Filter bank
सिग्नल प्रोसेसिंग में, एक फिल्टर बैंक (या फिल्टरबैंक) बैंडपास फिल्टर की एक सरणी है जो इनपुट सिग्नल को कई घटकों में अलग करती है, जिनमें से प्रत्येक में मूल सिग्नल का एक एकल आवृत्ति उप-बैंड होता है। फ़िल्टर बैंक का एक अनुप्रयोग एक ग्राफिक इक्वलाइज़र है, जो घटकों को अलग तरह से कम कर सकता है और उन्हें मूल संकेत के संशोधित संस्करण में फिर से जोड़ सकता है। फ़िल्टर बैंक द्वारा किए गए अपघटन की प्रक्रिया को विश्लेषण कहा जाता है (जिसका अर्थ है प्रत्येक उप-बैंड में इसके घटकों के संदर्भ में संकेत का विश्लेषण); विश्लेषण के उत्पादन को एक उप-बैंड संकेत के रूप में संदर्भित किया जाता है जिसमें उतने ही उप-बैंड होते हैं जितने फ़िल्टर बैंक में फ़िल्टर होते हैं। पुनर्निर्माण प्रक्रिया को संश्लेषण कहा जाता है, जिसका अर्थ है फ़िल्टरिंग प्रक्रिया के परिणामस्वरूप एक पूर्ण संकेत का पुनर्गठन। डिजिटल सिग्नल प्रोसेसिंग में, फिल्टर बैंक शब्द आमतौर पर रिसीवरों के बैंक पर भी लागू किया जाता है। अंतर यह है कि रिसीवर भी सबबैंड को कम केंद्र आवृत्ति में डाउन-कन्वर्ट करते हैं जिसे कम दर पर फिर से नमूना लिया जा सकता है। यही परिणाम कभी-कभी बैंडपास सबबैंड को कम करके प्राप्त किया जा सकता है। फ़िल्टर बैंकों का एक अन्य अनुप्रयोग संकेत संपीड़न है जब कुछ आवृत्तियाँ दूसरों की तुलना में अधिक महत्वपूर्ण होती हैं। अपघटन के बाद, महत्वपूर्ण आवृत्तियों को एक महीन संकल्प के साथ कूटबद्ध किया जा सकता है। इन आवृत्तियों पर छोटे अंतर महत्वपूर्ण हैं और इन अंतरों को संरक्षित करने वाली एक कोडिंग योजना का उपयोग किया जाना चाहिए। दूसरी ओर, कम महत्वपूर्ण आवृत्तियाँ सटीक नहीं होनी चाहिए। एक मोटे कोडिंग योजना का उपयोग किया जा सकता है, भले ही कुछ बारीक (लेकिन कम महत्वपूर्ण) विवरण कोडिंग में खो जाएंगे। वोकोडर एक मॉड्यूलेटर सिग्नल (जैसे एक आवाज) के सबबैंड की आयाम जानकारी निर्धारित करने के लिए एक फ़िल्टर बैंक का उपयोग करता है और उनका उपयोग वाहक सिग्नल (जैसे एक गिटार या सिंथेसाइज़र का आउटपुट) के सबबैंड के आयाम को नियंत्रित करने के लिए करता है, इस प्रकार वाहक पर मॉड्यूलेटर की गतिशील विशेषताओं को लागू करता है। कुछ फ़िल्टर बैंक लगभग पूरी तरह से समय क्षेत्र में काम करते हैं, जिसमें संकेत को छोटे बैंडों में विभाजित करने के लिए चतुर्भुज दर्पण फ़िल्टर या गोएर्टज़ेल एल्गोरिथ्म जैसे फ़िल्टरों की एक श्रृंखला का उपयोग किया जाता है। अन्य फिल्टर बैंक तेज फूरियर परिवर्तन (एफ. एफ. टी.) का उपयोग करते हैं। एफ. एफ. टी. फिल्टर बैंक इनपुट डेटा स्ट्रीम के अतिव्यापी खंडों पर एफ. एफ. टी. के अनुक्रम का प्रदर्शन करके प्राप्तकर्ताओं का एक बैंक बनाया जा सकता है। फ़िल्टरों की आवृत्ति प्रतिक्रियाओं के आकार को नियंत्रित करने के लिए प्रत्येक खंड पर एक भारन कार्य (उर्फ विंडो कार्य) लागू किया जाता है। आकार जितना चौड़ा होगा, नाइक्विस्ट नमूनाकरण मानदंडों को पूरा करने के लिए एफ. एफ. टी. को उतनी ही अधिक बार करना होगा। एक निश्चित खंड की लंबाई के लिए, ओवरलैप की मात्रा निर्धारित करती है कि एफ. एफ. टी. कितनी बार किए जाते हैं (और इसके विपरीत)। इसके अलावा, फिल्टर का आकार जितना चौड़ा होगा, इनपुट बैंडविड्थ को फैलाने के लिए उतने ही कम फिल्टर की आवश्यकता होगी। अनावश्यक फिल्टर को हटाना (अर्थात। आवृत्ति में क्षय) प्रत्येक भारित खंड को छोटे खंडों के अनुक्रम के रूप में कुशलता से किया जाता है, और एफ. एफ. टी. केवल खंडों के योग पर किया जाता है। इसे वेट ओवरलैप-ऐड (डब्ल्यूओएलए) और वेटेड प्री-सम एफएफटी के रूप में संदर्भित किया गया है। (देखें) एक विशेष मामला तब होता है जब, डिजाइन के अनुसार, ब्लॉकों