No-communication theorem
भौतिकी में, नो-कम्युनिकेशन थ्योरम या नो-सिग्नलिंग सिद्धांत क्वांटम सूचना सिद्धांत से एक नो-गो थ्योरम है जो बताता है कि, एक उलझी हुई क्वांटम स्थिति के मापन के दौरान, एक पर्यवेक्षक के लिए, कुल स्थिति की उप-प्रणाली का मापन करके, दूसरे पर्यवेक्षक को जानकारी का संचार करना संभव नहीं है। यह प्रमेय महत्वपूर्ण है क्योंकि क्वांटम यांत्रिकी में, क्वांटम उलझन एक ऐसा प्रभाव है जिसके द्वारा कुछ व्यापक रूप से अलग-अलग घटनाओं को इस तरह से सहसंबद्ध किया जा सकता है कि, पहली नज़र में, प्रकाश से तेज संचार की संभावना का सुझाव देता है। गैर-संचार प्रमेय ऐसी स्थितियाँ देता है जिनके तहत दो पर्यवेक्षकों के बीच सूचना का ऐसा हस्तांतरण असंभव है। इन परिणामों को क्वांटम यांत्रिकी में तथाकथित विरोधाभासों को समझने के लिए लागू किया जा सकता है, जैसे कि ई. पी. आर. विरोधाभास, या बेल के प्रमेय के परीक्षणों में प्राप्त स्थानीय यथार्थवाद के उल्लंघन। इन प्रयोगों में, गैर-संचार प्रमेय से पता चलता है कि स्थानीय यथार्थवाद की विफलता "दूरी पर डरावना संचार" के रूप में संदर्भित नहीं की जा सकती है (आइंस्टीन के क्वांटम उलझाव के लेबलिंग के अनुरूप क्यू. एम. की पूर्णता की धारणा पर "दूरी पर डरावनी कार्रवाई" की आवश्यकता होती है)। अनौपचारिक अवलोकन गैर-संचार प्रमेय में कहा गया है कि क्वांटम यांत्रिकी के संदर्भ में, सावधानीपूर्वक तैयार की गई मिश्रित या शुद्ध अवस्थाओं के माध्यम से जानकारी के शास्त्रीय अंशों को संचारित करना संभव नहीं है, चाहे वे उलझी हुई हों या नहीं। यह प्रमेय केवल एक पर्याप्त शर्त है जिसमें कहा गया है कि यदि क्रॉस मैट्रिक्स कम्यूट करते हैं तो क्वांटम उलझी हुई अवस्थाओं के माध्यम से कोई संचार नहीं हो सकता है और यह सभी संचार पर लागू होता है। सापेक्षता और क्वांटम क्षेत्र के दृष्टिकोण से भी प्रकाश की तुलना में तेज या "तात्कालिक" संचार की अनुमति नहीं है। केवल एक पर्याप्त शर्त होने के कारण ऐसे अतिरिक्त मामले हो सकते हैं जहां संचार की अनुमति नहीं है और ऐसे मामले भी हो सकते हैं जहां अभी भी शास्त्रीय जानकारी से अधिक क्वांटम चैनल एन्कोडिंग के माध्यम से संवाद करना संभव है। संचार के संबंध में एक क्वांटम चैनल का उपयोग हमेशा साझा क्वांटम अवस्थाओं के माध्यम से शास्त्रीय जानकारी को स्थानांतरित करने के लिए किया जा सकता है। 2008 में मैथ्यू हेस्टिंग्स ने एक विपरीत उदाहरण साबित किया जहां सभी क्वांटम चैनलों के लिए न्यूनतम उत्पादन एन्ट्रापी योगात्मक नहीं है। इसलिए, पीटर शोर के कारण एक समतुल्यता परिणाम से, होलेवो क्षमता केवल योगात्मक नहीं है, बल्कि एन्ट्रापी की तरह अति-योगात्मक है, और परिणामस्वरूप कुछ क्वांटम चैनल हो सकते हैं जहां आप शास्त्रीय क्षमता से अधिक स्थानांतरित कर सकते हैं। आम तौर पर समग्र संचार क्वांटम और गैर क्वांटम चैनलों के माध्यम से एक ही समय में होता है, और सामान्य रूप से समय क्रम और कार्य-कारण का उल्लंघन नहीं किया जा सकता है। प्रमेय में प्रवेश करने वाली मूल धारणा यह है कि एक क्वांटम-यांत्रिक प्रणाली कुछ उलझी हुई अवस्थाओं के साथ प्रारंभिक अवस्था में तैयार की जाती है, और यह कि इस प्रारंभिक