Infinite-dimensional holomorphy
गणित में, अनंत-आयामी होलोमॉर्फी कार्यात्मक विश्लेषण की एक शाखा है। यह परिभाषित कार्यों के लिए होलोमोर्फिक फ़ंक्शन की अवधारणा के सामान्यीकरण और जटिल बनाच रिक्त स्थान (या आम तौर पर फ्रेचेट रिक्त स्थान) में मान लेने से संबंधित है, जो आमतौर पर अनंत आयाम के होते हैं। यह अरैखिक कार्यात्मक विश्लेषण का एक पहलू है। जटिल तल में परिभाषित वेक्टर-मूल्य वाले होलोमोर्फिक कार्य एक जटिल आयाम से परे होलोमोर्फिक कार्यों के सिद्धांत को विस्तारित करने का पहला कदम तथाकथित वेक्टर-मूल्य वाले होलोमोर्फिक कार्यों पर विचार करना है, जो अभी भी जटिल तल सी में परिभाषित हैं, लेकिन बनाच स्थान में मान लेते हैं। इस तरह के कार्य महत्वपूर्ण हैं, उदाहरण के लिए, बाउंडेड लीनियर ऑपरेटरों के लिए होलोमोर्फिक कार्यात्मक कलन के निर्माण में। परिभाषा. एक फलन f: U → X, जहाँ U ′C एक खुला उपसमुच्चय है और X एक जटिल बनाच स्थान है, उसे होलोमोर्फिक कहा जाता है यदि यह जटिल-अवकलनीय है; अर्थात, प्रत्येक बिंदु z ωU के लिए निम्नलिखित सीमा मौजूद हैः एक वेक्टर-मूल्य वाले होलोमोर्फिक फलन f: U → X के रेखा समाकलन को एक सुधार योग्य वक्र के साथ परिभाषित किया जा सकता है γ: [a, b] → U उसी तरह जैसे जटिल-मूल्य वाले होलोमोर्फिक कार्यों के लिए, उस रूप के योग की सीमा के रूप में जहाँ a = t0 <t1 <. <tn = b अंतराल [a, b] का एक उपखंड है, क्योंकि उपखंड अंतराल की लंबाई शून्य तक पहुँचती है। यह एक त्वरित जाँच है कि कौची समाकलन प्रमेय वेक्टर-मूल्य वाले होलोमोर्फिक कार्यों के लिए भी है। वास्तव में, यदि f: U → X एक ऐसा फलन है और T: X → C एक बंधी हुई रैखिक फलन है, तो कोई यह दिखा सकता है कि इसके अलावा, रचना T o f: U → C एक जटिल-मूल्यवान समरूप फलन है। इसलिए, γ के लिए एक साधारण बंद वक्र जिसका आंतरिक भाग U में निहित है, शास्त्रीय कौची समाकलन प्रमेय के अनुसार दाईं ओर समाकलन शून्य है। फिर, चूंकि टी मनमाना है, इसलिए यह हैन-बनाच प्रमेय का अनुसरण करता है जो वेक्टर-मूल्यवान मामले में कॉची समाकलन प्रमेय को साबित करता है। इस शक्तिशाली उपकरण का उपयोग करके कोई भी कौची के अभिन्न सूत्र को साबित कर सकता है, और, शास्त्रीय मामले की तरह, कि कोई भी वेक्टर-मूल्यवान होलोमोर्फिक फ़ंक्शन विश्लेषणात्मक है। किसी फलन f: U → X के होलोमोर्फिक होने के लिए एक उपयोगी मानदंड यह है कि T o f: U → C प्रत्येक निरंतर रैखिक कार्यात्मक T: X → C के लिए एक होलोमोर्फिक जटिल-मूल्यवान फलन है। यह दिखाया जा सकता है कि एक फ्रेचेट स्थान में मूल्यों के साथ जटिल तल के एक खुले सबसेट पर परिभाषित एक फ़ंक्शन होलोमोर्फिक है यदि, और केवल अगर, यह कमजोर रूप से होलोमोर्फिक है। बनाच रिक्त