P-value
शून्य-परिकल्पना महत्व परीक्षण में, पी-मान परीक्षण परिणाम प्राप्त करने की संभावना है कम से कम उतना ही चरम जितना कि परिणाम वास्तव में देखा गया है, इस धारणा के तहत कि शून्य परिकल्पना सही है। बहुत कम पी-मान का मतलब है कि शून्य परिकल्पना के तहत इस तरह के चरम अवलोकन परिणाम की बहुत संभावना नहीं होगी। भले ही सांख्यिकीय परीक्षणों के पी-मानों की रिपोर्ट करना कई मात्रात्मक क्षेत्रों के शैक्षणिक प्रकाशनों में आम बात है, पी-मानों की गलत व्याख्या और दुरुपयोग व्यापक है और गणित और मेटासाइंस में एक प्रमुख विषय रहा है। 2016 में, अमेरिकन स्टैटिस्टिकल एसोसिएशन (ए. एस. ए.) ने एक औपचारिक बयान दिया कि "पी-मान इस संभावना को नहीं मापते हैं कि अध्ययन की गई परिकल्पना सच है, या संभावना है कि डेटा केवल यादृच्छिक संयोग से उत्पन्न किया गया था" और "पी-मान, या सांख्यिकीय महत्व, किसी प्रभाव के आकार या परिणाम के महत्व को नहीं मापता है" या "एक मॉडल या परिकल्पना के बारे में साक्ष्य"। उस ने कहा, ए. एस. ए. द्वारा 2019 के एक कार्य बल ने सांख्यिकीय महत्व और प्रतिकृति पर एक बयान जारी किया है, जिसका समापन इस प्रकार हैः "पी-मान और महत्व परीक्षण, जब ठीक से लागू और व्याख्या की जाती है, तो डेटा से निकाले गए निष्कर्षों की कठोरता में वृद्धि होती है।" सांख्यिकी में, कुछ अध्ययनों में देखे गए डेटा का प्रतिनिधित्व करने वाले यादृच्छिक चरों के संग्रह के अज्ञात संभावना वितरण से संबंधित प्रत्येक अनुमान को सांख्यिकीय परिकल्पना कहा जाता है। यदि हम केवल एक परिकल्पना बताते हैं और सांख्यिकीय परीक्षण का उद्देश्य यह देखना है कि क्या यह परिकल्पना मान्य है, लेकिन अन्य विशिष्ट परिकल्पनाओं की जांच करने के लिए नहीं है, तो इस तरह के परीक्षण को शून्य परिकल्पना परीक्षण कहा जाता है। जैसा कि हमारी सांख्यिकीय परिकल्पना, परिभाषा के अनुसार, वितरण की कुछ संपत्ति बताएगी, शून्य परिकल्पना डिफ़ॉल्ट परिकल्पना है जिसके तहत वह संपत्ति मौजूद नहीं है। शून्य परिकल्पना आम तौर पर यह है कि ब्याज की आबादी में कुछ पैरामीटर (जैसे सहसंबंध या साधनों के बीच अंतर) शून्य है। हमारी परिकल्पना सटीक रूप से प्रायिकता वितरण को निर्दिष्ट कर सकती है, या यह केवल यह निर्दिष्ट कर सकती है कि यह वितरण के कुछ वर्ग से संबंधित है। अक्सर, हम डेटा को एक एकल संख्यात्मक सांख्यिकीय तक कम कर देते हैं, उदाहरण के लिए, जिसका सीमांत संभाव्यता वितरण अध्ययन में रुचि के मुख्य प्रश्न से निकटता से जुड़ा हुआ है। पी-मान का उपयोग शून्य परिकल्पना परीक्षण के संदर्भ में किया जाता है ताकि परिणाम के सांख्यिकीय महत्व की मात्रा निर्धारित की जा सके, जिसका परिणाम चुने गए सांख्यिकीय का अवलोकन मूल्य होता है। पी-मान जितना कम होगा, उस परिणाम को प्राप्त करने की संभावना उतनी ही कम होगी यदि शून्य परिकल्पना सच थी। एक परिणाम को सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण कहा जाता है यदि यह हमें शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करने की अनुमति देता है। अन्य सभी चीजें समान होने के कारण, छोटे पी-मानों को शून्य परिकल्पना के खिलाफ मजबूत सबूत के रूप में लिया जाता है। शिथिल रूप से, शून्य परिकल्पना की अस्वीकृति का तात्पर्य है कि इसके खिलाफ पर्याप्त सबूत हैं। एक विशेष उदाहरण के रूप में, यदि एक शून्य परिकल्पना बताती है कि एक निश्चित सारांश सांख्यिकीय मानक सामान्य वितरण एन (0,1) का अनुसरण करता है, तो इस शून्य परिकल्पना की