Shear and moment diagram
कतरनी बल और झुकने वाले क्षण आरेख विश्लेषणात्मक उपकरण हैं जिनका उपयोग संरचनात्मक विश्लेषण के संयोजन में किया जाता है ताकि बीम जैसे संरचनात्मक तत्व के किसी दिए गए बिंदु पर कतरनी बलों और झुकने वाले क्षणों के मूल्य का निर्धारण करके संरचनात्मक डिजाइन करने में मदद मिल सके। इन आरेखों का उपयोग संरचना में किसी सदस्य के प्रकार, आकार और सामग्री को आसानी से निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है ताकि संरचनात्मक विफलता के बिना भार के दिए गए सेट का समर्थन किया जा सके। कतरनी और क्षण आरेखों का एक अन्य अनुप्रयोग यह है कि एक किरण के विक्षेपण को आसानी से क्षण क्षेत्र विधि या संयुग्म किरण विधि का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है। यद्यपि ये परंपराएं सापेक्ष हैं और यदि स्पष्ट रूप से कहा जाए तो किसी भी परंपरा का उपयोग किया जा सकता है, अभ्यास करने वाले इंजीनियरों ने डिजाइन प्रथाओं में उपयोग किए जाने वाले एक मानक परंपरा को अपनाया है। अधिकांश इंजीनियरिंग अनुप्रयोगों में उपयोग की जाने वाली सामान्य परंपरा एक सकारात्मक कतरनी बल को लेबल करना है-जो एक तत्व को घड़ी की दिशा में (बाईं ओर ऊपर और दाईं ओर नीचे) घुमाता है। इसी तरह एक सकारात्मक झुकने वाले क्षण के लिए सामान्य परंपरा तत्व को "यू" आकार के तरीके से विकृत करना है (बाईं ओर घड़ी की दिशा में, और दाईं ओर घड़ी की विपरीत दिशा में)। इसे याद रखने का एक और तरीका यह है कि यदि क्षण बीम को "मुस्कुराहट" में मोड़ रहा है तो क्षण सकारात्मक है, बीम के शीर्ष पर संपीड़न और नीचे तनाव के साथ। इस परंपरा को किरणों के विश्लेषण को सरल बनाने के लिए चुना गया था। चूँकि एक क्षैतिज सदस्य का आमतौर पर बाएँ से दाएँ विश्लेषण किया जाता है और ऊर्ध्वाधर दिशा में सकारात्मक को आम तौर पर ऊपर लिया जाता है, सकारात्मक कतरनी परंपरा को बाएँ से ऊपर होने के लिए चुना गया था, और सभी चित्रों को दाएँ से नीचे सुसंगत बनाने के लिए। सकारात्मक झुकने की परंपरा को इस तरह से चुना गया था कि एक सकारात्मक कतरनी बल एक सकारात्मक क्षण पैदा करने की प्रवृत्ति रखता है। वैकल्पिक ड्राइंग परंपरा संरचनात्मक इंजीनियरिंग और विशेष रूप से ठोस डिजाइन में सकारात्मक क्षण सदस्य के तनाव पक्ष पर खींचा जाता है। यह परिपाटी सकारात्मक क्षण को ऊपर वर्णित किरण के नीचे रखती है। तनाव पक्ष पर क्षण आरेख रखने की परंपरा फ्रेम को अधिक आसानी से और स्पष्ट रूप से निपटाने की अनुमति देती है। इसके अतिरिक्त, क्षण को सदस्य के तनाव पक्ष पर रखना विरूपण के सामान्य आकार को दर्शाता है और इंगित करता है कि कंक्रीट सदस्य रीबार के किस तरफ रखा जाना चाहिए, क्योंकि कंक्रीट तनाव में कमजोर है। कतरनी बल और झुकने के क्षण की गणना करना लोडिंग आरेख के साथ अगला कदम तत्व के साथ किसी भी बिंदु पर