Numerical model of the Solar System
सौर मंडल का एक संख्यात्मक मॉडल गणितीय समीकरणों का एक समूह है, जो हल होने पर समय के कार्य के रूप में ग्रहों की अनुमानित स्थिति देता है। इस तरह के मॉडल को बनाने के प्रयासों ने खगोलीय यांत्रिकी के अधिक सामान्य क्षेत्र को स्थापित किया। इस अनुकरण के परिणामों की तुलना सटीकता की जांच करने के लिए पिछले मापों के साथ की जा सकती है और फिर भविष्य की स्थिति की भविष्यवाणी करने के लिए इसका उपयोग किया जा सकता है। इसलिए इसका मुख्य उपयोग पंचांग तैयार करने में होता है। पुराने प्रयास अनुकरण कार्टेशियन या गोलाकार निर्देशांक में किया जा सकता है। पहला आसान है, लेकिन अत्यधिक गणना गहन है, और केवल एक इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटर पर व्यावहारिक है। इस प्रकार केवल बाद वाले का उपयोग पहले के समय में किया जाता था। कड़ाई से कहें तो, बाद वाला बहुत कम गणना गहन नहीं था, लेकिन कुछ सरल अनुमानों के साथ शुरू करना और फिर गड़बड़ी जोड़ना संभव था, जितना वांछित सटीकता तक पहुंचने के लिए आवश्यक था। संक्षेप में सौर मंडल का यह गणितीय अनुकरण एन-बॉडी समस्या का एक रूप है। प्रतीक एन निकायों की संख्या का प्रतिनिधित्व करता है, जो काफी बड़ा हो सकता है यदि इसमें सूर्य, 8 ग्रह, दर्जनों चंद्रमा और अनगिनत ग्रह, धूमकेतु आदि शामिल हैं। हालाँकि किसी भी अन्य पिंड पर सूर्य का प्रभाव इतना अधिक है, और एक दूसरे पर अन्य सभी पिंडों का प्रभाव इतना कम है कि समस्या को विश्लेषणात्मक रूप से हल करने योग्य 2-शरीर समस्या तक कम किया जा सकता है। प्रत्येक ग्रह के लिए परिणाम एक कक्षा है, जो समय के कार्य के रूप में इसकी स्थिति का एक सरल विवरण है। एक बार जब यह हल हो जाता है तो चंद्रमाओं और ग्रहों के एक-दूसरे पर प्रभाव को छोटे सुधारों के रूप में जोड़ा जाता है। ये पूर्ण ग्रहों की कक्षा की तुलना में छोटे हैं। कुछ सुधार अभी भी कई डिग्री बड़े हो सकते हैं, जबकि माप 1 "से बेहतर सटीकता के लिए किए जा सकते हैं। हालाँकि इस विधि का उपयोग अब अनुकरण के लिए नहीं किया जाता है, फिर भी एक अनुमानित अल्पकालिक खोज करना उपयोगी है क्योंकि कोई भी अपेक्षाकृत सरल मुख्य समाधान ले सकता है, शायद कुछ सबसे बड़ी गड़बड़ी जोड़ सकता है, और वांछित ग्रह स्थिति पर बहुत अधिक प्रयास किए बिना पहुंच सकता है। इसका नुकसान यह है कि विक्षोभ सिद्धांत बहुत उन्नत गणित है। आधुनिक विधि आधुनिक विधि में त्रि-आयामी स्थान में संख्यात्मक एकीकरण शामिल है। प्रत्येक शामिल निकाय के लिए स्थिति (x, y, z) और वेग (vx, vy, vz) के लिए एक उच्च सटीकता मूल्य के साथ शुरू होता है। जब प्रत्येक पिंड के द्रव्यमान का भी पता चलता है, तो त्वरण (अक्ष, अय, एज़) की गणना न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम से की जा सकती है। प्रत्येक शरीर एक दूसरे के शरीर को आकर्षित करता है, कुल त्वरण इन सभी आकर्षणों का योग है। अगला एक छोटा समय-चरण चुनता है और न्यूटन के गति के दूसरे नियम को लागू करता है। त्वरण को Δt से गुणा करने से वेग में सुधार होता है। वेग को Δt से गुणा करने से स्थिति में सुधार होता है। यह प्रक्रिया अन्य सभी निकायों के लिए दोहराई जाती है। परिणाम सभी निकायों के लिए स्थिति और वेग के लिए एक नया मान है। फिर, इन नए मूल्यों का उपयोग करके कोई भी अगले समय-चरण के लिए पूरी गणना शुरू करता है। इस प्रक्रिया को बार-बार दोहराना पर्याप्त है, और समय के साथ सभी निकायों की स्थिति का विवरण मिलता है। इस विधि का लाभ यह है कि एक कंप्यूटर