Conjugate gradient method
गणित में, संयुग्म प्रवणता विधि रैखिक समीकरणों की विशेष प्रणालियों के संख्यात्मक समाधान के लिए एक एल्गोरिथ्म है, जिनके मैट्रिक्स सकारात्मक-निश्चित हैं। संयुग्म प्रवणता विधि को अक्सर एक पुनरावृत्ति एल्गोरिदम के रूप में लागू किया जाता है, जो विरल प्रणालियों पर लागू होता है जो प्रत्यक्ष कार्यान्वयन या अन्य प्रत्यक्ष तरीकों जैसे कि चोल्स्की अपघटन द्वारा नियंत्रित करने के लिए बहुत बड़े होते हैं। बड़ी विरल प्रणालियाँ अक्सर तब उत्पन्न होती हैं जब संख्यात्मक रूप से आंशिक विभेदक समीकरणों या अनुकूलन समस्याओं को हल किया जाता है। संयुग्म प्रवणता विधि का उपयोग ऊर्जा न्यूनीकरण जैसी अनियंत्रित अनुकूलन समस्याओं को हल करने के लिए भी किया जा सकता है। इसका श्रेय आमतौर पर मैग्नस हेस्टेनस और एडवर्ड स्टीफेल को दिया जाता है, जिन्होंने इसे जेड4 पर क्रमादेशित किया और इस पर व्यापक रूप से शोध किया। बाइकोनजुगेट प्रवणता विधि गैर-सममित मैट्रिक्स को एक सामान्यीकरण प्रदान करती है। विभिन्न गैर-रैखिक संयुग्म प्रवणता विधियाँ गैर-रैखिक अनुकूलन समस्याओं के न्यूनतम स्तर की तलाश करती हैं। संयुग्म प्रवणता द्वारा संबोधित समस्या का विवरण मान लीजिए कि हम वेक्टर के लिए रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करना चाहते हैं, जहां ज्ञात मैट्रिक्स सममित (यानी, एटी = ए), सकारात्मक-निश्चित (यानी। आरएन में सभी गैर-शून्य वैक्टरों के लिए xTAx> 0), और वास्तविक, और साथ ही जाना जाता है। हम इस प्रणाली के अद्वितीय समाधान को दर्शाते हैं। एक प्रत्यक्ष विधि के रूप में व्युत्पत्ति संयुग्म प्रवणता विधि को कई अलग-अलग दृष्टिकोणों से प्राप्त किया जा सकता है, जिसमें अनुकूलन के लिए संयुग्म दिशा विधि का विशेषज्ञता, और आइगेनवैल्यू समस्याओं के लिए अर्नोल्डी/लैंक्ज़ोस पुनरावृत्ति की भिन्नता शामिल है। अपने दृष्टिकोण में अंतर के बावजूद, ये व्युत्पत्तियाँ एक सामान्य विषय साझा करती हैं-अवशिष्ट की ऑर्थोगोनलिटी और खोज दिशाओं की संयुग्मता को साबित करती हैं। ये दोनों गुण विधि के प्रसिद्ध संक्षिप्त सूत्रीकरण को विकसित करने के लिए महत्वपूर्ण हैं। हम कहते हैं कि दो गैर-शून्य वैक्टर u और v संयुग्म हैं (के संबंध में) यदि सममित और सकारात्मक-निश्चित है, तो बायीं ओर एक आंतरिक उत्पाद को परिभाषित करता है दो वैक्टर संयुग्म हैं यदि और केवल तभी जब वे इस आंतरिक उत्पाद के संबंध में ऑर्थोगोनल हों। संयुग्म होना एक सममित संबंध हैः यदि संयुग्म है, तो संयुग्म है। मान लीजिए कि यह पारस्परिक संयुग्म वैक्टरों का एक समूह है, अर्थात। सबके लिए। फिर इसके लिए एक आधार बनाता है, और हम इस