Quartic interaction
क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में, एक चतुर्थक अंतःक्रिया एक स्केलर क्षेत्र में आत्म-अंतःक्रिया का एक प्रकार है। अन्य प्रकार की चतुर्थक अंतःक्रियाएँ चार-फर्मिओन अंतःक्रियाओं के विषय के तहत पाई जा सकती हैं। एक शास्त्रीय मुक्त स्केलर क्षेत्र क्लेन-गॉर्डन समीकरण को संतुष्ट करता है। यदि एक अदिश क्षेत्र को दर्शाया जाता है, तो एक चतुर्थक अंतःक्रिया को लैग्रैन्जियन घनत्व में एक स्थितिज ऊर्जा शब्द जोड़कर दर्शाया जाता है। युग्मन स्थिरांक 4-आयामी अंतरिक्ष काल में आयामहीन होता है। यह लेख मिन्कोव्स्की स्थान के लिए मीट्रिक हस्ताक्षर का उपयोग करता है। एक वास्तविक अदिश क्षेत्र के लिए लैग्रैन्जियन एक चतुर्थक अंतःक्रिया के साथ एक वास्तविक अदिश क्षेत्र के लिए लैग्रैन्जियन घनत्व है इस लैग्रैन्जियन में एक वैश्विक Z2 समरूपता मानचित्रण है। एक जटिल अदिश क्षेत्र के लिए लग्रांजियन एक जटिल अदिश क्षेत्र के लिए लग्रांजियन को निम्नानुसार प्रेरित किया जा सकता है। दो स्केलर क्षेत्रों के लिए और लैग्रैन्जियन का वह रूप है जिसे इस जटिल स्केलर क्षेत्र के संदर्भ में अभिव्यक्त के रूप में परिभाषित एक जटिल स्केलर क्षेत्र का परिचय देते हुए अधिक संक्षिप्त रूप से लिखा जा सकता है, उपरोक्त लैग्रैन्जियन बन जाता है जो इस प्रकार वास्तविक स्केलर क्षेत्रों के SO (2) मॉडल के बराबर है, जैसा कि वास्तविक और काल्पनिक भागों में जटिल क्षेत्र का विस्तार करके देखा जा सकता है। वास्तविक स्केलर क्षेत्रों के साथ, हमारे पास लैग्रैन्जियन द्वारा दी गई वैश्विक SO (N) समरूपता के साथ एक मॉडल हो सकता है। वास्तविक और काल्पनिक भागों में जटिल क्षेत्र का विस्तार करने से पता चलता है कि यह वास्तविक स्केलर क्षेत्रों के SO (2) मॉडल के बराबर है। उपरोक्त सभी मॉडलों में, युग्मन स्थिरांक सकारात्मक होना चाहिए, क्योंकि अन्यथा क्षमता नीचे असीमित होगी, और कोई स्थिर निर्वात नहीं होगा। इसके अलावा, नीचे चर्चा की गई फेनमैन पथ अभिन्न गलत तरीके से परिभाषित होगी। 4 आयामों में, सिद्धांतों में एक लैंडाउ ध्रुव होता है। इसका मतलब है कि उच्च-ऊर्जा पैमाने पर कटौती के बिना, पुनर्भरण सिद्धांत को तुच्छ बना देगा। मॉडल ग्रिफिथ्स-साइमन वर्ग से संबंधित है, जिसका अर्थ है कि इसे एक निश्चित प्रकार के ग्राफ पर एक आइसिंग मॉडल की कमजोर सीमा के रूप में भी दर्शाया जा सकता है। मॉडल और इसिंग मॉडल दोनों की तुच्छता को एक चित्रमय प्रतिनिधित्व के माध्यम से दिखाया जा सकता है जिसे यादृच्छिक वर्तमान विस्तार के रूप में जाना जाता है। फेनमैन इंटीग्रल क्वांटाइजेशन फेनमैन आरेख विस्तार को फेनमैन पथ इंटीग्रल सूत्रीकरण से भी प्राप्त किया जा सकता है। φ में बहुपदों के समय क्रमबद्ध निर्वात अपेक्षा मूल्य, जिन्हें n-कण ग्रीन के कार्यों के रूप में जाना जाता है, सभी संभावित क्षेत्रों को एकीकृत करके निर्मित किए जाते हैं, बिना किसी बाहरी क्षेत्र के निर्वात अपेक्षा मूल्य द्वारा सामान्यीकृत किए जाते हैं, इन सभी ग्रीन के कार्यों को उत्पन्न करने वाले कार्य में J (x) φ (x) में घातांक का विस्तार करके प्राप्त किया जा सकता है। हस्ताक्षर को (+ + +) में बदलने से 4-आयामी यूक्लिडियन स्थान पर एक φ4 सांख्यिकीय यांत्रिकी