Stochastic volatility
सांख्यिकी में, यादृच्छिक अस्थिरता मॉडल वे हैं जिनमें एक यादृच्छिक प्रक्रिया का विचलन यादृच्छिक रूप से वितरित किया जाता है। उनका उपयोग गणितीय वित्त के क्षेत्र में व्युत्पन्न प्रतिभूतियों का मूल्यांकन करने के लिए किया जाता है, जैसे कि विकल्प। यह नाम एक यादृच्छिक प्रक्रिया के रूप में अंतर्निहित सुरक्षा की अस्थिरता के मॉडल के उपचार से निकला है, जो अंतर्निहित सुरक्षा के मूल्य स्तर, कुछ दीर्घकालिक औसत मूल्य पर लौटने की अस्थिरता की प्रवृत्ति और अस्थिरता प्रक्रिया के विचलन जैसे राज्य चर द्वारा नियंत्रित होता है। ब्लैक-स्कोल्स मॉडल की कमी को दूर करने के लिए यादृच्छिक अस्थिरता मॉडल एक तरीका है। विशेष रूप से, ब्लैक-स्कोल्स पर आधारित मॉडल मानते हैं कि अंतर्निहित अस्थिरता व्युत्पन्न के जीवनकाल में स्थिर है, और अंतर्निहित प्रतिभूति के मूल्य स्तर में परिवर्तन से अप्रभावित है। हालांकि, ये मॉडल निहित अस्थिरता सतह की लंबे समय से देखी गई विशेषताओं की व्याख्या नहीं कर सकते हैं जैसे कि अस्थिरता मुस्कान और तिरछा, जो इंगित करता है कि निहित अस्थिरता हड़ताल मूल्य और समाप्ति के संबंध में भिन्न होती है। यह मानते हुए कि अंतर्निहित मूल्य की अस्थिरता एक स्थिरांक के बजाय एक यादृच्छिक प्रक्रिया है, व्युत्पन्न को अधिक सटीक रूप से मॉडल करना संभव हो जाता है। नंगे ब्लैक-स्कोल्स मॉडल और स्टोकेस्टिक अस्थिरता मॉडल के बीच एक बीच का मैदान स्थानीय अस्थिरता मॉडल द्वारा कवर किया गया है। इन मॉडलों में अंतर्निहित अस्थिरता में कोई नई यादृच्छिकता नहीं है, लेकिन यह स्थिर भी नहीं है। स्थानीय अस्थिरता मॉडल में अस्थिरता अंतर्निहित परिसंपत्ति का एक गैर-तुच्छ कार्य है, बिना किसी अतिरिक्त यादृच्छिकता के। इस परिभाषा के अनुसार, भिन्नता की निरंतर लोच जैसे मॉडल स्थानीय अस्थिरता मॉडल होंगे, हालांकि उन्हें कभी-कभी यादृच्छिक अस्थिरता मॉडल के रूप में वर्गीकृत किया जाता है। कुछ मामलों में वर्गीकरण थोड़ा अस्पष्ट हो सकता है। यादृच्छिक अस्थिरता के प्रारंभिक इतिहास की कई जड़ें हैं (अर्थात। यादृच्छिक प्रक्रिया, विकल्प मूल्य निर्धारण और अर्थशास्त्र), इसकी समीक्षा नील शेफर्ड (2005) "यादृच्छिक अस्थिरता", ऑक्सफोर्ड यूनिवर्सिटी प्रेस के अध्याय 1 में की गई है। बुनियादी मॉडल एक निरंतर अस्थिरता दृष्टिकोण से शुरू करते हुए, यह मान लें कि व्युत्पन्न की अंतर्निहित परिसंपत्ति मूल्य ज्यामितीय ब्राउनियन गति के लिए एक मानक मॉडल का अनुसरण करती हैः जहां निरंतर बहाव है (यानी। प्रतिभूति मूल्य का अपेक्षित प्रतिफल), निरंतर अस्थिरता है, और शून्य माध्य और भिन्नता की इकाई दर के साथ एक मानक वीनर प्रक्रिया है। इस यादृच्छिक विभेदक समीकरण का स्पष्ट समाधान है अलग-अलग समय पर दिए गए