Riemann–Siegel theta function
गणित में, रीमान-सीगल थीटा फलन को गामा फलन के संदर्भ में परिभाषित किया जाता है जैसे कि टी के वास्तविक मूल्यों के लिए। यहाँ तर्क को इस तरह से चुना जाता है कि एक निरंतर फलन प्राप्त किया जाता है और उसी तरह धारण किया जाता है जैसे लॉग-गामा फलन की प्रमुख शाखा को परिभाषित किया जाता है। इसका एक असिम्प्टोटिक विस्तार है जो अभिसारी नहीं है, लेकिन जिसके पहले कुछ शब्द इसके लिए एक अच्छा अनुमान देते हैं। 0 पर इसकी टेलर-श्रृंखला जो इसके लिए अभिसरण करती है, वह क्रम के बहु-गामा फलन को दर्शाती है। रीमान-सीगल थीटा फलन रीमान जीटा फलन का अध्ययन करने में रुचि रखता है, क्योंकि यह रीमान जीटा फलन को इस तरह से घुमा सकता है कि यह महत्वपूर्ण रेखा पर पूरी तरह से वास्तविक मूल्य वाला Z फलन बन जाता है। वक्र चर्चा रीमान-सीगल थीटा फलन तीन मूलों के वास्तविक मूल्यों के लिए एक विषम वास्तविक विश्लेषणात्मक फलन है। यह एक बढ़ता हुआ कार्य है, और मूल्य के साथ स्थानीय चरम सीमा है। इसका एक एकल विक्षेपण बिंदु है, जो इसके व्युत्पन्न का न्यूनतम है। एक जटिल चर के फलन के रूप में थीटा हमारे पास लॉग-गामा फलन के लिए एक अनंत श्रृंखला अभिव्यक्ति है जहाँ γ यूलर का स्थिरांक है। z के लिए प्रतिस्थापित करने और काल्पनिक भाग को आवधिक रूप से लेने से θ (t) के लिए निम्नलिखित श्रृंखला मिलती है-1 और 1 के बीच काल्पनिक भाग वाले मूल्यों के लिए, आर्क्टैंजेंट फ़ंक्शन होलोमोर्फिक है, और यह आसानी से देखा जा सकता है कि श्रृंखला-1/2 और 1/2 के बीच काल्पनिक भाग वाले क्षेत्र में कॉम्पैक्ट सेट पर समान रूप से अभिसरण करती है, जिससे इस डोमेन पर एक होलोमोर्फिक फ़ंक्शन होता है। यह इस प्रकार है कि इस क्षेत्र में Z फलन भी होलोमोर्फिक है, जो कि महत्वपूर्ण पट्टी है। हम बंद-रूप अभिव्यक्ति प्राप्त करने के लिए पहचानों का उपयोग कर सकते हैं जो हमारी मूल परिभाषा को t के होलोमोर्फिक फ़ंक्शन तक विस्तारित करता है। चूंकि लॉग की प्रमुख शाखा में नकारात्मक वास्तविक अक्ष के साथ एक शाखा कट होती है, इसलिए इस परिभाषा में θ (t) को i/2 के ऊपर और −i/2 से नीचे काल्पनिक अक्ष के साथ शाखा कट विरासत में मिलता है। ग्राम बिंदु महत्वपूर्ण रेखा पर रीमान जीटा फलन लिखा जा सकता है यदि एक वास्तविक संख्या है, तो Z फलन वास्तविक मान देता है। अतः महत्वपूर्ण रेखा पर जीटा फलन या तो शून्य पर, उसके अनुरूप, या कब वास्तविक होगा। सकारात्मक वास्तविक मान जहाँ बाद वाला मामला होता है, उन्हें जे. पी. ग्राम के बाद ग्राम बिंदु कहा जाता है, और निश्चित रूप से उन बिंदुओं के रूप में भी वर्णित किया जा सकता है जहाँ एक पूर्णांक होता है। एक ग्राम बिंदु इसका एक समाधान है इन समाधानों को अनुक्रम द्वारा अनुमानित किया जाता हैः जहाँ लैम्बर्ट डब्ल्यू फलन है। यहाँ सबसे छोटे गैर नकारात्मक ग्राम अंक दिए गए हैं सूचकांक एन का विकल्प थोड़ा कच्चा है। यह ऐतिहासिक रूप से इस तरह से चुना गया है कि सूचकांक पहले मान पर 0 है जो महत्वपूर्ण रेखा पर रीमान जीटा फलन के सबसे छोटे सकारात्मक शून्य (काल्पनिक भाग 14.13472515 पर) से बड़ा है। ध्यान दें, यह-फलन निरपेक्ष-छोटे वास्तविक तर्कों के लिए दोलन करता है और इसलिए अंतराल [−24,24] में विशिष्ट रूप से व्युत्क्रमणीय नहीं है! इस प्रकार विषम थीटा-फलन का सममित ग्राम बिंदु होता है जिसका मान सूचकांक-3 पर 0 होता है। के शून्यों की गणना करते समय ग्राम अंक उपयोगी होते हैं। एक ग्राम बिंदु पर और यदि यह दो क्रमिक ग्राम बिंदुओं पर धनात्मक है, तो अंतराल में शून्य होना चाहिए। ग्राम के नियम के अनुसार, वास्तविक भाग आमतौर पर सकारात्मक होता है जबकि काल्पनिक भाग कुछ नियमित अंतराल पर सकारात्मक और नकारात्मक मूल्यों के बीच ग्राम बिंदुओं के साथ बारी-बारी से आता है। जड़ों की संख्या, 0 से T तक की पट्टी में, एक त्रुटि शब्द के आधार पर पाया जा सकता है जो बिना लक्षण वाले रूप में बढ़ता है। केवल अगर ग्राम के नियम का पालन करेंगे, तो पट्टी में जड़ों की संख्या का पता लगाना आसान हो जाता है आज हम जानते हैं कि लंबे समय में, ग्राम का नियम सभी ग्राम-अंतराल के लगभग 1/4 के लिए रीमान जीटा-फ़ंक्शन का बिल्कुल 1 शून्य रखने में विफल रहता है। ग्राम को डर था कि यह बड़े सूचकांकों के लिए विफल हो सकता है (पहला चूक 127वें शून्य से पहले सूचकांक 126 पर है) और इस प्रकार यह दावा केवल बहुत अधिक सूचकांकों के लिए नहीं किया गया। बाद में हचिंसन ने (गलत) कथन के लिए ग्राम का नियम वाक्यांश गढ़ा कि महत्वपूर्ण रेखा पर सभी शून्य ग्राम बिंदुओं द्वारा अलग किए जाएंगे। जेड फलन भी देखें संदर्भ गैबके, डब्ल्यू. (1979), न्यू हर्लेइटुंग अंड एक्सप्लिज़िएर्ट रेस्टाब्शात्ज़ुंग डेर रीमान-सीगल-फॉर्मेल। थीसिस, गोटिंगन विश्वविद्यालय। संशोधित संस्करण (eDiss Göttingen 2015) बाहरी लिंक वोल्फ्राम रिसर्च-रीमान-सीगल थीटा फ़ंक्शन (फ़ंक्शन प्लॉटिंग और मूल्यांकन शामिल है) जीटा और एल-फ़ंक्शन बर्नहार्ड रीमान