Nonlinear Schrödinger equation
सैद्धांतिक भौतिकी में, (एक-आयामी) अरैखिक श्रोडिंगर समीकरण (एन. एल. एस. ई.) श्रोडिंगर समीकरण का एक अरैखिक परिवर्तन है। यह एक शास्त्रीय क्षेत्र समीकरण है जिसका प्रमुख अनुप्रयोग गैर-रैखिक ऑप्टिकल फाइबर और प्लेनर वेवगाइड में प्रकाश के प्रसार के लिए है और बोस-आइंस्टीन संघनन के लिए जो माध्य-क्षेत्र व्यवस्था में अत्यधिक अनिसोट्रोपिक, सिगार के आकार के जाल तक सीमित है। इसके अतिरिक्त, समीकरण गहरे अदृश्य (शून्य-चिपचिपाहट) पानी की सतह पर छोटे-आयाम गुरुत्वाकर्षण तरंगों के अध्ययन में दिखाई देता है; गर्म प्लाज्मा में लैंगमुइर तरंगें; आयनमंडल के केंद्रित क्षेत्रों में समतल-विवर्तन तरंग किरणों का प्रसार; डेविडोव के अल्फा-हेलिक्स सॉलिटॉन का प्रसार, जो आणविक श्रृंखलाओं के साथ ऊर्जा परिवहन के लिए जिम्मेदार हैं; और कई अन्य। अधिक आम तौर पर, एन. एल. एस. ई. सार्वभौमिक समीकरणों में से एक के रूप में दिखाई देता है जो कमजोर गैर-रैखिक मीडिया में अर्ध-एकवर्णी तरंगों के धीरे-धीरे अलग-अलग पैकेटों के विकास का वर्णन करता है जिनमें फैलाव होता है। रैखिक श्रोडिंगर समीकरण के विपरीत, एन. एल. एस. ई. कभी भी क्वांटम अवस्था के समय विकास का वर्णन नहीं करता है। 1डी एन. एल. एस. ई. एक एकीकृत मॉडल का एक उदाहरण है। क्वांटम यांत्रिकी में, 1डी एन. एल. एस. ई. शास्त्रीय अरैखिक श्रोडिंगर क्षेत्र का एक विशेष मामला है, जो बदले में क्वांटम श्रोडिंगर क्षेत्र की एक शास्त्रीय सीमा है। इसके विपरीत, जब शास्त्रीय श्रोडिंगर क्षेत्र को विहित रूप से मात्रात्मक किया जाता है, तो यह एक क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत बन जाता है (जो रैखिक है, इस तथ्य के बावजूद कि इसे "क्वांटम अरैखिक श्रोडिंगर समीकरण" कहा जाता है) जो डेल्टा-फ़ंक्शन अंतःक्रियाओं के साथ बोसोनिक बिंदु कणों का वर्णन करता है-कण या तो पीछे हटते हैं या आकर्षित करते हैं जब वे एक ही बिंदु पर होते हैं। वास्तव में, जब कणों की संख्या सीमित होती है, तो यह क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत लिब-लिनिगर मॉडल के बराबर होता है। क्वांटम और शास्त्रीय 1डी अरैखिक श्रोडिंगर समीकरण दोनों समाकलनीय हैं। विशेष रुचि अनंत शक्ति प्रतिकर्षण की सीमा है, जिस स्थिति में लिब-लिनिगर मॉडल टोंक्स-गिरार्दो गैस (जिसे हार्ड-कोर बोस गैस या अभेद्य बोस गैस भी कहा जाता है) बन जाता है। इस सीमा में, बोसॉन, चर के परिवर्तन से जो जॉर्डन-विग्नर परिवर्तन का एक निरंतर सामान्यीकरण है, एक प्रणाली एक आयामी गैर-परस्पर क्रिया करने वाले स्पिन रहित फर्मियन में परिवर्तित हो सकते हैं। गैर-रैखिक श्रोडिंगर समीकरण गिंज़बर्ग-लैंडौ समीकरण का एक सरलीकृत 1 + 1-आयामी रूप है जिसे 1950 में सुपरकंडक्टिविटी पर उनके काम में पेश किया गया था, और ऑप्टिकल बीम के उनके अध्ययन में स्पष्ट रूप से लिखा गया था। बहु-आयामी संस्करण लाप्लेशियन द्वारा दूसरे स्थानिक व्युत्पन्न को