की लंबाई एफ. एफ. टी. के बीच के अंतराल का एक पूर्णांक गुणक होती है। फिर एफ़. एफ़. टी. फ़िल्टर बैंक को एक या अधिक पॉलीफ़ेज़ फ़िल्टर संरचनाओं के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है जहाँ चरणों को एक सरल योग के बजाय एफ़. एफ़. टी. द्वारा पुनः संयोजित किया जाता है। प्रति खंड ब्लॉकों की संख्या प्रत्येक फिल्टर की आवेग प्रतिक्रिया लंबाई (या गहराई) है। एक सामान्य प्रयोजन प्रोसेसर पर एफ. एफ. टी. और पॉलीफ़ेज़ संरचनाओं की कम्प्यूटेशनल दक्षताएँ समान हैं। संश्लेषण (अर्थात। कई रिसीवरों के आउटपुट को पुनः संयोजित करना) मूल रूप से बनाए जाने वाले कुल बैंडविड्थ के अनुरूप दर पर प्रत्येक का अपसैंपलिंग करने, प्रत्येक चैनल को अपनी नई केंद्र आवृत्ति में अनुवाद करने और नमूनों की धाराओं का योग करने की बात है। उस संदर्भ में, अपसैंपलिंग से जुड़े अंतर्वेशन फिल्टर को संश्लेषण फिल्टर कहा जाता है। प्रत्येक चैनल की शुद्ध आवृत्ति प्रतिक्रिया फिल्टर बैंक (विश्लेषण फिल्टर) की आवृत्ति प्रतिक्रिया के साथ संश्लेषण फिल्टर का उत्पाद है। आदर्श रूप से, निकटवर्ती चैनलों की आवृत्ति प्रतिक्रियाएं चैनल केंद्रों के बीच प्रत्येक आवृत्ति पर एक स्थिर मूल्य का योग करती हैं। उस स्थिति को पूर्ण पुनर्निर्माण के रूप में जाना जाता है। समय-आवृत्ति वितरण के रूप में फ़िल्टर बैंक समय-आवृत्ति संकेत प्रसंस्करण में, एक फ़िल्टर बैंक एक विशेष द्विघात समय-आवृत्ति वितरण (टी. एफ. डी.) है जो एक संयुक्त समय-आवृत्ति क्षेत्र में संकेत का प्रतिनिधित्व करता है। यह द्वि-आयामी निस्पंदन द्वारा विग्नर-विले वितरण से संबंधित है जो द्विघात (या द्वि-रेखीय) समय-आवृत्ति वितरण के वर्ग को परिभाषित करता है। फ़िल्टर बैंक और स्पेक्ट्रोग्राम एक द्विघात टी. एफ. डी. के उत्पादन के दो सबसे सरल तरीके हैं; वे सार में एक (स्पेक्ट्रोग्राम) के समान हैं जो समय क्षेत्र को टुकड़ों में विभाजित करके और फिर एक फूरियर परिवर्तन लेकर प्राप्त किया जाता है, जबकि दूसरा (फ़िल्टर बैंक) आवृत्ति क्षेत्र को टुकड़ों में विभाजित करके प्राप्त किया जाता है जो बैंडपास फिल्टर बनाते हैं जो विश्लेषण के तहत संकेत द्वारा उत्तेजित होते हैं। मल्टीरेट फिल्टर बैंक एक मल्टीरेट फिल्टर बैंक एक संकेत को कई उपबंधों में विभाजित करता है, जिसका आवृत्ति बैंड की बैंडविड्थ के अनुरूप विभिन्न दरों पर विश्लेषण किया जा सकता है। कार्यान्वयन में डाउनसैंपलिंग (डेसिमेशन) और अपसैंपलिंग (विस्तार) का उपयोग किया जाता है। परिवर्तन क्षेत्रों में उन संचालनों के प्रभावों में अतिरिक्त अंतर्दृष्टि के लिए देखें। संकीर्ण लोपास फ़िल्टर एक संकीर्ण लोपास फ़िल्टर को एक संकीर्ण पासबैंड के साथ लोपास फ़िल्टर के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। एक मल्टीरेट नैरो लोपास एफ़. आई. आर. फ़िल्टर बनाने के लिए, कोई भी समय-अपरिवर्तनीय एफ़. आई. आर. फ़िल्टर को एक लोपास एंटीएलियासिंग फ़िल्टर और एक डेसिमेटर के साथ एक इंटरपोलेटर और लोपास एंटी-इमेजिंग फ़िल्टर के साथ बदल सकता है। इस तरह, परिणामी मल्टीरेट प्रणाली डेसिमेटर और इंटरपोलेटर के माध्यम से एक समय-भिन्न रैखिक-चरण फ़िल्टर है। लोपास फिल्टर में दो पॉलीफ़ेज़ फिल्टर होते हैं, एक डेसीमेटर के लिए और एक इंटरपोलेटर के लिए। एक फिल्टर बैंक इनपुट संकेत को संकेतों के एक समूह में विभाजित करता है। इस तरह से उत्पन्न संकेतों में से प्रत्येक के स्पेक्ट्रम में एक अलग क्षेत्र से मेल खाता है। इस प्रक्रिया में क्षेत्रों के ओवरलैप (या नहीं, अनुप्रयोग के आधार पर) संभव हो सकता है। उत्पन्न संकेतों को बैंडविड्थ और केंद्र आवृत्तियों (क्रमशः) के साथ बैंडपास फिल्टर के एक समूह के माध्यम से उत्पन्न