Unbounded operator
गणित में, अधिक विशेष रूप से कार्यात्मक विश्लेषण और प्रचालक सिद्धांत, असीमित प्रचालक की धारणा विभेदक प्रचालक, क्वांटम यांत्रिकी में असीमित अवलोकन और अन्य मामलों से निपटने के लिए एक अमूर्त ढांचा प्रदान करती है। "अनबाउंडेड ऑपरेटर" शब्द भ्रामक हो सकता है, क्योंकि "अनबाउंडेड" को कभी-कभी "आवश्यक रूप से बाउंडेड नहीं" के रूप में समझा जाना चाहिए; "ऑपरेटर" को "लीनियर ऑपरेटर" के रूप में समझा जाना चाहिए (जैसा कि "बाउंडेड ऑपरेटर" के मामले में); ऑपरेटर का डोमेन एक लीनियर सबस्पेस है, जरूरी नहीं कि पूरा स्पेस हो; यह लीनियर सबस्पेस जरूरी नहीं कि बंद हो; अक्सर (लेकिन हमेशा नहीं) इसे घना माना जाता है; एक बाउंडेड ऑपरेटर के विशेष मामले में, फिर भी, डोमेन को आमतौर पर पूरे स्पेस के रूप में माना जाता है। बाउंडेड ऑपरेटरों के विपरीत, किसी दिए गए स्थान पर अनबाउंडेड ऑपरेटर एक बीजगणित नहीं बनाते हैं, न ही एक रैखिक स्थान भी, क्योंकि प्रत्येक को अपने स्वयं के डोमेन पर परिभाषित किया जाता है। "प्रचालक" शब्द का अर्थ अक्सर "बद्ध रैखिक प्रचालक" होता है, लेकिन इस लेख के संदर्भ में इसका अर्थ ऊपर दिए गए आरक्षणों के साथ "असीमित प्रचालक" है। दिए गए स्थान को हिल्बर्ट स्थान माना जाता है। बनाच रिक्त स्थान और अधिक सामान्य टोपोलॉजिकल वेक्टर रिक्त स्थान के लिए कुछ सामान्यीकरण संभव हैं। अनबाउंडेड ऑपरेटर्स का सिद्धांत 1920 के दशक के अंत और 1930 के दशक की शुरुआत में क्वांटम यांत्रिकी के लिए एक कठोर गणितीय ढांचे के विकास के हिस्से के रूप में विकसित हुआ। इस सिद्धांत का विकास जॉन वॉन न्यूमैन और मार्शल स्टोन के कारण हुआ है। वॉन न्यूमैन ने 1932 में असीमित प्रचालक का विश्लेषण करने के लिए ग्राफ का उपयोग करना शुरू किया। परिभाषाएँ और बुनियादी गुण बनाच रिक्त स्थान होने चाहिए। एक अनबाउंडेड प्रचालक (या बस प्रचालक) एक रैखिक उपक्षेत्र से अंतरिक्ष तक का एक रैखिक मानचित्र है। सामान्य परंपरा के विपरीत, पूरे स्थान पर परिभाषित नहीं किया जा सकता है। एक प्रचालक को बंद कहा जाता है यदि उसका ग्राफ एक बंद सेट है। (यहाँ, ग्राफ प्रत्यक्ष योग का एक रैखिक उपक्षेत्र है, जिसे सभी जोड़ों के समूह के रूप में परिभाषित किया गया है, जहाँ के क्षेत्र पर चलता है।) स्पष्ट रूप से, इसका मतलब है कि इस तरह के और के क्षेत्र से बिंदुओं के प्रत्येक अनुक्रम के लिए, यह धारण करता है जो और के क्षेत्र से संबंधित है। क्लोजनेस को ग्राफ मानक के संदर्भ में भी तैयार किया जा सकता हैः एक ऑपरेटर को केवल तभी बंद किया जाता है जब उसका डोमेन मानक के संबंध में एक पूर्ण स्थान होः एक ऑपरेटर को सघन रूप से परिभाषित किया जाता है यदि उसका डोमेन घना है। इसमें पूरे स्थान पर परिभाषित प्रचालक भी शामिल हैं, क्योंकि पूरा स्थान अपने आप में घना है। क्षेत्र की सघनता आवश्यक है और निकटवर्ती (यदि और हिल्बर्ट रिक्त स्थान हैं) और