आधार पर समाधान को व्यक्त कर सकते हैंः वेक्टर पैदावार के साथ समस्या को बाएं गुणा करना और इसलिए यह समीकरण को हल करने के लिए निम्नलिखित विधि देता हैः संयुग्म दिशाओं का एक क्रम ढूंढें, और फिर गुणांक की गणना करें। एक पुनरावृत्ति विधि के रूप में यदि हम संयुग्म वैक्टर को सावधानीपूर्वक चुनते हैं, तो हमें समाधान के लिए एक अच्छा सन्निकटन प्राप्त करने के लिए उन सभी की आवश्यकता नहीं हो सकती है। इसलिए, हम संयुग्म प्रवणता विधि को एक पुनरावृत्ति विधि के रूप में मानना चाहते हैं। यह हमें उन प्रणालियों को लगभग हल करने की भी अनुमति देता है जहां n इतना बड़ा है कि प्रत्यक्ष विधि में बहुत अधिक समय लगेगा। हम द्वारा के लिए प्रारंभिक अनुमान को दर्शाते हैं (हम व्यापकता के नुकसान के बिना मान सकते हैं कि, अन्यथा इसके बजाय प्रणाली एज़ = बी-एज़0 पर विचार करें)। x0 से शुरू करते हुए हम समाधान की खोज करते हैं और प्रत्येक पुनरावृत्ति में हमें यह बताने के लिए एक मीट्रिक की आवश्यकता होती है कि क्या हम समाधान के करीब हैं (जो हमें अज्ञात है)। यह मीट्रिक इस तथ्य से आता है कि समाधान भी निम्नलिखित द्विघात फलन का अद्वितीय लघुकरणक है एक अद्वितीय लघुकरणक का अस्तित्व स्पष्ट है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का इसका हेसियन मैट्रिक्स सममित धनात्मक-निश्चित है और यह कि लघुकरणक (डीएफ (एक्स) = 0 का उपयोग) अपने पहले व्युत्पन्न से प्रारंभिक समस्या को हल करता है। f का ढाल बराबर होता है। प्रारंभिक अनुमान x0 से शुरू करते हुए, इसका मतलब है कि हम p0 = b − Ax0 लेते हैं। आधार में अन्य वैक्टर ढाल के लिए संयुग्मित होंगे, इसलिए इसका नाम संयुग्मित ढाल विधि है। ध्यान दें कि पी0 भी एल्गोरिथ्म के इस प्रारंभिक चरण द्वारा प्रदान किया गया अवशिष्ट है। मान लीजिए कि kवें चरण में rk अवशिष्ट हैः जैसा कि ऊपर देखा गया है, at का ऋणात्मक प्रवणता है, इसलिए प्रवणता अवरोहण विधि को rk की दिशा में आगे बढ़ने की आवश्यकता होगी। हालाँकि, यहाँ हम इस बात पर जोर देते हैं कि दिशाएँ एक दूसरे के साथ संयुग्मित होनी चाहिए। इसे लागू करने का एक व्यावहारिक तरीका यह है कि वर्तमान अवशिष्ट और सभी पिछले खोज निर्देशों से अगली खोज दिशा का निर्माण किया जाए। संयुग्मन बाधा एक ऑर्थोनॉर्मल-प्रकार की बाधा है और इसलिए एल्गोरिथ्म को ग्राम-श्मिट ऑर्थोनॉर्मलाइजेशन के एक उदाहरण के रूप में देखा जा सकता है। यह निम्नलिखित अभिव्यक्ति देता हैः (अभिसरण पर संयुग्मता बाधा के प्रभाव के लिए लेख के शीर्ष पर चित्र देखें)। इस दिशा का अनुसरण करते हुए, अगला इष्टतम स्थान इस प्रकार दिया जाता है कि अंतिम समानता कहाँ की परिभाषा का