स्टॉक की कीमतों के लिए निरंतर अस्थिरता का अनुमान लगाने के लिए अधिकतम संभावना अनुमानक इसका अपेक्षित मूल्य है यह निरंतर अस्थिरता वाला मूल मॉडल ब्लैक-स्कोल्स मॉडल और कॉक्स-रॉस-रुबिनस्टीन मॉडल जैसे गैर-यादृच्छिक अस्थिरता मॉडल के लिए प्रारंभिक बिंदु है। एक यादृच्छिक अस्थिरता मॉडल के लिए, निरंतर अस्थिरता को एक कार्य के साथ प्रतिस्थापित करें जो की भिन्नता को मॉडल करता है। इस विचरण फलन को ब्राउनियन गति के रूप में भी मॉडल किया गया है, और इसका रूप अध्ययन के तहत विशेष एस. वी. मॉडल पर निर्भर करता है। जहाँ कुछ कार्य हैं और हैं, और एक अन्य मानक गौसियन है जो निरंतर सहसंबंध कारक के साथ सहसंबद्ध है। हेस्टन मॉडल लोकप्रिय हेस्टन मॉडल एक आम तौर पर उपयोग किया जाने वाला एस. वी. मॉडल है, जिसमें विचलन प्रक्रिया की यादृच्छिकता विचलन के वर्गमूल के रूप में भिन्न होती है। इस मामले में, प्रसरण के लिए विभेदक समीकरण यह रूप लेता हैः जहां माध्य दीर्घकालिक प्रसरण है, वह दर है जिस पर प्रसरण अपने दीर्घकालिक माध्य की ओर मुड़ता है, प्रसरण प्रक्रिया की अस्थिरता है, और, जैसे, शून्य माध्य और प्रसरण के साथ एक गौसियन है। हालाँकि, और स्थिर सहसंबंध मूल्य के साथ सहसंबद्ध हैं। दूसरे शब्दों में, हेस्टन एस. वी. मॉडल मानता है कि विचरण एक यादृच्छिक प्रक्रिया है जो एक दर पर दीर्घकालिक माध्य की ओर लौटने की प्रवृत्ति प्रदर्शित करती है, अपने स्तर के वर्गमूल के आनुपातिक अस्थिरता प्रदर्शित करती है और जिसका यादृच्छिकता का स्रोत अंतर्निहित मूल्य प्रक्रियाओं की यादृच्छिकता के साथ सहसंबद्ध (सहसंबंध के साथ) है। अस्थिरता सतह के कुछ मापदंड, जैसे 'एसवीआई', हेस्टन मॉडल पर आधारित हैं। सी. ई. वी. मॉडल सी. ई. वी. मॉडल अस्थिरता और कीमत के बीच के संबंध का वर्णन करता है, जो यादृच्छिक अस्थिरता की शुरुआत करता हैः वैचारिक रूप से, कुछ बाजारों में अस्थिरता तब बढ़ती है जब कीमतें बढ़ती हैं (जैसे। वस्तुएँ), तो। अन्य बाजारों में, कीमतों में गिरावट के साथ अस्थिरता बढ़ती है। कुछ लोगों का तर्क है कि चूंकि सी. ई. वी. मॉडल अस्थिरता के लिए अपनी स्वयं की यादृच्छिक प्रक्रिया को शामिल नहीं करता है, इसलिए यह वास्तव में एक यादृच्छिक अस्थिरता मॉडल नहीं है। इसके बजाय, वे इसे एक स्थानीय अस्थिरता मॉडल कहते हैं। एस. ए. बी. आर. अस्थिरता मॉडल एस. ए. बी. आर. मॉडल (स्टोकेस्टिक अल्फा, बीटा, रो), हैगन एट अल द्वारा पेश किया गया। एकल अग्रगामी का वर्णन करता है (किसी भी परिसंपत्ति से संबंधित जैसे। यादृच्छिक अस्थिरता के तहत एक सूचकांक, ब्याज दर, बांड, मुद्रा या इक्विटी): प्रारंभिक मूल्य और वर्तमान अग्रिम मूल्य और अस्थिरता हैं, जबकि और दो सहसंबद्ध वीनर प्रक्रियाएं हैं (यानी। ब्राउनियन गतियाँ) सहसंबंध गुणांक के