स्थिति को हिल्बर्ट स्पेस एच में एक मिश्रित या शुद्ध अवस्था के रूप में वर्णित किया जा सकता है। एक निश्चित समय के बाद प्रणाली को दो भागों में विभाजित किया जाता है, जिनमें से प्रत्येक में कुछ गैर उलझी हुई अवस्थाएँ और क्वांटम उलझी हुई अवस्थाओं का आधा हिस्सा होता है और दोनों भाग स्थानिक रूप से अलग हो जाते हैं, ए और बी, दो अलग-अलग पर्यवेक्षकों, एलिस और बॉब को भेजे जाते हैं, जो कुल प्रणाली के अपने हिस्से (अर्थात, ए और बी) पर क्वांटम यांत्रिक माप करने के लिए स्वतंत्र होते हैं। सवाल यह है कि क्या ऐसी कोई क्रिया है जो एलिस ए पर कर सकती है जिसका पता बॉब द्वारा बी का अवलोकन करने से लगाया जा सके? प्रमेय 'नहीं' में उत्तर देता है। प्रमेय में जाने वाली एक महत्वपूर्ण धारणा यह है कि न तो एलिस और न ही बॉब को किसी भी तरह से प्रारंभिक अवस्था की तैयारी को प्रभावित करने की अनुमति है। यदि एलिस को प्रारंभिक अवस्था की तैयारी में भाग लेने की अनुमति दी जाती, तो उसके लिए इसमें एक संदेश को कूटबद्ध करना मामूली रूप से आसान होता; इस प्रकार न तो एलिस और न ही बॉब प्रारंभिक अवस्था की तैयारी में भाग लेते हैं। प्रमेय के लिए यह आवश्यक नहीं है कि प्रारंभिक अवस्था किसी भी तरह से 'यादृच्छिक' या 'संतुलित' या 'समान' होः वास्तव में, प्रारंभिक अवस्था तैयार करने वाला तीसरा पक्ष आसानी से इसमें संदेशों को कूटबद्ध कर सकता है, जो एलिस और बॉब द्वारा प्राप्त किए गए थे। बस, प्रमेय में कहा गया है कि, कुछ प्रारंभिक अवस्था को देखते हुए, किसी तरह से तैयार किया गया है, ऐसी कोई कार्रवाई नहीं है जो एलिस कर सके जो बॉब द्वारा पता लगाया जा सके। प्रमाण यह परिभाषित करके आगे बढ़ता है कि कैसे कुल हिल्बर्ट स्थान एच को दो भागों, एच. ए. और एच. बी. में विभाजित किया जा सकता है, जो एलिस और बॉब के लिए सुलभ उपस्थानों का वर्णन करता है। प्रणाली की कुल स्थिति को घनत्व मैट्रिक्स σ द्वारा वर्णित माना जाता है। यह एक उचित धारणा प्रतीत होती है, क्योंकि घनत्व मैट्रिक्स क्वांटम यांत्रिकी में शुद्ध और मिश्रित दोनों अवस्थाओं का वर्णन करने के लिए पर्याप्त है। प्रमेय का एक अन्य महत्वपूर्ण भाग यह है कि माप अवस्था σ पर एक सामान्यीकृत प्रक्षेपण प्रचालक P को लागू करके किया जाता है। यह फिर से उचित है, क्योंकि प्रक्षेपण प्रचालक क्वांटम मापों का उपयुक्त गणितीय विवरण देते हैं। एलिस द्वारा एक माप के बाद, कहा जाता है कि कुल प्रणाली की स्थिति पी (σ) अवस्था में गिर गई है। प्रमेय का लक्ष्य यह साबित करना है कि बॉब किसी भी तरह से पूर्व-मापन अवस्था σ को मापन के बाद की अवस्था P (σ) से अलग नहीं कर सकता है। यह गणितीय रूप से σ के निशान और P (σ) के निशान की तुलना करके पूरा किया जाता है, जिसमें निशान को उपक्षेत्र एच. ए. पर लिया जाता है। चूँकि निशान केवल एक उपक्षेत्र के ऊपर है, इसलिए इसे तकनीकी रूप से आंशिक निशान कहा जाता है। इस चरण की कुंजी यह धारणा है कि (आंशिक) निशान बॉब के दृष्टिकोण से प्रणाली को पर्याप्त रूप से सारांशित करता है। अर्थात्, बॉब के पास जो कुछ भी है, या कभी भी पहुँच, माप, या पता लगा सकता है, वह पूरी तरह से प्रणाली σ के एच. ए. पर आंशिक निशान द्वारा वर्णित