Smoothness
गणितीय विश्लेषण में, किसी फलन की सुगमता एक गुण है जिसे किसी क्षेत्र में निरंतर व्युत्पन्न की संख्या से मापा जाता है, जिसे विभेदक वर्ग कहा जाता है। बहुत कम से कम, एक फलन को सहज माना जा सकता है यदि यह हर जगह अवकलनीय है (इसलिए निरंतर)। दूसरे छोर पर, इसके पास अपने क्षेत्र में सभी क्रम के व्युत्पन्न भी हो सकते हैं, इस मामले में इसे असीम रूप से अवकलनीय कहा जाता है और इसे सी-अनंत फलन (या फलन) के रूप में संदर्भित किया जाता है। अवकलनीयता वर्ग अवकलनीयता वर्ग उनके व्युत्पन्नों के गुणों के अनुसार कार्यों का एक वर्गीकरण है। यह व्युत्पन्न के उच्चतम क्रम का एक माप है जो किसी फलन के लिए मौजूद है और निरंतर है। वास्तविक रेखा पर एक खुले समुच्चय और वास्तविक मूल्यों के साथ परिभाषित एक फलन पर विचार करें। मान लीजिए कि k एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है। फलन को अवकलनीयता वर्ग का कहा जाता है यदि व्युत्पन्न मौजूद हैं और निरंतर चालू हैं। यदि-अवकलनीय है, तो यह कम से कम कक्षा में है क्योंकि निरंतर चालू हैं। फलन को असीम रूप से अवकलनीय, चिकना या वर्ग का कहा जाता है, यदि इसमें सभी आदेशों के व्युत्पन्न हैं। (तो ये सभी व्युत्पन्न निरंतर कार्य हैं।) फलन को वर्ग या विश्लेषणात्मक कहा जाता है, यदि यह चिकना है (यानी, वर्ग में है) और इसके क्षेत्र में किसी भी बिंदु के आसपास इसका टेलर श्रृंखला विस्तार बिंदु के कुछ पड़ोस में फलन में परिवर्तित हो जाता है। इस प्रकार सख्ती से निहित है। बम्प फंकशन इन फंकशन के उदाहरण हैं लेकिन इन में नहीं। इसे अलग तरह से रखने के लिए, वर्ग में सभी निरंतर कार्य होते हैं। वर्ग में सभी अवकलनीय कार्य होते हैं जिनके व्युत्पन्न निरंतर होते हैं; ऐसे कार्यों को निरंतर अवकलनीय कहा जाता है। इस प्रकार, एक फलन वास्तव में एक फलन है जिसका व्युत्पन्न मौजूद है और वर्ग का है। सामान्य तौर पर, वर्गों को सभी निरंतर कार्यों के समूह के रूप में घोषित करके और किसी भी सकारात्मक पूर्णांक के लिए उन सभी अवकलनीय कार्यों के समूह के रूप में घोषित करके पुनरावर्ती रूप से परिभाषित किया जा सकता है जिनके व्युत्पन्न में हैं। विशेष रूप से, प्रत्येक के लिए निहित है, और यह दिखाने के लिए उदाहरण हैं कि यह रोकथाम सख्त () है। असीम अवकलनीय फलन का वर्ग, गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों पर भिन्न होने वाले वर्गों का प्रतिच्छेदन है। उदाहरण निरंतर (C0) लेकिन अवकलनीय नहीं फलन निरंतर है, लेकिन पर अवकलनीय नहीं है, इसलिए यह C0 वर्ग का है, लेकिन C1 वर्ग का नहीं है। उदाहरण-परिमित-समय अवकलनीय (सी) प्रत्येक सम पूर्णांक के लिए, फलन निरंतर और समय अवकलनीय होता है। ए. टी., हालांकि, समय अवकलनीय नहीं है, इसलिए सी वर्ग का है, लेकिन सी वर्ग का नहीं है। उदाहरण के लिएः अवकलनीय लेकिन निरंतर अवकलनीय नहीं (C1 नहीं) फलन अवकलनीय है, व्युत्पन्न के साथ क्योंकि ऑसिलेट्स के रूप में 0, शून्य पर निरंतर नहीं है। इसलिए, अवकलनीय