Geometrical frustration
संघनित पदार्थ भौतिकी में, ज्यामितीय हताशा (या संक्षेप मेंः हताशा) शब्द एक ऐसी घटना को संदर्भित करता है जहां परमाणु गैर-तुच्छ स्थितियों से चिपके रहते हैं या जहां, एक नियमित क्रिस्टल जाली पर, परस्पर विरोधी अंतर-परमाणु बल (प्रत्येक एक अपेक्षाकृत सरल, लेकिन अलग संरचनाओं का समर्थन करता है) काफी जटिल संरचनाओं की ओर ले जाता है। ज्यामिति या बलों में हताशा के परिणामस्वरूप, अलग-अलग जमीनी अवस्थाओं के एक पूर्णांक के परिणामस्वरूप शून्य तापमान हो सकता है, और सामान्य तापीय क्रम को उच्च तापमान पर दबाया जा सकता है। बहुत अध्ययन किए गए उदाहरण अनाकार सामग्री, चश्मा या पतला चुंबक हैं। चुम्बकीय प्रणालियों के संदर्भ में हताशा शब्द की शुरुआत 1977 में जेरार्ड टूलूज़ द्वारा की गई थी। हताश चुंबकीय प्रणालियों का अध्ययन पहले भी किया जा चुका था। प्रारंभिक कार्य में 1950 में प्रकाशित जी. एच. वानियर द्वारा एंटीफेरोमैग्नेटिक रूप से युग्मित निकटतम-पड़ोसी स्पिन के साथ एक त्रिकोणीय जाली पर इसिंग मॉडल का अध्ययन शामिल है। संबंधित विशेषताएँ प्रतिस्पर्धी अंतःक्रियाओं वाले चुंबकों में होती हैं, जहाँ स्पिन या चुंबकीय क्षणों के जोड़े के बीच फेरोमैग्नेटिक और एंटीफेरोमैग्नेटिक युग्मन दोनों मौजूद होते हैं, स्पिन की पृथक्करण दूरी के आधार पर अंतःक्रिया के प्रकार के साथ। उस मामले में तुलनीयता, जैसे कि पेचदार स्पिन व्यवस्था का परिणाम हो सकता है, जैसा कि मूल रूप से चर्चा की गई थी, विशेष रूप से ए. योशिमोरी, टी. ए. कपलान, आर. जे. इलियट और अन्य लोगों द्वारा, 1959 में दुर्लभ-पृथ्वी धातुओं पर प्रयोगात्मक निष्कर्षों का वर्णन करने के लिए। हताश या प्रतिस्पर्धी अंतःक्रियाओं के साथ ऐसी स्पिन प्रणालियों में एक नए सिरे से रुचि लगभग दो दशक बाद, 1970 के दशक में, स्पिन चश्मे और स्थानिक रूप से संशोधित चुंबकीय अधिरचनाओं के संदर्भ में उत्पन्न हुई। स्पिन चश्मे में, अंतःक्रियाओं में यादृच्छिक विकार से हताशा बढ़ जाती है, जैसा कि गैर-स्टोइकोमेट्रिक चुंबकीय मिश्र धातुओं में प्रयोगात्मक रूप से हो सकता है। कुंठा के साथ सावधानीपूर्वक विश्लेषण किए गए स्पिन मॉडल में शेरिंगटन-किर्कपैट्रिक मॉडल शामिल है, जो स्पिन चश्मे का वर्णन करता है, और ए. एन. एन. एन. आई. मॉडल, जो अनुरूपता चुंबकीय अधिरचनाओं का वर्णन करता है। हाल ही में, मस्तिष्क नेटवर्क विश्लेषण में हताशा की अवधारणा का उपयोग तंत्रिका कनेक्शनों के गैर-तुच्छ संयोजन की पहचान करने और मस्तिष्क के समायोज्य तत्वों को उजागर करने के लिए किया गया है। चुंबकीय क्रमबद्ध ज्यामितीय हताशा चुंबकत्व में एक महत्वपूर्ण विशेषता है, जहां यह स्पिन की सापेक्ष व्यवस्था से उत्पन्न होती है। एक सरल 2डी उदाहरण चित्र 1 में दिखाया गया है। तीन चुंबकीय आयन एक त्रिभुज के कोनों पर रहते हैं और उनके बीच