Iterated function
गणित में, एक पुनरावृत्त फलन एक फलन है (अर्थात, किसी समुच्चय से अपने आप में एक फलन) जो एक निश्चित संख्या में अपने साथ दूसरे फलन की रचना करके प्राप्त किया जाता है। एक ही कार्य को बार-बार लागू करने की प्रक्रिया को पुनरावृत्ति कहा जाता है। इस प्रक्रिया में, किसी प्रारंभिक वस्तु से शुरू करते हुए, दिए गए फ़ंक्शन को लागू करने का परिणाम फिर से फ़ंक्शन में इनपुट के रूप में दिया जाता है, और इस प्रक्रिया को दोहराया जाता है। उदाहरण के लिए दाईं ओर की छवि मेंः कार्य संरचना के वृत्त आकार के प्रतीक के साथ। पुनरावृत्त कार्य कंप्यूटर विज्ञान, फ्रैक्टल, गतिशील प्रणालियाँ, गणित और पुनर्निर्धारण समूह भौतिकी में अध्ययन की वस्तुएँ हैं। परिभाषा एक समुच्चय X पर एक पुनरावृत्त फलन की औपचारिक परिभाषा इस प्रकार है। मान लीजिए कि यह एक समूह है और एक कार्य है। (हंस हेनरिक बर्मान और जॉन फ्रेडरिक विलियम हर्शेल द्वारा प्रस्तुत एक संकेतन) के n-th पुनरावृत्ति के रूप में परिभाषित करना, जहां n एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक है, द्वाराः और जहां पहचान फलन है और फलन संरचना को दर्शाता है। अर्थात्, हमेशा सहयोगी। चूँकि संकेतन फलन की पुनरावृत्ति (संरचना) या फलन के घातांक दोनों को संदर्भित कर सकता है (बाद वाला आमतौर पर त्रिकोणमिति में उपयोग किया जाता है), कुछ गणितशास्त्री संरचनात्मक अर्थ को निरूपित करने के लिए उपयोग करने का विकल्प चुनते हैं, फलन के-th पुनरावृत्ति के लिए लिखते हैं, उदाहरण के लिए, अर्थ। इसी उद्देश्य के लिए, बेंजामिन पियर्से द्वारा उपयोग किया गया था जबकि अल्फ्रेड प्रिंगशेम और जूल्स मोल्क ने इसके बजाय सुझाव दिया था। आबेलियन गुण और पुनरावृत्ति अनुक्रम सामान्य रूप से, निम्नलिखित पहचान सभी गैर-नकारात्मक पूर्णांकों के लिए होती है और, यह संरचनात्मक रूप से घातांक के गुण के समान है, अर्थात। विशेष मामला। सामान्य तौर पर, मनमाने सामान्य (नकारात्मक, गैर-पूर्णांक, आदि) के लिए। सूचकांक और, इस संबंध को अनुवाद कार्यात्मक समीकरण, सी. एफ. कहा जाता है। श्रोडर का समीकरण और एबेल समीकरण। लॉगरिदमिक पैमाने पर, यह चेबीशेव बहुपदों के घोंसले के गुण तक कम हो जाता है। यह संबंध घातांक के गुण के अनुरूप भी है। कार्यों के अनुक्रम को पिकार्ड अनुक्रम कहा जाता है, जिसका नाम चार्ल्स एमिल पिकार्ड के नाम पर रखा गया है। इन के लिए, मूल्यों के अनुक्रम को ऑर्बिट ऑफ कहा जाता है। यदि किसी पूर्णांक के लिए, कक्षा को आवधिक कक्षा कहा जाता है। किसी दिए गए के लिए इस तरह के सबसे छोटे मान को कक्षा की अवधि कहा जाता है। इस बिंदु को ही आवर्त बिंदु कहा जाता है। कंप्यूटर विज्ञान में चक्र का पता लगाने की समस्या एक कक्षा में पहले आवधिक बिंदु और कक्षा की अवधि को खोजने की एल्गोरिथमिक समस्या है। स्थिर बिंदु यदि