है लेकिन वर्ग C1 का नहीं है। उदाहरण के लिएः अवकलनीय लेकिन लिपशिट्ज़ निरंतर नहीं फलन अवकलनीय है लेकिन इसका व्युत्पन्न एक कॉम्पैक्ट सेट पर असीमित है। इसलिए, एक ऐसे फलन का एक उदाहरण है जो अवकलनीय है लेकिन स्थानीय रूप से निरंतर नहीं है। उदाहरण-विश्लेषणात्मक (C) घातीय फलन विश्लेषणात्मक है और इसलिए यह Cω वर्ग में आता है। त्रिकोणमितीय कार्य भी विश्लेषणात्मक होते हैं जहाँ भी उन्हें परिभाषित किया जाता है क्योंकि वे जटिल घातीय कार्यों के रैखिक संयोजन होते हैं। उदाहरण-चिकना (सी) लेकिन विश्लेषणात्मक नहीं (सी) बम्प फलन चिकना है, इसलिए वर्ग सी ≤ का है, लेकिन यह विश्लेषणात्मक नहीं है, और इसलिए वर्ग सीω का नहीं है। फंक्शन कॉम्पैक्ट सपोर्ट के साथ एक स्मूथ फंक्शन का एक उदाहरण है। बहुभिन्नरूपी अवकलनीयता वर्ग के एक खुले समूह पर परिभाषित एक फलन को एक सकारात्मक पूर्णांक के लिए वर्ग पर कहा जाता है, यदि सभी आंशिक व्युत्पन्न मौजूद हैं और निरंतर हैं, तो प्रत्येक गैर-नकारात्मक पूर्णांक के लिए, जैसे कि, और प्रत्येक। समान रूप से, वर्ग का है यदि का-th क्रम फ्रेचेट व्युत्पन्न मौजूद है और के प्रत्येक बिंदु पर निरंतर है। फ़ंक्शन को वर्ग का कहा जाता है या यदि यह निरंतर चालू है। वर्ग के कार्यों को भी निरंतर अवकलनीय कहा जाता है। के एक खुले समूह पर परिभाषित एक फलन को एक सकारात्मक पूर्णांक के लिए वर्ग पर कहा जाता है, यदि इसके सभी घटक वर्ग के हैं, तो प्राकृतिक अनुमानों को किस प्रकार परिभाषित किया जाता है। इसे वर्ग का कहा जाता है या यदि यह निरंतर है, या समकक्ष रूप से, यदि सभी घटक निरंतर हैं, तो चालू है। सी. के. फलन का स्थान वास्तविक रेखा का एक खुला उपसमुच्चय माना जाता है। परिभाषित सभी वास्तविक-मूल्य वाले कार्यों का समूह एक फ्रेचेट वेक्टर स्थान है, जिसमें सेमिनोर्म्स के गणना योग्य परिवार होते हैं, जो कॉम्पैक्ट सेटों के बढ़ते अनुक्रम पर भिन्न होते हैं जिनका संघ है, और। कार्यों का समूह भी एक फ्रेचेट स्थान बनाता है। ऊपर के समान सेमिनोर्म्स का उपयोग किया जाता है, सिवाय इसके कि सभी गैर-नकारात्मक पूर्णांक मानों पर सीमा की अनुमति है। उपरोक्त रिक्त स्थान स्वाभाविक रूप से उन अनुप्रयोगों में होते हैं जहां कुछ क्रम के व्युत्पन्न वाले कार्य आवश्यक होते हैं; हालाँकि, विशेष रूप से आंशिक विभेदक समीकरणों के अध्ययन में, कभी-कभी सोबोलेव रिक्त स्थान के बजाय काम करना अधिक उपयोगी हो सकता है। निरंतरता पैरामीट्रिक निरंतरता (सीके) और ज्यामितीय निरंतरता (जीएन) शब्दों को ब्रायन बार्स्की द्वारा पेश किया गया था, यह दिखाने के लिए कि एक वक्र की चिकनाई को गति पर प्रतिबंधों को हटाकर मापा जा सकता है, जिसके साथ पैरामीटर वक्र का पता लगाता है। पैरामीट्रिक निरंतरता पैरामीट्रिक निरंतरता (सी. के.) पैरामीट्रिक वक्रों पर लागू एक अवधारणा है, जो वक्र के साथ दूरी के साथ पैरामीटर के मूल्य की चिकनाई का वर्णन करती है। ए (पैरामीट्रिक) वक्र को वर्ग सीके का कहा