Schwarzian derivative
गणित में, श्वार्जियन व्युत्पन्न व्युत्पन्न के समान एक प्रचालक है जो मोबियस परिवर्तनों के तहत अपरिवर्तनीय है। इस प्रकार, यह जटिल प्रोजेक्टिव रेखा के सिद्धांत में, और विशेष रूप से, मॉड्यूलर रूपों और हाइपरजियोमेट्रिक कार्यों के सिद्धांत में होता है। यह अविभाज्य कार्यों, अनुरूप मानचित्रण और टेचमुलर रिक्त स्थान के सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। इसका नाम जर्मन गणितशास्त्री हर्मन श्वार्ज के नाम पर रखा गया है। परिभाषा एक जटिल चर के समरूप फलन के श्वार्जियन व्युत्पन्न को इसी सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है जो एक वास्तविक चर के फलन के श्वार्जियन व्युत्पन्न को भी परिभाषित करता है। वैकल्पिक संकेतन का अक्सर उपयोग किया जाता है। गुण किसी भी मोबियस परिवर्तन का श्वार्जियन व्युत्पन्न शून्य है। इसके विपरीत, मोबियस परिवर्तन इस गुण के साथ एकमात्र कार्य हैं। इस प्रकार, श्वार्जियन व्युत्पन्न सटीक रूप से उस डिग्री को मापता है जिस पर एक फलन मोबियस परिवर्तन होने में विफल रहता है। यदि एक मोबियस परिवर्तन है, तो रचना में वही श्वार्जियन व्युत्पन्न है जो; और दूसरी ओर, के श्वार्जियन व्युत्पन्न को श्रृंखला नियम द्वारा दिया जाता है अधिक सामान्य रूप से, किसी भी पर्याप्त रूप से अवकलनीय कार्यों के लिए और जब और वे सहज वास्तविक-मूल्य वाले कार्य हैं, तो इसका तात्पर्य है कि नकारात्मक (या सकारात्मक) श्वार्जियन के साथ किसी कार्य के सभी पुनरावृत्तियाँ नकारात्मक (रेसप) ही रहेंगे। सकारात्मक), एक आयामी गतिकी के अध्ययन में उपयोग का एक तथ्य। दो जटिल चर के कार्य का परिचय देते हुए इसका दूसरा मिश्रित आंशिक व्युत्पन्न इस सूत्र द्वारा दिया गया है और श्वार्जियन व्युत्पन्न इस सूत्र द्वारा दिया गया हैः श्वार्जियन व्युत्पन्न का एक सरल व्युत्क्रम सूत्र है, जो आश्रित और स्वतंत्र चर का आदान-प्रदान करता है। एक या अधिक स्पष्ट रूप से है। यह उपरोक्त श्रृंखला नियम का अनुसरण करता है। ज्यामितीय व्याख्या विलियम थर्स्टन श्वार्जियन व्युत्पन्न की व्याख्या इस माप के रूप में करते हैं कि एक अनुरूप मानचित्र मोबियस परिवर्तन से कितना विचलित होता है। इसके बाद एक अद्वितीय मोबियस परिवर्तन मौजूद है जिसमें समान 0,1,2-वें क्रम के व्युत्पन्न हैं अब इसके लिए स्पष्ट रूप से हल करने के लिए मान लीजिए और हल करने के मामले को हल करने के लिए पर्याप्त है जो पहले तीन गुणांक को चौथे गुणांक में जोड़ने के बराबर बनाते हैं, हम प्राप्त करते हैं। एक अनुवाद, घूर्णन और जटिल तल के स्केलिंग के बाद, शून्य के पड़ोस में। यह वक्र, चौथे क्रम तक, अर्ध-अक्षों के साथ एक दीर्घवृत्त है और चूंकि मोबियस परिवर्तन हमेशा वृत्तों को वृत्तों या रेखाओं में मानचित्रित करते हैं, इसलिए उत्केन्द्रता एक मोबियस परिवर्तन से विचलन को मापती है। विभेदक समीकरण रैखिक द्वितीय क्रम के साधारण विभेदक समीकरण पर विचार करें जहाँ एक वास्तविक पैरामीटर का वास्तविक मूल्य वाला फलन है। आइए समाधानों के द्वि-आयामी स्थान को निरूपित करें। के लिए, मूल्यांकन कार्यात्मक होने दें। मानचित्र, के क्षेत्र के प्रत्येक बिंदु के लिए, एक आयामी