Affine Lie algebra
गणित में, एक अफाइन लाइ बीजगणित एक अनंत-आयामी लाइ बीजगणित है जिसका निर्माण एक सीमित-आयामी सरल लाइ बीजगणित से विहित तरीके से किया जाता है। एक एफ़ाइन लाइ बीजगणित को देखते हुए, कोई भी संबंधित एफ़ाइन काक-मूडी बीजगणित भी बना सकता है, जैसा कि नीचे वर्णित है। विशुद्ध रूप से गणितीय दृष्टिकोण से, एफ़ाइन लाइ अलजेब्रा दिलचस्प हैं क्योंकि उनका प्रतिनिधित्व सिद्धांत, परिमित-आयामी अर्ध-सरल लाइ अलजेब्रा के प्रतिनिधित्व सिद्धांत की तरह, सामान्य काक-मूडी अलजेब्रा की तुलना में बहुत बेहतर समझा जाता है। जैसा कि विक्टर काक द्वारा देखा गया है, एफ़ाइन लाइ अल्जेब्रा के प्रतिनिधित्व के लिए चरित्र सूत्र कुछ संयुक्त पहचान, मैकडोनाल्ड पहचान का तात्पर्य है। एफ़ाइन लाइ अल्जेब्रा स्ट्रिंग सिद्धांत और द्वि-आयामी अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं क्योंकि उनके निर्माण के तरीके के कारणः एक साधारण लाइ बीजगणित से शुरू करते हुए, कोई लूप बीजगणित पर विचार करता है, जो एक वृत्त पर-मूल्य वाले कार्यों द्वारा गठित होता है (बंद स्ट्रिंग के रूप में व्याख्या की जाती है)। एफ़ाइन लाइ बीजगणित लूप बीजगणित में एक अतिरिक्त आयाम जोड़कर और कम्यूटेटर को गैर-तुच्छ तरीके से संशोधित करके प्राप्त किया जाता है, जिसे भौतिक विज्ञानी क्वांटम विसंगति (इस मामले में, WZW मॉडल की विसंगति) और गणितशास्त्री एक केंद्रीय विस्तार कहते हैं। अधिक आम तौर पर, यदि σ अपने डायनकिन आरेख के स्वरूपता से जुड़े सरल लाइ बीजगणित का एक स्वरूपता है, तो मुड़े हुए लूप बीजगणित में वास्तविक रेखा पर-मूल्यवान फलन f होते हैं जो मुड़े हुए आवधिकता की स्थिति को संतुष्ट करते हैं। उनके केंद्रीय विस्तार सटीक रूप से मुड़े हुए एफ़ाइन लाइ अल्जेब्रा हैं। स्ट्रिंग सिद्धांत का दृष्टिकोण एफ़ाइन लाइ अल्जेब्रा के कई गहरे गुणों को समझने में मदद करता है, जैसे कि यह तथ्य कि उनके प्रतिनिधित्व के वर्ण मॉड्यूलर समूह के तहत आपस में बदल जाते हैं। सरल लाइ बीजगणित से एफ़ाइन लाइ बीजगणित परिभाषा यदि एक परिमित-आयामी सरल लाइ बीजगणित है, तो संबंधित एफ़ाइन लाइ बीजगणित का निर्माण लूप बीजगणित के केंद्रीय विस्तार के रूप में किया जाता है, जिसमें एक-आयामी केंद्र एक सदिश स्थान के रूप में होता है, जहां अनिश्चित टी में लॉरेंट बहुपदों का जटिल सदिश स्थान होता है। लाइ कोष्ठक को सभी के लिए सूत्र द्वारा परिभाषित किया जाता है और, जहां लाइ बीजगणित में लाइ कोष्ठक है और कार्टन-हत्या रूप है। एक सीमित-आयामी अर्ध-सरल लाइ बीजगणित के अनुरूप एफ़ाइन लाइ बीजगणित अपने सरल योग के अनुरूप