Pregeometry (model theory)
प्रीजियोमेट्री, और पूर्ण संयोजन प्रीजियोमेट्री में, अनिवार्य रूप से "मैट्रायड" के पर्याय हैं। उन्हें जियान-कार्लो रोटा द्वारा कम "अनिर्वचनीय रूप से कर्कश" वैकल्पिक शब्द प्रदान करने के इरादे से पेश किया गया था। इसके अलावा, संयोजन ज्यामिति शब्द, जिसे कभी-कभी ज्यामिति के रूप में संक्षिप्त किया जाता है, का उद्देश्य "सरल मैट्रायड" को प्रतिस्थापित करना था। इन शब्दों का उपयोग अब कभी-कभी मैट्रोइड्स के अध्ययन में किया जाता है। यह पता चला है कि रैखिक बीजगणित की कई मौलिक अवधारणाएँ-समापन, स्वतंत्रता, उपक्षेत्र, आधार, आयाम-प्रीजियोमेट्री के सामान्य ढांचे में उपलब्ध हैं। गणितीय तर्क की शाखा में जिसे मॉडल सिद्धांत कहा जाता है, अनंत परिमित मेट्रॉइड, जिन्हें "प्रीजियोमेट्री" कहा जाता है (और "ज्यामिति" यदि वे सरल मेट्रॉइड हैं), का उपयोग स्वतंत्र घटनाओं की चर्चा में किया जाता है। पूर्व-ज्यामिति, ज्यामिति और अमूर्त समापन प्रचालक प्रथम-क्रम मॉडल की संरचना को कैसे प्रभावित करते हैं, इसके अध्ययन को ज्यामितीय स्थिरता सिद्धांत कहा जाता है। अभिप्रेरणा यदि किसी क्षेत्र पर एक सदिश स्थान है और, हम सदिशों के सभी रैखिक संयोजनों के समूह के रूप में परिभाषित करते हैं, जिसे अवधि के रूप में भी जाना जाता है। फिर हमारे पास और और है। स्टेनिट्ज़ एक्सचेंज लेम्मा इस कथन के बराबर हैः यदि, तो स्वतंत्र समुच्चय की रैखिक बीजगणित अवधारणाएँ, जो समुच्चय, आधार और आयाम उत्पन्न करती हैं, सभी को अकेले-प्रचालक का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है। एक प्रीजियोमेट्री इस स्थिति का एक सार हैः हम एक मनमाना सेट और एक मनमाना ऑपरेटर के साथ शुरू करते हैं जो उपरोक्त गुणों को संतुष्ट करते हुए, के सबसेट के प्रत्येक सबसेट को असाइन करता है। फिर हम इस अधिक सामान्य सेटिंग में "रैखिक बीजगणित" अवधारणाओं को भी परिभाषित कर सकते हैं। आयाम की यह सामान्यीकृत धारणा मॉडल सिद्धांत में बहुत उपयोगी है, जहां कुछ स्थितियों में कोई इस प्रकार तर्क दे सकता हैः एक ही कार्डिनलिटी वाले दो मॉडलों का आयाम समान होना चाहिए और एक ही आयाम वाले दो मॉडल समरूप होने चाहिए। परिभाषाएँ प्रीजियोमेट्री और ज्यामिति एक संयोजन प्रीजियोमेट्री (जिसे फाइनाइटरी मैट्रायड के रूप में भी जाना जाता है) एक जोड़ी है, जहाँ एक सेट होता है और (जिसे क्लोजर मैप कहा जाता है) निम्नलिखित स्वयंसिद्धियों को संतुष्ट करता है। सभी के लिए औरः क्या मोनोटोन बढ़ रहा है और हावी हो रहा है (यानी। तात्पर्य है) और सक्षम है (अर्थात) परिमित वर्णः प्रत्येक के लिए कुछ सीमित होता है। विनिमय सिद्धांतः यदि, तो (और इसलिए वास्तव में एकरसता और निष्क्रियता द्वारा)। कुछ के लिए फॉर्म के सेट को बंद कहा जाता है। यह तब स्पष्ट होता है कि बंद सेटों के सीमित प्रतिच्छेदन बंद होते हैं और यह सबसे छोटा बंद सेट होता है। ज्यामिति एक