Vibrations of a circular membrane
तनाव के तहत एक द्वि-आयामी लोचदार झिल्ली अनुप्रस्थ कंपन का समर्थन कर सकती है। एक आदर्श ड्रमहेड के गुणों को एक समान मोटाई की गोलाकार झिल्ली के कंपन द्वारा मॉडल किया जा सकता है, जो एक कठोर फ्रेम से जुड़ा होता है। अनुनाद की घटना के कारण, कुछ कंपन आवृत्तियों पर, इसकी अनुनाद आवृत्तियों पर, झिल्ली कंपन ऊर्जा को संग्रहीत कर सकती है, सतह खड़ी तरंगों के एक विशिष्ट पैटर्न में चलती है। इसे सामान्य मोड कहा जाता है। एक झिल्ली में इन सामान्य मोड की एक अनंत संख्या होती है, जो सबसे कम आवृत्ति से शुरू होती है जिसे मौलिक मोड कहा जाता है। ऐसे असीम रूप से कई तरीके हैं जिनमें एक झिल्ली कंपन कर सकती है, प्रत्येक कुछ प्रारंभिक समय पर झिल्ली के आकार और उस समय झिल्ली पर प्रत्येक बिंदु के अनुप्रस्थ वेग पर निर्भर करता है। झिल्ली के कंपन डिरिचलेट सीमा स्थितियों के साथ द्वि-आयामी तरंग समीकरण के समाधान द्वारा दिए जाते हैं जो फ्रेम की बाधा का प्रतिनिधित्व करते हैं। यह दिखाया जा सकता है कि झिल्ली के किसी भी मनमाने ढंग से जटिल कंपन को झिल्ली के सामान्य मोड की संभवतः अनंत श्रृंखला में विघटित किया जा सकता है। यह एक समय संकेत के फूरियर श्रृंखला में अपघटन के समान है। ड्रम पर कंपन के अध्ययन ने गणितविदों को एक प्रसिद्ध गणितीय समस्या प्रस्तुत करने के लिए प्रेरित किया कि क्या ड्रम के आकार को सुना जा सकता है, जिसका उत्तर (यह नहीं हो सकता) 1992 में द्वि-आयामी सेटिंग में दिया गया था। कंपनशील ड्रम के सिर की समस्या का विश्लेषण करने से ड्रम और तिम्पानी जैसे तालवाद्यों की व्याख्या की जाती है। हालांकि, कान के पर्दे के काम करने में एक जैविक अनुप्रयोग भी है। एक शैक्षिक दृष्टिकोण से द्वि-आयामी वस्तु के मोड मोड, नोड्स, एंटीनोड्स और यहां तक कि क्वांटम संख्याओं के अर्थ को दृष्टि से प्रदर्शित करने का एक सुविधाजनक तरीका है। ये अवधारणाएँ परमाणु की संरचना को समझने के लिए महत्वपूर्ण हैं। समस्या मूल पर केंद्रित त्रिज्या की एक खुली डिस्क पर विचार करें, जो "स्थिर" ड्रम सिर के आकार का प्रतिनिधित्व करेगी। किसी भी समय "स्थिर" ड्रम के सिर के आकार से मापे गए बिंदु पर ड्रम के सिर के आकार की ऊंचाई को दर्शाया जाएगा जिसके द्वारा सकारात्मक और नकारात्मक दोनों मान लिए जा सकते हैं। आइए इसकी सीमा को दर्शाते हैं, मूल पर केंद्रित त्रिज्या का वृत्त, जो उस कठोर फ्रेम का प्रतिनिधित्व करता है जिससे ड्रम का सिर जुड़ा हुआ है। ड्रम हेड के कंपन को नियंत्रित करने वाला गणितीय समीकरण शून्य सीमा स्थितियों के साथ तरंग समीकरण है, की गोलाकार ज्यामिति के कारण, बेलनाकार निर्देशांक का उपयोग करना सुविधाजनक होगा, फिर, उपरोक्त समीकरणों को इस प्रकार लिखा जाता है यहाँ, एक सकारात्मक स्थिरांक है, जो वह गति देता है जिस पर अनुप्रस्थ कंपन तरंगें झिल्ली में फैलती हैं। भौतिक मापदंडों के संदर्भ में, तरंग की गति, c, जहाँ से दी जाती है, झिल्ली सीमा () पर रेडियल झिल्ली परिणामी है, झिल्ली की मोटाई है, और झिल्ली घनत्व है। यदि झिल्ली में एक समान तनाव है, तो दिए गए त्रिज्या पर एक समान तनाव बल लिखा जा सकता है, जहां झिल्ली अजीमुथल दिशा में परिणामी है। अक्षसममित मामले में हम पहले एक गोलाकार ड्रम हेड के कंपन