Cross section (geometry)
ज्यामिति और विज्ञान में, एक क्रॉस सेक्शन एक समतल के साथ त्रि-आयामी स्थान में एक ठोस वस्तु का गैर-खाली प्रतिच्छेदन है, या उच्च-आयामी स्थानों में एनालॉग है। किसी वस्तु को टुकड़ों में काटने से कई समानांतर क्रॉस-सेक्शन बनते हैं। त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक क्रॉस-सेक्शन की सीमा जो दो अक्षों के समानांतर है, यानी इन अक्षों द्वारा निर्धारित तल के समानांतर है, कभी-कभी एक समोच्च रेखा के रूप में संदर्भित किया जाता है; उदाहरण के लिए, यदि कोई विमान जमीन के समानांतर एक उठे हुए राहत मानचित्र के पहाड़ों से गुजरता है, तो परिणाम दो-आयामी अंतरिक्ष में एक समोच्च रेखा है जो समान ऊंचाई वाले पहाड़ों की सतह पर बिंदु दिखाती है। तकनीकी ड्राइंग में एक क्रॉस-सेक्शन, एक समतल पर एक वस्तु का प्रक्षेपण है जो इसे काटता है, एक सामान्य उपकरण है जिसका उपयोग दो आयामों में एक त्रि-आयामी वस्तु की आंतरिक व्यवस्था को चित्रित करने के लिए किया जाता है। यह पारंपरिक रूप से क्रॉसहैचिंग की शैली के साथ क्रॉसहैच किया जाता है जो अक्सर उपयोग की जाने वाली सामग्री के प्रकार को दर्शाता है। संगणित अक्षीय टोमोग्राफी के साथ, कंप्यूटर एक्स-रे डेटा से क्रॉस-सेक्शन का निर्माण कर सकते हैं। परिभाषा यदि कोई तल किसी ठोस (एक त्रि-आयामी वस्तु) को काटता है, तो तल और ठोस के लिए सामान्य क्षेत्र को ठोस का क्रॉस-सेक्शन कहा जाता है। ठोस के एक क्रॉस-सेक्शन वाले तल को काटने वाले तल के रूप में संदर्भित किया जा सकता है। ठोस के क्रॉस-सेक्शन का आकार ठोस के लिए काटने वाले तल के अभिविन्यास पर निर्भर हो सकता है। उदाहरण के लिए, जबकि एक गेंद के सभी क्रॉस-सेक्शन डिस्क होते हैं, एक क्यूब के क्रॉस-सेक्शन इस बात पर निर्भर करते हैं कि कटिंग प्लेन क्यूब से कैसे संबंधित है। यदि काटने वाला तल घन के दो विपरीत चेहरों के केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा के लंबवत है, तो क्रॉस-सेक्शन एक वर्ग होगा, हालांकि, यदि काटने वाला तल विपरीत शीर्षों को जोड़ने वाले घन के विकर्ण के लंबवत है, तो क्रॉस-सेक्शन या तो एक बिंदु, एक त्रिकोण या एक षट्कोण हो सकता है। विमान खंड एक संबंधित अवधारणा एक समतल खंड की है, जो एक सतह के साथ एक तल के प्रतिच्छेदन का वक्र है। इस प्रकार, एक समतल खंड एक काटने वाले तल में एक ठोस के क्रॉस-सेक्शन की सीमा है। यदि त्रि-आयामी स्थान में एक सतह को दो चरों के कार्य द्वारा परिभाषित किया जाता है, अर्थात, एक निर्देशांक तल (दो निर्देशांक अक्षों द्वारा निर्धारित एक तल) के समानांतर विमानों को काटकर समतल खंडों को स्तर वक्र या पृथक कहा जाता है। अधिक विशेष रूप से, रूप के समीकरणों के साथ विमानों को काटना (-तल के समानांतर विमान) समतल खंडों का उत्पादन करता है जिन्हें अक्सर अनुप्रयोग क्षेत्रों में समोच्च रेखाएं कहा जाता है। क्रॉस सेक्शन और प्लेन सेक्शन के गणितीय उदाहरण एक पॉलीहेड्रॉन का क्रॉस सेक्शन एक बहुभुज है। शंकु खंड-वृत्त, दीर्घवृत्त, परवलय और अतिध्रुव-विभिन्न कोणों पर काटने वाले विमानों के साथ एक शंकु के समतल खंड हैं, जैसा कि बाईं ओर आरेख में देखा गया है। एक दीर्घवृत्त के केंद्र से गुजरने वाला कोई भी क्रॉस-सेक्शन एक दीर्घवृत्ताकार क्षेत्र बनाता है, जबकि संबंधित समतल खंड इसकी सतह