स्थानांतर के अस्तित्व के लिए पर्याप्त है; नीचे दिए गए अनुभाग देखें। यदि अपने डोमेन पर बंद, सघन रूप से परिभाषित और निरंतर है, तो इसका डोमेन सभी का है। हिल्बर्ट स्थान पर एक सघन रूप से परिभाषित प्रचालक को नीचे से बद्ध कहा जाता है यदि वह किसी वास्तविक संख्या के लिए एक धनात्मक प्रचालक है। अर्थात्, के क्षेत्र में सभी के लिए (या वैकल्पिक रूप से चूंकि मनमाना है)। यदि दोनों और नीचे से बंधे हैं तो बंधे हैं। उदाहरण आइए इकाई अंतराल पर निरंतर कार्यों के स्थान को निरूपित करें, और निरंतर अवकलनीय कार्यों के स्थान को निरूपित करें। हम सर्वोच्च मानक से लैस हैं, जिससे यह बनाच स्थान बन जाता है। शास्त्रीय विभेदन प्रचालक को सामान्य सूत्र द्वारा परिभाषित कीजिएः प्रत्येक विभेदक फलन निरंतर होता है, इसलिए। हम दावा करते हैं कि यह डोमेन के साथ एक अच्छी तरह से परिभाषित असीमित ऑपरेटर है। इसके लिए, हमें यह दिखाने की आवश्यकता है कि यह रैखिक है और फिर, उदाहरण के लिए, कुछ ऐसे प्रदर्शित करें और। यह एक रैखिक प्रचालक है, क्योंकि दो निरंतर अवकलनीय कार्यों का एक रैखिक संयोजन भी निरंतर अवकलनीय है, और प्रचालक बाध्य नहीं है। उदाहरण के लिए, संतुष्ट करें लेकिन के रूप में। प्रचालक सघन रूप से परिभाषित और बंद होता है। एक ही प्रचालक को बनाच स्थान के कई विकल्पों के लिए एक प्रचालक के रूप में माना जा सकता है और उनमें से किसी के बीच सीमित नहीं किया जा सकता है। उसी समय, इसे बनाच रिक्त स्थान के अन्य जोड़े के लिए एक प्रचालक के रूप में और कुछ स्थलवैज्ञानिक वेक्टर रिक्त स्थान के लिए प्रचालक के रूप में भी सीमित किया जा सकता है। एक उदाहरण के रूप में एक खुला अंतराल होने दें और विचार करें कि कहाँः एक अनबाउंडेड ऑपरेटर के संयोजन को दो समकक्ष तरीकों से परिभाषित किया जा सकता है। माना हिल्बर्ट रिक्त स्थान के बीच एक असीमित प्रचालक है। सबसे पहले, इसे एक तरह से परिभाषित किया जा सकता है कि कोई एक बाउंडेड ऑपरेटर के एडजॉइंट को कैसे परिभाषित करता है। अर्थात्, के संयोजन को संपत्ति के साथ एक प्रचालक के रूप में परिभाषित किया गया हैः अधिक सटीक रूप से, निम्नलिखित तरीके से परिभाषित किया गया है। यदि ऐसा है जो के क्षेत्र पर एक निरंतर रैखिक कार्यात्मक है, तो इसे हैन-बनाच प्रमेय के माध्यम से पूरे स्थान तक रैखिक कार्यात्मकता का विस्तार करने के बाद एक तत्व घोषित किया जाता है, इसलिए कुछ को इस तरह से खोजना संभव है कि चूंकि रीज़ प्रतिनिधित्व प्रमेय हिल्बर्ट स्थान के निरंतर दोहरे को आंतरिक उत्पाद द्वारा दिए गए रैखिक कार्यों के सेट के साथ पहचानने की अनुमति देता है। यह सदिश विशिष्ट रूप से यदि और केवल तभी निर्धारित किया जाता है जब रैखिक कार्यात्मक को सघन रूप से परिभाषित किया जाता है; या समकक्ष रूप से, यदि सघन रूप से परिभाषित किया जाता है। अंत में, जिसका निर्माण पूरा करना आवश्यक रूप से एक रैखिक मानचित्र है। संयोजन