Stochastic differential equation
एक यादृच्छिक विभेदक समीकरण (एस. डी. ई.) एक विभेदक समीकरण है जिसमें एक या अधिक शब्द एक यादृच्छिक प्रक्रिया है, जिसके परिणामस्वरूप एक समाधान होता है जो एक यादृच्छिक प्रक्रिया भी है। एस. डी. ई. के पूरे शुद्ध गणित में कई अनुप्रयोग हैं और इनका उपयोग स्टॉक की कीमतों, यादृच्छिक विकास मॉडल या भौतिक प्रणालियों जैसे यादृच्छिक मॉडल के विभिन्न व्यवहारों को मॉडल करने के लिए किया जाता है जो तापीय उतार-चढ़ाव के अधीन होते हैं। एस. डी. ई. में एक यादृच्छिक अंतर होता है जो सबसे बुनियादी मामले में यादृच्छिक सफेद शोर की गणना ब्राउनियन गति के व्युत्पन्न के रूप में या आम तौर पर एक सेमीमार्टींगल के रूप में की जाती है। हालाँकि, अन्य प्रकार के यादृच्छिक व्यवहार संभव हैं, जैसे कि कूद प्रक्रियाएँ जैसे लेवी प्रक्रियाएँ या कूद के साथ सेमीमार्टींगल। यादृच्छिक विभेदक समीकरण यादृच्छिक विभेदक समीकरणों के संयुग्म हैं। यादृच्छिक विभेदक समीकरणों को विभेदक कई गुना तक भी बढ़ाया जा सकता है। पृष्ठभूमि यादृच्छिक विभेदक समीकरणों की उत्पत्ति 1905 में अल्बर्ट आइंस्टीन और मैरियन स्मोलुचोव्स्की के काम में ब्राउनियन गति के सिद्धांत में हुई थी, हालांकि लुई बैचेलियर को 1900 में ब्राउनियन गति के प्रतिरूपण का श्रेय दिया गया था, जो यादृच्छिक विभेदक समीकरण का एक बहुत ही प्रारंभिक उदाहरण देता है जिसे अब बैचेलियर मॉडल के रूप में जाना जाता है। इनमें से कुछ प्रारंभिक उदाहरण रैखिक यादृच्छिक विभेदक समीकरण थे, जिन्हें फ्रांसीसी भौतिक विज्ञानी लैंगविन के नाम पर 'लैंगविन' समीकरण भी कहा जाता है, जो एक यादृच्छिक बल के अधीन एक हार्मोनिक ऑसिलेटर की गति का वर्णन करते हैं। यादृच्छिक विभेदक समीकरणों का गणितीय सिद्धांत 1940 के दशक में जापानी गणितशास्त्री कियोसी इतो के अभूतपूर्व काम के माध्यम से विकसित किया गया था, जिन्होंने यादृच्छिक समाकलन की अवधारणा की शुरुआत की और अरैखिक यादृच्छिक विभेदक समीकरणों के अध्ययन की शुरुआत की। एक अन्य दृष्टिकोण बाद में रूसी भौतिक विज्ञानी स्ट्रैटोनोविच द्वारा प्रस्तावित किया गया था, जिससे सामान्य कलन के समान कलन हो गया। शब्दावली साहित्य में एस. डी. ई. का सबसे आम रूप एक सामान्य विभेदक समीकरण है जिसमें दाहिने हाथ की ओर एक सफेद शोर चर पर निर्भर शब्द से विचलित होता है। अधिकांश मामलों में, एस. डी. ई. को संबंधित यादृच्छिक अंतर समीकरणों की निरंतर समय सीमा के रूप में समझा जाता है। एस. डी. ई. की यह समझ अस्पष्ट है और इसे संबंधित समाकलन की उचित गणितीय परिभाषा द्वारा पूरक किया जाना चाहिए। इस तरह की गणितीय परिभाषा पहली बार 1940 के दशक में कियोसी इतो द्वारा प्रस्तावित की गई थी, जिससे आज इसे इटो कलन के रूप में जाना जाता है। एक और निर्माण बाद में रूसी भौतिक विज्ञानी