है। फिर से, यह एक उचित धारणा है, क्योंकि यह मानक क्वांटम यांत्रिकी का एक हिस्सा है। तथ्य यह है कि यह निशान कभी नहीं बदलता है क्योंकि एलिस अपने माप का प्रदर्शन करती है जो नो-कम्युनिकेशन थ्योरम के प्रमाण का निष्कर्ष है। प्रमेय का प्रमाण आमतौर पर बेल परीक्षणों की स्थापना के लिए सचित्र है जिसमें दो पर्यवेक्षक एलिस और बॉब एक सामान्य द्विदलीय प्रणाली पर स्थानीय अवलोकन करते हैं, और क्वांटम यांत्रिकी की सांख्यिकीय मशीनरी, अर्थात् घनत्व अवस्थाओं और क्वांटम संचालन का उपयोग करते हैं। एलिस और बॉब प्रणाली एस पर माप करते हैं जिसका अंतर्निहित हिल्बर्ट स्थान है यह भी माना जाता है कि अभिसरण मुद्दों से बचने के लिए सब कुछ सीमित-आयामी है। यौगिक प्रणाली की स्थिति एच पर एक घनत्व प्रचालक द्वारा दी जाती है। एच पर कोई भी घनत्व प्रचालक σ इस रूप का योग हैः जहां टीआई और सी क्रमशः एचए और एचबी पर प्रचालक हैं। निम्नलिखित के लिए, यह मान लेना आवश्यक नहीं है कि टीआई और सी स्टेट प्रोजेक्शन ऑपरेटर हैंः अर्थात। जरूरी नहीं कि वे गैर-नकारात्मक हों, और न ही उनका कोई निशान हो। अर्थात्, σ की परिभाषा घनत्व मैट्रिक्स की तुलना में कुछ हद तक व्यापक हो सकती है; प्रमेय अभी भी है। ध्यान दें कि यह प्रमेय पृथक्कृत अवस्थाओं के लिए तुच्छ है। यदि साझा अवस्था σ अलग करने योग्य है, तो यह स्पष्ट है कि एलिस द्वारा कोई भी स्थानीय संचालन बॉब के सिस्टम को बरकरार रखेगा। इस प्रकार प्रमेय का बिंदु यह है कि एक साझा उलझी हुई अवस्था के माध्यम से कोई संचार प्राप्त नहीं किया जा सकता है। एलिस अपने सबसिस्टम पर एक स्थानीय माप करती है। सामान्य तौर पर, यह एक क्वांटम ऑपरेशन द्वारा वर्णित किया जाता है, सिस्टम अवस्था पर, निम्नलिखित प्रकार के जहां Vk को क्रॉस मैट्रिक्स कहा जाता है जो संतुष्ट करते हैं अभिव्यक्ति से शब्द का अर्थ है कि एलिस का माप उपकरण बॉब की उपप्रणाली के साथ बातचीत नहीं करता है। मान लीजिए कि संयुक्त प्रणाली अवस्था σ में तैयार की गई है और तर्क के उद्देश्यों के लिए, एक गैर-सापेक्षवादी स्थिति को मानते हुए, एलिस द्वारा अपना माप करने के तुरंत बाद (बिना किसी समय की देरी के), बॉब की प्रणाली की सापेक्ष स्थिति एलिस की प्रणाली के संबंध में समग्र स्थिति के आंशिक निशान द्वारा दी जाती है। प्रतीकों में, एलिस के संचालन के बाद बॉब की प्रणाली की सापेक्ष स्थिति यह है कि एलिस की प्रणाली के संबंध में आंशिक ट्रेस मैपिंग कहाँ है। कोई भी सीधे इस स्थिति की गणना कर सकता हैः इससे यह तर्क दिया जाता है कि, सांख्यिकीय रूप से, बॉब एलिस ने जो किया और एक यादृच्छिक माप (या क्या उसने कुछ भी किया) के बीच अंतर नहीं बता सकता है। कुछ टिप्पणियाँ यदि घनत्व प्रचालक को ए और बी के बीच गैर-स्थानीय अंतःक्रियाओं के प्रभाव में विकसित होने की अनुमति दी जाती है, तो सामान्य रूप से प्रमाण में गणना तब तक नहीं होती है, जब तक कि उपयुक्त कम्यूटेशन संबंध नहीं माने जाते हैं। इस प्रकार गैर-संचार प्रमेय कहता है कि किसी भी जानकारी को प्रसारित करने के लिए अकेले साझा उलझन का उपयोग नहीं किया जा सकता है। इसकी तुलना नो-टेलीपोर्टेशन थ्योरम से करें, जिसमें कहा गया है कि एक शास्त्रीय सूचना