जाता है, यदि मौजूद है और निरंतर है, जहां अंत-बिंदुओं पर व्युत्पन्न और एक तरफा व्युत्पन्न (दाएँ से और बाएँ से) लिए जाते हैं। इस अवधारणा के एक व्यावहारिक अनुप्रयोग के रूप में, समय के पैरामीटर के साथ किसी वस्तु की गति का वर्णन करने वाले वक्र में सी1 निरंतरता होनी चाहिए और इसका पहला व्युत्पन्न अवकलनीय है-ताकि वस्तु का परिमित त्वरण हो। चिकनी गति के लिए, जैसे कि फिल्म बनाते समय कैमरे के पथ के लिए, पैरामीट्रिक निरंतरता के उच्च क्रम की आवश्यकता होती है। पैरामीट्रिक निरंतरता का क्रम पैरामीट्रिक निरंतरता के विभिन्न क्रम को निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता हैः शून्य व्युत्पन्न निरंतर है (वक्र निरंतर हैं): शून्य और पहले व्युत्पन्न निरंतर हैंः शून्य, पहले और दूसरे व्युत्पन्न निरंतर हैंः 0-th से-th व्युत्पन्न निरंतर ज्यामितीय निरंतरता हैं ज्यामितीय निरंतरता या ज्यामितीय निरंतरता (Gn) की अवधारणा को मुख्य रूप से लीबनिज़, केपलर और पोंसलेट जैसे गणितविदों द्वारा शंकु वर्गों (और संबंधित आकृतियों) पर लागू किया गया था। यह अवधारणा बीजगणित के बजाय ज्यामिति के माध्यम से निरंतरता की अवधारणा का वर्णन करने का एक प्रारंभिक प्रयास था, जैसा कि एक पैरामीट्रिक फ़ंक्शन के माध्यम से व्यक्त किया गया था। ज्यामितीय निरंतरता के पीछे मूल विचार यह था कि पाँच शंकु खंड वास्तव में एक ही आकार के पाँच अलग-अलग संस्करण थे। एक दीर्घवृत्त एक वृत्त की ओर जाता है जैसे-जैसे उत्केन्द्रता शून्य की ओर बढ़ती है, या एक परवलय की ओर जाता है जैसे-जैसे यह एक के पास आता है; और एक हाइपरबोला एक परवलय की ओर जाता है जैसे-जैसे उत्केन्द्रता एक की ओर गिरती है; यह प्रतिच्छेदन रेखाओं की ओर भी जा सकता है। इस प्रकार, शंकु वर्गों के बीच निरंतरता थी। इन विचारों ने निरंतरता की अन्य अवधारणाओं को जन्म दिया। उदाहरण के लिए, यदि एक वृत्त और एक सीधी रेखा एक ही आकार की दो अभिव्यक्तियाँ हैं, तो शायद एक रेखा को अनंत त्रिज्या का वृत्त माना जा सकता है। ऐसा होने के लिए, किसी को बिंदु को वृत्त पर एक बिंदु होने की अनुमति देकर रेखा को बंद करना होगा, और इसके लिए और समान होना चाहिए। इस तरह के विचार आधुनिक, बीजगणितीय रूप से परिभाषित, एक फलन की निरंतरता के विचार को तैयार करने में उपयोगी थे और (अधिक के लिए प्रोजेक्टिव रूप से विस्तारित वास्तविक रेखा देखें)। ज्यामितीय निरंतरता का क्रम एक वक्र या सतह को निरंतरता के रूप में वर्णित किया जा सकता है, जो चिकनीपन का बढ़ता माप है। एक वक्र पर एक बिंदु के दोनों ओर के खंडों पर विचार करेंः वक्र जोड़ बिंदु पर स्पर्श करते हैं। : वक्र भी जुड़ाव बिंदु पर एक सामान्य स्पर्शरेखा दिशा साझा करते हैं। : वक्र भी जुड़ाव बिंदु पर वक्रता का एक सामान्य केंद्र साझा करते हैं। सामान्य तौर पर, निरंतरता मौजूद होती है यदि वक्रों को (पैरामीट्रिक) निरंतरता के लिए पुनर्निर्धारित किया जा सकता है। वक्र का पुनर्निर्धारण ज्यामितीय रूप से मूल के समान