अनुसरण करती है। के लिए अभिव्यक्ति प्राप्त की जा सकती है यदि कोई xk + 1 के लिए अभिव्यक्ति को f में प्रतिस्थापित करता है और परिणामी एल्गोरिथ्म के संबंध में इसे कम करता है उपरोक्त एल्गोरिथ्म संयुग्म प्रवणता विधि की सबसे सीधी व्याख्या देता है। जाहिरा तौर पर, जैसा कि कहा गया है कि एल्गोरिथ्म के लिए सभी पिछले खोज दिशाओं और अवशेष वैक्टरों के साथ-साथ कई मैट्रिक्स-वेक्टर गुणन के भंडारण की आवश्यकता होती है, और इस प्रकार कम्प्यूटेशनल रूप से महंगा हो सकता है। हालांकि, एल्गोरिथ्म के एक करीबी विश्लेषण से पता चलता है कि यह ऑर्थोगोनल है, यानी। , i  ऒत्त j के लिए। और-ऑर्थोगोनल है, अर्थात। , के लिए। यह माना जा सकता है कि जैसे-जैसे एल्गोरिथ्म आगे बढ़ता है, और उसी क्रायलोव उपक्षेत्र में फैलता है। जहाँ मानक आंतरिक उत्पाद के संबंध में ऑर्थोगोनल आधार बनता है, और द्वारा प्रेरित आंतरिक उत्पाद के संबंध में ऑर्थोगोनल आधार बनता है। इसलिए, इसे क्रिलोव उपक्षेत्र पर के प्रक्षेपण के रूप में माना जा सकता है। Ax = b को हल करने के लिए एल्गोरिथ्म नीचे विस्तृत है जहाँ एक वास्तविक, सममित, सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स है। इनपुट वेक्टर एक अनुमानित प्रारंभिक समाधान या 0 हो सकता है। यह ऊपर वर्णित सटीक प्रक्रिया का एक अलग सूत्रीकरण है। यह सबसे अधिक उपयोग किया जाने वाला एल्गोरिदम है। इसी सूत्र का उपयोग फ्लेचर-रीव्स अरैखिक संयुग्म प्रवणता विधि में भी किया जाता है। हम ध्यान देते हैं कि इसकी गणना ग्रेडिएंट डिसेंट विधि द्वारा की जाती है। सेटिंग इसी तरह से ग्रेडिएंट डिसेंट विधि द्वारा गणना की जाएगी, यानी, संयुग्म ग्रेडिएंट पुनरावृत्तियों के पुनः आरंभ के सरल कार्यान्वयन के रूप में उपयोग किया जा सकता है। पुनः आरंभ करने से अभिसरण धीमा हो सकता है, लेकिन स्थिरता में सुधार हो सकता है यदि संयुग्म प्रवणता विधि गलत व्यवहार करती है, उदाहरण के लिए, राउंड-ऑफ त्रुटि के कारण। स्पष्ट अवशिष्ट गणना सूत्र और, जो दोनों सटीक अंकगणित में धारण करते हैं, सूत्र और गणितीय रूप से समतुल्य बनाते हैं। पूर्व का उपयोग एल्गोरिथ्म में एक अतिरिक्त गुणन से बचने के लिए किया जाता है क्योंकि वेक्टर की गणना पहले से ही मूल्यांकन के लिए की जाती है। उत्तरार्द्ध अधिक सटीक हो सकता है, जो राउंड-ऑफ त्रुटि संचय के अधीन पुनरावृत्ति द्वारा अंतर्निहित गणना के लिए स्पष्ट गणना को प्रतिस्थापित करता है, और इस प्रकार एक सामयिक मूल्यांकन के लिए अनुशंसित है। अवशिष्ट का एक मानक आमतौर पर मानदंड को रोकने के लिए उपयोग किया जाता है। स्पष्ट अवशिष्ट का मानक सटीक अंकगणित और गोल त्रुटियों की उपस्थिति दोनों में