अस्वीकृति का अर्थ यह हो सकता है कि (i) का माध्य 0 नहीं है, या (ii) का विचरण 1 नहीं है, या (iii) सामान्य रूप से वितरित नहीं है। एक ही शून्य परिकल्पना के विभिन्न परीक्षण विभिन्न विकल्पों के प्रति कमोबेश संवेदनशील होंगे। हालाँकि, भले ही हम सभी 3 विकल्पों के लिए शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करने का प्रबंधन करते हैं, और भले ही हम जानते हैं कि वितरण सामान्य है और विचरण 1 है, शून्य परिकल्पना परीक्षण हमें यह नहीं बताता है कि माध्य के कौन से गैर-शून्य मान अब सबसे अधिक प्रशंसनीय हैं। समान संभाव्यता वितरण से जितने अधिक स्वतंत्र अवलोकन होंगे, परीक्षण उतना ही अधिक सटीक होगा, और उतनी ही अधिक सटीकता के साथ कोई औसत मूल्य निर्धारित करने में सक्षम होगा और दिखाएगा कि यह शून्य के बराबर नहीं है; लेकिन इससे इस विचलन की वास्तविक दुनिया या वैज्ञानिक प्रासंगिकता का मूल्यांकन करने का महत्व भी बढ़ेगा। परिभाषा और व्याख्या पी-मान शून्य परिकल्पना के तहत एक वास्तविक-मूल्यवान परीक्षण सांख्यिकीय प्राप्त करने की संभावना है जो कम से कम प्राप्त किए गए के रूप में चरम है। अज्ञात वितरण से देखे गए परीक्षण-सांख्यिकीय पर विचार करें। फिर पी-मान वह है जो एक परीक्षण-सांख्यिकीय मूल्य को कम से कम "चरम" के रूप में देखने की पूर्व संभावना होगी जैसे कि शून्य परिकल्पना सच थी। अर्थात्ः एक तरफा दाहिनी-पूंछ परीक्षण-सांख्यिकीय वितरण के लिए, एक तरफा बाईं-पूंछ परीक्षण-सांख्यिकीय वितरण के लिए, दो तरफा परीक्षण-सांख्यिकीय वितरण के लिए। यदि का वितरण शून्य के बारे में सममित है, तो व्याख्याएँ एक महत्व परीक्षण में, शून्य परिकल्पना को अस्वीकार कर दिया जाता है यदि पी-मान एक पूर्वनिर्धारित सीमा मूल्य से कम या बराबर है, जिसे अल्फा स्तर या महत्व स्तर के रूप में संदर्भित किया जाता है। यह डेटा से प्राप्त नहीं होता है, बल्कि डेटा की जांच करने से पहले शोधकर्ता द्वारा निर्धारित किया जाता है। यह आमतौर पर 0.05 पर सेट किया जाता है, हालांकि कभी-कभी कम अल्फा स्तरों का उपयोग किया जाता है। 2018 में, डैनियल बेंजामिन के नेतृत्व में सांख्यिकीविदों के एक समूह ने दुनिया भर में सांख्यिकीय महत्व के लिए मानक मूल्य के रूप में 0.005 मूल्य को अपनाने का प्रस्ताव रखा। पी-मान चयनित परीक्षण सांख्यिकीय का एक कार्य है और इसलिए एक यादृच्छिक चर है। यदि शून्य परिकल्पना संभावना वितरण को ठीक से तय करती है, और यदि वह वितरण निरंतर है, तो जब शून्य-परिकल्पना सही है, तो पी-मान समान रूप से 0 और 1 के बीच वितरित किया जाता है। अतः पी-मान निश्चित नहीं है। यदि एक ही परीक्षण को नए डेटा के साथ स्वतंत्र रूप से दोहराया जाता है, तो आम तौर पर प्रत्येक पुनरावृत्ति में एक अलग पी-मान प्राप्त होगा। यदि शून्य-परिकल्पना समग्र है, या सांख्यिकी का वितरण असतत है, तो 0 और 1 के बीच किसी भी संख्या से कम या उसके बराबर पी-मान प्राप्त करने की संभावना उस संख्या से कम या उसके बराबर है, यदि शून्य-परिकल्पना सही है। यह मामला बना हुआ है कि बहुत छोटे मूल्यों की अपेक्षाकृत संभावना नहीं है यदि शून्य-परिकल्पना सही है, और यह कि शून्य-परिकल्पना को अस्वीकार करके स्तर पर एक महत्व परीक्षण प्राप्त किया जाता है यदि महत्व स्तर कम या बराबर है। डेटा के स्वतंत्र सेट के आधार पर विभिन्न पी-मानों को जोड़ा जा सकता है, उदाहरण के लिए फिशर के संयुक्त संभाव्यता परीक्षण का उपयोग करके। वितरण जब रूप की एक शून्य परिकल्पना सत्य होती है, और अंतर्निहित