के संभावित तरीकों का अध्ययन करेंगे जो अक्षसममित हैं। फिर, फलन कोण पर निर्भर नहीं करता है और तरंग समीकरण सरल हो जाता है। हम अलग-अलग चर में समाधान खोजेंगे, इसे उपरोक्त समीकरण में प्रतिस्थापित करेंगे और दोनों पक्षों को उपज से विभाजित करेंगे। इस समानता का बायां पक्ष इस पर निर्भर नहीं करता है और दाहिना पक्ष इस पर निर्भर नहीं करता है कि दोनों पक्ष किसी स्थिरांक के बराबर होने चाहिए। भौतिक रूप से यह उम्मीद की जाती है कि एक कंपनशील ड्रम हेड की समस्या का समाधान समय पर दोलनशील होगा, और यह केवल तीसरे मामले को छोड़ देता है, इसलिए हम सुविधा के लिए चुनते हैं। फिर, साइन और कोसाइन कार्यों का एक रैखिक संयोजन है, इस अवलोकन के साथ समीकरण की ओर मुड़ते हुए कि इस द्वितीय-क्रम अवकल समीकरण के सभी समाधान क्रम 0 के बेसल कार्यों का एक रैखिक संयोजन हैं, क्योंकि यह बेसल के अवकल समीकरण का एक विशेष मामला हैः बेसल कार्य असीमित है जिसके परिणामस्वरूप कंपनशील ड्रम हेड समस्या का एक अभौतिक समाधान होता है, इसलिए स्थिरांक शून्य होना चाहिए। हम यह भी मान लेंगे कि अन्यथा इस स्थिरांक को बाद में स्थिरांक में अवशोषित किया जा सकता है और इससे आ सकता है। यह इस प्रकार है कि ड्रम हेड की सीमा पर ऊंचाई शून्य होने की आवश्यकता इस स्थिति में परिणाम देती है। बेसेल फ़ंक्शन में अनंत संख्या में सकारात्मक मूल होते हैं, इसलिए, कंपन करने वाले ड्रम हेड समस्या के अक्षसममित समाधान जिन्हें अलग-अलग चर में दर्शाया जा सकता है। हम अलग-अलग चर में एक समाधान मानते हैं, इसे तरंग समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और चर को अलग करते हैं, जिससे पता चलता है कि स्थिरांक कहाँ है। पहले की तरह, इसके लिए समीकरण से इस प्रकार है कि और समीकरण से हम प्राप्त करते हैं, दोनों पक्षों को चरों से गुणा करके और अलग करके, कि और कुछ स्थिरांक के लिए क्योंकि आवधिक है, अवधि एक कोणीय चर होने के साथ, यह इस प्रकार है कि कहाँ और कुछ स्थिरांक हैं। इसका अर्थ यह भी है कि इसके समाधान के लिए समीकरण पर वापस जाना बेसल कार्यों का एक रैखिक संयोजन है और पिछले खंड की तरह ही एक समान तर्क के साथ, हम इस पर पहुंचते हैं कि-th सकारात्मक मूल के साथ हमने दिखाया कि कंपनशील ड्रम हेड समस्या के अलग-अलग चर में सभी समाधान कई कंपन मोड के एनिमेशन के रूप में हैं। हाइड्रोजन परमाणु के अनुरूप तरंग कार्यों के साथ-साथ संबंधित कोणीय आवृत्तियों को भी इंगित किया जाता है। के मान बेसल फलन के मूल हैं। यह सीमा शर्त से निकाला जाता है जो उपज देती है। अधिक मूल्यों की गणना आसानी से स्काइपी लाइब्रेरी के साथ निम्नलिखित पायथन कोड का उपयोग करके की जा सकती हैः स्काइपी आयात विशेष से बेसल फ़ंक्शन के एससी एम = 0 #क्रम के रूप में (यानी। वृत्ताकार झिल्ली के लिए कोणीय मोड) nz = 3 #जड़ों की वांछित संख्या अल्फा _ mn = sc.jn_zeros (m, nz) #Jm के आउटपुट nz शून्य भी देखें कंपन स्ट्रिंग, एक आयामी केस क्लैडनी पैटर्न, एक संबंधित घटना का प्रारंभिक विवरण, विशेष रूप से संगीत वाद्ययंत्रों के साथ; एक ड्रम के आकार को सुनना, झिल्ली परमाणु कक्षीय के आकार के संबंध में मोड की विशेषता, एक संबंधित क्वांटम-यांत्रिक और त्रि-आयामी समस्या संदर्भ आंशिक अंतर समीकरण यांत्रिक कंपन ड्रमिंग