Laplacian matrix
ग्राफ सिद्धांत के गणितीय क्षेत्र में, लाप्लासियन मैट्रिक्स, जिसे ग्राफ लाप्लासियन, प्रवेश मैट्रिक्स, किरचॉफ मैट्रिक्स या असतत लाप्लासियन भी कहा जाता है, एक ग्राफ का एक मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व है। पियरे-साइमन लाप्लास के नाम पर नामित, ग्राफ लाप्लासियन मैट्रिक्स को एक ग्राफ पर नकारात्मक असतत लाप्लास ऑपरेटर के एक मैट्रिक्स रूप के रूप में देखा जा सकता है जो परिमित अंतर विधि द्वारा प्राप्त नकारात्मक निरंतर लाप्लासियन का अनुमान लगाता है। लैपलेसियन मैट्रिक्स ग्राफ के कई उपयोगी गुणों से संबंधित है। किरचॉफ के प्रमेय के साथ, इसका उपयोग किसी दिए गए ग्राफ के लिए फैले हुए पेड़ों की संख्या की गणना करने के लिए किया जा सकता है। ग्राफ के सबसे विरल कट को फिडलर वेक्टर के माध्यम से अनुमानित किया जा सकता है-ग्राफ लाप्लासियन के दूसरे सबसे छोटे आइगेनवैल्यू के अनुरूप आइगेनवेक्टर-जैसा कि चीगर की असमानता द्वारा स्थापित किया गया है। लैपलेसियन मैट्रिक्स का वर्णक्रमीय अपघटन कम आयामी एम्बेडिंग के निर्माण की अनुमति देता है जो कई मशीन सीखने के अनुप्रयोगों में दिखाई देता है और ग्राफ ड्राइंग में एक वर्णक्रमीय लेआउट निर्धारित करता है। ग्राफ-आधारित संकेत प्रसंस्करण ग्राफ फूरियर परिवर्तन पर आधारित है जो संकेत के अनुरूप ग्राफ के लाप्लेशियन मैट्रिक्स के आइगेनवेक्टर्स के लिए जटिल साइनसॉइड्स के मानक आधार को प्रतिस्थापित करके पारंपरिक असतत फूरियर परिवर्तन का विस्तार करता है। लैपलेसियन मैट्रिक्स एक सरल ग्राफ के लिए परिभाषित करने के लिए सबसे आसान है, लेकिन एक किनारे-भारित ग्राफ के लिए अनुप्रयोगों में अधिक आम है, यानी, इसके किनारों पर भार के साथ-ग्राफ निकटता मैट्रिक्स की प्रविष्टियाँ। स्पेक्ट्रल ग्राफ सिद्धांत एक ग्राफ के गुणों को एक स्पेक्ट्रम से संबंधित करता है, अर्थात, आइगेनवैल्यूज, और ग्राफ से जुड़े मैट्रिक्स के आइगेनवेक्टर्स, जैसे कि इसकी निकटता मैट्रिक्स या लाप्लेशियन मैट्रिक्स। असंतुलित भार अवांछनीय रूप से मैट्रिक्स स्पेक्ट्रम को प्रभावित कर सकते हैं, जिससे सामान्यीकरण की आवश्यकता हो सकती है-मैट्रिक्स प्रविष्टियों का एक कॉलम/पंक्ति स्केलिंग-जिसके परिणामस्वरूप सामान्यीकृत निकटता और लाप्लेशियन मैट्रिक्स होते हैं। सरल ग्राफ के लिए परिभाषाएँ लाप्लासियन मैट्रिक्स शीर्षों के साथ एक सरल ग्राफ दिए जाने पर, इसके लाप्लासियन मैट्रिक्स को मैट्रिक्स द्वारा तत्व-वार या समकक्ष रूप से परिभाषित किया जाता है जहाँ डी डिग्री मैट्रिक्स है और ए ग्राफ का निकटता मैट्रिक्स है। चूंकि यह एक सरल ग्राफ है, इसमें केवल 1s या 0s होते हैं और इसके विकर्ण तत्व सभी 0s होते हैं। यहाँ एक लेबल, अनिर्देशित ग्राफ और इसके लाप्लेशियन मैट्रिक्स का एक सरल उदाहरण है। हम दिशाहीन ग्राफ के लिए देखते हैं कि निकटता मैट्रिक्स और लाप्लासियन मैट्रिक्स दोनों सममित हैं, और लाप्लासियन मैट्रिक्स की