स्ट्रैटोनोविच द्वारा प्रस्तावित किया गया था, जिसे स्ट्रैटोनोविच इंटीग्रल के रूप में जाना जाता है। इटो इंटीग्रल और स्ट्रैटोनोविच इंटीग्रल संबंधित हैं, लेकिन अलग-अलग, वस्तुएं हैं और उनके बीच का चुनाव विचार किए गए अनुप्रयोग पर निर्भर करता है। आई. टी. ओ. कैलकुलस गैर-एंटीसिपेटिवनेस या कार्य-कारण की अवधारणा पर आधारित है, जो उन अनुप्रयोगों में स्वाभाविक है जहां चर समय है। दूसरी ओर, स्ट्रैटोनोविच कलन में ऐसे नियम होते हैं जो सामान्य कलन के समान होते हैं और इसमें आंतरिक ज्यामितीय गुण होते हैं जो मैनिफोल्ड पर यादृच्छिक गति जैसी ज्यामितीय समस्याओं से निपटने के दौरान इसे अधिक प्राकृतिक बनाते हैं, हालांकि यह संभव है और कुछ मामलों में इट एस. डी. ई. के माध्यम से मैनिफोल्ड पर यादृच्छिक गति का मॉडल बनाना बेहतर होता है, उदाहरण के लिए जब सबमैनिफोल्ड पर एस. डी. ई. को इष्टतम रूप से अनुमानित करने का प्रयास किया जाता है। एस. डी. ई. पर एक वैकल्पिक दृष्टिकोण डिफियोमोर्फिज्म का यादृच्छिक प्रवाह है। यह समझ स्पष्ट है और यादृच्छिक अंतर समीकरणों की निरंतर समय सीमा के स्ट्रैटोनोविच संस्करण से मेल खाती है। एस. डी. ई. के साथ जुड़ा हुआ है स्मोलुचोव्स्की समीकरण या फोकर-प्लैंक समीकरण, एक समीकरण जो संभाव्यता वितरण कार्यों के समय विकास का वर्णन करता है। विभेदक रूपों के अस्थायी विकास के लिए फोकर-प्लैंक विकास का सामान्यीकरण यादृच्छिक विकास प्रचालक की अवधारणा द्वारा प्रदान किया जाता है। भौतिक विज्ञान में, "लैंगविन एस. डी. ई". शब्द के उपयोग में अस्पष्टता है। जबकि लैंगविन एस. डी. ई. अधिक सामान्य रूप के हो सकते हैं, यह शब्द आमतौर पर ढाल प्रवाह सदिश क्षेत्रों के साथ एस. डी. ई. के एक संकीर्ण वर्ग को संदर्भित करता है। एस. डी. ई. का यह वर्ग विशेष रूप से लोकप्रिय है क्योंकि यह पारिसी-सोरलस यादृच्छिक परिमाणीकरण प्रक्रिया का एक प्रारंभिक बिंदु है, जो सुपरसिमेट्रिक क्वांटम यांत्रिकी से निकटता से संबंधित एन = 2 सुपरसिमेट्रिक मॉडल की ओर ले जाता है। भौतिक दृष्टिकोण से, हालांकि, एस. डी. ई. का यह वर्ग बहुत दिलचस्प नहीं है क्योंकि यह कभी भी टोपोलॉजिकल सुपरसिमेट्री के स्वतःस्फूर्त टूटने को प्रदर्शित नहीं करता है, यानी (ओवरडैम्प्ड) लैंगविन एस. डी. ई. कभी भी अराजक नहीं होते हैं। स्टोकेस्टिक कैलकुलस ब्राउनियन मोशन या वीनर प्रक्रिया को गणितीय रूप से असाधारण रूप से जटिल पाया गया था। वीनर प्रक्रिया लगभग निश्चित रूप से कहीं भी अवकलनीय नहीं है; इस प्रकार, इसे कलन के अपने नियमों की आवश्यकता होती है। स्टोकेस्टिक कलन के दो प्रमुख संस्करण हैं, इटो स्टोकेस्टिक कलन और स्ट्रैटोनोविच स्टोकेस्टिक कलन। दोनों में से प्रत्येक के फायदे और नुकसान हैं, और नवागंतुक अक्सर भ्रमित होते हैं कि क्या किसी दी गई स्थिति में एक दूसरे