Gas in a harmonic trap
क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर के परिणामों का उपयोग एक हार्मोनिक ट्रैप में एक क्वांटम आदर्श गैस के लिए संतुलन स्थिति को देखने के लिए किया जा सकता है, जो एक हार्मोनिक क्षमता है जिसमें बड़ी संख्या में कण होते हैं जो तत्काल तापीय टकराव को छोड़कर एक दूसरे के साथ बातचीत नहीं करते हैं। यह स्थिति बहुत व्यावहारिक महत्व की है क्योंकि बोस गैसों के कई प्रयोगात्मक अध्ययन ऐसे हार्मोनिक जाल में किए जाते हैं। मैक्सवेल-बोल्ट्जमैन सांख्यिकी, बोस-आइंस्टीन सांख्यिकी या फर्मी-डीराक सांख्यिकी के परिणामों का उपयोग करते हुए हम थॉमस-फर्मी सन्निकटन (एक डिब्बे में गैस) का उपयोग करते हैं और एक बहुत बड़े जाल की सीमा तक जाते हैं, और ऊर्जा अवस्थाओं () की अपघटनता को एक अंतर के रूप में व्यक्त करते हैं, और अवस्थाओं पर योग को समाकलन के रूप में व्यक्त करते हैं। हम तब विभाजन फलन या भव्य विभाजन फलन का उपयोग करके गैस के ऊष्मागतिकीय गुणों की गणना करने की स्थिति में होंगे। केवल विशाल कणों के मामले पर विचार किया जाएगा, हालांकि परिणामों को द्रव्यमान रहित कणों तक भी बढ़ाया जा सकता है, जैसा कि एक डिब्बे में आदर्श गैस के मामले में किया गया था। अधिक पूर्ण गणनाओं को अलग-अलग लेखों पर छोड़ दिया जाएगा, लेकिन कुछ सरल उदाहरण इस लेख में दिए जाएंगे। अवस्थाओं के अपघटन के लिए थॉमस-फर्मी सन्निकटन एक हार्मोनिक कुएँ में विशाल कणों के लिए, कण की अवस्थाओं को क्वांटम संख्याओं के एक समूह द्वारा गिना जाता है। किसी विशेष अवस्था की ऊर्जा इस प्रकार दी जाती हैः मान लीजिए कि क्वांटम संख्याओं का प्रत्येक समूह उन अवस्थाओं को निर्दिष्ट करता है जहां उस कण की आंतरिक स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या है जिसे टकराव द्वारा बदला जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक स्पिन-1/2 कण में प्रत्येक स्पिन अवस्था के लिए एक होगा। हम एक कण की प्रत्येक संभावित स्थिति को सकारात्मक पूर्णांकों के त्रि-आयामी ग्रिड पर एक बिंदु के रूप में सोच सकते हैं। थॉमस-फर्मी सन्निकटन मानता है कि क्वांटम संख्याएँ इतनी बड़ी हैं कि उन्हें एक निरंतरता माना जा सकता है। के बड़े मूल्यों के लिए, हम उपरोक्त समीकरण से कम या बराबर ऊर्जा वाली अवस्थाओं की संख्या का अनुमान इस प्रकार लगा सकते हैंः जो ऊर्जा समीकरण और सकारात्मक अष्टक के सीमा तल द्वारा वर्णित तल द्वारा गठित टेट्राहेड्रॉन के आयतन का सिर्फ गुना है। इसलिए और के बीच ऊर्जा वाली अवस्थाओं की संख्या हैः ध्यान दें कि इस निरंतरता सन्निकटन का उपयोग करने में, हमने कम ऊर्जा वाली अवस्थाओं को चिह्नित करने की क्षमता खो दी है, जिसमें जमीनी अवस्था भी शामिल है। अधिकांश मामलों में यह एक समस्या नहीं होगी, लेकिन जब बोस-आइंस्टीन संघनन पर विचार किया जाता है, जिसमें गैस का एक बड़ा हिस्सा जमीनी अवस्था में या उसके पास होता है, तो हमें कम ऊर्जा स्थितियों