किया जा सकता है। एक मल्टीरेट फ़िल्टर बैंक एकल इनपुट संकेत का उपयोग करता है और फिर फ़िल्टरिंग और सबसैम्पलिंग द्वारा संकेत के कई आउटपुट का उत्पादन करता है। इनपुट संकेत को दो या अधिक संकेतों में विभाजित करने के लिए, एक विश्लेषण-संश्लेषण प्रणाली का उपयोग किया जा सकता है। संकेत को k = 0,1,2 के लिए चार फिल्टर की मदद से विभाजित किया जाएगा, 3 को एक ही बैंडविड्थ के 4 बैंडों में विभाजित किया जाएगा (विश्लेषण बैंक में) और फिर प्रत्येक उप-संकेत को 4 के कारक द्वारा विघटित किया जाएगा। प्रत्येक बैंड में प्रत्येक बैंड में संकेत को विभाजित करके, हमारे पास अलग-अलग संकेत विशेषताएँ होंगी। संश्लेषण खंड में फिल्टर मूल संकेत का पुनर्निर्माण करेगाः पहले, प्रसंस्करण इकाई के आउटपुट पर 4 उप-संकेतों को 4 के कारक द्वारा अपसैंपलिंग और फिर k = 0,1,2,3 के लिए 4 संश्लेषण फिल्टर द्वारा फ़िल्टर करें। अंत में, इन चार फ़िल्टरों के आउटपुट जोड़े जाते हैं। सांख्यिकीय रूप से अनुकूलित फिल्टर बैंक (आइगेन फिल्टर बैंक) एक असतत-समय फिल्टर बैंक ढांचा अधिक पारंपरिक पूर्ण पुनर्निर्माण संपत्ति के अलावा डिजाइन में वांछित इनपुट संकेत निर्भर विशेषताओं को शामिल करने की अनुमति देता है। अधिकतम ऊर्जा संपीड़न, उप-बैंड संकेतों का सही डी-सहसंबंध और दिए गए इनपुट सहप्रसरण/सहसंबंध संरचना के लिए अन्य विशेषताओं जैसी सूचना सैद्धांतिक विशेषताओं को इष्टतम फिल्टर बैंकों के डिजाइन में शामिल किया गया है। ये फ़िल्टर बैंक संकेत पर निर्भर कारहुनेन-लोएव परिवर्तन (के. एल. टी.) से मिलते-जुलते हैं जो इष्टतम ब्लॉक परिवर्तन है जहाँ आधार कार्यों (फ़िल्टर) की लंबाई एल और उपक्षेत्र आयाम एम समान हैं। बहुआयामी फ़िल्टर बैंक बहुआयामी फ़िल्टरिंग, डाउनसैम्पलिंग और अपसैम्पलिंग बहुआयामी प्रणालियों और फ़िल्टर बैंकों के मुख्य भाग हैं। एक पूर्ण फिल्टर बैंक में विश्लेषण और संश्लेषण पक्ष होते हैं। विश्लेषण फ़िल्टर बैंक एक इनपुट संकेत को अलग-अलग आवृत्ति स्पेक्ट्रा के साथ अलग-अलग उपबंधों में विभाजित करता है। संश्लेषण भाग विभिन्न सबबैंड संकेतों को फिर से जोड़ता है और एक पुनर्निर्मित संकेत उत्पन्न करता है। दो बुनियादी निर्माण खंड डेसिमेटर और विस्तारक हैं। उदाहरण के लिए, इनपुट चार दिशात्मक उप बैंडों में विभाजित होता है जो उनमें से प्रत्येक वेज के आकार के आवृत्ति क्षेत्रों में से एक को कवर करता है। 1डी प्रणालियों में, एम-गुना डेसिमेटर केवल उन नमूनों को रखते हैं जो एम के गुणक होते हैं और बाकी को छोड़ देते हैं। जबकि बहु-आयामी प्रणालियों में डेसिमेटर डी × डी गैर-एकल पूर्णांक मैट्रिक्स हैं। यह केवल उन नमूनों पर विचार करता है जो डेसिमेटर द्वारा उत्पन्न जाली पर हैं। आमतौर पर उपयोग किया जाने वाला डेसिमेटर क्विनकंक्स डेसिमेटर है जिसका जाली क्विनकंक्स मैट्रिक्स से उत्पन्न होता है जिसे क्विनकंक्स मैट्रिक्स द्वारा परिभाषित किया गया है। फ़िल्टर बैंकों का विश्लेषण सबबैंड अपघटन और पुनर्निर्माण के संदर्भ में आवृत्ति-क्षेत्र के दृष्टिकोण से किया जा सकता है। हालाँकि, फ़िल्टर बैंकों की हिल्बर्ट-स्पेस व्याख्या भी उतनी ही महत्वपूर्ण है, जो ज्यामितीय संकेत प्रतिनिधित्व में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है। सामान्य के-चैनल फिल्टर बैंक के लिए, विश्लेषण फिल्टर, संश्लेषण फिल्टर और नमूना मैट्रिक्स के साथ। विश्लेषण पक्ष में, हम वैक्टर को दो मापदंडों द्वारा प्रत्येक सूचकांक के रूप में परिभाषित कर सकते हैंः और। इसी तरह, संश्लेषण फिल्टर के लिए हम परिभाषित कर सकते हैं। विश्लेषण/संश्लेषण पक्षों की परिभाषा को ध्यान में रखते हुए हम इसे सत्यापित कर सकते हैं और पुनर्निर्माण भाग के लिएः दूसरे शब्दों