Cardinal utility
अर्थशास्त्र में, एक मुख्य उपयोगिता कार्य या पैमाना एक उपयोगिता सूचकांक है जो सकारात्मक संबंध परिवर्तनों तक विशिष्ट रूप से वरीयता क्रम को संरक्षित करता है। दो उपयोगिता सूचकांक एक एफ़ाइन परिवर्तन द्वारा संबंधित हैं यदि एक सूचकांक यू के मूल्य के लिए, माल के बंडल की किसी भी मात्रा का मूल्यांकन किया जा रहा है, तो दूसरे सूचकांक वी का संबंधित मूल्य निश्चित स्थिरांक ए और बी के लिए रूप के संबंध को संतुष्ट करता है। इस प्रकार उपयोगिता कार्य स्वयं से संबंधित हैं दोनों सूचकांक केवल पैमाने और मूल के संबंध में भिन्न होते हैं। इस प्रकार यदि एक अवतल है, तो दूसरा भी है, इस मामले में अक्सर सीमांत उपयोगिता को कम करना कहा जाता है। इस प्रकार मुख्य उपयोगिता का उपयोग इस धारणा को लागू करता है कि पूर्ण संतुष्टि के स्तर मौजूद हैं, ताकि संतुष्टि के लिए वृद्धि के परिमाण की तुलना विभिन्न स्थितियों में की जा सके। उपभोक्ता चयन सिद्धांत में, अपनी कमजोर धारणाओं के साथ क्रमिक उपयोगिता को प्राथमिकता दी जाती है क्योंकि उतने ही मजबूत परिणाम प्राप्त किए जा सकते हैं। कार्डिनल उपयोगिता से पता चलता है कि हम जिस इकाई का उपभोग करते हैं उसे संख्या में मापा जा सकता है। यह सामान्य उपयोगिता की तुलना में संतुष्टि को मापने का एक कम व्यावहारिक रूप है। 1738 में, डैनियल बर्नौली ने पैसे के सीमांत मूल्य के बारे में सिद्धांत देने वाले पहले व्यक्ति थे। उन्होंने मान लिया कि एक अतिरिक्त राशि का मूल्य उस आर्थिक संपत्ति के विपरीत आनुपातिक है जो एक व्यक्ति के पास पहले से है। चूंकि बर्नौली ने मौन रूप से मान लिया था कि विभिन्न व्यक्तियों की उपयोगिता प्रतिक्रिया के लिए एक पारस्परिक उपाय की खोज की जा सकती है, इसलिए वह अनजाने में कार्डिनलिटी की प्रारंभिक अवधारणा का उपयोग कर रहे थे। बर्नौली के काल्पनिक लघुगणक उपयोगिता कार्य और गैब्रियल क्रैमर के कार्य की कल्पना उस समय मांग के सिद्धांत के लिए नहीं बल्कि सेंट पीटर्सबर्ग के खेल को हल करने के लिए की गई थी। बर्नौली ने माना कि "एक गरीब व्यक्ति आम तौर पर एक अमीर व्यक्ति की तुलना में समान लाभ से अधिक उपयोगिता प्राप्त करता है" एक ऐसा दृष्टिकोण जो धन की सरल गणितीय अपेक्षा से अधिक गहरा है क्योंकि इसमें नैतिक अपेक्षा का नियम शामिल है। उपयोगिता के प्रारंभिक सिद्धांतकारों का मानना था कि इसमें भौतिक रूप से मात्रात्मक विशेषताएँ थीं। उन्होंने सोचा कि उपयोगिता दूरी या समय के परिमाण की तरह व्यवहार करती है, जिसमें एक शासक या स्टॉपवॉच के सरल उपयोग के परिणामस्वरूप एक विशिष्ट उपाय होता है। "यूटिल्स" वास्तव में उपयोगिता पैमाने में इकाइयों को दिया गया नाम था। विक्टोरियन युग में जीवन के कई पहलू परिमाणीकरण के आगे झुक रहे थे। उपयोगिता के सिद्धांत को जल्द ही नैतिक-दार्शनिक चर्चाओं पर लागू किया जाने लगा। उपयोगितावाद में आवश्यक विचार उपयोग में उनके परिवर्तन को देखकर लोगों के निर्णयों का आकलन करना और यह मापना है कि क्या वे बेहतर हैं। 