एंटीफेरोमैग्नेटिक इंटरैक्शन होते हैं; जब प्रत्येक स्पिन पड़ोसियों के विपरीत संरेखित होता है तो ऊर्जा कम हो जाती है। एक बार जब पहले दो स्पिन समानांतर संरेखित हो जाते हैं, तो तीसरा निराश हो जाता है क्योंकि इसके दो संभावित अभिविन्यास, ऊपर और नीचे, एक ही ऊर्जा देते हैं। तीसरा स्पिन एक साथ अन्य दोनों के साथ अपनी बातचीत को कम नहीं कर सकता है। चूँकि यह प्रभाव प्रत्येक स्पिन के लिए होता है, इसलिए जमीन की स्थिति छह गुना खराब हो जाती है। केवल दो अवस्थाएँ जहाँ सभी स्पिन ऊपर या नीचे होते हैं, उनमें अधिक ऊर्जा होती है। इसी तरह तीन आयामों में, एक टेट्राहेड्रॉन (चित्र 2) में व्यवस्थित चार स्पिन ज्यामितीय हताशा का अनुभव कर सकते हैं। यदि स्पिनों के बीच एक एंटीफेरोमैग्नेटिक अंतःक्रिया होती है, तो स्पिनों को व्यवस्थित करना संभव नहीं है ताकि स्पिनों के बीच सभी अंतःक्रियाएं एंटीपैरलल हों। छह निकटतम-पड़ोसी अंतःक्रियाएँ हैं, जिनमें से चार समानांतर हैं और इस प्रकार अनुकूल हैं, लेकिन जिनमें से दो (1 और 2 के बीच, और 3 और 4 के बीच) प्रतिकूल हैं। सभी अंतःक्रियाओं का अनुकूल होना असंभव है, और प्रणाली निराश है। ज्यामितीय निराशा भी संभव है यदि स्पिन को गैर-समरेखीय तरीके से व्यवस्थित किया जाता है। यदि हम प्रत्येक शीर्ष पर एक स्पिन के साथ एक टेट्राहेड्रॉन पर विचार करते हैं जो आसान अक्ष (यानी, सीधे टेट्राहेड्रॉन के केंद्र की ओर या उससे दूर) की ओर इशारा करता है, तो चार स्पिनों को व्यवस्थित करना संभव है ताकि कोई शुद्ध स्पिन न हो (चित्र 3)। यह स्पिन की प्रत्येक जोड़ी के बीच एक एंटीफेरोमैग्नेटिक इंटरैक्शन होने के बराबर है, इसलिए इस मामले में कोई ज्यामितीय हताशा नहीं है। इन अक्षों के साथ, ज्यामितीय निराशा तब उत्पन्न होती है जब पड़ोसियों के बीच एक लौह चुम्बकीय अंतःक्रिया होती है, जहां समानांतर स्पिन द्वारा ऊर्जा को कम किया जाता है। सबसे अच्छी संभावित व्यवस्था चित्र 4 में दिखाई गई है, जिसमें दो स्पिन केंद्र की ओर और दो दूर की ओर हैं। शुद्ध चुंबकीय क्षण ऊपर की ओर इंगित करता है, इस दिशा में लौह चुम्बकीय अंतःक्रियाओं को अधिकतम करता है, लेकिन बाएं और दाएं वैक्टर रद्द हो जाते हैं (यानी। एंटीफेरोमैग्नेटिकली संरेखित हैं), जैसा कि आगे और पीछे की ओर करते हैं। तीन अलग-अलग समतुल्य व्यवस्थाएँ हैं जिनमें दो स्पिन बाहर और दो अंदर हैं, इसलिए जमीनी स्थिति तीन गुना खराब हो जाती है। गणितीय परिभाषा गणितीय परिभाषा सरल है (और क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स में तथाकथित विल्सन लूप के अनुरूप): उदाहरण के लिए उस रूप की अभिव्यक्तियों ("कुल ऊर्जा" या "हैमिल्टोनियन") पर विचार किया जाता है जहां G को ग्राफ माना जाता है, जबकि मात्राएं निकटतम-पड़ोसियों के बीच तथाकथित "विनिमय ऊर्जा" हैं, जो (मानी गई ऊर्जा इकाइयों