Gas in a box
क्वांटम यांत्रिकी में, एक डिब्बे में क्वांटम कण के परिणामों का उपयोग एक डिब्बे में एक क्वांटम आदर्श गैस के लिए संतुलन स्थिति को देखने के लिए किया जा सकता है जो एक ऐसा डिब्बे है जिसमें बड़ी संख्या में अणु होते हैं जो तत्काल तापीय टकराव को छोड़कर एक दूसरे के साथ बातचीत नहीं करते हैं। इस सरल मॉडल का उपयोग शास्त्रीय आदर्श गैस के साथ-साथ विभिन्न क्वांटम आदर्श गैसों का वर्णन करने के लिए किया जा सकता है जैसे कि आदर्श विशाल फर्मी गैस, आदर्श विशाल बोस गैस के साथ-साथ ब्लैक बॉडी रेडिएशन (फोटॉन गैस) जिसे द्रव्यमान रहित बोस गैस के रूप में माना जा सकता है, जिसमें ऊष्मीकरण को आमतौर पर एक संतुलित द्रव्यमान के साथ फोटॉन की बातचीत से सुगम माना जाता है। मैक्सवेल-बोल्ट्जमैन सांख्यिकी, बोस-आइंस्टीन सांख्यिकी या फर्मी-डीराक सांख्यिकी के परिणामों का उपयोग करते हुए, और एक बहुत बड़े बॉक्स की सीमा पर विचार करते हुए, थॉमस-फर्मी सन्निकटन (एनरिको फर्मी और लेवेलिन थॉमस के नाम पर) का उपयोग ऊर्जा अवस्थाओं की अपक्षय के रूप में अपक्षय को व्यक्त करने के लिए किया जाता है, और अवस्थाओं पर योग को समाकलन के रूप में व्यक्त किया जाता है। यह विभाजन फलन या भव्य विभाजन फलन के उपयोग के साथ गैस के ऊष्मागतिकीय गुणों की गणना करने में सक्षम बनाता है। ये परिणाम विशाल और द्रव्यमान रहित दोनों कणों पर लागू किए जाएंगे। अधिक पूर्ण गणनाओं को अलग-अलग लेखों पर छोड़ दिया जाएगा, लेकिन कुछ सरल उदाहरण इस लेख में दिए जाएंगे। अवस्थाओं के अपघटन के लिए थॉमस-फर्मी सन्निकटन एक डिब्बे में विशाल और द्रव्यमान रहित दोनों कणों के लिए, एक कण की अवस्थाओं को क्वांटम संख्याओं के एक समूह द्वारा गिना जाता है। संवेग का परिमाण इस प्रकार दिया जाता है जहाँ h प्लैंक का स्थिरांक है और L बॉक्स के एक तरफ की लंबाई है। एक कण की प्रत्येक संभावित स्थिति को सकारात्मक पूर्णांकों के त्रि-आयामी ग्रिड पर एक बिंदु के रूप में सोचा जा सकता है। मान लीजिए कि क्वांटम संख्याओं का प्रत्येक समूह f अवस्थाओं को निर्दिष्ट करता है जहां f उस कण की आंतरिक स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या है जिसे टकराव द्वारा बदला जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक स्पिन कण में f = 2 होगा, प्रत्येक स्पिन अवस्था के लिए एक। n के बड़े मानों के लिए, उपरोक्त समीकरण से p से कम या बराबर संवेग के परिमाण वाली अवस्थाओं की संख्या लगभग है जो त्रिज्या n के गोले के आयतन का सिर्फ f गुना है जिसे आठ से विभाजित किया जाता है क्योंकि केवल धनात्मक ni वाले अष्टक को माना जाता है। एक निरंतरता सन्निकटन का उपयोग करते हुए, p और p + dp के बीच संवेग के परिमाण वाली अवस्थाओं की संख्या इसलिए है जहाँ V = L3 बॉक्स का आयतन है। ध्यान दें कि इस निरंतरता सन्निकटन का उपयोग करने में, जिसे थॉमस-फर्मी सन्निकटन के रूप में भी जाना जाता है, निम्न-ऊर्जा अवस्थाओं को चिह्नित करने की क्षमता खो जाती है, जिसमें जमीनी अवस्था भी शामिल है जहां ni = 1 है। अधिकांश मामलों में यह एक समस्या नहीं होगी, लेकिन जब बोस-आइंस्टीन संघनन पर विचार किया जाता है, जिसमें गैस का एक बड़ा हिस्सा जमीनी अवस्था में या उसके पास होता है, तो कम ऊर्जा स्थितियों से निपटने की क्षमता महत्वपूर्ण हो जाती है। किसी भी सन्निकटन का उपयोग किए बिना, ऊर्जा εi वाले कणों