Linear time-invariant system
प्रणाली विश्लेषण में, अध्ययन के अन्य क्षेत्रों के बीच, एक रैखिक समय-अपरिवर्तनीय (एल. टी. आई.) प्रणाली एक ऐसी प्रणाली है जो रैखिकता और समय-विचलन की बाधाओं के अधीन किसी भी इनपुट संकेत से एक आउटपुट संकेत का उत्पादन करती है; इन शब्दों को संक्षेप में नीचे परिभाषित किया गया है। ये गुण कई महत्वपूर्ण भौतिक प्रणालियों पर (बिल्कुल या लगभग) लागू होते हैं, इस मामले में एक मनमाने इनपुट के लिए प्रणाली की प्रतिक्रिया सीधे कन्वोलुशन का उपयोग करके पाई जा सकती हैः जहां इसे प्रणाली की आवेग प्रतिक्रिया कहा जाता है और ऱ्ऱं कन्वोलुशन का प्रतिनिधित्व करता है (गुणन के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए)। इसके अलावा, ऐसी किसी भी प्रणाली (निर्धारण) को हल करने के लिए व्यवस्थित तरीके हैं, जबकि दोनों गुणों को पूरा नहीं करने वाली प्रणालियों को विश्लेषणात्मक रूप से हल करना आम तौर पर अधिक कठिन (या असंभव) होता है। एल. टी. आई. प्रणाली का एक अच्छा उदाहरण कोई भी विद्युत परिपथ है जिसमें प्रतिरोधक, संधारित्र, प्रेरक और रैखिक प्रवर्धक होते हैं। रैखिक समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली सिद्धांत का उपयोग छवि प्रसंस्करण में भी किया जाता है, जहां प्रणालियों में एक अस्थायी आयाम के बजाय या इसके अलावा स्थानिक आयाम होते हैं। शब्दावली को सबसे सामान्य पहुंच देने के लिए इन प्रणालियों को रैखिक अनुवाद-अपरिवर्तनीय के रूप में संदर्भित किया जा सकता है। जेनेरिक डिस्क्रीट-टाइम (अर्थात, नमूना) प्रणालियों के मामले में, रैखिक शिफ्ट-इनवेरिएंट संबंधित शब्द है। एल. टी. आई. प्रणाली सिद्धांत अनुप्रयुक्त गणित का एक क्षेत्र है जिसमें विद्युत परिपथ विश्लेषण और डिजाइन, संकेत प्रसंस्करण और फिल्टर डिजाइन, नियंत्रण सिद्धांत, यांत्रिक इंजीनियरिंग, छवि प्रसंस्करण, कई प्रकार के माप उपकरणों की डिजाइन, एन. एम. आर. स्पेक्ट्रोस्कोपी और कई अन्य तकनीकी क्षेत्रों में प्रत्यक्ष अनुप्रयोग हैं जहां साधारण विभेदक समीकरणों की प्रणालियां खुद को प्रस्तुत करती हैं। अवलोकन किसी भी एल. टी. आई. प्रणाली के परिभाषित गुण रैखिकता और समय अपरिवर्तनीयता हैं। रैखिकता का अर्थ है कि इनपुट और आउटपुट के बीच संबंध, दोनों को कार्यों के रूप में माना जा रहा है, एक रैखिक मानचित्रण हैः यदि एक स्थिरांक है तो सिस्टम आउटपुट है; यदि सिस्टम आउटपुट के साथ एक और इनपुट है तो सिस्टम का आउटपुट है, यह, के सभी विकल्पों के लिए लागू होता है। बाद की स्थिति को अक्सर सुपरपोजिशन सिद्धांत के रूप में संदर्भित किया जाता है। समय अपरिवर्तनीयता का अर्थ है कि चाहे हम अब सिस्टम पर एक इनपुट लागू करें या अब से टी सेकंड, टी सेकंड के समय विलंब को छोड़कर आउटपुट समान होगा। अर्थात्, यदि इनपुट के कारण आउटपुट है, तो इनपुट के कारण आउटपुट है। इसलिए, प्रणाली समय अपरिवर्तनीय है क्योंकि आउटपुट उस विशेष समय पर