Field equation
सैद्धांतिक भौतिकी और अनुप्रयुक्त गणित में, एक क्षेत्र समीकरण एक आंशिक विभेदक समीकरण है जो एक भौतिक क्षेत्र की गतिशीलता, विशेष रूप से क्षेत्र के समय विकास और स्थानिक वितरण को निर्धारित करता है। समीकरण के समाधान गणितीय कार्य हैं जो समय और स्थान के कार्यों के रूप में सीधे क्षेत्र से मेल खाते हैं। चूँकि क्षेत्र समीकरण एक आंशिक विभेदक समीकरण है, इसलिए समाधानों के परिवार हैं जो विभिन्न भौतिक संभावनाओं का प्रतिनिधित्व करते हैं। आमतौर पर, केवल एक समीकरण नहीं होता है, बल्कि युग्मित समीकरणों का एक समूह होता है जिसे एक साथ हल किया जाना चाहिए। क्षेत्र समीकरण सामान्य अवकल समीकरण नहीं हैं क्योंकि एक क्षेत्र स्थान और समय पर निर्भर करता है, जिसके लिए कम से कम दो चर की आवश्यकता होती है। जबकि "तरंग समीकरण", "प्रसार समीकरण" और "निरंतरता समीकरण" सभी के मानक रूप हैं (और विभिन्न विशेष मामले या सामान्यीकरण), कोई एकल, विशेष समीकरण नहीं है जिसे "क्षेत्र समीकरण" के रूप में संदर्भित किया जाता है। यह विषय मोटे तौर पर शास्त्रीय क्षेत्र सिद्धांत और क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के समीकरणों में विभाजित है। शास्त्रीय क्षेत्र समीकरण कई भौतिक गुणों का वर्णन करते हैं जैसे कि किसी पदार्थ का तापमान, किसी तरल पदार्थ का वेग, किसी लोचदार पदार्थ में दबाव, किसी धारा से विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र आदि। वे विद्युत चुंबकत्व और गुरुत्वाकर्षण जैसी प्रकृति की मौलिक शक्तियों का भी वर्णन करते हैं। क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में, कण या "कणों" की प्रणालियाँ जैसे इलेक्ट्रॉन और फोटॉन क्षेत्रों के साथ जुड़े होते हैं, जो अनंत डिग्री ऑफ़ फ्रीडम (कण यांत्रिकी में सीमित डिग्री ऑफ़ फ्रीडम के विपरीत) और चर कण संख्याओं की अनुमति देते हैं जिन्हें बनाया या नष्ट किया जा सकता है। सामान्यताओं की उत्पत्ति आमतौर पर, क्षेत्र समीकरणों को अभिनिर्धारित किया जाता है (जैसे आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण और श्रोडिंगर समीकरण, जो सभी क्वांटम क्षेत्र समीकरणों के आधार हैं) या प्रयोगों के परिणामों से प्राप्त किया जाता है (जैसे मैक्सवेल के समीकरण)। उनकी वैधता की सीमा प्रयोगात्मक परिणामों के साथ सही ढंग से भविष्यवाणी करने और सहमत होने की उनकी क्षमता है। एक सैद्धांतिक दृष्टिकोण से, क्षेत्र समीकरणों को लैग्रैन्जियन क्षेत्र सिद्धांत, हैमिल्टनियन क्षेत्र सिद्धांत और स्थिर क्रिया के सिद्धांत के क्षेत्र सैद्धांतिक सूत्रीकरण के ढांचे में तैयार किया जा सकता है। एक उपयुक्त लैग्रैन्जियन या हैमिल्टनियन घनत्व को देखते हुए, किसी दिए गए सिस्टम में क्षेत्रों का एक कार्य, साथ ही उनके व्युत्पन्न, स्थिर क्रिया का सिद्धांत क्षेत्र समीकरण प्राप्त करेगा। शास्त्रीय और क्वांटम दोनों सिद्धांतों में, क्षेत्र समीकरण पृष्ठभूमि भौतिक सिद्धांत की समरूपता को संतुष्ट करेंगे। अधिकांश समय गैलीलियन समरूपता पर्याप्त होती है, (प्रसार क्षेत्रों की) गति के लिए प्रकाश की तुलना में बहुत कम। जब कण और क्षेत्र प्रकाश के करीब की गति से फैलते हैं, तो लॉरेंट्ज़ समरूपता सबसे आम सेटिंग्स में से एक है क्योंकि समीकरण और इसके समाधान तब विशेष सापेक्षता के अनुरूप होते हैं। एक अन्य समरूपता गेज स्वतंत्रता से उत्पन्न होती है, जो क्षेत्र समीकरणों के लिए आंतरिक है। परस्पर क्रिया के अनुरूप क्षेत्र गेज क्षेत्र हो सकते हैं, जिसका अर्थ है कि वे एक क्षमता से प्राप्त किए जा सकते हैं, और क्षमता के कुछ मान क्षेत्र के समान मूल्य के अनुरूप होते हैं। वर्गीकरण क्षेत्र समीकरणों को कई तरीकों से वर्गीकृत किया जा सकता हैः शास्त्रीय या क्वांटम, गैर-सापेक्षवादी या सापेक्षवादी, क्षेत्र के स्पिन या द्रव्यमान के अनुसार, और क्षेत्र में घटकों की संख्या और वे समन्वय परिवर्तनों के तहत कैसे बदलते हैं (जैसे। स्केलर फ़ील्ड, वेक्टर फ़ील्ड, टेंसर फ़ील्ड, स्पिनोर फ़ील्ड, ट्विस्टर फ़ील्ड