Ordinal utility
अर्थशास्त्र में, एक क्रमिक उपयोगिता कार्य एक क्रमिक पैमाने पर एक एजेंट की प्राथमिकताओं का प्रतिनिधित्व करने वाला कार्य है। साधारण उपयोगिता सिद्धांत का दावा है कि यह पूछना केवल सार्थक है कि कौन सा विकल्प दूसरे से बेहतर है, लेकिन यह पूछना अर्थहीन है कि यह कितना बेहतर है या कितना अच्छा है। निश्चितता की शर्तों के तहत उपभोक्ता निर्णय लेने के सभी सिद्धांत को सामान्य उपयोगिता के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है और आमतौर पर किया जाता है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि जॉर्ज हमें बताते हैं कि "मैं ए से बी और बी से सी पसंद करता हूं"। जॉर्ज की प्राथमिकताओं को एक फलन यू द्वारा दर्शाया जा सकता है किः लेकिन मुख्य उपयोगिता के आलोचकों का दावा है कि इस फलन का एकमात्र सार्थक संदेश क्रम है; वास्तविक संख्याएँ अर्थहीन हैं। इसलिए, जॉर्ज की प्राथमिकताओं को निम्नलिखित फलन v द्वारा भी दर्शाया जा सकता हैः फलन u और v सामान्य रूप से समतुल्य हैं-वे जॉर्ज की प्राथमिकताओं को समान रूप से अच्छी तरह से दर्शाते हैं। साधारण उपयोगिता मुख्य उपयोगिता सिद्धांत के विपरीत हैः बाद वाला मानता है कि वरीयताओं के बीच अंतर भी महत्वपूर्ण हैं। यू में ए और बी के बीच का अंतर बी और सी की तुलना में बहुत कम है, जबकि वी में विपरीत सच है। अतः, यू और वी मूल रूप से समतुल्य नहीं हैं। क्रमिक उपयोगिता अवधारणा को पहली बार 1906 में पारेतो द्वारा पेश किया गया था। संकेतन मान लीजिए कि दुनिया की सभी अवस्थाओं का समुच्चय है और एक अभिकर्ता का वरीयता संबंध है। कमजोर वरीयता संबंध को इस प्रकार चिह्नित करना आम बात है कि "अभिकर्ता बी को कम से कम उतना ही चाहता है जितना कि ए"। प्रतीक का उपयोग उदासीनता संबंध के संक्षिप्त नाम के रूप में किया जाता हैः, जिसमें लिखा होता है "अभिकर्ता बी और ए के बीच उदासीन है"। प्रतीक का उपयोग मजबूत वरीयता संबंध के लिए एक संक्षिप्त नाम के रूप में किया जाता हैः, जिसमें लिखा होता है "एजेंट सख्ती से बी से ए को पसंद करता है"। एक फ़ंक्शन को संबंध का प्रतिनिधित्व करने के लिए कहा जाता है यदिः संबंधित अवधारणाएँ उदासीनता वक्र मानचित्रण एक संख्यात्मक फ़ंक्शन को परिभाषित करने के बजाय, एक एजेंट के वरीयता संबंध को उदासीनता वक्र द्वारा चित्रमय रूप से दर्शाया जा सकता है। यह विशेष रूप से तब उपयोगी होता है जब दो प्रकार के माल होते हैं, x और y। फिर, प्रत्येक उदासीनता वक्र इस तरह से बिंदुओं का एक समूह दिखाता है कि, यदि और एक ही वक्र पर हैं, तो। एक उदाहरण उदासीनता वक्र नीचे दिखाया गया हैः प्रत्येक उदासीनता वक्र बिंदुओं का एक समूह है, प्रत्येक दो वस्तुओं या सेवाओं की मात्रा के संयोजन का प्रतिनिधित्व करता है, जिनमें से सभी संयोजनों से उपभोक्ता