है; केवल पैरामीटर प्रभावित होता है। समान रूप से, दो सदिश कार्य और निरंतरता है यदि और, एक अदिश के लिए (यानी, यदि दिशा, लेकिन आवश्यक रूप से परिमाण नहीं, दो सदिशों की दिशा बराबर है)। हालांकि यह स्पष्ट हो सकता है कि एक वक्र को सुचारू रूप से दिखाई देने के लिए निरंतरता की आवश्यकता होगी, अच्छे सौंदर्यशास्त्र के लिए, जैसे कि वास्तुकला और स्पोर्ट्स कार डिजाइन में, ज्यामितीय निरंतरता के उच्च स्तर की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, कार के शरीर में प्रतिबिंब तब तक सुचारू नहीं दिखाई देंगे जब तक कि शरीर में निरंतरता न हो। ए (चार कोनों पर नब्बे डिग्री गोलाकार चापों के साथ) में निरंतरता है, लेकिन निरंतरता नहीं है। ए के लिए भी यही सच है, जिसके कोनों पर एक गोले के अष्टक और इसके किनारों के साथ चौथाई-सिलेंडर होते हैं। यदि निरंतरता के साथ एक संपादन योग्य वक्र की आवश्यकता होती है, तो घन स्प्लाइन आमतौर पर चुने जाते हैं; इन वक्रों का उपयोग अक्सर औद्योगिक डिजाइन में किया जाता है। अन्य अवधारणाएँ विश्लेषणात्मकता से संबंध जबकि सभी विश्लेषणात्मक कार्य "सहज" होते हैं (अर्थात। सेट पर सभी व्युत्पन्न निरंतर हैं) जिस पर वे विश्लेषणात्मक हैं, उदाहरण जैसे कि टक्कर कार्य (ऊपर उल्लिखित) से पता चलता है कि वास्तविक पर कार्यों के लिए विपरीत सही नहीं हैः ऐसे सहज वास्तविक कार्य मौजूद हैं जो विश्लेषणात्मक नहीं हैं। फ़ंक्शंस के सरल उदाहरण जो चिकने होते हैं लेकिन किसी भी बिंदु पर विश्लेषणात्मक नहीं होते हैं, उन्हें फ़ोरियर श्रृंखला के माध्यम से बनाया जा सकता है; एक और उदाहरण फैबियस फ़ंक्शन है। यद्यपि यह प्रतीत हो सकता है कि ऐसे कार्य नियम के बजाय अपवाद हैं, लेकिन यह पता चला है कि विश्लेषणात्मक कार्य चिकने कार्यों के बीच बहुत पतले बिखरे हुए हैं; अधिक कठोरता से, विश्लेषणात्मक कार्य चिकने कार्यों का एक अल्प उपसमुच्चय बनाते हैं। इसके अलावा, वास्तविक रेखा के प्रत्येक खुले उपसमुच्चय ए के लिए, ऐसे सहज कार्य मौजूद हैं जो ए पर विश्लेषणात्मक हैं और कहीं और नहीं। स्थिति की तुलना वास्तविक रेखा पर दिव्य संख्याओं की सर्वव्यापीता से करना उपयोगी है। वास्तविक रेखा और सुचारू कार्यों के समूह दोनों पर, हम पहले विचार में जिन उदाहरणों (बीजगणितीय/परिमेय संख्याएँ और विश्लेषणात्मक कार्य) के साथ आते हैं, वे अधिकांश मामलों की तुलना में कहीं बेहतर व्यवहार करते हैंः दिव्य संख्याएँ और कहीं भी विश्लेषणात्मक कार्यों का पूरा माप नहीं होता है (उनके पूरक कम होते हैं)। इस प्रकार वर्णित स्थिति जटिल अवकलनीय कार्यों के स्पष्ट विपरीत है। यदि एक जटिल फलन एक खुले समुच्चय पर केवल एक बार अवकलनीय है, तो यह उस समुच्चय पर असीम रूप से अवकलनीय और विश्लेषणात्मक दोनों है। एकता के चिकने विभाजन दिए गए बंद समर्थन के साथ चिकने कार्यों का उपयोग एकता के चिकने विभाजन के निर्माण में किया जाता है (एकता का विभाजन और टोपोलॉजी शब्दावली देखें); ये चिकने मैनिफोल्ड के अध्ययन में आवश्यक हैं, उदाहरण के लिए यह दिखाने के लिए कि रीमानियन मेट्रिक्स को उनके स्थानीय अस्तित्व से शुरू करके विश्व स्तर पर परिभाषित किया जा सकता है। एक सरल मामला वास्तविक रेखा पर एक टक्कर फलन का है, अर्थात, एक चिकना फलन f जो एक अंतराल [a, b] के बाहर मान 0 लेता है और ऐसा है कि रेखा पर कई अतिव्यापी अंतरालों को देखते हुए, उनमें से प्रत्येक पर और अर्ध-अनंत अंतरालों पर और पूरी रेखा को कवर करने के लिए टक्कर फलन का निर्माण किया जा सकता है, जैसे कि कार्यों का योग हमेशा 1 होता है। अभी जो कहा गया है, उससे एकता के विभाजन होलोमोर्फिक कार्यों पर लागू नहीं होते हैं; अस्तित्व और विश्लेषणात्मक निरंतरता के सापेक्ष उनका अलग व्यवहार शीफ सिद्धांत की जड़ों में से एक है। इसके विपरीत, चिकने कार्यों के आवरणों में बहुत अधिक स्थलाकृतिक जानकारी नहीं होती है। मैनिफोल्ड्स पर और उनके बीच चिकने कार्य एक चिकनी मैनिफोल्ड, आयाम और एक एटलस को देखते हुए एक नक्शा चिकना होता है यदि सभी के लिए एक चार्ट मौजूद है जो कि इन के पड़ोस से एक चिकना कार्य है (दिए गए क्रम तक सभी आंशिक व्युत्पन्न निरंतर हैं)। एटलस के किसी भी चार्ट के संबंध में चिकनीपन की जाँच की जा सकती है जिसमें शामिल है क्योंकि चार्ट के बीच संक्रमण कार्यों पर चिकनीपन की आवश्यकता यह सुनिश्चित करती है कि यदि एक चार्ट के पास चिकनी है तो यह किसी अन्य चार्ट के पास चिकनी होगी। यदि एक-आयामी मैनिफोल्ड से एक नक्शा है, तो चिकना है यदि प्रत्येक के लिए एक चार्ट होता है और एक चार्ट इस तरह से होता है और मैनिफोल्ड्स के बीच चिकने मानचित्रों से एक चिकना कार्य होता है जो स्पर्शरेखा रिक्त स्थान के बीच रैखिक मानचित्रों को प्रेरित करता हैः क्योंकि, प्रत्येक बिंदु पर पुशफॉरवर्ड (या विभेदक) स्पर्शरेखा वैक्टरों को स्पर्शरेखा वैक्टरों पर मानचित्रित करता हैः और स्पर्शरेखा बंडल के स्तर पर, पुशफॉरवर्ड एक वेक्टर बंडल समरूपता हैः पुशफॉरवर्ड के लिए दोहरी पुलबैक है, जो कोवेक्टरों को वापस कोवेक्टरों पर "खींचता है" और-रूपों को-रूपों मेंः इस तरह से मैनिफोल्ड्स के बीच चिकने कार्य स्थानीय डेटा का परिवहन कर सकते हैं, जैसे वेक्टर फ़ील्ड और विभेदक रूप, एक मैनिफोल्ड से दूसरे में, या नीचे सुचारू कार्यों के साथ पूर्व-चित्र और आगे की ओर धकेलना, सामान्य रूप से, अतिरिक्त धारणाओं के बिना कई गुना नहीं होते हैं। नियमित बिंदुओं की पूर्व-छवियाँ (यानी, यदि अंतर पूर्व-छवि पर गायब नहीं होता है) कई गुना हैं; यह पूर्व-छवि प्रमेय है। इसी तरह, एम्बेडिंग के साथ पुशफॉर्वर्ड कई गुना होते हैं। मैनिफोल्ड के सबसेट के बीच चिकने कार्य मैनिफोल्ड के मनमाने उपसमुच्चय के लिए चिकने नक्शे की एक संबंधित धारणा है। यदि एक ऐसा फलन है जिसका क्षेत्र और सीमा क्रमशः कई गुना के उपसमुच्चय हैं। इसे चिकना कहा जाता है यदि सभी के लिए एक खुला सेट और एक चिकना कार्य है जैसे कि सभी के लिए देखें (संख्या सिद्धांत) सोबोलेव मानचित्रण संदर्भ चिकने कार्य