की तुलना में अधिक उपयुक्त है। दिशानिर्देश मौजूद हैं (जैसे। Øksendal, 2003) और आसानी से, कोई भी आसानी से एक आई. टी. ओ. एस. डी. ई. को एक समकक्ष स्ट्रैटोनोविच एस. डी. ई. में बदल सकता है और फिर से वापस आ सकता है। फिर भी, एस. डी. ई. शुरू में लिखे जाने पर किस कलन का उपयोग करना है, इस बारे में सावधान रहना चाहिए। संख्यात्मक समाधान यादृच्छिक विभेदक समीकरणों को हल करने के लिए संख्यात्मक विधियों में यूलर-मरूयामा विधि, मिल्स्टीन विधि, रुंग-कुट्टा विधि (एस. डी. ई.), रोसेनब्रॉक विधि और पुनरावृत्त यादृच्छिक समाकलन के विभिन्न प्रतिनिधित्वों पर आधारित विधियाँ शामिल हैं। भौतिकी में उपयोग, एस. डी. ई. में आणविक गतिकी से लेकर तंत्रिका गतिकी और खगोलीय वस्तुओं की गतिकी तक व्यापक प्रयोज्यता है। अधिक विशेष रूप से, एस. डी. ई. सभी गतिशील प्रणालियों का वर्णन करते हैं, जिनमें क्वांटम प्रभाव या तो महत्वहीन होते हैं या उन्हें गड़बड़ी के रूप में माना जा सकता है। एस. डी. ई. को शोर वाले मॉडलों के लिए गतिशील प्रणाली सिद्धांत के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है। यह एक महत्वपूर्ण सामान्यीकरण है क्योंकि वास्तविक प्रणालियों को उनके वातावरण से पूरी तरह से अलग नहीं किया जा सकता है और इस कारण से हमेशा बाहरी यादृच्छिक प्रभाव का अनुभव होता है। उच्च-क्रम समीकरणों को नए अज्ञात प्रस्तुत करके कई युग्मित प्रथम-क्रम समीकरणों में बदलने के लिए मानक तकनीकें हैं। इसलिए, निम्नलिखित एस. डी. ई. का सबसे सामान्य वर्ग हैः जहां इसके चरण (या अवस्था) स्थान में प्रणाली में स्थिति है, जिसे एक अवकलनीय मैनिफोल्ड माना जाता है, यह एक प्रवाह सदिश क्षेत्र है जो विकास के नियतात्मक नियम का प्रतिनिधित्व करता है, और सदिश क्षेत्रों का एक समूह है जो प्रणाली के युग्मन को गौसियन सफेद शोर से परिभाषित करता है। यदि एक रैखिक स्थान है और स्थिरांक हैं, तो प्रणाली को योगात्मक शोर के अधीन कहा जाता है, अन्यथा इसे गुणक शोर के अधीन कहा जाता है। यह शब्द कुछ हद तक भ्रामक है क्योंकि इसका अर्थ सामान्य मामला हो गया है, भले ही यह सीमित मामले का संकेत देता प्रतीत होता है। शोर के एक निश्चित विन्यास के लिए, एस. डी. ई. के पास प्रारंभिक स्थिति के संबंध में अंतर करने योग्य एक अनूठा समाधान है। जब कोई शोर विन्यास पर रुचि की विभिन्न वस्तुओं को औसत करने का प्रयास करता है तो यादृच्छिक मामले की गैर-तुच्छता दिखाई देती है। इस अर्थ में, एक एस. डी. ई. एक विशिष्ट रूप से परिभाषित इकाई नहीं है जब शोर गुणक होता है और जब एस. डी. ई. को यादृच्छिक अंतर समीकरण की निरंतर समय सीमा के रूप में समझा जाता है। इस मामले में, एस. डी. ई. को "एस. डी. ई. की व्याख्याओं" के रूप में जाना जाता है जैसे कि आई. टी. ओ. या एस. डी. ई. की स्ट्रैटोनोविच व्याख्याओं