सटीकता का एक गारंटीकृत स्तर प्रदान करता है, जहां अभिसरण स्वाभाविक रूप से स्थिर हो जाता है। इसके विपरीत, अंतर्निहित अवशिष्ट को गोलाकार त्रुटियों के स्तर से नीचे आयाम में छोटा होने के लिए जाना जाता है और इस प्रकार इसका उपयोग अभिसरण के ठहराव को निर्धारित करने के लिए नहीं किया जा सकता है। अल्फा और बीटा की गणना एल्गोरिथ्म में, इस तरह से चुना जाता है जो ऑर्थोगोनल होता है। भाजक को तब से सरल बनाया गया है। द को इस तरह से चुना जाता है जो संयुग्मित होता है। प्रारंभ में, उपयोग कर रहा है और समतुल्य रूप से अंश को इस रूप में फिर से लिखा जाता है क्योंकि और डिजाइन द्वारा ऑर्थोगोनल होते हैं। भाजक को इस तरह से फिर से लिखा जाता है कि खोज दिशाओं pk को संयुग्मित किया जाता है और फिर से अवशिष्ट ऑर्थोगोनल होते हैं। यह रद्द करने के बाद एल्गोरिथ्म में देता है। जूलिया (प्रोग्रामिंग भाषा) में उदाहरण कोड "" संयुग्म _ प्रवणता! (ए, बी, एक्स) संयुग्म प्रवणता विधि का उपयोग करके समाधान को 'ए * एक्स = बी' पर वापस करें। फलन संयुग्म _ प्रवणता! (एः एब्स्ट्रैक्टमैट्रिक्स, बीः एब्स्ट्रैक्टवेक्टर, एक्सः एब्स्ट्रैक्टवेक्टर; टोल = ईपीएस (एलटाइप (बी))) #अवशिष्ट वेक्टर अवशिष्ट को प्रारंभ करें = बी-ए * एक्स #प्रारंभिक खोज दिशा वेक्टर खोज _ दिशा = अवशिष्ट #प्रारंभिक वर्ग अवशिष्ट मानक पुराने _ एसक्यूआर _ अवशिष्ट _ मानक = अवशिष्ट '* अवशिष्ट #पुनरावृत्ति अभिसरण तक जबकि पुराना _ एसक्यूआर _ अवशिष्ट _ मानक> टोल ए _ सर्च _ दिशा = ए * खोज _ दिशा चरण _ आकार = पुराना _ एसक्यूआर _ अवशिष्ट _ मानक 2/(खोज _ दिशा' * ए _ खोज _ दिशा) #अद्यतन समाधान @ x = x + चरण _ आकार * खोज _ दिशा #अवशिष्ट @अद्यतन करें। अवशिष्ट = अवशिष्ट-चरण _ आकार * A _ खोज _ दिशा नया _ sqr _ अवशिष्ट _ मानक = बिंदु (अवशिष्ट, अवशिष्ट) #खोज दिशा वेक्टर @को अद्यतन करें। खोज _ दिशा = अवशिष्ट + (नया _ sqr _ अवशिष्ट _ मानक/पुराना _ sqr _ अवशिष्ट _ मानक) ^ 2 * खोज _ दिशा #अगली पुनरावृत्ति के लिए वर्ग अवशिष्ट मानक को अपडेट करें पुराना _ sqr _ अवशिष्ट _ मानक = नया _ sqr _ अवशिष्ट _ मानक अंत वापसी x अंत संख्यात्मक उदाहरण रैखिक प्रणाली Ax = b पर विचार करें जिसके द्वारा हम संयुग्म प्रवणता विधि के दो चरणों का प्रदर्शन करेंगे जो प्रणाली का अनुमानित समाधान खोजने के लिए प्रारंभिक अनुमान से शुरू होता है। समाधान संदर्भ के लिए, सटीक समाधान है हमारा पहला कदम x0 से जुड़े अवशिष्ट सदिश r0 की गणना करना है। इस अवशिष्ट की गणना सूत्र r0 = b-Ax0 से की जाती है, और हमारे मामले में यह इसके बराबर है क्योंकि यह पहला पुनरावृत्ति है, हम अवशिष्ट सदिश