चैनल क्वांटम जानकारी प्रसारित नहीं कर सकता है। (संचारण से हमारा मतलब है पूर्ण निष्ठा के साथ संचारण।) हालाँकि, क्वांटम टेलीपोर्टेशन योजनाएँ दोनों संसाधनों का उपयोग उन चीज़ों को प्राप्त करने के लिए करती हैं जो अकेले दोनों के लिए असंभव है। नो-कम्युनिकेशन थ्योरम का तात्पर्य नो-क्लोनिंग थ्योरम से है, जो बताता है कि क्वांटम अवस्थाओं की (पूरी तरह से) नकल नहीं की जा सकती है। अर्थात्, शास्त्रीय जानकारी के संचार के लिए क्लोनिंग एक पर्याप्त शर्त है। इसे देखने के लिए, मान लीजिए कि क्वांटम अवस्थाओं का प्रतिरूपण किया जा सकता है। मान लीजिए कि अधिकतम रूप से उलझी हुई घंटी अवस्था के कुछ हिस्से एलिस और बॉब को वितरित किए जाते हैं। एलिस बॉब को निम्नलिखित तरीके से बिट्स भेज सकती हैः यदि एलिस एक "0" संचारित करना चाहती है, तो वह अपने इलेक्ट्रॉन के स्पिन को z दिशा में मापती है, जिससे बॉब की स्थिति या तो हो जाती है। "1" प्रसारित करने के लिए, एलिस अपने क्यूबिट के लिए कुछ नहीं करती है। बॉब अपने इलेक्ट्रॉन की स्थिति की कई प्रतियां बनाता है, और प्रत्येक प्रति के स्पिन को z दिशा में मापता है। बॉब को पता चल जाएगा कि एलिस ने एक "0" संचारित किया है यदि उसके सभी माप एक ही परिणाम देंगे; अन्यथा, उसके माप के परिणाम होंगे या समान संभावना के साथ। यह एलिस और बॉब को एक दूसरे के बीच शास्त्रीय बिट्स (संभवतः अंतरिक्ष जैसे अलगाव के पार, कार्य-कारण का उल्लंघन करते हुए) संवाद करने की अनुमति देगा। इस लेख में चर्चा की गई नो-कम्युनिकेशन थ्योरम के संस्करण में यह माना गया है कि एलिस और बॉब द्वारा साझा की गई क्वांटम प्रणाली एक समग्र प्रणाली है, अर्थात। कि इसका अंतर्निहित हिल्बर्ट स्थान एक टेंसर उत्पाद है जिसका पहला कारक प्रणाली के उस हिस्से का वर्णन करता है जिसके साथ एलिस बातचीत कर सकता है और जिसका दूसरा कारक प्रणाली के उस हिस्से का वर्णन करता है जिसके साथ बॉब बातचीत कर सकता है। क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में, इस धारणा को इस धारणा से प्रतिस्थापित किया जा सकता है कि एलिस और बॉब अंतरिक्ष के समान अलग हैं। नो-कम्युनिकेशन थ्योरम के इस वैकल्पिक संस्करण से पता चलता है कि क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के नियमों का पालन करने वाली प्रक्रियाओं का उपयोग करके प्रकाश से तेज संचार प्राप्त नहीं किया जा सकता है। नो-कम्युनिकेशन थ्योरम का प्रमाण यह मानता है कि बॉब की प्रणाली के सभी मापने योग्य गुणों की गणना इसके कम घनत्व मैट्रिक्स से की जा सकती है, जो विभिन्न माप करने की संभावना की गणना के लिए बॉर्न नियम को देखते हुए सही है। लेकिन बोर्न नियम के साथ यह समानता अनिवार्य रूप से विपरीत दिशा में भी प्राप्त की जा सकती है, जिसमें यह दिखाना संभव है कि बोर्न नियम इस धारणा का पालन करता है कि अंतरिक्ष जैसी अलग-अलग घटनाएं एक दूसरे को प्रभावित करके कार्य-कारण का उल्लंघन नहीं कर सकती हैं। नो-ब्रॉडकास्ट थ्योरम नो-क्लोनिंग थ्योरम नो-डिलिटिंग थ्योरम नो-हाइडिंग थ्योरम नो-टेलीपोर्टेशन थ्योरम संदर्भ क्वांटम माप क्वांटम सूचना विज्ञान क्वांटम यांत्रिकी में प्रमेय सांख्यिकीय यांत्रिकी प्रमेय नो-गो थ्योरम