आदि)। वे विभेदक समीकरणों के वर्गीकरण को भी विरासत में प्राप्त कर सकते हैं, रैखिक या अरैखिक के रूप में, उच्चतम व्युत्पन्न का क्रम, या यहां तक कि आंशिक विभेदक समीकरणों के रूप में भी। गेज क्षेत्रों को समूह सिद्धांत में अबेलियन या नॉनबेलियन के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है। तरंग क्षेत्र समीकरण तरंग समीकरणों को रेखांकित करते हैं, क्योंकि समय-समय पर बदलते क्षेत्र तरंग उत्पन्न करते हैं। तरंग समीकरणों को क्षेत्र समीकरणों के रूप में सोचा जा सकता है, इस अर्थ में कि वे अक्सर क्षेत्र समीकरणों से प्राप्त किए जा सकते हैं। वैकल्पिक रूप से, उपयुक्त लैग्रैन्जियन या हैमिल्टनियन घनत्वों को देखते हुए और स्थिर क्रिया के सिद्धांत का उपयोग करते हुए, तरंग समीकरण भी प्राप्त किए जा सकते हैं। उदाहरण के लिए, मैक्सवेल के समीकरणों का उपयोग असमरूप विद्युत चुम्बकीय तरंग समीकरणों को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है, और आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों से गुरुत्वाकर्षण तरंगों के लिए समीकरण प्राप्त किए जा सकते हैं। क्षेत्र समीकरणों के लिए पूरक समीकरण भौतिकी में प्रत्येक आंशिक विभेदक समीकरण (पी. डी. ई.) को स्वचालित रूप से "क्षेत्र समीकरण" नहीं कहा जाता है, भले ही क्षेत्र शामिल हों। वे किसी दिए गए भौतिक प्रणाली के लिए अतिरिक्त बाधाएं प्रदान करने के लिए अतिरिक्त समीकरण हैं। "निरंतरता समीकरण" और "प्रसार समीकरण" परिवहन घटनाओं का वर्णन करते हैं, भले ही उनमें ऐसे क्षेत्र शामिल हो सकते हैं जो परिवहन प्रक्रियाओं को प्रभावित करते हैं। यदि एक "संरचनात्मक समीकरण" एक पीडीई का रूप लेता है और इसमें क्षेत्र शामिल होते हैं, तो इसे आमतौर पर क्षेत्र समीकरण नहीं कहा जाता है क्योंकि यह क्षेत्रों के गतिशील व्यवहार को नियंत्रित नहीं करता है। वे किसी दिए गए पदार्थ में एक क्षेत्र को दूसरे से जोड़ते हैं। जब पदार्थ के प्रभावों को ध्यान में रखने की आवश्यकता होती है तो क्षेत्र समीकरणों के साथ सांविधानिक समीकरणों का उपयोग किया जाता है। शास्त्रीय क्षेत्र समीकरण निरंतरता यांत्रिकी (इलास्टोडायनामिक्स और द्रव यांत्रिकी सहित), ऊष्मा हस्तांतरण, विद्युत चुंबकत्व और गुरुत्वाकर्षण में उत्पन्न होते हैं। मौलिक शास्त्रीय क्षेत्र समीकरणों में गैर-सापेक्ष गुरुत्वाकर्षण के लिए न्यूटन का सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण का नियम शामिल है। विद्युत चुंबकत्व के लिए मैक्सवेल के समीकरण सापेक्ष गुरुत्वाकर्षण के लिए आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण। मौलिक नियमों से प्राप्त महत्वपूर्ण समीकरणों में शामिल हैंः द्रव प्रवाह के लिए नेवियर-स्टोक्स समीकरण। वास्तविक जीवन गणितीय प्रतिरूपण प्रक्रियाओं के हिस्से के रूप में, शास्त्रीय क्षेत्र समीकरण गति के अन्य समीकरणों, अवस्था के समीकरणों, संरचनात्मक समीकरणों और निरंतरता समीकरणों के साथ होते हैं। क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में, कणों को क्वांटम क्षेत्रों द्वारा वर्णित किया जाता है जो श्रोडिंगर समीकरण को संतुष्ट करते हैं। वे सृजन और विनाश प्रचालक भी हैं जो कम्यूटेशन संबंधों को संतुष्ट करते हैं और स्पिन-सांख्यिकी प्रमेय के अधीन हैं। सापेक्ष क्वांटम क्षेत्र समीकरणों के विशेष मामलों में स्पिन-0 कणों के लिए क्लेन-गॉर्डन समीकरण, स्पिन-1/2 कणों के लिए डीराक समीकरण, किसी भी स्पिन के कणों के लिए बर्गमैन-विग्नर समीकरण शामिल हैं। फील्ड स्ट्रेंथ वेव फंक्शन फंडामेंटल इंटरेक्शन फील्ड कपलिंग फील्ड डिकपलिंग कपलिंग पैरामीटर वैक्यूम सॉल्यूशन संदर्भ सामान्य शास्त्रीय क्षेत्र सिद्धांत क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत शास्त्रीय और क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत बाहरी लिंक सैद्धांतिक भौतिकी गणितीय भौतिकी अनुप्रयुक्त गणित आंशिक विभेदक समीकरण शास्त्रीय क्षेत्र सिद्धांत क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत