Tangent lines to circles
यूक्लिडियन समतल ज्यामिति में, एक वृत्त के लिए एक स्पर्शरेखा रेखा एक ऐसी रेखा है जो वृत्त को बिल्कुल एक बिंदु पर छूती है, जो वृत्त के आंतरिक भाग में कभी प्रवेश नहीं करती है। वृत्तों के लिए स्पर्श रेखाएँ कई प्रमेयों का विषय बनती हैं, और कई ज्यामितीय निर्माणों और प्रमाणों में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती हैं। चूँकि एक बिंदु पर एक वृत्त के लिए स्पर्शरेखा रेखा उस बिंदु की त्रिज्या के लंबवत होती है, स्पर्शरेखा रेखाओं से जुड़े प्रमेयों में अक्सर रेडियल रेखाएँ और ऑर्थोगोनल वृत्त शामिल होते हैं। एक वृत्त के लिए स्पर्शरेखा रेखा एक वृत्त के लिए स्पर्शरेखा रेखा एक बिंदु पर वृत्त को काटती है। तुलना के लिए, सेकेंट रेखाएँ एक वृत्त को दो बिंदुओं पर काटती हैं, जबकि दूसरी रेखा एक वृत्त को बिल्कुल भी नहीं काटती है। स्पर्शरेखा रेखाओं का यह गुण कई ज्यामितीय परिवर्तनों के तहत संरक्षित है, जैसे कि माप, घूर्णन, अनुवाद, व्युत्क्रम और मानचित्र अनुमान। तकनीकी भाषा में, ये परिवर्तन स्पर्शरेखा रेखा और वृत्त की आपतन संरचना को नहीं बदलते हैं, भले ही रेखा और वृत्त विकृत हो सकते हैं। वृत्त की त्रिज्या वृत्त की परिधि पर अपने अंतिम बिंदु के माध्यम से स्पर्शरेखा रेखा के लंबवत होती है। इसके विपरीत, एक ही अंतिम बिंदु के माध्यम से त्रिज्या के लंबवत एक स्पर्शरेखा रेखा है। वृत्त और स्पर्शरेखा रेखा की परिणामी ज्यामितीय आकृति में त्रिज्या के अक्ष के बारे में एक परावर्तन समरूपता होती है। वृत्त के भीतर किसी बिंदु के माध्यम से कोई स्पर्शरेखा रेखा नहीं खींची जा सकती है, क्योंकि ऐसी कोई भी रेखा एक सेकेंट रेखा होनी चाहिए। हालांकि, वृत्त के बाहर एक बिंदु से एक वृत्त पर दो स्पर्शरेखा रेखाएं खींची जा सकती हैं। एक वृत्त की ज्यामितीय आकृति और दोनों स्पर्शरेखा रेखाओं में इसी तरह वृत्त के केंद्र बिंदु से जुड़ने वाले रेडियल अक्ष के बारे में एक परावर्तन समरूपता होती है। इस प्रकार दो स्पर्श बिन्दुओं तक खंडों की लंबाई बराबर होती है। सेकेंट-टेनजेंट प्रमेय के अनुसार, इस टेनजेंट लंबाई का वर्ग वृत्त में बिंदु P की शक्ति के बराबर होता है। यह शक्ति वृत्त के किसी भी दो प्रतिच्छेदन बिंदुओं से दूरी के गुणनफल के बराबर होती है, जिसमें से गुजरने वाली एक प्रतिच्छेदन रेखा होती है। स्पर्शरेखा रेखा और स्पर्शरेखा बिंदु का एक दूसरे के साथ संयुग्म संबंध है, जिसे ध्रुव बिंदुओं और ध्रुवीय रेखाओं के विचार में सामान्यीकृत किया गया है। वृत्त के बाहर एक बिंदु और उसके दो स्पर्शरेखा बिंदुओं को जोड़ने वाली सेकेंट रेखा के बीच एक ही पारस्परिक संबंध मौजूद है। यदि एक बिंदु केंद्र के साथ एक वृत्त के लिए बाहरी है, और यदि स्पर्शरेखा रेखाएं बिंदु और पर वृत्त को छूती हैं, तो और पूरक हैं (180° का योग)। यदि एक तार बाहरी बिंदु के स्पर्शता बिंदु से खींचा जाता है और फिर। कार्टेशियन समीकरण मान लीजिए कि कार्टेशियन निर्देशांक में वृत्त का समीकरण केंद्र के साथ है। फिर