तभी मौजूद होता है जब इसे सघन रूप से परिभाषित किया जाता है। परिभाषा के अनुसार, के क्षेत्र में ऐसे तत्व होते हैं जो के क्षेत्र में निरंतर होते हैं। नतीजतन, का क्षेत्र कुछ भी हो सकता है; यह तुच्छ हो सकता है (यानी, केवल शून्य होता है)। ऐसा हो सकता है कि का डोमेन एक बंद हाइपरप्लेन हो और डोमेन पर हर जगह गायब हो जाए। इस प्रकार, इसके क्षेत्र की सीमा का अर्थ सीमा नहीं है। दूसरी ओर, यदि पूरे स्थान पर परिभाषित किया जाता है तो यह अपने क्षेत्र पर बंधा होता है और इसलिए पूरे स्थान पर एक बंधे हुए प्रचालक तक निरंतरता द्वारा विस्तारित किया जा सकता है। यदि का क्षेत्र घना है, तो इसका निकटवर्ती है एक बंद सघन परिभाषित प्रचालक बाध्य है यदि और केवल तभी जब वह बंधा हो। संलग्न की दूसरी समतुल्य परिभाषा एक सामान्य तथ्य को ध्यान में रखते हुए प्राप्त की जा सकती है। एक रैखिक प्रचालक को निम्नानुसार परिभाषित कीजिएः चूंकि यह एक सममितीय उद्गमन है, इसलिए यह एकात्मक है। अतःः किसी प्रचालक का ग्राफ है यदि और केवल तभी जब इसे सघन रूप से परिभाषित किया गया हो। एक सरल गणना से पता चलता है कि यह "कुछ" संतुष्ट करता हैः के क्षेत्र में प्रत्येक के लिए। इस प्रकार का संयोजन है। यह उपरोक्त परिभाषा के तुरंत बाद आता है कि संलग्न बंद है। विशेष रूप से, एक स्व-संयुक्त प्रचालक (अर्थ) बंद होता है। एक प्रचालक को बंद और सघन रूप से परिभाषित किया जाता है यदि और केवल तभी जब बद्ध प्रचालक के लिए कुछ प्रसिद्ध गुण बंद सघन रूप से परिभाषित प्रचालक को सामान्यीकृत करते हैं। बन्द प्रचालकक कर्नेल बन्द रहैत अछि। इसके अलावा, एक बंद सघन रूप से परिभाषित प्रचालक का कर्नेल संलग्न की सीमा के ऑर्थोगोनल पूरक के साथ मेल खाता है। अर्थात्, वॉन न्यूमैन की प्रमेय बताती है कि और स्व-संयुक्त हैं, और दोनों ने व्युत्क्रम को सीमित किया है। यदि इसमें तुच्छ गुठली है, तो इसकी सघन सीमा होती है (उपरोक्त पहचान के अनुसार)। इसके अलावाः सर्जेक्टिव है अगर और केवल तभी जब ऐसा कोई है जो सभी के लिए है (यह अनिवार्य रूप से तथाकथित बंद सीमा प्रमेय का एक प्रकार है।) विशेष रूप से, बंद सीमा है यदि और केवल अगर बंद सीमा है। बाउंडेड केस के विपरीत, यह आवश्यक नहीं है क्योंकि, उदाहरण के लिए, यह संभव भी है कि इसका अस्तित्व न हो। हालाँकि, यह मामला है यदि, उदाहरण के लिए, बाध्य है। एक सघन रूप से परिभाषित, बंद प्रचालक को सामान्य कहा जाता है यदि यह निम्नलिखित समतुल्य शर्तों को संतुष्ट करता हैः; का क्षेत्र इस क्षेत्र में प्रत्येक के क्षेत्र के बराबर है; ऐसे स्वयं-संयुक्त प्रचालक मौजूद हैं जैसे कि और के क्षेत्र में प्रत्येक के लिए। प्रत्येक स्व-संयुक्त प्रचालक सामान्य होता है। बनाच रिक्त स्थान के बीच एक प्रचालक होने दें। फिर का ट्रांसपोज़ (या डुअल) रैखिक प्रचालक को संतुष्ट करता हैः सभी के लिए और यहाँ, हमने संकेतन का उपयोग कियाः अस्तित्व में