Bicubic interpolation
गणित में, द्वि-घन अंतर्वेशन एक द्वि-आयामी नियमित ग्रिड पर डेटा बिंदुओं को अंतर्वेशन करने के लिए घन स्प्लाइन अंतर्वेशन (एक डेटा सेट पर घन अंतर्वेशन लागू करने की एक विधि) का एक विस्तार है। अंतर्वेष्टित सतह (जिसका अर्थ है कर्नेल का आकार, छवि नहीं) द्विरेखीय अंतर्वेष्टन या निकटतम-पड़ोसी अंतर्वेष्टन द्वारा प्राप्त संबंधित सतहों की तुलना में चिकनी होती है। बाइक्यूबिक अंतर्वेशन को लैग्रेंज बहुपदों, क्यूबिक स्प्लाइन या क्यूबिक कन्वोलुशन एल्गोरिदम का उपयोग करके पूरा किया जा सकता है। इमेज प्रोसेसिंग में, जब गति कोई समस्या नहीं होती है, तो इमेज रीसैम्पलिंग में बाइक्यूबिक इंटरपोलेशन को अक्सर बाइलीनियर या निकटतम-पड़ोसी इंटरपोलेशन पर चुना जाता है। द्विरेखीय अंतर्वेशन के विपरीत, जो केवल 4 पिक्सेल (2 × 2) को ध्यान में रखता है, बाइक्यूबिक अंतर्वेशन 16 पिक्सेल (4 × 4) पर विचार करता है। बीक्यूबिक अंतर्वेशन के साथ पुनः नमूने वाली छवियों में चुने गए बी और सी मूल्यों के आधार पर अलग-अलग अंतर्वेशन कलाकृतियाँ हो सकती हैं। गणना मान लीजिए कि फलन मान और व्युत्पन्न, और इकाई वर्ग के चार कोनों,,, और ज्ञात हैं। अंतर्वेष्टित सतह को तब इस रूप में लिखा जा सकता है अंतर्वेष्टन समस्या में 16 गुणांक निर्धारित करने होते हैं। फलन मूल्यों के साथ मिलान करने से चार समीकरण प्राप्त होते हैंः इसी तरह, में और दिशाओं में व्युत्पन्न के लिए आठ समीकरणः और मिश्रित आंशिक व्युत्पन्न के लिए चार समीकरणः उपरोक्त अभिव्यक्तियों ने निम्नलिखित पहचान का उपयोग किया हैः यह प्रक्रिया इकाई वर्ग पर एक सतह प्राप्त करती है जो निरंतर है और जिसमें निरंतर व्युत्पन्न हैं। एक मनमाने आकार के नियमित ग्रिड पर बाइक्यूबिक प्रक्षेप को फिर ऐसी बाइक्यूबिक सतहों को एक साथ पैच करके पूरा किया जा सकता है, यह सुनिश्चित करते हुए कि व्युत्पन्न सीमाओं पर मेल खाते हैं। एक सदिश में अज्ञात मापदंडों को समूहीकृत करना और समीकरणों की उपरोक्त प्रणाली को रैखिक समीकरण के लिए एक मैट्रिक्स में पुनर्गठित किया जा सकता है। मैट्रिक्स को उलटने से अधिक उपयोगी रैखिक समीकरण मिलता है, जहां जल्दी और आसानी से गणना की जा सकती है। 16 गुणांकों के लिए एक और संक्षिप्त मैट्रिक्स रूप हो सकता हैः या जहाँ रेक्टिलिनियर ग्रिड का विस्तार अक्सर, अनुप्रयोगों में इकाई वर्ग के बजाय रेक्टिलिनियर ग्रिड पर डेटा का उपयोग करके बाइक्यूबिक इंटरपोलेशन की आवश्यकता होती है। इस मामले में, बिंदु वाली कोशिका की दूरी कहाँ है और उसके लिए समान है। इस मामले में, गुणांक की गणना करने के लिए सबसे व्यावहारिक दृष्टिकोण यह है कि पहले की तरह हल करने दें। इसके बाद, सामान्यीकृत अंतर्वेशन चर की गणना बिंदु के आसपास के ग्रिड बिंदुओं के निर्देशांक के रूप में की जाती है। यदि व्युत्पन्न अज्ञात हैं, तो वे आम तौर पर इकाई वर्ग के कोनों के आसपास के बिंदुओं पर फलन मूल्यों से अनुमानित होते हैं, उदाहरण के लिए। सीमित अंतरों का उपयोग करना। एकल व्युत्पन्न में से किसी एक को खोजने के लिए, या उस विधि का उपयोग करके, उपयुक्त अक्ष में दो आसपास के बिंदुओं के बीच ढलान का पता लगाएं। उदाहरण के लिए, किसी एक बिंदु की गणना करने के लिए, लक्ष्य बिंदु के बाएँ और दाएँ बिंदुओं को ढूंढें और उनके ढलान की गणना करें, और इसी