वृत्त की स्पर्शरेखा रेखा में कार्टेशियन समीकरण है यह वृत्त के अंतर्निहित व्युत्पन्न को लेकर साबित किया जा सकता है। मान लीजिए कि वृत्त का समीकरण है और हम स्पर्शरेखा रेखा का ढलान पा रहे हैं जहाँ हम इसके संबंध में अंतर्निहित व्युत्पन्न लेकर शुरू करते हैंः अब जब हमारे पास स्पर्शरेखा रेखा का ढलान है, तो हम रेखा समीकरण में स्पर्शरेखा बिंदु के ढलान और निर्देशांक को प्रतिस्थापित कर सकते हैं। कम्पास और सीधी धार की संरचना वृत्त की परिधि पर एक बिंदु पर एक वृत्त के लिए एक रेखा स्पर्शरेखा का निर्माण करना अपेक्षाकृत सीधा हैः वृत्त के केंद्र से रेडियल बिंदु के माध्यम से एक रेखा खींची जाती है; रेखा लंबवत रेखा है। थेल्स के प्रमेय का उपयोग वृत्त के बाहरी बिंदु पर स्पर्शरेखा रेखाओं के निर्माण के लिए किया जा सकता हैः रेखा खंड के मध्य बिंदु पर केंद्रित एक वृत्त खींचा जाता है, जिसका व्यास होता है, जहां फिर से वृत्त का केंद्र होता है। निम्नलिखित तर्क से गुजरने वाली रेखाओं के लिए प्रतिच्छेदन बिंदु और वृत्त और नए वृत्त स्पर्शरेखा बिंदु हैं। रेखा खंड और वृत्त की त्रिज्याएँ हैं; चूंकि दोनों एक अर्धवृत्त में अंकित हैं, वे रेखा खंडों के लंबवत हैं और, क्रमशः। लेकिन केवल एक स्पर्शरेखा रेखा रेडियल रेखा के लंबवत होती है। अतः, वृत्त से आने वाली और उससे गुजरने वाली दो रेखाएँ वृत्त के स्पर्शरेखा हैं। केवल एक सीधी धार का उपयोग करके वृत्त के बाहरी बिंदु पर स्पर्शरेखा रेखाओं का निर्माण करने की एक अन्य विधिः दिए गए बिंदु के माध्यम से कोई भी तीन अलग-अलग रेखाएँ खींचें जो वृत्त को दो बार काटती हैं। मान लीजिए कि छह प्रतिच्छेदन बिंदु हैं, एक ही अक्षर के साथ एक ही रेखा के अनुरूप और सूचकांक 1 के करीब बिंदु के अनुरूप। मान लीजिए कि वह बिंदु जहाँ रेखाएँ और प्रतिच्छेदन करती हैं, इसी तरह रेखाओं के लिए और। और के माध्यम से एक रेखा खींचें। यह रेखा दो बिंदुओं पर वृत्त से मिलती है, और। स्पर्शरेखाएँ रेखाएँ हैं और। विश्लेषणात्मक ज्यामिति के साथ मान लीजिए कि वृत्त का एक बिंदु समीकरण के साथ है स्पर्शरेखा में समीकरण है क्योंकि यह दोनों वक्रों पर स्थित है और रेखा का एक सामान्य सदिश है। इसके विपरीत, यदि कोई दो स्पर्शरेखाओं की तुलना में बिंदु से शुरू होता है और वेक्टर रूप में लिखे दो बिंदुओं पर वृत्त से मिलता हैः यदि बिंदु-अक्ष पर नहीं होता हैः वेक्टर रूप में एक दूरी से और इकाई आधार वैक्टर को ऑर्थोगोनल इकाई वैक्टर द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है तो बिंदु के माध्यम से स्पर्शरेखाएँ बिंदु पर वृत्त को छूती हैं क्योंकि कोई स्पर्शरेखा मौजूद नहीं है। बिंदु के लिए वृत्त पर स्थित है और समीकरण के साथ केवल एक स्पर्शरेखा है समीकरणों के साथ 2 स्पर्शरेखाएँ हैं वृत्त व्युत्क्रम से संबंधः समीकरण बिंदु के वृत्त व्युत्क्रम का वर्णन करता है ध्रुव और ध्रुव से संबंधः बिंदु के ध्रुव में समीकरण स्पर्शरेखा बहुभुज होता है एक स्पर्शरेखा बहुभुज एक बहुभुज है जिसकी प्रत्येक भुजाएँ एक विशेष वृत्त के लिए स्पर्शरेखा होती हैं, जिसे इसका अंतःवृत्त कहा जाता है। प्रत्येक त्रिभुज एक स्पर्शरेखा बहुभुज है, जैसा कि किसी भी संख्या में भुजाओं का प्रत्येक नियमित बहुभुज है; इसके अलावा, प्रत्येक संख्या में बहुभुज भुजाओं के लिए अनंत संख्या में गैर-संगत स्पर्शरेखा बहुभुज हैं। स्पर्शरेखा चतुर्भुज प्रमेय और उत्कीर्ण वृत्त एक स्पर्शरेखा चतुर्भुज चार सीधी भुजाओं की एक बंद आकृति है जो किसी दिए गए वृत्त के स्पर्शरेखा हैं। समान रूप से, वृत्त चतुर्भुज में अंकित है। पिटोट प्रमेय के अनुसार, ऐसे किसी भी चतुर्भुज की विपरीत भुजाओं का योग बराबर होता है, अर्थात, यह निष्कर्ष चतुर्भुज के चार शीर्षों से स्पर्शरेखा खंडों की समानता से निकलता है। स्पर्श बिन्दुओं को (खंड पर), (खंड पर), (खंड पर) और (खंड पर) के रूप में दर्शाया जाना चाहिए। के प्रत्येक बिंदु के बारे में सममित स्पर्शरेखा खंड बराबर हैंः लेकिन चतुर्भुज का प्रत्येक पक्ष प्रमेय को साबित करने वाले दो ऐसे स्पर्शरेखा खंडों से बना है। इसके विपरीत भी सच हैः एक वृत्त को प्रत्येक चतुर्भुज में अंकित किया जा सकता है जिसमें विपरीत भुजाओं की लंबाई का समान मान होता है। इस प्रमेय और इसके विपरीत के विभिन्न उपयोग हैं। उदाहरण के लिए, वे तुरंत दिखाते हैं कि किसी भी आयत में एक उत्कीर्ण वृत्त नहीं हो सकता है जब तक कि यह एक वर्ग न हो, और प्रत्येक समभुज में एक उत्कीर्ण वृत्त होता है, जबकि एक सामान्य समानांतर चतुर्भुज नहीं होता है। दो वृत्तों के लिए स्पर्शरेखा रेखाएँ दो वृत्तों के लिए, आम तौर पर चार अलग-अलग रेखाएँ होती हैं जो दोनों (स्पर्शरेखा) के लिए स्पर्शरेखा होती हैं-यदि दोनों वृत्त एक दूसरे के बाहर हैं-लेकिन अपक्षयी मामलों में शून्य और चार स्पर्शरेखा रेखाओं के बीच कोई भी संख्या हो सकती है; इन्हें नीचे संबोधित किया गया है। इनमें से दो के लिए, बाहरी स्पर्शरेखा रेखाएँ, वृत्त रेखा के एक ही तरफ गिरते हैं; दो अन्य के लिए, आंतरिक स्पर्शरेखा रेखाएँ, वृत्त रेखा के विपरीत तरफ गिरते हैं। बाहरी स्पर्शरेखा रेखाएँ बाहरी समरूपी केंद्र में प्रतिच्छेद करती हैं, जबकि आंतरिक स्पर्शरेखा रेखाएँ आंतरिक समरूपी केंद्र में प्रतिच्छेद करती हैं। बाहरी और आंतरिक दोनों समरूपी केंद्र केंद्रों की रेखा (दो वृत्तों के केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा) पर स्थित होते हैं, जो छोटे वृत्त के केंद्र के करीब होता हैः आंतरिक केंद्र दो वृत्तों के बीच के खंड में होता है, जबकि बाहरी केंद्र बिंदुओं के बीच नहीं होता है, बल्कि छोटे वृत्त के केंद्र के किनारे पर होता है। यदि दोनों वृत्तों की त्रिज्या समान है, तो भी चार बिटैंजेंट हैं, लेकिन बाहरी स्पर्शरेखा रेखाएं समानांतर हैं और एफ़ाइन तल में कोई बाहरी केंद्र नहीं है; प्रोजेक्टिव तल में, बाहरी समस्थानिक केंद्र इन रेखाओं की ढलान के अनुरूप अनंत पर बिंदु पर स्थित है। बाहरी स्पर्शरेखा बिंदुओं को जोड़ने वाली लाल रेखा और दोनों वृत्तों के बीच की बाहरी स्पर्शरेखा है। दिए गए