अभिन्नता मिलती है, आम तौर पर, यह निश्चित मोमेंटा के साथ कणों के प्रकीर्णन पर लागू होता है, जिस स्थिति में, एक फूरियर परिवर्तन उपयोगी होता है, इसके बजाय डीराक डेल्टा फ़ंक्शन कहाँ है। इस कार्यात्मक समाकलन का मूल्यांकन करने के लिए मानक चाल यह है कि इसे घातीय कारकों के उत्पाद के रूप में लिखा जाए, योजनाबद्ध रूप से, दूसरे दो घातीय कारकों को शक्ति श्रृंखला के रूप में विस्तारित किया जा सकता है, और इस विस्तार के संयोजन को चित्रमय रूप से दर्शाया जा सकता है। λ = 0 के साथ समाकलन को असीम रूप से कई प्राथमिक गौसी समाकलनों के गुणनफल के रूप में माना जा सकता है, और परिणाम को फेनमैन आरेखों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिसकी गणना निम्नलिखित फेनमैन नियमों का उपयोग करके की जाती हैः एन-बिंदु यूक्लिडियन ग्रीन के फलन में प्रत्येक क्षेत्र को ग्राफ में एक बाहरी रेखा (अर्ध-किनारे) द्वारा दर्शाया जाता है, और संवेग p से जुड़ा होता है। प्रत्येक शीर्ष को एक कारक-λ द्वारा दर्शाया जाता है। किसी दिए गए क्रम λk पर, n बाहरी रेखाओं और k शीर्षों वाले सभी आरेखों का निर्माण इस तरह से किया जाता है कि प्रत्येक शीर्ष में बहने वाला संवेग शून्य हो। प्रत्येक आंतरिक रेखा को एक कारक 1/(q2 + m2) द्वारा दर्शाया जाता है, जहाँ q उस रेखा से बहने वाली गति है। किसी भी अनियंत्रित क्षण को सभी मूल्यों पर एकीकृत किया जाता है। परिणाम को एक समरूपता कारक द्वारा विभाजित किया जाता है, जो कि ग्राफ की रेखाओं और शीर्षों को इसके संपर्क को बदले बिना पुनर्व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या है। "वैक्यूम बुलबुले" वाले ग्राफ, बिना किसी बाहरी रेखा के जुड़े उपग्राफ को शामिल न करें। अंतिम नियम द्वारा विभाजित करने के प्रभाव को ध्यान में रखा जाता है। मिन्कोव्स्की-स्पेस फेनमैन नियम समान हैं, सिवाय इसके कि प्रत्येक शीर्ष द्वारा दर्शाया जाता है, जबकि प्रत्येक आंतरिक रेखा को एक कारक i/(q2-m2 + i ε) द्वारा दर्शाया जाता है, जहां ε शब्द मिन्कोव्स्की-स्पेस गौसियन इंटीग्रल कन्वर्ज बनाने के लिए आवश्यक छोटे विक रोटेशन का प्रतिनिधित्व करता है। फेनमैन ग्राफ में अनियंत्रित मोमेंटा पर इंटीग्रल, जिन्हें "लूप इंटीग्रल" कहा जाता है, आमतौर पर अलग हो जाते हैं। यह आम तौर पर पुनर्निर्धारण द्वारा संभाला जाता है, जो कि लैग्रैन्जियन में अलग-अलग प्रति-शब्दों को इस तरह से जोड़ने की एक प्रक्रिया है कि मूल लैग्रैन्जियन और प्रति-शब्दों से निर्मित आरेख सीमित हों। इस प्रक्रिया में एक पुनः सामान्यीकरण पैमाने को पेश किया जाना चाहिए, और युग्मन स्थिरांक और द्रव्यमान इस पर निर्भर हो जाते हैं। यह वह निर्भरता है जो पहले उल्लिखित लैंडौ पोल की ओर ले जाती है, और इसके लिए आवश्यक है कि कटऑफ को सीमित रखा जाए। वैकल्पिक रूप से, यदि कटऑफ को अनंत तक जाने की अनुमति दी जाती है, तो लैंडाउ पोल को केवल तभी टाला जा सकता है जब पुनर्निर्धारित युग्मन शून्य तक चले, जिससे सिद्धांत तुच्छ हो जाता है। स्वतःस्फूर्त समरूपता तोड़ना एक दिलचस्प विशेषता तब हो सकती है जब m2 नकारात्मक हो जाता है, लेकिन λ के साथ अभी भी सकारात्मक होता है। इस मामले में, निर्वात में दो सबसे कम-ऊर्जा अवस्थाएँ होती हैं, जिनमें से प्रत्येक मूल