यादृच्छिक चर निरंतर होता है, तो पी-मान का प्रायिकता वितरण अंतराल पर समान होता है। अधिक आम तौर पर, पी-मानों का वितरण पक्षपाती हो सकता है या इस पर निर्भर करता है कि सही पैरामीटर महत्वपूर्ण मूल्य (ओं) से कैसे संबंधित है जो परिभाषित करता है; डिजाइन द्वारा वितरण पक्षपाती होगा जब वैकल्पिक परिकल्पना सच होगी। आमतौर पर एक परिकल्पना से संबंधित केवल एक ही पी-मान देखा जाता है, इसलिए पी-मान की व्याख्या एक महत्व परीक्षण द्वारा की जाती है और इसे किस वितरण से प्राप्त किया गया था, इसका अनुमान लगाने का कोई प्रयास नहीं किया जाता है। जब पी-मानों का संग्रह उपलब्ध होता है (जैसे। एक ही विषय पर अध्ययनों के एक समूह पर विचार करते समय), पी-मानों के वितरण को कभी-कभी पी-वक्र कहा जाता है। पी-वक्र का उपयोग वैज्ञानिक साहित्य की विश्वसनीयता का आकलन करने के लिए किया जा सकता है, जैसे कि प्रकाशन पूर्वाग्रह या पी-हैकिंग का पता लगाना। समग्र परिकल्पना के लिए पैरामीट्रिक परिकल्पना परीक्षण समस्याओं में, एक सरल या बिंदु परिकल्पना एक परिकल्पना को संदर्भित करती है जहां पैरामीटर का मूल्य एक एकल संख्या माना जाता है। इसके विपरीत, एक समग्र परिकल्पना में पैरामीटर का मान संख्याओं के एक समूह द्वारा दिया जाता है। उदाहरण के लिए, शून्य परिकल्पना का परीक्षण करते समय कि शून्य से कम या शून्य के बराबर माध्य के साथ एक वितरण सामान्य है, विकल्प के खिलाफ कि माध्य शून्य से अधिक है (भिन्नता ज्ञात), शून्य परिकल्पना उपयुक्त परीक्षण सांख्यिकीय के संभाव्यता वितरण को निर्दिष्ट नहीं करती है। अभी उल्लिखित उदाहरण में यह एकतरफा एक-नमूना जेड-परीक्षण से संबंधित जेड-सांख्यिकीय होगा। सैद्धांतिक माध्य के प्रत्येक संभावित मूल्य के लिए, जेड-परीक्षण सांख्यिकीय में एक अलग संभावना वितरण है। इन परिस्थितियों में (एक तथाकथित समग्र शून्य परिकल्पना के मामले में) पी-मान को कम से कम अनुकूल शून्य-परिकल्पना मामले को लेकर परिभाषित किया जाता है, जो आमतौर पर शून्य और वैकल्पिक के बीच की सीमा पर होता है। यह परिभाषा पी-मानों और अल्फा-स्तरों की पूरकता सुनिश्चित करती है। यदि महत्व स्तर, अल्फा (α), 0.05 है, और केवल शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करता है यदि पी-मान 0.05 से कम या बराबर है, तो परिकल्पना परीक्षण का वास्तव में 0.05 का महत्व स्तर (अधिकतम प्रकार 1 त्रुटि दर) होगा। जैसा कि नेमैन ने लिखा हैः "जिस त्रुटि को एक अभ्यास करने वाला सांख्यिकीविद टालना अधिक महत्वपूर्ण समझता है (जो एक व्यक्तिपरक निर्णय है) उसे पहले प्रकार की त्रुटि कहा जाता है। गणितीय सिद्धांत की पहली मांग इस तरह के परीक्षण मानदंडों का पता लगाना है जो यह सुनिश्चित करेगा कि पहली तरह की त्रुटि करने की संभावना एक पूर्व निर्धारित संख्या α के बराबर (या लगभग बराबर, या उससे अधिक नहीं) होगी, जैसे कि α = 0.05 या 0.01, आदि। इस संख्या को महत्व का स्तर कहा जाता है; नेमैन 1976, पृष्ठ 161 में "गणितीय सांख्यिकी का उद्भवः संयुक्त राज्य अमेरिका के विशेष संदर्भ के साथ एक ऐतिहासिक रेखाचित्र", "सांख्यिकी और संभावना के इतिहास पर", संस्करण। डी. बी. ओवेन, न्यूयॉर्कः मार्सेल डेकर, पीपी। 149-193। "शास्त्रीय सांख्यिकीय परीक्षण में साक्ष्य (पी) बनाम त्रुटियों (ए) के माप पर भ्रम", रेमंड हब्बार्ड और एम. जे. बायरी, द अमेरिकन स्टैटिसशियन, अगस्त 2003, खंड भी देखें। 