Rigidity (mathematics)
गणित में, गणितीय वस्तुओं का एक कठोर संग्रह सी (उदाहरण के लिए समुच्चयों या कार्यों) वह है जिसमें प्रत्येक सी, सी के बारे में कम जानकारी द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है जिसकी कोई उम्मीद नहीं करता है। उपरोक्त कथन गणितीय गुण को परिभाषित नहीं करता है; इसके बजाय, यह वर्णन करता है कि आमतौर पर गणित में, गणितविदों द्वारा किस अर्थ में "कठोर" विशेषण का उपयोग किया जाता है। कुछ उदाहरणों में शामिल हैंः इकाई डिस्क पर हार्मोनिक कार्य इस अर्थ में कठोर होते हैं कि वे विशिष्ट रूप से अपने सीमा मूल्यों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं। होलोमोर्फिक फलन एक ही बिंदु पर सभी व्युत्पन्नों के समुच्चय द्वारा निर्धारित किए जाते हैं। वास्तविक रेखा से जटिल तल तक एक चिकना फलन, सामान्य रूप से, एक ही बिंदु पर इसके सभी व्युत्पन्नों द्वारा निर्धारित नहीं किया जाता है, लेकिन यह तब होता है जब हमें अतिरिक्त आवश्यकता होती है कि जटिल तल में वास्तविक रेखा के पड़ोस में एक तक फलन का विस्तार करना संभव हो। श्वार्ज लेम्मा इस तरह की कठोरता प्रमेय का एक उदाहरण है। बीजगणित के मौलिक प्रमेय के अनुसार, सी में बहुपद इस अर्थ में कठोर होते हैं कि कोई भी बहुपद पूरी तरह से किसी भी अनंत समुच्चय, जैसे एन, या इकाई डिस्क पर इसके मूल्यों द्वारा निर्धारित किया जाता है। पिछले उदाहरण से, एक बहुपद को किसी भी एकल बिंदु पर अपने गैर-शून्य व्युत्पन्नों के परिमित सेट द्वारा होलोमोर्फिक कार्यों के सेट के भीतर भी निर्धारित किया जाता है। वेक्टर स्पेस एक्स, वाई के बीच रैखिक मानचित्र एल (एक्स, वाई) इस अर्थ में कठोर हैं कि कोई भी एल (एक्स, वाई) पूरी तरह से एक्स के आधार वैक्टरों के किसी भी सेट पर अपने मूल्यों द्वारा निर्धारित किया जाता है। एक सुव्यवस्थित समुच्चय इस अर्थ में कठोर होता है कि उस पर एकमात्र (क्रम-संरक्षित) ऑटोमोर्फिज्म पहचान कार्य है। नतीजतन, दो दिए गए सुव्यवस्थित समुच्चयों के बीच एक समरूपता अद्वितीय होगी। उत्तल बहुपदों की ज्यामिति पर कौची के प्रमेय में कहा गया है कि एक उत्तल बहुपद विशिष्ट रूप से उसके चेहरों की ज्यामिति और संयोजन संबंधी निकटता नियमों द्वारा निर्धारित किया जाता है। अलेक्जेंड्रोव की विशिष्टता प्रमेय बताती है कि तीन आयामों में एक उत्तल बहुफलक विशिष्ट रूप से इसकी सतह पर भूगणितीय के मीट्रिक स्थान द्वारा निर्धारित किया जाता है। कठोरता के-सिद्धांत के परिणामस्वरूप विभिन्न बीजगणितीय के-सिद्धांत समूहों के बीच समरूपता दिखाई देती है। विपरीत गैलोइस समस्या में कठोर समूह। संयोजन विज्ञान में, कठोर शब्द का उपयोग एक कठोर अधिक्षेप की धारणा को परिभाषित करने के लिए भी किया जाता है, जो एक अधिक्षेप है जिसके लिए निम्नलिखित समतुल्य स्थितियां हैंः प्रत्येक के लिए,; एक-टुपल के रूप में विचार करते हुए, तत्वों की पहली घटनाएँ बढ़ते क्रम में हैं; के प्रारंभिक खंडों के प्रारंभिक खंडों का मानचित्रण करता है। यह कठोर की उपरोक्त परिभाषा से संबंधित है, जिसमें प्रत्येक कठोर उद्गमन विशिष्ट रूप से परिभाषित होता है, और टुकड़ों में विभाजन द्वारा विशिष्ट रूप से परिभाषित किया जाता है। एक कठोर अधिगमन को देखते हुए, विभाजन को परिभाषित किया गया है। इसके विपरीत, के विभाजन को देखते हुए, लेट करके ऑर्डर करें। यदि अब-आदेशित विभाजन है, तो द्वारा परिभाषित कार्य एक कठोर अधिक्षेप है। विशिष्टता प्रमेय संरचनात्मक कठोरता भी देखें, एक गणितीय सिद्धांत जो लचीली टिका द्वारा एक साथ जुड़ी कठोर भौतिक वस्तुओं के समूहों की स्वतंत्रता की डिग्री का वर्णन करता है। स्तर संरचना (बीजगणितीय ज्यामिति) संदर्भ गणितीय शब्दावली