द्वारा पूरक होना चाहिए। फिर भी, जब एस. डी. ई. को डिफियोमोर्फिज्म के निरंतर-समय यादृच्छिक प्रवाह के रूप में देखा जाता है, तो यह एक विशिष्ट रूप से परिभाषित गणितीय वस्तु है जो एक यादृच्छिक अंतर समीकरण की निरंतर समय सीमा के लिए स्ट्रैटोनोविच दृष्टिकोण से मेल खाती है। भौतिकी में, समाधान की मुख्य विधि समतुल्य फोकर-प्लैंक समीकरण (एफ. पी. ई.) का उपयोग करके समय के फलन के रूप में प्रायिकता वितरण फलन का पता लगाना है। फोकर-प्लैंक समीकरण एक निर्धारक आंशिक विभेदक समीकरण है। यह बताता है कि कैसे प्रायिकता वितरण फलन समय में उसी तरह विकसित होता है जैसे श्रोडिंगर समीकरण क्वांटम तरंग फलन का समय विकास देता है या प्रसार समीकरण रासायनिक सांद्रता का समय विकास देता है। वैकल्पिक रूप से, संख्यात्मक समाधान मोंटे कार्लो अनुकरण द्वारा प्राप्त किए जा सकते हैं। अन्य तकनीकों में पथ एकीकरण शामिल है जो सांख्यिकीय भौतिकी और क्वांटम यांत्रिकी के बीच सादृश्य पर आधारित है (उदाहरण के लिए, फोकर-प्लैंक समीकरण को कुछ चरों को फिर से जोड़कर श्रोडिंगर समीकरण में बदला जा सकता है) या संभाव्यता वितरण फलन के सांख्यिकीय क्षणों के लिए साधारण अंतर समीकरणों को लिख कर। संभाव्यता और गणितीय वित्त में उपयोग संभाव्यता सिद्धांत में उपयोग किया जाने वाला संकेतन (और संभाव्यता सिद्धांत के कई अनुप्रयोगों में, उदाहरण के लिए फ़िल्टरिंग समस्या के साथ संकेत प्रसंस्करण में और गणितीय वित्त में) थोड़ा अलग है। यह यादृच्छिक विभेदक समीकरणों को हल करने के लिए संख्यात्मक तरीकों पर प्रकाशनों में उपयोग किया जाने वाला संकेतन भी है। यह संकेतन भौतिकी सूत्रीकरण में समय के यादृच्छिक कार्य की विदेशी प्रकृति को और अधिक स्पष्ट बनाता है। सख्त गणितीय शब्दों में, इसे एक साधारण फलन के रूप में नहीं चुना जा सकता है, बल्कि केवल एक सामान्यीकृत फलन के रूप में चुना जा सकता है। गणितीय सूत्रीकरण इस जटिलता को भौतिकी सूत्रीकरण की तुलना में कम अस्पष्टता के साथ मानता है। एक विशिष्ट समीकरण उस रूप का होता है जहाँ एक वीनर प्रक्रिया (मानक ब्राउनियन गति) को दर्शाया जाता है। इस समीकरण की व्याख्या संबंधित समाकलन समीकरण को व्यक्त करने के एक अनौपचारिक तरीके के रूप में की जानी चाहिए उपरोक्त समीकरण निरंतर समय यादृच्छिक प्रक्रिया Xt के व्यवहार को एक साधारण लेबेस्ग इंटीग्रल और एक इटो इंटीग्रल के योग के रूप में दर्शाता है। यादृच्छिक विभेदक समीकरण की एक शोधात्मक (लेकिन बहुत उपयोगी) व्याख्या यह है कि δ लंबाई के एक छोटे से समय अंतराल में यादृच्छिक प्रक्रिया Xt अपने मूल्य को एक ऐसी राशि से बदल देती है जो आम तौर पर अपेक्षा μ (Xt, t) δ और भिन्नता σ (Xt, t) 2 δ के साथ वितरित की जाती है और प्रक्रिया के पिछले व्यवहार से स्वतंत्र होती है। ऐसा इसलिए है क्योंकि एक वीनर