Revenue equivalence
राजस्व समानता नीलामी सिद्धांत में एक अवधारणा है जो बताती है कि कुछ शर्तों को देखते हुए, कोई भी तंत्र जो समान परिणामों में परिणाम देता है (यानी। समान बोलीदाताओं को आइटम आवंटित करता है) का भी समान अपेक्षित राजस्व होता है। संकेतन संभावित परिणामों का एक समूह है। ऐसे अभिकर्ता हैं जिनका प्रत्येक परिणाम के लिए अलग-अलग मूल्यांकन होता है। अभिकर्ता के मूल्यांकन (जिसे इसका "प्रकार" भी कहा जाता है) को एक कार्य के रूप में दर्शाया जाता हैः जो मौद्रिक संदर्भ में प्रत्येक विकल्प के लिए इसके मूल्य को व्यक्त करता है। एजेंटों के पास अर्धरेखीय उपयोगिता कार्य होते हैं; इसका मतलब है कि, यदि परिणाम है और इसके अलावा एजेंट को भुगतान (सकारात्मक या नकारात्मक) प्राप्त होता है, तो एजेंट की कुल उपयोगिता हैः सभी मूल्य-कार्यों के वेक्टर को निम्न द्वारा दर्शाया जाता है। प्रत्येक अभिकर्ता के लिए, अन्य अभिकर्ताओं के सभी मूल्य-कार्यों के वेक्टर को इसके द्वारा दर्शाया जाता है। तो। एक तंत्र कार्यों की एक जोड़ी हैः एक कार्य, जो मूल्य-सदिश को इनपुट के रूप में लेता है और एक परिणाम देता है (इसे एक सामाजिक विकल्प कार्य भी कहा जाता है); एक कार्य, जो मूल्य-सदिश को इनपुट के रूप में लेता है और भुगतान का एक सदिश देता है, यह निर्धारित करता है कि प्रत्येक खिलाड़ी को कितना प्राप्त करना चाहिए (एक नकारात्मक भुगतान का अर्थ है कि खिलाड़ी को एक सकारात्मक राशि का भुगतान करना चाहिए)। एजेंटों के प्रकार स्वतंत्र रूप से समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर हैं। इस प्रकार, एक तंत्र एक बायेसियन खेल को प्रेरित करता है जिसमें एक खिलाड़ी की रणनीति उसके वास्तविक प्रकार के कार्य के रूप में उसकी रिपोर्ट की गई प्रकार होती है। एक तंत्र को बायेसियन-नैश प्रोत्साहन संगत कहा जाता है यदि एक बायेसियन नैश संतुलन है जिसमें सभी खिलाड़ी अपने वास्तविक प्रकार की रिपोर्ट करते हैं। कथन इन मान्यताओं के तहत, राजस्व समतुल्यता प्रमेय निम्नलिखित कहता है। किसी भी दो बायेसियन-नैश प्रोत्साहन संगत तंत्र के लिए, यदिः दोनों तंत्रों में कार्य समान है, औरः किसी प्रकार के लिए, खिलाड़ी का अपेक्षित भुगतान (अन्य खिलाड़ियों के प्रकार पर औसत) दोनों तंत्रों में समान है; प्रत्येक खिलाड़ी का मूल्यांकन एक पथ से जुड़े सेट से लिया जाता है, फिरः सभी प्रकार के अपेक्षित भुगतान दोनों तंत्रों में समान हैं, और इसलिएः अपेक्षित राजस्व (-भुगतान का योग) दोनों तंत्रों में समान है। एक उत्कृष्ट उदाहरण नीलामी तंत्र की जोड़ी हैः पहली मूल्य नीलामी और दूसरी मूल्य नीलामी। प्रथम-मूल्य नीलामी का एक प्रकार है जो बायेसियन-नैश प्रोत्साहन संगत है; द्वितीय-मूल्य नीलामी प्रमुख-रणनीति-प्रोत्साहन-संगत है, जो बायेसियन-नैश प्रोत्साहन संगत से भी अधिक मजबूत है। दोनों तंत्र प्रमेय की शर्तों को पूरा करते हैं क्योंकिः दोनों तंत्रों में कार्य समान है-उच्चतम बोली लगाने वाला वस्तु को जीतता है; औरः एक खिलाड़ी