में) मान ±1 (गणितीय रूप से, यह एक हस्ताक्षरित ग्राफ है) मानती हैं, जबकि स्केलर या वेक्टरियल स्पिन या छद्म-स्पिन के आंतरिक उत्पाद हैं। यदि ग्राफ जी में द्विघात या त्रिकोणीय चेहरे पी हैं, तो निम्नलिखित प्रकार के तथाकथित "प्लैक्वेट चर" पीडब्लू, "लूप-उत्पाद" क्रमशः दिखाई देते हैंः और जिन्हें "हताशा उत्पाद" भी कहा जाता है। इन उत्पादों पर एक राशि का प्रदर्शन करना पड़ता है, जो सभी पट्टिकाओं पर संक्षेपित होता है। एकल प्लाकेट का परिणाम या तो + 1 या-1 होता है। अंतिम-उल्लिखित मामले में प्लाकेट "ज्यामितीय रूप से निराश" है। यह दिखाया जा सकता है कि परिणाम में एक सरल माप अपरिवर्तनीयता हैः यह नहीं बदलता है-न ही अन्य मापने योग्य मात्राएं, जैसे। "कुल ऊर्जा"-भले ही स्थानीय रूप से विनिमय समाकलन और स्पिन को एक साथ निम्नानुसार संशोधित किया गया होः यहाँ संख्याएँ εi और εk मनमाने संकेत हैं, अर्थात। + 1 या-1, ताकि संशोधित संरचना पूरी तरह से यादृच्छिक दिखाई दे। हालांकि हताशा पर अधिकांश पिछले और वर्तमान शोध स्पिन प्रणालियों पर केंद्रित हैं, इस घटना का अध्ययन पहली बार सामान्य बर्फ में किया गया था। 1936 में गियाक और स्टाउट ने द एन्ट्रापी ऑफ वाटर एंड द थर्ड लॉ ऑफ थर्मोडायनामिक्स प्रकाशित किया। बर्फ की ऊष्मा क्षमता 15 केल्विन से 273 केल्विन तक, उच्च तापमान गैस चरण तक हिमांक और वाष्पीकरण संक्रमणों के माध्यम से पानी पर कैलोरीमीटर माप की रिपोर्ट करना। एन्ट्रापी की गणना ऊष्मा क्षमता को एकीकृत करके और अव्यक्त ऊष्मा योगदान को जोड़कर की गई थी; कम तापमान माप को डेबी के हाल ही में प्राप्त सूत्र का उपयोग करके शून्य पर बहिर्वेशन किया गया था। परिणामी एन्ट्रापी, S1 = 44.28 Cal/(K·mol) = 185.3 J/(mol·K) की तुलना एक आदर्श गैस, S2 = 45.10 Cal/(K·mol) = 188.7 J/(mol·K) के सांख्यिकीय यांत्रिकी से सैद्धांतिक परिणाम से की गई थी। दोनों मान S0 = 0.82 ± 0.05 कैलोरी/(K·mol) = 3.4 J/(mol·K) से भिन्न होते हैं। इस परिणाम को फिर लिनस पॉलिंग द्वारा एक उत्कृष्ट सन्निकटन के लिए समझाया गया, जिन्होंने दिखाया कि बर्फ में प्रोटॉन के लिए आंतरिक विन्यास संबंधी विकार के कारण शून्य तापमान पर एक सीमित एन्ट्रापी (0.81 कैलोरी/(के. मोल) या 3.4 जे/(मोल के) के रूप में अनुमानित) होती है। षट्कोणीय या घन बर्फ चरण में ऑक्सीजन आयन ओ-ओ बंधन की लंबाई 2.76 Å (276 पी. एम.) के साथ एक चतुष्फलकीय संरचना बनाते हैं, जबकि ओ-एच बंधन की लंबाई केवल 0.96 Å (96 पी. एम.) होती है। प्रत्येक ऑक्सीजन (सफेद) आयन चार हाइड्रोजन आयनों (काले) से घिरा होता है और प्रत्येक हाइड्रोजन आयन 2 ऑक्सीजन आयनों से घिरा होता है, जैसा कि चित्र 5 में दिखाया गया है। आंतरिक H2O अणु संरचना को बनाए रखते हुए, एक प्रोटॉन की न्यूनतम ऊर्जा स्थिति दो आसन्न ऑक्सीजन आयनों के बीच आधे रास्ते पर नहीं