Mean-field theory
भौतिकी और संभाव्यता सिद्धांत में, माध्य-क्षेत्र सिद्धांत (एम. एफ. टी.) या स्व-सुसंगत क्षेत्र सिद्धांत एक सरल मॉडल का अध्ययन करके उच्च-आयामी यादृच्छिक (यादृच्छिक) मॉडल के व्यवहार का अध्ययन करता है जो स्वतंत्रता की डिग्री से अधिक औसत करके मूल का अनुमान लगाता है (एक सांख्यिकी की अंतिम गणना में मूल्यों की संख्या जो भिन्न होने के लिए स्वतंत्र हैं)। इस तरह के मॉडल कई अलग-अलग घटकों पर विचार करते हैं जो एक दूसरे के साथ बातचीत करते हैं। एम. एफ. टी. का मुख्य विचार किसी भी एक निकाय के साथ सभी अंतःक्रियाओं को एक औसत या प्रभावी अंतःक्रिया के साथ बदलना है, जिसे कभी-कभी आणविक क्षेत्र कहा जाता है। यह किसी भी कई-शरीर की समस्या को एक-शरीर की प्रभावी समस्या में बदल देता है। एम. एफ. टी. समस्याओं को हल करने में आसानी का मतलब है कि प्रणाली के व्यवहार में कुछ अंतर्दृष्टि कम कम्प्यूटेशनल लागत पर प्राप्त की जा सकती है। एम. एफ. टी. को तब से भौतिकी के बाहर के क्षेत्रों की एक विस्तृत श्रृंखला पर लागू किया गया है, जिसमें सांख्यिकीय अनुमान, चित्रमय मॉडल, तंत्रिका विज्ञान, कृत्रिम बुद्धिमत्ता, महामारी मॉडल, कतार सिद्धांत, कंप्यूटर-नेटवर्क प्रदर्शन और खेल सिद्धांत शामिल हैं, जैसा कि मात्रात्मक प्रतिक्रिया संतुलन में है। उत्पत्ति यह विचार पहली बार भौतिकी (सांख्यिकीय यांत्रिकी) में पियरे क्यूरी और पियरे वीस के काम में चरण परिवर्तनों का वर्णन करने के लिए दिखाई दिया। एम. एफ. टी. का उपयोग ब्रैग-विलियम्स सन्निकटन, बेथ जाली पर मॉडल, लैंडाउ सिद्धांत, पियरे-वीस सन्निकटन, फ्लोरी-हगिन्स समाधान सिद्धांत और श्यूटजेन्स-फ्लियर सिद्धांत में किया गया है। स्वतंत्रता की कई (कभी-कभी अनंत) डिग्री वाली प्रणालियों को आम तौर पर ठीक से हल करना या बंद, विश्लेषणात्मक रूप में गणना करना मुश्किल होता है, सिवाय कुछ सरल मामलों के (जैसे। कुछ गौसी यादृच्छिक-क्षेत्र सिद्धांत, 1 डी आइसिंग मॉडल)। अक्सर संयोजन संबंधी समस्याएं उत्पन्न होती हैं जो किसी प्रणाली के विभाजन कार्य की गणना करने जैसी चीजों को कठिन बना देती हैं। एम. एफ. टी. एक अनुमानित विधि है जो अक्सर मूल को हल करने योग्य और गणना के लिए खुला बनाती है, और कुछ मामलों में एम. एफ. टी. बहुत सटीक अनुमान दे सकती है। क्षेत्र सिद्धांत में, क्षेत्र के माध्य के आसपास उतार-चढ़ाव के परिमाण के संदर्भ में हैमिल्टनियन का विस्तार किया जा सकता है। इस संदर्भ में, एम. एफ. टी. को उतार-चढ़ाव में हैमिल्टनियन के "शून्य-क्रम" विस्तार के रूप में देखा जा सकता है। भौतिक रूप से, इसका मतलब है कि एक एम. एफ. टी. प्रणाली में कोई उतार-चढ़ाव नहीं होता है, लेकिन यह इस विचार के साथ मेल खाता है कि कोई भी "मीन-फील्ड" के साथ सभी अंतःक्रियाओं को बदल रहा है। अक्सर, एम. एफ. टी. उच्च-क्रम के उतार-चढ़ाव का अध्ययन करने के लिए एक सुविधाजनक प्रक्षेपण बिंदु प्रदान करता है। उदाहरण के