पंक्ति और स्तंभ-योग सभी शून्य हैं। निर्देशित ग्राफ के लिए, अनुप्रयोग के आधार पर या तो इंडेग्री या आउट डिग्री का उपयोग किया जा सकता है, जैसा कि निम्नलिखित उदाहरण में हैः निर्देशित ग्राफ में, निकटता मैट्रिक्स और लाप्लेशियन मैट्रिक्स दोनों असममित हैं। इसके लाप्लेशियन मैट्रिक्स में, कॉलम-सम या रो-सम शून्य होते हैं, जो इस बात पर निर्भर करता है कि इंडेग्री या आउट डिग्री का उपयोग किया गया है या नहीं। आपतन मैट्रिक्स के माध्यम से सममित लाप्लासियन आपतन मैट्रिक्स B को तत्व Bve के साथ शीर्ष v और किनारे e (जोड़ते हुए शीर्ष और, i> j के साथ) के लिए परिभाषित किया जाता है भले ही इस परिभाषा में किनारे तकनीकी रूप से निर्देशित हों, फिर भी उनकी दिशाएँ मनमाना हो सकती हैं, जिसके परिणामस्वरूप समान सममित लाप्लासियन मैट्रिक्स L को परिभाषित किया जाता है जहां B का मैट्रिक्स ट्रांसपोज़ है। एक वैकल्पिक उत्पाद तथाकथित किनारे-आधारित लाप्लासियन को परिभाषित करता है, जैसा कि एक निर्देशित ग्राफ के लिए मूल सामान्य रूप से उपयोग किए जाने वाले शीर्ष-आधारित लाप्लासियन मैट्रिक्स एल. सममित लाप्लासियन के विपरीत एक निर्देशित ग्राफ का लाप्लासियन मैट्रिक्स परिभाषा के अनुसार आम तौर पर गैर-सममित होता है, जबकि, उदाहरण के लिए, पारंपरिक वर्णक्रमीय क्लस्टरिंग मुख्य रूप से सममित निकटता और लाप्लासियन मैट्रिक्स के साथ अनिर्दिष्ट ग्राफ के लिए विकसित की जाती है। समरूपता की आवश्यकता वाली तकनीकों को लागू करने के लिए एक तुच्छ दृष्टिकोण मूल निर्देशित ग्राफ को एक दिशाहीन ग्राफ में बदलना और बाद वाले के लिए लाप्लासियन मैट्रिक्स का निर्माण करना है। मैट्रिक्स संकेतन में, दिशाहीन ग्राफ के निकटता मैट्रिक्स को, उदाहरण के लिए, मूल निर्देशित ग्राफ और उसके मैट्रिक्स ट्रांसपोज़ के निकटता मैट्रिक्स के बूलियन योग के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जहां शून्य और एक प्रविष्टि को संख्यात्मक मूल्यों के बजाय तार्किक माना जाता है, जैसा कि निम्नलिखित उदाहरण में हैः लैपलेसियन मैट्रिक्स सामान्यीकरण एक बड़ी डिग्री के साथ एक शीर्ष, जिसे भारी नोड भी कहा जाता है, जिसके परिणामस्वरूप मैट्रिक्स गुणों पर हावी लैपलेसियन मैट्रिक्स में एक बड़ी विकर्ण प्रविष्टि होती है। सामान्यीकरण का उद्देश्य लैपलेसियन मैट्रिक्स की प्रविष्टियों को शीर्ष डिग्री से विभाजित करके ऐसे शीर्षों के प्रभाव को अन्य शीर्षों के प्रभाव के बराबर बनाना है। शून्य द्वारा विभाजन से बचने के लिए, शून्य डिग्री वाले अलग-अलग शीर्षों को सामान्यीकरण की प्रक्रिया से बाहर रखा जाता है। सममित रूप से सामान्यीकृत लाप्लासियन सममित रूप से सामान्यीकृत लाप्लासियन मैट्रिक्स को इस प्रकार परिभाषित किया गया हैः जहाँ मूर-पेनरोज़ व्युत्क्रम है। के तत्व इस प्रकार द्वारा दिए गए हैं सममित रूप से सामान्यीकृत लाप्लासियन मैट्रिक्स सममित है यदि और केवल तभी जब निकटता मैट्रिक्स सममित हो। एक