होती है। दो समतुल्य स्थितियाँ हैं जो एक हाइड्रोजन ओ-ओ बंधन की रेखा पर कब्जा कर सकता है, एक दूर और एक निकट स्थिति। इस प्रकार एक नियम एक जमीनी अवस्था विन्यास के लिए प्रोटॉन की स्थिति की हताशा की ओर ले जाता हैः प्रत्येक ऑक्सीजन के लिए दो पड़ोसी प्रोटॉनों को दूर की स्थिति में रहना चाहिए और उनमें से दो को निकट स्थिति में रहना चाहिए, तथाकथित 'बर्फ नियम'। पॉलिंग ने प्रस्ताव दिया कि बर्फ की खुली चतुष्फलकीय संरचना बर्फ के नियमों को संतुष्ट करने वाली कई समतुल्य अवस्थाओं को प्रदान करती है। पॉलिंग ने निम्नलिखित तरीके से विन्यासात्मक एन्ट्रापी की गणना कीः बर्फ के एक मोल पर विचार करें, जिसमें एन ओ 2-और 2 एन प्रोटॉन शामिल हैं। प्रत्येक O-O बन्ध में एक प्रोटॉन के लिए दो स्थान होते हैं, जिससे 22N संभावित विन्यास होते हैं। हालांकि, प्रत्येक ऑक्सीजन से जुड़े 16 संभावित विन्यासों में से केवल 6 ऊर्जावान रूप से अनुकूल हैं, जो H2O अणु बाधा को बनाए रखते हैं। फिर उन संख्याओं की एक ऊपरी सीमा जो जमीनी अवस्था ले सकती है, का अनुमान ω <22N () N के रूप में लगाया जाता है। तदनुसार विन्यासात्मक एन्ट्रापी S0 = kBln (ω) = NkBln () = 0.81 कैलोरी/(K·mol) = 3.4 J/(mol·K) गियाक और स्टाउट द्वारा मापी गई लापता एन्ट्रापी के साथ अद्भुत समझौते में है। हालांकि पॉलिंग की गणना ने प्रोटॉन की संख्या पर वैश्विक बाधा और वुर्ट्ज़ाइट जाली पर बंद लूप से उत्पन्न होने वाली स्थानीय बाधा दोनों की उपेक्षा की, लेकिन बाद में अनुमान को उत्कृष्ट सटीकता का दिखाया गया। स्पिन बर्फ एक गणितीय रूप से पानी की बर्फ में अपक्षय के अनुरूप स्थिति स्पिन बर्फ में पाई जाती है। एक आम घूर्णन बर्फ संरचना को चित्र 6 में क्यूबिक पायरोक्लोर संरचना में दिखाया गया है जिसमें चार कोनों में से प्रत्येक पर एक चुंबकीय परमाणु या आयन रहता है। सामग्री में मजबूत क्रिस्टल क्षेत्र के कारण, प्रत्येक चुंबकीय आयन को एक बड़े क्षण के साथ एक आइसिंग ग्राउंड स्टेट डबल्ट द्वारा दर्शाया जा सकता है। यह स्थानीय परिमाणीकरण अक्ष, <111> घन अक्षों के साथ तय किए गए स्पिनों के साथ कोने-साझाकरण टेट्राहेड्रल जाली पर रहने वाले इसिंग स्पिनों की एक तस्वीर का सुझाव देता है, जो प्रत्येक टेट्राहेड्रल शीर्ष को केंद्र से जोड़ने वाली रेखाओं के साथ मेल खाते हैं। प्रत्येक टेट्राहेड्रल कोशिका में ऊर्जा को कम करने के लिए दो स्पिन अंदर की ओर और दो बाहर की ओर होने चाहिए। वर्तमान में स्पिन बर्फ मॉडल को लगभग वास्तविक सामग्रियों द्वारा महसूस किया गया है, विशेष रूप से दुर्लभ पृथ्वी पायरोक्लोरेस हो2टी2ओ7, डाय2टी2ओ7 और हो2एसएन2ओ7। ये सभी पदार्थ कम तापमान पर गैर-शून्य अवशिष्ट एन्ट्रापी दिखाते हैं। पॉलिंग के मॉडल का विस्तारः सामान्य हताशा स्पिन बर्फ मॉडल हताश प्रणालियों का केवल एक उपखंड है। हताशा शब्द