Spin structure
विभेदक ज्यामिति में, एक उन्मुख रीमानियन मैनिफोल्ड पर एक स्पिन संरचना किसी को संबंधित स्पिनोर बंडलों को परिभाषित करने की अनुमति देती है, जिससे विभेदक ज्यामिति में स्पिनोर की धारणा को जन्म मिलता है। गणितीय भौतिकी के लिए स्पिन संरचनाओं के व्यापक अनुप्रयोग हैं, विशेष रूप से क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के लिए जहां वे बिना आवेशित फर्मियन वाले किसी भी सिद्धांत की परिभाषा में एक आवश्यक घटक हैं। वे विशुद्ध रूप से विभेदक ज्यामिति, बीजगणितीय टोपोलॉजी और के सिद्धांत में गणितीय रुचि रखते हैं। वे स्पिन ज्यामिति की नींव बनाते हैं। ज्यामिति और क्षेत्र सिद्धांत में, गणितशास्त्री पूछते हैं कि क्या दिया गया उन्मुख रीमानियन मैनिफोल्ड (एम, जी) स्पिनर्स को स्वीकार करता है या नहीं। इस समस्या से निपटने के लिए एक विधि यह है कि एम में एक स्पिन संरचना हो। यह हमेशा संभव नहीं होता है क्योंकि स्पिन संरचनाओं के अस्तित्व में संभावित रूप से एक स्थलवैज्ञानिक बाधा होती है। स्पिन संरचनाएँ तभी अस्तित्व में आएंगी जब एम का दूसरा स्टीफेल-व्हिटनी वर्ग डब्ल्यू 2 (एम) एच 2 (एम, जेड 2) गायब हो जाए। इसके अलावा, यदि डब्ल्यू2 (एम) = 0 है, तो एम पर स्पिन संरचनाओं के समरूपता वर्गों के समूह पर एच1 (एम, जेड2) द्वारा स्वतंत्र रूप से और पारगमन रूप से कार्य किया जाता है। जैसा कि मैनिफोल्ड एम को उन्मुख माना जाता है, एम का पहला स्टीफेल-व्हिटनी वर्ग डब्ल्यू1 (एम) एच1 (एम, जेड2) भी गायब हो जाता है। (एक मैनिफोल्ड एम के स्टीफेल-व्हिटनी वर्ग वाई (एम) bul हाई (एम, जेड 2) को इसके स्पर्शरेखा बंडल टी. एम. के स्टीफेल-व्हिटनी वर्ग के रूप में परिभाषित किया गया है।) M पर स्पिनर्स का बंडल तब M पर स्पिन फ्रेम के संबंधित प्रमुख बंडल πP: P → M से जुड़ा जटिल वेक्टर बंडल होता है और स्पिनर्स के स्थान पर इसके संरचना समूह स्पिन (n) का स्पिन प्रतिनिधित्व होता है। बंडल एस को एम पर दी गई स्पिन संरचना के लिए स्पिन बंडल कहा जाता है। कई गुना पर स्पिन संरचना की एक सटीक परिभाषा फाइबर बंडल की धारणा पेश किए जाने के बाद ही संभव थी; आंद्रे हेफ्लिगर (1956) ने एक उन्मुख रीमानियन मैनिफोल्ड पर एक स्पिन संरचना के अस्तित्व के लिए टोपोलॉजिकल बाधा पाई और मैक्स कारोबी (1968) ने इस परिणाम को गैर-उन्मुख छद्म-रीमानियन मामले तक बढ़ाया। रीमानियन मैनिफोल्ड्स पर स्पिन संरचना परिभाषा एक उन्मुख वेक्टर बंडल के साथ एक उन्मुख रीमानियन मैनिफोल्ड पर एक स्पिन संरचना दोहरे आवरण के संबंध में ऑर्थोनॉर्मल फ्रेम बंडल का एक समरूप लिफ्ट है। दूसरे शब्दों