Stationary phase approximation
गणित में, स्थिर चरण सन्निकटन असिम्प्टोटिक विश्लेषण का एक बुनियादी सिद्धांत है, जो तेजी से बदलते जटिल घातांक के खिलाफ एकीकरण द्वारा दिए गए कार्यों पर लागू होता है। यह विधि 19वीं शताब्दी से उत्पन्न हुई है, और जॉर्ज गैब्रियल स्टोक्स और लॉर्ड केल्विन के कारण है। यह लाप्लास की विधि और सबसे तीव्र अवरोहण की विधि से निकटता से संबंधित है, लेकिन लाप्लास का योगदान दूसरों से पहले है। मूल बातें स्थिर चरण विधियों का मुख्य विचार तेजी से बदलते चरण के साथ साइनसॉइड्स के रद्द होने पर निर्भर करता है। यदि कई साइनसॉइड्स का एक ही चरण होता है और उन्हें एक साथ जोड़ा जाता है, तो वे रचनात्मक रूप से जुड़ेंगे। यदि, हालांकि, इन समान साइनसॉइड्स के चरण हैं जो आवृत्ति परिवर्तन के साथ तेजी से बदलते हैं, तो वे असंगत रूप से जोड़ेंगे, अलग-अलग समय पर रचनात्मक और विनाशकारी जोड़ के बीच भिन्न होंगे। सूत्र लेटिंग फलन के महत्वपूर्ण बिंदुओं के समूह को दर्शाता है (अर्थात। जहाँ), इस धारणा के तहत कि या तो सघन रूप से समर्थित है या घातीय क्षय है, और यह कि सभी महत्वपूर्ण बिंदु गैर-उत्पन्न हैं (यानी। के लिए) हमारे पास निम्नलिखित असिम्प्टोटिक सूत्र है, इस प्रकारः यहाँ हेसियन को दर्शाता है, और हेसियन के हस्ताक्षर को दर्शाता है, अर्थात। धनात्मक आइगेनवैल्यूज की संख्या ऋणात्मक आइगेनवैल्यूज की संख्या को घटाती है। क्योंकि, यह निम्न तक कम हो जाता हैः इस मामले में सभी महत्वपूर्ण बिंदुओं पर कम होने की धारणाएँ गैर-अपक्षयी हैं। यह सबसे तीव्र अवरोहण की विधि के लिए सूत्र का सिर्फ विक-घूर्णित संस्करण है। एक उदाहरण एक कार्य पर विचार करें। इस फलन में चरण पद,, स्थिर होता है जब या समकक्ष रूप से,। इस समीकरण के समाधान से कुछ और के लिए प्रमुख आवृत्तियाँ प्राप्त होती हैं। यदि हम टेलर श्रृंखला के रूप में विस्तार करते हैं और उससे अधिक क्रम की शर्तों की उपेक्षा करते हैं, तो हमारे पास दूसरा व्युत्पन्न है। जब अपेक्षाकृत बड़ा होता है, तो एक छोटा सा अंतर भी समाकलन के भीतर तेजी से दोलन उत्पन्न करेगा, जिससे रद्द हो जाएगा। इसलिए हम टेलर विस्तार के लिए एकीकरण की सीमाओं को सीमा से आगे बढ़ा सकते हैं। अगर हम सूत्र का उपयोग करते हैं,। .. यह इसमें एकीकृत होता है। कटौती के चरण शामिल सिद्धांत का पहला प्रमुख सामान्य कथन यह है कि I (k) का असिम्प्टोटिक व्यवहार केवल f के महत्वपूर्ण बिंदुओं पर निर्भर करता है। यदि g के चयन से समाकलन को अंतरिक्ष के उस क्षेत्र में स्थानीयकृत किया जाता है जहां f का कोई महत्वपूर्ण बिंदु नहीं है, तो परिणामी समाकलन 0 की ओर जाता है क्योंकि दोलनों की आवृत्ति को अनंत तक ले जाया जाता है। उदाहरण के लिए रीमान-लेबेस्ग्यू लेम्मा देखें। दूसरा कथन यह है कि जब f एक मोर्स फलन है, ताकि f के एकवचन बिंदु गैर-अपक्षयी और पृथक हों, तो प्रश्न को मामले n = 1 तक कम किया जा सकता है। वास्तव में, तब, समाकलन को केवल एक महत्वपूर्ण बिंदु पी वाले मामलों में विभाजित करने के लिए जी का एक विकल्प बनाया जा सकता है। उस बिंदु पर, क्योंकि पी पर हेसियन निर्धारक धारणा से 0 नहीं है, मोर्स लेम्मा लागू होता है। समन्वय के परिवर्तन से f को प्रतिस्थापित किया जा सकता है। जे का मान पी पर एफ के हेसियन मैट्रिक्स के हस्ताक्षर द्वारा दिया जाता है। जहां तक जी का संबंध है, आवश्यक मामला यह है कि जी xi के टक्कर कार्यों का एक उत्पाद है। सामान्यता को खोए बिना अब यह मानते हुए कि पी मूल है, अंतराल पर मान 1 के साथ एक चिकनी टक्कर फलन एच लें और जल्दी से इसके बाहर 0 की ओर झुकें। लीजिए, फिर फुबिनी की प्रमेय I (k) को वास्तविक रेखा पर समाकलन के गुणनफल में घटा देती है जैसे कि f (x) = ±x2 के साथ। माइनस साइन के साथ मामला प्लस साइन के साथ मामले का जटिल संयुग्म है, इसलिए अनिवार्य रूप से एक आवश्यक एसिम्प्टोटिक अनुमान है। इस तरह मोर्स कार्यों के लिए ऑसिलेटरी इंटीग्रल के लिए एसिम्प्टोटिक्स पाए जा सकते हैं। अपक्षयी मामले में आगे की तकनीकों की आवश्यकता होती है (उदाहरण के लिए एयर फंक्शन देखें)। एक-आयामी मामला आवश्यक कथन यह हैः वास्तव में समोच्च समाकलन द्वारा यह दिखाया जा सकता है कि समीकरण के दाहिने हाथ की ओर मुख्य शब्द बाईं ओर समाकलन का मान है, जो सीमा पर विस्तारित है (प्रमाण के लिए फ्रेस्नल समाकलन देखें)। इसलिए यह समाकलन का अनुमान लगाने का सवाल है, मान लीजिए। यह सभी एक-आयामी समाकलनों के लिए मॉडल है जिसमें एक गैर-अपक्षयी महत्वपूर्ण बिंदु होता है जिस पर दूसरा व्युत्पन्न होता है। वास्तव में मॉडल मामले में 0 पर दूसरा व्युत्पन्न 2 है। उपयोग करके मापने के लिए, ध्यान दें कि जहाँ स्थिर है उसे बदलना द्वारा मापने के समान है। यह इस प्रकार है कि के सामान्य मूल्यों के लिए, कारक बन जाता है। जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, एक जटिल संयुग्म सूत्र का उपयोग करता है। निम्न-क्रम शब्द जैसा कि सूत्र से देखा जा सकता है, स्थिर चरण सन्निकटन समाकलन के असिम्प्टोटिक व्यवहार का प्रथम-क्रम सन्निकटन है। निचले क्रम के शब्दों को अच्छी तरह से व्यवहार करने के लिए विभिन्न भार कारकों के साथ ओवर फेनमैन आरेखों के योग के रूप में समझा जा सकता है। क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में सामान्य समाकलन भी देखें लाप्लास की सबसे तीव्र वंश की विधि संदर्भ ब्लिस्टेन, एन. और हैंडल्समैन, आर. 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