Topological property
टोपोलॉजी और गणित के संबंधित क्षेत्रों में, एक टोपोलॉजिकल गुण या टोपोलॉजिकल अपरिवर्तनीय एक टोपोलॉजिकल स्थान का एक गुण है जो समरूपता के तहत अपरिवर्तनीय है। वैकल्पिक रूप से, एक टोपोलॉजिकल गुण टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान का एक उचित वर्ग है जो समरूपता के तहत बंद होता है। अर्थात्, रिक्त स्थान का एक गुण एक स्थलवैज्ञानिक गुण है यदि जब भी एक स्थान X के पास वह गुण होता है तो X के लिए प्रत्येक स्थान समरूपता उस गुण को धारण करती है। अनौपचारिक रूप से, एक स्थलवैज्ञानिक संपत्ति अंतरिक्ष की एक संपत्ति है जिसे खुले सेटों का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है। टोपोलॉजी में एक आम समस्या यह तय करना है कि क्या दो टोपोलॉजिकल स्पेस समरूप हैं या नहीं। यह साबित करने के लिए कि दो स्थान समरूप नहीं हैं, यह एक टोपोलॉजिकल गुण खोजने के लिए पर्याप्त है जो उनके द्वारा साझा नहीं किया जाता है। टोपोलॉजिकल गुणों के गुण एक गुण हैः वंशानुगत, यदि प्रत्येक टोपोलॉजिकल स्थान और सबसेट के लिए सबसपेस में कमजोर वंशानुगत गुण है, यदि प्रत्येक टोपोलॉजिकल स्थान और बंद सबसेट के लिए सबसपेस में गुण है। स्थान की स्थलविज्ञान (खुले उपसमुच्चय का समूह) की प्रधानता। वजन, स्थान की टोपोलॉजी के आधार की सबसे कम कार्डिनलिटी। घनत्व, एक उपसमुच्चय की सबसे कम कार्डिनलिटी जिसका समापन है। पृथक्करण ध्यान दें कि इनमें से कुछ शब्दों को पुराने गणितीय साहित्य में अलग-अलग परिभाषित किया गया है; पृथक्करण स्वयंसिद्धियों का इतिहास देखें। टी0 या कोल्मोगोरोव। एक स्थान कोल्मोगोरोव है यदि स्थान में अलग-अलग बिंदुओं x और y की प्रत्येक जोड़ी के लिए, कम से कम या तो एक खुला समुच्चय होता है जिसमें x होता है लेकिन y नहीं होता है, या एक खुला समुच्चय होता है जिसमें y होता है लेकिन x नहीं होता है। एक स्थान फ्रेचेट है यदि स्थान में अलग-अलग बिंदुओं x और y की प्रत्येक जोड़ी के लिए, एक खुला सेट है जिसमें x है लेकिन y नहीं है। (T0 के साथ तुलना करें; यहाँ, हमें यह निर्दिष्ट करने की अनुमति है कि खुले सेट में कौन सा बिंदु निहित होगा। समान रूप से, एक स्थान T1 है यदि इसके सभी एकल स्थान बंद हैं। T1 रिक्त स्थान हमेशा T0 होते हैं। सोबर। एक स्थान शांत होता है यदि प्रत्येक अपरिवर्तनीय बंद समुच्चय C का एक विशिष्ट सामान्य बिंदु p होता है। दूसरे शब्दों में, यदि C दो छोटे बंद गैर-खाली उपसमुच्चय का (संभवतः गैर-संयुक्त) संघ नहीं है, तो एक p ऐसा होता है कि {p} का बंद होना C के बराबर होता है, और p इस गुण के साथ एकमात्र बिंदु है। टी2 या हौसडॉर्फ। एक स्थान हौसडॉर्फ है यदि प्रत्येक दो अलग-अलग बिंदुओं में अलग-अलग पड़ोस हैं। T2 रिक्त स्थान हमेशा T1 होते हैं। T2 1⁄2 या यूरीसोहन। एक स्थान यूरीसोहन है यदि प्रत्येक दो अलग-अलग बिंदुओं में अलग-अलग बंद पड़ोस हैं। T2 1⁄2 रिक्त स्थान हमेशा T2 होते हैं। पूरी तरह से टी2 या पूरी तरह से हौसडॉर्फ। एक स्थान पूरी तरह से T2 है यदि प्रत्येक दो अलग-अलग बिंदु एक फलन द्वारा अलग किए जाते हैं। हर पूरी तरह से हौसडॉर्फ स्थान यूरीसोहन है। नियमित। एक स्थान नियमित है यदि जब भी C एक बंद समुच्चय है और p एक बिंदु है जो C में नहीं है, तो C और p के अलग-अलग पड़ोस हैं। टी3 या नियमित हौसडॉर्फ। एक स्थान नियमित हौसडॉर्फ है यदि यह एक नियमित T0 स्थान है। (एक नियमित स्थान हौसडॉर्फ है यदि और केवल अगर यह T0 है, तो शब्दावली सुसंगत है।) पूरी तरह से नियमित। एक स्थान पूरी तरह से नियमित है यदि जब भी C एक बंद समुच्चय है और p एक बिंदु है जो C में नहीं है, तो C और {p} को एक फलन द्वारा अलग किया जाता है। T3 1⁄2, टाइकोनोफ, पूरी तरह से नियमित हौसडॉर्फ या पूरी तरह से T3। एक टाइकोनॉफ स्थान एक पूरी तरह से नियमित T0 स्थान है। (एक पूरी तरह से नियमित स्थान हौसडॉर्फ है यदि और केवल अगर यह T0 है, तो शब्दावली सुसंगत है।) टाइकोनोफ स्थान हमेशा नियमित हौसडॉर्फ होते हैं। सामान्य है। एक स्थान सामान्य है यदि किसी भी दो अलग-अलग बंद सेट में अलग-अलग पड़ोस हैं। सामान्य स्थान एकता के विभाजन को स्वीकार करते हैं। टी4 या सामान्य हौसडॉर्फ। एक सामान्य स्थान हौसडॉर्फ है यदि और केवल अगर यह T1 है। सामान्य हौसडॉर्फ स्थान हमेशा टाइकोनोफ होते हैं। पूरी तरह से सामान्य। एक स्थान पूरी तरह से सामान्य है यदि किसी भी दो अलग-अलग सेट में अलग-अलग पड़ोस हैं। टी5 या पूरी तरह से सामान्य हौसडॉर्फ। एक पूरी तरह से सामान्य स्थान हौसडॉर्फ है यदि और केवल अगर यह T1 है। पूरी तरह से सामान्य हौसडॉर्फ स्थान हमेशा सामान्य हौसडॉर्फ होते हैं। बिल्कुल सामान्य। एक स्थान पूरी तरह से सामान्य है यदि कोई भी दो अलग-अलग बंद सेट एक फ़ंक्शन द्वारा सटीक रूप से अलग किए जाते हैं। एक पूरी तरह से सामान्य स्थान भी पूरी तरह से सामान्य होना चाहिए। टी6 या पूरी तरह से सामान्य हौसडॉर्फ, या पूरी तरह से टी4। एक स्थान पूरी तरह से सामान्य हौसडॉर्फ है, अगर यह पूरी तरह से सामान्य और टी1 दोनों है। एक पूरी तरह से सामान्य हौसडॉर्फ स्थान भी पूरी तरह से सामान्य हौसडॉर्फ होना चाहिए। पृथक स्थान। एक स्थान असतत है यदि इसके सभी बिंदु पूरी तरह से अलग हैं, अर्थात। यदि कोई उपसमुच्चय खुला है। पृथक बिन्दुओं की संख्या। एक स्थलवैज्ञानिक स्थान के पृथक बिंदुओं की संख्या। गणना की शर्तें अलग-अलग होती हैं। एक स्थान को अलग किया जा सकता है यदि इसमें एक गणना योग्य घना उपसमुच्चय हो। प्रथम-गणना योग्य। एक स्थान पहले गणना योग्य है यदि प्रत्येक बिंदु का एक गणना योग्य स्थानीय आधार है। दूसरा-गणना योग्य। एक स्थान दूसरा गणना योग्य है यदि उसके पास अपनी स्थलविज्ञान के लिए एक गणना योग्य आधार है। द्वितीय-गणना योग्य स्थान हमेशा अलग करने योग्य, प्रथम-गणना योग्य और लिंडेलॉफ होते हैं। जुड़ाव जुड़ा हुआ है। एक स्थान