Thin group (combinatorial group theory)
गणित में, समूह सिद्धांत के क्षेत्र में, एक समूह को पतला कहा जाता है यदि किसी भी परिमित उत्पन्न करने वाले सेट द्वारा प्रेरित केले ग्राफ के परिधि पर एक सीमित ऊपरी सीमा होती है। समूह को वसा कहा जाता है यदि यह पतला नहीं है। समूह के किसी भी उत्पन्न करने वाले समूह को देखते हुए, हम एक ऐसे ग्राफ पर विचार कर सकते हैं जिसके शीर्ष समूह के तत्व हैं और दो शीर्ष निकटवर्ती हैं यदि उनका अनुपात उत्पन्न करने वाले समूह में है। ग्राफ जुड़ा हुआ है और वर्टेक्स ट्रांजिटिव है। ग्राफ में पथ जनरेटर में शब्दों के अनुरूप होते हैं। यदि ग्राफ में दी गई लंबाई का एक चक्र है, तो इसमें समान लंबाई का एक चक्र है जिसमें पहचान तत्व होता है। इस प्रकार, ग्राफ का घेरा एक गैर-तुच्छ शब्द की न्यूनतम लंबाई से मेल खाता है जो पहचान तक कम हो जाता है। एक गैर-तुच्छ शब्द एक ऐसा शब्द है, जिसे यदि मुक्त समूह में एक शब्द के रूप में देखा जाए, तो यह पहचान तक कम नहीं होता है। यदि ग्राफ में कोई चक्र नहीं है, तो इसका परिधि अनंत निर्धारित की जाती है। परिधि सेट उत्पन्न करने के विकल्प पर निर्भर करती है। एक पतला समूह एक ऐसा समूह है जहाँ परिधि में सभी परिमित उत्पन्न करने वाले सेटों के लिए एक ऊपरी सीमा होती है। पतले और मोटे समूहों और घेरों के बारे में कुछ तथ्यः प्रत्येक सीमित समूह पतला होता है। हर मुक्त समूह मोटा होता है। एक चक्रीय समूह का परिधि उसके क्रम के बराबर होता है। एक गैर-चक्रीय अबेलियन समूह का परिधि अधिक से अधिक 4 है, क्योंकि कोई भी दो तत्व कम्यूट करते हैं और कम्यूटेशन संबंध एक गैर-तुच्छ शब्द देता है। डायहेड्रल समूह का परिधि 2 है। प्रत्येक निलपोटेन्ट समूह, और अधिक सामान्य रूप से, प्रत्येक हल करने योग्य समूह, पतला होता है। बाहरी लिंक समूहों के परिधि पर एक प्रारंभिक पेपर समूहों के गुण