प्रक्रिया की वृद्धि स्वतंत्र होती है और सामान्य रूप से वितरित होती है। फलन μ को बहाव गुणांक के रूप में संदर्भित किया जाता है, जबकि σ को प्रसार गुणांक कहा जाता है। स्टोकेस्टिक प्रक्रिया Xt को प्रसार प्रक्रिया कहा जाता है, और यह मार्कोव गुण को संतुष्ट करता है। एस. डी. ई. की औपचारिक व्याख्या इस संदर्भ में दी गई है कि एस. डी. ई. का समाधान क्या है। एस. डी. ई. के समाधान की दो मुख्य परिभाषाएँ हैं, एक मजबूत समाधान और एक कमजोर समाधान दोनों के लिए एक प्रक्रिया एक्स. टी. के अस्तित्व की आवश्यकता होती है जो एस. डी. ई. के अभिन्न समीकरण संस्करण को हल करता है। दोनों के बीच का अंतर अंतर्निहित प्रायिकता स्थान () में निहित है। एक कमजोर समाधान में एक प्रायिकता स्थान और एक प्रक्रिया होती है जो समाकलन समीकरण को संतुष्ट करती है, जबकि एक मजबूत समाधान एक ऐसी प्रक्रिया है जो समीकरण को संतुष्ट करती है और दी गई प्रायिकता स्थान पर परिभाषित की जाती है। एक महत्वपूर्ण उदाहरण ज्यामितीय ब्राउनियन गति के लिए समीकरण है जो वित्तीय गणित के ब्लैक-स्कोल्स विकल्प मूल्य निर्धारण मॉडल में एक स्टॉक की कीमत की गतिशीलता के लिए समीकरण है। ज्यामितीय ब्राउनियन गति को सामान्य बनाते हुए, मजबूत समाधानों को स्वीकार करने वाले एस. डी. ई. को परिभाषित करना भी संभव है और जिनका वितरण विभिन्न ज्यामितीय ब्राउनियन गतियों या ब्लैक स्कोल्स मॉडल से आने वाले घनत्वों का एक उत्तल संयोजन है, एक एकल एस. डी. ई. प्राप्त करना जिसका समाधान विभिन्न ब्लैक स्कोल्स मॉडल के लॉग्नॉर्मल वितरणों की मिश्रण गतिशीलता के रूप में वितरित किया जाता है। यह ऐसे मॉडल की ओर ले जाता है जो वित्तीय गणित में अस्थिरता से निपट सकते हैं। अंकगणितीय ब्राउनियन गति नामक सरल एस. डी. ई. का उपयोग लुई बैचेलियर द्वारा 1900 में स्टॉक की कीमतों के लिए पहले मॉडल के रूप में किया गया था, जिसे आज बैचेलियर मॉडल के रूप में जाना जाता है। अधिक सामान्य यादृच्छिक विभेदक समीकरण भी हैं जहां गुणांक μ और σ न केवल प्रक्रिया Xt के वर्तमान मूल्य पर निर्भर करते हैं, बल्कि प्रक्रिया के पिछले मूल्यों पर भी और संभवतः अन्य प्रक्रियाओं के वर्तमान या पिछले मूल्यों पर भी निर्भर करते हैं। उस स्थिति में समाधान प्रक्रिया, एक्स, एक मार्कोव प्रक्रिया नहीं है, और इसे एक इटो प्रक्रिया कहा जाता है न कि प्रसार प्रक्रिया। जब गुणांक केवल एक्स के वर्तमान और पिछले मूल्यों पर निर्भर करते हैं, तो परिभाषित करने वाले समीकरण को यादृच्छिक विलंब अंतर समीकरण कहा जाता है। फिस्क-स्ट्रैटोनोविच इंटीग्रल के साथ स्टोकेस्टिक डिफरेंशियल समीकरणों का सामान्यीकरण कूदक संग सेमीमार्टिंगेल्स के लिए मार्कस प्रकार के एस. डी. ई. हैं। मार्कस समाकलन मैकशेन के यादृच्छिक कलन का एक विस्तार है। यादृच्छिक वित्त में एक अभिनव