प्रतिस्थापित करता है। एक से अधिक आयामों में, समीकरण समाकलन योग्य नहीं है, यह एक पतन और तरंग अशांति की अनुमति देता है। गैर-रैखिक श्रोडिंगर समीकरण एक गैर-रैखिक आंशिक विभेदक समीकरण है, जो शास्त्रीय और क्वांटम यांत्रिकी पर लागू होता है। शास्त्रीय समीकरण शास्त्रीय क्षेत्र समीकरण (आयामहीन रूप में) हैः जटिल क्षेत्र के लिए ± (x, t)। यह समीकरण पॉइसन कोष्ठक के साथ हैमिल्टनियन से उत्पन्न होता है अपने रैखिक समकक्ष के विपरीत, यह कभी भी क्वांटम अवस्था के समय विकास का वर्णन नहीं करता है। नकारात्मक κ के मामले को फ़ोकसिंग कहा जाता है और यह उज्ज्वल सॉलिटॉन समाधानों (अंतरिक्ष में स्थानीयकृत, और अनंत की ओर स्थानिक क्षीणन होने) के साथ-साथ सांस लेने वाले समाधानों की अनुमति देता है। इसे ठीक से व्युत्क्रम प्रकीर्णन परिवर्तन के उपयोग से हल किया जा सकता है, जैसा कि (नीचे देखें) द्वारा दिखाया गया है। दूसरा मामला, κ पॉजिटिव के साथ, डिफोकसिंग एन. एल. एस. है जिसमें गहरे सॉलिटॉन समाधान होते हैं (अनंत पर निरंतर आयाम और आयाम में एक स्थानीय स्थानिक गिरावट)। क्वांटम यांत्रिकी मात्रात्मक संस्करण प्राप्त करने के लिए, केवल पॉइसन कोष्ठकों को कम्यूटेटर और सामान्य क्रम हैमिल्टनियन द्वारा प्रतिस्थापित करें क्वांटम संस्करण को लीब और लिनिगर द्वारा बेथे अन्सात्ज़ द्वारा हल किया गया था। ऊष्मागतिकी का वर्णन चेन-निंग यांग ने किया था। 1993 में कोरपिन द्वारा क्वांटम सहसंबंध कार्यों का भी मूल्यांकन किया गया था। मॉडल में उच्च संरक्षण कानून हैं-1989 में डेविस और कोरेपिन ने उन्हें स्थानीय क्षेत्रों के संदर्भ में व्यक्त किया। समीकरण को हल करना अरैखिक श्रोडिंगर समीकरण 1d में समाकलनीय हैः इसे व्युत्क्रम प्रकीर्णन परिवर्तन के साथ हल किया जाता है। समीकरणों की संबंधित रैखिक प्रणाली को ज़खारोव-शबाट प्रणाली के रूप में जाना जाता हैः जहां गैर-रैखिक श्रोडिंगर समीकरण ज़खारोव-शबाट प्रणाली की संगतता स्थिति के रूप में उत्पन्न होता हैः q = r * या q = − r * निर्धारित करने से आकर्षक या प्रतिकारक अंतःक्रिया के साथ गैर-रैखिक श्रोडिंगर समीकरण प्राप्त किया जाता है। एक वैकल्पिक दृष्टिकोण सीधे ज़खारोव-शबाट प्रणाली का उपयोग करता है और निम्नलिखित डार्बॉक्स परिवर्तन को नियोजित करता हैः जो प्रणाली को अपरिवर्तनीय छोड़ देता है। यहाँ, φ वर्णक्रमीय पैरामीटर ω के साथ जाखारोव-शबाट प्रणाली का एक और व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स समाधान (φ से अलग) हैः तुच्छ समाधान U = 0 से शुरू करके और पुनरावृत्ति करते हुए, कोई भी n सॉलिटॉन के साथ समाधान प्राप्त करता है। एन. एल. एस. समीकरण सकल-पीटाएव्स्की समीकरण की तरह एक आंशिक विभेदक समीकरण है। आम तौर पर इसका विश्लेषणात्मक समाधान नहीं होता है और सकल-पिटेव्स्की समीकरण को हल करने के लिए उपयोग की जाने वाली समान संख्यात्मक विधियों, जैसे कि स्प्लिट-स्टेप क्रैंक-निकोलसन और फूरियर वर्णक्रमीय विधियों