18वीं शताब्दी के अंत से उपयोगितावादी सिद्धांतों के मुख्य अग्रदूत जेरेमी बेंथम थे, जिनका मानना था कि उपयोगिता को कुछ जटिल आत्मनिरीक्षण परीक्षा द्वारा मापा जा सकता है और इसे सामाजिक नीतियों और कानूनों के डिजाइन का मार्गदर्शन करना चाहिए। बेंथम के लिए आनंद के पैमाने में तीव्रता की एक इकाई के रूप में "उस आनंद में निहित तीव्रता की डिग्री होती है जिसे आनंद के रूप में पहचाना जा सकता है"; उन्होंने यह भी कहा कि, जैसे-जैसे ये सुख तीव्रता में बढ़ते हैं और अधिक संख्या में उनका प्रतिनिधित्व कर सकते हैं। 18वीं और 19वीं शताब्दी में उपयोगिता की मापनीयता ने राजनीतिक अर्थव्यवस्था के यूरोपीय स्कूलों से बहुत ध्यान आकर्षित किया, विशेष रूप से हाशिए पर रहने वालों (जैसे, विलियम स्टेनली जेवन्स, लियोन वाल्रास, अल्फ्रेड मार्शल) के काम के माध्यम से। हालाँकि, उनमें से किसी ने भी मापनीयता की धारणा का समर्थन करने के लिए ठोस तर्क नहीं दिए। जेवोन के मामले में उन्होंने अपने काम के बाद के संस्करणों में सटीकता के साथ उपयोगिता का अनुमान लगाने में कठिनाई पर एक टिप्पणी जोड़ी। वाल्रास ने भी कई वर्षों तक संघर्ष किया, इससे पहले कि वह मापनीयता की धारणा को औपचारिक रूप देने का प्रयास कर सके। मार्शल भोगवाद की मापनीयता के बारे में अस्पष्ट थे क्योंकि वे इसके मनोवैज्ञानिक-हेडोनिस्ट गुणों का पालन करते थे, लेकिन उन्होंने यह भी तर्क दिया कि ऐसा करना "अवास्तविक" था। 19वीं शताब्दी में मुख्य उपयोगिता सिद्धांत के समर्थकों ने सुझाव दिया कि बाजार की कीमतें उपयोगिता को दर्शाती हैं, हालांकि उन्होंने अपनी संगतता के बारे में ज्यादा कुछ नहीं कहा (यानी, कीमतें वस्तुनिष्ठ हैं जबकि उपयोगिता व्यक्तिपरक है)। व्यक्तिपरक आनंद (या दर्द) को सटीक रूप से मापना अजीब लगता था, क्योंकि उस समय के विचारक निश्चित रूप से जानते थे। उन्होंने उपयोगिता का नाम बदलकर कल्पनाशील तरीकों से रखा जैसे कि व्यक्तिपरक धन, समग्र सुख, नैतिक मूल्य, मानसिक संतुष्टि, या सीमितता। 19वीं शताब्दी के उत्तरार्ध के दौरान इस काल्पनिक परिमाण-उपयोगिता-से संबंधित कई अध्ययन किए गए थे, लेकिन निष्कर्ष हमेशा एक ही थाः यह निश्चित रूप से कहना असंभव साबित हुआ कि क्या एक वस्तु एक व्यक्ति के लिए 50,75, या 125 उपयोग के लायक है, या दो अलग-अलग लोगों के लिए। इसके अलावा, भोगवाद की धारणाओं पर उपयोगिता की केवल निर्भरता ने अकादमिक हलकों को इस सिद्धांत पर संदेह करने के लिए प्रेरित किया। फ्रांसिस एजवर्थ उपयोगिता के सिद्धांत को वास्तविक दुनिया में स्थापित करने की आवश्यकता से भी अवगत थे। उन्होंने उन मात्रात्मक अनुमानों पर चर्चा की जो एक व्यक्ति अपने स्वयं के आनंद या दूसरों के आनंद से बना सकता है, हेडोनिक माप का अध्ययन करने के लिए मनोविज्ञान में विकसित उधार विधियाँः साइकोफिजिक्स। मनोविज्ञान का यह क्षेत्र अर्न्स्ट एच. वेबर के काम पर बनाया गया था, लेकिन प्रथम विश्व युद्ध के समय के आसपास, मनोवैज्ञानिक इससे हतोत्साहित हो गए। 