एफ़ाइन लाइ बीजगणित का प्रत्यक्ष योग है। एफाइन लाइ बीजगणित की एक विशिष्ट व्युत्पत्ति है जिसे संबंधित एफाइन काक-मूडी बीजगणित को एक अतिरिक्त जनरेटर डी जोड़कर अर्ध-अप्रत्यक्ष उत्पाद के रूप में परिभाषित किया जाता है जो [d, A] = δ (A) को संतुष्ट करता है। डाइनकिन आरेखों का निर्माण प्रत्येक एफ़ाइन लाइ बीजगणित के डाइनकिन आरेख में संबंधित सरल लाइ बीजगणित के साथ एक अतिरिक्त नोड होता है, जो एक काल्पनिक मूल के जोड़ के अनुरूप होता है। बेशक, इस तरह के नोड को किसी भी स्थान पर डाइनकिन आरेख से जोड़ा नहीं जा सकता है, लेकिन प्रत्येक सरल लाइ बीजगणित के लिए लाइ बीजगणित के बाहरी ऑटोमोर्फिज्म के समूह की कार्डिनलिटी के बराबर कई संभावित संलग्नक मौजूद हैं। विशेष रूप से, इस समूह में हमेशा पहचान तत्व होता है, और संबंधित एफाइन लाइ बीजगणित को एक अनट्विस्टेड एफाइन लाइ बीजगणित कहा जाता है। जब सरल बीजगणित ऑटोमोर्फिज्म को स्वीकार करता है जो आंतरिक ऑटोमोर्फिज्म नहीं हैं, तो कोई अन्य डायनकिन आरेख प्राप्त कर सकता है और ये मुड़े हुए एफ़ाइन लाइ अल्जेब्रा के अनुरूप होते हैं। केंद्रीय विस्तारों को वर्गीकृत करना संबंधित सरल लाइ बीजगणित के डाइनकिन आरेख के लिए एक अतिरिक्त नोड का लगाव निम्नलिखित संरचना से मेल खाता है। एक एफ़ाइन लाइ बीजगणित का निर्माण हमेशा संबंधित सरल लाइ बीजगणित के लूप बीजगणित के केंद्रीय विस्तार के रूप में किया जा सकता है। यदि कोई इसके बजाय अर्ध-सरल लाइ बीजगणित से शुरू करना चाहता है, तो उसे अर्ध-सरल बीजगणित के सरल घटकों की संख्या के बराबर कई तत्वों द्वारा केंद्रीय रूप से विस्तार करने की आवश्यकता होती है। भौतिकी में, अक्सर एक अर्ध-सरल बीजगणित और एक अबेलियन बीजगणित के प्रत्यक्ष योग पर विचार किया जाता है। इस मामले में किसी को एन अबेलियन जनरेटर के लिए एन और केंद्रीय तत्वों को जोड़ने की भी आवश्यकता होती है। संबंधित सरल कॉम्पैक्ट लाइ समूह के लूप समूह का दूसरा अभिन्न समरूपता पूर्णांकों के लिए समरूप है। एकल जनरेटर द्वारा एफाइन लाइ समूह के केंद्रीय विस्तार इस मुक्त लूप समूह पर स्थलाकृतिक रूप से वृत्त बंडल हैं, जिन्हें दो-वर्ग द्वारा वर्गीकृत किया जाता है जिसे तंतु के पहले चेरन वर्ग के रूप में जाना जाता है। इसलिए, एक एफाइन लाइ समूह के केंद्रीय विस्तार को एक एकल पैरामीटर k द्वारा वर्गीकृत किया जाता है जिसे भौतिकी साहित्य में स्तर कहा जाता है, जहां यह पहली बार दिखाई दिया था। एफाइन सघन समूहों के एकात्मक उच्चतम भार प्रतिनिधित्व केवल तभी मौजूद होते हैं जब k एक प्राकृतिक संख्या होती है। अधिक सामान्य रूप से, यदि कोई