आने के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त यह है कि इसे सघन रूप से परिभाषित किया गया है (अनिवार्य रूप से उसी कारण के लिए जैसा कि ऊपर चर्चा की गई है)। किसी भी हिल्बर्ट स्थान के लिए एंटी-लीनियर आइसोमोर्फिज्म होता हैः जहां से दिया जाता है इस आइसोमोर्फिज्म के माध्यम से, ट्रांसपोज़ निम्नलिखित तरीके से संलग्न से संबंधित हैः जहां। (परिमित-आयामी मामले के लिए, यह इस तथ्य से मेल खाता है कि एक मैट्रिक्स का संयोजन इसका संयुग्म पारगमन है।) ध्यान दें कि यह एक ट्रांसपोज़ के संदर्भ में संलग्न की परिभाषा देता है। बंद रैखिक प्रचालक बनाच रिक्त स्थान पर रैखिक प्रचालक का एक वर्ग है। वे बाउंडेड ऑपरेटरों की तुलना में अधिक सामान्य हैं, और इसलिए आवश्यक रूप से निरंतर नहीं हैं, लेकिन वे अभी भी पर्याप्त अच्छे गुणों को बनाए रखते हैं जो ऐसे ऑपरेटरों के लिए स्पेक्ट्रम और (कुछ धारणाओं के साथ) कार्यात्मक गणना को परिभाषित कर सकते हैं। कई महत्वपूर्ण रैखिक प्रचालक जो बाध्य होने में विफल रहते हैं, वे बंद हो जाते हैं, जैसे कि व्युत्पन्न और अंतर प्रचालक का एक बड़ा वर्ग। माना कि दो बनाच रिक्त स्थान हैं। एक रैखिक प्रचालक को बंद किया जाता है यदि प्रत्येक अनुक्रम के लिए इस तरह से अभिसरण किया जाता है कि किसी के पास और है। समान रूप से, बंद है यदि इसका ग्राफ प्रत्यक्ष राशि में बंद है। एक रैखिक प्रचालक को देखते हुए, आवश्यक रूप से बंद नहीं, यदि इसके ग्राफ का समापन किसी प्रचालक का ग्राफ होता है, तो उस प्रचालक को बंद करना कहा जाता है, और हम कहते हैं कि यह बंद करने योग्य है। by के बंद होने को दर्शाइए। यह इस प्रकार है कि का प्रतिबंध है। एक बंद करने योग्य प्रचालक का एक मूल (या आवश्यक डोमेन) इस तरह का एक उपसमुच्चय है कि करने के प्रतिबंध का बंद होना है। उदाहरण व्युत्पन्न प्रचालक पर विचार करें जहां एक अंतराल पर सभी निरंतर कार्यों का बनाच स्थान है। यदि कोई अपने डोमेन को लेता है, तो वह एक बंद ऑपरेटर है जो बाध्य नहीं है। दूसरी ओर यदि, तो अब बंद नहीं किया जाएगा, लेकिन यह बंद करने योग्य होगा, बंद करने के साथ इसके विस्तार को परिभाषित किया गया है। सममित प्रचालक और स्व-संयुक्त प्रचालक हिल्बर्ट स्थान पर एक प्रचालक T सममित होता है यदि और केवल तभी जब हमारे क्षेत्र में प्रत्येक x और y के लिए होता है। एक सघन रूप से परिभाषित प्रचालक सममित होता है यदि और केवल तभी जब वह T के क्षेत्र तक सीमित अपने संलग्न T ≤ से सहमत होता है, दूसरे शब्दों में जब T ≤ का विस्तार होता है। सामान्य तौर पर, यदि T को सघन रूप से परिभाषित और सममित किया जाता है, तो संलग्न T ≤ के क्षेत्र को T के क्षेत्र के बराबर होने की आवश्यकता नहीं है। यदि T सममित है और T का क्षेत्र और संलग्न का क्षेत्र मेल खाता है, तो हम कहते हैं कि T स्व-समरूप है। ध्यान दें कि, जब T स्व-संयुग्म होता है, तो संयुग्म के अस्तित्व