19वीं शताब्दी के उत्तरार्ध में, कार्ल मेंगर और ऑस्ट्रियाई स्कूल ऑफ इकोनॉमिक्स के उनके अनुयायियों ने क्रमबद्ध उपयोग के सिद्धांत के चतुर रूप में मापने योग्य उपयोगिता से पहला सफल प्रस्थान किया। मात्रात्मक उपयोगिता के विचार को छोड़ने के बावजूद (अर्थात। मनोवैज्ञानिक संतुष्टि को वास्तविक संख्याओं के सेट में मैप किया गया) मेंगर निर्णय लेने के बारे में परिकल्पना का एक निकाय स्थापित करने में कामयाब रहे, जो केवल वस्तुओं और सेवाओं के संभावित उपयोगों पर श्रेणीबद्ध प्राथमिकताओं के कुछ स्वयंसिद्ध सिद्धांतों पर निर्भर था। उनके संख्यात्मक उदाहरण "मौलिक नहीं, बल्कि क्रमिक संबंधों के उदाहरण" हैं। 19वीं शताब्दी के अंत में नवशास्त्रीय अर्थशास्त्रियों ने मापनीयता के मुद्दे से निपटने के लिए वैकल्पिक तरीकों को अपनाना शुरू कर दिया। 1900 तक, पेरेटो आनंद या दर्द को सटीक रूप से मापने में संकोच कर रहे थे क्योंकि उन्होंने सोचा था कि इस तरह के स्व-रिपोर्ट किए गए व्यक्तिपरक परिमाण में वैज्ञानिक वैधता का अभाव है। वह उपयोगिता के उपचार के लिए एक वैकल्पिक तरीका खोजना चाहते थे जो इंद्रियों की अनियमित धारणाओं पर निर्भर न हो। क्रमिक उपयोगिता में पारेतो का मुख्य योगदान यह मान लेना था कि उच्च उदासीनता वक्रों की अधिक उपयोगिता है, लेकिन प्रतिस्थापन की बढ़ती सीमांत दरों के परिणाम को प्राप्त करने के लिए कितना अधिक निर्दिष्ट करने की आवश्यकता नहीं है। विल्फ्रेडो पेरेटो, फ्रांसिस एजवर्थ, इरविंग फिशर और यूजीन स्लट्स्की के काम और नियमावली ने मुख्य उपयोगिता से प्रस्थान किया और अन्य लोगों के लिए सामान्यता की प्रवृत्ति को जारी रखने के लिए धुरी के रूप में काम किया। विनर के अनुसार, ये आर्थिक विचारक एक सिद्धांत के साथ आए जिन्होंने मांग वक्रों की नकारात्मक ढलानों की व्याख्या की। उनकी विधि ने कुछ अमूर्त उदासीनता वक्र मानचित्र का निर्माण करके उपयोगिता की मापनीयता से बचा लिया। 20वीं शताब्दी के पहले तीन दशकों के दौरान, इटली और रूस के अर्थशास्त्री पेरेशियन विचार से परिचित हो गए कि उपयोगिता को कार्डिनल होने की आवश्यकता नहीं है। शुल्ट्ज़ के अनुसार, 1931 तक अमेरिकी अर्थशास्त्रियों द्वारा क्रमिक उपयोगिता के विचार को अभी तक अपनाया नहीं गया था। यह सफलता तब हुई जब 1934 में जॉन हिक्स और रॉय एलन द्वारा क्रमिक उपयोगिता के एक सिद्धांत को एक साथ रखा गया था। वास्तव में इस पेपर के पृष्ठों 54-55 में 'कार्डिनल यूटिलिटी' शब्द का पहली बार उपयोग किया गया है। एफाइन परिवर्तनों द्वारा संरक्षित उपयोगिता कार्यों के एक वर्ग का पहला उपचार, हालांकि, 1934 में ऑस्कर लैंग द्वारा किया गया था। 