अनुप्रयोग ऑर्न्स्टीन-उह्लेनबेक प्रक्रिया के लिए समीकरण के उपयोग से प्राप्त होता है जो इस परिकल्पना के तहत एक स्टॉक की कीमत की वापसी की गतिशीलता के लिए समीकरण है जो एक लॉग-सामान्य वितरण प्रदर्शित करता है। इस परिकल्पना के तहत, मार्सेलो मिनेना द्वारा विकसित कार्यप्रणाली भविष्यवाणी अंतराल को निर्धारित करती है जो असामान्य वापसी की पहचान करने में सक्षम है जो बाजार के दुरुपयोग की घटनाओं को छिपा सकती है। मैनिफोल्ड्स पर एस. डी. ई. अधिक आम तौर पर कोई भी विभेदक मैनिफोल्ड्स पर यादृच्छिक कलन के सिद्धांत का विस्तार कर सकता है और इस उद्देश्य के लिए कोई भी फिस्क-स्ट्रैटोनोविच समाकलन का उपयोग करता है। एक बहुगुणित, कुछ परिमित-आयामी वेक्टर स्थान पर विचार करें, सामान्य स्थितियों को संतुष्ट करने के साथ एक फ़िल्टर किए गए संभाव्यता स्थान और एक-बिंदु संकुचन और मापने योग्य होने दें। लिखित पर एक यादृच्छिक विभेदक समीकरण एक जोड़ी है, जैसे कि एक निरंतर-मूल्यवान अर्ध-मार्टींगेल, वेक्टर बंडलों का एक समरूपता है। प्रत्येक के लिए नक्शा रैखिक और प्रत्येक के लिए है। प्रारंभिक स्थिति के साथ एस. डी. ई. का एक समाधान जीवन काल तक एक निरंतर-अनुकूलित-मूल्यवान प्रक्रिया है, एस. टी. प्रत्येक परीक्षण फलन के लिए प्रक्रिया एक वास्तविक-मूल्यवान अर्ध-विपणन है और समीकरण के साथ प्रत्येक ठहराव समय के लिए-लगभग निश्चित रूप से, अंतर कहाँ है। यह एक अधिकतम समाधान है यदि जीवन काल अधिकतम है, अर्थात-लगभग निश्चित रूप से। यह इस तथ्य से पता चलता है कि प्रत्येक परीक्षण कार्य के लिए एक सेमी-मार्टिंगेल होता है, जो कि एक सेमी-मार्टिंगेल होता है। एक अधिकतम समाधान को देखते हुए हम समय को पूर्ण रूप से बढ़ा सकते हैं और जारी रखने के बाद हम अप्रभेद्य प्रक्रियाओं तक पहुँच जाते हैं। यद्यपि स्ट्रैटोनोविच एस. डी. ई. मैनिफोल्ड पर एस. डी. ई. के लिए प्राकृतिक विकल्प हैं, यह देखते हुए कि वे श्रृंखला नियम को संतुष्ट करते हैं और उनके बहाव और प्रसार गुणांक निर्देशांक के परिवर्तन के तहत वेक्टर क्षेत्रों के रूप में व्यवहार करते हैं, ऐसे मामले हैं जहां मैनिफोल्ड पर इटो कलन बेहतर है। मैनिफोल्ड्स पर इटो कलन का एक सिद्धांत पहली बार लॉरेंट श्वार्ट्ज द्वारा श्वार्ट्ज आकृतिवाद की अवधारणा के माध्यम से विकसित किया गया था, जेट-बंडल पर आधारित मैनिफोल्ड्स पर इटो एस. डी. ई. की संबंधित 2-जेट व्याख्या भी देखें। यह व्याख्या तब सहायक होती है जब एक बड़े स्थान पर दिए गए एस. डी. ई. के समाधान को उस स्थान के सबमैनिफोल्ड पर दिए गए एस. डी. ई. के समाधान के साथ इष्टतम रूप से अनुमानित करने का प्रयास किया जाता है, जिसमें एक स्ट्रैटोनोविच आधारित प्रक्षेपण इष्टतम नहीं होता है। यह फ़िल्टरिंग समस्या पर लागू किया गया है, जिससे इष्टतम प्रक्षेपण फ़िल्टर होते