समान रूप से संतुष्ट है। मूल से जितना आगे एक वक्र होता है, उपयोगिता का स्तर उतना ही अधिक होता है। किसी भी बिंदु पर वक्र का ढलान (Y के लिए X के प्रतिस्थापन की सीमांत दर का ऋणात्मक) उस दर को दर्शाता है जिस पर व्यक्ति उपयोगिता के समान स्तर को बनाए रखते हुए अच्छे X को अच्छे Y के खिलाफ व्यापार करने के लिए तैयार है। वक्र मूल के लिए उत्तल है जैसा कि दिखाया गया है यह मानते हुए कि उपभोक्ता के पास प्रतिस्थापन की घटती सीमांत दर है। यह दिखाया जा सकता है कि उदासीनता वक्र (एक क्रमिक दृष्टिकोण) के साथ उपभोक्ता विश्लेषण मूल उपयोगिता सिद्धांत के आधार पर समान परिणाम देता है-यानी, उपभोक्ता उस बिंदु पर उपभोग करेंगे जहां किसी भी दो वस्तुओं के बीच प्रतिस्थापन की सीमांत दर उन वस्तुओं की कीमतों के अनुपात (सम-सीमांत सिद्धांत) के बराबर होती है। प्रकट वरीयता सिद्धांत वास्तविक दुनिया में क्रमिक वरीयता संबंधों का निरीक्षण करने की समस्या को संबोधित करता है। प्रकट वरीयता सिद्धांत की चुनौती यह निर्धारित करने में निहित है कि किन वस्तुओं के बंडलों को पहले ही छोड़ दिया गया था, उनके कम पसंद किए जाने के आधार पर, जब व्यक्तियों को वस्तुओं के विशेष बंडलों का चयन करते हुए देखा जाता है। क्रमिक उपयोगिता फलन के अस्तित्व के लिए आवश्यक शर्तें एक प्रतिनिधित्व करने वाले फलन के अस्तित्व की गारंटी के लिए कुछ शर्तें आवश्यक हैंः पारगमनः यदि और फिर। पूर्णता सभी बंडलों के लिएः या तो या या दोनों के लिए। पूर्णता का अर्थ प्रतिवर्तिता भी हैः प्रत्येक के लिए। जब इन शर्तों को पूरा किया जाता है और सेट सीमित होता है, तो एक फ़ंक्शन बनाना आसान होता है जो केवल प्रत्येक तत्व को एक उपयुक्त संख्या निर्धारित करके दर्शाता है, जैसा कि शुरुआती पैराग्राफ में उदाहरण दिया गया है। यही बात तब भी सच होती है जब X गिनती में अनंत होता है। इसके अलावा, प्रेरक रूप से एक प्रतिनिधित्व करने वाले उपयोगिता कार्य का निर्माण करना संभव है जिसके मान सीमा में हैं। जब अनंत होता है, तो ये स्थितियाँ अपर्याप्त होती हैं। उदाहरण के लिए, लेक्सिकोग्राफिक वरीयताएँ सकर्मक और पूर्ण होती हैं, लेकिन उन्हें किसी भी उपयोगिता कार्य द्वारा दर्शाया नहीं जा सकता है। आवश्यक अतिरिक्त शर्त निरंतरता है। निरंतरता एक वरीयता संबंध को निरंतर कहा जाता है यदि, जब भी बी को ए के लिए प्राथमिकता दी जाती है, तो बी या ए से छोटे विचलन उनके बीच के क्रम को उलट नहीं देंगे। औपचारिक रूप से, एक समुच्चय X पर एक वरीयता संबंध को निरंतर कहा जाता है यदि यह निम्नलिखित समकक्ष शर्तों में से एक को संतुष्ट करता हैः प्रत्येक के लिए, समुच्चय को उत्पाद स्थलविज्ञान के साथ स्थलवैज्ञानिक रूप से बंद किया जाता है (इस परिभाषा के लिए एक स्थलवैज्ञानिक स्थान की आवश्यकता होती है)। प्रत्येक