जो वस्तु को 0 के रूप में महत्व देता है वह हमेशा दोनों तंत्रों में 0 का भुगतान करता है। वास्तव में, दोनों नीलामियों में प्रत्येक खिलाड़ी के लिए अपेक्षित भुगतान समान है, और नीलामीकर्ता का राजस्व समान है; विवरण के लिए प्रथम-मूल्य सीलबंद-बोली नीलामी पर पृष्ठ देखें। एकल वस्तु नीलामी में नीलामी तंत्र की समतुल्यता वास्तव में, हम यह साबित करने के लिए राजस्व समतुल्यता का उपयोग कर सकते हैं कि कई प्रकार की नीलामी राजस्व समतुल्य हैं। उदाहरण के लिए, पहली मूल्य नीलामी, दूसरी मूल्य नीलामी और सभी भुगतान वाली नीलामी सभी राजस्व के बराबर होती हैं जब बोली लगाने वाले सममित होते हैं (यानी, उनके मूल्यांकन स्वतंत्र और समान रूप से वितरित होते हैं)। दूसरी मूल्य नीलामी दूसरी मूल्य एकल वस्तु नीलामी पर विचार करें, जिसमें सबसे अधिक बोली लगाने वाला खिलाड़ी दूसरी सबसे अधिक बोली का भुगतान करता है। प्रत्येक खिलाड़ी के लिए अपने मूल्य की बोली लगाना इष्टतम है। मान लीजिए कि नीलामी जीतती है, और दूसरी सबसे बड़ी बोली का भुगतान करती है, या। इस नीलामी से होने वाला राजस्व सरल है। पहली मूल्य नीलामी पहली मूल्य नीलामी में, जहां सबसे अधिक बोली लगाने वाला खिलाड़ी बस अपनी बोली का भुगतान करता है, अगर सभी खिलाड़ी बोली लगाने के कार्य का उपयोग करके बोली लगाते हैं तो यह नैश संतुलन है। दूसरे शब्दों में, यदि प्रत्येक खिलाड़ी इस तरह से बोली लगाता है कि वे दूसरी सबसे बड़ी बोली के अपेक्षित मूल्य की बोली लगाते हैं, यह मानते हुए कि उनकी बोली सबसे अधिक थी, तो किसी भी खिलाड़ी को विचलित होने के लिए कोई प्रोत्साहन नहीं मिलता है। यदि यह सच था, तो यह देखना आसान है कि नीलामी जीतने पर इस नीलामी से अपेक्षित राजस्व भी है। इसे साबित करने के लिए, मान लीजिए कि एक खिलाड़ी 1 बोली लगाता है जहां, प्रभावी रूप से धोखा देते हुए कि इसका मूल्य इसके बजाय है। हम एक ऐसा मूल्य खोजना चाहते हैं जिससे खिलाड़ी का अपेक्षित भुगतान अधिकतम हो। तब जीतने की संभावना है। इस बोली की अपेक्षित लागत है। फिर एक खिलाड़ी का अपेक्षित भुगतान लेट है, जो एक यादृच्छिक चर है। फिर हम उपरोक्त को फिर से लिख सकते हैं। इस सामान्य तथ्य का उपयोग करते हुए कि, हम उपरोक्त को फिर से लिख सकते हैं। के संबंध में व्युत्पन्न लेते हुए, हम प्राप्त करते हैं। इस प्रकार अपने मूल्य के साथ बोली लगाने से खिलाड़ी को अपेक्षित भुगतान अधिकतम मिलता है। चूँकि मोनोटोन बढ़ रहा है, हम सत्यापित करते हैं कि यह वास्तव में एक अधिकतम बिंदु है। अंग्रेज़ी नीलामी खुली आरोही मूल्य नीलामी (उर्फ अंग्रेज़ी नीलामी) में, एक खरीदार की प्रमुख रणनीति नीलामी में तब तक बने रहना है जब तक कि पूछने वाला मूल्य उसके मूल्य के बराबर न हो जाए। फिर, यदि वह अखाड़े में शेष रहने वाला अंतिम व्यक्ति है, तो वह जीतता है और दूसरी सबसे बड़ी बोली का भुगतान करता है। दो खरीदारों के मामले पर विचार करें, प्रत्येक एक ऐसे मूल्य के साथ जो समर्थन [0,1], संचयी वितरण कार्य F (v) और संभाव्यता घनत्व कार्य f (v) के साथ एक वितरण से एक स्वतंत्र ड्रॉ है। यदि खरीदार अपनी प्रमुख रणनीतियों के अनुसार व्यवहार करते हैं, तो मूल्य v वाला खरीदार जीतता है यदि उसके प्रतिद्वंद्वी का मूल्य x कम है। इस प्रकार उसकी जीत की संभावना है और उसका अपेक्षित भुगतान है जीतने पर सशर्त अपेक्षित भुगतान इसलिए दोनों पक्षों को F (v) से गुणा करना और v से अंतर करने से e (v) के लिए निम्नलिखित अंतर समीकरण प्राप्त होता है। .. इस समीकरण को फिर से व्यवस्थित करते हुए, मान लीजिए कि बी (वी) सीलबंद पहले मूल्य की नीलामी में संतुलन बोली कार्य है। हम यह दर्शाकर राजस्व समानता स्थापित करते हैं कि बी (वी) = ई (वी), यानी एक नीलामी में विजेता द्वारा संतुलन भुगतान दूसरे में विजेता द्वारा अपेक्षित संतुलन भुगतान के बराबर है। मान लीजिए कि एक खरीदार का मूल्य v और बोलियों का मूल्य b है। उनका प्रतिद्वंद्वी संतुलन बोली रणनीति के अनुसार बोली लगाता है। प्रतिद्वंद्वी के बोली वितरण का समर्थन [0, बी (1)] है। इस प्रकार कम से कम बी (1) की कोई भी बोली संभावना 1 के साथ जीतती है। इसलिए, सबसे अच्छी बोली b अंतराल [0, B (1)] में निहित है और इसलिए हम इस बोली को b = B (x) के रूप में लिख सकते हैं जहां x [0,1] में निहित है। यदि प्रतिद्वंद्वी का मान y है तो वह B (y) की बोली लगाता है। इसलिए, जीत की संभावना है। खरीदार का अपेक्षित भुगतान उसकी जीत की संभावना गुणा उसके शुद्ध लाभ है यदि वह जीतता है, अर्थात। अंतर करते हुए, अधिकतम के लिए आवश्यक शर्त है। यानी अगर बी (एक्स) खरीदार की सबसे अच्छी प्रतिक्रिया है तो उसे इस पहले ऑर्डर की शर्त को पूरा करना होगा। अंत में हम ध्यान देते हैं कि बी (वी) के लिए संतुलन बोली कार्य होने के लिए, खरीदार की सबसे अच्छी प्रतिक्रिया बी (वी) होनी चाहिए। अतः x = v। आवश्यक स्थिति में x के लिए प्रतिस्थापित करना,। ध्यान दें कि यह विभेदक समीकरण e (v) के लिए समान है। चूँकि ई (0) = बी (0) = 0 इसका अनुसरण करता है। बोली कार्यों की भविष्यवाणी करने के लिए राजस्व समतुल्यता का उपयोग करके हम एक खेल में एक खिलाड़ी के बोली कार्य की भविष्यवाणी करने के लिए राजस्व समतुल्यता का उपयोग कर सकते हैं। दूसरी मूल्य नीलामी और पहली मूल्य नीलामी के दो खिलाड़ियों के संस्करण पर विचार करें, जहां से प्रत्येक खिलाड़ी का मूल्य समान रूप से निकाला जाता है। दूसरी मूल्य नीलामी में पहले खिलाड़ी के अपेक्षित भुगतान की गणना इस प्रकार की जा सकती हैः चूंकि खिलाड़ी दूसरी मूल्य नीलामी में ईमानदारी से बोली लगाते हैं, इसलिए हम सभी कीमतों को खिलाड़ियों के मूल्यों से बदल सकते हैं। यदि खिलाड़ी 1 जीतता है, तो वह उस खिलाड़ी को 2 बोलियों का भुगतान करता है। खिलाड़ी 1 स्वयं बोली लगाता है। चूँकि खिलाड़ी 1 के हारने पर भुगतान शून्य होता है, उपरोक्त है चूंकि एक समान वितरण से आता है, इसलिए हम इसे पहली मूल्य नीलामी में सरल बना सकते हैं हम पहली मूल्य नीलामी में सही सममित बोली कार्य उत्पन्न करने के लिए राजस्व समतुल्यता का