तरह के लिए। क्रॉस व्युत्पन्न का पता लगाने के लिए, दोनों अक्षों में व्युत्पन्न लें, एक बार में एक। उदाहरण के लिए, कोई भी व्यक्ति पहले लक्ष्य बिंदु के ऊपर और नीचे के बिंदुओं के व्युत्पन्न खोजने के लिए प्रक्रिया का उपयोग कर सकता है, फिर लक्ष्य बिंदु के लिए मूल्य प्राप्त करने के लिए उन मूल्यों पर प्रक्रिया का उपयोग कर सकता है (हमेशा की तरह, उन बिंदुओं के मूल्यों के बजाय)। (या कोई इसे विपरीत दिशा में कर सकता है, पहले गणना और फिर उनसे। दोनों समान परिणाम देते हैं।) डेटासेट के किनारों पर, जब कोई आसपास के कुछ बिंदुओं से चूक जाता है, तो लापता बिंदुओं को कई तरीकों से अनुमानित किया जा सकता है। एक सरल और सामान्य विधि यह मान लेना है कि मौजूदा बिंदु से लक्ष्य बिंदु तक ढलान बिना किसी बदलाव के जारी रहता है, और इसका उपयोग लापता बिंदु के लिए एक काल्पनिक मूल्य की गणना करने के लिए किया जाता है। बाइक्यूबिक कन्वोलुशन एल्गोरिथ्म बाइक्यूबिक स्प्लाइन इंटरपोलेशन के लिए प्रत्येक ग्रिड सेल के लिए ऊपर वर्णित रैखिक प्रणाली के समाधान की आवश्यकता होती है। समान गुणों वाले एक प्रक्षेपक को दोनों आयामों में निम्नलिखित कर्नेल के साथ एक अभिसरण लागू करके प्राप्त किया जा सकता हैः जहाँ आमतौर पर-0.5 या-0.75 पर सेट किया जाता है। ध्यान दें कि और सभी गैर-शून्य पूर्णांकों के लिए। यह दृष्टिकोण कीज़ द्वारा प्रस्तावित किया गया था, जिन्होंने दिखाया कि यह मूल फलन के नमूना अंतराल के संबंध में तीसरे क्रम के अभिसरण का उत्पादन करता है। यदि हम सामान्य मामले के लिए मैट्रिक्स संकेतन का उपयोग करते हैं, तो हम समीकरण को अधिक अनुकूल तरीके से व्यक्त कर सकते हैंः एक आयाम के लिए 0 और 1 के बीच के लिए। ध्यान दें कि 1-आयामी घन अभिसरण अंतर्वेशन के लिए 4 नमूना बिंदुओं की आवश्यकता होती है। प्रत्येक जांच के लिए दो नमूने इसके बाईं ओर और दो नमूने दाईं ओर स्थित होते हैं। इन बिंदुओं को इस पाठ में-1 से 2 तक अनुक्रमित किया गया है। 0 के साथ अनुक्रमित बिंदु से पूछताछ बिंदु तक की दूरी को यहाँ से दर्शाया गया है। दो आयामों के लिए पहले एक बार और फिर से लागू किया जाता हैः कंप्यूटर ग्राफिक्स में उपयोग बाइक्यूबिक एल्गोरिथ्म का उपयोग अक्सर चित्रों को मापने और प्रदर्शन के लिए वीडियो के लिए किया जाता है (बिटमैप रीसैम्पलिंग देखें)। यह सामान्य द्विरेखीय एल्गोरिदम की तुलना में बेहतर विवरण को संरक्षित करता है। हालांकि, कर्नेल पर नकारात्मक खंडों के कारण, यह ओवरशूट (हेलोइंग) का कारण बनता है। यह क्लिपिंग का कारण बन सकता है, और एक कलाकृति है (बजने वाली कलाकृतियों को भी देखें), लेकिन यह तीक्ष्णता (स्पष्ट तीक्ष्णता) को बढ़ाता है, और वांछनीय हो सकता है। यह भी देखें स्थानिक एंटी-अलियासिंग बेजियर सतह बिलिनियर अंतर्वेशन क्यूबिक हर्माइट स्प्लाइन, बाइक्यूबिक स्प्लाइन लैंकोज़ के पुनः नमूने का एक-आयामी एनालॉग प्राकृतिक पड़ोसी अंतर्वेशन सिंक फ़िल्टर स्प्लाइन अंतर्वेशन ट्राइक्यूबिक अंतर्वेशन दिशात्मक क्यूबिक कन्वोलुशन अंतर्वेशन संदर्भ बाहरी लिंक उन्नयन नमूनों के लिए अंतर्वेशन का अनुप्रयोग अंतर्वेशन सिद्धांत व्याख्या और जावा/सी + + (द्वि) क्यूबिक अंतर्वेशन एक्सेल वर्कशीट का कार्यान्वयन बाइक्यूबिक लैग्रेंज इंटरपोलेशन इमेज प्रोसेसिंग मल्टीवेरिएट अंतर्वेशन के लिए कार्य