कतरनी बल और क्षण का मूल्य खोजना है। एक क्षैतिज किरण के लिए इसे करने का एक तरीका किसी भी बिंदु पर किरण के दाहिने छोर को "काटना" है। नीचे दिए गए उदाहरण में एक बिंदु भार, एक वितरित भार और एक लागू क्षण शामिल हैं। समर्थन में टिका हुआ समर्थन और एक निश्चित अंत समर्थन दोनों शामिल हैं। पहला चित्र लागू बलों और विस्थापन बाधाओं के साथ किरण को दर्शाता है। दूसरा चित्र लोडिंग आरेख है जिसमें दी गई प्रतिक्रिया मूल्यों के साथ गणना के बिना या जिसे अधिकांश लोग मुक्त शरीर आरेख कहते हैं। तीसरा रेखाचित्र अपरूपण बल आरेख है और चौथा रेखाचित्र झुकने का क्षण आरेख है। झुकने के क्षण आरेख के लिए सामान्य संकेत परंपरा का उपयोग किया गया था। क्षण आरेख के नीचे अपरूपण बल और झुकने वाले क्षण के लिए चरणबद्ध कार्य हैं, जिसमें अपरूपण और झुकने वाले कार्यों पर प्रत्येक भार के प्रभाव को दिखाने के लिए कार्य विस्तारित किए गए हैं। उदाहरण संयुक्त राज्य अमेरिका की प्रथागत इकाइयों का उपयोग करके चित्रित किया गया है। बिंदु भार को किप्स (1 किप = 1000 एलबीएफ = 4.45 केएन) में व्यक्त किया जाता है, वितरित भार को के/फीट (1 किप/फीट = 1 किप/फीट = 14.6 केएन/मीटर) में व्यक्त किया जाता है, क्षणों को फीट-के (1 फीट-के = 1 फीट-किप = 1.356 केएनएम) में व्यक्त किया जाता है, और लंबाई फीट (1 फीट = 0.3048 मीटर) में होती है। चरण 1: प्रतिक्रिया बलों और क्षणों की गणना करें झुकने के क्षण और अपरूपण बल समीकरणों को प्राप्त करने का पहला कदम प्रतिक्रिया बलों को निर्धारित करना है। यह पूरे बीम के एक मुक्त शरीर आरेख का उपयोग करके किया जाता है। किरण में तीन प्रतिक्रिया बल होते हैं, दो आधारों पर आरए, आरबी और क्लैम्पेड छोर पर आरसी। क्लैम्पेड एंड में एक रिएक्शन कपल मैक भी होता है। इन चार मात्राओं को दो समीकरणों का उपयोग करके निर्धारित किया जाना है, किरण में बलों का संतुलन और किरण में क्षणों का संतुलन। इन अज्ञात चरों में दो स्वतंत्र समीकरणों को देखते हुए चार अज्ञात नहीं पाए जा सकते हैं और इसलिए बीम स्थिर रूप से अनिश्चित है। इस समस्या को हल करने का एक तरीका रैखिक सुपरपोजिशन के सिद्धांत का उपयोग करना और समस्या को कई स्थिर रूप से निर्धारित समस्याओं के सुपरपोजिशन में विभाजित करना है। सहारा पर अतिरिक्त सीमा स्थितियों को सुपरपोज़्ड समाधान में शामिल किया जाना चाहिए ताकि पूरे बीम का विरूपण संगत हो। हम इन समीकरणों को आर. बी. और आर. सी. के लिए आर. ए. और एम. सी. के संदर्भ में हल कर सकते हैंः और यदि हम बीम के बाईं ओर से पहले समर्थन के बारे में क्षणों को जोड़ते हैं तो हमारे पास आर. बी. और आर. सी. के लिए अभिव्यक्तियों को जोड़ते हैं तो हमें तुच्छ पहचान 0 = 0 मिलती है जो इंगित करती है कि यह समीकरण पिछले दो से स्वतंत्र नहीं है। इसी तरह, अगर हम दूसरे समर्थन के आसपास क्षण