उपयोग कर सकते हैं। मान लीजिए कि पहली मूल्य नीलामी में, प्रत्येक खिलाड़ी के पास बोली लगाने का कार्य है, जहां इस बिंदु पर यह कार्य अज्ञात है। इस खेल में खिलाड़ी 1 का अपेक्षित भुगतान तब होता है (जैसा कि ऊपर बताया गया है) अब, एक खिलाड़ी केवल वही भुगतान करता है जो खिलाड़ी बोली लगाता है, और मान लें कि उच्च मूल्य वाले खिलाड़ी अभी भी जीतते हैं, ताकि जीतने की संभावना केवल एक खिलाड़ी का मूल्य हो, जैसा कि दूसरी मूल्य नीलामी में होता है। हम बाद में दिखाएंगे कि यह धारणा सही थी। एक बार फिर, एक खिलाड़ी नीलामी हारने पर कुछ भी भुगतान नहीं करता है। हम तब प्राप्त करते हैं राजस्व समतुल्यता सिद्धांत के अनुसार, हम इस अभिव्यक्ति को दूसरे मूल्य की नीलामी के राजस्व के बराबर कर सकते हैं जिसकी हमने ऊपर गणना की हैः इससे, हम बोली लगाने के कार्य का अनुमान लगा सकते हैंः ध्यान दें कि इस बोली लगाने के कार्य के साथ, उच्च मूल्य वाला खिलाड़ी अभी भी जीतता है। हम यह दिखा सकते हैं कि यह एक अतिरिक्त तरीके से सही संतुलन बोली कार्य है, यह सोचकर कि एक खिलाड़ी को अपनी बोली को अधिकतम कैसे करना चाहिए, यह देखते हुए कि अन्य सभी खिलाड़ी इस बोली कार्य का उपयोग करके बोली लगा रहे हैं। प्रथम-मूल्य सीलबंद-बोली नीलामी पर पृष्ठ देखें। इसी तरह, हम जानते हैं कि दूसरी मूल्य नीलामी में खिलाड़ी 1 का अपेक्षित भुगतान है, और यह सभी-भुगतान नीलामी में अपेक्षित भुगतान के बराबर होना चाहिए, अर्थात। इस प्रकार, सभी भुगतान वाली नीलामी में प्रत्येक खिलाड़ी के लिए बोली लगाने का कार्य निहितार्थ है। इस सिद्धांत का एक महत्वपूर्ण निहितार्थ यह है कि कोई भी एकल-वस्तु नीलामी जो बिना शर्त उच्चतम बोलीदाता को वस्तु देती है, उसका अपेक्षित राजस्व समान होगा। इसका मतलब है कि अगर हम नीलामीकर्ता के राजस्व को बढ़ाना चाहते हैं, तो परिणाम कार्य को बदलना होगा। ऐसा करने का एक तरीका है वस्तु पर आरक्षण मूल्य निर्धारित करना। यह परिणाम कार्य को बदल देता है क्योंकि अब वस्तु हमेशा सबसे अधिक बोली लगाने वाले को नहीं दी जाती है। आरक्षण मूल्य का सावधानीपूर्वक चयन करके, एक नीलामीकर्ता काफी अधिक अपेक्षित राजस्व प्राप्त कर सकता है। सीमाएँ राजस्व-समतुल्यता प्रमेय कुछ महत्वपूर्ण मामलों में टूट जाता हैः जब खिलाड़ी जोखिम-तटस्थ होने के बजाय जोखिम-विरोधी होते हैं जैसा कि ऊपर माना गया है। इस मामले में, यह ज्ञात है कि पहली कीमत की नीलामी दूसरी कीमत की नीलामी की तुलना में अधिक राजस्व उत्पन्न करती है। जब खिलाड़ियों का मूल्यांकन परस्पर निर्भर होता है, उदाहरण के लिए, यदि मूल्यांकन दुनिया की किसी ऐसी स्थिति पर निर्भर करता है जो बोली लगाने वालों को केवल आंशिक रूप से ज्ञात है (यह विजेता के अभिशाप से संबंधित है)। इस परिदृश्य में, अंग्रेजी नीलामी दूसरी कीमत की नीलामी की तुलना में अधिक राजस्व उत्पन्न करती है, क्योंकि यह बोली लगाने वालों को अन्य खिलाड़ियों की बोलियों से जानकारी सीखने देता है। संदर्भ। नीलामी सिद्धांत तंत्र डिजाइन