में, एक जोड़ी SO (n)-प्रमुख बंडल पर एक स्पिन संरचना है जब a) एक प्रमुख स्पिन (n)-बंडल होता है, और b) एक समान 2-गुना आवरण मानचित्र होता है जैसे कि और सभी के लिए और। दो स्पिन संरचनाएँ और एक ही उन्मुख रीमानियन मैनिफोल्ड को "समतुल्य" कहा जाता है यदि एक स्पिन (एन)-समरूप मानचित्र मौजूद है जैसे कि और सभी के लिए और। इस मामले में और दो समतुल्य दोहरे आवरण हैं। मुख्य बंडल पर एक स्पिन संरचना के रूप में स्पिन संरचना की परिभाषा आंद्रे हेफ्लिगर (1956) के कारण है। अवरोध हेफ्लिगर ने एक उन्मुख रीमानियन मैनिफोल्ड (एम, जी) पर एक स्पिन संरचना के अस्तित्व के लिए आवश्यक और पर्याप्त स्थितियां पाईं। एक स्पिन संरचना होने में बाधा H2 (M, Z2) का एक निश्चित तत्व [k] है। एक स्पिन संरचना के लिए वर्ग [के] एम का दूसरा स्टीफेल-व्हिटनी वर्ग डब्ल्यू 2 (एम, जेड 2) है। इसलिए, एक स्पिन संरचना तभी मौजूद होती है जब एम का दूसरा स्टीफेल-व्हिटनी वर्ग डब्ल्यू 2 (एम) एच 2 (एम, जेड 2) गायब हो जाता है। वेक्टर बंडलों पर स्पिन संरचनाएँ मान लीजिए कि एम एक पैराकॉम्पैक्ट टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड है और ई एक फाइबर मीट्रिक से लैस आयाम एन के एम पर एक उन्मुख वेक्टर बंडल है। इसका मतलब है कि एम के प्रत्येक बिंदु पर, ई का रेशा एक आंतरिक उत्पाद स्थान है। ई का एक स्पिन बंडल एम के प्रत्येक बिंदु के लिए एक स्पिन प्रतिनिधित्व को लगातार जोड़ने के लिए एक नुस्खा है। इसे करने में सक्षम होने के लिए टोपोलॉजिकल बाधाएं हैं, और इसके परिणामस्वरूप, एक दिया गया बंडल ई किसी भी स्पिन बंडल को स्वीकार नहीं कर सकता है। यदि ऐसा होता है, तो कोई कहता है कि बंडल ई स्पिन है। इसे प्रमुख बंडलों की भाषा के माध्यम से कठोर बनाया जा सकता है। वेक्टर बंडल के उन्मुख ऑर्थोनॉर्मल फ्रेम का संग्रह एक फ्रेम बंडल पीएसओ (ई) बनाता है, जो विशेष ऑर्थोगोनल समूह एस. ओ. (एन) की क्रिया के तहत एक प्रमुख बंडल है। पी. एस. ओ. (ई) के लिए एक स्पिन संरचना स्पिन समूह स्पिन (एन) की क्रिया के तहत एक प्रमुख बंडल पी. एस. पिन (ई) के लिए पी. एस. ओ. (ई) का एक उत्थान है, जिसके द्वारा हमारा मतलब है कि एक बंडल मानचित्र मौजूद हैः पी. एस. पिन (ई) → पी. एस. ओ. (ई) जैसे कि, सभी के लिए और, जहां स्पिन समूह को एस. ओ. (एन) के दोहरे आवरण के रूप में प्रस्तुत करने वाले समूहों का मानचित्रण है। विशेष मामले में जिसमें E आधार मैनिफोल्ड M पर स्पर्शरेखा बंडल TM है, यदि एक स्पिन संरचना मौजूद है तो कोई कहता है कि M एक स्पिन मैनिफोल्ड है। समान रूप से एम स्पिन है यदि एम के स्पर्शरेखा तंतुओं के