के लिए यह एक बहुत ही आसान काम है, और यह एक ही समय में सभी निकायों के लिए अत्यधिक सटीक परिणाम देता है, जिससे गड़बड़ी को निर्धारित करने के लिए जटिल और कठिन प्रक्रियाओं को दूर किया जाता है। नुकसान यह है कि किसी को पहले स्थान पर अत्यधिक सटीक आंकड़ों के साथ शुरू करना चाहिए, या परिणाम समय के साथ वास्तविकता से दूर चले जाएंगे; कि किसी को x, y, z स्थिति मिलती है जिन्हें अक्सर अधिक व्यावहारिक ग्रहण या भूमध्यरेखीय निर्देशांक में परिवर्तित किया जाता है इससे पहले कि उनका उपयोग किया जा सके; और यह कि यह एक सभी या कुछ भी नहीं दृष्टिकोण है। यदि कोई एक विशेष समय पर एक ग्रह की स्थिति जानना चाहता है, तो अन्य सभी ग्रहों और सभी मध्यवर्ती समय-चरणों की भी गणना की जानी चाहिए। एकीकरण पिछले खंड में यह माना गया था कि त्वरण एक छोटे से समय-चरण पर स्थिर रहता है ताकि गणना केवल V × Δt को R में जोड़ने तक कम हो जाए। वास्तव में ऐसा नहीं है, सिवाय इसके कि जब कोई इतना छोटा कदम उठाता है कि उठाए जाने वाले कदमों की संख्या निषेधात्मक रूप से अधिक होगी। क्योंकि जब किसी भी समय स्थिति त्वरण द्वारा बदल जाती है, तो त्वरण का मूल्य तात्कालिक स्थिति द्वारा निर्धारित किया जाता है। स्पष्ट रूप से एक पूर्ण एकीकरण की आवश्यकता है। कई तरीके उपलब्ध हैं। सबसे पहले आवश्यक समीकरणों पर ध्यान देंः यह समीकरण किसी विशेष पिंड जे पर 1 से एन अभ्यास तक चलने वाले सभी निकायों के त्वरण का वर्णन करता है। यह एक सदिश समीकरण है, इसलिए इसे एक्स, वाई, जेड घटकों में से प्रत्येक के लिए 3 समीकरणों में विभाजित किया जाना है, जिससेः अतिरिक्त संबंधों के साथ, इसी तरह वाई और जेड के लिए। पूर्व समीकरण (गुरुत्वाकर्षण) पूर्वनिर्धारित लग सकता है, लेकिन इसकी गणना में कोई समस्या नहीं है। बाद के समीकरण (गति नियम) सरल प्रतीत होते हैं, लेकिन फिर भी उनकी गणना नहीं की जा सकती है। कंप्यूटर एकीकृत नहीं कर सकते हैं, वे असीम मूल्यों के साथ काम नहीं कर सकते हैं, इसलिए dt के बजाय हम Δt का उपयोग करते हैं और परिणामी चर को बाईं ओर लाते हैंः, औरः याद रखें कि a अभी भी समय का एक कार्य है। इन्हें हल करने का सबसे सरल तरीका केवल यूलर एल्गोरिथ्म है, जो संक्षेप में ऊपर वर्णित रैखिक जोड़ है। केवल किसी सामान्य कंप्यूटर भाषा में खुद को 1 आयाम तक सीमित करनाः a.old = गुरुत्वाकर्षण कार्य (x.old) x.new = x.old + v.old * dt v.new = v.old + a.old * dt जैसा कि संक्षेप में टाइमस्टेप की पूरी अवधि के लिए उपयोग किया जाने वाला त्वरण, वह है जो टाइमस्टेप की शुरुआत में था, इस सरल विधि में कोई उच्च सटीकता नहीं है। एक औसत त्वरण लेने से बहुत बेहतर परिणाम प्राप्त होते हैं, प्रारंभिक मान और अपेक्षित (निर्बाध) अंतिम मान के बीच का औसतः a.old = गुरुत्वाकर्षण कार्य (x.old) x.expect = x.old + v.old * dt v.new = v.old + (a.old + a.expect) * 0.5 * dt x.new = x.old + (v.new + v.old) * 0.5 * dt निश्चित रूप से मध्यवर्ती मान लेने से अभी भी बेहतर परिणामों की उम्मीद की जा सकती है। रुंग-कुट्टा विधि का उपयोग करते समय ऐसा ही होता है, विशेष रूप से ग्रेड 4 या 5 में से एक सबसे उपयोगी है। अपने अच्छे दीर्घकालिक ऊर्जा संरक्षण के कारण लीपफ्रॉग विधि सबसे आम विधि है। एक पूरी तरह से अलग विधि टेलर श्रृंखला का उपयोग है। उस स्थिति में हम लिखते हैंः लेकिन केवल r में कुछ उच्च व्युत्पन्न तक विकसित होने के बजाय, कोई r और v (यानी r ') में लिख कर विकसित हो सकता है और फिर एक श्रृंखला में f और g कारकों को लिख सकता