लिए, विभाजन फलन की गणना करते समय, हैमिल्टनियन में अंतःक्रिया शब्दों के संयोजन का अध्ययन करने से कभी-कभी गड़बड़ी के परिणाम या फेनमैन आरेख प्राप्त हो सकते हैं जो माध्य-क्षेत्र सन्निकटन को सही करते हैं। वैधता सामान्य तौर पर, आयामीता यह निर्धारित करने में एक सक्रिय भूमिका निभाती है कि क्या एक औसत-क्षेत्र दृष्टिकोण किसी विशेष समस्या के लिए काम करेगा। कभी-कभी एक महत्वपूर्ण आयाम होता है जिसके ऊपर एम. एफ. टी. मान्य होता है और जिसके नीचे नहीं होता है। शोधात्मक रूप से, एम. एफ. टी. में कई अंतःक्रियाओं को एक प्रभावी अंतःक्रिया द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। इसलिए यदि क्षेत्र या कण मूल प्रणाली में कई यादृच्छिक अंतःक्रियाओं को प्रदर्शित करते हैं, तो वे एक दूसरे को रद्द कर देते हैं, इसलिए औसत प्रभावी अंतःक्रिया और एम. एफ. टी. अधिक सटीक होंगे। यह उच्च आयामीता के मामलों में सच है, जब हैमिल्टनियन में लंबी दूरी के बल शामिल होते हैं, या जब कण विस्तारित होते हैं (जैसे। पॉलिमर)। गिन्जबर्ग मानदंड इस बात की औपचारिक अभिव्यक्ति है कि कैसे उतार-चढ़ाव एम. एफ. टी. को एक खराब सन्निकटन प्रदान करते हैं, जो अक्सर रुचि की प्रणाली में स्थानिक आयामों की संख्या पर निर्भर करता है। औपचारिक दृष्टिकोण (हैमिल्टनियन) माध्य-क्षेत्र सिद्धांत का औपचारिक आधार बोगोलियुबोव असमानता है। यह असमानता बताती है कि हैमिल्टनियन के साथ एक प्रणाली की मुक्त ऊर्जा की निम्नलिखित ऊपरी सीमा होती हैः एन्ट्रापी कहाँ है, और हेल्महोल्ट्ज मुक्त ऊर्जाएँ कहाँ हैं। औसत को हैमिल्टनियन के साथ संदर्भ प्रणाली के संतुलन समूह पर लिया जाता है। इस विशेष मामले में कि हैमिल्टनियन संदर्भ एक गैर-अंतःक्रिया प्रणाली का है और इस प्रकार लिखा जा सकता है कि हमारी सांख्यिकीय प्रणाली (परमाणु, स्पिन आदि) के अलग-अलग घटकों की स्वतंत्रता की डिग्री कहाँ हैं, कोई भी असमानता के दाहिने पक्ष को कम करके ऊपरी सीमा को तेज करने पर विचार कर सकता है। न्यूनतम संदर्भ प्रणाली तब स्वतंत्रता की गैर-सहसंबद्ध डिग्री का उपयोग करके वास्तविक प्रणाली के लिए "सर्वश्रेष्ठ" सन्निकटन है और इसे माध्य क्षेत्र सन्निकटन के रूप में जाना जाता है। सबसे आम मामले के लिए कि लक्ष्य हैमिल्टनियन में केवल जोड़ीदार अंतःक्रियाएँ होती हैं, यानी, जहाँ युग्मों का समूह होता है जो अंतःक्रिया करते हैं, न्यूनतम प्रक्रिया को औपचारिक रूप से किया जा सकता है। एकल घटक की स्वतंत्रता की डिग्री पर अवलोकन योग्य के सामान्यीकृत योग के रूप में परिभाषित करें (असतत चर के लिए योग, निरंतर के लिए समाकलन)। अनुमानित मुक्त ऊर्जा इस आधार पर दी जाती है कि चर द्वारा निर्दिष्ट अवस्था में संदर्भ प्रणाली को खोजने की संभावना कहाँ है। यह संभाव्यता सामान्यीकृत बोल्ट्ज़मैन कारक द्वारा दी जाती है जहाँ विभाजन फलन है। इस प्रकार न्यूनतम करने के लिए, हम उचित सामान्यीकरण सुनिश्चित करने के लिए