बिंदुओं, बिंदुओं की गणना आसानी से कोण की मदद से की जा सकती हैः यहाँ और दो वृत्तों की त्रिज्या को नोट करें और कोण की गणना मूल त्रिकोणमिति का उपयोग करके की जा सकती है। आपके पास जहां ए. टी. ए. एन. 2 के साथ 2-तर्क आर्कटैंजेंट है। निकट और दूर के वृत्तों के केंद्रों के बीच की दूरी, और वह बिंदु जहां दो वृत्तों के दो बाहरी स्पर्शरेखाएं एक दूसरे को काटती हैं (समस्थानिक केंद्र), क्रमशः समानता का उपयोग करके पता लगाया जा सकता हैः यहाँ, निकट या दूर के वृत्त के केंद्रों से दूरी खोजने की आवश्यकता हो सकती है या निर्भर कर सकती है, और। दो वृत्तों के केंद्रों के बीच की दूरी है। आंतरिक स्पर्शरेखा एक आंतरिक स्पर्शरेखा है जो दो वृत्तों के केंद्रों में शामिल होने वाले खंड को काटती है। ध्यान दें कि आंतरिक स्पर्शरेखा को उन मामलों के लिए परिभाषित नहीं किया जाएगा जब दो वृत्त ओवरलैप होते हैं। बिटैंजेंट रेखाओं का निर्माण या तो होमोथेटिक केंद्रों का निर्माण करके किया जा सकता है, जैसा कि उस लेख में वर्णित है, और फिर होमोथेटिक केंद्र के माध्यम से स्पर्शरेखा रेखाओं का निर्माण किया जा सकता है जो एक वृत्त के लिए स्पर्शरेखा है, ऊपर वर्णित विधियों में से एक द्वारा। परिणामी रेखा तब दूसरे वृत्त के लिए भी स्पर्शरेखा होगी। वैकल्पिक रूप से, स्पर्शरेखा रेखाओं और स्पर्शरेखा बिंदुओं का निर्माण अधिक सीधे किया जा सकता है, जैसा कि नीचे विस्तार से बताया गया है। ध्यान दें कि अपक्षयी मामलों में ये निर्माण टूट जाते हैं; प्रदर्शनी को सरल बनाने के लिए इस खंड में इसकी चर्चा नहीं की गई है, लेकिन निर्माण का एक रूप सीमित मामलों में काम कर सकता है (जैसे, एक बिंदु पर दो वृत्त स्पर्शरेखा)। सिंथेटिक ज्यामिति दो वृत्तों के केंद्र होने दें, और उनकी त्रिज्या होने दें; दूसरे शब्दों में, वृत्त को दो वृत्तों में से बड़े के रूप में परिभाषित किया गया है। बाहरी और आंतरिक स्पर्शरेखा रेखाओं के निर्माण के लिए दो अलग-अलग तरीकों का उपयोग किया जा सकता है। बाहरी स्पर्शरेखाओं पर केंद्रित त्रिज्या का एक नया वृत्त खींचा जाता है। उपरोक्त विधि का उपयोग करते हुए, दो रेखाएँ खींची जाती हैं जो इस नए वृत्त के स्पर्शरेखा हैं। ये रेखाएँ वांछित स्पर्शरेखा रेखाओं के समानांतर होती हैं, क्योंकि स्थिति दोनों वृत्तों के सिकुड़ने और एक स्थिर राशि से मेल खाती है, जो एक बिंदु तक सिकुड़ती है। दो रेडियल रेखाएँ केंद्र से स्पर्शरेखा बिंदुओं के माध्यम से खींची जा सकती हैं; ये वांछित स्पर्शरेखा बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती हैं। वांछित बाहरी स्पर्शरेखा रेखाएँ उन स्पर्शरेखा बिंदुओं पर इन रेडियल रेखाओं के लंबवत रेखाएँ हैं, जिनका निर्माण ऊपर वर्णित के अनुसार किया जा सकता है। आंतरिक स्पर्शरेखाओं पर केंद्रित त्रिज्या का एक नया वृत्त खींचा जाता है। उपरोक्त विधि का उपयोग करते हुए, दो रेखाएँ खींची जाती हैं जो इस नए वृत्त के स्पर्शरेखा हैं। ये रेखाएँ वांछित स्पर्शरेखा रेखाओं के समानांतर होती हैं, क्योंकि