Klein transformation
क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में, क्लेन परिवर्तन स्पिन-सांख्यिकी प्रमेय को संशोधित करने के लिए क्षेत्रों की एक पुनर्परिभाषित है। बोस-आइंस्टीन मान लीजिए कि φ और χ ऐसे क्षेत्र हैं कि, यदि x और y स्पेसिलाइक-सेपरेटेड बिंदु हैं और i और j स्पिनोर/टेंसर सूचकांकों का प्रतिनिधित्व करते हैं, तो यह भी मान लीजिए कि χ Z2 पैरिटी के तहत अपरिवर्तनीय है (स्थानिक प्रतिबिंबों के साथ कुछ भी नहीं!) χ से −χ का मानचित्रण करें लेकिन φ को अपरिवर्तनीय छोड़ दें। जाहिर है, मुक्त क्षेत्र सिद्धांत हमेशा इस गुण को संतुष्ट करते हैं। फिर, χ कणों की संख्या की Z2 समानता को अच्छी तरह से परिभाषित किया जाता है और समय के साथ संरक्षित किया जाता है। आइए इस समानता को प्रचालक केएचएच द्वारा निरूपित करें जो χ-सम अवस्थाओं को अपने लिए और χ-विषम अवस्थाओं को उनके नकारात्मक में मानचित्रित करता है। फिर, के. सी. एच. अनैच्छिक, हर्मिशियन और एकात्मक है। कहने की आवश्यकता नहीं है कि ऊपर के क्षेत्रों φ और χ में बोसॉन या फर्मियन के लिए उचित सांख्यिकीय संबंध नहीं हैं। अर्थात। वे अपने संबंध में बोसोनिक हैं लेकिन एक दूसरे के संबंध में फर्मियोनिक हैं। लेकिन अगर आप अकेले सांख्यिकीय गुणों को देखते हैं, तो हम पाते हैं कि इसमें बोस-आइंस्टीन के आंकड़ों के समान ही आंकड़े हैं। यहाँ क्यों हैः दो नए क्षेत्रों φ 'और χ' को निम्नानुसार परिभाषित करेंः और यह पुनर्परिभाषित व्युत्क्रमणीय है (क्योंकि Kχ है)। अब, स्पेसिलाइक कम्यूटेशन संबंध फर्मी-डीराक बन जाते हैं अब, आइए इस उदाहरण के साथ काम करें जहां (हमेशा की तरह स्पेसिलाइक-सेपरेटेड)। मान लीजिए कि एक बार फिर हमारे पास एक Z2 संरक्षित समता प्रचालक Kχ है जो अकेले χ पर कार्य कर रहा है। मान लीजिए और फिर दो से अधिक क्षेत्र यदि दो से अधिक क्षेत्र हैं, तो कोई भी वांछित परिणाम प्राप्त होने तक "गलत" कम्यूटेशन/एंटी-कम्यूटेशन संबंधों के साथ प्रत्येक जोड़ी क्षेत्रों में क्लेन परिवर्तन को लागू कर सकता है। यह पैरास्टेटिस्टिक्स और अधिक परिचित बोस-आइंस्टीन/फर्मी-डीराक सांख्यिकी के बीच समानता की व्याख्या करता है। संदर्भ भी देखें जॉर्डन-श्विंगर परिवर्तन जॉर्डन-विग्नर परिवर्तन बोगोलियुबोव-वैलेटिन परिवर्तन होल्स्टीन-प्रिमाकॉफ परिवर्तन क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत