Mean absolute difference
माध्य निरपेक्ष अंतर (अविभाज्य) सांख्यिकीय फैलाव का एक उपाय है जो संभाव्यता वितरण से प्राप्त दो स्वतंत्र मूल्यों के औसत निरपेक्ष अंतर के बराबर है। एक संबंधित सांख्यिकीय सापेक्ष माध्य निरपेक्ष अंतर है, जो अंकगणितीय माध्य से विभाजित माध्य निरपेक्ष अंतर है, और गिनी गुणांक के दोगुने के बराबर है। माध्य निरपेक्ष अंतर को निरपेक्ष माध्य अंतर (माध्य हस्ताक्षरित अंतर के निरपेक्ष मूल्य के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए) और गिनी माध्य अंतर (जी. एम. डी.) के रूप में भी जाना जाता है। औसत निरपेक्ष अंतर को कभी-कभी δ या एम. डी. के रूप में दर्शाया जाता है। परिभाषा माध्य निरपेक्ष अंतर को दो यादृच्छिक चर एक्स और वाई के निरपेक्ष अंतर के "औसत" या "माध्य" के रूप में परिभाषित किया गया है, औपचारिक रूप से अपेक्षित मूल्य, स्वतंत्र रूप से और समान रूप से उसी (अज्ञात) वितरण के साथ वितरित किया गया है जिसे अब से क्यू कहा जाता है। गणना विशेष रूप से, असतत मामले में, क्यू के अनुसार समान रूप से वितरित जनसंख्या के आकार एन के यादृच्छिक नमूने के लिए, कुल अपेक्षा के नियम द्वारा (अनुभवजन्य) मतलब नमूना मूल्यों के अनुक्रम का पूर्ण अंतर yi, i = 1 से n की गणना सभी संभावित अंतरों के पूर्ण मूल्य के अंकगणितीय माध्य के रूप में की जा सकती हैः यदि क्यू में एक असतत संभाव्यता फलन f (y) है, जहां yi, i = 1 से n, गैर-शून्य संभावनाओं वाले मान हैंः निरंतर मामले में, यदि क्यू में संभाव्यता घनत्व फलन f (x) हैः समीकरण का एक वैकल्पिक रूप इस प्रकार दिया जाता हैः यदि क्यू में मात्रात्मक फलन Q (F) के साथ संचयी वितरण फलन F (x) है, तो सापेक्ष माध्य निरपेक्ष अंतर गिनी गुणांक के दोगुने के बराबर है जिसे लोरेंज़ वक्र के संदर्भ में परिभाषित किया गया है। यह संबंध सापेक्ष माध्य निरपेक्ष अंतर और गिनी गुणांक दोनों को पूरक दृष्टिकोण देता है, जिसमें उनके मूल्यों की गणना करने के वैकल्पिक तरीके शामिल हैं। गुण माध्य निरपेक्ष अंतर अनुवाद और निषेध के लिए अपरिवर्तनीय है, और सकारात्मक स्केलिंग के अनुपात में भिन्न होता है। कहने का मतलब है, यदि एक्स एक यादृच्छिक चर है और सी एक स्थिरांक हैः एम. डी. (एक्स + सी) = एम. डी. (एक्स), एम. डी. (-एक्स) = एम. डी. (एक्स), और एम. डी. (सी. एक्स) = |c। एम. डी. (एक्स)। सापेक्ष माध्य निरपेक्ष अंतर सकारात्मक स्केलिंग के लिए अपरिवर्तनीय है, नकारात्मकता के साथ परिवर्तित होता है, और मूल और अनुवादित अंकगणितीय साधनों के अनुपात के अनुपात में अनुवाद के तहत भिन्न होता है। कहने का मतलब यह है कि यदि X एक यादृच्छिक चर है और c एक स्थिरांक हैः RMD (X + c) = RMD (X) · मीन (X)/(मीन (X) + c) = RMD (X)/(1 + c/मीन (X)) c ≤ मीन (X) के लिए, RMD (−X) = − RMD (X), और c> 0 के लिए RMD (cX) = RMD (X)। यदि एक यादृच्छिक चर का एक सकारात्मक माध्य है, तो इसका सापेक्ष माध्य निरपेक्ष अंतर हमेशा शून्य से अधिक या उसके बराबर होगा। यदि, इसके अतिरिक्त, यादृच्छिक चर केवल उन मूल्यों को ले सकता है जो शून्य से अधिक या उसके बराबर हैं, तो इसका सापेक्ष माध्य निरपेक्ष अंतर 2 से कम होगा। मानक विचलन की तुलना में औसत निरपेक्ष अंतर एल-पैमाने (दूसरा एल-क्षण) का दोगुना है, जबकि मानक विचलन माध्य (दूसरा पारंपरिक केंद्रीय क्षण) के बारे में विचलन का वर्गमूल है। एल-मोमेंट्स और पारंपरिक मोमेंट्स के बीच के अंतर को पहली बार औसत निरपेक्ष अंतर और मानक विचलन (पहला एल-मोमेंट और पहला पारंपरिक मोमेंट दोनों औसत हैं) की तुलना में देखा जाता है। मानक विचलन और औसत निरपेक्ष अंतर दोनों माप फैलाव-जनसंख्या के मूल्य या वितरण की संभावनाएँ कैसे फैलती हैं। माध्य निरपेक्ष अंतर को केंद्रीय प्रवृत्ति के एक विशिष्ट माप के संदर्भ में परिभाषित नहीं किया गया है, जबकि मानक विचलन को अंकगणितीय माध्य से विचलन के संदर्भ में परिभाषित किया गया है। चूंकि मानक विचलन अपने अंतरों को वर्ग करता है, इसलिए यह औसत निरपेक्ष अंतर की तुलना में बड़े अंतरों को अधिक वजन देता है और छोटे अंतरों को कम वजन देता है। जब अंकगणितीय माध्य परिमित होता है, तो औसत निरपेक्ष अंतर भी सीमित होगा, तब भी जब मानक विचलन अनंत हो। कुछ विशिष्ट तुलनाओं के लिए उदाहरण देखें। हाल ही में शुरू किया गया दूरी मानक विचलन औसत निरपेक्ष अंतर के समान भूमिका निभाता है लेकिन दूरी मानक विचलन केंद्रित दूरी के साथ काम करता है। ई-सांख्यिकी भी देखें। एक यादृच्छिक चर X से एक यादृच्छिक नमूने S के लिए, जिसमें n मान yi होते हैं, सांख्यिकीय एम. डी. (X) का एक सुसंगत और निष्पक्ष अनुमानक है। सांख्यिकीः आरएमडी (एक्स) का एक सुसंगत अनुमानक है, लेकिन सामान्य रूप से निष्पक्ष नहीं है। आरएमडी (एक्स) के लिए विश्वास अंतराल की गणना बूटस्ट्रैप नमूना तकनीकों का उपयोग करके की जा सकती है। आरएमडी (एक्स) के लिए सामान्य रूप से एक निष्पक्ष अनुमानक मौजूद नहीं है, आंशिक रूप से माध्य के व्युत्क्रम से गुणा करने के लिए एक निष्पक्ष अनुमान खोजने में कठिनाई के कारण। उदाहरण के लिए, यहां तक कि जहां नमूना एक अज्ञात पी के लिए एक यादृच्छिक चर एक्स (पी) से लिया गया है, और इसमें बर्नौली वितरण है, ताकि और, फिर। लेकिन आरएमडी (एक्स (पी)) के किसी भी अनुमानक आर (एस) का अपेक्षित मूल्य इस रूप का होगाः जहां आरआई स्थिरांक हैं। इसलिए E (R (S)) कभी भी 0 और 1 के बीच सभी p के लिए RMD (X (p)) के बराबर नहीं हो सकता है। उदाहरण के लिए बीटा फलन भी देखें मीन एब्सोल्यूट एरर मीन डेविएशन एस्टिमेटर कॉएफिशिएंट ऑफ वेरिएशन एल-मोमेंट संदर्भ स्रोत सांख्यिकीय विचलन और फैलाव सारांश सांख्यिकीय संभाव्यता वितरण का सिद्धांत पैमाने सांख्यिकीय दूरी