ऑर्थोनॉर्मल आधारों का एस. ओ. (एन) प्रमुख बंडल एक प्रमुख स्पिन बंडल का जेड2 भागफल है। यदि मैनिफोल्ड में कोशिका अपघटन या त्रिकोण होता है, तो एक स्पिन संरचना को समान रूप से 1-कंकाल पर स्पर्शरेखा बंडल के तुच्छकरण के समस्थानिक-वर्ग के रूप में सोचा जा सकता है जो 2-कंकाल पर फैला हुआ है। यदि आयाम 3 से कम है, तो पहले एक छोटी रेखा के बंडल के साथ एक व्हिटनी राशि ली जाती है। बाधा और वर्गीकरण एक उन्मुख वेक्टर बंडल के लिए एक स्पिन संरचना तभी मौजूद होती है जब दूसरा स्टीफेल-व्हिटनी वर्ग गायब हो जाता है। यह आर्मंड बोरेल और फ्रेडरिक हिरज़ेब्रुक का परिणाम है। इसके अलावा, स्पिन के मामले में, स्पिन संरचनाओं की संख्या बाइजेक्शन में होती है। संबंधित मुख्य-बंडल के लिए वर्णक्रमीय अनुक्रम तर्क का उपयोग करके इन परिणामों को आसानी से सिद्ध किया जा सकता है। ध्यान दें कि यह एक फाइब्रेशन देता है जिससे सेर वर्णक्रमीय अनुक्रम लागू किया जा सकता है। वर्णक्रमीय अनुक्रमों के सामान्य सिद्धांत से, एक सटीक अनुक्रम है जहां इसके अलावा, और कुछ निस्पंदन के लिए, इसलिए हमें एक सटीक अनुक्रम देने वाला मानचित्र मिलता है. अब, एक स्पिन संरचना एक कम्यूटेटिव आरेख में फिट करने का एक दोहरा आवरण है जहां दो बाएं ऊर्ध्वाधर मानचित्र दोहरे आवरण मानचित्र हैं। अब, के दोहरे आवरण सूचकांक उपसमूहों के साथ द्विभाजन में हैं, जो समूह रूपात्मकता के सेट के साथ द्विभाजन में है। लेकिन, हुरेविक्ज़ प्रमेय और गुणांकों के परिवर्तन से, यह बिल्कुल समरूपता समूह है। एक ही तर्क को लागू करते हुए, गैर-तुच्छ आवरण के अनुरूप है, और मानचित्र ठीक दूसरे स्टीफेल-व्हिटनी वर्ग का है, इसलिए। यदि यह गायब हो जाता है, तो मानचित्र के नीचे की व्युत्क्रम छवि स्पिन संरचना देने वाले दोहरे आवरणों का समूह है। अब, के इस सबसेट को इसके साथ पहचाना जा सकता है, इस बाद के कोहोमोलॉजी समूह को वेक्टर बंडल पर विभिन्न स्पिन संरचनाओं को वर्गीकृत करता है। यह फाइब्रेशन के होमोटॉपी समूहों के लंबे सटीक अनुक्रम को देखकर और लागू करके किया जा सकता है, कोहोमोलॉजी समूहों का अनुक्रम देते हुए क्योंकि कर्नेल है, और की व्युत्क्रम छवि कर्नेल के साथ बाइजेक्शन में है, हमारे पास वांछित परिणाम है। वर्गीकरण पर टिप्पणी जब स्पिन संरचनाएं मौजूद होती हैं, तो कई गुना पर असमान स्पिन संरचनाओं में H1 (M, Z2) के तत्वों के साथ एक-से-एक पत्राचार (विहित नहीं) होता है, जो सार्वभौमिक गुणांक प्रमेय द्वारा H1 (M, Z2) के समरूप है। अधिक सटीक रूप से, स्पिन संरचनाओं के समरूपता वर्गों का स्थान H1 (M, Z2) पर एक एफ़ाइन स्थान है। स्वाभाविक