निर्भर नहीं करता है जब इनपुट लागू किया जाता है। एल. टी. आई. प्रणाली सिद्धांत में मौलिक परिणाम यह है कि किसी भी एल. टी. आई. प्रणाली को पूरी तरह से एक ही कार्य द्वारा चिह्नित किया जा सकता है जिसे प्रणाली की आवेग प्रतिक्रिया कहा जाता है। सिस्टम का आउटपुट केवल सिस्टम की आवेग प्रतिक्रिया के साथ सिस्टम में इनपुट का कन्वोलुशन है। इसे निरंतर समय प्रणाली कहा जाता है। इसी तरह, एक असतत-समय रैखिक समय-अपरिवर्तनीय (या, अधिक सामान्य रूप से, "शिफ्ट-अपरिवर्तनीय") प्रणाली को असतत समय में काम करने वाले के रूप में परिभाषित किया गया हैः जहां y, x, और h अनुक्रम हैं और असतत समय में अभिसरण, एक समाकलन के बजाय एक असतत योग का उपयोग करता है। एल. टी. आई. प्रणालियों को आवृत्ति क्षेत्र में प्रणाली के स्थानांतरण कार्य द्वारा भी चिह्नित किया जा सकता है, जो प्रणाली की आवेग प्रतिक्रिया (या असतत-समय प्रणालियों के मामले में जेड परिवर्तन) का लाप्लास परिवर्तन है। इन परिवर्तनों के गुणों के परिणामस्वरूप, आवृत्ति क्षेत्र में प्रणाली का उत्पादन स्थानांतरण कार्य और इनपुट के परिवर्तन का उत्पाद है। दूसरे शब्दों में, समय क्षेत्र में अभिसरण आवृत्ति क्षेत्र में गुणन के बराबर है। सभी एल. टी. आई. प्रणालियों के लिए, आइगेनफ़ंक्शंस, और परिवर्तनों के आधार कार्य, जटिल घातांक हैं। यह है, यदि किसी प्रणाली के लिए इनपुट कुछ जटिल आयाम और जटिल आवृत्ति के लिए जटिल तरंग रूप है, तो आउटपुट कुछ नए जटिल आयाम के लिए इनपुट का कुछ जटिल स्थिरांक गुना होगा। अनुपात आवृत्ति पर स्थानांतरण फलन है। चूँकि साइनसॉइड जटिल-संयुग्मित आवृत्तियों के साथ जटिल घातांकों का एक योग है, यदि प्रणाली के लिए इनपुट एक साइनसॉइड है, तो प्रणाली का आउटपुट भी एक साइनसॉइड होगा, शायद एक अलग आयाम और एक अलग चरण के साथ, लेकिन हमेशा स्थिर-अवस्था तक पहुंचने पर समान आवृत्ति के साथ। एल. टी. आई. प्रणालियाँ आवृत्ति घटकों का उत्पादन नहीं कर सकती हैं जो इनपुट में नहीं हैं। एल. टी. आई. प्रणाली सिद्धांत कई महत्वपूर्ण प्रणालियों का वर्णन करने में अच्छा है। अधिकांश एल. टी. आई. प्रणालियों को विश्लेषण करने के लिए "आसान" माना जाता है, कम से कम समय-परिवर्तन और/या गैर-रैखिक मामले की तुलना में। कोई भी प्रणाली जिसे स्थिर गुणांक के साथ एक रैखिक विभेदक समीकरण के रूप में मॉडल किया जा सकता है, एक एल. टी. आई. प्रणाली है। ऐसी प्रणालियों के उदाहरण प्रतिरोधक, प्रेरक और संधारित्र (आर. एल. सी. परिपथ) से बने विद्युत परिपथ हैं। आदर्श स्प्रिंग-मास-डैम्पर सिस्टम भी एल. टी. आई. सिस्टम हैं, और गणितीय रूप से आर. एल. सी. सर्किट के बराबर हैं। अधिकांश एल. टी. आई. प्रणाली अवधारणाएँ निरंतर-समय और असतत-समय (रैखिक बदलाव-अपरिवर्तनीय) मामलों के बीच समान होती हैं। छवि प्रसंस्करण में, समय चर को दो स्थान चर के साथ प्रतिस्थापित किया जाता है, और समय अपरिवर्तनीयता की धारणा को द्वि-आयामी