लैग्रेंज गुणक का उपयोग करके एकल-डिग्री-ऑफ-फ्रीडम संभावनाओं के संबंध में व्युत्पन्न लेते हैं। अंतिम परिणाम आत्म-स्थिरता समीकरणों का समूह है जहां माध्य क्षेत्र अनुप्रयोगों द्वारा दिया जाता है माध्य क्षेत्र सिद्धांत को कई भौतिक प्रणालियों पर लागू किया जा सकता है ताकि चरण संक्रमण जैसी घटनाओं का अध्ययन किया जा सके। आइसिंग मॉडल औपचारिक व्युत्पत्ति ऊपर दिखाई गई बोगोलिउबोव असमानता का उपयोग द्वि-आयामी आइसिंग जाली के औसत क्षेत्र मॉडल की गतिशीलता का पता लगाने के लिए किया जा सकता है। एक चुंबकत्व फलन की गणना परिणामी अनुमानित मुक्त ऊर्जा से की जा सकती है। पहला कदम सच्चे हैमिल्टनियन का अधिक ट्रैक्टेबल सन्निकटन चुनना है। एक गैर-अंतःक्रियात्मक या प्रभावी क्षेत्र हैमिल्टनियन का उपयोग करते हुए, परिवर्तनशील मुक्त ऊर्जा बोगोलियुबोव असमानता द्वारा है, जो इस मात्रा को सरल बनाती है और चुंबकत्व कार्य की गणना करती है जो परिवर्तनशील मुक्त ऊर्जा को कम करती है जो वास्तविक चुंबकत्व के लिए सबसे अच्छा अनुमान देती है। मिनिमाइज़र वह है जो स्पिन का समग्र औसत है। यह सभी स्पिनों द्वारा महसूस किए गए प्रभावी क्षेत्र को एक औसत स्पिन मान के बराबर करने के लिए सरल बनाता है जो उतार-चढ़ाव के दमन के लिए परिवर्तनशील दृष्टिकोण से संबंधित है। चुंबकत्व फलन की भौतिक व्याख्या तब अलग-अलग स्पिनों के लिए औसत मूल्यों का एक क्षेत्र है। गैर-परस्पर क्रिया स्पिन सन्निकटन आयामी जाली पर इसिंग मॉडल पर विचार करें। हैमिल्टनियन को निकटतम पड़ोसियों की जोड़ी पर संकेत योग के द्वारा दिया जाता है, और पड़ोसी इसिंग स्पिन हैं। आइए हम अपने स्पिन चर को उसके औसत मूल्य से उतार-चढ़ाव का परिचय देकर परिवर्तित करें। हम हैमिल्टनियन को फिर से लिख सकते हैं जहाँ हम परिभाषित करते हैं; यह स्पिन का उतार-चढ़ाव है। यदि हम दाहिने पक्ष का विस्तार करते हैं, तो हम एक शब्द प्राप्त करते हैं जो पूरी तरह से स्पिन के औसत मूल्यों पर निर्भर है और स्पिन विन्यास से स्वतंत्र है। यह तुच्छ शब्द है, जो प्रणाली के सांख्यिकीय गुणों को प्रभावित नहीं करता है। अगला पद वह है जिसमें स्पिन के औसत मूल्य और उतार-चढ़ाव मूल्य का उत्पाद शामिल है। अंत में, अंतिम पद में दो उतार-चढ़ाव मूल्यों का एक उत्पाद शामिल होता है। औसत क्षेत्र सन्निकटन में इस दूसरे क्रम के उतार-चढ़ाव शब्द की उपेक्षा करना शामिल हैः इन उतार-चढ़ाव को कम आयामों पर बढ़ाया जाता है, जिससे एम. एफ. टी. उच्च आयामों के लिए एक बेहतर सन्निकटन बन जाता है। फिर से, योग को फिर से बढ़ाया जा सकता है। इसके अलावा, हम उम्मीद करते हैं कि प्रत्येक स्पिन का औसत मूल्य साइट-स्वतंत्र है, क्योंकि आइसिंग श्रृंखला अनुवादात्मक रूप से अपरिवर्तनीय है। यह उपज देता है पड़ोसी स्पिनों पर योग को इस रूप में फिर से लिखा जा सकता है, जिसका अर्थ है "निकटतम पड़ोसी", और पूर्व कारक दोहरी गिनती से बचता है, क्योंकि प्रत्येक बंधन दो स्पिनों