स्थिति एक स्थिर राशि से विस्तार करते हुए एक बिंदु तक सिकुड़ने के अनुरूप होती है। दो रेडियल रेखाएँ केंद्र से स्पर्शरेखा बिंदुओं के माध्यम से खींची जा सकती हैं; ये वांछित स्पर्शरेखा बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती हैं। वांछित आंतरिक स्पर्शरेखा रेखाएँ उन स्पर्शरेखा बिंदुओं पर इन रेडियल रेखाओं के लंबवत रेखाएँ हैं, जिनका निर्माण ऊपर वर्णित के अनुसार किया जा सकता है। विश्लेषणात्मक ज्यामिति मान लीजिए कि वृत्तों के केंद्र और त्रिज्या क्रमशः हैं। सामान्यीकरण के साथ समीकरण द्वारा एक रेखा को व्यक्त करने पर एक बिटैंजेंट रेखा संतुष्ट होती हैः दूसरी उपज से पहले को घटाकर हल करना जहां और बाहरी स्पर्शरेखा के लिए या आंतरिक स्पर्शरेखा के लिए। यदि से दूरी है तो हम समीकरण (1) को सरल बनाने के लिए इसे सामान्य कर सकते हैं, जिसके परिणामस्वरूप समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली होती हैः दो बाहरी स्पर्शरेखा रेखाओं के लिए दो समाधान () प्राप्त करने के लिए इन्हें हल करेंः ज्यामितीय रूप से यह स्पर्शरेखा रेखाओं और केंद्रों की रेखा द्वारा बनाए गए कोण की गणना करने के लिए मेल खाता है, और फिर इसका उपयोग स्पर्शरेखा रेखा के लिए एक समीकरण प्राप्त करने के लिए केंद्रों की रेखा के लिए समीकरण को घुमाने के लिए किया जाता है। कोण की गणना एक समकोण त्रिभुज के त्रिकोणमितीय कार्यों की गणना करके की जाती है जिसके शीर्ष (बाहरी) समरूपी केंद्र, एक वृत्त का केंद्र और एक स्पर्श बिन्दु होते हैं; हाइपोटेन्यूज स्पर्शरेखा रेखा पर स्थित होता है, त्रिज्या कोण के विपरीत होती है, और आसन्न पक्ष केंद्रों की रेखा पर स्थित होता है। यह इकाई सदिश है जो से की ओर इशारा करता है, जबकि यह है जहां केंद्रों की रेखा और एक स्पर्शरेखा रेखा के बीच का कोण है। तब है (के संकेत के आधार पर, समतुल्य रूप से घूर्णन की दिशा), और उपरोक्त समीकरण घूर्णन मैट्रिक्स का उपयोग करके घूर्णन हैंः वृत्तों के दाईं ओर की स्पर्शरेखा रेखा है जो से देख रही है। वृत्तों के दाईं ओर की स्पर्शरेखा रेखा है जो से देख रही है। उपरोक्त मान लेते हैं कि प्रत्येक वृत्त की धनात्मक त्रिज्या होती है। यदि सकारात्मक और नकारात्मक है तो प्रत्येक रेखा के बाईं ओर और दाईं ओर होगा, और दो स्पर्शरेखा रेखाएँ पार होंगी। इस तरह सभी चार समाधान प्राप्त होते हैं। दोनों त्रिज्या स्विचों के संकेतों को बदलना और। वेक्टर सामान्य रूप से स्पर्शरेखा के बिंदु और चार रेखाओं के लिए केंद्र और त्रिज्या के साथ दो वृत्तों के लिए स्पर्शरेखा और एक साथ समीकरणों को हल करके दिए जाते हैंः ये समीकरण व्यक्त करते हैं कि स्पर्शरेखा रेखा, जो त्रिज्या के समानांतर है, त्रिज्या के लंबवत है, और स्पर्शरेखा बिंदु अपने-अपने वृत्तों पर स्थित हैं। ये दो द्वि-आयामी सदिश चर में चार द्विघात समीकरण हैं, और सामान्य स्थिति में समाधान के चार जोड़े होंगे। अपक्षयी मामले विन्यास के आधार पर दो अलग-अलग वृत्तों में शून्य और चार बिटैंजेंट रेखाएँ हो