रूप से, एम पर प्रत्येक गैर-तुच्छ चक्र के लिए एक स्पिन संरचना एक द्विआधारी विकल्प से मेल खाती है कि क्या एस. ओ. (एन) बंडल का एक खंड शीट को बदल देता है जब कोई लूप को घेरता है। यदि डब्ल्यू 2 गायब हो जाता है तो इन विकल्पों को दो-कंकाल पर विस्तारित किया जा सकता है, फिर (बाधा सिद्धांत द्वारा) वे स्वचालित रूप से सभी एम पर विस्तारित हो सकते हैं। कण भौतिकी में यह प्रत्येक लूप के चारों ओर जाने वाले फर्मियन के लिए आवधिक या एंटीपेरियोडिक सीमा स्थितियों के विकल्प से मेल खाता है। ध्यान दें कि एक कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड पर दूसरे स्टीफेल-व्हिटनी वर्ग की गणना पहले चेरन वर्ग के रूप में की जा सकती है। उदाहरण ए जीनस जी रीमान सतह 22 ग्राम असमान स्पिन संरचनाओं को स्वीकार करती है; थीटा विशेषता देखें। यदि H2 (M, Z2) गायब हो जाता है, तो M स्पिन है। उदाहरण के लिए, एस. एन. सभी के लिए स्पिन है। (ध्यान दें कि एस2 भी स्पिन है, लेकिन अलग-अलग कारणों से; नीचे देखें।) जटिल प्रोजेक्टिव प्लेन CP2 स्पिन नहीं है। अधिक आम तौर पर, सभी सम-आयामी जटिल प्रोजेक्टिव स्पेस CP2n स्पिन नहीं होते हैं। सभी विषम-आयामी जटिल प्रोजेक्टिव स्पेस CP2n + 1 स्पिन हैं। आयाम 3 या उससे कम के सभी कॉम्पैक्ट, उन्मुख मैनिफोल्ड स्पिन हैं। सभी कैलाबी-यू मैनिफोल्ड स्पिन हैं। गुण एक स्पिन मैनिफोल्ड का जीनस एक पूर्णांक है, और एक सम पूर्णांक है यदि इसके अलावा आयाम 4 मॉड 8 है। सामान्य तौर पर जीनस एक तर्कसंगत अपरिवर्तनीय है, जिसे किसी भी कई गुना के लिए परिभाषित किया गया है, लेकिन यह सामान्य रूप से एक पूर्णांक नहीं है। यह मूल रूप से हिरज़ेब्रुक और बोरेल द्वारा साबित किया गया था, और अतिया-सिंगर सूचकांक प्रमेय द्वारा साबित किया जा सकता है, एक डीराक ऑपरेटर के सूचकांक के रूप में जीनस को महसूस करके-एक डीराक ऑपरेटर एक दूसरे क्रम ऑपरेटर का वर्गमूल है, और स्पिन संरचना के "वर्गमूल" होने के कारण मौजूद है। यह सूचकांक प्रमेय के लिए एक प्रेरक उदाहरण था। स्पिनसी संरचना एक स्पिनसी संरचना एक उन्मुख रीमानियन मैनिफोल्ड पर एक स्पिन संरचना के अनुरूप है, लेकिन स्पिनसी समूह का उपयोग करती है, जिसे सटीक अनुक्रम द्वारा परिभाषित किया जाता है। यू (एन) के केंद्र में समावेश से आने वाले विकर्ण तत्व होते हैं, यानी पहचान के अदिश गुणक। इस प्रकार एक समरूपता है इसमें हमेशा कर्नेल में तत्व (−1, −1) होगा। भागफल मॉडुलो को लेते हुए यह तत्व समूह स्पिनसी (एन) देता है। यह मुड़ उत्पाद है जहाँ U (1) = SO (2) = S1 है। दूसरे शब्दों में, स्पिनसी (एन) समूह एस1 