निर्देशित ग्राफ के गैर-सममित निकटता मैट्रिक्स के लिए, सामान्यीकरण के लिए अनिर्णित और बाहरी दोनों में से किसी एक का उपयोग किया जा सकता हैः बाएं (यादृच्छिक-चलना) और दाएं सामान्यीकृत लाप्लासियन बाएं (यादृच्छिक-चलना) सामान्यीकृत लाप्लासियन मैट्रिक्स को इस प्रकार परिभाषित किया गया हैः मूर-पेनरोज़ व्युत्क्रम कहाँ है। के तत्व दिए गए हैं इसी तरह, सही सामान्यीकृत लाप्लासियन मैट्रिक्स को परिभाषित किया गया है। बाएँ या दाएँ सामान्यीकृत लाप्लासियन मैट्रिक्स सममित नहीं है यदि निकटता मैट्रिक्स सममित है, सभी पृथक शीर्षों के तुच्छ मामले को छोड़कर। उदाहरण के लिए, उदाहरण यह भी दर्शाता है कि यदि कोई पृथक शीर्ष नहीं है, तो दाएँ यादृच्छिक और इसलिए एक यादृच्छिक चलने का मैट्रिक्स है, ताकि बाएं सामान्यीकृत लाप्लासियन में प्रत्येक पंक्ति का योग शून्य हो। इस प्रकार हम कभी-कभी वैकल्पिक रूप से यादृच्छिक-चलने को सामान्यीकृत लाप्लासियन कहते हैं। कम असामान्य रूप से उपयोग किए जाने वाले दाएँ सामान्यीकृत लाप्लासियन में प्रत्येक स्तंभ का योग शून्य होता है क्योंकि यह बाएं यादृच्छिक होता है। एक निर्देशित ग्राफ के गैर-सममित निकटता मैट्रिक्स के लिए, सामान्यीकरण के लिए इंडेग्री या आउट डिग्री का चयन करने की भी आवश्यकता होती हैः पंक्ति-योग के साथ लेफ्ट आउट-डिग्री सामान्यीकृत लाप्लासियन सभी 0 दाएं यादृच्छिक से संबंधित है, जबकि कॉलम-योग के साथ दाएं डिग्री सामान्यीकृत लाप्लासियन सभी 0 में बाएं यादृच्छिक होते हैं। भारित किनारों वाले ग्राफों के लिए परिभाषाएँ भारित किनारों वाले अनुप्रयोगों के ग्राफों में सामान्य रूप से उनकी निकटता मैट्रिक्स द्वारा आसानी से परिभाषित किए जाते हैं जहाँ प्रविष्टियों के मान संख्यात्मक होते हैं और अब शून्य और एक तक सीमित नहीं होते हैं। स्पेक्ट्रल क्लस्टरिंग और ग्राफ-आधारित संकेत प्रसंस्करण में, जहां ग्राफ शीर्ष डेटा बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करते हैं, किनारे के भार की गणना की जा सकती है, उदाहरण के लिए, डेटा बिंदुओं के जोड़े के बीच की दूरी के व्युत्क्रमानुपाती के रूप में, जिससे सभी भार गैर-नकारात्मक हो जाते हैं और बड़े मूल्य अनौपचारिक रूप से डेटा बिंदुओं के अधिक समान जोड़े के अनुरूप होते हैं। डेटा बिंदुओं के बीच सहसंबंध और विरोधी सहसंबंध का उपयोग स्वाभाविक रूप से सकारात्मक और नकारात्मक दोनों भारों की ओर ले जाता है। सरल ग्राफ के लिए अधिकांश परिभाषाओं को मामूली रूप से गैर-नकारात्मक भार के मानक मामले तक बढ़ाया जाता है, जबकि नकारात्मक भार पर अधिक ध्यान देने की आवश्यकता होती है, विशेष रूप से सामान्यीकरण में। लाप्लासियन मैट्रिक्स लाप्लासियन मैट्रिक्स को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है जहाँ डी डिग्री मैट्रिक्स है और ए ग्राफ का आसन्न मैट्रिक्स है। निर्देशित आलेखों के लिए, अनुप्रयोग के आधार पर या तो इंडेग्री या आउट डिग्री का उपयोग