में भाग लेता है। सरलीकरण अंतिम अभिव्यक्ति की ओर ले जाता है जहाँ समन्वय संख्या है। इस बिंदु पर, इसिंग हैमिल्टनियन को एक प्रभावी माध्य क्षेत्र के साथ एक-शरीर हैमिल्टनियन के योग में विच्छेदित कर दिया गया है, जो बाहरी क्षेत्र और पड़ोसी स्पिन द्वारा प्रेरित माध्य क्षेत्र का योग है। यह ध्यान देने योग्य है कि यह माध्य क्षेत्र सीधे निकटतम पड़ोसियों की संख्या पर निर्भर करता है और इस प्रकार प्रणाली के आयाम पर (उदाहरण के लिए, आयाम के एक हाइपरक्यूबिक जाली के लिए)। इस हैमिल्टनियन को विभाजन कार्य में प्रतिस्थापित करने और प्रभावी 1 डी समस्या को हल करने से, हम प्राप्त करते हैं कि जाली स्थलों की संख्या कहाँ है। यह प्रणाली के विभाजन कार्य के लिए एक बंद और सटीक अभिव्यक्ति है। हम प्रणाली की मुक्त ऊर्जा प्राप्त कर सकते हैं और महत्वपूर्ण घातांक की गणना कर सकते हैं। विशेष रूप से, हम एक कार्य के रूप में चुंबकत्व प्राप्त कर सकते हैं। इस प्रकार हमारे पास और के बीच दो समीकरण हैं, जिससे हम तापमान के फलन के रूप में निर्धारित कर सकते हैं। यह निम्नलिखित अवलोकन की ओर ले जाता हैः एक निश्चित मूल्य से अधिक तापमान के लिए, एकमात्र समाधान है। प्रणाली पैरामैग्नेटिक है। क्योंकि, दो गैर-शून्य समाधान हैंः यह प्रणाली लौहचुंबकीय है। निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया गया हैः इससे पता चलता है कि एम. एफ. टी. लौह चुम्बकीय चरण संक्रमण के लिए जिम्मेदार हो सकता है। इसी तरह, एम. एफ. टी. को अन्य प्रकार के हैमिल्टनियन पर निम्नलिखित मामलों में लागू किया जा सकता हैः धातु-सुपरकंडक्टर संक्रमण का अध्ययन करने के लिए। इस मामले में, चुंबकत्व का अनुरूप सुपरकंडक्टिंग अंतर है। एक तरल क्रिस्टल का आणविक क्षेत्र जो तब उभरता है जब निदेशक क्षेत्र का लाप्लेशियन गैर-शून्य होता है। प्रोटीन संरचना भविष्यवाणी में एक निश्चित प्रोटीन रीढ़ दिए गए इष्टतम अमीनो एसिड साइड चेन पैकिंग को निर्धारित करने के लिए (स्व-सुसंगत औसत क्षेत्र (जीव विज्ञान) देखें)। एक मिश्रित पदार्थ के लोचदार गुणों को निर्धारित करना। सांख्यिकीय अनुमान में माध्य क्षेत्र सिद्धांत जैसे परिवर्तनशील न्यूनतमकरण का भी उपयोग किया जा सकता है। माध्य क्षेत्र सिद्धांत में, एकल-स्थल समस्या में दिखाई देने वाला माध्य क्षेत्र एक समय-स्वतंत्र स्केलर या वेक्टर मात्रा है। हालाँकि, यह हमेशा ऐसा नहीं होता हैः गतिशील माध्य क्षेत्र सिद्धांत (डी. एम. एफ. टी.) नामक माध्य क्षेत्र सिद्धांत के एक प्रकार में, माध्य क्षेत्र एक समय-निर्भर मात्रा बन जाता है। उदाहरण के लिए, धातु-मोट-इन्सुलेटर संक्रमण का अध्ययन करने के लिए डी. एम. एफ. टी. को हब्बार्ड मॉडल पर लागू किया जा सकता है। यह भी देखें गतिशील माध्य क्षेत्र सिद्धांत माध्य क्षेत्र खेल सिद्धांत सामान्यीकृत महामारी माध्य क्षेत्र मॉडल संदर्भ भौतिकी में सांख्यिकीय यांत्रिकी अवधारणाएँ इलेक्ट्रॉनिक संरचना विधियाँ