द्वारा एस. ओ. (एन) का एक केंद्रीय विस्तार है। एक अन्य तरीके से देखा जाए तो स्पिनसी (एन) सामान्य जेड2 के संबंध में प्राप्त भागफल समूह है जो बंडलों के लिए और क्रमशः आवरण परिवर्तनों की जोड़ी द्वारा उत्पन्न होता है। यह स्पिनसी समूह को फाइबर स्पिन (एन) के साथ वृत्त के ऊपर एक बंडल और फाइबर के साथ एस. ओ. (एन) के ऊपर एक बंडल बनाता है। मौलिक समूह π1 (स्पिनसी (एन)) Z के लिए समरूप है यदि n ष्ण2 है, और Z ष्ण Z के लिए यदि n = 2 है। यदि मैनिफोल्ड में कोशिका अपघटन या त्रिकोण होता है, तो एक स्पिनसी संरचना को समान रूप से 2-कंकाल पर जटिल संरचना के समस्थानिक वर्ग के रूप में सोचा जा सकता है जो 3-कंकाल पर फैला हुआ है। इसी तरह स्पिन संरचनाओं के मामले में, यदि मैनिफोल्ड विषम-आयामी है तो एक तुच्छ रेखा बंडल के साथ एक व्हिटनी राशि ली जाती है। एक अन्य परिभाषा यह है कि मैनिफोल्ड एन पर एक स्पिनसी संरचना एक जटिल रेखा बंडल एल ओवर एन है जिस पर एक स्पिन संरचना है। बाधा एक स्पिनसी संरचना तब मौजूद होती है जब बंडल उन्मुख होता है और बंडल ई का दूसरा स्टीफेल-व्हिटनी वर्ग मानचित्र की छवि में होता है (दूसरे शब्दों में, तीसरा अभिन्न स्टीफेल-व्हिटनी वर्ग गायब हो जाता है)। इस मामले में कोई कहता है कि ई स्पिनसी है। सहज रूप से, लिफ्ट किसी भी प्राप्त स्पिनसी बंडल के यू (1) भाग के वर्ग का चेरन वर्ग देता है। होप्फ और हिरज़ेब्रुक के एक प्रमेय के अनुसार, बंद उन्मुख 4-मैनिफोल्ड हमेशा एक स्पिनसी संरचना को स्वीकार करते हैं। वर्गीकरण जब एक मैनिफोल्ड में एक स्पिनसी संरचना होती है, तो स्पिनसी संरचनाओं का समूह एक एफ़ाइन स्थान बनाता है। इसके अलावा, स्पिनसी संरचनाओं के समूह में एक मुक्त सकर्मक क्रिया होती है। इस प्रकार, स्पिनसी-संरचनाएँ तत्वों के अनुरूप हैं, हालांकि प्राकृतिक तरीके से नहीं। ज्यामितीय चित्र इसकी निम्नलिखित ज्यामितीय व्याख्या है, जो एडवर्ड विटन के कारण है। जब स्पिनसी संरचना गैर-शून्य होती है तो इस वर्गमूल बंडल में एक गैर-एकीकृत चेरन वर्ग होता है, जिसका अर्थ है कि यह ट्रिपल ओवरलैप स्थिति में विफल रहता है। विशेष रूप से, तीन-तरफा प्रतिच्छेदन पर संक्रमण कार्यों का उत्पाद हमेशा एक के बराबर नहीं होता है, जैसा कि एक प्रमुख बंडल के लिए आवश्यक है। इसके बजाय यह कभी-कभी-1 होता है। यह विफलता ठीक उसी चौराहे पर होती है जो बाधित स्पिन बंडल के संक्रमण कार्यों के ट्रिपल उत्पादों में एक समान विफलता के रूप में होती है। इसलिए, पूर्ण स्पिन बंडल के संक्रमण कार्यों के ट्रिपल उत्पाद, जो स्पिन और यू (1) घटक बंडलों के ट्रिपल उत्पाद के उत्पाद हैं, या