1944 में फ्रैंक नाइट ने मुख्य उपयोगिता के लिए बड़े पैमाने पर तर्क दिया। 1960 के दशक में पारदुची ने परिमाण के मानवीय निर्णयों का अध्ययन किया और एक सीमा-आवृत्ति सिद्धांत का सुझाव दिया। 20वीं शताब्दी के उत्तरार्ध से अर्थशास्त्रियों की खुशी के मापन के मुद्दों में नए सिरे से रुचि हो रही है। यह क्षेत्र खुशी को मापने के लिए तरीके, सर्वेक्षण और सूचकांक विकसित कर रहा है। कार्डिनल उपयोगिता कार्यों के कई गुणों को माप सिद्धांत और सेट सिद्धांत से उपकरणों का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है। मापनीयता एक उपयोगिता कार्य को मापने योग्य माना जाता है, यदि किसी वस्तु या सेवा की वरीयता या पसंद की तीव्रता की ताकत कुछ वस्तुनिष्ठ मानदंडों के उपयोग से सटीकता के साथ निर्धारित की जाती है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि एक सेब खाने से किसी व्यक्ति को एक संतरा खाने का आधा आनंद मिलता है। यह एक मापने योग्य उपयोगिता होगी यदि और केवल तभी जब इसके प्रत्यक्ष माप के लिए नियोजित परीक्षण एक वस्तुनिष्ठ मानदंड पर आधारित हो जो किसी भी बाहरी पर्यवेक्षक को परिणामों को सटीक रूप से दोहराने दे सके। इसे प्राप्त करने का एक काल्पनिक तरीका एक हेडोनोमीटर का उपयोग करना होगा, जो कि एड्जवर्थ द्वारा सुझाए गए उपकरण थे जो लोगों द्वारा अनुभव किए गए आनंद की ऊंचाई को दर्ज करने में सक्षम थे, जो त्रुटियों के नियम के अनुसार अलग हो जाते थे। 1930 के दशक से पहले, उपयोगिता कार्यों की मापनीयता को अर्थशास्त्रियों द्वारा गलती से कार्डिनलिटी के रूप में लेबल किया गया था। हिक्स-एलन के सूत्रीकरण का पालन करने वाले अर्थशास्त्रियों द्वारा कार्डिनलिटी का एक अलग अर्थ इस्तेमाल किया गया था। इस उपयोग के तहत, एक उपयोगिता फलन की प्रधानता केवल एक रैखिक परिवर्तन तक विशिष्टता की गणितीय संपत्ति है। 1940 के दशक के अंत के आसपास, कुछ अर्थशास्त्रियों ने यह तर्क देने के लिए भी जल्दबाजी की कि वॉन न्यूमैन-मोर्गनस्टर्न ने अपेक्षित उपयोगिता के स्वयंसिद्धीकरण ने मापनीयता को पुनर्जीवित किया था। कार्डिनलिटी और मापनीयता के बीच भ्रम को तब तक हल नहीं किया जाना था जब तक कि आर्मेन एल्चियन, विलियम बाउमोल और जॉन चिपमैन के काम नहीं हुए। बाउमोल के शोध पत्र का शीर्षक, "द कार्डिनल यूटिलिटी जो ऑर्डिनल है", उस समय के साहित्य की शब्दार्थ संबंधी गड़बड़ी को अच्छी तरह से व्यक्त करता था। उसी समस्या पर विचार करना सहायक है जो प्राकृतिक विज्ञानों में माप के तराजू के निर्माण में दिखाई देती है। तापमान के मामले में इसके मापन के लिए स्वतंत्रता की दो डिग्री होती हैं-इकाई का चयन और शून्य। अलग-अलग तापमान पैमाने इसकी तीव्रता को अलग-अलग तरीकों से मापते हैं। सेल्सियस पैमाने में शून्य को उस बिंदु के रूप में चुना जाता है जहां पानी जम जाता है, और इसी