पर दीर्घवृत्ताकार होते हैं। ये क्रमशः डिस्क और वृत्तों में विकृत हो जाते हैं, जब काटने वाले तल एक समरूपता अक्ष के लंबवत होते हैं। अधिक सामान्यता में, एक चतुर्भुज के समतल खंड शंकु खंड होते हैं। दो आधारों के बीच फैले एक ठोस दाएं गोलाकार सिलेंडर का एक क्रॉस-सेक्शन एक डिस्क है यदि क्रॉस-सेक्शन सिलेंडर के आधार के समानांतर है, या एक अण्डाकार क्षेत्र (दाएं चित्र देखें) यदि यह न तो आधार के समानांतर है और न ही लंबवत है। यदि काटने वाला तल आधार के लंबवत है तो इसमें एक आयत होता है (नहीं दिखाया गया है) जब तक कि यह केवल सिलेंडर के लिए स्पर्शरेखा न हो, इस मामले में यह एक एकल रेखा खंड है। सिलेंडर शब्द का अर्थ ठोस सिलेंडर की पार्श्व सतह भी हो सकता है (सिलेंडर (ज्यामिति) देखें)। यदि इस अर्थ में एक सिलेंडर का उपयोग किया जाता है, तो उपरोक्त अनुच्छेद इस प्रकार पढ़ा जाएगाः सीमित लंबाई के दाएं गोलाकार सिलेंडर का एक समतल खंड एक वृत्त है यदि काटने वाला तल सिलेंडर की समरूपता के अक्ष के लंबवत है, या एक दीर्घवृत्त है यदि यह न तो समानांतर है और न ही उस अक्ष के लंबवत है। यदि काटने वाला तल अक्ष के समानांतर है तो समतल खंड में समानांतर रेखा खंडों की एक जोड़ी होती है जब तक कि काटने वाला तल सिलेंडर के लिए स्पर्शरेखा न हो, इस मामले में, समतल खंड एक एकल रेखा खंड है। एक समतल खंड का उपयोग किसी फलन के आंशिक व्युत्पन्न को उसके किसी एक तर्क के संबंध में देखने के लिए किया जा सकता है, जैसा कि दिखाया गया है। मान लीजिए। के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न लेने में, कोई भी केवल के खिलाफ स्तर वक्र को प्लॉट करने के लिए एक निश्चित मूल्य पर फ़ंक्शन का एक समतल खंड ले सकता है; फिर के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न परिणामी द्वि-आयामी ग्राफ का ढलान है। संबंधित विषयों में दो यादृच्छिक चरों के संभाव्यता घनत्व फलन का एक समतल खंड जिसमें काटने वाला तल एक चर के निश्चित मूल्य पर होता है, दूसरे चर का एक सशर्त घनत्व फलन है (समतल खंड को परिभाषित करने वाले निश्चित मूल्य पर सशर्त)। यदि इसके बजाय समतल खंड को घनत्व के एक निश्चित मूल्य के लिए लिया जाता है, तो परिणाम एक सम-घनत्व समोच्च होता है। सामान्य वितरण के लिए, ये आकृति दीर्घवृत्त हैं। अर्थशास्त्र में, एक उत्पादन कार्य उस उत्पादन को निर्दिष्ट करता है जिसे विभिन्न मात्राओं और निवेशों, विशेष रूप से श्रम और भौतिक पूंजी द्वारा उत्पादित किया जा सकता है। एक फर्म या एक समाज के उत्पादन कार्य को त्रि-आयामी स्थान में प्लॉट किया जा सकता है। यदि एक समतल खंड को समतल के समानांतर लिया जाता है, तो परिणाम एक बोलचाल है जो श्रम और पूंजी उपयोग के विभिन्न संयोजनों को दर्शाता है जिसके परिणामस्वरूप समतल खंड की ऊंचाई द्वारा दिए गए उत्पादन का स्तर होगा। वैकल्पिक रूप से, यदि उत्पादन फलन का एक समतल खंड एक निश्चित स्तर पर लिया जाता है-यानी, समतल के समानांतर-तो परिणाम एक द्वि-आयामी ग्राफ है जो दर्शाता है कि उपयोग के विभिन्न मूल्यों में से प्रत्येक पर कितना उत्पादन किया जा सकता है। अर्थशास्त्र में भी, एक प्रमुख या क्रमिक उपयोगिता कार्य मात्रा और दो वस्तुओं के उपभोग से प्राप्त उपभोक्ता की संतुष्टि की डिग्री देता है। यदि उपयोगिता फलन के एक समतल खंड को दी गई ऊंचाई (उपयोगिता के स्तर) पर लिया जाता है, तो द्वि-आयामी परिणाम एक उदासीनता वक्र है जो उपभोग की गई मात्रा और दोनों वस्तुओं के विभिन्न वैकल्पिक संयोजनों को दर्शाता है, जो सभी उपयोगिता का निर्दिष्ट स्तर देते हैं। क्षेत्र और आयतन कैवलियरी के सिद्धांत में कहा गया है कि समान क्षेत्रों के संबंधित क्रॉस-सेक्शन वाले ठोस पदार्थों की मात्रा समान होती है। किसी वस्तु का अनुप्रस्थ-अनुभागीय क्षेत्र () जब किसी विशेष कोण से देखा जाता है तो उस कोण से वस्तु के वर्तनीगत प्रक्षेपण का कुल क्षेत्रफल होता है। उदाहरण के लिए, ऊंचाई एच और त्रिज्या आर के एक सिलेंडर को जब इसके केंद्रीय अक्ष के साथ देखा जाता है, और जब एक ऑर्थोगोनल दिशा से देखा जाता है। किसी भी कोण से देखने पर त्रिज्या r का एक गोला होता है। अधिक सामान्य रूप से, निम्नलिखित सतह समाकलन का मूल्यांकन करके गणना की जा सकती हैः दर्शक की ओर देखने की दिशा के साथ इंगित करने वाला इकाई सदिश कहाँ है, एक बाहरी-इंगित सामान्य के साथ एक सतह तत्व है, और समाकलन को केवल शीर्ष-सबसे सतह पर लिया जाता है, सतह का वह हिस्सा जो दर्शक के दृष्टिकोण से "दृश्यमान" है। एक उत्तल पिंड के लिए, दर्शक के दृष्टिकोण से वस्तु के माध्यम से प्रत्येक किरण केवल दो सतहों को पार करती है। ऐसी वस्तुओं के लिए, समाकलन का निरपेक्ष मान लेकर समाकलन को पूरी सतह () पर ले जाया जा सकता है (ताकि वस्तु का "शीर्ष" और "निचला" घटाया न जाए, जैसा कि निरंतर सदिश क्षेत्र पर लागू विचलन प्रमेय द्वारा आवश्यक होगा) और दो से विभाजित किया जा सकता हैः उच्च आयामों में एक ठोस के क्रॉस-सेक्शन के साथ सादृश्य में, एक-आयामी स्थान में एक-आयामी शरीर का क्रॉस-सेक्शन एक हाइपरप्लेन (एक-आयामी सबस्पेस) के साथ शरीर का गैर-खाली प्रतिच्छेदन है। इस अवधारणा का उपयोग कभी-कभी उच्च आयामी स्थानों के पहलुओं की कल्पना करने में मदद करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि कोई चार-आयामी वस्तु हमारे त्रि-आयामी स्थान से गुजरती है, तो हम चार-आयामी वस्तु का एक त्रि-आयामी क्रॉस-सेक्शन देखेंगे। विशेष रूप से, 3-स्थान से गुजरने वाली एक 4-गेंद (हाइपरस्फेयर) 3-गेंद के रूप में दिखाई देगी जो अधिकतम तक बढ़ जाती है और फिर संक्रमण के दौरान आकार में कम हो जाती है। यह गतिशील वस्तु (3-स्थान के दृष्टिकोण से) 4-गेंद के क्रॉस-सेक्शन का एक क्रम है। विज्ञान में उदाहरण भूविज्ञान में, ग्रह के आंतरिक भाग की संरचना को अक्सर ग्रह के केंद्र से गुजरने वाले ग्रह के क्रॉस-सेक्शन के आरेख का उपयोग करके चित्रित किया जाता है, जैसा कि दाईं ओर पृथ्वी के क्रॉस-सेक्शन में होता है। शरीर रचना विज्ञान में क्रॉस-सेक्शन का उपयोग अक्सर किसी अंग की आंतरिक संरचना को स्पष्ट करने के लिए किया जाता है, जैसा कि बाईं ओर दिखाया गया है। एक पेड़ के तने का एक क्रॉस-सेक्शन, जैसा कि बाईं ओर दिखाया गया है, विकास चक्रों को प्रकट करता है जिनका उपयोग पेड़ की उम्र और उसके पर्यावरण के लौकिक गुणों को खोजने के लिए किया जा सकता है। वर्णनात्मक ज्यामिति विस्फोटित-दृश्य ड्राइंग ग्राफिकल प्रोजेक्शन प्लान्स (ड्राइंग) प्रोफाइल गेज सेक्शन लाइनिंग; सामग्री का प्रतिनिधित्व सेकेंट प्लेन नोट्स संदर्भ इन्फोग्राफिक्स प्राथमिक ज्यामिति प्रतिनिधित्व विमानों की तकनीकी ड्राइंग विधियाँ (ज्यामिति)