तो हैं और इसलिए स्पिनसी बंडल ट्रिपल ओवरलैप स्थिति को संतुष्ट करता है और इसलिए एक वैध बंडल है। विवरण उपरोक्त सहज ज्ञान युक्त ज्यामितीय चित्र को निम्नानुसार ठोस बनाया जा सकता है। संक्षिप्त सटीक अनुक्रम पर विचार करें, जहाँ दूसरा तीर 2 से गुणा है और तीसरा रिडक्शन मॉड्यूलो 2 है। यह कोहोमोलॉजी पर एक लंबा सटीक अनुक्रम प्रेरित करता है, जिसमें दूसरा तीर 2 से गुणा करके प्रेरित होता है, तीसरा प्रतिबंध मॉड्यूलो 2 द्वारा प्रेरित होता है और चौथा संबंधित बॉकस्टीन होमोमोर्फिज्म β है। एक स्पिन बंडल के अस्तित्व में बाधा एक तत्व डब्ल्यू 2 है। यह इस तथ्य को दर्शाता है कि कोई भी हमेशा स्थानीय रूप से एक एस. ओ. (एन) बंडल को एक स्पिन बंडल में उठा सकता है, लेकिन किसी को प्रत्येक संक्रमण कार्य का एक जेड2 लिफ्ट चुनने की आवश्यकता होती है, जो संकेत का एक विकल्प है। लिफ्ट तब मौजूद नहीं होता है जब ट्रिपल ओवरलैप पर इन तीन संकेतों का उत्पाद-1 होता है, जो डब्ल्यू 2 की चेच कोहोमोलॉजी तस्वीर देता है। इस बाधा को रद्द करने के लिए, एक समान बाधा डब्ल्यू 2 के साथ एक यू (1) बंडल के साथ इस स्पिन बंडल को टेन्सर करता है। ध्यान दें कि यह बंडल शब्द का दुरुपयोग है, क्योंकि न तो स्पिन बंडल और न ही यू (1) बंडल ट्रिपल ओवरलैप स्थिति को संतुष्ट करता है और इसलिए न ही वास्तव में बंडल है। एक वैध यू (1) बंडल को उसके चेरन वर्ग द्वारा वर्गीकृत किया जाता है, जो एच2 (एम, जेड) का एक तत्व है। उपरोक्त सटीक अनुक्रम में पहले तत्व के साथ इस वर्ग की पहचान करें। अगला तीर इस चेरन वर्ग को दोगुना कर देता है, और इसलिए वैध बंडल दूसरे में सम तत्वों के अनुरूप होंगे, जबकि विषम तत्व उन बंडलों के अनुरूप होंगे जो ट्रिपल ओवरलैप स्थिति में विफल हो जाते हैं। अवरोध को तब दूसरे H2 (M, Z) में एक तत्व के तीर की छवि में होने की विफलता से वर्गीकृत किया जाता है, जिसे, सटीकता से, अगले तीर के नीचे H2 (M, Z2) में अपनी छवि द्वारा वर्गीकृत किया जाता है। स्पिन बंडल में संबंधित बाधा को रद्द करने के लिए, इस छवि को डब्ल्यू 2 होना चाहिए। विशेष रूप से, यदि डब्ल्यू 2 तीर की छवि में नहीं है, तो डब्ल्यू 2 के बराबर बाधा के साथ कोई यू (1) बंडल मौजूद नहीं है और इसलिए बाधा को रद्द नहीं किया जा सकता है। सटीक रूप से, डब्ल्यू2 पूर्ववर्ती तीर की छवि में केवल तभी होता है जब यह अगले तीर के कर्नेल में होता है, जिसे हम याद करते हैं कि बॉकस्टीन समरूपता β है। अर्थात्, बाधा को रद्द करने की शर्त यह है कि हमने इस तथ्य का उपयोग किया है कि तीसरा अभिन्न स्टीफेल-व्हिटनी वर्ग डब्ल्यू 3 दूसरे