साथ। स्थिर मापदंड ऐसे होते हैं। एस. ए. बी. आर. मॉडल की मुख्य विशेषता अस्थिरता मुस्कान के मुस्कान प्रभाव को पुनः उत्पन्न करने में सक्षम होना है। जी. ए. आर. सी. एच. मॉडल सामान्यीकृत स्वचालित सशर्त हेटेरोस्केडास्टिसिटी (जी. ए. आर. सी. एच.) मॉडल यादृच्छिक अस्थिरता का अनुमान लगाने के लिए एक और लोकप्रिय मॉडल है। यह मानता है कि भिन्नता प्रक्रिया की यादृच्छिकता भिन्नता के साथ भिन्न होती है, जैसा कि हेस्टन मॉडल में भिन्नता के वर्गमूल के विपरीत है। मानक जी. ए. आर. सी. एच. (1,1) मॉडल में निरंतर भिन्नता अंतर के लिए निम्नलिखित रूप हैः जी. ए. आर. सी. एच. मॉडल को एन. जी. ए. आर. सी. एच., टी. जी. ए. आर. सी. एच., आई. जी. ए. आर. सी. एच., एल. जी. ए. आर. सी. एच., ई. जी. ए. आर. सी. एच., जी. जे. आर.-जी. ए. आर. सी. एच. आदि सहित कई रूपों के माध्यम से विस्तारित किया गया है। हालांकि, सख्ती से, जी. ए. आर. सी. एच. मॉडल से सशर्त अस्थिरता यादृच्छिक नहीं होती है क्योंकि पिछले मूल्यों को देखते हुए समय टी पर अस्थिरता पूरी तरह से पूर्व निर्धारित (निर्धारक) होती है। 3/2 मॉडल हेस्टन मॉडल के समान है, लेकिन यह मानता है कि विचलन प्रक्रिया की यादृच्छिकता अलग-अलग होती है। भिन्नता अंतर का रूप हैः हालाँकि मापदंडों का अर्थ हेस्टन मॉडल से अलग है। इस मॉडल में, भिन्नता मापदंडों के माध्य प्रतिवर्तन और अस्थिरता दोनों क्रमशः और द्वारा दी गई यादृच्छिक मात्राएँ हैं। उच्च आवृत्ति डेटा से अस्थिरता के अनुमान का उपयोग करते हुए, अस्थिरता प्रक्रिया की सहजता पर सवाल उठाया गया है। यह पाया गया है कि लॉग-अस्थिरता किसी भी उचित समय-सीमा पर क्रम के हर्स्ट प्रतिपादक के साथ एक आंशिक ब्राउनियन गति के रूप में व्यवहार करती है। इसने एक आंशिक यादृच्छिक अस्थिरता (एफ. एस. वी.) मॉडल को अपनाने के लिए प्रेरित किया, जिससे एक समग्र रफ एफ. एस. वी. (आर. एफ. एस. वी.) हो गया जहां इसे उजागर करना "मोटा" है। आर. एफ. एस. वी. मॉडल समय श्रृंखला डेटा के अनुरूप है, जिससे महसूस की गई अस्थिरता के बेहतर पूर्वानुमान की अनुमति मिलती है। अंशांकन और अनुमान एक बार जब कोई विशेष एस. वी. मॉडल चुना जाता है, तो इसे मौजूदा बाजार डेटा के अनुरूप कैलिब्रेट किया जाना चाहिए। अंशांकन मॉडल मापदंडों के समूह की पहचान करने की प्रक्रिया है जो सबसे अधिक संभावना है कि अवलोकन किए गए डेटा को दिया जाता है। एक लोकप्रिय तकनीक अधिकतम संभावना आकलन (एम. एल. ई.) का उपयोग करना है। उदाहरण के लिए, हेस्टन मॉडल में, ऐतिहासिक अंतर्निहित सुरक्षा कीमतों के अवलोकन के लिए पॉवेल निर्देशित सेट विधि जैसे एम. एल. ई. एल्गोरिदम को लागू करते हुए मॉडल मापदंडों के सेट का अनुमान लगाया जा सकता है। इस मामले में, आप एक अनुमान के साथ शुरू करते हैं, परिणामी