में, विश्लेषण फ़िल्टर बैंक इनपुट संकेत के आंतरिक उत्पाद और विश्लेषण सेट से वेक्टर की गणना करता है। इसके अलावा, संश्लेषण सेट से वैक्टर के संयोजन में पुनर्निर्मित संकेत, और संगणित आंतरिक उत्पादों के संयोजन गुणांक, जिसका अर्थ है कि यदि अपघटन और बाद के पुनर्निर्माण में कोई नुकसान नहीं होता है, तो फ़िल्टर बैंक को सही पुनर्निर्माण कहा जाता है। (उस स्थिति में हमारे पास होगा। चित्र एन चैनलों के साथ एक सामान्य बहुआयामी फ़िल्टर बैंक और एक सामान्य नमूना मैट्रिक्स एम दिखाता है। विश्लेषण भाग इनपुट संकेत को एन फ़िल्टर्ड और डाउनसैंप्ड आउटपुट में बदल देता है। संश्लेषण भाग अपसैंपलिंग और फ़िल्टरिंग द्वारा मूल संकेत को पुनर्प्राप्त करता है। इस तरह के सेटअप का उपयोग कई अनुप्रयोगों में किया जाता है जैसे कि सबबैंड कोडिंग, मल्टीचैनल अधिग्रहण और डिस्क्रीट वेवलेट ट्रांसफॉर्म। हम पॉलीफ़ेज़ प्रतिनिधित्व का उपयोग कर सकते हैं, इसलिए इनपुट संकेत को इसके पॉलीफ़ेज़ घटकों के वेक्टर द्वारा दर्शाया जा सकता है। तो हमारे पास होगा, जहाँ फ़िल्टर के जे-th पॉलीफ़ेज़ घटक को दर्शाता है। इसी तरह, आउटपुट सिग्नल के लिए हमारे पास होगा, कहाँ। इसके अलावा G एक मैट्रिक्स है जहां jth संश्लेषण फिल्टर Gj (z) के ith पॉलीफ़ेज़ घटक को दर्शाता है। फ़िल्टर बैंक में सही पुनर्निर्माण होता है यदि किसी भी इनपुट के लिए, या समकक्ष रूप से जिसका अर्थ है कि G (z) H (z) का बायां व्युत्क्रम है। बहुआयामी फिल्टर डिजाइन 1-डी फिल्टर बैंक आज तक अच्छी तरह से विकसित किए गए हैं। हालांकि, कई संकेत, जैसे छवि, वीडियो, 3डी ध्वनि, रडार, सोनार, बहुआयामी हैं, और बहुआयामी फिल्टर बैंकों के डिजाइन की आवश्यकता होती है। संचार प्रौद्योगिकी के तेजी से विकास के साथ, संकेत प्रसंस्करण प्रणाली को प्रसंस्करण, संचरण और ग्रहण के दौरान डेटा को संग्रहीत करने के लिए अधिक जगह की आवश्यकता होती है। संसाधित किए जाने वाले डेटा को कम करने, भंडारण को बचाने और जटिलता को कम करने के लिए, इन लक्ष्यों को प्राप्त करने के लिए मल्टीरेट सैंपलिंग तकनीकें पेश की गईं। फ़िल्टर बैंकों का उपयोग विभिन्न क्षेत्रों में किया जा सकता है, जैसे कि इमेज कोडिंग, वॉयस कोडिंग, रडार आदि। कई 1डी फिल्टर मुद्दों का अच्छी तरह से अध्ययन किया गया और शोधकर्ताओं ने कई 1डी फिल्टर बैंक डिजाइन दृष्टिकोण प्रस्तावित किए। लेकिन अभी भी कई बहुआयामी फ़िल्टर बैंक डिज़ाइन समस्याएं हैं जिन्हें हल करने की आवश्यकता है। कुछ विधियाँ संकेत का अच्छी तरह से पुनर्निर्माण नहीं कर सकती हैं, कुछ विधियाँ जटिल हैं और उन्हें लागू करना कठिन है। एक बहु-आयामी फिल्टर बैंक को डिजाइन करने का सबसे सरल तरीका एक वृक्ष संरचना के रूप में 1 डी फिल्टर बैंकों को कैस्केड करना है जहां डेसिमेशन मैट्रिक्स विकर्ण होता है और डेटा को प्रत्येक आयाम में अलग से संसाधित किया जाता है। ऐसी प्रणालियों को पृथक्कृत करने योग्य प्रणालियाँ कहा जाता है। हालाँकि, फ़िल्टर बैंकों के लिए समर्थन का क्षेत्र अलग नहीं हो सकता है। उस स्थिति में फिल्टर बैंक की डिजाइनिंग जटिल हो जाती है। ज्यादातर मामलों में हम गैर-पृथक्कृत प्रणालियों से निपटते हैं। एक फिल्टर बैंक में एक विश्लेषण चरण और एक संश्लेषण चरण होता है। प्रत्येक चरण में समानांतर रूप से फिल्टर का एक सेट होता है। फ़िल्टर बैंक डिज़ाइन विश्लेषण और संश्लेषण चरणों में फ़िल्टरों का डिज़ाइन है। विश्लेषण फिल्टर अनुप्रयोग आवश्यकताओं के आधार पर संकेत को अतिव्यापी या गैर-अतिव्यापी उपबंधों में विभाजित करते हैं। जब इन फिल्टरों के आउटपुट को जोड़ा जाता है तो सिंथेसिस फिल्टर को सबबैंड से इनपुट सिग्नल को फिर से बनाने के लिए डिज़ाइन किया जाना