का उपयोग इसके समाधान के लिए किया जाता है। इसके समाधान के लिए अलग-अलग फोरट्रान और सी कार्यक्रम हैं। गैलीलियन अपरिवर्तनीयता गैर-रैखिक श्रोडिंगर समीकरण निम्नलिखित अर्थों में गैलीलियन अपरिवर्तनीय हैः एक समाधान x (x, t) को देखते हुए x को x (x, t) में हर जगह x + vt से प्रतिस्थापित करके और एक चरण कारक को जोड़कर एक नया समाधान प्राप्त किया जा सकता हैः फाइबर प्रकाशिकी में गैर-रैखिक श्रोडिंगर समीकरण प्रकाशिकी में, गैर-रैखिक श्रोडिंगर समीकरण मनकोव प्रणाली में होता है, जो फाइबर प्रकाशिकी में तरंग प्रसार का एक मॉडल है। फलन एक तरंग का प्रतिनिधित्व करता है और अरैखिक श्रोडिंगर समीकरण एक अरैखिक माध्यम के माध्यम से तरंग के प्रसार का वर्णन करता है। द्वितीय-क्रम व्युत्पन्न फैलाव का प्रतिनिधित्व करता है, जबकि κ शब्द अरैखिकता का प्रतिनिधित्व करता है। समीकरण फाइबर में कई अरैखिकता प्रभावों को मॉडल करता है, जिसमें स्व-चरण मॉड्यूलेशन, चार-तरंग मिश्रण, दूसरी-हार्मोनिक पीढ़ी, उत्तेजित रमन प्रकीर्णन, ऑप्टिकल सॉलिटॉन, अल्ट्राशोर्ट पल्सेस आदि शामिल हैं, लेकिन इन्हीं तक सीमित नहीं हैं। जल तरंगों में अरैखिक श्रोडिंगर समीकरण जल तरंगों के लिए, अरैखिक श्रोडिंगर समीकरण मॉड्यूलेटेड तरंग समूहों के लिफाफे के विकास का वर्णन करता है। 1968 में एक पेपर में, व्लादिमीर ई. जाखारोव ने जल तरंगों की हैमिल्टनियन संरचना का वर्णन किया। उसी पेपर में जाखारोव से पता चलता है कि धीरे-धीरे संशोधित तरंग समूहों के लिए, तरंग आयाम लगभग अरैखिक श्रोडिंगर समीकरण को संतुष्ट करता है। अरैखिकता मापदंड के का मान सापेक्ष जल की गहराई पर निर्भर करता है। गहरे पानी के लिए, पानी की गहराई पानी की लहरों की तरंग लंबाई की तुलना में बड़ी है, κ नकारात्मक है और लिफाफा सॉलिटन हो सकते हैं। इसके अतिरिक्त, इन आवरण सॉलिटॉनों के समूह वेग को एक बाहरी समय-निर्भर जल प्रवाह द्वारा प्रेरित त्वरण द्वारा बढ़ाया जा सकता है। उथले पानी के लिए, पानी की गहराई के 4.6 गुना से अधिक तरंग दैर्ध्य के साथ, गैर-रैखिकता पैरामीटर k सकारात्मक है और लिफाफा सॉलिटॉन के साथ तरंग समूह मौजूद नहीं हैं। उथले पानी की सतह-ऊंचाई में सॉलिटन या अनुवाद की तरंगें मौजूद हैं, लेकिन वे अरैखिक श्रोडिंगर समीकरण द्वारा नियंत्रित नहीं होती हैं। गैर-रैखिक श्रोडिंगर समीकरण को दुष्ट तरंगों के गठन की व्याख्या करने के लिए महत्वपूर्ण माना जाता है। जटिल क्षेत्र, जैसा कि अरैखिक श्रोडिंगर समीकरण में दिखाई देता है, जल तरंगों के आयाम और चरण से संबंधित है। धीरे-धीरे मॉड्यूलेटेड वाहक तरंग पर विचार करें जिसमें पानी की सतह की ऊँचाई η होती हैः जहाँ a (x0, t0) और θ (x0, t0) धीरे-धीरे मॉड्यूलेटेड आयाम और चरण हैं। इसके अलावा ω0 और k0 वाहक तरंगों की (स्थिर) कोणीय आवृत्ति और तरंग संख्या हैं, जिन्हें फैलाव संबंध ω0 = ω (k0) को संतुष्ट करना होता है। तो इसका मापांक |ψ। तरंग आयाम a है, और इसका तर्क आर्ग (si) चरण θ है। भौतिक