परिवर्तन अपरिवर्तनीयता द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। फिल्टर बैंकों और एम. आई. एम. ओ. प्रणालियों का विश्लेषण करते समय, संकेतों के वैक्टरों पर विचार करना अक्सर उपयोगी होता है। एक रैखिक प्रणाली जो समय-अपरिवर्तनीय नहीं है, उसे ग्रीन फ़ंक्शन विधि जैसे अन्य दृष्टिकोणों का उपयोग करके हल किया जा सकता है। निरंतर-समय प्रणालियाँ आवेग प्रतिक्रिया और अभिसरण इनपुट संकेत x (t) और आउटपुट संकेत y (t) के साथ एक रैखिक, निरंतर-समय, समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली के व्यवहार को अभिसरण समाकलन द्वारा वर्णित किया जाता हैः {।।।।।।।। (कम्यूटेटिविटी का उपयोग करते हुए)।} जहां एक आवेग के लिए प्रणाली की प्रतिक्रिया हैः इसलिए यह इनपुट फलन के भारित औसत के समानुपाती है। भार फलन, केवल राशि द्वारा स्थानांतरित किया जाता है। जैसे-जैसे परिवर्तन होता है, वेटिंग फ़ंक्शन इनपुट फ़ंक्शन के विभिन्न हिस्सों पर जोर देता है। सभी नकारात्मक के लिए शून्य कब है, यह केवल समय से पहले के मूल्यों पर निर्भर करता है, और प्रणाली को कारणात्मक कहा जाता है। यह समझने के लिए कि कन्वोलुशन एल. टी. आई. प्रणाली के आउटपुट का उत्पादन क्यों करता है, मान लीजिए कि संकेतन चर और स्थिर के साथ कार्य का प्रतिनिधित्व करता है। और छोटे संकेतन को प्रतिनिधित्व करने दें। फिर एक निरंतर-समय प्रणाली एक इनपुट फ़ंक्शन को एक आउटपुट फ़ंक्शन में बदल देती है। और सामान्य तौर पर, आउटपुट का प्रत्येक मूल्य इनपुट के प्रत्येक मूल्य पर निर्भर कर सकता है। इस अवधारणा को इस प्रकार दर्शाया गया हैः समय के लिए परिवर्तन प्रचालक कहाँ है। एक विशिष्ट प्रणाली में, निकट समय में हुए मूल्यों पर सबसे अधिक निर्भर करता है। जब तक परिवर्तन स्वयं के साथ नहीं बदलता है, तब तक आउटपुट कार्य केवल स्थिर रहता है, और प्रणाली रुचिहीन होती है। एक रैखिक प्रणाली के लिए, संतुष्ट होना चाहिएः और समय-विचलन की आवश्यकता हैः इस संकेतन में, हम आवेग प्रतिक्रिया को इस रूप में लिख सकते हैं इसी तरहः इस परिणाम को कन्वोलुशन इंटीग्रल में प्रतिस्थापित करनाः जिसमें मामले के लिए दाईं ओर का रूप होता है और फिर इस निरंतरता की अनुमति देता हैः संक्षेप में, इनपुट फ़ंक्शन को समय-स्थानांतरित आवेग कार्यों की निरंतरता द्वारा दर्शाया जा सकता है, जैसा कि संयुक्त रूप से "रैखिक रूप से" दिखाया गया है। प्रणाली की रैखिकता गुण प्रणाली की प्रतिक्रिया को उसी तरह संयुक्त रूप से आवेग प्रतिक्रियाओं की संबंधित निरंतरता द्वारा दर्शाए जाने की अनुमति देता है। और समय-विचलन गुण उस संयोजन को कन्वोलुशन इंटीग्रल द्वारा दर्शाए जाने की अनुमति देता है। ऊपर दिए गए गणितीय संचालन में एक सरल चित्रमय अनुकरण है। आइगेनफंक्शंस के रूप में एक्सपोनेंशियल एक आइगेनफंक्शंस एक ऐसा फंक्शन है जिसके लिए ऑपरेटर का आउटपुट उसी फंक्शन का एक स्केल्ड वर्जन है। अर्थात्, जहाँ f आइगेनफंक्शन