को शुरू में अपने घटकों के बीच प्रतिस्पर्धी अंतःक्रिया ऊर्जा को एक साथ कम करने में एक प्रणाली की अक्षमता का वर्णन करने के लिए पेश किया गया था। आम तौर पर हताशा या तो साइट विकार के कारण प्रतिस्पर्धी अंतःक्रियाओं के कारण होती है (विलेन मॉडल भी देखें) या जाली संरचना जैसे कि त्रिकोणीय, चेहरा-केंद्रित घन (एफसीसी), षट्कोणीय-निकट-पैक, टेट्राहेड्रॉन, पायरोक्लोर और एंटीफेरोमैग्नेटिक अंतःक्रिया के साथ कैगोम जाली। इसलिए हताशा को दो श्रेणियों में विभाजित किया गया हैः पहला स्पिन ग्लास से मेल खाता है, जिसमें संरचना में विकार और स्पिन में हताशा दोनों हैं; दूसरा एक क्रमबद्ध जाली संरचना और स्पिन की हताशा के साथ ज्यामितीय हताशा है। एक स्पिन ग्लास की हताशा को आरकेकेवाई मॉडल के ढांचे के भीतर समझा जाता है, जिसमें परस्पर क्रिया गुण, या तो लौह चुम्बकीय या विरोधी लौह चुम्बकीय, दो चुंबकीय आयनों की दूरी पर निर्भर करता है। स्पिन ग्लास में जाली विकार के कारण, रुचि का एक चक्कर और उसके निकटतम पड़ोसी अलग-अलग दूरी पर हो सकते हैं और एक अलग अंतःक्रिया गुण हो सकता है, जो इस प्रकार स्पिन के अलग-अलग पसंदीदा संरेखण की ओर ले जाता है। लिथोग्राफी तकनीकों की मदद से, उप-माइक्रोमीटर आकार के चुंबकीय द्वीपों का निर्माण करना संभव है, जिनकी ज्यामितीय व्यवस्था प्राकृतिक रूप से होने वाली घूर्णन बर्फ सामग्री में पाई जाने वाली हताशा को पुनः उत्पन्न करती है। हाल ही में आर. एफ. वांग और अन्य। लिथोग्राफिक रूप से निर्मित एकल-डोमेन लौह चुम्बकीय द्वीपों की सरणियों से बने एक कृत्रिम ज्यामितीय रूप से हताश चुंबक की खोज की सूचना दी। इन द्वीपों को हाथ से व्यवस्थित किया जाता है ताकि बर्फ को घुमाने के लिए एक द्वि-आयामी अनुरूप बनाया जा सके। क्रमबद्ध 'स्पिन' द्वीपों के चुंबकीय क्षणों को चुंबकीय बल सूक्ष्मदर्शी (एम. एफ. एम.) के साथ चित्रित किया गया था और फिर हताशा के स्थानीय समायोजन का अच्छी तरह से अध्ययन किया गया था। हताश चुंबकों के एक वर्गाकार जाली पर अपने पिछले काम में, उन्होंने बर्फ की तरह छोटी दूरी के सहसंबंधों और लंबी दूरी के सहसंबंधों की अनुपस्थिति दोनों को देखा, जैसे कि कम तापमान पर स्पिन बर्फ में। ये परिणाम उस अज्ञात आधार को मजबूत करते हैं जिस पर हताशा की वास्तविक भौतिकी को इन कृत्रिम ज्यामितीय रूप से हताश चुंबकों द्वारा देखा और मॉडल किया जा सकता है, और आगे की शोध गतिविधि को प्रेरित करता है। ये कृत्रिम रूप से हताश लौह चुंबक मैग्नेटो-ऑप्टिकल केर प्रभाव का उपयोग करके एक बाहरी क्षेत्र के लिए अपनी वैश्विक प्रतिक्रिया का अध्ययन करते समय अद्वितीय चुंबकीय गुणों का प्रदर्शन कर सकते हैं। विशेष रूप से, वर्गाकार जाली जबरदस्ती की एक गैर-मोनोटोनिक कोणीय निर्भरता कृत्रिम स्पिन बर्फ प्रणाली में विकार से संबंधित पाई जाती है। जाली के बिना