की वृद्धि की दर बहुत अधिक नहीं हो सकती है। विकास की इस दर पर सबसे अच्छी तरह से ज्ञात सीमा मजबूत नहीं है, जो हमें बताती है कि कोई भी उपयुक्त है। यह जानकर आश्चर्य होगा कि Z फलन इतनी तेजी से कहीं भी बढ़ा। लिटिलवुड ने साबित किया कि रीमान परिकल्पना पर, और यह कहीं अधिक संभावना प्रतीत होती है। संदर्भ बाहरी लिंक वोल्फ्राम अनुसंधान-रीमान-सीगल कार्य जेड (कार्य प्लॉटिंग और मूल्यांकन शामिल है) जीटा और एल-कार्य