प्रीजियोमेट्री है जिसमें सिंगलेटन्स का समापन सिंगलेटन्स होता है और खाली सेट का समापन खाली सेट होता है। स्वतंत्रता, आधार और आयाम दिए गए सेट, किसी के लिए स्वतंत्र हैं। हम कहते हैं कि यह स्वतंत्र है यदि यह खाली सेट पर स्वतंत्र है। एक सेट ओवर के लिए एक आधार है यदि यह और पर स्वतंत्र है। एक आधार एक अधिकतम स्वतंत्र सबसेट के समान है, और ज़ोर्न के लेम्मा का उपयोग करके कोई यह दिखा सकता है कि प्रत्येक सेट का एक आधार है। चूँकि एक प्रीजियोमेट्री स्टेनिट्ज़ विनिमय गुण को संतुष्ट करती है, सभी आधार एक ही कार्डिनलिटी के होते हैं, इसलिए हम ओवर के आयाम को परिभाषित कर सकते हैं, जिसे ओवर के किसी भी आधार की कार्डिनलिटी के रूप में लिखा जा सकता है। फिर से, के आयाम को खाली सेट पर डाइमेशन के रूप में परिभाषित किया गया है। सेट स्वतंत्र होते हैं यदि जब भी एक सीमित सबसेट होता है। ध्यान दें कि यह संबंध सममित है। ऑटोमोर्फिज्म और सजातीय प्रीजियोमेट्री एक प्रीजियोमेट्री का ऑटोमोर्फिज्म एक बाइजेक्शन है जो किसी भी के लिए है। एक प्रीजियोमेट्री को सजातीय कहा जाता है यदि किसी भी बंद और किसी भी दो तत्वों के लिए एक ऑटोमोर्फिज्म होता है जिसका मानचित्र बिंदु की दिशा में तय होता है। संबद्ध ज्यामिति और स्थानीयकरण एक प्रीजियोमेट्री को देखते हुए इसकी संबद्ध ज्यामिति (जिसे कभी-कभी साहित्य में कैनॉनिकल ज्यामिति के रूप में संदर्भित किया जाता है) वह ज्यामिति है जहां, और किसी के लिए, यह देखना आसान है कि एक सजातीय प्रीजियोमेट्री की संबंधित ज्यामिति सजातीय है। के स्थानीयकरण को देखते हुए प्रीजियोमेट्री कहाँ है। प्रीजियोमेट्री के प्रकार प्रीजियोमेट्री को कहा जाता हैः तुच्छ (या अपक्षयी) यदि सभी गैर-खाली हैं। मॉड्यूलर यदि कोई दो बंद परिमित आयामी सेट समीकरण को संतुष्ट करते हैं (या समतुल्य रूप से जो ओवर से स्वतंत्र है)। स्थानीय रूप से मॉड्यूलर यदि इसमें एक सिंगलटन पर स्थानीयकरण है जो मॉड्यूलर है। (स्थानीय रूप से) प्रोजेक्टिव यदि यह गैर-तुच्छ और (स्थानीय रूप से) मॉड्यूलर है। यदि परिमित समुच्चयों के समापन सीमित हैं तो स्थानीय रूप से सीमित। तुच्छता, प्रतिरूपता और स्थानीय प्रतिरूपता संबंधित ज्यामिति में जाते हैं और स्थानीयकरण के तहत संरक्षित होते हैं। यदि एक स्थानीय रूप से मॉड्यूलर सजातीय प्रीजियोमेट्री है और फिर इन का स्थानीयकरण मॉड्यूलर है। ज्यामिति मॉड्यूलर है यदि और केवल यदि जब भी, और फिर। उदाहरण तुच्छ उदाहरण यदि कोई भी सेट है तो हम सभी के लिए परिभाषित कर सकते हैं। यह प्रीजियोमेट्री एक तुच्छ, सजातीय, स्थानीय रूप से सीमित ज्यामिति है। वेक्टर रिक्त स्थान और प्रोजेक्टिव रिक्त स्थान मान लीजिए कि यह एक क्षेत्र है (एक विभाजन वलय वास्तव में पर्याप्त है) और मान लीजिए कि यह एक वेक्टर रिक्त स्थान है। फिर एक प्रीजियोमेट्री है जहाँ सेटों के बंद होने को उनकी अवधि के रूप में परिभाषित किया जाता