अनुक्रम के लिए, यदि सभी के लिए i और और, तो। इस तरह के प्रत्येक के लिए, चारों ओर एक गेंद और चारों ओर एक गेंद होती है, जो गेंद में हर एक के लिए और गेंद में हर एक के लिए होती है, (इस परिभाषा के लिए एक मीट्रिक स्थान की आवश्यकता होती है)। यदि वरीयता संबंध को निरंतर उपयोगिता फलन द्वारा दर्शाया जाता है, तो यह स्पष्ट रूप से निरंतर है। डेब्रेउ (1954) के प्रमेयों के अनुसार, इसके विपरीत भी सच हैः प्रत्येक निरंतर पूर्ण वरीयता संबंध को एक निरंतर क्रमिक उपयोगिता फलन द्वारा दर्शाया जा सकता है। ध्यान दें कि लेक्सिकोग्राफिक वरीयताएँ निरंतर नहीं हैं। उदाहरण के लिए, लेकिन हर गेंद में (5,1) के साथ अंक होते हैं और ये अंक उससे कम होते हैं। यह ऊपर बताए गए तथ्य के अनुसार है कि इन प्राथमिकताओं को उपयोगिता कार्य द्वारा दर्शाया नहीं जा सकता है। विशिष्टता प्रत्येक उपयोगिता फलन v के लिए, एक अद्वितीय वरीयता संबंध है जिसे v द्वारा दर्शाया जाता है। हालांकि, विपरीत सच नहीं हैः एक वरीयता संबंध को कई अलग-अलग उपयोगिता कार्यों द्वारा दर्शाया जा सकता है। समान वरीयताओं को किसी भी उपयोगिता कार्य के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जो v का एक नीरस रूप से बढ़ता परिवर्तन है। उदाहरण के लिए, यदि कोई एकरस रूप से बढ़ता हुआ फलन है, तो फलन v और v समान उदासीनता वक्र मानचित्रण को जन्म देते हैं। इस समानता को संक्षिप्त रूप से निम्नलिखित तरीके से वर्णित किया गया हैः एक क्रमिक उपयोगिता कार्य मोनोटोन परिवर्तन को बढ़ाने के लिए अद्वितीय है। इसके विपरीत, एक मुख्य उपयोगिता कार्य एफ़ाइन परिवर्तन को बढ़ाने के लिए अद्वितीय है। प्रत्येक एफाइन परिवर्तन मोनोटोन है; इसलिए, यदि दो कार्य कार्डिनली समतुल्य हैं तो वे भी सामान्य रूप से समतुल्य हैं, लेकिन इसके विपरीत नहीं। एकरसता मान लीजिए, अब से, कि समुच्चय सभी गैर-नकारात्मक वास्तविक द्वि-आयामी वैक्टरों का समुच्चय है। तो एक तत्व एक जोड़ी है जो दो उत्पादों, जैसे सेब और केले से खपत की मात्रा का प्रतिनिधित्व करता है। फिर कुछ परिस्थितियों में एक वरीयता संबंध को एक उपयोगिता कार्य द्वारा दर्शाया जाता है। मान लीजिए कि वरीयता संबंध नीरस रूप से बढ़ रहा है, जिसका अर्थ है कि "अधिक हमेशा बेहतर होता है": फिर, दोनों आंशिक व्युत्पन्न, यदि वे मौजूद हैं, तो v के सकारात्मक हैं। संक्षेप मेंः यदि एक उपयोगिता कार्य एक नीरस रूप से बढ़ते वरीयता संबंध का प्रतिनिधित्व करता है, तो उपयोगिता कार्य नीरस रूप से बढ़ रहा है। प्रतिस्थापन की सीमांत दर मान लीजिए कि किसी व्यक्ति के पास एक बंडल है और वह दावा करता है कि वह इस बंडल और बंडल के बीच उदासीन है। इसका मतलब है कि वह y की इकाइयाँ प्राप्त करने के लिए x की इकाइयाँ देने को तैयार है। यदि इस अनुपात को इस रूप में रखा जाता है, तो हम कहते हैं कि यह बिंदु पर x और y के बीच प्रतिस्थापन की सीमांत दर (एम. आर. एस.) है। एम. आर. एस. की यह परिभाषा केवल क्रमिक वरीयता संबंध पर आधारित है-यह एक संख्यात्मक उपयोगिता कार्य पर निर्भर नहीं करती है। यदि वरीयता संबंध को एक उपयोगिता फलन द्वारा दर्शाया जाता है और फलन अवकलनीय है, तो एम. आर. एस. की गणना उस फलन के व्युत्पन्न से की जा सकती हैः उदाहरण के लिए, यदि वरीयता संबंध तब तक दर्शाया जाता है। कार्य के लिए एम. आर. एस. समान है। यह एक संयोग नहीं है क्योंकि ये दोनों कार्य एक ही वरीयता संबंध का प्रतिनिधित्व करते हैं-प्रत्येक एक दूसरे का बढ़ता हुआ मोनोटोन परिवर्तन है। सामान्य तौर पर, एम. आर. एस. अलग-अलग बिंदुओं पर अलग-अलग हो सकता है। उदाहरण के लिए, यह संभव है कि एम. आर. एस. पर कम हो क्योंकि व्यक्ति के पास बहुत अधिक एक्स और केवल एक वाई हो, लेकिन ए. टी. या एम. आर. एस. अधिक हो। कुछ विशेष मामलों का वर्णन नीचे किया गया है। रैखिकता जब किसी निश्चित वरीयता संबंध का एम. आर. एस. बंडल पर निर्भर नहीं करता है, अर्थात, एम. आर. एस. सभी के लिए समान होता है, तो उदासीनता वक्र रैखिक और रूप के होते हैंः और वरीयता संबंध को एक रैखिक फलन द्वारा दर्शाया जा सकता हैः (बेशक, एक ही संबंध को कई अन्य गैर-रैखिक कार्यों द्वारा दर्शाया जा सकता है, जैसे कि या, लेकिन रैखिक कार्य सबसे सरल है।) क्वासिलिनियरिटी जब एम. आर. एस. निर्भर करता है लेकिन उस पर नहीं, तो वरीयता संबंध को एक क्वासिलिनियर उपयोगिता फलन द्वारा दर्शाया जा सकता है, जो उस रूप का होता है जहां एक निश्चित नीरस रूप से बढ़ता हुआ कार्य होता है। चूँकि एम. आर. एस. एक फलन है, एक संभावित फलन की गणना एक समाकलन के रूप में की जा सकती हैः इस मामले में, सभी उदासीनता वक्र समानांतर हैं-वे एक दूसरे के क्षैतिज स्थानान्तरण हैं। दो वस्तुओं के साथ योगात्मकता एक अधिक सामान्य प्रकार का उपयोगिता कार्य एक योगात्मक कार्य हैः यह जांचने के कई तरीके हैं कि क्या दी गई प्राथमिकताएं एक योगात्मक उपयोगिता कार्य द्वारा प्रतिनिधित्व योग्य हैं। दोहरा रद्द करने का गुण यदि वरीयताएँ योगात्मक हैं तो एक सरल अंकगणितीय गणना से पता चलता है कि यह "दोहरा रद्द करने" का गुण योगात्मकता के लिए एक आवश्यक शर्त है। डेब्रेउ (1960) ने दिखाया कि यह गुण भी पर्याप्त हैः अर्थात, यदि कोई वरीयता संबंध दोहरे-रद्द करने के गुण को संतुष्ट करता है तो इसे एक योगात्मक उपयोगिता कार्य द्वारा दर्शाया जा सकता है। यदि वरीयताओं को एक योगात्मक फलन द्वारा दर्शाया जाता है, तो एक सरल अंकगणितीय गणना से पता चलता है कि इसलिए यह "संबंधित विनिमय" गुण योगात्मकता के लिए एक आवश्यक शर्त है। यह स्थिति भी पर्याप्त है। तीन या अधिक वस्तुओं के साथ योजकता जब तीन या अधिक वस्तुएँ होती हैं, तो