57, नंबर 3,171-182 (चर्चा के साथ)। एक संक्षिप्त आधुनिक कथन के लिए "सभी सांख्यिकीः सांख्यिकीय अनुमान में एक संक्षिप्त पाठ्यक्रम" का अध्याय 10, स्प्रिंगर; पहला संशोधित संस्करण देखें। 20 संस्करण (सितंबर 17,2004)। लैरी वासरमैन। पी-मान का व्यापक रूप से सांख्यिकीय परिकल्पना परीक्षण में उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से शून्य परिकल्पना महत्व परीक्षण में। इस विधि में, अध्ययन करने से पहले, पहले एक मॉडल (शून्य परिकल्पना) और अल्फा स्तर α (आमतौर पर 0.05) का चयन किया जाता है। डेटा का विश्लेषण करने के बाद, यदि पी-मान α से कम है, तो इसका मतलब यह लिया जाता है कि देखा गया डेटा शून्य परिकल्पना के साथ पर्याप्त रूप से असंगत है ताकि शून्य परिकल्पना को अस्वीकार किया जा सके। हालाँकि, यह साबित नहीं करता है कि शून्य परिकल्पना गलत है। पी-मान अपने आप में परिकल्पनाओं की संभावनाओं को स्थापित नहीं करता है। बल्कि, यह यह तय करने के लिए एक उपकरण है कि शून्य परिकल्पना को अस्वीकार किया जाए या नहीं। ए. एस. ए. के अनुसार, व्यापक सहमति है कि पी-मानों का अक्सर दुरुपयोग और गलत व्याख्या की जाती है। एक प्रथा जिसकी विशेष रूप से आलोचना की गई है, वह है बिना किसी अन्य सहायक साक्ष्य के. 05 से नाममात्र कम के किसी भी पी-मान के लिए वैकल्पिक परिकल्पना को स्वीकार करना। यद्यपि पी-मान यह आकलन करने में सहायक होते हैं कि डेटा एक निर्दिष्ट सांख्यिकीय मॉडल के साथ कितना असंगत है, प्रासंगिक कारकों पर भी विचार किया जाना चाहिए, जैसे कि "एक अध्ययन की रूपरेखा, माप की गुणवत्ता, अध्ययन के तहत घटना के लिए बाहरी साक्ष्य, और मान्यताओं की वैधता जो डेटा विश्लेषण को रेखांकित करती है।" एक अन्य चिंता यह है कि पी-मान को अक्सर इस संभावना के रूप में गलत समझा जाता है कि शून्य परिकल्पना सच है। कुछ सांख्यिकीविदों ने पी-मानों को छोड़ने और अन्य अनुमानित आंकड़ों पर अधिक ध्यान केंद्रित करने का प्रस्ताव दिया है, जैसे कि विश्वास अंतराल, संभावना अनुपात, या बेयस कारक, लेकिन इन विकल्पों की व्यवहार्यता पर गरमागरम बहस चल रही है। अन्य लोगों ने निश्चित महत्व सीमा को हटाने और पी-मानों को शून्य परिकल्पना के खिलाफ साक्ष्य की ताकत के निरंतर सूचकांकों के रूप में व्याख्या करने का सुझाव दिया है। फिर भी अन्य लोगों ने पी-मानों के साथ एक वास्तविक प्रभाव की पूर्व संभावना की रिपोर्ट करने का सुझाव दिया जो एक गलत सकारात्मक जोखिम प्राप्त करने के लिए आवश्यक होगा (यानी। संभावना है कि कोई वास्तविक प्रभाव नहीं है) एक पूर्व-निर्दिष्ट सीमा से नीचे (जैसे। 5 प्रतिशत)। उस ने कहा, 2019 में ए. एस. ए. द्वारा एक कार्य बल ने वैज्ञानिक अध्ययनों में सांख्यिकीय तरीकों के उपयोग, विशेष रूप से परिकल्पना परीक्षणों और पी-मानों, और प्रतिकृति के साथ उनके संबंध पर विचार करने के लिए बुलाया था। इसमें कहा गया है कि "अनिश्चितता के विभिन्न उपाय एक दूसरे के पूरक हो सकते हैं; कोई भी उपाय सभी उद्देश्यों को पूरा नहीं करता है। ", इन उपायों में से एक के रूप में पी-मान का हवाला देते हुए। वे इस बात पर भी जोर देते हैं कि पी-मान विशिष्ट मूल्य पर विचार करते समय और साथ ही कुछ सीमा की तुलना में मूल्यवान जानकारी प्रदान कर सकते हैं। सामान्य तौर पर, यह इस बात पर जोर देता है कि "पी-मान और महत्व परीक्षण, जब ठीक से लागू और व्याख्या की जाती है, तो डेटा से निकाले गए निष्कर्षों की कठोरता बढ़ जाती है।" गणना आमतौर पर एक परीक्षण सांख्यिकीय है। एक परीक्षण सांख्यिकी सभी टिप्पणियों के एक स्केलर फ़ंक्शन का आउटपुट है। यह आंकड़ा एक एकल