जुड़ा हुआ है यदि यह असंबद्ध गैर-खाली खुले सेटों की एक जोड़ी का संयोजन नहीं है। समान रूप से, एक स्थान जुड़ा हुआ है यदि केवल क्लोपन सेट खाली सेट और स्वयं हैं। स्थानीय रूप से जुड़ा हुआ है। एक स्थान स्थानीय रूप से जुड़ा होता है यदि प्रत्येक बिंदु का एक स्थानीय आधार होता है जिसमें जुड़े हुए सेट होते हैं। पूरी तरह से डिस्कनेक्ट हो गया। एक स्थान पूरी तरह से डिस्कनेक्ट हो जाता है यदि इसमें एक से अधिक बिंदु के साथ कोई जुड़ा हुआ सबसेट नहीं है। पाथ-कनेक्टेड। एक स्थान X पथ से जुड़ा होता है यदि X में प्रत्येक दो बिंदुओं x, y के लिए, x से y तक एक पथ p होता है, अर्थात, एक निरंतर मानचित्र p: [0,1] → X के साथ p (0) = x और p (1) = y। पथ से जुड़े स्थान हमेशा जुड़े रहते हैं। स्थानीय रूप से पथ से जुड़ा हुआ। एक स्थान स्थानीय रूप से पथ से जुड़ा होता है यदि प्रत्येक बिंदु का एक स्थानीय आधार होता है जिसमें पथ से जुड़े सेट होते हैं। स्थानीय रूप से पथ से जुड़ा स्थान तभी जुड़ा होता है जब वह पथ से जुड़ा होता है। आर्क-कनेक्टेड। एक स्थान X चाप से जुड़ा होता है यदि X में प्रत्येक दो बिंदुओं x, y के लिए, x से y तक एक चाप f होता है, अर्थात, और के साथ एक इंजेक्टिव निरंतर मानचित्र। आर्क से जुड़े स्थान पथ से जुड़े होते हैं। बस जुड़ा हुआ है। एक स्थान X बस जुड़ा हुआ है यदि यह पथ से जुड़ा हुआ है और प्रत्येक निरंतर मानचित्र एक स्थिर मानचित्र के लिए समस्थानिक है। स्थानीय रूप से बस जुड़ा हुआ है। एक स्थान X स्थानीय रूप से बस जुड़ा हुआ है यदि X में प्रत्येक बिंदु x में पड़ोस U का एक स्थानीय आधार है जो बस जुड़ा हुआ है। अर्ध-स्थानीय रूप से बस जुड़ा हुआ है। एक स्थान X अर्ध-स्थानीय रूप से बस जुड़ा हुआ है यदि प्रत्येक बिंदु में पड़ोस U का एक स्थानीय आधार है जैसे कि U में प्रत्येक लूप X में संकुचित है। अर्ध-स्थानीय सरल संपर्क, स्थानीय सरल संपर्क की तुलना में एक सख्त कमजोर स्थिति, एक सार्वभौमिक आवरण के अस्तित्व के लिए एक आवश्यक शर्त है। संविदात्मक। एक स्थान X सिकुड़ने योग्य है यदि X पर पहचान मानचित्र एक स्थिर मानचित्र के समस्थानिक है। संविदात्मक स्थान हमेशा आसानी से जुड़े रहते हैं। हाइपरकनेक्टेड। एक स्थान अति-जुड़ा होता है यदि कोई भी दो गैर-खाली खुले सेट अलग-अलग नहीं होते हैं। प्रत्येक अति-संयोजित स्थान जुड़ा हुआ है। अल्ट्रा-कनेक्टेड। एक स्थान अल्ट्रा-कनेक्टेड होता है यदि कोई दो गैर-खाली बंद सेट अलग-अलग नहीं होते हैं। प्रत्येक अल्ट्रा-कनेक्टेड स्थान पथ से जुड़ा हुआ है। अविवेकी या तुच्छ। एक स्थान अंधाधुंध होता है यदि केवल खुले सेट खाली सेट और स्वयं होते हैं। कहा जाता है कि इस तरह के स्थान में तुच्छ टोपोलॉजी होती है। कॉम्पैक्टनेस कॉम्पैक्ट। एक स्थान सघन होता है यदि प्रत्येक खुले आवरण में एक सीमित उप आवरण होता है। कुछ लेखक इन स्थानों को क्वासीकॉम्पैक्ट कहते हैं और हौसडॉर्फ स्थानों के लिए आरक्षित कॉम्पैक्ट कहते हैं जहां प्रत्येक खुले आवरण में सीमित उप-आवरण होता है। कॉम्पैक्ट स्पेस हमेशा लिंडेलॉफ और पैराकॉम्पैक्ट होते हैं। इसलिए कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ रिक्त स्थान सामान्य हैं। क्रमिक रूप से कॉम्पैक्ट। एक स्थान क्रमिक रूप से सघन होता है यदि प्रत्येक अनुक्रम में एक अभिसारी अनुक्रम होता है। काफी कॉम्पैक्ट। एक स्थान गणना योग्य रूप से सघन होता है यदि प्रत्येक गणना योग्य खुले आवरण में एक सीमित उप आवरण होता है। सूडोकॉम्पैक्ट। एक स्थान स्यूडोकॉम्पैक्ट होता है यदि स्थान पर प्रत्येक निरंतर वास्तविक मूल्य वाला फलन बंधा होता है। σ-कॉम्पैक्ट। एक स्थान σ-कॉम्पैक्ट है यदि यह कई कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय का संयोजन है। लिंडेलॉफ। एक स्थान लिंडेलॉफ है यदि प्रत्येक खुले आवरण में एक गणना योग्य उप-आवरण है। पैराकॉम्पैक्ट। एक स्थान पैराकॉम्पैक्ट है यदि प्रत्येक खुले आवरण में एक खुला स्थानीय रूप से सीमित परिष्करण होता है। पैराकॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ रिक्त स्थान सामान्य हैं। स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट। एक स्थान स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट होता है यदि प्रत्येक बिंदु का एक स्थानीय आधार होता है जिसमें कॉम्पैक्ट पड़ोस होते हैं। थोड़ी अलग परिभाषाओं का भी उपयोग किया जाता है। स्थानीय रूप से सघन हौसडॉर्फ स्थान हमेशा टाइकोनोफ होते हैं। अल्ट्रा-कनेक्टेड कॉम्पैक्ट। एक अल्ट्रा-कनेक्टेड कॉम्पैक्ट स्पेस X में प्रत्येक खुले आवरण में X ही होना चाहिए। गैर-खाली अल्ट्रा-कनेक्टेड कॉम्पैक्ट स्पेस में एक सबसे बड़ा उचित खुला उपसमुच्चय होता है जिसे मोनोलिथ कहा जाता है। मापनीयता मापनीय। एक स्थान मापने योग्य है यदि यह एक मीट्रिक स्थान के लिए समरूप है। मापने योग्य स्थान हमेशा हौसडॉर्फ और पैराकॉम्पैक्ट (और इसलिए सामान्य और टायचोनॉफ) होते हैं, और पहले गिनती योग्य होते हैं। इसके अलावा, एक टोपोलॉजिकल स्थान को मापने योग्य कहा जाता है यदि इसके लिए एक मीट्रिक मौजूद है कि मीट्रिक टोपोलॉजी पॉलिश टोपोलॉजी के समान है। एक स्थान को पोलिश कहा जाता है यदि यह एक अलग और पूर्ण मीट्रिक के साथ मापने योग्य है। स्थानीय रूप से मापने योग्य। एक स्थान स्थानीय रूप से मापने योग्य है यदि प्रत्येक बिंदु में मापने योग्य पड़ोस है। विविध बेयर स्थान। एक स्पेस एक्स एक बेयर स्पेस है यदि यह अपने आप में कम नहीं है। समान रूप से, एक्स एक बेयर स्थान है यदि गिनती में कई घने खुले सेटों का प्रतिच्छेदन घना है। दरवाजे की जगह। एक स्थलवैज्ञानिक स्थान एक द्वार स्थान है यदि प्रत्येक उपसमुच्चय खुला या बंद (या दोनों) है। स्थलवैज्ञानिक एकरूपता। एक स्थान X (स्थलवैज्ञानिक रूप से) सजातीय है यदि X में प्रत्येक x और y के लिए एक समरूपता है जैसे कि सहज