है और आइगेनवैल्यू, एक स्थिरांक है। घातीय फलन, जहाँ, एक रैखिक, समय-अपरिवर्तनीय प्रचालक के आइगेनफ़ंक्शंस हैं। एक सरल प्रमाण इस अवधारणा को स्पष्ट करता है। मान लीजिए कि इनपुट है। आवेग प्रतिक्रिया के साथ प्रणाली का आउटपुट तब होता है, जो कन्वोलुशन के कम्यूटेटिव गुण से, बराबर होता है जहां स्केलर केवल पैरामीटर s पर निर्भर होता है। इसलिए प्रणाली की प्रतिक्रिया इनपुट का एक स्केल किया हुआ संस्करण है। विशेष रूप से, किसी भी के लिए, सिस्टम आउटपुट इनपुट और स्थिरांक का उत्पाद है। इसलिए, एक एल. टी. आई. प्रणाली का एक आइगेनफंक्शन है, और संबंधित आइगेनवैल्यू है। प्रत्यक्ष प्रमाण एल. टी. आई. प्रणालियों के आइगेनफंक्शंस के रूप में सीधे जटिल घातांक प्राप्त करना भी संभव है। आइए इसका कुछ जटिल घातीय और समय-परिवर्तित संस्करण निर्धारित करें। स्थिरांक के संबंध में रैखिकता द्वारा। समय की अपरिवर्तनीयता से। तो। सेटिंग और नाम बदलने से हमें मिलता हैः अर्थात। कि इनपुट के रूप में एक जटिल घातांक आउटपुट के समान आवृत्ति का एक जटिल घातांक देगा। फूरियर और लाप्लास परिवर्तन एल. टी. आई. प्रणालियों में विश्लेषण और अंतर्दृष्टि दोनों के लिए घातांक का आइगेनफ़ंक्शन गुण बहुत उपयोगी है। एकतरफा लाप्लास परिवर्तन वास्तव में आवेग प्रतिक्रिया से आइगेनवैल्यू प्राप्त करने का तरीका है। विशेष रुचि के शुद्ध साइनसॉइड (यानी, जहाँ और के रूप के घातीय कार्य) हैं। फूरियर रूपांतरण शुद्ध जटिल साइनसॉइड्स के लिए आइगेनवैल्यू देता है। दोनों को सिस्टम फंक्शन, सिस्टम रेस्पॉन्स या ट्रांसफर फंक्शन कहा जाता है। लाप्लास परिवर्तन का उपयोग आमतौर पर एकतरफा संकेतों के संदर्भ में किया जाता है, अर्थात। संकेत जो कुछ मूल्य से कम t के सभी मूल्यों के लिए शून्य हैं। आमतौर पर, इस "प्रारंभ समय" को सुविधा के लिए और व्यापकता के नुकसान के बिना शून्य पर सेट किया जाता है, जिसमें परिवर्तन समाकलन को शून्य से अनंत तक ले जाया जाता है (नकारात्मक अनंत के एकीकरण की निचली सीमा के साथ ऊपर दिखाया गया परिवर्तन औपचारिक रूप से द्विपक्षीय लाप्लास परिवर्तन के रूप में जाना जाता है)। फूरियर परिवर्तन का उपयोग उन प्रणालियों के विश्लेषण के लिए किया जाता है जो उन संकेतों को संसाधित करते हैं जो सीमा में अनंत हैं, जैसे कि मॉड्यूलेटेड साइनसॉइड, भले ही इसे सीधे इनपुट और आउटपुट संकेतों पर लागू नहीं किया जा सकता है जो वर्ग समाकलन योग्य नहीं हैं। लाप्लास परिवर्तन वास्तव में इन संकेतों के लिए सीधे काम करता है यदि वे एक प्रारंभ समय से पहले शून्य हैं, भले ही वे स्थिर प्रणालियों के लिए वर्ग समाकलन योग्य न हों। फूरियर परिवर्तन को अक्सर वीनर-खिंचिन प्रमेय के माध्यम से अनंत संकेतों के स्पेक्ट्रा पर लागू किया जाता है, तब भी जब संकेतों के फूरियर परिवर्तन मौजूद नहीं होते हैं। इन दोनों परिवर्तनों के कन्वोलुशन गुण के कारण, जो कन्वोलुशन सिस्टम का आउटपुट देता है, उसे