Local property
गणित में, एक गणितीय वस्तु को स्थानीय रूप से एक संपत्ति को संतुष्ट करने के लिए कहा जाता है, यदि संपत्ति वस्तु के कुछ सीमित, तत्काल भागों पर संतुष्ट होती है (जैसे, कुछ पर्याप्त रूप से छोटे या मनमाने ढंग से छोटे पड़ोस के बिंदुओं पर)। एक फलन पर एक बिंदु के गुण शायद स्थानीयता के विचार का सबसे प्रसिद्ध उदाहरण स्थानीय न्यूनतम (या स्थानीय अधिकतम) की अवधारणा में निहित है, जो एक फलन में एक बिंदु है जिसका कार्यात्मक मूल्य अंकों के तत्काल पड़ोस के भीतर सबसे छोटा (रेस्प., सबसे बड़ा) है। इसकी तुलना वैश्विक न्यूनतम (या वैश्विक अधिकतम) के विचार से की जानी चाहिए, जो इसके पूरे क्षेत्र में कार्य के न्यूनतम (रेस्प., अधिकतम) से मेल खाता है। एक स्थान के गुण एक स्थलवैज्ञानिक स्थान को कभी-कभी स्थानीय रूप से एक संपत्ति को प्रदर्शित करने के लिए कहा जाता है, यदि संपत्ति को निम्नलिखित तरीकों में से एक में प्रत्येक बिंदु के "पास" प्रदर्शित किया जाता हैः प्रत्येक बिंदु में संपत्ति को प्रदर्शित करने वाला एक पड़ोस होता है; प्रत्येक बिंदु में संपत्ति को प्रदर्शित करने वाले सेटों का एक पड़ोस आधार होता है। यहाँ, ध्यान दें कि स्थिति (2) अधिकांश भाग के लिए स्थिति (1) से अधिक मजबूत है, और दोनों के बीच अंतर करने के लिए अतिरिक्त सावधानी बरती जानी चाहिए। उदाहरण के लिए, इन स्थितियों के विभिन्न विकल्पों के परिणामस्वरूप स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट की परिभाषा में कुछ भिन्नता उत्पन्न हो सकती है। उदाहरण स्थानीय रूप से सघन स्थलवैज्ञानिक स्थान स्थानीय रूप से जुड़े हुए और स्थानीय रूप से पथ से जुड़े स्थलवैज्ञानिक स्थान स्थानीय रूप से हौसडॉर्फ, स्थानीय रूप से नियमित, स्थानीय रूप से सामान्य आदि। एक जोड़ी रिक्त स्थान के स्थानीय रूप से मापने योग्य गुण टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के बीच समानता (जैसे, होमोमोर्फिज्म, डिफियोमोर्फिज्म, आइसोमेट्री) की कुछ धारणा को देखते हुए, दो रिक्त स्थान को स्थानीय रूप से समकक्ष कहा जाता है यदि पहले स्थान के प्रत्येक बिंदु का एक पड़ोस होता है जो दूसरे स्थान के पड़ोस के बराबर होता है। उदाहरण के लिए, वृत्त और रेखा बहुत अलग वस्तुएँ हैं। कोई भी वृत्त को रेखा की तरह दिखने के लिए नहीं फैला सकता है, न ही अंतराल या ओवरलैप के बिना वृत्त पर फिट होने के लिए रेखा को संपीड़ित कर सकता है। हालांकि, वृत्त के एक छोटे से टुकड़े को खींचा जा सकता है और रेखा के एक छोटे से टुकड़े की तरह दिखने के लिए चपटा किया जा सकता है। इस कारण से, कोई कह सकता है कि वृत्त और रेखा स्थानीय रूप से समतुल्य हैं। इसी तरह, क्षेत्र और तल स्थानीय रूप से समतुल्य हैं। एक गोले की सतह पर खड़े एक छोटे से पर्यवेक्षक (जैसे, एक व्यक्ति और पृथ्वी) इसे एक समतल से अप्रभेद्य पाएगा। अनंत समूहों के गुण एक अनंत समूह के लिए, एक "छोटे पड़ोस" को एक परिमित रूप से उत्पन्न उपसमूह माना जाता है। एक अनंत समूह को स्थानीय रूप से पी कहा जाता है यदि प्रत्येक परिमित रूप से उत्पन्न उपसमूह पी है। उदाहरण के लिए, एक समूह स्थानीय रूप से सीमित है यदि प्रत्येक सीमित रूप से उत्पन्न उपसमूह सीमित है, और एक समूह स्थानीय रूप से घुलनशील है यदि प्रत्येक परिमित रूप से उत्पन्न उपसमूह घुलनशील है। परिमित समूहों के गुण परिमित समूहों के लिए, एक "छोटे पड़ोस" को एक उपसमूह के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसे एक अभाज्य संख्या पी के संदर्भ में परिभाषित किया जाता है, आमतौर पर स्थानीय उपसमूह, जो गैर-तुच्छ पी-उपसमूहों के सामान्यक होते हैं। जिस स्थिति में, किसी संपत्ति को स्थानीय कहा जाता है यदि स्थानीय उपसमूहों से इसका पता लगाया जा सकता है। वैश्विक और स्थानीय संपत्तियों ने सीमित सरल समूहों के वर्गीकरण पर प्रारंभिक कार्य का एक महत्वपूर्ण हिस्सा बनाया, जिसे 1960 के दशक के दौरान किया गया था। कम्यूटेटिव रिंग्स के गुण कम्यूटेटिव रिंग्स के लिए, बीजगणितीय ज्यामिति के विचार एक रिंग के "छोटे पड़ोस" को एक प्रमुख आदर्श पर स्थानीयकरण के रूप में लेना स्वाभाविक बनाते हैं। जिस मामले में, एक संपत्ति को स्थानीय कहा जाता है यदि इसे स्थानीय वलय से पता लगाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक कम्यूटेटिव रिंग पर एक सपाट मॉड्यूल होना एक स्थानीय गुण है, लेकिन एक मुक्त मॉड्यूल होना नहीं है। अधिक जानकारी के लिए, मॉड्यूल का स्थानीयकरण देखें। स्थानीय पथ जुड़ाव संदर्भ सामान्य स्थलविज्ञान समरूपता भी देखें।