Generic polynomial
गणित में, एक सामान्य बहुपद आमतौर पर एक बहुपद को संदर्भित करता है जिसके गुणांक अनिश्चित होते हैं। उदाहरण के लिए, यदि, और अनिश्चित हैं, तो डिग्री दो का सामान्य बहुपद है हालांकि गैलोइस सिद्धांत में, बीजगणित की एक शाखा, और इस लेख में, सामान्य बहुपद शब्द का एक अलग, हालांकि संबंधित, अर्थ हैः एक परिमित समूह G और एक क्षेत्र F के लिए एक सामान्य बहुपद एक मोनिक बहुपद P है जिसमें परिमेय फलन L = F (t1,., tn) के क्षेत्र में गुणांक हैं जो F पर अनिश्चित हैं, जैसे कि P के विभाजन क्षेत्र M में गैलोइस समूह G है, और गैलोइस समूह G के साथ प्रत्येक विस्तार K/F को एक बहुपद के विभाजन क्षेत्र के रूप में प्राप्त किया जा सकता है जो विशेषज्ञता है। किसी दिए गए गैलोइस समूह के लिए एक सामान्य बहुपद का अस्तित्व, और विशेष रूप से निर्माण, उस समूह के लिए व्युत्क्रम गैलोइस समस्या का एक पूर्ण समाधान प्रदान करता है। हालांकि, सभी गैलोइस समूहों में सामान्य बहुपद नहीं होते हैं, एक विपरीत उदाहरण आठ क्रम का चक्रीय समूह है। सामान्य बहुपदों वाले समूह सममित समूह Sn। यह तुच्छ है, जैसा कि Sn के लिए एक सामान्य बहुपद है। चक्रीय समूह सीएन, जहाँ एन आठ से विभाज्य नहीं है। लेनस्ट्रा ने दिखाया कि एक चक्रीय समूह में एक सामान्य बहुपद नहीं होता है यदि n आठ से विभाज्य है, और जी. डब्ल्यू. स्मिथ स्पष्ट रूप से इस तरह के बहुपद का निर्माण करते हैं यदि n आठ से विभाज्य नहीं है। चक्रीय समूह निर्माण सामान्य बहुपदों के अन्य वर्गों की ओर ले जाता है; विशेष रूप से डायहेड्रल समूह Dn में एक सामान्य बहुपद होता है यदि और केवल तभी जब n आठ से विभाज्य नहीं होता है। चतुर्धातुक समूह Q8। किसी भी विषम अभाज्य के लिए हाइजेनबर्ग समूह पी. वैकल्पिक समूह ए4। वैकल्पिक समूह ए5। ई6, ई7 और ई8 के लिए मूल प्रणालियों के विशेष समूहों सहित, क्यू पर परिभाषित प्रतिबिंब समूह। कोई भी समूह जो दो समूहों का प्रत्यक्ष उत्पाद है, दोनों में सामान्य बहुपद होते हैं। कोई भी समूह जो दो समूहों का पुष्प उत्पाद है, दोनों में सामान्य बहुपद होते हैं। सामान्य बहुपदों के उदाहरण सामान्य बहुपदों को डिग्री 5 या उससे कम के सभी सकर्मक समूहों के लिए जाना जाता है। सामान्य आयाम एक क्षेत्र एफ पर एक परिमित समूह जी के लिए सामान्य आयाम, जिसे दर्शाया जाता है, को एफ पर जी के लिए एक सामान्य बहुपद में मापदंडों की न्यूनतम संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है, या यदि कोई सामान्य बहुपद मौजूद नहीं है। उदाहरण के लिएः प्रकाशन जेन्सेन, क्रिश्चियन यू., लेडेट, आर्ने और यूई, नोरिको, जेनेरिक बहुपद, कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस, 2002 फील्ड (गणित) गैलोइस सिद्धांत