ट्रांसफॉर्म डोमेन में एक गुणन में परिवर्तित किया जा सकता है, जो संकेत दिए गए हैं जिनके लिए परिवर्तन मौजूद हैं। कोई भी व्यक्ति सीधे सिस्टम प्रतिक्रिया का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए कर सकता है कि उस लाप्लास परिवर्तन के साथ किसी सिस्टम द्वारा किसी विशेष आवृत्ति घटक को कैसे नियंत्रित किया जाता है। यदि हम जटिल आवृत्ति पर प्रणाली प्रतिक्रिया (आवेग प्रतिक्रिया का लाप्लास परिवर्तन) का मूल्यांकन करते हैं, जहां हम |H (s)। प्राप्त करते हैं जो आवृत्ति f के लिए प्रणाली लाभ है। उदाहरण महत्वपूर्ण प्रणाली गुण किसी प्रणाली के कुछ सबसे महत्वपूर्ण गुण कार्य-कारण और स्थिरता हैं। कारणता एक भौतिक प्रणाली के लिए एक आवश्यकता है जिसका स्वतंत्र चर समय है, हालांकि यह प्रतिबंध छवि प्रसंस्करण जैसे अन्य मामलों में मौजूद नहीं है। कार्य-कारण एक प्रणाली कार्य-कारण होती है यदि उत्पादन केवल वर्तमान और अतीत पर निर्भर करता है, लेकिन भविष्य के निवेश पर नहीं। कार्य-कारण के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त यह है कि आवेग प्रतिक्रिया कहाँ है। द्वि-पक्षीय लाप्लास परिवर्तन से कार्य-कारण निर्धारित करना सामान्य रूप से संभव नहीं है। हालांकि समय क्षेत्र में काम करते समय आम तौर पर एक तरफा लाप्लास परिवर्तन का उपयोग किया जाता है जिसके लिए कार्य-कारण की आवश्यकता होती है। स्थिरता एक प्रणाली बाउंडेड-इनपुट, बाउंडेड-आउटपुट स्टेबल (बी. आई. बी. ओ. स्टेबल) है यदि, प्रत्येक बाउंडेड इनपुट के लिए, आउटपुट फाइनाइट है। गणितीय रूप से, यदि प्रत्येक संतोषजनक इनपुट एक संतोषजनक आउटपुट की ओर ले जाता है (यानी, एक परिमित अधिकतम निरपेक्ष मूल्य का तात्पर्य एक सीमित अधिकतम निरपेक्ष मूल्य है), तो प्रणाली स्थिर है। एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त यह है कि आवेग प्रतिक्रिया, L1 में है (एक सीमित L1 मानक है): आवृत्ति क्षेत्र में, अभिसरण के क्षेत्र में काल्पनिक अक्ष होना चाहिए। एक उदाहरण के रूप में, एक सिंक फ़ंक्शन के बराबर आवेग प्रतिक्रिया के साथ आदर्श लो-पास फ़िल्टर बीआईबीओ स्थिर नहीं है, क्योंकि सिंक फ़ंक्शन में एक सीमित एल 1 मानक नहीं है। इस प्रकार, कुछ बाउंडेड इनपुट के लिए, आदर्श लो-पास फिल्टर का आउटपुट असीमित है। विशेष रूप से, यदि इनपुट के लिए शून्य है और के लिए कट-ऑफ आवृत्ति पर एक साइनसॉइड के बराबर है, तो आउटपुट शून्य क्रॉसिंग के अलावा सभी समय के लिए असीमित होगा। रैखिक समय-अपरिवर्तनीय विभेदक समीकरणों का समाधान प्राप्त करना दिए गए रूप में विभेदक समीकरणों की एक स्पष्ट रैखिक प्रणाली हैः अवस्था सदिश, प्रणाली मैट्रिक्स, इनपुट, इनपुट सदिश और प्रारंभिक स्थिति के साथ। घोल में एक सजातीय और एक कण भाग होता है। सजातीय समाधान सजातीय विभेदक समीकरण इनपुट को शून्य के बराबर निर्धारित करके प्राप्त किया जाता है। इस समाधान को अब टेलर श्रृंखला प्रतिनिधित्व