Gaussian binomial coefficient
गणित में, गॉसियन द्विपद गुणांक (जिसे गॉसियन गुणांक, गॉसियन बहुपद या क्यू-द्विपद गुणांक भी कहा जाता है) द्विपद गुणांक के क्यू-एनालॉग हैं। गॉसियन द्विपद गुणांक, जिसे या के रूप में लिखा जाता है, पूर्णांक गुणांक के साथ q में एक बहुपद है, जिसका मान जब q को एक अभाज्य शक्ति पर सेट किया जाता है तो आयाम n के वेक्टर स्थान में आयाम k के उपस्थानों की संख्या की गणना की जाती है, जो q तत्वों के साथ एक परिमित क्षेत्र है; अर्थात। यह परिमित ग्रासमैनियन में अंकों की संख्या है। परिभाषा गौसी द्विपद गुणांक को निम्न द्वारा परिभाषित किया जाता हैः जहाँ m और r गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं। यदि, यह 0 का मूल्यांकन करता है। के लिए, मान 1 है क्योंकि अंश और भाजक दोनों खाली उत्पाद हैं। यद्यपि सूत्र शुरू में एक परिमेय फलन प्रतीत होता है, यह वास्तव में एक बहुपद है, क्योंकि विभाजन Z में सटीक है [q] अंश और भाजक में सभी कारक द्वारा विभाज्य हैं, और भागफल q-संख्या हैः इन कारकों को विभाजित करने से समतुल्य सूत्र मिलता है। गॉसियन द्विपद गुणांक के सीमित मान इस प्रकार हैंः उदाहरण संयोजन विवरण व्युत्क्रम गॉसियन द्विपद गुणांक के एक संयोजन विवरण में व्युत्क्रम शामिल हैं। साधारण द्विपद गुणांक एक-तत्व समुच्चय से चुने गए-संयोजनों को गिनता है। यदि कोई उन तत्वों को लंबाई के एक शब्द में अलग-अलग वर्ण स्थितियों के रूप में लेता है, तो प्रत्येक संयोजन दो अक्षरों की वर्णमाला का उपयोग करके लंबाई के एक शब्द से मेल खाता है, जैसे कि अक्षर 1 (चुने गए संयोजन में स्थितियों को दर्शाता है) और अक्षर 0 (शेष स्थितियों के लिए) की प्रतियों के साथ। तो, उदाहरण के लिए, 0s और 1s का उपयोग करने वाले शब्द हैं। गॉसियन द्विपद गुणांक प्राप्त करने के लिए, प्रत्येक शब्द एक कारक से जुड़ा होता है, जहां शब्द के व्युत्क्रमों की संख्या होती है, जहां, इस मामले में, एक व्युत्क्रम उन स्थितियों का एक जोड़ा होता है जहां जोड़े के बाएं हिस्से में 1 अक्षर होता है और दाएं हिस्से में 0 अक्षर होता है। उपरोक्त उदाहरण के साथ, 0 व्युत्क्रम के साथ एक शब्द है, 1 व्युत्क्रम के साथ एक शब्द है, 2 व्युत्क्रम के साथ दो शब्द हैं,,, 3 व्युत्क्रम के साथ एक शब्द है, और 4 व्युत्क्रम के साथ एक शब्द है। यह प्रारंभिक स्थिति से 1s के बाएँ-स्थानांतरण की संख्या भी है। ये गुणांक के अनुरूप हैं। इसे देखने का एक और तरीका यह है कि प्रत्येक शब्द को ऊंचाई और चौड़ाई के साथ एक आयताकार ग्रिड के पार एक पथ के साथ जोड़ा जाए, जो नीचे बाएँ कोने से ऊपर दाएँ कोने तक जाता है। पथ प्रत्येक 0 के लिए एक कदम सही और प्रत्येक 1 के लिए एक कदम ऊपर लेता है। एक व्युत्क्रम एक