रैखिक उपक्षेत्र देता है। अर्थात्, कर्नेल वास्तविक रेखा से वास्तविक प्रोजेक्टिव रेखा तक एक मानचित्रण को परिभाषित करता है। इस मानचित्रण का श्वार्जियन अच्छी तरह से परिभाषित है, और वास्तव में इसके बराबर है। श्वार्जियन की इस व्याख्या के कारण, यदि एक सामान्य खुले अंतराल के दो भिन्नरूपों में एक ही श्वार्जियन होता है, तो वे (स्थानीय रूप से) सामान्य रैखिक समूह के एक तत्व द्वारा संबंधित होते हैं जो एक ही विभेदक समीकरण के समाधान के द्वि-आयामी सदिश स्थान पर कार्य करता है, अर्थात, का एक आंशिक रैखिक परिवर्तन। वैकल्पिक रूप से, जटिल तल में दूसरे क्रम के रैखिक साधारण विभेदक समीकरण पर विचार करें और दो रैखिक रूप से स्वतंत्र होलोमोर्फिक समाधान होने दें। फिर अनुपात उस डोमेन पर संतुष्ट होता है जिस पर और परिभाषित किया गया है, और इसके विपरीत भी सच हैः यदि ऐसा एक मौजूद है, और यह एक सरल रूप से जुड़े डोमेन पर होलोमोर्फिक है, तो दो समाधान और पाए जा सकते हैं, और इसके अलावा, ये एक सामान्य पैमाने के कारक तक अद्वितीय हैं। जब एक रैखिक द्वितीय क्रम के साधारण विभेदक समीकरण को उपरोक्त रूप में लाया जा सकता है, तो परिणामी को कभी-कभी समीकरण का क्यू-मान कहा जाता है। ध्यान दें कि गौसी हाइपरजियोमेट्रिक विभेदक समीकरण को उपरोक्त रूप में लाया जा सकता है, और इस प्रकार हाइपरजियोमेट्रिक समीकरण के समाधान के जोड़े इस तरह से संबंधित हैं। एकरूपता के लिए शर्तें यदि इकाई डिस्क पर एक होलोमोर्फिक फलन है, तो डब्ल्यू. क्रॉस (1932) और नेहरी (1949) ने साबित किया कि एकरूपता के लिए एक आवश्यक शर्त एकर विपरीत है यदि संतुष्टि पर एक होलोमोर्फिक फलन है तो नेहरी ने साबित किया कि एकरूपता नहीं है। विशेष रूप से एकरूपता के लिए एक पर्याप्त शर्त वृत्ताकार चाप बहुभुज का अनौपचारिक मानचित्रण है श्वार्जियन व्युत्पन्न और संबंधित द्वितीय-क्रम साधारण विभेदक समीकरण का उपयोग ऊपरी अर्ध-तल या इकाई वृत्त और जटिल तल में किसी भी बंधे हुए बहुभुज के बीच रीमान मानचित्रण को निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है, जिसके किनारे वृत्ताकार चाप या सीधी रेखाएँ हैं। सीधे किनारों वाले बहुभुज के लिए, यह श्वार्ज-क्रिस्टोफेल मानचित्रण तक कम हो जाता है, जिसे श्वार्जियन व्युत्पन्न का उपयोग किए बिना सीधे प्राप्त किया जा सकता है। समाकलन के स्थिरांक के रूप में उत्पन्न होने वाले सहायक मापदंड दूसरे क्रम के विभेदक समीकरण के आइगेनवैल्यू से संबंधित हैं। पहले से ही 1890 में फेलिक्स क्लेन ने लैमे विभेदक समीकरण के संदर्भ में चतुर्भुज के मामले का अध्ययन किया था। घड़ी की दिशा में कोणों के साथ एक गोलाकार चाप बहुभुज होने दें। मान लीजिए कि एक होलोमोर्फिक मानचित्र लगातार सीमाओं के बीच एक मानचित्र तक फैला हुआ है। मान लीजिए कि शीर्ष वास्तविक अक्ष पर बिंदुओं के अनुरूप हैं। फिर वास्तविक के लिए वास्तविक-मूल्यवान है न कि एक बिंदु के लिए। श्वार्ज के अनुसार प्रतिबिंब सिद्धांत एक दोहरे ध्रुव के साथ जटिल तल पर एक परिमेय फलन तक फैला हुआ हैः वास्तविक संख्याओं को सहायक मापदंड कहा जाता है। वे तीन रैखिक बाधाओं के अधीन हैंः जो गुणांक के गायब होने और चारों ओर के विस्तार के