संख्या प्रदान करता है, जैसे कि टी-सांख्यिकीय या एफ-सांख्यिकीय। इस प्रकार, परीक्षण सांख्यिकी उस परीक्षण सांख्यिकी और इनपुट अवलोकन डेटा के वितरण को परिभाषित करने के लिए उपयोग किए जाने वाले कार्य द्वारा निर्धारित एक वितरण का अनुसरण करती है। महत्वपूर्ण मामले के लिए जिसमें डेटा को सामान्य वितरण से एक यादृच्छिक नमूना होने की परिकल्पना की जाती है, परीक्षण सांख्यिकीय की प्रकृति और इसके वितरण के बारे में रुचि की परिकल्पनाओं के आधार पर, विभिन्न शून्य परिकल्पना परीक्षण विकसित किए गए हैं। कुछ ऐसे परीक्षण ज्ञात विचरण के साथ एक सामान्य वितरण के माध्य से संबंधित परिकल्पनाओं के लिए जेड-परीक्षण हैं, टी-परीक्षण एक सामान्य वितरण के माध्य से संबंधित परिकल्पनाओं के लिए एक उपयुक्त सांख्यिकी के छात्र के टी-वितरण पर आधारित है जब विचरण अज्ञात है, एफ-परीक्षण विचरण से संबंधित परिकल्पनाओं के लिए एक अन्य सांख्यिकी के एफ-वितरण पर आधारित है। अन्य प्रकृति के आंकड़ों के लिए, उदाहरण के लिए श्रेणीबद्ध (असतत) आंकड़ों के लिए, परीक्षण आंकड़ों का निर्माण किया जा सकता है जिसका शून्य परिकल्पना वितरण बड़े नमूनों के लिए केंद्रीय सीमा प्रमेय का आह्वान करके प्राप्त उचित आंकड़ों के सामान्य अनुमानों पर आधारित है, जैसा कि पियर्सन के ची-वर्ग परीक्षण के मामले में होता है। इस प्रकार एक पी-मान की गणना के लिए एक शून्य परिकल्पना, एक परीक्षण सांख्यिकीय (यह तय करने के साथ कि क्या शोधकर्ता एक-पूंछ परीक्षण या दो-पूंछ परीक्षण कर रहा है), और डेटा की आवश्यकता होती है। भले ही दिए गए डेटा पर परीक्षण सांख्यिकी की गणना करना आसान हो सकता है, लेकिन शून्य परिकल्पना के तहत नमूना वितरण की गणना करना और फिर इसके संचयी वितरण कार्य (सी. डी. एफ.) की गणना करना अक्सर एक कठिन समस्या होती है। आज, यह गणना सांख्यिकीय सॉफ्टवेयर का उपयोग करके की जाती है, अक्सर संख्यात्मक तरीकों (सटीक सूत्रों के बजाय) के माध्यम से, लेकिन, 20 वीं शताब्दी की शुरुआत और मध्य में, यह मूल्यों की तालिकाओं के माध्यम से किया गया था, और इन असतत मूल्यों से एक अंतर्वेष्टित या बहिर्वेष्टित पी-मान। पी-मानों की एक तालिका का उपयोग करने के बजाय, फिशर ने सी. डी. एफ. को उल्टा कर दिया, दिए गए निश्चित पी-मानों के लिए परीक्षण सांख्यिकीय के मूल्यों की एक सूची प्रकाशित की; यह क्वांटाइल फ़ंक्शन (व्युत्क्रम सी. डी. एफ.) की गणना से मेल खाता है। उदाहरण एक सिक्के की निष्पक्षता का परीक्षण एक सांख्यिकीय परीक्षण के एक उदाहरण के रूप में, यह निर्धारित करने के लिए एक प्रयोग किया जाता है कि क्या एक सिक्का पलटना उचित है (सिर या पूंछ के उतरने की समान संभावना) या अनुचित रूप से पक्षपाती है (एक परिणाम दूसरे की तुलना में अधिक संभावना है)। मान लीजिए कि प्रयोगात्मक परिणाम दिखाते हैं कि सिक्का कुल 20 फ़्लिपों में से 14 बार ऊपर की ओर मुड़ता है। पूर्ण डेटा प्रतीक "एच" या "टी" के बीस गुना का एक क्रम होगा। जिस आंकड़े पर कोई ध्यान केंद्रित कर सकता है वह शीर्षों की कुल संख्या हो सकती है। शून्य परिकल्पना यह है कि सिक्का निष्पक्ष है, और सिक्का उछालने एक दूसरे से स्वतंत्र हैं। यदि एक दाहिनी पूंछ वाले परीक्षण पर विचार किया जाता है, जो कि मामला होगा यदि कोई वास्तव में इस संभावना में रुचि रखता है कि सिक्का गिरने वाले सिर की ओर पक्षपाती है, तो इस परिणाम का पी-मान 20 फ़्लिपों में से कम से कम 14 बार सिर पर एक निष्पक्ष सिक्के के उतरने की संभावना है। उस संभावना की गणना