की संख्या इस प्रकार दी जाती है कि अवस्था i की अपक्षय कहाँ है और β = 1/kBT, बोल्ट्जमैन का स्थिरांक kB, तापमान T, और रासायनिक क्षमता μ के साथ। (मैक्सवेल-बोल्ट्जमैन सांख्यिकी, बोस-आइंस्टीन सांख्यिकी और फर्मी-डीराक सांख्यिकी देखें।) थॉमस-फर्मी सन्निकटन का उपयोग करते हुए, ई और ई + डी. ई. के बीच ऊर्जा वाले डी. एन. ई. कणों की संख्या हैः ई और ई + डी. ई. के बीच ऊर्जा वाली अवस्थाओं की संख्या कहाँ है। ऊर्जा वितरण इस लेख के पिछले खंडों से प्राप्त परिणामों का उपयोग करके, एक डिब्बे में गैस के लिए कुछ वितरण अब निर्धारित किए जा सकते हैं। कणों की एक प्रणाली के लिए, एक चर के लिए वितरण को उस अभिव्यक्ति के माध्यम से परिभाषित किया जाता है जो उन कणों का अंश है जिनके बीच और जहां के लिए मान हैं, कणों की संख्या जिनके बीच और के लिए मान हैं, अवस्थाओं की संख्या जिनके बीच और के लिए मान हैं, संभावना है कि एक अवस्था जिसमें मूल्य है, एक कण द्वारा कब्जा कर लिया जाता है, कणों की कुल संख्या। यह इस प्रकार हैः संवेग वितरण के लिए, और के बीच संवेग के परिमाण वाले कणों का अंश हैः और एक ऊर्जा वितरण के लिए, और के बीच ऊर्जा वाले कणों का अंश हैः एक डिब्बे में एक कण के लिए (और एक मुक्त कण के लिए भी), विशाल और द्रव्यमान रहित कणों के लिए ऊर्जा और संवेग के बीच का संबंध अलग है। विशाल कणों के लिए, जबकि द्रव्यमान रहित कणों के लिए, कण का द्रव्यमान कहाँ है और प्रकाश की गति कहाँ है। इन संबंधों का उपयोग करते हुए, विशाल कणों के लिए गैस की तापीय तरंग दैर्ध्य कहाँ है। यह एक महत्वपूर्ण मात्रा है, क्योंकि जब अंतर-कण दूरी के क्रम पर होता है, तो क्वांटम प्रभाव हावी होने लगते हैं और गैस को अब मैक्सवेल-बोल्ट्जमैन गैस नहीं माना जा सकता है। द्रव्यमान रहित कणों के लिए अब द्रव्यमान रहित कणों के लिए तापीय तरंग दैर्ध्य कहाँ है। विशिष्ट उदाहरण निम्नलिखित खंड कुछ विशिष्ट मामलों के परिणामों का एक उदाहरण देते हैं। विशाल मैक्सवेल-बोल्ट्जमैन कण इस मामले के लिएः ऊर्जा वितरण कार्य को एकीकृत करने और एन के लिए हल करने से मूल ऊर्जा वितरण कार्य में प्रतिस्थापन मिलता है जो मैक्सवेल-बोल्ट्जमैन वितरण के लिए शास्त्रीय रूप से प्राप्त किए गए समान परिणाम हैं। आगे के परिणाम आदर्श गैस पर लेख के शास्त्रीय खंड में पाए जा सकते हैं। विशाल बोस-आइंस्टीन कण इस मामले के लिएः जहाँ ऊर्जा वितरण फलन को एकीकृत करने और एन के लिए हल करने से कण संख्या मिलती है जहाँ लिस (जेड) बहुपद फलन है। बहुपतिकी पद हमेशा धनात्मक और वास्तविक होना चाहिए, जिसका अर्थ है कि इसका मान 0 से ζ (3/2) तक जाएगा क्योंकि z 0 से 1 तक जाता है। जैसे-जैसे तापमान शून्य की ओर गिरता जाएगा, बड़ा और बड़ा होता जाएगा, जब तक कि अंत में एक महत्वपूर्ण मान तक नहीं पहुंच जाता जहां z = 1 और जहां रीमान जीटा फलन को दर्शाता है। वह तापमान जिस पर महत्वपूर्ण तापमान होता है। इस महत्वपूर्ण तापमान से नीचे के तापमान के लिए, कण संख्या के लिए उपरोक्त समीकरण का कोई समाधान नहीं है। महत्वपूर्ण तापमान वह तापमान है जिस पर बोस-आइंस्टीन संघनन बनने लगता है। समस्या यह है कि, जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, निरंतरता सन्निकटन में जमीनी स्थिति को नजरअंदाज कर दिया गया है। हालांकि, यह पता चला है कि कण संख्या के लिए उपरोक्त समीकरण उत्तेजित अवस्थाओं में बोसॉन