कुछ के लिए (यानी, की कक्षा की अवधि है), तो इसे पुनरावृत्त अनुक्रम का एक निश्चित बिंदु कहा जाता है। निश्चित बिंदुओं के समूह को अक्सर के रूप में दर्शाया जाता है। कई निश्चित-बिंदु प्रमेय मौजूद हैं जो विभिन्न स्थितियों में निश्चित बिंदुओं के अस्तित्व की गारंटी देते हैं, जिनमें बनाच निश्चित बिंदु प्रमेय और ब्रोवर निश्चित बिंदु प्रमेय शामिल हैं। निश्चित बिंदु पुनरावृत्ति द्वारा उत्पादित अनुक्रमों के अभिसरण त्वरण के लिए कई तकनीकें हैं। उदाहरण के लिए, एक पुनरावृत्त निश्चित बिंदु पर लागू की जाने वाली एटकन विधि को स्टेफेंसन की विधि के रूप में जाना जाता है, और यह द्विघात अभिसरण उत्पन्न करती है। व्यवहार को सीमित करना पुनरावृत्ति पर, कोई यह पा सकता है कि ऐसे समूह हैं जो एक बिंदु की ओर सिकुड़ते और अभिसरण करते हैं। ऐसे मामले में, जिस बिंदु पर अभिसरण किया जाता है, उसे एक आकर्षक निश्चित बिंदु के रूप में जाना जाता है। इसके विपरीत, पुनरावृत्ति एक बिंदु से दूर जाने वाले बिंदुओं की उपस्थिति दे सकती है; यह एक अस्थिर निश्चित बिंदु के लिए मामला होगा। जब कक्षा के बिंदु एक या अधिक सीमाओं में अभिसरण करते हैं, तो कक्षा के संचय बिंदुओं के सेट को सीमा सेट या ω-सीमा सेट के रूप में जाना जाता है। आकर्षण और प्रतिकर्षण के विचार समान रूप से सामान्य होते हैं; पुनरावृत्ति के तहत छोटे पड़ोस के व्यवहार के अनुसार, कोई भी पुनरावृत्ति को स्थिर सेट और अस्थिर सेट में वर्गीकृत कर सकता है। (विश्लेषणात्मक कार्यों की अनंत रचनाएँ भी देखें।) अन्य सीमित व्यवहार संभव हैं; उदाहरण के लिए, भटकने वाले बिंदु ऐसे बिंदु हैं जो दूर चले जाते हैं, और जहां से उन्होंने शुरुआत की थी, उसके करीब भी कभी नहीं आते हैं। अपरिवर्तनीय माप यदि कोई व्यक्तिगत बिंदु गतिकी के बजाय घनत्व वितरण के विकास पर विचार करता है, तो सीमित व्यवहार अपरिवर्तनीय माप द्वारा दिया जाता है। इसे बार-बार पुनरावृत्ति के तहत एक बिंदु-बादल या धूल-बादल के व्यवहार के रूप में देखा जा सकता है। अपरिवर्तनीय माप रुएल-फ्रोबेनियस-पेरॉन प्रचालक या स्थानांतरण प्रचालक का एक आइगेनस्टेट है, जो 1 के आइगेनवेल्यू के अनुरूप है। छोटे आइगेनवैल्यू अस्थिर, क्षयशील अवस्थाओं के अनुरूप होते हैं। सामान्य तौर पर, क्योंकि बार-बार पुनरावृत्ति एक शिफ्ट से मेल खाती है, स्थानांतरण प्रचालक और उसके सहायक, कूपमैन प्रचालक दोनों को एक शिफ्ट स्थान पर शिफ्ट प्रचालक कार्रवाई के रूप में व्याख्या की जा सकती है। परिमित प्रकार के उपपरिवर्तन का सिद्धांत कई पुनरावृत्त कार्यों में सामान्य अंतर्दृष्टि प्रदान करता है, विशेष रूप से जो अराजकता की ओर ले जाते हैं। भिन्नात्मक पुनरावृत्ति और प्रवाह, और नकारात्मक पुनरावृत्ति इस धारणा का उपयोग सावधानी के साथ किया जाना चाहिए जब समीकरण में कई समाधान होते हैं, जो आम