मॉडल पर ऐतिहासिक मूल्य डेटा लागू करते समय अवशिष्ट त्रुटियों की गणना करते हैं, और फिर इन त्रुटियों को कम करने का प्रयास करने के लिए समायोजित करते हैं। एक बार अंशांकन किए जाने के बाद, मॉडल को समय-समय पर पुनः अंशांकन करना मानक अभ्यास है। अंशांकन का एक विकल्प सांख्यिकीय अनुमान है, जिससे पैरामीटर अनिश्चितता के लिए लेखांकन होता है। आमतौर पर उपर्युक्त मॉडलों के एक उपसमुच्चय के लिए कई बार-बार और बायेसियन विधियों को प्रस्तावित और लागू किया गया है। निम्नलिखित सूची में ओपन सोर्स सांख्यिकीय सॉफ्टवेयर आर के लिए विस्तार पैकेज शामिल हैं जिन्हें विशेष रूप से हेटेरोस्केडास्टिसिटी अनुमान के लिए डिज़ाइन किया गया है। पहले तीन नियतात्मक अस्थिरता के साथ जी. ए. आर. सी. एच.-प्रकार के मॉडलों को पूरा करते हैं; चौथा यादृच्छिक अस्थिरता अनुमान से संबंधित है। रुगार्कः ए. आर. एफ. आई. एम. ए., मतलब, बाहरी प्रतिगामी और विभिन्न जी. ए. आर. सी. एच. स्वाद, फिट, पूर्वानुमान, अनुकरण, अनुमान और प्लॉटिंग के तरीकों के साथ। fGarch: "वित्तीय इंजीनियरिंग और कम्प्यूटेशनल वित्त" पढ़ाने के लिए आरमेट्रिक्स वातावरण का हिस्सा। bayesGarch: छात्रों के टी नवाचारों के साथ GARCH (1,1) मॉडल का bayesian अनुमान। स्टोचवोलः मार्कोव श्रृंखला मोंटे कार्लो (एमसीएमसी) विधियों के माध्यम से स्टोकेस्टिक अस्थिरता (एसवी) मॉडल के पूरी तरह से बायेसियन अनुमान के लिए कुशल एल्गोरिदम। समय के साथ कई संख्यात्मक विधियाँ विकसित की गई हैं और उन्होंने यादृच्छिक अस्थिरता मॉडल के साथ विकल्प जैसी वित्तीय परिसंपत्तियों के मूल्य निर्धारण को हल किया है। हाल ही में विकसित एक अनुप्रयोग स्थानीय यादृच्छिक अस्थिरता मॉडल है। यह स्थानीय यादृच्छिक अस्थिरता मॉडल विदेशी मुद्रा विकल्प जैसी नई वित्तीय परिसंपत्तियों के मूल्य निर्धारण में बेहतर परिणाम देता है। अन्य भाषाओं में वैकल्पिक सांख्यिकीय आकलन पुस्तकालय भी हैं जैसे कि पायथनः पायफ्लक्स में बायेसियन और जीएआरसीएच और बीटा-टी-ईजीएआरसीएच मॉडल के लिए शास्त्रीय अनुमान समर्थन शामिल हैं। ब्लैक-स्कोल्स मॉडल हेस्टन मॉडल स्थानीय अस्थिरता मार्कोव स्विचिंग मल्टीफ्रैक्टल रिस्क-न्यूट्रल माप एसएबीआर अस्थिरता मॉडल स्टोकेस्टिक अस्थिरता कूद सबऑर्डिनेटर अस्थिरता अस्थिरता क्लस्टरिंग अस्थिरता, अनिश्चितता, जटिलता और अस्पष्टता संदर्भ स्रोत स्टोकेस्टिक अस्थिरता और माध्य-भिन्नता विश्लेषण, ह्यूंगसोक आहन, पॉल विल्मोट, (2006)। यादृच्छिक अस्थिरता वाले विकल्पों के लिए एक बंद-रूप समाधान, एस. एल. हेस्टन, (1993)। इनसाइड वोलेटिलिटी आर्बिट्रेज, अलीरेज़ा जावेरी, (2005)। स्टोकेस्टिक अस्थिरता मॉडलों के अंशांकन में तेजी लाना, किलिन, फिओडार (2006)। गणितीय वित्त विकल्प (वित्त) व्युत्पन्न (वित्त)