लेते हैं, तो हमारे पास है एक बार फिर हम पाते हैं कि यह समीकरण पहले दो समीकरणों से स्वतंत्र नहीं है। हम प्राप्त करने के लिए बीम के क्लैम्प्ड छोर के आसपास के क्षणों की गणना करने का भी प्रयास कर सकते हैं यह समीकरण अन्य दो समीकरणों से रैखिक रूप से स्वतंत्र नहीं है। इसलिए, बीम स्थिर रूप से अनिश्चित है और हमें आरए और मैक के कार्यों के रूप में बीम के खंडों में झुकने वाले क्षणों को खोजना होगा। चरण 2: बीम को खंडों में तोड़ें प्रतिक्रिया बल मिलने के बाद, आप बीम को टुकड़ों में तोड़ देते हैं। सदस्य पर बाहरी बलों की स्थिति और संख्या इन टुकड़ों की संख्या और स्थान निर्धारित करती है। पहला टुकड़ा हमेशा एक छोर से शुरू होता है और पहले बाहरी बल से पहले कहीं भी समाप्त होता है। चरण 3: कतरनी बलों और क्षणों की गणना करें-पहला टुकड़ा V1 और M1 को पहले बीम खंड के क्रॉस-सेक्शन में क्रमशः कतरनी बल और झुकने का क्षण होने दें। जैसे-जैसे किरण का खंड बाहरी बल के अनुप्रयोग के बिंदु की ओर बढ़ता है, अपरूपण बल और क्षण का परिमाण बदल सकता है। यह कतरनी बल और झुकने वाले क्षण को क्रॉस-सेक्शन की स्थिति का एक कार्य बनाता है (इस उदाहरण में x)। इस खंड के साथ बलों को जोड़कर और क्षणों को जोड़कर, अपरूपण बल और झुकने के क्षण के लिए समीकरण प्राप्त किए जाते हैं। ये समीकरण हैंः और इसलिए, चरण 4: अपरूपण बलों और क्षणों की गणना करें-दूसरा टुकड़ा दूसरे खंड को लेते हुए, दूसरे आंतरिक बल से पहले कहीं भी समाप्त होता है, हमारे पास है और इसलिए, ध्यान दें कि क्योंकि अपरूपण बल x के संदर्भ में है, क्षण समीकरण वर्ग है। यह इस तथ्य के कारण है कि क्षण अपरूपण बल का अभिन्न अंग है। इस क्षण का मुश्किल हिस्सा वितरित बल है। चूँकि खंड की लंबाई के साथ बल बदलता है, इसलिए बल को 10 फीट के बाद की दूरी से गुणा किया जाएगा। (x-10) क्षण स्थान को वितरित बल के बीच में परिभाषित किया गया है, जो भी बदल रहा है। यह वह जगह है जहाँ से (x + 10)/2 प्राप्त होता है। वैकल्पिक रूप से, हम प्राप्त करने के लिए क्रॉस-सेक्शन के बारे में क्षण ले सकते हैं फिर से, इस मामले में, चरण 5: अपरूपण बलों और क्षणों की गणना करें-तीसरा टुकड़ा तीसरे खंड को लेते हुए, और बलों का योग करते हुए, हमारे पास और क्रॉस-सेक्शन के बारे में क्षणों का योग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं इसलिए, और ध्यान दें कि वितरित बल को अब 15 किप्स का एक बल माना जा सकता है जो बीच में कार्य कर रहा है जहां यह स्थित है। चरण 6: कतरनी बलों और क्षणों की गणना करें-चौथा टुकड़ा चौथे और अंतिम खंड को लेते हुए, बलों का एक संतुलन देता है और क्रॉस-सेक्शन के आसपास क्षणों का संतुलन V4 और M4 के लिए समाधान की ओर ले जाता है, हमारे पास है और इनमें से प्रत्येक समीकरण को उनके इच्छित अंतराल पर प्लॉट करने से, आपको