चाहिए। प्रसंस्करण आमतौर पर विश्लेषण चरण के बाद किया जाता है। इन फिल्टर बैंकों को अनंत आवेग प्रतिक्रिया (आई. आई. आर.) या परिमित आवेग प्रतिक्रिया (एफ. आई. आर.) के रूप में डिज़ाइन किया जा सकता है। डेटा दर को कम करने के लिए, डाउनसैंपलिंग और अपसैंपलिंग क्रमशः विश्लेषण और संश्लेषण चरणों में किए जाते हैं। मौजूदा दृष्टिकोण बहुआयामी फिल्टर बैंकों के डिजाइन पर नीचे कई दृष्टिकोण दिए गए हैं। अधिक जानकारी के लिए, कृपया मूल संदर्भ देखें। बहुआयामी पूर्ण-निर्माण फ़िल्टर बैंक जब विभाजित संकेत को मूल संकेत पर वापस लाना आवश्यक होता है, तो पूर्ण-निर्माण (पी. आर.) फ़िल्टर बैंक का उपयोग किया जा सकता है। मान लीजिए कि H (z) एक फिल्टर का स्थानांतरण कार्य है। फ़िल्टर के आकार को प्रत्येक आयाम में संबंधित बहुपद के क्रम के रूप में परिभाषित किया गया है। एक बहुपद की समरूपता या विरोधी समरूपता संबंधित फिल्टर के रैखिक चरण गुण को निर्धारित करती है और इसके आकार से संबंधित होती है। 1डी मामले की तरह, 2 चैनल फिल्टर बैंक के लिए उपनाम शब्द ए (जेड) और स्थानांतरण कार्य टी (जेड) हैंः ए (जेड) = 1/2 (एच0 (-जेड) एफ0 (जेड) + एच1 (-जेड) एफ1 (जेड); टी (जेड) = 1/2 (एच0 (जेड) एफ0 (जेड) + एच1 (जेड) एफ1 (जेड), जहां एच0 और एच1 अपघटन फिल्टर हैं, और एफ0 और एफ1 पुनर्निर्माण फिल्टर हैं। इनपुट संकेत को पूरी तरह से फिर से बनाया जा सकता है यदि उपनाम शब्द को रद्द कर दिया जाता है और T (z) एक एकाक्षर के बराबर होता है। अतः आवश्यक शर्त यह है कि T '(z) आम तौर पर सममित और विषम आकार का हो। रैखिक चरण पीआर फिल्टर छवि प्रसंस्करण के लिए बहुत उपयोगी हैं। इस दो-चैनल फ़िल्टर बैंक को लागू करना अपेक्षाकृत आसान है। लेकिन कभी-कभी दो चैनल पर्याप्त नहीं होते हैं। बहु-चैनल फिल्टर बैंक उत्पन्न करने के लिए दो-चैनल फिल्टर बैंकों को कैस्केड किया जा सकता है। बहुआयामी दिशात्मक फिल्टर बैंक और सतही एम-आयामी दिशात्मक फिल्टर बैंक (एम. डी. एफ. बी.) फिल्टर बैंकों का एक परिवार है जो एक सरल और कुशल वृक्ष-संरचित निर्माण के साथ मनमाने एम-आयामी संकेतों के दिशात्मक अपघटन को प्राप्त कर सकता है। इसके कई विशिष्ट गुण हैं जैसे-दिशात्मक अपघटन, कुशल वृक्ष निर्माण, कोणीय संकल्प और पूर्ण पुनर्निर्माण। सामान्य एम-आयामी मामले में, एम. डी. एफ. बी. के आदर्श आवृत्ति समर्थन हाइपरक्यूब-आधारित हाइपरपिरामिड हैं। एम. डी. एफ. बी. के लिए अपघटन का पहला स्तर एक एन-चैनल अनिर्धारित फिल्टर बैंक द्वारा प्राप्त किया जाता है, जिसके घटक फिल्टर एम-डी "घंटे का गिलास" के आकार के फिल्टर होते हैं जो क्रमशः डब्ल्यू1, डब्ल्यू. एम. अक्षों के साथ संरेखित होते हैं। उसके बाद, इनपुट संकेत को 2-डी पुनरावृत्त रूप से पुनः नमूनाकृत चेकरबोर्ड फ़िल्टर बैंकों आई. आर. सी. एल. आई. (एल. आई.) (आई = 2,3,., एम) की एक श्रृंखला द्वारा विघटित किया जाता है, जहां आई. आर. सी. एल. आई. (एल. आई.) आयाम जोड़ी (एन1, एन. आई.) द्वारा दर्शाए गए इनपुट संकेत के 2-डी स्लाइस पर संचालित होता है और सुपरस्क्रिप्ट (एल. आई.) का अर्थ है आई. आई. टी. एच. स्तर के फ़िल्टर बैंक के लिए अपघटन का स्तर। ध्यान दें कि, दूसरे स्तर से शुरू करते हुए, हम पिछले स्तर से प्रत्येक आउटपुट चैनल के लिए एक आईआरसी फिल्टर बैंक संलग्न करते हैं, और इसलिए पूरे फिल्टर में कुल 2 (एल1 +. + एलएन) आउटपुट चैनल होते हैं। बहुआयामी अति नमूना फ़िल्टर बैंक अति नमूना फ़िल्टर बैंक बहुस्तरीय फ़िल्टर बैंक होते हैं जहां विश्लेषण चरण में उत्पादन नमूनों की संख्या इनपुट नमूनों की संख्या से अधिक होती है। यह मजबूत अनुप्रयोगों के लिए प्रस्तावित है। अधिक नमूने वाले फ़िल्टर बैंकों का एक विशेष वर्ग बिना डाउनसैंपलिंग या