Epigraph (mathematics)
गणित में, विस्तारित वास्तविक संख्याओं में मूल्यवान किसी फलन का शिलालेख या सुपरग्राफ वह समुच्चय है, जिसे उसके ग्राफ पर या उसके ऊपर स्थित कार्टेशियन उत्पाद के सभी बिंदुओं द्वारा दर्शाया जाता है। सख्त शिलालेख अपने ग्राफ के ठीक ऊपर स्थित बिंदुओं का समूह है। महत्वपूर्ण रूप से, हालांकि ग्राफ और एपिग्राफ दोनों में एपिग्राफ में बिंदु होते हैं, जो उपसमुच्चय में बिंदु होते हैं जो आवश्यक रूप से ग्राफ के लिए सही नहीं है यदि फ़ंक्शन एक मूल्य के रूप में लेता है तो यह इसके एपिग्राफ का एक उपसमुच्चय होगा उदाहरण के लिए, यदि तब बिंदु संबंधित होगा लेकिन नहीं। वास्तविक विश्लेषण में निरंतर वास्तविक-मूल्यवान कार्यों का अध्ययन पारंपरिक रूप से उनके ग्राफ के अध्ययन के साथ निकटता से जुड़ा हुआ है, जो ऐसे सेट हैं जो इन कार्यों के बारे में ज्यामितीय जानकारी (और अंतर्ज्ञान) प्रदान करते हैं। शिलालेख उत्तल विश्लेषण और परिवर्तनशील विश्लेषण के क्षेत्रों में इसी उद्देश्य को पूरा करते हैं, जिसमें प्राथमिक ध्यान एक वेक्टर स्थान (जैसे या) में मूल्यवान निरंतर कार्यों के बजाय मूल्य वाले उत्तल कार्यों पर होता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि सामान्य रूप से, ऐसे कार्यों के लिए, ज्यामितीय अंतर्ज्ञान किसी कार्य के शिलालेख से उसके ग्राफ की तुलना में अधिक आसानी से प्राप्त किया जाता है। इसी तरह वास्तविक विश्लेषण में आलेखों का उपयोग कैसे किया जाता है, शिलालेख का उपयोग अक्सर उत्तल फलन के गुणों की ज्यामितीय व्याख्या देने के लिए, परिकल्पनाओं को तैयार करने या साबित करने में मदद करने के लिए, या प्रति-उदाहरणों के निर्माण में सहायता करने के लिए किया जा सकता है। परिभाषा शिलालेख की परिभाषा एक फलन के ग्राफ से प्रेरित थी, जहाँ के को समुच्चय के रूप में परिभाषित किया गया है या विस्तारित वास्तविक संख्याओं में मूल्यवान फलन का समुच्चय है। इसी तरह, किसी फलन के ग्राफ पर या उसके नीचे बिंदुओं का समुच्चय इसका है। इस तथ्य के बावजूद कि एक मूल्य के रूप में एक (या दोनों) को लिया जा सकता है (इस मामले में इसका ग्राफ एक उपसमुच्चय होगा), के एपिग्राफ को फिर भी के बजाय के उपसमुच्चय के रूप में परिभाषित किया गया है यह जानबूझकर है क्योंकि जब एक वेक्टर स्थान होता है तो यह एक वेक्टर स्थान होता है (क्योंकि विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा एक वेक्टर स्थान नहीं है)। अधिक सामान्य रूप से, यदि केवल कुछ सदिश स्थान का एक गैर-खाली उपसमुच्चय है तो कभी भी सदिश स्थान का एक भी नहीं होता है। एपिग्राफ एक वेक्टर स्पेस का सबसेट होने के कारण वास्तविक विश्लेषण और कार्यात्मक विश्लेषण (और अन्य क्षेत्रों) से संबंधित उपकरणों को अधिक आसानी से लागू करने की अनुमति देता है। इस परिभाषा के लिए फ़ंक्शन का डोमेन (कोडोमेन के बजाय) विशेष रूप से महत्वपूर्ण नहीं है; यह किसी भी रैखिक स्थान या इसके बजाय एक मनमाना सेट भी हो सकता है। सख्त शिलालेख और ग्राफ हमेशा अलग-अलग होते हैं। एक कार्य का शिलालेख इसके ग्राफ और सख्त शिलालेख से संबंधित है जहां निर्धारित समानता तभी होती है जब वास्तविक मूल्य हो। हालांकि, यह हमेशा बना रहता है। एपिग्राफ से कार्यों का पुनर्निर्माण एपिग्राफ खाली है और केवल तभी जब कार्य समान रूप से अनंत के बराबर हो। जिस तरह किसी भी कार्य को उसके ग्राफ से पुनर्निर्मित किया जा सकता है, उसी तरह किसी भी विस्तारित वास्तविक मूल्य वाले कार्य को उसके शिलालेख से पुनर्निर्मित किया जा सकता है (भले ही वह एक मूल्य के रूप में हो)। यह देखते हुए कि मान को "ऊर्ध्वाधर रेखा" के प्रतिच्छेदन से निम्नानुसार पुनर्निर्मित किया जा सकता हैः मामला 1: यदि और केवल यदि मामला 2: यदि और केवल यदि मामला 3: अन्यथा, आवश्यक रूप से उस रूप का है जिससे अंतराल का अधिकतम मान लेकर प्राप्त किया जा सकता है। उपरोक्त टिप्पणियों को एक एकल सूत्र देने के लिए जोड़ा जा सकता है, विशेष रूप से, परिभाषा के अनुसार किसी भी स्थान के लिए, इसी सूत्र का उपयोग इसके सख्त शिलालेख से पुनर्निर्माण के लिए भी किया जा सकता है-कार्यों के गुणों और उनके शिलालेख के बीच संबंध-एक फलन उत्तल होता है यदि और केवल तभी जब इसका शिलालेख एक उत्तल समुच्चय हो। एक वास्तविक एफ़ाइन फ़ंक्शन का एपिग्राफ ए फ़ंक्शन में एक आधा स्थान है जो कम अर्ध-निरंतर है यदि और केवल तभी जब इसका एपिग्राफ बंद हो। उद्धरण संदर्भ रॉकफेलर, राल्फ टायरेल (1996), कन्वेक्स एनालिसिस, प्रिंसटन यूनिवर्सिटी प्रेस, प्रिंसटन, एनजे भी देखें। .. कन्वेक्स विश्लेषण गणितीय विश्लेषण परिवर्तनशील विश्लेषण