अर्ध-सरल बीजगणित पर विचार करता है, तो प्रत्येक सरल घटक के लिए एक केंद्रीय आवेश होता है। संरचना कार्टन-वेल आधार जैसा कि परिमित मामले में, कार्टन-वेल आधार का निर्धारण एफ़ाइन लाइ अल्जेब्रा की संरचना को निर्धारित करने में एक महत्वपूर्ण कदम है। एक सीमित-आयामी, सरल, जटिल लाइ बीजगणित को कार्टन उप-बीजगणित और एक विशेष मूल प्रणाली के साथ ठीक करें। संकेतन का परिचय देते हुए, एक अबेलियन उप-बीजगणित बनाने के साथ, एफ़ाइन लाइ बीजगणित के लिए एक के लिए एक कार्टन-वेल आधार का विस्तार करने का प्रयास किया जा सकता है। के और के आइगेनवैल्यू क्रमशः और स्वतंत्र रूप से हैं। इसलिए इस अबेलियन उप-बीजगणित के संबंध में जड़ असीम रूप से पतित है। ऊपर वर्णित व्युत्पत्ति को अबेलियन उप-बीजगणित में जोड़ना अबेलियन उप-बीजगणित को एफ़ाइन लाइ बीजगणित के लिए एक कार्टन उप-बीजगणित में बदल देता है, जिसमें हत्या रूप के लिए आईगन मान होते हैं। हत्या रूप को लगभग पूरी तरह से इसके अपरिवर्तनीय गुण का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है। एफाइन काक-मूडी बीजगणित पर हत्या रूप के लिए और हत्या रूप के लिए संकेतन का उपयोग करते हुए, जहां केवल अंतिम समीकरण अपरिवर्तनीयता द्वारा तय नहीं किया जाता है और इसके बजाय परंपरा द्वारा चुना जाता है। विशेष रूप से, उपक्षेत्र का प्रतिबंध हस्ताक्षर के साथ एक द्विरेखीय रूप देता है। ए. एस. के साथ जुड़े एफाइन रूट को लिखें। परिभाषित करते हुए, इसे फिर से लिखा जा सकता है जड़ों का पूरा समूह तब असामान्य है क्योंकि इसकी लंबाई शून्य हैः हत्या रूप द्वारा प्रेरित जड़ों पर द्विरेखीय रूप कहाँ है। एफाइन बीजगणित के लिए सरल जड़ों का आधार प्राप्त करने के लिए, एक अतिरिक्त सरल मूल को जोड़ा जाना चाहिए, और मूल की ऊंचाई की सामान्य धारणा का उपयोग करते हुए, इसका उच्चतम मूल कहाँ है, इसके द्वारा दिया जाना चाहिए। यह विस्तारित कार्टन मैट्रिक्स और विस्तारित डाइनकिन आरेखों की परिभाषा की अनुमति देता है। प्रतिनिधित्व सिद्धांत एफ़ाइन लाइ अलजेब्रा के लिए प्रतिनिधित्व सिद्धांत आमतौर पर वर्मा मॉड्यूल का उपयोग करके विकसित किया जाता है। जैसे अर्ध-सरल लाइ अल्जेब्रा के मामले में, ये उच्चतम वजन वाले मॉड्यूल हैं। कोई परिमित-आयामी प्रतिनिधित्व नहीं हैं; यह इस तथ्य से मिलता है कि एक परिमित-आयामी वर्मा मॉड्यूल के शून्य वैक्टर आवश्यक रूप से शून्य हैं; जबकि एफ़ाइन लाइ अलजेब्रा के लिए वे नहीं हैं। मोटे तौर पर, यह इस प्रकार है क्योंकि हत्या का रूप दिशाओं में लोरेंट्ज़ियन है, इसलिए कभी-कभी स्ट्रिंग पर "लाइटकोन निर्देशांक" कहा जाता