किया जा सकता है, जैसा कि निम्नलिखित उदाहरण में हैः ग्राफ सेल्फ-लूप, जो आसन्न मैट्रिक्स के मुख्य विकर्ण पर गैर-शून्य प्रविष्टियों द्वारा खुद को प्रकट करते हैं, की अनुमति है लेकिन ग्राफ लाप्लेशियन मूल्यों को प्रभावित नहीं करते हैं। भारित किनारों वाले ग्राफ के लिए कोई भी भारित आपतन मैट्रिक्स बी को परिभाषित कर सकता है और इसका उपयोग संबंधित सममित लाप्लासियन का निर्माण करने के लिए कर सकता है। यहाँ वर्णित एक वैकल्पिक स्वच्छ दृष्टिकोण, भार को संपर्क से अलग करना हैः नियमित ग्राफ के लिए आपतन मैट्रिक्स का उपयोग जारी रखें और केवल भार के मूल्यों को धारण करने वाला एक मैट्रिक्स पेश करें। एक स्प्रिंग प्रणाली इस मॉडल का एक उदाहरण है जिसका उपयोग यांत्रिकी में दिए गए कठोरता और इकाई लंबाई के स्प्रिंग्स की एक प्रणाली का वर्णन करने के लिए किया जाता है, जहां कठोरता के मान ग्राफ किनारों के भार की भूमिका निभाते हैं। इस प्रकार हम भारहीन आपतन मैट्रिक्स B की परिभाषा का उपयोग तत्व Bve के साथ शीर्ष v और किनारे e (जोड़ते हुए शीर्ष और, i> j के साथ) के लिए करते हैं। भले ही बी की परिभाषा में किनारे तकनीकी रूप से निर्देशित हैं, फिर भी उनकी दिशाएँ मनमाना हो सकती हैं, फिर भी उसी सममित लाप्लासियन मैट्रिक्स एल को परिभाषित किया जाता है जहाँ बी का मैट्रिक्स ट्रांसपोज़ है। निर्माण को निम्नलिखित उदाहरण में चित्रित किया गया है, जहां प्रत्येक किनारे को भार मान i सौंपा गया है, एक निर्देशित ग्राफ के लिए सममित लाप्लासियन के साथ सरल ग्राफ की तरह, एक निर्देशित भारित ग्राफ का लाप्लासियन मैट्रिक्स परिभाषा के अनुसार आम तौर पर गैर-सममित होता है। लैपलेसियन के निर्माण से पहले मूल निर्देशित ग्राफ को एक दिशाहीन ग्राफ में बदलकर समरूपता को लागू किया जा सकता है। दिशाहीन ग्राफ के निकटता मैट्रिक्स को, उदाहरण के लिए, मूल निर्देशित ग्राफ के निकटता मैट्रिक्स के योग के रूप में परिभाषित किया जा सकता है और इसके मैट्रिक्स को निम्नलिखित उदाहरण के रूप में स्थानांतरित किया जा सकता हैः जहां शून्य और एक प्रविष्टि को संख्यात्मक के रूप में माना जाता है, न कि सरल ग्राफ के लिए, मान, परिणामों में अंतर को समझाते हुए-सरल ग्राफ के लिए, सममित ग्राफ को अभी भी अपने सममित निकटता मैट्रिक्स के साथ सरल होने की आवश्यकता है जिसमें केवल तार्किक, संख्यात्मक मान नहीं हैं, उदाहरण के लिए, तार्किक योग 1 v 1 = 1 है, जबकि संख्यात्मक योग 1 + 1 = 2 है। वैकल्पिक रूप से, सममित लाप्लासियन मैट्रिक्स की गणना दो लाप्लासियन से इंडेग्री और आउट डिग्री का उपयोग करके की जा सकती है, जैसा कि निम्नलिखित उदाहरण में हैः आउट-डिग्री लाप्लासियन ट्रांसपोज़्ड और इन-डिग्री लाप्लासियन का योग सममित लाप्लासियन मैट्रिक्स के बराबर होता है। लैपलेसियन मैट्रिक्स सामान्यीकरण सामान्यीकरण का लक्ष्य, सरल आलेखों की तरह, लैपलेसियन मैट्रिक्स की विकर्ण प्रविष्टियों को सभी इकाई बनाना है, साथ ही अनुरूप रूप से विकर्ण प्रविष्टियों को भी स्केल करना है। भारित ग्राफ में, एक शीर्ष में बड़ी मात्रा हो सकती है क्योंकि इसमें जुड़े हुए किनारों की संख्या कम होती है, लेकिन बड़े वजन के साथ-साथ इकाई भार के साथ जुड़े किनारों की संख्या भी अधिक होती है। ग्राफ स्व-लूप, अर्थात, निकटता मैट्रिक्स के मुख्य विकर्ण पर गैर-शून्य प्रविष्टियाँ, ग्राफ लाप्लासियन मूल्यों को प्रभावित नहीं करती हैं, लेकिन सामान्यीकरण कारकों की गणना के लिए उन्हें गिने जाने की आवश्यकता हो सकती है। सममित रूप से सामान्यीकृत लाप्लासियन सममित रूप से सामान्यीकृत लाप्लासियन को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है जहाँ L अप्राकृतिक लाप्लासियन है, A निकटता मैट्रिक्स है, D डिग्री मैट्रिक्स है, और मूर-पेनरोज़ व्युत्क्रम है। चूँकि डिग्री मैट्रिक्स डी विकर्ण है, इसका पारस्परिक वर्गमूल केवल विकर्ण मैट्रिक्स है जिसकी विकर्ण प्रविष्टियाँ डी की विकर्ण प्रविष्टियों के वर्गमूल के पारस्परिक हैं। यदि सभी किनारे के भार गैर-नकारात्मक हैं तो सभी डिग्री मान स्वचालित रूप से भी गैर-नकारात्मक हैं और इसलिए प्रत्येक डिग्री मान का एक अद्वितीय सकारात्मक वर्गमूल होता है। शून्य द्वारा विभाजन से बचने के लिए, शून्य डिग्री वाले शीर्षों को सामान्यीकरण की प्रक्रिया से बाहर रखा जाता है, जैसा कि निम्नलिखित उदाहरण में हैः सममित रूप से सामान्यीकृत लाप्लासियन एक सममित मैट्रिक्स है यदि और केवल तभी जब निकटता मैट्रिक्स ए सममित हो और डी की विकर्ण प्रविष्टियां गैर-नकारात्मक हों, तो हम सममित सामान्यीकृत लाप्लासियन शब्द का उपयोग कर सकते हैं। सममित सामान्यीकृत लाप्लासियन मैट्रिक्स को भारहीन आपतन मैट्रिक्स B और विकर्ण मैट्रिक्स W का उपयोग करके भी लिखा जा सकता है जिसमें किनारे के भार होते हैं और नए भारित आपतन मैट्रिक्स को परिभाषित किया जाता है जिनकी पंक्तियों को शीर्षों द्वारा अनुक्रमित किया जाता है और जिनके स्तंभों को G के किनारों द्वारा अनुक्रमित किया जाता है ताकि एक किनारे e = {u, v} के अनुरूप प्रत्येक स्तंभ की पंक्ति में u के अनुरूप एक प्रविष्टि हो, पंक्ति में v के अनुरूप एक प्रविष्टि हो, और इसमें कहीं और 0 प्रविष्टियां हों। यादृच्छिक चलना सामान्यीकृत लाप्लासियन यादृच्छिक चलना सामान्यीकृत लाप्लासियन को परिभाषित किया जाता है जहाँ डी डिग्री मैट्रिक्स है। चूंकि डिग्री मैट्रिक्स डी विकर्ण है, इसलिए इसके व्युत्क्रम को केवल एक विकर्ण मैट्रिक्स के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिसमें विकर्ण प्रविष्टियां होती हैं जो डी की संबंधित विकर्ण प्रविष्टियों के पारस्परिक होती हैं। पृथक शीर्षों (डिग्री 0 वाले) के लिए, एक सामान्य विकल्प संबंधित तत्व को 0 पर सेट करना है। यादृच्छिक-चलने वाले सामान्यीकृत लाप्लासियन का नाम इस तथ्य से आता है कि यह मैट्रिक्स है, जहां गैर-नकारात्मक भार मानते हुए ग्राफ पर एक यादृच्छिक वॉकर का संक्रमण मैट्रिक्स है। उदाहरण के लिए, आइए i-th मानक आधार सदिश को निरूपित करें। फिर एक संभाव्यता वेक्टर है जो शीर्ष से एक कदम उठाने के बाद एक यादृच्छिक वॉकर के स्थानों के वितरण का प्रतिनिधित्व करता है; अर्थात। अधिक आम तौर पर, यदि वेक्टर ग्राफ के शीर्षों पर एक यादृच्छिक वॉकर के स्थान का प्रायिकता वितरण है, तो चरणों के बाद वॉकर का प्रायिकता वितरण है। रैंडम वॉक नॉर्मलाइज्ड लैपलेसियन को लेफ्ट नॉर्मलाइज्ड लैपलेसियन भी कहा जा सकता है क्योंकि नॉर्मलाइजेशन को लैपलेसियन को बाईं ओर नॉर्मलाइजेशन मैट्रिक्स से गुणा करके किया जाता है। इसमें प्रत्येक पंक्ति का योग शून्य होता है क्योंकि यह सही यादृच्छिक है, यह मानते हुए कि सभी भार गैर-नकारात्मक हैं। कम असामान्य रूप से उपयोग किए जाने वाले दाएँ सामान्यीकृत लाप्लासियन में प्रत्येक स्तंभ का योग शून्य होता है क्योंकि यह बाएं यादृच्छिक होता है। एक निर्देशित ग्राफ के गैर-सममित निकटता मैट्रिक्स के लिए, सामान्यीकरण के लिए इंडेग्री या आउट डिग्री का चयन करने की भी आवश्यकता होती हैः पंक्ति-योग के साथ लेफ्ट आउट-डिग्री सामान्यीकृत लाप्लासियन सभी 0 दाएं यादृच्छिक से संबंधित है, जबकि कॉलम-योग के साथ दाएं डिग्री सामान्यीकृत लाप्लासियन सभी 0 में बाएं यादृच्छिक होते हैं। नकारात्मक भार सामान्यीकरण के लिए कई चुनौतियों को प्रस्तुत करता हैः नकारात्मक भार की उपस्थिति स्वाभाविक रूप से गैर-पृथक शीर्षों के लिए शून्य पंक्ति-और/या स्तंभ-योग में परिणाम दे सकती है। सकारात्मक भारों की एक बड़ी पंक्ति-राशि और नकारात्मक भारों की समान रूप से नकारात्मक रूप से बड़ी पंक्ति-राशि के साथ एक शीर्ष, एक साथ शून्य तक का योग, एक भारी नोड माना जा सकता है और दोनों बड़े मानों को मापा जा सकता है, जबकि विकर्ण प्रविष्टि शून्य रहती है, जैसे कि एक अलग शीर्ष के लिए। नकारात्मक भार भी नकारात्मक पंक्ति-और/या स्तंभ-योग दे सकते हैं, ताकि गैर-सामान्यीकृत लाप्लासियन मैट्रिक्स में संबंधित विकर्ण प्रविष्टि नकारात्मक हो और सममित सामान्यीकरण के लिए आवश्यक एक सकारात्मक वर्गमूल मौजूद न हो। सामान्यीकरण के उद्देश्य से पंक्ति-और/या स्तंभ-योग के पूर्ण मूल्य को लेने के लिए तर्क दिए जा सकते हैं, इस प्रकार एक संभावित मूल्य-1 को सामान्यीकृत लाप्लासियन मैट्रिक्स के मुख्य विकर्ण की वैध इकाई प्रविष्टि के रूप में माना जा सकता है। एक (दिशाहीन) ग्राफ जी और उसके लाप्लेशियन मैट्रिक्स एल के लिए गुणः एल सममित है। एल धनात्मक-समपरिमित है (जो सभी के लिए है)। यह इस तथ्य से देखा जा सकता है कि लाप्लेशियन सममित और विकर्ण रूप से प्रबल है। एल एक एम-मैट्रिक्स है (इसकी ऑफ-डायगोनल प्रविष्टियाँ गैर-सकारात्मक हैं, फिर भी इसके आइगेनवैल्यू के वास्तविक भाग गैर-नकारात्मक हैं)। L का प्रत्येक पंक्ति योग और स्तंभ योग शून्य है। वास्तव में, योग में, शीर्ष की डिग्री को प्रत्येक पड़ोसी के लिए "-1" के साथ जोड़ा जाता है। नतीजतन, क्योंकि