अनुरूप हैं। मानचित्रण को तब लिखा जा सकता है कि रैखिक द्वितीय-क्रम सामान्य विभेदक समीकरण के रैखिक रूप से स्वतंत्र होलोमोर्फिक समाधान कहाँ और कहाँ हैं, रैखिक रूप से स्वतंत्र सहायक मापदंड हैं, जिन्हें व्यवहार में निर्धारित करना मुश्किल हो सकता है। एक त्रिभुज के लिए, जब, कोई सहायक मापदंड नहीं हैं। साधारण अवकल समीकरण हाइपरजियोमेट्रिक अवकल समीकरण के बराबर है और यह श्वार्ज त्रिभुज फलन है, जिसे हाइपरजियोमेट्रिक कार्यों के संदर्भ में लिखा जा सकता है। एक चतुर्भुज के लिए सहायक मापदंड एक स्वतंत्र चर पर निर्भर करते हैं। एक उपयुक्त विकल्प के लिए लिखते हुए, साधारण विभेदक समीकरण रूप लेता है इस प्रकार अंतराल पर एक स्टर्म-लिउविल समीकरण के आइगेनफ़ंक्शंस हैं। स्टर्म पृथक्करण प्रमेय के अनुसार, बलों का गैर-लुप्त होना सबसे कम आइगेनवैल्यू है। टेइकम्यूलर स्पेस यूनिवर्सल टेइकम्यूलर स्पेस पर जटिल संरचना को इकाई डिस्क के वास्तविक विश्लेषणात्मक अर्ध-औपचारिक मानचित्रण के स्थान के रूप में परिभाषित किया गया है, या समकक्ष रूप से ऊपरी अर्ध-तल, अपने आप में, दो मानचित्रण के साथ समतुल्य माना जाता है यदि सीमा पर एक को मोबियस परिवर्तन के साथ संरचना द्वारा दूसरे से प्राप्त किया जाता है। रीमान गोले के निचले गोलार्ध के साथ पहचान करते हुए, निचले गोलार्ध का कोई भी अर्ध-औपचारिक स्व-मानचित्र स्वाभाविक रूप से ऊपरी गोलार्ध के अनुरूप मानचित्रण से मेल खाता है। वास्तव में बेलट्रामी विभेदक समीकरण के समाधान के ऊपरी गोलार्ध के लिए प्रतिबंध के रूप में निर्धारित किया जाता है जहां μ निचले गोलार्ध पर परिभाषित सीमित मापने योग्य कार्य है, जो ऊपरी गोलार्ध पर 0 तक विस्तारित है। ऊपरी गोलार्ध की पहचान करते हुए, लिपमैन बर्स ने एक मानचित्रण को परिभाषित करने के लिए श्वार्जियन व्युत्पन्न का उपयोग किया जो सार्वभौमिक टेचमुलर स्थान को एक समान मानक के साथ बंधे हुए होलोमोर्फिक कार्यों के स्थान के एक खुले उपसमुच्चय में एम्बेड करता है। फ्रेडरिक गेहरिंग ने 1977 में दिखाया कि यह असमान कार्यों के श्वार्जियन व्युत्पन्न के बंद उपसमुच्चय का आंतरिक भाग है। 1 से अधिक जीनस की एक कॉम्पैक्ट रीमान सतह के लिए, इसका सार्वभौमिक आवरण स्थान इकाई डिस्क है जिस पर इसका मौलिक समूह मोबियस परिवर्तनों द्वारा कार्य करता है। टेइकम्यूलर स्पेस को नीचे सार्वभौमिक टेइकम्यूलर स्पेस अपरिवर्तनीय के उपक्षेत्र के साथ पहचाना जा सकता है। होलोमोर्फिक फ़ंक्शंस में वे गुण होते हैं जो नीचे अपरिवर्तनीय होते हैं, इसलिए उन पर द्विघात अंतर निर्धारित करें। इस तरह, के टेचमुलर स्थान को द्विघात विभेदों के परिमित-आयामी जटिल वेक्टर स्थान के एक खुले उपक्षेत्र के रूप में महसूस किया जाता है। वृत्त क्रास्ड होमोमोर्फिज्म का डिफियोमोर्फिज्म समूह परिवर्तन गुण श्वार्जियन व्युत्पन्न को वृत्त पर डिग्री 2 के घनत्व के मॉड्यूल में गुणांक के साथ वृत्त के डिफियोमोर्फिज्म समूह के निरंतर 1-चक्र या क्रास्ड होमोमोर्फिज्म के रूप में व्याख्या करने की अनुमति देता है। मान लीजिए कि डिग्री के टेंसर घनत्व का स्थान है। अभिविन्यास-संरक्षित डिफियोमोर्फिज्म का समूह, पुशफॉर्वर्ड के माध्यम से कार्य करता है। यदि इसका एक तत्व है तो मानचित्रण पर विचार करें समूह समरूपता की भाषा में उपरोक्त श्रृंखला जैसा नियम कहता है कि यह मानचित्रण गुणांक के साथ एक 1-चक्र है। वास्तव में और कोहोमोलॉजी उत्पन्न करने वाला 1-चक्र है। 1-मद्यविज्ञान की गणना अधिक सामान्य परिणाम का एक विशेष मामला है ध्यान दें कि यदि एक समूह और एक-मॉड्यूल है, तो एक पार समरूपता को परिभाषित करने वाली पहचान को समूहों के मानक समरूपता के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता हैः इसे अर्ध-अप्रत्यक्ष उत्पाद में समरूपता में इस तरह से कूटबद्ध किया जाता है कि प्रक्षेपण के साथ संरचना पहचान मानचित्र है; पत्राचार मानचित्र द्वारा होता है। क्रास होमोमोर्फिज्म एक वेक्टर स्पेस बनाते हैं और एक उपक्षेत्र के रूप में कोबाउंडरी क्रास होमोमोर्फिज्म को शामिल करते हैं। एक सरल औसत तर्क से पता चलता है कि, यदि एक कॉम्पैक्ट समूह और एक टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस है जिस पर K लगातार कार्य करता है, तो उच्च कोहोमोलॉजी समूह गायब हो जाते हैं। विशेष रूप से 1-चक्र χ के लिए औसत से अधिक के साथ, हार माप के बाएं अपरिवर्तनीय का उपयोग करके इस प्रकार औसत से यह माना जा सकता है कि यह अंदर के लिए सामान्यीकरण स्थिति को संतुष्ट करता है। ध्यान दें कि यदि कोई तत्व संतुष्ट करता है। लेकिन फिर, चूंकि एक समरूपता है, ताकि समतुल्यता की स्थिति को संतुष्ट किया जा सके। इस प्रकार यह माना जा सकता है कि कोसाइकिल इन सामान्यीकरण स्थितियों को संतुष्ट करता है। श्वार्ज़ियन व्युत्पन्न वास्तव में तब गायब हो जाता है जब भी इसके अनुरूप मोबियस परिवर्तन होता है। नीचे चर्चा किए गए अन्य दो 1-चक्र केवल गायब हो जाते हैं। इस परिणाम का एक असीम संस्करण है जो चिकने सदिश क्षेत्रों के लाइ बीजगणित के लिए एक 1-चक्र देता है, और इसलिए विट बीजगणित के लिए, त्रिकोणमितीय बहुपद सदिश क्षेत्रों का उप-बीजगणित। वास्तव में, जब एक लाइ समूह होता है और ऑन की क्रिया सुचारू होती है, तो लाइ अलजेब्रा (पहचान पर होमोमोर्फिज्म के व्युत्पन्न) के संबंधित होमोमोर्फिज्म को लेकर प्राप्त क्रॉस होमोमोर्फिज्म का एक लाइ बीजगणितीय संस्करण होता है। यह भी समझ में आता है और 1-चक्र की ओर ले जाता है जो पहचान को संतुष्ट करता है लाइ बीजगणित मामले में, कोबाउंडरी मानचित्रों में इन के लिए रूप होता है। दोनों ही मामलों में 1-शराब विज्ञान को पार किए गए समरूपता मॉड्यूलो कोबाउंडरीज़ के स्थान के रूप में परिभाषित किया गया है। समूह समरूपता और लाइ बीजगणित समरूपता के बीच प्राकृतिक पत्राचार "वैन एस्ट समावेशन मानचित्र" की ओर ले जाता है इस तरह गणना को लाइ बीजगणित समरूपता तक कम किया जा सकता है। निरंतरता से यह विट बीजगणित के पार किए गए समरूपता की गणना में कम हो जाता है। समूह पार समरूपता पर सामान्यीकरण की स्थिति निम्नलिखित अतिरिक्त शर्तों का संकेत देती हैः के लिए। के सम्मेलनों के बाद, विट बीजगणित का एक आधार दिया जाता है ताकि। के जटिलता के लिए एक आधार दिया गया है ताकि अंदर के लिए। यह उपयुक्त गुणांकों के लिए बल देता है। पार समरूपता स्थिति के लिए एक पुनरावृत्ति संबंध देता हैः स्थिति, इसका तात्पर्य है। इस