की संख्या को अच्छी तरह से व्यक्त करता है, और इस प्रकारः जहां जोड़ा गया शब्द जमीनी अवस्था में कणों की संख्या है। जमीनी ऊर्जा को नजरअंदाज कर दिया गया है। यह समीकरण शून्य तापमान तक रहेगा। आदर्श बोस गैस पर लेख में आगे के परिणाम पाए जा सकते हैं। द्रव्यमानहीन बोस-आइंस्टीन कण (जैसे। ब्लैक बॉडी रेडिएशन) द्रव्यमान रहित कणों के मामले में, द्रव्यमान रहित ऊर्जा वितरण कार्य का उपयोग किया जाना चाहिए। इस फलन को आवृत्ति वितरण फलन में परिवर्तित करना सुविधाजनक हैः द्रव्यमान रहित कणों के लिए तापीय तरंग दैर्ध्य कहाँ है। वर्णक्रमीय ऊर्जा घनत्व (ऊर्जा प्रति इकाई आयतन प्रति इकाई आवृत्ति) तब होता है अन्य ऊष्मागतिकी मापदंडों को बड़े कणों के मामले के अनुरूप प्राप्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, आवृत्ति वितरण फलन को एकीकृत करने और एन के लिए हल करने से कणों की संख्या मिलती हैः सबसे आम द्रव्यमान रहित बोस गैस एक ब्लैक बॉडी में एक फोटॉन गैस है। "बॉक्स" को ब्लैक बॉडी गुहा मानते हुए, फोटॉन लगातार अवशोषित हो रहे हैं और दीवारों द्वारा फिर से उत्सर्जित हो रहे हैं। जब ऐसा होता है, तो फोटॉनों की संख्या संरक्षित नहीं होती है। बोस-आइंस्टीन सांख्यिकी की व्युत्पत्ति में, जब कणों की संख्या पर प्रतिबंध हटा दिया जाता है, तो यह प्रभावी रूप से रासायनिक क्षमता (μ) को शून्य पर स्थापित करने के समान होता है। इसके अलावा, चूंकि फोटॉन की दो स्पिन अवस्थाएँ होती हैं, इसलिए f का मान 2 होता है। वर्णक्रमीय ऊर्जा घनत्व तब होता है जो ब्लैक बॉडी विकिरण के प्लैंक के नियम के लिए केवल वर्णक्रमीय ऊर्जा घनत्व है। ध्यान दें कि वेन वितरण को पुनर्प्राप्त किया जाता है यदि यह प्रक्रिया द्रव्यमान रहित मैक्सवेल-बोल्टज़मैन कणों के लिए की जाती है, जो उच्च तापमान या कम घनत्व के लिए प्लैंक के वितरण का अनुमान लगाती है। कुछ स्थितियों में, फोटॉनों से जुड़ी प्रतिक्रियाओं के परिणामस्वरूप फोटॉनों की संख्या का संरक्षण होगा (जैसे। प्रकाश उत्सर्जक डायोड, "सफेद" गुहाएँ)। इन मामलों में, फोटॉन वितरण कार्य में एक गैर-शून्य रासायनिक क्षमता शामिल होगी। (हर्मन 2005) एक और द्रव्यमान रहित बोस गैस ऊष्मा क्षमता के लिए डेबी मॉडल द्वारा दी गई है। यह मॉडल एक डिब्बे में फोनॉनों की गैस पर विचार करता है और फोटॉनों के विकास से अलग है क्योंकि फोनॉनों की गति प्रकाश की गति से कम है, और डिब्बे के प्रत्येक अक्ष के लिए अधिकतम अनुमत तरंग दैर्ध्य है। इसका मतलब है कि चरण स्थान पर एकीकरण को अनंत तक नहीं किया जा सकता है, और परिणाम बहुपद में व्यक्त किए जाने के बजाय, वे संबंधित डेबी कार्यों में व्यक्त किए जाते हैं। विशाल फर्मी-डीराक कण (जैसे। धातु में इलेक्ट्रॉन) इस मामले के लिएः ऊर्जा वितरण फलन को एकीकृत करने से पता चलता है कि लिस (जेड) फिर से बहुपद फलन है और तापीय डी ब्रोगली तरंग दैर्ध्य है। आगे के परिणाम आदर्श फर्मी गैस पर लेख में पाए जा सकते हैं। फर्मी गैस के अनुप्रयोग मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल, सफेद बौनों के सिद्धांत और सामान्य रूप से अपक्षयी पदार्थ में पाए जाते हैं। गैस इन ए हार्मोनिक ट्रैप भी देखें संदर्भ वु-क्वोक, एल., कॉन्फ़िगरेशन इंटीग्रल (सांख्यिकीय यांत्रिकी), 2008. यह विकी साइट बंद है; 28 अप्रैल 2012 को वेब संग्रह में इस लेख को देखें। सांख्यिकीय यांत्रिकी