स्थान के बीच होलोमोर्फिक कार्य अधिक सामान्य रूप से, दो जटिल बनाच रिक्त स्थान X और Y और एक खुला समुच्चय URX, f: U → Y को देखते हुए होलोमोर्फिक कहा जाता है यदि f का फ्रेचेट व्युत्पन्न U में प्रत्येक बिंदु पर मौजूद है। यह दिखाया जा सकता है कि, इस अधिक सामान्य संदर्भ में, यह अभी भी सच है कि एक होलोमोर्फिक फ़ंक्शन विश्लेषणात्मक है, यानी, इसे एक शक्ति श्रृंखला में स्थानीय रूप से विस्तारित किया जा सकता है। हालाँकि यह अब सच नहीं है कि यदि एक गेंद में एक फ़ंक्शन को परिभाषित और होलोमोर्फिक किया जाता है, तो गेंद के केंद्र के चारों ओर इसकी शक्ति श्रृंखला पूरी गेंद में अभिसारी होती है; उदाहरण के लिए, पूरे स्थान पर परिभाषित होलोमोर्फिक फ़ंक्शन मौजूद हैं जिनमें अभिसरण की एक सीमित त्रिज्या होती है। टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस के बीच होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन सामान्य रूप से, दो जटिल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस X और Y और एक खुला सेट U ऱ् X दिए जाने पर, एक फ़ंक्शन f: U → Y के होलोमॉर्फि को परिभाषित करने के विभिन्न तरीके हैं। परिमित आयामी सेटिंग के विपरीत, जब X और Y अनंत आयामी होते हैं, तो होलोमोर्फिक कार्यों के गुण इस बात पर निर्भर कर सकते हैं कि कौन सी परिभाषा चुनी गई है। संभावनाओं की संख्या को सीमित करने के लिए हमें विचार करना चाहिए, हम केवल उस मामले में होलोमॉर्फी पर चर्चा करेंगे जब X और Y स्थानीय रूप से उत्तल हों। यह खंड परिभाषाओं की एक सूची प्रस्तुत करता है, जो सबसे कमजोर धारणा से सबसे मजबूत धारणा तक जाती है। यह इन परिभाषाओं से संबंधित कुछ प्रमेयों की चर्चा के साथ समाप्त होता है जब रिक्त स्थान X और Y कुछ अतिरिक्त बाधाओं को पूरा करते हैं। गेटॉक्स होलोमॉर्फी पूरी तरह से अनंत आयामी सेटिंग में कमजोर होलोमॉर्फी का प्रत्यक्ष सामान्यीकरण है। मान लीजिए कि X और Y स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस हैं, और UX एक खुला सेट है। एक फलन f: U → Y को गैटॉक्स होलोमोर्फिक कहा जाता है यदि, प्रत्येक a ω U और b ω X के लिए, और प्रत्येक निरंतर रैखिक कार्यात्मक φ: Y → C के लिए, फलन मूल के पड़ोस में z का एक होलोमोर्फिक फलन है। गेटॉक्स होलोमोर्फिक कार्यों के संग्रह को एचजी (यू, वाई) द्वारा दर्शाया जाता है। गेटॉक्स होलोमोर्फिक फ़ंक्शंस के विश्लेषण में, परिमित-आयामी होलोमोर्फिक फ़ंक्शंस के कोई भी गुण X के परिमित-आयामी उपस्थानों पर होते हैं। हालांकि, कार्यात्मक विश्लेषण में हमेशा की तरह, ये गुण पूर्ण खुले सेटों पर इन कार्यों के किसी भी संबंधित गुणों को प्राप्त करने के लिए समान रूप से एक साथ नहीं हो सकते हैं। उदाहरण