वेक्टर संतुष्ट करता है इसका यह भी तात्पर्य है कि लाप्लेशियन मैट्रिक्स एकवचन है। ग्राफ में जुड़े हुए घटकों की संख्या लाप्लेशियन के शून्य स्थान का आयाम और 0 आइगेनवैल्यू की बीजगणितीय बहुलता है। एल के सबसे छोटे गैर-शून्य आइगेनवैल्यू को वर्णक्रमीय अंतराल कहा जाता है। एल (शून्य हो सकता है) का दूसरा सबसे छोटा आइगेनवैल्यू जी का बीजगणितीय संपर्क (या फिडलर मान) है और ग्राफ के सबसे विरल कट का अनुमान लगाता है। लाप्लासियन फलन के एन-आयामी सदिश स्थान पर एक प्रचालक है, जहाँ जी का शीर्ष समुच्चय है, और। जब G, k-नियमित होता है, तो सामान्यीकृत लाप्लासियन होता हैः, जहाँ A निकटता मैट्रिक्स है और I एक पहचान मैट्रिक्स है। कई जुड़े हुए घटकों वाले ग्राफ के लिए, एल एक ब्लॉक विकर्ण मैट्रिक्स है, जहां प्रत्येक ब्लॉक प्रत्येक घटक के लिए संबंधित लाप्लेशियन मैट्रिक्स है, संभवतः शीर्षों को फिर से व्यवस्थित करने के बाद (यानी। एल क्रमपरिवर्तन है-एक ब्लॉक विकर्ण मैट्रिक्स के समान)। लाप्लासियन मैट्रिक्स एल का निशान माना गया ग्राफ के किनारों की संख्या के बराबर है। अब इकाई-मानक आइगेनवेक्टर्स और संबंधित आइगेनवैल्यूज के साथ एक आइगेनडेकंपोजीशन पर विचार करेंः क्योंकि इसे स्वयं के साथ वेक्टर के आंतरिक उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है, इससे पता चलता है कि और इसलिए सभी के आइगेनवैल्यूज गैर-नकारात्मक हैं। सामान्यीकृत सममित लाप्लासियन के सभी आइगेनवैल्यू 0 = μ0 ≤. ≤ μn − 1 ≤ 2 को संतुष्ट करते हैं। ये आइगेनवैल्यूज (सामान्यीकृत लैपलेसियन के स्पेक्ट्रम के रूप में जाने जाते हैं) सामान्य ग्राफ के लिए अन्य ग्राफ अपरिवर्तकों से अच्छी तरह से संबंधित हैं। यह जांचा जा सकता है किः, अर्थात, सामान्यीकृत लाप्लासियन के समान है। इस कारण से, भले ही सामान्य रूप से सममित न हो, लेकिन इसमें वास्तविक आइगेनवैल्यू हैं-बिल्कुल सामान्यीकृत सममित लैपलेसियन के आइगेनवैल्यू के समान। निरंतर लाप्लासियन का अनुमान लगाने वाले असतत लाप्लास ऑपरेटर के रूप में व्याख्या ग्राफ लाप्लासियन मैट्रिक्स को आगे एक ग्राफ पर नकारात्मक असतत लाप्लास ऑपरेटर के एक मैट्रिक्स रूप के रूप में देखा जा सकता है जो सीमित अंतर विधि द्वारा प्राप्त नकारात्मक निरंतर लाप्लासियन ऑपरेटर का अनुमान लगाता है। (डिस्क्रीट पॉइसन समीकरण देखें) इस व्याख्या में, प्रत्येक ग्राफ शीर्ष को एक ग्रिड बिंदु के रूप में माना जाता है; शीर्ष की स्थानीय कनेक्टिविटी इस ग्रिड बिंदु पर सीमित अंतर सन्निकटन स्टैंसिल को निर्धारित करती है, ग्रिड का आकार हमेशा प्रत्येक किनारे के लिए एक होता है, और किसी भी ग्रिड बिंदु पर कोई बाधा नहीं होती है, जो सजातीय न्यूमैन सीमा स्थिति, यानी मुक्त सीमा के मामले से मेल खाती है। इस तरह की व्याख्या, उदाहरण के लिए, लैपलेसियन मैट्रिक्स को ग्राफ के मामले में अनंत संख्या में शीर्षों और किनारों के साथ सामान्यीकृत करने की अनुमति देती है, जिससे