Orthogonal transformation
रैखिक बीजगणित में, एक ऑर्थोगोनल परिवर्तन एक वास्तविक आंतरिक उत्पाद स्थान V पर एक रैखिक परिवर्तन T: V → V है, जो आंतरिक उत्पाद को संरक्षित करता है। चूँकि वैक्टर की लंबाई और उनके बीच के कोणों को आंतरिक उत्पाद के माध्यम से परिभाषित किया जाता है, ऑर्थोगोनल परिवर्तन उनके बीच वैक्टर और कोणों की लंबाई को संरक्षित करते हैं। विशेष रूप से, ऑर्थोगोनल परिवर्तन ऑर्थोनॉर्मल आधारों को ऑर्थोनॉर्मल आधारों में मैप करते हैं। ऑर्थोगोनल परिवर्तन इंजेक्टिव होते हैंः यदि तब, इसलिए, तो इसका कर्नेल तुच्छ है। द्वि-या त्रि-आयामी यूक्लिडियन स्थान में ऑर्थोगोनल परिवर्तन कठोर घूर्णन, प्रतिबिंब, या घूर्णन और प्रतिबिंब के संयोजन हैं (जिन्हें अनुचित घूर्णन के रूप में भी जाना जाता है)। परावर्तन वे परिवर्तन हैं जो दर्पण तल के लिए ऑर्थोगोनल, सामने से पीछे की दिशा को उलटते हैं, जैसे (वास्तविक दुनिया) दर्पण करते हैं। उचित घूर्णन (परावर्तन के बिना) के अनुरूप मैट्रिक्स में + 1 का निर्धारक होता है। परावर्तन के साथ परिवर्तनों को-1 के निर्धारक के साथ मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया जाता है। यह घूर्णन और परावर्तन की अवधारणा को उच्च आयामों में सामान्यीकृत करने की अनुमति देता है। परिमित-आयामी रिक्त स्थान में, एक ऑर्थोगोनल परिवर्तन का मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व (एक ऑर्थोनॉर्मल आधार के संबंध में) एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स है। इसकी पंक्तियाँ इकाई मानक के साथ पारस्परिक रूप से ऑर्थोगोनल वैक्टर होती हैं, जिससे पंक्तियाँ V का एक ऑर्थोनॉर्मल आधार बनाती हैं। मैट्रिक्स के स्तंभ V का एक और ऑर्थोनॉर्मल आधार बनाते हैं। यदि एक ऑर्थोगोनल परिवर्तन व्युत्क्रमणीय है (जो हमेशा V के परिमित-आयामी होने पर होता है) तो इसका व्युत्क्रम एक और ऑर्थोगोनल परिवर्तन है। इसका मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व मूल परिवर्तन के मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व का पारगमन है। उदाहरण मानक यूक्लिडियन आंतरिक उत्पाद और मानक आधार के साथ आंतरिक-उत्पाद स्थान पर विचार करें। फिर, मैट्रिक्स परिवर्तन ऑर्थोगोनल है। इसे देखने के लिए, विचार करें फिर, पिछले उदाहरण को सभी ऑर्थोगोनल परिवर्तनों के निर्माण के लिए बढ़ाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित मैट्रिक्स ऑर्थोगोनल परिवर्तनों को परिभाषित करते हैंः अनुचित घूर्णन रैखिक परिवर्तन ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स एकात्मक परिवर्तन संदर्भ रैखिक बीजगणित भी देखें।