अपसैंपलिंग के गैर-नमूने वाले फ़िल्टर बैंक हैं। एक अति नमूना फ़िल्टर बैंक के लिए सही पुनर्निर्माण स्थिति को पॉलीफ़ेज़ डोमेन में एक मैट्रिक्स व्युत्क्रम समस्या के रूप में कहा जा सकता है। आई. आई. आर. के अधिक नमूने वाले फिल्टर बैंक के लिए, वोलोविच और कैलाथ में सही पुनर्निर्माण का अध्ययन किया गया है। नियंत्रण सिद्धांत के संदर्भ में। जबकि एफ. आई. आर. के अधिक नमूने वाले फ़िल्टर बैंक के लिए हमें 1-डी और एम. डी. के लिए अलग-अलग रणनीति का उपयोग करना पड़ता है। एफ. आई. आर. फ़िल्टर अधिक लोकप्रिय हैं क्योंकि इसे लागू करना आसान है। 1-डी अधिक नमूने वाले एफ. आई. आर. फिल्टर बैंकों के लिए, यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म मैट्रिक्स व्युत्क्रम समस्या में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। हालांकि, बहुआयामी (एम. डी.) फिल्टर के लिए यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म विफल हो जाता है। एम. डी. फ़िल्टर के लिए, हम एफ. आई. आर. प्रतिनिधित्व को बहुपद प्रतिनिधित्व में परिवर्तित कर सकते हैं। और फिर बहुआयामी अति नमूना फ़िल्टर बैंकों की संरचना और पुनर्निर्माण स्थिति प्राप्त करने के लिए बीजगणितीय ज्यामिति और ग्रोबनर आधार का उपयोग करें। बहुआयामी गैर-नमूना एफ. आई. आर. फ़िल्टर बैंक गैर-नमूना फ़िल्टर बैंक विशेष रूप से बिना डाउनसैंपलिंग या अपसैंपलिंग के अधिक नमूना फ़िल्टर बैंक हैं। गैर-नमूना एफ. आई. आर. फिल्टर बैंकों के लिए सही पुनर्निर्माण स्थिति एक वेक्टर व्युत्क्रम समस्या की ओर ले जाती हैः विश्लेषण फिल्टर दिए जाते हैं और एफ. आई. आर., और लक्ष्य एफ. आई. आर. संश्लेषण फिल्टर का एक सेट संतोषजनक खोजना है। ग्रोबनर आधारों का उपयोग करना जैसा कि बहुआयामी फिल्टर बैंकों को बहुभिन्नरूपी तर्कसंगत मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया जा सकता है, यह विधि एक बहुत ही प्रभावी उपकरण है जिसका उपयोग बहुआयामी फिल्टर बैंकों से निपटने के लिए किया जा सकता है। चारो में, एक बहुभिन्नरूपी बहुपद मैट्रिक्स-फैक्टराइजेशन एल्गोरिथ्म पेश किया जाता है और चर्चा की जाती है। सबसे आम समस्या सही पुनर्निर्माण के लिए बहुआयामी फिल्टर बैंक है। यह लेख इस लक्ष्य को प्राप्त करने की विधि के बारे में बात करता है जो रैखिक चरण की सीमित स्थिति को संतुष्ट करता है। शोधपत्र के विवरण के अनुसार, गुणनखंडन में कुछ नए परिणामों पर चर्चा की गई है और बहुआयामी रैखिक चरण पूर्ण पुनर्निर्माण सीमित-आवेग प्रतिक्रिया फिल्टर बैंकों के मुद्दों पर लागू किया जा रहा है। ग्रोबनर आधारों की मूल अवधारणा एडम्स में दी गई है। मल्टीवेरिएट मैट्रिक्स फैक्टराइजेशन पर आधारित इस दृष्टिकोण का उपयोग विभिन्न क्षेत्रों में किया जा सकता है। बहुपद आदर्शों और मॉड्यूल के एल्गोरिदमिक सिद्धांत को बहुआयामी संकेतों के प्रसंस्करण, संपीड़न, संचरण और डिकोडिंग में समस्याओं का समाधान करने के लिए संशोधित किया जा सकता है। सामान्य बहुआयामी फिल्टर बैंक (चित्र 7) को विश्लेषण और संश्लेषण पॉलीफ़ेज़ मैट्रिक्स और आकार की एक जोड़ी द्वारा दर्शाया जा सकता है, जहां एन चैनलों की संख्या है और नमूना मैट्रिक्स के निर्धारक का पूर्ण मूल्य है। इसके अलावा और विश्लेषण और संश्लेषण फिल्टर के पॉलीफ़ेज़ घटकों के जेड-परिवर्तन हैं। इसलिए, वे बहुभिन्नरूपी लॉरेंट बहुपद हैं, जिनका सामान्य रूप हैः लॉरेंट बहुपद मैट्रिक्स समीकरण को सही पुनर्निर्माण फिल्टर बैंकों को डिजाइन करने के लिए हल करने की आवश्यकता हैः बहुआयामी बहुपदों के साथ बहुआयामी मामले में हमें ग्रोबनर आधारों के सिद्धांत और एल्गोरिदम का उपयोग करने की आवश्यकता है। ग्रोबनर आधारों का उपयोग पूर्ण पुनर्निर्माण बहुआयामी