Angle of parallelism
हाइपरबोलिक ज्यामिति में, समानांतरता का कोण एक समकोण हाइपरबोलिक त्रिभुज के गैर-समकोण शीर्ष पर दो स्पर्शोन्मुख समानांतर भुजाओं वाला कोण है। कोण समकोण और समान्तरता कोण के शीर्ष के बीच खंड की लंबाई पर निर्भर करता है। यह देखते हुए कि एक बिंदु रेखा पर नहीं है, बिंदु से रेखा पर एक लंबवत छोड़ दें। मान लीजिए कि a इस लंबवत खंड की लंबाई है, और सबसे कम कोण ऐसा है कि बिंदु के माध्यम से खींची गई रेखा दी गई रेखा को नहीं काटती है। चूँकि दोनों पक्ष असिम्प्टोटिक रूप से समानांतर हैं, इसलिए पाँच समतुल्य अभिव्यक्तियाँ हैं जो संबंधित हैं और a: जहाँ sinh, cosh, tanh, sech और csch हाइपरबोलिक फ़ंक्शन हैं और gd गुडरमैनियन फ़ंक्शन है। निर्माण जैनोस बोल्यई ने एक ऐसी संरचना की खोज की जो एक बिंदु ए से गुजरने वाली रेखा आर के लिए एसिम्प्टोटिक समानांतर s देता है जो आर पर नहीं है। आर पर ए से बी पर एक लंबवत ड्रॉप करें। बी से अलग आर पर कोई भी बिंदु सी चुनें। सी पर एक लंबवत टी से आर करें। टी पर ए से डी पर एक लंबवत ड्रॉप करें। फिर लंबाई डी. ए. सी. बी. से लंबी है, लेकिन सी. ए. से छोटी है। सी के चारों ओर एक वृत्त बनाएँ जिसकी त्रिज्या डी. ए. के बराबर हो। यह खंड AB को एक बिंदु E पर काट देगा। फिर BEC कोण BC की लंबाई से स्वतंत्र है, जो केवल AB पर निर्भर करता है; यह समानांतरता का कोण है। एबी से बीईसी कोण पर ए के माध्यम से एस का निर्माण करें। यहाँ उपयोग किए गए सूत्रों के लिए समकोण त्रिभुजों की त्रिकोणमिति देखें। समानांतरता का कोण 1840 में निकोलाई लोबाचेव्स्की द्वारा जर्मन प्रकाशन "जियोमेट्रीश अनटर्सुचेंजेन ज़ुर थ्योरी डेर पैरेलिलिनियन" में विकसित किया गया था। 1891 में टेक्सास के प्रोफेसर जी. बी. हालस्टेड द्वारा एक अनुवाद तैयार करने के बाद यह प्रकाशन अंग्रेजी में व्यापक रूप से जाना जाने लगा। (समानांतर के सिद्धांत पर ज्यामितीय शोध) निम्नलिखित अंश हाइपरबोलिक ज्यामिति में इस महत्वपूर्ण अवधारणा को परिभाषित करते हैंः समानांतर एच. ए. और लंबवत ए. डी. के बीच के कोण एच. ए. डी. को समानांतर कोण (समानांतरता का कोण) कहा जाता है जिसे हम यहाँ ए. डी. = पी. के लिए Π (पी) द्वारा निर्दिष्ट करेंगे। मान लीजिए कि Q, x-अक्ष पर व्यास वाला अर्धवृत्त है जो बिंदुओं (1,0) और (0, y) से गुजरता है, जहाँ y> 1 है। चूँकि क्यू मूल पर केंद्रित इकाई अर्धवृत्त के लिए स्पर्शरेखा है, इसलिए दोनों अर्धवृत्त समानांतर अतिध्रुवीय रेखाओं का प्रतिनिधित्व करते हैं। y-अक्ष दोनों अर्धवृत्तों को पार करता है, जिससे इकाई अर्धवृत्त के साथ एक समकोण और Q के साथ एक चर कोण बनता है। क्यू के केंद्र में त्रिज्या द्वारा (0, वाई) को घटाया गया कोण भी φ है क्योंकि दोनों कोणों की भुजाएँ लंबवत, बाईं ओर से बाईं ओर और दाईं ओर से दाईं ओर होती हैं। अर्धवृत्त Q का केंद्र (x, 0), x <0 पर है, इसलिए इसकी त्रिज्या 1 − x है। इस प्रकार, क्यू की त्रिज्या का वर्ग इसलिए है हाइपरबोलिक ज्यामिति के पोइनकेयर अर्ध-तल मॉडल का मीट्रिक लॉगरिदमिक माप के साथ किरण {(0, y): y> 0} पर दूरी को मापता है। माना लॉग y = a, तो y = ea जहाँ e प्राकृतिक लघुगणक का आधार है। फिर φ और a के बीच के संबंध को त्रिभुज {(x, 0), (0,0), (0, y)} से निकाला जा सकता है, उदाहरण के लिएः संदर्भ मार्विन जे. ग्रीनबर्ग (1974) यूक्लिडियन और गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति, pp। 211-3, डब्ल्यू. एच. फ्रीमैन एंड कंपनी। रॉबिन हार्टशोर्न (1997) कम्पेनियन टू यूक्लिड पीपी। 319, 325, अमेरिकन मैथमेटिकल सोसाइटी। जेरेमी ग्रे (1989) अंतरिक्ष के विचारः यूक्लिडियन, गैर-यूक्लिडियन, और सापेक्षवादी, दूसरा संस्करण, क्लेरेंडन प्रेस, ऑक्सफोर्ड (पृष्ठ 113 से 118 देखें)। बेला केरेक्जार्टो (1966) लेस फाउंडेशन डी ला जियोमेट्री, टोम ड्यूक्स, § 97.6 एंगल डी पैरेलेलिस्म डी ला जियोमेट्री हाइपरबोलिक, पीपी। 411, 2, अकादमी किआडो, बुडापेस्ट। हाइपरबोलिक ज्यामिति कार्य और मानचित्रण कोण