सकती हैं; इन्हें केंद्रों और त्रिज्यों के बीच की दूरी के संदर्भ में वर्गीकृत किया जा सकता है। यदि बहुलता के साथ गिना जाए (एक सामान्य स्पर्शरेखा को दो बार गिना जाए) तो शून्य, दो या चार स्पर्शरेखा रेखाएँ होती हैं। बिटैंजेंट रेखाओं को नकारात्मक या शून्य त्रिज्या वाले वृत्तों में भी सामान्यीकृत किया जा सकता है। अपक्षयी मामलों और गुणाओं को अन्य विन्यासों की सीमाओं के संदर्भ में भी समझा जा सकता है-उदाहरण के लिए, दो वृत्तों की एक सीमा जो लगभग स्पर्श करती है, और एक को स्थानांतरित करती है ताकि वे स्पर्श कर सकें, या एक छोटी त्रिज्या वाला वृत्त जो शून्य त्रिज्या के वृत्त में सिकुड़ जाता है। यदि वृत्त एक दूसरे के बाहर हैं (), जो कि सामान्य स्थिति है, तो चार बिटैंजेंट हैं। यदि वे एक बिंदु () पर बाहरी रूप से स्पर्श करते हैं-जिसमें बाहरी स्पर्शरेखा का एक बिंदु होता है-तो उनके पास दो बाहरी स्पर्शरेखाएँ और एक आंतरिक स्पर्शरेखा होती है, अर्थात् सामान्य स्पर्शरेखा। इस सामान्य स्पर्शरेखा रेखा में दो की बहुलता होती है, क्योंकि यह किसी भी अभिविन्यास (दिशा) के लिए वृत्तों (एक बाईं ओर, एक दाईं ओर) को अलग करती है। यदि वृत्त दो बिंदुओं () में प्रतिच्छेद करते हैं, तो उनके पास कोई आंतरिक बिटैंजेंट और दो बाहरी बिटैंजेंट नहीं होते हैं (उन्हें अलग नहीं किया जा सकता है, क्योंकि वे प्रतिच्छेद करते हैं, इसलिए कोई आंतरिक बिटैंजेंट नहीं होते हैं)। यदि वृत्त एक बिंदु () पर आंतरिक रूप से स्पर्श करते हैं-जिसमें आंतरिक स्पर्शरेखा का एक बिंदु होता है-तो उनके पास कोई आंतरिक स्पर्शरेखा और एक बाहरी स्पर्शरेखा नहीं होती है, अर्थात् सामान्य स्पर्शरेखा, जिसमें ऊपर की तरह दो गुणक होते हैं। यदि एक वृत्त पूरी तरह से दूसरे () के अंदर है तो उनके पास कोई बिटैंजेंट नहीं है, क्योंकि बाहरी वृत्त के लिए एक स्पर्शरेखा रेखा आंतरिक वृत्त को नहीं काटती है, या इसके विपरीत आंतरिक वृत्त के लिए एक स्पर्शरेखा रेखा बाहरी वृत्त के लिए एक अलग रेखा है। अंत में, यदि दोनों वृत्त समान हैं, तो वृत्त के लिए कोई भी स्पर्शरेखा एक सामान्य स्पर्शरेखा है और इसलिए (बाहरी) स्पर्शरेखा है, इसलिए एक वृत्त के बिटैंजेंट के लायक है। इसके अलावा, बिटैंजेंट रेखाओं की धारणा को नकारात्मक त्रिज्या वाले वृत्तों तक बढ़ाया जा सकता है (बिंदुओं का एक ही स्थान, लेकिन "अंदर से बाहर" माना जाता है), इस मामले में यदि त्रिज्या का विपरीत संकेत है (एक वृत्त में नकारात्मक त्रिज्या है और दूसरे में सकारात्मक त्रिज्या है) तो बाहरी और आंतरिक समरूपता केंद्र और बाहरी और आंतरिक बिटैंजेंट को बदल दिया जाता है, जबकि यदि त्रिज्या का एक ही संकेत है (दोनों सकारात्मक त्रिज्या या दोनों नकारात्मक त्रिज्या) "बाहरी" और "आंतरिक" का समान सामान्य अर्थ होता है (एक संकेत को बदलना उन्हें बदल देता है, इसलिए दोनों को बदलना उन्हें वापस बदल देता है)। बिटैंजेंट रेखाओं को तब भी परिभाषित किया जा सकता है जब एक या दोनों वृत्तों की त्रिज्या शून्य हो। इस