चरण की दिशाओं को बदल देता है (दाएँ + ऊपर ऊपर + दाएँ और इसके विपरीत), इसलिए व्युत्क्रम की संख्या पथ के नीचे के क्षेत्र के बराबर होती है। डिब्बों में गेंदें आइए अप्रभेद्य डिब्बों में अप्रभेद्य गेंदों को फेंकने के कई तरीके हैं, जहां प्रत्येक बिन में गेंदें हो सकती हैं। गौसी द्विपद गुणांक का उपयोग विशेषता के लिए किया जा सकता है। वास्तव में, जहाँ बहुपद के गुणांक को दर्शाता है (नीचे अनुप्रयोग अनुभाग भी देखें)। गुण परावर्तन साधारण द्विपद गुणांकों की तरह, गॉसियन द्विपद गुणांक केंद्र-सममित होते हैं, अर्थात, परावर्तन के तहत अपरिवर्तनीयः विशेष रूप से, q = 1 पर सीमा एक गॉसियन द्विपद गुणांक का मूल्यांकन है अर्थात। गुणांकों का योग संबंधित द्विपद मान देता है। बहुपद की डिग्री है। क्यू पहचान पास्कल की पहचान के अनुरूप गौसी द्विपद गुणांक के लिए पास्कल की पहचान के अनुरूप हैंः और कब, ये दोनों सामान्य द्विपद पहचान देते हैं। हम देख सकते हैं कि दोनों समीकरण मान्य रहते हैं। पहला पास्कल एनालॉग प्रारंभिक मूल्यों का उपयोग करके गॉसियन द्विपद गुणांक की पुनरावर्ती (m के संबंध में) गणना की अनुमति देता है और यह भी दर्शाता है कि गॉसियन द्विपद गुणांक वास्तव में बहुपद (q में) हैं। दूसरा पास्कल एनालॉग प्रतिबिंब के तहत गॉसियन द्विपद गुणांक के प्रतिस्थापन और अपरिवर्तनीयता का उपयोग करते हुए पहले का अनुसरण करता है। रैखिक बीजगणित के संदर्भ में इन पहचानों की प्राकृतिक व्याख्याएँ हैं। याद रखें कि आर-आयामी उपस्थानों की गणना की जाती है, और एक-आयामी शून्यस्थान के साथ एक प्रक्षेपण होने दें। पहली पहचान बाइजेक्शन से आती है जो सबस्पेस में ले जाती है; मामले में, स्थान आर-आयामी है, और हमें रैखिक फ़ंक्शन का भी ध्यान रखना चाहिए जिसका ग्राफ है; लेकिन मामले में, स्थान (आर-1)-आयामी है, और हम बिना किसी अतिरिक्त जानकारी के पुनर्निर्माण कर सकते हैं। दूसरी पहचान की एक समान व्याख्या है, जो एक (m−1)-आयामी स्थान के लिए ले जाती है, फिर से दो मामलों में विभाजित होती है। अनुरूपों के प्रमाण दोनों अनुरूपों को पहले यह नोट करके साबित किया जा सकता है कि की परिभाषा से, हमारे पास हैः जैसे समीकरण () बन जाता हैः और समीकरण () को प्रतिस्थापित करने से पहला अनुरूप मिलता है। एक समान प्रक्रिया, इसके बजाय उपयोग करते हुए, दूसरा एनालॉग देता है। q-द्विपद प्रमेय q-द्विपद गुणांक के लिए द्विपद प्रमेय का एक अनुरूप है, जिसे कौची द्विपद प्रमेय के रूप में जाना जाता हैः सामान्य द्विपद प्रमेय की तरह, इस सूत्र में कई सामान्यीकरण और विस्तार हैं; ऐसा ही एक, जो नकारात्मक शक्तियों के लिए न्यूटन के सामान्यीकृत द्विपद प्रमेय के अनुरूप है, सीमा में, ये सूत्र उपज और। सेटिंग क्रमशः