Ultraparallel theorem
हाइपरबोलिक ज्यामिति में, दो रेखाओं को अति-समानांतर कहा जाता है यदि वे प्रतिच्छेद नहीं करती हैं और समानांतर को सीमित नहीं करती हैं। अति-समानांतर प्रमेय में कहा गया है कि (विशिष्ट) अति-समानांतर रेखाओं के प्रत्येक जोड़े में एक अद्वितीय सामान्य लंबवत (एक अतिध्रुवीय रेखा जो दोनों रेखाओं के लंबवत होती है) होती है। हिल्बर्ट का निर्माण मान लीजिए कि r और s दो अति-समानांतर रेखाएँ हैं। एस पर किसी भी दो अलग-अलग बिंदुओं ए और सी से एबी और सीबी 'r पर बी और बी के साथ' r पर लंबवत खींचते हैं। यदि ऐसा होता है कि एबी = सीबी ', तो वांछित सामान्य लंबवत एसी और बीबी के मध्य बिंदुओं में शामिल हो जाता है (सचेरी चतुर्भुज ए. सी. बी.' बी की समरूपता से)। यदि नहीं, तो हम व्यापकता को खोए बिना एबी <सीबी 'मान सकते हैं। मान लीजिए कि E, C से A की विपरीत दिशा में रेखा s पर एक बिंदु है। A 'के माध्यम से E के करीब की ओर एक रेखा s' (A 'E') बनाएँ, ताकि कोण B 'A' E 'कोण BAE के समान हो। फिर s 'एक साधारण बिंदु D' में s से मिलता है। किरण AE पर एक बिंदु D बनाएँ ताकि AD = A 'D' हो। फिर D '§ D. वे r से समान दूरी पर हैं और दोनों s पर स्थित हैं। इसलिए D' D (s का एक खंड) का लंबवत द्विभाजक भी r के लंबवत है। (यदि r और s अति-समानांतर के बजाय स्पर्शोन्मुख रूप से समानांतर थे, तो यह निर्माण विफल हो जाएगा क्योंकि s 's से नहीं मिलेगा। बल्कि s' s और r दोनों के लिए स्पर्शोन्मुख रूप से समानांतर होगा।) पोइनकेयर अर्ध-तल मॉडल में प्रमाण आइए कार्टेशियन तल के एब्सिसा पर चार अलग-अलग बिंदु हों। मान लीजिए और एब्सिसा के ऊपर क्रमशः व्यास के साथ अर्धवृत्ताकार हों। फिर पोइनकेयर अर्ध-समतल मॉडल एच. पी. में, और अति-समानांतर रेखाओं का प्रतिनिधित्व करते हैं। निम्नलिखित दो हाइपरबोलिक गतियों को लिखेंः फिर अब इन दो हाइपरबोलिक गतियों के साथ जारी रखेंः फिर,,, (मान लीजिए) पर रहता है। मूल पर केंद्र के साथ अद्वितीय अर्धवृत्त, एक पर लंबवत दूसरे की त्रिज्या के लिए एक त्रिज्या स्पर्शरेखा होनी चाहिए। एब्सिसा और लंबवत त्रिज्या द्वारा बनाए गए समकोण त्रिभुज की लंबाई हाइपोटेंज़ होती है। चूंकि अर्धवृत्त की त्रिज्या चालू है, इसलिए आम लंबवत मांग में त्रिज्या-वर्ग होता है। ऊपर उत्पन्न होने वाली चार हाइपरबॉलिक गतियों में से प्रत्येक को उल्टा किया जा सकता है और मूल और त्रिज्या पर केंद्रित अर्धवृत्त पर विपरीत क्रम में लागू किया जा सकता है ताकि दोनों अति-समानांतर और के लिए अद्वितीय हाइपरबॉलिक रेखा लंबवत प्राप्त हो सके। बेल्ट्रामी-क्लेन मॉडल में प्रमाण हाइपरबोलिक ज्यामिति के बेल्ट्रामी-क्लेन मॉडल मेंः दो अति-समानांतर रेखाएं दो गैर-छेदक तारों के अनुरूप हैं। इन दोनों रेखाओं के ध्रुव तारों के अंतिम बिंदुओं पर सीमा वृत्त की स्पर्शरेखा रेखाओं के संबंधित प्रतिच्छेदन हैं। रेखा l के लंबवत रेखाओं को तारों द्वारा मॉडल किया जाता है जिसका विस्तार l के ध्रुव से गुजरता है। इसलिए हम दो दी गई रेखाओं के ध्रुवों के बीच अद्वितीय रेखा खींचते हैं, और इसे सीमा वृत्त के साथ काटते हैं; प्रतिच्छेदन का तार अति-समानांतर रेखाओं का वांछित सामान्य लंबवत होगा। यदि कॉर्ड में से एक व्यास का होता है, तो हमारे पास एक पोल नहीं होता है, लेकिन इस मामले में व्यास के लंबवत कोई भी कॉर्ड बेलट्रामी-क्लेन मॉडल में भी लंबवत होता है, और इसलिए हम पोल के माध्यम से एक रेखा खींचते हैं। सबूत यह दिखाकर पूरा किया जाता है कि यह संरचना हमेशा संभव हैः यदि दोनों तार व्यास के हैं, तो वे एक दूसरे को काटते हैं। (सीमा वृत्त के केंद्र में) यदि तारों में से केवल एक का व्यास है, तो दूसरा तार अपने आंतरिक भाग में निहित पहले तार के एक खंड तक ऑर्थोगोनल रूप से नीचे की ओर प्रक्षेपित होता है, और ध्रुव ऑर्थोगोनल से व्यास तक की एक रेखा व्यास और तार दोनों को काटती है। यदि दोनों रेखाएँ व्यास नहीं हैं, तो हम प्रत्येक ध्रुव से खींची गई स्पर्शरेखा को एक चतुर्भुज का उत्पादन करने के लिए बढ़ा सकते हैं, जिसके भीतर इकाई वृत्त अंकित हो। ध्रुव इस चतुर्भुज के विपरीत शीर्ष हैं, और तार विपरीत कोनों में शीर्ष के आसन्न पक्षों के बीच खींची गई रेखाएं हैं। चूँकि चतुर्भुज उत्तल है, ध्रुवों के बीच की रेखा कोनों में खींची गई दोनों तारों को काटती है, और तारों के बीच की रेखा का खंड दो अन्य तारों के लंबवत आवश्यक तार को परिभाषित करता है। वैकल्पिक रूप से, हम अति-समानांतर रेखाओं के सामान्य लंबवत का निर्माण निम्नानुसार कर सकते हैंः बेल्ट्रामी-क्लेन मॉडल में अति-समानांतर रेखाएं दो गैर-छेदक तार हैं। लेकिन वे वास्तव में वृत्त के बाहर प्रतिच्छेद करते हैं। प्रतिच्छेदन बिंदु का ध्रुव वांछित सामान्य लंबवत है। संदर्भ करोल बोर्सुक और वांडा स्ज़मीलेव (1960) ज्यामिति की नींव, पृष्ठ 291। ज्यामिति में प्रमाण युक्त लेख हाइपरबोलिक ज्यामिति प्रमेय