मामले में त्रिज्या शून्य वाला वृत्त एक दोहरा बिंदु है, और इस प्रकार इससे गुजरने वाली कोई भी रेखा दो गुणन के साथ बिंदु को काटती है, इसलिए "स्पर्शरेखा" है। यदि एक वृत्त की त्रिज्या शून्य है, तो एक बिटैंजेंट रेखा केवल वृत्त के लिए एक रेखा स्पर्शरेखा है और बिंदु से गुजरती है, और इसे गुणा दो के साथ गिना जाता है। यदि दोनों वृत्तों की त्रिज्या शून्य है, तो बिटैंजेंट रेखा वह रेखा है जिसे वे परिभाषित करते हैं, और गुणा चार के साथ गिना जाता है। ध्यान दें कि इन अपक्षयी मामलों में बाहरी और आंतरिक समरूपता केंद्र आम तौर पर अभी भी मौजूद हैं (बाहरी केंद्र अनंत पर है यदि त्रिज्या समान है), सिवाय इसके कि वृत्त मेल खाते हैं, जिस स्थिति में बाहरी केंद्र परिभाषित नहीं है, या यदि दोनों वृत्तों में त्रिज्या शून्य है, तो आंतरिक केंद्र परिभाषित नहीं है। अनुप्रयोग बेल्ट समस्या आंतरिक और बाहरी स्पर्शरेखा रेखाएं बेल्ट समस्या को हल करने में उपयोगी होती हैं, जो दो पुलियों पर चुस्त रूप से फिट होने के लिए आवश्यक बेल्ट या रस्सी की लंबाई की गणना करने के लिए होती है। यदि बेल्ट को नगण्य मोटाई की गणितीय रेखा माना जाता है, और यदि दोनों पुलियों को बिल्कुल एक ही तल में माना जाता है, तो समस्या बेल्ट द्वारा कम किए गए गोलाकार चापों की लंबाई के साथ प्रासंगिक स्पर्शरेखा रेखा खंडों की लंबाई को जोड़ती है। यदि बेल्ट को पहियों के चारों ओर लपेटा जाता है ताकि पार किया जा सके, तो आंतरिक स्पर्शरेखा रेखा खंड प्रासंगिक हैं। इसके विपरीत, यदि बेल्ट को पुलियों के चारों ओर बाहरी रूप से लपेटा जाता है, तो बाहरी स्पर्शरेखा रेखा खंड प्रासंगिक होते हैं; इस मामले को कभी-कभी पुली समस्या कहा जाता है। तीन वृत्तों के लिए स्पर्शरेखा रेखाएँः मोंग की प्रमेय तीन वृत्तों के लिए, और, वृत्तों के तीन जोड़े (,, और) हैं। चूँकि वृत्तों की प्रत्येक जोड़ी में दो समरूपता केंद्र होते हैं, इसलिए कुल मिलाकर छह समरूपता केंद्र होते हैं। गैस्पर्ड मोंगे ने 19वीं शताब्दी की शुरुआत में दिखाया कि ये छह बिंदु चार रेखाओं पर स्थित हैं, प्रत्येक रेखा में तीन समरेखीय बिंदु हैं। अपोलोनीयस की समस्या अपोलोनीयस की समस्या के कई विशेष मामलों में एक वृत्त का पता लगाना शामिल है जो एक या अधिक रेखाओं के लिए स्पर्शरेखा है। इनमें से सबसे सरल वृत्तों का निर्माण करना है जो तीन दी गई रेखाओं (एल. एल. एल. समस्या) के लिए स्पर्शरेखा हैं। इस समस्या को हल करने के लिए, ऐसे किसी भी वृत्त का केंद्र रेखाओं के किसी भी जोड़े के कोण द्विभाजक पर होना चाहिए; दो रेखाओं के प्रत्येक प्रतिच्छेदन के लिए दो कोण-विभाजक रेखाएँ होती हैं। इन कोण द्विभाजक के प्रतिच्छेदन समाधान वृत्तों के केंद्र देते हैं। सामान्य रूप से ऐसे चार वृत्त होते हैं, तीन रेखाओं के प्रतिच्छेदन से बने त्रिभुज का उत्कीर्ण वृत्त और तीन बहिष्कृत वृत्त। एक सामान्य अपोलोनियस समस्या को एक वृत्त और दो समानांतर रेखाओं (स्वयं एल. एल. सी. विशेष मामले का एक विशेष मामला) के लिए वृत्त स्पर्शरेखा