द्विपद गुणांक से की जा सकती है क्योंकि यह संभावना पी-मान है, केवल चरम परिणामों पर विचार करते हुए जो शीर्षों का पक्ष लेते हैं। इसे एक-पूंछ परीक्षण कहा जाता है। हालाँकि, किसी को भी किसी भी दिशा में विचलन में रुचि हो सकती है, या तो सिर या पूंछ का पक्ष लेते हुए। इसके बजाय दो-पूंछ वाले पी-मान की गणना की जा सकती है, जो सिर या पूंछ के पक्ष में विचलन पर विचार करता है। चूंकि एक निष्पक्ष सिक्के के लिए द्विपद वितरण सममित है, इसलिए दो-तरफा पी-मान उपरोक्त गणना किए गए एक-तरफा पी-मान का केवल दोगुना हैः दो-तरफा पी-मान 0.115 है। उपरोक्त उदाहरण मेंः शून्य परिकल्पना (एच0): सिक्का निष्पक्ष है, पीआर (शीर्ष) = 0.5 परीक्षण सांख्यिकीय के साथः शीर्षों की संख्या अल्फा स्तर (महत्व की निर्दिष्ट सीमा): 0.05 अवलोकन ओः 20 फ़्लिप में से 14 शीर्ष; और अवलोकन ओ का दो-पूंछ वाला पी-मान एच0 = 2 × मिनट (पीआर (नहीं) दिया गया है। सिरों की संख्या ≤14 सिर), पी. आर. (नहीं। हेड का ≤14 हेड)) = 2 × मिनट (0.058,0.978) = 2 * 0.058 = 0.115। पीआर (नहीं। सिरों की संख्या ≤14 सिर) = 1-पी. आर. (नहीं। सिरों की संख्या ≤14 सिर) + पी. आर. (नहीं। हेड = 14) = 1-0.058 + 0.036 = 0.978; हालाँकि, इस द्विपद वितरण की समरूपता दो संभावनाओं में से छोटी का पता लगाने के लिए एक अनावश्यक गणना बनाती है। यहाँ, गणना की गई पी-वैल्यू. 05 से अधिक है, जिसका अर्थ है कि डेटा इस सीमा के भीतर आता है कि अगर सिक्का उचित होता तो 95 प्रतिशत समय क्या होता। इसलिए, शून्य परिकल्पना को. 05 स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता है। हालाँकि, यदि एक और शीर्ष प्राप्त किया जाता, तो परिणामी पी-मान (दो-पूंछ वाला) 0.0414 (4.14%) होता, जिस स्थिति में शून्य परिकल्पना को 0.05 स्तर पर अस्वीकार कर दिया जाता। मल्टीस्टेज एक्सपेरिमेंट डिजाइन "चरम" के दो अर्थों के बीच का अंतर तब प्रकट होता है जब हम सिक्के की निष्पक्षता का परीक्षण करने के लिए एक मल्टीस्टेज प्रयोग पर विचार करते हैं। मान लीजिए कि हम प्रयोग को इस प्रकार डिजाइन करते हैंः सिक्के को दो बार पलट दें। यदि दोनों सिर या पूंछ ऊपर आते हैं, तो प्रयोग को समाप्त करें। अन्यथा, सिक्के को 4 बार और पलट दें। इस प्रयोग के 7 प्रकार के परिणाम हैंः 2 सिर, 2 पूंछ, 5 सिर, 1 पूंछ, 1 सिर, 5 पूंछ। अब हम "3 हेड 3 टेल" परिणाम के पी-मान की गणना करते हैं। यदि हम परीक्षण सांख्यिकी का उपयोग करते हैं, तो शून्य परिकल्पना के तहत दो-तरफा पी-मान के लिए बिल्कुल 1 है, और बिल्कुल एक तरफा लेफ्ट-टेल पी-मान के लिए, और एक तरफा राइट-टेल पी-मान के लिए समान है। यदि हम "3 हेड 3 टेल्स" की तुलना में समान या कम संभावना वाले प्रत्येक परिणाम को "कम से कम उतना ही चरम" मानते हैं, तो पी-मान बिल्कुल ठीक है। हालाँकि, मान लीजिए कि हमने सिक्के को 6 बार पलटने की योजना बनाई है, चाहे कुछ भी हो जाए, तो पी-मान की दूसरी परिभाषा का मतलब होगा कि "3 सिर 3 पूंछ" का पी-मान बिल्कुल 1 है। इस प्रकार, पी-मान की "कम से कम चरम" परिभाषा गहराई से प्रासंगिक है, और इस बात पर निर्भर करती है कि प्रयोगकर्ता ने उन स्थितियों में भी क्या करने की योजना बनाई है जो नहीं हुई थीं। इतिहास पी-मान की गणना 1700 के दशक की है, जहाँ उनकी गणना जन्म के समय मानव लिंग अनुपात के लिए की गई थी, और पुरुष और महिला जन्मों की समान संभावना की शून्य परिकल्पना की तुलना में सांख्यिकीय महत्व की गणना करने के लिए उपयोग किया जाता था। जॉन अर्बुथनॉट ने 