r0 का उपयोग अपनी प्रारंभिक खोज दिशा p0 के रूप में करेंगे; pk को चुनने की विधि आगे के पुनरावृत्तियों में बदल जाएगी। हम अब संबंध का उपयोग करके स्केलर की गणना करते हैं हम अब सूत्र का उपयोग करके x1 की गणना कर सकते हैं यह परिणाम पहली पुनरावृत्ति को पूरा करता है, जिसका परिणाम सिस्टम के लिए एक "बेहतर" अनुमानित समाधान है, x1। हम अब आगे बढ़ सकते हैं और सूत्र का उपयोग करके अगले अवशिष्ट वेक्टर r1 की गणना कर सकते हैं। इस प्रक्रिया में हमारा अगला कदम स्केलर की गणना करना है जिसका उपयोग अंततः अगली खोज दिशा p1 निर्धारित करने के लिए किया जाएगा। अब, इस स्केलर का उपयोग करके, हम संबंध का उपयोग करके अगली खोज दिशा p1 की गणना कर सकते हैं अब हम अपने नए अधिग्रहित p1 का उपयोग करके उसी विधि का उपयोग करके स्केलर की गणना करते हैं जिसके लिए उपयोग किया जाता है। अंत में, हम x2 को उसी विधि का उपयोग करके पाते हैं जिसका उपयोग x1 को खोजने के लिए किया जाता था। परिणाम, x2, x1 और x0 की तुलना में प्रणाली के समाधान के लिए एक "बेहतर" सन्निकटन है। यदि इस उदाहरण में सीमित-परिशुद्धता के बजाय सटीक अंकगणित का उपयोग किया जाना था, तो सैद्धांतिक रूप से सटीक समाधान n = 2 पुनरावृत्तियों (n प्रणाली का क्रम होने के कारण) के बाद प्राप्त किया गया होगा। अभिसरण गुण संयुग्म प्रवणता विधि को सैद्धांतिक रूप से एक प्रत्यक्ष विधि के रूप में देखा जा सकता है, क्योंकि राउंड-ऑफ त्रुटि के अभाव में यह एक सीमित संख्या में पुनरावृत्तियों के बाद सटीक समाधान उत्पन्न करता है, जो मैट्रिक्स के आकार से बड़ा नहीं है। व्यवहार में, सटीक समाधान कभी भी प्राप्त नहीं किया जाता है क्योंकि संयुग्म प्रवणता विधि छोटी गड़बड़ी के संबंध में भी अस्थिर होती है, उदाहरण के लिए, अधिकांश दिशाएं व्यवहार में संयुग्म नहीं होती हैं, क्योंकि क्रिलोव उपस्थान उत्पन्न करने की अपक्षयी प्रकृति होती है। एक पुनरावृत्ति विधि के रूप में, संयुग्म प्रवणता विधि नीरस रूप से (ऊर्जा मानक में) सटीक समाधान के सन्निकटन में सुधार करती है और पुनरावृत्तियों की अपेक्षाकृत कम (समस्या के आकार की तुलना में) संख्या के बाद आवश्यक सहिष्णुता तक पहुंच सकती है। सुधार आमतौर पर रैखिक होता है और इसकी गति सिस्टम मैट्रिक्स की स्थिति संख्या द्वारा निर्धारित की जाती हैः सुधार जितना बड़ा होगा, उतना ही धीमा होगा। यदि बड़ा है, तो पूर्वशर्त का उपयोग आमतौर पर मूल प्रणाली को छोटे से बदलने के लिए किया जाता है, नीचे देखें। अभिसरण प्रमेय बहुपदों के एक उपसमुच्चय को परिभाषित करें जहाँ अधिकतम डिग्री के बहुपदों का समुच्चय है। आइए सटीक समाधान के पुनरावृत्ति सन्निकटन हों, और