तरह, कार्डिनल यूटिलिटी थ्योरी में किसी को यह सोचने के लिए लुभाया जाएगा कि शून्य का विकल्प किसी वस्तु या सेवा के अनुरूप होगा जो बिल्कुल 0 उपयोग लाता है। हालाँकि यह आवश्यक रूप से सच नहीं है। गणितीय सूचकांक मुख्य बना रहता है, भले ही शून्य मनमाने ढंग से किसी अन्य बिंदु पर चला जाए, या यदि पैमाने का विकल्प बदल दिया जाए, या यदि पैमाने और शून्य दोनों को बदल दिया जाए। प्रत्येक मापने योग्य इकाई एक मुख्य कार्य में मानचित्रित होती है लेकिन प्रत्येक मुख्य कार्य एक मापने योग्य इकाई के मानचित्रण का परिणाम नहीं होता है। इस उदाहरण के बिंदु का उपयोग यह साबित करने के लिए किया गया था कि (तापमान के साथ) कुछ उपयोगिता फलन के दो मूल्यों के संयोजन के बारे में कुछ भविष्यवाणी करना अभी भी संभव है, भले ही उपयोग पूरी तरह से अलग-अलग संख्याओं में परिवर्तित हो जाएं, जब तक कि यह एक रैखिक परिवर्तन बना रहे। वॉन न्यूमैन और मोर्गनस्टर्न ने कहा कि भौतिक मात्राओं की मापनीयता का सवाल गतिशील था। उदाहरण के लिए, तापमान मूल रूप से केवल किसी भी मोनोटोन परिवर्तन तक एक संख्या थी, लेकिन आदर्श-गैस-थर्मोमेट्री के विकास ने परिवर्तनों को जन्म दिया जिसमें निरपेक्ष शून्य और निरपेक्ष इकाई गायब थी। ऊष्मागतिकी के बाद के विकासों ने निरपेक्ष शून्य को भी तय कर दिया ताकि ऊष्मागतिकी में परिवर्तन प्रणाली में केवल स्थिरांकों द्वारा गुणन शामिल हो। वॉन न्यूमैन और मोर्गनस्टर्न (1944, पृष्ठ 23) के अनुसार "उपयोगिता के लिए स्थिति [तापमान] के समान प्रकृति की प्रतीत होती है।" एल्चियन के निम्नलिखित उद्धरण ने उपयोगिता कार्यों की वास्तविक प्रकृति को एक बार और सभी के लिए स्पष्ट करने का काम किया, इस बात पर जोर देते हुए कि उन्हें अब मापने योग्य होने की आवश्यकता नहीं हैः वरीयता का क्रम 1955 में पैट्रिक सुप्स और म्यूरिएल विनेट ने एक मुख्य उपयोगिता कार्य द्वारा वरीयताओं की प्रतिनिधित्व क्षमता के मुद्दे को हल किया, और इस उपयोगिता सूचकांक के काम करने के लिए आवश्यक स्वयंसिद्ध और आदिम विशेषताओं का सेट प्राप्त किया। मान लीजिए कि एक एजेंट को उसकी प्राथमिकताओं और उसकी प्राथमिकताओं को श्रेणीबद्ध करने के लिए कहा जाता है। यदि वह पाता है कि वह बता सकता है, उदाहरण के लिए, कि उसकी वरीयता की डिग्री उसकी वरीयता की डिग्री से अधिक है, तो हम इस जानकारी को दो असमानताओं को संतुष्ट करने वाली संख्याओं के किसी भी तीन गुना से संक्षेपित कर सकते हैंः और। यदि और धन की राशि थी, तो एजेंट तब तक प्रदर्शित धन राशि को बदल सकता था जब तक कि वह हमें यह नहीं बता सकता कि उसे संशोधित राशि पर वरीयता की डिग्री उसके वरीयता की डिग्री के बराबर मिली है। यदि वह ऐसा {{math|B "'}} पाता है, तो इस अंतिम ऑपरेशन के परिणाम संबंधों को संतुष्ट करने वाली संख्याओं के किसी भी तीन गुना से व्यक्त किए जाएंगेः (ए), और (बी) =। इन