ज्यामितीय हताशा एक अन्य प्रकार की ज्यामितीय हताशा एक स्थानीय क्रम के प्रसार से उत्पन्न होती है। एक मुख्य प्रश्न जिसका सामना एक संघनित पदार्थ भौतिक विज्ञानी करता है, वह है ठोस पदार्थ की स्थिरता की व्याख्या करना। रासायनिक प्रकृति के कुछ स्थानीय नियमों को स्थापित करना कभी-कभी संभव होता है, जो कम ऊर्जा विन्यास की ओर ले जाते हैं और इसलिए संरचनात्मक और रासायनिक क्रम को नियंत्रित करते हैं। आम तौर पर ऐसा नहीं होता है और अक्सर स्थानीय बातचीत द्वारा परिभाषित स्थानीय क्रम स्वतंत्र रूप से प्रचार नहीं कर सकता है, जिससे ज्यामितीय निराशा होती है। इन सभी प्रणालियों की एक सामान्य विशेषता यह है कि, सरल स्थानीय नियमों के साथ भी, वे अक्सर जटिल, संरचनात्मक उपलब्धियों का एक बड़ा समूह प्रस्तुत करते हैं। ज्यामितीय हताशा संघनित पदार्थ के क्षेत्रों में एक भूमिका निभाती है, जो समूहों और अनाकार ठोस से लेकर जटिल तरल पदार्थों तक होती है। इन जटिलताओं को हल करने के लिए दृष्टिकोण की सामान्य विधि दो चरणों का अनुसरण करती है। सबसे पहले, जगह की वक्रता की अनुमति देकर सही जगह भरने की बाधा को कम किया जाता है। इस घुमावदार स्थान में एक आदर्श, असुरक्षित, संरचना को परिभाषित किया गया है। फिर, इस आदर्श टेम्पलेट पर विशिष्ट विकृतियों को लागू किया जाता है ताकि इसे त्रि-आयामी यूक्लिडियन स्थान में एम्बेड किया जा सके। अंतिम संरचना क्रमबद्ध क्षेत्रों का मिश्रण है, जहां स्थानीय क्रम टेम्पलेट के समान है, और एम्बेडिंग से उत्पन्न होने वाले दोष हैं। संभावित दोषों में, झुकाव एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। सरल द्वि-आयामी उदाहरण द्वि-आयामी उदाहरण स्थानीय नियमों और ज्यामिति के बीच प्रतिस्पर्धा की उत्पत्ति के बारे में कुछ समझ प्राप्त करने के लिए सहायक हैं। पहले एक समतल पर समान डिस्क (एक काल्पनिक द्वि-आयामी धातु के लिए एक मॉडल) की एक व्यवस्था पर विचार करें; हम मानते हैं कि डिस्क के बीच बातचीत समस्थानिक है और स्थानीय रूप से डिस्क को यथासंभव सघन तरीके से व्यवस्थित करने की प्रवृत्ति है। तीन डिस्कों के लिए सबसे अच्छी व्यवस्था त्रिभुज शीर्षों पर स्थित डिस्क केंद्रों के साथ एक समबाहु त्रिभुज है। इसलिए लंबी दूरी की संरचना के अध्ययन को समबाहु त्रिभुज के साथ समतल झुकाव तक कम किया जा सकता है। स्थानीय और वैश्विक नियमों के बीच कुल अनुकूलता के साथ त्रिकोणीय टाइलिंग द्वारा एक प्रसिद्ध समाधान प्रदान किया जाता हैः प्रणाली को "असुरक्षित" कहा जाता है। लेकिन अब, जब परमाणु एक नियमित पंचभुज के शीर्षों पर बैठते हैं तो अंतःक्रिया ऊर्जा कम से कम मानी जाती है। इन पंचभुज साझा किनारों (परमाणु बंधन) और शीर्षों (परमाणुओं) को लंबी दूरी तक फैलाने की कोशिश करना असंभव है। यह नियमित पेंटागन के साथ एक तल को टाइल करने की असंभवता के कारण