का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता हैः इकाई मैट्रिक्स कहाँ है। इस समाधान को उपरोक्त समीकरण में प्रतिस्थापित करते हुए, कोई प्राप्त करता हैः अब अज्ञात मैट्रिक्स को गुणांक की तुलना करके निर्धारित किया जा सकता हैः निम्नलिखित संकेतन का उपयोग आमतौर पर मौलिक मैट्रिक्स के लिए किया जाता हैः विशेष समाधान मानते हुए और, निम्नानुसार हैः कण समाधान इस रूप में प्राप्त किया जाता हैः जहां एक अज्ञात कार्य सदिश है। उपरोक्त दो समीकरणों से निम्नलिखित निर्धारित किया जा सकता हैः मौलिक मैट्रिक्स के गुणों का उपयोग करके एकीकरण द्वारा प्राप्त किया जाता हैः इस प्रकार, हम अंत में एक रैखिक समय-अपरिवर्तनीय विभेदक समीकरण का समाधान प्राप्त करते हैंः असतत-समय प्रणालियाँ निरंतर-समय प्रणालियों में लगभग हर चीज का असतत-समय प्रणालियों में एक समकक्ष होता है। निरंतर-समय प्रणालियों से असतत-समय प्रणालियाँ कई संदर्भों में, एक असतत समय (डी. टी.) प्रणाली वास्तव में एक बड़ी निरंतर समय (सी. टी.) प्रणाली का हिस्सा है। उदाहरण के लिए, एक डिजिटल रिकॉर्डिंग प्रणाली एक एनालॉग ध्वनि लेती है, इसे डिजिटल बनाती है, संभवतः डिजिटल संकेतों को संसाधित करती है, और लोगों को सुनने के लिए एक एनालॉग ध्वनि बजाती है। व्यावहारिक प्रणालियों में, प्राप्त डी. टी. संकेत आमतौर पर सी. टी. संकेतों के समान रूप से नमूने वाले संस्करण होते हैं। यदि एक सी. टी. संकेत है, तो एक एनालॉग-से-डिजिटल कनवर्टर से पहले उपयोग किया जाने वाला नमूना परिपथ इसे डी. टी. संकेत में बदल देगाः जहाँ टी नमूना अवधि है। नमूना लेने से पहले, इनपुट संकेत को आम तौर पर एक तथाकथित निक्विस्ट फिल्टर के माध्यम से चलाया जाता है जो "तह आवृत्ति" 1/(2T) से ऊपर की आवृत्तियों को हटा देता है; यह गारंटी देता है कि फ़िल्टर किए गए संकेत में कोई जानकारी नहीं जाएगी। फ़िल्टरिंग के बिना, तह आवृत्ति (या न्यक्विस्ट आवृत्ति) से ऊपर के किसी भी आवृत्ति घटक को एक अलग आवृत्ति (इस प्रकार मूल संकेत को विकृत करते हुए) के लिए अलग किया जाता है, क्योंकि एक डीटी संकेत केवल तह आवृत्ति से कम आवृत्ति घटकों का समर्थन कर सकता है। आवेग प्रतिक्रिया और कन्वोलुशन आइए अनुक्रम का प्रतिनिधित्व करें और छोटे संकेतन को प्रतिनिधित्व करने दें एक असतत प्रणाली एक इनपुट अनुक्रम को एक आउटपुट अनुक्रम में बदल देती है, सामान्य तौर पर, आउटपुट का प्रत्येक तत्व इनपुट के प्रत्येक तत्व पर निर्भर कर सकता है। परिवर्तन प्रचालक का प्रतिनिधित्व करते हुए, हम लिख सकते हैंः ध्यान दें कि जब तक परिवर्तन स्वयं n के साथ नहीं बदलता है, तब तक आउटपुट अनुक्रम केवल स्थिर रहता है, और प्रणाली रुचिहीन होती है। (इस प्रकार अभिलिखन, n.) एक विशिष्ट प्रणाली में, y [n] सबसे अधिक x के तत्वों पर निर्भर करता है जिनके सूचकांक n के पास हैं। क्रोनेकर डेल्टा फलन के विशेष मामले के लिए, आउटपुट अनुक्रम आवेग प्रतिक्रिया