1710 में इस प्रश्न का अध्ययन किया और 1629 से 1710 तक के 82 वर्षों में से प्रत्येक के लिए लंदन में जन्म अभिलेखों की जांच की। हर साल, लंदन में पैदा होने वाले पुरुषों की संख्या महिलाओं की संख्या से अधिक थी। अधिक पुरुष या अधिक महिला जन्मों को समान रूप से संभावित मानते हुए, देखे गए परिणाम की संभावना 1/282, या 4,836 में लगभग 1,000,000,000,000,000,000,000 है; आधुनिक शब्दों में, पी-मान। यह लुप्तप्राय रूप से छोटा है, जो अर्बुथनॉट को प्रेरित करता है कि यह संयोग के कारण नहीं था, बल्कि दिव्य प्रोविडेंस के कारण थाः "यह कहाँ से आता है, कि यह कला है, न कि मौका, जो शासन करती है।" आधुनिक शब्दों में, उन्होंने पी = 1/282 महत्व स्तर पर समान रूप से संभावित पुरुष और महिला जन्मों की शून्य परिकल्पना को खारिज कर दिया। अर्बुथनॉट के इस और अन्य काम को "महत्व परीक्षणों का पहला उपयोग" के रूप में श्रेय दिया जाता है. सांख्यिकीय महत्व के बारे में तर्क का पहला उदाहरण, और "शायद एक गैर-पैरामीट्रिक परीक्षण की पहली प्रकाशित रिपोर्ट", विशेष रूप से संकेत परीक्षण; विवरण देखें। इसी प्रश्न को बाद में पियरे-साइमन लाप्लास द्वारा संबोधित किया गया, जिन्होंने इसके बजाय एक पैरामीट्रिक परीक्षण का उपयोग किया, एक द्विपद वितरण के साथ पुरुष जन्मों की संख्या का प्रतिरूपण कियाः पी-मान को पहली बार औपचारिक रूप से कार्ल पियर्सन द्वारा अपने पियर्सन के ची-वर्ग परीक्षण में पेश किया गया था, जिसमें ची-वर्ग वितरण का उपयोग किया गया था और कैपिटल पी के रूप में चिह्नित किया गया था। सांख्यिकी में पी-मान का उपयोग रोनाल्ड फिशर द्वारा लोकप्रिय किया गया था, और यह विषय के प्रति उनके दृष्टिकोण में एक केंद्रीय भूमिका निभाता है। अपनी प्रभावशाली पुस्तक स्टैटिस्टिकल मेथड्स फॉर रिसर्च वर्कर्स (1925) में, फिशर ने सांख्यिकीय महत्व की सीमा के रूप में स्तर पी = 0.05, या संयोग से पार होने की 20 में से 1 संभावना का प्रस्ताव रखा, और इसे एक सामान्य वितरण (दो-पूंछ वाले परीक्षण के रूप में) पर लागू किया, इस प्रकार सांख्यिकीय महत्व के लिए दो मानक विचलन (एक सामान्य वितरण पर) का नियम प्राप्त हुआ (देखें 68-95-99.7 नियम)। इसके बाद उन्होंने एल्डरटन के समान मानों की एक तालिका की गणना की, लेकिन महत्वपूर्ण रूप से, χ2 और p की भूमिकाओं को उलट दिया। अर्थात, χ2 (और स्वतंत्रता की डिग्री n) के विभिन्न मानों के लिए p की गणना करने के बजाय, उन्होंने χ2 के मानों की गणना की जो निर्दिष्ट p-मान देते हैं, विशेष रूप से 0.99,0.98,0.95,0,90,0.80,0.50,0.30,0.20,0.10,0.05,0.02 और 0.01। इसने χ2 के संगणित मूल्यों की तुलना कटऑफ के साथ करने की अनुमति दी और पी-मानों की गणना और स्वयं रिपोर्ट करने के बजाय कटऑफ के रूप में पी-मानों (विशेष रूप से 0.05,0.02 और 0.01) के उपयोग को प्रोत्साहित किया। फिर उसी प्रकार की तालिकाओं को संकलित किया गया, जिसने दृष्टिकोण को मजबूत किया। प्रयोगों के डिजाइन और व्याख्या के लिए पी-मानों के अनुप्रयोग के एक उदाहरण के रूप में, फिशर ने अपनी अगली पुस्तक द डिजाइन ऑफ एक्सपेरिमेंट्स (1935) में महिला स्वाद चाय प्रयोग प्रस्तुत किया, जो पी-मान का मूल उदाहरण है। एक महिला के इस दावे का मूल्यांकन करने के लिए कि वह (म्यूरिएल ब्रिस्टल) स्वाद से यह भेद कर सकती है कि चाय कैसे तैयार की जाती है (पहले कप में दूध डालें, फिर चाय, या पहले चाय, फिर दूध), उसे क्रमिक रूप से 8 कप भेंट किए गएः 4 एक तरह से तैयार किए गए, 4 ने दूसरे को