इस बीम के लिए झुकने का क्षण और कतरनी बल आरेख मिलता है। विशेष रूप से, बीम के क्लैम्पेड छोर पर, x = 50 और हमारे पास चरण 7 हैः चार खंडों के विचलन की गणना करें अब हम चार खंडों के विचलन की गणना करने के लिए यूलर-बर्नौली बीम सिद्धांत का उपयोग करते हैं। विभेदक समीकरण जो बीम विक्षेपण (डब्ल्यू) को झुकने वाले क्षण (एम) से संबंधित करता है, वह है जहां ई यंग का मापांक है और आई बीम क्रॉस-सेक्शन का जड़ता का क्षेत्र क्षण है। एम1, एम2, एम3, एम4 के लिए अभिव्यक्तियों को बीम समीकरण में प्रतिस्थापित करने और विक्षेपण के लिए हल करने से हमें चरण 8 मिलता हैः सीमा शर्तों को लागू करें अब हम एकीकरण स्थिरांक निर्धारित करने के लिए चार खंडों के लिए विस्थापन सीमा शर्तों को लागू करेंगे। किरण के चौथे खंड के लिए, हम क्लैम्प्ड छोर पर सीमा स्थितियों पर विचार करते हैं जहाँ x = 50 पर w4 = dw/dx = 0 है। C7 और C8 के लिए हल करने से पता चलता है कि इसलिए, हम w4 को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं। इसके अलावा, इस बिंदु पर विक्षेपण वक्रों की ढलानें समान हैं, यानी, dw4/dx = dw3/dx। इन सीमा शर्तों का उपयोग करते हुए और C5 और C6 के लिए हल करते हुए, हम इन स्थिरांकों का प्रतिस्थापन W3 के लिए अभिव्यक्ति में प्राप्त करते हैं। इसी तरह, खंड 2 और 3 के बीच समर्थन पर जहां x = 25, W3 = W2 और dw3/dx = dw2/dx। इनका उपयोग करके और C3 और C4 के लिए हल करने से मिलता है, इसलिए, खंड 1 और 2 के बीच समर्थन पर, x = 10 और w1 = w2 और dw1/dx = dw2/dx। ये सीमा स्थितियाँ हमें देती हैं इसलिए, चरण 9: मैक और रा के लिए हल करें क्योंकि x = 25 पर डब्ल्यू2 = 0, हम आरए के संदर्भ में मैक के लिए हल कर सकते हैं। इन अभिव्यक्तियों को तब प्रत्येक खंड के लिए लंबाई के कार्य के रूप में प्लॉट किया जा सकता है। कतरनी बल और झुकने के क्षण के बीच संबंध दो आरेखों के बीच के संबंध पर ध्यान देना महत्वपूर्ण है। क्षण आरेख अपरूपण बल आरेख के तहत क्षेत्र का एक दृश्य प्रतिनिधित्व है। अर्थात्, क्षण अपरूपण बल का अभिन्न अंग है। यदि अपरूपण बल एक अंतराल पर स्थिर रहता है, तो क्षण समीकरण x (रैखिक) के संदर्भ में होगा। यदि अपरूपण बल एक अंतराल पर रैखिक है, तो क्षण समीकरण द्विघात (परवलयिक) होगा। अपरूपण बल आरेख पर एक अन्य टिप्पणी यह है कि वे दिखाते हैं कि बाहरी बल और क्षण कहाँ लागू होते हैं। बिना किसी बाहरी बलों के, टुकड़ों में कार्य संलग्न होने चाहिए और कोई असंतुलन नहीं दिखाना चाहिए। ग्राफ पर विसंगतियाँ या तो बाहरी बल या बाहरी क्षणों का सटीक परिमाण है जो लागू किए जाते हैं। उदाहरण के लिए, अपरूपण बल आरेख पर x = 10 पर, दोनों समीकरणों के बीच एक अंतर है। यह अंतर-10 से 15.3 तक जाता है। इस अंतराल की लंबाई 25.3 है, जो उस बिंदु पर बाहरी बल का सटीक परिमाण है। वर्तमान आरेख