तौर पर होता है, जैसा कि बैबेज के पहचान मानचित्र के कार्यात्मक मूल के समीकरण में होता है। उदाहरण के लिए, के लिए और दोनों समाधान हैं; इसलिए अभिव्यक्ति एक अद्वितीय कार्य को नहीं दर्शाती है, जैसे संख्याओं में कई बीजगणितीय मूल होते हैं। यह मुद्दा अंकगणित में अभिव्यक्ति "0/0" के समान है। f का एक तुच्छ मूल हमेशा प्राप्त किया जा सकता है यदि fs डोमेन को पर्याप्त रूप से बढ़ाया जा सकता है, cf। चित्र। चुनी गई जड़ें आम तौर पर अध्ययन के तहत कक्षा से संबंधित होती हैं। किसी फलन की भिन्न पुनरावृत्ति को परिभाषित किया जा सकता हैः उदाहरण के लिए, किसी फलन का आधा पुनरावृत्ति एक ऐसा फलन है। इस फलन को अनुक्रमणिका संकेतन का उपयोग करके लिखा जा सकता है। इसी तरह, फलन को इस तरह से परिभाषित किया गया है कि, जबकि इसे बराबर के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, और इसी तरह, सभी पहले उल्लिखित सिद्धांत पर आधारित हैं। इस विचार को सामान्यीकृत किया जा सकता है ताकि पुनरावृत्ति गणना एक निरंतर पैरामीटर बन जाए, जो एक निरंतर कक्षा का एक प्रकार का निरंतर "समय" है। ऐसे मामलों में, एक प्रणाली को प्रवाह के रूप में संदर्भित करता है। (सी. एफ. नीचे संयुग्मता पर अनुभाग)। यदि कोई फलन बाइजेक्टिव है (और इसलिए इसमें एक व्युत्क्रम फलन होता है), तो नकारात्मक पुनरावृत्तियाँ फलन व्युत्क्रम और उनकी संरचनाओं के अनुरूप होती हैं। उदाहरण के लिए, इसका सामान्य व्युत्क्रम है, जबकि व्युत्क्रम स्वयं से बना है, अर्थात। .. भिन्न ऋणात्मक पुनरावृत्तियों को भिन्न धनात्मक पुनरावृत्तियों के अनुरूप परिभाषित किया जाता है; उदाहरण के लिए, इसे इस तरह से परिभाषित किया जाता है, या, समतुल्य रूप से, ऐसा। आंशिक पुनरावृत्ति के लिए कुछ सूत्र एक निश्चित बिंदु का उपयोग करते हुए, आंशिक पुनरावृत्ति के लिए एक श्रृंखला सूत्र खोजने की कई विधियों में से एक इस प्रकार है। सबसे पहले फलन के लिए एक निश्चित बिंदु निर्धारित करें। वास्तविक से संबंधित सभी एन के लिए परिभाषित करें। यह, कुछ मायनों में, भिन्नात्मक पुनरावृत्तियों पर रखने के लिए सबसे प्राकृतिक अतिरिक्त स्थिति है। निश्चित बिंदु a के आसपास एक टेलर श्रृंखला के रूप में विस्तार करें, किसी भी k के लिए प्रतिस्थापन करें, शब्दों को सरल बनाने के लिए ज्यामितीय प्रगति का उपयोग करें, एक विशेष मामला है जब, इसे अनिश्चित काल तक जारी रखा जा सकता है, हालांकि अक्षम रूप से, क्योंकि बाद के शब्द तेजी से जटिल हो जाते हैं। संयुग्मता पर निम्नलिखित खंड में एक अधिक व्यवस्थित प्रक्रिया की रूपरेखा दी गई है। उदाहरण 1 उदाहरण के लिए, सेटिंग निश्चित बिंदु देती है, इसलिए उपरोक्त सूत्र केवल उस पर समाप्त होता है जिसे जांचना तुच्छ है। उदाहरण 2 इस बात का मान ज्ञात कीजिए कि यह कहाँ किया जाता है (और संभवतः अंतर्वेष्टित मान