है, केवल इसलिए कि पेंटागन शीर्ष कोण 2 को विभाजित नहीं करता है। ऐसे तीन पेंटागन आसानी से एक सामान्य शीर्ष पर फिट हो सकते हैं, लेकिन दो किनारों के बीच एक अंतर रहता है। यह इस तरह की विसंगति है जिसे "ज्यामितीय हताशा" कहा जाता है। इस कठिनाई को दूर करने का एक तरीका है। टाइल की जाने वाली सतह को किसी भी पूर्व निर्धारित टोपोलॉजी से मुक्त होने दें, और आइए हम स्थानीय अंतःक्रिया नियम के सख्त अनुप्रयोग के साथ टाइल का निर्माण करें। इस सरल उदाहरण में, हम देखते हैं कि सतह एक गोले की स्थलविज्ञान विरासत में प्राप्त करती है और इसलिए एक वक्रता प्राप्त करती है। अंतिम संरचना, यहाँ एक पंचकोणीय डोडेकाहेड्रन, पंचकोणीय क्रम के सही प्रसार की अनुमति देता है। इसे मानी गई संरचना के लिए "आदर्श" (दोष-मुक्त) मॉडल कहा जाता है। घनी संरचनाएँ और चतुष्फलकीय आवरण धातुओं की स्थिरता ठोस अवस्था भौतिकी का एक दीर्घकालिक प्रश्न है, जिसे केवल सकारात्मक आवेशित आयनों और संयोजकता और चालन इलेक्ट्रॉनों के बीच बातचीत को ठीक से ध्यान में रखते हुए क्वांटम यांत्रिक ढांचे में समझा जा सकता है। फिर भी धातु बंधन की एक बहुत ही सरल तस्वीर का उपयोग करना संभव है और केवल एक समस्थानिक प्रकार की अंतःक्रियाओं को रखता है, जिससे ऐसी संरचनाएँ बनती हैं जिन्हें घने पैक किए गए गोले के रूप में दर्शाया जा सकता है। और वास्तव में क्रिस्टलीय सरल धातु संरचनाएं अक्सर या तो क्लोज पैक फेस-सेंटर्ड क्यूबिक (एफसीसी) या हेक्सागोनल क्लोज पैकिंग (एचसीपी) जाली होती हैं। कुछ हद तक अनाकार धातुओं और क्वासिक्रिस्टल को भी गोले की निकट पैकिंग द्वारा मॉडल किया जा सकता है। स्थानीय परमाणु क्रम को टेट्राहेड्रा की एक करीबी पैकिंग द्वारा अच्छी तरह से मॉडल किया जाता है, जिससे एक अपूर्ण आइकोसाहेड्रल क्रम होता है। एक नियमित टेट्राहेड्रॉन चार बराबर गोले की पैकिंग के लिए सबसे घना विन्यास है। इस प्रकार कठोर गोले की समस्या के घने यादृच्छिक पैकिंग को टेट्राहेड्रल पैकिंग समस्या पर मैप किया जा सकता है। केवल टेट्राहेड्रल विन्यास बनाने के लिए टेबल टेनिस गेंदों को पैक करने का प्रयास करना एक व्यावहारिक अभ्यास है। एक पूर्ण टेट्राहेड्रॉन के रूप में व्यवस्थित चार गेंदों के साथ शुरू होता है, और नए टेट्राहेड्रा बनाते हुए नए गोले जोड़ने का प्रयास करता है। अगला समाधान, पाँच गेंदों के साथ, मामूली रूप से दो टेट्राहेड्रा एक सामान्य चेहरे को साझा करते हैं; ध्यान दें कि पहले से ही इस समाधान के साथ, एफसीसी संरचना, जिसमें अलग-अलग टेट्राहेड्रल छेद होते हैं, इस तरह के विन्यास को नहीं दिखाती है (टेट्राहेड्रा किनारे साझा करता है, चेहरे नहीं)। छह गेंदों के साथ, तीन नियमित टेट्राहेड्रा बनाए जाते हैं, और समूह सभी कॉम्पैक्ट क्रिस्टलीय संरचनाओं (एफसीसी और एचसीपी) के साथ असंगत है। सातवें गोले को जोड़ने से