है। सन्निकटन त्वरण की गणना करने के लिए एक दूसरे के शरीर पर प्रत्येक पिंड के गुरुत्वाकर्षण आकर्षण को ध्यान में रखा जाना चाहिए। परिणामस्वरूप अनुकरण में गणना की मात्रा निकायों की संख्या के वर्ग के साथ बढ़ जाती हैः निकायों की संख्या को दोगुना करने से कारक चार के साथ कार्य बढ़ जाता है। अनुकरण की सटीकता को बढ़ाने के लिए न केवल अधिक दशमलव लिए जाने हैं, बल्कि छोटे समय-चरण भी लिए जाने हैं, जिससे काम की मात्रा में तेजी से वृद्धि होती है। स्पष्ट रूप से काम की मात्रा को कम करने के लिए चालें अपनाई जानी चाहिए। इनमें से कुछ तरकीबें यहाँ दी गई हैं। अब तक की सबसे महत्वपूर्ण चाल एक उचित एकीकरण विधि का उपयोग है, जैसा कि पहले से ही ऊपर उल्लिखित है। इकाइयों का चयन महत्वपूर्ण है। एस. आई. इकाइयों में काम करने के बजाय, जो कुछ मूल्यों को बेहद छोटा और कुछ को बेहद बड़ा बनाती हैं, सभी इकाइयों को इस तरह से बढ़ाया जाना चाहिए कि वे 1 के पड़ोस में हों। उदाहरण के लिए, सौर मंडल में दूरी के लिए खगोलीय इकाई सबसे सीधी है। यदि ऐसा नहीं किया जाता है तो एक फ्लोटिंग पॉइंट ओवरफ्लो या अंडरफ्लो पर गणना के बीच में एक अनुकरण को छोड़ना लगभग निश्चित है, और यदि इतना बुरा नहीं है, तो भी कटाई त्रुटियों के कारण सटीकता खो जाने की संभावना है। यदि एन बड़ा है (सौर मंडल सिमुलेशन में इतना नहीं, लेकिन आकाशगंगा सिमुलेशन में अधिक) तो पिंडों के गतिशील समूहों को बनाने की प्रथा है। एक विशेष दिशा में और संदर्भ पिंड से बड़ी दूरी पर, जिसकी गणना उस समय की जा रही है, सभी पिंडों को एक साथ लिया जाता है और उनका गुरुत्वाकर्षण आकर्षण पूरे समूह पर औसत होता है। एक बंद प्रणाली की ऊर्जा और कोणीय संवेग की कुल मात्रा संरक्षित मात्राएँ हैं। प्रत्येक समय चरण के बाद इन राशियों की गणना करके सिमुलेशन को क्रमादेशित किया जा सकता है कि यदि वे महत्वपूर्ण रूप से नहीं बदलते हैं तो स्टेपसाइज़ Δt को बढ़ाया जा सकता है, और यदि वे ऐसा करना शुरू करते हैं तो इसे कम किया जा सकता है। शरीरों को पहले की तरह समूहों में जोड़ना और निकट शरीरों की तुलना में दूर शरीरों पर बड़े और इस प्रकार कम टाइमस्टेप लगाना भी संभव है। जब कोई विशेष निकाय संदर्भ निकाय के करीब होता है तो त्वरण के अत्यधिक तेजी से परिवर्तन की अनुमति देने के लिए, एक छोटे से पैरामीटर ई को पेश करने की प्रथा है ताकि जटिलताएं यदि उच्चतम संभव सटीकता की आवश्यकता होती है, तो गणना बहुत अधिक जटिल हो जाती है। धूमकेतुओं के मामले में, विकिरण दबाव और गैस खिंचाव जैसे गैर-गुरुत्वाकर्षण बलों को ध्यान में रखा जाना चाहिए। बुध और अन्य ग्रहों के मामले में दीर्घकालिक गणना के लिए, सापेक्ष प्रभावों को नजरअंदाज नहीं किया जा सकता है। फिर भी कुल ऊर्जा अब एक स्थिरांक नहीं है (क्योंकि रैखिक संवेग वाली चार सदिश ऊर्जा है)। प्रकाश की सीमित गति भी प्रकाश-समय प्रभावों, शास्त्रीय और सापेक्ष दोनों के लिए अनुमति देना महत्वपूर्ण बनाती है। ग्रहों को अब कण नहीं माना जा सकता है, लेकिन उनके आकार और घनत्व पर भी विचार किया जाना चाहिए। उदाहरण के लिए, पृथ्वी का चपटा होना पूर्वगमन का कारण बनता है, जिससे अक्षीय झुकाव बदल जाता है, जो सभी ग्रहों की दीर्घकालिक गतिविधियों को प्रभावित करता है। सौर मंडल की स्थिरता की कमी के कारण कुछ दसियों लाख वर्षों से परे जाने वाले दीर्घकालिक मॉडल संभव नहीं हैं। एफेमेरिस वीएसओपी (ग्रह) संदर्भ संख्यात्मक विश्लेषण कम्प्यूटेशनल भौतिकी गतिशील प्रणालियाँ सौर मंडल के सौर मंडल मॉडल की गतिशीलता भी देखें।