त्रुटियों को इस रूप में परिभाषित करें। अब, अभिसरण की दर को अनुमानित किया जा सकता है जहां स्पेक्ट्रम को दर्शाता है, और स्थिति संख्या को दर्शाता है। ध्यान दें, महत्वपूर्ण सीमा जब इस सीमा की ओर जाता है तो यह सीमा जैकोबी या गॉस-सीडेल की पुनरावृत्ति विधियों की तुलना में तेजी से अभिसरण दर दिखाती है। अभिसरण प्रमेय में कोई राउंड-ऑफ त्रुटि नहीं मानी गई है, लेकिन अभिसरण सीमा आमतौर पर व्यवहार में मान्य है जैसा कि सैद्धांतिक रूप से ऐनी ग्रीनबाम द्वारा समझाया गया है। व्यावहारिक अभिसरण यदि यादृच्छिक रूप से आरंभ किया जाता है, तो पुनरावृत्तियों का पहला चरण अक्सर सबसे तेज़ होता है, क्योंकि क्रिलोव उपक्षेत्र के भीतर त्रुटि समाप्त हो जाती है जो शुरू में एक छोटी प्रभावी स्थिति संख्या को दर्शाती है। अभिसरण का दूसरा चरण आम तौर पर सैद्धांतिक अभिसरण द्वारा अच्छी तरह से परिभाषित किया जाता है, लेकिन मैट्रिक्स के स्पेक्ट्रम के वितरण और त्रुटि के वर्णक्रमीय वितरण के आधार पर अति-रैखिक हो सकता है। अंतिम चरण में, सबसे छोटी प्राप्य सटीकता तक पहुँच जाता है और अभिसरण स्टॉल या विधि विचलन भी शुरू कर सकती है। बड़े आकार के मैट्रिक्स के लिए दोहरे-सटीक फ्लोटिंग-पॉइंट प्रारूप में विशिष्ट वैज्ञानिक कंप्यूटिंग अनुप्रयोगों में, संयुग्म प्रवणता विधि एक सहिष्णुता के साथ एक रोक मानदंड का उपयोग करती है जो पहले या दूसरे चरण के दौरान पुनरावृत्तियों को समाप्त करती है। पूर्वशर्त संयुग्म प्रवणता विधि ज्यादातर मामलों में, संयुग्म प्रवणता विधि का तेजी से अभिसरण सुनिश्चित करने के लिए पूर्वशर्त आवश्यक है। यदि सममित धनात्मक-निश्चित है और इसकी तुलना में बेहतर स्थिति संख्या है, तो एक पूर्वशर्त संयुग्म प्रवणता विधि का उपयोग किया जा सकता है। यह निम्नलिखित रूप लेता हैः दोहराएँ यदि rk + 1 पर्याप्त रूप से छोटा है तो निकास लूप समाप्त हो जाता है यदि अंत में दोहराया जाता है तो परिणाम xk + 1 है उपरोक्त सूत्रीकरण पूर्वनिर्धारित प्रणाली में नियमित संयुग्म प्रवणता विधि को लागू करने के बराबर है जहां प्रणाली की समरूपता (और सकारात्मक निश्चितता) को बनाए रखने के लिए पूर्व-कंडीशनर के चोल्स्की अपघटन का उपयोग किया जाना चाहिए। हालाँकि, इस अपघटन की गणना करने की आवश्यकता नहीं है, और यह जानने के लिए पर्याप्त है। यह दिखाया जा सकता है कि इसका स्पेक्ट्रम समान है। प्री-कंडीशनर मैट्रिक्स M को सममित सकारात्मक-निश्चित और निश्चित होना चाहिए, यानी पुनरावृत्ति से पुनरावृत्ति में नहीं बदला जा सकता है। यदि पूर्वशर्त पर इनमें से किसी भी धारणा का उल्लंघन किया जाता है, तो पूर्वशर्त संयुग्म प्रवणता विधि का व्यवहार