का तात्पर्य है कि T को सघन रूप से परिभाषित किया गया है और चूंकि T ऱ्ऱं आवश्यक रूप से बंद है, इसलिए T बंद है। एक सघन रूप से परिभाषित प्रचालक T सममित है, यदि उपक्षेत्र (पिछले खंड में परिभाषित) J के तहत अपनी छवि के लिए ऑर्थोगोनल है (जहां J (x, y): = (y,-x))। समान रूप से, एक प्रचालक T स्व-संयुग्मित होता है यदि वह सघन रूप से परिभाषित, बंद, सममित होता है, और चौथी शर्त को संतुष्ट करता हैः दोनों प्रचालक, सर्जेक्टिव होते हैं, अर्थात, पूरे स्थान H पर T के क्षेत्र का मानचित्रण करते हैं। दूसरे शब्दों मेंः H में प्रत्येक x के लिए T के क्षेत्र में y और z मौजूद होते हैं जैसे कि और। एक प्रचालक टी स्व-समवर्ती है, यदि दो उपस्थान ऑर्थोगोनल हैं और उनका योग पूरा स्थान है यह दृष्टिकोण गैर-सघन परिभाषित बंद प्रचालक को शामिल नहीं करता है। गैर-सघन रूप से परिभाषित सममित ऑपरेटरों को सीधे या ग्राफ के माध्यम से परिभाषित किया जा सकता है, लेकिन संलग्न ऑपरेटरों के माध्यम से नहीं। एक सममित प्रचालक का अध्ययन अक्सर उसके केली परिवर्तन के माध्यम से किया जाता है। एक जटिल हिल्बर्ट स्थान पर एक प्रचालक T सममित होता है यदि और केवल तभी जब इसका द्विघात रूप वास्तविक हो, अर्थात, संख्या T के क्षेत्र में सभी x के लिए वास्तविक हो। ऐसा हो सकता है कि ऐसा न हो। एक सघन रूप से परिभाषित प्रचालक टी को धनात्मक (या गैर-ऋणात्मक) कहा जाता है यदि इसका द्विघात रूप गैर-ऋणात्मक है, अर्थात टी के क्षेत्र में सभी एक्स के लिए। ऐसा प्रचालक आवश्यक रूप से सममित है। प्रचालक टीआ प्रत्येक सघन परिभाषित, बंद टी के लिए स्व-संयोजन और धनात्मक है। वर्णक्रमीय प्रमेय स्व-संयोजन प्रचालक पर लागू होता है और इसके अलावा, सामान्य प्रचालक पर भी, लेकिन सामान्य रूप से सघन परिभाषित, बंद प्रचालक पर नहीं, क्योंकि इस मामले में वर्णक्रम खाली हो सकता है। हर जगह परिभाषित एक सममित प्रचालक बंद होता है, इसलिए बाध्य होता है, जो हेलिंगर-टोइप्लिट्ज़ प्रमेय है। परिभाषा के अनुसार, एक प्रचालक टी एक प्रचालक एस का विस्तार है यदि। एक समतुल्य प्रत्यक्ष परिभाषाः एस के क्षेत्र में प्रत्येक एक्स के लिए, एक्स टी के क्षेत्र से संबंधित है और। ध्यान दें कि प्रत्येक प्रचालक के लिए एक हर जगह परिभाषित विस्तार मौजूद है, जो एक विशुद्ध रूप से बीजगणितीय तथ्य है जिसे पसंद के स्वयंसिद्ध पर समझाया गया है। यदि दिया गया प्रचालक बंधा हुआ नहीं है तो विस्तार एक असंतत रैखिक मानचित्र है। इसका बहुत कम उपयोग होता है क्योंकि यह दिए गए प्रचालक के महत्वपूर्ण गुणों को संरक्षित नहीं कर सकता है (नीचे देखें), और आमतौर पर अत्यधिक गैर-अद्वितीय होता है। एक प्रचालक टी को बंद करने योग्य कहा जाता है यदि यह निम्नलिखित समतुल्य शर्तों को संतुष्ट करता हैः टी का एक बंद विस्तार है; टी के ग्राफ का बंद होना किसी प्रचालक का ग्राफ है; टी के डोमेन से बिंदुओं के प्रत्येक अनुक्रम (xn) के लिए जैसे कि xn → 0 और Txn → y भी यह धारण करता है। सभी प्रचालक बंद करने योग्य नहीं हैं। एक बंद करने योग्य प्रचालक टी में सबसे कम बंद विस्तार होता है जिसे टी का बंद करना कहा जाता है। टी के ग्राफ का बंद होना ग्राफ के बराबर होता है। अन्य, गैर-न्यूनतम बंद विस्तार मौजूद हो सकते हैं। एक सघन रूप से परिभाषित प्रचालक T को तभी बंद किया जा सकता है जब इसे सघन रूप से परिभाषित किया जाए। इस मामले में और यदि S को सघन रूप से परिभाषित किया गया है और T, S का विस्तार है तो S ≤, T ≤ का विस्तार है। प्रत्येक सममित प्रचालक बंद करने योग्य होता है। एक सममित प्रचालक को अधिकतम सममित कहा जाता है यदि उसके पास अपने को छोड़कर कोई सममित विस्तार नहीं है। प्रत्येक स्व-संयुक्त प्रचालक अधिकतम सममित होता है। उल्टा गलत है। एक प्रचालक को अनिवार्य रूप से स्व-संयोजन कहा जाता है यदि इसका समापन स्व-संयोजन है। एक प्रचालक अनिवार्य रूप से स्व-संयोजन है यदि और केवल तभी जब उसका एक और केवल एक स्व-संयोजन विस्तार हो। एक सममित प्रचालक में एक से अधिक स्व-संयुक्त विस्तार हो सकते हैं, और यहां तक कि उनकी निरंतरता भी हो सकती है। एक सघन रूप से परिभाषित, सममित प्रचालक टी अनिवार्य रूप से स्व-संयुग्म है यदि और केवल तभी जब दोनों प्रचालक की सघन सीमा हो। मान लीजिए कि T एक सघन रूप से परिभाषित प्रचालक है। "टी" संबंध को दर्शाते हुए एस "का विस्तार एस" टी द्वारा किया जाता है (एक पारंपरिक संक्षिप्त नाम γ (एस) γ (टी) के लिए) जिसमें निम्नलिखित है। यदि T सममित है तो T. यदि T बंद और सममित है तो T = T ≤ ≤ T ≤। यदि T स्व-संयुग्म है तो T = T िऱ = T िरि। यदि टी अनिवार्य रूप से स्व-संयुग्म है तो टी. टी. आर. = टी. आर.। सेल्फ-एडजॉईंट ऑपरेटरों का महत्व गणितीय भौतिकी में सेल्फ-एडजॉईंट ऑपरेटरों का वर्ग विशेष रूप से महत्वपूर्ण है। प्रत्येक स्व-संयुक्त प्रचालक सघन रूप से परिभाषित, बंद और सममित होता है। इसके विपरीत बाध्य ऑपरेटरों के लिए लागू होता है लेकिन सामान्य रूप से विफल रहता है। आत्म-संयोजन इन तीन गुणों की तुलना में काफी अधिक सीमित है। प्रसिद्ध वर्णक्रमीय प्रमेय स्व-संयुक्त प्रचालक के लिए है। एक-पैरामीटर एकात्मक समूहों पर स्टोन के प्रमेय के संयोजन से यह पता चलता है कि स्व-संयुक्त प्रचालक सटीक रूप से दृढ़ता से निरंतर एक-पैरामीटर एकात्मक समूहों के असीम जनरेटर हैं, देखें। शास्त्रीय और क्वांटम यांत्रिकी में समय के विकास का वर्णन करने के लिए ऐसे एकात्मक समूह विशेष रूप से महत्वपूर्ण हैं। स्टोन-वॉन न्यूमैन थ्योरम बाउंडेड ऑपरेटर नोट्स साइटेशंस बिब्लियोग्राफी भी देखें (अध्याय 12 "हिल्बर्ट स्पेस में अनबाउंडेड ऑपरेटरों का सामान्य सिद्धांत" देखें)। (अध्याय 5 "अनबाउंडेड ऑपरेटर्स" देखें)। (अध्याय 8 "अनबाउंडेड ऑपरेटर्स" देखें)। रैखिक प्रचालक प्रचालक सिद्धांत डीः रैखिक Operator#Unbeschränkte लाइनएयर प्रचालक