जब n एक पूर्णांक नहीं है)। हमारे पास है। एक निश्चित बिंदु है। इसलिए 2 के निश्चित बिंदु मूल्य के आसपास सेट और विस्तारित एक अनंत श्रृंखला है, जो केवल पहले तीन शब्दों को लेते हुए, पहले दशमलव स्थान के लिए सही है जब n धनात्मक-cf है। टेट्रेशनः। (अन्य निश्चित बिंदु का उपयोग करने से श्रृंखला अलग हो जाती है।) के लिए, श्रृंखला व्युत्क्रम फलन की गणना करती है। उदाहरण 3 फलन के साथ, निश्चित बिंदु 1 के आसपास विस्तार करें ताकि श्रृंखला प्राप्त की जा सके जो कि केवल x (bn) की टेलर श्रृंखला है जो 1 के आसपास विस्तारित हुई है। संयुग्मता यदि और दो पुनरावृत्त कार्य हैं, और एक समरूपता मौजूद है जैसे कि, तब और को स्थलाकृतिक रूप से संयुग्म कहा जाता है। स्पष्ट रूप से, टोपोलॉजिकल संयुग्मता को पुनरावृत्ति के तहत संरक्षित किया जाता है। इस प्रकार, यदि कोई एक पुनरावृत्त कार्य प्रणाली के लिए हल कर सकता है, तो सभी स्थलवैज्ञानिक संयुग्म प्रणालियों के लिए भी समाधान हैं। उदाहरण के लिए, तम्बू मानचित्र स्थलाकृतिक रूप से रसद मानचित्र के साथ संयुग्मित है। एक विशेष मामले के रूप में, लेने पर, किसी भी कार्य के लिए, के रूप में पुनरावृत्ति होती है। प्रतिस्थापन उपज बनाना, एक रूप जिसे एबेल समीकरण के रूप में जाना जाता है। यहां तक कि एक सख्त समरूपता की अनुपस्थिति में, एक निश्चित बिंदु के पास, जिसे यहाँ = 0, (0) = 0 पर लिया जाता है, कोई भी अक्सर एक फलन के लिए श्रोडर के समीकरण को हल कर सकता है, जो स्थानीय रूप से एक मात्र फैलाव के लिए संयुग्म बनाता है, अर्थात। इस प्रकार, इसकी पुनरावृत्ति कक्षा, या प्रवाह, उपयुक्त प्रावधानों (जैसे,) के तहत, एकाधिकार की कक्षा के संयुग्म के बराबर है, जहां इस अभिव्यक्ति में एक सादे प्रतिपादक के रूप में कार्य करता हैः कार्यात्मक पुनरावृत्ति को गुणा में कम कर दिया गया है! हालाँकि, यहाँ प्रतिपादक को अब पूर्णांक या धनात्मक होने की आवश्यकता नहीं है, और यह पूर्ण कक्षा के लिए विकास का एक निरंतर "समय" हैः पिकार्ड अनुक्रम का एकरस (सी. एफ. परिवर्तन अर्धसमूह) एक पूर्ण निरंतर समूह में सामान्यीकृत हो गया है। यह विधि (प्रमुख आइगेनफंक्शंस का विचलित करने वाला निर्धारण, cf। कार्लमैन मैट्रिक्स) पूर्ववर्ती खंड के एल्गोरिदम के बराबर है, हालांकि, व्यवहार में, अधिक शक्तिशाली और व्यवस्थित है। मार्कोव श्रृंखलाएँ यदि फलन रैखिक है और एक यादृच्छिक मैट्रिक्स द्वारा वर्णित किया जा सकता है, यानी एक मैट्रिक्स जिसकी पंक्तियाँ या स्तंभ एक के लिए योग करते हैं, तो पुनरावृत्त प्रणाली को मार्कोव श्रृंखला के रूप में जाना जाता है। उदाहरण कई अराजक नक्शे हैं। प्रसिद्ध पुनरावृत्त कार्यों में मैंडेलब्रोट सेट और पुनरावृत्त कार्य प्रणालियाँ शामिल हैं। अर्न्स्ट श्रोडर ने 1870 में लॉजिस्टिक मानचित्र के विशेष मामलों पर काम