तैयार किया, और प्रत्येक कप की तैयारी निर्धारित करने के लिए कहा (यह जानते हुए कि प्रत्येक में 4 थे)। उस मामले में, शून्य परिकल्पना यह थी कि उसके पास कोई विशेष क्षमता नहीं थी, परीक्षण फिशर का सटीक परीक्षण था, और पी-मान इतना था कि फिशर शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करने के लिए तैयार थे (परिणाम को संयोग के कारण होने की अत्यधिक संभावना नहीं मानते हैं) यदि सभी को सही ढंग से वर्गीकृत किया गया था। (वास्तविक प्रयोग में, ब्रिस्टल ने सभी 8 कपों को सही ढंग से वर्गीकृत किया।) फिशर ने पी = 0.05 सीमा को दोहराया और इसके तर्क को समझाते हुए कहाः उन्होंने इस सीमा को प्रयोगों के डिजाइन पर भी लागू किया, यह देखते हुए कि केवल 6 कप (प्रत्येक में से 3) प्रस्तुत किए गए होते, एक पूर्ण वर्गीकरण से केवल पी-मान प्राप्त होता जिसका महत्व इस स्तर तक नहीं पहुंचता। फिशर ने पी की व्याख्या को भी रेखांकित किया, क्योंकि मानों का दीर्घकालिक अनुपात कम से कम डेटा जितना ही चरम है, यह मानते हुए कि शून्य परिकल्पना सच है। बाद के संस्करणों में, फिशर ने विज्ञान में सांख्यिकीय अनुमान के लिए पी-मान के उपयोग की स्पष्ट रूप से नेमैन-पीयरसन विधि के साथ तुलना की, जिसे वे "स्वीकृति प्रक्रिया" कहते हैं। फिशर इस बात पर जोर देते हैं कि जबकि 5 प्रतिशत, 2 प्रतिशत और 1 प्रतिशत जैसे निश्चित स्तर सुविधाजनक हैं, सटीक पी-मान का उपयोग किया जा सकता है, और साक्ष्य की ताकत को आगे के प्रयोग के साथ संशोधित किया जा सकता है और किया जाएगा। इसके विपरीत, निर्णय प्रक्रियाओं के लिए एक स्पष्ट निर्णय की आवश्यकता होती है, जिससे एक अपरिवर्तनीय कार्रवाई होती है, और प्रक्रिया त्रुटि की लागत पर आधारित होती है, जो, उनका तर्क है, वैज्ञानिक अनुसंधान के लिए लागू नहीं होती है। संबंधित सूचकांक ई-मूल्य कई परीक्षणों में अपेक्षित संख्या से मेल खाता है जो एक परीक्षण आँकड़ा कम से कम उतना ही चरम प्राप्त करने की उम्मीद करता है जितना कि वास्तव में देखा गया था यदि कोई यह मानता है कि शून्य परिकल्पना सच है। ई-मान परीक्षणों की संख्या और पी-मान का उत्पाद है। क्यू-मान सकारात्मक गलत खोज दर के संबंध में पी-मान का अनुरूप है। गलत सकारात्मक दर को कम करते हुए सांख्यिकीय शक्ति को बनाए रखने के लिए इसका उपयोग कई परिकल्पना परीक्षणों में किया जाता है। दिशा की संभाव्यता (पी. डी.) पी-मान का बायेसियन संख्यात्मक समतुल्य है। यह पीछे के वितरण के अनुपात से मेल खाता है जो माध्यिका के संकेत का है, आमतौर पर 50 प्रतिशत और 100% के बीच भिन्न होता है, और उस निश्चितता का प्रतिनिधित्व करता है जिसके साथ कोई प्रभाव सकारात्मक या नकारात्मक होता है। स्टूडेंट टी-टेस्ट बोनफेरोनी करेक्शन काउंटरनल फिशर की पी-वैल्यू के संयोजन की विधि सामान्यीकृत पी-वैल्यू हार्मोनिक मीन पी-वैल्यू होल्म-बोनफेरोनी विधि कई तुलनाएँ समस्या पी-रेप पी-वैल्यू भ्रांति टिप्पणियाँ संदर्भ आगे पढ़ने के लिए बाहरी लिंक विभिन्न विशिष्ट परीक्षणों (ची-वर्ग, फिशर एफ-टेस्ट, आदि) के लिए मुफ्त ऑनलाइन पी-वैल्यू कैलकुलेटर। पी-मानों को समझना, जिसमें एक जावा एप्लेट भी शामिल है जो यह दर्शाता है कि पी-मानों के संख्यात्मक मान परीक्षण के तहत परिकल्पना की सच्चाई या असत्यता के बारे में काफी भ्रामक प्रभाव कैसे दे सकते हैं। विज्ञान टूटा नहीं है-पी-मानों को कैसे हेरफेर किया जा सकता है और इसकी कल्पना करने के लिए एक संवादात्मक उपकरण पर लेख। सांख्यिकीय परिकल्पना परीक्षण जाः #p値