संबंधों का पालन करने वाले किसी भी दो त्रिगुण एक रैखिक परिवर्तन द्वारा संबंधित होने चाहिए; वे केवल पैमाने और मूल से भिन्न उपयोगिता सूचकांकों का प्रतिनिधित्व करते हैं। इस मामले में, "कार्डिनलिटी" का मतलब इन विशेष प्रश्नों के सुसंगत उत्तर देने में सक्षम होना नहीं है। ध्यान दें कि इस प्रयोग के लिए उपयोगिता को मापने की आवश्यकता नहीं है। इझाक गिलबोआ एक ठोस व्याख्या देते हैं कि क्यों मापनीयता को कभी भी केवल आत्मनिरीक्षण द्वारा प्राप्त नहीं किया जा सकता हैः इस दृष्टिकोण के अनुसार, वे परिस्थितियाँ जहाँ एक व्यक्ति केवल वरीयताओं की निरंतरता के कारण नहीं, बल्कि इंद्रियों की गलत धारणा के कारण उदासीनता की ओर ले जाएगी। इसके अलावा, मानव इंद्रियां उत्तेजना के एक दिए गए स्तर के अनुकूल हो जाती हैं और फिर उस आधार रेखा से परिवर्तन दर्ज करती हैं। मान लीजिए कि एक निश्चित एजेंट यादृच्छिक परिणामों (लॉटरी) पर वरीयता आदेश देता है। यदि अभिकर्ता से उसकी प्राथमिकताओं के बारे में पूछताछ की जा सकती है, तो इन प्राथमिकताओं का प्रतिनिधित्व करने वाले एक मुख्य उपयोगिता कार्य का निर्माण करना संभव है। यह वॉन न्यूमैन-मोर्गनस्टर्न उपयोगिता प्रमेय का मूल है। कार्डिनल और ऑर्डिनल डेटा से कार्डिनल यूटिलिटी फ़ंक्शंस का निर्माण गेरार्ड डेब्रेउ द्वारा निर्धारित सबसे सामान्य प्रकार के यूटिलिटी फ़ंक्शंस-क्वाड्रैटिक और एडिटिव-की गणितीय नींव ने एंड्रानिक टैंगियन को ऑर्डिनल डेटा से उनके निर्माण के लिए विधियों को विकसित करने में सक्षम बनाया। विशेष रूप से, चर में योगात्मक और द्विघात उपयोगिता कार्यों का निर्माण निर्णय निर्माताओं के साक्षात्कारों से किया जा सकता है, जहां प्रश्नों का उद्देश्य समन्वय विमानों में पूरी तरह से 2डी-अंतर वक्रों का पता लगाना है-और द्विघात उपयोगिता के मामले में अतिरिक्त रूप से प्रत्येक अन्य समन्वय विमान में उदासीनता के एक बिंदु को निर्दिष्ट करना है। यदि वांछित हो, तो निर्णय निर्माता मुख्य उपयोगिता अनुमानों को भी शामिल कर सकते हैं, जिससे इस दृष्टिकोण को मुख्य और क्रमिक उपयोगिताओं दोनों के संबंध में सार्वभौमिक बना दिया जा सकता है। अनुप्रयोग कल्याण अर्थशास्त्र उपयोगितावादी वर्ग के कल्याणकारी अर्थशास्त्रियों में संतुष्टि (कुछ मामलों में, आनंद) को कल्याण की इकाई के रूप में लेने की सामान्य प्रवृत्ति रही है। यदि कल्याणकारी अर्थशास्त्र का कार्य आंकड़ों का योगदान करना है जो कल्याणकारी निर्णय लेने में सामाजिक दार्शनिक या राजनेता की सेवा करेगा, तो यह प्रवृत्ति शायद एक सुखवादी नैतिकता की ओर ले जाती है। इस ढांचे के तहत, कार्यों (वस्तुओं के उत्पादन और सेवाओं के प्रावधान सहित) को लोगों की व्यक्तिपरक संपत्ति में उनके योगदान से आंका जाता है। दूसरे शब्दों में, यह "सबसे बड़ी संख्या में व्यक्तियों के लिए सबसे बड़ी भलाई" का न्याय करने का एक