है। बंद समुच्चय रैखिक उपस्थान हैं और रैखिक बीजगणित से आयाम की धारणा प्रीजियोमेट्री आयाम के साथ मेल खाती है। यह प्रीजियोमेट्री सजातीय और मॉड्यूलर है। वेक्टर स्पेस को मॉडुलरिटी का प्रोटोटाइपिकल उदाहरण माना जाता है। स्थानीय रूप से सीमित है यदि और केवल यदि सीमित है। यह एक ज्यामिति नहीं है, क्योंकि किसी भी गैर-तुच्छ सदिश का बंद होना कम से कम आकार का एक उपक्षेत्र है। एक-आयामी सदिश स्थान की संबंधित ज्यामिति-आयामी प्रोजेक्टिव स्थान है। यह देखना आसान है कि यह प्रीजियोमेट्री एक प्रोजेक्टिव ज्यामिति है। एफ़ाइन रिक्त स्थान एक क्षेत्र पर एक-आयामी एफ़ाइन स्थान होने चाहिए। एक समूह को देखते हुए इसके बंद होने को इसके एफ़ाइन पतवार के रूप में परिभाषित करें (अर्थात। सबसे छोटा एफ़ाइन सबस्पेस जिसमें यह होता है)। यह एक सजातीय-आयामी ज्यामिति बनाता है। एक एफाइन स्थान मॉड्यूलर नहीं है (उदाहरण के लिए, यदि और समानांतर रेखाएँ हैं तो मॉड्यूलरता की परिभाषा में सूत्र विफल हो जाता है)। हालाँकि, यह जांचना आसान है कि सभी स्थानीयकरण मॉड्यूलर हैं या नहीं। फील्ड एक्सटेंशन और पारगमन डिग्री को फील्ड एक्सटेंशन माना जाता है। यदि हम इसके लिए परिभाषित करते हैं तो सेट एक प्रीजियोमेट्री बन जाता है। इस प्रीजियोमेट्री में सेट स्वतंत्र है यदि और केवल तभी जब यह बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र है। का आयाम पार डिग्री के साथ मेल खाता है। मॉडल सिद्धांत में, बीजगणितीय रूप से बंद होने और इसके प्रमुख क्षेत्र का मामला विशेष रूप से महत्वपूर्ण है। जबकि वेक्टर रिक्त स्थान मॉड्यूलर होते हैं और एफाइन रिक्त स्थान "लगभग" मॉड्यूलर होते हैं (अर्थात। हर जगह स्थानीय रूप से मॉड्यूलर), बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र अन्य चरम सीमा के उदाहरण हैं, जो स्थानीय रूप से मॉड्यूलर भी नहीं हैं (यानी। स्थानीयकरणों में से कोई भी मॉड्यूलर नहीं है)। एक गणना योग्य प्रथम-क्रम भाषा एल और एक एल-संरचना एम को देखते हुए, एम का कोई भी परिभाषित उपसमुच्चय डी जो दृढ़ता से न्यूनतम है, सेट डी पर एक प्रीजियोमेट्री को जन्म देता है। यहाँ समापन प्रचालक को मॉडल-सैद्धांतिक अर्थ में बीजगणितीय समापन द्वारा दिया जाता है। एक प्रबल न्यूनतम सिद्धांत का एक मॉडल एक प्रीजियोमेट्री के रूप में इसके आयाम द्वारा समरूपता तक निर्धारित किया जाता है; इस तथ्य का उपयोग मॉर्ले के वर्गीकरण प्रमेय के प्रमाण में किया जाता है। स्थिर सिद्धांतों पर न्यूनतम सेटों में स्वतंत्रता संबंध स्वतंत्रता की धारणा के साथ मेल खाता है। संदर्भ एच. एच. क्रापो और जी. सी. रोटा (1970), ऑन द फाउंडेशन ऑफ कॉम्बिनेटोरियल थ्योरीः कॉम्बिनेटोरियल ज्योमेट्रीज। एम. आई. टी प्रेस, कैम्ब्रिज, मास। पिल्लै, आनंद (1996), ज्यामितीय स्थिरता सिद्धांत। ऑक्सफोर्ड लॉजिक गाइड। ऑक्सफोर्ड यूनिवर्सिटी प्रेस। मैट्रायड सिद्धांत मॉडल सिद्धांत