से निपटने की क्षमता को पुनर्प्राप्त करने की आवश्यकता होगी। निरंतरता सन्निकटन का उपयोग किए बिना, ऊर्जा वाले कणों की संख्या इस प्रकार दी जाती हैः जहाँ मैक्सवेल-बोल्ट्जमैन सांख्यिकी का पालन करने वाले कणों के लिए बोस-आइंस्टीन सांख्यिकी का पालन करने वाले कणों के लिए फर्मि-डीराक सांख्यिकी।। का पालन करने वाले कणों के लिए, बोल्ट्जमैन स्थिरांक होने के साथ, तापमान और रासायनिक क्षमता होने के कारण। निरंतरता सन्निकटन का उपयोग करते हुए, और के बीच ऊर्जा वाले कणों की संख्या अब लिखी गई हैः ऊर्जा वितरण कार्य अब हम "हार्मोनिक ट्रैप में गैस" के लिए कुछ वितरण कार्यों को निर्धारित करने की स्थिति में हैं। किसी भी चर के लिए वितरण कार्य उन कणों के अंश के बराबर होता है जिनका और के बीच मूल्य होता हैः यह इस प्रकार हैः इन संबंधों का उपयोग करके हम ऊर्जा वितरण कार्य प्राप्त करते हैंः विशिष्ट उदाहरण निम्नलिखित खंड कुछ विशिष्ट मामलों के लिए परिणामों का एक उदाहरण देते हैं। विशाल मैक्सवेल-बोल्ट्जमैन कण इस मामले के लिएः ऊर्जा वितरण कार्य को एकीकृत करना और देने के लिए हल करनाः मूल ऊर्जा वितरण कार्य में प्रतिस्थापित करने से मिलता हैः विशाल बोस-आइंस्टीन कण इस मामले के लिएः जहाँ परिभाषित किया गया हैः ऊर्जा वितरण कार्य को एकीकृत करना और देने के लिए हल करनाः बहुपद फलन कहाँ है। बहुपतिकी पद हमेशा धनात्मक और वास्तविक होना चाहिए, जिसका अर्थ है कि इसका मान 0 से 1 तक जाएगा। जैसे-जैसे तापमान शून्य पर जाता है, बड़ा और बड़ा होता जाएगा, जब तक कि अंत में एक महत्वपूर्ण मूल्य तक नहीं पहुंच जाता है, जहां और जिस तापमान पर एक महत्वपूर्ण तापमान होता है जिस पर बोस-आइंस्टीन संघनन बनने लगता है। समस्या यह है कि, जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, निरंतरता सन्निकटन में जमीनी स्थिति की अनदेखी की गई है। यह पता चला है कि उपरोक्त अभिव्यक्ति उत्तेजित अवस्थाओं में बोसॉन की संख्या को अच्छी तरह से व्यक्त करती है, और इसलिए हम लिख सकते हैंः जहां जोड़ा गया शब्द जमीनी अवस्था में कणों की संख्या है। (जमीनी अवस्था ऊर्जा को नजरअंदाज कर दिया गया है।) यह समीकरण शून्य तापमान तक रहेगा। आदर्श बोस गैस पर लेख में आगे के परिणाम पाए जा सकते हैं। विशाल फर्मी-डीराक कण (जैसे। एक धातु में इलेक्ट्रॉन) इस मामले के लिएः ऊर्जा वितरण फलन को एकीकृत करने से मिलता हैः जहाँ फिर से, बहुपद फलन है। आगे के परिणाम आदर्श फर्मी गैस पर लेख में पाए जा सकते हैं। संदर्भ हुआंग, केर्सन, "सांख्यिकीय यांत्रिकी", जॉन विली एंड संस, न्यूयॉर्क, 1967 ए. इसिहारा, "सांख्यिकीय भौतिकी", अकादमिक प्रेस, न्यूयॉर्क, 1971 एल. डी. लैंडौ और ई. एम. लाइफशिट्ज़, "सांख्यिकीय भौतिकी, तीसरा संस्करण भाग 1", बटरवर्थ-हेनेमैन, ऑक्सफोर्ड, 1996 सी. जे. पेथिक और एच. स्मिथ, "बोस-आइंस्टीन संघनन इन डिल्यूट गैस", कैम्ब्रिज विश्वविद्यालय प्रेस, कैम्ब्रिज, 2004 सांख्यिकीय यांत्रिकी