तरीका प्रदान करता है। एक अधिनियम जो एक व्यक्ति की उपयोगिता को 75 उपयोगितायों से कम करता है और दो अन्य उपयोगितायों को 50 उपयोगितायों से बढ़ाता है, उसने समग्र उपयोगिता में 25 उपयोगितायों की वृद्धि की है और इस प्रकार एक सकारात्मक योगदान है; एक जिसमें पहले व्यक्ति को 125 उपयोगितायों की लागत आती है जबकि वही 50 दो अन्य लोगों को देने से 25 उपयोगितायों का शुद्ध नुकसान होता है। यदि उपयोगिता कार्यों का एक वर्ग मुख्य है, तो उपयोगिता अंतरों की अंतर्वैयक्तिक तुलना की अनुमति है। यदि, इसके अलावा, उपयोगिता की कुछ तुलनाएँ पारस्परिक रूप से सार्थक हैं, तो उपयोगिता कार्यों के वर्ग का उत्पादन करने के लिए उपयोग किए जाने वाले रैखिक परिवर्तनों को लोगों में सीमित किया जाना चाहिए। एक उदाहरण कार्डिनल यूनिट कम्पेरेबिलिटी है। उस सूचना वातावरण में, स्वीकार्य परिवर्तन एफ़ाइन कार्यों को बढ़ा रहे हैं और इसके अलावा, स्केलिंग कारक सभी के लिए समान होना चाहिए। यह सूचना धारणा उपयोगिता अंतरों की पारस्परिक तुलना के लिए अनुमति देती है, लेकिन उपयोगिता स्तरों की तुलना पारस्परिक रूप से नहीं की जा सकती है क्योंकि एफ़ाइन परिवर्तनों का अवरोधन लोगों में भिन्न हो सकता है। सीमान्तता मूल उपयोगिता सिद्धांत के तहत, किसी वस्तु की सीमांत उपयोगिता का संकेत किसी विशेष वरीयता संरचना के सभी संख्यात्मक अभ्यावेदन के लिए समान होता है। समान विशिष्ट वरीयता संरचना का प्रतिनिधित्व करने वाले सभी प्रमुख उपयोगिता सूचकांकों के लिए सीमांत उपयोगिता का परिमाण समान नहीं है। एक विभेदक उपयोगिता फलन के दूसरे व्युत्पन्न का संकेत जो कार्डिनल है, एक विशेष वरीयता संरचना के सभी संख्यात्मक अभ्यावेदन के लिए समान है। यह देखते हुए कि यह आमतौर पर एक नकारात्मक संकेत है, कार्डिनल यूटिलिटी थ्योरी में सीमांत उपयोगिता को कम करने के नियम के लिए जगह है। एक ही विशिष्ट वरीयता संरचना का प्रतिनिधित्व करने वाले सभी मुख्य उपयोगिता सूचकांकों के लिए एक अवकलनीय उपयोगिता फलन के दूसरे व्युत्पन्न का परिमाण समान नहीं है। अपेक्षित उपयोगिता सिद्धांत इस प्रकार के सूचकांकों में जोखिम के तहत विकल्प शामिल हैं। इस मामले में, और, परिणाम से जुड़ी लॉटरी हैं। निश्चितता के तहत मुख्य उपयोगिता सिद्धांत के विपरीत, जिसमें वरीयताओं से मात्रात्मक उपयोगिता की ओर बढ़ने की संभावना लगभग तुच्छ थी, यहाँ वास्तविक संख्याओं के सेट में प्राथमिकताओं को मैप करने में सक्षम होना सर्वोपरि है, ताकि गणितीय अपेक्षा के संचालन को निष्पादित किया जा सके। एक बार मानचित्रण हो जाने के बाद, अतिरिक्त धारणाओं की शुरुआत के परिणामस्वरूप उचित दांव के संबंध में लोगों का एक सुसंगत व्यवहार होगा। लेकिन उचित दांव, परिभाषा के अनुसार, किसी अन्य जुआ की तुलना शून्य के अपेक्षित मूल्य के साथ करने का परिणाम है। यद्यपि जोखिम के प्रति दृष्टिकोण का मॉडल बनाना