हैं। एस. डी. ई. खुरदरे पथ के रूप में आमतौर पर एक एस. डी. ई. के समाधान के लिए एक संभावित सेटिंग की आवश्यकता होती है, क्योंकि समाधान में अंतर्निहित अभिन्न एक यादृच्छिक अभिन्न है। यदि विभेदक समीकरण पथ से निपटना संभव था, तो किसी को यादृच्छिक समाकलन को परिभाषित करने की आवश्यकता नहीं होगी और कोई भी संभाव्यता सिद्धांत से स्वतंत्र रूप से एक सिद्धांत विकसित कर सकता है। यह एस. डी. ई. को प्रत्येक के लिए एक एकल नियतात्मक विभेदक समीकरण के रूप में मानने की ओर इशारा करता है, जहां दिए गए संभाव्यता स्थान () में नमूना स्थान है। हालांकि, एस. डी. ई. की एक सीधी पथ-वार व्याख्या संभव नहीं है, क्योंकि ब्राउनियन गति पथों में असीम भिन्नता है और संभावना एक के साथ कहीं भी अवकलनीय नहीं हैं, इसलिए इस तरह के शब्दों को अर्थ देने का कोई सरल तरीका नहीं है, जिसमें प्रत्येक एकल के खिलाफ एक अभिन्न के रूप में यादृच्छिक समाकलन की एक सरल पथ-वार परिभाषा भी शामिल है। हालांकि, नियमित शोर के साथ एस. डी. ई. के समाधान की सीमाओं के लिए वोंग-ज़काई परिणाम से प्रेरित और खुरदरा पथ सिद्धांत का उपयोग करते हुए, ब्राउनियन गति के पुनरावृत्त समाकलन की एक चुनी हुई परिभाषा को जोड़ते हुए, प्रत्येक एकल के लिए एक निर्धारक खुरदरा समाकलन को परिभाषित करना संभव है जो उदाहरण के लिए पुनरावृत्त ब्राउनियन समाकलन के एक विशेष विकल्प के लिए संभावना एक के साथ इटो समाकलन के साथ मेल खाता है। पुनरावृत्त समाकलन की अन्य परिभाषाएँ स्ट्रैटोनोविच समाकलन जैसे विभिन्न यादृच्छिक समाकलन के नियतात्मक पथ-वार समतुल्य की ओर ले जाती हैं। इसका उपयोग उदाहरण के लिए वित्तीय गणित में संभावना के बिना मूल्य विकल्पों के लिए किया गया है। समाधानों का अस्तित्व और विशिष्टता निर्धारक साधारण और आंशिक विभेदक समीकरणों के साथ, यह जानना महत्वपूर्ण है कि दिए गए एस. डी. ई. का कोई समाधान है या नहीं, और क्या यह अद्वितीय है या नहीं। निम्नलिखित आई. टी. ओ. एस. डी. ई. के लिए एक विशिष्ट अस्तित्व और विशिष्टता प्रमेय है जो एन-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष आर. एन. में मान लेता है और एक एम-आयामी ब्राउनियन गति बी द्वारा संचालित होता है; इसका प्रमाण ओक्सेंडल (2003, § 5.2) में पाया जा सकता है। मान लीजिए कि T> 0, और मापने योग्य कार्य हैं जिनके लिए स्थिरांक C और D मौजूद हैं जैसे कि सभी t ω [0, T] और सभी x और y ω Rn के लिए, जहां Z एक यादृच्छिक चर है जो Bs, s ω द्वारा उत्पन्न σ-बीजगणित से स्वतंत्र है, और सीमित दूसरे क्षण के साथः तब यादृच्छिक विभेदक समीकरण/प्रारंभिक मूल्य समस्या में एक P-लगभग निश्चित रूप से अद्वितीय t-निरंतर समाधान (t, ω) ω Xt (ω) होता है जैसे कि X को Z और Bs, s ≤ t, और सामान्य मामलेः स्थानीय लिपशिट्ज़ स्थिति और अधिकतम समाधानों द्वारा