रूप से बोलते हुए, इसका मतलब है कि स्थान हर बिंदु पर समान दिखता है। सभी स्थलवैज्ञानिक समूह सजातीय हैं। परिमित रूप से उत्पन्न या अलेक्जेंड्रोव। एक स्थान X अलेक्जेंड्रोव है यदि X में खुले सेटों के मनमाने प्रतिच्छेदन खुले हैं, या समकक्ष रूप से यदि बंद सेटों के मनमाने संघ बंद हैं। ये सटीक रूप से स्थलाकृतिक स्थानों और निरंतर मानचित्रों की श्रेणी के परिमित रूप से उत्पन्न सदस्य हैं। शून्य-आयामी। एक स्थान शून्य-आयामी होता है यदि इसमें क्लोपन सेटों का आधार होता है। ये ठीक 0 के एक छोटे से प्रेरक आयाम वाले रिक्त स्थान हैं। लगभग अलग। एक स्थान लगभग असतत होता है यदि प्रत्येक खुला सेट बंद होता है (इसलिए क्लोपेन)। लगभग असतत रिक्त स्थान सटीक रूप से परिमित रूप से उत्पन्न शून्य-आयामी रिक्त स्थान हैं। बूलियन। एक स्थान को बूलियन कहा जाता है यदि यह शून्य-आयामी, कॉम्पैक्ट और हौसडॉर्फ (समतुल्य, पूरी तरह से डिस्कनेक्ट, कॉम्पैक्ट और हौसडॉर्फ) है। ये सटीक रूप से वे स्थान हैं जो बूलियन बीजगणित के पत्थर के स्थानों के समरूप हैं। रिडीमिस्टर मरोड़-हल करने योग्य। एक स्थान को κ-हल करने योग्य (क्रमशःः लगभग κ-हल करने योग्य) कहा जाता है यदि इसमें κ घने समुच्चय होते हैं जो जोड़ीदार रूप से असंबद्ध होते हैं (क्रमशःः कहीं भी घने उपसमुच्चय के आदर्श पर लगभग असंबद्ध)। यदि स्थान हल करने योग्य नहीं है तो इसे हल करने योग्य नहीं कहा जाता है। अधिकतम हल करने योग्य। स्थान अधिकतम रूप से हल करने योग्य है यदि यह-हल करने योग्य है, जहाँ संख्या को प्रबल रूप से असतत का फैलाव चरित्र कहा जाता है। सेट स्थान का दृढ़ता से असतत उपसमुच्चय है यदि अंदर के बिंदुओं को जोड़ीदार असंबद्ध पड़ोस द्वारा अलग किया जा सकता है। अंतरिक्ष को दृढ़ता से असतत कहा जाता है यदि प्रत्येक गैर-पृथक बिंदु कुछ दृढ़ता से असतत समुच्चय का संचय बिंदु है। गैर-स्थलाकृतिक गुण मीट्रिक रिक्त स्थान आदि के गुणों के कई उदाहरण हैं, जो स्थलाकृतिक गुण नहीं हैं। यह दिखाने के लिए कि एक गुण स्थलाकृतिक नहीं है, दो समरूपीय स्थलवैज्ञानिक रिक्त स्थान खोजने के लिए पर्याप्त है जैसे कि है, लेकिन नहीं है। उदाहरण के लिए, सीमा और पूर्णता के मीट्रिक स्पेस गुण टोपोलॉजिकल गुण नहीं हैं। मान लीजिए और मानक मीट्रिक के साथ मीट्रिक रिक्त स्थान हों। फिर, समरूपता के माध्यम से। हालाँकि, पूर्ण है लेकिन बंधा हुआ नहीं है, जबकि बंधा हुआ है लेकिन पूर्ण नहीं है। होमोलॉजी और कोहोमोलॉजी होमोटोपी समूह और कोहोमोटोपी समूह उद्धरण संदर्भ [2] साइमन मौलिएरस, मैसीज लेवेनस्टीन और ग्रेसियाना प्यूंटेस, पृथक-समय क्वांटम वॉक द्वारा उलझाव इंजीनियरिंग और टोपोलॉजिकल संरक्षण, जर्नल ऑफ फिजिक्स बीः परमाणु, आणविक और ऑप्टिकल भौतिकी 46 (10), 104005 (2013) भी देखें। https://iopscience.iop.org/article/10.1088/0953-4075/46/10/104005/pdf होम्योमॉर्फिज्म रुः τοπολογιχεσκιy ινβαρίαντ