एक नया समूह मिलता है जिसमें दो "अक्षीय" गेंदें एक-दूसरे को छूती हैं और पांच अन्य बाद की दो गेंदों को छूती हैं, बाहरी आकार लगभग नियमित पंचकोणीय द्वि-पिरामिड होता है। हालाँकि, अब हम एक वास्तविक पैकिंग समस्या का सामना कर रहे हैं, जो दो आयामों में पंचकोणीय टाइलिंग के साथ ऊपर सामने आई समस्या के समान है। एक टेट्राहेड्रॉन का डायहेड्रल कोण 2 के साथ तुलनीय नहीं है; परिणामस्वरूप, पड़ोसी टेट्राहेड्रॉन के दो चेहरों के बीच एक छेद बना रहता है। नतीजतन, नियमित टेट्राहेड्रा के साथ यूक्लिडियन स्पेस R3 की एक सही टाइलिंग असंभव है। हताशा का एक स्थलवैज्ञानिक चरित्र हैः यूक्लिडियन स्थान को टेट्राहेड्रा से भरना असंभव है, यहां तक कि गंभीर रूप से विकृत भी, अगर हम यह लागू करते हैं कि टेट्राहेड्रा की एक स्थिर संख्या (यहाँ पाँच) एक सामान्य बढ़त साझा करती है। अगला कदम महत्वपूर्ण हैः स्थान में वक्रता की अनुमति देकर एक असुरक्षित संरचना की खोज, ताकि स्थानीय विन्यास पूरे स्थान में समान रूप से और दोषों के बिना प्रसारित हो सकें। टेट्राहेड्रा की नियमित पैकिंगः एक आम शीर्ष के साथ बीस अनियमित टेट्राहेड्रा पैक इस तरह से कि बारह बाहरी शीर्ष एक नियमित आइकोसाहेड्रॉन बनाते हैं। वास्तव में, आइकोसाहेड्रॉन किनारे की लंबाई l परिधि क्षेत्र त्रिज्या r (l ≈ 1.05r) से थोड़ी लंबी है। यदि स्थान यूक्लिडियन नहीं है, बल्कि गोलाकार है, तो नियमित टेट्राहेड्रा के साथ एक समाधान है। यह पॉलीटोप {3,3,5} है, जो श्लाफली संकेतन का उपयोग करता है, जिसे 600-कोशिका के रूप में भी जाना जाता है। एक सौ बीस शीर्ष हैं जो सभी हाइपरस्फेयर S3 से संबंधित हैं जिनकी त्रिज्या स्वर्ण अनुपात (φ =) के बराबर है यदि किनारे इकाई लंबाई के हैं। छह सौ कोशिकाएं नियमित टेट्राहेड्रा होती हैं जो एक सामान्य किनारे के आसपास पांच और एक सामान्य शीर्ष के आसपास बीस से समूहीकृत होती हैं। इस संरचना को पॉलीटोप कहा जाता है (कॉक्सेटर देखें) जो बहुभुज और पॉलीहेड्रा वाली श्रृंखला में उच्च आयाम में सामान्य नाम है। भले ही यह संरचना चार आयामों में अंतर्निहित हो, इसे त्रि-आयामी (घुमावदार) मैनिफोल्ड माना गया है। यह बिंदु निम्नलिखित कारणों से वैचारिक रूप से महत्वपूर्ण है। घुमावदार अंतरिक्ष में पेश किए गए आदर्श मॉडल त्रि-आयामी घुमावदार टेम्पलेट हैं। वे स्थानीय रूप से त्रि-आयामी यूक्लिडियन मॉडल के रूप में दिखते हैं। तो, {3,3,5} पॉलीटोप, जो टेट्राहेड्रा द्वारा एक टाइलिंग है, एक बहुत घनी परमाणु संरचना प्रदान करता है यदि परमाणु इसके शीर्षों पर स्थित हैं। इसलिए यह स्वाभाविक रूप से अनाकार धातुओं के लिए एक टेम्पलेट के रूप में उपयोग किया जाता है, लेकिन किसी को यह नहीं भूलना चाहिए कि यह क्रमिक आदर्शीकरण की कीमत पर है। साहित्य संदर्भ संघनित पदार्थ भौतिकी ऊष्मागतिकीय एन्ट्रापी चुंबकीय क्रम