अप्रत्याशित हो सकता है। आम तौर पर उपयोग किए जाने वाले पूर्व-शर्तक का एक उदाहरण अपूर्ण चोल्स्की गुणनखंडन है। लचीली पूर्वशर्त संयुग्म प्रवणता विधि संख्यात्मक रूप से चुनौतीपूर्ण अनुप्रयोगों में, परिष्कृत पूर्वशर्तों का उपयोग किया जाता है, जिससे परिवर्तनशील पूर्वशर्त हो सकती है, जो पुनरावृत्तियों के बीच बदल सकती है। भले ही पूर्व-कंडीशनर प्रत्येक पुनरावृत्ति पर सममित सकारात्मक-निश्चित हो, यह तथ्य कि यह बदल सकता है, उपरोक्त तर्कों को अमान्य बनाता है, और व्यावहारिक परीक्षणों में ऊपर प्रस्तुत एल्गोरिदम के अभिसरण की महत्वपूर्ण धीमी गति की ओर ले जाता है। फ्लेचर-रीव्स सूत्र के बजाय पोलक-रिबियर सूत्र का उपयोग करने से इस मामले में अभिसरण में नाटकीय रूप से सुधार हो सकता है। पूर्वशर्त संयुग्म प्रवणता विधि के इस संस्करण को लचीला कहा जा सकता है, क्योंकि यह परिवर्तनीय पूर्वशर्त के लिए अनुमति देता है। लचीले संस्करण को भी मजबूत दिखाया गया है, भले ही पूर्व-कंडीशनर सममित सकारात्मक निश्चित (एसपीडी) न हो। लचीले संस्करण के कार्यान्वयन के लिए एक अतिरिक्त वेक्टर को संग्रहीत करने की आवश्यकता होती है। एक निश्चित एस. पी. डी. पूर्व कंडीशनर के लिए, इसलिए दोनों सूत्र सटीक अंकगणित में समतुल्य हैं, यानी, राउंड-ऑफ त्रुटि के बिना। पोलक-रिबियर सूत्र के साथ विधि के बेहतर अभिसरण व्यवहार की गणितीय व्याख्या यह है कि इस मामले में विधि स्थानीय रूप से इष्टतम है, विशेष रूप से, यह स्थानीय रूप से इष्टतम सबसे तीव्र अवरोहण विधि की तुलना में धीमी गति से अभिसरण नहीं करती है। बनाम स्थानीय रूप से इष्टतम स्टीप डिसेंट विधि मूल और पूर्व-शर्त संयुग्म ढाल दोनों विधियों में केवल लाइन खोज, स्टीप डिसेंट विधियों का उपयोग करके उन्हें स्थानीय रूप से इष्टतम बनाने के लिए सेट करने की आवश्यकता होती है। इस प्रतिस्थापन के साथ, वैक्टर हमेशा वैक्टर के समान होते हैं, इसलिए वैक्टर को संग्रहीत करने की कोई आवश्यकता नहीं होती है। इस प्रकार, इन सबसे तीव्र अवरोहण विधियों की प्रत्येक पुनरावृत्ति संयुग्म प्रवणता विधियों की तुलना में थोड़ी सस्ती है। हालांकि, बाद वाला तेजी से अभिसरण करता है, जब तक कि एक (अत्यधिक) चर और/या गैर-एसपीडी पूर्व-कंडीशनर का उपयोग नहीं किया जाता है, ऊपर देखें। डबल इंटीग्रेटर के लिए इष्टतम प्रतिक्रिया नियंत्रक के रूप में संयुग्म प्रवणता विधि संयुग्म प्रवणता विधि को इष्टतम नियंत्रण सिद्धांत का उपयोग करके भी प्राप्त किया जा सकता है। इस दृष्टिकोण में, संयुग्म प्रवणता विधि एक इष्टतम प्रतिक्रिया नियंत्रक के रूप में सामने आती है, दोहरी समाकलक प्रणाली के लिए, मात्राएँ और परिवर्तनीय