है। "रेडियली ऑर्डर्ड" वर्तमान प्रचालक उत्पादों को स्ट्रिंग वर्ल्ड शीट और स्थानिक दिशा के साथ समय जैसी दिशा के साथ क्रमबद्ध करके समय की तरह सामान्य समझा जा सकता है। रैंक k का वैक्यूम प्रतिनिधित्व निम्नानुसार अधिक विस्तार से प्रतिनिधित्व का निर्माण किया गया है। एक झूठ बीजगणित और आधार को ठीक करें। फिर संबंधित लूप बीजगणित के लिए एक आधार है, और एफ़ाइन लाइ बीजगणित के लिए एक आधार है। श्रेणी का निर्वात प्रतिनिधित्व, जिसे दर्शाया जाता है कि आधार के साथ जटिल प्रतिनिधित्व कहाँ है और (के साथ) एफ़ाइन वर्टेक्स बीजगणित की क्रिया को परिभाषित करता है निर्वात प्रतिनिधित्व वास्तव में शीर्ष बीजगणित संरचना से सुसज्जित हो सकता है, जिस स्थिति में इसे श्रेणी का एफ़ाइन वर्टेक्स बीजगणित कहा जाता है। एफ़ाइन लाइ बीजगणित स्वाभाविक रूप से काक-मूडी बीजगणित तक फैला हुआ है, जिसमें विभेदक को वर्टेक्स बीजगणित में अनुवाद प्रचालक द्वारा दर्शाया गया है। वेइल समूह और वर्ण एक एफ़ाइन लाइ बीजगणित के वेइल समूह को शून्य-मोड बीजगणित (लूप बीजगणित को परिभाषित करने के लिए उपयोग किया जाने वाला लाइ बीजगणित) और कोरूट जाली के वेइल समूह के अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है। एफाइन लाइ अल्जेब्रा के बीजगणितीय वर्णों का वेल वर्ण सूत्र वेल-काक वर्ण सूत्र को सामान्यीकृत करता है। इनसे कई दिलचस्प निर्माण होते हैं। जैकोबी थीटा फलन के सामान्यीकरण का निर्माण किया जा सकता है। ये थीटा कार्य मॉड्यूलर समूह के तहत परिवर्तित होते हैं। अर्ध-सरल लाइ अलजेब्रा की सामान्य भाजक पहचान भी सामान्य होती है; क्योंकि वर्णों को "विरूपण" या उच्चतम भार के क्यू-एनालॉग के रूप में लिखा जा सकता है, इससे कई नई संयुक्त पहचानें हुईं, जिसमें डेडेकिंड एटा फ़ंक्शन के लिए कई पहले से अज्ञात पहचान शामिल हैं। इन सामान्यीकरणों को लैंगलैंड्स कार्यक्रम के एक व्यावहारिक उदाहरण के रूप में देखा जा सकता है। अनुप्रयोग सुगावारा संरचना के कारण, किसी भी एफ़ाइन लाइ बीजगणित के सार्वभौमिक आवरण बीजगणित में वीरासोरो बीजगणित एक उप-बीजगणित के रूप में होता है। यह एफ़ाइन लाइ अल्जेब्रा को WZW मॉडल या कोसेट मॉडल जैसे अनुरूप क्षेत्र सिद्धांतों के समरूपता अल्जेब्रा के रूप में काम करने की अनुमति देता है। नतीजतन, स्ट्रिंग सिद्धांत के वर्ल्डशीट विवरण में एफ़ाइन लाइ अल्जेब्रा भी दिखाई देते हैं। उदाहरण उत्परिवर्तन संबंधों को संतुष्ट करने वाले जनरेटरों द्वारा परिभाषित हाइजेनबर्ग बीजगणित को एफ़ाइन लाइ बीजगणित के रूप में महसूस किया जा सकता है। संदर्भ लाइ अलजेब्रा प्रतिनिधित्व सिद्धांत