Helly's theorem
हेली की प्रमेय उत्तल समुच्चयों के प्रतिच्छेदन पर असतत ज्यामिति में एक बुनियादी परिणाम है। इसकी खोज एडवर्ड हेली ने 1913 में की थी, लेकिन 1923 तक उनके द्वारा प्रकाशित नहीं किया गया था, उस समय तक वैकल्पिक प्रमाण पहले ही सामने आ चुके थे। हेली के प्रमेय ने हेली परिवार की धारणा को जन्म दिया। कथन मान लीजिए, के उत्तल उपसमुच्चय का एक सीमित संग्रह है। यदि इनमें से प्रत्येक समुच्चय का प्रतिच्छेदन खाली नहीं है, तो पूरे संग्रह में एक गैर-खाली प्रतिच्छेदन है; अर्थात, अनंत संग्रह के लिए किसी को सघनता माननी होगीः मान लीजिए कि यह संहत उत्तल उपसमुच्चय का एक संग्रह है, जैसे कि कार्डिनलिटी के प्रत्येक उप-संग्रह में अधिक से अधिक गैर-खाली प्रतिच्छेदन हो। फिर पूरे संग्रह में गैर-खाली प्रतिच्छेदन है। सबूत हम द्वारा प्रमाण में रेडॉन के प्रमेय का उपयोग करके परिमित संस्करण को साबित करते हैं। अनंत संस्करण तब कॉम्पैक्टनेस के परिमित प्रतिच्छेदन गुण लक्षण वर्णन का अनुसरण करता हैः एक कॉम्पैक्ट स्पेस के बंद उपसमुच्चय के संग्रह में एक गैर-खाली प्रतिच्छेदन होता है यदि और केवल तभी जब प्रत्येक सीमित उप-संग्रह में एक गैर-खाली प्रतिच्छेदन होता है (एक बार जब आप एक एकल सेट को ठीक करते हैं, तो इसके साथ अन्य सभी का प्रतिच्छेदन एक निश्चित कॉम्पैक्ट स्पेस के बंद उपसमुच्चय होते हैं)। सबूत प्रेरण द्वारा हैः आधार मामलाः मान लीजिए। हमारी धारणाओं के अनुसार, प्रत्येक के लिए एक बिंदु है जो संभावित अपवाद के साथ सभी के सामान्य प्रतिच्छेदन में है। अब हम रेडॉन के प्रमेय को उस समुच्चय पर लागू करते हैं जो हमें ऐसे असंबद्ध उपसमुच्चय प्रदान करता है कि उत्तल पतवार उत्तल पतवार को काटता है। मान लीजिए कि यह इन दो उत्तल पतवारों के प्रतिच्छेदन में एक बिंदु है। हम दावा करते हैं कि वास्तव में, किसी पर भी विचार करें हम यह साबित करेंगे कि ध्यान दें कि इसका एकमात्र तत्व इसमें नहीं हो सकता है। यदि, तब, और इसलिए। चूँकि यह उत्तल है, इसलिए इसमें उत्तल पतवार भी होता है और इसलिए भी। इसी तरह, अगर, तो, और उसी तर्क से। चूँकि यह प्रत्येक में है, इसलिए यह प्रतिच्छेदन में भी होना चाहिए। ऊपर, हमने मान लिया है कि सभी बिंदु अलग-अलग हैं। यदि ऐसा नहीं है, तो कुछ के लिए कहें, तो हर एक सेट में है, और फिर से हम निष्कर्ष निकालते हैं कि प्रतिच्छेदन गैर-खाली है। यह मामले में सबूत को पूरा करता है। प्रेरक चरणः मान लीजिए कि कथन इसके लिए सही है। उपरोक्त तर्क से पता चलता है कि सेटों के किसी भी उप-संग्रह में गैर-खाली प्रतिच्छेदन होगा। हम तब उस संग्रह पर विचार कर सकते हैं जहाँ हम दो सेटों को और एकल सेट के साथ प्रतिस्थापित करते हैं। इस नए संग्रह में, सेट के प्रत्येक उप-संग्रह में गैर-खाली प्रतिच्छेदन होगा। इसलिए प्रेरक परिकल्पना लागू होती है, और यह दर्शाती है कि इस नए संग्रह में गैर-खाली प्रतिच्छेदन है। यह मूल संग्रह के लिए समान है, और प्रमाण को पूरा करता है। रंगीन हेली प्रमेय हेली के प्रमेय का एक विस्तार है जिसमें, एक संग्रह के बजाय, के उत्तल उपसमुच्चय के d + 1 संग्रह हैं। यदि, एक पारगमन के प्रत्येक विकल्प के लिए-प्रत्येक संग्रह से एक सेट-सभी चुने हुए सेटों के लिए एक बिंदु समान है, तो कम से कम एक संग्रह के लिए, संग्रह में सभी सेटों के लिए एक बिंदु समान है। आलंकारिक रूप से, कोई भी डी + 1 संग्रह को डी + 1 विभिन्न रंगों का मान सकता है। फिर प्रमेय कहता है कि, यदि एक-सेट-प्रति-रंग के प्रत्येक विकल्प में एक गैर-खाली प्रतिच्छेदन है, तो एक ऐसा रंग मौजूद है कि उस रंग के सभी सेटों में एक गैर-खाली प्रतिच्छेदन है। प्रत्येक a> 0 के लिए कुछ b> 0 ऐसा होता है कि, यदि n उत्तल उपसमुच्चय हैं, और कम से कम समुच्चय के (d + 1)-टुपल्स के a-अंश में एक बिंदु समान है, तो समुच्चय के कम से कम b के एक अंश में एक बिंदु समान होता है। कैराथियोडोरी की प्रमेय डॉइगनन की प्रमेय किर्चबर्गर की प्रमेय शेपली-फॉकमैन लेम्मा क्रेइन-मिलमैन प्रमेय चॉक्वेट सिद्धांत रेडॉन की प्रमेय और इसका सामान्यीकरण, ट्वेरबर्ग की प्रमेय नोट्स संदर्भ भी देखें। .. .. हेनरिक गुगेनहाइमर (1977) एप्लिकेबल ज्योमेट्री, पेज 137, क्रीगर, हंटिंगटन। .. .. .. उत्तल ज्यामिति में प्रमेय असतत ज्यामिति में प्रमेय ज्यामितीय अनुप्रस्थ सिद्धांत के प्रमाण वाले लेख