पर धारा 3 पर, 50 की विसंगति है। यह संरचना पर 50 के लागू क्षण से है। ग्राफ पर अधिकतम और न्यूनतम मान इन परिस्थितियों में इस किरण के अधिकतम बलों और क्षणों का प्रतिनिधित्व करते हैं। भार, कतरनी और क्षण आरेख के बीच संबंध चूंकि यह विधि अपेक्षाकृत सरल समस्याओं के साथ आसानी से अनावश्यक रूप से जटिल हो सकती है, इसलिए लोडिंग, कतरनी और क्षण आरेख के बीच विभिन्न संबंधों को समझना काफी सहायक हो सकता है। इनमें से पहला लोडिंग आरेख और अपरूपण आरेख पर वितरित भार के बीच का संबंध है। चूँकि एक वितरित भार कतरनी भार को उसके परिमाण के अनुसार बदलता है, इसलिए यह प्राप्त किया जा सकता है कि कतरनी आरेख का ढलान वितरित भार के परिमाण के बराबर है। स्वेडलर के प्रमेय द्वारा वर्णित संबंध, वितरित भार और अपरूपण बल परिमाण के बीच हैः इसके कुछ प्रत्यक्ष परिणाम यह हैं कि एक अपरूपण आरेख के परिमाण में एक बिंदु परिवर्तन होगा यदि एक बिंदु भार एक सदस्य पर लागू किया जाता है, और एक रैखिक रूप से भिन्न अपरूपण परिमाण एक निरंतर वितरित भार के परिणामस्वरूप। इसी तरह यह दिखाया जा सकता है कि किसी दिए गए बिंदु पर क्षण आरेख का ढलान उस दूरी पर अपरूपण आरेख के परिमाण के बराबर है। वितरित कतरनी बल और झुकने के क्षण के बीच संबंध हैः इसका एक सीधा परिणाम यह है कि हर बिंदु पर कतरनी आरेख शून्य को पार करता है जिस क्षण आरेख में एक स्थानीय अधिकतम या न्यूनतम होगा। इसके अलावा यदि अपरूपण आरेख सदस्य की लंबाई पर शून्य है, तो क्षण आरेख का उस लंबाई पर एक स्थिर मान होगा। कलन द्वारा यह दिखाया जा सकता है कि एक बिंदु भार एक रैखिक रूप से भिन्न क्षण आरेख की ओर ले जाएगा, और एक स्थिर वितरित भार एक द्विघात क्षण आरेख की ओर ले जाएगा। व्यावहारिक अनुप्रयोगों में पूरे चरणबद्ध कार्य को शायद ही कभी लिखा जाता है। चरणबद्ध फलन के केवल भाग जो लिखे जाएंगे वे क्षण आरेख के एक अरैखिक भाग में क्षण समीकरण हैं; यह तब होता है जब सदस्य पर एक वितरित भार लागू किया जाता है। स्थिर भागों के लिए कतरनी और/या क्षण आरेख का मूल्य आरेख पर सही लिखा जाता है, और एक सदस्य के रैखिक रूप से अलग-अलग भागों के लिए प्रारंभिक मूल्य, अंतिम मूल्य और ढलान या सदस्य के हिस्से की आवश्यकता होती है। बेंडिंग यूलर-बर्नौली बीम थ्योरी बेंडिंग मोमेंट सिंगुलरिटी function#Example बीम गणना संदर्भ आगे पढ़ने के लिए चेंग, फा-ह्वा भी देखें। "शियर फोर्सेज एंड बेन्डिंग मोमेंट्स इन बीम" स्टैटिक्स एंड स्ट्रेंथ ऑफ मैटेरियल्स। न्यूयॉर्कः ग्लेनको, मैकग्रा-हिल, 1997। प्रिंट करें। स्पॉट्स, मरहाइल फ्रैंकलिन, टेरी ई. शूप और ली एमरी। हॉर्नबर्गर। "कतरनी और झुकने वाले क्षण आरेख"। मशीन तत्वों का डिजाइन। ऊपरी सैडल नदी, एनजेः पियर्सन/प्रेंटिस हॉल, 2004। प्रिंट करें। बाहरी लिंक निरंतरता यांत्रिकी आरेख क्षण (भौतिकी) संरचनात्मक विश्लेषण