एक अनंत आकार के लैपलेसियन मैट्रिक्स की ओर जाता है। लैपलेसियन मैट्रिक्स के सामान्यीकरण और विस्तार सामान्यीकृत लैपलेसियन को इस प्रकार परिभाषित किया गया हैः ध्यान दें कि साधारण लैपलेसियन एक सामान्यीकृत लैपलेसियन है। निकटता मैट्रिक्स की चुंबकीय लाप्लासियन प्रविष्टियाँ जटिल-मूल्यवान हो सकती हैं, इस मामले में मैट्रिक्स समरूपता की धारणा को हर्मिशियन मैट्रिक्स से बदलने की आवश्यकता होती है। वास्तविक भार के साथ एक निर्देशित ग्राफ के लिए चुंबकीय लाप्लासियन का निर्माण जटिल प्रविष्टियों के साथ सममित लाप्लासियन और हर्मिशियन चरण मैट्रिक्स के वास्तविक सममित मैट्रिक्स के हैडमर्ड उत्पाद के रूप में किया जाता है जो जटिल तल में चरण में किनारे की दिशा को कूटबद्ध करते हैं। क्वांटम भौतिकी के संदर्भ में, चुंबकीय लाप्लासियन की व्याख्या उस प्रचालक के रूप में की जा सकती है जो एक ग्राफ पर एक मुक्त आवेशित कण की घटना विज्ञान का वर्णन करता है, जो एक चुंबकीय क्षेत्र की क्रिया के अधीन है और पैरामीटर को विद्युत आवेश कहा जाता है। निम्नलिखित उदाहरण मेंः विकृत लाप्लासियन विकृत लाप्लासियन को आमतौर पर परिभाषित किया जाता है जहां I पहचान मैट्रिक्स है, A निकटता मैट्रिक्स है, D डिग्री मैट्रिक्स है, और s एक (जटिल-मूल्यवान) संख्या है। मानक लाप्लासियन न्यायपूर्ण है और संकेतहीन लाप्लासियन है। संकेतहीन लाप्लासियन को डिग्री मैट्रिक्स के रूप में परिभाषित किया गया है, और यह निकटता मैट्रिक्स है। हस्ताक्षरित लाप्लासियन की तरह, संकेतहीन लाप्लासियन भी सकारात्मक अर्ध-निश्चित है क्योंकि इसे घटना मैट्रिक्स के रूप में फैक्टर किया जा सकता है। एक 0-आइगेनवेक्टर है यदि और केवल तभी जब इसमें अलग-अलग शीर्षों के अलावा एक द्विदलीय जुड़ा हुआ घटक हो। इसे इस रूप में दिखाया जा सकता है कि इसका एक समाधान है जहां और केवल तभी जब ग्राफ में एक द्विदलीय जुड़ा हुआ घटक हो। निर्देशित बहुलेखन लैपलेसियन मैट्रिक्स के एक अनुरूप को निर्देशित बहुलेखन के लिए परिभाषित किया जा सकता है। इस मामले में लाप्लेशियन मैट्रिक्स L को इस प्रकार परिभाषित किया गया है जहां D, Di के साथ एक विकर्ण मैट्रिक्स है, i शीर्ष i की डिग्री के बराबर है और A, AI के साथ एक मैट्रिक्स है, j, i से j (लूप सहित) के किनारों की संख्या के बराबर है। ओपन सोर्स सॉफ्टवेयर कार्यान्वयन साइपी नेटवर्कएक्स जूलिया एप्लीकेशन सॉफ्टवेयर स्किकिट-लर्न स्पेक्ट्रल क्लस्टरिंग पी. जी. एस. पी.: पायथन मेगामैन में ग्राफ सिग्नल प्रोसेसिंगः लाखों अंकों के लिए मैनिफोल्ड लर्निंग सुचारूजी लैपलेसियन चेंज पॉइंट डिटेक्शन फॉर डायनेमिक ग्राफ्स (के. डी. डी. 2020) लैपलेसियनऑप्ट (लैपलेसियन के भारित ग्राफ के दूसरे आइगेनवैल्यू को अधिकतम करने के लिए एक जूलिया पैकेज) लिग. एम. जी. (बड़ा अनियमित ग्राफ मल्टीग्रिड) Laplacians.jl सीमित भारित ग्राफ पर कठोरता मैट्रिक्स प्रतिरोध दूरी संक्रमण दर मैट्रिक्स गणना भी देखें।