स्थिति और पुनरावृत्ति संबंध से, यह पता चलता है कि अदिश गुणकों तक, इसका एक अद्वितीय गैर-शून्य समाधान होता है जब यह 0,1 या 2 के बराबर होता है और अन्यथा केवल शून्य समाधान होता है। समाधान समूह 1-चक्र से मेल खाता है। समाधान समूह 1-चक्र से मेल खाता है। संबंधित लाइ बीजगणित 1-कोशिकाओं को केंद्रीय विस्तारों द्वारा एक अदिश गुणक तक दिया जाता है पार किए गए समरूपताएँ बदले में इसके लाइ बीजगणित, तथाकथित विरासोरो बीजगणित के केंद्रीय विस्तार को जन्म देती हैं। समूह और इसका केंद्रीय विस्तार भी स्वाभाविक रूप से टेचमुलर सिद्धांत और स्ट्रिंग सिद्धांत के संदर्भ में दिखाई देता है। वास्तव में क्वासिकोफॉर्मल सेल्फ-मैप्स द्वारा प्रेरित के होमोमोर्फिज्म सटीक रूप से क्वासिसिमेट्रिक होमोमोर्फिज्म हैं; ये बिल्कुल होमोमोर्फिज्म हैं जो 1/2 के क्रॉस अनुपात वाले चार बिंदुओं को 1 या 0 के पास क्रॉस अनुपात वाले बिंदुओं को नहीं भेजते हैं। सीमा मानों को लेते हुए, सार्वभौमिक टेइकम्यूलर को मोबियस परिवर्तनों के उपसमूह द्वारा अर्धसममित समरूपता के समूह के भागफल के साथ पहचाना जा सकता है। (इसे स्वाभाविक रूप से अर्धवृत्त के स्थान के रूप में भी महसूस किया जा सकता है।) चूंकि सजातीय स्थान स्वाभाविक रूप से सार्वभौमिक टेचमुलर स्थान का एक उपक्षेत्र है। यह स्वाभाविक रूप से एक जटिल मैनीफोल्ड भी है और यह और अन्य प्राकृतिक ज्यामितीय संरचनाएं टेचमुलर स्पेस पर उन लोगों के साथ संगत हैं। लाइ बीजगणित के दोहरे को हिल के प्रचालक के स्थान के साथ पहचाना जा सकता है और श्वार्जियन व्युत्पन्न का आह्वान करने की सह-संयुक्त क्रिया। डिफियोमोर्फिज्म का व्युत्क्रम पहाड़ी के प्रचालक को छद्म समूहों और कनेक्शनों के लिए भेजता है श्वार्जियन व्युत्पन्न और अन्य 1-चक्र पर परिभाषित जटिल तल में खुले सेटों के बीच बायहोलोमोर्फिक तक बढ़ाया जा सकता है। इस मामले में स्थानीय विवरण विश्लेषणात्मक छद्म समूहों के सिद्धांत की ओर ले जाता है, जो 1910 के दशक में एली कार्टन द्वारा पहली बार अध्ययन किए गए अनंत-आयामी समूहों और लाइ बीजगणित के सिद्धांत को औपचारिक रूप देता है। यह रीमान सतहों पर एफ़ाइन और प्रोजेक्टिव संरचनाओं के साथ-साथ श्वार्जियन या प्रोजेक्टिव कनेक्शन के सिद्धांत से संबंधित है, जिस पर गनिंग, शिफ़र और हॉली द्वारा चर्चा की गई है। एक होलोमोर्फिक स्यूडोग्रुप ऑन में खुले सेटों के बीच बायहोलोमोर्फिज्म का एक संग्रह होता है और जिसमें प्रत्येक ओपन के लिए पहचान मानचित्र होते हैं, जो ओपन तक सीमित होने के तहत बंद होता है, जो संरचना (जब संभव हो) के तहत बंद होता है, जो व्युत्क्रम लेने के तहत बंद होता है और इस तरह कि यदि एक बायहोलोमोर्फिज्म स्थानीय रूप से है, तो यह भी अंदर है। सूडोग्रुप को संक्रमणशील कहा जाता है यदि, दिया गया है और इसमें, इस तरह का एक बायहोलोमोर्फिज्म है। संक्रमणशील छद्म समूहों का एक विशेष मामला वे हैं जो चपटे हैं, अर्थात। इसमें सभी जटिल अनुवाद शामिल हैं। माना, संरचना के तहत, औपचारिक शक्ति श्रृंखला परिवर्तनों का समूह। एक होलोमोर्फिक छद्म समूह एक उपसमूह को परिभाषित करता है, अर्थात् टेलर श्रृंखला विस्तार द्वारा परिभाषित उपसमूह के साथ तत्वों