स्टीफेल-व्हिटनी वर्ग डब्ल्यू 2 का बॉकस्टीन है (इसे डब्ल्यू 3 की परिभाषा के रूप में लिया जा सकता है)। यह तर्क यह भी दर्शाता है कि दूसरा स्टीफेल-व्हिटनी वर्ग न केवल जेड2 कोहोमोलॉजी के तत्वों को परिभाषित करता है, बल्कि एक उच्च डिग्री में इंटीग्रल कोहोमोलॉजी के तत्वों को भी परिभाषित करता है। वास्तव में सभी स्टीफेल-व्हिटनी वर्गों के लिए भी यही स्थिति है। विषम डिग्री में परिणामी वर्गों के लिए एक बड़े अक्षर डब्ल्यू का उपयोग करना पारंपरिक है, जिन्हें अभिन्न स्टीफेल-व्हिटनी वर्ग कहा जाता है, और उनकी डिग्री (जो हमेशा विषम होती है) द्वारा लेबल किया जाता है। उदाहरण आयाम 4 या उससे कम के सभी उन्मुख चिकने मैनिफोल्ड स्पिनसी हैं। सभी लगभग जटिल मैनिफोल्ड स्पिनसी हैं। सभी स्पिन मैनिफोल्ड स्पिनसी हैं। कण भौतिकी में अनुप्रयोग कण भौतिकी में स्पिन-सांख्यिकी प्रमेय का तात्पर्य है कि एक आवेशित फर्मियन का तरंग फलन एक एस. ओ. (एन) बंडल ई के स्पिन लिफ्ट से संबंधित वेक्टर बंडल का एक खंड है। इसलिए, स्पिन संरचना का चयन तरंग फलन को परिभाषित करने के लिए आवश्यक डेटा का हिस्सा है, और अक्सर विभाजन कार्य में इन विकल्पों पर योग करने की आवश्यकता होती है। कई भौतिक सिद्धांतों में ई स्पर्शरेखा बंडल है, लेकिन स्ट्रिंग सिद्धांत में डी-ब्रेन के विश्व आयतन पर फर्मियन के लिए यह एक सामान्य बंडल है। क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में आवेशित स्पिनर्स संबंधित स्पिन बंडलों के खंड हैं, और विशेष रूप से कोई आवेशित स्पिनर्स उस स्थान पर मौजूद नहीं हो सकते हैं जो स्पिन नहीं है। कुछ अति गुरुत्वाकर्षण सिद्धांतों में एक अपवाद उत्पन्न होता है जहां अतिरिक्त अंतःक्रियाओं का अर्थ है कि अन्य क्षेत्र तीसरे स्टीफेल-व्हिटनी वर्ग को रद्द कर सकते हैं। अति गुरुत्वाकर्षण और स्ट्रिंग सिद्धांत में स्पिनर्स का गणितीय विवरण एक विशेष रूप से सूक्ष्म खुली समस्या है, जिसे हाल ही में संदर्भों में संबोधित किया गया था। यह पता चला है कि स्पिन संरचना की मानक धारणा अति गुरुत्वाकर्षण और स्ट्रिंग सिद्धांत के अनुप्रयोगों के लिए बहुत प्रतिबंधात्मक है, और इन सिद्धांतों के गणितीय निर्माण के लिए स्पिनोरियल संरचना की सही धारणा एक "लिपशिट्ज़ संरचना" है। मेटाप्लेक्टिक संरचना ऑर्थोनॉर्मल फ्रेम बंडल स्पिनोर संदर्भ आगे पढ़ने के लिए बाहरी लिंक स्वेन-एस. पोर्स्ट द्वारा स्पिन संरचनाओं पर कुछ। गणित के छात्रों के लिए अभिविन्यास और स्पिन संरचनाओं का एक छोटा परिचय है। रीमानियन मैनिफोल्ड्स पर संरचनाएँ मैनिफोल्ड्स पर संरचनाएँ बीजगणितीय टोपोलॉजी के-सिद्धांत गणितीय भौतिकी