विशिष्ट और किसी भी भाग के लिए उत्पन्न करने वाले कार्य प्रदान करती है। (बेसिक हाइपरजियोमेट्रिक श्रृंखला भी देखें।) केंद्रीय q-द्विपद पहचान साधारण द्विपद गुणांकों के साथ, हमारे पास हैः q-द्विपद गुणांकों के साथ, अनुरूप हैः अनुप्रयोग गॉस ने मूल रूप से द्विघात गॉस योग के संकेत के निर्धारण में गॉसियन द्विपद गुणांक का उपयोग किया था। गौसी द्विपद गुणांक सममित बहुपदों की गिनती और विभाजन के सिद्धांत में पाए जाते हैं। qr in का गुणांक m या उससे कम भागों वाले r के विभाजनों की संख्या है जिनमें से प्रत्येक n से कम या उसके बराबर है। समान रूप से, यह n या उससे कम भागों वाले r के विभाजनों की संख्या भी है जिनमें से प्रत्येक m से कम या उसके बराबर है। गौसी द्विपद गुणांक भी एक सीमित क्षेत्र पर परिभाषित प्रोजेक्टिव रिक्त स्थान के गणना सिद्धांत में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। विशेष रूप से, q तत्वों के साथ प्रत्येक परिमित क्षेत्र Fq के लिए, गॉसियन द्विपद गुणांक Fq (एक ग्रासमैनियन) पर एक n-आयामी सदिश स्थान के k-आयामी सदिश उपस्थानों की संख्या की गणना करता है। जब क्यू में एक बहुपद के रूप में विस्तारित किया जाता है, तो यह ग्रासमैनियन का शुबर्ट कोशिकाओं में प्रसिद्ध अपघटन उत्पन्न करता है। उदाहरण के लिए, गॉसियन द्विपद गुणांक (एफक्यू) एन में एक आयामी उपस्थानों की संख्या है (समतुल्य, संबंधित प्रोजेक्टिव स्पेस में बिंदुओं की संख्या)। इसके अलावा, जब q 1 (क्रमशः-1) होता है, तो गॉसियन द्विपद गुणांक संबंधित परिसर (क्रमशः वास्तविक) ग्रासमैनियन की यूलर विशेषता उत्पन्न करता है। एफक्यूएन के के-आयामी अफाइन उपस्थानों की संख्या इसके बराबर है। यह पहचान की एक और व्याख्या की अनुमति देता है कि एक हाइपरप्लेन को ठीक करके (m−1)-आयामी प्रोजेक्टिव स्पेस के (r−1)-आयामी उपस्थानों को गिनना, उस हाइपरप्लेन में निहित ऐसे उपस्थानों को गिनना, और फिर हाइपरप्लेन में निहित नहीं होने वाले उपस्थानों को गिनना; ये बाद वाले उपस्थान इस निश्चित हाइपरप्लेन को अनंत पर हाइपरप्लेन के रूप में मानते हुए प्राप्त स्थान के (r−1)-आयामी एफ़ाइन उपस्थानों के साथ बाइजेक्टिव पत्राचार में हैं। क्वांटम समूहों के अनुप्रयोगों में आम परंपराओं में, थोड़ी अलग परिभाषा का उपयोग किया जाता है; क्वांटम द्विपद गुणांक है। क्वांटम द्विपद गुणांक का यह संस्करण और के आदान-प्रदान के तहत सममित है। संदर्भ एक्सटन, एच. (1983), क्यू-हाइपरजियोमेट्रिक कार्य और अनुप्रयोग, न्यूयॉर्कः हालस्टेड प्रेस, चिचेस्टरः एलिस हॉरवुड, 1983,, (दिनांकित नहीं, 2004 या उससे पहले)। रत्नाधा कोल्हटकर, ग्रासमैन किस्मों का जीटा समारोह (दिनांक 26 जनवरी, 2004) (2009)। क्यू-एनालॉग कारक और द्विपद विषय