उपयोगिता कार्य की योजकता की स्थिति दो वस्तुओं की तुलना में आश्चर्यजनक रूप से सरल होती है। यह डेब्रेउ (1960) के प्रमेय 3 का परिणाम है। योजकता के लिए आवश्यक शर्त अधिमान्य स्वतंत्रता है। वस्तुओं के एक उपसमुच्चय ए को वस्तुओं के एक उपसमुच्चय बी से अधिमानतः स्वतंत्र कहा जाता है, यदि उपसमुच्चय ए में वरीयता संबंध, उपसमुच्चय बी के लिए स्थिर मूल्य दिए जाने पर, इन स्थिर मूल्यों से स्वतंत्र है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि तीन वस्तुएँ हैंः x y और z। सबसेट {x, y} अधिमानतः सबसेट {z} से स्वतंत्र है, यदि सभी के लिएः। इस मामले में, हम बस इतना कह सकते हैं किः स्थिरांक z के लिए। अधिमान्य स्वतंत्रता स्वतंत्र वस्तुओं के मामले में समझ में आती है। उदाहरण के लिए, सेब और केले के बंडलों के बीच की प्राथमिकताएं शायद एक एजेंट के जूते और मोजे की संख्या से स्वतंत्र हैं, और इसके विपरीत। डेब्रेउ के प्रमेय के अनुसार, यदि वस्तुओं के सभी उपसमुच्चय अधिमानतः अपने पूरकों से स्वतंत्र हैं, तो वरीयता संबंध को एक योगात्मक मूल्य फलन द्वारा दर्शाया जा सकता है। यहाँ हम यह दिखाकर इस परिणाम की एक सहज व्याख्या प्रदान करते हैं कि इस तरह के योगात्मक मूल्य फलन का निर्माण कैसे किया जा सकता है। प्रमाण तीन वस्तुओं को मानता हैः x, y, z। हम दिखाते हैं कि तीन मूल्य कार्यों में से प्रत्येक के लिए तीन बिंदुओं को कैसे परिभाषित किया जाएः 0 बिंदु, 1 बिंदु और 2 बिंदु। अन्य अंकों की गणना इसी तरह से की जा सकती है, और फिर निरंतरता का उपयोग यह निष्कर्ष निकालने के लिए किया जा सकता है कि कार्य उनकी पूरी सीमा में अच्छी तरह से परिभाषित हैं। 0 बिंदुः मनमाने ढंग से चुनें और उन्हें मान फलन के शून्य के रूप में निर्दिष्ट करें, अर्थात। : 1 बिंदुः मनमाने ढंग से ऐसा चुनें। इसे मूल्य की इकाई के रूप में निर्धारित करें, अर्थात। : चुनें और ऐसा चुनें कि निम्नलिखित उदासीनता संबंध बनेः यह उदासीनता x की इकाइयों से मेल खाने के लिए y और z की इकाइयों को मापने का काम करती है। इन तीन बिंदुओं में मान 1 होना चाहिए, इसलिए हम 2 बिंदु निर्धारित करते हैंः अब हम अधिमान्य-स्वतंत्रता धारणा का उपयोग करते हैं। और के बीच का संबंध z से स्वतंत्र है, और इसी तरह और के बीच का संबंध x से स्वतंत्र है और और के बीच का संबंध y से स्वतंत्र है। अतः यह उपयोगी है क्योंकि इसका अर्थ है कि फलन v का इन तीन बिंदुओं में समान मान-2 हो सकता है। ऐसा चुनें और 3 अंक देंः यह दिखाने के लिए कि अब तक हमारे कार्य सुसंगत हैं, हमें यह दिखाना होगा कि 3 का कुल मूल्य प्राप्त करने वाले सभी अंक उदासीनता अंक हैं। यहाँ, फिर से, अधिमान्य स्वतंत्रता धारणा का उपयोग किया जाता है, क्योंकि और के बीच का संबंध z से स्वतंत्र है (और इसी तरह अन्य जोड़े के