Position (geometry)
ज्यामिति में, एक स्थिति या स्थिति सदिश, जिसे स्थान सदिश या त्रिज्या सदिश के रूप में भी जाना जाता है, एक यूक्लिडियन सदिश है जो एक मनमाने संदर्भ मूल O के संबंध में अंतरिक्ष में एक बिंदु P की स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है। आम तौर पर x, r, या s को दर्शाया जाता है, यह O से P तक के सीधी रेखा खंड से मेल खाता है। दूसरे शब्दों में, यह विस्थापन या अनुवाद है जो मूल को P तक मापता हैः स्थिति सदिश शब्द का उपयोग ज्यादातर विभेदक ज्यामिति, यांत्रिकी और कभी-कभी सदिश कलन के क्षेत्रों में किया जाता है। अक्सर इसका उपयोग द्वि-आयामी या त्रि-आयामी स्थान में किया जाता है, लेकिन इसे आसानी से यूक्लिडियन स्थान और किसी भी आयाम के स्थान के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। सापेक्ष स्थिति बिंदु पी के संबंध में एक बिंदु क्यू की सापेक्ष स्थिति यूक्लिडियन वेक्टर है जो दो निरपेक्ष स्थिति वैक्टरों (प्रत्येक मूल के संबंध में) के घटाव के परिणामस्वरूप होती हैः जहाँ। दो बिंदुओं के बीच सापेक्ष दिशा एक इकाई सदिश के रूप में सामान्यीकृत उनकी सापेक्ष स्थिति हैः जहां भाजक दो बिंदुओं के बीच की दूरी है। एक सापेक्ष दिशा एक बाध्य सदिश है, एक साधारण दिशा के विपरीत, जो एक मुक्त सदिश है। परिभाषा तीन आयाम तीन आयामों में, त्रि-आयामी निर्देशांकों के किसी भी समूह और उनके संबंधित आधार वैक्टर का उपयोग अंतरिक्ष में एक बिंदु के स्थान को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है-हाथ में कार्य के लिए जो भी सबसे सरल हो, उसका उपयोग किया जा सकता है। आम तौर पर, कोई परिचित कार्टेशियन निर्देशांक प्रणाली, या कभी-कभी गोलाकार ध्रुवीय निर्देशांक, या बेलनाकार निर्देशांक का उपयोग करता हैः जहाँ t एक पैरामीटर है, उनकी आयताकार या गोलाकार समरूपता के कारण। ये अलग-अलग निर्देशांक और संबंधित आधार सदिश एक ही स्थिति सदिश का प्रतिनिधित्व करते हैं। इसके बजाय अधिक सामान्य वक्ररेखीय निर्देशांकों का उपयोग किया जा सकता है और ये निरंतरता यांत्रिकी और सामान्य सापेक्षता जैसे संदर्भों में हैं (बाद के मामले में किसी को अतिरिक्त समय निर्देशांक की आवश्यकता होती है)। एन आयाम रैखिक बीजगणित एक एन-आयामी स्थिति सदिश के अमूर्तता के लिए अनुमति देता है। एक स्थिति सदिश को आधार सदिशों के एक रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता हैः सभी स्थिति सदिशों का समूह स्थिति स्थान (एक सदिश स्थान जिसके तत्व स्थिति सदिश हैं) बनाता है, क्योंकि स्थान को जोड़ा जा सकता है (सदिश जोड़) और लंबाई में मापा जा सकता है (स्केलर गुणन) ताकि स्थान में एक और स्थिति सदिश प्राप्त किया जा सके। "स्थान" की धारणा सहज है, क्योंकि प्रत्येक xi (i = 1,2,., n) का कोई भी मूल्य हो सकता है, मूल्यों का संग्रह स्थान में एक बिंदु को परिभाषित करता है। स्थिति स्थान का आयाम n है (जिसे मंद (R) = n भी दर्शाया जाता