उत्पन्न निस्पंदन FtZ के लिए अनुकूलित किया जाता है। अधिक सामान्य रूप से मैनिफोल्ड पर यादृच्छिक विभेदक समीकरणों को भी देखा जा सकता है। इस समीकरण का समाधान विस्फोट करता है या नहीं, यह इसके चयन पर निर्भर करता है। मान लीजिए कि कुछ स्थानीय लिपशिट्ज़ शर्त को संतुष्ट करता है, यानी, कुछ कॉम्पैक्ट सेट के लिए और कुछ स्थिर स्थिति जहां यूक्लिडियन मानक है। यह स्थिति एक तथाकथित अधिकतम समाधान के अस्तित्व और विशिष्टता की गारंटी देती है। मान लीजिए कि यह निरंतर है और उपरोक्त स्थानीय लिपशिट्ज़ स्थिति को संतुष्ट करता है और कुछ प्रारंभिक स्थिति होने दें, जिसका अर्थ है कि यह प्रारंभिक σ-बीजगणित के संबंध में एक मापने योग्य फलन है। लगभग निश्चित रूप से रुकने का एक अनुमानित समय होने दें। ए-वैल्यूड सेमीमार्टिंगेल को जीवन काल के साथ एक अधिकतम समाधान कहा जाता है यदि एक (और इसलिए सभी) के लिए रुकी हुई प्रक्रिया की घोषणा करना सेट पर रुके हुए यादृच्छिक अंतर समीकरण का समाधान है जो हमारे पास लगभग निश्चित रूप से है। यह एक तथाकथित विस्फोट का समय भी है। कुछ स्पष्ट रूप से हल करने योग्य एस. डी. ई. रैखिक एस. डी. ई.: सामान्य मामला जहां दिए गए अवकलनीय फलन के लिए अवकलनीय एस. डी. ई.: मामला 1 स्ट्रैटोनोविच एस. डी. ई. के बराबर है जिसका एक सामान्य समाधान है जहां अवकलनीय एस. डी. ई.: किसी दिए गए अवकलनीय फलन के लिए मामला 2 स्ट्रैटोनोविच एस. डी. ई. के बराबर है जो पहले की तरह परिभाषित किए गए स्थान पर अवकलनीय है। इसका सामान्य समाधान एस. डी. ई. और सुपरसिमेट्री है। एस. डी. ई. के सुपरसिमेट्रिक सिद्धांत में, यादृच्छिक गतिकी को यादृच्छिक विकास प्रचालक के माध्यम से परिभाषित किया जाता है जो मॉडल के चरण स्थान पर विभेदक रूपों पर कार्य करता है। स्टोकेस्टिक डायनामिक्स के इस सटीक निर्माण में, सभी एस. डी. ई. में टोपोलॉजिकल सुपरसिमेट्री होती है जो निरंतर समय प्रवाह द्वारा चरण स्थान की निरंतरता के संरक्षण का प्रतिनिधित्व करती है। इस सुपरसिमेट्री का स्वतःस्फूर्त टूटना सर्वव्यापी गतिशील घटना का गणितीय सार है जिसे अराजकता, अशांति, स्व-संगठित आलोचना आदि के रूप में जाना जाता है। और गोल्डस्टोन प्रमेय संबद्ध लंबी दूरी के गतिशील व्यवहार की व्याख्या करता है, अर्थात, तितली प्रभाव, 1/एफ और क्रैकलिंग शोर, और भूकंप, न्यूरोवैलेंच, सौर फ्लेयर्स आदि के पैमाने-मुक्त आँकड़े। बैकवर्ड स्टोकेस्टिक डिफरेंशियल समीकरण लैंगविन डायनामिक्स स्थानीय अस्थिरता स्टोकेस्टिक प्रक्रिया स्टोकेस्टिक अस्थिरता स्टोकेस्टिक आंशिक विभेदक समीकरण प्रसार प्रक्रिया स्टोकेस्टिक अंतर समीकरण संदर्भ आगे पढ़ने के लिए डेसमंड हाइगम और पीटर क्लोडेनः "स्टोकेस्टिक विभेदक समीकरणों के संख्यात्मक अनुकरण का परिचय", एस. आई. ए. एम., (2021)। विभेदक समीकरण यादृच्छिक प्रक्रियाएँ