फिल्टर बैंकों को चिह्नित करने के लिए किया जा सकता है, लेकिन इसे पहले बहुपद मैट्रिक्स से लॉरेंट बहुपद मैट्रिक्स तक विस्तारित करने की आवश्यकता है। ग्रोबनर-आधार गणना को बहुपद मैट्रिक्स समीकरण को हल करने के लिए गॉसियन उन्मूलन के रूप में माना जा सकता है। यदि हमारे पास बहुपद वैक्टर का सेट है तो बहुपद कहाँ हैं। मॉड्यूल रैखिक बीजगणित में वैक्टरों के एक समूह की अवधि के अनुरूप है। ग्रोबनर आधारों के सिद्धांत का तात्पर्य है कि मॉड्यूल में बहुपदों में शक्ति उत्पादों के दिए गए क्रम के लिए एक अद्वितीय कम ग्रोबनर आधार है। यदि हम ग्रोबनर आधार को परिभाषित करते हैं, तो इसे कमी (विभाजन) चरणों के एक सीमित अनुक्रम से प्राप्त किया जा सकता है। रिवर्स इंजीनियरिंग का उपयोग करके, हम एक परिवर्तन मैट्रिक्स के माध्यम से मूल वैक्टर के संदर्भ में आधार वैक्टर की गणना कर सकते हैंः मानचित्रण-आधारित बहुआयामी फ़िल्टर बैंक अच्छी आवृत्ति प्रतिक्रियाओं के साथ फ़िल्टर डिजाइन करना ग्रोबनर आधार दृष्टिकोण के माध्यम से चुनौतीपूर्ण है। मानचित्रण आधारित डिजाइन लोकप्रिय रूप से अच्छी आवृत्ति प्रतिक्रियाओं के साथ गैर-विभाजित बहुआयामी फिल्टर बैंकों को डिजाइन करने के लिए उपयोग किया जाता है। मानचित्रण दृष्टिकोण में फिल्टर के प्रकार पर कुछ प्रतिबंध हैं; हालाँकि, यह कई महत्वपूर्ण लाभ लाता है, जैसे कि उठाने/सीढ़ी संरचनाओं के माध्यम से कुशल कार्यान्वयन। यहाँ हम सैंपलिंग मैट्रिक्स के साथ 2डी में दो-चैनल फ़िल्टर बैंकों का एक उदाहरण प्रदान करते हैं हमारे पास चैनल फ़िल्टर की आदर्श आवृत्ति प्रतिक्रियाओं के कई संभावित विकल्प होंगे। (ध्यान दें कि अन्य दो फिल्टर और पूरक क्षेत्रों पर समर्थित हैं।) चित्र में सभी आवृत्ति क्षेत्रों को आयताकार जाली द्वारा आलोचनात्मक रूप से नमूना लिया जा सकता है। तो कल्पना कीजिए कि फ़िल्टर बैंक एफ़. आई. आर. फ़िल्टर के साथ सही पुनर्निर्माण प्राप्त करता है। फिर पॉलीफ़ेज़ डोमेन कैरेक्टराइजेशन से यह पता चलता है कि फ़िल्टर H1 (z) और G1 (z) पूरी तरह से क्रमशः H0 (z) और G0 (z) द्वारा निर्दिष्ट किए जाते हैं। इसलिए, हमें H0 (x) और G0 (z) को डिज़ाइन करने की आवश्यकता है जिसमें वांछित आवृत्ति प्रतिक्रियाएं हों और पॉलीफ़ेज़-डोमेन स्थितियों को संतुष्ट करें। विभिन्न मानचित्रण तकनीकें हैं जिनका उपयोग उपरोक्त परिणाम प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है। आवृत्ति क्षेत्र में फिल्टर-बैंक डिजाइन जब सही पुनर्निर्माण की आवश्यकता नहीं होती है, तो एफ. आई. आर. फिल्टर का उपयोग करने के बजाय आवृत्ति क्षेत्र में काम करके डिजाइन समस्या को सरल बनाया जा सकता है। ध्यान दें कि फ्रीक्वेंसी डोमेन विधि गैर-नमूना फ़िल्टर बैंकों (पढ़ें) के डिज़ाइन तक सीमित नहीं है। डायरेक्ट फ्रीक्वेंसी-डोमेन ऑप्टिमाइजेशन 2-चैनल फिल्टर बैंकों को डिजाइन करने के लिए कई मौजूदा तरीके परिवर्तनीय तकनीक के परिवर्तन पर आधारित हैं। उदाहरण के लिए, मैकक्लेलन परिवर्तन का उपयोग 1-डी 2-चैनल फिल्टर बैंकों को डिजाइन करने के लिए किया जा सकता है। हालाँकि 2-डी फ़िल्टर बैंकों में 1-डी प्रोटोटाइप के साथ कई समान गुण हैं, लेकिन 2-चैनल से अधिक मामलों में इसका विस्तार करना मुश्किल है। गुयेन में, लेखक आवृत्ति क्षेत्र में प्रत्यक्ष अनुकूलन द्वारा बहुआयामी फिल्टर बैंकों के डिजाइन के बारे में बात करते हैं। यहाँ प्रस्तावित विधि मुख्य रूप से एम-चैनल 2डी फिल्टर बैंकों के डिजाइन पर केंद्रित है। विधि आवृत्ति समर्थन विन्यास के प्रति लचीली है। आवृत्ति क्षेत्र में अनुकूलन द्वारा डिजाइन किए गए 2डी फिल्टर बैंकों का उपयोग वेई और लू में किया गया है। गुयेन के पेपर में, प्रस्तावित विधि दो-चैनल 