के लगभग 0 (या "जेट")। इसके विपरीत यदि यह सपाट है तो यह विशिष्ट रूप से निम्न द्वारा निर्धारित किया जाता हैः एक बायहोलोमोर्फिज्म यदि और केवल तभी निहित होता है जब प्रत्येक के लिए पावर सीरीज़ निहित होती हैः दूसरे शब्दों में, एट के लिए औपचारिक पावर सीरीज़ को एक तत्व द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है; या अधिक संक्षेप में सभी जेट द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। इस समूह में-जेट्स के समूह पर एक प्राकृतिक समरूपता होती है जो काटे गए शक्ति श्रृंखला को zk शब्द तक ले जाने से प्राप्त होती है। यह समूह डिग्री के बहुपदों (k से अधिक क्रम के शब्दों को काटना) के स्थान पर ईमानदारी से कार्य करता है। ट्रंकेशन समान रूप से समरूपता को परिभाषित करते हैं; कर्नेल में f के साथ मानचित्र होते हैं, इसलिए एबेलियन भी होता है। इस प्रकार समूह Gk हल करने योग्य है, एक तथ्य इस तथ्य से भी स्पष्ट है कि यह मोनोमियल्स के आधार के लिए त्रिकोणीय रूप में है। एक सपाट छद्म समूह को "विभेदक समीकरणों द्वारा परिभाषित" कहा जाता है यदि कोई परिमित पूर्णांक ऐसा हो कि समरूपता विश्वसनीय हो और छवि एक बंद उपसमूह हो। ऐसा सबसे छोटा क्रम कहा जाता है। इस तरह से उत्पन्न होने वाले सभी उपसमूहों का एक पूर्ण वर्गीकरण है जो अतिरिक्त धारणाओं को संतुष्ट करता है कि इन की छवि एक जटिल उपसमूह है और जो इसके बराबर हैः इसका तात्पर्य है कि छद्म समूह में स्केलिंग परिवर्तन भी शामिल हैं, अर्थात। के साथ प्रत्येक बहुपद होता है। इस मामले में केवल संभावनाएँ हैं कि और}; या वह और। पहला छद्म समूह है जिसे जटिल मोबियस समूह (परिवर्तन निर्धारण) के एफ़ाइन उपसमूह द्वारा परिभाषित किया गया है; बाद वाला पूरे जटिल मोबियस समूह द्वारा परिभाषित छद्म समूह है। इस वर्गीकरण को आसानी से एक लाइ बीजगणितीय समस्या में कम किया जा सकता है क्योंकि के औपचारिक लाइ बीजगणित में औपचारिक वेक्टर क्षेत्र होते हैं जिसमें एफ एक औपचारिक शक्ति श्रृंखला होती है। इसमें आधार के साथ बहुपद सदिश क्षेत्र होते हैं, जो विट बीजगणित का एक उप-बीजगणित है। लाइ ब्रैकेट इसके द्वारा दिए जाते हैं। फिर से ये विभेदन द्वारा डिग्री के बहुपदों के स्थान पर कार्य करते हैं-इसे के साथ पहचाना जा सकता है-और की छवियां के लाइ बीजगणित का आधार देती हैं। इस पर ध्यान दें। आइए लाइ बीजगणित को दर्शाते हैंः यह लाइ बीजगणित के एक उप-बीजगणित के लिए समरूप है। यह शामिल है और इसके तहत अपरिवर्तनीय है। चूँकि यह विट बीजगणित का एक लाइ उप-बीजगणित है, इसलिए इसकी एकमात्र संभावना यह है कि इसमें कुछ के लिए आधार या आधार हो। रूप के संबंधित समूह तत्व हैं। इसे अनुवाद के साथ लिखने से लाभ होता है। जब तक, यह उपसमूह के रूप का खंडन नहीं करता है; तो। श्वार्जियन व्युत्पन्न जटिल मोबियस समूह के छद्म समूह से संबंधित है। वास्तव में यदि एक बायहोलोमोर्फिज्म पर परिभाषित किया गया है तो एक द्विघात अंतर है। यदि एक समरूपता को परिभाषित किया गया है और उन पर द्विघात विभेदक हैं; इसके अलावा एक द्विघात विभेदक है, तो यह भी एक द्विघात विभेदक है। इस प्रकार पहचान होलोमोर्फिक द्विघात विभेदों में गुणांक के साथ बायहोलोमोर्फिज्म