सिद्धांत की Z2 वैश्विक समरूपता को अनायास ही तोड़ देती है। यह क्षेत्र की दीवारों जैसे दिलचस्प सामूहिक राज्यों की उपस्थिति की ओर ले जाता है। ओ (2) सिद्धांत में, रिक्तिका एक वृत्त पर स्थित होगी, और एक का चयन स्वाभाविक रूप से ओ (2) समरूपता को तोड़ देगा। एक निरंतर टूटी हुई समरूपता एक गोल्डस्टोन बोसॉन की ओर ले जाती है। इस प्रकार की सहज समरूपता टूटना हिग्स तंत्र का आवश्यक घटक है। विविक्त सममितियों का स्वतःस्फूर्त टूटना सबसे सरल सापेक्षवादी प्रणाली जिसमें हम स्वतःस्फूर्त समरूपता टूटना देख सकते हैं, वह है लैग्रैन्जियन के साथ एकल स्केलर क्षेत्र के साथ जहां और क्षमता को कम करने के संबंध में हम अब इस न्यूनतम लेखन के आसपास क्षेत्र का विस्तार करते हैं और लैग्रैन्जियन में प्रतिस्थापित करते हैं जहां हम देखते हैं कि स्केलर में अब एक सकारात्मक द्रव्यमान पद है। निर्वात अपेक्षा मूल्यों के संदर्भ में सोचने से हमें यह समझने में मदद मिलती है कि समरूपता का क्या होता है जब यह अनायास टूट जाती है। मूल लैग्रैन्जियन समरूपता के तहत अपरिवर्तनीय था। चूंकि दोनों मिनीमा हैं, इसलिए दो अलग-अलग रिक्त स्थान होने चाहिएः क्योंकि समरूपता लेती है, इसलिए इसे भी लेना चाहिए। सिद्धांत के लिए दो संभावित रिक्तियां समतुल्य हैं, लेकिन एक को चुना जाना चाहिए। हालांकि ऐसा लगता है कि नए लैग्रैन्जियन में समरूपता गायब हो गई है, यह अभी भी है, लेकिन यह अब इस रूप में कार्य करता है यह अनायास टूटी हुई समरूपताओं की एक सामान्य विशेषता हैः वैक्यूम उन्हें तोड़ता है, लेकिन वे वास्तव में लैग्रैन्जियन में नहीं टूटे हैं, बस छिपे हुए हैं, और अक्सर केवल एक अरैखिक तरीके से महसूस किए जाते हैं। सटीक समाधान इस रूप में लिखे गए सिद्धांत की गति के समीकरण के लिए सटीक शास्त्रीय समाधानों का एक समूह मौजूद है जिसे द्रव्यमान रहित के लिए लिखा जा सकता है, जैसा कि जैकोबी अण्डाकार फलन और दो एकीकरण स्थिरांक के साथ होता है, बशर्ते कि निम्नलिखित फैलाव संबंध हो। जब द्रव्यमान पद शून्य नहीं होता है तो अब फैलाव संबंध बन जाता है अंत में, एक समरूपता तोड़ने के मामले के लिए एक है और निम्नलिखित फैलाव संबंध रखता है ये तरंग समाधान दिलचस्प हैं क्योंकि, इसके बावजूद कि हमने एक गलत द्रव्यमान संकेत के साथ एक समीकरण के साथ शुरुआत की थी, फैलाव संबंध सही है। इसके अलावा, जैकोबी फलन का कोई वास्तविक शून्य नहीं होता है और इसलिए क्षेत्र कभी भी शून्य नहीं होता है, लेकिन एक दिए गए स्थिर मूल्य के आसपास चलता है जिसे शुरू में समरूपता के सहज टूटने का वर्णन करने के लिए चुना जाता है। विशिष्टता का प्रमाण प्रदान किया जा सकता है यदि हम ध्यान दें कि समाधान को अस्तित्व के रूप में खोजा जा सकता है। फिर, आंशिक विभेदक समीकरण एक साधारण विभेदक समीकरण बन जाता है जो उचित फैलाव संबंध को संतुष्ट करने के साथ जैकोबी अण्डाकार फलन को परिभाषित करता है। स्केलर फील्ड थ्योरी क्वांटम ट्रिवियलिटी लैंडौ पोल रीनोर्मलाइजेशन हिग्स मैकेनिज्म गोल्डस्टोन बोसन कोलमैन-वेनबर्ग संभावित संदर्भ आगे पढ़ने के लिए 'टी हूफ्ट, जी.,' क्वांटम फील्ड थ्योरी का अवधारणात्मक आधार '(ऑनलाइन संस्करण) देखें। क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत स्पिन 0 के साथ उपपरमाण्विक कण