Harnack's principle
आंशिक विभेदक समीकरणों के गणितीय क्षेत्र में, हार्नेक का सिद्धांत या हार्नेक का प्रमेय हार्नेक की असमानता का एक परिणाम है जो हार्मोनिक कार्यों के अनुक्रमों के अभिसरण से संबंधित है। यूक्लिडियन स्पेस के एक खुले जुड़े उपसमुच्चय पर हार्मोनिक कार्यों के एक अनुक्रम को देखते हुए, जो इस अर्थ में बिंदुवार एकरस रूप से कम नहीं हो रहे हैं कि प्रत्येक बिंदु के लिए, तब सीमा स्वचालित रूप से प्रत्येक के लिए विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा में मौजूद होती है। हार्नेक की प्रमेय कहती है कि सीमा या तो हर बिंदु पर अनंत है या यह हर बिंदु पर सीमित है। बाद के मामले में, अभिसरण कॉम्पैक्ट सेटों पर समान है और सीमा एक हार्मोनिक फ़ंक्शन है। यह प्रमेय हार्नेक की असमानता का एक परिणाम है। यदि किसी विशेष मूल्य के लिए एक कौची अनुक्रम है, तो हार्मोनिक फ़ंक्शन पर लागू हार्नेक असमानता का तात्पर्य है, एक मनमाने कॉम्पैक्ट सेट के लिए, जो पर्याप्त रूप से बड़े और मनमाने ढंग से छोटा है। यह बिल्कुल कॉम्पैक्ट सेटों पर समान अभिसरण की परिभाषा है। शब्दों में, हार्नेक असमानता एक ऐसा उपकरण है जो सभी बिंदुओं पर कॉची गुण के लिए एक ही बिंदु पर हार्मोनिक कार्यों के अनुक्रम के कॉची गुण को सीधे प्रसारित करता है। कॉम्पैक्ट सेटों पर एक समान अभिसरण स्थापित करने के बाद, सीमा की सुसंगतता इस तथ्य का तत्काल परिणाम है कि औसत मूल्य गुण (एक समान अभिसरण द्वारा स्वचालित रूप से संरक्षित) निरंतर कार्यों के बीच हार्मोनिक कार्यों को पूरी तरह से चिह्नित करता है। कॉम्पैक्ट सेटों पर समान अभिसरण का प्रमाण किसी भी रैखिक द्वितीय-क्रम अण्डाकार आंशिक विभेदक समीकरण के लिए समान रूप से अच्छा है, बशर्ते कि यह रैखिक हो ताकि समान समीकरण को हल किया जा सके। अंतर केवल इतना है कि दूसरे क्रम के अण्डाकार पी. डी. ई. के समाधान के लिए अधिक सामान्य हार्नेक असमानता धारण का उपयोग किया जाना चाहिए, न कि केवल हार्मोनिक कार्यों के लिए। कॉम्पैक्ट सेटों पर समान अभिसरण स्थापित करने के बाद, औसत मूल्य गुण इस अधिक सामान्य सेटिंग में उपलब्ध नहीं है, और इसलिए एक नए समाधान के लिए अभिसरण का प्रमाण इसके बजाय अन्य उपकरणों का उपयोग करना चाहिए, जैसे कि स्काउडर अनुमान। संदर्भ स्रोत बाहरी लिंक हार्मोनिक कार्य जटिल विश्लेषण में प्रमेय गणितीय सिद्धांत