है)। वेक्टर आर के निर्देशांक आधार वैक्टर ईआई के संबंध में xi हैं। निर्देशांकों का सदिश निर्देशांक सदिश या एन-टुपल (x1, x2,., xn) बनाता है। एक पैरामीटर xi (t) एक घुमावदार 1D पथ का वर्णन करेगा, दो पैरामीटर xi (t1, t2) एक घुमावदार 2D सतह का वर्णन करता है, तीन xi (t1, t2, t3) अंतरिक्ष के घुमावदार 3D आयतन का वर्णन करता है, और इसी तरह। आधार समुच्चय B = {e1, e2,., en} की रैखिक अवधि स्थिति स्थान R के बराबर होती है, जिसे अवधि (B) = R दर्शाया जाता है। अनुप्रयोग विभेदक ज्यामिति स्थिति सदिश क्षेत्रों का उपयोग निरंतर और विभेदक स्थान वक्रों का वर्णन करने के लिए किया जाता है, जिस स्थिति में स्वतंत्र पैरामीटर को समय होने की आवश्यकता नहीं होती है, लेकिन (जैसे) हो सकता है। वक्र की चाप लंबाई। यांत्रिकी गति के किसी भी समीकरण में, स्थिति सदिश r (t) आमतौर पर सबसे अधिक मांग वाली मात्रा होती है क्योंकि यह फलन एक कण की गति को परिभाषित करता है (अर्थात। एक बिंदु द्रव्यमान)-किसी समय t पर दिए गए निर्देशांक प्रणाली के सापेक्ष इसका स्थान। स्थिति के संदर्भ में गति को परिभाषित करने के लिए, प्रत्येक निर्देशांक को समय के अनुसार मानकीकृत किया जा सकता है; क्योंकि समय का प्रत्येक क्रमिक मूल्य निर्देशांक द्वारा दिए गए क्रमिक स्थानिक स्थानों के अनुक्रम से मेल खाता है, इसलिए कई क्रमिक स्थानों की निरंतरता सीमा कण अनुरेखण का एक मार्ग है। एक आयाम के मामले में, स्थिति में केवल एक घटक होता है, इसलिए यह प्रभावी रूप से एक अदिश निर्देशांक में पतित हो जाता है। यह, मान लीजिए, x दिशा में एक सदिश, या रेडियल r दिशा हो सकता है। समतुल्य संकेतनों में व्युत्पन्न शामिल हैं एक स्थिति सदिश r के लिए जो समय t का एक फलन है, समय व्युत्पन्न की गणना t के संबंध में की जा सकती है। इन व्युत्पन्नों की गतिविज्ञान, नियंत्रण सिद्धांत, इंजीनियरिंग और अन्य विज्ञानों के अध्ययन में सामान्य उपयोगिता है। वेग जहाँ डॉ एक असीम रूप से छोटा विस्थापन (वेक्टर) है। त्वरण जर्क स्थिति के पहले, दूसरे और तीसरे व्युत्पन्न के लिए इन नामों का उपयोग आमतौर पर बुनियादी गतिविज्ञान में किया जाता है। विस्तार से, उच्च क्रम के व्युत्पन्न की गणना इसी तरह की जा सकती है। इन उच्च-क्रम व्युत्पन्नों का अध्ययन मूल विस्थापन फलन के सन्निकटन में सुधार कर सकता है। इस तरह के उच्च क्रम के शब्दों की आवश्यकता होती है ताकि विस्थापन फलन को एक अनंत अनुक्रम के योग के रूप में सटीक रूप से दर्शाया जा सके, जिससे इंजीनियरिंग और भौतिकी में कई विश्लेषणात्मक तकनीकों को सक्षम किया जा सके। एफाइन स्पेस कोऑर्डिनेट सिस्टम हॉरिज़ॉन्टल पोजीशन लाइन एलिमेंट पैरामीट्रिक सरफेस पोजीशन फिक्सिंग सिक्स डिग्रीज़ ऑफ़ फ्रीडम वर्टिकल पोजीशन नोट्स संदर्भ केलर, एफ. जे., गेटिस, डब्ल्यू. ई. एट अल को भी देखें। (1993)। "फिजिक्सः क्लासिकल एंड मॉडर्न" दूसरा संस्करण। मैकग्रा हिल प्रकाशन। बाहरी लिंक काइनेमेटिक गुण