निर्देशांक (x0, t0) और (x, t) निर्देशांकों के बीच संबंध, जैसा कि ऊपर दिए गए अरैखिक श्रोडिंगर समीकरण में उपयोग किया जाता है, इस प्रकार (x, t) वाहक तरंगों के समूह वेग ω '(k0) के साथ चलने वाली एक परिवर्तित निर्देशांक प्रणाली है, फैलाव-संबंध वक्रता ω' (k0)-समूह वेग फैलाव का प्रतिनिधित्व करता है-गुरुत्वाकर्षण की क्रिया के तहत जल तरंगों के लिए हमेशा नकारात्मक होता है, किसी भी पानी की गहराई के लिए। गहरे पानी की जल सतह पर तरंगों के लिए, अरैखिक श्रोडिंगर समीकरण के लिए महत्व के गुणांक हैंः तो जहाँ g पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण है। मूल (x0, t0) निर्देशांक में जल तरंगों के लिए अरैखिक श्रोडिंगर समीकरण पढ़ता हैः (यानी। का जटिल संयुग्म) और इसलिए गहरे पानी की लहरों के लिए। गेज समतुल्य समकक्ष एन. एल. एस. ई. (1) निम्नलिखित समस्थानिक लैंडाउ-लिफशिट्ज़ समीकरण (एल. एल. ई.) या हाइजेनबर्ग फेरोमैग्नेट समीकरण के समतुल्य है ध्यान दें कि यह समीकरण इशिमोरी समीकरण आदि जैसे 2 + 1 आयामों में कई समाकलनीय और गैर-समाकलनीय सामान्यीकरणों को स्वीकार करता है। शून्य-वक्रता सूत्रीकरण एन. एल. एस. ई. शून्य के बराबर होने पर एक विशेष-कनेक्शन की वक्रता के बराबर है। स्पष्ट रूप से, निर्देशांक के साथ, कनेक्शन घटकों को इस प्रकार दिया जाता है कि पाउली मैट्रिक्स कहाँ हैं। फिर शून्य-वक्रता समीकरण एन. एल. एस. ई. के बराबर है। शून्य-वक्रता समीकरण का नाम इसलिए रखा गया है क्योंकि यदि इसे परिभाषित किया जाता है तो यह शून्य के बराबर वक्रता के अनुरूप है। मैट्रिक्स की जोड़ी और एन. एल. एस. ई. के लिए एक लैक्स जोड़ी के रूप में भी जाना जाता है, इस अर्थ में कि शून्य-वक्रता समीकरण लैक्स के समीकरण को संतुष्ट करने के बजाय पी. डी. ई. को पुनर्प्राप्त करता है। भंवरों के संबंध से पता चला है कि भंवर तंतुओं का कार्य अरैखिक श्रोडिंगर समीकरण से निकटता से संबंधित है। इसके बाद, इस पत्राचार का उपयोग यह दिखाने के लिए किया गया कि एक भंवर फिलामेंट के लिए सांस लेने वाले समाधान भी उत्पन्न हो सकते हैं। क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत सोलिटॉन (प्रकाशिकी) लॉगरिदमिक श्रोडिंगर समीकरण टिप्पणियाँ संदर्भ टिप्पणियाँ अन्य बाहरी लिंक गैर-रैखिक श्रोडिंगर समीकरण (वीडियो) पर ट्यूटोरियल व्याख्यान में एक संबंधित मॉडल के लिए एकेएनएस प्रणाली एक्हॉस समीकरण क्वार्टिक इंटरैक्शन भी देखें। ईक्यूवर्ल्डः द वर्ल्ड ऑफ मैथमेटिकल इक्वेशन्स में एक घन गैर-रैखिकता के साथ गैर-रैखिक श्रोडिंगर समीकरण। एक्यूवर्ल्डः द वर्ल्ड ऑफ मैथमेटिकल इक्वेशन्स में एक पावर-लॉ नॉनलीनियरिटी के साथ नॉनलीनियर श्रोडिंगर समीकरण। एक्यूवर्ल्ड में सामान्य रूप का अरैखिक श्रोडिंगर समीकरणः गणितीय समीकरणों की दुनिया। डिस्पर्सिव विकी में अरैखिक श्रोडिंगर समीकरण के गणितीय पहलू आंशिक विभेदक समीकरण बिल्कुल हल करने योग्य मॉडल श्रोडिंगर समीकरण इंटीग्रेबल सिस्टम