के छद्म समूह के लिए 1-चक्र का अनुरूप है। इसी तरह और होलोमोर्फिक कार्यों और होलोमोर्फिक विभेदों में मूल्यों के साथ एक ही छद्म समूह के लिए 1-कोशिकाएं हैं। सामान्य तौर पर 1-चक्र को किसी भी क्रम के होलोमोर्फिक विभेदों के लिए परिभाषित किया जा सकता है ताकि मानचित्रों को शामिल करने के लिए उपरोक्त पहचान को लागू करते हुए, यह इसका अनुसरण करता है; और इसलिए कि यदि प्रतिबंध है, तो, तो। दूसरी ओर, होलोमोर्फिक वेक्टर क्षेत्रों द्वारा परिभाषित स्थानीय होलोमोरॉर्फिक प्रवाह को लेते हुए-वेक्टर क्षेत्रों का घातांक-स्थानीय बायोहोलोमोर्फिज्म का होलोमोर्फिक छद्म समूह होलोमोर्फिक वेक्टर क्षेत्रों द्वारा उत्पन्न होता है। यदि 1-चक्र उपयुक्त निरंतरता या विश्लेषणात्मक स्थितियों को संतुष्ट करता है, तो यह होलोमोर्फिक वेक्टर क्षेत्रों के 1-चक्र को प्रेरित करता है, जो प्रतिबंध के साथ भी संगत है। तदनुसार, यह होलोमोर्फिक वेक्टर क्षेत्रों पर एक 1-चक्र को परिभाषित करता हैः आधार के साथ बहुपद वेक्टर क्षेत्रों के लाइ बीजगणित तक सीमित, इन्हें लाइ बीजगणित समरूपता की समान विधियों का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है (जैसा कि पार समरूपता पर पिछले खंड में किया गया था)। वहाँ गणना क्रम के घनत्वों पर कार्य करने वाले पूरे विट बीजगणित के लिए थी, जबकि यहाँ यह केवल एक उप-बीजगणित के लिए है जो क्रम के होलोमोर्फिक (या बहुपद) विभेदों पर कार्य करता है। फिर से, यह मानते हुए कि के घूर्णन पर गायब हो जाता है, गैर-शून्य 1-चक्र होते हैं, जो अदिश गुणकों तक अद्वितीय होते हैं। केवल एक ही व्युत्पन्न सूत्र द्वारा दिए गए डिग्री 0,1 और 2 के अंतरों के लिए जहाँ एक बहुपद है। 1-चक्र तीन छद्म समूहों को इस प्रकार परिभाषित करते हैंः यह स्केलिंग समूह () देता है; एफ़ाइन समूह (); और पूरा जटिल मोबियस समूह ()। तो ये 1-कोशिकाएं छद्म समूह को परिभाषित करने वाले विशेष साधारण विभेदक समीकरण हैं। अधिक महत्वपूर्ण रूप से उनका उपयोग रीमान सतहों पर संबंधित एफ़ाइन या प्रोजेक्टिव संरचनाओं और कनेक्शनों को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है। यदि चिकनी मानचित्रण का एक छद्म समूह है, तो एक स्थलवैज्ञानिक स्थान को एक-संरचना कहा जाता है यदि इसमें ऐसे चार्ट का संग्रह है जो खुले सेट से लेकर खुले सेट तक होमोमोर्फिज्म हैं, जैसे कि प्रत्येक गैर-खाली प्रतिच्छेदन के लिए, प्राकृतिक मानचित्र में स्थित है। यह एक चिकनी-मैनिफोल्ड की संरचना को परिभाषित करता है यदि इसमें स्थानीय डिफियोमोर्फिम और एक रीमान सतह होती है यदि-तो-और इसमें बायहोलोमोर्फिज्म होते हैं। यदि एफ़ाइन सूडोग्रुप है, तो कहा जाता है कि इसकी एक एफ़ाइन संरचना है और यदि मोबियस सूडोग्रुप है, तो कहा जाता है कि इसकी एक प्रोजेक्टिव संरचना है। इस प्रकार कुछ जाली के लिए दी गई एक जीनस की सतह में एक एफ़ाइन संरचना होती है और एक फ़ुशियान समूह द्वारा ऊपरी आधे तल या इकाई डिस्क के भागफल के रूप में दी गई जीनस की सतह में एक प्रोजेक्टिव संरचना होती है। 