2 डी फिल्टर बैंकों के डिजाइन तक सीमित नहीं है; दृष्टिकोण को किसी भी महत्वपूर्ण उप-नमूना मैट्रिक्स के साथ एम-चैनल फिल्टर बैंकों के लिए सामान्यीकृत किया गया है। कागज में कार्यान्वयन के अनुसार, इसका उपयोग 8-चैनल 2 डी फिल्टर बैंकों के डिजाइन को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है। (6) रिवर्स जैकेट मैट्रिक्स ली के 1999 के पेपर में, लेखक रिवर्स जैकेट मैट्रिक्स का उपयोग करके बहुआयामी फिल्टर बैंक डिजाइन के बारे में बात करते हैं। मान लीजिए कि H, n क्रम का एक हैडमर्ड मैट्रिक्स है, H का ट्रांसपोज़ इसके व्युत्क्रम से निकटता से संबंधित है। सही सूत्र हैः, जहाँ इन एन × एन आइडेंटिटी मैट्रिक्स है और एचटी एच का ट्रांसपोज़ है। 1999 के पेपर में, लेखक रिवर्स जैकेट मैट्रिक्स [आरजे] एन को हैडमर्ड मैट्रिक्स और भारित हैडमर्ड मैट्रिक्स का उपयोग करके सामान्यीकृत करते हैं। इस लेख में, लेखकों ने प्रस्ताव दिया कि 128 नल वाले एफ. आई. आर. फिल्टर का उपयोग मूल फिल्टर के रूप में किया जाए, और आर. जे. मैट्रिक्स के लिए क्षय कारक की गणना की जाए। उन्होंने विभिन्न मापदंडों के आधार पर अनुकरण किया और कम क्षय कारक में अच्छी गुणवत्ता वाले प्रदर्शन प्राप्त किए। दिशात्मक फिल्टर बैंक बैम्बरगर और स्मिथ ने 2डी दिशात्मक फिल्टर बैंक (डी. एफ. बी.) का प्रस्ताव रखा। डी. एफ. बी. को एक एल-स्तर के वृक्ष-संरचित अपघटन के माध्यम से कुशलता से लागू किया जाता है जो वेज के आकार के आवृत्ति विभाजन के साथ उपबंधों की ओर ले जाता है (चित्र देखें)। डी. एफ. बी. के मूल निर्माण में इनपुट संकेत को संशोधित करना और हीरे के आकार के फिल्टर का उपयोग करना शामिल है। इसके अलावा, वांछित आवृत्ति विभाजन प्राप्त करने के लिए, एक जटिल वृक्ष विस्तार नियम का पालन करना होगा। नतीजतन, परिणामी सबबैंड के लिए आवृत्ति क्षेत्र एक सरल क्रम का पालन नहीं करते हैं जैसा कि चैनल सूचकांकों के आधार पर चित्र 9 में दिखाया गया है। डी. एफ. बी. का पहला लाभ यह है कि यह न केवल एक अनावश्यक परिवर्तन है, बल्कि यह पूर्ण पुनर्निर्माण भी प्रदान करता है। डी. एफ. बी. का एक अन्य लाभ इसकी दिशात्मक-चयनशीलता और कुशल संरचना है। यह लाभ डी. एफ. बी. को कई संकेत और छवि प्रसंस्करण उपयोग के लिए एक उपयुक्त दृष्टिकोण बनाता है। (उदाहरण के लिए, लैपलेसियन पिरामिड ने समोच्च, विरल छवि प्रतिनिधित्व, चिकित्सा इमेजिंग, आदि का निर्माण किया)। दिशात्मक फ़िल्टर बैंकों को उच्च आयामों के लिए विकसित किया जा सकता है। आवृत्ति विभाजन प्राप्त करने के लिए इसका उपयोग 3-डी में किया जा सकता है। फिल्टर-बैंक ट्रांससीवर फिल्टर बैंक वाइडबैंड वायरलेस संचार में भौतिक परत के लिए महत्वपूर्ण तत्व हैं, जहां समस्या कई चैनलों का कुशल बेस-बैंड प्रसंस्करण है। एक फिल्टर-बैंक-आधारित ट्रांससीवर वास्तुकला गैर-सन्निहित चैनलों के मामले में पिछली योजनाओं द्वारा देखी गई मापनीयता और दक्षता के मुद्दों को समाप्त करती है। फिल्टर बैंक के कारण होने वाले प्रदर्शन क्षरण को कम करने के लिए उपयुक्त फिल्टर डिजाइन आवश्यक है। सार्वभौमिक रूप से लागू डिजाइन प्राप्त करने के लिए, तरंग प्रारूप, चैनल सांख्यिकी और कोडिंग/डिकोडिंग योजना के बारे में हल्की धारणाएं की जा सकती हैं। शोधात्मक और इष्टतम डिजाइन विधियों दोनों का उपयोग किया जा सकता है, और कम जटिलता के साथ उत्कृष्ट प्रदर्शन संभव है जब तक कि ट्रांससीवर एक उचित रूप से बड़े ओवरसैम्पलिंग कारक के साथ काम करता है। ओ. एफ. डी. एम. संचरण एक व्यावहारिक अनुप्रयोग है, जहाँ वे छोटी अतिरिक्त जटिलता के साथ बहुत अच्छा प्रदर्शन प्रदान करते हैं। टिप्पणियाँ संदर्भ आगे पढ़ने के लिए डिजिटल संकेत प्रसंस्करण रैखिक फ़िल्टर वेवलेट