किया, जैसे कि अराजक मामला, ताकि, इसलिए। एक गैर-अराजक मामले श्रोडर ने भी अपनी विधि के साथ सचित्र चित्रण किया, परिणाम दिया, और इसलिए। यदि एक समूह पर एक समूह तत्व की क्रिया है, तो पुनरावृत्त कार्य एक मुक्त समूह से मेल खाता है। अधिकांश कार्यों में n-th पुनरावृत्ति के लिए स्पष्ट सामान्य बंद-रूप अभिव्यक्तियाँ नहीं होती हैं। नीचे दी गई तालिका में कुछ को सूचीबद्ध किया गया है जो करते हैं। ध्यान दें कि ये सभी अभिव्यक्तियाँ गैर-पूर्णांक और नकारात्मक n के साथ-साथ गैर-नकारात्मक पूर्णांक n के लिए भी मान्य हैं। ध्यान देंः के ये दो विशेष मामले केवल ऐसे मामले हैं जिनका एक बंद-रूप समाधान है। क्रमशः b = 2 =-a और b = 4 =-a का चयन, उन्हें तालिका से पहले चर्चा किए गए गैर-अराजक और अराजक लॉजिस्टिक मामलों तक कम कर देता है। इनमें से कुछ उदाहरण सरल संयोगों द्वारा आपस में संबंधित हैं। अध्ययन के साधन पुनरावृत्त कार्यों का अध्ययन आर्टिन-मजूर जीटा कार्य और स्थानांतरण प्रचालक के साथ किया जा सकता है। कंप्यूटर विज्ञान में कंप्यूटर विज्ञान में, पुनरावृत्त कार्य पुनरावर्ती कार्यों के एक विशेष मामले के रूप में होते हैं, जो बदले में लैम्ब्डा कलन, या संकीर्ण विषयों जैसे व्यापक विषयों के अध्ययन को आधार बनाते हैं, जैसे कि कंप्यूटर प्रोग्रामों के संकेतात्मक शब्दार्थ। पुनरावृत्त कार्यों के संदर्भ में परिभाषाएँ दो महत्वपूर्ण कार्यों को पुनरावृत्त कार्यों के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है। ये योग हैंः और समतुल्य उत्पादः कार्यात्मक व्युत्पन्न एक पुनरावृत्त फलन का कार्यात्मक व्युत्पन्न पुनरावर्ती सूत्र द्वारा दिया जाता हैः झूठ का डेटा परिवहन समीकरण पुनरावृत्त कार्य संयुक्त कार्यों की श्रृंखला विस्तार में सामने आते हैं, जैसे कि। फलन के th पुनरावृत्ति के लिए पुनरावृत्ति वेग, या बीटा फलन (भौतिकी) को देखते हुए, हमारे पास है। नतीजतन, एक सादे शिफ्ट ऑपरेटर द्वारा कार्रवाई। इसके विपरीत, ऊपर चर्चा किए गए सामान्य एबेल समीकरण के माध्यम से एक मनमाने ढंग से दिया गया निर्दिष्ट किया जा सकता है, जहां यह इस बात से स्पष्ट होता है कि निरंतर पुनरावृत्ति सूचकांक के लिए, तब, अब एक सबस्क्रिप्ट के रूप में लिखा जाता है, यह एक निरंतर समूह के लाइ के प्रसिद्ध घातीय प्राप्ति के बराबर है, प्रारंभिक प्रवाह वेग पूरे प्रवाह को निर्धारित करने के लिए पर्याप्त है, इस घातीय प्राप्ति को देखते हुए जो स्वचालित रूप से अनुवाद कार्यात्मक समीकरण का सामान्य समाधान प्रदान करता है, अपरिमेय घूर्णन पुनरावृत्त कार्य प्रणाली भी देखें घूर्णन विधि घूर्णन संख्या सरकोव्स्की की प्रमेय फ्रैक्शनल कैलकुलस पुनरावृत्ति संबंध श्रोडर का समीकरण कार्यात्मक वर्गमूल एबेल फ़ंक्शन श्रोडर का समीकरण बॉटचर का समीकरण विश्लेषणात्मक कार्यों की अनंत रचनाएँ फ़्ल