हैः एक रैखिक प्रणाली के लिए, संतुष्ट होना चाहिएः और समय-विचलन आवश्यकता हैः ऐसी प्रणाली में, आवेग प्रतिक्रिया, प्रणाली को पूरी तरह से चिह्नित करती है। अर्थात्, किसी भी इनपुट अनुक्रम के लिए, आउटपुट अनुक्रम की गणना इनपुट और आवेग प्रतिक्रिया के संदर्भ में की जा सकती है। यह देखने के लिए कि यह कैसे किया जाता है, पहचान पर विचार करेंः जो भारित डेल्टा कार्यों के योग के संदर्भ में व्यक्त होता है। इसलिएः जहाँ हमने मामले के लिए अनुरोध किया है और। और इसके कारण, हम लिख सकते हैंः इसलिएः {।।।-।। (कम्यूटेटिविटी)।} जो परिचित विविक्त अभिसरण सूत्र है। अतः प्रचालक की व्याख्या फलन x [k] के भारित औसत के समानुपाती के रूप में की जा सकती है। भार फलन h [−k] है, जो केवल राशि n से स्थानांतरित होता है। जैसे-जैसे n बदलता है, भार फलन इनपुट फलन के विभिन्न भागों पर जोर देता है। समान रूप से, n = 0 पर एक आवेग के लिए प्रणाली की प्रतिक्रिया अपरिवर्तित भार फलन की एक "समय" विपरीत प्रतिलिपि है। जब सभी ऋणात्मक k के लिए h [k] शून्य होता है, तो प्रणाली को कारणात्मक कहा जाता है। आइगेनफंक्शंस के रूप में एक्सपोनेंशियल एक आइगेनफंक्शंस एक ऐसा फंक्शन है जिसके लिए ऑपरेटर का आउटपुट एक ही फंक्शन होता है, जिसे कुछ स्थिरांक द्वारा स्केल किया जाता है। प्रतीकों में, जहाँ f आइगेनफंक्शन है और आइगेनवैल्यू है, एक स्थिरांक है। घातीय फलन, जहाँ, एक रैखिक, समय-अपरिवर्तनीय प्रचालक के आइगेनफ़ंक्शंस हैं। नमूना अंतराल है, और। एक सरल प्रमाण इस अवधारणा को स्पष्ट करता है। मान लीजिए कि इनपुट है। आवेग प्रतिक्रिया के साथ प्रणाली का आउटपुट तब होता है जो कन्वोलुशन के कम्यूटेटिव गुण द्वारा निम्नलिखित के बराबर होता है जहां केवल पैरामीटर z पर निर्भर होता है। तो यह एक एल. टी. आई. प्रणाली का एक आइगेनफ़ंक्शन है क्योंकि प्रणाली की प्रतिक्रिया इनपुट बार स्थिरांक के समान होती है। जेड और डिस्क्रीट-टाइम फूरियर परिवर्तन एल. टी. आई. प्रणालियों में विश्लेषण और अंतर्दृष्टि दोनों के लिए घातांक का आइगेनफ़ंक्शन गुण बहुत उपयोगी है। जेड परिवर्तन वास्तव में आवेग प्रतिक्रिया से आइगेनवैल्यू प्राप्त करने का तरीका है। विशेष रुचि के शुद्ध साइनसॉइड हैं; अर्थात। रूप के घातांक, जहाँ। इन्हें इस प्रकार भी लिखा जा सकता है। डिस्क्रीट-टाइम फूरियर ट्रांसफॉर्म (डी. टी. एफ. टी.) शुद्ध साइनसॉइड्स के आइगेनवैल्यू देता है। दोनों को सिस्टम फंक्शन, सिस्टम रेस्पॉन्स या ट्रांसफर फंक्शन कहा जाता है। एकतरफा लाप्लास परिवर्तन की तरह, जेड परिवर्तन का उपयोग आमतौर पर एकतरफा संकेतों के संदर्भ में किया जाता है, अर्थात। संकेत जो टी <0 के लिए शून्य हैं। आवधिक संकेतों के विश्लेषण के लिए असतत-समय फूरियर परिवर्तन फूरियर श्रृंखला का उपयोग किया जा सकता है। इन दोनों परिवर्तनों के अभिसरण गुण के कारण, जो अभिसरण प्रणाली का उत्पादन देता है, उसे रूपांतरण क्षेत्र में