असंभव है यदि कोई उपयोगिता की मात्रा निर्धारित नहीं करता है, तो सिद्धांत की व्याख्या निश्चितता के तहत वरीयता की शक्ति को मापने के रूप में नहीं की जानी चाहिए। उपयोगिता फलन का निर्माण मान लीजिए कि कुछ परिणाम प्रकृति की तीन अवस्थाओं से जुड़े हैं, ताकि x3 को x2 पर प्राथमिकता दी जाए, जिसे बदले में x1 पर प्राथमिकता दी जाती है; परिणामों के इस समूह को, संयोग के नियंत्रित खेल में एक गणना योग्य धन-पुरस्कार माना जा सकता है, जो मुद्रा इकाई के आधार पर एक सकारात्मक आनुपातिकता कारक तक अद्वितीय है। मान लीजिए कि किसी के पास जोखिम के तहत निम्नलिखित वरीयता संरचना हैः जिसका अर्थ है कि उस पर वरीयता दी जाती है, दो लॉटरियों को क्रमशः x1, x2 और x "3 की संभावनाओं p1, p2 और p3 के साथ मान लीजिए। इन और इन के मूल्यों को संशोधित करने से, अंततः कुछ उपयुक्त मूल्य () होंगे जिनके लिए वह इसके बीच उदासीन पाई जाती है और-उदाहरण के लिए अपेक्षित उपयोगिता सिद्धांत हमें बताता है कि और इसलिए मजूमदार के इस उदाहरण में उपयोगिता सूचकांक का शून्य मूल्य इस तरह तय करना कि उपयोगिता 0 है, और पैमाने को चुनकर ताकि उपयोगिता 1 के बराबर हो, कई अवधियों के साथ उपयोगिता के इंटरटेम्पोरल उपयोगिता मॉडल देता है, जिसमें लोग उपयोगिता के भविष्य के मूल्यों को छूट देते हैं, अच्छी तरह से व्यवहार किए गए उपयोगिता कार्यों के लिए कार्डिनलिज्म को नियोजित करने की आवश्यकता होती है। पॉल सैमुएलसन के अनुसार भविष्य की उपयोगिताओं की रियायती राशि को अधिकतम करने का अर्थ है कि एक व्यक्ति उपयोगिता अंतर को श्रेणीबद्ध कर सकता है। विवाद कुछ लेखकों ने "कार्डिनल यूटिलिटी" और "ऑर्डिनल यूटिलिटी" शब्दों की भ्रामक प्रकृति पर टिप्पणी की है, जैसा कि आर्थिक शब्दजाल में उपयोग किया जाता हैः ऐसे अर्थशास्त्री हैं जो मानते हैं कि उपयोगिता, यदि इसे मापा नहीं जा सकता है, तो कम से कम कुछ हद तक माप प्रदान करने के लिए अनुमानित किया जा सकता है, जैसे कि कीमतें, जिनमें वास्तविक मूल्य स्तर प्रदान करने के लिए कोई समान इकाई नहीं है, अभी भी "मुद्रास्फीति दर" प्रदान करने के लिए अनुक्रमित की जा सकती हैं (जो वास्तव में भारित अनुक्रमित उत्पादों की कीमतों में परिवर्तन का एक स्तर है)। ये उपाय सही नहीं हैं लेकिन उपयोगिता के लिए एक प्रतिनिधि के रूप में कार्य कर सकते हैं। उपभोक्ता मांग के लिए लैंकेस्टर की विशेषताओं का दृष्टिकोण इस बिंदु को स्पष्ट करता है। क्रमिक और मुख्य उपयोगिता कार्यों के बीच तुलना निम्नलिखित तालिका अर्थशास्त्र में आम दो प्रकार के उपयोगिता कार्यों की तुलना करती हैः यह भी देखें अपेक्षित उपयोगिता सिद्धांत माप का स्तर सीमांत उपयोगिता बहु-विशेषता उपयोगिता बाहरी संदर्भ लिंक सामान्य उपयोगिता बनाम कार्डिनल उपयोगिता मुर्रे एन. रोथबार्ड, "उपयोगिता और कल्याण अर्थशास्त्र के पुनर्निर्माण की ओर" उपयोगिता