यदि f ω U, तो f में सभी क्रमों के गेटवे व्युत्पन्न हैं, क्योंकि x ω U और h1,., hk ω X के लिए, k-th क्रम गेटवे व्युत्पन्न Dkf (x) {h1,., hk} में केवल उच्च की अवधि में पुनरावृत्त दिशात्मक व्युत्पन्न शामिल हैं, जो एक परिमित-आयामी स्थान है। इस मामले में, पुनरावृत्त गेटवे व्युत्पन्न उच्च में बहुरेखीय हैं, लेकिन पूरे स्थान X पर विचार करने पर सामान्य रूप से निरंतर होने में विफल रहेंगे। इसके अलावा, टेलर के प्रमेय का एक संस्करण मानता हैः यहाँ, बहुरेखीय प्रचालक Dnf (x) से जुड़े y में डिग्री n का सजातीय बहुपद है। इस श्रृंखला का अभिसरण एक समान नहीं है। अधिक सटीक रूप से, यदि V′X एक निश्चित परिमित-आयामी उपक्षेत्र है, तो श्रृंखला 0′Y के पर्याप्त रूप से छोटे कॉम्पैक्ट पड़ोस पर समान रूप से अभिसरण करती है। हालाँकि, यदि उपक्षेत्र V को बदलने की अनुमति है, तो अभिसरण विफल हो जाता हैः यह सामान्य रूप से इस भिन्नता के संबंध में समान होने में विफल रहेगा। ध्यान दें कि यह परिमित आयामी मामले के एकदम विपरीत है। हार्टॉग की प्रमेय निम्नलिखित अर्थों में गेटॉक्स होलोमोर्फिक फ़ंक्शंस के लिए मानती हैः यदि f: (U. X1) × (V. X2) → Y एक ऐसा फ़ंक्शन है जो अपने प्रत्येक तर्क में अलग से गेटॉक्स होलोमोर्फिक है, तो f उत्पाद स्थान पर गेटॉक्स होलोमोर्फिक है। हाइपोएनालिटिसिटी एक फलन f: (U′X) → Y हाइपोएनालिटिक है यदि f′HG (U, Y) और इसके अलावा f, U के अपेक्षाकृत सघन उपसमुच्चय पर निरंतर है। होलोमॉर्फी एक फलन f′HG (U, Y) होलोमॉर्फिक है यदि, प्रत्येक x′U के लिए, टेलर श्रृंखला विस्तार (जो पहले से ही गेटॉक्स होलोमॉर्फी द्वारा मौजूद होने की गारंटी है) अभिसरण करता है और 0′X के पड़ोस में y के लिए निरंतर है। इस प्रकार होलोमॉर्फी कमजोर होलोमॉर्फी की धारणा को शक्ति श्रृंखला विस्तार के अभिसरण के साथ जोड़ती है। होलोमोर्फिक फलन के संग्रह को एच (यू, वाई) द्वारा दर्शाया जाता है। यदि U के प्रत्येक बिंदु का एक पड़ोस है जिसकी छवि f के नीचे Y में बंधी हुई है तो स्थानीय रूप से बंधी हुई होलोमॉर्फि एक फलन f: (URX) → Y को स्थानीय रूप से बंधी हुई कहा जाता है। यदि, इसके अलावा, f, U पर गेटवे होलोमोर्फिक है, तो f स्थानीय रूप से बाउंडेड होलोमोर्फिक है। इस मामले में, हम f bul HLB (U, Y) लिखते हैं। संदर्भ रिचर्ड वी. कैडिसन, जॉन आर. रिंगरोज़, फंडामेंटल ऑफ़ द थ्योरी ऑफ़ ऑपरेटर अल्जेब्रास, वॉल्यूम। 1: प्राथमिक सिद्धांत। अमेरिकन मैथमेटिकल सोसाइटी, 1997. (सेक्ट देखें। 3. 3.) सू बोंग चाए, होलोमोर्फी एंड कैलकुलस इन नॉर्म्ड स्पेस, मार्सेल डेकर, 1985. लॉरेंस ए हैरिस, अनंत आयामी होलोमोर्फिक कार्यों के लिए निश्चित बिंदु प्रमेय (दिनांकित नहीं)। बनाच रिक्त स्थान