की सरल समस्या में बदला जा सकता है। इसे पूरा करने के लिए, दिए गए तीन वृत्तों में से दो को तब तक मापना पर्याप्त है जब तक कि वे स्पर्श न करें, यानी स्पर्शरेखा न हों। उपयुक्त त्रिज्या के वृत्त के संबंध में उनके स्पर्श बिन्दु में एक व्युत्क्रम दो स्पर्श करने वाले वृत्तों को दो समानांतर रेखाओं में बदल देता है, और तीसरा वृत्त दूसरे वृत्त में बदल जाता है। इस प्रकार, समाधान दो समानांतर रेखाओं के बीच स्थिर त्रिज्या के एक वृत्त को तब तक खिसकाकर पाया जा सकता है जब तक कि यह परिवर्तित तीसरे वृत्त से संपर्क न कर ले। पुनः व्युत्क्रम मूल समस्या के अनुरूप समाधान उत्पन्न करता है। सामान्यीकरण एक या अधिक वृत्तों के लिए एक स्पर्शरेखा रेखा की अवधारणा को कई तरीकों से सामान्यीकृत किया जा सकता है। सबसे पहले, स्पर्शरेखा बिंदुओं और स्पर्शरेखा रेखाओं के बीच संयुग्म संबंध को ध्रुव बिंदुओं और ध्रुवीय रेखाओं के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, जिसमें ध्रुव बिंदु कहीं भी हो सकते हैं, न कि केवल वृत्त की परिधि पर। दूसरा, दो वृत्तों का मिलन एक चतुर्थक समतल वक्र का एक विशेष (रिड्यूसिबल) मामला है, और बाहरी और आंतरिक स्पर्शरेखा रेखाएं इस चतुर्थक वक्र के बिटैंजेंट हैं। एक सामान्य चतुर्थक वक्र में 28 बिटैंजेंट होते हैं। एक तीसरा सामान्यीकरण स्पर्शरेखा रेखाओं के बजाय स्पर्शरेखा वृत्तों पर विचार करता है; एक स्पर्शरेखा रेखा को अनंत त्रिज्या का स्पर्शरेखा वृत्त माना जा सकता है। विशेष रूप से, दो वृत्तों के लिए बाहरी स्पर्शरेखा रेखाएँ वृत्तों के एक परिवार के मामलों को सीमित कर रही हैं जो आंतरिक रूप से या बाहरी रूप से दोनों वृत्तों के लिए स्पर्शरेखा हैं, जबकि आंतरिक स्पर्शरेखा रेखाएँ वृत्तों के एक परिवार के मामलों को सीमित कर रही हैं जो आंतरिक रूप से एक के लिए स्पर्शरेखा हैं और बाहरी रूप से दो वृत्तों में से दूसरे के लिए स्पर्शरेखा हैं। मोबियस या व्युत्क्रम ज्यामिति में, रेखाओं को "अनंत पर" एक बिंदु के माध्यम से वृत्त के रूप में देखा जाता है और किसी भी रेखा और किसी भी वृत्त के लिए, एक मोबियस परिवर्तन होता है जो एक दूसरे का मानचित्रण करता है। मोबियस ज्यामिति में, एक रेखा और एक वृत्त के बीच स्पर्शरेखा दो वृत्तों के बीच स्पर्शरेखा का एक विशेष मामला बन जाता है। लाइ स्फीयर ज्योमेट्री में इस समानता को आगे बढ़ाया गया है। त्रिज्या और स्पर्शरेखा रेखा एक वृत्त के एक बिंदु पर लंबवत होती हैं, और इकाई हाइपरबोला के एक बिंदु पर हाइपरबोलिक-ऑर्थोगोनल होती हैं। त्रिज्या सदिश के माध्यम से इकाई हाइपरबोला का पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व है। पर स्पर्शरेखा रेखा की दिशा में बिंदुओं का व्युत्पन्न, और है त्रिज्या और स्पर्शरेखा हाइपरबोलिक ऑर्थोगोनल हैं और यूनिट हाइपरबोला के एसिम्प्टोट में एक दूसरे के प्रतिबिंब हैं। जब विभाजित-जटिल संख्याओं (जहाँ) के रूप में व्याख्या की जाती है, तो दोनों संख्याएँ संदर्भों को संतुष्ट करती हैं बाहरी लिंक वृत्त