गुणन में परिवर्तित किया जा सकता है। अर्थात्, निरंतर-समय प्रणाली विश्लेषण में लाप्लास परिवर्तन हस्तांतरण कार्य की तरह, जेड परिवर्तन प्रणालियों का विश्लेषण करना और उनके व्यवहार में अंतर्दृष्टि प्राप्त करना आसान बनाता है। उदाहरण महत्वपूर्ण प्रणाली गुण असतत-समय एल. टी. आई. प्रणाली की इनपुट-आउटपुट विशेषताओं को पूरी तरह से इसकी आवेग प्रतिक्रिया द्वारा वर्णित किया जाता है। किसी भी प्रणाली के दो सबसे महत्वपूर्ण गुण कार्य-कारण और स्थिरता हैं। गैर-कारण (समय में) प्रणालियों को ऊपर के रूप में परिभाषित और विश्लेषण किया जा सकता है, लेकिन वास्तविक समय में महसूस नहीं किया जा सकता है। अस्थिर प्रणालियों का विश्लेषण और निर्माण भी किया जा सकता है, लेकिन ये केवल एक बड़ी प्रणाली के हिस्से के रूप में उपयोगी हैं जिसका समग्र स्थानांतरण कार्य स्थिर है। कारणता एक असतत-समय एल. टी. आई. प्रणाली कारणात्मक होती है यदि उत्पादन का वर्तमान मूल्य केवल वर्तमान मूल्य और निवेश के पिछले मूल्यों पर निर्भर करता है। कार्य-कारण के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त यह है कि आवेग प्रतिक्रिया कहाँ है। जेड परिवर्तन से कार्य-कारण निर्धारित करना सामान्य रूप से संभव नहीं है, क्योंकि व्युत्क्रम परिवर्तन अद्वितीय नहीं है। जब अभिसरण का एक क्षेत्र निर्दिष्ट किया जाता है, तो कार्य-कारण निर्धारित किया जा सकता है। स्थिरता एक प्रणाली बाउंडेड इनपुट, बाउंडेड आउटपुट स्टेबल (बी. आई. बी. ओ. स्टेबल) है यदि, प्रत्येक बाउंडेड इनपुट के लिए, आउटपुट फाइनाइट है। गणितीय रूप से, यदि इसका तात्पर्य है कि (अर्थात, यदि बाउंडेड इनपुट का अर्थ है बाउंडेड आउटपुट, इस अर्थ में कि अधिकतम निरपेक्ष मान और परिमित हैं), तो प्रणाली स्थिर है। एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त यह है कि, आवेग प्रतिक्रिया, संतुष्ट करती है आवृत्ति क्षेत्र में, अभिसरण के क्षेत्र में इकाई वृत्त (यानी, जटिल z के लिए संतुष्ट करने वाला स्थान) होना चाहिए। टिप्पणियाँ भी देखें सर्कुलेंट मैट्रिक्स आवृत्ति प्रतिक्रिया प्रणाली विश्लेषण ग्रीन फ़ंक्शन सिग्नल-फ्लो ग्राफ संदर्भ आगे पढ़ने के लिए बाहरी लिंक ईसीई 209: एलटीआई सिस्टम के रूप में सर्किट की समीक्षा-(विद्युत) एलटीआई सिस्टम के गणितीय विश्लेषण पर लघु प्राइमर। ईसीई 209: फेज शिफ्ट के स्रोत-दो सामान्य विद्युत एलटीआई प्रणालियों में फेज शिफ्ट के स्रोत की एक सहज व्याख्या देता है। जेएचयू 520.214 सिग्नल्स एंड सिस्टम्स कोर्स नोट्स। एल. टी. आई. प्रणाली सिद्धांत पर एक एनकैप्सुलेटेड पाठ्यक्रम। स्व-शिक्षण के लिए पर्याप्त। एल. टी. आई. प्रणाली का उदाहरण हैः आर. सी. लो-पास फ़िल्टर। आयाम और चरण प्रतिक्रिया। डिजिटल सिग्नल प्रोसेसिंग इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग शास्त्रीय नियंत्रण सिद्धांत सिग्नल प्रोसेसिंग आवृत्ति-क्षेत्र विश्लेषण समय क्षेत्र विश्लेषण