1966 में गनिंग ने वर्णन किया कि इस प्रक्रिया को कैसे उलट दिया जा सकता हैः जीनस के लिए, एक प्रोजेक्टिव कनेक्शन का अस्तित्व, जिसे श्वार्जियन व्युत्पन्न 2 का उपयोग करके परिभाषित किया गया है और कोहोमोलॉजी पर मानक परिणामों का उपयोग करके साबित किया गया है, का उपयोग ऊपरी आधे तल या इकाई डिस्क के साथ सार्वभौमिक आवरण सतह की पहचान करने के लिए किया जा सकता है (एक समान परिणाम जीनस 1 के लिए है, एफ़ाइन कनेक्शन का उपयोग करके और)। सामान्यीकरण एक सामान्यीकरण का वर्णन करता है जो अनुरूप मैनिफोल्ड के मानचित्रण के लिए लागू होता है, जिसमें श्वार्जियन व्युत्पन्न मैनिफोल्ड पर एक सममित टेंसर बन जाता है। मान लीजिए कि एक चिकनी मीट्रिक टेंसर के साथ आयाम का एक चिकना मैनिफोल्ड हो। यदि कुछ चिकने कार्य के लिए एक चिकनी डिफियोमोर्फिज्म अनुरूप है। श्वार्जियन को परिभाषित किया जाता है कि लेवी-सिविटा संबंध कहाँ है, संबंध के संबंध में हेसियन को दर्शाता है, लाप्लास-बेल्ट्रामी प्रचालक है (के संबंध में हेसियन के निशान के रूप में परिभाषित)। ए मोबियस परिवर्तन एक अनुरूप डिफियोमोर्फिज्म है, जिसका अनुरूप कारक श्वार्जियन को गायब कर रहा है। मोबियस परिवर्तनों का संग्रह के अनुरूप समूह का एक बंद लाइ उपसमूह है। यूक्लिडियन स्थान पर, यूक्लिडियन मीट्रिक के साथ समाधान, सटीक रूप से तब होते हैं जब स्थिर होता है, गोलाकार मीट्रिक देने वाला अनुरूप कारक, या फिर गेंद या आधे स्थान या (क्रमशः) पर एक हाइपरबोलिक पोइनकेयर मीट्रिक के लिए एक अनुरूप कारक। एक अन्य सामान्यीकरण लैग्रैन्जियन ग्रासमैनियन में सकारात्मक वक्रों पर लागू होता है। मान लीजिए कि यह एक सिमप्लेक्टिक वेक्टर स्पेस है, जिसका आयाम अधिक है। पूरक लैग्रैन्जियन उपस्थानों की एक जोड़ी को ठीक करें। लैग्रैन्जियन उपस्थानों का समूह जो पूरक हैं, मानचित्रण के स्थान द्वारा मानकीकृत किया जाता है जो (सभी के लिए) के संबंध में सममित होते हैं। इस तरह के कुछ टेंसर के लिए कोई भी लैग्रैन्जियन सबस्पेस पूरक दिया जाता है। इस प्रकार एक वक्र को सममित टेंसरों के एक-पैरामीटर परिवार द्वारा स्थानीय रूप से निर्दिष्ट किया जाता है। एक वक्र सकारात्मक है यदि सकारात्मक निश्चित है। लैग्रैन्जियन श्वार्जियन को तब इस रूप में परिभाषित किया जाता है कि इसमें यह गुण है कि यदि और केवल तभी जब वक्रों से संबंधित एक सिंप्लेक्टिक परिवर्तन होता है और। लैग्रैन्जियन श्वार्जियन एक दूसरे क्रम के विभेदक समीकरण से संबंधित है जहां एक सममित टेंसर है, जो एक वास्तविक चर पर निर्भर करता है और एक वक्र है। मान लीजिए कि विभेदक समीकरण के समाधान का-आयामी स्थान है। चूंकि सममित है, इसलिए द्वारा दिया गया रूप स्वतंत्र है, और इसलिए एक समरूप संरचना देता है। मूल्यांकन को कार्यात्मक होने दें। फिर के क्षेत्र में किसी के लिए, का कर्नेल एक लैग्रैन्जियन उपक्षेत्र है, और इसलिए कर्नेल के लैग्रैन्जियन ग्रासमैनियन में एक वक्र को परिभाषित करता है। इस वक्र का लैग्रैन्जियन श्वार्जियन तब है। रिकाटी समीकरण नोट्स संदर्भ, अध्याय 6, "टेचमुलर स्पेस"], अध्याय 10, "द श्वार्जियन" भी देखें। , धारा 12, "गोलाकार चापों के साथ बहुभुज का मानचित्रण"। ", सामान्यीकृत लैमे कार्यों के सिद्धांत पर"। .. प्रोजेक्टिव ज्यामिति मॉड्यूलर रूप सामान्य विभेदक समीकरण जटिल विश्लेषण अनौपचारिक मानचित्रण