प्रतिक्रिया लाभ हैं। सामान्य समीकरणों पर संयुग्म प्रवणता संयुग्म प्रवणता विधि को सामान्य समीकरणों ए. टी. ए. और दाहिने हाथ के सदिश ए. टी. बी. पर लागू करके एक मनमाने एन-बाय-एम मैट्रिक्स पर लागू किया जा सकता है, क्योंकि ए. टी. ए. किसी भी ए. के लिए एक सममित धनात्मक-अर्ध-परिमित मैट्रिक्स है। परिणाम सामान्य समीकरणों (सी. जी. एन. आर.) पर संयुग्म प्रवणता है। ए. टी. ए. एक्स. = ए. टी. बी. एक पुनरावृत्ति विधि के रूप में, ए. टी. ए. को स्पष्ट रूप से स्मृति में बनाना आवश्यक नहीं है, बल्कि केवल मैट्रिक्स-वेक्टर और ट्रांसपोज़ मैट्रिक्स-वेक्टर गुणन करने के लिए आवश्यक है। इसलिए, सी. जी. एन. आर. विशेष रूप से तब उपयोगी होता है जब ए एक विरल मैट्रिक्स होता है क्योंकि ये संचालन आमतौर पर बेहद कुशल होते हैं। हालांकि सामान्य समीकरणों को बनाने का नकारात्मक पक्ष यह है कि स्थिति संख्या κ (ATA) κ2 (A) के बराबर है और इसलिए CGNR के अभिसरण की दर धीमी हो सकती है और अनुमानित समाधान की गुणवत्ता राउंडऑफ़ त्रुटियों के प्रति संवेदनशील हो सकती है। एक अच्छा पूर्व कंडीशनर खोजना अक्सर सी. जी. एन. आर. विधि का उपयोग करने का एक महत्वपूर्ण हिस्सा होता है। कई एल्गोरिदम प्रस्तावित किए गए हैं (जैसे, CGLS, LSQR)। एलएसक्यूआर एल्गोरिदम में कथित तौर पर सबसे अच्छी संख्यात्मक स्थिरता होती है जब ए खराब स्थिति में होता है, यानी ए में एक बड़ी स्थिति संख्या होती है। जटिल हर्मिशियन मैट्रिक्स के लिए संयुग्म प्रवणता विधि संयुग्म प्रवणता विधि को एक तुच्छ संशोधन के साथ जटिल-मूल्य वाले मैट्रिक्स ए और वेक्टर बी, जटिल-मूल्य वाले वेक्टर एक्स के लिए रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए विस्तारित किया जा सकता है, जहां ए हर्मिशियन (यानी, ए '= ए) और सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स है, और प्रतीक' संयुग्म पारगमन को दर्शाता है। तुच्छ संशोधन बस हर जगह वास्तविक ट्रांसपोज़ के लिए संयुग्म ट्रांसपोज़ को प्रतिस्थापित कर रहा है। बाइकोनजुगेट प्रवणता विधि (बी. आई. सी. जी.) संयुग्म प्रवणता वर्ग विधि (सी. जी. एस.) संयुग्म अवशिष्ट विधि गौसी विश्वास प्रसार पुनरावृत्ति विधिः रैखिक प्रणाली क्रायलोव सबसपेस अरैखिक संयुग्म प्रवणता विधि प्री-कंडीशनिंग स्पार्स मैट्रिक्स-वेक्टर गुणन संदर्भ आगे पढ़ने के लिए गेरार्ड मेरेंटः संयुग्म प्रवणता एल्गोरिदम में मूक त्रुटियों का पता लगाना और सुधार करना, संख्यात्मक एल्गोरिदम, vol.92 (2023), pp.869-891। यूआरएल = https://doi.org/10.1007/s11075-022-01380-1 बाहरी लिंक संख्यात्मक रैखिक बीजगणित प्रवणता विधियाँ उदाहरण के साथ लेख मैटलैब/ऑक्टेव कोड