लिए); इसलिए और इसी तरह अन्य जोड़े के लिए। इसलिए, 3 बिंदु को लगातार परिभाषित किया जाता है। हम प्रेरण द्वारा इस तरह जारी रख सकते हैं और सभी पूर्णांक बिंदुओं में प्रति-वस्तु कार्यों को परिभाषित कर सकते हैं, फिर इसे सभी वास्तविक बिंदुओं में परिभाषित करने के लिए निरंतरता का उपयोग कर सकते हैं। उपरोक्त प्रमाण के बिंदु 1 में एक अंतर्निहित धारणा यह है कि तीनों वस्तुएं आवश्यक या वरीयता प्रासंगिक हैं। इसका मतलब यह है कि एक ऐसा बंडल मौजूद है कि यदि किसी निश्चित वस्तु की मात्रा बढ़ाई जाती है, तो नया बंडल सख्ती से बेहतर होता है। 3 से अधिक वस्तुओं का प्रमाण समान है। वास्तव में, हमें यह जांचने की आवश्यकता नहीं है कि बिंदुओं के सभी उपसमुच्चय अधिमानतः स्वतंत्र हैं; यह वस्तुओं के जोड़े की एक रैखिक संख्या की जांच करने के लिए पर्याप्त है। उदाहरण के लिए, यदि अलग-अलग वस्तुएं हैं, तो यह जांचने के लिए पर्याप्त है कि सभी के लिए, दोनों वस्तुएं अन्य वस्तुओं से अधिमानतः स्वतंत्र हैं। योगात्मक प्रतिनिधित्व की विशिष्टता एक योगात्मक वरीयता संबंध को कई अलग-अलग योगात्मक उपयोगिता कार्यों द्वारा दर्शाया जा सकता है। हालाँकि, ये सभी कार्य समान हैंः वे न केवल एक दूसरे के मोनोटोन परिवर्तनों को बढ़ा रहे हैं (जैसा कि सभी उपयोगिता कार्य एक ही संबंध का प्रतिनिधित्व कर रहे हैं); वे एक दूसरे के रैखिक परिवर्तनों को बढ़ा रहे हैं। संक्षेप में, एक योगात्मक क्रमिक उपयोगिता कार्य रैखिक परिवर्तन को बढ़ाने के लिए अद्वितीय है। क्रमिक डेटा से योगात्मक और द्विघात उपयोगिता कार्यों का निर्माण जेरार्ड डेब्रेउ द्वारा निर्धारित अधिकांश सामान्य प्रकार के उपयोगिता कार्यों-द्विघात और योगात्मक-की गणितीय नींव ने एंड्रानिक टैंगियन को विशुद्ध रूप से क्रमिक डेटा से उनके निर्माण के लिए विधियों को विकसित करने में सक्षम बनाया। विशेष रूप से, चर में योगात्मक और द्विघात उपयोगिता कार्यों का निर्माण निर्णय निर्माताओं के साक्षात्कारों से किया जा सकता है, जहां प्रश्नों का उद्देश्य मुख्य उपयोगिता अनुमानों का उल्लेख किए बिना समन्वय विमानों में पूरी तरह से 2डी-अंतर वक्रों का पता लगाना है। क्रमिक और मुख्य उपयोगिता कार्यों के बीच तुलना निम्नलिखित तालिका अर्थशास्त्र में आम दो प्रकार के उपयोगिता कार्यों की तुलना करती हैः वरीयता (अर्थशास्त्र) बहु-विशेषता उपयोगिता उपभोक्ता सिद्धांत सीमांत उपयोगिता जाली सिद्धांत कन्वेक्स वरीयता संदर्भ बाहरी लिंक लेक्सिकोग्राफिक वरीयता संबंध को उपयोगिता कार्य द्वारा नहीं दर्शाया जा सकता है। Economics.SE में आर2 में एम्बेडेबल रैखिक आदेशों को पहचानने के लिए लेक्सिकोग्राफिक रूप से आदेश दिया गया है। Math.SE में। मुर्रे एन. रोथबार्ड, "उपयोगिता और कल्याण अर्थशास्त्र के पुनर्निर्माण की ओर" उपयोगिता